/
Author: Абиев Р.Ш.
Tags: гидромеханика механика жидкостей и газа компьютерные технологии физика теплообмен гидродинамика
ISBN: 5-230-09650-0
Year: 2002
Text
УДК 532+681.3
Печатается по решению Редакционно-издательского совета
Санкт-Петербургского государственного технологического института
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, вед. научи, сотр. РНЦ «Прикладная химия»
Ю. И. Бабенко;
кафедра процессов и аппаратов пищевых производств СПбГУН ПТ
(зав. кафедрой - д-р техн.наук, проф. В. Б. Тишин);
кафедра математического моделирования и оптимизации
химико-техиологических процессов СПбГТИ
(зав. кафедрой - д-р техн.наук, проф. В. А. Холодное)
Абиев Р.Ш.
А15 Вычислительная гидродинамика и тепломассообмен.
Введение в метод конечных разностей: Учебное пособие. —
СПб.: Изд-во НИИХимии СПбГУ, 2002. 576 с.
Табл. 6. Ил. 95. Библиогр.: 43 назв.
ISBN 5-230-09650-0
Книга представляет собой развернутое изложение авторского кур-
са, читаемого студентам-механикам Санкт-Петербургского государ-
ственного технологического института и предназначена главным обра-
зом для студентов старших курсов, обучающихся ио специальностям
170500,171600, и может быть использована всеми, кто интересуется
численными методами расчета задач гидродинамики, тепло- и массопе-
реноса, в частности, аспирантами, молодыми учеными и инженерами.
Рассмотрены основы одного из методов численного решения урав-
нений в частных производных - метода конечных разностей, а также
описан метод характеристик. Представлены способы построения «хо-
роших» разностных схем, методы аппроксимации граничных условий,
проверки устойчивости. Приведены многочисленные примеры. Боль-
шое внимание уделено практике построения программ, в которых реа-
лизованы описанные в книге алгоритмы решения задач в конечно-раз-
ностной форме. В Приложении приведены тексты программ, построен-
ных в среде MathC AD 2000.
УДК 532+681.3
Книга подготовлена при частичной финансовой поддержке Министерства
образования Российской Федерации в форме гранта ТОО-11.1-2303
по фундаментальным исследованиям в области технических наук
ISBN 5-230-09650-0
©Абиев Р. 111.,2002 г.
Предисловие
За прошедшие три-четыре десятка лет издано немало книг, посвященных
как аналитическим, так и численным методам решения уравнений в частных
производных. В большинстве своем эта литература ориентирована на читателя с
университетским уровнем математического образования. В то же время студен-
ты и выпускники технических вузов в определенном смысле обделены внимани-
ем. Для решения практических задач современному инженеру также необходимо
хорошо понимать, когда необходимо сводить задачи к уравнениям в частных
производных, как сформулировать краевые условия, какой выбрать метод реше-
ния полученной задачи, каким образом проверить его устойчивость, оценить
точность, найти приближенное решение и оценить его адекватность.
Ответить на эти вопросы и призвана настоящая книга, возникшая на осно-
ве курса лекций, которые автор читает с 1995 г. в Санкт-Петербургском техноло-
гическом институте студентам-механикам.
В последние годы в мире разработан ряд достаточно мошных программ-
ных пакетов, позволяющих решать задачи гидродинамики и тепломассопереноса
в объектах самой сложной геометрии. Порой можно услышать резонный вопрос:
зачем же тогда инженерам и студентам нужно знать изложенный в данной
книге материал? В качестве ответа можно привести следующие аргументы. Во-
первых, стоимость указанных программных пакетов достигает нескольких де-
сятков тысяч долларов США, что далеко не по карману даже многим организа-
циям. Во-вторых, даже если такой пакет будет приобретен, то для
квалифицированного обращения с ним нужно не только владеть терминологией
численных методов, но и представлять себе, что может повлечь за собой то или
иное вмешательство в настройки вычислительных параметров. В-третьих, ни
одна самая универсальная программа не может предусмотреть абсолютно все
расчетные случаи. И тогда пользователь либо разрабатывает свою уникальную
программу, либо (в случае открытой архитектуры программного пакета) создает
специальный дополнительный модуль, учитывающий специфику его задачи.
Предлагаемую книгу можно использовать как учебное пособие по чис-
ленным методам решения уравнений в частных производных для студентов тех-
нических вузов, владеющих основами дифференциального и интегрального ис-
числения, а также как справочное пособие для разработки алгоритмов и про-
грамм. Трудные для понимания моменты автор пытался описать с достаточной
степенью подробности, с тем, чтобы самый неискушенный читатель смог овла-
деть основами сеточных методов.
Хотя приведенные в книге задачи и примеры относятся главным образом
к процессам движения жидкости (газа) и тепломассопереноса, она может быть
полезной для инженеров различных специальностей и всех, кто хочет постичь на
практике основы метода конечных разностей.
В первой главе книги дана классификация дифференциальных уравнений
второго порядка в частных производных, приведены примеры наиболее извест-
ных уравнений математической физики; вторая глава содержит описание мето-
дов построения конечно-разностных уравнений — с использованием рядов
Тейлора, метода контрольного объема и интегро-интерполяционного метода;
третья глава посвящена методам анализа устойчивости конечно-разностных
схем. Первые три главы являются базовыми, и без знакомства с ними изучение
глав 4-9, вообще говоря, не имеет смысла. В четвертой главе рассматриваются
способы аппроксимации граничных условий первого, второго и третьего рода. В
пятой-седьмой главах описаны методы конечно-разностиого решения уравнений
соответственно гиперболического, параболического и эллиптического типа.
Восьмая глава вполне может рассматриваться обособленно, без знакомства с
предыдущими главами, поскольку в ней изложен метод характеристик для ре-
шения уравнений гиперболического типа. В девятой главе представлены приме-
ры численного решения некоторых задач повышенной сложности, описываемых
дифференциальными уравнениями в частных производных. Десятая глава по-
священа прямым и итерационным методам решения систем линейных алгебраи-
ческих уравнений, и в известном смысле может рассматриваться как приложение
к основному материалу.
В каждой из глав за кратким введением в теорию следует решение не-
скольких примеров, и далее — условия задач для самостоятельного решения,
наиболее трудные из которых помечены звездочкой. В конце книги приведены
4
ответы к некоторым задачам, а также Приложения с текстами программ, напи-
санных в среде MathCAD 2000, и результаты расчетов по этим программам. При
изложении примеров мы рассчитывали, что читатель знаком с основами про-
граммирования, т.е. с такими понятиями, как типы переменных, организация
циклических вычислений, оператор условного перехода и т.п., в противном слу-
чае для освоения примеров ему следует ознакомиться, например, с книгами
[1-3].
Автор весьма признателен заведующему кафедрой оптимизации химиче-
ской и биотехнологической аппаратуры СПбГТИ, доктору технических наук,
профессору И.В. Доманскому за усилия, потраченные на прочтение первона-
чального варианта учебника и сделанные замечания. Считаю своим приятным
долгом выразить огромную признательность первому рецензенту книги — док-
тору физико-математических наук, ведущему научному сотруднику РНЦ "При-
кладная химия" Ю.И. Бабенко за титанический труд по чтению первоначального
варианта рукописи и целый ряд полезных рекомендаций и замечаний по струк-
туре и стилю, стимулировавших автора полностью переработать книгу. Хочется
выразить благодарность другим рецензентам — заведующему кафедрой процес-
сов и аппаратов пищевых производств СПбГУНПТ, доктору технических наук,
профессору В. Б. Тишину, заведующему кафедрой математического моделиро-
вания и оптимизации химико-технологических процессов СПбГТИ, доктору
технических наук, профессору В. А. Холоднову.
Автор не исключает, что, несмотря на тщательность вычитки первона-
чального текста, в книге все еще могут оставаться незамеченные опечатки и дру-
гие погрешности. Обо всех подобных недостатках прошу сообщить по адресу:
198013, Санкт-Петербург, Московский пр.. 26, СПбГТИ, каф. ОХБА,
Абиеву Р. Ш.
Автор надеется, что книга найдет своего читателя среди тех, кто хочет
"научить" свой компьютер решать задачи гидродинамики и тепломассопереиоса
начального уровня и средней сложности. В ближайшем будущем планируется
подготовка к печати учебника, посвященного решению более сложных задач ме-
5
ханики жидкости, теплопроводности, диффузии и фильтрации, в том числе так
называемых сопряженных задач, задач механики многофазных сред и т.д.
Буду также очень рад вашим рекомендациям по дальнейшему улучшению
книги, которые могут быть учтены при возможном ее переиздании.
Р. Ш. Абиев
Основные условные обозначения
с - скорость жидкости, м/с;
С - теплоемкость среды, Дж/(кг-К);
D - коэффициент диффузии, м2/с;
Т, и - зависимые переменные в ДУЧП (температура, концентрация, давление,
скорость, в зависимости от постановки задачи);
а - коэффициент температуропроводности, м2/с;
р - коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2 К);
Л - множитель роста; коэффициент теплопроводности, Вт/(м К);
р - плотность среды, кг/м3;
0 - весовой коэффициент;
со - параметр релаксации;
Дх, h - шаг сетки по оси х;
Ду, к - шаг сетки по оси у;
Д/, т - шаг сетки по времени;
г - радиальная координата; число Куранта, г = ct/h ;
Ре - сеточное число Пекле, Ре = Ма;
Bi - сеточное число Био, Bi = р/г/Х;
Fo - сеточное число Фурье, Fo = mH2,
п п
с П /+1 W
о хи; = —------— - центральный разностный оператор, аппроксимирующий
7 2h
первую производную по пространству (по оси х);
8XXU : =—-----------— - центральный разностный оператор, аппроксими-
/г2
рующий вторую производную по пространству (по оси х);
=Uj -и"1 - разностный оператор, аппроксимирующий первую производ-
ную по времени.
7
Список сокращений
ВВ1ДП - схема со сдвигом вперед по времени, центрированная по пространству;
ГУ - граничное условие;
ДУЧП - дифференциальное уравнение в частных производных;
НИН - неявный метод переменных направлений;
НУ — начальное условие,
ОДУ - обыкновенное дифференциальное уравнение;
ПВР - последовательная верхняя релаксация;
ПДП - первое дифференциальное приближение;
СЛАУ система линейных алгебраических уравнений;
ТСЧН - трехслойная чисто неявная схема.
Введение
Большинство физических явлений, связанных с динамикой жидкости, пе-
реносом теплоты и вещества, электричеством и магнетизмом, могут быть описа-
ны с помощью дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП).
При некоторых упрощениях эти уравнения могут быть сведены к обыкновенным
дифференциальным уравнениям (ОДУ), однако более полное описание систем с
бесконечным числом степеней свободы неразрывно связано с дифференциаль-
ными уравнениями в частных производных.
Что такое уравнения в частных производных?
Дифференциальное уравнение в частных производных — это уравнение,
содержащее частные производные. В отличие от обыкновенных дифференци-
альных уравнений, в которых неизвестная функция зависит от одной перемен-
ной, в ДУЧП неизвестная функция зависит от двух и более переменных.
Например, задача о колебаниях автоматического маятника в простейшем
случае описывается ОДУ с одной степенью свободы, в котором смещение цен-
тра тяжести маятника у является лишь функцией времени: у = y(t). В задаче о ко-
лебаниях струны неизвестная функция — поперечное смещение струны и -
является функцией и времени, и продольной координаты: и = и(х, t). Струна со-
стоит из бесконечного количества колебательных элементов, обладающих мас-
сой и упругостью, колебания этой системы с бесконечным числом степеней
свободы описываются волновым ДУЧП. Еще один пример задачи, описываемой
ДУЧП, - распределение температуры, например, в металлической детали, опу-
щенной в закалочную ванну. Температура зависит от трех пространственных пе-
ременных и от времени: Т = Т(х, у, z, t).
Почему инженеру необходимо изучать методы решения ДУЧП
Процессы, описываемые ДУЧП, происходят в достаточно больших объе-
мах (по крайней .мере, размер изучаемого объекта должен быть много больше
размера элементов, из которого состоит - молекул, атомов, кристаллов) и связа-
9
ны со следующими физическими явлениями: электричество и магнетизм (урав-
нения Максвелла), перенос теплоты и массы (уравнения диффузии, Лапласа, Пу-
ассона), перенос количества движения жидкости (уравнение Навье-Стокса).
Частные производные характеризуют такие физические величины, как скорость,
ускорение, поток, а также градиенты некоторых величин (например, температу-
ры, давления, концентрации), дивергенции (расходимости) потоков, входящих в
рассматриваемую физическую область и выходящих из нее.
ДУЧП нужно уметь решать всем, кто по роду профессиональной деятель-
ности связан с изучением законов природы и их приложений к технике. И если,
например, для студентов-физиков необходимость изучения ДУЧП давно уже не
вызывает сомнений, многим инженерам, работающим в менее наукоемких от-
раслях производства, кажется, что и сегодня, в эпоху научно-технического и ин-
формационного прогресса, все еще можно обходиться весьма
приблизительными, усредненными, порой даже оценочными расчетами.
Приведем простой пример — расчет на прочность сверхзвукового самоле-
та. Если рассчитывать его упрощенно, не решая никаких ДУЧП, мы, скорее все-
го, получим либо недостаточно прочную конструкцию, которая может
развалиться уже на взлетной полосе, либо, пытаясь по привычке рассчитывать "с
запасом", окажемся перед "летающим броненосцем", подняться в воздух кото-
рому не суждено из-за его огромной массы. И много подобных примеров можно
найти в химической технологии, машиностроении, энергетике.
Решение многих проблем, описываемых ДУЧП, было бы невозможно без
применения численных методов и вычислительной техники. Часто это связано с
невозможностью проведения каких-либо натурных экспериментов или их чрез-
вычайно высокой стоимостью. К числу таких проблем относятся [4] : 1) расчет
ядерных реакторов; 2) проектирование летательных аппаратов; 3) расчет хими-
ческих аппаратов и теплообменного оборудования; 4) загрязнение водного и
воздушного бассейнов промышленными выбросами (проблемы экологии) и др.
В фундаментальном труде [4] введено понятие численного эксперимента,
состоящего из следующих этапов: 1) математическая формулировка задачи (по-
строение математической модели); 2) построение приближенного (численного)
10
метода решения задачи, написание вычислительного алгоритма; 3) разработка
компьютерной программы, реализующей вычислительный алгоритм, т.е. про-
граммирование; 4) проведение расчетов на компьютере; 5) анализ полученных
численных результатов и уточнение математической модели. Если модель слиш-
ком груба, и результаты не согласуются с физическими экспериментами, то при-
ходится снова проделывать всю работу, начиная с первого этапа и т.д., вплоть до
достижения приемлемой согласованности численных и физических результатов.
Современная вычислительная техника предоставляет возможность прово-
дить вычислительные эксперименты, используя математические модели весьма
сложных объектов природы и техники. Достигаемая при этом экономия средств
на построение сложных измерительных комплексов и времени на проведение
экспериментов может быть весьма существенной.
Прежде чем приступить к основному содержанию книги, остановимся
вкратце на основных методах решения ДУЧП.
Существующие методы решения ДУЧП
Существует огромный арсенал методов решения ДУЧП, пригодных для
практического использования. Перечислим основные методы решения.
Методы, пригодные для решения только линейных ДУЧП:
1. Метод разделения переменных (метод Фурье). Так, при полном разделении
переменных уравнение в частных производных с и независимыми перемен-
ными сводится к и обыкновенным дифференциальным уравнениям.
2. Метод интегральных преобразований. При одномерном интегральном пре-
образовании уравнение в частных производных с и независимыми перемен-
ными сводится к уравнению в частных производных с (и - 1) независимыми
переменными. При ^-мерном интегральном преобразовании число независи-
мых переменных сокращается на к.
3. Метод функций Грина. Начальные и граничные условия заменяются систе-
мой простейших источников, и задача решается для каждого простейшего
источника. Полное решение исходной задачи получается в результате сум-
мирования решений для элементарных источников.
11
4. Метод интегральных уравнений. Уравнение в частных производных сводит-
ся к интегральному уравнению, в котором неизвестная функция стоит под
знаком интеграла.
5. Метод разложения по собственным функциям. Решение ДУЧП ищется в ви-
де ряда по собственным функциям. Эти собственные функции находят как
решения так называемой задачи на собственные значения, соответствующей
исходной задаче для ДУЧП.
6. Метод теории функций комплексного переменного. Позволяет решать эл-
липтические уравнения с двумя независимыш переменными, в которых ис-
пользуется представление решений через аналитические функции
комплексного переменного.
Методы, пригодные для решения как линейных, так и нелинейных ДУЧП:
1. Вариационные методы. Вместо ДУЧП решается некоторая задача миними-
зации функционала (функции от функции специального вида). Оказывается,
функция, приводящая к минимуму функционала (например, потенциальной
энергии), является н решением соответствующего ДУЧП.
2. Метод преобразования координат. Исходное ДУЧП сводится к обыкновен-
ному дифференциальному уравнению или к другому, более простому ДУЧП,
с помощью соответствующего преобразования координат (например, пово-
рота координатных осей, неравномерного сжатия или расширения и т.д.).
3. Преобразование переменных. Исходное ДУЧП преобразуется к такому
ДУЧП для другой неизвестной функции (и ее производных), которое реша-
ется легче, чем исходное.
4. Метод теории возмущений (метод малого параметра). Исходная нелиней-
ная задача сводится к последовательности линейных задач, аппроксими-
рующих нелинейную задачу.
5. Метод моментов (метод Галеркина). Метод нахождения приближенного
решения ДУЧП, записанного в операторной форме, в виде линейной комби-
нации элементов заданной линейно независимой системы.
12
6. Метод автомодельных решений. Для ДУЧП существуют такие частные ре-
шения, когда искомая функция u(x,l) является функцией одной переменной
роль которой играет комбинаций независимых переменных х, t. Такие ре-
шения называют автомодельными. Подстановка удачно подобранной комби-
нации независимых переменных преобразует исходное ДУЧП в
обыкновенное дифференциальное уравнение.
7. Численные методы. Исходное ДУЧП сводится к системе алгебраических
уравнений, которые решаются на компьютере. Нередко это единственный
способ решить ДУЧП. К этой ipynne методов относятся метод конечных
разностей, метод конечных элементов, метод Монте-Карло и др.
Большинство перечисленных методов достаточно полно освещено в клас-
сической литературе по уравнениям математической физики [5 - 7], ориентиро-
ванной ив математиков, а в книге [8] эти же методы изложены в объеме,
достаточном для понимания методологии решения задач математической физи-
ки нематематиками.
В связи с огромной практической значимостью решения ДУЧП в косми-
ческой и авиационной технике, химической технологии и экологии, метеороло-
гии и т.д. представленный выше арсенал непрерывно пополняется новыми
методами. Например, в книге [9] разработан метод расчета потоков на границах
полубесконечных областей с использованием дробных производных, позволяю-
щий не рассчитывать поле внутри расчетной области. В работе [10] предложен
граничный метод решения прикладных задач математической физики, в том
числе нелинейных. В последнее время для решения многих задач, описываемых
ДУЧП, все чаще используется метод асимптотического сращивания (см., напри-
мер, [11]). В недавно изданном сборнике статей описаны разработанные россий-
скими учеными новейшие методы вычислительных экспериментов в
сложнейших объектах, в том числе в системах с подвижными границами [12].
Хотя вычислительные методы гидромеханики и теплообмена (методы ко-
нечных разностей и методы конечных элементов) и нашли свое отражение в хо-
рошо известных двухтомных трудах [13,14], они уже стали библиографической
13
редкостью. К тому же многие моменты в литературе, рассчитанной на специали-
стов-математиков, не вполне доступны студентам технических специальностей и
инженерам. Хотелось бы выразить надежду на то, что настоящий учебник станет
для читателей первой ступенью знакомства с численными методами решения
уравнений в частных производных.
Учебник предназначен главным образом для тех, кто впервые знакомится
с численными методами решения задач математической физики, в частности,
для студентов инженерных специальностей, связанных с энергетикой, машино-
строением, химической технологией. Автор ни в коей мере не претендует на
полноту изложения затронутых в книге вопросов. Более того, необходимо отме-
тить, что автор не является математиком, и поэтому вовсе не стремился к стро-
гому доказательству излагаемых в учебнике положений, смещая акцент на их
практическое значение. В то же время, благодаря охвату достаточно широкого
спектра вопросов и методов данную книгу могут использовать в качестве спра-
вочного пособия как молодые специалисты, так и зрелые исследователи.
Глава 1. Классификация дифференциальных
уравнений второго порядка
В настоящей главе дана классификация дифференциальных уравнений в
частных производных второго порядка, представлены некоторые важные
уравнения. Информация о типе уравнения необходима в первую очередь для
выбора методов решения, соответствующих данному типу уравнения.
Уравнением в частных производных 2-го порядка с двумя независимыми
переменными х, у называется соотношение между неизвестной функцией и(х, у)
и ее частными производными до 2-го порядка включительно:
F ( х, у, и„ иу и^ иху> иуу) = О,
где использованы следующие обозначения частных производных:
_ ди ди _ _ сРи _
Ux~dx ; иУ = ^’ ; Ыхх~дх^’ "ху~ дхду : “yy~df '
Напомним, что порядок уравнения определяется наивысшим порядком
частных производных, входящих в него.
Уравнение называют линейным, если оно имеет вид
Оц ^12 иху “* а22 иуу + by Ux + b2Uy + C U = g , (1-1)
где Яц, а12, 022, bt, b2, с, g - функции только х и у, но не зависят от и. Если
коэффициенты уравнения (1.1) не зависят от х и у, то оно представляет собой
уравнение с постоянными коэффициентами. Уравнение называется
однородным, если g(x, у) = 0.
В виде (1.1) могут быть записаны три типа уравнений — так называемые
гиперболические, параболические и эллиптические*. Такая классификация
построена по аналогии с классификацией кривых второго порядка в
‘Патанкар С. [28] предлагает определять уравнения как параболические или
эллиптические по данной координате. Тогда уравнение теплопроводности и( = ихх
параболично по времени и эллиптично по просзранству, уравнение Лапласа
+ Uyy = 0 эллиптично по всем координатам
15
аналитической геометрии. Тип уравнения в частных производных, как и тип так
называемого конического сечения кривой второго порядка, определяется знаком
определителя, составленного из коэффициентов уравнения.
Покажем, как уравнение (1.1) приводится к так называемому
каноническому виду, т.е. к форме, содержащей вторые производные либо только
смешанного типа [см. формулу (1.2)], либо, напротив, содержащей сумму
"чистых" производных по независимым переменным [см. формулы (1.3) —(1.5)].
Составим так называемое уравнение характеристик (см. также главу 8)
ац^у2 -la^dxdy + a^dx2 =0
и перепишем его в виде
(dy А _ dy
fln Ш ~2ai2^+a22'°-
Полученное уравнение — квадратное относительно величины dy/dx,
выражающей тангенс угла наклона характеристических линий (подробней см. в
главе 8). Решая его, найдем два корня
JyA _ Д| 2 ±yfl122 ~аИа22
tfxjp «п
откуда находим уравнения, описывающие два семейства характеристик
-^°12 + V°122 — alla22 ~
Йцйу — I Я12 - Ча122 ~ апа22 ~ О’
Знак подкоренного выражения (дискриминанта) и определяет тип уравнения.
Уравнение называют:
1. гиперболическим в точке М, если в этой точке D = a122 — а11а22>0
(существует две различные действительные характеристики);
16
2. эллиптическим в точке М, если в этой точке D = a122— «на22<0
(действительных характеристик нет);
3. параболическим в точке М, если в этой точке £> = а122— ап«22 = 0
(характеристики действительные, но совпадают).
Рассмотрим примеры на определение типа уравнения.
Пример 1.1. щ=ихх.
Приведем уравнение к виду (1.1) uxx-ut=0. Здесь ап=0, а12 = 0,
022 =1- D = а^2 — ап а22 = 0. Следовательно, тип — параболический.
Пример 1.2. utt = иуу.
В данном уравнении яц = 1, Я]2 = 0, я22 = - 1. D = я122 — оц 022 = 1 > 0.
Тип уравнения — гиперболический.
Пример 1.3, иху =0.
В данном уравнении alt = 0, ai2 = 1. я22 = 0. D = а^ — я22 = 1 > 0.
Тип уравнения — гиперболический.
Пример 1.4. ихх + иуу = ЗД4.
Здесь яп = 1, п12 = 0, я22 = 1- О = а^ — Яц я22 = - 1 < 0. Тип уравне-
ния — эллиптический.
Замечание. Одно и то же уравнение может иметь разный тип в разных
точках вычислительной области, если коэффициенты уравнения зависят от
координат.
Пример 1.5. Уравнение Трикоми описывает трансзвуковые* течения
невязкого газа:
chi сРи
= 0.
* т.е. течения до- и сверхзвуковые; см., например, [41, с. 336-337]
17
Здесь an = у, а12 = О, а22 =!.£> = а^2 — оц «22 = _ У- Очевидно, при у > О
D < 0, и тип уравнения эллиптический (дозвуковые течения); при у < О D > О,
тип изменяется на гиперболический (сверхзвуковые течения).
Часто ДУЧП второго порядка приводят к каноническим формам путем
замены независимых переменных (х, у) на (^, Т]) благодаря переходу к новой
функции v согласно формуле и = v • ехр(Х^+цт]). Вот как выглядят канонические
формы уравнений.
Первая каноническая форма гиперболического уравнения:
= ф(^ П. v, Vfy v^), (1.2)
вторая каноническая форма гиперболического уравнения:
— Vim = ф1^’ Ч» v> vt]) (1 -3)
Каноническая форма параболического уравнения:
‘'пч = фг(^ П> v, vg, v^). (1.4)
Каноническая форма уравнения эллиптического типа:
+ vnn = фз(^’ Ч> vn) - (1.5)
Пример 1.6. Определить тип уравнения иху =их+иу.
Сопоставляя данное уравнение с канонической формой (1.2), нетрудно
увидеть, что тип уравнения — гиперболический.
Пример 1.7, Определить тип уравнения ихх +иуу=их+ 2иу - х.
Путем сопоставления данного уравнения с канонической формой (1.5)
находим, что тип уравнения — эллиптический.
1.1. Некоторые наиболее важные уравнения в частных производных
Приведем уравнения, которые часто встречаются при рассмотрении
различных физических процессов, а также используются для анализа свойств
разностных схем, применяемых при решении более сложных уравнений.
1. Уравнение Лапласа — эллиптического типа:
18
„2 Э2н д2и д2и _ “
Эх2 ду2 fe2
(1.6а)
Оператор V2 = V-V = div grad — так называемый лапласиан (иногда
используют символ Д), обозначает дифференциальную операцию, выполняемую
над функцией и.
Уравнение Лапласа описывает, например, стационарное поле температур
в среде с постоянным коэффициентом теплопроводности. В двумерном случае
уравнение (1.6а) имеет вид
Эх2 ду2
2. Уравнение Пуассона
д2и д2и д2и ( \
Г2+Т2+?2
Эх ду dz
(1.6)
(1.7а)
описывает распределение температуры в твердом теле, когда внутри него есть
источники тепла интенсивности g(x, у). Тип — эллиптический. В двумерном
случае уравнение (1.7а) имеет вид
(1.7)
3. Уравнение теплопроводности или уравнение диффузии (описывает
процесс одномерного. распространения теплоты или вещества) —
параболического типа:
ди Г Э2ц д2и сРи)
dt Эх2 ду2 dz2 J
= aV2«
(1.8а)
где а - коэффициент температуропроводности или диффузии соответственно.
Аномер
В ^^ву^иерном случае уравнение (1.8а) записывается в виде
ди
dt
д2и
= «—j .
Эх2
(1-8)
19
4. Уравнение конвекции и диффузии
эе д%
dt^dx^dx2
(1.9)
описывает перенос скалярной величины (например, концентрации, •
температуры) при скорости конвекции и; а — коэффициент диффузии,
температуропроводности. Тип уравнения — параболический.
5. Волновое уравнение (описывает процесс распространения возмущений
в струне со скоростью с) — гиперболического типа:
(1.10)
dt2 дх2
6. Линейное волновое уравнение первого порядка (описывает волну,
бегущую вправо со скоростью с):
ди ди п
д/+СЭх~°‘ (111)
7. Уравнение Трикоми описывает трансзвуковые течения невязкого газа:
д^и <Ри
Уд^+д^~°' ( }
Важное его свойство — изменение типа с эллиптического на
гиперболический в зависимости от знака у.
8. Уравнение Гельмгольца
дх2
Ут+Л2и = 0 (1.13)
эу
описывает установившийся колебательный процесс с волновым числом к —
эллиптического типа.
9. Невязкое уравнение Бюргерса (нелинейное волновое уравнение, или
уравнение переноса) — описывает процесс распространения нелинейных волн в
одномерном случае
ди ди
5-+kv- = 0 . (1.14)
dt дх
10. Уравнение Бюргерса с диффузионным членом
20
(1.15)
ди ди д^и
ч-+и-=Г" = V—т
dt дх Эх2
похоже на уравнения газовой динамики и используется как модель для анализа
их решения. Здесь v — кинематическая вязкость.
11. Уравнение Кортевега - де Вриза
(1.16)
Эи Эи сРи „
dt дх дх3
описывает процесс распространения нелинейных волн при наличии дисперсии
(т.е. когда фазовая скорость распространения волн зависит от их частоты).
Для определения типа уравнений второго порядка с числом независимых
переменных больше двух следует проанализировать так называемые
квадратические формы, составленные из коэффициентов при вторых
производных [7]. Однако тип уравнения с несколькими независимыми
переменными вполне можно определить, сопоставляя его с одной из следующих
канонических форм:
п
1. Эллиптический тип У1их,х, +Ф =0. (1.17)
1=1
п
2. Гиперболический тип **x,xt = +Ф. (1.18)
1=2
т п
3. Ультрагиперболический тип = 5ЛхЛ+ф. (1.19)
1=1 1=т+1
21
п—т, .
4. Параболический тип* Уд— их<х, )+ Ф — 0, (w > О) (1.20)
1=1
Здесь Xf, i = 1,..п — независимые переменные; Ф — функция от независимых
переменных от функции и и от ее первых производных их.. В формуле (1.20)
предполагается, что хотя бы один из коэффициентов при вторых производных
равен нулю (те > 0), знаки перед остальными вторыми производными не имеют
значения.
Пример 1.8. Определить тип уравнения ихх + иуу +иг, =0.
Оно представляет собой трехмерное уравнение Лапласа в декартовых
3
координатах (1.6а). Переписав его в форме ^ихх. =0 и сопоставив с
(=1
уравнениями (1.17)-(1.20), нетрудно увидеть, что оно имеет вид уравнения
(1.17), т.е. относится к эллиптическому типу.
Другой интересный случай — уравнения первого порядка. Для
определения типа их можно продифференцировать почленно по одной из
независимой переменных, после чего использовать методику, описанную выше
(см. Примеры 1.1-1.4).
Пример 1.9. Определить тип уравнения ut = их.
Вариант решения 1. Продифференцируем почленно уравнение по Г,
получим utt—uxt =0. Здесь «ц = 1, а12 = -1/2, а22 = 0. £> = й122— апа22 =
= 1/4 > 0. Тип уравнения — гиперболический.
Вариант решения 2. Продифференцируем почленно уравнение по х,
получим н/х-ыхх = 0. Здесь eu = 0, д12 = 1/2, а22 = 1. D = flj22— оцв22-
= 1/4 > 0. Тип уравнения — гиперболический.
‘Иногда параболические уравнения подразделяют на уравнения эллиптически-
параболические, гиперболически-параболические и т.д. [7]
22
Задачи
Задание: Определите тип уравнения (эллиптический, параболический или
гиперболический). Попытайтесь выяснить, какой физический процесс оно
описывает.
Вар. 1, д^и д^и ди -kt dt2 Эх2 дх
Вар. 2. д2и Э2и ди ,, "16. дх~ дхду ду
Вар. 3. д2и д2и ди . / \ х —кv+— = sin«ot). dt2 дх2 дх
Вар. 4, ди ди д2и s+"s"10a?'
Вар. 5. эс + ю-^ = 1о-а4. dt дх дх2
Вар, 6. ди ди „ + н—- = 0. dt ду
Вар. 7. ди „ ди д2и dt дх дх2
Вар. 8. ^_ОД^=о. dt дх
Вар. 9. д2и _ д2 и _ . -а; ду2 дх2
Вар. 10, д2и д~и L _НЛ • i ,\ —т- + 4~7=V-e Муд + 1). ду~ dz~
Вар. 11. ^ + 0,2|r=10-«^. dt дх дх~
Вар. 12. ~ + 0^‘*7 +0,001|-=10~8 dt дх ду 'д2т д2т' ЭхУ+0?
Вар. 13. д2С д2С дс дс дс —- + — — и — = — + V ду2 дх2 дх dt ду
23
Bap. 14,
Bap. 15.
Bap. 16.
Bap. 17.
Bap. 18.
ЭС dC d2C d2C
— 1- U —— = r- “I-----x- •
dt dx Э/ dx2
du
du du n _
dt dx
dx
d2u d2u
dx2 dy2
— + U^L = -0,001^+0,2|
dt dx dx
du
dt
du du
d2u
dx2 dy2
dp
----1 - = const.
dx
+ + = 81-0,001^ + 0,2 ^4
dt dx dy dx I dx
dx dy
32« ®2w
dx2 dy2
dp
v = const, — = const.
dx
— + «— + v— = 9,81-0,001^, v = const, ~ - const.
dt dx dy dx dx
Глава 2. Построение конечно-разностных схем: методы
контрольного объема, разложения а ряд Тейлора и
интегро-интерполяционный
Данная глава является едва ли ие самой важной для понимания
взаимосвязи между физическими процессами, протекающими в сплошной среде,
например, переносом теплоты, массы и импульса с одной стороны, и их
формальным математическим описанием с другой. Читатель сможет научиться
самостоятельно получать уравнения математической физики в конечно-
разностной форме.
2.1. Основные понятия теории разностных схем: введение
В этом параграфе приведены некоторые элементарные сведения из теории
уравнений математической физики и из теории разностных схем, необходимые
для понимания материала данной и следующих глав.
В задачах механики сплошной среды решение требуется найти в
некоторой области изменения независимых переменных G(x,y,z,f). Полная
математическая постановка задач механики сплошной среды содержит ДУЧП и
дополнительные условия, позволяющие выделить единственное решение среди
семейства решений ДУЧП.
Если одной из переменных является время t, то чаще всего рассматривают
области вида
G(x,y,z,t) = g(x,y,z)x|z0,oo),
т.е. решение ищут в некоторой пространственной области g(x,y,z) на
промежутке времени ко,°°).
Дополнительные условия, заданные при t = t0, называют начальными, а
дополнительные условия, заданные на границе Г(х,у,г) области g(x,y,z), —
граничными или краевыми.
25
Задачу, у которой имеются только начальные условия, называют задачей
Коши. Например, для уравнения теплопроводности (1.8) в неотраничеииом
пространстве можно поставить задачу с начальными условиями
м(*До)= «о(*)- (21)
Задачу с начальными и граничными условиями называют смешанной
краевой задачей или нестационарной краевой задачей. Для уравнения (1.8)
дополнительные условия такой задачи могут иметь, например, вид
к(х,/0)=и0(х), ц(х,/)р =wr(x,/), t>t0. (2.2)
При постановке задач математической физики, описываемых ДУЧП,
наиболее часто используют граничные условия 1-го, 2-го, 3-го и 4-го рода*.
Граничные условия первого рода задают поле изучаемой величины
(температуры, давления, концентрации) на границе области в виде функции
u(x,y,z,t)Y- = ur(x,y,z,t). Граничные условия второго рода описывают
распределение удельных потоков (тепловых, массовых, диффузионных) на
границе области, которые в простейшем случае пропорциональны производной
от изучаемой величины по нормали п к поверхности, т.е. задается функция
du(x,y,z,r)/3n|r. Граничные условия третьего рода представляют собой
линейную комбинацию граничных условий первого и второго рода, т.к.
получаются из баланса удельного потока, проникающего в глубь твердого тела,
и удельного потока, подводимого от жидкости к твердой поверхности, т.е.,
например, для задачи теплопроводности записываются в виде
-^(Эц/Эи^ =Р(нг-ите), где Л — коэффициент теплопроводности твердого
тела, Р — эмпирический коэффициент теплоотдачи, иг — температура на
границе (на твердой стенке), м„ — температура жидкости вдали от стенки (см.
*В книге Стерлина [37] введены граничные условия 5-го, 6-го, 7-го и 8-го рода,
представляющие собой интегро-дифференциальные уравнения, описывающие один из
законов сохранения (энергии, массы, вещества) для замкнутой системы.
26
также п. 2.5). Граничные условия четвертого рода реализуются при идеальном
контакте двух тел и описываются системой двух уравнений: 1) отсутствие скачка
функции на поверхности контакта выражается соотношением
ul(x,y,z,t)r=U2(x,y,z,t)r; 2) равенство удельных потоков на границе дается
формулой Zqth/i/dnlp =Х2ЙИ2/Эп{г. Во всех случаях граничные условия могут
быть функцией пространственных координат, а для нестационарных задач —
еще и функцией времени.
При исследовании установившихся состояний или стационарных (не
зависящих от времени) процессов в сплошной среде формулируются
математические задачи, не зависящие от времени. Примеры — уравнения
Лапласа (1.6), Пуассона (1.7), Гельмгольца (1.13). Их решение ищется в области
g(x,y,z), а дополнительные условия являются граничными. Такие задачи
называют краевыми.
Будем рассматривать корректно поставленные задачи, когда для
некоторого класса начальных и граничных данных решение. 1) существует,
2) единственно и 3) непрерывно зависит от этих данных и от всех
коэффициентов уравнения. Последнее условие означает устойчивость задачи
(см. главу 3).
Задачи для линейных уравнений с коэффициентами достаточно общего
вида или линейные задачи в областях сложной формы редко удается решить
классическими методами. Основным способом их решения являются численные
методы. Чаще всего применяют разностные (сеточные) методы [4, 15]
благодаря их универсальности и наличию хорошо разработанной теории.
Сеткой на отрезке [а,й] называется любое конечное множество точек
этого отрезка. Равномерной сеткой на [а, />] называется множество Тонек
(О/, = {*i =a + ih,i = 0,1,N }, (2.3)
где h = (b—a)/N — шаг сетки.
Понятие сетки обобщается и на большее число измерений. Например,
равномерная прямоугольная сетка в прямоугольной области изменения
27
переменных G(x,t) может быть образована пересечением линий, параллельных
сторонам области и отстоящих друг от друга с равным шагом (см.рис. 2.1, а).
Рассмотрим задачу о приближенном вычислении производных функции
и(х), определенной, непрерывной и гладкой на отрезке Введем сетку соА и
обозначим щ = и(х,-). Тогда разностные соотношения
ди _ Uj — i/j_i
дх ( h
Ux~ i
(2.4)
ди
Эх ,
h
- ц'+1 ~м«-1
Эх , 2й
(2-5)
(2.6)
называются соответственно левой, правой и центральной разностными
производными функции и(х) в точке x = xt. Формулы (2.4) и (2.5) иногда
называют разностями назад и разностями вперед соответственно.
Вторую производную можно приближенно заменить в точке х, второй
разностной производной
д2и И _ ).t<,4-i-2t/,+Kf_i
Эх2,. й^+’- Л2
(2.7)
Очевидно, что при предельном переходе й~>0 выражения (2.4)-(2.6)
будут совпадать с классическим определением первой, а выражение (2.7) — с
определением второй производной функции м(х) в точке х = х,-.
Под разностной схемой понимают совокупность разностных уравнений,
аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение и дополнительные
условия исходной дифференциальной задачи в области изменения переменных
28
Рис. 2.1. Геометрические элементы разностных методов: а - конечно-
разностная сетка для прямоугольной области; б -шаблон неявной
схемы; в - шаблон явной схемы.
G{x,y,z,t). Существующие способы построения разностных схем описаны
ниже, в п. 2.3. Рассмотрим примеры простейших разностных схем.
Пусть требуется составить разностные схемы для одномерной задачи
теплопроводности на ограниченном отрезке
и, = cwVT, 0<х<а, / > О
* (2.8)
н(х,())=ц(х), н(0,/)=Ц|(/), !<(«,/)= J12(О-
Введем в области G = [0 < х < а]х [0 < t <«>) равномерную прямоугольную
сетку, образованную пересечением линий х,= 1-Л, i = 0,...,N и /я = п-т,
п = 0,1,..., где h, т — шаги сетки по переменным х, Z(см. рис. 2.1, а). Величина
Пт» не задана, т.к. в нестационарных задачах время установления процесса
обычно заранее не известно. Значения функции в узлах сетки будем обозначать
=Ф<Л)-
Возьмем около узла (х,,/„) конфигурацию узлов, изображенную на рис.
2.1, б. Заменим в первом из уравнений (2.8) производную щ разностным
29
отношением типа (2.5), т.е. выражением —и” ft *, а производную ихх —
отношением вида (2.7): («"Д1 -2u?+1 + uff^h2 Тогда ДУЧП приближенно
заменится (аппроксимируется) разностной схемой, представляющей собой
систему из N—1 линейных алгебраических уравнений
..«+1 .Л .Л+1 Э..И+1 , „и+1
%-----Ч- = а^-1 ~2u.i +ц-+1 , i = 1,..., jV -1. (2.9)
т , /Г
Число уравнений (2.9) меньше числа неизвестных i = 0,...,N.
Недостающие уравнения выводятся из начальных и граничных условий:
«?=ци)/ = 0....Л; <’=Н1(^)<’=Н2('и+1) (2-Ю)
Конфигурацию узлов, используемую для составления разностной схемы,
~ **
называют шаблоном .
Для одной и той же задачи можно составить много разностных схем.
Например, если для задачи (2.8) использовать шаблон, изображенный на рис. 2.1,
в, то вместо (2.9) получим схему вида
- '---- а1'-----4---i N-\.
t h2
(2.11)
Начальные и граничные условия для этой схемы также можно записать в форме
(2.10).
В разностной схеме (2.11) содержится только одно неизвестное значение
функции на новом (л +1 )-м слое, это значение легко явно выразить через
известные значения функции на n-м слое. Поэтому такие схемы называют
явными.
‘Здесь и далее будем использовать верхние индексы для определения номера
временндго слоя
“ Существуют схемы без шаблона; см- пример в монографии [17] на стр. 342
30
Схема (2.9) содержит в каждом уравнении несколько (в данном случае —
три) неизвестных значения функции на (п + 1)-м слое; подобные схемы
называются неявными.
Для решения линейной системы алгебраических уравнений (2.9)
используют прямые и итерационные методы.
К простейшим прямым методам относятся метод Гаусса и, как частный
случай, метод прогонки, пригодный для систем уравнений с так называемой
трехдиагональной матрицей (см. главу 10). Метод прогонки отличается высокой
экономичностью, т.к. позволяет существенно сократить количество операций
для вычисления корней уравнений.
К простейшим итерационным методам относятся методы Якоби, Зейделя
(метод Гаусса-Зейделя — см. главу 10) и метод верхней релаксации (см. главу 7).
Более подробно методы решения сеточных уравнений изложены в книгах
[6,15-17].
Для большинства разностных схем узлы сетки лежат на пересечении
некоторых прямых линий, проведенных либо в декартовой системе координат,
либо в специально подобранной по форме области G..
Для двумерных задач в прямоугольной области G наиболее часто
используют прямоугольную сетку (см. рис. 2.1, а), для трехмерных задач
наиболее употребительна сетка изпрямоугольных параллелепипедов.
Если одна из переменных имеет физический смысл времени t, то сетку
обычно строят так, чтобы среди ее линий (плоскостей) были линии постоянного
времени t =s= t„. Совокупность узлов сетки, лежащих на такой линии (плоскости),
называют слоем.
В многомерных задачах на каждом слое выделяют направления — линии,
вдоль которых меняется только одна из пространственных координат.
В областях прямоугольной формы (для декартовой системы координат)
часть узлов сетки естественно ложится на границу области; эти узлы называют
граничными, а остальные узлы — внутренними. Начальные и граничные
условия, наложенные на решение на границе Г(С), можно в этом случае считать
31
заданными в граничных узлах сетки [так мы поступали при выводе соотношений
(2.10)].
Если область G является кругом (кольцом), цилиндром или шаром, то
часто переходят к системам координат, связанных с видом области: полярным,
цилиндрическим или сферическим.
Узлы, в которых разностная схема записана на шаблоне, называют
регулярными, а остальные узлы — нерегулярными. Нерегулярными являются
обычно граничные узлы, а иногда также лежащие вблизи границы узлы (такие,
что взятый около этого узла шаблон выходит за границу области). Особенности
нерегулярных узлов для рассмотренного выше примера видны в нестандартной
форме записи уравнений (2.10); более подробно специфика построения
разностных схем для нерегулярных узлов описана в главе 4.
Составление разностной схемы начинается с выбора шаблона. Шаблон не
всегда однозначно определяет разностную схему, но существенно влияет на ее
свойства. Например, в главе 6 будет показано, что на шаблоне, показанном на
рис. 2.1, в нельзя составить хорошей схемы для задачи (2.8).
В главах 5 - 7 на основе свойств решаемых уравнений сформулированы
некоторые общие соображения, которые позволяют подбирать шаблоны,
пригодные для построения хороших разностных схем.
Введем понятие невязки. Рассмотрим операторное уравнение общего вида
(не обязательно линейное)
Аи = f, или Au-f = 0. (2.12)
Заменяя оператор А разностным оператором Ah, правую часть f — некоторой
сеточной функцией фд, а точное решение и — разностным решением у*,
запишем разностную схему
*В литературе по численным методам точное и разностное решение обычно обозначают
по-разному. Учитывая прикладной характер учебника, мы будем строго
придерживаться этого правила лишь там, где разностное решение сравнивается с
точным
32
Ahy = <Ph, или Ahy-<Ph=O.
(2.13)
Если подставить точное решение и в соотношение (2,13), то оно, вообще
говоря, не будет точно удовлетворяться, т.е. А^и-ср^ Ф 0. Величину
У=Фл-Аузи«-/)-(4.«-Фл) (2.14)
называют невязкой. Приемы оценки величины иевязки при помощи разложения
в ряд Тейлора изложены ниже в данной главе.
2.1.1. Понятия метрического пространства, метрики и нормы
В численных методах часто возникает необходимость оценки степени
близости двух заданных таблично функций, например, для определения отличия
распределения температур в пластине на двух последних итерациях при
решении уравнения Лапласа. Вопросы близости двух функций рассматриваются
в функциональном анализе. Некоторые важные для приложений понятия будут
изложены ниже (см. также [17]).
Множество элементов х любой природы называется метрическим
пространством, если в нем введено расстояние p(xj,x2) между любой парой
элементов (метрика), удовлетворяющее следующим аксиомам:
а) р(.Х|,х2) —вещественное неотрицательное число;
б) р(хь х2 ) = 0, если только X] - х2;
в) р(*1,х2) = p(*2>*j);
г) р(х1,х3)<р(х1,х2)+р(х2,х3) (неравенство треугольника).
Последовательность элементов х„ метрического пространства называется
сходящейся (по метрике) к элементу х, если р(х„, х)—> 0 при и -»«*>.
Последовательность хп называется фундаментальной, если для любого
е>0 найдется такое А:(е),что р(х„,хт)<е при всех п и т>к.
Метрическое пространство называется полным, если любая
фундаментальная последовательность его элементов сходится к элементу того
же пространства.
33
Элементы множеств, с которыми нам предстоит работать — числа,
векторы, матрицы и функции. Сами множества обычно являются линейными
нормированными пространствами, ибо в них определены операции сложения и
умножения их на число и введена норма каждого элемента |х|, причем
выполнены следующие аксиомы:
|| х I > 0 — вещественное число; | ах | = | а ] • j х {;
||х || = 0 только при х = 0; ||xj + х2| -|xl|+lx21-
Линейное нормированное пространство есть частный случай метрического
пространства, а норма определяется метрикой. Полное линейное нормированное
пространство называется банаховым. Практически всегда величины, с которыми
мы будем оперировать, являются элементами банаховых пространств; это важно
при доказательстве сходимости численных методов.
Рассмотрим некоторые примеры банаховых пространств, с которыми нам
часто придется встречаться.
а) Множество всех действительных чисел с нормой || х | = | х |.
б) Пространство С — множество функций x(t), определенных и
непрерывных при с чебышевской нормой |х|^ =шах|х(0|.
Сходимость в этом пространстве называется равномерной. Условие 0</<1
здесь и в следующем примере принято для удобства; оно не является
существенным, вообще можно определять функции на любом конечном отрезке.
в) Пространство Lp — множество функций x(f), определенных при
0 < t < 1 и интегрируемых по модулю с р-й степенью, если норма определена в
виде
1/р
Ml, = fl
34
Сходимость в такой норме называют сходимостью в среднем. Пространство
называют гильбертовым, а сходимость в нем — среднеквадратичной.
Разницу между равномерной близостью и близостью в среднем легко
видеть из. следующего примера. Пусть на некоторых участках одна функция
довольно значительно отличается от другой, а на большей части
рассматриваемого отрезка они близки. Тогда чебышевская норма будет
большой, a L} -норма сгладит большие отклонения и будет значительно меньше
чебышевской, не позволяя выявить существенные локальные отклонения.
В каждой конкретной задаче выбор норм должен определяться в первую
очередь физическим смыслом, и лишь во вторую — математическими
соображениями. Например, при расчете прочности реактора нужна равномерная
близость приближенного решения к точному, а близости в среднем
недостаточно, т.к. любое перенапряжение на маленьком участке может
разрушить аппарат. А в задаче о нагреве тела потоком тепла даже норма Zj
удовлетворительна, т.к. температура тела определяется интегралом от потока по
времени.
Между нормами (если они существуют) выполняются определенные
соотношения. Например, для функций х(/), определенных при OSf<l
доказано, что
с2-15)
Поэтому чебышевскую норму называют более сильной, чем гильбертову.
г) Конечномерные пространства с(”\ элементами которых являются
группы из п чисел х = {х],х2,...,хи}; их можно считать координатами векторов
в n-мерном пространстве, 1^ называют евклидовым пространством. Нормы
векторов для конечномерных пространств
35
ЦхЦ^ =sup|x, | \
(2.16)
1 п
L i=i
-i/p
p
(2.17)
Между разными нормами конечномерных векторов существуют соотношения
11451М251Ч-'ЯхИв1Н • (2Л8>
При решении задач мы будем пользоваться нормами вида (2.16) и (2.17).
2J. Основные 1ШВМТНЯ туотши pmbwtbw» сткм : шюлуджиис
Основа метода конечных разностей — дискретизация, т.е. замена
непрерывной области совокупностью изолированных точек (сеткой), причем
решение ищется только в узлах сетки. Производные аппроксимируются
конечными разностями, и решение уравнения в частных производных сводится к
решению системы алгебраических уравнений, которую называют разностной
схемой.
Основные особенности получающейся разностной схемы определяются
типом исходного уравнения в частных производных. Стационарные задачи
обычно сводятся к системам алгебраических уравнений, которые приходится
решать одновременно во всей расчетной области, учитывая заданные граничные
условия; после сравнения решений на текущей’ и предыдущей итерациях
вычисления повторяют до момента достижения заданной точности.
Нестационарные {маршевые, или эволюционные) задачи сводятся к системе
алгебраических уравнений, которую решают на каждом временном слое,
учитывая граничные условия.
При этом возникают следующие вопросы: существует ли решение
алгебраической системы и единственно ли оно; как его вычислить; при каких
* Напомним, что sup означает верхнюю грань множества чисел
36
Рис. 2.2. Пример конечно-разностной сетки для прямоугольной области.
условиях это разностное решение стремится к точному, и какова скорость
сходимости? И, наконец, как выбрать сетку и составить разностную схему на
этой сетке? Проблемы существования и единственности решений достаточно
подробно освещены в специальной литературе [4,5,7], и мы не будем на них
останавливаться. Большую часть времени мы посвятим практическим вопросам
построения согласованных и устойчивых конечно-разностных схем, составления
и отладки программ, а также анализу полученных численных решений.
Весь процесс решения ДУЧП методом конечных разностей состоит из
следующих этапов: 1) дискретизация расчетной области; 2) замена ДУЧП
"хорошим" конечно-разностным аналогом; 3) аппроксимация граничных и
начальных условий; 4) проверка согласованности, устойчивости, сходимости
выбранной схемы, оценка ее точности; 5) выбор метода решения полученной
системы алгебраических уравнений; 6) построение и отладка программы,
реализующей алгоритм решения полученной системы уравнений; оптимизация
программы; 7) анализ полученного решения, сравнение с известными точными
решениями, проверка интегрального баланса массы, теплоты, количества
вещества и т.п.; 8) вывод результатов в виде таблиц и графиков.
Рассмотрим подробнее эти этапы.
37
Первый шаг метода конечных разностей — замена непрерывной области
конечно-разностной сеткой, т.е. дискретизация (рис. 2.2). Далее необходимо
построить конечно-разностный аналог уравнения на данной сетке, используя
определенный шаблон (см., например, шаблоны на рис. 2.1,6, в и рис. 2.3).
Принятые обозначения ясны из рисунка:
“у = цОо> Уо); ui+1J = и(хо + Дх, у0); uf l j - и(х0 — Дх, у0); (2.19)
«у+1 = “(х& Уо + ДУ); Иу-1 = “(хо Уо — Ду)’-
При решении нестационарных задач номер слоя принято обозначать
верхним индексом (например, и/144).
Для каждого уравнения в частных производных существует множество
его конечно-разностных аналогов, из которых обычно нельзя выбрать
наилучший со всех точек зрения. В первую очередь нужно стремиться к
"правильной" аппроксимации уравнений поставленной задачи, обеспечивающей
сходимость, а затем следует выбрать "наилучшую" схему, т.е. оптимизировать
ее, учитывая ее точность, экономичность, удобство реализации на ЭВМ и т.д.
2-2.1. Пшмер» апиррксимаиии частных Поаешнкть
аппроксимации
Пример .2.1. Найти конечно-разностный аналог первой производной
Эп/Эх | используя разности вперед
Рассмотрим разложение в ряд Тейлора функции u(xq + Дх, у0):
н(х0+Дх,Уо>=ы(х0,уо)+Ч“ Дх+| “ +
о* О ОХ о
д^и (ДхГ1
Эх^0 (л-1)!
(Дх)”
+ Эх"5 л!
хо<£<(хо +Дх).
(2.20)
’Здесь и далее для обозначения шагов сетки мы будем использовать как Дх, Л1, так и
соответственно Л, т
38
Здесь последнее слагаемое — так называемый остаточный член в форме
Лагранжа.
Применяя разности вперед (правые разности), перепишем выражение
(2.20) в виде
дм _ м(х0+Дх,у0)- и(х0,у0) Э2ц Дх
дх хо>Уо Э%2 0 2!
Используя для краткости обозначения (2.19) для узла разностной сетки с
индексом i,j, получим
— =Ui+lJ .^2 + <7(Ax). (2.22)
Эх.- Дх
ч/
Здесь О(&х) — погрешность аппроксимации (или невязка — см. п. 2.1),
имеющая точный математический смысл. Такое представление означает, что
погрешность аппроксимации по абсолютной величине не превосходит К|Дх| при
Дх —> 0, причем К — вещественная константа. Практически порядок
погрешности аппроксимации в этом случае равен Дх, т.к. предполагается, что
слагаемые с большими степенями при Дх дают меньщий вклад в остаточный
член, т.к. (Дх)2 < Дх *.
Представление погрешности в виде О(Дх) ничего не говорит о величине
погрешности, а лишь указывает на характер ее стремления к нулю. Если
погрешность другой конечно-разностной аппроксимации производной равна
□(Дх2), то можно ожидать, что во втором случае погрешность аппроксимации
будет меньше, чем в первом. Это утверждение безусловно верно для малых Дх,
но какое Дх считать "достаточно малым", заранее определить сложно.
В литературе [13,14] можно найти большое количество конечно-
разностных аппроксимаций производной Эи/Эх | у.
* Здесь и далее используются общепринятые обозначения: Дх2 = (Дх)2* Д(х2)
39
Пример 2.2. Рассмотрим аппроксимацию первой производной с
использованием разностей назад (левые разности), а также второй производной.
Запишем разложение в ряд Тейлора функции и(х0 - Дх, у0):
н(х0-Дх,у0)=м(х0,у0)--~ Дх +—у
ах 0 дх2
(Дх)2 _ д3и (Дх)3
2Г а?0~зГ
(2.23)
откуда нетрудно получить аппроксимацию первой производной разностями
назад:
Эи Щ i — Щ—1 i
» —+ О(Дх) . (2.24)
ox j: ах
Вычитая соотношение (2.23) из выражения (2.20), получим
аппроксимацию первой производной центральными разностями:
ЭхЬ
Ц+1J ~
ItXx
+ о(\х2).
(2.25)
Выражение (2.25) более точно аппроксимирует первую производную, обладая
вторым порядком погрешности. Можно показать, что на равномерной сетке
аппроксимация первой производной центральными разностями (2.25)
представляет собой среднее арифметическое аппроксимаций разностями назад
(2.24) и разностями вперед (2.22), обладающих всего лишь первым порядком
погрешности.
Складывая выражения (2.23) и (2.20), получим аппроксимацию
производной второго порядка
Эх2 .. Дх2
(2.26)
Приведенные примеры отнюдь не исчерпывают всех возможных конечно-
разностных аппроксимаций производных первого и второго порядка.
Большинство задач гидродинамики и теплопередачи содержит лишь
частные производные первого и второго порядка, при этом для аппроксимации
производных стараются не иедользовать более трех узлов разностной сетки
40
(чтобы не усложнять решение получающейся системы алгебраических
уравнений). На равномерной сетке (Дх = h = const) наряду с выражениями (2.22),
(2.24), (2.25) для аппроксимации граничных условий второго и третьего рода
(см. главу 4) часто применяют следующие аппроксимации производных первого
порядка:
Эи - Зм.- ;+4и.+1 ; — Wi+7 ;
~ =-------у---l+2j +O(h2) ; (2.27)
ox I j 2h
=—у------+ . (2.28)
ox ij 2h
Для трехточечной аппроксимации производных второго порядка на равномерной
сетке (Дх = h = const) помимо выражения (2.26) иногда используют соотношения
первого порядка погрешности:
й2«
Эх2
Э2и
Эх2
И; ; — 2и;+1 ;+и,+э
= - У---,+1-Л—+ O(h) ; (2.29)
й
= %- (230)
и h
Выбор того или иного способа аппроксимации производных для
внутренних узлов определяется шаблоном (см. главы 5 — 7), а для граничных —
желаемой погрешностью аппроксимации граничных условий (см. главу 4).
Разработчику вычислительного алгоритма решения ДУЧП приходится находить
компромиссное решение между высокой точностью и простотой численного
метода. Поэтому на практике обычно довольствуются аппроксимациями второго
порядка точности.
Предлагаем читателю самостоятельно проверить формулы (2.29) и (2.30),
используя методику, описанную в примере 2.2.
41
jt.j. Конечно-разностная аппроксимация уравнений в частных производных
2.3.7. Погрешность аппроксимации уравнения в целом
Рассмотрим анализ погрешности аппроксимации на примере уравнения
(силопроводности
Используя разности вперед для аппроксимации производной по времени и
цен тральные разности — для второй производной, получим аппроксимацию для
ура unci ши теплопроводности
«+1 _ п . .
- i = -‘Т Ь _ 2н« + ип \ (2 32)
дг Дл~ '
Погрешность аппроксимации ДУЧП есть разность между
дифференциальным уравнением и его конечно-разностным аналогом.
Исходя из известного порядка погрешности аппроксимации левой и
правой части уравнения, можно записать порядок погрешности аппроксимации
уравнения в целом: О(Дг) + О(ДхI 2 *) = О(Дг, Дх2), соответствующий первым
членам погрешности в разложении Тейлора.
К этому результату можно придти формальным путем. Перенесем в ДУЧП
(2.31) оба слагаемых в левую часть и запишем в правой части, используя
разложения в ряд Тейлора в окрестности точки (и, j): производной и, — по
аналогии с выражением (2.21), а производной — при помощи соотношений
(2.20) и (2.23). Таким образом, в правой части получим конечно-разностный
аналог уравнения и погрешность аппроксимации:
ди д~и Uj -Uj
д/ дх2 Л/
& { П О п . п i .
~ J +uj-i)+
I /2 /| И
3 и Д/ д и Дх2
— +(Х-—-- — —• +
аг . 2 0Л4 . 12
'J J
42
Вопрос близости решений разностных уравнений к решениям исходных
уравнений определяется условиями согласованности и устойчивости, которые
будут рассмотрены в главе 3.
2.3.2. Методы построения конечно-разностных схем
Для данного уравнения в частных производных и данной сетки конечно-
разностный аналог уравнения может быть построен разными методами; вот
некоторые из них:
1. разложение функции в ряд Тейлора;
2. метод контрольного объема;
3. интегральный метод (называемый также интегро-интерполяционным или
методом баланса);
4. метод неопределенных коэффициентов.
Иногда все эти методы приводят к одинаковому конечно-разностному
аналогу исходного уравнения. Ниже описаны первые три метода. Метод
неопределенных коэффициентов заключается в том, что в качестве разностной
схемы берут линейную комбинацию значений разностного решения в узлах
шаблона; коэффициенты этой линейной комбинации определяют из условия
максимума порядка погрешности схемы'по шагам сетки т и h. Более подробно
со всеми методами можно ознакомиться по книгам [13 -15,17].
2.4. Разложение функции в ряд Тейлора
В п. 2.1 мы рассмотрели примеры конечно-разностной аппроксимации
частных производных. В данном параграфе представим методы построения
конечно-разностных схем с помощью рядов Тейлора с формальной точки
зрения.
Положим, что мы хотим построить конечно-разностную аппроксимацию
производной ди/дх I jj, имеющую погрешность аппроксимации О(Лх2),
используя лишь значения ut_2j, Uij.
43
Пример 2.3- (Первый способ). Представим и и,_у с помощью
ряда Тейлора для функции и в точке (i, j) и попытаемся выразить из
полученных соотношений производную ди/дх I ц с требуемой точностью:
(2Дх)? д3и (—2Дх)?
2! +Эх3. . зГ~
i'j
ди z ч д2и
Ui^2ij=Uij+~ (-2Дх)+ —-J
v dxitj дх2 . .
+ ... , (2.33)
= .ди
( л. X ^2П
(_Дх)+гу
дх .
Дх2 d3u
~2Г+а?..
'.У
(-Дх)3 ,
3!
(2.34)
Искомую конечно-разностную аппроксимацию часто удается получить
простой подстановкой. Выразим производную ди/дх | у из соотношения (2.33):
ди
^i,j
Ui.j Uj-2J + д2и
2Дх 2Лх Эх2 . .
Дх + О^Лх2).
Первый порядок погрешности О(Дх) этого выражения определяется членом,
содержащим вторую производную. Выражая его из соотношения (2.34)
получим аппроксимацию производной ди/дх | у типа (2.28).
Пример 2.4. (Второй способ). Сложим умноженное на а уравнение
(2.33) с умноженным на Ь уравнением (2.34). Коэффициент при (ди/дх I у)Дх
будет равен единице, если -2а-Ь=1', члены, содержащие d^/dxHy , и
обуславливающие погрешность аппроксимации О(Дх), будут исключены из
уравнений, если 2а + Ы2 = 0. Решая систему уравнений
-2a-Z> = 1,
2a + Ы2= 0,
находим: а = 1/2, b = -2. Складывая умноженное на 1/2 уравнение (2.33) с
умноженным на -2 уравнением (2.34) и разрешая полученное уравнение
относительно ди/дх | , снова получим требуемую аппроксимацию производной
типа (2.28).
44
Рис. 2.3. а - шаблон для решения уравнения теплопроводности по
неявной схеме; б - шаблон для решения уравнения теплопроводности по
схеме Кранка-Николсона. Крестиком показана точка, в которой
производится разложение в ряд Тейлора.
Следует отметить, что при разложении в ряд Тейлора необходимо
выписывать члены более высокого порядка малости, нежели мы ожидаем
получить (в рассмотренном примере — член с третьей производной). Если бы в
процессе проведенных арифметических операций эти члены сократились, то мы
могли бы говорить о более высоком порядке точности (в данном случае —
третьем). Такое благоприятное сокращение встречается довольно часто.
При построении конечно-разностного аналога всего заданного уравнения
в частных производных все члены уравнения надо раскладывать в ряд Тейлора в
одной и той же точке. При таком подходе погрешность аппроксимации
уравнения в частных производных равна сумме погрешностей аппроксимации
его членов.
Разложение в ряд Тейлора не обязательно проводить в узле (i, J)
разностной сетки. Рассмотрим два примера (рис. 2.3).
Простая неявная схема для одномерного уравнения теплопроводности
(2.31) имеет вид
45
t п+1 -П , .
J - 7 = № -2u"+l + ufi), (2.35)
Д/ Дх2
погрешность аппроксимации схемы имеет порядок С^ДлДх2). Используемый
шаблон и точка (n+1, Д в которой удобнее всего производить разложение в ряд
Тейлора, показаны на рис. 2.3, а.
Так называемая схема Кранка-Николсона для уравнения
теплопроводности имеет вид
а 1,Л+1 . „п 1 |,,И+1 , „И к „Л+1 , ,,п I
---------Д^ ~ 2Д.Х2 ^j+1 + i+1 ~2 j 7 Н + J-1 3’ (236)
с порядком погрешности аппроксимации ОСД^.Ах2). Используемый шаблон и
точка (и+1/2, j), в которой удобнее всего производить разложение в ряд Тейлора,
показаны на рис. 2.3, б.
Отметим, что погрешность аппроксимации всего уравнения в частных
производных (но не его отдельных членов) не зависит от выбора точки, в
которой производится разложение в ряд Тейлора. Эго связано с взаимным
уничтожением членов разложений в ряд Тейлора для различных слагаемых
уравнения (см. пример 2.2, где при выводе выражения (2.26) сократились все
слагаемые с нечетными производными, в том числе Ъ3и/Ъх3 (Дх)^/з! ).
Пример 2-5. Построить конечно-разностную аппроксимацию
производной du/d^.j на неравномерной сетке с погрешностью о(\у2) с
использованием узлов w,j_i и u,- 7+i . Введем обозначения: Ду+ = wfj+i — utj,
Ду_ = Ui j — Uj j_i. По аналогии с выражениями (2,33) и (2.34) запишем
разложения в ряд Тейлора в окрестности точки (i, j). В узле (i, j + 1)
Эи . д2и
Ы^=и^^У++^
(Ду+)2 , Э3и (Ду+)3 ,
2! ду3.. 3!
вводя коэффициент неравномерности т) = Ду+/Ду_, получим
46
ui.J+\
, ди * d2U ;
(ЛУ-)2 Э3и
2! эу3
Т}3^~£ + .... (2.37)
i,j
В узле (i.j- 1)
( . \ д2и
л t,J
(-Ay,)2
2!
Э\ (-Ду У
3!
+ ...,(2.38)
Сложим умноженное на а уравнение (2.37) с умноженным на b
уравнением (2.38). Требование равенства единице коэффициента при ди/дх\.
приводит к соотношению т)а - b = 1. Для достижения порядка аппроксимации
первой производной не хуже o(i5y2) нужно, чтобы коэффициент при члене,
содержащем (Ду-)2, был равен нулю, т.е. г|2«+й = 0. Решая систему
полученных алгебраических уравнений, находим коэффициенты а — 1/ЕпОз+1)],
Ь = — Т]/(т) + 1). С учетом найденных значений коэффициентов из линейной
комбинации уравнений (2.37) и (2.38) нетрудно получить искомое выражение
для первой производной в виде
Эу.-j т)(п + 1)Ду_
(2.39)
Соотношение (2.39) при т) = 1 совпадает с выражением типа (2.25), при т) —> <==
оно переходит в уравнение вида (2.24), а при т) = 0, учитывая Ду_=Ду+/т],
нетрудно придти к выражению вида (2.22).
2-5. Метод кдугрольцого объема
При использовании описанного выше метода разложения в ряд Тейлора
мы полагали, что исходные уравнения в частных производных корректно
описывают законы сохранения, и обращались лишь к математическим
средствам.
47
В методе контрольных объемов разностная схема строится на основе
физических законов сохранения. Сначала этот закон сохранения формулируется
словесно для некоторого контрольного объема, окружающего узел разностной
сетки, а затем записывается в математической форме для дискретной сетки.
Таким же образом обычно и получают уравнения в частных производных, здесь
нет лишь перехода к пределу при стягивании контрольного объема в точку.
Таким образом, не обязательно иметь готовое уравнение в частных
производных, описывающее тот или иной процесс — мы его выводим
самостоятельно в конечно-разностной форме. Разумеется, всегда полезно
сопоставить полученное разностное уравнение с известным ДУЧП, сравнивая
соответствукЯцие частные производные и их конечно-разностные аналоги.
Если уравнение в частных производных записано в дивергентной форме
(см. главу 3), то закон сохранения можно получить, интегрируя это уравнение по
контрольному объему с использованием теоремы Гаусса-Остроградского. На
практике метод контрольного объема позволяет строить более точные
разностные схемы вблизи границ области, чем другие методы.
Экспериментально установленный закон Фурье гласит: удельный поток
тепла, проходящий через границу области, пропорционален нормальной
производной температуры в направлении внутренней нормали. Коэффициентом
пропорциональности является коэффициент теплопроводности Л.
Если, как это принято, брать производную по внешней нормали (рис. 2.4,
а), то выражение для расчета проекции удельного* теплового потока на
внешнюю нормаль должно включать знак "минус":
(2.40)
Удельные потоки (поверхностные плотности потоков) массы, теплоты, вещества
представляют собой отношение соответствующего потока массы, теплоты, вещества,
выраженного соответственно в кг/с, Вт или моль/с, к поверхности, через которую
происходит перенос, и имеют размерности соответственно кг/^-с), Вт/м2 или
моль/(м2-с). Далее мы почти везде будем оперировать понятием удельного потока и без
ущерба для понимания прилагательное "удельный" будем опускать. ,
48
Прежде чем перейти к примерам, напомним читателю "правило знаков"
для теплового потока, подчиняющегося закону Фурье, которое нам потребуется
для построения граничных условий второго и третьего рода.
Из рис. 2.4, а видно следующее: там, где производная дТ/дп > 0, согласно
выражению (2.40) qin < 0, т.е. тепловой поток qt имеет направление,
противоположное направлению внешней нормали и, тепло втекает в область V
через границу F (тепло всегда течет из области высоких температур к более
низким). И наоборот, там, где дТ/дп<0, тейловой поток q^ > 0, т.е. имеет
направление внешней нормали к границе F, а значит, тепло вытекает из области
V наружу.
Теперь перейдем к выражениям, записанным в декартовых координатах.
Проекция теплового потока на произвольную ось координат х равна
qx=-^- (2.41)
Эх
Рассмотрим процесс одномерной теплопроводности в стержне, остывающем с
торцов, боковая поверхность которого теплоизолирована (рис. 2.4, б). На правой
границе направления внешней нормали и и оси х совпадают (dx - dri), поэтому
совпадают и знаки производных: dTfbn < 0 н дТ/дх < 0, и, следовательно, знаки
тепловых потоков: qx = qn>0 (тепло "вытекает" из стержня вправо). На левой
же границе направления внешней нормали п и оси х противоположны (dx = - dri),
поэтому противоположны и знаки производных: дТ/дп<0 и ЭТ/Эх >0, и знаки
тепловых потоков: qx - —q„ > 0 (тепло "вытекает" из стержня влево).
Эго означает, что проекция теплового потока на ось х на левой границе
отрицательна, т.е. направлена против оси х — влево. Аналогичные соотношения
можно получить и для нагревающегося стержня — знаки производных и
направления потоков при этом поменяются на обратные (тепловые потоки будут
"втекать" в стержень слева и справа)*.
* Читателю предлагается самостоятельно проверить знаки производных и проекций
тепловых потоков в этом случае.
49
Для описания теплообмена между твердой поверхностью и жидкостью
(движущейся или неподвижной) часто используется закон Ньютона-Рихмана:
"вытекающий" поток тепла (т.е. имеющий направление внешней нормали) равен
(см. рис. 2.4, б)
?„=₽(?>-TJ,
(2.42)
50
где Р — так называемый коэффициент теплообмена (теплоотдачи) с
поверхности, Вт/(м2-К),
TF — температура на границе твердой поверхности, К;
Тт — температура среды, обтекающей твердое тело, К.
Сочетание вьфажений (2.40) и (2.42) приводит к граничным условиям третьего
рода (см. п. 2.1).
Рассмотрим двумерный установившийся процесс распространения тепла в
твердом теле с постоянным коэффициентом теплопроводности А. В этом случае
распределение температуры удовлетворяет уравнению Лапласа (1.6).
Построим разностную сетку (рис. 2.5, а). Сначала расположим узлы на
границе расчетной области, так как температура границы входит в граничное
условие. Затем разобьем всю Область решения на контрольные объемы, каждый
из которых содержит лишь один узел разностной сетки. Границы контрольных
объемов (на рис. 2.5 показаны штриховыми линиями) удобнее всего проводить
посредине между смежными узлами. В случае равномерной сетки ее узлы
окажутся в центрах контрольных объемов.
Напомним, что узлы, лежащие на границе вычислительной области,
называют граничными, а остальные внутренними.
Пример 2.6. Построить конечно-разностный аналог уравнения Лапласа
для внутренних узлов. Рассмотрим контрольный объем, не прилегающий к
границе, например, объем А на рис. 2.5, а. Пр условию процесс установившийся,
поэтому суммарный поток тепла через границу контрольного объема А (рис. 2.5,
б) должен равняться нулю (это и есть физический смысл уравнения Лапласа;
ниже мы придем к нему независимым образом). Направления потоков q\,
на рис. 2.5, б соответствуют положительным направлениям координатных осей х
и у. По закону Фурье тепловой поток пропорционален градиенту температуры:
q = -KVT.
Дивергенция (расходимость) этого вектора (суммарный поток тепла через
границу контрольного объема) равна нулю:
51
v9 = -v(xvr)=o.
Здесь представляется удобный случай разобраться в физическом смысле
понятия "дивергенция" ("расходимость"). Расходимость количественно
характеризует дисбаланс между суммой входящих в контрольный объем и
выходящих из него тепловых потоков. Если этот дисбаланс равен нулю, то
процесс — стационарный, ибо, сколько теплоты введено в контрольный объем,
столько же из него и выведено.
Как только возникает дисбаланс, расходимость входящих и выходящих
потоков (например, сумма входящих потоков превышает сумму выходящих) в
контрольном объеме начинает меняться (увеличиваться) теплосодержание —
процесс становится нестационарным, изменяющимся во времени.
Учитывая постоянство коэффициента Л, приходим к уравнению Лапласа
(1.6). Проинтегрируем это уравнение по объему V, ограниченному поверхностью
F, используя теорему о дивергенции Гаусса-Остроградского;
JJjvpiVT) dV = JJ^VT).ndF =0
V F
Интеграл по поверхности описывает суммарный поток тепла через границу
контрольного объема. Для малых объемов интегралы можно заменить суммами.
Представляя этот интеграл в виде суммы потоков через все границы
контрольного объема с центром в узле (i, j), получим
<71 Ду - q-itxy + 93 Дх - §4Дх = 0.
Здесь знаки перед тепловыми потоками положительны, если поток втекает в
контрольный объем, и отрицательны — для вытекающих потоков. Отсюда с
учетом выражения (2.41) (и аналогичного — для оси у; qy =-Л. ЭТ/Эу) следует
.д ат ' ат .. ат .. ат _
-ЛДу— +Л,Ду— -ЛДх—— + ЛДх—- =0 .
i-U2J °х i+U2,J °У °У i,j+l/2
Здесь 1/2 в индексе указывает на то, что соответствующая величина вычисляется
в центре грани объема (посредине между узлами сетки).
52
ХДу +хду7'+1’< +АДх
Дх Дх
Законы сохранения выполняются точно, если на границах для
производных выбраны "подходящие" значения. Используя центральные
разности, получаем
-Ll---LL + = О
Ду Ду
Разделив это уравнение на ХДхДу , находим соотношение с уже знакомыми
аппроксимациями вторых производных:
+ ^i+i,J , ~2TlJ + Ti,j+1 _
ДХ2 by2
Пример 2,7, Построить конечно-разностный аналог уравнения Лапласа
для узлов на левой границе (рис. 2.5, а).
Рассмотрим теперь прилегающий к границе контрольный объем,
обозначенный на рис. 2.5, а буквой В. Пусть граничное условие третьего рода
для исходной (не дискретизированной) задачи имеет вид
₽(г„-ти)=-х^ ,
дх 1.7
где Р — коэффициент теплоотдачи от среды к стенке;
Т„— температура среды, обтекающей твердое тело, на бесконечном
удалении;
Tij— температура в точке на физической границе области,
соответствующей границе контрольного объема В.
Сравним конечно-разностные аппроксимации уравнения Лапласа для
точки В, получаемые при помощи разложения в ряд Тейлора и метода
контрольного объема.
Если применять метод разложения в ряд Тейлора, то следующий шаг —
построение конечно-разностного аналога производной d773r|ij , например,
односторонними разностями вперед. Тогда получим граничное условие в виде:
P(^-7’ij) = X(7’1(/-7’2j)/Ax. (2.43)
53
Рис. 2.5. Конечно-разностная сетка при решении уравнений методом
контрольного объема. Условия (Т№, (3) заданы на левой границе.
а - схема разбиения расчетной области на контрольные объемы; схема
тепловых потоков вблизи внутренней (б) и граничной (в) точек.
При использовании метода контрольного объема необходимо обеспечить
выполнение закона сохранения в прилегающем к границе объеме. Приравняем
нулю суммарный поток тепла через границы объема В (рис. 2.5, в)
54
^Ду - 92Лу + 9з94-у = 0,
где 91 определяется условиями на границе вида (2.42):
91 ~ ~9п ~ P(7L> — -П,у )»
откуда следует
рДу(т„-Т17)+ХДу^
дх 3/2,j
. ОьхЪТ
— Л-----
2 ду
, ДхЭТ
+ Л---—-
i,j-\!2 2 &У
= 0 .
1.7+1/2
Применяя для аппроксимации производных центральные разности, найдем
рДу(тте-7! .)+ АДу ~ V1 + A —=0 .
Дх 2 Ду 2 Ду
Разделив на ХДхДу, приведем это соотношение к виду
~ 71,у )+ + ZWitJZklZkl - о. (2.44)
ХЛх ,J bx2 2txy2
Полученная запись граничного условия существенно отличается от формы
записи (2.43), полученной при формальной аппроксимации Э77Эх| у прн
помощи рядов Тейлора и более точно отражает закон сохранения энергии для
контрольного объема В, т.к. учитывает тепловые потоки, распространяющиеся
по оси у. Следует отметить, однако, что уравнение (2.44) может быть также
получено, если воспользоваться конечно-разностным аналогом уравнения
Лапласа, рассмотренным в примере 2.6, с применением центральной
аппроксимации производной 377dx|j j в выражении (2.43).
Пример 2.8. Построить конечно-разностный аналог уравнения Лапласа
для стационарной осесимметричной задачи теплопроводности в толстостенной
цилиндрической трубе (рис. 2.6, а) для внутренних точек.
Вследствие осевой симметрии тепло в рассматриваемой трубе может
распространяться только вдоль радиальной г и осевой z координат. Рассмотрим
произвольный контрольный объем высотой Дг и толщиной Дг с центром в
узловой точке (i, у), радиальная координата которой г,-, а осевая Zj (рис. 2.6, б).
55
Изобразим потоки qt, q4 так, чтобы их направления совпадали с
направлениями осей (г, z). Площади хранен контрольного объема, через которые
перетекает тепло, равны
Д = Дф г.
F2 = Дф
F3 =F4
(2.45)
где угол Дф измеряется в радианах.
Для стационарной задачи сумма тепловых потоков, проходящих через
грани контрольного объема, равна нулю (будем считать положительными
потоки, "втекающие" в контрольный объем, и отрицательными — "вытекающие"
из него):
91^1 - <hF2 + 9з*3 “ 94*4 = 0. (2.46)
Согласно закону Фурье
j
91=4 ; «2=4 < )i-V2J ’ '+1/2,У
(ЪТ\ у ГсИГ
93=-Х Н- ; 94=4 1 Эг Ji,j-l/2 k > L+V2
(2.47)
Грани контрольного объема проходят между узловыми точками, поэтому их
координаты включают величину 1/2 (см. рис. 2.6, б). Производные будем
аппроксимировать центральными (для точек, находящихся между узлами сетки)
разностями, например, для граней F3 и F3:
dT'j _ Fi,j ~ _ Fi,j Fi,j-1
dr Ji—1/2, j to ’ V dz \ j_y2 Az
(2-48)
Подставляя выражения (2.45) и (2.48) в уравнение (2.46) и проводя несложные
преобразования, получим конечно-разностную форму уравнения Лапласа в
цилиндрических координатах для осесимметричной задачи:
56
2Tj,j + Tjj+l + 2Tjj + Ti+l,j + Tj+lJ Ti-\,j _ о z2 49x
Дг2 Дг2 rt 2hr
Пример 2.9. Построить конечно-разностный аналог уравнения неста-
ционарной теплопроводности в толстостенной цилиндрической трубе при
осесимметричной постановке задачи (рис. 2.6, а).
В отличие от предыдущего примера, здесь дивергенция потоков,
проходящих через границы контрольного объема (правая часть выражения
(2.46)), не равна нулю. В результате дисбаланса потоков будет происходить
увеличение (поскольку мы считали положительными втекающие в контрольный
объем тепловые потоки) теплосодержания контрольного объема. Пусть за
промежуток времени А/ температура в точке (i,j) увеличилась на
/ST{J ~T"j (и-й слой — явный, (л+1)-й — неявный), тогда скорость
увеличения теплосодержания контрольного объема равна
утП+1 _ утД
рСг- Дф Ar Az , (2.50)
АТ
где р - плотность материала трубы, кг/м3;
С - его удельная массовая теплоемкость, Дж/(кг-К);
//АфАгАг - контрольный объем, м3.
Подставляя выражение (2.50) в правую часть уравнения (2.46) и проводя
упрощения, получим искомое уравнение нестационарной теплопроводности в
цилиндрических координатах (значения температур во всех узлах примем на
явном слое п, получив при этом простую явную схему):
, 7’»+1 ггП ггП тгп I ТП ТП ТгП . rlt . rrtt гт,И
1 = + + Ji+l,j +1 Ti+l,j ~Ti-l,j (2 5 J,
Ct А/ Дг2 Дг2 fj 2Дт
Здесь а = Х/(рС)- коэффициент температуропроводности материала трубы, м2/с.
57
a
б
Рис. 2.6. К построению конечно-разностного аналога уравнения Лапласа
методом контрольного объема для задачи теплопроводности в
толстостенной трубе.
58
Пример 2-10- Построить конечно-разностный аналог уравнения стацио-
нарной теплопроводности в толстостенной цилиндрической трубе (рис. 2.6, а)
при наличии внутренних объемных источников теплоты мощностью qv [Вт/м3] в
осесимметричной постановке задачи.
Подобная задача может встретиться, например, в случае, когда
толстостенная труба представляет собой спрессованный пористый слой
катализатора, в порах которого (во всем объеме трубы) выделяется тепло в
результате химической реакции. Другой пример — нагрев металлической трубы
при пропускании через нее электрического тока. В общем случае qv может быть
функцией пространственных переменных и времени, в осесимметричной
постановке стационарной задачи qv = qv(r,z).
В рассматриваемом случае тепловой баланс запишется в виде
91^1 _ 92^2 + 9з^з ~94^4 + 9ид F = 0, (2.52)
где ДУ — контрольный объем, равный ^-ДфДгДг.
Член qvAV в уравнении (2.52) записан с "плюсом", ибо объемный
источник увеличивает температуру трубы.
Подставляя в уравнение (2.52) выражения (2.45) и (2.48) и проводя
простые преобразования, получим конечно-разностную форму уравнения
Пуассона в цилиндрических координатах:
~^i,j + Ti+l,j X ~, 9Vi,j _ _
Д? Дг2 2Дг + X ~ J
Пример 2.11. Построить конечно-разностный аналог уравнения неста-
ционарной теплопроводности в толстостенной цилиндрической трубе (рис. 2.6,
а) при наличии внутренних объемных источников теплоты мощностью qv в
осесимметричной постановке задачи.
Объединив методы, использованные в примерах 2.9 и 2.10, получим
нестационарное уравнение теплопроводности в цилиндрической трубе при
наличии внутренних объемных источников теплоты (простая явная схема):
59
/рЛ+1 'гП 'T'U 'irrfl । 'Т’Я 'гП '\'гП . 'гП
1 Ч/ = 4J~\-^i9j^b,j+A + +
а Аг д?2 Дг2
rt 2txr к
(2.54)
В заключение параграфа отметим, что метод контрольного объема
предназначен для построения конечно-разностного аналога всего уравнения в
частных производных, но не отдельно взятой производной. Особенность метода
в том, что он обеспечивает баланс физической величины в окрестности узла
разностной сетки, а не только в точке. Часто метод контрольного объема
позволяет получить так называемую консервативную разностную схему (см. п.
3.4); это, однако не гарантирует устойчивости разностной схемы, которая
должна проверяться специальными методами (см. главу 3).
2.6. Иптегро-иптерполяциоппый метод
Метод был предложен А. Н. Тихоновым и А. А. Самарским. Интегро-
интерполяционный метод основан на интегрировании исходного ДУЧП н, как и
метод контрольного объема, универсален и надежен. Он позволяет строить
консервативные разностные схемы (см. главу 3).
В этом методе после выбора шаблона область G(x,y,z,t) разбивают на
ячейки, определенным образом связанные с шаблоном. Дифференциальное
уравнение интегрируют по ячейке и по формулам векторного анализа приводят к
интегральной ф^ме, соответствующей физическому закону сохранения.
Приближенно вычисляя полученные интегралы по каким-либо квадратурным
формулам, составляют разностную схему.
Пример 2.12, Построить конечно-разностный аналог одномерного
уравнения теплопроводности
дТ д( дТ\
dt дх J
(2.55)
с переменным коэффициентом температуропроводности а = а(х,Т).
60
t
7-1 J-1/2 j j+\H 7 + 1
о X М"" О п+1
n
x
Рис. 2.7. Применение интегро-интерполяционного метода для решения
уравнения теплопроводности на четырехточечном шаблоне. Сплошные
линии - шаблон, пунктирные - границы ячейки.
Выберем, например, шаблон, показанный на рис. 2.7, уже
рассматривавшийся нами ранее (см. рис. 2.3, а). Проведем границы ячейки
вокруг узла (/, п+1) пунктиром. Обозначая средние точки интервалов сетки (на
рис. 2.7 они имеют форму крестиков) полуцелыми индексами, выполним
интетрирование уравнения (2.55) по ячейке:
XJ+<J2 Xj+42 . 'и+1 р
0= р рх[т,-(а7Д]= J(rn+1-Tn>/x-
*и Xj-V2 х}-42 *я
Это < соотношение является точным. В правой части приближенно вычислим
первый интеграл по теореме о среднем значении, а второй — по так называемой
формуле правых прямоугольников; в результате получим выражение (здесь
вместо точного значения функции Т записано приближенное «)
k-+1 - «"X^+V2 - *7-v2)^ 1к+1кг+,Ь2 -
где т — шаг по времени.
Заменяя в правой части производные конечными разностями и учитывая,
что на равномерной сетке хj+l/2 - */-1/2 = »получим разностную схему
61
--------- ^2 lay+l/2Wv+l ~UJ Га}-1/2Ъ -"j-lfr <2-56>
которая в случае a = const совпадает с неявной схемой (2.9).
Интегро-интерполяционный метод особенно полезен для уравнений с
негладкими или разрывными коэффициентами, поскольку именно интегральная
запись законов сохранения выделяет из всех математически допустимых
решений таких уравнений физически правильное решение.
К сожалению, в данном методе, как и в методе контрольного объема,
погрешность аппроксимации в явном виде не получается и ее следует искать
отдельно.
Использование данного метода также не гарантирует устойчивости
полученной разностной схемы. Вопрос устойчивости должен исследоваться
после построения разностной схемы методами, описанными в главе 3.
2.7. Принцип расщепления
В вычислительной практике встречаются задачи (многомерные уравнения,
либо уравнения, описывающие несколько физических процессов), прямое
численное решение которых приводит к системам линейных алгебраических
уравнений с неразреженными матрицами. Решение систем уравнений с такими
матрицами неэкономично. Поэтому в процессе аппроксимации ДУЧП обычно
стремятся тем или иным образом прийти к системам уравнений с матрицами
трехдиагонального вида, весьма экономично решаемых методом прогонки (см.
п. 10.2). Одним из эффективных методов редукции исходного ДУЧП,
описывающего несколько процессов, к системе уравнений, описывающих
раздельные процессы (либо исходного многомерного ДУЧП к системе
одномерных уравнений), является принцип расщепления (или метод дробных
шагов) [18, 19].
Идею принципа расщепления рассмотрим на примере уравнения
конвекции и диффузии
62
ди д2и ди
“-Г = а—э~с-С'
dt дх2 дх
а = const, с = const. (2.57)
Это уравнение описывает распространение тепла, обусловленное двумя
процессами — теплопроводностью (первое слагаемое в правой части) и
конвекцией (второе слагаемое в правой части). Запишем уравнения для этих
процессов отдельно:
ди д2и
эГ“а?’
ди ди
= _с .
dt дх
(2.58)
(2.59)
Переход от n-го временного слоя к (п + 1)-му выполним за два
"дробных” шага. На первом шаге в течение времени т действует уравнение
(2.58), на втором шаге также в течение времени т действует уравнение (2.59).
Естественно ожидать, что совокупный эффект двух таких шагов близок к
эффекту перехода от n-го временного слоя к (и+1)-му по уравнению (2.57).
В рассматриваемом примере это предположение можно подтвердить с
помощью решений специального вида:
и = ехр(щ) ехр(/шх). (2.60)
Подстановка выражения (2.60) в (2.57) дает Ц = -а<о2-/ею; из (2.58) имеем
ц.) = -ао2, из (2.59) находим ц2 = -й о, т.е. ц = щ Изменение решения за
время т для соответствующих уравнений описывается так называемыми
множителями роста (см. главу 3) А = ехр(-аш2т —/с<вт), Xj =ехр(-ао)2т),
А>2 =ехр(— icon). Очевидно, что Х = Х]Х2, т.е. наше предположение
подтвердилось.
Согласно принципу расщепления отдельные члены (или составленные из
них комплексы) исходного ДУЧП можно реализовать порознь на различных
63
промежуточных этапах. Это упрощает построение и исследование
аппроксимирующих схем.
Если уравнения "дробных" шагов описывают частные физические явления
(как в нашем примере), то говорят о расщеплении по физическим процессам.
В главе 6 мы познакомимся с использованием метода расщепления при
решении многомерных параболических уравнений и сравним его с другим
методом редукции — методом переменных направлений.
Вар, 1-5. - Проверить трехточечную аппроксимацию, найти порядок ее
погрешности
Вар. 1. —I -~^J+4u^tj-ui+2J
йх|,-.- 2h
п „ ди 3ui -4ui_1J+ui_2j
Bap. 2. ~ =——---------—
ox;: 2h
Bap 3 +
‘ Эх2 . • й2
Вар 4 Э2ц
‘ ' *2 и h2
_ • _ 32w
dx . •
Uij -~2ui ij+ui 2,j
h2
»>J
Bap. 6. Построить на неравномерной сетке конечно-разностный аналог
производной дТ/ду в точке (i,/)» имеющий второй порядок погрешности
аппроксимации, используя узлы j+i’T; j+2
Вар. 7, Построить На неравномерной сетке конечно-разностный аналог
производной д2Т/'ду2 в точке имеющий первый порядок погрешности
аппроксимации, применяя к узлам T/j, jij+i,^Z,j+2 метод разложения в ряд
Тейлора.
64
Bap, 8. Дано нелинейное уравнение
где Ц — постоянная. Построить конечно-разностный аналог этого уравнения,
используя интегро-интерполяционный метод.
Вар. 9. Рассмотрим задачу стационарной теплопроводности для квадратной
пластины с единичными размерами, левая нижняя вершина которой находится в
начале координат. На левой границе (х = О) происходит теплоотдача с
- коэффициентом теплоотдачи Р- Построить конечно-разностную аппроксимацию
граничного условия третьего рода в произвольной внутренней точке на левом
ребре пластины, используя метод контрольного объема. Найдите погрешность
полученной аппроксимации.
Вар. 10. Рассмотрим задачу определения стационарного поля температуры с
теплоотдачей на границе твердой пластаны. В этом случае поле температуры
описывается двумерным уравнением Лапласа, а граничное условие — третьего
рода. Используя метод контрольного объема, постройте конечно-разностный
аналог граничного условия в произвольной точке на границе пластины (кроме
угловых точек).
Вар. 11. Используя метод контрольного объема, постройте конечно-разностный
аналог одномерного уравнения теплопроводности на неравномерной сетке.
Вар. 12. Построить конечно-разностный аналог одномерного уравнения
теплопроводности для бесконечно длинной толстостенной цилиндрической
трубы, используя метод контрольного объема и предполагая, что перенос тепла
происходит только в радиальном направлении.
Вар. 13- Построить конечно-разностный аналог двумерного уравнения
теплопроводности для толстостенной цилиндрической трубы, используя метод
контрольного объема и предполагая, что перенос тепла происходит в
радиальном и осевом направлениях.
Вар. 14*. Через цилиндрическую трубу, заполненную порошковым материалом,
происходит фильтрация газа (в осевом направлении). Используя уравнение
65
фильтрации Дарси и уравнение состояния [см. пример 9.3, уравнения (9.30) и
(9.31)], построить конечно-разностный аналог уравнения неразрывности.
Вар. 15*. Через кольцевой зазор между двумя пористыми коаксиальными
цилиндрами, заполненный порошковым материалом, фильтруется газ (в
радиальном направлении). Используя уравнение фильтрации Дарси и уравнение
состояния [см. пример 9.3, уравнения (9.30) и (9.31)], построить конечно-
разностный аналог уравнения неразрывности.
Вар. 16*. Используя метод контрольного объема, построить конечно-разностный
аналог уравнения Лапласа для стационарного поля температуры в твердом шаре.
Вар. 17, В щелевом зазоре постоянной высоты 8 между двумя параллельными
пластинами, сдвигающимися с различными линейными скоростями, находится
вязкая жидкость с ньютоновскими свойствами. Используя метод контрольного
объема, построить конечно-разностный аналог уравнения неустановившегося
сдвигового движения жидкости (течение Куэтта).
Вар. 18*. В кольпевом зазоре между двумя коаксиальными цилиндрами,
вращающимися с различными угловыми скоростями, находится вязкая жидкость
с ньютоновскими свойствами. Используя метод контрольного объема, построить
конечно-разностный аналог уравнения установившегося движения жидкости.
Задачу считать плоской.
Указание: В окрестности узла, лежащего на окружности радиусом г;, выделить
элемент жидкости объемом >;Д<рДгД". Рассмотреть уравнение равновесия сил
вязкого трения, действующих на внутреннюю и наружную цилиндрические
поверхности элемента. В цилиндрических координатах касательные напряжения
(ди и'\
т~ ’ Ч ч---- рекомендуется аппроксимировать выражениями:
4 (or г J
л I и1 ~ ui
- на внутренней поверхности радиусом - Дг/2: = ш —----- — —- ,
V Дг г‘ >
- на наружной поверхности радиусом rt + &Г}1\ т2 = Ш —----- —-
I Дг г.
бб
Глава 3. Устойчивость конечно-разностных схем.
Дивергентная форма записи уравнений
Как отмечалось в главе 2, вопрос близости решений разностных
уравнений к решениям исходных дифференциальных уравнений определяется
условиями согласованности и устойчивости, которые мы детально рассмотрим в
настоящей главе.
3.1. Понятия сходимости, согласованности и устойчивости
3.1.1. Сходимость разностных схем
Схема называется сходящейся, если при измельчении сетки, т.е. при
h —> 0 сеточное решение и стремится к точному Т (для одинаковых начальных
и граничных условий): и^>Т. Если и-Т = о(йр), то говорят, что порядок
сходимости равен р.
Для придания точного смысла сходимости используют понятие нормы, по
сути являющееся аналогом расстояния между двумя точками. Для сеточных
функций часто выбирают один из двух вариантов нормы на сетке с шагом h [см.
также выражения (2.16) и (2.17) в п. 2.1]:
1. Чебышевская норма j г№ | = sup1 ип(хп)|; (3.1)
. (3.2)
И=1
Здесь и — номер узла, N — число узлов.
Сходимость с чебышевской нормой называют равномерной. Из
равномерной сходимости вытекает среднеквадратичная сходимость, поэтому
чебышевскую норму называют более сильной, чем гильбертову.
Под мерой отклонения двух функпий друг от друга будем понимать норму
разности этих функций.
Пример. 3,1, Докажем сходимость разностной схемы
2. Среднеквадратичная (гильбертова) норма
67
—у + '—
т h
для линейного волнового уравнения Tt + Тх =0 при г = x/h = const, г < 1.
Сеточная функция Е = и — Т удовлетворяет нулевым начальным
условиям и уравнению
где 8” — ошибка аппроксимации, имеющая в данном случае порядок O(h).
Из уравнения (3.3) следует
еТи=(1-'>” + «7_]+т5'!.
(3.4)
Обозначим ||е" | = sup| е" |, !|е| = sup|е" |, ||S|| = supj5" |. Учитывая (3.4),
также неравенство треугольника (см. свойства нормы в главе 2) получаем
е;*'М1-ф"Н
откуда следует
|e"+1 |<j|s" | + т||8|1.
Полагая п = 0, 1, ..., 7V-1, находим |е"[<ит||51|. Так как nx<tK = №, то
|| Е || < jVrj 81| = Сходимость доказана, порядок сходимости равен 1.
Для линейных ДУЧП доказана следующая теорема об эквивалентности.
Теорема. Необходимым и достаточным условием сходимости
разностной схемы для решения корректно поставленной задачи с начальными
данными для линейного уравнения в частных производных является выполнение
68
условий согласованности и устойчивости. Порядок точности при этом
совпадает с порядком аппроксимации (см. главу 2).
Таким образом, теорема об эквивалентности одновременно определяет
понятие "порядок точности".
Замечание. Для случая многих переменных порядок аппроксимации (и
порядок точности) по разным переменным может быть различным.
Например, так называемая чисто неявная схема (2.9) для уравнения
теплопроводности имеет первый порядок точности по времени и второй — по
пространству.
3.1.2. Согласованность разностных схем
Согласованной называется разностная схема, погрешность аппроксимации
которой стремится к нулю при измельчении (сгущении) сетки.
Это требование безусловно выполняется, если погрешность
аппроксимации имеет порядок О(Дг), О(Дл) и т.д. Однако если порядок
погрешности аппроксимации равен, например, О(Д?/Дг), то схема будет
согласованной лишь в том случае, когда измельчение сетки производится в
соответствии с условием Дг/Дх —> 0.
Пример. 3.2, Рассмотрим схему Дюфорта-Франкела для уравнения
теплопроводности:
2Д/
I п п+1 .П
. .2 k/+l uj uj
(3.5)
Используя методику, изложенную в п. 2.2, можно показать, что порядок
погрешности аппроксимации этой схемы равен
О[Д?Дг,(Дг/Дх)2].
Схема удовлетворяет условию согласованности, если
lim
>0
(д/
( Дх
= 0 .
69
Действительно, добавляя в правую часть уравнения (3.5) тождественно
равное нулю выражение 2ак” /(Дх)2 — 2ак”/(Дх)2, перепишем его следующим
образом:
« / П 72+1 ,,77—1
. .2! Vj+1 uj Uj
+ 7/" )- a M^+1 2М/ +
+ иj—l}— сс---------------
Дх2
Д/f -2^” +1/Г1
Дх J дг
С учетом этого соотношения уравнение (3.5) запишем в виде
1 Z . \2 „,И4-1 О „Л , -,П—1 , И Q и . п
j J ДН j -Zuj+uj uj+x-2Uj+Uj i
2Д/ (Дх ) лг Дх2
(3.5а)
Из формы записи уравнения (3.5а) хорошо видно, что оно (и
эквивалентное ему уравнение (3.5)) аппроксимирует исходное параболическое
ДУЧП chil'dt = ссЭ2п/Эх2 лишь при условии (Д/уЛх)2 —> 0 при
Д/ —> 0, Дл —> 0. Если же это условие не выполняется, т.е. например Д/ = СДх,
где С — константа, то вместо исходного параболического ДУЧП уравнение (3.5)
будет аппроксимировать гиперболическое уравнение в частных производных
Эк _э Э2и д2и
— + «С -v = a—у
St St2 Sx2
Другими словами, согласованность означает, что при помощи разложения
в ряд Тейлора процесс дискретизации может быть обращен с целью
восстановления исходного уравнения в частных производных.
3.1.3. Устойчивость разностных схем
Разностная схема называется устойчивой, если на каяодом шаге по
маршевой координате любая ошибка (погрешность округления, погрешность
аппроксимации, случайная ошибка) не возрастает при переходе от одного шага к
другому.
Устойчивость — свойство более тонкое, чем согласованность, и порой
очень непросто строго доказать устойчивость схемы. Иногда на неустойчивость
схемы указывают нереальные с физической точки зрения результаты. Например,
70
простая явная схема для уравнения теплопроводности (см. также главу 5) имеет
вид
w',+1 =Fo(m"+1 +м"ч)+ (1-2Fo)w”, (3.6)
где Ро = аД//(ДлУ — сеточный критерий Фурье, характеризующий
безразмерное время. Известно, что условие устойчивости для такой схемы
Fo<l/2 [13- 15]. Пусть на явном слое (с верхним индексом и), т.е. в момент
времени г температуры в точках (j-1) и (/+ 1) равны и”+] = w"_j =100°С, а
и" =0°С (рис. 3.1). Примем заведомо неустойчивое значение Fo = 1, тогда из
уравнения (3.6) следует, что в момент времени г + Лг температура равна
ип+\ = 200 °C > 100°С, что физически невозможно, так как тепло передается от
более нагретых точек к менее нагретым. Подобная физическая бессмыслица
должна подсказывать инженеру, что либо выбранная им схема абсолютно
неустойчива, либо используется условно устойчивая схема с параметрами,
находящимися за пределами устойчивости данной схемы.
Обобщая сказанное выше, отметим, что сходимость приближенного
решения к точному складывается из согласованности исходного уравнения в
частных производных с системой алгебраических уравнений, и из устойчивости
алгоритма решения этой системы (рис. 3.2).
Проблема устойчивости чрезвычайно важна при решении практических
задач, и поэтому следующие два параграфа целиком посвящены устойчивости
разностных схем и методам ее определения.
3.2. Устойчивость конечно-разностных схем
Рассмотрим основные понятия теории устойчивости конечно-разностных
схем, важные для решения прикладных задач. Более подробную информацию по
этому вопросу можно почерпнуть в [4,5,15,17,20].
71
Рис. 3.1. Нереальный с физической точки зрения результат при
нарушении условия устойчивости явной схемы.
Рис. 32. Концептуальная связь между согласованностью, устойчивостью
и сходимостью.
3.2.1. Предварительные сведения
Для некоторых разностных уравнений малые ошибки, допущенные на
каком-либо этапе расчета, при дальнейших вычислениях могут сильно
72
возрастать и делают невозможным получение сколько-нибудь пригодного
результата.
Для устойчивых схем ошибка с уменьшением шагов сетки, т.е. при
h, т —> 0 стремится к конечной величине, связанной с ошибкой начальных
данных. Если сама ошибка начальных данных исчезает при h, т —> 0, то
устойчивые схемы позволяют получить сколь угодно высокую точность (если
отсутствуют ошибки округления).
Если же схема неустойчива, то погрешность начальных или любых других
данных сильно возрастает в ходе расчета (при переходе от слоя к слою) и
ошибка стремится к бесконечности при любых значениях шагов h, т.
По этой причине вопрос устойчивости является чрезвычайно важным для
численных методов решения задач математической физики. Нужно заметить, что
неустойчивой может быть как разностная схема, так и вычислительный
алгоритм, используемый для ее решения. В данной главе мы будем заниматься
устойчивостью разностных схем. Вопросы устойчивости алгоритмов решения
СЛАУ освещены в главе 10.
Напомним, что корректно поставленными называют задачи, когда для
непрерывных начальных и граничных данных решение существует, единственно
и непрерывно зависит от этих данных.
Пусть имеется область G переменных х = {х|,..., хр} с границей Г и
поставлена корректная задача для некоторого уравнения
AT(x)-f(x) = 0, хе G, (3.7а)
с граничными условиями
RT(x)-ii(x) = 0, хе Г. (3.76)
Здесь А и R — дифференциальные операторы. Введем в области G + Г сетку с
шагом h, состоящую из множества внутренних (регулярных) узлов сол и
множества граничных (нерегулярных) узлов у;,. Заменим задачу (3.7) в
регулярных узлах разностным аналогом
73
-<₽*(*> = 0. *есол,
(3.8а)
а в нерегулярных узлах — разностным аналогом граничных условий (3.76)
K/iM/Xx) - хл(х) = 0, хG уА.
(3.86)
Индексом h отмечены величины, определенные только на сетке; далее будем
опускать его повсюду, где это не вызовет недоразумений.
3.2.2. Основные понятия
Определение устойчивости. Разностная схема (3.8) устойчива, если
решение системы разностных уравнений непрерывно зависит от входных
данных <р, % и эта зависимость равномерна (в смысле чебышевской нормы)
относительно шага сетки. Иными словами, для каждого е > О найдется такое
8(e), не зависяшее от шага h (по крайней мере, для достаточно малых значений
h), что
к-“'Vе-
(3.9а)
если*
|ф/-фЯ| <8.
1 !|фа 11 hi,
(3.96)
Если разностная схема (3.8) линейна, то разностное уравнение линейно зависит
от входных данных. В этом случае 8(e) = Ке, где К — константа, не зависящая
от h. Поэтому для линейных схем определение устойчивости (3.9) принимает вид:
|и7-иЯ| <мх
: J«A
|ф/-ф77| +М2!/ >
1 "Фа 11 "Ха
(3.10)
Функции и, <р, % принадлежат к разным классам, поэтому каждую из них можно
оценивать в своей сеточной норме
74
где Mi, М2 — константы, не зависящие от h. Верхние индексы I и П
соответствуют вариациям решения и входных данных.
Если независимых переменных несколько, то вводят понятия условной и
безусловной устойчивости. Устойчивость называется безусловной, если
неравенства (3.9) или (3.10) выполняются при произвольном соотношении шагов
по различным переменным, лишь бы они были достаточно малы. Если же для
выполнения (3.9) или (3.10) шаги по различным переменным должны
удовлетворять дополнительным соотношениям, то устойчивость называется
условной. В частности, ниже будет показано, что явная схема (2.11) для
уравнения теплопроводности устойчива только при условии схт/й2 < 1/2.
Непрерывную зависимость разностного решения от <р называют
устойчивостью по правой части, а непрерывную зависимость от % —
устойчивостью по граничным условиям. Устойчивость по граничному условию
на гиперплоскости t = t0 называют устойчивостью по начальным данным.
Уравнения гиперболического и параболического типа в качестве одной из
переменных содержат время; для таких уравнений обычно ставится смешанная
краевая задача. Эллиптические задачи тоже нередко численно решают методом
установления (стационирования), т.е. путем решения вспомогательной
смешанной краевой задачи до достижения стационарного состояния. Поэтому
исследованию устойчивости нестационарных задач мы уделим особое внимание.
Рассмотрим разностные схемы, содержащие только один известный и
один новый слой, как, например, (2.9) или (2.11). Такие схемы называют
двухслойными. Их можно составить для любого ДУЧП. Действительно,
дифференциальное уравнение любого порядка по времени можно свести к
системе уравнений первого порядка по времени, а для аппроксимации первой
производной достаточно двух слоев.
Для двухслойных схем решение смешанной краевой задачи на некотором
слое I* можно рассматривать как начальные данные для всех последующих
слоев.
Двухслойная разностная схема называется равномерно устойчивой по
начальным данным, если при постановке начальных данных на любом слое t*
75
(r0 < t*) она по ним устойчива, причем устойчивость равномерна по t*. Запишем
условие равномерной устойчивости, ограничиваясь случаем линейных систем:
t0<t*<t, (3.11)
где константа К не зависит от t* и h. Здесь и, и11 — решения разностной
схемы (3.2а) с разными начальными данными и одной и той же правой частью.
Признак равномерной устойчивости. Если А^и1 = А/р11, то для равно-
мерной устойчивости по начальным данным достаточно, чтобы при всех п
выполнялось неравенство
+ т = Гп+1_Гп,С>0. (3.12)
Доказательство. Условие (3.12) означает, что если на некотором слое
имеется ошибка 8и, то при переходе на следующий слой ||8м| возрастает не
более чем в (1 + Ст)<еСт раз. Для перехода от t* к t надо сделать
m = (f—1*)/т шагов по времени; при этом ошибка возрастает не более чем в
ес'”т — раз, где [к — конечное значение отрезка времени, на
котором ищется решение. Отсюда следует:
|8и(0|<^|8м(1*)|, К=еС^~,°\ (3.13)
что и требовалось доказать.
Признак (3.12) часто используется при доказательстве устойчивости
конкретных схем.
Из (3.13) видно, что если константа С велика, то, хотя схема формально
устойчива, фактическая ошибка может сильно возрастать в ходе расчета; в этом
случае схема является слабо устойчивой. Очевидно, что чем больше промежуток
времени tK — to, на котором ищется решение, тем меньшая вели чина С
76
обеспечивает хорошую устойчивость расчета. При tK °° схема будет
устойчивой, только если С = 0.
Если точное решение сильно возрастает или убывает с течением времени,
то более интересна не абсолютная ошибка, а относительная ||8u(t) ||/| u(t) |.
Пусть, например, T(x,t)~ ехр(С0/). Тогда схему, удовлетворяющую признаку
(3.12), называют слабо устойчивой при exp[(C-C0)(tK -<0)]»1, хорошо
устойчивой — в случае ехр[(С — Cf)Xc _ С)]<1, и асимптотически устойчивой
при tK —> , если С < Со.
Приведем без доказательства следующую теорему*.
Теорема. Пусть двухслойная разностная схема А),и = <р равномерно
устойчива по начальным данным и такова, что если два разностных решения
равны на некотором слое, т.е. =иГГ, и на следующем слое выполняется
соотношение
Л
I (г/ ' - (ия )Л+11| < уО/ )” - (<ря )" |, Y = const, (3.14)
II II li I
то разностная схема устойчива по правой части.
Следствие. Если неравенства (3.12) и (3.14) выполнены, то разностная
схема устойчива и по начальным данным, и по правой части.
3.3. Способы исследования устойчивости конечно-разностных схем
Существует несколько способов исследования устойчивости разностных
схем: принцип максимума, метод разделения переменных (Неймана), метод
операторных неравенств и некоторые другие [4,17].
3.3.1. Принцип максимума
Рассмотрим принцип максимума, позволяющий доказать устойчивость в
чебышевской норме.
* Доказательство приведено в [17], на с. 314
77
Сформулируем признак устойчивости явных и неявных двухслойных
линейных разностных схем*. Запишем двухслойную схему в виде:
= ЕМ+» +<Р/ ’ (ЗЛ5)
t т
где суммирование иа каждом слое производится по узлам шаблона около у-го
узла, коэффициенты о,- перенумеруем так, чтобы ] а0| = шах| а(|. Тогда:
i
а) схема равномерно устойчива по начальным данным, если
- (1 + Ст)| <т0|> £|of|+2}|Pm|, С = const >0. (3.16)
т
б) схема устойчива по правой части, если выполнено (3.16) и
T] = const>0. (3.17)
i*0 т
Замечание 1. Краевые условия двухслойных линейных схем также имеют
форму (3.15). Поэтому данный признак позволяет устанавливать устойчивость
по краевым условиям.
Замечание 2. Принцип максимума дает достаточное условие устойчи-
вости; невыполнение критериев (3.16) и (3.17) еще не означает неустойчивости
схемы.
Замечание 3. Принцип максимума обычно позволяет доказать устойчи-
вость только для схем точности порядка О(т); для обоснования устойчивости
схем более высокого порядка точности по т применяются другие методы [17,
20].
Пример 3,3, Рассмотрим нестационарную краевую задачу для уравнения
теплопроводности с постоянным коэффициентом а и граничными условиями
первого рода
* Доказательство этого признака дано в [17, с. 316]
78
(3.18)
Tz = aTxx + f,O<x<a, / > О
=ц(х).
Запишем для нее неявную схему типа (2.9) - (2.10) на равномерной сетке:
и+1 ,,п+1
U; —U; U;^j — ZU; + «/+)
-7---z.=a_zJ—z--------—+фу, ЛГ-1
Л?
«Г* - Ml (fM l i MA+1 - М2 (Zn+1}
Переписывая эту схему в форме (3.15), получим
1 2a a о 1 . , „ .
0o=-+tt;°-i =°1 =-,•>; Ро = при j=i,...,(v-i;
т /г h~ т
сто=1;Ро=О при J = 0,j = N;
остальные коэффициенты равны нулю.
Проверим условие (3.16):
а) в регулярных узлах (j = 1,..., TV—1) имеем неравенство
а
справедливое при любом неотрицательном С;
б) в нерегулярных узлах (/ = 0, j = N ) получим неравенство
(1 + Ст)1>0,
также справедливое при любом С 0.
Рассмотрим выполнение условия (3.17):
о) в регулярных узлах имеем неравенство
79
выполнимое при 0 < т) < 1;
б) в нерегулярных узлах находим
т.
Таким образом, при любых отношениях шагов т и h условия (3.16) и (3.17)
выполнимы. Следовательно, схема безусловно устойчива по начальным данным,
правой части и краевым условиям.
Для эллиптических уравнений дается другая формулировка принципа
максимума. Например, для уравнения Лапласа с условиями первого рода на
границе Г
«хх +»уу = 0, х,уе G иг = ц(х,у), х,уе Г (3.19)
суть принципа максимума можно свести к следующему: во внутренних узлах
сетки непрерывное решение и(х,у) может достигать своего максимального по
модулю значения только на границе Г, т.е. справедлива оценка
max] и(х, у) ] < шах] ц(х,у)G = G и Г, (3.20)
x,yeG х,уеГ
означающая устойчивость уравнения Лапласа но граничным данным.
Физически условие (3.20) представляется вполне понятным. Например,
для стационарного поля температур при отсутствии внутренних источников
теплоты очевидно, что температура в любой внутренней точке не может быть
выше максимальной температуры на границе.
Более детально с применением принципа максимума к эллиптическим
уравнениям можно ознакомиться, например, по книгам [4, с. 243], [15, с. 291].
3,3.2. Метод разделения переменных (метод Неймана)
Этот метод применяется для строгого обоснования многих линейных
систем и нестрогого, но плодотворного исследования большинства нелинейных
задач, возникающих в практике вычислений. При его помощи устанавливается
устойчивость в гильбертовой норме.
80
Метод базируется на разделении переменных (пространственных и
временных), т.е. восходит к теории, разработанной Фурье, использующей
спектральное разложение функций. Признак устойчивости был предложен
Нейманом. Поэтому метод часто называют методом Неймана, его же называют
спектральным.
Рассмотрим применение метода к линейным двухслойным схемам,
записанным в канонической форме:
un+l - 11”
В------— + Ли” = ф, (3.21)
т
где В, А — разностные операторы, действующие на ип или н”+1 как
функцию пространственной переменной. Например, для явной схемы вида (2.11)
имеем
В = Е, Ли" +«”+1)’
где Е — единичная матрица.
При фиксированной правой части уравнения (3.21) погрешность его
решения удовлетворяет соответствующему однородному уравнению
Я5пи+1 = (В - тА)8ип. (3.22)
Будем искать для этого уравнения частное решение с разделяющимися
переменными, т.е. в форме
6u(xj,t„)= би] = Х"е'“7'!, (3.23)
где i = 7-i, со — произвольное вещественное число.
При этом нетрудно заметить, что 5w”+1 = X8w”, так что X = Х(со) есть
множитель роста со-й гармоники при переходе со слоя на слой. Подставляя
(3.23) в (3.22), получим уравнение для определения X:
81
(3.24)
Пусть для определенности схема (3.21) имеет постоянные коэффициенты
и задана на равномерной сетке. Тогда уравнение (3.24) после сокращения
множителя ехр(гсо/Л) не будет зависеть от х (и от индекса Д Поэтому А не
будет зависеть ни от х, ни от t. >
Признак устойчивости (условие Неймана). Схема (3.21) с постоянными
коэффициентами устойчива по начальным данным, если для всех А.
выполняется неравенство
|A(<i))j < 1 + Ст , С = const. (3.25)
Доказательство этого признака (см., например, [17, с. 319]) основано на
свойстве ортогональности гармоник и приводит к признаку равномерной
устойчивости, т.е. к условию (3.12).
Замечание 1. Из признака устойчивости (3.25) и дополнительного условия
(3.17) следует устойчивость схемы по правой части в среднеквадратичной
норме.
Замечание 2. Фактически константа С не должна быть большой, иначе
устойчивость будет слабой (см. п. 3.2.2); поэтому при проверке этого признака
обычно полагают С = 0.
Признак неустойчивости. Если хотя бы для одного со величину |Х(со)|
нельзя мажорировать величиной 1 + Ст, то схема (3.21) неустойчива.
Доказательство, Пусть в начальных данных имеется ошибка вида Eettojh с
данным со. Тогда к моменту времени t = т она возрастет в X” раз, что по
модулю больше величины (1 + Ст)" = (1 + Ct^z > Ct при сколь угодно большом
С. Неограниченный рост ошибки означает неустойчивость схемы.
Пример 3.4, Исследуем устойчивость явной схемы (2.11) для уравнения
теплопроводности. Для этой схемы уравнение (3.24) принимает вид
82
(Л -(е*м^1^Л-2 )А).
Разделив обе части уравнения на , находим, что множитель роста равен
A(co) = l + Fo(e't“*-2 + е",оА),
где ¥c = axlhi —сеточное число Фурье.
С учетом формулы Эйлера et'4> =cos<p±j’sin<p и формулы для
половинного угла 1—cos(a) = 2sin2(a/2), нетрудно получить окончательное
выражение для множителя роста
Л(со) = 1 - 2Fo [1 - cos(w/i) ] = 1 - 4Fo sin2^^ j.
Тогда условие (3.25) с учетом замечания 2 приобретает вид — 1 < Л(со) < 1.
Это неравенство выполнимо для любого Л((о), если Fo < .
Таким образом, мы нашли необходимое спектральное условие
устойчивости Неймана явной схемы (2.11) по начальным данным.
Иногда для наглядности удобно использовать геометрическую
интерпретацию признака устойчивости Неймана. Линия, которую пробегает
точка Х(со) на комплексной плоскости, когда со пробегает вещественную ось,
вся состоит из собственных значений и является спектром множителя роста..
Таким образом, необходимое условие устойчивости (3.25) можно
сформулировать так: спектр множителя роста, соответствующий разностному
уравнению (3.21), должен лежать в круге радиуса 1+Ст на комплексной
плоскости.. С учетом замечания 2 условие (3.25) равносильно требованию, чтобы
спектр Х(со) лежал в единичном круге
|А(й))|<1. (3.26)
83
'Пример 3-5- Найти условие устойчивости по начальным данным
разностной схемы для линейного волнового уравнения ut - сих = f с
разностями вправо (волна движется влево, т.е. здесь разности по оси х выбраны
"против потока") вида
«7+1-«7 «7+1„
т h J
Начальное условие этой задачи можно представить в форме спектра
Uj = eKa^h,/=0,1,... . Тогда решение задачи представимо в виде и" , и
для рассматриваемой схемы уравнение (3.24) для определения Х(ш) приобретает
вид
(Л - )h - е'^),
или, с учетом обозначения г = ст/h = const
Х(со)=1 —г + ге'шА. (3.27)
Из условия (3.25) с учетом замечания 2 следует неравенство
|Х|=|1-г + г?“',|<1.
С учетом формулы для модуля комплексного числа |Х|2 =Re2(X)+lm2(X) и
формулы Эйлера, получаем
(l-r + rcos((nA))^ + г2 вш2(шЛ)<1.
Данное неравенство можно решить аналитически, однако его удобней
исследовать, используя построения на комплексной плоскости.
Спектр (3.27) представляет собой окружность с центром в точке 1- г и
радиусом г на комплексной плоскости (рис. 3.3, а, б). В случае г<1 эта
окружность лежит внутри единичного круга (касаясь его в точке Л = 1), при
84
г = 1 совпадает с единичной окружностью, а при г > 1 лежит вне единичного
круга. Условие устойчивости для данной задачи имеет вид г 51, или
ci<h.
(3.28)
85
Это неравенство называют условием Куранта (иногда — условием Куранта —
Фридрихса - Леви [14]). Будем называть отношение г-ст/Ь сеточным числом
Куранта.
Если необходимое условие Неймана не выполнено, то ни при каком
выборе норм нельзя ожидать устойчивости, а в случае его выполнения можно
надеяться, что для чебышевской и гильбертовой норм устойчивость имеет место.
Проверим достаточность . полученного условия, ‘ используя принцип
максимума. Критерий равномерной устойчивости по начальным данным (3.16) с
константой С = 0 принимает в данном примере вид (о0 =1/т> ₽о ^It-c/h,
&=clh)
1 . с 1 с
->- +-----
т h т h
Это неравенство выполняется, если*
1 _ с > 1 _ с
th Th
1 с
=> ---->0 => cT<h.
Т h
Таким образом, выражение (3.28) является необходимым и достаточным
условием устойчивости данной схемы.
Физический смысл соотношения (3.28) заключается в следующем:
произведение предельного шага по времени Тщд, на скорость распространения
возмущений с не должно быть больше шага по пространственной координате h
(рис. 3.3, в), иначе мы будем пытаться искать решение на слое, до которого еще
не успели дойти физические возмущения с нижележащего слоя.
Действительно, если шаг по времени Т] < тшал = й/с (см. рис. 3.3, е), то
возмущения в точку Xj приходят из точки х*, находящейся на отрезке [х/, xj+Д,
значение функции и* в которой может быть вычислено интерполяцией значений
unj, u"J+j по выбранной разностной схеме. Если же условие устойчивости (3.28)
символ => здесь означает "следовательно1
86
^арушено, и шаг по времени Тг > т^, то в точку х} будут приходить
возмущения из точки х+, лежащей за пределами отрезка [х7; х7+у], т.е. выше по
потоку. Значение функции и+ в этой точке может сильно отличаться от значений
и"-; фигурирующих в разностной схеме, например, при распространении
фронта ударной волны. Это приведет к тому, что в рассматриваемой схеме при
т > hl с не будет учтено влияние физически имеющих место возмущений на
значение функции и/+У.
Пример 3 6, Найти условие устойчивости разностной схемы по
начальным данным для линейного волнового уравнения и, -си* = f с
разностями влево (волна движется влево, т.е. здесь разности по оси х выбраны
"по потоку") вида
т h 1
Критерий равномерной устойчивости по начальным данным (3.16) с
константой С = 0 (принцип максимума) принимает в данном примере вид
(<Tq = 1/т, ₽0 = 1/т+c/h, Р-4 =—c/h ) приводит к неравенству
1 с fl с'I
->-+ -+- ,
т h т h j
которое не удовлетворяется при любых т,Л>0, т.е. достаточное условие
устойчивости не выполняется.
Теперь проверим необходимое условие устойчивости. Уравнение (3.24)
для определения Х((0) в данном случае принимает вид
А.(а>)=1 + г—ге~’“Л.
Описываемый этой формулой спектр представляет собой окружность с центром
в точке 1 + г и радиусом г (рис. 3.4). Ни при каком г спектр не лежит в
87
Рис. 3.4. К примеру 3.6. Устойчивость явного метода для одномерного
волнового уравнения с разностями по потоку.
единичном круге. Условие устойчивости не выполняется никогда. Схема
безусловно неустойчива.
Метод разделения переменных применим к многослойным линейным
схемам с постоянными коэффициентами, в том числе и к ДУЧП, содержащим
вторую производную по времени. Для ДУЧП с переменными коэффициентами
или при использовании неравномерной сетки применяют модификацию метода
Неймана — "замораживание" коэффициентов, иначе говоря, для нелинейных
разностных схем [когда операторы В, Ав уравнении (3.21) нелинейны] проводят
линеаризацию разностного уравнения и исследуют устойчивость
линеаризованного уравнения (см., например, [17, с. 321]).
Помимо принципа максимума и метода Неймана существует еще целый
ряд способов анализа устойчивости: методы энергетических неравенств,
операторных неравенств и др., однако они гораздо сложней в использовании.
3.3.3. Численный метод анализа сходимости
Далеко не все уравнения легко теоретически проверить на устойчивость, а
значит, и на сходимость. В частности, это относится к уравнениям движения
вязкой жидкости и газа. В этих случаях нередко пользуются методом численного
анализа сходимости: получают серию численных решений на последовательно
измельчаемых сетках [14, т. 1, с. 107]. Сходимость означает, что ошибка
88
решения должна уменьшаться практически до нуля (не считая ошибок
округления) по мере того, как шаг сетки стремится к нулю.
К недостаткам этого метода относятся, во-первых, опасность получить
численное решение не исходного ДУЧП, а другого, с которым лучше
согласуется данная разностная схема (пример — схема Дюфорта-Франкела, см.
пример 3.2); во-вторых, такой анализ является довольно трудоемким и
длительным процессом, так как при этом обычно Используются очень мелкие
сетки.
3.4. Дчнеиещная фоим^гзнниси уравнений И частцых цронзвотих
На практике для нелинейных уравнений и схем редко удается строго
доказать сходимость; например, для уравнений газодинамики сходимость не
доказана. Поэтому зачастую пользуются следующими соображениями.
Проверяют локальную аппроксимацию схемы и затем на численных расчетах со
сгущением сетки убеждаются, что разностное решение при h —> 0 сходится к
какой-то предельной функции. Поскольку нет расходимости, то расчет устойчив,
а из устойчивости и корректной локальной аппроксимации следует сходимость к
решению исходной задачи.
Здесь следует сделать важную оговорку. Приведенный выше метод
"численной" проверки сходимости справедлив, если точное решение достаточно
гладко. Если же решение разрывное, то локальной аппроксимации в точках
разрыва нет, и предыдущие рассуждения могут привести к неверному
результату. В этом случае говорят о ложной сходимости разностного решения.
Ложной сходимости можно избежать, используя так называемые
консервативные схемы. Консервативной называется разностная схема,
обеспечивающая точное выполнения законов сохранения (исключая
погрешности округления) на любой сетке в конечной области, содержащей
произвольное число узлов разностной сетки.
Говорят, что уравнение в частных производных записано в дивергентной
(консервативной) форме, если коэффициенты при производных являются либо
константами, либо функциями, производные которых в уравнение не входят.
89
Так, дивергентная форма уравнения неразрывности имеет вид
Эр t а(р«) t a(pv) й(ри)=0
Э/ дх Эу dz
а недивергентной будет, например, такая форма записи:
(3.29)
(3.30)
Консервативные схемы .составляют методом контрольного объема или
методом баланса, исходя из физических законов сохранения и соблюдая
дополнительное правило нулевого дисбаланса, описанное ниже.
Пример 3.7. Разберем законы сохранения на примере нелинейного
уравнения переноса
Эи ди _
—- + и—~ = 0.
Э/ дх
(3.31)
Запишем это уравнение в дивергентной форме
Эг Эх^ 2
(3.32)
Выбирая отдельную ячейку прямоугольной сетки (рис. 3.5) и интегрируя по ней
уравнение (3.32)
где согласно основной теореме интегрального исчисления
'и
получим точное интегральное соотношение
90
Рис. 3.5. Иллюстрация к примеру 3.7.
-u”]dx + ± f(uj — = 0.
XH *п
(3.33)
Интегрирование уравнения (3.32) можно провести и по всей области
G = [х0 < х < Xj ]х [r0 < t < tN ], получив аналогичное интегральное соотношение:
= (3.34)
х0 >0
Уравнение (3.34) является законом сохранения для данной задачи. Первый
интеграл дает изменение величины judx за истекшее время, а второй есть
разность потоков ±ju2dt через правую и левую границу.
Очевидно, что выражение (3.33) является законом сохранения для каждой
отдельной ячейки. Просуммируем (3.33) по всем ячейкам области G:
91
-Uj_^dt =0.
(3.35)
Легко видеть, что интегралы по границам ячеек, которые лежат внутри С,
попарно уничтожаются; остаются только интегралы по наружной границе, т.е.
уравнения (3.35) и (3.34) совпадают. Иными словами, закон сохранения во всей
области есть точное следствие закона сохранения в отдельных ячейках.
Не всякая схема обладает таким свойством. Развивая пример 3.7,
рассмотрим две конечно-разностные схемы: одну — с ложной сходимостью,
другую — консервативную.
Пример 3.8. Возьмем схему с заведомо ложной сходимостью (см. выше),
используя нелинейное уравнение переноса в недивергентной форме (3.31)
-L+= о
т J п
(3.36)
Умножим последнее выражение на тй и просуммируем по всем ячейкам:
(3.37)
Учитывая тождество
a2 —b2+(a—bf = 2a(a-b),
преобразуем второе слагаемое в квадратных скобках:
Тогда уравнение (3.37) нетрудно привести к виду
92
где
д=2^ >0-
z 7=1 „=0
(3.39)
Первая и вторая суммы в (3.38) являются разностными аналогами интегралов в
(3.34). Важно заметить, что они не содержат значений и" во внутренних узлах
области G. Но остается еще третья (двойная) сумма (3.39), содержащая значения
во внутренних узлах неустранимым образом и заведомо не равная нулю.
Поэтому при расчете по схеме (3.36) разностный закон сохранения во всей
области G нарушается на величину Д. Такие схемы называют
неконсервативными, а величину Д называют дисбалансом схемы. Таким
образом, в неконсервативных схемах появляются дополнительные слагаемые
нефизического происхождения.
Пример 3.9. Построим консервативную схему, т.е. схему с нулевым
дисбалансом. Для этого в интегральном соотношении (3.33) аппроксимируем
интегралы линейными квадратурными формулами. Возьмем, для
определенности, формулу прямоугольников на тех же узлах, что и в предыдущей
схеме, тогда получим явную схему следующего вида
<з«»
Проводя суммирование по всем ячейкам, получим уравнение (3.38) с Д = 0, т.е.
полученная схема является консервативной.
Выбирая другие шаблоны, можно построить различные консервативные
схемы для уравнения (3.32), как это сделано, в частности, в следующем примере.
Пример 3.10. Построим консервативную схему для уравнения (3.32),
используя шаблон, называемый иногда "неявный левый уголок" (рис. 3.6). Если
93
Jjl j
п+1 • 1'
вычислить интегралы в уравнении (3.33) по
этому шаблону, то получим абсолютно
устойчивую неявную схему
п w
Рис. 3.6. К примеру 3.10.
Схема "неявный левый
уголок".
Эта схема относится к так называемым
стенам бегущего счета. Хотя формально
схема неявная, фактически при решении
смешанной краевой задачи она ведет себя как явная, т.к. в уравнении (3.41)
только одна неизвестная величина и"+1; и" известна с предыдущего временного
слоя, а величина UjZ{ — с предыдущего пространственного слоя.
Суммируя (3.41) по всем ячейкам, получим разностный закон сохранения
(3.42)
Это уравнение отличается от уравнения (3.38) Пределами второй суммы, но это
отличие несуществешю. Важно, что дисбаланс отсутствует, т.е. схема (3.41)
консервативна.
Благодаря тому, что консервативные схемы выражают закон сохранения
на сетке, т.е. качественно похожи на исходное интегральное уравнение, они
обычно приводят к существенному улучшению точности как разрывных, так и
гладких решений.
Построены схемы, одновременно удовлетворяющие нескольким
уравнениям сохранения. Такие схемы, называемые полностью
консервативными, используются в задачах газодинамики, физике разреженной
плазмы ироде других.
Таким образом, Понятие консервативности широко используется при
составлении и исследовании разностных схем. ‘
94
Следует отметить, что различные полезные свойства схем, такие как,
например, консервативность и высокий порядок аппроксимации, нередко
противоречат друг другу, так что для конкретной задачи может не существовать
схемы, одновременно удовлетворяющей всем этим требованиям. Кроме того, не
для всех классов уравнений консервативность является необходимым условием
сходимости, и разработано немало хороших, хотя и неконсервативных схем.
Задачи
Вар. 1 - 18. Проверьте необходимые и, по возможности, достаточные условия
устойчивости конечно разностной схемы:
Вар. 1. Явного метода Эйлера для одномерного волнового уравнения
и"+1 -и" и"+1«7-1 „
т 2Й
Вар. 2. Неявного метода Эйлера для одномерного волнового уравнения
Вар- 3. Схемы Лакса для одномерного волнового уравнения
„л+1 |„л , „л Vo „л „л
UJ ~rm + uj-lll2 + с цУ+1~ц/-1 _ 0
т 2й
Вар. 4*. Трехслойного по времени метода "крест" для одномерного волнового
уравнения ч
„л+1 „л-1 „л „л
ui ~ui = 0
2т 2h
Вар, 5, Схемы Лакса-Вендроффа решения одномерного волнового уравнения
Вар. 6. Схемы Кранка-Николсона для одномерного волнового уравнения
„л+1_„л 1..Л+1 ..л+1 „л 1
Му -Uj ^^y+i+H7+1 Uj-i-Uj-!).
Вар, 7. Схемы "неявный правый уголок" для одномерного волнового уравнения
95
1 |.,П+1 .,п\. C n
“Vf ~ui J-°-
Bap. 8. Схемы "неявный левый уголок" для одномерного волнового уравнения
1 („п+1 nV L,n+l' ,,n+l\_ n
~uj)+^j
Bap. 9. Неявной схемы "прямоугольник" для одномерного волнового уравнения
1 £.n+i, ,,n+i „«V с £n+i, „и .,«+1 ..'Л—л
— |иу+1 + Uj -uj+} ~ujf+^Ь+1 + “М “uj ~ujh 0•
Вар. 10. Явного одношагового метода для одномерного уравнения
теплопроводности
т ° Л2
Вар. 11*, Метода Ричардсона для одномерного уравнения теплопроводности
,,п+1_ п-1 _7мии.„п
Uj It j И£11 j т It j—}
2т =U h2 ’
Bap. 12. Простого неявного метода для одномерного уравнения
теплопроводности
«Г1-»” _а«Л11-2<1+м”-1
т h2
Вар. 13. Метода Кранка-Николсона для одномерного уравнения
теплопроводности
г 2Л2 ’
где 82и* = «у+] -2и* + t/y_i - центральный разностный оператор.
Вар. 14*. Схемы Дюфорта-Франкела для одномерного уравнения
теплопроводности
~UJ - а (..п t/i+l „п-1 . п )
--2Т------~uj +uj-lf-
96
Bap. 15, Схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по
пространству (ВВЦП) для одномерного уравнения теплопроводности с
Источниковым членом
ди д2и ,
dt дх2
Вар. 16. Метода ВВЦП решения одномерного уравнения Бюргерса для вязкого
течения
т 2Й U h2
Вар. 17*. Метода Дюфорта-Франкела решения одномерного уравнения Бюргерса
для вязкого течения
„п+1 „п-1 „и „п „п „п+1 „п-1 , „п
-Uj “j+l-Uj-i Uj+1-Uj -Uj +Uj_i
2т 2ft g h2
Bap. 18. Явного одношагового метода для двумерного уравнения
теплопроводности
_ ui+lJ -^ukj+lii-lJ ui.J+l + ucj-l
“ (Axf (Ajf
Bap. 19, Проверить, является ли консервативной конечно-разностная схема для
уравнения неразрывности двумерного стационарного движения несжимаемой
жидкости *
ui+l,J ц»+1,у-1 ~ ui,j ~ ui,j-l + vi+l,7 ~vt~+!,/-! _ q
2Дх Ду
где и, v- составляющие скорости по осям х, у соответственно.
Указание: проверить, равен ли нулю суммарный расход через границу
контрольного объема.
Вар. 20. Задание то же, что и в вар. 1^|, но для разностной схемы
uf+l,j + v4/+l _ о
2Дх 2Ду
Вар. 21, Дано нелинейное уравнение
97
ди ди д[ ди 1
-+г<-=- ц— ,
от дх ду J
где ц - постоянный коэффициент. Если оно записано не в дивергентной
форме, записать его в дивергентной форме. Пользуясь материалами примеров
3.7-3.9, построить консервативную схему для Данного уравнения.
Глава 4. Аппроксимация граничных условий
Конечно-разностная аппроксимация дифференциальных уравнений в
частных производных обычно приводит к алгебраическим уравнениям для
внутренних узлов вычислительной области, однако вопрос об аппроксимации в
граничных узлах сетки требует специального рассмотрения. Настоящая глава и
посвящена проблеме аппроксимации граничных условий.
В многомерных задачах для аппроксимации граничных условий удобней
всего использовать метод контрольного объема, описанный во второй главе.
Одномерные задачи позволяют находить конечно-разностные аналоги для
узлов на границах, используя общий вид конечно-разностного уравнения для
внутренних узлов и само граничное условие.
Рассмотрим примеры построения конечно-разностных аналогов
граничных условий первого, второго и третьего рода.
4Д. Лрцмокуимация 1раздтчнуу условий первого рода (Дицихле)
Пусть для аппроксимации одномерного уравнения теплопроводности
выбрана простая неявная разностная схема
Вводя сеточный критерий Фурье Fo = аДг/Дх2 , перепишем уравнение
(4.1) так, чтобы члены, содержащие неизвестные на (и + 1)-м шаге по времени,
оказались в левой части, а известное значение и" — в правой части:
Fowjti1 -(1 + 2Fo)«"+1 + Fow$ = -u”j,
(4.2)
или, приводя к канонической форме системы уравнений, решаемых методом
прогонки (см. главу 10)
где
99
Рис. 4.1. Расчетная схема для нестационарной задачи.
aj = Fo; bj = 1 + 2Fo; cj = Fo; d = -u".
(4.3)
Пусть расчет проводится на изображенной на рис. 4.1 сетке, состоящей из
М + 2 узлов по х. Начальные условия заданы при п = 0. Граничные условия
первого рода заданы: на левой границе Uq+1, на правой г<м+1- На заданной
сетке разностная схема (4.1) сводится к системе М линейных алгебраических
уравнений с неизвестными на (и + 1)-м шаге по времени:
воспользуемся следующим приемом. Запишем уравнение (4.2) для j = 1:
Fot$+I -(l+2Fo)u"+1 + Foi^+1 = -wf.
100
Неизвестными в этом уравнении являются второе и третье слагаемые в левой
части, поэтому первое слагаемое, в которое входит известное из граничных
условий значение «о"+1, перенесем в правую часть:
- (1 + 2Fo)u"+1 + Fou£+1 = -wf - Fouq+I. (4.4)
Таким образом
at = О, dt = -uf - FouJ+1. (4.5)
Аналогичные преобразования проведем и для j = M, получив из
уравнения (4.2)
Fo<-j ~(l+2FoXl +FouJ^1 =-ипм.
В данном уравнении третье слагаемое также может быть найдено из граничных
условий, поэтому перенесем его в правую часть:
Ро«Й-0+2Fo>4+l = -ипм-Fon^i,
получив для последней строки
см = 0, <1м = -uh - Fo um+i (4.6)
Важно заметить, что в матрице коэффициентов величины at и см
попросту отсутствуют, и поэтому связанную с граничными условиями
информацию приходится учитывать в коэффициентах dt и dM-
Таким образом, элементы трехдиагональной матрицы и столбца
свободных членов рассчитываются по общим формулам (4.3), однако
коэффициенты в первой (щ, dt) и последней (см, dM) строках определяются по
специальным формулам (4.5) и (4.6), учитывающим значения функции и на
границах.
Аппроксимация граничных условия Дирихле на шаблоне Кранка-
Николсона дает абсолютно устойчивую схему (см. [14, т.1, с. 309]).
101
4.2, Аппроксимация tуаничных условий второго р»да (Нейэдана)
Граничные условия второго и третьего рода включают производные
искомой функции на границе. Для корректной аппроксимации производной, не
приводящей к понижению общего порядка погрешности аппроксимации, нужно
использовать специальные приемы, описанные ниже.
Рис. 4.2. Аппроксимация первой производной по явной (а) и неявной (б)
схемам, j = 1,.., М - узлы расчетной области; j = 0 - фиктивные узлы
(обозначены квадратами).
Величина дТ/дх, входящая в граничные условия Неймана дТ/дх = H(t)
[например, в задачах теплопроводности по закону Фурье функция
н(0=-?(г)А, где q — тепловой поток, к — коэффициент теплопроводности
для внутренней области], может быть смоделирована посредством конечно-
разностного выражения с использованием информации внутри вычислительной
области, например, при использовании явной схемы (рис. 4.2, в):
„и
+ (4.6)
Дх
Однако это выражение имеет лишь первый порядок погрешности
аппроксимации, а большинство схем для уравнения теплопроводности — второй
102
(по пространственной координате). Пониженная точность решения на границе
для параболических уравнений оказывает влияние на точность решения внутри
области. Поэтому стремятся представить условие Неймана посредством такого
алгебраического выражения, которое имеет такую же ошибку аппроксимации,
как и выражение дня внутренних узлов. Пример — использование центральной
разностной аппроксимации для первой производной:
+ О Lt2 )= Нп, (4.7)
2Дх ' '
имеющей второй порядок погрешности аппроксимации, где использован
фиктивный узел (0, и), лежащий за пределами вычислительной области (см. рис.
4.2, в). Однако если вычислительную область условно расширить так, чтобы
включить в нее указанную точку, то уравнение (4.7) можно использовать вместе
с уравнением для точек внутренней области, например, с уравнением простой
явной схемы
Д/ Л?
(4.8)
записанным в точке (1, и), чтобы исключить из обоих уравнений значение в
фиктивной точке и$. Выражая из уравнения (4.7) и$ и подставляя его в
формулу (4.8) при j = 1, получим
uf+1 = -2FoЬхНп + (1—2Fo)u” +2Fon£ . (4.9)
причем во всех точках вычислительной области порядок погрешности
аппроксимации О^\/,Дх2).
Если во внутренних точках используется простая неявная схема (4.1), то с
учетом аппроксимации граничного условия на неявном слое (см. рис. 4.2, б)
„л+1 „п+1 , \
2 0 +С>кх2)=Яп+1, (4.10)
2Дх ' '
после аналогичных преобразований с исключением и$+1 из формулы (4.2) при
j = 1 получим уравнение
103
-(l+2Fo)u"+1 +2Fo«"+1 = -wf +2РоДхЯп+1, (4.11)
которое может рассматриваться как первое уравнение трехдиагональной
системы. Подобные построения можно выполнить и для правой границы.
Необходимо отметить, что выражения для аппроксимации производной на
границе должны соответствовать специфике шаблона, выбранного для
внутренних узлов. Так, в уравнении (4.7) использованы узлы на явном слое, в
уравнении (4.10) — на неявном. При использовании шеститочечного шаблона
Кранка-Николсона кажется очевидным использование двухслойной разностной
аппроксимации первой производной в виде
(„и ..nV / и+1 ..п+1)
-°J+№.—“1J = //«+1 + я«. (4.12)
2Дх
Однако, как показывает практика и теоретические исследования (см. [14, т.1, с.
309]), при Fo > 1 такая аппроксимация приводит к появлению временных
осцилляций на границе при изменении граничных условий во времени, т.к. одно
из собственных значений матрицы перехода равно единице. В случае
ступенчатой функции Н осцилляции сравнительно быстро затухают, однако
при нестационарных граничных условиях численное решение по схеме (4.12)
становится неприемлемо грубым. Поэтому при использовании метода Кранка-
Николсона для внутренних узлов, граничные условия второго рода
рекомендуется аппроксимировать по шаблону простой неявной схемы (4.10),
сглаживающей подобные осцилляции.
Построение конечно-разностного аналога граничных условий второго
рода с использованием метода контрольного объема можно найти в главе 7 (см.
Пример 7.3 и рис. 7.8).
43. Аппроксимация граничных условий пншга рщцг
Граничные условия третьего рода являются линейной комбинацией
значения функции и ее производной на границе, например, при теплоотдаче от
левой стенки (см. рис. 4.1, линия j = 0):
104
-Ь~ = Р(Тте-Т0), (4.13)
Эх о
где Р — коэффициент теплоотдачи с поверхности стенки,
7L, — температура жидкости (движущейся или неподвижной) на
достаточно большом удалении от поверхности стенки;
То — температура на поверхности стенки.
Поэтому методика построения аппроксимации граничных условий
третьего рода объединяет приемы, описанные в параграфах 3.1 и 3.2.
Пусть для внутренних узлов выбрана простая неявная схема (4.2). Вновь
вводя фиктивный узел (0, п + 1) за границей физической области, отстоящий от
стенки на расстояние Дх (см. рис. 4.2, б), запишем аппроксимацию уравнения
(4.13), имеющую второй порядок погрешности:
„Л+1 ,,И+1 / \
~^2 0 = '“?/ <4-14>
2Лл '
Вводя сеточное число Био В!=рДх/Л. и выражая значение Mq+i в фиктивном
узле из уравнения (4.14)
«J+1 = и?+1 +2B17L -2Bi«f+1, (4.15)
исключим его из формулы (4.2) при j = 1, получив после простых преобразова-
ний выражение для узла на левой границе:
-[1+2Fo(l+Bi)]w|"+1+2Foi/2+1 =-«"-2FoBiT«,. (4.16)
Проверкой полученного соотношения может послужить предельный
переход к случаю Bi —> °о, когда, как известно, граничные условия третьего рода
вырождаются в граничные условия первого рода. Благодаря бесконечно
большому коэффициенту теплоотдачи от стенки, как видно из уравнения (4.16),
температура на ее поверхности u"+I —> Т„ (а это и есть граничное условие
первого рода). Другой предельный случай — адиабатная стенка, когда Р = О,
105
Bi = 0, или, что то же самое, H(f) = 0. В этом случае левые части уравнений
(4.16) и (4.11) тождественны, в правой части остается только -ир, в уравнении
(4.16) отсутствует влияние внешней температуры Тте, а в уравнении (4.11)
исчезает слагаемое, включающее Н л+1.
Аналогичные построения можно выполнить и для граничных условий
третьего рода на правой стенке, вводя фиктивный узел (Af+l,n + l) за
пределами расчетной области*.
Аппроксимация граничных условий третьего рода при использовании
схемы Кранка-Николсона, например, на левой границе, при 0 = const приводит
к выражению типа (4.12):
_хг2 "«О J+W2-^oJ = р . (4.и)
4Ах " 2
Теория (см. [14, т.1, с. 309]) и практика вычислений показывают, однако, что
использование аппроксимации (4.17) при определенных условиях (BiFo>l)
приводит к неустойчивости схемы. Таким образом, и в этом случае граничные
условия рекомендуется аппроксимировать по простой неявной схеме.
Использование метода контрольного объема для построения конечно-
разностного аналога граничных условий третьего рода описано в главе 7 (см.
______________________________ Пример 7.4 и рис. 7.10).
л+1 1 J-1 J J+1
п • 1 "< п- 1 1
Рис. 4.3. Пятиточечный
шаблон типа "крест".
4.4. Проблемы аппроксимации начальных
условий
Проблемы с начальными условиями
возникают при использовании трехслойных
схем (Дюфорта-Франкела, трехслойной
неявной схемы и др. — см. главы 5-7),
поскольку для них требуется информация на
* Читателю предлагается выполнить эти построения самостоятельно
106
двух слоях, поэтому на начальной стадии интегрирования они нуждаются в
замене двухслойной схемой с той же или более высокой точностью.
Альтернативный вариант — использование простой явной схемы на мелкой
сетке, чтобы скомпенсировать первый порядок точности по времени.
Однако иногда удается добиться хорошей аппроксимации начальных
условий, используя ДУЧП.
Рассмотрим, например, первую краевую задачу для уравнения колебаний
3)2 г г
—1=—r,0<x< 1, 0<г<гк, (4.18)
Эг Эх2
(7(0,/) = Pi (О, (7(1,0 = р2 (0, 0<7<гк, (4.19)
V(x, 0) = (70(х), (х,О)=ио(х), 0Sx< 1. (4.20)
dt
Известно, что эта задача поставлена корректно. Минимальный шаблон, на
котором можно аппроксимировать уравнение (4.18), это пятиточечный шаблон
типа "крест" (рис. 4.3). Схема, построенная на таком шаблоне, содержит три слоя
и поэтому относится к трехслойным. Разностная аппроксимация уравнения
(4.18) и граничных условий (4.19) дается следующей системой уравнений:
и?1 - + и^1 иЪ - W + «7+1
1---J— = -2-*---1---, (4.21)
т h~
j =1,2,1; n= 1,2,..hJ = 1; ?N=rK,
«o+‘ =Pi(f„+i), «Г =P2(f„+l).« = 0,1, 1. (4.22)
Разностное уравнение (4.21) имеет порядок погрешности аппроксимации
о(т2,/г). Решение п"+1 выражается явным образом через значения на
предыдущих слоях:
107
(4.23)
п
7 = 1,2, 1; и=1,2, ...,7V—1.
Для начала счета по формулам (4.23) должны быть заданы значения Uy, Ну,
j = 0,1,..., J -1, J. Из первого начального условия (4.20) сразу получаем
= U0(xj), j = 1,2,..., J- 1. (4.24)
Простейшая замена второго из начальных условий (4.20) уравнением
U ~ м?)/т = Udxj) + °(т) имеет лишь первый порядок аппроксимации.
Поскольку уравнение (4.21) аппроксимирует основное уравнение (4.18) со
вторым порядком по т, для сохранения высокой точности желательно
использовать аппроксимацию начального условия также второго порядка. Для
этого воспользуемся следующим приемом. Уравнение
—^ = ^у)+о(т2),
(4.25)
где i/у1 =ы(ху,—т) аппроксимирует второе начальное условие со вторым
порядком погрешности. Для исключения из него значения nJ1 на фиктивном
слое запишем уравнение (4.21) при п = 0:
ulj - 2и® + и J1 «у_] - 2и° + My+i
? = Л2 ’
и учтем выражение (4.24). Отсюда получим
2
«7* =-и1} +2«$ +|2-Ь(ху_1^2(70(ху)+П0(ху+,)].
п
Подставляя это выражение в уравнение (4.25), приходим к искомой
аппроксимации второго начального условия со вторым порядком
108
U±-U- = wo(x;)+ A t'ota-i)- 2U0(xj)+ Г0(х>+1)]. (4.26)
т 2л
Задачи
Вар, 1. Для задачи распространения волн вдоль тонкого стержня, описываемой
одномерным волновым уравнением первого порядка в декартовых координатах,
заданы граничные условия первого рода (Дирихле). Запишите выражения для
коэффициентов трехдиагональной матрицы на границах вычислительной
области при использовании простой неявной схемы.
Вар. 2. Для задачи переноса вещества в трубке, описываемой одномерным
уравнением диффузии в декартовых координатах, заданы граничные условия
первого рода (Дирихле). Запишите выражения для коэффициентов
трехдиагональной матрицы на границах вычислительной области при
использовании простой неявной схемы.
Вар. 3. Для задачи переноса теплоты через тонкую стенку, описываемой
одномерным уравнением теплопроводности в декартовых координатах, заданы
граничные условия второго рода (Неймана). Запишите выражения для
коэффициентов трехдиагональной матрицы на границах вычислительной
области при использовании простой неявной схемы.
Вар. 4. Для задачи переноса вещества через пористую пластину, описываемой
одномерным уравнением диффузии в декартовых координатах, заданы
граничные условия второго рода (Неймана). Запишите выражения для
коэффициентов трехдиагональной матрицы на границах вычислительной
области при использовании схемы Кранка-Николсона.
Вар. 5. Для задачи переноса теплоты вдоль стержня, описываемой одномерным
уравнением теплопроводности в декартовых координатах, заданы граничные
условия первого рода (Дирихле). Запишите выражения для коэффициентов
трехдиагональной матрицы на границах вычислительной области при
использовании схемы Кранка-Николсона.
109
Bap, 6. Для задачи переноса вещества через пористую пластину, описываемой
одномерным уравнением диффузии в декартовых координатах, заданы
граничные условия третьего рода (Робина). Запишите выражения для расчета
концентрации на границах вычислительной области при использовании явной
схемы ВВЦП.
Вар, 7. Для задачи переноса теплоты вдоль стержня, описываемой одномерным
уравнением теплопроводности, заданы граничные условия первого рода
(Дирихле). Запишите выражения для расчета температуры на границах
вычислительной области при использовании явной схемы ВВЦП.
Вар, 8. Для задачи переноса теплоты через тонкую стенку, описываемой
одномерным уравнением теплопроводности в декартовых координатах, заданы
граничные условия второго рода (Неймана). Запищите выражения для расчета
температуры на границах вычислительной области при использовании явной
схемы ВВЦП.
Вар, 9. Для задачи переноса вещества вдоль трубки, описываемой одномерным
уравнением диффузии в декартовых координатах, заданы граничные условия
третьего рода (Робина). Запишите выражения для коэффициентов
трехдиагональной матрицы на границах вычислительной области при
использовании схемы Кранка-Николсона.
Вар, 10. Для задачи, описываемой одномерным уравнением диффузии, заданы
граничные условия третьего рода (Робина). Запишите выражения Для
коэффициентов трехдиагональной матрицы на границах вычислительной
области при использовании простой неявной схемы.
Вар. 11. Для задачи распространения волн в конечном стержне, описываемой
одномерным волновым уравнением первого порядка в декартовых координатах,
заданы граничные условия первого рода (Дирихле). Запишите выражения для
коэффициенте» трехдиагональной матрицы на границах вычислительной
области при использовании схемы Кранка-Николсона.
Вар, 12. Задача охлаждения толстостенной трубы в одномерной постановке
(теплота распространяется только в радиальном направлении) решается с
использованием простого явного метода (метода ВВЦП):
110
„Л+1 „л Г.,« —,,п
UJ uj _ а Uj~l 2uj +uj+l f t uj+l uj~l
b.t Дг2 r} 2Ar
Запишите выражения для расчета температуры на границах вычислительной
области.
а) Известны температуры на внутренней 7j(t) и наружной T2(t)
поверхностях трубы в течение всего процесса охлаждения.
б) Известны тепловые потоки на внутренней- q\(t) и наружной q2(t)
поверхностях трубы в течение всего процесса охлаждения.
в) Известны температуры охлаждающей жидкости вблизи внутренней
и наружной Г2те(/) поверхностей трубы, а также соответствующие
коэффициенты теплоотдачи Рг(0 в течение всего, процесса охлаждения.
Вар. 13. Задача охлаждения толстостенной трубы в одномерной постановке
(теплота распространяется только в радиальном направлении) решается с
использованием простого неявного метода:
..«+1 ..п Г.л+1 э.,л+1 1 .>"+1. .,п+'
uj ~uj = uj-l ~2uj +uj+i XuJ+i uJ-i
At a rj 2&r
Запишите выражения для расчета коэффициентов трехдиагональной матрицы на
границах вычислительной области.
а) Известны температуры на внутренней 7](/) и наружной 7j(t)
поверхностях трубы в течение всего процесса охлаждения.
б) Известны тепловые потоки на внутренней ^(г) и наружной #2(0
поверхностях трубы в течение всего процесса охлаждения.
в) Известны температуры охлаждающей жидкости вблизи внутренней
Г1оо(г) и наружной T2„(t) поверхностей трубы, а также соответствующие
коэффициенты теплоотдачи Pj(t} Рз(0 в течение всего процесса охлаждения.
111
Bap. 14. Задача охлаждения толстостенной трубы в одномерной постановке
(теплота распространяется только в радиальном направлении) решается с
использованием метода Кранка-Николсона:
uj uj __ j uj+l + ц>+1 j 1 + wj+l ~ Uj~l uj~l
Hl 2 Ar^ rj 2Hr
Запишите выражения для расчета'коэффициентов трехдиагональной матрицы на
границах вычислительной области.
а) Известны температуры на внутренней 7|(/) и наружной T2(f)
поверхностях трубы в течение всего процесса охлаждения.
б) Известны тепловые потоки на внутренней q^ft) и наружной q2(f)
поверхностях трубы в течение всего процесса охлаждения.
в) Известны температуры охлаждающей жидкости вблизи внутренней
и наружной Т2то(/) поверхностей трубы, а также соответствующие
коэффициенты теплоотдачи Pi (i), Р2 (z) в течение всего процесса охлаждения.
Глава 5. Методы решения уравнений
гиперболического типа
В главах 5-7 мы рассмотрим разностные методы решения волнового
уравнения первого и второго порядка (гиперболического типа), уравнений
теплопроводности, конвекции и диффузии, уравнения Бюргерса
(параболического типа), а также уравнений Лапласа и Пуассона (эллиптического
типа). Эти уравнения называют модельными, так как они используются для
изучения свойств более сложных уравнений в частных производных. Так,
уравнение теплопроводности можно рассматривать как модельное для других
параболических уравнений, например, уравнений пограничного слоя.
Все рассматриваемые модельные уравнения имеют аналитические
решения при некоторых граничных и начальных условиях. Зная эти решения,
легко сопоставлять качество различных конечно-разностных методов.
5Д, Волновое уравнение
5,(.(. Вводные понятия
Одномерным волновым уравнением называется гиперболическое
уравнение в частных производных второго порядка
Э2н 2 Э2м ,z л .
= +/(хД)> (5.1)
Эг Эх
описывающее распространение звуковых волн в однородной среде с постоянной
скоростью с при наличии внешнего силового поля f (х, Г)-
Аналитическое решение уравнения (5.1) часто ищут в виде рядов Фурье
[7, 8]; решение задачи Коши в бесконечной или полубесконечнпй области дается
формулой Даламбера.
113
Пример 5.1. Решить волновое уравнение ии = с2ихх в области
-о°<х<оо с начальными условиями п(х,0) = Ц|(х), ut(x,0) = ц2(х) (задача
Коши). Поставленная задача описывает колебания неограниченной струны.
Преобразуем волновое уравнение к виду, содержащему смешанную
производную. Уравнение характеристик (см. также главу 1)
dx2 - c2dt2 = О
распадается на два уравнения:
dx - с dt = 0, dx + с dt = 0,
интегралами которых являются прямые
х-ct = СХ, x + ct = C2-
Введем новые переменные (характеристики исходного волнового уравнения)
£=x+ct, T] = x-ct.
Вычисляя производные
+ п^Т]Л. — , ихх — ,
мг = u£t + ипт]( = сЦ - ), и„ = с2 (ы^ - 2ы?п + ),
видим, что исходное волновое уравнение можно привести к характеристической
форме
^ч=о-
Решение этого уравнения определяется последовательным
интегрированием и имеет вид
и (х, 0 = Fi (х + ct) + F2 (х — cf),
где Fi(x + ct), F>(x-ct) — произвольные дважды дифференцируемые
функции.
114
и
Рис. 5.1. Распространяющаяся вправо волна и(х', f).
Это решение волнового уравнения называют формулой Даламбера. Для
заданных начальных условий оно приобретает вид
2
С Х-СГ
Функция u(x, t), являющаяся решением волнового уравнения с начальными
условиями, представляет собой сумму двух функций:
Ui(x,t)= tkfr + cQ+Hifr-rt),
U2(x,‘)=^ jn2(T)<h,
x—ct
имеющих самостоятельный физический смысл. Первое из этих слагаемых,
«1(х, t), описывает процесс распространения начального отклонения (перенос
вдоль характеристик) при нулевой начальной скорости [|Л2(Х) = 0]; второе
слагаемое, и2(х, f), соответствует случаю, когда колебания вызваны начальной
115
скоростью (или импульсом) при нулевом начальном отклонении [ц1(х) = 0].
Проанализируем подробней первое слагаемое. Функцию, определяемую
формулой и = Ц1(х— ct), в физике называют распространяющейся волной.
Пространственным профилем решения и(х. t) для t = tt называют график
функции и(х, ti). Пусть в начальный момент времени t = 0 наблюдатель,
движущийся вправо со скоростью с, занимает положение х = 0 (рис. 5.1).
Введем подвижную систему координат, движущуюся вместе с наблюдателем,
полагая
х' = х — ct, t' = t.
На рис. 5.1 показана (штриховая) линия х' = 0 (она совпадает с линией
характеристик т] = 0). В новой системе координат (х', f) функция и = Pi(x - ct)
будет определяться формулой и(х', О = Ц1(х'). Таким образом, движущийся
вправо наблюдатель будет видеть неизменный профиль Ц1(х'), совпадающий с
профилем Ц1(х), который он видел в начальный момент.
Функция Ц1(х + ct) представляет, очевидно, волну, распространяющуюся
влево со скоростью с, т.е. для нее линией характеристик, вдоль которой
профиль остается неизменным, является линия х" = х + ct = 0 (штрихпунктирная
линия на рис. 5.1), совпадающая с линией характеристик £ = 0.
Угол, ограниченный линиями характеристик х' = 0 и х" = 0 на рис. 5.1,
представляет собой зону зависимости решения. Это значит, что в момент
времени возмущения, имевшиеся в момент времени t = 0 в точке х = 0, еще
не достигли точек с координатами x>ctt или x<-ctt.
Другими словами, на решение в точке А (рис. 5.2) могут повлиять лишь
начальные данные, ограниченные интервалом ВС. Это свойство решений
характерно для всех гиперболических ДУЧП.
116
Рис. 5.2. Область влияния начальных условий на решение
гиперболического уравнения в точке А - отрезок ВС.
5.J.2. Разностные методы решения волнового уравнения
Рассмотрим два метода численного решения типичной одномерной
задачи, описываемой волновым уравнением второго порядка:
ult = с2ихх + f(x,t), 0<x<L, 0 < t ~ гк, (5.2a)
н(О,г)=Р1(Г), н(£,г)=р2(0. 0<t<tK, (5.26)
н(х,0)=р3(х), wz(x,0)=P4(x), 0<x<L. (5.2в)
Уравнение (5.2а) с граничными условиями (5.26) и начальными условиями (5.2в)
описывает распространение звуковых волн в однородной среде с постоянной
скоростью с при наличии внешнего силового поля f(x, I), или малые колебания
струны с распределенной по длине нагрузкой f(x, Г). Заметим, что здесь требу-
ется два начальных условия: начальное смещение и и начальная скорость щ.
117
Схема "крест”
‘г 1 п + 1 J # *
J-1 Рис. 5.3. Шабл J+ 1 ) п-1 он схемы "крест".
Составим несложную и
эффективную разностную схему для
задачи (5.2). Выберем равномерную
прямоугольную сетку по осям х, t с
шагами Л, т и возьмем изображенный
на рис. 5.3 шаблон. Аппроксимируя
4'
производные разностями, получим
трехслойную схему
2
1<J<J-1, (5.3а)
Т л
с граничными условиями
ио=Р1(О. ч,=ц2(г).
(5.36)
По форме шаблона эту схему называют "крест". Исследуем ее свойства.
Алгоритм решения. На нулевом слое решение известно из начального
условия
0<j<J- (5.4)
Проблема аппроксимации решения на первом слое для похожей задачи
разбиралась нами в п. 4.4 (см. главу 4), где было показано, что для достижения
второго порядка аппроксимации начальных условий решение на первом слое
следует записывать в виде [см. формулу (4.25)]
и} = +тИ4(Л.)+ f Гс2 ^-1)-2иф)+Из^+1)+Д*. J (5 5)
2 h
По существу формула (5.5) представляет собой первые три члена
разложения в ряд Тейлора по времени в точке и/, где первая производная по
времени известна из начальных условий как ц^л,), а вторая производная по
118
времени (выражение в квадратных скобках) получена точно из волнового
уравнения (5.2а).
Схема (5.3а) явная и позволяет выразить и/+1 через значения и с
предыдущих слоев. Поэтому, начиная со второго слоя, разностное решение
вычисляется по этой схеме.
Аппроксимация. Порядок погрешности аппроксимации легко определить,
используя разложения точного решения по формуле Тейлора. Однако в данном
случае можно сразу увидеть, что левая часть формулы (5.3а) имеет порядок
погрешности Oft2), а правая — О(й2), т.е. суммарный порядок погрешности
аппроксимации формулы (5.3а) равен Oft2 + й2). Из п.4.4 известно, что начальное
условие также имеет второй порядок погрешности <Э(т2). Начальное условие
(5.4) и граничные условия (5.36) аппроксимируются точно. Таким образом,
схема (5.3) - (5.5) имеет аппроксимацию порядка О(т2 + Л2).
Устойчивость исследуем, используя метод Неймана, полагая в схеме (5.3а)
f=0, u^eiwjh, и^=Ц(о)^, и] =Л(со)м;-1. (5.6)
Для множителя роста получаем квадратное уравнение
А2-2А l-2~sin2f—| +1 = 0,
анализ которого приводит к условию Куранта
ct<h, (5.7)
которое в данном случае должно выполняться строго.
Сходимость. Из проведенного выше анализа следует, что схема (5.3) с
начальными условиями (5.4) и (5.5) при выполнении условия Куранта (5.7)
сходится в среднеквадратичной норме с точностью OfT2 + й2). Доказана также
равномерная сходимость этой схемы [17].
См. [17, с. 426]
119
Схема (5.3) обеспечивает хорошую точность расчета решений и(х, I),
имеющих непрерывные четвертые производные, поэтому ее часто применяют
для практических расчетов. Она позволяет также рассчитывать менее гладкие и
даже разрывные решения, хотя в последнем случае точность расчетов невелика.
Неявная схема с весами
л + 1 " ’ j . х
J-l и 1 * j+ 1
Рис. 5.4. Шабло неявной н трехслойной схемы.
Схемам с условной устойчи-
востью присуще быстрое нарастание по-
грешностей при случайном нарушении
условия устойчивости. Поэтому многие
инженеры-расчетчики предпочитаю!
использовать безусловно устойчивые
неявные схемы.
Построим "хорошую" неявную
схему для задачи (5.2). Возьмем
изображенный на рис. 5.4 шаблон и составим схему с весами при
пространственных производных на разных слоях:
т
где разностный оператор Л д ается формулой
Л“"= TiU-i
л
-2^+hJ+1),
а для того, чтобы все веса были неотрицательными, следует брать 0 < о < 1/2. В
граничных узлах решение определяется из условий (5.36).
Исследуем построенную Схему. Решения на нулевом и первом слоях
находят так же, как и при использовании схемы "крест". На остальных слоях
схема (5.8) образует относительно uf*1 линейную систему алгебраических
уравнений с трехдиагональной матрицей, в которой диагональные элементы
120
преобладают; решение этой системы существует, единственно и может
эффективно вычисляться методом прогонки (см. главу 10).
Разложением решения по формуле Тейлора нетрудно установить, что при
любом о схема (5.8) аппроксимирует уравнение (5.2а) с погрешностью
Ofr2 + й2) на решениях с непрерывными четвертыми производными.
Устойчивость проверим методом Неймана. Подставляя в уравнение (5.8)
соотношения (5.6), получим для множителя роста квадратное уравнение
!
-2 о 1 1 a. 1-2(1-2cf)P2 о ст . (шйУ
Л-2сЛ+1 = 0; а = Р = —sjdJ — I,
1 + 4оР2 h Д. 2 J
из которого вытекает условие устойчивости схемы
х2
~ I (1-4о)<1. (5.9)
я )
Из неравенства (5.9) видно, что при а > 1/4 схема (5.8) безусловно устойчива.
Если а < 1/4, то схема (5.8) условно устойчива при ст<й(1—4о)-1' 2.
Таким образом, при выборе веса в интервале 1/4 < о < 1/2 неявная схема
(5.8) безусловно сходится с точностью Ofc2 + Л2).
Замечание 1. Схема (5.8) при а = 0 переходит в схему "крест", а условие
устойчивости (5.9) — в условие Куранта (5.7).
Замечание 2. Схему (5.8) можно обобщить на случай задачи с переменной
скоростью звука (см. [17, с. 429]).
Иногда волновое уравнение (5.1) сводят к системе уравнений акустики
первого порядка, вводя потенциалы скоростей и правой части. Методы решения
этих уравнений изложены в литературе (см., например, [17, с. 429 - 439]) и здесь
рассматриваться не будут.
Пример 5.2. Решить волновое уравнение иа = с2ихх в области 0 < х < L,
0 < у < tK с начальными условиями M(x,0) = sin(nx/L), ut(x,0) = 0, 0 <х < L и
граничными условиями и(0,/)= u(L,t)= 0,0 < t < tK, если L = 0,5 м, с = 1000 м/с.
121
В отличие от примера 5.1, где речь шла о бегущих волнах в бесконечной
струне, в данном примере, очевидно, будут возникать стоячие волны в конечной
струне. Решение такой смешанной задачи можно легко найти, используя метод
разделения переменных (метод Фурье) [7, 8].
При заданных выше начальных и граничных условиях метод Фурье дает
особенно простое решение в виде
Формулу (5.10) можно использовать для проверки качества полученного
численного решения.
Перейдем к построению численного решения и соответствующей
программы.
1. Данный пример является частным случаем задачи (5.2), где /(х, t) = 0, р, =
= Мг = 0, Цз = sin(7Uc/L), р.4 = 0. Воспользуемся наиболее простой схемой
"крест" и будем следовать описанному выше алгоритму. Выберем
равномерную прямоугольную сетку по осям х, t с шагами h, t. Номера узлов
по оси х 0 < j < J, по оси t 0 < п < N. Максимальная величина шага по
времени т ограничена критерием устойчивости Куранта (5.7), т.е. т < h/c.
2. Граничные условия согласно (5.36) и0 = 0, и} = 0. На нулевом слое (и = 0)
решение определяется начальным условием, т.е.
Uj = sin( itXj !L\Xj-jh, 0<j<J.
3. Решение на первом слое (и = 1) дается формулой (5.5) с учетом заданных
начальных условий
Uj — Uj + 2 j I 7~1)—(x7 )+ Из (a7+i )1 >
Из (xy ) = /£), 1 <j < J - 1.
122
4. Начиная со второго слоя (л>1, п +1 >2) разностное решение ищем по
формуле (5.3а), являющейся аналогом исходного волнового уравнения,
выражая из него в явном виде неизвестное значение
«Г1 =2«; +[JJ-2«;+и;+1), i <_,</-1.
5. Разработаем программу (см. Приложение 1), реализующую выше описанный
алгоритм, в среде MathCAD, как наиболее простой и наглядной среде
программирования (в главе 6 дан пример программирования на языке
высокого уровня Паскаль). Зададим для определенности J = 20, N - 100 (при
таком числе А величина <к равна двум периодам колебаний, и этого
достаточно для того, чтобы убедиться в отсутствии нефизического затухания
амплитуды колебаний или других искажений гармонического профиля
волны). После ввода исходных данных рассчитаем константы. Задав
предельное число Куранта = 1, примем расчетное число Куранта г - 0,8
и найдем шаги сетки по х и t.
6. Записав граничные условия, найдем решения на нулевом и первом слоях. Для
расчета решения на остальных слоях составим небольшой программный
блок, содержащий два цикла: внешний — по л, и вложенный — по j.
7. Для проверки точности полученного численного решения сравним его с
точным, определяемым по формуле (5.10). Максимальная разность точного и
численного решений (невязка) на данной сетке составляет 0,004. При
удвоении J невязка уменьшается до 0,00045, т.е. на порядок. Это говорит о
сходимости разностного решения к точному при измельчении сетки.
8. Наглядное представление о характере функции и(х, 0 дает трехмерный
график в координатах (х, t, и). Из графика видно, что на концах струны
смещение равно нулю, а внутренние точки периодически перемещаются
между крайним верхним и крайним нижним положением, т.е. в струне
возникает стоячая волна.
123
5.2. Уравнение конвективного переноса
5.2.1. Вводные понятия
Существует уравнение первого порядка, свойства решений которого
близки к свойствам решений уравнения (5.1), а именно одномерное волновое
уравнение первого порядка (уравнение конвективного переноса)
~ = fat) , (5.11)
dt дх
описывающее волны, движущиеся вправо при с > 0 и влево при с < 0. Для
определенности здесь и далее будем считать, что с > 0, если не указано иное. В
случае с = const уравнение (5.11) называют линейным уравнением переноса. Из
уравнения (5.11) в линейном случае путем дифференцирования по х и по t, и
сложения получившихся уравнений нетрудно получить линейное волновое
уравнение вида (5.1).
Уравнение (5.11) является математической моделью одномерного
конвективного переноса вещества (теплоты) средой, движущейся со скоростью
с при больших числах Пекле*, т.е. когда роль молекулярно-диффузионного
механизма переноса вещества (теплоты) незначительна по сравнению с
конвективным переносом. Функция/(х, t) описывает интенсивность возможных
источников или стоков.
Учитывая, что левая часть уравнения (5.11) представляет собой полную
(субстанциональную) производную по t от ы(х, t), т.е.
du/dt =dujdt + (dxidt)<)uidx, а скорость с в общем случае есть производная
с(х, t) = dx/dt, уравнение (5.11) может быть записано в характеристической
форме
‘Число Пекле: для задач теплопереноса Ре = cL/a, для задач массопереноса Ре = cUD,
где L — характерный линейный размер, а — коэффициент температуропроводности,
D — коэффициент диффузии
124
dt '
(5.12)
,=c{x,t). (5.13)
di
Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения
(5.13) есть не что иное, как характеристики. Характеристики являются линиями
тока: характеристика х = xfto, х0; t) изображает на плоскости (х, t) траекторию
движения частиц несущей среды, имеющей в момент времени t = t0 координату
х = х0.
Уравнение (5.12), рассматриваемое на какой-либо характеристике,
является обыкновенным дифференциальным уравнением с независимой
переменной t и искомой функцией и с разделяющимися переменными.
Решение этого уравнения определяется начальным условием и = «о при Г = /ь-
В частном случае "чистого переноса", когда f = 0, имеем на характеристиках
и = const, откуда ясно, что перенос возмущений происходит по характеристикам
(см. рис. 5.1). При с = const уравнение (5.13) легко интегрируется:
x-ct = Cj = const В этом случае характеристики образуют семейство
параллельных прямых. Подробней численный метод характеристик, базирую-
щийся на записи уравнения (5.11) в форме (5.12) - (5.13), описан в главе 8.
Если в уравнении (5.11) правая часть /= 0, с = const, и задано начальное
условие и(х, О) = Ц1(х), то решение такой задачи Коши имеет вид бегущей
вправо со скоростью с волны:
и (х, 0 = Ц1(х - ct).
Для корректной постановки смешанной краевой задачи к уравнению (5.11)
помимо начального условия ы(х, 0) = Pi(x), О < х < L задают граничное условие
на левой границе (если о О) «(0,0 = МО. 0<1<гк, описывающее
зависимость концентрации (температуры) от времени на той границе
рассматриваемого отрезка 0 < х < L, со стороны которой в него втекает среда.
Для анализа полученных решений можно использовать свойство
позитивности, которое следует из свойств уравнения (5.12) и звучит так: если в
125
точке (to, jc0), принадлежащей характеристике С1; функция и((л xq) > 0, и при
t>t0 правая часть уравнения (5.11) на характеристике С\ неотрицательна, то и
для любой точки (Гь xi), лежащей на Сь при ti>t0 имеем ы(Гь jq)>0.
Свойство монотонности. Рассмотрим однородное уравнение переноса,
т.е. положим в (5.11), что f= 0, и ограничимся для простоты задачей Коши.
Изменение пространственного профиля можно получить простым
геометрическим построением' (рис: 5.5). Пусть при t = ti некоторая частица
несущей среды имеет координату x = xi и и(хь ^) = щ. Проследим за
перемещением этой частицы. Если при t = t2 частица имеет координату х = х2,
то и(х2, t2) = Иц т.к. / = 0 [из (5.12) следует du/dt — 0, т.е. вдоль характеристик
и = const; физически это означает, что концентрация (температура) частицы,
движущейся по характеристике, не меняется, поскольку нет молекулярной
диффузии, а источники или стоки отсутствуют]. Таким образом, за время t2 - tt
точка (xi, ti) на плоскости (х, Г) преобразуется в точку (х2, t2), т.е. на плоскости
(х, и) происходит ее перенос параллельно оси х. Очевидно, что при таком
преобразовании монотонный профиль 1 переходит в монотонный профиль 2 (см.
рис. 5.5). Это и есть свойство монотонности. Монотонность — достаточно общее
и важное свойство многих уравнений, и имеет место в ряде задач
теплопроводности и газодинамики.
Монотонность сохраняется и в смешанной краевой задаче, если граничное
126
Рис. 5.6. Распространение разрыва, обусловленного
несогласованностью начальных и граничных условий.
значение и(0, г) тоже монотонно зависит от Г и согласовано с начальными
данными.
Приведем пример несогласованности начальных и граничных условий в
смешанной краевой задаче
н, + их = 0, 0 < х < +°°, 0 < t < гк;
и (х, 0) = Ц1(х), и (0, Г) = Ра(О-
Если Ц1(0) * |л2(0), то даже при непрерывных и сколь угодно гладких функциях
Ц1(х) и Цг(О решение будет иметь разрыв, распространяющийся из точки х = 0,
1 = 0 по характеристике х-сГ = 0. (рис. 5.6).
Перейдем к изучению конечно-разностных схем решения уравнения
конвективного переноса (5.11).
127
5.2.2. Разностные методы решения уравнения переноса
Схема "явный правый уголок" (с разностями по потоку)
Рис. 5.7. Шаблон схемы "явный
правый уголок*.
Это одна из простейших явных
схем Эйлера (рис. 5.7), применительно к
уравнению переноса имеющая вид
uj+i~uj
h
= fj. (5.14)
Погрешность аппроксимации этой
схемы О(т, Л), однако анализ по методу
Неймана показывает, что при с > 0 ни при каких соотношениях шагов
устойчивость схемы не достигается, т.е. для практических расчетов она не
пригодна. Однако при с < 0 схема (5.14) является схемой "против потока", и в
этом случае она устойчива при выполнении условии Куранта (3.28) (см. Пример
3.5), или, что то же самое, условия (5.16).
Схема "явный левый уголок" (с разностями против потока)
Рис. 5.8. Шаблон схемы "явный
левый уголок".
Явную схему (5.14) можно сделать
устойчивой, если при аппроксимации
производной по пространству использовать
не разности по потоку, а разности против
потока (в случае, когда с > 0, см. рнс. 5.8):
«7+,-«7 им7-«7-1 й
--------+с"^Ч’=Л’ <515>
X J h J
с погрешностью аппроксимации О(х, Л). Из
условия устойчивости Неймана следует, что схема устойчива при условии
Куранта [см. также (5,7)]
0<г< 1,
(5.16)
где г = cx/h — число Куранта.
128
При с < О схема (5.15) является схемой по потоку, и в этом случае она
безусловно неустойчива (см. Пример 3.6).
Явная четырехточечная схема "тренога" (схема Эйлера)
j-1 j 7+1
Рис. 5.9. Шаблон явной схемы
"тренога* (схема ВВЦП).
Явная четырехточечная схема Эйлера
___L + с” Zt!--ZJ. = г” (5 17)
т Cz 2h ( п
с шаблоном, показанным на рис. 5.9, имеет
погрешность аппроксимации О(т,й2).
Однако эта схема безусловно неустойчива,
что можно доказать, используя метод
анализа устойчивости Неймана.
t
п + 1
п > е----в
J-l J+1
Рис. 5.10. Шаблон схемы
Схема Лакса
Разностную схему (5.17) (метод Эйлера)
можно сделать устойчивой, заменив и” на
пространственное среднее (и"/+1+M"j-i)/2 (см.
рис. 5.10). В результата,получим схему Лакса:
м"+|-0,5
т 2Й >]----'
Это явная одношаговая схема первого порядка
точности с погрешностью аппроксимации О(т,й2/т). Она устойчива при условии
Куранта
(“j+1 + MJ-1) и uj+l uj-\ _ fn
Лакса.
Icft/h < 1.
Главная часть ошибки аппроксимации схемы (5.18) равна
т ди й2 Э2и й2 Э3и
V -------------: +с-----т,
2 dt 2т Эх2 6 Эх3
(5.16а)
(5.19)
откуда следует, что при т —» О, й —> 0 схема Лакса аппроксимирует уравнение
(5.11) лишь при условии й2/т —> 0, ограничивающем временной шаг снизу.
129
Другими словами, схема Лакса, как и схема Дюфорта-Франкела для уравнения
теплопроводности (см. Пример 3.2), не всегда удовлетворяет условию
согласованности.
Схема "ориентированныйуголок"
Как показано выше, схема "явный правый уголок" абсолютно неустойчива
при с > 0 и условно устойчива при с < 0, ctlh < 1, тогда как схема "явный
левый уголок", наоборот, условно устойчива при о О, ст/Л< 1, и абсолютно
неустойчива при с < О. Учитывая эти обстоятельства, построим для уравнения
(5.11) схему, допускающую изменение знака скорости с(х, О-
«7+,-«7 и«7-«7-1 „
—------— + с" 1 — = fj , если с" О, (5.20а)
+ с« J =ff, если с/SO. (5.206)
Порядок точности этой схемы О(т, /г), а условие устойчивости — неравенство
(5.16а). В работе [21] схема (5.20) названа сегпочно-характеристической, т.к. ее
можно рассматривать как аппроксимацию характеристического уравнения на
заранее заданной сетке.
Схема "крест"
По аналогии с (5.3а) запишем трехслойную схему, имеющую второй
порядок аппроксимации, т.е. O(i?, h2) (см. рис. 5.3)
2т
(5.21)
Условие Куранта (5.16а) является необходимым условием устойчивости данной
схемы. Однако нельзя забывать о влиянии на устойчивость способа определения
значений на первом временном слое. Для определения этих значений при
помощи устойчивых двухслойных схем обычно достаточно усиленного
(стройн о) условия Куранта (5.7), т.е. ст < h.
130
Очевидный недостаток схемы "крест" — удвоение требуемых массивов
памяти (по сравнению с двухслойными схемами) — снижает ее практическую
ценность, особенно при решении задач с большим числом неизвестных функций
или задач с двумя или тремя пространственными переменными.
Схема ''чехарда”*
' Построим двухслойную двухшаговую схему, имеющую второй порядок
11
п + 1 ’ и + 1/2
1 П — —1— — —( j-1 ./-1/2 ./ Рис. 5.11. Шаблон “Т 1 . J + 1/2 7+1 схемы "чехарда”.
погрешности аппроксимации,
т.е. €>(т2, /г2). Шаблон-схемы
состоит из четырех основных
узлов (на рис. 5.11 обозна-
чены закрашенными круж-
ками) на целых слоях и двух
вспомогательных (на рис. 5.11
обозначены пустыми круж-
ками) — на полуцелых слоях.
На первом шаге используется аппроксимация типа схемы Лакса (шаблоны
обозначены штриховыми линиями)
Mj+V2 ~ °’5 (ц/ + UJ+') п Uj+i~uj
0,5 т ^+V2 h
(5.22a)
(5.226)
0,5 т j~v'2 h Jj-V--
На втором шаге применяется схема типа "крест" (шаблон обозначен сплошной
жирной линией):
И+1 ,.п иП+У2 — ил+^'2
Uj ~UJ . n+i/2 Uj+V2 Uj—\i2 _ fn+M2
T J h
(5.23)
В зарубежной литературе эту схему называют двухшаговой схемой Лакса-Вендроффа
131
Исследование схемы на устойчивость методом Неймана приводит к условию
Куранта (5.16а).
Перейдем к рассмотрению неявных разностных схем.
t
Схема "неявный левый уголок"
------- При помощи трехточечного шаблона
(рис. 5.12, см. также Пример 3.10) построим
х
п.+ !♦
Рис. 5.12. Шаблон схемы
"неявный левый уголок".
схему
п
т
7 = fj (5.24)
я J
с ошибкой аппроксимации порядка О(т, h).
Анализ устойчивости по Нейману дает
формулу для множителя роста
1 + г-гехр(-К1й)
Модуль знаменателя этой дроби не меньше единицы при любых числах Куранта
г, поэтому | Л | < 1, т.е. схема (5.24) безусловно устойчива.
Схема "неявный правый уголок”
Шаблон схемы, показанный на рис. 5.13,
приводит к схеме
Рис. 5.13. Шаблон схемы
"неявный правый уголок".
. ,и+1 п .,«+1 .Л+1
Wf _ и: .1 — U;
J--------L + с« _2±*----1— = (5.25)
т Л J
с ошибкой аппроксимации порядка О(т, Л).
Исследуя устойчивость, получаем формулу для
множителя роста
Л=----------
1-г + гехр(йай)
1
132
откуда видно, что схема (5.25) устойчива при г > 1 (обратите внимание на знак
неравенства!).
Заметим, что при с < 0 схема (5.25) соответствует схеме (5.24) для с < 0, т.е.
для потока, движущегося влево, она представляет собой. неявную схему с
разностями против потока.
Схема "прямоугольник”
Запишем аппроксимацию второго
порядка точности (^(т2, Л2) на четырехточечном
шаблоне, используя центральные разности как
Рис. 5.14. Шаблон схемы
для производной по времени, так и для
производной по пространству:
"прямоугольник".
(
ОД
(5.26)
(«И+1 - ,7И+1 ,1П - ЧП 'l
и+1/2 и./+1 uj , Mj+1 uj _ fn+l/2
CJ^2 + ~Jj^2-
п
Анализ по методу Неймана показывает, что эта схема безусловно устойчива.
Схемы (5.15), (5.24), (5.25) и (5.26) относятся к схемам бегущего счета.
Хотя формально схема (5.15) — явная, а остальные три — неявные, фактически
во всех четырех схемах только одна неизвестная величина w”+i, которая
выражается через значения и"+], Uj, u”+i (или какие-либо два из них). Это
позволяет проводить последовательный расчет слева направо (для случая с > 0)
на каждом временном слое.
Комбинированные аппроксимации
В тех случаях, когда скорость переноса с(х, t) меняет знак или изменяется
по абсолютной величине в широких пределах, используют комбинации из
различных схем. Примером такой комбинации может служить следующая:
1)если 0<с/т/й< 1,то (5.20а);
2) если — 1 < с/т/й < 0, то (5.206);
133
3) если 1 < c^xlh , то (5.24);
4) если cftth < -1, то (5.25).
Реализация подобных комбинированных схем вызывает лишь
несущественные технические трудности при программировании. На очередном
временном слое расчетная область делится на подобласти, в каждой из которых
действует одна из схем. Искомая функция и определяется сначала там, где
применяются явные схемы. Полученные при этом значения используются как
начальные для подобластей, где используются неявные схемы.
Неявная четырехточечная схема Эйлера ГТгЧЫП1»ТТ«»НН1ЛС> ВЧП1Р МР<ПШЫ₽ ГЧГАИЖЫ
п + 1 •——н J-1 П < Рис. 5.15. Шаб схемы Э> л J+1 пон неявной inepa. (5.24) - (5.26) так или иначе учитывают направление характеристик. Так, даже при использовании симметричной схемы "прямоугольник" граничное условие должно ставиться либо слева (если с > 0), либо справа (если с < 0). Неявная схема Эйлера
-2 —+ с т , .«+1 _ . Л + 1 3?“-/". <5ЭТ>
как и схема Кранка-Николсона, формально не зависит от направления
характеристик.
Ошибка аппроксимации схемы (5.27) равна О(т, й2). Легко убедиться, что
схема безусловно устойчива.
Схема Кранка-Николсона
Еще в одной безусловно устойчивой схеме с ошибкой аппроксимации
О(т2, й2), шаблон которой показан на рис. 2.3, б, для разностного аналога
пространственной производной использовано среднее арифметическое на двух
временных слоях:
-----L + 0,5с"
«Г---J
(,,и+1 -, ,л+1
цу+1 цу-1
2Й
uj+l~uj-l
2й
j-n+\]2
(5.28)
134
Рис. 5Л6. Постановка граничных условий для смешанной краевой
задачи. Жирными контурами обозначены линии, на которых следует
задавать начальные и граничные условия.
а - с > О, граничное условие задано слева;
б - с < 0, граничное условие задано справа;
в - с>0 прих = О, с<0 при x~L, граничное условие задано слева и справа.
Системы уравнений (5.27) и (5.28) на верхнем временном слое имеют
трехдиагональную матрицу. Если известны граничные условия и слева, и справа,
то можно использовать трехточечную прогонку (см. главу 10). В противном
случае необходимо привлекать дополнительные граничные условия.
Дополнительные сеточные граничные условия
При решении смешанной краевой задачи граничные условия задаются на
тех границах расчетной области G, через которые характеристики входят в
расчетную область (рис. 5.16). Если скорость с > 0, то их следует задавать на
левой границе (рис. 5.16, а); если с<0, то граничное условие задается справа,
(рис. 5.16, б); наконец, если характеристики входят в расчетную область с двух
сторон (рис. 5.16, в), то граничные условия нужно задать на обеих границах.
Схемы с двухточечной аппроксимацией пространственной производной
позволяют найти приближенное решение всюду в расчетной области, пользуясь
только первоначально заданными граничными условиями.
Схемы с центрально-разностной аппроксимацией производной по х
(схема Лакса, "крест", "чехарда", неявная схема Эйлера, Кранка-Николсона)
135
нуждаются в дополнительных граничных условиях, не входящих в краевую
задачу.
Пусть, например, с > 0, область G — прямоугольник (OSz<tK, 0<х<£)
(см. рис. 5.16, а) и для аппроксимации уравнения (5.11) используется схема
Лакса. Предположим, что на л-м временном слое значения искомой функции
известны во всех узладс Xj, j = 0,1,2,..., J, где J = Uh. С помощью уравнения
(5.18) значения и"+1 находятся непосредственно для всех j, кроме j = 0, j = J.
Значение ио"+1 определяется заданным при постановке краевой задачи
граничным условием при х = 0. Для х = L граничное условие не ставится, т.к.
здесь характеристики выходят из области. Решение ДЛЯ J = J определяется с
помощью той или иной сеточной аппроксимации уравнения (5.11) или его
характеристической формы (5.12), (5.13). Так, например, можно записать в этой
точке разностный аналог уравнения (5.11) по схеме "явный левый уголок" (5.15),
откуда найдем дополнительное сеточное граничное условие
.,«+1 _ „п . fn-r CJ^‘ L.x
UJ
Отсюда видно, что дополнительные сеточные граничные условия являются
следствием основного ДУЧП (5.11).
Для неявных схем (Эйлера, Кранка-Николсона) дополнительное сеточное
граничное условие записывают, используя неявную схему с двумя узлами на
верхнем слое. Например, для случая с>0 расчет величины ы/+1 удобно
проводить по безусловно устойчивой схеме "неявный левый уголок".
Выще мы разобрали разностные схемы для уравнения переноса, ставшие
классическими. Однако по настоящее время специалисты по вычислительной
гидромеханике разрабатывают новые, более совершенные методы. Целый ряд
сравнительно новых методов описан в книге [13], мы рассмотрим лишь два
наиболее простых метода.
136
Схема Лакса-Вендроффа
Одношаговую схему Лакса-Вендроффа для уравнения (5.11) можно
получить, исходя из разложения в ряд Тейлора в точке (j, п)
ип/+1 = ип/+ т^+I2-^ + о(т3). (5.29)
7 J dt 2 dt2 '
Из уравнения (5.11) в случае с = const, f s 0 можно выразить первую и
вторую производные по времени
ди ди д2и _ 2 Э2и
dt дх’ dt2 дх2
и исключить их из формулы (5.29), приходя к выражению
л+1 +1 ди с Т2 д и з)
U; =U/— ст—-+--------¥ + Ore I.
7 7 Эх 2 Эх2 ' '
Заменяя в полученном соотношении производные центральными разностями,
получим известную одношаговую схему Лакса-Вендроффа
л (.,п с t Ln о, и ,,,п гс
7 ~ 7 " 2й ^7+1 ” 7-1'+ 2ЛГ 7-1"2 7 + 7+1 (5'30)
Это явная схема с погрешностью аппроксимации порядка Oft2, h2), устойчивая
при выполнении условия (5.16а). Множитель роста схемы равен
X = 1 - г2 (1 - cos(ojfc))- ir sintfoh).
В случае решения линейного волнового уравнения первого порядка типа
(5.11) одношаговый метод (5.30) и двухшаговый метод (5.22) - (5.23) Лакса-
Вендроффа эквивалентны; однако двухшаговый метод можно использовать и
для решения нелинейных задач.
Схема Мак-Кормака
Метод Мак-Кормака широко применяется для решения уравнений газовой
динамики и фактически является одним из вариантов схемы "чехарда", не
137
требующим вычисления значений искомой функции в полуцелых узлах по
пространству, т.е. в точках (j -1/2), (j +1/2), Благодаря этому метод Мак-
Кормака особенно удобен для решения нелинейных уравнений в частных
производных, как это будет показано в п. 5.3 при решении невязкого уравнения
Бюргерса. Метод представляет собой явную схему типа "предиктор-корректор"
(предсказатель-уточнитель). Применительно к уравнению (5.11) при f= 0 схема
Мак-Кормака имеет вид:
предиктор
~Л+1 _ Я И 1 1,П л) [С ЦХ
Uj -tij cj frtyj+i ujp (5.31)
корректор
На шаге "предиктор" находится оценка величины и/”4 [в формулах (5.31)-(5.32)
обозначена тильдой], а на шаге "корректор" величина ы/+1 определяется
окончательно. Отметим, что в предикторе пространственная производная
аппроксимируется разностями по потоку, а в корректоре — разностями против
потока. При решении задач с движущимися разрывами часто поступают
наоборот. Для линейного волнового уравнения (5.11) схема Мак-Кормака
эквивалентна методу Лакса-Вендроффа, т.е. обладает теми же свойствами. Эта
схема имеет погрешность аппроксимации порядка О(т?, йг), она устойчива при
выполнении условия (5.16а). Для случая 0 в правую часть уравнения (5.32)
следует добавить слагаемое xf".
Многомерное уравнение переноса
Схемы бегущего счета естественным образом обобщаются на
многомерное уравнение переноса, имеющее в случае двух пространственных
переменных вид
ди ди ди ,
+ с + с2 = f(x,y,t).
dt дх ду
(5.33)
138
Принимая во внимание, что подобные задачи в вычислительной практике
встречаются не часто, методы решения уравнения (5.33) здесь рассматриваться
не будут. За подробностями численного решения уравнения (5.33) отсылаем
читателя к литературе [14,17].
Сравнение явных и неявных схем
Условие Куранта, необходимое для устойчивости явных схем,
ограничивает шаг по времени значением т ~ h/c. В книге [21] показано, что это
ограничение является естественным для истинно нестационарных решений,
зависящих от t столь же сильно, как н от х.
Рассмотрим решение и = <р(х- с/) для уравнения (5.11) при с = const > О,
0. Для схем "явный левый уголок" и "неявный левый уголок" главная часть
йс « с2т „
ошибки аппроксимации равна сумме двух слагаемых: i|f = —ф + -у-ф . При
оптимальном соотношении шагов эти слагаемые должны быть одного порядка,
йс ж с2т *
т.е. — ф —— ф (иначе один из шагов можно было бы увеличить), откуда
следует г = ст/й ~ 1. Нарушение этого условия при увеличении т для схемы
"неявный левый уголок" приведет к ухудшению точности, а для схемы "явный
левый уголок" — к потере устойчивости.
Д ля квазистационарных решений, слабо зависящих от времени, условие
Куранта может оказаться чрезмерно жестким с точки зрения требований
точности. Действительно, в предельном случае стационарного решения и = и(х)
уравнения (5.11) при с = const, f=flx) ошибка аппроксимации связана только с
пространственным шагом. Требования точности никак не лимитируют
временной шаг, однако по требованиям устойчивости его приходится
ограничивать значением т ~ h/c.
Поэтому при расчете квазистационарных решений целесообразно
применять неявные схемы. На истинно нестационарных решениях возможность
некоторого увеличения шага по времени обычно не окупает дополнительных
139
издержек, связанных с реализацией неявных схем, а именно, более сложного
алгоритма и длительности выполнения программы.
5.2.3. Качественные свойства схем первого порядка точности
Свойство позитивности
Схемы первого порядка точности (5.14), (5.15), (5.18), (5.20), (5.24), (5.25),
как и аппроксимируемое ими уравнение (5.11), обладают свойством
позитивности: при неотрицательной правой части, неотрицательных граничных
и начальных условиях искомая функция также неотрицательна.
Например, для схемы (5.15), разрешенной относительно и”*1, получим
и/1 = (1- г? ) unj + + т/;. (5.34)
Согласно условию устойчивости (5.16) 0<г/<1. Тогда из (5.34)
непосредственно следует, что u"+l > 0 для всех j от 1 до J, если и” > 0 для
всех j. Последнее неравенство при и = 0 есть не что иное, как неотрицательные
начальные условия. Условие ио"+1 S 0 исходит из неотрицательных граничных
данных.
Свойство позитивности является естественным для ДУЧП (5.11). Что
касается сеточных аппроксимаций, то позитивными могут быть только схемы
первого порядка точности (теорема С. К. Годунова). Примеры нарушения
позитивности для некоторых схем второго порядка точности приведены ниже
(см. Пример 5.4).
Свойство монотонности
Как уже отмечалось, однородные разностные схемы, сохраняющие
монотонность профиля разностного решения, называют монотонными.
Доказано {17, 21], Что свойством сохранения монотонности сеточного
пространственного профиля при переходе от одного временного слоя к другому,
Эта теорема была получена С. К. Годуновым лишь доя так называемых однородных
разностных схем; в последние годы создан ряд неоднородных разностных схем
высокого порядка точности для решения гиперболических уравнений ..
140
как и свойством позитивности, обладают только схемы первого порядка
точности. Приведем без доказательства некоторые теоремы о монотонности.
Схемы для решения уравнения (5.11) при /= 0, с = const (т.е. в линейной
однородной форме) будем называть линейными однородными схемами.
Признак монотонности. Явная двухслойная линейная однородная схема
<5-35>
к
монотонна тогда и только тогда, когда все Р* > 0 (индекс к может быть
отрицательным).
Замечание 1. Признак монотонности относится к разностным схемам,
аппроксимирующим как уравнение переноса, так и любые другие типы
уравнений.
Замечание 2. Если двухслойная линейная однородная схема неявна, то ее
можно преобразовать к явной форме (5.35), суммируя по индексу к до
бесконечности, и затем применить признак монотонности.
Теорема. Двухслойная линейная монотонная схема для уравнения
переноса ut + сих =0 не может иметь второй или более высокий порядок
точности.
Следствие. Линейные монотонные схемы для уравнения переноса могут
иметь только первый порядок точности.
Приведем несколько примеров, позаимствованных из [17]. Так, в явной
схеме (5.15) при выполнении условия устойчивости (5.16) коэффициенты ₽*
неотрицательны. Следовательно, она монотонна.
Безусловно устойчивая схема (5.24) неявная. Запишем ее в виде
«7
1
h + cx
(cra"li+Aw"):
ст .л+1 , h
------+---------
h + cx J h + cx
и”,
(5.36)
Уменьшая нижние индексы на единицу, выразим через '
141
и подставим его в правую часть уравнения (5.36). Продолжая процедуру
уменьшения индекса, приведем схему (5.24) к явной форме
•Л+1 _ А vf-,1п
Все коэффициенты здесь положительны; следовательно, схема (5.24) монотонна
при любых шагах сетки.
Схема (5.26) "прямоугольник" линейна и Имеет второй порядок точности.
Из теоремы вытекает ее немонотонность.
Нарушение свойства монотонности численного решения для схемы
второго порядка точности представлено также в Примере 5.4.
Диссипативные схемы
Разрывы самой функции и(х, t) или каких-либо ее производных (так
называемые особенности) возникают из особенностей начального распределения
и распространяются вдоль характеристик (пример распространения разрыва см.
на рис. 5.6). В случае "чистого переноса", т.е. при /э 0, изменение
пространственного профиля решения вызывается только сближением или
расхождением характеристик. Схемы (5.14), (5.15), (5.18), (5.20), (5.24), (5.25)
обладают сглаживающими (диссипативными) свойствами. Так, например,
начальный разрыв, показанный на рис. 5.6, превращается в размытую волну, т.е.
переходная зона между характеристиками со временем становится шире. Такой
процесс сглаживания имеет не физическую природу, а обусловлен свойствами
численной схемы.
На эвристическом уровне диссипативные свойства схем при
с = const > 0 изучают с помощью решений специального вида:
и(х,/) = ехр(-й®/)ехр(г(шг). (5.37)
Нетрудно найти множитель роста для ДУЧП (5.11), характеризующий
изменение решения за один временной шаг:
142
u(x,t + x) _ exp [- icojjt + т)]ехр(/отх)
u(x,t) exp(-icco/)exp(icox)
= ехр(-йсот).
На комплексной плоскости геометрическое место точек, описываемых концом
радиус-вектора Л*, представляет собой единичную окружность, т.е. | Л* | = 1.
Для схемы "явный левый уголок" (5.15) множитель роста равен
н"+1
Л = -— = 1 - г + г ехр(-гой).
и?
Сравним модули множителей роста IX | и | X* | для двух значений числа
Куранта г. Из графиков на рис. 5.17 следует, что для схемы (5.15) амплитуды
колебаний, гармонических по оси х, со временем уменьшаются, что и приводит к
сглаживанию решения; причем высокочастотные колебания диссипируют
(затухают) быстрее низкочастотных.
Аппроксимационная вязкость
Диссипативные свойства схем первого порядка точности можно
характеризовать с помощью модельных ДУЧП параболического типа. Покажем,
что при разностном решении уравнения (5.11) по схемам первого порядка мы с
большей точностью решаем не уравнение (5.11), а некоторое соответствующее
ему параболическое уравнение, содержащее "вязкий" член.
Рассмотрим схему "явный левый уголок" (5.15), полагая ради простоты
fs 0, с = const > 0. В соответствии с условием Куранта примем г < 1. Используя
разложения в ряд Тейлора, нетрудно найти главную часть погрешности
аппроксимации схемы (5.15):
_ т д2и _ he д2и
¥-2ЭгГ Та?’
Используя уравнение (5.11), выразим д2и/dt2 через 92ы/9х2:
(5.38)
д2и д ( ди\ д(ди\ д( ди\ 2 92н
dt2 dtldtj 9/1 дх J 9x1 dt J 9x1 9x1 дх2
143
v=
hcL ст'|Э2н
2 [ ~ h J Эл-2 '
Таким образом, схема (5.15), изначально построенная для уравнения
первого порядка (5.15), с большей точностью аппроксимирует параболическое
уравнение второго порядка с малым коэффициентом при старшей производной
ди ди д2и
dt дх дх2
v = he (1 — г)/2.
(5.39)
(5.40)
Уравнение (5.39) с коэффициентом v, определяемым по (5.40), называется
первым дифференциа льным приближением* (ПДП) схемы (5.15).
В зарубежной литературе уравнение вида (5.39) называют модифицированным
уравнением, см. также п. 6.2.2
144
Легко установить, что для схем (5.24) "неявный левый уголок", (5.25)
"неявный правый уголок" и схемы Лакса (5.18) ПДП также имеет вид (5.39), а
коэффициенты v равны соответственно:
- для схемы (5.24)
v=Ac(l+r)/2; (5.41)
- для схемы (5.25)
v = ftc(r-l)/2; (5.42)
- для схемы (5.18)
у = йс(1-г2У(2г). (5.43)
Заметим, что полученное ранее условие устойчивости г > 1 для схемы (5.25)
обеспечивается неотрицательностью* v в формуле (5.42).
Для всех четырех только что рассмотренных схем ПДП (5.39) является
параболическим уравнением, содержащим диссипативный член v (э2и/дх2 ). Это
слагаемое называют аппроксимационной или схемной вязкостью, а также
вязкостью аппроксимации.
Если предположить, что диссипативные свойства схемы моделируются
первым дифференциальным приближением, то на основании свойств
аппроксимационной вязкости схемы можно судить о свойствах схемы.
Так, для схемы "явный левый уголок" из соотношения (5.40) следует, что
диссипативные эффекты должны сильнее проявляться при малых значениях
числа Куранта г. Сравнение вязкостей аппроксимации, вычисленных по
формулам (5.41), (5.40) и (5.42), приводит к выводу, что при одном и том же
значении г схема "неявный левый уголок" обладает более сильным
диссипативным искажением численного решения, чем схемы "явный левый
уголок" или "неявный правый уголок".
при отрицательной диссипации осцилляции решения могут неограниченно расти
145
Из выражения (5.43) вытекает, что при умеренных и особенно при малых
числах Куранта схема Лакса должна весьма сильно сглаживать решение. Так,
уже при г = 0,5 коэффициент v у нее втрое больше, чем для схемы "явный
левый уголок".
Рассмотрим диссипативные свойства схем на примерах.
Пример 5.3. Для уравнения ut+ux-0 в области 0<xSL= 1,0<{<(к,
tK = 0,3 решить краевую задачу с условиями и(х,0) = 0, и(0,/) = 1.
Точное решение этой задачи очевидно (см. Пример 5.1 и рис. 5.1):
возникший на левой границе единичный скачок перемещается вправо со
скоростью с = 1 м/с, т.е. для фиксированного момента времени t решением
является кусочно-постоянная функция и(х, t): и — 0, если х > t; и = 1, если х < t.
Численное решение задачи представлено в Приложении 2. Для обеих явных схем
и схемы "неявный левый уголок" принято число Куранта г = 0,5, а для схемы
"неявный правый уголок" для соблюдения условия устойчивости задано г = 1,5
(в этом случае пришлось считать на сетке с другим временным шагом).
Полученные численно решения сопоставлены с точным решением (см. графики
в Приложении 2). Из графиков видно, что все численные решения с хорошей
точностью передают координату разрыва, и все они обладают схемной
вязкостью. При выбранном значении числа Куранта наибольшее значение
коэффициента v у схемы Лакса и схемы "неявный левый уголок" (0,0075),' что
характеризуется большим размывом разрыва численного решения по
пространству, чем в решениях, полученных по схемам "явный левый уголок" и
"неявный правей уголок", у которых v = 0,0025.
Диссипация, дисперсия, диффузия численных решений
Выше было рассмотрено явление диссипации на разностной сетке,
характерное для схем первого порядка точности и похожее на физическое
явление вязкого затухания.
Другое свойство разностных схем, но уже второго порядка точности,
называют дисперсией. Оно связано с производными нечетного порядка в
главном члене погрешности аппроксимации. Дисперсия приводит к искажению
146
Рис. 5.18. Влияние диссипации и дисперсии на численное решение:
а - точное решение; б - численное решение, ошибка в основном
диссипативная; в - численное решение, ошибка в основном
дисперсионная.
соотношения фаз различных волн. Поясним это на примере. Для схемы Кранка-
Николсона (5.28) остаточный член равен
+ О(й4,т2Л2,т4),
(5.44)
т.е. первое дифференциальное приближение этой схемы
(5.45)
ди ди д3и
— + с— +у—т = 0
dt дх дх3
содержит слагаемое у(д3н/дх3) и описывает волны, фазовая скорость которых
зависит от частоты. Вследствие различия скоростей этих волн возмущения из
одной точки пространства в другую переносятся со сдвигом по фазе.
Совместное действие диссипации и дисперсии иногда называют
диффузией. Диффузия приводит к растяжению крутых линий раздела, которые
могут появляться в расчетной области. На рис. 5.18 показаны эффекты
диссипации и дисперсии для движущегося разрыва.
Явление дисперсии для схем второго порядка точности приводит к
осциллирующим решениям, порой осложняющим правильное восприятие
результатов вычислений. Поэтому на практике такие схемы стараются
регуляризовать, например, используя сглаживание.
147
5.2.4. Регуляризация схем второго порядка точности
Вводные замечания
Если решение уравнения (5.11) обладает достаточной гладкостью, то
применение схем второго порядка точности, несомненно, оправдано, поскольку
такие схемы позволяют вести расчет с большими шагами сетки, окупая
дополнительные затраты времени на программирование.
С другой стороны, при недостаточно гладких решениях схемы второго
порядка точности обладают целым рядом недостатков. Ниже на примерах
показано, что эти схемы не обладают основными свойствами уравнения (5.11) —
позитивностью и монотонностью, в результате чего они дают трудно
интерпретируемое, пророй сильно искаженное, решение. Для подавления таких
искажений применяются различные способы регуляризации [21].
Примеры нерегулярного поведения схем второго порядка точности
Пример 5.4.-I. В уравнении (5.11) положим /= 0, с = 1 и рассмотрим
задачу Коши с начальной функцией, являющейся сеточным аналогом функции
точечного источника: но° — L ит° = 0 при т эь 0. Покажем, что для схемы
"чехарда" (5.22) - (5.23) не выполняется свойство позитивности.
Очевидно, что точное решение этой задачи представляет собой точечный
источник, перемещающийся вправо со скоростью с.
На первом слое отличные от нуля значения получим только в трех узлах:
= - 0,5г (1 - г), «о1 - 1 ~ г2, и/ = 0,5г (1 + г).
Здесь г — число Куранта. При г < 1 имеем < 0, т.е. свойство позитивности
нарушается: при неотрицательных начальных условиях и правой части решение
принимает отрицательные значения.
Решение этой задачи по схемам "явный левый уголок" и "чехарда" при
Л = 0,01, т = 0,005 и числе Куранта г = 0,5, обеспечивающем устойчивость,
148
представлены в I части Приложения 3. Сравнение численных решений с точным
на слое N = 6 (см. рафики) показывает, что для схемы "явный левый уголок"
свойство позитивности не нарушается, хотя максимум численного решения
сильно отличается от единицы. Схема "чехарда" дает ненулевые значения при
х<0, при этом решение имеет осциллирующий (по оси х) характер. Эти
осцилляции иногда называют "разболткой" [17]; "разболтка" не является
неустойчивостью, она есть проявление немонотонности схемы второго порядка.
Регуляризация (сглаживание) и искусственная вязкость
Возникающие при использовании схем второго порядка точности
пространственные осцилляции решения обычно пытаются сгладить
(регуляризовать), применяя явное или неявное сглаживание, а также вводя
"временную вязкость" [21].
Явное сглаживание. Это наиболее простой способ регуляризации,
и ы Л+1
заключающимся в замене значении uj на верхнем слое, полученных с
помощью той или иной схемы, на сглаженные и*"+1 по формуле
и*"+‘ = (1 - 2 a) и"+' + а uhln+1 +а н,+Г+1. (5.46)
Здесь а — некоторое положительное число (параметр сглаживания).
При а <0,5 операция (5.46) реализует усреднение (взвешивание)
значений в трех соседних узлах с неотрицательными весовыми коэффициентами.
На решениях вида (5.37) сглаживанию- по формуле (5.46) соответствует
дополнительный сглаживающий множитель
л* = 1 -4otsin I — . (5.47)
При а < 0,5 имеем |Х*| < 1, т.е. сглаживание не нарушает устойчивости
основной схемы. Влияние параметра а на степень сглаживания осциллирующего
‘ Графическое изображение точного решения на дискретной сетке определяется шагом
Л, поэтому к названию "точное решение" следовало бы добавлять "сеточное"
149
решения рассмотрено во второй части Примера 5.4. С одной стороны, параметр
сглаживания а не следует выбирать слишком большим, чтобы не подавлять
низкочастотные гармоники решения. С другой стороны, при слишком малом а
эффект регуляризации может оказаться недостаточным. Обычно параметр а
подбирают опытным путем, сравнивая результаты расчетов при разных
значениях а. Выбор а считают удовлетворительным, если при его изменении в
1,5-2 раза в большую или меньшую сторону не происходит существенного
изменения решения.
Применение сглаживания требует осторожности и определенных навыков.
Большей опасностью представляется завышение а: "красивые" гладкие кривые
воспринимаются обычно менее критически, чем "осциллирующие" линии.
Вязкость сглаживания. Сглаживание по формуле (5.46) можно
интерпретировать как аппроксимацию диссипативного эффекта, связанного с
некоторым параболическим уравнением. Положим в формуле (5.46) а - ет/й2 и
преобразуем его к виду
т й2
Полученная схема аппроксимирует уравнение теплопроводности
Эи Э2и
Э< -ЕЭх2'
(5.48)
(5.49)
На основании принципа расщепления (см. п. 2.7) можно ожидать, что при
последовательной реализации сеточных аналогов уравнений (5.11) и (5.49)
аппроксимируется комбинированное уравнение
Эи Эи
— + с—
dt дх
д2и
Эх2
(5.50)
описывающее конвективный перенос с диссипацией. Это предположение
подтверждено численными экспериментами (см. Пример 5.4, часть П). По
150
аналогии с понятием "вязкость аппроксимации" (схемная вязкость) слагаемое
е(э2н/Эх2) в уравнении (5.50) называют вязкостью сглаживания или
искусственной вязкостью.
Неявное сглаживание. Аппроксимируя уравнение (5.49) с помощью
Неявной схемы Эйлера (см. главу 6, шаблон схемы см. на рис. 5.15), получим
формулу неявного сглаживания
а «*+Г+1 - (1 + 2 а) «*7+1 + а и*А)л+1 = - «;+1л+1, а = ет/Л2. (5.51)
В уравнении (5.51) — три неизвестных (помечены звездочками). Система таких
уравнений решается методом прогонки (см. п. 10.2). Легко убедиться, что
Неявное сглаживание устойчиво при любых а > 0. Поэтому оно применяется
При расчете разрывных решений и в других случаях, когда нужна интенсивная
регуляризация.
Пример 5.4.-Н. Для уравнения ut + их =0 в области 0 < х < L = 1,
0 < Г < = 0,5 решить краевую задачу с условиями w(x,0) = 0, и(0,Г) = 1.
Покажем, что для схемы "прямоугольник" (5.26) не выполняется свойство
монотонности и попытаемся сгладить осцилляции численного решения.
Результаты решения задачи на, сетке h = 0,01, т = 0,05 и числе Куранта
г = 5 представлены во II части Приложения 3. Сравнение численного решения,
полученного через N = 10 шагов по схеме "прямоугольник", с точным (см.
график в Приложении 3) выявляет ее немонотонность. График решения с явным
сглаживанием при а = 0,05; 0,2; 0,4 представлен там же. Видно, что в данном
случае даже сильное сглаживание (прн а = 0,4) не ухудшает качества решения
(местоположение разрыва не меняется при изменении а), в то же время
осцилляции сглаживаются вполне удовлетворительно.
53. Невязкое уравнение Бюргерса
В главе 6 будут рассматриваться параболические уравнения, в том числе
так называемое вязкое уравнение Бюргерса ut+uux=vuxx, содержащее
нестационарный и конвективный член в левой части, и диссипативный — в
151
правой. В случае исчезающе малой вязкости диссипативный член становится
близким к нулю, и тогда рассматривают невязкое уравнение Бюргерса в виде
^ + и^ = 0. (5.52)
dt ох
Это уравнение напоминает линейное уравнение переноса, однако здесь
роль скорости переноса играет, сама искомая функция м(х, /), поэтому его иногда
называют квазилинейным [17, с. 354]. Уравнение (5.52) по своей структуре
похоже на уравнения одномерных течений невязкой жидкости с ударными
волнами, т.е. является модельным для этих уравнений.
Решение линейного уравнения переноса (5.11) при с = const, 0 может
иметь разрывы только в том случае, если они содержатся в начальных или
граничных данных. В уравнении (5.52) даже при непрерывных и достаточно
гладких решениях могут возникать разрывы решения.
Полная постановка задачи при знакопеременной скорости и сложна,
поэтому мы ограничимся наиболее важным случаем и > 0. Тогда начальные и
граничные условия для смешанной краевой задачи, заданные на положительных
полуосях координат (х, t), определяют решение в первом квадранте.
Характеристическая форма (5.12)-(5.13) справедлива, очевидно, и для
уравнения (5.52). Характеристики уравнения Бюргерса (5.52) описываются
соотношением типа (5.13) в форме
Интегрирование уравнения (5.12) с учетом f= 0 дает на характеристиках
условие и = const. Поэтому интегралом уравнения (5.53) является соотношение
х — ut = const, т.е. характеристики — прямые линии. По линиям, описываемым
этим выражением, переносятся начальные и граничные возмущения.
Рассмотрим характер решения для четырех основных типов краевых
условий уравнения (5.52).
152
5.3.1. Первый случай
Начальные и граничные значения — непрерывные функции, причем
начальное условие и(х, О) = Ц1(х) — монотонная неубывающая функция,
граничное условие и(0, 0 = Цг(0 — монотонная невозрастающая функция, и они
согласованы в начале координат, т.е. р.в(0) = ^(0).
Тангенс угла наклона (будем называть его здесь для краткости наклоном)
характеристик в каждой точке плоскости (х, 0 равен 1/и(х, 0. В данной
постановке задачи наклон непрерывно убывает слева направо. Поэтому первый
квадрант всюду плотно покрыт характеристиками (рис. 5.19, а), причем через
каждую его точку проходит одна и только одна характеристика. Эта
характеристика переносит в данную точку граничное или начальное значение.
Решение однозначно определено и непрерывно во всем квадранте. Если краевые
условия к тому же гладки, то решение также будет гладким.
5.3.2. Второй случай
Краевые условия монотонны, как и в первом случае, но имеют разрывы.
Положим для простоты и(0, 0 = а; и(х, 0) = а при х <х0, и(х, 0) = Ь> а при
х>хь, так что разрыв не нарушает описанное в первом случае условие
монотонности начального условия.
Левее разрыва на плоскости (х, 0 характеристики имеют наклон 1/а, а
правее разрыва наклон меньше и равен Ub (рис. 5.19, б). Обозначим обе
характеристики, проведенные из точки разрыва начальных данных, жтфными
линиями со стрелками. В угле между этими характеристиками нет ни одной
характеристики, т.е. решение не определено. Вне этого угла через каждую точку
проходит одна и только одна характеристика, т.е. решение определено и
единственно.
Доопределим решение, сгладив разрыв начальных данных. Для этого
9
заменим его непрерывным монотонным переходом в угле с неопределенным
решением. Тогда в пустом угле появится "веер" характеристик и наклон каждой
характеристики определит значение решения на ней (рис. 5.19, в).
153
Рис. 5.19. Четыре случая граничных условий для уравнения (5.52)
(пояснения см. в тексте).
Доопределенное решение будет иметь следующий вид:
и(х, 0 = а
и(х, I) = (Х-Хо)/1
и(х, t) = b
при
при
прн
х—Хо< at,
at<x-Xo<bt,
(5.54)
bt<x-xo.
154
Это решение непрерывно на всей плоскости, кроме точки (х = хо, t = 0), т.е.
такой разрыв начальных данных сглаживается со временем. Но след разрыва
остается: на жирных характеристиках производные решения будут разрывными.
Разрыв производных называют слабым разрывом решения. Слабые
разрывы уравнения (5.52) распространяются по характеристикам.
5.3.3. Третий случай
Пусть данное выше (см. первый случай) условие монотонности нарушено.
Положим снова и(х, 0) = а при х < х0, и(х, 0) = b при х > хь, но теперь
потребуем, чтобы а > b > 0. Тогда характеристики будут иметь вид, показанный
на рнс. 5.19, г. В угле, образованном жирными характеристиками, через каждую
точку проходят две характеристики, приносящие в нее разные значения
функции. Вне этого угла решение однозначно определено, а внутри угла оно
неоднозначно.
В этом случае непрерывное решение построить не удается даже путем
сглаживания разрыва начальных данных, поскольку на некотором расстоянии от
точки разрыва (х = х0, / = 0) остаются характеристики, переносящие разные
значения. Значит, однозначное решение должно быть разр’ывным.
Запишем уравнение (5.52) в дивергентной форме
Эм/а^+Э/Эх(и2/2)=0, (5.52а)
и будем искать решение, имеющее единственный разрыв, движущийся со
скоростью D (рис. 5.19, д). По доведению характеристик видно, что искомое
решение имеет вид
и(х, f) = a при x-xa<Dt, (5.55а)
и(х, t) = b при Dt<x — x0. (5.556)
Проинтегрировав уравнения (5.52а) по площади прямоугольника со
сторонами т и h = Dr, получим
J (мЯ+1 - и" )б/х + | J (мправ - Млев = (fl - b)h +| - Д2)т = 0.
Отсюда скорость распространения разрыва равна
155
D = hft = (a + b)T2.
(5.56)
Разрыв самого решения называют сильным разрывом (в газовой
динамике — ударной волной). Сильный разрыв невязкого уравнения Бюргерса
(5.52) распространяется не по характеристике. Доказано, что полученное
решение устойчиво относительно малых возмущений начальных данных [17].
5.3.4. Четвертый случай
Если функция и(х, 0) = Ц|(х), описывающая начальное условие, непре-
рывна, но убывает на каком-то интервале [«(0, t) = Ц2(0- как и прежде —
монотонная невозрастающая функция], сводится к третьему случаю. Как и в
третьем случае, пересечение характеристик приводит к образованию сильного
разрыва (рис. 5.19, е). Местная скорость разрыва будет определяться по формуле
типа (5.56) приносимыми в данную точку значениями решения, и уже не будет
постоянной (поэтому жирная линия движения разрыва на рис. 5.19, е — кривая).
Важно отметить, что здесь, несмотря на непрерывность и гладкость начальных
данных, с течением времени возникают сильные разрывы решения. Число
разрывов со временем тоже может изменяться.
5.3.5. Разностные методы решения невязкого уравнения Бюргерса
(квазилинейного уравнения переноса)
Выше показано (см. п. 5.2.3), что на недостаточно гладких решениях (т.е.
имеющих малое число непрерывных производных) порядок аппроксимации и,
следовательно, порядок точности схемы ниже, чем на более гладких решениях.
Особенно сильно ухудшается точность расчета, если искомое решение содержит
сильные или слабые разрывы; некоторые схемы при этом приводят даже к грубо
ошибочным результатам (см. примеры 5.3 и 5.4).
Приемлемые результаты на таких решениях дают два типа схем —
однородные схемы (называемые также схемами сквозного счета) и схемы с
явным выделением особенностей решения.
Однородные схемы более просты и чаще используются в вычислительной
практике. Однородными их называют потому, что они реализуются по одним и
156
тем же формулам во всех узлах сетки. В этих схемах шаблон и разностные
аналоги производных выбираются так, чтобы нужная аппроксимация была
обеспечена всюду, в том числе и на особенностях решения. Однородные схемы
не громоздки, н каждая "хорошая" схема пригодна для широкого класса задач. К
недостатку однородных схем относится невысокая точность расчета.
Схемы с выделением особенностей. В них каждую особенность решения
выделяют и детально описывают. В промежутках между особенностями
решение непрерывно и достаточно гладко; в этих промежутках исходное ДУЧП
аппроксимируют разностной схемой. Уравнения, описывающие особенности,
служат своеобразными внутренними краевыми условиями, связывающими
между собой разностные уравнения в соседних промежутках. Особенности
решения могут быть обусловлены разнообразными факторами: разрывами
начальных данных либо коэффициентов уравнения, возникновением ударных
волн и т.д. Число особенностей с течением времени может меняться; к каждой из
них нужен частный подход. Очевидно, явно учесть все особенности можно
только в наиболее простых задачах. И даже в этом случае они нестандартны и
достаточно сложны. Мы такие схемы рассматривать не будем.
Перейдем к рассмотрению нескольких однородных схем для уравнения
(5.52), переписав его в дивергентной форме
ди dF п
д( + дх -°'
(5.57)
где
F = u2/2.
Метод Лакса
Как и все методы первого порядка точности, метод Лакса обладает
сильными диссипативными свойствами.
Применим метод Лакса к уравнению Бюргерса в форме (5.57). Для этого
выпишем первые два члена ряда Тейлора для функции и в точке (х, t):
u(x,t + т) = и(х,г)+
157
Рис. 5.20. Результаты численного решения невязкого уравнения
Бюргерса по методу Лакса, а - точное решение, построенное на
заданной сетке; б - численное решение, xlh = 1,0.
и заменим производную во времени, выражая из исходного уравнения
dujdt = -dF/dx:
Следуя методу Лакса, для аппроксимации производной Fx используем
центральные разности, а значение и(х, Г) выразим как среднее арифметическое в
двух соседних узлах (см. рис. 5.10); в результате получим
f„+i _ т ~ ^,/-1
7 2 h 2
(5.58)
Условие устойчивости схемы Лакса имеет вид
мтах
где Мши—максимальное значение функции и.
Результаты расчета методом Лакса движущегося вправо разрыва [т.е.
решается смешанная краевая задача в области 0 < х < «, О < t < tK, начальное
условие и(х, 0) = 0, граничное и(0,0=1] показаны на рис. 5.20. Положение
движущегося разрыва определено довольно точно, однако диссипативные
свойства метода приводят к "размазыванию" разрыва на несколько шагов сетки.
Такое "размазывание" разрыва есть проявление диссипативных свойств схем
первого порядка точности. Как видно из формулы (5.43), оно тем больше, чем
158
меньше число Куранта. Вместе с тем решение является монотонным, что
характерно для схем первого порядка точности.
Метод Лакса-Вендроффа
Исторически является одним из первых методов второго порядка
точности О(т2, h2) для решения гиперболических уравнений в частных
производных [получен в 1960 г., см. также вывод формулы (5.30)]. В разложении
в ряд Тейлора учитываются члены второго порядка:
Чтобы найти вторую производную, запишем исходное уравнение в виде
Эн__Э£
dt дх
и проведем следующие преобразования:
&и____^/эгА __<LfаН
Э/2 Эц Эх J Эху dt J '
Поскольку F = F(u), то, с учетом исходного уравнения
dF _ dF ди dF dF _ dF
dt du dt du dx dx
где A = dF/ди — матрица Якоби, состоящая в данном случае из одного
элемента, а именно и.
Окончательно получаем
Эг2 аЦ Эх J
Подстановка найденных производных в ряд Тейлора и замена производных их
центрально-разностными аппроксимациями дает расчетную схему Лакса-
Вендроффа
«Г* = г (5.59)
159
u = 1
о—— и = О
Рис. 5.21. Решение невязкого уравнения Бюргерса по схеме Лакса-
Вендроффа. а - точное решение, построенное на заданной сетке;
б - численное решение, = 1,0.
Матрица Якоби А вычисляется в середине между узлами сетки, т.е. учитывая,
что в данном случае А = и
uj+l+uJ. . Uj + Uj-1
Aj+U2 ~ 2 ’ AJ~1'2 ~
Условие устойчивости имеет вид |(т//г)цтах|<1 .
На рис. 5.21. показаны результаты расчета той же задачи, что и в
предыдущем параграфе. Положение движущегося разрыва определено довольно
точно, и сам разрыв передан достаточно крутой линией. В данной схеме мы
исключили из остаточного члена вторую производную, устранив диссипативные
свойства схемы. Главный член погрешности аппроксимации пропорционален
что и обусловило преимущественно дисперсионные свойства схемы,
проявившиеся в осцилляциях решения.
Обычно при уменьшении отношения u^r/h (аналог числа Куранта)
ухудшается качество численного решения Лакса-Вендроффа, выражающееся в
усилении осцилляций.
Метод Мак-Кормака
Метод является модификацией метода Лакса-Вендроффа на основе схемы
"предиктор-корректор" [см. также формулы (5.31)-(5.32)]. Благодаря
исключению матрицы Якобн А схема расчета упрощается.
Для невязкого уравнения Бюргерса схема Мак-Кормака имеет вид
. 160
Рис. 5.22. Решение невязкого уравнения Бюргерса по схеме Мак-
Кормака. а - точное решение, построенное на заданной сетке;
б, в - численные решения: б - т/h = 0,6, в - т/h = 1,0.
„и+1 _ 1 п , ~л+1 гЛ+1|
UJ ~ 2 UJ+ UJ _ h V J ~ ’
(5.60)
где тильдой обозначены значения функций и и F на шаге "предиктор", а
величины без тильды определяются на шаге "корректор".
Условие устойчивости — такое же, как в схеме Лакса-Вендроффа. На рис.
5.22 показаны результаты расчета методом Мак-Кормака движущегося вправо
разрыва. Положение разрыва и его крутизна определены достаточно точно, хотя
результаты расчета отличаются от полученных по методу Лакса-Вендроффа. Это
является следствием изменения направления численного дифференцирования на
шагах "предиктор" и "корректор", а также нелинейности исходного ДУЧП.
Обычно схема Мак-Кормака очень хорошо описывает разрывы, причем
рекомендуется на шаге "предиктор" разности брать в направлении движения
разрыва.
Помимо схемы (5.60) иногда используют [14] другую модификацию
схемы Лакса-Вендроффа в виде двухэтапного алгоритма
% = °4‘" +и7+1)-О,5^(/-Л1
(5.60а)
-.И+1 _ Л ^{г’И+1 j?l
UJ -Uj-^J+V2-FJ
161
где тильдой по-прежнему обозначены переменные, вычисляемые на
промежуточном временном слое. Алгоритм (5.60а) оказался весьма успешным
для предсказания поведения невязкого сжимаемого потока.
Существуют и более сложные явные методы, в которых предполагается
разбиение временного шага на три части с последовательным вычислением на
образовавшихся подслоях вспомогательных значений (метод Русанова, метод
Уорминга-Катлера-Ломакса и др.) [13]. Они позволяют получать решение с
третьим порядком точности. Отметим, что, несмотря на усложнение алгоритма
вычислений и улучшение точности расчета, получаемые при этом решения
обладают й диссипативными, и дисперсионными свойствами.
Пример 5.5. А) Для уравнения ut+uux=0 в области 0<х<°°,
0<r<rK, Гк = 0,5 решить смешанную краевую задачу с условиями и(х, 0) = 0,
и(0,0 = 1-
Ограничим расчетную область по пространству величиной L = tK u(0, t) =
= 0,5 (см. Приложение 4, А). Исходное ДУЧП представим в дивергентной форме
(5.57) и решим задачу методом Мак-Кормака.
Обозначим значения искомой функции на шаге "предиктор" U, на шаге
"корректор" и. Задав для определенности отношение т/А = 0,5, построим
численное решение по формулам (5.60). Значение Uj будем рассчитывать по
схеме "явный левый уголок".
Скорость распространения разрыва, как было показано ранее, равна
с = (а + б)/2 = [м(х,0) + п(г,0)р2 = 0,5, что позволяет сравнить полученные
численные решения с точным (см. графики в Приложении 4).
Из графиков видно, что полученное численное решение обладает
дисперсионными свойствами, проявляющимися в пространственных
осцилляциях решения. При значениях т/А = 1 (разумеется, для соблюдения
устойчивости должно выполняться условие т/А < 1) осцилляции существенно
сглаживаются (см. рис. 5.22).
162
Б) Для уравнения и, + иих =0 в области 0 < х < «>, 0 < t < Гк, Гк = 0,5
решить смешанную краевую задачу с условиями w(O,z) = O,
и(х, 0) = {ьш(лх/0,2£), х < 0,2£; 0, х > 0,2£}, где L = 0,5.
Используя тот же алгоритм, что и в части А, и приняв т/А =1, получим
численное решение, представленное в виде графиков в Приложении 4, Б.
Проанализируем полученное решение. Конвекция переносит волну слева
направо, причем точки на волне, где и больше, переносятся с большей
скоростью и в конечном итоге опережают участки волны, переносимые с
меньшими значениями скорости и. В результате возникает ударная волна с
фронтом, при переходе через который скорость и терпит сильный разрыв (см. п.
5.3.3, рис. 5.19, г). Физически очевидно, что точное решение должно иметь
незатухающий максимум, однако численное решение обладает не только
дисперсионными (осцилляции становятся заметными прн больших значениях
времени), но и некоторыми диссипативными свойствами, приводящими к
уменьшению амплитуды волны. Таким образом, полученное на графиках
уменьшение амплитуды связано с затуханием нефизической природы.
Наличие нелинейного конвективного члена в- уравнении (5.52)
способствует также возникновению побочного эффекта (aliasing). Если НУ к
уравнению (5.52) представимо в виде ряда Фурье, то последующая эволюция
решения приведет к быстрому расширению спектра длин волн с заметными
амплитудами. Такое расширение реализуется в результате умножения компо-
нент ряда Фурье, появляющихся из-за наличия нелинейного члена и(ди/дх).
Когда решение строится на сетке с размером ячейки h, наименьшая длина
волны, которую можно различить, равна 2h. Энергия, связанная с короткими
волнами, длина которых меньше 2h, выявляется опосредованно, через волны
большой длины. Это явление называют побочным эффектом [14]. К сожалению,
коротковолновые вклады в решение, проявляясь в форме побочного эффекта,
искажают истинный характер длинноволновой части решения н даже мотут
привести к так называемой нелинейной неустойчивости в тех случаях, когда
интегрирование уравнений производится на достаточно больших интервалах
163
времени. С этим, в частности, связано, усиление осцилляций решения,
приведенного на графиках в Приложении 4, Б, с ростом времени t.
Неявные методы
Метод Кранка-Николсона, примененный к уравнению (5.57), приводит к
разностной схеме
п"+1=«”
т pF?
2{дх)
(5.61)
Полученное уравнение нелинейно, т.к. F = и*/2, и для ее решения проводят
линеаризацию, или используют итерационные методы. Один из методов
линеаризации (метод Бима-Уорминга) предполагает представление F"+1 в виде
Fn+l ~Fn +f-w")=F" + A”(un+l-un).
[du )
Подстановка этого выражения в (5.61) и аппроксимация производных по х
центральными разностями приводит к довольно громоздкому выражению
неявной схемы второго порядка точности, которую мы здесь не приводим (см.
[1'3, с. 186]). Схема безусловно устойчива, матрица коэффициентов —
трехдиагональная, поэтому ее можно легко решить методом прогонки (см. п.
10.2). Однако из-за отсутствия схемной вязкости решение обладает сильно
выраженными дисперсионными свойствами. Для подавления осцилляций в
схему обычно вводят искусственную вязкость, что несколько увеличивает объем
вычислений.
Рассчитанные по неявным схемам решения невязкого уравнения Бюргерса
обычно хуже рассчитанных по явным схемам; при этом на каждом шаге
приходится производить больший объем вычислений, что замедляет расчеты.
Возможность сильно увеличить шаг по времени в неявных схемах также
используется слабо, поскольку обычно нужно знать результаты вычислений на
промежуточных временных слоях. Кроме того, п^и расчете разрывных решений
явные схемы позволяют получить лучшие результаты, чем неявные схемы. По
164
этим причинам для решения невязкого уравнения Бюргерса (5.52)
целесообразней использовать явные методы, например, метод Мак-Кормака.
Нередко для сглаживания осцилляций решений с сильными разрывами в
уравнение (5.51) вводят искусственную вязкость, подобно тому, как это было
описано в п. 5.2 (см. примеры в работе (17, с. 359]).
5.4. Одномерные уравнения газодинамики
5.4.1. Введение
Одномерные уравнения газодинамики являются хорошим приближением
для описания ряда важных практических задач: плоского течения сжимаемого
газа в трубе, фильтрации газа через слой пыли на рукавном фильтре, фильтрации
газа в консолидирующемся сыпучем материале (см. пример в книге [22, с. 277]).
Разностным методам решения уравнений газовой динамики посвящены
целые монографии (см., например, книгу [23] и библиографию в ней). Мы здесь
приведем лишь основные понятия, для того чтобы у читателя сложилось
представление о специфике построения уравнений газодинамики (без учета
теплопроводности) и особенностях их численного решения.
Подходы Лагранжа и Эйлера к описанию движения сплошной среды
Для описания движения сплошной среды используют два подхода,
связанных с выбором системы координат.
В подходе Эйлера наблюдение ведется за точками физического
пространства. Через точку пространства проходят различные частицы среды.
Значение скорости (давления, температуры и т.д.) в данной точке пространства в
данный момент времени отождествляется со значением скорости (давления,
температуры и т.д.) той частицы среды, которая в данный момент проходит
через точку.
При использовании подхода Лагранжа наблюдение ведется за некоторой
частицей среды, прослеживается изменение во времени ее параметров. Зная
судьбу всех частиц, мы имеем полную информацию об изучаемом течении.
165
Другими словами, в подходе Лагранжа мы наблюдаем за изменениями
физических параметров на траекториях частиц среды, а в подходе Эйлера — за
мгновенными значениями этих параметров в фиксированных точках
пространства.
Дифференцирование параметра f по времени в эйлеровых координатах в
фиксированной точке пространства есть локальная производная df/dt.
Производная по времени в лагранжевых координатах должна учитывать
изменения, происходящие с выделенной частицей среды вдоль ее траектории,
т.е. представляет собой полную (субстанциональную) производную df/dt
df ^ df dx\ df dx2 , <&3
dt dt Эх] dt dx2 dt dx3 dt
где Xj, x2, x3 — эйлеровы координаты. Принимая во внимание, что dxj/dt
(i = 1,2,3) есть компоненты скорости v выделенной частицы, можно записать
dt dt dx;
I— 1 *
at
Из этого соотношения видно, что если течение стационарное, т.е. эйлерова
производная df /dt s 0, но неоднородное по пространству, т.е., например,
df /ЙХ] * 0, то полное лагранжево ускорение df/dt^Q.
Если нас интересуют параметры потока в заданной неизменяемой
пространственной области (течение газа в канале), то естественно выбрать
эйлеровы координаты. Если же исследуется поведение некоторой массы
вещества (объем которой может меняться), то удобней применить лагранжевы
координаты. Особенно выгодны лагранжевы координаты для задач в слоистых
средах, т.к. оии позволяют легко отслеживать перемещение границ раздела сред.
Большинство одномерных задач газодинамики относится ко второму
типу, поэтому здесь мы рассмотрим уравнения газодинамики именно в
лагранжевых координатах.
166
Уравнения газодинамики в лагранжевых координатах
Запишем сначала уравнения газодинамики в такой форме, когда
производная по времени лагранжева, а пространственные координаты —
обычные:
^+pdivv = O, (5.62)
9v , р—+ gradp = O, (5.63)
Эе .. _ p— + pdivv=O, ot (5.64)
р=р(р,Т). (5.65)
е = е(р, Т). (5.66)
Здесь р — плотность газа, v — скорость*, р — давление (так называемое
газодинамическое), е — внутренняя энергия единицы массы газа, Т — его
температура.
Уравнение неразрывности (5.62) выражает закон сохранения массы,
уравнение (5.63) — закон сохранения импульса (для невязкой жидкости в
отсутствие массовых сил), уравнение (5.64) — закон изменения внутренней
энергии. Уравнения состояния (5.65) — (5.66) в простейшем случае идеального
газа можно представить соответственно в виде
р = pRT, (5.65а)
е = Я77(у-1), (5.66а)
где у — показатель адиабаты газа, R — газовая постоянная. В частном случае
адиабатического течения газа уравнение (5.65) сводится к выражению
* в гарнитуре "Таймс" курсивная буква v имеет вид v и напоминает греческую V;
надеемся, что читатель будет ориентироваться по контексту, и это сходство не введет
его в заблуждение
167
р/р1 = const.
(5.656)
Если в уравнение (5.64) подставить div v, определенную из уравнения
(5.62), то после несложных алгебраических преобразований, учитывая равенство
d/dt (1/р) = -1/р2 (Зр/д/)» получим простую форму записи:
(5.67а)
Если умножить уравнение (5.63) на v и прибавить к уравнению (5.64), то
получим другую форму, выражающую закон сохранения полной энергии:
+ div(pv)=O.
(5.676)
Здесь учтено векторное равенство div(pv) = />divv + vgrad р, гдер— скалярная,
v — векторная величины.
Одномерные задачи бывают трех типов: с плоской, цилиндрической и
сферической симметрией. Введем показатель симметрии к и определим массу
слоя единичной длины (для цилиндрических и плоских задач) и единичной
ширины (для плоских задач) и толщиной dr согласно выражению
dm = CprKdr.
(5.68)
Показатель симметрии к и коэффициент С в зависимости от типа симметрии
представлены в таблице 5.1.
Таблица 5.1.
Значения показателя симметрии к и коэффициента С
Тип симметрии Плоская Цилиндрическая Сферическая
к 0 1 2
С 1 2л 4я
168
При помощи соотношения (5.68) введем массовую координату данной
материальной точки:
лп(г) = с/р(ОГ^- (5.69)
ч>
По закону сохранения вещества массовая координата материальной точки не
меняется со временем; поэтому такая координата позволяет легко следить за
каждой частицей вещества и, в частности, за границей раздела слоев.
Теперь преобразуем уравнения газовой динамики в одномерном случае к
лагранжевой форме. Первым из уравнений является определение скорости:
Поскольку массовая координата не меняется во времени, уравнение
неразрывности заменим имеющим тот же смысл уравнением (5.68), записав его
следующим образом:
a (rK+i)=,s+i . (571)
от Ср
В одномерных выражениях операторов
А др Л- 1 3 ( к \
gradp = ^, divv = ——U vl
dr rK dr' '
перейдем к производной по массовой координате, т.е. заменим dr на dm в
соответствии с выражением (5.68) и получим
gradp-CprKfP divv-Cp_a(rKv).
dm dm
Тогда уравнения импульса (5.63) и энергии (5.676) перепишем в виде
~ + Сгк^- = О, (5.72)
dt dm
169
(5.73а)
Уравнение энергии можно взять также в форме (5.67а):
(5.736)
Система уравнений (5.70) - (5.73), (5.65а), (5.66а) является лагранжевой формой
записи уравнений одномерной газодинамики, используемой в большинстве
численных расчетов.
5.4.2. Псевдовязкость (искусственная вязкость)
Уравнения (5.70) - (5.73), (5.65а), (5.66а) составляют гиперболическую
нелинейную систему. Из курса газовой динамики известно, что среди ее
решений есть сильные разрывы, т.е. ударные волны. В п. 5.2 мы видели, что
сгладить осцилляции численного решения помогает специально вводимый в
уравнение диссипативный член, называемый искусственной вязкостью или
псевдовязкостью.
В газодинамике такие диссипативные члены удается найти из физических
соображений. Можно показать, в частности, что учет диффузии молекул газа
приводит к замене формулы (5.63) уравнением вида
Р
^ + gradp = £grad divv,
at
(5.74)
правая часть которого представляет собой вязкий член с физическим
коэффициентом вязкости Обычно считают коэффициент £ константой, что
позволяет объединить вязкий член с градиентом давления:
-gradp + ^grad div v = -grad(p-£ divv),
и рассматривать величину
П] = -£divv
(5.75)
170
как "вязкое" давление. При этом в уравнение энергии вместо обычного давления
также подставляют сумму р + П!, называя ее полным давлением.
Вязкое давление П1 называют линейным. Физический коэффициент
Вязкости £ очень мал и дает ничтожно малое сглаживание, поэтому в
численных расчетах величину £ приходится увеличивать на несколько
порядков, добиваясь "размазывания" ударной волны на несколько шагов сетки.
Однако это приводит к нежелательным последствиям. Действительно, для
численных расчетов диссипация полезна только в окрестности ударных волн. Но
вязкий член (5.75) присутствует во всех точках пространства, внося
значительную погрешность в результаты расчетов.
Чтобы уменьшить эту погрешность, Нейман и Рихтмайер в 1950 г.
предложили выбирать коэффициент псевдовязкости большим в окрестности
скачков скорости и малым в зонах гладких течений, где пространственный
профиль скорости меняется мало. Для этого они положили
C = C0|divv|,
где Q) — коэффициент, небольшой по величине.. Такая псевдовязкость
называется квадратичной, т.к. она приводит к "вязкому" давлению
П2 = —£o(sign div v)- (div vf. (5.76)
Можно показать [17], что квадратичная вязкость сглаживает скачок скорости
любой интенсивности на интервал 8r = ^8 £o/[p(y + OL где у — показатель
политропы газа. Обычно коэффициент псевдовязкости Сд выбирают таким,
чтобы интервал 8г равнялся 2-3 шагам разностной сетки.
Линейная вязкость дает близкие к монотонным разностные решения, зато
фронты скачков оказываются сильно сглаженными. Квадратичная вязкость
приводит к более крутым фронтам, но разностное решение немонотонно вблизи
слабых и сильных разрывов. Поэтому часто используют комбинацию линейной
171
и квадратичной вязкости П = ajLIj + о^П^ с экспериментально подобранными
коэффициентами cti и с^.
Из (5.62) следует divv = -p-l(3p/dz)=-d(lnp)/9z, т.е., например,
линейное вязкое давление согласно (5.75) равно = £д(1пр)/д/. Таким
образом, вязкое давление положительно при сжатии газа и отрицательно при
разрежении. Сильными разрывами являются только ударные волны, а волны
разрежения приводят лишь к слабым разрывам (см. второй и третьи случаи для
уравнения Бюргерса в п. 5.2). Поэтому при Эр/Э/ < 0 присутствие
псевдовязкости не обязательно и даже вредно, т.к. уменьшает точность расчета.
Поэтому обычно полагают
-^1divv-^0(divv)i2, divv<0,
О, divv>0.
(5.77)
5.4.3. Разностные методы решения уравнений газодинамики
Схема "крест"
Схема "крест" (рис. 5.23) — наиболее простая и довольно точная
однородная разностная схема для численного решения уравнений газовой
динамики. Значения радиусов приписываются узлам сетки, значения скорости —
границам пространственных интервалов на полуцелых слоях, а значения
плотности, давления и внутренней энергии — серединам интервалов на целых
слоях.
Рассмотрим для простоты плоскую задачу (для которой к = О, С = 1), и
выберем равномерные шаги до массе т и времени т. Аппроксимируем систему
(5.70) - (5.736) следующими разностными уравнениями:
172
g = P + n,
(5.78а)
- уравнение (5.70) преобразуется к виду
rf1 = +xvj+1,
(5.786)
- уравнение (5.71) аппроксимируют формулой
(5.78в)
- из уравнения (5.736) получим
»+1
1_____1
„И -И+1
pj Pj J
(5.78г)
173
Особо обратим внимание на то, что пространственные координаты г
узлов — переменные величины, меняющиеся от слоя к слою.
На практике в формуле (5.77) проводят замену Со =Мор(^,')2>
Ci = Pip с8 г, где ро, Ц1 — безразмерные коэффициенты. Тогда "вязкое" давление
аппроксимируют выражением
п" = МоР" (г"+1 ~vjJ~ WPj (’'"+1 " v" ) v;+1 - v” < 0, (5.79a)
ir;=0 при vnJtl-v”>0, (5.796)
где с = Jdp/dp - скорость звука.
На течениях без сжатий [когда "вязкое" давление П согласно формуле
(5.796) обращается в нуль] схема имеет локальную аппроксимацию О(т2, Л2),
обусловленную симметрией схемы и видом шаблона. На течениях со сжатиями
(в частности, с ударными волнами), "вязкое" давление отлично от нуля;
выражение (5.79а) понижает порядок погрешности схемы до О(т, Л).
Схема (5.78) — явная; алгоритм вычислений по ней следующий. Пусть все
величины на исходном слое известны. Тогда из разностного уравнения импульса
(5.78а) находим скорости v/+I на всех Интервалах; затем из уравнения (5.786)
определяем координаты г/*+1, а из уравнения (5.78в) — плотности p/+1. Далее
решается уравнение энергии (5.78г), хотя формально и являющееся неявным, в
действительности позволяющее выразить е/+1 в явном виде через остальные,
уже известные, величины. Температуру газа 7}"+1 находят из уравнения (5.66а),
а газодинамическое давление р/+1 — по формуле (5.65а).
Метод Неймана исследования устойчивости приводит к условию типа
Куранта. Так, для идеального газа на гладких решениях с нулевой вязкостью
условие устойчивости имеет вид ст Аг. Более общие выражения условия
устойчивости схемы (5.78) можно найти в книге [17].
Хотя сходимость схемы не доказана, она успешно используется в расчетах
и проверена на многих сложных задачах с известными точными решениями.
174
Существуют газодинамические задачи, в которых локальная скорость
звука на некоторых участках много больше скорости наиболее важных
физических процессов. В таких задачах условие Куранта сильно ограничивает
шаг по времени, и выгодней использовать абсолютно устойчивые (неявные)
разностные схемы, которые мы здесь приводить не будем ввиду их
громоздкости. Интересующегося читателя отсылаем к монографиям [17,23].
Задачи
Вар, 1-3. Решить волновое уравнение wM=c2wx;t. в области 0<х<£,
O£z£zK- Величину Гк определить исходя из условия, чтобы в расчетную
область укладывалось два - три периода колебаний.
Вар. 1, Заданы начальные условия и(х,0) = sin(3zu/L), иг(х,0) = 0,
О < х < L и граничные условия w(0,z) = u(L,t) = 0, 0 < Z< ZK. L = 1 м, с = 100 м/с.
Воспользоваться схемой "крест".
Вар. 2. Заданы начальные условия u(x,0) ~ sin(2?tx/L), wr(x,0) = 0,
0 < х < L и граничные условия w(O,r)= к(£,г) = 0, 0 < t < tK. L = 10 м, с = 1500
м/с. Воспользоваться трехслойной неявной схемой.
Вар, 3, Заданы начальные условия и(х,0) = 0, 0 < х < L; wt(x,0) = l,
0,4L<x<0,6L; н/(х,0) = 0, x<0,4Z, х>0,6£ и граничные условия
m(O,z)=w(£,z)=O, 0 < Г < ZK. L = 1 м, с ~ 100 м/с. Воспользоваться схемой
"крест".
Вар. 4 -14. Для уравнения переноса ut +2их =0 в области 0 < х < L = 1,
0 < Z < tK, ZK = 0,3 решить краевую задачу с условиями и(х, 0) = 0, и(0, Г) = 1
(ударная волна). Сравнить полученное численное решение с точным. Найти
погрешность аппроксимации и условие устойчивости схемы, проверить ее
монотонность. Построить первое дифференциальное приближение и с его
помощью выявить диссипативные или дисперсионные свойства схемы. Для схем
второго порядка точности провести явное сглаживание решения, подобрать
175
оптимальный параметр сглаживания. Для аппроксимации ДУЧП использовать
схему:
Вар. 4. "Явный левый уголок".
Bapjx Лакса.
Вар. 6, "Крест".
Вар. 7. "Чехарда".
Вар. 8, "Неявный левый уголок".
Вар. 9, "Неявный правый уголок".
Вар. 10. "Прямоугольник".
Вар. П. Неявную схему Эйлера.
Вар, 12- Кранка-Николсона.
Вар. 13. Лакса-Вендроффа.
Вар. 14. Мак-Кормака.
Вар. 15-25. Для уравнения переноса ut+4ux=0 в области 0<x<L = 2,
0 < Г < 4, 4 = 0,25 решить краевую задачу с условиями и(х, 0) = 1, и(0, f) = 0
(волна разрежения). Сравнить полученное численное решение с точным. Найти
погрешность аппроксимации и условие устойчивости схемы, проверить ее
монотонность. Построить первое дифференциальное приближение и с его
помощью выявить диссипативные или дисперсионные свойства схемы. Для схем
второго порядка точности провести явное сглаживание решения, подобрать
оптимальный параметр сглаживания. Для аппроксимации ДУЧП использовать
схему:
Вар. 15. "Явный левый уголок".
ВаР, 16. Лакса.
Вар. 17. "Крест".
Вар, 18. "Чехарда".
Вар. 19- "Неявный левый уголок".
Вар. 20. "Неявный правый уголок".
Вар, 21, "Прямоугольник".
Вар. 22, Неявную схему Эйлера.
Вар. 23. Кранка-Николсона.
176
ВйР, 24, Лакса-Вендроффа.
Bap, 25, Мак-Кормака.
ВйР. 26 -28. Для невязкого уравнения Бюргерса щ + иих = 0 в области 0 < х < L,
L= 1,0 < t < tx, tK = 0,3 решить краевую задачу с условиями и(х, 0) = 0, и(0, 0 = 4
(ударная волна — третий случай). Сравнить полученное численное решение с
точным, имеющим вид: и = 4, х < 2г, и = 0, 2t < х. Найти погрешность
аппроксимации и условие устойчивости схемы, проверить ее монотонность.
Построить первое дифференциальное приближение и с его помощью выявить
диссипативные или дисперсионные свойства схемы. Для аппроксимации ДУЧП
использовать схему:
Вар, 26. Лакса.
Вар, 27. Лакса-Вендроффа.
Вар, 28. Мак-Кормака.
-31. Для невязкого уравнения Бюргерса щ + иих = 0 в области 0 < х < L,
L = 2, 0 < t < 4,4 = 0,5 решить краевую задачу с условиями и(х, 0) = 1, к(0,0 = 0
(волна разрежения — второй случай). Сравнить полученное численное решение
с точным, имеющим вид: и = 0, х < 0; и - x/t, 0 < х < t, и = 1, х > t. Найти
погрешность аппроксимации и условие устойчивости схемы, проверить ее
монотонность. Построить первое дифференциальное приближение и с его
помощью выявить диссипативные или дисперсионные свойства схемы. Для
аппроксимации ДУЧП использовать схему:
Вар, 29. Лакса.
Вар. 30. Лакса-Вендроффа.
Вар. 31, Мак-Кормака.
Вар, 32 - 34, Для невязкого уравнения Бюргерса и, + иих = 0 в области 0 < х < L,
L = 2, 0 < t < 4, 4 = 0,5 решить краевую задачу с условиями и(х, 0) = 1, х < 0,5,
и(х, 0) = 3, х > 0,5; и(0,0=1 (второй случай). Сравнить полученное численное
решение с точным, имеющим вид: и = 1, х - 0,5 < Г, и = (х - 0,5)//, t < х - 0,5 < 3/;
и = 3, х - 0,5 > 3/. Найти погрешность аппроксимации и условие устойчивости
схемы. Построить первое дифференциальное приближение и с его помощью
177
выявить диссипативные или дисперсионные свойства схемы. Для
аппроксимации ДУЧП использовать схему:
Вар. 32, Лакса.
Вар. 33. Лакса-Вендроффа.
ВаР, 34, Мак-Кормака.
Вар, 35 — 37- Для невязкого уравнения Бюргерса щ + иих = 0 в области 0 < х < L,
L = 2, 0 < t < t„ tK = 0,5 решить краевую задачу с условиями и(х, 0) = 3, х < 0,5,
м(х,0) = 1, х > 0,5; и(0,0 = 3 (третий случай). Сравнить полученное численное
решение с точным, имеющим вид: и = 3, х - 0,5 < 2f, и= l,2t<x- 0,5. Найти
погрешность аппроксимации и условие устойчивости схемы. Построить первое
дифференциальное приближение и с его помощью выявить диссипативные или
дисперсионные свойства схемы. Для аппроксимации ДУЧП использовать схему:
Вар, 35. Лакса.
Вар. 36. Лакса-Вендроффа.
Вар, 37. Мак-Кормака.
Глава 6. Метрды решения уравнений
параболического типа
Уравнения параболического типа встречаются при решении задач, в
которых существенно влияние диссипативных (диффузионных) явлений, таких
как вязкие напряжения, теплопроводность или перенос вещества молекулярной
диффузией. Уравнения Навье-Стокса для нестационарного течения и уравнение
пограничного слоя тоже относятся к параболическому типу, однако структура
этих уравнений достаточно сложна. По этой причине в данной главе будут
рассмотрены основные принципы построения разностных схем для
параболических ДУЧП на примерах решения модельных уравнений. Ряд более
сложных задач решен в главе 9.
6-1- Параболические уравнения, коаевще задачи ц сщ>йстра решений
Модельные уравнения
Перенос теплоты (вещества) теплопроводностью (диффузией) и
конвекцией описывается ДУЧП параболического типа. Обобщенное модельное
одномерное уравнение диссипации, конвекции и кинетики можно записать в
виде
Эи Эи Э2и , ,, . ,,
—+ с—- = а——+би + /(х,г)> (6.1)
Эг Эх 3V
где и — температура, концентрация вещества; а, Ь, с — постоянные
коэффициенты, причем а > 0. Первое слагаемое в левой части характеризует
нестационарность процесса, второе слагаемое соответствует конвективному
переносу теплоты (вещества), первое слагаемое в правой части — переносу
теплоты теплопроводностью (или вещества диффузией), второе — источнику,
пропорциональному температуре или концентрации ("кинетический член"),
третье представляет собой внутренний источник. Для определенности будем в
основном использовать тепловую интерпретацию уравнения (6.1) и
соответствующую терминологию.
179
Мы будем рассматривать в этой главе также следующие частные случаи
уравнения (6.1):
- уравнение конвекции и диффузии с кинетическим членом
ди ди д2и ,
—+ с— = а—-+ди,
dl Эх Эх2
- уравнение конвекции и диффузии
(6.2)
Эи ’ Эи Э2и
dt+Cdx
(6.3)
- уравнение диффузии (теплопроводности)
Эи Э^и
Эг Эх2
(6.4)
и, кроме того, нелинейное параболическое ДУЧП — вязкое уравнение Бюргерса
ди ди сРи
dt+Udx V3x2’
(6.5)
где V -— коэффициент кинематической вязкости жидкости,
и — скорость жидкости.
6.1,2. Краевые задачи и свойства решений
Краевые задачи
Для уравнения (6.1) может быть поставлена задача Коши (с начальными
условиями в неограниченной пространственной области), а также смешанные
краевые задачи с граничными условиями первого, второго, третьего и четвертого
рода (см. п.2.1 и главу 4).
Наиболее хорошо изучены линейные задачи, в которых и ДУЧП, и
краевые условия линейны. Часто встречаются и нелинейные задачи. Причиной
нелинейности может быть, например, зависимость коэффициента
температуропроводности от температуры а = а(и); в этом случае вместо
уравнения (6.4) записывают [см. также более полное уравнение (6.50)]
<6.6>
dt ол\ ох )
180
Другой источник нелинейности — граничные условия; так, теплообмен
излучением с поверхности тела приводит к нелинейному граничному условию
вида ^и4+еих)=0. Еще один классический пример нелинейного ДУЧП с
коэффициентами, зависящими от искомой функции —уравнение Бюргерса (6.5).
Качественные свойства решений параболических ДУЧП
Некоторые качественные . свойства решений ДУЧП на примере
гиперболических уравнений рассматривались в главе 5. Там отмечалось,
например, что параболическим уравнениям присуще свойство монотонности.
Здесь рассмотрим прочие свойства.
Свойство позитивности. Рассмотрим первую краевую задачу для
уравнения (6.1) в области 0 < х < L, 0 < t < с краевыми условиями
н(х,0)=р.(х), и(О,/)=р.1(О, u(L,t)= 1^(0. Пусть начальные и граничные
условия, а также источник в уравнении (6.1) неотрицательны, т.е. р(х) > О,
Ц1(0 > 0, Pi(/) 2: 0, fix, Г) > 0. Можно математически строго доказать, что при
этих обстоятельствах u(x,t) > 0, но мы ограничимся физическими
соображениями. При b = 0 имеем кондуктивный и конвективный перенос
теплоты от границ с неотрицательными температурами; начальная температура
и внутренний источник теплоты также неотрицательны. Физически очевидно,
что причины для возникновения отрицательных температур во внутренних
точках отсутствуют. При Ь Ф 0 замена искомой функции и на v согласно
выражению n = vexp(bt) возвращает нас к случаю Ь = 0.
Принцип максимума. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения
(6.3). Введем обозначения:
Л/(/[) = max{maxp(x); тахцДг), тахц2(0, 0 < t < /(},
т^)=min {min р(х); min Ц] (/), min ц2(0» 0 < г < }.
Тогда Это означает, что искомая функция может
принимать наибольшее и наименьшее значения только в начальный момент
времени t = 0 и только на границах х = 0, х = L. При наличии источника fix, t)
181
в параболическом ДУЧП оценки максимального и минимального значений
искомой функции u(x,f) должны учитывать соответственно maxf(x,t),
min f(x,t), 0< t<tt-
Свойство стабилизации. Рассмотрим третью краевую задачу (являющуюся
обобщением первой и второй краевых задач), описываемую уравнением (6.1) в
области 0 < х < L, 0 < t < 4, с краевыми условиями w(x,O) = ц(х),
Pl(OHx+Yi(O« = Mi(O при х = 0, P2(0«x + Y2(0w = Иг(О ПРИ х = С Пусть
функция источника fix, t) —> f(x) при г —> и рь р2, у1; у2, Мъ М2 также
стабилизируются, т.е. стремятся к некоторым предельным значениям. При
определенных ограничениях (в частности, для первой краевой задачи при b < О
[21]) решение u(x,t) тоже стабилизируется, т.е. решение нестационарного ДУЧП
(6.1) при t—стремится к решению предельной стационарной задачи.
Внутренняя гладкость решения. Можно доказать, что гладкость решения в
любой внутренней подобласти определяется гладкостью функции источника
f(x, t) и никак не зависит от гладкости начальной и граничных функций.
Распространение особенностей краевых значений внутрь области, характерное
для конвективного переноса (см. главу 5), не происходит при диссипативных
процессах. Другими словами, разрывы начальных и граничных данных
сглаживаются с течением времени.
Придерживаясь принципа "от простого к сложному", последовательно
рассмотрим методы конечно-разностного решения уравнения теплопроводности,
конвекции и диффузии, а затем — вязкого уравнения Бюргерса.
6.2. Одномерное уравнение теплопроводности
6.2.1. Одномерное уравнение теплопроводности
Классическим примером параболического ДУЧП является уравнение
теплопроводности (диффузии) (6.4), где а — коэффициент температуро-
проводности (для уравнения диффузии — массопроводности, часто его прини-
182
мают равным коэффициенту диффузии), а в качестве переменной и выступает
соответственно температура или концентрация.
Оно описывает одномерный процесс распространения тепла или
одномерную диффузию в однородной изотропной среде. Это уравнение является
простейшим модельным уравнением для параболических уравнений. Точное его
решение в области 0 <x<L, 0<t<°° при начальном условии и(х, 0) = ц(х) и
граничных условиях и(0,0 = м(£, 0 = 0 методом разделения переменных имеет
вид бесконечного ряда Фурье
и(х,0 = У Aq ехр(- o&2/)sin(fcx) , (6.7)
«=1
2L
где Aq = —| /(х)зт(/сл)б/х, к = qnJL.
Характеристическое уравнение для уравнения теплопроводности (6.4)
имеет вид Л/<£х=0; его интегрирование дает характеристики t = £, = const.
Таким образом, линии характеристик, вдоль которых распространяются
возмущения, описываемые уравнением (6.4), параллельны оси абсцисс на
плоскости (х, 0. Это означает, что в отличие от гиперболических уравнений (см.
рис. 5.1 и 5.2 в главе 5), скорость распространения возмущений вдоль
характеристик равна бесконечности.
В некоторых случаях удается найти аналитическое решение уравнения
теплопроводности в замкнутой форме.
Рассмотрим задачу о нестационарном течении несжимаемой вязкой
жидкости под действием пластины, внезапно приведенной в движение вдоль
собственной плоскости со скоростью U. Это известная задача Рэлея, имеющая
точное аналитическое решение. Течение двумерное, поскольку отлична от нуля
лишь параллельная пластине составляющая скорости. Выберем систему
координат (х, у) так, чтобы ось х совпадала с плоскостью пластины и вектором
скорости, а ось у была перпендикулярна пластине. Тогда скорость жидкости и
описывается уравнением Навье-Стокса, имеющим в данном случае вад
183
ди д2и . ,г ,1Х
— = v—г-, и = и(у, 0, (6.8)
dt ду2
О S у < °°, t > О,
где v — коэффициент кинематической вязкости.
Левая часть уравнения (6.8) описывает локальное ускорение жидкости,
обусловленное нестационариостью течения, а правая — тормозящее действие
вязких напряжений. Для замыкания задачи сформулируем граничные и
начальные условия:
и(у, О) = 0; м(0, 0 х U; «(«, 0 = 0. (6.9)
Для ДУЧП существуют такие частные решения, когда искомая функция
u(x,t) является функцией одной переменной Т], роль которой играет комбинация
независимых переменных (х, 0. Такие решения называют автомодельными*.
Подстановка удачно подобранной комбинации независимых переменных
преобразует исходное ДУЧП в обыкновенное дифференциальное уравнение.
Решение данной задачи найдем, вводя новую переменную
П~2^’
(6.10)
и будем искать решение в виде
и=ПЛч),
где ,/Гп) — неизвестная функция. Выразим частные производные, входящие в
(6.8), через новую переменную:
LTdf у = vdf
dt dr] dt dr] 4-4vP dr] 21*
= = и&_ 1 .
dy2 dr]2 ( dy J dr]2 4vr
* т.е. самоподобными (от англ, “selfsimilar”)
184
Подстановка этих выражений в исходное ДУЧП (6.8) приводит к
обыкновенному дифференциальному уравнению
^- + 2гЛ = 0.
dry2 %
(6.11)
Таким образом, наша задача сводится к ОДУ с граничными условиями
ДО) =* 1, Д°°) = О. Интегрируя (6.11), получим
/(Ч) = erfc(n) = 1- erf(n).
где erftn) *— интеграл вероятности (интеграл ошибок), определяемый как
2 ? -Е2
функция erf(r]) = —== I ё~^ <R,.
<п0
Итак, автомодельное решение задачи имеет вид
и = U erfcfn) •
(6.12)
Очевидно, что при сколь угодно малом t > 0 скорость и в любой точке
полупространства 0 < у < °° отлична от нуля, т.е. возмущение от пластины
мгновенно переносится вдоль оси у. Это и означает, что скорость
распространения возмущений и область влияния бесконечны.
Аналогичное решение получается при решении соответствующей задачи о
переносе тепла от внезапно нагретой до температуры Т границы
полупространства. Строго говоря, параболическое уравнение (6.4) лишь
приближенно описывает процесс теплопроводности и справедливо для не очень
высоких температур. На самом деле скорость распространения тепла конечна и
не превышает тепловой скорости частиц. Более точно этот процесс описывается
гиперболическим уравнением (см. главу 8).
В действительности влияние удаленных точек ослабевает довольно
быстро. Выражение (6.10) показывает, что отрезку времени Л/ соответствует
характерная зона влияния (толщина слоя жидкости, приведенного в движение
пластиной) Ду ~ VvAZ. Отсюда следует, что рост толщины слоя определяется
185
только кинематической вязкостью, и изменение скорости в слое обусловлено
"диффузией" скорости от пластины к жидкости.
Перейдем к рассмотрению сначала явных, а затем неявных разностных
схем для одномерного уравнения теплопроводности с распределенным тепловым
источником Дх, 0:
Эи д2и , .
— = О—S- +
Э/ Эх2
(6.13)
6,22 Жные cxew Aw viwi ни* rj -^peod^ д,-
t
u п + 1
х
п
Простой явный метод
Минимальное число узлов,
необходимых для аппроксимации второй
производной, равно трем, для
аппроксимации первой производной по
времени их нужно два. Поэтому самый
простой шаблон для уравнения
теплопроводности (6.4) состоит из четырех
узлов (центральный узел используется
дважды), и для явной схемы имеет вид, представленный на рис. 6.1.
Соответствующий явный метод, называемый также схемой ВВЦП (с разностями
вперед по времени и центральными по пространству), дается формулой
Рис. 6.1. Шаблон простой
явной схемы.
т h2
+ <Р/.
(6.14)
где тлеет первый порядок точности с погрешностью
аппроксимации О(т, /г2).
Свойства разностной схемы удобно анализировать, используя так
называемое модифицированное уравнение (см. также понятие о первом
дифференциальном приближении в п. 5.2.3).
186
Найдем такое уравнение для однородного уравнения теплопроводности
(6.4). Разложим решение в узлах шаблона по формуле Тейлора, выбирая за центр
разложения точку (х? Т„). Тогда получим
_2 т3
и+1 п Т Т
М =W, + ТО( +— и„ +—ит + ...,
J J 2 6
И h2 J? h4 h5 h6
ui±l —Uj ±nux+ UxxX Uxxx+ UXXXJjt uxxxxx^ uxxxxx^-.„.
i. О ! I лл)
Подставим в уравнение (6.14) полученные разложения для м"+1,н”±1, после
несложных преобразований найдем
т т я я .. ...
ut ^хх~ ~ utt , ит + ихххх+ ~~nwxxxxxx+ •••• (6.15)
Z О Z4 /ZU
В левой части полученного уравнения записано исходное уравнение, а в
правой— погрешность аппроксимации (невязка), которая обычно отлична от
нуля. Анализ свойств схемы упростится, если заменить производные по времени
в правой части на производные по пространству. Для этого продифференцируем
Уравнение (6.15) по времени, находя из него выражение для ии, затем
продифференцируем (6.15) дважды по х и получим соотношение для иш, ит.д.
После исключения производных по времени и0 и иш из (6.15), получим
модифицированное уравнение для уравнения (6.4)
««-а«хх =
а2т ah2
-----1----
2 12
ихххх+
Л3_2
ат а тл ал
~3 12 + 360
Мхххххх*' ••• (6.16)
Из этого уравнения видно, что имеет место согласованность уравнений (6.14) и
(6.13). Отметим, что при Fo = 1/6 порядок погрешности аппроксимации равен
OiTpji4). Важно также заметить, что в выражение для погрешности
аппроксимации не входят производные нечетного порядка, поэтому для этого
метода, как и для большинства других методов решения уравнения
теплопроводности, дисперсия на сетке отсутствует.
Анализ устойчивости по Нейману дает следующее выражение для
множителя роста
187
A = l + 2Fo |cos(wA)-l]=l-4F<> sin2^y^,
где Fo = m/h2 — сеточное число (критерий) Фурье. Таким образом, условие
устойчивости этой разностной схемы имеет вид
0<Fo< 1/2.
Найдем множитель роста для точного решения. Подставим
фундаментальное решение в форме
u(x,t) = ехр[-аи2<)ехр(кох)
в соотношение
.* _ u(x,t + t)
В результате получим
А* = ехр(- а(в2т)= exp [- (ahf Fo]
т.е. амплитуда точного решения уменьшается на каждом шаге в ехр[- (<oh)2Fo]
раз, если не учитывать влияние граничных условий.
' Анализ поведения функций А и А* показывает [13], что наилучшее
совпадение множителя роста с его точным значением имеет место при Fo = 1/6.
В этом нетрудно убедиться, подставив условие Fo = 1/6 — первое слагаемое в
правой части уравнения (6.16) при этом равно нулю.
При использовании простого явного метода уравнение теплопроводности
решается последовательным продвижением (маршем) от линии, на которой
заданы начальные данные, т.е. так же, как при явных методах решения
гиперболических уравнений (рис. 6.2). Из рисунка видно, что решение в точке Р
не зависит от граничных условий, заданных на линиях АВ и CD, что
противоречит физическим представлениям. В частности, не учитывается
протяженность области влияния от одной границы до другой, обусловленная
горизонтальностью характеристик. Следовательно, простая явная схема
188
Рис. 6.2. Зона зависимости для простой явной схемы.
Линия BD - характеристика, проходящая через точку Р; зона влияния
для уравнения (6.13) - прямоугольник ABDC.
Зона влияния схемы (6.14) - треугольник PQR.
неправильно моделирует физические особенности уравнений в частных
производных параболического типа.
Для решения уравнений в частных производных параболического типа
лучше использовать неявные методы, т.к. они учитывают всю информапию,
Известную на характеристике t = const и под ней. Для гиперболических
уравнений размер зоны зависимости ограничен, и поэтому Для них допустимо (а
порой и предпочтительно) использование явных методов.
Метод Ричардсона
Ричардсон предложил в 1910 г. явную одношаговую трехслойную схему
решения уравнения теплопроводности (6.4)
7 „ 1 = а-2±*------1----il , (6.17)
2т й2
имеющую второй порядок точности со вторым порядком погрешности
аппроксимации Oft2, й2). Однако, к сожалению, при Fo > 0 этот метод
абсолютно неустойчив.
189
Метод Дюфорта-Франкела
Абсолютно неустойчивый метод
Ричардсона (6.17) можно сделать устой-
чивым, заменив Uy” на среднее по вре-
мени значение («уи+1+ В резуль-
тате получим явную трехслойную схему
Дюфорта-Франкела, предложенную в
1953 г. (ее иногда называют схемой
"ромб")
—----------а-----------. (6.18)
из которой можно выразить неизвестную на (и + 1)-м слое через известные на
и-м и (п — 1)—м слоях. Напомним, что при некоторых условиях эта схема не
согласована с уравнением (6.4) (см. Пример 3.2 в п. 3.1.2). Множитель роста для
этой схемы при Fo = 1/2 представлен на рис. 6.5 линией "в". Схема Дюфорта-
Франкела обладает необычным для явных схем свойством безусловной
устойчивости. Все же с практической точки зрения использование схемы
Дюфорта-Франкела влечет за собой серьезное ограничение на шаг по времени,
но здесь это связано с условием согласованности, а не устойчивости, как это
было в простой явной схеме.
Помимо перечисленных, существуют еще трехслойная явная схема [14],
однако условие устойчивости для нее еще более жесткое, чем для схемы ВВЦП,
поэтому на практике она обычно не используется, а также безусловно
устойчивая двухшаговая схема бегущего счета [17], по своим свойствам близкая
к схеме Дюфорта-Франкела.
190
6.2.3. Неявные схемы для одномерного уравнения теплопроводности
Простой неявный метод
Метод предложен Лаасоненом для аппроксимации уравнения (6.4) в
1949 г. Разностная схема простого неявного метода для уравнения (6.13)
записывается в виде
м"+1-м" ———/=( т „л+1 <7„л+1 ,„л+1 М>+1 — 2U; +П,-_1 „ x-Jti (6.19) /г
п + 1 » < j-1 П ( Рис. 6.4. Шабг неявной( Л юн простой :хемы. имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации порядка О(т, h ) и абсолютно устойчива. На (и + 1)-м шаге по времени приходится решать систему линейных уравнений с трехдиагональной матрицей. Множитель роста, получаемый методом Неймана
Рис. 6.5. Коэффициент перехода для нескольких численных схем
при Fo = 1/2: а - простая неявная схема; б - схема Кранка-Николсона;
в - схема Дюфорта-Франкела; г - точное решение (А.*).
191
Л = [ 1 + 2Fo(l - совой) ]’ = {1 + 4Fo sin2(юЛ/2)]"'
приведен на рис. 6.5 при Fo = 1/2 как функция Р = mh (линия а).
Метод Кранка-Николсона
Кранк и Николсон предложили в 1947 г. для уравнения теплопроводности
неявную шеститочечную схему в виде
' ..”+1 Т.,п+1 л. .Л+1
_а иу+i +mj-i
2
й2
tfa-lul+u^
h2
+ <р"+!/2
, (6-20)
X
n » 4 ....e—►
Рис. 6.6. Шаблон схемы
Кранка-Николсона.
Эта схема абсолютно устойчива и
потому часто используется. Благодаря тому,
что правая часть уравнения аппроксимируется
полусуммой значений производных на двух
последовательных шагах по времени, схема
имеет второй порядок точности с
погрешностью аппроксимации Oft2, й2). Здесь
также требуется решать систему алгебраических уравнений с трехдиагональной
матрицей. Множитель роста схемы
X = [1 - Fo(l - cos(<oh))]/[l + Fo(l - cos(rah))]
приведен на рис. 6.5 при Fo = 172 как функция Р = (Ой (линия б). Из рис. 6.5
видно, что метод Кранка-Николсона имеет наиболее близкий к точному
множитель роста.
Обобщенная двухслойная схема и ее свойства
Простой явный метод, простой неявный метод и метод Кранка-Николсона
являются частными случаями более общего метода
u^l-uni
—------— = а.
..”+1 т..п+1 . .,«+1
Q«j+1-2м,- +и,_1
V-----
й?
й2
+ф"+12 , (6-21)
192
где 0 G [0, 1] — весовой множитель. При 0 = 0 пол>'чаем простой явный
метод, при 0=1 — простой неявный метод, при 0 = 0,5 — метод Кранка-
Николсона.
Анализ модифицированного уравнения для схемы (6.21) [17, с. 371]
показывает, что при 0*1/2 порядок погрешности равен О(т, А2 *), симметричная
схема с 0=1/2 имеет более хорошую аппроксимацию порядка ОСт2, А2).
Удачным подбором весового коэффициента и сеточного числа Фурье можно
добиться более высокой точности [13, т.1, с. 137], [17, с. 372]. Например, при
0=4“7^~ н <P/+V2 = достигается
Z IZrO 1Z
погрешность аппроксимации порядка Oft2. h4); этот вариант называют схемой
повышенной точности.
Множитель роста для схемы (6.21), получаемый методом разделения
переменных, равен
А =
l-4Fo(l-0)sin2^y^ I l + 4Fo0sin2py)
(6.22)
откуда следует, что условие устойчивости Неймана для схемы (6.21) имеет вид
0>----—.
2 4Fo
Таким образом, при 0 < 0 < 1/2 должно выполняться неравенство
0 < Fo < 1/(2 —40); при 1/2 S 0 S 1 схема (6.21) абсолютно устойчива.
Замечание 1. Поскольку схема (6.21) двухслойная, она без изменений
переносится на неравномерную сетку по времени (разумеется, при шаге по
времени т нужно ставить индекс м). На неравномерную сетку по х эта схема
также легко обобщается. Достаточно соответствующим образом записать
разностный аналог пространственной производной
2 иу+1 и j uj uj—\
XJU - Xj_i [ xy+I - Xj Xj - Xj_i
193
Сходимость схемы на неравномерной сетке в чебышевской норме также имеет
второй порядок по h (доказательство см. в [4]).
Замечание 2. Поскольку погрешность схемы (6.21) почти для всех
значений 0 есть О(Л2), то для получения хорошей точности нужно брать
довольно малый шаг h. Простая явная схема устойчива при столь малом шаге
т < /г/(2а), что для доведения расчетов до заданного момента 4 требуется
выполнить огромное число шагов по времени. Поэтому явные методы для
решения параболических уравнений почти никогда не применяются. Обычно для
расчетов берут двухслойные неявные безусловно устойчивые схемы: схему
Кранка-Николсона или схему повышенной точности, обеспечивающие хорошую
точность расчета при не слишком малых шагах т и h. Чисто неявная схема в
случае а = const используется редко из-за невысокой точности, хотя при а =
= а(н) (см. уравнение (6.6)) она часто выгодна благодаря своей монотонности.
Выясним, при каких условиях схема (6.21) позволяет решать задачи с
нулевыми граничными значениями для очень больших промежутков времени,
т.е. каковы условия асимптотической устойчивости схемы .
Асимптотическая устойчивость. Выход уравнения (6.4) на асимптотику
при t —> о® определяется скоростью затухания начальных данных. Приведенное в
п. 6.2.1 разложение решения и(х, f) в ряд Фурье (6.7) показывает, что медленней
всего затухает первая гармоника (q = 1, к = л/£) ut(x,0 = >4jexp(- сЛ2/)sin(Ax).
Ей соответствует множитель роста
. mi(x,/ + t) _™,2/г2 . л2 ( л2 , л2 J 2\
X, _j_a T+Ia—т| +.„=l-a-^-T + Ok I. (6.23)
Z? ( Z2 J Z?
Чтобы схема была асимптотически устойчивой, ее множители роста (6.22) не
должны превосходить по модулю величину Xj. После ряда преобразований [17,
с. 375] можно получить условие асимптотической устойчивости в виде
Асимптотическая устойчивость важна не только при решении нестационарных задач,
но и при псевдонестационарном методе решения стационарных задач (см. главу 7)
194
2
л aL
(6.24)
В частности, схема Кранка-Николсона (0 = 1/2) асимптотически устойчива не
при любом т, а только при т<7Д/сот.
Таким образом, схема (6.21) при любом 0 формально является лишь
асимптотически условно устойчивой. Однако фактически устойчивость условна
только при 0<1/2 + О(/г) (т.е. в том числе и для схемы Кранка-Николсона),
когда ограничение на шаги приобретает вид т</г-const. Если же 0 > 1/2, то
условие (6.24) требует, чтобы выполнялось неравенство
2L2 (20-1)/л2а = const, и по существу схема является асимптотически
безусловно устойчивой. При больших t схемы с 0 > 1/2 дают низкую точность,
обусловленную накопленной ошибок округления. Поэтому часто для таких
расчетов все же используют схему с 0 = 1/2.
Замечание 3. Итак, схема Кранка-Николсона находится на границе
асимптотической устойчивости. Нередко в различных частях вычислительной
области решение приближается к стационарному состоянию с различными
скоростями; тогда говорят, что уравнения являются жесткими [14, т.1, с. 320]. К
сожалению, схема Кранка-Николсона в этой ситуации часто приводит к
осциллирующему решению, которое, будучи в принципе устойчивым,
приближается к стационарному состоянию довольно медленно. В этих случаях
некоторые трехслойные по времени схемы оказываются более эффективными,
чем схема Кранка-Николсона.
Обобщенная трехслойная неявная схема
X
j J+l
п —1 < Рис. 6.7. Шабло!- трехслойнси обобщенной й схемы.
Для уравнения теплопроводности
можно составить обобщенную
трехслойную схему, охватывающую, в
частности, и уравнение (6.21).
Применительно к одномерному уравнению
(6.4) эта схема имеет вид
195
{1 + Y^+1 _а^ц„+1 + (1_е)5хл.ми]=0> (625)
где введены следующие обозначения разностных операторов:
Au^wJ-w^1, (6.26)
5 ип^~^" + и"-г
хх J . h2
(6.27)
повышенные
а у — весовой коэффициент.
Включение в схему третьего временного слоя влечет за собой
требования к объему памяти компьютера, однако в производстве
комплектующих к компьютерам давно наметились тенденции к постоянному
снижению стоимости и увеличению объема оперативной памяти. Другой
негативный эффект связан с увеличением времени исполнения вычислительного
алгоритма (примерно на 10 - 15%).
Особенно эффективная трехслойная схема получается, если выбрать
весовые коэффициенты у = 0,5 и 0 = 1,0; тогда ее называют трехслойной чисто
неявной (ТСЧН). Эта схема имеет ошибку аппроксимации порядка О(г2, h2),
является безусловно устойчивой, приводит к системе уравнений с
трехдиагональной матрицей, решаемой методом прогонки. Для этой схемы
характерно также затухание искусственно вызванных осцилляций,
обсуждавшихся выше в Замечании 3.
Схемы повышенного порядка точности можно построить, используя
конечно-элементные трехслойные схемы [14, т.1,с. 299], требующие
выполнения гораздо большего числа операций, чем схема ТСЧН или Кранка-
Николсона, но дающие значительно более точные решения, особенно на мелкой
сетке.
196
Наилучшая двухслойная схема для одномерного уравнения теплопроводности
Рассмотрим, как следует обобщать схему (6.21) на уравнение
теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности
р(х)С(х)^ =
^-Гк(х,г)^]+/(х,г),
Эх L Эх_
(6.28)
где X = Х(х, I) — коэффициент теплопроводности”; р = р(х) — плотность; С =
= С(х) — теплоемкость. Будем полагать, что плотность и теплоемкость слабо
зависят от температуры, т.е. это величины, которые могут иметь разрывы только
на границах раздела сред.
Следуя [17] (и попутно внося уточнения), рассмотрим общий случай, когда
Х(х, Г) и Дх, Г) — кусочно-непрерывные функции. Разрывы этих функций
возникают, например, на границах областей в задачах для слоистых сред (в
частности, в многослойной стенке аппарата, на границе жидкости и стенки
теплообменника и т.д.), на ударных волнах в движущейся среде. В точках разрыва
коэффициентов решение и(х, Г) будет иметь особенности, т.е. оно будет
обобщенным и, вообще говоря, не
единственным.
Для процесса теплопроводности
температура и(х, t) и поток теплоты
<7 = -Х(Эи/Эх) — непрерывные функции.
Заметим, что производные этих величин
разрывны: их имеет разрывы в точках разрыва
Х(х, Г), a qx разрывна в точках разрыва функции
Дх О-
Рис. 6.8. Шаблон для
построения консервативной
схемы.
Термин "наилучшая схема" используется здесь и повсюду в книге в узком смысле — в
литературе по численным методам [17] "наилучшими" называют схемы с высокой
точностью; например, можно показать, что для однородного стационарного уравнения
теплопроводности с переменным коэффициентом "наилучшая" схема является точной,
если интегралы (6.31) вычисляются точно
** Теплопроводность может зависеть от времени, например, при быстром старении или
деструкции материала
197
Чтобы получить численное решение, обладающее сходимостью к
физически допустимому решению при возможном наличии указанных разрывов,
составим консервативную разностную схему, используя интегро-
интерполяционный метод (см. главу 2).
Уравнение (6.28) представляет собой дивергентную форму закона
сохранения энергии. Удобно заменить его системой уравнений
рс—=-^
н аг дх
. ди
дх
(6.29)
Выберем шаблон и связанную с ним сетку (рис. 6.8) и запишем первое уравнение
системы (6.29) в виде закона сохранения энергии для этой ячейки
xJ*\tl . . г+т /+т X)+V1
JPC^"+1 -un)dx = J(dj_V2 -qj+H2)dt + J J f(x,t)dxdt. (6.30a)
XM2 t t Xj_V2
Второе уравнение системы проинтегрируем по интервалу (х}, х,+1):
Иу+1 -Иу = ~ J (6.306)
' k(x,t)
Уравнение (6.306) справедливо и при наличии разрывов функции Х(х, г)
благодаря аддитивности интегрирования.
Припишем значения температуры узлам сетки (кружки на рис. 6.8), а
значения тепловых потоков — серединам интервалов (квадратики на рис. 6.8).
Интегралы в системе уравнений (6.30) заменим квадратурными формулами. При
этом интеграл fqdt вычислим по двухточечной формуле с весом 0 на верхнем
слое и (1-9) на нижЦем, а в формуле (6.306), пользуясь непрерывностью
функции q, вынесем за знак интеграла среднее значение потока:
Y dx
uJ+l-Uj—qj+V2 J уу~у
XJ
198
В результате получим консервативную разностную схему, называемую
наилучшей:
(6.31.)
T rij nj
,.п —„и+* — »/n+1
„П _ Д Uj UJ+l „П+1 _ д Uj uj+l
9J+l/2 -Л J+V2 7 ’ ^J+l'2 -Л J+V2 7
nJ nj
где использованы обозначения
hj = xj+t~xj, Uj =^ij_l-¥hj)^Xj+vl-Xj_V2,
=
1 г ax
h: * X(x,T + t/2)
X ;
<P7 =
. t+T -*711/ 2
— f §f(x,t)dxdt.
(6.316)
(6.31b)
(6.31г)
(6.31д)
При вычислениях интегралы (6.31г) - (6.31 д) также аппроксимируют несложными
квадратурными формулами. Например, если Х(х, Г) и fix, t) непрерывны всюду,
за исключением узлов xj, то можно воспользоваться одной из следующих
приближенных формул (среднее арифметическое, среднее гармоническое и
среднее геометрическое соответственно):
«j»+l/2in+l/2
А jn+V2 1 hn+V2 , !П+1/21_ ХЛ7 J+l _ /1n+V21n+l/2
AJ^2~^j+V2~2^J +А/+1 Ъ+1 ’
имеющих место в сиду близости значений к”+1^2 и А."^2; приближенное
соотношение
„ Х/ Xj->/2 fn+l/2 XJ+l/2 XJ fn+l/2
ь Jj-V2+ fj. Jj+уг
nJ nJ
позволяет рассчитать взвешенное среднее значение функции f(x, f) в узле Xj.
Название схемы (6.31) связано с ее высокой точностью, обусловленной
применением интегро-интерполяционного метода при ее построении.
199
Подстановка (6.316) в (6.31а) приводит к системе линейных алгебраических
уравнений с трехдиагональной матрицей, решаемой методом прогонки (см. п.
10.2). Диагональные элементы преобладают, что обеспечивает единственность
разностного решения и устойчивость прогонки. В книге [17] приведены довольно
громоздкие выкладки, доказывающие условную устойчивость и сходимость
схемы второго порядка (при 0 = 1/2) на специальной сетке, узлы которой
проходят через точки разрыва функций Х(х, t) и fix, t).
Еще целый ряд примеров решения уравнения теплопроводности с
переменными коэффициентами читатель может найти в монографии [4].
Построение алгоритма решения одномерной задачи параболического типа,
описываемой уравнением в частных производных с начальными и граничными
условиями (смешанная краевая задача), разберем на следующем примере.
Пример 6.1. Рассмотрим случай нестационарного нагрева вертикально
расположенной трубы теплообменника, начальная температура которой 20°С. С
наружной стороны происходит конденсация водяного пара при температуре
120°С, внутри трубы течет вода с заданной скоростью, обеспечивающей коэффи-
циент теплоотдачи Р = 1000 Вт/^-К), с температурой на оси 20°С, эти пара-
метры можно считать неизменными по оси трубы (рис. 6.9). Стальная труба имеет
толщину стенки 8 = 5 мм; свойства материала трубы: плотность р = 7800 кг/м3,
теплоемкость С = 600 Дж/(кг-К), коэффициент теплопроводности X = 17 Вт/(м-К).
Необходимо найти нестационарное поле температур и время разогрева трубы.
Считая трубу тонкостенной, можно пренебречь кривизной поверхности и
решать задачу в декартовых осях. С достаточной для расчетов точностью можно
принять, что толщина пленки конденсата на поверхности трубы мала, и
коэффициент теплоотдачи со стороны пара чрезвычайно высок [30]. Поэтому
граничное условие при х = 0 вырождается в условие первого рода:
7'(0,/)= Twl = 393/С = const. (6.32)
Очевидно, что с внутренней стороны трубы коэффициент теплоотдачи Р
имеет умеренное значение, соответствующее граничному условию третьего рода:
200
Рис. 6.9. Нестационарный нагрев плоской стенки.
=₽(Т„2-Г„).
(6.33)
Здесь Т„ — температура жидкости на оси трубы. Напомним, что проверку
знаков в граничных условиях третьего рода проводить достаточно просто (см.
также п. 2.5). Для этого нужно вспомнить, что и левая, и правая части уравнения
(6.33) есть потоки теплоты. Рис. 6.9 подсказывает нам, что производная
температуры по переменной х в точке х = 8 отрицательна, а потому поток,
определяемый соотношением (2.40), положителен (действительно, теплота будет
передаваться от теплой стенки к холодной жидкости). Поток, записанный в
правой части выражения (6.33), также положителен, поскольку Tw2 > , что и
подтверждает правильность записи уравнения (6.33).
Учитывая одномерную постановку задачи, а также отсутствие
конвективного переноса в твердом теле, уравнение теплопроводности запишем в
виде
(6.34)
201
Уравнение (6.34) совместно с граничными условиями (6.32), (6.33) и начальным
условием
Г(х,0)=То =29381
(6.35)
описывают процесс нестационарной одномерной теплопроводности в стенке
трубы.
Решение задачи (6.32) - (6.35) можно получить в аналитическом виде,
используя, например, метод разделения переменных или преобразование Лапласа.
Сравнение численного и аналитического решений будет рассмотрено позже.
Ниже представлен алгоритм решения данной задачи конечно-разностным
методом, реализованный на языке программирования Turbo Pascal 7.0, а также в
среде MatbCAD 2000 (см. Приложение 5).
Для численного решения задачи выполним следующие этапы:
1. Вычислим коэффициент температуропроводности в уравнении (6.34) :
2. Среди методов решения уравнения теплопроводности выберем достаточно
простой, и вместе с тем дающий безусловно устойчивое и монотонное
решение с погрешностью аппроксимации О(Дг, Дх2 3 4) неявный метод,
описываемый соотношением (6.19).
3. Построим разностную сетку, приняв равномерное разбиение толщины стенки
б на М шагов: Дх = б/А/ (рис. 6.10).
4. Перепишем уравнение (6.19), связывающее значения функции во внутренних
узлах шаблона б (см. рис. 6.10), перенося известные на явном слое значения
функции и (слой и) в правую часть:
FbK$-(l+2F<>M+’ +Fou^i =-и”,
(6.36),
где Fo = аДГ/Дх2 — сеточный критерий Фурье, характеризующий
безразмерное время процесса на данной сетке.
202
а б
О
Рис. 6.10. Расчетная схема решения примера 6.1 простым неявным
методом. Шаблоны: а - включающий граничное условие первого рода;
б - для внутренних узлов; в - включающий граничное условие третьего
рода (фиктианый узел обозначен квадратом).
Сопоставив выражение (6.36) с канонической формой записи системы
уравнений с трехдиагональной матрицей (см. п. 10.2), решаемых методом
прогонки
aju^l-bjUf +ejU^i =dj, ' (6.37)
получим коэффициенты a, b, с, d для внутренних узлов сетки, т.е.
для j = 2,.... М-1:
oy=Fo; h, =l+2Fo; cy=Fo; dj=-u^. (6.38)
Достаточным условием устойчивости метода прогонки (см. п. 10.2) для
системы уравнений (6.37) является преобладание элементов на главной
диагонали (см. главу 10)
| bj |>| а,- |+| cj | , (6.39)
где хотя бы для одного j должно иметь место строгое неравенство.
Отметим, что коэффициенты а, Ь, с трехдиагональной матрицы в выражении
(6.36) удовлетворяют условию (6.39) при любых неотрицательных значениях
сеточного критерия Фурье.
203
5. На левой границе (шаблон а) задано граничное условие (6.32) первого рода,
т.е. при х = О (J = 0) значения функции известны из условия и в данном
примере равны uq+1 = Twi= 393К. Поэтому для j = 1 (см. рис. 6.10) уравнение
(6.36) следует преобразовать к виду
- (1+2Fo)«"+1 + Fou" +1 = - FouJ+1, (6.40)
т.е. коэффициенты a, b, с, d здесь определятся соотношениями
Z^=l+2Fo; q=Fo; =-uf-Fo«o+1. (6.41)
Отметим, что и эти коэффициенты удовлетворяют условию диагонального
преобладания (6.39).
6. В отличие от левой границы, значения температуры в узлах с j = M придется
рассчитывать, используя шаблон в, включающий фиктивный узел (М + 1,
л + 1) (см. рис. 6.10), граничное условие (6.33) и методику, изложенную в п.
4.3.
Простой неявный метод имеет второй порядок погрешности
аппроксимации по х, поэтому, чтобы не ухудшить общую точность
вычислений, для конечно-разностной аппроксимации производной в условии
(6.33) воспользуемся разностным выражением типа (2.6) со вторым порядком
погрешности
X.и+* .Л+1 .,«+1 / \
— =Ем+1-»м-1 +oLx4
дх м 2 Лх '' '
а в качестве температуры стенки при х = 8 следует, очевидно, принять
lw2~uM •
После подстановок граничное условие (6.33) принимает вид
“М+1 “м-1 - 2В1(“м />
(6.42)
204
где Bi = рДх/Х — сеточный критерий Био, характеризующий отношение
интенсивности теплоотдачи с поверхности трубы к интенсивности переноса
внутри нее на выбранной сетке.
Выражая из соотношения (6.42) значение температуры в фиктивном узле
Mw+1 и подставляя его в конечно-разностную аппроксимацию уравнения
теплопроводности в форме (4.2) (см. главу 4), найдем специальный вид
уравнения для правого крайнего узла (/' = Л/):
2Fo - [1 + 2Fo(l + Bi)] им1 = - 2FoBiT„. (6.43)
Сопоставление выражения (6.43) с канонической формой записи (6.37) дает
значения коэффициентов матрицы для последнего узла:
ам =2Fo; bM =l+2Fo(l + Bi); eM=0; dM = -ипм-2FoBi7„. (6.44)
Условие диагонального преобладания (6.39) выполняется и в этом случае
при любых неотрицательных значениях критериев Фурье и Био.
. Итак, мы располагаем выражениями (6.38), (6.41), (6.44) для расчета
коэффициентов a, b, с, d во всех узлах сетки. Теперь следует выбрать число
разбиений М по оси х, а также шаг по времени Аг.
Порядок погрешности аппроксимации простой неявной схемы О(Д1, Дх2),
поэтому для предварительных грубых расчетов и отладки программы можно
принять М = 10. В дальнейшем это число может быть увеличено.
Простая неявная схема является абсолютно устойчивой, т.е. с точки зрения
устойчивости по Нейману допустимо любое значение шага по времени Дг.
Очевидно, однако, что слишком большой шаг по времени обусловит
чрезмерно высокую погрешность расчетов, ибо порядок погрешности данной
схемы по времени — первый. С другой стороны, слишком мелкий шаг
приводит к накоплению погрешностей округления.
205
Практика расчетов, показывает, что шаг по времени Аг удобно определять
по формуле А/ - Ax2Fo/a, принимая сеточное число Фурье равным
небольшой константе, например, Fo = 1, т.е.
\t = ^x1/a. (6.45)
8. Следующий этап решения задачи — составление программы, позволяющей:
а) решить систему (6.32) - (6.35), используя метод прогонки применительно
к системе линейных алгебраических уравнений с коэффициентами а, Ь, с, d,
определяемыми соотношениями (6.38), (6.41), (6.44);
б) в каждом глобальном цикле (по временному шагу) проверять близость
температурного поля стационарному;
в) при изменении теплосодержания стенки на некоторое значение* АТС
производить запись результатов в файл либо их вывод на монитор (в процессе
отладки), здесь АТС = (TCk - TC0)/N, где ТСО — начальное
теплосодержание, ТСк — ожидаемое конечное теплосодержание (во многих
задачах можно дать хотя бы оценку этой величины), N — предполагаемое
число записей результатов расчета поля температур в файл.
Текст программы, реализующей этот алгоритм на языке Turbo Pascal, а
также результаты расчета при М = 10 в виде таблицы и графиков
представлены ниже.
Дадим краткое описание программы Primer61.pas. Первый раздел
программы содержит описания используемых глобальных констант, типов,
переменных и процедуры Progonka.
Важным моментом является выбор типа переменной, описывающей
температуру. Эта величина зависит от х и t, и казалось бы, должна быть
двумерным массивом. Однако данная задача является маршевой, и момент
окончания счета, а значит и число временных слоев (и) заранее не известны.
* Здесь и далее при описании программ использованы принятые в программировании
буквенно-цифровые комбинации символов, представляющие собой идентификаторы
(имена) переменных и констант; например, ДТС—изменение ТеплоСодержания
206
Поэтому были введены две переменные пользовательского типа — векторы
VecO размером М + 1, а именно и и ul. Первая из них описывает значения
температуры на n-м (явном) слое, вторая на (п + 1)-м (неявном). В конце
каждого глобального временного цикла Repeat-Until происходит
передача данных, т.е. неявный слой становится явным для следующего слоя.
Оператором BBGIH открывается исполнительный раздел программы.
После ввода исходных данных и расчета физических и сеточных констант в
цикле по j задают начальные условия, а также рассчитывают сумму
температур в узлах ТСО, характеризующую начальное теплосодержание
стенки (Q ~ JCpTdV), находят величины тск (предполагая конечное
распределение температур близким к линейному) и dTC « (тск-тсо)/ы.
Отметим, что уже на нулевом слое температура на левой границе и[0]
Twl [расшифровку обозначений см. в формулах (6.32) - (6.35) и рис. 6.9; так,
температура на поверхности стенки согласно формуле (6.32) обозначена Twl
и остальные величины — по аналогичному принципу].
Файловой переменной fl приписывают полный путь
'c:\tp\doc\Primer61.dat' (указанный каталог'должен существовать
на диске С:), и файл Prlmer61.dat вновь создается и открывается для
записи результатов.
После расчета все коэффициенты трехдиагональной матрицы передают в
процедуру прогонки, которая возвращает в программу значения температур
на неявном слое. Для оценки степени нестационарности процесса можно
воспользоваться среднеквадратическим отклонением значений температур в
узлах на неявном и явном слоях (гильбертова норма), отнесенным к среднему
значению температур внешних сред (Eps). Сравнение этой величины с
заданной точностью TOL служит условием остановки цикла Repeat -Until.
В каждом временном цикле рассчитывают также сумму температур в узлах
ТМ, характеризующую "мгновенное" теплосодержание стенки. Превышение
ею величины ТС + i*dTC является условием пополнения файла с
результатами очередной строкой, где 1 — номер строки.
207
Кроме того, последняя строка заполняется при условии достижения
заданной точности расчетов, т.е. при выполнении неравенства Eps < TOL.
Это позволяет определять распределение температур, а также время
стабилизации температур именно в момент достижения заданной точности
TOL.
В заключение добавим, что в файл результатов программа выводит
продолжительность процесса Time, безразмерную координату х/8, и
безразмерную температуру в = (Т— То — Tq ).
Анализируя результаты расчетов, отметим следующие важные
обстоятельства:
1) На первом же временном слое значения безразмерных температур от-
личны от нуля, поскольку в процессах, описываемых параболическими урав-
нениями, возмущения распространяются мгновенно (скорость распростране-
ния возмущений равна бесконечности, в отличие от гиперболических
уравнений, в которых эта скорость конечна; см. также главу 8).
2) При установлении стационарного режима (/ —> °°) распределение
температур по толщине стенки становится линейным. Это обусловлено тем,
что при стабилизации процесса имеем ЪТ/dt —>0, и, следовательно,
й2т/йл'2 ->0*.
Полученное в результате расчетов нестационарное поле температур
позволяет при необходимости найти такие параметры, как мгновенные градиенты
температур на границах (а значит и тепловые потоки), общее приращение
теплосодержания стенки трубы, время выхода на стационарный режим (в данном
примере с учетом принятой точности оно составляет 11,494 с при шаге по
времени 0,069 с).
’ При температуропроводности стенки, зависящей от температуры, стационарный
процесс уже нс будет описываться линейным распределением температур
208
Текст программы Primgr61.pas
Frogram Prlmer61; {Решение задачи теплопроводности}
Conat
М > 10;
тур*
Vec в array [1..М] of Real;
VecO * array (0..M] of Real;
Var
i,J,N t Byte; Alfa, Ro,Ср, Tlambda ; Real;
a,b,c,d Vec; dx, dt, Fo, Bi : Real;
u,ul VecO; Twl, T8, TO, Beta : Real;
Epa, TOL 5 Real; Delta, Time : Real;
Fl Text; DeltaT, ти, TCO : Real;
{ TCk, die : Real;
Procedure Progonkafa.b,c,d:vec; Var xsvecO);
Var 1: byte;
g: vecO;
begin
x[0]:b 0; д[0];в 0;
For 1:b1 to M do
begin
д[0]:в b[i] - ati]«g[i-l];
g[l]:e c[i]/g[0];
x[il.в (a[iJ*x[i-U-d[i])/g[0];
end; <i}
For 1;в м downto 2 do
x[i-l]:=x[i]*g[i-l]+x[i-l];
end;{прогонка}
<------------------------------------------------------------}
BBOIN
Ср:в 600; TwIsb 393; {Исходные данные}
Lambda:в 17; T8:b 293;
Ro:b 7.8e3; T0:b 293;
Beta:» le3; Delta:в 5e-3;
Fo:b 1; TOL:в 5e-5; N;b io
209
Alfa:= Lambda/Cp/Ro; {Расчет констан®}
dx: = Delta/M;
dt:= Sqr(dx)*Fo/Alfa;
Delta!:= Twl - TO;
Bi: = Beta*dx/Lambda;
u[0]:= Twl; {Начальные условия}
For j:= 1 to M do u[j]:= TO;
TCO: = (u [0]+u [M] )/2;
TCk:= TCO*M;
атс = (TCk-TCO)ZN;
For j:= 1 to M-l do TC: = TC + u[j];
Time: = 0; i:= 0;
<$!-}
Assign!fl,c:\tp\doc\Primer61.dat);
Rewrite(fl); {Создание и открытие файла данных}
Write(f1,1X/Delta,% );
For j: = 0 to И do Write(fl,j/M*100:6:0);
Write(fl,Time:10,‘ ');
For j:= 0 to M do Write(fl,(u[j]-TO)/DeltaT*100:6:2);
Repeat
Tirae:= Time+dt;
Eps: = 0;
b[l]:= 2*FO+1; c[l]:= Fo; dll]:= -u[1]-Fo*Twl;
For j:= 2 to M-1 do
begin
a[j]:= Fo; b[j]:= 2*Fo+l; c[j]:= Fo;
dtj]:- -u[j];
end; (For)
a[M]:= 2*Fo; b[M]:= 2*Fo*(l+Bi)+l;
d[M]:= -u[M]-2*Fo*Bi*T8;
210
Progonka(a,b,c,d,ul);
ul[O]:= u[OJ;
For j:= 0 to M do
Eps: = Eps + Sqr(ul[j] - u[j]);
Eps: = Sqrt(Eps/M)*2/(T8+Twl);
TM: = (ul[0]+ul[M])/2;
For j: = 1 to M-l do TM: = TH + ul[j);
If (TH > TC + i*dTC) or (Eps < TOL) Then (Условие)
Begin {записи результатов в файл данных)
i= i + 1;
Write(fl,Time:10,1 ');
For js= 0 to M do Write(fl,(ul[j]-
TO)/DeltaT*100•6 s2);
end;
For j:= 0 to M do u[j]:= ul[jl;
Until Eps < TOL;
Close(fl);
{$!+)
END.
(Закрытие файла данных)
Таблица 6.1
Результаты решения примера 6.1, выведенные программой Primer61 .pas в
файл данных Primer61 .dat
X/Delta,% 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
О.ОООЕ+ОО 100.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
6.882Е-02 100.00 38.20 14.59 5.57 2.13 0.81 0.31 0.12 0.05 0.02 0.01
2.065Е-01 100.00 64.22 37.39 20.31 10.49 5.21 2.52 1.19 0.57 0.29 0.22
3.441Е-01 100.00 73.17 49.91 32.03 19.51 11.38 6.40 3.52 1.94 1.17 0.93
4.818Е-01 100.00 77.71 57.37
40.35 27.14 17.54 10.98
6.73 4.16 2.79 2.33
6.882Е-01 100.00 81.60 64.27 48.87 35.93 25.61 17.81 12.24 8.55 6.42 5.64
9.635Е-01 100.00 84.63 69.89 56.31 44.32 34.18 25.98 19.71 15.28 12.56 11.45
1.239Е+00 100.00 86.61 73.65 61.51 50.55 40.99 33.01 26.70 22.07 19.12 17.80
1.583Е+00 100.00 88.39 77.10 66.42 56.62 47.93 40.52 34.52 29.99 26.98 25.48
1.996Е+00 100.00 90.01 80.27 71.00 62.42 54.73 48.07 42.57 38.32 35.37 33.74
2.546Е+00 100.00 91.68 83.54 75.76 68.51 61.95 56.19 51.34 47.49 44.66 42.88
3.166Е+00 100.00 93.10 86.35 79.86 73.78 68.22 63.28 59.03 55.54 52.83 50.94
4.129Е+00 100.00 94.68 89.45 84.40 79.62 75.17 71.14 67.56 64.48 61.93 59.90
5.644Е+00 100.00 96.14 92.33 88.62 85.04 81.64 78.45 75.49 72.80 70.38 68.24
0 20 40 60 80 100
X/Delta, %
Рис. 6.11. Графическое представление данных файла Primer61.dat с
результатами расчетов программы Primer61.pas, полученное с
использованием пакета MS Excel.
212
В программе, реализованной в среде MathCAD 2000 (см. Приложение 5),
приведено сравнение полученного численного решения с аналитическим.
Аналитическое решение находилось методом разделения переменных [8, 24, 25].
Для перехода от неоднородных граничных условий (6.32), (6.33) к однородным
исходная переменная u(x,f) заменялась новой:
м’(х,/) = и(х,1) —
Т Т'л +В1-72/ х
8) 1 + BI 8
где BI = Р8/Л — число Био, рассчитанное по толщине стенки 8.
Аналогично преобразовывались и начальные условия (см. Приложение 5),
приобретая вид
V(z) = То -
^1 + BI~ T2f
1 + ВГ
где z = л/8 — безразмерная пространственная переменная.
Уравнение для поиска собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля [8]
tgA = -
А
BI
решалось численно (обратите внимание на важность удачного выбора начального
приближения). Коэффициенты при синусоидальных гармониках определяются по
формуле [8]
А» --—fv(^)-sin(A„^X.
A„ -sinA„cosA„ '
Таким образом, аналитическое решение задачи методом Фурье дается
бесконечным рядом
и( х, Г) = У Ап ехр(- А^ Fo)- sinf ] + 7lvl f 1 -—]+———-——
V I 5 J L I 8 J 1 + BI 8
,(6.46)
213
где FO = оч/82 — число Фурье, рассчитанное по толщине стенки 8.
Первое слагаемое в уравнении (6.46) характеризует нестационарность
процесса и определяется влиянием начальных условий, второе зависит от
граничных условий (в данном примере — стационарных).
В Приложении 5 проведено сравнение численного (матрица U) и
аналитического (матрица UA) решений. Там же графически представлена
зависимость отклонения этих двух решений. Мы провели ряд вычислений при
различных значениях числа М узлов сетки по оси х и верхнем пределе частной
суммы N в уравнении (6.46) (на практике приходится заменять бесконечную
сумму конечной, т.е. частной); максимальные значения отклонений
max | U - UA | представлены в таблице 6.2.
Таблица 6.2
Максимальное отклонение численного U и аналитического UA решений
N 10 12 20 30 40 50
max | U - UA |, К М= 10 17,98 14,51 9,76 9,75 9,75 —
М = 20 17,98 14,51 17,92 6,65 9,73 4,09
Из данных, представленных в таблице, видно, что с ростом числа N при
постоянном числе М максимальное отклонение асимптотически уменьшается.
Важно заметить при этом, что в данном примере численное решение на первых
временных слоях даже более корректно описывает распределение температур,
поскольку при конечном числе слагаемых ряд Фурье не может абсолютно точно
аппроксимировать импульсное граничное условие [26], которое мы имеем здесь
при л = 0. Из графика функции (U - UA) (см. Приложение 5) видно, что именно
вблизи нулевого слоя разложение (6.46) с конечным числом членов ряда имеет
осциллирующий характер, а максимальное отклонение находится в узле с
номером j = 1, i - 1.
Таким образом, мы видим, что при сопоставимой сложности выкладок,
проводимых перед построением программы для расчета поля температур, метод
конечных разностей имеет определенные преимущества перед аналитическим
методом. Практическое использование метода Фурье тоже сопряжено с
214
приближенными вычислениями: при нахождении собственных чисел, при замене
бесконечной суммы ряда конечной. Это, однако, нисколько не умаляет
теоретических достоинств аналитических методов, заключающихся в
возможности легко анализировать свойства решения, получать общее решение
для целого класса задач и т.д.
6.2.4. Наилучшая схема для одномерного уравнения теплопроводности в
цилиндрических и сферических координатах
Многие двух- и трехмерные задачи обладают цилиндрической или
сферической симметрией и могут быть сведены к одномерной форме.
Цилиндрическая симметрия имеется в задачах об остывании длинной
толстостенной трубы, в задачах о нестационарной фильтрации через трубчатый
фильтр и т.п. Сферическая симметрия характерна для задач о теплоотводе от
зерна катализатора, от частицы, остывающей при падении в потоке газа, и др.
Вследствие одномерности все величины зависят только от радиуса. Тогда
параболическое уравнение с переменными коэффициентами в соответствующих
координатах примет вид [сравните с уравнением (6.29)]
4
(6.47)
г)С(г)^- = —- |Цгкд)+ f(r,
dt rK dr v ’ v
dr
где к — константа, определенная в таблице 5.1. В формуле (6.47) и далее
верхний индекс при г означает показатель степени, а не номер слоя.
Для уравнения (6.47) можно построить консервативную разностную схему,
являющуюся обобщением наилучшей схемы (6.31). Для этого умножим первое
уравнение (6.47) на rKdrdt и проинтегрируем его в пространстве (г, i), а второе
уравнение — по радиусу, реализуя тем самым интегро-интерполяционный метод
[сравните с выводом уравнений (6.30)]:
rJtl/2 t+1, . t+1 rplp.
JpQ<"+1 - w")r\fr = J~ r/K+l/29./+l/2M + f dt J f(r,t)dr ,(6.48a)
'7-1'2
215
r/+i
WJ+1 ~uj = - f TT~.dr (6.486)
J J J rdj,t)
rj
Уравнение (6.48a) есть интегральная запись закона сохранения энергии.
Вычислим интеграл в его левой части:
Г/+1,'2
где Vj есть объем единичного цилиндрического или сферического слоя:
1 Lk+1 _гк+1
K + 1V+1/2 7-1/2Л
Аппроксимируя остальные интегралы так же, как при выводе уравнени^_(6.31),
получим разностную схему с весами:
(г1 -7(ма «"в - Я/мУ
+ -J- fe/2 «"-1/2 - 'Aw «>V2 )+ Vj
y J
(6.49a)
^7+1,2
~ Л7+(/2
(6.496)
где использованы обозначения
_ Гм гг
^j+\'2 -
1 'г' dr
hj ' Л(г./ + т/2)
in rj+V2
J dt jf(r,t)rKdr .
1 rJ-V2
(6.49в)
(6.49r)
(6.49д)
Исследование этой схемы проводится аналогично исследованию схемы (6.31).
216
Вопросы построения и аппроксимации граничных условий описаны в главе
4. Для задач с цилиндрической и сферической симметрией характерно, что на оси
(или в центре симметрии) естественно граничное условие
q(fi,t) = 0,
означающее симметрию поля температур относительно оси (или центра
симметрии). В этом случае вводят фиктивный узел, как это обычно делают при
аппроксимации граничных условий второго рода (см. п. 4.2).
6.2.5. Методы решения нелинейного уравнения теплопроводности
Порой в вычислительной практике возникают задачи, описываемые
нелинейным уравнением теплопроводности, которое в одномерном случае имеет
вид
р(х)С(х)
ot
д
Эх
1 /
k(x,t,u)~
Эх
Л>0
(6.50)
f(x.t,u).
Аналогичное по структуре уравнение описывает нестационарную ламинарную
фильтрацию газа через неподвижный слой мелкозернистого порошка в трубе
д ( др\
dt Эх|^ Эх J’
(6.50а)
где р — давление газа, е — порозность слоя, аф > 0 — константа фильтрации
(см. пример 6.2).
Определенное сходство с формулой (6.50) имеет также уравнение ламинарного
течения неньютоновских жидкостей
Р(х)^=^|н(»г)^1-ЛД
at az L az
Ц>0,
(6.506)
где f — градиент давления; однако, здесь коэффициент вязкости ц зависит
уже не от самой скорости и, а от ее производной и..
Примеры решения уравнений (6.50а), (6.506) представлены в главе 9.
217
Численное решение нелинейных задач теплопроводности сопряжено с
определенными трудностями, которые можно свести к двум положениям:
1) В таких задачах коэффициент Л сильно зависит от температуры*.
Поэтому явные схемы для уравнений (6.50) - (6.506) совершенно непригодны из-
за сильного ограничения на шаг, и расчет надо вести по безусловно устойчивым
неявным схемам с весом 0 > 1/2.
2) У нелинейного уравнения теплопроводности существуют решения,
производные которых в некоторых точках обращаются в бесконечность.
Примером такого решения является так называемая бегущая тепловая волна [17,
с. 294], на фронте которой и* = Такие решения близки к разрывным, и при их
расчете по немонотонным, хотя и устойчивым схемам (например, по схеме типа
Кранка-Николсона с весом 0 = 1/2) возникают пространственные осцилляции
решения, т.е. так называемая "разболтка".
Поэтому для численного решения уравнения (6.50) целесообразно
использовать чисто неявные схемы с весом 6=1, которые устойчивы и
монотонны при любых шагах. Ограничиваясь для простоты записи равномерной
сеткой, рассмотрим два варианта таких схем:
линейный вариант:
PjCj / и+1 1 ГлЛ £,И+1 Л« £,И+1 „И
т Wj и])~ ^2 LA/+V2V./+1 Uj I Aj-V2\wj W./-1/J+<P/’ (6-51)
нелинейный вариант:
VjCj_ L.n+l _ ,.n [ли+1 _„«+Л_ An+1 hn+1 -„n+11Lm”+1
Uj)- |A7+1/2\WJ+1 J / У-1/2Г7 W2-1/J+<P/ ,(6.52)
b rl
Здесь Л определяется формулами типа среднего арифметического или среднего
геометрического и т.д. [см. комментарии к формуле (6.31г)], например:
* По данным книги [17] Х(и) = и , V = 5/2 для электронной теплопроводности плазмы и
v ~ 5-8 для лучистой теплопроводности.
218
или
Л"+1.
7+1/2
— 1 ' [ и+1
-Л Xj+V2,t„+i, 2\Uj
аналогично определяется <р.
Обе схемы — (6.51) и (6.52) — абсолютно устойчивы, консервативны,
монотонны и на четырежды непрерывно дифференцируемых решениях имеют
погрешность аппроксимации порядка О(т, /г2).
Следуя монографии [17], проведем сравнение этих схем между собой.
Линейный вариант* (6.51) проще. Хотя в строгом смысле уравнение (6.51)
нелинейно по и, его называют линейным, поскольку коэффициенты Л”+1,2
зависят только от решения и1 на явном слое. Из линейности и преобладания
диагональных элементов матрицы следует существование и единственность
разностного решения и-1*1. Это решение вычисляется прогонкой, так что
алгоритм расчета прост и разработка соответствующей программы для ЭВМ не
вызывает сложностей.
Нелинейный вариант (6.52) содержит дополнительную зависимость
Л"+1|у7(му+1,м"+11), благодаря чему система алгебраических уравнений (6.52)
нелинейна относительно и/+'. Очевидно, если т —> 0, то и/1+1 —> и", поэтому
при достаточно малом т должно существовать единственное решение системы
(6.52). Но при большом т система (6.52) может и не иметь вещественного
решения.
Вычислять решение системы (6.52) можно двумя способами, известными
из теории приближенного решения нелинейных алгебраических уравнений.
Первый способ — метод последовательных приближений, в котором значения
Л" ,,9 и <p'J берутся с предыдущей итерации:
Иногда его называют методом запаздывающих коэффициентов [13]
219
Р'С
у~АиГ\ s~ulF
г \ J (s) j f
1 Г ли+l | n+1
,2 | Л./+| 2(л-1)\ '+1(л)
А«+1 к/п+1
(s)
_ ,.n+l
ui-'(s)
, (6.53)
JG-1)
Л"*1.,, =Л"+1|
ИП+1 I
и"+1
J (0)
— и
где ,s — номер итерации.
В качестве нулевого приближения берутся значения с известного (явного) слоя.
Величины и7+\ ,
' (О
находят из (6.53) прогонкой. Условие окончания итераций
|и"+1(5) - un+\s-1)| < е , где е — заданная точность. Итерации (6.53) сходятся
линейно и обычно не слишком быстро; они могут и расходиться, и тогда расчет
ведут с фиксированным числом (2 или 3) итераций. Отметим, что при 5=1 в
формуле (6.53) нелинейная схема (6.52) совпадает с линейной (6.51).
Второй способ решения системы (6.53) — метод Ньютона. Подставим в
уравнения (6.52) и/1+1 в форме un,+1 = + 8и;+1 . Разложим произведение
7 7 (‘О 7 (-5)
Л/+1,2(Mj+1 ~uj) на (з+1)-й итерации в ряд Тейлора, удерживая только
линейные члены (верхние индексы для упрощения записи опустим):
Л>+1/2(5+1)
- Лл1'2(Л.) +ч+1(5) г ^j(s)+Ч(5) /1+
аЛ./Ч1,.2
Эи7+1
Чл>)Ь+1Ь.)-%)К
<5)
Vi-V2i О (
aJTl ЧК>
МАл)/'
V-Z+ks+D M'(.s+I)
Проводя таким образом линеаризацию уравнения (6.52), получим громоздкие
уравнения, линейные и трехточечные относительно приращения 8и"+1
(5) ’
ah л+сп v
J(s) J l(s) J(s) •/ (i) J(s) ДО
U i , — U i , + OU j ,
2 (.s+1) J (s) J (s)’
(6.54)
220
где
ai
n+1 ^7~V2 (n+1 _„л+1 )
du”+l '7 '"'(.s)/’
2f PjCj Эф"+Ч
диГ1
ЗдП+1 /
dA./+l/21и+1
л+1 , аЛ+1
l7+V2(s) +Л /-1/2(л.) -
i 1 ЭЛМ“
(л)'+ Эи"+1
./-1/2 l.,n+l -.,/!+! I
J (s') j~^(s}l’
Cj(s)
1 аЛ"11/7
- лл+1 I J+V2
y+V2W ди"?Г
-un+l
j (s')
Р/С/
un+l -un
J (л) 2(5) n+l
T (л)
_ A«+1 ...
/VJ+V2(.S) ^7+1(5)
•n+1 -U‘
= r
т
n+1 _
lJ-1/2(s)V7 (s)
n+1 -u‘
Частные производные здесь также рассчитываются на каждой s-й итерации.
На каждой итерации уравнения (6.54) решают прогонкой. Полученный
итерационный процесс сходится, если шаг т не слишком велик, причем вблизи
корня сходимость квадратична. Если сходимость недостаточно быстрая (число
итераций превышает 5-10), то целесообразней не ограничивать число итераций,
а уменьшать шаг т.
Практика численных расчетов показала, что фактическая точность расчета
по нелинейной схеме (6.52) обычно существенно лучше, чем по линейному
варианту (6.51). Это позволяет вести расчет с более крупным шагом т, и
поэтому объем вычислений, требующийся для достижения заданной точности,
получается меньше. Поэтому нелинейная схема (6.52), несмотря на свою
сложность, выгоднее линейного варианта (6.51), особенно при решении так
называемых больших задач, описываемых большим числом уравнений в частных
221
производных. Один из примеров таких задач — течение жидкости, описываемое
уравнениями Навье-Стокса и уравнением неразрывности [13].
Пример 6.2. Через цилиндрическую трубу длиной L - 2 м и диаметром
D = 100 мм, заполненную порошковым материалом (размер частиц 6 = 100 мкм,
порозность е = 0,35 = const), происходит фильтрация воздуха в осевом
направлении при температуре 293 К. Начальное давление воздуха в поровом
пространстве р0 = 105 Па. Воздух подается слева с постоянным давлением р =
= 1Д-105 Па, правый конец трубы заглушен. Используя равномерную сетку,
рассчитать нестационарное поле давлений в трубе, а также зависимость
массовой подачи воздуха в трубу от времени.
1. Для начала покажем, как получено уравнение (6.50а). Запишем уравнение
неразрывности для воздуха, заполняющего объем порового пространства [22]
+ div(pve) = 0, (6.55)
dt
где v — истинная скорость газа в межзерновых каналах, определяемая в
одномерном случае соотношением
аф др
е дх
(6.56)
Воспользуемся также уравнением состояния идеального газа
где Н — молярная масса газа, R — универсальная газовая постоянная,
Т — температура газа.
При изотермической фильтрации из (6.55) - (6.57) нетрудно получить
уравнение (6.50а). Принимая во внимание, что в рассматриваемом примере
е = const4 аф — const и вводя обозначение a f - аф /Е, уравнение фильтрации
удобно переписать в виде
др _ д
dt дх
afP
ЭрА
Эх j
(6.58)
222
где а} — коэффициент, вычисляемый по формуле
2p£2.S’2(l-£)2
(6.59)
Здесь р. — динамическая вязкость газа, t, — коэффициент извилистости
межзерновых каналов, S = 6/8 — удельная поверхность частиц. Коэффици-
ент извилистости можно рассчитать по одной из формул*
£=1 + 2-1 (1-£)2/3’
(6.60)
либо [22]
и Л
£ = £+-(!-£).
(6.61)
2. Сформулируем краевые условия. Начальное условие р(х, О) = рГь граничные:
на левой границе р(0, t) = pi = 1,1-iO5 Па, на правой границе расход газа
отсутствует, т.е. массовый расход газа, определяемый формулой
_ лО2 лО2 др
Gg = = га/ л РгГ
s 4 J 4 дх
(6.62)
здесь равен нулю. Следовательно, на правой границе справедливо
выражение
= 0.
(6.63)
3. Перейдем к разработке программы. Сначала рассчитаем поле давлений по
линейному варианту. Введем равномерную сетку с числом узлов М по оси х.
Для уравнения фильтрации (6.58) коэффициенты Л”+)у2 можно определить
Часто принимают квазитеорстическос значение £=1,5 [42, с. 36]
223
как среднее арифметическое давлений на известном слое, поэтому линейный
вариант разностной схемы будет иметь вид
(6.64)
где Q = OfT/h2.
Приводя уравнение (6.64) к "каноническому" виду, решаемому прогонкой
(см. п. 10.2), получим коэффициенты трехдиагональной матрицы для
aj - Q^j + uj-i bj - 2 + q(u”+1 + 2u" + w"_1); cj - c(w"+i + u" ); dj = -2и".
4. Теперь нужно аппроксимировать граничные условия. Поскольку здесь
граничные условия слева — первого рода, а справа — второго рода, мы
можем воспользоваться схемой разностной сетки на рис. 6.10,
использовавшейся в Примере 6.1. На левой границе давление постоянно,
поэтому «о"+1 = «о" = pi- Тогда коэффициенты щ, bi, сь di можно рассчитать
по общим формулам, при этом величина щ подпрограммой прогонки
учитываться не будет, а элемент свободного столбца нужно пересчитать по
формуле di '.= dy - aj uj1. На правой границе давление отлично от нуля в
любой момент времени, поэтому из соотношения (6.63) следует (др/дх)[ = О.
Для сохранения второго порядка погрешности 'аппроксимации на правой
границе введем фиктивный узел с номером М+1 (см. рис. 6.10), тогда
граничное условие справа примет вид
2\ \ П П
°Р j _ иМ+\ ~ иМ-1 _ о
Эх JL 2/i
откуда находим давление в фиктивном узле = и'м~\- Подставляя это
равенство в (6.64) при j = М, получим коэффициенты трехдиагональной
матрицы:
224
ам - + им-i ); bM - 2 + 2(Дцд/ + uM_\ J; cM - 0; dM - -2ид/.
5. Распечатка программы представлена в Приложении 6. По своей структуре
она аналогична программе, разработанной для решения Примера 6.1. Шаг т
выбирался исходя из сеточного числа Фурье, определенного по начальному
давлению как Fo = <ау тр0 /2й2. Давление на явном слое описано переменной
и, на неявном слое — ul. В качестве интегрального показателя процесса
насыщения пор сжатым газом здесь используется масса воздуха в порах —
начальная МС и текущая Mt. Одновременно с пополнением массива
давлений U происходил расчет массового расхода газа Gg на левом конце
трубы согласно формуле (6.62), в которой использована трехточечная
аппроксимация др/дх типа (2.27). Критерием стабилизации поля давлений
служило условие Eps < TOL, где Eps — максимальное относительное
отклонение поля давлений на двух последних слоях, TOL — заданная
точность; в этом случае заполнялись последние строки массивов t, U и Gg.
6. Сравним полученное численное решение с точным хотя бы при
установившемся режиме (аналитическое решение данной задачи в принципе
можно получить вариационными методами, методом моментов и другими —
см. Введение). При t —> °° имеем dp/dt = 0, тогда из уравнения (6.58) следует
Э
Эх
afp^
= 0.
Дважды интегрируя это уравнение, получим
Эр С] р2_С,
Р - - — - • ,-----X + С<2
ox af 2 cif
с константами интегрирования Сь С2. Мы знаем, что на правой границе
G„ ~ р~ =0, откуда следует = 0. Из граничного условия при х = 0
® дх
легко получить С2=р12/2. Таким образом, распределение давления
стремится к постоянному, равному p(x)=pt. В Приложении 6 приведен
график распределения давления по длине трубы при установившемся
225
режиме. Относительное отклонение численного решения от точного не
превышает 0,5%.
7. Перейдем к построению программы для нелинейного варианта разностной
схемы. Для отыскания коэффициентов a, b, с, d в первой из формул (6.54)
можно воспользоваться разложением в ряд Тейлора с сохранением лишь
линейных членов, как это описано выше* [см. вывод уравнений (6.54)],
однако в данной задаче удобней провести линеаризацию, используя
особенности исходного ДУЧП. Действительно, нелинейный вариант
разностной схемы имеет вид (номер итераций условно не указан)
М7 ~UJ-Q
,/'+1 4- J/1+1 / \
7+1 LH+I
V7+1 uj )
„ л+1 , Л п+1 . ,
и] +L п+1 и+1
—-------—-It/; “H.-i I ,
9 \ J J 1 / ’
ИЛИ
(6.65)
К этому же результату можно придти, переписав ДУЧП (6.58) в форме
др_1 Э2(р2)
dt г’' dx1'
8. Положим, что u'j+l (номер итерации условно опускаем) можно представить
согласно второй формуле (6.54). Тогда, пренебрегая величинами второго
порядка малости, запишем
(д"+1)2 =(м”+‘ +8и"+1)2 -unj+i + 2w”+15i/”+1 +(Si/”+1)2 "=H-+1 +2m”+i8u;?+1.
Подставляя это линеаризованное представление (иу+1) в (6.65), после
несложных преобразований получим линейную систему алгебраических
уравнений с трехдиагональной матрицей:
Предлагаем читателю для тренировки самостоятельно провести эти выкладки и
сравнить результат с представленными здесь формулами
226
a(s)^uj-l(s) (s') +c(sfiuj+l(s)
„ rc+1 И+1 . $Г,,И+1
W i = U i + OM; z ,
J (s+1) J (S) J (s)’
- d(s},
(6.66)
j = 1, ...,M -1, где коэффициенты a, b, c, d вычисляются по формулам
ai, „ =Qiin;-l, , b„ , =l + 2Qunj+\ с=, =Qu”iti, ,
J(s) J *(«) 7(0 J GO 7G0 7+,GO
j _ и+1 Q L.«+1 г э1.,и+1 Г . L”+*
dJ\s) J (j) J 2L 7+1(i) '7
9. Граничные условия для нелинейного варианта формулируются, пожалуй,
даже проще, чем для линейного. Действительно, поскольку на левой границе
давление поддерживается постоянным, т.е. «o"+1 = uq" , то Зиц = 0. Это
означает, что для j = 1 коэффициенты a, b, с, d определяются по общим
формулам. Можно достаточно строго доказать, что из граничного условия на
правой границе следует выражение для приращения в фиктивном узле*
8мд/|1( 4) = . Нам кажется естественным допущение, что симметрия
на правой границе, приводящая к формуле = ий > может быть
расширена и на приращение функции 8и. Отсюда вытекает, что коэффициент
Сл< = 0; Ьм вычисляется по общим формулам, тогда aM(s^ =^QuM-1(s)’
j _____,.И гэ
ЙМ(л ) - МЛ/ (,v) - UM ~ V
Условие преобладания диагональных элементов соблюдается, поэтому для
решения полученной системы алгебраических уравнений можно
воспользоваться прогонкой.
10. Особенности построения программного блока для нелинейного варианта
заключаются в следующем. Перед началом счета операцией присвоения
ul < н заполняется одномерный массив ul на новом слое; это необходимо
для начала счета. Внутри итерационного цикла после расчета коэффициентов
Сначала это равенство можно доказать для случая s = 0, а затем применить метод
математической индукции
227
a, b, c, d выполняется прогонка, дающая очередное значение одномерного
массива 8и; сложением 8u+ul находим ul на новой итерации. В процессе
выполнения итераций рассчитывается критерий их сходимости Мах, в
качестве которого мы приняли максимальный модуль приращения 8и.
Одновременно счетчик итераций s увеличивается на единицу. Итерации
повторяются до тех пор, пока не будет достигнуто условие Мах < tol, где
to!— допустимое абсолютное значение приращения 8и. После окончания
итераций на данном временном слое вычисляется величина Eps, по-
прежнему характеризующая степень приближения поля давлений к
стационарному. Операцией присвоения u < ul данные на новом, только что
рассчитанном слое, объявляются известными на явном слое, что позволяет
переходить к новому временному слою. Блок заполнения массивов U и Gg
реализован так же, как и в линейном варианте.
11. При заданных условиях задачи оказалось, что при tol = 1 Па число итераций
s не превышает 2, а при tol = 0,1 Па s < 4, при этом фактически Мах ~ 10 5.
Таким образом, в отличие от линейного варианта, в нелинейном в известном
смысле доступно управление точностью вычислительного процесса.
12. Поэтому сравнение точности расчетов по линейному и нелинейному
вариантам мы проводили, предполагая, что нелинейный вариант заведомо
точней. Варьируя сеточное число Фурье, мы вычисляли максимальное
отклонение численных решений в узлах сетки по двум вариантам. Результаты
сравнения представлены в таблице 6.3.
Таблица 6.3
Максимальное отклонение численных решений нелинейного ДУЧП по
линейному U и нелинейному UN вариантам
Fo 1 10 50 100
max | U - UN |, Па М = 40 7,1 52,8 139,8 148,2
228
13. График зависимости массового расхода на левом конце трубы представлен в
Приложении 6. Соотношение массовых потоков на правом и левом концах
трубы в конечный момент времени при Fo = 10 оказалось равным 0,0015%,
т.е. массовый поток через правый конец трубы практически отсутствует, что
косвенно подтверждает правильность аппроксимации граничного условия на
правом конце трубы.
14. Принимая во внимание тот факт, что время расчета по обоим методам
отличалось незначительно, нелинейный метод следует предпочесть
линейному как более точный, особенно при больших шагах по времени.
6.2.6. Метод прямых (полудискретизации)
Считаем необходимым упомянуть здесь еще один метод численного
решения ДУЧП — путем его полудискретизации (более подробно он изложен в
монографии [14, т. 1]).
Описанные выше методы при дискретизации уравнения (6.4) вводят
дискретные формулы одновременно как для производной по времени, так и для
производных по пространству. Это позволяет добиться исключения членов,
определяющих соответствующие ошибки аппроксимации, повышая за счет этого
порядок точности метода.
Альтернативный подход состоит в том, чтобы в исходном ДУЧП
подвергнуть дискретизации сначала только пространственный член, превращая
ДУЧП в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для
узловых значений. Тогда уравнение (6.4), например, может быть приведено к
виду
dll.- Ct i X
~(wy-i-2uy +Uj+l)=0, (6.67)
at h
где для дискретизации производной Э2и/Эх2 использована центральная
трехточечная аппроксимация. Процесс перехода от уравнения (6.4) к системе
уравнений (6.67) является примером применения метода прямых, или
полудискретизации.
229
Для решения полудискретной формы исходного ДУЧП можно
воспользоваться различными методами решения систем ОДУ (см., например, [6,
17]), и в этом состоит привлекательная черта метода. С другой стороны,
построение полудискретной формы вносит ошибку, связанную с
пространственной дискретизацией. По этой причине "наилучшим" методом
решения получаемой системы ОДУ оказывается обычно алгоритм более низкого
порядка, чем для системы ОДУ, не связанной с аппроксимацией ДУЧП. При
решении задачи Коши, описываемой системой ОДУ, наиболее эффективными
обычно оказываются либо линейные одношаговые методы, либо методы Рунге-
Кутты.
6.3. Многомерное уравнение теплопроводности
Материал, изложенный в п. 6.2, позволяет сделать общий вывод о том, что
для решения задач с существенным влиянием диссипации, неявные схемы
оказываются более эффективными, чем явные.
Для уравнения переноса хорошие одномерные схемы естественно
обобщались на случай многих измерений. Однако попытка обобщить на случай
многих измерений хорошие одномерные схемы расчета теплопроводности —
неявные схемы (6.21) и (6.31) — наталкивается на проблему лавинообразного
увеличения объема вычислений на каждом временном слое.
Распространяя неявные схемы на многомерные задачи, и стремясь
получить при этом экономичные алгоритмы (например, системы уравнений,
решаемые прогонкой), приходится прибегать к специальным процедурам,
базирующимся на идее о том или ином способе расщепления многомерного
уравнения. Применение расщепляющих преобразований требует особого
внимания, если в граничные условия входят производные (условия второго и
третьего рода — см. п. 6.3.3). Вопросам построения экономичных схем и
корректной аппроксимации граничных условий для многомерных уравнений
теплопроводности и посвящен данный параграф.
230
6.3.1. Двумерное уравнение теплопроводности
Двумерное уравнение теплопроводности для изотропной среды в
декартовых координатах имеет вид
ди (ди д2и I
— = а ——+—— \ + f{x,y,t), ot = const>0. (6.68)
dt [ дх ду2 J
Оно описывает нестационарную теплопроводность, например, в поперечном
сечении бесконечно длинного стержня при наличии внутренних источников f,
если вдоль оси z температура одинакова.
Предполагая, что источники теплоты отсутствуют, т.е. /= 0, рассмотрим
методы решения смешанной краевой задачи в прямоугольной области
О< х< L, 0<у<В, 0< t< tK, описываемой уравнением (6.68) с краевыми
условиями
м(0,у,0 = Р1(у,0, u(L,y,t) =
w(x,0,0 = р3(х,О, u(x,B,t) = p4(x,z), (6.69)
м(л,у) = ц(х,у).
6.3.2. Методы решения двумерного уравнения теплопроводности
Введем прямоугольную равномерную (по каждой из пространственных
осей) сетку (рис. 6.12). Возьмем изображенный на рис. 6.13 шаблон, имеющий на
каждом слое форму креста, и составим на нем обобшенную двухслойную схему
с весами, являющуюся расширением схемы (6.21) на двумерный случай:
hti — п' Г 1
Jd—У- = а(бхх +8w)leM/";1 +(1-еК/], (6-70)
О < I < М, О < j < N, в которой использованы центральные разностные операторы
второго порядка типа (6.27):
s и ul+l,j~2ul,j+ul-t.j
oxxutj = J '
h
(6.71)
с п + tt/J-l
SyyU/,j = .2
К.
231
Разностная запись граничных условий первого рода сводится к заданию
решения иу"+1 в граничных узлах сетки, т.е. при I = О, I = М, j = 0,j = N.
Легко проверить, что погрешность аппроксимации этой схемы на
решениях с непрерывными четвертыми производными имеет порядок
O(tv, h2, Аг), где v = 2 при 6=1/2 и v = 1 при 6 * 1/2.
Рис. 6.12. Прямоугольная сетка
для двумерной задачи.
Рис. 6.13. Шаблон двухслойной
схемы с весами для двумерного
уравнения теплопроводности.
Методом разделения переменных, подставляя в уравнение (6.70) решение
в виде u/'j = exp(zqxj+iry j), 1 = 1-ipj, и определяя их множители роста Аг?
(см. п. 3.3.2), можно получить условие устойчивости схемы (6.70) в /2-норме:
£___J_f_L
2 4ат[ й2 + A:2 J
(6.72)
похожее на условие устойчивости одномерной схемы (6.21). При выполнении
условия устойчивости (6.72) схема (6.70) сходится в среднеквадратичной норме
с точностью O(tv, й2, Аг).
Схему (6.70) нетрудно обобщить на любое число измерений р. Следуя
Калиткину [17], оценим число действий, требующихся для выполнения расчета
до момента времени tK по такой схеме в случае р измерений на сетке с
одинаковым числом шагов по обеим пространственным осям, т.е. при М = N.
При 6 = 0 схема (6.70) становится явной и значение и/"+1
непосредственно вычисляется по значениям с предыдущего слоя. Поэтому
232
общее число действий для перехода со слоя на слой пропорционально Np. Но из
условия (6.72) следует, что явная схема устойчива только при
2ат < (л-2 + к~~2 )' ~ N2.
2
Таким образом, для расчета до момента времени tK надо выполнить тк/т ~ N
шагов по времени, а полный расчет потребует ~ Np+2 действий.
Для абсолютно устойчивого варианта схемы (при 0 > 1/2) шаг по времени
может быть выбран достаточно большим, например, таким, что tK/T - N. Но для
неявных вариантов схемы на каждом слое надо решать линейную систему N р
уравнений. Даже с учетом того, что ее матрица сильно разреженная, а именно
ленточная с шириной ленты 2N р~~1, решение этой системы методом Гаусса
требует ~ N Зр~2 действий. Поскольку для расчета до момента tK теперь надо
сделать /V шагов по времени, то полный расчет потребует ~ N Зр-1 действий.
В п. 6.2.2 мы видели, что явная схема обладает "плохими" свойствами и
невыгодна для расчетов*. С другой стороны, при р > 2 неявная схема (6.70)
даже менее экономична, чем явная.
Поэтому для многомерных параболических уравнений были построены
абсолютно устойчивые схемы, требующие только ~ Np действий для перехода
со слоя на слой, т.е. число действий в расчете на одну точку сетки не зависит от
пространственных шагов. Такие схемы называют экономичными. В следующих
пунктах мы рассмотрим два основных вида экономичных схем для
многомерного параболического уравнения — продольно-поперечную
(называемую также методом переменных направлений) и локально-одномерную
схемы.
Продольно-поперечная схема (метод переменных направлений)
Это один из лучших двумерных экономичных методов. Он предложен в
1955 г. Писменом и Ракфордом для сведения вычислительной задачи к решению
трехдиагональной матрицы и чаще всего называется неявным методом
Существует, однако, явная безусловно устойчивая схема — метод «классики» [13, 14]
233
переменных направлений (НПН). Выберем изображенный на рис. 6.14 шаблон,
содержащий полуцелый слой fn+i/2 = *« + ?/2 и составим на нем разностную
схему, состоящую из двух полушагов:
первый полушаг
. л+1/2 п
UIJ ~ии
0,5т
= а(5.а.м«;|/2+5п,и«у),
(6.73а)
второй полушаг
= a^.«”;V2 + 5^),
(6.736)
ul,j ul,j _
0,5т '
где разностные операторы 8ХЛ, 8Г>.
определены формулами (6.71).
В результате задача сво-
дится к решению системы линей-
ных алгебраических уравнений с
трехдиагональной матрицей. На
первом полушаге такая система
неявна по х и явна по у, и она ре-
шается прогонкой по индексу I
(по ряду точек с фиксированным
j), т.е. вдоль направления оси х. На втором полушаге система неявна по у и явна
по х, и прогонка проводится по индексу j (по ряду точек с фиксированным /),
т.е. вдоль направления оси у. Как и в одномерной схеме (6.21), диагональные
элементы матриц в уравнениях (6.73) преобладают; следовательно, прогонка
устойчива (см. п. 10.2), а решение существует и единственно.
Неявный метод переменных направлений обладает вторым порядком
точности с погрешностью аппроксимации О(т2, Л2, к2). Хотя при переходе с
целого слоя на полуцелый погрешность равна О(т, /г2), на втором полушаге
ошибка частично компенсируется, и общий порядок погрешности локальной
аппроксимации по времени — второй.
234
Устойчивость продольно-поперечной схемы проведем методом
разделения переменных. Множители роста на первом и втором полушаге могут
быть различными. Поэтому положим
ufj = exp(zqxj + iryj), w"+1'2 = , wf!+l = Х’ги"+1^2 . (6.74)
Подставляя соотношения (6.74) в схему (6.73), получим множители роста
1 - 2 Fo, sin2 (rk/2)
qr 1 + 2 Fox sin2 (qh/2)
_ 1 - 2 Fo v sin2 (gh /2)
qr 1 + 2 FOj, sin2(rA/2)
(6.75)
где сеточные критерии Фурье определяются выражениями Fo v = ат/Л2,
FOj, = ат/ к2 . Нетрудно заметить, что для всех гармоник при любых шагах
выполняется неравенство |л'/гл'г I < 1, т.е. при переходе с одного целого слоя на
другой ошибки начальных данных не нарастают, и схема (6.73) равномерно и
безусловно устойчива по начальным данным. Легко проверить, что условие
устойчивости по правой части (3.17) выполняется на каждом полушаге по
времени (см. Пример 3.3).
Замечание 1. Если Рол>1, то существуют такие гармоники, которые
усиливаются при переходе с целого слоя на полуцелый. Зато при переходе с
полуцелого на следующий целый слой эти гармоники настолько сильно
затухают, что в целом усиления не происходит. Тот же эффект происходит и в
случае Fo?>l. Таким образом, схема (6.73) безусловно сходится в
среднеквадратичной норме, хотя можно доказать и ее равномерную сходимость.
Замечание 2, Суммарный множитель роста kqr = k'qt'/"qr таков, что
|Xgr[=l только при q-r = 0; для всех остальных гармоник |Хдг|<1.
Следовательно, продольно-поперечная схема обладает аппроксимационной
вязкостью, и расчет по ней должен приводить к сглаживанию разрывов.
235
Аппроксимация граничных условий Дирихле
Остановимся на аппроксимации граничных условий (6.69). На целых
слоях в уравнения метода переменных направлений (6.73) входят значения и//+1
на сторонах прямоугольника у = 0, у = В, поэтому логично положить
мЛ0* = М'з(А7>^+1)> u?,n = (6.76а)
Для полуцелого слоя требуются значения иуп+1/2 на сторонах х = 0, х = L.
Полагать i^t1/2 = Hi(y7-,/„+i/2)’ umj2 ~У-2(У jAn+1/2) не выгодно, ибо
полуцелый слой не вполне соответствует моменту времени 1и+1, и такая
аппроксимация внесла бы погрешность О(т). Для повышения точности расчетов
до О(т2) проведем следующие преобразования. Вычитая уравнение (6.736) из
(6.73а), получим
п+1/2 _ । ( п+1 п \ q / п+1 л
ul,j '<1/ 4
(6.77)
Тогда можно записать граничные условия, имеющие погрешность
аппроксимации порядка О(т2):
«<о j “ ~7г[в1(Тр^п+1) + В1(Т/^и)] Л [й-1(3'jAn+\)~
1 ат (656б)
~ 2 ^2 ( у5 ^и+1) + ^2 (У j » hi )]“ $уу [Н2 (У j ’ hi+1) ~ Н2 [У j ’ hi )]•
Аппроксимация граничных условий Неймана
При задании граничных условий второго или третьего рода нужно найти
корректную аппроксимацию, чтобы не понизить порядок точности всей схемы.
Алгоритм построения разностных аналогов граничных условий для одномерных
задач описан в главе 4. Здесь разберем случай граничных условий Неймана для
двумерной задачи.
Пусть на правой границе (х = L) прямоугольной области G = LxB задано
ГУ Неймана:
236
I = ЖЛ (6.78)
{dxJx=L
Из рис. 6.14 и формул (6.73) видно, что производная по х может быть напрямую
определена только на полуцелом слое (и + 1/2). Как и в главе 4 [см. формулу
(4.7)], запишем в точках (I = М, 1 < j < N - 1) разностный аналог производной,
имеющий второй порядок погрешности:
«4-1/2 «4-1/2
wm+v um-\j ( .
-------------’J- = g\yj,t + T/2).
2п
Отсюда следует выражение для температуры в фиктивном узле на полуцелом
слое
п+1/2 _ и+1/2 , п ? л+1/2 zz- jQ,
где введено обозначение g"+l2 = g(y7,/ + T/2). Если величину gj+^2 можно
вычислить непосредственно, то формула (6.79) позволяет исключить значения в
фиктивном узле из уравнений (6.73). Тогда в уравнениях (6.73) для точек (Z = М,
I < j < N- 1) разностный оператор 8ХЛ будет определен в виде
2и^. -2ипЛ'^ +2hg"+l/2
f = ----?--------1----• (680)
h
Такая аппроксимация точна только в случае g = g(y), т.е. когда граничное
условие не меняется во времени (см. Пример 6.3). В противном случае формула
(6.80) имеет первый порядок погрешности аппроксимации по т.
Аналогично можно построить разностные аналоги для других границ, а
также для ГУ третьего рода.
Обсудим теперь некоторые усложнения задачи (6.68): случай среды с
переменным коэффициентом теплопроводности, случай анизотропной
теплопроводности, а также наличие объемных источников энергии.
Переменный коэффициент теплопроводности
Для уравнения (6.68) с переменным коэффициентом теплопроводности
X = Х(х, у, t) можно составить два варианта продольно-поперечной схемы,
237
являющейся обобщением наилучшей схемы (6.31). В первом варианте на всех
слоях (п, и+1/2, и+1) разностный коэффициент теплопроводности приписывают
полуцелому слою и+1/2; во втором варианте на этих слоях рассчитывают
соответственно \п, Х„+1/2, Ли+1.
Оба варианта проверены на практике и успешно применяются, однако
второй вариант лучше исследован теоретически: для него доказана безусловная
сходимость в прямоугольных областях с точностью О(т2. Л2,1с) при условии
непрерывности коэффициента Л(х, у, t) и его вторых производных.
Анизотропная теплопроводность
Тепловые потоки в анизотропных средах (в кристаллах, древесине,
слоистых материалах и т.п.) равны произведению тензора коэффициентов
теплопроводности (являющегося тензором второго ранга) и градиента
температур (см. [24, с. 43]). В простейшем случае, когда отличны от нуля только
диагональные компоненты тензора, т.е. по каждому направлению имеется свой
коэффициент \,(х, у, t), где у = х, у (для двумерной задачи), уравнение
теплопроводности (6.68) принимает вид
~ди д Г.
Pc37 = 4
dt dx
ди
м « . ч ди Э , . . ди .
+з~ ^y(x,y,t)— + J\x,y,t),
b.'L ox J dy[_ dy
du
dy
(6.68a)
где p — плотность, C — удельная теплоемкость среды.
Метод НПН, его обобщения и все теоретические обоснования переносятся
на уравнение (6.68а) практически без изменений [17,18].
Объемные источники
При наличии объемных источников энергии f в уравнении (6.68) их
обычно аппроксимируют на промежуточном (и + 1/2) слое [17].
Обобщенная двухслойная схема
Следуя [14], проведем обобщение идеи расщепления, вводя весовые
коэффициенты на обоих слоях. Тогда неявная двухслойная конечно-разностная
схема для уравнения (6.68) при f- 0 может быть записана в виде
238
= а(1-е^М/”у + 5?уй,”7.)+ + 5хХ,+1) >
(6.81)
где AU;lf = Uff-U^.
Здесь величину Д«ц"+1 можно рассматривать как поправку к решению на
и-м слое, требуемую для продвижения на (и + 1)-й слой. Весовой коэффициент
0 определяет степень неявности схемы: при 0 = 1/2 получаем схему типа схемы
Кранка-Николсона (6.73), при 0 = 1 схема становится чисто неявной.
С помощью перестановки членов уравнения (6.81) можно построить
неявный алгоритм для определения Ди;/14’1. Вначале разложим Иул+1 в ряд
Тейлора в окрестности n-го временного слоя:
затем аппроксимируем это разложение формулой
+ Ok2).
(6.82)
Подстановка формулы (6.82) в уравнение (6.81) дает
= а(бд.Л.и/"7 + &yyu'ij ]+ а0(бхд.Ди”у' + 8yyAu”JJ
(6.83)
или, после некоторой перегруппировки слагаемых
[1 - 0та(бХЛ + 8>у = та(бхх + 8Л>.
(6.84)
В левой части соотношения (6.84) фигурируют разностные операторы,
действующие по обеим пространственным координатам, т.е. уравнение (6.84)
еще не расщеплено. Чтобы можно было воспользоваться методом прогонки,
239
соотношение (6.84) заменяется другим соотношением, получаемым в результате
так называемой приближенной факторизации [4, 18, 19], а именно
(1-ета8^)(1-ето(5^)Ди£)’ = та(бхх +5ХУ)м/"у • (6.85)
Сравнение соотношений (6.85) и (6.84) показывает, что в левой части последнего
содержится дополнительный член (0та)г8хх5yy&u"j1 • Отсюда следует, что
соотношение (6.85) аппроксимирует (6.84) с точностью О(т2).
На каждом шаге по времени соотношение (6.84) может быть реализовано
в виде двухэтапного алгоритма. Первый этап сводится к решению следующей
системы уравнений, справедливых для сеточных линий, параллельных оси х
(линии постоянного j):
(1-Ота8хх)Ди7у1’'2 = ТО(3ЛХ + 6у1)мЛ/ (6.86а)
г-, А п+1/2 Л
Это уравнение служит для определения /хиц , что можно рассматривать как
промежуточное приближение для Ди//+1. Если, как и прежде, представляет
собой трехточечный оператор согласно формуле (6.71), то система уравнений
(6.86) имеет трехдиагональную систему, и может быть эффективно решена
методом прогонки (см. п. 10.2). На втором этапе решается следующая система
уравнений:
(1 - 0та8г>. = Ли^172. , (6.86б)
справедливая для сеточных линий, параллельных оси у (линии постоянного /).
Уравнения (6.86) аналогичны по своей структуре уравнениям (6.73) метода
НПН. Порядок следования "неявной" пространственной оси в уравнениях (6.86)
может быть изменен, т.е. сначала можно решить уравнение
(1 - ОтаЗ^Дг^у2 = та(бхх + 3^)М/”7 , (6.86А)
* От англ, factorization —разложение на множители (factor — множитель).
240
а затем — уравнение
(1 - 0та8лл JAm"*1 = Дн"^2. (6.86Б)
В отличие от метода НПН, алгоритм (6.86), предложенный Дугласом и Ганном в
1964, предполагает однократный расчет пространственных производных на
каждом временном слое — в правых частях уравнений (6.86а), что позволяет
сократить суммарное время исполнения программы.
Алгоритм (6.86) Дугласа-Ганна является безусловно устойчивым при
0 > 1/2 и имеет ошибку аппроксимации порядка О(т2, й2, к2), если 0 = 1/2.
Принцип приближенной факторизации распространяется и на случай трех
измерений, причем, в отличие от схемы НПН, соответствующая схема
безусловно устойчива при 0 > 1/2. В работах Е.Г. Дьяконова (см. в [18, с. 691)
разработан и обоснован метод приближенной факторизации для широкого
класса многомерных уравнений параболического и гиперболического типов.
Если изложенная здесь методика используется для построения решений
стационарных задач в форме предельного стационарного состояния решений
соответствующих нестационарных задач (метод стационирования [19]), то в
уравнение (6.86а) полезно ввести определение
RHS = a (5VV + )и£у . (6.87)
Контроль над величиной RHS позволяет наблюдать степень приближения к
установившемуся решению.
В примере 6.4 решена задача двумерной нестационарной
теплопроводности с нестационарными ГУ 2-го и 3-го рода с использованием
обобщенной двухслойной схемы.
Метод переменных направлений для трехмерного случая
Простой перенос метода переменных направлений на трехмерный случай
приводит к условно устойчивой схеме (сеточные числа Фурье по всем осям не
должны превышать 1,5). Чтобы обойти это ограничение, Дуглас и Ганн
обобщили метод переменных направлений на случай р-мерной задачи, используя
241
так называемую стабилизирующую поправку или поправку на устойчивость (см.
[18,19]). Так, для трехмерной задачи можно получить трехшаговую схему [13]:
первый шаг
* jq ОСТ о I *
и -и ——охд.
+ и1)+ ахдууип + ax8=zun,
(6.88а)
второй шаг
** п (XX о / * । и \ ОТ о ( ** . и с т?
и - w = — 8 YY \и + и 1+ — 8vr lw + и 1+ ат 5-zи ,
2 ' ' 2 nV '
(6.886)
третий шаг
и+1 п ат о / * «\ ат о / ** 11 \ ат о / л+1 ?z оо \
U -И ®иг +и )+ +и )+^ ^:z\u +и ). (6.88в)
Здесь операторы 8Г., (у = х, у, z) определяются по формулам типа (6.71), индексы
* и ** обозначают промежуточные значения, а индексы пространственных
переменных I, j, т для простоты записи опущены во всех членах уравнений.
Схема (6.88) имеет второй порядок погрешности аппроксимации и безусловно
устойчива. Целый ряд методов разностного решения трехмерного уравнения
теплопроводности приведен в монографиях [18, 19].
Локально-одномерная схема (метод дробных шагов)
Неявные методы переменных направлений, разработанные в США, тесно
связаны, а иногда совпадают с методами дробных шагов (методами
расщепления), созданными советскими математиками в конце 50-х гг. 20-го века
[4, 18, 19, 27]. Основная идея этих методов состоит в расщеплении конечно-
разностного оператора на ряд одномерных операторов. В частности, локально-
одномерную схему называют также методом дробных шагов [19] (в этой же
монографии метод переменных направлений тоже относят к разновидности
метода дробных шагов) или методом покомпонентного расщепления [18].
Например, к простой неявной схеме решения двумерного уравнения
теплопроводности можно применить метод расщепления следующим образом:
242
первый шаг
_ п
Л/ = а8ххи^112 , (6.89а)
второй шаг
_M"+V'2
----^-=«8 wf*4, (6.896)
где разностные операторы SVI, 8yv определяются по формулам (6.71).
Эта схема имеет первый порядок точности с погрешностью
аппроксимации О(т, й2, й2).
Из структуры уравнений (6.89) попятно, почему метод носит
перечисленные выше названия: на каждом дробном шаге решается локально
одномерная задача, т.е. происходит расщепление исходной задачи по
пространственным направлениям.
Довольно обстоятельно метод дробных шагов изложен в книгах [18, 19].
Нужно отметить, что метод дробных шагов (в узком смысле) приводит к схемам,
имеющим лишь суммарную аппроксимацию: на промежуточных слоях
разностные уравнения вообще не аппроксимируют исходное ДУЧП, но при
суммировании погрешности аппроксимации гасят друг друга, и на целом слое
аппроксимация имеет место.
К недостаткам метода дробных шагов следует отнести невозможность
непосредственного вычисления невязки по отношению к стационарному
состоянию, что играет важную роль при решении стационарных задач методом
стационирования (см. главу 7).
Завершая знакомство с методами решения многомерных уравнений
теплопроводности, назовем еще обобщенную трехслойную схему, аналогичную
схеме (6.25). При специальном выборе коэффициентов она имеет погрешность
второго порядка и обладает безусловной устойчивостью [14]. Как и в
одномерном случае, для начала счета но этой грехслойной схеме приходится
привлекать надежные двухслойные схемы.
243
В примерах 6.3 и 6.4 соответственно приведены численные решения
двумерной задачи нестационарной теплопроводности с постоянными и
переменными граничными условиями.
Пример 6.3. Рассмотрим процесс нестационарного теплообмена для
пластины (рис. 6.15), теплоизолированной снизу и справа, и частично — сверху.
Начальная температура пластины ТО = 293 К, ее ширина L = 0,02 м, высота Н =
= 0,03 м. В направлении, перпендикулярном к плоскости схемы, температура не
меняется (плоская задача). Теплофизические свойства пластины: плотность р -
= 2800 кг/м3, теплоемкость С = 2000 Дж/(кг-К), коэффициент теплопроводности
А. = 1,7 Вт/(м-К). Левая грань и правая половина верхней грани ("окно")
омываются жидкостью, имеющей температуру соответственно Т1 = 393 К и
Т2 = 343 К с коэффициентами теплоотдачи соответственно pi = 6000 Вт/(м2-К)
и Р2 = 4000 Вт/^-К). Необходимо найти нестационарное поле температур и
рассчитать продолжительность процесса стабилизации температуры в пластине.
1. Исходя из геометрии задачи, удобно выбрать равномерную сетку с четным
числом узлов по оси х, чтобы граница между теплоизолированной частью
и-in
Рис. 6.15. Схема нагрева пластины (к примеру 6.3).
244
Рис. 6.16. Расчетная сетка (к примеру 6.3).
верхней грани и "окном" оказалась между узлами сетки. Зададимся для
определенности числом узлов по осям х и у соответственно NX = 20, NY = 10
(рис. 6.16). В действительности существует еше одна ось — временная,
однако на рис. 6.16 она не показана во избежание загромождения рисунка.
2. Уравнение нестационарной теплопроводности для двумерной задачи
представляет собой баланс энергии в форме
(д2Т д2Т
У>Т ,
рС — Л —- +
dt дх2
дх2 ' ду2
(6.90)
где в левой части записано изменение удельной энтальпии в элементарном
объеме, а в правой — оператор Лапласа, характеризующий дивергенцию
тепловых потоков, проходящих через границы элементарного объема.
3. Для решения двумерной задачи выберем метод переменных направлений,
обладающий вторым порядком точности и безусловно устойчивый. Шаблоны
первого и второго полушагов этого метода показаны на рис. 6.17 (здесь
выбран обратный порядок расщепления разностного оператора по
245
L Текущий целый
слой
(матрица и)
Промежуточный
(полуцелый)
слой
(матрица ul)
Предыдущий
целый слой
(матрица Т)
Рис. 6.17. Схема метода переменных направлений.
а - первый полушаг, б - второй полушаг.
отношению к рис. 6.14 и уравнениям (6.73) — сначала схема неявна по оси у,
а затем — по оси х). Для удобства программирования обозначим матрицу
температур на предыдущем слое Т, на промежуточном — ul, а на (и + 1)-м
слое — и, т.е. Т = и" j, ul = u = и”;1. Обозначим коэффициент
температуропроводности а = Х/(р С).
4. На первом полушаге производная аппроксимируется на целом (и-м) слое,
а производная иуу — на полуцелом [(и + 1/2)-м] слое согласно выражению
..«+V2 _ п
-У------= а (б 2 + W,-
Дг/2 ' ” м
(6.91а)
5. На втором полушаге производная иуу снова аппроксимируется на полуцелом
(и + 1/2)-м слое, а производная — на следующем целом [(и + 1)-м] слое
согласно выражению
Дг/2
(6.916)
246
В уравнениях (6.91) использованы следующие обозначения центральных
разностных операторов второго порядка:
_ U;+1 ; — 2.U: : + l/;_i ; „ Uj /лл — ZUs; + Uj ;_1
Mr ,|J; (6-92)
6. Введем обозначения сеточных чисел Фурье:
Fov =«А?/Ал2, lo^-«А//Ау2. (6.93)
7. Перейдем к следующему этапу — построению системы линейных
алгебраических уравнений, решение которой дает значения ul на полуцелых
и и — на целых слоях. Учитывая выражения (6.92) и (6.93), можем получить
из уравнений (6.91) следующие формулы для внутренних узлов сетки
(i = 2,..., NX - 1; j = 2,..., NY- 1):
первый полушаг
ajulij-i -bjuljj + Cjuljj+1 =dj, (6.94a)
где aj =cj =Foy, bj =2(l + FoJ, =-2(l-Fox)T/J-Fox(Z}_u+7}+u);
второй полушаг
aiui-\j - biUij + c^i+ij = d,, (6.946)
где а,- = Cj = Fox, bj = 2(1 + Fox ), d, = -2(1 - Fo^ )wl,j - Fo^ (wltjy-i + wL,/+i).
8. Узлы на границах рассмотрим отдельно, используя метод контрольного
объема и учитывая, что в данной задаче граничные условия не зависят от
времени. Сначала построим разностные уравнения для граничных узлов, не
находящихся в углах вычислительной области (рис. 6.18), а затем — для
угловых узлов (рис. 6.19).
9. Запишем закон сохранения энергии для контрольного объема, окружающего
произвольный узел на нижней границе (i = 2, ..., NX - 1; j = 1). Поскольку
температуры определены в узлах равномерной прямоугольной сетки,
тепловые потоки с наибольшей точностью могут быть аппроксимированы
посредине между соседними узлами. Это и обуславливает выбор
контрольного объема, показанного на рис. 6.18, а пунктиром. Сумма всех
247
Рис. 6.18. К построению конечно-разностного аналога уравнения
теплопроводности (6.90) в граничных узлах.
тепловых потоков, проходящих через границы контрольного объема, равна
изменению теплосодержания в нем, т.е.
(<7, - q2 )Дх + )Ду/2 = рС — ДхДу/2. (6.95)
I (>t Ь,1
При составлении уравнения (6.95) положительными считались потоки,
втекающие в контрольный объем, а отрицательными — вытекающие из него
(см. главу 2). Величина (Э7/Э/),д описывает локальное изменение во времени
температуры в узле (i, 1) и тоже должна быть представлена в разностной
форме — на каждом полушаге по-своему.
248
Представляя потоки в разностной форме так же, как это делалось в главе 2
(см. Примеры 2.6, 2.7), и проводя простые алгебраические преобразования,
для первого полушага получим
- j + qidy = dy, (6.96а)
где q = 2Foy, = 2(l + FoJ, dx = -^-FojTjj-Fox(7}41+7]+ц);
а для второго полушага
aiui-l,l " 1 + ciui+1,1 ~ ’ (6.966)
где «, = q = Fov, b, =2(1 + Fox), d, =-2wl,j -2Foy(«l,-j2-ML,1)-
10. Аналогичные построения разностных уравнений проведем для узлов на
верхней границе (i = 2, ..., NX- 1; j = NY). Особенностью является то, что
одна часть узлов относится к адиабатной стенке, а другая участвует в
теплообмене с внешней средой. Для унификации расчетов (или, иными
словами, для составления однородной схемы) воспользуемся следующим
приемом. Введем обобщенный коэффициент теплоотдачи для узлов на
верхней границе согласно формуле
0 i<il,
₽2 1>г1,
где й = NX/2. Таким образом, все узлы с i = 1, ..., й, j = NY тепло-
изолированы, а в остальных узлах (г = il + 1, ..., NX, j = NY) происходит
теплообмен с заданным изначально коэффициентом теплоотдачи Р2. Кроме
того, введем сеточное число, равное произведению сеточных чисел Био и
Фурье по оси у
BF2 =Bi2,--Fo
' ' Л рСДу
Записывая закон сохранения энергии по аналогии с уравнением (6.95) для
контрольного объема, показанного на рис. 6.18, б, после несложных
преобразований находим разностные уравнения для первого полушага
aNYu^i,NY—l~ ^NY^i.NY = d^y, (6.97а)
249
।де <iNy -2Fo,,, bNY = 2(1 + Fo> + BF2/),
<v> - 2(1-Fo_x.(7}_1Ary +7}(|Л-у)-2-ВГ2, -7’2;
для второго полушага
aiui-\,NY ~^iui,NY + ciuiv\,NY = (6.976)
। дс </, - < j - Fo v, bj = 2(1 + Fox ),
</, -2wl,:NY +2Роу(и1/>Лгу -и1,-л-у _.l)+2-BF2(- -(«1,-дгу -T2).
11. Для уиюв на левой границе (рис. 6.18, в) разностные уравнения строятся так
же, как и для верхней границы. Введем сеточное число, равное произведению
ссючных чисел Био и Фурье по оси х
BFl = Bil-Fov= ^1Д-,
Л рСДх
Из закона сохранения энергии для контрольного объема, показанного
пунктиром на рис. 6.18, в, записанного по аналогии с (6.95), нетрудно
получить следующие выражения:
для первого полушага
aju\X j-\ - bjUlX j + CjUljj+1 = dj, (6.98a)
где Uj =Cj = Foy, bj =2(l + FoA,),
< = -27]j -2Fov(?^ у - 7] y)-2- BF1- (П- TXj);
для второго полушага
- hxnX j + cxu2j =dx, (6.986)
• де Г| = 2FoA., 7>i = 2(1 + Fox+BF1),
г/, - -2(1 - FO> )wlj у - Fo (, Ц уЧ + wljJ+1)- 2 BF1 • TI.
12. Наконец, для узлов на правой границе (рис. 6.18, г) аналогичным образом
можно построить соотношения:
<>’/« первого полушага
ajtANX.j-\ ~bjU\Nx,j + сJ^NXJ+I ~dj’ (6.99а)
I дс а, е z = 1- о v, bj = 2(1 + Fo, ), dj = -2TNXj + 2 FoA. ^Tnxj ~ TNX-l,j Y
2V>
Рис. 6.19. К построению конечно-разностного аналога уравнения
теплопроводности (6.90) в угловых узлах.
для второго полушага
aNXuNX-l,j ~ 1>NXUNXJ = ^NX > (6.996)
где лж = 2РоЛ, hivs- = 2(l+For),
^nx = -2(1 - FO-,, )ulNXj - Foy (wljyy j-i + u\NX y+i).
13.Используя метод контрольного объема для угловых узлов (рис. 6.19),
описанным выше путем получим следующие разностные уравнения.
Для узла (1, 1) (рис. 6.19, «) первый полушаг
— ] + Qulj 2 = s (6.100а)
где щ = 2Fo„ ЬА = 2( 1 +Fo,), dv = -2 Гц - 2 Fo v (т2Д - Гц)- 2 BF1 • (п - Тц );
второй полушаг
— । 1 ~ > (6.1006)
где ci = 2For, b] = 2(1 + Fo., + BF1), г/( =-2н1ц -2Foy(i/l| 2 -и1ц)-2 ВР1-Г1.
Для узла (1, NY) (рис. 6.19, б) первый полушаг.
251
tzji/lj. N-y дгу — б/j, (0.101a)
где a, = 2Fo(, bi = 2(1 + Fov), =-2F1OT -2Fox(r27Vy 'FI Ar) 2-Bp-(7 l-7I NJ );
второй полушаг
~~ &1Щ NY Q U2NY ~ ’ (6. Ю16)
где ci = 2Fo„ bi = 2(1 + FoT + Bpl),
dy =~2ulfjyy +2Fo>,(wl|Ary —wly^y—i)— 2-BF1-T1.
Для узла (NX, NY) (рис. 6.19, в) первый полушаг
аОТм1та,ЛУ-1 ~^NYU^NX,NY ~^NY ’ (6.102а)
где aNY = 2Foy, b^y = 2(1 + Fo^ + BF2^y),
^NY =~^TNX,NY + ^°x^NX,NY ~TNX-1,NY )-2-BF2AtA- -7’2;
второй полушаг
aNXuNX-l,NY ^^NXllh'X\NY =<^NX^ (6.1026)
где aNX = 2Fo„ bNX - 2(1+Fox),
</jvx = -2uInx,ny +2Foy(ulNX NY ~ц]КХХу_Л)+2-И1:2хх-(u}NX NY -T2
Наконец, для узла (NX, 1) (рис. 6.19, г) первый полушаг
— Z^l/lyyjy 1 + ^l^Nyt2 == > (6.103а)
где С| = 2Foy, bi = 2(1+Foy), di = -27дгуд +2Fox.(T)va-j -Гдтх-ц);
второй полушаг
aNXuNX-\,\ “ bxxuNX,\ = dtfx (6.1036)
где a^x - 2FoA, bNX — 2(1+Fox), dNX = —2wljyyj — 2Foy(wl^y 2 — и1дад).
14. Перейдем к описанию программы, представленной в Приложении 7.
Рассчитаем сеточные константы и вычислим некоторые теплофизические
параметры. Коэффициент температуропроводности а = Л./рС = 3,036 • 10-7
м2/с; шаги сетки по осям х и у Nx = L/(NX —i\Ny = H/(NY — l). Номер
крайнего теплоизолированного узла на верхней грани найдем, учитывая
пропорции размеров L и L1: il = round(Ll • NX/L,), где round — встроенная в
MathCAD функция округления.
252
15. Зададим сеточное число Фурье по оси х Fox= 1. Найдем шаг по времени
Д/= FoA.Ax2/a. Сеточное число Фурье по оси у дается формулой
Го,,=аДт/Ду2 и равно Fo,, = 0,1. Введем обобщенный коэффициент
теплоотдачи на верхней грани, используя встроенную в MathCAD условную
функцию if (см. [3]): Р2( = if (i > й,Р2,0).
16. Рассчитаем сеточные критерии: для левой грани BF1 = Р1-Д1/рСДх, для
"окна" в верхней грани BF2, = (32, • At/pCAy.
17. Зададим начальные условия, введем функцию ТС — сеточный аналог
удельного теплосодержания пластины, найдем величину ТС в начальный
момент времени ТСО, и оценим конечное теплосодержание ТСк (см. п. 4 в
Приложении 7). Распределение температуры в пластине будем записывать в
матрицу U каждый раз, когда текущее теплосодержание пластины
изменится на Дк = 0,1, а также по достижению условия стабилизации поля
температур Мах < Tol, где Мах — чебышевская норма разности температур
на двух последних временных слоях, Tol — заданная точность. Найдем
коэффициенты трехдиагональных матриц по формулам (6.96)-(6.103),
используя прописные буквы (А, В, С, D) для второго полушага; поскольку
коэффициент b на первом полушаге является функцией £, его придется
повторно присваивать (пересчитывать) в программном блоке.
18. Программный блок (см. п. 5 в Приложении 7) является расширением
программного блока, описанного в Примере 6.1. В нем рассчитаны все
зависящие от времени коэффициенты трехдиагонаЛьных матриц (b, d, D).
Результаты расчета нестационарного поля температур выведены в виде
таблиц и графиков. Продолжительность процесса стабилизации температуры
с заданной точностью Tol = 0,1 К составляет около 1004 с.
19. Проведенные нами численные эксперименты показали, что в данной задаче
наибольшее из чисел Фурье должно быть порядка единицы. При меньших
значениях слишком мал шаг т, что приводи т к неоправданному увеличению
машинного времени; при больших — расчет происходит недостаточно точно,
и расчетное поле температур искажается. Вообще говоря, полученное
253
решение можно было бы сравнить с аналитическим. Однако затраты времени
на построение аналитического и численного решений в данном случае
сопоставимы и достаточно велики. Поэтому мы удовлетворились физической
правдоподобностью полученного поля температур. Кроме того, сходимость
численного решения была проверена нами путем сгущения сетки: при
7VX = NY = 20 были получены практически те же результаты, что и при
NX = 20,NY= 10.
20. Из графиков видно, что вначале и с левой грани, и через "окно" в верхней
грани происходит нагрев пластины, т.е. потоки теплоты направлены внутрь
нее. Однако, вввду того, что TI > Т2, при достижении стационарного
состояния температура пластины температура пластины вблизи "окна"
оказывается больше температуры жидкости, омывающей ее, и направление
потока меняется на обратное, т.е. поток "вытекает" из "окна" в жидкость.
Пример 6.4. Рассмотрим процесс нестационарного теплообмена для пла-
стины (рис. 6.15), описанной в примере 6.3. Теплофизические свойства и раз-
меры пластины, а также начальное условие — те же, однако граничные усло-
вия — нестационарные. Левая грань и правая половина верхней грани ("окно")
омываются жидкостью, температура которой меняется соответственно по
законам: Т1О(г) = ТО + ДТ1-[1 -ехр(-от)] и T20(r) = Т2 - AT2-sin(cor)-exp(-rp),
где Т1 = 393 К, Т2 = 343 К, ДТ1 = Т1 - ТО = 100 К, ДТ2 = 50 К, а = 0,01 с1,
со = 0,05 с-1, T] = 0,003 с1, с коэффициентами теплоотдачи соответственно Р1 =
= 60000 Вт/(м2К) и Р2 = 40000 Вт/(м2-К). Необходимо найти нестационарное
поле температур и рассчитать продолжительность процесса стабилизации
температуры в пластине.
Нестационарные граничные условия требуют использования более
универсального метода, чем НПН, например, обобщенной двухслойной схемы
Дугласа-Ганна в форме (6.86А) - (6.86Б). Варьируя весовым параметром 6, в
схеме (6.86) можно добиться сходимости схемы даже при больших сеточных
числах Фурье и Био, когда схема НПН дает решения с численными
осцилляциями. Кроме того, обобщенная двухслойная схема работает быстрее,
т.к. пространственные члены вычисляются только на первом полушаге — при
решении уравнения (6.86А). В данном примере выбор сетки и принципы
построения конечно-разностных уравнений для нерегулярных узлов, структура
программы в целом такие же, как в примере 6.3. Ниже описаны лишь
отличительные особенности решения данного примера. Программа, в которой
реализован нижеописанный алгоритм, приведена в Приложении 8.
1. Используя обозначения, введенные в примере 6.3, перейдем к построению
системы линейных алгебраических уравнений, решение которой дает
значения приращений температуры dT на полуцелых и du — на целых
слоях. Учитывая выражения (6.92) и (6.93), получим нз уравнений (6.86А),
(6.86Б) следующие формулы для внутренних узлов сетки (i - 2, ..., NX - 1;
j = 2, ...,АУ- 1):
первый полушаг
255
+ cJ^i,J+l -dj>
где aj = Cj = 6 Fo},, bj = 1 + 26 Foy, dj = Uxjj + Uytj,
Uxi,j = -Foxfc-U’~2ri,jиУ‘,1 = -F°yfaj-i-2Tij+TiJyi);
второй полушаг
ajdiij-jj - bjdUjj + Cjdui+^j = dj,
где а,- = cf = 0Fox, b, = 1 + 20 Fox, d, = ~~dTjj.
2. Для нерегулярных узлов нетрудно получить следующие особенности
вычисления коэффициентов трехдиагональных матриц и разностных
операторов Ux, Uy (остальные коэффициенты вычисляются по общим
формулам, приведенным в п. 1):
1) для узлов на нижней границе (1 = 2, ..NX - 1; j = 1)
первый полушаг: ах =0, q =20Fo>?; Uy’ji = -2Роу(т^ -Д-j);
2) для узлов на верхней границе (i = 2, ..., NX - 1; j = NY)
первый полушаг: = 20Foy; bNy = 1+2000^.(1 + 61^); cWy=0;
Uytj =-2РоДт;Лу_1 -Ti>Ny-Kiyfaw -7’2)] -2eFo}Bq„</(F2),
где температура жидкости T2 вычисляется на n-м слое, т.е. 72 = 72",
</(72)=7'2"+| -Т2".
3) для узлов на левой границе (г = 1; j - 2, ..., NY - 1)
первый полушаг: L(q ,• =-2Fox[72 j-7| у+Bix(7’l-7j y)] >
где температура жидкости 71 вычисляется на n-м слое, т.е. 71 = Т1";
второй полушаг: ах =0; Д =l+20Fox(l + Bix); q = 20Fox;
dx = -dTXj - 26FoxBix J(T’l), где d(T\) = 7T,+1 - TV1.
4) для узлов на правой границе (i = NX; j = 2, ..., NY - 1)
первый полушаг; Ux^xj - ~2Fox(7)Vy_]j -Тдгу у);
второй полушаг: aNX =20Fox; CjfX=O;
5) матричные коэффициенты в угловых узлах (1,1), (1, NY), (NX,1) и (NX, NY)
рассчитываются по общим формулам, при этом влияние обеих границ,
256
прилегающих к угловому .узлу, учитывается автоматически через
соответствующий расчет разностных операторов Ux, Uy (см. программный
блок в Приложении 8). Например, для узла (1,1) коэффициенты на первом
полушаге рассчитываются как в п. 1), а на втором — как в п. 3).
3. Алгоритм расчета следующий: на первом полушаге находим матрицу dT, на
втором — матрицу du, затем по формуле utj = TtJ + dutj находим поле
температур на новом временном слое. При программировании коэффициенты
трехдиагональной матрицы на первом полушаге обозначены строчными
буквами (a, b, с, d), на втором — прописными (А, В, С, D).
4. Для проверки программы, приведенной в Приложении 8, в нее были введены
исходные данные из примера 6.3. Полученные результаты при 6 > 0,5
совпали с результатами расчета по программе, описанной в Приложении 7.
5. Графики, полученные по результатам расчетов, показывают как температура
пластины вблизи "окна" отслеживает изменения температуры омывающей
его жидкости. Вследствие нестационарности ГУ продолжительность
процесса выравнивания температур в данном примере несколько больше, чем
в примере 6.3.
6. Численные эксперименты показали, что для больших сеточных чисел Био
(Bi» 1) сходимость не нарушается при условии 6 > 0,8. При 0,5 < 0 < 0,8, а
также при использовании схемы НПН вблизи границ, омываемых жидкостью,
возникают физически нереальные решения. Таким образом, регулируя
степень неявности в обобщенной двухслойной схеме (6.86), на практике
можно добиться улучшения сходимости (порядок погрешности
аппроксимации при этом, однако, снижается до первого).
6.4. Уравнение конвекции и диффузии
6.4.1. Одномерное уравнение конвекиии и диффузии
В предыдущих параграфах данной главы рассмотрены методы решения
одномерного (6.4) и двумерного (6.68) уравнения диффузии (теплопроводности),
а в главе .5 — методы решения одномерного уравнения переноса (5.11). Даже
беглый взгляд на одномерное уравнение конвекции и диффузии (6.3)
257
показывает, что оно является обобщением уравнений (6.4) и (5.11). Это означает,
что помимо конвективного переноса возмущений со скоростью с имеет место и
диффузионный перенос вещества с коэффициентом диффузии а. Кроме того,
ограничения, связанные с устойчивостью и точностью численных методов
решения уравнений (5.11) и (6.4), в определенной мере переносятся и на
уравнение (6.3).
Как и уравнение диффузии, уравнение (6.3) является строго
параболическим, и для него требуются граничные и начальные условия того же
типа, как и для уравнения диффузии. Однако при больших значениях числа
Пекле Ре/. = cL/a можно ожидать, что в уравнении (6.3) будут преобладать
первые два члена, т.е. оно будет проявлять свойства, присущие уравнению
конвективного переноса (5.11). Точные решения уравнения (5.11) имеют вид
бегущей незатухающей волны. Поэтому при больших значениях числа Пекле
решения уравнения (6.3) будут иметь вид волны со слабым затуханием.
Здесь и далее под диффузией будем понимать не только перенос
вещества, обусловленный градиентом концентраций, но и перенос энергии
(теплопроводность); коэффициент а будет при этом соответствовать
коэффициенту температуропроводности.
Прежде чем перейти к описанию свойств разностных схем решения
уравнения (6.3), проанализируем некоторые свойства конечно-разностных
аналогов уравнения переноса (5.11) и стационарного уравнения конвекции и
диффузии, являющихся частными случаями уравнения (6.3).
О методе модифицированного уравнения
(первого дифференциального приближения)*
Многие явления в гидродинамике описываются системами уравнений, ко-
торые обладают свойствами "гиперболичности", т.е. у них либо совсем отсутст-
вуют диссипативные члены, либо они имеют малый порядок. Для решения таких
см. также п.п. 5.2.3 и 6.2.2
258
уравнений характерным являются так называемые волновые пакеты*, распро-
страняющиеся с постоянной (при отсутствии диссипации и дисперсии) или
слабо меняющейся амплитудой. Очень важно, чтобы численные схемы не вно-
сили диссипацию нефизической природы, т.е. чтобы аппроксимационная
вязкость была минимальной [см. например, уравнения (5.39) - (5\4Д) для схемы
(5.15), уравнение (6.16) для уравнения диффузии]. Важно также, чтобы числен-
ные схемы "не влияли" на скорость распространения волн, т.е. численные схемы
не должны вносить искусственную дисперсию, приводящую к возникновению
так называемого дисперсионного следа — пространственным осцилляциям
решения, следующим за первичной волной [14, т. 1, с. 370].
Для анализа численной диссипации и дисперсии уравнения переноса
(5.11) используют метод модифицированного уравнения, описанный в главе 5
[см. построение формулы (5.39) с учетом (5.38) в п. 5.2.3]. В п. 5.2.3 показано,
что с уравнением конвекции (5.11) тесно связаны уравнение конвекции и диффу-
зии (5.39) и уравнение Кортевега де Вриза (5.45). Первое из них отличается на-
личием диссипативного члена v(d2w/<bc2), второе содержит дисперсионный член
у(э3и/Эх3). Формально можно определить диссипацию как затухание амплитуды
плоских волн, а дисперсию — как распространение плоских волн различной
длины с различными скоростями. Диссипация связана с производными четного
порядка, а дисперсия — с производными нечетного порядка в
модифицированном уравнении [см. формулы (5.38) и (5.44) соответственно].
Следовательно, рассматривая члены с производными наименьших четного
и нечетного порядков в остаточном члене модифицированного уравнения, мы
можем судить о диссипативных и дисперсионных свойствах разностной схемы,
но только для больших длин волн. Это происходит в силу того, что
модифицированное уравнение получено на основе разложения в ряд Тейлора,
что предполагает малые значения Лит. Однако именно длинноволновые
Волновой пакет — распространяющееся волновое поле, занимающее в каждый
момент времени ограниченную область пространства
259
характеристики представляют наибольший интерес, поскольку, как показывает
анализ формулы для коэффициента перехода (множителя роста) X при
спектральном анализе устойчивости [14, т.1, с. 373-374], коротковолновые
составляющие Фурье-разложения и так затухают довольно быстро.
Анадйз разностных схем с помощью модифицированного уравнения
имеет еще и то преимущество, что он распространяется и на нелинейные урав-
нения, в то время как Фурье-анализ применим только к линейным уравнениям.
Примеры построения модифицированного уравнения рассмотрены в п. 5.2.3,
дополнительные примеры приведены ниже при анализе свойств различных схем.
Стационарное уравнение конвекции и диффузии
Для многих задач обтекания диссипативные механизмы являются
существенными только в узком слое, расположенном вблизи границы обтекания.
Численные решения, построенные на равномерных сетках, "приспособленных" к
основному потоку (т.е. шаг сетки определяется характерным поперечным
размером канала), часто начинают осциллировать в пограничном слое, где
точное решение претерпевает резкое изменение. Стационарное уравнение
конвекции и диффузии
du du
с—-а—у = 0 (6.104)
ах dx
представляет собой полезную модель, с помощью которой можно
проиллюстрировать это явление. Уравнение (6.104) выражает стационарный
баланс между конвекцией и диффузией, когда время не играет никакой роли, т.е.
процесс стабилизировался.
Рассмотрим область 0 < х < L с граничными условиями w(0) = ио,
и(£) = uL, и перейдем к безразмерным переменным
, и — Un , х
и =-------, х = - .
иь~и0 L
260
Вид уравнения (6.104) при переходе к безразмерным переменным не меняется,
поэтому далее для упрощения записи штрихи в обозначениях можно опустить.
Граничные условия в безразмерных переменных примут вид
и(0) = 0, и(1)=1, (6.105)
тогда в интервале 0 < х < 1 точное решение имеет вид
и(х) = [ехр(сх/а) - 1]/[ехр(с/а) - 1]. (6.106)
Это решение, приведенное на графиках в Приложении 9 пунктиром, при
достаточно большом соотношении с/а характеризуется постоянным
распределением и почти на всем интервале, кроме тонкого пограничного слоя в
окрестности х = 1. По существу соотношение с/а представляет собой число
Пекле Ре, = cL/а, рассчитанное по единичному размеру вычислительной
области L, и выражающее в общем случае соотношение конвективного и
диффузионного механизмов переноса вещества (энергии). При Ре, = 0 задача
(6.104) - (6.105) становится чисто диффузионной и ее решение на графике и—х
выражается прямой линией, соединяющей точки (0,0) и (1,1). При Ре, ^0
зависимость и от х становится существенно нелинейной, и с ростом числа
Пекле выпуклость этой кривой увеличивается, причем при Ре,. > 0 выпуклость
обращена вниз, а при Ре, <0 — вверх. Физически это означает, что, например,
при Ре, > 0 (см. графики в Приложении 9) конвекция препятствует диффузии
вещества (энергии) от правой границы к левой.
Влияние сеточного числа Пекле* Ре = ch!а, рассчитанного по характерной
длине ячейки h, на осцилляции численного решения рассмотрим на примере
нескольких схем.
Если использовать трехточечные центральные разности для
аппроксимации обеих производных в (6.104), то получим следующий алгоритм:
В литературе это соотношение нередко ошибочно называют сеточным числом
Рейнольдса
261
(1 + 0,5 Pe) Uj_! - 2uj + (1 - 0,5 Ре) ил1 = 0. (6.107)
Система уравнений (6.107) обладает трехдиагональной матрицей и
эффективно решается методом прогонки. Разложение уравнения (6.107) в ряд
Тейлора около /-го узла показывает, что оно аппроксимирует уравнение (6.104)
с точностью О(/г2). Для случая с/а = 20 и h = 0,05; 0,1 и 0,2 решение системы
уравнений (6.107) с учетом граничных условий (6.105) приведено на графике в п.
2 Приложения 9. При h = 0,05 (Ре = 1, линия с точками в виде квадратиков □)
решение довольно хорошо согласуется с точным. При h = 0,1 (Ре = 2, точки в
виде кружков о) решение практически совпадает с точным везде, кроме
пограничного слоя в окрестности х = 1. Для более грубой сетки при h = 0,2
(Ре = 4, точки в виде ромбов 0) решение не только не согласуется точным, но и
носит колебательный (осциллирующий) характер. Это явление можно объяснить
наличием дисперсионного члена h2/6(d3u/dx3) в модифицированном уравнении,
соответствующем уравнению (6.107).
Согласно правилу положительности коэффициентов Патанкара [28, с.
33], все коэффициенты разностного уравнения [в данном случае — уравнения
(6.107)], представленного в форме
2uj = (1 + 0,5 Ре) и?1 + (1 - 0,5 Ре) л,+| , (6.108)
(т.е. когда величина uj записана слева) всегда должны быть положительными*,
что справедливо при Ре < 2. Очевидно, при Ре > 2 это правило нарушается; при
этом теряется физическая правдоподобность решения. Действительно, при Ре =
= 0 из (6.108) следует, что uj равно среднему арифметическому от 1ц t и wJ+i.
Если же принять, например, Ре = 4, то коэффициент при t станет
отрицательным, т.е. чем больше значение тем меньше становится uj, что
физически абсурдно.
В книге [14] показано, что нарушение условия Ре < 2 связано с
появлением комплексных собственных чисел трехдиагональной матрицы
* Сравните это правило с признаком монотонности (5.35) на с. 141
262
системы уравнений (6.107). Кроме того, замечено, что сам факт возникновения
осцилляций численного решения зависит от геометрии потока и граничных
условий. Например, замедление потока перед препятствием часто порождает
осциллирующее решение при Ре > В, где В — предельное значение, связанное с
конкретной разностной схемой. Однако для ускоряющегося и равномерного
потоков можно получить неосциллирующее решение и при Ре > В*.
Если для представления первой производной du/dx в (6.104) использовать
не центральные разности, а разности против потока (uj — Uj_i)/h, то осцилли-
рующие решения не возникают. Разностная схема с аппроксимацией первой
производной против потока дает вместо (6.107) следующий алгоритм:
(1 + Ре) - 2(1 + 0,5 Ре) ц + uj+i = 0. (6.109)
Очевидно, что правило положительности коэффициентов Патанкара здесь
соблюдается при любых положительных значениях Ре. Действительно, решение
системы уравнений (6.109) с учетом граничных условий (6.105) носит
монотонный характер при любых сеточных числах Пекле (см. второй график в
Приложении 9), однако решение является недостаточно точным даже при
h = 0,05, что хорошо видно при сравнении с решением по алгоритму (6.107) при
том же значении h.
Разложение уравнения (6.109) в ряд Тейлора показывает, что оно
аппроксимирует уравнение (6.104) с точностью лишь O(h). С точностью O(h2)
алгоритмw (6.109) аппроксимирует уравнение
cd“-a(l + 0,5Pe)^4 = 0, (6.110)
dx dx~
Любопытно заметить, что та же картина наблюдается и при развитии турбулентности:
в расширяющихся (замедляющихся) потоках турбулизация потока наступает при
меньших числах Рейнольдса, чем в равномерных и тем более ускоряющихся потоках;
однако здесь возникновение хаотических пульсаций имеет физическую природу
263
т.е. использование разностей против потока приводит к появлению
искусственной диссипации (диффузии) 0,5 Ре а, так же, как это было при
использовании разностей против потока при аппроксимации уравнения
конвективного переноса (5.11) [см. п. 5.2.3, формулу (5.39)].
Практически для получения достаточно точного решения из (6.110)
вытекает ограничение 0,5Ре « 1, которое является более жестким, чем условие
Ре < 2, полученное для центральной аппроксимации производных. Таким
образом, численная диссипация, с одной стороны подавляющая осцилляции
решения по схеме (6.110), с другой существенно ухудшает точность решения.
Если на правой границе вместо условия Дирихле поставить граничное
условие Неймана, то характер решений по схемам (6.107) и (6.110) существенно
не изменится. С ростом соотношения с/а, а значит, и сеточного числа Пекле,
осцилляции решения по схеме центральных разностей (6.107) еще больше
возрастают.
Колебательный характер решений, получаемых при использовании
трехточечных центральных разностей (6.107) для представления производной
du/dx в (6.104), и диссипативные свойства двухточечной схемы с разностью
против потока (6.110) наводят на мысль, что для получения более точного
решения необходимо использовать четырехточечное представление для du/dx.
Например, при с > 0, используя метод, описанный в примере 2.4, получим [14]
du = ЦЯ1 -" Н + /-?- ~Зц^+Зи, - Wjj+J + / 2\
dx 2h 3h ' У h
где q — параметр, определяющий степень модификации центральной
аппроксимации первой производной. Заметим, что второе слагаемое в правой
части формулы (6.111) не содержит первых и вторых производных:
Uj-z — Зи7-1 + 3uj — uj+l _ ft2 d3u d4и h4 d5u
3h ” ~T d? + 6 dx4 ~ 12 dJ + ””
т.е. при надлежащем выборе параметра q оно позволяет регулировать главным
образом дисперсионные свойства схемы.
264
Использование формулы (6.111) при дискретизации уравнения (6.104) в
сочетании с трехточечной аппроксимацией второй производной приводит к
следующей четырехдиагональной системе уравнений-.
- 3 Ре Uj^t + [1 + (д + 0,5) Ре] Uj\ - (2 + q Ре) uj +
1 + P -0,5 |Ре
1 3
И;+1 = 0,
(6.112)
которая может быть решена методом прогонки с предварительным
преобразованием к трехдиагональному виду по формулам (10.19а) (см. п. 10.2).
Варьируя параметром q, можно менять свойства схемы (6.112). Так, при
q = 0 получаем трехточечную схему (6.107), а при q = 0,5 в разложении (6.111)
исчезает дисперсионный член Л2(с?3и/<(х3).
Численное решение системы уравнений (6.112) при граничных условиях
(6.105) для Ре = 4; 2; 1; 0.4 представлено в Приложении 9, п. 5 (в табл. 6.4
показаны результаты расчетов для случая Ре = 4). При q — 0 оно совпадает с
решением по алгоритму (6.107) и обладает значительными осцилляциями, а
случай q = 0,5 приводит к значительно более точному решению, хотя все еще
слегка осциллирующему.
Таблица 6.4
Решение уравнений (6.104) — (6.105) по схеме (6.112) с использованием
грубой сетки (h - 0,2, Ре - 4)
X 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Точное решение 0,0 0,0000 0,0000 0,0003 0,0018 1,0000
q=G 0,0 0,0164 -0,0328 0,1148 -0,3279 1,0000
<7 = 0,5 0,0 0,0000 -0,0004 0,0058 -0,0760 1,0000
<7= 1,0 0,0 0,0000 0,0002 0,0036 0,0597 1,0000
<7=1.5 0,0 0,0004 0,0032 0,0222 0,1491 1,0000
Из табл. 6.4 видно, что с увеличением q решение становится более
гладким, но ценой увеличения численной диссипации. На мелкой сетке
265
получаются более точные решения (см. графики, полученные на сетке с h = 0,02
при q = 0,5 в п. 5 Приложения 9).
Модифицированное уравнение, соответствующее схеме (6.112), имеет вид
1 \h3 d4u
-----и + — = 0.
РеЩ*4
du h d2u h _ чй2 d3 и 1
- _+(l —2a) , +
dx Ре<&2 6 dx3 ( Pe
(6.113)
Для тех практических задач, в которых соотношение а/с мало, величина
Ре имеет порядок 0(1) или более (конвекция существенно преобладает над
диффузией). Из уравнения (6.113) видно, что при q 0,5 третий член будет
оказывать наибольшее влияние на точность решения системы уравнений (6.112).
Отсюда следует, что для задач с преимущественно конвективным переносом
(т.е. с малым ’соотношением а/с) можно говорить о доминировании
гиперболических свойств (конвективный перенос) над параболическими
(диффузионный механизм переноса), хотя по формальной классификации (см.
главу 1) нестационарное уравнение конвекции и диффузии (6.3) относится к
параболическим. Для таких задач конвективные члены нужно аппроксимировать
более точно, чем диффузионные.
В книге Патанкара [28, с. 73 - 78] описаны более точные, хотя и более
громоздкие методы, основанные на использовании качественных свойств
точного решения. Часть из них описана ниже.
На основе анализа стационарного уравнения конвекции и диффузии
(6.104), которое является предельным для уравнения (6.3), можно ожидать, что в
приближенных решениях уравнения (6.3) появятся пространственные волны,
если при больших числах Пекле Ре, для аппроксимации конвективного члена
будут использованы центральные трехточечные аппроксимации.
Далее рассмотрим уже изученные ранее схемы (ВВЦП, Дюфорта-
Франкела и др.), чтобы понять, вносит ли какие-либо новые трудности в
численную схему включение в уравнение диффузии конвективного члена.
266
Явные методы решения одномерного уравнения конвекции и диффузии
Применение схемы ВВЦП (шаблон см. на рис. 6.1) для аппроксимаций
уравнения (6.3) приводит к выражению
(6.114)
которое сводится к вычислительному алгоритму
и"+1 = (Fo + O,5r)M;_j + (1 - 2ЕоЦ + (Fo - O,5r)wJ+1,
(6.115)
где Fo = ат/h2, г = crlh — сеточные числа Фурье и Куранта соответственно.
Разложение в ряд Тейлора в окрестности точки (j, п) показывает, что
схема (6.115) аппроксимирует уравнение (6.3) с погрешностью порядка О(т, h2).
Соответствующе (6.115) модифицированное уравнение имеет вид
з 6 |з№
(6.116)
где V — Л/2 — искусственная диссипация (диффузия). Таким образом,
использование разностной схемы первого порядка точности по времени вносит
в уравнение переноса диссипацию и дисперсию первого порядка (коэффициенты
при второй и третьей производной пропорциональны т). Если не ограничить
величину 1, то для больших значений с/а член искусственной диффузии
v32w/3x2 может оказаться сравнимым с физической диффузией.
Следовательно, ограничение на шаг по времени с позиции точности численного
решения имеет вид v « а, или
т « , или г2 « Fo, или Ре = — « -
с2 Fo г
(6.117)
Это ограничение является достаточно веской причиной для перехода к схемам
второго порядка точности по времени при решении уравнения (6.3).
267
Исследование устойчивости схемы (6.114) по методу Неймана дает
выражение для множителя роста
X = l + 2Fo [cos((o/i)-l]-jrsin(a>/i) (6.118)
и соответствующее ограничение на сеточные параметры
0<r2<2Fo<l, (6.119)
включающее в себя и "диффузионный" предел Fo < 0,5, характерный для явной
схемы при решении уравнения диффузии (6.4) (см. п. 6.2.2).
Из уравнения (6.115) видно, что правило положительности
коэффициентов Патанкара нарушается при Ре = r/Fo > 2, хотя ограничение
(6.119) и допускает такие случаи. Таким образом, несмотря на то, что условие
устойчивости (6.119) будет соблюдено, в случае Ре >2 можно ожидать
появления осциллирующих решений. Из (6.117) следует, что такие решения
будут еще и недостаточно точными.
Если для аппроксимации уравнения (6.3) использовать метод Ричардсона
по аналогии со схемой (6.17), то полученный алгоритм оказывается безусловно
неустойчивым.
Схема Дюфорта-Франкела для уравнения конвекции и диффузии (6.3)
имеет вид (шаблон см. на рис. 6.3)
м+1 м-1 п п п Г.П+1 , М-1 | ,
и i —и,- и /+1 — и и “ \и-у U i ]+U; 1
J + с _ L:\. = а ' L Cl \ 7 7 (6.120)
2т 2h h2
порядок погрешности аппроксимации схемы О[т2, h2, (т/h)2].
Анализ устойчивости по Нейману показывает*, что если г<1, то на
сеточное число Фурье Fo ограничений нет. Однако из соответствующего
модифицированного уравнения видно, что для достижения достаточной
точности решения путем уменьшения влияния искусственной диффузии, а также
* выражение для множителя роста довольно громоздкое и здесь не приводится
268
для обеспечения согласованности решения (см. пример 3.2), необходимо
потребовать г2 « 1, или т « <^а это очень сильное ограничение.
Если, как и при построении уравнения (6.109), для аппроксимации
производной Эи/Эх использовать разности против потока, то для положи-
тельных значений с получим алгоритм
un+lj = (Fo + г) j/'yi + (1 - 2Fo - г) u‘j + Fo u'j+i, (6.121)
аппроксимирующий уравнение (6.3) с точностью O(t, h). В модифицированном
уравнении главным членом погрешности является член искусственной
диссипации (диффузии) с коэффициентом v = 0,5 h с(1 -г). Для получения
достаточно точных решений уравнения (6.3) по схеме (6.121) необходимо
потребовать, чтобы
v«a, или Ре «2/(1-г). (6.122)
Анализ устойчивости по Нейману схемы (6.121) дает выражение для множителя
роста
А = 1 - (2Fo + г) [1 -cos(oA)]- irsin(a>A),
а необходимое условие устойчивости IА | < 1 приводит к требованию
2Fo + r< 1,
что эквивалентно неравенству
Fo<(l-r)/2.
(6.123)
(6.124)
Ограничение (6.124) значительно более строгое, чем, например, для схемы
ВВЦП при решении уравнения чистой диффузии (6.4) (см. п. 6.2.2).
Схема Лакса-Вендроффа (5.30) для решения уравнения (6.3)
и+1 л Г ( п « Ct*Т ( j, э п . п \ (г тосх
ui =w7 _9\"7+1,2 VJ+1 ~2uj +llj-ih (6.125)
h
где a* = a (1 + 0,5 г Pe),
269
обладает вторым порядком точности О(т2, Л2), и может быть интерпретирована
как схема ВВЦП с модифицированной диффузией а*. Поэтому множитель
роста и условие устойчивости рассчитываются по уравнениям (6.118) и (6.119)
соответственно, где модифицированное сеточное число Фурье следует
вычислять по формуле Fo = а*т/Л2. Главный член погрешности в модифици-
рованном уравнении — дисперсионный, что характерно для схем со вторым
порядком точности по времени. Из условия положительности коэффициента при
и" +1 (для остальных переменных коэффициенты положительны при Ре > О)
получаем ограничение Ре <2/(1-г), нарушение которого приводит к
пространственным осцилляциям численного решения.
Неявные методы решения одномерного уравнения конвекции и диффузии
Использование неявных схем для уравнения диффузии (6.4) более
эффективно (см. п. 6.2.2 и 6.2.3), поскольку ограничение Fo < 1/2, необходимое
для устойчивости большинства явных схем, на них не распространяется.
Шеститочечная схема типа Кранка-Николсона* применительно к уравне-
нию конвекции и диффузии (6.3) дает разностное представление
и+1 , п Г »+1 .,«+1 ,,п
uj ~UJ с uj+l~uJ-l uj+l~uj-l
т 2 2h 2h
aГu$ - 2un^ + ufi unJ+i - 2u’j +и'Ц
2 h2 + h2
которое можно переписать в виде алгоритма
(Fo+ г!2}ипД -2(1 + Fo)wJ+1 + (Fo-r/2)u$ =
= —(Fo + r/2)w”_j —2(1 —Fo)w" —(Fo—r/2)w"+].
(6.126)
(6.127)
* Схема Кранка-Николсона была получена для уравнения диффузии. Для сохранения
единства названий схем, полученных на одинаковых шаблонах, мы будем использовать
это название для всех схем, основанных на шаблоне, показанном на рис. 6.6
270
Порядок погрешности аппроксимации уравнения (6.4) по схеме (6.127) О(т2, Л2),
главный член погрешности включает третью производную Э’и/Эл3; поэтому
проблема искусственной диссипации (диффузии), возникающая в схемах
первого порядка, здесь исчезает, а проблема осцилляции сохраняется. Из
условия положительности коэффициента при в уравнении (6.127) (для
остальных переменных коэффициенты положительны при Ре > 0) нетрудно
найти ограничение Ре < 2, необходимое для предотвращения осцилляций
численных решений по алгоритму (6.127).
Множитель роста схемы (6.127), полученный по методу Неймана, имеет
вид
1-Fo[l-cos((o/i)]-0,5zrsin(<o/i)
1 + Fo [1 - cos((o/?)]+ 0,5? rsin (сой)
Для любых Fo>0, г>0 выполняется условие |Х| < 1, откуда следует
безусловная устойчивость схемы.
В литературе [14, 21] приведено еще несколько неявных схем для решения
уравнения (6.3). Общим для них является безусловная устойчивость, второй
порядок точности и наличие дисперсионного члена в модифицированном
уравнении, приводящее к ограничению Ре < 2.
Эффективным средством для улучшения дисперсионных свойств схемы
является использование четырехточечной аппроксимации первой производной
подобно тому, как получена формула (6.112), в схеме Кранка-Николсона с
разностями против потока:
Uj ~Ъ+|(с8*4)+«"+1)=0’ (6.128)
где при с > 0 оператор 8„ определен формулой (6.27), а четырехточечный
оператор 8Х определяется по выражению, аналогичному (6.111), а именно
S(4)u = “/+1 -«7-1 «(«7-2 -Зи7-1 + Зн7 ~Uj+l)
х } 2Л 3/? ’ ’
271
Подстановка (6.129) в (6.128) приводит к системе линейных алгебраических
уравнений с четырехдиагональной матрицей, которая может быть преобразована
к трехдиагональной по формулам (10.19а) и решена методом прогонки (см. п.
10.2). Условие устойчивости схемы (6.129)-(6.128) </>-3/Ре практически не
является ограничением, т.к. обычно интерес представляют положительные
значения q.
Эквивалентное уравнению (6.129) модифицированное уравнение имеет
форму
ди ди д2и .2(1 —2q г2^Э3и h3(l — 2г/Ре г2^Э4и
dt дх дх2 6 12]Эх3 Ре[ 12 4 ]Эх4
= 0.(6.130)
Видно, что для течений с Ре » 1 дисперсионный член дает наибольший вклад
в ошибку аппроксимации. Этот член можно исключить выбором параметра
q = 0,5 + 0,25 г2. При таком выборе q коэффициент при производной Э4и/Эх4 в
уравнении (6.130) будет положительным в случае 2Ре + 5т2 > 2, что выполнимо
при достаточно больших сеточных числах Пекле, во всяком случае, при Ре > 1.
Таким образом, при выбранных параметрах диссипативный член пропорцио-
нален четвертой производной и имеет положительную диссипацию.
Методы решения обобщенного одномерного уравнения
диссипации, конвекции и кинетики
Описанные выше в данном параграфе методы могут быть естественным
образом обобщены для решения уравнения (6.1), включающего внутренние
источники Дх,0 и кинетический член Ьи (см. Пример 9.1).
Для этого, например, в правую часть уравнения (6.114) схемы ВВЦП
добавляют сумму Ьщ + f" [аналогично можно преобразовать и схему Лакса-
Вендроффа (6.125)], в правые части схем Кранка-Николсона (6.126) и (6.128)
обычно включают слагаемые 0,5Ь(и,"+1 + и") +
При построении комбинированных схем можно сочетать различные
аппроксимации (явные, неявные, центральные, односторонние) для отдельных
членов уравнения. Например, в схеме Кранка-Николсона (6.126) кинетический
272
член можно аппроксимировать на неявном слое, а внутренние источники — на
явном. Выбор тех или иных приближений должен основываться на априорной
информации о качественных свойствах решения и роли отдельных слагаемых в
уравнении, чтобы не ухудшались, например, условия устойчивости и точности.
Метод Патанкара
Разностную схему для решения уравнения конвекции и диффузии можно
построить, используя универсальный метод, предложенный Патанкаром [28, с.
69 — 85]. Этот метод обладает повышенной точностью и не имеет ограничений
на сеточное число Пекле благодаря специальному выбору весовых
коэффициентов при аппроксимации суммарных потоков через грани
контрольного объема, "учитывающих" поведение точного решения, как будет
показано ниже.
Дадим вывод конечно-разностного аналога уравнения (6.3) по методу
Патанкара, но для лучшего усвоения метода сначала рассмотрим решение
стационарного уравнения (6.104). Воспользуемся трехточечным шаблоном,
показанным на рис. 6.20. Хотя действительное расположение граней
контрольного объема (на рис. 6.20 показан штриховкой) е и w* не должно
влиять на окончательную форму записи, предположим, что грань е расположена
посредине между узловыми точками j и j + 1, а грань w — посредине между
точками j - 1 и j.
Введем понятие суммарного потока J, который складывается из
конвективного потока си и диффузионного потока (- а ди/дх), т.е.
J = си — ади/дх. (6.131)
С учетом этого определения уравнение (6.104) перепишем в виде
Э7/Эт = 0, (6.132)
и после интегрирования по контрольному объему, показанному на рис. 6.20,
получим
* W
от английских слов east — восток и west — запад
273
Точное решение (6.106) можно использовать в качестве профиля между точками
j и j + 1, отсчитывая х от точки j, заменив и0 и uL на и, и Wj+i, a L на Л,,, т.е.
u-Uj _ ехр(сех/ае)-1
М 7+1 " Uj C*P(cehe /“J-1
Тогда
и = Uj + (wy-+1
\exp(cex/aj-l
j7exp(ce/zf/aJ-l
(6.134)
ди _ cf / _ ) ехр(сех/ote)
dx ae Uj+1 Ui ехр(сД,/ае)_ 1
Подставляя выражения (6.134) и (6.135) в (6.131), получим
w, +—Ч—л—
ехр(Рее)-1
(6.135)
(6.136)
где Рее = eehejae — сеточное число Пекле, рассчитанное по параметрам на
границе е (в общем случае с и а могут быть переменными). Отметим, что Je не
зависит от расположения грани е между точками j и j + 1, что обусловлено
использованием точного решения (6.106).
274
Здесь и повсюду на неравномерной сетке коэффициент а.{ (а также а„)
рекомендуется [28, с. 40] рассчитывать по формуле средней гармонической с
весами
(6.137)
причем весовой коэффициент f. равен отношению отрезков fe = heJhe. При
расположении грани е посредине между узловыми точками j и j + 1 fe = 0,5
получаем среднее гармоническое значение
, 2а7аЛ1
+ ау+1
(6.138)
Подстановка соотношения (6.136) и аналогичного выражения для J„
приводит к уравнению
uj~uj+i
Uj+ exp(PeJ-l
exp(Pew)-l
= 0,
(6.139)
которое можно записать в каноническом виде
AjU^_j — BjUj + СjUj,[ = 0, (6.140)
где
А _ си, ехр(Реи,)_
1 ехр(Реи,)-1’
_____се____
ехр(Ре£,)-1
, Bj Aj + Cj + (се сн.).
(6.141)
Схема (6.140)-(6.141) является альтернативой для схем (6.107), (6.109),
(6.112). Выражения для коэффициентов (6.141) определяют так называемую
экспоненциальную схему, которая гарантирует получение точного решения для
любого значения сеточного числа Пекле и для любого шага сетки. Однако расчет
экспонент требует больших затрат машинного времени; кроме того, схема не
275
является точной при решении двух- и трехмерных задач, наличии источников и
стоков и т.д. Поэтому такая схема на практике широко не используется.
Вместо этого подбирают простые аппроксимации экспоненты, наиболее
удачной из которых (одновременно простой и достаточно близко
аппроксимирующей экспоненту) является степенная схема [28], в соответствии
с которой коэффициенты в уравнении (6.140) равны
Aj = тах[); (1 - 0JIPew|/]+ тах(0; с1Г);
С =а^тах^,(1-0Д|Рее|У]+п1ах(0;-се); (6.142)
Sy — Aj + Сj + (ct, — с)(,).
Можно показать, что экспоненциальная схема (6.140), (6.141) дает точные
решения уравнения (6.104) при любых (допустимых в данной задаче) граничных
условиях, поскольку основано на общем решении этого уравнения. Это важное
свойство схемы унаследовано и аппроксимирующей ее степенной схемой
(6.140), (6.142).
В Приложении 9 (п. 6) приведены решения задачи (6.104), (6.105) по
экспоненциальной (6.140), (6.141) и степенной (6.140), (6.142) схемам. В обоих
случаях все точки практически совпадают с точным решением. Максимальное
отклонение численных решений даже на очень грубой сетке не превышало 1%. К
положительным свойствам экспоненциальной и степенной схем относится и
возможность расчета потоков с отрицательной (а для нестационарных задач —
знакопеременной) скоростью, что во всех схемах с нецентральной
аппроксимацией первой производной приводит, по меньшей мере, к
существенному ухудшению точности.
Таким образом, использование качественных свойств точного решения
позволяет существенно улучшить численное решение: значительно повысить
точность и избавиться от осцилляций при любых числах Пекле на сколь угодно
грубых сетках.
Теперь перейдем к решению одномерного нестационарного уравнения
конвекции и диффузии (6.3), записав его в форме
276
du dJ ,,
dt дх
(6.143)
В общем случае конвективно-диффузионного переноса энергии
теплофизические свойства жидкости зависят от температуры, и тогда вместо
(6.131) и (6.143) следует рассматривать более полные уравнения:
J - срСи - X ди/дх, (6.131a)
d(pCu)t dJ _Q dt дх (6.143a)
и решать их совместно с уравнением неразрывности
Эр [ Э(рс)_р dt дх (6.144)
Здесь р, С, X — соответственно плотность, удельная теплоемкость и
теплопроводность жидкости, и — ее температура, а новая переменная J в рС
раз больше "старой", определяемой уравнением (6.131).
Интегрирование уравнения (6.143а) по контрольному объему,
показанному на рис. 6.20, с аппроксимацией потоков на неявном слое, дает
-(Ру Су Uj -PjCjUj]+Je -Jw =0,
(6.145)
где сомножители, входящие в нестационарную часть (выражение в скобках),
полагают преобладающими по контрольному объему. Аналогичным образом по
контрольному объему интегрируется уравнение неразрывности (6.144)
„nV гп+1 — Л
-IP? -Pjf+Fe -Fw -°’
(6.146)
где F = рс.
277
Введем новую переменную* Ф = Си, и будем считать теплоемкость С в
пределах пространственного шага величиной постоянной. Если умножить
уравнение (6.146) на Ф,'|+1 и вычесть его из уравнения (6.145), получим
(ф/1 -Ф^)+ (j”+1 - С”+1Ф^+1)- - С”+1Ф^+1)= О
(6.147)
Используем опыт, полученный при анализе стационарной задачи (6.104).
Выражение (6.136) для "восточной" грани в новых обозначениях запишем в виде
J',+1 ~^П+1Ф^+1 = Су(ф}+1 ~Ф"и), (6.148а)
аналогично для "западной" грани получим
J"+1 - ^"+‘ф"+1 = Л'(ф;-1 ~ ф/+* )• (6. I486)
Тогда уравнение (6.147) приобретает вид
ЛуФ^} - Я7Ф"+1 + СуФ^} + Ej^nj = 0, (6.149)
где коэффициенты Aj, Bj, Cj, Ej определяются модифицированными
выражениями типа (6.142) для степенного приближения с учетом вновь
введенных обозначений:
Лу = щах ^(l-OJlPe,,,!)5] + max(0;Fw);
«и-
Су = тах[); (1 - О^Ре^)5 ]+ тах(0; - Fe ); (6.142а)
he
Ej = р" h/т, Bj = Aj + Су + Ej.
Пример 6.5, Труба длиной L = 4 м, разделенная на две равные части
задвижкой, соединяет два резервуара, заполненные водой (рис. 6.21). В
резервуаре слева от задвижки находится горячая вода с температурой
В задачах массопереноса такой проблемы не возникает; если и — массовая
концентрация вещества, кг/кг, то правую часть уравнения (6.131) умножают на р
278
Т1 = 100°С, а в резервуаре справа — холодная с температурой ТО = 20°С. После
открывания задвижки жидкость начинает перетекать с постоянной скоростью
с = 10 7 м/с слева направо. Рассчитать нестационарное поле температур по длине
трубы, считая задачу одномерной, на временном интервале [О; 0,2£/с]. Режим
течения ламинарный, теплопроводность трубы считать равной нулю.
Теплофизические свойства воды: плотность р = 1000 кг/м3, удельную
теплоемкость С - 4190 Дж/(кг-К), теплопроводность X = 0,67 Вт/(м-К) — считать
постоянными величинами.
Введем ось х с началом, совпадающим с координатой задвижки. Введем
безразмерную температуру н = (7’-'Г0)/(7Т-7’0), тогда формально задача
описывается ДУЧП конвекции и диффузии (6.3) с ГУ первого рода
и(-Х/2) = 1, и(Х/2) = 0
и НУ
и(х,0) = 1 - Н(х),
где Н(х) — ступенчатая функция Хевисайда, заданная следующим образом:
279
fo, £,<0,
к ^>o.
Прежде чем решать задачу разностными методами, покажем, как можно
получить точное решение аналогичной задачи с начальными условиями (задача
Коши), заданной в области - < л < м * . В отличие от примера об одномерной
диффузии, рассмотренного в п. 6.2.1, скорость распространения возмущений в
данной задаче конечна и равна с, как и в задачах, описываемых
гиперболическими уравнениями (см. главу 5). На основании опыта,
приобретенного при решении уравнения конвективного переноса (5.11), можно
ожидать, что решение уравнения (6.3) будет иметь вид решения уравнения
диффузии (6.4) для наблюдателя, движущегося с потоком, т.е. со скоростью с
(см. рис. 5.1, а также Пример 5.3 и Приложение 2). В отличие от решения
уравнения (5.11), фронт которого остается крутым в любой момент времени,
решение уравнения (6.3) должно, очевидно, размазываться в пространстве
вследствие физической диффузии.
Для перехода к новой системе координат, движущейся вместе с потоком,
введем новую пространственную переменную = х — ct, такую, что при £ = 0
наблюдатель движется вместе с фронтом горячей воды (в задаче массопере-
носа— с фронтом примеси). Переменную г заменим новой переменной т
(чтобы избежать путаницы в обозначениях). Для записи ДУЧП (6.3) в новых
независимых переменных (^, т) воспользуемся следующими формулами
перехода:
и, = + иг т, = — с + wT ,
Их — ,
ихх - (и^)х = .
'точное решение задачи Коши можно найти также, например, методом разделения
переменных в виде бесконечного ряда Фурье [14, т.1, с 400], но оно довольно
громоздко (см. п. 4.2 в Приложении 10)
280
Тогда в новых переменных уравнение (6.3) и начальное условие примут
соответственно вид
иг = аищ, — оо<^<'х=, (6.150а)
м&О) = 1 - Я©, - о° < £ < оо (6.1506)
Полученное уравнение (6.150а) эквивалентно уравнению диффузии (6.4), и его
можно решать, используя методы, разработанные для решения уравнения
диффузии, как аналитические, так и численные.
В частности, решение задачи Коши (6.150) может быть получено при
помощи интегрального преобразования Фурье (см., например, [8, с. 118]*), и
после возращения к старым переменным приобретает вид
w(x,z) = 0,5erfc| X~CtI, (6.151)
где erfc(x) — функция, дополнительная к интегралу вероятности (интегралу
ошибок).
Полученное точное решение задачи Коши практически совпадает с
решением поставленной смешанной краевой задачи при не слишком больших
значениях t, особенно вдали от границ трубы.
Численные решения, полученные методом ВВЦП, по явной схеме с
разностями против потока, по схеме Лакса-Вендроффа, шеститочечной схеме
Кранка-Николсона, схеме Кранка-Николсона с разностями против потока и
методом Патанкара с использованием степенной аппроксимации [см. уравнения
(6.149) и (6.142a)J, представлены в Приложении 10. Принципы построения
программных блоков — те же, что и в примере 6.1, за исключением организации
глобального цикла по времени: здесь счет останавливается при достижении
заданного в условии предельного момента времени tmax = 0,2Z7c.
В книге [8] формула (6.151) представлена в не удобном для использования виде
281
Следует обратить внимание на то, что в примере намеренно выбрано
чрезвычайно малое значение скорости потока, лишь с целью показать
работоспособность всех методов. Читатель, используя программу,
представленную в Приложении 10, может самостоятельно убедиться, что,
например, при условиях а = 1()3, Дх = 0,1, Л/ = 0,1, Fo = 0,01, г = 1, Ре = 100,
явные схемы теряют устойчивость, а обе схемы Кранка-Николсона дают сильно
осциллирующие решения вблизи разрыва. Решение методом Патанкара
сохраняет гладкость даже при таких больших сеточных числах Пекле.
Таким образом, явные схемы практически непригодны для решения
одномерного уравнения конвекции и диффузии, лучше использовать схему
Кранка-Николсона с аппроксимацией первой производной против потока.
Наиболее универсальным является метод, основанный на свойствах точного
решения — метод Патанкара.
6.4.2. Двумерное уравнение конвекции и диффузии
Дополнительные трудности, возникающие при решении многомерных
уравнений конвекции и диффузии, сравнимы с теми, которые имеют место при
переходе от одномерного уравнения диффузии к многомерному.
В двумерном случае уравнение конвекции и диффузии имеет вид
ди
dt
ди ди д2и д2и
а СУ а = -Г 2 Д~2 ’
Эх - ду дх ду
(6.152)
где сх, су — проекции скорость потока соответственно на оси х и у,
а.х, ед — компоненты тензора температуропроводности (диффузии), в
случае изотропной среды аЛ = = а.
В теории линейных ДУЧП известен принцип суперпозиции, позволяющий разложить
исходную задачу на подзадачи, затем решить все подзадачи и, сложив полученные
решения, найти решение исходной задачи [8, с. 191]. В численных методах решения
ДУЧП принцип суперпозиции реализован, в частности, в методе расщепления (см.
главу 2, п. 2.7)
282
Явные схемы
Как и для многомерного уравнения диффузии, явные схемы для уравнения
(6.152) устойчивы при более жестких условиях, чем для одномерного уравнения
(6.3). Например, двумерный вариант схемы ВВЦП приводит к алгоритму
м«+> = (FoA + 0,5гА.)«/''_! , + (1 - 2Fo,. - 2Fo ,)н”+
’ (6.153)
+ (Fox - °,5гЛ )и"+1,7 + (Foj, + 0,5Г> + (Foj, - 0,5 5 )n,"7+i,
где Fox = a, ktl&C, Foy = a,, ktlky\ rx = с, Д//Ат, r?, = cy Mby — сеточные числа
Фурье и Куранта, рассчитанные по осям х и у.
Анализ устойчивости алгоритма по Нейману дает следующие условия:
г2 4
FoA. + Fov < 0,5; < 2. (6.154)
Foa Fov
Если Fo, = Fo, = Fo, то для устойчивости должно быгь Fo < 1/4, что вдвое
меньше, чем в одномерном случае. Как видно из соотношений (6.154),
существенное ограничение существует и на числа Куранта.
Другой серьезной проблемой многомерного случая является появление
искусственной диффузии, в том числе продольной, поперечной и перекрестной,
вводимой схемами первого порядка. Если для дискретизации вторых
производных используются грехточечные центральные разности, а для
производных первого порядка ди/дх и ди/ду — разности против потока, то
поперечная искусственная диффузия может вносить значительную погрешность,
особенно большую, если направление потока расположено под углом 45° к осям
х и у [14, т. 1, с. 423; 28, с. 88].
Неявные схемы
При использовании неявных схем для двумерного уравнения (6.152)
проблема достижения устойчивости исчезает, однако возникает проблема
получения эффективного решения неявных разностных уравнений. Поэтому, как
283
и при решении двумерного уравнения диффузии, для получения
трехдиагонапьной системы уравнений обычно привлекают методы расщепления.
Вводя то же расщепление, которое применялось при построении
v Ct.,®)
уравнении (6.86|£получим следующий двухступенчатый алгоритм решения
уравнения (6.152)
[1 + 6t(cA -)|Aw/'y1/2 = т(аА-б„ + ау8у>. -сх8х -су8у )u"j, (6.155а)
[1 + 6т(су8у - ау8уу = Ак";1/2 , (6.1556)
где Aufj1 = u/j^—U/j, операторы <5„, 8п даются формулами (6.71), а
операторы 6^, 5, определены центрально-разностными соотношениями
_.И П П П
я и _ м/+1.у ~ м/-1,у я П
^x»l,j----------- ’ 8vul,j----(6.156)
2п ' 2к
Здесь h, к —- шаги сетки по осям х и у соответственно. Весовой коэффициент
6 определяет степень неявности схемы: при 6 = 1/2 получаем схему типа
Кранка-Николсона, при 6 = 1 схема чисто неявная.
Алгоритм (6.155) аппроксимирует уравнение (6.152) с ошибкой
6Дт2, /г2,1с), причем при 0 > 0 он безусловно устойчив.
Как и для схемы (6.86). на каждом этапе решения алгоритма (6.155)
получается система алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей,
эффективно решаемая методом прогонки — сначала по направлению оси л (/),
затем по направлению оси у (j). Недостатком этого алгоритма является
возникновение пространственных осцилляций при больших значениях сеточных
чисел Пекле (так же, как для одномерной задачи конвекции и диффузии — см. п.
6.4.1), особенно при ненулевых ГУ второго или третьего рода.
В главе 9 представлен пример 9.2, в котором двумерная задача
сопряженного массопереноса, включающая редуцированное уравнение (6.152)
(при су = 0), решена с использованием алгоритма (6.155).
284
Метод Патанкара
Разностную схему для двумерного уравнения конвекции и диффузии
можно построить по методу Патанкара [28, с. 69 - 85]. Этот метод обладает
повышенной точностью и не имеет ограничений на сеточное число Пекле
благодаря специальному выбору весовых коэффициентов при аппроксимации
суммарных потоков через грани контрольного объема, учитывающих поведение
точного решения (см. также п. 6.4.1).
Дадим вывод конечно-разностного аналога уравнения (6.152) по методу
Патанкара, используя дивергентную форму записи уравнений сохранения.
Введем переменную Ф = Си, и будем считать теплоемкость С в пределах
пространственного шага величиной постоянной. Уравнение сохранения (6.143)
(энергии, вещества) в двумерной форме можно записать в виде
Э(рФ) dJ,. dJv
= 0, (6.1436)
dt дх ду
где /х, — суммарные потоки (включающие конвекцию и диффузию),
определенные следующим образом:
285
ах эф
J, =схрФ----г ——,
л А С дх
(6.1316)
где Ах, Ау — компоненты тензора теплопроводности; в случае изотропного
тела Ал — Aj. ~ А.
Уравнения (6.1436) и (6.1316) будем решать совместно с уравнением
неразрывности
(6.1446)
dt дх ду
Интегрирование уравнения (6.1436) по контрольному объему,
выделенному штриховкой на рис. 6.22 (наименования граней п* и s происходят
от англ, north — север и south — юг), с аппроксимацией потоков на неявном
слое, дает
-Plj®l,j)+Je -Jw +Jn ~Js = °- (6.1456)
Сомножители, входящие в нестационарный член, полагают преобладающими по
контрольному объему. Величины представляют собой
проинтегрированные по граням контрольного объема суммарные потоки, т.е.,
например, J”+1 = J Jxdy для грани е и т.д.
Аналогичным образом по контрольному объему интегрируется уравнение
неразрывности (6.1446)
П V 17И+1 1т7?+1 I г71+1 гИ+1 _______ л
----\Р/,у -Pl,j)+^e ~rS -О,
(6.1466)
Автор надеется, что читатель сможет отличить нижний и верхний индексы,
обозначенные одинаковой буквой "и", но имеющие разный смысл: внизу — северная
грань контрольного объема, вверху — и-й слой по времени
286
где F"+i,F"+l,F„+i,F"+l — массовые расходы через грани контрольного
объема. Если произведение рсх в точке е считается преобладающим по всей
"восточной" грани контрольного объема, то можно записать F - (рсх)к. Таким
образом, для всех граней контрольного объема получим
Fen+l=(pcx)ek> F"+i=(pcx)wk,
Fr'=^y\h, Fsn+l=(pcy\h.
(6.157)
Если умножить уравнение (6.1466) на Ф/'+| и вычесть его из уравнения
(6.1456), получим
р"-/г£ (
——(ф
т '
и+1
l,j
M+U»+l I I гП+1
ге ф/,7
_Е-п+1ф«+1)+
л VV IfJ
(6.1476)
I гП+1 T^n+l^n+1 I | тП+1 т-’П+1(*1П+1
Yn Ф/,7 r\Jw “Ле &IJ J-
Ранее (см. п. 6.4.1) для "восточной” и "западной" граней получены
выражения вида
С1 - г"+1ФГУ = q (ф7У _ ф«+1Д (6.i48a)
J"+i -ЛГ'Ф/'/1 = 4(Ф"-1Ь -Ф"/1)’ (6.1486)
Аналогично для "северной" и "южной" граней можно записать
•С -Г"+1Ф7У -Ф”,А1). (6.148b)
j;+1 -ЕГ'Ф/';1 = ву(ф/.у!.1 -Ф"/1). (6.148г)
Тогда двумерный дискретный аналог уравнения (6.152) приобретает вид
^/Ф"-!1,; +«7Ф",М -(В/ +67)ф?,У +С;ФЙ>7 +9®^! +(q +е7.)ф7>7. =0, (6.1496)
коэффициенты которого определяются модифицированными выражениями типа
(6.142) для степенного приближения (см. п. 6.4.1):
287
A, = max^J; (1 - 0,1|Реи,|У ]+ max(O; Fw );
"tv
Q — maxIp^l-OjlPeJ)5 ]+max(0;-Fe);
he
a. - max[l;(l-O.ljPcj)5]+max(0;Fv);
I's
Cj = ^?^max^);(l-0,l|Pen|)5 ]+max(0;-F„)
E, = plj ЛА7(О,5т); ej = p^1/2 /Л/(0,5т);
Bi = Ai 4- С/ 4- Ei j /х = O; 4(?; 4
' * 1 ‘ J J J J
(6.1426)
Здесь a -— коэффициенты температуропроводности, рассчитанные на
соответствующих гранях контрольного объема.
Для эффективного решения системы уравнений методом прогонки
(6.1496) проведем расщепление по пространственным координатам (как в методе
НПН для уравнения диффузии), переходя к двухэтапному алгоритму
- В/Ф^1/2 + С,Ф^2 + £/ф« . = о, (6.158а)
«уФ^Ч-^Ф"}1 4-с7Ф^14-еуф«+1/2 =0. (6.1586)
На первом этапе решается система уравнений (6.158а) с прогонкой по I, на
втором — система уравнений (6.1586) с прогонкой по j.
Сеточные числа Пекле, входящие в систему (6.1426), находят по
формулам
Ре,, = (сДДЛ^, Реи = Ре„ = (су),Л,Pes = (су)Л/а„ (6.159)
а шаги неравномерной сетки he, hw, к„ и к, определяются подобно тому, как
показано на рис. 6.20.
Один из наиболее эффективных методов решения трехмерного уравнения
конвекции и диффузии — метод Патанкара [28, с. 84]. Этот же метод позволяет
корректно аппроксимировать источниковые члены.
288
6.S. Уравнение Бюргерса для вязкого течения
6.5.1. Одномерное уравнение Бюргерса для вязкого течения
Ранее мы изучали конечно-разностные методы преимущественно для
решения линейных задач. В гидромеханике обычно приходится решать
нелинейные задачи для определения полей давления, плотности, температуры,
скорости.
Рассмотрим простое нелинейное уравнение, аналогичное уравнениям
гидромеханики, предложенное Бюргерсом в 1948 г. Это уравнение включает все
характерные для уравнений гидромеханики члены: нестационарный,
нелинейный конвективный и диссипативный (диффузионный) члены. Оно имеет
вид
ди ди д^и
dt дх дх
(6.160)
Полное нелинейное уравнение Бюргерса (6.160) — параболического типа
и используется как модельное для уравнений пограничного слоя,
"параболизованных" и полных уравнений Навье-Стокса.
При некоторых начальных и граничных условиях существуют точные
аналитические решения уравнения Бюргерса. В частности, подстановка в (6.160)
выражения (преобразование Хопфа — Коула [43, с. 395])
2 dw
« = “3- >
и> дх
где и' = м’(х, t), сводит уравнение Бюргерса (6.160) к линейному уравнению
теплопроводности с постоянными коэффициентами (6.4), что позволяет найти
точные решения.
Иногда для проверки численного решения полезно знать хогя бы точное
установившееся решение уравнения (6.160). Так. точное стационарное решение
уравнения (6.160) с граничными условиями
и (0, t) = «о , w(L, /) = 0
289
имеет вид
l-exp[w*Re, (x/L-1)]
и -----Гк-----и и * ,
1 + ехр[и * КсДх/Л -1)]
где Re, = u^L/v — число Рейнольдса, рассчитанное по характерному
линейному размеру L;
и* — решение уравнения
(и* - 1)/(и* + 1) = ехр (- и* Re£) .
Еще целый ряд точных частных решений уравнения (6.160) можно найти в книге
[43].
Иногда для анализа некоторых свойств вместо уравнения (6.160)
рассматривают соответствующее "линейное" уравнение Бюргерса
ди ди сРи
37+c^“va?’
(6.161)
которое по сути совпадает с уравнением конвекции и диффузии (6.3).
При v = 0 из него получается волновое уравнение, а при с = 0 — уравнение
теплопроводности. Точное стационарное решение уравнения (6.161) при тех же
граничных условиях имеет вид
1 - &q^RL(x/L -1)]
и-—;-------г „ 1---Ц) >
1-ехр[-Л£]
где R£ = c£/v —число Рейнольдса.
Точное нестационарное решение уравнения (6.161) с начальным условием
и(х, 0) = sin(foc) и периодическим граничным условием дается формулой
и (л, 0 = exp(-A^vf) sin[A'(x -- ct)].
Уравнения (6.160) и (6.161) можно скомбинировать в обобщенное
уравнение
щ + (с + Ьи) их = vw^ ,
(6.162)
290
где с и b — свободные параметры (при b = 0 получаем "линейное"
уравнение Бюргерса, а при с = 0 и b = 1 — нелинейное уравнение Бюргерса).
Как будет показано ниже, часто удобно применять две следующие формы
записи уравнения (6.162)
Щ + = VUXX ’
(6.163)
9
где F = си + Ьи'/2,
а также (используя якобиан А — dF/du)
ut + Аих = VUxx .
(6.164)
Для нелинейного уравнения Бюргерса А - и, для линейного А = с .
Явные схемы
Метод разностей вперед по времени и центральных разностей по
пространству (ВВЦП)
Метод предложен Роучем в 1972 г. применительно к уравнению (6.1бф) и
имеет следующую разностную схему
,.и+1 ..п п Л,п „п . п
UJ UJ , CUJ'+1 Uj~l = v + M'+1
At 2Ax Дх2
(6.165)
Это явная одношаговая схема первого порядка точности с погрешностью
аппроксимации О(Д1, Дх2).
Вариант применения схемы ВВЦП к уравнению (6.163) имеет вид
./г+1 ,tn т?п ,,п ^.п . и
ui ~ uj + Fy+1 ~FJ-l = vuJ-l~2uj +uj+l
At 2Дх Дх2
(6.165а)
Для анализа устойчивости схемы вводят гак называемое сеточное число
Рейнольдса
„ сАх г
ReAl = --=
v Fo
где Fo = \’AtlAx~ , г = с Al ! Ах — сеточные критерии Фурье и Куранта.
Метод Неймана дает следующее условие устойчивости схемы ВВЦП
291
< 2Fo, Fo < 1/2,
что эквивалентно двойному ограничению на сеточное число Рейнольдса
2г < ReM < 2/г.
Однако, если ReAl. > 2, то в решении возникают осцилляции наподобие
тех, что появлялись в решениях невязкого уравнения Бюргерса. Потенциально
более точная модель конвективного члена в уравнении (6.165а) строится с
помощью четырехточечной дискретизации со сдвигом вверх по потоку [см.
уравнение (6.111)]; формулы типа (6.111) имеют второй порядок, а при
q - 0,5 —третий [14, т. 1, с. 433].
Схема Браиловской
И.Ю. Браиловская предложила в 1965 г. явную двухшаговую схему с
погрешностью аппроксимации О(А/, Лл'2) для решения уравнения (6.163):
предиктор
«J+1 = -F>-l)+Fo(M"+l ~2uJ ’ (6-166)
корректор
u.i ~uj 2AxF?7+I /+Fov/+1 2«y+i/y_1). (6.167)
Знак "тильда" соответствует значениям, полученным на шаге "предиктор".
Предложено следующее условие устойчивости схемы Браиловской:
Привлекательной особенностью схемы является то, что на шагах "предиктор" и
"корректор" вязкий член один и тот же, поэтому достаточно вычислять его один
раз.
Метод Аллена- Чена
Это модификация метода Браиловской, позволяющая исключить из
условия устойчивости ограничение на число Fo. В случае линейного уравнения
Бюргерса схема устойчива при г<1, благодаря чему можно использовать
292
больший шаг по времени, чем в методе Браиловской. Метод имеет первый
порядок точности с погрешностью аппроксимации О(Дг, Дх2), а схема имеет
вид:
предиктор
, (6.168)
корректор
и?'=и"~ НоЙ+' -2мГ'+«Й1) • (6Л69)
Метод Мак-Кормака
Применительно к полному уравнению Бюргерса (6.163) метод Мак-
Кормака дает следующую разностную схему.
предиктор
~*j+' = )+Fot"+i-2w7+w;_1), (6.170)
ZaA-
корректор
„п+1 _ 1 П ~П+1 (кп+1 c^n+lV т-„/~И+1 о~л+! , ~И+Й /Л пп
м/ 2 Кх^' Fi~~^ )‘*'Fo^/y-+i 2wy +z/y_| j . (6.171)
Эта схема имеет второй порядок точности и по времени, и по пространству. Она
получена для случая, когда производная ЕЛ аппроксимируется разностями
вперед на шаге "предиктор", и разностями назад — на шаге "корректор".
Возможна и обратная последовательность аппроксимации, при этом порядок
точности не меняется. Точное условие устойчивости схемы (6.170)-(6.171) не
найдено, поэтому используют эмпирическую формулу
(Дх)2
Д/<:— • 7----.
1 AfAx + 2v
Неявные схемы
Применение неявных схем к нелинейным уравнениям типа уравнения
Бюргерса не является столь же непосредственным, как в случае линейных
293
уравнений (п. 6.4). Вариант схемы Кранка-Николсона применительно к
уравнению (6.163) имеет вид
= -0,5бх (/•'' + F',+1)+ 0,5v8xx (6.172)
где дифференциальные разностные операторы определяются соотношениями
Ап -+| = м”+1 - , 8XF” = (л7+1 - F”_i)/2Дх, 8xxrf = -2wJ + u"+i)/Дх2 .
Чтобы воспользоваться чрезвычайно эффективным методом прогонки,
необходимо свести соотношение (6.172) к трехдиагональной системе уравнений
относительно решения w/+1. Наличие неявного нелинейного члена F"+l ставит
при этом серьезную проблему.
Указанную проблему можно разрешить, проводя разложение F/:+l в ряд
Тейлора в окрестности и-го временного слоя
F«+1
dF
+ д/ ——
+ 0,5 А/2
... = F" + АЛи”+1 + <?(д/2),
где А - [ЭК/Эп]^ = и" —- матрица Якоби для уравнения (6.163).
В результате схема (6.172) превращается в систему уравнений с
трехдиагональной матрицей
^и- / \ / \
—= -0,58х(2К'г + w”Aw”+1J+0,5v8yx(w” + Wy+1), (6.173)
или, учитывая тождество 1F" + п" Аи"+1 = (w" ) + w" (и"4- «/*)= w"n"+1,
н'Г1 + 0,5Д/[бу (w/z^+l)- v5yvw"+1 ] = н" + .
(6.174)
Соотношение (6.174), преобразованное к канонической форме для
решения методом прогонки, запишем в виде
ctjUj^y —•bjUj — dj , (6.1/5)
294
где
а';=0,5Ро+0Д5 — и?.! , J &х J (6.176a)
bnj =1 + Fo , (6.1766)
с” =0,5Fo-0,25~- и?.. , J t±x (6.176b)
d" = -0,5 Fo (wj_( + w”+I)- (1 - Fo>/}', (6.176r)
Fo = v Hxt!Ax2. (6.176д)
Очевидно, коэффициенты af и с” являются функциями и" и поэтому
на каждом шаге по времени должны вычисляться заново. Это не является,
однако, препятствием для непосредственного использования метода прогонки.
Неявная схема (6.175) имеет ошибку аппроксимации порядка О(Лг2, Дх2)
и является безусловно устойчивой в смысле Неймана. Линеаризованная схема
Кранка-Николсона (6.174) может быть обобщена так, чтобы включить в нее
массовый оператор (для реализации конечно-элементной формулировки), а
также четырехточечную дискретизацию конвективного члена со сдвигом вверх
по потоку [см. п. 6.4.1, формулу (6.111)].
Для построения решений вязкого уравнения Бюргерса с малыми
значениями физической вязкости v часто в правую часть соотношения (6.172)
вводят дополнительный член с искусственной диссипацией в форме
0,5veArt>vx (f; + Fj!+i )= voA«5xx (и>«+1),
параметр va в которой подбирают опытным путем.
Пример 6.6. Рассмотрим задачу о распространении ударной волны на
отрезке [-L, L], где L = 1, которая описывается вязким уравнением Бюргерса
(6.160). При t = 0 ударная волна находится в точке х = 0, т.е. начальные
условия имеют вид
Ио (х) и (х, 0) = 1 при -L < х < 0; и0 (х) = и (х, 0) = 0 при 0 < х < L, (6.177а)
295
а граничные условия задаются в форме
и(-£, 0=1; u(L, t) = 0.
(6.1776)
При указанной комбинации НУ и ГУ уравнение (6.160) имеет точное
решение на бесконечной оси - «*> < х < «*> [14, т. 1, с. 442]
Г ——-exp(-0,5ReG)dJ;
-------------------
Jexp(-0,5ReGX
(6.178)
где
G(^;x,r)= Jwo(i])dT] + O,5 , Re = HmaxL/v= 1/v.
При использовании выражения (6.178) необходимо иметь в виду, что решение
задачи (6.160) с НУ (6.177а) и ГУ (6.1776) будет незначительно отличаться от
точного решения (6.178) аналогичной задачи на бесконечной оси — °°<х<ж
лишь при не слишком больших t и умеренных числах Рейнольдса.
Численное решение, найденное методом Кранка-Николсона (6.175)-
(6.176) при Re = 10, с учетом ГУ (6.1776), представлено в Приложении 11. Из
полученных графиков видно неплохое совпадение численного (жирная
пунктирная линия) и "точного" (тонкая линия) решений при не слишком
больших значениях времени. В то же время решение (6.178) сильно отклоняется
от нуля на правой границе при t > 1,2 с (см. два последних графика).
Численные эксперименты показали, что при вязкости v = К)1 м2/с
осцилляции решения не возникают вообще при Fo < 1, а при Fo = 2 колебания
появляются вблизи фронта ударной волны, но быстро затухают; при v = 10 2 м2/с
численное решение слабо осциллирует даже при Fo = 0,04. Эти колебания
связаны с дисперсионными свойствами схемы Кранка-Николсона. Поскольку
использование четырехточечных аппроксимаций нелинейного конвективного
296
члена в уравнении (6.160) не столь успешно, как при решении уравнения
конвекции и диффузии, для подавления осцилляций в схему рекомендуется [14]
добавлять достаточно большую искусственную вязкость v„. Более разумным
является введение зависимости величины va от градиента решения, т.е. чтобы
искусственная вязкость была значительной только вблизи ударной волны.
6.5.2. Двумерное уравнение Бюргерса для вязкого течения
Для изучения численных методов, предназначенных специально для
решения многомерных задач, рассмотрим двумерное уравнение Бюргерса.
Эквивалентная дивергентная векторная форма этого уравнения имеет вид
ЙЦ дБ dG = fd?U д2и'
dt дх ду дх2 ду2
(6.179)
где U - {и, w], F = [и2, uw}, G = {uw, w2}. Здесь и, w — компоненты скорости.
В проекциях на декартовы оси координат (х, у) векторное уравнение (6.179)
превращается в систему
ди ди ди (д2и д2и
dt дх ду дх2 ду2
йи’ йи1 йю (d2w d2w
dt дх ду I Эх2 йу
(6.180а)
(6.1806)
Уравнения (6.179)-(6.180) совпадают с системой уравнений движения вязкой
несжимаемой жидкости при ламинарном течении, когда можно пренебречь
силами, вызванными градиентом давления. Таким образом, эти уравнения
можно рассматривать как "редуцированную" форму уравнения Навье-Стокса.
Точные решения системы уравнений (6.180), полученные при помощи так
называемого преобразования Хопфа— Коула (см. п. 6.5.1), представлены в [14,
т.1, с. 467], и даже для стационарного решения имеют довольно громоздкий вид.
Точное стационарное решение двумерного линеаризованного уравнения
Бюргерса можно найти в книге [13, т.1, с. 203].
297
Все рассмотренные ранее методы решения одномерного уравнения
Бюргерса применимы и для решения двумерных уравнений (6.180), однако при
решении многомерных задач обычно используют модифицированные
алгоритмы. Это связано с ужесточением требований к явным схемам для
обеспечения устойчивости, при использовании неявных схем стремятся к
построению экономичной системы уравнений с трехдиагональной матрицей.
Рассмотрим несколько неявных схем, в которых для расщепления по
времени реализована приближенная факторизация.
Обобщенная двухслойная схема
Обобщенная двухслойная схема, построенная с использованием шаблона,
показанного на рис. 6.13, может быть записана в векторном виде
гэи]
Л =RHS ,
Й/ : ;
(6.181а)
где использовано обозначение
RHS = -5а. F- G+ v(5 хх + 5yv )и.
(6.1816)
Здесь, как и прежде, 5Х, 8,, 8У>. — центральные разностные операторы
соответственно первого [например, SA щ = (и^+1 - м,_|)/2/г] и второго [см. (6.71)]
порядка.
Рассмотрим вариант двухслойной чисто неявной дискретизации по
времени уравнений (6.181), т.е.
“йиТ+1
= RHS"+1
(6.182)
Желая получить из уравнения (6.182) линейную систему уравнений для
приращения AU”+1, проведем линеаризацию нелинейных членов F и G в
выражении (6.1816). Д ля этого запишем разложения в ряд Тейлора в окрестности
и-го временного слоя
298
F"+l =F"+Ади"+1+...,
G"+1 =G"+BAU"+1+...,
(6.183)
где А и В вычисляются в виде
dF
эи
'2м в=-£
IV и} й U
И’ и
О 2и>
(6.184)
После подстановки производных в уравнение (6.182) можем построить
следующую приближенную факторизацию [см. также построение уравнения
(6.85)]:
[1 + т(б А A- v8xx )](Д и)* у = tRHS” ,
[1 + ?(83. В- »8уу )](Д U^1 = (д и)* у.
(6.185)
(6.186)
Поскольку в уравнения (6.185) и (6.186) входят матрицы Якоби А и В, эти
уравнения являются блочно-трехдиагональными вдоль сеточных линий,
параллельных осям х и у соответственно. Так как матрицы А и В зависят от
решения, возникает необходимость в проведении новой факторизации блочно-
трехдиагональной системы на каждой итерации п. Эффективное решение
блочно-трехдиагональной системы проводится с помощью блочного алгоритма
Томаса [14, т.1, с. 245; 13, т.2, с. 665].
Схема расщепления имеет ошибку аппроксимации порядка О(т, h2, к2), где
h, к — шаги сетки по осям х и у соответственно. Анализ устойчивости по
Нейману применяется к схеме (6.185) - (6.186) после временного замораживания
значений А и В, и показывает, что рассматриваемый алгоритм расщепления
является безусловно устойчивым. На практике использование чрезмерно
большого шага по времени может привести к так называемой "нелинейной"
неустойчивости, обусловленной нелинейным характером уравнения (6.179).
Пример применения алгоритма (6.185)-(6.186) к решению двумерного
уравнения Бюргерса представлен в монографии [14, т.1, с. 475].
299
Неявные методы переменных направлений
„ л dF „ 3G
Введем обозначения А = ; В = , тогда, например, уравнение
ои аи
(6.180а), можно переписать в виде
«г + Awx + Вп, = v(wXA. + иуу ). (6.187)
Для решения уравнений Навье-Стокса движения газа В.И. Полежаев в
1967 г. предложил модифицированный метод переменных направлений Пис-
мена-Ракфорда [см. уравнения (6.73)]. Применяя этот метод к решению
двумерного уравнения Бюргерса (6.187), получаем разностную схему
(6.188)
Здесь звездочкой обозначены переменные на половинном шаге. Эта схема
обладает погрешностью аппроксимации О(г, h2, к2). В линейном случае она
безусловно устойчива. На каждом шаге по времени надо решать систему
алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей: на первом
полушаге — прогонкой по i, на втором — прогонкой по j.
Модифицированная Дугласом и Ганном схема Брили-Макдональда имеет
вид
6 + “v8wJ + tS['j, (6.189)
= M5X,-v5 J <6190>
где S”y = -8^5 - 6yG”j + 8X (ApjU”j)+ 8,. ).
Эта схема также основана на методе переменных направлений, и сводит
вычислительную задачу к решению трехдиагональной системы линейных
алгебраических уравнений.
300
Задачи
Задачи на одномерное уравнение теплопроводности (диффузии)
Вар. 1. В трубке длиной /, = 0,01 м, заполненной раствором с начальной
концентрацией С(х,0) - Со = 10 кг/м3, происходит молекулярный перенос
вещества с коэффициентом диффузии D = 10 9 м2/с, описываемый одномерным
уравнением диффузии. Концентрация вещества на концах трубки
поддерживается равной нулю. Постройте конечно-разностный аналог уравнения
диффузии на основе простой неявной схемы. Используя равномерную сетку,
рассчитайте нестационарное поле концентраций.
Вар. 2. Прогрев тонкой пластины в поперечном направлении описывается
одномерным уравнением теплопроводности. Материал пластины —
углеродистая сталь, ее начальная температура То = 293 К. На обеих поверхностях
заданы тепловые потоки, обращенные внутрь стенки q(0, t) = q(L, t) = 10 Вт/м2.
Толщина пластины L = 5 мм. Постройте конечно-разностный аналог уравнения
теплопроводности на основе простой неявной схемы. Используя равномерную
сетку, рассчитайте нестационарное поле температур.
Вар, 3. Процесс переноса вещества, находящегося в растворенном виде в
пористой пластине (пористость е = 0,3), описывается одномерным уравнением
диффузии, коэффициент диффузии D = 10“9 м2/с. Толщина пластины L = 100 мм,
начальная концентрация раствора в порах Cn = 1 кг/м3. На границах пластины
поддерживаются постоянные во времени потоки вещества </(0, t) = 0,01 кг/(с м2),
q(L, t) - 0,05 кг/(с м2), направленные наружу. Постройте конечно-разностный
аналог уравнения диффузии на основе схемы Кранка-Николсона. Используя
равномерную сетку, рассчитайте нестационарное поле концентраций.
Вар. 4, Процесс охлаждения стержня описывается одномерным уравнением
теплопроводности. Длина стержня L = 200 мм, его начальная температура 593 К,
температуры хладагентов на левом и правом его торцах равны соответственно
Г(0, 0 = 293 К, T(L, t) = 393 К, коэффициенты теплоотдачи от торцов стержня
можно принять бесконечно большими. Материал стержня — легированная
сталь. Постройте конечно-разностный аналог уравнения теплопроводности на
301
основе схемы Кранка-Николсона. Используя равномерную сетку, рассчитайте
нестационарное поле температур.
Вар. 5. Процесс переноса вещества, находящегося в растворе в капиллярах
пористой пластины (пористость е = 0,4), описывается одномерным уравнением
диффузии, коэффициент диффузии D = 10 9 м2/с. Толщина пластины L = 200 мм,
начальная концентрация раствора в порах Сп = 5 кг/м3. На границах пластины из-
вестны коэффициенты массоотдачи — слева = 5-10 7 м/с, справа р2 = 0,5-10 7
м/с, и концентрации омывающей жидкости С) = 0,5 кг/м3; С2 = 0,1 кг/м3.
Постройте конечно-разностный аналог уравнения диффузии на основе явной
схемы ВВЦП. Используя равномерную сетку, рассчитайте нестационарное поле
концентраций.
Вар. 6. Задача переноса теплоты вдоль стержня описывается одномерным
уравнением теплопроводности. Длина стержня L = 40 мм, его начальная
температура 443 К, материал стержня — углеродистая сталь. Температуры
хладагентов вблизи левого и правого его торцов равны соответственно 7(0, t) =
= 393 К, T(L, t) = 343 К, коэффициенты теплоотдачи от торцов стержня можно
считать бесконечно большими. Постройте конечно-разностный аналог
уравнения теплопроводности на основе явной схемы ВВЦП. Используя
равномерную сетку, рассчитайте нестационарное поле температур.
Вар. 7. Прогрев тонкой пластины в поперечном направлении описывается
одномерным уравнением теплопроводности. Материал пластины — легирован-
ная сталь, ее начальная температура Го = 278 К. На обеих поверхностях заданы
тепловые потоки, обращенные внутрь стенки q(0, t) = q(L, t) = 20 Вт/м2. Толщина
пластины L = 50 мм. Постройте конечно-разностный аналог уравнения тепло-
проводности на основе явной схемы ВВЦП. Используя равномерную сетку,
рассчитайте нестационарное поле температур.
Вар. 8. В трубке длиной L = 0,05 м, заполненной раствором с начальной кон-
центрацией С(х,0) = Cn = 1 кг/м3, происходит молекулярный перенос вещества с
коэффициентом диффузии D = 10 9 м2/с, описываемый одномерным уравнением
диффузии. Концентрация вещества в жидкости, омывающей концы трубки,
поддерживается равной Q = С2 = 0,05 кг/м3, коэффициенты массоотдачи на
302
левой и правой границах равны соответственно Pj = 5-107 м/с, р2 - 0,5-10 7 м/с.
Постройте конечно-разностный аналог уравнения диффузии на основе схемы
Кранка-Николсона. Используя равномерную сетку, рассчитайте нестационарное
поле концентраций.
Вар. 9. В трубке длиной £ 0,1 м, заполненной раствором с начальной кон-
центрацией С(х,0) = Со = 5 кг/м3, происходит молекулярный перенос вещества с
коэффициентом диффузии D = 10 9 м2/с, описываемый одномерным уравнением
диффузии. Концентрация вещества в жидкости, омывающей концы трубки,
поддерживается равной С) = С2 = 0,02 кг/м3, коэффициенты массоотдачи на
левой и правой границах равны соответственно Pi = 5-10 s м/с, Р2 = 0,5-10 к м/с.
Постройте конечно-разностный аналог уравнения диффузии на основе простой
неявной схемы. Используя равномерную сетку, рассчитайте нестационарное
поле концентраций.
Вар. 10, Уравнение теплопроводности при охлаждении толстостенной трубы в
одномерной постановке (теплота распространяется только в радиальном
направлении) решается с использованием простого явного метода ВВЦП:
«Г1- и] = Г «2-1 -щ++±
А/ Дг2 Гу 2Аг
Материал трубы — углеродистая сталь, ее длина L = 0,5 м, внутренний радиус
Ri = 100 мм, наружный R2 - 200 мм, начальная температура То = 573 К.
Используя равномерную сетку, рассчитайте нестационарное поле температур
для следующих вариантов граничных условий.
а) Температуры на внутренней и наружной поверхностях трубы в течение
всего процесса охлаждения постоянны и равны соответственно 7\(f) = 373 К,
T2(t) = 273 К.
б) Тепловые потоки на внутренней и наружной поверхностях трубы в
течение всего процесса охлаждения постоянны и равны соответственно
qi(t) = 300 Вт/м2,<?,(/) = 50 Вт/м2.
303
в) Температуры жидкости, охлаждающей внутреннюю и наружную
поверхности трубы, равны соответственно '£](?) = 350 К, Т2(0 = 293 К, а
соответствующие коэффициенты теплоотдачи Pi(r) = 400 Вт/(м2-К), Р2(/) = 1000
Вт/(м2-К).
Вар. 11. Уравнение теплопроводности при охлаждении толстостенной трубы в
одномерной постановке (теплота распространяется только в радиальном
направлении) решается с использованием простого неявного метода:
,/'+1 -,,«+| - 7„Л+1 4- >/i+l 1 „”+1 _ ,,«+1
Аг Дг2 Гу 2Аг
Материал трубы — нержавеющая сталь, ее длина L = 2,0 м, внутренний радиус
Ri = 80 мм, наружный R2 = 240 мм, начальная температура То = 573 К.
Используя равномерную сетку, рассчитайте нестационарное поле температур
для следующих вариантов граничных условий.
а) Температуры на внутренней и наружной поверхностях трубы в течение
всего процесса охлаждения постоянны и равны соответственно '£,(?) = 393 К,
Г2(0 = 253 К.
б) Тепловые потоки на внутренней и наружной поверхностях трубы в
течение всего процесса охлаждения постоянны и равны соответственно qi(f) = 40
Вт/м2,91(f) = 250 Вт/м2.
в) Температуры жидкости, охлаждающей внутреннюю и наружную
поверхности трубы, равны соответственно Ti(t) = 293 К, T2(f) = 343 К, а
соответствующие коэффициенты теплоотдачи Р^О = 500 Вт/(м2-К), |32(О - 2000
Вт/(м2-К).
Вар. 12. Уравнение теплопроводности при охлаждении толстостенной трубы в
одномерной постановке (теплота распространяется только в радиальном
направлении) решается с использованием метода Кранка-Николсона:
11 у -Uj _CL иj-1 + иу_] - 2(г/у +Uj)+U у+1 + Wy+1 + 1 Uy+1 + l/y+1 ~ Wy_| - Wy_|
А/ 2 Rp- Гу 2Ar
304
Материал трубы — углеродистая сталь, ее длина L = 1,5 м, внутренний радиус
Ri = 150 мм, наружный R2 - 250 мм, начальная температура То - 523 К.
Используя равномерную сетку, рассчитайте нестационарное поле температур
для следующих вариантов граничных условий.
а) Температуры на внутренней и наружной поверхностях трубы в течение
всего процесса охлаждения постоянны и равны соответственно T\(f) - 303 К,
T2{t) = 293 К.
б) Тепловые потоки на внутренней и наружной поверхностях трубы в
течение всего процесса охлаждения постоянны и равны соответственно qi(t) = 60
Вт/м2, 91(1) =150 Вт/м2.
в) Температуры жидкости, охлаждающей внутреннюю и наружную
поверхности трубы, равны соответственно /)(/) = 380 К, Т2(0 = 313 К, а
соответствующие коэффициенты теплоотдачи Рг(0 = 600 Вт/(м2-К), (32(/) = 1500
Вт/(м2-К).
Вар. 13. Через вертикальную цилиндрическую трубу длиной L = 2 м и диаметром
D = 100 мм, заполненную порошковым материалом (размер частиц 5 = 100 мкм,
порозность е = 0,37 = const), происходит фильтрация воздуха в осевом
направлении при температуре 293 К. Начальное давление воздуха в порах
р0 = 105 Па (абс.). Воздух подается сверху с постоянным массовым расходом
G - 0,0002 кг/с, дно трубы заглушено. Используя равномерную сетку,
рассчитайте нестационарное поле давлений в трубе.
Вар. 14. Через кольцевой зазор между двумя пористыми коаксиальными
цилиндрами, заполненный порошковым материалом, в радиальном направлении
(торцевые поверхности непроницаемы) фильтруется воздух при постоянной
температуре Т = 293 К. Размер частиц 8 = 80 мкм, порозность е = 0,37 = const,
радиус внутреннего цилиндра — 80 мм, наружного R2 = 240 мм, их высота
Н=0,4м. Начальное давление воздуха в порах р0= 105Па(абс.). Воздух
подается изнутри с постоянным массовым расходом G = 0,4-10“3 кг/с, наружный
цилиндр непроницаем. Предполагая задачу одномерной, постройте конечно-
разностный аналог уравнения неразрывности, используя также уравнения
305
состояния газа и ламинарной фильтрации. Применяя равномерную сетку,
рассчитайте нестационарное поле давлений.
Вар. 15. Условия задачи см. в вар. 14, однако известны давления на внутреннем и
наружном цилиндрах (оба — проницаемы) рф!) = 1,5-105 Па (изб.),рг(0 = 0,1-Ю5
Па (изб), а расход газа неизвестен. Сравните мгновенные массовые расходы газа
через внутреннюю и наружную цилиндрическую поверхность.
Вар. 17. Условия задачи см. в вар. 14, однако воздух подается через
проницаемый наружный цилиндр с постоянным массовым расходом G = 2,4-1 (Г3
кг/с, внутренний цилиндр непроницаем.
Вар. 18*. Пористый шар с твердым скелетом, межзерновые каналы которого
заполнены воздухом при начальном давлении ро=1О5Па (абс.), помещают в
камеру с постоянным давлением воздуха /ъ = 2-105 Па (абс.). Предполагая
задачу одномерной, постройте конечно-разностный аналог уравнения
неразрывности, используя также уравнения состояния газа и ламинарной
фильтрации. Аппроксимируйте граничные условия выражениями второго
порядка. Применяя равномерную сетку, рассчитайте нестационарное поле
давлений, а также закон изменения массового расхода газа через поверхность
шара. Диаметр шара D = 100 мм, Размер частиц 5 = 50 мкм, порозность е = 0,32 =
= const. Температура газа постоянна и равна Т= 343 К.
Вар. 19. Условия см. в вар. 1, однако учесть зависимость коэффициента
диффузии от пространственной координаты D = 10 9(1+107х) м2/с, где
координата х выражена в м.
Вар. 20. Условия см. в вар. 2, однако учесть зависимость коэффициента
теплопроводности от пространственной координаты А = 46 [1 + у х], Вт/(м К),
где у — 5x103 ма начало оси х находится на левой стороне пластины.
Вар. 21. Условия см. в вар. 3, однако учесть зависимость коэффициента
диффузии от пространственной координаты D = 10 9(1 - 5-10 йх) м2/с, где
координата х выражена в м.
306
Bap. 22. Условия см. в вар. 4, дополнительно учесть зависимость коэффициента
теплопроводности от пространственной координаты X = 46 [1 + у х], Вт/(м-К),
где у = 100 м а начало оси х находится на левой стороне пластины.
Вар. 23. Условия см. в вар. 2, дополнительно учесть зависимость коэффициента
теплопроводности от температуры X = 46 [1 + у(Г-293)], Вт/(м-К), где Т —
температура. К; у = 5x10 4 К 4.
Вар. 24, Условия см. в вар. 1, дополнительно учесть зависимость коэффициента
диффузии от концентрации D = 10 9 ехр(уС) м2/с, где у = 0,01 м3/кг.
Вар. 25. Условия см. в вар. 7, дополнительно учесть зависимость коэффициента
теплопроводности от температуры X = 16 [1 + у(Г-293)], Вт/(м-К), где Т —
температура, К; у = - 2х10~3 К-1.
Вар. 26. Условия см. в вар. 8, дополнительно учесть зависимость коэффициента
диффузии от концентрации D - Ю 9 ехр(уС) м2/с, где у - - 0,02 м3/кг.
Задачи на двумерное уравнение теплопроводности (диффузии)
Вар. 27. Найдите нестационарное поле температур в теле прямоугольной формы
(0 <х< В, 0 < у < В} с размерами В = 0,1 м, L = 0,25 м и единичной толщиной,
если начальная температура тела Го = 293 К, нижняя (у = 0) и верхняя (у = В)
границы теплоизолированы, с момента времени t = 0 на левой границе (х = 0)
поддерживается распределение температуры 7\ = Tlt + a у, а на правой (х = L)
температура меняется по закону Г2 - Т20 + 7д sin(cof). Здесь a = 0,5T(JB,
Т2й = То + Тд, ГА = 30 К, со = 0,314 с4. Физические свойства тела: плотность р =
= 2500 кг/м3, теплоемкость С = 1800 Дж/(кг-К), коэффициент теплопроводности
X = 0,7 Вт/(м-К).
Вар. 28. Найдите нестационарное поле температур в теле прямоугольной формы
{0 < х < L, 0 < у < В} с размерами В = 0,1 м, L = 0,25 м и единичной толщиной,
если начальная температура тела Го = 303 К, нижняя (у = 0) и верхняя (у = В)
границы теплоизолированы, с момента времени 1 = 0 на левой границе (х = 0)
подводится удельный тепловой поток qx = с/(> ( 1 -е yf), а на правой (х = £)
температурный профиль имеет вид Т2 = 7» + 7\ sin(7ty/B). Здесь q0 = 1000 Вт/м2,
у = 0,05 с ГА = 50 К. Физические свойства тела: плотность р = 2300 кг/м3,
307
теплоемкость С = 2000 Дж/(кг-К), коэффициент теплопроводности А = 2,7
Вт/(м-К).
Вар, 29. Найдите нестационарное поле температур в теле прямоугольной формы
[0 < х < L, 0 < у < В} с размерами В = 0,1 м, L = 0,25 м и единичной толщиной,
если начальная температура тела То = 293 К, нижняя (у - 0) и правая (х = L)
границы теплоизолированы, с момента времени t = 0 на левой границе (х = 0)
устанавливается температурный профиль Ту = То + а (В - у), а на верхней (у = В)
температура распределена по закону Т2 = То + b х. Здесь а = T{t!B, b = 0,5 To/L.
Физические свойства тела: плотность р = 2500 кг/м3, теплоемкость С = 2300
Дж/(кг-К), коэффициент теплопроводности А = 1,5 Вт/(м-К).
Вар. 30. Найдите нестационарное поле температур в теле прямоугольной формы
{0<x<L, 0<у<В} с размерами В = 0,1 м, L = 0,25 м и единичной толщиной,
если начальная температура тела Го = 303 К, нижняя (у = 0) и верхняя (у = В)
границы теплоизолированы, с момента времени t = 0 на левой границе (х = 0)
происходит теплообмен с внешней средой, температура которой меняется по
закону Г1 = То + 7А (1 -е ^), а коэффициент теплоотдачи постоянен и равен
= 500 Вт/(м2-К), а на правой границе (х = L) температура меняется по закону
Г2 = То + а у . Здесь а = 0,2 7}JB, Га = 100 К, у = 0,02 с-1. Физические свойства
тела: плотность р = 2400 кг/м3, теплоемкость С = 1800 Дж/(кг К), коэффициент
теплопроводности А = 0,4 Вт/(м-К).
Вар. 31. Условия как в вар. 27, однако в момент времени t = 0 дополнительно
включаются объемные источники энергии с интенсивностью f = f0 е ~Yf, где
/о = 10 К/с, у - 0,01 с1.
Задачи на одномерное уравнение конвекции и диффузии
Вар. 32-34. Труба длиной L = 2 м, разделенная на две равные части задвижкой,
соединяет два резервуара, заполненные раствором NaOH (см. рис. 6.21). В
резервуаре слева от задвижки находится раствор с концентрацией С1, а
справа — раствор с концентрацией СО. После открывания задвижки жидкость
начинает перетекать со скоростью с слева направо. Рассчитать нестационарное
поле концентраций по длине трубы, считая задачу одномерной, на временном
308
интервале [0; 0,2L/col. Режим течения ламинарный. Коэффициент диффузии
NaOH в воде принять D = 10 9 м2/с.
Вар. 32, С1 - 0,01 кг/м3, С^= Окт/м', скорость постоянна и равна
to = Ю” м/с. Использовать схему:
а) ВВЦП.
б) ВВЦП с аппроксимацией конвективного члена против потока.
в) Лакса-Вендроффа.
г) Шеститочечную Кранка-Николсона.
д) Кранка-Николсона с разностями против потока.
е) Патанкара.
Вар. 33. С1 = 0,01 кг/м3, CQ= 0,05 кг/м3, скорость постоянна и равна
с0 = 10 й м/с. Использовать схему:
а) ВВЦП.
б) ВВЦП с аппроксимацией конвективного члена против потока.
в) Лакса-Вендроффа.
г) Шеститочечную Кранка-Николсона.
д) Кранка-Николсона с разностями против потока.
е) Патанкара.
Вар. 34. С1 = 0,1 кг/м3, 0,05 кг/м3. Скорость потока меняется по
закону с - с0 [1 - ехр(-уЩ, где с0 = 10'8 м/с, у = 0,01£/с0. Использовать схему:
а) ВВЦП.
б) ВВЦП с аппроксимацией конвективного члена против потока.
в) Лакса-Вендроффа.
г) Шеститочечную Кранка-Николсона.
д) Кранка-Николсона с разностями против потока.
е) Патанкара.
Задачи на одномерное вязкое уравнение Бюргерса
Вар. 35-39. Найдите численное решение вязкого одномерного уравнения
Бюргерса (6.160) при v = 0,l, 0<x<L, L=2, 0<t<tK, /к = 0,5 с краевыми
условиями г/(х,0) = 0; w(0,/) = l; и(L,t) = 0. Сравнить стационарное решение с
точным. Разностное решение получить, используя:
309
Bap. 35. Метод ВВЦП.
Вар. 36. Схему Браиловской.
Вар. 37. Метод Аллена-Чена.
Вар. 38. Метод Мак-Кормака.
Вар. 39. Схему Кранка-Николсона.
Вар. 40-44, Найдите численное решение вязкого одномерного уравнения
Бюргерса (6.160) при v = 0,1, 0 < х < L, L = 2, 0 < t < tK, tK = 0,5 с краевыми
условиями и(х,0) = 1; и(0,/) = 0; u(L,t) = l. Разностное решение получить,
используя:
Вар. 40. Метод ВВЦП.
Вар. 41. Схему Браиловской.
Вар. 42, Метод Аллена-Чена.
Вар, 43. Метод Мак-Кормака.
Вар. 44. Схему Кранка-Николсона.
Вар. 45—49. Найдите численное решение вязкого одномерного уравнения
Бюргерса (6.160) при v = 0,1, 0 < х < L, L = 2, 0 < t < tK, tK = 0,5 с краевыми
условиями и(х,0) = 1, х<0,5, м(х,0) = 3, л>0,5; и(0,/) = 1; u(L,t) = 3. Разност-
ное решение получить, используя:
Вар. 45. Метод ВВЦП.
Вар. 46. Схему Браиловской.
Вар. 47. Метод Аллена-Чена.
Вар. 48. Метод Мак-Кормака.
Вар. 49. Схему Кранка-Николсона.
Вар. 50-54, Найдите численное решение вязкого одномерного уравнения
Бюргерса (6.160) при v = 0,1, 0 < х < L, L - 2, 0<t<tK, /к = 0,5 с краевыми
условиями п(х,0) = 3, х < 0,5, и(х,0) = 1, х> 0,5; w(0,Z) = 3; w(£,/) = l. Разност-
ное решение получить, используя:
Вар. 50. Метод ВВЦП.
Вар. 51. Схему Браиловской.
Вар. 52. Метод Аллена-Чена.
Вар. 53. Метод Мак-Кормака.
Вар. 54, Схему Кранка-Николсона.
310
Глава 7. Методы решения уравнений
эллиптического типа
К решению эллиптических уравнений сводятся такие задачи, как расчет
дозвукового потенциального течения газа, определение стационарного поля
температуры в твердом теле, эллиптическими являются стационарные уравнения
Навье-Стокса; нестационарные уравнения Навье-Стокса являются смешанными
уравнениями эллиптически-параболического типа.
7.1. Уравнение Лапласа
Уравнение Лапласа (1.6) — простейшее эллиптическое уравнение. В
декартовой системе координат двумерное уравнение Лапласа имеет вид
И« + Ида=°- (7.1)
Уравнение Лапласа описывает, в частности, стационарное поле температур в
тонкой пластине, распределение давления в пористой среде при ламинарной
фильтрации, или концентрации вещества при диффузии в неподвижной среде.
Оно обладает всеми характерными свойствами эллиптических уравнений в
частных производных, встречающихся при решении задач гидромеханики и
тепломассопереноса. Изучение методов решения эллиптических уравнений
начинают с наиболее простого из них — уравнения Лапласа, поэтому его иногда
называют модельным уравнением для этих задач.
7.2. Уравнение Пуассона
Уравнение Пуассона (1.7) вытекает из стационарных уравнений
сохранения импульса, массы, энергии и вещества при наличии в системе
объемных источников или стоков. Уравнение Пуассона является неоднородным
уравнением Лапласа, для двумерного случая в декартовой системе координат
имеет вид
«лх + иуу = A’Uy) (7.2)
311
и описывает те же процессы, что и уравнение (7.1), но при наличии объемных
источников (стоков) с интенсивностью g(x,y).
7.3. Конечно-разностные методы решения эллиптических уравнений
Методы решения эллиптических уравнений различаются не столько
способом построения конечно-разностного аналога, сколько приемами решения
получающейся системы алгебраических уравнений.
Для упрощения записи обозначим Дх = й, Ду = к.
7.3.1. Пятиточечная схема Рунге
Наиболее часто для решения Лапласа используется схема (рис. 7.1,а)
-“г,./™,-!,; %/+1
h2 ‘ ' к2
с погрешностью аппроксимации О(й2, й2), предложенная Рунге еще в 1908 г.
7.3.2. Девятиточечная схема
Больший порядок точности по сравнению с (7.3) дает девятиточечная
схема, использующая информацию с девяти узлов сетки
4+1,7+1 +4-1,/+1 +4+1J-1+4-1J-1
Jr-5k2! \
2 /г + /с2 V*+W + !«-iJ +
5Й2 - к21
+2~^(
4,7+1 + 4,у-1) “ 20ц-,j = 0 . (7.4)
Погрешность аппроксимации этой схемы имеет порядок O(h4, к4), а на
квадратной сетке (й = к) он повышается до О(й6). Однако для эллиптических
уравнений более общего вида, содержащих члены, кроме лапласиана (например,
источниковый), схема имеет погрешность аппроксимации всего лишь О(й2, к2).
7.3.3. Диагональная пятиточечная схема
Поскольку оператор Лапласа инвариантен по отношению к повороту
системы координат [13], вместо четырех точек шаблона схемы (7.3) можно
312
/ г а ........г k i, 7+1 / _z /-1,7+1 Л б i l + LJ+1
h( J+1.7 ч J с к г, j Л ..... 7^
J \ . г ) к >ij-l 7 • /н к с J+1,7-1
/ Ду \ Г / / к* X 7 к У
Рис. 7.1. при Дх " X ' х Шаблоны, используемые для расчета по пятиточечным схемам = Ду: а - схема Рунге; б - диагональная пятиточечная схема.
использовать точки, показанные на рис. 7.1, б, в которые исходные точки
переходят при повороте осей на 45° относительно узла (i, f) и одновременном
увеличении шага сетки до y/2h. В результате получим диагональную
пятиточечную схему
Mi+1,7+1 + + ui-l.j-l 4ufj—0 (7.5)
с погрешностью аппроксимации О(Л2).
Существуют и другие разностные схемы для решения эллиптических
уравнений, однако они не обладают какими-либо преимуществами. Схемы
(7.3) - (7.5) сводятся к системам линейных алгебраических уравнений, которые
можно решать любыми известными (прямыми или итерационными) методами
(см. главу 10). Однако для достижения экономичности вычислений часто эти
системы решают, используя специальные итерационные методы, описанные
ниже.
313
7.4. Специальные итерационные методы решения систем линейных
алгебраических уравнений
Читателю наверняка знакомы прямые (методы Гаусса, Крамера,
прогонки— для систем специального вида, см. главу 10) методы решения
систем линейных алгебраических уравнений [6,16,17]. Некоторые итерационные
методы (Якоби, Зейделя) также описаны в главе 10 (п. 10.4). В данном параграфе
изложены специальные итерационные методы, используемые для решения
систем уравнений, получающихся при конечно-разностной аппроксимации
эллиптических уравнений.
7.4.1. Методы последовательной верхней и нижней релаксации
Метод последовательной верхней релаксации (ПВР) может быть
использован для ускорения сходимости любого итерационного процесса, но
здесь мы будем его рассматривать в приложении к методу Гаусса-Зейделя.
Суть метода ПВР сводится к корректировке результатов последней
итерации по результатам предыдущей согласно следующему соотношению
где к — номер предыдущей итерации;
— значение неизвестной - на (&+1)-й итерации, вычисленное по
методу Гаусса-Зейделя, еще не скорректированное;
(“'V/F — значение м, • на предыдущей итерации, уже скорректированное
ранее по формуле (7.6) (если метод применяется последовательно на каждой
итерации);
—скорректированное значение нг- • на(7+1)-й итерации.
Коэффициент <в — так называемый параметр релаксации; если 1 < со < 2,
то говорят о методе верхней релаксации. Верхняя релаксация в некотором
314
смысле подобна линейной экстраполяции, проводимой по значениям J и
/с+1
U>J
Для решения некоторых задач применяют метод нижней релаксации, при
котором 0<<в<1. Нижнюю релаксацию целесообразно использовать при
осциллирующем характере сходимости решения в точке, а именно когда в ходе
итераций численное решение "стремится превысить точное". Метод нижней
релаксации обычно используют при решении эллиптических уравнений лишь в
случае их нелинейности. Иногда сходимость решения нелинейных уравнений
обеспечивается лишь при использовании нижней релаксации.
Метод последовательной верхней релаксации обычно дает хорошие
результаты при численном решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
Ограничение параметра релаксации <а интервалом [0; 21 обусловлено
требованием сходимости итерационного процесса. При <а >2 итерационный
процесс сходиться не может, поскольку в этом случае отличие и от точного
решения не будет убывать от итерации к итерации.
Оптимальное значение параметра релаксации в большинстве случаев
априорно найти не удается, и тогда полезными оказываются численные
эксперименты. Целесообразность поиска оптимального параметра релаксации
очевидна: в ряде случаев удается сократить время счета в 30 раз!
Наряду с рассмотренным методом экстраполяции существуют и более
мощные формулы — Эйткена и Ричардсона, подробно изложенные в литературе
по вычислительной математике [17]. Однако их эффективность зачастую
поглощается увеличением числа алгебраических действий и повышенными
требованиями к объему оперативной памяти компьютера.
Преимуществами метода ПВР являются простота и то, что его
использование не требует введения дополнительных массивов.
7.4.2. Блочные (неявные) итерационные методы
Основная идея блочных итерационных методов состоит в том, что (в
отличие от рассмотренных ранее точечных методов) выделяется некоторый блок
315
(группа) неизвестных (например, строка), и их значения корректируются
одновременно путем решения системы алгебраических уравнений методом
исключения. Очевидно, такие методы носят неявный характер, и поэтому
зачастую блоки подбирают так, чтобы система уравнений имела
трехдиагональную матрицу, которая эффективно решается методом прогонки.
7.4.2.1. Последовательная верхняя релаксация по строкам
Метод является простейшим из блочных итерационных, и может
применяться как к строкам, так и к столбцам. Рассмотрим его на примере
пятиточечной разностной схемы решения уравнения Лапласа с граничными
условиями Дирихле в прямоугольной области.
Пусть Р = dcc/f\y — отношение шагов разностной сетки, тогда разностное
уравнение для решения методом Гаусса-Зейделя имеет вид
Л+1 _ +Р2Ку+1 +и11-1
UiJ ~ 2(1 < Р2)
(7.7)
где к — номер итерации, i — номер столбца, j — номер строки.
Начиная итерации с нижней границы (/ = 0) и двигаясь вверх по строкам,
можем записать для произвольной точки соотношение
к+1 _ Ui+l,j + +Р К7+1+«;,7-1)
ui i —-----------1----------------> V-o7
2^ + pJ
включающее три неизвестных на 7-й строке: , поскольку
величина Ufjli известна либо из условий на нижней границе, либо из решения
на предыдущей строке. Значение u^j+1 берется с предыдущей итерации, чтобы
полученное уравнение содержало всего три неизвестных и могло решаться
методом прогонки. Схема алгоритма, показанная на рис. 7.2, а, напоминает
простой неявный метод, применяемый при решении задач теплопроводности.
316
(к, j+1 )-й слой (значения известны)
(А+1, у-1)-й слой (значения известны из расчетов
предыдущей строки или из ГУ — при j = 1)
СА+1, Д-й слой
(три неизвестных)
(к+1, г-1)-й столбец (значения известны из расчетов
предыдущего столбца или из ГУ — при i = 1)
(к, г+1 )-й столбец
(значения известны)
, г)-й столбец
(три неизвестны^)
Рис. 7.2. Последовательная верхняя релаксация: а - по строкам; к
строке, выделенной пунктиром (/-й слой), применяют метод прогонки,
затем переходят к следующей [(/ + 1)-й слой]; б - ПВР по столбцам.
Собственно верхняя релаксация может быть включена в рассмотренный
алгоритм несколькими способами. Первый из них состоит в том, что после
решения методом прогонки системы уравнений (7.8) для j-й строки значения
всех неизвестных в этой строке корректируются по формуле (7.6), после чего
переходят к решению для следующей строки.
Другой способ состоит во включении параметра релаксации со в
алгоритм до решения уравнения прогонкой, т.е. выражение (7.6) подставляют в
правую часть уравнения (7.8), получая выражение
317
J? = (1 - tokt + + «*-& + ₽2fe+i + “^11 <7-9)
ZU +p !
которое для каждой строки решается методом прогонки (см. главу 10). Для
обеспечения условия диагонального преобладания необходимо выполнение
условия со < 1 + (З2 .
При последовательной верхней релаксации по строкам один цикл
итераций заканчивается после решения системы уравнений с трехдиагональной
матрицей для всех строк. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет
выполнено условие сходимости итераций.
Несмотря на увеличение времени счета на каждой итерации, применение
метода в целом сокращает общее число итераций. Ускорение сходимости
итераций при использовании блочных методов по сравнению с точечными
связано, по-видимому, с более сильным влиянием граничных условий на
результаты расчета на каждой итерации, подобно тому, как это происходит при
решении уравнения теплопроводности неявными методами (см. главу 6).
7.4.2.2. Неявные методы переменных направлений
Сходимость метода можно часто улучшить, меняя направление движения.
В простейшем случае можно чередовать движение по строкам и столбцам в
одной итерации.
Метод чередующихся движений по столбцам и строкам
Простейший вариант — применение соотношения (7.8) сначала для
движения по строкам. Полученные при этом величины будем обозначать
индексом (7+1/2). После этого проводят пересчет по столбцам
fc+I/2 , ,/+1 . р2 Lk-f-f .„к+1 )
,/+1 - i+i>J kj-H ...
,J 2(1+ p2)
а затем проводится процедура верхней релаксации и переход к следующей
итерации (см. рис. 7.2, б). Верхнюю релаксацию можно проводить и раз-
дельно — сначала при движении по строкам, а затем при движении по столбцам.
318
Она может быть и сразу включена в алгоритм расчета подобно тому, как
это сделано в формуле (7.9).
Метод Писмена-Ракфорда
Разностные схемы, получающиеся при применении неявных методов
переменных направлений для решения двумерного уравнения
теплопроводности, также часто используют для решения уравнения Лапласа.
Этот прием — решение эллиптических уравнений с помощью методов
решения соответствующих параболических уравнений — называют методом
стационирования.
Действительно, если в нестационарной задаче граничные условия не
зависят от времени, то ее решение в конечной области асимптотически
стремится к стационарному решению уравнения Лапласа. Так как нас интересует
лишь стационарное решение, то размер шага по времени можно выбрать, исходя
из наибольшей скорости сходимости итерационного процесса.
Обозначив pfc = аДг/2 в известном методе Писмена-Ракфорда, получим
двухшаговую неявную схему для решения уравнения Лапласа:
шаг 1
А + 1/2 к /с к + У'2 , е к ) /тич
uij = Ui.j +Рк «j, j + 5ут ui,j А (7-П)
шаг 2
.А+1 _.Л+1/2 , „ к к+1/2 , я ,Л+Й г? п\
где — центральные разностные операторы второго порядка по х и по
у, определяемые соотношениями
я к _ui+lj-2uM+ui~lJ
®x.*Ui, i ry
Ax
А A > . A
я „к _"м+1-Х;+“м-1
°yyU‘J A 2
319
Рис. 7.3. К примеру 7.1: расчет стационарного поля температур в
пластине, а - схема пластины; б - расчетная сетка.
На шаге 1 прогонка проводится по строкам, на шаге 2 — по столбцам.
Коэффициенты рк называются итерационными параметрами. Показано, что при
решении уравнения Лапласа в квадратной области итерационный процесс
сходится для любых фиксированных значений pfc. Однако наибольшая
вычислительная эффективность алгоритма достигается при изменении
итерационных параметров вместе с к (по методикам, изложенным в специ-
альной литературе, см. [13, 17]).
Неявный метод переменных направлений с последовательной верхней
релаксацией позволяет сократить время счета на 20^10 % по сравнению с
методом Гаусса-Зейделя с последовательной верхней релаксацией. При
переменном параметре итераций можно достичь еще большего ускорения счета.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение конечно-разностных
схем и методов их итерационного решения на практике.
320
Пример 7.1. Требуется рассчитать стационарное поле температур в
изотропной пластине, теплопроводность которой не зависит от температуры,
при граничных условиях Дирихле (первого рода). Размеры пластины: ширина
L = 1 м, высота Н= 4 м (рис. 7.3, а). На левой стороне пластины поддерживается
температура Tj = 100°С, во всех остальных точках границы температура равна
То = 0°С. Погрешность расчета поля температур на двух последовательных
итерациях, рассчитанная по 1.2-норме, не должна превышать 1 %. Решение
провести, используя: 1) простые итерации при блочном расчете по строкам
методом прогонки; 2) методом последовательной верхней релаксации по
строкам.
1. В данном примере поле температур в пластине описывается уравнением
Лапласа (7.1). Выберем предварительно число разбиений сетки по оси х
NX = 20, по оси у NY =40 и найдем соответствующие шаги сетки
Ах = L; NX, Ay = IN NY (см. рис. 7.3, б и расчетный файл в Приложении 12).
Величины NX и NY могут быть изменены в ту или иную сторону: уменьшены
в случае чрезмерной длительности расчета, или увеличены при
необходимости получения более подробного решения. Обозначим квадрат
отношения шагов XY = р2 = (Дх/Ду)2, допускаемую погрешность итераций
Eps. Дальнейшие шаги метода простых итераций и метода последовательной
верхней релаксации (ПВР) по строкам в основном совпадают (см. п. 3 и 4 в
Приложении 12 — отличия метода ПВР будут отмечены особо).
2. В начале программных блоков введем граничные условия. Пусть Т —
матрица известных температур, полученных на предыдущей итерации (или из
начального приближения), и — матрица температур, вычисляемых в текущей
итерации. В качестве начального приближения дат всех внутренних узлов
можно задать, например, = Т) или среднее арифметическое от
температуры на границах TtJ = 0,5(Т, + То). От удачного выбора начального
приближения зависит общее число итераций, особенно при расчете без
коррекции результатов. Так, в первом варианте начального приближения
число простых итераций равно 62, во втором — 36. При использовании ПВР
321
с параметром релаксации го = 1,5 в первом варианте число итераций 25, во
втором — 21.
3. После обнуления счетчика итераций к = 0 и задания заведомого большого
значения Ь2-нормы открываем цикл глобальных итераций. Наиболее
удачный способ задания цикла в среде MathCAD — использование оператора
с предусловием while (еще удобней здесь было бы использовать оператор
цикла с постусловием Repeat - Until, имеющийся в языке Pascal [1, 2]). В
качестве условия выхода из цикла использовано условие малости L2-нормы
по сравнению с заданной точностью Eps. Ь2-норма характеризует средне-
квадратическое отклонение значений в узлах вычислительной области, рас-
считанное по двум последним глобальным итерациям, т.е. по матрицам Т и и.
4. В качестве конечно-разностной схемы, аппроксимирующей уравнение (7.1),
примем пятиточечную схему Рунге (7.3), которая после преобразований
примет вид
«г+1,у -2(1 + XY)ujj +Uj^j = -XY^Tjj+i (7.13)
удобный для блочного расчета поля температур по j-м строкам (т.е. при
фиксированных j, по этой причине цикл по i является вложенным по
отношению к циклу по j). Значение в (i, )+1)-м узле принимается с
предыдущей глобальной итерации, т.е. вместо не известного пока значения
Uij+i используется известное 7}j+1 (см. также рис. 7.2).
5. Для расчета температур в каждой j-й строке удобно воспользоваться прямым
методом — прогонки. В начале тела цикла необходимо рассчитать
коэффициенты a^b^c^d; для всех столбцов (если коэффициенты не зависят
от номера столбца j, что относится в данном примере к коэффициентам а, Ь,
с, то для сокращения продолжительности вычислений их рациональней
рассчитать до начала цикла while). Из уравнения (7.13) вытекают выражения
а,- =1, bj =2(1 + XY), ci =1, di = + Как Уже отмечалось в
главе 4, на границах коэффициенты d^d^x-i имеют особенности, и их
322
следует рассчитывать с учетом значений температур на границах:
dNX-l - ~XY^NX-l,j+l +uNX-lJ-l)~uNX,j
6. Результаты решения системы уравнений методом прогонки для каждой
строки в среде MathCAD удобно обозначить как вектор U, элементы
которого затем следует переслать в j-й столбец матрицы и.
7. Расчет Ь2-нормы, добавление единицы к счетчику итераций к и пере-
обозначение Т <— и завершают глобальный цикл while.
8. Формирование матрицы результатов (к, Т) позволяет вне программного блока
вывести на экран содержимое матрицы Т и число глобальных итераций к.
Особенность программного блока, включающего метод ПВР (см. п. 4
Приложения 12), заключается в следующем: только что рассчитанные методом
прогонки значения U корректируют согласно формуле (7.6). Оптимальное
значение параметра релаксации со может определяться экспериментально в
диапазоне от 1 до 2 из условия минимального числа глобальных итераций к. В
данной задаче оптимальное значение со составило соопт= 1,5.
Результаты расчетов показывают, что использование последовательной
верхней релаксации по строкам позволяет сократить общее число итераций в
1,7 - 2,5 раза (в зависимости от способа задания начального приближения).
Пример 7.2. Требуется рассчитать стационарное поле температур в
изотропной пластине, теплопроводность которой не зависит от температуры и
равна Л = 1,2 Вт/(м-К). Размеры пластины: ширина L - 1 м, высота Н = 4 м,
толщина 8 = 100 мм (рис. 7.4, а). На нижней стороне пластины установлена
теплоизоляция, во всех остальных точках границы поддерживается температура
То = 0°С. В просверленные в пластине пять отверстий уложены нагревательные
элементы в виде проволоки (на рис. 7.4 обозначены точками •) с мощностью
каждого элемента =100 Вт. Погрешность расчета поля температур на двух
последовательных итерациях, рассчитанная по чебышевской С-норме, не должна
превышать 1%. Задачу считать плоской. Решение провести, используя:
1) простые итерации при блочном расчете по строкам методом прогонки;
2) методом последовательной верхней релаксации по строкам.
323
Рис. 7.4. К примеру 7.2: расчет стационарного поля температур в
пластине при наличии точечных источников, а - схема пластины;
б - расчетная сетка. Точками • обозначены источники теплоты.
1. Данный пример отличается от предыдущего, во-первых, наличием
источников (роль которых выполняют нагревательные элементы) внутри
пластины, во-вторых, граничными условиями Неймана (второго рода) на
нижней границе пластины. Первое обстоятельство означает, что в зоне
источников задача стационарной теплопроводности описывается уравнением
Пуассона (7.2), а в остальных точках— уравнением Лапласа (7.1). В среде
MathCAD имеются стандартные функции для решения уравнений
Пуассона— multigrid и relax, однако обе работают только в квадратной
вычислительной области (т.е. число узлов по обеим осям должно быть
одинаковым), причем первая из них— при нулевых граничных условиях
первого рода, использование второй (кстати, в нее заложен метод
релаксации) также ограничено граничными условиями первого рода [3].
324
1 Поэтому мы детально разберем методику расчета в случае сетки с неравным
числом узлов по осям и при граничных условиях второго рода, используя
средства программирования в MathCAD.
2. Для получения максимальной точности вычислений необходимо, чтобы
нагревательные элементы, которые можно рассматривать условно как
точечные источники, оказались в узлах сетки. Условность заключается в том,
что здесь мы будем относить мощность, выделяемую источником, не к
бесконечно малому объему, а к конечному контрольному объему, размеры
которого определяются величиной шагов сетки. Максимальный шаг сетки по
обеим осям не должен превышать расстояния между источниками, т.е. в
данной задаче Лхтах = Аугаах = 0,1 м. Таким образом, в случае равномерной
сетки нужно, чтобы число разбиений по оси х было кратно L!/\xmM =10, а
по оси у — кратно Н/ Аутах = 40. Примем для определенности равные шаги
по обеим осям, т.е. Ах = Ау. Задавая начальные номера узлов сетки i = 1,
j = 1, конечные номера узлов будем рассчитывать по формулам
NX = l + \Q-m, NY = \ + \()-Н1.-т (см. рис. 7.4, б и расчетный файл в
Приложении 13). Здесь HL = H/L — отношение размеров пластины,
т = 1,2,3,... — так называемая степень измельчения сетки, показывающая, во
сколько раз фактические размеры шагов сетки меньше максимально
допустимых. Шаги сетки находим по формуле Ах = Ay = Li (NX —1).
3. Обозначим квадрат отношения шагов XY — (Ах/Ау)2 (при данном способе
разбиения он равен 1), допускаемую погрешность итераций Eps. Координаты
узлов, в которых расположены источники, найдем по формулам
il = (NX +1)/2, = i2 = il+m, JI = 1+5-т, JO =
4. Для узлов с координатами (z,j)= (г'О,Д),(/!, уО}(г1,Д)'(г1,72} (z’2,/1)
справедливо уравнение Пуассона (7.2), в котором источниковый член
g(x,y) = — —. Для решения методом прогонки преобразуем его к виду
ЛоАхАу
325
+ =~XY(TiJ+l + K )-^0^-. (7.14)
Л OAy
Таким образом, в узлах с источниками будут отличаться лишь коэффициенты
dt на величину QV = — — — . Для упрощения алгоритма введем
Л ЗДу
обобщенную функцию мощности объемных источников, переопределив
величину QV следующим образом
Qvid =
QV if{[(/ = iO)v(i = fl)v (i = Q)]a (j = Jl)}v{[(/ = j‘0)v (/ = ./2)1 a(i = fl)}
0 otherwise
где символы a, v означают соответственно операции логического умножения
("И") и сложения ("ИЛИ").
5. Дальнейшие шаги метода простых итераций и метода последовательной
верхней релаксации (ПВР) по строкам в основном совпадают [отличие
метода ПВР состоит в пересчете рассчитанного поля температур по формуле
(7.6) перед проверкой сходимости итераций].
6. В начале программных блоков введем граничные условия. Пусть Т —
матрица известных температур, полученных на предыдущей итерации (или из
начального приближения), и — матрица температур, вычисляемых в текущей
итерации. В качестве начального приближения для всех внутренних узлов и
для нижней границы можно задать, например, 7}.,- = То.
7. После обнуления счетчика итераций к = 0 и задания заведомого большого
значения С-нормы (в программе обозначена Мах) открываем цикл
глобальных* итераций while. Условие выхода из никла: С-норма должна
стать меньше заданной точности Eps. С-норма характеризует максимальное
отклонение значений в узлах вычислительной области, рассчитанное по двум
последним глобальным итерациям, т.е. по матрицам Т и и.
’Глобальными эти итерации будем называть в отличие от итераций при итерационном
решении системы линейных уравнений методом Гаусса-Зейделя, или от итераций по
методу ПВР, проводимым на каждом шаге
326
8. В качестве конечно-разностной схемы, аппроксимирующей уравнение (7.1),
примем пятиточечную схему Рунге (7.3), которая после преобразований к
форме, удобной для решения прогонкой, имеет вид (7.13):
«(+ij -2(1 + XY)uij+Ui^j = -ХР(7}у+1
Значение в (j, j + 1)-м узле принимается с предыдущей глобальной итерации,
т.е. вместо не известного пока значения и, y+i используется известное 7}j+i
(см. также рис. 7.2).
9. Для расчета температур в каждой J-й строке удобно воспользоваться
методом прогонки. В начале тела цикла необходимо рассчитать
коэффициенты aj,bj,Cj,dj для всех столбцов. Из уравнения (7.13) вытекают
выражения а,- = 1, Ь, = 2(1 + XY ), с,- = 1, /7, = -XY (7}j+l + и/j-t )
Коэффициенты на границах di,dp/x-i имеют особенности, и их следует
рассчитывать с учетом известных значений температур на границах:
(1i = _^y(7i,y+i +«u~i)-woj’ dNX-i =-XYIFnx-ij+i + unx-ij-i)~unxj
10. Установленная на нижней границе теплоизоляция приводит к условию
второго рода (Неймана) = -А(ЭТ/Эу)3,=0 =0. Как отмечалось в главе 4,
для достижения второго порядка погрешности аппроксимации первую
производную в узлах i = 2,...,NX — \ следует аппроксимировать
выражениями вида ------- =—----------= 0, где иг0— значение
( дУ Д=о 2&У
температуры в фиктивном узле на слое 7 = 0. Выражая отсюда температуры
в фиктивных узлах «( 0 = иц = 7} 2 и подставляя их в уравнение (7.13) для
слоя / = 1, г = 2,...,NX — 1 получим
И;+1д — 2(1 + ХУ+ и,—11 = ~2Л YTj 2, (7.15)
327
т.е. коэффициенты —те же, что и для остальных внутренних узлов
(исключая узлы с источниками), тогда как dt = -2XF 7} 2.
11. Некоторые особенности имеются в угловых точках на нижней границе, т.е. в
точках с координатами (1,1) и (NX,1). Для получения конечно-разностной
формулы, аппроксимирующей уравнение Лапласа в них, воспользуемся
методом контрольного объема. Рассмотрим контрольный объем,
окружающий узел с координатами (1,1) шириной Дх/2 и высотой Ду/2,
показанный на рис. 7.5 пунктиром. Поскольку рассматривается стационарная
задача, сумма тепловых потоков через грани контрольного объема равна
нулю:
fe + = °-
(7.16)
В данной задаче тепловой поток равен нулю не только на нижней грани
(<7| =0), но и вблизи угловых точек нижней грани (</3 -0 для узла (1,1),
</4~0 — для узла (NX,1), см. рис. 7.4, а). Подставляя эти условия и
328
«12 - Мц M2,l “ Ml,l e
конечно-разностные аппроксимации q2 = -А**- Т = -Л - ------ в
Ду Дх
уравнение (7.16), после преобразований получим
-(1+ХУ)иц + «2j = -ХУи12, (7.17)
т.е. для j=l />1=1 + УУ, <j=l, </]=—ХКи12. Аналогичным образом
можно получить для узла (NX, 1)
«ЛГХ-и _(| + ^^)“ЛА',1 =~^UNX^ (7.18)
т.е.для 7 = 1 bNX =1+ ХУ, at =1, dNX =-XYunx,2-
12. Результаты решения системы уравнений методом прогонки для каждой
строки в среде MathCAD удобно обозначить как вектор U, элементы
которого затем следует переслать в у’-й столбец матрицы и. Поскольку на
нижней строке приходится рассчитывать вектор U от i = 1, а на остальных
строках — от i = 2, здесь удобно использовать алгоритм прогонки с
передачей информации о минимальном и максимальном номерах элементов
трехдиагональной матрицы. Кроме того, для корректного выполнения
расчетов в процедуру прогонки необходимо передавать фиктивное (любое)
значение (‘кХ.
13. Расчет нормы, добавление единицы к счетчику итераций к и
переобозначение Т <— и завершают глобальный цикл while.
14. Формирование матрицы результатов (к, Т) позволяет вне программного
блока вывести на экран матрицу Т и число глобальных итераций к.
Проанализируем полученное поле температур в пластине (см. трехмерный
график и его сечения в Приложении 13).
Как и следовало ожидать, в узлах с источниками температура выше, чем в
окружающих точках, и максимальна в центральном узле (i 1,7’1) с источником.
На левой, верхней и правой границах температура равна нулю в соответствии с
граничными условиями.
329
На нижней границе во всех точках, производная дТ/Эу не равна нулю
(касательные к сечениям поверхности распределения температур при j = О,
i = const наклонны).
В этом сказываются особенности двумерной задачи (как частного случая
многомерной). В случае одномерной задачи условие равенства нулю потока
означало бы, что производная дТ1ду в любой точке нижней границы равна
нулю, в том числе и вблизи нижних углов пластины. Однако в рассматриваемой
двумерной постановке задачи баланс теплоты определяется потоками вдоль
обеих осей (х и у). Например, для узла (1,1) этот баланс определяется
уравнением (7.16), из которого следует <у2 =~94“‘ (см. рис. 7.5). Физически
Дх
очевидно, что из-за наличия источников теплоты температура на середине
нижней грани выше, чем на ее краях (см. сечения поверхности температур при
j = const в Приложении 13). Поэтому в узле (1,1) поток q4 <0, т.е. направлен
влево, откуда следует q2 > 0, т.е. поток q2 направлен по оси у, что и определяет
ненулевой наклон касательных к поверхности температур вблизи узлов,
расположенных на нижней границе. Аналогично можно проанализировать
баланс потоков в любом узле на нижней границе*.
Наклон касательных к сечениям поверхности распределения температур
при j - 0, i = const зависит от координаты i. Вблизи левой и правой границ
проекция градиента температуры дТ/ду отрицательна, поскольку точки на
нижней границе горячей вышележащих точек (см. столбцы с j = 1, 2). Вблизи
оси пластины (см. столбцы с j = /0,...,/2) проекция градиента температуры
дТ/ду, напротив, положительна, т.к. тепло распространяется от вышележащих
точек, где расположены источники.
В качестве критерия точности полученного поля температур может
послужить невязка интегрального баланса энергии в пластине:
' Предлагаем читателю самостоятельно проделать подобный анализ для узла (il, 1)
330
4
Qvo ~ (7.19)
п=1я
характеризующая дисбаланс энергии, вводимой внутренними источниками
теплоты, и отводимой через границы пластины. Здесь Sn — площади
поверхности границ, q„ — тепловые потоки через эти границы, определяемые
законом Фурье, п — "номер" границы.
Во внутренних узлах проекции тепловых потоков на оси х и у
определяются соответственно конечно-разностными выражениями
ЦХц
2Лл'
, ui. /+1 “ ui, j-1
qyjj = -Л— ------—
2 Ду
а на границах для аппроксимации первой производной температуры следует
воспользоваться выражениями второго порядка точности (2.27) и (2.28), т.е.,
например, для левой и правой границ
-Зщ • +4«2,у -Из,у , 3«ЛЛ.у -4мЛЛ -1,/ + UNX-2,J
4 u 2Д.З- NA'J 2Лх
Расчеты поля тепловых потоков и невязки баланса энергии приведены в
разделе 5 Приложения 13.
В таблице 7.1 представлены некоторые характерные результаты расчетов
с использованием простых итераций и итераций с методом ПВР для разных
значений т при Eps = К) 2: максимальная температура в пластине Тд д, число
итераций к, относительная невязка Д' и е — доля теплоты, проходящей
через нижнюю границу.
331
Таблица 7.1
Сопоставление некоторых параметров, полученных простыми
итерациями и итерациями с методом ПВР
т 7/1,Л ’ К Число итераций к r/^9vo > % е, %
простые итерации итерации с ПВР
1 1534 95 25 4,937 9,598
2 1608 300 86 2,438 4,771
3 1652 593 179 1,642 3,176
Использование последовательной верхней релаксации по строкам с
оптимальным параметром релаксации (i)„m = 1,6, например, при т = 1,
позволяет сократить общее число итераций с к = 95 до к = 25, т.е. почти в 4
раза. Похожая картина наблюдается и при других значениях т. Из таблицы
видно, что расчет на более мелкой сетке дает более точные результаты:
уменьшается невязка 7? и Е — относительные "потери" теплоты через нижнюю
границу.
В заключение отметим, что в данном примере программа станет
компактней, если расчет проводить не по строкам, а по столбцам, т.к. при
использовании прогонки по столбцам в каждом столбце будет одинаковое
количество неизвестных, рассчитываемых методом прогонки*.
’ Предлагаем читателю в качестве упражнения составить такую программу и сравнить
результаты с представленными здесь данными
332
Рис. 7.6. Задача стационарной ламинарной фильтрации через
неподвижный кольцевой зернистый слой
Пример 7.3. Рассмотрим задачу стационарной фильтрации несжимаемой
жидкости через зернистый слой, заполняющий кольцевое пространство между
двумя трубами (рис. 7.6). Течение жидкости в межзерновых каналах —
ламинарное, описывается законом Дарси F = -a^ grad р. Требуется найти
распределение давлений и скоростей в слое. Коэффициент фильтрации
зернистого слоя Оф = 2-10 7 м2/(Па-с). Размеры слоя: 7?!= 0,16 м, R2 = 0,2m,
h = 0,085 м, Н = 0,2 м . Действием массовых сил пренебречь. Известны давления
во входном и выходном окнах рА=1,8ати [1,840s Па (изб.)], />в = 1,6ати
[1,640s Па (изб.)]. Максимальная абсолютная погрешность расчета поля
давлений на двух последовательных итерациях не должна превышать 1 Па.
Решение провести, используя: 1) простые итерации при блочном расчете по
333
столбцам методе» прогонки; 2) методом последовательной верхней релаксации
по столбцам.
1. Как будет показано ниже [см. уравнение (7.23)], процесс фильтрации
описывается уравнением Лапласа V2p - 0. В данном случае задача является
осесимметричной. Уравнение Лапласа для внутренних узлов в конечно-
разностной форме для задачи теплопроводности было получено методом
контрольного объема в главе 2 (см. пример 2.8, рис. 2.6). Как известно,
существует аналогия процессов переноса теплоты, вещества и импульса. В
примере 2.8 рассматривались тепловые потоки, связанные с градиентами
температур соотношениями (2.47). В данной задаче рассматриваются потоки
массы, которые согласно закону Дарси* при ламинарной фильтрации линейно
связаны с градиентами давлений. Рассмотрим баланс массы, протекающей
через элементарный объем с размерами (Дг, Дг, гД<р) (рис. 7.7). Поскольку
можно показать, что закон Дарси вытекает из уравнения Навье-Стокса
334
задача стационарная и осесимметричная, балансовое уравнение можно
записать в виде равенства нулю суммы потоков массы, проходящих через
грани контрольного объема (будем считать положительными потоки,
втекающие в контрольный объем, и отрицательными — вытекающие из
него):
4\F\ - q2F2 + q3F3 - q4F4 = 0.
(7.20)
Площади граней контрольного объема определяются формулами (2.45), а
потоки массы равны
Чп =рт„,и = 1,...,4,
(7.21)
где р — плотность жидкости;
v„ — скорости жидкости в центрах соответствующих граней
контрольного объема, определяемые уравнением Дарси, т.е. в конечно-
разностной форме
Ъ = ~аф
Аг
= ~аф
Pi+l,j ~ Pi, j .
Дг
v3 = ~аф
Pi,j-Pi,j-1,
Az
'’4 = -аф
Pi,j+1 -Pi,J
Az
(7.22)
Подставляя (7.22) в (7.21), а затем в (7.20) и проводя простые
преобразования, получим уравнение
Pi,j-i-2Pi,j+Pi,j+i + Pi-i,j-2Pi,j+Pi+ij + 1 Pi+\,j~Pi-i,j = 0 23)
Az2 Ar2 Ч 2Аг
являющееся конечно-разностным аналогом уравнения Лапласа в
цилиндрических координатах.
2. Задавая начальные номера узлов сетки г = 1, j - 1, примем конечные
значения Д7? = 21, NZ = 21 и найдем соответствующие шаги сетки
Аг-(т?2 ~ 1).Дг = H/(nZ — 1), а также число узлов nz,
335
приходящихся на выпускное окно (см. Приложение 14). Обозначим квадрат
отношения шагов ZR = (bzl, допускаемую погрешность итераций Eps.
Рассчитаем сеточные константы KZ( = (As)2 /г^т, К, = (1 — Аг/2/;- )ZR,
Mj =(1 + ^i2rj)ZR. Дальнейшие шаги метода простых итераций и метода
последовательной верхней релаксации (ПВР) по столбцам в основном
совпадают [отличие метода ПВР состоит в пересчете рассчитанного поля
давлений по формуле (7.6) перед проверкой сходимости итераций].
3. В начале программных блоков введем граничные условия. Пусть Р —
матрица известных давлений, полученных на предыдущей итерации (для
первой итерации — из начального приближения), р — матрица давлений,
вычисляемых в текущей итерации. В качестве начального приближения для
всех узлов, кроме верхней границы и узлов выпускного окна можно задать,
например, Ру = 0,5(рл + рБ). На верхней границе P;jvr ~ Рл, для узлов,
принадлежащих выпускному окну (1 <j < nz) Pnrj = Рв-
4. После обнуления счетчика итераций к = 0 и задания заведомого большого
значения нормы (в программе обозначена "Мах") открываем цикл
глобальных итераций while. Условие выхода из цикла — норма отклонения
полей давлений на двух последних итерациях должна стать меньше заданной
точности Eps.
5. Для решения уравнения (7.23) методом прогонки приведем его к виду
PiJ-l ~ 20 + ZR}Pi,j + Pi,j+\ = -ZR^Fi+lJ + Pi-l,j KZi (Д+1,у “ Pi-lJ )> (7-24)
т.е. a J = 1, bj = 2(1 + ZR), Cj = 1, dj = -ZR(Pi+lj + )- KZt (Д+1 y - Pi_Kj ).
Значение в (i+1, j)-m узле принимается с предыдущей глобальной итерации,
т.е. вместо не известного пока значения pl+]j используется известное Pj+ij
(см. также рис. 7.2).
6. Рассмотрим отдельно точки, лежащие на границах расчетной области. Точки
на втором слое от верхней границы (i = 2, ..., NR-1, j = NZ-]) имеют
336
Рис. 7.8. К построению конечно-разностного аналога уравнения Лапласа
в граничных узлах.
особенности: в них коэффициенты d следует рассчитывать согласно формуле
^NZ-l ~ + Pi-l,j)— KZj{P/+ij — рд.
7. В узлах на внутреннем радиусе кольцевого слоя (г = 1, j = 2, Д2-1)
необходимо учесть граничное условие второго рода, а именно равенство
нулю потока в радиальном направлении. Для этого рассмотрим баланс
потоков массы через контрольный объем, прилегающий к внутренней трубе
радиусом (рис. 7.8, а):
(й - q2 )Дф Я, у - ?4 Дф /?1
Дг
2
|Дг = О.
337
Подставляя в это уравнение выражения (7.21) и (7.22), нетрудно после
преобразований найти коэффициенты трехдиагональной матрицы: ау=1,
bj dj = -2КхР2^.
8. Для точек (i = NR, j = nz+l, на непроницаемой наружной
границе, т.е. лежащих выше выпускного окна, баланс потоков массы через
контрольный объем записывается в виде (рис. 7.8, б)
Дг
(91-92)ДфА2у + 93Дф|
Дг\
R?-=~ Дз = 0.
2
С учетом выражений (7.21) и (7.22) получим для этих узлов коэффициенты
трехдиагональной матрицы: af =1, hj = 2(1 + ЛЛЛ), Cj =1, dj = -2KRRpNR_lj.
При этом в точках (i = NR,j = nz + 1), (i = NR,j = NZ- 1) имеются
особенности: коэффициенты d в них равны соответственно
б4-+1 = ~2-KNR PNR-\,nz+A ~РВ’ ^NZ-l - -ZKnR PNR-\,NZ-\ ~ PA
9. Баланс потоков массы, составленный для контрольных объемов, при-
легающих к нижней границе (i = 2, ...,NR - 1, j = 1), имеет вид (рис. 7.8, в)
— д2 ДфГ; Дг +
( Дг
-94 б +у
Дз
Дфу = 0,
( Дг
Чз И—J
и после подстановки выражений (7.21) и (7.22) приводит к следующим
коэффициентам трехдиагональной матрицы: b[ = 2(1+Z/?), Ci=2,
= ~KiPi-l,l
10. Особенности имеются и в угловой точке на нижней границе. Рассмотрим
контрольный объем, окружающий узел с координатами (1, 1) шириной Дг/2
и высотой Дг/2 (рис. 7.8. г). Сумма потоков массы через грани контрольного
объема равна нулю
Дг (
-92дФ^1у-94 ^1
ДгА. Дз о
+ — Дф- =0,
2 J V 2
338
откуда с учетом (7.21) и (7.22) следует для (i = l,j = 1) : b[ =1 + Mt, q =1,
eli = -M]P2,i
11. Результаты решения системы уравнений методом прогонки для каждого
столбца в среде MathCAD удобно обозначить как одномерный вектор U,
элементы которого затем следует переслать в i-й столбец матрицы р. При
этом последний столбец приходится рассчитывать от i = nz+1, а осталь-
ные — от i - 1.
12. Расчет нормы Мах как максимального отклонения поля давления на двух
последних итерациях, добавление единицы к счетчику итераций к и
переобозначение Р«—р завершают глобальный цикл while.
13. Формирование матрицы результатов (к, р) позволяет после окончания
итераций в программном блоке вывести на экран матрицу давлений р и
число глобальных итераций к.
14. Расчет поля скоростей по известному полю давлений не составляет большого
труда: для внутренних узлов целесообразно использовать центральные
разности
тогда как для узлов на границах придется воспользоваться нецентральными
выражениями второго порядка точности (2.27) и (2.28). В частности, для
левой и правой границ имеем
~ За ; + 4р2 j - Рз ; ^PNR. j ~ ^PNR-l,J + PNR-2J
vr\J = ~аф----0Л------------ . vrNR, j = ~аф-1------.------------
J v 2Дг J v 2Дг
15. Результаты расчетов показывают, что использование последовательной
верхней релаксации по столбцам с оптимальным параметром релаксации
шопт = 1,7 сокращает общее число итераций с 665 до 236, т.е. в 2,8 раза.
^.Проанализируем полученное поле давлений в жидкости, фильтрующейся
сквозь зернистый слой (см. трехмерный график р и его сечения в
339
Приложении 14). На всех непроницаемых стенках производные давлений по
нормали к стенкам и нормальные проекции скорости жидкости близки к
нулю. Течение в настоящем примере ламинарное; имеет место ожидаемое
линейное распределение давления в верхней части слоя. Вблизи выпускного
окна радиальная производная резко отличается от нуля, что обуславливает
ненулевые скорости жидкости в нем.
17. Критерием точности проведенных расчетов может послужить относительная
невязка интегрального баланса массы, протекающей через зернистый слой:
с_ 0\~01
vAQi+QiY
(7.25)
R2 h
где Qy = —2др J rvzdr, Q2 = 2n7?2pJ vrdz — массовые расходы жидкости
/?! о
через входное и выходное окна соответственно.
Численные эксперименты, проведенные на полученной модели, показали,
что на величину Е существенно влияет как число разбиений по обеим осям NR,
NZ, так и квадрат отношения шагов ZR. Так, при NR = 21, NZ = 11 (ZR = 6,25) Е =
= 12,2% (по методу ПВР), тогда как при NR = 11, NZ =11 (ZR - 25) £ = 10% (по
методу ПВР), а при NR = 21, NZ = 21 (ZR = 25) £ = 8% (по методу ПВР).
Пример 7.4, В толстостенной цилиндрической трубе (рис. 7.9) течет
жидкость с температурой на оси трубы Т1 = 500 К, коэффициент теплоотдачи от
жидкости к внутренней поверхности трубы [31 = 1000 Вт/(м2-К). Половина
длины окружности наружной стенки трубы покрыто идеальной теплоизоляцией,
другая половина обтекается потоком жидкости с температурой Т2 = 300 К,
коэффициент теплоотдачи от наружной поверхности трубы Р2 = 500 Вт/(м2-К).
Коэффициент теплопроводности материала трубы Л = 1,5 Вт/(м-К). Внутренний
и наружный радиусы трубы равны соответственно R1 = 0,1 м, R2 = 0,3 м. Считая
задачу плоской (вдоль оси трубы изменением температуры можно пренебречь),
найти поле температур в трубе: 1) блочными итерациями по строкам (методом
прогонки); 2) методом последовательной верхней релаксации по строкам.
Проверить баланс потоков теплоты на внутренней и наружной стенках трубы.
340
I
I
Рис. 7.9. Задача стационарной теплопроводности в толстостенной
трубе при наличии окружных тепловых потоков.
1. Данная задача не является осесимметричной, поскольку теплоизоляция
покрывает лишь часть наружной поверхности трубы и, очевидно, в ней будут
возникать окружные потоки теплоты. Введем расчетную сетку (рис. 7.10, а)
таким образом, чтобы края теплоизоляции (ф = 0 и ф = л) оказались между
узлами, расположенными на наружной поверхности трубы. Расположение
узлов сетки непосредственно на краях теплоизоляции приводит к
неоднозначности в определении теплового потока через наружную грань
контрольного объема, окружающего такой узел (рис. 7.10, б), а в
дальнейшем — к ухудшению точности расчета поля температур.
2. Для построения конечно-разностного аналога уравнения Лапласа рассмотрим
баланс теплоты, протекающей через элементарный объем с размерами
(Дг, гДф) (рис. 7.11, а). Поскольку задача стационарная, балансовое
уравнение можно записать в виде равенства нулю суммы потоков теплоты,
проходящих через грани контрольного объема (будем считать
положительными потоки, втекающие в контрольный объем, и
отрицательными — вытекающие из него, см. также пример 2.8)
341
a
Рис. 7.10. Расчетная сетка. Расположение узлов:
а - корректное; б - некорректное.
4lF\ ~ <12F2 + ?3F3 * Q4F4 = 0,
(7.26)
где плошади граней определяются формулами
F] = г,-----|ДфДг; F2= г,+- ДфДг; F3 = К = Дг&z, (7.27)
I 2 I I 2 I
а тепловые потоки в конечно-разностной формулировке закона Фурье,
рассчитанные на серединах соответствующих граней, запишем в виде
центральных разностей
Uj j Uj j-\ . Uj j+i Uj
ft = —A 7 ' :</2 = -A—7------
Дг Дг
i ul,j ~ Ui-\J 1 ul+\,j ~ ui,
q-i ~ -A —---------;qa=-A------------
rjAtp rtA<p
(7.28)
342
Рис. 7.11. К построению конечно-разностного аналога уравнения
Лапласа во внутренних (а) и граничных (б, в) узлах.
Подставляя (7.28) и (7.27) в уравнение (7.26) и проводя упрощения, получим
конечно-разностную формулировку уравнения Лапласа
«/,7-1" 2«,,у + «,,/+1 - 2и,- j + ui+lJ 1 и,-y+i -
А/'2 j 2Аг “°- (7'29)
3. Для построения программы удобно развернуть кольцевую расчетную область
в прямоугольную (рис. 7.12). При расчете поля температур примем во
343
внимание, что для узлов на левой границе (i = 1) = Unfj ’ тогда как для
узлов на правой границе (i = NF) w/+1j = Uyj (на рис. 7.12 эти узлы показаны
пустыми кружочками).
4. Задавая начальные номера узлов сетки i = 1, j = 1, примем конечные
значения NF = 40, NR = 21, и найдем соответствующие шаги сетки
Дф = 2туЛГГ, Дг = (Л2-Л1)/(УЛ-1), а также номер узла il, приходящегося
на край теплоизоляции (см. Приложение 15). Введем обобщенный
коэффициент теплоотдачи от наружной поверхности трубы Р2;, равный нулю
при i < il, и равный заданному в условии значению [32 при i > il (см. рис.
7.12) . Обозначим допускаемую погрешность итераций Eps. Рассчитаем
сеточные константы
КЕ^Дф/Дг)2,
ТУ?7=к(Дф)7(2Дг),
J J
Bil = pi (^Дф)2 /(ХДг), Bi2, = Р2г (Л2ДфУ /(ХДг) (в данном примере
переменные Bil и Bi2 представляют собой произведение сеточных чисел
Био и Фурье). Дальнейшие шаги метода простых итераций и метода
последовательной верхней релаксации (ПВР) по строкам в основном
идентичны [отличие метода ПВР состоит в пересчете рассчитанного поля
температур по формуле (7.6) перед проверкой сходимости итераций].
5. В начале программных блоков введем граничные условия. Пусть Т —
матрица известных температур, полученных на предыдущей итерации (для
первой итерации -— из начального приближения), и — матрица температур,
вычисляемых в текущей итерации. В качестве начального приближения для
всех узлов, можно задать, например, = 0,5(Т1 + Т2).
6. После обнуления счегчика итераций к = 0 и задания заведомого большого
значения нормы — максимальной абсолютной разности температур на двух
последних итерациях (в программе обозначена "Мах") открываем цикл
глобальных итераций while. Условие выхода из цикла — норма погрешности
Мах должна стать меньше заданной точности Eps.
344
Рис. 7.12. Представление вычислительной области в виде
прямоугольника. Штриховкой показана теплоизоляция.
7. Для решения уравнения (7.29) методом прогонки приведем его к виду
ui-\,j + +UM,J ~ +Tt j+l)- RRj^j j+1 ,7-i),(7.30)
т.е. a, = 1, bj = 2(1 + RFj ), cz = 1, </,• = -RF, + 7}J+1)- RRj (Tija - utJ_x ).
Значение в (i, j + 1)-м узле принимается с предыдущей глобальной итерации,
т.е. вместо не известного пока значения w,-j+l используется известное 7}у+1
8. Для узлов, расположенных на внутренней поверхности трубы (г = 1, ..., NF,
j = 1) контрольный объем имеет половинный радиальный размер (рис. 7.12,
б), т.е. в формуле (7.27) надо принять 7'3 = F\ = 12. Тепловой поток qi
определяется граничным условием третьего рода:
Ч\ =Р1(Л-«,д), (7.31)
а остальные потоки (</2 4$) рассчитываются по закону Фурье, т.е. по
формулам (7.28). С учетом этих особенностей из уравнения (7.26) можно
получить уравнение, аналогичное уравнению (7.30), но с коэффициентами
а, =1, Ь,г = 2(1 + Bil + Л/-, +А7?!), с, =1, d,=-2-Bil-T1-27;j2(K«j +RJ\).
345
9. Для узлов, расположенных на наружной поверхности трубы (i = 1, NF,
j - NR), контрольный объем также имеет половинный радиальный размер
(рис. 7.12, в). Тепловой поток q2 определяется граничным условием третьего
рода:
fe=₽2,(Mj.№-T2), (7.32)
а остальные потоки (дъ q3, q4) рассчитываются по формулам (7.28). Из
уравнения (7.26) с учетом особенностей в этих узлах находим коэффициенты
трехдиагональной матрицы: a, = 1, Ь, = 2(1 + Bi2,- + RFnr - RR^r ), ct = 1,
dj = -2 • Bi2, • Г2 - 2 ui>NR_i (RkNR - RRnr ).
10. В узлах, расположенных на границе разрыва кольцевой области (см. п. 3 и
рис. 7.12), коэффициенты dj, dNF придется пересчитать подобно тому, как
это делается при граничных условиях первого рода (см. главу 4), т.е. в
программном блоке необходимо выполнить присвоения di «— dt - TNFj,
dRF dRF — T।j.
11. Для всех типов узлов проверяем условие диагонального преобладания.
Результаты решения системы уравнений методом прогонки для каждой
строки обозначим как одномерный вектор U, элементы которого затем
перешлем в /-ю строку матрицы и.
12. Расчет нормы Мах, добавление единицы к счетчику итераций к и
переобозначение Т н завершают глобальный цикл while. Для получения
доступа к результатам расчета вне программного блока сформируем матрицу
(к,и).
13. После получения матрицы температур необходимо выполнить "сшивание"
поля температур в зоне разрыва кольца, т.е. для всех j = 1, ..., NR следует
принять TOj = TNFj. Таким образом, мы обеспечили на линии разрыва
равенство тепловых потоков и температур, т.е. реализовали граничные
условия 4-го рода.
14. Для расчета тепловых потоков во внутренних узлах воспользуемся
центральными разностями:
346
TjJ+1
<lri,J =
.1 Tj-ij
2rj Дф
а для расчета радиальных потоков в узлах на внутренней и наружной
границах — формулами
1 + ^i\2 “ ^i\3 1 37/, NR ~4Tt NR-i + Ti,NR-2
. «„.™—Г ------------------------
Формулы (7.31) и (7.32), особенно для теплоизолированной зоны, где
р2; = 0, не могут дать полного представления о точности расчета поля
температур.
15. Результаты расчета поля температур и векторное поле тепловых потоков
представлены в Приложении 15. Радиальный градиент температуры и
радиальные потоки в зоне теплоизоляции близки к нулю.
16. Для проверки качества вычислений рассчитаем и сравним суммарные (т.е.
интегральные) тепловые потоки через внутреннюю и наружную поверхность
трубы:
NF NF
Qi = , Q2 = ’
/=1 i=l
а также найдем суммарные потери теплоты через теплоизоляцию
fl
2з = ^2Д(РХ<?«.Л/г •
г=1
При заданных расчетных параметрах получено Ci/йг = 0,945,
бз /61 = —2,4 • 1 О’4, что можно признать вполне хорошей точностью расчета.
Использование метода ПВР даже при оптимальном параметре релаксации
(Оопт-1.15 (найденном опытным путем) в данном примере не привело к
заметному сокращению числа итераций к (оно снизилось с 26 до 24).
Возможно, при большем числе итераций эффект от применения метода ПВР
оказался бы более значительным.
347
В заключение отметим, что данный пример путем несложной доработки
может быть использован и для решения задач, приводящих к уравнению
Пуассона, т.е. содержащих источники или стоки.
Пример 7.5. Найти поле температур для случая, описанного в Примере
7.4, при наличии внутренних линейных источников теплоты, установленных на
„ .. _ л , л
радиусе Кд = 0,2 м в точках с угловыми координатами ф| 2 = ± ,
’ 2 16
Зл л ,,
Фз 4 = - ± —. Удельные мощности 1-го и 2-го источников равны qvl = 100
2 16
Вт/м, 3-го и 4-го qvl = 200 Вт/м.
1. Решение данной задачи (см. Приложение 16) легко построить, опираясь на
решение Примера 7.4. Для достижения высокой точности расчетов сетка
должна быть выбрана так, чтобы источники оказались в ее узлах. Угловое
расстояние между соседними источниками равно л/8, и это расстояние
определяет максимальный шаг по угловой координате Дфтах = л/8 и
минимальное число разбиений по ф: NFmin = 2л/Дфтах . Реальное число
разбиений определяйся как NF = п - NFmin, где п = 1,2, ... (желательно
принять и > 1 для определения температуры в узлах, находящихся между
узлами с источниками).- Номера столбцов, в которых размещены источники:
iq} - NF/4, iq2 = iq} + л/(8Дф), iq3 = 3NF/4, iq3 = 3NF/4 + л/(8Дф). Здесь
Дф = lit/NF. Номер строки, на которой размещены все узлы с источниками
jq = {NR+\}ll.
2. Введем обобщенную функцию мощности внутренних источников qVj j,
равную нулю во всех узлах, за исключением тех, где имеются источники (см.
Приложение 16). Рассмотрим контрольный объем для внутреннего узла (см.
рис 7.11, а), предполагая, что в узле (i, j) действует источник, определяемый
обобщенной функцией qv,j. Баланс энергии для такого контрольного объема
является обобщением формулы (7.26):
417) - q2F2 + q3F3 - q4F4 + qvitJ = 0.
(7.33)
348
3. Принимая во внимание формулы (7.27) и (7.28), после несложных
преобразований получим уравнение, аналогичное (7.30), но с Источниковым
членом (уравнение Пуассона):
ui-l,J ^(1 + RFj )ui,J + ~
= ~FFj + ^i,j+l)_ RFj (^z',7+1 “ ui,J-\)~ 4vi,j
где
J,- +jGj+i) RRjfcij+y Uij-i)
В остальном решение данного примера не отличается от решения
предыдущего (см. Приложение 16).
4. Полученные результаты показывают, что в узлах с источниками существуют
локальные максимумы температуры. При этом оказывается, что вводимая
теплота Qi (включающая энергию источников и поток, идущий от
внутренней стенки трубы), на 15% отличается от отводимой через наружную
стенку трубы. При заданной точности расчета и числе разбиений это
отклонение можно признать удовлетворительным. Увеличения точности
можно достичь, принимая более мелкую сетку, либо используя
неравномерную сетку с мелким шагом вблизи источников и границ.
Задачи
Вар. 1. Найдите погрешность аппроксимации девятиточечной конечно-
д2и д2и
разностной схемы для уравнения Лапласа —у ч-у = 0 при условии:
дх2 ду2
а) Дх = Ду; б) Дх # Ду.
Вар. 2. Найдите погрешность аппроксимации девятиточечной конечно-
Э2п д2и
разностной схемы для уравнения Пуассона —у + —у - х + у при Дх = Ду.
Эх2 Эу2
349
1 4 .. ... 7
"2 3 ’5 6 8 9
0,2 м
Рис. 7.13. К задаче 7.3.
2
Вар. 3. На рис. 7.13 представлено поперечное
сечение стержня, поверхность 1-4-7 которого
является адиабатической (теплоизолирован- i
ной). Коэффициент теплоотдачи на поверх-
ности 1-2-3 равен 30 Вт/(м2-К), температура
на бесконечности Т„ = 0°С. Температура на
нижней и правой границах поддерживается
равной 20°С. Коэффициент теплопро-
водности твердого материала равен
Л = 2,4 Вт/(м-К). Используя итерационный
температуру в узлах 1, 2,4 и 5.
Вар. 4, Цилиндрическое ребро игольчатой
метод Гаусса-Зейделя, найдите
формы прикреплено к стенке,
имеющей температуру Tw = 200 °C, а его поверхность находится в газе с
температурой TG =30 °C (рис. 7.14). Коэффициент теплоотдачи от поверхности
иглы к газу равен р = 300 Вт/(м2-К). Игла изготовлена из нержавеющей стали с
коэффициентом теплопроводности X = 18 Вт/(м-К). Разделите иглу на пять
частей и при помощи итерационного метода Гаусса-Зейделя найдите
температуру в узлах сетки. Вычислите суммарный поток с поверхности иглы.
Потерями через правый торец иглы можно пренебречь.
Вар. 5. Решить двумерное стационарное уравнение теплопроводности в
квадратной области 0<л <1, О < у < 1, используя разностные сетки с шагами
350
Дх = Ду=0,2 и Дх = Ду=0,1. Сравните температуру в центре квадрата с
тцчным решением. Граничные условия имеют вид:
/ а) 7=0, х = 0,х=1; Э7/Эу = 0,у = 0; 7 = sin(nx),y = 1.
б) Э7/Эу = 0, х = 0, х = 1; Т = sin(7tx), у = 0, у = 1.
в) Т = cos(tix/2), у = 1; 7= 1, х = 0; Т-0, х = 1; дТ/ду = 0,у = 0.
Численное решение получить, используя:
1) Итерационный метод Гаусса-Зейделя;
2) Метод последовательной верхней релаксации по строкам;
3) Метод последовательной верхней релаксации по строкам и столбцам;
4) Неявный метод переменных направлений Писмена-Ракфорда.
Вар. 6. В двумерной области, показанной на рис. 7.15, происходит стационарный
процесс теплопереноса. Температурила верхней, правой и н^кней границах
равны соответственно Tj =l?Qi°C, 7^= 200°С, Т3 На левой границе,
обозначенной буквой W, граничные условия имеют вид:
-х3!
Эх
= Р(Т~-Т1Г),
где температура на бесконечности Т„ = 300°С; коэффициент теплоотдачи
Рис. 7.15. К задаче 7.6.
р = 500 Вт/(м2-К), теплопроводность материала пластины X = 5 Вт/(м-К). Шаг
сетки Дх = Ду=0,02 м.
Используя метод контрольного
объема, найдите конечно-
разностную аппроксимацию
уравнения Лапласа для
внутренних узлов, и для
температуры на границе W.
Численное решение получить,
используя:
1) Итерационный метод
Гаусса-Зейделя;
351
2) Метод последовательной верхней релаксации по строкам;
3) Метод последовательной верхней релаксации по строкам и столбцам;
4) Неявный метод переменных направлений Писмена-Ракфорда.
Вар, 7. Напишите программу для расчета распределения температуры в двумер-
ной стенке камеры сгорания (рис. 7.16). Заштрихованная область соответствует
• рассчитать стационарное поле температур;
теплоизолированным стенкам,
поверхность G контактирует с
горячими газами (коэффициент
теплоотдачи Рс = 1000 Вт/(м2К),
температура газов Тс = 2000°С),
поверхность W ' охлаждается
[₽w = 5000 Вт/(м2-К), Tw = 60°С].
Особое внимание следует обра-
тить на аппроксимацию гранич-
ных условий. Используя полу-
ченную программу, выполнить
следующие этапы:
• вычислить теплоту QG, подводимую к верхней стенке, и сравнить ее с
теплотой Qw, отводимой хладагентом от нижней стенки;
• при одинаковых условиях сходимости итераций проведите расчеты для трех
различных значений параметра релаксации со.
Численное решение получить, используя:
1) Итерационный метод Гаусса-Зейделя с последовательной верхней
релаксацией;
2) Метод последовательной верхней релаксации по строкам;
3) Метод последовательной верхней релаксации по строкам и столбцам;
4) Неявный метод переменных направлений Писмена-Ракфорда с
последовательной релаксацией.
352
Bap. 8. Фильтр с неподвижным
зернистым слоем имеет
поперечное сечение, показанное
на рис. 7.17. Заштрихованные
поверхности непроницаемы.
Жидкость вводится через
поверхность А, выводится через
поверхности В и С. Предпо-
лагая фильтрацию ламинарной и
подчиняющейся закону Дарси
Г = -йф grad р, найдите распре-
деление давлений и скоростей в слое. Коэффициент фильтрации зернистого слоя
йф = 2-1010 м2/(Па-с). Толщина слоя (в направлении, перпендикулярном плос-
кости рисунка) — 2 м. Действием массовых сил пренебречь.
Граничные условия имеют вид:
а) Давления на поверхностях: А — рА = 1,8 ати, В — рв = 1,5 ати; С —
рс= 1,2 ати.
б) Давление на поверхности А — рА = 2,2 ати, расходы жидкости через
поверхности В и С равны соответственно QB = 2-105 м3/с,
Qc = 1,5-10"5 м3/с.
в) Средняя скорость жидкости, фильтрующейся через поверхность А,
равна vA = 104 м/с, давления на поверхностях В и С равны
соответственно рв = 1,1 ати, рс = 1,4 ати.
Численное решение получить, используя:
1) Итерационный метод Гаусса-Зейделя с последовательной верхней
релаксацией;
2) Метод последовательной верхней релаксации по строкам;
3) Метод последовательной верхней релаксации по строкам и столбцам;
4) Неявный метод переменных направлений Писмена-Ракфорда с
последовательной релаксацией.
353
Bap. 9. Фильтр с неподвижным
зернистым слоем имеет
поперечное сечение, показанное
на рис. 7.18. Заштрихованные
поверхности непроницаемы.
Жидкость вводится через
поверхность А, выводится через
поверхности В и С. Предпо-
лагая фильтрацию ламинарной и
подчиняющейся закону Дарси
F = -йф grad р, найдите распре-
деление давлений и скоростей в слое. Коэффициент фильтрации зернистого слоя
йф = 4-10 10 м2/(Па-с). Толщина слоя (в направлении, перпендикулярном
плоскости рисунка) — 1,5 м. Действием массовых сил пренебречь.
Граничные условия имеют вид:
а) Давления на поверхностях: А — рд --- 2 ати, В — рв = 1 ати; С —
pc = 1,2 ати.
б) Давление на поверхности А — рА = 2,2 аги, расходы жидкости через
поверхности В и С равны соответственно Qb = 4-10 5 м3/с, Qc = 2-Ю"5 м3/с.
в) Средняя скорость жидкости, фильтрующейся через поверхность А,
равна vA = 2-10 4 м/с, давления на поверхностях В и С равны
соответственно рв = 1,3 аги, рс =1,8 аги.
Численное решение получить, используя:
1) Итерационный метод Гаусса-Зейделя с последовательной верхней
релаксацией;
2) Метод последовательной верхней релаксации по строкам;
3) Метод последовательной верхней релаксации по строкам и столбцам;
4) Неявный метод переменных направлений Писмена-Ракфорда с
последовательной релаксацией.
354
Bap. 10. Рассчитайте ста-
ционарное поле концен-
траций С (кг/м3) в изо-
тропном пористом парал-
лелепипеде (пористость £=
= 0,4), поперечное сечение
которого представлено на
рис. 7.19. Размер в направ-
лении, перпендикулярном
плоскости рисунка —
1,6 м. Заштрихованные
поверхности непрони-
цаемы. Перенос вещества в порах осуществляется по молекулярно-
диффузионному механизму, и поток вещества может определяться по первому
закону Фика </ = -//grad С. Коэффициент молекулярной диффузии
растворенного вещества в жидкости равен D = l,2-10<) м2/с. Проверить баланс
потоков вещества на границах вычислительной области.
Граничные условия имеют вид:
а) Концентрации на поверхностях А, В, С поддерживаются постоянными
и равны: СА = 2,2 кг/м3, Св = 3,1 кг/м3; Сс = 2,4 кг/м3. Поверхность D
омывается жидкостью с концентрацией CD=O = 0,2 кг/м3, коэффициент
массоотдачи от поверхности D Рр =2-10-9 м/с.
б) Концентрация на поверхности А постоянна и равна: СА = 3,2 кг/м3.
Поток вещества через поверхности В и С равны соответственно
<7в = 4-10 8 кг/(м2-с), Яс - 1-10"7 кг/(м2с). Поверхность D омывается
жидкостью с концентрацией CDoo = 0,1 кг/м3, коэффициент массоотдачи от
поверхности D PD = 2-10-9 м/с.
в) Поток вещества через поверхность А равен qA = 8-10 8 кг/(м2-с),
концентрации на поверхностях В, С постоянны и равны: Св = 2,5 кг/м3;
Сс=1,4 кг/м3. Поверхность D омывается жидкостью с концентрацией
355
CDoo = 0,05 кг/м3, коэффициент массоотдачи от поверхности D
= 5 -10-9 м/с.
г) Концентрация на поверхности А постоянна и равна СА= 1,2 кг/м3.
Поверхности В, С и D омываются жидкостью с концентрациями
СВоо = 0,15 кг/м3, С(>„ = 0,25 кг/м3, CD„ = 0,1 кг/м3, коэффициенты
массоотдачи от этих поверхностей равны соответственно Рй = 2 -10-9 м/с,
Рс =4-10 9 м/с, рд =5-10 9 м/с.
Численное решение получить, используя:
1) Итерационный метод Гаусса-Зейделя с последовательной верхней
релаксацией;
2) Метод последовательной верхней релаксации по строкам;
3) Метод последовательной верхней релаксации по строкам и столбцам;
4) Неявный метод переменных направлений Писмена-Ракфорда с
последовательной релаксацией.
Вар. 11, Фильтр с неподвижным зернистым слоем имеет поперечное сечение,
показанное на рис. 7.20.
Заштрихованные поверхности
непроницаемы. Жидкость
вводится через поверхности А, В
и С, и выводится через
поверхность D. Предполагая
фильтрацию ламинарной и
подчиняющейся закону Дарси
Г = -йф grad р, найдите распре-
деление давлений и скоростей в слое. Коэффициент фильтрации зернистого слоя
йф = 3,2-1О“10 м2/(Па-с). Толщина слоя (в направлении, перпендикулярном
плоскости рисунка) — 1,2 м. Действием массовых сил пренебречь.
Граничные условия имеют вид:
а) Давления на поверхностях: А — рА = 1,8 ати, В — рв = 1,5 ати; С —
Рс = 1,2 ати; D — pD = 0,2 ати.
356
б) Давления на поверхностях А и D — рА = 2,2 ати, pD = 0,1 ати, расходы
жидкости через поверхности В и С равны соответственно QB = 2-10 5 м3/с,
Qc = 1,5-10”5 м3/с.
в) Средняя скорость жидкости, фильтрующейся через поверхность А,
равна гЛ = 4-10 4 м/с, давления на поверхностях В, С и D равны
соответственно рв = 1,2 ати, рс = 1,5 ати, pD = 0,4 ати.
Численное решение получить, используя:
1) Итерационный метод Гаусса-Зейделя с последовательной верхней
релаксацией;
2) Метод последовательной верхней релаксации по строкам;
3) Метод последовательной верхней релаксации по строкам и столбцам;
4) Неявный метод переменных направлений Писмена-Ракфорда с
последовательной релаксацией.
Вар. 12, В канале с прямоугольным сечением 300x400 мм (рис. 7.21),
заполненном пористой средой, находится источник жидкости с квадратным
сечением 100x100 мм (на рис. 7.21 показан штриховой линией). Интенсивность
источника qv =0,02 кг/(с-м2). Жидкость выводится через поверхности А и В.
Предполагая фильтрацию ламинарной и подчиняющейся закону Дарси
Г = -йф grad р, постройте уравнение Пуассона, используя закон сохранения
массы и метод контрольного объема. Найдите распределение давлений и
скоростей в канале, а также потоки через поверхности А и В. Коэффициент
фильтрации зернистого слоя аф = 2-10 10 м2/(Па-с). Толщина канала (в
направлении, перпендикулярном плоскости рисунка) — 2 м. Действием
массовых сил пренебречь.
Рис. 7.21. К задаче. 7,12.
Граничные условия
имеют вид:
а) Давления на поверх-
ностях: А — рА = 1,8 ати,
В— рв= 1,5 ати.
б) Давление на поверх-
ности А рл = 2,2 ати,
расход жидкости через
поверхность В равен
QB = 2-1(Г5 м3/с.
в) Средняя скорость жид-
кости, фильтрующейся
через поверхность А, равна vA = 4-10 4 м/с, давление на поверхности В равно
рв = 1,2 ати.
Численное решение получить, используя:
1) Итерационный метод Гаусса-Зейделя с последовательной верхней
релаксацией;
2) Метод последовательной верхней релаксации по строкам;
3) Метод последовательной верхней релаксации по строкам и столбцам;
4) Неявный метод переменных направлений Писмена-Ракфорда с
последовательной релаксацией.
Вар. 13. В толстостенной цилиндрической трубе из шамота [коэффициент
теплопроводности X = 0,9 Вт/(м-К)] выполнено 5 продольных отверстий, в
которые уложен нагревательный элемент в виде нихромовой проволоки (рис.
7.22). Через проволоку пропускается электрический ток. Суммарная мощность,
рассеиваемая нагревателем, приведенная к длине трубы равна 1 кВт/м.
Радиальные координаты отверстий (мм): г,- = 25 + 12,5г, где i — номер отверстия
(г=1,..., 5). В трубе течет жидкость с температурой на оси То = 280°С,
коэффициент теплоотдачи с внутренней поверхности Р] = 2000 Вт/(м2-К) (в
осевом направлении температура меняется слабо, т.е. практически постоянна).
На части наружной поверхности закреплен слой идеальной теплоизоляции с
358
угловыми координатами <pi и
ф2. Остальная часть наружной
поверхности охлаждается воз-
духом с температурой
Тв = 28°С и коэффициентом
теплоотдачи р2 = 200 Вт/(м2-К).
Угловые координаты
теплоизоляции равны:
а) <р! = 80° и <р2 - 100°;
б) ф! = 0° и д>2 = 180°;
в) ф1 = 180° и фг = 360°.
Определить стационар-
ное поле температур в трубе, используя:
1) Итерационный метод Гаусса-Зейделя с последовательной верхней
релаксацией;
2) Метод последовательной верхней релаксации по строкам;
3) Метод последовательной верхней релаксации по строкам и столбцам;
4) Неявный метод переменных направлений Писмена-Ракфорда с
последовательной релаксацией.
Вар. 14. В толстостенной цилиндрической трубе из магнезита [коэффициент
теплопроводности X = 4,5 Вт/(м-К)] на радиусе г = 60 мм с равным шагом
выполнено 16 продольных отверстий, в которые уложен нагревательный элемент
в виде нихромовой проволоки (рис. 7.23). Через проволоку пропускается
электрический ток. Суммарная мощность, рассеиваемая нагревателем,
приведенная к длине трубы, равна 4 кВт/м. В трубе течет жидкость с
температурой на оси То = 540°С, коэффициент теплоотдачи от внутренней
поверхности pj = 3000 Вт/(м2-К). На части наружной поверхности закреплен
слой идеальной теплоизоляции с угловыми координатами ф] и <р2- Остальная
часть наружной поверхности обдувается воздухом с температурой ТБ - 28°С.
коэффициент теплоотдачи при этом равен р2 = 300 Вт/(м2-К).
359
Угловые координаты
теплоизоляции равны:
а) <р! = 71/32 и ф2 = 17тг/32;
б) <pi = Tt/32 и ф2 = 33я/32;
в) (pi = тг/32 и <р2 = 49я/32.
Определить стационар-
ное поле температур в трубе,
используя:
1) Итерационный метод
Гаусса-Зейделя с последова-
тельной верхней релакса-
цией;
2) Метод последовательной верхней релаксации по строкам;
3) Метод последовательной верхней релаксации по строкам и столбцам;
4) Неявный метод переменных направлений Писмена-Ракфорда с
последовательной релаксацией.
Глава 8. Численный метод характеристик для решения
дифферч мал иных уравнений гиперболического типа
В предыдущих главах в качестве средства численного решения уравнений
в частных производных мы рассматривали метод конечных разностей. Одним из
старейших методов решения гиперболических уравнений (в том числе нелиней-
ных) является метод характеристик [13, 29]. С гиперболическими уравнениями
связаны некоторые поверхности (характеристики), вдоль которых распростра-
няются возмущения. Суть метода характеристик — приведение уравнений в ча-
стных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям, записан-
ным "вдоль характеристик". Сетка при этом методе образуется в результате пе-
ресечения линий характеристик.
В настоящей главе будут рассмотрены вопросы численной реализации
указанного метода.
8.1. Понятие о характеристиках уравнений в частных производных
Ранее (глава 1; глава 5, в частности, пример 5.1, уравнения (5.12)-(5.13);
глава 6, п. 6.2.1) мы уже сталкивались с понятием характеристик.
Сформулируем понятие характеристик (характеристических поверхно-
стей). Пусть функция и’(Л |, ... , л„) (п > 2), имеющая непрерывные частные про-
изводные первого порядка, обладает тем свойством, что на поверхности w = О
выполнено соотношение
, Эи’ Эи’
grad и = д—*0 ,
_GX] илп
и удовлетворяется нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка
Эи- Эи’
(81)
Здесь ajj — коэффициенты при вторых производных в уравнении (1.1), в общем
случае являющиеся функциями независимых переменных а^Ху,..., х„).
361
Тогда поверхность w(xj, ... , хп) — 0 называется характеристической по-
верхностью уравнения (1.1), а (8.1) — характеристическим уравнением для
(1.1). При п = 2 характеристические поверхности превращаются в характери-
стические линии.
Рассмотрим примеры.
1. Волновому уравнению и„ = с2ихк , с = const соответствует характери-
стическое уравнение (w,)2 - с2 (м\)2 = 0*. Решая это дифференциальное уравне-
ние, получим характеристические линии ct + х = £, и ct - х = г) (£, г) — произ-
вольные числа).
2. Уравнение теплопроводности щ = имеет характеристическое
уравнение (иЛ)2 — 0, интегрирование которого дает характеристики w = t - Е, - О
или t = ^ = const.
3. Уравнение Лапласа и^ + иуу + и_, = О имеет характеристическое урав-
нение (wx)2 + (ну)2 + (wz)2 = 0, откуда с учетом w = 0 следует gradvv = 0, т.е.
уравнение Лапласа действительных характеристик не имеет.
Физический смысл характеристических линий заключается в том, что
вдоль этих линий в пространственно-временной сетке распространяются возму-
щения. С математической точки зрения можно сказать, что вдоль характеристик
уравнение в частных производных эквивалентно соответствующему обыкновен-
ному дифференциальному уравнению.
Рассмотрим теперь систему двух дифференциальных уравнений в част-
ных производных первого порядка (к которой может быть сведено уравнение
второго порядка):
а11мх + «12гх + ^*1 lMy + = п;
, , (о-2)
й21мх + a22vx + Л21м> + t>22vy - c2f
* Действительно, в волновом уравнении оц = 1,012 = «21 = 0, «22 = - с2; тогда уравнение
(8.1) принимает вид ai । w, wt + а-п. h'j w, = 0, или (иу)2 - с2 (ну)2 = О
362
где u,v — искомые функции переменных х, у;
alk, bik, Ci — заданные функции переменных х, у, и, у;
остальные индексы означают частные производные по соответствующим
переменным.
В таком виде система называется квазилинейной. Если же aih bik зависят
только от х, у, а с, есть линейные функции и, у, то систему (8.2) называют ли-
нейной. В дальнейшем будем полагать функции aik, bik, непрерывно диффе-
ренцируемыми в некоторой области изменения своих аргументов.
Пусть в области G, лежащей в плоскости (х, у), существует решение
и(х, у), v(x, у) системы (8.2), и пусть задана гладкая кривая Г в этой области, не
имеющая вертикальных касательных (т.е. производная у ограничена).
Поставим задачу: по известному решению и(х, у), у(х, у) на кривой Г с
помощью системы (8.2) определить на этой кривой частные производные
ux,vx,uy,vy. Решив эту задачу, мы могли бы находить приближенные решения
и(х, у), v(x, у) с точностью до малых первого порядка в точках М', близких к
кривой Г, используя первые два члена ряда Тейлора, построенного относитель-
но точки М на этой кривой, например:
Мм' = Мм + «хМДх + иуМ^У
Помимо уравнений (8.2) частные производные ux,vx,uy,vy связаны также
дифференциальными соотношениями, выполняющимися на кривой Г и полу-
чающихся дифференцированием известных иа этой кривой решений и(х, у),
v(x, у):
, dv ,
— = их+иуу; — = + vyy (8.3)
dx dx
Итак, мы имеем систему четырех уравнений (8.2) - (8.3) для нахождения
четырех величин ux,vx,uy,vy. С помощью (8.3) из системы можно выразить
ux,vx следующим образом
363
du , dv
ux= — ~uy; vx=~- -vyy
dx 7 dx
и исключить их из системы (8.2). В результате получим:
fe 1 “ а\ \У'Уу + (^12 ~ а12У')уу - Q “ Й11 j- _ й12 ~г ’
z dx dx
fei -«21/)«y + (Л22 -a22y')vy
du dv
— с-) — a?) —— O77 .
dx dx
(8.4)
(8.5)
Система линейных алгебраических уравнений с неизвестными uy,vy имеет оп-
ределитель, равный
Д =
Ьц~а11У' ^2~а12У'
^21 ~а2\У ^22 ~а22У
(8.6)
В случае, если Д + 0 во всех точках кривой Г, система (8.5) имеет единственное
решение. Используя (8.4), можно получить приближенные значения и, v в окре-
стности кривой Г.
Если же Д — 0 во всех точках кривой Г, решение для uy,vy в этом случае
хотя и существует (исходя из постановки задачи), но оно не единственное. При
этом по известному на Г решению и(х, у), v(x, у) нельзя однозначно определить
uy,vr, а значит, и их,vx. В этом случае кривую Г называют характеристикой
системы (8.2), соответствующей решению и(х, у), v(x, у), а уравнение Д = 0 —
характеристическим.
Это есть квадратное уравнение относительно величины у , которая опре-
деляет направление касательной к кривой Г. Если в фиксированной точке х, у
при выбранном решении и(х, у), v(x, у) характеристическое уравнение имеет два
различных вещественных корня , то говорят, что в этой точке система
(8.2) гиперболического типа. Если корни вещественны, но совпадают, то система
относится к параболическому типу; если же корни комплексные, то тип систе-
мы — эллиптический (см. также главу 1). Тип системы может быть также рас-
пространен на некоторую область.
364
8.2. Уравнение характеристик для гиперболических систем
Пусть система (8.2) гиперболического типа, тогда уравнение Д = О имеет
два вещественных решения Х|(х, у), Л2(х, у). Это дает два дифференциальных
уравнения
y' = h(x,y\ у' = Х2(х,у),
каждое из которых определяет семейство характеристик.
В области гиперболичности системы (8.2) через каждую точку пройдут
две характеристики, принадлежащие различным семействам. В случае линейной
системы коэффициенты а^,Ьц., а следовательно, и величины }.2 не зависят
от решения и, у, а зависят только от х, у. В этом случае характеристики могут
быть найдены до получения решения. В случае квазилинейной системы [см.
формулу (7.7)] характеристики приходится искать параллельно с нахождением
решения.
Найдем так называемые условия на характеристиках. Если кривая Г яв-
ляется характеристикой, то из условия совместности системы (8.5) помимо
Д = 0 имеем Д, = 0, где Д,- (г = 1,2) — определитель, полученный из определите-
ля Д заменой /-го столбца столбцом свободных членов системы (8.5). Доказано
[29], что независимыми являются лишь условия Д = О, Д] = 0. Уравнение Д, = 0
есть условие совместности системы (т.е. совпадения производных высшего по-
рядка от искомых функций), оно выполняется на характеристике и имеет после
раскрытия определителя вид
Д| = (X, А+ В)с/и + Cdv + МЛ + NJy = 0, i = 1,2,
где А =
“11 “12 .
“21 “22 ’
“11. с=^2 в12|; М =
^22 “21
^22 а22\
С1 ^2|. N =
С2 Ь22\
“12 Н
“22 с2
; в =
Теперь рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение второго
порядка
365
аихх + 2bu... + ct/,.,. = F, (8.7)
лл у у у ' \ z
где м(х, у) — искомое решение;
a,b,c,F —известные функции переменных х,у,и,их,иу.
Характеристики уравнения (8.7) можно получить двумя способами: сводя его к
системе дифференциальных уравнений первого порядка вида (8.2), либо непо-
средственно. Применим первый способ, обозначив р = ux,q = иу. Тогда уравне-
нию (8.7) можно поставить в соответствие эквивалентную квазилинейную сис-
тему
аРх + bqx + bpy + cqy = F,
являющуюся частным случаем системы (8.2), где
ац=а, at2=b, Ьц=Ь, bl2=c, ct=F;
/?21 = 0» ^22 = ^21 = ~ О, С2 = 0.
Заметим, что если на линии Г известны р и q, то тем самым известна и
величина и, ибо ее полный дифференциал равен
du = pdx + qdy.
Характеристическое уравнение Д = 0 в данном случае запишется в виде
«Л.2-2Ь~К + с = 0, у'='К,
откуда находим
b+ jb2 — ас
а
(8.9)
Условия на характеристиках в рассматриваемом случае можно преобразовать к
виду
366
afy^dp + X]X2</^) = KjFdx, i —1,2.
Объединяя полученные результаты, находим для первого семейства характери-
стик уравнения в дифференциальной форме
Х]= ——------dy=~Kxdx, a(dp + 7.2dq) = Fdx, (8 10)
du = pdx + qdy.
Таким же образом и для второго семейства характеристик получаем
Х2=-——------dy = ’k2dx, a(dp + K\dq)= Fdx, (8 11)
du = pdx + qdy.
Представленные в виде (8.10)-(8.11) результаты относятся к квазилинейному
уравнению в частных производных (8.7), если оно принадлежит к гиперболиче-
скому типу. Эти соотношения позволяют построить эффективные численные ме-
тоды решения уравнения (8.7).
8.3. Решение методом характеристик гиперболического уравнения
теплопроводности
Закон Фурье, связывающий вектор удельного теплового потока с градиен-
том температуры, является приближенным и не подходит для описания "быст-
рых" процессов, так как не учитывает конечности скорости распространения
возмущения в поле температур, обусловленной инерционностью среды. Это
свойство описывается специфическим параметром среды — так называемым
временем релаксации т, с учетом которого вместо закона Фурье часто использу-
ется формула, предложенная Максвеллом
q = -XgradT-T^_
367
Это уравнение будет заметно отличаться от обычного закона Фурье лишь при
быстрых изменениях удельного теплового потока, т.е. при существенно неста-
ционарных процессах.
Рассмотрим одномерную задачу теплопроводности для тонкого стержня с
теплоизолированной боковой поверхностью, в котором имеются источники теп-
ла с объемной мощностью qv (вызванные, например, протеканием электриче-
ского тока). Известны теплофизические свойства стержня — плотность р, теп-
лопроводность Л, удельная теплоемкость С. Выберем ось х вдоль оси стержня,
тогда неизвестными будут функции Т = Т{х, f) и q- q(x, f). Закон сохранения
энергии и закон Максвелла в этом случае запишем следующим образом
Э(рСГ) dq .
. дТ dq
X - +т ? =~q.
Эх dt
(8.12)
Систему (8.12) в случае рС = const, X = const, т = const можно свести к одному
дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка для
температуры следующего вида
dT d2T X d2T 1
—----h T-г---------~~ Н---
dt dt2 рС dx2 рС
(8.12а)
Его называют волновым уравнением теплопроводности. Оно имеет гиперболи-
ческий тип, как и система (8.12). На практике уравнение (8.12а) используют в
случаях, когда нельзя не учитывать конечность скорости распространения теп-
ловых волн.
В рассматриваемой среде теплофизические свойства рС,Х, т могут зави-
сеть от температуры. Система (8.12) является квазилинейной вида (8.2). Если
обозначить и = Т, v = q, то легко установить связь между коэффициентами этих
систем (переменная с индексом "1" — г, с индексом "2" — х)
368
ац=рс, «)2 = о, Лц=о, ^2=1, q = ?iz;
t?2i = 0? ^2^ ” ^21 = ^22 = с2 ~ Ч*
Тогда характеристическое уравнение Д = 0 для системы (8.12) примет вид
„ ( dx'? Л п
рСт — -Л = 0,
I dt I
йЬс _ 1а
dt V т ’
или
(8.13)
где а = Л/рС — коэффициент температуропроводности.
Можно показать, что характеристики есть линии, вдоль которых распро-
страняются малые возмущения, в данном случае в температурном поле. Ско-
рость их распространения равна ~[а/т и она стремится к бесконечности при
т —> 0, т.е. происходит переход к закону Фурье в обычной форме.
Для упрощения задачи в дальнейшем положим, что теплофизические
свойства среды постоянны. Тогда уравнения (8.13) могут быть сразу решены, и
уравнения характеристик первого и второго семейств после интегрирования
приобретают соответственно вид
[а ~ [а „
х х+ъ С2,
где Сь С2 — постоянные интегрирования, имеющие определенное значение
для конкретной характеристики.
Условия на характеристиках (после вычисления определителей А, В, С,
М, N) могут быть представлены в виде:
- для первого семейства характеристик
t.dT + -/ат -dq + (g- -/ат -qv : = 0, (8.14)
- для второго семейства характеристик
7.d7' — -[ат -dq + (q + л/ат - q^)dx = 0. (8.15)
369
Рис. 8.1. Область поиска решения системы уравнений (8.14)-(8.15);
узлы сетки образуются на пересечениях линий характеристик.
Таким образом, благодаря записи системы уравнений (8.12) вдоль харак-
теристик нам удалось исключить из нее вторую независимую переменную (вре-
мя t), и вместо системы ДУЧП (8.12), мы получили систему ОДУ (8.14) - (8.15).
Этот прием отличает метод характеристик от других методов решения ДУЧП.
Способ решения полученной системы рассмотрим на следующем приме-
ре. Пусть длина стержня 5, теплофизические свойства не зависят от температу-
ры. При 1 = 0 температура его равна То> одинакова во всех его точках, тепловой
поток q равен нулю. В момент времени 1 = 0 в стержне включается внутренний
равномерно распределенный по объему источник тепла постоянной интенсивно-
сти qv. На концах стержня в течение всего времени поддерживается температу-
ра То. Таким образом, температуру и тепловые потоки требуется определить в
полуполосе 0<х<5 при 1>0 (рис. 8.1).
На линии 1 = 0, которая не является характеристикой, заданы в качестве
начальных условий искомые функции Т = То и q = 0, при х = 0 и х = 5 заданы
граничные условия: Т = Го.
Разобьем отрезок оси х [0, 5] на п частей с шагом h = 8/п и получим
точки хк = kh, две из которых являются граничными, остальные — внутренни-
ми. Через эти точки проведем характеристики первого и второго семейств, на
пересечениях которых образуются узлы, где и будем искать значения темпера-
370
туры и теплового потока. Так как по условию задачи -Ja/т есть величина по-
стоянная, характеристики будут прямыми линиями с угловыми коэффициентами
+ ,Jo/t. Узлы этой сетки будут расположены на прямых t- const, отстоящих
й [т тт
друг от друга на величину На нечетных слоях координаты узлов равны
л- = ™ + kh, к =Q, •£,п -1, и все они являются внутренними.
Напомним, что если теплофизические свойства зависели бы от температу-
ры, координаты узловых точек не были бы известны заранее, характеристики
были бы криволинейными, и пришлось бы определять координаты (х, t) каждо-
го узла одновременно с нахождением Т и q в нем. В данном случае для задан-
ного h координаты всех узлов известны заранее и остается только по соотно-
шениям (8.14) и (8.15) последовательно найти Та q в каждом узле.
Вместо дифференциальных соотношений (8.14) и (8.15) можно записать
разностные соотношения:
1) точки 1 и 3 лежат на одной характеристике первого семейства, поэтому
>.(73 - 7})+ -Jeer (q3 - )+ _ ' 2 = 0 ’ (8.16)
где х3 — .xj = W2.
2) точки 2 и 3 лежат на одной характеристике второго семейства, и для них
КЪ-Тт}- fe - у— + /ост = 0, (8.17)
где х3 — х2 =*й/2.
Соотношения (8.16), (8.17) есть разностные уравнения с порядком аппрок-
симации О(Л2). Из двух линейных алгебраических уравнений (8.16), (8.17) опре-
деляем значения искомых функций в точке 3
371
Ti+T? 4-Jar - h, \ hjcn
T>~i-------4i—
2X / x 4'[m-h qi+q2
”4Ж+1( 2) 47аг+Г-
(8.18)
Эти формулы могут быть использованы для нахождения Т и q в любой внут-
ренней точке области.
Если точка 3 расположена на левой границе (х = 0), то необходимо ис-
пользовать только уравнение (8.17) совместно с известным граничным условием
7) = Ти, подстановка которого в (8.17) дает уравнение для расчета единственной
неизвестной величины q3 :
7з =
(8-19)
Если точка 3 расположена на правой границе области (х = 5), то величина
q3 определяется из уравнения (8.16) и граничного условия Т3 = Т0:
Чз =
^(Т)_ T’qJ+^I ( 1— •Jen— 1 4 J I 1— + -./от--9г
г— h
-J01T +
4
(8.20)
Используя многократно формулы (8.18) - (8.20), можно вычислить значе-
ния искомых функций Т и q во всех узлах характеристической сетки.
Подчеркнем еще раз, что для решения данной задачи можно применять
методы, изложенные в главе 5, выбирая произвольную сетку, и решая на ней ис-
ходное ДУЧП. Однако использование специальной сетки, образованной пересе-
чением характеристик, основано на физических особенностях процесса, описы-
ваемого гиперболическими уравнениями, и приводит к преобразованию ДУЧП к
системе ОДУ. Получающийся при этом вычислительный алгоритм решения за-
дачи значительно упрощается.
372
Рис. 8.2. Схема нестационарного нагрева стенки (к примеру 8.1).
Пример 8.1. Найти нестационарное поле температур в стенке (рис. 8.2)
толщиной 8 = 0,01 м и шириной В = 0,5 м (на рис. 8.2 размер перпендикулярен
плоскости рисунка), учитывая тепловую инерционность законом Максвелла.
Свойства материала стенки: плотность р = 2000 кг/м3, коэффициент теплопро-
водности X = 1,3 Вт/(м-К), удельная теплоемкость С = 840 Дж/(кг-К), время ре-
лаксации т = 0,1 с. Начальная температура стенки ТО = 293 К. В момент време-
ни t = О с левой стороны к стенке начинает подводиться тепловой поток
ql = 200 Вт/м2, внутри стенки включается равномерно распределенный объем-
ный источник теплоты мощностью qv = 1000 Вт/м3, справа температура под-
держивается постоянной и равной Т2 = 343 К.
1. Очевидно, что данная одномерная задача описывается системой уравнений
(8.12), метод решения которой в целом описан выше. Особенностью настоя-
щего примера является задание на левой границе граничного условия второго
рода. Кроме того, необходимо учесть отличия расчета на целых и полуцелых
временных слоях. Все детали расчета описаны ниже, а в Приложении 17 при-
ведена программа в среде MathCAD.
373
2. Пусть номер первого узла по оси х i = 1, последнего N = 21. Тогда шаг од
оси х равен Дх = h = 8/(7V- 1). Найдем коэффициент температуропроводно-
сти ос = X/Ср и скорость распространения возмущений (наклон характери-
стик) Л = -|с(/т . Шаг по времени определяется как Д/ = hi А.
3. Приведем тепловой поток и мощность объемных источников к ширине стен-
ки В, проводя присвоение ф := (/1 В, qv := qv-B.
4. Найдем константы, фигурирующие в формулах (8.18): af.= ~jax,
atH := 4а/ + h, ath := 4at - h. Заметим, что последняя величина должна быть
положительной, иначе метод становится неустойчивым (пространственный
шаг h столь велик, что возмущение поля температур не успевает дойти до
следующего узла по оси х; об устойчивости явных методов решения гипербо-
лических задач см. главу 5).
5. Заметим, что на полуцелых слоях (рис. 8.3) нумерация узлов меняется от 1 до
N — 1, а на целых — от I до N. Будем обозначать тепловой поток и темпера-
туру на целых слоях соответственно q, Т, на полуцелых — р, и.
Тогда формулы (8.18) должны быть переписаны следующим образом:
- на полуцелых слоях для i = 1, ..., TV- 1 (шаблон показан на рис. 8.3 жир-
ными сплошными линиями)
,, _ Ti+TM _4 /ост - h , х h-Jax
(821)
„ - 4-JcCT —Л qj+qi+i
Pi ~ . I— , Vi Л+1/+ .— ,
4- ./cct + /i 4Jorc + /i 2
- на целых слоях для i = 2,..., N - 1 (шаблон показан на рис. 8.3 жирными
пунктирными линиями)
„ мг--1 + щ 4 /orc-h< \ h-Jat
, ____?L_(„ „ 4Votr-/? Pj-j+Pj
“ I--- Ш;._I I' i------ •
4/ат + h 4-qat + h 2
(8.22)
374
Рис. 8.3. Особенности обозначений и нумерации целых и полуцелых
временных слоев.
6. Для целых слоев из условий задачи известны тепловой поток на левой грани-
це сд = с/1 и температура на правой границе TN =Т2. Температуру на левой
границе (i = 1) можно определить, преобразуя уравнение (8.17) к виду
„ •'/ост z I— 'l h
?i = «1 +-г—(ft “йН + ;
A ( Z I Z.K
(8.23)
тепловой поток на правой границе (i = N) найдем из уравнения (8.20) :
4X(hn j — 7\ )+ Рл—\ ^4-Тот — й)+ 2-./ост - h ду
bjait+h
(8.24)
7. Перед началом расчетов вычислим величину, которую назовем начальным
удельным теплосодержанием стенки TC0:=T0-(N—1) (умножение ее на
рСВАх даст истинное теплосодержание) и введем функцию, позволяющую
определять текущее удельное теплосодержание как функцию температуры
Л'-1
ТС(Т) = 0,5 (71+7^)+
i=2
375
8. Результаты расчетов поля температур будем сохранять в массив при преодо-
лении определенного значения удельного теплосодержания, шаг этого пре-
дельного теплосодержания определим как dTC := (N —l)(7’2 — T<S)iМ , где
М — заданное число записей температуры (примем М = 20).
9. В начале программного блока введем начальные условия, в нулевые строки
массивов U и Q введем начальные векторы Т и q. Расчеты по формулам
(8.21) - (8.24) будем вести внутри цикла с предусловием while, условием вы-
хода из которого является достижение конечного теплосодержания. В конце
тела цикла выполняется проверка текущего удельного теплосодержания, обо-
значенного ТМ. Если величина ТМ превышает текущий порог, определяе-
мый счетчиком к, производится запись текущих векторов температуры Т и
теплового потока q на целом слое в очередную строку массивов U и Q со-
ответственно. Одновременно в вектор t заносится текущее время Time.
10. 3а программным блоком следует "расшифровка" содержимого "вектора" Tt,
включающего вектор t и массивы U и Q, а далее — вывод трехмерных
графиков температур и тепловых потоков. Отметим, что шкала времени на
графиках неравномерна, а действительные моменты времени зафиксированы
в элементах вектора t.
11. Анализируя полученные данные, интересно отметить "волновой" характер
распространения теплоты, выражающийся, во-первых, в неизменности тем-
пературы и теплового потока в начальный период времени вдали от границ
(что типично для задач, описываемых гиперболическими уравнениями — см.
главу 5), во-вторых, в возникновении характерных перемещающихся в виде
"волны" ников (особенно хорошо заметных на графике Q), обусловленных
тепловой инерцией среды. Отметим, что подобные явления в задачах, описы-
ваемых параболическими уравнениями теплопроводности (см. примеры в
главе 6), не возникали.
376
Задачи
Задание: Цилиндрический стержень длиной 5 = 0,05 м и диаметром d = 0,004 м
обернут теплоизоляцией (рис. 8.4), и его начальная температура равна ТО - 293
К. В момент времени t = О включают внутренние источники теплоты мощно-
стью qv, на левом торце либо поддерживают температуру Т1, либо подводят к
нему тепловой поток ql, либо омывают его жидкостью с температурой 01 при
коэффициенте теплоотдачи от торца pl (в зависимости от варианта задания),
аналогично задано граничное условие на правом торце (параметры с индексом
"2" — см. рис. 8.4, положительное направление потока совпадает с осью х). Теп-
лофизические свойства стержня: плотность р = 2200 кг/м3, коэффициент тепло-
проводности Л = 1,8 Вт/(м-К), удельная теплоемкость С = 950 Дж/(кг-К), время
релаксации т = 0,05 с. Требуется найти нестационарное поле температур и теп-
ловых потоков в стержне, используя метод характеристик.
Рис. 8.4. Схема нагревания стержня (к вариантам заданий 1 - 20).
Вар. 1, Известно: qv = 1000 Вт/м3 = const, 7’1 = 7’0 + (ТК - Т0^ -
ТК = 393 К, у = 0,01 с”', Т2 = 343 К = const.
Вар. 2, Известно: qv = 800 Вт/м3 = const, ql = с/0^1 - e~v‘)+ qAsin(o)/),
qO = 200 Вт/м2, qA = 20 Вт/м2, у = 0,01 с *, co = 31,4 с4, T2 = 393 К = const.
Вар. 3. Известно: qv = 2000 Вт/м3 = const, pl = 2000 Вт/(м2-К),
61 = ГО + (ТК - ТО^ - е"'1), ТК = 393 К, у = 0,02 с'1, Т2 = 273 К = const.
377
Bap. 4. Известно: qv = 1000 Вт/м3 = const, TI = TO + (TK - Z’O^l - e ft),
TK = 403 К, у 0,04 c *, q2 = 300 Вт/м2 - const.
Bap. 5. Известно: qv = 1000 Вт/м3 = const, ql = </Osin(coz), ql = qOcos(fat),
qO = 200 Bt/m2, co = 3,14 c
Bap. 6. Известно: TI = T2 = 363 К = const, qv = <7vO[l + sin(co/)], </v0 = 1000 Вт/м3,
co = 6,28 c
Bap. 7, Известно: qv = 1500 Вт/м3 = const, pl = 1500 Bt/(m2-K), 01 = 393 К = const,
q2 = 250 Bt/m2 = const.
Bap. 8. Известно: qv = 500 Bt/m3 = const, Tl = T0 + dT e~yt sin(coz), dT = 50 K,
Y = 0,03 c ], co = 6,28 с'1, p2 = 2500 Bt/(m2-K), 02 = 343 К = const.
Bap. 9. Известно: qv = 1000 Bt/m3 = const, ql = c/o(l - e^r,t)+ qA -e~yt sin(coz),
qO = 250 Bt/m2, qA = 30 Bt/m2, t] = 0,05 c~*, у = 0,01 c ', co = 3,14 c 4,
p2 = 3000 Bt/(m2-K), 02 = 323 К = const.
Bap. 10, Известно: qv = 1200 Bt/m3 = const, pl = p2 - 2500 Bt/(m2-K),
01 = TO + dT sin(coz), 02 = TO + dT cos(coz), dT = 30 K.
Bap. 11, Известно: qv = 1000 Bt/m3 = const, pi = p2 = 2000 Bt/(m2-K),
01 = TO + dT sin(coz), 02 = TO - di sin(coz), dT = 30 K.
Bap. 12. Известно: TI = T2 = 343 К = const, qv = ф 0{1 + sign[sin(coz)]}, </v0 = 1000
Bt/m3, co = 3,14 c~*. (По определению sign (x) = {1, x > 0; 0, x = 0; -1, x< 0}).
Bap. 13. Известно: ql = 300 Bt/m2 = const, q2 = - 300 Bt/m2 = const,
qv = #vO{l + sign[sin(cor)]}, </v0 = 500 Bt/m3, co = 3,14 сЛ (По определению
sign (x) = {1, x > 0; 0, x = 0; -1, x < 0}).
Bap. 14. Известно: pl = P2 = 2000 Bt/(m2-K), 01 = 02 = 313 К = const,
qv = c/vO{l + sign[sin(coz)]}, </iO = 500 Bt/m3, co = 1,57 c“'. (По определению
sign (x) = {1, x > 0; 0, x = 0; -1, x < 0}).
Bap. 15. Известно: qv - 1000 Bt/m3 = const, TI = TO + {TK - Г0){1 + sign[sin(coz)]},
TK = 393 K, co = 3,14 с ', T2 = 323 К = const. (По определению sign (x) =
= {l,x>0;0, x = 0;—l,x<0})
378
Bap. 16. Известно: qv - 800 Вт/м3 =.const, q\ = q0 + qAsign[sin(co/)], qO - 250
Bt/m2, qA = 100 Bt/m2, co = 3,14 с1, T2 = 313 К = const. (По определению
sign (x) = {1, x > 0; 0, x = 0; -1, x < 0}).
Bap. 17. Известно: qv = 1000 Bt/m3 = const, ql - c/0{l + sign[sin(coz)]}, qO = 250
Bt/m2, co = 1,57 с"1, T2 = 343 К = const. (По определению
sign (x) = {1, x> 0; 0, x = 0; -l,x< 0}).
Bap. 18. Известно: qv = 2000 Bt/m3 = const, pl = 2000 Bt/(m2-K),
01 = TO + dT {1 + sign[sin(coz)]}, dT = 40 К, T2 = 273 К = const. (По определению
sign (x) = {1, x > 0; 0, x = 0; -1, x < 0}).
Bap. 19. Известно: qv = 1000 Bt/m3 = const, pi = p2 = 2000 Bt/(m2-K),
01 = TO + dT {1 + sign[sin(co/)J}, 02 = TO + di {1 + sign[cos(coz)]}, dT = 50 К. (По оп-
ределению sign (x) = {1, x > 0; 0, x = 0; -1, x < 0}).
Bap. 20, Известно: qv = 1500 Bt/m3 = const, Pl = P2 = 1000 Bt/(m2-K),
01 = TO + dT {1 + sign[sin(coz)]}, 02 = TO + dT {1 - sign|sin(ct»/)[}, dT = 50 К. (По опре-
делению sign (x) = {1, x > 0; 0, x = 0; -1, x < 0}).
Глава 9. Примеры численных решений задач
гидродинамики, тепло- и массообмена
В отличие от глав 5 — 7, где изложены "учебные" примеры, в данной главе
рассмотрена реализация практически важных задач движения жидкости,
фильтрации, тепло- и массообмена.
Пример 9.1. Тонкостенная труба из стали 12Х18Н10Т, тепло-
изолированная по наружной поверхности и по торцам, охлаждается
продуваемым через нее воздухом (рис. 9.1, а). Воздух подается с постоянными
скоростью v = 0,2 м/с и температурой 00 = 15°С. Начальная температура трубы
ТО = 100°С, начальная температура воздуха в трубе 00 = 100°С. Коэффициент
теплоотдачи от внутренней поверхности трубы к воздуху равен 0 = 50 Вт/(м2-К).
Размеры трубы (см. рис. 9.1,a) L = 0,2 м, D = 0,02 м, d = 0,015 м. Необходимо
построить алгоритм расчета нестационарного поля температур трубы Т и
воздуха в ней 0.
Данную задачу целесообразно рассматривать в цилиндрических
координатах, учитывая радиальные градиенты температур в трубе; при этом
придется решать двумерную нестационарную задачу. Однако, принимая во
внимание малую толщину стенки трубы и высокий коэффициент ее
теплопроводности, вполне допустимо свести задачу к одномерной, пренебрегая
изменением температуры по радиусу, как в трубе, так и в воздухе.
Для построения одномерной модели выделим элементы (контрольные
объемы) стенки трубы и воздуха в ней длиной h (см. рис. 9.1, б), и составим
уравнения сохранения энергии для каждого из них (см. также [8, с. 61]):
а) для контрольного объема стенки трубы:
—- {pyCy^.VyT^)= qxSy -qzS-} -q^S^ , (9.1)
or
б) для контрольного объема воздуха в трубе:
380
Рис. 9.1. Задача охлаждения трубы потоком воздуха: а - схема
охлаждения; б - контрольные объемы (к построению уравнений
сохранения энергии для трубы и для воздуха).
(prQA ггв/)= 45S5 -~Чз$з , (9.2)
где р — плотность; С — удельная теплоемкость; ДУ — объем выделенного
элемента; индексы "т" и "г" относятся к трубе и к газу соответственно; </, —
381
тепловые потоки через поверхности контрольных объемов; S; — площади этих
поверхностей; i — номер поверхности, i = 1, 6 (см. рис. 9.1, б).
Теплофизические свойства материала трубы и воздуха найдем при
средней температуре (60 + Т0)/2 = 60°С (см. [30]) и будем считать не
зависящими от температуры (см. Приложение 18).
Температуры 7} и 6j представляют собой средневзвешенные значения в
соответствующих контрольных объемах. Площади S, даются формулами
Si = S2 = (о2 -d2\ 53 = ndh, S4 = TcDh ,S5=S6 = ^d2,
(9.3)
а объемы контрольных элементов равны
ДУТ = Sth, A Vr = Ssh.
(9.4)
Тепловые потоки qt и q-i в трубе описываются законом теплопроводности
Фурье, потоки </з и — уравнением Ньютона-Рихмана (для потока q4
согласно условию задачи коэффициент теплоотдачи можно считать равным
нулю), а потоки q5 и q6 в движущемся воздухе содержат диффузионные и
конвективные члены, и могут быть аппроксимированы разностными
соотношениями (см. главу 2):
91=-аД~ (9-5)
Зх ,_V2 h
92 — д
.7+1/2
TJ~T^
h
(9.6)
9з=Э(е7-7)), (9.7)
94=0, (9.8)
95 = Лч" + (фгСг)/-!®/-! = ’РМч, (9-9)
382
. de
% --Ars~
ОЛ'
+ GprG),+i6z+i «гргсге7+1. (9.Ю)
7+V2
При заданных условиях диффузионный член в (9.9) и (9.10) на два порядка
меньше конвективного, поэтому им можно пренебречь.
Подставим выражения (9.3)-(9.10) в уравнения (9.1) и (9.2), проведем
элементарные преобразования и возьмем пределы при h —> 0, в результате
получим дифференциальные уравнения, описывающие сохранение энергии:
а) для трубы:
ат,. э2т
---— = ГУ ----
dt тдх2 .
+ p(ej-Tj),
(9.11)
б) для воздуха в трубе:
Эй j эе
dt дх j
= -9(07-7}.),
(9.12)
где
Х-, = 4JB = 4£
ртСт ’ Р -d2 )pTCT ’ d ргСг
Уравнения (9.11), (9.12) описывают задачу сопряженного теплообмена;
ДУЧП (9.11) является одномерным уравнением теплопроводности с
кинетическим членом, а ДУЧП (9.12) — одномерным уравнением переноса с
кинетическим членом. Для дискретизации обоих ДУЧП (9.11), (9.12) выберем
простой неявный метод (см. главы 5 и 6), достаточно легко реализуемый, и в то
же время обладающий точностью О(т, h2). В конечно-разностной форме на
равномерной сетке (тх/i) уравнения (9.11), (9.12) приобретают вид
/Т-tW+l гтрп
~lj
т
Л/-1 + Ъ+1 , п(н«+1 т«+1
-ат--------------------+ -ij
Г\П+1 f\Tl гхЛ+1 п^+1 /
°' -e£ + vei±L-eM _-Jo”
т 2h м '
(9.13)
(9.14)
* i
383
Использование спектрального метода Неймана показывает, что обе схемы (9.13)
и (9.14) безусловно устойчивы.
Сформулируем краевые условия для дискретизированной задачи.
Начальные условия:
7f = Т0, j=l, 6° = ®0, ; = 2, (9.15)
Граничные условия:
= 0,и = 0,1,2,...; еЗ=60,н = 0,1,2,.... (9.16)
Эх о дх ,м
Приводя уравнения (9.13), (9.14) к канонической форме, получим коэффициенты
трехдиагональных матриц: А, В. С. D — для уравнения (9.13), a, b. с, d — для
уравнения (9.14). Для учета ГУ коэффициенты Ам и С\ рассчитаем по
специальным формулам (см. главу 4 и расчет в Приложении 18). На правой
границе (J — М) для аппроксимации уравнения (9.12) вместо простого неявного
метода используем безусловно устойчивый метод "неявный левый уголок" (см.
главу 5).
Заметим, что в систему уравнений (9.13) входит неизвестная величина
0/1+1, которую определяют решением системы (9.14), а система уравнений (9.14),
в свою очередь, содержит неизвестную 7}n+1, получаемую решением системы
(9.13). Систему (9.13)-(9.14) можно решать блочным методом прогонки
[13, 14], однако можно воспользоваться и более простыми способами расчета.
Самый простой из них — расчет "с запаздыванием". Сначала решается
система уравнений (9.14), где вместо 7,”+1 используется значение с
предыдущего временного слоя Т”, затем решается система (9.13). В
Приложении 18 такой способ расчета представлен в п. 5.
Более точный метод — итерационный расчет на каждом временном слое
(см. п. 4 в Приложении 18). На первой итерации расчет проводят так же, как при
расчете с запаздыванием, потом проводят вторую итерацию. Начиная со второй
итерации, сравнивают чебышевскую норму Е отклонения векторов Т и 6 на
384
двух последних итерациях. Расчет на последней итерации принимается
окончательным для данного временного слоя. Для исключения чрезмерного
числа итераций к допускается установить ограничение (в Приложении 18, п. 4
установлено к < 6). Для данного примера при заданной предельной норме
То1=0,1°С фактическое число итераций не превышало kmax = 2.
Результаты расчетов по обоим способам, представленные в Приложении
18, отличаются не более чем на 0,5°С. Результаты расчетов по схеме первого
порядка точности "простой неявный уголок" с запаздыванием (в книге не
представлены) отличаются от расчетов по простой неявной схеме с
запаздыванием на несколько градусов.
Пример 9.2. Требуется решить задачу экстрагирования из капиллярно-
пористой частицы с бидисперсной структурой (плоская модель — рис. 9.2),
периодически пропитываемой жидкостью, т.е. рассчитать нестационарное поле
концентраций в частице, потоки экстрагируемого вещества, а также выявить
основные закономерности процесса экстрагирования при заданных условиях.
Совокупность мелких капилляров можно представить анизотропной пористой
структурой с заданной порозносгью е — пористым массивом 1, поры которого в
начальный момент времени заполнены концентрированным раствором целевого
компонента; анизотропия выражается в том, что диффузия происходит только в
направлении оси у. Сквозь частицу проходит транспортный канал 2, боковые
стенки которого граничат с пористым массивом. Через эти границы происходит
молекулярная диффузия вещества из пористого массива в канал (на рис. 9.2
потоки показаны стрелками). В самом канале перенос вешества осуществляется
и молекулярной диффузией, и конвекцией. Жидкость в транспортном канале
совершает продольные колебания с заданной частотой и амплитудой скорости.
Концентрация целевого компонента вне частицы постоянна и равна нулю.
Математическая модель процесса экстрагирования в рассматриваемой
частице может быть описана следующей системой уравнений [31,32):
- уравнение диффузии для пористого массива
385
Рис. 9.2. Плоская модель частицы с бидисперсной структурой и
сквозными транспортными порами.
1 - пористый массив; 2 - транспортный канал.
dti_Da2ci
(9.17)
Q = C|(x, y,t), 0<x<L, h2 < у < h\ +
- уравнение конвективной диффузии для транспортного канала
ас2 ас2
—— + и—-
dt дх
д2
дх'
а2с2
а/
(9.18)
С2 = 0 < х < L, 0< у < Л2;
- начальные условия
С1(л-,у,0)=С10;
(9.19)
(9.20)
)'$)-Ого’’
С2
- условия сопряжения
386
С2(л,/^,/)=
q2(x,h2,t)= qt(x,h2,t);
- граничные условия
С2(0,Ь<)= C2(L, y,t)~ c20
91(л-,Л1 + /г2,/)=0;
92(x,0,/)=0;
- профиль скорости в транспортном канале
(9.21)
(9.22)
(9.23)
(9.24)
(9.25)
(9.26)
Здесь С —- концентрация вещества, кг/м3; Q — относительная линейная
концентрация вещества; D — коэффициент молекулярной диффузии, м2/с; h, —
полуширина пористого массива, м; h2 —- полуширина транспортного канала, м;
L— длина частицы, м; q — поток вещества, кг/(м2-с); t — время, с; и —
продольная (вдоль оси л) скорость жидкости, м/с; х, у — декартовы оси
координат; со — угловая частота колебаний, рад/с; индексы: 0 — начальное
состояние; 1 — пористый массив; 2 — транспортный канал; max —
максимальное значение.
Потоки вещества на границе пористый массив — канал (при у = й2), при
допущении о независимости коэффициента диффузии D от концентрации
вещества, равны
<71=-eD—Ь (9.27)
оу
q2=-D^. (9.28)
387
Равенство (9.23) характеризует граничные условия на концах канала в
случае хорошего перемешивания в объеме аппарата непрерывного действия,
которые могут быть приняты как условия постоянства концентраций.
Уравнение (9.24) соответствует отсутствию потока через тупиковые
концы мелких капилляров, а уравнение (9.25) — условию симметрии на оси
транспортного канала.
С учетом малости реальных скоростей в транспортных каналах и их
размеров режим течения жидкости в них принимали ламинарным, профиль
скорости — параболическим в пространстве и гармоническим во времени
[уравнение (9.26)].
В равенстве (9.27) коэффициент £ учитывает долю поверхности, через
которую происходит перенос вещества со стороны пористого массива.
Для решения системы уравнений (9.17)-(9.28) использовался метод
конечных разностей. Была выбрана равномерная сетка с шагами (А/, Дх, Ду).
При конечно-разностной аппроксимации уравнения (9.18) использовали
модифицированный метод переменных направлений Писмена-Ракфорда первого
порядка точности с погрешностью аппроксимации о(а/, Дх2, Ду2), которая в
линейном случае безусловно устойчива [13, 14]. Для аппроксимации уравнения
(9.17) применяли безусловно устойчивый метод Кранка-Николсона второго
порядка точности. Граничные условия также аппроксимировали выражениями
второго порядка точности.
Программа, реализующая вычислительный алгоритм, была написана на
языке Borland Pascal. Текст программы составляет более 3000 строк, и поэтому
здесь не представлен. Подробное описание программы заняло бы около ста
страниц, поэтому, в силу ограничений на объем книги, дадим лишь краткое
описание особенностей программирования и результатов расчета.
Для обеспечения устойчивости с учетом нелинейности уравнения (9.18) в
разработанную программу были включены блоки для контроля над значениями
следующих сеточных критериев:
- Фурье (для пористого массива и канала):
388
Рис. 9.3. Характерные кривые распределения относительной линейной
концентрации вещества в пористом массиве и в транспортном канале
(пояснения см. в тексте). Стрелками показано направление потоков
вещества.
389
,, гл 1- г. А/
Foy = Z>—у; Fo=£>
Ax2 Ay2
- Куранта (максимальное значение):
Гщах
мшах
А/
Дх ’
- Пекле (максимальное значение):
р„ _ rmax _ мтахАх
F°x D
Перед началом расчетов проводили адаптацию полей концентраций в
пористом массиве и канале на сильно измельченной сетке для удовлетворения
условий (9.21) и (9.22) с заданной точностью (2,5 %) на границе раздела
(у = h2 ). Такое состояние принималось за начальное.
Разработанная программа позволяла наблюдать на мониторе компьютера
в динамике поля концентраций в узлах сетки, а также относительные линейные
концентрации вещества в пористом массиве и канале, рассчитанные по
формулам
Л]+й2 Л2
CLl(x,t) = —~ JCi(x,/)c/j>; CL2(x,t)= —— [с2(х,/)б/у.
«1е 10 А "2с10 0
Численные эксперименты показали, что при прочих равных условиях
существует оптимальная частота колебаний жидкости в канале 0)оп1. при
которой можно достичь минимальной продолжительности процесса [31, 32].
На рис. 9.3 изображены характерные линии CLi(x) (толстые линии) и
С'/2(х) (тонкие линии) при разных частотах колебаний жидкости. В начале
процесса (при любой частоте колебаний жидкости), благодаря преобладанию
молекулярного переноса над конвективным, линии относительных
концентраций приближаются друг к другу, оставаясь практически
390
симметричными (рис. 9.3, а). На следующих стадиях при всех частотах
наблюдалось отставание по фазе максимума концентраций от максимума
скорости, обусловленное наличием диффузионного сопротивления жидкости в
направлении оси у. При низких частотах колебаний роль конвективного
переноса незначительна (рис. 9.3, б); даже в момент достижения максимальной
скорости жидкости максимум кривых концентраций лишь незначительно
смещается от середины частицы. При частотах, близких к оптимальным (рис.
9.3, в) фронтальная часть жидкости в канале насыщается извлекаемым
веществом, продвигаясь вдоль канала, вследствие чего максимум концентрации
смещается по ходу течения жидкости. В хвостовую часть канала поступает
жидкость с минимальной концентрацией, так что поперечный градиент
концентраций, определяющий поток вещества через стенку канала, там
оказывается достаточно большим. Выносимый с торца канала поток вещества,
преимущественно конвективный, оказывается значительным, поскольку к
моменту достижения скоростью своего максимума у торца канала накапливается
значительное количество вещества. При частотах колебаний жидкости,
превышающих оптимальную в несколько раз (см. рис. 9.3, г) точка
максимальной концентрации в канале быстро перемещается по ходу движения, в
результате чего максимальная концентрация в канале становится больше, чем в
прилегающих слоях пористого массива, т.е. происходит обращение поперечного
градиента концентраций. Таким образом, вещество из канала начинает
поступать обратно в пористый массив, что в целом тормозит процесс извлечения
вещества из частицы. При частотах, превышающих оптимальную на порядок и
более (см. рис. 9.3, Э), кривая относительных линейных концентраций в канале
очень быстро осциллирует вблизи кривой концентраций в пористом массиве.
Жидкость, втекая в канал с большой скоростью, не успевает насытиться
веществом, и быстро вытекает обратно, возвращая перешедшее в жидкость в
канале вещество обратно в обедненные слои пористого массива; перенос
вещества в направлении оси у происходит значительно медленнее, чем вдоль
оси х (и особенно при у = 0, где скорость, а значит, и конвективный перенос
391
максимальны). Таким образом, расчеты показывают, что слишком быстрые
колебания жидкости в транспортном канале не эффективны.
Более детально с анализом полученных результатов можно ознакомиться
по статьям [31, 32].
Пример 9.3. Рассмотрим задачу одномерной нестационарной ламинарной
фильтрации газа в коническом камерном питателе* (рис. 9.4). В конический
питатель с заданными размерами загружен порошкообразный материал с
известными свойствами: размером частиц 8, порозностью 6 = const (см.
Приложение 19); начальное давление воздуха в слое р0 = 1-105 Па(абс.). В
пространство над слоем подается воздух из ресивера, давление pt в котором
поддерживается постоянным и равным 2-105 Па (абс.). Разгрузочный клапан 6
закрыт. Требуется рассчитать распределение давления воздуха по толщине слоя
материала, а также продолжительность процесса выравнивания давления
воздуха с заданной точностью.
В данном примере фильтрация носит осесимметричный характер, т.е. слой
материала можно приближенно рассматривать как сферический сегмент,
ограниченный сбоку конической поверхностью с углом при вершине а, а снизу
и сверху — сферами радиусом Ri и R2. Тогда фильтрацию можно считать
радиальной и ее удобно описывать в сферических координатах. При этом
уравнение нестационарной фильтрации газа, представляющее собой закон
сохранения массы газа в поровом пространстве слоя, имеет вид
|(рЕ)=— ^fa), (9.29)
dt г dr
q ~ q(r, Z); р = p(r, t); £ = const; /?] < г < R2 ,
где массовый поток газа через полное сечение слоя материала на данном радиусе
г равен
Я = -Раф^- (9-30)
дг
" Постановка и результаты решения аналогичной задачи представлены в [22, с. 240]
392
Рис. 9.4. Схема камерного питателя для сыпучих материалов.
1 - корпус питателя, 2 - люк для загрузки сыпучего материала, 3 -
патрубок ввода газа, 4 - воздухопровод, 5 - ресивер, 6 - разгрузочный
клапан, 7 - транспортный трубопровод.
Здесь аф — константа фильтрации Дарси (см. пример 6.2); р — абсолютное
давление; р — плотность газа, которая может быть рассчитана по уравнению
состояния
Р = АГР’
(9.31)
где Н — молярная масса газа, R — универсальная газовая постоянная,
Т— температура газа.
Начальное условие
р(г,О)=ро. (9.32)
393
Сформулируем граничные условия. На нижней границе поток газа
отсутствует, поэтому при г = Ку справедливо ГУ второго рода
0=0. (9.33)
дг
Объем ресивера обычно во много десятков или сотен раз превышает
объем камерного питателя, а сопротивление воздухопровода 4 значительно
меньше сопротивления слоя материала, поэтому можно считать, что давление
над слоем постоянно и равно давлению воздуха в ресивере /д, т.е. при г =
имеет место ГУ 1-го рода
р(Я2,/)=Д. (9.34)
Система уравнений (9.29) - (9.34) описывает поставленную задачу при принятых
нами допущениях. Для корректного построения конечно-разностного аналога
ДУЧП (9.29) — (9.30) и численного решения задачи необходимо провести ряд
преобразований.
Вводя обозначение К = НЦКТ), подставим выражение (9.31) в (9.29);
предполагая процесс изотермическим, т.е. К = const, получим:
й’е)=-4^('М- (9.35)
dt г2 dr
Подставим также выражение (9.31) в (9.30) и перепишем последнее в
дивергентной форме
АГ ал д(р2)
q=~ (9.36)
2 дг
Построим консервативную разностную схему, используя интегро-
интерполяционный метод (см. п. 6.2.4) применительно к контрольному объему,
показанному на рис. 6.8 (координаты узлов Xj заменим на г-). Численное
решение задачи обозначим и. В результате интегрирования уравнения (9.35)
получим интегральную форму закона сохранения массы газа в поровом
пространстве (детали построения см. в п. 6.2.4)
394
rj+№, . 1+1 г
Кг f (un+i-un)r2dr = J fc_1/2)Vi/2
kj+V^Qj+wdt •
(9.37)
Интегрирование уравнения (9.36) по радиусу приводит к выражению
откуда следует приближенное соотношение
(uj)2-(uj+l)2
^+V2-”2
(9.38)
где hj - rj+i — rj — шаг по радиусу; на равномерной сетке hf = h = const.
Аппроксимируем интеграл в левой части уравнения (9.37) выражением
G+V2. . , Л+Vi ,
Кг J tyn+l-un)r2dr ~ Кг]р"+1-и") §r2dr = Кг\и"+* -i/’jVj, (9.39)
7-V2 rj-l/2
где Vj — объем J-ro слоя, ограниченный единичным телесным углом, равный
vj - з [(ад)3 - (ад)3] •
Аппроксимируя интеграл в правой части уравнения (9.37) по двухслойной схеме
с весами, получим
“ k1 - ti-- Ъ+лцъ - MijtiТ
+ уГ " ('Л (3 fyl+l/2 ] ’
(9.40)
где потоки определяются соотношением (9.38).
Система уравнений (9.38), (9.40), являющаяся конечно-разностной
аппроксимацией исходной системы ДУЧП (9.29), (9.30), нелинейна
395
относительно искомой функции и. Для преодоления проблемы нелинейности
можно использовать один из способов, описанных в п. 6.2.5.
Наиболее естественным методом линеаризации системы (9.38), (9.40)
является представление уравнения (9.38) в виде
^+V2 2hj ('-О+ 2+1 (л-l)/“J (s) <9-41)
где л' — номер итерации, выполняемой на каждом временном слое.
Этот прием позволяет перейти к системе линейных алгебраических
уравнений с трехдиагональной матрицей. В качестве нулевого приближения
принимают значения давления с предыдущего временного слоя, т.е. иД1
j (0)
=«7
затем находят первое приближение му+1(1)
пересчитывают по нему поле
давлений, сравнивают давления на последних двух итерациях, и т.д., пока
итерации не сойдутся с заданной точностью.
Введем обозначения: а^=аф)г [см. формулу (6.59)], flLy=ry_j/2,
RVj =rj+ll2, RL2J = (ry_V2)2, RU2j = (W)2, F = aft/(2h).
Подставим уравнение (9.41) в (9.40). Тогда на равномерной сетке с
номерами узлов по радиусу после несложных преобразований
нетрудно найти коэффициенты трехдиагональной матрицы:
- для внутренних узлов (/ = 2,..., J- 1):
0F
=---
1 V;
[,,Я+1 . ,,«+1
V/-1(J-1)+ Uj (Щ)
(9.42а)
_ в/ [. ,»+1 ,я
y.'i y-\) + ui+4s-\)
(9.426)
(9.42в)
rfj=_„;_O£
1 1 V:
RL2-
-RU2,
i2~
(9.42г)
396
- особенности расчета коэффициентов в узлах на внутренней границе (/ = 1)
вытекают из аппроксимации ГУ (9.33) на граничном контрольном объеме
половинной ширины (см. главу 4):
aj = O, (9.43а)
<4 = + ’ <9'436)
bl=l+aJ+cf,
dj=-Kf +
(9.43в)
(9.43г)
И L
- особенности расчета коэффициентов в узлах вблизи наружной границы
(/ = /- 1) легко найти подстановкой уравнения (9.34) в систему (9.40) - (9.41)
(см. главу 4); здесь приходится пересчитывать только коэффициент dj_t:
dj-\dj-\ - Cj^uj.
(9.44)
Программа, реализующая алгоритм расчета нестационарного поля давлений,
представлена в Приложении 19. После вычисления коэффициентов по формулам
(9.42) - (9.44) прогонкой рассчитываются значения давления на s-й итерации (в
Приложении 19 обозначены "Un"), затем их сравнивают со значениями давления
на (s- 1)-й итерации (в Приложении 19 обозначены "Uk”), используя чебышев-
скую норму (в программе обозначена "Мах"); после достижения заданной точно-
сти То1 происходит переход к следующему временному слою. Критерием стаби-
лизации поля давлений в слое служит чебышевская норма отклонений давления
на последних двух временных слоях, отнесенная к начальному давлению (в про-
грамме обозначена "Eps"). Пополнение результатов расчета — массива давления
U — происходит по условию увеличения массы газа Mt в поровом
пространстве на к процентов по сравнению с начальной массой МС, а также
при достижении условия стабилизации поля давлений Eps < TOL.
397
Одновременно с этим производится расчет массового расхода газа Gg = q-f-E
через верхнюю границу слоя площадью f с использованием трехточечной
аппроксимации производной др/дг.
Результаты расчетов показаны на графиках в Приложении 19; характер
зависимостей p(r, t) совпадает с представленным в книге [22, с. 242]. Стоит
отметить, что поле давлений при 0 < 0,9 имело заметные осцилляции.
Полностью исключить осцилляции удалось при 0=1 (см. также замечания в
главе 4 об аппроксимации ГУ второго рода).
При помощи специального программного блока (в Приложении 19 не
представлен) удалось определить, что при То1 = 10’1 максимальное число
итераций составляло хтах = 6, а при То1 = 102 .smax = 7. Для ограничения
чрезмерного числа итераций (при произвольных расчетных параметрах) в
программе постановлено предельное условие (х < 10).
Согласно расчетам, время насыщения слоя материала воздухом для
предельного значения max(Eps) = TOL = 10 5 и выбранном числе Фурье Fo = 5
составило около 180 с.
Пример 9.4. Рассмотрим задачу нестационарного течения Куэтта
дилатантной жидкости. Жидкость непрерывно поступает в зазор между
неподвижной плоской поверхностью и лентой
9.5). Лента разгоняется из состояния покоя
скорости ик — 0,2 м/с за время tk = 0,01 с.
жидкости
питателя-гомогенизатора (рис.
с постоянным ускорением до
Реологическая характеристика
(9.
где коэффициент А =10 Па-ст, zn=l,5; плотность жидкости р= 1200 кг/м3.
Размеры зазора: длина L = 0,5m, ширина В = 0,1м, высота Н= 0,01м.
Решение подобной задачи в стационарной постановке дано в книге [22, с. 62]
398
Рис. 9.5. Схема ленточного питателя-гомогенизатора.
1 - приводной барабан, 2 - лента, 3 - упорная пластина, 4 - скребок.
Необходимо рассчитать нестационарное поле скоростей в жидкости, а также
зависимость от времени мощности, подводимой к приводному барабану.
В данном примере можно пренебречь концевыми эффектами и
рассматривать задачу в одномерной постановке. Конвективное ускорение в силу
несжимаемости жидкости и постоянного поперечного сечения канала равно
нулю. Тогда уравнение движения в напряжениях [33] примет вид
ди _ Эт
Р dt Эу ’
(9.46)
u = u(y,t); z = z(y,t),
где и — проекция скорости жидкости на ось л; т = ту> — касательные
напряжения в жидкости.
Начальное условие
и(у,0)=0, (9.47)
граничные условия
н(0,г)=0, (9.48)
399
н
ик
---1, t<tk;
tk
uk, t>tk.
(9.49)
Стоит отметить, что простая явная схема применительно к задаче (9.45) -
(9.49) дает неустойчивое решение. Поэтому для конечно-разностной
аппроксимации ДУЧП воспользуемся интегро-интерполяционным методом [см.
п. 6.2.3, а также метод решения уравнения (6.28)], который приводит к
разностной форме уравнения движения
<9-50)
где h = H/J — шаг сетки по оси у, Дг— шаг сетки по времени.
Касательные напряжения на границах контрольного объема (см. рис. 6.8),
т.е. в полуцелых узлах, аппроксимируем в соответствии с уравнением (9.45)
Л ( )т
h. (9.51)
к ( \т
п
Очевидно, что подстановка выражений (9.51) в (9.50) приведет к системе
нелинейных (в случае т Ф 1) уравнений. Проводить линеаризацию этой системы
можно одним из способов, изложенных в п. 6.2.5.
Принимая во внимание, что эффективная вязкость у. = т/(ди/ду) жидкости
со степенным законом трения может быть выражена в виде [22, с. 66]
400
представляется естественным следующий вариант линеаризованного
представления касательных напряжений*
и+1
b-+V2 -Ь+1/2(,ч)
ГЛ41
т /-1/2
„л+1 - „"+1
“Ма Ли =
h
,,п+\ _ ,,и+1
Ли “j-ip)
h
Л
h'n
I и+1 „и+1 |”WL,n+l „п+1
Ь+1(.и~мЛи
(9-52)
-—k
Л™1 -
.л+1 _,,«+!
Л.<-п J-’o-nl 'Ли
Здесь х — номер текущей итерации на данном временном слое. Таким образом,
вязкость в уравнениях (9.52) рассчитывается по значениям скорости с
предыдущей итерации и":
причем для х = 1 принимаются значения скорости
с предыдущего временного слоя, т.е. м"^1 = и" .
Введем эффективное сеточное число Фурье Fo = АДг/(рЛяг+1). Подставляя
выражения (9.52) в уравнение (9.50), нетрудно получить следующий
итерационный алгоритм решения системы линейных уравнений с
трехдиагональной матрицей:
“А ~hiuZ +<-Ж) =dJ> <9-53>
где
aj = Fo •
Ln+1
I
/?+1
F-l(s-i)
। т-1
Cj = Fo •
п+1
/+‘<я—1>
т-1
bj =l + Oj+cj,
— и
и
и.
d. =-unj, j = l, 1.
J J J ’
В приграничных узлах j = l и j-J-l следует учесть граничные условия (9.48)
и (9.49). В программе, представленной в Приложении 20, это сделано путем
пересчета по формулам
* В случае 0< т < 1 такая линеаризация не годится, так как уже при нулевой итерации
знаменатель правой части уравнений (9.52) обращается в нуль; в этом случае,
возможно, более эффективной окажется линеаризация по Ньютону (см. п. 6.2.5)
401
dy dy — ClyU-Q 9
^J-1 ~ Q-i w"+1 •
Система уравнений (9.53) решается методом прогонки, с итерациями на каждом
временном слое, пока чебышевская норма разности Мах между векторами
скоростей на текущей s-й итерации Un и на предыдущей (s- 1)-й итерации
Uk, отнесенная к скорости ленты, не станет меньше заданной точности То1 (см.
Приложение 20). Расчеты показали, что при Tol = 10 4 максимальное число
итераций smax = 3.
Мощность N, подводимую к приводному барабану, найдем как
Л/ — Uj Tj BL.
где иj — скорость ленты; ту — касательные напряжения на ее поверхности;
BL — площадь поверхности ленты, соприкасающейся с жидкостью, причем
скорость сдвига будем аппроксимировать на трех узлах сетки.
Результаты расчетов представлены на графиках в Приложении 20. Из
графика распределения скорости видно, что неустановившийся профиль
скорости вогнутый; он становится линейным лишь через некоторое время после
окончания разгона ленты, что обусловлено инерцией жидкости.
Интересно отметить наличие экстремума на зависимости подводимой к
приводному барабану мощности от времени. Такой экстремум имеет место и для
ньютоновской жидкости (т = 1). Причину его появления легко объяснить: после
окончания разгона в момент времени tk лента перестает ускоряться, а жидкость
к этому моменту времени не успела разогнаться по всей толщине; по мере
выравнивания профиля скорости уменьшается скорость сдвига вблизи
поверхности ленты, а с нею уменьшаются и касательные напряжения (см.
соответствующие трафики в Приложении 20). При постоянной скорости ленты
это приводит к постепенному снижению (до некоторого установившегося
значения) и подводимой мощности. Таким образом, время стабилизации
(снижения) подводимой мощности с момента времени tk соответствует времени
выпрямления профиля скорости.
402
При гладкой (экспоненциальной) зависимости скорости ленты от времени
мы получили плавный закон увеличения мощности до стационарного состояния.
Пример 9.5. Рассмотрим задачу нестационарного течения Куэтта
жидкости Шведова-Бингама. Жидкость непрерывно поступает в зазор между
двумя одинаковыми лентами питателя-гомогенизатора (рис. 9.6). Нижняя лента
движется с постоянной линейной скоростью U0 = 0,002 м/с, начальная скорость
жидкости и(у, 0) = п0 = U0, начальное распределение касательных напряжений
т(у, 0) = 0. В момент времени t - 0 к приводному барабану нижней ленты
подводят постоянный тормозящий момент Ml = 1 И-м. Одновременно к
приводному барабану верхней ленты подводят момент М2, возрастающий с
постоянной скоростью О1 0 до М2к = |М1| за время tk = 0,01 с, а затем
остающийся постоянным. Реологическая характеристика жидкости Шведова-
Бингама определена системой уравнений
т = тО + ц^, т>тО;
ду
— = 0, т<тО.
ду
(9.54)
Начальное сопротивление сдвигу и вязкость равны соответственно тО =198 Па,
Ц=1 Па-с, плотность жидкости р = 1200 кг/м3. Размеры зазора: длина L - 0,5 м,
ширина В = 0,1 м, высота Н= 0,01 м; радиус приводных барабанов R = 0.1 м.
Необходимо рассчитать нестационарное поле касательных напряжений и
скоростей в жидкости, а также зависимость от времени суммарной мощности,
подводимой к приводным барабанам.
Решим данную задачу в одномерной постановке, пренебрегая концевыми
эффектами. Как и в примере 9.4, уравнение движения в напряжениях имеет вид
(9.46).
Реологическая характеристика (9.54) не дает однозначной информации о
величине касательных напряжений в случае тстО, что сильно затрудняет
решение задачи о движении жидкости Шведова-Бингама при задании на
границах скоростей жидкости и неизвестных касательных напряжениях. В
403
данном примере эта проблема снята заданием НУ и ГУ для касательных
напряжений, а также НУ и ГУ на одной из границ — для скорости.
Уравнение (9.54) не дает однозначного определения касательных
напряжений т в случае dw/dy = 0. Однозначная форма задания реологической
характеристики жидкости Шведова-Бингама следует из уравнения (9.54) и имеет
вид
ди
ду
т-тО „
----, т>тО;
й
О, т<тО.
(9.55)
Построим ДУЧП движения в напряжениях, исключая скорость сдвига из
уравнения (9.46). Продифференцируем первое из уравнений (9.54) по времени,
поменяв затем порядок дифференцирования в правой части (по условию
вязкость жидкости постоянна):
дт д | дм А д (ди
— = -1 и— = ц— —
dt дН ду I ду(дг
(9.56)
Уравнение (9.56) показывает, что нестационарность касательного напряжения
обусловлена поперечным градиентом ускорения жидкости (действительно,
404
очевидно, что в данной задаче другой физической причины увеличения
касательных напряжений во времени нет). В отличие от первого из уравнений
(9.54), оно справедливо и при т < тО.
Подставим в правую часть уравнения (9.56) скорость сдвига, выраженную
из уравнения движения (9.46), в результате получим
Эт Э [ 1 Эт
— - —
dt ду 1 р ду
Учитывая, что плотность жидкости постоянна, находим окончательно уравнение
диффузии для касательных напряжений*
Эт Э2т
Э/ ду2
(9.57)
Соотношение (9.57) показывает, что локальное изменение касательных
напряжений во времени происходит за счет их "молекулярной" диффузии вдоль
оси у с коэффициентом диффузии V. Отметим, что уравнение (9.57) справедливо
Интересно заметить, что использованный здесь прием построения уравнения
диффузии для касательных напряжений легко обобщается на потоки теплоты и
вещества, в том числе в векторном виде.
Закон сохранения энергии при отсутствии внутренних источников теплоты имеет вид
pCdT/dt = —Aivq, (а)
где р — плотность среды; С — удельная теплоемкость; Т — температура; q —
вектор теплового потока. Для неподвижной среды справедливо уравнение Фурье
<; = -Xgrad7. (б)
Дифференцируя уравнение (б) по времени, получим
dq/dt = -X grad (г) 7/0/). (в)
Подставляя ЪТ/dt. выраженное из соотношения (а), в уравнение (в), найдем уравнение
диффузии для теплового потока
dqidt = a grad div q, (г)
где а = 7./(рС) — коэффициент температуропроводности.
Уравнение (г) позволяет решать задачи по расчету распределения тепловых потоков
при ГУ второго рода, не находя поле температур в рассматриваемой области.
405
и для ньютоновской жидкости, для жидкости со степенным законом оно имеет
более сложный вид в силу непостоянства коэффициента вязкости.
Таким образом, задача описывается ДУЧП (9.57) и реологической
характеристикой (9.55) с начальными условиями (0 < у < Н)
w(y,0)=U0, (9.58а)
т(у,О)=О, (9.586)
и граничными условиями (t > 0)
w(0,/)=U0, (9.59а)
(9.596)
KdL
М2Л- t
«-----, t<tk;
RBL tk
(9.59b)
M2A-
RBL'
t>tk.
Алгоритм решения задачи сводится к решению параболического уравнения
(9.57) с НУ (9.586) и ГУ (9.596, в), а затем — к интегрированию обыкновенного
дифференциального уравнения (9.55) с НУ (9.586) и ГУ (9.59а).
Выбирая для решения ДУЧП (9.57) простой неявный метод (см. главу 6 и
пример 6.1), без особых затруднений найдем нестационарное поле касательных
напряжений (см. Приложение 21).
Простейшим (и наименее точным) методом интегрирования ОДУ (9.55)
является метод Эйлера, однако для повышения точности воспользуемся
шахматной сеткой (рис. 9.7), определяя в целых узлах сетки касательные
напряжения, а в полуцелых узлах — скорость жидкости; кроме того, будем
определять скорость в двух целых узлах — на границах. Для удобства
обозначений при программировании перейдем от полуцелых индексов к целым.
406
Рис. 9.7. Шахматная сетка для расчета касательных напряжений (узлы -
кружки) и скоростей (узлы - кресты).
Таким образом, реологическую характеристику (9.55) можно
аппроксимировать выражениями второго порядка точности O(h2) следующим
образом;
- для узла J = 1
г11 ~
«о+^Ч'Со-'гО), ! -го । > тО;
«о,
- для внутренних узлов (/ = J - 1)
«/ 1 ^(т/-т0)’ Ы>т0;
и^, ! Ту | < тО,
(9.60а)
(9.606)
- для узла j = J + 1
407
uJ+l~
Mj, |Tj|<tO.
(9.60b)
Мощности, подводимые к приводным барабанам, рассчитаем так же, как и
в примере 9.4, и затем просуммируем. Расход жидкости определим в виде суммы
е= “о+^+Зму+м^^^ hB (961)
учитывая весовые коэффициенты 0,25 для граничных узлов (J = 0, j = J + 1) и
0,75 — для приграничных (j = 1, j = J).
Программа, реализующая вышеописанные алгоритмы, и результаты
расчета представлены в Приложении 21. Нестационарное поле напряжений
имеет распределение, характерное для решения параболических задач с
граничными условиями первого рода. Кривые распределения скорости в разные
моменты времени показывают, что вязкое течение жидкости Шведова-Бингама
вначале (до t = 0,04 с) происходит лишь в тонком слое вблизи границ, где
касательное напряжение превышает начальное сопротивление сдвигу тО, а
центральная часть движется как твердое тело. Постепенно, по мере увеличения
касательных напряжений области вязкого течения расширяются от границ в
глубь жидкости. После того как касательные напряжения повсюду превысят
начальное сопротивление сдвигу, течение становится жидкостным по всей
высоте канала. По мере стабилизации поля напряжений процесс разгона слоев
жидкости прекращается, и профиль скорости стремится к линейному.
Подводимая к системе мощность вначале быстро возрастает до момента
времени tk = 0,01 с, затем на некоторое время стабилизируется (до t = 0,04 с). То
же происходит и с расходом жидкости. Стабилизация мощности обусловлена
тем, что до момента времени t = 0,04 с в силу того, что во внутренних узлах
касательные напряжения еще не достигли начального сопротивления сдвигу тО,
профиль скорости остается неизменным (см. три слившиеся линии на графике
распределения скорости); касательные напряжения на границах при этом также
408
постоянны. После того, как жидкость начинает разгоняться, мощность и расход
жидкости плавно увеличиваются, постепенно достигая своих стационарных
значений.
Глава 10. Методы решения систем линейных
алгебраических уравнений
Задачи, описываемые ДУЧП, при численном решении сводятся к
системам алгебраических уравнений, чаще всего линейным. Наиболее полно
методы решения сеточных уравнений изложены в книгах [6, 14, 16, 17].
В данной главе рассматриваются численные методы решения системы
линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Ax = d, (10.1)
где А — квадратная матрица порядка п, т.е. размером пхп;
х = (%1,х2,х„) — искомый вектор;
d = (di, d2, , dn) — заданный вектор.
Предполагается, что определитель матрицы А отличен от нуля, так что решение
СЛАУ (10.1) существует и единственно. Большинство вычислительных задач
приводит к СЛАУ с большим порядком матрицы А. Известно, что решать СЛАУ
можно, как минимум, двумя способами: либо по формулам Крамера, либо
методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса). При
больших п первый способ требует порядка и! арифметических действий, тогда
как метод Гаусса — примерно 2п3/3 действий, т.е. для и >4 метод Гаусса
экономичней. Поэтому метод Гаусса в различных вариантах широко
используется при численном решении задач линейной алгебры.
Методы численного решения системы (10.1) делятся на две труппы:
прямые и итерационные. В прямых (или "точных") методах решение системы
(10.1) находится за конечное число арифметических действий. К прямым
методам относятся метод Гаусса, метод оптимального исключения, метод
окаймления, метод отражений, метод ортогонализации, метод Жордана и другие.
Отметим, что вследствие погрешностей округления при решении задач на ЭВМ
прямые методы на самом деле не приводят к точному решению системы (10.1).
Сопоставление различных прямых методов проводится обычно по числу
арифметических действий, необходимых для получения решения. Для решения
410
хорошо обусловленных СЛАУ (см. п. 10.3) метод Гаусса является одним из
лучших. Для систем специального вида, содержащих много нулевых элементов,
существуют специальные виды, среди которых особенно популярен метод
прогонки (см. п. 10.2). К матрицам специального вида (трехдиагональным с
постоянными коэффициентами) применим весьма экономичный метод редукции
(см. [15, с. 418]).
Итерационные методы (называемые также методами последовательных
приближений) состоят в том, что решение х СЛАУ (10.1) находится как предел
при к —> »= последовательных приближений х^к\ где к — номер итерации.
Вычисления проводят до тех пор, пока не будет выполнена оценка
|х^-х|<е, (10.2)
где е — некоторое малое число (заданная точность). Число итераций к = к(я)
позволяет сравнивать качество итерационных процессов.
Прямые методы применяются для систем небольшого порядка (до п ~
~ 200). Итерационные методы можно применять и для систем очень большого
порядка (до п ~ 103 ч-105).
При решении нелинейных ДУЧП разностными методами получаются
СЛАУ с переменными коэффициентами, зависящими от искомых функций.
Применение прямых методов к таким СЛАУ неэкономично, т.к. уравнения
решаются с неоднократно уточняющимися коэффициентами, и поэтому в
данном случае также используют итерационные методы.
10.1. Метод Гаусса
Запишем систему (10.1) в развернутом виде:
+ ^13^2 + ~ ^1 ’
^21-4 + ^22-^2 + + @2п-Хп = ^2 ’ (10.3)
а„1%1 + а„2х2 + ... + а,„д„ = d,
411
Метод Гаусса решения системы (10.3) состоит в последовательном
исключении неизвестных х2, ..., х„ из этой системы. Предположим, что
«и Ф 0. Поделив первое уравнение иа ап, получим
-Ч + с12х2 + - + <!Л = Ь} , (10.4)
где с = aXj !ах j, j = 2,..., и, bi = di/au.
Заметим, что коэффициент при Xi в уравнении (10.4) равен 1. Теперь
рассмотрим оставшиеся уравнения системы (10.4):
anXj + а,-2х2 + ... + ajnxn = dj, i = 2, 3, ..., п. (10.5)
Умножим (10.4) на ац и вычтем полученное уравнение из i-ro уравнения
системы (10.5), исключая тем самым переменную Xi из всех уравнений этой
системы. В результате получим следующую систему уравнений:
Х| + Cj2X2 + ... + CjyX, + ... +clnxrl = bi,
°22(1)jc2 + + a2ji)xj +•• + а2п(1)ди = ^2(П > (10.6)
„ <4 4. + n «1.4. rnr - J 0)
an2 x2 + ••• + +... + ann Xn — un
Здесь агуР = —СцОц, d-1^ = d, -у^ац, i,j = 2, 3, ..., n.
Матрица системы (10.6) имеет вид
1 с12 ... с1п
0 я® а!1)
0 о(1) «(1)
и сп2 ... апп
Структуру такой матрицы принято обозначать так:
1 х ... х
0 х ... х
J
0 х ... х
412
где крестиками обозначены ненулевые элементы. Поскольку в системе (10.6)
неизвестное х, содержится только в первом уравнении, в дальнейшем можно
обрабатывать укороченную систему уравнений
а22<1>Л'2 + ... + «2./1>Л} + + a2ri'}xn = ^2(1> ’ (10.7)
_ (D „ (Dv . . „ (l)v _ (1)
°я2 х2 ••• anj ^ + — + апп хп ~~
Таким образом, мы осуществили первый шаг метода Гаусса. Если
с22<1)^0, то из системы (10.7) совершенно аналогично можно исключить
неизвестное х2 и придти к системе, эквивалентной (10.3) и имеющей матрицу
следующей структуры:
1 х х ... х
0 1 х ... х
0 0 х ... х
0 0 х ... х
Исключая аналогичным образом неизвестные х3,х4, ...,х„, придем окончательно
к системе уравнений вида
Х1 + с12х2 + — + с1пхп =У1 ’
х2 + ... + с2пхп = b2 , (10.8)
-^и-1 *-'п-1,пхп ~ ^п-1 >
*п = Ьп >
эквивалентной исходной СЛАУ (10.2). Матрица этой системы
1 с12 • •• с1,и-1 с1п
0 1 •• с2,п-1 С2П
с = (Ю.9)
1 сп-1,п
0 0 . 0 1
413
содержит нули всюду ниже главной диагонали. Матрицы такого вида называют
верхними треугольными матрицами.
Получение системы (10.8) составляет прямой ход метода Гаусса.
Обратный ход заключается в последовательном нахождении неизвестных
х,„ х„_ |, из системы (10.8), начиная с последнего уравнения:
хп = бп , Хп_j = bff.y — Сп—УпХп ' и Т.Д.
Общие формулы обратного хода имеют вид
п
Xj-b,- ^CijXj, i = n—1......1, xn = b„. (10.10)
j=/+l
Алгоритм расчета no методу Гаусса
Для решения СЛАУ на компьютере по методу Гаусса нет необходимости
оперировать переменными Хь х2, ..., х„. Достаточно лишь указать алгоритм
преобразования матрицы А к верхнему треугольному виду (10.9) и вектора d к
вектору Ь, и лишь затем найти искомое решение по формулам (10.10).
В прямом ходе Гаусса коэффициенты уравнений преобразуются по
следующему правилу (выкладки см., например, в [15, с. 51-52]):
= akj > k,j = 1,2, ..., и, (10.11)
j = к+1, к+2,..., п; k=l,2, ...,n, (10.12)
a^+i^ =а^—с^а(^, i,j=k+l,k + 2,...,n; к- 1, 2,..., n- 1. (10.13)
Вычисление правых частей осуществляется по формулам
4<Щ = 4, к=1,2,...,п, (10.14)
акк
d(k) =d(k~l)-bka£~l), i-к+1, к+2,... ,п. (10.15)
Внешний цикл должен осуществляться по к (номер исключаемой
переменной), внутри него в первом блоке вложен расчет по формуле (10.14) и
414
цикл по j (номер переменной в каждом из уравнений системы), содержащий
расчет по формуле (10.12). В следующем блоке вложен цикл по i, в котором
происходит расчет по формуле (10.15) и во вложенном цикле по j — по формуле
(10.13).
Обратный ход осуществляется по формулам (10.10).
Замечание. Основным ограничением метода Гаусса является
предположение о том, что все элементы яа<1-1) (называемые ведущими
элементами), на которые проводится деление, отличны от нуля. Даже если
какой-то ведущий элемент не равен нулю, а просто близок к нему, в процессе
вычислений может происходить сильное накопление погрешностей. Выход из
этой ситуации — использование метода Гаусса с выбором главного элемента
(см., например, [15, с. 60]). Именно этот метод решения СЛАУ и используется
как стандартный во многих математических пакетах, таких как MathCAD [3].
10.2. Метод прогонки
Применение разностной схемы к уравнениям в частных производных на
заданной сетке приводит к СЛАУ, которая должна решаться на каждом шаге по
времени. В задачах гидродинамики, тепло- и массопереноса часто оказывается,
что матрица коэффициентов является трехдиагональной, в которой отличны от
нуля только элементы главной диагонали и прилегающих к ней двух диагоналей;
остальные элементы равны нулю:
O * ’ • о $ о 5 Jr-" Jr- г? О J? о • о о о £ 1 я1" 1 «Р tj. у о • • • о i~ 1 X х2 = • • • J 1 1
Такие системы обычно записывают в каноническом [17, с.133] виде
ajXj_i ~bj*j + t'/j+i = dj’ J = 1’ ’,l’ °i=c« = 0- (10.16)
415
Для решения системы (10.16) используют метод прогонки* (точнее,
трехточечной прогонки', о двухточечной прогонке см. в книге [21, с. 67]; в
монографии [4] даны понятия левой, правой и встречной прогонок, а также
потоковой, циклической и матричной прогонок). Мы рассмотрим так
называемую правую трехточечную прогонку.
Метод прогонки является частным случаем метода Гаусса, и применяется
к уравнениям типа (10.16). Прямой ход метода (без выбора главного элемента)
сводится к исключению элементов а* в каждой строке. В результате получается
треугольная система, содержащая в каждом уравнении только два неизвестных,
Xj и Xj+j , т.е. исходная матрица коэффициентов приводится к виду
1 ... 0 0
0 1 £2 ... 0
.................. 1
О О ... О 1
Обратный ход выполняется как обычно в методе Гаусса по формулам (10.10) и
благодаря наличию всего двух диагоналей в матрице Е сильно упрощается.
Покажем, как можно получить формулы прогонки. Предположим, что
имеет место рекуррентное соотношение
xj ~ £у+1 -*7+1 + ^>+1
(10.17)
с неизвестными коэффициентами ^-+1, Т)у-+1. Подставляя в формулу (10.16)
выражение t Xj + Г)у, получим
(aj - xj + aj Л/ + ci ХН1 = dj'
Учитывая соотношение (10.17), находим
~ bj) 5/+1 "* fyl Xj+1 + ®j Д/ + ~ By+i - dj •
В зарубежной технической литературе этот метод иногда называют методом Томаса
416
Это уравнение выполнено для. любых xj, если одновременно выполняются
равенства
+ aj ^7+ ^aJ
Отсюда легко получить рекуррентные соотношения для вычисления §7+1, г)7+1:
(10.18)
(10.19)
называемые формулами прямого хода {прямой прогонкой}. Обратный ход
{обратная прогонка) заключается в использовании рекуррентной формулы
(10.17) с уменьшающимся индексом; j = п , п - 1,..., 1.
Вычисления по формулам прогонки (10.17)-(10.19) требуют всего Зп
ячеек памяти и 9н арифметических действий, что гораздо экономичнее общего
метода исключения. Достаточным условием существования и единственности
решения системы (10.16) и устойчивости метода прогонки является выполнение
условия преобладания диагональных элементов
|fc7|>j«y| + |c7| ,
(10.20)
причем хотя бы для одного j должно иметь место строгое неравенство.
Метод прогонки можно обобщить и на вырожденные системы,
содержащие более трех диагоналей [14, с. 243]. Рассмотрим здесь способ
преобразования четырехдиагональной матрицы к трехдиагональной для
последующего решения преобразованной системы трехточечной прогонкой
(10.17)-(10.19).
Пусть требуется решить "четырехдиагональную" систему уравнений
(10.16а). Чтобы избавиться от дополнительной диагонали с элементами е,,
нужно выполнить дополнительный прямой ход, исключая во всех строках
переменную хр^, продвигаясь сверху вниз, от j = 3 до j = п.
417
- b\ q 0
a2 ~ ^2 c2 0
6’3 0
0 e4 «4 - Z?4 c4 0
0
0 ей„! «,гЧ
0 0 en
(10.16a)
Для этого из второго (j - 1 = 2) уравнения системы (10.16а) выразим Xj2 = q
и подставим его в третье (j = 3) уравнение системы, получив рекуррентные
выражения для коэффициентов преобразованной матрицы:
A^q + ^Д-ь C} = Cj, j = 3, ...,n, (10.19a)
где ^, = qZAj_i. Заметим, что для j-3 в правую часть подставляют
непреобразованные значения, т.е. а2, b2, с2, d2.
Преобразованная система с матрицей, содержащей диагонали А, В, С и
правой частью D, решается далее, как обычно, трехточечной прогонкой
(10.17)-(10.19). Отметим, что включение дополнительного прямого хода
(10.19а) приводит к увеличению числа выполняемых операций на 80% по
сравнению с обычной трехточечной прогонкой.
Примеры программной реализации различных вариантов трехточечной и
четырехточечной прогонки представлены в Приложении 22.
10.3. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений
10.3.1. Устойчивость систем линейных алгебраических уравнений
При использовании численных методов решения ДУЧП необходимо
различать свойства самой задачи и свойства вычислительного алгоритма,
предназначенного для ее решения. Для каждой математической задачи принято
рассматривать вопрос о ее корректности. Говорят, что задача поставлена
418
корректно, если ее решение существует, единственно, и если оно непрерывно
зависит от входных данных. Последнее свойство также называют
устойчивостью относительно входных данных.
Корректность исходной математической задачи еще не гарантирует
хороших свойств численного метода ее решения. Поэтому для корректно
поставленных задач свойства численных методов должны изучаться особо.
В настоящем параграфе вопросы корректности исходной задачи и
численных алгоритмов ее решения рассматриваются на примере СЛАУ (10.1) с
квадратной матрицей А порядка п. Известно, что для каждого «-мерного
вектора d решение задачи (10.1) существует тогда и только тогда, когда
det А Ф 0. В этом случае можно определить матрицу А *, обратную матрице А, и
записать решение в виде
x = A"V. (10.21)
Чтобы убедиться в корректности задачи (10.1), необходимо еще
установить непрерывную зависимость решения от входных данных. Входными
данными здесь следует понимать правую часть d и элементы ац, i,j= 1,2, ..., п
матрицы А. Соответственно различают устойчивость по правой части (когда
возмущается только правая часть d, а матрица А остается неизменной), и
коэффициентную устойчивость (когда возмушается только матрица А, а правая
часть d остается неизменной).
Для выяснения непрерывной зависимости решения от входных данных
будем считать, что и решение, и правая часть задачи (10.1) принадлежат
линейному пространству Н, состоящему из «-мерных векторов. Введем в этом
пространстве норму | • 1| (см. главу 2), конкретный вид которой сейчас не имеет
значения.
Нормой матрицы А, подчиненной данной норме вектора, называется
число
IАх i
И = sup L < (10.22)
0*хсН ll-Ч
419
Из определений нормы и (10.22) следует, что | Ах | < || A j || х || для всех
хе.Н-, |Л + В||<|| Л|+||В||, j ЛВ||<|Я|| |В|| для любых матриц А, В; ||.Е,|| = 1,
где Е — единичная матрица.
Наряду с основной системой (10.1) рассмотрим "возмущенную систему"
Ax=d, (10.23)
которая отличается от (10.1) лишь правой частью, а в матрицу А пока
возмущения не вносятся. Нас интересует, насколько сильно может измениться
решение в результате изменения правой части. Обозначим абсолютные
погрешности решения и правой части соответственно
8х = х — х, 8d = d —d.
Говорят, что система (10.1) устойчива по правой части, если при любых d, d
справедлива оценка
||8х|<Л/1|1&/|, (10.24)
где Mi > 0 — постоянная, не зависящая от правых частей d, d . Оценка
(10.24) выражает факт непрерывной зависимости решения от правой части, т.е.
показывает, что } 8.r j —> 0 при |i 8d | —> 0. Устойчивость по правой части очень
важна при численном решении СЛАУ, т.к. почти никогда нельзя задать правую
часть точно, в частности, из-за ошибок округления.
Легко показать, что если det А Ф 0, то система (10.1) устойчива по правой
части. Действительно, из (10.1) и (10.23) следует уравнение для погрешности
Л(8л)=8</,
откуда можно получить
8х = Л-1(84/),
420
|| 8х | < | Л-11|| 8i/1,
(10.25)
т.е. выполняется условие (10.24) с константой М\
= | А 11| . Важно заметить, что
чем ближе к нулю определитель матрицы А, тем больше постоянная Л/], и,
следовательно, тем сильнее погрешность правой части может исказить искомое
решение.
Легко представить геометрическую интерпретацию этого факта,
например, для матрицы А порядка 2, для которой det А = 0. На плоскости такая
система изображается почти параллельными прямыми, так что небольшое
изменение наклона (коэффициентная устойчивость) или сдвиг одной из прямых
(устойчивость по правой части) сильно меняют положение точки пересечения.
10.3.2. Число обусловленности
При решении системы на ЭВМ более естественными характеристиками
точности решения являются не абсолютные, а относительные погрешности
НИ НМ
IM’ИГ
Получим оценку, выражающую относительную погрешность решения через
относительную погрешность правой части. Для этого используем неравенство
мыинч
(10.26)
вытекающее из уравнения (10.1) и следствия i| Лх|<|| Л|| ||х|| из (10.22).
Перемножив (10.25) и (10.26), получим искомую оценку
(10.27)
где
(10.28)
421
Число МА , входящее в эту оценку, называется числом обусловленности /
матрицы А и характеризует степень зависимости относительной погрешности /
решения от относительной погрешности правой части. Матрицы с большим
числом обусловленности МА называют плохо обусловленными матрицами. При
численном решении систем с плохо обусловленными матрицами возможно
сильное накопление погрешностей.
Отметим следующие свойства числа обусловленности:
1. МА>\.
2. МА> |Хпшх(Л)|/1Zmin(A)|, где AmiK(A), Amin(A)— соответственно наи-
большее и наименьшее по модулю собственные числа матрицы А.
3.
Примеры матриц с большим и малым числом обусловленности и их
геометрическая интерпретация представлены в Приложении 23. Матрица А
плохо обусловлена: ее определитель равен 0,001, а число обусловленности
МА - 7,2x104; прямые, построенные по коэффициентам матрицы А, практически
совпадают. Матрица В хорошо обусловлена: ее определитель равен 11, а число
обусловленности Мв = 5; точку пересечения прямых, построенных по
коэффициентам матрицы В, легко найти на графике.
10.3.3. Полная оценка относительной погрешности
Предположим теперь, что в системе (10.1) возмущены как правая часть,
так и коэффициенты. Рассмотрим возмущенную систему
Ax=d (10.29)
и обозначим §А = А- А, 8х = х - х, 8с/ = d -d.
Справедлива следующая теорема, дающая оценку полной погрешности.
Теорема*. Пусть матрица А имеет обратную и пусть выполнено условие
Доказательство см. в [10, с. 78]
422
!|8Л||<|Л-1Г1.
Тогда матрица А - А + 8А имеет обратную и справедлива следующая оценка
относительной погрешности:
1И< мА Г1И+1М1
|хГ1-лММ1/11<И1 1И1/
(10.30)
10.3.4. Влияние погрешностей округления при решении систем линейных
алгебраических уравнений методом Гаусса
При задании на ЭВМ исходной информации (матрицы А и правой части с!)
неизбежно вносятся погрешности округления. Поэтому при вычислениях на
компьютере метод Гаусса, относящийся к прямым методам решения СЛАУ, не
дает точного решения. Результирующая погрешность вычислений тем больше,
чем выше порядок матрицы. Кроме того, точность вычислений зависит от вида
матрицы. Например, велика погрешность при решении СЛАУ с определителем,
близким к нулю.
На практике обычно требуется, чтобы результирующая погрешность
вычислений находилась в пределах заданной точности. Для этого следует
проводить анализ влияния погрешностей округления на точность алгоритма.
Полный анализ весьма трудоемок, поэтому здесь мы ограничимся лишь
основными сведениями, следуя книге [15]. Для большинства вычислительных
алгоритмов влияние погрешностей округления можно учесть, рассматривая
возмущенную систему (10.29). Считают, что решение системы (10.1),
искаженное погрешностями округления, совпадает с точным решением
некоторой системы (10.29).
Предположим для простоты, что правая часть d задана точно. Пусть в
результате погрешностей округления вместо точного решения системы (10.1)
получено точное решение возмущенной системы
Ах =d.
(10.31)
423
В этом случае матрица 8Я = А - А называется матрицей эквивалентных
возмущений. Каждому вычислительному алгоритму соответствует своя матрица
эквивалентных возмущений. Если известна оценка нормы матрицы 8А, то
погрешность, возникшую в результате погрешностей округления, можно
оценить согласно (10.30), учитывая, что 8d = 0, а именно
[|*-*| МА |8Л |
“FT ~ 1-лМЙ1/М|)Й~'
Отсюда видно, что на точность решения влияют два фактора:
1. Число обусловленности матрицы А;
2. Эквивалентное возмущение || 8А |/| А ||.
Чем больше числа МА и 18А |/| А ||, тем меньше точность решения.
Подчеркнем, что число обусловленности не связано с каким-либо численным
алгоритмом, а характеризует только свойства исходной системы (10.1).
Величина эквивалентного возмущения, напротив, определяется численным
алгоритмом. Поэтому при рассмотрении конкретных алгоритмов необходимо
получать оценки соответствующих эквивалентных возмущений.
Пусть t — число разрядов мантиссы в двоичном представлении чисел на
ЭВМ с плавающей запятой, так что относительная погрешность округления
действительного числа есть величина порядка Т'. Тогда для эквивалентного
возмущения метода Гаусса верна оценка
где и — порядок матрицы.
Таким образом, в результате накопления погрешностей округления при
решении СЛАУ методом Гаусса на ЭВМ с плавающей запятой искомое решение
определяется с относительной погрешностью
424
о(мл-п-2~{\ (10.32)
Отметим, что при использовании простого формата действительных чисел
t —12
в современных компьютерах величина 2 равна приблизительно 10 .
Рассмотрим характерный пример, приведенный в [15].
Пример 10,1, Пусть методом конечных разностей решается краевая
задача
и*(х)=-/(х), 0<х< 1, w(0) = н(1) = 0. (10.33)
Введем сетку соА = {х,- = ih, i = 0,1,..., N } hN = 1, и заменим (10.33) разностной
аппроксимацией второго порядка точности
ui+^2llj+ui-i i= 1,2,...,N-1, п0 = и„ = 0. (10.34)
h
Казалось бы, чем меньше возьмем шаг h, тем точнее получим решение задачи
(10.33). Однако порядок п = N- 1 СЛАУ (10.34) обратно пропорционален шагу
h. Это значит, что уменьшение шага h приведет к увеличению погрешностей
округления, и при некотором значении h погрешности округления могут
превзойти погрешность разностного метода, пропорциональную h2.
Найдем порядок шага h, при котором погрешность округления еще не
превосходит погрешность метода, используя оценку (10.32). Поскольку матрица
А симметрична и положительно определена, ее число обусловленности равно
отношению максимального собственного числа к минимальному, т.е.
^=U(A)MM.
Известно (см. [15, с. 39]), что для данной матрицы
з /ах- 4 . 2 л/г 4 2 л/г
/‘inin(A) - sin /"hkix(A) ~ cos ,
h~ 2 h 2
поэтому число обусловленности
425
. . . 2 4 J 1 A
M4 = ctg —= y-2 =q T .
2 л h \h J
Отсюда видно, что при малых h система (10.34) плохо обусловлена.
Кроме того, поскольку порядок матрицы А п = О (/Г1), произведение МА п
имеет порядок по h, равный МА п = о(й-3). Таким образом, правая часть
равенства (10.32) оценивается как O^2~l h~3j.
Для того чтобы погрешность округления имела тот же порядок, что и
погрешность разностного метода, достаточно приравнять их, т.е. потребовать
2-/ й-3 = o(h2), откуда следует h = o{2~tl5). При 2? =Ю12 находим
h = 0-2,4 ), т.е. уже при шаге h < 0,001 накопление погрешностей округления
становится слишком значительным, и поэтому брать столь мелкий шаг
нецелесообразно. Использование формата чисел с двойным или тройным числом
знаков бесполезно из-за наличия погрешностей коэффициентов, и тогда
используют метод регуляризации исходной задачи (см. [17, с. 137]).
Замечание. Приведенные выше оценки справедливы и для уравнений
Пуассона и Лапласа [являющихся двух- или трехмерным аналогом уравнения
(10.33)] при их решении методом дробных шагов или методом переменных
направлений, т.к. эти методы также приводят к уравнению вида (10.34).
10.4. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических
уравнений
10.4.1. Итерационные методы Якоби и Зейделя
Для перехода к итерационным методам преобразуем предварительно
систему (10.1) к виду
V1 a‘J V* aU .
•> -Ах- 5 — х,+ —,
«й
i= 1,2, ...,и, (10.35)
при этом предполагается, что все диагональные элементы а,-, отличны от нуля.
426
Условимся считать значение суммы равным нулю, если верхний предел
суммирования меньше нижнего. Так, уравнение (10.35) при i=l имеет вид
В дальнейшем в данной главе верхний индекс будем использовать как номер
итерации.
В методе Якоби, исходя из записи системы формы (10.35), итерации
определяются следующим образом:
У °iLxm + dt
j-i+l а« а"
(10.36)
i=l, 2,..., и, т = 0. 1, ..., т0.
Начальные значения х-', i = 1, 2, ..., н, задаются произвольно. Окончание
итераций происходит либо при достижении заданной точности по условию
1</<п ।
где е > 0 — заданное число, либо по достижению заданного максимального
числа итераций т0.
Итерационный метод Зейделя задан алгоритмом
%г+1 = _.у Х-;!+1 - У , (10.37)
у=1«» j=Ma„ ati
1 = 1, 2,..., и, т = 0, 1, .... т(1.
Чтобы понять, как находятся отсюда значения x,m+1, i - 1, 2, .... и,
выпишем подробнее первые два уравнения системы (10.37):
(10.38)
В зарубежной литературе его часто называют методом Гаусса-Зейделя
427
х^=_а2кхГ1_^^хт+^2 (Ю.39)
fl22 7=3 °22 °22
Можно сказать, что здесь происходит поочередное "исключение" переменной
х/т+1: из уравнения (10.38) находят явным образом x,mtl, используя только
значения с предыдущей итерации; при расчете х2“и по уравнению (10.39)
чх m+l v
также задействованы только что найденное х} и значения с предыдущей
итерации. Таким образом, компоненты х; вектора х находятся из
уравнения (10.37) последовательно, начиная с i = 1.
Рассмотрим использование метода Гаусса-Зейделя на примере системы
порядка п =3.
Пример 10.2. Пусть имеется система уравнений:
4xj -х2 +х3 = 4 ,
xj + 6х2 + х3 = 9 ,
-Xj + 2х2 + 5х3 - 2 .
Сначала убедимся, что наибольший по абсолютной величине коэффициент в
каждой строке находится на главной диагонали, т.е. условие сходимости метода
выполняется (см. п. 10.5), и приведем систему к виду
m+l /Л • m т\/Л
Xj = (4 + Х2 - *3 У4 ,
m+l /13 ,п+^ — т\1£.
Х2 = (9 - Xj — Х3 )/6 ,
m+l . m+l о,.
Х3 = (2+Xj -2х2 )/5.
Зададим начальные приближения для х2° и х3°. После этого в ходе описанного
выше итерационного процесса будем последовательно вычислять Xj"1+1, x2"1+1,
x3m+1, начиная с т = 0.
Программа, реализующая алгоритм Зейделя, представлена в Приложении
24. Заданная абсолютная точность tol = 10 5 для данной системы достигнута за
5 итераций. В качестве проверки используется сопоставление итерационного
решения х с "точным" решением X, найденным по методу Гаусса; кроме того,
рассчитана невязка у = Ах - О, максимальная невязка примерно равна tol.
428
Теперь рассмотрим ту же систему, поменяв в ней местами первое и второе
уравнения, т.е. попытаемся решить ее в виде
xj + 6х2 + х3 = 9 ,
4х1 - х2 + %з = 4 ,
—x j + 2х2 + 5х3 = 2 .
Кажется парадоксальным, но для этой системы метод Зейделя расходится! (см.
Приложение 24). Причиной тому является нарушение условия сходимости
(10.50) (см. п. 10.5).
Отметим, что для выполнения одной итерации может потребоваться до н2
операций, однако для сильно разреженных матриц объем вычислений
существенно сокращается.
Метод Гаусса-Зейделя может быть существенно улучшен с помощью
последовательной верхней релаксации (ПВР), когда х"‘+1 определяется как
средневзвешенная величина по отношению к x”'+i и найденной по методу
Гаусса-Зейделя величиной (х,т+1)гз- Таким образом, схему ПВР можно записать
в виде
х'н+1 = со(х'"+‘ )п + (1 _ ,
где со — параметр релаксации. Для сходимости метода ПВР должно
выполняться условие 0 < со < 2 (применение метода ПВР см. в главе 7).
10.4.2. Матричная запись методов Якоби и Зейделя
Для исследования сходимости итерационных методов их удобно записать
в матричной форме. Матрицу А представляют в виде суммы трех матриц
A = A)+D + A2, (10.40)
где D = diag |ац, а22,..., ат] — диагональная матрица с той же главной
диагональю, что и матрица А, матрица Ai — нижняя треугольная и матрица
А2 — верхняя треугольная с нулевыми главными элементами.
Например, при п = 3 матрицы D, Аь А2, имеют вид
429
«и 0 0 ' 0 0 О' 0 «12 «13'
D = 0 а22 0 > А- «21 0 0 , а2- 0 0 «23
. 0 0 «зз «31 «з2 0j 0 0 0
Система (10.1) в форме (10.35) может быть представлена в виде
матричного уравнения
x = -D lAtx-D 1A2x+D ld.
Отсюда легко увидеть, что метод Якоби (10.36) в матричной записи имеет вид
xm+i = -ТГЦх'" - D~lA2xm + D~ld,
или, что то же самое,
Dxm+l + (Al+A2)xn'=d. (10.41)
Метод Зейделя (10.37) записывается в виде
х'"+1 = -D~lAixm+i -D~lA2xm +D~ld,
ИЛИ
(D + Al}xm+l + A2xm = d. (10.42)
С учетом (10.40), формулы (10.41) и (10.42) можно переписать
соответственно в виде
D(xm+i-xm)+Axm = d, (10.43)
(£> + Я1)[х'и+|-х'")+Яхт = </. (10.44)
Из этих уравнений видно, что если итерационный метод сходится (т.е. если при
увеличении т какая-либо норма, например, чебышевская max |хй’+1-х'”|,
стремится к нулю), то он сходится к решению исходной системы уравнений
(10.1).
Часто для ускорения сходимости итерационных методов вводят
итерационные параметры, которые зависят, вообще говоря, от номера итерации.
430
Например, в методы (10.43) и (10.44) можно ввести итерационные параметры
Vm+i следующим образом:
(D + aJ-------- + Axm = d.
Vm+I
Выбор итерационных параметров определяется условиями сходимости. В
теории итерационных методов решают два типа вопросов: 1) при каких
значениях параметров метод сходится; 2) при каких значениях параметров
сходимость будет наиболее быстрой (соответствующие параметры называются
оптимальными). В главе 7 вопросы выбора оптимальных итерационных
параметров уже затрагивались.
Методы Якоби и Зейделя относятся к одношаговым итерационным
методам, когда для нахождения х"'+1 требуется помнить только одну
предыдущую итерацию хт. Многошаговые итерационные методы используют
значения и на более ранних итерациях, т.е. xm+1 = F (хт,х"'1,...,х"’к).
10.4.3. Каноническая форма одношаговых итерационных методов
Для унификации форм записи итерационных методов используют
каноническую форму одношаговых итерационных методов в виде
тА_ т
В,п+\---------l-Axm = d, т = 0, 1, ..., т0, (10.45)
где Bm+i — матрица, задающая тот или иной итерационный метод.
Итерационный метод называют явным если Bm+l -Е, и неявным, если
Bm+i Ф Е, где Е — единичная матрица. Преимуществом неявных методов
является более быстрая сходимость. Простейшим неявным является метод
Зейделя.
431
Итерационный метод называют стационарным, если Вт+1 -В u \|zm+) = у
не зависят от номера итерации, и нестационарным — в противоположном
случае.
10.4.4. Примеры итерационных методов
Методом простой итерации называют явный стационарный метод
-------— + Axm = d. (10.46)
V
Явный нестационарный метод
и?+1 _ т
-------— + Axm = d (10.47)
Vm+1
называют итерационным методом Ричардсона.
Метод верхней релаксации* (см. также п. 10.4.1 и главу 7)
vm+l_ т
(D+faAi)------~—~ + Axm=d (10.48)
о
является обобщением метода Зейделя. Здесь <л > 0 — заданный числовой
параметр (параметр релаксации). Доказано, что в случае симметричной
положительно определенной матрицы А метод (10.48) сходится при 0 < О) < 2.
На практике при выборе того или иного итерационного метода одним из
решающих является вопрос о сходимости метода, к которому мы и перейдем в
следующем параграфе.
10.5.0 сходимости итерационных методов
Говорят, что одношаговый стационарный итерационный метод
mil _ т
В----------VAx'n = d, т = 0, 1, ...
V
(10.49)
Иногда различают верхнюю (1 < ш < 2) и нижнюю (0 < О) < 1) релаксацию
432
решения СЛАУ (10.1) сходится; если хт — х —> 0 при т —> <=<=. Под нормой
вектора х при этом чаще всего понимают среднеквадратичную норму
Доказано (см., например, [15, с. 86-95]), что:
1. Метод Якоби сходится в случае, когда А — симметричная положительно
определенная матрица с диагональным преобладанием.
2. Метод верхней релаксации в случае симметричной положительно
определенной матрицы А сходится при 0 < ы < 2. В частности, метод
Зейделя (о)= 1) сходится.
3. Метод простой итерации в случае симметричной положительно
определенной матрицы А сходится при условии у < 2/Хтах , где Х,пах —
максимальное собственное число матрицы А.
Важное для практических вычислений достаточное условие сходимости*
метода Зейделя звучит так: метод Зейделя сходится, если в каждом уравнении
абсолютная величина коэффициента, расположенного на главной диагонали,
больше или равна сумме абсолютных значений остальных коэффициентов
уравнения, т.е.
п
1^'1- Х|аИ’ 7=1’2, ...,и, (10.50)
причем строгое неравенство выполняется хотя бы в одном уравнении.
При использовании итерационных методов важен не только сам факт
сходимости, но и скорость, с которой приближенное решение стремится к
точному.
Если для погрешности итерационного метода выполняется оценка вида
(здесь хт означает вектор, полученный на иг-й итерации, a qm — q в степени т)
В зарубежной литературе его называют критерием Скарбороу [28]
433
|xm-x|ji<<?m|x0-x|ji> m = 0, 1,...,
(10.51)
где x° — начальное приближение, || • |j * — некоторая норма вектора,
то говорят, что метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со
знаменателем q.
Можно показать (15], что число итераций, необходимое для достижения
произвольной точности Е > 0, может быть выражено с учетом требования
qm < Е в виде неравенства
т > т0(Е) =
1п(1/е)
ln(l/tf)’
(10.52)
откуда следует
Таким образом, после проведения т0(Е) итераций начальная погрешность
|хр — л" ||t уменьшилась в Е 1 раз. Целая часть числа ш0(е) называется
минимальным числом итераций, необходимым для получения заданной
точности Е.
Выражение 1п(1ЛД находящееся в знаменателе числа т0(Е), называется
скоростью сходимости итерационного метода. Скорость сходимости целиком
определяется свойствами так называемой матрицы перехода и не зависит ни от
номера итерации, ни от выбора начального приближения, ни от задаваемой
точности. Качество различных итерационных методов обычно сравнивают по их
скорости сходимости.
Коснемся вопроса о скорости сходимости различных итерационных
методов на примере пятиточечной разностной схемы решения задачи Пуассона,
построенной на квадратной сетке с шагом h.
В монографии [15] показано, что метод Якоби требует O(h 2) итераций для
достижения заданной точности. Метод Зейделя сходится несколько быстрее, чем
434
метод Якоби (примерно вдвое), однако число итераций, необходимое для
достижения заданной точности, здесь также определяется величиной порядка
O(h2'). При оптимальном выборе параметра релаксации со в методе верхней
релаксации число итераций, необходимое для достижения заданной точности,
является величиной порядка O(h'). Преимущество метода верхней релаксации
состоит в существенном увеличении скорости сходимости при надлежащем
выборе параметра релаксации со. В некоторых случаях оптимальное значение
этого параметра удается найти аналитически.
Задачи
Вар. 1-12, Составить программу, реализующую заданный метод решения
СЛАУ и проверить ее на примере решения заданной системы уравнений.
Рассчитать число обусловленности и проверить невязку полученного решения.
5 -12’ Г4)
Вар. 1, Метод Гаусса. А = 2 6 1 , D = 10
-2 3 7 3 /
5 -2 О’ Г41
Вар. 2. Метод прогонки. А = 2 6 1 , D = 10
0 3 7 3 к
'5 -2 2’ Г14)
Вар. 3. Метод Якоби. А - 2 6 1 10
-2 3 7 3
’5 -12’ Г 4 А
Вар. 4, Метод Зейделя. А - 2 8 1 10
-2 3 7 3 к /
’5 -12’
Вар. 5. Метод верхней релаксации. А = 2 16 9 . О = 10
-2 3 7 3 к /
’25 -1 2
Вар. 6. Метод простой итерации. А = 2 6 1 , D = 10
-2 3 7 13 к /
435
5 -4.999 О' m
Вар. 7. Метод прогонки. А = 2 11.5 9 , d= 10
0 3 7_ 3 к
5 3 1 " Г 4 3
Вар. 8, Метод Якоби. А = 10 6,01 1,99 , D = 10
15 9 3,2 3 /
Bap. 9. Метод Зейделя. СЛАУ см. в вар. 8.
Вар, 10, Метод верхней релаксации. СЛАУ см. в вар. 8.
Вар. 11. Метод Гаусса. СЛАУ см. в вар. 8.
Вар. 12, Метод простой итерации. СЛАУ см. в вар. 8.
Приложение 1
ПРИМЕР 5,2. Решение волнового уравнения второго порядка
Число узлов по оси х I := 20 Число узлов по оси t N ;= 100
ji=O..J n:=0..N
1. Исходные данные
Скорость распространения возмущений (звука) с 1000
Длина струны L 0.5
2. Расчет констант
Предельное число Куранта
Шаг сетки по оси х
L
h - h = 0.025
J
Шаг сетки по времени
Г0.8-Гщах
rh
т := — т - 2х 10
с
3. Задание начальных и граничных условий
Граничные условия:
- слева
- справа
Начальное смещение
Начальная скорость
Р4 “0
Значения на границах:
ио.п = Ц|
uj.n := Н2
Решение на нулевом слое
•= Рз
j
Решение на первом слое
j := 1..J- 1
437
4. Численное решение методом конечных разностей
for пе 1 ..N — 1
for je 1..J- 1
u<~ u - Ввод глобальных
данных в
программный блок
Uj,n+1 2-uj>n — u^n-i (uj+i — 2 Uj n + tij-ijB)
u
5. Точное решение задачи методом Фурье jо.. J
| Л-C-lh
Uj,n := Нз cos L -
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0.156 0.155 0.152 0.145 0.137 0.127 0.114 0.1 0.084 0.067
2 0.309 0.307 0.299 0.287 0.271 0.25 0.225 0.197 0.166 0.132
3 0.454 0.45 0.44 0.422 0.398 0.367 0.331 0.289 0.243 0.193
4 0.588 0.583 0.569 0.547 0.515 0.476 0.429 0.375 0.315 0.25
5 0.707 0.702 0.685 0.657 0.62 0.572 0.516 0.451 0.379 0.301
6 0.809 0.803 0.784 0.752 0.709 0.655 0.59 0.516 0.434 0.345
Максимальная невязка численного решения max(U -u,u - U) = 4.091 х 10“
438
Приложение 2
ПРИМЕР 5.3. Решение волнового уравнения первого порядка
Число узлов по оси х J := 100 Число узлов по оси t N := 60
j = 0..J
1. Исходные данные
п := 0..N
Скорость распространения возмущений с := 1
Пространственный размер расчетной области L := 1.0
2. Расчет констант
Число Куранта г := 0.5
Шаг сетки по оси х
L
h — h = 0.01 х; := i-h
J J
Шаг сетки по времени
г h -3
т := — т - 5Х io tn n-'C tN = 0.3
с
3. Задание начальных и граничных условий
Начальное условие
Граничное условие слева:
Решение на нулевом слое
Значения на левой границе:
«j,0 У-2
4. Численное решение методом конечных разностей
А. Схема "явный левый уголок"
L и <— и - Ввод глобальных
for не 0..N- 1 данных в
„ программный блок
for j е 1.. J
uj,n+1 uj ,п ~ r’ (uj ,n ~ uj-1 ,n) c-h
vA:=——(1 —г)
u 2
vA = 2.5 x 10 3
В. Схема Лакса
uB :=
for ne 0..N - 1
for je 1 ..J— 1
vB :=
c-h / 2'
— 11 -r .
2-r
vB = 7.5x 10 3
uj,n+i *- — («jrl,n + Ч-l,n) ~ “uj-l,n)
UJ.n+l <- UJjn- - UJ-l.n)
439
С. Схема "неявный левый уголок'
иС :=
и<- и
for пе О.. N — 1
for je 1..J
Uj ,n + Г Uj—1 э n+1
Uj.r+I <-------—---------
vC:=^(l+r) vC = 7.5xl0-3
D. Схема "неявный правый уголок" rD - 1.5 (!!!)
uD :=
u<— и
for ne 0..N- 1
for jG 0.. J— 1
(rD l)'Uj,n+l +Uj,n
rD
vD := ^~-(rD - 1) vD = 2.5 x 10 3
rD := tD - 0.015
c
N-t
ND ~------
tD
tDn := li-tD IDnd = 0.3
5. Точное решение
0 if Xj > c-tn
1 otherwise
440
Приложение 3
ПРИМЕР 5.4. Сравнение методов первого и второго порядка
точности для линейного уравнения переноса
I. Решение задачи Коши
Число узлов по оси х J — 100 Число узлов по оси t N := 6
ORIGIN := -J j := -J.. J
n := 0.. N
1. Исходные данные
Скорость распространения возмущений с := 1
Пространственный размер расчетной области L := 2.0
2. Расчет констант
Число Куранта г := 0.5
Шаг сетки по оси х
h := h = 0.01 Xi := j h
2J 1
Шаг сетки по времени
т - — т = 5х10~’ tn-пт tN = 0.03
с
3. Задание начальных условий
Начальное условие
Р2. = 0 Н2 = 1
I о
Решение на нулевом слое
4,0 := ^2
4. Численное решение методом конечных разностей
А. Схема "явный левый уголок"
иА:=
и <— и
for п G 0.. N - 1
for je-J+1.. J
41 n+i*— Uj t n ~ (4, n “ 4~ i. n)
U-J+l n+r(l + r) — LLJ+1 n
U- j, n+i <.....———----------------
u <-- u - Ввод глобальных
данных в
программный блок
и[-J] - по схеме "неявный
левый уголок”
441
В. Схема "чехарда”
иВ :=
и<- и
for пе 0.. N - 1
uj,n+l <— Uj.n“.n ~ Uj-1 ,n) +™‘(uj+l,n“" 2-Uj n + uj-l,n)
bj,n+l *“ Uj,n“r‘(uj,n~
J+i ,n+i'(l + r) — U- j+i ,n
U- J, n+1 <— ——------—-----------—-
и [J] - по схеме
"явный
левый уголок"
u[-J] - по схеме
"неявный
левый уголок"
5. Точное решение и) Г1:= i if xj=c tn
0 otherwise
for JG-J+1.. J-1
II. Решение краевой задачи
Число узлов по оси х J := 100 Число узлов по оси t
ORIGIN ~ О j:=O..J
1. Исходные данные
Скорость распространения возмущений
Пространственный размер расчетной области
2. Расчет констант
Число Куранта г := 5
Шаг сетки по оси х
h := j 11 0.01 Xj := j-h
Шаг сетки по времени
т := — т = 0.05 tj, := п-т
с
N := 10
п := 0 .. N
С := 1
L := 1.0
tN = 0.5
442
3. Задание начальных и граничных условий
Начальное условие _ Граничное условие слева:
Решение на нулевом слое Значения на левой границе:
Uj,0 •“ Ц2. ио.л *= КН"
4. Численное решение методом конечных разностей
С. Схема "прямоугольник”
и<- и
for П G 0.. N - 1
for JG О.. J — 1
Uj+1,ri+i Uj,n +
(1 ~ r)-(uj+i >П“ uj,n+l)
r+1
D. Сглаженная схема
"прямоугольник"
Параметр сглаживания - а = 0-0.5
uD(cc) :=
u<- и
for neO.. N~1
for jeO..J-l
(1 — r)-(uj+i>n — Uj,n+1)
Uj+1, n+1 <— uj, n —
for je 1.. J - 1
Uj,n+1 (1 + tt’Uj-i.n-ri+ ot-Uj+i n+i
5- Точное решение uj>n ~ |o if xj>c-tn
I 1 otherwise
443
Приложение 4
ПРИМЕР 5.5. Решение невязкого уравнения Бюргерса
(смешанная краевая задача)
Число узлов по оси х J := 50 Число узлов по оси t N := 100
j:=O..J n:=0..N
А. Задача о распространении конечного разрыва
1. Исходные данные
Пространственный размер расчетной области L 0.5
2. Расчет констант
2
Число Куранта г := 0.5 Функция F F(u) —
Шаг сетки по оси х
L
h := — h = 0.01 Xj .- j-h
J J
Шаг сетки по времени
т := г h т - 5х 10 3 tn t— n't tbj = 0.5
3. Задание начальных и граничных условий
Начальное условие ц2 = 0 Граничное условие слева: щ := 1
Решение на нулевом cnoeuj.o := ц2 Значения на левой границе: uo,п •= Hi
4. Численное решение методом Мак-Кор мака
for не 0..N — 1
for JGO..J- 1
Uj <- Uj n - r (F(uj+i,n) - F(uj,n))
Uj«- Uj n - r (f(uj,„) - F(uj-I,n))
for je 1..J
["u^n + Uj —r-(F(Uj) —F(Uj_i))]
Uj.n+1 «-----------------------------
u
5. Точное решение „
Скорость движения разрыва
u <-- u - Ввод глобальных
данных в программный блок
Предиктор (U)
U[J] - по схеме "явный
левый уголок”
Корректор (и)
Ml +Н2п
о о
с = 0.5
0 if xj > c-tn
1 otherwise
445
446
Б. Задача о деформации начального синусоидального профиля в
ударную волну
1. Исходные данные
Пространственный размер расчетной области L 0.5
2. Расчет констант
Число Куранта г:=1.0 Функция F Г(и) := ~
Шаг сетки по оси х
L
h := — h = 0.01 х; .= j-h
J J
Шаг сетки по времени
т — r h т = 0.01 tn := пт l\ = 1
3. Задание начальных и граничных условий
Размер зоны ненулевых Js := 0.2 J
начальных условий
Начальное условие
М2.
J
. / 7t -i j .
sml —± I if j < js
I Js I
0 otherwise
Граничное условие слева: рт j 0
Решение на нулевом слое uj.o := U2 Значения на левой границе: ио.п -- Pi
4. Численное решение методом Мак-Кормака
u u <— и
for пс 0..N— I
for je 0..J - 1
Uj <- Ujji - r-(F(uj+i >n) - F(uj n))
Uj«- UJ.n - r (F(uj;n) - r'(uj-l,n))
for je 1..J
Puj^ + Uj —r-(F(Uj) —F(Uj_j))]
uj.n+l <----------------------------------
u <— и - Ввод глобальных
данных в программный блок
Предиктор (U)
U[J] - по схеме "явный
левый уголок"
Корректор (и)
447
Приложение 5
ПРИМЕР 6.1. Решение одномерной задачи теплопроводности
Число узлов по оси х М := 20 TOL := 10 5
1. Исходные данные (размерности в системе СИ)
Теплоемкость материала стенки С := 600
Теплопроводность материала стенки X := 17
Плотность материала стенки р ;= 7800
Температура на наружной поверхности стенки Twl := 393
Температура жидкости на оси трубы T2f = 293
Коэффициент теплоотдачи от внутренней стенки трубы р := 1000
Начальная температура трубы То := 293
Толщина стенки трубы 8 := 510“3
Сеточное число Фурье Fo := 1
Допускаемое отклонение на соседних временных слоях (критерий стабилизации поля температур) tol := 5-10~5
2. Ввод функций пользователя
Метод прогонки (возвращает вектор решений системы линейных уравнений по
элементам трехдиагональной матрицы а, Ь, с и столбца свободных членов d; п - число
неизвестных
нумерация индексов должна начинаться от 1)
NB: Сп:= 0 Вводить обязательно !!!
Progonka(a,b,c,d) :=
О
go<~- О
n<- last(d)
for ic 1.. n
go<- bi-ai gi-i
ai-xj-i — di
------------
go
for is n,n— 1.. 2
Xj-l xpgui + Xj_l
449
3. Расчет констант
Коэффициент температуропроводности материала стенки трубы
а := а = 3.632 х 10 6
Ср
Шаг сетки по оси х
8 -4
Ах — Ах = 2.5x10
М
Шаг сетки по времени
Лх2
At :=---Fo At = 0.017
а
Масштаб разности температур
АТ := Twi - То АТ = 100
Сеточное число Био
В-Ах
Bi ~ ~-- Bi = 0.015
X
4. Задание начальных условий, расчет постоянных коэффициентов
матрицы
UO := TW] j := 1.. М Uj := То
Сумма температур в узлах - величина, пропорциональная теплосодержанию трубы
М-1
Un + им V
uj
j = i
Величина, пропорциональная начальному теплосодержанию трубы
ТСО := TC(u) TC0 = 5.91 х 103
Оценка конечного теплосодержания трубы (ори линейном распределении температуры -
для ГУ 1-го рода - точное значение)
TCk := O.5 (uo + uM)-M ТСк = 6.86х К?
Минимальное число выборок в массив U для построения графика N 20
Приращение теплосодержания трубы - критерий копирования мгновенного поля
температур в массив U
Коэффициенты трехдиагональной матрицы
j := 1..М-1 aj:=Fo bj:=l+2-Fo Cj := Fo
ам := 2-Fo Ьм := 1 + 2-Fo-(l + Bi) Cm •= 0
450
5. Блок расчета температур
UT :~
е^- 1
U-0
Time О
to<— О
и<— и
и <°>
а<— а
Ь«- b
с <— с
while е > tol
Time <— Time + At
di«—Ui - Fo-Twi
for j g 2.. M — 1
dp--Uj
dM “UM ~ 2-Fo>Bi-T2f
ul <- Progonka(a,b,c,d)
ulo<- uo
J“ — _
— V (ulj-Uj)2
M V 1
j = 0
TM<—TC(ul)
u<— ul
if TM > TCO + i-АТС v e < tol
i<— i + 1
tj <- Time
U ® 4-Ul
(t 'I
и J
и <— и - Ввод глобальных данных в
программный блок
U<0> <— и - Заполнение нулевого
столбца начальными значениями
u <- u1 - Переобозначение -
рассчитанные значения и1 считаем
новым явным слоем и
ит
{38,1}
{21,38}
t := UTo
и^ип
Время стабилизации поля температур
TotalTime := max(t)-s TotalTime = 8.138 s
451
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0.017 0.034 0.052 0.069 0.086 0.12 0.155 0.206 0.258
0 1 2 3 4 5 6 7
0 393 393 393 393 393 393 393 393
1 293 331.197 348.279 357.223 362.589 366.167 370.704 373.528
2 293 307.59 320.639 330.39 337.546 342.912 350.368 355.326
3 293 298.573 306.05 313.308 319.657 325.024 333.338 339.381
4 293 295.129 298.936 303.485 308.117 312.502 320.115 326.234
5 293 293.813 295.631 298.209 301.21 304.364 310.498 315.976
6 293 293.311 294.144 295.512 297.305 299.379 303.886 308.363
7 293 293.119 293.49 294.183 295.192 296.469 299.555 302.961
8 293 293.045 293.207 293.546 294.09 294.836 296.834 299.277
9 293 293.017 293.087 293.248 293.53 293.949 295.185 296.854
10 293 293.007 293.036 293.111 293.254 293.481 294.216 295.31
11 293 293.003 293.015 293.049 293.119 293.239 293.663 294.355
12 293 293.001 293.008 293.022 293.056 293.117 293.355 293.779
13 293 293 293.003 293.009 293.025 293.056 293.186 293.439
14 293 293 293.001 293.004 293.012 293.027 293.097 293.244
15 293 293 293 293.002 293.005 293.013 293.049 293.133
(J
i - номер записанного временного слоя (см. программный блок);
j - номер узла по оси х
452
6. Аналитическое решение методом Фурье
Число Био, рассчитанное по В-8
г от ._ ' рг _ л под
толщине стенки а
Собственные числв задачи Штурма-Лиувилля , А Л , . о
tg(A) =--- Л = Л-б
N := 50 n:=l..N в*
Уравнение для поиска
собственных чисел
f(x) tan(x) + —
for ne 1..N
x<— 7T-(n-l) + 1.001 ~
Лп«— root(f(x),x)
Начальное приближение
Поиск корней трансцендентного
уравнения
Собственные числа
Проверка найденных
решений
0
0 0
1 1.738
2 4.774
3 7.891
4 11.022
5 14.158
6 17.296
7 20.435
0
0 0
1 4.026-10 -7
2 -1.4 -10 -®
3 1.319-10 -Е
4 1.476-10 -®
5 1.784-10 -7
6 1.766-10 8
7 -9.74-10 -7
Коэффициенты фундаментальных решений
Преобразованные начальные условия
[, х Twj + Bl*T2f "I
Twi(i-^) + - - - d
1 + |
Коэффициенты
—(Tri v(0-sm(An-§)d5
An-S]n(An)-cos|An) JG
Решение вспомогательной задачи
с однородными граничными условиями
N (л \2 a t ,
Z. ' 5 . (Лп х ’I
An-e -sml------------I
I 8 I
п = 1 '
0
0 0
1 -105.104
2 ^1.363
3 -25.226
4 -18.101
5 -14.106
6 -11.552
7 -9.78
8 -8.479
9 -7.483
10 -6.697
11 -6.06
12 -5.533
453
Решение исходной задачи
Число Фурье, рассчитанное по толщине
стенки
FOi
Представление точного решения в виде матрицы
ТТЛ V л -(л*)2*0- \ L Гт \ T„l+BIT2f ]
иАм := Z, Апе sm(A„Zj)+ T„i(l-Zj) +-------------zj
В = 1
Часть решения, обусловленная НУ
Часть решения, обусловленная ГУ
Аналитическое решение исходной задачи
UA
0 1 2 3 4 5 6 7
0 393 393 393 393 393 393 393 393
1 293.951 340.95 354.708 361.309 365.367 368.183 371.927 374.366
2 288.982 308.73 324.731 334.422 340.95 345.709 352.298 356.735
3 292.888 296.389 306.361 315.067 321.884 327.278 335.268 340.95
4 295.056 293.468 297.55 303.247 308.73 313.59 321.505 327.578
5 293.039 293.041 294.242 297.123 300.71 304.385 311.145 316.859
6 291.599 293.002 293.27 294.431 296.389 298.778 303.881 308.73
7 292.981 293 293.047 293.427 294.333 295.686 299,137 302.896
8 294.083 293 293.006 293.109 293.468 294.141 296.251 298.935
9 293.011 293 293.001 293.024 293.146 293.443 294.616 296.389
10 292.1 293 293 293.004 293.041 293.157 293.753 294.842
Максимальное отклонение аналитического и разностного решений
max(U - UА, UA - U) = 9.753
454
Приложение 6
ПРИМЕР 6.2. Решение одномерной задачи нестационарной
фильтрации газа
Число узлов по оси х М := 40
1. Исходные данные - в системе СИ
Начальное давление (абс.) в трубе, Па ро := 1-105
Давление (абс.) на левом конце трубы, Па pi := 1.1105
Размер частиц порошка, м 6 := 100-10"6
Порозность зернистого фильтра е := 0.35
Геометрические размеры трубы Длина трубы, м Диаметр трубы, м L := 2 D :=0,1
Температура воздуха, К Т := 293
Вязкость воздуха, Па с р ;= 18-10"6
Молярная масса воздуха, кг/кмоль Н := 29
Универсальная газовая постоянная, Дж/(кг К) R := 8314.5
2. Ввод функций пользователя
Метод прогонки (возвращает вектор решений системы линейных уравнений по
элементам трехдиагональной матрицы а, Ь, с и столбца свободных членов d; п - число
неизвестных
нумерация индексов должна начинаться от 1) NB: Сп:= 0 Вводить обязательно !!!
Progonka(a,b,c,d) хо <-0
go <-0
п<- - last(dl
fo ie L..n
go<~ bi-ai gn
Ci go
afXj_i —dj
go
for ie n,n— 1.. 2
Xj_l Xj gi-I +Xi-I
X
455
3. Расчет констант
Коэффициент извилистости
Удельная поверхность частиц, 1/м
Константа фильтрации
:= 1+^у-1 j(l-c)’
t, = 1.428
6 4
S := — S = 6xl0
5
2
af :=--------------
2p^2S2(l-E)2
af = 1.097X Iff6
Начальная плотность воздуха, кг/мЗ
Шаг сетки по оси х
h := — h = 0.05
М
Шаг сетки по времени
h2
т ;=--------Fo т — 0.456
0.5’af-po
2
7l*D
Площадь сечения трубы f ------------
Ро:= —ро ро = 1.19
Сеточное число Фурье
Fo := 10
f = 7.854x10 3
4. Задание начальных условий
«0 := Pl j := 1 -М Uj := ро
Масса газа в поровом пространстве трубы, кг
Мс(и) :=
Начальная масса газа в поровом
пространстве трубы, кг
МС:=Мс(и) мс = 6553х1()-з
Шаг изменения массы газа в трубе
при выводе текущих давлений
к := 0.02
Лк := к
Сеточная константа
af-T
Точность вычислений
Массовый расход воздуха
через левый конец трубы
H-uo — З-ип + 4-ui — u2
G] (u) := -E f-af--------------------
R-T 2-h
Массовый расход воздуха
через правый конец трубы
„ - Н’им
G2(u) := -E-f af —
3-Um — 4-Um-I + «М-2
2-h
456
5. Блок расчета давлений по линейному варианту
UP:- Eps 4- 1
i<- 0
lime <— 0
0
u<- - u
Ggo <- G1 (u) U u while Eps > TOL u <— u - Ввод глобальных данных в программный блок
Time <— Time +1
for j G 1.. M - 1
Ji ,O J? J» ? ? 7 т £ О J t ; t - _= + UJ+1)
dl «- <h - ai-uo
ам<- 2-Q-(uM | + uM) Ьм <- 2 + 2 Q-(um-i + им' cm<~ 0 Um < 2um Особенности на левой границе Особенности на правой границе
ul 4- Progonka(a,b,c,d)
ul uo
max(ul — u,u —ul)
PO
Mt 4- Mc(ul)
u<— ul
if Mt > MC-(1 + k) v Eps i<— i+ 1 k<-k + &k tj <— Time < TOL и <“ и1 - Переобозначение - рассчитанные значения и1 считаем новым явным слоем и
U ® <—ul
Ggi<- Gl(u)
/
LI
lGg,
457
"{183,1} 1
UP = {41,183}
t := UPo
U := UPi
Время стабилизации поля давлений
TotalTime := max(t)-s TotalTime = 83.893 s
k {183,1} ,
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1.368 1.824 2.28 2.736 3.192 3.648 4.103 4.559 5.015
0 1 2 3 4 5 6
0 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1
1 1 1.092 1.093 1.094 1.095 1.095 1.096
2 1 1.084 1.087 1.088 1.09 1,09 1.091
3 1 1.076 1.08 1.083 1.084 1.086 1.087
4 1 1.069 1.074 1.077 1.079 1.081 1.082
5 1 1.062 1.068 1.072 1.074 1.076 1.078
6 1 1.055 1,062 1.066 1.069 1.072 1.074
7 1 1.049 1.056 1.061 1.065 1.087 1.07
8 1 1.043 1.051 1.056 1.06 1.063 1.066
9 1 1.038 1.046 1.051 1.055 1.059 1.062
10 1 1.033 1.041 1.047 1.051 1.055 1.058
11 1 1.029 1.037 1.042 1.047 1.051 1.054
Число шагов по времени
TotalTime
---------~ 184
't-е
Поде дявлеиий воздуха в £ю|ющкообразн0м слое
U
i - номер записанного временного слоя (см. программный блок);
j - номер узла по оси х
458
Массовый расход воздуха через левый конец трубы, кг/с
Между точками i=0 и i=1 - большой скачок расхода.
Для получения более точного графика изменения Go
желательно выводить его с шагом т, особенно на первых 5*10
шагах
Сравнение с точным решением при установившемся режиме
0
0 1.184-10 -3
1 6.272-10 -5
2 5.211-10 -5
3 4.553-10 -5
4 4.093-10 -5
5 3.749-10
6 3.478-10 -5
7 3.257-10
8 3.073-10
9 2.914-10 -®
10 2.776-10 -®
11 2.654-10 -5
12 2.543-10
13 2.443-10 -®
14 2.351-10
15 2.265-10
j := 0..М Xj := j h N := last(t) N = 182
Точное решение Pj := pi
Максимальное относительное отклонение численного
решения от точного при установившемся режиме
тах(и
-P.P-U ДО )
Р1
= 2.632x10 4
ГТ
uu := U
Массовый расход воздуха через правый конец
трубы в конечный момент времени
—12
G2(uu) = 1.36х 10
Отношение массовых расходов воздуха через правый
и левый концы трубы в конечный момент времени
® = 1.515X10
Gl(uu)
Абсолютная точность вычислении , , _i
„ „ „ tol := 10
поправки ou в нелинейном варианте, Па
459
6. Блок расчета давлений по нелинейному варианту
UP:-
Eps<— 1
i<—О
Time<- О
t«<-0
ul u
Ggo<- Ul(u)
U <0> <-u
u <— u - Ввод
глобальных данных в
программный блок
while Eps > TOL
Titre <— Time + т
s<- 0
Max<- 2-tol
while Max > tol
for je 1..M - 1
aj Qul j_i
bj 1 + 2-Q-ulj
Cj <— Qul j+i
dj <- Ulj -U, - yf (ulj-1)2 - 2-(ulj)2 + (ulj+i)2l
ам <- 2-Q-uIm-i
bM 1+ 2-Q-ulM Особенности на
см < 0 правой границе
dM <- uIm - им - Q'f (u1m-1)“ - (uIm)2 I
6u<— Progonka(a,b,c,d)
ul <— ul + 6u
S4-S+ 1
j break if s > 10
Max <— maxfbu, -6u)
„ maxful — u^-'Ul)
Eps<-----------------
Po
Mt<—Mc(ul)
u<— ul
if Mt > MC (1 + k) v Eps < TOL
i<-i + l
k«-k + Ak
tj Time
U ® «-111
Ggi«-Gl(u)
(И
Обновление значений
на s-й итерации
u <— u1 - Переобозначение -
рассчитанные значения
и1 считаем новым
явным слоем и
460
и
Gg
f {183,1} '
UP = {41,183}
t •= UPo Время стабилизации поля давлений
UN := UPi TotalTime := max(t)s TotalTime = 83.893 s
{183,1} J
0 1 2 3 4 5 6 1 8 9
0 0 1.368 1.824 2.28 2.736 3.192 3.648 4.103 4.559 5.015
0 1 2 3 4 5 6
0 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1
1 1 1.092 1.093 1.094 1.095 1.095 1.096
2 1 1.084 1.087 1.089 1.09 1.091 1,091
3 1 1.077 1.08 1.083 1.085 1.086 1.087
4 1 1.069 1.074 1.077 1.079 1.081 1.082
5 1 1.062 1.068 1.072 1.074 1.077 1.078
6 1 1.056 1.062 1.066 1.07 1,072 1.074
7 1 1.05 1.056 1.061 1.065 1.068 1.07
8 1 1.044 1.051 1.056 1.06 1.063 1.066
9 1 1.039 1.046 1.052 1.056 1.059 1.062
10 1 1.034 1.041 1.047 1.051 1.055 1.058
11 1 1.03 1.037 1.043 1.047 1.051 1.054
Число шагов по времени
TotalTime
---------= 184
T-s
UN
461
Максимальное относительное отклонение численного
решения от точного при установившемся режиме
maxCyN -P,P-UN ) =
Р1
Максимальное абсолютное отклонение численных решений
по линейному и нелинейному вариантам, Па
max(U-UN,UN-U) = 52.849
Приложение 7
ПРИМЕР 6.3. Решение двумерной задачи нестационарной
теплопроводности неявным методом переменных
направлений
Число узлов по оси х NX 20 Число узлов по оси у NY := 10
(должно быть четным)
i:=l..NX j:=l..NY
1. Исходные данные (в системе СИ)
Теплоемкость материала пластины С := 2000
Теплопроводность материала пластины X := 1.7
Плотность материала пластины р := 2800
Температура жидкости вблизи левой грани Т1 := 393
Температура жидкости вблизи “окна'' в верхней грани Т2 := 343
Коэффициент теплоотдачи от левой грани пластины pl := 6000
Коэффициент теплоотдачи от "окна" в верхней грани пластинь р2 := 4000
Начальная температура пластины
ТО := 293
Высота пластаны Н := 0.03
Ширина пластины L := 0.02
Координата края "окна" L1 := 0.01
Допуск критерия стабилизации поля температур, К 2. Ввод функций пользователя Tol := 0.1
Метод прогонки
Progonka(a,b,c,d) :=
хо<- 0
go<- о
n <— last(d)
for ie 1.. и
go<- bi - aj-gi-i
ai-xi-i - di
for ie n,n- 1.. 2
ХЦ <- Xi gi-l + Xi-l
463
3. Расчет констант
Коэффициент температуропроводности материала стенки пластины
А. -7
а •=--- а = 3.036 х 10
С-р
Шаги сетки по осям х и у
Дх:=—Ь— Дх= 1.053x10”3 Ду:=—-— Ду = 3.333x10'
NX—1 NY—1
Номер крайнего правого узла теплоизолированной части верхней
Л1
il := round!-NX I il = 10
V J
Сеточное число Фурье по оси х
Fox := 1
Шаг сетки по времени
At ;= ^L.pox д^ = з 65
О'
Сеточное число Фурье по оси у Foy := а—— Foy = 0.1
Лу2
Обобщенный коэффициент теплоотдачи на верхней грани
Р2; := if(i > П,р2.0)
Сеточные константы: BF1 = Bi1*Fox, BF2 = Bi2*Foy
Bl-Ax p2j-Ay
Bix - Bix = з 715 Biyi := 2___L max(Biy) = 7.843
BF1 := Fox-Bix BF1 « 3.715
BF2i := Foy-Biyi max(BF2) = 0.782
4. Задание начальных условий т. .
Сумма температур в узлах - функция,
пропорциональная начальному теплосодержанию пластины
NY-1 NXl NY-1 NX—1
тестах X T.,j+X
j=2 i=2 j=2 i=2
TC0 := 1C(T)
TI + T2
TCk := (NX - 1) (NY - 1) —
Ti,1 + Ti NY T1 1+Ti.ny+Tnx.i + TnX.NY
—:-------ч---:------------------:—
2 4
TC0 = 5.01 x 104 TCk = 6.293 x 104
АТС := TCk-TCO
АТС = 1.282 x 104
Шаг изменения теплосодержания пластины при выводе текущих температур
Дк := 0.1
464
5. Расчета постоянных коэффициентов трехдиагональной матрицы
2-Foy if j = NY
Foy otherwise
bj^2-(l + Foy)
Ьиу зависит от t
(см. программу - n. 6)
2-Foy if j = 1
Foy otherwise
2-Fox if i = NX
Fox otherwise
2 (1 + Fox + BF1) if i= 1
2-(l + Fox) otherwise
2-Fox if i = 1
Fox otherwise
6. Блок расчета температур
UT :=
Махе- 100
k<- Ak
n*- 1
Time*— 0
be- b
to*- 0
T <— T - Ввод глобальных данных в
программный блок
Ui*-T
while Max > Tol
U1 <- T - Запись массива Т в
нулевой момент времени - создание
трехмерного массива U
Time <— Time + At
for ie 1 NX Первый полушаг - прогонка
по столбцам
for je 1..NY
dj«~ —2-T) j — 2-Fox-(T2j — Tij) — 2-BFl-(Tl — Tij) if i = 1
-2-Tnx, j + 2 Fox (Tnx,j - Tnx-1 ,j) if i = NX
-2-Tij — FoX'(Tj_ij — 2-Tjj + Tj+ij) otherwise
bNY<- 2 (1 +Foy + BF2i)
^NY *— dNY ~ 2-BF2j‘T2
X*- Progonka(a.b,c.d)
for je 1..NY
ulij^Xj
for je 1..NY
for ie 1..NX
u1 - значения, рассчитанные на
первом полушаге
Второй полушаг -
прогонка
по строкам
Di
-2 uli.NY + 2*Foy-(uljtNY-uli<NY-i) + 2-BF2i-(uli,NY“ T2) if j ® NY
-2-ulij—2-Foy-(uli,2~uliti) if j = 1
-2-uljj — Foy-(ulij_i — 2-ulij +ulij+i) otherwise
Di *- Di - 2-BF1-T1
X«— Progonka(A,B,C, D)
for ie 1..NX
Uije-Xi
Max <— max[(u—T), (T - u)]
и - значения, рассчитанные на
втором полушаге
TM*-TC(u)
465
T<—u
if TM > TCO + АТС-к v Мах < Tol
п<— в + 1
к<-к + Ак
tn-1 <— Time
Un«-u
Uo<-t
U
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 [12,1] [21.11] [21.11] [21,11] [21.11] [21,11] [21.11] [21.11] [21,11]
n last(t) + 1
t := UTft
n = 12
Время стабилизации поля температур (с заданной точностью
Tol)
TotalTime := max(t)-s TotalTime = 1.004x 10%
Выбор массивов температур для построения графика
к >
-—п I
К J
Всего шагов по времени
TotalTime
---------= 275
At-s
К := 3 к := 1.. К - 1
Шк := ceil
тТ = (0 4 8)
Ul := UTi U2 := UT(m,) U3 := UT(llh) U4 := UTn
Моменты времени, в которые проведена запись массивов
температур
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 0 2 6 12 20 32 47 66 91 127 182 275
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 0 0.073 0.219 0.438 0.73 1.168 1.715 2.409 3.321 4.635 6.643 10.037
Установившееся (с заданной точностью Tol) поле температур
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 392.5 390.9 389.2 387.6 386 384.4 382.9 381.5 380.2 378.9
2 0 39Z5 390.9 389.2 387.5 385.9 384.4 382.9 381.4 380.1 378.8
3 0 39Z5 390.8 389.1 387.4 385.7 384.1 382.6 381.1 379.7 378.4
4 0 392.5 390.7 388.9 387.1 385.4 383.7 382 380.5 379 377.6
5 0 392.5 390.5 388.6 386.7 384.8 383 381.2 379.5 377.9 376.5
6 0 392.4 390.3 388.1 386 383.9 381.9 380 378.1 376.4 374.7
7 0 392.3 389.9 387.5 385.1 382.8 380.5 378.3 376.1 374.1 372.2
8 0 392.3 389.5 386.7 384 381.3 378.6 375.9 373.3 370.9 368.5
9 0 392.2 389.1 386 382.8 379.7 376.4 373.1 369.8 366.5 363.2
466
7. Г рафики мновенных полей температур
U1
to = о
из
= 240.899s
467
Приложение 8
ПРИМЕР 6.4. Решение двумерной задачи нестационарной
теплопроводности по обобщенной двухслойной схеме с весами
Число узлов по оси х NX := 20 Число узлов по оси у (должно быть четным) NY := 10
i1.. NX j := 1..NY
1. Исходные данные (в системе СИ)
Теплоемкость материала пластины С := 2000
Теплопроводность материала пластины X := 1.7
Плотность материала пластины р := 2800
Начальная температура пластины ТО := 293
Конечная температура жидкости вблизи левой грани Т1 := 393
Приращение температуры жидкости вблизи левой грани ДТ1 := Т1 - ТО ATI = 100
Постоянная времени для температуры жидкости вблизи левой грани с ~ 0.01
Закон изменения температуры жидкости
вблизи левой грани во времени
T10(t) := Т0 +ATI (1 -exp(-c t))
Температура жидкости вблизи "окна" в верхней грани Т2 := 373
Амплитуда температуры жидкости вблизи верхней грани АТ2 — 50
Частота колебаний для температуры жидкости вблизи верхней грани со := 0.05
Постоянная времени дпя температуры жидкости вблизи верхней грани р := 0.003
Закон изменения температуры жидкости
вблизи верхней грани во времени
T20(t) := Т2-AT2 sin(co t) exp(-p t)
Коэффициент теплоотдачи от левой грани пластины Р1 := 60000
Коэффициент теплоотдачи от "окна’' в верхней грани пластины Р2 := 40000
Высота пластины Н := 0.03
Ширина пластины L := 0.02
Координата края "окна" L1 := 0.01
Допуск критерия стабилизации поля температур, К Tol - 0.1
468
2. Ввод функций пользователя
450
Метод прогонки
Progonka(a.b,c,d) :=
хо«-О
go^- 0
400 -
T10(t)
----- 350
T20(t)
n <— last(d)
for ie 1..Ю
300
250 о
500
1000
go«-bi-aigi-i
Ci
gi*-----
go
ai-xj-i - di
Xi
go
for LG П,П— 1..2
3. Расчет констант
Коэффициент температуропроводности материала стенки пластины
а
X
C-P
а = 3.036 х 10"
Шаги сетки по осям х и у
Дх1
——— Ax = 1.053x 10 3 Ay := —~— Ду = 3.333 x 10
NX-1 NY-1
Номер крайнего правого узла теплоизолированной части верхней грани
il = 10
Сеточное’число Фурье по оси х
Fox := 1
Шаг сетки ло времени
2
At := Fox At = 3.65
a
Период колебаний температуры у верхней границы
il :
— r = 125.664
co
— = 0.029
Сеточное число Фурье по оси у Foy := a—— Foy = 0.1
Ay2
469
Обобщенный коэффициент теплоотдачи на верхней грани
P2i := if(i > il,p2,0)
Сеточные константы: BF1 = Bi1*Fox, BF2 = Bi2*Foy
₽2;-Ду
Biyi = —
Bix := —Bix = 37.152
X
max(Biy) = 78.431
BF1 := Fox Bix BF1 = 37.152
BF2j := Foy-Biyj
max(BF2) = 7.821
4. Задание начальных условий
Ti,j := TO
Сумма температур в узлах - функция,
пропорциональная начальному теплосодержанию пластины
NY-1 NX-1
TC(T) := У.
J = 2
NY-1
X
J = 2
FTnXj
2
NX—i
,NY
TCO := TC(T)
TCk (NX—1)-(NY—!)
TI + T2
TCO = 5.01 x 10
TCk = 6.549 X 10
2
i = 2
2
4
2
ДТС “TCk-TCO
АТС = 1.539 x 10
LLIar изменения теплосодержания пластины при выводе текущих
температур
Лк := ОД
I
Ai “ (2-6-Fox if i = NX
10-Fox otherwise
5. Расчет постоянных коэффициентов трехдиагональной матрицы
Весовой коэффициент (0<= 0 <=1) 0 := 0.8
aj := |2-0-Foy if j = NY
16 Foy otherwise
bj := 1 + 2-0-Foy bNY зависит от i В, := 11 + 2-0-Fox (l + Bix) if i 3 1
(см. программу-n. 6) |l+2-0 Fox otherwise
Cj := |2-0Foy if j = 1 Ci := |2-0Fox if i = 1
|O Foy otherwise |© Fox otherwise
470
6. Блок расчета температур
UT:= Мах <-100
к<— Лк
п<- 1
Time<— 0
b<— b
т<-т
to<- о
Uj<-T
while Max > Tol
Т1 <- TlO(Time)
T2<— T20(Time)
Time <- Time + At
Tln<— TlO(Time)
T2n<- T20(Time)
dTl<—Tln-Tl
dT2<— T2n-T2
foi ie 1..NX
for je 1..NY
T <-- T - Ввод глобальных данных в
программный блок
U1 <-- Т - Запись массива Т в
нулевой момент времени - создание
трехмерного массива U
Температуры жидкостей
на п-м слое
Температуры жидкостей
на (п+1>-м слое
Приращения температур
жидкостей
Первый полушаг - прогонка
по столбцам
Uxij<- -2FoxfT2,j-Ti,j + Bix(Tl-Ti>j)'] if i = 1
- 2 Fox (Tnx-I.J-Tnxj) if i = NX
— Fox-(Ti-ij-2-Tij+ Ti+ij) otherwise
Uyi j<— -2 Fqy (Ti.2-Ti,i) if j = 1
- 2-Fqyf -Ti j - Biyi (Ti,j - T2)]- 2e-FoyBiyidT2
— Foy (Tj j_j — 2-Tij + T, j+i) otherwise
if j 3 NY
dj Uxij +Uyi,j
Ьыу <— 1 + 2- 0- Foy- (1 + Biyi)
X <— Prog<Hika(a,b,c,d)
. dT - значения приращений
tor je 1..WY температуры, рассчитанные на
dTi, j <- Xj первом полушаге
-el Ny Второй полушаг-
J прогонка
for ie 1.. NX по строкам
Dj<— 1-dTj j —2 6-Fox-Bix dTI if i = 1
j -dTi j otherwise
dur— Progonka(A,B,C,D) du 'значения приращений
температуры, рассчитанные на
for ie 1..NX втором полушаге
Tij + duf
Max <— max[(u—T), (T - u)]
TMe-TC(u)
471
if ТМ > TCO + ДТС-к v Мах < Tol
! п <— n + 1
к<—к + Дк
tD-l <— Time
U„«- и
и0<-1
и
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 [12,1] [21,11] [21,11] [21,11] [21,11] [21,11] [21,11] [21,11] [21,11]
t := UTo n := last(t) + 1
п = 12
Время стабилизации поля температур (с заданной точностью Tol)
TotalTime max(t)-s TotalTime = 1.157 х 103s
Выбор массивов температур для построения графика
/
Всего шагов по времен
TotalTme _
At-s
К := 5 к := L.. К - 1
тк
тТ = (0 3 5 8 10)
U1 := UTi U2 := UT(m,) IB := UT(ra,) U4 := UT(nl,) U5 := LT(n,4) U6 ~ VT„
Моменты времени, в которые проведена запись массивов
температур
т
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 0 13 21 30 47 59 81 101 134 190 305 317
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 0 0.047 0.077 0.109 0.172 0.215 0.296 0.369 0.489 0.693 1.113 1.157
Установившееся (с заданной точностью Tol) поле температур
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 393 391.9 390.8 389.7 388.7 387.7 386.7 385.7 384.9 384
2 0 393 391.9 390.8 389.7 388.7 387.7 386.7 385.7 384.9 384
3 0 393 391.9 390.8 389.7 388.7 387.6 386.7 385.7 384.8 384
4 0 393 391.9 390.8 389.7 388.6 387.6 386.6 385.7 384.8 383.9
5 0 393 391.8 390.7 389.6 388.5 387.5 386.5 385.5 384.6 383.7
6 0 393 391.8 390.6 389.5 388.4 387.3 386.2 385.2 384.3 383.4
7 0 393 391.7 390.5 389.3 388.1 386.9 385.8 384.8 383.7 382.8
8 0 393 391.6 390.3 389 387.7 386.4 385.2 383.9 382.8 381.7
9 0 393 391.5 390.1 388.6 387.2 385.7 384.2 382.7 381.1 379.7
10 0 393 391.5 389.9 388.4 386.8 385.1 383.2 381.1 378.7 375.7
472
7. Г рафики мновенных полей температур
их
<о = О
U2
= 76.65 s
из
= 171.55 s
U4
<(m3--l)'s = 368.649s
U5
= 693.498s
U6
tn-l-s = 1.I57X id’s
473
Приложение 9
Сравнение точного решения стации наьноп, уравнение
конвекции и диффузии с численными и влияние сеточного
числа Пекле Ре на осцилляции решения
С-210 3
к := 0.. 3 по -= 5 п] := 10
— = 20 N := 100 i:=0..N
а
П2 := 20 пз -= 50 j := О..пз
'0.2 >
1 0.1
Дхк := — Ах =
пк 0.05
0.02
\ 7
1. Граничные условия
U0 := 0 Un := 1
3. Численное решение с использованием
центральных разностей
2. Точное решение
Т(п) :=
U5 := Т(по)
U10 ~ T(ni)
U20 := т(п2)
а
for j е 1.. п — 1
aj<- 1 +0.5-Ре
bj<— 2
Cj< 1-0.5 Ре
dj -cn_i-Un if j = n- 1
-ai-UO if j = 1
0 otherwise
T <— Progonka(a,b,c,d)
T0<-UO
Tn<- Un
474
4. Численное решение с использованием разностей против потока
для аппроксимации первой производной
Т2(п) :=
for j е 1.. в — 1
aj<- 1+Ре
bj <- 2 (1 + 0.5-Ре)
—Сп-1-Un if j = n— 1
-ai-UO if j = i
0 otherwise
U5 := Т2(по)
U10 := T2(ni)
U20 := Т2(п2)
T <- Progonka( a, Ь, c, d)
To<-UO
Tn<—Un
475
5. Численное решение с использованием четырехточечной схемы для
аппроксимации первой производной
q := 0.5
T3(q,n) :=
---
n
CAx
Pe<-----
a
for j e 1.. n — 1
ej <- -3-Pe
J 3
1 + (q + 0.5)Pe
bj <— 2 + q-Pe
U5 := T3(q,no)
U10 := T3(q,m)
U20 := T3(q,n2)
U50 := T3(q,n3)
-Cn-j-Un if j = n — 1
-(ei +ai)-U0 if j = 1
-e2-U0 if j = 2
0 otherwise
T Progonka4d(a, b, c, d, e)
To<- UO
Tn<—Un
T
476
6. Численное решение методом Патанкара
а) по экспоненциальной схеме
б) по степенному закону
Т4(п) :=
Дх
Т5(п)
Дх<---
п
а
Ре<-----
а
for j е 1.. п — 1
С-ехр(Ре)
’ ехр(Ре) — J
for j е 1.. п — 1
aj<——-maxf 0,(1 —0.1- |Ре| )51 + тах(0,С)
Дх
J ехр(Ре) -1
bj <- aj + cj
di<- -c„_|ljn
Ь>
di
“•maxf 0, (1 — 0.1 |Ре| )5 "j + тах(0, -С)
Дх
-ai-UO if j = 1
-aj-UO if j = 1
0 otherwise
0 otherwise
T <— Progonka(a,b,c,d)
To<~UO
Т <— Progonka(a,b.c,d)
то<-ио
-П<- Un
Tn<-Un
T
T
U5 := T4(n0) U10 := T4(ni)
U5b := T5(no)
UlOb := Т5(щ)
U20b := T5(n2)
Максимальные отклонения
решений
max(U5b-U5) = 7.537x 10-4
max(U10b-U10) = 5.44 x И) 3
max(U20b - U20) = 3.384X 10-3
U20 := T4(n2)
477
Приложение 10
ПРИМЕР 6,5, Решение одномерной задачи конвекции и
диффузии
Число узлов по оси х М := 40 j := 0.. М
TOL := 10 5
1. Исходные данные (размерности в системе СИ)
Теплоемкость жидкости Ct := 4190
Теплопроводность жидкости X .= 0.67
Плотность жидкости р := 1000
Температура жидкости в левом резервуаре Т1 := 373
Температура жидкости в правом резарвуаре ТО := 293
Длина трубы L := 4
Скорость жидкости с := 1(Г7
Сеточное число Фурье Fo := 0.4
Е
2. Расчет констант
Коэффициент температуропроводности жидкости
Л —7
а :=---- а = 1.599x10
Ctp
Шаг сетки по оси х
L L
Дх — Дх = 0.1 х; := + Ax j
М J 2
Шаг сетки по времени
Д 2
At := _2L.Fo At = 2.501 х 104
а
Масштаб разности температур
ДТ:=Т1-Т0 ДТ = 80
Сеточное число Пекле
с-Дх
Ре ----- Ре = 0.063
а
Сеточное число Куранта
478
3. Задание начальных условий
М2 := 0.5-М М2 = 20
uOj
1 if j < М2
0.5 if j = М2
0 otherwise
и0м2-1 ~ 1 и0м2 = 0.5 и0м2+1 = о
Конечный момент времени
trnax 0.2-L-c
tmax - 8 х 10^
Число шагов по времени
N := ceil(tmax-At 1) N - 320
Число выборок из матрицы решений
Соответствующие моменты времени tj := i-Nv-At
4. Точные решения соответствующей задачи Коши (с начальными
условиями) - дают приемлемые результаты для малых t
4.1. Полученное с использованием
преобразования Лапласа
ue(x,t) := 0.5-erfc ——
4.2. Полученное методом разделения переменных
479
5.1. Решение методом ВВЦП
(условие устойчивости 0 <= r2 <= 2Fo <= 1;
условие точности Ре « 2/г)
Коэффициенты
А := Fo + 0.5-г В := 2-Fo - 1 С := Fo - 0.5-г
А = 0.413 В = -0.2 С = 0.387
Проверка условий
устойчивости и точности
г2 = 6.257 х КГ4
U1 :=
u<—- и0
U <0> <—и
i<- 1
for ne 1..N
for je 1..M-1
ulj <— A uj-i -B uj + C u3+i
u<— ul
uo<~ uOq
им <- «0м
if n = i-Nv
2 Fo = 0.8
Ре- — = -39.914
U<0> <— u _ Заполнение нулевого
столбца начальными значениями
u <— u1 - Переобозначение -
рассчитанные значения и1 считаем
новым явным слоем и
х.
480
5.2. Явная схема с разностями против потока
(условие устойчивости r+2Fo <= 1;
условие точности Ре « 2/(1-г))
Коэффициенты
А := Fo+ г
А = 0.425
В := 2-Fo + r- 1
С Fo
Проверка условий
устойчивости и точности
2-Fo + r = 0.825
U2
u <- иО
U и
i<- 1
for ne 1..N
for je 1..M- 1
ulj <— A-Uj_i - B uj + C-uj+t
u<— ul
uo«~ uOo
um<-u0m
if n i-Nv
Ре----— = -1.989
1 -г
481
5.3. Схема Лакса-Вендроффа
(условие устойчивости 0 <= г2 <= 2Fo1 <=1;
условие точности Ре « 2/(1 - г))
Коэффициенты
А :== Fol + 0.5т В := 2 Fol - 1 С := Fol - 0.5-г
А = 0.413
В = -0.199
С = 0.388
Проверка условий
устойчивости и точности
из :=
г2 = 6.257 х 10 4
for ne 1..N
for je 1..M- 1
2-Fol = 0.801
ulj <- A uj_i - B-Uj + C-Uj+i
Pe-—=-1.989
uo«- uOo
им < нОм
if n = i-Nv
(из <>
(из й
(w w )3
(из W
(из ® ).
(из (v>
(з 4 Vi its 1 "7i
482
5.4. Шеститочечная схема Кранка-Николсона
(условие устойчивости - нет;
условие точности (отсутствие осцилляций) Ре <= 2)
Коэффициенты
А := Fo + 0.5-г В := 2-(Fo + 1) С := Fo - 0.5-г
А = 0.413 В = 2.8 С = 0.387
X := 2-(l-Fo)
X = 1.2
U4 :=
Проверка условия
точности
Ре = 0.063
for ne 1.. N
for j е 1.. М - 1
Dj * - X-Uj - Cj-uj+i
Di Di - Ai-uq
Dm-i Dm-j Cm-i-um
ul <— Progonka(A,B,C,D)
u<— til
uo«- u0f)
им uQm
if n i-Nv
483
5.5. Схема Кранка-Николсона с четырехточечной аппроксимацией
первой производной (против потока)
Параметр модификации ,
q := 0.5 + 0.25-r q = 0.5
Коэффициенты матрицы
А := Fo + r (0.5 + q) В := r-q + 2<Fo + !) C:=Fo + r.^_0^ Е := Y := r q + 2-(Fo - 1)
А = 0.425 В = 2.813 С = 0.392 Е =-4.17x10“3
Aj := A Bj := В Cj := С Ej := Е Y = -1.187
U5 :=
for ne 1 ..N
for je 2..М- 1
Dj е- -Aj-uj-i + Y uj - Cj-Uj+i - Ej-uj_2
Di <— -2-Eruo - 2 Ai-uo + Y-ui - CpU2
D2 <— D2 - E2-UQ
Dm-i Dm-i - См-i um
ul Progonka4d( A, В, C, D, E)
u«— ul
uq<- uOo
UM uOm
if n i-Nv
484
5.6. Схема Патанкара
Степенная аппроксимация f(pe) := max[o,[ 1 -0.1 (|ре|)5]]
Коэффициенты F := p c F = 1 х 10~4
СС-О „
А := ——4 (Ре) + max(0,F)
Дх
А = 1.699 х 10* 3
Aj := А
С := ^f(Pe) + max(O.-F) Е :=
Лх At
С = 1.599Х 10*3 Е = 3.998Х 10“3
i== A + С + E
U6 :=
Cj := С Ej := Е
и<— иО
i<- 1
for ne 1..N
forjeI..M 1
Di«-Di —Ai-uo
E>M-1 <- Ом-l - Cm-i-um
ul <— Progonka(A, В, C, D)
u«— ul
u0«~uOo
um«~u0m
if n i-Nv
(06 <>
(U6 й
(w<4
(uo w
(U6 <8>
485
Приложение 11
ПРИМЕР 6.6. Решение одномерной задачи Бюргерса с вязким
членом (задача о распространении конечного разрыва)
в
Число узлов по оси х J := 20 Число узлов по оси t N := 40
(должно быть четным)
j := 0 „ J n ?= 1 N
1. Исходные данные (размерности в системе СИ)
Пространственный размер расчетной области (-L < х < L) L := 1
Вязкость жидкости v := 10"
2. Расчет констант
Сеточное число Фурье Fo := 0.4
Шаг сетки по оси х
h.^— h = 0.1
J
Шаг сетки по времени
h2-Fo
т :=-------- т = 0.04
3. Задание начальных и граничных условий
Начальное условие ц0 := 11 if j < 0.5 J U0(x) := 11 if x < 0
10 otherwise [0 otherwise
Xj := —L +j-h
x0 = -1 X0.5-J = 0 xj - 1
t„ := п-'t txj = 1.6
Греничное условие слева: щ := 1 Граничное условие справа: р2 •= 0
Решение на нулевом слое и, := ц0
Значения на левой границе:ио .= ц,
Значения на правой границе: uj := ц2
Число Рейнольдса
L-maxfpi)
Re ———
v
Re = 10
486
4. Численное решение методом Кранка-Николсона
U <0> «-и
for ne 1 ..N
for j е 1.. J — 1
а, <— 0.5-Fo + 0.25-—-Ui-i
3 h 3
bj - 1 + Fo
Cj <— 0.5-Fo — 0.25-—-Uj+i
h
dj <---0.5 Fo (uj_i + Uj+i) - (I - Fo) uj
di <- di - arg]
dj-i <- dj_i — cji-p?
u<— Progonka(a,b,c,d)
uj<- P 2
U <n> <-u
u
u u - Ввод глобальных
данных в программный блок
Учет граничных условий
0 1 2 3 4 5
0 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1 1
3 1 1 1 1 1
4 1 1 1 1 1 1
5 1 1 1 1 1 1
6 1 1 V 1 1 1
7 1 1 1 0.999 0.998 0.997
8 1 0.999 0.996 0.992 0.988 0.986
9 1 0.988 0.965 0.952 0.945 0.943
487
5. Точное решение
X-F
• exp -0.5-Re-
Jo z-t
exp -0.5-Re-
tN := tN tN = 1.6
U(xp0.25tN)
uj,NO25
f UO(n)dn
Jo
«Ё.
488
Приложение 12
Пример 7.1. Решение задачи стационарной теплопроводности
(уравнения Лапласа) с граничными условиями Дирихле (1-го рода)
1. Решение обычными итерациями - по строкам;
2. Методом последовательной верхней релаксации по строкам
1. Ввод функций пользователя
Метод прогонки
Progonka(a,b,c,d) :=
хо<- О
go < О
n <— last(d)
for ie 1.. n
go bi - ai-gi-i
4
gi <-----
go
ai-xi-i - dj
--------------
i SO
for ie n,n— 1.. 2
Xi-1 XJ-gi-l + Xi-J
2. Исходные данные, выбор шагов сетки
Ширина пластины, число разбиений и шаг по оси х
1 := 1 NX := 20 Дх := Дх = 0.05
NX
Высота пластины, число резбиений и шаг по оси у
Н := 4 NY 40
ду ;= Л_ Ду = 0.1
NY
Квадрат отношения шагов по осям х и у
XY = 0.25
Температура при к - 0 (левая стенка) Т1 •= 100
Температура при х= L, у = О, у = Н ТО ~0
Допускаемая погрешность L2 нормы глобальных итераций
Eps := 10“ 2
490
3. Обычные итерации - без релаксаций
кТ :=
for je O..NY
To,j<-Tl
TNX,j<-T0
uu,j<- TI
UNX.j <- TO
for ie 1..NX-1
Ti.o <- TO
Ti.NY<~T0
ui,o<-T0
Ui,NY<- TO
for je 1..NY-1
for ie 1..NX-1
Ввод граничных
условий
Tij <- 0.5 (TI +T0)
k<- 0
L2<- 1
for ie 1..NX-1
ai<- 1
bj<—2-(l + XY)
4 <- 1
while L2 > Eps
for je 1..NY- 1
for ie 1 ..NX— 1
<V---XY-(Ti j+i + ujj-i)
di <- di -uo,j
dNX-l dNX-1 " uNX,j
U <— Progonka(a,b,c,d)
for ie 1..NX-1
Uij<— Ui
i I NX-1 NY-1
L2<- I--------!-------У, У (uij-Ti
(NX-l)-(NY-l) '
i = 1 j = 1
Teu
k<-k+l
Начальное приближение
во внутренних узлах
Обнуление счетчика
глобальных итераций
Расчет коэффициентов
трехдиагональной
матрицы
Коэффициенты d
зависят от
номера слоя j
Решение системы
уравнений для каждой
j-й строки
- Проверка сходимости
итераций
г
Переобозначение
рассчитанного массива
491
кТ =
36
{21,41}
к .= кТо
Т := kTi
Число итераций к = зб
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 100 100 100 100 100 100 100 100 100
1 0 67.748 83.069 88.426 90.941 92.339 93.193 93.746 94.117
2 0 48.603 68.629 77.561 82.162 84.812 86.46 87.536 88.263
3 0 36.601 56.962 67.779 73.869 77.537 79.87 81.414 82.465
4 0 28.659 47.681 59.178 66.18 70.593 73.476 75.414 76.745
5 0 23.125 40.28 51.7 59.137 64.031 67.316 69.563 71.125
6 0 19.083 34.311 45.216 52.728 57.87 61.415 63.883 65.62
7 0 16.004 29.421 39.579 46.91 52.107 55.78 58.384 60.238
8 0 13.57 25.345 34.647 41.623 46.723 50.411 53.069 54.986
9 0 11.585 21.685 30.294 36.803 41.689 45.297 47.939 49.866
10 0 9.919 18.896 26.415 32.387 36.972 40.421 42.984 44.874
11 0 8.487 16.27 22.92 28.315 32.537 35.786 38.195 40.006
12 0 7.23 13.926 19.737 24.533 28.349 31.307 33.559 35.253
13 0 6.105 11.802 16.807 20.995 24.372 27.023 29.061 30.606
14 0 5.08 9.849 14.078 17.657 20.576 22.889 24.683 26.053
15 0 4.133 8.029 11.51 14.483 16.929 18.883 20.41 21.583
т
492
I
4. С последовательной верхней релаксацией (ПВР)
Параметр ПВР - со (от 1 до 2 - верхняя релаксация) со := 1.5
кТ
for je 0..NY
Toj^Tl
Tnx j *- to
U0,j<- TI
UNX, j TO
for ie 1..NX-1
Ввод граничных
условий
Т, NY
Тцх-ТО
Ui.NY
for ig 1..NX-1
0_5-(Т1 +Т0)
Начальное приближение
во внутренних узлах
L2
k<—0
for ie 1..NX-1
а;<— 1
bj<- 2(1+XY)
Ci<- 1
while L2 > Eps
for je 1 ..NY— 1
for ie 1 ..NX— 1
di«--XY(Ti,j+i+ui,j_i)
di <- di -uoj
dNX-1 dNX-1 - UNX, j
U <— Progonka(a,b»c»d)
for ie 1..NX-1
Uj, j <- Ti, j + co-(Ui - Ti, j)
~ NX-1 NY-1 “
L2< I--------!--------У У (uij-Tij)2
(NX-l)-(NY-l) ' ,J
i i = 1 j = 1
Обнуление счетчика
глобальных итераций
Расчет коэффициентов
трехдиагональной
матрицы
Коэффициенты d
зависят от
номера слоя j
Решение системы
уравнений для каждой
j-й строки
Обновление
строки - метод ПВР
Проверка сходимости
итераций
Переобозначе ние
рассчитанного массива
493
21
{21.41}
кТ =
ккт0 Число итераций к = 21
Т := кТ!
0 1 2 3 4 5 6 7 8
О 100 100 100 100 100 100 100 100 100
1 0 67.745 83.064 88.418 90.932 92.328 93.182 93.734 94.106
2 0 48.597 68.618 77.546 82.143 84.792 86.438 87.514 88.241
3 0 36.592 56.946 67.757 73.842 77.507 79.838 81.381 82.432
4 0 28.647 47.66 59.149 66.145 70.554 73.434 75.371 76.704
5 0 23.111 40.254 51.665 59.095 63.985 67.267 69.513 71.075
6 0 19.067 34.282 45.176 52.68 57.817 61.358 63.825 65.562
7 0 15.987 29.389 39.535 46.857 52.048 55.717 58.32 60.175
8 0 13.552 25.311 34.6 41.567 46.66 50.344 53.001 54.919
9 0 11.565 21.849 30.246 36.744 41.623 45.227 47.668 49.795
10 0 9.899 18.86 26.366 32.327 36.906 40.351 42.912 44.803
11 0 8.467 16.235 22.871 28.256 32.472 35.696 38.124 39.935
12 0 7.211 13.892 19.69 24.477 28.286 31.24 33.491 35.185
13 0 6.087 11.769 16.762 20.942 24.313 26.96 28.996 30.542
14 0 5.084 9.819 14.038 17.609 20.522 22.832 24.625 25.995
15 0 4.119 8.003 11.475 14.441 16.882 18.833 20.359 21.532
Т
494
Приложение 13
Пример 7.2. Решение задачи стационарной теплопроводности
(у^авнъния Пуассона) с граничными условиями Дирихле и Неймана
М. Решение обычными итерациями - по строкам;
2. Методом последовательной верхней релаксации по строкам
1. Ввод функций пользователя
Метод прогонки
ProgonkaO(a,b,c,d,IL,IU) :=
\
ХД.-1«- о
81L-1 О
for ie IL..IU
r«- bi-aj gi-i
Ci
архи - di
Xj <---------
for ielU.IU- 1..IL + 1
Xi-1 <- Xj gi-l + Xj-i
2. Исходные данные (размерности - в системе СИ), выбор шагов сетки
Степень измельчения максимальной сетки по оси х m := 3
Ширина пластины, число шагов и шаг по оси х
L := 1 NX 1 + 10 m NX = 31 Дх := —-— дх = о.ОЗЗ i := 1.. NX
NX- 1
Высота пластины, число шагов и шаг по оси у Ду := Дх Ду = О.ОЗЗ
Н := 4 HL:=^ HL = 4 NY := 1 + 10-HL-m NY = 121 j := 1..NY
Толщина пластины, м 5 := 0.1
Квадрат отношения шагов по осям х и у
(axY
XY := — X Y-1
Граничное условие при у = 0 = 0
dy
Температура при х - L, х = 0, у = Н ТО := 0
Мощность объемных источников, Вт qVo := 100
Теплопроводность материала пластины X := 1.2
qvo Ду
Удельная мощность объемных источников QV :=-------------QV = -833.333
X 8 Ду
495
Координаты узлов с ненулевой функцией мощности объемных источников
NX + 1
2
iO:=il—m i2:=il + m i0=13 il = 16 i2 = 19
jl:=l + 5-m jO:=jl —m j2:=jl+m jO = 13 jl = 16 j2 = 19
Обобщенная функция мощности объемных источников
QVij
QV if [[(i = iO) v (i = il) v (i = i2)J a (j = jl)] v [[(j = jO) v (j = j2)] a (i = il)]
0 otherwise
Допускаемая погрешность нормы глобальных итераций
Eps := 10 2
3. Обычные итерации - без релаксаций
кТ :=
for j е 2.. NY
Ti.je-TO
Tnx.j ТО
uij< ТО
UNX.j <- ТО
for ie2..NX- 1
ITj,NY«- TO
Ui.NY«~ TO
Ввод граничных
условий 1-го рода
for je 2..NY- 1
for ie 2..NX- 1
Начальное приближение
во внутренних узлах...
Ti J <- ТО
for ie 1 „ NX
ТО
k<— О
Max<— 1
while Max > Eps
for je 1..NY- 1
for ie2..NX-l
aj<- 1
bi<- 2 (1 +XY)
Cj<— 1
di<- |-2-XY-Ti>2 + QVi,j if j = 1
I —XY-(Titj+i -nij,j-i) + QVij otherwise
d2<-d2-uij
dNX-1 “ unx, j
if j = 1
bi<- 1 +XY
ci<- 1
di<--XY-uij2
aNX<- 1
... и на нижней границе
Обнуление счетчика
глобальных итераций
Расчет коэффициентов
трехдиагональной
матрицы
Особенности узлов
на нижней границе
Особенности узлов
на нижней границе -
слева и справа
496
bNx«- 1+XY
CNX<- О
|dNX<~-XYuNX,2
U <— |ProgonkaO(a,b,c,d, 1,NX) if j = 1
I ProgonkaO(a, b, c•, d, 2, NX — 1) otherwise
for ie 1..NX if j = 1
ui.jt-Ui
for ic2..NX- 1 if j * 1
Maxe- max(u - T ,T - u)
T<—u
k<- k+ 1
Решение системы
уравнений для каждой
j-й строки
Проверка сходимости
итераций
Переобозначение
рассчитанного массива
( 593 А
kT = I к:=кТ0 Т := кТг
({32,122} J
Максимальная температура
Число итераций
Тп,д= 1.652 Х103
к = 593
0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 43.345 0 0 0 0 0 0
2 0 86.69 67.239 61.299 59.779 60.024 61.148 62.792
3 0 125.597 120.968 118.179 117.795 119.17 121.777 125.259
4 0 173.766 172.858 172.656 174.054 177.086 181.535 187.126
5 0 223.758 224.046 225.535 228.681 233.589 240.152 248.146
497
Сечения поверхности уровня при j = const
4. Итерации с ПВР ш ;= 1.6
кТ:-
for j е 2.. NY
Ti,j<- ТО
TNXJ4-T0
uij<-T0
UNX.j TO
Параметр ПВР - co (от 1 до
2 - верхняя релаксация)
Ввод граничных
условий 1-го рода
498
for ie 2..NX- 1
Ti>NY<- TO
I ui.NY TO
for je2..NY-l
for ie2..NX-l
Tjj^-TO
for ie 1..NX
Ti}i*-TO
k<—0
Max*- I
while Max > Eps
for jG 1..NY - 1
j foriG2..NX-l
! aj <- 1
b,<- 2 (1 +XY)
c><- 1
dj*- |-2-XY Tif2 + QVij if j = 1
I —XY-(Tjj+i + j-t) + QVi,j otherwise
d2<- d2-ui,j
dNX-l <- dNX—1 “ UNX, j
if j = 1
bi *- 1 +XY
ci*- 1
di*--XYuM
SNX*~ 1
bNX <- 1 + XY
CNX<“ 0
dNX*------XY-unx,2
U*— |ProgonkaO(a,b,c,d, 1 ,NX) if j = 1
|ProgonkaO(a,b,c,d,2,NX —1) otherwise
for ie 1 ..NX if j = I
uM'-Ti,j+“(Ui-Ti.j)
forie2_.NX- 1 if j * 1
Ю«-Тм + а>(^-Ти)
Махе- max(u -T,T-u)
T*—u
k<- k+ 1
It I
Начальное приближение
во внутренних узлах...
... и на нижней границе
Обнуление счетчика
глобальных итераций
Расчет коэффициентов
трехдиагональной
матрицы
Особенности узлов
на нижней границе
Особенности узлов
на нижней границе -
слева и справа
Решение системы
уравнений для каждой
j-й строки
Обновление
строки - метод ПВР
Проверка сходимости
итераций
Переобозначение
рассчитанного массива
179
{32,122)
к := кТС
Т := кТ|
Число итераций к = 179
Максимальная температура T,i ji = 1.652 х 10’
499
0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 43.4 0 0 0 0 0 0
2 0 86.8 67.323 61.375 59.852 60.095 61.218 62.861
3 0 125.754 121.119 118.324 117.937 119.31 121.916 125.396
4 0 173.983 173.073 172.867 174.262 177.293 181.739 187.329
5 0 224.036 224.323 225.81 228.954 233.859 240.421 248.412
6 0 273.52 274.373 277.099 281.883 288.772 297.672 308.37
7 0 321.305 322.55 326.331 332.708 341.674 353.126 366.852
8 0 366.605 368.194 372.969 380.944 392.091 406.309 423.398
9 0 408.734 410.653 416.409 426.009 439.437 456.622 477.405
10 0 447.034 449.276 456.006 467.249 483.028 503.338 528.105
11 0 480.859 483.414 491.091 503.953 522.091 545.598 574.542
12 0 509.586 512.43 520.993 535.384 555.784 582.424 615.568
500
5. Расчет поля тепловых потоков в пластине
и проверка интегрального теплового баланса
for ie 2..NX- 1
for je 1..NY
4xi,j <-T~ (Ti+l ,j - Ti-I j)
2- Дх
for ie 1..NX
qyi, i<--- +4-Tj 2-Tii3)
2-Ду
ЧУ!,NY *-----(3-lj’NY -4 Tj NY-1 + Tj.NY-2)
2-Ду
for je2..NY-l
qyi.j*———(Tij+i - Tij_i)
2-Ду
for je 1..NY
Чхи^-^-(-ЗТи + 4Т2,3-тз,|)
2-Дх
X z \
qXNX.j <---“43 4 TNX,j - 4-TNX_i j + TNX-2,j)
2-Ax
l^qy J
Проекция теплового
потока
во внутренних узлах
Особенности
узлов
на границах
Проекция теплового
потока
во внутренних узлах
Особенности узлов
на границах
{32,122}
{32,122}
qx := q0
qy :=qi
Интегральные потоки теплоты через внешние границы, Вт:
1) на нижней границе
r NX—1
П1 хл ЧУМ+ЧУих,! v
Q1 := 8 Дх- ---------+ } ЧУ1
2) на верхней границе
Q2 6-Лх
qyi,NY + qyNX,NY
2
QI = 15.88
Q2 = 0.011
3) на левой границе
Q3 = -253.83
4) на правой границе
Q4 := 8-Ду-
q*NX,l + qxNX.NY
2
NY-i
+ X QXNX.j
j = 2
Q4 = 253.83
501
Теплота, вводимая внутренними источниками, Вт:
QvO := 5-qvo QvO = 500
Невязка баланса теплоты по пластине в целом, в Вт и в %:
R “QvO- (Q2-Q1+Q4-Q3) R = 8.208 — 100= 1.642
QvO
Доля теплоты, проникающей через теплоизоляцию, %
е:=— 100 е = 3.176
QvO
Поле тепловых потоков в пластине, Вт/м2
(qx.qy)
502
Приложение 14
Пример 7,3, Решение задачи стационарной фильтрации (уравнения
Лапласа) в цилиндрических координатах с граничными условиями Дирихле
и Неймана
1. Решение обычными итерациями - по столбцам;
2. Методом последовательной верхней релаксации по столбцам.
1. Ввод функций пользователя
Метод прогонки
ProgonkaO(a,b,c,d,IL,lU) :=
xil-1 О
giL-i<-0
for ie IL..IU
Cj
gi<----
i
aj-Xi-i - dj
*i<------------
r
for ie IU,IU—1..IL 4-1
Xi-l Xi-gj-l +- Xj_l
2. Исходные данные (размерности - в системе СИ), выбор шагов сетки
Высота трубы, число шагов и шаг ло оси z
Н := 0.2 NZ11 Az:-—— Az = 0.02 . ,
NZ—1 j:=l..NZ
Высота выпускного окна, номер узла на верхнем краю узла, уточнение высоты h
h := 0.085 nz := ceil (NZ - 1) — - 0.5
I H
nz = 4
h := (nz + 0.5)-Az h = 0.09
Радиусы: внутренний и наружный, число шагов и шаг по оси г
R1 := 0.16 R2 := 0.2 NR := 11 , R2 - R1
Аг :=------
NR- 1
i := 1.. NR
Коэффициент фильтрации зернистого слоя af := 10~7
Граничное условие при z = Н рА := 1.8-105
Давление при О < z < h, г = R2 рВ := 1.6-105
Аг - 4х 10 ‘
П := R1 +(i— 1)-Аг
Ар := рА - рВ
Граничные условия на остальных границах ~р = о
dn
Сеточные константы
Допускаемая погрешность нормы глобальных итераций (в абсолютных _ о
единицах, т.е. в Па) Eps 10
503
3. Обычные итерации - без релаксаций
кР :=
for je 1..NZ
for ie 1..NR
Начвльное приближение
во всех узлах
Pi,j<-0.5(pA + pB)
Ipi.i^i’i
for ie 1..NR
Ввод граничных
условий 1-го рода
(р - текущая итерация;
Р - предыдущая итерация):
Pi,NZ«~ PA
|pi,NZ<- pA
for je l„nz
IPNR,j*~ pB
PNR, j PB
k<-0
на верхней границе
на выпускном окне
Max<- 1000
Обнуление счетчика
глобальных итераций
while Max > Eps
for ie 1..NR
for je 1..NZ- 1
bi
2-(l+Mj) if (i= l)A(j # 1)
1+Ml if (i = l)A(j= 1)
2 (1 + KNR) if (i = NR) a (j > nz)
2-(l+ZR) otherwise
2 if (j ~ 1) a (1 < i < NR)
1 otherwise
Расчет коэффициентов
трехдиагональной
матрицы
di
-2 Mi-P2,j if (i= l)A(j * 1)
-MrP2.i if (i= l)A(j= 1)
-2-Knr pnR-IJ if (i = NR) A (j > nz+ 1)
—2-Knrpnr-i j —pB if (i = NR) л (j = nz+ 1)
-Ki pi_i, 1 - Mi P1+i, i if (j = 1) a (1 < i < NR)
(KZi - ZR).pi_, j - (KZi + ZR) Pi+l j if (j * 1) a (1 < i < NR)
dNZ-l <- dNZ-1 - PA
Особенности узлов на верхней границе
ProgonkaO(a,b,c,d,nz + 1,NZ — 1) if i = NR
ProgonkaO(a, b, c, d, 1, NZ - 1) otherwise
for j e nz + 1.. NZ — 1 if i s NR
Pi.j<-Uj
for j g 1.. NZ - 1 if i * NR
Pi.j<- ui
Max max(p — P, P - p)
U
Решение системы
уравнений для каждого
i-ro столбца
P<-p
Проверка сходимости
итераций
k*-k+ I
Переобозначение
рассчитанного массива
504
кр =
267
{12,12}
к - кро р •.= kPi Число итераций
к= 267
0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1.604-105 1.606-Ю5 1.611-Ю5 1.623-Ю5 1.644-Ю5 1.669-Ю5 1.696-Ю5
2 0 1.604-105 1.606-105 1.611-1 о5 1.623-Ю5 1.644-Ю5 1.669-Ю5 1.696-Ю5
3 0 1.604-Ю5 .605-105 1.61-Ю5 [1.622-Ю5 1.644-Ю5 1.669-Ю5 1.696-Ю5
4 0 1.604-105 1.605-105 1.61-Ю5 1.621-Ю5 1.644-Ю5 1.669-Ю5 1.695-Ю5
5 0 1.603-105 1.605-Ю5 1.609-105 1.62-Ю5 1.643-Ю5 1.669-Ю5 1.695-Ю5
6 0 1.603-105 1.604-105 1.608-105 1.618-Ю5 1.642-105 1.669-Ю5 1.695-Ю5
7 0 1.602-Ю5 I.603-105 1.607-105 1.616-Ю5 1.642-Ю5 1.669-Ю5 1.695-Ю5
8 0 1.602-Ю5 1.602-Ю5 1.605-Ю5 1.613-Ю5 1.641-Ю5 1.669-Ю5 1.695-Ю5
9 0 1.601-105 1.602-Ю5 1.603-105 1.61-Ю5 1.641-Ю5 1.668-Ю5 1.695-105
10 0 1.601-105 1.601-Ю5 1.602-Ю5 1.605-Ю5 1.64-Ю5 1.668-Ю5 1.695-105
505
Сечения поверхности уровня при i = const
Т -5
U := р 10
Сечения поверхности уровня при j = const
Р:= pio-5
506
4. Итерации С ПВР ПО столбцам ^до! -Терх'няя релаксация) «> > 1-7
кР2 for j g 1.. NZ Начвльное приближение
for i€ 1 ..NR во всех узлах
I Pi j <—0.5 (pA+pB)
Ввод граничных
pi j <- Pi4 условий 1 -го рода
(p - текущая итерация,
for iG 1 ..NR p _ предыдущая итерация):
IP<_nz^- pA
на верхней границе
Pi,KZ<-pA
for j g 1.. nz на выпускном окне
IPnr, j <- pB
PNR,j<~ pB
k<—0 Обнуление счетчика
глобальных итераций
Мах<- 1000
while Max > Eps
for iG 1..NR
for jG 1..NZ-1
Расчет коэффициентов
2 (1 + Mi) if (i = 1) a (j * 1) трехдиагональной
матрицы
1 + M1 if (i= l)A(j= 1)
2-(l + Knr) if (i = NR) a (J > nz)
2(1 + ZR) otherwise
2 if (j = 1) a (1 < i < NR)
1 otherwise
- 2 Mi P2,j if (i= l)A(j * 1)
- MpPjj if (i= l)A(j= 1)
—2-KnR'PNR-IJ if (i = NR) a (j > nz + 1)
- 2 KNr Pnr_i j - pB if (i = NR) a (j = nz + 1)
- Ki Pi-i ,i - Mi Pi+1 j if (j = 1) A (1 < i < NR)
(KZi-ZR) pi_tij-(KZi + ZR) Pi+ij if (j * 1)a(1 < i< NR)
<1nz-i <— <1nz-1 - рА Особенности узлов на верхней границе
U <- I ProgonkaO(a?b,c,d,nz + 1 ,NZ - I) if i = NR Решение системы
ProgonkaO(a,b,c,d, l.NZ- D otherwise уравнений для каждого
i-го столбца
for jG nz +1..NZ—1 if i = NR
Pi,j Pi.j + «'(Uj - Pj j) Обновление
строки - метод ПВР
for j g 1.. NZ - 1 if i * NR
Pi.j Pi.j+“ (Uj-Pi.j)
Max max(p - P, P — p)
P<- p
k<—k + 1
k’)
P J
Проверка сходимости
итераций
Переобозначение
рассчитанного массива
507
кР2 =
101
{12,12}
к := кР2о р2 := kP2i ЧИСЛО ИТерЭЦИЙ
к = 101
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1.604 1.605 1.611 1.622 1.643 1.668 1.695 1.721
2 0 1.604 1.605 1.611 1.622 1.643 1.668 1.695 1.721
3 0 1.604 1.605 1.61 1.622 1.643 1.668 1.694 1.721
4 0 1.604 1.605 1.61 1.621 1.643 1.668 1.694 1.721
5 0 1.603 1.604 1.609 1.619 1.642 1.668 1.6S4 1.721
6 0 1.603 1.604 1.608 1.618 1.642 1.668 1.694 1.721
7 0 1.602 1.603 1,606 1.616 1.641 1.668 1.694 1.721
8 0 1.602 1.602 1.605 1.613 1.64 1.668 1.694 1.721
9 0 1.601 1.602 1.603 1.609 1.64 1.668 1.694 1.721
10 0 1.601 1.601 1.602 1.605 1.639 1.667 1.694 1.721
Р2
Максимальные относительные отклонения расчетов лоля давления простыми
итерациями и методом ПВР
-0.057
508
5. Расчет поля скоростей жидкости в межзерновых каналах
и расходов жидкости на входе и выходе
а) поле давлений рассчитано простыми итерациями
V := forie2..NR-l
for je 1..NZ
Vn, j <- —~"(и+1 .j - P' l .j)
2-Ar
for ie 1.. NR
af z л ,
VZi.i <-----(-3-Й.1 +4-pi.2 -Pi.j)
2-Az
af z x
VZi,NZ<----— VPi’KZ -4’pi,NZ-l + pi,NZ-2/
2-Az
for je 2..NZ-1
af z \
Vzi.j«-—AP. j i -Pi,j-i)
2-Az
for je 1..NZ
af / \
Vr, J «- —— (-3-P1j + 4-P2J - P3 J
2-Ar
af z \
VfNR.j <---—’(3-pNR. j - 4-pNR-l ,j + PNR-2, j)
2-Ar
fVr )
I Vz |
Проекции скорости
во внутренних узлах
Особенности узлов
на границах
Проекции скорости
во внутренних узлах
Особенности узлов
на границах
{12,12}
{12,12}
Vr := Vo
Vz := Vi
Расход жидкости через входное сечение
NR—I
Vzi nz-RI + Vznr,nz R2 V1 \
-----------------------+ Zz (Vzi,NZri)
i = 2
Расход жидкости через выпускное сечение
Q2 := 2-kR2-Az- -
Vfnrj
Ql = 5.889 x 10 4
Q2 = 5.522 х 10’
Относит погрешность расчета расхода, %
Ql -Q2
е :=—----------100
0.5-CQ1+Q2)
F = 6.421
Q1
— = 1.066
Q2
509
(Vr,Vz)
б) поле давлений рассчитано итерациями с ПВР
for ie 2..NR - 1
for je 1..NZ
Vr».j4 —”(p2i+l,j "P2i-1 .j)
2-Ar
for ie 1..NR
Vzj j <-—-(-3-p2i i +4-p2i,2 ~р21,з)
2-Az
Vzi.NZ<-----— (3-p2jNZ-4-p2iNZ_i + p2i.NZ_2)
2-Az '
for je2..NZ-l
Vzi.j «- ~“(p2i.j+l - p2i.j-l)
Проекции скорости
во внутренних узлах
Особенности
узлов
на границах
for je 1 ..NZ
af / x
Vn _j —— (-3-P2! j + 4-p22, j - p23>j)
2-Ar
VfNR.j<---— (3’P2nrj - 4-p2NR-l,j + p2NR-2,j)
Проекции скорости
во внутренних узлах
Особенности узлов
на границах
510
{12,12} Л
{12.12} J
Vr := Vo
Vz := Vi
Расход жидкости через входное сечение
Q1 := —2-л-Дг-
NR-1
Vzinz-RI +Vznr,nzR2 I \
----------2----------+ / (VziNZ-n)
i = 2
Расход жидкости через выпускное сечение
/ nz
I Vtnr 1 V’’
Q2 := 2-M-R2 Az- \ Vtnrj
1 1=2
Относит погрешность расчета расхода, %
е :=
QI -Q2
—А---------100
0.5(Ql+Q2)
г = 9.995
Q1
Q2
QI = 5.965 x 10 4
Q2 = 5.397x 10 4
1.105
(Vr.Vz)
511
Приложение 15
Пример 7.4. Решение задачи стационарной теплопроводности (уравнения
Лапласа) в цилиндрических координатах с граничными условиями Неймана
1. Решение обычными итерациями - по строкам;
2. Методом последовательной верхней релаксации по строкам.
1. Ввод функций пользователя
Метод прогонки Progonka(a,b,c,d) := хо<-О
go<— О
п «- last(d)
for ie 1.. n
go<— bj —aj-gi-i
aj-xi-i - dj
xj<---------------
go
for ie n,n — 1.. 2
Xi„l <- Xi-gi-l + Xj—]
2. Исходные данные (размерности - в системе СИ), выбор шагов сетки
Угловые координаты теплоизоляции, число шагов и шаг по оси ф
2 я
Ф1 := О Ф2 := к NF := 40 Дф ---------- Дф = 0.157
NF
Ф2
il :=--NF 11 = 20 i:=0..NF ф, := i-Дф
2-я
Радиусы: внутренний и наружный, число шагов и шаг по оси г
R1 - 0.1 R2 := 0.3 NR:=21 А R2-R1 А
Дг :=------- Дг = 0.01
NR-1
j := 1.. NR Fj := Rl + (j - 1) Дг
Коэффициент теплопроводности материала трубы 1—1.5
Граничные условия (температура и коэффициент теплоотдачи)
- на внутренней стенке Т1 := 500 Р1 := 1000
- на наружной стенке при я < ф < 2я Т2 := 300 Р2 := 500
Обобщенный коэффициент теплоотдачи на наружной стенке рг, := if(i < il,0.p2)
Сеточные константы
Ш- RR -г^ Bi' Р1^1^)2 ва-Ра-^ ДФ)2
Ar J 2 Ar Х-Ar X-Ar
Допускаемая погрешность нормы глобальных итераций (в абсолютных
единицах, т.е. а К) Eps := 10°
512
3. Обычные итерации - без релаксаций
kT := for je 1..NR
for ie 1..NF
Начальное приближение
во всех узлах
(и - текущая итерация;
Т - предыдущая итерация):
к<-0
Мах<— 1000
Обнуление счетчика
глобальных итераций
Tjj<- O.5(T1+T2)
while Мах > Eps
for jg 1..NR
for ie 1.. NF
2 (1 + Bil + RFi +RRi) if j = 1
2 (1 -l Rf NR - RRNr) if j = NR
2- (1 + RFj) otherwise
Расчет коэффициентов
трехдиагональной
матрицы
ci<- 1
di< -2 Bil Tl-2 Ti.2-(RFi+RRi) if j = 1
-2 Bi2iT2-2ui,NR_i-(RFNR-RRNR) if j = NR
-RFj/uij-i + Tjj+i) - RRj-(Titj+j - uij-i) otherwise
di <- di-TNF,j
Ф.Т dftF ~ T1, j
U <— Progonka(a,b,c,d)
for iG 1..NF
ui,j<-Ui
Max <— max(u — T ,T — u)
Решение системы
уравнений для
каждой
j-й строки
Проверка сходимости
итераций
кТ =
k«-k+ 1
Переобозначение
рассчитанного массива
к := кТ0 Т := кТ] ЧИСЛО ИТерйЦИЙ
"Сшивание" поля температур в зоне разрыва кольца Toj Tnfj
Температура на оси трубы Tjo := Т1
0 1 2 3 4 5 6 7
0 500 497.59 482.54 469.234 457.535 447.286 438.3 430.365
1 500 497.591 482.557 469.28 457.638 447.495 438.693 431.057
2 500 497.619 482.756 469.623 456.104 448.077 439.409 431.956
3 500 497.639 482.895 469.86 458.423 448.469 439.877 432.521
4 500 497.651 482.984 470.011 458.624 448.71 440.154 432.835
5 500 497.659 483.038 470.103 458.743 448.85 440.308 433.001
6 500 497.663 483.068 470.154 458.81 448.927 440.391 433.086
7 500 497.665 483.085 470.182 458.846 448.967 440.433 433.129
513
Переход от полярных к декартовым / ч . / \
осям координат X*J:== rj cos(<l»i} Yjj := ij-sinjcj);)
(X,Y,T)
и := тт Радиальные сечения поверхности уровня
514
4. Итерации с последовательной верхней релаксацией (ПВР) по
строкам
Параметр ПВР - со (от 1 до 2 - верхняя релаксация)
со := 1.15
кТ =
for j g 1.. NR
for ie 1.. NF
ITij 0.5 (TI + T2)
UiJ*" Ti,j
Начальное приближение
во всех узлах
(и - текущая итерация;
Т - предыдущая итерация):
Махе- 1000
while Мах > Eps
for j g 1.. NR
for ie 1.. NF
3i<- 1
bi<- 2-(l +Bil + RFi + RRi) if j = 1
2-( 1 + Bi2i + RFnr- RRnr) if j = NR
J 2 (1 +RFj) otherwise
Обнуление счетчика
глобальных итераций
Расчет коэффициентов
трехдиагональной
матрицы
с.с -1
di —2-Bil-Tl - 2-Tt 2-(rFi + RRi) if j = 1
-2 Bi2i-T2 - 2-uiiNR_1(RFNR- RRnr) if j = NR
-RFj-(uij-) + Tij+i) - RRj-(Tj,j+i - щ j_i) otherwise
di <- di - TNF>J
dNF<- dftF-Tij
U<— Progonka(a,b,c,d)
for ie 1.. NF
ui, j <— Ti, j + to-(Ui — Ti, j)
Max<— max(u— T,T-u)
T«-u
k«—k + 1
Решение системы
уравнений для
каждой
j-й строки
Обновление
строки - метод ПВР
Проверка сходимости
итераций
Переобозначение
рассчитанного массива
24
{41,22}
к := кТ0 Тр := кТ] ЧИСЛО ИТбраЦИЙ
к = 24
’’Сшивание’' поля температур в зоне разрыва кольца Tpoj - TpNF,j
Температура на оси трубы
Tpi,o := Т1
Максимальные относительные отклонения расчетов поля температур простыми
итерациями и методом ПВР, %
Г Тр-Т
id----с------
Lo.5-(T1 +Т2)
Тр-Т
mint---———-------100
|_0.5-(Т1+Т2)
= —0.835
515
5. Расчет поля тепловых потоков
q :=
for ie 1.. NF — 1
for jG 1..NR
Oft.) ~э \a^ThI J “ Ti-1 j)
2-грДф
for ie I..NF
Проекции потоков
во внутренних узлах
Особенности узлов
на внутренней и
. наружной
qri,NR<---—(S-Ti.NR-4-Ti nr—1 + Ti,NR_2) границах
2-Ar
for jc2..NR- 1
Проекции потоков
во внутренних узлах
for j g 1.. NR
qOnf.j <_ __L_.(T1 j _ tnf_ij)
2-ГуЛф
ГЧГ>1
l чф )
Особенности узлов
на линии разрыва
{41,22}
{41,22}
qr := qo
Ч<> := qi
Суммарный тепловой поток через внутреннюю стенку, Вт/м
NF
Q1 — Rl-Дф-Т qri,l
i = 1
Суммарный тепловой поток через наружную стенку, Вт/м
NF
Q2 := Кг-Дф-^Г qritNU
1 = 1
QI = 1.459 х 103
Q2 = 1.543x 103
Относит погрешность расчета расхода, %
QI - Q2
0-5 (QI +Q2)
100
е = -5.608
— = 0.945
Q2
Суммарный тепловой поток через теплоизоляцию, доля потерь через
теплоизоляцию
il
Q3:=R2 A<]> £ qn.NR Q3 =-0.345 =-2 ЗбЗх Ю-4
i=l Q1 '
516
. . uiи f н I и и nd
№ <. ;: .. J:
< , . JlfHHIt tiff ! I ! ft IA
. //?! t Ul I I H I I I I ' ! H V
v. , ,H П U! t I ♦ I И H M I U
: . . JltittHIIHIt lift » »
к . f : . . < . >.>7 HU Mt flHfHIHtt
< . . . . . ? | .;M ? t U * I I 7 H t Iff I ! t t I
V • . . , 7,J . . . . . > I ft ! ft * II I ItIH I If fl
/ . . ... . . 1 t t I I II t I I lift I ! I HH
> • > . < . • . . .< । I 1 fl! I ! If Iliff I f i I I I d
.<> I • < > * . ,. I I I < . . . I . I I f II I I f t I t I I I f t t • * I • I 1
I » 1 .1 t < ! I • I I I - 1 I t t 1 > I I I I t ! I t I ! Ill fit ! It I I
I I • I < I-1 I i I I I l i ♦ 1 i I I I I I til f t I I I I I t I t I f t I I ;
I. t I I < ’ 1 I I I ) I I I t I I I I I I t t t f t I t It I f ft I I I I I I
t I I t I I f t I I ) I • If ft If I f I t ! I I I I I t It H f I t I I I
I ft I *f I I I II M I I I ItI fitttИ И И! t t f ’ ’ I M I
t UH ‘ * I I i I tltflfltfltfl ?H t HI! IftffHI
HlttHiUHMi UHU И МПНН UTMf tn
t H П H H t П П H H Ш H Htfl f H И M t и H
f IHIП fHIIHI I Mini I HI! HI IШННН
6- — — z ,,,,.,,,,, .... . /Л Ду г.и----5'^-У-4-Л>. t- .
® ’ <? - - 72Й -•;. ' 30.. •' •- ’’ Д0
(qif.qr)
Приложение 16
Пимси Z-.5-. PeUfc,HHfr «иачи стаииинаинрй Теплей-нудности (уьавнрния
Пуассона) р цилиндрических к^у^диндтах с граничными : л. виями Н йадрна
Решение обычными итерациями - по строкам.
1. Ввод функций пользователя
Метод прогонки Progonka(a,b,c,d) := х0<-0
go <— о
last(d)
for ie 1 ..n
go <- bj - at-gi-i
ai-Xj-i - di
Xi<---------------
go
for ie n,n — 1 ..2
Xi-1<- Xi-gi-l+Xi-l
2. Исходные данные (размерности - в системе СИ), выбор шагов сетки
Радиусы: внутренний и наружный, число шагов и шаг по оси г (NR - нечетное > 1)
R1 := 0.1 R2 := 0.3 NR:=31 я R2-R1 з
Дг :=------ Дг = 6.667 х 10
NR- 1
j := 1..NR tj := R1 + (j - !) Дг
Радиус размещения источников, соответствующая координата j
Rq := 0.2 jq 0.5-(NR + 1) jq = 16
Минимальное число шагов и максимальный шаг по оси ф
АфтахNFmta:=-^- NFmin = 16 n := 4 NF := n-NF^ NF = 64
8 АФтах
Угловые координаты теплоизоляции, число шагов и шаг по оси ф
2-я
Ф1 ;= 0 Ф2 п Аф ~ Дф = 0.098
NF
Ф2
il :=----NF il = 32 i := 0.. NF <Ь4 := i-Дф
2-я
Угловые координаты источников и их удельные мощности
iqi := — iqi = 16 iqz •- iqi + iq2 = 20 qvl := 100
4 8-Дф
iq3 := ——E 1Q3 = 48 iq4 := iq3 + - iq4 = 52 qv2 := 200
4 8-Дф
Коэффициент теплопроводности материала трубы Z := 1.5
518
Обобщенная функция мощности источников
qvl if [(i= iqi) v (i = iq2)] л (j = jq)
qv2 if |~(i = iqa) v (i = iq4)^ A (j = jq)
0 otherwise
rj-Лф
qvij qvij ——
л-Лг
Граничные условия (температура и коэффициент теплоотдачи)
- на внутренней стенке Т1 := 500 J31 := 1000
- на наружной стенке при п < ф < 2л Т2 := 300 [32 := 500
Обобщенный коэффициент теплоотдачи на наружной стенке 02, := if (i < il,O,02)
Сеточные константы
RP-- RR г (Дф)2 Wil Р1(И1Лф)2 ^i (R2 2M>)2
( Дг1 2-Дг Х-Дг Х-Дг
Допускаемая погрешность нормы итераций (в абсолютных единицах, т.е. в Eps := 10°
К)
3. Обычные итерации - без релаксаций
кТ :=
for j g 1.. NR
for ie 1 ..NF
O.5-(T1 +T2)
Начальное приближение
во всех узлах
(и - текущая итерация;
Т - предыдущая итерация):
ке-О
Махе- 1000
Обнуление счетчика
глобальных итераций
while Мах > Eps
for je 1..NR
for ie 1 ..NF
2 (1 +Bil + RFi +RRi) if j = 1
2 (1+ Bi2j + RFnr- RRnr) if j = NR
2-(l+RFj) otherwise
Расчет коэффициентов
трехдиагональной
матрицы
-2 Bil Tl - 2 Ti,2-(RFi + RR1) if j = 1
-2Bi2i T2-2-ui,NR_i (RFNR-RRNR) if j = NR
-RFj (ui,j-i + TiJ+i) - RRj (Ti j+1 - u^-i) - qvi.j otherwise
dl <— di — Tnf,j
^NF dNF “ Tij
U e- Progonka(a,b,c,d)
for ie 1.. NF
ui,j<-Ui
Max<— max(u-T,T —u)
Те- u
k«-k+ 1
Решение системы
уравнений для
каждой
j-й строки
Проверка сходимости
итераций
Переобозначение
рассчитанного массива
519
кТ =
30
{6532}
к кТ0 Т := kTi ЧИСЛО ИТерЗЦИЙ
"Сшивание" поля температур в зоне разрыва кольца То j := Tnf j
Температура на оси трубы Т; о = Т1
0 1 2 3 4 5 6 7
0 500 496.883 483.707 471.729 460.962 451.388 442.969 435.642
1 500 496.883 483.707 471.729 460.962 451.388 442.969 435.642
2 500 496.918 483.886 472.027 461.351 451.842 443.481 436.151
3 500 496.945 484.021 472.252 461.645 452.184 443.833 436.534
4 500 496.964 484.118 472.414 461.857 452.432 444.101 436.811
5 500 496.977 484.186 472.527 462.005 452.603 444.287 437.002
6 500 496.986 484.231 472.603 462.104 452.718 444.411 437.13
7 500 496.992 484.26 472.651 462.168 452.793 444.492 437.213
Переход от полярных к декартовым , . , ,
осям координат X'.j•j'co4^v Y'.j;= rj'sin(0i,
(X,Y,T)
520
U := Т
Радиальные сечения поверхности уровня
4. Расчет поля тепловых потоков
q for iG 1 ..NF— 1
for j g 1.. NR
чФм*” 2-п-Дф (Т,+1’* Проекции потоков
во внутренних узлах
for ie 1..NF
qri j <____-_Л-3-Ti 1 +4-Ti 2“Tj 3) Особенности узлов
2-Дг ’ ’ на внутренней и
наружной
qq.NR<-----(3-T^NR- 4-Ti,NR^i + Ti,NR-2) границах
I 2-Ar
forjeS-NR-l _
J Проекции потоков
X у \ во внутренних узлах
qri j<_ _ .^T. J+1 _ т j
2-Ar
for j G 1.. NR
Особенности узлов
q<j)NF,j <-----—(T!,j - Tnf-i , j) на линии Разрыва
2-грДф
fqr1
l Чф !
(65,32}
{65,32}
qr := qo
ЧФ := qi
Суммарный тепловой поток через внутреннюю стенку и от источников, Вт/м
Q1 :=
+ 2-qvl + 2-qv2
Ql = 2.472 х 103
521
Суммарный тепловой поток через наружную стенку, Вт/м
NF
Q2 := В2-Дфqri>NR
i— 1
Q2 = 2.148 х 103
Относит погрешность расчета расхода, %
.100
O.5-(Q1 + Q2)
£ = 14.052
Q1
Q2
1.151
Суммарный тепловой поток через теплоизоляцию, доля потерь через
теплоизоляцию
il
ОЗ:=К2Дф£ qrljNR Q3 = 7.536 <^ = ЗО48х1О’3
i=i Q1
/Н!Н1ИН1ННШИ11 И II 1Н Л
h 1111 < 111111 • 11 и 11 < 1111 • 11 и Н
Ill'll’ I I I I IfI I * I f I I f I I I I 1 I I I » I I
n Illi I lOl IIHtl IM H II1I III It*.
II111 111 Illi I»t H I»111 H И 1111 H
im it m и 1111 и 1i111111 и ft 11 m 11 м it im 11 11'«111" 11 >m 1111 11
111 It I Ml IIIHt III III lift 11111 11 11 1111»11 It f It 11 IM I fl I I Ml M! 11
11 It t MH И * II M 111H H M ft 11 M ! M Hit 111 И 11 f 111111 Hit 111 HIM
im i h 1111 н H H iifiiiiiii tit н t и i и t m Hitt h 1 h h ’ 11 Hi H1111
tii ин н н • и н • 11 и»и н ti it»н nt и н । н н • и н i и ин н i н н
га
60
(чФ,Чт)
522
Приложение 17
Пример 8,1, Решение задачи нестационарной теплопроводности в плоской
стенке при наличии внутренних источников и тепловой инерции среды
методом характеристик
1. Исходные данные (размерности - в системе СИ), выбор шагов сетки
и расчет констант
толщина стенки, число шагов и шаг по оси х
6 := 0.01 N := 21 А 6 А ,.-4 . .
Дх ;=---- Дх - 5 х 10 h Дх
N—1
i := 1..N
Ширина стенки в := 0.5
Удельная мощность внутренних источников, Вт/мЗ qv := 1000
Тепловой поток слева, Вт/м2 ql := 200
Температура справа, К Т2 ;= 343
Начальная температура, К ТО := 293
Приведенные к ширине стенки мощность внутренних источников, Вт/м2
и тепловой поток слева, Вт/м
qv := qv-B qv = 500
ql := ql-B ql = 100
Теплофизические свойства материала стенки:
- коэффициент теплопроводности, Вт/(м К)
- удельная теплоемкость, Дж/(кг К)
- плотность, кг/мЗ
- время релаксации, с
Коэффициент температуропроводности, м2/с а :=-----
Ср
X := 1.3
С := 840
р := 2000
т := 10 1
а = 7.738 х 10’
Скорость распространения возмущений (наклон характеристик), м/с
Л = 2.782 х 10“3
Шаг по времени, с
At:= — At = 0.18
Л
Расчет констант
at := То-т atH := 4-at + h ath := 4-at -h ath ДОЛЖНО быть
положительным !’!
at = 2.782 x 10-4 atH = 1.613 x L0-3 ath = 6.127X l0~4
Начальное удельное теплосодержание TC0 T0-(N - 1) TC0 = 5.86 х 103
Число шагов для расчета теплосодержания М := 20
Шаг теплосодержания _
dTC :=---—- (N - 1) dTC = 50
М
523
Функция теплосодержания
Начальнье условия
N—I
Tt+TN
TC(T)--^—+ 2^
i = 2
Ti
4i := О
41 := ql
Т; := ТО
Tn := Т2
2. Блок расчета поля температур и тепловых потоков
Tt :=
T«-T
Time<— 0
to<-O
for ie 1..N
Uo,i<-Ti
|Qo,i«-qi
while TC(T) < TOO + M dTC
Time Time + At
for ie 1.. N — 1
Ui
"Ti+i ath / x h at
7------+
2 4A 2-A
P,e— (Ti-Ti+1) + — 4L±«jiL
atH V 7 atH 2
for ie2..N-l
Ui-i +1Ц ath ( x h-at
Ti^—-------—.(й_й_,) + —-qv
2-X t x ath pi—1 + pi
qi<- +—------------
atH atH 2
h
2-X
4-X-(un-i —Tn) + pN-rath + 2 at h qv
4N2-----------------------------------—
Ti <- Ui +
qi+pi
—-—+ at-qv
atH
= 0.028
x
5
TM<- TC(T)
if TM > TCO + dTC-k
k<-k + 1
At
0.556
tk <— Time
for ie 1 ..N
Uk.ieT,
U
Q
524
t := Tto U := Tt]
Q - Tt2
Моменты времени, соответствующие записям поля
температур
max(t) - 77.469
0 1 2 3 4 I 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
0 0 1 2 3 4| 7 10 13 17 21 26 31 3Z 43 51 59 69 82 98 I20 158 131
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 293 293 293 293 293 293 293 293
1 0 318.006 293.008 293 293 293 293 293 293
2 0 323.058 304.011 293.006 293 293 293 293 293
3 0 322.454 30Z.556 300.108 293.004 293 293 293 293
4 0 326.843 309.335 302.282 297.634 293.003 293 293 293
5 0 328.548 315.732 30Z.802 302.584 298.138 295.444 294.286 293.001
6 0 330.981 318.797 312.081 306.146 301.864 298.316 296.15 294.603
7 0 332.09 321.298 314.75 309.259 304.577 301.01 298.154 296.381
8 0 333.333 323.56Z 31Z.556 312.29 307.717 304.008 301.055 298.96
9 0 334.226 325.281 319.712 314.Z32 310.38 306.733 303.831 301.711
10 0 335.099 326.995 321.912 31Z.323 313.278 309.853 307.108 305.086
11 0 335.826 328.441 323.Z9Z 319.584 315.859 312.694 310.149 308.272
Поле температур (шкала времени неравномерна - см. вектор t)
525
R 0 1 2 3 4 5
0 0 100 0 0 0 0
1 0 100 22.605 0 0 0
2 0 100 2.783-Ю4 14.153 0 0
3 0 100 2.489-Ю4 1.853-Ю4 9.222 0
4 0 100 2.141-Ю4 1.611-Ю4 1.209-Ю4 6.014
5 0 100 2.218-Ю4 1.606-Ю4 1.32-Ю4 7.892-Ю3
6 0 100 1.904-Ю4 1.692-Ю4 1281-Ю4 1.032-Ю4
7 0 100 1.795-Ю4 1.569-Ю4 1.34-Ю4 1.047-Ю4
8 0 100 1.628-Ю4 1.481-Ю4 1.291-Ю4 1.08-Ю4
9 0 100 1.498-Ю4 1.386-Ю4 1.229-Ю4 1.048-Ю4
10 0 100 1.383-Ю4 1.272-Ю4 1.138-Ю4 9.839-Ю3
11 0 100 1.243-Ю4 1.165-Ю4 1.047-Ю4 9.089-Ю3
12 0 100 1.116-104 1.047-104 9.434-Ю3 8.2-Ю3
13 0 100 1.002-Ю4 9.411-Ю3 8.481-Ю3 7.375-Ю3
14 0 100 8.685-Ю3 8.155-Ю3 7.35-Ю3 6.392-Ю3
15 0 100 7.524-Ю3 7.064-Ю3 6.366-Ю3 5.536-Ю3
Поле тепловых потоков (шкапа времени неравномерна - см. вектор t)
Q
526
Приложение 18
ПРИМЕР 9.1, Решение задачи охлаждения трубы проточным
газом
Число узлов ПО ОСИ X М := 21 j := I .. м
1. Исходные данные (в системе СИ)
Геометрия трубы
Наружный диаметр трубы, м Внутренний диаметр трубы, м Длина трубы, м Свойства материала трубы, скорость газа, температуры D := 0.02 d := 0.015 L := 0.2
Теплопроводность материала трубы, Вт/(м К) At := 17
Теплоемкость материала трубы, Дж/(кг К) Ct := 500
Плотность материала трубы, кг/мЗ pt := 7800
Коэффициент температуропроводности _ At материала трубы, м2/с at at = 4.359x 10" 6
Скорость газа, м/с v := 0.2
Начальная температура трубы, С TO := 100
Начальная температура газа, С ©0 := TO ©0 = 100
Температура вводимого в трубу газа, С 60 := 15
Коэффициент теплоотдачи от трубы к газу, Вт/(м2 К) ₽ := 50
Свойства газа (воздуха) при температуре 60 град. С
Теплопроводность газа, Вт/(м К) Zg — 0.028
Теплоемкость газа, Дж/(кг К) Cg := 1000
29 273
Плотность газа, кг/мЗ pg :=-----------
22.4 273 + 60
Коэффициент температуропроводности _ Ag
газа, м2/с ag
Число Пекле по длине трубы „ v L
PeL -----
ag
Конечный момент времени tmax := Pe^-L-v-1
pg = 1.061
ag = 2.638 x 10"5
PeL = 1.516X 103
tmax = 1.516X 103
Допуск критерия окончания итераций Tol := 0.1
527
2. Расчет констант
Шаги сетки по оси х
h := —— h = 0.01 М-1 Xj := h (j - 1)
Сеточное число Фурье Fo := Ю"
Шаг сетки по времени Сеточное число Куранта
Ь2 т := —Fo т = 2.294 at г := ~~ г = 45.882 fa
Число шагов по времени N ceil(tmax-T J N = 661
Число выборок из матрицы решений
i:=O..V
Nv = 66
N := Nv-V
N = 660
Соответствующие моменты времени q := i-Nv-T
Коэффициенты при кинетических членах
4-d р
D2_d2 pt ct
р = 4.396 X 10 3 q = 12.562
3. Задание начальных условий
Uj := ТО Uj - 00 u, := 00
4. Решение исходной задачи - системы ДУЧП - с использованием итераций
на каждом временном слое
1) коэффициенты уравнения конвекции с кинетическим членом (для газа) -
(простой неявный метод)
а := 0.5-г b := 1 + q-T
а = 22.941 b = 29.819
aj a bj := b
ам:=г ЬмI+r + q-T
с := -0.5-г
с = —22.941
2) коэффициенты уравнения диффузии с кинетическим членом (для трубы) -
(простой неявный метод)
А := Fo В := 1 + 2-Fo + p-T С := Fo
А = 0.1 В = 1.21 С = 0.1
Aj := А Bj В Cj:=C
Ам := 2-Fo С| := 2-Fo
528
Uu :=
U<-U
e<0> <-H
T ® <-u
for n g 1.. N
£
k<— 0
uk<— u
Uk«—U
while (e > Tol) л (к < 6)
for j 6 2.. M
dj^-uj-q-rUkj
d2 дг — a?-60
un Progonkal(a.b.c.d.2.M)
uni 60
for j G 1 .. M
Dj<---Uj-p-т wij
Un «— Progonkat A. В. C. D)
£<~ I max(Uk - Un, Un -Uk,uk-un,un — uk)
j 1 otherwise
k«—k + 1
uk<— un
Uk<- Un
U<—Un
к - счетчик итераций
на данном временном
слое
Расчет температуры газа
uk - предпоследняя итерация,
un - последняя итерация
Расчет температуры трубы
Uk - предпоследняя итерация,
Un - последняя итерация
if к > О
Корректировка температур
газа и трубы - итерациями
Запись текущих температур
газа и трубы в матрицы 0 и Т
Uu
{22.11}
{22,11}
О := Uuo Т := Uu ।
529
Q 1 2 3 4 5 6 7 8
0 о’ 0 0 0 0 0 0 0 0
1 15 15 15 15 15 15 15 15 15
2 100 43.102 38.192 34.838 32.309 30.301 28.654 27.272 26.092
3 100 60.165 52.484 47.15 43.099 39.868 37.211 34.976 33.064
4 100 71.341 62.208 55.683 50.662 46.627 43.291 40.475 38.058
5 100 79.138 69.452 62.242 56.587 51.992 48.164 44.913 42.112
6 100 84.805 75.21 67.681 61.628 56.635 52.433 48.84 45.725
7 100 89.004 79.956 72.396 66.13 60.865 56.38 52.508 49.129
8 100 92.124 83.924 76.565 70.243 64.816 60.123 56.028 52.423
9 100 94.426 87.242 80.267 74.027 68.535 63.706 59.438 55.643
10 100 96.104 89.993 83.538 77.498 72.034 67.135 62.743 58.795
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 100 76.977 66.113 58.706 53.126 48.699 45.069 42.023 39.423
2 100 79.051 68.028 60.428 54.675 50.096 46.334 43.173 40.471
3 100 82.639 71.598 63.741 57.708 52.863 48.861 45.485 42.589
4 100 86.438 75.712 67.694 61.396 56.276 52.008 48.383 45.259
5 100 89.849 79.797 71.789 65.313 59.956 55.439 51.57 48.214
6 100 92.653 83.567 75.761 69.22 63.695 58.971 54.883 51.308
7 100 94.825 86.889 79.465 72.984 67.375 62.498 58.228 54.458
8 100 96.436 89.72 82.827 76.525 70.918 65.952 61.542 57.606
9 100 97.591 92.069 85.813 79.798 74.278 69.284 64.781 60.713
10 100 98.396 93.972 88.418 82.775 77.419 72.461 67.91 63.744
530
5. Решение исходной задачи - системы ДУ ЧП - без итераций
Uul :=
ueu
и<-и
е<°> < „
Т <-и
ie- 1
for ne 1N
for je 2..M
dj <—uj - q-T-Uj
$2 d2 *- И2- 60
ue Progonkal(a,b,c,d,2.M)
Uj 4- 60
for j G 1.. M
D^- IJj p-TU)
U <— Progonkaf A, В, C, D)
if n = i-Nv
e ® <u
т ® < - IJ
Расчет температуры газа
Расчет температуры трубы
Запись текущих температур
газа и трубы в матрицы 0 и Т
Uul
{22,11}
{22,11}
61:= Uul© Tl:=Uuli
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 15 15 15 15 15 15 15 15 15
2 100 43.231 38.302 34.941 32.407 30.395 28.745 27.36 26.176
3 100 60.37 52.663 47.317 43.259 40.022 37.36 35.12 33.203
4 100 71.586 62.432 55.895 50.865 46.823 43.481 40.658 38.236
5 100 79.398 69.703 62.485 56.823 52.22 48.385 45.128 42.321
6 100 85.061 75.47о 67.946 61.888 56.89 52.682 49.082 45.961
7 100 89.241 80.226 72.675 66.408 61.141 56.851 52.775 49.389
8 100 92.334 84.189 76.85 70.534 65.109 60.414 56.316 52.706
9 100 94.605 87.494 80.551 74.325 68.64 64.013 59.744 55.947
10 100 96.25 90.226 83.815 77.798 72.347 67.454 63.065 59.116
531
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 100 77.052 66.223 58.836 53.267 48.846 45.218 42.173 39.572
2 100 70.133 68.146 60.566 54.823 50.25 46.491 43.331 40.628
3 100 82.731 71.729 63.892 57.869 53.031 49.033 45.657 42.761
4 100 86.537 75.854 67.859 61.575 56.461 52.196 48.573 45.448
5 100 89.95 79.947 71.966 65.506 60.157 55.645 51.778 48.422
6 100 92.749 83.719 75.946 69.425 63.911 59.194 55.109 51.536
7 100 94.912 87.04 79.654 73.197 67.602 62.735 58.47 54.703
8 100 96.511 89.865 83.016 76.743 71.155 66.201 61.798 57.868
9 100 97.653 92.203 85.998 80.017 74.52 69.543 65.05 60.989
10 100 98.446 94.093 88.594 82.991 77.664 72.725 68.189 64.033
Максимальное отклонение матриц 0 и Т (чебышёвская норма),
рассчитанных с использованием итераций и без них
шах(0 - 01,61 - в) = 0.448 шах(Т - Т1 ,Т1 Т) = 0.393
532
Приложение 19
ПРИМЕР 9.3. Задача о фильтрации газа в камерном питателе
Число узлов по оси г .1 := 21 j := 1.. J
1. Исходные данные - в системе СИ
Начальное давление (абс.) в питателе, Па р0:=1-Ю5
Давление (абс.) в ресивере, Па ₽1 := 2105
Размер частиц порошка, м 8 := 2010-6
Порозность слоя частиц е := 0.37
Геометрические размеры питателя Внутренний радиус, м R] := 0.2
Наружный радиус, м R2 := 1.2
Угол при вершине конуса а := 30- deg
Температура воздуха, К Т := 293
Вязкость воздуха, Па с р := 18 10"6
Молярная масса воздуха, кг/кмоль Н := 29
Универсальная газовая постоянная, Дж/(кг К) R := 8314.5
0
2. Расчет констант Коэффициент извилистости Удельная поверхность частиц, 1/м Константа фильтрации £ £ = 1.419 6 5 S := - S = 3 х 10 5 2 af := 2-p.i;2.S2.( 1 - с)2 af = 5.283 х 10~8
533
Шаг сетки по оси х, м
R2_R1
h :=------ h = 0.05
J- 1
Сеточное число Фурье
Fo := 5
Шаг сетки по врамени, с
0.5-af-pg
т = 4.732
Сеточное число F
Столбец радиусов r(j - 1/2), квадраты радиусов
RLj .•= Rj — h + (j — 0.5)-Ь RL2.;=(RL.y
Столбец радиусов r(j + 1/2), квадраты радиусов
RUj:=R1-h + a + 0.5).h RU2j;=(RU.y
Столбец удельных объемов
сферического сегмента
Vj- | r(RUj)3-(RLj)3]
Удельные объемы граничных
сферических сегментов
0
0 0
1 0,175
2 0.225
3 0.275
4 0.325
5 0.375
6 0.425
7 0.475
8 0,525
9 0.575
10 0.625
11 0,675
12 G.725
0
0 0
1 0.225
2 0.275
3 0.325
4 0.375
5 0.425
6 0.475
7 0.525
8 0,575
9 0.625
10 0.675
11 0.725
12 Q.775
Vi:=|{(RU1)3-(R1)q
Vj:=|f(R2)3-(RLj)3l
Площадь поверхности слоя в верхней части питателя, м2
f := 2 л (1 - cos(0.5a))-R22
f = 0.308
3. Задание начальных условий, расчет массы газа и расхода газа
j:=l..J-l Uj := р0 uj:=Pj
Удельная масса газа в поровом пространстве
питателя, кг
Начальная масса газа в поровом
пространстве питателя, кг
Mc(u) := 77"
У, Uj-Vj +ui Vi+ujVj
1 = 2
МС := Mc(u) МС = 0.268
Шаг изменения массы газа в питателе
при выводе текущих давлений
Точность вычислений - ю“5
Допуск критерия окончания итераций
Tol := 10 2
Массовый расход подаваемого в
питатель воздуха
. Н щ З ит-Фщ-,+щ_2
G(u) := e-f-af-----------------
RT 2-h
534
4. Решение исходной задачи - нелинейного ДУЧП - с использованием
итераций на каждом временном слое
Весовой коэффициент е := 1
Bps <— 1
i< О
lime О
foe-0
u<— u
Ggo<~ G(u)
U <o> <~u
while Eps > TOL
Time <— Time + т
s<— 0
Uke- u
Махе- 2-Tol
U <- U - Ввод
глобальных данных в
программный блок
и - давление на явном
слое
Uk - давление на
неявном слое,
предыдущая итерация,
Un - давление на
неявном слое,
текущая итерация
while (Мах > Tol) л (s < 10)
for j е 1.. J — 1
0 if j= 1
^RLSj-tUkj + Ukj-,)
vi
otherwise
Cje-^Ru2j.(Ukj+l+ukJ)
bj
di
КЬ2?Г (uj-j)2 —(u,)2"] —RU2j*|” (uj)2-(uj+1)2-n
d, <--Щ RU2i Г(ui)2-(u2)2]’|
Особенности на
нижней границе
dj-i <—dj_] - cj-puj
Un e Progonka(a, b,c,d)
Unje- uj
se- s + 1
Max e- max(Uk - Un, Un — Uk)
Uke- Un
max(Uk-u,u- Uk)
Eps<———--------------
PO
ue- Un
Mte- Mc(u)
if Mt > MC-(1 + k) v Eps < TOL
i+ 1
ke-k + Ak
Li e- Time
Особенности на
верхней границе
Обновление значений
на s-й итерации
ц <-- Un Переобозначение:
рассчитанные значения
Un считаем новым
явным слоем и
535
UN
IO5
U ® < - u
Ggi«- G(u)
' t
U
r {39,1} '
UP = {22,39}
, f39’1) ,
t := UPo Время стабилизации поля давлений
UN := UPi TotalTime := max(t)-s TotalTime = 179.806s
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 4.732 9.463 14.195 18.927 23.659 28.39 33.122 37.854
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1.023 1.095 1.216 1.36 1.5 1.619 1.714 1.788 1.843 1.884 1.914
2 1 1.024 1.098 1.22 1.365 1.504 1.622 1.717 1.789 1.844 1.885 1.915
3 1 1.027 1.106 1.232 1.376 1.514 1.631 1.723 1.794 1.847 1.887 1.916
4 1 1.031 1.117 1.248 1.394 1.529 1.643 1.732 1.801 1.852 1.89 1.919
5 1 1.037 1.132 1.269 1.416 1.548 1.657 1.743 1.809 1.858 1.895 1.922
6 1 1.044 1.151 1.295 1.442 1.57 1.675 1.756 1.818 1.865 1.9 1.926
7 1 1.054 1.175 1.325 1.471 1.595 1.694 1.771 1.829 1.873 1.906 1.93
8 1 1.067 1.202 1.36 1.503 1.622 1.715 1.787 1.841 1.882 1.912 1.935
9 1 1.083 1.235 1.398 1.538 1.65 1.737 1.803 1.853 1.891 1.919 1.94
10 1 1.103 1.273 1.44 1.576 1.68 1.76 1.82 1.866 1.9 1.926 1.945
11 1 1.129 1.317 1.485 1.615 1.711 1.784 1.838 1.879 1.91 1.933 1.95
12 1 1.161 1.367 1.534 1.655 1.743 1.808 1.856 1.892 1.92 1.94 1.955
13 1 1.201 1.423 1.585 1.697 1.775 1.832 1.874 1.906 1.93 1.947 1.961
14 1 1.251 1.484 1.638 1.738 1.607 1.856 1.892 1.919 1.939 1.955 1.966
15 1 1.311 1.551 1.693 1.78 1.838 1.879 1.91 1.932 1.949 1.962 1.972
16 1 1.385 1.623 1.748 1.821 1.868 1.902 1.927 1.945 1.959 1.969 1.977
17 1 1.473 1.698 1.802 1.861 1.898 1.924 1.943 1.957 1.968 1.976 1.982
18 1 1.577 1.775 1.856 1.899 1.926 1.945 1.959 1.969 1.977 1.983 1.987
19 1 1.699 1.853 1.907 1.935 1.952 1.965 1.973 1.98 1.985 1.989 1.992
20 1 1.639 1.929 1.955 1.969 1.977 1.983 1.987 1.99 1.993 1.995 1.996
21 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Число шагов по времени
TotalTime _
т-s
536
UN
Массовый расход подаваемого в питатель воздуха, кг/с
Go := UP2
G0 =
2
3
4
5
6
7
т
9
10
77
12
13
14
15
О
О
0.043
4.9-10 -3
1.981-10 ~3
1.225-10 ~3
8.557-10 "4
6.267-10 -4
4.681-10
3.523-10 "4
2.654-10 "4
1.997-10 ~4
1.498-10 "4
1.121 i(T"4
8.371-10 "5
6.236-10 "5
4.639-10 -5
3.446-10 -5
537
Приложение 20
ПРИМЕР 9.4. Задача о нестационарном течении Куэтта
неньютоновской (дилатантной) жидкости.
Число узлов по оси у J := 20 j := 0.. J
1. Исходные данные - в системе СИ
Начальная скорость жидкости, м/с и0 := 0
Конечная скорость жидкости, м/с uk := 0.2
Время разгона ленты, с tk:= 10“Е 2 * *
Геометрические размеры канала
Длина ленты, м L := 0.5
Ширина ленты, м В := 0.1
Высота зазора, м Н := 0.01
Свойства дилатантной жидкости (по > 1)
Показатель степени реологической характеристики т = 1.5 z, <m'
Реологический коэффициент, Па*сЛт т := к | — I к := 10 НУ )
Плотность жидкости, кг/мЗ р := 1200
Е
2. Расчет констант
Шаг сетки по оси у, м
Н —4
h:- — h = 5xl0
J
Константа
hm:=hm hm = 1.118х 10”5
Сеточное число Фурье
Fo := 5
Шаг сетки по времени, с
^т+1
At :=----— Fo At = 3.354 x 10 6
k
538
3. Задание начальных и граничных условий, расчет расхода жидкостей
и мощности, подводимой к приводному барабану
Закон движения ленты (ГУ на верхней границе) ГУ на нижней границе
UH(t) :=
uk otherwise
U0 := О
Начальные условия
j := 1.. J - I Uj := uO од := UO uj := UH(O)
Допуск критерия окончания итераций _ ^-4
Объемным расход жидкости, мЗ/с
(J-1 Л
од +uj
—j— + 2, «j h-B
j = 1 ,
Мощность, подводимая к приводному барабану,
Вт
Число записей в массивы скорости и мощности результатов расчета
М := 30 1 := 0.. М
Расчетная продолжительность процесса, с
Tk := L5 tk Tk = 0.015
Шаг по времени между записями в массивы результатов, с
dt:=— dt=5xl0"4
М
Вектор-столбец моментов времени,
соответствующих записям в массивы U и N, с
Общее число шагов по времени
— = 4.472 х103
At
539
4. Решение нелинейного ДУЧГ1 с использованием итераций на каждом
временном слое для дилатантной жидкости
UN := i<— 1
Time О
smax<~ О
u<~ u
U <«> ^-u
jNo<- N1(u)
while Time < Tk
Time <- Time + At
s<- 0
Uk<- u
Ukj e- UH(Time)
Max*— 2 Tol
while Max > Tol
for j e 1.. J — 1
aj<-Fo.(|Ukj-UkM|)m-1
Cj<- Fo-(|Ukj+i -Ukj|1
bj <— 1 + aj + Cj
di <— di — aj-Uko
dj-i <- dj_i - cj-rUkj
Un *- Progonka(a, b, c, d)
Un0<- UO
Unj<— Ukj
I smax <— s if s > smax
s+ 1
I , r max(Uk - Un,Un — Uk)
Max*----------------------
Unj
Uk <- Un
u<— Un
if Time > tj
U ® <- u
Ni<—Nl(u)
i<— i + 1
U
N
I smax
u <- и - Ввод
глобальных данных в
программный блок
и - скорость на явном
слое
Uk - скорость на
неявном слое,
предыдущая итерация,
Un - скорость на
неявном слое,
текущая итерация
Особенности на
нижней и верхней
границах
Обновление значений
на s-й итерации
и <— Un Переобозначение:
рассчитанные значения
Un считаем новым
явным слоем ц
540
и := UN0
N := UNi
0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 0 4.879-10 -« 5.629-10 "4 1.202-10 -3
2 0 0 1.289-10 "4 1.149-10 -3 2.42-10 -3
3 0 1.803-10 -« 2.599-10 "4 1.781-10-3 3.67-10 -3
4 0 1.419-10 -10 4.56-10 '4 2.476-10 -3 4.968-10-3
5 0 4.504-10 -8 7.295-10 3.251-10-3 6.327-10-3
6 0 1.66-10 -6 1.092-10 -3 4.119-10 -3 7.759-10-3
7 0 1.53-10 1.553-10 -3 5.092-10 -3 9.277-10 -3
8 0 6.297-10 -s 2.123-10 -3 6.177-10 -3 0.011
9 0 1.685-10 “4 2.811-10 -3 7.383-10 -3 0.013
10 0 3.537-10 "4 3.624-10 -3 8.717-10-3 0.014
11 0 6.386-10 -4 4.571-10 -3 0.01 0.016
12 0 1.041-10 -3 5.658-10 -3 0.012 0.018
U
541
Зависимость от времени мощности, подводимой к приводному барабану, Вт
0
0 0
1 0.037
2 0.111
3 0.212
4 0.339
5 0.497
6 0.697
7 0.942
8 1.238
9 1.587
Зависимость от времени касательных напряжений на ленте, Па
з (и ® )j-4-(u ® )j_t + (u ®
к--------------------------------
2 h
Номер временного слоя, в котором прекращается
разгон ленты (t = tk)
tk
n :=---M и = 20
Tk
Распределение приращений скорости в окрестности момента времени tk
J — O-J
542
Приложение 21
ПРИМЕР 9.5. Задача о нестационарном течении Куэтга
жидкости Шведова-Бингама
Число узлов по оси у J := 20
1. Исходные данные - в системе СИ
Радиус приводных барабанов, м R = 0.1
Момент на нижнем приводном барабане, 1
Конечный момент на верхнем
приводном барабане, Н*м
Время стабилизации момента на верхнем
приводном барабане,с
Геометрические размеры канала
Длина ленты, м
Ширина ленты, м
Высота зазора, м
Свойства бингамовской жидкости
Начальное сопротивление сдвигу, Па
Динамическая вязкость жидкости, Па*с
Плотность жидкости, кг/мЗ
Е
2. Расчет констант
Шаг сетки по оси у, м
h:=£ h = 5xl0-4
J
Кинематическая вязкость жидкости, м2/с
Шаг сетки по времени, с
At :== — Fo
1*м Ml := 1
M2k := Ml
tk := 0.01
L := 0.5
В 0.1
H := 0.01
p := 1200 dy
Сеточное число Фурье
Fo := 0.5
— v = 8.333x 10“4
P
At = 1.5 x IO4
543
3. Задание начальных и граничных условий, расчет расхода жидкостей
и мощности, подводимой к приводному барабану
Закон изменения касательных напряжений
на верхней границе
ГУ на нижней границе
TH(t) :=
M2k J_
RB-L tk
M2k
----— otherwise
RB-L
UO := 0.002 TO :=------- TO = 200
R-B-L
Начальная скорость
uO := U0
Начальные условия
Г раничные условия
j:=O..J Tj := О
j O..J + 1 uj := uO
то := TO tj := TH(0)
UO :=UO
Допуск критерия окончания итераций
Объемный расход жидкости, мЗ/с
Мощности, подводимые к
приводным барабанам, Вт
- к нижнему
- к верхнему
Tol := 10 4
N1 - |UO-TO| -B L
N2(u,t) := |трщ| BL
Число записей в массивы U, Т, N и Q результатов расчета
М := 50 i:=0..M
Расчетная продолжительность процесса, с
Tk := 12-tk Tk = 0.12
Шаг по времени между записями в массивы результатов, с
Tk _ I
dt:=— <11 = 2.4x10
М
Вектор-столбец моментов времени,
соответствующих записям в массивы U, Т, N и Q, с
ti := i-dt
Коэффициенты трехдиагональной матрицы
aj := Fo cj := Fo bj := 1 + 2-Fo
544
4. Решение системы ДУЧП - уравнения диффузии для касательных
напряжений и реологической характеристики - для скорости сдвига
UN := i<- 1
Time<— О
u<- u
T T
и <0> «-
т <—
и <— и, т<- т - Ввод
глобальных данных в
программный блок
while Time < Tk
Time Time + At
for j g 1.. J - 1
di«- di - ai-TO
dj— 1 «- dj-i - cj_]-TH(Tiine)
т 1 Progonka(a, b - с, d)
т10 ТО
t1j<- TH(Time)
т<— Т1
uo<— U0
ио + —-(то-тО) if koi
2-р
ад otherwise
for j G 1.. J - 1
h / \ . 1
uj+l«- Uj+—• (Tj-TO) If Tj
g
Uj otherwise
UJ+1<- Щ + yi— (tj-тО) if |tj|
uj otherwise
if Time > tj
U ® < - u
T ® «- Tl
Ni<- N1 +N2(u,t)
Qi«- q(u)
i<—i+1
1
I
ь
С
> тО
> тО
Особенности на
нижней границе
Особенности на
верхней границе
Расчет поля скоростей
Запись результатов в
массивы U, T, N, Q
545
({21,51})
UN =
{22,51}
{51,1}
т := UNo
U := UNi
N := UN2 Q ••= UN3
J51’11 >
0 1 2 3 4 5 6
0 200 200 200 200 200 200 200
1 0 160.74 172.03 177.22 180.41 183.12 185.52
2 0 123.97 144.95 154.95 161.2 166.55 171.33
3 0 91.66 119.65 133.67 142.72 150.61 157.72
4 0 64.99 96.5 113.79 125.32 135.6 144.96
5 0 44.22 76.22 95.68 109.31 121.81 133.34
6 0 28.92 58.98 79.61 94.96 109.51 123.1
7 0 18.22 44.81 65.79 82.52 98.97 114.51
8 0 11.11 33.6 54.36 72.21 90.44 107.78
9 0 6.61 25.14 45.4 64.22 84.15 103.13
10 0 3.94 19.2 38.96 58.73 80.33 100.73
11 0 2.53 15.56 35.09 55.91 79.21 100.72
12 0 2.02 14.04 33.88 55.96 80.96 103.19
13 0 2.26 14.59 35.42 59.09 85.77 108.18
14 0 3.29 17.28 39.9 65.53 93.76 115.65
15 0 5.32 22.31 47.55 75.56 104.96 125.49
Umax := max(U) Umax -= 0.022
Координаты узлов для расчета скорости j := 0.. J+ 1
Yj :=
0 if j = 0
Н if j = J+l
(j-0.5)h otherwise
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09
1 0.09 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11
2 0.09 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11
3 0.09 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11
4 0.09 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11
5 0.09 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11
6 0.09 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11
7 0.09 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11
8 0.09 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11
9 0.09 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11
10 0.09 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11
11 0.09 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11
12 0-09 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11
13 0.09 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11
14 0.09 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11
15 0.09 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11 0.11
Qmax := max(Q) Qmax - 1.194x 10 5
546
0
0 0
1 0.026
2 0.032
3 0.038
4 0.044
5 0.045
6 0.045
7 0.045
8 0.045
9 0.045
10 0.045
11 0.045
12 0.045
13 0.045
14 0.045
15 0.045
547
0.025-т-
548
Приложение 22
Различные варианты трехточечной прогонки,
четырехточечная прогонка
1. Метод прогонки для индексов, начинающихся с единицы
(возвращает вектор решений системы линейных уравнений по элементам
трехдиагональной матрицы а, Ь, с и столбца свободных членов d; п - число неизвестных
нумерация индексов должна начинаться от 1, перед b должен быть "минус")
NB: Сл:= 0 (или любое другое число) вводить обязательно !!!
Progonka(a,b,c,d) :=
хо<— О
go<- О
п<— last(d)
for ie l..n
go<~ bi-argi-i
ai-Xj-i — dj
—
go
for ie n,n — 1 „2
xj_| <- Xj-gj_| + Xi-i
Нахождение корней
u := Progonka(a, b, c, d)
' 0 '
0.968
0.935
0.774
Невязка
0 '
—bj-Ul +CI-U2 — d|
82Ul “ b2-«2 + C2-U3 — d2
азиг- Ьз-из -d3
Везде нули !!!
0
0
549
2. Метод прогонки для индексов, начинающихся с нуля
ProgonkaO(a,b,c,d) :=
хо<- О
go<~ О
n<— last(d)
for ie O..n
гч- bi-ai gi-i
Ci
gi<~ ~
ai-Xj| —di
for ie n,n - 1.. 1
Xj_J <- Xj-gi-l + Xi-l
Пример решения
ГО := last(a) Ш = 4 Номер последнего элемента
_ 2 Номер первого (ненулевого) элемента
Нахождение корней 1.507
2.767
u := ProgonkaO(a,b,c,d) u = 2.574
1382
0.953
Невязка
-bo-uo + cq-U| - do
a|-uo~b| щ +C|-U2- dj
а2-Щ — b2'U2 + C2U3 — d2
аз-иг - Ьз-из + C3 U4 - dj
34U3 b4‘U4 — d4
Везде нули Ш
0
550
3. Метод прогонки от произвольного числа IL
Progonkal(a,b,c,d,IL,IU) :=
xiL-i О
giL-i<- О
for iGlL„IU
r<- bi-ai gi-1
С]
gi<---
г
aj-xj-i — dx
Xi<-----------
r
for ieiu,nj~ 1..IL + 1
X,_l <- Xj-gj-l + Xj_t
IL := 3
Нахождение корней
u := Progonkal(a,b,c,d,IL,IU)
Невязка
-Ьз-из + C3U4 — d3
84113 - b4-U4 4- C4 U5 - d<j
a5U4-b5-U5-d5
Номер первого (ненулевого) элемента
U = 0.968
0.935
0.774
'o'
о
о
о
О
0>
Везде нули!!!
О '
О
О
551
4. Метод прогонки для четырехдиагональной системы
(на 80% больше операций, чем в обычной прогонке)
Преобразование матрицы к трехдиагональному виду
(е - элементы диагонали, лежащей левее диагонали а)
Trans43(a,b.c,d.e) :=
n<— last(d)
for ie 3..n
ei
x<-------
ai-i
aj <— aj + bi—i -x
bi bi + cj_| x
dj <— dj — di—i -x
(a'
b
Преобразованные элементы матрицы и свободного столбца (е = 0, с = idem)
Нахождение корней 11
2.046
u := Progonka(A,B,C,D) 4.276
5.507
2.696
552
Невязка
О
—bi uj + ci-ui-di
a2 Ul - b2-U2 +C2-U3 - Й2
ej-uj + аз-иг — byin + cj-«4 — <h
e4’ll2 + 84-113 - Ьд-и4 — <U
Везде нули!!!
Решение методом Гаусса (проверка)
U := lsolve(M ,v)
(2.046 Л
4.276
5.507
2.696
ui — Uo = О
из-и2 = 0
U2-U1 = О
U4 — U3 — О
Везде нули - решения совпадают'!!
553
Приложение 23
ПРИМЕР 10.1, Хорошо и плохо обусловленные матрицы
N := 21 i:=l..N ORIGIN := 1 х, :=-1 +(i-1)0.1
1. Плохо обусловленная матрица
Исходная матрица, ее определитель
А :=
1 2
|а| = 1х 10 3
(З 6.001 J
Обратная к ней матрица
fe.OOlxlO3 -2х103^
А =
-3 х 103 1000 )
Число обусловленности матрицы А, выраженное через норму L1
М(А) := norml (A) norml (а~ ’) М(А) = 7.202 х 104
Уравнения прямых линий
~А(1,1)
А(|,2)
—А<2,1)
А(2,2)
Геометрическая интерпретация - линии почти совпадают
2. Хорошо обусловленная матрица
Исходная матрица, ее определитель
В :~
1 2
-3 5
|в| = 11
Обратная к ней матрица
в-’ =
0.455 -0.182
0.273 0.091
554
Число обусловленности матрицы В
М(В) = 5.091
Уравнения прямых линий
-В(2,1)
у ---------х 2 -------:
В(Ц2) В(2.2)
Геометрическая интерпретация - точка пересечения (0, 0) линий хорошо видна
555
Приложение 24
ПРИМЕР 10.2. Метод Зейделя
ORIGIN := 1 Точность расчета нормы разности на
соседних итерациях
1. Исходные данные
Исходная матрица, вектор правых частей ”
Определитель матрицы А |а| - 126
n := last(D) п = 3 i := 1 ..п
2. Поиск решения методом Зейделя
xm(A,D) :=
Мах*— 2-tol
m<— 0
п last(D)
for ie 1 „ n
IXi<- 0
Xf< Xj
while Max > toi
for ie 1.. n
X - предыдущая итерация;
x - текущая итерация
Начальное приближение
x[i] исключается из общей суммы
Max <— max(x — X ,X — x)
m<— m + 1
X<—x
xm(A,D)= 6
8.769 х 10 6
х := xm(A,D)i
m
Max
m := xm(A,D)2
Max := xm(A, D)s
Число итераций m = 6
Максимальное отклонение
на последней итерации
Мах = 8.769 х 10
Решение, полученное
методом Зейделя
"Точное" рашение, полученное
методом Гаусса
г 1.278
1.262
0.151
Невязка полученного рашения /
1.101x10
1.278
2.57 х 10 6
х-Х = -1,512х 10 7
5.745 х Ю 7
тах(у) = 1.101 х 10 5
556
3. Та же система, но первое и второе уравнение поменяли местами
Определитель матрицы А
|а| =-126
xm(A,D) =
Решение НЕ НАЙДЕНО!
Итерации расходятся!!!
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Марченко А.И., Марченко Л.А. Программирование в среде Turbo Pascal
7.0/Под ред. Тарасенко В.П. - М.: Бином Универсал, 1997. - 496 с.
2. Зубов В.С. Программирование на языке Turbo Pascal (версии 6.0 и 7.0). - М.:
Информационно-издательский дом "Филин", 1997. — 304 с.
3. Дьяконов В.П. MATHCAD 8/2000: Специальный справочник. - СПб:
Издательство "Питер", 2000. - 592 с.
4. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977. - 656 с.
5. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию). - М.:
Наука, 1977. - 440 с.
6. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. -
М.: Наука, 1976. В 2-х томах. Т. 1 - 304 с., Т.2 - 400 с.
7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнений математической физики. - М.:
Наука, 1977. - 680 с.
8. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и
инженеров. - М.: Мир, 1985. - 384 с.
9. Бабенко Ю.И. Тепломассообмен. Метод расчета тепловых и диффузионных
потоков. - Л.: Химия. - 1986. - 144 с.
10. Федоров Ф.М. Граничный метод решения прикладных задач математической
физики. - Новосибирск: Наука, Сиб. изд-во РАН, 2000. - 220 с.
11. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. - М.: Мир, 1967. -
310 с.
12. Новое в численном моделировании: алгоритмы, вычислительные
эксперименты, результаты. - М.: Наука, 2000. - 247 с. (Серия "Кибернетика:
неограниченные возможности и возможные ограничения").
13. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и
теплообмен. - М.: Мир, 1990. В 2-х томах. Т. 1. - 384 с. Т.2 - 342 с.
14. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. - М.: Мир, 1991.
Т.1 -504 с., Т.2-552 с.
558
15. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -М.: Наука, 1989. -432 с.
16. Самарский А.А., Николаев Ё.С. Методы решения сеточных уравнений. - М.:
Наука, 1978. - 592 с.
17. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. -512 с.
18. Марчук Г.И. Методы расщепления. - М.: Наука, 1988. - 264 с.
19. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач
математической физики. - Новосибирск: Наука, 1967. - 197 с.
20. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. - М.: Наука,
1973.-415 с.
21. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование
процессов тепло- и массообмена. - М.: Наука, 1984. - 288 с.
22. Островский Г.М. Прикладная механика неоднородных сред. - СПб.: Наука,
2000. - 359 с.
23. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.:
Наука, 1975.-352 с.
24. Карсроу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. — М.: Наука, 1964. - 488
с.
25. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. - М.-Л.:
Энергия, 1965. - 424 с.
26. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М.: Физматгиз, 1960. - 390 с.
27. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач
математической физики. - М.: Наука, 1999. - 319 с.
28. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики
жидкости. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 152 с.
29. Котляр Я.М., Совершенный В.Д., Стриженов Д.С. Методы и задачи тепло-
массообмена. - М.: Машиностр., 1987. - 320 с.
30. Павлов К.Ф., Романков П.Г., Носков А.А. Примеры и задачи по курсу
процессов и аппаратов химической технологии. - Л.: Химия, 1987. - 576 с.
31. Абиев Р.Ш., Островский Г.М. Моделирование процесса экстрагирования из
капиллярно-пористой частицы с бидисперсной структурой//Теор. основы
хим. технол., 2001, т.35, № 3, с. 270-275.
559
32. Абиев Р.Ш. Исследование процесса экстрагирования из капиллярно-пористой
частицы с бидисперсной структурой// Журн. прикл. химии, 2001, т.74, №5, с.
754-761.
33. Теоретическая гидромеханика /Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе; Под ред.
И.А. Кибеля. -Т. 1. -М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - 535 с.
Рекомендуемая для дополнительного чтения
34. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической
физике. - М.: ГИТТЛ, 1956. - 683 с.
35. Филиппов Л.П. Явления переноса. - М.: Изд-во МГУ, 1986. - 120 с.
36. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. - М.: Гос. изд-
во физ.-мат. лит-ры, 1961. - 112 с.
37. Стерлин М.Д. Управление теплофизическими процессами: новые модели и
алгоритмы. - СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского государственного
технического университета, 1997. - 118 с.
38. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. — М.: Мир, 1988. - 544 с.
39. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических
уравнений. - М.: Наука, 1976. - 352 с.
40. Химическая гидродинамика: Справочное пособие / А.М. Кутепов, А.Д.
Полянин, З.Д. Запрянов, А.В. Вязьмин, Д.А. Казенин. - М.: Бюро Квантум,
1996.-336 с.
41.Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. - М.: Наука, 1981. -
368 с.
42.Аэров М.Э., Тодес О.М., Наринский Д.А. Аппараты со стационарным
зернистым слоем: Гидравлические и тепловые основы работы. - Л.: Химия,
1979. - 176 с.
43. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с
частными производными: Точные решения. - М.: Международная программа
образования, 1996. - 496 с.
560
Ответы и рекомендации к решению задач
Глава 1
Вар. 1, Эллиптический. Вар. 2. Гиперболический. Вар, 3. При л >() —
эллиптический; при л <() — параболический. Вар. 4. Параболический. Вар. 5.
Параболический. Вар. 6. Гиперболический. (Указание: для определения типа
уравнения продифференцировать все слагаемые по у). Вар. 7. Параболический.
Вар, 8. Гиперболический. (Указание: для определения типа уравнения
продифференцировать все слагаемые по х). Вар. 9. Гиперболический. Вар. 10.
Эллиптический. Вар. 11, Параболический. Вар. 12. Параболический. Вар. 13.
Параболический. Вар. 14. Параболический. Вар. 15. Параболический. Вар. 16,
Параболический. Вар. 17, Параболический. Вар. 18. Гиперболический.
Глава 2
Вар. 1. Of/»2]. Вар, 2. Of/»2]. Вар. 3. Of/»2] .Вар. 4. Of/»]. Вар. 5. Of/»].
Вар. 8. См. примеры 6.2 и 9.3.
Вар. 14. В частности, для схемы ВВЦП при постоянной температуре газа можно
получить -- Д—2 = 2”^2 (р"-1У-2(р"У + (р"+1У •
Вар. 15. В частности, для схемы ВВЦП при постоянной температуре газа
'’"'г??. “ф ЫМей tfeJ, “f
Ы 2 Дг2 2rj 2Ьг
Глава 3
Общие указания: 1) Согласно методу Неймана представьте сеточную функцию в
форме и" = Лие7“гЛ, где i — мнимая единица, X — множитель роста . 2) Примите
Ввиду ограничений на объем книги ответы даны только в случаях, когда к ним нет
прямых "подсказок" в тексте книги, и они могут быть представлены в компактном виде
561
во внимание формулу Эйлера е“' =cosa + isinct. 3) Условие устойчивости
запишите в виде |Х(ш) < 1. 4) По определению модуль комплексного числа
IZi=y'[Re(X)]2+[lm(Z)]2. что совместно с условием 3) позволяет найти
ограничения на сеточные критерии Куранта и Фурье.
Вар. 1. Множитель роста Z(oj) = 1 -irsin(®/i), r = ctih. Метод абсолютно
неустойчив.
Вар. 2. Метод абсолютно устойчив. Х(ю) = (1 - zr sin(to/z))/' (l + г2 sin2 (сой)).
Вар. 3. Условие устойчивости I г j = | с \i/h < 1 Х(со) = cos(co/z)- zr sin(co/z)
Вар. 4. Множитель роста Л(о>) = ±(| -- г2 sin2 (<o/z))Vj — zr sin(o/z). Условие
устойчивости I г | = | c It 'h < 1.
Bap. 5. Множитель роста Z(co)=l-r2(l-cos(co/z))-zrsin(co/z). Условие
устойчивости I r j = I c -pjh < 1.
Bap. 6. Схема безусловно устойчива. Л(<о)=sin(co/z)j /' p + sin(co/z)^.
Bap, 7. Условие устойчивости г=ст,’Л>1. (Обратите внимание на знак
неравенства !). Х(о>) = [1 - г + г ехр(гсой)]-1.
Вар. 8. Метод безусловно устойчив. Х(со) = [1 + г - г ехр^всой)]’*, г = с x>h.
п г1 г. ~ —koh (1т-г)+(1—r)e*w^
Вар. 9. Схема безусловно устойчива. Л.(со)=е ----------—*-----~-----
v ’ (l + r)+(l-r>-'^
l-zrtg(co/z '2) .. । ,
= — - 7 —г = сип; I Л,: = 1 при любых г.
l + zrtg(cofc/2)
Вар. 10. Условие устойчивости Fo = ат/Л2 < 1/2. Х(ю) = 1 + 2Fo(cos(w/z)— 1).
Вар. 11. Метод абсолютно неустойчив. Х(ю)= 1+8Fosin2^--^, Fo = ат, /г2 .
Вар. 12. Метод безусловно устойчив. Z (со) = [1+2Fo(l - cos^/z))]”1.
„ 1О .. , „ , / \ l-Fo(l-cos(o>/i))
Вар. 13. Метод безусловно устойчив. л(®) =------у )—-((.
1 + Fo(l — cos(<oA))
562
_ ,i x 2Росо8(о/г)±л/1-4Ро281п2(о/г)
Bap. 14. Метод безусловно устойчив. Л.(ш) =----5—-— -------------.
l + 2Fo
Вар. 15. 1) При записи источникового члена на явном слое:
Х(ш)=1 + кх + 2Ро(соч(н)/г)-1)
а) при к > 0 схема абсолютно неустойчива;
б) при к <0 условие устойчивости 4Fo — кх < 2,.
2) При записи источникового члена на неявном слое :
Х(ш) = [1 + 2Fo(cos((i)A)-- кЛ()
а) при 0 < к < 2 схема абсолютно неустойчива;
б) при к < 0 условие устойчивости Fo < (2 — кт)/4;
в) при к > 2 условие устойчивости Fo < кх/4.
Вар. 16. Условие устойчивости Ро = цт/й <1/2; г <1; r = cT/h, или
2r<ReA<2/r, где ReA = r/Fo = сЛ/ц — сеточное число Рейнольдса.
Л.(<о) = 1 + 2Ро(соя((»/г)-1)- / г si п(о)Л).
Вар. 17, Условие устойчивости г = ст/'h < 1, Fo = цт/Л2 > 0.
Вар, 18. Условие устойчивости-----„ 4------- < 1/2.
’ (Дх)2 (Ду)2
1 Л Г* • ,Г - 1(
A|cox?co>J=l-4Fox sin -|~4Fo>, sin . Рекомендуется: 1) искать
Л п д п ivb.JkAy
решение в виде Uj k = А е XJ е 3 ; 2) воспользоваться тригонометрическим
тождеством sin2 (ot/2) - (1 — cos сс)/2.
Вар. 19. Схема консервативна для контрольного объема с центром в точке
(г+1/2,у —1/2).
Вар. 20. Схема консервативна для контрольного объема с центром в точке (i,j).
Вар. 21. - +
------- dt 2 дх
д2и
~^ду2'
563
Предметный указатель
А
Автомодельные решения...............13,184
Аппроксимационная
(схемная) вязкость..............143.145,146
Аппроксимация граничных условий
второго рода...................... 102
первого рода.........................99
третьего рода........................104
Аппроксимация начальных условий....... 106,118
Б
Большие задачи..................... 221
Г
Гиперболическое уравнение
теплопроводности.................367
Граничные условия................. 25,26,99
второгорода....................26,102
первого рода....................26,99
третьего рода...................26, 104
четвертого рода....................26
д
Двумерное уравнение Бюргерса для вязкого
течения........................ 297
методы решения
модифицированная схема
Брили-Макдоиальда......... 300
модифицированный метод
переменных направлений.........300
обобщенная двухслойная схема...298
Двумерное уравнение
конвекции и диффузии.............282
методы решения
двумерный вариант схемы ВВЦП...283
двухступенчатый неявный алгоритм.... 284
метод Патанкара.............. 285
Двумерное уравнение теплопроводности.231
564
аппроксимация граничных
условий Дирихле................... 236
аппроксимация граничных
условий Неймана....................236
методы решения.....................231
метод переменных направлений.....233
обобщенная двухслойная схема.....238
приближенная факторизация........240
случай анизотропной теплопроводности.. 238
случай наличия объемных источников.238
случай переменного коэффициента
теплопроводности...................237
Дивергентная форма ДУЧП.............. 89
Дифференциальное уравнение в частных
производных
каноническая форма...................18
линейное.......................... 15
однородное........................ 15
с постоянными коэффициентами.......... 15
тип
гиперболический....................361
параболический..........15,17,18,179
эллиптический...........15,17,18,311
3
Задача Коши........................26,125
Задача нестационарного течения Куэтга
дилатантной жидкости................398
жидкости Шведова-Бингама...........403
Задача нестационарной ламинарной
фильтрации газа......................392
Задача сопряженного теплообмена.......380
Задача экстрагирования из капиллярно-
пористой частицы................... 385
Задачи математической физики
нестационарные.....................26,36
стационарные.......................27,36
Закон Фурье.......................... 48
к
*
Краевые задачи.........................26
Краевые условия......................25
Л
Линейное уравнение переноса..........124
Линии (поверхности)
характеристик..................16,125, 361
М
Метод дробных шагов..................62,242
Метод модифицированного уравнения....258
Метод прямых (полудискретизации).....229
Методы построения конечно-разнсстиых
аналогов ДУЧП
интегро-интерполяционный метод......60
метод контрольного объема...........47
метод разложения функции в ряд Тейлора. 43
Метрика.............................. 33
Многомерное уравнение переноса........138
Многомерное уравнение теплопроводности.. 230
метод переменных направлений для
трехмерного случая.............241
Модельные ДУЧП........................113
Н
Начальные условия....................25, 106
Невязка..............................33, 39
Нелинейное уравнение теплопроводности ....217
методы решения
линейный вариант.................218,219
нелинейный вариант..........218,219
Нерегулярное поведение схем...........148
Нестационарная краевая задача..........26
Норма................................ 34
Норма матрицы.........................419
О
Обобщенное одномерное уравнение
диссипации, конвекции и кинетики
методы решения................... 272
степенная схема.................276
Одномерное нестационарное уравнение
конвекции н диффузии
метод Патанкара...................273
Одномерное уравнение Бюргерса для вязкого
течения...........................289
методы решения
метод Аллена-Чена............. 292
метод ВВЦП......................291
метод Мак-Кормака...............293
схема Браиловской...............292
схема Кранка-Николсоиа..........294
Одномерное уравнение
конвекция и диффузии.................257
методы решения
схема ВВЦП......................267
схема Дюфорта-Франкела..........268
схема Кранка-Николсона с разностями
против потока................271
схема Лакса-Вендроффа...........269
шеститочечная схема
типа Кранка-Николсона........270
Одномерное уравнение теплопроводности
методы решения
метод Дюфорта-Франкела........ 190
метод Кранка-Николсона..........192
метод разделения переменных.....183
метод Ричардсона................189
обобщенная двухслойная схема....192
обобщенная трехслойная
неявная схема.............. 195
простой неявный метод...........191
простой явный метод.............186
трехслойная чисто неявная схема.196
Описание движения сплошной среды
подходы Лагранжа н Эйлера....... 165
Первое дифференциальное приближение..144
Погрешность аппроксимации (см. также
невязка)..........................36. 39
565
порядок............ ..............39
Порядок точности.................... 69
Правило нулевого дисбаланса...........90
Правило положительности коэффициентов
(Патанкара)............-.........262
Принцип (метод) расщепления...........62
Прогонка..............................415
обратный ход.......................417
прямой ход........................417
Пространственный профиль.............116
Пространство
банахово..........................34
гильбертово........................ 34
евклидово..........................34
линейное нормированное.—...........34
метрическое........................33
полное...........................33
нормированное............. .......34
Р
Разности, вперед (по потоку)........28,38
Разности назад (против потока).....28, 39
Разностные производные.................28
Распространяющаяся волна..............120
Растепление по физическим процессам....64
Регуляризация схем....................148
неявное сглаживание................151
явное сглаживание..................149
С
Свойство монотонности.................140
Свойство позитивности...-.............140
Сетка................................... 27
неравномерная ......................46
равномерная.........................27
слой................................. 31
узлы
нерегулярные........................32
регулярные.......................32
фиктивные.......................103
шаг.................................27
СЛАУ
влияние погрешностей округления.......423
итерационные методы решения........426
блочные (неявные) методы.........315
метод Зейделя....................427
метод чередующихся движений по
столбцам и строкам...............318
метод Якоби......................427
последовательная верхняя и нижняя
релаксация.......................314
последовательная верхняя
релаксация по строкам............316
скорость сходимости.............434
сходимость.......................432
коэффициентная устойчивость........419
прямые методы решения..............410
метод Гаусса......................411
Устойчивость..................... 418
устойчивость по правой части.......420
Смешанная краевая задача...............26
Согласованность разностных схем....69,130
Стационарное уравнение конвекции
и диффузии............................260
Схемы разностные.......................28
бегущего счета.....................133
двухслойные.........................75
дисперсионные свойства.............146
диссипативные свойства.............146
консервативные.......—..............89
иеконсервативные................. 93
неявные.......................... 31
полностью консервативные...........94
трехслойные........................106
шаблон........................... 30
явные..............................30
Сходимость
в среднем..............................35
равномерная...................... 34
среднеквадратичная.................35
Сходимость разностных схем.............67
566
ложная.............................89
численный метод анализа............ 88
Т
Теорема об эквивалентности.............68
Трехдиагональиая матрица...............415
У
Уравнение Бюргерса
для вязкого течения.................289
для невязкого течения...............151
методы решения....................156
метод Бнма-Уорминга............164
метод Кранка-Николсона.........164
метод Лакса....................157
метод Лакса-Вендроффа..........159
метод Мак-Кормака..............160
однородные схемы...............156
схемы с выделением особенностей. 157
нелинейная неустойчивость.........167
сильный разрыв решения............156
слабый разрыв решения.............155
типы краевых условий
второй.........................153
первый.........................153
третий........................ 155
четвертый......................156
Уравнение конвективного переноса.......124
дополнительные сеточные граничные
условия......................... 135
методы решения......................128
комбинированные аппроксимации.....133
неявная четырехточечиая
схема Эйлера...................134
сравнение явных и неявных схем....139
схема Кранка-Николсоиа............134
схема Лакса.......................129
схема Лакса-Вендроффа.............137
схема Мак-Кормака.................137
явная четырехточечная схема (Эйлера)! 29
Уравнение Лапласа..................18, 311
Уравнение Пуассона...................19, 311
Уравнение теплопроводности с переменным
коэффициентом теплопроводности.........197
Уравнения газодинамики.................165
в лагранжевых координатах...........167
искусственная вязкость..............170
методы решения......................172
Уравнения гиперболического типа... 16,113, 361
методы решения
неявная схема с весами...........120
схема "крест”....................118
формула Даламбера................113
одномерное волновое уравнение.......113
Уравнения параболического типа.........179
качественные свойства решений.......181
модельные уравнения.................179
одномерное уравнение
теплопроводности...................180
Уравнения эллиптического типа..........311
методы решения
диагональная пятиточечная схема....312
девятиточечная схема.............312
пятиточечиая схема Рунге.........312
Условие преобладания диагональных
элементов..............................417
Условие согласованности с начальными
данными................................127
У словие устойчивости Куранта Фридрихса—
Леви....................................86
Устойчивость разностных схем............71, 77
асимптотическая.................77,195
безусловная.........................75
по начальным данным.................78
равномерная..................... 78
по правой части.....................78
слабая..............................76
способы исследования................77
метод разделения переменных.......80
геометрическая интерпретация....83
множитель роста................81
567
признак неустойчивости..........82
признак устойчивости............82
спектр множителя роста..........83
принцип максимума..................77
условная...............................75
Ф
Формула Максвелла..................... 367
X
Характеристическое уравнение............365
Ч
Численный метод характеристик...........367
Число Био сеточное......................205
Число Куранта сеточное...................86
Число обусловленности матрицы...........422
Число Пекле.............................124
Число Пекле сеточное....................261
Число Рейнольдса сеточное...............291
Число Фурье сеточное................... 83
Оглавление
предисловие______________________________________________— з
Основные условные обозначения.................................7
Список сокращений.............................................8
ВВЕДЕНИЕ_________________________________________.______________9
Что такое уравнения в частных производных?..................9
Почему инженеру необходимо изучать методы решения ДУЧП......9
Существующие методы решения ДУЧП...........................11
ГЛАВА 1. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА.............................................. 15
1.1. Некоторые наиболее важные уравнения в частных производных 18
Задачи......................................................23
ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ СХЕМ: МЕТОДЫ
КОНТРОЛЬНОГО ОБЪЕМА, РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ТЕЙЛОРА И
ИНТЕГРО-ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ .......................................25
2.1. Основные понятия теории разностных схем: введение......25
2.1.1. Понятия метрического пространства, метрики и нормы.33
2.2. Основные понятия теории разностных схем : продолжение.36
2.2.1. Примеры аппроксимации частных производных. Погрешность
аппроксимации............................................38
2.3. Конечно-разностная аппроксимация уравнений
в частных производных..................................42
2.3.1. Погрешность аппроксимации уравнения в целом.......42
2.3.2. Методы построения конечно-разностных схем.........43
2.4. Разложение функции в ряд Тейлора......................43
2.5. Метод контрольного объема.............................47
2.6. Интегро-интерполяционный метод........................60
569
2.7. Принцип растепления.......................................62
Задачи.........................................................64
ГЛАВА 3. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ СХЕМ.
ДИВЕРГЕНТНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ УРАВНЕНИЙ-------------------------- 67
3.1. Понятия сходимости, согласованности и устойчивости........67
3.1.1. Сходимость разностных схем............................67
3.1.2. Согласованность разностных схем.......................69
3.1.3. У стойчивость разностных схем.........................71
3.2. Устойчивость конечно-разностных схем......................71
3.2.1. Предварительные сведения..............................72
3.2.2. Основные понятия......................................74
3.3. Способы исследования устойчивости конечно-разностных схем.77
3.3.1. Принцип максимума.....................................77
3.3.2. Метод разделения переменных (метод Неймана)...........80
3.3.3. Численный метод анализа сходимости....................88
3.4. Дивергентная форма записи уравнений в частных производных.89
Задачи.........................................................95
ГЛАВА 4. АППРОКСИМАЦИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ...........................99
4.1. Аппроксимация граничных условий первого рода (Дирихле)....99
4.2. Аппроксимация граничных условий второго рода (Неймана)...102
4.3. Аппроксимация граничных условий третьего рода (Робина)...104
4.4. Проблемы аппроксимации начальных условий.................106
Задачи........................................................109
ГЛАВА 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА..............................................ИЗ
5.1. Волновое уравнение........................................ИЗ
5.1.1. Вводные понятия......................................113
5.1.2. Разностные методы решения волнового уравнения........117
Схема "крест".......................................118
570
Неявная схема с весами....................................120
5.2. Уравнение конвективного переноса.........................124
5.2.1. Вводные понятия......................................124
5.2.2. Разностные методы решения уравнения переноса.........128
Схема "явный правый уголок" (с разностями по потоку)......128
Схема "явный левый уголок" (с разностями против потока)...128
Явная четырехточечная схема "тренога" (схема Эйлера).... 129
Схема Лакса...............................................129
Схема "ориентированный уголок"............................130
Схема "крест".............................................130
Схема "чехарда"...........................................131
Схема "неявный левый уголок"..............................132
Схема "неявный правый уголок".............................132
Схема "прямоугольник".....................................133
Комбинированные аппроксимации.............................133
Неявная четырехточечная схема Эйлера......................134
Схема Кранка-Николсона....................................134
Дополнительные сеточные граничные условия.................135
Схема Лакса-Вендроффа.....................................137
Схема Мак-Кормака.........................................137
Многомерное уравнение переноса............................138
Сравнение явных и неявных схем............................139
5.2.3. Качественные свойства схем первого порядка точности..140
Свойство позитивности.....................................140
Свойство монотонности.....................................140
Диссипативные схемы.......................................142
Аппроксимационная вязкость................................143
Диссипация, дисперсия, диффузия численных решений.........146
5.2.4. Регуляризация схем второго порядка точности..........148
Вводные замечания.........................................148
Примеры нерегулярного поведения схем второго порядка точности. 148
571
Регуляризация (сглаживание) и искусственная вязкость......149
5.3. Невязкое уравнение Бюргерса..............................151
5.3.1. Первый случай.......................................153
5.3.2. Второй случай.......................................153
5.3.3. Третий случай.......................................155
5.3.4. Четвертый случай....................................156
5.3.5. Разностные методы решения невязкого уравнения Бюргерса
(квазилинейного уравнения переноса)...........................156
Метод Лакса...............................................157
Метод Лакса-Вендроффа.....................................159
Метод Мак-Кормака.........................................160
Неявные методы........................................... 164
5.4. Одномерные уравнения газодинамики........................165
5.4.1. Введение........................................... 165
Подходы Лагранжа и Эйлера к описанию движения
сплошной среды............................................165
Уравнения газодинамики в лагранжевых координатах.............167
5.4.2. Псевдовязкость (искусственная вязкость)................170
5.4.3. Разностные методы решения уравнений газодинамики.......172
Схема "крест"................................................172
Задачи...........................................................175
ГЛАВА 6. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.............................................179
6.1. Параболические уравнения, краевые задачи и свойства решений.179
6.1.1. Модельные уравнения....................................179
6.1.2. Краевые задачи и свойства решений......................180
Краевые задачи..............................................180
Качественные свойства решений параболических ДУЧП...........181
6.2. Одномерное уравнение теплопроводности.......................182
6.2.1. Одномерное уравнение теплопроводности..................182
572
6.2.2. Явные схемы для одномерного уравнения теплопроводности.186
Простой явный метод.......................................186
Метод Ричардсона..........................................189
Метод Дюфорта-Франкела....................................190
6.2.3. Неявные схемы для одномерного уравнения теплопроводности.. 191
Простой неявный метод.....................................191
Метод Кранка-Николсона....................................192
Обобщенная двухслойная схема и ее свойства................192
Обобщенная трехслойная неявная схема......................195
Наилучшая двухслойная схема для одномерного уравнения
теплопроводности......................................... 197
6.2.4. Наилучшая схема для одномерного уравнения теплопроводности
в цилиндрических и сферических-координатах..................215
6.2.5. Методы решения нелинейного уравнения теплопроводности..217
6.2.6. Метод прямых (полудискретизации).....................229
6.3. Многомерное уравнение теплопроводности..................230
6.3.1. Двумерное уравнение теплопроводности.................231
6.3.2. Методы решения двумерного уравнения теплопроводности...231
Продольно-поперечная схема (метод переменных направлений)...233
Аппроксимация граничных условий Дирихле...................236
Аппроксимация граничных условий Неймана...................236
Переменный коэффициент теплопроводности...................237
Анизотропная теплопроводность.............................238
Объемные источники........................................238
Обобщенная двухслойная схема..............................238
Метод переменных направлений для трехмерного случая.......241
Локально-одномерная схема (метод дробных шагов)...........242
Уравнение конвекции и диффузии............................257
6.4.1. Одномерное уравнение конвекции и диффузии............257
О методе модифицированного уравнения (первого
дифференциального приближения)............................258
573
Стационарное уравнение конвекции и диффузии..............260
I ‘Явные методы решения одномерного уравнения
^конвекции и диффузии......................................267
( I; Неявные методы решения одномерного уравнения
АЙэнвекпии и диффузии....................................270
Методы решения обобшенного одномерного уравнения диссипации,
конвекции и кинетики...................................272
Метод Патанкара........................................273
6.4.2. Двумерное уравнение конвекции и диффузии..........282
Явные схемы............................................283
Неявные схемы..........................................283
Метод Патанкара........................................285
6.5. Уравнение Бюргерса для вязкого течения................289
6.5.1. Одномерное уравнение Бюргерса для вязкого течения.289
Явные схемы............................................291
Метод разностей вперед по времени и центральных разностей
по пространству (ВВЦП).................................291
Схема Браиловской......................................292
Метод Аллена-Чена......................................292
Метод Мак-Кормака......................................293
Неявные схемы..........................................293
6.5.2. Двумерное уравнение Бюргерса для вязкого течения..297
Обобщенная двухслойная схема...........................298
Неявные методы переменных направлений..................300
Задачи.....................................................301
Задачи на одномерное уравнение теплопроводности (диффузии).301
Задачи на двумерное уравнение теплопроводности (диффузии)..307
Задачи на одномерное уравнение конвекции и диффузии....308
Задачи на одномерное вязкое уравнение Бюргерса.........309
ГЛАВА 7. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА...........................................311
574
ТА. Уравнение Лапласа........................................311
7.2. Уравнение Пуассона........................................311
7.3. Конечно-разностные методы решения эллиптических уравнений.312
7.3.1. Пятиточечная схема Рунге............................312
7.3.2. Девятиточечная схема................................312
7.3.3. Диагональная пятиточечная схема.....................312
7.4. Специальные итерационные методы решения систем линейных
алгебраических уравнений.....................................314
7.4.1. Методы последовательной верхней и нижней релаксации.314
7.4.2. Блочные (неявные) итерационные методы...............315
7.4.2.1. Последовательная верхняя релаксация по строкам..316
7.4.2.2. Неявные методы переменных направлений...........318
Метод чередующихся движений по столбцам и строкам........318
Метод Писмена-Ракфорда...................................319
Задачи.......................................................349
ГЛАВА 8. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ
РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.......................................... 361
8.1. Понятие о характеристиках уравнений в частных производных.361
8.2. Уравнение характеристик для гиперболических систем......365
8.3. Решение методом характеристик гиперболического уравнения
теплопроводности.............................................367
Задачи..................................................... 377
ГЛАВА 9. ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ
ГИДРОДИНАМИКИ, ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА........................... 380
ГЛАВА 10. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ........................................410
10.1. Метод Гаусса...........................................411
Алгоритм расчета по методу Гаусса..........................414
575
10.2. Метод прогонки.........................................415
10.3. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений..418
10.3.1. Устойчивость систем линейных алгебраических уравнений.418
10.3.2. Число обусловленности..............................421
10.3.3. Полная оценка относительной погрешности............422
10.3.4. Влияние погрешностей округления при решении систем
линейных алгебраических уравнений методом Гаусса...........423
10.4. Итерационные методы решения систем линейных
алгебраических уравнений.....................................426
10.4.1. Итерационные методы Якоби и Зейделя................426
10.4.2. Матричная запись методов Якоби и Зейделя...........429
10.4.3. Каноническая форма одношаговых итерационных методов...431
10.4.4. Примеры итерационных методов.......................431
10.5. О сходимости итерационных методов......................432
Задачи.......................................................435
Приложения.................................................... 437
Литература.......................................................558
Ответы и рекомендации к решению задач............................561
Предметный указатель.............................................564