/
Author: Rusiński Eugeniusz Czmochowski Jerzy Smolnicki Tadeusz
Tags: budownictwo konstrukcje budowlane
ISBN: 83-7085-458-3
Year: 2000
Text
Eugeniusz Rusiński
Jerzy Czmochowski
Tadeusz Smolnicki
Zaawansowana metoda
elementów skończonych
w konstrukcjach nośnych
DE
Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej
Wrocław 2000
Praca powstała w ramach realizacji projektu badawczego nr 7 T07C 032 12
Publikacja jest dofinansowana przez Ministerstwo Edukacji Narodowej
Opiniodawcy
Wacław BORKOWSKI
Jerzy OSIŃSKI
Opracowanie redakcyjne i korekta
Maria IZBICKA
Projekt okładki
Dariusz GODLEWSKI
Skład komputerowy
Joanna MIJAS-BRETUJ
© Copyright by Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1999
OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ
Wybrzeże Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław
ISBN 83-7085-458-3
Drukarnia Oficyny Wydawniczej Politechniki Wrocławskiej
SPIS RZECZY
Od autorów 8
1. Wiadomości wstępne 10
2. Historia rozwoju metody elementów skończonych 15
3. Podstawy teoretyczne metody elementów skończonych 21
3.1. Założenia metody elementów skończonych 22
3.2. Podstawowe równania teorii sprężystości 26
3.2.1. Warunki równowagi 26
3.2.2. Równania stanu odkształceń 28
3.2.3. Związki fizyczne 28
3.3. Funkcje kształtu 29
3.4. Klasyfikacja elementów skończonych 39
4. Podstawowe pojęcia hipotez wytężeniowych 47
4.1. Hipoteza największych naprężeń stycznych 49
4.2. Hipoteza energetyczna 50
4.3. Hipoteza największego średniego naprężenia stycznego 52
4.4. Hipoteza największych naprężeń rozciągających i największych naprężeń głównych 52
4.5. Hipoteza największego odkształcenia głównego 53
4.6. Hipoteza energii odkształcenia 54
4.7. Hipoteza Druckera-Pragera 54
4.8. Hipoteza Burzyńskiego 55
4.9. Hipoteza energii pękania 56
4.10. Hipoteza odkształceń właściwych 56
4.11. Logarytmiczna hipoteza odkształceń 57
5. Płaski stan odkształcenia i płaski stan naprężenia 59
5.1. Płaski stan odkształcenia 59
5.2. Płaski stan naprężenia 63
6. Elementy tarczowe 67
6.1. Macierz sztywności trójkątnego elementu tarczowego 69
6.2. Macierz bezwładności trójkątnego elementu tarczowego 72
6.3. Elementy tarczowe wyższego rzędu 74
7. Elementy płytowe 78
7.1. Wymagania ciągłości dla funkcji kształtu 82
7.2. Dostosowane funkcje kształtu 85
7.3. Funkcje kształtu płytowych elementów skończonych 87
7.4. Macierz sztywności prostokątnego elementu płytowego 91
7.5. Macierz bezwładności prostokątnego elementu płytowego 95
7.6. Macierz bezwładności trójkątnego elementu płytowego 96
8. Elementy prętowe i belkowe 100
8.1. Macierz sztywności sztywnego elementu prętowego typu bar 102
8.2. Macierz sztywności elementu prętowego 105
8.3. Macierz sztywności elementu belkowego 107
8.4. Macierz bezwładności elementu belkowego 113
9. Elementy powłokowe 118
9.1. Macierz sztywności płaskiego trójkątnego elementu powłokowego 125
6
9.2. Izoparametryczne elementy powłokowe grubościenne 131
10. Elementy trójwymiarowe 138
10.1. Analiza trójwymiarowego stanu naprężeń 141
10.2. Macierz sztywności trójwymiarowego elementu TETRA4 142
10.3. Macierz bezwładności trójwymiarowego elementu TETRA4 146
10.4. Macierz sztywności trójwymiarowego elementu SOLID20 147
10.5. Macierz bezwładności trójwymiarowego elementu SOLID20 153
11. Elementy osiowo-symetryczne 155
11.1. Macierz sztywności pierścieniowego elementu o przekroju trójkątnym 158
11.2. Macierz sztywności elementu powłoki osiowo-symetrycznej 163
11.3. Definiowanie obciążeń w elementach osiowo-symetrycznych 167
12. Budowa globalnych macierzy dyskretnego modelu 171
12.1. Globalna macierz sztywności i mas 171
12.2. Globalna macierz tłumienia 181
13. Wybrane zagadnienia nieliniowości materiałowej 183
13.1. Materiały nieliniowo sprężyste 184
13.2. Materiały hipersprężyste 186
13.3. Materiały ulegające uplastycznieniu 187
13.3.1. Modele sprężysto-plastyczne 189
13.3.2. Funkcje płynięcia i kryteria uplastycznienia materiału sprężysto-plastycznego 190
13.3.3. Umocnienie materiału 194
13.3.4. Powierzchnie początkowego uplastycznienia i nośności granicznej 197
13.4. Przykład liczbowy analizy sprężyto-plastycznej 205
14. Zagadnienia geometrycznie nieliniowe 209
14.1. Stateczność sprężysta 211
14.2. Przestrzenne układy belkowe 217
14.3. Nieliniowość geometryczna 227
15. Wybrane zagadnienia obciążeń cieplnych 231
15.1. Równania termosprężystości 232
15.2. Zagadnienia stacjonarnego przewodnictwa ciepła 233
15.3. Modelowanie obszaru dwuwymiarowego trójkątnymi elementami 236
15.4. Modelowanie trójwymiarowych konstrukcji elementami TETRA 239
15.5. Klasyczna teoria pełzania 243
15.6. Przykładowe obliczenia wytrzymałościowe wycinka rury ekranowej kotła 244
15.6.1. Obliczenia wytrzymałościowe w ujęciu analitycznym 249
15.6.2. Obliczenia wytrzymałościowe MES 250
15.7. Numeryczna symulacja wytężenia komory przegrzewacza 253
16. Rozwiązywanie układów równań 260
16.1. Metody rozwiązywania układów algebraicznych równań liniowych 261
16.2. Metody rozwiązywania równań ruchu układu dyskretnego 265
16.3. Metody bezpośredniego całkowania równań ruchu układu dyskretnego 268
16.4. Aproksymacja wielomianem trzeciego stopnia - wzory rekurencyjne 268
16.5. Przyrostowe procedury obliczeniowe 271
16.6. Metoda modalna 274
16.6.1. Efekt tłumienia 275
16.6.2. Dokładność rozwiązania a obcięcie postaci własnych 277
16.6.3. Wymuszenie przez ruch podstawy 278
16.6.4. Przebiegi czasowe 280
16.6.5. Analiza widma odpowiedzi 282
16.6.6. Generacja widma odpowiedzi 284
16.6.7. Analiza drgań losowych 285
16.6.8. Analiza harmoniczna stanu ustalonego 290
7
17. Analiza błędowi zbieżność rozwiązań 293
17.1. Błąd wynikający z dyskretyzacji 296
17.2. Szacowanie i ekstrapolacja błędu dyskretyzacji 301
17.3. Metody zwiększania dokładności obliczeń 305
18. Modelowanie połączeń ruchowych i kontaktowych w budowie maszyn 310
18.1. Modelowanie połączeń teleskopowych 310
18.1.1. Metody rozwiązywania problemu dynamiki układu dwuczłonowego 316
18.1.2. Przykłady 320
18.2. Ogólne zagadnienie kontaktowe 326
18.2.1. Kontakt prosty 326
18.2.2. Kontakt ogólny 327
18.2.3. Dwuwęzłowy element kontaktowy 328
18.2.4. Jednowęzłowe elementy kontaktowe 329
18.3. Modelowanie połączeń kontaktowych w układzie element toczny-bieżnia 338
19. Badania testujące kabin ochronnych metodą elementów skończonych 343
19.1. Symulacja uderzenia daszka z góry przez obciążnik (próba FOPS) 347
19.2. Symulacja statycznej próby zgniatania z boku (próba ROPS) 349
20. Zastosowanie MES w maszynach podstawowych górnictwa odkrywkowego 352
20.1. Modele dyskretne nadwozi 354
20.2. Obliczenia wytrzymałościowe nadwozi 358
20.3. Modele dyskretne podwozi 359
20.4. Obliczenia wytrzymałościowe podwozia 363
20.5. Analiza rozkładów nacisków w łożysku kulowym zwałowarki 367
20.6. Modelowanie i symulacja pracy czerpaków przeznaczonych do urabiania iłów 374
20.6.1. Obciążenia zewnętrzne 375
20.6.2. Podstawowe czynniki wpływające na opór urabiania 378
20.6.3. Model obliczeniowy czerpaka z narożami odlewanymi 379
21. Obliczenia wytrzymałościowe konstrukcji nośnych suwnicy 383
21.1. Suwnica kontenerowa 383
21.1.1. Obciążenia zewnętrzne suwnicy i ich kojarzenia 386
21.1.2. Budowa modelu obliczeniowego suwnicy 388
21.2. Numeryczna identyfikacja stopnia wytężenia konstrukcji nośnej suwnicy 393
21.2.1. Określenie obciążeń zewnętrznych konstrukcji nośnej 394
21.2.2. Model obliczeniowy 396
21.2.3. Obliczenia wytrzymałościowe suwnicy technologicznej 397
22. Zastosowanie metody elementów skończonych w projektowaniu pojazdów samochodowych 401
22.1. Obciążenia zewnętrzne pojazdów 402
22.2. Ustroje nośne pojazdów 406
22.3. Niektóre aspekty numerycznej symulacji testów koła ze stopów lekkich 412
22.4. Analiza termosprężysta tłoka silnika spalinowego 417
22.5. Bezpieczeństwo bierne 424
BIBLIOGRAFIA 433
Od autorów
Powszechne zastosowanie przez inżynierów konstruktorów metody elementów
skończonych (MES) w obliczeniach wytrzymałościowych dowolnych konstrukcji jest
już obecnie faktem. Stało się to możliwe dzięki zaletom tej metody i łatwego jej
zintegrowania z komputerowym wspomaganiem projektowania CAD. Wszystkie liczące
się systemy do CAD posiadają moduły umożliwiające przeprowadzenie obliczeń
wytrzymałościowych MES.
Książka obejmuje podstawy metody elementów w zakresie mechaniki liniowej
i nieliniowej oraz bardzo szczegółowe opisy zastosowania tej metody do celów
praktycznych.
Na podstawie wieloletniego dorobku autorów omówiono zasady wyznaczania
macierzy sztywności i bezwładności wybranych elementów skończonych, które są
najczęściej stosowane w równaniach konstytutywnych mechaniki w ujęciu
komputerowym. Dodatkowo opisano elementy osiowo-symetryczne podając podstawy opisujące
zasady wprowadzania macierzy sztywności takich elementów. Opisano zasady
budowy globalnych macierzy sztywności, bezwładności oraz sposoby rozwiązywania
układów równań. Bardzo szczegółowo omówiono zagadnienia dynamiki, takie jak
wartości własne modelu dyskretnego, uzyskiwanie odpowiedzi na zadane wartości
wymuszeń. Poświęcono wiele miejsca zagadnieniom nieliniowości geometrycznej i
fizycznej, przedstawiono przykłady liczbowe. W zaawansowanej metodzie elementów
skończonych omówiono modelowanie połączeń ruchowych i kontaktowych w budowie
maszyn, tj. połączenia teleskopowe w żurawiach, połączenia stykowe kula-bieżnia.
Wyprowadzono własny oryginalny element skończony do modelowania połączeń
elementów tocznych łożysk. Zwrócono szczególną uwagę na zagadnienia
modelowania konstrukcji poddanych obciążeniom cieplnym. Opisano istotne problemy
wynikające z przeprowadzenia crash-testów dotyczących kabin maszyn roboczych.
Przedstawiono zasady budowy modeli dyskretnych i dobór parametrów całkowania równania
ruchu przy obciążeniach udarowych. Ostatnie trzy rozdziały książki poświęcone są
praktycznym zastosowaniom metody elementów skończonych do obliczeń
wytrzymałościowych konstrukcji nośnych: maszyn podstawowych górnictwa
odkrywkowego, suwnic i żurawi oraz pojazdów samochodowych.
Książka jest przeznaczona dla studentów wyższych uczelni technicznych,
pracowników naukowych, słuchaczy studiów doktoranckich i podyplomowych. Będzie
również przydatna inżynierom konstruktorom jako wprowadzenie do trudnej tematyki
obejmującej zagadnienia nieliniowe z mechaniki oraz zasad modelowania obciążeń
dynamicznych działających na konstrukcje.
9
Dziękujemy wszystkim Koleżankom i Kolegom z Zakładu CAD Instytutu
Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Politechniki Wrocławskiej, którzy pomagali w
przygotowaniu rysunków. Pragniemy również gorąco podziękować Recenzentom za ich
wnikliwe opinie, bez których nie mogłaby powstać książka w prezentowanej postaci.
Autorzy pragną także podziękować całemu zespołowi Oficyny Wydawniczej
Politechniki Wrocławskiej za poniesiony trud i bardzo staranne przygotowanie do druku.
4 października 1999 roku
Eugeniusz Rusiński
1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE
Do połowy lat osiemdziesiątych z metod komputerowych mogły korzystać jedynie
bardzo duże przedsiębiorstwa i to w ograniczonym zakresie stosowania systemów do
komputerowego wspomagania: prac inżynierskich (CAE), projektowania (CAD),
wytwarzania (CAM) czy innych.
W ostatnich latach krąg użytkowników stosujących komputerowe metody oblicze-
niowo-projektowe znacznie się rozszerzył, a stosowanie komputerowego
wspomagania stało się opłacalne nawet dla małych przedsiębiorstw.
Wykorzystanie komputerowego wspomagania w istotnym stopniu skraca czas
potrzebny do uruchomienia produkcji nowego lub zmodernizowanego wyrobu. Stwarza
ono możliwość skrócenia poszczególnych etapów przygotowania nowej konstrukcji
(modernizacji), poczynając od koncepcji, aż do uruchomienia produkcji.
Rozwój komputerowej technologii jest możliwy dzięki numerycznym metodom [91,
154 i 208], na podstawie których opracowano wiele efektywnych systemów. Miejsce
i znaczenie numerycznych metod rozwiązywania zagadnień brzegowo-początkowych
w całokształcie zagadnień mechaniki ciał odkształcalnych przedstawiono na
rysunku 1.1.
W ramach teorii równań konstytutywnych są ustanawiane podstawowe
koncepcje opisu zachowania się poszczególnych klas materiałów dla jednorodnych stanów
deformacji oraz propozycje ich uogólniania na złożone stany deformacji.
Podstawowe postulaty konstytutywne są weryfikowane eksperymentalnie w
standardowych doświadczeniach na jedno-, dwu- lub trójwymiarowych stanach obciążeń
oraz na znacznie trudniejszych do przeprowadzenia badaniach próbek o bardziej
złożonych kształtach poddanych bardziej złożonym obciążeniom.
Formułowanie i rozwiązywanie zagadnień brzegowo-początkowych służy przede
wszystkim do rozwiązywania problemów mechaniki, mających bezpośrednie
znaczenie praktyczne. Obejmują one zagadnienia rozwiązywane zarówno za pomocą metod
analitycznych, jak i metod numerycznych. Ta druga grupa metod stanowi jeden z
zasadniczych nurtów rozwojowych współczesnej mechaniki. Jej związki z pozostałymi
działami mechaniki są bardzo ścisłe.
W procesie projektowania konstrukcji występuje etap rozwiązywania zagadnień
brzegowo-początkowych mechaniki, co wymaga budowy tzw. modelu
obliczeniowego. Przykładem metody umożliwiającej tworzenie efektywnych modeli oblicze-
11
Teoria równań
konstytutywnych
/ X
Badania
doświadczalne
Formułowanie
i rozwiązywanie zagadnień
brzegowo-początkowych
I
Metody numeryczne
MES, MEB ...
Metody analityczne
ł
Rozwiązywane problemy:
■ trójwymiarowe,
■ o zredukowanej liczbie wymiarów,
(płaskie stany, teorie konstrukcji inżynierskich, modele dyskretne),
■ statyka,
■ dynamika,
■ stateczność,
■ optymalizacja,
■ zmęczenie,
■ mechanika pękania.
Rys. 1.1. Metody numeryczne w teorii równań konstytutywnych
niowych jest metoda elementów skończonych, zwana krótko MES (FEM, MK3).
Metoda elementów skończonych jest jedną z wielu metod przybliżonych, które
mogą być stosowane w rozwiązywaniu zagadnień brzegowo-początkowych
mechaniki. Podobieństwo metody elementów skończonych do dwóch innych
najważniejszych metod dyskretnych, tj. metody różnic skończonych (MRS) i metody
elementów brzegowych (MEB, po angielsku: BEM= Boundary Element Method ) zostało
pokazane na rys. 1.2. Sukces metody elementów skończonych, jej tak szerokie
zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i w praktyce, w przeciwieństwie do dwóch
pozostałych metod dyskretnych leży w jej zaletach. Wszystkie trzy metody mają
wspólne to, że prowadzą one do układu równań różniczkowych cząstkowych
(statyki, dynamiki). Aby równania te miały jednoznaczne rozwiązanie, należy uzupełnić
je o warunki brzegowe, jakie muszą być spełnione na brzegu obszaru Q oraz o
warunki początkowe, które określają stan zjawiska w pewnej chwili przyjętej za
początkową.
12
Koncepcja metody elementów skończonych zakłada, że każdą wielkość (np.
odkształcenie, przemieszczenie, naprężenie) opisaną za pomocą funkcji ciągłej
(pierwotnej) w danym obszarze (fragmencie ciągłym modelu fizycznego) aproksymuje się
modelem dyskretnym. Model dyskretny złożony jest ze zbioru funkcji ciągłych w
skończonej liczbie podobszarów, zwanych elementami, na jakie podzielono rozpatrywany
obszar. Poszczególne funkcje ciągłe z podobszarów definiujemy przez wartości
funkcji pierwotnej w skończonej liczbie punktów z wnętrza rozważanego obszaru,
zwanych węzłami. Budowa układu równań różniczkowych dla stopni swobody w węzłach
przebiega po elementach. Niezbędnym warunkiem otrzymania żądanej dokładności
jest przyjęcie funkcji kształtu dostatecznie dokładnie odwzorowujących rzeczywiste
wielkości fizyczne w elemencie. Przy spełnieniu tego warunku i coraz gęstszym
podziale obszaru na elementy otrzymane wartości wyników mogą zbliżać się do
rozwiązania dokładnego. Istota metody różnic skończonych polega na zamianie operatorów
różniczkowych, występujących w równaniach różniczkowych opisujących
zagadnienia brzegowo-początkowe, na odpowiednie operatory różnicowe, określone na
dyskretnym zbiorze punktów. Zbiór tych punktów nazywa się siatką, a jego elementy -
węzłami. Dla tych węzłów (siatki podziału) są wyprowadzane równania, które tworzą
układ równań algebraicznych. Niewiadomymi w tych równaniach są dyskretne
wartości funkcji [252].
Podstawą metody elementów brzegowych są równania całkowe [114]. Tego rodzaju
równania całkowe oblicza się z układu równań różniczkowych lub z zasady rachunku
wariacyjnego, rozwiązanie otrzymuje się poprzez dodanie funkcji wpływowych
(funkcje Greenscha). Jako niewiadome wielkości stanu przy metodzie całki zamkniętej
występują tylko wielkości stanu na brzegach. Przy metodzie tej zagadnienie problemu
wymaga jedynie dyskretyzacji brzegu. Dla każdego punktu węzła po wprowadzeniu
funkcji przewidywanego rozwiązania równania różniczkowego na elementach
brzegowych otrzymuje się równania algebraiczne, które to mają stopnie swobody
wszystkich innych węzłów brzegowych.
W rozwiązywaniu zagadnień brzegowo-początkowych mechaniki między
poszczególnymi metodami występują zasadnicze różnice, i tak:
• W metodzie elementów brzegowych [25, 114] liczba węzłów, a przy tym i stopni
swobody, jest znacznie mniejsza niż w dwóch pozostałych metodach. W efekcie
otrzymuje się w pełni pokrytą, niesymetryczną macierz A (rys. 1.2). Decydującą
wadą metody jest jednak to, że przy dowolnie niejednorodnych strukturach (np.
tarcze o zmiennej grubości) lub przy nieliniowych problemach (np. plastyczność) nie
udaje się przejść do równania całkowego. Zasadnicza zaleta ograniczonej liczby
niewiadomych praktycznie gubi się przy skomplikowanych algorytmach
programów, które są bardziej złożone niż w metodzie elementów skończonych.
13
Zasada wariacji lub
zasada przemieszczeń
wirtualnych
Równania
różniczkowe
iF
Podział obszaru
na elementy
3Ł
Wprowadzenie
regularnej siatki
węzłów na
całym obszarze
3F
Przyjęcie funkcji
kształtu dla
elementu
37
Przyjęcie operatorów
różniczkowych
w odniesieniu
do węzłów siatki
3E
Metoda elementów
skończonych
FEM(MES)
Metoda różnic
skończonych
MRS'
'L
Brzegowe
równania
całkowe
IŁ
Podział brzegu
obszaru na elementy
i wprowadzenie
węzłów brzegowych
3E
m*d
Przyjęcie funkcji
kształtu dla
elementu brzegowego
TF
Metoda elementów
brzegowych
MEB
TT
A=A AM AM'
Rys. 1.2. Związek między metodą elementów skończonych, metodą różnic skończonych
i metodą elementów brzegowych
• Zasadniczą wadą metody różnic skończonych [138] jest to, że trzeba wprowadzać
współrzędne krzywoliniowe, aby móc zamodelować dowolne zaokrąglenie
obszaru. Przy złożonych konstrukcjach nośnych z wieloma wycięciami, usztywnieniami
itp. (rys. 1.3) jest to praktycznie niemożliwe. Uwarunkowany węzłową budową
układ równań stwarza ograniczenie dla złożonych konstrukcji nośnych. Liczba
niewiadomych jest taka sama jak w metodzie elementów skończonych, ale układ
równań jest jednak niesymetryczny, co powoduje dodatkowe utrudnienia.
14
• Metodą elementów skończonych, przez proste geometrycznie elementy skończone,
buduje się modele dyskretne złożonych konstrukcji nośnych z wszelkimi
zaokrągleniami, nieciągłościami i jednofazowością materiału. Nieciągłości nie sprawiają
metodycznych trudności. Mimo elementowego postępowania podczas tworzenia
układu równań, udaje się jednak w końcu dojść do równania opartego na węzłach,
które to równanie odpowiada równaniom różniczkowym.
Rys. 1.3. Model wysuwnego wysięgnika ładowarko-zwałowarki z podziałem na elementy skończone
Z przedstawionego porównania nie wynika, że zastosowanie metody elementów
skończonych ma przewagę w każdym przypadku. Przy bardzo symetrycznej
strukturze, która umożliwia równomierną dyskretyzację, formułowanie zagadnienia metodą
różnic skończonych jest korzystniejsze. Ma to miejsce w przypadku dyskretyzacji
czasu. Zróżnicowanie metod całkowania w przedziale czasowym, które bazują najczęściej
na sformułowaniach różnicowych, są dokładnie zbadane i „aż do detalu"
wypracowane. Tak więc należy się dobrze zastanowić zanim wprowadzi się dyskretyzację
przedziału czasowego na bazie algorytmu elementów skończonych, mimo że sukces ten
miał już miejsce.
Zastosowanie metody elementów brzegowych ma w wielu szczególnych
przypadkach niepodważalne zalety, zwłaszcza w mechanice pękania, gdzie po wprowadzeniu
elementów skończonych można uzyskać dużą liczbę stopni swobody. Dotyczy to
również, przykładowo, problemów kontaktowych elementów (fundament na
elastycznym podłożu), w których podłoże rozprzestrzenia się jako część omawianej struktury,
aż do nieskończoności.
Ciekawie rozwijają się sposoby łączenia podstawowych metod, gdzie w
poszczególnych częściach struktury są stosowane różne metody, umożliwiające optymalizację
obliczeń. Tutaj pojawia się szerokie pole działania dla konstruktorów i naukowców.
2. HISTORIA ROZWOJU METODY
ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
Metoda elementów skończonych powstała pod koniec lat 50. jako metoda
obliczeniowa stosowana w mechanice strukturalnej, przy czym historia jej rozwoju częściowo
sięga daleko w przeszłość. Drzewo genealogiczne powstawania metody elementów
skończonych pokazano na rys. 2.1.
Rys. 2.1. Rozwój metody elementów skończonych
16
Pierwszy korzeń (od lewej) metody elementów skończonych sięga statyki budowli
i obejmuje statykę ustrojów prętowych w zapisie macierzowym.
Drugi korzeń to próby zastąpienia dźwigarów powierzchniowych i ciągłych
trójwymiarowych konstrukcji poprzez ustroje prętowe, aby móc je obliczyć za pomocą
metod statycznych.
Trzeci korzeń to sposób postępowania nazywany direct stifftiess method, który jest
dzisiaj uważany za godzinę narodzin metody elementów skończonych. Tutaj próbuje
się w obrazowy, inżynierski sposób uchwycić konstrukcje nośne, dzieląc je na
skończoną liczbę prostych geometrycznie elementów.
Dwa ostatnie i najsilniejsze korzenie, dzięki którym stało się możliwe, poprzez
zapis matematyczny, opisywanie złożonych problemów za pomocą obliczeń
wariacyjnych elementów. Po pierwsze, chodzi tu o nadające się „miejscowe" przewidywania
rozwiązań równań różniczkowych, a po drugie, o systematyzowanie i rozszerzenie
podstaw.
Statyka budowli jest w rzeczywistości statyką ustrojów prętowych. Została
stworzona w drugiej połowie ostatniego stulecia [136] przez Naviera i Castigliano.
W Niemczech związana jest z nazwiskami Muller-Breslau [128], Mohr [124], Hertwig
i Weingarten. W statyce ustrojów prętowych konkurują ze sobą: metoda określania
wielkości siły, w której jako stopnie swobody są wprowadzane statycznie
nieokreślone siły tnące, i metoda wielkości odkształconych (metoda deformacji), w której
przesunięcia i obroty węzłów służą jako stopnie swobody. Około 1910 roku obie te
metody były na tyle rozwinięte, że mnogość pojawiających się problemów w praktycznych
budowlach w następnych pięćdziesięciu latach można było rozwiązać. Do dzisiaj jest
stosowana w rozwiniętej formie metoda Mullera-Breslaua dla określania wielkości
siły. To samo dotyczy metody wielkości odkształconych, której to podstawy zostały
stworzone przez Mohra, a powiązanie w logiczną całość zawdzięczamy Bendixenowi
(1914) i Ostenfeldowi (1926) [145].
Teoria statyki budowli, zważywszy na jej konsekwentne formalizowanie poprzez
wprowadzenie sposobu zapisywania macierzy, ma obecnie duże szanse rozwoju.
Sposób zapisu macierzy ma służyć utrzymaniu przejrzystości w sytuacji, gdy w analizie
zespolonych konstrukcji ramowych występują układy równań z wieloma stopniami
swobody. Układy równań z dużą liczbą stopni swobody nie były (z więcej niż 10
niewiadomymi) do 1950 roku łatwe do obliczenia, dlatego można było zrezygnować
z wprowadzenia zapisywania macierzy. Także konieczność badania konstrukcji
nośnych, które prowadzą do układów równań z 50 lub więcej stopniami swobody,
pojawiła się najpierw w budowie samolotów. Zaistniała wówczas również możliwość
zastosowania pierwszej elektronicznej maszyny liczącej (komputera). W 1952 roku we
wszystkich państwach uprzemysłowionych nie używano nawet 50 komputerów,
podczas gdy do 1962 roku liczba ta wzrosła do 12000 (z tego 1400 w Europie). Motorem
rozwoju komputerów i metody elementów skończonych był przemysł zbrojeniowy.
Pierwsze próby jasnego i przejrzystego formowania statyki przez wprowadzenie
nowego sposobu zapisywania macierzy i schematyzowanie procesów obliczeniowych
17
podjęto wprawdzie dzięki inżynierom budowlanym, lecz do celów budowy
samolotów. Duże zasługi ma w tym bez wątpienia Argyris [3], który - sam z wykształcenia
inżynier budowlany - przeniósł przejęte ze statyki budowlanej i zastosowane w
przemyśle lotniczym metody do sposobu zapisywania macierzy, przy czym metoda
określania wielkości siły i metoda wielkości odkształconych (metoda deformacji) zostały
przedstawione przeciwstawnie w celu opracowania całkowitego układu.
Gdy w statyce budowlanej, przynajmniej teoretycznie, można było analizować
ustroje prętowe, było już blisko do zastosowania elementów w kształcie prętów do
modelowania powierzchniowych konstrukcji nośnych. Myśl zasadniczą dla tego
rodzaju modelowania można znaleźć w jednej z prac Kirscha (1868). Kirsch rozkłada
trójwymiarową ciągłość w pojedyncze elementy w kształcie prostopadłościanów
i zastępuje każdy z nich regularną, przestrzenną kratownicą (rys. 2.2). Poprzez
odpowiedni wybór poprzecznych przekrojów prętów kratownic zastępczych osiągnięto, że
kratownica zastępcza zachowuje się przeciętnie tak samo jak ciągły, prostopadły
element. W zasadzie pojawia się możliwość przeniesienia kompletnej, w kształcie
prostopadłościanu ciągłości do nieciągłości konstrukcji kratowej. Powstające przy tym
układy równań nie były w XIX wieku możliwe do rozwiązania. Nikt nie sięgnął do
pomysłu Kirscha, praca poszła w zapomnienie.
W 1940 roku pojawił się w USA na nowo pomysł, aby zastąpić tarcze
kratownicami, a płyty rusztami belkowymi. Bardzo szczegółowym dalszym rozwojem
trójkątnych elementów powłokowych zajął się Spierig w 1963 roku. Model Hrennikoffa
został praktycznie zastosowany w programie komputerowym w firmie Daimler-Benz
przez Zimmera.
Przewaga elementów belkowych, cechujących się właściwościami zginania,
rozciągania i skręcania, nad elementami tarczowymi, związana jest z jej plastycznością
i z tym, że przebieg siły tnącej w pojedynczej belce przy zadanych wartościach
końcowych jest jednoznaczny. Odnosi się to również do elementów powierzchniowych
stosowanych do modelowania dźwigarów skrzynkowych, na co w tym miejscu
powinniśmy zwrócić uwagę.
Rys. 2.2. Zastępcze przestrzenne kratownice jako element do modelowania
ciągłych trójwymiarowych konstrukcji
18
W 1929 roku Elbner wprowadził do budowy samolotów blachę poprzeczną jako
właściwy element. Siła poprzeczna w blasze poprzecznej jest stała, inne siły tnące nie
występują odpowiednio według definicji. Konstrukcja nośna z prętów rozciąganych i blach
poprzecznych lub belek i dźwigarów skrzynkowych (jako odpowiedni element dla płyt)
w zasadzie może być traktowana dokładnie tak samo jak zwykłe ustroje prętowe.
Modelowanie powierzchniowych konstrukcji nośnych elementami prętowymi w
ramach modelu Hrennikoffa brzmi trochę sztucznie. Blachy poprzeczne i dźwigary
skrzynkowe są tworami powierzchniowymi, nie można ich w żaden sposób uogólnić
i nadają się tylko do zastosowania w ramach metody określania wielkości siły. Drugi
korzeń z rys. 2.1 nie ma prawie żadnego znaczenia dla rozwoju metody elementów
skończonych. Pierwsza praca, w której element skończony w dzisiejszym zwykłym
pojęciu został przedstawiony, pochodzi z 1956 roku, jej autorami są Turner, Clough,
Martin i Topp [220], nazwano ją „aktem urodzenia" metody elementów skończonych.
Stwierdzono, że zastosowanie rachunku wariacyjnego w metodzie elementów
skończonych (zasada minimum energii potencjalnej) daje szersze zastosowanie
i jest prostsze matematycznie.
Metoda elementów skończonych nie jest niczym innym niż specjalna metoda Rit-
za, [167], w której funkcje przewidywania rozwiązania równania różniczkowego
problemu globalnego muszą spełniać geometryczne warunki brzegowe. W prawie
wszystkich wcześniejszych pojedynczych badaniach wykonywanych na bazie metody
Ritza stosowano funkcje kształtu równania różniczkowego, które to pojawiają się
w całej strukturze. Tego rodzaju funkcje kształtu równania różniczkowego są w całym
rozpatrywanym zakresie dowolnie ciągłe.
Istnieją co najmniej dwie starsze prace, w których zastosowano miejscowo
ograniczone funkcje kształtu równania różniczkowego. W oryginalnej pracy Trefftza z roku
1926, w której to przedstawione jest przeciwieństwo do metody Ritza, jako przykład
jest rozłożony profil skrętny w 4 polach prostokąta. Courant proponował w 1943 roku
[39] zastosowanie elementowych przewidywań rozwiązań równań różniczkowych dla
zadań wibracyjnych (drgań).
Pomysły te nie zostały przez naukowców rozwinięte, ponieważ przy zastosowaniu
ograniczonych funkcji kształtów równań różniczkowych elementów dochodzi się do
układów równań z dużymi liczbami niewiadomych, których dalej nie można rozwiązać
bez komputerów. Kiedy na początku lat 60. urządzenia te stały się dostępne, koncept
rozwoju elementów na bazie rachunku wariacyjnego mógł rozpaść się z powodu
wprowadzenia miejscowo ograniczonych funkcji kształtów równań różniczkowych. Prace
pionierskie
w tym zakresie należą do Argyrisa [4] i Zienkiewicza [251]. Wszelki rozwój w dziedzinie
elementów skończonych od 1960 roku do dzisiaj bazuje na tym pomyśle. Wraz z
rachunkiem wariacyjnym pojawiają się w zakresie mechaniki strukturalnej jeszcze inne
możliwości rozwoju elementów skończonych, które zostały opisane w wielu pracach.
W czterdziestoletniej historii metody elementów skończonych napisano wiele
podręczników i monografii. Ich zestawienie można znaleźć w pracy [95].
19
Pierwsze książki ukazały się w latach 1967 i 1968 autorstwa Przemienieckiego [158]
oraz Zienkiewicza [251], książki o charakterze podręcznym, przedstawiające możliwości
zastosowania metody elementów skończonych. Profesora Zienkiewicza (rys. 2.3) uważa
się za ojca metody elementów skończonych, ponieważ jego prace badawcze przyczyniły
się do jej dynamicznego rozwoju i praktycznego zastosowania w mechanice.
Rys. 2.3. Profesor O. C. Zienkiewicz wygłaszający inauguracyjny wykład na VII Konferencji
„Metody komputerowe w mechanice", Gdynia, 15 maja 1985
Wspaniałym podręcznikiem dla zaawansowanych są prace Bathe'a [9, 10]. Główny
nacisk położony tu został na numeryczny algorytm rozwiązania i na rozwiązania
problemów nieliniowych, przy czym autor sięgnął do swoich bogatych doświadczeń
dotyczących systemu programu ADINA dla nieliniowych, mechanicznie strukturalnych prób.
Rozwój polskiej szkoły metody elementów skończonych zapoczątkował profesor
Szmelter z Wyższej Wojskowej Akademii, który opracował wiele oryginalnych
algorytmów, podstaw do metody elementów skończonych. Ponadto pod jego kierownictwem
został opracowany pierwszy oryginalny system KM-WAT oparty na metodzie elementów
skończonych. Profesor Szmelter wychował wielu znakomitych naukowców, którzy do
dzisiejszego dnia rozwijają tę metodę. Jednym z wychowanków jest profesor M. Kleiber,
światowej sławy uczony, który poprzez swoją aktywność naukowo-badawczą przyczynił
się do dalszego rozwoju MES. Znaczące osiągnięcia w rozwoju metody elementów
skończonych i jej aplikacjach mają profesorowie Dacko, Gutowski, Waszczyszyn i inni.
Należy zdawać sobie sprawę, że przy rozwiązywaniu rzeczywistego problemu za
pomocą metod numerycznych, a w tym przypadku metody elementów skończonych
(rys. 2.4), po drodze występuje wiele „filtrów", które mają decydujący wpływ na
otrzymany wynik z obliczeń.
Rys. 2.4. Filtry przy rozwiązywaniu rzeczywistego problemu za pomocą metody elementów
skończonych
3. PODSTAWY TEORETYCZNE METODY
ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
Sformułowanie koncepcji „elementów skończonych" w wielu pracach przypisuje się
M. J. Turnerowi [220], który wraz ze swoim zespołem badawczym napisał w 1956 r.
pierwszą pracę poświęconą tej metodzie. Rozwój metody MES przypada na lata
sześćdziesiąte, głównie dzięki pracom J. S. Przemienieckiego [158], O. C. Zienkiewicza [251]
i J. H. Argyrisa [3]. Drugim okresem rozwoju MES jest pojawienie się komputerów
osobistych (ang. personal computer - PC) od 1984 r. Pod koniec lat 80. wiele
renomowanych systemów, jak NASTRAN, ABAQUS, NISA, ANSYS, ADINA oraz
COSMOS/M zostało aplikowanych na PC. Umożliwiło to wielu małym firmom
(przedsiębiorstwom) korzystanie z tych systemów w procesie komputerowego
wspomagania projektowania CAD.
Obecny etap rozwoju MES (lata 90.) polega na zintegrowaniu opracowanych
systemów z systemami do modelowania geometrycznego CAD w jedną zamkniętą całość.
Do takich systemów należy między innymi zaliczyć: I-DEAS, Pro/ENGINEER,
CATIA, UNIGRAPHICS. Wielkie systemy CAD są instalowane na stacjach
roboczych („Workstation") oraz w ograniczonej wersji na komputerach osobistych (PC)
z procesorem Intel®Pentium III™ 500 MHz w systemie Windows NT.
Rys. 3.1. Obręcz koła wykonanego ze stopów lekkich: a - model geometryczny ciągły,
b - model dyskretny
22
Sama metoda elementów skończonych nie powstała niezależnie od metod
istniejących. Należy podkreślić, że MES jest metodą konsekwentnego poszukiwania
przybliżonych rozwiązań problemów brzegowych. Cechą zasadniczą metod przybliżonych
jest zastępowanie układu o nieskończonej liczbie stopni swobody układem o liczbie
skończonej (rys. 3.1).
Przy modelowaniu układu rzeczywistego bardzo ważnym etapem jest przejście od
modelu fizycznego lub geometrycznego ciągłego do dyskretnego tak, aby model
dyskretny dostatecznie dokładnie odzwierciedlał zjawiska zachodzące w modelu fizycznym.
3.1. Założenia metody elementów skończonych
Koncepcja MES zakłada, że każdą wielkość (np. przemieszczenie, naprężenie)
opisaną za pomocą funkcji ciągłej (pierwotnej) w danym obszarze (fragmencie
ciągłym modelu fizycznego) aproksymuje się modelem dyskretnym. Model dyskretny
jest złożony ze zbioru funkcji ciągłych określonych w skończonej liczbie podobsza-
rów (rys. 3.2), zwanych elementami, na jakie podzielono rozpatrywany obszar, który
można przedstawić w postaci równania
ITA
Q = ZQ.- (31)
i=\
Poszczególne funkcje ciągłe z podobszarów definiuje się przez wartości funkcji
pierwotnej w skończonej liczbie punktów z wnętrza rozważanego obszaru, zwanych
węzłami. W celu otrzymania modelu dyskretnego należy zatem w ciągłym fragmencie
modelu fizycznego:
a) wyróżnić skończoną liczbę węzłów,
b) określić w węzłach wielkości fizyczne (węzłowe), których wartości się
aproksymuje (np. przemieszczenie, naprężenie),
c) podzielić rozpatrywany obszar na skończoną liczbę elementów (elementy łączą
się ze sobą we wspólnych węzłach, a ich zbiór musi pokrywać cały obszar),
d) aproksymować wielkości fizyczne w każdym elemencie za pomocą funkcji
aproksymujących (np. wielomianów, ciągów, szeregów itp.) przez wielkości węzłowe.
Dla każdego elementu można przyjąć inną funkcję wielomianu, ale wszystkie należy
obierać w taki sposób, aby zachować możliwie dobrą ciągłość między poszczególnymi
funkcjami na brzegach elementów.
23
Rys. 3.2. Obszar ciągły z podziałem na podobszary
Jeżeli w elemencie jest rozpatrywana jedna wielkość fizyczna opisywana funkcją
ciągłą, np. przemieszczenie w kierunku osi z uz(x, y, t), to określa się ją przez
wielkości węzłowe przedstawione na rysunku 3.3 za pomocą związku
IE
i(x,y,z,t)=J^Nn(x,y,z)uZn(t)
n=\
(3.2)
Rys. 3.3. Aproksymacja wielkości fizycznej we wnętrzu elementu skończonego
Powyższe równanie można zapisać w formie macierzowej
24
M=k]fc}
IE - liczba węzłów opisujących element skończony,
[Ne] = [Nj,N2,...,N/b] - macierz funkcji kształtu elementu,
(3.3)
W-
wektor wielkości węzłowych elementu, np. przemieszczeń.
W ogólnym przypadku, w elemencie jest rozpatrywanych jednocześnie kilka
wielkości fizycznych we wszystkich kierunkach osi.
Zastosowana powyżej zasada przemieszczeń wirtualnych dla elementu zapewnia
spełnienie warunków równowagi w granicach zadanych przez przygotowany układ
przemieszczeń. Tylko wtedy równowaga będzie całkowita, gdy zapewni się równość
pracy wirtualnej dla wszystkich dowolnych wariacji przemieszczeń (przy zadanych
warunkach brzegowych).
Zgodnie z metodą Ritza określa się całkowitą energię potencjalną (U) całego układu
U = E+W
(3.4)
jako sumę wariacji energii odkształcenia Ee oraz wariacji energii potencjalnej sił
zewnętrznych W.
W ogólnej postaci całkowita energia potencjalna całego układu przyjmie postać
u = j(d{sf M)dF - [d(K y {r})+ Jd({/f {pW+\Ąfj {q})ds
(3.5)
w
gdzie:
{p} - rozłożone obciążenie od sił masowych,
{q} - obciążenie ciągle,
{R} - siry zewnętrzne,
\Ve j - składowe przemieszczeń węzłowych,
{/} - przemieszczenia dowolnego punktu.
Następnie całkowitą energię potencjalną całego układu poddaje się procesowi
minimalizacji, czyli
dU = d{Es+W) = 0 (3.6)
25
Sprowadza się to do równania
SU
S\v\
SU
svx
su
svn
su
sv„
(3.7)
Niezbędnym warunkiem otrzymania żądanej dokładności jest przyjęcie funkcji
kształtu dostatecznie dokładnie odwzorowujących rzeczywiste wielkości fizyczne w
elemencie. Przy spełnieniu tego warunku i coraz gęstszym podziale obszaru na elementy
otrzymane wartości przemieszczeń (gdy przemieszczenia są wielkościami węzłowymi)
mogą się zbliżać do rozwiązania dokładnego. Zbliżanie to osiąga się wtedy, gdy
funkcje kształtu zapewniają:
a) ciągłość przemieszczeń wewnątrz elementu oraz ich zgodność na granicach
elementów, jest to kryterium zgodności,
b) możliwość opisywania stałych przemieszczeń elementu {u} = const, a więc jego
ruchu jako ciała sztywnego, czyli funkcja kształtu musi być tak dobrana, aby podczas
ruchu elementu jako ciała sztywnego, nie powstawały w nim naprężenia,
c) możliwość opisania stanu stałych odkształceń {s}el = const (a tym samym
naprężeń {o} = const) wewnątrz elementu, występującego przy odpowiednich
przemieszczeniach węzłów, jest to kryterium stałych odkształceń.
Elementy, w których funkcje kształtu spełniają pierwszy z podanych warunków (a)
nazywa się elementami zgodnymi (dostosowanymi), a elementy, które spełniają tylko
warunki drugi i trzeci (b i c) nazywa się elementami zupełnymi (niedostoso-wanymi).
Przyjęcie do dyskretyzacji elementów zgodnych zapewnia zbieżność rozwiązania
modelu dyskretnego od dołu, co pokazano na rysunku 3.4. Przyjęcie do dyskretyzacji
elementów zupełnych również zapewnia zbieżność rozwiązań [91, 103] przy
zwiększaniu dyskretyzacji, z tym że nie można przewidzieć, czy zbieżność do rozwiązania
ścisłego następuje od dołu czy od góry.
W przypadku stosowania elementów zupełnych nie zawsze jest zapewniona mo-
notoniczna zbieżność rozwiązań wraz ze zwiększeniem liczby elementów. Można ją
uzyskać dopiero po spełnieniu warunku ciągłości odkształceń na brzegach elementów.
Jednak nawet przy niespełnieniu tego warunku dokładność rozwiązań jest zazwyczaj
wystarczająca do celów praktycznych.
O tym, czy element jest zgodny, czy zupełny decyduje przyjęta funkcja kształtu
elementu.
26
wiotki element niedostosowany
liczba elementów
(1TA) lub (1P)
Rys. 3.4. Wpływ liczby elementów skończonych na wartość dyskretyzowanej wielkości fizycznej {«}
3.2. Podstawowe równania teorii sprężystości
Teoria sprężystości [31, 74, 214] i teoria plastyczności leżą u podstaw dyscypliny
naukowej zwanej mechaniką, w dziale wytrzymałości materiałów (lub stereomechani-
ką techniczną).
W teorii sprężystości wyróżnia się trzy grupy związków, tj. warunki równowagi,
równania stanu odkształceń oraz związki fizyczne, które mają istotne znaczenie.
3.2.1. Warunki równowagi
Rozpatrzmy zmianę stanu naprężeń wraz ze zmianą położenia punktu. W tym celu
musimy zbadać warunki równowagi prostopadłościanu o bokach Sec, dy, dz, które
27
określają, że rzuty na trzy osie układu współrzędnych wszystkich sił działających na
rozpatrywany element (rys. 3.5) muszą być równe zeru. Bierzemy tu pod uwagę małe
zmiany składowych naprężeń, spowodowane małymi przyrostami współrzędnych Sx,
Sy, Sz. Oznaczamy środki boków elementu przez 1, 2, 3, 4, 5, 6, jak pokazano na
rysunku 3.5. Siły w wydzielonym elemencie oznaczymy, mnożąc naprężenia w środku
ciężkości ściany elementu przez jego powierzchnię. Jeżeli X, Y, Z będą oznaczać
składowe tych sił odniesione do jednostki objętości elementu, to równanie równowagi,
otrzymane przez sumowanie wszystkich sił działających na element w kierunku osi x,
ma postać
[(aJ1-((xx)2]^& + [(^)3-(^)>& +
[{rxz)5-{Txz)6^xSy + XSxSySz = 0
(3.8)
5z
&y^
Z (az)5
(t-J5"^
.. (txz)l /
"> i y+ i
/
s
^__«
(tyz)3
>
(fy)3
y
Sy
t
Rys. 3.5. Nieskończenie mały element, wyodrębniony myślowo z ciała,
na którego ściankach działaj ą naprężenia
W ten sam sposób otrzymamy dwa pozostałe równania równowagi. Po podzieleniu
przez Sx, Sy, dz otrzymuje się zatem następujący układ równań różniczkowych:
Sx
^xy
Sx
Stxz
Sy
+ **>
Sy
, Sry*
Sz
Sr
+ X=0
Sz
Sa.
8x Sy
Sz
zy +7=0
+ z=o
(3.9)
Równania (3.9) muszą być spełnione we wszystkich punktach ciała.
Trzy dalsze warunki równowagi dotyczące momentów prowadzą do następujących
równości:
X = X ' T = x ' T = T
yz zy? zx xz ? xy yx
(3.10)
28
3.2.2. Równania stanu odkształceń
Każdy punkt, którego pierwotne położenie w nieodkształconym ciele określały
współrzędne kartezjańskie x, y i z, po odkształceniu ciała zmienia swe położenie.
Definiuje to wektor współrzędnych węzłowych
Hwęzła =lu^uy,uz,ax,ay,az]T (3.11)
Związek między polem przemieszczeń a polem odkształceń ma postać
M = WH (3.12)
Su,
Sx
Suy
Sy
Suz
Sz
Sux
Sy
Suy
Sz
Suz
= £*
= sy
= zz
Su
+ —-
Sx
Su7
+ —-
Sy
Sur
+ —-
xy
yz
Sx Sz
(3.13)
3.2.3. Związki fizyczne
Korzystając z uogólnionego prawo Hooke'a, wiążącego składowe stanu
odkształcenia ze składowymi stanu naprężenia, otrzymuje się trzecią grupę podstawowych
równań teorii sprężystości w postaci
[O]"1
o-
(3.14)
lub
£x,sv,s^rXy,rvz,r.
xy ' / yz ' / xz
]r=[orw
gdzie [D] jest macierzą sprężystości materiału i dla materiału izotropowego
29
N =
(l + v)(l02v)
V
- v
netria
v 0
v 0
l-v 0
l-2v
2
)
1
0 0
0 0
0 0
0 0
~2v o
2
l-2v
(3.15)
3.3. Funkcje kształtu
Najczęściej stosowanymi funkcjami elementów są wielomiany budowane na podstawie:
- ciągów Pascala,
- wielomianów Lagrange'a,
- wielomianów Hermite' a.
Podstawową zaletą wielomianów jest łatwość przeprowadzania na nich operacji
matematycznych, takich jak dodawanie, różniczkowanie itp. oraz to, że z dostateczną do
celów praktycznych dokładnością można nimi aproksymować złożone przebiegi zmian.
Najprostszą funkcję kształtu elementu, w przypadku zagadnienia
jednowymiarowego (I-D) buduje się zgodnie z jednowymiarowym ciągiem Pascala
1,X,X ,X'
(3.16)
Przykład 1
Typowym zagadnieniem jednowymiarowym jest żyłka w wędce; kiedy wędkarz
złapie rybę, żyłka poddana jest rozciąganiu i pracuje jak cięgno (rys. 3.6).
Rys. 3.6. Schemat ideowy wędki z żyłką, w którym zastosowano element cięgnowy
30
Więzy nałożone na element cięgnowy (rys. 3.6) opisuje wektor przemieszczeń
cięgna w postaci
M„^;] (3,7)
W wydzielonym odcinku cięgna (rys. 3.6), w poszczególnych węzłach
występują przemieszczenia liniowe (rozciąganie) ux. Przyjęto funkcję kształtu określającą
przemieszczenie dla rozpatrywanego odcinka cięgna na podstawie jednowymiarowego
ciągu Pascala w postaci
u(x) = ax + a2x (3.18)
Należy sprawdzić, jakie przyjęta funkcja kształtu (3.18) spełnia warunki dla cięgna.
1. Ciągłość przemieszczeń wewnątrz elementu. Ponieważ funkcja (3.18) jest ciągła
w zamkniętym przedziale, wraz z granicami, czyli
u(x)g[xi,x]) (3.19)
funkcja (3.19) spełnia zatem pierwszy warunek.
2. Możliwość opisania stałych przemieszczeń. Jeżeli współczynnik a\ w równaniu
(3.19) opisuje stałe przemieszczenie dla przypadku gdy a2 = 0, to
u(x) = a1= const (3.20)
Wówczas możliwe staje się opisanie stałym przemieszczeniem elementu, a więc
możliwe jest opisanie jego ruchu jako ciała sztywnego.
3. Możliwość opisania stanu stałych odkształceń. Pochodna cząstkowa po funkcji
przemieszczeń (3.18) ma postać
Su(x)
—\-L = a2= Const (3.21)
Sx
czyli
Su(x)
—— = sx=a2= const (3.22)
óx
Otrzymana własność funkcji (3.18) pozwala na spełnienie warunku stałych
odkształceń w całym elemencie pracy przy odpowiednich przemieszczeniach węzłów.
Wydzielony odcinek cięgna w żurawiu opisany funkcją (3.18) spełnia zatem
wszystkie trzy warunki i zalicza się do elementów zgodnych, ale pod jednym
warunkiem, że żyłka jest wykonana z linki stalowej i odkształca się liniowo w zakresie
prawa Hooke'a. W innym przypadku, jeśli żyłka jest wykonana z tworzywa sztucznego,
to pod obciążeniem w stanie cięgnowym wydłuża się nieliniowo w zakresie
sprężystym. Wówczas przyjęta funkcja kształtu (3.18) dla żyłki wykonanej z tworzywa
31
sztucznego jest zła, ponieważ zakłada, że element cięgnowy na całej swej długości ma
stałe odkształcenie sx = const (3.22). Przyjęcie takiej funkcji kształtu do tej klasy
zagadnień jest błędne i prowadzi do otrzymania fałszywych wyników z obliczeń MES.
Dlatego też dla elementu skończonego żyłki należy przyjąć funkcję kształtu wyższego
rzędu. Można to uzyskać, wprowadzając dodatkowe stopnie swobody w węzłach
(rys. 3.7), opisujących element cięgnowy, w postaci pochodnych u'xj i u'xj.
o
. i i
Rys. 3.7. Element cięgnowy z funkcją kształtu wyższego rzędu
Wektor przemieszczeń węzłowych elementu skończonego (rys. 3.7) dla żyłki ma
postać
W.
(3.23)
Funkcja kształtu dowolnego punktu będzie lAtTakz od wszystkich parametrów
skalarnych w węzłach tego elementu, czyli od 4 parametrów.
: ax 1 + a2x + a3x2 + a4x3
(3.24)
Otrzymaliśmy funkcję kształtu trzeciego rzędu.
Jeżeli wyliczymy odkształcenie dla dowolnego punktu w elemencie cięgnowym
wyższego rzędu, to otrzymamy
■ a2 + a32x + a43x
(3.25)
czyli odkształcenie cięgna w tym przypadku jest opisane równaniem kwadratowym,
co odpowiada zachowaniu się żyłki wędkarskiej.
Z powyższych rozważań wynika, że elementy wyższego rzędu można uzyskać
podwyższając stopień funkcji opisujących przemieszczenia. W tym przypadku
uzyskano to przez zachowanie liczby węzłów przy zwiększeniu liczby parametrów
geometrycznych w węźle (jako parametry przyjmuje się wtedy także pochodne
przemieszczeń).
W przypadku zagadnienia dwuwymiarowego (2-D) stosuje się wielomian
zbudowany na podstawie dwuwymiarowego ciągu zwanego trójkątem Pascala:
32
1
x y
x2 xy y2
3 2 2 3
x xy xy y
4 3 2 2 3 4
x x y x y xy y
4 3 2 2 3 4 5
xy xy xy xy y
- funkcje stałe
- funkcje liniowe
- funkcje kwadratowe
- funkcje sześcienne
- funkcje do czwartej
- funkcje do piątej
1
3
6
10
15
21
(3.26)
Należy przy tym zwrócić uwagę, aby wielomiany nie zawierały składników
uprzywilejowanych, czyli aby były geometrycznie izotropowe.
Przykład 2
f(x, y) = a1+ a2x + a3y + a4xy + a5x2
f(x, y) = a1+ a2x + a3y + a4xy + a5 [x2 + y2
(źle)
(dobrze)
(3.27)
Rozpatrzmy element o kształcie trójkątnym (rys. 3.8), który opisany jest węzłami
wierzchołkowymi i ma dwa stopnie swobody w węźle
Wektor przemieszczeń węzłowych tego elementu opisany jest wektorem przemieszczeń
r ~\T
{V}Te = u^^,11^,11^,11^,11^ (3.28)
Element trójkątny ma 6 parametrów węzłowych, jego funkcja kształtu opisująca
dowolny punktu przyjmuje postać
x =all + a2x + a3y
= a4\ + a5x + a6y
(3.29)
Do opisu każdej ze składowych przemieszczeń należy użyć z trójkąta Pascala
trzech parametrów.
Należy sprawdzić, czy element jest zgodny (dostosowany) i jakie spełnia kryteria.
Rys. 3.8. Trójkąt Couranta
33
Jeśli chodzi o zgodność przemieszczeń w węzłach, to ten warunek jest spełniony,
gdyż
uxiuy{x,y)e{x,y) (3-3°)
W przypadku drugiego kryterium funkcja kształtu (3.29) zapewnia możliwość
opisania stałych przemieszczeń elementu, a więc jego ruch jako ciała sztywnego dla
a2,a3 =0 i a5,a6 =0
(3.31)
ux=al= const
u = aĄ = const
Trzeci warunek zapewniający możliwość stałych odkształceń {f}COnst
Ex = *±iSy=^ (3.32)
dx dy
sr=a7 = const „ , ,
. dla(x,>>)
s =a6 = const \ ,Ji
Nasz element spełnia warunek stałych odkształceń, dając dla zmiennych (x,y)
zawsze w całym elemencie wartość stałą.
Rozpatrywany element jest elementem niedostosowanym. Ponieważ składowe
przemieszczeń wzdłuż brzegów zmieniają się według funkcji liniowej, a ich pochodne
są stałe, więc nie jest zapewniona ciągłość przemieszczeń na styku krawędzi elementu,
ponieważ na krawędzi mamy tylko dwa parametry związane z poszczególnymi
składowymi. Dlatego też należy wprowadzić dodatkowe węzły na krawędziach elementu
(rys. 3.9).
W tym przypadku funkcja kształtu będzie zależała od 12 parametrów węzłowych
tego elementu.
ux (x, y) = al\ + a2x + a3y + a4x2 +a5xy + a6y2
uy (x, y) = a71 + agx + a9y + awx2 +auxy + auy2
W zapisie macierzowym przyjmie postać
1 x y x2 xy y2 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 x y x2 xy y2
(3.33)
la] (3.34)
34
Rys. 3.9. Trójkątny element skończony z funkcj ą kształtu kwadratową
Dotychczas omówione elementy tarczowe należą do najprostszych. Założenie liniowej
zmienności składowych pola przemieszczeń implikuje stałość odkształceń i naprężeń
w obszarze elementu. Zachowana jest zgodność przemieszczeń między elementami, brak
jest natomiast zgodności odkształceń (naprężeń), jak pokazano na rys. 6.5. Pokazany
fragment wykresu przemieszczeń i odkształceń (naprężeń) wzdłuż przekroju elementów
prostokątnych opisanych czterema węzłami po dwa stopnie swobody uxiuyw węźle
pokazuje rys. 6.5a. Widać, że w obszarach koncentracji naprężeń przy dużych gradientach
zbliżenie się wykresu schodkowego do rzeczywistego wymaga gęstego podziału na
elementy skończone. Wynika to z faktu, że prostokątny element skończony (rys. 3.10)
opisany czterema węzłami ma niższego rzędu funkcję kształtu w postaci, według trójkąta
Pascala.
Rys. 3.10. Prostokątny element tarczowy opisany czterema węzłami
Funkcja kształtu powinna być geometrycznie izotropowa.
35
ux = al\ + a2x + a3y + a4xy
uyA = a5\ + a6x + a1y + aixy
Jest to funkcja kształtu liniowa, która w zapisie macierzowym ma postać
{«L=[N]{«}
gdzie:
[N] =
1 x y xy 0 0 0 0
0 0 0 0 1 x y xy
(3.35)
(3.36)
(3.37)
Jeśli wykonamy pierwszą pochodną, aby otrzymać odkształcenie
dux
A dx
du
(3.38)
yA
yA
dy
■■ a-.
to widzimy, że odkształcenia s i ey są stałe wzdłuż swojej osi przy stałej wartości
x lub y (jak przedstawiono na rys. 6.5a).
Wiarygodny rozkład odkształceń (naprężeń) można otrzymać, stosując elementy
wyższego rzędu do opisu pola przemieszczeń w elemencie prostokątnym funkcję
drugiego stopnia. Aby było można zastosować funkcję drugiego stopnia w tym elemencie
mamy dwie możliwości:
- zwiększyć w węzłach elementu liczbę współrzędnych uogólnionych, np.
wprowadzić pierwsze pochodne,
- zwiększyć liczbę węzłów opisujących element skończony.
Przeanalizujmy drugi wariant. Zwiększamy liczbę węzłów opisujących element
dwukrotne, jak pokazano na rys. 3.11.
Rys. 3.11. Prostokątny element tarczowy wyższego rzędu
Wówczas dla tak opisanego elementu skończonego (rys. 3.11) funkcja kształtu
przyjmie postać
36
yA
- ax 1 + a2x + a3y + a4x2 + a5xy + «6iy2 + a7x2y + a%xy2
-- a9\ + awx + auy + anx2 +auxy + auy2 + al5x2 y + al6xy2
(3.39)
Na podstawie układu równań (3.39) można stwierdzić, że funkcja kształtu dla
prostokątnego elementu tarczowego, opisanego ośmioma węzłami, jest trzeciego stopnia,
która w zapisie macierzowym ma postać
1
x y x2 xy y2 x2y xy2 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0
1
2 2 2 2
x y x xy y x y xy
a
(3.40)
W elementach wyższego rzędu odkształcenia (naprężenia) są opisywane funkcjami
liniowymi lub kwadratowymi, dla elementu o ośmiu węzłach odkształcania będą się
zmieniać liniowo (rys. 5b)
"0 1 0 2x y 0 2xy y2 0 0 0 0 0 0 0 0
0000 000 0 0010x2><x22x><
W zagadnieniach trójwymiarowych funkcje kształtu dla elementów skończonych
dobieramy na podstawie trójwymiarowego ciągu Pascala:
yA
a
(3.41)
37
funkcja siała
funkcja liniowa
liczba
wyrazów
1
4
xy
'yz
funkcja kwadratowa 10
^35
xy-
yzz
[y
lub
Rys. 3.12. Trójwymiarowy ciąg Pascala
Przykład 3
Podać 7 stałych dla zagadnienia trójwymiarowego
f(x, y,z) = oc1+a2x + a3y + a4z + a5x2 + a6y2 + a7z2
f(x, y,z) = al+a2x + a3y + a4z + a5xy + a6yz + a7xz
funkcja ,„
sześcienna
,z4
funkcja
do czwartej 34
potęgi
Druga grupa funkcji to wielomiany Lagrange'a, które są bardzo przydatne w analizie
dynamicznej konstrukcji.
Dla zagadnienia jednowymiarowego wielomian aproksymujący przyjmuje postać
u(x) = YjL1(x)u1
gdzie Li[x) są wielomianami Lagrange'a określanymi zależnością
(3.42)
38
Lt(x)=Yl ~ (3-43)
7=1 '
Z równań (3.42) i (3.43) wynika, że funkcje kształtu elementu są równe
wielomianom Lagrange' a
N1(x) = L1{x) (3.44)
W przypadku zagadnień dwuwymiarowych wielomian aproksymujący ma postać
IE
u{x,y)=Y.L^x>y)ui (3-45)
7=1
gdzie wielomian Lagrange'a, odpowiadający z-temu węzłowi o współrzędnych xt i yu
oblicza się według zależności
L1{x,y) = Ljx)L(y) (3.46)
przy czym
IE* x-x
LXi = U^^ (3.47)
j'=i ' i
IEV
Ly, = Ff^^ (3-48)
m y*-yj
yi*yj
W równaniach (3.47) i (3.48) przedstawiono wielomiany Lagrange'a dla linii
prowadzonych przez węzeł i{xu yi) oraz jednocześnie równoległych do osi x i y, gdzie:
IEX - liczba węzłów wzdłuż brzegu elementu równoległego do osi x, jeśli taki istnieje,
IEy - liczba węzłów wzdłuż brzegu elementu równoległego do osi y, jeśli taki istnieje.
Jeżeli rozwiązuje się zagadnienia trójwymiarowe i będzie wykorzystany element
prostopadłościenny, to wielomian aproksymujący ma postać równania
IE
u{x,y,z) = YJLl{x,y,z)ul (3.49)
7=1
w którym wielomian Lagrange'a z-tego węzła o współrzędnych xu yt i z* oblicza się za
pomocą wzoru
L1{x,y,z) = LXi(x)Lyi(y)LZi{z) (3.50)
w którym
IE* x-x,
1 X: -X-
7=1 ' J
39
h
K
IEV
m yt-yj
yt*yj
-rt '
, Z- — Z -
(3.51)
są wielomianami Lagrange'a dla płaszczyzn przechodzących przez węzeł i(xu yu z,)
oraz równoległych do osi x,y\z.
Aproksymację wielomianami Hermite'a stosuje się w przypadkach, gdy
wielkościami węzłowymi sanie tylko na przykład przemieszczenia, lecz także ich pochodne.
Dla elementu jednowymiarowego wielomian Hermite'a oznacza się symbolem
H"m{x) (3.52)
Jest on wielomianem stopnia 2« + 1, który dla x = xt spełnia warunki
dm
\H) = 1, dla n = m i m = 0,l,...
dx
d'
dx'
(H) = 0, dianem,
X = X:
gdzie:
n - rząd wielomianu,
m - rząd pochodnej,
z - numer węzła.
Szczegółowy opis funkcji kształtu opartych na wielomianach Hermite'a
przedstawiono w pracach [225], [252].
3.4. Klasyfikacja elementów skończonych
Obecnie, gdy metoda elementów skończonych jest powszechnie stosowana,
istnieje bardzo dużo różnych typów elementów skończonych i w dalszym ciągu
wprowadzane są nowe. System COSMOS/M ma ponad 200 różnego rodzaju elementów
skończonych i ciągle w nowych wersjach tego systemu wprowadzane są nowe.
Poszczególne typy elementów skończonych charakteryzuje cały zespół cech. Ze
względu na dużą liczbę tych cech, poszczególnym typom elementów skończonych
nadaje się czasami niewiele mówiące nazwy. W tej sytuacji dopiero nazwa i dołączony do
niej zespół cech pozwala określić właściwości danego typu elementu skończonego.
W celu określenia typu elementu skończonego wprowadzamy kryteria pozwalające
określić jego cechy. Do podstawowych kryteriów zaliczamy:
40
a) wymiar elementu: jednowymiarowy (I-D), dwuwymiarowy (2-D),
trójwymiarowy (3-D),
b) kształt geometryczny,
c) typ i stopień wielomianu przyjętej funkcji kształtu,
d) liczbę węzłów w elemencie,
e) więzy ogólne nałożone na element.
Ze względu na wymiar, elementy dzielimy na jednowymiarowe, dwuwymiarowe
oraz trójwymiarowe, a przykładowe ich schematy zostały pokazane na rys. 3.13.
M^
Rys. 3.13. Schematy ideowe elementów skończonych: I-D, 2-D, 3-D
Ze względu na kształt geometryczny rozróżniamy następujące elementy skończone:
^
O
punktowe
odcinkowe
trójkątne
41
czworokątne
wielokątne
czterościenne
/
pięcioscienne
ć-
/
prostopadłościenne
osiowo symetryczne
W niektórych przypadkach, gdy odwzorowujemy obszar z brzegami
zakrzywionymi, zamiast dużej liczby elementów podstawowych, ograniczonych liniami
prostymi lub płaszczyznami, stosujemy elementy o konturach zakrzywionych (elementy
izoparametryczne).
42
Dla ułatwienia opisu elementów zakrzywionych transformujemy ich geometrię do
geometrii elementów podstawowych. Ze względu na sposób opisu geometrii
elementów zakrzywionych i sposób opisu w nich pola przemieszczeń wyróżniamy 3 klasy
elementów zakrzywionych:
- izoparametryczne (rys. 3.14a),
- superparametryczne (rys. 3.146),
- subparametryczne (rys. 3.14c).
W przypadku elementów izoparametrycznych, najczęściej geometria i pole
odkształceń są opisane tymi samymi funkcjami kształtu. Jeżeli do opisu geometrii
zastosujemy więcej węzłów niż do opisu pola odkształceń, to element nazywamy superpa-
rametrycznym. Jeśli natomiast zastosujemy więcej węzłów do opisu pola odkształceń
niż do opisu geometrii, to element nazywamy subparametrycznym.
Elementy izoparametryczne stosuje się w dwóch przypadkach:
- opisanie niemego kształtu geometrycznego rzeczywistej konstrukcji (rys. 3.15),
- w celu zbliżenia się do rozwiązania ścisłego (rys. 3.16) poprzez zastosowanie
funkcji kształtu wyższego rzędu.
Ze względu na typ i stopień wielomianu przyjętej funkcji kształtu elementy
dzielimy na:
- liniowe,
- kwadratowe,
- sześcienne,
- «-tego stopnia.
Elementy liniowe to takie elementy, w których funkcja kształtu jest stopnia
pierwszego. Oznacza to, że aproksymacja wewnątrz elementu wielkości zależy liniowo od
współrzędnych rozpatrywanego punktu:
a) dla elementu jednowymiarowego
f(x) = al +a2x
b) dla elementu dwuwymiarowego
f(x,y) = al +a2x + a3y
43
Rys. 3.14. Elementy skończone wyższego rzędu: a - izoparametryczne, b - superparametryczne,
c - subparametryczne (• «- węzły użyte do opisu pola odkształceń, • •- węzły użyte do opisu
geometrii elementów)
Rys. 3.15. Przykłady elementów podstawowych i otrzymanych na ich podstawie elementów zakrzywionych
44
Elementy kwadratowe to takie elementy, w których funkcja kształtu jest
wielomianem drugiego stopnia. Przykładowo dla elementu jednowymiarowego
/(*) =
2
a, +anx + a^x
*2
(3.53)
W niektórych elementach przyjmujemy wielomiany aproksymujące różnych stopni
dla różnych wielkości rozważanych w elemencie lub w zależności od kierunku
współrzędnej. Przykładem takiego elementu, w którym stopień wielomianu zależy od
rozpatrywanej wielkości, jest element belkowy.
Przykład 4
funkcja liniowa
f(x) = aj + a2x
funkcja kwadratowa
f(x) = aj + a2x + a3x
funkcja liniowa
f(x,yj = flj + a2x + a3y
funkcja kwadratowa
f{x,y) = «j + a2x + a3y + aĄx + a5y + a6xy
Rys. 3.16. Zastosowanie elementów z kwadratową funkcją kształtu: a - elementy jednowymiarowe,
b - elementy dwuwymiarowe
Ze względu na liczbę węzłów, elementy można dzielić na dwu-, trój-, i więcej
węzłowe. Oprócz węzłów podstawowych leżących w wierzchołkach elementu (rys. 3.17a),
mogą być węzły na krawędziach (rys. 3.176) lub wewnątrz elementu (rys. 3.17c).
Rys. 3.17. Węzły opisujące: a -wierzchołki elementu, b - krawędzie elementu,
c - leżące wewnątrz elementu
45
Liczba węzłów elementu jest związana ze stopniem wielomianu funkcji aproksymacji.
Ze względu na to, że wielkość aproksymowaną należy uzależnić jednoznacznie od
parametrów węzłowych elementu, należy obrać taką liczbę węzłów w elemencie, aby liczba
stałych wielomianu była na przykład równa liczbie parametrów węzłowych.
Przez więzy ogólnie nałożone na element skończony rozumiemy odebranie
możliwości przemieszczeń w pewnych kierunkach punktom należącym do tego elementu.
Wówczas w elemencie powstaje pole odkształceń i naprężeń. Ogólnie w przestrzeni
w węźle elementu występuje sześć stopni swobody, które pokazano na rys. 3.18.
Rys. 3.18. Stopnie swobody w węźle elementu
Wyróżniamy następujące elementy:
- prętowe 2-D, 3-D {ux,uy,u2},
- belkowe 2-D, 3-D {u^u^u^oL^Oy,^},
- cienkościenna belka 3-D {ux,uy,uz,x,ax,ay,az},
- tarczowe {ux,uy,az},
- membranowe {ux,uy},
- płytowe {uz,ax,ay} lub {u^a^a^a^},
- powłokowe {u^u^u^cZcOy,^},
- bryłowe {ux,uy,uz}lub {u^u^u^^Oy,^},
- specjalne, niektóre z nich zamieszczono w tab. 3.1.
Założenia dla elementu skończonego:
- stałe charakterystyki materiałowe
E,G,v = const
- stałe charakterystyki geometryczne
t,L,I^L = const
Uwaga!!! Mogą być też zmienne tJ^L ^ const
Ponadto wyróżniamy inne elementy skończone, których cechy nie zostały ujęte
w przedstawionej klasyfikacji. Do takich elementów zaliczamy:
46
- sztywne elementy skończone,
- elementy sprężysto-tłumiące,
- elementy czasoprzestrzenne,
- elementy brzegowe.
W ujęciu metody elementów czasoprzestrzennych wymiar czasu traktowany jest
w sposób identyczny, jak pozostałe wymiary przestrzeni - mechaniki ciała stałego.
Tabela 3.1. Rodzaje przykładowych specjalnych elementów skończonych
Nazwa typu elementu
Rigid Bar
Pipę 2D&3D
Boundary
Rlbow
Mass
Spring
General Stiffness
Schemat ideowy
/
•Wv
~^
•
•wv
[ ]
/
/
<
»
^
(~~
•
^
[ ]
47
Tabela 3.1. c.d. Rodzaje przykładowych specjalnych elementów skończonych
Nazwa typu elementu
Fluid
Crack
2D Piane Stress
2D Piane Strain
Axisvmmetric Solid
Axisymmetric Shell
2D Thin Shell
2DThick Shell
Composite Shell
Schemat ideowy
&
A
v
A
a
a
A
a
a
Rys. 3.19. Przypadek ogólny z sześcioma możliwymi przemieszczeniami w węzłach elementów skończonych
4. PODSTAWOWE POJĘCIA HIPOTEZ
WYTĘŻENIOWYCH
W poddanych obciążeniom konstrukcjach inżynierskich zastosowane materiały
muszą zapewnić warunek dostatecznej wytrzymałości (nośności). Teorie sprężystości i
plastyczności, wychodząc z przyjętego założenia ciągłości materiału (continuum),
wprowadzają pojęcia stanu naprężenia i stanu odkształcenia, określające dla każdego
punktu ciała, siłowe i odkształceniowe skutki działania obciążenia. Mimo to,
wyznaczenie w sposób mniej lub bardziej ścisły naprężeń (odkształceń) w ciele, nie pozwala
bezpośrednio ocenić stanu fizycznego materiału, a zwłaszcza niebezpieczeństwa
pojawienia się odkształceń trwałych (przekraczających granicę sprężystości) lub
powodujących utratę spójności tj. wystąpienia tzw. złomu poza granicą wytrzymałości. Miarę
ogółu zmian w stanie fizycznym ciała, w odniesieniu do stanu prowadzącego do
powstania trwałych odkształceń i zniszczenia spójności określa się jako wytężenie W.
Rys. 4.1. Powierzchnie graniczne wytężenia
48
Składowe stanu naprężenia <ru a2, <r3 traktuje się jako współrzędne punktu
w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych Oxyz (rys. 4.1). W układzie
tym każdemu stanowi naprężenia odpowiada punkt o współrzędnych <ju <j2, 05. Jeżeli
założy się ciągłość związków zachodzących między wytężeniem a stanem naprężenia,
to trzeba przyjąć, że punkty odpowiadające stałej wartości wytężenia W tworzą
powierzchnie ciągłe. Wytężeniu na granicy plastyczności WP odpowiada powierzchnia
graniczna KP, a wytężeniu na granicy wytrzymałości Wz - powierzchnia graniczna Kz.
W praktyce inżynierskiej wygodniejszym do oceny stanu naprężenia konstrukcji są
naprężenia zredukowane crred (naprężenia zastępcze az), które zależą od zmiennych:
Naprężenie zredukowane crz jest to wielkość charakteryzująca dany stan naprężenia
pod względem wytężenia materiału (konstrukcji).
Naprężenie zredukowane nie zależy od przyjętego układu współrzędnych i jest
funkcją wyłącznie niezmienników tensora naprężeń.
Aby wyznaczyć współczynnik bezpieczeństwa w przestrzennym stanie naprężenia
należy wyznaczyć az i porównać je z odpowiednim naprężeniem niebezpiecznym np.
Re dla jednoosiowego stanu naprężenia (rozciągania). Ogólny warunek
wytrzymałościowy można wyrazić w postaci wzoru:
n
az<adop=^- (4.2)
n
gdzie:
adop - dopuszczalna wartość naprężenia w jednoosiowym rozciąganiu,
n - współczynnik bezpieczeństwa w trójosiowym stanie naprężenia,
Re - początek umownej granicy plastyczności.
W zagadnieniach brzegowo-początkowych trój osiowy stan naprężeń, otrzymany
z obliczeń wytrzymałościowych, np. MES, redukowany jest do naprężeń
zredukowanych az, które można porównywać z naprężeniami dla jednoosiowego rozciągania.
Redukcji tej można dokonać za pomocą wielu istniejących hipotez, dlatego
systemy oparte na metodach numerycznych (MES, MEB, MRS i inne) mają w swoich
bibliotekach algorytmy do obliczeń naprężeń zredukowanych według najczęściej
stosowanych hipotez wytężenia. W przypadku systemu COSMOS/M ma on możliwość
obliczania naprężeń zredukowanych według dziesięciu hipotez wytężeniowych oraz
możliwość zdefiniowania własnej oryginalnej hipotezy.
Poszczególne hipotezy można stosować do materiałów ciągliwych (hipoteza
maksymalnych odkształceń postaciowych Hubera-Misesa-Hencky'ego) lub piastyczno-
kruchych (hipoteza największego odkształcenia głównego, hipoteza Druckera-
Pragera), niektóre te bardziej złożone (hipoteza Burzyńskiego) zarówno do materiałów
49
ciągliwych, jak
i do materiałów plastyczno-kruchych.
4.1. Hipoteza największych naprężeń stycznych
Tresca w 1872 roku i później Guest (1900) rozwinęli hipotezę największego
naprężenia stycznego Coulomba, która dotyczy granicy sprężystości i wytrzymałości,
a została sformułowana jako tzw. warunek plastyczności. Zakłada ona, że miarą
wytężenia materiału jest największe naprężenie styczne rmax.
Największe naprężenie styczne w dowolnym stanie naprężenia wynosi
crz =max(|cr1 -a2\,\a2 -a3\,\a3 -a^) (4.3)
lub
_ max min o/-r- sr- ^- (A A\
rmax = z , a crz - crmax - <rmm (4.4)
W hipotezie tej powierzchnię graniczną stanowią boki graniastosłupa sześciobocz-
nego o osi jednakowo nachylonej do osi <j\, a2, <73 (rys. 4.2). Dla płaskiego stanu
naprężenia <Ti ^ 0, a2 * 0, a <r3 = 0 wyznacza sześć prostych tworzących kontur
graniczny w postaci sześciokąta.
50
Rys. 4.2. Powierzchnia graniczna graniastosłupa sześciobocznego
w hipotezie największych naprężeń stycznych
Jeśli płaski stan naprężenia jest określony przez składowe ax, ay, r^, to naprężenia
zredukowane mają postać
dla
(Jx(Jy < Txy
o\
■■<l(°x-ay}
+ 4rl
(4.5)
(4.6)
dla
<Jx<Jy > Txy
(4.7)
^ =±t(^x +^)+tA/((7x -ayJ + 4^
(4.8)
Hipotezę tą można stosować do materiałów spełniających warunek symetrii
wytężenia, taki że ar = -as.
51
4.2. Hipoteza energetyczna
W 1904 roku profesor Maksymilian Tytus Huber (1872-1950), światowej sławy
polski uczony z Politechniki Lwowskiej, opublikował hipotezę energetyczną, w która za
miarę wytężenia przyjął energię właściwą odkształcenia postaciowego. Niezależnie
hipoteza ta została opublikowana w tej postaci przez Misesa w 1913 roku oraz w 1924 roku
przez Hencky'ego.
Z energii właściwej odkształcenia, będącej wielkością decydującą o wytężeniu
materiału, otrzymuje się zależność na naprężenia zredukowane
CTz=-^^(crx-ay} +(ay-az} + {az-axf +6^ + ^ + ^) (4.9)
lub
°z = ^l + °l + °] ~ °*°y - °y°z ~ °z°* + AT% + T% + Tl) (4-10)
Dla płaskiego stanu naprężenia, gdzie: <jx, ay, t^ * 0, a (Jz,Tyz,rzx = 0
Gz=]al^a2y-GxGy^xl (4.11)
W praktyce inżynierskiej naprężenia zredukowane opisywane są zależnością
az=ja2+3r2 (4.12)
gdy: ax= a^Oi rxy= t=0 oraz ay = xyx= rzx = 0.
W przypadku ścinania równanie (4.12) ma postać
<7z=V3r (4.13)
W hipotezie użyto pojęcia energii sprężystej, ale we wzorach na az brak jest
wielkości stałych sprężystości, a wytężenie jest wyłącznie funkcją składowych stanu
naprężenia.
Hipoteza energetyczna znalazła zastosowanie w teorii plastyczności jako
podstawowe prawo plastyczności materiału
*,=*,*= Re (414)
Hipoteza ta, zastosowana do granicy wytrzymałości, daje w przypadku złomu
poślizgowego wyniki dobrze pokrywające się z wynikami doświadczeń
eksperymentalnych. Powierzchnię graniczną w tej hipotezie tworzy walec kołowy (rys. 4.3) o osi
jednakowo nachylonej do osi układu <T\, <t2, a3 o promieniu koła
52
r=Jr-
(4.15)
i
<&. a2
^%
%/
/ X
M /
/^—-^
~/
\ 7
CTZr
L ^^.
CT1
Rys. 4.3. Powierzchnia graniczna w postaci walca
Rys. 4.4. Kontury graniczne w płaskim stanie
naprężenia
W płaskim stanie naprężenia w układzie osi <J\, er2 otrzymuje się jako kontur
graniczny elipsę (rys. 4.4) opisaną na konturze granicznym zaznaczonym linią
przerywaną na rysunku według hipotezy największych naprężeń stycznych.
4.3. Hipoteza największego średniego naprężenia stycznego
Hipoteza ogólnie największego średniego naprężenia stycznego łączy własności
hipotezy Hubera-Misesa-Hencky'ego i hipotezy największego naprężenia stycznego
7max w jedno kryterium plastyczności. Przy stosowaniu tej hipotezy naprężenia są
podnoszone do potęgi będącej rzeczy wista liczbą dodatnią. Teza tej hipotezy brzmi:
Suma podniesionych do rzeczywistej potęgi dodatniej głównych naprężeń
stycznych nie może przekroczyć określonej wartości granicznej, co matematycznie można
przedstawić za pomocą wzoru
z=l
= const
(4.16)
Wzór na naprężenie zredukowane przyjmuje postać
53
li I //II a\
o"z =^lPi-o"2| +P2-o"3| + |ct3 - o-! I j (4.17)
Poprzez wariację wykładnika naprężeń n otrzymuje się różne granice plastyczności.
Dla n = 2 i n = 4 otrzymuje się znanąz hipotezy Misesa granicę plastyczności tf = R//3.
Dla n = 1 i n = x otrzymuje się hipotezę Treski Tf = R//2.
Stosunek granicy wytrzymałości na rozciąganie do granicy plastyczności na
ścinanie jest określony wzorem
^ = a/i + 2""1 (4.18)
Tf
Największą wytrzymałość na ścinanie uzyskuje się dla wykładnika n = 2,76695.
Stanowi ona 58,52% granicy plastyczności i jest o około 1,4% wyższa niż wartość
uzyskana według hipotezy Misesa. Należy więc przyjąć, że wytrzymałość na ścinanie
leży między 50% a 58,52% granicy plastyczności.
4.4. Hipoteza największych naprężeń rozciągających
i największych naprężeń głównych
Hipoteza największych naprężeń rozciągających jest najprostszą i najstarszą
hipotezą wytrzymałościową. Galileusz (1638), Leibniz (1648), Navier (1826), Lamę
(1833) i Rankine (1861) stosowali tę hipotezę w swoich obliczeniach. Według niej za
pęknięcie (zniszczenie) materiału odpowiedzialne jest największe występujące
naprężenie główne
oz = max(cr1, cr2, cr3) (4.19)
Według tej hipotezy w powierzchni naprężeń jest wycięty otwarty sektor,
odpowiadający trójosiowo ujemnej jednej ósmej przestrzeni naprężeń. Z definicji hipotezy
naprężeń normalnych wynika, że przez powierzchnię graniczną, tylko raz przechodzi
oś naprężeń głównych (Q. Oznacza to, że jednokierunkowy, zredukowany nacisk nie
może prowadzić do zniszczenia materiału.
Drugie sformułowanie tej hipotezy: hipoteza największych naprężeń głównych
(największych naprężeń normalnych) poprawia ten błąd i ogranicza naprężenia wzdłuż
osi ściskania poprzez zastosowanie wartości bezwzględnej naprężeń
<xz =max(|<T1|,|<T2|,|a-3|) (4.20)
54
W tym przypadku wychodzi się z założenia, że wytrzymałość na ściskanie i
wytrzymałość na rozciąganie materiału są takie same, czyli rozpatruje się ich wartości
bezwzględne. Materiały mają na ogół jednak większą wytrzymałość na ściskanie niż
na rozciąganie. Z tego powodu istnieje trzecia modyfikacja hipotezy naprężeń
normalnych, przy której jest przyjęty określony stosunek między wytrzymałością na
ściskanie i rozciąganie.
4.5. Hipoteza największego odkształcenia głównego
Jako drugie kryterium przełomu (złomu) materiału rozwinęła się hipoteza
największego odkształcenia głównego (największego rozciągania). Według tej hipotezy za
kryterium zniszczenia uważane jest największe występujące wydłużenie g^. Zgodnie
z prawem Hooka wydłużenia są przeliczane na naprężenia według wzoru
az = max[<r1 -v(a2 + a3),a2 -yfo + ct3),<t3 -v(cj-1 + <r2)] (4.21)
przy czym vjest współczynnikiem Poissona materiału. Zwolennikami tej hipotezy
byli między innymi Mariotte (1686), Navier (1826), Saint-Venant (1837), Poncelet
(1839)iGrashof(1878).
Według tej hipotezy w przestrzeni naprężeń pojawia się powierzchnia graniczna
największego rozciągania, a w zakresie ściskania w postaci powierzchni ostrosłupa,
którego powierzchnia główna jest trójkątem równobocznym. W przeciwieństwie do
hipotezy największych naprężeń głównych hipoteza największego odkształcenia
głównego nie dopuszcza nieskończenie dużej wytrzymałości na ściskanie (przy stałej
wytrzymałości na rozciąganie). Ograniczenie hydrostatycznego rozciągania i
równoczesne nieograniczenie hydrostatycznego ściskania wyróżniają się jako bezwzględne
kryterium przełomu. Dla przypadku niezmienności (stałości) objętości (v= 0,5)
hipoteza największego naprężenia głównego, jak również hipoteza największego
odkształcenia głównego, przechodzi w kryterium plastyczności. Wówczas piramida
przekształca się w nieskończenie wyciągnięty graniastosłup w kierunku osi C
4.6. Hipoteza energii odkształcenia
Hipoteza energii odkształcenia została opublikowana w 1885 roku przez Beltra-
miego. W hipotezie tej praca, która konieczna jest do zmiany kształtu ciała, jest miarą
wytężenia materiału. Energia odkształceń składa się z energii odkształcenia objęto-
55
ściowego oraz energii odkształcenia postaciowego. Pracę zmiany objętości oblicza się
ze średnich naprężeń normalnych, natomiast praca zmiany postaci może zostać
wykonana dzięki naprężeniom stycznym (wynika z różnicy naprężeń głównych).
Do obliczania pracy wykorzystuje się kwadrat naprężenia, dlatego hipoteza ta nie
uwzględnia znaku naprężenia. Stąd hipoteza energii odkształcenia nie rozróżnia stanu
naprężeń od ściskania i od rozciągania. Zmniejszenie objętości {C< 0) jest odbierane
jako przyspieszenie przełomu, tak jak i zwiększenie objętości {C> 0).
Dla naprężenia zredukowanego obowiązuje wzór
az = -y/cTj2 + o"2 + cr32 - 2v(cr1cr2 + G2a^ + cr3o"j) (4.22)
W obszarze naprężeń hipoteza ta przejawia się jako powierzchnia elipsoidy
obrotowej wokół osi C
4.7. Hipoteza Druckera-Pragera
Hipoteza według Druckera-Pragera zakłada uszkodzenie (lub zapowiada
uszkodzenie) po przekroczeniu dopuszczalnej energii zmiany postaci. Inaczej niż w
hipotezie Misesa-Hubera-Hencky'ego jest przyjęta dopuszczalna energia zmiany postaci
liniowo zależna od pracy zmieniającej objętość (odpowiada C).
Naprężenie zredukowane oblicza się ze wzoru
0"z=-^-lO"l+«r2+«r3;+-^-t/^[V<Jl-0'2J +(Cr2-0"3J +(0"3-^lJJ (4-23)
w którym
K
RL,T
(a<-\) (4.24)
Wyjątkowość tej hipotezy polega na tym, że nie jest ona jak pozostałe hipotezy
funkcją współczynnika Poissona. Jako zmienną przyjmuje się stosunek wytrzymałości
na ściskanie i rozciąganie a. W obszarze naprężenia powstaje jako powierzchnia
graniczna stożek, którego kąt rozwarcia zależy od stosunku między ściskaniem a
rozciąganiem. Dla a = - 1 stożek przemienia się w walec obrotowy z hipotezy zmiany
energii postaciowej.
56
4.8. Hipoteza Burzyńskiego
Podstawą hipotezy sformułowanej przez Burzyńskiego (1928) jest założenie, że
warunkiem zniszczenia materiału jest osiągnięcie przez kombinację liniową energii
dewiatorów i aksjatorów tensora naprężenia wartości granicznej C2
W{f +r1W(f) =C2 (4.25)
Współczynnik r/, zależny od rodzaju materiału i stanu naprężenia, mieści się
w granicach
0< rj< 1
Dla znanych wartości granicznych dla rozciągania ar, ściskania <rc i ścinania r
równanie (4.25) sprowadza się do postaci
o-„o\
.2 h
(d)
V 3r2
l\l?+(ar-ac)ll+arCTc=0. (4.26)
Graficznie kryterium Burzyńskiego ma postać hiperboloidy lub elipsoidy o osi
zgodnej z osią £,. Dla aruc = 31 powierzchnia sprowadza się do paraboloidy, a gdy
2((jr+<7C)2-ł = 2(7rcrc do powierzchni stożka.
W przypadku równych wartości granicznych dla ściskania i rozciągania ar = ac
i ł = 2crr2(l + v) dla 77 = 1 hipoteza Burzyńskiego sprowadza się do hipotezy energii
odkształcenia, a przy warunku a = 31 dla rj = 0 do hipotezy energii odkształcenia
postaciowego Hubera-Misesa-Hencky'ego.
4.9. Hipoteza energii pękania
Hipoteza ta, sformułowana przez Kuhna w 1980 roku, jest dalszą modyfikacją
hipotezy energii odkształceń, zgodnie z którą, według Beltramiego, praca odkształceń
jest potraktowana jako przyspieszenie przełomu, niezależnie od tego, czy materiał
zwiększa czy zmniejsza objętość. Fizycznie nie ma to jednak sensu. W hipotezie
Kuhna zwiększenie objętości powoduje powiększenie naprężenia zredukowanego
(przyspieszenie przełomu), a zmniejszenie objętości powoduje pomniejszenie naprężenia
zredukowanego (tzw. przełom hamujący). Formuła dla tego naprężenia
zredukowanego brzmi następująco:
57
2 + 2v/ 2 2 2 \ l-2v(cr,+cr2+cr,)3 ,. ._.
V 3 3|o-j + a2 + <j3 |
Dla <^= 0 następuje zmienia krzywizny powierzchni granicznej. Dla C > O
powierzchnia ma postać elipsoidy hipotezy energii odkształceń, podczas gdy dla C, < O
powierzchnię graniczną tworzy hiperboloida. Przestrzeń stale ograniczona przez
powierzchnię, niezależnie od przyjętego C ma kształt dzwonu. Dla v—>0,5 hipoteza
energii pękania dąży zawsze do hipotezy GEH.
4.10. Hipoteza odkształceń właściwych
Zaproponowana przez Sandela w 1930 roku hipoteza jest dalszym rozwinięciem
hipotezy największych odkształceń. Sandel nie czyni największego odkształcenia
odpowiedzialnym za zniszczenie, lecz zastępcze odkształcenie ąes. To odkształcenie ąes
odpowiada przekątnym prostopadłościanu odkształceń. Odkształcenie to określa
zależność:
-ypl
2 + e\ + s] (4.28)
Naprężenie zredukowane oblicza się stosując prawo Hooke'a
^z = <*? + °\ + °\ " 2v\ V2 \(a^2 + Cr2°"3 + ^l ) (4.29)
Tak jak w hipotezie maksymalnych odkształceń postaciowych, także tu znak naprężeń
nie ma żadnego fizycznego znaczenia, ze względu na występowanie w kwadracie.
Powierzchnia graniczna jest - jak w hipotezie energii odkształcenia - elipsoidą
wokół osi C Elipsoida jest rozciągana w kierunku C\ dlatego w porównaniu do
hipotezy energii odkształceń, hipoteza odkształceń właściwych dopuszcza jednak wyższe
naprężenie hydrostatyczne.
58
4.11. Logarytmiczna hipoteza odkształceń
Logarytmiczna hipoteza odkształceń została rozwinięta przez Kuhna i Sautera.
Oparta jest na założeniu wielu warunków prawdopodobieństwa wywołania przełomu.
Podstawowe założenie dla kryterium przełomu można opisać równaniem
Vo£i =const
(4.30)
z=l
Wartość graniczna przedstawia ogólne wyrażenie wynikające z wartości średniej
odkształceń głównych. Gdy porównuje się wyrażenie dla ogólnego stanu naprężeń
z jednoosiowym i zamienia się je jednoosiową wartością naprężenia przez naprężenie
zredukowane, wówczas uzyskuje się stosując prawo Hooke'a
ai-v(cr2+(T3) <7i-V\<7i+<7^) fT1-v((T1+(T2) Cz -Wz
= aE +2a E
(4.31)
Po podstawieniu do równania (4.29) zależności
a^)=aVEJ=b
(4.32)
dochodzi się w końcu do ostatecznego wzoru, przedstawiającego naprężenie
zredukowane
Ą-v(S2+S3) , hS^-v{Sl+S3) ^ hS,-v(S1+S2)
' + b
gdzie
&
+y
O",-
0\
-b + 2b-
(4.33)
(4.34)
Współczynnik b określa się poprzez dalsze warunki brzegowe. Dodatnie osie
naprężeń głównych powinny przechodzić prostopadle przez powierzchnię graniczną
miejsca przełomu, czyli
df
3°! n
z <T=a"z,<T2=<x3=0
przy czym wynika z tego, że
0 ewentualnie
df
da^
0
(4.35)
(T=(Tz,C72=iT3=0
l-v
l+v
(4.36)
59
Formuła dla wzoru zredukowanego nie jest prosta do rozwiązania. Musi być
numerycznie rozwiązywana odpowiednią metodą iteracji. W obliczeniach należy
przyjmować współczynnik „wagowy" b dla różnych zakresów współczynnika Poissona
v od 6v=o,5 = 1 przez ov=o)2 — 3,17 do bv^>o-^> oo. Dla bardzo dużych współczynników
„wagowych" (bardzo małe współczynniki Poissona) miarodajne jest tylko największe
odkształcenie główne (Q. Tu logarytmiczna hipoteza odkształcenia przechodzi
w hipotezę największego odkształcenia.
Powierzchnia graniczna logarytmicznej hipotezy odkształcenia ma kształt obroto-
wo-symetrycznej paraboloidy.
Asymetria logarytmicznej hipotezy odkształcenia oraz rotacja wokół osi
^pokazuje pokrewieństwo z hipotezą największego odkształcenia w kierunku osi ujemnej
(zmienia się krzywa graniczna logarytmicznej hipotezy odkształcenia z koła w trójkąt
równoboczny hipotezy największego odkształcenia). W zakresie dodatniej objętości
pracy linia graniczna jest prawie niezależna od współczynnika Poissona.
Różnice pojawiają się jednak wraz ze wzrastającą redukcją objętości (małe Q.
W płaskim obszarze naprężeń pojawia się duży wzrost jedno- i dwuosiowej
wytrzymałości na ściskanie z malejącym współczynnikiem Poissona. Koreluje to z
próbami materiałów, które pokazują tym wyższą wytrzymałość na ściskanie, im mniejszy
jest współczynnik Poissona tego materiału.
5. PŁASKI STAN ODKSZTAŁCENIA I PŁASKI
STAN NAPRĘŻENIA
W bryłach materialnych, gdzie jeden z wymiarów, np. grubość, jest dużo mniejszy
od dwóch pozostałych
t «aub
a obciążenie działa w płaszczyźnie środkowej, może występować zagadnienie
dotyczące płaskiej teorii sprężystości.
Bryła materialna zawsze jest w teorii sprężystości zagadnieniem przestrzennym,
a w celu uproszczenia sprowadza się ją do zagadnienia dwuwymiarowego, czyli
z trzech wymiarów problem teorii sprężystości sprowadzany jest do płaszczyzny
aub, a trzeci wymiar jest parametrem (np. grubości (/)). Wyróżnia się więc: płaski
stan naprężenia (PSN) oraz płaski stan odkształcenia (PSO).
5.1. Płaski stan odkształcenia
Jeśli wprowadzimy uproszczenie, w którym wymiar ciała w kierunku osi z jest
bardzo duży (rys. 5.1) oraz że np. rury grubościenne, ząb koła zębatego, czopy wałów,
zapory i inne są obciążone siłami nie zmieniającymi się na długości (wzdłuż osi z),
a równocześnie siły te są prostopadłe do kierunku osi z, to możemy przyjąć, że
wszystkie przekroje poprzeczne znajdują się w tych samych warunkach. Należy
założyć, że przekroje końcowe zawarte są między nieprzesuwnymi sztywnymi
płaszczyznami, co zapobiega przemieszczeniu w kierunku osiowym. Ponieważ
przemieszczenia osiowe (w kierunku osi z) na końcach ciała równają się zeru, a względem
przekroju środkowego zachodzi symetria, więc można przyjąć, że to samo odnosi się do
każdego przekroju.
60
Rys. 5.1. Przykłady płaskiego stanu odkształcenia: a -ząb koła zębatego, b -rura grubościenna,
c - czop z wpustem
61
W budowie maszyn i w urządzeniach energetycznych oraz konstrukcjach
budowlanych mamy do czynienia z płaskim stanem odkształceń, są to np.: zęby kół zębatych
(rys. 5. la), czopy wałów z rowkami pod wpust (rys. 5. \b), grubościenna rura poddana
ciśnieniu wewnętrznemu (rys. 5.1c), zapora wodna obciążona ciśnieniem bocznym
i inne. W żadnym wypadku obciążenie nie może się zmieniać wzdłuż długości.
Ponieważ każdy przekrój znajduje się w tych samych warunkach, wystarczy rozważyć
jedynie warstwę wydzieloną dwoma przekrojami w odległości jednostkowej.
Składowe przemieszczenia ux i uy są jedynie funkcjami zmiennych x i y, a nie zależą od
współrzędnej osiowej z. Ponieważ przemieszczenie uz w kierunku osi z równe jest
zeru, więc naprężenia normalne prostopadłe do powierzchni środkowej az * 0, jest ono
wynikiem oddziaływania pozostałych części kontinuum przy braku odkształceń
£z#0w kierunku osi z.
Składowe odkształceń będące równe zeru są określane [132] równaniami
Ty
duv duv
dz
_dux
dz
duz
+ —-
dy
du7
+ -
d x
= 0
0
(5.1)
dz
W płaskim stanie odkształcenia naprężenia są opisywane przez cztery składowe
w postaci
G
~xy
(5.2)
Naprężenie normalne az może być wyznaczone w funkcji <7X i ay z prawa Hooke'a
[74]. Ponieważ sz = 0, więc
az-v(ax + ay)=0 (5.3)
lub
az=v(ax+ay) (5.4)
Związek pomiędzy naprężeniem az a odkształceniami przedstawiają równania
vE
O",
(l + vXl-2v)
(£x+£y)
?yz =rxz=0
(5.5)
(5.6)
62
Jeżeli wyobrazimy sobie tarczę jako zbiór cienkich warstw, to na skutek założenia
stałości naprężeń według grubości każda z warstw jest w identycznej sytuacji. Do
określania przemieszczeń dowolnego punktu tarczy wystarczy zatem znajomość
przemieszczeń punktów płaszczyzny środkowej
u =
(5.7)
Przemieszczenia są wynikiem odkształceń kontinuum, a pełny stan odkształceń
określany jest czterema składowymi odpowiadającymi poszczególnym naprężeniom
y
i xy
(5.8)
Trzy składowe sx, Sy i jxy powiązane są z przemieszczeniami za pomocą związków
geometrycznych, czwarte odkształcenie ez jako prostopadłe do płaszczyzny środkowej
nie może być od nich zależne, zależy natomiast od az.
Zależności geometryczne pomiędzy poszczególnymi odkształceniami a
przemieszczeniami mają postać
du,.
X
£„
y
Yxy _
• = <!
du.
X
dy
dx.
du
y
dy
du
- + ^
3c
(5.9)
W płaskim stanie odkształcenia z prawa Hooke'a wynika
sx=^l\-v2)cjx-v{\ + v)ay]
'--I*-
■v2)(jy-v(l + v)<jx
r.
xy
2(1 + ^)-
E w
(5.10)
Związek fizyczny (konstytutywny) między polem naprężeń i odkształceń dla ciała
anizotropowego liniowo sprężystego ma postać
63
■xy
<7,
au an
a2\ a22
a31 a32
a4\ aA2
«13
a23
a33
«43
«14
a24
«34
a44_
<
ffx
S
/ xy
.8* .
albo zwięźle
[D]
(5.11)
(5.12)
gdzie [D] jest macierzą sprężystości materiału zwierającą wszystkie charakterystyki
fizyczne.
W przypadku materiału izotropowego dla płaskiego stanu odkształcenia macierz
sprężystości materiału [D] wiąże trzy pierwsze składowe naprężenia z trzema
pierwszymi składowymi odkształcenia, w której są dwie niezależne charakterystyki
fizyczne: E - moduł Younga i v - współczynnik Poissona
[D] =
(l + v)(l-2v)
l-v v 0
v l-v 0
o o LU
(5.13)
5.2. Płaski stan naprężenia
Jeśli bryła materialna jest konstrukcją powierzchniową, a jej powierzchnie
graniczne są równoległe do siebie i leżą bardzo blisko siebie, gdzie oddziela je tylko
grubość (0, która jest dużo mniejsza od dwóch pozostałych wymiarów powierzchni
granicznych (a i b) i obciążona w płaszczyźnie środkowej (rys. 5.2), to bryłę tę
nazywamy tarczą. Jeżeli w konstrukcji tarczowej powstaje stan napięcia polegający na
ściskaniu lub rozciąganiu i przesuwaniu, to składowe naprężenia az, rxz, ryz są równe zeru na
obu powierzchniach granicznych tarczy. Stan naprężenia jest więc określony przez ax,
<jy, Txy i nazywa się płaskim stanem naprężenia. Można także przyjąć, że
wymienione trzy składowe nie zależą od współrzędnej z, tzn. pozostają niezmienne na całej
grubości. Są więc one jedynie funkcjami zmiennych x i y.
Wektor składowych naprężeń przyjmuje postać
er
<yv
<y„
przy założeniu
(X,
X =T = T =0
zx xz yz
(5.14)
(5.15)
64
pole przemieszczeń dowolnego punktu będzie opisane następującymi
przemieszczeniami
«i = i
(5.16)
Rys. 5.2. Składowe naprężeń w płaskim stanie naprężenia
Płaskiemu stanowi naprężenia towarzyszy przestrzenny stan odkształcenia, którego
pole odkształceń {s} jest określane zależnościami
£z=j(<7x+<ry)
(5.17)
2(1+ v)
Yr» = - T
xy
xy
65
Dla płaskiego stanu naprężenia macierz sprężystości materiału (5.12) przyjmuje postać
N =
\-vl
1 v 0
v 1 0
oo1-^
(5.18)
Płaski klucz do śrub (rys. 5.3a) obciążony jest w płaszczyźnie klucza, tarcza koła
linowego (rys. 5.36) obciążona jest ciśnieniem pochodzącym od liny, obciążenie
wysięgnika ładowarki (rys. 5.4), pochodzące od łyżki, leży w płaszczyźnie środkowej.
Rys. 5.3. Przykłady płaskiego stanu naprężenia: a - klucz, b - tarcza koła linowego
66
Rys. 5.4. Wysięgnik ładowarki w płaskim stanie naprężenia
6. ELEMENTY TARCZOWE
Konstrukcje dwuwymiarowe (powierzchniowe), które przenoszą obciążenia
zewnętrzne działające w płaszczyźnie środkowej, nazywa się tarczami. Kształt takiej
konstrukcji daje się dzielić na elementy skończone dwuwymiarowe. Elementy
skończone mogą być niedostosowane i dostosowane, o kształcie trójkątnym,
czworokątnym lub wielokątnym [3, 10, 30, 252]. Zastosowanie elementów tarczowych do dys-
kretyzacji elementów konstrukcji przedstawiono na rysunku 6.1.
Rys. 6.1. Dyskretyzacjaza pomocą elementów tarczowych: a -nożyczki, b -tarcza piły
W konstrukcjach takich (rys. 6.1) występuje płaski stan naprężeń i płaski stan
odkształceń, a zagadnienie sprowadza się do określenia trzech składowych naprężeń ax, <jy,
Txy, które są jednoznacznie określone przez składowe przemieszczenia ux, i uy w
kierunkach osi x i y. Przy dyskretyzacji dowolnych konstrukcji tarczowych użyteczny jest
element trójkątny, który pozwala w dokładny sposób opisać kształt analizowanego obiektu.
Ze względu na funkcje przemieszczeń [252] wyróżnia się następujące elementy trójkątne:
— CST - trójkąt stałego odkształcenia (ang. constant strain triangle),
— LST - trójkąt liniowego odkształcenia (ang. linear strain triangle),
— QST - trójkąt kwadratowego i sześciennego odkształcenia (ang. ąuadratur strain
triangle).
Oprócz przedstawionych na rysunku 6.2 elementów skończonych, do
aproksymacji pola przemieszczeń elementu trójkątnego stosuje się również wielomiany
wyższych stopni niż trzeci.
68
© © ©
G) (T)c^^^^^^^^ (7) (i) c^^^^^^^^ (p
(T)®(m)W
Rys. 6.2. Trójkątne elementy tarczowe: a - element CST, stałe odkształcenia, b - element LST, liniowe
odkształcenia, superparametryczny służący do opisu geometrii, c - element QST, kwadratowe
odkształcenia, subparametryczny służący do dokładnego opisu pola odkształceń
Stosowanie elementów wyższych rzędów ma na celu uzyskanie dokładniejszych
rozwiązań przy tej samej liczbie stopni swobody układu, co w elementach niższego
rzędu [252]. Praktycznie uzyskuje się to przez wprowadzanie dodatkowych węzłów
opisujących element, przedstawionych na rysunku 6.3.
Rys. 6.3. Elementy skończone wyższego rzędu: a - izoparametryczne, b - superparametryczne,
c - subparametrycznej (• «- węzły użyte do opisu geometrii elementu,
• «- węzły użyte do opisu pola odkształceń)
Elementami izoparametrycznymi nazywamy elementy skończone, dla których
aproksymacja geometrii jest dokonywana za pomocą tych samych funkcji, których
użyto do aproksymacji pola uogólnionych przemieszczeń. Jeśli do opisu geometrii
brzegów elementu należy użyć funkcję niższego (lub wyższego) stopnia, niż przyjęte
węzły (funkcja) do opisu pola przemieszczeń, to mówi się o elementach
subparametryczny eh (lub superparametryczny eh).
Elementy wyższego rzędu, tj. subparametryczne, izoparametryczne i
superparametryczne mają również pewne wady:
- zwiększanie przez niektóre z nich szerokości półpasma globalnej macierzy
sztywności,
69
- niedogodność posługiwania się węzłem wewnętrznym,
- wprowadzenie dodatkowych stopni swobody, które nie mają interpretacji
mechanicznej.
6.1. Macierz sztywności trójkątnego elementu tarczowego
Przykładowo przedstawione zostaną procedury konstruowania i agregacji macierzy
sztywności tarczowego trójkątnego elementu skończonego. Przedstawiony na
rysunku 6.4 element służy do analizy zagadnień płaskiego stanu naprężenia. Ma on liniową
funkcję kształtu [1] i jest zwany w literaturze elementem CST (Constant Strain Trian-
gle).
Rys. 6.4. Element TRIM3 (TRIangular Membranę, 3 nodes)
Macierz sztywności opisuje się względem lokalnego układu współrzędnych karte-
zjańskich x, y równoległego do układu globalnego XG, YG. Wektor przemieszczeń
takiego elementu jest równy poszczególnym składowym przemieszczeń występujących
w węzłach
{V}
ux,,u ux,,u ux ,u
xi Ji xj Jj xm Jm
(6.1)
Przemieszczenie dowolnego punktu leżącego na elemencie można określić przez
funkcję kształtu wziętąz trójkąta Pascala [251] jako
ux (x, y) = al +a2x + a3y
u (x,y) = a4+a5x + a6y
(6.2)
W ten sposób otrzymano układ dwóch wielomianów liniowych. Te równania
w zapisie macierzowym mają postać
70
[A]
at
gdzie
[A] =
1 x y 0 0 0"
0 0 0 1 x y
(6.3)
(6.4)
Sześć stałych wektora {a} można wyznaczyć rozwiązując dwa układy trzech
równocześnie spełnionych równań, które otrzyma się po podstawieniu współrzędnych i
składowych przemieszczeń odpowiednich węzłów. Ostatecznie otrzymuje się układ równań
[C]_1M (6.5)
a
gdzie macierz [C] ma stałe współczynniki, a jej postać jawna została przedstawiona
w pracy [174]. Po podstawieniu równania (6.5) do (6.3) otrzymuje się
McrM
(6.6)
Jeśli równanie (6.6) wymnożymy, to otrzymamy związek pomiędzy składowymi
przemieszczeń (ux, uy) dowolnego punktu w elemencie a składowymi przemieszczeń
w węzłach tego elementu
1
H-
{[(•
^ym-xmy
j)+ (>"; - ym V + (Xm - Xj )>"K +
+ [(xmyl - x,ym )+(ym- y, )x + ix, - xm )y\uXj +
+ [fcj; - xJy1)+ iyt - y} )x + (x} - x, )y]«x
(6.7)
2A,
\h
ym - xmy
])+{y]-ym)x + (xm-xj)y}'
ym
+ [{xmyt - x,ym)+{ym- y, )x + (x, - xm)y]«yj +
+ [fej; -xJy1)+ iyt -y])x + (x} -x,)y]u}
(6.8)
gdzie Aym jest polem powierzchni elementu trójkątnego.
Pole odkształceń w każdym punkcie tego elementu definiuje się przez trzy składowe
71
S x
8y
Su,
(6.9)
Su,
■ + -
5 y S x
Po wykonaniu rachunku pochodnych cząstkowych i uporządkowaniu okazuje się,
że istnieje ścisły związek między polem odkształceń {s} a wektorem przemieszczeń
{V} elementu
H = [B]H (6.10)
gdzie elementami macierzy [B] są współrzędne węzłów opisujące element skończony;
pełna postać macierzy [B] została przedstawiona w pracy [174].
Aby uczynić siły w węzłach elementu statycznie równoważne napięciom na ich
brzegach, najprościej jest założyć dowolne wirtualne przemieszczenia węzłów i
porównać pracę sił zewnętrznych z pracą sił wewnętrznych, którą wszystkie siły wyko-
nująna tych przemieszczeniach.
F
\[BY[D][B]dv\{v}
(6.11)
czyli macierz sztywności trójkątnego elementu z równania (6.11) jest równa
[k]=J[B][D][B]^
(6.12)
gdzie dla materiału izotopowego macierz sprężystości jest zdefiniowana w
następujący sposób:
- w płaskim stanie naprężenia
[D] =
1-u2
1 u 0
v 1 0
ooi^
(6.13)
w płaskim stanie odkształcenia
72
[D] =
^(1-")
(l + L>)(l-2o)
1
V
l-o
O
O
1 O
O ^
2(1-").
(6.14)
Ponieważ macierz własności materiałowych [D] jest również stała, więc macierz
sztywności elementu przybiera prostą postać
N = ^yjB]r[D][B]
(6.15)
gdzie t jest grubością elementu. Ostatecznie macierz sztywności dla trójkątnego
elementu tarczowego ma następującą postać:
W =
2A„
+ C12cf
ClC2bici
+ CUbiCi
CAbj
+ C12cicJ
ClC1bicj
+ CnbjCt
C,cf
+ Cub?
Cf2b]ci
+ Cl2biCj
CxciCj
+ CubibJ
Cxb)
+ Cnc)
Cf2b]C]
+ Cnb]C]
C
+
J
Cl2b)
Ci
c2
(l + u)(l-2u)
u
~ \-v'
C12=C,(1
bi = yt -
bj=y^
hm = yt
Ci = Xm
CJ=Xi
-C2)/2
jm '
-yt;
-y/>
-XJ>
~ Xm'
Clbibm CxC2bmct Clbjbm Cf2bmCj Clbm
+ C,0cicm + C,0bicm +C,0cicm + C,0bicm +C^cł,
[Zim [Zim [Z j m [Z j m [Z m
Cf2b,cm Cxcfm Cf2bjcm ClCjcm ClC2bmcm
■^C^bc, +C19£,6 +C19£ c. +C,nbhm +C,nbcm
[Z m i [Zim [Z m j [Z j m [Z m m
c?l
+ CnK
(6.16)
6.2. Macierz bezwładności trójkątnego elementu tarczowego
73
W przypadku, gdy przemieszczenia ciała sprężystego zmieniają się z upływem
czasu, występują dwie grupy sił dodatkowych.
Pierwsza grupa to siły bezwładności związane z przyspieszeniami d2{u}/dt2 ={u}.
Siły te na mocy znanej zasady d'Alemberta mogą być zastąpione przez ich statyczny
równoważnik
-p—y (6.i7)
ot
gdzie r jest masą właściwą (na jednostkę objętości).
Mają one składowe w tych samych kierunkach co przemieszczenia i ogólnie są
odniesione do jednostki objętości.
Druga grupa to siły wywołane przez opór (tarcie wewnętrzne), przeciwdziałające
ruchowi. Mogą one być wywołane mikrostrukturą ciała lub innymi czynnikami i ogólnie
są związane nieliniowo z prędkością przemieszczeń d2{u}/dt2 ={u}. W pracy
abstrahuje się od występowania tych sił.
Wpływ sił bezwładności w równaniu ruchu jest realizowany przez globalną
macierz mas, która jest agregacją poszczególnych macierzy bezwładności elementów
skończonych.
Macierz bezwładności dowolnego elementu skończonego oblicza się [251] według
zależności
k]= jKMNjrfK (6.18)
v
Jeśli założyć, że grubość elementu t jest stała, to
[mJ=p^|[Njr[NjJx^ (6.19)
gdzie [Ne] jest funkcją kształtu elementu.
Związek opisujący zależność składowych przemieszczeń dowolnego punktu
leżącego na elemencie a wektorem przemieszczeń węzłowych tego elementu można
przedstawić za pomocą równania
M=[A][C]"1K} (6.20)
gdzie
[NJ=[A][C]-1 (6.21)
Macierze [A] i [C]_1 dla trójkątnego elementu tarczowego są opisane równaniami
(6.4) i (6.5). Po ich podstawieniu do równania (6.19) i scałkowaniu otrzymuje się
macierz bezwładności dla trójkątnego elementu tarczowego (rys. 6.4) w postaci
74
2 O
2
K] =
pAjJ
12
(6.22)
6.3. Elementy tarczowe wyższego rzędu
Zastosowanie do obliczeń wytrzymałościowych elementów tarczowych z liniową
funkcją kształtu, np. elementu CST, powoduje, że otrzymane z obliczeń wartości
przemieszczeń {u} w dowolnym przekroju elementu są opisane liniowo równaniami
(6.7) i (6.8), jak pokazano na rys. 6.5a. Natomiast rozkład odkształceń {s} czy
naprężeń {er} jest stały w całym elemencie (rys. 6.5a). W rzeczywistości rozkład
odkształceń (naprężeń) w konstrukcji powierzchniowej jest opisany funkcją ciągłą. Do celów
praktycznych takie założenie jest możliwe pod warunkiem, że dyskretyzowana
powierzchnia konstrukcji będzie miała wystarczająco małe elementy skończone.
Aby podnieść stopień funkcji kształtu elementu skończonego, należy wprowadzić
dodatkowe węzły, najlepiej na krawędziach elementu (rys. 6.6).
Funkcja kształtu dla trójkątnego elementu skończonego opisanego sześcioma
węzłami (rys. 6.6) według ciągu Pascala przyjmie postać
c (x, y) = al+ a2x + a3y + a4x2 +a5xy + a6y2
v(x,y) = a7+ asx + a9y + awx2 + auxy + any2
(6.23)
lub
1
x y x2 xy y2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 x y x2 xy y2
a
(6.24)
75
Rys. 6.5. Wykresy przemieszczeń i odkształceń we fragmencie konstrukcji: a - elementy prostokątne
z liniową funkcją kształtu; b - elementy prostokątne z kwadratową funkcją kształtu; c - elementy
prostokątne z sześcienną funkcją kształtu
Rys. 6.6. Trójkątne elementy tarczowe z kwadratową funkcją kształtu, superparametryczny
Składowe odkształcenia dowolnego punktu leżącego na powierzchni elementu
skończonego będą wynosić
76
: a2 + 2a4x + a5y
Sx =
dx
du
sy = —^- = a9 + anx + 2any
dx dy
(6.25)
: a3 + a5x + 2a6y + a% + 2a10x + a„j
w zapisie macierzowym
[Aj
af
gdzie:
[Aj:
0 10 2x y 0 000 0 0 0
0 0 0 0 O 0 0 0 1 0 i 2j
001 0 x2j010 2x>- O
(6.26)
(6.27)
Dalsze postępowanie jest takie samo jak w rozdziale 6.1 i prowadzi do
wyprowadzenia równania (6.12) w celu otrzymania macierzy sztywności tej klasy elementu
skończonego.
Trójkątny element skończony opisany sześcioma węzłami (rys. 6.6.) może być
elementem krzywoliniowym jako element superparametryczny służący do dokładnego
opisu geometrii. Element ten dokładniej opisuje składowe przemieszczeń, ponieważ
ma kwadratową funkcję kształtu (6.23) wewnątrz elementu (rys. 6.5b). Natomiast pole
odkształceń {s} i naprężeń {er} jest opisane funkcją liniową (6.26). W niektórych
przypadkach taki rozkład naprężeń jest niewystarczający.
Aby dokładniej opisać pole odkształceń {s}, a tym samym pole naprężeń w
elemencie, należy przyjąć element trójkątny opisany dziewięcioma węzłami (rys. 6.7).
77
Rys. 6.7. Element tarczowy subparametryczny
Związek pomiędzy składowymi przemieszczeń dowolnego punktu a
przemieszczeniami węzłowymi tego elementu przyjmie według ciągu Pascala następującą
postać:
1 x y x2 xy y2 x3 (x2y + xy2) y3 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 1 x y x2 xy y2 x3 (x2y + xy2J y3
(«
0
0
r}(6.28)
gdzie:
Wyznaczając zależności opisujące pole odkształceń dla tego elementu z równania
(6.9) otrzymuje się
i£„
/ *y,
\K\{
a\
(6.30)
gdzie:
[A.] =
0 1 0 2x y 0 3x2 2xy + y2 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 1 0 x 2y 0 xz + 2xy 3yz
0 0 1 0 x 2y 0 x2+2xj00 102xy 0 2x2 2xy + y2 0
(6.31)
Na podstawie równania (6.30) można stwierdzić, że element tarczowy opisany
dziewięcioma węzłami przedstawia nieliniowo pole odkształceń (rys. 6.5c), więc
będzie zachowana ciągłość odkształceń na krawędziach elementu.
7. ELEMENTY PŁYTOWE
Konstrukcje powierzchniowe, które przenoszą obciążenia prostopadłe do
środkowej powierzchni (rys. 7.1) nazywa się płytami. W budowie maszyn i konstrukcjach
budowlanych płyty są stosowane na podesty, podłogi, stropy, np. dach kabiny
maszyny budowlanej czy wozu strzałowego (rys. 7.2), dach autobusu (rys. 7.3), są
konstrukcjami płytowymi.
Rys. 7.1. Konstrukcja powierzchniowa obciążona prostopadle zwana płytą
79
Analizowane będą konstrukcje, dla których obowiązuje teoria płyt cienkiej i
średniej grubości [215]. Ma to swoje uzasadnienie, gdyż o ile dla całej konstrukcji
płytowej stosunek grubości do jej wymiarów: szerokości i długości jest mały (rys. 7.1),
o tyle dla poszczególnych elementów skończonych pryty stosunek ten jest mniej
więcej o rząd wielkości większy. A zatem, chociaż płyta jako konstrukcja może być
traktowana jako płyta cienka, to jednak do jej elementów skończonych należy stosować
teorię płyt średnich [214].
W klasycznej teorii pryt (Timoschenki) pewne przybliżenia wprowadzone są na
początku, aby problem sprowadzić do dwóch wymiarów. Chodzi tu o założenia
liniowej zmienności odkształceń i naprężeń na prostych prostopadłych do płaszczyzny
płyty (rys. 7.4). Ma to swoje uzasadnienie, gdyż grubość płyty jest (t «a i b) od
innych wymiarów dużo mniejsza.
Tak zwane ścisłe rozwiązanie według teorii płyt jest zatem ważne tylko
wówczas, gdy założenie to jest spełnione. Dotyczy to przypadku płyt cienkich i małych
ugięć.
Teoria pryt cienkich przyjmuje następujące założenia:
- płaszczyzna środkowa płyty nie doznaje odkształceń, tylko ugięć,
- prosta normalna do płaszczyzny środkowej przed ugięciem płyty pozostaje
prostopadłą do płaszczyzny środkowej po ugięciu,
- pomija się wpływ sił poprzecznych na odkształcenia,
- zakłada się liniowy rozkład odkształceń i naprężeń po grubości.
Stan odkształceń płyty może być całkowicie opisany za pomocą jednej wielkości
poprzecznego przemieszczenia uz płaszczyzny środkowej płyty. Warunki ciągłości
pomiędzy elementami są teraz nałożone nie tylko na przemieszczenie uz, ale rów-
sy i / sy i /
nież na jego pochodne —-i—-. Należy zapewnić warunki, aby płyta pozostała
dx dy
ciągła i nie tworzyły się „przeguby". W każdym węźle muszą być zatem spełnione
trzy warunki równowagi i warunki ciągłości [214].
Do dyskretyzacji konstrukcji płytowych stosowane są najczęściej elementy o
kształcie trójkątnym, prostokątnym i czworokątnym. Niektóre elementy płytowe,
niedostosowane i dostosowane, zostały przedstawione na rys. 7.5.
Ciągłość funkcji kształtu na granicach elementów skończonych decyduje do jakiej
grupy będzie on należał.
Rys. 7.2. Konstrukcja ochronna wozu strzałowego: a - widok, b - część daszka
81
Rys. 7.3. Dach autobusu dyskretyzowany elementami płytowymi
Rys. 7.4. Składowe naprężeń w płycie
82
niedostosowane
dostosowane
(3) «zji
j/y
-P-
y/y
az ""
3/-^ otx
MZC
(Melosh, Zienkiewicz, Cheung)
BFS
(Bogner, Foz, Schidt)
UZJl
d
ax
CT9
(Clougha, Tochera)
HCT 9 lub HCT 12
(Hsiena, Clougha i Tochera)
f
TUBAG (18 - stopni swobody)
Rys. 7.5. Najczęściej stosowane elementy płytowe
7.1. Wymagania ciągłości dla funkcji kształtu
Wydzielony element płyty (rys. 7.6) spełnia ciągłość tylko w węzłach opisujących
elementy skończone.
Wektor opisujący składowe przemieszczeń w węzłach elementu płyty ma postać
V łwęzeł _ ">
dy
_duA_
dx
(7.1)
83
otv
f
Ć
Rys. 7.6. Prostokątny element płytowy
Aby zapewnić ciągłość przemieszczeń prostopadłych do płaszczyzny środkowej
płyty uz jak i jej pochodnych normalnych wzdłuż krawędzi elementu skończonego,
powinniśmy zdefiniować jednoznacznie zmienność uz oraz dujdn za pomocą ich
wartości w punktach (węzłowych) tych krawędzi.
Rozpatrzmy krawędź prostokątnego elementu pomiędzy węzłami © i ©, jak
pokazano na rysunku 7.7.
Rys. 7.7. Element skończony płyty: n - kierunek prostopadły do krawędzi,
s - kierunek styczny do krawędzi
Normalny kierunek n jest tutaj kierunkiem y, wymagane jest, aby uz i dujdn (czyli
dujdy) były jednoznacznie określone za pomocą wartości
du7 . du,
u,,—-i
dx dy
(7.2)
w węzłach leżących na tej krawędzi.
Dobierając funkcje kształtu według jednowymiarowego ciągu Pascala dla
krawędzi © - © będzie miała postać
84
uz = al +a2x + a3x2+... (7.3)
i pochodna w kierunku normalnym do krawędzi © - ©
^ = ^ = hi+hiX + h^+^ (7.4)
n dy
liczbę starych zaś w tych wyrażeniach dobierzemy tak, aby można było określić je
przez parametry węzłowe związane z krawędzią elementu © - ©.
Krawędź © - ©
3wZi
w-i'^ CD
1 dx wo
y ^ duH
* o dx
x
Krawędź ta opisana jest dwoma węzłami, w każdym z nich występują dwie
wartości uz i dujdx, czy funkcja kształtu dla tej krawędzi wystarczy, ponieważ będzie
składać się z czterech wyrazów:
uz = ax + a2x + a3 y + a4xy (7.5)
Dla zmiennej normalnej —- = —- wystarczy przyjąć dwa wyrazy ze wzoru (7.3):
dn dy
^ = b1+b2x (7.6)
dy
Różniczkując wyrażenie (7.6) względem x mamy dla krawędzi © - ©:
^ = b2 (7.7)
dxdy
- czyli pochodna ta zależy tylko od parametrów węzłowych krawędzi elementu © - ©.
Przeprowadzając w podobny sposób rozumowanie dla krawędzi © - ©
otrzymamy drugą pochodną
^ =b2 (7.8)
dydxx_Ą
która jest zależna od parametrów węzłowych krawędzi elementu © - ©.
Dochodzimy do niezgodności drugich pochodnych w węźle © elementu:
82u d2uz
' ■* 5_ (7.9)
dxdyl_A dydxx_Ą
85
Nie można zatem dobrać prostych wielomianowych wyrażeń dla funkcji kształtu
zapewniających pełną zgodność, jeżeli w węzłach zadane jest tylko uz i jego pochodna
normalna dujdn.
7.2. Dostosowane funkcje kształtu
W płytach jest niemożliwe rozwinięcie składowych przemieszczeń w wielomian,
przy trzech tylko stopniach swobody w węźle(Mz, ax i ay), który by spełniał
wymagania ciągłości pochodnych.
Najprostszym sposobem ominięcia powyżej podanych trudności jest przyjęcie
dodatkowych funkcji kształtu, których pochodne drugiego rzędu miałyby nieciągłości
w węzłach.
Jednym z prostszych sposobów jest wprowadzenie w elemencie prostokątnym
dodatkowych pochodnych mieszanych d2uz/dxdy=axy, jak to uczynił Bognera (rys. 7.5b) i inni.
Wówczas w skończonym elemencie płyty w węzłach są cztery stopnie swobody:
V
węzła
ocet,
3uz
dy
dx
d2u.
a
xy
dxdy
(7.10)
Niestety, rozszerzenie tego „chwytu" na węzły, w których zbiegają się krawędzie
nieprostopadłe względem siebie, jak pokazano na rys. 7.8 daje nieciągłość.
Rys. 7.8. Węzeł, w którym krawędzie elementów nie są prostopadłe
c
Stopnie swobody:
du. du7
\ dx dy
dn
J
a2u ^
O
dn dnds
y
i i -i 2 i2 -"i 2
duz duz o uz o uz o uz
z' dx ' dy ' ,?x2 ' ^-y2 ' dxdy ^
Rys. 7.9. Różne dostosowane elementy trójkątne
87
Wymaganie ciągłości pochodnych mieszanych narzuca tu konieczność
wprowadzenia jako parametrów węzłowych wszystkich drugich pochodnych w węźle. Można
to uczynić poprzez dodanie do wyrażeń trzech dodatkowych stopni swobody i
postępować jak opisano. Element pokazany na rys. 7.9a ma w węzłach narożnych po 3
stopnie swobody oraz trzy dodatkowe węzły leżące na krawędziach elementu, w
których zadaje się tylko pochodną normalną jako parametr {dujdń).
Taki element sprawia pewne trudności przy budowie macierzy, ponieważ w
poszczególnych węzłach występuje różna liczba stopni swobody. Aby trudności te
pokonać, możemy na przykład założyć, że pochodna normalna w środku boku jest
zadana jako średnia z dwu pochodnych na końcach boku.
Odmienny sposób tworzenia zgodnych elementów trójkątnych, pokazany na rys. 7.10,
podali Clough i Tocher.
Rys. 7.10. Element dostosowany Clougha i Tochera
Trójkąt dzieli się na trzy części zgodnie z punktem wewnętrznym P, który jest
dodatkowym węzłem. Dla każdego trójkąta pisze się pełne wyrażenie trzeciego stopnia,
zawierające 10 wyrazów. Mamy zatem 30 równań z 30 niewiadomymi, co w tym
przypadku wystarcza do określenia explicite funkcji kształtu. Sam element jest o 12
stopniach swobody.
7.3. Funkcje kształtu płytowych elementów skończonych
We wszystkich opracowanych płytowych elementach skończonych (rys. 7.5 i 7.9)
bardzo istotne jest wyznaczenie ciągłości przemieszczeń między sąsiednimi elemen-
tami (również na krawędziach połączeń). Nie ma tej zgodności na krawędziach
stykających się elementów do różnych postaci nieciągłości, jak pokazano na rys. 7.11.
Można ją osiągnąć, przyjmując odpowiednie funkcje kształtu dla płytowych
elementów skończonych. Weźmiemy pod uwagę najprostszy pod względem kształtu trójkątny
element płyty CT9 (Clougha i Tochera), który pokazano na rys. 7.12. Element ten ma
tylko dziewięć niezależnych parametrów, można przyjąć tylko dziewięć wyrazów
rozwinięcia trójkąta Pascala. Wynika stąd bezpośrednia trudność w otrzymaniu pełnego
sześciennego wyrażenia zawierającego 10 wyrazów, gdyż pominięcie któregoś z nich
dokonuje się raczej dowolnie. Aby uzyskać pewną symetrię wynikającą z zastosowania
10 wyrazów, sumuje się dwa wyrazy z ciągu trójkąta Pascala (x2y + xy2), np. dla
współczynnika ok,, wówczas funkcja kształtu dla CT9 ma postać
uz = ax + a2x + a3y + a4xy + a5x2 + a6y2 + a7x3 + agy3 + a9 [x2y + xy2
(x2y + xy2) (7.11)
Rys. 7.11. Postacie nieciągłości na krawędziach stykających się płytowych
niedostosowanych elementów skończonych
Rys. 7.12. Trójkątny element płyty
Z drugiej strony wiemy, że pole odkształceń w dowolnym punkcie będzie
wynosiło dla płaskiego stanu odkształceń
89
\s =<
(7.12)
uy =-z
dx
dy
Z teorii sprężystości [214] wiemy, że istnieje ścisły związek
czyli
dx
du„
JL
dx
d
duz
dx
dy dy
\dy )
dx2
' dy1
\E \ = <~Z
d\
dx2
d2u.
dy1
■2z
d2u,
dxdy
(7.13)
(7.14)
(7.15)
ocv
dy
■ a3 + a4x + 2a6y + 3agy2 + a9 [x2 + 2xyj (7.16)
«„
duz
dx
■ a2 + a4x + 2a5y + 3a7y2 + a9 \2xy + y2 j (7.17)
cc
S2uz
dxdy
2a6 + 6asy + 2a9x
(7.18)
W przypadku elementu typu MZC (Melosh, Zienkiewicz, Cheung), który
pokazano na rys. 7.5a, funkcja kształtu powinna zawierać 12 wyrazów [30, 252].
90
uz=al+ a2x + a3y + a4x2 + a5xy + a6y2 + a7x3 +
+ a%x2 y + a9xy2 + al0y3 + aux3 y + anxy3
(7.19)
Pozostałe przemieszenia występujące w węźle każdego z elementów przyjmą
według równania (7.14) postać
av = —- = a3 + a5x + 2a6y + a8x2 + 2or9x>' + 3al0y2 + anx3 + 3anxy2
dy
(7.20)
a,.
dx
-a2-2a4x-a5y-3a7x -2a$xy-a9y -3auxy-auy
Funkcja kształtu powinna zapewniać ciągłość zarówno uz (przemieszczenia
liniowego), jak i jej pochodnych normalnych wzdłuż krawędzi elementu. Nie można zatem
dobrać prostych wielomianowych wyrażeń dla funkcji kształtu, zapewniających pełną
zgodność, jeżeli w węzłach zadane jest tylko uz i jego pochodna normalna [252].
Dostosowane funkcje kształtów można uzyskać poprzez wprowadzenie do
rozważań oprócz pochodnej normalnej dujdn w środku boku elementu wartości uz i jej
pochodnej mierzonej d2ujdxdy. W ten sposób w każdym węźle jest jednakowa liczba
stopni swobody, co daje wygodę rachunkową. Założenie ciągłości pochodnych
mieszanych w środkach boków nie zawiera dodatkowego ograniczenia (rys. 7.13),
ponieważ w tym przypadku muszą one być w rzeczywistości ciągłe.
Rys. 7.13. Element trójkątny o osiemnastu stopniach swobody (dostosowany)
91
Funkcja kształtu dla elementu trójkątnego pokazanego na rysunku 7.13 przyjmie postać
:«! + a2x + a3y + a4x2 + a5xy + a6y2 + a7x3 + asx2y + a9xy2 + awy3 + «nx4
+ a;12x3>' + ci;13x2>'2 + al4xy3 +al5y4 +al6x5 + all\x3y2 +x2y3'' ~ "5
;)+«is
(7.21)
7.4. Macierz sztywności prostokątnego elementu płytowego
Do analizy przyjęto element typu MZC, który ma cztery węzły: z, j, k, /, a w
każdym węźle są trzy stopnie swobody. Lokalny układ współrzędnych przyjęto w środku
geometrycznym elementu o bokach a i b (rys. 7.14).
aXn(MXn)
Pyyn(Myn)
Rys. 7.14. Prostokątny element płytowy
Element ten ma 12 stopni swobody, a jego wektor przemieszczeń można
przedstawić w następujący sposób:
{v}={uZi,aXi,ayi,u
_ , (X *(%-,, -,U . CC *(%-,, -,U ,CC„ i&i,
zj xj yj zk xk y% zi xt yi
(7.22)
Przemieszczenie uz dowolnego punktu elementu w funkcji jego przemieszczeń
węzłowych można opisać funkcją kształtu w postaci wielomianu [158, 174], w którym
występuje 12 parametrów
uz = ax + a2x + a3y + a4x +a5xy + a6y +a7x +asx y +
+ a9xy2 +al0y3 + anx3 y + al2xy3
(7.23)
92
Pozostałe składowe przemieszczeń (7.23)
du
<X
«,.
dy
dx
a3 + a5x + a62y + asx2 + a92xy + al03y2 +aux3 +an3xy2 (7.24)
-a2 -a42x-a5y-a73x -a$2xy-a9y -au3xy-auy (7.25)
Związek między wektorem przemieszczeń elementu i współczynnikami funkcji
kształtu ma postać taką jak w elementach tarczowych
«
M=[c]{.
zatem
w=[crH
Macierz [C]przedstawiono w tablicy 7.1.
Tablica 7.1. Macierz współczynników funkcji kształtu prostokątnego elementu płytowego
(7.26)
(7.27)
[C] =
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
a
2
0
-1
a
2
0
-1
a
2
0
-1
a
2
0
-1
b
2
1
0
b
2
1
0
b
2
1
0
b
2
1
0
a2
4
0
a
2
a
4
0
— a
2
a
4
0
— a
2
a
4
0
a
ab
4
a
2
b
2
ab
4
a
2
b
2
ab
4
a
2
b
2
ab
4
a
2
b
2
62
4
-6
0
b2
4
-b
0
b2
4
b
0
62
4
6
0
a3
8
0
3a2
4
3
a
8
0
3a
4
3
a
8
0
3a
4
3
a
8
0
3a
4
a26
8
2
a
4
ab
2
8
a2
4
ab
2
8
a2
4
ab
2
8
2
a
4
ab
2
afc2
8
ab
2
62
4
ab
8
ab
2
62
4
ab
8
ab
2
62
4
ab
8
ab
2
62
4
63
8
362
4
0
63
8
362
4
0
63
8
362
4
0
63
8
362
4
0
a36
16
3
a
8
3a26
8
16
a3
8
3a £
8
a b
16
a3
8
3a b
8
16
3
a
8
3a £
8
afc3
16
3afc
8
b'
8
ab
16
3a62
8
63
8
ab
16
3a62
8
63
8
ab
16
3afc
8
63
8
93
Rozwijając pole odkształceń (7.15) płyty zginanej, otrzymuje się
{e} = [L]{a} = [L][cV{v} = [b]{v}
gdzie:
[L] =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
0
2
0
6x
0
0
2y
0
2x
0
2x
2y
0
6j
0
6xy
0
3x2
0
6xy
iy2
(7.28)
(7.29)
Pole naprężeń odpowiadające polu odkształceń
M = [D]{,} = [D][b]H
(7.30)
gdzie [D] jest macierzą sprężystości płyty izotropowej.
Macierz sztywności, wiążąca siły węzłowe z odpowiadającymi im
przemieszczeniami węzłów, dla przyjętej funkcji kształtu (7.23) określa się na podstawie
kinematycznego pola przemieszczeń według [214]:
2 2
M = J J[bf[D][b]Jx^
(7.31)
b
2 2
Po wyznaczeniu elementów składowych tego równania i scałkowaniu otrzymano
macierz sztywności prostokątnego elementu płytowego. Macierz tę przedstawiono
w tablicy 7.2.
Tablica 7.2. Macierz sztywności prostokątnego elementu płytowego typu MZC
y=
Et'
12(1 -vl)
([Ki]+[K2]+[K3]+[K4])
fc]=
6
0 0
-6a 0
-6 0
0 0
-6a 0
-3 0
0 0
-3a 0
3 0
0 0
-3a 0
8a2
6a
0
4a2
3a
0
2a2
-3a
0
2
6
0 0
6a 0 8a2
3 0 3a
0 0 0
3a 0 4a2
-3 0 -3a
0 0 0
2
6
0 0
6a 0 8a
-6 0 -6
0 0 0
4az 3a 0 2az 6a 0 4a
2
.2
6
0 0
-6a 0 8a
94
[K2\-
66J
6
6b
0
3
Ib
0
-3
Ib
0
-6
66
0
862
0 0
36 0
4b2 0
0 0
-36 0
2b2 0
0 0
-66 0
462 0
0 0
6
66
0
-6
66
0
-3
36
0
862
0 0
-66 0
462 0
0 0
-36 0
262 0
0 0
6
-66 862
0 0 0
3 -36 0
-36 462 0
0 0 0
6
-66 862
0 0 0
[K3] =
2ab
1
6
-a
-1
-6
0
1
0
0
-1
0
a
0
-2ab 0
-6
0
0
0
0
0
0
0
0
0 1
0 6
0 a
0 -1
0 0
0 -a
0 1
0 0
0 0
0
2ab
0
0
0
0
0
0
0
-a
0
0
0
0
0
1
-6
a
-1
6
0
0
-2ab 0
6 0
0 0
0 0
1
-6 0
-a 2ab 0
KA = -
I5ab
21
36
-3a
-21
-36
-3a
21
-36
3a
-21
36
3a
862
0
-36
-862
0
36
262
0
-36
-262
0
Sa2
3a
0
-2a2
-3a
0
2a2
3a
0
-8a2
21
36
3a
-21
36
-3a
21
-36
-3a
862
0
-36
-262
0
36
262
0
8a2
-3a
0
-8a2
3a
0
2a2
21
-36
3a
-21
36
3a
Sb2
0
36
-862
0
8a2
-3a
0
-2a2
21
-36 862
-3a 0 8a
95
7.5. Macierz bezwładności prostokątnego elementu płytowego
Ugięcie dowolnego punktu materialnego prostokątnego elementu płytowego
(rys. 7.15) zostało opisane wielomianem (7.23) przy wyznaczaniu macierzy
sztywności. W zapisie macierzowym można je przedstawić w następujący sposób:
gdzie:
[A]{C
[A]=[l,x,j,
u, = A \\a
x2, xy, y2, x3, x2y, xy2, y3, x3y, xy3
(7.32)
(7.33)
(7.34)
Rys. 7.15. Prostokątny masowy element płytowy
Po podstawieniu równania (7.27) do równania (7.32), otrzymuje się
UZ=[G]{V} (7.35)
gdzie:
[G] = [A][C]-1 (7.36)
Wektor kolumnowy {V} zawiera składowe przemieszczeń elementu pokazanego
na rys. 7.15 i jest zdefiniowany za pomocą wzoru (7.22). Macierz [C], zdefiniowana w
tablicy 7.1, nie zależy od współrzędnych. Macierz bezwładności prostokątnego
elementu płytowego (MZC) została zatem zdefiniowana według [214]
k/]=lp[G]r[G]JF
(7.37)
96
Zakładając stałą grubość elementu płyty t oraz podstawiając równanie (7.36) do
równania (7.37), otrzymuje się
K/]= /^([crHj/[Al^Al^IC]-1 (7.38)
Po wyznaczeniu całki w tym równaniu i pomnożeniu macierzy otrzymano
macierz bezwładności prostokątnego elementu płytowego, którą przedstawiono w
tablicy 7.3.
7.6. Macierz bezwładności trójkątnego elementu płytowego
Dla pokazanego na rysunku 7.16 trójkątnego elementu płytowego typu CKZ
funkcję ugięcia można opisać według [214] za pomocą wielomianu
u2 = [Aja] (7.39)
gdzie:
[A] = [l, x, y, x\xy,y\x\ (xy2 +x2y\y3] (7.40)
{a} = {al,a2,...,a9f (7.41)
Postępując podobnie jak w elemencie prostokątnym, otrzymuje się
U2=[G2]{V} (7.42)
gdzie:
[GZ] = [A][C]-1 (7.43)
Macierz [C]_1 zamieszczona jest w pracy [158], a wektor składowy przemieszczeń
elementu przedstawionego na rys. 7.16 ma postać
{V} = \uZi, aXi, ayt, w , a , a ,u,t, aXt, ayt \T (7.44)
Tablica 7.3. Macierz bezwładności prostokątnego elementu płytowego typu MZC
1
2
3
4
5
6
ab 7
8
9
10
11
12
ax
a3b
- a3a
aĄ
- a5b
- a-fCi
2,758/^
-al0b
al0b
aĄ
a-jb
a5a
1
a2b"
-abab
a5b
-2asb2
- a9ab
al0b
-aHb2
anab
a-,b
a2b^12
agab
2
a2a2
— a7a
agab
a2a 12
-aloa
anab
-a%a"
— a5a
- agab
-2a%a^
3
ax
- a3b
-a3a
«4
-a7b
a5a
2,758/*,
awb
aloa
4
a2b~
a6ab
- a7b
a2b2l2
- agab
-awb
-asb2
-anab
5
2
a2a
- a5a
a9ab
-2a%a"
Lt-t n W
- auab
-asa"
6
«i
- a3b
a3a
aĄ
a5b
a-j a
7
a2b~
- a6ab
-a5b
-2asb
- agab
8
a2a2
a7a
agab
a2a212
9
at
a3b a2b
a3a a6ab
10 11 1
a^a
■■ 176,4;
a, =24,178/*,; a2=560/*,; a3 =3,227/*,; aĄ =8,582/*,; a5 =1,918/*,;
= 441/*!; a-j =1,393/*,; a8=210/*,; a9=294/*i;
= 812/*i; a11=196/*1;
Rys. 7.16. Trójkątny masowy element płytowy
W trójkątnym masowym elemencie, dla dowolnego punktu materialnego, oprócz
przemieszczenia uz są możliwe również przemieszczenia liniowe ux i uy, które
umożliwiają ruch obrotowy względem normalnej prostopadłej do płaszczyzny środkowej
i są zdefiniowane w następujący sposób:
dU- -[GX]{V}
(7.45)
dx
gdzie:
[oj=-z4^[cr
&■}-
dx
dy
[C]"
(7.46)
Macierz bezwładności trójkątnego elementu płytowego według [2] oblicza się
zatem za pomocą wzoru
Vv\=P JK T KW +P JK Y h MV +P J[GZ ]T [G2]dV (7.47)
V V V
w którym człony pierwszy i drugi reprezentują ruch obrotowy, trzeci zaś reprezentuje
ruch postępowy tego elementu. W praktyce pomija się ruchy obrotowe, ponieważ ich
udział jest niewielki. Wówczas:
M=pj[Gj[Gz]dV = ptj([cr)T[AY[A][crdV =
v v (7.48)
=p'([crf(j(f[A]r[A^^1
99
[A]r[A] =
1
x
x
y *y y
2
X
X
x2y
x
2 2 3 2 2
xy x y xy x y x y
2 2 3 2 2 3 4
y xy y x y xy y
3 4 3 5 4 3 2
x x x y x x y x y
222 33223 4
xy x y xy x y x y xy
y *y
4 2 3
y x y
*y y
4 2
x y
av
3 3 5 2
x y xy x yĄ
(7.49)
•xy
(22 3 22 3223 21
xy +x y + x y + x y +xy + xy +x y +xy + xy)
W tym wypadku nie podano ostatecznego wzoru będącego wynikiem całkowania
trójkątnej macierzy bezwładności, ponieważ zaleca się całkowanie numeryczne [9].
8. ELEMENTY PRĘTOWE I BELKOWE
Wiele konstrukcji nośnych maszyn roboczych i pojazdów, mosty, słupy wysokiego
napięcia oraz szkielety różnych budowli są zbudowane z elementów belkowych.
Kształt poprzeczny oraz sposób połączeń jest różny i wynika z technologii łączenia.
Współczesne konstrukcje belkowe charakteryzują się ogromną liczbą elementów oraz
powtarzalnością ich kształtów i cyklicznym rozmieszczeniem. Pierwsze konstrukcje
belkowe powstały pod koniec ubiegłego stulecia i byry związane głównie z budową
mostów kolejowych oraz wielkich hal przemysłowych. Obecnie znalazły one
zastosowanie w budowie maszyn (rys. 8.1), pojazdach (rys. 8.2), konstrukcjach
energetycznych (rys. 8.3) oraz lotnictwie.
Rys. 8.1. Wysięgnik koła czerpakowego koparki KWK1200M zbudowany z elementów belkowych
101
Rys. 8.2. Konstrukcja nośna żurawia budowlanego zbudowanego z elementów belkowych
Rys. 8.3. Belkowa konstrukcja nośna kotła typu OP-650b
102
Mechanika konstrukcji belkowych (kratownic, ram) obejmuje obliczenia statyczne,
stateczność, nośność graniczną oraz dynamikę w zależności od potrzeb i charakteru
pracy. Na potrzeby tej klasy modeli dyskretnych w MES opracowano szereg
elementów skończonych. Ogólnie w literaturze [1, 54, 60, 80, 111, 160, 161] rozróżnia się
elementy typu bar, pręt, belka oraz belka cienkościenna. Elementy prętowe i belkowe
mogą być dwuwymiarowe (2-D) lub trójwymiarowe (3-D). W modelach dyskretnych
wszystkie one mają taki sam schemat oznaczenia, przedstawiony na rysunku 8.4,
różnią się natomiast liczbą stopni swobody w węźle.
Ux UX UX
bar pręt belka
Rys. 8.4. Schemat oznaczenia elementu typu bar, pręta i belki wraz z przemieszczeniami
Do analizy statycznej i dynamicznej [61] są potrzebne macierze sztywności,
bezwładności oraz geometryczna dla elementu typu bar, pręt lub belka. W dalszej części
przedstawiono przykładowe wyprowadzenie macierzy sztywności i bezwładności.
8.1. Macierz sztywności sztywnego elementu prętowego typu bar
Sztywny element prętowy w języku angielskim zwany bar jest dość często
potrzebny do modelowania bardzo sztywnych sztab, pełnych litych belek o bardzo dużej
sztywności. Przykładem elementów typu bar są w modelu dyskretnym obrotnicy
koparki kołowej kule łożyskowe o średnicy 100^-200 mm. Każdą z tych kul można za-
modelować elementem typu bar. Ponadto stosuje się je wówczas, gdy w modelu
dyskretnym chce się zapewnić tylko przemieszczenie w jednym kierunku.
Element typu bar jest elementem jednowymiarowym, opisanym dwoma węzłami,
jak pokazano na rysunku 8.4. Zakłada się, że przenosi on tylko siłę ściskającą lub
rozciągającą.
Wyznaczmy dla tego elementu funkcję kształtu. Zgodnie z hipotezą płaskich
przekrojów, przemieszczenia dowolnego przekroju pręta są stałe, natomiast przemieszczę-
103
nia wzdłuż osi pręta można opisać funkcją na podstawie jednowymiarowego ciągu
Pascala
ux = axx + a2
lub zapisie macierzowym
(8.1)
(8.2)
W założonej funkcji kształtu niewiadomymi są nieoznaczone stałe a\ i a2, które
możemy wyznaczyć metodą Ritza. Należy zatem wykorzystać zasady minimum
energii potencjalnej z istotną modyfikacją, związaną z dyskretyzacją konstrukcji. W
metodzie Ritza przemieszczenia są przyjmowane jako wyrażenia ważne w całym obszarze
(opis ogólny), natomiast w metodzie elementów skończonych przemieszczenia są
przyjmowane lokalnie. A zatem, nieoznaczone stałe a\ i a2 muszą być również
wyznaczone w funkcji lokalnych wielkości elementu skończonego. Podstawiając
równanie (8.1) do węzła © i © pręta otrzymuje się układ równań
(8.3)
lub w postaci macierzowej
Xj 1
Xt 1
a.
<x,
(8.4)
Po podstawieniu zależności (8.4) do równania (8.2) otrzymamy funkcję kształtu
dla przemieszczeń dowolnych punktów elementu prętowego w funkcji współrzędnej
bieżącej x i przemieszczeń węzłowych tego elementu ux i ux
[xl]
Xj 1
x2 1
(8.5)
lub po wymnożeniu
L
(x2 - x)
(xj - x)
(8.6)
gdzie L = |x2 -xJ jest długością elementu prętowego.
104
Równanie (8.6) można zapisać krócej
wn (8.7)
I w.
gdzie [N] jest macierzą funkcji kształtu.
Wyznaczając odkształcenie dowolnego punktu elementu prętowego uzyskuje się
lub w postaci macierzowej
W = f[N]M4[-ll]("4 (8.9)
Po wprowadzeniu oznaczenia
[B] = |[-ll] (8.10)
otrzymamy ostateczną postać odkształcenia względnego elementu prętowego
M = [B]|^| (8.11)
Według prawa Hooke'a naprężenia normalne występujące w elemencie prętowym
są równe
ax=Eex (8.12)
lub w zapisie macierzowym
M = £[B]M (8.13)
Po wprowadzeniu macierzy sprężystości materiału
[D] = £[B] (8.14)
ostatecznie otrzymamy
W = [D]|£J (8.15)
Z wcześniejszych rozdziałów wiadomo, że macierz sztywności dowolnego
elementu oblicza się z funkcjonału energii potencjalnej
[k] = f[B]r£[B]t/F = ^ f[B]r[B]t/x (8.16)
105
Po scałkowaniu równania (8.16) otrzymuje się macierz sztywności elementu
prętowego typu bar w postaci jawnej
M
EA_
1 -1
-1 1
(8.17)
gdzie EA - sztywność pręta na ściskanie lub rozciąganie.
Zapisując dla całego elementu związki pomiędzy siłami i przemieszczeniami
uzyskuje się równanie
{F} = [k]{«} (8.18)
Powyższa zależność jest znanym równaniem przemieszczeń mechaniki.
8.2. Macierz sztywności elementu prętowego
W przestrzennym stanie obciążenie elementu prętowego ma w każdym węźle trzy
translacje (ux, uy, uz). Wektor współrzędnych uogólnionych (rys. 8.5) w układzie
lokalnym elementu prętowego ma postać
{V} =
Ux,,"»,%,%,%,%
(8.19)
Rys. 8.5. Prętowy element skończony 3-D ze stopniami swobody
106
Zakładamy, że początek lokalnego układu osi znajduje się w węźle z a osi x
pokrywa się z długością pręta (rys. 8.5). W tym wypadku węzły z ij elementu prętowego
doznają przemieszczeń przestrzennych w postaci trzech translacji ux, uy, uz w
prostokątnym układzie kartezjańskim, natomiast zmiany odkształcenia elementu prętowego
wywołują tylko przemieszczenia wzdłuż osi x pręta dla tak przyjętego lokalnego
układu osi. Nazywamy je przemieszczeniami uogólnionymi ut i Uj dla elementu prętowego.
Przemieszczenia uogólnione są odpowiednio równe sumie rzutów przemieszczeń
węzłów elementu prętowego ux, uy, uz na kierunek osi pręta x'. Na podstawie rysunku 8.5
można stwierdzić, że oś pręta x' tworzy z osiami x, y i z układu kartezjańskiego kąty
yx, yy i Yz odpowiednio, a zatem rzutując przemieszczenia ux, uy, uz na kierunek x'
otrzymamy dla węzła i,j
",
uyt
"*,
= cos yxu,
= cos Yyu,
= cos Yzut
uXj
uy}
u*>
= cos yxu }-
= cos Yyiij
= cos yzu.
(8.20)
Podstawiając za cosinusy kierunkowe osi x' oznaczenia: a = cosyx, b = cosYy,
c = cos Yz, otrzymamy związek pomiędzy przemieszczeniami uogólnionymi ut i Uj
a składowymi przemieszczeń węzłowych elementu prętowego
a b c 0 0 0"
0 0 0 a b c
(8.21)
lub
gdzie:
:[C]H
[c]=
a b c 0 0 0
0 0 0 a b c
(8.22)
(8.23)
Zależność (8.22) przedstawia związek transformacji przemieszczeń węzłowych
elementu {V} zapisanych w układzie x, y i z na przemieszczenia uogólnione {u}
w kierunku osi pręta x' za pomocą macierzy transformacji [C].
Macierz sztywności elementu prętowego wyznaczamy z funkcjonału energii
potencjalnej dla tego elementu w ogólnej postaci i po przemieszczeniach [121]
otrzymamy zależność
107
[k] = ^}[c]r[B]r[B][c]Jx'
(8.24)
w której [b] = -[-1 l].
Po wykonaniu działań z równania (8.24) otrzymano jawną postać macierzy
sztywności dla elementu prętowego leżącego w przestrzeni
M
EA
L
a2 ab ac
b2 be
e2
sym
-a2
-ab
-ac
a2
-ab
-b2
-be
ab
b2
-ac
-be
-c2
ac
be
(8.25)
8.3. Macierz sztywności elementu belkowego
Rozważany element belkowy jest opisany dwoma węzłami, które wystarczą do
wyznaczenia jego macierzy sztywności. Schemat elementu przedstawiono na
rysunku 8.6, precyzując kierunek osi elementu, gdzie oś x biegnie od pierwszego do
drugiego węzła, oś y elementu jest prostopadła do osi x i leży na płaszczyźnie x-y. Oś z
elementu jest normalną do płaszczyzny xy i tworzy prawoskrętny kartezjański układ
współrzędnych. Element belkowy jest prostoliniowy o długości L i stałym przekroju
A, wykonany z jednorodnego materiału o module Younga E.
W przestrzeni belka, dla której obowiązuje teoria skręcania de Saint-Venanta,
ma w każdym węźle 6 stopni swobody (rys. 8.6): trzy przemieszczenia translacyjne
oraz trzy rotacyjne [101, 118]. Wektor współrzędnych uogólnionych w układzie
lokalnym elementu ma postać
W(= \UV Uyj Uz
ar av a. ux
xi Ji zi x
UyjUz
a a az
(8.26)
108
/>x
Rys. 8.6. Element belkowy z przemieszczeniami
Wyrazami macierzy sztywności są reakcje belki wywołane jednostkowymi
przemieszczeniami w jej węzłach, które pochodzą od:
- jednostkowego wydłużenia (lub skrócenia) osi obojętnej —-,
dx
- jednostkowego kąta skręcenia
dx
jednostkowego kąta ugięcia względem osi y (płaszczyzna 0xy)
d2u
dx2
d2u„
- jednostkowego kąta ugięcia względem osi z (płaszczyzna 0xz) .
dx
Z wszystkich czterech stanów odkształceń wyznacza się niezależnie od siebie
wyrazy macierzy sztywności. Wyrazy pochodzące od ściskania (rozciągania) belki
zostały wyznaczone w poprzednim podrozdziale dla elementu typu bar. Analizując
przykładowo zginanie belki w płaszczyźnie 0xz przedstawione zostanie obliczenie 16
wyrazów macierzy sztywności belki. Na rysunku 8.7 pokazano przemieszczenia
węzłowe i odpowiadające im siły. W etapie tym ustala się związek zachodzący pomiędzy
przemieszczeniami węzłowymi elementu a odpowiadającymi tym przemieszczeniom
siłami.
Az
109
©0
uz,*Fz)
r
Uz=1
ay=0
u7=0
OCy.(My)
^)®
1
uz,(Fz)
uz.=0
a., =0
Rys. 8.7. Belka zginana w jednej płaszczyźnie: a-e - schematy przemieszczeń
W węzłach elementu w płaszczyźnie Oxz (rys. 8.7) występują przemieszczenia
i siły, z których tworzy się wektory
110
\
ay
K
KJ
F
My
F;
(8.27)
Linię ugięcia belki można opisać wielomianem trzeciego stopnia w przypadku
liniowego przebiegu momentu gnącego (pomija się wpływ sił normalnych i
poprzecznych). Jeżeli się przyjmie, że przemieszczenia wz = 1 (rys. 8.76), a pozostałe
przemieszczenia są równe zeru (a =uz =ccy. = 0), jak wiadomo z kursu wytrzymałości
materiałów, linia ugięcia belki będzie opisana równaniem
W'=1 + 3F
L5
(8.28)
Podobnie, przyjmując kolejno jednostkowe wartości przemieszczeń a = 1 (rys. 8.7c),
uz =1 (rys. %ld), a =\ (rys. 8.7e) każdorazowo przy założeniu, że pozostałe
przemieszczenia są zerowe, otrzymuje się równania
N2 =x-2
L L2
JV3=l + 3(Z7)2-2^#
(8.29)
N4 = -{L-x) + 2^1-L-^-L
Podane cztery funkcje zapisuje się w postaci jednego wektora zwanego funkcją
kształtu elementu
{jV} = [N1N2N3N4]r (8.30)
Wykorzystując znane równanie różniczkowe osi odkształceń belki można napisać
Mg =-EI [N"]5
(8.31)
Związek pomiędzy siłami węzłowymi elementu a jego przemieszczeniami ma postać
(8-32)
{F}xz=\\{W'}EIy[wYdx
gdzie macierz sztywności
[k\=\{N"}EIy[W]Tdx
(8.33)
111
Zakładając, że EIy = const po dwukrotnym scałkowaniu przez części otrzymuje się
równanie
[k] = EIy ({N'{L)}[N"{L)]T- {N{L)}{N'"{L)} - {N'{0)}[N"{OJ\ T+ {n{0)}{N"'(o)}) (8.34)
Poszczególne składowe funkcji kształtu dla x = 0 i x = L mają następującą postać
{N(0)} = <
M0)} = <
>)} = ■
1
0
0
0
0"
1
0
0
' 6/Z2 '
-4/Z
-6/Z2
-2/Z
{N'"(0)} = {N'
0
•; W(i)} = |J
[o
f(
•; {n'(l)} = \{
[
'
■; {N"{L)} = <
.
"(Ł)} = -
-Yl/l
6L
12/L
_ 6/L
>
,
y
i
-6/Z2'
2/Z
6/Z2
4/Z ,
3'
>
3
(8.35)
Po wykorzystaniu mnożenia i sumowania równania (8.34) otrzymano macierz
sztywności belki zginanej w płaszczyźnie 0xz opisaną za pomocą równania
[kL
El,
12
12
r3
^6
Z
12
1F
6
Z
Z2
4
Z
6
Z2"
2
Z
Z3
6
Z
12
1F
6
Z?"
Z3
2
Z
6
Z2"
4
Z
(8.36)
Postępując analogicznie ze zginaną belką w płaszczyźnie 0xy otrzyma się
identyczne wyrazy macierzy sztywności, tylko moment bezwładności będzie Iz.
112
Wyrazy macierzy sztywności belki pochodzące od skręcania swobodnego oblicza
się za pomocą równań kąta skręcenia belki
M,
L
-ar
(8.37)
gdzie Id jest momentem bezwładności belki przy skręcaniu.
W rozważaniach skręcania swobodnego [14] stosuje się metodę de Saint-Venanta
przyjmując, że odkształcenie skręconego przekroju belki składa się z dwóch części:
- z obrotu dookoła osi przekroju poprzecznego jako sztywnej całości,
- z przemieszczeń poszczególnych punktów przekroju w kierunku równoległym do
osi belki.
Na rysunku 8.8 przedstawiono stopnie swobody belki pochodzące od skręcania
oraz siły wewnętrzne.
Rys. 8.8. Schemat skręcanej belki
Zakładając jednostkowy kąt skręcania ax =1 w węźle z, a w drugim węźle
ax = 0, wyklucza się reakcje węzłowe.
Mx
M„
_GId
L
= -M,
<x
L
(8.38)
"«v
Następnie przyjmując ax. =1 a ax =0 oblicza się reakcje węzłowe
GL
Mx
L
-cc,
9Łl
L
(8.39)
-ar
Zapisując równania (8.38) i (8.39) w formie macierzowej uzyskuje się
\MX
9Ll
GId GId
9h
L
L
L
(8.40)
113
lub
^U=W«,{«U (8-41)
gdzie \k]a jest macierzą sztywności belki skręconej.
Po wyznaczeniu wyrazów macierzy sztywności od poszczególnych stanów
obciążeń w ogólnym przypadku ma ona postać podaną w tablicy 8.1.
Tablica 8.1. Macierz sztywności belki
W =
1
2
3
4
5
b
7
8
y
1U
ii
12
" EA
L
0
0
0
0
0
EA
L
0
0
0
0
0
1
\2EI
L3
0
0
0
6EI
L2
0
\2EI
L3
0
0
0
6EI
L2
2
\2EIV
L3
0
6EJ
L2
0
0
0
\2EIV
L3
0
6EJ
L2
0
3
GId
L
0
0
0
0
0
GL,
L
0
0
4
AEJ
L
0
0
0
6EI
L2
0
2EJ
L
0
5
4EI
L
0
6EI
L-
0
0
0
2EI
L1
6
FA
L
0
0
U
0
0
7
\2EI
LJ
0
0
0
6EI
L1
8
12/
L3
G/j
0 —d-
L
6EJ AEJ
y Q
L2 L
4EI
0 0 0
L
9 10 11 12
8.4. Macierz bezwładności elementu belkowego
W elemencie belkowym pokazanym na rysunku 8.5 główne centralne osie
bezwładności pokrywają się z osiami y i z. Wektor przemieszczeń {u} w ogólnym
przypadku jest złożony z dwunastu składowych i opisany równaniem (8.26).
Pierwszym krokiem przy wyznaczeniu macierzy bezwładności jest znalezienie
macierzy [a] uzależniającej przemieszczenie dowolnego punktu belki od statycznych
przemieszczeń węzłowych, zgodnie z zależnością
114
M = [a]{«}
gdzie wektor {w} opisuje przemieszczenia dowolnego punktu belki
w
w„
w„
w.
(8.42)
(8.43)
Elementy macierzy [a] wyznacza się, nadając poszczególnym składowym wektora
{u} fikcyjne wartości (jednostkowe). Obciążony fikcyjnym przemieszczeniem
element opisuje się równaniem odkształceń belki, dla którego oblicza się reakcje.
Przykładowe wyznaczenie elementów macierzy [a] przedstawiono, nadając węzłowi z (rys.
8.9) przemieszczenie u w kierunku osi y. Równanie osi odkształconej belki ma
wówczas postać
d2wv
EL y
dx
-Mn
(8.44)
i
,
UYi
/^
0
«Zi=0
ty
FYi
MZ|
•^
N^>\
L
—22
V
►
r
~y uy-o
az.=0
j
Rys. 8.9. Odkształcenie belki pod wpływem przemieszczenia u
Moment gnący belki jest określony wzorem
Mg=MZi-Fyx
Warunki brzegowe dla odkształconej belki są następujące
(0) =
w„
yi
wy
w.
y
M=o
i">®=°
(8.45)
(8.46)
Całkując dwukrotnie równanie (8.44), uzyskuje się
115
EIz—w =-Mzx + Fv— + C
z dx y Zi y> 2
2 3
EIw=-Mz — + FV — + Cx + D
Z warunków brzegowych oblicza się stałe
C = 0
D = EIzuyi
oraz siły wywołane przemieszczeniem u za pomocą równań
1
MZL+-FL2=0
2 y'
-MzL2+-FvL3+EIzuv =0
2 ' 6 y' y'
Zatem
(8.47)
(8.48)
(8.49)
F -llEI>u
L
2 yt
(8.50)
Podstawiając do równań (8.47) obliczone stałe całkowania (wzór 8.48) i siły (wzór
8.50), otrzymuje się
w.
lub
w,.
(2 3 A
-3^ + 2^ + 1
T T
(\-3C2 +2C3)u
(8.51)
(8.52)
gdzie Ę, = x/L .
Przemieszczenie liniowe w kierunku osi x dowolnego punktu o współrzędnej y
leżącego na przekroju poprzecznym x = const można wyznaczyć za pomocą wzoru
dw„
w„
dx
-y
Z pierwszego z równań (8.47) otrzymuje się
dw„
EL
dx
6EIzu 6EIzu
' x + ^Zj-x
LL
V
(8.53)
(8.54)
116
zatem
dw„
- (x - x2 jt
(8.55)
dx L
Po podstawieniu równania (8.55) do równania (8.53), otrzymuje się
wx =6^-^)77^ (8.56)
gdzie:
Ś = x/L; rj = y/L.
Trzecie przemieszczenie dowolnego punktu (w kierunku osi z) wz = 0. W ten
sposób uzyskano trzy elementy macierzy [a]:
au=l-3f+2f
«22 =6^-^2)?7
(8.57)
«32=0
Postępując identycznie z pozostałymi 11 przemieszczeniami wektora {u},
otrzymuje się pozostałe elementy macierzy [a], którą przedstawiono w tablicy 8.2.
Tablica 8.2. Macierz uzależniająca przemieszczenia dowolnego punktu pręta
od statycznych przemieszczeń węzłowych
Wv
[af
w,.
l-3^2+2£3
Wz
0
0
6\C-f)C 0 l-£2+2£3
, o -(i-^C . -(1-^7.
(l-4ś + 3C2}LC 0 (-<?-2£2-#3JL
(-1 + ^-3^^ (^-2^2-^)l 0
6(-^ + f)t] 3C2-2<f 0
6(-^ + ^2)^ 0 3£2-2£3
0 -LCC -LCij
(-2# + 3#2)l# 0 (<f2+f)Ł
(2^-3^)1/7 K2+#3)ł o
ą = X/L; 77 = y/L; C, = z/L
uy,
"*,
«*,
ay
a*.
"*,
\
uZj
a*.
a.
117
Tablica 8.3. Macierz bezwładności elementu belkowego (belki litej)
[mg]=pAL
U_ 61 z
35+ 5 AL2
0
0
lii Iz
Ho WAL
0
9 61 z
70 ~ 5AL2
0
0
0
]1 3l.
35 SAL1
o L
-™--L- 0
210 WAL
0 0
13Ł Iz
420 WAL
2 3
0
0
9 6Iy
70 '" 5AL2
0
13L /j,
420 KMŁ
0
0
0
0
6A
0
0
5
—+ ^Ł
105 15/1
0
0
0
13L /j,
420 KUŁ
0
L2 /,
140 30.4
0
L2 2I2
105 157
0 i
I^-^o
420 WAL
0 0
0
0
L2 Iz
"140 30.4
35+5.4Z,2
0
0
0
lii Iz
210 10/łL
9 10
Ił _Ł_
35 + 5.4Z,2
0
lii I,
Ho KMŁ
0
11
3A
105 15.4
0 0
12
Znając macierz [a], można obliczyć macierz bezwładności belki
[mJ=pj[a]r[a]JF = Zp||[a]r[a]^flL4
i_ IŁ
105 15.4
(8.58)
którą przedstawiono w tablicy 8.3. Elementy tej macierzy zawierają momenty
bezwładności Iy i Iz, reprezentujące bezwładność „dewiacyjną" (tzn. związaną ze
zginaniem), a elementy zawierające moment bezwładności Ix reprezentują bezwładność
„rotacyjną" (tzn. związaną ze skręceniem belki).
9. ELEMENTY POWŁOKOWE
Większość rzeczywistych konstrukcji powierzchniowych jest powłokami. Mogą
one powstawać w zasadzie z cienkiej płyty poprzez ukształtowanie jej płaszczyzny
środkowej w pojedynczo lub podwójnie zakrzywioną powierzchnię. W budowie
maszyn i pojazdach konstrukcje nośne są powłokami (rys. 9.1). Powłoki przenoszą na
ogół obciążenia przez siły równomiernie rozłożone w grubości powłoki i działające
stycznie do powierzchni środkowej. Dla powłok obowiązuje wiele teorii dotyczących
powłok cienkich, średnich i grubych. Wyprowadzenie szczegółowych równań
podstawowych dla różnych typów powłok sprawia dość dużo kłopotu i w istocie prowadzi
do wielu odmiennych sformułowań, z których każde zawiera uproszczenia. Z
klasyczną teorią można się zapoznać w monografii W. Fluggego [58].
Rys. 9.1. Konstrukcje nośne powłokowe; a - portal zwałowarki, b - korpus spawany przekładni,
c - zbiornik wodny wozu pożarniczego
Dyskretyzacji dowolnych powłok (np. powierzchni zakrzywionej) na płaskie
elementy dokonuje się przez aproksymację w sposób ciągły, otrzymując powierzchnię
utworzoną z małych płaskich elementów trójkątnych. Pewne powłoki (np. walcowe)
można dobrze przedstawić za pomocą płaskich elementów prostokątnych lub
czworobocznych. Przyjęcie do rozważań elementów zakrzywionych pozwala unikać
aproksymacji konstrukcji powłokowych.
Dalej wyprowadzono wypadkowe naprężenie (siły i momenty) odniesione do
jednostki długości elementu dx, dy [131], przedstawionego na rysunku 9.2.
119
łz
Rys. 9.2. Wydzielony element powłokowy z wypadkowymi naprężeniami
Całkowitą siłę normalną, działającą na ściankę boczną o wymiarach dy, t,
definiuje się jako
t/2
Fxdy= j" dyax
-t/2
(ry^
\ y )
dz
(9.1)
Po podzieleniu obu stron przez dy otrzymuje się wyrażenie
t/2
F,
er J 1 + -
-t/2
dz
(9.2)
y )
Analogicznie definiuje się siłę styczną F^ oraz siłę poprzeczną Fxz na
rozpatrywanej ściance
F = fr
-t/2
t/2 / ^
" 1 + ^
r
V y J
dz
(9.3)
t/2
F„.
z-Jl-
<iz
(9.4)
-t/2
>v
120
Podobnie siły normalne Fy, styczne Fyx i poprzeczne Fyz na ściance o wymiarach
dy,t
t/2
Fy= Hi
+ -
-t/2
t/2
dz
x J
F„
H1-
-t/2
t/2
dz
x J
K
yz
-t/2 V 'x J
dz
(9.5)
(9.6)
(9.7)
Warto zauważyć, że F^ ^ Fyx, pomimo że r^ = ryx. Przyjęto tu dodatnie kierunki
sił poprzecznych Fxz oraz Fyz jako przeciwnie skierowane niż naprężenia rxz, ryz.
Dodatnie kierunki poszczególnych sił przedstawiono na rysunku 9.3a.
Pozostałe siły działające na wydzielony element powłoki, czyli momenty zginające
i skręcające definiuje się w następujący sposób
M,
M,
H1
A
+ -
^
1 + -
v ryj
M
xy
t/2
"J
-t/2 V ' y J
t/2 (
-t/2
t/2 f
"I
-t/2
t/2
zdz
z dz
•xy
1 + -
r
V y J
z dz
M,
TyĄl + -
z dz
(9.8)
(9.9)
(9.10)
(9.11)
-t/2
'xj
Należy zauważyć, że Mxy ^ Myx. Jedynie dla rx = ry będzie M^ = Myx. Dodatnie
kierunki wektorów momentów zginających i skręcających przedstawiono na
rysunku 9.36.
a
b
121
Rys. 9.3. Dodatnie kierunki sił i momentów
Z podanych rozważań uzyskano sześć sił i cztery momenty. Do dyskretyzacji jest
sześć równań równowagi: trzy równania równowagi sił i trzy równania równowagi
momentu. Brakujące równania otrzyma się z rozważań nad odkształceniem powłoki.
Jeśli zna się poszczególne składowe sił i momentów, to ze znanych wzorów
wytrzymałości materiałów (dla belki o przekroju prostokątnym o wysokości t i
szerokości b) można wyznaczyć naprężenia
o-„
K
t
Fy
t
UMxz
t3 '
UMyz
t3 '
rxv
T
yx
t
t
12M^z
t3
™yxz
t3
Rozkład naprężeń ścinających jest paraboliczny
3&
2t
Az
2\
iQv
2h
Az
2\
(9.12)
(9.13)
(9.14)
W szczególnym przypadku powłoki, np. w stanie błonowym, występują
następujące związki
Mx =My =Mxy =My
Qx=Qy = o
= 0
(9.15)
Stan ten będzie występował w cienkich dwukrzywiznowych powłokach [163,
228]. W stanie błonowym powierzchnia środkowa powłoki dozna wydłużeń, skróceń
i zmian postaci, które mogą być związane ze zmianą krzywizny.
Wiele elementów zostało opracowanych i opublikowanych w literaturze. Ogólnie
można je podzielić na płaskie o kształcie trójkątnym i czworokątnym oraz elementy
izoparametryczne. W dalszej części zostaną omówione przykładowe elementy:
Trójkątny izoparametryczny element powłokowy
Trójkątny izoparametryczny element powłokowy, który jest opisany 3 węzłami,
pokazano na rysunku 9.4.
122
Każdy węzeł narożny ma 9 stopni swobody: trzy przemieszczenia liniowe i sześć
pochodnych pierwszego rzędu.
27 stopni swobody
węzły:
• - [ux dux/da duxjdf5
uy duy/da duyldp
uz duj da duJd/3\
Rys. 9.4. Trójkątny izoparametryczny element powłokowy
Trójkątny cienkościenny element powłokowy izoparametryczny
Trójkątny cienkościenny element powłokowy, opisany 6 węzłami o 30 stopniach
swobody (DOF), przedstawiono na rysunku 9.5. W narożnych węzłach jest po 9 stopni
swobody, jak poprzednio (rys. 9.4): trzy przemieszczenia liniowe i sześć pierwszych
pochodnych po kierunkach a i /?. Węzły dodatkowe leżące na bokach elementu mają 1
stopień swobody w postaci współczynnika Lagrange'a źt,.
30 stopni swobody
węzły:
• - [ux dux/da dux/d/3
uy duy I da duy /d/3
uz duj da duJd/3\
o - \., z=4,5,6 (współczynnik Lagrange'a)
Rys. 9.5. Trójkątny cienkościenny element powłokowy izoparametryczny
Element ten wykorzystuje konwencjonalne przybliżenie energii potencjalnej
z trzech składowych przemieszczeń poprzez sześcienną funkcję kształtu. Ciągłość
przemieszczeń na krawędziach pomiędzy sąsiadującymi elementami została
zapewniona przez wprowadzenie współczynnika Lagrange'a.
Wprowadzenie współczynnika Lagrange'a zwiększa wymiar problemu i wymaga
dla elementu lokalnej numeracji stopni swobody.
Trójkątny izoparametryczny element powłokowy
Dokładny trójkątny element powłokowy, nazwany CURSHL, ma 3 węzły. W
każdym węźle jest 12 stopni swobody: 3 przemieszczenia liniowe, 6 pochodnych pierw-
123
szego rzędu oraz 3 pochodne drugiego rzędu w kierunku normalnym do powierzchni
środkowej. Element ten pokazano na rysunku 9.6. Ma on 36 stopni swobody.
36 stopni swobody
Rys. 9.6. Trójkątny izoparametryczny element powłokowy - CURSHL
Pole przemieszczeń dowolnego punktu należącego do tego elementu jest
definiowane przez 5 stopni swobody (rys. 9.6), są to trzy przemieszczenia liniowe i dwa kąty
obrotu.
W celu uzyskania zgodności przemieszczeń na krawędziach w narożnych punktach
wprowadzono pierwsze i drugie pochodne, a macierz sztywności elementu ma 36
stopni swobody.
Podstawową zaletą tego elementu jest otrzymywanie niezwykle dokładnych
wyników. Element ten nie nadaje się jednak do analizy grubych powłok.
Trójkątny element powłokowy
Jednym z doskonalszych elementów jest 6-węzłowy trójkątny element
powłokowy, który ma aż 63 stopnie swobody. Pokazany na rysunku 9.7 trójkątny element
powłokowy ma w narożnych węzłach 18 stopni swobody: trzy przemieszczenia
liniowe, sześć pierwszych pochodnych oraz wszystkie dziewięć drugich
pochodnych.
©
63 stopnie swobody
węzły:
• - [ux dux/da dux/dfi 82ux/8a2 d2ux/dadft d2ux/dft2
uy duy/da dujdp d2uy/da2 d2uy/dadp d2uy/dp2
uz duj da duj d/3 d2ux/da2 d2ujdadf3 d2uxjdfi2\
^ °- [dux/8n duyjdn dujdn\
Rys. 9.7. Trójkątny element powłokowy
Ciągłość na krawędziach między elementami jest zapewniona przez wprowadzenie
dodatkowych trzech węzłów pomiędzy węzłami narożnymi, w których występują
pochodne przemieszczeń liniowych jako stopnie swobody.
Element ten umożliwia uzyskanie wyjątkowo dokładnych wyników, lecz jego
wadąjest czasochłonne wyznaczanie (całkowanie) macierzy sztywności.
124
Płaski czworokątny element powłokowy
Płaski czworokątny element powłokowy jest opisany 4 węzłami. W każdym węźle
(rys. 9.8) jest 5 stopni swobody: 3 przemieszczenia liniowe i 2 kąty obrotu płaszczyzn
prostopadłych do powierzchni środkowej.
20 stopni swobody
węzły:
•- [uxuyuz axay]
Rys. 9.8. Płaski czworokątny element powłokowy
Mimo swej prostoty, element ten umożliwia uzyskanie dobrych wyników. Jego
wykorzystanie jest niecelowe, gdy jego kształt nie przypomina prostokąta. Element
ten jest elementem niedostosowanym.
Izoparametryczny czworokątny element powłokowy
Izoparametryczny czworokątny element powłokowy opisany 8 węzłami pokazano
na rysunku 9.9. W każdym jego węźle występuje 5 stopni swobody: trzy
przemieszczenia liniowe i dwa kąty obrotu płaszczyzn normalnych do powierzchni elementu.
X
©
40 stopni swobody
t/y © C0"-\ węzly:
17 ^ •" ["*" uz axa ]
©
Rys. 9.9. Izoparametryczny czworokątny element powłokowy
Do interpolacji powierzchni powłok jako funkcje kształtu wykorzystuje się
wielomiany Lagrange'a.
Tak jak przy elementach powłokowych o kształcie trójkątnym, na podobnej
zasadzie buduje się elementy o kształcie czworokątnym, o podobnej liczbie stopni
swobody w węzłach.
Do dyskretyzacji rzeczywistych konstrukcji najczęstsze zastosowanie znalazły
płaskie elementy powłokowe o kształcie trójkątnym i czworokątnym. Na rysunku 9.10
125
przedstawiono schemat obliczeniowy konstrukcji nośnej autobusu dyskretyzowany
płaskimi elementami powłokowymi.
Z wielu elementów powłokowych, jakimi dysponują wielkie systemy MES, na
szersze omówienie zasługuje płaski trójkątny element powłokowy.
Rys. 9.10. Model dyskretny konstrukcji nośnej autobusu z podziałem na płaskie elementy powłokowe
9.1. Macierz sztywności płaskiego trójkątnego
elementu powłokowego
W ogólnym przypadku element powłokowy poddany jest działaniu sił leżących
w płaszczyźnie i sił zginających, które są przenoszone przez węzły opisujące ten
element. Trójkątny element powłokowy płaski jest opisany trzema węzłami (rys. 9.11),
w których dla poszczególnych przypadków obciążenia występują odpowiednie
składowe przemieszczeń.
126
Rys. 9.11. Składowe przemieszczeń w elementach powłokowych; a - siły działające
w płaszczyźnie elementu, b - siły zginające element
W każdym węźle elementu powłokowego występuje sześć składowych: trzy
przemieszczenia liniowe (ux, uy, uz) oraz trzy kąty obrotu (c&, <Xy, az). Wektor
przemieszczeń dla całego trójkątnego elementu ma postać
{^}= Mr Uv U7 ar av a7 Ur Uv Uy &r ff„ a? Ur Uv Uy ar av a7 V (9-16)
<- > \- x\ y\ z\ xi y\ z\ x2 y-i zi xi y-i zi xi y? zi xi y? zi j v j
Jest widoczne, że w przypadku ogólnym powłoka ma cechy zarówno tarczy, jak i
płyty. Macierz sztywności elementu powłokowego określa się dla dwóch stanów.
Stan tarczowy
W stanie tarczowym wektor przemieszczeń dla elementu ma postać
K} = k uyi ah uX2 uy2 aH uXi uyi azJ (9.17)
Przyjmując funkcję kształtu dla tego pola przemieszczeń należy rozważać osobno
przemieszczenia ux oraz uy, które są ze sobą bezpośrednio związane, a osobno kąt
skręcenia az. Na podstawie ciągu Pascala dla zagadnienia dwuwymiarowego,
przemieszczenia dowolnego punktu leżącego na elemencie skończonym są jednoznacznie
zdefiniowane przez 6 wartości, które przedstawia się za pomocą dwóch wielomianów
liniowych
ur =a, + anx + a^y
(9.18)
u = a4 + a5x + a6y
zaś w zapisie macierzowym
ftl-
W celu wyznaczenia współczynników oc\, a2, ..., <% należy równanie (9.18)
rozpisać na węzły opisujące element skończony
1 x y 0 0 0
0 0 0 1 x y
\a„
(9.19)
127
KMaJ^KJ
(9.20)
i przekształcić
«„
■■[&mWm
(9.21)
Po podstawieniu równania (9.21) do równania (9.19) otrzymano związek między
przemieszczeniami dowolnego punktu leżącego na elemencie a składowymi
przemieszczeń w jego węzłach
"1 x y 0 0 0"
OOOlij
kjfc,
(9.22)
Całkowite odkształcenie w każdym punkcie elementu definiuje się przez 3
składowe (w przypadku małych odkształceń)
<£
y
2rx
dx
dy
duv dux
dy dx
(9.23)
Biorąc pochodne cząstkowe względem równania (9.22), otrzymuje się również
związek między polem odkształceń dowolnego punktu w elemencie a składowymi
przemieszczeń w jego węzłach
k} = [bJK} (9.24)
Odkształcenia sx i Sy zmieniają się liniowo względem osi współrzędnych
równolegle do ich kierunku i pozostają stałe w kierunku prostopadłym do tych osi. Wynika to
z przyjętej funkcji kształtu elementu (9.18). Odkształcenie postaciowe y^ zmienia się
liniowo w stosunku do kierunków równoległych do osi x i y.
Pole naprężeń odpowiadające polu odkształceń [210, 252] jest określone równaniem
[Dj{,
(9.25)
gdzie [Dm] jest macierzą sprężystości opisującą własności materiału.
W płaskim stanie naprężenia są 3 składowe, odpowiadające 3 rozpatrywanym
składowym odkształcenia
Xt (9.26)
er
■°\ ay Txy
Uwzględniając, że odkształcenia są określone przez równanie (9.24) i podstawiając
do równania (9.24), otrzymuje się naprężenia elementu w funkcji jego składowych
przemieszczeń węzłowych
128
{^} = [Dj[bJK} (9.27)
Oddzielnego omówienia wymaga kąt skręcenia az, który przedstawia miarę
sztywności skrętnej tarczy i w wielu elementach powłokowych jest pomijany.
W przypadku, gdy wszystkie elementy zbiegają się w jednym węźle oraz leżą
w jednej płaszczyźnie, sztywność skręcania powłoki w kierunku azi staje się równa
zeru [251]. Jeżeli w tym przypadku rozpatruje się równanie równowagi we
współrzędnych lokalnych, w punktach tych występuje sześć równań, z których ostatnie
odpowiadające kierunkowi az jest
az = 0 (9.28)
Równanie tego typu nie powoduje szczególnych trudności w ich rozwiązywaniu
(chociaż w zwykłych programach do obliczeń prowadzi do narastania błędu). Jeżeli
jednak kierunki współrzędnych ogólnych różnią się od kierunków współrzędnych
lokalnych, to po dokonaniu transformacji otrzymuje się sześć pozornie poprawnych
równań. Te jednak okazują się osobliwe. Aby temu zapobiec, można:
a) grupować równania w punktach, w których elementy leżą w jednej
płaszczyźnie na współrzędnych lokalnych i dopuszczać az = 0,
b) założyć dowolną sztywność skręcania [ k'a ] tylko w tych punktach, w których
występuje równanie w lokalnym układzie az.
To drugie założenie w lokalnych współrzędnych odzwierciedla równanie
F,t=[K,]<*,t (9-29)
w którym [fc;J*0.
Po przetransformowaniu macierzy sztywności elementu [k'm] z układu lokalnego
do globalnego otrzymuje się poprawny układ równań, z którego po rozwiązaniu
uzyskuje się wszystkie składowe przemieszczeń, w tym także az.. Kąt skręcenia az. nie
może w żaden sposób wpływać na wartości naprężeń.
W rzeczywistości kąt skręcenia az nie jest sprzężony z pozostałymi równaniami
(9.18), które mają bezpośredni wpływ na pole odkształceń {sm} i pole naprężeń {<Jm},
a więc teoretycznie można przyjąć dowolną wartość \k'a \ jako sztywność zewnętrzną,
nie wpływającą na wyniki.
Z drugiej strony wiadomo, że aby globalna macierz sztywności konstrukcji [K]
była dobrze uwarunkowana, należałoby określić rzeczywistą sztywność skręcania
elementu. W tym celu podejmuje się prace, w których sztywność tę traktuje się jako
dodatkowy stopień swobody w zadaniu płaskim. Praktyczniejsze rozwiązanie
zaproponował prof. Zienkiewicz [251], który przyjął fikcyjne współczynniki sztywności
skręcania we wszystkich elementach niezależnie od tego, czy są one koplanarne, czy
też nie.
129
Dla elementów trójkątnych definiuje się wyrazy sztywności skrętnej [k'a ] poprzez
macierz, która nie narusza równowagi we współrzędnych lokalnych
f^J [ 1 -0,5 -0,5"
MZi l = 0,3EtAA - 0,5 1 - 0,5
M, "0,5 -0,5 1
(9.30)
gdzie:
t - grubość elementu,
AA - pole powierzchni elementu.
Stała 0,3 w równaniu (9.30) została wyznaczona doświadczalnie, jako stała mająca
najmniejszy wpływ na wyniki przy niekoplanarnych węzłach, gdyż przy niekoplanar-
nych węzłach w równaniu (9.30) występuje dodatkowa sztywność skrętna, która może
wpływać na wyniki z obliczeń.
Wykorzystując związki od (9.17) do (9.30), macierz sztywności trójkątnego
elementu powłokowego w stanie membranowym opisuje się w następujący sposób
[k'J = 'jlbm]r[Dm][bm]flŁ4
(9.31)
Natomiast macierz sztywności w stanie tarczowym przy uwzględnieniu sztywności
skrętnej
[kJ = [k'J + [k]
(9.32)
Stan zgięcia
W każdym węźle (rys. 9.116) dane są przemieszczenia {Vg}, które są wywołane przez
siły zginające powłokę. Mają one trzy składowe: przemieszczenie liniowe uz w kierunku
osi z oraz dwa obroty ax i a wokół osi x oraz y. Wektor przemieszczeń elementu
trójkątnego ma postać
V„
a wektor sił
Fn
)iiv ar av u7 ar av u7 ar av
1 xl y\ zl x2 yi z3 x3 ^3
F, Mx Mv Fz Mx Mv Fz Mx Mv
(9.33)
(9.34)
Przemieszczenie uz dowolnego punktu elementu w funkcji jego przemieszczeń
węzłowych można opisać funkcją kształtu wziętą z trójkąta Pascala w postaci
wielomianu, w którym występuje 9 parametrów
uz = ax + a2x + a3y + a4x + a5xy + a6y + a7x + ag\xy + x y)+ a9y (9.35)
130
Pozostałe składowe przemieszczeń
du
«v
dy
a3 + a5x + a62y + ag [2xy + x2j+a93y2
(9.36)
oc„
dx
-a2 -a42x-a5y-a73x2 -ag[y2 + 2xyj (9.37)
Po podstawieniu do powyższych równań wszystkich przemieszczeń węzłowych
elementu i przekształceniu ze względu na niewiadome stałe {a} można otrzymać
związek
a
[crK
(9.38)
Macierz [C] została przedstawiona w literaturze [210].
Pole odkształceń dla zginanej powłoki jest opisane równaniem
dx2
d2u.
dy2
■2z
<?V
(9.39)
dxdy
Po wykonaniu rachunku pochodnych cząstkowych w równaniach od (9.35) do
(9.37) oraz po podstawieniach można otrzymać bezpośredni związek między polem
odkształceń a wektorem przemieszczeń węzłowych w postaci
bJW
(9.40)
Pole naprężeń odpowiadające polu odkształceń można zapisać za pomocą wzoru
KI=[Djk(=[Dj[bJK) (9.41)
gdzie [Dg] jest macierzą sprężystości zginanej powłoki.
Macierz sztywności zginanej powłoki, wiążąca siły węzłowe z odpowiadającymi
im przemieszczeniami węzłów, ma postać
k]=JkMb>
(9.42)
Znając poszczególne elementy macierzy sztywności w stanie membranowym oraz
w stanie zgięcia, można wyznaczyć macierz sztywności płaskiego trójkątnego
elementu powłokowego. Ponadto dodając do tego fikcyjną sztywność otrzymuje się
następuj ącą zależność
131
N=[kJ+[kJ+[kJ
18x18 6x6 9X9 3X3
(9.43)
Przedstawiając w formie graficznej macierz sztywności trójkątnego elementu
powłokowego, można zapisać
1
M-
h] [jFi-J KsX
[k2J 1^2-3
[k3]
(9.44)
Jest ona zbudowana z następujących podmacierzy o wymiarach 6x6, np.
[k,] =
~
ki ° °
2x2 r n
0 [kj 0
3x3
0 0
1
ki
1x1
(9.45)
gdzie:
[km ] - macierz sztywności węzła i w stanie membranowym,
[kg ] - macierz sztywności węzła i w stanie zgięcia,
[ka ] - fikcyjna sztywność skrętna powłoki w płaszczyźnie.
Analogicznie zdefiniowano wypadkowe pole odkształceń i naprężeń dla elementu
powłokowego
{s} = {sm)+{sg\ (9.46)
oraz
{a}={aj+{ag} (9.47)
Płaskie elementy powłokowe omówiono bardzo obszernie w pracach [210, 251].
9.2. Izoparametryczne elementy powłokowe grubościenne
Aby zapewnić możliwie wierne odwzorowanie krawędzi krzywizny powłoki przy
dostatecznie małej liczbie elementów, właściwie reprezentującej pełny zbiór
możliwości, jakie zdarzają się w praktyce, nie wystarczą proste, płaskie trójkątne i
czworokątne elementy. Jeżeli występuje problem analizy powłok grubych, to do analizy należy
zastosować elementy powłokowe grubościenne.
132
Oczywiście powłoki grubościenne są szczególnym przypadkiem problemu
trójwymiarowego, który można rozwiązać stosując elementy typu SOLID (rys. 9. Yla i b).
Rys. 9.12. Sposoby modelowania powłoki grubościennej: a - izoparametryczny sześcienny
element SOLID 20-węzłowy, b - izoparametryczny sześcienny element SOLID 16-węzłowy,
c - izoparametryczny 8-węzłowy element powłokowy
Zastosowanie trójwymiarowych izoparametrycznych elementów powłokowych
typu SOLID wprowadza pewne trudności.
Większość elementów sześciennych SOLID ma tylko trzy stopnie swobody [252]
w każdym węźle. Prowadzi to do dużych współczynników sztywności dla
przemieszczeń względnych wzdłuż grubości powłoki. Jeśli grubość powłoki staje się mała
w stosunku do pozostałych wymiarów elementu, to fakt ten stanowi poważny problem
numeryczny, gdyż otrzymuje się zdegenerowane równania.
Z drugiej strony użycie kilku węzłów rozmieszczonych w poprzek grubości powłoki
zwiększa liczbę równań do rozwiązania, a tym samym rośnie koszt i czas obliczeń.
Przytoczone poniżej postępowanie pozwala na ominięcie tych trudności.
Geometria
Przy dyskretyzacji powłok grubo ściennych zakłada się, że elementy skończone
mają zakrzywione powierzchnie zewnętrzne, podczas gdy przekroje przez ich grubość
są tworzone przez linie proste (rys. 9.13). Każdy węzeł z elementu leżący na
płaszczyźnie środkowej będzie opisany parą punktów j, k leżących na powierzchniach
zewnętrznych.
ZV:
n=-i
Rys 9.13. Przykładowe izoparametryczne elementy powłokowe o kształcie czworokątnym i trójkątnym:
a - widok, b - schemat
133
Opisuje się element powłokowy grubościenny we współrzędnych
krzywoliniowych poprzez £ i r\ płaszczyzną środkową, a C, - współrzędną liniową w kierunku
grubości. Jeżeli się założy, że £ 77, ^zmieniają się od -1 do +1 na odpowiednich
ściankach elementu, to możemy napisać zależność między współrzędnymi kartezjań-
skimi w każdym punkcie powłoki a współrzędnymi krzywoliniowymi w postaci
X
y
z
•=I>
V
yt
Zr^
> +
l>4
u
<m?
(9.48)
gdzie:
xi=(xj+xk)/2>
Nt - funkcja kształtu,
tt - grubość powłoki w węźle z,
/3 , z% , «3 - kosinusy kierunkowe wektora JF3
W tym wypadku funkcja kształtu Nt przybiera wartość 1 w węzłach z oraz zero w
pozostałych [251]. Jeśli te podstawowe funkcje Nt są uzyskane jako funkcje kształtu
dwuwymiarowych, kwadratowych lub trójkątnych elementów (w takim przypadku Ę, i r\
muszą być we współrzędnych powierzchniowych) na płaszczyźnie i są tak dobrane, że
istnieje zgodność na ich krawędziach, to zakrzywione elementy przestrzenne będą
również pasować do siebie (będą zgodne ze sobą).
W sensie geometrycznym wektor { V3 } w przestrzeni trójwymiarowej jest opisany
kosinusami kierunkowymi; wynika to z definicji rzutu wektora na kierunek odpowiedniej
składowej
cosav
= A
(9.49)
czyli wektor { V3 } można zapisać za pomocą wzoru
K
■■tA
Xj Xk
yj-y*!
(9.50)
Na rysunku 9.14 pokazano kierunki współrzędnych krzywoliniowych, wektory
geometryczne, oznaczenia węzłów i składowe przemieszczeń węzłowych.
Wektor { V3 } wiąże punkty górny j oraz dolny k i współrzędne powierzchni
środkowej, a jego długość równa jest grubości powłoki t.
Pozostałe wektory{ Vx } i { V2 } pokazano na rys. 9.14/3, a zależności między nimi
w tym przypadku opisuje związek
134
oraz macierz kosinusów kierunkowych
v%\ k
**, Fi
l s ^ l
2 1
■^l 17
(9.51)
(9.52)
c=+i
Rys. 9.14. Zakrzywione grubościenne elementy powłokowe; a - widok krawędzi, b - wektory
geometryczne, c - składowe przemieszczeń węzłowych
Pole przemieszczeń
Na początku przyjęto, że odkształcenia w kierunku normalnym do powierzchni
środkowej są znikome i można je pominąć. Przemieszczenie dowolnego punktu
leżącego na elemencie będzie jednoznacznie określone przez trzy kartezjańskie składowe
przemieszczenia węzła (ux, uy, uz - pokazane na rys. 9.146) oraz dwa obroty wektora
{ V3, } wokół ortogonalnych kierunków normalnych do tego wektora (cc i /?).
Określenie przemieszczeń dowolnego punktu leżącego na prostej normalnej do
powierzchni środkowej powłoki i przechodzącej przez węzeł z w funkcji składowych
przemieszczeń węzłowych wyraża związek
",
Uy
kJ
= I>J
u*t
uyt
V
> +
YnĄM
<x
A
(9.53)
gdzie ux, uy, uz są przemieszczeniami w kierunkach osi kartęzjańskich x, y, z.
Pole odkształceń
W celu wyprowadzenia podstawowych związków w elemencie należy zdefiniować
odkształcenia i naprężenia. Podstawowymi odkształceniami są składowe w kierunkach
135
osi ortogonalnych odniesionych do płaszczyzny środkowej (do powierzchni C =
const). Jeśli więc w dowolnym punkcie tej powierzchni należy określić składowe
odkształceń, to wyraża sieje przez trójwymiarowe związki
duxjćk
dujdy
duxjdz
duylćk
/ xy
/ yz
/ zx
N
Idy
duzjćk
dujdy
dujdz ^
(9.54)
gdzie
[H] =
100000000
000010000
000000001
0 10 10 0 0 0 0
0 0 0 0 0 10 10
0 0 10 0 0 10 0
(9.55)
ale w przypadku izoparametrycznych elementów należy określić pole odkształceń
poprzez pochodne cząstkowe przemieszczeń względem układu współrzędnych
krzywoliniowych
dujdą
duxjdr1
duJdC
dUyjdł;
duyjdr]\ (9.56)
duj dr/
duJdC]
0
0
0 0
o W
gdzie macierz Jacobiego ma wymiar 3x3 i jest zdefiniowana jako
136
W =
dx dy dz
d£ dą dą
dx dy dz
di] di] di]
dx dy dz
1Ę' ~dc ~d~C~
(9.57)
Określenie pola odkształceń na współrzędnych krzywoliniowych w funkcji
składowych przemieszczeń z układu kartezjańskiego jest opisane zależnością
dux
sc
dux
dr]
dux
SC
duy
sc
duz
SC
■ = I
st
di]
0
0
0
0
0
sc
o
o
o
o
-a
<t,
<t,
dC 2
di] 2
k
dN, m2.
CU
Ch
aą 2
dN, k
dC 2
dr] 2
h
^y
SN^r\
dC 2
0 0
■t^N,
U N,
uyt
Pi
(9.58)
Podstawiając równanie (9.58) do równania (9.56) oraz dokonując mnożenia
poszczególnych macierzy otrzymano bezpośrednio związek między polem odkształceń
a przemieszczeniami w układzie kartezjańskim
1x6 6x5
Uy,Uz
a,
/>.}'
(9.59)
Macierz sztywności
Mając odkształcenia w układzie lokalnym, łatwo jest znaleźć wektor naprężeń {o}.
Jeśli naprężenia oblicza się dla punktów węzłowych, w których styka się kilka
elementów, to wyznacza się wartość średnią. Jednakże w ogólnym przypadku, nawet naprężenia
we współrzędnych globalnych nie dają jasnego obrazu ich rozkładu w powłoce. Jest
zawsze celowe wyznaczenie naprężeń głównych za pomocą odpowiedniego
przekształcenia.
137
O",
<Jn
<?,
Ł31
£11
p
■c,21
0
0
u
0
-^12
F
-^22
0
0
u
0
0
0
0
0
u
0
0
0
0
Gn
U
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
5G„
6
c
£1
fc2
Jfc3
7v
723
|/31
(9.60)
Jeśli materiał jest izotropowy, to stałe materiałowe
E\\ — &2
"12
V
1
(9.61)
^12 ~~ ^23 ~~ ^31 — — 9/1 "J
(9.62)
Zapisując w innej postaci otrzymuje się
M = [D']{4 (9.63)
Związek między wektorem naprężeń w układzie kartezjańskim i głównym ma postać
W = [Te]rM = [Tł]r[D']{ff'} = [Ta]r[D'][Ti]{e} (9.64)
w którym macierz sprężystości materiału
[D] = [T,]T[D'][T„] (9.65)
gdzie [TJ jest macierzą transformacji z układu głównego do układu kartezjańskiego.
Macierz sztywności izoparametrycznego elementu powłokowego grubo ściennego
można wyznaczyć za pomocą całkowania numerycznego [56] z zależności
1 1 1
[k] = j" j" J[B] t [D] [B] det|j|^ dri dC
5Nx5N -1-1-1 5Nx6 6x6 6x5N
gdzie 7Vjest liczbą węzłów opisującą element powłokowy.
(9.66)
10. ELEMENTY TRÓJWYMIAROWE
W zintegrowanych systemach CAD/MES opracowuje się konstrukcje, które są
oglądane na trójwymiarowych modelach. Konstrukcje te powstająjako sparametry-
zowane modele części i zespołów, które w fazie modyfikacji mogą bardzo szybko
ulegać zmianom [131]. Tak powstałe modele geometryczne dowolnych konstrukcji
trójwymiarowych mogą być przesyłane do systemów MES poprzez standardy IGES,
DXF lub inne. Na rysunku 10.1 pokazano parametryczny model geometryczny
jarzma przekładni planetarnej z satelitami oraz zwrotnicę koła, które zostały
opracowane w systemie CAD.
Rys. 10.1. Parametryczne modele geometryczne: a - jarzmo przekładni planetarnej, b - zwrotnica koła
Przejście z modeli geometrycznych na modele dyskretne odbywa się poprzez
podział objętości na trójwymiarowe elementy. Wiele konstrukcji, takich jak wał
korbowy, tłok, kadłub silnika, koła zębate, należy dzielić tylko na elementy trójwymiarowe,
co przedstawiono na rysunku 10.2.
139
Rys. 10.2. Dyskretyzacja elementami trójwymiarowymi: a - czerpaka, b - korpusu pompy zębatej
Najczęściej stosowanymi elementami trójwymiarowymi są: TETRA i HEXA,
rzadziej jest stosowany element PENTA (rys. 10.3). Najczęściej w dyskretyzacji jest
stosowany najprostszy element o czterech węzłach (TETRA). Jego podstawową zaletą
jest posiadanie liniowych funkcji kształtu, dzięki czemu wyznaczenie macierzy
sztywności dla tego elementu nie nastręcza żadnych trudności.
W swoich pracach Argyris [3] wykazał, że stosowanie tetraedrycznych
elementów do celów praktycznych budzi duże zastrzeżenia. Ponieważ elementy
TETRA (4-węzłowe) są elementami niedostosowanymi, więc stosowanie tego
elementu do budowy modeli dyskretnych prowadzi do bardzo dużych błędów, które
wpływają na wyniki obliczeń. Drugą wadą jest brak możliwości połączenia z
innymi elementami skończonymi, takimi jak belka 3-D lub powłoka, jeżeli nie
zostanie specjalnie przystosowany. Można temu zaradzić, stosując gęstą siatkę podziału
i regularne kształty tetry.
Podział przestrzeni na pojedyncze czworościany powoduje czasem zaciemnienie
obrazu siatki i może łatwo prowadzić do omyłek przy łączeniu z innymi fragmentami
konstrukcji [33]. Bardziej dogodny jest podział przestrzeni na bloki w postaci ośmio-
ścianów i do takiej dyskretyzacji stosuje się elementy typu HEXA (rys. 10.3).
Najlepsze rezultaty uzyskuje się, jeśli w dyskretyzacji są stosowane elementy izo-
parametryczne, np. heksadryczny 20-węzłowy.
140
SOLID TETRA 4
SOLID TETRA 10
SOLID PENTA 5
SOLID PENTA 6
SOLID PENTA 15
SOLID HEXA 8
SOLID HEXA 20
Rys. 10.3. Przykładowe elementy trójwymiarowe
141
10.1. Analiza trójwymiarowego stanu naprężeń
Trójwymiarowy stan naprężeń występuje bodaj we wszystkich (praktycznych)
przykładach przy rozwiązywaniu zagadnień brzegowo-początkowych, chociaż w
niektórych z nich można zastosować takie lub inne przybliżenie dwuwymiarowe,
prowadzące do prawie równorzędnego, lecz bardziej ekonomicznego rachunku.
Najprostszym płaskim elementem w kontinuum dwuwymiarowym (2-D) jest
trójkąt. W przestrzeni 3-D odpowiada mu czworościan, tj. element, który ma również
cztery węzły, zwany TETRA.
Jeśli chcielibyśmy rozwiązać zagadnienie z dokładnością tą samą jak w płaskim
stanie naprężenia, używając tej samej wielkości elementów trójkątnych (czyli tej
samej gęstości siatki podziału), to z powyższego wynika od razu, że liczba prostych
elementów tetraedrycznych, którą należy zastosować dla uzyskania rozwiązania
z dostateczną praktycznie dokładnością, musi być bardzo duża. Prowadzi to
oczywiście w zagadnieniach praktycznych do układów bardzo wielu równań, co oznacza
poważne ograniczenia przy stosowaniu tych elementów w praktyce. Również
szerokość pasma w macierzy układu równań staje się duża.
Aby uświadomić sobie rząd wielkości przedstawianego problemu, załóżmy, że
chcemy mieć przy rozwiązywaniu dwuwymiarowych zagadnień (2-D) za pomocą
elementów trójkątnych (o trzech węzłach) dokładność taką samą jak w problemach
trójwymiarowych. Do uzyskania poprawnego wyznaczenia naprężeń w
dwuwymiarowym obszarze niech będzie niezbędna siatka 100 x 100 = 10000 węzłów (rys. 10.4a),
w każdym węźle niech będzie po dwa stopnie swobody (ux,uy), wówczas całkowita
liczba równań w układzie wyniesie ok. 20 000. Tej wielkości zagadnienia 2-D są
rozwiązywane. Szerokość półpasma globalnej macierzy wynosi około 20 węzłów, czyli
IH = 2 x 20 = 40 zmiennych.
W równoważnym zagadnieniu trójwymiarowym, zachowując tą samą wielkość
krawędzi elementu mamy do czynienia 100 x 100 x 100 = 1 000 000 węzłów (rys. 10.4b).
Jeśli do dyskretyzacji przyjmiemy najprostszy element TETRA4, który ma trzy stopnie
swobody (ux,uy,uz), to całkowita liczba równań różniczkowych w tym przypadku jest
równa około 3 000 000, a szerokość półpasma globalnej macierzy całego modelu
dyskretnego zawiera teraz 100 x 100 = 10 000 węzłów, czyli IH = 3 x 10 000 = 30 000
zmiennych.
Na podstawie tych prostych obliczeń liczby równań różniczkowych układ oraz
szerokość półpasma globalnej macierzy obydwóch modeli 2-D i 3-D można
oszacować rząd wielkości problemu dla zagadnień trójwymiarowych. Stąd wniosek, że
bardzo proste i duże elementy trójwymiarowe, a w szczególności TETRA4, w modelach
dyskretnych dają duże błędy w otrzymywanych wynikach.
142
Rys. 10.4. Model dyskretny: a - płaski z podziałem na elementy trójkątne, b - trójwymiarowy
z podziałem na elementy TETRA
10.2. Macierz sztywności trójwymiarowego elementu TETRA4
Przedstawiony na rysunku 10.5 element czworościenny (TETRA4) jest opisany
węzłami i, j, k, l. W każdym węźle występuje trzy stopnie swobody ux, uy i uz,
odpowiednio w kierunkach x,y\z.
Ponieważ element ten ma 12 stopni swobody, więc przemieszczenie dowolnego
punktu elementu według trójwymiarowego ciągu Pascala (patrz rys. 3.6) można opisać
liniowymi funkcjami kształtu
ux=ax+ a2x + a3y + a4z
uy =a5 +a6x + a7y + asz (10-1)
uz = a9 + awx + any + auz
143
Rys. 10.5. Element TETRA4 z przemieszczeniami w węzłach
Podane równania w zapisie macierzowym mają postać
[A] {«}
(10.2)
Macierz [A] opisuje współrzędne dowolnego punktu elementu
[A] =
'ljcyzOOOOOOOO"
00001x>-z0000
000000001x>-z
(10.3)
Wektor stałych współczynników jest opisany za pomocą wzoru
144
or.
<x,
\a . = <
(10.4)
av
Wyznacza się go z zależności między przemieszczeniami węzłowymi elementu a
funkcją kształtu
M=[n]H
(10.5)
12x1 12x1212x1
W ostatnim równaniu [N] jest macierzą kształtu elementu opisaną zależnościami
Nt 0 0 0 0 0 0 0 0"
0000 Nt 0000
00000000 N.
[N] =
NJ
0 0 0 0
00000000
N,.
00000000
0 0 0 0
0 0 0 0
00000000
N„
00000000
0 0 0 0
NL 00000000
0000 NL 0000
00000000 NT
Nn=[lxnynzn] dla n = i,j,k,l
Ponieważ wektor przemieszczeń węzłowych elementu
{V} = \u ,M u ,Ux.Uyi ,U. ,U. ,« ,U_ ,UXi ,Uy.U
-, Si -i ■ -j Jj -j
:i' yk' zt' xi' yi> zi
zatem
a
[N]-»
(10.6)
(10.7)
(10.8)
(10.9)
Po wstawieniu równania (10.9) do równania (10.5) otrzymuje się zależność
między przemieszczeniami dowolnego punktu materialnego a przemieszczeniami
węzłowymi elementu
145
■■Mimy}
(10.10)
Wektor odkształceń elementu trójwymiarowego, zgodnie z teorią sprężystości Ti-
moszenki [214], ma sześć składowych, które są określone według liniowej teorii
odkształceń za pomocą wzoru
duv
6x1
y
/ xy
i yz
/ zx
dx
duy
dy
duz
dz
dux
dy
duy
dz
duz
du
+ —-
dx
du7
+ —-
dy
dur
+ —-
[B]{F}
6x12 12x1
(10.11)
dx dz
Wyznaczając z równania (10.10) poszczególne składowe pola odkształceń {s},
otrzymano jego zależność od wektora przemieszczeń {V} opisaną równaniem (10.11),
w którym
[B] =
6F
ijkl
0
0
ci
0
0
ci
0
b,
dt
0
0
0
d,
0
ci
b;
0
0
0
cj
0
d,
0
0
d,-
dj cj
0 b,.
0
0
0
ck
0
du
dh
0
0
dk
0
ck
0
o
cl
o
d,
0
ci
0
*/
d,
0
0
dt
0
ci
b,
(10.12)
gdzie Vljkl jest objętością elementu TETRA4.
Naprężenia w elemencie są zależne od odkształceń. Określa je związek
{o-} = [D]{*}-ar{Dr}
w którym
o-
(TX 5 °"J 5 °"z 5 7XJ 5 7JZ 5 ^ZX
(10.13)
(10.14)
146
[Dr] = —!—{1,1,1,0,0,0} (10.15)
l-2v
natomiast macierz sprężystości [D] dla materiału izotropowego przedstawia
równanie (3.15).
Mając wszystkie macierze składowe, można wyznaczyć macierz sztywności
elementu TETRA4 według [3] z równania
[kL-4 = {[B]r[D][B]jF (10.16)
v
W macierzy [B] występują tylko stałe wartości poszczególnych współrzędnych
węzłów opisujących element TETRA4 i macierz ta nie jest zależna od zmiennych x, y
i z. Również macierz sprężystości materiału [D] z założenia dla elementu skończonego
ma stałe wartości. Całkując równanie (10.16), otrzymuje się objętość elementu Vija, a
wyznaczenie macierzy sztywności sprowadza się do zwykłego iloczynu.
[k]^-4=^[B]r[D][B] (10.17)
Wyprowadzoną w postaci jawnej macierz sztywności elementu TETRA4
zamieszczono w pracy [174].
10.3. Macierz bezwładności trójwymiarowego
elementu TETRA4
W rozważanym elemencie przestrzennym, o kształcie dowolnego czworościanu
z czterema węzłami w narożach (rys. 10.5), założono stały moduł Younga, stałą
liczbę Poissona oraz stalą gęstość p. Ze względu na podobieństwo w postępowaniu,
jak przy wyprowadzaniu macierzy bezwładności trójkątnego elementu tarczowego,
pominięto wyjaśnienie otrzymania równania opisującego macierz bezwładności
K^]={[B]"1}rp|[A]r[A]jF[B]-1 (10.18)
v
gdzie macierz [B] przedstawiono za pomocą wzoru (10.12), a macierz [A] - za
pomocą równania (10.3).
147
Iloczyn macierzy [A]r [A] w równaniu (10.18) można przedstawić w postaci
[A]r[A] =
[w] o o "
o [w] o
o o [w]
(10.19)
gdzie podmacierz [W] ma wymiar 4x4 i jest określona za pomocą wzoru
[W] =
x
2
1
X X
y xy y
z xz yz
y *
xy xz
2 yz
2
(10.20)
Po odpowiednich przekształceniach równania (10.18) otrzymuje się macierz
bezwładności elementu TETRA4 w postaci
[mTet-A-
pvt
ijkl
20
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
1
1
0
0
0
0
2
1
1
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
2
1
1
1
2
1 2
1 1
symetria
(10.21)
10.4. Macierz sztywności trójwymiarowego elementu SOLID20
Element SOLID20 ma 20 węzłów: w każdym wierzchołku oraz w połowie każdej
krawędzi. Każdy węzeł tego elementu ma trzy stopnie swobody, są nimi
przemieszczenia liniowe Element ten ma ogólnie 60 stopni swobody. W takim
elemencie funkcje przemieszczeń (funkcje kształtu) będą funkcjami trzeciego stopnia,
a naprężenia będą wyrażone funkcjami kwadratowymi.
148
U4x
Rys. 10.6. Element bryłowy SOLID20
Zależność między siłami a przemieszczeniami w elemencie SOLID20 opisuje
równanie konstytutywne przemieszczeń w postaci
F
60x1
k]
60x60 r ) 60x1
(10.22)
gdzie:
{^}ćoxi - wektor sił węzłowych elementu,
{w}ćoxi - wektor przemieszczeń węzłowych,
[ke]60x6o - macierz sztywności elementu w lokalnym układzie współrzędnych.
F)
77 77 77 77 77 77 77
U\x ■'U\yU\z-' U2x ■'U2yU2z-' U3x ■>
77 77 77
■>r20x->r20yr20z
■,ll20x-'ll20yll20z
(10.23)
Związek między przemieszczeniami a odkształceniami
M=[b]M
(10.24)
gdzie:
{£-}6xi - macierz składowych tensora odkształcenia,
[B]6x60 - macierz geometryczna.
149
Macierz wiążąca przemieszczenia i odkształcenia ma postać
{s} = [sx,sy,ez,yxy,yxz,Yyz]T (10.25)
Składowe tensora odkształcenia określamy ze związków geometrycznych
dur
s = —— y
x dx /xy
duv
Zy=^T Txz=~^ + -^ (10-26)
dy
du„
7
duy
dx
duz
dx
duy
dur
+ —-
dy
dur
+ —-
dz
du7
-\
dz dz dy
ux, uy, uz - przemieszczenia dowolnego punktu wewnątrz elementu. Przemieszczenia te
są ciągłymi funkcjami współrzędnych: ux = ux(x,y,z), uy = uy(x,y,z), uz = uz(x,y,z).
Przemieszczenia aproksymujemy wartościami węzłowymi: U\x, U\y, U\z, u2x, u2y, u2z, u3x,
"20x, U2oy, u2QZ, które są stałymi, ale jeszcze nie znanymi wielkościami. Do dalszych
obliczeń przyjmujemy funkcje przemieszczeń oparte na ciągach Pascala. W przypadku
zagadnienia trójwymiarowego wielomian aproksymujący budowany jest na podstawie
czworościanu Pascala.
Przemieszczenia możemy zapisać jako liniową kombinację z wyrazów ciągu Pascala.
ux(x, y, z) = al+a2x+a3y+a4z+a5x2+a6y2+a7z2+asxy+a9xz+al0yz+aux3+
+ any3 + auz3+aux2 y+al5x2 z+al6xy2+allxz2+aliy2 z+al9yz2+a20xyz
u (x, y, z) = bl+b2x+b3y+b4z+b5x2+b6y2+b7z2+bsxy+b9xz+bwyz+bux3+
+ buy3 + buz3+bux2 y+bl5x2 z+bl6xy2+bllxz2+bKy2 z+bl9yz2+b20xyz
u/x, y, z) = cl+c2x+c2y+cĄz+c5x2+c6y2+c1z2+cixy+c9xz+cwyz+cnx3+
+ cl2y3 + cuz3+clĄx2 y+cl5x2 z+cl6xy2+cllxz2+cKy2 z+cl9yz2+c20xyz
gdzie: au bu ct są stałymi współczynnikami, z = 1,2,3,...,20, których jest 60.
Stałe te wyznaczamy w ten sposób, że zamiast xh yh zt podstawiamy współrzędne
węzłów, a zamiast ux, uy, uz odpowiednie składowe przemieszczeń. Otrzymujemy
układ 60 równań algebraicznych ze względu na stałe współczynniki: ah bh ch z
których wystarczy rozwiązać pierwszych 20, otrzymując współczynniki at. Pozostałe bh
Cj otrzymujemy przestawiając cyklicznie wskaźniki. Ponownie możemy wypisać
funkcje przemieszczeń, które sąjuż określone.
150
"*(*, y, Z) =NlUlx+N2U2x+N?,U3x+
uy(x, y, z) =Nluly+N2u2y+N3u3y+
uz(x, y, z) =^iz+N2u2z+N3u3z+
f7V20M20x
+I\ 20u20y
h/V20u20z
(10.28)
Powyższy zapis wyraźnie wskazuje, że ciągłe funkcje przemieszczeń są aproksy-
mowane przemieszczeniami węzłowymi. Nowe wielkości Nt = Nj(x,y,z), 7=1,2,3,...,20
są funkcjami kształtu, w analizowanym przypadku są to funkcje 3 stopnia.
Przemieszczenia możemy zapisać także w postaci macierzowej
x{x,y,z) = [Nl N2 N3 N20][ulx u2x u3x
y{x,y,z)=[Nl N2 N3 N20][
z{x,y,z) = [Nl N2 N3 N20][
V
0x1
l20y
]T (10.29)
*20zJ
Nx 0 0 N2 0 0
0 ^ 0 0 N2 0
0 0 #! 0 0 N2
0 0
^20 0
0 N
20
*2x
ł20y
Również w postaci macierzowej można zapisać związki geometryczne
d
\e\ = <
Ixy
/ xz
f yz
dx
0
0
d
dy
d
~dz
0
d
dy
0
d
dx
0
0
0
d
Iz
0
d
dx
U
(10.30)
(10.31)
o ^^
dz dy
Następnie za macierz kolumnową przemieszczeń {ux, uy, uz}T podstawiamy iloczyn
macierzy funkcji kształtu i macierzy przemieszczeń węzłowych
151
/ xz
/ yz
dx
O
O
d_
dy
O O
d_ d_
dy dx
3
dz
O
O
d
O
d_
~dz
O
d_
dx
d
dz dy
N, O O N2 O ... O
O N, O O N2 ... O
o o iv, o o ... #,
*2x
t20y
*20z
(10.32)
Po wymnożeniu 2 macierzy środkowych (czyli wykonaniu operacji
różniczkowania) otrzymujemy związek między odkształceniami wewnątrz elementu a
przemieszczeniami węzłowymi.
[Bk
J6xl
J60xl
(10.33)
W ten sposób określona została macierz geometryczna [B]
[B] =
N-
l,x
0
0
'hy
N-
l,z
0
0
N-
hy
0
N, „ N
l,x
0
Nu
0
0
Nu
0
N
2,x
0
o
TV.
2,y
N-
l,z
o
0
N.
2,y
0
TV
2,x
0
2,z
0
o
TV
2,z
0
TV
2,x
#,, N
\y
N
N.
N,
0
20,y
0
20,x
0
0
0
^20,z
0
JV,n,
N
20, y
(10.34)
#u
a^
dx
K
8N,
dy
N,
SN,
dx
itp.
Związki fizyczne między naprężeniami a odkształceniami materiału liniowo
sprężystego (uogólnione prawo Hooke'a) można przedstawić w postaci
*} = [D]{s
.^Li = [«
°"x °y °"z Txy l' xz Tyz\
(10.35)
152
gdzie:
{a} - macierz składowych tensora naprężenia,
[D] - macierz sprężystości.
e'=W'-
*y=j[°y
i r
z £l z
-v\uy+uz)\
-vfo+<rj]
-vk+^)]
7xy c.
7xz Q
7yz G
(10.36)
Z uogólnionego prawa Hooke'a wyznaczamy wielkości: ax, <ry, az, Txy, txz, TyZjako
funkcje odkształceń: sx, ą,, sz, y^, 7xz, Yyz-
a
;[(l-v)
le, + ey+s!
a.
(l + v)(l-2v)
E
{\ + v){\-2vfx+Sy +
[sx+£y+{l-v)sz]
Txy G7xy 2(1 + v)
'-(l + v)(l-2v)
o\, = t^—- [sx + (l - v)sy + sz ] txz = Gy
2(1+ v)
/ xy
7xz (10.37)
t =Gy =—- t-y
^ yz i yz 0/, U^z
2(1 + v)'
lub
"xy
"yz
'(l+v)(l-2v)
■(l+v)
V
V
0
0
0
(l + v)
V
V
V
0
0
0
0
0
(l+v) 0
(l-2v)
0
0
o
o
o
o
o
Mv)
2
0
o
o
o
o
o
Mv)
y
^z
/ xy
/ xz
/yz
(10.38)
MM
.=[D]JB]
(10.39)
6x60 IT I 60x1
Następnie, aby określić związek między naprężeniami a przemieszczeniami
węzłowymi, korzystamy z metody energetycznej. Energia sprężysta zgromadzona w
elemencie musi być równa pracy sił węzłowych na przemieszczeniach węzłowych.
153
~2 Ufo*8* + aySy + GzSz + txyYxy + Txz7xz + ty*yy*)dV =
V
= ^(FlXUlX + FlyUly + FlzUlz + ^2*M2* + F2yU2y + F2zU2z + F^U^ + ... + F20zU20z)
\\i({4M^)dV = {«LoHoxi (10.40)
v
Po podstawieniu {a}6xl = [d]6x6[b]6x60{h}60x1 otrzymujemy
j|j({^L[D]6x6[B]6x60{"L1)^={«}Lo[F]60xi (10.41)
V
Teraz korzystamy ze wzoru na transpozycję iloczynu macierzy
M=[B]{«} {ef={uf[BY
J j l(MLo [B]L6 [D]6x6 [B]6x60 R0x1) dV ={ul60 [F]60xl (10-42)
v
Macierze {u} {u}T są wielkościami stałymi, można je wynieść przed znak całki,
a następnie uprościć
JJj([B]?ox6[D]6x6[B]6x60)^K{^}60xl =[F]60xl (10.43)
V
Powyższa całka we wzorze jest macierzą sztywności elementu w lokalnym
układzie współrzędnych
[kJ6ox6o = JJ{([B]60x6[D]6x6[B]6x6o)^ (10.44)
V
Ostatecznie otrzymujemy zależność między przemieszczeniami i siłami
węzłowymi dla wybranego elementu w lokalnym układzie współrzędnych
[^LeoRo^Ho*! (10-45)
10.5. Macierz bezwładności trójwymiarowego elementu SOLID20
Macierz bezwładności elementu jest wielkością, która rozkłada całą masę [m]
elementu na węzły i odpowiadające im przemieszczenia uogólnione. Dla przemiesz-
154
czeń węzłowych odpowiednie składniki będą miały wymiar jednostki masy, natomiast
dla przemieszczeń kątowych będzie to wymiar masowego momentu bezwładności.
Korzystamy tutaj, podobnie jak przy wyznaczaniu macierzy sztywności, z
wielomianów aproksymacyjnych. Macierze bezwładności (mas) elementu wyznaczamy wtedy,
gdy istnieje potrzeba przeprowadzenia analizy dynamicznej konstrukcji. Przy analizie
dynamicznej najczęściej używamy wielomianu Lagrange'a, który dla zagadnienia
trójwymiarowego przyjmuje postać
ux{x,y,z)=YuY\
x — x.
ny-yj
u
z—z.
^f i x,—x, , y,—y, ,
1=1 j=l 1 J j=l S l S J j=l
uy(x,y,z) = YJYl
x-x.
y-yj
nf^n
z—z.
=1 j=l i J j=l Si S J j=l
y,*yj
(10.46)
x-x.
y-yj
«-(w)=znf^nf-rn
z -z,
i=\ j=\ ■*-,- "j j=\ yt yj j=\ zi zj
■xt-Xj
x, *xj y, *y,
Podobnie jak przy wyznaczaniu macierzy sztywności możemy zapisać
ux(x, y, z) =N1ulx+N2u2x+N3u3x+ +N20u20x
uy(x,y,z)=Nluly+N2u2y+N3u3y+ +N20u20y
uz(x,y,z)=Nlulz+N2u2z+N3u3z+ +N20u20z
(10.47)
[N]:
13x60 (".160x1
[N] -jest macierzą funkcji kształtu.
Całą masę elementu wyznaczamy obliczając całkę z gęstości
[m] = p dV = \\\pdxdy dz
(10.48)
(10.49)
Przez użycie macierzy funkcji kształtu [N] rozkładamy masę pomiędzy
poszczególne węzły według zależności
[m]= J[N]rp[N]JF= JJj]N]r/?[N]rficflfy<fe
(10.50)
11. ELEMENTY OSIOWO-SYMETRYCZNE
Wiele konstrukcji inżynierskich, w tym budowlane, charakteryzuje się szczególną
symetrią. Do takich zalicza się konstrukcje osiowo-symetryczne. Przykładem
obiektów osiowo-symetrycznych są kominy, chłodnie kominowe w elektrowniach i
elektrociepłowniach (rys. 11.1), zbiorniki gazu i paliwa.
Rys. 11.1. Konstrukcje osiowo-symetryczne - chłodnia kominowa w Elektrowni Turów:
a - widok ogólny, b - model geometryczny
W budowie maszyn i pojazdach również występują elementy osiowo-symetryczne,
tj. drążone wały koła czerpakowego koparki (rys. 11.2a), lufy armatnie (rys. 11.26),
osie, rury ciśnieniowe, dysze silników odrzutowych, zawory, cylindry siłowników
hydraulicznych itp.
156
Rys. 11.2. Element osiowo-symetryczny w budowie maszyn: a -wał koła czerpakowego,
b - krążnik przenośnika taśmowego
Wszystkie te konstrukcje są to ciała obrotowe, w wielu wypadkach poddane osio-
wo-symetrycznemu obciążeniu. Takie elementy mają zastosowanie praktyczne.
Opisanie rozkładu naprężeń w ciałach obrotowych matematycznie jest bardzo
podobne do zagadnienia płaskiego stanu naprężenia i odkształcenia [161, 252], ponieważ
trójwymiarową konstrukcję (3-D), jaką jest ciało osiowo-symetryczne, sprowadzamy
do układu (przekrój o jednostkowej grubości) wzdłuż osi obrotu i otrzymujemy
przypadek dwuwymiarowy (2-D).
Jeśli rozpatrzymy dowolny przyrost objętości bryły obrotowej o wymiarach d&, dx,
dy (rys. 11.3), to dowolny punkt tej jednostkowej objętości doznaje trzech składowych
przemieszczeń ur, u@, uy, pod warunkiem, że globalny układ osi dla bryły obrotowej
przyjęty jest tak, że oś y jest osią obrotu, gdzie r jest to promień, a ® kąt obrotu.
Rys. 11.3. Składowe przemieszczeń i naprężeń dowolnego punktu leżącego
w elementarnej objętości bryły obrotowej
157
Występujące składowe naprężeń i odkształcenia dla dowolnego punktu zostały
pokazane na rys. 11.4 w układzie osi x, y, &.
Rys. 11.4. Składowe odkształceń i naprężeń w stanie symetrii osiowej
W rozpatrywanym przypadku przemieszczenia ur, uy w dowolnej płaszczyźnie
przekroju przechodzącej przez oś obrotu y powodują zmianę promienia w myślowo
ukształtowanym okręgu, a tym samym wywołują zmianę jego obwodu i odkształcenia
(przemieszczenia) obwodowe (u&), prostopadłe do płaszczyzny przekroju.
Ponieważ w tym wypadku naprężenia obwodowe o© nie są równe zeru, należy
uwzględniać ten czwarty składnik stanu odkształcenia £® i odpowiadający mu
składnik naprężenia (o@). Na tym polega najistotniejsza różnica w traktowaniu stanów
osiowo-symetrycznych i stanów płaskich.
Dowolny punkt w bryle obrotowej ma następujące składowe odkształceń:
i ry
(11.1)
a odpowiadające mu składowe naprężeń wynoszą
<?„
cr
ov
<Tr.
(11.2)
ry
158
Elementy osiowo-symetryczne stosowane w metodzie elementów skończonych to
elementy powłokowe i pierścieniowe. Przykładowe elementy osiowo-symetryczne
zostały pokazane na rysunku 11.5.
W elementach osiowo-symetrycznych nie ma jednak pojęcia węzłów jako punktów.
Są ich odpowiedniki w postaci węzłowych okręgów. Przemieszczenia ur,u są
przemieszczeniami punktów tych okręgów, natomiast siły odpowiadające tym
przemieszczeniom Fr, Fy są rozłożone w sposób ciągły i równomierny na obwodach
okręgów węzłowych.
11.1. Macierz sztywności pierścieniowego elementu
o przekroju trójkątnym
Element pierścieniowy o trójściennym kształcie, o węzłowych okręgach i, j, m
numerowanych w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara pokazano na
rys. 11.6.
Wektor przemieszczeń pierścieniowego elementu o przekroju trójkątnym
definiowany jest przez składowe przemieszczeń ur, uy w każdym węźle, w postaci
{V}
ur,u ur,,u ur ,u
'i si 'j yj 'm sm
(11.3)
Oczywiście przemieszczenie dowolnego punktu leżącego wewnątrz elementu
można określić przez liniową funkcję kształtu [161] jako
ur (r, y) = ax +a2r + a3y
uy(r,y) = a4 + a5r + a6y
(11.4)
Powyższe równania w zapisie macierzowym mają postać
[A]
a
(11.5)
gdzie
[A] =
1 r y 0 0 0
0 0 0 1 r y
(11.6)
y
159
Rys. 11.5. Wybrane elementy osiowo-symetryczne
Rys. 11.6. Element osiowo-symetryczny o przekroju trójkątnym
160
Stałe wektora {a} można wyznaczyć przez dwa układy trzech równocześnie
spełnionych równań, które otrzyma się przez podstawienie współrzędnych węzłów r, y
i składowych przemieszczeń tych węzłów. Ostatecznie otrzymuje się równanie
\a\
\ZY{V)
(11.7)
gdzie
[C] =
1
0
1
0
1
0
ri
0
rJ
0
r
m
0
yt
0
yj
0
y m
0
0
1
0
1
0
1
0
ri
0
ri
0
r
m
0
yt
0
y}
0
y m
(11.8)
Po podstawieniu równania (11.7) do (11.5) otrzymuje się
H = [A][C]>}
(11.9)
Z równania (11.9) otrzymamy związek między składowymi przemieszczeń (ur,uy)
dowolnego punktu w elemencie a składowymi przemieszczeń w węzłowych okręgach
tego elementu
1
u, =
2A,
u„ +
(w* -rmy,)+[y, -ym)r+(rm -r,)y
{rmy> -rtym) + (ym -yt)r + (rt -rm)y\urj +
(11.10)
u = —
y 2A
ijm
y
Uy,+
{ (r,ym -rmy}) + [y} ~ym)r + (rm -rj).
+ [(rmyt - riym ) + (ym~ yt )r + (rt - rm)y\uyj +
+
[rjj ~ W) + (yt - y} )r + (r} - rt )y\uy
gdzie Aym jest polem powierzchni przekroju o kształcie trójkąta.
Pole odkształceń w każdym punkcie elementu osiowo-symetrycznego według
równania (11.1) definiuje się przez cztery składowe. Związek między polem odkształceń {s}
161
dowolnego punktu a polem przemieszczeń {V} elementu osiowo-symetrycznego można
wyprowadzić ze znanych zależności
du.
r -n
£y
£r
£@
i ry
• = •
dy
dur
dr
hjL
r
dur duy
dy dr
(11.11)
Po wykonaniu rachunku pochodnych cząstkowych i uporządkowaniu okazuje się,
że istnieje ścisły związek między polem odkształceń {s} a wektorem przemieszczeń
{V} elementu osiowo-symetrycznego.
[B]M
(11.12)
Ponieważ macierz [B] zawiera teraz współrzędne r i y, odkształcenia nie są stałe
wewnątrz elementu jak w przypadku stanu płaskiego. Ta zmienność odkształceń
wywołana jest przez odkształcenie s@.
Związek między polem naprężeń {<r} a odkształceń {s} w elemencie osiowo-
symetrycznym jest następujący:
c\
<Jr
ry
N(M-k})
(11.13)
gdzie [D] macierz sprężystości materiału, a {s0} -pole odkształceń początkowych, np.
odkształcenia termiczne.
Intensywny rozwój inżynierii materiałowej powoduje, że powstają materiały
konstrukcyjne odporne na wysokie temperatury, na ścieranie, mają bardzo dużą
wytrzymałość. Dobre własności tych materiałów osiąga się poprzez budowę
wielowarstwową, a to powoduje, że mamy do czynienia z anizotropią materiału. Załóżmy, że oś
symetrii obrotu y jest normalna do płaszczyzn poszczególnych warstw materiału.
Występująca w równaniu (11.13) macierz [D] dla materiału anizotropowego ma
postać
162
[D] =
(l + v1)(l-v1-2«v22)'
(11.14)
W
«V2(l + V!)
«(l-«v22)
sym.
nv2{\ + Vl)
^ + nv\
Ą-nvl)
0
0
0
tm(1 + Vj) (l - Vj - 2nv2)
gdzie: n
G,
E'
m ■
W materiałach izotropowych zagadnienie to znacznie się upraszcza, ponieważ E
E\= E2,n = 1, v = Vi = v2, jeśli się uwzględni związek między E a G.
G^ = G_
E2 E
1
■ m ■■
2(1+ v)
(11.15)
Po podstawieniu powyższej zależności do równania (11.14) otrzymuje się macierz
sprężystości materiału izotropowego w stanie osiowo-symetrycznego wytężenia
[D] =
£(l-v)
(l + v)(l-2v)
1
V
V
l-v l-v
1 v
0
0
l-v
1 0
l-2v
2(1-v).
(11.16)
Macierz sztywności dla elementu osiowo-symetrycznego o przekroju trójkątnym
ijm można wyznaczyć podobnie jak to wykonano w przypadku elementów tarczowych
(rozdział 6), pamiętając o tym, że całka powinna być brana po objętości całego
pierścienia
[k] = 2;:|J[B]r[D][B]fl'>'Jr
(11.17)
gdzie [B] została wyznaczona w równaniu (11.12), [D] zaś przez równanie (11.14) lub
(11.16) w zależności od rodzaju materiału.
Obliczenie macierzy sztywności [k] opisanej równaniem (11.17) można
wykonać poprzez całkowanie numeryczne albo mnożenie macierzy i całkowanie wyraz
po wyrazie.
163
Przybliżone postępowanie można wykonać przez obliczenie macierzy [Bfc] dla
środka ciężkości elementu
r + r ■ + r
i i m
r, =
SC ~
(11.18)
= yt + y3 + ym
yic 3
wówczas otrzymuje się pierwsze przybliżenie
[k] = 2W&4m[Bjr[D][B.fc] (11.19)
W bardziej dokładnych obliczeniach należy stosować całkowanie numeryczne.
W przypadku elementów osiowo-symetrycznych całkowanie numeryczne jest na tyle
dokładne, że rozwiązanie zagadnienia brzegowo-początkowego zmierza do dokładnego
[161, 252]. Równanie (11.19) sprowadza się do całkowania punktu (rfc, yśc), do którego
zaczepione jest pole Aijm po obrocie koła zatoczonego przez środek ciężkości tego pola.
Otrzymuje się objętość elementu osiowo-symetrycznego. Jeśli się stosuje omawiane
proste elementy pierścieniowe trójścienne, to drobny podział nie jest w żadnym
wypadku konieczny do uzyskania dużej dokładności.
11.2. Macierz sztywności elementu powłoki osiowo-symetrycznej
W powłokach osiowo-symetrycznych, podobnie jak w innych, bierze się pod uwagę
zarówno zginanie, jak i siły błonowe. Uwidacznia się to jednoznacznie w wyrażeniach
na uogólnione „odkształcenia", które zawierają zarówno wydłużenia, jak i krzywizny
powierzchni środkowej.
Każdą powłokę osiowo-symetryczną można podzielić na szereg elementów
walcowych lub w ogólnej postaci stożków ściętych (rys. 11.7).
Przemieszczenia linii węzłów w punktach z orazy mają określać jednoznacznie
odkształcenia elementów za pomocą odpowiednio przyjętych funkcji kształtu [161].
W każdym węźle założone są osiowe (uy), radialne przemieszczenia (ur) i obrót (a).
Wszystkie trzy składowe są niezbędne, powłoka bowiem może przenosić momenty
zginające. Pole przemieszczeń prostoliniowego elementu powłoki osiowo-symetrycznej jest
opisane zależnością
{V} = [uyj,un,a1,uyj,urj,aJ\T (11.20)
164
Składowe przemieszczeń dowolnego punktu wewnątrz elementu można
zdefiniować jednoznacznie przez przemieszczenia węzłowe elementu i zmienną s (odmierzona
po długości łuku), przy zachowaniu ciągłości przemieszczeń i ich pochodnych
[A] W
(11.21)
gdzie
[A] =
1 s 0 0 0 0
0 0 1 s s2 s3
(11.22)
okrąg węzłowy i
Rys. 11.7. Element prostoliniowy powłoki osiowo-symetryczny
Przy założeniu, że przemieszczenie uy zmienia się liniowo po długości łuku s,
a przemieszczenie promieniowe ur do trzeciej potęgi s
natomiast macierz
uy=al+ a2s
ur =a3+ a4s + a5s2 + a6s3
{a} = [al,a2,a3,a4,a5,a6]1
(11.23)
(11.24)
Aby wyznaczyć nieokreślone stałe au a2,...,a6, należy równanie (11.21) podstawić
kolejno do węzła z orazj, gdzie można wyznaczyć wartości węzłowe uy, ur i a.
165
1-e
0
0
l-3e2+2e3
0
z(e-2e2+e3)
e
0
0
3e2-2e3
0
(-e2+e3)i
|F}(11.25)
e = s/L i powyższą zależność można zapisać krócej:
[c]{v]
(11.26)
Pole odkształceń {z} dowolnego punktu leżącego na powierzchni powłokowego
elementu stożkowego osiowo-symetrycznego dane jest poprzez następujące wyrażenia
(przy założeniu, że kąt (#nie zmienia się w elemencie):
du„
> = i
X,
Xe^
ds
\Ur COS(Zi -VUy%\XS.ę)
d ur
ds2
sin^ dur
(11.27)
Składowe sił wewnętrznych pokazane na rys. 11.8 powiązane są z odkształceniami
poprzez macierz sprężystości materiału
i(Ti = <
F&
W
(11.28)
Dla materiału izotropowego powłoki macierz sprężystości materiału jest równa
[D] =
Et
PT)
1
V
V
1
0 0
0
0
t2
12
vt2
0
0
vt2
12
t2
0 0
12 12
(11.29)
Pierwsze dwa wiersze w równaniu (11.29) opisują płaski stan tarczowy, a pozostałe
stan zginania, natomiast wpływ sił poprzecznych w obu częściach został pominięty.
166
Wyprowadzając związek pomiędzy składowymi odkształceń dowolnego punktu
elementu powłoki osiowo-symetrycznej a składowymi przemieszczeń węzłów tego
elementu, otrzymuje się zależność
M = [B]M = {[Bj[4[B;]M}{F}
w której
[A-
cos (/> sin ^ 0
- sin </) cos <f> 0
0 0 1
(11.30)
(11.31)
kąt nachylenia tworzącej powierzchni stożkowej do osi y obrotu powłoki.
167
Y
Momenty
Rys. 11.8. Powłoka osiowo-symetryczna, składowe momentów i sił
168
[B,] =
1
Z
sin ę
r
0
0
0
l-3e2+2e3
cos ę
r
-6 + Ue
L2
6e(l-e2) . _,
—*■ zsin0
rL
0
L{e-2e2+e3)
—^ zcosf
r
-4 + 6e
Z
-\ + 4e-3e2 . ,
sin ę
r
M
Z
-sin^
3e2-2e3
COS(#
6-12e
6e(e -1)
rL
sini
z(-e2+e3)
cos^
■2 + 6e
Z
2e-3e2
sin^S
(11.32)
Mając wszystkie składowe można obliczyć macierz sztywności elementu
powłokowego osiowo-symetrycznego za pomocą znanej zależności:
i
[k]= f[B]r[D][B]2wZ<fe
(11.33)
W systemie COSMOS/M element liniowo-symetryczny powłokowy nazywa się
SHELLAX.
11.3. Definiowanie obciążeń w elementach osiowo-symetrycznych
Możliwe są dwa sposoby definiowania osiowo-symetrycznych obciążeń
działających na element. Algorytm realizacji określenia obciążeń zostanie przedstawiony na
przykładzie systemu COSMOS/M [34, 35, 36, 37 i 38].
Pierwszy sposób to bezpośrednie przyłożenie obciążenia polegające na
definiowaniu obciążenia tak, jak zmieniają się one wzdłuż pierścienia węzłów (w kierunku
obwodowym).
System COSMOS/M [34] znajduje odpowiadające im szeregi Fouriera
reprezentujące obciążenia, następnie znajduje odpowiedni układ dla każdej składowej
harmonicznej, na końcu są sumowane wszystkie odpowiedzi harmoniczne w celu wyznaczę-
169
nia rzeczywistej odpowiedzi układu. Jest to prosty i częściej stosowany sposób
determinowania obciążeń.
Drugi sposób to wprowadzenie obciążeń za pomocą szeregów Fouriera. Może on
być zastosowany, gdy informacje o wektorze obciążeń podane są w postaci szeregów
Fouriera. Zamiast podawać zależności rzeczywistego obciążenia w zależności od kąta
obwodowego (bezpośrednie przyłożenie obciążenia), można wprowadzić do
czterdziestu współczynników przy sinusach i kosinusach dla szeregu Fouriera.
Współczynniki te definiują obciążenie F według zależności
F(@) = P0 + Px cos & + P2 cos 2© + P3 cos 3© + P4 cos 40 +... + q1 sin 0
+ q2 sin 20 + q3 sin30 + g4 sin 40 + ...
(11.34)
Odpowiedź osiowo-symetrycznego modelu na niesymetryczne sumaryczne
obciążenie może być analizowana przez sumowanie odpowiedzi na poszczególne składowe
obciążenia. Składowe „sinus" w szeregu Fouriera nazywane są nieparzystymi lub
antystatycznymi, czyli odpowiadają anty symetrycznym obciążeniom. Składniki „cosinus"
w szeregu Fouriera nazywane są parzystymi lub symetrycznymi i reprezentują
obciążenia symetryczne, np.
dla kosinusa : F(&) = F(- &)
dla sinusa: F(&) = -F(-&)
(11.35)
Wynika z tego, że dla obciążenia symetrycznego względem płaszczyzny X-Y,
można podać tylko składowe „cosinus" (rys. 11.9), podobnie dla obciążenia antysy-
metrycznego tylko składowe „sinus", które pokazano na rys. 11.10.
Rys. 11.9. Obciążenie odpowiadające zerowej składowej harmonicznej szeregu Fouriera
odpowiada obciążeniu osiowo-symetrycznemu
170
Rys. 11.10. Obciążenie odpowiadające składowej harmonicznej 1
W przypadku wyrazów cos@ wartości maksymalne dla składowej pierwszej
harmonicznej (np. 11.10) występują dla 0=0°, podczas gdy maksymalne wartości Fz
powstają dla 0=90°.
Jeżeli analizuje się wyrazy sin©, to konfiguracja obciążenia (rys. 11.10)
odpowiada układowi, który zostanie obrócony o 90° w kierunku obwodowym.
Obciążenie odpowiadające drugiej składowej harmonicznej dla wyrazów
cos(20°) pokazano na rys. 11.11 w płaszczyźnie X-Y, składowe obciążeń z rys. 11.11
dla wyrazów sin(20°) będą odpowiadać, jeśli układ osi zostanie obrócony o 45°
w kierunku obwodowym.
Rys. 11.11. Obciążenie odpowiadające drugiej składowej harmonicznej dla wyrazów cos(20°)
171
Przedstawione obciążenia na rysunkach 11.9, 11.11 i 11.12 działają w kierunkach:
promieniowym, stycznym lub osiowym, natomiast obciążenia w innych kierunkach
mogą też być realizowane jako kombinacje obciążeń w tych kierunkach. Na
przykładach jednostronne obciążenie w kierunku osi x może być zdefiniowane przez sumę
dwóch składowych harmonicznych pokazanych na rys. 11.12.
- +
(cos 9) (-sin 0)
Rys. 11.12. Zasada definiowania obciążenia w kierunku poprzecznym
12. BUDOWA GLOBALNYCH MACIERZY
DYSKRETNEGO MODELU
Po określeniu macierzy sztywności, mas, tłumienia dla poszczególnych elementów
skończonych w metodzie elementów skończonych następnym krokiem jest budowa
globalnej macierzy [K], [M], [C], ... dla całej konstrukcji. Etap ten ma charakter
uniwersalny. Przebieg jego jest jednakowy, niezależnie od rodzaju rozpatrywanej
konstrukcji i typu zastosowanych elementów.
12.1. Globalna macierz sztywności i mas
Macierz sztywności całej konstrukcji, określająca związek między
przemieszczeniem węzłów i obciążeniem zewnętrznym, buduje się na podstawie uprzednio
ustalonych macierzy sztywności poszczególnych elementów, zapewniając przy tym warunki
zgodności przemieszczeń w węzłach oraz warunki równowagi.
Macierz sztywności modelu dyskretnego (całej konstrukcji) [K] zbudowana jest
z macierzy sztywności [k], poszczególnych elementów skończonych, na które został
podzielony model dyskretny [3, 10, 173, 251].
Agregację macierzy elementów skończonych w jedną globalną macierz dla całej
konstrukcji przedstawia równanie
ITA
gdzie:
[kG] - macierz sztywności elementu skończonego w globalnym układzie osi
modelu dyskretnego,
[a] - macierz Boolowska, tzw. macierz przyłączeń. Jej zadaniem jest umieszczenie
macierzy sztywności elementu skończonego w odpowiednim miejscu
macierzy globalnej.
172
Gdy model dyskretny (konstrukcja) został zbudowany z różnych rodzajów
elementów skończonych, powinniśmy mieć na uwadze, że reguły sumowania macierzy
pozwalają dodawać je tylko w przypadku, gdy są one tego samego wymiaru (ta sama
liczba kolumn i ta sama liczba wierszy), ponieważ w większości model dyskretny
dowolnej konstrukcji może być zbudowany z elementów skończonych, opisanych
różną liczbą węzłów, np.:
- elementy belkowe opisane dwoma węzłami (2IE),
- elementy powłokowe o kształcie trójkątnym opisane trzema węzłami (3IE),
- elementy powłokowe o kształcie czworokąta opisane czterema węzłami (4IE),
- inne,
gdzie: IE - liczba stopni swobody w węźle.
Każda macierz sztywności elementu skończonego jest macierzą kwadratową,
składa się z określonej liczby podmacierzy ściśle związanych z liczbą węzłów opisujących
element.
Macierz elementu jednowymiarowego, który opisany jest dwoma węzłami (rys. 12.1),
będzie zbudowana z czterech podmacierzy.
O
-o
[kG]
(12.2)
Rys. 12.1. Element jednowymiarowy opisany dwoma węzłami oraz jego podmacierze
Macierz elementu dwuwymiarowego (2-D) o kształcie trójkątnym, opisanym
trzema węzłami ma dziewięć podmacierzy.
[kG]
kii
kji
kki
kij
kjj
kkj
kik
kjk
kkk
(12.3)
W przypadku elementów 3-D macierz tetry, opisanej czterema węzłami, ma
szesnaście podmacierzy.
173
ku
kJJ
kik
kjk
kkk
kil
kJl
kkl
ku
Macierze elementów skończonych, które opisane są węzłami, mają odpowiednią
liczbę podmacierzy ku (np. cztery, dziewięć, szesnaście podmacierzy i więcej), które w
globalnej macierzy sztywności [K] całej konstrukcji muszą być umieszczone
w odpowiednim miejscu. Umieszenie poszczególnych podmacierzy elementu
skończonego w odpowiednim miejscu globalnej macierzy umożliwia macierz Boolowska.
Indywidualne podmacierze elementów, z których składa się macierz modelu
dyskretnego, muszą być zatem budowane zawsze dla tej samej liczby składowych
przemieszczeń (IE) lub sił w węźle, ponieważ poszczególne podmacierze elementów są
związane bezpośrednio z węzłami opisującymi element (rys. 12.1) stopniami swobody
w węźle.
Jeżeli na przykład element konstrukcji przenoszący moment do węzła spotyka się
w tym węźle z elementem przegubowym, to sztywności tego ostatniego należy uzupełnić
przez ustawienie współczynników zerowych (zer) w odpowiednie miejsca, dla obrotów
lub momentów. Należy pamiętać, aby na głównej przekątnej macierzy tych
uzupełnianych elementów wprowadzić bardzo małe współczynniki większe, różne od zera.
Na rysunku 12.2 pokazano umieszczenie poszczególnych podmacierzy elementu
jednowymiarowego (opisanego dwoma węzłami - rys. 12.1) w globalnej macierzy
sztywności [K] modelu dyskretnego.
Globalna macierz sztywności modelu dyskretnego jest macierzą kwadratową
o wymiarze
[K] {lExIW,IExIW) (12.5)
Należy podkreślić, że poszczególne podmacierze sztywności elementu są
rozproszone w globalnej macierzy modelu dyskretnego (rys. 12.2), a położenie ich zależy
głównie od numerów węzłów opisujących element oraz liczby węzłów w elemencie
skończonym.
Przyłączenie macierzy sztywności pojedynczego elementu za pomocą macierzy
[a] jest możliwe, kiedy została ona wyznaczona w globalnym układzie osi przyjętym
dla całego schematu obliczeniowego.
W większości wygodnie jest wyprowadzić (zbudować) macierz sztywności
elementu skończonego w układzie współrzędnych różnym od tego, w którym
obliczane są siły zewnętrzne i przemieszczenia całego modelu dyskretnego konstrukcji. Dla
każdego elementu skończonego mogą być stosowane różne układy współrzędnych
(zwane lokalnymi), co znacznie ułatwia działania matematyczne.
[kG]
174
IE*IW
1) (i)
[K]
kii
kji
kij
kjj
Rys. 12.2. Umieszczenie podmacierzy elementu I-D w globalnej macierzy sztywności [K]: IE - liczba
stopni swobody w węźle; IW - liczba węzłów na jaką podzielony został model dyskretny
Jeśli macierz sztywności elementu została zapisana w lokalnych współrzędnych
(x,y,z), to równanie opisujące tę macierz w globalnych współrzędnych (XG,YG,ZG) ma
postać
[kG]=Ur[k][cJ
(12.6)
gdzie:
[cg] - macierz transformacji z układu globalnego do lokalnego współrzędnych,
[k] - macierz sztywności elementu skończonego w lokalnym układzie
współrzędnych.
Wówczas równanie (12.1) przyjmuje postać
ITA
[K] = £[a]r[c,]r[k]|cJ[a]
(12.7)
Transformacje pomiędzy układem globalnym a lokalnym można zapisać w postaci
X
*i bi bs
(12.8)
gdzie: au a2,..., bu b2,..., cu c2, c3 są to kosinusy kierunkowe Eulera pomiędzy osiami
układu lokalnego i globalnego.
175
[c,] =
*1 b2 b3
(12.9)
Na rysunku 12.3 pokazano element belkowy opisany w lokalnym układzie
współrzędnych 0^z tak, że oś 0x pokrywa się z osią belki. Jeśli początek obydwóch układów
osi, globalnego i lokalnego, jest w węźle nr 1 belki, to kosinusy kierunkowe pomiędzy
osiami układu lokalnego i globalnego wynoszą
ax = cos(xG, x) = cos cp cos cp
a2 = cos(xG,>>) = coscpsincpsin$ -sincpcosS
a3 =cos(xG,z) = cos(psin$cosS' +sincpsin3
bx = cos(yG,x) = sincpcoscp
b2 = cos(yG, y) = sin cp sin cp sin 9 + coscpcos$ (12.10)
b3 = cos(yG,.z) = sincpsincpcos$ -coscp sini)
cos
(ZG,X):
-sincp
c2 = cos(zG,>>) = coscp sinS
c3 = cos(zG, z) = cos cp cos O
yc
Rys. 12.3. Kąty kosinusów kierunkowych pomiędzy osiami układu lokalnego i globalnego
176
W wypadku transformacji dowolnego elementu powłokowego (na przykład o
kształcie trójkątnym - rys. 12.4), dla którego macierz sztywności została wyprowadzona
w lokalnym układzie współrzędnych 0^z, należy indywidualnie określić wymiar
macierzy transformacji [ej.
Jeśli trójkątny element powłokowy ma w każdym węźle sześć stopni swobody,
trzy translacje (ux,uy,uz) oraz trzy rotacje (ax,Oy,az), to w tym przypadku jego wektor
przemieszczeń węzłowych zawiera 18 składowych
V
fv"»'"vava)l'a«
,oc.
(12.11)
Rys. 12.4. Trójkątny element powłokowy w lokalnym i globalnym układzie współrzędnych
Macierz transformacji trójkątnego elementu powłokowego o trzech węzłach
przyjmie postać:
(0 CD ©
[Cg]
[ceI
0
0
0
0
0
0
[ce]
0
0
0
0
0
0
[ce]
0
0
0
0
0
0
[cE]
0
0
0
0
0
0
[ce]
0
0
0
0
0
0
[ce]
(12.12)
Należy zwrócić uwagę, że wymiar macierzy transformacji [cg] jest zawsze taki
sam jak macierzy sztywności elementu skończonego transformowanego.
177
W tym przypadku macierz transformacji ma wymiar [ej (18,18).
Ogólnie elementami macierzy transformacji są macierze kosinusów
kierunkowych Eulera, czasami jedynki na głównej przekątnej i poza główną przekątną zera.
Podczas przyłączenia macierzy sztywności elementu do globalnej macierzy
sztywności poszczególne wyrazy macierzy elementu są rozproszone i zależy to
głównie od różnicy pomiędzy numerami węzłów w elemencie. Przykładowe
umieszczenie wyrazów macierzy sztywności (12.3) trójkątnego elementu
skończonego o numerach i,j, k w globalnej macierzy wygląda następująco:
[K] =
i j k
0 ••• 0 ••• 0 •■■ 0 ••• 0"
o ... k„ ... k, ... klk ... o
o...k;! ...k;;. ...k;,-o
o...kfa. -k^. -kkk -o
o ••• o ••• o ••• o ••• o
(12.13)
Bardzo korzystne jest, jeśli różnica węzłów w elemencie, którą oznaczono IH, ma
wartość minimalną. Na przykładzie prostej ramy zostanie przedstawiona budowa
globalnej macierzy sztywności i jej wypełnienie w zależności od sposobu (kolejności)
numeracji węzłów. Na rysunku 12.5 przedstawiono ramę, w której węzłach przyjęto
jeden stopień swobody (w celu uproszczenia). Pierwszy sposób numeracji jest
nieoptymalny (rys. 12.5a), ponieważ niezerowe wyrazy macierzy są rozmieszczone po
całej macierzy. W drugim przypadku (rys. 12.56) występuje optymalne zagęszczenie
macierzy sztywności, gdyż otrzymano macierz pasmową i symetryczną względem
głównej przekątnej.
Innym przykładem jest budowa globalnej macierzy sztywności [K] żurawia
portowego, którego widok ogólny pokazano na rys. 12.6. Model dyskretny żurawia można
zbudować jako model płaski obciążony w płaszczyźnie konstrukcji (rys. 12.7).
W każdym węźle modelu dyskretnego będą występować dwa stopnie swobody (ux,uy).
Globalna macierz sztywności [K] modelu dyskretnego żurawia portowego jest
opisana równaniem
ITA=5
[k]= EMMM,
(12.14)
z=l
178
IH
[K]=
1
o
o
2
3
O
O
A
O
5
O
[K]=
1
o
o
2
o
3
A
O
5
O
o
Rys. 12.5. Rozmieszczenie niezerowych wyrazów w globalnej macierzy sztywności
w zależności od numeracji węzłów konstrukcji: IH - szerokość półpasma
globalnego macierzy, a - nieoptymalna numeracja, b - optymalna numeracja
Rys. 12.6. Widok ogólny żurawia portowego
179
Rys. 12.7. Schemat modelu dyskretnego żurawia portowego
Można przedstawić budowę globalnej macierzy sztywności [K] żurawia portowego
w postaci graficznej.
[K] =
<3)©©®©(6)®®
• ••
• ••
• ••
+ • • •
+ZZZZIZI
(12.15)
_• •
+
+
ZZZZZ551
•_•.•
• ••
Rys. 12.8. Budowa globalnej macierzy sztywności
Po dokonaniu agregacji macierzy sztywności poszczególnych elementów
skończonych według równania (12.15) otrzymano ostateczną postać globalnej macierzy
sztywności w postaci
180
® (2) © (4) (5) © (7) (8)
*_*_*_ Ii
• %•_•_•_ 12
_•__•• x u _
_•__•_%_•__ Jj. ~
•_ ••_•_ h
•_•_••_ Ii
• •• i"
[K]
{r}
Q ®
_ ©
_ ®
_ ®
_ ©
_ ©
_ ®
(J ®
{R}
(12.16)
Rys. 12.9. Zapis układu równań przemieszczeń
Typowa macierz sztywności [K] zawiera szereg wyrazów zerowych (rys. 12.10),
a w pewnej odległości od głównej przekątnej są same zera. Taka macierz nazywa się
pasmową a odległość od wyrazu na przekątnej do ostatniego niezerowego wyrazu
w każdym wierszu - półszerokością pasma.
IH
[K]=
X
X
X
-ir
X
X
X
\
^
'■6
X
X
X
X
V
s
X
X
X
0
X
0
X
0
X
X
X
0
0
X
X
X
X
X
0
0
0
X
X
X
X
X
Rys. 12.10. Szerokość półpasma globalnej macierzy sztywności
Cechy charakterystyczne globalnej macierzy:
a) jest symetryczna względem głównej przekątnej ky = kp,
b) na głównej przekątnej nie ma zera ku,... ,kiwjw
>0:
c) jest macierzą kwadratową;
d) może być pasmowa;
e) jest macierzą rzadką.
Półszerokość pasma macierzy oblicza się z zależności
IH:
nr-nrmm, xIE + IE
I max mm|g/emax
(12.17)
gdzie:
nr,
numer węzła w elemencie skończonym o maksymalnej wartości,
nrmm - numer węzła w elemencie skończonym o minimalnej wartości.
W celu zmniejszenia zajmowanej pamięci EMC wykorzystuje się własności
macierzy. Typowo zbudowana macierz sztywności zawiera wiele wyrazów zerowych,
181
w szczególności zaś z reguły istnieje część macierzy w pewnej odległości od głównej
przekątnej, w której są same zera. Tworzy się w ten sposób macierz pasmowa. Ta
własność macierzy sztywności jest wykorzystywana i do pamięci maszyny jest
wczytywana tylko szerokość jednego półpasma macierzy IH. Zaletą takiego postępowania
jest znaczna oszczędność pamięci komputera.
Jeśli rozwiązywane zagadnienie zawiera niewielką liczbę węzłów, to budowane
globalne macierze [K], [M], [C] ... mieszczą się w pamięci komputera. W przypadku
prowadzenia analizy dużych układów równań, które mają kilka tysięcy węzłów,
zapisanie tych macierzy w pamięci operacyjnej jest niemożliwe. W większości systemów
MES macierze globalne są zapisywane w pamięci zewnętrznej komputera, np. na
twardych dyskach.
Analogicznie jest budowana globalna macierz mas konstrukcji
ITA
[M] = 2>]f[m].-[4 (12.18)
gdzie:
H=[cJ1mJ[cJ (12.19)
Podobnie postępuje się z globalną macierzą plastyczności [KJ i geometryczności
[K£].
12.2. Globalna macierz tłumienia
Tworzenie macierzy tłumienia [C] w sposób analogiczny do [K] i [M] okazuje się
rzeczą trudną i pozostawia wiele wątpliwości. Ponieważ dla większości ustrojów
nośnych maszyn (konstrukcji stalowych) tłumienie jest małe i staje się istotne głównie
w przypadku wystąpienia rezonansu, więc zamiast rzeczywistego tłumienia zwykle
wystarczy rozważyć tylko tzw. równoważne tłumienie postaciowe [103, 141].
Tłumienie postaciowe oznacza fizycznie, że każda naturalna postać drgań
konstrukcji jest tłumiona niezależnie od innych. Matematycznym wyrazem tego jest
możliwość sprowadzenia macierzy [C] do postaci diagonalnej przez taką samą
transformację współrzędny eh jak macierzy [K] i [M].
W układach mechanicznych, w których najczęściej występuje tłumienie
proporcjonalne, można je przedstawić jako liniową kombinację macierzy bezwładności
i macierzy sztywności (tłumienie Rayleigha).
[c] = a[K] + 6[M] (12.20)
182
gdzie a i b są współczynnikami tłumienia wewnętrznego (a) i zewnętrznego (b). Jeżeli
a = 0, to w układzie najwyższe częstości (postacie drgań) są tłumione słabo. Jeśli
natomiast b = 0, to najwyższe częstości są tłumione silnie.
Wartości własne jednorodnego równania ruchu, kiedy prawa strona jest równa zeru
[M]{r(t)} + [c]{r(t)} + [K]{r{t)} = 0 (12.21)
dla proporcjonalnego modelu tłumienia są liczbami rzeczywistymi, natomiast dla
nieproporcjonalnego modelu tłumienia są liczbami zespolonymi.
Rzeczywiste tłumienie można modelować jako:
- tłumienie postaciowe (zależne od poszczególnych postaci drgań),
- tłumienie proporcjonalne (Rayleigha),
- tłumienie modalne,
- tłumienie skoncentrowane, za pomocą elementów GAP,
- złożone tłumienie modalne.
13. WYBRANE ZAGADNIENIA NIELINIOWOŚCI
MATERIAŁOWEJ
Prawa rynku, wymuszające ciągłe doskonalenie wytwarzanych produktów, a z
drugiej strony burzliwy rozwój technik obliczeniowych i komputerów spowodowały, że
w ostatnich latach znacznie częściej nie poprzestaje się na prostej, liniowej analizie
wytrzymałościowej metodą elementów skończonych, ale też stosuje bardziej złożone
algorytmy uwzględniające nieliniowe związki fizyczne materiału [4, 20, 73, 134, 227]. W
obszarze analiz wytrzymałościowych obliczenia wytrzymałościowe z uwzględnieniem
nieliniowości fizycznych wykonuje się najczęściej:
- dla obiektów, których materiał znajduje się w zakresie nieliniowym, podczas
normalnej eksploatacji,
- przy wymiarowaniu konstrukcji zgodnie z wymogami nośności granicznej,
- w celu wyznaczenia wartość energii zniszczenia (siły niszczącej) obiektów.
W przypadku obiektów, których materiał znajduje się w zakresie nieliniowym,
podczas normalnej eksploatacji w praktyce inżynierskiej możemy wyróżnić dwa różne
zadania. Pierwsze, gdy dany wyrób jest eksploatowany w zakresie nieliniowym (tworzywa
sztuczne, materiały hiperelastyczne itp.). Wówczas często są do dyspozycji, wynikające z
dotychczasowych doświadczeń, wzory empiryczne, tablice porównawcze itp., które
pozwalają poprawnie zaprojektować dany wyrób. Zupełnie inaczej jest, gdy poprzez
dokładne określenie warunków brzegowych wykorzystuje się materiał będący już poza
zakresem liniowym. Dobrym przykładem są tu węzły spawane rurociągów o dużych
średnicach do przesyłania gazu. Stabilne warunki pracy (kompensacja wahania ciśnienia) oraz
wykorzystanie zakresu odkształceń trwałych pozwalają na wykonanie znacznie lżejszych
elementów, mimo to zapewniających bezpieczną eksploatację.
Ostatnie lata przyniosły odejście od tradycyjnego wymiarowania ustrojów nośnych
maszyn i budowli. Te wielokrotnie statycznie niewyznaczalne obiekty mają nośność
nawet wtedy, gdy niektóre elementy ulegną uplastycznieniu, bądź nawet całkowitemu
zniszczeniu. W przypadku określania wytrzymałości doraźnej, analiza nieliniowa
pozwala na znacznie lepsze wykorzystanie materiału i optymalne kształtowanie.
Podobnie jest w przypadku wszelkiego rodzaju zabezpieczeń człowieka lub maszyn, od
prostych elementów reagujących na przeciążenie do całych struktur ochronnych, jak
nadwozia pojazdów lub kabin bezpiecznych dla maszyn roboczych.
Dla wszystkich wymienionych problemów niemożliwe jest uzyskanie poprawnych
wyników przy zastosowaniu modeli liniowych.
184
Aby prawidłowo zdefiniować, a następnie rozwiązać zadanie nieliniowe w metodzie
elementów skończonych należy przede wszystkim określić model materiału i związki
konstytutywne.
W odróżnieniu od materiału liniowo sprężystego, gdzie związki między
odkształceniem a naprężeniem i między odkształceniem i przemieszczeniem są liniowe,
niezmienne w całym zakresie, tu uzyskujemy sprzężenie między charakterystykami
materiału i wartościami określającymi aktualny stan materiału (przemieszczenie,
naprężenie, odkształcenie), a nawet historią stanu materiału (np. utwardzenie) i prędkością
zmiany stanu materiału (zagadnienia związane z lepkością). Stąd też rozwiązanie
zadania opiera się na technice przyrostowej, polegającej na krokowym zwiększaniu
parametrów wejściowych, rozwiązywaniu zadania na poszczególnych krokach i
sterowaniu charakterystykami materiału poprzez uzyskane wyniki cząstkowe. Jak każdy
proces iteracyjny, rozwiązanie ma charakter niejednoznaczny, zależy od zastosowanej
techniki przyrostowej i metod iteracji na poszczególnych krokach. W większości
przypadków, niezależnie od zastosowanych modeli materiału, sformułowanie zadania
polega na sprowadzeniu modeli nieliniowych do skończonej liczby cząstkowych
modeli liniowych i następnie odpowiednie stosowanie technik interpolacji.
Ponieważ ogólny model materiału, uwzględniający bardzo różne zjawiska, byłby
bardzo rozbudowany i wymagałby bardzo złożonych metod rozwiązywania, w
zależności od potrzeb stosuje się modele uwzględniające tylko niektóre zjawiska. Poniżej
przedstawiono najczęściej stosowane w analizie nieliniowej modele materiału [117]:
nieliniowo sprężyste, hipersprężyste i ulegające uplastycznieniu, i opisano
najważniejsze związki konstytutywne.
13.1. Materiały nieliniowo sprężyste
Z najprostszym przykładem modelu nieliniowego materiału sprężystego mamy do
czynienia wtedy, gdy podczas przyrostu obciążenia składniki tensora naprężeń
zmieniają się monotonicznie i względem siebie proporcjonalnie. Wówczas można zapisać
związek między przyrostem naprężenia Aeri przyrostem odkształcenia As w postaci
Aa= Dt[Et(a),v]As, (13.1)
gdzie
da ...
D, - styczna macierz materiału,
' de
Et - moduł styczny sztywności podłużnej,
v - współczynnik Poissona.
Całkowity wektor odkształcenia {s} służy do wyznaczenia efektywnego
odkształcenia s potrzebnego do określenia modułu stycznego Et z wprowadzonej
charakterystyki a(s) (rys. 13.1). Dla przestrzennego stanu odkształcenia
185
l-v
(l + v)(l-2v)
i=x,y,z i=x,y,z
V. j = z,y,z )
1
4(1 + v)
Z>
2
y
z=x,y,z
(13.2)
Krzywą a(£) dla jednowymiarowego ściskania i rozciągania materiału można także
po kilku modyfikacjach zastosować do elementów dwu- i trójwymiarowych. Po
wprowadzeniu współczynnika w, będącego funkcją wolumetrycznego odkształcenia
O, efektywnego odkształcenia s oraz współczynnika Poissona
O
w ■
(13.3)
s(\-2v)
moduły styczne przy rozciąganiu EtT i ściskaniu E^ uzyskuje się po rozwiązaniu równania
E =[Etc+EtT+w{EtT-Etc)\ (134)
Współczynnik w przyjmuje wartości z zakresu od -1 dla jednoosiowego ściskania,
do 1 dla jednoosiowego rozciągania.
Model nieliniowo sprężysty materiału można wykorzystać do modelowania
elementów przenoszących obciążenia tylko jednokierunkowo: cięgna - tylko rozciąganie,
elementy dystansowe - tylko ściskanie.
Rys. 13.1. Model nieliniowo sprężysty
186
13. 2. Materiały hipersprężyste
W przypadku modelowania obiektów wykonanych z gumy lub innych materiałów
nieliniowo sprężystych i nieściśliwych do analizy w zakresie dużych odkształceń
stosuje się modele hipersprężyste. Ujęcie nieściśliwości jest trudne ze względów
numerycznych. W praktyce stosuje się dwa podejścia do rozwiązania tego problemu.
Pierwsze polega na oddzielnej interpolacji składowych naprężeń, podobnie jak
w hydrodynamice, przy drugim wprowadza się dodatkowe stopnie swobody w
globalnej macierzy sztywności. Ta metoda wprowadza pozorną ściśliwość i jednocześnie
zależności, które ograniczają nieznane zmienne tylko do stopni swobody związanych
z przemieszczeniami. W porównaniu do pierwszego podejścia ten sposób ma mniej
niezależnych zmiennych.
Jednym z najpowszechniej stosowanych modeli materiałów hipersprężystych,
obok modelu Ogdena, jest model Mooneya-Rivlina. W modelu tym gęstość energii
odkształcenia można zapisać we wzorach przemieszczeniowych
w1=A(I1-3) + B(I2-3) + X(-±T-l) + Y(I3-l)2 (13.5)
w2=C(Il -3)(/2 -3) + D(Il -3)2 +E(I2 -3)2+F(Il -3)3 (13.6)
w = wl+w2 (13.7)
gdzie I\, I2, h są niezmiennikami tensora odkształcenia Cauchy'ego-Greena, aA-F są
stałymi materiału Mooneya, natomiast X i Y wyrażone są wzorami
X = Ą r = l4(5v-2) + *(llv-5)]
2 2(1-2v)
Gęstość energii odkształcenia w modelu Mooneya-Rivlina w ujęciu przemieszcze-
nie-ciśnienie jest następujące:
w = w+Q, (13.9)
gdzie i^jest gęstością energii odkształcenia wywołanego polem przemieszczeń i jest
równa
w=^(J1-3) + 5(J2-3) + ^(J3-l)2/2 + C(J1-3XJ2-3) +
+ D{JX - 3)2 + E(J2 - 3)2 + F{JX - 3)3
J\, J2 i Ą są zredukowanymi niezmiennikami tensora odkształcenia Cauchy'ego-Gre-
enai są równe [65]:
187
Jx = IJP ; J2 = I2ip ; J3 = Ij (13.11)
Q natomiast jest dodatkową gęstością energii odkształcenia w wyniku pola
przemieszczeń i naprężeń
Q = ~(p-Pf (13.12)
gdzie K jest modułem sprężystości objętościowej, p jest ciśnieniem hydrostatycznym
uzyskanym bezpośrednio z pola przemieszczeń, p natomiast jest ciśnieniem
hydrostatycznym uzyskanym z interpolacji zmiennych z ciśnieniem.
13.3. Materiały ulegające uplastycznieniu
Najczęściej stosowanymi nieliniowymi modelami materiału są różnego rodzaju
modele sprężysto-plastyczne. W odróżnieniu od modeli nieliniowo sprężystych w
materiałach tych występuje przejście materiału ze stanu sprężystego do stanu plastycznego.
Oprócz odkształceń sprężystych pojawiają się odkształcenia trwałe. Całkowite
odkształcenie {s} jest sumą odkształcenia sprężystego {ss} i plastycznego {sp} (rys. 13.2)
{£}={$} + {%} (13.13)
Z uplastycznieniem wiąże się zjawisko umocnienia materiału, które pokazano na
rys. 13.2. Po przekroczeniu granicy plastyczności materiału (punkt A), przy
zmniejszaniu obciążenia, materiał zachowuje się jak liniowo sprężysty (krzywa 2 kolor
niebieski), a przy ponownym obciążaniu następuje przesunięcie granicy plastyczności do
początkowego punktu odciążania (punkt B). Należy zauważyć, że krzywa dla
pierwszego sprężystego etapu obciążania (do punktu A) po przekroczeniu granicy
proporcjonalności także staje się nieliniowa. Podstawowe modele umocnienia materiału
pokazano na rys. 13.3.
Ta „pamięć" materiału, która uzależnia jego zachowanie od historii obciążania,
odróżnia materiały sprężysto-plastyczne od nieliniowo sprężystych. Klasyczne modele
materiału sprężysto-plastycznego zawierają trzy zasadnicze składniki [252]:
- sformułowanie związków między naprężeniem i odkształceniem w stanie
sprężystym przed wystąpieniem odkształceń plastycznych,
-kryterium uplastycznienia ustanawiające poziom naprężeń, dla których nastąpi
płynięcie materiału,
- związki między naprężeniem i odkształceniem dla stanu po uplastycznieniu, gdzie
współistnieją odkształcenia sprężyste es i plastyczne sp.
188
A
Re'
Re
£s
i
7) A"
£p
_-, ■ ^4
i 3
r 2
1 - obciążanie
2 - odciążanie
S
Rys. 13.2. Charakterystyka a(e) materiału sprężysto-plastycznego. Histereza
związana z umocnieniem materiału
bez
umocnienia
umocnienie
izotropowe
umocnienie .__
kinematyczne
Rys. 13.3. Podstawowe modele umocnienia materiału w przestrzeni naprężeń głównych
W stanie liniowo sprężystym spełnione jest równanie reologiczne
W=[D][H-k)]+Kl (i3.i4)
W przypadku związków nieliniowych, równanie to można rozwiązać iteracyjnie,
zmieniając macierz D (metoda zmiennej sztywności) lub zmieniając wartości Sq
(metoda początkowych odkształceń) oraz er0 (metoda początkowych naprężeń). Często
rozwiązanie zadania przeprowadza się w procesie przyrostowym, wykorzystując
związki między Aa i As. Metody przyrostowe i techniki iteracyjne omówiono w
rozdziale 16.
189
13.3.1. Modele sprężysto-plastyczne
W związku z różnym zakresem i celem obliczeń sprężysto-plastycznych budowane
są różne modele materiału przybliżające charakterystyki o(s) rzeczywistego materiału.
Najprostszym modelem materiału sprężysto-plastycznego jest materiał o
charakterystyce bilinearnej (rys. 13.4), składający się z dwóch odcinków o różnym kącie
nachylenia w stosunku do osi s. Pierwszy odcinek odzwierciedla zakres sprężysty i dla niego
tangens kąta nachylenia a.\ jest równy modułowi Younga materiału E w zakresie
sprężystym, proporcjonalnym. Drugi odcinek reprezentuje materiał uplastyczniony i dla niego
tangens kąta nachylenia a2 jest równy modułowi stycznemu materiału ET. Punkt
przecięcia odcinków odpowiada a= Re. Zazwyczaj przyjmuje się moduł styczny równy
50 10
(13.15)
Ten model nadaje się dobrze do prostszych obliczeń sprężysto-plastycznych. Gdy
potrzebna jest większa dokładność, przybliża się charakterystykę materiału większą liczbą
odcinków. Barierą przy budowie modelu zazwyczaj nie jest dokładność odwzorowania, lecz
dokładność uzyskania charakterystyki o(e), którą znamy jedynie z pewną dokładnością.
Odmianą modelu bilinearnego jest model sprężysto-idealnie plastyczny, dla którego
wartość modułu stycznego jest równa 0. Model ten pozwala oszacować z dołu siłę
powodującą utratę nośności konstrukcji przez powstanie przegubów plastycznych i
powstanie mechanizmu, ale w przypadku materiałów o szerokim zakresie plastyczności
(duże Rm/Re) definitywna utrata nośności (poprzez zniszczenie przegubów plastycznych)
wiąże się ze znacznie większą energią zniszczenia. W modelu tym dopuszczalne stany
naprężeń ograniczono do strefy wyznaczonej przez krzywą płynięcia (rys. 13.5).
sprężysto-plastyczny (bilinearny)
sprężysto-plastyczny (multilineamy)
sprężysty-idealnie plastyczny
sztywno-plastyczny
sztywno-idealnie plastyczny
charakterystyka materiału cr(e)
Rys. 13.4. Modele plastyczne materiału - charakterystyki o(s)
190
Modele sztywno plastyczne [102], w których nie uwzględnia się odkształceń
sprężystych, stosuje się najczęściej do określenia wartości sił zewnętrznych, dla których
w wyniku uplastyczniania kolejnych węzłów konstrukcja lub jej część staje się
mechanizmem, następuje utrata stateczności, czyli tzw. nośności granicznej. Analiza
sztywno plastyczna nie daje jednak informacji o zachowaniu konstrukcji przed utratą
stateczności.
W przypadku analiz dynamicznych charakterystyka materiału jest funkcją nie
tylko odkształcenia, ale także prędkości odkształcenia
<j = f{s,s) (13.16)
Przy dużych prędkościach odkształcenia pominięcie tego prowadzi do dużych
błędów. Dotyczy to analizy procesów, w których następuje przejęcie przez obiekt
znacznych energii w krótkim czasie, na przykład crash-testów pojazdów lub zjawisk
towarzyszących wybuchom.
13.3.2. Funkcje płynięcia i kryteria uplastycznienia
materiału sprężysto-plastycznego
W złożonym stanie naprężenia odpowiednikiem kryterium a = Re jest tzw.
początkowa powierzchnia plastycznego płynięcia [72]. Jest to powierzchnia ograniczająca w
przestrzeni naprężeń wypukły obszar początkowych stanów sprężystych Q). Ogólnie
równanie powierzchni początkowego płynięcia można zapisać w następujący sposób:
f{{a},k{K)) = 0 (13.17)
gdzie
/ -funkcja płynięcia,
[a] - tensor naprężeń,
k - funkcja parametru wzmocnienia k.
191
Funkcję płynięcia/można sobie wyobrazić jako powierzchnię w sześciowymiaro-
wej przestrzeni naprężeń. Funkcja płynięcia (powierzchnia płynięcia) dzieli przestrzeń
naprężeń na dwie części. Określa ona stan materiału. Wewnątrz znajduje się strefa, w
której obowiązuje sprężyste zachowanie się materiału. Po spełnieniu przez naprężenie
kryterium uplastycznienia
Mó\)-Kk) = 0 (13.18)
(osiągnięcie powierzchni płynięcia) przechodzi on w stan plastyczny.
Gdy dla danego stanu naprężenia spełniony jest warunek f < 0, wówczas materiał
znajduje się w stanie sprężystym, gdy f > 0, wówczas materiał jest w stanie plastycznym.
Parametr materiału k jest uzyskany doświadczalnie dla jednoosiowego stanu
naprężenia i zależy od historii odkształceń plastycznych. Dla modeli idealnie
plastycznych (bez umocnienia) parametr k jest stały, dla modeli uwzględniających umocnienie
jest zależny od parametru umocnienia k.
Funkcja/we wzorze (13.17) dla materiału izotropowego jest funkcją
niezmienników tensora naprężeń [10]
f=f(JuJ2,Ą) (13.19)
gdzie
Ji=\^^ (13.20)
T 1
Dla metali, ponieważ odkształcenie plastyczne jest niezależne od ciśnienia
hydrostatycznego, funkcja płynięcia ma postać
f{Ą,Ą)-k{K) = 0 (13.21)
gdzie J'2, Jj są drugim i trzecim niezmiennikiem derywatora naprężeń
a'v =(Tv-^CJvCJkk (13.22)
W zależności od przyjętej hipotezy wytężenia materiału, funkcja płynięcia
(powierzchnia płynięcia) ma różną postać. Strefa sprężysta musi być figurą wypukłą i
zawierać punkt początkowy układu współrzędnych (<r = 0). Poniżej skrótowo opisano
niektóre funkcje. Podstawowe wzory zestawiono w tabeli 13.1.
Kryterium maksymalnych naprężeń tnących rmax (Tresca) w przestrzeni naprężeń
głównych ma postać graniastosłupa o podstawie sześciokąta foremnego (rys. 13.6)
o osi wyznaczonej przez równanie naprężeń hydrostatycznych: (oi = <j2= <73) prosto-
192
padłego do płaszczyzny (oi + 02 + 03 = 0). Jest to najprostsze kryterium, łatwe do
zastosowania.
Kryterium Hubera-Misesa opiera się na wartości drugiego niezmiennika derywato-
ra naprężeń J'2 [74]. Dla większości metali daje rozwiązania bardziej ścisłe niż
kryterium rm
W przestrzeni naprężeń głównych ma postać walca (rys. 13.5) o osi wyznaczonej
przez równanie naprężeń hydrostatycznych: (01 = <72= 03) prostopadłego do
płaszczyzny (oi + 02 + 03 = 0). Walec ten jest opisany na graniastosłupie powierzchni
płynięcia według hipotezy rmax. Warunek ten można zapisać macierzowo w postaci równania
\a^cĄ-k{K)
= 0
gdzie
[N] =
0 0 0
2
_j_
~2~
0
0
0
0 0 0
10 0 0
o
o
o
3 0 0
0 3 0
0 0 3
(13.23)
(13.24)
ai+O2+C73=0
Rys. 13.6. Kryteria uplastycznienia materiału wg hipotez Hubera-Misesa i maksymalnych naprężeń
tnących (rmax) w różnych układach współrzędnych
193
Kryterium według hipotezy Hubera-Misesa wykazuje zgodność z kryterium rmax
wzdłuż krawędzi graniastosłupa rmax, a największa różnica —14% występuje przy
czystym ścinaniu
R f
^<^sł<1 (13.25)
*■ JHM
Kryterium Coulomba-Mohra [124] znajduje zastosowanie w analizie gruntów, skał,
obiektów betonowych, a więc przede wszystkim w budownictwie. W przestrzeni
naprężeń głównych ma postać ostrosłupa o osi wyznaczonej przez równanie naprężeń
hydrostatycznych: (oi = a2 = 03), co pokazano na rys. 13.7. Odmienny niż przy wcześniej
wymienionych hipotezach kształt (zbieżność do punktu 0 wyznaczonego równaniem:
<Jl = <j2 = o3 = c ctg <f>) wynika z uwzględnienia możliwości uplastycznienia
wymienionych materiałów przez ciśnienie hydrostatyczne c ctg^, gdzie c jest kohezją materiału,
a ^ jest kątem tarcia wewnętrznego.
Kryterium Druckera-Pragera [156] powstało po uwzględnieniu w modelu
zgodnym z hipotezą wytężeniową Hubera-Misesa dodatkowego warunku związanego
z uplastycznieniem wywołanym ciśnieniem hydrostatycznym. W przestrzeni naprężeń
głównych ma postać stożka (rys. 13.7) opisanego na ostrosłupie Coulomba-Mohra
o osi wyznaczonej przez równanie naprężeń hydrostatycznych: (<j\ = <r2 = 03) i
wierzchołku w punkcie ((Tj =<72 =a3 =cctg<fi). Przy kącie tarcia wewnętrznego (/> = 90°
powierzchnia uplastycznienia Druckera-Pragera jest tożsama z powierzchnią Hubera-
Misesa.
cti
Rys. 13.7. Kryteria uplastycznienia materiału według hipotez Coulomba-Mohra i Druckera-Pragera
w różnych układach współrzędnych
194
13.3.3. Umocnienie materiału
Równanie powierzchni płynięcia (13.17) jest funkcją tensora naprężeń er i
parametru wzmocnienia materiału k. W wyniku odkształceń plastycznych powierzchnia
płynięcia zmienia swój rozmiar i kształt. Po osiągnięciu przez materiał powierzchni
płynięcia przyjmuje się prawo płynięcia zakładające prostopadłość wektora przyrostu
odkształcenia plastycznego do powierzchni płynięcia w przestrzeni naprężeń (zasada
normalności)
Ss„ = A
da
(13.26)
gdzie g jest funkcją potencjału plastycznego, współczynnik A jest skalarem, który
można uzyskać z jednoosiowej charakterystyki o(s). Jeżeli funkcję potencjału
plastycznego przyjmiemy jako tożsamą z funkcją płynięcia
8ev =X^-
p da
(13.27)
to prawo płynięcie nazywa się stowarzyszonym prawem płynięcia (rys. 13.8).
Ol
f(a,K)
df
da/
/Tx
df
da2
-W
Ol
Rys. 13.8. Zasada normalności prawa stowarzyszonego płynięcia w przestrzeni (01,02)
195
Tabela 13.1. Kryteria uplastycznienia dla różnych hipotez wytężenia
Hipoteza
wytężenia
rmax (Tresca)
Huber-Mises
Coulomb-Mohr
Drucker-Prager
Kryterium przej ścia w stan plastyczny
Ci — a-i = k{tc)
lub
2acosd-Re(K) = 0
a ■ a i ■ , 3^J^
gdzie 0 = -^arcsm( —)
3 2a
lub
(7 =— = U
a/3
(o-j -cr3) + (a-l + <j3)s'm<fi(K)-2c(k)cos0 =0
cdi + i]J'2 = k'
lub
3acrm + a - k' = 0
gdzie
2sin^(sr) ;, 6c(k)cos4(k:)
a/3(3 - sin ^(k-)) ' V3(3-sin^(»)
Uwagi
0- kąt
odchylenia od linii
czystego
ścinania
(/> - kąt tarcia
wewnętrznego,
c - kohezja
gdzie: 1
Prawo stowarzyszonego płynięcia obowiązuje dla wielu materiałów, m.in. metali,
ale niezbyt dobrze nadaje się dla materiałów geomechanicznych, takich jak grunty,
skały czy beton.
Umocnienie izotropowe jest ze względu na swoją prostotę i efektywność
najczęściej stosowanym modelem umocnienia. Dla wielu materiałów poddawanych
obciążeniom okresowym uzyskiwane wyniki znacznie odbiegają od wyników
doświadczalnych, jednak może być stosowna, jeżeli obciążenia nie są okresowe.
W umocnieniu izotropowym zakłada się, że powierzchnia uplastycznienia w
wyniku odkształceń plastycznych rozszerza się równomiernie we wszystkich kierunkach,
wówczas wartość naprężenia uplastyczniającego jest funkcją całki zredukowanych
odkształceń plastycznych i dla kryterium Hubera-Misesa ma postać
RMd£P)=RM
\dsv^svv
(13.28)
196
Moduł plastyczny Ep, czyli tangens kąta nachylenia krzywej naprężenie zreduko-
wane-odkształcenia plastyczne, może być wyznaczony z jednoosiowej
charakterystyki cr(s)
E=— (13.29)
P dsp
Dla kryterium Hubera-Misesa naprężenie zredukowane jest równe
a = fij~2 (13.30)
Umocnienie kinematyczne opiera się na założeniu, że strefa sprężysta przesuwa
się w kierunku zmiany naprężeń, nie zmieniając jednak rozmiaru ani kształtu. Wartość
naprężenia uplastyczniającego Re nie ulega zmianie, ale naprężenie przy odciążaniu
a_ jest funkcją odkształcenia plastycznego. Zazwyczaj stosuje się ten model przy bili-
nearnej charakterystyce cr(s). Najczęściej stosowanymi modelami umocnienia
kinematycznego są modele Pragera, Zieglera-Pragera [156].
W modelu Pragera przyjmuje się założenie, że podczas odkształcania plastycznego
przyrostowe naprężenie odciążające <r_ ma ten sam kierunek, co przyrost
odkształcenia plastycznego sp
da_ =cds (13.31)
Stałą c, związaną z modułem plastycznym Ep, można uzyskać z jednoosiowej
charakterystyki cr(fi)
2 ^ 2 d(T_
-En =
3 p 3 ds„
C = ^EP=-— (13-32)
W modelu Pragera pojawia się niezgodność dla kilku podprzestrzeni naprężeń, jak
np. płaskiego stanu naprężenia, gdy naruszone jest założenie przemieszczenia
powierzchni uplastycznienia wyłącznie w przestrzeni naprężeń, i dlatego model ten nie
jest zalecany dla płaskiego stanu naprężenia, elementów powłokowych, belkowych
i prętowych.
Bardziej złożony model Zieglera-Pragera zakłada, że przyrostowe naprężenie
odciążające o"_ ma ten sam kierunek, co różnica naprężenia przy obciążaniu er i
naprężenia przy odciążaniu <j_
d(j_=dju(a-<j_) (13.33)
gdzie współczynnik dju zależy od odkształcania plastycznego. Jest on bardziej
zalecany niż model Pragera.
Stosowane są także złożone modele umocnienia kinematyczno-izotropowego, dla
których powierzchnia uplastycznienia jednocześnie ulega translacji i rozszerzeniu.
Wówczas:
— przy zastosowaniu modelu Pragera
197
da_=c(\-M)dsp (13.34)
— przy zastosowaniu modelu Zieglera-Pragera
da_ =dju(l-M)(cr-cr_) (13.35)
gdzie M wynika ze związku między odkształceniem plastycznym sp i zredukowanym
odkształceniem plastycznym s
sp =Msp (13.36)
13.3.4. Powierzchnie początkowego uplastycznienia i nośności granicznej
W układach belkowych analizy odkształceń plastycznych prowadzi się w trzech
poziomach [254]:
• poziom lokalny, czyli poziom punktu ciała,
• poziom półintegralny, czyli poziom przekroju poprzecznego belki,
• poziom integralny, odnoszący się do całej konstrukcji.
Celem analizy nieliniowej jest zazwyczaj symulacja zachowania się całej konstrukcji,
wymaga to jednak przeprowadzenia analizy na niższym poziomie. Na poziomie lokalnym
czynnikami wytężenia są naprężenia. Na poziomie integralnym konstrukcji za czynniki
wytężenia uważa się wszystkie niezależnie działające siły zewnętrzne. Na poziomie
przekroju poprzecznego belki jako czynniki wytężenia występują uogólnione naprężenia, za
które można przyjąć siły i momenty równoważne naprężeniom w przekroju poprzecznym
belki, czyli wektor uogólnionych sił przekrojowych [253]
{F} = [Fx,Fy,Fz,B,Mx,My,Mzf (13.37)
gdzie
Fx - siła przekrojowa osiowa,
Fy, Fz - siły przekrojowe poprzeczne,
Mx - moment przekrojowy skręcający,
My, Mz - momenty przekrojowe zginające,
B - bimoment.
W analizie plastycznej na poziomie lokalnym stan materiału określa funkcja
płynięcia. Analiza na poziomie przekroju jest trudniejsza, gdyż oprócz własności
materiału należy wziąć pod uwagę kształt geometryczny przekroju, który ma wpływ na
rozkład naprężeń. Stan przekroju w procesie obciążania zmienia się od stanu
sprężystego poprzez stany sprężysto-plastyczne do całkowitego uplastycznienia przekroju.
Warunek plastyczności przekroju można zapisać ogólnie w następujący sposób
f{F,K) = 0 (13.38)
gdzie k(K) zależy od historii odkształceń plastycznych w przekroju.
198
Zbiór wszystkich punktów w przestrzeni sił przekrojowych spełniających
powyższe równanie tworzy pewna powierzchnia, zwana powierzchnią plastyczności.
Powierzchnia plastyczności dla przekroju jest wypukła, podobnie jak powierzchnia
płynięcia dla punktu w przestrzeni naprężeń. Powierzchnie rozgraniczające poszczególne
fazy uplastyczniania przekroju są nazywane powierzchniami granicznymi.
Powierzchnia rozgraniczająca stany sprężyste od sprężysto-plastycznych jest nazywana
powierzchnią początkowego uplastycznienia, którą można zapisać równaniem
/o(^) = 0 (13.39)
Powierzchnia obejmująca stany pełnego uplastycznienia przekroju nazywana jest
powierzchnią nośności granicznej, a odpowiada jej warunek nośności granicznej
fP{F,K) = 0 (13.40)
Możliwe są następujące podejścia w analizie sprężysto-plastycznej na poziomie
przekroju [254]:
• materiał sprężysty, idealnie plastyczny, natychmiastowe uplastycznienie całego
przekroju,
• materiał sprężysto-plastyczny ze wzmocnieniem, natychmiastowe uplastycznienie
całego przekroju,
• materiał sprężysto-idealnie plastyczny, stopniowe uplastycznienie przekroju,
• materiał sprężysto-plastyczny ze wzmocnieniem, stopniowe uplastycznienie
przekroju.
W przypadku belki cienkościennej o dowolnym przekroju poprzecznym
wyznaczenie na drodze analitycznej równań powierzchni początkowego uplastycznienia i nośności
granicznej, ze względu na konieczność powiązania ich ze stanem materiału w
poszczególnych punktach przekroju, przy złożonym stanie obciążenia, jest możliwe
tylko dla najprostszych przekrojów.
Równania powyższych powierzchni są wyznaczane na drodze doświadczalnej, lecz
wiąże się to ze znacznymi nakładami [32].
Ze względu na trudności ze znalezieniem dokładnego rozwiązania omawianego
problemu stosuje się przybliżone metody wyznaczania powierzchni plastyczności,
które ogranicza się zazwyczaj do rozpatrywania stanu pełnego uplastycznienia
przekroju i wyznaczenia równania powierzchni granicznej. Metody przybliżone
wyznaczania powierzchni granicznej opierają się zazwyczaj na twierdzeniach o stanach
statycznie i kinematycznie dopuszczalnych. Przyjmując stan statycznie dopuszczalny,
znajduje się dolne oszacowanie nośności granicznej, a za pomocą stanów
kinematycznie dopuszczalnych wyznacza się górne oszacowanie powierzchni granicznej.
Wygodnym, często stosowanym podejściem jest przyjęcie założenia [168], że
znane są punkty powierzchni granicznej, odpowiadające prostym przypadkom obciążenia
przekroju, tzn. nośność dla obciążenia siłą podłużną momentem gnącym bądź
skręcającym.
199
Obciążenie siłą podłużną
Graniczna siła podłużna FXe dla belki rozciąganej bądź ściskanej jest równa
iloczynowi granicy plastyczności dla rozciągania Re i pola przekroju poprzecznego A
FXe =RXeA (13.41)
Skręcanie
Podczas skręcania w przekroju występują naprężenia ścinające. Granica
plastyczności dla ścinania jest równa
Rte = 0,5RXe (według hipotezy Treski),
Rte = RXg /v3 (według hipotezy Hubera-Misesa)
Ze względu na odmienne postacie skręcania belek cienkościennych o przekroju
otwartym i zamkniętym (rys. 6.23), odmienny będzie sposób wyznaczenia
granicznego momentu skręcającego MXe.
Belka cienkościenna o przekroju otwartym
Graniczny moment skręcający dla belki cienkościennej o przekroju otwartym
wygodnie jest wyznaczyć, korzystając z analogii wzgórza piaskowego (Nadaia) [75],
która jest przeniesieniem tzw. analogii błonowej Prandtla [157], obowiązującej dla
stanów czystego skręcania na stan pełnego uplastycznienia. Zgodnie z analogią
błonową naprężenia styczne od skręcania są proporcjonalne do gradientu spadku
powierzchni, jaką tworzy obciążona stałym ciśnieniem błona rozpięta na konturze
przekroju. Moment skręcający równy jest podwojonej objętości bryły ograniczonej
powierzchnią błony i przekrojem. Dla pełnego uplastycznienia naprężenia styczne
w każdym punkcie są równe granicy plastyczności dla ścinania Rte, wobec czego
rozpatrywana powierzchnia musi mieć wszędzie jednakowy spadek, tak jak powierzchnia
pryzmy piasku. Jeżeli obliczymy podwojoną objętość pryzmy o gradiencie spadku
równym 1 i oznaczymy ja przez Wxp, to otrzymamy równanie
MXe=RtWXp (13.43)
Wielkość Wxp nazywana jest plastycznym wskaźnikiem przekroju na skręcanie
i dla belki cienkościennej o przekroju otwartym można ją otrzymać ze wzoru
WXpĄ\t2dL (13.44)
L
a więc
-Rte \t2dL (13.45)
200
przekrój otwarty przekrój zamknięty
^| materiał uplastyczniony
Rys. 13.9. Cyrkulacja naprężeń w cienkościennym przekroju poprzecznym
Belka cienkościenna o przekroju zamkniętym
W przypadku belki cienkościennej o przekroju zamkniętym powyższa analogia nie
obowiązuje, a graniczny moment skręcający dla przekroju jednoobwodowego o stałej
grubości ścianki h można otrzymać z wzoru Bredta [21]
MXe=2RthA0 (13.46)
a wskaźnik plastyczny przekroju
WXp=2hĄ (13.47)
Dla przekroju jednoobwodowego o zmiennej grubości ścianki podczas
uplastyczniania przekroju zmienia się położenie środka ścinania, a jego ostateczne położenie
wyznacza minimum wskaźnika plastycznego przekroju
WXf =min( jphdS) (13.48)
s
które wyznacza skręcający moment graniczny
MXe = RtWXp = Rt mm( jphdS) (13.49)
s
Graniczny wskaźnik przekroju na skręcanie można wyznaczyć na drodze
numerycznej .
201
Deplanacja
Przy wyprowadzeniu granicznego wskaźnika przekroju na skręcanie nie
uwzględniono wpływu deplanacji przekroju poprzecznego i związanych z nią naprężeń
wycinkowych [96, 97, 169, 229, 234, 235, 242].
W dowolnym punkcie przekroju o współrzędnej wycinkowej w naprężenie
wycinkowe normalne równe jest a(0. Bimoment w przekroju równy jest całce iloczynu
wycinkowego naprężenia normalnego i wartości współrzędnej wycinkowej
B=\amcodA (13.50)
A
W przypadku pełnego uplastycznienia przekroju wyłącznie w wyniku działania
normalnych naprężeń wycinkowych dla każdego punktu [197]
^^sgnCfi,) (13.51)
wówczas
Be = JRx\co\dA (13.52)
A
Wartość Rxe jest stała, więc można ją wyciągnąć przed znak całki
B, =Rr [\co\dA (13.53)
e xe J I I
A
Ponieważ
SH = \\co\dA (13.54)
A
jest wskaźnikiem plastycznym przekroju
kowe, więc graniczny bimoment
Be =
Zginanie
Rozpatrzmy belkę o dowolnym przekroju, w układzie współrzędnych, którego osie
yz są głównymi centralnymi przekroju. Niech moment gnący Mg ma stary kierunek
tworzący z osiąj kąt aM, a jego wartość zmienia się w granicach od 0 do wartości
granicznej odpowiadającej całkowitemu uplastycznieniu przekroju [89].
ze względu na normalne naprężenia wycin-
~-KKa (13.55)
202
faza I
-a P.
Rys. 13.10. Fazy uplastycznienia przekroju poprzecznego przy zginaniu
Kolejne fazy uplastyczniania przekroju pokazuje rys. 13.10:
I faza - przekrój całkowicie sprężysty,
II faza - uplastycznienie jednostronne,
III faza - uplastycznienie dwustronne,
IV faza - całkowite uplastycznienie przekroju.
Oś obojętna przekroju tworzy z osiąj kąt oó i nie pokrywa się z osią działania
momentu, a w trakcie uplastycznienia przesuwa się i zmienia swój kąt nachylenia.
Oznaczmy obszar sprężysty przez Ae, uplastyczniony obszar rozciągany przez A+p
a uplastyczniony obszar ściskany przez A_p. Ogólna postać równania osi obojętnej jest
następująca
axy + a2z + a3 = 0
(13.56)
Stan naprężeń w dowolnym punkcie przekroju D wynosi
203
-R.
DeA
<jx=\aly + a2z + a3 D&Ae
R„ DgA„
(13.57)
a linie rozgraniczające obszary uplastycznione od obszaru sprężystego mają równania
axy + a2z + a3 = RXg
aiy + a2z + a3=-R
(13.58)
Jeżeli zapiszemy równania równowagi dla przekroju, to otrzymamy układ trzech
równań
\axdA = 0
A
Mg cos aM = \oxzdA = 0
Mg sin aM = jaxydA = 0
(13.59)
Jest to układ trzech równań z trzema niewiadomymi au a2, a3, nieliniowy i
uwikłany, gdyż zapisane współczynniki pola powierzchni, momenty statyczne, bezwładności
i dewiacyjne są funkcjami poszukiwanych niewiadomych. Rozwiązanie powyższego
układu dla stanu sprężystego jest bardzo trudne, ale możliwe przy wykorzystaniu ite-
racyjnych procedur numerycznych. Dla przypadku całkowitego uplastycznienia, przy
zaniku strefy sprężystej układ równań ma po przekształceniach postać
\Mg cosct^
M „ sinor.
-R S + R S
xe y-p xe y+J
-Rv S. + Rv S.
(13.60)
Z pierwszego równania wynika, że pola obszarów A+p i A_p są sobie równe. Środki
ciężkości poszczególnych pól C+p i C_p leżą na prostej prostopadłej do osi obojętnej
i są równo odległe od środka układu współrzędnych. Równanie osi obojętnej można
zapisać w postaci
y + a\z + a'3 = 0
(13.61)
gdzie a'2 =a2/al,
- a3 jax.
Współczynnik a'2 jest kotangensem kierunkowym osi obojętnej, a a3 odległością
od środka układu współrzędnych i można je łatwo wyznaczyć z układu równań. Po
otrzymaniu równania osi obojętnej znajduje się położenie punktów C+p i C_p.
Wówczas plastyczny wskaźnik przekroju na zginanie
204
WjaM) = ^A\c_pC
p +p\
(13.62)
Mg(aM) = RxWjaM) = ±ARXe\C_pC+p\
(13.63)
Powyżej pokazano metodę wyznaczenia nośności granicznej dla prostych
przypadków obciążenia siłą osiowa, momentem skręcającym, bimomentem lub dowolnie
zorientowanym momentem gnącym, która opierała się na modelu plastyczności bez
wzmocnienia. Powoduje to w przypadku zginania i skręcania zaniżenie wartości
momentów granicznych. Ponadto zastosowana metoda nie nadaje się także do przekrojów
wieloobwodowych.
Wyprowadzenie granicznego momentu skręcającego przy uwzględnieniu
powyższych zjawisk jest na drodze teoretycznej bardzo trudne. Istnieje jednakże inna droga.
Dla dowolnego przekroju poprzecznego można zamodelować skończonymi
elementami powłokowymi 3-D cienkościenną belkę i następnie przeprowadzić jej analizę
w zakresie sprężysto-plastycznym dla rożnych przypadków obciążenia, w tym także
dla złożonych [197].
Wyznaczone nośności graniczne, wyznaczające pewne punkty w przestrzeni
uogólnionych naprężeń, należące do powierzchni nośności granicznej danego
przekroju, mogą posłużyć do określenia przybliżonej powierzchni granicznej dla
dowolnych przekrojów w złożonym stanie obciążenia.
Aby umożliwić sprężysto-plastyczną analizę ram o dowolnych przekrojach w
programach numerycznych, zakłada się zwykle przybliżoną postać warunku
plastyczności. Zakłada się zazwyczaj uplastycznienie całego przekroju, w bardziej dokładnej
analizie uwzględnia się wzmocnienie materiału oraz stopniowe uplastycznianie
przekroju [137, 193].
W niniejszej pracy, ze względu na trudny do opisu proces uplastyczniania
przekroju poprzecznego belki cienkościennej, założono natychmiastowe uplastycznienie
całego przekroju. Przyjęte równanie powierzchni nośności granicznej ma postać [197]
/(*) =
~Fx~
2
+
' Mx~
[MXe\
2
+
" B~
_Be_
2
+
~My~
VMy\
2
+
e
[k(tc)]2 = 0 (13.64)
Funkcja/(/r) jest ciągła i ma jedną pochodną, a powyższe równanie spełnia
postulat wypukłości powierzchni granicznej. W warunku tym zaniedbano wpływ sił
tnących na uplastycznienie.
205
13.4. Przykład liczbowy analizy sprężysto-plastycznej
Dane: Obiektem analizy jest próbka prostokątna z karbem w postaci otworu,
rozciągana ciśnieniem/? przyłożonym do jednego boku, zmieniającym się w zakresie
p = 0-200 MPa
Podstawowe wymiary oraz schemat obciążenia i podparcia zamieszczono na rys. 13.11.
Do analizy wytrzymałościowej przyjęto bilinearny model materiału sprężysto-plas-
tycznego z kryterium uplastycznienia według hipotezy Hubera-Misesa (rys. 13.12).
Model obliczeniowy: Dyskretyzację przeprowadzono tarczowymi elementami
skończonymi typu PLANE2D (rys. 13.13). Przyjęto sterowanie procesem
obliczeniowym przyrostami ciśnienia o automatycznym kroku
Ap = 1-5 MPa
z iteracjami według zmodyfikowanego schematu Newtona-Raphsona.
Wyniki: Obliczenia przeprowadzono za pomocą systemu COSMOS/M™[34].
Wykres przemieszczenie-ciśnienie zamieszczono na rys. 13.14. Uzyskano postaci
deformacji próbki (rys. 13.15.), warstwice intensywności naprężeń i rozkład stref
plastycznych (rys. 13.16).
1 .
—►
—►
300
Rys. 13.11. Próbka prostokątna z otworem - wymiary, schemat obciążenia i podparcia
206
Re=230MPa
Rys. 13.12. Bilinearny model materiału sprężysto-plastycznego
uyó
^
*-
-
*-
-
-
-
-
-
s
i
~
*-
-
-
-
-
~
-
"-
\ \
\ -
X,
X
X.
y
y
y
y ,
y
/ *
//
//
ux
\\\\\\\\l?l/// /////
w \ \ \ \ \ \ L
fvX\\\VvVV-F
_////////,
XX//XX-X/y
XXXX/XyXXv
x 'xJ KTN^y^YO^" '"'<C/--/J'-/,AAX \A s
'"-- xXx/\x////Sx X/xXaJxX\.JX -^
X XXrXt/XX X/xx\XX\X
"~-^-- X-XXrXX/ \XXXX\XJ^ -"■
^~'^-XXum z EwnT T
■^ XKy\.XxaXX?/^.
-s" X X XyYXrX7XiXJT'
S XyvVX/X/iXl\T
x xXx?XXj7Xx4X-
\ y~/—j— ///ii i i
V-J_ / / / / / / ij~
/////// J~
'///fit i \ -
TrW\^AiVn
~T \ \ \ \ \ \ \ \Xl
"~T \ \ \ \ \ W
■ 1 \\\\\\\\
'/
/
/
/
y
y
y
y
X
X
\
Rys. 13.13. Model dyskretny próbki
207
E
E 0,6 -
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
p[MPa]
Rys. 13.14. Wykres przemieszczeń wybranych węzłów w funkcji wzrostu obciążenia
Rys. 13.15. Postać deformacji próbki w skali 25:1 dlap =200 MPa
208
a
Rys. 13.16. Warstwice intensyswności
Plik sesyjny:
PLANE,Z,0,1,
PT,1,0,0,0,
PT,2,30,0,0,
CRPCIRCLE,1,1,2,30,360,8,
VIEW,0,0,1,0,
SCALE,0,
SCALE,0.4,
PT,10,75,0,0,
PT,11,75,75,0,
PT,13,0,75,0,
CRLINE,9,2,10,
CRLINE,10,10,11,
CRLINE,11,3,11,
CRLINE,13,4,13,
CRLINE,13,13,11,
SF4CR,1,1,9,10,11,0,
SF4CR,2,2,11,13,13,0,
SCALE,0.5,
SFEXTR,13,13,1,Y,75,
EGROUP,1,PLANE2D,0,2,0,0,1,0,0,
b
ń (a) i rozkład stref plastycznych (b)p = 147,5 MPa
M_SF,1,2,1,4,10,13,1,2,
M_SF,3,3,1,4,10,10,1,1,
ACTDMESH,SF,1,
SFSYM,1,3,1,X,1,0,
SFSYM,1,6,1,Y,1,0,
NMERGE, 1,NDMAX, 1,1,0,0,0,
DCR,14,ALL,0,22,8,
MPROP,1,EX,2.06E5,NUXY,0.3,DENS,7.86E-
6,SIGYLD,230,ETAN, 1.03E4,
RCONST,l, 1,1,2,1,0,
CURDEF,TIME,1,1,0,0,230,230,345,345,
PCR,29,-1,34,5,-1,2,
TIMES,0,300,5,
NL AUTOSTEP,l,l,5,
NL_PLOT,l,100,1,0,
NL_PRINT,0,0,0,0,0,0,
NL_NRESP,1,964,323,420,0,
A NONLINEAR...
R NONLINEAR
14. ZAGADNIENIE GEOMETRYCZNIE
NIELINIOWE
Zagadnienia liniowe charakteryzują się proporcjonalnością wielkości wyjściowych
do wejściowych, czyli kiedy przemieszczenia opisane są zależnością liniową od sił
zewnętrznych. Początkowy zakres pracy większości konstrukcji może być opisany z dużą
dokładnością jako liniowy (odcinek O-A na rys. 14. la). Odpowiednie, liniowe modele
matematyczne konstrukcji składają się z liniowych równań różniczkowych, a ich modele
dyskretne są układami liniowych równań algebraicznych. W rzeczywistych
konstrukcjach często zależność ta jest nieliniowa od samego początku obciążania lub po
przekroczeniu pewnej wartości tego obciążenia (krzywa powyżej punktu A na rys. 14. la).
Wówczas odpowiednie modele matematyczne konstrukcji składają się z układu
nieliniowych równań różniczkowych, a po dyskretyzacji z nieliniowych równań
algebraicznych. Zagadnienia liniowe określane są jako pierwszego rzędu, a nieliniowe - drugiego
rzędu. Źródłem nieliniowości mogą być duże przemieszczenia lub odkształcenia
konstrukcji, nieliniowe charakterystyki materiału (rys. 14.16) lub więzów podporowych.
Rozróżnia się w związku z tym zagadnienia:
-geometrycznie nieliniowe, kiedy zależności między odkształceniami i gradientami
przemieszczeń (równania geometryczne) są nieliniowe,
- fizykalnie nieliniowe, kiedy zależności między naprężeniami i odkształceniami
(równania konstytutywne) są nieliniowe.
Wielkości charakteryzujące przebiegi zmienności między odpowiednimi
wielkościami statycznymi i geometrycznymi to: zmienna sztywność kT (dla układu o jednym
stopniu swobody), przechodząca w styczną macierz sztywności [KT] (dla układu
o wielu stopniach swobody), oraz moduł styczny ET, przechodzący w styczną macierz
sztywności materiału DT dla złożonego stanu naprężenia.
Z zagadnieniem geometrycznie nieliniowym mamy do czynienia w przypadku:
-konstrukcji smukłych, np. maszty telewizyjne, wysięgniki o znacznych
przemieszczeniach w stosunku do wymiarów poprzecznych,
-konstrukcji podatnych na wyboczenie sprężyste, np. chłodnie kominowe, wysokie
podpory montażowe,
- konstrukcje sprężane poprzez odciągi linowe.
Duże przemieszczenia mogą zachodzić w tych przypadkach nie wywołując dużych
odkształceń.
Z zagadnieniem fizykalnie nieliniowym mamy do czynienia w przypadku:
210
- dużych odkształceń w zakresie sprężystym, np. w gumie, elastycznych tworzywach
sztucznych,
- analizy konstrukcji w obszarze po przekroczeniu granicy plastyczności,
- pełzania.
Z nieliniowością łączy się również uwzględnienie różnego rodzaju niedokładności
(imperfekcji), odstępstw od wykonania idealnego, jak też obciążeń o kierunku
działania zależnym od deformacji konstrukcji (obciążenia śledzące). Przykładem
nieliniowych węzłów mogą być zagadnienia kontaktowe (połączenia z luzami), nieliniowo
podatne podpory.
a
Rys. 14.1. Wykresy zmienności: a - siły uogólnionej w funkcji przemieszczenia uogólnionego,
b - naprężenia w funkcji odkształcenia
Formułowanie nieliniowych modeli matematycznych wymaga większej precyzji
niż formułowanie modeli liniowych. W odniesieniu do wszystkich grup równań trzeba
odróżniać konfigurację początkową konstrukcji od odkształconej (aktualnej), jak też
wyróżnić konfiguracje odniesienia, do której odnosimy obliczane wielkości. W
liniowej teorii sprężystości równania równowagi są zapisywane dla konfiguracji nieod-
kształconej. Pomija się w ten sposób wpływ zmiany geometrii na siły wywołujące
odkształcenia, a zatem wpływ deformacji na warunki równowagi. Spójny opis
wymaga posługiwania się odpowiednimi miarami odkształceń oraz naprężeń i wyrażania
przez nie równań konstytutywnych [19, 161].
Położenia równowagi w procesie przemieszczenia i odkształcenia mogą być
opisywane w dwojakiego rodzaju układach współrzędnych [60]:
- w układzie nieruchomym, ustalonym, jest to tzw. opis Lagrange'a,
- w układzie ruchomym (konwekcyjnym), związanym z deformowanym elementem,
tzw. opis Eulera
W mechanice konstrukcji stosuje się zwykle opis Lagrange'a. Opis Eulera stosuje
się w mechanice płynów.
Opis Lagrange'a ma dwie reprezentacje:
211
- opis stacjonarny albo całkowity (Total Lagrangian TL), w którym wszystkie
niewiadome funkcje odnosimy do stałego układu współrzędnych, przyjętego na początku
rozpatrywanego procesu i w którym opisana jest konfiguracja początkowa,
-uaktualniony opis Lagrange'a (Updated Lagrangian UL), w którym wprowadza się
konwekcyjny układ współrzędnych, związany z określonym stanem i elementem, ale
który to układ „zamraża się" na początku określonej chwili czasowej i dokonuje się
opisu względem tego zamrożonego układu.
14.1. Stateczność sprężysta
W ogólnym przypadku utrata stateczności sprężystej konstrukcji jest zagadnieniem
nieliniowym, które może być w pełni zbadane jedynie za pomocą iteracyjnej lub
przyrostowej analizy dużych przemieszczeń [4].
Wpływ nieliniowości geometrycznej w wielu przypadkach pozostaje nieznaczny
do pewnej krytycznej wartości obciążenia, po przekroczeniu której następuje
gwałtowna zmiana konfiguracji, odpowiadającej nowemu stanowi równowagi (rys. 14.2).
Jeśli interesuje nas tylko wartość siły krytycznej i\r i postać po wyboczeniu, to
możemy stosować liniową analizę sprężystą. Takie liniowe zagadnienie bifurkacyjnej
utraty stateczności przedstawia ograniczone podejście metody elementów
skończonych na zagadnienia geometrycznie nieliniowe. W rozwiązaniu zagadnienia
wykorzystuje się warunki na ekstremum energii potencjalnej z uwzględnieniem nieliniowych
związków między odkształceniami i przemieszczeniami.
Potencjalna energia układu sprężystego f/jest sumą energii odkształceń
sprężystych Ee i ujemnej pracy sił zewnętrznych We
U = Es-We (14.1)
Stan równowagi odpowiada minimum energii potencjalnej. Każde nieskończenie
małe zaburzenie ze stanu równowagi wywołuje nieskończenie małe przemieszczenie
układu. W przypadku równowagi niestatecznej, gdy energia potencjalna układu nie
osiąga minimum, wystarczy dowolnie małe zaburzenie, aby wywołać znaczne
przemieszczenie. Można to zobrazować na przykładzie kuli na gładkiej powierzchni (rys. 14.3).
Powierzchnia ta jest równocześnie powierzchnią reprezentującą funkcję energii
potencjalnej w polu grawitacyjnym. Z rachunku wariacyjnego wynika, że o stateczności
decyduje druga wariacja energii potencjalnej. Zmianę energii w wyniku dowolnego
zaburzenia stanu równowagi można przedstawić w postaci sumy wariacji
AU = SU + S2U + S3U + ...
(14.2)
212
y
a
-^ ^-
p ~Q
m
o
Rys. 14.2. Wyboczenie płyty prostokątnej: a - zależność siły ściskającej od przemieszczenia w kierunku
działania siły, b - zależność siły ściskającej od ugięcia płyty
a
b
Rys. 14.3. Równowaga kuli na powierzchni: a - stateczna, b - neutralna, c - niestateczna
Jeżeli siły zewnętrzne nie zależą od przemieszczeń, to We jest liniowa względem
przemieszczeń i jej druga wariacja jest tożsamościowo równa zeru. Ponieważ pierwsza
wariacja SU jest również zerowa w stanie równowagi (zasada stacjonarności energii
potencjalnej [110, 227]), widzimy, że
213
AU = S2Ee+... (14.3)
W takim razie kryterium stateczności możemy przedstawić w postaci
U = min -> AU > 0 -> S2ES > 0 (14.4)
tzn. w układzie statecznym druga wariacja energii potencjalnej musi być dodatnio
określona. Jeśli ograniczymy nasze rozważania do małych odkształceń i liniowo
sprężystego materiału, to możemy stosować zwykłe definicje odkształceń i jej drugiej
wariacji. W układzie współrzędnych x, y, z możemy zamiast tensora odkształceń
wprowadzić wektor odkształceń
k£,£j^„rJ
(14.5)
Podobnie możemy przedstawić wektor naprężeń {a}, co pozwala zapisać prawo
Hooke'a w postaci
o
[D]{Ą
(14.6)
gdzie [D] jest macierzą stałych sprężystości o wymiarze 6x6. W takim razie energia
odkształcenia dla nieskończenie małego elementu dVma postać
dU = -{óf{a}dV = -{ĄT[D\{Ądxdydz (14.7)
a energia odkształcenia dla całej konstrukcji wyraża się całką po objętości
U = - \{if [D] {Ąćbcdydz (14.8)
Ścisłe związki między składowymi tensora odkształceń a składowymi wektora
przemieszczeń są nieliniowe [214]
dux 1
sx =—- + -
dx 2
( *.. \
du
v dx j
2 (*.. \
+
>
v ^ j
+
rdu.^
V dx j
(14.9)
xy
dux duy dux dux | duy duy | duz duz
dy dx dx dy dx dy dx dy
(14.10)
analogicznie do Sy, sz, yyz i yxz. Stosując wektory typu (14.5) możemy te związki
zapisać w postaci
ia) = laL}+t%i
[Ajł-M")]
(14.11)
gdzie {u} = {ux, uy, uz} jest wektorem przemieszczeń, a [TL] i [T^w)] są macierzowy-
214
mi operatorami różniczkowymi. Wektor odkształceń został podzielony na dwie części
- liniową i nieliniową. Część liniowa {sL} = [YL]{u} - odpowiada nieskończenie
małym odkształceniom, stosowanym w liniowej analizie statycznej. W analizie
stateczności zakładamy, że odkształcenia są małe (sx « 1) i niektóre człony nieliniowe
można pominąć. Nie możemy pominąć członów nieliniowych związanych z obrotami,
gdyż wyboczenie związane jest z nagłym obrotem elementów konstrukcji względem
konfiguracji początkowej.
Idea metody elementów skończonych w wersji przemieszczeniowej polega na
aproksymacji rzeczywistego rozkładu przemieszczeń {u(x)} za pomocą funkcji
interpolacyjnych (tzw. funkcji kształtu [251]) i skończonej liczby n węzłowych
przemieszczeń {r} = {ru r2, ..., rn} określającej liczbę stopni swobody układu. Zapisujemy to
w postaci
Mx)} = [N(x)]{r} (14.12)
gdzie {u} jest wektorem funkcji przemieszczeń, a macierz funkcji kształtu [N]
określona jest oddzielnie dla każdego z elementów.
Podstawiając (14.12) do (14.11) otrzymujemy
{s} = [BL]{r} + [BN(r)]{r} (14.13)
gdzie macierz
[Bj = [rJ[N] (14.14)
nie zależy od przemieszczeń {r}, natomiast macierz
[B^ (/■)] = [^ (Nr)] [N] (14.15)
jest liniowa względem przemieszczeń {r}. Macierze [BJ jak i [Bw] są oczywiście
funkcjami współrzędnych {x}. Pracę sił zewnętrznych możemy teraz zapisać w postaci
We={R}T{r} (14.16)
gdzie {R} jest wektorem n sił węzłowych. Energia potencjalna całego układu ma teraz
postać
U=\\{<y}T{s}dV-{R}T{r} (14.17)
Warunkiem stacjonarności stanu równowagi jest znikanie pierwszej wariacji
energii potencjalnej (14.17)
SU= jVfS{s}dV-{RfS{r} = 0 (14.18)
Równanie to wyraża zasadę wirtualnych przemieszczeń. Macierz [BL(r)] jest
liniowa względem dowolnych wektorów {a} i {b} o wymiarach (n x 1):
215
[SBN(r)] = [BN(Sr)]
[BN(a)]{b} = [BN(b)]{a]
Pozwala to wariację
{Se} = [BL+BN(r)]{Sr} + [SBN]{r}
wynikającą ze wzoru (14.13) zapisać w postaci
{Ss} = [BL+2BN(r)]{Sr}
Wówczas z warunku stacjonarności (14.18) otrzymujemy
\{[BL] + 2[BN])T[a]dV = {R}
(14.19)
(14.20)
(14.21)
(14.22)
Równanie to jest warunkiem równowagi naprężeń i sił węzłowych. Możemy
z niego obliczyć drugą wariację energii odkształcenia S2ES, potrzebną do analizy
stateczności. Drugą wariację dowolnej funkcji o skończonej liczbie zmiennych (w
naszym przypadku - uogólnionych przemieszczeń r) możemy zapisać w taki sposób
S2E£= 5{r}T[B] 5{r}
gdzie [H] jest hesjanem
[H]*
d2Es
dr dr-
1 J
(14.23)
(14.24)
\dEe
Ponieważ równanie (14.22) już reprezentuje < -
[Sr,
względem {r}
[H] =
SR
wystarczy zróżniczkować je
(14.25)
Pochodna sił węzłowych {R} względem przemieszczeń węzłowych {r} to nic
innego jak sztywność styczna konstrukcji dla dowolnego stanu przemieszczeń {r}
[H]s[Kr(r)]
(14.26)
Z algebry macierzowej wiadomo, że forma kwadratowa (14.23), reprezentująca
drugą wariację energii odkształcenia, przestaje być dodatnio określona, gdy
wyznacznik macierzy [H] staje się zerem. Tak więc utrata stateczności następuje wtedy, gdy
macierz sztywności stycznej staje się osobliwa. Dla podejścia przyrostowego oznacza
to, że
[Kr(r)] {Ar} = 0
(14.27)
216
dla nieskończenie małego przyrostu przemieszczeń {Ar}. Inaczej mówiąc, istnieje
konfiguracja sąsiednia {r} + {Ar}, w której również możliwy jest stan równowagi z
obciążeniem {R}, powodującym przemieszczenia {r}. To pojawienie się dwóch możliwych
stanów równowagi jest przejawem bifurkacji krzywej obciążenie-przemieszczenie
i odpowiada wyboczeniu bifurkacyjnemu.
Zapiszemy obecnie warunki bifurkacji w jawnej postaci. Po zróżniczkowaniu
(14.22) otrzymujemy
[M<-)]= J
\[BL]+2[BM]feM,2dJ^
8 r
d\r\
<x
dV
Korzystając ze związku fizycznego {oj = [D]{s} i wzoru (14.21) mamy
da
N
d s\
[D]([Bj + 2[BAr(r)])
d\r\ L Jd{r\
Ponieważ macierz [BN(r)] ma własności liniowe, tzn.
[BN(a)]T{d}=[C(d)]{a}
(14.28)
(14.29)
(14.30)
dla każdego wektora {a} o wymiarach (« x 1) i każdego {d} o wymiarach (6 x 1),
możemy wyrazić drugi człon pod całką (14.28) jako funkcję stanu naprężeń
[8BN(r)]T{-} = K(Sr)]T{a} = [c(a)]{dr
(14.31)
We wzorze tym [C] jest macierzą liniową względem {a}, zawierającą w innym
uporządkowaniu te same pochodne cząstkowe funkcji kształtu, które występują
w macierzy [B].
Po podstawieniu (14.31) i (14.29) do (14.28) otrzymujemy
Mr)] = [K0] + [Ka(r)]+[K»]
gdzie
[K0]=j[BLf[D][BL]dV
jest macierzą zwykłej sztywności sprężystej,
jest macierzą zawierającą efekty dużych przemieszczeń oraz
[K>)] = 2j[c(a)K
dV
(14.32)
(14.33)
(14.34)
(14.35)
jest macierzą wstępnych naprężeń lub sztywności geometrycznej.
We wszystkich wzorach zakładamy, że znak całki oznacza zarówno zwykłe całko-
217
wanie w obszarze elementu, jak również generowanie globalnych macierzy konstrukcji
z poszczególnych podmacierzy, z uwzględnieniem warunków zgodności elementów.
W wielu interesujących z praktycznego punktu widzenia zagadnieniach
zachowanie się konstrukcji przed utratą stateczności jest liniowe. Pozwala to uprościć wzór
(14.32) przez pominięcie nieliniowego członu [KJ. Jeżeli mamy w dodatku
obciążenie wzrastające proporcjonalnie do jednego parametru, czyli {R(k)} = A,{i?o}, to
możemy otrzymać naprężenia w postaci {a} = X{<t0}, gdzie {a0} jest wektorem
naprężeń, odpowiadających obciążeniu {Ro}- W takim razie problem wyboczenia
sprowadza się do wyznaczenia mnożnika obciążenia odpowiadającego utracie stateczności
(przy założonym rozkładzie {i^o})- Ponieważ w momencie wyboczenia wyznacznik
macierzy sztywności stycznej ma być równy zeru, mamy
|[Kr]| = |[K0] + /l[K>0)]| = 0 (14.36)
Tak więc problem wyboczenia sprowadza się do zagadnienia wartości własnych
[K0][X] = -[KJ[X][A] (14.37)
gdzie [A] jest diagonalną macierzą mnożników obciążenia krytycznego, a [X]
macierzą, której wektory kolumnowe określaj apostacie wyboczenia.
Chociaż najmniejsza wartość własna i odpowiadająca jej postać wyboczenia
określa rzeczywiste wyboczenia konstrukcji, w wielu przypadkach pożyteczne jest również
określenie kilku następnych postaci.
Dalej zostaną przedstawione odpowiednie macierze dla elementu belkowego oraz
przykłady obliczeń stateczności sprężystej konstrukcji belkowych, płytowych i
powłokowych. Macierze sztywności geometrycznej innych elementów skończonych
można znaleźć w pracach [42, 45, 228].
14.2. Przestrzenne układy belkowe
W przypadku kiedy co najmniej jeden z wymiarów jest znacznie mniejszy od
pozostałych, problem można sprowadzić z zagadnienia trójwymiarowego na jedno- lub
dwuwymiarowe, np. ustroje powierzchniowe, belkowe. Zagadnienie sprowadza się
wówczas do powierzchni środkowej pryt i powłok lub osi belek, stosując odpowiednie
hipotezy kinematyczne i statyczne, np. hipotezę Kirchhoffa-Love'a w ustrojach
powierzchniowych, hipotezę Bernoulliego-Eulera w ustrojach belkowych.
Modele belek są więc geometrycznie jednowymiarowe, gdyż opisujemy je za
pomocą jednej zmiennej niezależnej, parametryzującej oś belki. W analizie układów
belkowych rozróżnia się [228]:
• belki o przekroju zwartym lub cienkościennym (z uwzględnieniem lub nie deplana-
218
cji przekroju),
• belki o osi prostej lub zakrzywionej,
• belki bez uwzględnienia lub z uwzględnieniem odkształceń postaciowych (wg
hipotezy Bernoulliego-Eulera lub Timoshenki),
• stan przemieszczeń płaski lub przestrzenny.
Obecnie przedstawimy przestrzenny standardowy element ramowy. Przyjmujemy,
że oś belki o przekroju zwartym pokrywa się z osiąx lokalnego układu kartezjańskie-
go, a osie y, z są głównymi, centralnymi osiami bezwładności przekroju poprzecznego
(rys. 14.4). Opieramy się na hipotezie Bernoulliego-Eulera, gdzie jako wielkości
uogólnione przyjmujemy następujące wielkości:
"*
Uz
."z.
, M=
^0
Ky
.X _
, M =
" N '
My
W A
(14.38)
Pierwsze składowe (powyżej poziomej kreski) występują w przypadku płaskiego
elementu ramowego. Na rysunku 14.5 pokazano dodatnie zwroty momentów Mx, My i Mz.
Uogólnione odkształcenia przekroju poprzecznego zależą od gradientów uogólnionych
przemieszczeń
k.
-Ą
dx
1
dx
d2u.
dx
dxl
duz
dx
K,.
day
dx
d2uz
dx2
x-
daz
dx
(14.39)
Macierz stałych sprężystości dla materiału jednorodnego i liniowo sprężystego ma
postać
[D] =
U
0
0
0
0
EIZ
0
0
0 0
0 0
EIV 0
0 GI
(14.40)
gdzie A - pole przekroju, Iy, Iz - główne momenty bezwładności, Is - zastępczy
moment bezwładności na skręcanie przekroju zwartego. Jako stopnie swobody przyjmuje
się uogólnione przemieszczenia końców elementu skończonego (rys. 14.4)
M=
<Ux\ Uy\ Uz\
axl ayl a
z\ I Ux2 Uy2 Uz2 axl °'y2 az
(14.41)
219
Zwroty wektorów obrotu przyjęto zgodnie z prawoskrętnym układem
współrzędnych elementu (x, y, z). Zgodnie z hipotezą Bernoulliego-Eulera kąty obrotu węzłów
brzegowych wynoszą (por. rys. 14.4)
«,.
dx
a.
dx
(14.42)
Tabela 14.1. Liniowa macierz sztywności przestrzennego elementu belkowego
[k0
EA
~T
0
0
0
0
0
EA
l
0
0
0
0
0
0
\2EIZ
0
0
0
6EIZ
~T~
0
\2EIZ
0
0
0
6EIZ
l2
0
0
\2EIy
f
0
6EIy
l2
0
0
0
12EIy
/3
0
6EIy
l2
0
0
0
0
l
0
0
0
0
0
GI,
l
0
0
0
0
6EIy
l2
0
4EIy
l
0
0
0
6EIy
l2
0
2EIy
l
0
0
6EIZ
0
0
0
4EIZ
l
0
6EIZ
0
0
0
2EIZ
l
EA
r
0
0
0
0
0
EA
l
0
0
0
0
0
0
\2EIZ
0
0
0
6EIZ
~~
0
12EIZ
0
0
0
6EIZ
l2
0
0
12EIy
0
6EIy
l2
0
0
0
12EIy
/3
0
6EIy
l2
0
0
0
0
GI,
l
0
0
0
0
0
GI,
l
0
0
0
0
6EIy
l2
0
2EIy
l
0
0
0
6EIy
l2
0
4EIy
l
0
0
6EIZ
0
0
0
2EIZ
l
0
6EIZ
0
0
0
4EIZ
l
Pole uogólnionych przemieszczeń ux(^), uy(£), uz{%), Ox{C) dla ć, = x/l, C e [0,1]
aproksymuje się za pomocąhermitowskich funkcji kształtu
[N(£)] =
(4x12)
[N„l
NH,
NHZ
N„
hx 0 0 0 0 0
o A o o o gl
0 0 fx 0 -gl 0
o o o \ o o
hx 0 0 0 0 0
o /j o o o gl
0 0 /j 0 -gl 0
0 0 0 hx 0 0
(14.43)
220
gdzie
A1=1-£,A2=£
/,=l-3£2 +2^\f2=^\3-20 (14.44)
gl=lł;(\-C)2,g2=ie(ź-\)
Wykorzystując te funkcje, zgodnie z zależnościami z rozdz. 14.1, można
wyprowadzić explicite macierz sztywności sprężystej [k0] i macierz sztywności
geometrycznej [ka] elementu ramy przestrzennej. Macierze te przedstawiono w tabeli 14.1 i 14.2.
Tabela 14.2. Naprężeniowa macierz sztywności przestrzennego elementu ramowego
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
57
0
0
0
1
To"
0
6
~57
0
0
0
1
To"
0
0
6
57
0
1
10
0
0
0
6
~Tl
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
"To"
0
A/
15
0
0
0
1
To"
0
-U
30
0
0
1
To"
0
0
0
A/
15
0
1
"To"
0
0
0
1 ,
—/
30
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
"57
0
0
0
1
"To"
0
6
57
0
0
0
1
"To"
0
0
6
"57
0
1
10
0
0
0
6
57
0
1
w
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
"To"
0
-U
30
0
0
0
1
To"
0
A/
15
0
0
1
To"
0
0
0
-U
30
0
1
~w
0
0
0
2 ,
—/
15
Przykład 14.1. Stateczność sprężysta podpory montażowej. Przedmiotem analizy
jest podpora montażowa przedstawiona na rys. 14.4a. Podpora ma zapewnić nośność
Qdov = 2 x 50T = 100T. Składa się z dwóch słupów, wykonanych z rur prostokątnych
120 x 240 x 12 x 12, połączonych ze sobą stężeniami poziomymi z rur 0108,0 x 8
i ukośnymi z kątowników |_60 x 60 x 6. Oprócz analizy wytrzymałościowej na
naprężenia dopuszczalne, należy również taką konstrukcję sprawdzić na wyboczenie. Na
rysunku 14.Aa. pokazano model obliczeniowy, w którym zastosowano belkowe
elementy skończone BEAM3D, a na rys. 14.46 pierwsze dwie postacie wyboczenia.
a
b
221
Rys. 14.4. Stateczność sprężysta podpory montażowej wykonanej z elementów ramowych: a - model
obliczeniowy, b - pierwsze dwie postacie wyboczenia
Z analizy statycznej w słupach pionowych otrzymano naprężenia normalne a =
= 63,1 MPa, a w skratowaniach ukośnych a = 28,3 MPa. Z analizy stateczności
sprężystej otrzymano wartość mnożnika obciążenia krytycznego źl^ = 1,96, stąd
obciążenie krytyczne Fb = 1,96 Qdop.
Zbiór wsadowy systemu COSMOS/M ma postać
PT,1,1600,-400,0,
PT,2,1600,0,0,
PTSYM,1,2,1,X,0,
SCALĘ,0,
CRLINE,1,1,2,
CREXTR,2,2,1,Y,3400,
SCALĘ,0,
CRGEN,2,2,2,1,0,0,34 00,0,
222
SCALĘ,O,
CRGEN,1,1,1,1,O,O,1100 0-400,O,
CRSYM,1,5,1,X,1,O,
CRLINE,11,2,4,
CRLINE,12,5,9,
CRLINE,13,6,10,
CRLINE,14,7,11,
CRBRK,11,14,1,2,O,
CRLINE,19,4,5,
CRLINE,20,9,6,
CRLINE,21,10,7,
CRBRK,19,21,1,2,O,
CRLINE,25,2,9,
CRLINE,26,5,10,
CRLINE,27,6,11,
CRBRK,25,27,1,2,O,
PTMERGE,1,PTMAX,1,5,1,1,0,
EGROUP,1,BEAM3D,O,O,O,O,O,O,O,
MPROP,1,EX,2.1E5,NUXY,0.3,
BMSECDEF,1,1,4,1,10, 12 0,240, 12, 12,O,O,O,O,O,O,
MA_CR,1,10,1,250,3,13,
BMSECDEF,1,2,3,1,9,108.O,8,O,O,O,O,O,O,O,
MA_CR,11,18,1,250,3,17,
EGROUP,2,BEAM3D,1,0,O,O,O,O,O,
BMSECDEF,2,3,10,1,10,60,60,6,6,O,O,O,O,O,O,
M_CR,19,CRMAX,1,3,1, 1, 3,
NMERGE,1,NDMAX,1,5,0,1,0,
NCOMPRESS,1,192,
ACTECLR,1,RC,1,
DPT,3,AU,0,1,2,,
DPT, 12,UZ,O,8, 4, ,
FPT, 12,FY,-500000,8,4,
A_STAT,G,0,1,1E-06,1E+10,0,0,0,0,
R_STAT,
A_BUCKL,8,S,16,O,O,O,1E-05,1,1E-06, O,
R_BUCKL,
ACTPOST,O,
ACTSTR,1,SX,2;
STRPLOT;
ACTPOST,2,
DEFPLOT,1;
Przykład 14.2. Stateczność sprężysta swobodnie podpartej prostokątnej cienkiej
płyty pokazanej na rys. 14.2. Wymiary i właściwości fizyczne płyty są następujące:
a = 35 mm, b = 28 mm, h = 0,07 mm, E = 7800 MPa, v= 0,3. Obciążenie krytyczne
według zależności analitycznych wynosi [215]
(mb a \ nEh3 ,, . ...
Mv+^Jtsf^ (1445)
223
gdzie m - liczba całkowita określająca liczbę półfal wyboczeniowych płyty w
kierunku działania siły ściskającej. Model dyskretny przy zastosowaniu elementów
powłokowych czterowęzłowych SHELL4 pokazano na rysunku 14.5, a pierwsze trzy
postacie wyboczenia na rysunku 14.6. Wyniki obciążenia krytycznego pcr = PJhb
otrzymane metodą elementów skończonych i analitycznie przedstawiono w tabeli 14.3.
Rys. 14.5. Model dyskretny płyty prostokątnej z podziałem (24x20) elementów skończonych SHELL4
Rys. 14.6. Trzy pierwsze postacie wyboczenia ściskanej swobodnie podpartej płyty prostokątnej
Tabela 14.3. Obciążenia krytyczne/>„.[MPa] swobodnie podpartej ściskanej prostokątnej płyty
224
Liczba półfal
m
1
2
3
4
5
MES
(6x5)
0,1855
0,2286
0,3974
0,6744
0,7332
MES
(12x10)
0,1855
0,2211
0,3629
0,5844
0,7422
MES
(24x20)
0,1861
0,2191
0,3530
0,5539
0,7327
Analitycznie
0,18516
0,21813
0,34956
0,54361
0,79585
Błąd względny
[%]
0,5
0,4
1,0
1,9
7,9
Zbiór sesyjny systemu COSMOS/M:
PT,1,0,0,0,
CREXTR,1,1,1,X,35,
SFEXTR,1,1,1,Z,28,
SCALĘ,0,
EGROUP,1,SHELL4,1,0,0,0,0,0,0,0,
MPROP,1,EX,7 8 00,NUXY,0.3,
RCONST, 1,1,1,6,0.07,0,0,0,0,0,
C*M_SF,1,1,1,4,6,5,1,1,
C*M_SF,1,1,1,4,12,10,1,1,
M_SF,1,1,1,4,24,20,1,1,
DCR,1,UY,0,4,1,,
PCR,3,1,4,1,1,4,
A_BUCKL,6,S,16,0,2,0.3, le-0 05, 1, le-006, 0,0,0,
R_BUCKL,
DEFPLOT,1;
DEFPLOT,2;
DEFPLOT,3;
FREQLIST;
Przykład 14.3. Stateczność sprężysta osiowo ściskanej cienkiej powłoki
walcowej, spełniającej założenia teorii Donnęlla (1934) zgodnej z teorią Koitera (1966).
Dane geometryczne i fizyczne są następujące (rys. 14.5): R = L = 7 mm, h = 0,07 mm,
E = 7800 MPa, v = 0,3. Przyjęto warunki brzegowe na obu końcach powłoki:
uz(0) = ur(0) = 0, uz(L) = ur(0) = 0 oraz F(o) = F, F(l) = -F (14.46)
gdzie Fjest całkowitą siłą ściskającą. Zgodnie z rozważaniami analitycznymi [216],
siłę krytyczną powoduj ącąwyboczenie można przedstawić w postaci
2 n2
fmiiR^
F
f
V L
+ n
D
2tiR
msiR
L
Rz
■ + -
muR
L
"mTzR^
\l-Ą
(14.47)
gdzie
D-
Eh3
12(1 -v2f
Eh
+ n
m,n = 1,2,3,
(14.48)
225
Obciążenie krytyczne określimy poszukując minimalnej wartości Ff ze względu na
liczbę półfal poosiowych m i obwodowych n. Obciążenie krytyczne odniesione do
powierzchni krawędzi można przedstawić w postaci
"-2S* (1449)
Model dyskretny oparty na powłokowych elementach skończonych SHELL4, przy
podziale 80 x 10, pokazano na rys. 14.6. W tabeli 14.4. przedstawiono wyniki
analityczne siły krytycznej i odpowiadające jej liczby półfal w kierunku poosiowym i
obwodowym oraz wyniki otrzymane metodą elementów skończonych.
Tabela 14.4. Obciążenia krytyczne ściskanej powłoki walcowej -^y[MPa]
Analitycznie
Liczba półfal
m
3
5
4
1
5
6
4
n
9
6
8
7
7
1
9
Pf
47,215
47,217
47,287
47,295
47,324
47,352
47,398
MES
SHELL3
(10 x 80)
46,120
46,132
47,966
48,183
49,377
49,395
49,632
SHELL4
(10 x 80)
46,281
46,283
48,327
48,409
49,243
49,550
50,274
SHELL4
(20 x 160)
46,411
46,415
47,279
47,289
47,506
47,518
47,846
Błąd względny
[%]
1,7
1,7
0,02
0,01
-0,4
-0,4
-0,9
Rys. 14.7. Osiowo ściskana powłoka walcowa
226
Rys. 14.8. Model dyskretny analizowanej powłoki walcowej - podział (20 x 160)
Rys. 14.9. Pierwsze trzy postacie wyboczenia (z lewej formy odkształcenia, z prawej
warstwice przemieszczeń promieniowych)
227
Zbiór sesyjny systemu COSMOS/M:
PT,1,0,0,0,
PTGEN, 1, 1, 1, 1, 0, 7, 0, 0,
PTGEN, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 7,
PL7ANE, Y, 0,1,
CRPCIRCLE,1,1,2,7,360,4,
SFEXTR,1,4,1,Y,7,
EGROUP,1,SHELL4,1,0,0,0,0,0,0,
MPROP,1,EX,7 8 00,NUXY,0.3,
RCONST, 1,1,1,6,0.07,0,0,0,0,0,
M_SF,1,4,1,4,40,20,1,1,
NMERGE,1,3444,1,0.01,0,0,0,
CSYS, 3,1,1,2,3,
DCR,1,UX,0,5,1,UY,,
DCR,8,UX,0,12,2,UY,,
PCR,1,1,5,1,1,4,
PCR, 8, 1, 12,2, 1, 4,
A_BUCKL,9,S,16,0,0,0, le-0 05, 1, le-006, 0,
R_BUCKL,
DEFPLOT,1;
DEFPLOT,2;
DEFPLOT,3;
FREQLIST;
14.3. Nieliniowość geometryczna
Zagadnienie nieliniowości geometrycznej występuje w przypadku kiedy wpływ
przemieszczeń na równowagę sil, powodujących te przemieszczenia, zaznacza się od
samego początku obciążania. Przykładem może być płaska wstępnie naprężona siatka
lin, obciążona w kierunku poprzecznym. Dla początkowego płaskiego stanu siatki nie
można spełnić warunku równowagi. Składowe sił napinających liny, równoważące
obciążenie poprzeczne, powstają dopiero w wyniku przemieszczeń siatki. Taka
zależność stanu równowagi od bieżącej odkształconej postaci konstrukcji powoduje
nieliniowość problemu, chociaż odkształcenia pozostają małe i materiał zachowuje się
liniowo sprężyście. Podstawę metody rozwiązania takich zagadnień stanowi tzw.
macierz sztywności geometrycznej (lub sztywności wstępnych naprężeń).
Rys. 14.10. Sztywność styczna i sieczna
228
Równania równowagi stanowią układ równań nieliniowych. W celu uzyskania
rozwiązania stosuje się tzw. przyrostowy opis analizowanego problemu nieliniowego.
Rozwiązaniem są wartości funkcji, po każdym przyroście, otrzymane w wyniku
rozwiązania iteracyjnego równań nieliniowych (np. metodą Newtona-Raphsona).
Następnie, stosując interpolację liniową, otrzymujemy wynik przybliżony (rys. 14.10).
Z matematycznego punktu widzenia jest to zastąpienie rozwiązania układu równań
nieliniowych wielokrotnym rozwiązaniem układu równań liniowych, przy
zmieniającej się macierzy sztywności, zależnej od przemieszczeń i odkształceń. Macierz taką
nazwaliśmy styczną macierzą sztywności. W opisie przyrostowym obciążenie
narastające od zera do wartości końcowej traktuje się jako funkcję czasu, mimo że
zagadnienie nie musi być zagadnieniem dynamicznym. W procesie przyrostowym określa się
stan równowagi w kolejnych chwilach czasowych, określonych jako 0, At, 2 At, ...,t (tzn.
po kolejnych przyrostach obciążenia). Stan równowagi w chwili t można przedstawić
w postaci
t{R}-t{F} = 0 (14.50)
gdzie '{R} - wektor obciążeń węzłowych, '{F} - wektor sił wewnętrznych,
odpowiadający stanowi przemieszczeń i naprężeń opisanych w aktualnej konfiguracji. Dalej
chcemy, aby w chwili t + At spełnione było równanie
m{r}-m{f} = 0 (14.51)
Siły wewnętrzne w chwili t + At można napisać w postaci
t+At{F}=t{F}+{A¥(tr:+Atr)} (14.52)
tutaj {AF} jest przyrostem sił wewnętrznych, odpowiadającym przyrostowi
przemieszczeń i odkształceń w czasie od chwili t do t + At. Przyrost sił wewnętrznych
{AF} możemy określić, wykorzystując macierz styczną [Kr] odpowiadającą chwili t
(zob. rys. 14.10)
{AF}='[Kr]{Ar} (14.53)
gdzie {Ar} - przyrost przemieszczeń w czasie od t do t + At. Po podstawieniu do
(14.52) otrzymujemy równanie przyrostowe, liniowe względem {Ar}
t[KT]{Ar}=t+At{R}-'{F} (14.54)
Po rozwiązaniu względem {Ar} możemy określić przemieszczenia dla t + At
229
t+At i
M+lAr
(14.55)
Przemieszczenie t+At{r} nie odpowiada dokładnie wartości obciążenia t+M{R}, gdyż
przyrost {Ar} został obliczony za pomocą przybliżonej macierzy *[Kr] stycznej
zamiast siecznej (rys. 14.10). Wobec tego równanie równowagi w chwili t + At (14.52)
nie jest spełnione. Jednak drogą kolejnych iteracji w obrębie danego przyrostu
obciążenia można doprowadzić do spełnienia tego równania z żądaną dokładnością.
Najczęściej stosuje się metodę Newtona-Raphsona i jej modyfikacje. Przy analizie
stanów równowagi po przekroczeniu punktu granicznego G (rys. 14.10) powyższa
procedura, oparta na sterowaniu przyrostami obciążenia (sterowanie obciążeniem),
zawodzi. Wówczas przechodzi się na procedury, w których poszukuje się stanów
równowagi, sterując przyrostami przemieszczenia (sterowanie przemieszczeniem) lub ze
sterowaniem parametrem ścieżki, w przypadku pojawienia się punktów zwrotnych
[40, 162, 166]. Na przykładzie kraty Misesa pokazano zastosowanie procedury ze
sterowaniem przyrostami przemieszczenia.
Przykład 14.4. Kratownica Misesa nieprzesuwnie podparta w dwóch punktach
oddalonych o2L = 2000 mm i przewyższeniu H = 40 mm obciążona jest siłą pionową
Fy. Przeprowadzono analizę nieliniową przy zastosowaniu sterowania przyrostami
przemieszczenia, w celu określenia przemieszczenia uy w zależności od siły Fy.
Rys. 14.11. Model kratownicy Misesa
Analitycznie zależność siły obciążającej Fy od przemieszczenia uy można
przedstawić w postaci [19]
Fy*EAsm3/3c
(.. A3
KHJ
(,. \
KHJ
+ 2
(14.56)
która została pokazana na rys. 14.12.
230
Zbiór wsadowy do obliczeń metodą
ma postać:
C* Model geometryczny
VIEW, 0, 0, 1, 0,
PT,1,-1000, 0,0,
PT,2,1000,0,0,
PT,3,0,-40,0,
SCALĘ,0,
CRLINE,1,1,3,
CRLINE,2,2,3,
C* Specyfikacja elementu
C* kratowego nieliniowego
EGROUP,1,TRUSS2D,0,0,0,0,0,1;
MPROP,1,EX,2.06E5,
RCONST,1,1,1,4,100,
M_CR,1,2,1,2,1,1,
NMERGE,1,4,1,1;
C* Warunki brzegowe
DPT,1,UX,0,2,1,UY,,
C* Definicja funkcji
C* przyrostu przemieszczenia
CURDEF,TIME,1,1,0,0,1,20,
elementów skończonych systemu COSMOS/M
C* Obciążenie siłą skupioną
FPT,3,FY,10 0;
C* Parametry analizy przyrostowej
TIMES,0,1,0.05,
C* Specyfikacja węzła do postprocesora
NL_NRESP,1,2,0,
C* Specyfikacja kroków
C* do postprocesora graficznego
NL_PLOT,1,20,1,0,
C* Ustalenie sterowania
przemieszczeniem
NL_CONTROL,1,1,2,UY,
C* Wywołanie obliczeń
R_NONLIN,
C* Ustalenie wykresu silą
C* przemieszczenie
ACTXYPOST,1,UY,LFACT;
XYPLOT;
C* Atrybuty wykresu
XYRANGE;
3,0 -,
2,5
2,0 -
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0 J
Fy[kN]
MES
■ analitycznie
[mm]
20
40
60
80
100
Rys. 14.12. Wykres siła - przemieszczenie dla kraty Misesa
15. WYBRANE ZAGADNIENIA OBCIĄŻEŃ
CIEPLNYCH
W budowie maszyn, a szczególnie w silnikach i urządzeniach energetycznych
(rys. 15.1), mamy do czynienia z konstrukcjami, w których należy określić obciążenia
cieplne i ich wpływ na wytężenie konstrukcji. Przykładem takich konstrukcji są
elementy silników spalinowych, generatorów, turbin parowych, ekrany kotłów, walczaki
i inne. Podstawowym narzędziem analizy ilościowej obciążeń cieplnych są między
innymi metody numeryczne. Wśród nich metoda elementów skończonych jest
szczególnie przydatna w rozwiązywaniu zagadnień brzegowo-początkowych do celów
praktycznych. Za pomocą MES bada się przepływy ciepła, przepływy cieczy podczas
analizy pola temperatur oraz rozpatruje się inne zagadnienia opisane równaniami
różniczkowymi pierwszego lub drugiego stopnia.
Rys. 15.1. Elementy obciążone cieplnie: a - tłok silnika spalinowego, b - tarcza hamulca
Na temat obciążeń cieplnych zostało napisanych wiele prac, które oparte są na
metodach numerycznych [7, 107, 139, 201, 240].
232
15.1. Równania termosprężystości
Termosprężystość jest dziedziną, w której bada się wzajemne oddziaływania pola
odkształceń i pola temperatur oraz wiąże sieje na gruncie fundamentalnych praw
termodynamiki. Dotychczas dwie dziedziny nauki, teorię sprężystości i teorię
przewodnictwa cieplnego rozwijano niezależnie, a dziedziny elastostatyka i elastokinetyka
były rozwijane przy odmiennych założeniach termodynamicznych. Termosprężystość
syntetyzuje wspomniane wyżej dziedziny i łączy je w jedną całość.
Trójwymiarowy nieliniowy problem niestacjonarnego przepływy ciepła w
anizotropowym ośrodku ciągłym opisuje równanie przewodnictwa Fouriera
pc
dT d
3t 3X:
l
dT
11 dx,
+ Q
(15.1)
i J
gdzie:
T
l{x,y,z)
temperatura ośrodka,
macierz współczynników przewodnictwa cieplnego,
ciepło właściwe,
gęstość,
źródło ciepła,
czas.
W ogólnym przypadku ciepło właściwe i współczynniki przewodnictwa cieplnego
mogą zależeć od temperatury. Na potrzeby MES równania możemy zapisać w
układzie kartezjańskim w postaci macierzowej
P
Q
t
pc
d_T_
~dt
d_
dx
d
dy
d
dz
^-xx ^xy
2 2
yx yy
Kx ^zy
Kz
^yz
Kz\
dT dT dT
dx dy dz
+ Q
(15.2)
W celu uzyskania rozwiązania należy podać warunki początkowe i brzegowe. Na
powierzchniach ciała ustalamy warunek brzegowy, który może być:
-1 rodzaju (Dirichleta) -jeśli znamy rozkład temperatur na brzegu,
- II rodzaju (Neumana) - jeśli znamy gradient temperatury na brzegu (znane są
warunki przepływu).
Warunek początkowy określamy przez podanie rozkładu temperatury w chwili t = 0.
Dla materiału termicznie ortotropowego, o osiach ortotropii pokrywających się
z osiami układu, równanie przewodnictwa upraszcza się:
233
pc
dt dx
V
dT
dx
d
dy
A,
dT
dy
d_
dz
dT
~dz~
Q
(15.3)
W przypadku materiału termicznie izotropowego zmiana temperatury wywołuje
jedynie powstawanie odkształceń liniowych. Odkształcenia postaciowe przy
równomiernej zmianie temperatury nie występują. Jeśli współczynniki przewodnictwa
cieplnego przyjmujemy jako niezależne od temperatury, to równanie przewodnictwa
cieplnego przybiera postać
dT
OC = X
dt
1' d2T d2T d2T^
dx2 dy2
dz2
+ Q
(15.4)
a używając operatora Laplace'a otrzymamy
pc dT _
X dt ~
S/2T + Q-
X
(15.5)
W przypadku zagadnień stacjonarnych, w których Tnie zależy od czasu otrzymujemy
(15.6)
V2T+Q_ = Q
x
15.2. Zagadnienia stacjonarnego przewodnictwa ciepła
Jeżeli dowolny obszar Fjest ograniczony brzegiem S, wewnątrz którego istnieje
ustalony rozkład temperatury T = T(x, y, z), to równanie przewodnictwa ciepła (15.3)
można zapisać w postaci
d_
dx
X,
dT
dx
d
X,
dT
dy{ dy
dz
dz J
(15.7)
gdzie: Q - prędkość wytwarzanego ciepła w obszarze V.
Jeżeli na części S\ brzegu S zadana jest temperatura Tp (warunek Dirichleta), jak
pokazano na rys. 15.2, to
71 -T
1\& ~ŹP
(15.8)
234
Rys. 15.2. Obszar z podziałem na podobszary: Si - znana jest temperatura Tp, S2 - znane są warunki
przepływu q
Warunki przepływu natomiast (warunek Neumana) opisuje zależność
4 ~«* + * ~ay + K —az +1+ a^T = 0
ox oy oz
(15.9)
gdzie:
ax, ay, az - kosinusy kierunkowe normalnej zewnętrznej do brzegu S,
a - współczynnik przejmowania ciepła,
AT - różnica temperatury brzegu Tp i temperatury otaczającego ośrodka T0,
q - przepływ ciepła przez jednostkę powierzchni.
AT = Tp-T0
(15.10)
Podzielmy obszar V na ITA prostych geometrycznie podobszarów zwanych
elementami skończonymi. Każdy podobszar opisany jest węzłami w narożach. Rozkład
temperatury w elemencie można przybliżyć, przedstawiając go w postaci
Te = NeTe
(15.11)
gdzie:
Tę =Tęe\x,y,z)- funkcja przybliżająca rozkład temperatury w elemencie, inaczej
funkcja kształtu dla z-tego elementu,
T - wektor «e-elementowy zawierający nieznane wartości temperatury
w węzłach elementu.
W ogólnej postaci można zapisać dla rozpatrywanego całego obszaru związek
T„=NT
(15.12)
gdzie:
Tv- funkcja przybliżająca rozkład temperatury w całym obszarze (jest to funkcja
„sklejana", której postać zależy od elementu obszaru; dla danego elementu
jest ona równa re),
235
N - macierz o wymiarze lx» funkcji kształtu dla obszaru o n węzłach (funkcja N
odpowiadająca z-temu węzłowi obszaru jest ciągłą funkcją „sklejaną", tzn. jej
postać zależy od elementu, w szczególności dla elementów, do których i-ty
węzeł nie należy; ma ona wartość 0),
T -wektor ^-elementowy zawierający nieznane wartości temperatury w węzłach
obszaru V.
Zakładając, że funkcja Tę spełnia warunki brzegowe i podstawiając ją do równania
(15.7), po przekształceniach [7] otrzymuje się
( r fdNt , dN dN, dN dN, , 0N\„. f .T .T .^
-źl. + L2„ + l-X, >dV + ]s NtaN dS
I dx dx dy dy dz
■.iNgdr-LNjdS + LN^dS
dz
T
J
(15.13)
Poszukując analogii między zagadnieniem przewodzenia ciepła i zagadnieniami
statyki konstrukcji, opisanymi w poprzednich rozdziałach, możemy stwierdzić, że
pierwszy składnik całki po lewej stronie równania (15.13) jest macierzą „sztywności"
obszaru, drugi - przyczynkiem do niej od konwekcji na brzegu (w rodzaju macierzy
sprężystego podłoża), natomiast prawa strona stanowi obciążenie kolejno: „siłami"
obszarowymi i „siłami" brzegowymi.
W zapisie macierzowym powyższe równanie dla pojedynczego elementu
przyjmuje postać
[kTempU7t+Hempi=0
gdzie „macierz sztywności" elementu określa się wzorem
FTempfA)^
C f
K
ffNt Mj
dN, dNi
- + /L
dx dx dy dy
+ A,
dz dz
(15.14)
dV + \seNlaN]dS (15.15)
a wektor obciążeń zewnętrznych elementu wzorem
F-,
Temp
-iNsdS + LN^dS
(15.16)
Agregacja globalnego układu równań dla całego analizowanego obszaru odbywa
się według znanych zasad opisanych w poprzednich rozdziałach dotyczących analizy
strukturalnej. Globalny układ równań przewodnictwa ciepła dla całego obszaru
przyjmie postać
K
Temp [Z
>\{T}+fo
Temp
0
gdzie:
r i ITAr i
LKTemp(l) J = /_, FTemp \ei
(15.17)
(15.18)
z=l
236
oraz
ITA
[0 = 110,, (15-19)
z=l
W równaniu (15.17) niewiadomą jest temperatura w węzłach {T}. W każdym
węźle jest jedna niewiadoma, bez względu na wymiar przestrzenny zadania. Analiza
przepływu ciepła jest zatem zadaniem numerycznie prostszym niż analiza strukturalna
konstrukcji.
15.3. Modelowanie obszaru dwuwymiarowego
trójkątnymi elementami
W modelowaniu rozkładu temperatur w obszarach dwuwymiarowych
(powierzchniowych) stosowane są do dyskretyzacji elementy trójkątne i czworokątne.
Przykładowo przedstawione zostaną procedury budowy macierzy „sztywności" - konwekcji
na granicy elementu i macierzy obciążeń spowodowanych wpływem ciepła również
na granicy elementu. Przedstawiony na rysunku 15.3 trójkątny element opisany jest
trzema węzłami o numerach z, j, m.W każdym węźle ma tylko jedną niewiadomą, tj.
temperaturę Tu 7), Tm.
x
Rys. 15.3. Element trójkątny z węzłowymi niewiadomymi Th Tj, Tm - temperatura
Temperatura TA dowolnego punktu leżącego na powierzchni elementu trójkątnego
będzie zależała od trzech parametrów węzłowych i można ją opisać zależnością
TA =T = «j +a2x + a3y (15.20)
237
w zapisie macierzowym:
{T} = [lx y]{a]
(15.21)
Po podstawieniu równania (15.20) do poszczególnych węzłów elementu
trójkątnego otrzymuje się związek
Tt=ax+ a2xt + a3yt
Tj =ax+ a2Xj + a3y ■
Powyższe równanie w zapisie macierzowym przyjmie postać
{Vt} = [A]{a}
gdzie:
[A] =
~1
1
1
*,■
XJ
Xm
y.
y}-
ym _
(15.22)
(15.23)
(15.24)
\a} = \ax a2 a3\
\v,}
T T T
i ' j ' m
Po podstawieniu równania (15.23) do równania (15.21) otrzymuje się
TA=[\x y][Al
lub
TA=M<
Tj
71
(15.25)
(15.26)
Na podstawie równania (15.15) składowe macierzy sztywności dla obszaru 2-D
(powierzchniowego) wyrażają się zależnością
238
FTempW-L
rf
dj^dj^ + x dNr 0N,
K x dx dx y dy dy j
K
dS +
dN, dN dN, dN \
K—L^JS- + K—-^-^ \ds-
dx dx dy dy J
+
dN dN- dN dN-
4 m ' +1 m ' \dS
dx dx dy dy )
(15.27)
gdzie funkcje kształtu dla elementu trójkątnego przyjmą postać
(xjym + xmy3) + (yj -ym)x + \xm - y}- \y
N,
Nt =
2A,
(xmy, + x,ym ) + (ym- y, )x + (x, - ym )y
2A
ijm
N„
x1yJ+xJyi) + (y1-yJ)x + (xJ-y1\
y
2A,
ijm
(15.28)
Po podstawieniu zależności (15.28) do równania (15.27) i scałkowaniu po
powierzchni trójkąta otrzymuje się macierz „sztywności"
LkTemp(a)J
K
H-
hi-ym)2
{ym-yiY
\yLzym)iy!ZyA
(y-yj)2
k,
AA
ijm
\xm-y})2
(Xm.Zy&~.ym).
(xj-y)2 \
(15.29)
Podczas wymiany ciepła na granicy elementów, kiedy występuje konwekcja,
macierz „sztywności" elementu trójkątnego można wyznaczyć z zależności
[kTemp(Je= j[N]r«[N]JZ
(15.30)
Po wykonaniu całkowania otrzymuje się macierz „sztywności" dla konwekcji na
granicy elementu
239
[^Temp(a)J(
12
3« +«■ <x +a,
f J ' J
(X: + OC, (X: +3CC:
1 J l J
gdzie: at, a, - stałe konwekcji w węzłach elementu należących do brzegu Le
Macierz obciążeń dla wydatków cieplnych można obliczyć z zależności
F
MT{Qe}dS
Se
Po wykonaniu całkowania otrzymuje się postać
\F(
U)
12
2Qi+Qj+Qn
Qi+2Qj+Qn
Qi+Qj+2Qn
(15.31)
(15.32)
(15.33)
gdzie: Qu Qj, Qm - wydatki ciepła w węzłach elementu.
Jeśli chcemy określić macierz obciążeń spowodowanych wpływem ciepła na
granicy elementu, to należy wyjść od ogólnego opisu
(15.34)
K)i = \WidfdL
Po scałkowaniu otrzymuje się
F,
(a)
12
3qt + q}.
qt + 3q}
(15.35)
15.4. Modelowanie trójwymiarowych konstrukcji
elementami TETRA
Wiele zespołów konstrukcji, tj. tuleja cylindrowa, tłok silnika spalinowego,
komora przegrzewacza międzystopniowego, walczak kotła i inne są poddane obciążeniom
cieplnym. W celu określenia rozkładu temperatur i powstałych naprężeń należy
zbudować dla tych konstrukcji modele dyskretne. Konstrukcje objętościowe można dys-
kretyzować czworościennymi elementami TETRA (rys. 15.4). Pokazany na rysunku
15.4 element czworościenny opisany jest czterema węzłami i,j, m, l.
240
r^-
Rys. 15.4. Czworościenny element (TETRA)
W każdym węźle tego elementu występuje tylko jedna niewiadoma, to jest
temperatura Tt, Tj, Tm, Ti.
Postępując jak w poprzednim rozdziale dla zagadnień 2-D, na podstawie równania
(15.15) można wyznaczyć macierz „sztywności".
Temperatura dowolnego punktu A leżącego w obszarze elementu TETRA
(rys. 15.4) będzie zależała od czterech parametrów węzłowych
TA=ax+ a2x + a3y + a4z
(15.36)
lub w zapisie macierzowym
TA=[\ x y z]
(15.37)
Podstawiając równanie (15.37) do każdego węzła elementu otrzymuje się związek
xx y, z.
xs y}- zs
X V Z
m </ m m
^i y, z,_
•
ai
a2
a3
L ^ J
(15.38)
241
lub w krótszym zapisie
n=[*}
(15.39)
Podstawiając równanie (15.39) do równania (15.37), otrzymuje się zależność
między temperaturą dowolnego punktu A znajdującego się w objętości elementu a
wielkościami węzłowymi
TA=[\x y z][c]~
(15.40)
gdzie funkcja kształtu będzie wyrażać się zależnością
[N]=[1I^][C]"' (15.41)
Znając funkcję kształtu, można określić macierz „sztywności" dla tego elementu
[^Temp^U
( ^
^2[N] | x ^2[N]| <?2[N]
dx2 y dy1 dz1
dV
(15.42)
Po podstawieniu funkcji kształtu do równania (15.42) i scałkowaniu po objętości
czworościanu otrzymujemy
FTemp^jJg
36F
b,b, b1b] b,bm bp,
b^ b}bm b]bl
bmbm bmb,
bA
sym
A,
36F
d.d: d.d, d\d' d-d,
i i i J im ii
djdj djdm djdj
dmdm dmdl
d,d,
sym
/L
36F
CC CC ■ CC CC,
ii i j im ii
c c c c c c,
J J J m ^j^l
sym
cici
(15.43)
gdzie przykładowo
242
-det
"1
1
1
yj
y m
yi
z,~
m
zi _
det
xj l zj
Xm -*- Zm
Xl 1 Z,
(15.44)
"x; yj
X V
m </ m
_xi yi
i"
i
i
d- = -det
V- objętość czworościanu.
W przypadku konwekcji na granicy elementu macierz „sztywności" wyznacza się
z zależności
[kTempJe = JlN]ra[N]dS
(15.45)
po powierzchni ściany Aijm czworościanu otrzymujemy
A
V^Temp(a)\t
ijm
60
3a. + a}- + an
at + a] + a„
at + 3<Xj + an
ar + aj + <*n.
ar + aj + <*n.
at + aj + 3an
(15.46)
gdzie: oct, ą, am - stałe konwenkcji w węzłach elementu.
Macierz obciążeń od wydatków cieplnych w obszarze ciała wyraża się ogólną
zależnością
{FW}e = \W{Q}dV (15.47)
v
Po scałkowaniu równania (15.47) otrzymujemy
~2Q1+Q]+Qm+Ql
V_
20
'F,
(i)
Qi+2Q]+Qm+Ql
Ql+Q]+2Qm+Q1
Qi+Qj+Qm+2Qł
gdzie: Qh Q}, Qm, Qi - wydatki ciepła w węzłach elementów.
Macierz obciążeń wywołanych wpływem ciepła na granicy elementu
(15.48)
F(a)i = J[N]r{*}.dS
(15.49)
243
Po scałkowaniu otrzymujemy
F,
(a)
Ąjn
30
9i+9i+^n
(15.50)
gdzie: qt, q}, qm - opory cieplne w węzłach elementu.
15.5. Klasyczna teoria pełzania
Pełzaniem określamy zjawisko pojawiania się dodatkowych odkształceń w
przeciągu długiego czasu. Odkształcenia pełzania występują niezależnie od innych
istniejących w materiale odkształceń sprężystych, termicznych, plastycznych. Dla
przeprowadzenia praktycznych obliczeń zakładamy aktywność poszczególnych typów
odkształceń, całkowite odkształcenie można przedstawić jako
:e(*) + £(p) + £<?) + £(°)
(15.51)
gdzie:
B(p)
odkształcenie sprężyste,
odkształcenie plastyczne,
odkształcenie termiczne,
odkształcenie pełzania.
Z efektami pełzania mamy najczęściej do czynienia w przypadku obciążeń
działających długotrwale, szczególnie w warunkach podwyższonych temperatur. Typowy
przebieg zależności odkształcenie pełzania-czas - można podzielić na trzy zakresy
(rys. 15.5) i przedstawić w postaci wykresu.
Rys. 15.5. Typowy przebieg narastania odkształcenia, pełzania
Aby w rozwiązywanych zagadnieniach uwzględnić efekty pełzania, potrzebna jest
znajomość dc) oraz znajomość pochodnej tego wyrażenia po czasie, które jest prędko-
244
ścią odkształcenia. W przypadku pełzania przyjmuje się następujące równanie
konstytutywne
■M
:/(V^)n-
(15.52)
gdzie:
'Dy - składowe dewiatora naprężenia w czasie t,
la - efektywne naprężenie w czasie t,
Vc) - odkształcenie pełzania w czasie t.
Proces pełzania jest procesem długotrwałym, dlatego najistotniejszym problemem
jest określenie funkcji narastania odkształcenia pełzania w czasie. Związki te są
podane w postaci praw, z których dwa, dające się zastosować na potrzeby MES,
przedstawiono poniżej.
Prawo pełzania Balieya-Nortona jest pierwszą i zarazem prostą zależnością, która
podaje ilościowo wielkość odkształcenia pełzania
,W.
:C0(CX)V
(15.53)
C0, C\,C2- są pewnymi stałymi zależnymi od materiału.
Prawo wykładnicze (zwane również potęgowym prawem pełzania) lepiej przybliża
rzeczywisty proces pełzania, jednak tylko w pierwszym i drugim zakresie jego
przebiegu. Prawo przedstawia następująca zależność:
Js)
Cne
«.
l-exp
C,
O"
\C4
C
3 J
C5t exp (C6a)
(15.54)
Powyższe prawo zawiera aż 7 stałych: C0, Cu C2, C3, C4, C5, C6
15.6. Przykładowe obliczenia wytrzymałościowe
wycinka rury ekranowej kotła
Rury ekranowe kotła wykonane są ze stali do pracy w podwyższonych
temperaturach. Stale kotłowe do wyrobu rur oznaczone są symbolem K i liczbą oznaczającą
zawartość węgla w setnych procenta. Norma PN-75/H-84024 definiuje dwa rodzaje
takich stali: KIO i K18. Zdolność stali do pracy w podwyższonych temperaturach
określają trzy parametry:
245
1) granica pełzania - naprężenie równe ilorazowi stałego obciążenia próbki przez pole
jej początkowego przekroju, które po upływie określonego czasu działania
w danej stałej temperaturze spowoduje trwałe wydłużenie próbki o określoną wartość,
2) wytrzymałość na pełzanie - oznaczane przez Rz, naprężenie równe ilorazowi stałego
obciążenia próbki przez pole jej początkowego przekroju, które po upływie
określonego czasu działania w danej stałej temperaturze spowoduje zerwanie próbki,
3) granica plastyczności w podwyższonych temperaturach - oznaczana przez R'e określa,
przy jakim naprężeniu w danej temperaturze materiał przechodzi ze stanu
sprężystego w stan sprężysto-plastyczny.
W tabeli 15.1 zestawiono przykładowo zalecane przez UDT do obliczeń wartości
wytrzymałości na pełzanie dla stali KIO i K18
Tabela 15.1. Wytrzymałość na pełzanie dla stali KIO i K18
Znak
stali
K18
KIO
Oznaczenie
własności
-^z/200 000
-^z/100 000
Wytrzymałość na pełzanie w temperaturze, °C
[MPa]
380
145
165
390
129
148
400
115
132
410
101
118
420
89
103
430
77
91
440
67
79
450
57
69
460
48
59
470
40
50
480
33
42
490
28
35
500
24
29
Wytrzymałość na pełzanie pozwala określić, czy po danym czasie i w danej
temperaturze określone naprężenie spowoduje pęknięcie rury. Dla stali KIO wytrzymałość
na pełzanie podana jest dla 100 000 godzin, natomiast dla stali K18 - dla 200 000
godzin.
Wartość naprężeń dopuszczalnych k według UDT określa się następująco:
• dla temperatur obliczeniowych nie przekraczających temperatury granicznej
Rl
x
• dla temperatur obliczeniowych przekraczających temperaturę graniczną
R,
k =
vz(x)i
(15.55)
(15.56)
gdzie x jest współczynnikiem bezpieczeństwa dla elementów ciśnieniowych
walcowych i wynosi 1,65.
Do wykonania obliczeń wytrzymałościowych potrzebne są parametry
charakteryzujące własności materiału rury. Na potrzeby analizowanego modelu niektóre z nich (granica
plastyczności, moduł Younga) przyjęto jako zależne od temperatury. Pozostałe wielkości:
współczynnik rozszerzalności liniowej, gęstość, liczba Poissona traktujemy jako stałe
niezależne od temperatury. Wartości tych stałych przyjęte do obliczeń przedstawiono
poniżej:
p = 7860 kg/m3 - gęstość stali
v= 0,28 - liczba Poissona
246
a= 1,3-10 5 1/°C - współczynnik rozszerzalności cieplnej.
W tabeli 15.2 zestawiono wartości granicy plastyczności w podwyższonych
temperaturach dla stali KIO i KI8.
Tabela 15.2. Granica plastyczności w podwyższonych temperaturach dla stali KIO i K18
Znak stali
KIO
K18
200 °C
186
206
250 °C
167
186
K [MPa]
300 °C
137
157
350 °C
118
137
400 °C
108
127
450 °C
88
108
Granica plastyczności w podwyższonych temperaturach R'e pozwala określić, jakie
naprężenia w danej temperaturze spowodują trwałe odkształcenia w materiale rury.
Do obliczeń w zakresie liniowo-sprężystym przydatna jest również znajomość
zależności modułu Younga od temperatury.
Rura ekranowa kotła obciążona jest stałym ciśnieniem wewnętrznym o wartości
14 MPa równym ciśnieniu czynnika roboczego. Do obliczeń wytrzymałościowych
wybrano wycinek rury ekranowej z ubytkiem wywołanym kawitacją lub
spowodowanym korozją wodorową, którego model wraz z warunkami brzegowymi pokazano na
rysunku 15.6.
247
Rura ekranowa kotła poddana jest ponadto działaniu pola temperatur. Całkowite
naprężenie w materiale rury jest sumą dwóch składowych: naprężenia będącego
wynikiem oddziaływania ciśnienia wewnętrznego oraz naprężeń termicznych, powstałych
w wyniku występowania gradientu temperatur.
Energia cieplna może być przekazywana w wyniku przewodzenia, promieniowania
lub konwekcji. Ulegające defektom odcinki rur znajdują się na wysokości 16-20
metrów wysokości kotła, a więc w bezpośrednim sąsiedztwie palników. Dlatego też
przyjęto, że dla rozpatrywanego odcinka rury dominującym sposobem przekazywania
energii z palników do materiału rury jest promieniowanie. Według UDT [6] należy
przyjąć, że temperatura obliczeniowa T0 elementu ogrzewanego przez promieniowanie
jest równa 400 °C.
W przypadku znacznej różnicy temperatur w różnych punktach obiektu
naprężenia termiczne mogą być większe niż naprężenie będące wynikiem oddziaływania
ciśnienia wewnętrznego, a nawet mogą spowodować pęknięcie rury. Dlatego też w
analizie konieczne było uwzględnienie niejednorodności temperatury w obrębie
materiału rury.
Aby określić rozkład naprężeń termicznych, konieczne jest określenie temperatury
w każdym punkcie obiektu. W celu określenia rzeczywistego pola temperatur
konieczny byłby pomiar temperatury zewnętrznej powierzchni rury ekranowej od strony
palnika lub pomiar mocy promieniowania cieplnego. Ponieważ rzeczywisty rozkład
temperatury nie jest znany, temperatury przyjęte do obliczeń określono za pomocą
równania Laplace'a dla procesu stacjonarnego.
Przyjęto, że temperatura wewnętrznej powierzchni rury jest równa średniej
temperaturze czynnika roboczego znajdującego się w rurze, tj. 340 °C. Temperatura
zewnętrznej powierzchni rury od strony palnika jest wyższa i wynosi 400 °C, ponieważ
jest ona bardzo intensywnie ogrzewana. Do obliczeń przyjęto, że temperatura ścianki
zewnętrznej jest równa temperaturze obliczeniowej rury, czyli 400 °C.
Temperatura zewnętrznej ścianki rury od strony ściany kotła jest ze względu na
izolację równa temperaturze czynnika roboczego. Rozkład temperatury i jej gradient w
materiale rury przyjęty do obliczeń pokazano na rysunku 15.7.
W modelu wycinka rury uwzględniono następujące zjawiska termiczne:
- konwekcję ciepła z powierzchni wewnętrznej rury przez parę przegrzaną,
- konwekcję ciepła na powierzchnię zewnętrzną rury od strony paleniska,
- promieniowanie ciepła na powierzchnię zewnętrzną od strony paleniska
oraz mechaniczne:
- rozszerzalność termiczną,
- ciśnienie pary przegrzanej wewnątrz rury.
248
Rys. 15.7. Pole temperatur i jej gradient w wycinku rury
W modelu odebrane zostały stopnie swobody - odpowiednie przemieszczenia
liniowe - w trzech skrajnych punktach analizowanego wycinka rury (rys. 15.8). Takie
podparcie zapewnia swobodne odkształcanie się rury jako całości. Model staje się
układem statycznie wyznaczalnym zewnętrznie.
Rys. 15.8. Schemat utwierdzenia modelu
249
15.6.1. Obliczenia wytrzymałościowe w ujęciu analitycznym
Ponieważ konstrukcja rury charakteryzuje się bardzo prostą geometrią, jest
symetrycznie obciążona ciśnieniem wewnętrznym oraz temperaturą, więc wskazane wydaje
się wykonanie obliczeń wytrzymałościowych w sposób klasyczny. Zadanie polegające
na wyznaczeniu rozkładu naprężeń obwodowych i promieniowych w rurze grubo-
ściennej obciążonej ciśnieniem i temperaturą znane jest jako zagadnienie Lamego.
Wzorami Lamego możemy się posłużyć w celu zaobserwowania zjawisk na
fragmencie rury o poprawnej geometrii. Klasyczne obliczenia oparte są na modelu ciała
doskonale sprężystego, zakłada się niezależność stałych materiałowych od temperatury.
Rozkład temperatury jako funkcja promienia r został wyznaczony przez rozwiązanie
równania przewodnictwa Laplace'a dla procesu stacjonarnego.
Naprężenia promieniowe i obwodowe wyrażają się następującymi wzorami:
a =Para ' -Pbh Pa-Pb rah ,
2 2
;<*E{Tb-Ta)
2 2 „2
n —r r
b a
In
f 2 A
b n -r„
ln^ 'b
_ =Para -Pbh Pa-Pb ^V
<P 2 2 2 2.2
(15.57)
rh -r„
ĄaE{Tb-Ta)
1 + ln
hA
2 2
( 2 >|
r
r
gdzie poszczególne symbole we wzorach oznaczają:
ra=28,5 mm rfc=34,8 mm
/ja=14MPa/J6=0
rfl=340°c rfe=400 °c
promienie rury: wewnętrzny i zewnętrzny
ciśnienia: wewnętrzne i zewnętrzne
temperatury na ściankach
moduł Younga dla stali
współczynnik rozszerzalności liniowej.
Po podstawieniu tych danych do wzorów otrzymujemy wartości naprężeń
promieniowych, obwodowych, oraz obliczamy naprężenia zredukowane według hipotezy
Hubera. Wyniki ukazujące rozkłady naprężeń przedstawiono w postaci graficznej na
rysunku 15.9.
£=2M010N/m2
a=l,2-l(T5 1/°C
250
R 34,8
Tb = 400 °d
[MPa]
[MPa]
[MPa]
-14
naprężenie obwodowe
naprężenie zredukowane
Rys. 15.9. Rozkład naprężeń w rurze grubościennej według obliczeń klasycznych
Wartości naprężeń, jakie uzyskano ze wzorów Lamego przewyższają granicę
plastyczności, która w temperaturze 340 °C wynosi 120 MPa. Ponadto należy pamiętać,
że zależności te zostały wyprowadzone dla płaskiego stanu naprężenia i nie
uwzględniają wpływu gradientu temperatury na naprężenia wzdłuż osi rury. Powyższe wyniki
nie odzwierciedlają rzeczywistego stanu naprężeń w rurze. Wykluczają stosowanie
klasycznej metody obliczeń do tego konkretnego przypadku.
15.6.2. Obliczenia wytrzymałościowe MES
Analizę rury przeprowadzono za pomocą systemu COSMOS/M i jego
modułów: termiczny (HSTAR), wytrzymałościowy (STAR). Na rysunku 15.7 pokazano
rozkład temperatury i jej gradient, a na rys. 15.10 wywołane tym pole naprężeń. Po
uwzględnieniu stanu naprężeń wynikającego z obciążenia ciśnieniem (rys. 15.11),
poprzez superpozycję wektorów przemieszczeń, uzyskano wypadkowy stan
naprężeń (rys. 15.12). Uzyskana wartość maksymalna w dnie ubytku kawitacyjnego
przekracza wytrzymałość na pełzanie materiału i jest niebezpieczna przy długotrwałej
pracy w wysokich temperaturach.
251
Lin STRESS Lc
Von M i 59S
27 .40HS8
Rys. 15.10. Naprężenia termiczne (zredukowane wg hipotezy Hubera-Misesa) - warstwice
LL-n STRESS Lc = 2
-171 .(
-154 .(
-136 .(
-118 .(
_S5.
48.
Rys. 15.11. Naprężenia od ciśnienia (zredukowane wg hipotezy Hubera-Misesa) -warstwice
252
Rys. 15.12. Wypadkowe naprężenia (zredukowane wg hipotezy Hubera-Misesa) - warstwice
Do analizy wytrzymałościowej w zakresie sprężysto-plastycznym jako model
konstytutywny materiału rury posłużą zależności naprężenia od odkształcenia z granicą
plastyczności w maksymalnej temperaturze pracy: Re =110 MPa . Model fizyczny
stali KIO w temperaturze 400 °C został przedstawiony na rys. 15.13.
120
100
80
60
40
20
0
0 0,05 0,1 0,15 0,2
Rys. 15.13. Model fizyczny stali gatunku KIO dla temperatury 400 °C
Na podstawie badań metalograficznych określony został stopień umocnienia
materiału po przekroczeniu granicy plastyczności. Przyjęto stopień umocnienia materiału
o 5% większy niż granica plastyczności.
253
Kolejnym etapem są obliczenia wytrzymałościowe w zakresie sprężysto-plastycznym
z uwzględnieniem wpływu temperatury na granicę plastyczności. Granica
plastyczności w podwyższonych temperaturach pozwala określić, jakie naprężenie w danej
temperaturze spowoduje trwałe odkształcenie w materiale rury. Granica plastyczności ma
tendencję malejącą wraz ze wzrostem temperatury. Krzywa opisująca zależność
granicy plastyczności od temperatury została przedstawiona na rys. 15.14.
Re = f(T)
200 250 300 350 400 450
Rys. 15.14. Zmiana granicy plastyczności w funkcji temperatury dla stali gatunku KIO
Model materiału uwzględniający wpływ temperatury na granicę modułu Younga
pokazano na rys. 15.15.
0 100 200 300 400 500 600
Rys. 15.15. Wartość modułu Younga w funkcji temperatury
15.7. Numeryczna symulacja wytężenia komory przegrzewacza
Przedstawiona zostanie przykładowa analiza wytrzymałościowa MES komory
wyjściowej przegrzewacza międzystopniowego kotła elektrowni w celu określenia
pola odkształceń (przemieszczeń) i naprężeń w komorze i w rurach z nią połączonymi.
254
Komora wyjściowa przegrzewacza między stopniowego w kotłach paleniskowych
typu OP-650b składa się z dwóch części identycznych, symetrycznych względem osi
komory paleniskowej. Sama komora jest rurą o średnicy 0419 mm i grubości 30 mm
oraz długości 7560 mm. Z komorą są połączone od dołu 92 rury 076 mm o grubości
8 mm, a od góry 16 rur 0159 mm i grubości 7 mm.
Komora wyjściowa przegrzewacza między stopniowego i jej rury wykonane są ze
stali do pracy w wysokich temperaturach. Najczęściej z materiału 16H, 15HM,
10H2M są to stałe, które odpowiadają właściwościom wytrzymałościowym stali
według normy ISO 10CrMo910.
W tabeli 15.3 zestawiono dane dotyczące wytrzymałości na pełzanie tych stali,
a zmianę granicy plastyczności w funkcji temperatury przedstawiono graficznie na
rysunku 15.16.
Tabela 15.3. Wytrzymałość na pełzanie dla stali 16H, 15HM, 10H2M
Znak
stali
16M
15H
M
10H2
M
Oznaczenie
własności
Rz/200000
Rz/200000
Rz/200000
Wytrzymałość na pełzanie
450
228
260
460
189
226
470
153
196
192
480
121
167
170
490
96
139
149
500
75
115
127
MPa] w temperaturze [° C]
510
57
96
111
520
45
76
95
530
36
62
80
540
28
47
68
550
25
38
56
560
31
47
Komora wyjściowa przegrzewacza międzystopniowego przeznaczona jest do pracy
przy następujących obciążeniach:
• dopuszczalne ciśnienie pary 2,50-h3,25 MPa,
• temperatura obliczeniowa 560 °C,
• temperatura ścianki 540 °C.
Komora wyjściowa przegrzewacza międzystopniowego zalicza się do ciała od-
kształcalnego, dla którego obowiązują zawsze równania teorii sprężystości, teorii
plastyczności, termosprężystości, które muszą być spełnione w każdej chwili i w
każdym punkcie ciała. Budując model obliczeniowy komory dla warunków
brzegowych powinno się zastosować teorię termosprężystości. Ponadto komorę należy
sprawdzić na pełzanie.
Z drugiej strony, komora wyjściowa przegrzewacza międzystopniowego jest
typową konstrukcją rury grubościennej, dla której do obliczeń wytrzymałościowych
obowiązuje prawo Lamego. Zadanie polegające na wyznaczeniu rozkładu naprężeń
obwodowych i promieniowych w rurze grubościennej obciążonej ciśnieniem i
temperaturą znane jest jako zagadnienie Lamego. Wzorami Lamego możemy się posłużyć
dla zaobserwowania zjawisk na fragmencie rury komory o poprawnej geometrii.
Klasyczne obliczenia oparte sana modelu ciała doskonale sprężystego, zakłada się
niezależność stałych materiałowych od temperatury. Rozkład temperatury jako funkcja
promienia r jest wyznaczana przez rozwiązanie równania przewodnictwa Laplace'a
255
dla procesu stacjonarnego. Wartości naprężeń, jakie można uzyskać ze wzorów Lamego
zostały wyprowadzone dla płaskiego stanu naprężenia i nie uwzględniają wpływu
gradientu temperatury na naprężenia wzdłuż osi rury (komory wyjściowej przegrzewacza
między stopniowego). Otrzymane wyniki nie odzwierciedlają rzeczywistego stanu
naprężeń w komorze. Wykluczają stosowanie klasycznej metody obliczeń dla tego
konkretnego przypadku.
450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560
T[°C]
Rys. 15.16. Zmiana granicy plastyczności w funkcji temperatury dla stali 16H, 15HM, 10H2M
Zbudowano model dyskretny komory wyjściowej przegrzewacza międzystop-
niowego wraz odcinkami poszczególnych grup rur. Widok ogólny modelu
geometrycznego komory wyjściowej przegrzewacza międzystopniowego pokazano na
rysunku 15.17. Ze względu na stacjonarne pole temperatur panujące w komorze
wyjściowej przegrzewacza międzystopniowego i powtarzalność sekcji do obliczeń
wytrzymałościowych przyjęto odcinek komory z pięcioma sekcjami rur opadowych.
Model dyskretny odcinka komory przedstawiono na rysunku 15.18. Rozkład
ciśnienia przyłożonego do obiektu pokazano na rysunku 15.19.
256
Rys. 15.17. Model geometryczny komory wyjściowej przegrzewacza międzystopniowego
Rys. 15.18. Model dyskretny komory wyjściowej przegrzewacza międzystopniowego - elementy typu
PIPĘ (odcinki rur) i Beam3D (cięgna wieszaków)
257
Rys. 15.19. Komora wyjściowa przegrzewacza międzystopniowego z przyłożonym ciśnieniem
Komora wyjściowa przegrzewacza międzystopniowego poddana jest również
działaniu pola temperatur. W wyniku tego, całkowite naprężenie w materiale komory jest sumą
dwóch składowych: naprężenia będącego wynikiem oddziaływania ciśnienia
wewnętrznego oraz naprężeń termicznych, powstałych w wyniku występowania gradientu
temperatur.
Energia cieplna jest przekazywana przez przewodzenie. Według wytycznych
Urzędu Dozoru Technicznego należy przyjąć, że temperatura obliczeniowa T0 komory
i rur jest równa 560 °C. Ponieważ rzeczywisty rozkład temperatury nie jest znany,
temperatury przyjęte do obliczeń określono za pomocą równania Laplace'a dla
procesu stacjonarnego. Przyjęto, że temperatura wewnętrznej powierzchni rury jest równa
średniej temperaturze czynnika roboczego znajdującego się w rurze, tj. 540 °C. Do
obliczeń przyjęto, że temperatura ścianki zewnętrznej jest równa temperaturze
obliczeniowej rury, czyli 560 °C. Temperatura zewnętrznej ścianki komory i rur od strony
izolacji jest równa temperaturze pary wtórnej przegrzanej.
Aby postawić prawidłową diagnozę przyczyn degradacji przegrzewacza drugiego
stopnia i znaleźć właściwe rozwiązanie problemu, niezbędne było wykonanie obliczeń
osobno dla każdej składowej obciążenia i dopiero późniejsze ich kojarzenie poprzez
przeprowadzenie superpozycji obciążeń.
Z obliczeń wytrzymałościowych MES dla zbudowanego modelu komory
wyznaczono jej deformację (rys. 15.20) oraz rozkłady naprężeń zredukowanych według hipotezy
Hubera-Misesa, które pokazano na rysunku 15.21. Wartości naprężeń uzyskane z
analizy modelu ogólnego oraz uzyskane wartości przemieszczeń mieszczą się w granicach
dopuszczalnych dla tego typu konstrukcji, zastosowanych materiałów i warunków
pracy, z czego jednoznacznie wynika, że przyczynę degradacji można znaleźć jedynie za
pomocą modeli bardziej szczegółowych.
258
Ze względu na stacjonarne pole temperatur panujące w komorze wyjściowej drugiego
przegrzewacza międzystopniowego i powtarzalność sekcji, do bardziej szczegółowej
analizy wytrzymałościowej przyjęto odcinek komory z pięcioma sekcjami rur opadowych.
Przeanalizowano wpływ różnych składowych obciążenia na przemieszczenia,
odkształcenia i rozkład naprężeń dla różnych sposobów zawieszenia komory.
Rys. 15.20. Postać deformacji komory przegrzewacza przy nierównomiernym rozmieszczeniu wieszaków
Rys. 15.21. Warstwice naprężeń zredukowanych według hipotezy Hubera-Misesa
w wyniku działania temperatury i ciśnienia
259
Na rysunku 15.22 przedstawiono mechanizm degradacji przegrzewacza otrzymany
na podstawie wyników z numerycznej symulacji pracy i obciążenia komory
przegrzewacza międzystopniowego drugiego stopnia.
Stwierdzono, że przyczyna wszystkich uszkodzeń tkwi w niedostosowaniu
sztywności zawieszenia komory do jej rozszerzalności termicznej.
Rys. 15.22. Mechanizm degradacji przegrzewacza międzystopniowego
16. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW ROWNAN
Istotnym zagadnieniem na tym etapie rozważań są procedury do rozwiązywania
układów równań. W analizie wytrzymałościowej ogólnie można wyróżnić układy
równań dotyczące:
- statyki konstrukcji
{r} = [K]-1{R} (16.1)
- dynamiki konstrukcji (równanie ruchu)
[M]{r} + [c]{r}+[K] {/■} = {/?} (16.2)
- zagadnień sprężysto-plastycznych
[Ke-Kp\A{r} = A{R} (16.3)
- nieliniowości geometrycznej
([K] + A[Kcr])d{r} = 0 (16.4)
gdzie:
{r} - wektor przemieszczeń węzłowych konstrukcji,
{R} - wektor zewnętrznych obciążeń konstrukcji,
[KJ - globalna macierz sztywności plastycznej,
[K J - globalna macierz naprężeń początkowych.
Jest wiele metod rozwiązywania podanych układów równań. Wybór metody
zależy m.in. od rozwiązywanego zagadnienia i wielkości układu równań oraz od
możliwości mikrokomputera (komputera). Podczas rozwiązywania układów równań spotyka
się trudności głównie natury technicznej.
Problem ten jest bardzo obszernie i dokładnie opisany w wielu pracach, m.in.
[3,9,92,104,158,174,252].
Po rozwiązaniu układu równań otrzymuje się dane dotyczące:
- przemieszczenia węzłów,
- odkształcenia,
- sił wewnętrznych w poszczególnych elementach,
- składowych naprężeń dla poszczególnych elementów,
- częstości drgań własnych, wymuszonych,
- postaci drgań,
- wiele innych informacji.
261
16.1. Metody rozwiązywania układów algebraicznych
równań liniowych
W zagadnieniach, w których obowiązuje prawo Hooke'a (rys. 16.1), najczęściej do
rozwiązywania układów równań liniowych stosuje się:
- metody bezpośrednie,
- metody iteracyjne.
Metody bezpośrednie miary zastosowanie w przypadku rozwiązywania pełnych
macierzy dla małych zagadnień. Obecnie nie powstają systemy, które byłyby przeznaczone
do rozwiązywania układów równań liniowych o małych macierzach i jest obojętne, czy
rozwiązuje się układ liniowy o kilkunastu stopniach swobody, czy o 100 tys. stopniach
swobody; systemy te opierają się na metodach iteracyjnych.
Rys. 16.1. Zależność między obciążeniem a przemieszczeniem
Znaną i bardzo szeroko stosowaną metodą bezpośrednią do rozwiązywania układu
liniowych równań algebraicznych dla przemieszczeniowego modelu MES - równanie
(16.1) -jest proces eliminacji Gaussa [88, 96, 168, 242].
Równanie przemieszczeń (16.1) można przedstawić w postaci
ku kY
22
Ir
*32
v23
V
l33
V1AT
V
V3W
%1 %2 ""W3
(V
r2
<
1/"",
> = <i
\RA
R2
R3
RN
(16.5)
Metoda Gaussa polega na sprowadzeniu układu równań liniowych (16.5) do
układu równoważnego, w którym liczba niewiadomych w każdym następnym równaniu
jest o jeden mniejsza niż w równaniu poprzednim. Pierwszy stan procesu eliminacji
polega na obustronnym mnożeniu pierwszego równania przez współczynnik
262
-±- (z = 2, 3,..., TV)
ku
Następnie, odejmując wynik mnożenia od każdego równania o numerze z = 2, 3, ..., N
otrzymuje się nowy układ, w którym wszystkie równania, oprócz pierwszego, nie będą
zawierały wyrazu kolumny pierwszej. Powstanie w ten sposób zmodyfikowany układ
równań
ku
%
"-22
k1
"-32
ku
"-23
lA
"-33
KN2 KN3
lA
K2ł
kl
ł1
"■\n
R
lM [Rnj
Ri
Rl
(16.6)
w którym elementy z indeksem 1 u góry wskazują na dokonaną ich odpowiednią
modyfikację, na przykład
""23 ~~ ""23 , ""12' R2—R2 , ^1
Każdy nowy wyraz zmodyfikowany można obliczyć według zależności
(16.7)
ki] ~ kV
(16.8)
Drugi etap procesu eliminacji polega na analogicznym pomnożeniu drugiego
równania z układu równań (16.6) przez współczynnik kl2Jkl22 dla z = 3, 4, ..., N.
Odejmując to równanie od każdego równania z, otrzymuje się nowy układ, w którym
wszystkie równania, oprócz pierwszego i drugiego, nie będą zawierały wyrazu k22.
Wówczas układ równań (16.6) przyjmie postać
""11 ""12 ""13
kl kl
"-22 "-23
v33
V1W
A
Ł2AT
^3N
Ri
(16.9)
263
Dowolny wyraz po drugiej modyfikacji można obliczyć za pomocą wzoru
ki 2]
(16.10)
Proces powinien być kontynuowany dopóty, dopóki macierz układu równań nie
zostanie przekształcona w macierz trójkątną w postaci
Jr Jr Jr
ftll "-12 "-13
k\2 k\3
v33
\N
1
2N
2
3N
R
N-l
(16.11)
Odwrotne postępowanie według metody Gaussa nie wymaga specjalnych
wyjaśnień, ponieważ z ostatniego równania w układzie równań (16.5) można obliczyć
VNN 'N
>JV-1.
*-N ■>
R
N-l
,N-1
(16.12)
Następnie z układu równań (16.11) oblicza się składowe wektora przemieszczeń rN_ 1;
rN _ 2, .., ru podstawiając każdorazowo otrzymane wartości do kolejnych równań
układu, posuwając się od ostatniego równania aż do równania pierwszego.
Procedura ta przedstawia najprostsze postępowanie bezpośrednie, w którym
wszystkie wyrazy macierzy są wyliczane i zapamiętane. Można jednak wykorzystać symetrię
istniejącą w macierzy sztywności [K] i ograniczyć się do uwzględnienia tylko górnej
(lub dolnej) części macierzy wraz z przekątną, co redukuje liczbę operacji o połowę.
W wielu przypadkach macierz sztywności zawiera wiele wyrazów zerowych, gdyż
przy optymalnej numeracji węzłów, w pewnej odległości od głównej przekątnej,
istnieje część macierzy, w której są same zera (rys. 16.2). Taka macierz nazywa się
pasmową i tylko szerokość półpasma macierzy, którą pokazano na rysunku 16.2 jest
zapamiętywana do rozwiązywania układu równań (16.5).
Można wykazać, że w trakcie rozwiązywania układu równań liniowych metodą
Gaussa wystarczy w pamięci wewnętrznej maszyny cyfrowej pozostawić tylko
szerokość półpasma macierzy sztywności (rys. 16.2) z niezerowymi elementami.
264
IH
O
O
o
0
o
o
o
SYMETRIA
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
O zerowe elementy
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Rys. 16.2. Macierz sztywności konstrukcji - szerokość półpasma
Z wielu istniejących procedur do rozwiązywania układu równań liniowych
bardzo efektywna jest metoda Cholesky'ego [7] oparta na rozkładzie globalnej macierzy
[K] na czynniki trójkątne w postaci
[K] = [L][L]r (16.13)
gdzie:
[L] - dolna trójkątna macierz,
[L]r - górna trójkątna macierz.
Wówczas rozwiązanie układu równań (16.1) zastępuje się dwoma układami równań
W = [L]{x} (16.14)
{x} = [L]r{r} (16.15)
Szczegółowy opis metody Cholesky'ego przedstawiono w wielu pracach, między
innymi [10,88,168]. Zastosowanie tej metody nie daje specjalnych korzyści w zakresie
oszczędności potrzebnego obszaru pamięci w porównaniu z metodą eliminacji Gaussa,
ale wymaga mniejszej liczby podstawowych działań algebraicznych.
Stosując metody iteracyjne, obliczenia rozpoczyna się od dowolnego
przybliżenia, a następnie określa się ciąg kolejnych wektorów rozwiązania. W procesie tym
kolejne rozwiązania dążą do rozwiązania dokładnego, a proces przerywa się, gdy
kolejne rozwiązania różnią się o wartość mniejszą od dowolnie przyjętej dokładności
rozwiązania. Stosuje się metody iteracyjne stacjonarne, cykliczne i skalarne.
265
16.2. Metody rozwiązywania równań ruchu układu
dyskretnego
Metoda elementów skończonych jest powszechnie wykorzystywana do określania
parametrów ruchu modeli dyskretnych. Ogólne różniczkowe równanie ruchu MES dla
układu oswobodzonego z więzów ma postać wzoru
[M]{r} + [c]{r}+[K] {/■} = {/?} (16.16)
w którym pochodne wektora przemieszczeń {r} po czasie t oznaczono kropkami
d{r] d2{r)
r
■Ar} = —rr- (16.17)
dt dt
Szczególnym przypadkiem równania (16.16) jest brak wymuszeń zewnętrznych,
czyli przypadek, kiedy prawa strona tego równania jest równa zeru. Wówczas układ
równań (16.16) przyjmuje postać
[M] {/■■}+[C]{r}+[K] {/■} = () (16.18)
Również w celach praktycznych wyznacza się częstości drgań własnych
konstrukcji, w których pomija się tłumienie, i wówczas otrzymuje się równanie w postaci
[m] {/■'}+[k] {/■} = () (16.19)
Obliczanie wartości własnych
Do nie tłumionych drgań swobodnych przyjmuje się z góry rozwiązanie w postaci
funkcji
{r} = {r0}sm(o)t) (16.20)
lub w postaci ogólniejszej
{r} = {r0}ejat (16.21)
gdzie:
{r0} -wektor amplitud uogólnionych przemieszczeń drgań swobodnych,
zwany wektorem postaci drgań lub formą drgań;
co - częstość własna, rad • s_1;
t - czas, s;
j = V-1 - liczba urojona.
Po podstawieniu równania (16.20) do równania (16.19) otrzymuje się
[K]-[M]fl>2 {r0} = 0 (16.22)
266
Równanie (16.22) ma tylko wtedy nietrywialne (niezerowe) rozwiązanie, gdy jego
wyznaczniki charakterystyczne są równe zeru.
Rozwiązanie równania ruchu drgań swobodnych (16.22) można sprowadzić do
znalezienia pierwiastków równania charakterystycznego
det{[K]-[M]ft;2}=0 (16.23)
a następnie do wyznaczenia wektorów postaci drgań. Zgodnie z twierdzeniem Abela
nie można znaleźć pierwiastków równania (16.23), wykonując skończoną liczbę
operacji arytmetycznych. Wynika z tego wniosek, że nie można opracować metody
obliczeń drgań swobodnych układów o liczbie stopni swobody większej niż 4.
Stosowanie rozwinięcia wyznacznika z równania (16.23) w wielomiany w celu
znalezienia wartości własnych nie jest wygodne. Należy zwrócić uwagę, że w
przypadku macierzy kwadratowej [H] można dobrać pewien szczególny wektor {X} taki,
że pomnożenie tego wektora przez macierz może być sprowadzone do pomnożenia
wszystkich jego elementów przez jedną i tę samą liczbę co, czyli
[H]{X} = 6;{X} (16.24)
gdzie [H] jest macierzą symetryczną, dodatnio określoną.
Przekształcając równanie (16.22) do postaci
[K]{r0}-[MK{r0} = 0; [M]«2{r0} = [K]{r0} (16.25)
Po odwróceniu macierzy [K] przy A = —- otrzymuje się wyrażenie
co
[K]-1[M]{r0} = 2{r0} (16.26)
Rozkładając macierz [K] na macierze trójkątne
[K] = [L][L]r; [^V={[lĄTYW (16.27)
gdzie [L] jest górną macierzą trójkątną uzyskuje się wyrażenie
[L]-1[M]{r0} = l[Lf{r0} (16.28)
Oznaczając
{x} = [Lf{r0} (16.29)
i przekształcając równanie do postaci
kl = ([Lf)"W
oraz podstawiając do równania (16.28), otrzymuje się
[L]-1[M]([Lf)"1{x} = A{x} (16.30)
267
skąd
A = 4- = [L]-1[M]([L]r)"1 (16.31)
co
Po określeniu co (lub tylko kilku wybranych największych jego wartości,
odpowiadających drganiom podstawowym) łatwo już znaleźć postacie {x}, a stąd - poprzez
równanie (16.29) - wektory postaci {r0}.
Ponieważ macierze bezwładności i sztywności układu liniowego są zawsze nie-
ujemnie określone, więc równanie (16.23) ma n rzeczywistych i nieujemnych
pierwiastków. Oznacza to, że układ liniowy o n stopniach swobody ma najwyżej n nieze-
rowych częstości własnych.
Wektor postaci drgań własnych {r0} oblicza się z dokładnością do stałego
mnożnika. Wektor ten pomnożony przez dowolną stałą liczbę rzeczywistą jest więc nadal
wektorem postaci drgań. Czyli częstości własne układu liniowego nie zależą od
amplitudy drgań.
W analizie drgań swobodnych modeli dyskretnych w praktyce wystarcza zwykle
znalezienie pierwszych kilku lub najwyżej kilkunastu częstości własnych.
Do obliczeń częstości własnych stosuje się najczęściej metody redukcji liczby
stopni swobody modelu dyskretnego:
- metody kondensacji,
- metodę Ritza,
- metodę podprzestrzennych iteracji,
- metodę Stodoli.
W przypadku równań ruchu drgań wymuszonych (16.16), ze względu na prawą
stronę równania, wyróżnia się następujące metody ich rozwiązywania:
- metoda bezpośredniego całkowania,
- metoda transformacji Fouriera,
- metoda modalna.
Metoda bezpośredniego całkowania ma charakter ogólny i może być stosowana,
gdy siła wymuszająca jest dowolną funkcją czasu. Gdy siła wymuszająca jest funkcją
okresową, wówczas efektywniejsze jest rozwiązanie równania ruchu w dziedzinie
częstości przez zastosowanie transformacji Fouriera.
Metodę modalną stosuje się zwykle wtedy, gdy tłumienie w układzie jest
proporcjonalne.
Z równania ruchu przy zadanych warunkach brzegowych i znanej zmienności
wektora obciążeń {R} można uzyskać wartości wektora przemieszczeń {r} i jego
pochodnych w funkcji czasu. Przy wymuszeniach nieokresowych i zmiennej
konfiguracji układu stosuje się bezpośrednie całkowanie równań ruchu, polegające na
wyznaczeniu wektora stanu układu w czasie tn+i na podstawie znanych wektorów stanu dla
czasów^, Vi, •••
268
VATn«=ĄrsLVsŁ>») (16-32)
16.3. Metody bezpośredniego całkowania równań
ruchu układu dyskretnego
Jest wiele metod numerycznego całkowania równań ruchu. Różnią się one postacią
i stopniem funkcji aproksymacji. Najprostsze są metody przyjmujące do aproksymacji
funkcje nieciągłe, np. metoda różnic centralnych [101], metoda Houmboldta [101].
Jednak przy bardziej złożonych układach nie zapewniają one odpowiedniej
dokładności obliczeń i często nie zapewniają stabilności rozwiązania.
O wiele większą dokładność i stabilność zapewniają metody, które aproksymują
współrzędne uogólnione funkcjami ciągłymi. Są to między innymi: często używana
metoda Newmarka [89], wykorzystująca wielomiany kwadratowe (przyjmująca stałą
wartość przyspieszenia w czasie jednego kroku całkowania), metoda Wilsona [89],
wykorzystująca wielomian trzeciego stopnia (przyspieszenie zmienia się liniowo
podczas kroku całkowania), metoda pi metoda 3\ (obydwa algorytmy wykorzystują
metodę Galerkina, tzw. podejście residualne). Uogólnieniem metody Wilsona jest metoda
kolokacji opracowana przez Hilbera i Hughesa [242]. W zależności od wartości
przyjętych parametrów można otrzymać różne warianty metody kolokacji, tak samo dobre
jak metody z rodziny Newmarka lub metoda Wilsona.
Przeglądu i porównania różnych metod całkowania równań ruchu dokonano
w pracach [89, 129, 197,242].
16.4. Aproksymacja wielomianem trzeciego stopnia
- wzory rekurencyjne
Jako funkcje aproksymujące przyjęto [197,210] hermitowskie wielomiany
sześcienne
269
rt =Fo,0'ffi,o^o,i^i,i|
(16.33)
w których
Hl0 = s -2s
t-t„
H0fi=\-3sz +2s; H0l=?>sz
-s3; Hu
-s2 +s
2só
3
(16.34)
t^., -1.
Równanie ruchu (16.16), przy założeniu stałości macierzy M, C, K w czasie kroku
całkowania, można zapisać w postaci ważonego równania residualnego dla przedziału
czasu [tn,tn+i\, dla wektora przemieszczeń uogólnionych r i wektora prędkości
uogólnionych q pomnożonego przez długość kroku czasowego At, jako
t„+l (fi
d
d
M(/J— + C(/J— +K(0 Ko^i,o^o,i.^i,i}
dt
dt
y +
*(0
^ = 0(16.35)
gdzieHij = diag [HtJ, Hy,..., Htj\.
Ponieważ M(tn), C(t„) i K(tn) są stałe, więc po przekształceniach można wyciągnąć
je przez znak całki i równanie (16.16) można zapisać w postaci
J[H0]* o K + \^dt
C 0
0 C
+
V '»
J[H2]*
M 0
0 M
rt=t*
(16.36)
> +
7J+1
J[HF]tfi?(O = 0
gdzie
270
[HOL
-"0,1-" 0,0'-"0,1-" 1,0'-"0,1-" 0,1'-"0,1-" u
H\,\H0,0 ' H\,\H\,0 ' H\,\H0,\ ' H\,\H\,\
(4.37)
[Hj =
-"0,1 ,.-"0,0'-" 0,1 ,. -"1,0 '-"0,1 ,.-"0,1'-"0,1 ,.-"1,1
OT OT OT OT
U U U U U U U U
Hhi -j:Ho,0'H\,\ -j:H\,o,H\,\ ~7;łio,\^łi\,\ ~rHu
dt dt dt dt
(4.38)
[H2] =
d2
d2
d2
d2
H0A ^ H0fi,H0,i df2 #i,o,#o,i df2 #o,i,#o,i df2 Hu
d2
d2
d2
d2
Hu ^ H0fi,Hu df2 Hlfi,Hu df H0A,HU ^ Hu
(4.39)
[H,] =
#0,1
"u
(16.40)
Po scałkowaniu macierzy [H0], [Hi], [H2], [HF] i dodaniu trzech pierwszych całek
otrzymuje się
A\ Ai A3 Aą
A\ A2 Ai, Aa
> +
B1
B,
R{t„) = o
(16.41)
gdzie
Au = —AtK--C + —M;
70 2 5At
13 1 1
An= AtK C + M; A22
13 A 1, 1 „ 1
-AtK +—C-
420
1
10 \0At
-M
420
10 \0At
AtK +—C —M
140 60 30A/1
li
35
AtK C + M;
2 5At
Ać£ +—C M
210 10 10A/1
(16.42)
— AtK- — C + -^-M; A?4=—AtK
210 10 lOAt 105
\5At
-M
271
Bx = At diag
rr
B2 = At diag
T2'12:
'12
Po pomnożeniu i uporządkowaniu otrzymuje się wzór rekurencyjny pozwalający
obliczyć wektor przemieszczeń uogólnionych i wektor prędkości uogólnionych w
czasie t„+\ na podstawie wektora przemieszczeń uogólnionych i wektora prędkości
uogólnionych w czasie t„ w postaci
As Aą
^23 Aa
B1
B,
*(0-
A\ Ai
A\ Ai
(16.43)
Otrzymany wzór stanowi układ 2« równań liniowych, łatwy do rozwiązania za
pomocą zwykłych procedur numerycznych.
16.5. Przyrostowe procedury obliczeniowe
Są dwie podstawowe metody rozwiązywania nieliniowych równań MES, a
mianowicie ich linearyzacja na kroku przyrostowym z iteracyjną korektą braku
równowagi [3] oraz rozwiązywanie pełnego równania nieliniowego z zastosowaniem
schematów perturbacyjnych [83].
Zagadnienie przyrostowe można rozwiązywać metodą zmiennej sztywności lub
metodą obciążeń początkowych. Są one równoważne pod względem wyników obliczeń [3].
Metoda zmiennej sztywności
Metoda ta wymaga budowania nowej macierzy sztywności konstrukcji i jej trian-
gulacji po każdym kroku przyrostowym. Najprostsze jest zastosowanie metody jawnej
zwanej „całkowaniem Eulera w przód", polegającej na bezpośrednim całkowaniu
równań dla kolejnych przyrostów obciążenia.
Rozwiązywanie równania (16.3), opisującego sprężysto-plastyczne zachowanie
się konstrukcji w zakresie małych przemieszczeń, podano w postaci następującego
krótkiego algorytmu.
Zadane obciążenie zewnętrzne {R} dzieli się na pewną liczbę przyrostów AR',
i= 1, ...,«.
{r}=±a{r
(0
(16.44)
Stosuje się następującą procedurę obliczeniową:
- stan zerowy
272
przyrost z = 1
przyrost z = 2
przyrost z = n
K»j=0; irul=0; \RIJ \= 0
^1}={r°}+a{r
a^1}=[k2-k°J-1a{r1
/ = r° +AV
42}=k-K;]"A^
r2\=\rl +Ar2
\r"}= \r^}+a\rk
Air
r
n-\
-K
n-l
Aft"
■Ar
(16.45)
(16.46)
(16.47)
(16.48)
gdzie:
[Ke - Kp] - globalna macierz sztywności sprężysto-plastyczna konstrukcji,
A{r} - przyrost wektora przemieszczeń węzłowych,
A{R} - przyrost obciążeń zewnętrznych.
Podana metoda, ze względu na swą prostotę, jest powszechnie stosowana w prawie
wszystkich systemach metody elementów skończonych dotyczących zagadnień
nieliniowych.
Wadą tej metody jest oddalanie się od rozwiązania dokładnego wraz ze wzrostem
liczby kroków (rys. 16.3), związane z tym, że rozwiązanie równania macierzowego
stanowi przybliżenie rozwiązania nieliniowego ze względu na dokonaną linearyzację.
Rozbieżność tej metody można teoretycznie usunąć przez zmniejszenie kroków, co jednak
znacznie zwiększa czas obliczeń. Korzystniejsze jest zastosowanie procedur iteracyjnych,
korygujących rozwiązanie równania macierzowego na danym przyroście obciążenia.
273
R
R
n
R2
R1
Rys. 16.3. Metoda zmiennej sztywności
W metodzie zmiennej sztywności ogólne macierzowe równanie ruchu modelu
dyskretnego MES dla kroku czasowego [t, t+At] ma postać [89]
[Mj{w}+[c]{r^} + [KjA{r} = {^+AJ-{JFj (16.49)
gdzie {F} jest wektorem sił węzłowych, równoważnym naprężeniom wewnętrznym.
Metoda Newtona-Raphsona i zmodyfikowana metoda Newtona-Raphsona
Najczęściej stosowanym algorytmem w przestrzeni przemieszczeniowej jest metoda
Newtona-Raphsona [49] (rys. 16.4). Daje ona dobre wyniki i jest na ogól szybka. Jej
wadąjest konieczność budowy i triangularyzacji macierzy sztywności w każdej iteracji.
W celu zmniejszenia liczby operacji często stosuje się stałe macierze w trakcie
całego procesu iteracyjnego (rys. 16.5). Zmodyfikowana metoda Newtona-Raphsona
wymaga zazwyczaj większej liczby iteracji, jednak czas obliczeń dla jednego kroku
iteracyjnego jest znacznie krótszy niż w pełnej metodzie Newtona-Raphsona [49], co
w przypadku dużych układów równań szybciej pozwala osiągnąć zbieżność.
274
R
a
Rys. 16.4. Metoda Newtona-Raphsona
b
R
Rys. 16.5. Zmodyfikowana metoda Newtona-Raphsona (a), metoda sztywności początkowej (b)
W zmodyfikowanej metodzie Newtona-Raphsona macierze są odwracane tylko w
pierwszej iteracji dla każdego kroku czasowego. Można także stosować algorytmy ite-
racyjne, w których macierz sztywności zmienia się co kilka iteracji w trakcie jednego
przyrostu, albo też odwrotnie - macierz sztywności jest stała przez kilka przyrostów.
Częstość zmiany macierzy sztywności zależy od stopnia nieliniowości zagadnienia.
Metoda początkowych obciążeń
W metodzie początkowych obciążeń efekty nieliniowe są uwzględniane poprzez
wprowadzenie oprócz wektora sił zewnętrznych dodatkowych sił fikcyjnych, które
traktuje się jako zadane dodatkowe obciążenie. W pełnej metodzie początkowych
obciążeń fikcyjne siły uwzględniają nieliniowości zarówno typu materiałowego, jak i
geometrycznego [193,202]. Zaletą takiego podejścia jest jednokrotna triangularyzacja
macierzy sztywności. Dlatego też w przypadku analizy, w której bierze się pod uwagę
zarówno nieliniowości typu materiałowego, jak i geometrycznego, stosuje się połączenie
275
metody zmiennej sztywności i metody obciążeń początkowych. Efekty nieliniowości
geometrycznej uwzględnia się przez stosowanie macierzy sztywności geometrycznej,
siły zaś fikcyjne uwzględniają jedynie nieliniowości macierzy typu materiałowego
[193]. Powoduje to jednak konieczność zmiany macierzy sztywności na każdym kroku
całkowania.
W metodzie początkowych obciążeń równanie równowagi dynamicznej MES dla
kroku czasowego [t, t+At] ma następującą postać
M&J+ [C]{rt+At}+ [K,]AM = {Rt+J-{Ft}+A{y} (16.50)
gdzie A{y} jest wektorem przyrostów sił fikcyjnych.
W literaturze [92] zamieszczono algorytm bezpośredniego całkowania
nieliniowego równań ruchu metodami - Wilsona oraz Newmarka.
16.6. Metoda modalna
Jeśli się korzysta z analizy nieliniowej w jakimkolwiek systemie, np. COSMOS/M
(moduł NSTAR), równania ruchu dla obu przypadków, tj. układów liniowych i
nieliniowych, są rozwiązywane przez ich bezpośrednie całkowanie Jednakże analiza
problemów z wieloma równaniami lub stopniami swobody (DOF) często wymaga mniej
czasu obliczeniowego, jeśli dynamiczne zachowanie liniowej konstrukcji będzie
przybliżone z wystarczającą dokładnością przez kilka pierwszych postaci własnych
(ang. nf), gdzie nf« DOF. Kompromis między ekonomią obliczeń (czasem obliczeń)
a ich dokładnością ogniskuje się wokół konieczności obliczeń wartości własnych
z układów równań.
Proces przybliżania rozwiązywania równań ruchu przez rozważanie tylko
pierwszych kilku postaci własnych z częstości naturalnych układu jest nazywany metodą
analizy własnych postaci drgań (modalną superpozycją lub analizą modalną) i wszystkie
odpowiedzi drgań wymuszonych w module zaawansowanej dynamiki są oparte na tej
procedurze.
Równania ruchu dla liniowego układu dynamicznego można zapisać w postaci
[M]{«}+[c]{«}+[K]{«} = {/-(0} (16.51)
gdzie:
{f[t)} - wektor wymuszenia zależny od czasu,
{u}, {ii}, {ii} - odpowiednio wektory przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia.
Do rozwiązywania problemów liniowej dynamiki, układ równań ruchu (16.51)
będzie rozprzężony w nf pojedynczych stopniach swobody, w kategoriach modalnego
wektora przemieszczeń {x} za pomocą wzoru
276
{«} = [<D]{x} (16.52)
gdzie [O] jest macierzą niskich nf wektorów własnych uzyskanych z rozwiązania
równania
[K]{u} = co2[M]{u} (16.53)
Podstawiając {u} z równania (16.52) do równania (16.51) i mnożąc je stronami
przez [d>]r, otrzymuje się
[O]1 [M] [OJ] {x} + [O]1 [C] [O] t{x} + [O]1 [M] [O] t{x} = [(D]T {f(t)} (16.54)
Spełniając warunek ortogonalności dla postaci własnej otrzymuje się równanie
[I] {x} + [1] {x} + [D2] {x} = [<D]T {/(')} (16.55)
Równanie (16.55) przedstawia w/rozprzężonych na pojedyncze stopnie swobody
równań różniczkowych drugiego rzędu w postaci
xt + 2Cta>txt + a>?Xi = mj{f(t)} (16.56)
Równania te mogą być rozwiązywane metodą całkowania krok po kroku lub
innymi metodami. Przemieszczenie {u} oraz inne odpowiedzi będą określone po
dokonaniu transformacji przedstawionej równaniem (16.52).
16.6.1. Efekt tłumienia
Podana powyżej analiza nie jest dokładna, jeśli macierz tłumienia [C] nie spełnia
warunku ortogonalności. Wówczas występują zwykle dwa przypadki: albo dokładna
macierz tłumienia nie jest znana, albo zakłada się, że efekt nieortogonalności jest
mały. W module ASTAR [34] są dostępne następujące możliwości uwzględnienia
tłumienia.
Tłumienie Rayleigha
Tłumienie Rayleigha jest opisane za pomocą wzoru
[C] = a[M] + /?[K] (16.57)
Ta postać [C] jest ortogonalna względem układu wektorów własnych i tłumienie
modalne Q może być przedstawione w następującej postaci
C,-=26©, =a + /3cof (16.58)
Stosunek modalnego tłumienia krytycznego wynosi więc
277
M 2
gdzie a i /3 są współczynnikami tłumienia Rayleigha.
Tłumienie modalne
Tłumienie modalne jest definiowane jako stosunek tłumienia krytycznego
4i=^~ (16.60)
Tłumienie skoncentrowane
Tłumienie skoncentrowane jest definiowane między dowolnymi dwoma węzłami
lub dowolnym węzłem a podstawą tylko dla opcji modalnych wykresów czasowych.
Współczynnik tłumienia jest definiowany w postaci składników tłumienia w
globalnych kierunkach X,Y,Z, przedstawionych na rysunku 16.6.
Węzeł 1
ilY
X
'Z
DY
Węzeł 2
Rys. 16.6. Tłumienie skoncentrowane
Złożone tłumienie modalne
Złożone tłumienie modalne umożliwia definiowanie współczynnika tłumienia jako
własności materiału. W ten sposób różne grupy elementów przedstawiają podczas
analizy dynamicznej różne materiały mające różne współczynniki tłumienia. Jest ono
zdefiniowane jako ekwiwalent tłumienia modalnego za pomocą wzoru
Ą={0}T[M]{0} (16.61)
gdzie:
pj - ekwiwalent tłumienia modalnego jako stosunek dlay-tej postaci własnej,
{®}y - j-ty normalizowany wektor własny,
[M] - modyfikowana macierz masy skonstruowana z elementów macierzy powstałej
z produktów proporcji tłumienia dla elementów i ich macierzy mas.
16.6.2. Dokładność rozwiązania a obcięcie postaci własnych
278
Dokładność obliczeń zagadnień dynamicznych opartych na analizie modalnej
wynika głównie z dużej liczby rozważanych postaci własnych. Poniżej przedstawiono kilka
możliwych sposobów, dostępnych w systemie COSMOS/M, na poprawienie
dokładności obliczeń. Omówiono je dla różnych typów analizy i warunków wymuszenia.
Wymuszenie silą
W przypadku układu z wymuszeniem siłą jest konieczne rozważenie wszystkich
postaci własnych, które przyczyniają się do statycznego odkształcenia konstrukcji. Na
rysunku 16.7 przedstawiono schemat obciążenia, dla którego przynajmniej 5
pokazanych postaci własnych powinno być wziętych pod uwagę podczas analizy.
Rys. 16.7. Postacie własne dla belki: a - schemat obciążenia, b, c, d,f- postacie własne
Wymuszenie od podstawy
W zagadnieniach dynamicznych z wymuszeniem od podstawy liczba postaci
własnych branych pod uwagę powinna być tak dobrana, aby współczynnik całkowitego
udziału masy wynosił przynajmniej 80% w kierunku ruchu podstawy. W analizie
harmonicznej i drgań losowych musi być rozważana taka liczba postaci własnych
(nawet tych, których częstości własne wykraczają poza zakres częstości wymuszenia),
aby zapewnić współczynnik udziału masy co najmniej 80%.
16.6.3. Wymuszenie przez ruch podstawy
Różne typy analiz dostępne w module ASTAR mogą być rozważane razem z
prostym ruchem podstawy, złożonym ruchem podstawy lub oboma jednocześnie.
Prosty ruch podstawy
279
Równania ruchu dla liniowego układu dynamicznego z prostym przyspieszeniem
podstawy ub (t) są zapisywane w postaci
[M]{«r} + [C]{«r} + [K]{«r} = {/g(0}
(16.62)
gdzie {ur} jest przemieszczeniem konstrukcji względem podstawy, a {fe(f)} jest
efektywnym wymuszeniem spowodowanym przez ruch podstawy, określonym za pomocą
wzoru
{fe(t)} = -[M]{Ib}ub(t)
(16.63)
Wektor {Ib} jest wpływem względnego ruchu podstawy na przemieszczenia
sztywnej konstrukcji nośnej, opisanym za pomocąwzoru
{u} = {ur} + {Ib}ub(t)
(16.64)
Jak wcześniej opisano, równanie (8.11) będzie transformowane w kategoriach mo-
dalnego przemieszczenia {x}, gdzie
K} = [0]{x} (16.65)
Równanie ruchu (8.11) może być więc przedstawione wzorem
[I]{x} + [I]{x} + [D2]{x} = -[O]T[M]{4}^(0 = -{r}^(0 (16.66)
gdzie {r} jest mnożnikiem udziału modalnego dla niskich w/wektorów własnych, czyli
{r} = [d>f[M]{/6} (16.67)
Dlatego dla każdego modułu z udział masy
r,=M[M]{/} (16.68)
y^r;2 = jest całkowitym udziałem masy w kierunku ruchu.
Złożony ruch podstawy
Podczas analizy można również podać różne ruchy podłoża dla różnych grup
utwierdzonych węzłów lub podpór. W tym wypadku równania ruchu mogą być
zapisane w następujący sposób
ba
M
M
ab
bb
ba
ab
bb
(16.69)
gdzie a oznacza stopień swobody konstrukcji, a b oznacza stopnie swobody podpory.
Indeks górny t określa to z przemieszczeń, które jest całkowitym lub absolutnym
przemieszczeniem różnym od relatywnych przemieszczeń. W podanych rozważaniach
efekt tłumienia może być również wzięty pod uwagę. Następnie należy zbadać odpo-
280
wiedź układu, gdy przemieszczenie podstawy ub będzie użyte jako w statyczny sposób
skojarzone z funkcją czasu, to czy jest spełniony związek
k} = te} {/(')} (16-7°)
Statyczne podanie ub jako zmiennej czasu znika i wektor przemieszczenia jest
równy ub. Równanie (8.18) upraszcza się zatem do postaci
13411
gdzie ul jest przemieszczeniem konstrukcji, a fbs przedstawia siłę podporową.
Z równania (16.71) otrzymuje się
[Kjfc}+[KJfe} = ° (16.72)
lub
fc}=-[Kflfl^[Kfl6]{«6} = [R]{«6} (16.73)
Po pomnożeniu obu stron równania (16.73) przez f[f) uzyska się ąuasi-statyczną
część odpowiedzi
{«:} = &'}{/(')} (16-74)
Całkowite przemieszczenie u'a będzie wyrażone przez superpozycję
przemieszczenia ąuasi-statycznego i względnego jako
H} = H} + M (16-75)
Po podstawieniu równania (16.75) do pierwszej części równania (16.69) otrzymuje się
[MaJ{Mj + [KaJ?{MJ+[MaJ[R]K}+[MaJfe}+[KaJ[R]K}+KJK} = 0(16.76)
a ponieważ
[KJ[R]W+[KJK} = 0 (16-77)
więc równanie (16.76) upraszcza się do postaci
[MflJK}+[Kflfl]K} = -([Mflfl][R]+[MflJ)K} (16.78)
Równanie (16.78) zapisane w kategoriach względnego przemieszczenia {ua} jest
równoważne równaniom ruchu (16.62) z funkcją wymuszenia jako funkcjąruchu
podstawy {Ub} i dlatego może zostać rozwiązane metodą superpozycji postaci własnych,
Kflfl K
ab
bb
281
jak to opisano wcześniej. Pewne uproszczenie obliczeń nastąpi, gdy przyjmie się
identyczny ruch dla wszystkich podpór. Wtedy równanie (16.78) uprości się do
równania (16.66), pozwalając zastosować superpozycję postaci własnych.
16.6.4. Przebiegi czasowe
W analizie przebiegów czasowych równania ruchu dla układów o wielu stopniach
swobody są rozwiązywane przez różniczkowanie wymuszenia dynamicznego lub
funkcji wymuszenia podstawy. Metoda analizy modalnej jest używana do uzyskania
rozprzężonych równań ruchu, wywodzących się z równania (16.56), czyli równania
x1+2C1a)lx1+co?x1=mJ{f(t)}
Następnie jedna z dwóch dostępnych w systemie COSMOS/M metod całkowania
krok po kroku (metoda Wilsona albo metoda Newmarka) jest stosowana do oceny
odpowiedzi dla każdej postaci własnej. Technika ta używa wyniku uzyskanego w
poprzednim kroku rozwiązywania jako punktu wyjściowego w następnym kroku
całkowania. Całkowanie jest wykonywane w dziedzinie czasu, poczynając od czasu, dla
którego zakończono obliczenia w poprzednim kroku, a kończąc na czasie dla tego
kroku, który jest sumą czasu wyjściowego i wielkości kroku czasowego całkowania.
W ten sposób przez zmniejszanie wielkości kroku czasowego między kolejnymi
krokami całkowania dokładność obliczeń może być zwiększona. Podobnie w każdym
kroku czasowym odpowiedź układu jest określona za pomocą następującego
przekształcenia
{W}=[0f{x} (16.79)
Na rysunku 16.8. przedstawiono typowe postacie funkcji wymuszenia.
a b
F(t)
1A
282
Rys. 16.8. Typowe funkcje wymuszające: a -wymuszenie harmoniczne, b -wymuszenie okresowe,
c - wymuszenie udarowe
Dokładność obliczeń
Dokładność obliczeń w analizie przebiegów czasowych zależy od:
- liczby uwzględnionych postaci własnych,
- dokładności obliczenia postaci własnych (tj. dokładności modelowania),
- przedziału całkowania oraz wielkości kroku czasowego całkowania (zalecany
mniejszy niż 1/10 okresu ostatniej postaci własnej).
Dostępne rodzaje wymuszenia
1. Wymuszenie siłą lub ciśnieniem połączone z krzywą czasową.
2. Prosty ruch podstawy - cała utwierdzona część modelu podlega temu samemu
wymuszeniu określonemu przez krzywą czasową (patrz polecenie PD_BASE).
3. Złożony ruch podstawy - rozmaite grupy utwierdzonych węzłów podlegają
wymuszeniu określonemu przez rozmaite krzywe czasowe (patrz polecenie PDSPPRT).
4. Warunki początkowe muszą być określone w postaci wstępnego przemieszczenia,
prędkości lub przyspieszenia dla grupy węzłów (patrz polecenie INITIAL).
Skoncentrowane tłumienie i elementy GAP
Skoncentrowane tłumienie i elementy GAP mogą być modelowane tylko w opcji
analizy przebiegów czasowych. Elementy GAP są wprowadzane w analizie modalnej
jako elementy TRUSS, które wykazują opór albo na rozciąganie, albo na ściskanie,
a raz ustalona odległość między dwoma węzłami pozostaje stała. Skoncentrowane
tłumienie jest definiowane między dwoma węzłami lub między węzłem a podstawą.
Ich efekt jest uwzględniany w analizie modalnej przez użycie siły we właściwym
węźle. Siły spowodowane elementem szczelinowym są proporcjonalne do wielkości
szczeliny, podczas gdy siry tłumienia są proporcjonalne do różnicy prędkości
węzłowych. Więcej informacji można uzyskać w rozdziale poświęconym opisowi
elementów biblioteki systemu COSMOS/M.
16.6.5. Analiza widma odpowiedzi
W module ASTAR systemu COSMOS/M występuje możliwość wykonywania
analizy widma odpowiedzi konstrukcji liniowo sprężystych podlegających
wymuszeniu przez ruch podstawy. Najpierw stosuje się analizę modalną do transformacji
problemu na rozprzężone uogólnione współrzędne modalne. Maksymalna odpowiedź
modalna jest określana z widma odpowiedzi wejścia i odpowiedzi układu znajdowanej
przez sumowanie udziałów poszczególnych postaci własnych.
Definicja widma odpowiedzi
Widmo odpowiedzi jest maksymalną odpowiedzią układu o jednym stopniu
swobody, podlegającego szczególnemu ruchowi podstawy, określonemu jako funkcja czę-
283
stości naturalnych układu o jednym stopniu swobody. Krzywe te mają zazwyczaj
różną postać, zależnie od podanych wartości stosunku tłumienia modalnego dla układu
o jednym stopniu swobody, co pokazano na rysunku 16.9.
Sd
tłumienie modalne
Rys. 16.9. Krzywe widma odpowiedzi
Zwykle wykreślane wartości są przedstawiane jako maksymalne przemieszczenie
SjyCOuĘj), maksymalna pseudoprędkość S^cot,^) i maksymalne pseudoprzyspieszenie
Sa(a>i,^i) odpowiedzi. Te trzy odpowiedzi są ze sobąpowiązane zależnością
S„ = a)S„ = co Si
(16.80)
i wszystkie są przedstawiane na wykresie jako pojedyncze krzywe na odpowiednio
wyskalowanym obszarze rysunku.
Modalne maksimum odpowiedzi
Każda postać własna jest układem o jednym stopniu swobody, dlatego
maksymalna odpowiedź będzie uzyskana z danych wejściowych krzywej widma odpowiedzi
w następujący sposób
xUm^=YtSM^) (16.81)
■•abs
:Ti Sv(al,Źl) = ri ©,- Safari)
(16.82)
(16.83)
gdzie r, jest mnożnikiem modalnego udziału dla każdej postaci własnej z - patrz
równanie (16.68) - z = 1, 2, ..., nf. Stąd dla każdej postaci własnej z konstrukcja
maksimum odpowiedzi będzie znaleziona z równania (16.65) w następujący sposób
lub
ML ={oVx,.
M^WfcAk^))
(16.84)
oraz
284
(16.85)
zaś
{"}L=®,2{"Lx (16.86)
Budowa odpowiedzi maksymalnej. Maksymalne modalne odpowiedzi nie mogą
być w prosty sposób dodane dla uzyskania wartości maksymalnej odpowiedzi,
ponieważ występowanie ich maksimów w dziedzinie czasu nie jest znane. Jednakże istnieje
kilka zalecanych sposobów. W systemie COSMOS/M stosuje się następujące
kombinacje techniki modalnej.
Suma wartości bezwzględnych. Jest to podejście konserwatywne, w którym są
sumowane wszystkie postacie własne, biorąc ich maksymalną odpowiedź w tym
samym kierunku i w tym samym czasie, tj.
{u} =V {*#}'' (16.87)
<■ J max ^j | ^ > max | V • /
i=\
Pierwiastek kwadratowy sumy kwadratów (SRSS). Jest to podejście bardziej
racjonalne, w którym odpowiedzi modalne są sumowane za pomocą pierwiastka
kwadratowego z sumy kwadratów, czyli
[u
max Al
V 2=1
Z[Wmax]2 (1688)
W programie COSMOS/M metoda sumy wartości bezwzględnych jest używana
w połączeniu z techniką SRSS tylko wtedy, gdy odstęp częstości modalnych jest
mniejszy lub równy współczynnikowi skupienia czasu małej częstości w wiązce.
Współczynnik skupienia (ang. clusf) jest określony przez polecenie PD_ATYPE
podczas definicji opcji analizy widma odpowiedzi.
Dopełnienie kwadratowe (CQC). Technika dopełnienia kwadratowego bierze
pod uwagę efekt tłumienia przy tworzeniu odpowiedzi modalnej, tj.
"LA, (16.89)
max (, Jmax
gdzie py jest współczynnikiem korelacji skrośnej (krzyżowej) modułów opisanych za
pomocą wzoru
8V^7fc+^>3/2 (1690)
285
w którym r = cojcoi, a £/, £■ są współczynnikami tłumienia modalnego dla postaci
własnych z oraz/
Okrętowe laboratorium naukowo-badawcze (NRL). Technika łączenia modów
rekomendowana przez Morskie Laboratorium Naukowo-Badawcze (ang. Naval
Research Laboratory) bierze bezwzględną wartość maksymalnej odpowiedzi wśród
wszystkich wziętych pod uwagę postaci własnych i dodaje ją do odpowiedzi
uzyskanej metodą SRSS z pozostałych postaci własnych dla każdego stopnia swobody, czyli
gdzie {Uj}max jest maksymalną odpowiedzią ze wszystkich w/postaci własnych.
Złożone widmo odpowiedzi
Złożone widmo odpowiedzi konstrukcji jest znajdowane przez zastosowanie
metody SRSS do indywidualnych widm odpowiedzi. Zbiór wyjściowy programu zawiera
RMS z względnych przemieszczeń i prędkości bezwzględnych przyspieszeń.
Przyspieszenia w utwierdzonych węzłach nie są drukowane.
16.6.6. Generacja widma odpowiedzi
Ta opcja analizy dynamicznej pozwala na generację krzywej widma odpowiedzi
w dowolnym punkcie konstrukcji dla dowolnego stopnia swobody. Krzywa jest
generowana dla oscylatora o jednym stopniu swobody i przedstawia maksymalną
amplitudę odpowiedzi jako funkcję częstości oscylatora dla określonego stosunku tłumienia.
Dane wejściowe wymuszenia wymagają dla tego typu analizy zdefiniowania
krzywej przyspieszenia w funkcji czasu w pożądanym punkcie konstrukcji. Ponieważ
jednak wymuszenie nie jest bezpośrednią daną wejściową, więc program używa
wyników uzyskanych z analizy modalnych przebiegów czasowych do generacji krzywej
widma w określonym węźle. Dlatego generacja widma odpowiedzi jest możliwa do
przeprowadzenia po wykonaniu analizy modalnych przebiegów czasowych.
Wygenerowane widmo odpowiedzi będzie użyte jako podstawowa dana wejściowa
do analizy widma odpowiedzi. Jest to szczególnie użyteczne w badaniu efektu
odpowiedzi konstrukcji na wymuszenie pochodzące z układu powiązanego z dowolnym
punktem na niej.
Aby wygenerować widmo odpowiedzi dla dowolnej krzywej zależnej od czasu,
należy posłużyć się następującą procedurą:
1. Wykonać model oscylatora o jednym stopniu swobody (jak to przedstawiono na
rysunku 16.10), np. element TRUSS z masą skupioną zamocowaną do jednego węzła,
podczas gdy drugi węzeł jest utwierdzony. Przeprowadzić analizę częstości i
postaci własnych.
+ .
Hm:
(16.91)
286
2. Podać przyspieszenie podstawy modelu A{f) w postaci krzywej zależnej od czasu
(rysunek 16.1 la) do analizy modalnych przebiegów czasowych.
3. Użyć analizy pod nazwą generacja widma odpowiedzi do wygenerowania krzywej
widma odpowiedzi dla utwierdzonego węzła (rysunek 16.1 \b).
H}
■AAWW
A(t)
Rys. 16.10. Oscylator o jednym stopniu swobody
b
A(t) Jl
AtH h\ / \ / T t
Rys. 16.11. Wymuszenie podstawy (a) i wygenerowania krzywa widma odpowiedzi (b)
16.6.7. Analiza drgań losowych
W systemie COSMOS/M analiza drgań losowych jest dostępna dla układów
liniowo sprężystych podlegających wymuszeniu losowemu. Wymuszenie to może być
przyjmowane jako stacjonarne (ustalone), gaussowskie, z wartością średnią równą
zeru albo jako jednostronne (określone tylko dla częstości dodatnich).
Dla tego typu analizy dane wejściowe muszą występować w postaci
zdefiniowanych krzywych wartości gęstości mocy widma (ang. Power Spectral Density - PSD)
w funkcji częstości, które będą skojarzone z ruchem podstawy, siłą węzłową lub
ciśnieniem działającym na element.
Krzywe wymuszenia zależą od częstości, muszą być zdefiniowane w układzie,
w którym częstość występuje w następujących jednostkach: rad/s albo Hz (cykle/s),
tak aby jednostki PSD były odpowiednio interpretowane. W takim układzie
jednostkami PSD są: (siła)2/częstość, (przemieszczenie)2/częstość, (prędkość)2/częstość albo
(przyspieszenie)2/częstość. Również wymuszenie za pomocą połączenia gęstości mocy
widma z siłą węzłową lub ruchem podstawy w różnych kierunkach będzie określone
287
jako całkowicie skorelowane albo całkowicie nie skorelowane. W tym przypadku
ciśnienie na element połączone z gęstością mocy widma może być zdefiniowane tylko
jako całkowicie skorelowane.
Ostatecznie wynikiem tej analizy jest wartość średnia kwadratowa (RMS)
odpowiedzi z przemieszczeń, prędkości, przyspieszeń i naprężeń. Rezultaty modalnej
PSD dla określonych częstości są dostępne opcjonalnie. Również krzywe gęstości
mocy widma odpowiedzi w funkcji częstości wymuszenia dla określonych węzłów są
dostępne na życzenie użytkownika.
Podstawowe definicje
W problemach dotyczących analizy drgań losowych rozważa się skutki zjawisk
fizycznych o tak różnej intensywności, jak trzęsienia ziemi lub hałas silnika
odrzutowego, których przebieg w czasie jest opisywany wartościami trudnymi do przewidzenia.
W świetle niedeterministycznej lub losowej natury tych zjawisk jest konieczne
porzucenie jasnego opisu zjawiska z opisem wymuszenia i odpowiadającym mu
odpowiedziom w dziedzinie czasu i oparcie się na pewnych funkcjach uśredniających. Kilka z
istotnych średnich ilościowych użytych w dalszej części opisu zostało
przedstawionych poniżej.
Funkcja autokorelacji. Funkcja autokorelacji dostarcza informacji dotyczących
zależności wartości zmiennej losowej X0 dla różnych czasów i jest opisana relacją
Rf{*)=[j(t)/{*+*)* (16-92)
gdzie
Rt{0)= [ f2(t)dt
jest znana jako wartość średnia kwadratowa zmiennej losowej, która jest równoważna
maksymalnej wartości funkcji autokorelacji uzyskanej dla r= 0.
Gęstość mocy widma (PSD). Funkcja gęstości mocy widma określa własności
zmiennej losowej podobnie do funkcji autokorelacji, jednak w dziedzinie częstości, za
pomocą wzoru
co
Sf{a>)= ^Rf{T)e-,aT dr (16.93)
—co
Funkcja autokorelacji jest zatem wyrażona przez odwrotność transformaty
Fouriera z funkcji gęstości mocy widma
1 x
Rf(T) = — \sf(co)euaT dco (16.94)
-00
Funkcja Sf(co) ma pewne własności, które czynią ocenę łatwiejszą niż za pomocą
innych funkcji uśredniających.
288
Procedura analizy
Równanie ruchu dla liniowych układów dynamicznych przedstawiono za pomocą
równania (16.1) w postaci
[M]{«} + [C]{«} + [K]{«} = {/(0}
Układ ten będzie rozprzężony na nf równań modalnych z uwzględnieniem
pewnych ograniczeń wynikających z macierzy tłumienia konstrukcji [C], jak to opisano
wcześniej
*» + 2£,®»*» + ®»x» = rn(t) (16.95)
dla« = 1,2, ...,nf,
{h} = [®]{x} (16.96)
a wektor wymuszenia modalnego {r(t}} jest zdefiniowany jako
{r(t)} = M{f(t)} (16.97)
Odpowiedź średnia kwadratowa. Biorąc pod uwagę, że w analizie drgań losowych
wprowadzone wymuszenie jest wyrażone jako funkcja gęstości mocy widma,
rozwiązanie będzie szukane w dziedzinie częstości. Zatem, jeśli {f(t)} jest znaną przekątną
macierzy PSD [S/(o)], to {r(i)} musi mieć swojąmacierz PSD, określonąjako
[s»]=NT[s»]N (16-98)
Teraz PSD z modalnej odpowiedzi przemieszczenia [Sx (&>)]będzie uzyskana za
pomocą wzoru
[S>)] = [h(*)][S>)][h>)] (16.99)
w którym [H(ćo)] jest macierzą modalnej funkcji przekształcenia, a [H (co)] jest jej
zespolonym sprzężeniem. Dla normalnych postaci własnych macierz funkcji
transformacji jest diagonalna z diagonalnymi elementami H„(a>)
H„ip) = -2 ^—- (16.100)
-co +con +i2Cna>„co
oraz
#;(*>)=——^-zz— (I6.101)
-co +con -i2Cnconco
Odpowiedź PSD przemieszczenia układu [S„(«)]jest obliczana z równania (16.96), tj.
[S»] = [o][S»][o]r (16.102)
289
Podobnie będzie zapisane PSD odpowiedzi jako prędkość i przyspieszenie
odpowiednio
[Sa(«)] = N[Sx(«)][<D]r (16.103)
[Sa(«)] = [o][Sx(«)][o]r (16.104)
Stąd modalna prędkość PSD będzie wyrażona w kontekście modalnego
przemieszczenia jako
Sxx =co2Sxx (co) (16.105)
a prędkość i przyspieszenie odpowiedzi PSD konstrukcji będzie zapisane jako
[S„(«)] = «2[S„(«)] (16.106)
[S»] = «>4[S»] (16.107)
Zerowe opóźnienie modalnej autokorelacji odpowiedzi dla r= 0 wynosi
co
[Rx(o)] = \[Sx(co)]dco (16.108)
—CO
CO
[R*(0)]= \co2[Sx(co)\i co (16.109)
—OO
CO
[Rx(o)] = Ja>4[S»]rffl> (16.110)
—CO
Stąd średnia odpowiedź kwadratowa jest określona jako przekątna macierzy
[Rj = [0][Rx][0]r (16.111)
[Rj=[o][Rx][cD]r (16.112)
[R,] = [o][Rx][0f (16.113)
Naprężenia średniej kwadratowej odpowiedzi. Naprężenia w elemencie {<r} są
określone przez przemieszczenia węzłów elementu {ue} za pomocą wzoru
H = [A]{«g} (16.114)
lub w kategoriach przemieszczeń modalnych
290
M = [A][oJM = [w]{x} (16.115)
gdzie [®e] jest wektorem własnym odpowiedzi z przemieszczenia węzłowego {ue}.
Macierz korelacji naprężeń odpowiedzi [RJ dla każdego elementu jest zapisywana jako
K]=[w][Rj[wf (16.116)
Metody całkowania
Dostępne są dwie metody całkowania. Pierwsza to tzw. metoda standardowa,
a druga to metoda przybliżona.
Metoda standardowa. Metodą standardową wykonuje się klasyczną analizę drgań
losowych. Jej przebieg można opisać następującymi krokami:
1. Pewne punkty częstości są określane wokół każdej naturalnej postaci własnej.
Rozmieszczenie tych punktów jest oparte na wartości parametru odchylenia, który
został wprowadzony. Wartość nastawienia zależy od wyników w punktach
jednakowo rozmieszczonych między częstościami naturalnymi; jeśli wartość jest większa
niż 1, to pomaga odchylić położenie punktu w kierunku częstości naturalnej.
Domyślne wartości dla tego parametru są podane w tablicy 8.1 jako funkcja mnożnika
tłumienia modalnego dla pierwszej postaci własnej.
2. Modalna PDS odpowiedzi jest oceniana dla każdego określonego punktu częstości.
Współczynnik obcięcia od góry dla modu krzyżowego (RATIO) jest definiowany
jako ograniczenie stosunku z każdych dwóch częstości naturalnych (cOilcof, i>j). Jeśli
średnia dla każdych dwóch częstości własnych o/o;>RATIO, to gęstość krzyżowo-
widmowa jest w tych warunkach zaniedbywana. Efekt modu krzyżowego nie jest
uwzględniany, jeśli RATIO=1,0.
3. Modalna PDS jest wtedy numerycznie całkowana we wcześniej określonym
zakresie częstości i dodana do wartości średniej kwadratowej oraz kowariancji
odpowiedzi modalnej. Całkowanie to jest wykonywane numerycznie metodą Gaussa.
Średnia odpowiedź kwadratowa jest uzyskiwana przez sumowanie udziałów
poszczególnych interwałów.
4. Ostatecznie przekształcenie z postaci modalnej do węzłowej daje RMS
przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia układu.
Metoda aproksymacji. Standardowa analiza drgań losowych jest przeprowadzana
w sposób bardzo pracochłonny, co wynika z numerycznego całkowania macierzy.
Metodą aproksymacji dokonuje się uproszczonego rozwiązania, przyjmując
następujące założenia:
1. Pominięcie odpowiedzi modu krzyżowego, Sx(co), tj. efektu oddziaływania jednej
postaci własnej na drugą, czyli
Sv» = 0, gdy«*m (16.117)
291
2. Siłowe PSD są brane pod uwagę jako stałe wokół każdej naturalnej postaci własnej.
W ten sposób dla każdej postaci własnej jest przyjmowane wymuszenie białym
szumem z gęstością mocy widma S„, określoną za pomocą wzoru
S„=SV» (16.118)
oo„ jest częstością naturalną dla postaci własnej n = 1,2, ..., nf. Dla białego szumu
średnia kwadratowa odpowiedź będzie określona analitycznie dla odpowiedzi mo-
dalnej i wyniesie
TtS*
R = "— (16.119)
Rx„x=(o2Rx^ (16.120)
xnxn xnxn
**.*.= «*X.*. (16.121)
-x„x„ ~ "x„x„
Na podstawie tych dwóch założeń będzie szukana średnia kwadratowa odpowiedź
układu.
16.6.8. Analiza harmoniczna stanu ustalonego
Analiza harmoniczna stanu ustalonego ocenia maksimum odpowiedzi układu
spowodowanej harmonicznym wymuszeniem ze zmienną magnitudą i zmienną częstością.
Maksimum odpowiedzi węzłowej jest oceniane dla różnych częstości wymuszenia w
określonym ich przedziale.
Dane wejściowe wymuszenia dla tego typu analizy składają się z krzywej
określającej zależność amplitudy od częstości funkcji harmonicznej wymuszenia, która jest
kojarzona z siłą węzłową ciśnieniem na element lub ruchem podstawy. Definiowany
jest także kąt fazowy dla każdego ruchu podstawy lub siły węzłowej (ciśnienie na
element jest w aktualnej wersji systemu kojarzone z zerowym kątem fazowym). Krzywe
wejściowe muszą zostać podane tak, aby częstość była określona w rad/s lub Hz.
Krzywe maksymalnej magnitudy odpowiedzi węzłowej w funkcji częstości
wymuszenia mogą być na życzenie kreślone dla dowolnego węzła konstrukcji.
Procedura analizy
Analiza częstości odpowiedzi konstrukcji jest prowadzona na podstawie analizy
modalnej. Niech wektor siły węzłowej {P} będzie harmoniczny i określony jako
Pk=Real[Fkel{l0t+n)] (16.122)
292
lub
Pk=Fkcos{a,t + rk) (16.123)
gdzie Ąjest amplitudą siły w kierunku ł-tego stopnia swobody, <w jest częstością
wymuszenia, a ft jest kątem fazowym siły. Biorąc to pod uwagę dla układów liniowo
sprężystych równania ruchu układu sąrozprzęgane w w/równań modalnych
x„ + lĄn<onxn + a>2nxn = {of„{P} = r„if) (16.124)
Po zastąpieniu wektora siły {P} w równaniu (16.124) otrzymuje się
= Real [{An+iBn)eia"](l6.125)
gdzie
neą
An=Yu^knF^^7k
k=\
neą
Bn=Y.^nFk^7k
k=\
Rozwiązanie dla stanu ustalonego równania (16.124) jest określone wzorem
Real [xn] = Real [Hn{m)rn] = Real
Biorąc część rzeczywistą równania (16.126) otrzymuje się
xn =Cncosa>t + Snsmcot (16.127)
Real \x„ + 2Cn(Qnxn +a„x„\ = Real
neą .
Y.^nW
{mt+yti
k=\
(An
\col +co2
+ >Bn)eia"
)+HęnCDCDn
(16.126)
gdzie
293
C„
CO
v*V
+ Br
2^„
'«>
v«V
K-®2j+(2^„®„®)2
A
V
2^„
k
/ Y
co
UJ
"5„
1-
-«2)2+(2^„
(co^
V0)nJ
co)2
2T\
V
&.
Teraz przemieszczenie konstrukcji jest dane za pomocą wzoru
{«} = [*]{*}
lub
[o]{c}cos cot + [o]!^}sin cot = {u Jcos cot + {us]sin cot (16.128)
Amplituda przemieszczenia konstrukcji i odpowiadający jej kąt fazowy dla ł-tego
stopnia swobody wynoszą odpowiednio
uk ={ulk +ulk)
(16.129)
©^ = tan"
\S
\Uc,k )
(16.130)
Prędkość i przyspieszenie odpowiedzi konstrukcji otrzymuje się po obliczeniu
pochodnych równania (16.128). Amplituda prędkości i przyspieszenia konstrukcji
wynosi odpowiednio
(16.131)
u. = co ut
(16.132)
gdzie prędkość i przyspieszenie wyprzedzają przemieszczenie odpowiednio o 90°
i 180° w kontekście kąta fazowego.
17. ANALIZA BŁĘDÓW I ZBIEŻNOŚĆ
ROZWIĄZAŃ
Ogromny sukces metody elementów skończonych, tak przydatnej w
rozwiązywaniu różnego rodzaju trudnych problemów praktycznych, wywołał postawę traktowania
wyników obliczeń uzyskanych z komputerów jako „wyroczni". Korzystaniu z MES
powinna towarzyszyć świadomość, że otrzymane rozwiązania są obarczone błędami.
Dotyczy to oczywiście błędów wynikających z przybliżonego charakteru metody,
a nie z pomyłek związanych z błędnym wprowadzaniem danych do systemu, czy też
mylną interpretacją wyników.
Wyniki obliczeń są przybliżone, gdyż po podziale struktury na elementy
skończone pola przemieszczeń wykluczają wiele fizycznie możliwych właściwości
deformacji. Rodzaj, liczba i kształt elementów można wybierać z szerokiego zakresu
możliwości i od wyboru zależy jakość przybliżenia. Komputer reprezentuje liczby przez
skończoną ilość bitów lub cyfr.
Trudności numeryczne mogą powstać nawet wtedy, gdy analizujący, posługujący
się komputerem, nie popełni błędu. W tym rozdziale zakłada się, że nie ma żadnych
świadomych błędów, to znaczy, że program jest używany prawidłowo do rozwiązania
danego zadania. Zakłada się ponadto, że w programie nie ma wirusów, wybór rodzaju
elementu, kształtu i kolejności łączeń jest właściwy oraz że elementy sprawdzono na
wzorcowych przykładach. Określono niektóre właściwości, takie jak: rodzaj, liczba
elementów, ich ułożenie i sposób połączenia, a różne sztywności regionów są
traktowane jako niezmienne. Sposób, w jaki te właściwości są wybierane, może wpłynąć na
wzrost lub zmniejszenie błędu numerycznego, który jest generowany niemożnością
przechowywania przez komputer liczb o nieskończonej dokładności.
Nie ma jednej definitywnej metody sprawdzenia dokładności, jeśli się nie zna
poprawnych wyników otrzymanych w inny sposób. Obliczenia, które „przejdą" jeden
test sprawdzający mogą „nie przejść" innego.
Metoda wykrywania błędów, która sprawdza się w większości wypadków, w
jednym może się nie sprawdzić. Na przykład dana jest macierz [H] o pojedynczej
dokładności, którą można założyć [X] = [H]_1; następnie [Y] = [X]"1. Jeżeli [Y] jest
zgodna z [H], to można oczekiwać, że [X] będzie prawidłowe. Gdy [H] jest macierzą
Hilberta dziesiętnego rzędu \Htj = (i + j-l)~l) określono, że [Y]=[H] z siedmiocy-
frową dokładnością. Już [X] miała współczynniki z błędem trzech rzędów wielkości.
294
Wiedząc, że obliczenia numeryczne są zawsze pewnym przybliżeniem, należy stałe
liczbowe, takie jak 71, v, E, G itp. wprowadzać z maksymalną liczbą cyfr znaczących.
Przystępując do dyskretyzacji rzeczywistych konstrukcji trzeba sobie zdawać
sprawę, iż w większości praktycznych problemów już uprzednio dokonano pewnych
uproszczeń. Te uproszczenia mogą być dokonywane na wszystkich etapach
przygotowywania modelu dyskretnego. I tak wcześniej mogło nastąpić na przykład:
— znaczne uproszczenie modelu geometrycznego,
— niewłaściwe zastosowanie do dyskretyzacji elementów skończonych,
— zastosowanie zbyt rzadkiej siatki podziału (brak zagęszczenia siatki w obszarach
istotnych),
— uproszczenie obciążenia ciągłego do siły wypadkowej.
Inną grupą uproszczeń, mających decydujący wpływ na otrzymane wyniki z
obliczeń MES, jest określenie rzeczywistych warunków brzegowych. Najtrudniejsze jest
określenie właściwych obciążeń zewnętrznych działających na konstrukcję. Dla wielu
maszyn (konstrukcji nośnych) obciążenia eksploatacyjne są określane szacunkowo.
Wiele elementów konstrukcji jest poddanych nie tylko obciążeniom ustalonym, ale
również nie ustalonym i dynamicznym, których opis ma decydujący wpływ na wyniki
końcowe obliczeń.
Należy zauważyć, że pewne problemy są fizycznie źle uwarunkowane, tzn. przy
rozwiązywaniu metoda przemieszczeń jest bardzo czuła na zmiany obciążeń. Można
oczekiwać, że łączenie fragmentów konstrukcji o różnych sztywnościach (np. sztywny
element na słabej sprężynie) spowoduje pewne trudności obliczeniowe. Sytuacja ta
występuje również w przypadku, gdy konstrukcja jest poddana dużym
przemieszczeniom ciała jako bryły sztywnej (długi wspornik pod działaniem siły na jego końcu).
Możliwie prostym środkiem zaradczym na wymienione trudności jest prowadzenie
obliczeń z większą precyzją.
Niewłaściwa idealizacja również może prowadzić do układów źle
uwarunkowanych. Nagłe zmiany siatki podziału, niepotrzebne użycie trójwymiarowych elementów
zamiast płaskich albo zastosowanie elementów o dużych krzywiznach mogą
spowodować złe uwarunkowanie. Ponadto, gdy problemy są fizycznie dobrze
uwarunkowane i idealizacja jest z estetycznego punktu widzenia poprawna, bardzo drobna siatka
podziału może być przyczyną niestabilności numerycznej. Stąd też zanim użytkownik
zdecyduje się ponieść wydatki związane z rozwiązywaniem dużego układu, powinien
najpierw oszacować możliwy błąd numeryczny.
Ogólnie według [91] można definiować następujące błędy bezwzględne
popełniane na różnych etapach analizy:
Błąd kontynualnego modelowania matematycznego. Błąd ten może być
przedstawiony za pomocą wzoru
S{r) = {rf-{r}
(17.1)
295
Jest on różnicą między hipotetycznym rozwiązaniem problemu fizycznego {r}h
otrzymanym w idealnie przeprowadzonym eksperymencie a rozwiązaniem ścisłym
w ramach ciągłego modelu ciała.
Błąd całkowity. Błąd ten, przedstawiony za pomocą wzoru
S{r}d ={r}-{r}d (17.2)
jest różnicą między wynikami otrzymanymi z rozwiązania ścisłego dla ciągłego
modelu a wynikami z modelu dyskretnego {r}d (z pominięciem błędów popełnionych
przez komputer).
Błąd zaokrągleń. Błąd ten, opisany za pomocą wzoru
S{rf ={rf -{r}" (17.3)
jest różnicą między wynikami otrzymanymi z modelu dyskretnego {r}d a wynikami
z obliczeń numerycznych {r}", które zależą od długości słowa maszyny cyfrowej oraz
od stosowania procedur całkowania numerycznego.
Błąd rozwiązania. Błąd ten, przedstawiony równaniem
S{r}r={r}-{r}n (17.4)
jest różnicą między wynikami otrzymanymi z rozwiązania ścisłego dla modelu
ciągłego a wynikami z obliczeń numerycznych {r}".
Najczęściej w MES należy oszacować błąd rozwiązania oraz błąd dyskretyzacji,
który jest bardzo istotny w analizie wytrzymałościowej według tej metody.
Zakładając, że rzeczywista sztywność jest zakłócona przez S[K], błąd rozwiązania
{[K]+S[K])({r} + S{r})={R] (17.5)
Równanie to można rozwiązać w następującej formie
({r}+S{r» = (lK} + S[K]y{R} (17.6)
Po wprowadzeniu
otrzymuje się
S{r}4[K] + S[K])-[^-l\l{R} = -[^-lS[K]({r} + S{r}) (17.7)
Pomijając 8{r} w stosunku do {r}, na podstawie relacji
L4fl|<L4|fl| (17.8)
296
otrzymuje się wyrażenie
ffl = |[K]-^[K]H[K]||[Kr|^ (17.9)
Iloczyn norm |[K]| |[K]_1| wyznacza stopień określoności macierzy [K].
Zasadniczym parametrem charakteryzującym uwarunkowanie macierzy
sztywności jest tzw. współczynnik uwarunkowania macierzy, zdefiniowany jako
*([K]) = ^- (17.10)
gdzie źimin i /imaK są odpowiednimi wartościami własnymi macierzy [K].
Znaczenie tego współczynnika wynika między innymi z faktu, iż przy
reprezentacji każdego ze składników macierzy sztywności z dokładnością do p cyfr znaczących
można oszacować liczbę q poprawnych cyfr znaczących rozwiązania
q<P + logw{X{[K])} (17.11)
Tak więc, im gorsze uwarunkowanie macierzy sztywności (tj. mniejsza wartość %),
tym trudniej jest uzyskać odpowiednio dużą dokładność rozwiązania.
Jeżeli macierz jest dobrze uwarunkowana, to jej współczynnik jest zbliżony do %~ 1.
W praktyce obliczeń przy użyciu systemów MES tAwt& się, że uwarunkowanie
macierzy sztywności dochodzi do np. %= lO^5.
Uwarunkowanie macierzy można zmienić przez odpowiednie jej prze skalowanie.
Uzyskanie w pełni optymalnej macierzy, ze względu na jej uwarunkowanie, jest
w praktyce trudne do osiągnięcia. Przyjmuje się, że skalowanie prowadzące do
macierzy sztywności mającej jedynki na głównej przekątnej jest zbliżone do optymalnego.
17.1. Błąd wynikający z dyskretyzacji
Przedstawiając matematyczną ciągłość {continuum) \>xt&t elementy skończone,
określa się liczbę, rodzaj i kształt elementów, zagęszczenie siatki elementów, przykładanie
obciążeń do węzłów oraz warunki podparcia, które są realizowane przez odebranie
pewnych stopni swobody. Przybliżenie, które jest nieodłączne w tym procesie, jest nazwane
błędem dyskretyzacji. Niekorzystna dyskretyzacja może spowodować trudności
numeryczne. Przez błąd dyskretyzacji rozumie się rozbieżność między modelem dyskretyzacji
a modelem matematycznym przy założeniu, że ten drugi jest poprawny.
Regułą jest zachowanie objętości w dyskretyzowanej strukturze. Jeżeli obszar
o kształcie koła jest modelowany za pomocą wielokąta złożonego z odcinków pro-
297
stych, to wielokąt nie powinien być wpisany, ani opisany na okręgu; boki wielokąta
powinny raczej przecinać okrąg, aby powierzchnia wielokąta była równa powierzchni
koła (rys. 17.1). Podobnie proste odcinki modelujące łuk nie powinny być cięciwami,
lecz powinny być dłuższe, żeby suma długości boków była równa długości łuku.
Rys. 17.1. Zasady dyskretyzacji powierzchni koła: a,b - nieprawidłowa, c - prawidłowa
(Ak - powierzchnia koła, Am - powierzchnia modelu)
Błąd dyskretyzacji może być określony za pomocą analizy błędu. Rozważmy na
przykład liniowo obciążoną belkę z rysunku 17.2a. Jej równanie równowagi
liniowej można zapisać jako Aaxx + q = 0. Podstawiając zależności między naprężeniem
a odkształceniem (ax = Eux) otrzymuje się
Niech zdyskretyzowany model składa się ze standardowych elementów belkowych
o dwóch stopniach swobody. Nie jest trudno wykazać, że jeżeli „całka obciążenia jest
realizowana konsekwentnie", a A i E są stałymi, to przemieszczenia elementów
skończonych są w węzłach dokładne. To nie znaczy, że przemieszczenia są dokładne
wszędzie. Prawdziwe (rzeczywiste) rozwiązanie przeważnie nie jest liniowo-
odcinkowe, więc między węzłami występuje błąd.
Charakter błędu w modelu belkowym można wykazać, wykonuj ąc prostą
porównawczą analizę błędu. Błąd w modelu belkowym w wielu przypadkach jest
charakterystyczny i odpowiedni dla błędów występujących w bardziej skomplikowanych
rzeczywistych problemach. Nie można określić granic błędu dyskretyzacji we wszystkich
praktycznych problemach, lecz można analizować wiele problemów modelowych,
z których każdy odzwierciedla cechy praktycznych modeli.
Argumenty i konkluzje opierają się na fundamentalnym fakcie analizy błędu
elementów skończonych, że dla wystarczająco gęstej siatki elementów skończonych błąd
obliczeń może być ograniczony błędem przybliżenia przez interpolację funkcji kształtu, który
nie występuje w węzłach. Tak więc błąd w interpolacji węzłowej mówi, czy wyniki są
poprawne czy nie. Zastrzeżenie „wystarczająco gęsta siatka" ma na celu wykluczenie
modeli mających duży błąd dyskretyzacji, takich jak belka modelowana przez kilka trój-
298
kątów
o stałym odkształceniu, których obliczone przemieszczenia są błędne.
Zatem w przypadku belki analizuje się błąd liniowej interpolacji między
dokładnymi przemieszczeniami w węzłach ut i um. W z-tym elemencie błąd przemieszczenia
e = e(x) może być zapisany za pomocą zależności
e(x) = u(x)-ui
( \
, x-x.
1 ■
*i+\
' J
x-xt
(17.13)
gdzie u(x) jest dokładnym (poprawnym) rozwiązaniem, ut = u(xt), um = u(xi+\), xt i xi+\
zaś są współrzędnymi położeń węzłów. Długość elementu lt = \xm - xt\. Nie jest
konieczne, żeby wszystkie elementy były równej długości. W z-tym elemencie błąd e(x)
jest funkcją ciągłą. W węzłach występują nieciągłości pierwszej pochodnej e'(x), jak
pokazano na rys. 17.2c. Zapisuje się e(xt) = e(xi+\) = 0.
q=q(x)
( (
rozwiązanie ścisłe u=u(x)
wyniki z MES
oxA -^-|-»>|-»> (ax+dox)A
i+i q dx
±
±
1
e(x)
-łł-
-a-
-w-
-w-
i^h
e'(x)=-fe(x)
dx
299
Rys. 17.2. Belka wspornikowa obciążona równomiernie osiowo: a - model dyskretny,
b - wykres błędu przemieszczeń, c - wykres błędu odkształceń
Można określić górną granicę błędu za pomocą następującego dowodu: Niech
z jest liniową współrzędną z przedziału x,< z < x!+1 dobraną w ten sposób, że e'(z)=0.
Występowanie takiego punktu jest oczywiste (rys. 17.26) i ściśle zgodne
z twierdzeniem Rolle'a. Jeżeli założy się, że u"(x) jest ciągła w przedziale x,< x < xi+u
to e'może być obliczona za pomocą całkowania e". W ten sposób z i s są zmiennymi,
które można podstawić do równania
X X
e'(x)-e'(z) = e'(x)= \e"(s)ds = \u"(s)ds (17.14)
z z
ponieważ liniowe warunki z równań (17.13) nie odpowiadająe"(x).
W dodatku otrzymano
\u"(s)ds < \\u"(s)\ds< \\u" (s)\ ds < hi max \u"(x)\\ (17.15)
z z xi
Dlatego w z-tym elemencie błąd odkształcenia jest ograniczony przez wyrażenie
\e'(x)\<h\ max |m"(x)|] (17.16)
x<x<x^
Można również ograniczyć błąd przemieszczenia e(x) zauważając, że musi on mieć
największą wartość gdy x = z, gdzie e'(z) = 0. Zmienna z musi być bliżej x. lub xi+l.
Zakładając, że z jest bliżej x. oblicza się e{xt) za pomocą szeregu Taylora z dokładną
resztą
e{x1) = e{z) + {x1 -z)e'{z)Ą{x1-z)2e"{s) (17.17)
gdzie s jest resztą. Lecz e(xi) = 0, e\z) = 0 i e"(s) = u"(s) -patrz równanie 17.13, więc
e(z) = --(xj-zfu"(s) (17.18)
Ponieważ założono, że z jest bliżej xi niż xi+l, więc \z - xt\ < IJ2. Dlatego błąd
przemieszczenia e(x) jest ograniczony przez wyrażenie
e(x)<-hf\ max |m"(jc)|] (17.19)
Można sprawdzić, że otrzymane rezultaty są takie same, gdy z jest bliżej xm niż xt.
Należy zauważyć, że istnieje z, dla którego błąd odkształcenia jest równy zeru. Jest to
liczba wymierna dla występujących optymalnych punktów do obliczania naprężeń.
Podsumowując, otrzymano następujące wnioski:
300
1. Błąd odkształcenia jest proporcjonalny do wielkości elementu, a błąd
przemieszczenia jest proporcjonalny do kwadratu wielkości elementu.
2. Szacunki błędów są proporcjonalne do pochodnych o jeden rząd wyższych niż rząd
funkcji kształtu (dla belki - druga pochodna i liniowa funkcja kształtu).
3. Przemieszczenia są najdokładniej określone w węzłach lub blisko węzłów.
Odkształcenia są najdokładniej przedstawione wewnątrz elementów, to jest blisko lub
na „punktach Gaussa".
Używając notacji O dla wielkości błędu można powiedzieć, że równanie (17.16)
wyraża błąd dyskretyzacji 0(h) odkształceń, a równanie (17.19) wyraża błąd dyskre-
tyzacji 0(h2) przemieszczenia. Jeżeli h = max(A;) jest podzielone na dwie części, aby
stworzyć dwa elementy, to h jest o połowę mniejsze; błąd odkształcenia jest w
przybliżeniu o połowę mniejszy, a błąd przemieszczenia cztery razy mniejszy.
W celu uogólnienia błędu dyskretyzacji na inne elementy skończone wprowadzono
oznaczenia:
h -długość elementu (w elementach I-D), największa odległość między dwoma
węzłami (w elementach 2-D) lub największy wymiar krawędzi (w elementach
bryłowych),
q - 1 - stopień wielomianu dla pola przemieszczeń elementu,
2m - rząd najwyższej pochodnej dla równania równowagi, przedstawionego za
pomocą przemieszczeń.
Dla belki (rys. 17.2) q-\ = 1 oraz 2m = 2. W przypadku standardowego
belkowego elementu o czterech stopniach swobody #-1 = 3 oraz 2m = 4. W zagadnieniach
dwuwymiarowych i w bryle przestrzennej z kwadratową i sześcienną funkcją kształtu
elementów #-1 = 1 oraz 2m = 2. Dla zginania cienkich płyt z elementami o 12
stopniach swobody 7—1 = 3 oraz 2m = 4.
Ponieważ funkcja kształtu elementu może dokładnie pasować do pola
przemieszczeń rzędu q - 1, więc błąd przemieszczeń będzie 0(hq). Błąd w odkształceniach
(a przez to w naprężeniach) jest proporcjonalny do błędu w r-tej pochodnej pola
przemieszczeń, tzn. błąd naprężenia wynosi 0(hq~r). Dla elementów płaskich i
bryłowych r = 1, natomiast dla elementów belkowych i płytowych, w których naprężenia są
określane liniami krzywymi, r = 2. Tak więc standardowy element belkowy o czterech
stopniach swobody ma błąd przemieszczenia 0(hĄ), a błąd w naprężeniu 0(h2).
Wspomniano już wcześniej, że w zagadnieniach dwuwymiarowych wewnątrz
elementu istnieją czasami punkty, w których błąd dyskretyzacji jest minimalny lub
zerowy, wówczas błąd w naprężeniu będzie 0(hq).
Wyrażenie na energię odkształcenia zawiera kwadraty m-tych pochodnych
przemieszczenia, dlatego błąd odkształcenia wynosi 0(h2q~2m).
Generalną zasadą w szacowaniu błędów w metodzie elementów skończonych jest,
że stałe użyte w granicach błędu są proporcjonalne do #-tej pochodnej cząstkowej
dokładnego rozwiązania.
301
17.2. Szacowanie i ekstrapolacja błędu dyskretyzacji
W poprzednim rozdziale argumentowano, że błąd e w obliczonej wielkości może
być przedstawiony jako e = 0(hq~r), gdzie r = 0 dla błędu przemieszczenia, r = 1 dla
błędu naprężenia, odkształcenia itp. Skorygowanym rezultatem jest wyrażenie
e*Chq-r (17.20)
gdzie C jest stałą zależną od problemu, na którą mają wpływ: proporcje związane
z elementem (stosunek najdłuższego boku do najkrótszego), stosunek najwyższego do
najniższego elementu w siatce, rodzaj elementu, dokładność rozwiązania i inne
czynniki. Błąd e w liczonej wielkości (/> może faktycznie odnosić się do błędu w punkcie,
lecz bardziej ogólnie
e= (ZS-^|| (17.21)
gdzie ^jest wartością dokładną, $ wartością obliczoną, a symbol | | pokazuje, że jest
to proces uśredniający, np. e może reprezentować pierwiastek średniej kwadratowej
kilku punktowych wartości przemieszczeń ciała lub pierwiastek kwadratowy energii
dokształcenia w całym ciele. Jeżeli bierze się pod uwagę pojedynczą wartość </>, to
e = \<j>- (j>h\. Błąd względny wynosi er = \\(/>- (j>h\\l\\<j>\\. Przybliżony wskaźnik tego błędu
p1p2h9 r = pxp2
1
TV1'"
(17.22)
Tutaj q przyjmuje wartość jeden plus stopień najwyższego kompletnego
wielomianu w polu przemieszczeń elementu, r jest zdefiniowane za pomocą równania (17.21),
p\ jest największą proporcją związaną z elementem, pi jest stosunkiem
charakterystycznej długości największego elementu do charakterystycznej długości
najmniejszego, h jest „bezwymiarową długością", N jest liczbą elementów w siatce, n - wymiarem
przestrzeni (n = 1, 2 lub 3 odpowiednio dla zagadnień (jedno-, dwu- lub
trójwymiarowych). Zatem h jest charakterystyczną długością elementu w obszarze, który był
skalowany (długość, obszar lub objętość sąjednością).
Interpretacja wartości wskaźnika błędu er. Jeżeli er ma wartość 0,1
dopuszczalnego błędu procentowego, to rezultaty są prawdopodobnie godne zaufania (np.
er=l%, jeżeli błąd 10% jest do zaakceptowania). Jeżeli er jest znacząco mniejszy od
tej wartości, to siatka może być gęstsza niż wymagana. Jeżeli er osiąga lub przekracza
jedność, to jest wymagana dalsza analiza. Może ona polegać na zagęszczeniu siatki
elementów, zmianie siatki bez zmiany liczby elementów lub ocenie fizycznego
uzasadnienia rezultatów, jeśli ograniczenia obliczeniowe nie pozwalają na zmianę
gęstości siatki lub jej rozłożenia. Na podstawie równania (17.22) można otrzymać bardzo
302
optymistyczne wartości wskaźnika er, jednakże łatwo można znaleźć test, w którym
er jest również optymistyczny, lecz wyniki są błędne.
W przygotowywaniu lub zagęszczaniu siatki elementów analizujący musi posłużyć
się doświadczeniem i intuicją dotyczącą występujących gradientów naprężeń i
sposobu ich modelowania. Jeśli podczas testu wielkości naprężeń energie odkształcenia
zmieniają się regularnie na granicach elementów lub wewnątrz pojedynczych
elementów, może to oznaczać, że konieczne jest zagęszczenie siatki elementów.
Przykład 1. Oszacowanie błędów
Na przykładzie siatki (rys. 17.3) należy rozważyć wielkości błędów, jakimi mogą
być obarczone otrzymane wyniki z obliczeń w postaci przemieszczeń i odkształceń
(naprężeń).
1 9 x
Rys. 17.3. Siatka podziału w zagadnieniu dwuwymiarowym
Siatka ta ma następujące parametry:
— liczba elementów skończonych
— przestrzeń dwuwymiarowa
— dla zagadnień dwuwymiarowych
— największy stosunek wymiarów boku elementów
— stosunek charakterystycznej długości największego
elementu do najmniejszego elementu
Na podstawie równania (17.22) można oszacować wielkość błędu wynikającego
z dyskretyzacji (siatki podziału na elementy) dla przemieszczeń przy r = 0
N
n
q
A
= 72
= 2,
= 2,
= 2,
Pi
e» = 2-8
1
72
1/2
:0,22
a wskaźnik błędu dyskretyzacji dla naprężeń, gdy r = 1 wynosi
303
er(s) = 2-i
72
1/2
V
Z rozważań tych wynika, że przy tej siatce podziału otrzymane wyniki obliczeń
mogą być błędne. Przemieszczenia mogą mieć błąd około 22%, a naprężenia sanie do
przyjęcia. Jeśli założy się błąd 10%, to dla przemieszczeń trzeba zwiększyć gęstość
siatki dwukrotnie, a dla naprężeń czterokrotnie.
Przykładem może być szukanie wpływu zaburzeń na krawędzi działania skupionej
siły w węźle nr 36 (rys. 17.3). Jeżeli węzły na lewej krawędzi byłyby unieruchomione,
a do węzłów na prawej krawędzi przyłożono by obciążenie ciągłe, to przemieszczenia
i naprężenia w pobliżu węzła 81 byłyby poprawne, gdyż siatka elementów zmienia się
łagodnie i jest bardziej gęsta tam, gdzie prawdopodobieństwo występowania
gradientów naprężeń jest większe.
Wprowadzenie jednolitej siatki (p\ = /^ = 1) o rozmiarach elementów równych
rozmiarowi najmniejszego elementu z rysunku 17.3 mogłoby nieznacznie poprawić
dokładność, ale byłoby to bardziej kosztowne obliczenie. Można więc podsumować,
że stosując gradację wielkości siatki elementów i dopasowując jej rozmiary do
problemu, można wyeliminować błąd dyskretyzacji.
a b
Rys. 17.4. Zbieżność wartości Ą> wraz ze zmianą gęstości siatki: a - zbieżność liniowa, b - zbieżność
nieliniowa (AB - linia zbieżności, AC - zbieżność kwadratowa, AD - zbieżność niemonotoniczna
(jest zbieżnością kwadratową, gdy h<hD))
Jeżeli używa się tylko dwóch siatek, a stopień zbieżności nie jest znany, nie ma
innego wyboru, jak założenie, że zbieżność wyników jest liniowa (e = 0(h)), jak
pokazano na rysunku 17.4a. Z danych z trzech siatek można wywnioskować, że zbieżność
jest faktycznie liniowa lub ma charakter krzywej drugiego lub wyższego rzędu. Zbyt
rzadka siatka może nie wykazać wyraźnej tendencji wykresu zbieżności.
Niedostosowane elementy często charakteryzuje niemonotoniczna zbieżność (krzywa AD na rys.
17.46). Dwie siatki z niemonotoniczna zbieżnością nie pozwalają pewnych rzeczy
przewidzieć: punkty z dwoma danymi mogą być ekstrapolowane do rezultatów, które
są lepsze, gorsze lub nie różnią się, zależnie od wybranych punktów. Kiedy zbieżność
304
jest monotoniczna i p jest stopnia takiego, jak błąd e = 0(hp), wtedy udoskonalony
wynik <f>° można otrzymać za pomocą ekstrapolacji Richardsona
fahf-fah
2"1
h*-h*
(17.23)
gdzie jako przykład/? = 1 dla e = 0(h) z rys. YlAa i p = 2 dla e = 0(h2) z rys. 17.46.
Równanie (17.23) zazwyczaj daje niepoprawną wartość </> °, ponieważ warunki
konieczne dla dokładności nie są spełnione. Zamiast stosowania </> °, jako dokładnej
wartości, wydaje się bardziej odpowiednie branie pod uwagę wartości
<t>2-<t>
100%
(17.24)
jako błędu procentowego w siatce h2.
Przykład 2. Regularne zagęszczenie siatki
Belka wspornikowa, pokazana na rysunku 17.5, była rozwiązywana z
wykorzystaniem trzech różnych siatek i trzech różnych układów dla każdej siatki. Wyniki
przedstawiono na rysunku 17.6.
i^>
L=2.40
-r
—i-
F=100
-0.10
-p- 0.40
4 J!_
El
XA
E=104
v=0.25
Rys. 17.5. Belka wspornikowa z regularnie zagęszczoną siatką
b
zredukowany
•Hj i
0.0884 0.1764 0.3536 h 0.008 0.031 0.125 h2
Rys. 17.6. Wykres błędów dyskretyzacji: a - przemieszczeń, b - odkształceń
305
Macierz sztywności elementu była całkowana kwadraturą 2 na 2 („pełna") lub jed-
nopunktową (zredukowaną) oraz „H-G". W przypadku zredukowanego całkowania
nie jest możliwy żaden mechanizm z powodu całkowitego unieruchomienia lewego
końca. Zadanie było rozważane za pomocą mikrokomputera, którego pojemność nie
pozwalała na użycie gęstszej siatki niż N = 128. Z wykresu przedstawionego na
rysunku 17.6 widać, że e = 0(h) w przypadku pełnego całkowania i e = 0(h2) w
przypadku zredukowania całkowania. Mimo to, wszystkie ekstrapolowane wartości były
obliczone przy założeniu/? = 2 w równaniu (17.23).
17.3. Metody zwiększania dokładności obliczeń
Współczesne systemy FEM pozwalają zwiększyć dokładność obliczeń wieloma
sposobami. Rozwój sprzętu komputerowego (hardware) umożliwia na budowanie
coraz obszerniejszych modeli dyskretnych, o mniejszych elementach, co niewątpliwie
zwiększa dokładność odwzorowania obiektów rzeczywistych i jest to rozwiązanie
najprostsze. Bardziej prostym rozwiązaniem jest zastosowanie elementów
skończonych wyższego rzędu (software). Bogate biblioteki elementów oferują oprócz prostych
elementów liniowych, wiele elementów pochodnych, będących ich rozwinięciem,
mających funkcje kształtu wyższego rzędu. Zastosowanie tego typu elementów
pozwala na osiągnięcie wymaganych dokładności przy znacznie mniejszej liczbie stopni
swobody, lub też osiągnięcie większej dokładności przy tym samym rozmiarze
zadania. Statystycznie do osiągnięcia wyników podobnej jakości wystarcza przy
elementach wyższego rzędu dwukrotnie mniejszy układ równań. Ponadto, co także nie jest
bez znaczenia, tego typu elementy umożliwiają kreślenie w miejscach koncentracji
naprężeń planów warstwicowych jakościowo zgodnych z rozkładem rzeczywistym.
Oprócz powyższych rozwiązań istnieją metody zwiększania dokładności, nie
prowadzące do nadmiernego rozrostu zadania numerycznego.
Najprostsza metoda polega na budowaniu w wybranych miejscach koncentracji
submodeli (metoda H).
Po rozwiązaniu zadania FEM w początkowej przestrzeni stopni swobody Q
[Kj{«n} = fo} (17.25)
wydziela się w miejscach koncentracji naprężeń podprzestrzenie Qk
QtcQ
W podprzestrzeni Qk następuje zagęszczenie siatki FEM, przy zachowaniu
zgodności węzłów brzegowych Qb z Q, i tworzona jest zmodyfikowana podprzestrzeń
306
(submodel) S. W przypadku krzywoliniowych swobodnych brzegów obszaru nowo
utworzone węzły są rzutowane na geometrię modelu. Nowe zadanie ma postać
[M"c}=rd (i7-26)
a przy jego formułowaniu wykorzystuje się wyznaczony pierwotnie wektor
przemieszczeń jwn ) lub wektory sił węzłowych \Fn j.
Po rozwiązaniu zadania dla submodelu S wyniki mogą być łączone z wynikami dla
niezmodyfikowanej części modelu pierwotnego
«aH ł~M (17-27)
podobnie jak i sam model
C1,=(Q-Qk) + S (17.28)
Całą procedurę można powtarzać dowolną ilość razy, aż do osiągnięcia
zadowalających wyników. Sterowanie tworzeniem submodeli (wyznaczanie podprzestrzeni i
decyzja o zakończeniu procesu) może być arbitralne, przez operatora, bądź też wykonywane
automatycznie. Jako efekt końcowy, po n iteracjach otrzymujemy zbiór wyników \in )
i zmodyfikowany model Q„. Można wykonać dodatkowe obliczenia dla całego
zmodyfikowanego modelu.
Błąd kolejnych przybliżeń może być określany z zasady ciągłości pola naprężeń.
Pole naprężeń uzyskane z obliczeń FEM jest zazwyczaj nieciągłe. Wartości naprężeń
dla poszczególnych węzłów są uśredniane z wartości dla elementów łączących się
w węźle. Błąd naprężeń dla każdego elementu jest definiowany jako różnica między
naprężeniem dla elementu i średnim naprężeniem węzłowym. Z tego błędu można
wyznaczyć błąd energii odkształcenia dla poszczególnych elementów. Elementy, które
wykazująbłąd wyższy niż dopuszczalny, podlegają procedurze zagęszczania siatki.
Błąd przemieszczeń może być wyznaczony w metodzie h z równania:
\u-uh\ < — = Chf (17.29)
Nd
gdzie k i C są dodatnimi stałymi zależnymi od problemu, N liczbą stopni swobody,
/?jest asymptotycznym współczynnikiem konwergencji, a d jest rozmiarem problemu.
Przy użyciu jednorodnej lub bliskiej jednorodności siatki, asymptotyczny
współczynnik konwergencji jest dany przez równanie
fi = mm(p,X) (17.30)
gdzie p jest rzędem elementów, a X parametrem charakterystycznym procesu
wygładzania.
307
Przykładową postać zmodyfikowanej siatki dla próbki z karbem przedstawionej na
rys. 17.7, wraz z warstwicami naprężeń zredukowanych, pokazano na rys. 17.8.
150
p=100MPa
Rys. 17.7. Wymiary i schemat obciążenia próbki z karbem
Rys. 17.8. Technika submodelowania. Zagęszczona w wybranych strefach siatka FEM pozwala
zwiększyć dokładność obliczeń bez konieczności ponownych obliczeń dla całego modelu dyskretnego
Drugą stosowaną metodą, która nie wymaga modyfikacji siatki FEM, jest metoda
zwiększania dokładności przez zwiększanie rzędu wielomianu funkcji kształtu na
styku elementów (metoda P-elementu). Metoda ta jest dobra jedynie dla elementów
wyższego rzędu.
W metodzie elementów skończonych przemieszczenie punktu jest dane jako
kombinacja liniowa przemieszczeń at dla węzłów
= 5>,a,
(17.31)
308
Aproksymacja jest hierarchiczna, jeżeli zwiększenie liczby funkcji kształtu z n do
w+1 nie powoduje zmian dotychczasowych funkcji kształtuj dla z = \-n. W układzie
jednowymiarowym funkcje te mają postać
1
N,
-(1-^);N2 =(1 + 4X^=0^(0
(17.32)
gdzie O; jest zdefiniowane na podstawie wyrazów wielomianów Legendre'a Pt.\
|2z-lf
®i(0-
\Pt-,if)dt
(17.33)
Funkcje kształtu JVi i N2 są takie same jak w klasycznych elementach, natomiast
funkcje Nt dla/>2 nie są przypisane do żadnego węzła i związana z nimi wartość at nie
jest przemieszczeniem, a jedynie wartością odchyłki przemieszczenia od wartości
uzyskanej za pomocą klasycznych funkcji kształtu (rys. 17.9).
a-i=Ui
a 2= u 2
Rys. 17.9. Zasada wykorzystywania dodatkowych funkcji kształtu w metodzie P-elementu
do wygładzenia krzywej przemieszczeń ah
Podobnie jak w przypadku metody H, błąd szacowany jest z normy energii
odkształcenia
lP-M*L(n)^-_,„^
exp(yN°)
(17.34)
gdzie yi 6 są dodatnimi współczynnikami, ponadto 6> 0,5. W punktach osobliwych
błąd jest określony przez wzór (17.29) i /?= 2/1
Błąd dyskretyzacji określony przez normę energii można określić wzorem
lls(n)
\{cr-cjjH-l{cj-oh)dQ.
(17.35)
309
gdzie crjest dokładnym tensorem naprężeń, a a?, uzyskanym z obliczeń.
Dokładne pole naprężeń jest zazwyczaj nieznane i dlatego konieczna jest
estymacja błędu. Całkowity błąd można określić przez porównanie energii elementu
skończonego z przybliżeniem dokładnej energii odkształcenia. Przybliżona energia odnie-
II l|2
sienią podn|Ln) może być uzyskana poprzez ekstrapolację zakresu rozwiązania dla
bardzo gęstej siatki, przy bardzo dużej liczbie stopni swobody
*odn
l£(0)
\\E(Cl)
(17.36)
Wówczas błąd względny jest równy
*odn
2
E(n)
2
£(Q)
(17.37)
*odn
E(Q.)
Na rysunku 17.10 pokazano wyniki uzyskane metodą P-elementu i podano rząd
wielomianów dla poszczególnych węzłów. Wybór rzędu wielomianów jest
przeprowadzony całkowicie automatycznie.
Rys. 17.10. Zastosowanie P-elementów (w węzłach pośrednich podano rząd funkcji)
Metoda P-elementu umożliwia szybsze osiągnięcie zbieżności dla rzadkich siatek.
Często łączy się obydwie metody w ten sposób, że naprzód realizowana jest procedura
zagęszczenia siatki, a następnie - po osiągnięciu określonej wartości błędu -
przeprowadza się zwiększanie rzędu wielomianu funkcji kształtu (metoda H-P).
18. MODELOWANIE POŁĄCZEŃ RUCHOWYCH
I KONTAKTOWYCH W BUDOWIE MASZYN
Analiza zachowania się konstrukcji technicznych jest zagadnieniem złożonym,
zarówno z powodu skali, jak i ilości zachodzących zjawisk. Poprawne modelowanie, a więc
matematyczne odwzorowanie tej złożonej rzeczywistości jest podstawowym problemem,
z którym obcuje współczesny inżynier. Mimo istnienia wielu rozwiązań ogólnych
zagadnień teoretycznych, istnieje wiele problemów szczegółowych, bądź konkretnych realizacji
w zastosowaniach technicznych, czekających jeszcze na rozwiązanie.
W budowie maszyn stosuje się wysuwne pary kinematyczne, które znalazły
zastosowanie w żurawiach samochodowych. Urządzenia te mają w podporach i w wysięgniku
człony wysuwne (rys. 18.1). Na styku poszczególnych członów występują nieliniowe
zjawiska kontaktowe z koncentracjami naprężeń [44]. Projektując człony wysuwne oraz
powierzchnie kontaktowe, należy unikać lokalnych trwałych odkształceń i deformacji.
Rys. 18.1. Widok ogólny żurawia samochodowego
18.1. Modelowanie połączeń teleskopowych
Przedstawiony zostanie problem modelowania wybranych procesów zachodzących
w strukturze układu dwu członów połączonych teleskopowo.
311
Próba ta polegała na opisie ruchu układu belkowego, a więc z uproszczoną analizą
lokalną, w którym to układzie zachodzą zjawiska nieliniowe w postaci uwzględnienia
istnienia luzów na styku między członami. Zastosowano funkcję sprzęgającą w strefie
luzu, która powinna pozwolić na swobodne kształtowanie modelu luzu oraz
uwzględnianie w tym modelu także takich zjawisk, jak tarcie.
Spróbujmy określić równania opisujące ruch modelu dwóch belek (członów)
połączonych teleskopowo przy następujących założeniach:
• odkształcenia członów są małe (tensor odkształceń Greena ma jedynie człony
liniowe [66]),
• prędkości odkształceń są małe (pochodna materialna przechodzi w cząstkową oraz
wraz z pierwszym założeniem opis Lagrange'a jest zgodny z dokładnością do
małych rzędu pierwszego z opisem Eulera, [6], [10]),
• dla skupienia uwagi przyjęto, że obciążenie działa jedynie w płaszczyźnie
prostopadłej do belek (pomijamy siły osiowe), nie występuje skręcanie,
• oddziaływanie członów wynika z sił reakcji przy zderzeniu sprężystym nieliniowo.
Ujęcie wariacyjne problemu
W dalszych rozważaniach wyjdziemy z wariacyjnej zasady Hamiltona (w różnych
postaciach analizowana jest przez wielu autorów, m. in. [7], [8], [11], [13], [16] czy
[21], [23]) w postaci uwzględniającej występowanie w modelu sił niepotencjalnych
t2 t2 t2
5H[w1 ] = \d(W - K)dt - f \X15w1 dvdt - f Jjc,. 8wt dsdt = 0 (18.1)
gdzie:
K - energia kinetyczna układu,
W - energia odkształcenia układu,
wt - składowe pola przemieszczeń,
Xt - siry masowe,
xt - siry brzegowe,
V - obszar ciała,
Sf - brzeg ciała, na którym zadane są obciążenia zewnętrzne.
Wariacyjna zasada Hamiltona głosi, że ze wszystkich kinematycznie
dopuszczalnych pól przemieszczeń jedynie rzeczywiste, naturalne pole przemieszczeń ekstrema-
lizuje powyższy funkcjonał w przedziale czasu od t\ do t2. Za pole kinematycznie
dopuszczalne uznaje się takie, które jest określone dla chwil czasu tu t2 oraz w całym
przedziale czasowym dla obszaru S„, gdzie przemieszczenia są dane z góry.
Warunkiem koniecznym ekstremalizacji funkcjonału H jest zerowanie się jego wariacji.
Korzystając z przyjętych założeń można określić wielkości występujące we
wzorze (18.1) diabełki.
Energia sprężysta W wynosi
312
W= j®dv = {V = F x[0,l]} = lfeosdfdx = ±lEI\
V O F O
gdzie:
0 - potencjał sprężysty,
a - pole naprężeń,
s - pole odkształceń,
El - sztywność belki,
w(x) - pole przemieszczeń,
F - powierzchnia przekroju poprzecznego.
Następne wyrażenie przedstawia postać energii kinetycznej belki
>A
w
3c2
dx (18.2)
K = \
m\
{ dt
+ L
( ^ \
o w
dxdt
dx
(18.3)
gdzie
m - masa jednostki długości belki,
Ip - masowy moment bezwładności przekroju na jednostkę długości.
Obciążenia międzyczłonowe działające w układzie przedstawia schemat c (rys. 18.2).
człon 1 J^ d A
A A
c/ton 2
człon 1
A A
człon 1
A A
|F(y2)
t-F(y2)
człon 2
człon 2
-F (yi)
Rys. 18.2. Schemat oddziaływania członów
Model luzu
Jak widać na rysunku 18.2, przyjęto model, w którym oddziaływanie wzajemne
członów zastąpiono siłą sprężyny nieliniowej. Podstawowym problemem
występującym przy opisie współpracy dwu członów jest proces zderzenia. Jego model powinien
dostarczyć informacji o wartościach sił zderzenia i czasów ich trwania. W praktyce
stosowane są różne modele (np. [12], [20], [21], [28], [30]), np. Herza czy ogólniejszy
313
Stejermana. Analizę poruszania się ciała sztywnego między dwoma zderzakami
można znaleźć np. w [11] lub [14]. W niniejszej pracy zastosowano pewną modyfikację
funkcji zaproponowanej w pracy Jonesa i Muszyńskiej [14] dla modelu układu dwu-
masowego, w którym jedna z mas porusza się między dwoma bezmasowymi
zderzakami - między masą a zderzakami założono występowanie luzów - a druga masa
wykonuje ruch płaski.
Niech funkcja F określa siłę oddziaływania sprężyny łączącej człony w miejscu styku
F(y)
-łJj + AJ" dla y<-A
0 dla -A<>-<A
^l^-^1" dla >> > A
(18.4)
gdzie:
y - odległość współpracujących członów,
k\,k2 - stałe zależne od sprężystych własności materiałów, zakładamy k\ = k2,
n - wykładnik zależny od przyjętego modelu zderzenia , np. dla modelu Herza
n = 2/3, w pracy [19] n = 3, tutaj, założono n = 2,
2A - luz między współpracującymi członami.
Łatwo zauważyć, że dla przyjętego wykładnika funkcja jest ciągła i ma ciągłą
pierwszą pochodną. Ponadto, pozwala na zróżnicowanie modelu zderzenia w
zależności od kierunku przemieszczania się zderzanych obiektów, czyli pozwala rozróżnić
lewostronne i prawostronne zderzenie. Modyfikując funkcję zaproponowaną w [14]
T = ^[l + sign(j-A)]
(18.5)
gdzie:
sign(x):
1 dla x > 0
0 dla x = 0
-1 dla x < 0
(18.6)
możemy zapisać funkcję (18.4) w wygodnej postaci
F(y) = -Hy + a)2 iri-y) + Ky - a)2 Hy)
(18.7)
Funkcja taka umożliwia proste uwzględnienie tarcia występującego podczas
przesuwania się członów
F(y) = -k(y + A) VH0 + Ky ~ Af V(y) + ^sign(x)
(18.8)
gdzie:
//□□- współczynnik tarcia,
314
N - docisk,
x - prędkość względna członów w miejscu styku.
Wykres funkcji (18.7) został przedstawiony na rys. 18.3. Dla przejrzystości zapisu
w dalszych rozważaniach pominięto tarcie.
i F(y)
Luz
Rys. 18.3. Wykres funkcji oddziaływania strefy kontaktu
Równania wariacyjne układu dwuczłonowego z uwzględnieniem luzów
Dla założonych wielkości można przystąpić do zapisania zasady wariacyjnej
Hamiltona dla układu dwuczłonowego. Podstawowe wyprowadzenie zasady Hamiltona
dla belki, z zastosowaniem równań Rayleigha, można znaleźć w [7], [16], [23] lub
[30]. Uwzględniając równania (18.1), (18.2), (18.3), (18.5) (18.7) oraz dodatkowo
określając, że w układzie działają także siry potencjalne q, po wykonaniu
odpowiednich działań otrzymujemy następujący układ dwu równań wariacyjnych:
fi
IR
l2,., n2
j ii — • c- r ^W d2Sw\ I
dx — m,wów + /,„ dx dt—
dxL dxL i\ p dxdt dxdt)
ą Vo o V J J
.2 n„2 "°~~ J mi
2
(-&n(w -w + An)2y/(u -w) + kn(u -w - An)2i//(w -u)
h
2
(-&12(w -w + An)2y/(u -w) + k12(u -w - An)2y/{w -u)
h
2 /
qx8w dxdt = 0
h
h i
Swdt
dwdt
(18.9)
t, o
315
■)2 n2 .
f cTdudSu
dx dx
dx— m0udu + I0
d u d du
dx
'i V o
dt-
p dxdt dxdt
- \(k2l(u - w + A2l) ł//(u- w)-k2l(u-w- A21) y/(w — u)
h
h
~ )(k22 (u~w + A22)2 y/(u -w)-k22(u-w- A22) 2y/(w - u)
2 l
q25 u dxdt = O
dudt ■
Sudt-
t
h i
Dodatkowo założono wykonanie obu członów z jednakowego materiału. We
wzorze (18.9) obowiązują zasady indeksowania: pierwszy indeks wskazuje
przynależność do członu, drugi miejsce styku. Dla wielkości z indeksami podwójnymi
zachodzi także Ay = A(i+rjJ- dla z = 1, j = 1, 2.
Ponadto oznaczono:
u - przemieszczenia kinematycznie dopuszczalne członu 1,
w - przemieszczenia kinematycznie dopuszczalne członu 2.
Pozostałe oznaczenia wyjaśnia rys. 18.4.
Warto też zwrócić uwagę, że przy uwzględnieniu tarcia postać równań ulega
jedynie wzbogaceniu o człon definiujący wartość siły tarcia w miejscu styku.
Na koniec można zauważyć, że ponieważ równania wyprowadzone wcześniej
dotyczą ruchu płaskiego, więc wyrażenia dotyczące tarcia między członowego zawierają
nieokreślony czynnik - nacisk. Jeżeli potraktować problem przestrzennie, to nacisk
w miejscach styku (zakłada się istnienie ślizgów) byłby prostą konsekwencją istnienia
sił sprzęgających określonych wzorem (18.8).
Jeżeli przyjąć oznaczenia jak poprzednio, dodając tylko indeksy definiujące
płaszczyznę (rys. 18.5), której dana wielkość dotyczy: y dla płaszczyzny XY, z dla
płaszczyzny XZ, to siła sprzęgająca w płaszczyźnie XY wyrażona będzie wzorem
Fy(y) = -ky(y + Ay)\(-y) + ky(y-Ay)2yĄy) + juyFz(z)Sign(y) (18.10)
w płaszczyźnie zaś XZ
Fl(z) = -kl(z + Al)2y,(-z) + kl(z-Al)2V,(z) + iu!Fy(y)sigri(ż) (18.11)
gdzie wszystkie oznaczenia jak poprzednio, z zachowaniem wprowadzonego
schematu indeksacji.
316
Rys. 18.4. Model przyjęty do obliczeń wraz z oznaczeniami
■^1
^L
5"
Rys. 18.5. Stosowany układ współrzędnych
18.1.1. Metody rozwiązywania problemu dynamiki układu dwuczłonowego
Równania (18.9) najlepiej rozwiązać metodami bezpośrednimi. Dostępnych metod
jest kilka. Najbardziej rozpowszechnione to metoda Ritza, której przykłady można
znaleźć w wielu opracowaniach, min. [8], [11], [15], [16], [24], [25], [26], [27].
Często w analizach dynamicznych stosuje się wariant uogólnionej metody Ritza, tzw.
metodę Kantorowicza [8], [11], [16], [24], w której przyjmuje się rozwiązanie
równania (18.9) w postaci
w
(N)
(x,t) = Y,ai(t)<P1(x)
(18.12)
Niedogodnością tego podejścia jest konieczność rozwiązania układu równań
różniczkowych. W metodzie Ritza zaś uzyskuje się do rozwiązania równania algebraiczne.
317
Metoda Kantorowicza
Do wyprowadzenia równań najdogodniej zastosować podejście wykorzystywane
([28]) m.in. w metodzie elementów skończonych. Upraszcza się zagadnienie dane
równaniem (18.9) do zagadnienia statycznego (funkcjonał Lagrange'a), w którym
oddziaływania dynamiczne uwzględniamy wzbogacając siły masowe o siły
bezwładności i tłumienia. W zapisie wskaźnikowym
-pui-jMi, i =1,2,3 (18.13)
Rezygnuje się tutaj, dla prostoty, z uwzględnienia bezwładności obrotowej przekroju.
W wyrażeniu (18.3) pierwszy człon reprezentuje siły bezwładności (p - gęstość),
a drugi siły tłumienia (pi - współczynnik tłumienia). Aby wyprowadzić zasadę La-
grange'a zdefiniować można przestrzeń funkcyjną, której elementami będą wektory
przemieszczeń kinematycznie dopuszczalnych u , por. Berdyczewski [13]. Przestrzeń
taką określa się następująco:
W* = {u;:u;(X], t) = ui=0, x].eSf,te)t1,t2{, i,j = 1,2,3;....*} (18.14)
W definicji (18.14) znakiem ~ oznaczono elementy należące do brzegu Sfi na
którym są określone przemieszczenia. Weźmy dowolny element ut*, należący do
przestrzeni kinematycznie dopuszczalnych przemieszczeń W*. Następnie równanie
równowagi (przy zastosowaniu konwencji sumacyjnej Einsteina)
<Jlh] + Xf = pii + juu (18.15)
(gdzie oij to tensor naprężeń, Xt - wektorowe pola sił masowych)
Pomnóżmy przez ten element i scałkujmy po obszarze zajmowanym przez ciało
TJiOgj + X, - pui - Juńl )u*dv = 0 (18.16)
v
Równanie to można dalej przekształcić do postaci
\Wiiui\j ~avKi +XjU* - pup* - /MMjdy = 0 (18.17)
v
Dalsze przekształcenia można przeprowadzić stosując odpowiednio do pierwszego
członu lewej strony twierdzenie Greena, po uwzględnieniu warunków brzegowych (u*
= 0), do drugiego członu zaś wyrażenia (18.17) definicję liniowego tensora
odkształceń. Po uwzględnieniu powyższego uzyskuje się
\cjyAdv = j(Xt - pu1 -juut)u*dv+ jxtu*ds (18 18)
V V Sf
318
W równaniu tym zastosowano oznaczenia jak we wzorze (18.1). Przemieszczenia
kinematyczne dopuszczalne u* należy traktować jak wariacje przemieszczeń. Warto
w tym miejscu zauważyć, że otrzymane równanie wariacyjne można zapisać w postaci
«(«,.,«*)=f («,*), v (18-19)
u*eW*
w której a(ut, u*) to lewa strona równania (18.18), a/( u *) to prawa strona tegoż
równania. Jak łatwo sprawdzić, otrzymany funkcjonał jest wariacją funkcjonału postaci
J(w) = \a(w,w)-f(w) (18.20)
Jeżeli dalej dla równania (18.18) zastosuje się analogiczną procedurę jak przy
wyprowadzaniu wyrażenia (18.9), to uzyska się poszukiwaną postać wariacji funkcjonału
Lagrange'a dla problemu dwu poruszających się członów belek zachodzących.
Warunkiem koniecznym ekstremalizacji funkcjonału jest zerowanie jego wariacji. Dla
przedstawianego problemu (18.18) z uwzględnieniem sił międzyczłonowych,
przedstawia się ona następująco:
r d w o Sa> 2 2 I
\EL— —dx-(-kn(u-w + An) y/(u-w)+ku(u-w-Au) y/(w-u)\ Sw-
o
dc dc
-(-kn(u-w + An)2y/(u-w)+kn(u-w-An)2if/(w-u)\ Sw- g1ć5k'<ir+ (18.21)
l l
+ \mlwĆM>dx+ \~julwSwdx=0
o o
d2u d2Su
\EI2 — —dx-(k2l(u -w + A2l)2y/{u -w) +k2l{u -w - A2l)2y/(w-u)\ du-
J dc ćk ll=Ii
k k
-(k22(u -w + A22)2y/{u -w) +k22(u -w- A22)2y/{w -u)\ du- \q25udx+ \m2ududx +
\x=x2 J J
k
+ \Ji2uSudx = 0
W równaniu (18.21) wprowadzono, podobnie jak wcześniej, oznaczenia m i, m 2, // j, // 2
dla wielkości przypadających na jednostkę długości belki (po zamianie V = F x [0,1]).
Następnie, korzystając z podstawienia (18.12) oraz oznaczeń stosowanych
wcześniej, doprowadza się do układu równań różniczkowych postaci
319
[MJ{a}1+[CJ{a}1+[KJ{a}1={ef;,}
[M,]{a}2+[C,]{a}2+[K,]{a}2 ={£?,}
gdzie:
- macierze sztywności:
i k
(18.22)
[KJ = \{<p"}T EIl{<p"}dx, [K,] = \{ffEI2{f}dx (18.23)
macierze mas:
[Mę]=\{<p}Tml{(p}dx, [M^]= \{0}Tm2{<{>}dx (18.24)
o
macierze tłumienia:
i
[Cę]=\{ę}TJil{ę}dx, [C,]= Jtf}7"/^}^ (18.25)
o
wektoryobciążenia:
i
{Qę}= \ql{<P}Tdx + f(p({a}l,{a}2\ {£,} = \q2 {<f>}T dx + f^{a}2, {a},){!%.26)
0 x0
W tych ostatnich (18.26) przyjęto następującą definicję wektora oddziaływań mie-
dzyczłonowych:
fę = F({a}2 {</,} - {a}\ {cp}\ {<pY + F{{a}[ {cp} - {a}2 {<{,} {ę}1
\x-x2 \x-x2 \x-x2 \x-xl 07\
Ą = F({a}T2 {</>} - {a}{ {ę}\ {<f,}T I + F({a}[ {ę} - {a}T2 {Ą {<j>}T I
IX — Xi IX — Xi IX — X-j IX — Xt
Pozostałe oznaczenia jak poprzednio, z tym że rozwiązanie przybliża się
równaniem (18.12). Warto tu zwrócić uwagę, że w konkretnym przypadku ruchu, np.
wysięgnika teleskopowego, można tłumienie zdefiniować tylko w miejscach występowania
ślizgów dla tarcia suchego
Ft = -juNsign(u - w)\ (18.28)
gdzie:
Ff - siła tarcia suchego,
N - siła docisku członów do siebie,
// - współczynnik tarcia,
u, w - prędkość członu pierwszego i drugiego,
Xj - współrzędna z-tego ślizgu.
320
Układ równań (18.22) dogodnie jest rozwiązać na przykład metodą różnic
skończonych lub metodą bazową po narzuceniu odpowiednich warunków początkowych
(funkcje bazowe muszą być kinematycznie dopuszczalne) [105], [113].
18.1.2. Przykłady
W celu zobrazowania prowadzonych rozważań podjęto próbę rozwiązania
przykładowego układu dwu członów belkowych za pomocą kilku metod. Przyjęto
następujące dane wejściowe (rys. 18.6):
- moduł Younga
- moment bezwładności przekroju pierwszej belki
- moment bezwładności przekroju drugiej belki
- masa jednostkowa pierwszej belki
- masa jednostkowa drugiej belki
- jednostkowy masowy moment bezwładności
pierwszej belki
- jednostkowy masowy moment bezwładności
drugiej belki
- stała sprężystości oddziaływania zderzających się
członów
- luz międzyczłonowy
Xi = 2,0 m,
x2:
x3-
Xą '■
9,0 m,
10,0 m,
19,0 m.
■I
A-A
5-^- -^k&mmss
■l
= 2,1 108kN/m2,
3,7986 10^m4,
2,1829 10^m4,
= 83,16 kg/m,
= 55,07 kg/m,
/^ = 3,48 10-3kgm,
w-
mpl
mP2
1P2-
k =
s=
1,68 10~3kgm,
101U kN/m,
0,014 m.
Rys. 18.6. Schemat obciążeń i oznaczenia stosowane w przykładzie
321
- obciążenia:
q, = 83,16 N/m,
q2 = 55,07 kN/m
- warunki początkowe:
przemieszczenia i prędkości zerowe w przyjętym układzie współrzędnych. Do
pierwszych obliczeń przyjęto brak tarcia, następnie uwzględniono jego
występowanie.
Drgania układu bez uwzględnienia tarcia
W metodzie Kantorowicza jako funkcje podstawowe przyjęto szereg potęgowy
o wyrazach zdefiniowanych następująco:
a) dla członu pierwszego
^(x) = x!(x-x0)(x-x1) (18.29)
b) dla członu drugiego (pierwsze dwa wyrazy)
f (x) = (x - x2f-l), z<3 (18.30)
(wyrazy kolejne)
f (x) = (x-x2)(M)(x-x4), z>2 (18.31)
Warto zwrócić uwagę, że pierwsze dwa wyrazy szeregu (18.30) zapewniają
rozwiązanie w przypadku poruszania się drugiego członu jak ciała sztywnego. Do
pierwszego eksperymentu numerycznego przybliżenie rozwiązania przyjęto w postaci
pierwszych dwu wyrazów szeregu, tzn:
- funkcja ugięcia pierwszego członu
w(x, t) = ax (t) ęl (x) + a2 (t) ę1 (x) (18.32)
- funkcja ugięcia drugiego członu
w(x, t) = a3 (t) <j>1 (x) + a4 (t) (f1 (x) (18.33)
gdzie funkcje (j>\ (p1 zdefiniowane są równaniami (18.29) oraz (18.30). Problem postaci
(18.22) rozwiązano numerycznie. Korzystano z oprogramowania matematycznego
pozwalającego na prostą aplikację równań (MATHEMATICA 2.2.). Aby sprawdzić
zbieżności rozwiązania, rozwiązano równanie (18.22) także dla funkcji podstawowych,
oddających ugięcie członu drugiego. Szereg funkcji podstawowych oparto na szeregu
potęgowym (18.29), (18.30), (18.31), z którego wybrano jako przybliżenie rozwiązania dwa
pierwsze wyrazy dla członu pierwszego (równanie (18.22)) oraz pierwsze trzy wyrazy dla
członu drugiego
u(x, t) = a3 (t) <j)1 (x) + a4 (t) </)2 (x) + a5 (t) (f>\x) (18.34)
gdzie funkcje (/>', <j)1 zdefiniowane są tak jak poprzednio.
Dokładne porównanie obu rozwiązań - przy rozwinięciu czterema i pięcioma
wyrazami szeregu - wykazuje, że uwzględnienie odkształcalności drugiego członu po-
322
woduje zmianę rozwiązania od pierwszego zderzenia członów. Jest to uzasadnione,
gdyż aż do tego momentu drugi człon porusza się jak bryła sztywna ze względu na
brak wymuszeń, które mogłyby spowodować jego odkształcenie. Pod koniec okresu
branego pod uwagę rozbieżność obu rozwiązań przekracza 20%.
Porównawczo zbudowano, metodą elementów skończonych, dwa modele
rozpatrywanego zagadnienia: model pierwszy to klasyczny model belkowy, model drugi to model
przestrzenny wykonany według elementów powłokowych. Jako odniesienie do rozwiązań
prezentowanego problemu uzyskanego różnymi metodami przedstawiono wyniki
obliczeń metodą elementów skończonych układu belek, bez uwzględnienia występującego w
połączeniu luzu. We wszystkich przykładach rozwiązanych metodą elementów
skończonych wykorzystano system COSMOS/M ([35], [34], [37] oraz [173]).
Podsumowanie uzyskanych rozwiązań drgań bez uwzględniania tarcia
Dla ilustracji przeprowadzonych obliczeń dogodnie jest porównać przebiegi czasowe
wybranych punktów układu dla różnych zastosowanych metod. Charakterystycznymi
punktami są niewątpliwie końce członów, zwłaszcza koniec drugiego członu, który jest
cennym punktem obserwacji, gdyż nawet niewielkie różnice w miejscu styku członów
powinny ulec tam zwielokrotnieniu. Rysunek 18.7 przedstawia opisywaną charakterysty-
kę.
MES - model powłokowy
Rys. 18.7. Porównanie trajektorii końca układu dla różnych metod analizy
Na wykresie widać dużą zgodność przebiegu ruchu w trakcie pierwszych sześciu
sekund ruchu, potem następuje wyraźne rozwarstwienie przebiegu krzywych dla
różnych metod rozwiązania. Jednak w dalszym ciągu różnice są niewielkie. Można
zauważyć powiększanie się ugięcia przy wzroście komplikacji (dokładności
odwzorowania) modelu. Wykres uwidacznia również zasadniczą różnicę w rozwiązaniu
problemu drgań z uwzględnieniem i bez uwzględnienia luzów między członami.
323
Drugim punktem porównawczym jest końcówka członu pierwszego. Zachowanie
tego punktu również pozwala na porównanie uzyskanych rozwiązań. Diagram (rys.
18.8) przedstawia zachowanie omawianego punktu w trakcie ruchu układu.
Na rysunku 18.8 można zaobserwować dużą zgodność przebiegów rozwiązania.
Różnice względne są większe niż w poprzedniej charakterystyce, jednak różnice
bezwzględne są na tym samym poziomie. W obu wykresach dla modelu powłokowego
przyjęto jako odniesienie oś obojętną członów.
Rys. 18.8. Porównanie trajektorii końca pierwszego członu dla różnych metod analizy
Rozwiązanie z uwzględnieniem tarcia
W metodzie Kantorowicza jako funkcje podstawowe przyjęto szereg potęgowy o
wyrazach zdefiniowanych podobnie jak w przykładzie bez uwzględnienia tarcia, (18.32),
(18.33). Do eksperymentu numerycznego przybliżenie rozwiązania przyjęto w postaci
pierwszych dwu wyrazów szeregu, (18.32), (18.33), gdzie funkcje <j>'', ę' zdefiniowane są
równaniami (18.29) oraz (18.30). Macierze mas i sztywności są takie same jak w
przypadku analizy bez tarcia. W równaniach (18.22) wzbogacono jedynie człon opisujący
oddziaływania międzyczłonowe (18.27) o tarcie w strefie ślizgów (równanie (18.28)). Na
potrzeby przykładu przyjęto jednakowy współczynnik tarcia /u dla wszystkich ślizgów:
//=0,2
Nacisk w strefie kontaktu (przyjęto model płaski):
a) dlax = x3:
JVi = 5000 N,
b) dlax = x2:
N2= 4500 N.
Aby sprawdzić zbieżność oraz kompletność porównania, rozwiązano równanie
(18.22) także dla funkcji podstawowych, oddających ugięcie członu drugiego. Szereg
324
funkcji podstawowych oparto na szeregu potęgowym, z którego wybrano jako
przybliżenie rozwiązania dwa pierwsze wyrazy dla członu pierwszego (równanie (18.32)) oraz
pierwsze trzy wyrazy dla członu drugiego (patrz (18.34)). Funkcje (/>', ę1 zdefiniowane
są, tak jak poprzednio, równaniami (18.29), (18.30) oraz (18.31). Dla nowego
przybliżenia rozwiązania niezbędne macierze definiowane w równaniach (18.22) - (18.27) są
takie same jak w przykładzie bez uwzględniania tarcia. Jedynie równanie (18.27)
wzbogaca się o człon (18.28). Problem zdefiniowany równaniami (18.9) rozwiązano
numerycznie z zastosowaniem funkcji programu MATHEMATICA 2.2.
W problemach porównawczych ograniczono się jedynie do modelu belkowego.
Konieczność uwzględnienia tarcia spowodowała zresztą potrzebę zmiany modelu
belkowego. W miejsce elementów dwuwymiarowych - płaskich, zastosowano
elementy o pełnym opisie, tzn. o sześciu stopniach swobody w węźle: trzech transla-
cyjnych ux, uy, uz oraz trzech rotacyjnych ax, Oy, az. W modelu kłopotliwe okazało
się zamodelowanie tarcia tak, aby odpowiadało ono założeniom o płaskim ruchu
modelu. Analiza modalna wymaga bowiem dla modelu tarcia uwzględnienia
przemieszczenia na kierunku prostopadłym do powierzchni styku oddziaływania
rozpatrywanych ciał. Powoduje to rozszerzenie analizy o częstości własne o kierunku drgań
prostopadłym do analizy podstawowej oraz to, że model nie do końca jest zgodny z
poprzednio przedstawionymi. Definicja elementów kontaktowych pozwala na proste
uwzględnienie tarcia występującego w układzie. W trakcie analizy numerycznej
problemu okazało się jednak, że stabilność proponowanego sposobu rozwiązania -
techniką modalną - jest słaba i silnie zależna od występujących sił tarcia. Co ciekawe, na
stabilność rozwiązania nie wpływało (w znaczący sposób) zwiększenie liczby kroków
całkowania. Problem z rozwiązaniem polegał na silnym wpływie siły tarcia na
odkształcenia konstrukcji w danym kroku całkowania. Ostatecznie uzyskano rozwiązanie
dla pierwszych siedmiu sekund ruchu przy 4375 krokach całkowania.
Podsumowanie obliczeń z uwzględnieniem wpływu tarcia
Zobrazowaniem wykonanych obliczeń jest porównanie przebiegów czasowych
wybranych punktów układu dla różnych zastosowanych metod. Charakterystycznymi
punktami są, podobnie jak w poprzednim przykładzie, końce członów, a zwłaszcza
koniec drugiego członu, gdyż tam nawet niewielkie różnice w miejscu styku członów
powinny ulec zwielokrotnieniu. Rysunek 18.9 przedstawia opisywaną charakterystykę.
Na wykresie widać dużą zgodność przebiegu ruchu w trakcie pierwszych sześciu
sekund ruchu, potem następuje pewne rozwarstwienie przebiegu krzywych dla
różnych metod rozwiązania. Jednak w dalszym ciągu różnice są niewielkie. Rozwiązanie
uzyskane z uwzględnieniem występowania luzów w modelu wysięgnika znacząco
odbiega od rozwiązania „bezluzowego". Widać, że dla uzyskania dokładnych
przebiegów dynamicznych uwzględnienie występowania luzów jest niezbędne. Drugim
punktem porównawczym jest końcówka członu pierwszego. Zachowanie tego punktu
również pozwala na porównanie uzyskanych rozwiązań. Kolejny wykres (rys. 18.10)
przedstawia zachowanie omawianego punktu w trakcie ruchu układu.
325
0.05
-0.1
0.15
-0.2
-0.25
-0.3
0.35
L1LLJ
/
L ■ ■ ■
/
2
gięcie statyczr
x= 19
3
metoda
4i
0 m
....
4
Kantorowicza
5 wyrazów
i__
5
- model b
6
ezluzowy
t
7
MES-model
/ belkowy
Rys. 18.9. Porównanie trajektorii końca układu dla różnych metod analizy
Na rysunku 18.10 widać wyraźnie zgodność kształtu przebiegów rozwiązania.
Różnice względne są jednak duże, znacznie większe niż w poprzedniej
charakterystyce, jednak różnice bezwzględne sana tym samym poziomie. Znacząco odbiega od
pozostałych charakterystyk jedynie przebieg rozwiązania dla modelu bez uwzględniania
luzów. Nie tylko wartości ugięć, ale także charakter przebiegu są zupełnie inne.
w[m]
■0.01
■0.02
■0.03
■0.04
■0.05
■0.06
Rys. 18.10. Porównanie trajektorii końca pierwszego członu dla różnych metod analizy
Różnice, jakie można zaobserwować w przebiegu rozwiązania porównawczego
metodą elementów skończonych w stosunku do rozwiązania modelu opisanego w pra-
326
cy, wynikają z konieczności uwzględnienia w ciągu częstości własnych modelu, także
częstości o kierunku drgań prostopadłym do zasadniczej płaszczyzny drgań.
18.2. Ogólne zagadnienie kontaktowe
Jednym z ważnych problemów analizy nieliniowej są zagadnienia kontaktowe, kiedy
dwa oddzielne ciała lub dwa obszary tego samego ciała wchodzą w kontakt w trakcie
obciążania. Istnieje wiele metod, za pomocą których rozwiązuje się tego typu problem
[118]. W systemie COSMOS/M zastosowano metodę hybrydową [84].
Dla uproszczenia rozważań wyjaśnimy istotę analizy kontaktu metodą hybrydową,
pomijając tarcie pomiędzy stykającymi się ciałami. Metoda hybrydowa w analizie
kontaktu łączy metodę przemieszczeń z metodą sił. Generalnie programy MES oparte
sana metodzie przemieszczeń, natomiast w analizie nieliniowej, w tym także analizie
kontaktu, znajdują zastosowanie obie metody. Rozróżniamy kontakt prosty i ogólny.
18.2.1. Kontakt prosty
Kontakt prosty definiowany jest przez dwa węzły, np. i ij. Kierunek kontaktu1
jest definiowany przez linię łączącą te dwa węzły. Odległość między ciałami, wielkość
szczeliny, jest definiowana jako możliwe maksymalne względne przemieszczenie
między tymi węzłami, wzdłuż kierunku kontaktu (rys. 18.11). Kontakt otwarty nie
powoduje żadnego oddziaływania na oba ciała, kontakt zamknięty natomiast ogranicza
możliwość względnego przemieszczania się węzłów wzdłuż kierunku kontaktu. W analizie
kontaktu stosuje się metodę sił w celu określenia sił wzajemnego oddziaływania
w miejscu styku. Każdy styk zastępowany jest parą sił o tej samej wartości i kierunku,
lecz przeciwnego zwrotu, przyłożoną do dwóch węzłów definiujących kontakt.
Przez kontakt rozumiemy przestrzeń zawartą między ciałami, w j. ang. gap - szczelina.
327
Rys. 18.11. Kierunki kontaktów
Układ równań metody sił dla punktu styku możemy napisać
[QJW=KI (18-35)
gdzie
[Qg] - macierz podatności kontaktu,
{Rg} - wektor sił kontaktu,
{xg} - wektor względnych przemieszczeń pomiędzy węzłami wchodzącymi w kontakt.
W celu zdefiniowania macierzy podatności [QJ przykłada się jednostkową siłę w
kierunku danego kontaktu i odczytuje przemieszczenia względne we wszystkich pozostałych
kontaktach. Proces ten powtarzany jest dla wszystkich kontaktów w celu określenia
macierzy [QJ. Teraz rozpatrzmy sytuację, kiedy szczelina między ciałami jest skończenie
mała, czyli gdy nastąpił praktycznie styk. Mówimy, że kontakt jest zamknięty.
Przemieszczenie względne ug między węzłami z ij w chwili styku możemy zapisać w postaci
n „n „n
«g=«i-«j>g (i8.36)
gdzie
g" - odległość między wchodzącymi w styk ciałami, wielkość początkowej
szczeliny,
u",u" -przemieszczenia węzłów z ij w miejscu styku n, wywołane siłami
zewnętrznymi {R}.
Względne przemieszczenie węzłów wchodzących w kontakt można przedstawić
w postaci
K=-k-g") (l8.37)
Rozwiązując układ równań (18.35), otrzymujemy wektor sił {Rg} między węzłami
w styku. Wprowadzenie tych sił do konstrukcji spowoduje, że względne
przemieszczenie między węzłami w n-tym kontakcie będzie równe x".
328
Reasumując, wektor sił zewnętrznych {R} wywołuje wektor przemieszczeń {ug}, z
ko-lei siły między węzłami w kontakcie {Rg} wywołują przemieszczenia {xg}, stąd suma
sił {R}+{Rg} wywołuje przemieszczenie {g}. Należy zwrócić uwagę, że metoda ta nie
wymaga żadnych aproksymacji ani iteracji. Jedynie iteracje są stosowane przy
poszukiwaniu zamkniętych kontaktów, budując przy tym równania postaci (18.35).
18.2.2. Kontakt ogólny
Ogólny problem kontaktowy występuje wtedy, gdy:
1. Kierunek sił w kontakcie nie jest z góry określony.
2. Punkt kontaktu zmienia się, np. na początku w kontakcie był punkt z \j, a w
trakcie przemieszczania punkt z wchodzi w kontakt z punktem k (rys. 18.12).
Inaczej niż to jest w kontakcie prostym, tutaj zbieżność i dokładność zagadnienia
kontaktowego zależy od rozwiązań przyrostowych, gdzie obciążenie przykładane jest
stopniowo.
powierzchnie
w kontakcie
Rys. 18.12. Ogólne zagadnienie kontaktowe
Z uwagi na to, że kontakt występuje między dwoma ciałami, jedno z nich
określane jest jako „kontaktor" (ang. contactor) - ciało czynne, a drugie jako „cel" (ang. tar-
get) - ciało bierne. Obszar kontaktu jest uzależniony od geometrii, zastosowanych
obciążeń, własności materiałów i innych uwarunkowań. W systemie COSMOS/M
zagadnienie kontaktu definiowane jest zgodnie z następującą procedurą:
1. Obszar kontaktu w ciele czynnym, „kontaktorze", jest określony przez zbiór
punktów, do których przyporządkowane są jednowęzłowe elementy kontaktowe typu
GAP.
2. Obszar kontaktu w ciele biernym, w „celu", jest zdefiniowany przez ciąg
elementarnych linii kontaktowych dla zagadnienia 2-D lub ciągu elementarnych
powierzchni kontaktowych dla zagadnienia 3-D.
3. Obszar kontaktu limitowany jest przez pole zdefiniowane przez jednowęzłowe
elementy kontaktowe, typu GAP. Każdy taki element może wejść w kontakt tylko
z jednym z segmentów ciągu linii lub powierzchni zdefiniowanym w ciele
biernym, w „celu".
329
4. Każda powierzchnia (linia) ciała „celu" ma określoną stronę dodatnią i ujemną
wynikającą z porządku węzłów w opisie elementu. Strona ujemna jest tam, gdzie
nie powinny wejść jednowęzłowe elementy kontaktowe typu GAP.
5. Powierzchnie kontaktowe „celu" danej grupy powinny stanowić jeden
nierozłączny obszar.
18.2.3. Dwuwęzłowy element kontaktowy
Element kontaktowy dwuwęzłowy ma zastosowanie do zagadnień 2-D i 3-D.
Głównym założeniem przy stosowaniu tego typu elementów jest znajomość kierunku siły
normalnej w kontakcie, jak i samych punktów kontaktu niezmiennych przez całą
analizę. Dwuwęzłowe elementy kontaktowe definiowane są między dwoma węzłami ciał
wchodzących w kontakt (po jednym węźle z każdego ciała), przy czym kierunek
elementu kontaktowego reprezentowany przez linię łączącą początkowe położenie dwóch
węzłów (przed deformacją) (rys. 18.13a) pokrywa się z siłą normalną kontaktu (która
jest normalna, tzn. prostopadła, do stycznej w punkcie kontaktu dwóch ciał). Zależnie
od typu zagadnienia kontaktowego, element kontaktowy może być określony jako
przenoszący ściskanie (ograniczenie zbliżenia się węzłów) lub przenoszący
rozciąganie (ograniczenie oddalenia się węzłów) (rys. 18.136). Tarcie może być uwzględnione
zarówno w analizie statycznej, jak i dynamicznej (dla kontaktów przenoszących
ściskanie). Sity tarcia związane z elementem kontaktowym leżą w płaszczyźnie stycznej.
Kontakt ściskany Kontakt rozciągany
Rys. 18.13. Dwuwęzłowe elementy kontaktowe
18.2.4. Jednowęzłowe elementy kontaktowe
Jednowęzłowe elementy kontaktowe definiują obszar „kontaktora", ciała czynnego
(linię lub powierzchnię), względem obszaru ciała biernego - „celu" (linii lub
powierzchni).
330
W przypadku zagadnienia dwuwymiarowego obszar ciała biernego „celu"
definiowany jest przez ciąg 2 lub 3 węzłowych linii, odpowiednio do rzędu stosowanego
elementu skończonego (rys. 18.14a). Dla zagadnienia 3-D obszar ten definiowany jest
przez zbiór 4 lub 9 węzłowych podobszarów (rys. 18.14b). System COSMOS/M
umożliwia automatyczną generację elementów kontaktowych jednowęzłowych i ciągu
linii lub podobszarów ciała biernego (komenda NL-GSAUTO). Główne korzyści ze
stosowania elementów jednowęzłowych nad dwuwęzłowymi można streścić w
następujących punktach:
1. Użytkownik nie musi znać dokładnego położenia punktów kontaktu. Program
określa sam położenie tych punktów i wprowadza w te miejsca siły kontaktowe.
2. Kierunek działania sił kontaktowych określany jest na podstawie aktualnej
odkształconej geometrii.
3. Węzły ciał wchodzących w kontakt nie muszą być bezpośrednio naprzeciw siebie.
331
Konta ktor
Elementarna
linia celu
Kontakt 2D
b
y
1
Jednowęzłowe
elementy kontaktowe
Kontaktor
Powierzchnia
celu
Elementarna
powierzchnia celu
Węzły celu
Kontakt 3D
Rys. 18.14. Jednowęzłowe elementy kontaktowe
Przykład 18.1. Dwie płyty o średnicy 060 mm i grubości 2 mm są oddalone od
siebie o h = 2 mm. Płyty są wykonane z gumy o module sprężystości podłużnej E = 6,1 MPa
332
i współczynniku Poissona v= 0,49. Współczynnik tarcia między płytami wynosi /u = 0,7.
Na górną płytę przyłożono ciśnienie/? =10 kPa.
166
1C
t
i
t
i
t
i
t
ł
*
t
i
t
i
t
i
i
t
i
t
r^*i
J '"ł
< i.
ś
J
X
Rys. 18.15. Model dyskretny układu - warunki brzegowe
Opracowano model osiowo-symetryczny, w którym zastosowano elementy
skończone typu PLANE2D (rys. 18.15). Na dolnej powierzchni płyty górnej
wygenerowano jednowęzłowe elementy kontaktowe, a na górnej powierzchni płyty dolnej ciąg
trzywęzłowych elementarnych linii kontaktowych. Między węzłami na osi symetrii
wprowadzono dwuwęzłowy element kontaktowy. W procesie nieliniowym
zastosowano sterowanie przyrostami ciśnienia z iteracjami według zmodyfikowanego
schematu Newtona-Raphsona.
Na rysunku 18.16 pokazano przemieszczenia pionowe punktu na osi symetrii
górnej i dolnej płyty dla modelu liniowego i nieliniowego.
u
[mm]
model
liniowy
ND=1
ND=166
model
nieliniowy
ND=1
ND=166
5 6
p [kPa]
Rys. 18.16. Przemieszczenia wybranych punktów dla modelu liniowego i nieliniowego
333
Plik sesyjny systemu COSMOS/M:
MPROP,1,EX,0.61E1,GXY,0.2 9E1,NUXY,0.4 9,DENS,1E-6,
PLANE,Z,0,1,
VIEW, 0, 0, 1, 0,
PT,1,0,0,0,
CREXTR,1,1,1,X,30,
SFEXTR,1,1,1,Y,2,
SFGEN,1,1,1,1,0,0,4,0,
CRLINE,9,3,5,
EGROUP,1,PLANE2D,0,2,1,0,0,1,0, model nieliniowy
C* EGROUP,1,PLANE2D,0,2,1,0,0,0,0, model liniowy
M_SF,1,2,1,8,20,2,1,1,
EGROUP,2,GAP,1,1,0,1,2,0,0,
RCONST,2,2,1,7,2,0.7,0,0,1E+0 8,0,1,
NL_GSAUTO,0,7,0,2,2,1,1,
NL_GSPLOT,1,20,1,
NL_GSPLOT,1,20,1,
EGROUP, 3, GAP, 1,0,0,0,0,0,0,
RCONST,3,3,1,7,2,0,0,0,1E+0 8,0,1,
M_CR,9,9,1,2,1,1,
NMERGE,1,NDMAX,1,0.1,0,1,0,
CURDEF,TIME,1,1,0,0,1,0.01,
PCR, 8, 1, 8, 1, 1, 4,
DCR,4,ALL,0,6,2,
TIMES,0,1,0.02,
NL_AUTOSTEP,1,1E-08,0.02,
NL_PLOT,1,1000,1,0,
R_NONLINEAR,
Przykład 18.2. Zastosowanie elementów kontaktowych w połączeniu
zaciskowym. Do otworu koła pasowego o średnicy § = 89,5 mm należy wprowadzić tulejkę
o średnicy zewnętrznej § = 89,7 mm, w celu zapewnienia połączenia zaciskowego.
Zadanie zrealizowano w dwóch krokach. W pierwszym oziębiono tulejkę w
ciekłym azocie (-196°C), a następnie doprowadzono do temperatury otoczenia. Model
dyskretny z elementami kontaktowymi pokazano na rys. 18.17. Na rysunkach 18.18
i 18.19 pokazano rozkład naprężeń promieniowych i obwodowych, a na wykresie (rys.
18.20) przemieszczenia na powierzchni wewnętrznej i zewnętrznej tulei w funkcji
temperatury.
334
0 89,7
0 89,5
Jednowęzłowg
elementy
kontaktowe
linia kontaktu
Rys. 18.17. Model dyskretny połączenia zaciskowego
335
s
1
1
Lgma_ X
-0.0135
1-7.7400
l
\
1-30
B-38
B-4B
1
.500
.200
.900
.700
.400
.L00
.900
Rys. 18.18. Warstwice naprężeń promieniowych
s
1
1
lgma_ Z
—-193.00
B-137.00
B-80 .400
1-24 .300
B--31 .70
1_-B7.BQ
1-144.0
1-200.Q
^--256.0
Rys. 18.19. Warstwice naprężeń obwodowych
336
-0,140
-0,150
-0,160
-0,170
I—I
E
E -0,180
-0,190
-0,200
-0,210
-0,220
s^* ^y"
/ y^
]S
•*—»^>-»ł^*—■—■
-♦-N65
-■-N69
-200
-150
-100
-50
50
Temp [°C]
Rys. 18.20. Wykres przemieszczeń promieniowych na powierzchni wewnętrznej i zewnętrznej tulei
w funkcji temperatury
Zbiór sesyjny:
VIEW,0,0,1,0,
SF4CORD,1,80,0,0,89.7,0,0,89.7,80,0,80,80,0,
PTGEN,l,2,2,l,0,-0.2,-0.5,0,
PTGEN,1,3,3,1,0,-0.2,0.5,0,
CRLIN,5,5,6,
CREXTR,5,6,1,X,8,
CRLIN,8,7,8,
CRBRK,8,8,1,2,0,
PTGEN,1,9,9,1,0,6,5,0,
PTGEN,l,9,9,l,0,6,-5,0,
CRLIN,10,8,10,
CRLIN,11,7,11,
PTGEN,1,9,9,1,0,40,0,0,
CSYS,3,0,12,9,8,
CREXTR, 10,11,1,X,-34,
CRFILLET,14,7,10,5,l,0,lE-006,
CRFILLET,15,6,ll,5,l,0,lE-006,
CRFILLET,16,10,12,10,l,0,lE-006,
CRFILLET,17,ll,13,10,l,0,lE-006,
CRDEL,9,8,1,
CRLIN,18,26,23,
CRLIN,19,14,13,
SELPIC,CR,7,14,10,16,18,17,11,15,6,5,0,
CT,1,0,5,1,17,1,
TIMES,0,1,1,
EGRO,1,PLANE2D,0,1,1,0,1,0,0,
MPROP,1,EX,2.06E5, ALPX,12E-6,
MPROP,l,ETAN,l .03E4,SIGYLD,220,
M_SF,1,1,1,8,2,16,1,1,
M_SF,2,2,1,8,5,2,1,1,
EGRO,2,TRIANG,0,1,1,0,1,0,0,
MA_RG, 1,1,1,5,0,
SELREF,EL,RG,1,1,1,0,
ECHANGE, 1 ,ELMAX, 1,1,1,
ACTSET,SEL,2,
ACTDMESH,RG,1,
EPROPSET,EG,0,
RGSYM,1,1,1,X,1,0,
ACTDMESH,SF,1,
EPROPSET,EG,0,
SFSYM,2,2,1,X,1,0,
ACTSET,CS,0,
NMERGE,1,655,1,0.0001,0,0,0,
SELINP,ND,65,69,1,2,
SELINP,ND,329,329,1,2,
SELINP,ND,151,161,1,2,
SELINP,ND,419,613,194,2,
SELINP,ND,617,623,3,2,
337
RG,1,1,1,0,
SF4CR,2,12,18,13,19,0,
DND,1,UY,0,NDMAX,1„
EGRO,3,GAP,1,0,0,1,3,0,0,
RCONST,3,3,1,1,0,
NL_GSAUTO,0,5,0,4,4,1,0,
CURDEF,TIME,1,1,0,0,1,1,
NTSF,1,-196,1,1,
A_NONL,S,1,1,20,0.001,0,T,0,0,1E+010,0.001,0.0
1,0,
RESTART,0,
EGRO,3,GAP,1,0,0,1,3,0,1,
SELINP,ND,625,628,3,2,
SELINP,ND,630,633,3,2,
SELINP,ND,638,638,1,2,
R_NONLIN,
RESTART,1,
CURDEF,TIME,1,3,2,0,
EGRO,3,GA
P,l,0,0,l,3,0,0,
TIMES,1,2,0.05,
NL_NRESP,1,65,69,
NL_PLOT,1,20,1,0,
C*NL_AUTO,l,le-008,2,
R NONLIN,
Elementy kontaktowe jednowęzłowe zastosowano w analizie pracy przepony
w pompie hydraulicznej [43]. Model dyskretny oparty na elementach skończonych
osiowo-symetrycznych pokazano na rys. 18.21, a wyniki składowych naprężeń na rys.
18.22. W modelu występują elementy stalowe: tłok, fragment korpusu i talerzyk oraz
przepona z gumy.
Rys. 18.21. Model dyskretny przepony w pompie hydraulicznej
a d
338
Rys. 18.22. Rozkłady naprężeń promieniowych (a, c, e) i obwodowych (b, d,f) dla położenia górnego
przy zamkniętych i otwartych zaworach oraz dla położenia dolnego - odpowiednio
18.3. Modelowanie połączeń kontaktowych
339
w układzie element toczny-bieżnia
Kluczem do wykonania poprawnego modelu całego łożyska jest właściwe
odzwierciedlenie zjawisk zachodzących dla jednego elementu tocznego. Charakterystyka
sztywności takiego elementu jest nieliniowa i jednostronna (połączenie przenosi tylko
ściskanie). Ponadto kierunek działania tego elementu jest zmienny, zależny od
chwilowych składowych obciążenia. Właściwe określenie tej charakterystyki pozwala
przyjąć ją jako daną wejściową przy budowie modelu całego łożyska.
W tym celu najwygodniej posłużyć się metodą elementów skończonych [238],
gdyż ze względu na duży stopień przystawania elementu tocznego do bieżni oraz
uplastycznienie nie jest możliwe korzystanie z równań Hertza [130]. Modele MES
pozwalają na dowolne odwzorowanie powierzchni bieżni. Zaletami modelu MES są:
- określenie rzeczywistej charakterystyki siła ugięcie,
- określenie zależności między siłą przenoszoną przez element toczny a stanem
naprężeń w nim i w bieżni,
- określenie deformacji plastycznych bieżni (nowa powierzchnia styku),
- możliwość uwzględnienia rozwalcowania bieżni - deformacje plastyczne,
-możliwość uwzględnienia zużycia bieżni (danymi wejściowymi mogą być wyniki
pomiarów przekroju poprzecznego bieżni na rzeczywistym obiekcie).
Kołowo symetryczne modele połączenia kontaktowego 2-D mogą posłużyć, drogą
pośrednią, do określenia sztywności połączenia poprzez linearyzację od kierunku
promieniowego do kierunku obwodowego łożyska [198].
Na rysunku 18.23 pokazano model dyskretny 2-D połączenia kontaktowego.
Zastosowanie siatki parametrycznej pozwala na dokładne zamodelowanie strefy styku.
Na rysunku 18.24 zestawiono warstwice przemieszczeń dla modelu o współczynniku
przystawania 0,96, a na rysunku. 18.25 warstwice naprężeń zredukowanych dla
modelu o współczynniku przystawania 0 i 0,96.
Rys. 18.23. Model dyskretny połączenia stykowego 2-D -współczynnik przystawania 0,96
340
Rys. 18.24. Wyniki analizy metodą elementów skończonych - warstwice przemieszczeń, współczynnik
przystawania 0,96
Rys. 18.25. Wyniki analizy metodą elementów skończonych - warstwice naprężeń zredukowanych,
współczynnik przystawania 0 i 0,96
Lepszym rozwiązaniem jest zastosowanie modeli 3-D (rys. 18.26-18.27), wówczas
otrzymane wyniki można zastosować bezpośrednio. Tak uzyskaną charakterystykę
połączenia pokazano na rys. 18.28.
W modelowaniu połączenia oprócz elementów kołowo symetrycznych (model
2-D) i bryłowych (model 3-D) stosuje się elementy kontaktowe typu „gap".
341
///M
Tr/w
Rys. 18.26. Model dyskretny układu kula-bieżnia (elementy parametryczne SOLID i PENTA)
Rys. 18.27. Model dyskretny układu kula-bieżnia (elementy SOLID20)
342
0,3
u[mm]
0,2
—
0,962
0,949
0,928
0,896
.*#
/■"
<^źź^
■~' ^C^
'J>^^^^
-'I^-'^'
. -" *' "" ■—-""""--
'~''^~^^~~~'
F[kN]
Rys. 18.28. Charakterystyki układu kula-bieżnia-kula dla różnych współczynników przystawania
Klasyczne modele łożysk korzystają z superpozycji obciążeń pionowych i
poziomych, w związku z czym nie uwzględniają zjawiska przewyższania. Zjawisko to
następuje w wyniku działania składowej promieniowej obciążenia lub w wyniku deformacji
konstrukcji wsporczej w kierunku promieniowym łożyska powodującej względne
przesunięcie dolnego i górnego pierścienia w kierunki prostopadłym do kierunku bieżni.
Położenie kuli odciążonej
Przemieszczenie w wyniku
działania siły bocznej
Przemieszczenie w wyniku
ugięcia styku kula-bieżnia
Rys. 18.29. Zjawisko przewyższenia (pozorna ujemna sztywność pionowa);
uy(H/V), uR(H/V) - składowe pionowa i pozioma przemieszczenia pochodzącego od przewyższenia,
uy(F), uR(F) - składowe pionowa i pozioma przemieszczenia w wynika ugięcia,
r - promień kuli,
R - promień bieżni
343
Jeśli promienie kuli i bieżni kuli są różne, to następuje podjazd kuli po bocznej
ściance bieżni (rys. 18.29), który nawet dla niedużych kątów odchylenia siły od pionu
powoduje przemieszczenie pionowe środka kuli większe od przemieszczenia
spowodowanego sprężystym ugięciem styku kuli i bieżni.
Aby uwzględnić zjawisko przewyższenia, konieczne jest wprowadzenie superele-
mentu elementu kontaktowego [199]. Schemat ideowy takiego elementu pokazano na
rys. 18.30. Element ten uwzględnia następujące zjawiska:
- zmienny kierunek działania elementu tocznego,
- przewyższenie elementu tocznego (pozorna ujemna sztywność),
- nieliniowa charakterystyka styku (także uplastycznienie materiału).
Rys. 18.30. Superelement połączenia bieżnia-kula-bieżnia
Zastosowanie takich elementów daje możliwość określenia, które elementy toczne
i w jakim stopniu uczestnicząw przenoszeniu obciążeń. Konieczne jest wprowadzenie
elementów w podziałce odpowiadającej podziałce elementów tocznych w łożysku.
Podczas obliczeń możliwe jest dowolne położenie nadwozia względem podwozia
(z krokiem równym podziałce łożyska), dowolne obciążenie oraz uwzględnienie
nierównomiernego zużycia bieżni.
19. BADANIA TESTUJĄCE KABIN OCHRONNYCH
METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
Konstruktorzy wszelkiego rodzaju maszyn roboczych [63, 70, 83, 115, 171, 175, 176,
187, 188, 194] bezpieczeństwo człowieka traktują w ostatnich latach priorytetowo.
Szczególnie maszyny pracujące w trudnych warunkach, np. w górnictwie, bądź w
rolnictwie, powinny w znacznym stopniu chronić ludzi przed niebezpieczeństwem.
Niekorzystne działanie otoczenia może mieć charakter mechaniczny udarowy (zawały, tąpnięcia
w górnictwie, osunięcia się gruntu w budownictwie, spadające przedmioty), w postaci
drgań (kabina operatora w maszynie podstawowej górnictwa odkrywkowego), termiczny
(działanie wysokich temperatur w górnictwie podziemnym lub hutnictwie, lub -
odwrotnie - działanie niskich temperatur zimą podczas pracy na wolnym powietrzu, np. w
kopalniach odkrywkowych), a także chemiczny (praca w zanieczyszczonym środowisku).
Tu zajmiemy się różnymi rodzajami kabin ochronnych i ich zastosowaniem.
Podstawowym kryterium konstrukcji kabin jest kierunek działań ochronnych:
- mechaniczny udarowy,
- izolacja drgań,
- izolacja akustyczna,
- izolacja termiczna,
- ochrona przed szkodliwymi czynnikami chemicznymi środowiska.
Drugim ważnym kryterium jest konstrukcja kabiny (rys. 19.1). Wyróżniamy kabiny:
- o strukturze nośnej powierzchniowej (skorupowe),
- o strukturze nośnej belkowej,
- o strukturze nośnej belkowej z poszyciem.
Kabiny o strukturze belkowej [197] najczęściej składają się z daszka będącego
ramą z poszyciem powłokowym jedno- lub dwustronnym opartym na podporach
(słupach). Istotnym wyróżnikiem jest w tym wypadku liczba podpór (od 1 do 8) i ich
rodzaj: sztywne, przegubowe, w postaci siłowników hydraulicznych.
Kabiny ochronne są stosowane obligatoryjnie we wszystkich nowych pojazdach
pracujących w górnictwie podziemnym i ich celem jest ochrona przestrzeni życiowej
zdefiniowanej zgodnie z polskimi normami [255] przez makietę DLV (deflaction li-
mite volume). Również zgodnie z polskimi normami konstrukcje ochronne przed
dopuszczeniem ich do eksploatacji są sprawdzane w dwóch próbach:
- próbie uderzenia z góry (FOPS-falling object protective structure), której warunki
definiuje norma [256, 260],
344
- próbie zgniatania (ROPS- rool-over protective structure) określona normą [257].
Kabiny ochronne są produkowane w krótkich seriach i często modernizowane,
dlatego koszt jednostkowy przy dotychczasowym eksperymentalnym weryfikowaniu
spełnienia norm był bardzo duży (każda zmiana powoduje konieczność ponownego
dopuszczenia przez odpowiedni urząd). Przy czym, w przypadku niespełnienia przez
kabinę warunków określonych przez normy, konieczne jest wprowadzenie zmian
konstrukcyjnych i ponowne wykonanie próby. Już z powodu faktu, że jest to
eksperyment, wynika ograniczona ilości informacji, z których mógłby skorzystać konstruktor.
W granicznym przypadku informacja ta sprowadza się do faktu, czy kabina ochronna
spełnia wymagania stawiane przez normę, czy też tych warunków nie spełnia.
Rys. 19.1. Przykładowe postaci konstrukcyjne kabin: a) belkowa z poszyciem (spycharka gąsienicowa),
klimatyzowana, b) belkowa (ładowarka kopalniana), c) daszek z jedną podporą sztywną i dwiema
hydraulicznymi (model dyskretny), d) skorupowa (model geometryczny)
Zastosowanie nowoczesnych metod numerycznych w obliczeniach konstrukcji
pozwala już na etapie projektowania ocenić jakość przyjętych rozwiązań
konstrukcyjnych oraz uniknąć błędów związanych z przyjęciem złych rozwiązań i
przewymiarowania konstrukcji, co się bardzo często zdarza w przypadku, gdy jest ona siłą dyna-
345
miczną. Dotychczas obliczenia takie sprowadzają się najczęściej do oszacowania
wartości intensywności naprężeń oraz odkształceń występujących w konstrukcji.
W obliczeniach konstrukcji ochronnych decydujące znaczenie ma - oprócz
wymienionych wartości - wielkość pochłanianej energii przez konstrukcję kabiny ochronnej.
Dzisiaj konstruktorzy mają do swej dyspozycji nowoczesne narzędzie ułatwiające
pracę oraz skracające czas od powstania koncepcji do wytworzenia gotowej, już
optymalnej konstrukcji. Są to metody numeryczne, wykorzystujące na przykład
metodę elementów skończonych. Poniżej przedstawiono wymagania oraz metodykę
przeprowadzenia symulacji próby wytrzymałościowej dokonanej na konstrukcji kabiny
ochronnej maszyny górniczej.
Pod wieloma względami jest to przykład szczególny. Jest to analiza dynamiczna
[67,232,233] z uwzględnieniem nieliniowości fizycznej (nieliniowa charakterystyka
materiałowa), jak i nieliniowości geometrycznej (duże odkształcenia) [80, 94, 119],
ponadto występują tutaj zjawiska kontaktowe utrudniające przeprowadzenie symulacji.
Symulacja pozwala na poznanie charakteru zachodzących zjawisk oraz sposobu,
w jaki zachowuje się konstrukcja kabiny ochronnej pod wpływem udaru. Konstruktor
dzięki temu może zachować minimalną masę konstrukcji przy maksymalnej wartości
pochłanianej energii oraz wymaganej wytrzymałości.
Badanie konstrukcji chroniących przed spadającymi przedmiotami (obwałami
skał) polega na spuszczeniu na nią obciążnika. Parametry próby, tj. masa obciążnika,
energia uderzenia, pole uderzenia, zestawiono w tabeli 19.1. Badana kabina (daszek)
nie może ulec zniszczeniu poprzez utracenie spoistości materiału lub utratę
stateczności oraz żaden z jej elementów nie może naruszyć makiety przestrzeni chronionej
(DLV) [255].
Tabela 19.1. Parametry badań weryfikacyjnych FOPS [260] i RSPS [256]
Norma
PN-84/M-47024 FOPS
PN-92/G-59001 RSPS
Energia
uderzenia
EU[J]
11600
60 000
Masa obciążnika
m[kg]
230 - 330
1500-6000
Prędkość początkowa
obciążnika (masa)
v0 [m/s] (m [kg])
10,04 (230)
4,472 (6000)
Średnica powierzchni
uderzenia
0d [mm]
200
min 800
W przypadku badania konstrukcji chroniącej po przewróceniu się maszyny
określana jest minimalna wartość siły bocznej oraz minimalna wartość energii
odkształcenia konstrukcji chroniącej. Obydwie te wartości zależą od typu pojazdu oraz jego
masy [257]. Także w tym wypadku naruszenie przestrzeni chronionej określonej przez
makietę DLV dyskwalifikuje obiekt próby.
Symulacje numeryczne przeprowadzono metodą elementów skończonych FEM.
Na podstawie dokumentacji konstrukcyjnej dostarczonej przez producenta
opracowano ciągły model geometryczny wiernie opisujący wszystkie powierzchnie, krzywe
i punkty badanego obiektu (rys. 19.2) [36]. Następnie został wygenerowany model
dyskretny, składający się ze struktury 3-D elementów skończonych oraz odpowiednio
przyjętych charakterystyk materiałowych (rys. 19.3) i warunków brzegowych.
346
Rys. 19.2. Model geometryczny kabiny ochronnej
Rys. 19.3. Trilinearny model materiału
Do modelowania ustroju nośnego daszka zastosowano grubościenne, powłokowe
elementy skończone typu SHELL3T i SHELL4T. Ponadto do uwzględnienia
zjawisk stykowych zachodzących między obciążnikiem i powierzchnią daszku
posłużono się specjalnymi elementami kontaktowymi typu GAP. Warunki brzegowe prób
określono zgodnie z obowiązującymi normami. Ze względu na symetrię zamodelo-
wano połowę kabiny.
Ogółem model dyskretny całego daszka zawierał prawie 13000 stopni swobody.
347
19.1. Symulacja uderzenia daszka z góry przez obciążnik (próba
FOPS)
Zastosowano bezpośrednie całkowanie równań ruchu metodą ©-Wilsona [37, 103]
ze zmiennym krokiem czasowym od 2 do 500 (j,s.
Rys. 19.4. Przebiegi przemieszczeń dla wybranych punktów daszka w czasie u(f) [mm/ms] - postać
deformacji
W wyniku obliczeń otrzymano przebiegi przemieszczeń (rys. 19.4), prędkości, dla
charakterystycznych punktów daszka i obciążnika, naprężeń w poszczególnych
elementach konstrukcji nośnej. Symulowane zderzenie jest bardzo krótkie. Czas, jaki
upływa od momentu zetknięcia obciążnika z kabiną do odbicia obciążnika nie
przekracza kilkunastu milisekund. W zderzeniu możemy wyróżnić trzy fazy. Początkowa
(faza 1) (0-3ms) charakteryzuje się bardzo gwałtownym przekazywaniem energii
kinetycznej przez obciążnik przez serię kilkunastu uderzeń. Występują wówczas bardzo silne
drgania płyty daszka. Następnie prędkości obciążnika wyrównują się i następuje dalsze
przekształcanie energii kinetycznej w energię odkształcenia (faza 2). Po wytraceniu
348
prędkości następuje uwolnienie sprężystej części energii odkształcenia i ruch
powrotny płyty daszka (faza 3), aż do utraty styku i wyrzucenia obciążnika w górę.
Rys. 19.5. Warstwice przemieszczeń pionowych zdeformowanego modelu
Rys. 19.6. Warstwice intensywności naprężeń zredukowanych wg hipotezy Hubera-Misesa (a)
i strefy plastyczne (b)
Ze względu na różne sztywności daszka w polu uderzenia i związane z tym
nierównomierne przekazywanie energii, obciążnik podczas zderzenia doznaje rotacji i stąd
utrata kontaktu od strony podpór następuje znacznie szybciej niż od strony przedniej
daszka.
349
Maksymalna dynamiczna strzałka ugięcia punktu daszka w środku pola uderzenia
równa /= -19,5 mm wystąpiła w czasie t = 8,95 ms od początku zderzenia i była
mniejsza od wartości dopuszczalnej, wyznaczanej przez płaszczyznę dachu kabiny.
Uplastycznieniu uległy miejscowo pasy dolne belek daszka oraz niektóre strefy
połączenia daszka i ramy konstrukcji ochronnej. Maksymalna intensywność naprężeń
wyniosła 499 MPa. Na rysunku 19.4 pokazano warstwice przemieszczeń pionowych
na modelu zdeformowanym, a na rys. 19.5 warstwice naprężeń zredukowanych
według hipotezy Hubera-Misesa.
19.2. Symulacja statycznej próby zgniatania z boku (próba
ROPS)
Określono minimalną wartość siły obciążającej, która powinna zostać przeniesiona
(Fmm) oraz minimalną wartość energii pochłoniętej (Umm). Z obliczeń uzyskano
następujące wartości siły i energii niszczącej:
F=630kN>Fmm= 126 kN
t/=29kJ>t/mm = 27kJ
350
Rys. 19.7. Wykres siła-przemieszczenie (próba ROPS) - postać deformacji kabiny
Za punkt zniszczenia przyjęto punkt powstawania istotnego dla wytrzymałości
pęknięcia w połączeniu wraz z zaistnieniem przegubów plastycznych, gdy konstrukcja
ma jeszcze pewną (trudną do oszacowania) zdolność pochłaniania energii. Uzyskane
w wyniku obliczeń wartości są oszacowaniem tych wartości z dołu (zwiększają
bezpieczeństwo obliczeń).
Zależność siła-przemieszczenie pokazano w postaci wykresu na rys. 19.7, a na rys.
19.8 model zdeformowany (w skali 5:1) po osiągnięciu wymaganej normą energii
odkształcenia z warstwicami intensywności naprężeń.
Rys. 19.8. Warstwice intensywności naprężeń (próba ROPS)
Przedstawione wyniki symulacji badań wytrzymałościowych analizowanej
konstrukcji pokazały, że została ona zaprojektowana prawidłowo. Uniknięto zbędnych
przesztywnień i zapewniono harmonijny przepływ obciążenia od punktu
wprowadzenia w konstrukcję do podparcia na ramie pojazdu, przez co uzyskano spełnienie
wymagań stawianych przez normę.
Tak satysfakcjonujące wyniki można było uzyskać jedynie dzięki zastosowaniu
najnowszych metod numerycznych, gdyż tylko te metody pozwalają uzyskać tak
szerokie spektrum wyników (przemieszczenia, prędkości, naprężenia, strefy
uplastycznienia materiału itp.) obejmujących dowolne punkty analizowanego obiektu w bardzo
małych odstępach czasowych. Model dyskretny FEM odwzorowuje w przestrzeni
wirtualnej obiekt rzeczywisty w skali 1:1.
351
Zastosowanie tak zaawansowanych metod analizy konstrukcji pozwala już na
etapie projektowania ocenić przydatność przyjętych rozwiązań konstrukcyjnych, uniknąć
błędów oraz dobrać poszczególne parametry geometryczne obiektu tak, aby uzyskać
jak najlepsze właściwości. Badania obiektów rzeczywistych wymagają każdorazowo
wykonania prototypu i przeprowadzenia kosztownych prób niszczących, co nie
pozwala na osiągnięcie tak dokładnych wyników. Numeryczne symulacje konstrukcji
tego typu pozwalają w wielu wypadkach uniknąć przeprowadzania prób na obiekcie
rzeczywistym.
Drugą zaletą stosowania do testowania kabin ochronnych i daszków metod
numerycznych jest możliwość uzyskania pełnego obrazu zachowania się konstrukcji przy
obciążeniach normowych. Na jego podstawie stosowne urzędy, tj. Wyższy Urząd
Górniczy (WUG) mają podstawę do dopuszczenia takiego pojazdu, czy maszyny do
ruchu, bez przeprowadzania próby niszczącej konstrukcję ochronną. Decyzję taką
WUG bądź UDT może podjąć pod warunkiem, że instytucja wykonująca symulację
ma stosowne uprawnienia lub została wskazana na atestatora tej klasy urządzeń.
20. ZASTOSOWANIE MES W MASZYNACH
PODSTAWOWYCH GÓRNICTWA
ODKRYWKOWEGO
Maszyny podstawowe górnictwa odkrywkowego przeznaczone są do urabiania,
ładowania, transportu i zwałowania, czyli do wykonywania czynności podstawowych
[71, 154]. Są to wielkogabarytowe maszyny o ruchu ciągłym. Każda z takich maszyn
stanowi samojezdny obiekt o wysokim stopniu komplikacji kinematycznej i
dynamicznej, złożony z zespołów nabierających surowiec, transportujących go do
określonego punktu przesypu lub zwałujących w określony sposób na placu składowisko-
wym. W rezultacie maszyny te stanowią syntezę konstrukcji stalowej, zespołów
napędowych, elektrotechniki i elektroniki. Praktyka konstrukcyjna, eksploatacyjna oraz
badania tych maszyn wykazują, że wymagania dotyczące tych obiektów i ich
zespołów różnią się zdecydowanie w porównaniu z innymi, mniejszymi maszynami.
Projektowanie tego typu maszyn na potrzeby górnictwa odkrywkowego wymaga od
konstruktora stosowania szybkich, a zarazem dokładnych metod obliczeniowych.
Wynikiem projektowania powinny być konstrukcje niezawodne w eksploatacji, spełniające
założone warunki wytrzymałościowe oraz oszczędne materiałowo. Cel ten osiąga się
dzięki wykorzystaniu komputerowego wspomagania w projektowaniu w
zintegrowanych systemach CAD/FEM.
Dla zobrazowania skali zagadnienia na rys. 20.1 pokazano koparkę wielonaczy-
niową zbudowaną przez firmę Krupp, pracującą w Kopalni Węgla Brunatnego
„Bełchatów". Podstawowe parametry tej koparki:
wydajność teoretyczna
wysokość urabiania nadpoziomowego
wysokość urabiania podpoziomowego
ciężar roboczy
jednostkowe obciążenie podłoża
średnica koła czerpakowego
pojemność naczynia
liczba czerpaków
10 900m3/h,
45 m,
25 m,
5600 T,
0,12 MPa,
15 m,
4000 dm3,
10 szt.
Ogólnie maszyny podstawowe (koparki, ładowarko-zwałowarki, zwałowarki)
składają się z dwóch zasadniczych części: podwozia (gąsienicowego lub szynowego)
i nadwozia najczęściej obrotowego. Nowoczesne maszyny podstawowe są budowane
353
jako obrotowe. Obrót nadwozia jest ruchem roboczym, bez którego urabianie byłoby
niemożliwe. W koparkach łańcuchowych i kołowych na podwoziu gąsienicowym
i kroczącym praca obrotem jest ruchem podstawowym. Obrót nadwozi zwałowarek
konieczny jest do kierowania strugi urobku w odpowiednie miejsce zwałowiska.
Rys. 20.1. Widok wysięgnika koła czerpakowego koparki wielonaczyniowej SchRs 4600 firmy Krupp
Wuiok I qattj
Rys. 20.2. Zwałowarka Z20
42 83
354
Stosowane są dwa układy podparć części obrotowej na podwoziu:
- obrotnice kołowe - wózki jezdne na jednej lub dwóch koncentrycznych bieżniach
szynowych,
- łożyska wieńcowe (jedno- lub dwurzędowe).
Na rysunku 20.2 przedstawiono przykład zwałowarki dwuzespołowej,
gąsienicowej, jednotaśmociągowej, obrotowej, z wysięgnikiem obrotowo-wychylnym.
20.1. Modele dyskretne nadwozi
Konstrukcje stalowe nadwozia są strukturami powłokowymi lub ramowymi.
W nadwoziu można wyróżnić część środkową w formie masztu osadzonego na
platformie, do której dołączane są wysięgniki: urabiający lub odbierający i zwałujący.
Platforma jest zespołem, do którego mocowane jest łoże górne łożyska
wielkogabarytowego lub zestawy wózków.
Przy opracowywaniu modelu dyskretnego należy wziąć pod uwagę cel obliczeń,
możliwości sprzętowe i programowe, wymaganą dokładność obliczeń, rodzaj analizy
(statyka, dynamika, liniowa czy nieliniowa). Najczęściej jest to model belkowy,
powłokowy lub powłokowo-belkowy, rzadziej model bryłowy. Model taki uzupełniany
jest jeszcze całą gamą elementów specjalnych (np. elementy masowe, elementy
kontaktowe, sztywne elementy liniowe itp. Poniżej przedstawiono wybrane modele
dyskretne nadwozi maszyn podstawowych).
Widok nadwozia koparki KWK 1200M, którego podstawowe zespoły mają
budowę ramową, pokazano na rysunku 20.3. Model dyskretny oparty na elementach
powłokowych wysięgnika zespołu urabiającego tej koparki pokazano na rysunku 20.4.
W przypadku koparki SchRs800 [185, 189], której widok ogólny pokazano na
rysunku 20.5, zastosowano model powłokowo-belkowy (rys. 20.6). Fragment nadwozia
współpracujący z podwoziem, tj. platformę, modelowano elementami powłokowymi
(rys. 20.7).
Ciekawe rozwiązanie zastosowano w ładowarce BK 1500, a mianowicie wysięgnik
koła czerpakowego o zmiennej długości. Model dyskretny wysięgnika oparty na
elementach powłokowych pokazano na rysunku 20.8.
Przykładem modelowania całej konstrukcji nośnej jest model koparki
łańcuchowej stosowanej w przemyśle ceramicznym pokazany na rysunku 20.9. Zastosowano
tutaj elementy powłokowe, belkowe, cięgnowe i masowe. Połączenia pomiędzy
poszczególnymi zespołami zrealizowano przez zastosowanie odpowiednich elementów
kontaktowych i przez wiązanie odpowiednich stopni swobody w węzłach. Model
ten posłużył do symulacji pracy koparki łańcuchowej w stanach statycznych i
dynamicznych [46].
355
Rys. 20.3. Widok koparki KWK1200m zbudowanej dla KWK „Turów"
«g£ jiywfc*
.* Jl , U- Sr
V
Rys. 20.4. Model dyskretny wysięgnika zespołu urabiającego koparki KWK1200M
356
Rys. 20.5. Widok ogólny koparki SchRs800
Rys. 20.6. Model dyskretny powłokowo-belkowy nadwozia koparki SchRs800
357
Rys. 20.7. Model dyskretny platformy nadwozia koparki SchRs800
Rys. 20.8. Model dyskretny wysięgnika o zmiennej długości ładowarki BK 1500 [47]
358
Rys. 20.9. Model dyskretny koparki łańcuchowej KW2540 z przenośnikiem taśmowym [46]
20.2. Obliczenia wytrzymałościowe nadwozi
Obliczenia wytrzymałościowe nadwozi metodą elementów skończonych są
wykonywane dla obciążeń statycznych i dynamicznych [259]. Analiza numeryczna
przeprowadzana jest w zakresie liniowym lub nieliniowym. W określaniu wytężenia
istotne znaczenie ma rozkład naprężeń i przemieszczeń. W wytrzymałości duże znaczenie
ma również analiza częstości i postaci drgań własnych. Wartości drgań własnych
konstrukcji nośnej nie powinny pokrywać się z drganiami wynikłymi od obrotów koła
czerpakowego, czy układów napędowych różnych mechanizmów instalowanych na
maszynie.
W przypadku konstrukcji stalowych nadwozia obliczeniom wytrzymałościowym
podlegają elementy podstawowe: wysięgniki, maszty, platformy, oraz takie elementy,
jak: koło czerpakowe, wał koła czerpakowego, bębny przenośników, korpusy
przekładni. Poniżej przedstawiono wyniki obliczeń statycznych i dynamicznych
niektórych elementów nadwozi, których modele dyskretne przedstawiono wcześniej.
Na rysunku 20.10 pokazano pierwszą postać drgań własnych wysięgnika koparki
KWK 1200M. Trzecią postać drgań własnych całego nadwozia koparki SchRs 800
pokazano na rysunku 20.11. Pierwsza postać odpowiada wychyleniom poziomym
wysięgnika zespołu urabiającego, druga postać wychyleniom poziomym wysięgnika
przeciwwagi, a trzecia drganiom w płaszczyźnie pionowej.
359
'/
»e -, _-
"T--"* _
Rys. 20.10. Pierwsza postać drgań własnych wysięgnika zespołu urabiającego koparki KWK1200
Rys. 20.11. Trzecia postać drgań własnych nadwozia koparki SchRs 800
20.3. Modele dyskretne podwozi
Zarówno w zwałowarkach, jak i w koparkach stosowane sąpodobne rodzaje i układy
podwozi oraz mechanizmów jazdy. Zadaniem podwozia jest przenoszenie na podłoże
poziomu roboczego ciężaru maszyny i wszystkich działających na nią obciążeń ze-
360
wnętrznych oraz przemieszczanie maszyny zarówno w czasie procesu roboczego, jak
też podczas jej transportu.
Specyfiką podwozi maszyn odkrywkowych jest:
1. Przenoszenie bardzo dużych sił. Maszyny odkrywkowe należą do najcięższych
maszyn roboczych.
2. Poruszanie się po poziomach roboczych o niekorzystnych własnościach nośnych,
bez uprzedniego ich przygotowania przez utwardzanie i wyrównywanie, a często
bez odwadniania powierzchniowego.
3. Ograniczony zakres dopuszczalnych przechyłów maszyny, ze względu na duże
wysięgi zespołów roboczych.
Podstawowe wymagania stawiane konstrukcji podwozia w świetle
wyszczególnionych aspektów są następujące:
- równomierne rozłożenie przenoszonych sił na wszystkie elementy nośne podwozia,
- uzyskanie możliwie małego jednostkowego obciążenia podłoża.
Warunek równomiernego obciążenia zespołów nośnych wymaga zaprojektowania
konstrukcji nośnej statycznie wyznaczalnej, co jest wykorzystywane w trójpunkto-
wym podparciu całej konstrukcji, oraz zamocowanie poszczególnych elementów
nośnych za pośrednictwem odpowiedniego układu dźwigien-wahaczy.
Spełnienie warunku małego jednostkowego obciążenia wymaga, by dla określonej
wielkości maszyny i jej ciężaru była odpowiednio duża powierzchnia nośna podwozia.
Pociąga to za sobą rozbudowę podwozi maszyn odkrywkowych do wymiarów
niespotykanych w innych maszynach. We współczesnych maszynach odkrywkowych
stosowane są podwozia szynowe, gąsienicowe lub kroczące.
W pierwszym okresie rozwoju maszyn podstawowych stosowane były wyłącznie
podwozia szynowe. W obecnie budowanych maszynach podwozia szynowe są
wypierane przez podwozia gąsienicowe. Zasadniczym problemem w tego typu podwoziach
jest uzyskanie możliwie dużej powierzchni oparcia, co jest możliwe dzięki
zwiększeniu wielkości gąsienic i ich liczby. Napęd mechanizmu jazdy znajduje się
bezpośrednio przy gąsienicach. W dużych koparkach napędzane są wszystkie gąsienice, w
mniejszych tylko gąsienice sterowane.
Podstawowym elementem nośnym podwozia jest portal. Portale podwozi koparek
kołowych i zwałowarek o dużej wydajności budowane dla górnictwa odkrywkowego są
zespołami o stosunkowo skomplikowanej konstrukcji. Ustroje nośne portali wykonywane
są najczęściej jako przestrzenne konstrukcje: prętowe, powłokowe i prętowo-powłokowe.
Głównym elementem portalu jest dźwigar pierścieniowy. Średnica nośnego dźwigara
pierścieniowego portalu osiąga wymiar Dp = 10-20 m, a jego wysokość hp = 2-9 m.
Ramy portali maszyn podstawowych mogą być wykonane jako trzy- lub czterora-
mienne konstrukcje oparte poprzez przeguby kuliste na gąsienicowych zestawach
jezdnych. Większość portali w budowanych obecnie podwoziach maszyn
podstawowych ma podparcia trzypunktowe.
Podwozie maszyny podstawowej górnictwa odkrywkowego ma najczęściej
budowę w formie dźwigara pierścieniowego. We wczesnych zastosowaniach
numerycznych stosowano modele belkowe dźwigara pierścieniowego z wykorzystaniem
361
teorii prętów cienkościennych. Obecnie dźwigary te modeluje się elementami
powłokowymi.
Na rysunku 20.12 pokazano model dyskretny trójramiennego dźwigara
pierścieniowego zwałowarki, wspierającego łożysko kulowe o średnicy 010 m.
Przykład dźwigara pierścieniowego czteroramiennego ładowarko-zwałowarki
ŁZKS 1600 pokazano na rys. 20.13 i jego model dyskretny oparty na elementach
powłokowych na rys. 20.14.
Dźwigar podwozia o budowie powłokowo-ramowej stosowany w koparkach
SchRs 800 pokazano na rys. 20.15. Zastosowano tutaj w głównej części model
powłokowy, a w stosunku do elementów przyległych (przenośnika odbierającego) elementy
belkowe.
Rys. 20.12. Model dyskretny dźwigara pierścieniowego trójramiennego
362
Rys. 20.13. Widok czteroramiennego portalu ładowarko-zwałowarki ŁZKS 1600
RC CLR
■
20 ■
21 ■
25 ■
35 ■
36 ■
37 |~~
363
Rys. 20.14. Model dyskretny dźwigara pierścieniowego czteroramiennego ładowarko-zwalowarki ŁZKS
1600
Rys. 20.15. Model dyskretny podwozia koparki SchRs 800
20.4. Obliczenia wytrzymałościowe podwozia
Obliczenia wytrzymałościowe konstrukcji podwozia wykonuje się dla takich
elementów, jak portal, dyszle stałe i sterujące jazdą, dźwigary gąsienicowe, podajniki
odbierające.
Poniżej podano wyniki obliczeń statycznych portali, których modele dyskretne
przedstawiono w rozdz. 20.3. Obliczenia statyczne wykonywane są dla wielu
przypadków obciążeń i ich kojarzeń.
Na rysunkach 20.16 i 20.17 przedstawiono przykładowe wyniki postaci
odkształceń i warstwie naprężeń zredukowanych dźwigara pierścieniowego zwałowarki.
364
Na rysunkach 20.18-20.20 pokazano wyniki postaci odkształceń oraz warstwie
naprężeń zredukowanych w widoku ogólnym i w przekroju w dźwigarze czterora-
miennym ładowarko-zwałowarki ŁZKS 1600 [224].
Na rysunkach 20.21-20.22 pokazano postać odkształceń oraz warstwie naprężeń
zredukowanych we fragmencie dźwigara podwozia koparki SchRs 800.
Lin DEF Lc=57
1-60-150A
Rys. 20.16. Postać deformacji dźwigara pierścieniowego trójramiennego zwałowarki
365
Uom Mlses
-217.oooo
"0 .008000
2-30-120
Rys. 20.17. Warstwice naprężeń zredukowanych w dźwigarze pierścieniowym zwałowarki
Rys. 20.18. Postać deformacji portalu czteroramiennego ładowarko-zwałowarki ŁZKS 1600
przy określonym położeniu nadwozia
Rys. 20.19. Rozkład naprężeń zredukowanych Hubera-Misesa w portalu czteroramiennym
ładowarko-zwałowarki ŁZKS 1600
Rys. 20.20. Rozkład naprężeń zredukowanych Hubera-Misesa w portalu czteroramiennym
ładowarko-zwałowarki ŁZKS 1600, widok przepon wewnętrznych
367
Rys. 20.21. Postać deformacji podwozia koparki SchRs 800
Rys. 20.22. Warstwice naprężeń zredukowanych w podwoziu koparki SchRs 800, fragment
368
20.5. Analiza rozkładów nacisków w łożysku
kulowym zwałowarki
Dla łożyska wieńcowego zwałowarki (wydajność 12500 m3/h, długość wysięgnika
75m) przeprowadzono analizę rozkładu nacisków. Łożysko to charakteryzuje się
parametrami:
D = 10 m - średnica podziałowa łożyska,
d = 150 mm - średnica kuli,
z =189 -liczba kul.
Na bazie powłokowych modeli ustroju nośnego podwozia i części nadwozia oraz
modeli pary element toczny-bieżnia zbudowano model łożyska, który umożliwia
identyfikację rzeczywistego rozkładu sił w elementach tocznych. Poprzez
wprowadzenie superelementu pojedynczego elementu tocznego [200] uniknięto sprzeczności
między makroanalizą całego łożyska i mikroanalizą zjawisk zachodzących na styku
bieżnia-element toczny.
zjawiska zachodzące na styku
element toczny-bieżnia
(przewyższenie, zużycie,
deformacje plastyczne)
charakterystyka F(u)
styku element toczny-bieżnia
• obciążenia od strony nadwozia
i ich wprowadzenie
w obszar łożyska
• obciążenia od podwozia
(sity pochodzące od zestawów
gąsienicowych)
i ich wprowadzenie
w obszar łożyska
• uwzględnienie sztywności
konstrukcji wsporczych
Rys. 20.23. Elementy składowe w analizie łożysk wielkogabarytowych
Zastosowanie takich elementów daje możliwość określenia, które elementy toczne
i w jakim stopniu uczestnicząw przenoszeniu obciążeń. Konieczne jest wprowadzenie
elementów w podziałce odpowiadającej podziałce elementów tocznych w łożysku.
Podczas obliczeń możliwe jest dowolne położenie nadwozia względem podwozia
369
(z krokiem równym podziałce łożyska), dowolne obciążenie oraz uwzględnienie
nierównomiernego zużycia bieżni.
Zbudowany model składa się z 13 616 elementów skończonych rozpiętych na
6329 węzłach siatki MES. Cały model ma 37 955 stopni swobody przy półpaśmie
3211. Do budowy modelu wykorzystano:
a) powłokowe elementy skończone cztero- i trzywęzłowe SHELL, uwzględniające
teorię zginania powłok grubych, do modelowania blach ramy portalowej podwozia,
b) belkowe elementy skończone BEAM3D do modelowania pomocniczych
elementów struktury nośnej ramy portalowej podwozia (wsporników dyszli, mechanizmu
skrętu) oraz do modelowania struktury nośnej wydzielonej części nadwozia,
c) superelementy do modelowania łożyska, w tym:
— belki BEAM3D do modelowania sztywności giętnej pierścieni łożyska (bieżni),
— belki BEAM3D z przegubami, nieliniowych sprężyn SPRING3D, elementów
sztywnych RBAR, elementów kontaktowych GAP; do modelowania
sztywności styku bieżnia-element toczny-bieżnia.
Rys. 20.24. Model geometryczny łożyska wraz z konstrukcjami wsporczymi
370
Rys. 20.25. Model dyskretny łożyska wraz z konstrukcjami wsporczymi
Wszystkie zastosowane elementy były elementami uwzględniającymi nieliniowość
geometryczną, natomiast elementy tworzące superelement elementu tocznego
dodatkowo nieliniowość fizyczną. Charakterystykę sztywności styku bieżnia-element tocz-
ny-bieżnia uzyskano z modeli opisanych w punkcie 18.3.
Na rysunku 20.24 pokazano model geometryczny, a na rysunku 20.25 model
dyskretny łożyska wraz z konstrukcjami wsporczymi.
Przeprowadzono nieliniowe analizy wytrzymałościowe z zastosowaniem
algorytmu Newtona-Raphsona [49,174]. W ich wyniku uzyskano pola przemieszczeń,
odkształceń i naprężeń zamodelowanego fragmentu maszyny.
371
Rys. 20.26. Porównanie rozkładu teoretycznego wg Ohnricha i uzyskanego z modelu FEM
Na rysunku 20.26 pokazano przykładowe wykresy wartości obciążeń dla
poszczególnych elementów tocznych, uzyskanych teoretycznie i z modelu FEM, dla najbardziej
niekorzystnego przypadku położenia nadwozia, obróconego względem podwozia o kąt a = 60° i
zestawu obciążeń dla jazdy maszyny po łuku. Przypadek ten charakteryzuje się złożonym
zestawem obciążeń, a jednocześnie występuje podczas normalnej eksploatacji. Linią ciągłą
narysowano rozkład uzyskany z obliczeń MES, linią przerywaną uzyskany z dotychczas
stosowanego modelu teoretycznego [130, 164]. Jednocześnie kreskowaniem skośnym
zaznaczono strefy „twardych punktów nadwozia i podwozia", a kreskowaniem poziomym
strefy wprowadzenia w dźwigar pierścieniowy sił od dyszli zestawów gąsienicowych.
Maksymalne wartości sił występują w miejscach, gdzie nastąpiło pokrycie stref, a
maksymalna wyznaczona z modelu MES wartość obciążenia na jedną kulę jest o ponad 200%
większa niż uzyskana z modelu dotychczasowego. Doskonale widoczny jest wpływ
usztywnień poprzecznych dźwigara (przepony co 17,14°).
372
Rys. 20.27. Obwiednią rozkładów wartości sił na jeden element toczny dla bieżni podwozia
(kwadraty) i nadwozia (kółka)
Rys. 20.28. Zakres odchylenia kąta działania elementów tocznych od osi łożyska (obwiednią)
Maksymalna wartość siły przypadająca na jeden element toczny łożyska wyniosła
373
Należy podkreślić, że zaprezentowane wyniki dotyczą początku eksploatacji
łożyska. W wyniku nagniatania bieżni oraz zużycia nastąpi zmiana rozkładu.
Analizując wyniki obliczeń (rozkłady nacisków) dla różnych położeń i sił, można
określić stan poszczególnych fragmentów bieżni i skorygować parametry
poszczególnych superelementów. Po powtórzeniu obliczeń dla różnych położeń nadwozia (co
3,8°) uzyskano obwiednie rozkładu nacisków. Rozkład maksymalnych wartości dla
bieżni podwozia (kwadraty) i nadwozia (kółka) naniesiono na wykresie (rys.
20.27), zakres zaś odchylenia kąta działania elementów tocznych od osi łożyska na
rysunku 20.28.
Dla wybranego przypadku wyznaczono rozkłady nacisków dla różnych sztywności
dźwigara pierścieniowego podwozia (rys. 20.29). Wysokość dźwigara zwiększano
kolejno do 120, 140 i 160% wysokości nominalnej.
Poprzez wzrost sztywności dźwigara pierścieniowego uzyskano zmniejszenie
maksymalnej wartości siły na kulę z 345 kN do 270 kN. W podobny sposób
sprawdzono wpływ sztywności dźwigara pierścieniowego nadwozia. Na podstawie
wyników oraz analizy wykresu obwiedni stwierdzono nieznaczny wpływ tych zmian na
maksymalne wartości sił, co oznacza, że decydujący wpływ na rozkład sił dla takich
rozwiązań konstrukcyjnych konstrukcji wsporczych ma struktura podwozia, gdyż to
„punkty twarde" podwozia generują miejsca maksymalnych nacisków.
Zaproponowana metoda, polegająca na zastosowaniu specjalnego superelementu
tocznego, w odróżnieniu od dotychczas stosowanych, daje rozkłady obciążeń zbliżone
do rzeczywistych.
Ten tok postępowania pozwala na rozdzielenie makroanalizy całego łożyska (wraz
z ustrojem nośnym maszyny) od mikroanalizy jednego układu bieżnia-element
toczny, co umożliwia zastosowanie siatki MES adekwatnej do rozpatrywanego problemu,
z korzyścią dla dokładności obliczeń.
Wyniki uzyskane z przeprowadzonych analiz dowodzą, że dotychczasowych
metod obliczania łożysk nie można stosować do łożysk wielkogabarytowych [196,
198, 199, 238]. Uzyskany zakres kątów działania elementów tocznych (-10° - +15°)
uzasadnia konieczność uwzględniania przewyższenia. Obwiednie rozkładów oraz
mary wpływ zmian sztywności portalu podwozia sugerują, że niekorzystny rozkład
obciążeń jest spowodowany niejednorodnością i zbyt małą sztywnością tej ramy.
374
F[kN]
350
300
250
200
150
100
150
180
a
Rys. 20.29. Rozkłady sił na jeden element toczny dla różnych wysokości dźwigara pierścieniowego
ramy portalowej podwozia (pokazano zakres dla a = 30-180°)
375
20.6. Modelowanie i symulacja pracy czerpaków
przeznaczonych do urabiania iłów
Krajowa energetyka, opierająca się na konwencjonalnych elektrowniach, jeszcze
przez długie lata będzie uzależniona od najtańszego źródła energii, jakim jest węgiel
brunatny. System wydobycia węgla brunatnego w polskich kopalniach
odkrywkowych jest stosunkowo trudny ze względu na dużą ilość głazów narzutowych [86]
oraz nadkładów trudno urabialnych (rys. 20.30). Stwarza to konieczność szukania
nowych rozwiązań konstrukcyjnych w zespołach urabiających maszyn
podstawowych, a w szczególności czerpaków z zębami, które powinny mieć odpowiednią
trwałość. Obecnie eksploatowane czerpaki typu R12 są teoretycznie przystosowane
do jednostkowej siły kopania rzędu 80 kN/m, a w rzeczywistości nie przekraczają
40-60 kN/m. Do urabiania nadkładów trudno urabialnych kopalnie potrzebują
obecnie nowych maszyn [237] oraz nowej generacji czerpaków, które powinny
dysponować siłą umożliwiającą pokonywanie jednostkowych liniowych oporów
urabiania (k\) o wartości 100-140 kN/m, a ich trwałość powinna wzrosnąć co najmniej
kilkakrotnie.
Urabianie takich skał czerpakami tradycyjnymi okazuje się działaniem bardzo
kosztownym ze względu na zaniżoną wydajność koparek, dużą awaryjność i duże
zużycie czerpaków. Z roku na rok rośnie intensywność ich zużycia. Spadek trwałości
eksploatacyjnej kompletu czerpaków (skrajnie do ok. 10-12 godzin) powoduje
okresowe braki możliwości zabezpieczenia czerpaków na wymiany.
Rys. 20.30. Nadkład trudno urabialny w KWB „Turów"
376
20.6.1. Obciążenia zewnętrzne
Określenie obciążeń zewnętrznych działających na konstrukcję nośną kola
czerpakowego jest bardzo trudne. Kojarzenie obciążeń zewnętrznych można podzielić na
grupy [51, 79]:
• masy własne koła oraz elementy na stałe z nim powiązane (rys. 20.31),
• przenoszenie sił pochodzących od procesu skrawania dla warunków
eksploatacyjnych (rys. 20.31),
• przenoszenie obciążeń udarowych powstałych podczas gwałtownego
zatrzymania koła czerpakowego koparki.
Rys. 20.31. Rozkład sił działających na koło czerpakowe oraz zasadnicze elementy jego mechanizmu
napędowego (Fb - siła boczna, Fu - siła udarowa, 1 - silnik napędowy, 2 - wał łączący silnik napędowy
z przekładnią, 3 - przekładnia, 4 - sprzęgło, 5 - hamulec, 6 - wał koła czerpakowego)
Ze względu na maszyny urabiające, a zwłaszcza dobór narzędzi urabiających i mocy
napędowej, wymaganej do realizacji procesu urabiania, podstawową wielkością wyj-
ściowąjest sumaryczna wartość oddziaływania ośrodka urabianego na narzędzie, czyli
sumaryczny opór urabiania F. W ogólnym przypadku na wielkość tę składa się jednak
nie tylko opór związany z niszczeniem struktury i oddzieleniem części od złoża,
zwany ogólnie oporem skrawania Fs, ale również opór związany z tarciem ośrodka i
urobku o ścianki narzędzia, zwany oporem tarcia Fp opór związany z przemieszczaniem
poziomym urobku za pomocą narzędzia, zwany oporem przemieszczenia F opór
związany z napełnianiem naczynia urobkiem, zwany oporem napełniania Fn,
względnie opór związany z podnoszeniem urobku w obrębie narzędzia FH, zwany oporem
podnoszenia. Całkowity opór można więc przedstawić ogólnie w następującej postaci:
F=F+F+Ft + F+ F„+Fodp
u s p t n H oaP
(20.1)
l~odp
b
"sk
Rys. 20.32. Schemat obciążenia poszczególnymi siłami czerpaka z narożami
Należy podkreślić, że nie w każdym procesie urabiania występują wszystkie
wymienione opory, a poza tym ich udziały w oporze całkowitym też są bardzo różne.
Stwierdzono jednak, że w przypadku skał zwięzłych i ośrodków gruntowych spoistych
suchych decydujące są opory skrawania 70-90% (rys. 20.32), w przypadku zaś
ośrodków o małej spoistości i sypkich, decydujące są opory tarcia i napełniania lub
przemieszczania w poziomie albo w pionie.
Z wielu obciążeń działających bezpośrednio na zęby czerpaków jedno obciążenie
było dotychczas pomijane. Jest to „siła odporu" Fodp (rys. 20.33), która w nadkładach
trudno urabialnych odgrywa szczególną rolę.
Siły odporu występują stale w trakcie procesu skrawania. Są one często głównymi
siłami destrukcyjnymi. Dotyczy to szczególnie tradycyjnych konstrukcji czerpaków
(rys. 20.34), nieprzystosowanych wytrzymałościowo do przenoszenia tych sił.
Ośrodek
nieurabialny
np.kamień
Rys. 20.33. Przykład wywołania skupionej siły odporu
378
Rys. 20.34. Tradycyjny czerpak R12 z zębami ostrosłupowymi w KWB „Turów"
Jeżeli znaczna część sumarycznej siły odporu skupi się na jednym z trzech lub
czterech będących w procesie skrawania czerpaków, to następuje znaczne
przekroczenie dopuszczalnych naprężeń i wynikające z tego deformacje zębów, noża lub całego
korpusu czerpaków. Może do tego dojść na przykład na skutek niekorzystnego
„najechania" ostrzem skrawającym na przeszkodę nieurabialną.
W czerpaku z narożami główne siły odporu przejmuje „silne" naroże usytuowane
w specjalnie usztywnionej części czerpaka. W czerpaku tradycyjnym siły te przejmują
zęby oraz nóż, głównie w środkowej, „membranowej" części czerpaka.
Przy urabianiu skał trudno urabialnych siły odporu są często siłami skupionymi,
wymuszanymi oddziaływaniem „twardego" podłoża. Ich działanie jest główną
przyczyną przeciążania tradycyjnych zębów w kierunku „góra-dół". Powoduje to
plastyczne odkształcenie (rys. 20.35) lub złamanie zęba, oderwanie zęba od noża lub
wyrwanie go wraz z częścią noża.
Rys. 20.35. Odkształcone zęby w czerpaku w KWB „Turów"
379
Deformacja geometrii ostrza powoduje wzrost oporów skrawania, tak więc stan
ostrza zębów i naroży ma zasadniczy wpływ na łączną wartość siły kopania, która
decyduje o całym procesie urabiania koparki.
20.6.2. Podstawowe czynniki wpływające na opór urabiania
Dotychczasowe wyniki badań wskazują na pewne wyraźne prawidłowości
dotyczące wpływu niektórych właściwości ośrodka, parametrów narzędzia oraz czynników
procesu na opory urabiania. W przypadku skał zwięzłych decydujący wpływ na opór
urabiania ma nie tylko rodzaj skały, ale również jej tekstura, spękanie, defekty,
odprężenie i inne cechy geotechniczne, które ułatwiają lub utrudniają realizację procesu
urabiania.
Odnośnie do narzędzia roboczego - istotny wpływ na opór urabiania mają kąty
zaostrzenia i ustawienia noża w stosunku do powierzchni ośrodka urabianego (rys.
20.36), zwłaszcza w przypadku skał i gruntów zwięzłych. Ogólnie, im mniejszy kąt
skrawania as, większy kąt natarcia y a do pewnych granic i kąt przyłożenia S, tym
opór urabiania jest mniejszy. Zbyt mały kąt skrawania, zwłaszcza w przypadku
ośrodków zwięzłych, również nie jest korzystny, gdyż utrudnione jest niszczenie struktury
w obrębie całego przekroju warstwy skrawanej. Z tego powodu istnieje dla każdego
ośrodka optymalna wartość kąta skrawania narzędzia urabiającego.
Rys. 20.36. Kąty ostrza skrawającego ośrodek skalny: as - kąt skrawania, 0- kąt ostrza, y- kąt natarcia,
S- kąt przyłożenia, e- kąt określający płaszczyznę poślizgu ośrodka urabianego
380
Do opisu oddziaływania ośrodka skalnego na narzędzie w procesie urabiania w pełnym
obszarze jego penetracji nie istnieją dotychczas ogólne sprawdzone eksperymentalnie
związki między wielkościami fizycznymi a oporami, stanowiące równania stanu. W
dotychczasowych analizach, dotyczących w większości samego procesu niszczenia struktury
ośrodka skalnego, wprowadzanych jest wiele uproszczeń i założeń, a przy tym
wykorzystywane są zwykle do tego celu związki lokalne. Oprócz tego, skrawanie ośrodka traktowane
jest przeważnie jako zdarzenie jednorazowe, a nie proces losowy przebiegający w czasie.
20.6.3. Model obliczeniowy czerpaka z narożami odlewanymi
Obecnie w Kopalni „Turów" stosowane są dwa rodzaje czerpaków: R12 firmy
FAMA GO z zębami wymiennymi WKL. Drugi rodzaj czerpaka to zmodyfikowany
przez Kopalnię „Turów" czerpak R12.1M. Od przeszło roku kopalnia zaczęła używać
nowych czerpaków z narożami odlewanymi, których głównym przeznaczeniem jest
urabianie nadkładów trudno urabialnych.
Nowy czerpak koparki kołowej (rys. 20.37) zaprojektowany przez Biuro Projektowo-
Techniczne SKW w Zgorzelcu [237] został zbudowany z korpusu, noża i dwóch naroży.
Każde naroże stanowi monolityczny element ukształtowany z dwóch ścian o zmiennej
grubości - ściany bocznej i ściany dolnej. Ponadto złącza dwóch powierzchni
bocznych z powierzchnią dolną naroża zostały wzmocnione blachą kształtową.
Rys. 20.37. Nowy czerpak z narożami w KWB „TURÓW"
Takie ukształtowanie naroża czerpaka koparki kołowej z narożami o zmiennym
przekroju ściany bocznej i dolnej, odlewanymi lub odkuwanymi, spawanymi do noża
czerpaka zmniejsza jego masę przy zachowaniu jego dużej wytrzymałości.
Zastosowanie odpowiednio obrobionego cieplnie materiału pozwala na uzyskanie dużej
wytrzymałości mechanicznej o odporności na ścieranie. Połączenie spawane naroża
z czerpakiem umożliwia naprawę czerpaka w posty sposób: odpalenie zużytego
naroża i przyspawanie nowego. Czerpaki z narożami przyspawanymi są trwalsze w
porównaniu z czerpakami z narożami rozbieralnymi oraz czerpakami z zębami
wymiennymi lub spawanymi.
381
Dla czerpaków z narożami opracowano nowoczesną technologię obróbki cieplnej
naroży (rys. 20.38) na światowym poziomie. Naroża czerpaków firmy SKW
wykonane z materiału L35GSM są hartowane i odpuszczane przez 4 godziny w temperaturze
550 °C. W wyniku takiej obróbki wskaźnik wytrzymałościowy tego materiału
osiągnie Re0,2 = 986 MPa. Przyjmując minimalną wartość współczynnika bezpieczeństwa
dla materiału xe= 1,2 otrzymamy naprężenia dopuszczalne <7dop = 822 MPa.
Rys. 20.38. Obiekt rzeczywisty i model geometryczny nowych naroży
Pierwszym podstawowym krokiem analizy MES [173] było zbudowanie modelu
geometrycznego analizowanego obiektu (rys. 20.39). Z pomocą przychodzą tu liczne
systemy CAD, lecz tylko systemy parametryczne pozwalają na zbudowanie modeli
o bardzo złożonej geometrii w zadowalająco krótkim czasie. Pozwalają one również
szybko wprowadzać modyfikacje konstrukcji po wstępnej analizie MES. W
przeciwieństwie do prymitywnych systemów CAD, takich jak AutoCAD, system I-DEAS,
w którym zbudowano model czerpaka, co pozwala na zbudowanie parametrycznego
modelu bryłowego. Parametryzacja umożliwia szybkie wprowadzanie zmian geometrii
modelu w celu jego optymalizacji w kolejnych krokach analizy MES. Model
geometryczny został pokryty siatką elementów skończonych typu TETRA4 [173]
z biblioteki elementów systemu I-DEAS (rys. 20.40).
Rys. 20.39. Model geometryczny czerpaka z narożami odlewanymi
382
Rys. 20.40. Model dyskretny czerpaka firmy SKW
Element TETRA4 jest elementem o topologii czworościanu. W każdym z naroży
znajduje się węzeł, który ma trzy stopnie swobody (wektor przemieszczeń {u}T = {ux, uy,
uz}). Bardzo ważnym elementem modelowania jest dobranie odpowiedniej gęstości
siatki podziału. W modelu wygenerowano 18054 węzłów i 63521 elementy. Ogółem
model ma 54162 stopni swobody (bez utwierdzenia).
Analizę wytrzymałościową czerpaka przeprowadzono metodą elementów
skończonych dla trzech stanów obciążeń: Fsk = 300 kN (maksymalna obwodowa siła
skrawania), Fb = 120 kN (maksymalna siła boczna), Fodp = 100-300 kN (siła boczna).
Obliczenia wytrzymałościowe czerpaka wykonano systemem I-DEAS firmy
SDRC z USA. Moduł obliczeniowy tego systemu oparty jest na metodzie elementów
skończonych (MES) [173]. Przykładowe wyniki obliczeń pokazano na rys. 20.41.
Rys. 20.41. Warstwice zredukowanych naprężeń w czerpaku z narożami SKW
383
Na podstawie numerycznej symulacji wykazano zasadniczą (kilkakrotną) przewagę
wytrzymałościową naroża w stosunku do zębów WKL oraz zębów spawanych, w
zakresie naprężeń pochodzących od sił odporu, nie wykazano natomiast tak dużej przewagi
nad naprężeniami wywołanymi od sił skrawania i sił bocznych, ponieważ w obu
typach eksploatowanych czerpaków (R12M, R12+WKL) geometria ostrzy jest w miarę
prawidłowa.
Na uwagę zasługuje fakt, że w przypadku równoczesnego działania maksymalnej
siry skrawania 300 kN i siry odporu od wartości 100 kN do 300 kN w czerpakach
z narożami zredukowane naprężenia w narożu są mniejsze aniżeli w przypadku braku
siły odporu. Oznacza to, że czerpaki z narożami są zaprojektowane prawidłowo, tak
aby te siły mogły oddziaływać jednocześnie, i ten stan wytężenia odpowiada
warunkom urabiania w IV i V klasie urabialności.
Może to potwierdzić również fakt, że obecnie czerpaki z nowymi narożami
przepracowują około 70 godzin na nadkładach trudno urabialnych.
21. OBLICZENIA WYTRZYMAŁOŚCIOWE
KONSTRUKCJI NOŚNYCH SUWNICY
Urządzenia do transportu bliskiego (suwnice, przenośniki i żurawie) są w większości
przeznaczone do prac bardzo specjalistycznych. Urządzenia te stanowią skomplikowane
układy transportowe, a ich konstrukcje nośne muszą spełniać wysokie wymagania.
Jednym z kryteriów jest odpowiednia trwałość poszczególnych elementów nośnych.
Konstrukcje nośne tych urządzeń są budowane jako ramy przestrzenne o złożonych
kształtach. Na przykładzie suwnicy kontenerowej i bramowej przestawiono niektóre aspekty
obliczeń wytrzymałościowych MES konstrukcji nośnych tych urządzeń.
21.1. Suwnica kontenerowa
Suwnice kontenerowe mają szerokie zastosowanie na placach przeładunkowych
oraz w portach rzecznych i morskich [46, 152]. Konstrukcje nośne suwnic
kontenerowych budowane są w zależności od przeznaczenia. Suwnice kontenerowe, pracujące
na placach przeładunkowych, są budowane w postaci bramy, jak pokazano na rys.
21.1. Bardziej złożoną konstrukcją charakteryzują się suwnice kontenerowe nabrzeż-
ne, one również mają konstrukcję bramową, ale do bramy jest mocowany zespół
wysięgnika, zespół dźwigara, zespół stojaków i odciągów.
Rys. 21.1. Widok ogólny bramowej suwnicy kontenerowej
384
Rys. 21.2. Suwnica kontenerowa nabrzeżna
Firma TIMP SYSTEM z Gdańska opracowała własny projekt suwnicy nabrzeżnej,
której widok ogólny zamieszczono na rysunku 21.2.
Ustrój nośny suwnicy jest konstrukcją skrzynkową spawaną i składa się z bramy,
którą przedstawiono na rysunku 21.3. Jest to konstrukcja skrzynkowa spawana i
składa się z następujących elementów:
-kolumny dolne (4 szt), przekrój 1700 mm na 1250 mm, grubość blach poszycia 8
i 10 mm, grubość blach przepon 10 mm, usztywnienia wzdłużne w postaci
kątowników L90x60x8,
- rygle dolne (2 szt.), przekrój 1950 mm na 1250 mm, grubość blach poszycia 10 mm,
-grubość blach przepon 12 i 10 mm, usztywnienia wzdłużne w postaci kątowników
L90x60x8,
-rygle poprzeczne (2 szt.), przekrój 1400 mm na 1700 mm, grubość blach poszycia
10 mm, grubość blach przepon 12 mm, usztywnienia wzdłużne w postaci
kątowników L90x60x8 oraz L100x75x8,
-kolumny górne odlądowe (2 szt.) i odwodne (2 szt.), przekrój 1700 mm na 1250 mm,
grubość blach poszycia 8 i 10 mm, grubość blach przepon 10 mm, usztywnienia
wzdłużne w postaci kątowników L90x60x8,
-rygiel górny odlądowy (1 szt.), przekrój 2200 mm na 1250 mm, grubość blach
poszycia 10, 12, 14, 16 mm, grubość blach przepon 12, 14, 16, 20 mm, usztywnienia
wzdłużne w postaci kątowników L90x60x8, L100x75x8, L120x80xl0,
385
Rys. 21.3. Widok konstrukcji bramy
-rygiel górny odwodny (1 szt.), przekrój 2200 mm na 1250 mm, grubość blach
poszycia 12, 14, 16, 20, 25 mm, grubość blach przepon 12, 16, 20 mm, usztywnienia
wzdłużne w postaci kątowników L90x60x8, L100x75x8, L120x80xl0,
- zespół ukośnika (2 szt.), rura ze szwem 0711x7,1,
- skratowanie poziome ram portalu (1 szt.), rura 0406,4x8,8.
Widok wysięgnika przedstawiono na rysunku 21.4, który jest konstrukcją skrzynkową
spawaną. Przekrój 1400 mm na 4060 mm, grubość blach poszycia 7, 10, 12 mm, grubość
blach przepon 10, 12 mm, usztywnienia wzdłużne w postaci kątowników L90x60x8. Kształt
konstrukcji nośnej dźwigara przedstawiono na rys. 21.5, jest to konstrukcja skrzynkowa
spawana o przekroju 1400 mm na 4060 mm, grubość blach poszycia 7, 8, 10, 12 mm,
grubość blach przepon 10, 12 mm, usztywnienia wzdłużne w postaci kątowników L90x60x8.
Rys. 21.4. Konstrukcja nośna wysięgnika
386
Rys. 21.5. Konstrukcja nośna dźwigara
Zespół odciągów składa się z następujących elementów:
-odciąg dźwigara (1 szt), przekrój 610 mm na 244 mm, grubość blach pasów
górnego i dolnego 12 mm, pasów bocznych 16 mm,
-odciąg wysięgnika (1 szt.), przekrój 610 mm na 244 mm, grubość blach
pasów górnego i dolnego 12 mm, pasów bocznych 16 mm,
- zastrzał, przekrój 0813x10,
- stojak odlądowy (1 szt.), przekrój 676 mm na 620 mm, grubość blach
poszycia 12 mm,
- 14 mm, grubość blach przepon 8 mm, usztywnienia wzdłużne w postaci
kątowników L90x60x8,
- stojak odwodny (1 szt.), przekrój 676 mm na 620 mm, grubość blach poszycia
14 mm, grubość blach przepon 8 mm, usztywnienia wzdłużne w postaci
kątowników L90x60x8.
21.1.1. Obciążenia zewnętrzne suwnicy i ich kojarzenia
Obciążenia suwnicy oraz ich kojarzenia zostały ustalone zgodnie z normą
PN-86/M-06514. Podstawą do wyznaczenia obciążeń suwnicy kontenerowej była
dokumentacja techniczna suwnicy kontenerowej opracowana przez TIMP SYSTEM s. c.
Wartości obliczeniowe obciążeń wyznaczono po uprzedniej identyfikacji konstrukcji
suwnicy kontenerowej i ustaleniu obciążeń charakterystycznych. Charakterystyka
techniczna suwnicy kontenerowej została przedstawiona w tabeli 21.1.
Możliwości wykonywania ruchów roboczych w zależności od prędkości wiatru
zostały zestawione w tabeli 21.2.
387
Wciągarka kontenerowa suwnicy podnosząca obciążenie do 40 t ma czas rozruchu
przy podnoszeniu i opuszczaniu 2,0 s, czas hamowania przy podnoszeniu 2,0 s, a czas
hamowania przy opuszczaniu 2,2 s.
Tabela 21.1. Charakterystyka techniczna suwnicy kontenerowej nabrzeżnej
Grupa natężenia pracy
Klasa obciążenia
Klasa wykorzystania
Liczba cykli pracy suwnicy (wytyczne TIMP System)
Grupa natężenia pracy ustroju nośnego/{Ni; K„) wg PN-79/M-06515
Wysokość podnoszenia
Głębokość opuszczania
Rozpiętość bramy
Rozstaw podpór bramy
Wysięg na stronie odwodnej
Wysięg na stronie odlądowej
Dopuszczalna prędkość wiatru roboczego
Dopuszczalna prędkość wiatru burzowego
Rodzaj zderzaków
Siła uderzenia w odboje
Skok tłoka
Opóźnienie maksymalne przy uderzeniu suwnicy w odboje
Maksymalne naciski na 1 koło WS siła pionowa
Maksymalne naciski na 1 koło WS siła prostopadła
Maksymalne naciski na 1 koło LS siła pionowa
Maksymalne naciski na 1 koło LS siła prostopadła
A6
Q2
u6
1 x 105
4U
H„ = 23,0 m
HQ = 10,0 m
R = 12,0 m
P=18,0m
Li = 26,5 m
L2=15,0m
Vwr = 22 m/s
Vwb = 42 m/s
hydrauliczne
2 x 400 kN
250 mm
a = 1,4 m/s2
Nwe = 380 kN
Pws = 34 kN
Nls = 350 kN
Pk = 34 kN
Tabela 21.2. Możliwości wykonywania ruchów roboczych
Prędkość wiatru
Vw < = 22 m/s
22 m/s < Vw < = 24 m/s
Vw > 42 m/s
Możliwe ruchy robocze
wszystkie ruchy możliwe
wszystkie ruchy możliwe z prędkością ograniczoną do połowy wartości
nominalnej
zapadają kleszcze przeciwwiatrowe, wysięgnik podniesiony
Podczas zwodzenia wysięgnika wykonywanie innych ruchów roboczych jest niemożliwe
Powierzchnie nawietrzne oraz współrzędne środków naporu wiatru ustalono na
podstawie dostępnej dokumentacji konstrukcyjnej suwnicy kontenerowej. Wartości sił naporu
wiatru w różnych położeniach wyznaczono przy założeniu ciśnienia prędkości wiatru
roboczego 300 N/m2 oraz wiatru burzowego 800 N/m2 do wysokości 20 m i 1100 N/m2 i
wysokości powyżej 20 m.
Współrzędne punktów przyłożenia sił naporu wiatru działających na konstrukcję
suwnicy zestawiono w tabeli 21.3 dla wiatru roboczego i wiatru burzowego.
388
Suwnica poddana jest obciążeniom zmiennym pochodzącym od siły dynamicznej
podnoszenia i siły dynamicznej od ruchu suwnicy po torach.
Siły dynamiczne podnoszenia zostały ustalone zgodnie z normą PN-86/M-06514
przy założeniu prędkości roboczych podnoszenia, które przedstawiono powyżej. Ze
względu na zastosowanie urządzeń sterujących z automatyczną kontrolą rozruchu
wartości normowe obciążeń zmniejszono o połowę. Przykładowe wartości sił
dynamicznych podnoszenia zestawiono w tabeli 21.4.
Tabela 21.3. Wartości oraz współrzędne sił naporu wiatru
Wiatr roboczy
Kierunek wiatru
wiatr boczny
wiatr boczny, wysięgnik podniesiony
wiatr prostopadle do torowiska
wiatr prostopadle do torowiska, wysięgnik podniesiony
Wartość sity [N]
188 940
188 940
241 620
292 926
Współrzędna
pionowa [m]
25,84
27,45
21,43
29,86
Wiatru burzowy
wiatr boczny, wysięgnik podniesiony
wiatr prostopadle do torowiska, wysięgnik podniesiony
686 700
1 032 698,7
27,71
25,66
Tabela 21.4. Siły dynamiczne podnoszenia
Wielkość
Siła udźwigu
Prędkość podnoszenia
Współczynnik dynamiczny podnoszenia - max
Współczynnik dynamiczny podnoszenia przeciętny
Siła dynamiczna podnoszenia - max
Siła dynamiczna podnoszenia przeciętna
Oznaczenie
F0[W]
Vv [m/sl
"max
0,65 <imax
FdmzK =FQx (4^ x 0,5 [kN]
Fd = F0 x 0,65 x«Ux 0,5 [kN]
Wartość
520
0,83
0,83
0,54
215,8
140,3
Przyjęto następujące wartości współczynnika dynamicznego ruchów torowych: dla
jazdy bramy ęd= 0,1 oraz dla jazdy wózka ^=0,15.
Siły dynamiczne ruchów torowych bramy uwzględniono w obliczeniach MES,
zwiększając przyspieszenie ziemskie do wartości g x 1,10 (tp= 0,10- współczynnik
dynamiczny ruchów torowych) dla bramy i wartości g x 1,15 (<p = 0,15) dla wózka.
Zbiorcze zestawienie obciążeń zewnętrznych suwnicy kontenerowej dla
wszystkich przypadków jej pracy z uwzględnieniem płynnego rozruchu mechanizmu
podnoszenia przedstawiono w tabeli 21.5 i 21.6.
21.1.2. Budowa modelu obliczeniowego suwnicy
W celu przeprowadzenia analizy dynamicznej suwnicy kontenerowej zbudowano
jej model składający się z następujących elementów: mechanizm jazdy, brama,
wysięgnik, dźwigar, zespół stojaków i odciągów, mechanizm podnoszenia i inne.
389
Niektórym elementom modelu odpowiada w rzeczywistości dosyć złożony obiekt,
jednak odpowiednie dobranie parametrów dynamicznych elementów modelu, takich
jak masa i moment bezwładności sprawia, że z punktu widzenia dynamiki obiekt
rzeczywisty i element modelu są sobie równoważne. Każdą maszynę, urządzenie
mechaniczne, pojazd można sprowadzić do układu wielu ciał połączonych między sobą
bezpośrednio lub pośrednio elementami pośrednimi (rys. 21.6).
Tabela 21.5. Algorytm kojarzenia obciążeń dla przypadku (^(wytrzymałość doraźna)
Obciążenie
Siły ciężkości mas własnych G,
Siła udźwigu F0
Siły dynamiczne podnoszenia
- max F^
- przeciętna Fd
Siły dynamiczne ruchów torowych
- bramy FJb
- wózka Fiw
Siły bezwładności
-jazdy bramy Bjab,BjFb
- jazdy wózka BjGw, BJFw
- siły poziome ruchów torowych H, S
Wiatr roboczy Wr
Wiatr burzowy Wb
Najazd bramy na odboje Ub
Najazd wózka na odboje Uw
Stan roboczy
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
2
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
3
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
4
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
5
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
6
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
Wiatr
burzowy
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
Obciążenia
wyj ątkowe
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
Tabela 21.6. Algorytm kojarzenia obciążeń dla przypadku T (wytrzymałość zmęczeniowa)
Obciążenie
Siły ciężkości mas własnych G,
Siła udźwigu FQ
Siły dynamiczne podnoszenia
- przeciętna Fd
Siły dynamiczne ruchów torowych
- bramy FJb
- wózka Fiw
Siły bezwładności
-jazdy bramy Bj0b,BjFb
- jazdy wózka BjGw, BJFw
- siły poziome ruchów torowych H, S
Stan roboczy
1
1
1
1
0
0
0
0
0
2
1
1
0
1
1
1
0
0
3
1
1
0
1
1
0
1
0
4
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
5
1
1
0
0
0
0
1
0
390
Rys. 21.6. Idealizacja systemu wielu ciał - połączenia
W rzeczywistym obiekcie każdy element jest ciałem podatnym [48]. W modelu
część z nich zastąpiono elementami sztywnymi, ponieważ ich podatność nie ma
większego wpływu na wyniki analizy. Podatność pozostałych została określona poprzez
budowę ich modeli dyskretnych i ich analizę za pomocą metody elementów
skończonych lub - w przypadku prostszych elementów - na podstawie dokumentacji.
Do przeprowadzenia analizy kinematyczno-dynamicznej przy dużych
przemieszczeniach suwnicy konieczne było określenie parametrów poszczególnych elementów modelu.
Dla ciał sztywnych były to: masa elementu, położenie środka ciężkości, moment
bezwładności.
Dla ciał podatnych konieczne było ponadto ustalenie podatności elementu, czyli
określenie jego odkształcenia w zależności od wielkości działającej nań siły.
W celu określenia tych parametrów zbudowano dodatkowe modele dyskretne
poszczególnych zespołów suwnicy. Na podstawie dokumentacji technicznej dostarczonej
przez TIMP SYSTEM s. c. opracowano model geometryczny suwnicy kontenerowej
w systemie I-DEAS [76]. Na podstawie utworzonego modelu geometrycznego (rys.
21.7) opracowano modele dyskretne poszczególnych zespołów suwnicy do obliczeń
metodą elementów skończonych [174, 181, 260]. Do dyskretyzacji zastosowano
elementy skończone typu „Thin Shell Linear Triangle", „Thin Shell LinearQuadrilateral",
„Beam", „Rod", „Rigid", „Lumped Mass".
Model dyskretny składa się z 85 673 elementów skończonych i 79 235 węzłów,
ma 456 670 stopni swobody. Obliczenia wytrzymałościowe w zakresie wytrzymałości
doraźnej oraz wytrzymałości zmęczeniowej ustroju nośnego suwnicy kontenerowej
wykonano metodą elementów skończonych [76, 174, 260], w systemie I-DEAS.
Numeryczną symulację wytężenia suwnicy kontenerowej przeprowadzono dla
najbardziej niekorzystnych przypadków obciążeń, jakie przewiduje norma PN-86/M-06514.
Przykładowe wyniki otrzymane z obliczeń wytrzymałościowych MES zostały
pokazane na rysunku 21.8. Numeryczna symulacja podnoszenia kontenera, jazdy suwni-
391
cy oraz innych stanów została przeprowadzona w zakresie obciążeń dynamicznych
przy dużych przemieszczeniach w systemie DADS [42].
Rys. 21.7. Model geometryczny konstrukcji nośnej suwnicy kontenerowej
392
Rys. 21.8. Postać deformacji i warstwice zredukowanych naprężeń
w konstrukcji nośnej suwnicy kontenerowej według hipotezy Hubera-Misesa [MPa]
Model obliczeniowy suwnicy kontenerowej został opracowany w systemie I-DEAS
i przetransportowany do systemu DADS według schematu pokazanego na rys. 21.9.
1
'
l-DEAS
Mechanism
Parametry masowe
Pary kinematyczne
Siły
DADS
Preprocessor
Więzy
Elementy hydrauliczne
Sterowanie
Elementy podatne
DADS
Analysis
Położenia
Prędkości
Przyspieszenia
Reakcje
Model geometryczny
—►
DADS
Postprocessor
Wykresy
Wyniki
DADS Graphic
Eiwironment
Interaktywna wizualizacja
Animacja
Rys. 21.9. Zintegrowane współdziałanie systemów DADS i I-DEAS
Przykładowe wyniki z analizy dynamicznej zostały pokazane na rys. 21.10.
800
750
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
- i
i
sfY"
fl
;
Ki H
i i.
ku
::::;::.:,:: i
I
....I!......1
Jl
»
i i
10
t[sl
Rys. 21.10. Siły w linach podczas podnoszenia kontenera
393
Obliczenia wytrzymałościowe suwnicy kontenerowej zostały wykonane w dwóch
etapach. Pierwszy obejmował obliczenia statyczne wytrzymałościowe metodą
elementów skończonych konstrukcji nośnej suwnicy dla obciążeń, jakie przewiduje
norma PN-86/M-06514. W tym etapie zostały zwymiarowane poszczególne
przekroje dźwigarów i grubości blach według kryteriów wytrzymałości doraźnej [258].
W następnym etapie została przeprowadzona analiza dynamiczna wszystkich
ruchów pracy suwnicy kontenerowej w systemie DADS. Również w tym etapie
zostało przeprowadzone wymiarowanie konstrukcji nośnej suwnicy ze względu na jej
trwałość [258].
21.2. Numeryczna identyfikacja stopnia wytężenia
konstrukcji nośnej suwnicy
Obiektem identyfikacji są przykładowo suwnice technologiczne pracujące od 1966
roku na Wydziale Elektrolizy, po dwie w halach A i B, oraz w Hucie Aluminium
Konin. Suwnice przeznaczone są do wymiany sworzni anodowych oraz do przenoszenia
wanien elektrolitycznych. Sworznie wymienia się za pomocą tzw. wyrywacza,
zabudowanego na oddzielnym wózku. W trakcie tej operacji na ustrój nośny suwnicy
działają niewielkie siły, rzędu 2-3 kN. Największe obciążenie ustroju nośnego ma
miejsce podczas przenoszenia wanien elektrolitycznych o masie ok. 70 t za pomocą
wózków hakowych dwóch współpracujących ze sobą suwnic.
Ustroje nośne wszystkich 4 suwnic technologicznych mają jednakową budowę.
Konstrukcja nośna (most) jednobelkowej suwnicy składa się z dźwigara głównego,
podbudów i czołownic.
Dźwigar główny jest konstrukcją skrzynkową, spawaną. Niezmienność
geometryczną przekroju skrzynkowego zapewniają wewnętrzne przepony o konstrukcji
ramowej, wykonanej z walcowanych ceowników. We wnętrzu dźwigara zabudowana
jest aparatura elektryczna i napinanie przewodów zasilających wózki i kabinę
przejezdną.
Do dźwigara głównego przykręcone są szyny jezdne, po których poruszają się:
wózek hakowy Q = 35 t, wózek wyrywacza i kabina przejezdna.
Podbudowy są konstrukcjami skrzynkowymi, spawanymi, o wysokości 1 464 mm,
łączącymi dźwigar główny z czołownicami. Połączenia te wykonane są w postaci
kołnierzowych styków śrubowych. Do czołownic zamontowane są koła jezdne napędzane
wraz ze zblokowanym napędem oraz koła nie napędzane.
Suwnice pracują w ruchu ciągłym, 4-brygadowym. Transport wanien
elektrolitycznych odbywa się 2 razy w tygodniu. Największe obciążenie suwnic występuje
więc sporadycznie.
394
Widok ogólny konstrukcji stalowej suwnicy technologicznej pokazano na rys.
21.11. Podstawowe dane techniczne zestawiono w tabeli 21.7.
Rys. 21.11. Widok ogólny konstrukcji nośnej suwnicy technologicznej
21.2.1. Określenie obciążeń zewnętrznych konstrukcji nośnej
Obciążenia konstrukcji nośnej suwnicy technologicznej przyjęto zgodnie z normą
PN-86/M-06514, kojarząc je zgodnie z wytycznymi, zawartymi w p. 6 cytowanej
normy. Kojarzenia obciążeń dla sprawdzenia przypadku W (wytrzymałości - według
PN-79/M-06155 p. 3.2) zawarto w tabeli 21.8.
Tabela 21.7. Zestawienie charakterystyk technicznych suwnicy technologicznej
Wielkość
Udźwig
Rozpiętość
Rozstaw osi kół czołownicy
Rozstaw osi kół wózka
Rozstaw osi kół maszyny
Rozstaw osi kół kabiny
Materiał
Masa mostu (bez czolownic)
Masa czołownic
Masa wózka 2 =35 t
Masa maszyny do wyciągania sworzni
Masa kabiny
Prędkość jazdy mostu
Prędkość jazdy wózka
Prędkość podnoszenia
Wartość
e=35t
L = 23,3 m
4 = 4,lm
B»=l,8m
Bm = 2,0 m
Ą=l,43m
St3SY
md = 25 425kg
mC2 = 1 090 kg
mw = 5 630 kg
mm = 6 686 kg
mk = 6 560 kg
Vjm = 62,6 m/min
Vjw = 30,0 m/min
Vp = 3,15 m/min
395
Moc silnika jazdy mostu
Moc silnika jazdy wózka
Moc silnika podnoszenia
15 KM przy 1 500 obr/min
6 KM przy 1 440 obr/min
25 KM przy 1 455 obr/min przełożenie reduktora i = 180,6
Tabela 21.8. Kojarzenie obciążeń
Obciążenie
Siły ciężkości mas własnych
Siła udźwigu
Siła dynamiczna podnoszenia
Siła dynamiczna
ruchów torowych
Pozioma siła
bezwładności jazdy
Siły poziome
ruchów torowych
mostu
wózka
mostu
wózka
mostu
wózka
Oznaczenie
obciążenia
F ■
Fo
Fd
" dmax
Fib
F-
* iw
B/Gb, BjFb
BjGw, BiFw
Ht,Sb
HW,SW
Nr obciążenia
Wózek na środku dźwigara
Nr zespołu obciążeń
Przypadek
W
Stan roboczy
+
+
-
+
-
-
-
-
-
-
51
1
+
+
+
-
+
+
+
-
-
+
LC
52
2
+
+
+
-
+
+
-
+
+
-
53
3
+ obciążenie występuje - obciążenie nie występuje
Przy ustalaniu wartości nominalnych obciążeń [48, 152] zachodzi konieczność
ustalenia wielu wymiarów geometrycznych, mas poszczególnych elementów suwnicy
technologicznej oraz parametrów ruchu mostu i wózka, które zostały wyznaczone na
potrzeby budowy modelu obliczeniowego. Masę wózka, maszyny i kabiny, udźwig,
prędkości ruchów roboczych przyjęto na podstawie „Książki rewizji dźwignicy",
gdzie zawarto „Dokumentację rejestracyjną suwnicy" i wg informacji uzyskanych
w Hucie Aluminium „KONIN" S.A. W obliczeniach przyjęto położenie wózka
w środku rozpiętości dźwigara mostu, jako najbardziej niekorzystne dla konstrukcji.
Siły ciężkości mas własnych elementów konstrukcji nośnej mostu potraktowano
jako obciążenie ciągłe, przyjmując, że most znajduje się w polu grawitacyjnym pod
działaniem stałego przyspieszenia ziemskiego g = 9,81 m/s2. W obliczeniach
uwzględniono masę wszystkich urządzeń dodatkowych zainstalowanych na moście.
Siłę ciężkości masy własnej wózka i wyrywacza przeniesiono na konstrukcję nośną
suwnicy technologicznej jako obciążenia skupione, działające pionowo i poziomo
w miejscach styku kół jezdnych z szynami na górnej powierzchni i poziomo u dołu
dźwigara mostu. Siłę ciężkości kabiny przeniesiono na konstrukcję nośną suwnicy
jako obciążenie skupione, działające pionowo do szyn przymocowanych do spodu
dźwigara mostu. Ponieważ wózek wsparty jest z boku dźwigara mostu, siłę ciężkości
wózka przeliczono na reakcje kół górnych i dolnych, przyjmując, że środek ciężkości
wózka pokrywa się z osią podnoszenia. Podczas ruchu torowego dźwignicy na jej
396
ustrój nośny działają siły poziome boczne H i wzdłużne S. Siły boczne działają
w punktach styku obrzeży kół jezdnych lub bocznych rolek prowadzących z szynami,
a kierunek ich działania jest prostopadły do kierunku jazdy dźwignicy.
-sg-
Gw)
J
Rys. 21.12. Ogólny schemat działania sił poziomych ruchów torowych. S - siły wzdłużne ,
H - siły boczne
Siły wzdłużne działająw punktach styku kół jezdnych z szynami w kierunku jazdy
dźwignicy, przy czym na poszczególnych szynach mają zwrot przeciwny (rys. 21.12).
Pozostałe siry zostały szczegółowo omówione.
21.2.2. Model obliczeniowy
Ustrój nośny suwnicy technologicznej składa się z trzech zasadniczych
zespołów: dźwigara mostu, podbudów i czołownic. Zespoły te są połączone śrubami.
W roku 1985 na podstawie ekspertyzy stanu technicznego i wytrzymałości ustrojów
nośnych suwnic stwierdzono występowanie pęknięć w skrajnych przeponach
ramowych. Uszkodzenia te zostały naprawione, a w przekrojach końcowych dźwigara
mostu wprowadzono dodatkowe przepony. Ponieważ w tamtej ocenie nie
przeprowadzano symulacji komputerowej [181], obecnie opracowano model geometryczny
dla postaci pierwotnej, bez tych dodatkowych przepon i dla postaci istniejącej
z przeponami.
Na podstawie dokumentacji istniejącej w Hucie Aluminium Konin opracowano
model geometryczny ustroju nośnego suwnicy technologicznej, składający się z
charakterystycznych punktów, krzywych, powierzchni i regionów [174, 260]. Został on
pokazany na rys. 21.11. Na podstawie utworzonego modelu geometrycznego opraco-
397
wano model dyskretny do obliczeń metodą elementów skończonych. Do dyskretyzacji
zastosowano grubościenne, powłokowe elementy skończone typu SHELL3T,
SHELL4T oraz elementy belkowe BEAM3D. Ogółem model dyskretny składa się
z 13 726 elementów skończonych i 12 782 węzłów. Model dyskretny pokazano na rys.
21.11 z podziałem na elementy skończone.
Sposób obciążenia dźwigara siłami pochodzącymi od wózka (nosiwa), maszyny do
wyciągania sworzni i kabiny operatora opisano szczegółowo w [181]. Punkty
podparcia suwnicy przyjęto w osi kół jezdnych, tak aby umożliwić ich wzajemne
przemieszczanie się. W obliczeniach przyjęto najbardziej niekorzystny przypadek, kiedy wózek
znajduje się na środku dźwigara mostu, a maszyna do wyciągania sworzni anodowych
i kabina operatora są z boku.
Rys. 21.13. Model dyskretny z podziałem na elementy powłokowe
21.2.3. Obliczenia wytrzymałościowe suwnicy technologicznej
Obliczenia wytrzymałościowe ustroju nośnego suwnicy technologicznej
wykonano metodą elementów skończonych, w systemie COSMOS/M™ ver. 1.75 firmy
Structural Research and Analysis Corp. w Los Angeles, Kalifornia [38]. Obliczenia
wykonano dla przypadków obciążeń podanych w tabeli 21.8. Określono miejsca
występowania maksymalnych naprężeń. Przemieszczenia w środku dźwigara mostu
dla analizowanych obciążeń wyniosło 15,7 mm. W tabeli 21.9 zamieszczono
wartości maksymalnych naprężeń zredukowanych w wybranych punktach (zaznaczonych
398
na rys. 21.13), gdzie wystąpiły największe wartości, dla różnych przypadków
obciążenia LC.
Tabela 21.9. Zestawienie wartości maksymalnych naprężeń zredukowanych
Nr
punktu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Przypadek obciążenia
51
52
53
Naprężenia zredukowane [MPa]
66
63
36
51
63
105
97
52
11
63
62
35
51
63
102
99
53
11
62
62
38
58
64
131
95
54
96
Maksymalne naprężenia dla dźwigara mostu wystąpiły w przekrojach krańcowych
w narożach przepon (pkt 6 i 7) oraz na krawędzi wycięcia wewnątrz, między
dźwigarem mostu a podbudową (pkt 9). W samym dźwigarze mostu naprężenia maksymalne
w środkowej części rozpiętości nie przekraczają 66 MPa (pkt 1 i 2). W podbudowach
i czołownicach maksymalne naprężenia wynoszą 64 MPa (pkt 3, 4 i 5), a w czołowni-
cach 54 MPa (pkt 8).
Przykładowe wyniki z obliczeń MES przedstawiono w postaci graficznej dla
przemieszczeń (rys. 21.14) i warstwie naprężeń zredukowanych według Hubera-Mi-
sesanarys. 21.15 i 21.16.
399
Rys. 21.14. Postać deformacji suwnicy
Rys. 21.15. Warstwice zredukowanych naprężeń w konstrukcji nośnej suwnicy
Obliczenia wytrzymałościowe suwnicy wykonano systemem COSMOS/M,
który oparty jest na metodzie elementów skończonych [174, 153]. Analizę
wytrzymałościową przeprowadzono dla 3 przypadków obciążeń, skojarzonych według normy
PN-79/M-06155. Główne elementy, w tym cały ustrój nośny, są wykonane ze stali
St3S z atestem o następujących parametrach (wg PN-79/M-06515 i PN-88/H-84020):
- wytrzymałość na rozciąganie
Rm = 375-460 MPa
- umowna granica początku plastyczności:
Re > 235 MPa dla grubości do 16 mm
Re > 225 MPa dla grubości od 16 do 40 mm
Re>2\5 MPa dla grubości od 40 do 100 mm
-wydłużenie:
A5 = 23- 26 %
Wartości dopuszczalne obliczeniowe wynoszą odpowiednio:
R0 = 2\5 MPa dla grubości do 16 mm
R0 = 205 MPa dla grubości od 16 do 40 mm
R0=\95 MPa dla grubości od 40 do 100 mm
Maksymalne przemieszczenia wystąpiły dla wózka położonego w środku
odległości między podporami uymax = - 15,7 mm.
Z przeprowadzonej analizy wytrzymałościowej dla wszystkich stanów obciążeń
wynika, że maksymalne naprężenia zredukowane występują w narożach przepon w kran-
400
cowych przekrojach dźwigara i na brzegach wycięcia między dźwigarem mostu i
podbudową (TzredmaK =131 MPa. W środku rozpiętości dźwigara mostu maksymalne
naprężenia zredukowane wynoszą cTzredmaK = 66 MPa.
Na podstawie otrzymanych wyników z obliczeń MES, w miejscach najbardziej
wytężonych zostały przeprowadzone badania doświadczalne metodą tensometryczą
i magnetyczno-proszkową. Badania przeprowadzone metodą magnetyczno-proszkową
pozwoliły wykryć wiele wad typu pęknięcia zmęczeniowe w spoinach oraz w
rodzimym materiale blach suwnic, które potwierdziły miejsca największych koncentracji
naprężeń i ich niebezpieczny rozwój. Badania stanu powierzchni i grubości blach
potwierdziły brak występowania korozji wżerowej na wszystkich suwnicach.
Rys. 21.16. Miejsca występowania koncentracji naprężeń
Reasumując stwierdzono, że w wyniku prawie 30-letniej eksploatacji, w
konstrukcjach nośnych wszystkich czterech suwnic powstały pęknięcia zmęczeniowe. Aby
suwnice mogły pracować kolejne 20 lat, należy wykonać gruntowny remont ich konstrukcji
nośnej, łącznie z właściwym połączeniem dźwigara mostu z podbudowami.
Długo eksploatowane urządzenia techniczne (10, 20, 30 lat pracy), tj.: dźwignice,
suwnice, przenośniki, żurawie, żurawie samochodowe, które podlegają Urzędowi
Dozoru Technicznego, powinny być kompleksowo przebadane.
22. ZASTOSOWANIE METODY ELEMENTÓW
SKOŃCZONYCH W PROJEKTOWANIU
POJAZDÓW SAMOCHODOWYCH
Przemysł samochodowy jest gałęzią przemysłu, w której najszybciej i najbardziej
kompleksowo wprowadzono C-technologię, czyli metody komputerowego
wspomagania procesami projektowania i wytwarzania. Silna konkurencja na rynku wymusza
tworzenie coraz lepszych konstrukcji, w coraz krótszym czasie. Szczególny nacisk
kładzie się na zwiększenie niezawodności oraz stopnia bezpieczeństwa pojazdów. Bez
zastosowania numerycznych metod kształtowania konstrukcji, z uwagi na
wytrzymałość zmęczeniową (trwałość) oraz wytrzymałość doraźną (bezpieczeństwo)
osiągnięcie tego jest niemożliwe.
W zakresie obliczeń wytrzymałościowych dominującą rolę odgrywa, będąca
tematem tej książki, metoda elementów skończonych. Wynika to z jej uniwersalności.
Metoda ta może być stosowana do opisu wielu zjawisk nie tylko dotyczących mechaniki ciał
odkształcalnych (statyka i dynamika ustrojów nośnych, crash-testy), ale i zagadnień
termicznych (elementy silnika), przepływów (proces spalania, aerodynamika pojazdu),
a nawet procesów Teologicznych w materiałach hipersprężystych, tj. gumy i tworzywa
sztuczne.
Metoda elementów skończonych znajduje zastosowanie zarówno do analizy
globalnej całych ustrojów nośnych pojazdów, jak i do analizy poszczególnych elementów.
Należy pokreślić, że obecnie projektowane pojazdy oraz ich zespoły nie mogłyby
osiągnąć tak dobrych parametrów bez numerycznego modelowania ich cech
geometrycznych, materiałowych i dynamicznych. Agregacja CAD/MES w projektowaniu
pojazdów pozwala na wierny opis geometryczny modelu fizycznego oraz
wykorzystanie tych samych zbiorów danych do analizy wytrzymałościowej w systemach
zintegrowanych, np. pomiędzy systemami AutoCAD, I-DEAS, Pro/ENGINEER a
systemami COSMOS/M, NASTRAN, ANSYS. W dalszej części przedstawiono niektóre
przykłady zastosowania MES w modelowaniu wytrzymałościowym konstrukcji
nośnych pojazdów i ich zespołów.
402
22.1. Obciążenia zewnętrzne pojazdów
Wyznaczenie rzeczywistych obciążeń działających na ustroje i elementy nośne w
pojazdach samochodowych jest zagadnieniem złożonym [123, 169]. Jego złożoność
wynika z ruchu pojazdu po różnych nawierzchniach, przenoszenia obciążeń z elementów
zawieszenia na strukturę nośną oraz ze wzajemnego oddziaływania poszczególnych
zespołów.
Konstruktor nie jest w stanie określić wszystkich obciążeń jakie działają lub będą
działać w przyszłości na ustrój nośny pojazdu, dlatego pod uwagę brane są tylko
najczęściej występujące w eksploatacji obciążenia takie, jak:
- obciążenia pionowe symetryczne,
- obciążenia wzdłużne,
- obciążenia boczne.
Rzeczywistym obciążeniem konstrukcji nośnej samochodu podczas jazdy są często
powtarzalne średnie wartości sił dynamicznych. Maksymalne siły dynamiczne,
spowodowane np. nierównościami drogi, występują stosunkowo rzadko. Praktyczne
doświadczenia wykazują że jeśli konstrukcja jest tak zwymiarowana, że zdolna jest do
przeniesienia w prawidłowy sposób maksymalnie dużych obciążeń, które zdarzają się
sporadycznie, to ma również dostateczną wytrzymałość zmęczeniową. Zagadnienie
obliczenia obciążeń sprowadza się do określenia dynamicznych współczynników sił
statycznych znanych z wyważenia samochodu.
Pojazd obciążony jest podczas ruchu samochodu siłami bezwładności
proporcjonalnymi do masy obciążenia własnego i użytecznego oraz występujących
przyspieszeń (rys. 22.1).
Rys. 22.1. Obciążenie zewnętrzne działające na pojazd podczas jazdy
403
^V=— a = FAm (22.1)
g
gdzie:
Fst - siła statyczna,
g -przyspieszenie ziemskie [m/s2],
a -przyspieszenie działające [m/s2],
m - bezwymiarowy współczynnik sił masowych.
Na nadwozie działają siły:
Fx=mx(Qc-Qnr)
Fy=my(Qc-Qnr) (22.2)
Fz=mz(Qc-Qnr)
Siły te wywołują momenty Mx - skręcanie, My - zginanie, Mz - zginanie w
płaszczyźnie poziomej x-y, które pokazano na rys. 22.1.
Siły pionowe, boczne oraz wzdłużne, tzn. Fx, Fy i Fz wynikają z modelu drogi i
sposobu jazdy [123]. Model ten zawiera odcinki I-V schematycznie przedstawiające
podstawowe typy kształtu nawierzchni (rys. 22.2).
Odcinek I składa się z n symetrycznych nierówności o wysokości h. Podziałka
t dobrana jest tak, że masa samochodu doznaje jedynie przyspieszeń pionowych, co
w rezultacie powoduje powstanie i oddziaływanie sił pionowych F2. Siły te są
symetryczne dla lewej i prawej strony pojazdu.
Odcinek II zbudowany jest z pionowej krzywizny o promieniu r. Na masę
samochodu działa przyspieszenie proporcjonalne do kwadratu prędkości i odwrotnie
proporcjonalne do promienia krzywizny. W efekcie występują siły pionowe symetryczne Fz.
Odcinek III spełnia rolę niesymetrycznych nierówności o wysokości h„, które
powodują oddziaływanie niesymetrycznych przyspieszeń pionowych. Na masę
pojazdu działa liniowe przyspieszenie pionowe i obrotowe wokół osi podłużnej.
Odcinek IV przedstawia nawierzchnię płaską z poprzeczną przeszkodą o
wysokości hp. Najazd na przeszkodę wywołuje przyspieszenie wzdłużne i siłę Fx.
Odcinek V modeluje nawierzchnię poziomą zakrzywioną o promieniu r. Powstaje
przyspieszenie odśrodkowego działania siły bezwładności w kierunku bocznym,
powodującą siłę boczną Fy.
Wartości przyspieszeń na odcinkach I-V zależą od prędkości poruszającego się
samochodu.
404
,.,0
A\
Tor jazdy
Rys. 22.2. Model drogi — odcinki I-II obciążenia pionowe symetryczne, III - obciążenia pionowe
niesymetryczne, IV - obciążenia wzdłużne, V - obciążenia boczne
Podczas jazdy po wyboistej nawierzchni, kiedy oba koła przednie i koła tylnej osi
równocześnie natrafiają na przeszkodę, powstają pionowe przyspieszenia symetryczne
względem osi podłużnej pojazdu. Na pojazd działa wówczas symetryczna siła, która
wynosi
Fzs = mzsQ (22.3)
gdzie:
mzs - bezwymiarowy współczynnik sił masowych,
Qc -ciężar całkowity pojazdu.
Siła ta powoduje powstanie momentuMy, który wywołuje zginanie podwozia.
Wartości maksymalnych symetrycznych przyspieszeń pionowych wahają się w granicach od
1,5 g do 2,5 g, czyli około 30 m/s2 dla samochodów pożarniczych i ciężarowych.
Duży wpływ na wartość przyspieszenia ma konstrukcja zawieszenia. Nowoczesne
zawieszenia pochłaniają znaczną część energii i zmniejszają przyspieszenia
docierające do nadwozia. Jest to możliwe dzięki stosowaniu w samochodach ciężarowych
podobnych rozwiązań jak w osobowych, czyli stosowanie resorów parabolicznych.
Obciążenia wzdłużne
Obciążenia wzdłużne powstają w wyniku hamowania lub przyspieszania pojazdu
oraz przy najechaniu na przeszkodę. Na podstawie badań przyjmuje się, że
maksymalne przyspieszenia dla samochodów pożarniczych wynoszą około 0,6 g, ale nie
przekraczają? m/s2.
Siły wzdłużne wynikające ze zmiany prędkości wyrażają się wzorem:
Fx=±mx(Qc-Qnr) {22 A)
gdzie:
mx = 0,7-1,0 - bezwymiarowy współczynnik wzdłużnych sił masowych,
Qc - ciężar całkowity nadwozia,
Qnr - ciężar mas nieresorowanych.
405
W przypadku najechania na przeszkodę powstają duże siły wzdłużne
wprowadzane przez elementy zawieszenia. Wartość siły wzdłużnej przedstawia się wzorem
Fx = mzRp tg 0 (22.5)
w którym:
mz - bezwymiarowy współczynnik masowych sił pionowych,
Rp - obciążenie statyczne przedniej osi samochodu w przypadku szerokiej
przeszkody lub obciążenie statyczne jednego koła przedniego w przypadku
wąskiej przeszkody,
tg# - wartość związana z wysokością przeszkody i średnicą ogumienia.
Kąt określony jest zależnością
f
9 = arc sin
i-i
r
V p J
(22.6)
w której:
rd - promień dynamiczny koła według katalogu ogumienia [mm].
Obciążenia boczne
Obciążenia boczne powstają podczas jazdy samochodu po torze krzywoliniowym
lub podczas uderzenia bocznego o przeszkodę.
Obciążenia boczne wynikające z jazdy po łuku są zrównoważone w granicznym
przypadku przez reakcje kół zewnętrznych (rys. 22.3). W wyniku dalszego wzrostu
siły bezwładności C następuje przewrócenie samochodu. Maksymalne obciążenie siłą
bezwładności określone jest zależnością między rozstawem kół a wysokością środka
ciężkości
tgr = -^ = -^ (22.7)
2zSc mzSQc
gdzie:
r - rozstaw kół [m],
zsc - wysokość środka ciężkości od nawierzchni [m],
Cb - składowa boczna siły bezwładności C [N],
mzs - bezwymiarowy współczynnik pionowych sił masowych.
Z powyższego równania uzyskuje się składową boczną Cb siły bezwładności oraz
obciążenia punktów zawieszenia przedniego i tylnego.
(22.8)
Cb=Ry= mzsQc
Rpy = mzsQc
SC
Rty=m2SQ
SC
r
2z
SC
4
Lop
4
gdzie:
406
L0 - rozstaw osi samochodu,
Lot - odległość środka ciężkości od osi tylnej,
Lop -odległość środka ciężkości od osi przedniej.
ł*
Tl
54
Rys. 22.3. Siły boczne w czasie jazdy samochodu pożarniczego po łuku: a - graniczna wartości^,
b - rozkład składowej odśrodkowego oddziaływania bezwładności Cb
22.2. Ustroje nośne pojazdów
Najbardziej złożone i wymagające największego nakładu pracy są modele
obliczeniowe całych struktur nośnych pojazdów. Oprócz modelu dyskretnego tworzonego przez
siatkę elementów skończonych i ich równania konstytutywne w skład modelu
obliczeniowego wchodzą warunki brzegowe adekwatne do obiektu, zakresu i celu obliczeń.
Poniżej przedstawiono dwa przykłady modeli obliczeniowych ustrojów nośnych
pojazdów samochodowych wraz z wynikami obliczeń.
Autobus turystyczny
Po rewolucji informatycznej w systemach komputerowego wspomagania
projektowania przełomu lat 80. i 90., pierwszym etapem powstawania modelu jest zawsze
budowa modelu geometrycznego. W zależności od przyjętych założeń (rodzaje
elementów skończonych), składa się on z punktów, krzywych, powierzchni i objętości
określających kształt geometryczny analizowanego obiektu (rys. 22.4).
407
Rys. 22.4. Model geometryczny nadwozia autobusu turystycznego
Rys. 22.5. Model dyskretny ustroju nośnego nadwozia autobusu
Na podstawie modelu geometrycznego wygenerowano model dyskretny, pokazany na
rysunku 22.5. Nadwozie analizowanego autobusu stanowi przestrzenną strukturę nośną,
na której rozpięte jest poszycie. Rama ta, złożona z typowych profili konstrukcyjnych
stosowanych w tego typu pojazdach, zapewnia zasadniczą sztywność nadwozia. Do jej
odwzorowania wykorzystano belkowe elementy skończone. Nie można jednak pominąć
wpływu poszycia na wzrost sztywności, szczególnie przy ścinaniu zamkniętych obwodów
408
struktury nośnej. Przy dokładniejszych obliczeniach niezbędne jest uwzględnienie
sztywności szyb, o ile są one do nadwozia klejone. Tego typu elementy konstrukcyjne i
elementy zabudowy zostały uwzględnione poprzez elementy powłokowe oraz
wprowadzenie więzi sprężystych - elementy skończone typu sprężyna.
Wadą modeli belkowych jest niemożność określenia pola odkształceń w węzłach
konstrukcyjnych. Do ich bardziej szczegółowej analizy niezbędna jest budowa
bardziej szczegółowych modeli wiernie oddających kształt obiektu (rys. 22.6).
Rys. 22.6. Model dyskretny nadkola
Jako obciążenia modelu przyjmuje się zazwyczaj wyznaczone statystycznie
wartości sił, których sposób wyznaczenia opisano w podrozdziale 22.1. Obliczenia
wykonano przy następujących obciążeniach:
-pojazd stojący,
-jazda na zakręcie lewym i prawym (przyspieszenie boczne ab = 0,5 g),
- hamowanie awaryjne (opóźnienie ah = 0,7 g),
-najazd przednią osią na przeszkodę jezdni (przyspieszenie pionowe przedniej części
autobusu av= 1,5 g),
-najazd tylną osią na przeszkodę jezdni (przyspieszenie pionowe tylnej części
autobusu av = 1,5 g),
- najazd lewym przednim kołem na przeszkodę,
- najazd prawym przednim kołem na przeszkodę,
- skręcenie struktury nadwozia (bez zawieszenia) o kąt S(tgS= 0,015).
Przy wszystkich obliczeniach zakłada się obciążenie całkowite pojazdu. Jako
średnią masę pasażera (kierowcy) przyjmuje się 68 kg.
409
Przy modelowaniu struktury nośnej odtwarza się wyłącznie elementy nośne,
tworzące jej sztywność. Model taki jest pozbawiony wielu elementów, których masa pod
wpływem działania pól przyspieszenia powoduje jego obciążenie. W pojazdach
samochodowych występują ponadto masy przewożonego ładunku, w tym wypadku masa
pasażerów. Aby uzyskać prawidłowe wyniki obliczeń, w przypadku większych mas
stosuje się dodatkowe elementy masowe umieszczone w węzłach siatki, a w
przypadku mniejszych, bardziej rozproszonych, zwiększa się gęstość istniejących elementów
skończonych, aby skorygować rozkład mas modelu.
Odrębną trudność stanowi odebranie stopni swobody modelu. Ogumienie i
zawieszenie pojazdu samochodowego ma zazwyczaj charakterystyki silnie nieliniowe, a jego
podatność jest co najmniej o rząd większa niż ustroju nośnego pojazdu. Ustrój nośny
„pływa" w stosunku do podłoża, brak jest punktów odniesienia do utwierdzania
modelu. Istotne są także zjawiska tarcia między ogumieniem a podłożem. Bez
dokładnego rozpoznania charakterystyk elementów zawieszenia, niemożliwe jest zbudowanie
poprawnego modelu obliczeniowego.
Na opisanym powyżej modelu wykonano obliczenia. Najbardziej niekorzystnym
przypadkiem obciążenia okazało się skręcanie nadwozia przy najeździe jednym kołem
na przeszkodę (rys. 22.7).
Rys. 22.7. Postać deformacji nadwozia przy najeździe lewym przednim
kołem na przeszkodę (skala 15:1)
Uzyskano pole odkształceń (naprężeń) zarówno dla całego nadwozia (rys. 22.8),
jak i dla poszczególnych elementów (rys. 22.9).
410
Przypadek 2 2.15E+0?
Skręcanie nadwozia przy najeździe na przeszkodę
Rys. 22.8. Wartości naprężeń zredukowanych wg hipotezy Hubera-Misesa
w belkowych elementach skończonych szkieletu autobusu
Rys. 22.9. Wartości naprężeń zredukowanych wg hipotezy Hubera-Misesa
w elementach powłokowych nadkola autobusu
411
Naczepa
Kolejnym przykładem jest model obliczeniowy naczepy o zmiennej geometrii do
przewozu wielkogabarytowych zbiorników (o długości do 18 m i średnicy do 4 m).
Podczas transportu zbiorników pojazd składający się z ciągnika i naczepy przekracza
gabaryty zewnętrzne, które dopuszcza kodeks drogowy, ale pusta naczepa bez
zbiornika po wsunięciu członów spełnia wszystkie wymogi standardowego pojazdu
dopuszczonego do ruchu drogowego.
Całość prac projektowych została wykonana za pomocą zintegrowanego systemu
I-DEAS. Zbudowano parametryczny model geometryczny (rys. 22.10) naczepy,
pozwalający na łatwe zmiany geometrii, co umożliwia właściwe zwymiarowanie naczepy.
Rys. 22.10. Model geometryczny naczepy
Rys. 22.11. Model dyskretny naczepy
412
Na powierzchni modelu geometrycznego utworzono siatkę z elementów
powierzchniowych (rys. 22.11). Istotną trudnością było zamodelowanie zjawisk
kontaktowych między członami naczepy, a także między zbiornikiem a ramą naczepy.
W tym celu posłużono się elementami kontaktowymi typu GAP. Uwzględniono tarcie.
Siłowniki hydrauliczne ustalające wzajemne położenie członów zamodelowano przez
zastosowanie elementów prętowych, a zabezpieczające sworznie modelowano przez
zastosowanie elementów belkowych i elementów sztywnych.
Przykładowy rozkład naprężeń zredukowanych do hamowania na zakręcie
zamieszczono na rys. 22.12.
Rys.22.12. Warstwice naprężeń zredukowanych według hipotezy Hubera-Misesa, w MPa
22.3. Niektóre aspekty numerycznej symulacji testów kola
ze stopów lekkich
Koła jezdne, jako jedne z najbardziej wpływających na bezpieczeństwo elementów
pojazdu, poddawane są badaniom homologacyjnym określonym przez liczne normy
polskie i zagraniczne [253, 254, 255, 256]. Ze względu na to, że wyniki badań
stwierdzające poprawność przyjętych rozwiązań otrzymuje się dopiero po poniesieniu
pewnych nakładów związanych z powstaniem prototypów, korzystne jest
przeprowadzenie wcześniej symulacji numerycznych, które pozwalają uzyskać przewidywane
413
wyniki prób wytrzymałościowych, zanim obiekt badań przyjmie postać materialną.
Poniżej zaprezentowano obliczenia FEM koła wykonanego ze stopów lekkich w
zakresie: sprawdzenia wytrzymałości zmęczeniowej koła jezdnego podczas zginania
obrotowego oraz sprawdzenia koła podczas uderzenia bocznego.
Obiektem symulacji było koło wykonane ze stopu AlSi7Mg technologią
odlewania, a następnie obrabiane mechanicznie. Na podstawie dokumentacji konstrukcyjnej
opracowano model geometryczny koła składający się z charakterystycznych punktów,
krzywych, polihedr. Na rysunku 22.13 pokazano krzywe wchodzące w skład modelu
geometrycznego połowy przekroju koła.
Rys. 22.13. Model geometryczny koła
Na podstawie utworzonego modelu geometrycznego opracowano model dyskretny
(rys. 22.14) do obliczeń metodą elementów skończonych. Do dyskretyzacji
zastosowano bryłowe elementy skończone typu TETRA 10. Są to przestrzenne czworościenne
elementy skończone o funkcjach kształtu wyższego rzędu, zapewniających dużą
dokładność obliczeń, szczególnie w miejscach koncentracji naprężeń. Zastosowano
średnią odległość węzłów siatki MES od 2,5 do 5 mm. Model dyskretny ma 32 798
elementów skończonych i 59 715 węzłów, a liczba stopni swobody wynosi prawie 180
000. Ponadto, aby wiernie oddać współpracę koła z piastą, zastosowano dodatkowe
elementy powłokowe, symulując piastę stalową. Obciążenia obliczeniowe wynikają z
rodzaju przyjętej analizy.
Obliczenia wytrzymałościowe koła wykonano w systemie I-DEAS™ i COSMOSM™.
Próba zginania obrotowego
Sprawdzenie wytrzymałości zmęczeniowej na zginanie wykonuje się na
stanowisku, na którym koło jest poddawane działaniu momentu zginającego według
parametrów testu badawczego Kronprinza. Dla testu przyspieszonego przyjmuje się
obciążenie równe połowie określonego przez normy momentu maksymalnego. Minimalna
liczba cykli jest równa: 600 tys. wg PIMOTU, 1,8 min wg TUV.
414
Rys. 22.14. Model dyskretny z siatką elementów skończonych (fragment)
Symulacja tej próby badawczej ogranicza się do określenia stanów naprężeń
w warunkach statycznego obciążenia momentem w różnych płaszczyznach i
sprawdzenie, na ich podstawie, zmęczeniowego współczynnika bezpieczeństwa w miejscach
najbardziej wytężonych. Model utwierdzenia i obciążenia jest praktycznie zgodny z
próbą badawczą: obręcz koła utwierdzona na obwodzie, moment obciążenia, w postaci
pary sił, przyłożony w otworach na śruby mocujące. Ze względu na symetrię kształtu i
obciążeń do obliczeń wykorzystano jedynie połowę modelu.
W wyniku obliczeń zidentyfikowano miejsca występowania maksymalnych
naprężeń. Wartości naprężeń głównych, średnich i amplitudy dla wytypowanych punktów
zestawiono w tabeli 22.1. Maksymalne naprężenie zredukowane, jednakowe dla
obciążeń testowych, równe 111,9 MPa, wystąpiło w punkcie A.
Rys. 22.15. Najbardziej wytężone punkty koła
415
Tabela 22.1. Wartości składowych naprężeń o dla testu badawczego Kronpinza
(50% Mmax 600 000 cykli) w MPa
Punkt
A
C
max
CTl
55,16
95,524
<J3
-122,01
20,24
*^lmax
55,16
95,524
^3min
-122,01
20,24
Cm
-33,43
37,64
-33,43
<Ta
88,59
57,88
88,59
Próba uderzenia bocznego
Przeprowadzono symulację próby wytrzymałości koła na uderzenie boczne, dla
warunków obciążenia zgodnych z normą ISO 7141.
Podczas próby uderzenia bocznego obciążeniu poddawane jest obrzeże obręczy
kompletnego koła z ogumieniem. Obliczenia dynamiczne odwzorowujące uderzenie
są możliwe, jednak dla dużego modelu (duża liczba węzłów i elementów), nawet przy
wykorzystaniu wysokiej klasy szybkich komputerów są one bardzo czasochłonne
i wymagają dużych zasobów systemowych. Z tego powodu obrzeże koła poddaje się
statycznemu działaniu siły, której wartość oszacowano jako maksimum siły
występującej w chwili uderzenia bijaka. W tym celu zbudowano prosty, dynamiczny model
numeryczny, składający się z dwu mas: bijaka i koła, z których odpowiednio jedną
oparto na sprężynie o sztywności belki wspornikowej w próbie praktycznej, a drugiej
nadano prędkość początkową równą prędkości swobodnie opadającego bijaka w chwili
uderzenia w koło. Przyjęta wartość siły została oszacowana „z góry", co zwiększa
pewność i poprawność obliczeń. Model utwierdzono na płaszczyźnie współpracy
obręczy z bębnem lub tarczą hamulcową.
Drugim etapem analizy była symulacja próby uderzenia bocznego. Symulacje
uderzenia przeprowadzono dla dwóch różnych punktów obręczy: na wysokości ramienia
tarczy koła (I) oraz symetrycznie między ramionami (II).
Maksymalne ugięcie obręczy (rys. 22.16) wyniosło 5,15 mm. Maksymalna wartość
intensywności naprężeń była równa 227 MPa (rys. 22.17) i była niższa od
wytrzymałości na rozciąganie dla materiału AlSi7Mg, co oznacza, że nie istnieje
niebezpieczeństwo pęknięcia koła powodującego utratę jego nośności. Uplastycznieniu uległa
krawędź obręczy oraz niewielkie strefy tarczy koła (rys. 22.18).
Uzyskane wartości naprężeń i przemieszczeń dla tego etapu są zawyżone w
stosunku do wartości rzeczywistych.
Wyżej wymienione własności wytrzymałości analizowanego koła zależą w dużej
mierze od utrzymania odpowiednich charakterystyk materiałowych, szczególnie
w zakresie gruboziarnistości oraz obecności różnych wad, np. mikropor skurczowych,
które mogą drastycznie zmniejszyć wytrzymałość obiektu. Stopy aluminium
charakteryzują się tym, że mimo takiej samej wytrzymałości na rozciąganie, wytrzymałość
zmęczeniowa wykazuje dość duży rozrzut ze względu na możliwość powstania
gruboziarnistej warstwy powierzchniowej. Dokładniejsze obliczenia zmęczeniowe można
wykonać na podstawie danych doświadczalnych dotyczących danego stopu, w danych
warunkach technologicznych, o podobnych wymiarach i kształcie.
416
Rys. 22.16. Warstwice przemieszczeń na modelu zdeformowanym
Rys. 22.17. Warstwice intensywności naprężeń wg hipotezy Hubera-Misesa
417
Rys. 22.18. Strefy uplastycznienia materiału podczas próby uderzenia bocznego
Zastosowanie nowoczesnych metod obliczeniowych pozwala na określenie
wyników wytrzymałościowych badań homologacyjnych, umożliwia identyfikację
słabych punktów i ich eliminację już na etapie projektowania, bez ponoszenia dużych
kosztów.
22.4. Analiza termosprężysta tłoka silnika spalinowego
Dotychczas najwięcej uwagi poświęcono zapewnieniu odpowiedniego
uszczelnienia i smarowania złożenia tłok-cylinder. Tłoki o nowej konstrukcji charakteryzują się
małymi wymiarami i masą, odpornością na duże obciążenia i dużą trwałością.
Skonstruowanie tłoka o małych wymiarach umożliwiło zmniejszenie całego
silnika. Mniejsza masa wpłynęła na zmniejszenie obciążeń dynamicznych układów
korbowych. Dzięki zapewnieniu odporności na obciążenia uzyskano dużą trwałość całego
silnika. Osiągnięcie wymienionych rezultatów było możliwe dzięki zastosowaniu
nowych metod konstruowania tłoków. Wprowadzono nowe sposoby modelowania
tłoków i zjawisk termofizycznych występujących w założeniach tłok-cylinder silników
spalinowych. Powszechnie stosowaną metodą obliczania konstrukcji tłoków jest
obecnie MES [4, 9,251].
418
Intensywny rozwój silników spalinowych polega na zwiększeniu ich parametrów
roboczych: szybkobieżności silników, średniego ciśnienia użytecznego oraz szybkości
spalania ładunku, coraz częściej też jest stosowane doładowanie. Pociąga to za sobą
zwiększenie obciążeń cieplnych i mechanicznych działających na elementy silnika,
a zwłaszcza na tłoki. Duża prędkość ruchu, wysokie temperatury i ciśnienia oraz
trudności w zapewnieniu tarcia płynnego stanowią specyficzne warunki pracy tłoka, które
wymagają starannego doboru jego materiału.
Wytrzymałość, a zwłaszcza wytrzymałość w podwyższonych temperaturach, oraz
gęstość materiału są parametrami określającymi konstrukcję i masę tłoka. Jednoczesne
spełnienie podanych wymagań jest bardzo trudne. Istotnym problemem jest
pogodzenie na przykład dużej wytrzymałości i sztywności oraz dużych przekrojów dla
przepływu ciepła z małą masą tłoka.
Rys. 22.19. Model geometryczny tłoka
419
Rys. 22.20. Model dyskretny tłoka
Jednym z podstawowych zadań złożenia tłok-cylinder jest przenoszenie sił
pochodzących od ciśnienia czynnika roboczego na układ korbowy silnika. Siły te zmieniają się
w czasie zgodnie z przebiegiem wykresu indykatorowego. Na tłok działają również siły
bezwładności (wywołane ruchem posuwisto-zwrotnym tłoka), siły boczne (występujące
na skutek jego współpracy z korbowodem) oraz siły tarcia tłoka o gładź cylindra.
Siły pochodzące od ciśnienia gazów są względnie łatwe do wyznaczenia, ponieważ
wykres indykatorowy jest jednocześnie w odpowiedniej skali wykresem sił gazowych.
Osiągi współczesnych silników tłokowych w większości przypadków są limitowane
ich obciążeniem cieplnym. Przez „obciążenia cieplne" należy rozumieć stan cieplny
silnika charakteryzowany wartościami temperatur i gradientami temperatury. Od nich
zależą parametry wytrzymałościowe materiałów, naprężenia termiczne, warunki tarcia
itp., które mają bezpośredni wpływ na trwałość i niezawodność silnika.
Podstawowym zadaniem praktycznym obliczeń dotyczących wymiany ciepła
w silnikach tłokowych jest określenie pola temperatur części obciążonych cieplnie,
rozdziałów strumieni ciepła między elementami ich powierzchni i naprężeń
termicznych. Na podstawie takich danych można dokonać wyboru optymalnej konstrukcji
i sposobu chłodzenia rozpatrywanych części.
Do określania ilości ciepła przekazywanego od czynnika roboczego do ścianek
otaczających przestrzeń roboczą służy wzór Newtona
Q = a{T-Tsc)S
(22.9)
420
w którym:
a - współczynnik przewodzenia ciepła,
Tsc - temperatura otoczenia,
T - temperatura powierzchni,
S - pole powierzchni.
Przekazywanie ciepła od czynnika do tłoka w ogólnym przypadku odbywa się przez
konwekcję oraz promieniowanie czynnika i płomienia. Współczynniki przejmowania ciepła
są funkcjami wielu parametrów, takich jak: szybkość gazów względem ścianek,
współczynnik przewodności, lepkość, gęstość i ciepło właściwe czynnika roboczego, temperatura
czynnika oraz wymiary geometryczne przestrzeni roboczej. Warunki wymiany ciepła
zmieniają się w bardzo szerokich granicach w obrębie cyklu pracy oraz na różnych
powierzchniach.
W literaturze podaje się różne wzory do obliczania współczynników przejmowania
ciepła między czynnikiem roboczym a powierzchnią tłoka. Dotychczas opublikowane prace
dotyczą przeważnie wymiany ciepła w silnikach wysokoprężnych. Wynika to z faktu, że
silniki te znacznie wcześniej osiągnęły tak wysoki stopień obciążeń cieplnych, iż zaczęły
one limitować ich osiągi, niż silniki o zapłonie elektrycznym. Poza tym silniki
wysokoprężne charakteryzuje silny wymuszony i zorganizowany ruch ładunku w przestrzeni spalania,
przez co następuje intensywne uśrednianie temperatury ładunku w przestrzeni spalania.
Podawane zależności do obliczania współczynnika przejmowania ciepła należy
stosować z bardzo dużą ostrożnością ponieważ żadna z nich nie ma charakteru
uniwersalnego. Obecnie w odniesieniu do trakcyjnych silników wysokoprężnych najodpowiedniejsza
jest zależność Woschni, opracowana na podstawie teorii podobieństwa i badań (tab. 22.2).
Tabela 22.2. Wzór Woschni
Wzór
kcal
■h-K
Postać kryterialna
Silnik badawczy
:110^
0,8 „0,8 T-0,53 n-0,2
■T
D~
+ sSc,A
(V
l100.
100 J
NtJ =AKi
Tn-T„
Szybkość w procesie napełniania
w = 6,18 Cm, podczas suwu sprężania
w = 2,28 Cm; w okresie spalania i rozprężania:
w = 2,28C„+3,24-10~3 Vs Ti
Silnik wysokoprężny
o wtrysku
bezpośrednim,
bez doładowywania
(D = 210mm,
Cm=108m/s)
PiV,
(Pg-Ps)
Oznaczenia:
pg - ciśnienie gazów w cylindrze [kG/cm2],
Tg - temperatura gazów w cylindrze [K],
ps - ciśnienie w cylindrze osiągane na skutek sprężania [kG/cm2], bez doprowadzania paliwa lub
bez zapłonu,
Tsc - temperatura ścianek otaczających komorę spalania, średnia w czasie całego cyklu [K],
D - średnica cylindra [m],
Cm - średnia prędkość tłoka [m/s],
421
Istotną niedogodnością wzorów podawanych w literaturze jest również to, że
podają one średnią wartość ag dla całej powierzchni, gdy w rzeczywistości współczynnik
ten zmienia się na przykład wzdłuż promienia tłoka.
W tabeli 22.3 podano orientacyjne wartości współczynnika przejmowania ciepła
różnych powierzchni tłoka według [167].
Tabela 22.3. Orientacyjne wartości współczynnika przejmowania ciepła różnych parametrów tłoka
Powierzchnia wymiany ciepła
Boczna powierzchnia korony tłoka
Boczna powierzchnia części pierścieniowej i część prowadząca
Wewnętrzna powierzchnia tłoka niechłodzonego
Robocza powierzchnia pierścienia tłokowego
Górna powierzchnia pierścienia i górna powierzchnia kanalika
pierścieniowego
Dolna powierzchnia pierścienia tłokowego i dolna powierzchnia
kanalika pierścieniowego
Współczynnik przejmowania
ciepła [W/m2K]
349...1279
105...523
ok. 70
21000...50000
580...3500
3500...11000
Model geometryczny i dyskretny tłoka
Całą analizę MES oparto na przykładzie tłoka silnika SW 680, który należy do
grupy silników czterosuwowych, sześciocylindrowych, z wtryskiem bezpośrednim,
chłodzonych cieczą.
Model geometryczny tłoka (silnika SW 680) wygenerowano za pomocą modułu
graficznego GEOSTAR sytemu COSMOS/M. Korzystając z tego modułu narysowano
przestrzennie część pierścieniową wraz z denkiem tłoka, wkładkę podpierścieniową
i pozostałą część tłoka. Widok ogólny modelu geometrycznego tłoka pokazano na
rys. 22.19.
Po utworzeniu całego modelu geometrycznego tłoka dyskretyzowano jego
objętość elementami przestrzennymi typu tetraedrycznego TETRA 10. Zaletą tych
elementów jest możliwość generowania dowolnie złożonych kształtów konstrukcji 3-D
oraz uzyskania przestrzennego stanu naprężeń. Otrzymany model dyskretny tłoka
pokazano na rys. 22.20.
Analiza wytrzymałościowa MES
Model tłoka powinien być tak obciążony i podparty, aby warunki obciążenia i
zamocowania były zbliżone do warunków rzeczywistych. Obliczenia tłoka MES
wykonano przy obciążeniach mechanicznych pochodzących od działania sił gazowych i sił
bezwładności. Obciążenia mechaniczne wywołują naprężenia o małych wartościach,
głównie w części pierścieniowej i tulejach sworzniowych. Część koronowa i
prowadząca tłoka są obciążone nieznacznie. Spostrzeżenia te nie mogą być jednak podstawą
do prób zmian kształtu tłoka, ponieważ decydującą rolę spełniają w tym wypadku
wyniki obliczeń termicznych.
Do obliczeń cieplnych przyjęto ustalony stan termiczny tłoka. Stan ten opisano
przypisując rozkład pól temperatury otoczenia powierzchni i współczynnik wymiany
422
ciepła do powierzchni tłoka. Wszystkie wartości temperatury i współczynnika
wymiany ciepła zaczerpnięto z literatury [107].
Na wielkość przekrojów poszczególnych części tłoka istotnie wpływa konieczność
zapewnienia skutecznego odprowadzania ciepła z zachowaniem dużej wytrzymałości
w podwyższonych temperaturach.
Dotychczas nie opracowano jednoznacznego kryterium do oceny obciążeń
cieplnych tłoków. Wynika to ze złożoności problemu i wielokierunkowego oddziaływania
zjawisk cieplnych na przebieg procesów roboczych oraz trwałość silnika. Jako
kryteria charakteryzujące poziom obciążeń cieplnych mogą być przyjmowane między
innymi maksymalna temperatura tłoka lub temperatura w jego określonym punkcie.
Maksymalna wartość temperatury tłoka wykonanego ze stopu aluminium nie
powinna przekraczać 350 °C. W przypadku obliczanego tłoka wartość maksymalna
temperatury wynosi 323 °C, a zatem warunek ten jest spełniony.
Olej smarujący gładź cylindra ma ograniczoną wytrzymałość termiczną i dlatego
jego temperatura w miejscu występowania tarcia nie powinna przekraczać ściśle
określonej wartości. Z tego względu, jako kryterium oceny obciążeń cieplnych (z punktu
widzenia oleju), stosuje się temperaturę tłoka mierzoną na dnie rowka pierwszego
pierścienia tłokowego. Na podstawie wyników analizy eksploatacyjnej silników
uważa się, że w przypadku obecnie stosowanych olejów silnikowych temperatura ta nie
powinna przekraczać 210 °C. Dla obliczanego tłoka wynosi 248 °C. Ta podwyższona
wartość temperatury może wynikać z przyjętego uproszczenia, polegającego na
uśrednieniu wartości temperatury gazów oraz współczynników wymiany ciepła na całej
powierzchni denka tłoka i części koronowej. Powodem wzrostu temperatury tłoka w tym
miejscu jest również zastosowanie wkładki podpierścieniowej.
Możliwości dowolnego kształtowania geometrycznego i zmiany warunków
brzegowych w szerokich granicach są podstawowymi zaletami MES w porównaniu z
dotychczasowymi metodami obliczeń wytrzymałościowych.
Analizę termiczną tłoka w stanie ustalonym przeprowadzono za pomocą modułu
HSTAR systemu COSMOSM™. Otrzymano pole temperatury (warstwice w
przekroju pokazano na rys. 22.21) i jej gradient. Uzyskane wartości posłużyły jako dane
wejściowe do analizy wytrzymałościowej z uwzględnieniem zjawisk termicznych,
przeprowadzonej modułem STAR. Uzyskano wartości naprężeń zredukowanych od
termosprężystości materiału i od ciśnienia gazów spalinowych (rys. 22.22).
Maksymalne naprężenia termo sprężyste wystąpiły w karbie dna rowka pod pierścień
uszczelniający, a pochodzące od gazów spalinowych w otoczeniu otworu pod swo-
rzeń. Po zastosowaniu superpozycji okazało się, że działające ciśnienie redukuje
niekorzystne działanie pola temperatur. Zbudowany model dyskretny może
posłużyć do analizy termicznej w stanie nieustalonym (do wyznaczenia wytrzymałości
zmęczeniowej termosprężystej), uwzględniając różnice w polu temperatur dla
różnych suwów pracy silnika.
423
Temp
Rys. 22.21. Rozkład temperatury w przekrojach tłoka (w K)
625
606
586
567
547
528
508
488
468
450
U30
. 10 „00000
9 .000000
S .000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
10 .000000
Rys. 22.22. Rozkład naprężeń zastępczych w przekroju tłoka związanych z termosprężystością materiału
(po lewej) i wywołanych ciśnieniem gazów spalinowych (po prawej); 10 = 100%
424
22.5. Bezpieczeństwo bierne
Dużą pomoc przy projektowaniu bezpiecznej struktury nośnej autobusów
turystycznych uzyskali producenci od takich organizacji, jak na przykład Centrum Dekra,
które podjęły symulowane próby zderzeniowe tych pojazdów. Wyniki badań
potwierdziły, że niebezpieczne są kolizje z samochodami ciężarowymi najeżdżającymi z tyłu
na autobus lub gdy uderzy on ścianą przednią w sztywną przeszkodę, np.
niekorzystnie ukształtowaną ścianę tylną ciężarówki. Ustalono jednak, że wywrócenie się
autobusu jest najniebezpieczniejsze, ponieważ powoduje najczęściej duże deformacje dachu lub
ściany bocznej (rys. 22.23), prowadzące zwykle do poważnych zranień, a nawet śmierci
pasażerów.
Rys. 22.23. Jedna z prób zderzeniowych przeprowadzanych dla autobusów w latach
osiemdziesiątych przez Centrum Dekra
Aby temu zapobiec, ustrój nośny musi zamortyzować uderzenie spowodowane
wywróceniem się pojazdu w taki sposób, by energia kinetyczna podczas zderzenia
była zamieniona na pracę odkształcenia konstrukcji. Jednocześnie odkształcenie to nie
może naruszyć minimalnej przestrzeni przeżycia dla pasażerów i kierowcy. Istnieje
również potrzeba określenia wielkości energii absorbowanej przez nadwozie podczas
zderzenia z ziemią. W celu uzyskania tych informacji, w latach osiemdziesiątych,
zaczęto przeprowadzać odpowiednie badania. Jednym z nich była próba
przeprowadzona w Wielkiej Brytanii w 1984 roku. Zasymulowano tam wypadek przewrócenia
się autobusu na dach. Schemat symulacji przedstawiono na rysunku 22.24. Na
pochylni ustawiono obciążony autobus, a następnie pozwolono mu ześliznąć się w dół. U
dołu ramy przymocowano zderzaki. Po uderzeniu w nie autobus przewrócił się
i uderzył dachem o twarde podłoże 0,7 m poniżej zderzaków. Na podstawie testów
wyznaczono wtedy zależność energii uderzenia od masy autobusu (rys. 22.25).
425
Rys. 22.24. Schemat próby przewrócenia się autobusu na dach
metodą naturalnego wywrócenia na stoku
50 r
4000
6000
10000 12000
8000
Masa [kg]
Rys. 22.25. Energia pochłonięta podczas testów przewrócenia się autobusu na dach
Równolegle firma Mercedes-Benz już od początku lat osiemdziesiątych zaczęła
badania przypadków przewracania się autobusów, przyczyniając się w znacznym stopniu do
ustalenia norm bezpieczeństwa Unii Europejskiej w tym zakresie.
W wyniku tego powstała dyrektywa ECE R 66, która definiuje parametry
wytrzymałościowe nadwozia autobusu i przewiduje ich kontrole jedną z następujących metod:
- przewrócenie kompletnego pojazdu,
-przewrócenie wycinka pojazdu, reprezentatywnego w stosunku do całej struktury
nośnej,
- uderzenie wahadłem odpowiednio wybranej części struktury nośnej lub
odpowiedniej grupy części,
426
- kontrolne obliczenia wytrzymałościowe konstrukcji nośnej.
Przeprowadzane różnymi metodami próby mają na celu zbadanie stopnia
deformacji nadwozia w celu określenia przestrzeni przeżycia dla pasażerów. Przestrzeń ta,
jako część przestrzeni pierwotnej wewnątrz pojazdu, nie może być mniejsza od
określonej przepisami.
Próbę przewrócenia całego pojazdu przeprowadza się na seryjnym egzemplarzu
dostarczonym przez producenta. Pojazd musi być gotowy do drogi, tzn. mieć paliwo,
wszelkie płyny eksploatacyjne, środki smarne, standardowe narzędzia oraz koło
zapasowe. Nie przewiduje się natomiast wliczania do masy pojazdu obciążenia, które by
symulowało pasażerów.
Wszystkie pokrywy, okna i drzwi muszą być zamknięte. Wartości ciśnienia
w oponach oraz zawieszenia nadwozia wynikającego z zastosowania automatycznego
poziomowania muszą równać się normalnym parametrom podanym przez producenta.
Autobus ustawia się na wahliwej platformie (według warunków przedstawionych na
rysunku 22.26), której prędkość przechyłu nie powinna przekraczać 5m/s (0,087
rad/s). Pozwala to na przechylanie go bez żadnych wpływów dynamicznych aż do
momentu przewrócenia.
Wahliwa
platforma
Rys. 22.26. Warunki próby przewrócenia się autobusu wg ECE R 66
Całe zdarzenie rejestrowane jest przez szybko fotografujące kamery rejestrujące
materiał służący do oceny prawidłowości przeprowadzonej próby.
Przystępując do obliczenia całkowitej energii E* pochłoniętej przez konstrukcję,
według ECE R 66, należy założyć, że:
427
przekrój poprzeczny zabudowy jest prostokątny,
resorowanie pojazdu jest usztywnione,
przechylanie poprzecznego przekroju zabudowy odbywa się wokół punktu A.
Rys. 22.27. Wielkości potrzebne do wyznaczenia energii całkowitej E*
Jeżeli oczekiwane przesunięcie środka ciężkości autobusu h zostanie określone
metodą graficzną ( rys. 22.27), E* można obliczyć z następującej zależności
E" = 0,75Mgh
Metodą przybliżoną E* można wyznaczyć ze wzoru
(22.10)
E* = 0,7'5Mg
W_
K~2j
2
W
Hv
■HS —^— Jfł2 -0,&2 +0,8-
s 2H V H
(22.11)
W powyższych zależnościach:
M - masa pojazdu gotowego do drogi [kg],
g -9,81 m/s2,
W - szerokość pojazdu [m],
Hs - wysokość środka ciężkości nieobciążonego pojazdu [m],
H - wysokość pojazdu [m].
428
Rys. 22.28. Upadek autobusu O 404 z rampy wysokości 0,8 m na beton wg ECE R 66
Bezpieczna konstrukcja nowoczesnego autobusu musi charakteryzować się dużymi
rezerwami bezpieczeństwa biernego na wypadek zaistnienia obciążenia awaryjnego
opisanego w ECE R66 (rys. 22.28). Umożliwia to maksymalną ochronę pasażerów, a
po wypadku zapewnia możliwość szybkiego opuszczenia pojazdu przez drzwi, okna
lub pokrywy dachowe. Warunki te doskonale spełnia struktura nośna autobusu
Mercedes-Benz O 404. Zastosowano prasowane elementy konstrukcyjne i położono duży
nacisk na precyzję oraz jakość obrabiania. Zabudowa całej karoserii stała się przez to
maksymalnie sztywna i stabilna. Ograniczono drgania konstrukcji z wyraźną poprawą
komfortu jazdy.
429
Rys. 22.29. Bezpieczna konstrukcja autobusu wykonana ze spawanych punktowo wytłoczek
Kolejną zaletą w porównaniu do konwencjonalnej techniki szkieletu rurowego jest
w tym wypadku, oprócz „odchudzenia" konstrukcji, oszczędność materiału i energii
potrzebnej do wytworzenia nadwozia. Wszystkie grupy konstrukcyjne, począwszy od
kolumn bocznych aż po dźwigary podłogi, składają się z otwartych profili
formowanych przez prasowanie, które to charakteryzują się większą wytrzymałością niż
struktura tradycyjna, spawana z pojedynczych części. Opisana konstrukcja jest
przedstawiona na rysunku 22.29.
W odniesieniu do konstrukcji nośnej autobusu, którego modele geometryczny i
dyskretny zostały pokazane na rysunkach 22.4-22.6, przeprowadzono numeryczną
symulację wywrócenia się na bok. Warunki brzegowe dla symulacji wywrotu na bok
przyjęto zgodnie z ECE R 66. Autobus ten musi być obciążony siłą 90 kN, którą
rozłożono na poszczególne słupki okienne, jak pokazano na rysunku 22.30. Kąty
przyłożenia poszczególnych sił składowych mierzone w odniesieniu do płaszczyzny dachu
autobusu są w tym wypadku równe 13° i zostały wyznaczone metodą wykreślną wg
ECE R 66. Numeryczna symulacja wywrotu autobusu na bok dla tak określonych
warunków brzegowych została przeprowadzona MES w systemie MS C/NAS TRAN.
Analizę wytrzymałościową wykonano w zakresie sprężysto-plastycznym, a otrzymane
przykładowe wyniki przedstawiono na rysunku 22.31.
430
Rys. 22.30. Obciążenie krawędzi dachu symulujące wywrócenie się autobusu na bok
Rys. 22.31. Postać deformacji konstrukcji nośnej autobusu przy wywróceniu się na bok
431
Dyrektywa ECE R 80 dotyczy badań symulacyjnych foteli i ich mocowania. Źródłem
danych są zarejestrowane impulsy elektroniczne w momencie uderzenia fotela
umieszczonego na ruchomych saniach o sztywną barierę z prędkością 31 km/h (rys. 22.32).
Rys. 22.32. Badanie symulacyjne foteli autobusu turystycznego
Za pośrednictwem czujników umieszczonych w głowie, klatce piersiowej i
miednicy manekina są mierzone przyspieszenia działające na pasażera w czasie kolizji.
Ważne jest, aby mocowania foteli do podłogi autobusu zapewniały dużą
wytrzymałość. Szczególnie w przypadku zderzenia, kiedy to pasażerowie siedzący z tyłu
działają siłą proporcjonalną do swojej masy i występującego opóźnienia na poprzedzające
ich oparcia. Jednocześnie pokrycia tylne foteli podczas uderzenia o nie pasażerów nie
powinny powodować obrażeń.
Podczas zderzeń czołowych ważną rolę odgrywa konstrukcja ściany przedniej.
Przykładowo, w autobusie Lion's Star firmy MAN zamontowane jest specjalne skrzynkowe
wzmocnienie chroniące mechanizm kierowniczy, dzięki któremu zostaje zachowana
zdolność kierowania pomimo deformacji przodu autobusu w wyniku kolizji.
432
Rys. 22.33. Umieszczenie koła zapasowego z przodu autobusu turystycznego ułatwia jego
wyjęcie i chroni w przypadku kolizji
Na korzystne przenoszenie i rozpraszanie energii zderzenia wpływa umieszczenie
koła zapasowego przy ścianie przedniej, co pokazano na rysunku 22.33.
W przedniej części ulegającej deformacji nie powinny znajdować się żadne
przewody hydrauliczne, powietrzne czy elektryczne.
Konstrukcja nowoczesnego autobusu powinna uwzględniać też bezpieczeństwo
innych użytkowników dróg, między innymi przez odpowiednie ukształtowanie bryły
nadwozia i stosowanie osłon dolnych ścian przedniej, tylnej i bocznych. Symulowane
obciążenie zewnętrzne poprzez samochód osobowy o wadze maksymalnej 1500 kg
i powierzchni ataku 1,2 m2 na stojący autobus wynosi:
- w przypadku normalnym 0,6 g,
- w przypadku ekstremalnym 1,0 g;
W przypadku ekstremalnym dopuszczalne są trwałe odkształcenia na szkielecie,
które nie naruszają przestrzeni życiowej pasażerów.
BIBLIOGRAFIA
[1] AKIM LE., Finite Element Analysis for Undergraduates, Academic Press, London 1986.
[2] APPEL H., KRABBEL G., IKELS K., RODEMANN T., Finite Element Simulation ofDeforma-
tion Characteristics ofthe Humań Skuli, IRCOBI Conference, Lyon, Sept. 1994.
[3] ARGYRIS lii.,DieMatrizentheorie der Statik, Ing.-Arch. 25 (1957), s. 174-192.
[4] ARGYRIS J.H. i in., Metody obliczeniowe w mechanice nieliniowej, Wyd. PAN, Ossolineum,
Wrocław 1977.
[5] ATTARD M.M., Stiffness Matrixfor Geometrie Nonlinear-Analysis-Discussion, Journal of Struc-
tural Engineering - ASCE,No. 7/1987, s. 1632-1634.
[6] ATTARD M.M., SOMERVAILLE I.J., Stability of Thin-Walled Open Beams Under Nonconse-
rvative Loads, Mechanics of Structures and Machines, No. 3/1987, s. 395^112.
[7] BANASZEK J., Analiza fizykalnej poprawności modeli elementów skończonych dla zagadnień
wymiany ciepła, Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1991.
[8] BANERJEE J.R., Coupled Bending Torsional Dynamie Stiffness Matrix or Beam Elements,
International Journal for Numerical Methods in Engineering, No. 6/1989, s. 1283-1298.
[9] BATHEK. J., Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice Hall, New Jersey 1982.
[10JBATHE K.J., WILSON E.L., Numerical methods in finite element analysis, Prentice-Hall, London
1976.
[11] BAUCHAU O.A., HONG C.H., Nonlinear Response and Stability Analysis of Beams Using Finite
-Elements in Time, AIAA Journal, No. 9/1988, s. 1135-1142.
[12] BELYTSCHKO T., SCHWER L., KLEIN M.J., Large Displacement Transient Analysis ofSpace
Frames, International Journal of Numerical Methods in Engineering, No. 11/1987, s. 65-84
[13] BERDYCZEWSKI J., Wariacjonnyjeprincypy miechaniki splosznoj sriedy, Nauka, Moskwa 1983.
[14] BERGAN P. G., BATHE K.J., WUNDERLICH W., Finite Element Methods for Nonlinear Pro-
blems, Springer-Verlag, Berlin 1986.
[15] BERNADOU M., Finite Element Methods for Thin Shell Problems, MASSON, Paris 1996.
[16] BIGGS J.M., Introduction to Structural Dynamics, McGraw-Hill, New York 1964, s. 50.
[17] BIJAK R., CHODOR L., Ścisły element skończony pręta cienkościennego w zagadnieniach statyki
i stateczności, IX Konf. nt. „Metody Komputerowe w Mechanice", Kraków-Rytro 1989.
[18] BORKOWSKI W., KONOPKA St, PROCHOWSKI L., Dynamika maszyn roboczych, Warszawa,
WNT, 1996.
[19] BOROWSKI A. i in., Mechanika budowli. Ujęcie komputerowe, Warszawa, Arkady, 1995.
[20] BOROWSKI A., Statyczna analiza układów prętowych w zakresach sprężystym i plastycznym,
PWN, Poznań 1985.
[21] BREDT R., KritischeBemerkungen zur Drehungselastizitat, Springer Verlag, Berlin 1896.
[22] BREITINGER R., BRUEGER H., MUHS H., Sicherheitsentwicklung von VW-Nutzfarzeugen in
der Prototypen-Phase, ATZ 90, 1988.
434
[23] BRUNARSKI L., GÓRECKI B., RUNKIEWICZ L., Zbiór zadań z teorii sprężystości i
plastyczności, Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1980.
[24] BRZOSKA Z., Statyka i stateczność konstrukcji prętowych i cienkościennych, Warszawa 1961.
[25] BUCZYŃSKI T., Współczesne tendencje w rozwoju metod komputerowych w naukach
stosowanych, Wykład inauguracyjny, Gliwice, Politechnika Śląska, 1998.
[26] BUHARIWALA K.J., HANSEN J.S., Construction of a Consistent Damping Matrix, Journal of
Applied Mechanics-Transactions of The ASME, Vol. 55, Iss. 2, s. 443^ł47, 1988.
[27] CARDONA A., GERADTN M., A Beam Finite-Element Non-Linear Theory with Finite Rotations,
International Journal for Numerical Methods in Engineering, No. 11/1988, s. 2403-2438.
[28] CHAJES A., CHURCHILL J.E., Nonlinear Frame Analysis by Finite-Element Methods, Journal of
Structural Engineering-ASCE, No. 6/1987, s. 221-235.
[29] CHEN H, HU Y., The torsional stiffness matrix of a thin-walled beams and its application to be-
ams under combined loading, Computer Structures, No. 28/1988, s. 147-156.
[30] CHEUNG Y.K., YEO M.F., A practical Introduction to Finite Element Analysis, Pitman, London 1979.
[31] CLEBSCH A., Teorie derElastizitdt derfesten Kórper, Springer Verlag, Berlin 1962.
[32] CONCI A., GATTASS M., Natural Approach for Thin-Walled Beam-Columns with Elastic-
Plasticity, International Journal for Numerical Methods in Engineering, No. 8/1990, s. 1653-1679.
[33] COOK R.D., MALKUS D.S., PLESHA M.E., Concepts and Applications of Finite Element
Analysis, Wiley, London 1989.
[34] COSMOS/M Advanced Modules User Guide. Advanced Dynamics, Heat Transfer, and Nonlinear
Static & Dynamie Analyses. Ver. 1.70, Vol. 4, Santa Monica 1993, California.
[35] COSMOS/M Basic FEA System. Linear Statics, Natural Freąuency and Buckling Analysis. Ver.
1.70, Vol. 3, Santa Monica 1993, California.
[36] COSMOS/M CommandReference. Ver.l.80, Vol. 2, Santa Monica 1993, California.
[37] COSMOS/M Finite Element Analysis System Advanced Seminar. Structural Research & Analysis
Corporation, Santa Monica 1993, California.
[38] COSMOS/M Preprocessing, Analysis and Postprocessing Interface. Ver. 1.70, Vol. 1, Santa
Monica 1993, California.
[39] COURANT R., Yariational methods for the solution of problems of eąuilibrium and vibrations,
Buli. Amer. Math. Soc. 49 (1943), s. 1-23.
[40] CRISFIELD K. A., Non-Linear Finite Element Analysis of Solid and Structures, Vol. 1, J. Wiley,
Chichester 1991.
[41] CUGNON F., BECKERS P., Error estimation for H- andP- method, University of Liege, LTAS-
Infographie.
[42] CZMOCHOWSKI J., Analiza stateczności niejednospójnych płyt trójwarstwowych metodą
elementów skończonych, Rozprawa doktorska, Politechnika Wrocławska, Wrocław, 1983.
[43] CZMOCHOWSKI J., Komputerowa symulacja pracy przepony w pompie hydraulicznej, Przegląd
Mechaniczny, 1997, R. 56, nr 9, s. 24-27.
[44] CZMOCHOWSKI J., DZIELENDZIAK S., RUSIŃSKI E., Zaawansowana analiza statyczna i
dynamiczna konstrukcji nośnych żurawików samochodowych, Górnictwo Odkrywkowe, 1994, R. 36,
Nr l,s. 71-79.
[45] CZMOCHOWSKI J., ROMANÓW F., Die Anwendung der Methode finiter Elemente zur Analyse
der Stabilitdt von Sandwichplatten, Finite Elemente IV, Technische Universitat Dresden, Weiter-
435
bildungszentrum Festkórpermechanik, Dresden TU 1987, Konstruktion und Rationeller Werk-
stoffeinsatz, Studientexte, H. 1/85, s. 46-53.
[46] CZMOCHOWSKI I, RUSIŃSKI E., Einige Aspekte zur Planung der Tragkonstruktion eines
Eimerkettenbaggers, BRAUNKOHLE-Surface Mining, Vol. 51(1999), Nr 1, s. 19-24.
[47] CZMOCHOWSKI I, RUSIŃSKI E., SMOLNICKI T., Obliczenia wytrzymałościowe wysięgnika
koła czerpakowego koparki o zmiennej długości, Maszyny Dźwig.-Transp., 1996, Nr 4, s. 55-62.
[48] DADS - Reference Manuał. Revision 8.0, Computer Aided Design Software Inc. 1995.
[49] DAHLQUIST G., BJORCK., NumericalMethods. Prentice-Hall, London 1969.
[50] DEGOYET V.D., Nonlinear Elastic Frame Analysis by Finite-Element-Discussion, Journal of
Structural Engineering-ASCE, No. 10/1986, s. 2362-2365.
[51] DUDEK D., Elementy dynamiki maszyn górnictwa odkrywkowego, Wrocław, Oficyna
Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, 1994.
[52] DUFFEY T.A., ROMESBERG L.E., The Construction and Use of N-Dimensional Lower Bound
Failure Surfaces, Computers & Structures, No. 6/1976, s. 355-361.
[53] DURST W., VOGT W., Schaufelradbagger, Trans. Tech. Publications, 1986.
[54] EGGER H., KROPLTN B.H., Yielding of Platę with Hardening and Large Deformation,
International Journal of Numerical Methods in Engineering, No. 739-750, s. 12/1978.
[55]EKHANDE S.G., SELVAPPALAM M., MMADUGULA M.K.S., Stability Functions for
3-Dimensional Beam-Columns, Journal of Structural Engineering-ASCE, No. 2/1989, s. 467^ł82.
[56] ELIAS Z.M., Stiffness Matrix for Geometrie Nonlinear-Analysis-Discussion, Journal of Structural
Engineering-ASCE, No. 7/1987, s. 1634-1635.
[57] EPJNGEN A.C., Nonlinear Theory ofContinuous Media, Wiley, New York 1962.
[58] FLUGGEGO W., Stresses in Shells. Springer-Verlag, London 1960.
[59] FOPPL A., Yorlesungen ilber TechnischeMechanik, Springer Verlag, Berlin 1922.
[60] FUNG Y.C., Podstawy mechaniki ciała stałego, Warszawa, PWN, 1969.
[61] GARASHCHENKO F.G., Study ofPractical Stability Problems by Numerical-Methods and Optimiza-
tion ofBeam Dynamics, PMM Journal of Applied Mathematics and Mechanics, No. 5/1987, s. 559-564.
[62] GARBACIK A., Studium projektowania układów hydraulicznych, Wrocław-Warszawa-Kraków,
Ossolineum, 1997.
[63] GEISSLER H., Technische Yoraussagen von Prufungen an Sicherheitskabinen Daimler-Benz AG,
Stuttgart 1975.
[64] GELFAND, S L, FOMIN M..W., Rachunek wariacyjny, wyd. 3, Warszawa, PWN, 1975.
[65] GREEN A., Podstawy nieliniowej teorii ośrodków ciągłych, Wrocław 1973.
[66] GREEN A., ADKINS J.E., Large Elastic Deformation and Nonlinear Continuum Mechanics,
Oxford University Press. Clarendon Press, London 1969.
[67] GRYBOŚ R., Stateczność konstrukcji pod obciążeniem uderzeniowym, IPPT PAN, Warszawa-Po-
znań 1980.
[68] GUNNLAUGSSON G.A., PEDERSEN P.T., A Finite Element Formulation for Beams with
Thin-Walled Cross-Sections, Computer Structures, No. 15/1982, s. 691-699.
[69]HANSEN H.M., CHENEA P.F., Mechanics of vibration, John Wiley & Sons, inc, New York
1952.
436
HAUG E, ARNAUDEAU R, DUBOIS I, ROUVRAY A., CHEDMAIL IR, Static and Dynamie
Finite Element Analysis of Structural Crashworthiness in the Automotive and Aerospace
Industries, Structural Crashworthiness. Butterworth, London 1983.
HAWRYLAK H., SOBOLSKI R., Maszyny podstawowe górnictwa odkrywkowego, Katowice, WN
Śląsk, 1974.
FflLL R., The Mathematical Theory of Plasticity, Oxford Un. Press, 1950, Vol. 2. McGraw-Hill,
Berkshire, England 1991.
HTNTON E., OWEN D.R.I, Finite Element in Plasticity, Pineridge Press, London 1980.
HUBER M.T., Teoria sprężystości, Warszawa, PWN, 1954.
HUGHES O.F., Ship Structural Design, John Wiley & Sons, New York 1983.
I-DEAS Master Series, Exploring I-DEAS Design, Vol. I i II, Copyright © Structural Dynamics
Research Corporation 1994.
I-DEAS Master Series, Exploring I-DEAS Drafting, Copyright © Structural Dynamics Research
Corporation 1994.
ILUK A., Model dynamiczny szybkobieżnego pojazdu gąsienicowego, praca doktorska, Raport
Serii SPR nr 47/98, PWr. Wrocław 1998.
ILUK A., RUSIŃSKI E., HAWRYLAK H., Analiza obciążeń dynamicznych w mechanizmie
urabiania koparki KWK-1400, III Konf. nt. „Metody doświadczalne w budowie i eksploatacji
maszyn", Szklarska Poręba 1997.
IZZUDIN BA., ELSNASHAI A.S., DOWLING P.I, Large Displacement Nonlinear Analysis of
Space Frames,w. Structural dynamics, 1991.
JAWORSKI A., Metoda elementów skończonych i wytrzymałości konstrukcji, Warszawa,
Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, 1981.
JONES D., MUSZYŃSKA G., Harmonie Respons of a Damped Two-Degree of Freedom System
with Gaps, Nonlinear Vibration Problems, PWN, Warszawa 1979.
JONES N., WIERZBICKI T., Structural Crashworthiness, London, Butterworth, 1983.
KAHYAI S., NIAZY A-S.M., Weingarten VI. A hybrid techniąue for generalized contact
problems, Comput. Struct, 1993.
KAJUMOW O, R., Globalnoj uprawlaiemosti niekotorych lagranżewych sistiem, Izw. AN ZSRR
Mechanika twierdowo tieła, No. 6, 1986, s. 16-23.
KAMIŃSKI Z., Drabik B., Raport o stanie narzędzi urabiających koparek wielonaczyniowych oraz
opis działań TEM-u służących optymalizacji gospodarki tymi narzędziami, Materiały wewnętrzne
KWB „Turów", 1997.
KARDESTUNCER H., Finite Element Handbook, McGraw-Hill, New York 1987.
KAW Al T., The application of finite element methods to ship structures, Computers & Structures,
No. 3/1973, s. 1175-1194.
KITIPORNCHAI S., AIBERMAINI F.G.A., CHAN S.L.,Elastoplastic Finite-ElementModels for
Angle Steel Frames, Journal of Structural Engineering-ASCE, No. 10/1990, s. 2567-2581.
KITIPORNCHAI S., CHAN S.I., Nonlinear Finite-Element Analysis of Angle and Tee Beam Co-
lumns, Journal of Structural Engineering-ASCE, No. 4/1987, s. 721-739.
KLEIBER M. i in., Wprowadzenie do metody elementów skończonych, Warszawa-Poznań, PWN, 1989.
KLEIBER M., Metoda elementów skończonych w nieliniowej mechanice kontinuum, Warszawa,
PWN, 1985.
437
[93] KLEIBER M., SARAN M., O numerycznej realizacji metody perturbacji w nieliniowej analizie
konstrukcji, VII Konf. nt. Metody komputerowe w mechanice konstrukcji. Gdynia 1985.
[94] KLEIBER M., WOŹNIAK C, Nonlinear Mechanics of Structures, Warszawa, PWN, 1991.
[95] KNOTHE K., Wessels H., Finite Elemente. Eine Einfiirungfur Ingenieure, Springer-Verlag Berlin
Heiderberg 1992.
[96] KOLBRUNNER CL, BASLER K., Torsion in Structures - An Engineering Approach, Springer
Verlag, Berlin 1969.
[97] KOLBRUNNER CL, HAJDIN N., Dunnwandige Stabe, Springer Verlag, Berlin 1975.
[98] KONDERLA P., KASPRZAK L., Metody komputerowe w teorii sprężystości. Część I. Metoda
elementów skończonych, Wrocław, Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacji, 1997.
[99] KONDOH K., ALLURI S.N., A Simplified Finite-Element Methodfor Large Deformation, Post-
Buckling Analyses of Large Frame Structures, Using Explicitly Derived Tangent Stiffness Matri-
ces, International Journal for Numerical Methods in Engineering, No. 1/1986, s. 69-90.
100] KOZŁOWSKI L., PIECHNIK S., SLOJEK Z., Zastosowanie rachunku wariacyjnego do zagadnień
mechaniki budowli, Warszawa, Arkady, 1967.
101] KRAJCLNOWIC Y>.,A Consistent Discrete Element Techniąue for Thin-Walled Assemblages. Int.
J. Solid Struci, No. 5/1959, s. 639-662.
102] KRUSZEWSKI J. i in.,Metoda sztywnych elementów skończonych, Warszawa, Arkady, 1975.
103] KRUSZEWSKI L, GAWROŃSKI W., OSLACHOWICZ W., PARNOWSKI L, WILLBRODL E.,
Metoda elementów skończonych w dynamice konstrukcji, Warszawa, Arkady, 1984.
104] KRUSZEWSKI L, WILLBRODL E., Drgania układów mechanicznych w ujęciu komputerowym.
Lom I. Zagadnienia liniowe, Warszawa, WNL, 1992.
105] KRUSZEWSKI I, WILLBRODL E., WALCZYK Z., Drgania układów mechanicznych w ujęciu
komputerowym. Lom II. Zagadnienia wybrane, Warszawa, WNL, 1993.
106] Księga Metodyki Badań Atestacyjnych. Specjalistyczne maszyny i urządzenia do urabiania,
zwałowania i transportu w odkrywkowych zakładach górniczych. Instytut Konstrukcji i Eksploatacji
Maszyn Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1996.
107] KWAŚNIOWSKI St, SROKA Z., ZABŁOCKI W., Modelowanie obciążeń cieplnych w elementach
silników spalinowych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławska, Wrocławskiej, Wrocław 1999.
108] LAGODA L., MACHA E., Wieloosiowe zmęczenie losowe elementów maszyn i konstrukcji, Opole,
Oficyna Wydawnicza Politechniki Opolskiej, 1998.
109] LAKIN W.D., KVALERNIK R.G., An Integrating Matrix Formulation for Buckling of Rotating
Beams Including the Effects of Concentrated Masses, International Journal of Mechanical
Sciences, No. 8/1989, s. 569-577.
110] LANGHAAR, Energy methods in applied mechanics, J. Wiley and Sons, New York 1962.
111] LAUDIERO P., ZACCARIA Y>.,A Consistent Approach to Linear-Stability of Thin-Walled-Beams
ofOpen Section, International Journal of Mechanical Sciences, No. 7/1988, s. 503-515.
112] LAUDIERO P., ZACCARIA D., Finite-Element Analysis of Stability of Thin-Walled-Beams of
Open Section, International Journal of Mechanical Sciences, No. 8/1988, s. 543-557.
113] LEE,H., Hsieh S. S., Expedient implicit integration with adaptativ time stepping algorithm for
nonlinear transient analysis, Comp. Meths. Appl. Mech. Engrg. 81, 1990 s. 151-172.
114] MACKERLE J., BREBBIA CA., The boundary element reference book Southampton, Boston:
Computational Mechanics Publications, Berlin 1988.
115] MACMILLAN R.H., Dynamics ofYehicle Collisions, Interscience Publishers, Jersey 1983.
438
[116] MAJEWSKI,L., TROMBSKI, M., Przestrzenny model dźwigu z uwzględnieniem luzu w parach
kinematycznych wysięgnika teleskopowego, IV Ogólnopolska Konferencja Mechaniki Maszyn
Włókienniczych i Dźwigowych, Bielsko-Biała, 3-5 czerwiec 1993, s. 195-202.
117] MALININ N.N., RŻYSKO I, Mechanika materiałów, Warszawa, PWN, 1981.
118] MAZURKIEWICZ M., OSTACHOWICZ W., Theory offinite element methodfor elastic contact
problems of solid bodies, Computers and Structures, Vol. 17, s. 51-59, 1983.
119] MEEK J.L., LOGANATHAN S., Large Displacement Analysis of Space-Frame Structures,
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, No. 1/1989, s. 57-75.
120] MENDERA Z., Losowe obciążenia i nośność konstrukcji, Probabilistyczne teorie obciążeń
budowli, Wrocław, Ossolineum, 1979.
121] MISIAK I, Obliczenia konstrukcji prętowych, Warszawa, PWN, 1993.
122] MISIAK I, Stateczność konstrukcji prętowych, Warszawa, PWN, 1990.
123] WTSCHKEM.,Dynamika samochodu, Warszawa, WKŁ, 1977.
124] MOHR O.C., Beitrdge zur Theorie der Bogenfachwerktrdger, Zeitschrift des Archu. Ing. Vereins
zuHannover20(1874)23f.
125] MORRIS G.A., FENVES S.J., Approximate Yield Surface Eąuations, J. Eng. Mech. Division,
1969, s. 937-954.
126] MSC/DYTRAN McNeal-Schwendler Corp., Los Angeles 1990.
127] MUTERMILCH J., KOCIOŁEK A., Wytrzymałość i stateczność prętów cienkościennych
o przekroju otwartym, Warszawa, PWN, 1972.
128] MULLER-BRESLAU H.,D/e neuerenMethoden der Festigkeitslehre, Leipzig: Alfred Króner 1886.
129] NALESZKIEWICZ J., Zagadnienia stateczności sprężystej, Warszawa, PWN, 1958.
130] NOGIEĆ T., MALCHER K., Rozpoznanie aktualnego stanu wiedzy ... CPBP 02.05, Raport IKEM
PWr. 1986.
131] NOWACKI W.,Dżwigarypowierzchniowe, Warszawa, PWN, 1979.
132] NOWACKI. W., Teoria sprężystości, Warszawa, PWN, 1970.
133] OLIVER J., ONA TE E.,A Total Lagrangian Formulation for the Geometrically Nonlinear
Analysis of Structures Using Finite-Elements. 2. Arches, Frames and Axisymmetric Shells, International
Journal for Numerical Methods in Engineering, No. 2/1986, s. 253-274.
134] OLSZAK W., PERZYNA P., SAWCZUK A., Teoria plastyczności, Warszawa, PWN, 1965.
135] OLSZOWSKI B., Błędy niektórych jednokrotnych metod numerycznego całkowania równań ruchu,
Mechanika i Komputer, Nr 4. Warszawa, PWN, 1988.
136] ORAVAS G. A., McLean L:.Historical development of energeticalprinciples in elastomechanics,
Applied Mechanic Review, Vol. 19 (1966), No. 8 and No. 11, s. 919-933.
137] ORBISON G.J., MCGUIRE, ABEL J.F., Yield Surface Applications in Onlinear Steel Frame
Analysis, Cop. Methods Appl. Mech. Eng. No. 33/1982, s. 557-573.
138] ORKISZ L, Metoda różnic skończonych. Cz. III, w „Mechanika techniczna, komputerowe metody
mechaniki ciał stałych," pod red. M. Kleibera, Warszawa, PWN, 1995.
139] ORŁOŚ Zb. i inni, Naprężenia cieplne, Warszawa, PWN, 1991.
140] OSIECKI J. W., Dynamika maszyn, Warszawa, Wydawnictwo WAT, 1994.
141] OSIŃSKI J., Obliczenia wytrzymałościowe elementów maszyn z zastosowaniem metody elementów
skończonych, Warszawa, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 1997.
439
OSIŃSKI Z., WRÓBEL J., Wybrane metody komputerowo wspomaganego konstruowania maszyn,
Warszawa, PWN, 1988.
OSIŃSKI J., Wspomagane komputerowo projektowanie typowych zespołów i elementów maszyn,
Warszawa, PWN, 1994.
OSIŃSKI Z., Teoria drgań, Warszawa, PWN, 1978.
OSTENFELD A., Die Deformationsmethode, Springer, Berlin 1926.
OSTRRIEDER P., RAMM E., Nonlinear Frame Analysis by Finite-Element Method, Journal of
Structural Engineering-ASCE, No. 2/1989, s. 497^198.
OZIEMSKI S., Zagadnienia wyboru modelu odnowy maszyn, Założenia techniczne i ekonomiczne,
VI Konf. Nauk. WAT, Rynia, 1994.
PAJER G., PFEIFER M., HOJDAR., Tagebaugrofigerate und Universalbagger, VEB Verlag
Technik, Berlin 1971.
PAM-CRASH User Manuał, Ver.lO Eng. Systems Int. Rungis-Cedex 1989.
PARK K.C, SACZALSKI K.J., An Interactive Hibrid Techniąue for Crashworthy Design ofCom-
plex Vehicular Structural Systems, Proc. Int. Conf. on Vehicle Design, Detroit 1974, Michigan.
PARK K.C, SACZALSKI K.J., Transient Response of Inelastically Constrained Rigid-Body
Systems, Transactions of the ASME. J. Eng. Industry No. 3/1974.
PAUWELS F., Biomechanics of the Locomotor apparatus, Springer, Berlin Heidelberg, New York
1976.
PIĄTKIEWICZ A. SOBOLSKI R., Dźwignice, Warszawa, WNT, 1978.
PIECZONKA K., Maszyny urabiające, podstawy urabiania i przemieszczania, Wrocław, Wyd.
PWr., 1988.
PIETRZAK L, RAKOWSKI G., WRZEŚNIOWSKI K., Macierzowa analiza konstrukcji, Warsza-
wa-Poznań, PWN, 1979.
PRAGER W., An Introduction toPlasticity, Addison-Wesley, London 1959.
PRANDTL L., Zur Torsion vonprismatischen Staben, Springer Verlag, Berlin 1903.
PRZEMIENIECKI J.S., Theory ofMatrix Structure Analysis, McGraw Hill, New York 1968.
PRZYCHODZIEŃ T. i in., Elementy robocze - modele matematyczne i fizyczne zespołów układu
napędowego i sterowania maszyn roboczych, Prace Naukowe CPBP 02.05. Warszawa,
Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej 1990
RADIOSS-CRASH User Manuał, Ver. 1.5, Mecalog Sari, Paris 1988.
RAKOWSKI G. Metoda elementów skończonych - wybrane problemy, Warszawa, Oficyna
Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 1996.
RAKOWSKI G., KACPRZYK Z., Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji,
Warszawa, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 1993.
RAO S.S., The Finite Element Method in Engineering, Pergamon Press, New York 1989.
Rasper L., Kugeldrehverbindungen in Tagebaugrofigeraten, Braunkohle, 1972, Bd. 24, s. 360-369.
RAWILTNGS B.,Mode changes inframes deformed under impulsive loads, J. Mech. Eng. Science
No. 6/1964.
RIKS E.,An incremental approach to the solution of snapping and buckling problems, Int. J. So-
lidsStru., 15,1979, s. 529-551.
RITZ W., Uber eine neue Methode zur Lósung gewisser Yariationsprobleme der mathematischen
Physik, J. Reine angew. Math. 35 (1908), H. 1, s. 1-61.
440
[168] ROJEK J. Numeryczna analiza nieliniowych zagadnień mechaniki konstrukcji złożonych z części
odksztalcalnych i sztywnych zastosowanie do analizy kabin ciągników. Praca doktorska. IPPT
PAN, Warszawa 1992.
169
170
171
172
173
174
175
176
177;
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
ROMANÓW F., Wytrzymałość ram i nadwozi pojazdów, Warszawa, WKŁ, 1988.
RUSIŃSKI E., Baggerschaufelrad-Aspekte zur Optimierung des Antriebssystems, Konstruktion 50
(1998) H. 5, s. 53-56.
RUSIŃSKI E., Computergestiitzte Methoden zur Projektierung von Sicherheitskabinen fiir
Schlepper, Grundlagen Landtech. 1987, Bd. 37, Nr. 1, s. 17-20.
RUSIŃSKI E., Die Berechnung von dunnwandigen Rahmen mit der Methode der finite Elemente,
Pr. Nauk. Inst. Konstr. i Ekspl. Masz. PWr., Nr 44, Wrocław 1985.
RUSIŃSKI E., Metoda elementów skończonych, System COSMOS/M, Warszawa, WKiŁ, 1994.
RUSIŃSKI E., Mikrokomputerowa analiza ram i nadwozi pojazdów i maszyn roboczych, WKŁ,
Warszawa 1990.
RUSIŃSKI E., Numerische Berechnung von Radlader-Sicherheitskabinen, Grundlagen Landtech.
1989, Jg. 39, Nr. 1, s. 22-26.
RUSIŃSKI E., Numerische berechnung von schlepper sicherheitskabinen, Numeryczne obliczanie
bezpiecznych kabin ciągników. Grundlagen Landtech. 1984, Bg 34, Nr 6.
RUSIŃSKI E., Numerische Festigkeitsberechnungen des Portals von Schaufelradbaggern, Deut-
sch. Hebe- u. Fórdertech. 1986, Jg. 32, Nr. 11, s. 42^14.
RUSIŃSKI E., Przyszłość nowoczesnego projektowania i wytwarzania maszyn w C-technologii,
Prz. Mech. Nr 7/1993, R. 52, s. 22-25.
RUSIŃSKI E., Rasćet na proćnost zaśćitnych kabin traktorov metodom konećnych elementov,
Analiza wytrzymałościowa kabin ochronnych ciągników metodą elementów skończonych.
Traktory i Selchozmas. 1984, No. 11.
RUSIŃSKI E., Simulationsuntersuchungen der Tragkonstruktionen von Ladenkranen. dhf
(Deutsche Hebe- und Fórdertechnik), 5/1996, s. 58-62
RUSIŃSKI E., Three-dimensional finite elements in elastic-plastic fracture mechanics, Met. Kom-
put. Inż. Ląd. 1993, T. 3, Nr 2, s. 63-77.
RUSIŃSKI E. WYCIŚLOK P., Yibration ofa system of two protractile elements with plays taken
into consideration, Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences, 1998, s. 329-344.
RUSIŃSKI E., CZMOCHOWSKI J. i in., Analiza wytrzymałościowa suwnicy bramowej Q=300t,
L=108m, Raport serii SPR. Nr 44/93, Wrocław, Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, 1993.
RUSIŃSKI E., CZMOCHOWSKI J., SMOLNICKI T., ILUK A., GÓRSKI A., Obliczenia
wytrzymałościowe konstrukcji nośnej koparki wieloczerpakowej, Raport serii SPR Nr 022/97 PWr.
RUSIŃSKI E., CZMOCHOWSKI J., SMOLNICKI T., WACR Z., Analiza wytrzymałościowa
konstrukcji stalowej podwozia koparki SchRs -800, Raport serii Sprawozdania nr 010/96 IKEM PWr.
RUSIŃSKI E., DZIELEŃDZIAK S., KWAŚNIOWSKI St, Analiza obciążeń cieplnych tłoka
silnika wysokoprężnego, International Conference on Internal Combustion Engines, KONES'94.
RUSIŃSKI E., SMOLNICKI T., Modelling of Dynamie Response ofLoader Protection Construc-
tions, Met. Komput. Inż. Ląd. 1993, Vol. 3, No. 1, s. 43-56.
RUSIŃSKI E., SMOLNICKI T., Numerische Simultation von Schutzkonstruktionen fur Lader,
Deutsch. Hebe- u. Foerdertech. 1993, Jg. 39, H. 1/2.
RUSIŃSKI E., SMOLNICKI T., KANCZEWSKI P., Aspekte zur Modernisierung der
Schaufelradbaggern, BRAUNKOHLE-Surface Minig, Vol. 49(1997), Nr 5, s. 465^71.
441
[190] SAINT-VENANT B.,Memoire sur la torsion desprismes, Mc Graw-Hill, Paris 1856.
[191] SARMA B. S., VARADAN T. K., PRATHAP G., On various formulation oflarge amplitudę free
vibrations ofbeams, Computers & Structures Vol. 29, No. 6, 1988, s. 959-966.
[192] Schaufelradbagger gewinntBeton. BRAUNKOHLE 48(1996) Nr 3 Mai/Juni.
[193] SHI G., ATLURI S.N., Elasto-Plastic Large Deformation Analyses ofSpace Frames a Plastic Hinge and
Stress-BasedExplicitDerivation ofTangentStiffnesses, Int. J. Num. Meth. Eng.,No. 26/1988, s. 589-615.
[194] SHWEIZERHOF K., NILSSON L., HALLQUIST J.O., Crashworthiness Analysis in the Automo-
tive Industry, Int. J. of Comp. Appl. inEng. 1991.
[195] SIECZKOWSKI I, KAPELA M., Projektowanie konstrukcji budowlanych, Warszawa, Oficyna
Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 1996.
[196] SMOLNICKI T., Wymiarowanie konstrukcji wsporczych wielkogabarytowych łożysk tocznych z
wykorzystaniem FEM, IV Konf. Nauk. Metody Doświadczalne, Szklarska Poręba 1999.
[197] SMOLNICKI T., Modele matematyczne konstrukcji ochronnych samojezdnych maszyn roboczych
w górnictwie podziemnym, praca doktorska. Raport IKiEM, PWr., 1994.
[198] SMOLNICKI T., RUSIŃSKI E., MALCHER K., Modele dyskretne łożysk wieńcowych w
maszynach podstawowych górnictwa odkrywkowego, III Konwersatorium Bezpieczeństwo oraz
degradacja maszyn. Wrocław-Szklarska Poręba, 1997.
[199] SMOLNICKI T., Zastosowanie superelementu bieżnia-kula-bieżnia do wyznaczenia nacisków w
wielkogabarytowym łożysku tocznym, Przegląd Mechaniczny 5/1999.
[200] SOSNOWSKI W., ASGRAM - 3D - numeryczna analiza sprężysto-plastycznych ram
przestrzennych, Mechanika i komputer, Nr 9/1989, s. 31^14.
[201] STANISZEWSKI B., Wymiana ciepła, Warszawa, PWN, 1980.
[202] STILMAN D.W., HALLOJST J.O., Interfacing LS-DYNA3D with MADYM03D for coupled si-
mulations. Livermore Software Technology Corp., Livermore 1990.
[203] STORCH J., STRANG G., Paradox lost natural boundary conditions in the Ritz-Galerkin method,
Int. J. Num. Meth. Engng. 26, 1988, s. 2255-2266.
[204] STRANG G., FIX G. L, An analysis of'the finite element method, Prentice-Hall, inc. Englewood
Cliffs,N. J. 1973.
[205] STRICKLIN JA., HAISLER W.A., Formulations and Solution Procedures for Nonlinear Sstruc-
tural Analysis, Computers & Structures, No. 10/1979, s. 879-897.
[206] STRICKLIN JA., HAISLER W.A., Survey of Solution Procedures for Nonlinear Analyses, Proc. Int.
Conf. on Vehicle Structural Mechanics. Finite Element Application to Vehicle Design, Detroit 1974.
[207] SZLAGOWSKI J., Metodyka kształtowania wytrzymałościowego elementów konstrukcji według
kryterium nośności granicznej, Prace IPPT, 25, Warszawa 1990.
[208] SZLAGOWSKI J, JANKOWSKI L. i in., Analiza doświadczalna metodami optycznymi elementów
konstrukcji kształtowanych według kryterium nośności granicznej, Warszawa, Wydawnictwo MET,
1996.
[209] SZMELTER l, Metody komputerowe w mechanice, Warszawa, PWN, 1980.
[210] SZMELTER J., DACKO M., DOBROCIŃSKI S., WIECZOREK M., Metoda elementów
skończonych w statyce konstrukcji, Warszawa, Arkady, 1979.
[211] SZMELTER J., DACKO M., DOBROCIŃSKI S., WIECZOREK M., Programy metody elementów
skończonych, Warszawa, Arkady, 1972.
[212] TENNYSON R.C., HANSEN J.S., Study ofthe Crash Behaviour of Aircraft Fuselage Structures,
Structural Crashworthiness, Butterworth, London 1983.
442
[213] TIDBURY G.H., The Design ofBus and Truck Structures for Passenger and Crew Safety,
International Journal of Vehicle Design, No. 5/1984.
[214] TIMOSHENKO S. P., GOODIER J. N., Teoria sprężystości, Warszawa, Arkady, 1962.
[215] TIMOSHENKO S., WOINOWSKY-KRIEGER S., Theory of Plates and Shells, Mc Graw-Hill
Book Company, New York 1959.
[216] TIMOSHENKO S., YOUNG D. H., Teory of Structures, Mc Graw-Hill, New York 1965.
[217] TOMCZYK J. i in., Badania dynamiki maszyn dźwigowo transportowych sterowanych za pomocą
mikroprocesorów, Praca badawcza KBNNr 7 T07C 028 09, Łódź-Bytom 1998.
[218] TOMCZYK J., System zbierania danych statystycznych pracy i obciążeń dźwignicy w procesie
eksploatacji, X Konferencja „Problemy Rozwoju Maszyn Roboczych", Zakopane 1997.
[219] TONG P., ROSSETOS J.N., Modular Finite Element Approach to Structural Crashworthiness
Prediction, Computers & Structures, 1977, s. 109-116.
[220] TURNER M.J., CLOUGH R.W., MARTIN H.C., TOPP L.J., Stiffness and Deflection Analysis of
Complex Structures, J. Aero Sci. 1956, No. 23, s. 805-823.
[221] UEDA Y., FUJIKUBO M., Plastic Node Method Considering Strainhardening Effects, Comput.
Meth. Appl. Mech. Eng., No. 94/1982, s. 317-337.
[222] UEDA Y., YAO T., The Plastic Node Method A New Method of Plastic Analysis, Comput. Meth.
Appl. Mech. Eng., No. 34/1982 s. 1089-1104.
[223] VOKAC P., ZAK J., Nonlinear Frame Analysis by Finite-Element Method -Discussion, Journal of
Structural Engineering - ASCE, No. 2/1989, s. 499^199.
[224] WACH Z., Metoda oceny wytężenia konstrukcji nośnych maszyn metodami numerycznymi, praca
doktorska, Raporty Inst. Konstr. Ekspl. Masz. PWr., Ser. PRE Nr 1, 1997.
[225] WAGNER H., Yerdrehung undKnickung von offenen Profillen, Springer Verlag, Berlin 1922.
[226] Warunki techniczne dozoru technicznego. Urządzenia ciśnieniowe obliczenia wytrzymałościowe
DT-UC-90/W0-0, Bydgoszcz, Wydawnictwo Poligraficzne, 1991.
[227] WASHIZU K., Yariational methods in elasticity and plastic ity, Pergamon Press, 1968.
[228] WASZCZYSZYN Z., CICHOŃ C, RADWAŃSKI M., Metoda elementów skończonych w
stateczności konstrukcji, Warszawa, Arkady, 1990.
[229] WEISS S., GERGOVICH K., Podstawy mechaniki pręta cienkościennego, Kraków, Wydawnictwa
Politechniki Krakowskiej, 1973.
[230] WEISS S., GIŻEJOWSKI M., Stateczność konstrukcji metalowych. Układy prętowe, Warszawa,
Arkady, 1991.
[231] WEN R.K. RAHIMZADEH J., Nonlinear Elastic Frame Analysis by Finite-Element-Closure,
Journal of Structural Engineering-ASCE, No. 10/1986, s. 2365-2366.
[232] WIERZBICKI T., Obliczanie konstrukcji obciążonych dynamicznie, Warszawa, Arkady, 1980.
[233] WIERZBICKI T., ABRAMOWICZ W., RHODES J., Manuał of Crashworthiness Engineering,
Vol. I-III, Center for Transportation Studies, MIT, Boston 1987-1989.
[234] WŁASOW W.I., Tonkostennye uprugie sterźni, Gosud. Izdat. Fiz.-Mat. Litieratury, Moskva 1940.
[235] WŁASOW W.S.,Dunnwandige Stabe, VEB Verlag fur Bauwesen, Berlin 1964.
[236] WOCKA N., Maszyny podstawowe górnictwa odkrywkowego o dużym stażu eksploatacyjnym -
przedłużenie trwałości czy likwidacja, Górnictwo Odkrywkowe XXXVI 4(1994).
[237] WOCKA N., KOLBER K., Ważniejsze aspekty fizyko-mechaniczne procesu urabiania skał trudno-
urabialnych koparkami kołowymi i ich wpływ na awaryjność i zużycie czerpaków, III
Konwersatorium nt. Bezpieczeństwo oraz degradacja maszyn, Szklarska Poręba 1997.
443
[238] WOŹNIAK J., Ein Beitrag zur Ermittlung der Lastverteilung in Kugeldrehverbindungen, Kon-
struktion 34/1982, H. 10.
[239] WRÓBEL J., Technika komputerowa dla mechaników, Warszawa, PWN, 1994.
[240] WŚNIEWSKI S., Wymiana ciepła, Warszawa, PWN, 1979.
[241] WU J., GOULD P.L., Large Displacement Analysis for Pure Bending ofThin-Walled-Beams,
Journal of Structural Engineering-ASCE, No. 4/1987, s. 520-528.
[242] WUNDERLICH W., OBRECHT H., SCHRODTER V., Nonlinear-Analysis and Elastic Plastic
Load-CarryingBehavior of Thin-Walled Spatial Beam Structures with Warping Constraints,
International Journal for Numerical Methods in Engineering, No. 3/1986, s. 671-695.
[243] XU Y., YU T.X., ZHANG L.C., The Elastic Plastic Pure Bending and Springback of L-Shaped
Beams. International Journal of Mechanical Sciences, No. 6/1987, s. 425^133.
[244] XYKIS C, GALAMBOS T.V., Lateral Torsional Stability Analysis of Large Order Space Frame
Systems, Engineering Structures, No. 4/1990, s. 235-242.
[245] YANG Y.B., KUO S.R., Static Stability of Curved Thin-Walled-Beams, Journal of Engineering
Mechanics-ASCE, No. 8/1986, s. 821-841.
[246] YANG Y.B., MCGUIRE W., Stiffness Matrix for Geometrie Nonlinear-Analysis-Closure, Journal
of Structural Engineering-ASCE, No. 7/1987, s. 1635-1637.
[247] YANG Y.B., MCGUIRE W., Stiffness Matrix for Geometrie Nonlinear-Analysis, Journal of
Structural Engineering-ASCE, No. 4/1986, s. 853-877.
[248] ZHANG Z.F., CHEN S.H., Dynamie Finite-Element Method ofThin-Walled-Beams, AIAA
Journal, No. 5/1990, s. 910-914.
[249] ZHOU Q., YU T.X., HUANG Z.P., The Large Deflection of a Rigid Perfectly Plastic Portal Frame
Subjected to Impulsive Loading, International Journal of Solids and Structures, No. 11/1990, s. 1225-
1242.
[250] ZIENKIEWICZ O. C, ZHU J. Z., A simple error estimator and adaptative procedurę for practical
engineering analysis, Int. J. Num. Meth. Engng. Vol. 24, 1987, s. 337-357.
[251] ZIENKIEWICZ O.C.,Metoda elementów skończonych, Warszawa, Arkady, 1972.
[252] ZIENKIEWICZ O.C., TAYLOR R.L., The Finite Element Method. Fourth Edition, Vol. 1, Vol. 2,
McGraw-Hill, Berkshire, England, 1991.
[253] ŻYCZKOWSKI M., Obciążenia złożone w teorii plastyczności, Warszawa, PWN, 1973.
[254] ŻYCZKOWSKI M., Wytrzymałość elementów konstrukcyjnych, Warszawa, PWN, 1988.
Normy
[255] PN-77/M-47024/00 Maszyny do robót ziemnych. Konstrukcje chroniące operatora. Odwzorowanie
przestrzeni chronionej przy badaniach.
[256] PN-92/G-59001 Samojezdne maszyny górnicze. Konstrukcje chroniące operatora przed obwałami
skał.
[257] PN-84/M-47024.01 Maszyny do robót budowlanych i ziemnych. Konstrukcje chroniące operatora
przy przewróceniu się maszyny. Wymagania i badania laboratoryjne.
[258] PN-79/M-06515 Dźwignice. Ogólne zasady projektowania stalowych ustrojów nośnych.
444
[259] DIN 22261 Bagger, Absetzer und Zusatzgerate in Braunkohlentagebauen, Teil 1. Bau, Inbetriebna-
hme, Teil 2. Berechnungsgrundlagen Bagger, Teil 3. Schweifiverbindungen, Stofiarten, Bewer-
tungsgruppen, Prufanweisungen, Dezember 1993.
[260] PN-84/M-47024 Maszyny do robót budowlanych i ziemnych. Konstrukcje chroniące operatora
przed spadającymi przedmiotami. Wymagania i badania laboratoryjne.