/
Text
1
I
. ПРЕДЕЛЫ
Теоретические вопросы
1.
Понятия
числовой последовательности и её
предела. Теорема об ограниченности
сходящейся последовательности.
2.
Понятие предела функции в точке. Понятие функции, ограниченной в окрестности
точки. Теорема об ограниченности функци
и, имеющей предел.
3.
Теорема о переходе к пределу в неравенствах.
4.
Теорема о пределе промежуточной функции.
5.
Понятие непрерывности функции. Доказать непрерывность функции
cos
x
.
6.
Первый замечательный предел
0
sin
lim1
x
x
x
.
7.
Пон
ятие бесконечно малой функции. Теорема о связи между функцией, е
ё
пределом и бесконечно малой.
8.
Теорема о сумме бесконечно малых функций.
9.
Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную функцию.
10.
Теорема об отношении бесконечно малой функции
к функции, имеющей предел,
отличный от нуля.
11.
Теорема о пределе суммы.
12.
Теорема о пределе произведения.
13.
Теорема о пределе частного.
14.
Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.
15.
Непрерывность суммы, произведения и частного.
16.
Непрерывность сложн
ой функции.
17.
Понятие бесконечно большой функции. Теоремы о связи бесконечно больших
функций с бесконечно малыми.
18.
Сравнение бесконечно малых функций.
19.
Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема о замене бесконечно малых
функций эквивалентными.
20.
Условие эк
вивалентности бесконечно малых функций.
Теоретические упражнения
1.
Доказать, что если
lim
n
n
aa
, то
lim
n
n
aa
. Вытекает ли из существования
lim
n
n
a
существование
lim
n
n
a
?
У к а з а н
и е. Доказать и использовать неравенство
2
baba
.
2.
Доказать, что последовательность
2
n
расходится.
3.
Сформулировать на языке «
» утверждение: «Число
A
не являетс
я
пределом в точке
0
x
функции
fx
, определенной в окрестности точки
0
x
».
4.
Доказать, что если
fx
непрерывная функция, то
Fxfx
есть также
непрерывная функция. Верно ли обратное утверждение?
5.
Сформулировать на языке «
» утверждение: «Функция
fx
,
определенная в окрестности точки
0
x
, не является непрерывной в этой точке
».
6.
Пусть
0
lim0
xx
fx
, а
0
lim
xx
x
не существует. Доказать, что
0
lim
xx
fxx
не существует.
У к а з а н и е. Допустить противное и использовать теорему о пределе частного.
7.
Пусть функция
fx
имеет предел в точке
0
x
, а функция
x
не имеет
предела. Будут ли существовать пределы:
1)
0
lim
xx
fxx
;
2)
0
lim
xx
fxx
?
Рассмотреть пример:
0
1
limsin
x
x
x
.
8.
Пусть
0
lim0
xx
fx
, а функция
x
бесконечно большая при
0
xx
.
Доказать, что произведение
fxx
является бесконечно большой функцией при
0
xx
.
9.
Являет
ся ли бесконечно большой при
0
x
функция
11
cos
xx
?
10.
Пусть
)
(
)
(
'
x
x
a
a
ﾮ
и
)
(
)
(
'
x
x
b
b
ﾮ
при
0
xx
. Доказать, что если
0
lim
xx
x
x
не существует, то
0
lim
xx
x
x
тоже не существует.
3
Расч
ё
тные задания
Задача 1.
Доказать, что
lim
n
n
aa
(указать
N
).
1.1.
323
, .
212
n
n
aa
n
1.2.
41
, 2.
21
n
n
aa
n
1.3.
747
, .
212
n
n
aa
n
1.4.
.
3
2
,
1
3
5
2
=
+
-
=
a
n
n
a
n
1.5.
71
, 7.
1
n
n
aa
n
1.6.
.
3
4
,
2
3
1
4
2
2
=
+
+
=
a
n
n
a
n
1.7.
.
2
1
,
2
1
9
3
3
-
=
+
-
=
a
n
n
a
n
1.8.
43
, 2.
21
n
n
aa
n
1.9.
.
2
1
,
4
2
2
1
2
2
-
=
+
-
=
a
n
n
a
n
1.10.
5
, 5.
1
n
n
aa
n
1.11.
11
, .
122
n
n
aa
n
1.12.
212
, .
353
n
n
aa
n
1.13.
.
2
,
3
2
1
2
2
-
=
+
-
=
a
n
n
a
n
1.14.
.
3
,
2
3
2
2
-
=
-
=
a
n
n
a
n
1.15.
1
, .
313
n
n
aa
n
1.16.
3
,
1
3
3
3
=
-
=
a
n
n
a
n
1.17.
422
, .
133
n
n
aa
n
1.18.
515
, 5.
6
n
n
aa
n
1.19.
.
2
1
,
2
4
3
2
2
-
=
+
-
=
a
n
n
a
n
1
.20.
212
, .
233
n
n
aa
n
1.21.
313
, .
515
n
n
aa
n
1.22.
43
, 2.
21
n
n
aa
n
1.23.
2
2
121
, .
242
n
n
aa
n
1.24.
511
, .
1032
n
n
aa
n
1.25.
221
, .
342
n
n
aa
n
1.26.
234
, 4.
2
n
n
aa
n
1.27.
13
, 3.
6
n
n
aa
n
1.28.
23
, 2.
5
n
n
aa
n
1.29.
2
2
323
, .
414
n
n
aa
n
1.30.
2
2
233
, .
455
n
n
aa
n
1.31.
3
3
2
, 2.
2
n
n
aa
n
4
Задача 2.
Вычислить пределы числовых последовательностей.
2
.1.
22
22
33
lim.
33
n
nn
nn
2.2.
44
44
32
lim.
11
n
nn
nn
2.3.
44
33
32
lim.
11
n
nn
nn
2.4.
44
33
11
lim.
11
n
nn
nn
2.5.
22
22
66
lim.
61
n
nn
nn
2.6.
32
33
11
lim.
11
n
nn
nn
2.7.
3
3
2
2
128
lim.
124
n
nn
nn
2.8.
2
33
34
lim.
33
n
n
nn
2.9.
3
23
3
lim.
11
n
n
nn
2.10.
223
3
112
lim.
4
n
nnn
n
2.11.
33
2
212
lim.
23
n
nn
nn
2.12.
33
33
12
lim.
45
n
nn
nn
2.13.
33
44
34
lim.
34
n
nn
nn
2.14.
44
33
11
lim.
11
n
nn
nn
2.15.
3
44
82
lim.
11
n
nn
nn
2.16.
33
22
61
lim.
234
n
nn
nn
2.17.
33
33
235
lim.
3123
n
nn
nn
2.18.
22
33
1031
lim.
61
n
nn
nn
2.19.
33
33
2132
lim.
237
n
nn
nn
2.20.
33
22
72
lim.
3241
n
nn
nn
2.21.
33
22
2123
lim.
2123
n
nn
nn
2.22.
4
4
3
3
)
1
(
)
1
(
lim
n
n
n
n
n
-
+
-
-
ﾥ
ﾮ
2.23.
44
22
22
lim.
55
n
nn
nn
2
.24.
44
33
11
lim.
11
n
nn
nn
2.25.
33
22
11
lim.
11
n
nn
nn
2.26.
33
22
11
lim.
11
n
nn
nn
2.27.
33
42
22
lim.
21
n
nn
nn
2.28.
33
3
11
lim.
3
n
nn
nn
5
2.29.
33
3
11
lim.
1
n
nn
n
2.30.
22
3
22
lim.
3
n
nn
n
2.31.
22
2
211
lim.
1
n
nn
nn
Задача 3.
Вычислить пределы числовых последовательностей.
3.1.
3
4
28
2
591
lim.
7
n
nnn
nnnn
3.2.
2
3
4
35
11
lim.
331
n
nn
nn
3.3.
3
3
3
11
lim.
11
n
nn
nn
3.4.
3
23
4
12
17
lim.
1
n
nn
nnn
3.5.
3
3
5
31125
lim.
n
nnn
nn
3.6.
3
62
5
2
4
27
lim.
9
n
nnnn
nnn
3.7.
2
3
4
44
22
lim.
411
n
nn
nn
3.8.
4
4
4
22
lim.
22
n
nn
nn
3.9.
35
6
61
lim.
43
n
nn
nn
3.10.
3
3
4
5285
lim.
7
n
nn
nn
3.11.
42
4
2
3
31811
lim.
5
n
nnnn
nnnn
3.12.
2
3
4
54
33
lim.
41
n
nn
nn
3.13.
5
5
5
33
lim.
33
n
nn
nn
3.14.
2
3
4
8
9
lim.
391
n
nn
nn
3.15.
3
3
3
5
4
41274
lim.
n
nn
nnn
3.16
.
4
8
3
2
7811
lim.
45
n
nnn
nnn
3.17.
33
32
4
5
74
lim.
5
n
nn
nn
3.18.
6
5
6
44
lim.
66
n
nn
nn
3.19.
4
23
3
63
4
lim.
15
n
nn
nnn
3.20.
3
3
5
5
4
383
lim.
45
n
nn
nn
6
3.21.
4
4
2
112581
lim.
71
n
nnn
nnnn
3.22.
3
22
5
7
5
lim.
1
n
nn
nn
3.23.
7
7
7
55
lim.
55
n
nn
nn
3.24.
3
22
4
25
lim.
1
n
nn
nnn
3.25.
3
3
5
5
7
22
lim.
22
n
nn
nn
3.26.
3
6
2
3
71649
lim.
11
n
nnn
nnn
3.27.
2
3
4
33
65
lim.
31
n
nn
nn
3.28.
8
8
8
66
lim.
66
n
nn
nn
3.29.
23
3
6
1
lim.
2
n
nn
nn
3.30.
3
3
5
5
4
11
lim.
11
n
nn
nn
3.31.
3
3
4
5
10
6
1
)
(
1
32
lim
-
+
+
+
ﾥ
ﾮ
n
n
n
n
n
n
n
Задача 4.
Вычислит
ь пределы числовых последовательностей.
4
.1.
)
1
1
n
n(
lim
2
2
-
+
+
ﾥ
ﾮ
n
n
4.2.
2
lim23.
n
nnnn
4.3.
3
3
lim5.
n
nnnn
4.4.
224
lim149
n
nnn
4.5.
52
85
lim.
n
nnnn
n
4.6.
2
lim32.
n
nnn
4.7.
3
3
lim4.
n
nn
4.8
.
2
lim223.
n
nnnn
4.9.
lim2113.
n
nnnn
4.10.
245
lim18.
n
nnnn
4.11.
3
3
lim582.
n
nnn
4.12.
33
233
lim53.
n
nnn
4.13.
22
33
lim23.
n
nn
4.14.
3
113
lim.
n
nnnn
n
7
4.15.
22
lim323.
n
nnn
4.16.
lim23.
n
nnn
4.17.
542
915
lim.
n
nnnn
n
4.18.
lim5.
n
nnn
4.19.
333
lim821.
n
nnn
4.20.
324
132
lim.
2
n
nnnn
n
4.21.
[
]
)
2
)(
1
(
)
2
)(
1
(
lim
2
2
2
2
-
-
-
+
+
ﾥ
ﾮ
n
n
n
n
n
4.22.
524
111
lim.
n
nnnnn
n
4.23.
426
111
lim.
n
nnn
n
4.24.
lim1.
n
nnn
4.25.
3268
33
lim41.
n
nnnn
4.26.
lim12.
n
nnnnn
4.27.
3
2
3
3
lim1.
n
nnnn
4.28.
lim234.
n
nnn
4.29.
44
lim32.
n
nnn
4.30.
33
lim1232.
n
nnnnn
4.31.
2462
5235
lim.
n
nnnn
n
8
Задача 5.
Вычислить пределы числовых по
следовательностей.
5
.1.
2222
1231
lim....
n
n
nnnn
5.2.
21!22!
lim.
23!
n
nn
n
5.3.
1357...21
21
lim.
12
n
n
n
n
5.4.
11
23
lim.
23
nn
nn
n
5.5.
4
123...
lim.
91
n
n
n
5.6.
135...21
lim.
123..
n
n
n
5.7.
1357...21
lim.
3
n
n
n
n
5.8.
4
147...32
lim.
51
n
n
nn
5.9.
4!2!
lim.
3!
n
nn
n
5.10.
31!31!
lim.
3!1
n
nn
nn
5.11.
2
1
1
5
2
5
2
lim
+
+
+
ﾥ
ﾮ
+
-
n
n
n
n
n
5.12.
2
2
111
1...
333
lim.
111
1...
555
n
n
n
5.13.
22
1357911...4341
lim.
11
n
nn
nnn
5.14.
n
n
n
n
2
)
1
2
(
...
4
3
2
1
-
-
+
+
-
+
-
ﾥ
ﾮ
lim
5.15.
3
34
532
lim.
135...21
n
nn
n
5.16.
1
32
lim.
32
nn
nn
n
5.17
.
22
lim.
123...3
n
n
n
5.18.
51332
lim....
6366
nn
n
n
5.19.
2547...223
lim.
3
n
nn
n
5.20.
21!22!
lim.
23!22!
n
nn
nn
5.21.
2
12...
lim.
3
n
n
nn
5.22.
.
)
3
5
(
...
12
7
2
1
2
-
+
+
+
+
-
+
ﾥ
ﾮ
n
n
n
n
lim
5.23.
35912
lim....
416644
n
n
n
5.24.
246...2
lim.
135..21
n
n
n
9
5.25.
15913...43
41
lim.
12
n
n
n
n
5.26.
3
3
1234...2
lim.
22
n
n
nn
5.27.
1
27
lim.
27
nn
nn
n
5.28.
!2!
lim.
1!2!
n
nn
nn
5.29.
2
369...3
lim.
4
n
n
n
5.30.
72925
lim....
1010010
nn
n
n
5.31.
24...2
lim.
3
n
n
n
n
Задача 6.
Вычислить пределы числовых последовательно
стей.
6.1.
1
lim.
1
n
n
n
n
6.2.
1
23
lim.
21
n
n
n
n
6.3.
4
2
2
1
lim.
n
n
n
n
6.4.
2
1
lim.
3
n
n
n
n
6.5.
2
2
2
22
lim.
21
n
n
n
n
6.6.
1
2
2
367
lim.
3201
n
n
nn
nn
6.7.
/2
2
2
36
lim.
51
n
n
nn
nn
6.8.
31
10
lim.
1
n
n
n
n
6.9
.
32
67
lim.
64
n
n
n
n
6.10.
25
2
2
341
lim.
327
n
n
nn
nn
6.11.
2
2
2
1
lim.
1
n
n
nn
nn
6.12.
2
2
257
lim.
253
n
n
nn
nn
6.13.
2
1
lim.
1
n
n
n
n
6.14.
2
2
2
531
lim.
533
n
n
nn
nn
6.15.
23
31
lim.
31
n
n
n
n
6.16.
2
2
2
271
lim.
231
n
n
nn
nn
10
6.17.
4
3
lim.
5
n
n
n
n
6.18.
3
2
3
3
1
lim.
1
nn
n
n
n
6.19.
21
2
2
2217
lim.
2189
n
n
nn
nn
6.20.
5
103
lim.
101
n
n
n
n
6.21.
1
2
2
7
5
3
5
3
+
ﾥ
ﾮ
￨
￦
+
-
-
n
n
n
n
n
n
lim
6.22.
2
3
lim.
1
n
n
n
n
6.23.
32
2
2
65
lim.
55
n
n
nn
nn
6.24.
4
lim.
2
n
n
n
n
6.25.
2
2
2
71815
lim.
71115
n
n
nn
nn
6.26.
1
21
lim.
21
n
n
n
n
6.27.
2
2
3
3
1
lim.
2
n
n
nn
n
6.28.
3
133
lim.
1310
n
n
n
n
6.29.
2
37
2
2
223
lim.
221
n
n
nn
nn
6.30.
/61
5
lim.
7
n
n
n
n
6.31.
12
2
2
441
lim.
423
n
n
nn
nn
Задача 7.
Доказать (найти
(
)
e
d
), что:
7.1.
2
-3
253
lim7.
3
x
xx
x
7.2.
2
1
541
lim6.
1
x
xx
x
7.3.
2
-2
352
lim7.
2
x
xx
x
7.4.
2
3
4146
lim10.
3
x
xx
x
7.5.
2
-12
61
lim5.
12
x
xx
x
7.6.
2
12
61
lim5.
12
x
xx
x
7.7.
2
-13
91
lim6.
13
x
x
x
7.8.
2
2
352
lim7.
2
x
xx
x
11
7.9.
2
-13
321
lim4.
13
x
xx
x
7.10.
2
-1
781
lim6.
1
x
xx
x
7.11.
2
3
43
lim2.
3
x
xx
x
7.12.
2
12
232
lim5.
12
x
xx
x
7.13.
2
13
651
lim1.
13
x
xx
x
7.14.
2
-75
1097
lim19.
75
x
xx
x
7.15.
2
-72
213211
lim.
272
x
xx
x
7.16.
2
52
29101
lim.
252
x
xx
x
7.17.
2
13
61
lim5.
13
x
xx
x
7.18.
2
-12
67539
lim81.
12
x
xx
x
7.19.
2
11
22111
lim23.
11
x
xx
x
7.20.
2
5
5245
lim26.
5
x
xx
x
7.21.
2
-7
2157
lim13.
7
x
xx
x
7.22.
2
-4
268
lim10.
4
x
xx
x
7.23.
2
-13
615
lim.
313
x
xx
x
7.24.
2
-5
215
lim8.
5
x
xx
x
7.25.
2
8
340128
lim8.
8
x
xx
x
7.26.
2
10
55110
lim49.
10
x
xx
x
7.27.
2
12
252
lim3.
12
x
xx
x
7.28.
2
-6
3176
lim19.
6
x
xx
x
7.29.
2
13
3176
lim19.
13
x
xx
x
7.30.
2
-15
1521
lim8.
15
x
xx
x
7.31.
2
13
1521
lim8.
13
x
xx
x
12
Задача 8.
Доказать, что функция
fx
непрерывна в точке
0
x
(найти
).
8
.1.
2
0
51, 6.
fxxx
8.2.
2
0
42, 5.
fxxx
8.3.
2
0
33, 4.
fxxx
8.4.
2
0
24, 3.
fxxx
8.5
2
0
25, 2.
fxxx
8.6
2
0
36, 1.
fxxx
8.7
2
0
47, 1.
fxxx
8.8
2
0
58, 2.
fxxx
8.9
2
0
59, 3.
fxxx
8.10
2
0
49, 4.
fxxx
8.11
2
0
38, 5.
fxxx
8.12
2
0
27, 6.
fxxx
8.13
2
0
26, 7.
fxxx
8.14
2
0
35, 8.
fxxx
8.15
2
0
44, 9.
fxxx
8.16
2
0
53, 8.
fxxx
8.17
2
0
51, 7.
fxxx
8.18
2
0
41, 6.
fxxx
8.19
2
0
32, 5.
fxxx
8.20
2
0
23, 4.
fxxx
8.21
2
0
24, 3.
fxxx
8.22
2
0
35, 2.
fxxx
8.23
2
0
46, 1.
fxxx
8.
24
2
0
57, 1.
fxxx
8.25
2
0
48, 2.
fxxx
8.26
2
0
39, 3.
fxxx
8.27
2
0
29, 4.
fxxx
8.28
2
0
28, 5.
fxxx
8.29
2
0
37, 6.
fxxx
8.30
2
0
46, 7.
fxxx
8.31
2
0
55, 8.
fxxx
Задача 9.
Вычислит
ь пределы функций.
9
.1.
3
42
1
211
lim.
45
x
xxx
xx
9.2.
3
2
1
32
lim.
x
xx
xx
9.3.
2
2
32
1
32
lim.
22
x
xx
xxx
9.4.
2
2
32
1
21
lim.
22
x
xx
xxx
9.5.
2
2
32
3
23
lim.
43
x
xx
xxx
9.6.
2
3
4
1
21
lim.
21
x
xx
xx
13
9.7.
3
5
0
1(13)
lim.
x
xx
xx
9.8.
1
2
1
2
2
2
1
-
-
+
-
ﾮ
x
x
x
x
n
lim
9.9.
3
2
1
32
lim.
2
x
xx
xx
9.10.
32
32
1
573
lim.
452
x
xxx
xxx
9.11.
3
32
1
32
lim.
1
x
xx
xxx
9.12.
32
32
1
53
lim.
1
x
xxx
xxx
9.13.
.
2
3
2
5
4
3
2
3
1
-
-
+
+
+
-
ﾮ
x
x
x
x
x
n
lim
9.14.
4
42
1
1
lim.
21
x
x
xx
9.15.
32
32
-2
584
lim.
34
x
xxx
xx
9.16.
32
32
2
584
lim.
34
x
xxx
xx
9.17.
32
32
2
6128
lim.
34
x
xxx
xx
9.18.
32
32
-2
584
lim.
71612
x
xxx
xxx
9.19.
3
22
1
32
lim.
(2)
x
xx
xx
9.20.
.
2
2
3
3
2
-
-
-
ﾮ
x
x
x
n
lim
9.21.
3
2
1
32
lim.
21
x
xx
xx
9.22.
2
32
1
21
lim.
1
x
xx
xxx
9.23.
4
42
1
1
lim.
21
x
x
xx
9.24.
2
32
1
32
lim.
22
x
xx
xxx
9
.25.
2
32
1
21
lim.
22
x
xx
xxx
9.26.
2
32
-3
23
lim.
43
x
xx
xxx
9.27.
3
4
1
21
lim.
21
x
xx
xx
9.28.
3
25
0
(1)(13)
lim.
x
xx
xx
9.29.
2
2
1
1
lim.
21
x
x
xx
9.30.
32
32
-3
7159
lim.
82118
x
xxx
xxx
9
.31.
32
32
3
4318
lim.
539
x
xxx
xxx
14
Задача 10.
Вычислить пределы фу
нкций.
10.1
4
123
lim.
2
x
x
x
10.2.
3
8
13
lim.
2
x
x
x
10.3
3
2
1
1
lim.
1
x
x
x
10.4
2
3
1321
lim.
9
x
xx
x
10.5
3
3
2
62
lim.
8
x
x
x
10.6
4
16
2
lim.
4
x
x
x
10.7
3
8
925
lim.
2
x
x
x
10.8
2
0
12(1)
lim.
x
xxx
x
10.9
3
2
2
0
832
lim.
x
xx
xx
10.10
33
3
4
0
2727
lim.
2
x
xx
xx
10.11
3
1
1
lim.
12
x
x
xx
10.12
33
0
11
lim.
11
x
xx
xx
10.13
3
2
42
lim.
22
x
x
xx
10.14
2
1
1
lim.
1
x
x
x
10.15
3
3
93
lim.
32
x
x
xx
10.16
3
-2
62
lim.
2
x
x
x
10.17
3
4
164
lim.
42
x
x
xx
10.18
3
2
8
925
lim.
4
x
x
x
10.19
3
12
412
lim.
122
x
x
xx
10.20
3
13
913
lim.
132
x
x
xx
10.21
3
14
1614
lim.
142
x
x
xx
10.22
3
7
0
11
lim.
x
xx
x
10.23
33
3
2
05
2727
lim.
x
xx
xx
10.24
3
2
3
23
0
832
lim.
x
xx
xx
10.25
2
3
0
123(1)
lim.
x
xxx
x
10.26
3
8
925
lim.
2
x
x
x
15
10.27
4
16
2
3
2
lim.
(4)
x
x
x
10.28
3
3
3
-2
62
lim.
8
x
x
x
10.29
3
2
4
2
lim.
16
x
x
x
10.30
3
8
1061
lim.
2
x
xx
x
10.31
3
2
3
1321
lim.
9
x
xx
x
Задача 11.
Вычислить пределы функций.
11.1.
.
)
(
4
sin
)
sin
1
ln(
lim
0
p
-
+
ﾮ
x
x
x
11.2.
.
1
)
(
10
cos
1
lim
2
0
-
+
-
ﾮ
x
x
e
x
p
11.3
2
0
35
lim.
sin3
x
xx
x
11.4
0
1cos2
lim.
cos7cos3
x
x
xx
11.5
0
4
lim.
tg((2))
x
x
x
11.6
0
2
lim.
tg[2(12)]
x
x
x
11.7
3
2
0
1cos
lim.
4
x
x
x
11.8
0
arcsin3
lim.
22
x
x
x
11.9
.
)
4
1
ln(
2
2
lim
1
0
x
x
x
+
-
+
ﾮ
11.10
0
2
lim.
sin(2(10))
x
arctgx
x
11.11
0
ln(17)
lim.
sin((7))
x
x
x
11.12
2
0
cos(52)
lim.
arcsin2
x
xtgx
x
11.13
.
2
4
8
)
3
1
ln(
lim
0
-
+
-
ﾮ
x
x
x
11.14
0
131
lim.
cos[(1)2]
x
x
x
11.15
2
0
sin7
lim.
x
x
xx
11.16
0
42
lim.
3
x
x
arctgx
11.17
0
2sin[(1)]
lim.
ln(12)
x
x
x
11.18
0
cos2cos
lim.
1cos
x
xx
x
11.19
0
11
lim.
sin[(2)]
x
x
x
11.20
[
]
.
)
(
5
sin
lim
1
3
0
-
ﾮ
+
x
x
e
x
p
16
11.21
0
1cos
lim.
sin
x
x
xx
11.22
.
)
(
3
sin
2
arcsin
lim
0
p
+
ﾮ
x
x
x
11.23
4
0
1
lim.
sin((21))
x
x
e
x
11.24
.
)
1
(
)
cos(
1
lim
2
3
0
-
-
+
ﾮ
x
x
e
x
p
11.25
22
4
0
sin
lim.
x
xtgx
x
11.26
0
arcsin2
lim.
ln()1
x
x
ex
11.27
0
sin
lim.
(1cos2)
x
tgxx
xx
11.28
.
4
2
2
)
1
ln(
lim
2
2
0
+
-
+
ﾮ
x
x
x
11.29
0
((12))
lim.
ln(1)
x
tgx
x
11.30
2
24
8
1
lim
3
4
0
-
+
-
ﾮ
x
e
x
x
p
11.31
.
)
3
cos(
1
2
sin
lim
0
p
-
+
ﾮ
x
x
x
x
Задача 12.
Вычислить пределы функций.
12.1.
2
1
1
lim.
ln
x
x
x
12.2.
2
1
11
lim.
ln
x
xx
x
12.3
2
1cos3
lim.
sin7
x
x
x
12.4
.
)
4
(
2
sin
1
lim
2
4
x
x
x
-
-
ﾮ
p
p
12.5
2
1
1cos
lim.
tg
x
x
x
12.6
2
tg3
lim.
tg
x
x
x
12.7
22
4
sintg
lim.
()
x
xx
x
12.8
2
1
11
lim.
tg
x
xx
x
12.9
2
cos5cos3
lim.
sin
x
xx
x
12.10
22
4
2
sin7sin3
lim.
x
x
xx
ee
12.11
2
sin7
lim.
sin8
x
x
x
12.12
2
ln(52)
lim.
1032
x
x
x
12.13
2
1
331
lim.
sin
x
xx
x
12.14
22
lim.
sin
x
x
x
12.15
2
532
1
33
lim.
tg
xx
x
x
1
2.16
4
216
lim.
sin
x
x
x
17
12.17
2
ln2ln
lim.
sin(52)cos
x
x
xx
12.18
4
lntg
lim.
cos2
x
x
x
12.19
lim.
sin5sin3
x
x
ee
xx
12.20
2
2
ln(92)
lim.
sin2
x
x
x
12.21
2
4
2
2
12
lim.
2(2352)
x
x
xxx
12.22
3
4
1
1
lim.
1
x
x
x
12.23
-2
tg
lim.
2
x
x
x
12.24
1sin(2)
lim.
x
x
x
12.25
3
12cos
lim.
3
x
x
x
12.26
2
2
arctg(2)
lim.
sin3
x
xx
x
12.27
2
1
1
lim.
sin
x
x
x
12.28
1
cos(2)
lim.
1
x
x
x
12.29
1
310
lim.
sin3
x
x
x
12.30
sin5
lim.
tg3
x
x
x
12.31
2
cos3cos
lim.
tg2
x
xx
x
Задача 13.
Вычислить пределы функций.
13
.1.
2
cos
2
21
lim.
lnsin
x
x
x
13.2.
2
sinsin3
12
21
lim.
xx
x
x
ee
13.3
3
2
ln23
lim.
sin2sin1
x
xx
xx
13.4.
2
tgtg2
lim.
sinln1
x
x
x
13.5.
.
1
sin
lim
2
sin
2
2
/
-
-
-
ﾮ
x
e
e
x
x
tg
x
p
13.6.
2
6
lnsin3
lim.
6
x
x
x
13.7.
2
3
sin2351
lim.
ln1ln1ln2
x
xxx
xx
13.8.
2
2
2
lim.
tgcos1
x
x
x
13.9.
12
ln(41)
lim.
1cos1
x
x
x
13.10
2
-2
2
arcsin(2)2
lim.
39
x
xx
x
18
13.11
sin
3
3
21
lim.
ln(68)
x
x
xx
13.12
2
lncos2
lim.
(1)
x
x
x
13.13
2
31
2
tgln(35)
lim.
xx
x
x
ee
13.14
sin2
2
lncos
lim.
31
x
x
x
13.15
.
cos
1
1
ln
1
lim
3
2
1
x
x
x
p
+
-
+
ﾮ
1
3.16
sinsin4
cos(2)
lim.
xx
x
x
ee
13.17
sin
3
ln(25)
lim.
1
x
x
x
e
13.18
22
sin6sin3
3
3
lim.
logcos6
xx
x
ee
x
13.19
sin22
2
lim.
ln(2)
xtgx
x
ee
x
13.20
2
24
-2
tg()
lim.
tgtg2
xx
x
ee
x
13.21
1
3
1
2725
lim.
1
xx
x
x
13.22
sin2
ln(2cos)
lim.
(31)
x
x
x
13.23
2
33
sin
()sin5
lim.
1
x
x
xx
e
13.24
3
32
-1
46
(1)
lim.
x
xx
tgx
ee
13.25
lncos2
lim.
lncos4
x
x
x
13.26
2
2
lnsin
lim.
(2)
x
x
x
13.27
22
a
1
lim.
ln()
xa
x
a
tgxa
13.28
.
)
3
(
)
sin(
lim
3
3
2
2
2
/
1
3
+
-
+
-
-
ﾮ
x
arctg
e
e
x
x
x
13.29
.
)
2
)
/
ln(cos(
lim
1
/
/
/
2
2
2
-
-
ﾮ
-
+
x
a
x
a
x
a
a
x
a
a
a
x
p
p
p
p
13.30
cos(32)
tg(33)
lim.
31
x
x
x
13.31
.
2
2
)
/
sin(
lim
1
sin
2
-
+
ﾮ
x
x
x
p
p
Задача 14
.
Вычислить пределы функций.
14.1.
23
0
75
lim.
2arctg3
xx
x
xx
14.2.
32
0
lim.
2arcsinsin
xx
x
ee
xx
14.3.
22
0
67
lim.
sin32
xx
x
xx
14.4.
53
0
lim.
sin2sin
xx
x
ee
xx
19
14.5.
23
3
0
35
lim.
arctg
xx
x
xx
14.6.
23
2
0
lim.
arctg
xx
x
ee
xx
14.7.
5
0
32
lim.
sin9
xx
x
xx
14
.8.
42
0
lim.
2arctgsin
xx
x
ee
xx
14.9.
3
0
125
lim.
2arcsin
xx
x
xx
14.10.
72
0
lim.
sin2
xx
x
ee
xx
14.11.
57
0
32
lim.
arcsin2
xx
x
xx
14.12.
5
3
0
lim.
arcsin
xx
x
ee
xx
14.13.
7
0
42
lim.
tg3
xx
x
xx
14.14.
0
lim.
tg2sin
xx
x
ee
xx
14.15.
2
0
107
lim.
2tgarctg
xx
x
xx
14.16.
2
0
lim.
sin3sin5
xx
x
ee
xx
14.17.
32
3
0
73
lim.
tg
xx
x
xx
14.18.
42
0
lim.
2tgsin
xx
x
ee
xx
14
.19.
2
0
37
lim.
arcsin35
xx
x
xx
14.20.
25
0
lim.
2sintg
xx
x
ee
xx
14.21.
52
3
0
49
lim.
sintg
xx
x
xx
14.22.
32
0
lim.
sin3tg2
xx
x
ee
xx
14.23.
23
2
0
52
lim.
sinsin
xx
x
xx
14.24.
3
0
lim.
sin3tg2
xx
x
ee
xx
14.25.
3
0
92
lim.
arctg27
xx
x
xx
14.26.
2
2
0
lim.
sin
xx
x
ee
xx
14.27.
57
0
32
lim.
2tg
xx
x
xx
14.28.
2
0
lim.
sin2sin
xx
x
ee
xx
14.29.
2
2
0
lim.
tg
xx
x
ee
xx
14.30.
32
3
0
23
lim.
arcsin
xx
x
xx
14.31.
35
0
23
lim.
sin72
xx
x
xx
20
Задача 15.
Вычислить пределы функций.
15.1.
2
0
2
lim.
sin
xx
x
ee
x
15.2.
2
0
1sincos2
lim.
sin
x
xxx
x
15.3.
3
-1
1
lim.
sin(1)
x
x
x
15.4.
a
tgtg
lim.
lnln
x
xa
xa
15.5.
3
0
1tg1sin
lim.
x
xx
x
15.6.
0
lim.
sinsin
xx
x
ee
xx
15.7.
2
0
1sin1
lim.
1
x
x
xx
e
15.8.
3
2
1
0
lim.
xx
x
x
xee
ee
15.9.
3
12cos
lim.
sin(3)
x
x
x
15.10.
2
1
1
lim.
sin
x
x
x
15.11.
4
sincos
lim.
lntg
x
xx
x
15.12.
lim.
xb
xb
aa
xb
15.13.
2
0
1cos2tg
lim.
sin3
x
xx
xx
15.14.
0
sin22sin
lim.
lncos5
x
xx
xx
15.15.
2
0
lnln2ln
lim, 0.
h
xhxhx
x
h
15.16.
1
2
1
lim.
log
x
x
x
15.17.
sin2sin
0
lim.
tg
xx
x
ee
x
15.18.
1
22
lim.
ln
x
x
x
15.19.
0
sinsin
lim.
h
xhxh
h
15.20.
0
22
lim.
sin3
x
x
x
15.21.
2
0
2
lim.
xhxhx
h
aaa
h
15.22.
0
1cos
lim.
1cos
x
x
x
15.23.
3
3
52
lim.
sin
x
x
x
15.24.
2
2
6
2sinsin1
lim.
2sin3sin1
x
xx
xx
15.25.
10
lg1
lim.
91
x
x
x
15.26.
1
0
33
lim.
ln11
x
x
x
xxe
21
15.27.
2
0
cos1
lim.
sin2
x
x
x
15.28.
0
sinsin
lim.
lntg4
x
bxax
ax
15.29.
3
2
2
1sin
lim.
cos
x
x
x
15.30.
3
3
log1
lim.
tg
x
x
x
15.31.
2
1
lim.
sinx1
x
x
ee
Задача 16.
Вычислить пределы функций.
16
.1.
2
3arcsin
3
0
lim1ln1.
xx
x
x
16.2.
1
0
limcos.
x
x
x
16.3.
2
1
0
12
lim.
13
x
x
x
x
x
x
16.4.
2
2sin
arctg
0
lim23.
x
x
x
16.5.
3
ctg
0
1sincos
lim.
1sincos
x
x
xx
xx
16.6.
2
1sin3
0
4
lim5.
cos
x
x
x
16.7.
4
3
sin
3
0
lim1ln1.
xx
x
x
16.8.
2
3
arcsin
0
lim2.
x
x
x
e
16.9.
1sin
0
limcos.
xx
x
x
16.10.
1lncos
2
0
lim1sin3.
x
x
x
16.11.
ctg
0
limtg.
4
x
x
x
16.12.
3
1ln1
2
0
lim1sin.
x
x
xx
16.13.
2
3
cosec
arcsin
0
lim25.
xx
x
x
16.14.
2
1ln1
0
lim2cos3.
x
x
x
16.15.
ctg
sin
0
lim2.
x
x
x
e
16.16.
2
1ln1sin
0
limcos.
x
x
x
16.17.
2
2
1ln1tg
3
0
lim2.
x
x
x
e
16.18.
2
cosec
0
lim32cos.
x
x
x
16.19.
2
1lncos
sin
0
lim23.
x
x
x
16.20.
2
0
lim2cos.
x
x
x
16.21.
2
ctg
0
5
lim6.
cos
x
x
x
16.22.
2
cosec
0
2
lim3.
cos
x
x
x
22
16.23.
3
1sin
0
1sincos2
lim.
1sincos3
x
x
xx
xx
16.24.
2
11cos
0
lim2.
x
x
x
e
16.25.
3
1
6
0
1
lim1lnarctg.
3
x
x
x
16.26.
3
1
0
1tgcos2
lim.
1tgcos5
x
x
xx
xx
16.27.
2
1tg
0
13
lim.
17
x
x
x
x
x
x
16.28.
2
1ln13
2
0
lim1tg.
x
x
x
16.29.
2
1tg
0
lim1lncos.
x
x
x
16.30.
2
1ln1tg3
2
0
lim1sin.
2
x
x
x
16.31.
3
1sin
2
2
0
12
lim.
15
x
x
x
x
x
x
Задача 17.
Вычислить пределы функций.
17.1.
1
0
sin2
lim.
x
x
x
x
17.2.
0
2
lim.
3
x
x
x
x
17.3.
22
0
sin4
lim.
x
x
x
x
17.4.
2
cos
3
4
0
1
lim.
x
x
x
e
x
17.5.
3
0
limcos.
x
x
x
17.6.
2
3
2
0
4
lim.
2
x
x
x
x
1
7.7.
2
0
ln1
lim.
6
xx
x
x
x
17.8.
2
0
tg4
lim.
x
x
x
x
17.9.
3
831
2
0
1
lim.
xx
x
x
e
x
17.10.
cos
0
2
lim.
4
x
x
x
x
17.11.
2
0
sin6
lim.
2
x
x
x
x
17.12.
2
61
2
0
1
lim.
x
x
x
e
x
17.13.
2
0
sin2
lim.
sin3
x
x
x
x
17.14.
.
3
lim
2
0
+
ﾮ
￨
￦
￨
￦
+
x
x
x
tg
p
23
17.15.
.
10
3
8
lim
2
2
3
0
+
ﾮ
￨
￦
+
+
x
x
x
x
17.16.
33
0
limsin2.
x
x
x
17.17.
1
2
0
21
lim.
x
x
x
x
17.18.
42
4
0
5
lim.
10
x
x
x
x
17.19.
2
cos
0
118
lim.
121
x
x
x
x
17.20.
21
3
3
0
1
lim.
8
x
x
x
x
17.21.
38
2
2
0
ln1
lim.
x
x
x
x
17.22.
1
0
limcos.
x
x
x
17.23.
.
arcsin
lim
)
5
(
2
0
+
ﾮ
￨
￦
x
x
x
x
17.24.
2
0
arctg3
lim.
x
x
x
x
17.25.
4
cos
0
lim.
x
x
x
ex
17.26.
16
2
0
sin5
lim.
sin
x
x
x
x
17.27.
1
0
limtg.
4
x
ex
x
x
17.28.
2
tg
0
5
lim6.
cos
x
x
x
17.29.
2
11
0
18
lim.
211
x
x
x
x
17.30.
21
2
2
0
arcsin
lim.
arcsin4
x
x
x
x
17.31.
12
3
3
0
4
lim.
9
x
x
x
x
Задача 18.
Вычислить пределы функций.
18
.1.
3
11
1
31
lim.
1
x
x
x
x
18.2.
1
sin
lim.
sin
xa
xa
x
a
18.3.
3
11
1
21
lim.
x
x
x
x
18.4.
12
2
cos
lim.
cos2
x
x
x
18.5.
3
12
8
27
lim.
1
x
x
x
x
18.6.
1cos34
4
limtg.
x
x
x
24
18.7.
5
11
1
21
lim.
x
x
x
x
18.8.
tg
2
lim2.
x
a
xa
x
a
18.9.
ctg2sin3
2
limcos.
xx
x
x
18.10.
2
1sin2
2
limcos.
x
x
x
18.11.
tg
6
3
6
lim.
3
x
x
x
18.12.
ctgsin4
4
limcos.
xx
x
x
18.13.
tg
2
1
lim32.
x
x
x
18.14.
5
tg5sin2
4
limcos.
xx
x
x
18.15.
tg
6
3
92
lim.
3
x
x
x
18.16.
6tgtg3
2
limsin.
xx
x
x
18.17.
1
1
1
lim21.
xx
x
x
e
18.18.
12
2
limtg.
2
x
x
x
18.19.
311
1
1
lim21.
xx
x
x
e
18.20.
sec
2
lim1cos3.
x
x
x
18.21.
322
2
2
lim21.
xx
x
x
e
18.22.
sin1
1sin1
1
sin1
lim.
1
x
xx
x
x
x
18.23.
1ln2
1
2
lim.
x
x
x
x
18.24.
1cos
2
limctg.
2
x
x
x
18.25.
sin2
ln2
1
lim2.
x
x
x
x
18.26.
13
3
sin
lim.
sin3
x
x
x
18.27.
ln2
ln2
1
1
lim.
2
x
x
x
x
x
18.28.
(
)
.
sin
lim
sin
18
2
ctgx
x
x
x
p
ﾮ
18.29.
ln1
ln2
1
1
lim.
x
x
x
x
18.30.
1cos2
limctg.
4
x
x
x
18.31.
ln32
ln2
1
21
lim.
x
x
x
x
x
25
Задача 19.
Вычислить пределы функций.
19.1.
sin
2
ln1
lim.
x
e
xe
x
xe
19.2.
ctg
4
limtg.
x
x
x
19.3.
14
4
lntg
lim.
1ctg
x
x
x
x
19.4.
31
2
limsin.
x
x
x
19.5.
2
sin2
2
sin3
lim.
sin
x
x
x
x
19.6.
6
6
limsin.
x
x
x
19.7.
sin
3
lim2.
3
x
x
x
19.8.
2
11
1
1
lim.
2
xx
x
x
x
19.9.
sin
1
1
lim1.
x
x
x
x
e
19.10.
1
1
tg9
lim.
sin4
xx
x
x
x
19.11.
2
8
3
arcsin3
lim.
sin3
x
x
x
x
19.12.
22
16
4
4
limsin2.
x
x
x
x
19.13.
1
2
1
34
limarctg.
1
x
x
x
x
19.14.
sin
limctg.
4
x
x
x
19.15.
22
sinsin
lim.
xa
xa
xa
xa
19.16.
1
2
2
22
lim.
4
x
x
x
x
19.17.
1tg
4
limsincos.
x
x
xx
19.18.
sin8
8
limtg2.
x
x
x
19.19.
(
)
.
arcsin
lim
1
x
tg
x
x
p
ﾮ
19.20.
sin
limsin.
xx
x
xx
19.21.
2
11
2
1
limln.
x
x
ex
19.22.
arctg
1
lim1.
x
x
x
19.23.
2
1
3
1
1
lim.
1
x
x
x
x
19.24.
2
1
sin
1
1
lim.
1
x
x
x
e
x
19.25.
tg2
2
limcos.
x
x
x
19.26.
1
12
limarcsinarccos.
x
x
xx
26
19.27.
sin
2
limcos1.
x
x
x
19.28.
sin4
3
1
lim1.
x
x
xx
19.29.
12
2
2
1
23
lim.
45
x
x
xx
xx
19.30.
2
2
1
1cos
lim.
tg
x
x
x
x
19.31.
1
22
1
lim.
1
x
x
x
ee
x
Задача 20.
Вычислить предел функции или числовой последовательности.
20.1.
0
lim4cos3arctg1.
x
xxx
20.2.
2
lim3sin2sin.
2
x
x
xx
x
20.3.
3
3
2sin
lim.
7
n
nn
nn
20.4.
0
tgcos1lg2
lim.
lg4
x
xxx
x
20.5.
1
2
sincos
1
lim.
1cos1
n
n
n
en
n
n
20.6.
4
53
223
lim.
sin7
n
nn
nnn
20.7.
3
4
tg4cos
4
lim.
lg2tg
x
x
xx
x
x
20.8.
2
2
limsin1arctg.
1
n
n
n
n
20.9.
25
2
37
lim.
cos1
n
nn
nnnn
20.10.
3sin1
lim.
1
n
nn
nn
20.11.
3
1cos
lim.
211
n
nn
n
20.12.
0
1
limln2arctgsin.
x
x
x
20.13.
-2
1cos
lim.
42sin
2
x
x
x
x
x
20.14.
3
4
lim.
3sin
n
n
nn
20.15.
3
22
5
6
cos32
lim.
1
n
nnn
n
20.16.
3
0
1
tgarctg3
lim.
2lg1sin
x
x
x
x
27
20.17.
2
0
1
limarctgsin5cos.
x
xx
x
20.18.
0
1
lim4cossinln1.
x
xx
x
20.19.
2
0
1
lim2cos1sin.
x
x
xe
x
20.20.
0
1
2lnsin
lim.
cossin
x
ex
x
xx
2
0.21.
2
0
1
limlncoscostg.
3
x
x
exx
x
20.22.
0
1
cosln12cos
lim.
2
x
x
xx
x
e
20.23.
1
1
cos2
lim.
2
21arctg
1
x
x
x
x
e
x
20.24.
sin
0
1
lim1cos4cos.
x
x
ex
x
20.25.
0
cos1
lim.
1
2sinln12
x
x
x
x
20.26.
2
3
2
2
limlg2sin4cos.
2
x
x
xx
x
20.27.
2
2
2cossin
2
lim.
32sin
x
x
x
xx
20.28.
1
11
limtgcossincos.
11
x
xx
x
xx
20.29
.
0
1
lim2sin4cos.
x
xx
x
20.30.
1
1
sinsinarctg
1
lim.
1cos
x
x
xx
x
x
20.31.
3
22
3121
lim.
2sin
n
nnn
nn