Т. П. Лукашенко, В. А. Скворцов,
А. П. Солодов
ОБОБЩЕННЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
Издание второе
URSS
МОСКВА

ББК 22.161
Лукашенко Тарас Павлович,
Скворцов Валентин Анатольевич,
Солодов Алексей Петрович
Обобщенные интегралы. Изд. 2-е. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ»,
2011. —280 с.
В настоящей книге излагаются основы современной теории обобщенных
интегралов, применяемых в действительном анализе. Представлены результаты
новейших исследований в этой области, в том числе некоторые из
результатов, полученных авторами книги. Основное внимание уделено конструкции
Хенстока—Курцвейля, позволяющей определить интеграл Лебега и ряд других
интегралов в терминах обобщенных сумм Римана. Представлена также теория
интегрирования функций, принимающих значения в банаховых пространствах.
Первая часть книги может служить основой изложения теории интеграла в
университетском курсе математического анализа, в котором интегралы Римана и Лебега
вводятся одновременно как два частных случая одной и той же конструкции.
Книга предназначена для студентов и аспирантов математических
факультетов университетов и всех интересующихся теорией интегралов и их применением.
Издательство «Книжный дом "ЛИБРОКОМ"».
117335, Москва, Нахимовский пр-т, 56.
Формат 60x90/16. Печ. л. 17,5. Зак. № 4614.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, 11 А, стр. 11.
ISBN 978-5-397-02028-2 © Книжный дом «ЛИБРОКОМ»,
2009,2011
10333 ID 123423
II НИШИ II
. 785397,102028211
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то
электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельца.
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
URSS
E-mail- URSS@URSS ru
Каталог изданий в Интернете
http://URSS.ru
Тел /факс (многоканальный)*
+ 7 (499) 724-25-45

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 6
Часть 1. Римановская теория
интегрирования 9
Глава 1. Предел функции по базе 10
§ 1. Предварительные сведения и определения 10
§ 2. Свойства пределов по базе 10
Глава 2. Определенные интегралы римановского типа .. 18
§ 1. Определенные интегралы
Римана, Мак-Шейна и Хенстока-Курцвейля 18
§ 2. Внешняя мера Лебега и другие сведения из теории меры . 31
§ 3. Классы интегрируемых функций 39
Глава 3. Неопределенные интегралы 49
§ 1. Определения и простейшие свойства 49
§ 2. Неопределенные интегралы Мак-Шейна и Хенстока-
Курцвейля 51
§ 3. Абсолютная интегрируемость 58
Глава 4. Интегралы Стилтьеса 63
§ 1. Интегралы Римана-Стилтьеса, Мак-Шейна-Стилтьеса и
Хенстка-Курцвейля-Стилтьеса 63
§ 2. Классы интегрируемых функций 70
§ 3. Неопределенные интегралы Стилтьеса 76
Глава 5. Предельные переходы под знаком интеграла 80
§ 1. Предельный переход в последовательностях
измеримых функций 80
§ 2. Монотонный предельный переход под знаком интеграла.. 83
§3. Интегралы Мак-Шейна и Хенстока-Курцвейля от
неотрицательных функций 87
§ 4. Ограниченные предельные переходы под знаком интеграла
Мак-Шейна 88

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Пространства Лебега и их свойства 91
Часть 2. Дескриптивные характеристики интегралов 97
Глава 6. Класс неопределенных интегралов Мак-Шейна 98
§ 1. Абсолютно непрерывные функции 98
§ 2. Дифференцируемость почти всюду 101
§ 3. ЛС-функции — неопределенные интегралы Мак-Шейна.
Интеграл Лебега 106
Глава 7. Дополнительные сведения из теории меры.
Вариационная мера 110
§ 1. Внешняя мера и измеримость в смысле Каратеодори 110
§ 2. Метрическая внешняя мера 116
§ 3. Вариационная мера 119
Глава 8. Дескриптивные определения интегралов 126
§ 1. Дескриптивное определение интеграла Хенстока-
Курцвейля на основе вариационной меры 126
§ 2. Класс ACG6 128
§3. Класс VBG* 132
§ 4. Класс ACG*. Свойство N Лузина. Узкий интеграл Данжуа 137
§5. Эквивалентность узкого интеграла Данжуа интегралу
Хенстока-Курцвейля 145
Глава 9. Интеграл Перрона 149
§ 1. Общность Р-интеграла 153
§ 2. /^-вариация и Ро-интеграл 156
Часть 3. Интегрирование вектор-функций 163
Глава 10. Интегралы Римана и Дарбу 164
§ 1. Интеграл Римана 164
§ 2. Интеграл Дарбу 172
§ 3. Взаимоотношение интегралов Римана и Дарбу 175
Глава 11. Измеримые функции 181
§ 1. Сходимость по мере 181
§ 2. Простейшие свойства измеримых функций 182
§ 3. Почти равномерная сходимость 183
§ 4. Теорема Егорова 186
§ 5. Критерий измеримости 187
§ 6. Теорема Петтиса об измеримости 190
Глава 12. Интегралы Бохнера и Мак-Шейна 192

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 1. Понятие интеграла для простых функций 192
§ 2. Распространение интеграла на измеримые функции 195
§ 3. Простейшие свойства интеграла Бохнера 197
§ 4. Интеграл Мак-Шейна 199
§ 5. Вариационный интеграл Мак-Шейна 204
§6. Эквивалентность интеграла Бохнера и вариационного
интеграла Мак-Шейна 206
Глава 13. Свойства интеграла Лебега
для банаховозначных функций 213
§ 1. Критерий интегрируемости 213
§ 2. Абсолютная интегрируемость 215
§ 3. Свойства неопределенного интеграла 215
§ 4. Предельные теоремы 218
§ 5. Пространство С {[а, Ь],Х) 222
Глава 14. Интегралы Данжуа и Хенстока—Курцвейля — 225
§ 1. Интеграл Хенстока-Курцвейля 225
§ 2. Вариационный интеграл Хенстока-Курцвейля 227
§ 3. Интеграл Данжуа 229
§ 4. Дескриптивное определение интеграла Лебега 237
§ 5. О лемме Колмогорова-Хенстока 239
§ 6. Теорема о равномерной интегрируемости 247
Приложение 253
§ 1. Банаховы пространства 253
§ 2. Линейные отображения банаховых пространств 254
§ 3. Специальные пространства 255
Комментарии 256
Список литературы 263
Предметный указатель 272

Введение
Теория интеграла является одним из фундаментальных разделов
анализа и служит основой применения методов анализа в теории
вероятностей, математической физике и других смежных математических
дисциплинах.
При этом широкий круг задач обслуживается интегралом Лебега.
Однако, как для некоторых внутренних задач теории функций
действительного переменного, так и для отдельных задач комплексного
анализа, гармонического анализа, теории дифференциальных
уравнений, теории вероятностей потребовалось ввести различные обобщения
интеграла Лебега. Эта потребность связана с тем, что интеграл
Лебега является так называемым абсолютным интегралом, в то время
как некоторые из упомянутых задач требуют процесса
интегрирования, при котором интегрируемость функции может быть обеспечена за
счет интерференции положительных и отрицательных значений
функции, как это имеет место, например, в случае несобственного
интеграла Римана. Другими словами, для этих задач требуется
интегрирование, являющееся непрерывным аналогом условной сходимости ряда
или суммирования расходящегося ряда каким-нибудь регулярным
методом.
Наиболее известными из такого рода обобщений интеграла Лебега
являются интегралы Данжуа и интеграл Перрона. Эти интегралы
были введены прежде всего для решения одной из основных задач
классического интегрального исчисления — задачи восстановления
первообразной по точной конечной производной (как известно, интеграл
Лебега решает эту задачу лишь при условии суммируемости
производной). Тем самым эти интегралы были призваны завершить
согласование двух классических подходов к интегрированию, один из которых
рассматривает интегрирование как обращение операции
дифференцирования, а другой — как конструктивный процесс вычисления,
включающий суммирование и предельные переходы, как это имеет место,
например, при вычислении площади криволинейной трапеции.
Теория интегралов Данжуа-Перрона была изложена в хорошо
известной специалистам монографии С.Сакса "Теория интеграла",
вышедшей в русском переводе в 1949 году и отразившей состояние теории

ВВЕДЕНИЕ
7
к моменту своей публикации. Во второй половине XX века теория
интеграла бурно развивалась. При этом в исследованиях последних
десятилетий все более заметное место стала занимать предложенная в
начале 60-х годов конструкция Хенстока-Курцвейля, определяющая
интеграл в терминах обобщенных сумм Римана. Конструкция оказалась
перспективной как в отношении возможностей ее обобщения на
случай абстрактных пространств, так и по части приложений. Несколько
позже Мак-Шейн показал, что и интеграл Лебега в Rn может быть
определен с помощью варианта этой конструкции. Тем самым
подход Хенстока-Курцвейля приобрел и методичекий интерес, позволяя
в университетских курсах математического анализа определять
интеграл Римана и Лебега одновременно как два частных случая одной и
той же конструкции.
Теории интеграла Хенстока-Курцвейля посвящена обширная
литература на английском языке, в том числе ряд монографий. Однако
на русском языке эта тематика представлена лишь журнальными
публикациями и небольшой книгой С.Ф. Лукомского "Интегральное
исчисление", выпущенной в 2005 году издательством Саратовского
университета и представляющей собой введение в теорию.
Целью настоящей книги является систематическое изложение
современной теории обобщенных интегралов, применяемых в
действительном анализе. В ней представлены результаты новейших
исследований в этой области, в том числе некоторые из результатов авторов
книги.
В первой части книги представлены основы римановской теории
интегрирования. Свойства интегралов Римана, Мак-Шейна и
Хенстока-Курцвейля изучаются параллельно. Рассматриваются стилтьесов-
ские варианты этих интегралов. Первая часть заканчивается
теоремами о предельном переходе под знаком интеграла. Вторая часть
посвящена, в основном, изучению характеристических свойств
неопределенных интегралов, на основании которых можно получить различные
дескриптивные определения рассматриваемых интегралов. В
частности, здесь доказывается, что интеграл Мак-Шейна на отрезке
действительной прямой эквивалентен дескриптивно определенному
интегралу Лебега, а интеграл Хенстока-Курцвейля эквивалентен интегралу
Данжуа-Перрона. Третья часть книги является введением в
интенсивно развивающуюся область исследований, касающихся
интегрирования функций, принимающих значения в банаховых пространствах.
Некоторые сведения по истории развития изложенной здесь теории
обобщенных интегралов приведены в помещенных в конце книги
комментариях к каждой главе.
В книге использованы материалы спецкурсов, читаемых авторами
на механико-математическом факультете МГУ, а третья часть книги
существенно опирается на материалы кандидатской диссертации
одного из соавторов, А.П.Солодова.

8 ВВЕДЕНИЕ
Книга предназначена студентам и аспирантам математических
факультетов университетов и всем интересующимся теорией интегралов
и их применением.
Авторы выражают сердечную благодарность Т.А.Своровской
(Жеребьевой), которая взяла на себя труд редактирования и
подготовки рукописи к печати.

Часть 1
РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Глава 1
Предел функции по базе
§ 1. Предварительные сведения и определения
В определении интегралов римановского типа ключевую роль
играет понятие предела функции по базе множеств, которое обобщает
понятия предела последовательности, предела функции и ряд других
понятий предела.
Определение 1.1. Система 03 непустых подмножеств непустого
множества М называется базой (или базисом фильтра, предфильт-
ром) в множестве М, если для любых подмножеств системы В\ и
Вч существует подмножество системы В С В\ П В^. Множества из 03
называются элементами (или окончаниями) базы.
Определение 1.2. Действительнозначная (или комплексно-
значная) функция / имеет предел по базе 03, равный числу Ь
(соответственно, действительному или комплексному), если / определена
на некотором элементе базы и для любой ^-окрестности U£(b) = {t e
Ш (е С) : \t — b\ < е} точки b существует элемент базы В, который
отображается функцией / в эту е-окрестность, f{x) 6 U£(b) для всех
х G В. Предел b функции / но базе 03 обозначим lim/.
Примеры 1.3. а) Пусть а — предельная точка множества А (то
есть в любой проколотой .s-окрестности U'£{b) = U£{b) \ {b} точки b
найдутся точки множества В), 03 = {В : В = U'5{a) П А для S > 0}.
Предел по такой базе совпадает с определением предела функции в
точке а по множеству А.
б) Пусть а е Л, 03 = {В : В = Us {а) П А для S > 0}. Предел по
такой базе может быть равен только /(а), и его существование
эквивалентно непрерывности функции в точке а по множеству А.
в) Пусть 03 = {В : В = {п е N : п > N} для N е Щ. Предел по
такой базе совпадает с определением предела последовательности.
§ 2. Свойства пределов по базе
Практически все известные свойства пределов (за исключением
тех, которые связаны с отношением порядка аргумента), переносятся
на понятие предела по базе. Приведем некоторые из них.

§2 СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ПО БАЗЕ
11
Теорема 1.4. Если 53 и 53' — базы в некотором множестве М,
для любого элемента В Е 53 существует такой элемент В' Е 53',
что В' <Z В, и существует lim / = Ь, то существует lim f = b.
05 05'
Доказательство. Если / определена на В е 53, то существует
такой элемент В' Е 53', что В' С В и, значит, / определена на В'.
Далее, так как lim/ = b, для любой окрестности U£(b) существует
такой элемент В Е 53, что f(x) Е U£(b) для любого ж € В. Но для
любого В Е 53 существует такой элемент Б' Е 53', что В' с В. Тем
самым, для любой окрестности £/е(&) существует такой элемент В' Е
53', что /(ж) Е £/е(&) для любого з; G 5', то есть lim/ = b. □
93'
Следствие 1.5 (о пределе по подбазе). Если 53 и 53' — базы, 53' С
53, и существует предел lim/ = b, то существует предел lim/ — b.
05 05'
Теорема 1.6 (о единственности предела). Если предел lim/ = b
05
существует, то он единственен.
Доказательство. Предположим обратное, пусть b и с, b Ф с, —
пределы функции / по базе 53, то есть для любой окрестности U£(b)
и любой окрестности U£(c) найдутся элементы базы В и В',
соответственно, такие, что / отображает В в U£(b), а В' в U£(c).
Возьмем е = \Ь — с|/2 > 0 и для вышеуказанных В и В' найдем
Б" Е 53, Б" С Б П Б', тогда для ж Е Б" получим:
|Ь " с\ ^ \Ь - f(x)\ + \f(x) -с\<е + е = \Ь-с\,
то есть \Ь — с\ < \Ь — с\. Полученное противоречие доказывает теорему.
П
Теорема 1.7 (об ограниченности). Если существует конечный
предел lim/, то существует элемент В базы 53, на котором / огра-
05
ничена (то есть образ f(B) множества В является ограниченным
множеством).
Доказательство. Пусть b = lim/. Тогда существует такой эле-
05
мент В базы 53, что для любого х Е В значение функции f(x) E U\(b),
то есть f{B) содержится в ограниченном множестве (Ь — 1, Ь-\-1).
Значит, f(B) — ограниченное множество. D
Теорема 1.8 (об отделимости). Если предел lim/ = b ф с, то
05
существуют окрестность U£(c) и элемент В Е 53, такие, что f(B)C\
U£(c) = 0.
Доказательство. Так как b Ф с, найдется такое е > 0, что U£(b)n
U£(c) = 0. Найдем элемент В Е 53, который функция / переводит в
окрестность U£{b). Тогда f(B) П С/е(с) = 0. □

12
Гл. 1 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ
Определение 1.9. Функция / называется бесконечно малой по
базе 53, если lim/ = 0. В этом случае будем писать f(x) = o(l) по базе
03.
Определение 1.10. Функция / называется ограниченной по
базе 53, если существует элемент В G 53, на котором / определена и
ограничена. В этом случае будем писать f(x) = 0(1) по базе 53.
Теорема 1.11. lim/ = Ъ& f(x) =Ь + о(1) по базе 53.
(здесь и далее знак "<=>" используется для обозначения эквивалентных
утверждений.)
Доказательство. Утверждение, что lim/ = Ъ, по определению,
означает, что для любой окрестности U£(b) найдется элемент базы В,
такой, что / отображает В в U£(b).
Но запись f(x) G £/е(&) эквивалентна записи f(x) — b e £/e(0),
поэтому для любой окрестности £/е(0) найдется элемент базы В, такой,
что f{x) — b G £/е(0) для всех a: G 5, то есть lim(/ — 6) = 0. А это, по
05
определению, значит, что / — b = о(1) или / = & + о(1). □
Теорема 1.12. Если а и 0 бесконечно малые по базе 93, 7 огра-
ничена по базе 53, то а ± (3, осу и а(3 — бесконечно малые по базе
03.
Доказательство. Сначала докажем, что а ± 0 = о(1). Так как
а = о(1), для любого е > 0 существует такой элемент В' G 53, что для
любого х G В' верно неравенство \а{х)\ < |. Так как /3 = о(1), для того
же е > 0 существует такой элемент В" G 03, что для любого х G Б"
выполняется неравенство \0{х)\ < |. Если взять элемент В G 53, В с
В' С\В", то для любого х £ В выполняется неравенство |а(ж) ±/?(ж)| ^
|а(ж)| + |/?(ж)| < е. Значит, а ±0 = о(1).
Теперь докажем, что осу — о(1). Так как 7 ограничена по базе 03,
существует такое В' G 53, на котором 7 определена и ограничена, а
значит, существует такое С > 0, что для любого xG5' верно
неравенство |7(ж)| ^ С- Так как а = о(1), для любого е > 0 существует такой
элемент Б" G 53, что для любого х G J3" верно неравенство \а(х)\ < ^.
Если взять элемент В G 53, Л С В' (Л В", то для любого х £ В верно
неравенство |а(ж)7(ж)| < £• Значит, aj = o(l).
Так как /3 = о(1), то, по теореме 1.7, /? = 0(1), то есть ограничена
по базе 53, и, значит, по уже доказанному, а0 = о(1). D
Теорема 1.13 (предел суммы, разности, произведения, частного).
Если lim/ = b, limg = с, mo lim(/ ± g) = b ± c, lim(fg) = be, и если
05 05 05 05
c^0, mo lim (f/g) = 6/c-

§2 СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ПО БАЗЕ
13
Доказательство. По условию, имеем: f{x) = b + о(1), д{х) =
с + о(1). Тогда f{x) ± д{х) = {Ь + о(1)) ± (с + о(1)) = b ± с + о(1), по
теореме 1.12, и, значит, lim(/ ± д) = b ± с. Аналогично, f(x)g(x) =
05
(b + о(1))(с + о(1)) = 6с + о(1), по теореме 1.12, и, значит, lim(fg) = be.
05
Чуть сложнее доказательство последнего утверждения. В силу
теоремы 1.8 (об отделимости), существуют такие окрестность U£(0) и
элемент В е 53, что д(В) П U£(0) = 0, а значит, 1/\д(х)\ < 1/е на В.
Следовательно, 1/д = 0(1) (по базе 53). Частное f/g определено на В
и (f/g) - (Ь/с) = (/с - дЪ)(1/д)(1/с) = о(1) • O(l) • 0(1) = о(1), что и
доказывает утверждение теоремы о пределе частного. D
Лемма 1.14. Если f неотрицательна на некотором элементе
В G 53, lim/ = 6, то b ^ 0. ifc/щ lim/ = & > 0, то найдется та-
05 05
кой элемент В G 53, что /(ж) > 0 ш5.
Доказательство. Возьмем любое число а < 0. Тогда, полагая
е = |а| > 0, получаем, что для любого элемента Б' G 53, для любого
х е В' Г\В ^ 0 (см. определение 1.1) значение f(x) £ U£(a) с (—оо,0)
и, значит, а не может быть пределом функции / по базе 53.
Следовательно, b ^ 0.
Если lim/ = о > 0, то возьмем е = b > 0. Тогда существует такой
элемент В G 53, что для любого х € В значение функции /(ж) G
*7е(Ь)с(0,+оо). □
Теорема 1.15 (переход к пределу в неравенствах). Если
неравенство f(x) > g{x) выполняется на некотором элементе В G 53,
lim/ = b, limg = с, mo b ^ с. Если lim/ = b, limg = с и b > с, то
05 05 05 05
найдется такой элемент В G 53, что /(ж) > д{х) на В.
Доказательство. Если /(ж) ^ <?(я) на некотором элементе В g
53, то /(ж) — д(х) > 0 на В G 53. По теореме 1.13, lim(/ — д) = b — с, а
05
тогда, по предыдущей лемме, о — с ^ 0. то есть & ^ с.
Если lim/ = о, limg = с и & > с, то, по теореме 1.13, lim(/ — д) —
b — с > 0, а тогда, по предыдущей лемме, найдется такой элемент
В G 53, что /(#) - д{х) > 0 на Б, то есть /(ж) > д{х) на Б. П
Теорема 1.16 ("о двух милиционерах"). Если на некотором
элементе В G 53 выполняется неравенство f(x) ^ /&(ж) ^ р(ж) и lim/ =
05
lim q = b, mo lim h = b.
05 * ' 05
Доказательство. По условию, для любой окрестности £/е(&)
найдутся элементы базы В\,В2 G 53, такие, что — е + b < f(x) < b + е для
всех х G J?i и —е + & < р(ж) < о+е для всех х G i?2- Тогда, взяв В% G 53,
#з С ВПВ1ПВ2 (сначала находим Bf С BiC\B2, а затем В3 С В Г) В'),

14
Гл 1 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ
для х G Вз получаем неравенство — е + Ь < f{x) ^ h{x) ^ д{х) < Ь + е.
Значит, lim h = b. □
Определение 1.17. Функция / удовлетворяет условию Коши по
базе 03, если / определена на некотором элементе базы и для любого
е > 0 существует такой элемент В G 53, что для любых х,х' G В
выполняется неравенство \f(x) — f{x')\ < е.
Теорема 1.18 (критерий Коши). Конечный предел функции f no
базе 03 существует тогда и только тогда, когда функция f
удовлетворяет условию Коши по базе 03.
Доказательство. Необходимость. Пусть lim/ = Ь, тогда для
95
любого е > 0 найдется элемент 5g!B такой, что \f(x) — b\ < е/2 для
всех х е В. Значит, для любых х^х' G 5 выполняется неравенство
\f(x) — /(ж')| ^ \f(x) — b\ + |6 — /(ж')1 < е, что и доказывает
необходимость.
Достаточность. Возьмем £п = 1/п и построим последовательно
элементы i?n G 03, Вп D £п+1> ^ G N, такие, что для любых ж, ж' G i?n
верно неравенство \f(x) — f{x')\ < £п. Выберем последовательность
хп G Вп,пе N.
Проверим, что {f{xn)}n — последовательность Коши.
Действительно, для любого £ > 0 найдется такое натуральное JV, что £n <
£. Тогда для любых натуральных п, т > Аг справедливо включение
хп G Вп С BN, хш G Вт С Б^у и, значит, |/(жп) - /(жт)| < £N < е.
По критерию Коши, для числовых последовательностей существует
предел b = lim f(xn). Покажем, что b = lim/.
п—>оо Q5
Для любого £ > 0 существует £jv < £. Тогда для любого
натурального п > N справедливо включение хп G Вп С Ду- Поэтому
для любого х G Д/v и для любого натурального п > N выполняется
неравенство \f(x) — f(xn)\ < e^v, то есть — £jy < f(x) — f{xn) < ejy.
Переходя к пределу при п —* оо, получим, что — £jy ^ f(x) ~b ^ £n,
то есть |/(ж) — Ь\ ^ £м < £.
Значит, для любого £ > 0 существует такое Лдг G 03, что для
любого х G Ду верно неравенство \f(x) — b\ < е, то есть lim/ = 6.
55
Достаточность установлена. □
Определение 1.19. Базы 03 и £ в множестве М называются эк-
вивалентными, если
1) для любого Б G 03 существует такое С G £, что С С В;
2) для любого С € £ существует такое Б G 03, что В С С.
Теорема 1.20 (об эквивалентных базах). Если базы 03 и С (в jwwo-
жестве М) эквивалентны, то
lim / = b О lim / = b.
05 С

§2. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ПО БАЗЕ
15
Доказательство. Утверждение теоремы сразу следует из
теоремы 1.4. □
Определение 1.21. Совокупность всевозможных эквивалентных
между собой баз в множестве М называется фильтром в множестве
М.
В анализе часто возникают ситуации, когда переходят к пределу
сначала по одной переменной (параметру), потом по другой, а дальше
возникает необходимость поменять порядок пределов с сохранением
конечного результата. Наиболее общим результатом в этом
направлении является следующий критерий.
Теорема 1.22 (критерий Маркова-Гордона). Пусть 53 — база в
мноэюестве X, 1) ~ база в мноэюестве У, a h(x,y) — функция двух
переменных х е X и у е У, то есть отображение из мноэюества
{необязательно всего) X х У в R или С. Предположим, что f{x) =
lim h(x,y) существует для всех х е В, где В — некоторый элемент
базы 53, a g(y) = limh(x,y) существует для всех у е D, где D —
некоторый элемент базы 1). При этих предположениях оба предела
lim f{x) и UWy)
U5 AJ
существуют и равны тогда и только тогда, когда выполняется
условие: для произвольного г > 0 существует элемент В£ базы 03,
такой, что для любого х из этого элемента найдется элемент Dx базы
2), такой, что для всех у е Dx выполняется неравенство \h(x,y) —
-9{У)\<£-
Доказательство. Необходимость. Предположим, что оба
предела lim f{x) и \\mg{y) существуют и равны, и пусть Н — общее значе-
ние этих пределов. Возьмем произвольное е > 0. Так как lim fix) = Я,
05
существует элемент В£ базы 53, В£ С В, такой, что для всех х е В£
верно неравенство \f(x) — Н\ < е/3. Теперь фиксируем любое х е В£.
По предположению, существует такой элемент Di базы D, что для
всех у G D\ верно неравенство \h(x,y) — f(x)\ < е/3. Также, по
предположению, существует такой элемент D<i базы D, что для всех у е D2
верно неравенство \д(у) — Н\ < е/3. Выберем такой элемент Dx базы
D, что Dx с D\ П D2. Тогда для каждого у е Dx имеем оценку
\Цх,у) - д(у)\ < \h(x,y) - f(x)\ + \f(x) -H\ + \H- g(y)\ < е.
Так как х — любой элемент В£, необходимость условия доказана.
Достаточность. Сначала докажем, что для функции /
выполняется критерий Коши по базе 53. Возьмем произвольное е > 0. По
предположению, существует такой элемент В£ базы 53, что для
каждого х G В£ существует такой элемент Dx базы D, что для всех у е Dx
выполняется неравенство \h(x,y) — д(у)\ < е. Возьмем любые Ж1,Ж2 £

16
Гл 1 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ
ВГ)В£. Так как lira h(xi,y) = f(x\), существует такой элемент Di базы
D, что для всех у G D\ верно неравенство
По предположению, существует такой элемент Dx базы D, что для
всех у € Dx верно неравенство
\ФиУ)~9(у)\ < 1-
Аналогично, существует такой элемент D2 базы D, что для всех у g D2
верно неравенство
\h(x2,y)-f{x2)\ < |,
и такой элемент Dx базы £), что для всех у G .Da- верно неравенство
|Л(ж2,у)-0(у)| < -•
Выберем такой элемент Do базы D, что D0 С Di П D^ П D2 П £>ж .
Тогда для каждого у £ Do имеем оценку
|/(*i) - f(x2)\ ^ \f(xi) - Цхиу)\ + Мхиу)-д(у)\+
+ \д(у) - M^2,y)| + \Цх2,у) - f(x2)\ < е.
Таким образом, для функции / выполняется критерий Коши по базе
03, следовательно, существует Н = lim/(x).
Осталось доказать, что limp (ж) = Н. Возьмем произвольное е > 0.
По предположению, существует такой элемент Ве базы 03, что для
каждого х е В£ существует элемент Dx базы D, такой, что для
каждого у G Dx выполняется неравенство \h(x, у) — д(у)\ < е. В силу
доказанного существует такой элемент В\ с В базы 03, что для всех х е В\
верно неравенство \f(x) — Н\ < е. Возьмем элемент Во С В£ П В\
базы 03. Пусть xq g J?o- Так как \imh(xo,y) = f(xo), существует
такой элемент Do базы D, что для всех у е Do верно неравенство
\h(xo,y) — f(xo)\ < s. Возьмем элемент £>i с Dx П D0 базы D. Тогда
для всех у G Di имеем оценку
|р(у) - #| ^ |р(у) - Л(х0,у)| + |М*о,у) ~ f(x0)\ + |/(х0) - Я| < Зе.
Таким образом, \img(x) = Я, достаточность условия установлена. □
Определение 1.23. Последовательность функций Д сходится к
функции f равномерно на множестве Е, если все Д и/ определены
на Е и sup \fk — f\ —> 0 при А: —> оо. В этом случае будем писать
Е
Е
Л =* /•
к—>оо

§2. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ПО БАЗЕ
17
Теорема 1.24 (о перестановке пределов). Пусть 1) — база в мно-
D
жестве X, D G D и fTl =3 /, причем для каждого п е N существу-
п—>оо
em lim fn = Ьп. Тогда существует lim / = lim Ьп.
3) 3) п—>ос
Доказательство. Используя базу из примера 1.3. в) и критерий
Маркова-Гордона получаем, что достаточно проверить условие: для
произвольного е > 0 существует число N G R, такое, что для
любого натурального числа п > N найдется такой элемент Dn e D, что
|/п(я) - /(ж)| < е для всех ж е Dn.
В силу равномерной сходимости, для любого е > 0 найдется
такое iV 6 I, что для любого натурального п > N верно неравенство
sup \fn — f\ < е. Взяв Dn = D, видим, что в рассматриваемом случае
D
критерий Маркова-Гордона существования и равенства двух
повторных пределов lim / = lim lim fn и lim bn = lim lim fk выполнен. D
3) 3) n—>oo n—>oo n—>oo 3)

Глава 2
Определенные интегралы римановского
типа
§ 1. Определенные интегралы
Римана, Мак-Шейна и Хенстока—Курцвейля
Здесь мы рассмотрим конструкцию интеграла, которая
основывается на составлении интегральных сумм и переходе в них к пределу
по соответствующим образом выбранной базе.
Начнем с понятия разбиения отрезка, используемого при
построении интегральных сумм.
Определение 2.1. Два отрезка [а, Ь] и [с, d] не перекрываются,
если их пересечение содержит не более одной точки. Системой
неперекрывающихся отрезков будем называть набор отрезков, в котором
любые два отрезка не перекрываются.
Определение 2.2. Рассмотрим отрезок [а, Ь) с Ш. Разбиением т
отрезка [а, Ь] называется любая конечная система неперекрывающихся
отрезков {Ii}?=1, объединение которых равно [а, Ь]. Разбиение т на
отрезке [а, Ь] (или подразбиение) — любая конечная система
неперекрывающихся отрезков {Ii С [а, &]}£=!• Порядок нумерации отрезков
неважен, но обычно, когда речь идет о разбиении всего отрезка, их
нумеруют в порядке расположения на оси следующим образом: Ii = [аг-i, a*],
где a = ao ^ a\ ^ a 2 ^ • • • ^ an = b. Длину отрезка \I\ будем
обозначать |/|, причем длину пустого или одноточечного множества считаем
равной 0.
Заметим, что часто разбиением отрезка называют систему концов
отрезков разбиения, но мы эту терминологию использовать не будем,
тем более, что она неудобна при переходе к подразбиениям.
Определение 2.3. Если {Ii]7l=l — разбиение (или подразбиение)
отрезка [а, Ь], а £ = {&}?=i — набор точек отрезка [a, b], возможно,
повторяющихся, то разбиением с отмеченными точками (или,
кратко, отмеченным разбиением т) называют множество пар (/*,&)> где
г = 1,..., п. Каждую пару (/*>&) будем называть элементом
отмеченного разбиения (подразбиения). Точки & будем называть
отмеченными точками.

§1. ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА, МАК-ШЕЙНА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ 19
Обратим внимание читателя, что здесь и далее отмеченное
разбиение мы обозначаем жирным шрифтом, в отличии от соответствующего
ему разбиения, образованного лишь отрезками, так что т и г — разные
символы!
Все рассматриваемые в этой части функции комплекснозначны
(или, как частный случай, действительнозначны).
Определение 2.4. Пусть на отрезке [а, Ь] определена функция
/. Интегральной суммой или суммой Римана функции / на
отрезке [а, Ь], соответствующей отмеченному разбиению (подразбиению) т,
называется сумма
£/(01Л = £ШШ-
Определение 2.5 (интеграла Римана). Функция / интегрируема
по отрезку [а, Ь] в смысле Римана (или, сокращенно, 7Z-интегрируема)
и ее интеграл равен числу J, если / определена на [а, Ь] и для любого
е > О существует такое число S > О, что для любого отмеченного
разбиения т = {(/*,&)} отрезка [а, Ь], с & € h и |/г| < 5 для всех
г, выполняется неравенство 5^/(01^1 ~ 1\ < £- Число / называется
определенным интегралом Римана или 71-интегралом функции / по
ь
отрезку [а, Ь] и обозначается (7£) J f dx или (7£) / / dx.
а [а,Ь]
Если из контекста ясно, о каком интеграле идет речь, то буква 71
перед знаком интеграла может быть опущена. Напомним, что в обозна-
ь
чении интеграла f f dx функция / именуется подынтегральной функ-
а
цией, f dx — подынтегральным выражением, dx — дифференциалом,
а — нижним пределом интегрирования, Ь — верхним пределом.
Определение 2.6. Масштабом на множестве Е называется
любая действительнозначная строго положительная функция на Е.
Определение 2.7 (интеграла Мак-Шейна). Функция /
интегрируема по отрезку [а, Ь] в смысле Мак-Шейна {М.-интегрируема) и ее
интеграл равен числу /, если функция / определена на [а, Ь] и для
любого е > 0 существует такой масштаб S на [а, Ь], что для любого
отмеченного разбиения т = {(/*,&)} отрезка [а,Ь], с U С Us(&)(&) =
(& — <Н£г)>£г +£(&)) Для всех г, выполняется неравенство 5^/(01^1 ~~
1\ < е. Число / называется определенным интегралом Мак-Шейна
ь
{М-интегралом) функции / по отрезку [а, Ь] и обозначается (М) f f dx
а
или (М) J f dx.
[а,Ь]

20 Гл. 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНОВСКОГО ТИПА
Определение 2.8 (интеграла Хенстока-Курцвейля). Функция /
интегрируема по отрезку [а, Ь] в смысле Хенстока-Курцвейля
(Н-интегрируема) и ее интеграл равен числу J, если / определена на [а, Ь] и
для любого е > 0 существует такой масштаб S на [а, &], что для любого
отмеченного разбиения т = {(/*,&)} отрезка [а,Ь], с (i G ^ и /i С
£/<5(&)(&) = (& — £(&),& + <Н&)) Для всех г, выполняется неравенство
Е/(01^1 ~~ -'l < £- Число I называется определенным интегралом
I т I
Хенстока-Курцвейля (Н-интегралом) функции / по отрезку [а, Ь] и
ь
обозначается (Н) J f dx или (Н) J f dx.
a [a, 6]
Как и в случае интеграла Римана, буквы М. и Н перед знаком
интеграла могут быть опущены, если из контекста ясно, в каком смысле
берется интеграл.
В каждом из случаев говорят, что функция / интегрируема по
множеству Е, если функция fxE интегрируема в соответстующем
смысле по отрезку [а, Ь], при этом полагают fEf = Jja bi fxE (здесь xE
обозначает характеристическую функцию множества Е).
Все приведенные интегралы иногда называют также обобщенными
интегралами Римана.
Заметим, что все три определения интеграла фактически
определяют интеграл как предел интегральных сумм Римана по базе.
Действительно, пусть М = {т} — множество отмеченных
разбиений отрезка [а, Ь\. На М при помощи функции / определена
функция 5^/(01^1» сопоставляющая каждому отмеченному разбиению т =
т
{№,&)} интегральную сумму Римана 2/(&)|Ji|-
г
Для интеграла Римана соответствующая база 03^ состоит из
множеств Bs — {т G М : & G U и \Ii\ < S для всех г}, где число S > 0.
Для интеграла Мак-Шейна соответствующая база 03м состоит из
множеств В^4 — {т G М : Ii С £/$(&)(&) для всех г}, где S — масштаб
на [a, Ь].
Для интеграла Хенстока-Курцвейля соответствующая база 03-^
состоит из множеств В$ ={теМ:(|Е^й/{С ^<5(&)(&) Для всех ^}>
где J — масштаб на [а, Ь].
По определению 1.11, база 03 должна быть непустой и должна
содержать только непустые множества, кроме того, для любых двух
элементов Bi,B'2 £ 03 должен существовать такой элемент В 6 03, что
£c£in£2.
Для базы ОЗгс очевидно, что все множества Bs непусты. Для баз
ОЗ.м и %$н непустоту элементов необходимо проверить. Так как BJ5 D
Эта запись означает номер главы и номер определения в ней. Подобной
системой ссылок на более ранние результаты будем пользоваться далее всюду.

§1 ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА, МАК-ШЕЙНА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ 21
В™, достаточно установить непустоту элементов В$ базы *8>£- Для
удобства введем следующие определения.
Определение 2.9. Произвольное отмеченное разбиение
(подразбиение) т = {(^£г)К=п где U — отрезки разбиения, а & —
соответствующие им (но, может быть, не принадлежащие им) отмеченные
точки, будем называть отмеченным разбиением (подразбиением) Мак-
Шейна.
Определение 2.10. Произвольное отмеченное разбиение
(подразбиение) т = {(/г,£г)}?=1 с условием & е h будем называть
отмеченным разбиением (подразбиением) Хенстока.
Определение 2.11. Скажем, что отмеченное разбиение
(подразбиение) т = {(^г,£г)}?=1 согласовано с масштабом S на [а, Ь] (или т
является 5-разбиением (S-подразбиением)), если для любого г, 1 < г < п,
Л с tb(€l)(&) = (fc-«(&),&+ *(&))•
Лемма 2.12. Для любого заданного на [а, 6] масштаба S
существует согласованное с S отмеченное разбиение Хенстока т отрезка
[а,Ъ].
Доказательство. Предположим, что такого разбиения отрезка
[а, Ь] нет. Используя для отрезка [а, Ь] обозначение J\, разобъем его
на две половины — два неперекрывающихся отрезка равной длины.
Тогда хотя бы для одной из половин, обозначим ее через J^ также
не существует требуемого согласованного с масштабом S отмеченного
разбиения т с & е h для всех г (ведь если бы для каждой половины
такие разбиения существовали, то их объединение было бы искомым
разбиением отрезка J±). Разобъем J\ на две половины. Хотя бы одна
из них не имеет требуемого разбиения. Обозначим ее Js и опять раз-
объем пополам. Продолжая такое построение по индукции, получим
последовательность вложенных отрезков с длинами, стремящимися к
нулю (поскольку при каждом шаге получается отрезок вдвое меньшей
длины), где каждый из отрезков не имеет согласованного с
масштабом S отмеченного разбиения т (с & G h для всех г). По принципу
полноты Кантора, существует точка £, принадлежащая всем
построенным отрезкам Jk- Так как 8(£) > 0, найдется такой отрезок Jm,
что \Jm\ < 5(£). Но тогда отмеченное разбиение, состоящее из
единственной пары (Jm,0i будет требуемым разбиением отрезка Jm, так
как £ е Jm С £/$(£)(£)• Это противоречит построению отрезков Jk и,
тем самым, доказывает ложность предположения о том, что требуемое
разбиение отрезка [а,Ь] не существует. □
Следствие 2.13. Для любого масштаба S на [а,Ь] существует
согласованное с масштабом S отмеченное разбиение Мак-Шейна т
отрезка [а,Ь].

22 Гл. 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНОВСКОГО ТИПА
Теперь удостоверимся, что все три системы 23<7г, 23м и 23-^
обладают и вторым необходимым свойством: для любых подмножеств
системы В\, В'2 существует подмножество системы В С В\ П В^.
Действительно,
B6l П Bs2 = Bs, где 5 = тт{51,52};
В^ПВ£=В^, где J(x) = min{51(x),52(x)};
'«2
В%ПВ%=В?, где J(x) = min{5i(x),52(x)}.
Итак, проверено, что 23тг, 23м и 23^ ~~ базы в множестве отмеченных
разбиений. Тогда в соответствии с определениями интегралов Римана,
Мак-Шейна и Хенстока-Курцвейля
ь ь
(П) ffdx = \hnJ2f(0\Il (M) ff±c=\imJ2f(0\I\:
а а
Ь
(H)Jfdx = \im'£f(0\I\-
а Т
В теории интеграла базы 23<7г, 23м, У$н и им подобные именуют
дифференциальными базисами.
Из свойств предела по базе сразу следуют некоторые простейшие
свойства всех трех интегралов римановского типа.
СВОЙСТВО 2.14. Если функция f интегрируема на [а,Ь] по Рима-
ну или по Мак-Шейну и I — ее интеграл, то f интегрируема на [а, Ь]
по Хенстоку-Курцвейлю и ее интеграл принимает то же значение
I.
Доказательство. Действительно, так как В$ э В$(х) при 0 <
5(х) < 5/2 на [а, 6] и В$ D В$, утверждение вытекает из следствия
1.5. □
Замечание 2.15. Если в определении интеграла
Хенстока-Курцвейля ограничиться постоянными масштабами, то, как легко видеть,
получится определение интеграла Римана. Если в определении
интеграла Мак-Шейна ограничиться постоянными масштабами, то
получится определение интеграла, эквивалентное определению интеграла
Римана (см. ниже 2.63, 2.64 и 2.70).
СВОЙСТВО 2.16. Если интеграл Римана (Мак-Шейна, Хенстока-
Курцвейля) функции f на отрезке [а, Ь] существует, то он
единственен.
Доказательство. Это непосредственное следствие теоремы 1.6
о единственности предела по базе. □

§1 ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА, МАК-ШЕЙНА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ 23
Свойство 2.17 (линейность по функциям). Если функция f
интегрируема на отрезке [а,Ь] в смысле Римана {Мак-Шейпа,
Хенстока-Курцвейля) , а с является действительным или комплексным
числом, то cf интегрируема на [а,Ь] в том же смысле и
ъ ь
jcfdx^cjfdx.
а а
Если функции fug интегрируемы на [а,Ь] в смысле Римана (Мак-
Шейна, Хенстока-Курцвейля), то и f ± g интегрируема на [а, Ь] в
том же смысле и
ь ь ь
(f±g)dx= fdx± gdx.
Доказательство. Функции cf на множестве отмеченных
разбиений соответствует функция
т т
и если 93 — любая из трех баз, то, по теореме 1.13 о пределе
произведения, существует
ь
fcfdx = limJ2cf(0\I\=l™cJ2f(0\I\ =
J т т
а
Ь
= с\хш^т\1\=с( fdx.
«
Аналогично, функции / ± g на множестве отмеченных разбиений
соответствует функция
£(/ ±g)(o\i\ = J2f(0\i\ ± £<?(Ш1
Т Т Т
и если 03 — любая из трех указанных баз, то, по теореме 1.13 о пределе
суммы-разности, существует
ь
f(f ±g)dx = lim£(/ ±9)(0\I\ = lim(£ ДОИ ± Х>(Ш|) =
^ т т т
а
Ь Ъ
= \]mJ2f(0\I\±l™J^9(0\I\= J fdx± J gdx. □

24 Гл. 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНОВСКОГО ТИПА
Свойство 2.18 (сохранение неравенств). Если функции fug
интегрируемы на [а, Ь] в любом из трех смыслов {в своем для каоюдой
функции), то для их интегралов (возмооюно, в разных смыслах) спра-
ъ ъ
ведливо неравенство J f dx ^ J g dx.
a a
Доказательство. Действительно, в силу свойства 2.14, можно
ограничиться случаем интегрируемости / и g в смысле Хенстока-Кур-
цвейля. Если f(x) ^ g(x) на [а, Ь], то на множестве отмеченных разби-
ений £/(£Ж| = £/(6)№1 < £ д(№\ = £Ж)И и, значит, в силу
т i г т
теоремы 1.15 о переходе к пределу в неравенствах (для пределов по
базе), ffdx = lim£/(0|/| < Ит£5(Ш1 = fgdx. □
а Ян т Ъп т а
Теперь, используя критерий Коши существования предела по
базе 53 (см. определение 1.17 и теорему 1.18), получим три следующих
критерия интегрируемости.
Теорема 2.19 (критерий Коши 1Z-интегрируемости). Функция f,
определенная на отрезке [а, Ь], 71-интегрируема по [а, Ь] тогда и
только тогда, когда для любого е > 0 найдется такое S > 0, что для любых
отмеченных разбиений т, т' из В$ верно неравенство
|£/(om-£/(Om|<e.
т т'
Теорема 2.20 (критерий Коши .М-интегрируемости). Функция
f, определенная на отрезке [а,Ь], М.-интегрируема по [а,Ь] тогда и
только тогда, когда для любого е > 0 найдется такой масштаб 5,
что для любых отмеченных разбиений Мак-Шейна т, т' из В$
верно неравенство
|£/(0И-£/(01Л|<е.
т т'
Теорема 2.21 (критерий Коши ^-интегрируемости). Функция f,
определенная на отрезке [а, Ь], Н-интегрируема по [а, Ь] тогда и
только тогда, когда для любого е > 0 найдется такой масштаб S, что для
любых отмеченных разбиений Хенстока т, т' из В$ верно
неравенство
|£/(ОИ-£яош|<г.
Приведенные критерии позволяют доказать справедливость
следующего свойства.
Теорема 2.22 (интегрируемость на подотрезках). Если функция
f интегрируема на отрезке [а,Ь] в смысле Римана (Мак-Шейна, Хен-
стока-Курцвейля), то она интегрируема в том же смысле и на
любом отрезке [c,d] С [а, Ь].

§1 ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА, МАК-ШЕЙНА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ 25
Доказательство. Аналогично введенным классам отмеченных
разбиений В$, В$ и В$ отрезка [а, Ь] введем для отрезка [c,d\ такие
же классы отмеченных разбиений В$, В5 и В6 . Пусть для
заданного е > 0 найдено такое подходящее число S > 0 (масштаб S на [а, &]),
что выполнено условие критерия Коши. Покажем, что при тех же е
и 5 условие критерия Коши выполнено на [с, d]. Рассмотрим два
произвольных разбиения г и г' из В$ (из В6 , из В6 ). Если а ф а, то
дополним их одним и тем же отмеченным разбиением Хенстока
отрезка [а, с], с ^ £ h-, \h\ < 8 для всех г, (согласованным с масштабом S на
[а, с]); если d ф Ь, то дополним их одним и тем же отмеченным
разбиением Хенстока отрезка [d,b], с & € Ii, \Ii\ < 6 для всех г,
(согласованным с масштабом S на [d, b]). В результате из отмеченных разбиений
гиг' отрезка [с, d] получим разбиения отрезка [а, Ь) г и г' из Вд
(из S^ , из В&). Так как дополнялись разбиения гиг' одинаковым
образом, то разность интегральных сумм 2/(01^1 — 2/(01^1 на от~
резке [с, d] равна разности интегральных сумм J^ /(01^1 ~~ X] /(01^1 на
отрезке [а, 6] и, значит, (в силу критерия Коши) меньше е по
абсолютной величине. Следовательно, условие критерия Коши на отрезке [с, d]
выполнено и / интегрируема на [с, d] в смысле Римана (Мак-Шейна,
Хенстока-Курцвейля). □
Теорема 2.23 (необходимое условие 71-интегрируемости).
Необходимым условием TZ-интегрируемости функции f на отрезке [а, Ь]
является ограниченность f на [а,Ь].
Доказательство. Покажем, что неограниченная на отрезке [а, Ь]
функция / не интегрируема по Риману на [а, Ь). Предположим, что /
не ограничена сверху (случай, когда / не ограничена снизу,
рассматривается аналогично или может быть сведен к первому случаю
умножением / на — 1, поскольку, в силу свойства 2.17, / и —/ одновременно
интегрируемы или не интегрируемы по Риману на [а, Ь\). Тогда для
любого разбиения т / не ограничена сверху хотя бы на одном из отрезков
разбиения Ij. Значит, f(£j), где £j e Ij, может принимать сколь угодно
большие значения. Так как \Ij\ > 0, то же самое можно сказать и о
f{£j)\Ij\- Зафиксировав каким-либо образом & е U при г ф j и меняя
£j G Ij, видим, что интегральная сумма ]C/(£)I^I = 2/(&)1^г| может
т г
принимать сколь угодно большие значения, что приводит к
противоречию с теоремой 1.7, согласно которой из интегрируемости / следует
ограниченность ее интегральных сумм на некотором элементе В$ базы
ЯЗтг- D
Однако, ограниченности функции недостаточно для ее
интегрируемости по Риману, что видно на примере функции Дирихле.

26 Гл. 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНОВСКОГО ТИПА
ПРИМЕР 2.24. Функция Дирихле
1, если х — рационально
V(x) ,
О, если х — иррационально.
на любом отрезке [а, Ь], Ь > а, не интегрируема по Риману, но
интегрируема по Мак-Шейну, а значит, и по Хенстоку-Курцвейлю.
Действительно, Т>{х) не интегрируема по Риману на любом
отрезке [а, Ь] в соответствии с теоремой 2.19, так как для любого
разбиения г можно выбрать все точки & £ h рациональными и тогда
£]Х)(£)|/| = 2 |/г| — b — а, а можно выбрать все точки & е 1% ирраци-
т г
ональными и тогда Х^(01^1 = О- Нетрудно убедиться, что функция
т
Дирихле Т>{х) на любом отрезке [а.Ь] интегрируема по Мак-Шейну, а
значит, и по Хенстоку-Курцвейлю, и ее интеграл равен нулю. Для
этого достаточно произвольному е > 0 поставить в соответствие масштаб
6, определенный следующим образом. Пусть {rk}^=1 —
последовательность всех рациональных точек отрезка [а, Ь]. Положим
Р/ ч 11, если х иррационально,
Ф) = < п_к_х
I е • 2 к х, если ж = г к.
Тогда при любом согласованном с этим масштабом J отмеченном
разбиении т справедлива оценка
|1>(Ш|| = |£Р(6)Ш| < Х>-2-
^е,
fc = l
и поэтому (Л4) J T>(x) dx = 0.
о
Отметим, что существуют более сложные примеры ограниченных
функций, которые не интегрируемы и по Мак-Шейну и по Хенстоку-
Курцвейлю. Мы с ними познакомимся позднее (см. пример 3.17).
Установим еще одно свойство введенных интегралов.
Теорема 2.25 (аддитивность по отрезкам). Пусть а < b < с и
функция f интегрируема на отрезках [а,Ь] и [Ь, с] в смысле Римана
{Мак-Шейна, Хенстока-Курцвейля). Тогда f интегрируема на [а, с] в
том же смысле и
сое
f dx = f dx + / / dx.

§1 ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА, МАК-ШЕЙНА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ 27
Доказательство. Обозначим для краткости I1 = J fdx, I2 =
а
с
J f dx. Рассмотрим сначала случай интеграла Римана. Возьмем про-
ь
извольное е > 0 и найдем такое 6\ > О, что для любого отмеченного
разбиения т1 отрезка [а, Ь], с £* е // и |//| < Si для всех г, справедливо
неравенство
Елош-'1
< е.
(2.1)
Затем найдем такое $2 > О, что для любого отмеченного разбиения т2
отрезка [Ь, с], с £2 е /2 и |/2| < #2 для всех г, справедливо неравенство
Елои
< е.
(2.2)
Возьмем такое J > 0, что 6 < 111111(61,62) и sup|/| • 6 < е (конечность
[а,с]
sup |/| и sup |/|, а значит, и sup |/| следует из теоремы 2.23), и пусть т
[а,Ь] [Ь,с] [а,с]
— произвольное отмеченное разбиение отрезка [а,с], с & G /$ и |/г| < <5
для всех г. Если Ь не является внутренней точкой ни одного отрезка
Ii разбиения т (то есть это конец одного отрезка разбиения и начало
соседнего с ним), то положим т1 = {(1г,&) 6 т: Ii С [а,Ь]}, т2 =
{(^г,£г) G т: ^ С [6, с]}. Получим отмеченные разбиения отрезков [а,Ь]
и [&, с], соответственно, причем для них выполнены неравенства (2.1)
и (2.2). А так как £/(0И = £ ЛОМ +Е ЛОИ.
т т1 т2
|Е лот - (J1+/2)| < |е лот -J1! + |Е лот - j2| < 2e.
Т Т1 Т2
Если же & является внутренней точкой какого-то отрезка Ij =
[aj-i,CLj] разбиения т, то перейдем от отмеченного разбиения т к
отмеченному разбиению т, заменив пару ([clj-i,clj],€j) двумя парами
([а,-_1,Ь],£]) и ([Ь,о^-],ф, где £) G [а,_1,Ь], £? е [Mil- При этом
|£/(oi/i-£/(om| =
|/(&)(а; - а,--0 - /(#)(Ь - а,--0 - /(ф(а,- - Ь)|
€
^ 2sup|/|(oj - dj-i) < 2sup |/| • 6 < 2e.
[а,Ь] [а,Ь]
Но отмеченное разбиение т имеет уже рассмотренный выше вид и,
значит, г>2 /(£)| J| —(J -\-12) < 2е. В итоге в любом случае справедлива
оценка ЕЛОИ-С1+^)<4е.

28 Гл. 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНОВСКОГО ТИПА
Вспомним, что здесь т — произвольное отмеченное разбиение Хен-
стока отрезка [а,Ь], с & £ ^г и \Ii\ < S для всех г, где J найдено по
произвольному е. Следовательно, / интегрируема на [а, с] по Риману
nffdx = I1+I2.
а
Теперь рассмотрим случаи интеграла Мак-Шейна и интеграла Хен-
стока-Курцвейля. Возьмем произвольное е > 0 и сначала найдем
такой масштаб 6\ на [а, Ь], что для любого согласованного с ним
отмеченного разбиения Мак-Шейна (Хеистока) т1 отрезка [а, 6] верно
неравенство
l^/COI/l-i1!^. (2.3)
Затем найдем такой масштаб $2 на [&, с], что для любого согласованного
с ним отмеченного разбиения Мак-Шейна (Хенстока) т2 отрезка [Ь, с]
верно неравенство
' У(0\1\-1'2\<е. (2.4)
Е-
Положим
б(х) = {
mm{5i(x),b — х} при х е [а,6),
min{<5i(x), #2(#)} при х = Ъ,
тт{52(х),х — Ь) при ж е (6, с].
Тогда в любом согласованном с £ отмеченном разбиении Мак-Шейна
(Хенстока) т отрезка [а, с], т = {(^г,£г)}?=1> присутствует один или
два отрезка разбиения Ij Э Ь с отмеченной точкой £j = b, так как
для любого отрезка разбиения 1{ с & ^£ b из определения функции S
следует, что Ь (£ £/$ (&)(&)> а значит, Ь ^ 1{. В случае присутствия в
разбиении т двух содержащих точку Ь отрезков разбиения она является
их общим концом, а также отмеченной точкой для обоих отрезков.
Тогда т1 = {(Ii,£i) 6т: 1{ С [а,&]} — отмеченное разбиение Мак-Шейна
(Хенстока) отрезка [а,Ь], согласованное с 6(х) < б\(х), и для него
выполнено (2.3), а т2 = {(/*>&) G т: ^ С [6, с]} — отмеченное разбиение
Мак-Шейна (Хенстока) отрезка [Ь,с], согласованное с 6(х) < #2 (я) и,
для него выполнено (2.4). А так как ЕЛО И = £ ЛШ1 + £ ЛОШ,
|£ лот - (i1+*2)| < |£ лот - /х| + |£ лот -12\ < ^
т г1 т2
Если же только один отрезок Ij = [aj_i,aj] разбиения т содержит
точку Ь, 6 G (flj-i, flj), £j = Ь, где 1 ^ j ^ п, то перейдем от
отмеченного разбиения Мак-Шейна (Хенстока) т к отмеченному разбиению
Мак-Шейна (Хенстока) г = (г \ {(//,&)}) U {([а,_1,6],6), ([6, a,], 6)}.
Очевидно,

§1 ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА, МАК-ШЕЙНА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ 29
а т — согласованное с S отмеченное разбиение отрезка Мак-Шейна
(Хенстока) [а, с] уже рассмотренного типа и
|E/(£)i7i-(J1+/2)|<2e-
т
В итоге получаем, что для любого е > 0 существует такой масштаб
S на [а, с], что для любого отмеченного разбиения Мак-Шейна
(Хенстока) т отрезка [а, с] имеем: 2/(01^1 ~~ (^ + ^2) < 2е. Следовательно,
I т I
/ интегрируема на [а, с] в смысле Мак-Шейна (Хенстока-Курцвейля)
nffdx = I1+I2. □
а
Условимся о следующей терминологии.
Определение 2.26. Пусть функция / определена на отрезке [а, Ь].
Функцию F, для которой всюду на [а, Ь] существует конечная
производная и всюду F'{x) = f(x), будем называть точной первообразной
функции / на отрезке [а,Ь]. Если F непрерывна на [а, Ь] и равенство
F'(x) = f(x) выполняется всюду на [а, Ь], за исключением не более чем
счетного множества (на котором F' не существует или не равна /), то
F будем называть обобщенной первообразной функции /.
Теорема 2.27 (формула Ньютона-Лейбница). Если для функции f
на отрезке [а, Ь] определена обобщенная первообразная F, то f
интегрируема на [а,Ь] по Хенстоку-Курцвейлю и верна формула
Ньютона-Лейбница
ь
(H)Jfdx = F(b)-F(a).
Доказательство. Возьмем произвольное е > 0 и поставим ему
в соответствие масштаб S на [а, Ь] следующим образом. Пусть Е =
UfcLii^/e} ~~ множество всех точек отрезка [а, Ь], где F' не существует
или не равна /. Используя непрерывность F, для каждого к подберем
такое 6(xk) > 0, что
F(U6{xk)n[a,b])cUe2-k-s(^k)) и 1/(^)1-^) <e2-fc"3.
А для любой точки х G [а, Ь], в которой F дифференцируема и F'{x) =
/(ж), подберем такое 8{х) > 0, что для любого у G [а,6], \у — х\ < 6(х)
выполняется неравенство
\F(y)-F(x)-f(x)(y-x)\<
е\у-х\
2{Ь-а)
(поскольку F{y) — F(x) = F'{x){y — х) + о(у — х) при у —► х).
Возьмем любое согласованное с построенным масштабом 5 на [а, Ь]
отмеченное разбиение т = {№ »&)}£=!, £г G /г = [fli-ijfli] для всех
г = 1,...,п. Если & = хк, то /i С U6(Xk)(xk), F{Ii) с {7е2-*-зОР(ж*))

30 Гл. 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНОВСКОГО ТИПА
и, значит, 1/(6)1 • \1г\ < |/Ы| • Щхк) < e2-k-2, |AF(/i)| < е2~к~\
откуда
|/(6)|/i|-AF№)|<e2-fc"1. (2.5)
Если & точка, в которой -Р'(£г) = /(&)» то Д С £^(£г)(£г) и, значит,
\F{oi) - F&) - m)(ai - б)| < е2(^Г^.
|F(6) - ^((ц.!) - /&)& - а»_!)| < g(a<(~_°^l),
откуда следует неравенство
|/(6)|^|-ДГ№)|<2|^). (2.6)
Из неравенств (2.5) и (2.6) получаем, что
|£ ДШ1 - (ПЬ) - F(a))\ = |£/(0|J| - £>F(/)| <
T T T
< £|дои - AF(7)I = £l/(om - af(/)|+
т т[Е]
+ £ |/(0U|-AF(I)|<f:,2— + £ ^у<-
т[[а,Ь]\я] А:-1 т[[а,Ь]\£?]
Ь
Значит, / ^-интегрируема на [а, Ь) и J f dx = F(b) — F(a). □
а
Непосредственно из теоремы 2.27 вытекает
Следствие 2.28 (формула Ньютона-Лейбница). Если функция f
интегрируема на отрезке [а, Ь] смысле Римана (Мак-Шейна, Хенсто-
ка-Курцвейля), и у нее существует точная или обобщенная
первообразная F, то в случае каждого из указанных интегралов
I
ъ
fdx = F(b)-F(a)
Замечание 2.29. Исаак Ньютон определял интеграл как
приращение первообразной, поэтому иногда такой интеграл называют
интегралом Ньютона. Теорема 2.27 показывает, что интеграл Хенстока-
Курцвейля более общий (сильнее), чем интеграл Ньютона, а следствие
2.28 показывает, что интеграл Ньютона не противоречит интегралам
Римана и Мак-Шейна.
Определение 2.30. Промежутком называется любое
подмножество R, содержащее вместе с каждой парой точек и все точки, лежащие

§2 ВНЕШНЯЯ МЕРА ЛЕБЕГА
31
между ними (то есть являющееся, на языке топологии, связным
множеством на R).
Промежутками являются пустое множество 0, одноточечное
множество, интервалы (а, Ь), полуотрезки [а, Ь) и (а, Ь], отрезки [а, Ь], лучи
(а,оо), (—оо,Ь), [а, оо), (—оо,&], вся числовая прямая R.
Перечисленными множествами исчерпываются все промежутки, поскольку если
Е — промежуток, то (inf E,supi?)ci?c[inf E,supE].
Следствие 2.31. Если функции F\ и F2 непрерывны на
промежутке I и конечные производные F[ и F2 равны всюду на I, за
исключением не более чем счетного множества (на котором F\ или F2
не дифференцируема или F[ ф F2), то разность F± — F2 постоянна на
I.
Доказательство. Возьмем произвольную функцию / на J,
совпадающую с F[ всюду, где F[ существует и конечна. Зафиксируем
точку a G /. Тогда по теореме 2.27 для Ь > а, Ь е J,
ь
F±(b) - Fi(a) = (H)ffdx = F2(b) - F2(a).
a
Значит, для любых точек xi,x2 Е I имеем F\(x2) — Fi(xi) = ^2(^2) —
F2(x1)) то есть Fi(x2) - F2(x2) = Fi(xi) - F2(xi) = const. П
Это следствие можно переформулировать на языке
первообразных: две обобщенные (тем более, точные) первообразные одной и той
же функции отличаются на константу.
§ 2. Внешняя мера Лебега и другие сведения из теории меры
Как можно было заметить, определения рассматриваемых
интегралов и доказательства их основных свойств не используют понятия
меры. Поэтому мы отложим более систематическое изложение
сведений из теории меры до второй части книги, а здесь приведем лишь
определение внешней меры Лебега и другие необходимые в
ближайших разделах понятия и утверждения.
Начнем со свойств открытых множеств на действительной прямой.
Определение 2.32. Множество G С R называют открытым,
если любая точка xGG имеет окрестность Us(x) С G.
Лемма 2.33. Любое открытое множество Gel является
объединением не более чем счетного набора попарно непересекающихся
интервалов (а$,/?г), ограниченных или неограниченных, концы
которых не принадлежат G.
Доказательство. Утверждение формально верно для пустого
множества 0, так как оно является объединением пустого набора
интервалов. Если же G непусто и х е G, то пусть а = inf{t е Ш : [t,x] С

32 Гл. 2 РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
G}, (3 = sup{y eR: [ж, у] С G}. Если а < z < х, то найдется такое
t, а ^ t < z, что [£,х] С G, но тогда г е [£,ж] С G. Если х < z < (3,
то найдется такое у, г < у ^ /?, что [ж, у] с G, но тогда z е [ж, у] С G.
Следовательно, (а,/?) С G. Если бы а е G, то, так как G —
открытое множество, нашлось бы такое t < а, что [£,а], а значит, и [t,x],
входило бы в G, что противоречит определению а. Значит, а (£ G.
Аналогично, и /3 £ G. Так как (а,(3) С G, а,(3 £ G, то построенные
для различных точек х интервалы или совпадают, или не
пересекаются. Таким образом, можно построить набор попарно
непересекающихся интервалов, ограниченных или неограниченных, концы которых не
принадлежат G, а их объединение совпадает с G. Но на прямой любой
набор попарно непересекающихся интервалов не более чем счетен —
ведь каждому такому интервалу можно сопоставить лежащее в нем
рациональное число, тогда такой набор эквивалентен некоторому
подмножеству счетного множества рациональных чисел и, следовательно,
сам не более чем счетен. □
Определение 2.34. Если G — непустое открытое подмножество
К, то интервалы (аг-,Д-) С G, аг, А ^ G, объединение которых
совпадает с G, называют составляющими интервалами G. Сумму длин
составляющих интервалов будем обозначить /jl(G).
Определение 2.35. Множество F с R называют замкнутым,
если R \ F открытое множество.
Определение 2.36. Если F — замкнутое собственное
подмножество R (то есть F С R, F ф R), то составляющие интервалы
множества R \ F называют смежными, или дополнительными, интервалами
к множеству F.
Определение 2.37. Внешней мерой Лебега, или просто внешней
мерой, множества Е сШ называется величина
«•(*> = А Х>
i *
являющаяся точной нижней гранью сумм длин интервалов U, г е N,
покрывающих Е (в конечном или счетном числе).
Очевидно, что 0 < Ц*{Е) ^ +оо.
Утверждение 2.38. Величина внешней меры Лебега не
изменится, если в определении рассматривать покрытия мноэюества Е
отрезками.
Действительно, если система интервалов /г- такова, что Е с \Jh,
_ г
то, замкнув интервалы, получим такую систему отрезков 7$, что Е С
(J7г. Так как |7г| = |/г|, при замене в определении 2.37 интервалов
г
на отрезки внешняя мера множества не может увеличиться. А если

§2 ВНЕШНЯЯ МЕРА ЛЕБЕГА
33
система отрезков hi такова, что Е С [Jhi, то взяв любое е > 0 и
г
подобрав для каждого отрезка hi такой интервал /г-, что hi С U и |/г-| ^
\hi\+e2~l, получим систему интервалов U, Е С |J^ и ^ \U\ ^ Х^ |^г|+£-
г г г
В силу произвольности е > 0 при переходе от определения с отрезками
к определению с интервалами внешняя мера множества увеличиться
не может. Значит, эти определения эквивалентны.
Так же легко проверяется следующее:
Утверждение 2.39. Величина внешней меры Лебега не
изменится, если в определении 2.37 рассматривать покрытия множества Е
только системами попарно неперекрывающихся интервалов или
отрезков.
Замечание 2.40. Читателю предоставляется проверить, что
внешняя мера интервала (а, 6) равна его длине. То же справедливо для
отрезка.
Теорема 2.41. Пусть открытое множество G представимо в
оо
виде G = (J (ctiiPi), где интервалы (а»» А) попарно не пересекаются.
Тогда p*(G)=ti(G).
Доказательство. Ясно, что составляющие интервалы множества
G образуют его покрытие, и поэтому в соответствии с определением
2.37 справедливо неравенство
оо
Обратное неравенство очевидно, поскольку сумма длин интервалов
каждого покрытия может быть только больше суммы составляющих
интервалов множества G. □
Используя покрытие произвольного множества Е открытыми
множествами, лемму 2.33 и утверждение 2.39, получаем следующее экви-
валенное определение внешней меры.
Определение 2.42. Внешней мерой Лебега множества Е сШ
называется величина /J>*(E) = inf /i(G), где точная нижняя грань
берется по всем открытым множествам, покрывающим множество Е.
Внешняя мера обладает двумя следующими свойствами.
Свойство 2.43. Если D С Е, то /i*(£>) ^ /х*(.Е).
Это свойство непосредственно следует из определения.
Свойство 2.44. Если Е = \JEJ, где {Ej}j, j e N, — не более чем
з
счетная система множеств, то р*(Е) ^ 2 М* C#J") •
з

34
Гл 2 РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Доказательство. Возьмем произвольное е > 0 и для каждого
множества Е3 построим такую не более чем счетную систему
интервалов {1\}г, покрывающую Е°, что Yl\41 ^ fi*(E^)-j-2~je. Тогда не более
г
чем счетная система интервалов {l\}j,i покрывает \JE^ а значит, и
Е, и £|/|| = EEl^'l < Е(М*(^') + 2-J'e) = £M*V) +E2-Je ^
J> 3 г J J J
^/j,*(Ej) + е. Следовательно, /i*(£) ^ ^/j,*(Ej) + е. В силу произ-
вольности е > 0 получаем доказываемое неравенство. G
Теорема 2.45. Для каждого множества Е существует
счетное семейство открытых множеств {Gn}%Li, покрывающих
множество Е и таких, что
оо
п=1
Доказательство. Согласно определению 2.42, для каждого
п найдем открытое множество Gn, такое, что /i*(Gn) < ц*{Е) + -.
Тогда W П Gn) ^ M*(Gn)</i*(£7) + ^, откуда W П Gn) ^ М*(#)-
Чп=1 ' Чп=1 J
Противоположное неравенство непосредственно следует из свойства
2.43. Тем самым получаем доказываемое равенство. □
Определение 2.46. Множество £?сМ называется множеством
меры нуль по Лебегу, если /i*(E) = 0.
Из определения вытекает следующее свойство.
Теорема 2.47. Множество Е С R является множеством меры
нуль по Лебегу тогда и только тогда, когда для любого е > 0
найдется не более чем счетная система интервалов lif \Jli D E, ^2\k\ < s,
г г
или, что то же самое, найдется открытое множество G, G D Е,
/i(G) < е.
Следствиями свойств 2.43 и 2.44 внешней меры являются
следующие свойства множеств меры нуль по Лебегу.
Свойство 2.48. Подмножество множества меры нуль по
Лебегу является множеством меры нуль по Лебегу.
Свойство 2.49. Не более чем счетное объединение множеств
меры нуль по Лебегу является множеством меры нуль по Лебегу.
Следствие 2.50. Не более чем счетное множество имеет меру
нуль по Лебегу.
Это сразу следует из свойства 2.49 и того факта, что одноточечное
множество имеет меру нуль по Лебегу.

§2 ВНЕШНЯЯ МЕРА ЛЕБЕГА
35
Определение 2.51. Если какое-либо свойство выполняется для
всех точек множества Е, кроме подмножества Е нулевой меры по
Лебегу, то говорят, что оно выполняется почти всюду на Е или для почти
всех точек Е.
Определение 2.52. Система ft невырожденных (в точки)
отрезков покрывает мноэюество Е С R в смысле Витали, если для любых
е > 0 и х G Е найдется отрезок I е ft, такой, что х е I и |/| < е. Иначе
говоря, всякая точка i? содержится в отрезках системы сколь угодно
малой длины.
Теорема 2.53 (Витали). Если ограниченное мноэюество Е
покрыто в смысле Витали системой отрезков ft, то из ft моэюно выделить
не более чем счетную систему попарно непересекающихся отрезков
Ik, покрывающую почти все Е {то есть мноэюество E\\JkIk имеет
меру нуль по Лебегу) и J2 \Ik\ < °о-
к
Доказательство. Поскольку Е ограничено, то возьмем
интервал J = (inf E — 1, sup 12 + 1) и пусть fti = {I e ft : I С J}. Легко
видеть, что fti также покрывает Е в смысле Витали. Если fti = 0, то
построение закончено: Е = 0 и Е покрывает пустая система отрезков.
Если же fti ф 0, то выберем Д е fti, |Д| > \ sup |/|.
Пусть ft2 = {I e fti : I П 1\ = 0}. Если ft2 = 0, то построение
закончено, а если ^2 ф 0, то выберем 12 6 ^2, \h\ > \ sup |/|.
/еп2
Далее построение продолжим по индукции. Пусть уже построены
1к е ftk С fti, \1к\ > \ sup |/|, к = 1,...,п. Положим Пп+1 = {I e
ftn : / П 1п = 0}. Если Пп+1 = 0, то построение закончено, а если
ftn+i ф 0, то выберем /п+1 е ftn+i, |4+i| > | sup |/|.
Если процесс построения обрывается после конечного числа
шагов, то получим конечную последовательность отрезков Д,...,/п, при
этом ftn+i = 0; если не обрывается, то получим бесконечную
последовательность отрезков Д, 12, Покажем, что полученная конечная
или бесконечная последовательность отрезков — искомая.
Пусть г < j. Так как Ij e ftj С fti+i = {I e fti : / П Д = 0}, то
Ij C\Ii = 0. Поскольку построенные отрезки попарно не пересекаются
и входят в интервал J, то сумма длин любого конечного, а значит, и
бесконечного числа отрезков Д не превосходит | J\, то есть ^д. |Д| <
оо.
Теперь покажем, что почти все точки Е принадлежат \Jk Д.
Если точка х е -#\Ufc=i ^fc> то она принадлежит открытому
множеству M\(Jfc Ik и найдется U£{x) С ^\Ua; Ik- По определению покрытия
в смысле Витали, найдется отрезок I £ fti cxG/и |/| < е, но тогда
/ С £/е(ж) и, значит, I П 1к — 0 при всех к = 1,..., п.

36
Гл 2 РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Следовательно, если получена конечная последовательность
отрезков 1\,..., 1п и существует точка х е Е \ [Jk Ik, то существует
отрезок /g^i, /ИД = 0 при всех к = 1,..., п, который
принадлежит Г2& при fc = l,...,n,n +1, что противоречит прекращению
процесса построения после п шагов. Значит, все точки Е принадлежат
Если последовательность отрезков Ik бесконечна, то для каждого
отрезка Ik построим отрезок 1к середина которого совпадает с
серединой Ik, а длина в пять раз больше ("пятикратное раздутие" Ik).
Возьмем произвольное натуральное п и пусть х е Е \ (Jfc=i Ik- В силу
доказанного выше существует отрезок / б fii, /П4 = 0 при всех
к = 1,..., п, который принадлежит Qk при к = 1,..., n, n + 1. Если
отрезок / не пересекается ни с одним из отрезков 7^,А: = п+1,п+2,...,
то / е ftk для любого натурального А: и по выбору отрезков Ik
выполняется неравенство ||/| < \1к\. Но длина отрезков Ik стремится к
нулю в силу сходимости ряда ^2к \1к\, значит, |/| = 0, что
невозможно. Следовательно, отрезок / пересекается с некоторыми отрезками Ik,
A: = n + l,n + 2, Пусть Ij — первый отрезок последовательности,
пересекающийся с /, j > п (по выбору /). Тогда /, Ij е % и, по выбору
отрезка Ij, \Ij\ > ||/|, значит, /* D I Э х, то есть х е Ufc>n^/e- Итак,
доказано, что для любого натурального п верно включение
сю п
E\\JlkCE\\Jlkc\Jl*k.
к=1 к=1 к>п
РяД EfcLi \Тк\ сходится, поскольку Yl%Li \Ц\ = $T,T=i Ш, и значит,
nm Sfcln+i \Ш = ®- Следовательно, множество Е \ \Jk Ik имеет меру
нуль. □
Теорема 2.54 (Витали). Если ограниченное множество Е
покрыто в смысле Витали системой отрезков Г2, то для любого е > О
можно выбрать из Q такую конечную систему попарно
непересекающихся отрезков Ii,... ,1п, что
п
f(E\\Jlk)<e.
k=l
Доказательство. По предыдущей теореме, существует
конечная или бесконечная последовательность отрезков 4 Gfi, таких, что
fi*(E\\JIk) = 0 и J]|ifc| < oo. Если система бесконечна, то почти
к к
п сю оо
все точки Е\ (J Ik принадлежат (J 1к, lim ^ \1к\ = 0. Выбрав
А;=1 к=п+1 п->00А;=п+1
СЮ у П ч
такое натуральное п, что ^ \h\ < £, получим, что /j,*(E\ (J 1к) <
к=п+\ ^ к=1 '
е. U

§2 ВНЕШНЯЯ МЕРА ЛЕБЕГА
37
Перейдем теперь к понятию измеримости функции. Мы дадим два
эквивалентных определения измеримости функции на отрезке. Еще
одно определение будет рассмотрено в третьей части книги (см.
определение 11.7).
Определение 2.55. Функцию / называют измеримой на отрезке
[а, 6], если / определена почти всюду на [а, Ь] и для любого е > О
существует такая непрерывная на [а, Ь] функция д, что /л*{х е [а, Ь] :
/(х)фд(х)}<е.
Определение 2.56. Функцию / называют измеримой на отрезке
[а, 6], если / определена почти всюду на [а, Ь] и для любого е > О
существует такое множество Е с [a, b], /j,*E < е, что / непрерывна на
[а, 6] \Е (относительно [а, Ь] \Е).
Для доказательства эквивалентности этих определений нам
понадобится следующая
Лемма 2.57. Пусть на непустом замкнутом множестве Fcl
определена непрерывная на нем функция /. Если F фШ, то,
доопределив f на каэюдом конечном смеэюном интервале (а$,/%) мноэюества
F линейным образом (так, что доопределенная f линейна на [сц,/ЗЦ),
а на любом бесконечном смеэюном интервале (если они есть)
постоянной, совпадающей со значением f в конце такого интервала,
получим непрерывную функцию на R.
Доказательство. Доопределенная функция линейна, а значит,
непрерывна на всех смежных интервалах F. Поэтому надо только
доказать, что / сохранила непрерывность на F. Если х е F и х
совпадает с левым концом некоторого смежного интервала множества F,
то, в силу линейности / на этом интервале, получаем непрерывность
функции справа: lim f(t) = f(x). Если х е F и не является левым
t—>rc+0
концом никакого смежного интервала F, то для любого 7 > 0 верно,
что (ж, х + 7) П F Ф 0. Так как / непрерывна на F, для любого е > О
найдется такое S > 0, что для любого t G U$(x) П F = (х — 6, х + 6) П F
верно неравенство \f(t) — f(x)\ < е. Возьмем такое Л, 0 < Л < 6,
что х + A G F. Тогда, в силу доопределения функции /, получаем,
что f([x, х 4- А]) С f(Us(x) П F) С U£(f(x)) и, значит, существует
предел справа lim f(t) = f(x). Аналогично устанавливается, что
t—>rc+0
в любом случае существует предел слева lim f(t) = fix). Значит,
t—>rc — 0
lim f(t) = f(x), и доопределенная функция непрерывна в точке х. □
t—>ж
Теорема 2.58. Определения 2.55 и 2.56 измеримости функции на
отрезке эквивалентны.
Доказательство. Из выполнения условий определения 2.55
следуют условия определения 2.56. Действительно, пусть / измерима по
определению 2.55. Тогда возьмем произвольное е>0и найдем такую

38
Гл 2 РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
непрерывную на [а, Ь] функцию д, что fi*{x G [а, Ь] : /(ж) / д(х)} < е.
Тогда, положив Е = {х е [a,b] : f{x) ф д(х)}, видим, что fi*(E) < e и
/, совпадающая на Е с функцией д, непрерывна на Е.
Теперь покажем, что из измеримости по определению 2.56 следует
измеримость по определению 2.55. Возьмем произвольное е>0и
найдем такое множество Е, /jl*(E) < е, что / непрерывна на [a, b] \ E.
По определению верхней меры, существует покрывающая Е
система интервалов Z$, ^2\U\ < е. Пусть F = [a,b] \ \Jh. Это замкну-
г i
тое множество, F С [a, b] \ E и / непрерывна на F. Если оно
пусто, то для любой непрерывной на [а, Ь] функции д верно
включение {х G [a,b] : f(x) ф д(х)} С \JU и, следовательно, /i*{x G [a,b] :
f(x) Ф 9(х)} < 2l^i| < s. Если F непусто, то воспользуемся
леммой 2.57 и построим такую непрерывную на [а, Ь\ функцию д, что
д = f на F. Тогда {х G [а, 6] : /(х) / <?(#)} С [a,b] \ F и, значит,
/i*{x G [а,6] : /(х)фд(х)} <^\Ц < е. □
г
Заметим, что при построении непрерывной функции д в
определении 2.55 можно добиться выполнения условия \д(х)\ ^ sup|/(x)| для
[а,6]
всех ж G [а, &].
Отметим некоторые простейшие свойства измеримых функций.
Свойства 2.59.
(1) Если функции fug измеримы на [а,Ь], то на [а, Ь] измеримы
f db g, fg, а если д(х) Ф 0 почти всюду на [а, Ь], то и f/g.
(2) Если функция f измерима на [а,Ь], а функция ip непрерывна
на f ([а, b])f то <p(f) измерима на [а, Ь].
(3) Если функции fk, к = 1,..., п, измеримы на [а.Ь\, то на [а, Ь]
измеримы max fk(x) и min fk{x).
Доказательство .
(1) Возьмем любое е>0и найдем такие множества Е/ С [а, Ь],
fJ>*(Ef) < е,и Eg С [а, b], ц*(Ед) < е, что / непрерывна на [а, &]\
Ef, a, g непрерывна на [a,b]\Eq. Тогда / ±д и fg непрерывны
на [а, Ъ] \ (Ef U Eg), /х* (£7/ U Eg) ^ /i*(£7/) + /i*(^) < 2е, a f/g
непрерывна на [а, 6] \ (Ef U Eg U {х е [а, 6] : д(х) = 0}),
/х* (Ef UEgU{xe [а, 6] : д(х) = 0}) ^
^ H*(Ef)+n*(Eg)+ti*{x G [а, 6] : #(х) = 0} < 2е.
Значит, утверждение пункта (1) верно.
(2) Возьмем любое е > 0 и найдем такое множество Е С [а,Ь],
fjb*(Е) < е, что / непрерывна на [а, 6] \ Е. Тогда ip(f) также
непрерывна на [а, Ь] \Е.

§3. КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
39
(3) Если функции /i и /2 измеримы на [а, 6], то по
доказанным пунктам (1) и (2) на [а,Ь] измеримы max{/i(ж),/г (ж)} —
(fi(x)+f2(x))/2 + |/i(x) - f2(x)\/2 и min^*),^)} =
(/i(s) + /2(*))/2 - |/i(x) - /2(х)|/2. А поскольку
max Д (х) = max { max fk (х), /п+1 (ж)},
,^п Д(х) =min{ min /*(aO,/n+i(a;)},
то по принципу математической индукции утверждение
пункта (3) верно для любого натурального п. □
Дальнейшие свойства измеримых функций будут рассмотрены в
главе 5. Пока только отметим, что к измеримым на отрезке [а, Ь]
функциям относится каждая функция, непрерывная почти всюду на [а, Ь].
Действительно, в качестве множества Е из определения 2.56 можно
взять множество всех ее точек непрерывности на [а, Ь).
§ 3. Классы интегрируемых функций
В дальнейшем нам понадобится следующая очевидная лемма.
Лемма 2.60. Пусть т = {ii}?=i — разбиение отрезка [а,Ь]. Тогда
для любого отрезка I = [с, а1] С [а, Ь] невыроэюденные отрезки I П /?
образуют разбиение отрезка I и верно равенство
п
г=1
Определение 2.61. Если функция / определена на множестве Е,
то ее колебанием (осцилляцией) на Е называется величина
овс(/,Я)= sup \f(x)-f(y)\.
х,у£Е
Очевидно, 0 ^ osc(/, Е) ^ оо.
Лемма 2.62. Если функция / на множестве Е
действительнозначна, то
osc(/,£)=sup/-inf/. (2.7)
Е Е
Доказательство. Если ж,у е Е, то f(x),f(y) e [inf /,sup/l с R
Е е
и \f(x) - f{y)\ ^ sup/ - inf/. Отсюда
Е Е
osc(/,£)<sup/-inf/. (2.8)
Е Е
Если sup/ = Н-оо или inf/ = —оо, то для любого у G E sup \f(x) —
Е Е хЕЕ
f(y)\ = +°° и> значит, osc(/,Е) = +оо = sup/ — inf/. Если sup/ и
£ я е

40
Гл. 2 РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
inf / конечны, то для любого е > 0 найдутся такие точки х,у е Е, что
fix) > sup / - е, f(y) < inf / + е. Тогда f(x) - f(y) > sup / - inf / - 2e
E E E E
и, в силу произвольности е > 0, osc(/, E) > sup/ — inf/. Соединяя это
Е Е
неравенство с (2.8), получаем (2.7). □
Теорема 2.63. Если функция f на отрезке [а, Ь] ограничена и
непрерывна почти всюду, то f интегрируема на [а, Ь\ в смысле Ри-
мана и в смысле Мак-Шейна.
Доказательство. Возьмем произвольное е>0и выберем в
соответствии с теоремой 2,47 не более чем счетную систему интервалов
{/г}, которые покрывают множество всех точек разрыва / на [а, Ь] и
Yl\h\ < е- Для каждой точки х непрерывности / на [а, Ь] найдем такое
г
6(х) > 0, что / (ищх)(х) П [а, Ъ]) С Ue(f(x)) и, значит, osc(/, 11щх){х)П
[а,Ь]) < 2е. Система интервалов {k,Us(x)} покрывает [а, Ь], выделим
из нее конечное подпокрытие lix,..., lip, Us(Xl)(xi),..., U6(Xq){xq).
Выберем такое S > 0, что S < min 6(xk) и 2pS < e (и положим для
интеграла Мак-Шейна S(x) = J на [а,6]). Пусть г = {(/*,&)}£=! и
г' = {(/^.,^-)}"=1 — два произвольных отмеченных разбиения [а,Ь] из
В$ (или из В$(х)), то есть с & е 7* и |/г| < # для всех г, с £J е /J и
|/j| < £ для всех j (с Ii С С/<5(Сг) Для всех г и с Ij С U$(£j) для всех j,
в случае интеграла Мак-Шейна). Оценим разность
£Ш'1 - £/(Ш1 = £/(Ш1 - £/(Ж1 =
=EE/(u)№nj3i-i:f:/(6)i/«nJ3i=
г=1 j = l j = l г=1
= EE(/^)-/(^))i^n^|.
Если & е /i|8 = (a, /3), 1 < fc < p, то J, С £/«(&) С (a - 5, /3 + 6). Поэтому
£ |/iKE(|/iJ+2<5)<El^l+2P<5<2e-
fc=l

§3. КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
41
Значит, используя лемму 2.60, получаем оценку
п'
£ £l/(6)-/(#H*nJ^2sup|/|- £ №l<4sup|/|-e.
~[ [аМ ~ [а,Ь]
fc€ U *ifc fc€ U U
fc=i
fc
Если ^ е U5{Xk){xk), то /i с Us(£i) С */2*(**)(ж*)- Так как Ц С ^(^),
то если 1{ П /< / 0, то Q e U36(Xk){xk) и, значит,
|/(6) " /(3)| < овс(/,иЩх)(х) П [а,Ь]) ^ 2е.
Отсюда, с учетом леммы 2.60, имеем оценку
gE E 1/(6)-/«5)1-№nj3i<
£*€ (J U5{xk){xk)3~l
fc=i
n n n
^££2е-^П^.|=2е£>|=2ф-а).
г=1 .7 = 1 г=1
Суммируя полученные оценки, приходим к неравенству
|£/(О1'|-£/(01'|| <4вир|/|- е + 2{Ь- а)е =
= Usup |/| + 2(Ь- а))б: = С(/, [а,Ь]) • 6.
4 [а,Ь] У
Тем самым выполнен критерий Коши интегрируемости / на [а,Ь] по
Риману (и по Мак-Шейну). □
Замечание 2.64. При доказательстве интегрируемости по Мак-
Шейну в качестве масштаба выступали константы.
Отметим два частных случая доказанной теоремы.
Следствие 2.65. Непрерывная на отрезке [а,Ь] функция f
интегрируема на [а,Ь] в смысле Римана и Мак-Шейна.
Следствие 2.66. Если функция f ограничена и имеет не более
чем счетное мноэюество точек разрыва на [а,Ъ], то f интегрируема
на [а,Ь] в смысле Римана и Мак-Шейна.
Следствие 2.67. Если функция f монотонна на [а,Ь], то f
интегрируема на [а,Ь] в смысле Римана и Мак-Шейна.
Доказательство. Поскольку / принимает наибольшее и
наименьшее значения в концах отрезка, то она ограничена. Кроме того,

42
Гл 2 РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
множество точек разрыва / на [а, Ь] не более чем счетно.
Действительно, в каждой точке разрыва хо е (a,b) lim f(x) ф lim /(ж), по-
х—*хо — 0 гс—>гсо+0
этому каждой такой точке можно сопоставить рациональное число,
лежащее между lim f(x) и lim f(x), причем в силу монотонности
х—>хо — 0 х—>а?о+0
/ разным точкам разрыва будут соответствовать разные
рациональные числа, а любое подмножество счетного множества рациональных
чисел Q не более чем счетно. □
Докажем еще одну лемму, касающуюся колебаний.
Лемма 2.68. Если действительнозначная функция f определена
на [а,Ь] иг = {№>&)}"= о — отмеченное разбиение [а,Ь], то
п
«*(Z)/(Om> {Z ■ 6 е U, г = 1, • ■. ,п}) = ^08с(/,7,) • |Д|. (2.9)
т г=1
Доказательство.
О8с(^/(0|/|,{е:6е/<,* = 1,...,п}) =
т
sup Ei/te)-/(o-i4i<E sup i/(6)-/(^)i-iJ'i =
{«i,«j€/i,i=i, -,n}i=1 ^«„^ел
П
Теперь докажем противоположное неравенство. Если для некоторого
j, l^j^n, osc(/, Ij) = +oo, то
О8с(^;Л0|/|,{е:йеЛ,1 = 1,...,п}) =
т
п
sup £|/(6)-/(£)|-|4|£ sup |/&)-/(ф|-|';1 =
Ui,«G/i,i=l,.. ,n}i=1 ^,^-G/i
= osc(f,Ij) • |ij-| = +oo.
Если для всех г osc(/, /$) < +оо, то для любого е > 0 и любого г,
1 ^ г ^ п, найдутся такие &,£г' <Е /,, что |/(&) - /(£г')| > osc(/,/7) - е.
Но тогда
Ei/te) - /(й)1 • №1 > Х>с(/,^) • №i -eE^i =
г=1 г=1 г=1
п
= Ео8с(/,/л-)-|Д|-е(Ь-а)
г=1

;3. КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
43
и, в силу произвольности е > О,
п
oscQT/(0|J|,{£: 6E/i,i = l,...,n}) ^^овс(/,/,-)-№1- О
т г=1
Лемма 2.69. ifc/ш действительнозначная функция f
интегрируема по Риману на отрезке [а,Ь], то для любого е > 0 найдется такое
п
разбиение т = {/*}£=! отрезка [а,Ь], что ^ osc(/, Jj) • |/$| < е.
г=1
Доказательство. Для данного е > 0 найдем такое S > О, что
для любого отмеченного разбиения т = {№,&)}?=o> с & £ -^ и |7$| < <S
ь
для всех г, выполнено неравенство |£) /(01^1~~ ^| < е/%, где I = J f dx.
т а
Зафиксировав разбиение г = {/*}£=! с \Ц < 6, i = 1,... ,п, и
применяя последнее неравенство для разных выборов точек &, приходим к
неравенству oscf Х)/(01^1> {£ '• & е Ii, г = 1,...,пМ ^ 2е/3 < е.
Отсюда и из равенства (2.9) предыдущей леммы получаем доказываемое
утверждение. □
Теорема 2.70. Если функция f интегрируема по Риману на
отрезке [а,Ъ], то f на [а,Ь] ограничена и непрерывна почти всюду.
Доказательство. Ранее в теореме 2.23 было доказано, что
необходимым условием интегрируемости по Риману функции / на
отрезке [а, Ь] является ограниченность / на [а, Ь]. Поэтому остается только
доказать, что / непрерывна почти всюду на [а,Ь]. Сначала
рассмотрим случай действительнозначной функции /. Возьмем произвольное
е > 0. Для каждого j е N найдем такое разбиение г3 = {//}f=1? что
f>c(/,//).|//|<£2-^
г=1
Для каждого j е N выберем из отрезков Ц разбиения т3 те, для
которых osc(/, Ц) ^ 2~3. Сумма их длин строго меньше е2~3, так как
Е osc(/,//) • \I{\ > 2-i Е \Ч\ и, значит, Е 1'Л < &Ч■ Если
гвыбр. гвыбр. гвыбр.
х не принадлежит ни одному из выбранных отрезков, то
существует такая окрестность Us{x), что для любого t е ^(ж) П [а, 6] верно
неравенство |/(£) — f(x)\ < 2~3. Выбранные для всех j = 1,2,...
отрезки образуют систему отрезков, сумма длин которых строго меньше
оо
53 е2~3 = е. А если х не принадлежит выбранной системе, то взяв
3 = 1
для произвольного 7] > 0 такое j G N, что 2~3 < 77, найдем такую
окрестность Us(x), что для любого t G £/<5(ж) П [а, Ь] верно неравенство
\f{i) — f(x)\ < 2~3 < rj. Значит, х является точкой непрерывности / на

44
Гл 2. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
[а, Ь]. Все точки разрыва принадлежат системе выбранных отрезков,
сумма длин которых строго меньше произвольного е, следовательно,
/ непрерывна на [а, Ь] почти всюду.
Теперь рассмотрим случай комплекснозначной функции /. Если
она интегрируема по Риману и / — ее интеграл на [а, Ь], то из
неравенств для ее действительной и мнимой частей
|^Re/(0|/|-Rel| = |Re^/(0|/|-Re/|^|^/(Om-/|,
т т т
|£lm/(0|/| - Iml| = |lm £/Ш - Im j| < |£/(OI'l - l\
T T T
следует, что Re/ и Im/ интегрируемы по Риману на [a,fc], a значит,
ограничены и непрерывны почти всюду на [а, Ь]. Но тогда и /
ограничена и непрерывна почти всюду на [а, Ь]. □
Объединяя доказанную теорему с теоремой 2.63, получаем одно из
центральных утверждении в теории интеграла Римана.
Теорема 2.71 (критерий Лебега 1Z-интегрируемости). Функция
/ интегрируема на отрезке [а,Ь] в смысле Римана тогда и только
тогда, когда / ограничена и непрерывна почти всюду на [а,Ь].
Следствие 2.72. Если функция / интегрируема по Риману на
отрезке [а,Ь], то она также интегрируема по Мак-Шейну на [а,Ь] и
ь ь
(M)Jfdx = (U)Jfdx
(то есть М-интеграл является более общим, чем lZ-интеграл).
Доказательство. Интегрируемость по Мак-Шейну следует из
доказанной теоремы и теоремы 2.63, а равенство интегралов
следует из того, что интеграл Хенстока-Курцвейля обобщает как интеграл
Римана, так и интеграл Мак-Шейна (смотри свойство 2.14). Поэтому
/ на [а, Ь] 7^-интегрируема и
ь ь ь
(тг)
[ fdx = (H) J fdx = {M) J fdx. □
Из критерия Лебега интегрируемости по Риману легко следует ряд
свойств интеграла Римана. Например, очевидно, что если /
интегрируема по Риману на [а, Ь], то она интегрируема по Риману и на любом
[с, d] С [а, 6], или, если / интегрируема по Риману на [а, Ь] и на [6, с], то
она интегрируема по Риману и на [а, с]. Эти свойства уже были
установлены нами ранее. Сейчас мы установим ряд новых свойств
интеграла Римана, которые в большинстве своем свойственны лишь этому
интегралу.

§3. КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
45
Обозначения 2.73. Будем обозначать класс интегрируемых по
Риману на отрезке [а, Ь] функций 7£[а, 6], класс интегрируемых по
Мак-Шейпу на отрезке [а, Ь] функций М.[а,Ь], класс интегрируемых
по Хенстоку-Курцвейлю на отрезке [а, Ь] функций Н[а, Ъ].
Свойство 2.74. Если функции f и д из Ща, Ь), то f • д е Ща, Ь].
Свойство 2.75. Если функция f e 7£[а, Ъ], функция <р непрерывна
на [а,(3] D /([а,Ъ}), то <p(f) е П[а,Ь].
Свойство 2.76. Если функцию f е 7£[а,6] изменить в
конечном числе точек, то полученная после такого изменения функция
f Е 7Z[a, b] и интеграл от нее совпадает с интегралом от начальной
функции.
Свойство 2.77. Если f e Ща,Ь], а <Ъ, то \f\ e Ща,Ь] и
ь ь
/ fdx\ ^ [\f\dx.
а а
Свойство 2.78. Если f е Ща, Ь), а <Ъ, f(x) ^ 0 на [а, Ъ] и в точке
хо непрерывности f по [а, Ь] значение f(xo) > 0, то верно неравенство
ъ
Jfdx>0.
а
Докажем перечисленные свойства.
Если / и g ограничены и непрерывны почти всюду на [а, 6], то
и / • g ограничена и непрерывна почти всюду на [а, Ь], а тем самым
интегрируема по Риману на [а, 6], что доказывает свойство 2.74.
Из ограниченности у? на [а,/3] следует ограниченность <p(f) на
[а, 6], а множество точек разрыва <p(f) на [а, Ь] является
подмножеством множества точек разрыва / на [а, Ь]. Значит, по критерию Лебега
<p(f) £ 7£[а, 6], и свойство 2.75 доказано.
Разность f — f отлична от нуля в конечном числе точек, значит
ь
f — f 6 7Z[a,b] и J(f — f)dx = 0. Используя линейность по функциям
а
Ь
интеграла Римана, получаем, что / = (/ — /) + / е 7£[а, Ь] и J f dx =
а
Ъ Ь Ъ
/(/ ~~ f)dx + ffdx = J f dx. Тем самым, свойство 2.76 доказано.
а а а
Так как множество точек разрыва |/| на [а, 6] является
подмножеством точек разрыва / на [а,6], |/| € 7£[а, 6]. Так как —|/(ж)| ^ f(x) ^
|/(ж)|, в силу сохранения неравенств для интегралов, имеем
О 0 0
- I'\f\dx ^ J f dx < У'\f\dx,

46
Гл. 2. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
что эквивалентно неравенству
ъ ь
/'fdx\ ^ [\f\dx,
а а
и свойство 2.77 доказано.
Так как / непрерывна в xq G [a,b], найдется Us{xo), такая что
f(x) ^ /(жо)/2 > 0 для любого х G Us(xq) П [а, Ь]. Положим
ГЛ|о) На£/*(*0)П[а,Ь],
10 в остальных точках.
ь
Тогдар(ж) ^ /(ж) на [а,6] и Jgdx = (/(ж0)/2) • |1Ъ(ж0)П[а,Ь]| > 0, что,
а
в силу сохранения неравенств для интегралов, влечет справедливость
свойства 2.78.
Заметим, что последнее свойство и его доказательство
распространяется и на другие рассматриваемые здесь интегралы.
Теперь докажем одну теорему для интеграла Мак-Шейна.
Теорема 2.79. Если функция f на [а, Ь] определена и равна нулю
ь
почти всюду, то f е М[а, Ь](а значит, и f еН[а,Ь}) и J f dx = 0.
а
Доказательство. Пусть Ej = {х е [а,6] : j - 1 < \f(x)\ ^ j},
j G N. Возьмем произвольное е > 0. Так как множество Е3 меры нуль
по Лебегу, для каждого j G N найдется такая система интервалов {lj}i
покрывающая Е3\ что ^2Щ\ < j~l2~3e- Определим теперь масштаб S
i
на [а, Ь] следующим образом: если f(x) = 0, то положим S(х) = 1; если
f(x) ф 0, то найдем сначала Ej Э ж, а потом найдем какое-либо \\ Э х
и возьмем <5(ж) таким, что Us(x)(x) С /;?. Таким образом мы определим
масштаб S на [а, 6]. Теперь возьмем любое отмеченное J-разбиение Мак-
Шейна т. Тогда
|£/(0|ф££1Ш-и<£; £ 1Д1<£*£141<
OO
3 = 1
Значит, / интегрируема на [а, 6], и интеграл от нее равен нулю. □
Следствие 2.80. Если функция f на [a, b] интегрируема в
смысле Мак-Шейна или Хенстока-Курцвейля, то любая функция д,

§3. КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
47
определенная на [а, 6] и равная f почти всюду, интегрируема на [а, Ь]
ь ь
в том же смысле и f gdx = f f dx.
а а
Это сразу следует из того, что в силу линейности обоих интегралов
по функциям (свойство 2.17) g — f равна нулю почти всюду и поэтому,
в силу теоремы 2.71, .М-интегрируема, а значит, и Н- интегрируем а, с
интегралом по [а, 6], равным нулю.
Последнее наблюдение позволяет ввести более широкое
определение интегрируемости в смысле Мак-Шейна и в смысле Хенстока-
Курцвейля.
Определение 2.81. Будем определенную почти всюду на отрезке
[а, Ь] функцию / называть М-интегрируемой {или Н-интегрируемои)
на [а, 6], если при некотором (а значит, и при любом) доопределении
на [а, Ь] она будет интегрируема в этом смысле; интегралом по [а, Ъ] от
/ будем считать интеграл по [а, Ь] от доопределенной функции.
Рассмотрим теперь условия интегрируемости измеримых
функций. Пример функции Дирихле (см. пример 2.24) показывает, что
ограниченности и измеримости функции недостаточно для ее
интегрируемости по Риману. Однако, как показывает следующая теорема, для
интегрируемости по Мак-Шейну эти условия оказываются
достаточными.
Теорема 2.82. Если функция f измерима и ограничена на [а, 6],
то она Л4-интегрируема на [а, Ь].
Доказательство. Возьмем произвольное е > 0 и,
воспользовавшись определением измеримости 2.55, найдем такую непрерывную на
[а, Ь] функцию д, что \д(х)\ ^ С = sup |/| на [а, Ь] (см. замечание в
[а,Ь]
конце доказательства теоремы 2.58) и /j,*{x е [а, 6] : f{x) Ф д(х)} < е.
Рассмотрим множество Е = {х е [a, b] : f(x) ф д{х)}. Непрерывная
функция д интегрируема по Риману на [а, 6]. Поэтому существует
такое 7 > 0? что для любого отмеченного разбиения т = {№,£;)}?= i
отрезка [а, 6], с отмеченными точками & е h и |/$| < 7 для всех г,
имеем неравенство Е <?(£)!-Л ~~ ^ < е> ГДе ^ ~ интеграл от д по [а, 6].
I т I
Теперь найдем такую покрывающую множество Е не более чем
счетную систему интервалов {Z^}, что Yl, \U\ < £- Определим масштаб S на
[а, Ь] следующим образом: если в точке х имеем равенство f(x) = д(х),
то S(х) = 75 если же f{x) ф д(х), то есть х е 2£, то найдем интервал
£i Э ж и возьмем £(ж) ^ 7 таким, что Us(x)(x) С ^. Пусть г и г' — два
произвольных отмеченных ^-разбиения Мак-Шейна. Тогда
\Em\i\ - £<?(01л| = |£(/ - я№\1\\ < 2<?£ ^ \1,\ <

48 Гл 2 РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Аналогично,
|£/(от-Х>(Ш1|<2Се.
т' т'
Следовательно,
|£дш1 - £/ш| < |£/от - £<?(01л|+
+ |х>ш - J| + |J - £жот| + |Еж)1л - £дш|| <
г т' т' т'
<(4С + 2)е.
Таким образом, по критерию Коши, функция / .М-интегрируема. D
Замечание 2.83. В конце §1 главы 5 будет отмечено, что из
интегрируемости функции по Мак-Шейну следует ее измеримость.

Глава 3
Неопределенные интегралы
§ 1. Определения и простейшие свойства
Определение 3.1. При изучении всех интегралов на отрезке
прямой удобно считать, что всегда, по определению,
а а Ь
If dx = 0; I f dx = — I f dx, где а < 6.
a b a,
Используя это определение, можно сформулировать свойство
аддитивности по отрезкам интегралов Римана, Мак-Шейна и Хенстока-
Курцвейля в следующем более общем виде.
Свойство 3.2 (аддитивность по отрезкам). Если для некоторых
Ь с с
а,Ъ,с Е R из трех интегралов J fdx, J fdx, J f dx (в смысле Рима-
a Ь а
на, Мак-Шейна или Хенстока-Курцвейля) два существуют, то
существует и третий (в том же смысле) и выполняется равенство
осе
If dx + / / dx = f dx.
Проверка этого утверждения сводится, с учетом теоремы 2.25, к
рассмотрению нескольких случаев различного порядка расположения
точек а,Ъ,с на R.
Теперь напомним одно ранее установленное свойство всех
изучаемых интегралов: если / интегрируема на [а, Ь] в смысле Римана (Мак-
Шейна, Хенстока-Курцвейля), то / интегрируема в том же смысле на
любом отрезке [c,d] С [а,Ь]. Поэтому можно ввести следующее
определение.
Определение 3.3. Если функция / является 7^-интегрируемой
(Л4-, ^-интегрируемой) на [а, Ь], то функция
F{x)= f fdt + C

50
Тл 3 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Х2
Х2
на [а,Ь], при фиксированных хо Е [а,Ь] и постоянной С € R,
называется неопределенным интегралом функции / или интегралом с
переменным верхним пределом, соответственно, Римана (Мак-Шейна,
Хенстока-Курцвейля).
Два неопределенных интеграла
X X
F1(x)=ffdt + C1 и F2(x) = J f dt + С2,
х\ а
где Xi,x-2 £ [a,b], отличаются на постоянную:
XX
Fi(x) - F2{x) = (f~ J)fdt + d-C2= J fdt+ (Ci - C2).
X\ X2 X\
Прежде, чем начать изучение неопределенных интегралов, введем
еще одно определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.4. Функция / принадлежит классу Липшица на
множестве Е С R (в записи / е Lip(.E)), если / определена на Е и
существует такая постоянная С > 0, что для любых х\ и Х2 из Е
выполняется неравенство \f(x\) — /(жг)| ^ С\х\ — жг|.
Отметим, что если / е Lip(.E), то / равномерно непрерывна на Е.
Теорема 3.5. Пусть функция / является 71-интегрируемой (Л4-
, Н-интегрируемой) на [а,Ь]. Если / ограничена на [а,Ь] (или, в
случае Л4-, Н-интегрируемости, совпадает с ограниченной функцией
почти всюду на [а,Ь]), то неопределенный интеграл F(x) G Lip([a,fc]) и
тем самым является непрерывной функцией на [а, 6]. Если х
является точкой непрерывности / на [а,Ь\, то неопределенный интеграл
Fix) имеет производную в точке х и F'(x) = f{x).
Доказательство. Изменив, в случае интегралов Мак-Шейна и
Хенстока-Курцвейля, значение функции на множестве меры нуль (см.
следствие 2.80), можем, не ограничивая общности, считать функцию
/ ограниченной на отрезке [а, Ь] во всех случаях и проводить
доказательства одновременно для всех интегралов. Тогда — sup |/| ^ f(x) ^
[а,Ь]
sup |/|, и, значит, для любого [c,d\ С [а, Ь] верно неравенство
[а,Ь]
d d
- sup l/l - (d - с) = f-sup\f\dt^ ffdt^
[a,b] J [a,b] J
с с
d
^ / sup |/| dt = sup |/| • (d - c),
J [a, 6] [a,b]

§2 ИНТЕГРАЛЫ МАК-ШЕЙНА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ 51
которое эквивалентно неравенству \J f dt\ ^ sup |/| • (d — с). Если точки
1 с ' [а,Ь]
I У I
х,у G [а, Ь], то |F(y) - F(x)| = \Jfdt\ ^ sup |/| • \у - х\ и, значит,
'гс ' [а, 6]
F G Lip([a,b]). Если функция / непрерывна в точке х £ [а,&] по [а, Ь],
то для у е [о,Ь], у ^я,
ад-_вд_/(х)
у-ж
2/
У 2/
_J_ [f(t)dt~ — ff{x)
у-х J y-xJ
dt
1
\У-х\
f(f(t)-f(x))dt\^-^— sup \f(t)-f(x)\-\y-x\^
< osc / = o(l) при у —> я\
[x,y]
Порядок расположения точек ж, у здесь произвольный. Тем самым
доказано, что F'(x) = f(x). D
Следствие 3.6. У непрерывной на промежутке функции f
имеется точная первообразная.
Из последней теоремы, с учетом теоремы 2.70, вытекает также
Следствие 3.7. Если f e 7Z[a,b], F является неопределенным
интегралом f, то F'(x) = f(x) почти всюду на [а, Ь].
Поскольку интегрируемые по Мак-Шейну или по Хенстоку-Кур-
цвейлю функции могут быть неограниченными и не иметь точек
непрерывности, вопрос о непрерывности и дифференцируемости их
неопределенных интегралов более сложен и требует более тонких
рассуждений.
§ 2. Неопределенные интегралы Мак-Шейна и
Хенстока—Курцвейля
Лемма 3.8 (лемма Сакса-Хенстока). Пусть функция f является
Л4-интегрируемой (Н-интегрируемой) на отрезке [а,Ь] и пусть для
заданного е > 0 найден такой масштаб S на [а,Ь], что для любого
отмеченного Ь-разбиения Мак-Шейна (Хенстока) т отрезка [а, Ь]
выполняется неравенство
ь
£/(Ш1-/
f dx\ < е.
Тогда для любого отмеченного S-разбиения Мак-Шейна (Хенстока)
т = {(Ii,£i)}™=1 отрезка [а,Ъ] и любого подмножества Jc{l,...,n}

52
Гл. 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
также выполняется неравенство
£(ШШ- ffdx)
^е.
Доказательство. Возьмем произвольное rj > 0 и для каждого
отрезка разбиения Ii с г ^ J найдем такой масштаб di{x) ^ 5{х) на
/г, что для любого отмеченного ^-разбиения Хенстока тг отрезка Ii
выполняется неравенство
, J n
Для каждого г ф J фиксируем отмеченное 6{-разбиение Хенстока тг
отрезка Ii. Положим
y=(Ur<)U{(J''6): ^J}.
Для этого отмеченного J-разбиения Мак-Шейна (Хенстока)
i£j
i(£J т*
о
J2f(0\I\~ ffdxl
<r-l I I
< e.
Поскольку
b
22№\I\- ffdx =
' a
приходим к неравенству
£(7&)№| - ffdx)I = fe/(om - ffdx-
-Efe/(em-//^)|<e+E2
^e + ry.
В силу произвольности ?7 > 0, получаем утверждение леммы.
□
В следующей лемме оценки для действительнозначных и ком-
плекснозначных функций отличаются (в два раза).

§2 ИНТЕГРАЛЫ МАК-ШЕЙНА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ 53
Лемма 3.9 (лемма Колмогорова-Хенстока). Пусть
действительнозначная [комплекснозначная] функция f является М
-интегрируемой (Н-интегрируемой) на отрезке [а, Ь] и пусть для заданного е > О
найден такой масштаб S на [а, &], что для любого отмеченного S-
разбиения Мак-Шейна (Хенстока) т отрезка [а, Ь] выполняется
неравенство
о
£/(Ш1-//**
< е.
Тогда для любого отмеченного 5-разбиения Мак-Шейна (Хенстока)
т = {(^г,£г)}Г=1 отрезка [а,Ь] таксисе выполняется неравенство
п I г \
Д/(6Ж<|- //ctek2e[<4e]. (3.1)
о — 1 I J I
Доказательство. Если функция / действительнозначна, то
положим J = \ г : f{£i)\Ii\ — J f dx ^ 0, 1 ^ г ^ п>. Тогда, по лемме
Сакса-Хенстока,
£|/(&)W - ffdxl = \E№i)\Ii\ - ffdx
,'c ;l J I I»/- i 4
i£j
i£j
^e.
Аналогично,
^e.
Объединяя две последние оценки, получаем утверждение леммы для
действительнозначных функций.
Если функция / комплекснозначна, то, используя оценки
о о
£>е/(ОИ - fltefdxl < fe/Ш " ffdxl
ь ь
^Im/(0|/| -Jlmfdxl < |£ДШ1 - У/dx|

54
Гл 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
и то, что для действительнозначных функций лемма доказана,
получаем оценки
fJRe/(&)W- [tefdx
П I „
^\lm f ^i)\Ii\-J bnf dx
^2e;
<2e.
Из них следует утверждение леммы для комплекснозначных функций.
□
Теорема 3.10. Если функция f является Н-интегрируемой на
отрезке [а,Ь], то ее неопределенный Н-интеграл F является
непрерывной на [а, Ь] функцией.
Доказательство. Возьмем произвольное е>0и найдем такой
масштаб 5 на [а, Ь], что для любого отмеченного 6-разбиения Хенстока
т выполняется неравенство
ь
J2m\i\-ffdx
< е.
Возьмем любую точку х0 е [а, Ь] и любое такое х е [а, Ь], что |х — хо| <
mini <5(жо),е/ (1 + |/(жо)|) к Воспользовавшись леммой 2.12, построим
такое отмеченное J-разбиение Хенстока т, одним из элементов
которого является пара (/, xq), где I — отрезок с концами хо и х. По лемме
Сакса-Хенстока 3.8, имеем
X
\f(x0){x-xo) - fdtl^e.
А поскольку |/(жо)| • \х - х0\ < £|/(жо)|/(1 + |/(яо)|) < е, имеем
\F(x)-F(x0)\
х
I
fdt
<2е.
В итоге получаем, что для любого е > 0 существует окрестность Щ(хо)
с 7 — nrinj 5(хо),е/ (l + |/(жо)|) к такая, что для любого х е £/7(жо) П
[а, 6] выполнено
|ВД-.Р0го)|<2е,
то есть функция F непрерывна в точке xq по [а, &]. □
Из доказанной теоремы, с учетом свойства 2.14, вытекает
аналогичное утверждение для интеграла Мак-Шейна:

§2 ИНТЕГРАЛЫ МАК-ШЕЙНА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ 55
Следствие 3.11. Если функция f является Л4-интегрируемой
на отрезке [а,Ь], то ее неопределенный ЛЛ-интеграл F является
непрерывной на [а, Ь] функцией.
Для решения вопроса о дифференцируемости неопределенного
интеграла Хенстока-Курцвейля нам понадобится более сложная
техника, операющаяся на теоремы Витали о покрытиях.
Теорема 3.12. Если функция f является Н-интегрируемой на
отрезке [а,Ь], то ее неопределенный Ti-интеграл F на [а,Ъ] почти
всюду дифференцируем и почти всюду F'{x) = f{x).
Доказательство. Пусть х является произвольной точкой
интервала (а, Ь).
F'(x)=f(x) * limF{t) l{x)-f{x)
ь >х Z X
О <*
& lim
t—*х
F(t) - F(x)
t — х
<* V{*n}~=1, tn G [a, b] \ {x}, tn-*x:
№
= 0 &
F(tn) - F(x)
Zfi X
№
при n —> oo.
Рассмотрим множество
Em = \x e (a,b) : lim sup
F{t) - F(x)
t — x
n*)
m )
m G N. Для каждой точки x G Em и для любого масштаба 5 на [a, b]
найдутся отрезки вида [x,t], t > х, или [t,x], t < ж, такие, что
\t- х\ < 6(х) и
F(t) - F(x)
-№
>
t — x
Они покрывают множество Ет в смысле Витали.
Возьмем произвольное е>0и найдем такой масштаб S на [a, b], что
для любого отмеченного J-разбиения Хенстока т выполняется
неравенство
ь
£/(0т-/
fdx
< е.
Теперь, прльзуясь теоремой Витали 2.54, выберем такую конечную
систему попарно непересекающихся отрезков Ik = [ак,(3к] С (a, b), к =
1,...,п, что \0к - OLk\ < 5(£k),
^(Ет)^^2\1к\+е,
(3.2)
fc=i
F(pk) - F(ak)
Pk ~ OLk
/(&:
i

56
Гл 3 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
где £к = ак или £к = 0к, к = 1,..., п.
По лемме 2.12, набор пар {(Д, £*)}£= i можно дополнить до
некоторого согласованного с S(х) отмеченного разбиения Хенстока т всего
отрезка [а, Ь]. Тогда набор {(Д,£*)}£= i образует подразбиение этого
разбиения, к которому применима лемма Колмогорова-Хенстока 3.9,
дающая оценку
- I Рь
\tt€k)\Ik\-ffdt\
I Q!fc
Е
По построению,
I F(/?fc) - F(afc)
<4е.
(3.3)
/?fc - «fc
/3k
/(&)
5i//*-/(w
141
1
> —,
m
откуда /(£k)|.Zfe| - J fdt\ ^ ±\1к\ при fc = l,...,n. Объединяя это
a*
неравенство с (3.3), приходим к оценке
Учитывая (3.2), в результате получаем неравенство /i*(E'm) < ^ \Ik\ +
£ < 4m£-b£ = (4га + 1)е. В силу произвольности е > 0, имеем /л*(Ет) =
О, то есть J£m является множеством меры нуль. Тогда и множество
£7 = \х е (а,Ъ) : limsupl^bf^ - /(*)| > о) = \J E,
L t->x I I У rn=l
нуль, то есть почти всюду на [а, Ь]
\F(t)-F(x)
т имеет меру
lim
t—>a;
t — X
/(*)
0.
Это и значит, что почти всюду на [а, 6] верно равенство F'{x) = /(ж).
П
Следствие 3.13. Если функция f неотрицательна почти всюду
ь
на отрезке [а, Ь], Н-интегрируема и (И) J f dx = 0, то f(x) = 0 почти
а
всюду на [а, Ь].
Действительно, для любого х е [а, &] верно неравенство 0 ^ F(x) =
J fdx ^ I / + / I /е&г = О, и, значит, F(x) = J f dx = 0 на [a, fe].
a Va ж у a
Отсюда /(ж) = F'(x) = 0 почти всюду на [a, 6].

§2 ИНТЕГРАЛЫ МАК-ШЕЙНА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ 57
Теорема 3.14 (неравество Чебышева). Если функция f
неотрицательна и Н-интегрируема на отрезке [а,Ь], то для любого А > О
верно неравенство
ь
^{xe[a,b}:f(x)^X}^jffdt
а
Доказательство. Возьмем произвольное е > 0 и найдем такой
масштаб S на [а, Ь], что для любого отмеченного J-разбиения Хе истока
т выполняется неравенство
ь
£/(Ш1-/
fdx
< е. (3.4)
Пусть Е = {х G [а, 6] : /(ж) ^ Л}. Для каждой точки х £ Е и
для определенного выше масштаба S(х) на [а, 6] найдутся отрезки вида
[x,t] С [a,b], t > х, или [t,x] С [a,fc], t < х, такие, что \t — х\ < 6(х).
Они покрывают множество Е в смысле Витали.
Согласно теореме Витали 2.54, выберем такую конечную систему
попарно непересекающихся отрезков Д — [&k,Pk] С [а, &], к = 1,... , п,
занумерованных в порядке расположения на [а, 6] (а ^ а\ < (3\ < а2 <
(3<2< '•• <OLn< Рп^Ъ), ЧТО
п
М* (ЯК £141+£• (3.5)
к=1
Пусть £к — принадлежащий Е конец отрезка /&, /Ь = 1,..., п.
Пользуясь леммой 2.12 для тех отрезков
[a,OLi],\Pua2],... ,\pn-uotn],[0n,a],
которые не вырождены, найдем их согласованные с масштабом S
отмеченные разбиения Хе истока т°, г1,..., тп~1 ,тп. Тогда
(й^)и{№,&)}^1
Т
является отмеченным J-разбиением Хенстока отрезка [а, Ь]. По (3.4),
имеем оценку
ь
£/(Ш|- [fdx<e.
а
По построению, /(&) ^ А, А: = 1,... ,п. Поэтому, учитывая
неотрицательность /, имеем оценку
ь
п п р
а£|4К£ды|4К£/(Ш1< fdt + £-
к=1 к=1 т Jn

58
Гл. 3 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Объединяя это неравенство с (3.5), получаем
А//(£)< /"/<« +(А+ 1)е,
что, в силу произвольности е > 0, дает
ь
A/i*(£H Jfdt.
□
§ 3. Абсолютная интегрируемость
Интеграл Мак-Шейна обладает важным свойством, которое
отличает его от интеграла Хенстока-Курцвейля: вместе с каждой
функцией интегрируем и ее модуль.
Теорема 3.15 (абсолютная .М-интегрируемость). Если функция
f является Л4-интегрируемой на отрезке [а, &], то |/| также Л4-
интегрируема на [а, Ь] и
ъ ь
\(М) J' fdxU(M) [\f\dx.
а а
Доказательство. Возьмем любое £>0и найдем такой масштаб
S на [а, Ь], что для любого отмеченного J-разбиения Мак-Шейна т
выполняется оценка
ь
£/(Ш1- [fdx\
< е.
Пусть т = {(/г,&)}?=1 и т' = {(Jj,£J)}™=1 — два произвольных
отмеченных S-разбиения Мак-Шейна. Рассмотрим разбиение т,
состоящее из невырожденных отрезков 1{ П Vy Поставив таким отрезкам
в соответствие отмеченные точки & или £J, получим,
соответственно, отмеченные разбиения Мак-Шейна, согласованные с S (поскольку
h^I'j CljC ^<5(&)(&)» h^Ij C /j С ^5(£')(££•)) • По лемме Колмогорова-
Хенстока 3.9, имеем
£ Д6)|/*П7<|- / /dx
|/.n/j|>o' uJnI,
l/.n/'ix)1 7^7,
^4е,
<4е.

§3. АБСОЛЮТНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
59
А так как
|/(6)№nj5i-/(^)№njjik
^
/(6)|/in/j|- J /dx| + | | /с&-/(^)|ЛП^|
имеем
£ |/(6)-/(^-)|-№ni/|<&.
|/in/;i>o
Пользуясь известным неравенством ||а| — \(3\\ ^ |а — /?|, получаем, что
£ li/(6)i-i/^oil-i/injjKte.
|/гП/^|>0
Ранее в лемме 2.60 было отмечено, что
3 г
Следовательно,
|£ i/(ohji - £ i/(oii7i| = |£ i/(6)i • \и\ - £ \Ю\ -щ\\ =
т т' г j
= |££i/&)M7*n7;i-£EI/(^l-i7>n^h
<££|i/(&)i-|/(£)l|-i7<n7;i<8e-
Значит, для любого е > 0 найдется такой масштаб S на [а, Ь], что для
любых согласованных с J отмеченных разбиений Мак-Шейна гит'
выполняется оценка
|£i/i(om-£i/i(e)m|<8£)
т т'
то есть выполнено условие критерия Коши 2.20 .М-интегрируемости
1/1 на [а,Ъ].
Так как для любого отмеченного разбиения Мак-Шейна т =
{(/*,&)} верно неравенство 1е/(0И| = |£/(6)|Д|| < Е1Я6)1№1 =
I т I I ^ 'г
2 1/1 (01-^1 > то> переходя к пределу по базе Мак-Шейна, получаем нера-
т
венство
ь ъ
\(M)JfdxU(M)J\f\dx. D

60
Гл 3 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Итак, установлено, что интегралы Римана (см. свойство 2.77) и
Мак-Шейна "абсолютные": вместе с функцией / на том же отрезке
интегрируема и функция |/|.
Теперь покажем, что Н-интеграл аналогичного свойства не имеет.
ПРИМЕР 3.16. Функция
(-1]fc2fc при хе[1- 2"*+1, 1 - 2"fc), к = 1, 2,...,
0 при х = 1
интегрируема в смысле Хенстока-Курцвейля на [0,1], а ее модуль не
интегрируем в смысле Хенстока-Курцвейля на [0,1].
Действительно, функция
Ф(аг) =
(7Z)]<pdt при х е [0,1),
о
Еоо (-l)fc 1
k=i к- при х = 1
непрерывна на [0,1] и, в соответствии с теоремой 3.5, при всех х е
(0,1), х ф \-2~к, к е N, Ф'(ж) = <р(х). Тогда, по теореме 2.27, функция
1
ip является Н-интегрируемой на [0,1] и (Н) f (pdx = Ф(1) — Ф(0).
о
1-2_п
Так как (Н) J \p\dt = Y^k=i^/k * °°' по теореме ЗЛО,
q П—>СЮ
функция \(р\ не может быть 7^-интегрируемой на [0,1].
Функция \(р\ также не является 71- и .М-интегрируемой на [0,1],
следовательно, и функция (р не является 71- и .М-интегрируемой на
[0,1]. Тем самым показано, что класс интегрируемых в смысле
Хенстока-Курцвейля функций Н[а,Ь] строго шире класса интегрируемых
в смысле Мак-Шейна функций Л4[а,Ь].
Приведем теперь пример неизмеримой функции.
ПРИМЕР 3.17. Введем на отрезке [a, b], a < Ъ, такое отношение
эквивалентности: х ~ у, если х — у е Q, где Q — множество раци-
анальных чисел. Очевидно, это отношение рефлексивно, симметрично
и транзитивно. По известной теореме алгебры, отрезок [а, Ь]
является объединением соответствующих классов эквивалентности На.
Образуем множество Е С [а, Ь], содержащее ровно по одному элементу
из каждого класса (такое множество существует по аксиоме выбора
Цермело). Тогда характеристическая функция хЕ множества Е
неизмерима на [а, Ь].
Действительно, предположим, что \е измерима на [а, Ь] и придем
к противоречию. Пусть для любого г G Ш множество Ег — сдвиг на
г множества Е, то есть множество Е + г = {х : х — г е Е}. Пусть

§3 АБСОЛЮТНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
61
Q — Q п [а - Ъ, Ь - а], тогда
[а, Ь] С (J Ег С [2а - Ь, 2Ь - а]. (3.6)
По теореме 2.82, функция хЕ интегрируема на [а,Ь] по Мак-Шейну.
ь
Если JxEdx = 0, то, по теореме 3.13, почти всюду хЕ(х) = О-
а
Значит, i? меры нуль по Лебегу. Но тогда, по свойству 2.49,
множество U Ег, а значит, и [а, Ь] меры нуль по Лебегу. Последнее неверно,
r£Q
поскольку внешняя мера отрезка равна его длине (см. замечание 2.40)
ъ
Значит, J хЕ dx = / > 0. Так как все рассматриваемые тут инте-
а
b+r
гралы инвариантны относительно сдвига, то J xEr dx = I > 0 для
а-\-г
любого г G М. Возьмем различные числа г\,Г2,--- ,гп из Q и пусть
Ek = ЕГк, Хк = Хв , к = 1,--- ,п. Множества Ек попарно
непересекаются (если х 6 Ei П Ej, то х — Г{ и х — гj принадлежат Е и одному
классу эквивалентности, что невозможно поскольку Е содержит ровно
по одному элементу из каждого класса), поэтому
2Ь—а 26—а
пТ = / 2^Xkdx^ I ldx = 3(b — a).
J lc — Л **
2a-b K~L 2a-b
Такое неравенство при / > 0 не может выполняться для всех п е N.
Предположение об измеримости, а значит, и интегрируемости по
Мак-Шейну функции хЕ привело к противоречию. Следовательно, это
неизмеримая функция.
Следствие 3.18. Внешняя мера /i* не является аддитивной, а
именно, существуют такие непересекающиеся множества Е и D,
что /i* (E U D) < /i* (Е) + /i* (D).
Действительно, пусть Е — множество из примера 3.17. Поскольку
ХЕ не интегрируема на [а, 6], по следствию 2.79, имеем ц*(Е) > 0. Если
бы для любых непересекающихся множеств G и D выполнялось
равенство /i* (GUD) = /i* (G) + /i* (D), то для различных чисел п, Г2, • • • , rn
/ n \ n
из Q имела бы место оценка /J>* [ \J Ek) = J2 A**№) = п/и*(Е) ^
\A;=1 / A;=l
3(b — а), которая не может выполняться для всех п е N.
Определение 3.19. Измеримыми называют подмножества
отрезка [а, 6], характеристические функции которых измеримы на [а, 6].
Пример 3.20. Множество Е из примера 3.17 неизмеримо на [а,Ь].

62
Гл 3 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Замечание 3.21. На классе всех измеримых подмножеств
формула
ь
n(D) = (H)JxDdx.
а
определяет меру множества D отрезка [а, Ь]
Если вводить на множествах счетно аддитивную меру
(неотрицательную функцию, которая определена на любом счетном
объединении множеств из области определения и в случае, когда они не
пересекаются, принимает на объединении значение, равное сумме значений
на этих множествах), монотонную (мера множества больше или
равна меры его подмножества), инвариантную относительно сдвигов и
сопоставляющую отрезкам их длину, то, в силу включений (3.6),
рассматриваемому множеству Е нельзя приписать никакой меры, так как
значение 0 противоречит первому включению, а любое строго
положительное — второму. Поэтому любая попытка введения такой меры
должна ограничиваться некоторым классом множеств (см. ниже главу
7).

Глава 4
Интегралы Стилтьеса
§ 1. Интегралы Римана—Стилтьеса, Мак-Шейна—Стилтьеса
и Хенстка-Курцвейля-Стилтьеса
В этой главе будут рассмотрены обобщения ранее введенных
интегралов, основанные на идее Стилтьеса интегрирования функции
относительно другой функции.
Все рассматриваемые дальше функции комплекснозначны (или,
как частный случай, действительнозначны).
Если дан отрезок J = [а,(3] и определенная в его концах функция
д, то приращение д{0) — д(а) функции д на отрезке / будем обозначать
Определение 4.1. Пусть на отрезке [а, Ь] определены функции /
и д. Интегральной суммой Римана-Стилтьеса функции / по
функции д на отрезке [а, Ь], соответствующей отмеченному разбиению т =
{№>6)}?=i> называют сумму
£Д0Д£(/) = £ШД^).
т г=1
Определение 4.2 (интеграла Римана-Стилтьеса). Функция /
интегрируема по функции д на отрезке [а, Ь] в смысле
Римана-Стилтьеса (или 1ZS-интегрируема) и ее интеграл равен числу J, если / и д
определены на [а, Ь] и для любого е > 0 существует такое число S > О,
что для любого отмеченного разбиения Хенстока т = {(^г5£г)}?=1
отрезка [а,Ь], с & € /г и |7$| < S для всех г, верно неравенство
^/(£)Д#(7) — 7 < е. Число I называют определенным интегралом
I т I
Римана-Стилтьеса (или 1ZS-интегралом) функции / по функции g
ь
на отрезке [а, Ь] и обозначают (1ZS) f f dg или (1ZS) f f dg.
a [a,b]
Определение 4.3 (интеграла Мак-Шейна-Стилтьеса). Функция
/ интегрируема по функции g на отрезке [а, Ь] в смысле Мак-Шейна-
Стилтьеса (или A4S-интегрируема) и ее интеграл равен числу J,
если / и g определены на [а, Ь] и для любого е > 0 существует такой
масштаб S на [а, Ь], что для любого отмеченного J-разбиения Мак-Шейна

64
Гл. 4 ИНТЕГРАЛЫ СТИЛТЬЕСА
т = {(/г,£г)}?=1 отрезка [а, Ь] верно неравенство 2/(ОА<?С0 — ^ < е-
I т I
Число I называют определенным интегралом Мак-Шейна-Стилтье-
са (или MS-интегралом) функции / по функции g на отрезке [а, Ь] и
ь
обозначают {MS) f f dg или {MS) J f dg.
[a,b] a
Определение 4.4 (интеграла Хенстока-Курцвейля-Стилтьеса).
Функция / интегрируема по функции g на отрезке [а, Ь] в смысле
Курцвейля-Хенстока-Стилтьеса (или HS-интегрируема) и ее
интеграл равен числу /, если / и g определены на [а, Ь] и для любого е > О
существует такой масштаб 5 на [а, Ь], что для любого отмеченного 6-
разбиения Хенстока т = {(^г,£г)}?=1 отрезка [а, 6] верно неравенство
2/(0^0СО — 1\ < s. Число / называют определенным интегралом
i T i
Хенстока-Курцвейля-Стилтьеса (или HS-интегралом) функции /
ъ
на отрезке [а, 6] и обозначают {HS) f f dg или {HS) f f dg.
a [a,6]
Как и в случае интегралов, рассмотренных в предыдущих главах,
перед знаком интеграла соответствующие буквы, обозначающие вид
интеграла, могут опускаться, если из контекста ясно, о каком
интеграле идет речь.
Заметим, что все три определения фактически определяют
интеграл как предел интегральных сумм Римана по базе.
Действительно, пусть М = {г} — множество отмеченных разбиений отрезка [a, b].
На М по функциям / и g определена функция 2/(0^0СО» соп°-
т
ставляющая каждому отмеченному разбиению т интегральную сумму
Римана-Стилтьеса ^ f{£i)Ag{Ii). По определениям интегралов Рима-
г
на-Стилтьеса, Мак-Шейна-Стилтьеса и
Хенстока-Курцвейля-Стилтьеса,
ь
{IIS) [fdg = \imTf{0Ag{I),
а Т
Ь
{MS) [fdg=\im^rf{0Ag{I),
a
b
{HS) //d0 = Um£/(OA0(/).
a
Из свойств предела по базе сразу следуют некоторые простейшие
свойства всех трех введенных интегралов.

§1 ТРИ ИНТЕГРАЛА СТИЛТЬЕСА
65
Свойство 4.5. Если функция f интегрируема по функции д на
[а, 6] в смысле Римана-Стилтьеса (Мак-Шейна-Стилтьеса) и I ~ ее
интеграл, то f интегрируема по д на [а, Ь] в смысле Хенстока-Курц-
вейля-Стилтьеса и ее интеграл имеет то же значение I.
Доказательство. Действительно, так как В$ D В^(х) при 0 <
5(х) < 5/2 на [а, Ь] и В$(х) Э В^(х)^ по теореме 1.5, свойство верно. □
Свойство 4.6. Если интеграл Римана-Стилтьеса (Мак-Шейна-
Стилтьеса, Хенстока-Курцвейля-Стилтьеса) от функции f no g на
[а, 6] существует, то он единственен.
Это непосредственное следствие теоремы 1.6 о единственности
предела по базе.
Свойство 4.7 (линейность по функциям). Если функция f
интегрируема по функции g на [а, Ь] в одном из трех смыслов, а с является
действительным или комплексным числом, то cf интегрируема по
ъ ъ
g на [а,Ъ] в том же смысле и f cf dg = cffdg; f интегрируема по
a a
b b
eg на [a,b] в том же смысле и J f d(cg) = cffdg.
a a
Если функции fi и fi интегрируемы по функции g на[а,Ь] в одном
из трех смыслов, то функция f\ ± fi интегрируема по функции g
ь ь ь
на [a,b] в том оюе смысле и f(fi ± f2)dg = f f\dg ± f fzdg; если
a a a
функция f интегрируема по функциям g\ и #2 wfl [a, b] в одном из
трех смыслов, то функция f интегрируема по функции gi ± #2 па
ь ь ъ
[a, b) в том же смысле и J f d(g\ =Ь #2) = / / dg\ ± / / dg<i.
а а а
Доказательство. Действительно, функциям cf и g на
множестве отмеченных разбиений соответствует функция ^cf(£)Ag(I) =
т
c^2f(£)Ag(I) и если 93 — любая из трех баз, то, по теореме 1.13,
т
Ь
существует J cf dg = \imY^cf(^)Ag(I) = limc^ Д£)ДР(Л = lime-
•Нт£/(£)Д<?(7) = climE/(?)Aff(/) = cffdg.
53 T » T a
Аналогично, функциям / и eg на множестве отмеченных
разбиений соответствует функция ^2 f(^)A(cg)(I) = с^ f(QAg(I) и если
Т Т
b
93 — любая из трех баз, то, по теореме 1.13, существует J f d(cg) =
a

66
Гл 4 ИНТЕГРАЛЫ СТИЛТЬЕСА
limE/(0A(c9)(7) = limcE/(0A9(/) = lim с • lim £ Д£) Д9(/) = с
•limE/(OAff(/)=c//d9.
25 г а
Функциям Д ±/2 и # на множестве отмеченных разбиений соответ-
ствует функция E(/i ± /2)(?)Aff(7) = £/i(£)A<?0O ± £/2(£)A<?C0 и
т т т
если 03 — любая из трех указанных баз, то, по 1.13, существует /(/i ±
а
/2)<fo = lim£(/i±/2)(0As(J) = limfe/i^Aff^dz E/2(OA9(/)) =
Нт £ Л (?) А<? (7) ± lim £ /2(0 Др(/) = Jfidg±fh dg.
23 т ® т а а
Аналогично, функциям /ир1±^на множестве отмеченных
разбиений соответствует функция X! Ж)д(#1 ±02)СО = £/(£)A0iCO ±
т т
2 /(£)Д#2(0 и если 03 — любая из трех указанных баз, то, по 1.13, су-
т
ществует//й0?1±92) =1ш1ЕЛОД0?1±<»)(/) =lim(x;/(0A5i(/)±
Е/(0Д^и)) = 1тЕ/(0Др1(Л±1ш1Е/(0Д»2(Л=//*1±//й«й-
а
Свойство 4.8 (сохранение неравенств). Если функция f
интегрируема по функции д на [а,Ь] в любом из трех смыслов, функция
h интегрируема по функции д на [а,Ь] в любом из трех смыслов и
f{x) ^ h(x) на [а,Ь], а функция д не убывает на [а,Ъ], то для их
интегралов (возможно, в разных смыслах) справедливо неравенство
ь ь
J fdg ^ fhdg.
а а
Доказательство. Действительно, в силу свойства 4.5, можно
ограничиться случаем 7{S-интегрируемости / по g и h по д. Если f(x) ^
h(x) на [a, b], a функция д не убывает на [а, Ь], то на множестве
отмеченных разбиений
^f(OAg(I) = Х)/(&)Дз№) < £>&)Д9(/0 = 2>(0Д»(Л
т г г т
и, значит, в силу теоремы 1.15 о переходе к пределу в неравенствах,
ь ь
ffdg = limУ)/(0Д«7(/) < \imJ2КО&9(1) = [hdg. D

§1 ТРИ ИНТЕГРАЛА СТИЛТЬЕСА
67
Пусть 03 — одна из баз 03<7г, 03м, У$н- Используя критерий Ко-
ши существования предела по базе 03, получаем три соответствующих
критерия интегрируемости.
Теорема 4.9 (критерий Коши интегрируемости). Если функции
fug определены на отрезке [а,Ь], то функция f интегрируема по
функции g на [а,Ь] в одном из трех смыслов обобщенного
интегрирования по Риману-Стилтьесу, задаваемом базой 03, тогда и только
тогда, когда для любого е > 0 существует такое число S > О, что
для любых отмеченных разбиений Хенстока (разбиений Мак-Шейна,
в случае M.S-интегрируемости) т, т' G Bs G 03 верно неравенство
|E/(OA»W-E/(OAsW|<e-
т т'
Приведенные критерии позволяют доказать справедливость
следующего свойства.
Теорема 4.10 (интегрируемость на подотрезках). Если функция
f интегрируема по функции g на отрезке [а,Ь] в одном из трех
рассматриваемых смыслов, то она интегрируема в том же смысле и на
любом отрезке [с, а1} С [а,Ь].
Для доказательства этой теоремы достаточно повторить
рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 2.22.
Свойством аддитивности по отрезкам интеграл Римана-Стилтьеса
не обладает, что показывает следующий пример.
Пример 4.11. Функция
[О, если х G [—1,0],
1, если х G (0,1]
/(*) =
интегрируема по функции
9(х) =
[0, если х G [—1,0),
1, если х G [0,1]
на отрезках [—1,0] и [0,1] в смысле Римана-Стилтьеса, но не
интегрируема на отрезке [—1,1] в том же смысле.
Действительно, поскольку f(x) = 0 на [—1,0], для любого
отмеченного разбиения отрезка [—1,0] интегральная сумма функции / по
функции g равна 0, предел интегральных сумм по базе Римана 03<7г
о
равен 0, то есть (7ZS) J f dg = 0.
-i
Поскольку g(x) постоянна на [0,1], на любом отрезке / С [0,1]
приращение функции g будет равно 0, значит, для любого отмеченного
разбиения отрезка [0,1] интегральная сумма функции / по функции
g равна 0, предел интегральных сумм по базе Римана 03<7г равен 0, то
1
есть (TiS) ffdg = 0.

68
Гл. 4. ИНТЕГРАЛЫ СТИЛТЬЕСА
Теперь рассмотрим любое такое отмеченное разбиение отрезка
[—1,1], что точка 0 лежит внутри одного из отрезков разбиения /&.
Тогда Ад (Ik) = 1 и Ag(Ii) = 0 при г Ф к. Если отмеченная точка
£k ^ 0, то f(£k) = 0 и интегральная сумма функции / по функции д
равна 0, а если отмеченная точка £& > 0, то /(£&) = 1 и интегральная
сумма функции / по функции д равна 1. На любом элементе В$ е %$п
интегральные суммы принимают значения 0 или 1, поэтому критерий
Коши интегрируемости в смысле Римана-Стилтьеса 4.9 не
выполняется.
Интегралы Мак-Шейна-Стилтьеса и Хенстока-Курцвейля-Стил-
тьеса обладают свойством аддитивности по отрезкам.
Теорема 4.12 (аддитивность по отрезкам). Пусть а < Ь < с и
функция f является MS- или HS-интегрируемой по функции д на
отрезках [а, Ь] и [Ь,с]. Тогда f интегрируема по функции g на [а, с] в
том же смысле и
сое
ffdg = Jfdg + Jfdg.
ь
Доказательство. Обозначим для краткости I\ = J fdg, I2 =
а
с
J f dg. Возьмем произвольное £>0и сначала найдем такой масштаб
б
S\ на [а, Ь], что для любого отмеченного Ji-разбиения Мак-Шейна (Хен-
стока) т1 отрезка [а, Ь] верно неравенство
]T/(£)As(/)-/i
<е;
а затем найдем такой масштаб <Ь на [Ь, с], что для любого отмеченного
(^-разбиения Мак-Шейна (Хенстока) т2 отрезка [а, Ь] верно
неравенство
£ДОДя(/)
< е.
Положим
S{x) = <
\mm{Si(x), b — х} при х е [а, &),
min{Si(x), S2(х)} при х = Ъ,
minj^Oz), х — b} при х G (b, с].
Тогда в любом отмеченном J-разбиении Мак-Шейна (Хенстока) т
отрезка [а, с], т = {(/г, £г)}?=1' присутствует один или два отрезка
разбиения Ij Э b с отмеченной точкой ^ = Ь, так как для любого отрезка
разбиения /jc(j Ф b из определения масштаба S следует, что b £ £/$(&)(&)>
а значит, b ф 1{. В случае присутствия в разбиении т двух содержащих
точку b отрезков разбиения она является их общим концом, а также

1. ТРИ ИНТЕГРАЛА СТИЛТЬЕСА
69
отмеченной точкой для обоих отрезков. Тогда т1 = {{U^i) € т: Д С
[а,Ь]} является отмеченным разбиением Мак-Шейна (Хенстока)
отрезка [а,6], согласованным с 6(х) ^ 6\(х), и ЕДОД^СО — III < £,
а т2 = {(/ьСг) £ т- h С [&, с]} является отмеченным разбиением
Мак-Шейна (Хенстока) отрезка [Ь,с], согласованным с 5(х) ^ <Ы#),
и |Е/(ОДр(Л - /2| < е. А так как ЕДО^С) = £ ДОД<*(/) +
ЕДОДр(Дто
с
^доа^(/)-(/1 + /2
^
<2е.
Если же только один отрезок Ij = [a/_i,aj] разбиения г содержит
точку &, & G (aj_i,aj), £j = &, где 1 ^ j ^ п, то перейдем от
отмеченного разбиения Мак-Шейна (Хенстока) т к отмеченному разбиению
Мак-Шейна (Хенстока) т = (т \ {(Ij,£j)}) U {([a^-i, Ь], Ь), ([&, %•],&)}.
Очевидно,
£/(^(7) =£/(^(7),
Г Т
а т — отмеченное ^-разбиение Мак-Шейна (Хенстока) отрезка [а, с]
уже рассмотренного типа и
£Д0Д*(0-('1 + *2)
<2е.
В итоге получаем, что для любого е > 0 существует такой масштаб
S на [а, с], что для любого отмеченного J-разбиения Мак-Шейна
(Хенстока) т отрезка [а, с] верно неравенство Е ДОД^СО — Ci + ^2) <
1 т I
2е. Следовательно, / .MS-интегрируема (7^£-интегрируема) на [а, с] и
ffdx = I1+I2. □
a
Для интеграла Римана-Стилтьеса свойство аддитивности верно
при дополнительном требовании существования интегралов по всем
трем отрезкам.
Теорема 4.13 (аддитивность по отрезкам для T^S-интеграла).
Пусть а < b < с и функция f интегрируема по функции д на отрезках
[а, Ь], [Ь, с] и [а, с] в смысле Римана-Стилтьеса. Тогда
с b с
Jfdg = Jfdg + Jfdg.

70
Гл 4. ИНТЕГРАЛЫ СТИЛТЬЕСА
Доказательство. По свойству 4.5, если существует TZS-интег-
рал, то существует равный ему HS-интеграл. А последний аддитивен
по отрезкам, поэтому
с с о с
(KS)jfdg = (HS)ffdg = (HS) J f dx + (HS) j f dx =
a a a b
b с
= {11S) j fdx + {US) j fdx. П
a b
В заключение отметим, что при более сильном условии, а именно,
при интегрируемости / по д на [a, d] и [Ь,с], а < Ь < d < с, функция /
будет интегрируема по д в смысле Римана-Стилтьеса на [а, с].
Доказательство этого факта будет приведено после доказательства леммы
Сакса-Хенстока для рассматриваемых интегралов Стилтьеса.
§ 2. Классы интегрируемых функций
Вопрос интегрируемости конкретной функции / по конкретной
функции д в каком-либо смысле может оказаться весьма сложным
и зависит от особенностей каждой из функций. Поэтому полезно
выделить такие пары классов функций, что каждая функция первого
класса интегрируема по каждой функции второго класса. Одну такую
пару укажем в данном разделе.
Определение 4.14. Пусть Е — подмножество R, <р —
определенная на Е функция. Через D = {fli}[Lo будем обозначать
упорядоченный в порядке возрастания конечный набор точек из Е, U ~ [аг-i, a*],
i = 1,..., п. Точная верхняя грань сумм
J2 |Ду>№)| = Y1 \^М - <p(ai-i)\,
г=1 г=1
взятая по всем конечным упорядоченным наборам D точек
множества Е, называется вариацией функции (р на множестве Е. Вариация
функции <р на множестве Е обозначается V# ср.
Определение 4.15. Если YeV < оо, то <р называют функцией
ограниченной вариации (с ограниченным изменением, VB- функцией)
на множестве Е. Пространство функций ограниченной вариации на
множестве Е обозначается VB(E).
Часто встречается другое эквивалентное данному определение
вариации. Приведем его.

§2. КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
71
Определение 4.16. Точная верхняя грань сумм 2|Ду>№)|> взя"
г
тая по всем не более чем счетным наборам неперекрывающих
отрезков U с концами из множества Е, называется вариацией функции (р
на множестве Е и обозначается также VEp.
Теорема 4.17. Два приведенных определения вариации Vе<Р
эквивалентны.
Доказательство. Чтобы различать в доказательстве, о каком
определении идет речь, будем добавлять к вариации по определению
4.14 индекс 1, а к вариации по определению 4.16 индекс 2, то есть
будем писать соответственно VEip или V2E р.
Если D = {аг}™=о — упорядоченный в порядке возрастания
конечный набор точек из Е, то отрезки li = [аг-i, a$], г = 1,..., п, образуют
конечную систему неперекрывающихся отрезков. Значит, точная верх-
п
няя грань VE(p сумм ^ ^^№)l> взятая по всем конечным упорядо-
г=1
ченным наборам D точек множества Е, не превосходит V% (р.
Покажем теперь, что VE <р ^ VEip- Действительно, в определении
4.16 можно ограничиться конечными наборами неперекрывающихся
отрезков, так как бесконечная сумма 2|Ду>№)| является пределом
г
конечных сумм. Если {Ik} является конечным набором
неперекрывающихся отрезков с концами из множества Е, то, обозначив через а»,
г = 0,1,..., п, их концы, занумерованные в порядке возрастания,
получим, что среди отрезков [a^-i, a$], г =, 1,... ,п, имеются все отрез-
п
ки 1к и, значит, 52\A(p(Ik)\ ^ ^ |Ay?([ai-i, a»])|, откуда следует, что
к г=1
У% <р ^ V^ <p, что и требовалось.
Теорема доказана. □
Свойство 4.18. Если <р определена на Е и Н С Е, то Vя Р> ^
VE<P-
Это непосредственное следствие любого определения вариации.
Свойство 4.19. Если (р является VB-функцией на Е, с е С, то
ар является VB-функцией на Е и VE ср> = \с\ VE (p. Если (риф
являются VB-функциями на Е, то р ± ф является VB-функцией на Е и
УЕ(<Р±Ф) ^VeV + УеФ-
Доказательство. Для любого отрезка / имеем |Дсу?(/)| = \с\ •
\А<р(1)\, поэтому VE с<р = \с\ VE <Р-
Для любого отрезка / имеем \А(<р ± ф)(1)\ ^ |Д<р(/)| + \Аф(1)\,
поэтому Yе{<Р =Ь ф) ^ Ме Ч> + V^ ф. П
Свойство 4.20. Если (р является VB-функцией на [а, Ь] и [Ь,с],
то р является VB-функцией на [а, с] и У[а,с] <Р — У[а,ь] <Р + У[ь,с] Ф-

72
Гл 4 ИНТЕГРАЛЫ СТИЛТЬЕСА
Доказательство. Рассмотрим систему неперекрывающихся
отрезков {Ii} из [а,с]. Если Ik — отрезок, внутренней точкой которого
является точка Ь, то, заменив его отрезками Ik П [а, Ь] и /& П [6, с],
получим систему неперекрывающихся отрезков, в которой каждый
отрезок содержится либо в [а, Ь], либо в [Ь, с]. Причем, в силу равенства
A(f(Ik) = A<p(Jfcfl[a, fe])+A<p(/fcn[fe, с]), при такой замене сумма модулей
приращений функции р на отрезках системы не могла уменьшиться.
Поэтому можно считать, что {/$} — система неперекрывающихся
отрезков, в которой каждый отрезок содержится либо в [а, Ь], либо в [&, с].
Тогда £|Д*>№)1= Е |Д*>№)1+ Е |A^(/,)|^V[a,^ + V[M^.
г /»С[а,Ь] 1*С[Ь,с]
Значит, V[a?c] у? ^ V[a5b] ^ +V[b,c] у? и у? является Vi^-функцией на [а, с].
Рассмотрим систему неперекрывающихся отрезков {/$} из [а, 6] и
систему неперекрывающихся отрезков {7j} из [&, с]. Их объединение
является системой неперекрывающихся отрезков из [а, с] и поэтому
Е |Ду>№)| + Е |Д¥>0Ф1 ^ V[a,c] <Л Значит, V[a,b] у> + V[M ^ ^ V[a?c] у>.
* 3
В итоге имеем равенство У[а,ь] <Р + ^[ь,с] ^ — V[a?c] у?. П
Свойство 4.21. Если if является VB-функцией на Е, то ip
ограничена на Е.
Доказательство. Действительно, если точка xq e Е, то для
любой точки х G Е верно неравенство \р{х)\ ^ |у?(ж) — <^(#о)| + |^(^о)| ^
V^ (р -f \(р(хо)\. Значит, ip ограничена на Е. □
Свойство 4.22. Если (риф являются VВ-функциями на Е, то
их произведение (рф также является VB-функцией на Е и Ye рф ^
sup \ц?\ • Ve Ф + sup \ф\ Ye Р-
Е Е
Доказательство. Для любого отрезка I = [а, Ь] с концами а, Ь е
jE? верна оценка |Д(<^)С01 = I^W^W ~~ ^(^Ж0)! = |<^(&) • (Ф(Ь) -
ф(а))+ф(а)Ш - tp(a))\ ^ \tp(b)\ • |Д^(/)| + \ф(а)\ • |Ду>(/)| ^ supM •
Е
\Аф(1)\ -h sup |V| • |Д<^С01> поэтому УерФ ^ sup |y?| -УеФ + sup \ф\ •
£ ЕЕ
Yep- □
Свойство 4.23. Если if является VB-функцией на Е, т = inf |y?|
Е
и т ф О, тогда и 1/ц? является VB-функцией на Е и V'е(Х1Ф) ^
(l/m2)Vsy>.
Доказательство. Для любого отрезка J = [а, 6] с концами а, Ь е
£ верна оценка |а^(/)| = |^у - ^у| = |^)Й?| ^ ^Ё^* П0ЭТ0МУ
■^ V? ^ га/ ^ ~

§2 КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
73
Свойство 4.24. Если р является VB-функцией наЕ, ф е L'ip(E),
тогда ф(р) является VB-функцией на Е и Ve Ф{^>) ^ С • V^ р, где С
— постоянная из определения 3.4 класса Липшица.
Доказательство. Для любого отрезка I = [а, Ь] с концами а, Ь е
Е верна оценка \Аф(р)(1)\ = №0р(ь)) -^(^(а))| ^ С\(р(Ь) - р{а)\ =
С|Др(/)|, поэтому \Еф{ч>) ^C-VEp- □
В дальнейшем для определенной на [а, 6] функции у? будем
пользоваться следующими обозначениями: V^p = V[a,b] <^, V^ - ~ У[а,ь] (Р-
Теорема 4.25. Если р является VB-функцией па промежутке
I, точка хо е /, то функция V*o p не убывает на I, а если р еще и
действительнозначна, то неубывающими являются таксисе функции
V*0</>+ </>(*) uYxXQp-p{x).
Доказательство. Из свойства 4.20 функций ограниченной
вариации следует, что для любых х\, Х2 из I
а при х<2 ^ х\ У^\р ^ \ф(х2) — <^(#i)|- Значит, V^0 p, а в случае
действительнозначной функции р, и функции V^0 р + р{х) и V^0 p —
р{х) не убывают на 7. □
Теорема 4.26. Действительнозначная функция р является VB-
функцией на промежутке I тогда и только тогда, когда р является
разностью двух ограниченных неубывающих на I функций, причем
эти функции моэюно выбрать такими, что сумма их вариаций на
любом промежутке J С I будет равна вариации р на J.
Доказательство. Ограниченная неубывающая функция ф на I
является УБ-функцией на I и
V/^ = sup-0 — inf ф, (4.1)
/ I
поскольку для любого набора точек D = {ai}™=0, ао < а± < • • • <
п
ап, имеем £ \ф(а.г) - ^(fli-i)| = Ф(ап) - ф{а0) ^ sup-0 - inf ф, а с
другой стороны, sup \ф{у) — ф{х)\ = sup-0 — inf ф, в силу леммы 2.62.
x,y£l I !
Поэтому, если р является разностью двух ограниченных неубывающих
на I функций, то р является УБ-функцией на /, по свойству 4.19.
Если действительнозначная функция р является УЛ-функцией на
промежутке / ф 0, то, взяв х0 е /, укажем три представления р в виде
разности ограниченных неубывающих на / функций
ф) = (V*0 <р + Ф)) - V*0 V, ф) = V*0 * - (V*0 р - ф)),
Ф) = \ (v*0 v + Ф)) - \ (v*0 <? - Ф)) •

74
Гл. 4 ИНТЕГРАЛЫ СТИЛТЬЕСА
Покажем, что в последнем случае сумма вариациий функций ф\ и
(f2 на любом промежутке J С I равна вариации <р на J. Пусть (fi =
(vx0 Ч> + ¥>(*)) /2, ^2 = (V*o (p - ф(х)) /2. Поскольку функции щ и <р2
не убывают, справедливы равенства sup^i + sup^ = sup(y?i -f 4*2) =
j j j
supV^ if и inf (pi + inf (f2 = inf(y?i -f ^2) = inf V* <p, а согласно (4.1),
rc€J J J J x-€J
Vj(fi = supy?i - inf (pi, Vj(p2 = sup^2 - inf y?2-
j J j J
Применяя лемму 2.62 и свойство 4.18, имеем Vj(f\ + Vj у?2 =
= suPVxo^ - infrV*o^ = oscV* <p = sup \V*<p\ ^ Vjip. Отсюда и
rc€J x£J J x,y£j
из свойства 4.19 получаем, что Vj у? ^ Vj y?i + Vj y?2 ^ Vj </?, а значит,
Vjip = Vj<Pi+Vj4>2- □
Лемма 4.27. Пусть т = {/i}?=i является разбиением отрезка
[a,b]. Тогда для любого отрезка I = [с, d] С [а, 6] и любой определенной
на нем функции g верно равенство
п
Ag(I) = g(d) - g(c) = £ Д<?(/ П *),
г=1
где Ag(I(lIi) — приращение функции g на отрезке iDIi, причем
приращение на пустом или одноточечном множестве по определению
полагается равным нулю.
Доказательство. Можно считать, что отрезки Ц занумерованы
в порядке их расположения на Ш. Пусть Ii = [аг_1,аг], а = «о < а\ <
• • ■ < ап = Ь, с е h, d e It, то есть ак-\ ^ с ^ ак < ■ ■ < ai-\ ^ d ^ сц.
Тогда
i-i
Ag(I) = g(d) - g(c) = g(d) - g(ai-i) + Y1 fa(a0 ~ 9(ъ-г)) +
i=k+l
l-l
+ g(ak)-g(c) = Ag([c,d}nIl)+ £ Ag([c,d} П U) + Ag([c, d] П Ik) =
n
г=1
Теорема 4.28. Если f непрерывна на отрезке [a,b], a g имеет
ограниченную вариацию на [а,Ь], то f интегрируема по д на [a, b] в
смысле Римана-Стилтьеса и в смысле Мак-Шейна-Стилтьеса.
Доказательство. Так как функция / равномерно непрерывна
на [а, Ь], для любого е > 0 найдется такое 5 > 0, что если х,у Е [a, b] и
\х - у\ < 26, то \f(x) - f(y)\ < е. Пусть г = {(/«,&)} и т' = {(/j,^)}

§2 КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
75
— согласованные с масштабом S(х) =5 отмеченные разбиения Мак-
Шейна отрезка [а, Ь], тогда
£/(0Д<?(/) - £ Д£)Л<?Ш = £/&)Д<?(Л) - £ЯфД»(ф =
т т' г j
* з
где Ag(IiDlj) = 0, если кПЦ пусто или одноточечно (см. лемму 4.27).
Если U П Ц ф 0, то U П I'j С U С Us(&) и Ц П /j С /^ С Us(Zj). Значит,
|& — Cjl < 2<5, а |/(&) — /(fj)l < е- Поэтому, согласно лемме 2.60, имеем
|£/(од<?оо-£/(од<?со| =
т т'
= |££№)-/(3))Др(/4п4)|<
По критерию Коши интегрируемости по Мак-Шейну-Стилтьесу 4.9,
существует (MS) Ja f dg.
Если т = {(/;,&)} и г' = {(Ip€j)} — отмеченные разбиения Хен-
стока отрезка [а, Ь] с \Ii\ < 5 при всех г, с |/'-| < J при всех j, то
аналогично при U П Ц Ф 0 имеем \f(€i) — f{£j)\ < £• Поэтому
|£дод<?оо-£дод<?оо| =
т т'
* 3
^е^2^2\Ад(1гПЦ)\^еУ[аМд.
i 3
По критерию Коши интегрируемости по Риману-Стилтьесу 4.9,
существует (KS) fifdg. П
Для интеграла Римана-Стилтьеса в теореме нельзя расширить ни
один из классов с сохранением другого. Достаточно просто
проверяется невозможность расширения класса функций /: если функция д
ограниченной вариации на [а, 6] разрывна в точке с G [а, &], то
необходимым условием интегрируемости / по д на [а, Ь] является
непрерывность / в точке с (для простоты можно ограничиться функциями
дс{х) = sgn(x — с), где sgnx = 1 при х > 0, sgnx = 0 при х = 0 и
sgn х = — 1 при ж < 0). Невозможность расширения класса функций д
требует более тонких рассуждений.

76
Гл 4 ИНТЕГРАЛЫ СТИЛТЬЕСА
Теперь к свойствам интегралов добавим еще одно свойство.
Свойство 4.29. Если f интегрируема по д на [а,Ь] в любом из
трех смыслов, д е VB[a, b], то верна оценка
о
I/
fdg\ ^ sup |/| -V[ab]9-
I [atb]
Доказательство. Для любого отмеченного разбиения т={(/$, &)}
имеем
|х;/(одр(/)| = |х;/(й)Ар№)|
<
^8ир|/|.^|Др№)|^8ир|/|.У[а.Ь]р.
[а,Ь] , [а.Ь]
Переходя к пределу по соответствующей базе, получаем требуемое. D
§ 3. Неопределенные интегралы Стилтьеса
Определение 4.30. Для всех интегралов Стилтьеса будем
считать, что всегда, по определению,
a a b
fdg = 0; I fdg = - I fdg, гдеа< b.
aba
Используя это определение, можно сформулировать свойство
аддитивности по отрезкам интегралов Римана-Стилтьеса, Мак-Шейна-
Стилтьеса и Хенстока-Курцвейля-Стилтьеса в следующем более
общем виде.
Свойство 4.31 (аддитивность 1ZS- интеграл а). Если для некото-
ъ
рых a,b,c G Ш существуют интегралы Римана-Стилтьеса J f dg,
а
с с
J f dg и J f dg, то выполняется равенство
осе
Jfdg + Jfdg = Jfdg.
Свойство 4.32 (аддитивность MS- и HS-интегралов). Если для
Ь с с
некоторых а, 6, с G R из трех интегралов J f dg, J f dg, f f dg в смыс-
a b a
ле Мак-Шейна-Стилтьеса или Хенстока-Курцвейля-Стилтьеса два

§3 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СТИЛТЬЕСА
77
существуют, то существует и третий (в том же смысле) и
выполняется равенство
b с с
ffd9 + jfd9 = Jfdg.
Проверка этих утверждений проста и сводится к рассмотрению
нескольких случаев различного порядка расположения точек а, 6, с на
R.
Теперь напомним свойство из теоремы 4.10, которым обладают все
изучаемые интегралы: если / интегрируема по д на [а, 6] в одном из
трех смыслов, то / интегрируема по д в том же смысле на любом
отрезке [с, а1] с [а, Ь]. Поэтому можно ввести следующее определение.
Определение 4.33. Пусть функция / интегрируема по функции
д на [а, Ь] в смысле Римана-Стилтьеса (Мак-Шейна-Стилтьеса, Хен-
стока-Курцвейля-Стилтьеса). Тогда функция
X
F{x) = Jfdg
+ С
на [а, Ь], при фиксированных xq е [а, Ь] и постоянной С G М, называется
неопределенным интегралом функции / или интегралом с
переменным верхним пределом Римана-Стилтьеса (Мак-Шейна-Стилтьеса,
Хенстока-Курцвейля-Стилтьеса).
Два неопределенных интеграла
X X
F^x) = J f dg + d и F2(x) = J f dg + C2,
Xi X-2
где xi,X2 6 [а,Ь], отличаются на постоянную,
XX X-2
F1(x)-F2(x)=(J-J)fdg + C1-C2 = Jfdg + (C1-C2).
X\ X2 X\
Лемма 4.34 (лемма Сакса-Хенстока). Пусть функция f
является US- (MS~; HS-) интегрируемой по функции g на отрезке [а, Ь] и
пусть для заданного е > 0 найдено такое число S > 0 (масштаб S на
[а,Ь]), что для любого отмеченного разбиения Хенстока с
отрезками разбиения длины меньше 6 (отмеченного S-разбиения Мак-Шейна
(Хенстока)) г отрезка [а, 6] выполняется неравенство
о
\Y,f(0&g(I)-ffdg\
<£.

78
Гл 4 ИНТЕГРАЛЫ СТИЛТЬЕСА
Тогда для любого отмеченного разбиения Хенстока с отрезками
разбиения меньше S (отмеченного S-разбиения Мак-Шейна (Хенстока))
т = {(/i, &)}?=i отрезка [а, Ь] и любого подмножества J С {1,..., п}
также выполняется неравенство
Y,(m)A9(ii)-ffd9
<е.
Для доказательства леммы достаточно повторить рассуждения,
проведенные при доказательстве леммы 3.8.
В следующей лемме оценки для действительнозначных и ком-
плекснозначных функций отличаются в четыре раза.
Лемма 4.35 (лемма Колмогорова-Хенстока). Пусть
действительнозначная [комплекснозначная] функция f является 1ZS- (M.S-,
HS-) интегрируемой по действительнозначной [комплекснозначной]
функции g на [а,Ь] и пусть для заданного е > 0 найдено такое число
S > 0 (масштаб S на [a,b])f что для любого отмеченного разбиения
Хенстока с отрезками разбиения меньше S (отмеченного S-разбиения
Мак-Шейна (Хенстока)) т отрезка [а,Ь] выполняется неравенство
о
Y,№*9{I)- ffdg
< е.
Тогда для любого отмеченного разбиения Хенстока с отрезками
разбиения меньше 5 (отмеченного 5-разбиения Мак-Шейна (Хенстока))
т = {(/г,£г)}?=1 отрезка [а,Ь] также выполняется неравенство
п I Г \
5j/(£)A0(/i) - у fdgU 2e [^ 8е].
Доказательство. Пусть Si = /(^)Ад(1{) - J fdg. Если функции
и
f и g действительнозначны, то положим J = {г : Si > 0, 1 ^ г ^ п}.
Тогда, по предыдущей лемме Сакса-Хенстока,
Аналогично,
X]N = \51Si\ ^£
i(£J i<£J
Объединяя две последние оценки, получаем утверждение леммы для
действительнозначных функций.
Если функции / и g комплекснозначны, то положим
Ji = {г : Resi ^ |Imsi|} , J2 = {г : -Res; ^ |Ims;|},
J3 = {г : lm Si ^ |Resi|} , J4 = {г : — Imsi ^ |Re«Sf |} .

§3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СТИЛТЬЕСА
79
Тогда
Х>к(£ + £ + £ + £)ы<
i=l i£J\ i£J2 i£Jz i£j4
= 2|^Re5i| +2|^Re5i| +2|^Im5i| +2|^1т5г| ^ 8e
i£Ji i£J2 i€J3 i€J4
, по предыдущей лемме Сакса-Хенстока. □
Теперь для интеграла Римана-Стилтьеса можно доказать некий
аналог аддитивности по отрезкам.
Теорема 4.36 (аддитивность по перекрывающимся отрезкам).
Пусть а < b < с < d и функция f интегрируема на отрезках [а, с] и
[b,d] в смысле Римана-Стилтьеса. Тогда f интегрируема на [a,d] в
том же смысле.
Доказательство. Воспользуемся леммой Сакса-Хенстока 4.34 и
для произвольного е > 0 найдем единое S на [а, Ь] для двух отрезков
[а, с] и [b, d] из условия леммы, причем 0 < S < с — Ь . Тогда для любого
разбиения отрезка [a, d] на отрезки Ij длины меньше 5 и любого выбора
отмеченных точек ^ Е Ij имеем
£(/&)Д*?&)-//<&)|^
£ (fi^Agilj)- ffdg)
£ (№)bg{Ii)- ffdg)
«S
+
<2e,
а значит, £/(£j)A#C0) ~ 7К 2е> гДе
b d с d
3 I-
1з
Утверждение теоремы доказано.
□

Глава 5
Предельные переходы под знаком
интеграла
§ 1. Предельный переход в последовательностях
измеримых функций
В предыдущей главе мы показали, что класс измеримых функций
замкнут относительно арифметических операций. Здесь мы покажем,
что переход к пределу также не выводит из класса измеримых
функций. Сначала докажем ряд лемм.
ЛЕММА 5.1. Если Gk, к Е N, являются открытыми
подмножествами конечного интервала I', причем Gk D Gk+i для любого
к е N и inf n*(Gk) > О, то найдется такой отрезок J с Gi, что
Mfi*(GknJ)>0.
к
Доказательство. Пусть 7 = inf//(G*) > 0. Открытое множе-
к
ство G\ С /, по лемме 2.33, является не более чем счетным
объединением непересекающихся интервалов (am,/?m), m G N, сумма длин
которых конечна. Поэтому найдется такое М, что ^ {Рт — ат) < 7/2-
Если inf ц* (Gk П {ат,0т)) = 0, для т ^ М, то найдется такое на-
к
туральное п, что //* (Gn П (ат,рт)) < *у/(2М) для т ^ М, а тогда
М*(О0 < £ М*(^пП(аш,/5т))+ £ |(ат,/?т)| < 7/2 + 7/2 = 7,
т^М т>М
что противоречит определению 7- Поэтому найдется такое / ^ М, что
J = inf /i* (Gfc П (а/,/?/)) > 0. Тогда подходящим будет любой отре-
зок «/, вместе с концами принадлежащий (aj,$) и |J| > fy — щ —
8/2. Действительно, если inf /i* (Gfc П J) = 0, то в силу неравенства
/i*(Gfcn(abA)) ^ /i*(G*nJ) + (A -щ ~ \J\) < fi*{GknJ)+S/2
получаем, что S = inf fi* (Gk П (а/,/?/)) ^ <5/2. Противоречие. П
/с
Лемма 5.2. Если Gk, к е N, являются открытыми
подмножествами конечного интервала I, причем Gk Э G^+i для любого к £ N
и inf/z*(G*) > 0, mo П^А; ^ 0-

§1 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ 81
Доказательство. Последовательно применяя лемму 5.1,
построим по индукции последовательность вложенных отрезков Jk С Gk- По
принципу полноты Кантора, f) Jk ф 0 и f] J& С f]Gk- □
Следствие 5.3. Если Gk, к £N, являются открытыми
подмножествами Ж, причем G\ ограничено, Gk 3 Gfc+i для любого k E N и
f)Gk = 0, то lim ii*(Gk) = 0.
k k^°°
Лемма 5.4. Если fk(x), к € N, непрерывны на [а,Ь] и всюду на
[а, Ь] существует f(x) = lim fk(x), то для любого е > 0 существует
к—>оо
такое открытое мноэюество G С [а,Ъ], /i*(C) < е, что fk(x) =4 f{x)
на [а,Ъ] \G.
Доказательство. Для любых 5 > 0 и п е N рассмотрим
множества G(8,n) = {х е (а,Ь) : ЗА:,/ > п : \fk(x) — fi{x)\ > S}. В силу
непрерывности функций Д(ж) эти множества открыты, и G(5,n) D
G(S,n -f 1) для всех п е N. Если х е f]G(6,n), то последовательность
п
{fk(x)} не удовлетворяет критерию Коши и, значит, расходится, что
противоречит условию леммы. Следовательно, f)G(6,n) = 0, а тогда,
п
по следствию 5.3, имеем lim fi*(G(S,n)) = 0.
п—>оо
Возьмем любое е > 0 и для каждого А: е N выберем такие
открытые множества G^ = G(l/k,rik), что fi*(Gk) < s2~h. Положим
оо
G = (J Gfc. Это открытое подмножество [а, 6] и, по свойству 2.44,
k=i
оо оо
/i*(G) ^ ]Г V*(Gk) < ^2 е^~к = е- Па (а,6) \ G последовательность
к=\ к=г
{fk(x)} удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости.
Действительно, если х б (а,Ь) \G, то х е (a,b) \ Gk и для любых
натуральных &,/ > Пд; выполняется неравенство |Д(ж) — /z(x)| ^ 1/к.
Следовательно, на (a, b) \G последовательность {fk(x)} сходится
равномерно. А так как последовательность сходится в точках а и 6, то она
сходится равномерно на [a, b]\G. □
Теорема 5.5 (Егорова). Если последовательность измеримых на
отрезке [а, Ь] функций fk(x) сходится почти всюду на [а,Ь] к функции
f(x), то f(x) таксисе измерима на [а,Ь] и для любого е > 0
существует такое мноэюество Е, fi*(E) < е, что fk(x) =4 f(x) на [а, b] \ E.
Доказательство. Пусть Do такое подмножество [a,b], p*(Do) =
0, что последовательность функций Д(ж) сходится всюду на [a,b]\Do.
Возьмем любое е > 0 и для каждого k e N найдем, в соответствии
с определением измеримой функции, такое множество Dk С [а,Ь],
V>*(Dk) < e2~k~l, что fk непрерывна на [a, b] \ Dk (относительно [а, b] \
оо
Dk). Положим D = (J Dk, по свойству 2.44, jjl*(D) < е/2. Пусть
А;=0

82 Гл 5 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
{li} — покрывающая D не более чем счетная система интервалов,
^2\k\ < е/2. Тогда множество G\ = \Jk открыто и /i*(Gi) < е/2.
г i
Пусть F = [a,b] \ G\. Это замкнутое множество, и все функции Д
непрерывны на F. Если F = 0, то утверждение теоремы верно для
Е = G\. Если же F Ф 0, то определим функции /£, /b e N, следующим
образом. На F полагаем /£ = Д, на конечные смежные интервалы
(а*, А) множества F продолжаем функцию /£ линейным образом (то
есть, если (а,/3) — конечный смежный интервал F, то /£ линейна на
отрезке [а, /5]), а на бесконечные смежные интервалы (если они есть)
продолжаем функцию /£ постоянной, совпадающей со значением /£ в
конечном конце. По лемме 2.57, функции /£ непрерывны на R.
Так как последовательность функций Д сходится всюду на F С
[а, Ь] \Do, то последовательность функций /£ сходится всюду на R. Это
следует из того, что на замыкании [а,/3] каждого смежного интервала
функции /£ линейны и сходятся в точках а и (3 к некоторым
значениям /(а) и /(/?). Тогда в каждой точке х G (а, /?) последовательность
сходится к линейной функции, принимающей в а и (3 указанные
значения f(a) и /(/?). По лемме 5.4, существует такое открытое множество
G2, /i*(G2) < е/2, что /*(х) =4 /(я) на [а, 6] \ G2. А тогда Д(х) =4 f{x)
на [о,Ь] \£?, где Е = Gx UG2, /х*С#) ^ /z*(Gi) +/z*(G2) < е. Поскольку
все функции Д непрерывны на [а, 6] \Е, и f непрерывна на [a, b] \ E.
Значит, / измерима на [а, Ь]. П
Продолжим рассмотрение свойств измеримых функций.
Свойства 5.6.
(4) Если функции Д измеримы на [а,Ь] и почти всюду на [а, Ь]
существует конечный предел lim Д(ж), то этот предел яв-
к—юо
ляется измеримой функцией на [а,Ь].
(5) Если функции Д измеримы на [а, Ь] и почти всюду па [а, Ь]
существует конечный зирД(ж) (inf Д(ж)), то он является
k k
измеримой функцией на [а,Ь].
(6) Если функции Д измеримы на [а,Ь] и почти всюду на [а,Ь]
существует конечный верхний предел lim sup Д (х) (нижний
к—>оо
предел liminf Д(ж)), то он является измеримой функцией на
к—>оо
Доказательство .
(4) Это свойство является следствием теоремы Егорова 5.5.
(5) В силу равенств sup Д (яг) = lim max Д(аг) и inf Д(аг) =
д. П—>0О 1^/с^П /С
lim min Д(ж) это свойство следует из 2.59 (свойство (3)) и
л,—>оо 1^/с^п
свойства (4).

§2 МОНОТОННЫЙ ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
83
(6) Так как
lim sup fk (х) = lim sup/* (ж),
k-юо n->°° к^п
liminf/fc(x)= lim inf Д(ж),
к—>oo n—>oo /c^n
то это свойство следует из свойств (4) и (5). □
Следствие 5.7. Если функция f дифференцируема почти всюду
на отрезке [а, 6], то ее производная /', доопределенная произвольно в
точках недиффиренцируемости f, измерима на [а,Ь].
Доказательство. Из дифференцируемое™ функции / почти
всюду следует ее непрерывность почти всюду и, следовательно,
измеримость. В точках существования конечной производной имеем f'{x) =
lim n(f(x+-) — f(x)),To есть /' является пределом сходящейся почти
п-*оо п
всюду последовательности измеримых функций и, значит, измерима
по свойству 5.6 (4). □
Следствие 5.8. Если функция f интегрируема на [а,Ь] в смысле
Хенстока-Курцвейля, то f измерима на [а,Ь].
X
Доказательство. Пусть F{x) = (Н) J fdt. По теореме ЗЛО, это
а
непрерывная функция на [а, Ь] и, по теореме 3.12, имеем F'{x) = f(x)
почти всюду на [а,Ь]. Значит, / измерима на [а,Ь] в соответствии со
следствием 5.7. □
§ 2. Монотонный предельный переход под знаком интеграла
Лемма 5.9. Пусть действительнозначные функции Д, к е N,
определены всюду на отрезке [а, Ь] и Н-интегрируемы
(Л4-интегрируемы) на нем, причем fk(x) ^ fk+i(x) для любого к е N всюду на [а,Ь],
существует конечный предел lim fk(x) = f(x) всюду на [а, Ь] и суще-
к—*оо
Ъ
ствует конечный предел lim J fkdt = 7. Тогда функция f является
А:->ооа
ь
И -интегрируемой (Л4 -интегрируемой) на [а,Ь] и f f dt — I.
а
Доказательство. Возьмем любое е > 0. Найдем такое число К,
что для всех п > К выполняется неравенство
\(Н) Jfndt-.
<е. (5.1)
Для каждого k e N в силу ^-интегрируемости (Л^-интегрируемос-
ти) по функции fk на [а, Ь] найдется такой масштаб 6k, что для любого

84 Гл. 5 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
отмеченного ^-разбиения Хенстока (Мак-Шейна) т = {(/i>&)}?=i
отрезка [а, Ь] выполняется неравенство
ъ
1>Ш- ffkdt\<e2-k. (5.2)
Для каждого £ £ [о, 6] найдем такое число к(£) ^ А", что
|Л(С)(0-/(0|<е (5-3)
и определим масштаб <5(£) = £&(£)(£)• Тогда для любого отмеченного 6-
разбиения Хенстока (Мак-Шейна) т = {(/г5£г)}?=1 отрезка [а,Ь] имеем
|£/(&)№1 - /| < |Е(/&)1*1 - Л«о(6)№|)|+
+
Е(л«о(6)№1 - /л«о *) | + |Е /. Л«о*
(5.4)
= 5i-f52 + 53.
Оценим каждое слагаемое. В силу (5.3), имеем
Si<e(b-a). (5.5)
Для оценки 52 заметим, что для фиксированного разбиения т
величины h(£i) принимают конечное число значений. Учитывая (5.2),
применим при каждом из этих значений к(£) к функции fk^ лемму
Сакса-Хенстока 3.8, в которой предполагается выполнение равенства
5.1, и получим оценку
х)(/*(&) (6) №i-у/*(&)*)!<
1 и
<Е| £ (/fc(fc)M-//*(6)*)Uf>2-* = e. (5-6)
* '**(&)=*
/»
fc=l
Положим К = max &(&)• Так как всегда К ^ к(&) ^ К,то, исполь-
г
зуя монотонность последовательности функций /& и свойство 2.18,
получаем оценку
ь
г и
{ U
J fK dt = Y,f Ik dt < Е/Лй) * <
ь

§2. МОНОТОННЫЙ ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
85
из которой, с учетом (5.1), следует неравенство
s3
ь
= fc /Л(€<) <H-l\< \(Ю ffKdi-
I „• J I I J
< e. (5.7)
Из оценки (5.4), суммируя оценки (5.5), (5.6), (5.7), получаем для
любого отмеченного ^-разбиения Хенстока (Мак-Шейна) т =
= {(Li^i}2=i отрезка [а,Ь] неравенство
\52№)\Ii\-l\<(b-a + 2)e,
i
, что доказывает лемму. □
Лемма 5.10. Пусть действительнозначные функции Д, k е N,
определены почти всюду на отрезке [а,Ь] и Н-интегрируемы {М-ин-
тегрируемы) на нем, причем Д(ж) ^ fk+i{x) для любого к е N почти
всюду на [а,Ъ], существует конечный предел lim fk(x) = f(x) почти
к—*оо
Ъ
всюду на [а, Ь] и существует конечный предел lim f fkdt = I. Тогда
k->ooa
функция f является 7i-интегрируемой (Л4-интегрируемой) на [а, 6]
ь
и f fdt = I.
Доказательство. Для каждого натурального к обозначим через
Dk множество точек отрезка [а, Ь], в которых не выполняется
неравенство fk{x) ^ fk+i(x) (b Dk входят те точки х отрезка, в
которых одна из функций fk,fk+i не определена, и те, в которых обе
эти функции определены, но Д(ж) > Д+х(ж)), а через Do —
множество точек отрезка [а, Ь], в которых не существует конечный предел
lim fk(x) = f(x). По условию, все эти множества меры нуль по Ле-
к—*оо
оо
бегу Пусть D = (J D&, по свойству 2.44, это множество меры нуль
А;=0
по Лебегу Рассмотрим функции /£(ж) = fk(x) на [a, b] \ D, f%(x) = 0
на D. Функции /£(ж), к G N, определены всюду на отрезке [а, Ь] и, по
следствию 2.80, интегрируемы по Хенстоку-Курцвейлю (Мак-Шейну)
на нем, для любого к G N всюду на [а, Ь] /£(ж) ^ /fc+iC^)» всюду
на [а, 6] существует конечный предел lim f£(x) и существует конеч-
к—>оо
Ь
ный предел lim $ fkdt = 7. Функции /£(ж) удовлетворяют условиям
А:->ооа
предыдущей леммы. Так как f(x) = lim /£(ж) на [а,&] \ £>, то есть
/с—>оо
почти всюду на [а,Ь], то, в силу предыдущей леммы и следствия 2.80,

86 Гл 5 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
функция / интегрируема по Хенстоку-Курцвейлю (Мак-Шейну) на
ь
[a,b]nffdt = I. П
Теорема 5.11. Пусть действительнозначные функции Д, k e
N, определены почти всюду на отрезке [а,Ь] и Н-интегрируемы {М-
интегрируемы) на нем, причем Д(ж) ^ Д+х(ж) для любого k е N
ь
почти всюду на [а, Ь] и sup J fkdt < оо. Тогда почти всюду на [а,Ь]
к а
существует конечный предел lim Д(ж) = fix), функция f является
k—>oo
Н-интегрируемой (Л4-интегрируемой) на [а, Ь] и
0 о
1 fdt=\\mQ f fkdt.
Доказательство. По свойству 2.18 и следствию 2.80, для каж-
ь ь ъ
дого натурального к имеем f Д dt^f Д+1 dt. А так как sup J fkdt < оо,
а а /с а
Ь
существует конечный предел lim J fkdt — I. Если докажем, что по-
/с->ооа
чти всюду на [а, Ь] существует конечный предел lim Д(ж) = /(ж), то
к—>оо
теорема будет следовать из предыдущей леммы.
Почти всюду на [а,Ь] последовательность {Д(ж)} монотонно не
убывает и, значит, имеет конечный или бесконечный предел. Поэтому
достаточно найти такую подпоследовательность {Дг-(#)}, которая
почти всюду на [а, Ь] имеет конечный предел. Для этого выберем строго
возрастающую последовательность натуральных чисел hi так, чтобы
ь
I- j fkidt<2-2k.
а
Пусть Ei = {х G [а, Ь] : Дг+1(ж) — Дг(ж) ^ 2_/с}. По неравенству Чебы-
шева 3.14, имеем
б б
/**(£<) < 2к J (fk%+1 - Дг) Л < 2*(/ - / Д. л) < 2"*.
Во всех точках [о, Ь] \ (J 2% для натуральных i ^ п выполняется оцен-
i=n
ка 0 ^ fki+i [х) — fki{x) < 2~k, из которой следует, что во всех точках

§3 ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 87
[а, Ь] \ U Ei сходится ряд fkl (x)+ J2 (/fc+i (х) - Д. (х)). Из 2.44 получа-
i=n г=1
/ оо \ оо оо
ем /W (J Ei J ^ J2 jJ.*(Ei) < J2 %~к = 2~n+1. В силу произвольности
\i=n / г=п г=п
оо
натурального п, ряд fkl (я)+ 2 (fkt+1 (х) - Д. (х)) сходится почти всю-
г = 1
ду на [а, 6], значит, последовательность его частичных сумм Дг почти
всюду на [а, Ь] имеет конечный предел. □
§ 3. Интегралы Мак-Шейна и Хенстока—Курцвейля от
неотрицательных функций
Теорема 5.12. На классе ограниченных функций интегралы Мак-
Шейна и Хенстока-Курцвейля эквивалентны.
Доказательство. Если функция интегрируема в смысле
Хенстока-Курцвейля на [а, Ь], то, по следствию 5.8, она измерима на [а, 6],
а по теореме 2.82, ограниченная измеримая на [а, Ь] функция
интегрируема в смысле Мак-Шейна. По свойству 2.14, интегрируемая в смысле
Мак-Шейна функция интегрируема в смысле Хенстока-Курцвейля и
оба интеграла совпадают. D
Определение 5.13. Назовем функцию / существенно
ограниченной на множестве Е, если она определена на Е почти всюду и
существует такое множество D меры нуль по Лебегу, что / ограничена на
E\D.
Теорема 5.14. На классе существенно ограниченных функций
интегралы Мак-Шейна и Хенстока-Курцвейля эквивалентны.
Это следует из следствия 2.80 и предыдущей теоремы.
Определение 5.15. Для q^OhzgC положим
z, если \z\ ^ а,
ад, если \z\ > a.
Это непрерывная на С функция.
Определение 5.16. Если / комплекснозначная функция на
множестве Е, то ее срезкой по а > 0 будем называть функцию [/]а.
Лемма 5.17. Функция f измерима на отрезке [а, Ь] тогда и
только тогда, когда для любого а ^ 0 ее срезка [f]a также измерима на
[а,Ь].
Доказательство. Если / измерима, то, по свойствам 2.59,
измерима и ее композиция [/]а с непрерывной на С функцией [z]a. Если
все срезки [/]а измеримы, то, по свойствам 5.6, измерима и f(x) =
lim [f}k(x). □
к—>оо

88 Гл 5 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
Лемма 5.18. Определенная почти всюду на отрезке [а, Ь] почти
всюду неотрицательная функция f является М. -интегрируемой (Н-
интегрируемой) на [а, Ь] тогда и только тогда, когда для любого k e N
ь
ее срезка [/]& интегрируема на [а, Ь] в том же смысле и sup f[f]k dx <
k a
oo. При этом в случае интегрируемости f выполняется равенство
ь ъ
ffdx= lim f[f]kdx.
Доказательство. По следствию 2.80, можно считать, что /
определена и неотрицательна всюду на [а, Ь].
Необходимость. Если / является .М-интегрируемой (W-интегри-
руемой) на [а, Ь], то, по свойству 5.8, она измерима на [a, b], a измеримая
ограниченная на [а, Ь] функция [/]а, по теореме 2.82, Л4-интегрируема
(^-интегрируема) и, в силу неравенства [f]k{x) ^ f(x), по свойству
ъ ъ
2.18, для любого k e N J[f]kdx ^ j f dx.
а а
Достаточность. Последовательность функций [f]k не убывает
в каждой точке [а, Ь] и, если [/]& являются Л1-интегрируемыми (7i-
ъ
интегрируемыми) на [a,b], sup f[f]kdx < oo, то, по теореме Б. Леви
к f
ъ
5.11, функция / интегрируема на [а, Ь] в том же смысле и J f dx =
а
lim f[f]kdx. □
А:->ооа
Теорема 5.19. На классе неотрицательных почти всюду
функций интегралы Мак-Шейна и Хенстока-Курцвейля эквивалентны.
Доказательство. По теореме 5.14 и предыдущей лемме,
критерии интегрируемости неотрицательных функций одинаковы для обоих
интегралов. □
§ 4. Ограниченные предельные переходы под знаком
интеграла Мак-Шейна
Теорема 5.20. Если функция f измерима на [а,Ь], функция g
интегрируема в смысле Мак-Шейна на [а,Ь] и \f{x)\ ^ \я{х)\ почти
всюду на [а, Ь], то f интегрируема в смысле Мак-Шейна на [а, Ь].
Доказательство. Сначала рассмотрим случай
действительнозначной функции /. Пусть

§4 ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ
89
f+(x) = /(Д) + l/WI = J /W' еСЛИ № > °'
{Х> 2 |0, если f(x) < О,
/-(а;) = Z/W + l/WI - /"/О*)' ссли /(*) < °
2 [0, если /(ж) > О,
/(*) = /+(*)-/-(*).
Если / измерима на [а, &], то /+ и /~ также измеримы на [а, Ь] и для
ь ь ъ ъ
любого к G N верны оценки J[/+]a; dx ^ f \g\ dx и /[/"]& dx ^ f \g\ dx.
а а а а
Тогда, по лемме 5.18, функции /+ и /~ интегрируемы по Мак-Шейну
на [а, Ь], значит, и / = /+ — /~ интегрируема по Мак-Шейну на [а, Ь].
Если / комплекснозначна, то ее действительная Re/ и мнимая
Im / части являются измеримыми функциями на [а, Ь] и, по уже
рассмотренному случаю, интегрируемы по Мак-Шейну на [а, Ь]. Значит,
/ =Re / + г Im / интегрируема по Мак-Шейну на [a, b]. D
Следствие 5.21. Если fug— действительнозначные М-интег-
рируемые (Н-интегрируемые) на отрезке [а, Ь] функции,
действительнозначная функция h измерима на [а, Ь] и почти всюду на [а, Ь]
выполняется неравенство f(x) ^ h(x) ^ д(х), то h является Л4-
интегрируемой (Н-интегрируемой) на [а,Ь] и
0 0 0
f dx ^ hdx < gdx.
Доказательство. Действительно, так как 0 ^ h(x) — f(x) ^
g(x) — f(x) почти всюду на [а, Ь], функция g — f интегрируема по Мак-
Шейну на [а, Ь] (по теореме 5.19), то /г — / интегрируема по Мак-Шейну
на [а, 6], значит, по свойству 2.17, функция h интегрируема по Мак-
Шейну (Хенстоку-Курцвейлю) на [а, Ь]. Неравенство для интегралов
следует из свойства 2.18 и следствия 2.80. □
Лемма 5.22 (Фату). Если действительнозначные функции fk,
к б N, и g являются М-интегрируемыми (Н-интегрируемыми) на
отрезке [а, Ь], 'Д(х) ^ д{х) для каждого к £ N почти всюду на [а, Ь] и
ь
lim inf f fk(x) dx < оо, то функция lim inf Д (ж) является М-интегри-
к—>оо а /с—>оо
руемой (Н-интегрируемой) на [а, 6] и
б ь
/liminf fk(x)dx ^ liminf / fk{x)dx. (5.8)
/с—>оо fc—кэо У

90 Гл 5 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
Доказательство. Для любых натуральных п и m, m ^ п, почти
всюду на [а, Ь] верно неравенство
д{х) < inf fk(x) ^ fm(x).
к^п
По свойствам 5.6 и следствию 5.21, функция inf fk(x) является
к^п
М-интегрируемой (^-интегрируемой) на [а, Ь] и
ь ь ь
/ g{x)dx ^ / inf fk(x)dx ^ inf / fk(x)dx.
J J k>n k^nj
a a a
b b
Поскольку lim inf J fk{x) dx = lim inf J fk{x) dx < oo, по теореме
n—>oo k^n a к—>оо а
Б. Леви 5.11, функция lim inf Д (#) = lim inf /&(#) является Л^-интег-
к—>оо п—>оо /с^п
рируемой (^-интегрируемой) на [а, 6] и выполняется неравенство 5.8.
□
Следствие 5.23 (Фату). Если неотрицательные функции fk{x)
являются Л4 -интегрируемыми на отрезке [а,Ь], почти всюду суще-
ь
ствует конечный предел lim fk(x) = f(x) и sup f fk(x) dx < oo, mo
£->oo k a
f(x) является М-интегрируемой на [a,b] и
о о
/ f(x) dx ^ sup / fk(x) dx.
Лемма 5.24. Если действительнозначные функции hk, k € N, /
ug являютсяМ.-интегрируемыми (7i-интегрируемыми) на [a,b], для
каждого k e N почти всюду на [a, b] верно неравенство f(x) ^ hk{x) ^
д(х) и почти всюду на [а,Ь] существует lim hk{x) = h{x), то h{x)
k—>oo
является Л4 -интегрируемой (Н-интегрируемой) на [а,Ь] и
ь ь
/ h{x)dx= lim / hk{x)dx.
a a
Доказательство. По лемме Фату 5.22, функция h(x) является
М-интегрируемой (Н-интегрируемой) на [а, Ь] и
6 6
/h{x)dx ^ lim inf / hk(x)dx,
k-юо J
а а
b b b
/ — h(x) dx ^ lim inf / — hk{x) dx — — lim sup / hk(x) dx,

|5 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА
91
то есть
и и и
limsup / hk{x)dx < / h{x)dx ^ liminf / hk{x)dx.
к->оо J J fc-юо J
a a a
Значит, верхний и нижний пределы интегралов совпадают и
существует
ь
lim / hk{x)dx= I h(x)dx. П
к
а
Теорема 5.25 (Лебега). Если функции fk, к е N, и д являются
М-интегрируемыми на [а, Ь], для каждого к е N почти всюду на [а, Ь]
верно неравенство \fk(x)\ ^ \э(х)\ и почти всюду па [а, 6] существует
lim fk{x) = f{x), то f(x) является М-интегрируемой на [а, Ь] и
к—>оо
о о
\ f{x)dx = lim / fk{x)dx.
J /С-XX),/
Доказательство. Если / действительнозначна, то для каждого
к eN почти всюду на [а,Ь] верно неравенство — \g(x)\ ^ fk{x) ^ \д{х)\
и, по предыдущей лемме Лебега, теорема верна. Если / комплексно-
значна, то в силу доказанного ее действительная Re / и мнимая Im /
части интегрируемы по Мак-Шейну на [а, 6] и
ь ь
/Ref(x)dx= lim Refk(x)dx,
к ->oo J
a a
b b
/Imf(x)dx= lim Im fk(x)dx.
/C-XX),/
Значит, утверждение теоремы верно для f(x) =Re f(x) + i Im f(x). □
§ 5. Пространства Лебега и их свойства
В этом параграфе мы рассмотрим интегрируемые по Мак-Шейну
функции с точки зрения теории нормированных пространств.
Напомним определения.
Определение 5.26. Линейное пространство (над полем
комплексных или действительных чисел) назывется нормированным
пространством (над соответствующим полем), если на нем определена
числовая функция, ставящая в соответствие каждому его элементу /
неотрицательное число ||/||, называемое нормой этого элемента, причем
выполнены свойства:

92 Гл 5 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
(1) II/H ^ 0 для любого элемента / и ||/|| = 0 тогда и только
тогда, когда / = О (где 0 — нуль линейного пространства);
(2) || А/1| = |А| • ||/|| для любого числа А (из С или R,
соответственно) и любого элемента /;
(3) ||/ + <?||^||/|| + ||<?|| Для любых элементов / и д (неравенство
треугольника).
Определение 5.27. Пространством Лебега £р[а,Ь], р ^ 1,
называется совокупность всех измеримых на [а, Ь] комплекснозначных
(или только действительнозначных) функций / с интегрируемой по
Мак-Шейну р-ой степенью |/|р и с нормой
ь
(M)J\f\*dx
При отождествлении совпадающих почти всюду на [а, Ь] функций
это будет нормированное пространство над полем С (или,
соответственно, над полем R).
Указанное отождествление необходимо для выполнения первого
свойства нормы. Действительно, при таком определении нулем
пространства становится класс функций, равных нулю почти всюду.
Тогда интеграл, определяющий норму, равен нулю для каждой такой
функции (см. теорему 2.79), и, обратно, из равенства нулю интеграла
от неотрицательной функции следует, что эта функция равна нулю
почти всюду на рассматриваемом отрезке (см. следствие 3.13).
Проверим выполнение остальных свойств. Свойство (2) следует из
линейности интеграла (см. свойство 2.17).
Справедливость неравенства треугольника мы получим в качестве
следствия из последующих рассуждений в этом параграфе.
Во-первых, следует проверить, что если /,д е Ср[а, 6], то (/ + д) е
Ср[а,Ь].
Заметим, что для любого ж, где функции /ид определены, и
любого р > 0 выполняется неравенство
|/0г) + д(х)\" < 2" тах{| Д*)!", \д(х)\"} ^ 2" (\f(x)\" + \д(х)\*).
Поэтому для /, д е Ср[а, Ь], на основании теоремы 5.20 заключаем, что
|/-Ь#|р интегрируема по Мак-Шейну на [а, Ь], то есть (f + g) 6 £р[а, Ь].
Остается проверить выполнение неравенства ||/ +<?|| ^ ||/|| + ||<?||.
Лемма 5.28 (неравенство Юнга). Для любых чисел а,Ь ^ 0 и
1 < р, q < oo, l/p + l/q= 1, выполнется неравенство
, о? Ы
аЬ ^ 1 .
р q
Доказательство. Рассмотрим на плоскости кривую у = xv~l
при х ^ 0. Пусть Si —■ площадь фигуры, ограниченной данной кривой,
осью Ох и прямой х = а, а 52 — площадь фигуры, ограниченной

§5 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА
93
этой же кривой, осью Оу и прямой у = Ь. Тогда из геометрических
соображений получаем искомое неравенство
а о
ab^Si + S2= J xp-ldx + J if-ldy = — +
q
Теорема 5.29 (неравенство Гёльдера). Пусть 1 < p,q < оо, 1/p-f
l/q= 1, а функции fug измеримы и \f\p, \g\q интегрируемы по Мак-
Шейну на [а, Ь]. Тогда функция fg интегрируема по Мак-Шейну на
[а,Ь] и
Ь Ь i Ь х
J\fg\dx<Q\f\*dxyQ\g\<dxy.
а а а
Доказательство. Если хотя бы один из интегралов в правой
части неравенства Гёльдера равен нулю, то, по следствию 3.13, и
соответствующая подынтегральная функция равна нулю почти всюду на
[а, Ь]. В этом случае и произведение fg равно нулю почти всюду на
[о, Ь], а тогда утверждение леммы, очевидно, верно.
Пусть теперь интегралы из правой части неравенства не равны
нулю. Положим
ъ ъ
f\f\Pdx = A» и J\g\*dx = Bq,
а а
А > О, В > 0. Тогда если <р(х) = f(x)/A и ф(х) = д(х)/В, то
ь ь
[\<p\pdx=l и f\il>\qdx = l,
а а
и, согласно неравенству Юнга 5.28 и теореме 5.20, имеем
ь ь ь
[ \<рф\ dx^ [№Ldx+ f^dx=- + - = l,
J J p J q v q
a a a
откуда сразу вытекает утверждение теоремы. □
Следствие 5.30. Если f е £р[а, Ъ], \а\,\Ъ\ < оо, р > 1, и 1 ^ г < р,
то f е Cr [а, Ь) и
11/11
ь 1 ь 1
= (^j\fYdxy Kib-a^Qlffdxy =(Ь-а)*?\\ПР.

94 Гл 5 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
Доказательство. По неравенству Гель дера,
ъ ь ь Р-г
J\f\rdx^ (/l/lPdc)P(/ldc) P >
а а а
что и доказывает неравенство. П
Теперь мы можем доказать неравенство Ц/Н-рЦ^Ц/Ц + ЦрЦ.
Теорема 5.31 (неравенство Минковского). Пусть число р ^ 1,
функции fug измеримы на [а, Ь] и f,g е £р[а, &]. Тогда функция |/ +
#|р интегрируема по Мак-Шейну на [а, 6] и
(| |/ + д\Чх^) ' < (| |/|*dx) " + (| |#dx) ".
а а а
Доказательство. Мы уже проверили выше, что (/+<?) е £р[а, &].
При р = 1 доказываемое неравенство следует из свойства 2.18 и
теоремы 3.15. Пусть р > 1. Тогда в любой точке х е [а, Ь], где f к д
определены, верно неравенство
\f(x) + д(х)\> < |/(а:)| • 1/(3) + <?(*)ГХ + \9(х)\ ■ \f(x) + д(х)\»-К
Тогда, поскольку в случае l/p+1/q = 1 выполнено равенство (p—l)q =
р, применяя неравенство Гёльдера, получаем
Ъ Ь г Ь г
J\f+ g\pdx < (| |/|*dr) " (/1/ + 9\pdx"j ' +
a a a
b _p_ b _p_
+ (/ \g\»dj\ ^ (/ |/ + g\pdx\ P_1. (5.9)
a a
b
Если f \f -\- g\pdx = 0, то утверждение теоремы очевидно. В против-
а
ном случае, деля неравенство (5.9) на I f \f + g\pdx J , получаем
неравенство Минковского, которое и представляет собой неравенство
треугольника для нашей нормы. □
Определение 5.32. Последовательностью Коши (или
фундаментальной последовательностью) называется такая последовательность
элементов нормированного пространства Д, к 6 N, что для любого
е > 0 найдется такое число N, что для любых п,т > N выполняется
неравенство ||/п - /т|| < е.

§5 ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА
95
Определение 5.33. Нормированное пространство называется
полным, если в нем любая последовательность Коши Д, к 6 N,
сходится (по норме) к элементу / этого пространства, то есть lim ||/n —
п —>оо
/|| = 0. Полное нормированное пространство называют банаховым
пространством.
Докажем полноту пространств Лебега.
Теорема 5.34 (полнота пространств Лебега). Пространства
Лебега £р[а,Ь], р ^ 1, являются банаховыми.
Доказательство. Пусть {/n}n> n e N, является
последовательностью Коши в £р[а,Ь]. Выберем возрастающую последовательность
натуральных чисел rik, к е N таким образом, чтобы ||/n — fnk\\p < 2~k
при п ^ Пк- Тогда, по следствию 5.30, имеем ||/п — /nJli < С2~к, где
С = (Ь — а)(р-1)/р. Рассмотрим ряд
ОО
|/».И + £|/»*+1(*)-л.*И- (5Л°)
к=1
Так как интегралы от частичных сумм этого ряда ограничены в
совокупности, по теореме Б. Леви 5.11, этот ряд сходится почти всюду на
[а, Ь]. Это означает, что ряд
оо
/тч (X) + Х)(Уп* + , (*) " /п*(*)) (5.11)
fc = l
сходится абсолютно почти всюду на [а, Ь]. Обозначим его сумму
через /(ж). Поскольку частичная сумма этого ряда равна /nfc, получаем,
что lim fnk(x) — /(ж) почти всюду. Применяя к последовательности
/с—►оо
{\fnm — fnk\p}rn=1 следствие леммы Фату 5.23, получаем, что функция
/ - /nfc, а значит, и / принадлежит £р[а,Ь], причем ||/ - /nJ| ^ 2~к.
Переходя теперь в этом неравенстве к пределу при к —> оо, получаем,
что последовательность {fnk}k сходится к / по норме пространства
£р[а, Ь]. Покажем, что / является также пределом всей
последовательности {fn}n- По определению последовательности Коши, для любого
е > 0 найдется такое число N, что для любых п, га > N выполняется
неравенство ||/п — /т||р < е. Тогда для п, Пк > N верно неравенство
\\fn-f\\p < ||/n-/nfc||P+||/nfc-/||P <e+ll/nfc-/||P- Устремляя в нем
к к бесконечности, получим, что для п > N справедливо неравенство
II/п — /||Р ^ £• Таким образом,
lim fn = f
n—>oo
в пространстве £р[а, b]. D
Замечание 5.35. Последовательность {fk}k сходится к / в
пространстве £р[а,Ь], но при этом может не сходится к / даже во всех

96 Гл. 5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
точках отрезка [а, Ь]. Однако, прямо из доказательства теоремы 5.34
следует, что если последовательность функций {fk}k сходится к
функции / в пространстве £р[а, Ь] (и, значит, является последовательностью
Коши), то существует такая подпоследовательность {/Пк}к, которая
сходится к / почти всюду на [а, Ь].

Часть 2
ДЕСКРИПТИВНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
ИНТЕГРАЛОВ

Глава 6
Класс неопределенных интегралов
Мак-Шейна
§ 1. Абсолютно непрерывные функции
Определение 6.1. Функция / называется абсолютно
непрерывной (сокращенно, АС-функцией) на промежутке /, если она
определена на / и для любого е > 0 найдется такое S > 0, что для любой не
более чем счетной системы неперекрывающихся отрезков (см.
определение 2.1) Ik из промежутка /, для которой
£|4|<<5, (ел)
к
выполнено неравенство
£>/(Д)|<е. (6-2)
к
Пространство абсолютно непрерывных функций на промежутке /
будем обозначать АС{1).
Замечание 6.2. В определении абсолютной непрерывности
можно ограничиться конечными системами отрезков. Действительно, из
выполнения оценки (6.2) для конечных систем предельным переходом
получаем, что та же оценка справелива для бесконечных систем с
заменой строгого неравенства нестрогим. Мы получим также
эквивалентное определение, если в неравенстве (6.2) модуль поставить снаружи
суммы или заменить \Af(Ik)\ на osc/ (см. определение 2.61).
Из определения следует, что если / е АС(1), то / равномерно
непрерывна на I.
Свойство 6.3. Если f является АС -функцией па промежуте I,
с Е С, то cf является АС -функцией на I. Если fug являются АС-
функциями на I, то f ± д и fg являются АС -функциями на I, a
если I — отрезок и д не обращается в нуль на I, то и f/g является
АС -функцией на I.
Доказательство. Для любого отрезка / имеем |А(с/)(/)| = \с\ •
|Д/(/)|, поэтому, подобрав для с ф 0 такое S > 0, что из (6.1) следует
выполнение оценки (6.2) с заменой е на е/|с|, получим, что из (6.1)

§1. АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
99
следует выполнение оценки ^ |A(c/)(/fc)| < е, что означает, что cf —
к
ЛС-функция на /. В случае с = 0 функция с/ = 0 очевидно является
АС'-функцией на /.
Для любого отрезка I имеем \A(f±g)(I)\ < |Д/(/)| + \Ад(1)\.
Поэтому если для е > 0 найдено такое S > 0, что из оценки (6.1) следует,
что оценка (6.2) выполняется с заменой е на е/2 как для функции /,
так и для функцию д, то выполняется оценка ^ |А(/ ± д)(1)\ < е, то
к
есть / ± <? является ЛС-функцией на /.
Для любого отрезка J = [а, Ь] имеем
\A(fg)(I)\ = \f(b)Ag(I)+g(a)Af(I)\^
<sup|/|.|Ap(/)|+sup|p|.|A/(/)|,
[а,6] [а,6]
поэтому в силу ограниченности функций /ид получаем, что fg —
ЛС-функция на I.
Для любого отрезка I = [а,Ь] имеем
dm
Af(I) f(a)Ag(I)
9(a) 9(b)g(a)
€
< sup ~ • |A/(/)| + sup |/| sup -L • |Ap(7)|,
[a,6] l#l [a,6] [a,6] 1#Г
значит, учитывая непрерывность функции 1/д на отрезке /, получаем,
что f/g ~ ЛС-функция на I. П
Свойство 6.4. Если f является АС-функцией на промежутке
I, то f является VB-функцией на I.
Доказательство. Возьмем е = 1 и подберем соответствующее
ему 5 > 0 из определения абсолютной непрерывности. Возьмем 7, 0 <
7 < S. Пусть /bi7 — наименьшее, а ^7 ~~ наибольшее среди чисел Ату,
лежащих на J, где к — целое число, тогда (к2 — ki)j ^ |/|. Для любого
отрезка J с I верно неравенство
|A/(J)|< £|A/([(*-l)7,*7]nJ)|,
к=к\
где приращение / на пустом пересечении считаем равным нулю.
Значит, для любого конечного набора неперекрывающихся отрезков /$,
принадлежащих /, верно неравенство
к2 + 1 &2 + 1 | х|
Х)|Д/(/01< £X>/([(fc-l)7)*7]n/i)|< £l<U + 2.
г к=к± г к=к\
Опираясь на 4.16, получаем, что / является V^-функцией на I. П

100 Гл. 6 КЛАСС НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ МАК-ШЕЙНА
Теорема 6.5. Если f является АС-функцией на промежутке I,
то для любой фиксированной точки xq G / функция V*0 /
является неубывающей АС-функцией на I. Если при этом f еще и
действительнозначна, то неубывающими являются также АС-функ-
4uuV$0f + f(x)uVxXof-f(x).
Доказательство. Возьмем е > 0 и подберем такое S > 0, что
для любой системы неперекрывающихся отрезков Ik из промежутка
/, для которой 2|/fc| < ^' выполнено неравенство 2|Д/№0| < е-
к к
Покажем, что для той же системы отрезков Ik выполнено неравенство
^Vikf^£i что5 ввиду равенства A(Vj£0/)(/fc)= V/* / > 0 (см. свойство
к
4.20), доказывает справедливость утверждения теоремы.
Возьмем любое е' > 0 и в каждом отрезке Ik найдем такую систему
неперекрывающихся отрезков {7^} ., что V/fc / < ^ |А/(/^)| + е'2~к.
3 з
Так как ЕЕ\$\ ^ £|4| < б, имеем ££|Д/(/*)| < ^ значит>
к j к к j
Y^ V/fc / < е + е''^2~к ^ е + £;. В силу произвольности е' > 0, имеем
к к
неравенство £ V/fc / ^ е, что вместе с теоремой 4.25 доказывает наше
/с
утверждение. □
Следствие 6.6. Действительнозначная функция f является
АС-функцией на промежутке I тогда и только тогда, когда f
является разностью двух неубывающих на I ограниченных АС-функций.
Действительно, возьмем xq е 7, тогда функция / является
разностью двух неубывающих на I ограниченных ЛС-функций V^o / и
V*0 / - f{x) или (V*0 / + f{x)) /2 и (V*0 / - fix)) /2.
Нашей целью будет доказать совпадение класса неопределенных
интегралов Мак-Шейна с классом ЛС-функций.
Теорема 6.7. Если функция f является Л4-интегрируемой на
X
отрезке [а, 6], то ее неопределенный интеграл F{x) = J f dt является
a
АС-функцией на [а, 6].
Доказательство. Если функция / является .М-интегрируемой
на [а, 6], то, по 3.15, и функция |/| является .М-интегрируемой на [а, 6].
Для любого отрезка I = [а,(3] С [а, 6] |AF(J)| = \f f dt\ ^ J \f\ dt, no-
'a a
этому абсолютная непрерывность неопределенного интеграла от
функции / следует из абсолютной непрерывности неопределенного
интеграла от функции |/|. Таким образом, для доказательства теоремы
достаточно рассмотреть случай неотрицательной функции /.

§2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ
101
Возьмем произвольное е > 0. Согласно лемме 5.18, найдется такая
ь
срезка [/]n, n e N, что f{f—[f]n)dt < е/2. Положим S = е/(2п). Пусть
а
{Ik}к является такой не более чем счетной системой
неперекрывающихся отрезков из [а, 6], что 2 |/fc| < ^- Тогда
к
к к 1к к 1к к 1к
ъ
^ J(f-[f]n)dt + Y,Jndt<l+nT,\Ik\<l+riS = e- П
Ik
В последнем параграфе этой главы мы докажем обратное
утверждение, показав совпадение класса неопределенных интегралов Мак-
Шейна с классом ЛС-функций.
§ 2. Дифференцируемость почти всюду
Лемма 6.8. Пусть действительнозначная функция f определена
и строго возрастает на [а, Ь], Е С (а, Ь) и для любого х е Е
f(x + t)-f(x)
limsup ^ '-—^-^ > р > 0.
t-*o t
Тогда для любого открытого множества G D Е найдется такая не
более чем счетная система непересекающихся отрезков [ctk,/3k] С G,
что для каждого из них
p(Pk-ctk)<f(pk)-f{ak); (6.3)
/х*( ЯП (J («*,&) )=/**(£)• (6-4)
Доказательство. Определим систему отрезков
П = {[а, /3} С G : /(/?) - /(а) > р(/? - а)} .
Она покрывает множество Е в смысле Витали, поскольку для любого
х € Е найдется такая последовательность tk > 0, что \f{x + tk) —
k—*oo
f(x)\ > p\tk\- Пользуясь теоремой Витали 2.53, выберем из системы Q,
такую не более чем счетную подсистему попарно непересекающихся
отрезков {[afc,/?fc]}fc, что /i* ( Е \ \J [ak,Pk] J = 0. Тогда из свойства
2.44 следует справедливость оценки (6.4). Неравенство (6.3) следует
из определения системы Q,. □

102 Гл. 6. КЛАСС НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ МАК-ШЕЙНА
Следствие 6.9. Пусть действительнозначная функция /
определена и строго возрастает на [а,Ь], тогда
// L е (а, Ъ) : 11т5ир/(ж + *|"~/(ж) = +оо| = 0.
Действительно, пусть Е = <х G (а,fc): limsup J(x+t>~f(x' = _|_oo I
I t-»o J
Возьмем любое р > 0 и воспользуемся предыдущей леммой. Тогда,
по (6.4), имеем /J,*(E) ^ J2(Pk — &k)- А из оценки (6.3) и включения
к
[/ Ю , / (/?*)] С [/(a), /(b)] следует, что
E№-a*)<;E(/0J*)-/(aO)<^^.
к Р к У
В силу произвольности р > 0, получаем fi*(E) = 0.
Лемма 6.10. Пусть действительнозначная функция /
определена и строго возрастает на [а, Ь], .Е с (а, Ь) и для любого х е Е
t-»0 £
Тогда для любого открытого множества G D Е найдется такая не
более чем счетная система непересекающихся отрезков [ak,/3k] С G,
что для каждого из них
q(Pk-ak)>f(pk)~f(ak); (6.5)
f(En\J(ak,l3k)\ =//(#)• (6.6)
Доказательство. Определим систему отрезков Q = {[а,0] cG :
f(/3) — /(а) < g(/3 — а)} . Она покрывает множество Е в смысле
Витали, поскольку для любого х € Е найдется такая последовательность
tk > 0, что |/(ж + tk) — f{x)\ < q\tk\. Далее достаточно повторить
к—>оо
конец доказательства леммы 6.8 □
Лемма 6.11. Пусть действительнозначная функция /
определена и строго возрастает на [а,Ь],
Ep,q = {xe(a,b): limsup ^"^ /(ж) > р >
t-»o t
%л = \х е {а,
*->0 £ J
Тогда /л* (Ep,q) = 0.

§2 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ
103
Доказательство. Предположим обратное, то есть LL*(Ep,q) =
Л > 0. Выберем v, 0 < v < (р — q)/q, и найдем такое покрывающее
Ер,я открытое множество G С (а, 6), что H*(G) < Л(1 + и).
Воспользуемся леммой 6.10 и для функции / на [а, Ь], множества Ep,q С (а, Ь)
и открытого множества G D Ep,q найдем такую не более чем счетную
систему непересекающихся отрезков [ак,0к] С G, что для каждого из
них
q(Pk-ak)>f(0k)-f(ak); (6.7)
EP,qri\J{ak,0k)\ =n*(EPtq) = A. (6.8)
к '
Рассмотрим открытое множество G = \Jk(akiPk) С G С (а,Ь),
множество Е = ЕРуЯ П G, р* (Е) = /л*(Е) = А. Воспользуемся леммой
6.8 и для функции / на [а, 6], множества Е С (а, 6) и для открытого
множества G D Е найдем такую не более чем счетную систему
непересекающихся отрезков [7m,<5m] С G, что для каждого из них
V (5т - 7т) < / (6т) ~ f (lm) J (6.9)
/i* (Е П (J (7т, *т)) = /i* (£) = Л. (6.10)
^ т '
Поскольку / строго возрастает и |Jm [7m,<5m] С G = \Jk(ak,(3k) С G,
имеем (Jm [/ (7m), / (<W] С U(/ Ы , f №) С [/(а), /(6)]. Значит,
£(/(<W -/(7m)) < £(/(&) - /Ы)- (6.11)
m /c
По (6.10) и (6.9)
P\=Vll"{E) < p£(<5TO - 7m) < X)(^^m) " /(^m))- (6-12)
m m
По (6.8) И (6.7)
X)(/ ^ - / (afc)) ^ <?E (^ ~ a*) < ^*(G) < gA(l + i/). (6.13)
Из (6.11), (6.12) и (6.13) получаем неравенство р\ < q\(l -f i/). По
предположению, Л > 0, поэтому р < д(1 + и). Так как р > q > 0 и
0 < v < (р — q)/q, получаем неравенство p/q < 1 + (р — q)/q = p/q,
которое показывает, что предположение /л* (EPiq) > 0 неверно. Значит,
/i*(£M)=0. ' □
Лемма 6.12. Пусть действительнозначная функция f
определена и строго возрастает на [а,Ь], тогда f почти всюду на [a, Ь] имеет
конечную производную.

104 Гл. 6 КЛАСС НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ МАК-ШЕЙНА
Доказательство. Пусть
f(x 4-t) — fix)
Еоо = \х е (а, Ъ) : limsup ^ }-—J-±-L = +00
о t
< х G (а, &) : lims
£р „ = [х е (а, 6) : limsup /(* + *} ~ /(ж)
>р >
>g>liminf^ + t)-/(»)>0\
t-»0 t J
По следствию 6.9, имеем /i*(E'00) = 0, а по предыдущей лемме,
/j,*(EPjq) = 0. Так как множество рациональных чисел Q счетно, по
свойству 2.49, получаем fi*(E) = 0, где Е = Е^ U (J ( (J ЕРА.
Но всякая точка ж интервала (а,Ь) в которой / не имеет конечной
производной (то есть где lim Я^+*)-/(з0 = +оо или limsup -ffo+O-Zfo) >
V t->o * t_>0 *
lim inf ——1~ ^ J принадлежит множеству i£. Следовательно, /
почти всюду на [а, Ь] имеет конечную производную. □
Теорема 6.13. Пусть функция f £ VB[a, b], тогда f почти всюду
на [а,&] имеет конечную производную.
Доказательство. Пусть / действительнозначна и не убывает на
[а, Ь], тогда, по предыдущей лемме, функция f{x) + ж, а, значит, и /(#)
дифференцируема почти всюду на [а, Ь].
Если / действительнозначна и имеет ограниченную вариацию на
[а, Ь], то она, по теореме 4.26, является разностью двух неубывающих
функций, которые дифференцируемы почти всюду на [а, Ь]. Значит, и
/ дифференцируема почти всюду на [а, Ь].
Если / комплекснозначна и имеет ограниченную вариацию, то
ограниченную вариацию имеют ее действительная Re/ и мнимая Im/
части. Они дифференцируемы почти всюду на [а, Ь], значит, и /
дифференцируема почти всюду на [а, Ь]. □
Пример 6.14. Функция
ж2 sin Л- при х ф 0,
^ 1 п п
0 при ж = 0
всюду дифференцируема, но неограниченной вариации на любом
отрезке [а, Ь], а < Ь, содержащем точку 0.

§2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ
105
При х^О
2 1 л . 1
Ш (х) — COS —- + 2£Sin —,
XX1 X2
^(0) = lim^)~^(0) = limxsinl=0.
х->0 X х->0 х2
Если взять отрезок Ik
д/(2А;+3/2)7г ' у/(2к+1/2)тг
, A: G М,то
A(f(h) = у?
^/(2/5+1/2)^
-у?
у/(2к+3/2) 7Г
+
(2/с+1/2)тг ^ (2/с+3/2)тг
>
1
Для любого е > 0 при к > к£ рассмотрим непересекающиеся
отрезки 1к с [0,е]. Для них Y,k>ke ^(h) > Т,к>к£ Ш = °°- Значит,
на любом отрезке [а,Ь], а ^ 0 < Ь, функция (р не является
функцией ограниченной вариации. В силу четности функции </?, то же верно
для любого отрезка [а, Ь], а < 0 ^ Ь. Значит, вариация функции (р не
ограничена на любом отрезке [а, Ь], а <Ъ, содержащем точку 0.
Следствие 6.15. Существуют всюду дифференцируемые на
отрезке функции, которые не являются на этом отрезке
АС-функциями, и, следовательно, не являются неопределенными интегралами
Мак-Шейна для своих производных.
Лемма 6.16. Если функция F не убывает на отрезке [а,Ъ], то ее
производная F' интегрируема на [а, Ь] по Мак-Шейну и верна оценка
о
(М) f F' dx ^ F{b) - F(a).
(6.14)
Доказательство. Рассмотрим последовательность функций
F{x + 1/п) - F{x)
Fn{x)
1/п
-, х G [a,b].
Так как функция F не убывает, то каждая из функций Fn
неотрицательна на отрезке [а, Ь]. Доопределим F вне отрезка [а, Ь] следующим
образом: F(x) = F(b), x > b; F(x) = F(a), x < а. В силу теоремы 6.13,
функция F имеет почти всюду на [a, b] конечную производную,
поэтому последовательность функций Fn сходится почти всюду к функции
F'. Применяя лемму Фату 5.22, имеем:

106 Гл 6 КЛАСС НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ МАК-ШЕЙНА
ix ^
/ \F'{x)\dx ^ liminf / Fn{x)dx
J n->oo J
a a
b b
liminf n( / F(x + 1/n) - / F(x)dx) = liminf n( / F(x)dx
n—>oo \y J J n—>oo \ у
Ы-1/n
^ liminf n( / F(x + l/n)- / F(x)cte) =liminfn[ / F(x)dx-
ь
a+l/n 6+1/n a+l/n
- Г F(x)dx) ^liminfn( Г F(b)dx- f F{a)dx) = F(b)-F(a).
a b a
Отсюда получаем интегрируемость функции F' по Мак-Шейну. □
Непосредственным следствием леммы является теорема
Теорема 6.17. Производная V В-функции на отрезке [а,Ь]
интегрируема по Мак-Шейну.
§ 3. ЛС-функции — неопределенные интегралы Мак-Шейна.
Интеграл Лебега
Лемма 6.18 (случай неубывающих функций). Если АС-функция
F не убывает на отрезке [а,Ь], то ее производная F' интегрируема
на [а, Ь] по Мак-Шейну и верна формула Ньютона-Лейбница
о
(М) f F'dx = F{b)-F{a
Доказательство. Пусть Е — множество точек отрезка [a, b], где
не существует конечная производная F'. Согласно теореме 6.13, мера
fjL*(E) =0. Пусть
_, , \F'(x), если х е [a, b] \ E,
}\Х) = <
10, если х е Е.
Так как функция / неотрицательна, то, по теореме 5.19, для нее М-
интегрируемость эквивалентна ^-интегрируемости. Поэтому
достаточно доказать, что / является ^-интегрируемой на [a, b] и интеграл
от нее равен F(b) — F{a).
Возьмем произвольное е > 0 и найдем такое п > 0, что для
любой не более чем счетной системы неперекрывающихся отрезков Ik из
отрезка [а, 6], для которой J2 \1^\ < rj, выполнено неравенство
к
£|д*ад| < \- (6.15)

§3 ЛС-ФУНКЦИИ — НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Ю7
Найдем такое открытое множество G D Е, что /ll*(G) < 77. Масштаб
5{х) > 0 на [а, Ь] определим следующим образом.
Для любой точки х G [а,Ь]\Е, в которой F дифференцируема и
F'(x) — f{x), подберем такое 8{х) > О, что для у е [а, 6] из условия
\у — х\ < 5(х) вытекает неравенство
\F(v)-F{x)-f(x)(y-x)\<&^.
Для любой точки х е Е подберем такое 6(х) > О, что Us(x)(x) = (х —
5{х),х + 8(х)) cG.
Возьмем любое отмеченное ^-разбиение Хенстока т = {(7$, &)}?=!»
& e U = [oi_i, о.] для всех г = 1,..., п. Если & £ £7, то F'(&) = /(&),
/г С */$(&)(&) и, значит,
|F(fl<) - F(fc) - /&)(* - fc)| < ^ I f^ ,
|F(ft) - F(a^) - /&)(& " ai_i)| < ^"^"j0,
откуда имеем
то есть
|/(6) • \h\ - (F(ai) - Fioi-tfl < ^L (6.16)
Если & e Я, то /fe) = 0, U С l/^jdi) С G. Значит, £ |74| <
&б£
(t*(G) < 5 и, no (6.15), имеем
£ |/ (6) • |/<| - №) - F(0i^))\ < \ (6.17)
Из неравенств (6.16) и (6.17) получаем оценку
ЕДОЙ - (F(b)-F(a))\ = |^(/(0|/| - AF(7))
<
< £|/(Ш1 - двд| = £|/(Ш1 - AF(7)I+
т т[Е]
+ £ |/(0|/|-AF(/)|<!+ £ ^L<e-
т[[а,*]\я] т[[а,*]\я]
Ь
Значит, / является ^-интегрируемой на [а,Ъ] и Jf dx = F(b) — F(a).
a
П

108 Гл. 6. КЛАСС НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ МАК-ШЕЙНА
Теорема 6.19 (формула Ньютона-Лейбница). Если функция F е
АС[а,Ь], то ее производная F' интегрируема на [а,Ь] по Мак-Шейну
и верна формула Ньютона-Лейбница
о
(М) f F'dx = F(b)-F(a).
Доказательство. Если F действительнозначна, то, по
следствию 6.6, имеем F = F\ — F2, где jF\ и F2 являются ограниченными
неубывающими на [а, Ь] АС-функциями. По предыдущей лемме 6.18,
получаем
ь ь
CM) jF[dx = Fx(b) - Fi(a), (M) J F'2dx = F2{b) ~ F2(a).
a a
Следовательно,
ь ь
CM) f F'dx = CM) f(F[ - F!2) dx
= ВД - Fi(a) - (F2(b) - F2(a)) = F(b) - F(a).
Если F комплекснозначна, то утверждение теоремы верно для ее
действительной ReF и мнимой ImF частей, а значит, и для самой
F. П
Следствие 6.20 (формула Ньютона-Лейбница). Если функция f
определена на [а,Ь] почти всюду, a F — такая АС-функция на [а, 6],
что F'{x) = f(x) почти всюду на [а, Ь], то f интегрируема по Мак-
Шейну на [а,Ь] и
о
(M)ffdx = F(b)-F(a).
Это непосредственное следствие теоремы 6.19 и следствия 2.80.
Следствие 6.21. Если F е АС[а,Ь] и Ff(x) = 0 почти всюду на
[а,Ь], то F постоянна на [а, Ь].
Следствием 6.7 и 6.20 является
Теорема 6.22 (критерий .М-интегрируемости). Определенная
почти всюду на отрезке [а, Ь] функция f интегрируема на [а, Ь] по Мак-
Шейну тогда и только тогда, когда найдется такая АС-функция F

§3 ЛС-ФУНКЦИИ - НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 109
на [а, Ь], что F'(x) = f(x) почти всюду на [а, Ь}; при этом верна
формула Ньютона-Лейбница
ъ
(М) / F' dx = F(b)-F{a).
а
Следствие 6.23 (класс неопределенных .М-интегралов). Класс
неопределенных ЛЛ-интегралов на отрезке [а,Ь] совпадает с классом
АС[а,Ъ).
Это непосредственно следует из предыдущей теоремы.
Следствие 6.24. Существует всюду дифференцируемая на
отрезке [а,Ъ], а <Ь, функция, производная которой не интегрируема в
смысле Мак-Шейна на этом отрезке.
Доказательство. В соответствии с теоремой 2.27, функция у?
из примера 6.14 является неопределенным Ц-интегралом своей
производной if'. Если бы (р* была .М-интегрируемой, то .М-интеграл
совпадал бы с неопределенным 7^-интегралом, то есть с функцией <р. Но,
в силу следствий 6.15 и 6.23, (р не может быть неопределенным Л4-
интегралом. Таким образом, <// не интегрируема в смыле Мак-Шейна.
D
Приведем одно из определений интеграла Лебега на отрезке, в
основе которого лежит класс АС-функций. Другое, более
стандартное, определение в более общей ситуации будет приведено в части 3.
Определение 6.25 (интеграла Лебега). Функция / : [а.Ь] —» С
называется интегрируемой по Лебегу (^-интегрируемой или
суммируемой), если существует функция F G АС[а, Ь] такая, что Fl(x) = f(x)
почти всюду на [а, Ь]. По определению,
ь
(С) J fdx = F(b)-F(a).
а
Из этого определения и теоремы 6.22 непосредственно следует
Теорема 6.26 (эквивалентность Л4- и ^-интегралов). Интегралы
Мак-Шейна и Лебега на отрезке эквивалентны (то есть если
функция интегрируема в одном из смыслов, то она интегрируема и в
другом и значения интегралов совпадают).
Следствие 6.27. Существует всюду дифференцируемая на
отрезке [а,Ь], а <Ь, функция, производная которой не интегрируема в
смысле Лебега на этом отрезке.
Это следует из теоремы и следствия 6.24.

Глава 7
Дополнительные сведения из теории меры.
Вариационная мера
§ 1. Внешняя мера и измеримость в смысле Каратеодори
Введенная в определении 2.37 внешняя мера Лебега является
частным случаем общего понятия внешней меры как функции множества.
Определение 7.1. Определенная на семействе всех подмножеств
некоторого фиксированного множества X и принимающая значения
в множестве [0, +оо] функция Л называется внешней мерой, если она
обладает следующими свойствами:
(г) Л(0) = О,
(гг) Л(Л) ^ Л(В) при А С В (свойство монотонности),
• ОО \ ОО
(ш) Л( (J ЕЛ ^ J2 A(2?j) (свойство счетной полуаддитивности).
S=i J j=i
В 2.43 и 2.44 было доказано, что внешняя мера Лебега /i*
удовлетворяет этим условиям. В § 3 мы рассмотрим широкий класс внешних
мер — вариационные меры, порожденные функциями.
Как мы видели на примере внешней меры Лебега, функция
множества, являющаяся внешней мерой, может не быть аддитивной (см.
пример 3.18). Это связано с тем, что область определения внешней
меры — множество всех подмножеств данного множества — слишком
велика. Оказывается, если соответствующим образом сузить область
определения, то всегда можно добиться аддитивности и даже
счетной аддитивности внешней меры. Полученное таким образом сужение
внешней меры мы и будем называть мерой.
Чтобы перейти к общему определению меры, введем сначала ту
систему множеств, которая будет выступать в качестве области
определения меры.
Определение 7.2. Система подмножеств А некоторого
множества X называется алгеброй множеств» если выполнены следующие
условия:
(1) Х,0еД,
(2) если А е Л, то X \ А е Л,
(3) если Л, В е Л, то A U В е А.

§1 ВНЕШНЯЯ МЕРА И ИЗМЕРИМОСТЬ В СМЫСЛЕ КАРАТЕОДОРИ Ш
Иначе говоря, алгебра множеств, по определению, замкнута
относительно операций объединения и перехода к дополнению. Легко
проверить, что она замкнута также относительно других теоретико-
множественных операций: пересечения, разности и симметрической
разности.
Определение 7.3. Алгебра множеств А называется а-алгеброй,
оо
если [J Aj G А для всякой счетной совокупности множеств Aj G А.
Определение 7.4. Для данного семейства Т подмножеств
множества X наименьшая а-алгебра подмножеств X, содержащая Т,
называется а-алгеброй, порожденной семейством Т.
Предоставляем читателю проверить существование и
единственность такой наименьшей сг-алгебры для любого семейства Т
(подробнее об этом см. в [7] и [11]).
Определение 7.5. Борелевской алгеброй множеств в R
называется о- алгебра, порожденная семейством всех открытых множеств в
R. Элементы борелевской алгебры называются борелевскими
множествами. 1
Определение 7.6. Определенная на некоторой сг-алгебре А и
принимающая значения в множестве [0, +оо] функция Л называется мерой
(точнее а-аддитивной мерой), если она обладает следующими
свойствами:
(1) Л(0) = О,
(2) для любой последовательности непересекающихся множеств
Ej eA
ОО ОО
л(ия;)=£ОД)-
Любая мера непрерывна в следующем смысле:
Теорема 7.7. Пусть А — мера, определенная на а-алгебре А.
Тогда если последовательность множеств Ak 6 А монотонно
возрастает, то есть Ak С ^U+i, к — 1, 2,...,, то
оо
fcHmoA(Afc) = A(|Ji4fc).
~*°° к=1
Если же последовательность множеств Ak 6 А монотонно
убывает, то есть Ak+i С4, к — 1, 2,..., причем A(Ai) < +oo, то
оо
^тЛ(Л,) = л(П^).
к=1
Это определение дословно переносится на любое топологическое
пространство.

112 Гл 7 СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МЕРЫ ВАРИАЦИОННАЯ МЕРА
Доказательство. Поскольку
оо оо
(J A* = Ax U ((J (Afc+1 \ А*)),
к=1 к=1
в силу а-аддитивности Л,
ОО ОО
a(U Ак) = ЦАг) + ^А(Ак+1\Ак) =
к=1 к=1
оо
= А(Аг) + V(A(Afc+1) - A(Afc)) = lim A(Afc).
^—' fc—>00
fc=l
Заметим, что здесь не исключается случай бесконечного предела.
Случай монотонно убывающей последовательности {Л*.}*,
сводится к предыдущему случаю переходом к возрастающей
последовательности множеств А\ \ Ak, при к — 1,2, □
Определение 7.8. Определенная на сг-алгебре А мера Л
называется а-конечной на множестве X е Л, если А" допускает представление
ос
X = U Xj, где Xj G Л и A(Xj) < оо.
Перейдем к описанию построения по заданной внешней мере сг-
алгебры множеств, на которой эта внешняя мера будет обладать
свойствами меры. Этот способ определения меры был предложен Каратео-
дори.
Определение 7.9. Пусть внешняя мера Л определена на всех
подмножествах множества X. Множество Е С X называется А-измери-
мым (в смысле Каратеодори), если для любого А С X справедливо
равенство
Л(Л) - А{А П Е) + А{А \ Е) (7.1)
Теорема 7.10. Класс М. всех А-измеримых подмножеств
мноэюества X, определяемый внешней мерой А, является а-алгеброй
множеств, и функция А является мерой на этой а-алгебре.
Доказательство. Ясно, что равенство (7.1) выполнено для Е =
0, так что 0 G М. Переписывая равенство (7.1) в виде
А{А) = А(А \ (X \ Е)) + А(А п {X \ Е)), (7.2)
убеждаемся, что если Е £ М, то и X \Е £ М. В частности, отсюда
получаем, что X е М.
Пусть теперь Е\,Е2€М. Пользуясь соотношением А\ {Е\ \JE2)~
— (А\Ei) П (А\Е2) и Л-измеримостью каждого из множеств Е\ и Е2,

§1 ВНЕШНЯЯ МЕРА И ИЗМЕРИМОСТЬ В СМЫСЛЕ КАРАТЕОДОРИ ИЗ
получим для любого А С X:
А(Л П (Ех U Е2)) + А(Л \ {Ei U Е2)) = А (А П (#i U Е2) П Ех) +
+Л((Л П (JSi U Е2)) \ Ei) + А((А \ £i) П (Л \ Е2)) -
= Л(Л П Ei) + А((А \ Ех) П Е2) + А((А \ Ег) \ Е2) =
= Л(Л П Ei) + А(А \ Ei) - A(A).
Этим доказано выполнение (7.1) для множества Е\ U Е2, то есть
Ei U E2 G М и .М является алгеброй множеств.
Предполагая, что множества Ei и Е2 не пересекаются, применим
(7.1) к множеству Е± U Е2 (вместо Л). Получим
Л(ЕХ U Е2) - Л((ЕХ U Е2) П £i) + Л((ЕХ U Е2) \ Ех) - Л(ЕХ) + Л(Е2),
что означает аддитивность функции Л на М.
По индукции, отсюда следует, что если множества Е±, Е2,..., Еп
из М попарно не пересекаются, то
г=1 г=1
Рассмотрим теперь последовательность попарно непересекающих-
п
ся множеств Ei из Л4. Пусть Sn — (J E^. Тогда 5пеА4и для любого
АсХ
П ОО
Л(Л)=Л(ЛП5п) + Л(Л\5п)^^Л(ЛПЕ,) + л(л\иЕ^.
г=1 г=1
Далее, переходя к пределу при п —» оо и используя счетную
полуаддитивность Л, приходим к неравенству
ОО ОО (X) (X)
л(л) > ^л(лп^)+л(л\у Et) >л(лп([J£<)) +a(a\(J^).
г=1 г=1 ?' = 1 г=1
С другой стороны, снова применяя полу аддитивность Л, получаем
неравенство
ОО ОО
Л(Л)< Л(Л П ((J Я,)) + Л(Л \ U ^).
г=1 г=1
Следовательно,
(X) ОО
Л(л) = л(лп(и^))+л(л\и^) =
г=1 г=1
ОО (X)
= Х)Л(Ап£ч) + А(л\и^).
(7.3)

114 Гл 7 СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МЕРЫ. ВАРИАЦИОННАЯ МЕРА
со со
Таким образом, \J Ei е М. Подставляя теперь в (7.3) (J Ei вместо А,
г=1 г=1
получим
со со
л(и^) = ЕА^).
г=1 г=1
Тем самым доказана ст-аддитивность функции Л на М..
со
Осталось проверить, что [J Ei £ Л4 для всякой последовательно-
i=i
сти множеств £^- е .М. Но этот общий случай сводится к уже
рассмотренному случаю непересекающихся множеств, если воспользоваться
равенством
со со г
и^ = ^и(и(^+ли^))
г=1 г=1 J = l
и тем фактом, что разность двух множеств из М. принадлежит Л4,
поскольку, как мы уже доказали, М является алгеброй множеств.
Таким образом, мы завершили доказательство того, что М.
является о- алгеброй. О
Теорема 7.11. Если множество Е С X удовлетворяет условию
А{Е) = 0, то Е еМ.
Доказательство. Выполнение равенства (7.1) следует из
очевидных соотношений
А(А) ^ А(А ПЕ) + А(А \Е) = А(А \Е)^ А(А). □
Определение 7.12. Если fi* является внешней мерой Лебега на
прямой R, то //"-измеримые множества будем называть измеримыми
по Лебегу.
Теорема 7.13. Каждое борелевское множество измеримо по
Лебегу.
Доказательство. Сначала покажем, что каждое открытое
множество измеримо по Лебегу. Достаточно показать, что
li*(AnG) + n*(A\G)^n*(A)
для каждого открытого множества G и произвольного множества А.
Обратное неравенство имеет место в силу полуаддитивности внешней
меры Лебега. Так как, согласно лемме 2.33, каждое открытое
множество является объединением не более чем счетного набора
неперекрывающихся интервалов, с учетом полуаддитивности внешней
меры достаточно доказать указанное неравенство для G — (а, 6). Пусть
{(a<i<bi)}i является системой неперекрывающихся интервалов,
объединение которых содержит множество А. Тогда если мы покажем, что
М* (А П (а, Ь)) +»*(А\ (а, Ъ)) < £(fc - <ц),

§1 ВНЕШНЯЯ МЕРА И ИЗМЕРИМОСТЬ В СМЫСЛЕ КАРАТЕОДОРИ 115
то переходя в правой части к нижней грани по всем указанным
наборам {(ai,bi)}i и учитывая утверждение 2.39, мы получим
необходимое неравенство. Так как Л П (а, Ь) с U((ai> h) П (а, Ь)) и А \ (а, Ь) с
г
С U((ai,bi) \ (а,Ь)), имеем
г
Ai'(An(a,b))+/i*(A\(a,b))<^(/i,((ai>bj)n(o,b))+/i*((ai,b,-)\(a,b)))-
Остается отметить, что
/i* ((ai, bi) П (a, b)) + /i* ((a*, Ь{) \ (a, b)) ^ bt - сц.
Справедливость последнего неравенства вытекает из замечания 2.40.
Мы показали, что каждое открытое множество измеримо.
Утверждение леммы следует из того, что борелевская а-алгебра является
наименьшей а-алгеброй, содержащей все открытые множества, и поэтому
сг-алгебра измеримых множеств, которая, как показано, также
содержит все открытые множества, содержит и борелевскую а- алгебру. □
Следствием предыдущей теоремы и теоремы 2.45 является
Утверждение 7.14. Для каждого множества Е найдется
измеримое по Лебегу множество G, называемое измеримой оболочкой
множества Е, такое, что Е С G и fi*(E) = fi(G).
Лемма 7.15. Пусть множество Е измеримо по Лебегу. Тогда
для каждого е > 0 существуют такие открытое G и замкнутое F
множества, что F С Е С G и fi(G) — fi(E) < e, fi(E) — fi(F) < е.
Доказательство. Из измеримости множества Е следует
измеримость множества [a, b] \ E, и, согласно теореме 7.10, внешняя мера
Лебега является мерой на а-алгебре измеримых множеств. Применяя
к этим двум множествам определение 2.42, для произвольного е > 0
найдем открытые множества G С Е и О С [a, b]\E такие, что
/i(G) - fi(E) < e, fi(0)-fi([a,b]\E)<e.
Положим F = [a,b}\0. Это замкнутое множество, содержащееся в
множестве Е, и fi(E) - /x(F) = fi(E) - /x([a, Ь] \О) = fi(E\ ([a, b] \О)) =
= fi(0\([a,b]\E)) < е. Лемма доказана. □
Теорема 7.16. Определения 7.12 и 3.19 эквивалентны.
Доказательство. Пусть множество Е измеримо по Лебегу в
новом смысле. Зафиксируем произвольное е > 0 и, в соответствии с
леммой 7.15, найдем два замкнутых множества Fi С Е и F2 С [а,Ь]\Е
такие, что р(Е) - fi(Fi) < е/2 и /x([a,b] \ E) - /x(F2) < е/2.
Заметим, что характеристическая функция ХЕ(Х) множества Е
непрерывна на Fi и F2. Чтобы доказать измеримость Е в старом смысле,
нужно показать, что функция Хе(х) измерима, то есть для
произвольного е > 0 найдется такая непрерывная на [a, b] функция #(х), что

Ив Гл 7. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МЕРЫ. ВАРИАЦИОННАЯ МЕРА
fi*{x G [a,b]: хЕ(х) Ф 9{х)} < е- Согласно лемме 2.57, примененной к
функции хЕ(х) и замкнутому множеству F = F\ U F2, где множества
Fi и F'2 построены по |, существует непрерывная на [а, Ь] функция
д(х), совпадающая с функцией ХЕ{Х) на множестве F. По построению
F, имеем/i*{^G [а,Ь]: Хе(х) Ф Ф)} = M^\^i)+^(([a,4\£7)\F2) < e,
что и доказывает измеримость i? в старом смысле.
Обратно. Пусть множество Е измеримо в старом смысле. Тогда
для каждого п > 0 найдется такая непрерывная на [а, Ь] функция
оо
дп(х), что fi*{х е [а,Ъ]: хЕ(х) Ф 9п(х)} < ~- Тогда Е = \J {x <Е
п=1
G [а, 6]: дп(х) = 1} U .D, где /a*(D) = 0. В силу непрерывности функций
рп(ж) на отрезке [а, Ь], множества {ж е [а, &]: рп(ж) = 1} являются
замкнутыми, и, по теореме 7.13, они измеримы. Множество D измеримо
согласно теореме 7.11. Отсюда следует измеримость множества Е в
новом смысле. □
Отметим следующее свойство внешней меры Лебега, которое
можно назвать "непрерывностью снизу ".
оо
Теорема 7.17. Пусть Е = (J Еп, где Еп с En+i, n = 1,2,....
п=1
Тогда lim /i*(£n) = р*(Е).
п—>оо
Доказательство. В соответствии с утверждением 7.14, для
каждого множества 2£п найдем измеримое по Лебегу множество Gn, такое,
что Еп С Gn и /jb(Gn) = /л*{Еп). Образуем новую последовательность
оо
множеств Dn = р| G&. Из включения Еп с Ek С Gk при к ^ п
к=п
следует, что Еп С Dn С Gn и, значит, fi*(En) = fi(Dn). При этом
оо
£>п С £>п+ъ п = 1,2,... и jE? С U -Dn- В соответствии с теоремой 7.7,
71=1
lim fi(Dn) = fjbl (J Dn). В результате
n->oo \n=1 J
оо
/z*(£) ^J\\Dn)= lim /*(£>„) = lim M(£„) < //(#),
\ v-^ / n—>oo n—>oo
n=l
откуда получаем утверждение теоремы. □
§ 2. Метрическая внешняя мера
Здесь мы рассмотрим внешние меры, которые, помимо свойств
(г) — (ш) из определения 7.1, обладают одним дополнительным
свойством, связанным с понятием расстояния между множествами. В
случае множеств на действительной прямой R расстояние между двумя
множествами определяется формулой
p(j4,J3)=inf{|x-y|: xeA, у е В}.

§2. МЕТРИЧЕСКАЯ ВНЕШНЯЯ МЕРА
117
Определение 7.18. Внешняя мера Л, определенная на семействе
подмножеств метрического пространства X с метрикой р, называется
метрической, если
(iv) Л(Л U В) = А(А) + А(В) для любых двух множеств А,ВсХ,
для которых р(А,В) > 0.
Лемма 7.19. Пусть А — метрическая внешняя мера,
определенная на семействе подмножеств метрического пространства X,
множество Е содержится в некотором открытом множестве G и
последовательность множеств Ek, к = 1,2,..., определена
соотношением
Ек = {хеЕ: р(х, X\G)> 1/к}.
Тогда lim А(Ек) = А{Е).
к—>оо
схэ
Доказательство. Ясно, что Ек с Ек+г и (J ^ = Е. Поэтому
lim А{Ек) < А(Е).
к—хх>
Остается установить противоположное неравенство. Введем
множества Dk = Ek+i \ Ек. Из определения множеств Ек и Dk легко
следует неравенство
А поскольку Dk-i С Ек, отсюда
p(Dk^.uDk-1)>0. (7.4)
Кроме того, имеем Е = EkU I (J DA и
схэ
А(Е)^А(Ек) + ^2МЩ- (7-5)
i=k
оо
Если ряд J] Л(1)г) сходится, то
г=1
lim ГА(Д)=0,
/с—>оо z—'
г—к
и тогда из (7.5) получаем нужное неравенство
lim А(Ек) ^ А(Е). (7.6)
к—>оо
схэ
Если же ^ Л(1)г) = +оо, то расходится по крайней мере один из ря-
оо схэ
дов ^2 A(D2i) и ^2 A(D'2i+i). Пусть для определенности расходится
г=1 г=1

118 Гл 7 СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МЕРЫ. ВАРИАЦИОННАЯ МЕРА
первый из них. Тогда, с учетом (7.4),
к к
lim A{E2k+i) ^ lim а([ \ D2i) = lim ГЛ(^) = +оо.
к—>оо к—>оо \^^ / /с—>оо ^—'
г=1 г=1
В силу монотонности последовательности множеств £7д. получим
lim A(i^) = +оо, и неравенство (7.6) справедливо при любом значении
к—кэо
Л(2£), что и завершает доказательство. П
Теорема 7.20. Пусть Л — метрическая внешняя мера на прямой
R. Тогда каждое борелевское множество является А-измеримым.
Доказательство. Докажем, что любое замкнутое множество Е
Л-измеримо, то есть проверим, что для Е и любого А выполняется
(7.1). Пусть
Вк = {х е А\Е : р(х,Е) > l/k}.
Тогда р{Вк,А П Е) ^ 1//с„ и поэтому Л(Л) ^ Л(£* U (А П £7)) =
= Л(Б&)+Л(ЛГ)#). Отсюда, переходя к пределу при к —> ос, получаем,
в силу леммы 7.19, неравенство Л(Л) > Л (Л \ £) + Л(Л П £7).
Поскольку противоположное неравенство верно в силу определения внешней
меры, в результате приходим к равенству (7.1) для рассматриваемого
множества Е.
Таким образом, все замкнутые множества, а тем самым и все
открытые множества Л-измеримы. Тогда, в силу того, что Л-измеримые
множества образуют сг-алгебру (см. теорему 7,10), Л-измеримы и все
борелевские множества. □
Замечание 7.21. Легко проверить, что приведенное выше
доказательство проходит и в случае, когда борелевские множества
рассматриваются не на всей прямой, а на некотором ее подмножестве,
выступающем в качестве метрического пространства.
Определение 7.22. Пусть на подмножествах множества X
определена внешняя мера /i. Функция множества Л, определенная на
некотором семействе А подмножеств множества X, называется абсолютно
непрерывной на X относительно меры /i, если для любого A G А из
условия ц{А) = 0 следует А(А) = 0.
Теорема 7.23. Пусть на подмножествах множества X
определена внешняя мера /i, а на некоторой о-алгебре А подмножеств
множества X определена конечная мера Л. Мера А абсолютно
непрерывна на X относительно меры /л тогда и только тогда, когда для
любого е > 0 существует такое 5 > 0, что для А е А из условия
ji{A) < 5 следует А(А) < е.
Доказательство. Достаточность непосредственно следует из
определения, поскольку если ц{А) = 0, то ц{А) < S при любом 5 > 0, и
поэтому Л (Л) < е для любого е > 0, то есть А(А) = 0.

§3 ВАРИАЦИОННАЯ МЕРА
119
Необходимость докажем от противного. Пусть мера Л абсолютно
непрерывна, но существует такое е > 0, что каково бы ни было S > О,
условие ц{А) < S не гарантирует выполнения неравенства А(А) < е.
Тогда, рассмотрев последовательность 6к = 2_А;,, найдем для каждого
к = 1,2,... множество Ak G Л, для которого fi(Ak) < 2~k и А(А^) ^ е.
оо сю
Пусть А = р| (J Лд;. При любом п
п=1к=п
сю сю
— * ri+i
/c=n /c=n
Значит, ц{А) = 0, и тогда, согласно предположенной абсолютной
непрерывности, А(А) = 0. В то же время, по теореме 7.7,
сю
А(А) = lim Л( I I Ак) ^ limsupAf^fc) ^ е.
П_>00 \W У д.
Приходим к противоречию, доказывающему теорему. □
§ 3. Вариационная мера
В теории интеграла Хенстока-Курцвейля важную роль играет
класс метрических внешних мер, образованный так называемыми
вариационными мерами, порождаемыми функциями. С помощью этого
понятия мы дадим в следующей главе описание характеристического
свойства интеграла Хенстока-Курцвейля, весьма близкого к
характеристическому свойству интеграла Лебега в терминах абсолютно
непрерывных функций.
Определение 7.24. При фиксированном масштабе 5 на Ес[а,Ь]
5-вариацией функции F: [а, Ь] —» Ш на Е называется величина
Var,(F,£)=sup^|AF(/)|,
т т[Е]
где sup берется по всем отмеченным J-разбиениям т на Е.
Определение 7.25. Вариационной мерой множества Ее [а,Ь],
порожденной функцией F: [а, Ь] —> R, называется величина
VF(£) = infVaj*(F,£),
б
где inf берется по всем масштабам S на Е.
Теорема 7.26. Вариационная мера Vf, порожденная функцией
F: [а, Ь] —> R, является метрической внешней мерой на [а, Ь].
Доказательство. Выполнение условий (г) и (гг) из определения
7.1 очевидно.

120 Гл 7 СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МЕРЫ ВАРИАЦИОННАЯ МЕРА
При проверке условия (Hi) будем предполагать, что множества
Ej попарно не пересекаются. Это не ограничивает общности,
поскольку от последовательности {Ej}j можно перейти к последовательности
\Ej\ (J Ek \ (здесь Eq = 0) и воспользоваться условием (гг). Можно
L А;=0 J 3
также предполагать, что все значения VF(Ej) конечны, ибо в
противном случае условие (Иг) очевидно. Зафиксируем е > 0 и на каждом Ej
определим масштаб 8j такой, что
Va4.(F,^) ^ YF(E3)+e2-K (7.7)
оо
Масштаб 8 на (J Ej определим, положив 8(х) = 8j(x) при х е Ej,
оо
j = 1,2, Возьмем произвольное J-разбиение т на, Е = (J Ej. Тогда,
j=i
с учетом (7.7),
£ |AF(/)| < J2 Е lAF(7)l < £Var^(F,^) ^ 5>ИЯ,0 +e.
f 3 t{Ej] 3 3
Переходя в левой части неравенства к верхней грани по всем $-разбие-
ниям на Е, приходим к неравенству Var(j(F,E)^J^^f(Ej) + е, откуда
з
Vf(E) ^ Yl Vf(Ej) + е. В силу произвольности е > 0, отсюда следует
выполнение неравенства из условия (ш).
Осталось проверить выполнение условия (iv) из определения 7.18.
Пусть для множеств А, В С [a,b] справедливо неравенство р(Л, Б) =
г > 0. Тогда найдутся непересекающиеся открытые множества Oi D Л
и 0'2 D В. В качестве таких множеств можно взять, например, | -
окрестности множеств А и В, то есть множества 0\ = {х: р(х, А) < ^},
0'2 = {х : р(ж, Б) < |}. Определим на A U В масштаб
^ /дЛ = Гр(ж, [а, Ь] \ Oi) для ж <Е Л,
|р(ж, [а, Ь] \ 02) для х е В.
Теперь для произвольного масштаба 8' на Ли В определим новый
масштаб 8, положив 8(х) = mm{8'(x),8o(x)}, x e ЛиБ. Легко проверить,
что
Var*/ (F, Л U Б) ^ Var*(F, Л U Б) =
= Var*(F, Л) + Var*(F, Б) > VF(A) + VF(5).
Поэтому У^(Л U В) ^ У^(Л) + VF(B). Поскольку противоположное
неравенство справедливо в силу условия (Иг), в результате приходим
к равенству VF (A U В) = VF (А) + VF (В). □
Из этой теоремы и теоремы 7.20 вытекает

§3 ВАРИАЦИОННАЯ МЕРА
121
Следствие 7.27. . Вариационная мера на отрезке, порожденная
некоторой функцией, является мерой на а-алгебре борелевских
множеств на этом отрезке.
Покажем, что внешняя мера Лебега может рассматриваться в
качестве частного случая вариационной меры.
Теорема 7.28. Внешняя мера Лебега на прямой совпадает с
вариационной мерой, порожденной функцией F(x) = х.
Доказательство. Заметим, что в нашем случае |AF(/)| = |/|
для любого отрезка /. Зафиксируем множество Е С R. Для
произвольного е > 0 найдем, в соответствии с определением 2.37,
такую конечную или счетную совокупность интервалов (с^, /%), что Е С
U(a«» 0г) и №*№) > ХХА ~~ аг) ~ е- Определим масштаб S условием:
г г
если х G Е П (ai,Pi), то 6(х) = mm((3i — х, х — щ). Тогда для любого
J-разбиения т[Е] = {(/,ж)} выполняется J2 \I\ < ХХ& ~ ai)> откуда
т[Е] г
»*(Е) > Е \J\ ~ е> и> значит, ц*(Е) ^ Vaxs(E,F) - е ^ VF(E) - е. В
т[Е]
силу произвольности е, получаем /jl*(E) ^ Vf{E).
Для получения обратного неравенства выберем такой масштаб S на
Еу что Vp(E) > Vax&(E, F) — е. Интервалы J из пар (J, ж), для которых
J С (ж — <5(ж),ж + £(#)), образуют покрытие Е в смысле Витали. По
теореме 2.54, найдется конечный набор неперекрывающихся отрезков
Ij, такой, что р*(Е \\JIj) < е. Тогда р*(Е) ^ ц*(Е \[jl3) + £ |/,| <
3 3 3
е + Vars(E, F) < \TF(E) + 2е, откуда /х*(Я) ^ 1^г(£?). П
Как следствие мы получим еще одно доказательство измеримости
борелевских множеств.
Следствие 7.29. Ворелевские множества на прямой Ж
измеримы по Лебегу.
Следствие 7.30. Множество Е измеримо по Лебегу тогда и
только тогда, когда оно представимо в виде Е = В U N, где В —
борелевское множество, а N — множество меры нуль.
Доказательство. Достаточность следует из теорем 7.10, 7,11 и
следствия 7.29. Докажем необходимость. Ясно, что достаточно
провести доказательство для ограниченного множества Е,
содержащегося в некотором отрезке [а,Ь]. В соответствии с теоремой 2.45, для
множества [a, b] \ E существует борелевское множество G такое, что
[а,Ь]\Е с G и /x(G) = /х*([а, Ъ]\Е). Тогда множество В = [a,b]\G СЕ
является борелевским, и, в силу измеримости Е и В, отсюда получаем
равенство р(Е \В)= fi(E) - /x(J5) = ц{Е) - {Ь - а) + /x(G) = 0.
Полагая N = Е\В, получаем наше утверждение. □

122 Гл 7 СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МЕРЫ. ВАРИАЦИОННАЯ МЕРА
Теорема 7.31. Если вариационная мераУf абсолютно
непрерывна на [а, Ь] относительно меры Лебега ц, то все /л-измеримые
множества Vf -измеримы, то есть W является мерой на а-алгебре
измеримых по Лебегу множеств.
Доказательство. В соответствии со следствием 7.30,
//-измеримое множество Е представимо в виде Е = BUN, где В — борелевское
множество, а N — множество нулевой меры Лебега. По следствию 7.27,
для борелевского множества В и произвольного А в соответствии с
(7.1) выполняется
VF(A) = VF(A П £) + VF(A \ В).
Тогда, с учетом этого равенства и с учетом абсолютной
непрерывности вариационной меры, для произвольного множества А получаем
неравенство
VF(A) ^ VF(A n(5U N)) + WF(A \ (В U N)) <
^ VF(A П B) + VF(A П N) + VF(A \ B) =
= VF(A nB) + VF(A \ B) = VF(A),
откуда
VF(A) = VF(A П £) + Vf(A \ E),
то есть множество Е является У^-измеримым. □
Далее в этой главе, говоря об абсолютной непрерывности
вариационной меры, мы всегда будем иметь в виду абсолютную непрерывность
относительно внешней меры Лебега.
Отметим следующие свойства абсолютно непрерывной
вариационной меры, непосредственно вытекающие из определений и из теоремы
7.23.
Утверждение 7.32. Вариационная мера, порожденная
функцией F: [а, Ь] —> Ж, является абсолютно непрерывной на [а, Ь] тогда и
только тогда, когда для каждого множества Е С [а, Ь] меры нуль и
каждого е > 0 существует масштаб S на Е, такой, что
£>F(J)|<£, (7.8)
т[Е)
для всех 6-разбиений т[Е].
Утверждение 7.33. Функция, порождающая абсолютно
непрерывную на мносисестве Е вариационную меру, непрерывна в каэюдой
точке множества Е,
Для доказательства следующей теоремы нам понадобится
вариант известной теоремы Бэра о нигде неплотных множествах. Сначала
введем определения.

§3 ВАРИАЦИОННАЯ МЕРА
123
Определение 7.34. Множество А называется нигде не плотным
в множестве Е D А, если в любом открытом интервале /, содержащем
точки из А, найдется подинтервал J С I такой, что Е П J ф 0 и
An J = 0.
Определение 7.35. Множество А называется всюду плотным в
множестве Е D А, если в любом открытом интервале /, содержащем
точки из Е, содержатся также точки из А.
Заметим, что если множество А не является нигде не плотным в
Е, то оно всюду плотно в некоторой порции множества Е, то есть в
множестве IDE, для некоторого интервала I.
Теорема 7.36 (теорема Бэра). Непустое замкнутое множество
не может быть представлено в виде счетного объединения нигде не
плотных в нем множеств.
Доказательство. Допустив противное, предположим, что замк-
оо
нутое множество F представимо в виде суммы F = (J Еп, где каждое
п=1
Еп нигде не плотно в F. Тогда, воспользовавшись нигде неплотостыо
Ei в F, найдем интервал /, содержащий точки из F и не содержащий
точек из Е\. В I найдется замкнутый отрезок J\ с тем же свойством:
Jx п F ф 0 и J\ П Е\ =0. Продолжая далее построение по индукции,
найдем последовательность вложенных отрезков Jn, таких, что Jn П
F^0nJnn.En = 0 при каждом п = 1,2, Тогда найдется точка
оо
Xq е П Jn, такая, что xq G F, но xq ^ Еп при каждом п. Полученное
противоречие доказывает теорему. □
Теорема 7.37. Если вариационная мера, порожденная функцией
F: [а, Ь) —» R, абсолютно непрерывна на замкнутом множестве Е С
[а, Ь], то W cf-конечна на Е.
Доказательство. Допустим, что мера W не является сг-конеч-
ной на Е, и покажем, что это приведет нас к противоречию с
абсолютной непрерывностью вариационной меры.
Пусть Т — множество всех таких точек х е Е, что W не
является а-конечной ни на какой непустой порции Е П I, определяемой
отрезком I, содержащим точку х, а Р — множество неизолированных
ни с одной стороны точек множества Т. Ясно, что множество Т \Р
счетно, и поэтому Vf сг-конечна на этом множестве. Отсюда легко
следует, что мера V^ не является конечной ни на какой непустой
порции Р П I множества Р, определяемой отрезком 7". Предполагая, что
множество Т непусто, построим множество N С Р меры нуль, для
которого Vf(N) ^ 1, откуда и получим искомое противоречие.
Напомним, что из абсолютной непрерывности вариационной
меры, порожденной функцией F, следует непрерывность функции F в
каждой точке множества Е (см. утверждение 7.33). Поскольку V> не

124 гл 7 СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МЕРЫ. ВАРИАЦИОННАЯ МЕРА
является конечной на Р, с учетом определений 7.24, 7.25 и
непрерывности F, найдем неперекрывающиеся отрезки {/j J77^, содержащиеся
в [а, Ь] и такие, что для каждого j = 1, 2,..., тг
Р(Л Int if]
, что т1 >
V0
1 и
т1
£1
/a)|<i
,(1))
> 1.
поскольку при необходимости мы можем вместо Р рассмотреть
порцию Р, определяемую сколь угодно малым отрезком.
Далее построение продолжим по индукции. Допустим, что уже
построено семейство неперекрывающихся отрезков {/г> ~ }т^~\
содержащихся в [а, Ь] (к > 1), таких, что Р П Int l\ ~ ' ф 0 для каждого
г. Повторяя рассуждение, примененное на первом шаге, построим
семейство {/• j171^ неперекрывающихся отрезков, таких, что
(а) Р П Int Ij ф 0 для каждого j = 1,2,..., тл^,
(о) каждый У • содержится в некотором i > ',
(с) каждый /г> ~ ' содержит по крайней мере два отрезка из
(Лк)лгпк
Vj !j = l
(e) J2 \AFmk)) | > 1 для каждого г = 1,2,..., га*_1.
Пусть
ОО rttfc
AT=nU/f).
В силу (d), множество N имеет нулевую меру. Нетрудно также
проверить, учитывая (а) — (d), что N является совершенным
подмножеством множества Р. Возьмем произвольный масштаб S на N. Для
п G N определим
7Vn = {a;€7V:J(a;)>i}.
Из теоремы Бэра 7.36 следует, что найдется п, при котором множество
Nn всюду плотно в некоторой порции JnN множества N. Существуют
I и г, такие, что Ц' С J и |/^ ' | < ^. Для каждого /j ' с l\\ в силу
всюду плотности Nn в J П iV, найдется я^ б Л ' П Nn. Поскольку

§3 ВАРИАЦИОННАЯ МЕРА
125
S(xj) > -. семейство пар
образует J-разбиение в N. Применяя (е), где вместо А; стоит / + 1,
получаем
Var*(F,iV)> J2 \AF(l}+1))\>l.
Поскольку масштаб <5 был взят произвольно, отсюда Vf(N) ^ 1, что
противоречит абсолютной непрерывности Vf на Е. D

Глава 8
Дескриптивные определения интегралов
Приведенное в главе 6 определение интеграла Лебега (см.
определение 6.25) является примером так называемого дескриптивного
определения. При таком способе определения интеграла описывается класс
первообразных (неопределенных интегралов), а определенный
интеграл на отрезке определяется как приращение первообразной.
В отличии от такого рода определений, определения типа 2.5, 2.7,
2.8, базирующиеся на составлении интегральных сумм и последующем
предельном переходе, в результате чего вычисляется определенный
интеграл, называются конструктивными.
Основные требования к классу функций на отрезке прямой,
выступающему в качестве класса неопределенных интегралов при
дескриптивном определении, состоят в том, чтобы этот класс представлял
собой линейное пространство, чтобы функции из этого класса были
дифференцируемы почти всюду и чтобы выполнялось условие: если
производная функции из этого класса равна нулю почти всюду, то
функция является константой. Последнее условие необходимо для
однозначности определения интеграла.
Как мы видели в главе 6 (теорема 6.13 и следствие 6.21), класс
абсолютно непрерывных функций на отрезке отвечает этим
требованиям, что и позволило дать с его помощью дескриптивное определение
интеграла Лебега и эквивалентного ему интеграла Мак-Шейна —
теорема 6.19.
В этой главе мы рассмотрим несколько эквивалентных друг
другу характеристических свойств неопределенного интеграла Хенстока-
Курцвейля, каждое из которых может быть использовано для
получения соответствующего дескриптивного определения этого интеграла.
Одно из них представляет собой классическое определение узкого
интеграла Данжуа (интеграла Данжуа-Перрона), который таким
образом оказывается эквивалентным интегралу Хенстока-Курцвейля.
§ 1. Дескриптивное определение интеграла
Хенстока-Курцвейля на основе вариационной меры
Теорема 8.1. Функция F, являющаяся неопределенным
интегралом некоторой 7i-интегрируемой на [а,Ь] функции f, порождает
абсолютно непрерывную вариационную меру.

§1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ 127
Доказательство. Рассмотрим множество Ес[а,Ь] меры нуль. В
силу следствия 2.80, можем считать, что f(x) = 0 при х G Е. Пусть
масштаб 5 найден по фиксированному е > 0, в соответствии с
определением ^-интегрируемости. Возьмем произвольное J-разбиение т[Е].
Тогда из леммы 3.9, примененной к функции /, получаем неравенство
^2 \AF(I)\ < 4е, из которого на основании утверждения 7.32 заклю-
т[Е)
чаем, что мера W абсолютно непрерывна. □
Теорема 8.2. Если F: [а,Ь] —> Ш дифференцируема почти всюду,
то она порождает абсолютно непрерывную вариационную меру
тогда и только тогда, когда F' И -интегрируема и F является
неопределенным 7i-интегралом для F'.
Доказательство. Если производная F' 'Н-интегрируема на [а, Ь]
в смысле определения 2.81 и F является ее неопределенным
интегралом, то вариационная мера W абсолютно непрерывна в силу
предыдущей теоремы.
Обратно. Пусть известно, что вариационная мера, порожденная
функцией F, абсолютно непрерывна, и пусть Е является множеством
точек недифференцируемости F. Существует масштаб Si на Е такой,
что если т[Е] является Ji-разбиением на Е, то выполняется (7.8). Если
х G [а, 6] \ Е, то найдется 62(х) > 0, такое, что при \х — t\ < <fe(x)
выполнено
F(x) - F(t) I
Определим
6(х) =
<
х — t
Si(x), если х G E,
S2(x), если х G [a, b] \ E.
Если теперь 7г является J-разбиением отрезка [а,Ь], то для функции
| 0, если х G Е,
fix) =
v ; yF'(x), если х е [а,Ъ]\Е
выполняются соотношения
\j2f(x)\I\-AF([a,b])\^J2\AF(I)\+
+ £ \F'(x)\I\-AF(I)\<e+ Yl S=2£'
7r[[a,6]\B] 7г[[а,6]\в]
что и означает ^-интегрируемость /, а тем самым, и F', на [а, Ь] с
Н-интегралом AF([a, Ь]). □
Доказанную теорему несколько иначе можно сформулировать
следующим образом:

128 Гл 8. ДЕСКРИПТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
Теорема 8.3. Функция f:[a,b] —> R интегрируема на [а,Ь] в
смысле Хенстока-Курцвейля тогда и только тогда, когда
существует такая почти всюду дифференцируемая на [а, Ь] функция F,
которая порождает абсолютно непрерывную вариационную меру и для
которой F'(x) = f{x) почти всюду на [а,Ь].
Ниже мы увидим, что априорное требование дифференцируемости
функции в предыдущих теоремах может быть опущено.
§ 2. Класс ACG6
Здесь мы рассмотрим еще одно характеристическое свойство
неопределенного интеграла Хенстока-Курцвейля.
Определение 8.4. Пусть F: [а,Ъ] —> R и Е С [а, Ь]. Функция F
является АС5- функцией на множестве Е (или принадлежит классу АС$
на Е)ч если для каждого е > 0 существует такой масштаб 5 на Е и
такое число С > 0, что ^ \AF(I)\ < е для каждого S-разбиения т[Е],
1£т[Е]
для которого ^2 \1\ < С-
1£т[Е]
Определение 8.5. Функция F: [а, Ъ] -> R является ACGs-функ-
цией на множестве Е С [а, Ь\ (или принадлежит классу ACGs на £?),
оо
если £" = (J Еп и F является ЛС^-функцией на каждом £"п.
п=1
Подчеркнем, что индекс £ в обозначениях классов ЛСд и ACGs
не является параметром. Он не означает зависимость класса от
конкретного масштаба 5, а указывает лишь на то, что определения этих
классов базируются на понятии масштаба.
Заметим, что непосредственно из определений 6.1 и 8.4 следует,
что каждая абсолютно непрерывная функция на промежутке является
на нем АС&-функцией. Столь же легко проверить обратное
утверждение. Таким образом, эти определения приводят к разным понятиям
лишь в случае, когда они применяются к множествам, отличным от
промежутков прямой. Такие примеры мы вскоре рассмотрим.
Важный подкласс класса ACGs-функций на отрезке [а, 6]
образуют дифференцируемые функции, что вытекает из следующей
теоремы.
Теорема 8.6. Функция F: [а, Ь] —> R, дифференцируемая в точках
множества Е С [а, 6], является ACGs-функцией на Е.
Доказательство. Положим Еп = {х е Е : \F'{x)\ < n}. Тогда
оо
Е = (J Еп. Покажем, что функция F является ЛС^-функцией на
п=1
каждом Еп. Зафиксируем п. Для £ > 0 определим масштаб S на Еп

§2 КЛАСС ACG8
129
так, чтобы при х G Еп и \х — у\ < 5(х) выполнялось неравенство
\F(x)-F(y)\
< п.
х-у
Возмем отмеченное разбиение т[£п] = {(/,ж)}, согласованное с так
определенным масштабом S. Если j] |J| < ^, то очевидно
т[Еп)
£|AF(/)|<n£ |/|<*- □
т[Еп] т[Еп]
Из предыдущей теоремы следует, в частности, что функция из
примера 6.14 является ACG$-функцией на отрезке, не будучи в то же
время абсолютно непрерывной. Таким образом, класс ACGs на отрезке
является существенным обобщением класса абсолютно непрерывных
функций.
Непосредственно из определения следует
Теорема 8.7. ACGs-функция на Е непрерывна в каждой точке
хеЕ.
Теорема 8.8. Вариационная мера W, порожденная некоторой
функцией F: Ш —> Ж и конечная на лтожестве X С R,
абсолютно непрерывна на X тогда и только тогда, когда F является ACs-
функцией на X.
Доказательство. Докажем необходимость. Заметим, что если
/л(Х) = 0, то Vj?(X) = 0 и F является Л (^-функцией на X в
соответствии с определениями. Предположим теперь, что /л(Х) > 0, и
зафиксируем е > 0. Поскольку Vp(X) < +oo, существует масштаб
6: X —> (0,+оо), такой, что
Var«(F,X)<Vp.(A-) + |. (8.1)
Так как V^, будучи метрической внешней мерой, является сг-аддити-
вной мерой на а- алгебре 93 х борелевских подмножеств множества X,
рассматриваемого в качестве метрического пространства (см.
замечание 7.21), из теоремы 7.23 следует существование такого rjefo, 2~л
что
VF(Y)<6- (8.2)
для любого множества Y G 93х с мерой /i(Y) < rj. Пусть п\ =
= {{Mi,^i)}^=1 — любое 6-разбиение на X, удовлетворяющее условию
v , р ч
Y^ \Mi\<rj. Множество X П ( (J М{) является борелевским в X и
2 = 1 4=1 '
/i(Xn(|jM,)) ^^2\Мг\<г).
\ г=1 / г=1

130 Гл 8 ДЕСКРИПТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
С учетом (8.2),
(хп({)М<)\<1. (8.3)
име-
Рассмотрим множество Z = X\ f (J МЛ. Поскольку 77 E (0, ^-^),
ем /i(Z) > 0. Определим масштаб So : Z —» (0, +оо), обладающий
свойствами:
(г) Sq(x) ^ J (ж) для каждого xEZ;
(и) Б (ж, <5о(ж))П ( U МЛ =0 для каждого xeZ;
4=1 '
(in) Var^ (F, Z) < +oo (поскольку Vf(X) < +00).
В силу свойства (ггг), существует Jo-разбиение 7Г2 = {(^г5Уг)}9_1
на Z, такое, что
в
J2\&F(Li)\>VMs0(F,Z)--. (8.4)
г=1
V
По свойству (гг), ни один из отрезков Li не пересекается с [j Mi.
Поэтому 7Ti U 7Г2 является J-разбиением на X (см. свойство (г)). Учитывая,
что V'f является внешней мерой, и принимая во внимание (8.1), (8.3)
и (8.4), получаем
JT\&F(Mi)\ < VF{X) - X)|AF(L,-)| + I < Vf(X) - Var,0(F,Z) +
г=1 г=1
+ | < VF(X) - VF(Z) + I < VF (xn (JJ М4) J + I < e.
Это и значит, что F является ЛС^-функцией на X.
Для доказательства достаточности рассмотрим произвольное
множество Е С X нулевой меры. Тогда для каждого е > 0 можно
определить масштаб 5'е\ Е —> (0, +оо), число rj£ > 0 и открытое множество
Ge, покрывающее 2£, так, чтобы
l*(Ge)<rie (8.5)
и
f>F(Mi)|<e (8.6)
г=1
для каждого ^-разбиения 7Г = {(M;,£i)}^=1 на 2£, удовлетворяющего
неравенству ^2\Мц<г}£. Положим 6е(х) = mini <^(ж), р(ж,№\G£)) на Е.
г=1 ^ '

§2. КЛАСС ACG8
131
Тогда, в силу (8.5), любое ^-разбиение т={(Мг,£г)} на Е удовле-
s
творяет условию 2 |Мг| < rj£. Таким образом, (8.6) выполнено для т.
г=1
Значит, Var*e(F, Я) $Je, откуда следует, что Vp(E) = 0. П
Замечание 8.9. Заметим, что доказательство достаточности в
теореме 8.8 не использует условие конечности Vf на X. Поэтому из
принадлежности функции F классу АС$ на X всегда следует
абсолютная непрерывность вариационной меры Vf на X.
Теорема 8.10. Функция F: [а,Ь] —» R порождает абсолютно
непрерывную вариационную меру на [а, Ь] тогда и только тогда, когда
она является ACGs-функцией на [а, &]•
Доказательство. Пусть F порождает абсолютно непрерывную
оо
вариационную меру на [а, Ь]. Тогда, в силу теоремы 7.37, [a, b] = (J Хп
п=1
и Vf(^ti) < +оо. По теореме 8.8, F является ЛС^-функцией на Хп при
каждом п. Значит, F явлется ACGs-функцией на [а, Ь].
Обратно. Пусть F является ACG^-функцией на [а, 6]. Тогда, по
определению, существует последовательность {Хп} , такая, что
оо
[а, Ь] = (J Хп и F является ЛСд-функцией на каждом Хп. В соответ-
п=1
ствии с замечанием 8.9, получаем, что вариационная мера Vf
абсолютно непрерывна на каждом Хп, а значит, с учетом ее по л у аддитивности,
и на всем отрезке [а, Ь]. □
Доказанная теорема и теорема 8.2 устанавливают следующее
характеристическое свойство неопределенных интегралов Хенстока-
Курцвейля.
Теорема 8.11. Если F: [a,b] —> R дифференцируема почти всюду,
то она является ACGs-функцией по> [а,Ь] тогда и только тогда,
когда F' является Н-интегрируемой с неопределенным Н-интегралом,
равным F.
Этому утверждению можно придать следующую форму:
Теорема 8.12. Функция /: [а,Ь] —» R является Н-интегрируемой
на [а, Ь\ тогда и только тогда, когда существует такая почти всюду
дифференцируемая ACGs-функция F на [а, Ь], что F'{x) = f(x) почти
всюду на [а,Ь].
Как и в случае теоремы 8.3, априорное требование
дифференцируемое™ функции в теоремах 8.11 и 8.12 может быть опущено, в чем
мы убедимся в следующем параграфе.

132 Гл 8 ДЕСКРИПТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
§ 3. Класс VBG*
Напомним, что колебание функции F: Е —> R на множестве Е
определяется равенствами
osc(F,£) = sup \F(x) - F(y)\ = sup F(x) - inf F(x).
x,y£E x£E X^E
Определение 8.13. Скажем, что функция F: [a,b] -> R
является VВ'*-функцией на мпоэюестве Е С [а, Ь] (или принадлежит классу
VB* на Е), если существует такое число W > 0, что для произвольного
конечного семейства {U} _1 неперекрывающихся отрезков с концами
в Е выполняется неравенство
ТП
Y^osc(FJi)<W. (8.7)
г=1
Заметим, что принадлежность функции классу VB* на множестве
Е зависит не только от значений функции на Е, но определяется
поведением функции на целом отрезке с концами inf E и sup E, а в
случае Е = [а, 6] класс VB* совпадает с классом VB. Для замкнутых
множеств Е следующее условие является, очевидно, необходимым для
принадлежности функции классу VB*.
Утверждение 8.14. Если F: [а, Ь] —» R является VB^-функцией
на замкнутом мпоэюестве Е С [а, Ь], то ряд
со
^osc(F,cl/n),
п=1
образованный колебаниями функции F на замыканиях смежных к Е
в [а, Ь] интервалов 1П, является сходящимся.
Теорема 8.15. Непрерывная на [а, 6] функция F является VB*-
функцией на множестве Е С [а, Ь] тогда и только тогда, когда
существует такая постоянная М > 0, что
п
]Г|двд|<м (8.8)
3 = 1
для каждого семейства неперекрывающихся отрезков {Jj}J=l в [а,Ъ\
таких, что Jj П Е ф 0 при каждом j.
Доказательство. Необходимость. Пусть число W выбрано так,
что для любого конечного семейства {/$}•_-, неперекрывающихся
отрезков из [а, Ь] с концами в Е выполняется (8.7). Рассмотрим
семейство неперекрывающихся отрезков {Jy} .=1 = {[а3-, 0j]}™=1 в [а, &],
имеющих непустое пересечение с Е. Для каждого j = 1,2, ...,п найдем
Xj 6 Jj С) Е. При этом можем предполагать, что
ai < zi < /?i ^ а2 < х2 < 02 ^ ''' ^ осп < хп < 0п.

13 КЛАСС У ВС.
133
Справедливо неравенство
п п
£ |ДВД1 < |F(xO - F(aO| + Y1 \ПЪ) ~ F{°,)\+
3=1 3=1
n-l
n-l
^ |F(xi) - F(a!)| + |F(/Jn) - F(xn)| +2^]osc(F, [^-,xi+1]).
Пусть T = sup |F(x)|. Поскольку все хэ- принадлежат Е, из (8.7)
x£[a,b]
получаем
n
Е|АП^-)|<4Т + 2Ж
j=i
Тем самым (8.8) установлено с М = AT + 2ТУ.
Достаточность. Рассмотрим произвольное семейство {[#i,yi]}£Li
неперекрывающихся отрезков с концами в Е, таких, что а ^ х\ <
< 2/1 ^ Х'2 < 2/2 ^ ''' ^ #т < Ут ^ &• С учетом непрерывности F,
мы можем для каждого i = 1,2,.. . ,m выбрать точки а^,&г так, что
Я* < 0>i < h < yi И
\F(ai) - F(bi)\ > osc(F, [xuyi]) - ±. (8.9)
При каждом г = 2,..., т справедливо неравенство
\F(ai) - F(bi)\ ^ \F(ai) - F(Xi)\ + \F(bi) - F(Xi)\.
Суммируя это неравенство по г и принимая во внимание (8.9),
получаем
lib III
Eosc(F, [Xi,yi]) < J2 №) " F{bi)\ + 1 ^
г=1 г=1
га 7n
< ^2 №) ~ F(Xi)\ + J2 \F(bi) - F(Xi)\ + 1. (8.10)
г=1 г=1
Заметим, что каждое из семейств {[#г, ^г]}™^, {[яг»&г]}2£=2
образовано неперекрывающимися отрезками, имеющими непустое
пересечение с Е. Тогда из (8.8) и (8.10) следует оценка Ya=i osc(F, [x^yi]) <
2М+1. D
Теорема 8.16. Если F: [a, b]—>R является VB^-фунщией на
множестве Е С [a, fc], mo owa является VВ^-функцией также и на с\Е.

134 Гл. 8 ДЕСКРИПТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
Доказательство.Пусть c = infF, d = supE. Ясно, что с, declE.
Рассмотрим произвольные а±, а2,..., ап G clF, такие, что с = ао <
< а\ < • • • < ап < an+i = d. Обозначим 4 = [a*, dk+1], к = 0,1,..., п, и
Xi = {4 : 4 П Е ф 0}, Т2 = {4 : 1кПЕ = 0}.
Заметим, что /о, 4 £ 2"ь Если /д. е Х2 для некоторого А: = 1, 2,...,п,
то 4-1,4+1 е2"ь
Пусть 0 = го,г1,...,гг = n njo,ji,...,j3 будут возрастающими
наборами индексов отрезков соответственно из Х\ и!2. Для каждого
т — 0,1,..., г возьмем Ьт G /г-т П F и положим Jm = [bm_i, bm].
Заметим, что если m = 1,2,..., г — 1, то osc (F, 4m) ^ osc (F, Jm) +
osc (F, Jm+i). Поэтому
г г
53 osc(F, Iim) < osc(F, 70) + osc(F,/„) + 2 £ osc (F, Jm). (8.11)
Кроме того,
]Г osc (F, /i£) ^ ]T osc (F, Jm).
z=i
Отсюда и из (8.11)
n г
]Г osc (F, 4) ^ osc (F, /0) + osc (F, /n) + 3 ]T osc (F, Jm) ^
A;=0 m=l
r
^ 2 osc (F, [c, d]) + 3 ^2 osc (F, Jm).
m=l
Отрезки Jm не перекрываются, и их концы лежат в Е. Поэтому если
W взято из определения 8.13 для F на Е, то
п
5^osc(F,4)^5W. □
А;=0
Теорема 8.17. Если F: [а, 6] —> R является VВ*-функцией на
множестве Е С [а, fc], mo F дифференцируема почти всюду на Е.
Доказательство. В силу теоремы 8.16, можем предполагать, что
множество Е замкнуто. Пусть {1п}п — последовательность смежных
интервалов множества Е. Определим вспомогательные функции М и
т на [а,Ь], положив
м( \ \F^ прихеЕ, JF(x) прихбЯ,
М{х) = < т[х) = <
I supF(cl/n) при х G 4, I inf F(cl4) ПРИ х € 4-
Легко проверить, что Мит являются функциями ограниченной
вариации на [а, Ь]. Тогда, по теореме 6.13, обе эти функции
дифференцируемы почти всюду на [а,Ь], а поэтому и почти всюду на Е. Пусть

§3. КЛАСС VBG.
135
D С Е является тем подмножеством меры /jl(E), в каждой точке
которого обе функции Мит дифференцируемы. Множество Do,
образованное всеми точками х G D, которые являются изолированными в
D хотя бы с одной стороны, образуют не более, чем счетное
множество, и поэтому /i(D \ Do) = fJi(E). Заметим, что если х G Е и h ф 0?
то, в силу неравенства т{х + h) ^ F{x + К) ^ М(х + h) и равенства
т(х) = F(x) = М(ж), получаем
т(ж + К) - т(х) . F{x + К) - F{x) М{х + К) - М{х) оЧ
h ^ h ^ h (8Л2)
для h > 0 и
h ^ h ^ h (8ЛЗ)
для h < 0. Если х е D\Do, то конечные производные М'{х) и т'(х)
существуют и определяются значениями, которые эти функции
принимают на Е, где М = т = F. Поэтому, в силу (8.12), (8.13), получаем,
что производная функции F в этих точках существует, причем
F'{x) = М'{х) = тЦх). П
Определение 8.18. Скажем, что функция F: [а,Ь] —> R является
VBG*-функцией (или принадлежит классу VBG*) на множестве Е с
оо
[а, Ь], если Е можно представить в виде суммы |J En и F является
71=1
УБ*-функцией на каждом Еп.
С учетом теоремы 8.16, из теоремы Бэра 7.36 получаем следующее
утверждение.
Теорема 8.19. Если функция F является VBG ^-функцией на
замкнутом мноэюестве Е, то на каждом совершенном подмножестве
Р С Е найдется порция, на которой F является V В ^-функцией.
Из теоремы 8.17 следует
Теорема 8.20. Каждая V BG ^-функция на [а, Ь\ дифференцируема
почти всюду.
Теорема 8.21. Непрерывная на [а, Ь] функция F является VBG*-
функцией на мноэюестве X С [а, Ь\ тогда и только тогда, когда
порожденная ею вариационная мера а-конечна на X.
Доказательство. Необходимость вытекает непосредственно из
определений и из теоремы 8.15.
Докажем достаточность. Множество X представимо в виде
счетного объединения множеств, на каждом из которых мера Vf конечна.
Зафиксируем одно из множеств Е, для которого Vjr(E) < -boo. Тогда
существует масштаб 5: Е —> (0, +оо), такой, что
Vnr6(F,E)<+oo. (8.14)

136 Гл 8 ДЕСКРИПТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
Рассмотрим множество
Еп = {хеЕ:6{х)> 1}. (8.15)
Пусть {Ks}s — последовательность смежных интервалов множества
с\Еп. Найдем sn, такое, что \К8\ < ^ при s > sn. Обозначим
Cn = J2osc(F,c\Ks). (8.16)
s=l
В силу (8.15), для каждого семейства неперекрывающихся отрезков
ij, таких, что Ij П с\Еп ф 0 и \Ij\ < ^ при каждом j, выполнено
неравенство
Y^\AF(Ij)\^Ym(F,E). (8.17)
3
Рассмотрим теперь произвольное семейство неперекрывающихся
отрезков J^ таких, что Ji П cl Еп ф 0 и заметим, что каждый отрезок J^
может быть представлен в виде суммы неперекрывающихся отрезков
Ji = (\Jli,k)u(\jKi<e),
к 8=1
где Iitk C\c\En ф 0 и |7ijfc| < ^, а К^3 С clXs (причем некоторые К^3
могут быть пустыми). Ясно, что |AF(i^ijS)| ^ osc(F, c\Ks).
Применяя теперь к семейству {/;,&};,*; неравенство (8.17) и учитывая (8.16),
получаем в результате:
г г к is
(мы учли, что каждому cl Ks может принадлежать не более двух
различных АТг,я)- Отсюда, в силу теоремы 8.15 и произвольности
семейства {</г}г, следует, что функция F является Vi^-функцией на
множестве Еп, а тем самым, VBG ^-функцией на Е и, значит, на X. □
Непосредственным следствием двух последних теорем является
Теорема 8.22. Каждая функция, порождающая а-конечную
вариационную меру на [а, Ь], дифференцируема почти всюду на [а, 6].
Отсюда и из теорем 7.37 и 8.10 получаем в качестве следствий еще
два утверждения:
Теорема 8.23. Каждая функция, порождающая абсолютно
непрерывную вариационную меру на [а,Ь], дифференцируема почти
всюду на [а,Ь].
Теорема 8.24. Каждая ACGs-функция на [а,Ь] дифференцируема
почти всюду на [а, 6].

§4. КЛАСС ACG*. СВОЙСТВО N УЗКИЙ ИНТЕГРАЛ ДАНЖУА 137
Теперь с учетом этих двух утверждений мы можем в
формулировках теорем 8.2, 8.3, 8.11 и 8.12 опустить априорное требование
дифференцируемости почти всюду функции F. Тем самым, мы
получаем полное описание класса неопределенных интегралов Хенстока-
Курцвейля:
Теорема 8.25. Класс неопределенных интегралов Хенстока-Кур-
цвейля на отрезке [а, Ь] совпадает с классом функций, пороэюдающих
абсолютно непрерывную вариационную меру на [а, Ь] и, тем самым,
с классом ACGs -функций на [а, Ь].
Таким образом, мы получаем два следующих утверждения, каждое
из которых можно принять в качестве дескриптивного определения
интеграла Хенстока-Курцвейля:
Теорема 8.26. Функция /: [а, Ь] —> R является 7i-интегрируемой
тогда и только тогда, когда существует такая функция F,
порождающая абсолютно непрерывную вариационную меру на [а, &], что
F'{x) = f(x) почти всюду на [а,Ь]. При этом по определению
(H)tif = F(b)-F(a).
Теорема 8.27. Функция /: [а, Ь] —> R является 7i-интегрируемой
тогда и только тогда, когда существует такая ACG1&-функция F на
[а,Ь], что F'{x) = f(x) почти всюду на [а, Ь]. При этом, по определе-
HUK>{H)SbJ = F{b)-F{a).
§4. Класс ACG*. Свойство J\f Лузина. Узкий интеграл
Данжуа
Определение 8.28. Скажем, что функция F: [а, Ь] —» R является
АС*-функцией (или принадлежит классу АС*) на множестве Е С [а, Ь],
если
(a) F ограничена на некотором отрезке, содержащем Е,
(0) для любого е > 0 существует такое rj > 0, что для каждого
конечного или счетного семейства {h}i неперекрывающихся
отрезков с концами в Ей таких, что ^\h\ < rj, выполняется
неравенство
]Posc(F,J») <e.
Заметим, что в случае Е = [а, Ь\ класс АС* совпадает с классом
АС.
Определение 8.29. Скажем, что функция F: [а,Ь] —> R является
ACG*-функцией (или принадлежит классу ACG*) на множестве Е С
[а, Ь], если
• F непрерывна по множеству Е,

138 Гл. 8 ДЕСКРИПТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
оо
• множество Е можно представить в виде суммы Е = (J Еп,
71=1
и F является АС*-функцией на каждом Еп.
Теорема 8.30. Каэюдая АС*-функция (AC G*-функция) на Е с
С [а, Ь] является VB^-функцией (VBG*-функцией) на Е.
Доказательство. Пусть F является АС*-функцией и Г =
sup |F(x)|. В соответствии с определением 8.28 (0) найдем rj для е = 1.
х£[а,Ь]
Пусть к =Ш (здесь [•] обозначает целую часть числа). Отметим на
[а, Ь] точки Cj = а + (6 — a)j/(k + 1), j = 0,1,..., к + 1, и рассмотрим
произвольное семейство {I^b неперекрывающихся отрезков с
концами в Е. Среди Li не более к отрезков содержат точки Cj,j = 1,2,..., /b,
в качестве своих внутренних точек, и сумма колебаний функции F на
них не превосходит 2Тк. Каждый из остальных отрезков LL целиком
содержится в одном из отрезков [cj,Cj+i],J = 0,1,...,/b. Для таких
отрезков, с учетом выбора 77, справедлива оценка
j=0^i:LiC[cj,cj^i] '
В результате, сумма колебаний по всем отрезкам семейства {L$b не
превосходит 2Тк + к + 1. □
Замечание 8.31. Для справедливости последней теоремы
существенным является условие (а) в определении 8.28. Действительно,
рассмотрим функцию, определенную на отрезке [0,1] равенством
F(x) = - при х е (0,1] и F(0) = 0. Функция F на множестве Е =
{0,1} удовлетворяет условию (/?) из определения 8.28, однако не
является VB*-функцией на Е, поскольку неограничена на [0,1], то есть
osc(F, [0,1]) = 00.
Следствием теорем 8.20 и 8.30 является
Теорема 8.32. Каэюдая ACG^-функция на [а, Ь] дифференцируема
почти всюду на [а,Ь].
Теорема 8.33. Если непрерывная на [а,Ь] функция F
является АС*-функцией на множестве Е С [а,Ь], то она является АС*-
функцией также и на с\Е.
Доказательство. Достаточно заметить, что если F непрерывна
в точках с, d e [а,Ь], и для системы отрезков [cn,dn] с концами,
стремящимися к с и с/, выполняется неравенство osc(F, [cn, dn])< e, то
osc(F, [c,d\) ^e. □
Замечание 8.34. В отличие от аналогичного утверждения для
VB*-функций (см. теорему 8.16), предположение непрерывности F в
теореме 8.33 не может быть опущено. Действительно, функция F =

§4. КЛАСС ACG*. СВОЙСТВО ЛЛ УЗКИЙ ИНТЕГРАЛ ДАНЖУА 139
Х{о} является АС*-функцией на (0,1], но не является АС*-функцией
на [0,1], будучи разрывной в 0.
Теорема 8.35. Непрерывная на [а,Ь] функция F является АС*-
функцией на множестве Ее [а, Ь] тогда и только тогда, когда для
любого е > 0 найдется такое rj > 0, что для каэюдого семейства
{Ji}£ii неперекрывающихся отрезков, содержащихся в [а,Ь], содер-
эюащих точки из Е и таких, что YlTLi \Ji\ < V выполняется
неравенство
т
£>*Vi)|<e. (8-18)
г=1
Доказательство. Достаточность. Пусть {[#г,Уг]}^1 ~~
семейство неперекрывающихся отрезков, концы которых принадлежат Е и
сумма длин которых меньше rj. С учетом непрерывности F, мы можем
для каждого г = 1, 2,..., т выбрать точки аг, bL так, что xi < ai < hi <
Уг И
|F(aO-F(bOI>osc(F,[xi,yi])-J
В силу (8.18),
га т
]Tosc(F, [хиУг]) < Y^ №) ~ F(bi)\+e^
г=1 г=1
га m
< Y, №) - F(xi)\ + Yl \F(bi) - F(xi)\ + e<3e.
г=1 г=1
Необходимость. В соответствии с теоремой 8.33, можем
предположить, что множество Е замкнуто. Для е > 0 подберем С > 0 так,
чтобы неравенство
га
^osc(F,/i) <£ (8.19)
г=1
выполнялось для любого семейства {Ii}^Li неперекрывающихся отрез-
га
ков, концы которых принадлежат Е, и для которых ^ |Л| < С- Пусть
*=1
{(ar, br)}^Zl — последовательность смежных интервалов множества Е
(можно считать, что эта последовательность бесконечна). Из
утверждения 8.14 и теоремы 8.30 следует, что найдется такое натуральное
N, что
оо
Y osc(F, [аг,Ъг]) < е. (8.20)
r=N+l
Пусть с = inf E, d = snpE. В силу непрерывности F, найдем число
С' > 0, такое, что
osc(F,(c-C',c+C')n[M]) <e, osc(F,(d-C',d+C')n[a,b]) <e (8.21)

140 Гл 8 ДЕСКРИПТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
и для г = 1, 2,..., N
osc(F, (ar - С', От + СО П [а, Ь\) < |г,
\ (8.22)
osc(F,(&r-C/,&r + COn[a,&])<-.
Положим ?7 = min{C, С'}- Рассмотрим семейство {«77-}"=1
содержащихся в [а, 6] неперекрывающихся отрезков, которые содержат точки из
п
Е и для которых ^2 \Jj\ <rl- Пусть Jj = [aj,/3j]. Введем обозначения
для следующих подмножеств индексов семейства {Jj}™=l.
Ji = {j : J,- £ [c,d]}, J2 = {j : a,, ft G £},
Jz = {j iJiUJ-i' are Jj или br eJj, r = 1, 2,..., TV},
Л = Ъ' £JiUj3: olj G E,0j i E},
Jb = {j tJiUJs'. olj i E,0j G E],
J6 = {j£JiVJ3'. olj,0j £E}.
С учетом этого обозначения
±\арш\ = (е+Е+Е+Е+Е+е) №Ш\ =
3=1 \ J\ Jt. J3 Ja Jb Jg /
= Si + S2 + S3 + 54 + Sb + 56.
Из (8.21) следует 5i < 2e, из (8.19) получаем оценку 52 < e, а из (8.22)
N
— оценку 5з < 2 2 ^ < 2е. Если j G Ji, то найдется г > N, такое,
г=1
что /3j G (ar,br). Тогда
\bF(Jj)\ < |F(&) - F(oP)| + \F(ar) - F(aj)\.
В силу (8.19) и (8.20), получаем 54 < 2e. Аналогично проверим, что
5б < 2е. Для каждого j G Je найдется z G Jj П Е. Далее делим Jj
точкой z на два подотрезка и с отрезками вида [atj, z] поступаем так,
как в случае J±, а с отрезками вида [z, /ЭД — как в случае J$. Отсюда
5б < 4е. Суммируя полученные оценки, приходим к неравенству
^|AF(J,-)|<13e. □
i=i
Замечание 8.36. В теоремах 8.33 и 8.35 достаточно предполагать
непрерывность функции F только в точках cl E.

§4. КЛАСС ACG* СВОЙСТВО N УЗКИЙ ИНТЕГРАЛ ДАНЖУА 141
Теорема 8.37. Пусть производная функции F: [а, Ь\ —» Ш в
каэюдой точке х некоторого мноэюества Е С (а, Ь) удовлетворяет
неравенству \F'{x)\ ^ М, где М — некоторая положительная
константа. Тогда
/i*(F(B))<M/i*(S).
Доказательство. Зафиксируем произвольное £>0и для
каждого натурального п обозначим через Еп множество точек х е Е, для
которых
F(t)~F{x) ^ (M + e){t-x)
при t, таких, что 0 <t — ж ^ ^, и
F{x) ~ F{t) > ~{М + е){х - I)
при £, таких, что 0 < х — t ^ -. Последовательность {Еп}^=1 возраста-
оо
ет и (J Еп = Е. В соответствии с определением внешней меры Лебега
71=1
(см. определение 2.37), для каждого фиксированного п найдется
последовательность интервалов {ц }™=v таких, что
О 4П) э Еп,
к=\
• Z\lin)\^»*(En)+e,
к=1
г(п)|
В силу определения множеств Еп, для произвольных x*i, x2 Е ЕпПц
• \1^ \ ^ ^ для всех А;.
/ определения множе
выполняется неравенство
\F(x2) - F(xi)\ ^ (М + е)\х2 - xi\ ^ (M + e)\lln)\
(к = 1,2,3,...), откуда
/i* [F (En П 4n))) ^ osc (V, Еп П 4п)) ^ (М + б)|4п) |.
В итоге,
оо
оо
^ (М + е) £|7'п)| ^ (М + £)(//(£„) +е).
А;=1
Используя непрерывность снизу меры /i* (см. теорему 7.17), можем
перейти в последнем неравенстве к пределу при п —» оо, а затем при
е —> 0. В результате, получаем доказываемое неравенство. □
Теорема 8.38. Пусть измеримая функция F: [а, Ь] —» R
дифференцируема в каэюдой точке измеримого мноэюества D С [а, 6]. Тогда
/i'(F(D))<0C)/D|F'|d,i.

142 Гл. 8 ДЕСКРИПТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
Доказательство. Зафиксируем произвольное е > 0. Повторяя
рассуждения при доказательстве следствия 5.8, можно проверить
измеримость F' на D. Обозначим через Dn множество точек х е D, в
которых (п — 1)е ^ l^'O^OI < Tie (п = 1,2,3,...). Тогда, в силу теоремы
8.37,
сю сю
/ЛВД) < $>*(F(A0) < £ «_■/*(_>-) =
71=1 П=1
ОС СЮ
= £(п - 1)е ■ мФ«) + е 5Z МАО-
Предпоследняя сумма является интегралом Лебега по D функции,
определяемой равенством f(x) = (гь ~ 1)е при х е Dn. В результате,
получаем /j*(F(D)) ^ (£) J*D |F'|<i/i-+ £•//(__)), откуда в силу
произвольности е следует доказываемое неравенство. □
Определение 8.39. Скажем, что функция F: [а,Ь] —» R
обладает N-свойством Лузина на множестве _5? С [а,&], если для каждого
множества D С Е меры нуль выполняется /j,(F(D)) = 0.
Теорема 8.40. _£сли функция F: [а,Ь] —» R является АС*-функ-
цией на мноэюестве Е с [a,fc], mo owa обладает на Е N-свойством
Лузина.
Доказательство. Пусть D с Е к /_.(_9) = 0. Для
произвольного е > 0 найдется число ?7 > 0, в соответствии с определением
АС*-функции на множестве Е. Существует такое открытое множество
О D D, что 1л{0) < rj (см. определение 2.42). Пусть {1п}71 —
последовательность интервалов, являющихся связными компонентами
множества О. Для каждого п обозначим
ап = inf (In П _9), bn = sup (7n П D)
(можем предполагать, что 1п П __) Ф 0). Возьмем произвольную
точку dn G 1пП D. Если an (£ D, то определим убывающую
последовательность a0?n = dn,atlin,a2ln, • • • точек из _9, сходящуюся к ап.
Если &п ^ D, то определим возрастающую последовательность /?0>п =
dn, Pi,n, P2,n> • • • точек из _9, сходящуюся к &п. Тогда
сю
(i*(F{[an,dn]nD)) < J]/i*(F([a,>)а^_1,п] П1>)) <
СЮ
^ y^osc(F, [aj.TpQj-i.n])»
(8.23)

§4 КЛАСС ACG* СВОЙСТВО АЛ УЗКИЙ ИНТЕГРАЛ ДАНЖУА 143
оо
ti*(F([dn,bn]nD)) ^ ^/i*(F([ft_i,n,ft)n]nD)) ^
t1 (8-24)
^ ^0SC(F, [/3j-l,n,/?j,n])-
Если an е £> или Ьп G D, то достаточно воспользоваться,
соответственно, неравенствами
H*{F([an,dn]nD)) ^osc(F,[an,dn]), (8.25)
V*{F{[dn,bn}nD)) ^ osc(F,[dn,bn}). (8.26)
Вспомним, что rj выбрано так, что для любой последовательности
оо
{Ji}iZi отрезков, концы которых лежат в Е, из неравенства ^2 \Ji\ < 77
г=1
оо
следует неравенство J2 osc(F, J*) ^ е. Поэтому из оценок (8.23)-(8.26)
г=1
оо
и из того факта, что ^ \Ьп — ап\ < rj, получаем неравенство
71=1
ОС
(J.*(F(D)) ^(/i'(F([an,rf„]n5))+/i*(F(K,6n]nD))) < е.
71=1
Поскольку е было выбрано произвольно, из последнего неравенства
следует равенство /i*(F(D)) = 0, доказывающее теорему. □
Теорема 8.41. Непрерывная на [а, 6] функция F, являющаяся
V В*-функцией на замкнутом множестве Е С [а, Ь] и обладающая
на Е N-свойством Лузина, является АС*-функцией на Е.
Доказательство. Можем считать, что а = mini? и Ь = тах£.
Пусть G — функция, совпадающая с F на множестве Е и линейная на
замыканиях {[ck,dk]}<^=l смежных интервалов множества Е. Функция
G непрерывна и обладает Л/"-свойством Лузина. Поскольку F является
VB*-функцией на Е, G является VB*-функцией, а значит,
принадлежит классу VB на отрезке [a, b]. Пусть I — произвольный под отрезок
отрезка [a, b], a D — множество всех точек дифференцируемости G на
I. Тогда /х(/ \ D) = 0 (см. теорему 6.13), откуда fi(G(I \ D)) = 0. В
соответствии с теоремой 8.38,
|ДС(/)| ^ \G(I)\ ^ »(G(D)) + /x(G(/ \ £>)) =
= »(G(D))^(£)J\G'\d». (8-27)
Существующая почти всюду производная Gf интегрируема по Лебегу
(теоремы 6.17 и 6.26), и неопределенный интеграл функции \G'\
является абсолютно непрерывной функцией на [а, Ь\ (теорема 6.7). Из
неравенства (8.27) следует, что G также абсолютно непрерывна на
[а,Ь]. Для произвольного е > 0 найдем число £' > 0, такое, что для

144 Гл. 8 ДЕСКРИПТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
неперекрывающихся отрезков Д, /г, • • •, im с концами в Е и таких, что
га
^2 \Ii\ < £', выполняется неравенство
г=1
m m
^|ДГ№)| = ^|ДС(^)|<£. (8.28)
г=1 г=1
В силу утверждения 8.14, ряд
оо
^osc(F,[cfc,cfe]),
образованный колебаниями функции F на замыканиях смежных
интервалов множества Е, является сходящимся, поэтому найдется такое
п, что
ОО
Y, osc(F,[ck,dk})<£. (8.29)
Пусть 0 < С < min {С'> Mi — ci|>1^2 — сг|, • • •, |dn — cn|}. Рассмотрим
семейство {/г}^1 неперекрывающихся отрезков с концами в Е, сумма
длин которых меньше £. Для каждого г = 1,2, ...,т выберем
точки Жг,уг £ U, такие, что osc(F,Ii) = F(yi) — F(xi). Рассмотрим пять
возможных случаев:
(1) Xi,Vi € Е,
(2) х{еЕ,Уг£Е,
(3) XitE,yieE,
(4) Xi, Уг ^ Е, (Ж,, У;) П £7 = 0,
(5) Жг,Уг g#, (Жг,Уг)П£/0.
Оценим в каждом из этих случаев соответствующие суммы колебаний
osc(F,/i). В первом случае оценка известна. Во втором случае, в силу
определения С, имеем уг- Е (ck,dk) для некоторого к > п и
osc(F, Л) = F(y<) - F(xi) = (F(yi) - F(ck)) + (F(ck) - Ffc))- (8.30)
Аналогично в третьем случае Xi G (ck, dk) для некоторого к > п и
osc(F, /0 = F(y<) - Ffo) = (F(yi) - F(dk)) + (F(dk) - Ffa)). (8.31)
В четвертом случае (жг,Уг) С (ck,dk) для некоторого к > п. В пятом
случае найдутся разные натуральные к,1 > п, такие, что Xi e {ck,dk)
и Уг € (c/,d/). Тогда
osc(F, /<) = F(y0 - F(Xi) ^ (8.32)
^ (F(yz) - F(Cl)) + |F(c,) - F(dk)\ + (F(dfc) - F(x0).
m
Представив J2 osc(F, 7$) в виде суммы пяти сумм

§5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ
145
соответствующих пяти рассмотренным выше случаям и учитывая
(8.30), (8.31) и (8.32), получим оценки:
• в силу (8.28) Si < e,
• в силу (8.28) и (8.29) 52 < 2е и S3 < 2s,
• в силу (8.29) 54 < е,
• в силу (8.28) и (8.29) 55 < 2е.
т
В результате, ^ osc(F, 7$) < 8е, откуда следует, что F является АС*-
г=1
функцией на Е. □
Теорема 8.42. JEc/ш непрерывная VBG'„-функция F: [а,Ь] —> R
иа замкнутом множестве Е с [а, 6] обладает на Е N-свойством
Лузина, то она является AC G*-функцией на Е.
оо
Доказательство. Пусть Е = \J Еп и F является VB^-фуяк-
п=1
цией на каждом Еп. В силу теоремы 8.16, F является Т/#*-функцией
на с\Еп. Из замкнутости Е вытекает, что с\ЕпсЕ и F обладает М-
свойством Лузина на с\Еп. Тогда, по теореме 8.41, F является АС*-
оо
функцией на с\Еп и, значит, ACG* -функцией на \J с\Еп = Е. П
п=1
Определение 8.43. Функция /: [а, Ь] —> R называется
интегрируемой по Данжуа в узком смысле (V*-интегрируемой), если
существует такая А<7<7*-функция F на [а, 6], что F'(:r) = f(x) для почти
всех ж G [а,Ь]. При этом значение V „-интеграла функции / на [а, Ь]
определяется равенством (V*) f f = F(b) — F(a).
§ 5. Эквивалентность узкого интеграла Данжуа интегралу
Хенстока-Курцвейля
Для сравнения узкого интеграла Данжуа и интеграла Хенстока-
Курцвейля достаточно сравнить классы ACG*- и ACGs-фупкщт.
Теорема 8.44. Каждая ACG' „-функция F на [а,Ь\ является
таксисе ACG5-функцией на [а,Ь].
Доказательство. Достаточно проверить, что каждая Л
С*-функция на множестве Е С [а, Ь] является также и АС^-функцией на Е. В
силу теоремы 8.35, если F является АС*-функцией на Е. то для
любого е > 0 найдется rj > 0, такое, что для каждого семейства {Ji}%Li
неперекрывающихся отрезков, содержащихся в [а, 6], содержащих точ-
т
ки из Е и таких, что ^2 \Ji\ < rj, выполняется неравество
г=1
т
J2\&F(Ji)\<e. (8.33)

146 Гл 8. ДЕСКРИПТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
Поскольку это верно, в частности, и для S-разбиений, получаем, что
F является АС^-функцией на Е. □
Теорема 8.45. Каждая ACGs-фупкция F на [а, Ь], является
также AC*G*-функцией на [а,Ь].
Доказательство. Пусть [а, Ь] = \JB3; и F является АС^-функ-
з
цией на каждом Bj. В силу теоремы 8.42, с учетом непрерывности F
(см. теорему 8.7), достаточно проверить, что F обладает Л/"-свойством
Лузина на каждом Bj и является VBG*-функцией.
Зафиксируем j и примем Е — Bj. Функция F ограничена на [а,Ь]
и является АС^-функцией на Е. Поэтому существуют число М > О и
масштаб S на Е, такие, что
J2 |A*W| <M (8.34)
1£т[Е]
для всех J-разбиений т[Е]. Для натурального п и целого г определим
Еп< = {х€Е:6(х)2±М±,*±].
Очевидно, (J (J ЕПу1 — Е. Возьмем произвольный конечный набор
i<EZn<EN
{[cfc>dfc]}fc неперекрывающихся отрезков с концами в Еп^. Поскольку
F непрерывна, для каждого к существуют такие sk,tk € G [с*:, dk], что
F(tk)= sup F(x), F{sk)= inf F(x).
a:€[cfc,dfc] x£[ck,dk]
Поскольку ск е En,i, S(ck)^ £, то есть пары ([cfc, sfc], cfc) и ([cfc,£fc],cfc)
являются элементами J-разбиения в Еп^. Очевидно,
(Cfc,5fc)n(c/,5/) = (Ck,tk)n(ci,tl) = 0,
если к ф I. Отсюда и из (8.34)
Y, osc (f, [CJfe, dj) ^ y, iw - F^)\+E iF(^) - F(c*)i <2М-
fc fc fc
Следовательно, функция F является VB*-функцией на Еп^, а значит
и VBG*-функцией на £.
Пусть теперь D является произвольным подмножеством меры нуль
множества Е. Зафиксируем е > 0. Существует масштаб S на Е и число
С > 0, такие, что
£ |AF(/)|<! (8.35)
l€ir[E]
для каждого J-разбиения 7Г в 2£, для которых J^ |/| < £. Пусть
1.(1,х)£тт[Е]
G — такое открытое множество, что D С G и //(G) < (. Определим

§5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ
147
новый масштаб Si на Е:
\5(х), если х G E \ D,
1 min{5(x),p(x, [a,b] \G)}, если х е Е.
Допустим, что F не принимает постоянное значение ни на каком
отрезке [с, d], для которого D П (с, d) ф 0. Пусть
J= [J {F([u,v]) : ж - 5i(x) < u < ж < v < x + 5i(x)}.
Поскольку F непрерывна, F([u,v}) представляют собой
невырожденные отрезки, содержащие F(x), если и < х < v, причем для каждого
х G D среди этих отрезков найдутся отрезки сколь угодно малой
длины. Значит, семейство X покрывает множество F(D) в смысле Витали.
Тогда, в силу теоремы Витали 2.54, найдутся неперекрывающиеся
отрезки {[iAz>^z]}£Li такие, что
N
»=i 6
Для каждого г выберем xi е D так, чтобы xi — 5\(xi) < щ < Xi <
< Vi < Xi -f Si(xi), а также т^ Mi е [щ,У{] так, чтобы /и(Е([щ,Уг})) —
- F{Mi) - F(rrn).
Пусть Ji — отрезок с концами ^ит^а^- отрезок с концами Xi
и Mi (г = 1,2,..., iV). Разбиения {(Ji,Xi)}iLx, {(Ki,Xi)}^=1 являются
Si -разбиениями на D, и, значит, сумма длин отрезков в каждом из
них не превосходит £. Отсюда, из неравенства #i(£) < 5(g) и из (8.35)
получаем
/ЛВДК1>№ь *<])) + §<
AT N
г=1 г=1
Поскольку е > 0 было выбрано произвольно, /j,*(F(D)) = 0.
Осталось рассмотреть случай, когда F постоянна на некоторых
отрезках [с, d], среди внутренних точек которых имеются точки из D.
Пусть {1п}??=1. ~ последовательность всех таких открытых
интервалов из (а,Ь) с рациональными концами, для которых D П 1п ф 0 и F
постоянна на cl Jn. Обозначим
ОО
А = ,D \ (J 7„
п=1
и примем во внимание, что F не является постоянной на [c,d] если
£>in(c,d)^0.

148 Гл. 8. ДЕСКРИПТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
Проведенные выше рассуждения позволяют утверждать, что
fjb*(F(Dx)) = 0. Поскольку fi*(F(D П 1п)) = 0 для каждого n (F
постоянна на 1П), с учетом равенства D — \JncL1(D ^ In) U -Di, получаем
jj,*(F(D)) = 0. Значит, F обладает ./^-свойством Лузина на £. D
Из теорем 8.27, 8.44 и 8.45 получаем еще одну дескриптивную
характеристику интеграла Хенстока-Курцвейля.
Теорема 8.46. Функция/: [а,Ь] —> R являетсяН-интегрируемой
на [а,Ь] тогда и только тогда, когда существует такая
ACG^-функция F на [а,Ь], что F'{x) — f(x) почти всюду па [а,Ь]. В этом случае
(Н) f* f = F(b) - F(a).
Отсюда следует также эквивалентность узкого интеграла Данжуа
интегралу Хенстока-Курцвейля:
Теорема 8.47. Н-интеграл эквивалентен V^-интегралу, то есть
каждая И -интегрируемая функция f: [а, Ь] —» R является такэюе Х>*-
иптегрируемой и каждая V*-интегрируемая функция f является И,-
иптегрируемой. При этом (V*) J f = (H) J f.
Отметим, что теорема 8.47 попутно обосновывает однозначность
определения Р*-интеграла, то есть независимость значения интеграла
(D*) Ja f от выбора первообразной F.

Глава 9
Интеграл Перрона
В этой главе мы рассмотрим еще один способ определения
интеграла, восходящий к Перрону и базирующийся на приближении
неопределенного интеграла сверху и снизу с помощью соответственно
мажорантных и минорантных функций. Мы покажем, что определяемый
таким способом интеграл Перрона эквивалентен интегралу Хенстока-
Курцвейля.
Начнем с определения верхней и нижней производных.
Определение 9.1. Верхнюю и нижнюю производные функции /
в точке ж, заданной в некоторой окрестности этой точки, определим
соответственно равенствами
Д/М.Е/<'+ »»-'<->,
п—>0 П
Позднее нам понадобятся также понятия производных чисел Дини:
п+ ,, ч р— f(x + h) - f(x)
D J\X)= lim j верхнее правое производное число,
/i-*+o h
п *( \ v f(x±h)-f{x)
D+j(x)= hm нижнее правое производное число,
/i-*+o h
~_-, ч тт— f(x + h) - fix)
D }(х)— lim - верхнее левое производное число,
/i-+ —О h
гл £f \ i- f(x + h) — f(x) _
U^j{x)— hm нижнее левое производное число.
Докажем вспомогательное утверждение, дающее признак
монотонности функции.
Лемма 9.2. Если для функции г: [а,6] —> R в каждой точке х е
[а, Ь] выполнено неравенство
Dr{x) ^ 0, (9.1)
то г не убывает на [а, Ь].

150
Гл 9 ИНТЕГРАЛ ПЕРРОНА
Доказательство. Зафиксируем произвольное е > 0 и определим
вспомогательную функцию д{х) = r{x) + ex (х G [а,Ь]). Легко
проверить, что Qg{x) = Dr(x) + е. В соответствии с (9.1),
Dg(x) > 0 всюду на [а, Ь]. (9.2)
Покажем, что # не убывает. Допустим противное. Тогда найдутся
такие точки а\,Ъ\ G [а,&], что а\ < Ь\ и <?(ai) > <?(&i). Пусть ci =
= (ai + Ь\)/2. Ясно, что по крайней мере одна из разностей д{с\) —
—д{а\) и д{Ь\) — д{с\) должна быть отрицательной. Обозначим через
[аг, Ь'2] тот из отрезков [ai, С\] и [ci, 61], для которого р(аг) > <?(&2)- Если
этому условию удовлетворяют оба отрезка, то в качестве [а2,Ь2]
возьмем любой из них. Далее разделим отрезок [аг, &г] на Две половинки и
возьмем одну из половинок [аз, &з] С [аг, &2]> для которой <?(аз) > <?(&з)-
Продолжая этот процесс по индукции, построим последовательность
вложенных отрезков {[fln5^n]}^i5 для которых д(ап) > д(Ьп). Пусть
оо
{^о} = Р| [ап,Ъп].
Тогда при каждом фиксированном п по крайней мере одна из
разностей
9(Ьп) ~ 9(х0), д(х0) - д(ап)
отрицательна. Полагая
, 1 К - хо, если д(Ьп) - д(х0) < 0,
[оп - хо, если д(Ъп) - д{х0) ^ 0,
получим, что отношение
д(х0 + hn) - д(х0)
К
отрицательно при каждом п. В силу этого Dg(xo) ^ 0, что
противоречит неравенству (9.2). Тем самым, мы доказали, что д не убывает на
[a, b]. Переходя теперь к пределу при е—»0, получаем, что
неубывающей является также и функция г. □
Условие (9.1), очевидно, является также и необходимым для
неубывания функции г.
Перейдем к определению интеграла Перрона.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.3. Пусть задана функция /: [а, Ь] —> R. Функции
М,т, заданные также на отрезке [a, b], называются соответственно
мажорантой и минорантой функции /, если
М(а) = т(а) = 0 (9.3)
и
D_M(x) > /(ж), Dm(x) < f{x) при каждом х е [а,Ь], (9.4)
(в точках а и b рассматриваются производные изнутри отрезка).

Гл. 9 ИНТЕГРАЛ ПЕРРОНА
151
Лемма 9.4. Если М,т: [а, Ь] —» R являются соответственно
мажорантой и минорантой некоторой функции f, то разность г =
М — т не убывает на [а, Ь].
Доказательство. Нетрудно проверить, что при каждом х е [а, Ь]
Dr{x) > DM(x) - ~Dm{x).
Поэтому в силу (9.4) и конечности f(x) получаем Dr{x) ^ 0, откуда
на основании леммы 9.2 следует неубывание функции г. □
Пусть J+ = inf M(b), где нижняя грань берется по всем мажоран-
м
там М рассматриваемой функции /: [а, Ь] —» R, и пусть /_ = sup m(b),
т
где верхняя грань берется по всем минорантам т функции /. Из
леммы 9.4 и (9.3) следует, что I+ ^ 1~.
Определение 9.5. Функция /: [а,Ъ\ —» Ш назывется
интегрируемой по Перрону (Р-интегрируемой), если для нее существует по
крайней мере одна мажоранта и одна миноранта, причем /+ = /~. Общее
значение /+ и /~ называется интегралом Перрона функции / на [а, Ь]
и обозначается (V) Ja fdx.
Заметим, что непосредственно из определения вытекает
следующее утверждение.
Утверждение 9.6. Если функция F: [а,Ь]—>Ж дифференцируема
в каждой точке х е [а, 6] и F' = /, то f является V-интегрируемой
на [а,Ь] и при этом
(Р) f fdx = F(b) - F(a).
Ja
Доказательство. Достаточно заметить, что функция F(x)—F(a)
выступает одновременно в качестве мажоранты и миноранты функции
/ на [а, Ь]. □
Также непосредственно из определения вытекает
справедливость следующего критерия ^-интегрируемости.
Утверждение 9.7. Для того чтобы функция /: [а, Ь] —» R
была V-интегрируемой на [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы для
любого е > 0 нашлась такая маэюоранта М и такая миноранта т
функции f', для которых М{Ь) — т{Ь) < е.
Легко проверяется, что класс функций, интегрируемых по
Перрону на отрезке [а, Ь], образует линейное пространство.
Свойство 9.8. Если функции fug являются V -интегрируемыми
на отрезке [а,Ь], то для любых чисел а и /3 функция af + (3g также

152
Гл. 9. ИНТЕГРАЛ ПЕРРОНА
V-интегрируема, причем
пЬ пЬ пЬ
\ Ы + 09)dx = a fdx + /3 gdx
Ja Ja Ja
Следующее утверждение указывает на аддитивность интеграла
Перрона как функции отрезка.
Свойство 9.9. Пусть при а < с < Ь функция f является V-
интегрируемой на каждом из отрезков [а, с] и [с, Ь]. Тогда f является
V-интегрируемой и на [а,Ъ\, причем
пЬ рС rb
I fdx= fdx + / fdx. (9.5)
Ja Ja J с
Доказательство. Фиксируем е > 0 и найдем мажоранты Mi
и М-2 для /, соответственно, на [а, с] и [с, Ь] и миноранты mi и m2,
соответственно, на [а, с] и [с, 6], такие, что
Mi (с) - mi(c) < е и М2(Ъ) - т2(Ь) < е.
Нетрудно проверить, что в качестве мажоранты и миноранты для / на
[а, Ъ] можно взять функции Мит, определенные следующим образом:
м( \ — J^1^)' если х е [а>с1>
[ Mi (с) + М2 (ж), если ж е (с, 6],
, ч \mi(x), если ж Е [а, cl,
т(:г) = <
lmi(c) + гиг (ж), если ж G (с, Ь].
Тогда
М(Ь) - т{Ь) = Mi (с) + М2(Ъ) - mi (с) - т2(6) < 2е,
откуда, на основе критерия 9.7, следует ^-интегрируемость / па [а, Ь],
а в силу
I fdx < Mi (с) + М2(Ь) < / fdx+ fdx + 2e,
./а «/а Ус
И
/•Ь /«с />Ь
/ /da; ^ mi (с) + т2(Ь) ^ / fdx + / /cb — 2e
Ja Ja Jc
справедливо равенство (9.5). □
Из определения 9.5 и из утверждения 9.7 видно, что если функция
/ Р-интегрируема на [а, Ь], то она также интегрируема и на каждом
подотрезке [с, d] С [а, Ь]. Поэтому можно говорить о неопределенном
V-интеграле функции /:
F{x) = {V) f fdx (хе[а,Ъ}).
J a
(9.6)

§1 ОБЩНОСТЬ Г-ИНТЕГРАЛА
153
Лемма 9.10. Если F является неопределенным V-интегралом V-
интегрируемой на [а,Ь] функции f:[a,b] —» R, а М и т являются
соответственно мажорантой и минорантой для f, то каждая из
разностей М — F и F — т не убывает на [а, Ь].
Доказательство. Достаточно заметить, что
М(х) - F(x) = sup{M(x) - т(х)},
т
F{x) - т{х) = Ы{М(х) - гп(х)}
м
(где верхняя грань берется по всем минорантам т при
фиксированной мажоранте М, а нижняя грань — по всем мажорантам М при
фиксированной миноранте т), и воспользоваться леммой 9.4. □
§ 1. Общность ^-интеграла
Докажем теперь, что Р-интеграл эквивалентен интегралу Хенс-
тока-Курцвейля (определенному в 2.81), а значит, включает в себя
интеграл Лебега на отрезке.
Теорема 9.11. Каоюдая V-интегрируемая функция /: [а,Ь] —»R
также Н-интегрируема, причем
(Н) f fdx - (Р) f fdx. (9.7)
J a J a
Доказательство. В соответствии с утверждением 9.7, для
произвольного е > 0 найдутся мажоранта М и миноранта т, такие, что
М{Ь) - т{Ь) < £, (9.8)
причем в каждой точке xG [а, Ь]
DM(x) > f{x) > f(x) - е, Dm(x) ^ f(x) < f(x) + e.
Отсюда следует существование масштаба 5, такого, что при \t — х\ <
<8{х)
t — X
m(t) — т(х)
<f(x)+e. (9.10)
t — х
Возьмем произвольное согласованное с так определенным масштабом
5 отмеченное разбиение {(Ij, £j)}j=i отрезка [а, Ь]. Пусть при этом Ij =
к
[xj-i,xj]. Тогда Yl (xj-Xj-i) = Ъ-а, Xj-i ^ ^ ^ xjy 0 ^ Xj-£j < 6(£j),

154
Гл. 9. ИНТЕГРАЛ ПЕРРОНА
О ^ £j-, — Xj-i < S(^j). С учетом (9.9) получаем
M(Xj) - Mixj-г) = (M(Xj) - M(fc)) + (М&) - М(^_0) >
> (/(&) " е){хэ - & + (/(б') " *)& " *i-i) =
= f(£j)(xj ~ xj-i) ~ Фз - xj-i)-
Аналогично, учитывая (9.10), получаем
m(xj) - m(xj-i) < f(Zj)(xj - xj-i) + e(xj - Xj-i).
Пусть jF — неопределенный Р-интеграл функции /. Тогда, в силу
неубывания разностей М — F и F — т (см. лемму 9.10), выполняется
неравенство
m(xj) - m(xj-i) < F(xj) - F(xj-i) ^ M(xj) - M{xj-\).
Сопоставляя полученные неравенства, приходим к оценкам:
F{xj) - F(xj-i) - f(Zj)(xj - xj-i) <
^ M(Xj) - Mfo-i) - fi&ixj - Xj-i) <
< M(xj) — M(xj-i) — (m(xj) — m(xj-i)) + e(xj — #j-i),
F{xj) - F(xj-i) - f(Zj)(xj - Xj-г) ^
S* m(xj) - m(xj-i) - f(£j)(xj - xd-i) >
> m(xj) - m(xj-i) - (M(xj) - M(xj-i)) - e(xj - Xj-i).
Суммируя эти оценки по j и принимая во внимание (9.8), получаем
окончательную оценку разности интегральной суммы функции /,
составленной для разбиения, согласованного с найденным выше
масштабом 6, и ее Р-интеграла F(b) = (V) f fdx:
\(V) [ fdx-f^f^lA <М(Ъ)-т(Ъ) + е(Ъ-а)<е(1 + Ъ-а).
С учетом произвольности е это означает, что функция / является И-
интегрируемой и ее ^-интеграл совпадает с Р-интегралом. D
Теорема 9.12. Каждая Н-интегрируемая функция /: [а,Ь] —»R
является V-интегрируемой.
Доказательство. В соответствии с определением 2.81, найдем
для произволного е > 0 масштаб S такой, что для каждого ^-разбиения
г отрезка [а, Ь] выполняется неравенство 2/(£)1-Л ~~ (^0 Ia fdx\ < £•
\ Т i
Определим функцию
tf(rr)=sup Y, ЬШ\- III (9.И)
Т* (/,€)€тх Jl

§1. ОБЩНОСТЬ Р-ИНТЕГРАЛА
155
где сумма J2 берется по элементам некоторого J-разбиения тх от-
резка [а,ж], а верхняя грань берется по всем таким разбиениям. Ясно,
что Н является неубывающей функцией. Условимся, что Н{а) = 0.
Заметим, что из неравенства (3.1), примененного для произвольного
^-разбиения отрезка [а,ж], получаем
(К#(ж)^4е, хе [а, Ъ]. (9.12)
Зафиксируем произвольную точку в G [а,Ь]. Если пара ([xi,x2},6)
согласована с 6, то
Н(хг) + \f(0)(x2 - хг) - Г /I < Н{х2). (9.13)
В самом деле, Н{х\) можно сколь угодно точно приблизить суммой,
фигурирующей в правой части (9.11) и распространенной на
элементы некоторого J-разбиения тХ1 отрезка [a,xi]. Эти элементы вместе с
парой {[х\,х2],6) образуют ^-разбиение отрезка [а,х2], и поэтому
Е |/(0И - ffdxl + \f(9)(x2-x1) - Г fdx\ ^ Н(х2),
откуда и следует (9.13).
Пусть F(x) = (Н) Ц fdx. Из (9.13) вытекает неравенство
F(x2) - Н{х2) - (F(xi) - H(xi)) ^ №(х2 - хх) <
^ F{x2) + Н{х2) - (F(xi) + Н(хх)),
которое, в частности, справедливо при в = х\ и при в = х2. Поделив
эти неравенства соответственно на х2 — в и на в—х\ и перейдя к пределу
при х\ и х2 стремящихся к #, приходим к соотношению
D(F(6) - Н{в)) < f(jB) < D{F{6) + Н{в)).
Отсюда видно, что F-\- Н и F — Н представляют собой соответственно
мажоранту и миноранту функции /. Поскольку в силу (9.12)
F(b) + Н(Ъ) - (F(b) - Н(Ъ)) ^ 8е,
в соответствии с критерием 9.7 функция / является Р-интегрируемой
и (V) Jbafdx = F{b). □
Сопоставляя теоремы 9.11 и 9.12, приходим к выводу:
Теорема 9.13. Интеграл Хенстока-Курцвейля эквивалентен
интегралу Перрона.
Используя 2.14, 6.26 и 9.13, получаем в качестве следствия

156
Гл. 9. ИНТЕГРАЛ ПЕРРОНА
Теорема 9.14. Каждая интегрируемая по Лебегу функция
/: [а,Ь] —» Ш является V-интегрируемой, причем
"ix.
(V) f fdx = (£) / fdx
J a J a
§ 2. /^-вариация и Vq-интеграл
Классический интеграл Перрона на отрезке был определен с
помощью непрерывных мажорант и минорант (см. Комментарии).
Определение 9.15. Функцию /: [а, Ь] —> Ш назовем V^-интегри-
руемой, если для любого е > 0 существует непрерывная мажоранта М
и непрерывная миноранта т функции / такие, что
М(Ъ) - т{Ь) < е.
При этом значение Ро-интеграла функции / на [а, Ь] определяется как
общее значение inf М{Ь) и supтп(&), где грани берутся, соответственно,
М т
по всем непрерывным мажорантам и всем непрерывным минорантам
функции /.
Ясно, что каждая Ро-интегрируемая функция является также V-
интегрируемой (см. определение 9.5) и значения интегралов
совпадают. В этой главе мы докажем эквивалентность Ро-интеграла и V-
интеграла. Для этого нам необходимо несколько обобщить понятие
^-вариации, рассмотренное в главе 7.
Сначала введем некоторые определения и обозначения. Пусть X
обозначает семейство всех невырожденных отрезков на вещественной
прямой Ш. Для некоторых фиксированных множеств /ЗсХхМ, Е сШ
и некоторого масштаба S на Ш определим 1
06 = {(I,x) e(3:xel С (х-6(х),х + 6(х))}.
Будем также пользоваться обозначениями:
&(£) = {(I,x) €ps:IcE}, ps[E] = {(I,x) £ ps : х £ Е}
(заметим, что для определения /3$[Е] существенны только значения,
которые S принимает на Е).
Будем далее предполагать, что множество (3 обладает свойством
Витали, то есть для любого х G К и любого масштаба S
Ps{{x}} ф 0.
Семейство 03 = {As}г образует базу, которая содержится в базе
*8>£ (см. главу 2), а каждое множество Ps содержится в множестве В6
при том же масштабе S. Можно сказать, что база Ъи является
частным случаем базы, полученной по указанной выше схеме. Достаточно
принять Р = X х Ш.
Семейство {/3$}$ представляет собой пример так называемого
дифференциального базиса, см. Комментарии

§2. /Зб-ВАРИАЦИЯ И Рр-ИНТЕГРАЛ
157
Обобщая понятие отмеченного разбиения, согласованного с
масштабом S (см. определения 2.3 и 2.11), назовем (3$-разбиением
конечный набор пар т = {(Ij,Xj)}3 e Дь такой, что отрезки Ij взаимно не
перекрываются.
Введем следующее обобщение понятия ^-вариации.
Определение 9.16. Пусть зафиксированы определенное выше
множество ft, масштаб 6, функция F: [а,Ь] —> М, а также множество
Е С [а, Ь] и отрезок J С [а, Ь]. Величину
sup ]Г lAi?(7)l'
/:(/,х)€т
где верхняя грань берется по всем разбиениям tcPs[E] П ps(J),
назовем fa-вариацией функции F на J П Е и обозначим ее V<s(B, F, E, J),
или короче V<s(J), если из контекста ясно, что остальные параметры
не меняются.
В случае Ps[E] П Ps(J) = 0 условимся, что Vs(J) — О-
Легко проверить, что V<5 является супераддитивной функцией
интервала, то есть если отрезок J является суммой двух
неперекрывающихся отрезков J\ и J'2, то Vs(J) ^ Vs{Ji) + V(j(J2).
Покажем, что функция V^ непрерывна.
Теорема 9.17. Пусть зафиксированы Р, 5, Е и непрерывная
функция F: [а,Ь] —» К и пусть определенная для них величина V(j([a,&])
конечна. Тогда Ps-вариация V$, рассматриваемая в качестве
функции отрезка на множестве подотрезков отрезка [а,Ь], непрерывна в
каждой точке х е [а,Ь], то есть для фиксированного х и для
произвольного е > 0 найдется величина С > О такая, чтю V(j(J) < e при
х е J С [х- С, х + С] П[а,Ь].
Доказательство. Возьмем произвольные х0 £ [а,Ь] и е > 0.
Поскольку F равномерно непрерывна на [a, b], найдется такое Ci>0> ЧТ0
для каждого отрезка I С [a,6]
|AF(/)|<|, если|/|<С1. (9.14)
Пусть J = [хо — |Съ хо + |Ci] П [а, &]. Существует разбиение т С #s[£] П
Ps{J), для которого
• V,(J)£ £ |AF(/)|>V,(J)-|. (9.15)
/:(/,ж)€т
Определим теперь искомое £ > 0. Потребуем, чтобы £ < ^(д и
чтобы интервал (жо — С? жо + С) имел непустое пересечение только с теми
отрезками, входящими в т, которые содержат xq.
Таких отрезков не более двух. Обозначим их, если они существуют,
через i~i и 12. Заметим, что, как \AF(Ii)\, так и \AF(l2)\, в силу (9.14)
не превосходят |.

158
Гл. 9 ИНТЕГРАЛ ПЕРРОНА
Пусть т0 = r\{(/i,xi),(/2,x2)}. Тогда
£ \AF(I)\> ]T |AF(/)|-|. (9.16)
I.(I,x)£t0 I:(I,x)€t
Пусть теперь Л является произвольным отрезком, для которого
xq е А и Л с Ji = [жо — С? жо + С] ^ [а> &]• Покажем, что тогда \^(Л) < е.
Допустив противное, приходим к неравенству V(j(Ji) ^ V$(i4) ^ е,
которое приводит к противоречию. В самом деле, возьмем разбиение
Ti С Рб[Е\ П Ps(Ji), такое, что
£ |ДГ(/)|>У,(Л)-^5£)
/:(/,rc)eTi
и, в силу (9.15) и (9.16), получим
vs(j)> Е w)i = Е 1дио1+ Е |д^)1>
/:(/,гс)ет0ит-1 1:(1,а;)<Ето /:(/,a;)eri
>V,(J)-|-| + |e = V,(J).
Полученное противоречие и доказывает непрерывность V^ в каждой
точке отрезка [а, Ь]. Заметим, что в случае отсутствия одного из
отрезков 1\ и 1'2 или обоих из них, оценка только упростится. □
Теперь мы введем в рассмотрение некоторые специальные случаи
множеств (3: множество левых пар Pi = {([у,ж],ж)} и множество
правых пар рг = {([ж,у],ж)}. Для них по описанной выше общей схеме
определим семейства 93/ = {/%,/} и 93г = {Д;,г}, которые также
содержатся в базе. С их помощью для каждого фиксированного масштаба
5, функции F, множества Е С [а, Ь] и для отрезка J определим так
называемые левые и правые /3$-вариации: V«5/(J) = \~s(PhF,E,J) и
VsAJ)=Vs(Pr,F,E,J).
Теорема 9.18. Пусть зафиксированы непрерывная функция
F: [а,Ь] —» К, множество Е С [а, Ь] и масштаб S на Е. Пусть
кроме того V<^([a,b]) и V<5jT.([a,fc]) принимают конечное значение. Тогда
V<5,z([-, &]) г/ V<5?r([a,-]) являются непрерывными функциями точки в
каждой точке х 6 [а,&].
Доказательство. Зафиксируем произвольные жо б [а,6] и е > 0.
Согласно теореме 9.17 для V^, выберем С > 0 так> чтобы
\AF(I)\ < £-, если |/| < С,
е 6 (9-17)
Ve,r(J) < -, если ж0 £ I и |/| < С-
О
Пусть для с, d выполнены условия
c^xo^d, d-c<(. (9.18)

§2. /^-ВАРИАЦИЯ И Ро-ИНТЕГРАЛ
159
Возьмем разбиение т С Д;,г[£ П [a,d]] П/?<5jT.([a,d]), такое, что
£ |AF(/)|>V,,r([o,d|)-|. (9.19)
/.(/,х)ет
Обозначим тх = {(/,ж) G т : / С [а,с]} и т2 = {(/,ж) G т : / С [c,d]}. С
учетом (9.17) и (9.18) получаем
£ |AF(/)|^V,,r(MD<f- (9.20)
/.(/,Х-)€Т2
Пусть с G Д = [xi,2/i], где (I\,xi) G г, если такой отрезок Д
существует. Еще раз применяя (9.17) и (9.18), приходим к соотношению
\AF(h)\ < |AF([xbc])| + \AF([c,yi})\ < \AF([xuc})\ + |. (9.21)
Заметим, что
Ti = ti U {([жьс],!!)} С ft,r[£n [o,c]] nft,r([a,c]).
В силу (9.19), (9.20) и (9.21) выполняется неравенство
V,,r([o,d|)< Yl \AF(I)\+ E \^F(I)\ + \AF(h)\ + £-^
I:(I,x)£T! I:(I,x)€t2
< £ \AF(I)\ + \AF([Xl,c})[+e-+ J2 |АПЛ1+|<
/:(/,a;)Gri /:(/,i)€T2
< ]Г |AF(/)| + | + | + | ^ v,,r([a,c]) + 6,
/ (/,x)er/1
то есть 0 ^ V<5jT.([a, d}) — V^r([a, с]) < е, если жо G [с, d] и0^^-с<(.
Это значит, что V«5j7.([a, •]) как функция точки непрерывна в хо.
Точно так же доказывается непрерывность функции V<^([•,&]) в
каждой точке х G [a,b]. D
Теорема 9.19. Для произвольного множества Е С [а,Ь] меры
нуль и для каэюдого е > 0 существует неубывающая непрерывная
функция Н: [а,Ь] —» Ш такая, что АН([а,Ь]) < е и Н'(х) = +оо для
каэюдого х G Е.
Доказательство. Так как множество Е имеет меру нуль, для
произвольного е > 0 существует система открытых множеств Gn D Е,
оо
таких, что n{Gn) < ^. Рассмотрим функцию ^ \с {х)-> она является
п=\
неотрицательной и, в силу теоремы Б. Леви (теорема 5.11),
интегрируемой по Хенстоку-Курцвейлю на [а, 6], причем
X X
п. ОО ОО „ ОО
Н(х) = Г£хоп № = £ / Хо„ (*)<й < £ ^G«) < £
X ™=1 «=1„ п=1

160
Гл 9 ИНТЕГРАЛ ПЕРРОНА
для всех х € [а,Ь]. Функция Н{х) является неубывающей и
непрерывной как неопределенный интеграл неотрицательной функции.
Произвольная точка х е Е является точкой открытого множества
п п
П Gk. Пусть [х,х + h] С П Gk, тогда
к=1 к=1
H(x + h)-H(x) 1 [x+h ^
В силу произвольности п отсюда следует, что Н'{х) = +оо. D
Теорема 9.20. Пусть функция /: [а,Ь] —» R Н-интегрируема и
F(x) = (H)f* f(t)dt (xe[a,b\). Тогда на множестве
Е — {же[а, b]: -Р'(я:) we существует или не равняется /(#)},
для каждого е > 0 существует масштаб S такой, что
Vs,r([а, Ь]) = V*(Br, F, Я, [а, Ь]) < е (9.22)
V*,,([a, Ч) = Vs(Bi, F, Е, [а, Ь]) < е. (9.23)
Доказательство. Поскольку fi(E) = 0, то в силу теорем 7.32 и
8.26 для некоторого масштаба S выполняется неравенство
Vais(F,E) <e.
Поскольку 0i^ и (3rjs являются подмножествами множества В$ из
базы Ъп, имеем V*,r'([a,b]) ^ Vm(F,E) и V^([a,b]) < Vax5(F,E).
Поэтому справедливы неравенства (9.22) и (9.23). □
Перейдем теперь непосредственно к построению непрерывных
мажорант и минорант для функции, интегрируемой в смысле Хенстока-
Курцвейля.
Теорема 9.21. Каждая функция /: [а, Ь] —> R, Н-интегрируемая,
является таксисе Vq-интегрируемой, причем интегралы совпадают.
Доказательство. Пусть F(x) — неопределенный интеграл Хен-
стока-Курцвейля функции f(x). Зафиксируем произвольное е > 0.
Согласно лемме 9.19, существует неубывающая непрерывная функция
Н: [а, Ь] —> R, такая, что
Я(а)=0 и Н(Ъ)< -, (9.24)
и
Н'{х) = +оо для каждого ж е -Б,
где E={xG [a, 6]: F'(x) не существует или не равняется f{x)}.

§2 /^-ВАРИАЦИЯ И Ро-ИНТЕГРАЛ
161
Пусть масштаб S найден в соответствии с теоремой 9.20 по |.
Покажем, что функции
М(х) = F{x) + V*,r([a,*]) + V^([a,b]) - VStl([x,b\) + Я(я),
m(x) = F(x) - V*,r([a,x]) - V^([a,b]) + V^MD - Я(х)
являются соответственно непрерывной мажорантой и непрерывной
минорантой для / на отрезке [a, b], причем
М(Ъ) - т{Ь) < е. (9.25)
Неравенство (9.25) следует из выбора масштаба S и из (9.24), а
непрерывность М и т — из теоремы 9.18. Из супераддитивности V<^
и V<5?r получаем
V*,r([a,d|) - V*,r([a,c]) ^ V*,r([c,d]) ^ |AF([c,d])|,
если cG^hO<c(-c< <5(с), и
V<^([M])-V*,r([a,c])^0,
если c^EnO<d — с < 5(c), а также
V*,,([c,b])- V^([d,b]) ^ V*,/(M) ^ |AF([c,d])|,
если deEnO<d — c< 6(d), и
V^([c,6])-Vtf|K[d,6])^0,
если d £ Е иО < d—с < 6(d). Таким образом, если х е Е иО < h < 6(х),
то
АМ([х,х + ft]) = AF([x,x + ft]) + V<5,r([o,x + ft]) - V<5>r([o,x]) +
+V^([x,b]) - V^([x + ft,b]) + АЯ([х,х + Л]) ^ AF([x,x + ft]) +
+ |AF([x,x + ft])| + 0 + A#([z,x + ft]) ^
^ ДЯ([х,ж + /1])
и аналогично для тех же ft имеем АМ([х — ft,ж]) ^ А#([ж — ft,ж]).
Отсюда D_M(x) = -boo > /(ж), если х € Е. Поскольку для всех х и
/г>0
ДМ([ж,ж + Л]) ^ AF([x,x + h]),
а также
ДМ([ж - ft, ж]) ^ AF([z - ft,а:]),
то D_M(x) ^ F'(x) = f(x), если ж е [a,b] \ Е. Таким образом, М
является непрерывной мажорантой для /. Аналогично проверяется,
что т является непрерывной минорантой для /. □
В качестве следствия получаем основной результат этой главы:
Теорема 9.22. Vo-интеграл и V-интеграл эквивалентны.

Часть 3
Интегрирование
вектор-функций

Глава 10
Интегралы Римана и Дарбу
§ 1. Интеграл Римана
В этой части определения интегралов, рассмотренных в
предыдущих главах, будут обобщены на случай так называемых банаховознач-
ных функций, то есть функций, принимающих значения в
произвольном банаховом пространстве (см. определение 5.33 и Приложение § 1).
Доказательства некоторых утверждений, являющихся прямыми
аналогами соответствующих утверждений для функций, принимающих
числовые значения, проводятся с незначительными изменениями.
Часто достаточно вместо "модуля" поставить "норму" и дословно
повторить доказательство. Подобные утверждения будут сформулированы
нами без доказательств. Приводимые ниже определения фактически
повторяют соответствующие определения из главы 2. Всюду ниже X
или Y обозначают произвольные банаховы пространства.
Определение 10.1. Функция f:[a,b] —> X называется
интегрируемой по Риману (1Z-интегрируемой) на отрезке [а, Ь] и ее
интеграл равен вектору I € X, если для любого е > 0 найдется такое число
5 > 0, что для любого отмеченного ^-разбиения Хенстока т отрезка
[а, Ь] выполняется неравенство
\\j2f(0\I\-l\\<e.
Т
Вектор I будем называть определенным интегралом Римана
функции / по отрезку [а, Ь]. Определенный интеграл Римана функции / по
ь
отрезку [а, Ь] будем обозначать (1Z)f f dt или (1Z) J f dt.
a [a,b]
Как и в предыдущих главах, для упрощения обозначений мы будем
опускать указание на тип интеграла, если из контекста ясно, о каком
ъ
интеграле идет речь, то есть будем, например, писать J f dt вместо
а
(K)ffdt.
а
Свойство 10.2. Пусть функция /: [а, Ь] —» X К-интегрируема.
Тогда она 1Z-интегрируема и на любом подотрезке [c,d] С [а,Ь].

§1 ИНТЕГРАЛ РИМАНА
165
Определение 10.3. Пусть функция f:[a,b]—>X интегрируема
t
по Риману. Функцию F(t) = (71)J f dt будем называть неопределенным
а
интегралом Римана функции /.
Свойство 10.4. Пусть а < с < Ь и функция /: [а, Ь) —» X 1Z-
интегрируема на отрезках [а, с] и [с,Ь]. Тогда f является IZ-интег-
рируемой на всем отрезке [а,Ь], причем
оси
J fdt = j fdt+l fdt.
Свойство 10.5. Пусть f,g: [a,b] —» X являются IZ-интегрируе-
мыми, а и (3 — действительные числа. Тогда функция af+(3g также
1Z-интегрируема, причем
ь ь ь
[((*f + l3g)dt = a [fdt + 0 fgdt.
а а а
Свойство 10.6. Пусть функция /: [а,Ь] —» X 1Z-интегрируема.
Тогда для всякого отрезка [c,d\ С [а, Ь] вектор (d — с)~ f f dt
принадлежит замыканию выпуклой оболочки множества {/(£): t G [с,d}}.
Это следует из того, что для любого отмеченного разбиения т
отрезка [c,d] вектор (d — с)~1 2/(£)1-Л принадлежит выпуклой обо-
т
лочке множества {f(t): t G [с,d]} (см. утверждение П.10), поскольку
^ d-c L'
Т
Свойство 10.7. Пусть f: [a,b] —» X является 1Z-интегрируемой
функцией. Тогда для любого линейного ограниченного оператора
А: X —» Y функция Af: [a,b] —» Y также IZ-интегрируема, причем
ь ъ
[ Afdt = A ffdt.
Доказательство. Так как функция / интегрируема по Риману,
то для любого е > 0 найдется число S > 0 такое, что для каждого
отмеченного J-разбиения Хенстока т отрезка [а, Ь] выполняется
неравенство
Гь
]f(0\I\- f /All
Ja ux
<-*'"" ' / ' \\x A +1

166
Гл 10. ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И ДАРБУ
Следовательно, для всякого отмеченного ^-разбиения Хенстока т
отрезка [а, Ь] имеем
I гЬ ,, ,, pb
JTa№\i\-a[ f<tt\\ <\\а\\\\£№\1\- [ /Ml
,, --, ч,/.-, , * -■„ ^ ..--им, , ч,/.-. I , -„ <£■ □
|Z—f / ||v Il^-W / ||х
В частности, если через X* обозначить пространство, сопряженное
к X (см. определение П. 19), то справедливо
Утверждение 10.8. Если функция /: [а,Ь] —> X 71-интегрируема,
то для любого х* е X* функция х* f такэюе 71-интегрируема, причем
ь ъ
[ x*fdt = x* f fdt.
Свойство 10.9. Если функция /: [а,Ь] —> X 71-интегрируема, то
она ограничена.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.23.
Определение 10.10. Функция /: [а,Ь] —» X интегрируема по
отрезку [а, Ь] в смысле интеграла Римана-Мак-Шейна
(7ZM.-интегрируема) и ее интеграл равен вектору /еХ, если функция / определена
на [а, Ь] и для любого е > 0 найдется такое число S > 0, что для
любого отмеченного J-разбиения Мак-Шейна т отрезка [а, Ь] выполняется
неравенство
\\£f(№\-l\\<e-
Т
В дальнейшем нам понадобится критерий интегрируемости по Ри-
ману (Риману-Мак-Шейну). Предварительно докажем
вспомогательную лемму.
Определение 10.11. Разбиение т' отрезка [а, Ь] называется
измельчением разбиения т, если каждый отрезок из т' содержится в
некотором отрезке из т.
Определение 10.12. Разбиение т отрезка [а,Ь] называется
пересечением разбиений т' и г", если оно состоит из всевозможных
непустых пересечений отрезков из т' и из т".
Лемма 10.13. Пусть заданы функция /: [а,Ь]—>Х и число 5>0.
Если т' = {I'ljf^i — измельчение разбиения т = {Д}£=1 отрезка [а, Ь],
с \Ik\ < S, отрезка [а, 6], то
{£/(Ш|: # 6 Л С со{£/(&)|4|: 6 е /Л
4=i J 4=i -1
N £ ля )М: 7'с и*м}с со {£ я&ш= ^ с i/M(&) И.

§1 ИНТЕГРАЛ РИМАНА
167
Напомним, что через со Л обозначается выпуклая оболочка множества
А (см. определение П.8).
Доказательство. Пусть т' = {Ц}^ является измельчением
разбиения г = {1к}%=1 отрезка [а, Ь]. Тогда для произвольного
отмеченного разбиения Хенстока (Мак-Шейна) т' = {(^',£0}/=i отрезка [а,Ь]
имеем
m п п | j/1
£/«Ж1 = £ £ ДЖ1 = £ Е Tn№\h\. (юл)
z=i
i4i •
k=ll:I,lClk к=11.Г1С1к
Очевидно, что для всех /, 1 ^ / ^ га, из условий £[ е // (// С Us(^))
и 1[ С //с для некоторого к, 1 ^ /Ь ^ п, следует ^ е //с (Ik С f^CCz))-
Поэтому
I/;
Е ^/(№|есо{/(0|4|:£е4}
i:/,'C//t
141
Ггт/(^')14| е со {/(0141: 4 с U2S(0}
(10.2)
Учитывая (10.1), (10.2), а также тот факт, что ^ соЛк= со ( ^ Ак)
к=1 4=1 '
(см. свойство П.9), получаем утверждение леммы. □
Лемма 10.14 (критерий интегрируемости). Функция /: [а, Ь] —> X
является IZ-интегрируемой тогда и только тогда, когда для
любого е > 0 найдется разбиение т = {/fc}JJ=1 отрезка [а,Ь] со
следующим свойством: для любых двух отмеченных разбиений Хенстока
г' = {(1кЛ'к)}к=\ и т" ~ {(^'£а0}1=1 omVe3Ka [ai°] выполняется
неравенство
£(/(&)-Ж')) 141
к=\
< е.
(10.3)
Функция /: [а,Ь] —» X является ИЛ4-интегрируемой тогда и
только тогда, когда для любого г > 0 найдется число 6 > 0 и
разбиение т = {//с}^=1 отрезка [а,Ь], с |Д| < 5, такие, что для
любых двух отмеченных 5-разбиений Мак-Шейна т' = {(Iki€k)}k=i u
т" — {(Ik,€'k)}к=1 отрезка [а,Ь] выполняется неравенство (10.3).
Доказательство. Пусть / интегрируема по Риману (Риману-
Мак-Шейну). Для данного е > 0 найдем такое S > 0, что для любого
отмеченного J-разбиения Хенстока (Мак-Шейна) т= {(Д,£/с)}£=1
отрезка [а, Ь] выполнено неравенство
fc=l Ja
dt
е
<2-
(10.4)

168
Гл. 10. ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И ДАРБУ
Зафиксируем J-разбиение т; оно определяет разбиение т = {1к}%=1-
Применяя неравенство (10.4) к двум отмеченным разбиениям Хенсто-
ка (J-разбиениям Мак-Шейна) {(h,^)}k=i и {(Ik,€'k)}k=v полУчаем
Ё(/(й)-Ш1й1
k=l
<
J2M)\h\- [ fdt
Е/Ю141- f fdt
k=\ Ja
< e.
Для доказательства достаточности отметим, что, как и для
функций, принимающих действительные значения, рассматриваемые здесь
интегралы Римана и Римана-Мак-Шейна являются пределами по
базе. Поэтому для того, чтобы установить интегрируемость функции /,
достаточно проверить справедливость критерия Коши существования
предела по соответствующей базе.
Сначала покажем интегрируемость функции / по Риману, если
для любого е > 0 найдется разбиение г = {//с}^=1 отрезка [а, Ь] со
свойством, указанным в формулировке леммы. Легко видеть, что в
этом случае функция / ограничена. Выберем
4n sup ||/(ж)
х£[а,Ь]
+ 1
Рассмотрим произвольные отмеченные 6\ -разбиения Хенстока <т и 7г
отрезка [а, Ь]. Пересечение а' разбиений о и г отметим следующим
образом. Если отрезок из разбиения а' является также отрезком из сг,
отметим его соответствующей точкой отмеченного Ь\-разбиения
Хенстока а. Оставшиеся не более чем 2п отрезков разбиения а' отметим
произвольно. В силу выбора д\ имеем
Елот-Еяот
^ 2 sup|
• 2пд\ ^ е.
(10.5)
Строим разбиение 7г', являющееся пересечением разбиений 7Г и г, и
аналогичным образом отмечаем в нем точки, тогда
£/(01Л-£/(Ш1
<£•
(10.6)
Согласно лемме 10.13 имеем
Е
:/(01Л,£/(01Лесо{]Гш/|},
где т пробегает все отмеченные разбиения Хенстока с отрезками
разбиения из т. В силу неравенства (10.3), $3/(0|i"l являются элемента-
т
ми £-шара банахового пространства X. А именно, если фиксировать

§1. ИНТЕГРАЛ РИМ AHA
169
некоторое отмеченное разбиение Хенстока т0, порожденное т, то для
произвольного отмеченного разбиения Хенстока т, тоже
порожденного т, имеем ПС/(01^1 ~~ S/(0I^I < £- Значит, в качестве центра е-
т т0
шара можно взять римановскую сумму ^ /(£)|/|. Следовательно, этот
е-шар, будучи выпуклым множеством, содержащим суммы Х)/(£)1Л>
т
содержит и со < 2/(£)1-Л г- Отсюда получаем оценку
£Л0т-£Л01Л
<2е
(10.7)
Окончательно, из (10.5), (10.6) и (10.7) выводим неравенство
£ДШ1-£Д0М1
< 4е,
доказывающее интегрируемость / по Риману.
Пусть теперь для любого е > 0 найдется число <$ > 0 и
разбиение г = {//с}5?=1 отрезка [а, 6], с |Д| < £, такие, что для любых
двух отмеченных J-разбиений Мак-Шейна т' = {(/&,££)}._., и г" =
{(//е,^/)}А;=1 отрезка [а, 6] выполняется неравенство (10.3). В качестве
S\ выберем то же число, что и выше, и положим <fe = min(<S/2, S\).
Рассмотрим произвольные отмеченные ^-разбиения Мак-Шейна сг и 7г
отрезка [а, Ь]. Пересечение а' разбиений а ит отметим ^-согласованно
по Мак-Шейну. При этом если отрезок из разбиения а' является также
отрезком из сг, то сохраним отмеченную на нем точку из разбиения сг.
Заметим, что отрезков, не обладающих этим свойством, не более чем
2п. В силу выбора <fe имеем
£лот
£лот
^ 2 sup|
• 2nS\ ^ е.
Строим разбиение 7г', являющееся пересечением разбиений 7г и т, и
аналогичным образом отмечаем в нем точки, тогда
Е лот-Е лот
Согласно лемме 10.13 имеем
<е.
Елои,Елоиесо{Елот},
где г пробегает все отмеченные разбиения J-разбиения Мак-Шейна с
отрезками разбиения из т. Повторяя проведенные выше рассуждения

170
Гл 10 ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И ДАРБУ
в случае интеграла Римана, получим неравенство
£ лот -£ mm
< 4е,
доказывающее интегрируемость / по Риману-Мак-Шейну. D
Замечание 10.15. Заметим, что фактически при доказательстве
первой части леммы установлен следующий результат: функция
/: [а, Ь] —» X является 7^-интегрируемой тогда и только тогда, когда
для любого е > 0 найдется число 5 > 0 такое, что для любого
разбиения г = {Ik}^=i отрезка [a, &], с |/&| < <5, и для любых двух отмеченных
J-разбиений Хенстока т' = {(Д»£а;)}£=1 и т" = {№>££)}£=! отрезка
[а, 6] выполняется неравенство (10.3).
Лемма 10.16. Пусть функция /: [а, 6] —» R удовлетворяет
следующему условию: для заданного е > 0 найдется такое 5 > 0, что
для любого разбиения т отрезка [а,Ь] со свойством maxT \1\ < 105
выполняется неравенство
£>с(/,/).|/|^.
Т
Тогда для любого разбиения т отрезка [а, 6] со свойством maxT |/| < 25
справедливо неравенство
>Говс(/,ад).|/|<е.
т
Доказательство. Пусть г = {/&}£=1 — произвольное разбиение,
удовлетворяющее условию тахт |/| < 25. Можно считать, что это
разбиение не содержит ни одной пары соседних отрезков с длинами
меньше 6. Действительно, пусть 1т, 1т+\ — такая пара. Рассмотрим новое
разбиение т'={1\,..., Im-i,Im U /m+i, /m+2, •••In}- Полученное
разбиение снова будет обладать свойством тахт/|/|<2£. Кроме того,
справедлива оценка
5>с(/,ВД).|/|= £ osc (f,Us(I))-\I\ +
т кфтп,тп+\
+ OSC (/, US{Im)) ■ \Im\ + OSC (/, US(Im+l)) ■ \Im+l\ ^
< Y^ osc (f,Us(I))-\I\+ osc (f,Us{Im U Im+i))-\Im U Im+i\ =
кфтп,тп+\
=Y,^{f,us{i))-\i\.
t'
Продолжая объединять пары "коротких" соседних отрезков, в конце
концов получим разбиение, не содержащее ни одной такой пары.

§1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
171
Нетрудно заметить, что в случае отсутствия в разбиении г
соседних отрезков с длинами меньше S интервал Us(I) имеет непустое
пересечение не более чем с пятью отрезками разбиения при любом / е т.
Поэтому
5>sc (/, СШ) • 1'К
Т
TL
^ ]Tosc(/,4_2 и Д_1 U 4 U 4+1 иД+2) • |4|, (Ю.8)
к=1
причем будем считать I_i = I0 = /п+1 = 1п+2 = 0. Разбивая набор
{4-2 U 4-1 U 4 U 4+1 U 4+2}£=i на пять наборов п
неперекрывающихся отрезков и учитывая очевидное неравенство |4-2 U 4-1 U 4U
U4+i U 4+21 < Ю<5, а также условие леммы, получаем оценку
п
53 osc (/»Л-2 U /fc_i U 7fc U 7fc+i U Д+2) • |Д| <
fc=i
^EEosc(/'7)-i7i^e- (10-9)
г=1 тг
Теперь утверждение леммы сразу следует из(10.8)и(10.9). □
Теорема 10.17. Функция /: [а,Ь] —» X 71-интпегрируема тогда и
только тогда, когда она 7ZA4-интегрируема.
Доказательство. Очевидно, что из интегрируемости по Рима-
ну-Мак-Шейну следует интегрируемость по Риману.
Обратно, пусть функция / интегрируема по Риману. Для
произвольного е > 0 выберем такое S > 0, чтобы для любого отмеченного
5<5-разбиения Хенстока т отрезка [а, Ь] выполнялось неравенство
Еяот-*
<
20'
Тогда для любого х* е X*, \\х*
1, также справедливо неравенство
£
<
20'
Согласно лемме Колмогорова-Хенстока 3.9, для любого отмеченного
5 J-разбиения Хенстока т отрезка [а, Ь] имеет место оценка
Следовательно,
Y^x*m\i\-x* JfdtU^.
J2osc(x*f,I)-\I\^£-.

172
Гл 10 ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И ДАРБУ
Теперь из леммы 10.16 выводим оценку
J2osc(x* f,Us(I))-\I\<e,
Т
справедливую для любого разбиения т, удовлетворяющего условию
тахт |/| < S. Следовательно, для любых двух отмеченных ^-разбиений
Мак-Шейна т' - {(/*,&)}£=1 и т" = {(4,&')}*=1 отрезка [а,6]
выполняется неравенство
!>*/&)-**ж')Ж*1
fc=i
^ь".
Переходя в последнем неравенстве к супремуму по всем х* е X*,
||ж*|| = 1, и учитывая, что ||ж|| = sup{|x*x|: ||ж*|| = 1} (см. следствие
П.22), имеем
£(Ж)-Ж))141
fc=l
<£.
Согласно лемме 10.14 функция / интегрируема по Риману-Мак-Шей-
ну. П
§ 2. Интеграл Дарбу
Определение 10.18. Функция /: [а, Ь] —> X называется
интегрируемой по Дарбу (7^-интегрируемой), если существует функция
F: [а, Ь] —> X со следующим свойством: для любого е > 0 найдется
такое 5 > 0, что для любого отмеченного J-разбиения Хенстока т отрезка
[а, Ь] выполняется неравенство
3|/(om-AF(7)||<e.
Функцию F назовем неопределенным интегралом Дарбу функции /.
Вектор F(b) — F(a) будем называть определенным интегралом Дарбу
ь
функции / по отрезку [а,Ь] и обозначать (JId)J f dt или (1Zd)J f dt.
a [a, 6]
СВОЙСТВО 10.19. Пусть функция f: [a,b] —> X является К&-
интегрируемой. Тогда f также lZ-интегрируема, причем
(К)
о о
)Jfdt = (KD)Jfdt.

§2. ИНТЕГРАЛ ДАРБУ
173
Доказательство. Пусть F: [а, 6] —» X — неопределенный
интеграл Дарбу функции /. Для любого отмеченного J-разбиения Хен-
стока т отрезка [а, Ь] справедлива оценка
£/(Ш - (ПЬ) - F(a))\\ = \\Е(№\1\ ~ *F(lj) II <
Т II II т II
<Eik^)iji-AF(j)|-
т
Теперь утверждение следует непосредственно из определений ЮЛ и
10.18. □
Свойство 10.20. Пусть функции f,g: [a,b] —> X являются 7Zd~
интегрируемыми, а,(3 е R. Тогда функция af-\-/3g также Ир-интег-
рируема, причем
ь ь ь
idt.
J{af+Pg)dt = aJfdt + pJ9(
Доказательство. Пусть F и G — неопределенные интегралы
Дарбу функций / и д, соответственно. Покажем, что aF-\-(3G —
неопределенный интеграл Дарбу функции af + /Зд. Выберем S так, чтобы
для любого отмеченного J-разбиения Хенстока т отрезка [а, Ь]
выполнялись неравенства
£|ш/|-дп/)|<^,
€
Тогда
3|*(01'1-^М||<щтт
J2\\H(0+P9(0)\I\-aAF(I)-pAG(I)\\ <e. D
Свойство 10.21. Пусть даны Но-интегрируемая функция
/: [а,6] —> X гх линейный ограниченный оператор А: X —> У. Тогда
функция Af: [а, 6] —> У также 71 d-интегрируема, причем
ь ь
[а/м = а[
fdt.
Теорема 10.22. Функция f: [a,b] —> X Но-интегрируема тогда
и только тогда, когда для любого е > 0 найдется такое разбиение т
отрезка [а,Ь], что
5>sc(/,/)-|/|<e.

174
Гл. 10. ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И ДАРБУ
Доказательство. Пусть / интегрируема по Дарбу. Тогда для
любого е > 0 найдется такое S > 0, что для каждого отмеченного
J-разбиения Хенстока т отрезка [а, Ь] выполняется неравенство
zf/™-//*!<§■
(10.10)
Рассмотрим два отмеченных J-разбиения Хенстока т/={(//е,^)},_1 и
т" = {(i/cCfc)}^ отрезка [а,Ь]. Используя (10.10), имеем
Z 1 I 1 II «/ II
Ь_1 J II °
fc=l'
k=V
Переходя в последнем неравенстве к супремуму по всевозможным
наборам {&}£=! и {&'}£=1, получим
п
]Tosc(/,4)-|4| <e.
k=i
Обратно. Пусть для каждого е > 0 можно выбрать разбиение г =
{Ik}%=i отрезка [а,Ь], так чтобы выполнялось неравенство
^osc(/,/)-|/|<|. (10.11)
т
Тогда для любых двух отмеченных разбиений Хенстока
т' = {(h,€'k)}k=i и т" = {(Jb>€k)}k=i отРезка [а'Ь1 имеем
к
I
к=1
Ё11Ж)-/(^)Мд|
И, следовательно,
к
£(/(&)-/(6"))iai
к=1
<
<
Согласно лемме 10.14, функция / интегрируема по Риману.
Обозначим через F неопределенный интеграл Римана функции /. По
свойству 10.9, функция / ограничена. Возьмем
'=4*в«р||/(*)|| + Г (10Л2)
[а,Ь]
Рассмотрим произвольное отмеченное ^-разбиение Хенстока тг
отрезка [a, b]. Ясно, что все отрезки разбиения т1, за исключением не более

§3. ВЗАИМООТНОШЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
175
чем К штук, целиком содержатся в каком-либо из отрезков разбиения
т. Применяя свойство 10.6, оценивая колебания / на
исключительных отрезках через удвоенный супремум нормы / по отрезку [а, Ь] и
учитывая (10.11) и (10.12), получаем
^||/(0|/|-AF(/)||<$];osc(/,/)-|/|<
< ]Г>с(/,/) • |/| + 2KSsup || Д*)|| <е. D
Замечание 10.23. Как будет видно из последующих глав,
определение 10.18 в зависимости от класса разбиений задает различные
интегралы, называемые вариационными. В связи с этим интеграл Дарбу
можно также называть вариационным интегралом Римана. В главах
12 и 14 будут подробно изучены вариационные интегралы Мак-Шейна
и Хенстока.
Для интеграла Дарбу имеет место критерий интегрируемости,
аналогичный критерию интегрируемости по Риману для функций,
принимающих действительные значения (см. теорема 2.71).
Теорема 10.24. Функция /: [а, Ь] —> X IZd-интегрируема тогда
и только тогда, когда она ограничена и непрерывна почти всюду.
Схема доказательства такая же, как и для функций с
действительными значениями (см. теорему 2.63 и доказательство теоремы 2.70).
§ 3. Взаимоотношение интегралов Римана и Дарбу
Из теорем 2.71 и 10.24 следует, что для функций, принимающих
действительные значения, интегралы Римана и Дарбу совпадают. Это
также следует из леммы Колмогорова-Хенстока (см. лемму 3.9). Как
будет видно из результатов этого параграфа, для функций со
значениями в произвольном банаховом пространстве эквивалентность
интегралов Римана и Дарбу, вообще говоря, нарушается. Однако для
некоторых пространств эквивалентность имеет место (определения
рассматриваемых в этом параграфе пространств даны в Приложении § 3).
Определение 10.25. Колебанием функции /: [а.Ь] —> X в точке
t называется следующая величина
osc/ = lim osc(/, \t — h,t + h\).
Теорема 10.26. Пусть функция f': [a,b] —> h является
^-интегрируемой. Тогда она таксисе Но-интегрируема.
Доказательство. Предположим противное. Пусть / не
интегрируема по Дарбу. Тогда в силу свойства 10.9 и теоремы 10.24 множество
точек разрыва функции / = (/i, /2, • • •, /п> • • •) не является
множеством меры нуль. Для каждого /3 > 0 обозначим через Нр множество

176
Гл 10 ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И ДАРБУ
таких t G [а,Ь], что oscf / ^ (3. Тогда для некоторого /3 > 0 внешняя
мера множества Нр окажется не равной нулю. Для каждого п G N
обозначим через е£ элемент /* = 1^ (см. утверждение П.20),
задаваемый последовательностью, у которой на n-м месте стоит единица,
а на других — нули. По утверждению 10.8 функция е£/ = fn
интегрируема по Риману. Согласно критерию Лебега интегрируемости по
Риману (теорема 2.71), множество Gn точек разрыва этой функции
имеет меру нуль. Обозначим через Н множество Нр \ ( U Gn). Тогда
/х*(Я) = а>0.
Фиксируем произвольное натуральное число К и разобьем
отрезок [а, Ь] на К равных частей а = to < ti < ... < Ьк = Ь. Ниже мы
построим отмеченные разбиения Хенстока т' = {([tk-i,tk],€'k)}k=1
и т" = {([£fc-ij£fcb£jfe)}fc=i так5 чтобы норма разности между
интегральными суммами функции /, отвечающими данным отмеченным
разбиениям, была не меньше некоторой константы, зависящей только
от а и (3 и не зависящей от К.
Для этого отрезки [tk-i,tk], 1 ^ к ^ К, разобьем на два класса: к
первому классу отнесем те отрезки, для которых открытый интервал
(tk-i, tk) имеет непустое пересечение с Я, а ко второму — те, которые
не имеют точек из Н среди внутренних точек. Семейство отрезков
первого класса {1к}^=1 обозначим через ti, второго — тг. Очевидно,
что семейство т\ покрывает Н (с точностью до конечного множества
точек). Следовательно,
а^\1к\ = ^—^-^{Ь-а). (10.13)
к=1
На каждом из интервалов (tk-i,tk), 1 ^ к ^ р, выберем точку ££ из
множества Н. Набор точек {^}^=1 будем строить по индукции.
Положим по = 0. Так как osc^' / ^ /3, найдется такая точка £" G h,
что
«/(ГО - /(СГ)||£ж > |-
Номер п\ > по выберем таким, чтобы
Это можно сделать ввиду того, что для любого вектора х G 1\ ряд
YlT=i \епх\ СХОДИТСЯ.
Пусть наборы точек {£" G h^Zi и номеров По < п\ < ... < rik-i
уже построены. Так как osc^' / ^ (3 и функции е£/, 1 ^ п ^ rik-i,

§3. ВЗАИМООТНОШЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
177
непрерывны в точке ££, найдется такая точка ££' G //с, что
||Ж)-/»,>§.
Tlfc-l
EI</(u)-e;/(uoi<^f_fl)-
(10.14)
(10.15)
Номер n/e > rik-i выберем таким, чтобы
(10.16)
n=Tlfc+l
Итак, наборы точек {££ е hYk=i и номеров щ < щ <
удовлетворяющие неравенствам (10.14) - (10.16), построены. Отметим
что для каждого к,1^к^р, оценка нормы для вектора /(££) — /(££')
мало отличается от оценки для суммы £nLnfc_1+iK/(&) - е^/(^)|-
Действительно, непосредственно из неравенств (10.14) - (10.16) имеем
пк „
£ 1</(&)-<ж')|>§ 9к+3
n=Tlfc_i+l
а(3
(10.17)
На отрезках семейства г2 выберем одни и те же отмеченные точки как
для т', так и для т". Тогда
£ дот - £дот = £(ш - нош, {шщ
т' т" г=1
где {1{}?=1 — отрезки семейства т±. Оценим снизу норму правой части
(10.18), или, что то же самое, сумму ряда
ОО | р
n=V i=l
При помощи набора номеров {rikYk=i разобьем этот ряд на несколько
слагаемых:
оо | V
££(</(£)-</(£'))№!
п=1' г=1
£ £ £(</(£)-<депж*
k=l n=rifc_i+l' г=1
оо | р
+
(10.19)
п=пр-\-1' г=1
Первые р слагаемых этой суммы устроены так, что основной вклад в
к-е слагаемое вносят приращения функций е£/, n/c-i < п ^ п^, ровно
на одном из отрезков с концами в точках ££ и ££ (см. (10.17)), в то

178
Гл 10 ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И ДАРБУ
время как сумма приращений е£/ на отрезках с концами ^ и £", г ф к,
оказывается достаточно малой. Действительно, в силу (10.13), (10.15)
и (10.16) для каждого к, 1 ^ к ^ р, имеем
Е £1е;/(£)-</«пнл| =
п=Пк-1+1*к пк (10.20)
=Е Е \<m-<m)\-\h\<^
iz/ik n = Tlfc_l+l
Суммируя неравенства (10.17) и (10.20) по всем к, 1 ^ к ^ р, учитывая
равенство длин отрезков Д между собой и оценку (10.13), получаем
V пк | V
>
Е Е |Е(<я^-е;д£'))|/<|
/е=1 n=nfc_i+l' г=1
Р ™fc
^Е Е 1</(й)-<ло|-1д|-
/c=l n=nfc_1+l
р rifc
-ЕЕ EK/(£)-</(£')|-w>
/е=1 n^rifc-x+l г^/е
(10.21)
Р
>Е?^-Е:
а/?
^|-Е
а/? оф_
2/с+з
Осталось убедиться в том, что норма последнего слагаемого в правой
части (10.19) меньше суммы первых р слагаемых. Суммируя
неравенства (10.16) по всем г, 1 ^ г ^ р, учитывая равенство длин отрезков U
между собой и оценку (10.13), получаем
р
' ^
п=пр + 1' г=1
Е \Е«№)-<№'№
оо р
< Е EK№l)-<№)\-\ii\<
(10.22)
п=пт>-\-1 i=l
Р
^2^(Ъ-аУ il< 16'
Наконец, объединяя (10.18), (10.19), (10.21) и (10.22), выводим оценку
|£/«Ж1-£/«Ж||
>£*
Поскольку X было выбрано произвольно, то, согласно лемме 10.14 (см.
замечание 10.15), последнее неравенство противоречит
интегрируемости по Риману функции /. □

§3. ВЗАИМООТНОШЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
179
Следствие 10.27. Функция /: [а, Ь] —> 1\ является TZ-интегри-
руемой тогда и только тогда, когда она IZd -интегрируема, причем
(H)Jfdt = (nD)Jfdt.
Это непосредственно вытекает из доказанной теоремы и свойства
10.19.
В следующих примерах через {гп}п будем обозначать
последовательность всех рациональных чисел отрезка [0,1], а через еп — элемент
пространства cq (или /2), задаваемый последовательностью, у которой
на п-м месте стоит единица, а на других — нули.
Пример 10.28. Функцию /: [0,1] —* Со зададим следующим
образом:
/(<) =
еп, если t = гп
0, если te [0,1]\Q.
Функция / интегрируема по Риману на [0,1] и интеграл равен нулю,
так как для любого отмеченного ^-разбиения Хеистока т отрезка [0,1]
имеем
Едой = £/ш
= max 1/1 < е.
С другой стороны, / не интегрируема по Дарбу, так как разрывна в
каждой точке отрезка [0,1].
Пример 10.29. Функцию /: [0,1] —> 1ч зададим следующим
образом:
/(*) =
еп, если t = гп
0, если te [0,1]\Q.
Покажем, что / интегрируема по Риману на [0,1] и интеграл равен
нулю. Для любого е > 0 выберем S = е2 и рассмотрим отмеченное
^-разбиение Хенстока т отрезка [0,1]. Верна оценка
£ШЛ
£/(01Л
r[QJ
= £|7|2<* = £2.
Неинтегрируемость по Дарбу снова следует из разрывности / в
каждой точке.
Замечание 10.30. Эквивалентность интегралов Римана и Дарбу
для функций со значениями в банаховом пространстве X означает
справедливость леммы Колмогорова-Хенстока для интеграла
Римана. Как видно из теоремы 10.26, а также примеров 10.28 и 10.29, для

180 Гл 10. ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА И ДАРБУ
некоторых бесконечномерных пространств значений утверждение
леммы Колмогорова-Хенстока для интеграла Римана выполняется, а для
некоторых — нет. Как мы увидим ниже (см. главу 14), для интегралов
Мак-Шейна и Хенстока утверждение леммы не выполняется ни для
какого бесконечомерного пространства.

Глава 11
Измеримые функции
§ 1. Сходимость по мере
Пусть ft — пространство с конечной мерой Лебега /i. В этой и
последующей главах все рассматриваемые функции предполагаются
определенными на пространстве ft и принимающими значения в
банаховом пространстве X.
Определение 11.1. Будем называть последовательность функций
fn сходящейся по мере к функции /, если для любого е > 0
справедливо равенство
^V*{t е П: \\fn(t) - /(*)|| > е} = 0.
Сходимость по мере последовательности {fn}n к функции / будем
обозначать /п —> /.
Определение 11.2. Последовательность функций fn называется
фундаментальной относительно сходимости по мере, если для
любого е > 0 справедливо равенство
lim fi*{teft:\\fn(t)-frn(t)\\>e}=0. (11.1)
п,т—>оо I " J
Утверждение 11.3. Если последовательность {fn}n сходится
по мере к функции f, то она фундаментальна относительно
сходимости по мере.
Доказательство. Для произвольного е>0и для любых п,т е
N справедливо включение
{*еП:||/п(*)-/т(*)||>е}с
С ji G П: ||/n(i) - /(i)|| > |} U jt G fi: ||/m(i) - /(i)|| > f }•
Учитывая свойства внешней меры 2.43 и 2.44, имеем
M*{teO: ||/n(*)-/m(«)||>e}<
^M*{t е О: ||/„(4) - /(*)|| > \} + /х*{* 6 fi: ||/m(i) - Д*)|| > f },

182
Гл. 11 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
откуда следует (11.1). □
Утверждение 11.4. Пусть fn А / и дп А д. Тогда для любых
чисел а и (3 последовательность afn + (3gn —> af + (3g.
Доказательство. Достаточно заметить, что для произвольного
£>0и для любого натурального п справедливо включение
[teQ: \\afn(t) + p9n(t) - af{t) - /3g(t)\\ >e}c{teS}:
l|/»W - /W|| > Щ^} U{t € П: \\gn(t) - g(t)\\ > -^\ U
Утверждение 11.5. Пусть fn Д /. Тогда \\fn\\ A ||/||.
Доказательство. Для произвольного £>0и для любого п е N
справедливо включение
|* е П: |||/„(i)|| - ||/(*)||| > е} С |* е П: ||/„(t) - f(t)\\ > ej.
Мера множества справа стремится к нулю при п —» оо, так как /п —> /.
Поэтому
^^{t e fi: |||/„(t)|| - ||/(i)ll| > e} = 0. □
§ 2. Простейшие свойства измеримых функций
Пусть £ — сг-алгебра измеримых относительно меры fi
подмножеств пространства ft (см. определение 7.9 и теорему 7.10).
Определение 11.6. Функция /: ft —» X называется простой, если
п
она может быть представлена в виде / = 2 жгХ£;> гДе жг — векторы
г=1
пространства X, & Ег — измеримые множества.
Определение 11.7. Функция /: ft —» X называется измеримой,
если найдется последовательность простых функций /п, сходящаяся к
/ по мере.
Непосредственно из определения и утверждений 11.4 и 11.5
следует, что линейная комбинация измеримых функций и норма измеримой
функции также измеримы.
Свойство 11.8. Пусть f,g: ft —» X — измеримые функции. Тогда
для любых чисел а и /3 функция af + f3g измерима.
Свойство 11.9. Пусть f: ft —> X — измеримая функция. Тогда
II/H измерима.
Свойство 11.10. Пусть {fn}n — последовательность
измеримых функций, сходящаяся по мере к функции f. Тогда f измерима.

§3 ПОЧТИ РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
183
Доказательство. Установим существование
последовательности простых функций, сходящейся к / по мере. Вследствие
сходимости последовательности {fn}n по мере, для каждого натурального к
можно выбрать nk 6 N так, чтобы
/i*{tefi:||/„fc(*)-/(*)||>£}<^- (11.2)
Так как /nfc измерима, найдется последовательность простых функций
{#f }ь сходящаяся к fnk по мере. Выберем номер Ik так, чтобы
м*{* е П-. ||Р* (*) - /nfc(*)|| > ^} < ^- (п-3)
При каждом к е N справедливо включение
{<efi:||ft1(*)-/(t)||>i}c
С {* е О: ||ft* (t) - /„Л<)|| > A} U {* G О: ||/nfc(t) - /(t)|| > ±}-
Отсюда, в силу свойств внешней меры 2.43 и 2.44, учитывая (11.2) и
(11.3), имеем
/х*{«еПф£(«)-/(0||>£}<
</x*{*ei^ft*(t)-/„fc(i)||>£} +
+ H'{t€n:\\Uh{t)-f(t)\\>±}<l.
Таким образом, последовательность простых функций {gf }k сходится
к / по мере, то есть / измерима. □
Замечание 11.11. Данное здесь определение измеримой функции
эквивалентно определению 2.55 в случае функций, принимающих
действительные значения (см. комментарии к главе 2).
§ 3. Почти равномерная сходимость
Определение 11.12. Последовательность функций fn сходится
почти равномерно к функции /, если для любого е > 0 существует
такое измеримое множество Е, что /jl(E) < e и последовательность
функций fn на П \ Е сходится к / равномерно.
Непосредственно из определений следует, что почти равномерная
сходимость сильнее сходимости по мере, причем строго сильнее, как
показывает известный пример Рисса из теории действительнозначных
функций (см. [7]).
Утверждение 11.13. Если последовательность {fn}n сходится
почти равномерно к функции f, то она таксисе сходится к f no мере.

184
Гл. 11. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Теорема 11.14. Пусть последовательность функций fn: Q —>
X фундаментальна относительно сходимости по мере. Тогда
существует подпоследовательность этой последовательности,
сходящаяся к некоторой функции f почти равномерно.
Доказательство. Так как последовательность {fn}n
фундаментальна относительно сходимости по мере, можно найти такой номер
п\ и такое измеримое множество Е\, 1л{Е\) < 1/2, что для всех п> п\
и для всех t £ Е\ выполняется неравенство ||/n (t) — fn(t)\\ < 1/2.
Выберем номер пч > щ и измеримое множество £2, ^{Еч) < 1/4 так,
чтобы для всех п > пч и для всех t £ Еч имело место неравенство
\\fn (t) — fn{t)\\ < 1/4. Далее по индукции построим
последовательности номеров {m}i и измеримых множеств {£/}/, удовлетворяющие
условиям
KEi) < ji, {ПА)
||/п,(<) - /п,+1(*)|| < jt Аля всех t i Щ. (11.5)
ОС
Положим Gk = U Ei. Из условия (11.4) следует, что n{Gk) < 2~(k~l\
i=k
откуда /i( p| Gk) = 0. При t £ Gk неравенство (11.5) справедливо для
всех 1 ^ к, поэтому оценка
||Лч(*)-/»,(*)||<2]РГ ("-б)
ОО
выполняется для всех i,j^knt(£Gk. Фиксируем t £ П Gk- Для
к=1
произвольного е > 0 выберем номер к так, чтобы выполнялось
неравенство 2~(/с_1) < е. Тогда из (11.6) следует, что для всех i,j^k верна
оценка
||/п< (*)"/«;(*) || <£•
Следовательно, последовательность векторов {fnl{t)}l фундаменталь-
оо
на и, стало быть, имеет предел. При t ^ (~) Gk определим функцию
к=\
f(t) = lim frn(t), B остальных точках определим f(t) произвольным
I—>оо
образом. Покажем, что {fni }i сходится к / равномерно на множестве
ft \ Gk для всех к. Действительно, для произвольного rj > 0 выберем
т > к так, чтобы выполнялось неравенство 2~(m_1) < rj. Используя
включение Gm С Gk и неравенство (11.6), получаем для всех i,j^m
и t £ Gk оценку
\\fnt(t)-fr4(t)\\<V-

§3 ПОЧТИ РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
185
Таким образом, последовательность {fni }i сходится равномерно на
множестве fl\Gk при любом к, a /i(Gfc) < 2~(/с~1) < е. Следовательно,
последовательность {fni }i сходится к / почти равномерно. П
Доказанная теорема и утверждение 11.3 позволяют окончательно
установить связь между сходимостью по мере и почти равномерной
сходимостью.
Следствие 11.15. Пусть последовательность {fn}n сходится по
мере к функции f. Тогда некоторая подпоследовательность этой
последовательности сходится к f почти равномерно.
Учитывая утвержение 11.13 и следствие 11.15, получаем новую
характеризацию измеримых функций в терминах почти равномерной
сходимости.
Следствие 11.16. Функция f измерима тогда и только тогда,
когда существует последовательность простых функций fn,
сходящаяся к f почти равномерно.
Ранее (см. свойство 11.10) было доказано, что предел
сходящейся по мере последовательности измеримых функций также измерим.
Утверждение 11.13 позволяет распространить это свойство на почти
равномерную сходимость.
Следствие 11.17. Пусть последовательность измеримых
функций fn сходится к функции f почти равномерно. Тогда f также
измерима.
Утверждение 11.18. Пусть последовательность функций fn
фундаментальна относительно сходимости по мере. Тогда
существует функция f, к которой {fn}n сходится по мере.
Доказательство. В силу теоремы 11.14, можно выделить из
последовательности {fn}n подпоследовательность {/щ}ь сходящуюся к
некоторой функции / почти равномерно. Согласно утверждению 11.13,
последовательность {fni }i сходится к / по мере. Следовательно, для
любых е > 0 и г] > 0 можно выбрать Ni E N так, чтобы для всех
щ > Ni выполнялось неравенство
/х*{«еП:||/п,(<)-ДОН >f}<|. (И.7)
Так как {/п}™ фундаментальна относительно сходимости по мере,
найдется номер А^2, такой, что для всех т,п > N2 справедливо
неравенство
/х*{*еП:||/п(*)-/т(*)|| >|}<!-
В частности, для всех щ > N2 также можем записать
/*•{<€ П:||/п(«)-/П1(«)||>|1<|. (11.8)

186
Гл. 11. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Положим N = max{7Vi, Л^}- Тогда для всех щ > N выполняются
неравенства (11.7) и (11.8). Учитывая включение
{<еП:||/„(«)-/(«)||>е|с
С |< е fi: ||/„(<) - /п,(<)|| > |} U |< е fi: ||/n,(t) - /(*)|| > ||,
имеем для всех п > N оценку
M*{i G П: \\fn(t) - №\\ > ej < M*|i е О: ||/„(<) - /n,(t)|| > §} +
+ /i*{tGn:||/ni(0-/(<)||>|}<»7.
Таким образом, последовательность {fn}n сходится по мере к функции
§ 4. Теорема Егорова
Теорема 11.19. Для того чтобы последовательность
измеримых функций fn сходилась к некоторой функции f почти равномерно,
необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая
последовательность сходилась к f почти всюду.
Доказательство. Предположим, что {fn}n сходится к / почти
равномерно. Тогда для любого натурального к найдется такое
измеримое множество Ek, что fi{Ek) < 1/к и {/п}п сходится к / равномерно
оо
на Q\Ek- Следовательно, если t £ П Ek, то lim fn(t) = f(i). Так как
/if p| Ek) =0, последовательность {fn}n сходится к / почти всюду.
4=1 '
Обратно. Допустим {/п}п сходится к / почти всюду, то есть
существует такое множество Р нулевой меры, что для всех t £ Р верно
равенство lim fn(i) — f(t). Фиксируем е > 0. Построим такое изме-
п—>оо
римое множество Е, что //(П \ Е) < е и последовательность {fn}n
сходится на Е равномерно. Пусть кит — произвольные натуральные
числа. Обозначим через Е™ множество таких t £ Р, что для всех п > к
выполняется неравенство
||/»(*)-/(*)||<-. (П-9)
т
Так как lim fn(i) = f(t) для всех £ ^ Р, то для каждого m имеем
п—>оо
ОО
U Е™ — С1\Р. Из построения множеств Е7^ видно, что Е™ С Е™+1.
к=\

§5. КРИТЕРИЙ ИЗМЕРИМОСТИ
187
Следовательно, с учетом конечности /i(^) для каждого т найдется
такой номер А:ш, что
^\EZ)<^- (Ц-10)
оо
Наконец, положим Е = f] Е7^. Из (11.10) вытекает, что fi(fl \ E) <
е. По определению множеств Е™, для всех п ^ кт и t е Е С Е™
выполняется неравенство (11.9). Таким образом, последовательность
{fn}n сходится к / на множестве Е равномерно. □
Из доказанной теоремы, утверждения 11.13 и следствия 11.15
получаем связь между сходимостью по мере и почти всюду.
Следствие 11.20. Если последовательность {fn}n сходится
почти всюду к функции f, то она также сходится к f no мере.
Следствие 11.21. Пусть последовательность {fn}n сходится по
мере к функции f. Тогда существует подпоследовательность этой
последовательности, сходящаяся к f почти всюду.
Теорема 11.19 и следствие 11.16 позволяют дать еще одну харак-
теризацию измеримых функций.
Следствие 11.22. Функция f измерима тогда и только тогда,
когда существует последовательность простых функций fn,
сходящаяся к f почти всюду.
В предыдущем параграфе (см. следствие 11.17) было установлено,
что предел сходящейся почти равномерно последовательности
измеримых функций также измерим. По теореме 11.19, это свойство
переносится на сходимость почти всюду.
Следствие 11.23. Пусть последовательность измеримых
функций fn сходится к функции f почти всюду, тогда f также
измерима.
§ 5. Критерий измеримости
Определение 11.24. Будем говорить, что функция f:Q—>X
почти сепарабельнозначная, если найдется такое множество Е С П,
что ц{Е) = 0 и образ f(Q\E) лежит в сепарабельном подпространстве
пространства X (см. определение П. 12).
Теорема 11.25. Для того чтобы функция f была измеримой,
необходимо и достаточно, чтобы f была почти сепарабельнозначной
и для любого открытого множества G прообраз f~1(G) был
измеримым множеством.
Доказательство. Пусть / измерима. По следствию 11.22
найдется последовательность простых функций /п, сходящаяся к / почти

188
Гл 11. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
всюду. Обозначим через Е множество тех t G П, в которых
последовательность функций fn(t) не сходится к f(t). Мера множества Е
равна нулю. Множество f(Q\E) содержится в замыкании L множества
оо
U fn(to\E). Но все множества fn(Q \ E) конечны. Следовательно, L
п=1
содержится в сепарабельном подпространстве пространства X.
Покажем теперь, что прообраз любого открытого множества G
измерим. Для каждого натурального к положим
Ск = {х€Х:В1/к(х)сС],
где В£(х) = {у: \\у — х\\ < е}. Фиксируем t £ Е. Так как lim fn(t) =
П—>СЮ
/(£), то f(t) G G тогда и только тогда, когда существуют такие
натуральные N и к, что для всех п ^ N вектор fn(t) попадает в Сд..
Действительно, если f(t) G G, то f(t) G Gk для некоторого к.
Тогда Bi/2k{f{t)) С G'2k- В силу локального свойства предела найдется
такой номер N, начиная с которого fn(i) G G<ik- Обратно. Если
существуют натуральные к и N такие, что fn(t) G Gk для всех п ^ 7V, то
/(£) G Gk С G. Следовательно,
сю сю сю
f-1(G)\E= (J (J р) /"ЧСОХЯ. (11.11)
fc=l N = ln=N
Если # — простая функция, то для любого множества А С X
прообраз д~1(А) измерим. В частности, измеримы все множества, входящие
в правую часть равенства (11.11). Таким образом, множество f~l(G)
измеримо, поскольку отличается от измеримой правой части на
множество меры нуль.
Предположим теперь, что функция / почти сепарабельнозначна,
и для любого открытого G множество f~l{G) измеримо. Пусть Е —
такое множество меры нуль, что f(Q\E) содержится в сепарабельном
подпространстве L. Выберем в L счетное всюду плотное множество
{хк}^=\- Построим последовательность простых функций /п,
сходящуюся к / по мере. Фиксируем натуральное п и определим множества
Акп = \tiE: \\f(t) - Xi\\ > i, при 1 <г < к - 1;
||/«)-*fc||<i}.
Все множества А1^ измеримы и не пересекаются, поскольку
(11.12)
Акп = Г11в1/п(хк) \ ((J B1/n(*o) j =
М=1 '

§5. КРИТЕРИЙ ИЗМЕРИМОСТИ
189
Так как множество {хк}^! всюду плотно, имеем (J A„ = fl\E. Учи-
fc=i
тывая fi(ft) < оо, номер К выберем так, чтобы
у ОО v ОО 1
Ч=К ' k=K
Определим функцию fn следующим образом:
к-\
/„(*) = $>>хд Л*).
fc=l
Тогда из (11.12) и (11.13) следует, что
/х {* е П: ||/„(«) - /(*)|| >!}<!.
Таким образом, построенная последовательность {fn}n сходится к /
по мере. О
Следствие 11.26. Непрерывная на отрезке [а7Ь] функция f
измерима.
Это вытекает из того, что непрерывная функция сепарабельно-
значна и для любого открытого множества G прообраз f~l(G) — также
открытое множество.
Утверждение 11.27. Пусть для почти всех t e ft
последовательность измеримых функций fn: fl —> R ограничена сверху (снизу).
Тогда функция f: ft —> R (f: CI —> R), определяемая почти всюду
равенством f(t) = sup fTl(t) (f(t) = inf fn(t)), также измерима.
n n
Доказательство. Докажем, например, что / измерима. Пусть
Е — множество таких i G И, что равенство f(t) = supTl fn(t) не
выполняется. Тогда jll(E) = 0. Ясно, что для всех cER справедливо
равенство
ос
{tefl: /(О > с} \ Е = (J {t e Ct: fn(t) >c]\E.
п=1
Таким образом, в силу теоремы 11.25 функция / измерима.
Аналогично доказывается измеримость /. □
Следствие 11.28. Пусть для почти всех t e Ct
последовательность измеримых функций fn: Ct —> R ограничена сверху (снизу).
Тогда функция /: Ct —> R (/: ft —> R), определяемая почти всюду
равенством f(t) = limsup/n(£) (f(t) = liminf fn(i)), также измерима.

190 Гл 11. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Это следует из утверждения 11.27 и соотношений
limsup/n(£) = inf sup/„(*),
п—>оо п к^п
liminf fn(t) = sup inf fn(t).
n—>oo n fc^n
§ 6. Теорема Петтиса об измеримости
Определение 11.29. Функция /: ft —> X называется слабо
измеримой, если для каждого х* е X* функция x*f: ft —> R измерима.
Теорема 11.30. Функция f измерима тогда и только тогда,
когда f слабо измерима и почти сепарабелънозначна.
Доказательство. Предположим, что / — измеримая функция.
Согласно теореме 11.25, достаточно показать, что / слабо
измерима. Рассмотрим произвольные линейный непрерывный функционал
х* G X* и открытое множество Н С R. Очевидно, что множество
G = (ж*)-1 (Я) открыто в X вследствие непрерывности х*. Поэтому
множество (x*f)~l(H) = f~l(G) измеримо в силу теоремы 11.25.
Таким образом, функция х* f измерима для каждого х* G X*.
Обратно. Пусть / почти сепарабельнозначна и слабо измерима.
Пусть Е — такое множество меры нуль, что f(ft \ E) содержится в
сепарабельном подпространстве L. Выберем в L счетное всюду плотное
множество {#A;}fcLi- По теореме Хана-Банаха (см. следствие П.18), для
каждого к найдется такой линейный непрерывный функционал х*к G
Х\ что \\х*к\\ = 1 и х*кхк = \\хк\\. Тогда ||/(*)|| = supk\x*kf(t)\ для всех
t £ Е (см. следствие П.22). Согласно утверждению 11.27, функция ||/||
измерима. Точно так же доказывается измеримость всех функций
»*(*) = ||/(*)-*к||- (И-14)
Рассмотрим произвольное открытое множество G С X и проверим,
что прообраз f~1(G) измерим, откуда, по теореме 11.25, будет
следовать измеримость функции /. Для каждого натурального к
обозначим через гк максимальное неотрицательное число г, для которого
Вг{хк) С G. Тогда
оо
\jBrk(xk)=G. (11.15)
k=i
Действительно, пусть х е G. Найдем такое е > 0, что В£(х) С G.
Так как множество {хк}<^=1 всюду плотно, можно найти номер К, для
которого ||ж — ж/с|| < е/2. Поскольку В£(х) С G, то тк ^ е/2. Таким
образом, х G Вг {хк)-
Из (11.14) и (11.15) следует, что
ОО ОО
r\G) = и гчдл**)) = U ^ Ч^(о)),
k=l k=l

J6 ТЕОРЕМА ПЕТТИСА ОБ ИЗМЕРИМОСТИ 191
(мы сохраняем обозначение U£(t) для окрестности на действительной
прямой). В силу измеримости функций д^ и теоремы 11.25 получаем,
что множество f~l{G) измеримо. □

Глава 12
Интегралы Бохнера и Мак-Шейна
§ 1. Понятие интеграла для простых функций
Рассмотрим пространство О, с конечной сг-аддитивной мерой /i,
заданной на сг-алгебре £ измеримых подмножеств пространства ft.
Определение 12.1. Интегралом Бохнера простой функции f:ft—>
п
X, задаваемой формулой f = ^2 xiXe , Ei £ Я, по измеримому мно-
г=1
п
жеству Е назовем вектор ^ хф[Ег П Е) и обозначим его (B)fE f dfi.
г=1
Утверждение 12.2. Для простой функции f интеграл Бохнера
по измеримому мноэюеству Е не зависит от ее представления в виде
линейной комбинации индикаторов.
Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь два представления
простой функции / в виде линейной комбинации индикаторов измери-
п т
мых множеств. А именно, пусть / = 2 Х'%ХЕ, = Х^ х'1хЕч-> Щ>Щ £ £.
г=1 г j = l
Тогда для всех г и j, при которых множество Е[ П Е" не пусто, имеем
х\ = х". Следовательно
п п т
г=1 г=1 j = l
т п т
jf = l i=l j = l
Таким образом, интегралом Бохнера простой функции может быть
единственный вектор пространства X.
Лемма 12.3. Пусть f,g: Q —> X — простые функции, а и (3 —
действительные числа, Е — измеримое множество. Тогда
J (a/ + Pg) dn = a J f dfi + f3 J g d/z.

§1. ИНТЕГРАЛ ДЛЯ ПРОСТЫХ ФУНКЦИЙ
193
Доказательство. Можно считать, что / = J2xiXF , Fi е Е, а
т п т
9 = Е УзХс > Gj Е Е, причем Q Я = «, ^г П JR,- = 0 и (J G, =
3 = 1 3 г=1 j = l
П, Gi П G, = 0. Тогда
п т
и для любого измеримого множества £" справедливы соотношения
/п га
(а/ + fig) dfx = J2 J^(aXi + РуМЪ П <^ П Е) =
n га Г Г
= a^xmiFi П £7) + P^yj^Gj П £7) = a fdp + p gdfi.
i=i j=i JE {
D
Лемма 12.4. Пусть f: ft —> R — неотрицательная простая
функция. Тогда для любого измеримого мноэюества Е выполняется
неравенство
f fdfi^O.
Е
Лемма 12.5. Пусть f,g: ft —> R — простые функции, причем
f(t) < </(£) для всез: £ е ^. Тогда для любого измеримого мноэюества Е
выполняется неравенство
/'*</.
gdfi.
IE
Е
Это сразу следует из лемм 12.3 и 12.4.
Замечание 12.6. Если f: ft —> R — неотрицательная простая
функция, то для любых измеримых множеств Е и G, G С Е,
справедливо неравенство fGfd/j, ^ J*E / d/i, что сразу вытекает из леммы
12.5, если заметить, что fGfdfi = JE /xg dfi.
ЛЕММА 12.7. Пусть f — банаховозначная простая функция.
Тогда для любого измеримого мноэюества Е выполняется неравенство
jffdtA<f\\f\\dii.
Е Е
п
Доказательство. Пусть / = 2 хгХЕ > ^ е Е, причем множе-
г=1
ства £"г попарно не пересекаются. Тогда норма функции f(t) имеет

194
Гл. 12. ИНТЕГРАЛЫ БОХНЕРА И МАК-ШЕЙНА
вид ||/(£)|| = 5Z IWIXz^W- Следовательно, для любого измеримого
г=1
множества Е справедливо неравенство
|//сН
Е
Y^xniiEiViE)
€
^
^\\хгЫЕгПЕ) = JllfWdfi. П
Определение 12.8. Функция множества F: Е —> X называется
конечно аддитивной, если для любого конечного набора
непересекающихся измеримых множеств {Ek}Tkl=1 выполняется равенство
F(\jEk)=£F(Ek).
4=1 7 к=1
Лемма 12.9. Пусть f: О, -^ X — простая функция. Тогда
функция множества F(E) = (B)fE f d/i является конечно аддитивной.
п т
Доказательство. Пусть / = £ ХгХЕ , Ег е Т,, и А = (J Ак,
i=i г fc=i
Ак g Е и не пересекаются друг с другом. Тогда
/п п тп
fdfi = Y^XiV(Ei ПА)= Y,J2Xi^Ei П Ак) =
А 1=1 г=1 к=1
тп п тп р
к=1 г=1 k=lXk
Определение 12.10. Функция множества F: Е —► X
называется абсолютно непрерывной, если для любого е > 0 существует такое
rj > 0, что для каждого измеримого множества Е, удовлетворяющего
условию fi(E) < 77, выполняется неравенство ||F(.E)|| < е.
Лемма 12.11. Пусть f — банаховозначная простая функция.
Тогда функция множества F(E) = (B)fE f dfi абсолютно непрерывна.
п
Доказательство. Пусть / = X) Xi\E , Ei e E. Максимальное
г=1
значение М нормы значений функции / совпадает с наибольшей из
величин ||жг|| по всем г, 1 ^ г ^ тг. Для каждого е > 0 положим 7/ =
е/(М+1). Тогда для любого измеримого множества Е с мерой //(£") < г)
согласно леммам 12.7 и 12.5 выполняется неравенство
I//dJ ^ [\\f\\dv < М/*(Я) < е. П

§2. ИНТЕГРАЛ ДЛЯ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ
195
§ 2. Распространение интеграла на измеримые функции
Определение 12.12. Будем называть последовательность
простых функций fn фундаментальной, если
lim (B)[\\fn-fm\\dv = 0.
т,п—>оо J
П
Лемма 12.13. Пусть {fn}n — фундаментальная
последовательность простых функций. Тогда для любого измеримого мноэюества
Е существует предел последовательности векторов (В)J fn d/j,.
Е
Доказательство. Согласно лемме 12.7 для каждого измеримого
множества Е и для всех номеров тип выполняется неравенство
fndfi- fm dfi\\ ^ / ||/n - fm\\ dfi.
ЕЕ Е
Переходя в данном неравенстве к пределу при т,п —> оо, получим
lim \\ fndfj,- / fmdfi
0.
Следовательно, последовательность векторов j fn dfi фундаментальна
Е
и поэтому имеет предел. □
Определение 12.14. Функция / называется интегрируемой по
Бохнеру (В-интегрируемой), если существует фундаментальная
последовательность простых функций /п, сходящаяся к / по мере. При
этом интегралом Бохнера функции / по измеримому множеству Е
называется предел lim (B)J fn d/j,, который обозначается (B)J f dfi.
n->oo E E
Лемма 12.15. Пусть {fn}n и {gTi}n— две фундаментальные
последовательности простых функций, сходящиеся по мере к функции
f. Тогда для любого измеримого мноэюества Е справедливо равенство
lim fndfi= lim / gn dfi.
n—>oo J n—+oo J
Доказательство. Согласно утверждению 11.4
последовательность {fn — gn}n сходится по мере к нулю. Из леммы 12.13 следует,
что для любого измеримого множества Е существуют пределы
последовательностей векторов JE fn d/j, и fE gn d/j,. Следовательно,
существует предел последовательности векторов fE(fn — g-n) d/i. Таким
образом, для доказательства теоремы достаточно показать, что для
любого Е Е £ последовательность векторов JE(fn — gn) d/j, сходится к
нулю. Учитывая лемму 12.7, остается убедиться в стремлении к нулю

196
Гл. 12. ИНТЕГРАЛЫ БОХНЕРА И МАК-ШЕЙНА
последовательности {fEhnd/j,} , где hn = \\fn — дп\\. Согласно
утверждению 11.5, последовательность {hn}n сходится по мере к нулю.
Заметим также, что {hn}n — фундаментальная последовательность
простых функций. Действительно, для любых номеров тип справедливо
неравенство
/ \Кь -hm\dfl= / |||/n-0n|| - \\fm- 9m\\\dfl^
<: / \\fn- 9n- frn-\-9m\\dfl^ / \\fn~ fm\\dfJL+ / \\gn ~ 9m\\ dfl,
которое вместе с фундаментальностью {fn}n и {gn}n доказывает
фундаментальность {hn}n. Для каждого измеримого множества Е
положим
Н(Е) = lim fhndfjL. (12.1)
n->oo J
Е
Этот предел существует согласно лемме 12.13. Покажем, что Н(Е) = О
для любого измеримого Е.
Фиксируем е > 0. Так как {hn}n — фундаментальная
последовательность простых функций, найдется такой номер гц, что для всех
тг, m ^ ni выполняется неравенство
/|
hn-hm\dfi< -. (12.2)
По лемме 12.11 функция hni абсолютно непрерывна. Следовательно,
для некоторого 77 > 0 и для любого измеримого множества Р с мерой
fi(P) < rj верна оценка
jhmdiK^. (12.3)
р
Из (12.2), (12.3), а также леммы 12.7 и замечания 12.6 следует, что для
всех п > п\ и Р G £, ц{Р) < rj, справедливо неравенство
hndfi^ hnid/j,+ \ (hn - hni)d(A <
p p p
< | + \hn-hni\dfi< |. (12.4)
n
Наконец, в силу сходимости по мере последоваетльности {hn}n к нулю,
найдется такой номер тг2, что для всех п ^ пч имеем
4en:Mi)>^k}<??- (m)

§3. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА БОХНЕРА
197
Положим N = maxjni, П2}. Тогда для всех п^ N выполняются
неравенства (12.4) и (12.5). Учитывая лемму 12.5, получаем для любых
п ^ N и Е G £ оценку
I hndfi = I hndfi-\- / hnd/j, < s.
Переходя к пределу при п —> оо и учитывая (12.1), имеем #(i?) ^ е.
Так как е > 0 выбрано произвольным, то #(£) =0. □
Класс интегрируемых по Бохнеру функции может быть описан
также при помощи почти равномерной сходимости и сходимости
почти всюду. Действительно, непосредственно из определения интеграла
Бохнера и следствий 11.15 и 11.21 получаем следующие утверждения.
Следствие 12.16. Для того чтобы функция /: [а,Ь] —> X была
В-интегрируемой, необходимо и достаточно существования
фундаментальной последовательности простых функций fn, сходящейся к
f почти равномерно.
Следствие 12.17. Для того чтобы функция /: [а,Ъ\ —► X была
В-интегрируемой, необходимо и достаточно существования
фундаментальной последовательности простых функций fn, сходящейся к
f почти всюду.
§ 3. Простейшие свойства интеграла Бохнера
Свойство 12.18. Пусть f,g — банаховозначные В-интегрируе-
мые функции, а и (3 — некоторые числа, Е — измеримое множество.
Тогда функция af + /3g также В-интегрируема, причем
J(af + Pg)dfi = affdfi + plgdfi.
Е ЕЕ
Доказательство. Пусть {fn}n и {gn}n ~ фундаментальные
последовательности, сходящиеся по мере к функциям / и д,
соответственно. Из утверждения 11.4 следует, что afn-\-(3gn —>• af + (3g. Для любых
натуральных тип выполняется неравенство
/ \\afn + (3gn - afm ~ 0дт\\ dfi ^
<А J ||/п - /mil dfi + \P\ J \\gn - 9m\\ dfi.
Следовательно, последовательность {afn-\-(3gn}n фундаментальна.
Таким образом, функция af+ (Зд является Б-интегрируемой, и. согласно

198
Гл 12. ИНТЕГРАЛЫ БОХНЕРА И МАК-ШЕЙНА
лемме 12.3, для каждого измеримого множества Е справедливы
равенства
/ (af + 0д) dfi = Jiirn^ / (afn + /Здп) dfi =
Е Е
= a lim / fndfi + (3 lim gndfi = a / fdfi-\-/3 g dfi. □
n-«x>J n^ooj J J
E E E E
Свойство 12.19. Пусть функция f является Б-интегрируемой.
Тогда функция мноэюества F(E) = fEf dfi конечно аддитивна.
Доказательство. Пусть {fn}n — фундаментальная
последовательность простых функций, сходящаяся к / по мере, и пусть Е =
т
\_\ Еь, где Ek — измеримые множества. Тогда, согласно лемме 12.9,
k=i
имеем
/р ТТЬ п
fdfi = lim fndfi = lim V" fndfi =
n—>oo J n—>oo *■—' J
E E k=lEk
m p m „
= ILs }™o / ^П ^ = ^ / ^ dfJ" П
k=1 Ek k=1Ek
Нетрудно проверить, что имеет место
Свойство 12.20. Пусть /: Q —> R — неотрицательная Б-ин-
тегрируемая функция. Тогда для любого измеримого мноэюества Е
выполняется неравенство
f fdfi^O.
Е
Свойство 12.21. Пусть f,g являются Б-интегрируемыми
действительнозначными функциями, удовлетворяющими неравенству
f(t) ^ g{t) для всех t e ft. Тогда для любого измеримого мноэюества
Е выполняется неравенство
j fdfi^ J i
9 dfi.
E E
Это сразу следует из свойств 12.18 и 12.20.
Свойство 12.22. Пусть функция f является Б-интегрируемой,
а функция g совпадает с ней почти всюду. Тогда g также
Б-интегрируема, причем для любого измеримого мноэюества Е справедливо
равенство fEfdfi = JEgd/j,.

§4. ИНТЕГРАЛ МАК-ШЕЙНА
199
Доказательство. В силу линейности В-интеграла достаточно
показать, что интеграл от функции h, равной нулю почти всюду, по
любому измеримому множеству Е равен нулю. Последнее очевидно,
так как в качестве фундаментальной последовательности простых
функций, сходящихся по мере к h, можно выбрать тождественно
нулевую. □
§ 4. Интеграл Мак-Шейна
Определение 12.23. Функция/: [а,Ь] —> Xназывается
интегрируемой по Мак-Шейну (М-интегрируемой) и ее интеграл равен
вектору I е X, если для любого е > 0 найдется такой масштаб 5, что для
любого отмеченного £-разбиения Мак-Шейна т отрезка [а, Ь]
выполняется неравенство
£дот
< £.
Будем называть вектор I определенным интегралом Мак-Шейна
ь
(М-интегралом) функции / по [а, Ь] и обозначать через (A4)ffdx или
(M)J fdx.
Непосредственно из теоремы 10.17 видим, что, как и в случае
действительнозначных функций, интеграл Мак-Шейна оказывается шире
интеграла Римана.
Теорема 12.24. Если функция f': [a,b] —> X является TZ-интегри-
руемой, то она также Л4 -интегрируема.
Лемма 12.25 (Критерий Коши). Функция /: [а, Ь] —> X является
Л4 -интегрируемой тогда и только тогда, когда для любого е > 0
найдется масштаб 5, такой, что для любых двух отмеченных 6-
разбиений Мак-Шейна т' = {(/£,££)} и Т" = {W»£")} отрезка [а,Ь]
выполняется неравенство:
ЕЕ(/^)-/^"))14п/п
< е.
Свойство 12.26. Пусть функция /: [а, Ь] —> X является М-ин-
тегрируемой. Тогда она М-интегрируема и на любом подотрезке [с, d]
отрезка [а, 6].
Определение 12.27. Пусть функция /: [а, 6] —> X интегрируема
t
по Мак-Шейну. Будем называть функцию F(i) = (M)J f dx неопре-
a
деленным интегралом Мак-Шейна (неопределенным М-интегралом)
функции /.

200
Гл 12 ИНТЕГРАЛЫ БОХНЕРА И МАК-ШЕЙНА
СВОЙСТВО 12.28. Пусть а < с < Ь и функция f:[a,b]—>X
является М-интегрируемой на отрезках [а, с] и [с, Ь]. Тогда f таксисе
М.-интегрируема на [а,Ъ], причем
о с о
If dx = / / dx + I f dx.
Свойство 12.29. Пусть f,g: [a,b] —» X
являютсяМ-интегрируемыми функциями, а,/3 G R. Тогда функция af + (3g таксисе М-
интегрируема, причем
ь ь ь
[(af + Pg)dx = a[fdx + pfgdx.
а а а
СВОЙСТВО 12.30. Пусть /: [а, Ь] —» X является
М.-интегрируемой функцией, А: X —» Y — линейный ограниченный оператор. Тогда
функция Af: [а, Ь] —» У таксисе М-интегрируема, причем
о о
Af dx = A f dx.
В частности, последнее свойство верно для линейных
непрерывных функционалов над X.
Свойство 12.31. Если функция /: [а,Ь] —> X М-интегрируема,
то для любого х* е X* функция х* f такэюе М-интегрируема,
причем
ъ ь
I х* f dx = x* f dx.
Свойство 12.32. Пусть функция f: [a, b] —» X М.-интегрируема,
а функция д: [а,Ь] —» X совпадает с ней почти всюду. Тогда g таксисе
М-интегрируема, причем для любого подотрезка [с, d] отрезка [а,Ь]
справедливо равенство
d d
fdx= I gdx.
с с
Доказательство. В силу линейности .М-интеграла достаточно
показать, что интеграл от функции h, равной нулю почти всюду, по
любому отрезку [с, d] С [а, Ь] равен нулю. Обозначим через Рп
множество таких t Е [с, d), что
п-1< \\h(t)\\ ^п. (12.6)

§4. ИНТЕГРАЛ МАК-ШЕЙНА
201
Так как при каждом п мера множества Рп равна нулю, найдется такое
открытое множество Gn, что Рп С Gn и
MGn) < ^г- (12.7)
СЮ
Выберем масштаб 5 в точках множества (J Рп так, чтобы £/$(£)(£) С
71=1
С Gn, если £ 6 Рп. В остальных точках доопределим S произвольным
образом. Учитывая (12.6) и (12.7), для произвольного отмеченного 5-
разбиения Мак-Шейна т имеем
сю сю
ЕвдлЦ < ЕНВДНЛ = Е Е 1|л(0|цл < Е£ = е- п
т т п=1т[Р„] п—!
Свойство 12.33. Пусть/: [а,Ь] —> R является неотрицательной
М-интегрируемой функцией. Если fafdx = 0, то f(t) = 0 почти
всюду.
Доказательство. Предположим противное. Тогда найдутся
положительное число ?7 и измеримое множество А такие, что /л(А) > О
и /СО ^ ^ Для всех t 6 А Пусть G — некоторое открытое
множество, содержащее [а, 6] \ Л и такое, что fi{G Г) А) < /л(А)/2. Выберем
масштаб 5\ так, чтобы Щх^)(^) С G для всех £ ^ Л. В точках
множества А доопределим д\ произвольным образом. Теперь для любого
масштаба S положим ^2(С) — mm{^i(£)'^(£)}- Рассмотрим отмеченное
^-разбиение Мак-Шейна т, которое, в частности, является J-разбие-
нием. Учитывая выбор масштаба <$i, получаем
т[А]
Так как масштаб 5 был выбран произвольно, последнее неравенство
противоречит тому, что Л4-интеграл функции / равен нулю. □
Лемма 12.34 (лемма Сакса-Хенстока). Пусть функция f: [а, Ь] —>
X М-интегрируема и пусть для заданного е > 0 найден такой
масштаб 5, что для любого отмеченного д-разбиения Мак-Шейна т
отрезка [а, Ь] выполняется неравенство
о
E/(oiji-/
fdx\
< е.
Тогда для любого отмеченного д-разбиения Мак-Шейна г =
{(Ik,£k)}k=i отрезка [а,Ь] и любого подмножества J С {1,...,тг}

202
Гл 12. ИНТЕГРАЛЫ БОХНЕРА И МАК-ШЕЙНА
таксисе выполняется неравенство
^e.
Эта лемма доказывается аналогично лемме 3.8.
Теорема 12.35. Пусть f: [a,b] —> X является М.-интегрируемой
функцией, F: [а, Ь] —» X —ее неопределенный интеграл. Тогда
функция F непрерывна на [а, Ь].
Лемма 12.36. Пусть /: [а, 6] —> X является М.-интегрируемой
функцией. Для любого е>0 найдется такое rj>0, что для любого на-
п
бора неперекрывающихся отрезков {Ik}^=1 со свойством J^ \Ik\ < rj
и П и
выполняется неравенство ^ / f dx\\ < e.
llk=uk "
Доказательство. Фиксируем е > 0. По определению
интегрируемости по Мак-Шейну, найдется масштаб 6, такой, что для
любого отмеченного J-разбиения Мак-Шейна т отрезка [а, Ь] выполняется
неравенство
£(/ш-//<**)
е
<2'
(12.8)
Система интервалов {Us(£)(0}cG\a w покрывает отрезок [а, Ь]. По
теореме Гейне-Бореля, выделим из нее конечное подпокрытие. Удалив
те интервалы подпокрытия, которые целиком содержатся в
объединении остальных, получим набор интервалов {Us(£k)(£k)} k=v такой, что
)(6fc+i) = 0 Для всех fc>
£i < 6 < . • •
2^ к^п- 1.
< £п и [/^
Положим
?71
!)&-1)П%
mm
т =
2maxJ|/(a)|| + l'
77 = min{77i,772}.
(12.9)
(12.10)
Рассмотрим систему неперекрывающихся отрезков U с суммой длин
меньше rj. Ввиду (12.9), каждый из этих отрезков либо целиком лежит
в некотором интервале Us^k) (£fc)> либо содержится в объединении двух
соседних. В последнем случае можно разбить соответствующий
отрезок на два, каждый их которых лежит целиком в одном из интервалов
семейства {^<5(£fc )(&)}*.--г Учитывая, что после расщепления отрезков
рассматриваемой системы сумма норм приращений функции F может
только увеличится, будем сразу предполагать, что каждый из отрезков

§4. ИНТЕГРАЛ МАК-ШЕЙНА
203
li целиком содержится в некотором интервале U^k){£,k)- Для каждого
А;, 1 < к ^ п, обозначим через {/*}^х семейство отрезков,
содержащихся в Us(£k)(£k)- Принимая во внимание лемму 12.34 и формулы
(12.8), (12.10), окончательно получаем
е//Н|=|ёе//^
г j. Wk=li=ljk
k=i i=i Y,
^
+ ЕЕ11/(&)
\1П<е. □
А;=1 г=1
Определение 12.37. Семейство {fa}a банаховозначныхфункций,
определенных на пространстве П и интегрируемых по Мак-Шейну,
называется равномерно М -интегрируемым, если для любого е > 0
найдется такой масштаб 5: Q, —» (0,+оо), что для любого отмеченного
^-разбиения Мак-Шейна т отрезка [а, 6] и для каждого а выполняется
неравенство
ь
52fa(№\-(M)JfQdx
< е.
Учитывая свойство 12.31, получаем критерий интегрируемости по
Мак-Шейну вектор-функции в терминах равномерной .М-интегриру-
емости некоторого семейства действительнозначных функций.
Утверждение 12.38. Функция /: [а, Ь] —» X является М-инте-
грируемой тогда и только тогда, когда семейство {x*f: \\x*\\ = 1}
равномерно М -интегрируемо.
Доказательство. Пусть / интегрируема по Мак-Шейну. Это
означает, что для любого е > 0 найдется такой масштаб 5, что для
всякого отмеченного S-разбиения Мак-Шейна т отрезка [а, Ь] выполняется
неравенство
ь
Тогда для каждого х* е X*, ||ж:
б
а
1, имеем
< е.
£>*/(0|/| - Jx*fdx\ = \x* (52№)\i\ - Jf<b)
< е.
Обратно. Пусть семейство функций {х* f: \\х*\\ = 1} равномерно М-
интегрируемо. Это означает, что для любого е > 0 найдется такой

204
Гл. 12 ИНТЕГРАЛЫ БОХНЕРА И МАК-ШЕЙНА
масштаб 5, что для всех х* е X*, \\х* || = 1, и для каждого отмеченного
J-разбиения Мак-Шейна т отрезка [а, 6] выполняется неравенство
J2x*m\i\-Jx*fdx
< е.
Тогда, используя равенство ||ж|| = sup{|x*x|: ||ж*|| = 1} (см. следствие
П. 19), получаем
ь
£/ш-/
fdx
<е.
П
Из теоремы о перестановке пределов по базе (см. 1.24) сразу
получаем предельную теорему для интеграла Мак-Шейна в терминах
равномерной Л4-интегрируемости.
Теорема 12.39. Пусть последовательность равномерно М-ин-
тегрируемых функций fn сходится всюду к некоторой функции
/: [ау Ь] —» X. Тогда f интегрируема по Мак-Шейну, причем
ъ ь
// dx = lim / fn dx.
n-><x>y
§ 5. Вариационный интеграл Мак-Шейна
Определение 12.40. Функция /: [а, Ь] —> X называется
вариационно интегрируемой по Мак-Шейну (MV-интегрируемой), если
существует функция F: [а,Ь] —» X со следующим свойством: для
любого е > 0 найдется такой мастштаб S, что для любого отмеченного
J-разбиения Мак-Шейна т отрезка [а, Ь] выполняется неравенство
Д|Я0|/|-ДП/)|
< е.
Функцию F назовем неопределенным вариационным интегралом Мак-
Шейна (неопределенным MV-интегралом) функции /. Вектор F(b) —
F(a) будем называть определенным вариационным интегралом Мак-
Шейна (MV-интегралом) функции / по отрезку [а, Ь] и обозначать
б
(MV)Jfdx или (MV) J fdx.
а [а,Ь]
Свойство 12.41. Пусть функция f MV-интегрируема. Тогда f
таксисе М.-интегрируема, причем
о о
(M)ffdx = (MV)f fdx.

§5 ВАРИАЦИОННЫЙ ИНТЕГРАЛ МАК-ШЕЙНА
205
Доказательство. Пусть F: [а, Ь] —» X — неопределенный
вариационный интеграл Мак-Шейна функции /. Для любого
отмеченного J-разбиения Мак-Шейна т отрезка [а, Ь] справедлива оценка
£/(Ш1 - № - Па))\ = |£(/Ш - AF(/)) II ^
Т II II т II
<£||/№-дпо||.
Т
Теперь утверждение следует непосредственно из определений 12.23 и
12.40. D
В случае X = R можно в новых терминах сформулировать лемму
Колмогорова-Хенстока 3.9.
Следствие 12.42. Функция f: [а, Ь] —» Ш М-интегрируема тогда
и только тогда, когда она MV-интегрируема, причем
ь
(M)Jfdx = (MV)J fdx.
Свойство 12.43. Пусть функция f является
MV-интегрируемой, a F: [a,b] —» X — ее неопределенный интеграл. Тогда функция F
непрерывна на [а, Ь].
Это свойство следует из предыдущего свойства и теоремы 12.35.
Свойство 12.44. Пусть функции f,g MV-интегрируемы, а, 0 G
R. Тогда функция af + (3g таксисе MV-интегрируема, причем
ь ь ь
[(af+0g)dx = a f f dx + (3 (gdx.
a a a
Свойство 12.45. Пусть f: [a,b] —> X MV-интегрируема, A: X —>
Y — линейный ограниченный оператор. Тогда функция Af: [a,b] —> Y
таксисе MV-интегрируема, причем
ь ь
I Af dx = A I f dx.
Лемма 12.46. Пусть f: [a, b] —> X — простая функция. Тогда
она MV-интегрируема, причем для каждого подотрезка [с, d] отрезка
[а, Ь] справедливо равенство
а а
(MV)Jfdx = (B)Jfdfi.

206
Гл. 12. ИНТЕГРАЛЫ БОХНЕРА И МАК-ШЕЙНА
Доказательство. В силу линейности MV- и В-интегралов
достаточно показать, что для каждого измеримого множества Е
функция хЕ является MV-интегрируемой и ее .MV-интеграл по отрезку
[с, d] равен /i([c, d]C\ E). Фиксируем е > 0. Найдутся открытые
множества G\ и G2, такие, что Е с Gi, [а, Ь] \ Е с G2 и /i(Gi \E) < е/2,
/i(G2 П i£) < е/2. Выберем масштаб J таким образом, чтобы £/$(£)(£) С
Gi для всех £ е Е и Us($)(€) С G2 для всех £ е [а, 6] \ £. Тогда для
произвольного отмеченного J-разбиения Мак-Шейна т имеем
Y^\xB№\-№riE)\ = 52rti\i2)+ £ М'пя)<
Т Т[Я] T[[a,b)\E]
^ /i(Gi \ Я) + /i(G2 ПЕ)<е. D
Свойство 12.47. Пусть функция /: [а, Ь] —> A"
MV-интегрируема, а функция д: [а, 6] —> X совпадает с ней почти всюду. Тогда g
также MV-интегрируема, причем для любого подотрезка [c,d]
отрезка [а, Ь] справедливо равенство
d d
I fdx = I gdx.
с с
Доказательство этого свойства повторяет рассуждения
проведенные для свойства 12.32.
§ 6. Эквивалентность интеграла Бохнера и вариационного
интеграла Мак-Шейна
В этом параграфе будет установлена эквивалентность интеграла
Бохнера и вариационного интеграла Мак-Шейна. Нам понадобятся две
вспомогательные леммы, касающиеся свойств фундаментальных
последовательностей простых функций.
Лемма 12.48. Каждая фундаментальная последовательность
простых банаховозначных функций jn, определенных на отрезке [а, Ь],
является фундаментальной и в смысле сходимости по мере.
Доказательство. По условию леммы в силу определения 12.12
имеем
ь
lim (B)/||/„-/m||d/i = 0. (12.11)
т,п—>оо J
а
Согласно свойству 12.46, а также следствию 12.42, интеграл от
действительнозначной функции ||/n — fm\\ может пониматься в смысле
Мак-Шейна. Применяя неравенство Чебышева 3.14, для любого е > 0

§6 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ в- И .МУ-ИНТЕГРАЛОВ
207
получаем неравенство
о
/х{* G [о, Ъ]: ||/„(<) - fm(t)\\ >e}^ ±(M)J ||/„ - /ш|| dx.
a
Переходя к пределу при m, n —» оо и учитывая (12.11), имеем
mlimoo/i{t е [а,Ъ]: \\Ш - fm(t)\\ > e} = 0.
Таким образом, последовательность {fn}n фундаментальна
относительно сходимости по мере. □
Лемма 12.49. Пусть фундаментальная последовательность
простых функций fn сходится по мере к В-интегрируемой функции
/: [а, Ь] —> X. Тогда для каждого е > 0 найдется такое
натуральное N, что для любого п ^ N и произвольного разбиения т отрезка
[а, Ь] выполняется неравенство
т- II J J I
^e.
Доказательство. Так как последовательность {fn}n
фундаментальна, найдется такой номер N, что для всех т, п ^ N выполняется
неравенство
ь
I
Wfn- fm\\dfi<e.
(12.12)
Рассмотрим произвольное разбиение г отрезка [а, Ь]. По свойству 12.7,
из неравенства (12.12) следует
ZJ/ fndV- frr
dfi
< е.
Применяя лемму 12.13 и вспоминая определение интеграла Бохнера,
перейдем к пределу при т —> оо. Получим
zll//»<*/*- //
dm
^е.
П
Утверждение 12.50. Пусть функция f:[a,b]—>X является В-
интегрируемой, тогда она MV-интегрируема, причем
о о
{B)j fdp = (MV)j fdx.

208
Гл 12. ИНТЕГРАЛЫ БОХНЕРА И МАК-ШЕЙНА
Доказательство. Согласно следствию 12.17, найдется
фундаментальная последовательность {fn}n простых функций, сходящаяся
к / почти всюду. Пусть Р — множество всех t E [а, Ь], для которых
{fn(t)} не сходится к f(t). Мера множества Р равна нулю. Принимая
во внимание свойства 12.22 и 12.47, достаточно доказать утверждение
для функции д, равной / всюду, кроме множества Р, и равной нулю
на Р. Так же поступим и с функциями последовательности {/п}п,
заменив их простыми функциями дп, обращающимися в нуль на
множестве Р. Теперь фундаментальная последовательность {gn}n сходится
к функции д всюду.
Воспользуемся тем, что наряду с поточечной сходимостью
последовательности {дп}п к функции д неопределенные интегралы функций
дп вариационно близки к неопределенному интегралу д.
Действительно, по лемме 12.49, для любого натурального I можем найти такой
номер щ, что для всякого разбиения г выполняется неравенство
Перейдем к подпоследовательности, состоящей из функций hi = дщ.
Как и последовательность {дп}п, она сходится всюду к функции д,
поэтому для каждого t G [а,Ь] можно найти такой номер /(£), что для
всех I ^ l{t) справедлива оценка
N^-ffWHs^- (12Л4)
С другой стороны, по лемме 12.46, все простые функции hi являются
MV-интегрируемыми. Следовательно, для каждого I существует
такой масштаб <5j, что для любого отмеченного с^-разбиения Мак-Шейна
т отрезка [а, Ь\ выполняется неравенство
£||(S)/s»« dn - (B)JgdJ < 2Ш- (12.13)
£
мот
w/
hi d[i
<
e
(12.15)
Положим J(£) = <Sj (£)(£)• Рассмотрим произвольное отмеченное 5-раз-
биение Мак-Шейна т отрезка [a,b]. Каждое слагаемое <?(£)!-Л» {!>£) е
т, приблизим выражением Ыф(£)\1\, выбирая простую функцию h^
в зависимости от элемента разбиения:
£|Uom - (B)[9dl <x)lb(o - ft'(«(oil • i7i+
^ II J I ~
+£
+
hm(0\i\-(B)Jhmdf^+
I
J2\\(B)fhmdt,-(B)f9dJ
~ II J J II
(12.16)

§6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ в- И .МУ-ИНТЕГРАЛОВ
209
Учитывая (12.14), для первого слагаемого правой части (12.16) имеем
оценку
£№-%>(0||-т<§-
(12.17)
Для оценки второго слагаемого (12.16) заметим, что
Е|л«(с)(от-(в)/ли«^| =
х II J II
00 II г
= £ £ Л|(0|/|-(в)/Л|Ф
Принимая во внимание (12.13) и вспоминая, что hi = pnp имеем
Yi(B)fhmdfi-(B)f9dJi =
т\\ J J II
СО II /* /" II °°
= £ Е р)/h*d» - Щ 9 dJ < Е
Аналогично из (12.15) получаем оценку
YJihm(0\I\-(B)fhmdJ^
СЮ м „ и СЮ
^Е Е Mom-(s)/fcid/x <е
Объединяя (12.16) — (12.18), приходим к неравенству
е __ е
2^+2 "" 4"
(12.18)
2^+2 ~~ 4"
(12.19)
Таким образом, д является M.V-интегрируемой, причем для любого
I С [а, Ь) справедливо равенство (MV)fj gdx = (B)fj g dfi. □
Утверждение 12.51. Пусть функция /: [а,Ь] —> X является
MV-интегрируемой, тогда она В-интегрируема, причем
о о
{B)Jfd^ = {MV)J fdx.

210
Гл 12 ИНТЕГРАЛЫ БОХНЕРА И МАК-ШЕЙНА
Доказательство. Согласно определению Л^У-интеграла, 12.40
для каждого натурального п найдется такой масштаб 5п, что для
любого отмеченного £п-разбиения Мак-Шейна т отрезка [а, Ь]
выполняется неравенство
Ylb^m-(Mv)Jfdx\
<
1
(12.20)
г к
Для каждого п выберем одно из таких разбиений тп = {(i^,^)}/^.
Определим функции /п следующим образом:
/»(*) = Е/(#)х,»(<)-
fc=i
(12.21)
Для всех номеров тип наборы
{(/£ П/Г,ф: 1 ^ fc ^ fcn, 1 ^ / ^ кш},
{('Г П/Г,0Г): 1 < fc ^ fcm, 1 < / < Ц
образуют отмеченные 5п- и <5т-разбиения Мак-Шейна отрезка [а, Ь]
соответственно. Учитывая (12.20), получаем оценку
о
(В)/ II/» - /Л <*м = X) £l|/(tf) ~ /«Г)|| • 14" n in <
^
ЕЕ
тжтг
(MV)J
fdx\\ +
+££
f№)№riir\-{MV)J fdx
l l
< - + —.
n m
Таким образом, последовательность простых функций fn
фундаментальна. По лемме 12.48, последовательность {fn}n фундаментальна в
смысле сходимости по мере. Согласно утверждению 11.18,
последовательность {fn}n сходится по мере к некоторой функции д. Эта
функция Б-интегрируема, по определению 12.14. Из утверждения 12.50
следует, что д также MV-интегрируема. Покажем, что д совпадает с /
почти всюду. Для этого достаточно проверить, что MV-интеграл нормы
разности функций д и / равен нулю.
Фиксируем е > 0. В силу MV-интегрируемости функций / и д
найдется такой масштаб So, что для любого отмеченного ^-разбиения

§6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ В- И .МУ-ИНТЕГРАЛОВ
211
Мак-Шейна т отрезка [а, Ь] выполняются неравенства
е
J2\\f(0\I\-(MV)ffdx
52\9№\-(MV)[gdx\
т- II J \
<
<
4'
е
(12.22)
(12.23)
Применяя лемму 12.49 и учитывая равенство Б- и .MV-интегралов
функции #, выберем такой номер TV > 4/е, что для любых п ^ N
и произвольного разбиения т верна оценка
J2 \\(MV)Jfndx-(MV)[gdx\
<
(12.24)
Положим 6(£) = тт{5о({;),5м(£,)} и рассмотрим отмеченное J-разбие-
ние Мак-Шейна т = {(h,€k)}к=1- Заметим, что наборы
{(4 П //*,&): 1 < fc ^ /Г, 1 < Z ^ fciv},
{(h П J,", tf): 1 ^ к ^ К, 1 ^ I ^ kN }
также образуют отмеченные J-разбиения Мак-Шейна.
Следовательно, в силу (12.22) и (12.23), выполняются неравенства
EE|/(^)l^n/fc|-(^v)/ fdx
>*. _/v I «^
e
<4'
<
Вспоминая, что ЛГ > 4/e, с учетом (12.20) имеем оценку
Yl\\ffa)\h\-(MV)[fdx\
<4'
(12.25)
(12.26)
(12.27)
Наконец, принимая во внимание (12.21), получаем равенство
f{tf)\I"nIk\ = (MV)J fNdx,
i,Nmk
которое вместе с (12.24) приводит к оценке
EE\\fW)\liNrMk\-(MV)[ gdx
Т TN
ifnh
<
(12.28)

212
Гл 12. ИНТЕГРАЛЫ БОХНЕРА И МАК-ШЕЙНА
< е.
Объединяя (12.25) — (12.28), приходим к оценке
El№) -ffM • i7*i < E||/(&)iai - (mv){ fdx\
+ EE|(-MV)/ fdx~f(^)\irnh\\\ +
+ EE||/feW)l//Vn/fc|-(-MV)/' <?<J +
T "*" /A "
+ EE|(^V)/ 9dx-g(^)\irrMk\
Следовательно, Л4У-интеграл функции ||/ — д\\ равен нулю, и, по
свойству 12.33, эта функция равна нулю почти всюду. В силу свойства
12.22, функция / является В-интегрируемой, так как совпадает с д
почти всюду. Кроме того,
ь ь ь ь
(B)f fdfi = (B)f gdfi = (MV)f gdx = {MV)j f dx. П
a a a a
Из утверждений 12.50 и 12.51 вытекает эквивалентность интеграла
Бохнера и вариационного интеграла Мак-Шейна.
ТЕОРЕМА 12.52. Функция /: [а, Ь] —> X В-интегрируема тогда и
только тогда, когда она M.V-интегрируема. В случае
интегрируемости справедливо равенство
ь ь
fdx.

Глава 13
Свойства интеграла Лебега для
банаховозначных функций
Для функций, принимающих действительные значения, интеграл
Бохнера и вариационный интеграл Мак-Шейна эквивалентны
интегралу Лебега (см. определение 6.25). Учитывая эквивалентность этих
интегралов и для функций со значениями в произвольном банаховом
пространстве, будем в дальнейшем называть функции, интегрируемые
по Бохнеру или вариационно интегрируемые по Мак-Шейну,
интегрируемыми по Лебегу или С-интегрируемыми.
§ 1. Критерий интегрируемости
Лемма 13.1. Функция f: [а, Ь] —» X интегрируема по Лебегу
тогда и только тогда, когда для любого е > 0 найдется масштаб S
со следующим свойством: для любых двух отмеченных 5-разбиений
Мак-Шейна т' = {{1'кЛ'к)} и т" = {W»£fc)} отрезка [а, Ь]
выполняется неравенство
ЕЕ1№)-ло||-14п/п
<е.
Доказательство. Пусть / является /^-интегрируемой. Тогда для
любого е > 0 найдется такой масштаб 5, что для каждого отмеченного
J-разбиения Мак-Шейна т отрезка [а, Ь] справедливо неравенство
£|яои-//**|
< \. (13.D
Рассмотрим отмеченные J-разбиения Мак-Шейна г' = {(/£,
£fc)}/b=i и т" = {W'Olilli отрезка [а, Ь]. Тогда, используя (13.1) и
учитывая, что наборы
{(/^П/,",#'): 1 ^ k ^n,l ^/ ^m}

214
Гл. 13. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ЛЕоЕГА
образуют отмеченные J-разбиения Мак-Шейна, имеем
ЕЕ1№)-/^")|1-1^п7п<
т' т"
<ЕЕ|яжп/п- / /ф|+
+ ЕЕ||/^")14п/("|- / /^
< е.
Обратно. Пусть для каждого е > 0 можно подобрать масштаб 5
так, чтобы для любых отмеченных J-разбиений Мак-Шейна т' и г"
отрезка [а, Ь] выполнялось неравенство
ЕЕ1№)-/(ОН-14п/Л<!-
Тогда
ЕЕ№)-Д£Жп/л
<2-
(13.2)
Согласно лемме 12.25, функция / является М.-интегрируемой.
Обозначим через F неопределенный .М-интеграл функции /. Рассмотрим
отмеченное ^-разбиение Мак-Шейна т = {(Ik,€k)}k=1 отрезка [а,Ь].
Ввиду jM-интегрируемости / на каждом из отрезков, входящих в т,
для каждого &, 1 ^ к ^ п, найдется такой масштаб 5k' Ik —¥ (0, +оо) со
свойством 5k(t) ^ 5(t) для любого t e Ik, что для всякого
отмеченного ^-разбиения Мак-Шейна тк = {(^?С1)}/ отрезка /& выполняется
неравенство
<
2п
\^f(^)\ll\-AF(llk)\
Учитывая (13.2) и (13.3), получаем
£|ж*)1А1 - AF(ik)\\ < ^Elk(^) - / Ш\\ ■ I7* n/*l +
(13.3)
k=l
k=l тк
+E|E/(^)I4I-A^(4)|<|+E4 = e- □

§3. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 215
§ 2. Абсолютная интегрируемость
Теорема 13.2. Пусть f:[a,b]—>X— интегрируемая по Лебегу
функция. Тогда ||/|| таксисе интегрируема по Лебегу, причем
ь ь
Ufdnj^JwfWdn. (13.4)
а а
Доказательство. Рассмотрим произвольное е > 0. Согласно
лемме 13.1, найдется такой масштаб 5, что для любых отмеченных
J-разбиений Мак-Шейна т' и т" отрезка [а, Ь] выполняется
неравенство
£Е11Ж)-Ж)||-14п7л<£.
т' т"
Отсюда сразу получаем, что
EE|l№)ll-IW)ll|-i^n/n<e-
Снова применяя лемму 13.1, получаем С-интегрируемость ||/||.
Установим теперь справедливость оценки (13.4). Для каждого
масштаба 5 рассмотрим отмеченное ^-разбиение Мак-Шейна т отрезка
[а, Ь]. Справедливо неравенство
Переходя к пределу по базе разбиений Мак-Шейна, получим требуемое
неравенство для интегралов. □
§ 3. Свойства неопределенного интеграла
Определение 13.3. Сильной вариацией функции F: [а,Ь] —> X
на множестве Е назовем точную верхнюю грань сумм J^rH^^X-Oll по
всем конечным семействам {/} неперекрывающихся отрезков с
концами в Е и будем обозначать ее через V^ F, а при Е = [а, Ь] как Vba F.
Определение 13.4. Пусть F: [а,Ь] —> X. Если VEF < +oo, то
функция F называется функцией ограниченной сильной вариации на
множестве Е.
Теорема 13.5. Пусть функция /: [а, Ь] —» X С-интегрируема, а
F является ее неопределенным интегралом. Тогда сильная вариация
функции F ограничена, причем
о
<F= / H/II dfi.

216
Гл 13. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
Доказательство. Ограниченность вариации функции F и
неравенство VbaF ^ J ll/ll dfi сразу следуют из теоремы 13.2. Покажем,
что на самом деле имеет место равенство. Фиксируем е>0и покажем,
что для некоторого разбиения отрезка [а, Ь] разность между суммой
норм приращений функции F отличается от интеграла от нормы /
меньше, чем на е. Вследствие /^-интегрируемости / найдется такой
масштаб 6\, что для любого отмеченного Ji-разбиения Мак-Шейна т
отрезка [а, Ь] выполняется неравенство
^2\\f(0\I\-AF(I)\\<
е
2'
а значит, и неравенство
Х:|||/ю||-т-||АПЛ|||<|. (13.5)
т
Согласно теореме 13.2, функция ||/|| является ^-интегрируемой.
Поэтому найдется такой масштаб $2, что для любого отмеченного $2-
разбиения Мак-Шейна т отрезка [а, Ь] верна оценка
£|||/(OlM/|-/imi^
-' I
Положим 5(£) = min{Ji(£), <fe(£)}. Тогда для любого отмеченного 5-
разбиения Мак-Шейна т отрезка [а, Ь] справедливы неравенства (13.5)
и (13.6), из которых выводим оценку
ь
< \- (13.6)
/ ||Л| ф-£||Д^(7)|| = £ /" Ц/11 dM-||A^(7)||
<е. П
Определение 13.6. Функция F: [а, Ь] —> X называется сильно
абсолютно непрерывной на множестве Е, если для любого е > 0 су-
п
ществует такое rj > 0, что неравенство ]П ||AF(/fc)|| < e выполняется
fc=i
для любого конечного набора неперекрывающихся отрезков {Ik}к=1 с
п
концами в Е, удовлетворяющего условию ^ \?к\ < V-
к=1
Теорема 13.7. Пусть функция f:[a,b]—>X С-интегрируема, а
F является ее неопределенным интегралом. Тогда F сильно
абсолютно непрерывна.
Доказательство. Мы используем схему рассуждений, уже
примененную при доказательстве леммы 12.36. Фиксируем е > 0.
Покажем, что можно выбрать г] > 0 таким образом, чтобы сумма норм
приращений функции F по системе неперекрывающихся отрезков
была меньше е, как только сумма длин отрезков этой системы окажется

§3. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 2ГГ
меньше rj. Так как / является С-интегрируемой, найдется такой
масштаб J, что для любого отмеченного J-разбиения Мак-Шейна т
отрезка [а, Ь] выполняется неравенство
т
Система интервалов {Us(£)(€)}cGt bi покрывает отрезок [а, Ь]. По
теореме Гейне-Бореля, выделим из нее конечное подпокрытие отрезка
[а, Ь]. Удалив те интервалы подпокрытия, которые целиком содержатся
в объединении остальных, получим такой набор интервалов
{Щм(£к)}1=1,что£1 <6 < ••• <CnH^fc_1)(&-i)n^fc+l)(Cfc+i) =
0 для всех к, 2 ^ к ^п — 1. Положим
^i=™ -5-, (13.8)
772 = о Й77ГТТГГТ' ^13-9)
77 = min{77i,772}.
Рассмотрим систему неперекрывающихся отрезков Ii с суммой длин,
меньшей г]. Ввиду (13.8), каждый из этих отрезков либо целиком
лежит в некотором интервале £/<5(£fc)(£fc)> либо содержится в объединении
двух соседних. В последнем случае можно разбить соответствующий
отрезок на два, каждый их которых лежит целиком в одном из
интервалов семейства {Us(£k){€k)} к=1- Учитывая, что после расщепления
отрезков рассматриваемой системы сумма норм приращений функции
F может только увеличится, будем сразу предполагать, что каждый из
отрезков 1{ целиком содержится в некотором интервале £/<5(£fc )(£&)•
Через {1}У^=1 обозначим семейство отрезков, содержащихся в ^(^(^i).
Для каждого к, 2 ^ к ^ п, обозначим через {1^}\к=1 семейство
отрезков, содержащихся в £/<5(£fc)(£fc)> но не лежащих в U^k_l){£>k-i)-
Принимая во внимание (13.7) и (13.9), окончательно получаем
Е11Д^)11 = ЕЕ|И(^)|Н
г /с=1 г=1
<EE||AF(7")-/^)I7"I||+EEII/(^)II-I^I<£- D
fc=lг=1 к=1г=1
Следующая теорема касается дифференцируемости
неопределенного интеграла. При этом производная банаховозначной функции
определяется точно так же, как и в действительном случае, то есть
Ff(t) = Jim l~ 1 гДе предел берется по норме пространства X.
/г^О

218
Гл 13. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
Теорема 13.8. Пусть функция /: [а, Ь] —» X С-интегрируема, а
F является ее неопределенным интегралом. Тогда функция F
дифференцируема почти всюду и F'(t) = f(t) для почти всех t е [а, Ь].
Это устанавливается так же, как и в случае функций,
принимающих действительные значения (см. теорему 3.12).
§ 4. Предельные теоремы
Определение 13.9. Семейство {fa}a банаховозначных
вариационно интегрируемых по Мак-Шейну функций, определенных на
пространстве П, называется равномерно MV-интегрируемым, если для
любого е > 0 найдется такой масштаб 5, что для любого отмеченного
J-разбиения Мак-Шейна т отрезка [а, Ь] и для каждого а выполняется
неравенство
£||/«(от-//«
dfi
< е.
Теорема 13.10. Пусть последовательность равномерно
MV-интегрируемых функций fn сходится всюду к некоторой функции
f:[a,b]—>X. Тогда f С-интегрируема, причем
о о
/ fdfj, = lim / fnd/i.
Доказательство. Равномерная .MV-интегрируемость,
очевидно, предполагает равномерную М-интегрируемость. Поэтому из
теоремы 12.39 следует, что / является М.-интегрируемой и ее
неопределенный интеграл F является поточечным пределом неопределенных
интегралов Fn функций fn. Для произвольного е > 0 выберем
масштаб S таким, чтобы для любого отмеченного J-разбиения Мак-Шейна
т отрезка [а, Ь] и для каждого п е N выполнялось неравенство
YJfn{i)\I\-^Fn{I)\\<e.
Т
Переходя в этом неравенстве к пределу при п —» оо, получим
утверждение теоремы. □
Следующая теорема является аналогом теоремы Лебега (см.
теорему 5.25).
Теорема 13.11. Пусть последовательность С-интегрируемых
функций fn сходится почти всюду к некоторой функции f: [а, Ь] —>
X, а С-интегрируемая функция д: [а, Ь] —> Y такова, что для всех
п е N неравенство ||/n(£)|| ^ ||#W|| выполняется почти всюду. Тогда

§4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
219
/ также С-интегрируема, причем
ь ь
I f dji= lim / fn dji.
Доказательство. В силу свойства 12.47, достаточно провести
доказательство для случая всюду сходящейся последовательности
{fn}n, мажорируемой нормой С-интегрируемой функции д в каждой
точке. Проверим, что {fn}n удовлетворяет всем условиям теоремы
13.10. Фиксируем е > 0. Согласно теореме 13.2, функция h = \\g\\
является ^-интегрируемой. Выберем масштаб Jo так, чтобы для
любого отмеченного Jo-разбиения Мак-Шейна т отрезка [а, Ь] выполнялось
неравенство
Из теоремы 13.7 следует, что неопределенный интеграл функции h
является сильно абсолютно непрерывной функцией. Следовательно,
найдется такое rj > 0, что для любого набора неперекрывающихся
отрезков {ii} ■ со свойством J2 \U\ < V имеет место неравенство
£/»
ф<§. (13.11)
По теореме Егорова 11.19, последовательность {fn}n сходится почти
равномерно, то есть найдется такое множество Е е Е, ц(Е) < rj, что
{fn}n сходится равномерно на [а, Ь] \ Е. Вследствие измеримости Е,
существует открытое множество G, удовлетворяющее условиям Е С G
и /i(G) < rj. Тогда {fn}n сходится равномерно и на множестве [a, b] \G.
Найдем такой номер N, чтобы для всех п > N и t £ [a,b]\G была
верна оценка
\\Ш-Ш\<Щ^у (13Л2)
Для каждого п, 1 ^ п ^ N, выберем такой масштаб Sn, чтобы для
любого отмеченного 6п-разбиения Мак-Шейна т отрезка [а, Ь\
выполнялось неравенство
Т\ш\1\- f fnd»
< |. (13.13)
Наконец, положим
5(f) = Imin{<5o(0,P(^ [а»Ч \G)}. если £ e G,
lmin{$i(0,$j(0>--->M0}. если $ е [о,b]\G.

220
Гл. 13 СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
Рассмотрим отмеченное S-разбиение Мак-Шейна т отрезка [а, Ь] и
оценим при каждом п G N сумму
Е
Ш\Ц- Jfndu
(13.14)
Поскольку для каждого п, 1 ^ п < N, справедливо неравенство
(13.13), достаточно провести рассуждения только для п > N. Для
оценки суммы (13.14) по элементам т, отмеченные точки которых
принадлежат множеству G, воспользуемся неравенством ||/n(£)ll ^ М^)>
t G [а, &], теоремой 13.2 и свойством 12.21:
r[G]!l J И r[G] т[С)Ц Ч
< 5] мот + £ / и/»и ^ < £ мот + Е /hd»- (13Л5)
r[G]
-r[G\i
Вспомним, что масштаб S был выбран так, что для любой пары (7, £) G
r[G] верно I С G. Следовательно, J2t\G] И < W- Применяя оценки
(13.10) и (13.11), справедливые для t[G], выводим из (13.15)
неравенство
£|/«ют-//пФ
t[G)
€
r[G}1 { '
+2E /hd^< I- (l3-16)
r[G] j
Чтобы оценить сумму (13.14) по оставшимся элементам т,
воспользуемся тем, что на множестве [a,b]\G все функции fn мало отличаются
от /jy. Имеем
£ |/n(om-//ndJ< £ Цмот-//*^
т[[а,Ь]\С]'
T[[a,b]\G]'
+
+ Е 11ыо-/п(о||-т+ Е |/(/iv-/n)
d/i
. (13.17)
T[[a,b)\G] T[[a,b}\GYj
Оценим каждое слагаемое. В силу (13.13), получаем неравенство
£ \\fN(W\-ffNdl<6-
т[[а,Ь}\0]" I
(13.18)

§4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
221
Суммируя (13.12) по всем элементам г [[о, Ь] \ G], выводим оценку
Е ||ыо-/пЮ||-т<|- (13-19)
т[[а,Ь}\0]
Наконец, из (13.12) с учетом теоремы 13.2 и свойства 12.21, имеем
е
Е /(/-
т[[а,Ь}\0]и j
<
Е /ii/a
fn\\dfJL <
fn) dfi
r[[a,b)\G] j
Объединяя (13.17)—(13.20), приходим к неравенству
Е ||/n(om-//ndJ<|.
т[[а,Ь]\с]11 j
Из (13.16) и (13.21) окончательно получаем оценку
(13.20)
(13.21)
Е
/лот
/а
d/i
<£,
справедливую для всех п > N. Таким образом, всюду сходящаяся
последовательность {fn}n равномерно .MV-интегрируема, то есть все
условия теоремы 13.10 выполняются. □
Замечание 13.12. Обратим внимание, что в доказанной теореме и
в последующих ее применениях функция / и мажорирующая ее
функция д могут принимать значения из разных пространств. В частности,
д может быть действительнозначной.
Следствие 13.13. Пусть последовательность С-иптегрируемых
функций fn сходится почти всюду к некоторой функции /: [а, Ь] —>
X, а С-интегрируемая функция д: [а, Ь] —> Y такова, что для всех
п е N неравенство ||/n(£)|| ^ ll#W|| выполняется почти всюду. Тогда
о
lim /||/n-
/||d/x = 0.
Доказательство. Согласно теореме 13.11, функция / является
С-интегрируемой. А из свойства 12.44 и теоремы 13.2 вытекает £-ин-
тегрируемость функций hn = \\fn — f\\- Последовательность {hn}n
сходится почти всюду к нулю и мажорируется С-интегрируемой
функцией ||/|| + ||<?||. Тем самым {hn}n удовлетворяет всем условиям теоремы
13.11. Следовательно,
о о
lim hndfi = / lim hn d\i = 0.
n—>oo J J n—>oo
□

222
Гл. 13. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
Следующая теорема является аналогом теоремы Б. Леви (см.
теорему 5.11).
Теорема 13.14. Пусть последовательность С-интегрируемых
оо Ь
функций fn удовлетворяет условию: ряд J] J \\fn\\ d\i сходится. То-
п=\ а
оо
гда ряд J2 fn почти всюду сходится абсолютно к С-интегрируемой
71=1
функции f, причем
ь с» 6
I fdv = Y^ J fndii.
a n=l a
Доказательство. По классической теореме Б. Леви (см. тео-
оо
рема 5.11), ряд ^ ||/п|| сходится почти всюду к интегрируемой по
Мак-Шейну функции g (см. замечание 13.12). Следовательно, ряд
оо
2 fn почти всюду сходится абсолютно, причем последовательность
71=1
{Sn}n его частичных сумм мажорируется интегрируемой по Мак-
Шейну, а значит и MV-интегрируемой функцией д. Применяя к {Sn}n
теорему 13.11, завершаем доказательство. □
§5. Пространство £([а, Ь], X)
Лемма 13.15. Пусть f: [а, 6] —> X — измеримая функция. Тогда
найдется последовательность простых функций fn, сходящаяся к f
по мере и удовлетворяющая неравенству
||/„(t)||<2||/(t)|| (13.22)
для всех t € [а,Ь] и п €N.
Доказательство. Поскольку функция / измерима, найдется
последовательность {дп}п простых функций, сходящаяся к / по мере.
Положим
f (.]_J9n(t),ecnu\\9n(t)\\^2\\f(t)l
U[t)-\0,ecnu\\9n(t)\\>2\\f(t)\\. {UM)
Возьмем произвольное t G [а, Ь]. Если ||#n(£)|| ^ 2||/(£)||, то,
учитывая (13.23), имеем равенство \\fn(t) — /(^)|| = \\9n{t) — /(0||- Если же
||<?п(£)|| > 2||/(£)||, то вместе с (13.23) это неравенство приводит нас к
оценке \\fn(t) - f(t)\\ = \\f(t)\\ < \\gn(t) - f(t)\\. Таким образом, для
всех t G [a, b] выполняется неравенство
||/п(«)-/(«)||<|М«)-/(*)||- (13-24)
Из (13.23) и (13.24), а также из сходимости {дп}п по мере получаем
утверждение леммы. □

§5 ПРОСТРАНСТВО C([a,b],X) 223
Теорема 13.16. Пусть функция f: [а, Ь] —> X измерима, а
функция д: [а, Ь] —> Y С-интегрируема. Если ||/(4) || < ||<?(t)|| для почти
всех t G [а, Ь], то / также С-интегрируема.
Доказательство. По лемме 13.15, найдется последовательность
{fn}n простых функций, сходящаяся к / по мере и удовлетворяющая
неравенству (13.22). Принимая во внимание следствие 11.21, выделим
из последовательности {fn}n подпоследовательность, сходящуюся к /
почти всюду. Обозначим эту подпоследовательность через {hk}k- По
условию теоремы и по построению последовательности {/п}п5 для
почти всех t G [а, Ь] и для всех k e N выполняется неравенство ||/ifc(£)|| <
2||#(£)||. Следовательно, по теореме 13.11, функция / является £-инте-
грируемой. □
Из теорем 13.2 и 13.16 получаем равносильность на классе
измеримых функций интегрируемости по Лебегу функции и ее нормы.
Следствие 13.17. Пусть функция /: [а,Ь] —> X измерима. Для
того чтобы функция f была С-интегрируема, необходимо и
достаточно С-интегрируемости ее нормы ||/||.
Определение 13.18. Пространством С([а,Ь],Х) называется
совокупность всех интегрируемых по Лебегу функций /: [а, Ь] —> X с
нормой
ь
ll/IL(,„.x)=/ ll/ll ф-
а
При отождествлении совпадающих почти всюду на [а, Ь] функций
это будет нормированным пространством, то есть будут выполняться
свойства:
(1) \\1\\с([а,ых) > 0 и || Л|£([а,ь1,Х) = 0 тогда и только тогда, когда
f(t) = 0 (почти всюду на [а,Ь]);
(2) для любого числа Л и любой функции / е £([о,Ь], А")
выполняется равенство \\Xf\\C{[aMtx) = \М • \\/\\с([а,ых)',
(3) для любых функций /,g е £([а, &],Х) выполняется
неравенство ||/+0||£([а,Ь],Х) < ||Л|£([а,Ь],х) + \\9\\с([аМ,х)-
Первая часть пункта 1 следует из неотрицательности интеграла от
неотрицательной функции (см. свойство 12.20). Вторая часть пункта 1
следует из равенства нулю интеграла по отрезку от равной нулю почти
всюду на этом отрезке функции (см. свойство 12.22) и того факта, что
если интеграл от неотрицательной функции по отрезку равен нулю, то
эта функция равна нулю почти всюду на этом отрезке (см. свойство
12.33). Пункт 2 следует из линейности интеграла (см. свойство 12.18).
Пункт 3 вытекает из неравенства ||/ + <?|| ^ ||/|| + ||<?|| и свойства 12.21.
Теорема 13.19. Пространство С ([а, Ь],Х) полно.

224
Гл 13. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
Доказательство. Рассмотрим произвольную фундаментальную
в £([а,Ь],Х) последовательность {fn}n и покажем, что она сходится
в £([а,Ь],Х) к некоторой интегрируемой по Лебегу функции /.
Выберем возрастающую последовательность номеров {п/}^1 так, чтобы
при каждом I G N выполнялось неравенство
6
у ||/m-/ni+1||d/i< -r
а
Тогда последовательность /П1, /П2 - /П1,..., /п,+1 - fni,... удовлетворя-
ОО
ет всем условиям теоремы 13.14. Это означает, что ряд /щ + 2 (/щ-м ~
z=i
/п/) почти всюду абсолютно сходится к С-интегрируемой функции /.
Очевидно, что для почти всех t G [а, Ь] функция f(t) есть предел
последовательности {fni(i)}i- С другой стороны, {fm}i мажорируется
оо
функцией ||/П11| + Yl \\fni+i ~ fm II) которая ^-интегрируема, ввиду тео-
1=1
ремы 13.14, примененной к последовательности действительнозначных
функций ||/тц+1 — fmW- Принимая во внимание следствие 13.13,
получаем
ь
lim j\\fnl-f\\dn = b. U
l^oo J
а

Глава 14
Интегралы Данжуа и Хенстока-Курцвейля
§ 1. Интеграл Хенстока-Курцвейля
Определение 14.1. Функция /: [а, Ь] —» X называется
интегрируемой по Хенстоку-Курцвейлю (Н-интегрируемой), если существует
вектор I е X со следующим свойством: для любого е > 0 найдется
такой масштаб 6, что для любого отмеченного S-разбиения Хенстока
т отрезка [а, Ь] выполняется неравенство
£/юи-1
<е.
(14.1)
Вектор I называется определенным интегралом Хенстока-Курцвейля
ъ
функции / по отрезку [а, Ь] и обозначается (H)f f dx или {Н) J f dx.
a [a,6]
Лемма 14.2 (критерий Коши). Функция f: [a,b] —> X Н-инте-
грируема тогда и только тогда, когда для любого е > 0
найдется масштаб S со следующим свойством: для любых отмеченных 6-
разбиений Хенстока т' = {(^,£fc)} и т" = {(^",£")} отрезка [а,Ь]
выполняется неравенство
£дж1-Е/(№Г1
< е.
Свойство 14.3. Пусть функция /: [а, Ь] —> X Н-интегрируема.
Тогда она Н.-интегрируема и на любом подотрезке [с, d] отрезка [а, Ь].
Определение 14.4. Пусть функция /: [а, Ь] —> X интегрируема
t
по Хенстоку-Курцвейлю. Функцию F(t) = (H)f f dx будем называть
a
неопределенным интегралом Хенстока-Курцвейля (неопределенным
Н-интегралом) функции /.

226 Гл 14 ИНТЕГРАЛЫ ДАНЖУА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ
Свойство 14.5. Пусть а < с < Ь и функция f:[a,b]-*X Н-
интегрируема на отрезках [а, с] и [с,&]. Тогда f также Н-интегриру-
ема на [а,Ь], причем
ъ с ъ
If dx = f dx + / / dx.
а а с
Свойство 14.6. Пусть f,g: [a,b] -» X являются Н-интегриру-
емыми функциями, а,/?6Ё. Тогда функция af+ (3g также Н-интег-
рируема, причем
ь ь ь
/ (af + (3g) dx = а I f dx + (3 gdx.
a a a
Свойство 14.7. Пусть f: [a, b] —> X является Н-интегрируемой
функцией. Тогда для любого линейного ограниченного оператора
А: X —> Y функция Af также Н-интегрируема, причем
b b
IAfdx = Ay Jfdx
Частным случаем предыдущего свойства является
Свойство 14.8. Если функция /: [а, Ь] —» X Н-интегрируема, то
для любого х* £ X* функция x*f также Н-интегрируема, причем
ь ь
I x* f dx = x* f dx.
Лемма 14.9 (лемма Сакса-Хенстока). Рассмотрим
Н-интегрируемую функцию f \ [a,b] —> X. Пусть для заданного е > 0 найден
такой масштаб S, что для любого отмеченного S-разбиения Хенстока т
отрезка [а,Ь] выполняется неравенство (14.1). Тогда для любого
отмеченного 5-разбиения Хенстока {(4, £&)}£= i отрезка [а,Ь] и любого
подмножества J С {1,... ,п} также выполняется неравенство
£ (да) 141- j fdx^j
k£J Ik
^e.
Свойство 14.10. Пусть функция f': [a, b] —> X является
Н-интегрируемой, a F является ее неопределенным интегралом. Тогда
функция F непрерывна на [а,Ь].

§2 ВАРИАЦИОННЫЙ ИНТЕГРАЛ ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ 227
Свойство 14.11. Если функция /: [а, Ь] —> X М.-интегрируема,
то она также Н-интегрируема, причем
о о
(M)jfdx = CH)J fdx.
Свойство 14.12. Пусть функция /: [а, Ь] —> X Н-интегрируема,
а функция д: [а,Ъ] —> X совпадает с ней почти всюду. Тогда g также
Н-интегрируема, причем для любого отрезка [с, d] С [а, Ь] справедливо
равенство
I fdx= I gdx.
Определение 14.13. Семейство {fa}a банаховозначных
^-интегрируемых функций, определенных на отрезке [а,Ь], называется
равномерно Н-интегрируемым, если для любого е > 0 найдется такой
масштаб 6, что для любого отмеченного J-разбиения Хенстока т
отрезка [а, Ь] и для каждого а выполняется неравенство
Y^um-mj/adx
<е.
Учитывая свойство 14.8 и следствие П. 19, получаем критерий
интегрируемости по Хенстоку-Курцвейлю вектор-функции в терминах
равномерной ^-интегрируемости некоторого семейства
действительнозначных функций.
Утверждение 14.14. Функция/: [а,Ь] —» X Н-интегрируема
тогда и только тогда, когда семейство функций {x*f: \\x*\\ = 1}
равномерно Н-интегрируемо.
Учитывая теорему о перестановке пределов по базе (см.
теорему 1.24), сразу получаем предельную теорему для интеграла Хен-
стока-Курцвейля в терминах равномерной ^-интегрируемости.
Теорема 14.15. Пусть последовательность равномерно
Н-интегрируемых функций fn сходится всюду к некоторой функции
/: [а, Ь] —> X. Тогда f Н-интегрируема, причем
ь ь
fdx=\\m / fn dx.
J n^ooj
§ 2. Вариационный интеграл Хенстока-Курцвейля
Определение 14.16. Функция /: [а, Ь] —» X называется
вариационно интегрируемой по Хенстоку-Курцвейлю (HV-интегрируе-

228 Гл 14. ИНТЕГРАЛЫ ДАНЖУА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ
мой), если существует функция F: [а,Ь] —> X со следующим
свойством: для любого е > 0 найдется такой масштаб 6, что для любого
отмеченного J-разбиения Хенстока т отрезка [а, Ь] выполняется
неравенство
J2\\f(0\I\-bF(I)\\<e.
Т
Функцию F называется неопределенным вариационным интегралом
Хенстока-Курцвейля (неопределенным HV-интегралом) функции /.
Вектор F(b) — F(a) называется определенным вариационным
интегралом Хенстока-Курцвейля (определенным HV-интегралом) функции
ь
f по отрезку [а, Ь] и обозначается через (HV)f f dx или (HV) f fdx.
a [a,b]
Свойство 14.17. Пусть функция f HV-интегрируема. Тогда f
также H-интегрируема, причем
о о
{H)J fdx = (HV)j fdx.
Доказательство повторяет доказательство свойства 12.41.
Свойство 14.18. Пусть функции f,g: [a,b] —> X являются HV-
интегрируемыми, q,^ G R. Тогда функция af + /3g также
HV-интегрируема, причем
ь ъ ь
(af + (3g)dx = a / fdx + 0 I gdx.
а а а
Свойство 14.19. Пусть функция /: [а, Ь] —» X
HV-интегрируема. Тогда для любого ограниченного линейного оператора
А: X —> Y функция Af также HV-интегрируема, причем
о о
I Af dx = А I f dx.
Свойство 14.20. Если функция /: [а,Ь] —> X MV-интегрируема,
то она таксисе HV-интегрируема причем
о о
(MV)J f dx = (HV)j fdx.
Это непосредственно следует из определений и того, что всякое
отмеченное J-разбиение Хенстока является также отмеченным <5-раз-
биением Мак-Шейна.

§3. ИНТЕГРАЛ ДАНЖУА
229
Свойство 14.21. Пусть функция f:[a,b]—*X
HV-интегрируема, а функция д: [а,Ь] —> X совпадает с ней почти всюду. Тогда g
таксисе HV-интегрируема, причем для любого отрезка [c,d\ С [а, Ь]
справедливо равенство
d d
fdx= J gdx.
с с
Свойство 14.22. Пусть функция f: [а,Ь] —» X HV-интегрируема
и F — ее неопределенный вариационный интеграл. Тогда F
дифференцируема почти всюду на [а,Ъ], причем F'{t) = f(t) для почти всех
t е [а,Ь].
Эта теорема доказывается так же, как и для функций с
действительными значениями (см. теорему 3.12).
§ 3. Интеграл Данжуа
Определение 14.23. Скажем, что функция F: [а,Ь] —» X
является VB^-функцией на множестве Е (или принадлежит классу VB*
на Е), если существует такое число W > 0, что для произвольного
конечного семейства {Ii}Y=i неперекрывающихся отрезков с концами
в Е выполняется неравенство
т
Y.osciFJ^KW.
г=\
т
Точную верхнюю грань сумм J^ osc(F, Ii) будем обозначать V*E F.
г=1
Утверждение 14.24. Если F: [а,Ь] —» X является VB^-функци-
ей на замкнутом множестве Е, то ряд
оо
]Tosc(F,cl/n),
п=1
образованный колебаниями функции F на замыканиях смежных к Е
в [а,Ь] интервалов {1п}™=1, является сходящимся.
Непосредственно проверяется, что для банаховозначных функций
выполняется аналог теоремы 8.15
Теорема 14.25. Непрерывная на [а,Ь] функция F является VB*-
функцией на множестве Е С [а, Ь] тогда и только тогда, когда
существует такая постоянная М > 0, что
]T||AF(J,)||<M
3 = 1
для каждого семейства неперекрывающихся отрезков {Jj}"=1 в [а,Ь]
таких, что Jj П Е ф 0 при каждом j.

230 Гл 14. ИНТЕГРАЛЫ ДАНЖУА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ
Утверждение 14.26. Если F: [а,Ь] -> X является УВ*-функци-
ей на мноэюестве Е, то она является VВ*-функцией таксисе и на
с1Я.
Определение 14.27. Скажем, что функция F: [а, Ь] —>Х является
VBG^-функцией (или принадлежит классу VBG*) на множестве Е,
оо
если Е можно представить в виде суммы (J Еп и F является VB*-
функцией на каждом Еп.
Определение 14.28. Скажем, что функция F: [а,Ъ] -> X
является АС*-функцией (или принадлежит классу АС*) на множестве Е,
если F ограничена на некотором отрезке, содержащем Е, и для
произвольного е > 0 существует такое rj > 0, что для каждого конечного
семейства {Ii}^Li неперекрывающихся отрезков с концами в Е и сум-
т
мой длин, меньшей 77, выполняется неравенство J^ osc(F, U) < е.
г=1
Заметим, что в случае Е = [а, Ь] класс АС* совпадает с классом
сильно абсолютно непрерывных функций.
Утверждение 14.29. Если непрерывная на [а, 6] функция F
является АС*-функцией на мноэюестве Е, то она является АС*-функ-
цией такэюе и на с\Е.
Определение 14.30. Функция F: [а,Ь] -> R называется ACG*-
функцией на множестве Е С [а,Ь], если F непрерывна на [а, Ь] и мно-
оо
жество Е можно представить в виде суммы Е = (J Еп так, что F
является А С* -функцией на каждом Еп.
Утверждение 14.31. Каждая АС*-функция (ACG*-функция) на
Е С [а, Ь] является VВ*-функцией (VBG*-функцией) на Е.
Непосредственно проверяется, что для банаховозначных функций
выполняется аналог теоремы 8.35
Теорема 14.32. Непрерывная на [а,Ь] функция F является АС*-
функцией на мноэюестве Е С [а, Ь] тогда и только тогда, когда для
любого е > 0 найдется такое rj > 0, что для каэюдого семейства
{Ji}^! неперекрывающихся отрезков, содержащихся в [а,Ь],
содержащих точки из Е и таких, что YllLi Wi\ < V выполняется
неравенство
т
Е\\Арш\\<£-
г=1
Определение 14.33. Скажем, что функция F: [а,Ь]—>Х обладает
wN-свойством на множестве Е с [а, Ь], если для каждого х* е X*
функция х* F обладает Л/"-свойством Лузина на множестве Е.

§3 ИНТЕГРАЛ ДАНЖУА
231
Определение 14.34. Скажем, что функция F: [а, Ь] ~> X является
функцией слабой ограниченной вариации на множестве Е С [а, Ь], если
для каждого ж* е X* функция x*F является функцией ограниченной
вариации на множестве Е.
Определение 14.35. Скажем, что функция F: [а,Ь]—>Х является
слабо абсолютно непрерывной функцией на множестве Е С [а, Ь], если
для каждого хЧ1* функция x*F является абсолютно непрерывной
функцией на множестве Е.
Лемма 14.36. Для того чтобы непрерывная функция F: [а,Ь]-^
X, являющаяся V В-функцией (АС-функцией) на замкнутом
множестве Е с [а, Ь], была VB^-функцией (АС*-функцией) па Е,
необходимо и достаточно, чтобы ряд, составленный из ее колебаний на
замыканиях смежных интервалов множества Е, сходился.
Доказательство. Необходимость. Так как каждая ЛС*-функ-
ция на Е является VB* -функцией на Е, достаточно доказать
необходимость для F из класса VB* на Е. Обозначим через {{ck,dk)}k=1
последовательность смежных интервалов к Е. Рассмотрим
произвольный интервал (ck,dk)- В силу непрерывности функции F на
отрезке [cfc,<2fc]j существуют такие точки t\,t\ G [с, d], что u(F, [ck,dk]) =
\\F(t\) — jF(£|)||. Обозначим через tQk одну из этих точек, для которой
выполняется неравенство ||i?(^) — F(cfc)|| ^ (l/2)u(F,[ck,dk\). Тогда
для ряда из колебаний функции F на замыканиях смежных
интервалов имеем следующую оценку:
оо оо
5>(F,[cfc)dfc]) ^2j2\\F(t°k)-F(ck)\\. (14.2)
k=l k=l
Отрезки [cfc,££] не перекрываются и имеют непустое пересечение с Е
(точку с*;). Согласно теореме 14.25, ряд в правой части неравенства
(14.2) сходится. Следовательно, ряд в левой части неравенства (14.2)
также сходится. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть ряд из колебаний функции F на
замыканиях смежных интервалов к множеству Е сходится, то есть
оо
^2u(F,[a,di\) <+oo. (14.3)
г=1
Рассмотрим произвольный отрезок [а°,Ь°], имеющий непустое
пересечение с Е. Пусть sl и s2 — точки множества Е, принадлежащие
отрезку [а°,Ь°], ближайшие к его концам. Имеем следующую оценку:
\\F(b°)-F(a°)\\ < ||F(S2)-F(S1)||+o;(F,[C1)d1])+W(F,[c2,d2]), (14.4)
где [с1,^1] и [с1,^1] — замыкания смежных интервалов, содержащие
точки а0 и Ь°. Заметим, что в случае совпадения точек sl и s2 оценка
(14.4) только усилится.

232 Гл 14. ИНТЕГРАЛЫ ДАНЖУА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ
Пусть F является V^-функцией на Е. Возьмем произвольный
набор неперекрывающих отрезков {[ak,hk]}k=v имеющих непустое
пересечение с Е. Заметим, что так как отрезки не перекрываются, с
каждым смежным интервалом могут пересекаться не более двух отрезков.
Применяя (14.4), получаем следующее неравенство:
оо
г=1
Отсюда, из определения 13.3 и неравенства (14.3) следует, что V*E F <
-Ьоо, то есть F является V В „«-функцией.
Пусть F является ЛС-функцией на Е. Тогда для любого е > О
существует такое Si > 0, что для любого набора
неперекрывающихся отрезков {[5fc,^]} с концами из Е, удовлетворяющих условию
2£=i(£fc ~ sk) < S\, выполняется неравенство
f2\\F(tk)-F(sk)\\<£-. (14.5)
к=1
Из сходимости ряда (14.3) следует существование такого номера
го, что
оо
£ u;(F,[ci)di])<|. (14.6)
г=го + 1
Так как F непрерывна на [а, Ь], она равномерно непрерывна на
[а,Ь]. Следовательно, найдется такое <$2 > 0, что для всех ui,U2 6
[а,Ь], ui < U2, удовлетворяющих условию \ui — гхг| < Фг, выполняется
неравенство
W(F,[«i,w2])<^. (14.7)
Положим S = min{Si,S2}. Рассмотрим произвольный набор
неперекрывающихся отрезков {[ak, bk]} к=1, имеющих непустое пересечение
с Е и удовлетворяющих условию 2£=1(&л ~ ак) < S. Разобьем
каждый из отрезков [afc,6fc] на три отрезка, один из которых имеет концы
из Е, а два других содержатся в замыканиях смежных интервалов.
Заметим, что в каждом из [q,^] содержится не более двух таких
отрезков. Таким образом, отрезков, попавших в первые го замыканий
смежных интервалов, не более, чем 2го. Используя для оставшихся
отрезков неравенство (14.4) и применяя затем соотношения (14.5), (14.6)
и (14.7), заключаем:
J2\\F(bk)-F(ak)\\<e
к=1
и F является Л С*-функцией. □

§3. ИНТЕГРАЛ ДАНЖУА
233
Лемма 14.37. Пусть F : [а, Ь] —> X непрерывна, почти всюду
дифференцируема, является VB* -функцией на замкнутом множестве Е
и удовлетворяет на этом множестве wN-свойству. Тогда функция
F является АС^-функцией на множестве Е.
Доказательство. Можем считать, что а = mini? и Ь = т&хЕ.
Пусть G — функция, совпадающая с F на множестве Е и линейная
на замыканиях {[с^, сЩ}^ смежных интервалов множества Е.
Функция G непрерывна и обладает гоЛЛ-свойством Лузина. Поскольку F
является VB*-функцией на Е, то G является VB*-функцией, а значит,
принадлежит классу VB на отрезке [а, Ь]. В частности, функция G
имеет слабо ограниченую вариацию. Тогда, по теореме 8.41, с учетом
замечания к определению 8.28, функция G является слабо абсолютно
непрерывной.
По условию леммы, функция G дифференцируема почти всюду
на отрезке [а, Ь]. Нетрудно проверить, что если функция g совпадает с
производной функции G на множестве D точек дифференцируемости
G, то функция х*д совпадает с производной функции x*G на
множестве D для каждого х* G X*. По теореме 6.17, функция х*д
интегрируема по Лебегу для каждого х* е X*. Поэтому для любых х* е X* и
t 6 [а, Ь] имеем
t
x*(G(t) - G{a)) = fx*g(t)dt. (14.8)
а
По свойству линейности интеграла Лебега (см. свойство 12.45),
t t
[ x*g(t)dt = x* J g(t)dt. (14.9)
a a
В силу (14.8) и (14.9) имеем
t
x*(G(t) - G(o)) = x* [g{t)dt, для каждого ж* <Е Х\ (14.10)
a
Таким образом, G является неопределенным интегралом Лебега
функции д и, по теореме 6.7, является ЛС-функцией. Следовательно, F
является ЛС-функцией на множестве Е. По условию, непрерывная
функция F принадлежит классу VB* на замкнутом множестве Е,
поэтому, согласно лемме 14.36, ряд, составленный из ее колебаний на
замыканиях смежных интервалов множества Е, сходится. Применяя эту
лемму в обратную сторону, получаем, что F является Л С*-функцией
на множестве Е. □

234 Гл 14. ИНТЕГРАЛЫ ДАНЖУА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ
Определение 14.38. Функция f:[a,b]-*X называется
интегрируемой по Данэюуа в узком смысле (V* -интегрируемой), если
существует такая ЛСС*-функция F: [а,Ь] —> X, дифференцируемая
почти всюду на [а, Ь], что F'(x) = f(x) почти всюду на [а, Ь]. Функция
F называется неопределенным интегралом Данэюуа в узком
смысле (неопределенным Т>*-интегралом) функции /. Вектор F(b) — F(a)
называется определенным интегралом Данэюуа в узком смысле (D* -
интегралом) функции / по отрезку [а, Ь] и обозначается (V*)f f dx
или (V*)f[ab]fdx.
Заметим, что в данное определение, в отличие от определения 8.43
интеграла Данжуа в узком смысле для функций с
действительными значениями, включено дополнительное требование
дифференцируемое™ почти всюду функции F. Как показывает следующий пример,
это условие в определенном смысле необходимо ввиду отсутствия
аналога теоремы 8.20 о дифференцируемости функции обобщенной
ограниченной вариации в случае банаховозначных функций.
Пример 14.39. Функцию F: [0,1] —> £i[0,1] зададим следующим
образом: F(t) = X[o,t]« Легко видеть, что для всех t,s G [0,1] верно
равенство \\F(t) — F(s)\\ = \t — s\, то есть F удовлетворяет условию
Липшица и, тем более, абсолютно непрерывна. Пусть Ф(з, t) = (F(t) —
F(s))/(t - s). Поскольку ||Ф(в,в + 1) - Ф(8,з - ±)|| = n||xr +I, -
[3's+n\
Xr 1 || = 2, Ф(з, t) не имеет предела при t —> s,и поэтому функция F
[s~n's\
не дифференцируема ни в одной точке s е [0,1].
Лемма 14.40. Пусть функция f : [а,Ь] —> X является
HV-интегрируемой и пусть F : [а, 6] —> X ее неопределенный интеграл. Тогда
F является ACG*-функцией на [а, Ь].
Доказательство.Покажем, сначала, что F является VBG^-^уи-
кцией на [а, Ь]. Выберем положительную функцию S из условия 7^У-ин-
тегрируемости функции / для е = 1 (без ограничения общности можно
считать 6(£) < 1). Для каждого натурального т найдем максимальное
I такое, что а + //(2т) ^ Ь. Положим для всех тик, к ^ I + 1,
^ = {'Чв+^Г'в+^)П[-.ч=|1/(ок™,*(*)>^}.
Очевидно, что [а, Ь] = (Jm=i Ufct=i Ет. Поэтому, достаточно доказать,
что F является VB*-функцией на каждом из множеств Еш. Фиксируем
произвольные тик, для которых множество Еш непусто. Рассмотрим
произвольный набор неперекрывающихся отрезков {[ci,di]}i=1>
имеющих непустое пересечение с Ет. Из построения множеств Ет видно,
что каждый из отрезков [ci,di], кроме быть может двух крайних
отрезков, содержится в полуинтервале [а + (к — 1)/(2тп),а -Ь к/(2т)).

§3. ИНТЕГРАЛ ДАНЖУА
235
Без ограничения общности будем предполагать, что крайние отрезки
имеют номера 1 и п. Пусть &, 2^г^п—1, — некоторая точка,
принадлежащая [q, di]r\Eyn. Тогда подразбиение {(&, [с*, di\) }™=2
является (^-согласованным подразбиением Хенстока. Принимая во внимание
определение множества Е^, непрерывность функции F (см. свойства
14.10 и 14.17), получаем
J2\\F{di) - F(a)\\ < 52\\F{di) - F(Ci) - /(6)(* - «)|| +
г=1 i=2
+ £||/(&)||(* - a) + l№) - F(Cl)\\ + \\F(dn) - F(c„)|| <
Согласно теореме 14.25, F является VB*-функцией на Е^, и,
следовательно, Vi?G*-функцией на [а,Ь].
Согласно свойству 14.8, для каждого x*Gl* функция x*f
интегрируема по Хенстоку-Курцвейлю, причем x*F — неопределенный Н-
интеграл. Для функций, принимающих действительные значения, по
теореме 8.47 7^-интеграл и D*-интеграл эквивалентны. Поэтому, x*F
является ЛСС*-функцией, следовательно, x*F обладает ЛЛ-свойством,
a F обладает шЛЛ-свойством. При этом функция F непрерывна, по
свойству 14.22 дифференцируема почти всюду на [а, Ь] и, как показано
оо
выше, [а, Ь] = (J Еп, Еп — замкнуты, F e VB*(En). Применяя лемму
п=1
14.37, получаем, что F G АС*{Еп) и F является ЛСС*-функцией на
[а,Ъ]. □
Лемма 14.41. Если функция f : [а,Ь] —> X является
V*-интегрируемой, то она также 7iV-интегрируема.
Доказательство. Пусть F — неопределенный Р* -интеграл
функции /, то есть F является ЛСС*-функцией на [а, Ь], производная
которой почти всюду на [а, Ь] существует и равна /. Покажем, что /
является 7^У-интегрируемой и F — ее неопределенный 7^У-интеграл.
Обозначим через D множество точек £ Е [а, Ь], в которых F
дифференцируема и Ff(t) = /(£). Тогда i? = [a,b] \ D имеет меру нуль. В силу
свойства 14.21, можно считать, что f(t) =0 для всех t e E. Так как F
является ЛСС*-функцией, Е представимо в виде счетного
объединения множеств Еп, на каждом из которых F является Л С*-функцией,
причем можно считать, что Еп взаимно не пересекаются.
Фиксируем произвольное е > 0. Положительную функцию S
выберем следующим образом. В точках множества D, по определению

236 Гл. 14. ИНТЕГРАЛЫ ДАНЖУА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ
производной, можно выбрать функцию S так, чтобы
||F(t,) - F(u) - f(u)(v - и)\\ < ^^\v - и\, (14.11)
если v G (и — 5{и),и + S(u)).
Так как F является непрерывной АС* -функцией на Еп, по
теореме 14.32, найдется такое 5п > 0, что для любого набора
неперекрывающихся отрезков {[ci,^i]}i=1, имеющих непустое пересечение с Еп и
удовлетворяющих условию 5^2= i№ ~ сг) < ^п, выполняется
неравенство
т
ЕИ*)-^)11<2^г- (14Л2)
Множество Еп имеет меру нуль, поэтому можно выбрать
положительную функцию S на Еп так, чтобы
м( U (£-*Ф>£ + *(0))<*п. (14.13)
££Еп
Тем самым, функция J определена для всех точек отрезка. Рассмотрим
произвольное ^-согласованное разбиение 7Г = {([а&, &&],£&)} Хенстока
отрезка [а, &]. Применяя соотношения (14.12) и (14.13) и учитывая, что
/(£) = 0 при t € Еп, приходим к неравенствам
£ ||F(b,) - F(a*) - /(&)№* " a*)| < 2^ГГ- (14Л4)
Используя неравенство (14.11), получим
J2 \\F(bk) - F(ofc) - /(&)(*»* " о*)| <
< £ (Иь*) - F&) - /(&)(** - М1+
(,k€D V
+ |F(&) - F(ofc) - /(&)(& - efc)|) <
<E^)(^-^) = |- (^15)
И, наконец, применяя (14.14) и (14.15), можем заключить, что
Y\F(b*) - ?Ы - /(&)(*>* - ак)\\ < е.
Таким образом, функция / является T^V-интегрируемой с
неопределенным 7^У-интегралом F. □

§4 ДЕСКРИПТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА 237
Теорема 14.42. Функция /: [а,Ь] -* X V*-интегрируема тогда и
только тогда, когда она HV-интегрируема. В случае
интегрируемости справедливо равенство
ъ ь
(V*)f fdx = (HV)f fdx. (14.16)
a a
Доказательство. Если функция / является 7^У-интегрируемой
на отрезке [а, Ь], то согласно свойству 14.22 и лемме 14.40 функция /
является D*-интегрируемой и выполнено равенство (14.16).
Обратное утверждение теоремы содержится в лемме 14.41. □
Свойство 14.43. Пусть функция /: [а, 6] —> X Т>*-интегрируема
или HV-интегрируема. Тогда она измерима.
Это вытекает из следствия 11.23.
§ 4. Дескриптивное определение интеграла Лебега
Теорема 14.44. Пусть F: [а,Ь] —> X — сильно абсолютно
непрерывная функция, имеющая почти всюду производную /: [а, Ь] —> X.
Тогда f интегрируема по Лебегу, причем
ь
Jfdfi = F(b)-F{a).
а
Доказательство. Согласно лемме 14.41 и следствию 14.43,
функция / измерима и 7^У-интегрируема, причем F — ее
неопределенный интеграл. Для доказательства .MV-интегрируемости функции /,
достаточно показать, что ||/|| интегрируема по Хенстоку-Курцвей-
лю. Действительно, поскольку ||/|| — действительнозначная
неотрицательная функция, по теореме 5.19, интегрируемость по Хенстоку-
Курцвейлю равносильна интегрируемости по Мак-Шейну, которая
вместе с измеримостью / согласно теореме 13.17 эквивалентна A^V-ин-
тегрируемости функции /.
Для каждого t e [a, b] положим V(t) = V^F. Тогда функция V
абсолютно непрерывна. Действительно, фунция F сильно абсолютно
непрерывна, значит, для каждого е > 0 существует rj > 0 такое, что
для любого набора неперекрывающихся отрезков {Ik}k_1, удовлетво-
п п
ряющего условию J^ \1ь\ < ?7, выполняется неравенство ^2 ||AF(/fc)||<
|. Пусть {[ад;,&А;]}А.=1 — такой набор отрезков. Для каждого
отрезка [afc,fcfc]> по определению сильной вариации, существует разбиение
тк = {Ij}j этого отрезка такое, что ^ 11^^(^)11 ~ V^F < ^г Тогда,

238 Гл 14 ИНТЕГРАЛЫ ДАНЖУА И XEHCTQKA-КУРЦВЕЙЛЯ
п п
учитывая, что £ S \tf\ < ^ получим оценку £ iV^fc*) - V(a*)| <
E|v& -EIIAF(^)||| + ±\\J2bF(ii)\\ < § + £ £||д^оф|| < е.
fc=l Tfc /c=l Tfc /c=l Tfc
что по определению и означает абсолютную непрерывность функции
v(t).
Согласно лемме 14.41 и свойству 14.17, производная v функции
V интегрируема по Хенстоку-Курцвейлю, причем V(t) = (Н) J v dx.
Убедимся, что v{t) = ||/(£)|| почти всюду. Для этого достаточно
проверить, что функция \v — H/II | интегрируема по Хенстоку-Курцвейлю,
и интеграл этой функции по отрезку [а, Ь] равен нулю.
Фиксируем е > 0. Так как / 7^У-интегрируема, можно выбрать
масштаб 5\: [а, Ь] —> (0, -Ьоо) такой, что для любого Ji-разбиения т
выполняется неравенство
ЕЦ/(Ш|-Д^0О||<|- (14.17)
Учитывая ^-интегрируемость v, найдем масштаб #2, такой, что для
любого #2-разбиения т справедливо неравенство
$>($)|/|-AV(J)|<|. (14-18)
Учитывая, что V — сильная вариация функции F, выберем такое
разбиение то, что верна оценка
AV([a,b})-^2\\AF(I)\\<£-. (14.19)
Положим $(£) = min{$i(£),$2(0}- Тогда в силу (14.17)—(14.19) для
любого J-разбиения т такого, что т является измельчением разбиения
го, имеем оценку
ЕЮ - «допил < Е илот - д^сон+
+£ИШ1 - av(j)|+дпм) - Е nAF(7)ii <е п
Т Т
Отсюда и из теорем 13.7, 13.8 вытекает результат, часто
называемый дескриптивной характеризацией интеграла Лебега.
Следствие 14.45. Функция f: [a,b] —> X интегрируема по
Лебегу тогда и только тогда, когда существует сильно абсолютно
непрерывная функция F: [а,Ь] —> X, такая, что F' = f почти всюду.

§5. О ЛЕММЕ КОЛМОГОРОВА-ХЕНСТОКА
239
§ 5. О лемме Колмогорова-Хенстока
Приведем пример, показывающий что для функций,
принимающих значения в бесконечномерном пространстве, ^-интеграл и HV-
интеграл не эквивалентны.
Пример 14.46. Зададим функцию /: [0,1] —> h[0,1] (см.
Приложение § 3) следующим образом: f(t) = X{t}> гДе Хе обозначает индикатор
множества Е. Покажем, что на любом отрезке [с, а1) С [0,1] функция /
интегрируема по Риману и, тем более, по Хенстоку-Курцвейлю.
Фиксируем е > 0. Положим 25 = e2/(d — с). Тогда для любого отмеченного
J-разбиения Хенстока т отрезка [с, d] выполняется неравенство
£ ДО И || = (£ I'!2) * < (2<5) ^ - с) ^
: Е.
Таким образом, функция / интегрируема по Риману на каждом
отрезке [c,d] С [0,1], и интеграл Римана по этому отрезку равен нулю.
Следовательно, неопределенный интеграл Римана функции / на
отрезке [0,1] есть тождественный нуль.
Заметим, что функция / неизмерима, так как по теореме Петтиса
об измеримости 11.30 любая измеримая функция должна быть почти
сепарабельнозначной, что, конечно, не выполнено для /. Ввиду
следствия 14.43, функция / не может быть HV-интегрируемой. Однако,
это можно проверить непосредственно. Рассмотрим произвольное
отмеченное разбиение Хенстока т отрезка [0,1]. Имеет место следующее
равенство:
£11Ш'Н1 = £1Л = 1.
т т
Последнее означает, что тождественный нуль не является
неопределенным 7^У-интегралом функции /. А поскольку, по свойству 14.17,
значение 7^У-интеграла должно совпадать со значением 7^-интеграла,
то / не 7^У-интегрируема.
Как будет показано ниже, эквивалентность интеграла Хенстока-
Курцвейля и вариационного интеграла нарушается в любом
бесконечномерном банаховом пространстве.
Лемма 14.47. Пусть X — банахово пространство конечной
размерности. Если функция /: [а, Ь] —> X интегрируема по Хенстоку-
Курцвейлю {по Мак-Шейну), то для любого е > 0 найдется такой
масштабе, что для любого отмеченного 6-разбиения Хенстока (Мак-
Шейна) т отрезка [а, Ь] выполняется неравенство
v
№\i\-j
fdt\\ < e,
то есть / HV- {МУ-)интегрируема на отрезке [а,Ь].

240 Гл. 14. ИНТЕГРАЛЫ ДАНЖУА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ
Доказательство. Пусть X — п-мерное пространство. Все
нормы в п-мерном пространстве эквивалентны. Поэтому, можно
отождествить X с пространством Rn с нормой, определяемой как
сумма абсолютных величин координат. Тогда каждая интегрируемая по
Хенстоку-Курцвейлю (по Мак-Шейну) функция /: [а, Ь] —> Rn
представляет собой вектор / = (/ъ/г, • • • ,/п)> гДе все U ~~
интегрируемые по Хенстоку-Курцвейлю (по Мак-Шейну) функции,
принимающие действительные значения. Фиксируем произвольное е > 0.
Пользуясь справедливостью леммы Колмогорова-Хенстока 3.9 в случае
X = R, выберем масштаб S так, чтобы для любого отмеченного <5-раз-
биения Хенстока (Мак-Шейна) т отрезка [а, Ь] и для всех г = 1,2,..., п
выполнялись неравенства
Е
мт
Iй
dx
£
< -.
П
Складывая эти неравенства, получим
Е
Я01Л-
//dr||=X)(EU(0m- ffidxl)
ЕЕ
ЛОТ
/'■
dx\
< п
е
п
□
В этом параграфе будет доказано, что справедливость леммы
Колмогорова-Хенстока как для интеграла Хенстока-Курцвейля, так и для
интеграла Мак-Шейна в случае банаховозначных функций
равносильна конечномерности пространства значений. Доказательство
опирается на конструкцию, использованную А. Дворецким и К. А. Роджерсом
в [60с] для построения безусловно, но не абсолютно, сходящегося ряда
в бесконечномерном банаховом пространстве.
Лемма 14.48. Пусть (X, || • ||х) — n-мерное банахово
пространство. Тогда для каждого натурального г < п найдутся векторы А^ е
X, 1 < к ^ г, такие, что \\Ak\\x = I и для любых чисел А*;, 1 < к ^ г,
выполненоно неравенство
Е
ЛрАр G
AJ3,
Л2
(14.20)
где В = {х е X: \\х\\х ^ 1} и X2 = [2 + ^] ^
Доказательство. Так как X — линейное n-мерное
пространство, в нем наряду с нормой || • ||х можно ввести /2-норму (см.
Приложение § 3). Тогда множество В будет выпуклым компактом с
внутренними точками в пространстве (X, || • Ц2). Пусть А — семейство
эллипсоидов, содержащихся в В. Оно, очевидно, непусто. Обозначим через

§5. О ЛЕММЕ КОЛМОГОРОВА -ХЕНСТОКА
241
V точную верхнюю грань значений объемов эллипсоидов семейства
А. Так как объем эллипсоида — функция, непрерывно зависящая от
конечного числа параметров, задающих эллипсоид, в семействе Л
найдется эллипсоид 5, объем которого равен V. Применим к пространству
(X, || • ||2) аффинное преобразование, при котором эллипсоид S
перейдет в единичный шар в преобразованном пространстве (X', || • ||2) с
/2-нормой. Обозначим его через 5", а образ множества В при этом
преобразовании через В'.
Покажем, что для каждого г, г = 1,..., п, после подходящего
ортогонального преобразования можно найти г векторов А'к, 1 ^ к ^ г,
лежащих на границе В*'. принадлежащих шару Sf и обладающих для
каждого &, 1 ^ к ^ г, следующим свойством:
f A'k = (xjfci,xjfc2,...,^jfc,0,...,0),
k-i
2^ Хкг = * ~~ Хкк ^ ~1Г'
<г=1
(14.21)
о
(условимся, что 2=0).
г=1
Для г = 1 это очевидно. Предположим, что для г = т — 1 < п
приведенное выше утверждение справедливо, и докажем его для г =
т. Для каждого положительного е рассмотрим эллипсоид
/ \ П — 771+1 /771—1 ч • ч —771 + 1 / П \
1+П (£>|)+ 1+£ + е2 (2>2Wl. (14.22)
Объем этого эллипсоида больше объема шара S'. Следовательно, на
границе В' найдется вектор А'{е) = (х\ (е),..., хп(е)), лежащий внутри
эллипсоида (14.22). Так как А'(е) принадлежит границе В',
/ п v 1/2
Il^'(e)ll2 = ( 2 xl(6)) ^ 1 в силу того, что S' С В'. Вычитая это
неравенство из (14.22), получаем, что А'{е) удовлетворяет неравенству:
(1 + е)п-т+1 _ г
•771 — 1
+
Х>*(е)2)+
(l+e + c2)-m+1-l
£ xfc(e)2) < 0. (14.23)
к=т
Так как В' является компактом, можно выбрать такую
последовательность чисел si —> 0, что последовательность A'(ei) сходится к
некоторому вектору А'ш = (жтх,..., хшп). Согласно неравенству (14.22), вектор
А'т принадлежит шару S' и границе В'. После деления обеих частей
неравенства (14.23) на е и перехода к пределу при е —> 0 получаем,

242 Гл 14. ИНТЕГРАЛЫ ДАНЖУА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ
(п - т + 1) Г £ хО + (-т + 1) ( £ хО ^ 0. (14.24)
Применяя подходящее ортогональное преобразование переменных Uk,
т ^ к ^ п, оставляющее на месте точки А'к,1 ^ к ^ т — 1, обнулим
последние п — т координат вектора А'т. Используя неравенство (14.24) и
п
вспоминая, что ^ х2тк — 1, получаем соотношение (14.21) для г — т.
к=\
Таким образом, существование при подходящем ортогональном
преобразовании точек А'к, 1 < к ^ г, удовлетворяющих условию (14.21),
доказано для всех г, 1 ^ г ^ п.
Рассмотрим произвольные действительные числа А^, 1 ^ к < г.
г
Оценим /2-норму вектора Yl ^fc^- Учитывая соотношение (14.21),
А;=1
имеем
(||E^ID2-E(E^-)2-
(14.25)
А;=1 /=1 к=1
Применяя полученные неравенства, имеем следующую оценку:
Е ЕЛ*Ч ^Е
1=1 Vfc:
2
<
Е*
/c=Z-hl
k=l-\-l
k=l+l
После несложных преобразований получаем
г у г \ / r \ r r r min(/c — 1,га — l)
/=1 Ч=/+1 ' Ч=/+1 ' к=\ 1т=1 1 = 1
<г2
Xml
. (14.26)
Л2
(здесь снова ^ = 0)-
z=i
Еще раз применяя (14.21), приходим к оценке:
min(/c—1,га — l)
*L + Е Е
3?™/ ^
i + E
m — 1
= 1 +
m=l Z=l ra=l
Объединяя (14.26) и (14.27), заключаем, что
r(r — 1)
2n '
(14.27)
(li>4);
^
2 +
r(r — 1)1
EA*-
A;=l
A;=l

§5 О ЛЕММЕ КОЛМОГОРОВА-ХЕНСТОКА
243
Таким образом, вектор ^ ^кА'к содержится в шаре А5", где А2 = 2-Ь
k=i L
r ~ 2 ^к и тем более, внутри АБА, так как S' С В'. Наконец, после
аффинного преобразования, переводящего В' в В, векторы А'к, 1 ^
к < г, лежащие на границе Б', перейдут в векторы Ak, 1 ^ к ^ г,
г
лежащие на границе Б, причем вектор J^ А^Ад; лежит внутри АБ, то
А;=1
есть выполнено (14.20). □
Лемма 14.49. Пусть X — бесконечномерное банахово
пространство, с\, с<2, • •., Сг — произвольные положительные числа. Тогда
найдутся такие векторы х\,Х2,- • • ,хг из пространства X, что
\\xi\\2 = а, 1 < г <. г,
и для любых чисел 0i,02,---,Ort удовлетворяющих условию |0$| ^ 1,
выполняется неравенство
г „ г
\\*Г,0*Х*\\ ^3^q. (14.28)
г=1 i=l
Доказательство. Пусть п = г (г— 1). В силу бесконечномерности
пространства X для числа п найдутся линейно независимые векторы
2i, z2, • • •, %п из пространства X. Рассмотрим гс-мерное
подпространство У, порожденное выбранными векторами. Обозначим через В
множество векторов z из Y с ||z|| < 1. Тогда, по лемме 14.48,
примененной к пространству У, на границе множества В можно найти векторы
Ai,A2,---,Ar такие, что для любых чисел Ai, А2,..., Аг справедливо:
]ГKAi е ХВ, где А2 = 3]ГА?. (14.29)
г=1 г=1
Так как для всех г = 1,2,..., г векторы Ai лежат на границе В,
Ш = 1. (14.30)
Поскольку ||21| < 1 для всех z e В, из (14.29) следует, что
г ц2 г
Е^ <3]Га?. (14.31)
4=1 " г=1
Выберем Xi = д/с^Лг- Тогда, в силу (14.30), имеем \\xi\\2 = С{. Для
доказательства неравенства (14.28) достаточно применить неравенство
(14.31), положив Xi = Qi^Jci, и воспользоваться тем, что |0$| ^ 1.
Действительно,
I Т 1|2 И r ||2 r r
Е6^* = E^v^^J ^3^(92сг^3^сг.
г=1
г=1
г=1
п

244 Гл. 14. ИНТЕГРАЛЫ ДАНЖУА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ
Теорема 14.50. Пусть X — бесконечномерное банахово
пространство. Тогда существует измеримая Л4 -интегрируемая функция
/: [а,Ь] —> X, неопределенный интеграл которой не является VBG*-
функцией.
Доказательство. Предположим для простоты, что [а, Ь) = [0,1].
Пусть С — канторовское множество, (а[, &£), г ^ 0, 1 ^ г < 2Г, —
смежные к С интервалы длины 3_r_1, d\ — середины интервалов {а\,Ъ[).
По лемме 14.49, для каждого г построим векторы х\, хТ2,..., x^r E X,
так, чтобы
Ikill = ^ 1 < * < Г, (14.32)
и каковы бы ни были числа в\, Q\,..., 0£г, удовлетворяющие условию
\Q\\ ^ 1, выполнялось неравенство
Ъг42^3^Ь = ¥' (14'33)
Определим функцию /: [0,1] —> X следующим образом:
{0, если £ <Е С или * = d[, г ^ 0, 1 < г ^ 2Г,
2 • Зг+1ж[, если £ <G (of, <), г ^ 0, 1 ^ г ^ 2Г,
-2 • Зг+1ж[, если £ G (<£,Ь[), r ^ 0, 1 ^ г ^ 2r.
Покажем, что построенная функция / интегрируема по Мак-Шей-
ну и для любого 5 G С интеграл по отрезку [0, s] равен нулю. Введем
следующие обозначения:
с/т = [о,*]п (к, ьг)\ {ф),
г=0г=1
оо
u=\JuR,
Фиксируем произвольное е > 0. Номер Я и действительное число р
выберем такими, чтобы
2я > Щч (14.34)
р-Зй+1<^. (14.35)
Масштаб J зададим следующим образом:

§5. О ЛЕММЕ КОЛМОГОРОВА-ХЕНСТОКА
245
^ (dist([0,l]\t/f), ecjmteUr,r^0,l^i^2r,
U \p, ecnnteV. [ ' }
Рассмотрим произвольное отмеченное J-разбиение Мак-Шейна т
отрезка [0,5]. Ясно, что C/UV = [0,5], и /(£) = 0 для всех £ е V.
Поэтому
Т Т[£/]
Каждый отрезок J из т[£/] обладает следующим свойством: он либо
попадает в множество Ur целиком, либо не пересекается с Ur. В силу
этого замечания имеем
<
Е яош
■[и]Пт(ин)
Е -^т
т[и]Пт([о,з)\ин)
. (14.38)
Оценим каждое слагаемое. Принимая во внимание определение
функции /, выбор масштаба S (см. (14.36)), а также вспоминая, что
5 G С, можно выбрать числа 0[, 0 ^ г < R, 1 ^ г ^ 2Г, так что |0[| ^ 4р
и
Е лои = ЕЕ2-з^ч^-
т[(/]Пт((/д) r=0 i=l
Применяя соотношения (14.32) и (14.35), получим
Е /(om|Ux>3r+1E2pii<ii = бР(зл+1-1) < е~. (14.39)
т[и]Пт(ил)
г=0
г=1
Оценим второе слагаемое в (14.38). Учитывая выбор масштаба S
(см. (14.36)), найдем числа 6\, г ^ R, 1 < г ^ 2Г, такие, что |0[| ^ 1 и
оо 2Г
Е /(01 *\ = Е Е^<-
г[1/]Пт([о,а]\с/я) r=R+\ i=\
Следовательно, применяя соотношения (14.33) и (14.34), заключаем
оо 2Г
| Е до|ф Е ||Е^'<||<
т[(/]Пт([о,3]\ия) г=Я+1 г=1
оо „
^ J2 V3-2~§ <2-2"2" < £ (14.40)
г=Я+1
Объединяя (14.37) — (14.40), приходим к неравенству
Е'&И
< е.

246 Гл. 14. ИНТЕГРАЛЫ ДАНЖУА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ
Тем самым, мы проверили интегрируемость по Мак-Шейну
функции / и показали, что ее неопределенный интеграл обращается в нуль
в каждой точке s G С. Следовательно, неопределенный интеграл Мак-
Шейна функции / имеет вид
{О, если t G С,
2.3г(*-а[)я£, если£<Е (oJ,df],r ^ 0,1 ^ г <, 2Г,
-2 • 3r(t - ЪГ)х$, если t е {<1\,Щ),г> 0,1 < г < 2Г.
Осталось доказать, что функция F не является УБС*-функци-
ей. Покажем, что F не является VBG*-функцией на С. Обозначим
через 7J1, п ^ 1, 1 ^ j ^ 2П, отрезки, образующие множество [0,1] \
(Ur=o Ui=i(аГ' ^Г))• Предположим, что F является Vi?G*-функцией
на С. Тогда найдется непустая порция С, на которой F есть VB*-
функция (см. теорему Бэра 7.36). Для некоторых п и j эта порция
содержит множество Л1 Г) С. Заметим, что для каждого г ^ п отрезок
I™ содержит 2Г_П отрезков [а£,Ь£]. Используя этот факт, получаем
оо оо
Е Е osc(F, [<,&[]) = E Е 2-Э"^
3_х g 2-™ = +оо.
г=п+1
Другими словами, ряд из колебаний функции F на замыканиях
смежных интервалов к множеству I™ Г) С расходится, что противоречит
утверждению 14.24. Следовательно, F не является VBG*-функцией.
□
Построенная выше функция является примером функции,
интегрируемой по Хенстоку-Курцвейлю, но не интегрируемой
вариационно по Хенстоку-Курцвейлю.
Теорема 14.51. Следующие утверждения эквивалентны:
(1) X — конечномерное пространство.
(2) Функция f:[a,b]—*X H-интегрируема тогда и только
тогда, когда она HV-интегрируема.
(3) Функция /: [а,Ь] —> X М.-интегрируема тогда и только
тогда, когда она MV-интегрируема.
Другими словами, для функций, принимающих значения в
бесконечномерном банаховом пространстве, интеграл Хенстока-Курцвейля
является существенно более общим, чем узкий интеграл Данжуа, а
интеграл Мак-Шейна — чем интеграл Бохнера.

§6 РАВНОМЕРНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
247
§ 6. Теорема о равномерной интегрируемости
В этом параграфе будет получена теорема о связи равномерной
.М-интегрируемости и ^-интегрируемости. В дальнейшем нам
понадобятся две вспомогательные леммы.
Лемма 14.52. Пусть С — семейство открытых интервалов,
причем /if (J J) < +оо. Тогда найдется конечный набор непересека-
ющихся интервалов {Jfc}£=1 С С со следующим свойством:
Еш>ЫиА- (14-41)
Доказательство. Обозначим Qi = С. Выберем Д е Q\, \Ii\ >
\ sup \J\. Пусть 0,2 = {J G ^i : J nil = 0}. Если Q2 = 0, то постро-
ение закончено, а если ^2 Ф 0, то выберем 1ч G ^2, 1^21 > \ sup \J\.
J<Ef22
Далее построение продолжим по индукции. Пусть уже построены Ik G
fifc С fii, \1к\ > | sup |J|, к = 1,...,п. Положим Пп+1 = {J G ftn :
J€f2fc
Jfl/n = 0}. Если ^n+i = 0, то построение закончено, а если Пп+1 ф 0>
то выберем /n+i G Пп+ъ |/n+i| > 5 sup |J|.
J<Ef2n+i
По построению последовательности {Пп}п> все интервалы Jn не
пересекаются, и если некоторый интервал J пересекает Jn, то J С J£,
где J^ получен пятикратным раздутием Jn относительно его центра.
п
Если построенная последовательность конечна, то (J J С (J J£ и
J<EC А;=1
выполнена оценка (14.41). Если же последовательность бесконечна, то
(J Jk С (J J£ для каждого п. В силу условия /if (J J J < -foo, ко-
A;>n A;>n VGC '
нечна и сумма j^ |J^|, значит, lim /if (J J£ J =0. Поэтому, в силу
k=l n_>0° \A:>n /
n
непрерывности меры Лебега, существует число п, такое, что 2 Jfc >
А;=1
ь(иЛ
\J£C J
п
Лемма 14.53. Пусть /: [а,Ь] -> R, Я С [а,Ь], е > 0, г/ > 0,
5: Е -+ (0,+оо) удовлетворяют условию: для любого отмеченного
5-разбиения Хенстока т выполняется неравенство Y1t[e] /(01-Л ^ V-
Тогда
м( U ^(о/2(0) ^ у-
Ч€^:/(0^е

248 Гл. 14. ИНТЕГРАЛЫ ДАНЖУА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ
Доказательство. Согласно лемме 14.52, можно выбрать
конечный набор непересекающихся интервалов {^5(&)/2(£г)}-=1> £г Е Е,
/(&) ^ £ Для всех *> 1 < г < п, со свойством:
£<ш>М U у*«)/2(о)-
Семейство пар < ([& — <5(&)/2, &+£(&)/2] ? £ J I образует отмеченное
J-разбиение Хенстока t[J£]. Следовательно,
/*( U ^(о/2(о) < s $">(&) < \ £/(oiji < ?• п
В следующей теореме используются понятия е-сети и вполне
ограниченности, определения которых см. в П. 13 и П. 14.
Теорема 14.54. Для того чтобы семейство {fa}a
действительнозначных М-интегрируемых функций, определенных на отрезке
[ajb], было равномерно Л4-интегрируемым, достаточно выполнения
следующих условий:
(1) {/«(£)} ограничено при каждом t е [a,b].
(2) {foc}o. вполне ограничено в £[о,Ь].
(3) {fa}а равномерно Н-интегрируемо.
Доказательство. Фиксируем е, 0 < е < 1. Для каждого
натурального k положим
Ак = \t е [а,Ъ]:к-1 ^ sup|/a(0| < к]. (14.42)
Так как семейство {/<*(£)} ограничено при любом t е [a,&], каждая
точка отрезка попадает в одно из введенных множеств, то есть
оо
\jAk = [a,b]. (14.43)
k=l
Зададим последовательность чисел щ:
^ = ЩЬ-а)к2*- (1444)
Доказательство теоремы проведем по следующей схеме. Масштаб S
будем строить отдельно на каждом из множеств Ак, так как они не
пересекаются. Используя вполне ограниченность семейства {fa}a B
пространстве £[a,fc], выделим из этого семейства конечную ^-сеть.
В каждой точке Ак масштаб 6к определим как половину
наименьшего из масштабов, выбираемых из условий равномерной
^-интегрируемости {fa}а и .М-интегрируемости функций ?7А;-сети. Наконец, при

§6 РАВНОМЕРНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
249
помощи леммы 14.53 покажем, что интегральная сумма модуля
разности произвольной функции семейства и некоторой функции ^-сети,
отвечающая отмеченному ^-разбиению Мак-Шейна, равномерно
мала, то есть оценивается сверху величиной, не зависящей от функции
семейства и стремящейся к нулю с ростом к.
Перейдем к строгим рассуждениям. Пользуясь равномерной Н-
интегрируемостыо семейства {fa}a и учитывая лемму 3.9, найдем
такой масштаб 6%: Ак —> (0,-Ьоо), чтобы для любого отмеченного 5%-
разбиения Хенстока т[Л&] и для каждого а выполнялось неравенство
-г[Ак]
fa(0\I\
lU
dx
< Щ-
(14.45)
Так как {fa}a вполне ограничено в £[а,Ь], найдутся такие функции
fak(n)i 1 ^ п ^ пк, что для всех а выполняется неравенство
min / \fa
l«nj lJa
fak(n)\dx ^ TJk.
(14.46)
Снова применяя лемму 3.9, для каждого п, 1 ^ п < rife, найдем такой
масштаб ££: Ак —> (0, -Ьоо), что для любого отмеченного ^-разбиения
Мак-Шейна т[Ак] справедливо неравенство
£ /«*(п)(ОИ - IU{n)dx\ < щ. (14.47)
r[Ak)1 J
Пусть Sk(0 = min <S£ (£)• Отметим, что выбранный масштаб 6 к не за-
висит от а. Фиксируем произвольное а и обозначим через д% функцию
из набора {fak(n)}nk=l> ближайшую к fa в £[а,Ь]. Тогда неравенство
(14.46) можно переписать следующим образом:
I \fa~9a\dx ^ Щ.
В частности, для любого отмеченного ^-разбиения Мак-Шейна т[Ак]
справедлива оценка
£ \J(U-9ka)dx\
^ Щ-
(14.48)
r[AkV4

250 Гл 14. ИНТЕГРАЛЫ ДАНЖУА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕЙЛЯ
Поскольку любое отмеченное ^^-разбиение Хенстока является
отмеченным ^-разбиением Мак-Шейна, неравенства (14.45) и (14.47)
выполняются, в частности, для любого отмеченного ^-разбиения
Хенстока т[Ak]. Следовательно,
т[Ак)1 J
^ 2щ. (14.49)
Наконец, из (14.48) и (14.49) для любого отмеченного ^-разбиения
Хенстока т[А^\ имеем
Положим Sk(£) = <5fc(£)/2. Рассмотрим произвольное отмеченное
^-разбиение Мак-Шейна т[Л^]. Покажем, что в оценке (14.50)
отмеченное ^-разбиение Хенстока можно заменить на отмеченное
^-разбиение Мак-Шейна с той лишь разницей, что вместо числа Зг]к
придется поставить выражение, зависящее от разбиения, но не зависящее
от а. Рассмотрим отмеченное ^-разбиение Мак-Шейна т[Лд^].
Разобьем слагаемые суммы, стоящей в левой части (14.50), на две группы
в зависимости от величины отклонения д^ от fa в соответствующих
отмеченных точках. А именно, введем множество
Ека = {С 6 Ак: \дка(0 - /Q(£)| > Щ^)- (14-51)
Непосредствено из (14.51) получаем
г[Ак\ЕЬ] V } т[Ак\Е*]
€
2<*-aUfc
Ей-
(14.52)
Принимая во внимание (14.50) и (14.51), выводим из леммы 14.53
оценку
30(6 - а)щ
4 U иШ®) <
А так как отрезки отмеченного ^-разбиения Мак-Шейна не
перекрываются, можем вывести отсюда неравенство:
£ |/| < 30(b-a)??fc. (14.53)
Вспоминая (14.42), для каждого t e А^ получаем оценку
\gha(t)-fa(t)\<2k. (14.54)

§6. РАВНОМЕРНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
251
Учитывая (14.53), (14.54) и (14.44), приходим к неравенству
£№-/«(о|-т
^
г[Е*)
2к-2-
(14.55)
Складывая (14.52) и (14.55), получаем оценку, подобную (14.50),
справедливую для любого отмеченного ^-разбиения Мак-Шейна:
£|^(0-/а(0|-И
<
+
т[Ак)
2к~2 2{Ь - а)
£|'|-
(14.56)
г[Ак]
Наконец, объединяя (14.47), (14.48), (14.56) и учитывая, что £*(£) <
5k(£)y приходим к неравенству
т[Ак}
fa(W\
lU
dx
^ + ^ + ^£l'l- (14^)
2к~2 2{Ь-а)
т[Ак
Масштаб 5: [а, Ь] —> (0,+оо) определим следующим образом:
*(0=^(0» если ^G Ль
Тогда для любого отмеченного J-разбиения Мак-Шейна т и для всех
а из (14.43), (14.44) и (14.57), окончательно получаем
<г- \ ^ I I 1 _Г Л . 1 I «^
fc=lT[i4fc]'
< е.
П
Теорема 14.55. Функция f: [a,b\ -^> X М-интегрируема тогда и
только тогда, когда она 7i-интегрируема и ее неопределенный
интеграл абсолютно непрерывен как функция множества.
Доказательство. Пусть / интегрируема по Хенстоку-Курцвей-
лю и ее неопределенный интеграл абсолютно непрерывен. Тогда
семейство функций {x*f: ||ж* || = 1} удовлетворяет всем условиям теоремы
14.54.
Действительно, поточечная ограниченность функций семейства
очевидна. Равномерная ^-интегрируемость семейства вытекает из
утверждения 14.14. В силу абсолютной непрерывности
неопределенного интеграла функции /, функции семейства {x*f: \\x*\\ = 1}
имеют равностепенно абсолютно непрерывные неопределенные
интегралы Хенстока-Курцвейля на [а,Ь]. Значит, функции семейства {x*f:
||а;* || = 1} интегрируемы по Лебегу на [а,Ь] и имеют равностепенно
абсолютно непрерывные неопределенные интегралы Лебега на [а, Ь].
Отсюда, согласно теореме П.15, семейство {x*f: \\x*\\ = 1} вполне
ограничено в £[а,Ь].

252 Гл. 14. ИНТЕГРАЛЫ ДАНЖУА И ХЕНСТОКА-КУРЦВЕИЛЯ
Итак, по теореме 14.54, семейство {x*f: \\x*\\ = 1} равномерно
М- интегрируем о. Теперь .М-интегрируемость функции / следует из
утверждения 12.38.
Обратное утверждение вытекает из свойств интеграла Мак-Шей-
на. □

ПРИЛОЖЕНИЕ
§ 1. Банаховы пространства
В этом и последующем параграфах мы приведем без
доказательства некоторые сведения из функционального анализа, используемые в
третьей части книги. Доказательства приведенных здесь теорем
можно найти в учебниках, указанных в списке литературы.
Определение П.1. Линейное пространство X называется
линейным нормированным пространством, если каждому х £ X
соответствует неотрицательное число ||ж||, называемое нормой х. При этом
функция || • || обладает следующими свойствами:
(1) \\х\\ = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
(2) ||A*|| = |A|NI,AeR,*eA-
(3) \\x + y\\^\\x\\ + \\ylx,yex.
Определение П.2. Последовательность {хп}п векторов
линейного нормированного пространства X называется сходящейся к вектору
xGl, если для любого е > 0 найдется такой номер N e N, что для
всех п > N выполняется неравенство \\хп — х\\ < е.
Определение П.З. Последовательность {хп}п векторов
линейного нормированного пространства X называется фундаментальной,
если для любого е > 0 найдется такой номер N Е N, что для всех
т,п> N выполняется неравенство ||жт — хп\\ < е.
Определение П.4. Линейное нормированное пространство X
называется полным линейным нормированным пространством или
банаховым пространством, если всякая фундаментальная
последовательность векторов из X сходится.
Определение П.5. Множество U С X называется открытым,
если для любого х е U найдется такое S > 0, что В$(х) С U.
Определение П.6. Множество Е с X называется замкнутым,
если X \ Е — открытое множество.
Определение П.7. Замыканием А множества А с X называется
пересечение всех замкнутых множеств, содержащих А.
Определение П.8. Множество С С X называется выпуклым,
если для любых х\,х2 € С и ai,a2 G [0,1], ol\ + а2 = 1, вектор
ol\X\ + а2х2 £ С. Выпуклой оболочкой со А множества А называется
пересечение всех выпуклых множеств, содержащих А.

254
ПРИЛОЖЕНИЕ
Свойство П. 9. Yl coAk=colJ^Ak), где А + В = {a + b: a e
к=1 4=1 '
А,ЪеВ}.
Утверждение И АО. Множество С С X выпукло тогда и
только тогда, когда для любых х\, x<i,..., хп е С и а\, с*2,..., ап G [0,1],
Тл=1 аг = !> вектор Yh=i агхг е С.
Определение П. 11. Множество Л с X называется всюду
плотным, если А = X.
Определение П. 12. Пространство X называется сепарабелъным,
если оно содержит счетное всюду плотное множество.
Определение П. 13. Пусть М с X, е > 0. Множество А
называется е-сетью для М, если (J B€{x) D М.
х€А
Определение П. 14. Множество МсХ называется вполне
ограниченным, если для каждого положительного е множество М
обладает конечной е-сетью.
Следующая теорема является следствием теорем 4-1-6 и 4-1-5 из
[44], если в качестве совершенного пространства (X, £, /а) рассмотреть
пространство ([а, Ь], £, //).
Теорема П. 15. Пусть функция f, определенная на отрезке [а,Ь\
и принимающая значения в банаховом пространстве Е такова, что
функции семейства {х* f: х* е Е*, \\х*\\ = 1} интегрируемы по
Лебегу и имеют равностепенно абсолютно непрерывные неопределенные
интегралы на [а,Ь], то есть для любого положительного е найдется
полоэюительное число S такое, что для произвольного множества
А С [а,Ь] с мерой /аА < S и для всех х* е i£*,||:r*|| = 1 выполнено
неравенство fx*fd,Li < е. Тогда семейство {х*f: х* е £*,||х*|| = 1}
А
вполне ограничено в С[а,Ь].
§ 2. Линейные отображения банаховых пространств
Определение П. 16. Нормой \\А\\ линейного отображения
(оператора) банаховых пространств А: X —> Y называется число sup ||Ar||.
Линейное отображение А называется ограниченным, если ||Л|| < оо.
Утверждение П. 17. Линейное отображение А.Х —> Y
непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено.
Утверждение П. 18. Множество всех линейных ограниченных
отображений А: X —> Y является банаховым пространством.
Определение П. 19. Линейное ограниченное отображение
А: X —► Ш называется линейным непрерывным функционалом.
Пространство всех линейных непрерывных функционалов, определенных
на X, будем называть сопряженным и обозначать через X*.

§4 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
255
Теорема П.20 (Хана-Банаха). Пусть Xq — линейное
подпространство нормированного пространства X пусть /о — непрерывное
линейное отображение на пространстве Xq . Тогда /о можно
продолжить до непрерывного линейного отобраэюения f на всем X,
имеющего ту же норму, что и /о wa Xq.
Следствие П.21. Для каждого х е X, х ф 0, найдется такой
функционал х* е X*, что \\х*\\ = 1 и х*х = \\х\\.
Следствие П.22. Для каждого x'Gl имеет место равенство
\\х\\ = sup \x*x\.
х*: ||ж*|| = 1
§ 3. Специальные пространства
(1) /р, 1 ^ р < оо, — пространство последовательностей х = {хп}
со свойством JZnLi \хп\р < оо. Норма задается следующим
образом: ||х|| = (ZZi Ыр)1/Р-
(2) /оо — пространство последовательностей х = {хп} со
свойством supn \xn\ < оо. Норма задается следующим образом:
||х|| =SUpn|xn|.
(3) со — пространство последовательностей х = {хп} со
свойством limn_>oo xn —- 0. Норма задается следующим образом:
\\х\\ = SUpn|zn|.
(4) LP(Q), 1 ^ р < оо, — пространство функций ж: ft —> R со
свойством JQ \x(t)\p dfi < оо. Норма задается следующим образом:
INI = (LW*)lp^)1/p-
(5) LOQ(ft) — пространство функций х: ft —> R со свойством
inf^cft: |£7|=osuPf2\£ IхWl < °°. Норма задается следующим
образом: ||х|| = mfEcQ: \е\=о*Щ>п\е |я(*)|.
(6) /р[0,1], 1 ^ р < оо, — пространство функций х: [0,1] —> R с не
более чем счетным носителем и со свойством $Zte[o xi |#(£)|р <
оо. Норма задается следующим образом:
И = (EtG[o,i]W*)lp)1/P-
Теорема П.23.
(1) c5 = /i,
(2) /* = Zq, если 1 < р < оо и \/р + 1/q = 1,
(о) fc-^ = too.

КОММЕНТАРИИ
ЧАСТЬ 1.
Глава 1.
Более подробные сведения о введенном в этой главе пронятии
предела по базе (базе фильтра, по предфильтру) можно найти в [3], [8] и
в ряде других книг.
Критерий 1.22 был доказан Гордоном в 1995 году в [87с], однако в
форме критерия перестановки порядка суммирования двойных рядов
он был установлен еще в начале XX века А. А. Марковым (1856-1922)
(см. [128с]).
Глава 2.
Н-интеграл (определение 2.8) ввели независимо друг от друга в
конце 50-х — начале 60-х годов прошлого века чешский математик
Я. Курцвейль (род. 1926) в [108с] и английский математик Р. Хенсток
(1923-2007) в [94с] и [95с].
В последние годы вышло много монографий, посвященных этому
интегралу (см. [22], [24] — [43]). На русском языке достаточно
элементарным введением в теорию интеграла Хенстока-Курцвейля является
упомянутая во Введении книга [14]. Исторические сведения,
касающиеся развития теории интеграла Хенстока-Курцвейля, можно
найти в специальном выпуске японского журнала Scientiae Mathematicae
Japonicae, том 67 (2008), №1, целиком посвященном памяти Хенстока
(см., в частности, [143с], [149с] и [161с]), а также в выпусках №№2—4
тома 131 журнала Mathematica Bohemica за 2006 год, посвященных
80-летию Курцвейля. По поводу общей истории развития понятия
интеграла см. [15], [17], [27], [1с], [38с].
.М-интеграл (определение 2.7) был введен Э. Мак-Шейном (1904-
1989), который применил в [36] хенстоковскую идею масштаба (по-
английски gauge), зависящего от точки, к своему понятию разбиения
(см. определение 2.9) с постоянным масштабом ([131с]). В ряде работ
исследовался вопрос о возможности ограничиться в определениях
интеграла Хенстока-Курцвейля и Мак-Шейна масштабными функциями
из определенного класса (см., например, [35с], [123с]).

КОММЕНТАРИИ
257
Лемма 2.12 обычно именуется леммой Кузена, так как ее вариант
в двумерном случае впервые появился еще в конце XIX века в работе
Кузена [44с].
Общее понятие дифференциального базиса рассматривается в [39]
и |158с]. По поводу базисов в Жп и многомерных аналогов 7^-интеграла
иМ-интеграласм. [39], [40], [41], [38], [27с], [70с], [98с], [102с], [109с].
Свойство функции, которое используется в качестве определения
измеримости в определении 2.55, обычно в теории функций
называется С-свойством Лузина (см. [18]). По поводу эквивалентности этого
определения классическому, а также действительнозначному аналогу
определения 11.7 см. [2].
Глава 3.
Лемма 3.8 доказана Хенстоком, который воспользовался соответ-
ствующимим идеями Сакса, доказавшего аналогичное утверждения
для интеграла Беркилля (см. [145с] и комментарии на стр. 196—197 в
[29]). Название леммы 3.9 связано с тем, что некоторый ее вариант
содержится в классической работе Колмогорова [105с] (см. также [5с]).
Глава 4.
Интеграл Римана-Стилтьеса, обобщающий интеграл Римана,
введен нидерландским математиком Т. И. Стилтьесом (1856-1894) в
работе [154с]. В 1910 году Лебег в заметке [113с] предложил
определение интеграла Стилтьеса (впоследствии названное интегралом Лебега-
Стилтьеса) для измеримых функций. В 1914 году эквивалентное
определение дал Юнг в [166с]. Этому интегралу посвящены
многочисленные публикации, см., например, [4], [5] и [10]. В [36] Мак-Шейн
показал, что функция, интегрируемая по Лебегу-Стилтьесу
относительно функции ограниченной вариации, интегрируема относительно этой
функции и по Мак-Шейну-Стилтьесу. В 1986 году в работе [132с]
было доказано обратное утверждение, в дополнительном предположении,
что интегрирование проводится по функции ограниченной вариации.
Приведенные здесь определения почерпнуты из ряда работ Хен-
стока и работы Мак-Шейна [36]. Различные варианты обобщений
интеграла Стилтьеса рассмотрены, например, в [6с], [69с], [99с],
[106с], [134с], [140с], [155с], [164с].
Глава 5.
Теорему 5.5 доказал в 1911 году русский математик Д. Ф. Егоров
(1869-1931).
Теорема 5.11 и все последующие теоремы о предельном переходе
под знаком интеграла, помещенные в этой главе, являются
аналогами соответствующих теорем, доказанных ранее для интеграла Лебега

258
КОММЕНТАРИИ
(см., например, [11] и [7]), которому интеграл Мак-Шейна
эквивалентен (см. главу 6). Так, теорема 5.11 доказана для интеграла Лебега
итальянским математиком Б. Леви в начале XX века. Лемма 5.22 и
5.23 доказаны Фату, а теоремы 5.24 и 5.25 представляют собой
варианты известных теорем Лебега о мажорируемой сходимости.
Различным вариантам теорем о предельном переходе под знаком
интегралов Мак-Шейна и Хенстока-Курцвейля посвящена
многочисленная литература (см., например, [23с], [85с], [86с], [101с])
ЧАСТЬ 2.
Глава 6.
Приводимое здесь доказательство теоремы 6.13 и предшествующей
леммы почерпнуто из [18]. Определение 6.25 представляет собой так
называемое дескриптивное определение интеграла Лебега.
Конструктивное определение этого интеграла было дано А. Лебегом (1875-1941)
в 1901-1904 годах (см. [Шс] [112с] и [12]). Эквивалентность
интеграла Мак-Шейна интегралу Лебега была доказана в [36] (см. также [46с],
[122с] и [130с]).
Глава 7.
В §1 изложена классическая теория Лебега-Каратеодори (см.,
например, [1], [18] или [19]).
Понятие вариационной меры ввел Б. Томсон в [157с]. О роли этого
понятия в теории интеграла Хенстока см. в [25], [11с], [97с].
Теорема 7.37 доказана в [28с].
Глава 8.
Теорема 8.3 представляет собой так называемую неполную
дескриптивную характеристику 7^-интеграла. В разных вариантах она
была установлена в [34с], [40], [109с] и [115с]. Полная
дескриптивная характеристика дана в теоремах 8.26 и 8.27, доказанных в [28с]
(см. также [25]). Для других дифференциальных базисов
аналогичные характеристики интегралов рассмотрены в [30с], [32с], [33с], [7с],
[117с]. Дескриптивное определение 7^-интеграла, опирающееся на
понятие ACGs-функции, дано в [42с] и [82с]. Оно обладает тем
преимуществом по сравнению с соответствующим определением на
основе АСС*-функций, что оно легче поддается обобщению на
многомерный случай, и на случай интеграла Хенстока-Курцвейля относительно
абстрактного дифференциального базиса (см. [153с]). Теорема 8.10 и
различные ее обобщения рассмотрены в [153с].
Интеграл Данжуа (см. [47с] - [51с]) был первым интегралом,
который конструктивно решал задачу восстановления функции по ее
производной. Дескриптивные определения интегралов Данжуа введены

КОММЕНТАРИИ
259
Лузиным и Хинчиным (см. [103с], [104с], [127с] и [18]). История
вопроса и роль классов VBG* и ACG* в теории интегралов Данжуа
подробно рассмотрена в [18] и [25]. Определение 8.39Л/"-свойства введено
Лузиным в [13]. Теорема 8.41 является вариантом известной теоремы
Банаха-Зарецкого (см. [18] и [7]). Роли ЛЛ-свойства в теории интеграла
посвящены многочисленные работы (см., например, [25], [62с]—[66с],
[72с], [73с], [74с]).
Первые доказательства эквивалентности Т>*-интеграла и
Ti-интеграла (теорема 8.47) основывались на сравнении их с интегралом
Перрона (см. [28]). Прямое доказательство эквивалентности этих
интегралов получено в [79с].
Многомерным интегралам Данжуа посвящены работы [21] и [19с].
Глава 9.
Ро-интеграл был определен О. Перроном (1880-1975) в 1914
году в [136с]. Эквивалентность Ро-интеграла Р-интегралу впервые
была установлена как следствие доказанной П.С.Александровым, Хаке и
Луманом эквивалентности обоих этих интегралов D*-интегралу
(детали см. в [18], [20с], [21с], [89с], [125с]). Приводимое здесь
доказательство совпадения Р-интеграла с Ро-интеграла почерпнуто из [147с].
Семейство {0б}б представляет собой частный случай базиса
дифференцирования (см. [158с], [39]). Аналог теоремы 9.22 получен также
для многомерных базисов (см. [12с], [29с], [31с]) и [135с].
Для общего базиса дифференцирования вопрос об
эквивалентности соответствующего Ро-интеграла Р-интегралу остается открытым
(см. [23]).
ЧАСТЬ 3.
Глава 10.
Понятие интеграла Римана (определение 10.1) для векторнознач-
ных функций было впервые введено Грэйвсом в [88с]. Он же заметил,
что банаховозначные функции, интегрируемые по Риману, уже
необязательно являются непрерывными почти всюду (см. примеры 10.28 и
10.29).
По-видимому, определение 10.10 интеграла Римана-Мак-Шейна
восходит к Мак-Шейну.
Доказательство критерия 10.14 принадлежит Гордону [84с]; в
книге оно приведено в усовершенствованном виде.
Эквивалентность интегралов Римана и Римана-Мак-Шейна для
действительнозначных функций устанавливается с помощью критерия
Лебега (см. теорему 2.63 и замечание 2.64). Поскольку этот критерий
(теорема 2.71) не выполняется в банаховозначном случае, в данной
главе применяется иной метод (см. лемму 10.16 и теорему 10.17, которые
здесь публикуются впервые).

260
КОММЕНТАРИИ
Теорема 10.22 хорошо известна для функций, принимающих
действительные значения, как критерий Дарбу интегрируемости по Рима-
ну (см. лемму 2.69). Этим объясняется принятое в определении 10.18
название введенного там интеграла. Интеграл Дарбу для векторно-
значных функций впервые был определен Гордоном в [84с] под
другим названием, причем свойство, выраженное в теореме 10.22, было
принято им в качестве определения. Ему же принадлежат критерий
Лебега для интегрируемости по Дарбу (теорема 10.24), а также
теорема 10.26 и следствие 10.27 об эквивалентности интегралов Римана и
Дарбу для функций со значениями в пространстве 1\ (см. [84с]).
Глава 11
Различные подходы к определению измеримости в банаховознач-
ном случае рассмотрены в [6], [9], [20], [42]. По поводу теоремы
Егорова для банаховозначных функций см. [6]. Теорема 11.30, дающая
характеризацию измеримых банаховозначных функций, доказана Пет-
тисом в [137с] и [138с].
Глава 12
Интеграл Бохнера (определение 12.14), представляющий собой
первое и наиболее естественное распространение интеграла Лебега на
класс вектор-функций, был введен и изучен Бохнером в [24с].
Этому интегралу посвящена обширная литература (см., например, [6], [9],
[20], [42]).
Определение 12.23 интеграла Мак-Шейна для банаховозначных
функций впервые появилось в работе [36] (см. также [83с]).
В 1992 году Као отметил в [40с, 41с], что для некоторых
пространств значений лемма Колмогорова-Хенстока для интегралов Мак-
Шейна и Хенстока не выполняется. Как оказалось впоследствии (см.
ниже комментарии к главе 14), лемма Колмогорова-Хенстока для
интегралов Мак-Шейна и Хенстока перестает быть справедливой для
всех бесконечномерных пространств значений. В связи с этим Као в
тех же работах предложил включить требование справедливости
леммы Колмогорова-Хенстока в само определение интегралов. Эти
интегралы уже обладают привычными свойствами интегралов для
действительнозначных функций. Так возникла идея вариационных
интегралов Мак-Шейна и Хенстока.
Вариационный интеграл Мак-Шейна (определение 12.40,
см. [150с]) иногда также именуется сильным интегралом Мак-Шейна
(см. [165с], [42]).
Римановский подход к определению интеграла Бохнера,
по-видимому, впервые был рассмотрен в статье [100с], где также был доказан
вариант теоремы 12.52 (см. также [165с], [71с]). Теорема 12.52 дает
прямое доказательство эквивалентности конструктивного и
вариационного подходов к определению интеграла Бохнера. Ранее в
литературе эта эквивалентность доказывалась с помощью дескриптивного

КОММЕНТАРИИ
261
подхода (см. [165с]), который в данной книге рассмотрен в главе 14
вместе с дескриптивным определением интеграла Хенстока.
О связи интегралов Мак-Шейна и Бохнера с другими интегралами
для банаховозначных функций, в частности, с известным интегралом
Петтисасм. в [53с]—[58с], [76с]—[78с], [80с]—[84с] и в книге [42].
Глава 13.
Большая часть результатов этой главы представляет собой
классические теоремы для интеграла Лебега, доказанные, исходя из
вариационного подхода. Специфическими для вариационного подхода
являются критерий интегрируемости (лемма 13.1), который известен
также как 5*М-свойство (см. [42]), и предельная теорема 13.10. В случае
действительнозначных функций лемма 13.1 справедлива и для
интегрируемости в смысле интеграла Мак-Шейна (см. [34]), поскольку в
этом случае вариационный интеграл Мак-Шейна эквивалентен
интегралу Мак-Шейна.
Варианты теоремы 13.10 впервые были доказаны в [31] и [35].
Глава 14.
Определение 14.1 интеграла Хенстока-Курцвейля для
банаховозначных функций взято из работы Хенстока [96с], который начал
систематическое изучение этого интеграла.
Понятие вариационного интеграла Хенстока-Курцвейля
(определение 14.16) принадлежит Као [40с]. Вариационный интеграл
Хенстока-Курцвейля в [42] именуется сильным интегралом
Хенстока-Курцвейля.
Определение 14.38 интеграла Данжуа для банаховозначных
функций появилось в работе Гордона [80с].
Теорема 14.42 об эквивалентности узкого интеграла Данжуа и
вариационного интеграла Хенстока-Курцвейля была сформулирована в
[39с]. Однако приведенное там доказательство содержало неточность,
которая была исправлена в [15с].
Доказательство леммы 14.41 представляет собой несколько
упрощенный вариант доказательства аналогичного результата,
приведенного в [86с] для случая функций, принимающих действительные
значения.
Эквивалентность вариационного и дескриптивного определений
интеграла Бохнера доказана напрямую в [165с]. Применение
интеграла Хенстока-Курцвейля в теореме 14.44 несколько упрощает
доказательство этого результата. По поводу других доказательств теоремы
14.44 см. [71с].
Пример 14.46 построен Као [40с, 41с]. В теореме 14.51
установлено, что лемма Колмогорова-Хенстока для интегралов Мак-Шейна
и Хенстока-Курцвейля перестает быть справедливой для всех
бесконечномерных пространств значений (см. [13с], [150с]). Доказательство
существенно опирается на конструкцию Дворецкого и Роджерса (см.

262
КОММЕНТАРИИ
[60с]), показывающую, что в бесконечномерном банаховом
пространстве безусловная и абсолютная сходимости рядов перестают быть
эквивалентными. Лемма 14.48, доказанная в [60с], является основой этой
конструкции. Некоторое обобщение теоремы 14.51 в случае интеграла
Мак-Шейна получено в [55с].
Теорема 14.54 о связи равномерной .М-интегрируемости и
^-интегрируемости получена на основе идей Фремлина [76с]. Теорема 14.55
публикуется здесь впервые. Эта теорема является банаховозначным
аналогом классического результата о совпадении класса абсолютно
интегрируемых по Хенстоку-Курцвейлю функций с классом функций,
интегрируемых по Лебегу.

Список литературы
I. МОНОГРАФИИ И УЧЕБНИКИ
[1] Богачёв В.И., Основы теории меры, М.-И., РХД, 2003, т. 1, т. 2.
[2] Богачёв В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ:
университетский курс, М.-И., РХД, 2009.
[3] Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры М. Наука, 1968.
[4] Гливенко В.И. Интеграл Стилтьеса. М. URSS, Изд.2, 2007.
[5] Гохман Э.Х., Интеграл Стилтьеса и его приложения, М., 1958.
[6] Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы. Общая теория, М., 1962.
[7] Дьяченко М.И., Ульянов П.Л., Мера и интеграл, М., Факториал Пресс, 2002
[8] Зорич В.П., Математический анализ, М., Наука, 1997, 1998, 4.1-2.
[9] Иосида К., Функциональный анализ, М., 1967.
[10] Камке Е., Интеграл Лебега-Стилтьеса, М., 1959.
[11] Колмогоров А.Н., Фомин СВ., Элементы теории функций и
функционального анализа, М., 2004.
[12] Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, М.-Л., 1934.
[13] Лузин Н.Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М., 1951.
[14] Лукомский С.Ф., Интегральное исчисление (функции одной переменной),
Саратов, 2005.
[15] Медведев Ф А., Развитие понятия интеграла, М., 1974.
[16] Натансон И.П., Теория функций вещественной переменной, С.-Пб., 1999.
[17] Песин И.Н., Развитие понятия интеграла, М., 1966.
[18] Сакс С, Теория интеграла, М., 2004.
[19] Халмош П., Теория меры, М., 2003.
[20] Хилле Е., Филлипс Р. С, Функциональный анализ и полугруппы, М., 1962.
[21] Челидзе В.Г., Джваршейшвили А.Г., Теория интеграла Данжуа и некоторые
её приложения, Тбилиси, 1978.
[22] Bartle R.G., A modern theory of integration, Providence, 2001.
[23] Bullen P.S. et al (ed ), New integrals, Lect. Notes in Math. 1419, Springer-Verlag,
Berlin, 1990.
[24] Ding C.S., Lee P.Y., Generalized Riemann integral, World Scientific, Singapore,
1989.
[25] Ene V., Real functions — current topics, Lecture Notes in Math. 1603 (1995),
Springer-Verlag, 1-310.
[26] Gordon R., The integrals of Lebegue, Denjoy, Perron, and Henstock, AMS,
Providence, 1994.
[27] Hawkins Т., Lebesgue's theory of integration. Its origins and development,
University of Wisconsin Press, Madison — London, 1970.
[28] Henstock R , Theory of integration, Butterworths, London, 1963.

264
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[29] Henstock R., Lectures in the theory of integration, World Scientific Publishing Co.,
Singapore, 1988.
[30] Henstock R., General theory of integration, The Clarendon Press, Oxford
University Press, N. Y., 1991.
[31] Kurzweil J., Nichtabsolut konvergente Integrale, Teubner Verlagsgesellschaft,
Leipzig, 1980.
[32] Kurzweil J., Integration between the Lebesgue integral and Henstock-Kurzweil
integral: its relation to local convex vector spaces, World Scientific Publishing Co.,
Singapore 2002.
[33] Lee Peng Yee, Lanzhou Lectures on Henstock Integration, World Scientific
Publishing Co., Singapore 1989.
[34] Lee Peng Yee, Vyborny R., The Integral: An Easy Approach after Kurzweil and
Henstock, Cambridge University Press, Cambridge, 2000.
[35] McLeod R., The generalized Riemann integral, Carus Mathematical Monograph,
№20, Washington, 1980.
[36] McShane E. J., A Riemann-type integral that includes Lebesgue-Stieltjes, Bochner
and stochastic integrals, AMS Memoirs, 88 (1969).
[37] McShane E.J., Unified Integration, Academic Press, New York-London, 1983.
[38] Muldowney P., A general theory of integration in function spaces, Pitman Research
Notes in Math., 153, Longmans, 1987.
[39] Ostaszewski K.M., Henstock integral in the plane, Mem. Amer. Math. Soc, 63(353)
(1986).
[40] Pfeffer W., The Riemann approach to integration, Cambridge University Press,
Cambridge, 1993.
[41] Pfeffer W., Derivation and integration, Cambridge University Press, Cambridge
2001.
[42] Schwabik S., Ye Guoju, Topics in Banach space integration Series in Real Analysis,
10. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2005.
[43] Swartz C, Introduction to gauge integrals, World Scientific, Singapore, 2001.
[44] Talagrand M., Pettis integral and measure theory, Mem. Amer. Math. Soc, 51,
№307 (1984), 1-224.
II. ЖУРНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ
[lc] Виноградова И.А., Скворцов В.А., Обобщенные интегралы и ряды Фурье,
Итоги науки. Матем. анализ, (1970), 65-107.
[2с] Жеребьев Ю.А., Скворцов В.А., О производной Радона-Никодима для
вариационной меры, построенной по двоичному базису, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1
Математика. Механика, №5 (2004), 6-12.
[Зс] Жеребьев Ю.А., VВ'G*-функции и а-конечные вариационные меры, Вестн.
Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика, №6 (2005), 17-22.
[4с] Жеребьев Ю.А., О-конечные и полуумеренные вариационные меры, Вестн.
Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика, №4 (2007), 29-34.
[5с] Колмогоров А. Н., Исследование понятия интеграла, в сб. "Избранные труды,
Математика и механика", М., 1985, 96-136.
[6с] Лукашенко Т.П., Об интегралах Стилтьеса и равенстве Парсеваля для
кратных тригонометрических рядов Изв. РАН. Сер. матем., 69, №5 (2005),
149-168.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
265
[7с] Своровски П., Скворцов В.А., О вариационной мере, определенной
аппроксимативным дифференциальным базисом, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1.
Математика. Механика, №1 (2002), 54-57.
[8с] Скворцов В.А., Вариации и вариационные меры в теории интегрирования и
некоторые приложения, Итоги науки и техники, сер. Современная
математика и ее приложения, 38 (1996), 1-42.
[9с] Скворцов В.А., Некоторое обобщение интеграла Перрона, Вестн. Моск. ун-та.
Сер. 1. Математика. Механика, №4 (1969), 48-51.
[10с] Скворцов В.А., О теореме Марцинкевича для двоичного интеграла Перрона,
Матем. заметки, 59, №2 (1996), 267-277.
[11с] Скворцов В.А., Вариационная мера и достаточное условие
дифференцируемости аддитивной функции интервала, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1.
Математика. Механика, №2 (1997), 55-57.
[12с] Скворцов В.А., О кратном интеграле Перрона, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1.
Математика. Механика, №2 (2000), 11-14.
[13с] Солодов А.П., Интегралы Хенстока и Мак-Шейна для банаховозначных
функций, Матем. заметки, 65, №6 (1999), 860-870.
[14с] Солодов А.П., Об условиях дифференцируемости почти всюду абсолютно
непрерывных банаховозначных функций, Вестн. Моск. Ун-та, сер. 1,
Математика. Механика, №4 (1999), 50-53.
[15с] Солодов А.П., Определение типа Римана для узкого интеграла Данжуа-
Бохнера, Фунд. и Приклад. Матем., 7, №3 (2001), 887-895.
[16с] Толстов Г.П., Метод Реггоп'а в интеграле Denjoy, ДАН СССР, 25, №6 (1939),
470-472.
[17с] Толстов Г.П., Об интеграле Реггоп'а, Матем. сборник 47, №5 (1939), 647-660.
[18с] Хинчин А.Я., О процессе интегрирования Данжуа, Матем. сборник, 30
(1918), 543-557.
[19с] Челидзе В.Г., Двойные интегралы Данэюуа, Труды Тбилисского
математического института АН Груз. ССР им. Размадзе, 15 (1947), 155-242.
[20с] AlexandrofF P., Uber die Aquivalenz des Perronschen und des Denjoyschen
Integralbegriffes, Math. Zeitschr., 20 (1924), 213-222.
[21c] AlexandrofF P , L'integration au sens de M. Denjoy consideree comme recherche
des fonctions primitives, Матем. сборник, 31 (1924), 465-476.
[22c] Alexiewicz A., On Denjoy integrals of abstract functions, C. R. Soc. Sci.
Lett. CI. HI, Sci. Math. Phys., 41 (1948), 97-129.
[23c] Bartle R.G. A convergence theorem for generalized Riemann integrals, Real Anal.
Exchange, 20, №1 (1994/95), 119-124.
[24c] Bochner S., Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines
Vektorraumes sind, Fund. Math., 20 (1933), 262-276.
[25c] Bochner S., Absolut-additive abstrakte Mengenfunkiionen, Fund. Math., 21
(1933), 211-213.
[26c] Bochner S., Taylor A. E., Linear functionals on certain spaces of abstractly ^valued
functions, Annals of Math., 39 (1938), 913-944
[27c] Bongiorno В., Di Piazza L., Preiss D., Infinite variation and derivatives in Rm,
J. Math. Anal, and Appl., 224, №1 (1998), 22-33.
[28c] Bongiorno В., Di Piazza L., Skvortsov V., A new full descriptive characterization
of Denjoy-Perron integral, Real Anal. Exchange, 21, №2 (1995/96), 656-663.
[29c] Bongiorno В., Di Piazza L., Skvortsov V., On continuous major and minor
functions for the n-dimensional Perron integral, Real Anal. Exchange, 22, №1
(1996/97), 318-327.

266
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[30с]
[31
[32с]
[33с]
[34с]
[35с]
[36с]
[37с;
[38с
[39.
[40с]
[41с]
[42с]
[43с
[44с
[45с
[46с]
[47с]
[48с
[49с]
[50с]
[51с]
[52с]
[53с]
[54с
Bongiorno В., Di Piazza L., Skvortsov V. A., On variational measures related to
some bases, J. Math. Anal, and Appl., 250, №2 (2000), 533-547
Bongiorno В., Di Piazza L., Skvortsov V., On the n-dimensional Perron integral
defined by ordinary derivates, Real Anal. Exchange, 26, №1 (2000/01), 371-380.
Bongiorno В., Di Piazza L., Skvortsov V. A., The Ward property for a V-adic
basis and the V-adic integral, J. Math. Anal, and Appl., 285 (2003), 578-592.
Bongiorno В., Di Piazza L., Skvortsov V.A. On dyadic integrals and some other
integrals associated with local systems, Journal of Mathematical Analysis and
Applications, 271, №2 (2002), 506-524.
Bongiorno В., Pfeffer W.F., Thomson B.S., A full descriptive definition of the
gage integral, Canad. Math. Bull., 39, №4 (1996), 390-401.
Buczolich Z., Nearly upper semicontinuous gauge functions in Rm, Real Anal.
Exchange, 13, №2 (1987/88), 436-440.
Buczolich Z., Pfeffer W.F., Variations of additive functions, Czech. Math. J ,
47(122) (1997), 525-555.
Buczolich Z., Pfeffer W.F., On absolute continuity, J. Math. Anal, and Appl.,
222, №1 (1998), 64-78.
Bullen P. S., Non-absolute integrals: a survey, Real Anal. Exchange, 5 (1979/80),
195-259.
Canoy S. R., Navarro M. P , A Denjoy-type integral for Banach-^valued functions,
Rend. Circ. Mat. Palermo, 44, №2 (1995), 330-336.
Cao S., The Henstock integral for Banach-valued functions, SEA Bull. Math., 16
№1 (1992), 35-40.
Cao S., Banach-^valued Henstock integration, Real Anal. Exchange, 19, №1 (1993-
94), 34.
Chew Tuan Seng, On the equivalence of Henstock-Kurzweil and restricted Denjoy
integrals in Rn, Real Anal. Exchange, 15, №1 (1989/90), 259-268.
Clarkson J. A., Uniformly convex spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 40, №3 (1936),
396-414.
Cousin P., Sur les fonctions de n variables complexes, Acta Math., 19 (1895),
1-62.
Darboux J. G., Memoire sur les fonctions discontinues, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup.,
4, №2 (1875), 57-112.
Davies R.O., Schuss Z., A proof that Henstock's integral includes Lebesgue's, J.
London Math. Soc. ser. 2, 2, №3 (1970), 561-562.
Denjoy A., Une extension de ['integrate de M. Lebesgue, C. R. Acad. Sci. Paris,
154 (1912), 859-862.
Denjoy A., Calcul de la primitive de la fonction derlvee la plus generate,
C. R. Acad. Sci. Paris, 154 (1912), 1075-1078.
Denjoy A., Sur la derivation et son calcul inverse, C. R. Acad. Sci. Paris, 162
(1916), 377-380.
Denjoy A., Memoire sur la totalisation des nombres derives non-sommables,
Ann. Ecole Norm., 33 (1916), 127-222.
Denjoy A., Totalisation des nombres derives поп sommables, Ann. Ecole Norm.
Sup., 34 (1917), 181-236.
Di Piazza L., Variational measures in the theory of the integration in Rm, Czech.
Math. J., 51(126), №1 (2001), 95-110.
Di Piazza L., Kurzweil-Henstock type integration on Banach spaces, Real Anal.
Exchange, 29, №2 (2003/04), 543-555.
Di Piazza L., Marraffa V., The McShane, PU and Henstock integrals of Banach
valued functions, Czech. Math. J., 52, №127 (2002), 609-633.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
267
[55с] Di Piazza, L.; Musial, K. A characterization of variationally McShane integrable
Banach-space valued functions. Illinois J. Math. 45, №1 (2001), 279-289.
[56c] Di Piazza L., Musial K. Set-valued Kurzweil-Henstock-Pettis integral, Set-Valued
Anal., 13, №2 (2005), 167-179.
[57c] Di Piazza L., Musial K. Characterizations of Kurzweil-Henstock-Pettis integrable
functions, Studia Math., 176, №2 (2006), 159-176.
[58c] Di Piazza L., Preiss D., When do McShane and Pettis integrals coincide?, Illinois
J. Math , 47, №4 (2003), 1177-1187.
[59c] Dunford N., Integration in general analysis, Trans. Amer. Math Soc, 37 (1935),
441-453.
[60c] Dvoretzky A., Rogers C.A., Absolute and unconditional convergence in normed
linear spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 36, №3 (1950), 192-197.
[61c] Ene V., Characterizations of AC*G П С, АС* П Ci, AC and AC functions, Real
Anal. Exchange, 19, №2 (1993/94), 491-509.
[62c] Ene V., Characterizations of VB*G П (N), Real Anal. Exchange, 23, №2
(1997/98), 571-599.
[63c] Ene V., Characterizations of VBGn(N), Real Anal. Exchange, 23, №2 (1997/98),
611-630
[64c] Ene V., Thomson's variational measure and nonabsolutely convergent integrals,
Real Anal. Exchange, 26, №1 (2000/01), 35-49.
[65c] Ene V., A study of Foran's condition A(N) and B(N) and his class T, Real Anal.
Exchange, 10 (1984/85), 194-211.
[66c] Ene V., On Borel measurable functions that are VBG and {N), Real Anal.
Exchange, 22, №2 (1996/97), 688-695.
[67c] Ene V., Hake-Alexandroff-Looman type theorems, Real Anal Exchange, 23, №2
(1997/98), 491-524.
[68c] Faure C.-A., A descriptive definition of some multidimensional gauge integrals,
Czech Math. J., 45(120) (1995), 549-562.
[69c] Faure C.-A., A descriptive definition of the KH-Stieltjes integral, Real Anal.
Exchange, 23, №1 (1997/98), 113-124.
[70c] Faure С-A., Mawhin J., The Hake's property for some integrals over
multidimensional intervals, Real Anal. Exchange, 20, №2 (1994/95), 622-630.
[71c] Federson, M. Some peculiarities of the Henstock and Kurzweil integrals of Banach
space-valued functions, Real Anal Exchange, 29, №1 (2003/04), 439-460.
[72c] Foran J.. An extension of the Denjoy integral, Proc. of the Amer. Math. Soc, 49
(1975), 359-365.
[73c] Foran J., A note on Lusin's condition (TV), Fund. Math., 90, №2 (1976), 181-186.
[74c] Foran J., Differentiation and Lusin (TV) condition, Real Anal. Exchange, 3, №1
(1977/78), 34-37.
[75c] Foran J., Meinershagen S., Some Answers to a Question of P. Bullen. Real Anal.
Exchange, 13, №1 (1987/88), 265-277.
[76c] Fremlin D. H., The Henstock and McShane integrals of vector-valued functions,
Illinois J. Math., 38, №3 (1994), 471-479.
[77c] Fremlin D. H., The generalized McShane integral, Illinois J. Math., 39, №1 (1995),
39-67.
[78c] Fremlin D. H., Mendoza J., On the integration of vector^ualued functions, Illinois
J. Math., 38, №1 (1994), 127-147.
[79c] Gordon R.A., Equivalence of the generalized Riemann and restricted Denjoy
integral, Real Anal. Exchange, 12, №2 (1986/87), 551-574.
[80c] Gordon R.A., The Denjoy extension of the Bochner, Pettis and Dunford integrals,
Studia Math., 92 (1989), 73-91.

268
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[81с] Gordon R.A., Another proof of the measurability of 5 for the generalized Riemann
integral, Real Anal. Exchange, 15, №1 (1989/90), 386-389.
[82c] Gordon R.A., A descriptive characterization of the generalized Riemann integral,
Real Anal. Exchange, 15, №1 (1989/90), 397-400.
[83c] Gordon R.A., The McShane integration of Banach-^ualued functions, Illinois
J. Math., 34 (1990), 557-567.
[84c] Gordon R.A., Riemann integration in Banach spaces, Rocky Mountain
J. Math., 21, №3 (1991), 923-949.
[85c] Gordon R.A., Riemann tails and the Lebesgue and Henstock integrals, Real Anal.
Exchange, 17, №2 (1991/92), 789-795.
[86c] Gordon, R.A. On the equivalence of two convergence theorems for the Henstock
integral, Real Anal. Exchange, 18, №1 (1992/93), 261-266.
[87c] Gordon, R.A. An iterated limits theorem applied to the Henstock integral, Real
Anal. Exchange, 21, №2 (1995/96), 774-781.
[88c] Graves L.M., Riemann integration and Taylor's theorem in general analysis,
Trans. Amer. Math. Soc, 29 (1927), 163-177.
[89c] Hake H., Uber de la Vallee-Poussins Ober- und Unterfunktionen einfacher
Integrale und die Integraldefinition von Perron, Math. Ann , 83 (1921), 119-142.
[90c] Henstock R., The efficiency of convergence factors for functions real variable, J.
London Math. Soc, 30, №2 (1955), 273-286.
[91c] Henstock R., On interval functions and their integrals, J. London Math. Soc, 21
(1946), 204-209.
[92c] Henstock R., On interval functions and their integrals (II), J. London Math.
Soc, 23 (1948), 118-128.
[93c] Henstock R., A new descriptive definition of the Ward integral, J. London
Math. Soc, 35 (1960), 43-48.
[94c] Henstock R., Definitions of Riemann type of the variational integrals, Proc
London Math. Soc. (3), 11 (1961), 402-418.
[95c] Henstock R., A Riemann-type integral of Lebesgue power, Canad. J. Math., 20
(1968), 79-87.
[96c] Henstock R., Generalized integrals of vector-valued functions, Proc. London
Math. Soc, 19, №3 (1969), 509-536.
[97c] Henstock R., The variation on the real line, Proc. Royal Irish Acad. sec. A, 79,
№1 (1979), 1-10.
[98c] Henstock R., A problem in two-dimensional integration, J. Austral. Math. Soc.
ser. A, 35 (1983), 386-404.
[99c] Hildebrandt Т. Н. Definitions of Stieltjes Integrals of the Riemann Type, Amer.
Math. Monthly , 45, №5 (1938), 265-278.
[100c] Honig Ch. S., A Riemannian characterization of the Bochner-Lebesgue integral,
Seminario Brasileiro de Analise, 35 (1992), 351-358.
[101c] Jarnik J., Kurzweil J., Equiintegrability and controlled convergence of Perron-
type integrable functions, Real Anal. Exchange, 17, №1 (1991/92), 110-139.
[102c] Jurkat W.B., Knizia R.W., A characterization of multi-dimensional Perron
integrals and the fundamental theorem, Canad. J. Math., 43, №3 (1991), 526-539.
[103c] Khintchine A., Sur une extension de Vintegrale de M. Denjoy, C. R.
Acad. Sci. Paris, 162 (1916), 287-291.
[104c] Khintchine A., Sur la derivation asymptotique, C. R. Acad. Sci. Paris, 164
(1917), 142-144.
[105c] Kolmogoroff A., Untersuchungen uber den Integralbegriff, Math. Ann., 103, №4,5
(1930), 654-696.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
269
[106с] Krejci, P. The Kurzweil integral with exclusion of negligible sets, Math. Bohem.,
128, №3 (2003), 277-292.
[107c] Kubota Y., A note on McShane's integral, Math. Japonica, 30, №1 (1985), 57-
62.
[108c] Kurzweil J., Generalized ordinary differential equations and continuous
dependence on a parameter, Czech. Math. J., 7(82) (1957), 418-446.
[109c] Kurzweil J., Jarnik J., Differentiability and integrability in n dimensions with
respect to a-regular intervals, Results in Mathematics, 21 (1992), 138-151.
[110c] Kurzweil J., Schwabik S., On McShane integrability of Banach space-valued
functions, Real Anal. Exchange, 29, №2 (2003/04), 763-780.
[111c] Lebesgue H., Sur une generalisation de Vintegrale definie, C. R. Acad. Sci. Paris,
132 (1901), 1025-1028.
[112c] Lebesgue H., Integrale, longueur, aire, Ann. di Matem., 7 (1902), 231-359.
[113c] Lebesgue H., Sur Vintegrale de Stieltjes et sur les equations fonctionelles
lineaires, С R. Acad. Sci. Paris, 150 (1910), 86-88.
[114c] Lee Peng Yee, On ACG* functions, Real Anal. Exchange, 15, №2 (1989/90),
754-759.
[115c] Lee Peng Yee, Vyborny R., Kurzweil-Henstock integration and the strong Lusin
condition, Boll. Un. Mat. Ital. В., 7, №4 (1993), 761-773.
[116c] Lee Peng Yee, Ng Wee Leng, The Radon-Nikodym theorem for the Henstock
integral in Euclidean space, Real Anal. Exchange, 22, №2 (1996/97), 677-687.
[117c] Lee Tuo-Yeong, A full descriptive definition of the Henstock-Kurzweil integral
in the Euclidean space, Proc. London Math. Soc, 87, №3 (2003), 677-700.
[118c] Lee Tuo-Yeong, The Henstock variational measure, Baire functions and a
problem of Henstock, Rocky Mountain J. Math , 35, №6 (2005), 1981-1997.
[119c] Lee Tuo-Yeong, Some full descriptive characterizations of the Henstock-
Kurzweil integral in the Euclidean space, Czech. Math. J., 55(130) (2005), 625-
637.
[120c] Lee Tuo-Yeong, Chew Tuan-Seng, Lee Peng-Yee, On Henstock integrability in
Euclidean spaces, Real Anal. Exchange, 22, №1 (1996/97), 382-389.
[121c] Lee Tuo-Yeong, Lee Peng-Yee, On necessary and sufficient conditions for non-
absolute integrability, Real Anal. Exchange, 20, №2 (1994/95), 847-857.
[122c] Lin Ying-Jian, On the equivalence of McShane and Lebesgue integrals, Real Anal.
Exchange, 21, №2 (1995/96), 767-770.
[123c] Liu Genqian, The measurability of 5 in Henstock integration, Real Anal.
Exchange, 13, №2 (1987/88), 446-450.
[124c] Liu Genqian, On necessary conditions for Henstock integrability, Real Anal.
Exchange, 18, №2 (1992/93), 522-531.
[125c] Looman H., Ueber die Perronsche Integraldefinition, Math. Ann., 93 (1925),
153-156.
[126c] Lu S., On the construction of major and minor functions, J. Math. Study, 27,
№1 (1994), 121-126.
[127c] Lusin N., Sur les proprietes de Vintegrale de M. Denjoy, C. R. Acad. Sci. Paris,
155 (1912), 1475-1477.
[128c] MarkofF A., La transformation des series peu convergentes en series tres
convergentes, Mem. Acad, sci., St-Pbg., Ser. 7, 37, №9 (1890)
129c] McGill P., Properties of the variation, Proc Royal Irish Acad. sec. A, 75, №7
(1975), 73-77.
[130c] McShane E.J., A unified theory of integration, Amer. Math. Monthly, 80 (1973),
349-359.

270 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
131с] McShane E. J., Т. A. Botts, A modified Riemann-Stieltjes integral, Duke
Mathematical Journal, 19 (1952), 293-302.
132c] Meinershagen S., D$ derivation basis and the Lebesgue-Stieltjes integral, Real
Anal. Exchange, 12, textnumero 1 (1986/87), 265-281.
[133c] Mendoza J., On Lebesgue integrability of McShane integrable functions, Real
Anal. Exchange, 18, №2 (1992/93), 456-458.
134c] Naralenkov К. М., On integration by parts for Stieltjes-type integrals of Banach
space-valued functions, Real Anal. Exchange, 30, №1 (2004/05), 235-260.
135c] Navarro M. P., Skvortsov V. A., On n-dimensional Perron integral, South East
Asian Math. Bull., 20, №2 (1996), 111-116.
136c] Perron O., Uber den Integralbegriff, S.-B. Heidelberg. Acad. Wiss. ,16 (1914),
1-16.
137c] Pettis B. J., On integtation in vector spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 44 (1938),
277-304.
138c] Pettis B. J., Differentiation in Banach spaces, Duke Math. J., 5 (1939), 254-269.
139c] PfefFer W.F., A note on the generalized Riemann integral, Proc. Amer. Math.
Soc, 103, №4 (1988), 1161-1166.
[140c] PfefFer, W.F., The generalized Riemann-Stieltjes integral, Real Anal. Exchange,
21, №2 (1995/96), 521-547
141c] PfefFer W.F., On variations of functions of one real variable, Comment. Math.
Univ. Carolinae, 38, №1 (1997), 61-71.
[142c] PfefFer W.F., The Lebesgue and Denjoy-Perron integrals from a descriptive point
of view, Ricerche di Matematica, 48, №2 (1999), 211-223.
143c] PfefFer W.F., Ralph Henstock's influence on the integration theory, Sci. Math.
Jpn., 67, №1 (2008), 37-50.
[144c] PfefFer W.F., Yang Wei-Chi, A note on conditionally convergent integrals, Real
Anal. Exchange, 17, №2 (1991/92), 815-819.
[145c] Saks S., Sur les fonctions d'intervalle, Fundamenta Math., 10 (1927), 211-216.
[146c] Saks S., Remarks on the differentiability of the Lebesgue indefinite integral, Fund.
Math., 22 (1934), 257-261.
[147c] Skvortsov V.A., Continuity of 5-variation and construction of continuous major
and minor functions for the Perron integral, Real Anal. Exchange, 21, №1
(1995/96), 270-277.
[148c] Skvortsov V., Nonabsolutely convergent integrals in the problem of recovering the
coefficients of orthogonal series, Banach Center publication, 56 (2002), 107-117.
[149c] Skvortsov V., Henstock integral in harmonic analysis Sci. Math. Jpn., 67, №1
(2008), 72-81.
[150c] Skvortsov V.A., Solodov A.P. A variational integral for Banach-valued functions,
Real Anal. Exchange, 24, №2 (1998/99), 799-805.
[151c] Skvortsov V.A , Sworowski P., On McShane-type integrals with respect to some
derivation bases, Math. Bohemica, 131, №4 (2006), 365-378.
[152c] Skvortsov V.A., Thomson B.S., Symmetric integrals do not have the
Marcinkiewicz property, Real Anal. Exchange, 21, №2 (1995/96), 510-520.
[153c] Skvortsov V., Zherebyov Y., On classes of functions generating absolutely
continuous variational measures, Real Anal. Exchange, 30, №1 (2004/05), 361—
372.
[154c] Stieltjes T.J., Recherches sur les fractions continues, Ann. Fac. Sci. Toulouse, 8,
№1 (1894), 1-122.
[155c] Sworowski, P. Adjoint classes of functions in the H\ sense, Czech. Math. J.,
57(132), №2 (2007), 505-522.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 271
[156с] Sworowski P., An answer to some questions of Ene, Real Analy. Exchange, 30,
№1 (2004/05), 183-192.
[157c] Thomson B.S., On the total variation of a function, Canad. Math. Bull., 24, №3
(1981), 331-340.
[158c] Thomson B. S., Derivation bases on the real line, Real Anal. Exchange 8, №1
(1982/83), 67-207; 8, №2 (1982/83), 278-442.
[159c] Thomson B.S., (J-finite Borel measures on the real line, Real Anal. Exchange,
23, №1 (1997/98), 185-192.
[160c] Thomson B.S., Some properties of variational measures, Real Anal. Exchange,
24, №2 (1998/99), 845-854.
[161c] Thomson B.S., The natural integral on the real line Sci. Math. Jpn., 67, №1
(2008), 23-36.
[162c] Vyborny R., Kurzweil-Henstock absolute integrable means McShane integrable,
Real Anal. Exchange, 20, №1 (1994/95), 363-366.
[163c] Ward A. J , The Регтоп-Stieltjes integral, Math. Zeitschr., 41 (1936), 578-604.
[164c] Wright F. M., Baker J D. On integration-by-parts for weighted integrals, Proc.
Amer. Math. Soc, 22 (1969), 42-52.
[165c] Wu Cong Xin, Yao Xiao Bo, A Riemann-type definition of the Bochner integral,
J. Math. Study, 27, №-1 (1994), 32-36.
166c] Young W.H., Integration with respect to a function of bounded variation, Proc.
London Math. Soc, (2) 13 (1914), 109-150.

Предметный указатель
Л С-функция см. абсолютно
непрерывная функция
^-интеграл см. интеграл Бохнера
£>*- интеграл см. интеграл Данжуа в
узком смысле
И,-интеграл см. интеграл
Хенстока-Курцвейля
7-&>-интеграл см. интеграл
Хенстока-Курцвейля-
Стилтьеса
HV-интеграл см. вариационный
интеграл Хенстока-Курцвейля
С- интеграл см. интеграл Лебега
ЛЛ-интеграл см. интеграл
Мак-Шейна
.MS-интеграл см. интеграл
МакШейна-Стилтьеса
AiV-интеграл см. вариационный
интеграл Мак-Шейна
Р-интеграл см. интеграл Перрона
7£-интеграл см. интеграл Римана
Но-интеграл см. интеграл Дарбу
ИЛ4-интеграл см. интеграл
Римана-Мак-Шейна
7ZS-интеграл см. интеграл
Римана-Стилтьеса
VB-функция см. функция
ограниченной вариации
/3$- вариация 157
левая 158, 160
правая 158, 160
£-вариация функции 119
£-сеть 248, 254
а-алгебра 111, 112
Абсолютная интегрируемость 58,
60,215
Алгебра множеств 110
База (база фильтра) 10
эквивалентность баз 14
Борелевская алгебра 111
Вариация функции 70, 71-74, 76,
100
сильная вариация 215
Дифференциальный базис 22
Измеримая оболочка 115
Интеграл
Ро-интеграл 156, 160, 161
Бохнера 192, 193-194, 195,
197-198, 207, 209, 212, 246
Данжуа в узком смысле 145, 148,
234, 235, 237
Дарбу 172, 173-179
Лебега 109, 141, 156, 213,
214-219, 221-223, 237
Мак-Шейна 19, 22-30, 40-42, 44,
46, 47, 48-55, 58-60, 83-85,
87-94, 100, 105-109, 199,
200-205, 227, 239, 244, 246, 248,
251
Мак-Шейна-Стилтьеса 64, 65-68,
74, 76
Ньютона 30
Перрона 151, 152-161
Римана 19, 22-30, 40-45, 49-51,
164, 165-172, 175, 179, 199

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
273
Римана-Мак-Шейна 166, 167, 171
Римана-Стилтьеса 63, 65-67, 69,
74, 76, 79
Хенстока-Курцвейля 20, 22-30,
45, 46, 47, 49-57, 60, 83-85,
87-90, 126-128, 131, 137, 148,
153-155, 160, 225, 226-227, 239,
246, 251
Хенстока-Курцвейля-Стилтьеса
64, 65-68, 76
вариационный интеграл
Мак-Шейна 204, 205-207, 209,
212, 228, 239, 246
вариационный интеграл
Хенстока-Курцвейля 228,
228-229, 234, 235, 237, 239, 246
эквивалентность М- и
С- интегралов 109
Интегральная сумма 19
Римана-Стилтьеса 63
Интервалы
смежные 32
составляющие 32
Класс Липшица 50
Колебание функции 39, 42, 170
Колебание функции в точке 175
Коши условие по базе 14
Критерий
ЛЛ-интегрируемости 108
К- интегрируемости 167
71Л4- интегрируемости 167
Коши
^-интегрируемости 24, 225
TiS-интегрируемости 67
Л4-интегрируемости 24, 199
A4S-интегрируемости 67
^-интегрируемости 24
71S- интегрируемости 67
существования предела 14
Лебега 1Z-интегрируемости 44
Маркова-Гордона 15
Лемма
Колмогорова-Хенстока 53, 78
Сакса-Хенстока 51, 77, 201, 226
Фату 89, 90
о существовании разбиения 21
Мажоранта 150, 151-153, 156
Масштаб 19
Мера
а-аддитивная 112
абсолютно непрерывная 118, 122,
126-129, 131, 136-137
вариационная 119, 119-123,
126-129, 131, 135-137
внешняя мера 110
а-аддитивная мера 111, 122
а-конечная мера 112, 121, 123,
135-136
Лебега 32, 33, 34, 61, 121
метрическая 117, 118, 119
Миноранта 150, 151-153, 156
Множество
Л- измеримое см. измеримое в
смысле Каратеодори
борелевское 111, 114, 118, 121
вполне ограниченное 248, 254
всюду плотное 123
замкнутое 32, 115, 123
измеримое 61
в смысле Каратеодори 112
по Лебегу 114, 115, 121, 122
меры нуль 34, 121
неизмеримое 61
нигде не плотное 123
открытое 31, 32-34, 80-81, 115
Неопределенный интеграл
Данжуа в узком смысле 234
Дарбу 172
Лебега 215-218
Мак-Шейна 50, 55, 100, 105, 199,
202
Мак-Шейна-Стилтьеса 77
Перрона 152
Римана 50, 51, 165
Римана-Стилтьеса 77
Хенстока-Курцвейля 50, 54-55,
127, 137, 226
Хенстока-Курцвейля-Стилтьеса
77

274
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
вариационный интеграл
Хенстока-Курцвейля 228, 229
Неравенство
Гёльдера 93
Минковского 94
Чебышева 57
Юнга 92
Осцилляция функции см. колебание
функции
Отмеченное разбиение 18
£-разбиение см. согласованное с
масштабом
Мак-Шейна 21
Хенстока 21
согласованное с масштабом 21
Отмеченные точки 18
Первообразная
обобщенная 29, 31
точная 29, 31, 51
Подразбиение см разбиение на
отрезке
Покрытие в смысле Витали 35
Последовательность
Коши 94
Последовательность функций
почти равномерная сходимость
183,185-186
равномерная сходимость 16, 81
равномерно Н-интегрируемая
227, 248
равномерно Л4-интегрируемая
203, 204, 248
равномерно A4V-интегрируемая
218
сходимость по мере 181, 182, 183,
185, 187
сходимость почти всюду 186-187,
197
Предел по базе 10, 11-14
Прозводное число Дини 149
верхнее левое 149
верхнее правое 149
нижнее левое 149
нижнее правое 149
Производная
верхняя 149
нижняя 149
Промежуток 31
Простая функция 182, 192, 194, 195,
197
Пространство
£Р[а,Ъ] 92, 223
полнота 95, 223
банахово см. полное
нормированное 91
полное 95
Разбиение
/Зд-разбиение 157
на отрезке 18
отрезка 18
Свойство
С-свойство Лузина 257
ЛЛсвойство Лузина 142, 143-145
wM-свойство 231, 233
Витали 156
Срезка функции 87
Сумма Римана см. интегральная
сумма
Теорема
Б. Леви о предел ном переходе 86
Бэра 123
Витали о покрытии 35, 36
Егорова 81, 186
Лебега 90, 91
Петтиса 190
аналог теоремы Б. Леви 222
аналог теоремы Лебега 218
Фильтр 15
Формула Ньютона-Лейбница 29, 30,
106, 108
Функция
ЛС*-функция 137, 138-139,
142-143, 230, 231, 233
ЛС5-функция 128, 129
ЛСС*-функция 137, 145-148,
230, 234
ЛСС5-функция 128, 129-131,
136-137, 146

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
275
V £*-функция 132, 133-135, 138,
143, 229, 230-233
VBGk-функция 135, 138, 145,
230, 244
Дирихле 26
абсолютно непрерывная 98, 99,
100, 105-109, 194, 237, 251
абсолютно непрерывная
относительно меры 118
бесконечно малая по базе 12
измеримая 37, 37, 38, 81-83, 87,
182, 187, 189-237
конечно аддитивная 194, 198
неизмеримая 60
неограниченной вариации 104
ограниченная по базе 12
ограниченной вариации 70, 71-74,
99, 104, 106
ограниченной сильной вариации
215, 231
почти сепарабельнозначная 187
сильно абсолютно непрерывная
216, 231
слабо абсолютно непрерывная 231
слабо измеримая 190
слабой ограниченной вариации
231
существенно ограниченная 87

Другое книги нашего издательства:
Фиников С. П. Проективно-дифференциальная геометрия.
Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии.
Фиников С П. Аналитическая геометрия.
Бюшгенс С. С. Дифференциальная геометрия.
Лозняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство.
Рашевский П. К Курс дифференциальной геометрии.
Рашевский П. К Геометрическая теория уравнений с частными производными.
Рашевский П. К Риманова геометрия и тензорный анализ.
Рашевский П. К Теория спиноров.
Белько И. В. Слоеные группоиды Ли и метод Эресмана в дифференциальной геометрии.
Атанасиу Г. и др. Дифференциально-геометрические структуры.
Атанасиу Г. и др. Дифференциальная геометрия второго порядка и приложения.
Феденко А. С. Пространства с симметриями.
Смирнов Ю. М. Курс аналитической геометрии.
Дарбу Г. Принципы аналитической геометрии.
Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию.
Александров П. С. Введение в теорию групп.
Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия.
Милнор Дж. Теория Морса.
Постников М. М. Лекции по алгебраической топологии. Кн. 1,2.
Хаусдорф Ф. Теория множеств.
Клейн Ф. Неевклидова геометрия.
Клейн Ф. Высшая геометрия.
Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени.
Понтрягин Л. С. Основы комбинаторной топологии.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий.
Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия.
Крыжановский Д. А. Изопериметры. Свойства геометрических фигур.
Ху Сы-Цзян. Теория гомотопий.
Стинрод Н. Топология косых произведений.
Габриель Я., Цисман М. Категории частных и теория гомотопий.
Яглом И. М. О комбинаторной геометрии.
Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии.
Яглом И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия.
Рам Ж. де. Дифференцируемые многообразия.
Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.
Картан Э. Интегральные инварианты; Козлов В. В. Интегральные инварианты
после Пуанкаре и Картана.
Тарасевич Ю. Ю. Математическое и компьютерное моделирование.
Тарасевич Ю. Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы.
Тарасевич Ю. Ю. Информационные технологии в математике.
Сухарев А. Г Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа.
Морозов В. В. и др. Исследование операций в задачах и упражнениях.
Шноль Э. Э. Семь лекций по вычислительной математике.
URSS

Другие книги нашего издательства:
Дифференциальные и интегральные уравнения
Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений.
Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.
Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения.
Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.
Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений.
Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды.
Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обьпшовенных
дифференциальных уравнений.
Федорюк М. В. Метод перевала.
Краснов М. Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию.
Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обьпшовенных дифференциальных уравнений.
Сикорский Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Понтрягин Л. С. Дифференциальные уравнения и их приложения.
Трикоми Ф.Дж. Дифференциальные уравнения.
Филипс Г. Дифференциальные уравнения.
Амелькин В. В. Автономные и линейные многомерные дифференциальные уравнения.
Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений.
Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений.
Кузьмина Р. П. Асимптотические методы для обьпшовенных диф. уравнений.
Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений.
Ловитт У. В. Линейные интегральные уравнения.
Теория чисел
Оре О. Приглашение в теорию чисел.
Вейль А. Основы теории чисел.
Вейль Г. Алгебраическая теория чисел.
Ожигова Е. И Что такое теория чисел.
Хинчин А. Я. Три жемчужины теории чисел.
Хинчин А. Я. Цепные дроби.
Понтрягин Л. С. Обобщения чисел.
Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел.
Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм.
Жуков А. В. Вездесущее число «пи».
Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа.
Серия «Физико-математическое наследие: математика (теория чисел)»
Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах.
Ферма И Исследования по теории чисел и диофантову анализу.
Дирихле И Г. Л. Лекции по теории чисел.
Дедекинд Р Непрерывность и иррациональные числа.
Берман Г. Н. Число и наука о нем: Общедоступные очерки по арифметике натур, чисел.
Ингам А. Э. Распределение простых чисел.
Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах.
URSS

Другие книги нашего издательства:
Алгебра
Александров П. С. Введение в теорию групп.
Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления.
Фробениус Ф. Г. Теория характеров и представлений групп.
Эйзенхарт Л. П. Непрерывные группы преобразований.
Чеботарев Н. Г. Основы теории Галуа. В 2 кн.
Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия.
Никифоров В. А., Шкода Б. В. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
Шеваме К. Введение в теорию алгебраических функций.
Супруненко Д.А., Тышкевич Р. И. Перестановочные матрицы.
Золотаревская Д. И. Сборник задач по линейной алгебре.
Яглом И. М. Необыкновенная алгебра.
Уокер Р. Алгебраические кривые.
Бауэр Э. Введение в теорию групп и ее приложения к квантовой физике.
Петрашень М. //., Трифонов Е.Д. Применение теории групп в квантовой механике.
Ван дер Верден Б. Л. Метод теории групп в квантовой механике.
Багавантам С, Венкатарайуду Т. Теория групп и ее применение к физич. проблемам.
Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам.
Серия «Физико-математическое наследие: математика (алгебра)»
Чеботарев Н. Г. Теория групп Ли.
Чеботарев Н. Г. Введение в теорию алгебр.
Чеботарев Н. Г. Теория Галуа.
Чеботарев Н. Г. Теория алгебраических функций.
Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств.
Бохер М. Введение в высшую алгебру.
Млодзеевский Б. К. Основы высшей алгебры.
Шмидт О. Ю. Абстрактная теория групп.
Серия «Психология, педагогика, технология обучения: математика»
Гнеденко Б. В. Математика и жизнь.
Гнеденко Б. В., Гнеденко Д. Б. Об обучении математике в университетах и педвузах.
Хинчин А. Я. Педагогические статьи: Вопросы преподавания
математики. Борьба с методическими штампами.
Хинчин А. Я. Основные понятия математики и математические определения в школе.
Мельников О. И. Обучение дискретной математике.
Малыгина О. А. Изучение математического анализа на основе системного подхода.
Малыгина О. А. Обучение высшей математике на основе системного подхода.
Лунгу К. Н. Систематизация приемов учебной деятельности студентов при обучении
математике.
Михеев В. И. Моделирование и методы теории измерений в педагогике.
Фридман Л. М. Что такое математика.
Фридман Л. М. Величины и числа. Популярные очерки.
Фридман Л. М. Теоретические основы методики обучения математике.
Фридман Л. М. Основы проблемологии.
URSS

URSS
5.
Другие книги нашего издательства:
Учебники и задачники по математике
Краснов М.Л. и др. Вся высшая математика. Т. 1-7.
Краснов М.Л., Киселев А. //., Макаренко Г. И. Сборники задач
«Вся высшая математика» с подробными решениями.
Тактаров И. Г. Справочник по высшей математике для студентов вузов.
Боярчук А. К. и др. Справочное пособие по высшей математике (Антидемидович). Т. 1
Босс В. Интуиция и математика.
Босс В. Лекции по математике. Т. 1-15:
Т. 1: Анализ; Т. 2. Дифференциальные уравнения; Т. 3: Линейная алгебра;
Т. 4. Вероятность, информация, статистика; Т. 5: Функциональный анализ;
Т. 6. От Диофанта до Тьюринга; Т. 7: Оптимизация; Т. 8: Теория групп; Т. 9: ТФКП;
Т. 10 Перебор и эффективные алгоритмы; Т. 11. Уравнения математической физики;
Т. 12. Контрпримеры и парадоксы; Т. 13. Топология; Т. 14. Теория чисел;
Т. 15. Нелинейные операторы и неподвижные точки.
Алексеев В. М. (ред.) Избранные задачи по математике из журнала "АММ".
Жуков А. В. и др. Элегантная математика. Задачи и решения.
Арлазаров В. В. и др. Сборник задач по математике для физико-математических школ,
Медведев Г. Н Задачи вступительных экзаменов по математике на физфаке МГУ.
Александров И. И. Сборник геометрических задач на построение (с решениями).
Попов Г Н. Сборник исторических задач по элементарной математике.
Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями.
Антоневич А. Б. и др. Задачи и упражнения по функциональному анализу.
Городецкий В. В. и др. Методы решения задач по функциональному анализу.
Грищенко А. Е. и др. Теория функций комплексного переменного: Решение задач.
Гамов Г., Стерн М. Занимательные задачи.
Яглом А. М., Яглом И М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении.
Супрун В. П. Математика для старшеклассников. Кн. 1,2.
Базылев Д. Ф. Олимпиадные задачи по математике.
Куланин Е.Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах.
Эвнин А. Ю. Задачник по дискретной математике.
Киселев А. П. Задачи и упражнения к «Элементам алгебры».
Пухначев Ю. В., Попов Ю. П. Математика без формул. Кн. 1, 2.
Тел./факс:
I +7(499)724-25-45
| (многоканальный)
E-mail:
URSS@URSS.ru
http://URSS.ru
Наши книги можно приобрести в магазинах:
«НАУКУ - ВСЕМ!» (и. Профсоюзная, Нахимовский пр-т, 56. Тел. (499) 724-2545)
«Библио-Глобус» (И.Лубянка, ул.Мясницкая, 6. Тел. (495) 625-2457)
«Московский дои книги» (и.Арбатская, ул. Новый Арбат, 8. Тел. (495) 203-8242)
«Молодая гвардия» (и. Полянка, ул. Б. Полянка, 28. Тел. (495) 238-5001,
780-3370)
«Дои научно-технической книги» (Ленинский пр-т, 40. Тел. (495) 137-6019)
«Дои книги на Ладожской» (и. Бауманская, ул. Ладожская, 8, ар. 1.
Тел. 267-0302)
«СПб. дои книги» (Невский пр., 28. Тел. (812) 448-2355)
«100000 книг» (г.Екатеринбург, ул.Тургенева, 13. Тел. (343) 22-12-979)
Сеть магазинов «Дои книги» (г. Екатеринбург, ул. Антона Валена, 12.
Тел. (343) 253-50-10)

Уважаемые читатели! Уважаемые авторы!
Наше издательство специализируется на выпуске научной и учебной
литературы, в том числе монографий, журналов, трудов ученых
Российской академии наук, научно-исследовательских институтов и учебных
заведений. Мы предлагаем авторам свои услуги на выгодных
экономических условиях. При этом мы берем на себя всю работу по подготовке
издания — от набора, редактирования и верстки до тиражирования
и распространения.
Среди вышедших и готовящихся к изданию книг мы предлагаем Вам следующие:
Голубое Б. //., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша.
Голубое Б. И. Элементы двоичного анализа.
Титчмарш Э. Введение в теорию интегралов Фурье.
Аксененкова И. М. и др. Ряды. Интеграл Фурье и преобразование Фурье. Приложения.
Гливенко В. И. Интеграл Стилтьеса.
Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа.
Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе.
Князев П. Н. Функциональный анализ.
Иосида К Функциональный анализ.
Луговая Г. Д., Шерстнев А. Н. Функциональный анализ: Специальные курсы.
Сикорский Ю. С. Элементы теории эллиптических функции.
Хургин Я. И., Яковлев В. П. Финитные функции в физике и технике.
Хитин А. Я. Восемь лекции по математическому анализу.
Порошкин А. Г. Теория рядов.
Порошкин А. Г. Теория меры и интеграла.
Порошкин А. Г. Элементы теории множеств.
Шурыгин В. А. Основы конструктивного математического анализа.
Шурыгин В. А Алгоритмическая теория обратимости операторов.
Шурыгин В. А. Сложностный метод теории алгоритмов.
Харди Г. Г. Курс чистой математики.
Харди Г. Г. Расходящиеся ряды.
Харди Г. Г., Рогозинский В. В. Ряды Фурье.
Харди Г. Г., Литлвуд Дж. //., Полиа Г. Неравенства.
Беккенбах Э , Беллман Р. Неравенства.
Окстоби Дж. Мера и категория.
Эльсгольц Л Э. Качественные методы в математическом анализе.
Гельфонд А. О. Вычеты и их приложения.
Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей.
Тарасов Л. В. Азбука математического анализа: Беседы об основных понятиях.
Серия «Физико-математическое наследие: математика (теория функций)»
Бор Г. Почти периодические функции.
Курант Р Геометрическая теория функции комплексной переменной.
Артин Э. Введение в теорию гамма-функций.
Князев П. Н. Интегральные преобразования.
По всем вопросам Вы можете обратиться к нам:
тел. +7 (499) 724-25-45 (многоканальный)
или электронной почтой URSS@URSS.ru
Полный каталог изданий представлен
в интернет-магазине: http://URSS.ru
URSS
Научная и учебная
литература

Т. П. Лукашенко
В. А. Скворцов
А. П. Солодов
I I I
ТЕГ АЛ
I
URSS

Тарас Павлович ЛУКАШЕНКО
Доктор физико-математических наук, профессор Московского
государственного университета им. М. В. Ломоносова, заслуженный работник
высшей школы Российской Федерации, лауреат Ломоносовской премии за
педагогическую деятельность. Родился в г. Москве. В 1970 г. окончил
механико-математический факультет МГУ. Свою научную деятельность
начал под руководством В. А. Скворцова. Автор более 120 научных работ
по теории меры и интеграла, гармоническому анализу, теории функций.
Основное направление научных исследований в настоящее время —
обобщенные интегралы, ряды Фурье и их обобщения.
Валентин Анатольевич СКВОРЦОВ
Доктор физико-математических наук, заслуженный профессор
Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Родился в
Ленинградской области. В 1958 г. окончил механико-математический
факультет МГУ, где начал свою научную деятельность под руководством
Д. Е. Меньшова. Автор более 200 научных работ по теории меры и интег-
, рала, гармоническому анализу, действительному анализу. Его наиболее
! известные научные результаты связаны с построением обобщенных ин-
. тегралов, решающих задачу восстановления коэффициентов
ортогональных рядов по их суммам с помощью обобщенных формул Фурье.
Алексей Петрович СОЛОДОВ
Кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник
Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Родился
в г. Воронеже. В1996 г. окончил механико-математический факультет МГУ.
Свою научную деятельность начал под руководством В. А. Скворцова.
Автор 30 работ по теории обобщенных интегралов, теории ортогональных
рядов. Основное направление научных исследований в настоящее
время — интегрирование функций со значениями в банаховых пространствах,
ряды по общим ортогональным системам.
Наше издательство предлагает следующие книги:
""8~~ БРАЙА ГРИН
1 гантна
7 ВСЕЛЕННАЯ
перструны,
размер »сти
и »иски
ончатейьной'
* ории
коемЬсд
СПРАВОЧНИК
чдльн-i урс "~£ч~
КОРОЛЯ
300
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
10333 ID 123423 Отзывы о настоящем издании,
а также обнаруженные опечатки присылайте
по адресу URSS@URSS.ru.
Ваши замечания и предложения будут учтены
и отражены на web-странице этой книги
> в нашем интернет-магазине http://URSS.ru URSS http://URSS.I"U
785397П020282
E-mail:
URSS@URSS.ru
Каталог изданий
в Интернете:
URSS
наши новые ggggaaas +7(499)724-25-45
КООРДИНАТЫ 117335, Москва, Нахимовский пр-т, 56