С. В. Карпушкин
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Учебное пособие
Москва Вологда
«Инфра-Инженерия»
2025

УДК 519.81
ББК 22.18
К26
Рекомендовано ученым советом федерального государственного
бюджетного образовательного учреждения высшего образования
«Тамбовский государственный технический университет»
в качестве учебного пособия (протокол № 7 от 31.03.2025 г.)
Рецензенты:
к. т. н., ведущий инженер-конструктор бюро прочностных
и технологических расчетов АО «ЗАВКОМ» (г. Тамбов)
Мариковская Мария Павловна;
д. т. н., профессор кафедры «Системы автоматизированной
поддержки принятия решений» (Тамбовский ГТУ)
Литовка Юрий Владимирович
Карпушкин, С. В.
К26 Основы теории принятия решений : учебное пособие / С. В. Карпуш¬
кин. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2025. - 128 с. : ил., табл.
ISBN 978-5-9729-2664-0
Включает основные сведения о методах и алгоритмах решения задач принятия ре¬
шений в условиях определенности, частичной и полной неопределенности. Представ¬
лена математическая формализация и основные подходы к решению задач принятия
решений, рассмотрены методы безусловной и условной оптимизации (принятия реше¬
ний в условиях полной определенности при наличии единственного критерия), в том
числе методы решения задач линейного программирования и вариационных задач.
Приведено описание методов многокритериального выбора в условиях определенно¬
сти, методов принятия решений в условиях риска и неопределенности, отмечены осо¬
бенности принятия проектных решений. Пособие включает лабораторный практикум,
содержащий формулировки заданий, исходные данные, рекомендации по выполнению,
контрольные вопросы и тестовые задания. В качестве основного инструмента выпол¬
нения лабораторных работ студентам предложено использовать систему инженерных
расчетов MathCAD.
Для студентов, обучающихся по направлению 27.04.03 «Системный анализ и
управление» дневной формы обучения.
УДК 519.81
ББК 22.18
ISBN 978-5-9729-2664-0
© Карпушкин С. В., 2025
© Издательство «Инфра-Инженерия», 2025
© Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2025

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ	5
1.	ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ	6
1.1.	Подходы к принятию решений	7
1.2.	Пример модели принятия решения в условиях неопределенности	9
2.	МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ (принятия решений в условиях
определенности при одном критерии)	12
2.1.	Структура и постановка задач оптимизации	12
2.2.	Условия оптимальности и типы вычислительных
процедур оптимизации	14
2.3.	Методы одномерной оптимизации	16
2.3.1.	Метод «золотого сечения»	16
2.3.2.	Пошаговый метод	18
2.4.	Методы поиска экстремума функций многих переменных	18
2.4.1.	Градиентные методы	19
2.4.2.	Безградиентные методы	24
2.5.	Методы условной оптимизации	28
2.5.1.	Метод штрафных функций	29
2.5.2.	Метод прямого поиска с возвратом	31
2.5.3.	Метод возможных направлений	32
2.5.4.	Поиск экстремума функций многих переменных при наличии связей	34
2.5.5.	Оптимизация на основе теории многофакторного вычислительного
эксперимента	36
2.6.	Задачи линейного программирования	38
2.6.1.	Формулировка основной задачи линейного программирования	39
2.6.2.	Геометрическое представление задачи линейного программирования.... 40
2.6.3.	Симплекс-метод решения задач линейного программирования	43
2.6.4.	Особенности постановки транспортной задачи	44
2.7.	Вариационные задачи и методы их решения	45
2.7.1.	Виды вариационных задач	46
2.7.2.	Методы решения вариационных задач	47
3.	МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ ВЫБОР	51
3.1.	Перевод критериев в ограничения	51
3.2.	Взвешивание и объединение критериев	52
3.2.1.	Метод взвешенной суммы частных критериев	52
3

3.2.2.	Мультипликативный критерий	55
3.2.3.	Методы определения весовых коэффициентов	56
3.3.	Методы последовательной оптимизации	60
3.3.1.	Метод последовательных уступок	60
3.3.2.	Метод равенства частных критериев	61
3.4.	Метод анализа иерархий	62
3.5.	Оптимальность по Парето	64
3.5.1.	Методы построения множества Парето	66
3.5.2.	Способы сужения множества Парето	68
4.	ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА
И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ	71
4.1.	Построение «дерева решений» и таблицы исходов	71
4.2.	Функция «полезности»	73
4.3.	Принятие решений в условиях неопределенности	74
5.	ОСОБЕННОСТИ ПРИНЯТИЯ ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ	78
5.1.	Основные понятия	78
5.2.	Методика принятия проектного решения	80
6.	ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ	83
Лабораторная работа №1. Поиск безусловного и условного экстремума
функции двух переменных	83
Лабораторная работа №2. Решение задачи линейного программирования	91
Лабораторная работа №3. Решение вариационной задачи
с закрепленными концами	102
Лабораторная работа №4. Решение задачи многокритериального выбора	106
Лабораторная работа №5. Принятие решений в условиях риска	116
ЗАКЛЮЧЕНИЕ	123
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	124
4

ВВЕДЕНИЕ
Принятие решения (выбор) - это действие над множеством альтернатив,
в результате которого вначале получается подмножество предварительно ото¬
бранных альтернатив, а на заключительном этапе - одна альтернатива, наилуч¬
шая согласно принятому критерию оценки качества достижения поставленной
цели. Выбранная альтернатива и есть принятое решение или обоснованный пре¬
тендент на решение.
Общего, единого на все случаи алгоритма принятия решения не существует.
Эта операция всегда конкретна. В зависимости от объективных условий и орга¬
низации работы выбор может быть:
а)	разовый или повторный (адаптивный);
б)	индивидуальный или многосторонний, во втором случае возможны коа¬
лиция, кооперация, конфликтная ситуация.
Выбор может проводиться в условиях:
-	определенности - возможен поиск оптимального решения, упорядочение
альтернатив, произвольный выбор;
-	неопределенности - информация может быть стохастической (известны
вероятности выбора альтернатив), расплывчатой (вероятности не известны),
а может полностью отсутствовать.
Для любого выбора справедливы следующие положения:
1.	Предполагается наличие нескольких вариантов выбора, причем в реаль¬
ных случаях множество вариантов ограничено.
2.	Из всего множества вариантов необходимо выбрать один, но для этого
необходимо иметь критерии оценки предпочтительности вариантов.
5

1.	ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ
Введем два понятия: {%} - множество альтернатив; Ф - принцип выбора. То¬
гда задачу принятия решения можно записать в виде {{у_|, Ф} —> /*, где /* — вы¬
бранная альтернатива (одна или несколько равноценных в каком-то смысле).
Принцип выбора зависит от внешних условий, например, множества состо¬
яний внешней среды, а также от информационной ситуации, т. е. от вида и точ¬
ности имеющейся в распоряжении информации.
Можно выделить следующие информационные ситуации:
а)	известны априорные вероятности состояния внешней среды;
б)	известен вид распределения вероятностей состояний среды, но пара¬
метры распределения не известны, необходима их оценка;
в)	состояние среды характеризуется нечетким множеством.
Имея в виду введенные понятия, можно записать возможные варианты за¬
дачи принятия решения в следующем виде.
Задача 1. Оптимальный выбор
{/_! - множество альтернатив и Ф — принцип выбора, определены. Приложе¬
ние Ф к {/J не зависит от субъективных обстоятельств.
Задача 2. Выбор
{%} определено, Ф не может быть формализован. Результат выбора зависит
от того, кто и на основе какой информации принимает решение.
Задача 3. Общая задача принятия решения
Множество альтернатив не имеет определенных границ, принцип выбора не
определен и даже не может быть зафиксирован. Разные субъекты могут прини¬
мать различные решения при одинаковом наборе альтернатив или даже рассмат¬
ривать различные альтернативы.
Задача 3 встречается достаточно часто и, как правило, включает следующие
естественные ограничения.
1.	Существует начальное множество альтернатив {х°}, которое затем уточ¬
няется, но в каждый момент это множество может быть зафиксировано:
{х0} -> {х1} -> ••• -> и-
2.	Любая альтернатива из множества всех выдвинутых альтернатив может
быть оценена с точки зрения полезности ее включения в некоторое более узкое
множество {хр} для дальнейших оценок. Соответственно существует некоторый
вспомогательный принцип Фр такого отбора узкого множества.
3.	Предполагается наличие какого-то множества неформализованных прин¬
ципов выбора, используя которые можно приблизиться к желаемому результату.
Обычно задачи 2 и 3 решают, используя некоторые фиксированные прин¬
ципы выбора при фиксированном (но допускающем уточнение) наборе альтер¬
натив. При этом применяется ряд приемов, в том числе:
а) строится задача 1, как некоторый упрощенный аналог задач 2 или 3 и орга¬
низуется итерационный процесс решения последовательности задач 1 таким обра¬
зом, чтобы решение каждой последующей задачи давало лучшее приближение к
решению исходной задачи, и так до получения результата с желаемой точностью;
6

б) решение ослабленной задачи с помощью экспертов. Каждый k-ый экс¬
перт выбирает свой набор альтернатив {хк}, свой принцип выбора Фк и выявляет
наилучшую альтернативу -^к*, после чего организуется процедура выбора реше¬
ния из множества оптимальных альтернатив, выбранных экспертами {х^}.
1.1.	Подходы к принятию решений
Общепринятый подход к задаче принятия решения - переход от сравнения
альтернатив к сравнению их свойств (характеристик, признаков, преимуществ) и
обратный переход к сравнению альтернатив.
Выделение свойств альтернатив является задачей декомпозиции. Декомпо¬
зиция в общем случае имеет иерархический характер. Каждое свойство 1-го
уровня делится на набор свойств 2-го уровня и так далее до такого уровня, на
котором свойства оказываются легко сравнимыми. Используются два способа
сравнения альтернатив по их свойствам:
а)	попарное (групповое) сравнение по определенному свойству;
б)	на основе естественных (или искусственно введенных) числовых харак¬
теристик свойств.
Попарное сравнение: формально это бинарная операция по признаку R: х' RxJ
означает, что согласно признаку R альтернатива %' предпочтительней альтерна¬
тивы xJ. На основе бинарных отношений возможно ранжирование альтернатив
по каждому свойству.
Сравнение с использованием числовых характеристик: свойства, для кото¬
рых известны числовые характеристики, называются критериями. При идеаль¬
ной декомпозиции имеет место набор критериев, т. е. решается многокритери¬
альная задача. Например, при сравнении проектных решений выделено свойство
«компактность», которое, в свою очередь, разбивается на свойства следующего
уровня: этажность цехов и расстояния между ними, размер санитарной зоны,
уровень загрязнений воздушной и водной среды в санитарной зоне, уровень
шума в санитарной зоне и др. Каждое из свойств этого уровня уже может быть
оценено численно. Пример искусственных критериев - баллы как оценки экспер¬
тов.
Искусственные оценки могут переходить в естественные. Например, на эк¬
замене процент правильных ответов соответствует определенному баллу.
В сложных случаях большого набора критериев возможна классификация - де¬
ление свойств на классы (группы по важности).
Переход от сравнения отдельных свойств к сравнению альтернатив является
задачей композиции. Возможны следующие варианты решения этой задачи:
1)	все свойства оценены численно - получен набор критериев;
2)	нет численных оценок, а есть результаты попарного сравнения.
Первый вариант предусматривает наличие Ск(х") численных оценок всех
свойств (k = 1,..., и) i-й альтернативы. Вводится векторное пространство, назы¬
ваемое критериальным, в котором каждой i-й альтернативе соответствует точка:
С(х‘) = {Ci(x’), с2(х‘), ■■■- Cm(x’)}, т. е. k-ой составляющей вектора С(х’) является
Ск(х’) - численная оценка k-го свойства i-ой альтернативы.
7

При сравнении двух альтернатив /1 и /2 альтернатива /' будет предпочти¬
тельнее альтернативы у2, если Ск(х') > Ск(у2), для всех к = 1, и, причем хотя
бы одно неравенство строгое (здесь и далее рассматривается случай, когда луч¬
шему свойству соответствует большее значение численной оценки).
Рассмотрим пример, когда альтернативы оцениваются по двум критериям.
Принимая точку, соответствующую i-ой альтернативе, за начало координат, пе¬
ренесем в эту точку все координатные оси критериального пространства. Если в
положительном квадранте полученной таким образом системы координат не
окажется ни одной точки, соответствующей какой-то другой альтернативе, то
i-ая альтернатива является не улучшаемой!.
Рисунок 1.1 - Пример оценки альтернатив по двум критериям
На рис. 1.1а, только одна неулучшаемая альтернатива — альтернатива 3, на
рис. 1.16, таких альтернатив две - 2 и 3, а на рис. 1.1 в, все альтернативы неулуч-
шаемые. Множество неулучшаемых альтернатив - это множество Парето. Полу¬
чение множества Парето - первый шаг поиска лучшего решения. Для выбора
альтернативы на множестве Парето нужно привлекать другие соображения, свя¬
занные с особенностями решаемой задачи.
Второй вариант предполагает, что каждая альтернатива характеризуется п
свойствами и по каждому из этих свойств проведена операция попарного срав¬
нения. Если сравнение возможно для каждой пары альтернатив по каждому свой¬
ству, то оказывается возможным все альтернативы ранжировать по каждому
свойству, при этом будет получен набор перестановок из альтернатив - матрица
с п столбцами (по числу свойств) и ш строками (по числу альтернатив).

Пример. Пусть имеют место четыре альтернативы, каждая из которых ха¬
рактеризуется двумя свойствами. Результаты попарного сравнения имеют вид:
-	по свойству 1: X1 Ri х\ у4 Ri х\ X3 Ri У?',
-	по свойству 2: X4 R2 X3, Xs r2 у2, у2 R2 у1.
Соответственно матрица результатов сравнения имеет вид:
Альтернативы
Свойство Ri
Свойство R2
1
1
4
2
4
3
3
3
2
4
2
1
Один из способов дальнейшей работы с матрицей попарного сравнения -
ввод условного векторного пространства свойств. Альтернативы располагаются
на каждой из i осей искусственно введенного критериального пространства в со¬
ответствии с их ранжированием по i-му свойству. Затем выделяются неулучша-
емые альтернативы таким же способом, как в предыдущем случае.
Рисунок 1.2 - Оценка двух альтернатив с четырьмя свойствами
Для приведенного выше примера 2-х альтернатив с 4-мя свойствами услов¬
ное пространство свойств имеет вид, показанный на рис. 1.2, т. е. не улучшае¬
мыми альтернативами являются 1 и 4. Дальнейший выбор производится, как и в
предыдущем случае, с учетом физической сущности процесса по какому-либо
правилу свертки множества критериев. В рассмотренном примере в качестве
лучшей может быть признана, например, альтернатива 4, у которой сумма рангов
свойств наименьшая. (2 ^ I ^ * (1+4).
1.2.	Пример модели принятия решения в условиях неопределенности
Рассмотрим информационную ситуацию, когда распределение вероятно¬
стей на элементах состояния среды априори известно, например, задано в виде
ряда Р = (pi,..., pj,..., р„), pj = Р (0 = 0j), pi +... + р„ = 1, где 0j - состояние среды.
Это одна из возможных простейших ситуаций. На практике расчет априорного
9

распределения вероятностей состояния среды производится либо путем обработки
статистического материала, либо аналитическими методами на основании гипотез
о поведении среды. Обозначим:
1)	Х = {Хь-,Хь-,Х 111 } - множество возможных вариантов принятия решения;
2)	0 = (0i,	0],	0П) - множество возможных состояний среды, причем
вероятности этих состояний известны: pj = Р(0 = 0j);
3)	Ф = {ф1, ...,	фг} - множество методов выбора и оценки принятого
решения.
С методом выбора решения связано понятие оценочного функционала:
F = {fi,j}, где fi,j - выигрыш (потеря), если при состоянии среды 0j е 0 было при¬
нято решение $ е X- Будем считать, что оценочный функционал имеет положи¬
тельный градиент и обозначается F+, если ставится задача достижения макси¬
мума: max{fi,j}. При отрицательном градиенте функционала F" лучшему реше¬
нию соответствует min {fi,j}.
Таким образом, ситуация принятия решения характеризуется тройкой
{e,x,F}. Соответственно может быть получена матрица значений оценочного
( f
1,1
*1,2 •
f ^
•• 1l,n
функционала (ситуационная матрица)
^2,1
*2,2 •
•• ^2,n
. Различным принци
, С
С •
•• f„,„
пам выбора соответствуют критерии выбора - алгоритмы, которые определяют
единственное оптимальное решение или множество таких решений. Для рас¬
сматриваемой ситуации могут быть использованы критерий Байеса, критерий
минимакса (максимина), критерий минимума дисперсии оценочного функцио¬
нала и др.
Рассмотрим эти подходы на примере. Пусть оценочный функционал имеет
положительный градиент, а ситуационная матрица имеет вид:
0
0i
02
03
P(0=0i)
0,2
0,3
0,5
H
5
4
3
xa
1
5
5
X2
4
2
4
При использовании критерия Байеса максимизирует математическое ожи¬
дание результата: В*	(Р,	хО =	maxjpj хfjj +... + pn хfin|. В рассматриваемом при¬
мере при принятии альтернатив	%i - В* (Р, %i) = 5 ■ 0,2 + 4	• 0,3 + 3 • 0,5 = 3,7;
Х2 - В* (Р, Х2) = 4 • 0,2 + 5	• 0,3 + 5 • 0,5 = 4,2;
Хз - В*(Р, хз) = 4 • 0,2 + 2	• 0,3 +4 • 0,5 = 3,4.
Согласно этому принципу наиболее предпочтительной является альтерна¬
тива хг.
10

При максиминном подходе (в задаче на максимум) максимизируется
наихудший из возможных результатов: В = max min f.. .В рассматриваемом
i	j
примере при принятии %i: min (5, 4, 3) = 3; при принятии %г: min (1, 5, 5)= 1; при
принятии %з: min (4, 2, 4) = 2. Наилучшей является альтернатива %i, которой со¬
ответствует максимум минимального результата. Аналогично может быть ре¬
шена задача на минимум. В случае смешанных стратегий находится В ($, pi),
отличающееся от найденного ранее В .
11

2.	МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
(принятия решений в условиях определенности при одном критерии)
Оптимизация в широком смысле слова - это поиск лучшего из возможных
вариантов. Применительно к емкостному реактору периодического действия, в
котором реализуется эндотермическая химическая реакция (рис. 2.1), это может
быть поиск наилучшей конструкции аппарата (диаметр, высота, объем, поверх¬
ность теплообмена) или наиболее приемлемых параметров ведения технологиче¬
ского процесса (температура t°, продолжительность т, начальные концентрации
компонентов ел, св).
Поиск всегда предполагает наличие цели, например, максимум выхода про¬
дукта, минимальное время достижения заданной концентрации продукта, мини¬
мальный расход компонента А при заданном выходе продукта.
Методы оптимизации - это численные методы решения задач оптимизации
(задач, имеющих множество допустимых решений, из которых необходимо вы¬
брать одно, лучшее в каком-либо смысле).
2.1.	Структура и постановка задач оптимизации
Формулировка задачи оптимизации включает три этапа:
1)	словесное представление о параметрах задачи, множестве ее решений и
поставленной цели;
2)	запись критерия оптимальности (целевой функции) как функции парамет¬
ров задачи;
3)	определение областей допустимых значений параметров.
Параметры задачи х,, / =1,2, ...,п — это переменные, значения которых необ¬
ходимо определить в результате ее решения (на рисунке 2.1 - температура в ре¬
акторе). Критерий оптимальности может быть представлен в виде функции па¬
раметров (целевой функции) f(X), где X = (хр х,,..., хя) - одно из допустимых
12

решений задачи, или функционала 1(Х), который при фиксированных значе¬
ниях параметров задачи представляет собой не число, а функцию времени или
пространственной координаты, например:
ДХ) = Х(х, -*Г)2, /(Х) = |ф(Х,т)Л.
1=1	о
Область допустимых значений параметров х;, / =1,2,п может быть опре¬
делена с помощью ограничений gt{X) > 0; / = 1,2,..., т (условия типа нера¬
венств) и связей hk(X) = 0; к = 1,2, ..., р (условия типа равенств).
Таким образом, обобщенная постановка оптимизационной задачи имеет
вид: найти решение X* = (х*, х*2,..., х*), которому соответствует экстремум функ¬
ции /(X) (минимум или максимум), при выполнении условий:
#у(Х)>0;/ = 1,2,
(2.1)
hk(X) = (); k = ],2,
(2.2)
Пример. Задача проектирования цилиндрической емкости.
Словесная постановка задачи: найти такие значения диаметра и высоты ци¬
линдра, чтобы при фиксированном объеме V общая длина сварных швов была
Критерий оптимальности: сварные швы - это две
окружности и высота цилиндра, поэтому f(d,f) = 2nd + /.
Множество допустимых решений задачи: диаметр и
высота емкости не могут быть отрицательными числами, т. е.
d >0, / > 0; объем проектируемой емкости фиксирован и равен
V, т. е. ncfl/4 = V.
Таким образом, задача состоит в определении таких зна¬
чений d* и /*, что функция f(d, /) - 2nd +1 достигает минимума
и выполняются условия:
ncfl/4 =V]d >0; / > 0.
Задачи оптимизации классифицируют по следующим признакам:
1)	наличие или отсутствие ограничений и связей - задачи на безусловный
экстремум (условия (2.1), (2.2) отсутствуют) и на условный экстремум (имеется
условие (2.1), условие (2.2) или оба);
2)	вид критерия оптимальности - вариационные задачи (критерий - функци¬
онал) и задачи математического программирования (критерий - функция);
3)	характер функций fg,h — задачи линейного программирования (все функ¬
ции линейные) и задачи нелинейного программирования (хотя бы одна из функ¬
ций нелинейная).
минимальна.
13

4)	характер параметров - если параметры задачи могут принимать только
строго определенные значения, то это задача дискретного (целочисленного) про¬
граммирования, а если число этих значений конечно - комбинаторная задача.
2.2.	Условия оптимальности и типы вычислительных
процедур оптимизации
Теоретической основой методов решения задач оптимизации являются
условия оптимальности критерия, т. е. условия, при которых критерий оптималь¬
ности достигает минимального или максимального значения. Условия оптималь¬
ности подразделяются на необходимые и достаточные.
Примеры необходимых условий оптимальности (условие^ необходимо для
выполнения условия В, если при выполнении В всегда выполняется Л):
—	если в окрестности некоторой точки х* (х ( [х* — 6, х* + 6], 6 > О)/*) >
>Дх*), то в точке х = х* функция Дх) имеет локальный минимум (в окрестности
другой точки х значенияДх) могут быть еще меньше);
-	если дифференцируемая функция Дх) имеет в точке х = х* экстремум, то
f(x”) = 0 (для функции многих переменных
df(x[,x\, ...,х*)
дх.
= 0,/ = 1,2,...,«.
Примеры достаточных условий оптимальности (условие .4 достаточно для
выполнения В если при выполнении А всегда выполняется В):
-	если в точке х = х* функция Дх) имеет минимум, то в некоторой окрест¬
ности этой точки х е [х*- 5, х* + 5], 5 > 0 выполняется условие Дх) >Дх*);
-	если/ '(х*) = 0 и f"(x~) Ф 0, то в т. х Дх) имеет экстремум (при/"(х*) >0
минимум, при/"(х*) < 0 максимум);
-	для того, чтобы дифференцируемая функция/(.Х1, хг,..., х„) имела в точке
^ ^	*	Qf (Xi X X )
(хГ, хг ,..., х„*) минимум достаточно, чтобы J ^	' п =0, / = 1,2,..., п и все
миноры матрицы Гессе
а2/(х*, ■ ■ ■, х*п)	а2/(х*, ...,х*)
ад
дх1дхп
a2/(xj\ ...,х^)
а2/(х*, ...,х*)
[ йт„ дхх
йх„2 J
были положительны
(если миноры нечетного порядка отрицательны, а четного - положительны, то
в т. (xi*,..., х„*)Дх 1,..., х„) имеет максимум).
После того как сформулированы условия оптимальности критерия конкрет¬
ной задачи, необходимо организовать вычислительную процедуру поиска опти¬
мального решения. Имеется пять основных типов вычислительных процедур ре¬
шения задач оптимизации, на основе которых разрабатываются методы оптими¬
зации:
14

1. Сравнение значений целевой функции на сетке значений аргументов.
Сетка образуется в результате разбиения областей допустимых значений аргу¬
ментов на равные интервалы (рис. 2.2).
Оптимальному решению соответствует минимальное или максимальное
значение целевой функции в «узлах» сетки. Процедура обычно применяется
многократно: вначале шаг сетки «крупный», а затем вокруг лучшей точки стро¬
ится более «мелкая» сетка. Аналогом этой процедуры для задач дискретного про¬
граммирования и комбинаторных является поиск лучшего допустимого решения
путем полного или локального перебора. Эта процедура применяется всегда, ко¬
гда это не связано со слишком большим объемом вычислений.
2.	Использование необходимых условий экстремума целевой функции, т. е.
3f (х, х ... х )
формирование и решение систем уравнений вида	г* •••’ п =qj = \ 2з ц.
OXj
Применение этой процедуры ограничено, т. к. аналитические выражения произ¬
водных целевой функции существуют далеко не всегда.
3.	Использование достаточных условий оптимальности', образуется вспо¬
могательная задача, множество решений которой шире допустимого, а критерий
оптимальности на множестве допустимых решений совпадает с критерием ис¬
ходной задачи, например, задача условной оптимизации заменяется задачей без¬
условной оптимизации, в критерий которой вводится «штраф» за выход из допу¬
стимой области, т. е. за невыполнение условий (2.1), (2.2).
15

D
Рисунок 2.3 - Отсечение множеств неоптимальных решений
4.	Отсечение множеств заведомо неоптимальных решений (рис. 2.3) на ос¬
нове правил, различных для каждой конкретной задачи (метод «золотого сече¬
ния», ветвей и границ для экстремальных комбинаторных задач).
5.	Построение оптимизирующей последовательности допустимых реше¬
ний задачи: выбирается одно из допустимых решений X1"1. называемое началь¬
ным приближением, и на его базе строится последовательность допустимых ре¬
шений Х(0),Х(1),Х(2), ...,Х(и), где Х№+1) = Х(к) + АХ(к), к = 0,1, ..., п, причем
ЛХ(А) выбирается так, чтобы при поиске min/(X) выполнялось условие
f{X(ly)> /(X(fc+1’), а при поиске max/(X)-условие /(Х(^)< /(X(t+1)). При¬
ращение АХ(к) чаще всего является функцией одного или нескольких предыду¬
щих членов последовательности: АХ(к> = <р(Х(А)) или АХ(к) = <р (Х(к>, Х(к~1>).
Построение последовательности заканчивается в момент выполнения необходи¬
мых условий ext /(X). Большинство методов оптимизации основаны именно на
этой процедуре.
2.3.	Методы одномерной оптимизации
К числу наиболее популярных численных методов поиска экстремума функ¬
ции одного переменного (одномерной оптимизации) относятся: метод «золотого
сечения» и пошаговый метод. Первый из них ориентирован на поиск ext fix)
внутри фиксированного интервала (а, Ь) осих, второй - на поиск ext/(x) в окрест¬
ности заданной точки хо.
2.3.1. Метод «золотого сечения»
Определение: «золотым сечением» отрезка называется его деление на две
части таким образом, что отношение длины отрезка к его большей части равно
отношению большей части к меньшей. Следовательно, для отрезка единичной
длины: l/t = t/(l -1) t1 + 1-1=0^
16

i + ll; \t\ < 1 f=^Liss 0,618;	0,382.
Алгоритм метода «золотого сечения» при поиске минимума функции Дх)
включает следующие операции, см. рис. 2.4.
1)	Интервал (а, b) делится точками xi, х2 в отношении «золотого сечения»:
XI = а + (Ь - а) • (3 - V5 )/2, х2 = Ъ - (Ъ - а) ■ (3 - S)/2.
2)	Вычисляются значения ДхО иДх2).
3)	ЕслиДхО <Дх2), то от интервала (а, Ь) отсекается его правая часть: b - х2,
в противном случае - левая: а = хь
4)	В случае Ь - х2 точка xi осуществляет «золотое сечение» нового интервала
(а,Ь) и играет в нем роль точки х2, а точка xi нового интервала определяется ана¬
логично п.1); при а = х\ наоборот - х\ - х2, а точка х2 нового интервала (а, Ь)
определяется как в п. 1).
Для нового интервала (а, Ь) вновь выполняются действия и. и. 2-4, причем
в п.2) значение функции fix) вычисляется один раз: только для вновь определяе¬
мой точки XI или х2.
Процесс деления интервала продолжается до тех пор, пока его длина не ста¬
нет меньше заданной точности: b - а < е. При завершении процесса поиска за
точку минимума принимается значение х* = (а + Ь)/2.
Достаточные условия сходимости алгоритма метода «золотого сечения»:
а)	функция fix) непрерывна внутри интервала (а, Ь);
б)	Дх) унимодальная на интервале (а, b), т. е. имеет внутри него единствен¬
ный экстремум;
в)	в некоторой окрестности искомой точки х* fix) является монотонной
(с одной стороны возрастает, с другой - убывает).
У
->	►
t)(0) х
Рисунок 2.4 - Иллюстрация к методу «золотого сечения»
17

2.3.2. Пошаговый метод
Этот метод применяется в тех случаях, когда интервал (а, Ь) оси х, содержа¬
щий точку экстремума функции fix) неизвестен, но известно, что экстремум
находится в окрестности экспериментально найденной точки хо. Этот метод при¬
меняется на практике значительно чаще метода «золотого сечения», т. к. условие
сходимости его алгоритма намного проще: достаточно, чтобы функция/(х) была
непрерывна в окрестности т. хо.
При поиске минимума функции fix) метод заключается в следующем, см.
рис. 2.5.
1)	Выполняется пробный шаг от точки хо с целью выбора направления по¬
иска: х = хо + бх (5х ~ 0,5 • е) и вычисляются значения/(хо),/(х).
2)	Если/(х) </(хо), то величина основного шага, с которым осуществляется
движение в направлении убывания функции, положительна (h > 0), в противном
случае - отрицательна (И < 0).
Рисунок 2.5 - Иллюстрация к пошаговому методу
3.	Движение в выбранном направлении с шагом /?: Xk+ \ = xt + h, к = 0, 1,2 ...
осуществляется до тех пор, пока/(хк+ 0 </(х>).
4.	если/(ха-+ i) >/(хк), то при выполнении условия И < е процесс поиска
заканчивается, а если h > е, то шаг дробится: h=\h\/p, р > 1 и осуществляется
возврат кп. 1) с начальной точкой хо - ха-.
В качестве коэффициента дробления шага р используют 2, 3, 5, но чаще
всего р = е = 2,71828. По завершении процесса поиска за точку экстремума при¬
нимается значение х* = (ха-+ i + ха-)/2.
2.4.	Методы поиска экстремума функций многих переменных
Методы поиска экстремума функций многих переменных подразделяются
на градиентные и безградиентные.
18

2.4.1. Градиентные методы
В основу градиентных методов положены вычисление и анализ производ¬
ных целевой функции. Поскольку в практических задачах найти значения произ¬
водных аналитически удается нечасто, их вычисляют приближенно:
df{xv х2, ..., х„) ^ /(xpx2, ..■,х,+8х,.,...,хя)-/(х1,х2, ..., х,., ...,хя)
дх[	8xi
Выбор величин приращений по координатам 5х;; / = 1,2,..., п зависит от воз¬
можностей используемого ПК и необходимой точности вычислений.
Определение: градиент функции/(xi, хг, ..., х„) в точке (х/0), х-р\ ..., х„(0)) -
это вектор,
3/(*}0)> xf,..., xf)j	xf\..., xj°) j 3/^xf), xf\..., xf)
dx,
ЙХ,
ax„
длина которого:
grarf/(xf°>,xf,...,xf)|
dfixf^xf, ...,xj,0)j
dXj
(2.3)
характеризует скорость возрастания функции в этой точке, а направление соот¬
ветствует направлению быстрейшего возрастания функции. Антиградиент — это
вектор такой же длины, направленный в противоположную сторону, см. рис. 2.6.
Рисунок 2.6- Градиент и антиградиент функции/(xi, х_>)
Идея методов: каждая следующая точка поиска ттДхц Х2, ..., х„) (каждый
новый член минимизирующей последовательности) получается в результате пе¬
ремещения из предыдущей точки по направлению антиградиента целевой функ¬
ции. Если в результате этого перемещения наблюдается увеличение значения
19

целевой функции, то значение рабочего шага поиска h уменьшается. Поиск пре¬
кращается, когда выполняется необходимое условие extf xi, хг,..., хП), например
длина градиента становится меньше требуемой точности:
grad f [х{к >,
Лк )
Лк )
< е,
(2.4)
либо меньше требуемой точности становится величина шага поиска:
h <е .
(2.5)
Различают методы градиента с переменным шагом и с постоянным шагом.
При использовании метода градиента с переменным шагом значения xi,
хг,..., хп изменяются согласно выражению:
х(к+1) = х(к) . _h df(Xf,x2
Лк)
xf>)
дх.f
i =1,2,..., n, к = 0, 1,2
(2.6)
а останов поиска осуществляется при выполнении неравенства (2.4).
При возникновении ситуации:
f,Xl(k + 1}, Х2(к + 1}, ..., Хп(к + V) > flxi®, X2(k), ..., Хп(к>),
значение h уменьшается, например делится на числом > 1. Характер изменения
значений хц хг, ..., хп согласно (2.6) зависит от величины и знака соответствую¬
щих частных производных целевой функции. По мере приближения к точке min
Ах\, хг,..., хп) абсолютные величины частных производных уменьшаются, следо¬
вательно и шаг поиска является переменным - уменьшается по мере приближе¬
ния к искомой точке, см. рис. 2.7.
Рисунок 2.7 - Иллюстрация к методам градиента
Такой характер поиска min f (хих2, ...,хп)требует иногда значительных за¬
трат времени. Применение метода градиента с постоянным шагом позволяет
сократить затраты времени, но требует несколько большего объема вычислений
при изменении значений аргументов целевой функции. Его основное соотноше¬
ние:
20

; i= 1, 2,n; к = 0, 1, 2.
(2.7)
df (х» >,xf ^..„xf >)
х(к +1) = х(к) _ h
i i	\gradf [x\k	\...,x«k>
т. e. расстояние между точками (xi(k), X2(k),	Xn(k)) и (xi(k + Д X2(k+ Д	хП'к +
равно:
следовательно величина шага поиска в данном случае постоянна и равна выбран¬
ному значению к. Если изменение аргументов целевой функции в соответствии
с (2.7) приводит к увеличению ее значения, шаг поиска уменьшается, см. рис. 2.7.
Останов поиска minfxi, хг,..., хп) по методу градиента с постоянным шагом осу¬
ществляется при выполнении неравенства (2.5).
Популярной модификацией метода градиента с постоянным шагом является
метод наискорейшего спуска. Он позволяет сократить общий объем вычислений
при некотором увеличении числа членов минимизирующей последовательности
за счет меньшего количества вычислений частных производных целевой функ¬
ции. При использовании этого метода аргументы целевой функции изменяются
в соответствии с выражением (2.7), но значения ее частных производных и длины
градиента не пересчитываются до тех пор, пока не сложится ситуация:
fixX(k + Ч Х2(к + 1}, ..., Xn(k + 1}) > fix 1(к), Х2(к), ..., Хп^).
Рисунок 2.8 - Иллюстрациякметоду наискорейшего спуска
Дробление шага поиска производится, когда во вновь выбранном направле¬
нии (после пересчета значений частных производных) не удается сделать ни од¬
ного результативного шага, останов поиска - при выполнении неравенства (2.5),
см. рис. 2.8.
21

Основные этапы поиска min/n, хг,..., х„) методом наискорейшего спуска:
1)	выбор начального приближения (xi(0), Х2(0),хи(0));
2)	определение значений частных производных f(xг,хг,..., х„) в этой точке;
3)	изменение значений Xi, i=\, 2,..., п в соответствии с выражением (2.7) без
пересчета частных производных до начала возрастания целевой функции;
4)	если ситуацияДх1(Л:+9, xik+..., хи(А’+1}) >f[x\(k), xi(k\ ..., хида) возникает при
к > 0, то начальным приближением становится предыдущая точка: х/0’ - xfk\
i = 1,2,..., п и вновь выполняются и. и. 2), 3);
5) если/х1№+ Х), xi{k+1},..., хп(к+ у) >f{x\{k), xi{к),х„{к)) уже при к = 0, то осу¬
ществляется дробление шага h - h/p (р > 1); при И > у. (заданная точность) выпол¬
няется и. 3), иначе поиск заканчивается: х;*= х,(А), / = 1,2,п.
Метод координатного спуска. Название метода указывает на возможные
направления поиска экстремума функции многих переменных: от начальной
точки по направлению одной из осей координат до момента начала возрастания
целевой функции, затем переход к направлению другой оси и т. д., пока не будет
достигнута точка, движение из которой по любой оси с минимально возможным
шагом приводит к увеличению целевой функции см. рис. 2.9.
Основные этапы поиска min/(хi, хг,..., х„) методом координатного спуска:
1)	выбор начального приближения (х1(0), х!,0*,..., х®);
2)	выбор направления поиска, т. е. номера /е( 1,2,..., п) компоненты вектора
(xi, Х2,..., хп), которая подлежит изменению (либо выбор следующей по порядку,
либо той, которой соответствует max
2=1, )
d/(xf>>,xf,...,xf)
5х,
Рисунок 2.9 - Иллюстрация к методу координатного спуска
3)	вычисление значения частной производной целевой функции по выбран-
df{xw х(0)	х(0))
ному аргументу /' = ——1 ’ 1 ’——-—, если/', > 0, то с ростом х, значение функ-
дх,
ции/(х1, Х2,..., хп) увеличивается, а если/', < 0, то уменьшается;
4)	изменение значений xi, Х2,..., х„ в соответствии с выражением:
22

(2.8)
где h - шаг поиска,
sign(z) знак выражения z,
до тех пор, пока/(х|№ 1xi(k 1' ..., хп{к1' ’) < j(x\{k\х{К),...,хп(к)); в противном случае
производится возврат на п. 2) и выбор следующего направления поиска, при этом
5)	если движение с шагом И по любой из п координатных осей приводит к
ситуации /(х|№ 1 V),xi{k+ ...,х„{к+'’) > f(x\(k>,xi(k>, ...,х„(к>) ,то осуществляется дроб¬
ление шага: h = h/p (р > 1) и вновь выполняется п. 4);
6)	поиск считается законченным, когда значение h становится меньше за¬
данной точности £.
Рассмотренные методы поиска экстремума функций многих переменных
носят общее название: градиентные методы первого порядка (порядок метода
равен наивысшему порядку производной целевой функции, участвующей в вы¬
числениях). Их общие недостатки:
1)	Нахождение локального экстремума целевой функции, ближайшего к
начальному приближению. Это недостаток всех методов решения оптимизаци¬
онных задач, основанных на построении оптимизирующей последовательности
допустимых решений. Поэтому применение все этих методов требует обоснова¬
ния выбора начального приближения, находящегося вблизи глобального экстре¬
мума, либо перебора нескольких начальных приближений, расположенных да¬
леко друг от друга, см. рис. 2.10.
2)	Использование значений частных производных целевой функции. Это, с
одной стороны, увеличивает объем вычислений (количество вычислений значе¬
ний целевой функции), а с другой - увеличивает погрешность решения в случае
вычисления производных целевой функции через разностные соотношения.
(коорд.
Рисунок 2.10 - Поиск экстремума многоэкстремальной функции
23

3)	«Застревание в овраге» целевой функции, т. е. в области значений х,,
/ = 1,2,	п, в которой значения fix\, Хг,..., хп) почти не меняются, см. рис. 2.11.
Градиентные методы с остановкой по условию (2.5) «застревают в овраге», т. е.
наблюдается иллюзия достижения минимума. Если же в качестве условия оста¬
нова используется длина градиента, то поиск в «овраге» будет продолжаться бес¬
конечно долго: значения частных производных целевой функции на «дне оврага»
достаточно велики, но продвижения к точке минимума функции почти нет.
Замечания: 1. Если результирующие точки поиска min /(xi, х% ..., хп) с раз¬
личных, достаточно далеко отстоящих друг от друга начальных точек не совпа¬
дают, а значения функции в них близки, значит она имеет «овраг», а если значе¬
ния функции отличаются существенно, значит она имеет несколько экстрему¬
мов.
2.	Если в методе координатного спуска определять направление перемеще¬
ния по выбранной оси координат не по знаку соответствующей частной произ¬
водной целевой функции, а с помощью пробного шага (аналогично пошаговому
методу, см. и. 2.3.2), то метод станет безградиентным.
2.4.2.	Безградиентные методы
Безградиентными (или методами нулевого порядка) называют методы по¬
иска экстремума функций многих переменных, не использующие для определе¬
ния направления поиска значений частных производных целевой функции.
Можно выделить две группы этих методов:
1)	Предварительное определение множества допустимых значений аргумен¬
тов и использование стратегии его перебора (метод сравнения значений целевой
функции на сетке значений аргументов).
2)	Указание начальных значений аргументов и их последовательное измене¬
ние таким образом, чтобы каждой следующей совокупности значений xi, Х2,..., хп
соответствовало меньшее (поиск min) или большее (поиск max) значение целе¬
вой функции (методы случайных направлений, многогранника).
24

Метод сравнения значений целевой функции на сетке значений аргументов
(жаргонное название - метод сеток) предусматривает следующие действия, см.
рис. 2.12.
Рисунок 2.12 - Иллюстрация к методу сеток
Отрезки [йг, Ы\, i— 1,2,..., п, определяющие заданную область поиска мини¬
мума функции J{x\, Х2,..., хп), делятся на равные части длиной /г,-= (bi— adimt. Зна¬
чения тi подбираются так, чтобы обеспечить одинаковый порядок чисел /?,,
/' = 1,2,..., п.
Во всех «узлах» полученной сетки, т. е. в точках с координатами
(<7i + ih\, сц + j-hi, ..., ап + k-hn), i = 0, 1, ..., m\,j = 0, 1, ..., mi, ..., k = 0, 1, ..., тп,
определяются значения функции. Выбирается «узел» сетки (хГ, Хг,..., хп*), кото¬
рому соответствует минимальное значение функции. Если этот «узел» лежит на
границе заданной области, то положение границ изменяется и описанная проце¬
дура повторяется до тех пор, пока он не станет внутренним. Если max \h\ > е
(заданной точности), то вокруг этого «узла» формируется новая область:
«г = Xi*- Ы, bi = х,* + hi, i = 1,2, ..., n, вычисляются новые значения /г, и т. д.
В противном случае за точку минимума функции принимается (хГ, Хг,..., хп*).
Применение этого метода может привести к большому объему вычислений,
однако при правильном выборе значений т, этот метод гарантирует нахождение
глобального экстремума рассматриваемой функции в заданной области. Главной
проблемой при его использовании является выбор значений пц, при которых, с
одной стороны, исключается потеря точки экстремума между «узлами» слишком
крупной сетки, а с другой — обеспечивается приемлемый объем вычислений.
Метод случайных направлений. Случайный выбор направления в системе
координат Xi, Хг обеспечивается использованием в качестве приращений значе¬
ний аргументов (р\,рг на рис. 2.13) случайных чисел. Величина шага в выбран¬
ном направлении будет единичной, если разделить р\ и рг на ^р\ + р\ .
25

Рисунок 2.13 — Иллюстрация к методу случайных направлений
11ри поиске raiii/fxi, хг,..., хп) метод случайных направлений включает опре¬
деление начальной точки поиска |х1(0), х^1’,	х,(,0) j и величины рабочего шага h,
выбор случайных чисел р\,рг. рп и изменение значений аргументов целевой
функции по правилу:
^=4k)-h*PH
Pi+Pl+-
■ + P„;i= 1,2,
,n\k= 0, 1,
(2.9)
Если выполняется неравенство:
ДхГ», хД»,.... хД))</(ха-,; ^
то движение в выбранном направлении с шагом h продолжается. Если неравен¬
ство не выполняется после второго, третьего и т. д. шагов, то определяется новое
случайное направление и движение продолжается без изменения величины шага.
Если неудачным оказывается первый же шаг в выбранном направлении, то путем
изменения знаков чисел pi, i = 1,2,..., п оно меняется на противоположное, а при
повторении ситуации - на новое случайное направление. Величина рабочего
шага И уменьшается, если ситуация:
f(xf+l),..., xJf+9)> f {xf),..., xf ’),
складывается после первого же шага в любом из заданного числа случайных
направлений. Для функции Да, хг) обычно достаточно перебрать четыре взаимно
перпендикулярных направления:
I г 2
ETCZ1
Р; ~	’-Р: 'Pi
исходное противоположное перпендикулярные
26

Поиск заканчивается, когда значение И становится меньше заданной точно¬
сти.
Характер движения от начальной точки к точке минимума функции при ис¬
пользовании метода случайных направлений не зависит от особенностей функ¬
ции. Случайный выбор направления как правило не обеспечивает кратчайшего
пути от начальной к искомой точке, но может привести к уменьшению общего
объема расчетов за счет единственного вычисления целевой функции на каждом
шаге поиска.
Метод многогранника при поиске минимума функции двух переменных
предусматривает формирование на плоскости xi, хг правильного треугольника
(см. рис. 2.14) и определение значений функции Дхц хг) в точках плоскости, со¬
ответствующих его вершинам. Вершина, которой отвечает наибольшее значение
функции (вершина 1 на рис. 2.14) исключается, а новая образуется в результате
симметричного отражения исключаемой через центр противоположной грани
треугольника:
г(0 - г(1) + г(2)+у(3)-?.г(0
х« = x® + xf+х^-2-х<'\ /е (1,2,3).
Процесс перемещения треугольника по плоскости х\, хг путем изменения
положения одной из его вершин продолжается до момента, когда значение функ¬
ции во вновь образованной вершине оказывается наибольшим. В этом случае
длина ребра треугольника уменьшается, причем неподвижной остается вершина
(к), которой соответствует наименьшее значение функции:
„СО _±\
■*1 —
0) . у(к)
ХУ' +х
V-0 ) .
xf+xf
,j*k,S> 1.
Поиск прекращается в момент выполнения неравенства:
шах
i=l, 2, 3; i'k
■№)_х(0| |г«
4
ХГ'-Х® }<е.
27

За точку min Дхц хг) принимается лучшая вершина последнего треуголь¬
ника.
В случае поиска mmflxi, хг, ..., х„) в «-мерном пространстве формируется
выпуклый многогранник, имеющий (и + 1) вершин и столько же граней. Если:
max
т=\, 2,.., я+1
I f	„-("ОД — /Гу(/) yl/l	y(/h
[ 7 vh 5	>•••>■*'« /1 — 7 vM > Л2 > • • •>	/ >
то положение новойj-ой вершины определяется по правилу:
(2.10)
В ситуации, когда вновь образованной вершине соответствует максималь¬
ное значение целевой функции, многогранник деформируется - положениеу-ой
вершины может быть определено по формуле:
XU) _.
Лк)
2 ■ п
д-д— ИЛ>' = 1,2,..., и,
2	2 • п,
(2.11)
где к - вершина, которой соответствует наименьшее значение функции.
Поиск прекращается при выполнении неравенства:
max
j=1. - я+1 У*к
< е, i = 1,2,
п.
(2.12)
Применение метода многогранника связано с единственным вычислением
значения целевой функции на каждом шаге. Доказано, что при использовании
правильного многогранника достаточно малых размеров направление движения
совпадает с направлением антиградиента целевой функции.
2.5.	Методы условной оптимизации
Условной оптимизацией называется поиск экстремума функций при ограни¬
чениях на изменение параметров xi, хг,..., хя.
Постановка задачи: найти вектор X* = (х,*, х*2,..., х*), доставляющий мини¬
мум функции fixi, хг, ..., хя) при условиях (2.1), т. е. .уДх,, х2,..., хп) > 0,
у = 1,2, т. Другими словами, требуется найти точку (х,*, хг,..., х*), в которой
функцияДх1, хг, ..., Хя) достигает минимума, но эта точка должна принадлежать
области I) значений xi, хг, ..., хя, в которой справедливы все ограничения (2.1),
см. рис. 2.15.
28

Число ограничений т может быть как больше, так и меньше числа перемен¬
ных п. Наиболее популярными методами поиска min/(xi, хг,хп) при условиях
(2.1) являются метод штрафных функций, метод прямого поиска с возвратом, ме¬
тод возможных направлений, метод сеток. Возможно применение технологии
многофакторного вычислительного эксперимента.
2.5.1.	Метод штрафных функций
Наличие ограничений учитывается путем изменения целевой функции: вве¬
дения в нее штрафа за нарушение ограничений. Идея метода штрафных функ¬
ций: применить один из методов безусловной оптимизации для поиска мини¬
мума функции:
F(x\,Х2, ...,x„)=J[x\, ...,Хп) + а-Ш(х\, ...,х„),	(2.13)
где а - положительное число, выбираемое таким образом, чтобы всюду за пре¬
делами области D выполнялось неравенство:
а-
дШ(хих2, ...,хп)
дх
»
df(xvx2, ...,хп)
dxj
,/=1,2,
Функцию штрафа обычно записывают в виде:
т
Ш(Х 1,X2, ...,х„)=	(2.14)
з=1
где qfa,x2, ...,х„)
[g;(Xi, х2,..., хй)]2, если gfa, х2,..., хя)<0
О, если gj(xux2,хк)>0
Если ограничение одно (т - 1), то необходимо найти минимум функции:
F(x 1, хг, ..., х„) =y(xi, Х2, ..., хп) + к ■ а • [g(xi, Х2, ..., х„)]2,
29

jl при g(xux2, ..., хи)<0
|o при g(x1,x2, ...,x„)>0’
a » О, см. рис. 2.16.
Рисунок 2.16 - Идея метода штрафных функций
В областиD функцияF(xi, Хг,	х„) совпадает с функциейfix\, Хг, х„) и
процесс поиска ее минимума протекает так же, как и при отсутствии ограниче¬
ний. В момент выхода за допустимую область функция Ш(х\,хг,х„) изменяет
направление градиента функции F(x\, хг, ..., х„) и осуществляется возврат в до¬
пустимую область. Заметим, что возврат осуществляется не по нормали к линии
ограничения, а под некоторым углом к ней в сторону уменьшения значений ис¬
ходной целевой функцииДхп Х2, ...,хп), см. рис. 2.17.
Рисунок 2.17 - Иллюстрация к алгоритму метода штрафных функций
При использовании метода штрафных функций очень важен правильный
выбор значения а . При слишком малом значении а может быть найдена точка
за пределами допустимой области, а при слишком большом функция
F(x 1, Х2, ..., х„) образует овраг вдоль поверхности g(xi, xi, ..., хп) = 0.
Метод не чувствителен к выбору начальной точки поиска: если она ока¬
жется за пределами допустимой области, то штраф будет включен сразу.
30

Наиболее популярный алгоритм метода штрафных функций предусматри¬
вает формирование функции Ш(х\, хг, ..., х«) согласно выражению (2.14) в
начальной точке (х£0), xf\ ..., х(„0)) и использование для поиска min F(x\, хг,..., х„)
метода градиента с постоянным шагом, где после каждого изменения значений
XI, Х2, ..., х„ (см. (2.7)) вновь формируется функция Ш(хi, хг, ..., х„).
2.5.2.	Метод прямого поиска с возвратом
В области D допустимых значений аргументов поиск miny(xi, хг, ■ ■хп) осу¬
ществляется любым методом безусловной оптимизации (чаще всего используют
метод градиента с постоянным шагом и наискорейшего спуска). При выходе за
область D, когда некоторые из неравенств (2.1) не выполняются, поиск прекра¬
щается и осуществляется возврат в область D по направлению векторной суммы
градиентов соответствующих функций gi{xl,x1, ...,xn),je(l, 2,..., т), см.
рис. 2.18.
Другими словами, возврат в область D выполняется по градиенту функции:
(2.15)
\gM’ х2> •••> *„), если g (х„ х2,хи)<0
, т. е. значения пара-
G(xi,X2, ...,х„)= Ydjix^x,, ...,х„),
7=1
где d,(х,,х„ ...,х„) =
1	'	[0, если gj(xl, х2,..., х„)>0
метров xi, хг, ..., хп изменяются следующим образом:
.М_хД-),/7 gG(xf>,xf,...,xf>)
SxJ
i
gG(xf,xf,...,xf)'
дх,
. (2.16)
31

Здесь (х\к), xf\ ..., х(к>) - точка, в которой нарушаются ограничения, И - те¬
кущее значение шага поиска в области D. Дробление шага производится в ситу¬
ациях, когда значение функции в допустимой области увеличивается. Признак
окончания поиска - выполнение неравенства h < е .
Так же, как и метод штрафных функций, метод прямого поиска с возвратом
не чувствителен к выбору начальной точки поиска: движение из точки (х]1*, х^)
на рис. 2.18 начнется сразу с применения формулы (2.16).
На практике ограничения часто задаются в виде:
xf"n <х,<х;Ш1Х, / е (1, 2,	(2.17)
При нарушении некоторых из них для возврата в область D по нормали к
линии ограничения нет необходимости использовать соотношение (2.16) - до¬
статочно уменьшить или увеличить соответствующие параметры на величину
шага поиска, см. рис. 2.19.
Рисунок 2.19 - Прямой поиск с возвратом при ограничении Х2 < Х2тл*
Поскольку возврат в область D производится по нормали к линии ограниче¬
ния, метод прямого поиска с возвратом проигрывает в скорости методу штраф¬
ных функций, но не связан с образованием «оврагов» целевой функции.
Алгоритм метода прямого поиска с возвратом предусматривает проверку
выполнения ограничений (2.1) в начальной точке и после каждого изменения
значений xi, х?, ..., хп. В случае невыполнения некоторых из них согласно (2.15)
формируется функция G(xi, Хг, ..., хи) и значения х\,хг, ...,хп изменяются в соот¬
ветствии с соотношением (2.16) до тех пор, пока не будет обеспечено выполне¬
ние всех ограничений (2.1).
2.5.3.	Метод возможных направлений
Определения: a) Qo — конус допустимых направлений поиска min
fixi,X2, ..., х„) при условиях g-(х,, х2,..., хп) > 0,у'=1, 2, ..., т - все направления,
которые не приводят к выходу за область D в окрестности текущей точки;
32

б)	fii - конус подходящих направлений - все направления, вдоль которых
функция /(хj, х2,..., хп) убывает в окрестности текущей точки;
в)	fionQi - конус возможных направлений - пересечение конусов допусти¬
мых и подходящих направлений, т. е. все направления в окрестности текущей
точки, вдоль которых функция f(x 1, Х2, ..., х„) убывает при выполнении ограни¬
чений.
Для любой точки (х\, Х2, ..., хп), лежащей на поверхности ограничений, в
центре конуса Qi находится вектор [-grad_/(xi, хг, ..., хи)], в центре конуса Qo -
вектор grad G(xi, Х2, ...,х„), см. (2.15) и рис 2.20.
Рисунок 2.20 - Иллюстрация к методу возможных направлений
Центру конуса возможных направлений будет соответствовать векторная
сумма [-grady(xi,хг,..., хп)] и grad G(xi, хг,.... х„), т. е. направление:
РА*1’хг’ ">хп) = —
df{xvx2,...,xn)
дх,
Sf{xvx2,..., х„)
дх,
dG(xl, х2,х„)
дх.
i
.,/=1,2, ...,/?
gG(x1; х2,..., х„)
дх}
(2.18)
В точке условного минимума функции /(х,,..., х„) (на рис. 2.20 т. (х(, х2) ) ко¬
нусы допустимых и подходящих направлений не пересекаются, т. е. конус возмож¬
ных направлений пуст: векторы [-grad /(xi,.. .,х„)] и grad G(xi,...,х„) лежат на одной
прямой и направлены в разные стороны.
33

Алгоритм поиска условного минимума функции Дхц хг,	х„) методом воз¬
можных направлений:
—	из начальной точки внутри области D осуществляется поиск min
/(х,,х2,хп) любым методом безусловной оптимизации (более предпочтите¬
лен метод градиента с постоянным шагом);
—	при выходе за пределы области D поиск с предыдущей точки ведется в
направлении, определяемом формулой (2.18);
—	дробление шага поиска осуществляется, когда движение в центре конуса
возможных направлений приводит к возрастанию целевой функции, либо когда
первый же шаг в этом направлении приводит к нарушению ограничений;
—	признак окончания поиска — выполнение неравенства И < £.
Замечания: 1) шаги в направлении, определяемом (2.18), следует нормиро¬
вать:
г(*+0 = *(*)
) + h-dPl{x\
(к)	(к)
л-2 ,
...,х
о).
/ = 1, ..., н; к= 0, 1, ...
-grad f
иначе возможны ситуации (см. рисунок), когда величина шага по¬
иска h значительна, а движение в конусе возможных направлений
почти отсутствует.
2)	метод возможных направлений чувствителен к выбору
начальной точки поиска: за пределами области допустимых значе-
у	ний параметров х\, хг,..., х„ возможные направления отсутствуют и
grad g
алгоритм метода неработоспособен.
Для решения задач условной оптимизации можно также использовать метод
сравнения значений целевой функции на сетке значений аргументов и метод слу¬
чайных направлений. Алгоритм метода сеток предусматривает вычисление зна¬
чений целевой функции только в тех точках (xi, хг, ..., хи), для которых выполня¬
ются все ограничения, а алгоритм метода случайных направлений относит к не¬
перспективным и направления, движение вдоль которых приводит к нарушению
хотя бы одного ограничения.
2.5.4.	Поиск экстремума функций многих переменных при наличии связей
Постановка задачи: найти вектор Х*=(х*, х2,..., х*), доставляющий мини¬
мум функции J[x 1, Х2, ..., хи) при условиях (2.2), т. е. hk(xl,x2, ...,хп) = О,
к= 1,2,
Популярным методом решения этой задачи в ситуации р < п является ме¬
тод множителей Лагранжа.
Этот метод предусматривает формирование функции Лагранжа по правилу:
р
F(x 1,X2, ...,X„)=Xxi,X2, ...,Х„)+ XVM*!’ •••>*„)>
к=1
34

где Хк = const, к = 1, p множители Лагранжа. Необходимые условия экстре¬
мума функции Лагранжа задаются системой уравнений:
8F{xl,..., х,
dxt
hk(x1,
)=од-=1,
и;
Тип условного экстремума функции f[x\, хг, ..., х„), который соответствует
решению (х,,х*) этой системы, определяется знаком полного дифференциала
второй степени функции Лагранжа в этой точке:
SF = Y^F* dxiClxj.
i=1 М
Если cPF < 0, то в точке (х,*,..., х*) функция fixi, хг, ..., х„) имеет условный
максимум, если cPF > 0 условный минимум, а если cPF = 0, то (х,,..., хи) — сед¬
ловая точка.
Пример. Найти условный экстремум функции Дх1, хг) = xi + З.Х2 при условии
XI2 +Х22 = 10.
Функция Лагранжа: F(x\, хг) = xi + Зхг + Цхр + хг1 - 10), ее частные произ-
dF	8F
водные: — = 1 + 2Хх,, 	= 3 + 2Хх2. Необходимые условия экстремума функ-
дхх	дх2
f 14- 2hx-^= 0,
ции Лагранжа: < 3 + 2/.х, = 0, Эта система уравнений имеет два решения:
[х2 + х2_ -10 = 0.
(xi = 1, хг = 3 Д = - 0,5) и (xi = - 1, хг = - 3 Д = 0,5). Полный дифференциал второй
степени функции F(xi, хг): d2F =F^dx^ +2F"^dx^dx2 + F^dx2 = 2X{dx2 +<ix|j.
Очевидно, что (dx2 + dx2) > 0, поэтому решению (xi = 1, хг = 3, X = - 0,5) соот¬
ветствует условный максимум функцииДхц хг) (/(1,3) = 10), а решению (xi = - 1,
хг = - ЗД = 0,5) - условный минимум (Д- 1, - 3) = - 10).
Очевидно, что метод множителей Лагранжа применим только в случае, ко¬
гда частные производные функции F(x 1, хг, ..., х„) можно записать аналитически
и определить их точные значения в любой точке. В и. 2.4.1 отмечено, что в прак¬
тических задачах, связанных с поиском оптимальных значений параметров кон¬
струкции и режима функционирования технических объектов, найти значения
производных аналитически, как правило, не удается, поэтому в современной ин¬
женерной практике метод множителей Лагранжа применяется редко.
Чаще всего для решения задач условной оптимизации при условиях вида
(2.2) используется следующий прием: связи hk(xv х2, ..., хи) = 0, к=\, 2, ...,р за¬
меняются ограничениями, см. рис. 2.21:
35

(2.19)
K{xvxi ,...,x„)+8k>0
и задача решается одним из методов условной оптимизации, чаще всего методом
прямого поиска с возвратом. Чем меньше значения 8к, тем ближе решение новой
задачи к исходной, но сложнее поиск. Обычно задают начальные значения 8к,
к= 1, 2, р (не слишком маленькие), находят решение новой задачи, а затем
постепенно уменьшают 5лг, пока они не станут меньше заданной точности.
Рисунок 2.21 - Поиск min f(xi, да) при условии li(xi, да) = О
Таким же образом поступают со связями в случае решения задачи условной
оптимизации при наличии и ограничений и связей.
Замечание. Для нахождения начальной точки поиска, удовлетворяющей не¬
равенствам (2.19), рекомендуется найти значенияx\,xi,х„, доставляющие ми¬
нимум функции...,	.
2.5.5.	Оптимизация на основе теории многофакторного
вычислительного эксперимента
Целевую функцию реального объекта или процесса редко удается выразить
в виде аналитической зависимости от параметров задачи. Математическая мо¬
дель этого объекта или процесса может включать дифференциальные уравнения,
в том числе в частных производных, решение которых может потребовать зна¬
чительных затрат времени даже при использовании адекватных вычислительных
ресурсов. С целью уменьшения необходимого количества расчетов значений це¬
левой функции, требующих решения математической модели, нередко применя¬
ется технология многофакторного вычислительного эксперимента [12], преду¬
сматривающая аппроксимацию целевой функции степенным полиномом. Необ¬
ходимым условием применения этой технологии является представление
36

ограничений на значения параметров задачи (факторов эксперимента) в виде
(2.17), позволяющем сформировать факторное пространство в виде гиперкуба.
Наиболее популярными планами вычислительного эксперимента являются орто¬
гональный центральный композиционный план (ОЦКП) и его модификации, не¬
композиционный план Бокса-Бенкена [12].
При реализации вычислительных экспериментов дисперсия воспроизводи¬
мости результатов опытов равна нулю (при одинаковых сочетаниях факторов ре¬
зультаты экспериментов идентичны). Следовательно, использование для оценки
степени адекватности формируемого полинома регрессии реальной целевой
функции критерия Фишера [12] приводит к парадоксу: любая модель неадек¬
ватна. Поэтому в качестве критерия адекватности обычно используется относи¬
тельная ошибка полинома на области плана:
е =
1
У max	У tr
(2.20)
где у, — результат вычислительного эксперимента в /-ой точке плана;
уг, — значение полинома регрессии в этой точке;
Лпах и Утт ~ максимальное и минимальное значения целевой функции в
точках плана;
N - количество точек плана.
Считается, что при е < 0,05 полином регрессии адекватен реальной целевой
функции и можно определять его экстремум на области плана методами, пред¬
ставленными в п. 2.5.4. В случае 8 > 0,05 рекомендуется изменить план экспери¬
мента или уменьшить интервалы варьирования некоторых факторов.
0	10	20	30	40 '
Рисунок 2.22 - Проверка адекватности полинома регрессии
при вычислительном эксперименте
37

Другой распространенный метод проверки адекватности полинома регрес¬
сии основан на оценке максимального отклонения значения полинома регрессии
от результата вычислительного эксперимента в той же точке плана:
Удобное визуальное представление точности полинома регрессии дает гра¬
фик, по оси абсцисс которого откладываются результаты вычислительных экс¬
периментов, по оси ординат - значения полинома в тех же точках плана. Чем
ближе точки окажутся к диагонали, тем выше точность полинома, см. рис. 2.22.
Это задачи оптимизации, критерий оптимальности которых представляет
собой линейную функцию, а ограничения - линейные равенства и неравенства.
Значительное число планово-производственных задач являются задачами линей¬
ного программирования (задача планирования выпуска продукции, транспорт¬
ная задача, задачи раскроя, задача о назначениях и т. д.).
Пример (задача планирования выпуска продукции). С учетом имеющихся за¬
пасов сырья и парка оборудования составить план выпуска продукции, при ко¬
тором предприятие получит максимальную прибыль.
Пусть предприятие (цех) выпускает четыре вида продукции А\, Аз, Аз, Аз,
максимальный объем средств на закупку сырья составляет Ъ\ руб.:
-	средств на оплату персонала - Ьз руб.,
-	средств на закупку тары для упаковки продукции (мешки, бочки) - Ьз руб.
Затраты каждого производственного фактора (сырье, рабочие, тара) на еди¬
ницу каждого вида продукции составляют ay, i = 1, 2, 3;j = 1, 2, 3, 4 руб. / тонну,
прибыль с единицы продукта Aj составляет С, руб. / т,у = 1, 2, 3, 4.
Необходимо определить объемы выпуска продуктов x1.x2.x3.x4, при которых
предприятие получит наибольшую прибыль.
Затраты составляют:
-	на сырье: ап ■ xi + ап ■ хз + а\ъ ■ хз + аы ■ ха руб. (не должны превосходить
-	на персонал: ац ■ xi + ап ■ хз + азз • хз + азз ■ ха руб. (не должны превосхо¬
дить Ьз)',
-	на тару: аз\ • xi + азз ■ хз + азз ■ хз + азз ■ хз руб. (не должны превосходить
Прибыль составит Ci • xi + Сз ■ хз + Сз ■ хз + Сз ■ хз руб., следовательно, мате¬
матическая формулировка задачи имеет вид:
найти значения xi *, хг*, хз*, хз*, при которых функция:
(2.21)
2.6. Задачи линейного программирования
Ьз).
F(x 1, Х2, хз, ха) = Ci • xi + Сз ■ хз + Сз ■ хз + Сз ■ хз,
38

достигает максимума и выполняются условия:
ап ■	XI	+	ап ■ хг	+	ап ■ хз +	ап ■ Х4 < Ь\,
ап ■	XI	+	022 ■ Х2	+	023 ■ Хз +	024 • Х4 < Ьг,
031 ■	XI	+	032 ■ Х2	+	азз ■ Хз +	аз4 ■ Х4 < Ьз.
2.6.1.	Формулировка основной задачи линейного программирования
Критерий оптимальности решения задачи F{xi, хг,..., х„) имеет вид:
4=1
(2.22)
где Cj - заданные постоянные коэффициенты. Функцию (2.20) называют «линей¬
ной формой» или «экономической функцией». Значения переменных Xj,
j = 1, 2, ..., n должны удовлетворять ограничениям:
ац ■ xi + апхг + ... + ап-Xn = bi
021 • X2 + 022 • Хг + ... + 02n ■ Xn = Ь
Omi • Xi + о„2 • Хг + ... + Omn ■ Xn = Ьт или Y.{ok • xk) = Ь(, i =1,2, ..., m (2.23)
k=1
xj ^ Q,j =1,2, ...,n.	(2.24)
Необходимо найти такое неотрицательное решение системы ограничений
(2.23), при котором функция (2.22) достигает наименьшего (наибольшего) значе¬
ния.
Замечания: 1. Число линейно-независимых ограничений (2.23) должно быть
меньше числа неизвестных n. В противном случае задача имеет не более одного
решения и не является задачей оптимизации.
2.	Функция (2.22) не имеет экстремумов, поэтому задача линейного про¬
граммирования без ограничений не имеет смысла. Точка экстремума функции
(2.20) всегда принадлежит одному или нескольким ограничениям.
3.	Если среди ограничений (2.23) есть неравенства £(oik ■ xk)> Ь1, то они
к=1
превращаются в равенства путем введения дополнительных неизвестных:
2{olk ■ xk) -xn+i = Ь1, которые не включаются в целевую функцию.
k=l
Определение: Степенью неопределенности системы ограничений (2.23) назы¬
вается разность между числом неизвестных и числом ограничений^ = n - m.
Пример. Решить систему двух уравнений с тремя неизвестными.
2xj - х2 + х3 = 1
- Xj + х2 - 2 х3 = 2
■ m = 2, n = 3,p = 3- 2= 1. Преобразуем систему:
39

{2xj — x2 = 1 — x3
. Если присвоить хз произвольное значение, то получим
^ I 2зС3
систему двух уравнений с двумя неизвестными. Определитель этой системы:
А = 2	1 = 1^ 0, следовательно, она имеет единственное решение. Сложив
уравнения системы, получим: xi = 3 + хз; умножив 2-е уравнение на 2 и сложив
с 1-м получим: хг = 5 + Зхз. Таким образом, общее решение рассматриваемой
системы:
Г Xj = 3 + х3
, где хз может принимать любое значение. Переменные xi и хг
[х2 = 5 + Зх3
называются базисными неизвестными, а хз - свободной неизвестной. В общем
случае число базисных неизвестных равно т, а свободных: п - т = р.
Алгоритм поиска общего решения задачи (2.22)-(2.24):
1.	Выбираются г базисных неизвестных задачи (те, коэффициенты при ко¬
торых в системе (2.23) образуют отличный от нуля определитель). Остальные
п - г неизвестных считаются свободными, слагаемые с этими неизвестными пе¬
реносятся в правые части уравнений.
2.	Полученная система г уравнений с г неизвестными решается относи¬
тельно базисных переменных (ее решение единственно). Результат - выражение
г базисных переменных через п — г свободных.
3. Присваивая свободным неизвестным произвольные неотрицательные
значения, будем получать различные допустимые решения задачи (xi, хг,..., хя).
Искомое оптимальное решение соответствует минимальному или максималь¬
ному значению функции (2.22).
Оптимальное решение существует, если существует хотя бы одно допусти¬
мое решение и, если функция (2.22) ограничена сверху (при поиске max F) или
снизу (при поиске min F).
2.6.2. Геометрическое представление задачи линейного программирования
При р = 2 решение задачи линейного программирования (ЛП) можно найти
с помощью ее геометрического представления. В качестве примера рассмотрим
задачу: найти значения xi, хг, хз, ха, xs, хв, при которых функция:
F = - 4 • xi + 6 • хг + 2 • хз - 4 • ха + 7 • xs + 3 • Хб,
достигает минимума и выполняются ограничения:
2'Xj+x2-x3=4
■	1	2	4	, х, > 0, /' = 1, 2,..., 6 —> п = 6, т = 4,р = 6 - 4 = 2.
Xj+x2+x5=12
х2 +х6 =7
40

Будем считать хз, ха, xs, хв - базисными переменными, а х\, хг свободными:
Последняя система неравенств относительно свободных неизвестных опре¬
деляет множество пар неотрицательных значений (xi, хг), каждой из которых со¬
ответствует четверка неотрицательных значений базисных переменных
(хз, ха, xs, Хб). Выявим геометрический смысл этой системы неравенств, характе¬
ризующей множество допустимых решений задачи. Построим на плоскости xi хг
прямые, соответствующие случаю равенств, см. рис. 2.23. Каждая из этих пря¬
мых делит плоскость на две полуплоскости: в одной из них соответствующее
ограничение выполняется (по направлению стрелок), в другой - нет. Область до¬
пустимых решений задачи (D) - это пересечение полуплоскостей, где ограниче¬
ния выполняются, в данном случае выпуклый замкнутый многоугольник. Каж¬
дая его вершина - это пересечение двух прямых из системы ограничений, в ней
две переменные обращаются в нуль.
х3 = -4 + 2 • Xj + х,;
х4 = 6 — Xj + х,;
х5 =12—Xj -х2;
х6 = 7 — х,;
2Xj + х2 - 4 > 0;
6	- Xj + х2 >0;
12 - Xj - х2 > 0;
7	- х2 > 0;
х, > 0,; = 1,...,6
х
А
6
Рисунок 2.23 - Решение задачи линейного программирования прир = 2
41

Выразим целевую функцию через свободные переменные:
F= 4 • х\ + 6 • Х2+ 2 ■ (2 ■ х\ + хг-4) -4 • (6 -х\ + xi) + 1 - (12 -xi-xi) +
+ 3 • (7 - хт) = 73 - 3 • Xi - 6 • Х2
и построим линии ее равных значений. Поскольку функция F линейна, эти линии
представляют собой параллельные прямые, например при F= 79 уравнение ли¬
нии имеет вид: 3 • х\ + 6 • хг = - 6. Построим эту линию и учтем, что значение F
уменьшается в направлении, показанном стрелками.
Из рисунка видно, что наименьшего значения функция F достигает в точке
М(х 1 = 5; xi = 7): F(5,l) = 73-3-5-6-7 = 73-15-42=16. Найдем оптимальные
значения базисных переменных:
хз = —4 + 2- 5 + 7=13;х4=6 — 5 + 7 = 8;х5=12 — 5 — 7=0;хб=7 — 7 = 0,
(т. М— пересечение прямых х$ = 0 и хв = 0).
Из анализа геометрического представления основной задачи линейного про¬
граммирования можно сделать следующие выводы:
1)	если задача имеет решение, то область D ее допустимых решений пред¬
ставляет собой выпуклый многогранник;
2)	задача не имеет решения, если область D пуста, т. е. ни одна комбинация
значений х,. \ = 1,2,..., п не удовлетворяет всем ограничениям, см. рис. 2.24 а;
3)	если область D не замкнута, то наличие или отсутствие решения задачи
зависит от направления желательного изменения функции F, см. рис. 2.24 б;
4)	возможна ситуация, когда линии равных значений функции F парал¬
лельны одной из линий ограничений, в этом случае задача имеет множество ре¬
шений, каждому из которых соответствует одно и то же значение F;
5)	функция F имеет единственный экстремум (глобальный), т. к. выпуклая
функция на выпуклом множестве не может иметь более одного экстремума.
Рисунок 2.24 - Варианты области допустимых решений задачи ЛП
42

2.6.3. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
Определение: решение основной задачи линейного программирования, со¬
ответствующее одной из вершин многогранника допустимых решений, называ¬
ется опорным. В каждом из них не менее р неизвестных равны нулю.
Оптимальное решение задачи, если оно существует, совпадает по крайней
мере с одним из опорных. Если линии равных значений функции F параллельны
линии одного из ограничений, то оптимальное решение совпадает с несколькими
опорными. На этом свойстве основной задачи линейного программирования ос¬
нован общий алгоритм ее решения: найти все опорные решения и выбрать луч¬
шее с точки зрения целевой функции. Применение этого алгоритма для решения
практических задач встречает затруднения, связанные с большим числом неиз¬
вестных и ограничений.
Симплекс-метод предусматривает организацию упорядоченного перебора
опорных решений, начиная с некоторого начального: от рассматриваемого в дан¬
ный момент опорного решения производится переход к такому соседнему, где
значение функции F более предпочтительно, а если среди соседних опорных ре¬
шений такого нет, то рассматриваемое решение является оптимальным. Рассмот¬
рим симплекс-метод более детально на примере предыдущей задачи:
F = - 4 • xi + 6 • *2 + 2 • хз - 4 • *4 + 7 • Х5 + 3 • Хб —» min при условиях:
2xj + х2 - х3 =4
Xj - х2 + х4 =6
Xj +х2 +х5 =12
х2+х6 =7
х,. >0, i = 1,...,6
Примем в качестве начального
опорного решение xi = 0, хг 0,
т. е. xi, хг являются свободными
неизвестными, хз, Х4, xs, хв - базис¬
ными :
х3 = 2х, + х2 - 4 > 0;
х4 = 6 - Xj + х2 > 0;
х5 = 12 - Xj - х7 > 0;
х6 = 7 - х2 > 0;
Выбранное опорное решение не допустимо, т. к. при xi = 0, хз = 0 первое
ограничение не выполняется. Будем считать свободными неизвестными хг и Х4,
базисными - xi, хз, xs, хв:
Xj = 6 - х4 + х, > 0;
х3 = 2.Xj + х, -4 = 8 + Зх2 - 2х4 > 0;
х5 = 12 - Xj - х, = 6 - 2.x, + х4 > 0;
х6 = 7 - х2 > 0;
При Х2 = 0, Х4 = 0 все ограничения выполня¬
ются, т. е. выбранное опорное решение до¬
пустимо. Выразим функцию F через сво¬
бодные неизвестные: F = 55 — 9 • Х2 + 3 • xi.
Опорному решению соответствует F г 55
и оно не является оптимальным, т. к. коэффициент при Х2 в выражении для целе¬
вой функции отрицателен и ее значение можно уменьшить, увеличивая хг. При
xi = 0 и увеличении хг раньше других неизвестных обращается в 0 xs (при хг 3),
т. е. ближайшим к рассмотренному опорным решением является: Х4 = 0, xs 0.
Считая Х4 и xs свободными неизвестными, a xi, хг, хз, хв - базисными, получим:
43

Выразив функцию F через свободные неизвестные,
в данном случае имеем: F = 28-1,5 • Х4 + 4,5 • xs.
Значение F = 28 можно уменьшить путем увели¬
чения Х4, следовательно и опорное решение Х4 = О,
xs = Оне является оптимальным.
Ближайшим к нему опорным решением является xs = 0, Хб = 0, т. к. при уве¬
личении Х4 и xs = 0 раньше других неизвестных обращается в 0 Хб (при Х4 = 8).
Примем за свободные неизвестные xs, Хб, за базисные - xi, Хг, хз, Х4. Тогда:
х1 - 9 - 0,5х4 - 0,5х5 > 0;
х2 - 3 + 0,5х4 - 0, 5х5 > 0;
х3 -17 - 0,5х4-1,5х5 > 0;
х6 - 4 - 0, 5х4 + 0, 5х5 > 0;
х, = 5 - х. + х, > 0;
1	5	6’
Х2=7 - Хб ^ °;
х3 =13 - 2х5 + х6 > 0;
х4 = 8 + х5 - 2хб > 0;
F = 16 + 3 • xs + 3 • Хб. При xs = 0, Хб = О F = 16 и не
может быть уменьшено путем увеличения xs или Хб,
следовательно, решение: xi = 5, хг = 7, хз = 13, Х4 = 8,
xs = 0, Хб = 0 является оптимальным.
Алгоритм симплекс-метода:
1.	Найти произвольное опорное решение задачи, выразить целевую функ¬
цию через свободные неизвестные. Если решается задача поиска минимума це¬
левой функции и все коэффициенты в этом выражении положительны (при по¬
иске максимума - отрицательны), то найденное решение оптимально, иначе - не
оптимально.
2.	Если решение не оптимально, перейти к более предпочтительному сосед¬
нему опорному решению. Для этого:
а)	свободная неизвестная, имеющая в выражении для функции цели отрица¬
тельный (положительный) коэффициент, переводится в число базисных;
б)	в число свободных переводится базисная неизвестная, которая раньше
других обращается в нуль при увеличении (уменьшении) свободной неизвест¬
ной, переведенной в базисные.
Пункт 2 выполняется до тех пор, пока не будет получено оптимальное ре¬
шение.
Недостатком этого алгоритма является неочевидный способ получения ис¬
ходного опорного решения, т. к. реальные производственные задачи обычно со¬
держат много ограничений. Иногда допустимое опорное решение получают из
произвольного с помощью симплекс-метода.
2.6.4.	Особенности постановки транспортной задачи
Пусть имеется m поставщиков товаров, причем объемы поставок равны
ai, яг	am, и и потребителей этих товаров в объемах Ъ\, Ъг, ..., bn. Стоимость
перевозки единицы товара от /-го поставщика к j-му потребителю равна су,
i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n. Задача состоит в том, чтобы определить объемы
поставок товара Ху от/'-го поставщикау-му потребителю i = 1,2, ..., m, j = 1,2, ..., и,
при которых суммарные транспортные расходы будут минимальными, т. е. необ¬
ходимо найти такие значения Ху > 0, при которых функция:
44

F — СП - Xu + Cl2 'Xl2 + ... + c,nn • Xmn,
достигает минимума и выполняются ограничения на поставку продукции:
ХЦ+Х12+... +х\п=а\ и на ее потребление Х11+Х21+... +хт\=Ьу,
Х21 + Х22 + ■■■ + Х2я = Я2	Х12 + Х22 + ... + Х»,2 = Ьх,
Хщ\ Хщ2 ~ ■■ ■ ^ Хщп От Х\п Х2п ■ ■ ■ ^ Хтп Ьп.
т	Yi	ff! и
Если = 'Y_bj =2JXx'i’ т0заДачаназывается сбалансированной. В про¬
изводственной практике значительно чаще встречаются задачи с дисбалансом,
т	п	т	п
когда Уа^УЬ.. Если Уal</_,bJ (спрос превышает предложение), то вво-
1=1 ' м	И1	м
дится дополнительный фиктивный поставщик с номером ?и+1 и объемом поста-
П	т
вок ат+1 =ybj, причем коэффициенты ст+\, j при неизвестных х,„+\,j,
№	i=l
j = 1,2, ...,п в выражении для функции F принимаются равными 0, а полученные
в результате решения задачи значения этих неизвестных игнорируются. В ситу-
т	п
ации V a, >Yjbj (спрос превышает предложение) наоборот - вводится фиктив-
Я 1
т	п
ный потребитель с объемом потребления Ьи+1	- ® эт°й ситуации
,=i	j=1
Ci,n + 1 = 0, / = 1,2,..., т, а полученные значения xifl +1 i = 1,2,..., т игнорируются.
Пример. Минимизировать расходы на перевозку товара с двух складов в три
магазина (сбалансированная задача):
F = 20хп + 20x12 + 30xi3 + 30x21 + 40хгг + 20хгз —> min,
№ Пена перевозки 1 шт Объем
склада 1-й м-н 2-й м-н 3-й м-н поставок
1	20	20	30	1800
2	30	40	20	2600
Потребности) шт,)
1000 1200 2200
при ограничениях на поставку
xii+xi2+xi3=1800
Х21+Х2 2 +Х23 =2600
и на потребление xn+X2i=1000
Xl2+X22 = 12 00
Х1з+Х2з=2200
Xij> 0, /=1,2;у=1,2,3.
2.7. Вариационные задачи и методы их решения
Основные определения:
1. Если каждой функции x(t) из класса функций М (непрерывных, кусочно¬
линейных, кусочно-постоянных и др.) по некоторому правилу поставлено в со¬
ответствие число, то в классе функций М определен функционал 1=1 [х(/)].
Например, если М - совокупность всех непрерывных функций x(t),t е [0;l], то
l\x(t)] = \x(t )clt есть функционал от х(1).
о
45

2.	Вариацией Ах аргумента x(t) функционала / [x(f)] называется разность ме¬
жду двумя функциями х(1) и хо(0, принадлежащими выбранному классу М. Если
значение \x(t) -х0(/)| мало V/ 6[iu,tK\ то функции x(t) и x0(f) близки на отрезке
[Г„, /к] (кривые близки по ординатам).
3.	Приращением функционала/ [х(/)], соответствующим вариации Ах его ар¬
гументах)/), называется величина А/ =/[х(/) + Ах] -1[х(()]. Функционал достигает
на функции хо(/) минимума, если значение / [х(/)1 для любой функции, близкой к
хо(0, не меньше, чем /[хо(0], т. е. А/о - /fx(/)] - /fxo(/)] > 0.
4.	Вариационными задачами (ВЗ) называют задачи оптимизации, решени¬
ями которых являются функции некоторого заранее выбранного класса. Крите¬
рием оптимальности решения вариационной задачи является функционал, опре¬
деленный в выбранном классе функций (в общем виде -1 = /fxi(/), ..., x„{t)}).
Такие задачи возникают при выборе оптимальной конструкции и режима работы
промышленных объектов с распределенными параметрами.
2.7.1.	Виды вариационных задач
Для случая одной искомой функции x(t) значения функционала/[х(0] можно
рассматривать как оценку качества линий, соединяющих точки с координатами
(tK, хн) и (/к, хк), т. е. качества способа перехода какого-либо объекта из начального
состояния в конечное.
Условия х(<„) = хн, x(fK) = хк, характеризующие начальное и конечное состо¬
яния, называются граничными условиями. В данном случае граничные условия
определяют точки на плоскости xt. Вариационные задачи, решаемые при подоб¬
ных граничных условиях (x,(fH) = х/и), Xi(tK) = х/к), i= 1,2,..., п), называются зада¬
чами с закрепленными концами, см. рис. 2.25.
Начальное и конечное состояния объекта исследования может характеризо¬
ваться не точками фазовой плоскости, а областями, заданными в виде функций
/н(х, t) = 0, FK(x, t) = 0 или в общем случае: FH(xi, хо,..., х„, t) = 0, FK(xi, хо,..., х„, I) - 0.
При таких граничных условиях в число определяемых параметров входят и значе¬
ния tH, tK, а если они зафиксированы жестко, то параметр t исключается из числа
аргументов функций FH, FK. Вариационные задачи с такими граничными услови¬
ями называются задачами со свободными концами, см. рис. 2.26.
Рисунок 2.25 - Решения вариационной задачи с закрепленными концами
46

Рисунок 2.26 - Решения вариационной задачи со свободными концами
tк
Обычно функционал записывается в виде: I[x[t= | ф(х, t)dt, где ф(х, t) -
заданная функция переменных x и t, а x, в свою очередь, является функцией не¬
зависимой переменной t. На изменение функции x(t), определяемой при решении
задачи поиска экстремума I[x(t)], могут быть наложены различные ограничения.
Чаще всего при решении практических задач встречаются ограничения в форме
дифференциальных уравнений, например dx/dt = xt.C учетом наличия подобных
ограничений функционал записывается в виде: I[x(t)J = J<p(x,x',t)dt, где
tc
x' = dx/dt, или в общем случае: I[x [t),..., xn{t= J9(x[,..., xn, x]',..., xn', t)dt.
trn
Таким образом, наиболее часто встречающаяся постановка вариационной
задачи предусматривает поиск таких функций xt(f), i = 1, 2, ..., n из выбранного
tK
класса, что функционал I^ {t),..., xn {t= Jф(л:1,..., xn, x]',..., xn', t)dt достигает
*н
экстремума при выполнении ограничений на искомые функции: FH(xi, ..., xn, t) = О,
FK(x\,..., xn, t) = 0.
Замечание. Подобные задачи решаются и для объектов с сосредоточенными
параметрами - при поиске оптимальных изменений характеристик режима их
функционирования во времени (температуры, давления, расходов сырья и тепло¬
носителей).
2.7.2.	Методы решения вариационных задач
Методы решения вариационных задач рассмотрим на примере задачи по-
*к
иска минимума функционала I|^x(t)] = Jty(x,x\t) dt при граничных условиях
ta
x{tu) = xH, x{td) = xK. Необходимое условие достижения функционалом I [x(t)]
47

экстремума на функции x(f): функция ф(х, х', t) должна иметь непрерывные част¬
ные производные до второго порядка по всем аргументам и удовлетворять урав-
7[х(0] = J(х'2 —2 -x-t)dt уравнение Эйлера имеет вид х” -1 = 0, решением кото-
1
рого при граничных условиях х(1) = 0,х(2) = 1 является функция
К сожалению, это условие не является достаточным и не характеризует вид экс¬
тремума, поэтому на практике применяется сравнительно редко.
Чаще всего вариационные задачи решаются численными методами, которые
предусматривают сведение вариационной задачи к последовательности задач не¬
линейного программирования. Наиболее популярными являются представление
искомой функции в виде кусочно-линейной зависимости и метод Рица.
Представление искомой функции в виде кусочно-линейной зависимости
предусматривает разбиение отрезка |7„, tK] оси t точками t\, h, ..., tp-i, tp-\ на p
микроотрезков и поиск значений xi, хг,..., хр-г, хр~ i, при которых функция:
нению Эйлера x"(t)
+ x'(t) ■ д ^ + Л_Ф_ _ ^Ф _ Например, для функционала
дх'2	дх'дх dtdx' дх
, х„ , =
/ 1
Г,-Г
Лы
1-1
Э,
достигает минимума. Здесь to = tH, хо = •^Hj tp — tK, xp = xK, cm. рис. 2.27.
Найдя минимум функции F при фиксированном значении р, увеличивают
число микроотрезков и вновь решают задачу поиска ее минимума. Функция x(t)
считается найденной, если значения minFK, найденные при р и (р + 1) микроот¬
резках, отличаются не более чем на заданную величину.
Пример. Найти min /[х(/)] = j[x2 +(1 -x')2]dt при условияхх (0) = 0,х(2) - 1.
о
Зафиксируемр = 2 -> to= 0,хо= 0; t\ = 1, xi = ?; ti= 2, хг= 1.
48

ад=1
/=1
\-~
t,~t.
= х,2 +
+ Х2 +
[ \2
I х2-х1
h h j
= 3.Yj2 - 2.Xj + 2,
dFv/dx\ = 6xi - 2 = 0, x\ = 1/3; (fl'Vdxr = 6 > 0 -» x\ = 1/3 - точка min /'K(xi);
FK( 1/3) = 1,67. При= 3 пришлось бы искать Xi и xi, прир = 4 - х\, хг и хз и т. д.
Популярной разновидностью этого метода является представление функции
x(t) в виде кусочно-постоянной зависимости, см. рис. 2.28.
В данном случае осуществляется поиск координат, «точек переключения»
(,, / - 1, 2, .... /7 — 1 и соответствующих фиксированных значений х,, / = 1, 2, ...,/> - 1
функции x(i). В «точках переключения» x(i) скачком изменяет одно фиксирован¬
ное значение на другое, т. е. x(t) = х,-= const,	< t},j = 1, 2, ..., р - 1, to = t„,
tp= tK . Поскольку на каждом из микроотрезков x(t) = const, функция <р(х, х I.)
вырождается в функцию ф(х;) и задача сводится к поиску таких значений t\, ...,
р
t р- 1,Х1, ...,Хр-1, при которых функция Fn(t\, 1, XI, ...,Хр-1)= E[(p(^/) -(t,
./=1
достигает минимума. Часто значения р,х\, ..., х;, фиксированы и задача (задача
поиска координат «точек переключения» tj,j - 1, 2,...,/? - 1) решается один раз.
Если значение р не задано заранее, применяется прием его последовательного
увеличения до получения достаточно близких значений min Fn при р и (р + 1)
«точках переключения».
Пример. Решить задачу предыдущего примера.
р = 2 -> to= 0; t\ = l,x\ = l',ti=2,xi= l.Fn(ii,xi) = (xr+ l)-(ii-io) + (x22+ 1)-
• (ti - 6) = t\ ■ (хг - 1) + 4, причем F'nh = x\2 - 1 = 0, Fmi = 2 • xi • t\ = 0, -> t\ = 0,
xi = 1. Определим характер найденной точки:f^ = 0, F^ = F^t = 2 ■ xi,
49

1<’'т — 2 •	с. 1-й минор матрицы Г ессе
для функции FD{t\, xi ) равен
ГF" F" Л
С1	С1
V	iki )
нулю и точка t\ = 0, х\ = 1 не является точкой экстремума функции Fn(t\,x\).
Найдем значения этой функции в граничных точках: при t\ = 0 и любом зна¬
чении х\ Fa = 4, при t\ = 2 и х\ = 0 Fa = 2, т. е. минимального значения функция
Fa{t\, Х|) достигает при t\ = 2, х\ = 0.
Метод Рица. Искомая функция х(() представляется в виде многочлена:
х(1) = ао ■ »|/о(/) + а\ ■ V|/i(/) + а2 ■ \\ii(l) + ... +ат • у„,(/), где	/ = 0, 1, ...,
т - элементарные непрерывно-дифференцируемые функции (tJ, Sin(/' • t), ехр(у§ • г)),
ctj,j = 0, 1,т - постоянные коэффициенты.
Тогда /[х(01 = 1(ао, а\,ат) и задача сводится к поиску таких значений ко¬
эффициентов многочлена, при которых 1(ао, сп,..., ат) достигает минимума. Вы¬
бор вида функций »|/,(/) и начального значения порядка многочлена т осуществ¬
ляет исследователь на основе имеющихся представлений о характере функции
х(1). Задача решается несколько раз с последовательно увеличиваемым значе¬
нием т до тех пор, пока значения min I, соответствующие порядку многочлена
т и (т + 1), будут различаться меньше, чем требуется по условию.
Пример. Решить задачу предыдущих примеров. х(1.) ао + а\ ■ t + а2 ■ I2;
из граничных условий: х(0) = ао = 0; х(2) = 2 ■ а\ I 4 ■ а2- \ -Ха\ = (1 - 4 • о2)/2 ,
x(t) = (0,5 - 2 • а2) ■ t + аг ■ t1 = t/2 - 2 ■ аг ■ t + аг -t2;
2 2 2
7[х(/)] = |[/2-(0,5-2-а2 + а2-/) +(1-0,5+2-а2-2-а2т) ]dt =3,73-а2-1,33-а2 +1,67
о
dl/dai = 3,73 - 2- аг - 1,33 = 0 -» а2 = 0,18; а\ = 0,14; -> x(t) = 0,14 • t + 0,18 • f2;
I [x(/)] « 1,55.
Рисунок 2.29 - Пример решения вариационной задачи разными методами
На рис. 2.29 показаны решения этой задачи всеми рассмотренными мето¬
дами. Как видно, лучшее решение найдено методом Рица.
50

3.	МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ ВЫБОР
Многокритериальной называется задача, для оценки качества решений ко¬
торой используются несколько критериев. Например, задача распределения ин¬
вестиций по этапам выполнения проекта: критерий (1) «минимальные расходы
на выполнение проекта» обычно дополняется критерием (2) «минимальный срок
выполнения проекта» и (3) «максимум качества проектных решений».
Главная проблема постановки и решения многокритериальных задач - со¬
гласование критериев, т. е. выбор наилучшего соотношения между оценками по
разным критериям. Ответ на этот вопрос обычно не определяется условиями за¬
дачи. Нужна дополнительная информация, которая может быть получена только
от руководства проектом.
ЗЛ. Перевод критериев в ограничения
Одним из первых подходов к принятию решений при двух критериях явля¬
ется метод «стоимость-эффективность». Он был разработан в конце 50-х годов в
США, когда в годы ракетно-ядерной гонки США-СССР возникла задача о доста¬
точности системы нападения для преодоления защиты потенциального против¬
ника. Метод «стоимость-эффективность» состоит из трех основных этапов:
1) построения модели эффективности (zE (Xj,Хп) -»max );
2)	построения модели стоимости (?с(Хр ■■■, х„) >min);
3)	синтеза оценок стоимости и эффективности.
Модель стоимости представляет зависимость общей стоимости от количе¬
ства ракет, а модель эффективности - зависимость вероятности поражения целей
от количества ракет. Обе модели в данном случае объективны: они строятся на
базе фактических данных, надежного статистического материала. Однако выход¬
ные параметры этих моделей нельзя просто механически объединить. Для син¬
теза оценки стоимости и эффективности используется субъективное суждение
руководителя, формализовать которое трудно или даже невозможно.
В общем случае на этапе синтеза стоимости и эффективности рекоменду¬
ется использовать два основных подхода:
^фиксированной эффективности при минимально возможной стоимости,
т. е. выбирается самая «дешевая» альтернатива, обладающая заданной эффектив¬
ностью (zE(xv ...,x„) = constE,zc(xv	x„)->min);
2) фиксированной стоимости и максимально возможной эффективности
(случай бюджетных ограничений: ZE(x^, ...,ХИ)—МПах, zc(x..., Хп) —> COnstc).
Смысл этих подходов — перевод одного из критериев оценки в ограничение.
В результате получается обычная однокритериальная задача.
Главный вопрос - на каком уровне установить ограничение одного из кри¬
териев. Ответ на этот вопрос в общем случае не вытекает из условий задачи. Ни
требуемая эффективность, ни бюджетные ограничения не устанавливаются
обычно достаточно жестко.
51

Таким образом, одним из способов решения многокритериальных задач,
сводящим их к однокритериальным, является перевод всех критериев, кроме од¬
ного, в ограничения. Однако выбор граничных значений, в общем, произволен,
причем, чем больше критериев переводится, тем больше произвола.
Пример: выбор секретаря из пяти девушек: (1) Ольга, (2) Елена, (3) Свет¬
лана, (4) Галина, (5) Жанна, - по критериям: (1) «знание делопроизводства», (2)
«внешность», (3) «знание английского языка», (4) «работа на компьютере», (5)
«общение по телефону». Характеристика альтернатив с точки зрения критериев:
АльтАКрит.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(1)
хор. - 4
хор. - 4
отл. - 5
плохо - 1
удов. - 3
(2)
неуд. - 2
отл. - 5
плохо - 1
плохо - 1
хор. - 4
(3)
отл. - 5
удов. - 3
удов. - 3
хор. - 4
хор. - 4
(4)
хор. - 4
неуд. - 2
неуд. - 2
удов. - 3
отл. - 5
(5)
плохо - 1
хор. - 4
удов. 3
хор. - 4
неуд. 2
Числовые значения характеристик формируют матрицу рейтингов альтер¬
натив по критериям.
Очевидный главный критерий выбора секретаря - «знание делопроизвод¬
ства» (1). Минимально допустимый уровень всех остальных критериев «удо¬
влетворительно», т. е. > 3. Как видно, при такой замене критериев ограничени¬
ями единственная приемлемая альтернатива (3) Светлана. Если понизить тре¬
бования до > 2, то приемлемой станет также альтернатива (4) - Галина, и по кри¬
терию (1) будет выбрана альтернатива (3) - Светлана.
Заметим, что если в качестве главного критерия выбрать «общение по теле¬
фону» (5), то при ограничениях ^ 2 приемлемыми будут те же две альтернативы,
но выбрана будет альтернатива (4) - Г алина.
3.2.	Взвешивание и объединение критериев
Одним из подходов к поиску компромиссного решения задачи многокрите¬
риальной оптимизации является сведение ее к однокритериальной путем объедине¬
ния частных критериевz,{X),X= (xi,...,хп) в обобщенный критерий Z(X) = Ф[г\(Х),
zi(X), zm(X)\. Наиболее распространенным обобщенным критерием является
аддитивный - взвешенная сумма частных критериев.
3.2.1.	Метод взвешенной суммы частных критериев
Обобщенный критерий записывается в виде:
т
zCv)=X'r--Cv),
/=1
где Wi - весовые коэффициенты, удовлетворяющие условиям.
52

т
О < W; < 1,	= 1 .
1=1
Величина w, определяет важность г-го частного критерия, при этом более
важному критерию приписывается больший вес.
Замечание. Как правило, частные критерии имеют различную размерность,
поэтому обобщенный критерий формируется из их нормированных значений: от¬
ношений «натуральных» частных критериев к некоторой нормирующей вели¬
чине. Варианты выбора нормирующего делителя:
1)	директивные значения параметров, заданные заказчиком (указанные в ТЗ);
2)	максимальные значения критериев, достигаемые в области допустимых
решений (области D);
3)	лучшие мировые достижения в данной области;
4)	разность между максимальным и минимальным значениями критерия в
области/): zj(x) = -
' -Zj(x)	Zj(X)-
	или z,(Xj^ iV ’
z,
Нормированные критерии будем обозначать через гДЛ’), т. е. аддитивный
критерий примет вид /(Л') = уу. (А')-
; = 1
Замечание: если некоторые критерии требуется максимизировать, а дру¬
гие - минимизировать, следует изменить знак всех критериев одной из групп и
решать задачу поиска минимума или максимума критерия Z(X).
Пусть имеется два решения A’i и Хг. Для обоснования перехода от A’i к Хг
необходимо вычислить сумму абсолютных изменений всех частных критериев:
AZ = ^ И', [с, (А',)- г, (A', )J = Xw,(А',) - X w, (A'i)• в случае AZ < 0 решение Х2
/=1 /=1 /=1
признается лучшим, чем A'i, если критерий Z(X) минимизируется, а если макси¬
мизируется, то X] признается лучшим, чем А?. Тогда при поиске минимума Z(X)
оптимальному решению Xopt соответствует AZ > 0 при переходе к любому дру-
т  	т  .	,
тому решению X: ^wyzy(x)> ^^^\Хор/), а при поиске максимума Z(X):
г=1	г=1
т 	 т 	,	,
У Wf Zy	Таким образом, оптимальному решению соответ-
/=1	/=1
ствует минимум либо максимум суммы нормированных частных критериев.
Пример. Переносной автомат для забивания стальных дюбелей в бетонные
стены состоит из корпуса, магазина с дюбелями, подающего спускового меха¬
низма с зарядами и ствола. Требуется определить длину ствола L и число дюбе¬
лей N при следующих исходных данных: масса т одного дюбеля с зарядом равна
50 г, масса ствола 1,6 кг/м, масса корпуса 2 кг, - и ограничениях: число дюбелей
N> 12, скорость выброса дюбеля V> 100 м/с, масса автомата М< 6 кг.
При фиксированной величине заряда и заданной массе дюбеля скорость вы¬
броса связана с длиной ствола соотношением V = k-L0’5; где к = 150 м°-7с. В
53

качестве частных критериев, которые необходимо максимизировать, выберем V
(чем выше скорость выброса, тем надежнее дюбеля проникают в бетонные
стены) и 7V (чем больше число дюбелей в магазине, тем удобнее работать). По
мнению экспертов, оба критерия имеют одинаковую важность.
Введем обозначения: zi(7V, L) = k-L0,5 - первый критерий (скорость);
z-i(N, L) = TV- второй критерий (число дюбелей). Задача многокритериальной оп¬
тимизации формулируется следующим образом:
max/ = max(zi, Z2)
при ограничениях 7V> 12;
V> 100;
\,6L + 0,057V + 2 < 6.
Так как критерии имеют одинаковую важность, то wi = W2 = 0,5 и можно их
не учитывать. В качестве нормирующих делителей возьмем максимальные зна¬
чения критериев, достигаемых в области допустимых решений: при
Vmin =100 м/с ограничение на массу автомата примет вид: 1,6( VmJk)1 + 0,05/V +
+ 2 < 6, откуда TVmax = 66. Из того же ограничения при 7V = 12 получим
1 шах 219 м/с.
Таким образом, мы получили следующий обобщенный критерий:
Z(L, TV) = kyfb/Vmax + N/Nmax ,
причем функция Z(L, TV) монотонно возрастает, т. е. достигает максимума на гра¬
нице, и ограничение можно записать в виде равенства:
1,61 + 0,057V + 2 = 6.
Для определения максимального значения Z(L, TV) с учетом ограничения
применим метод множителей Лагранжа и получим следующую задачу безуслов¬
ной оптимизации:
Z (TV, L, X) = к41/219 + 7V/66 + 2.(1,6L + 0,057V - 4) -инах
Взяв частные производные Z{L, TV, 2) по L, N,X и приравняв их нулю, получим
3Z к 1	Л 7	1	07
уравнения: — = ТГп"Т7т+^^ = ®> ^ = ^7+0,052 = 0, ^ = l,6Z + 0,05TV-4 = 0.
1
дЬ 219 2-у/Г '	’ SN 66		’дХ
Решив эту систему уравнений,
1°р>	2-219-1,6/V
= 106 м/с, Lopt =
0,05-66-к
получим:
2
л=—
0,05 М
= 0,308,
= 0,499 м.
2-1,6-219
Аддитивный критерий это формальный математический прием, придаю¬
щий задаче удобный для решения вид, однако в нем может происходить взаим¬
ная компенсация частных критериев: значительное уменьшение одного из них
вплоть до нуля может быть покрыто возрастанием другого. Для ослабления этого
54

недостатка вводятся ограничения на минимальные значения частных критериев
и их весовые коэффициенты.
Замечание. Постулат «низкая оценка по одному критерию может быть ком¬
пенсирована высокой оценкой по-другому» верен далеко не всегда. Например,
если качество оператора ввода текстов оценивать критериями: 1) скорость ввода
(символов в минуту) и 2) среднее количество ошибок на страницу текста, - то
увеличение количества ошибок не может быть компенсировано увеличением
скорости ввода.
3.2.2.	Мультипликативный критерий
Теоретической основой использования мультипликативного обобщенного
критерия задачи многокритериальной оптимизации является принцип справед¬
ливой относительной компенсации', справедливым следует считать такой ком¬
промисс, когда суммарный уровень относительного снижения значений одного
или нескольких критерий не превышает суммарного уровня относительного уве¬
личения других критериев. Математическая формулировка условия оптимально¬
сти на основе этого принципа имеет вид:
f AZj(X)
tt zt(X)
= 0.
где AZi(X), z,(X) - приращение величины /-го критерия и его первоначальное зна¬
чение соответственно. Полагая Azt(X) « z{(X), можно записать:
f А*,(Г)
и Ъ(Х)
J4d(\Rzi(X)) = d\nY\zt(X) = Q,
i=1	/=1
откуда следует, что принцип справедливой относительной компенсации приводит
т
к мультипликативному обобщенному критерию оптимальности Z(X) = П-'(Л'ь
i=l
в который в случае неравноценности частных критериев вводятся весовые коэф-
т
фициенты и’,: Z(X) = ]~[ z)‘ (X).
i=1
Замечание. Мультипликативный критерий иногда представляется в виде от-
т\	j т2
ношения Z (X) = ГК(Х)/ГК (X), где в числителе перемножаются частные
-=1	/ М
критерии, требующие максимизации и имеющие ограничения z\ (X) > TTt, а в
знаменателе - частные критерии, требующие минимизации и имеющие ограни¬
чения z( (X) < TTy TTt - значение технического требования, предъявленного
к /-му критерию; пп + пп = т. Такая целевая функция в дальнейшем подвергается
максимизации.
55

Достоинство мультипликативного критерия — при его использовании не
требуется нормирование частных критериев. Недостаток: недостаточная вели¬
чина одного частного критерия компенсируется избыточной величиной другого.
Пример. Применим мультипликативный обобщенный критерий для реше¬
ния задачи определения оптимальных параметров автомата для забивания сталь¬
ных дюбелей в бетонные стены, см. п. 3.2.1.
Задача оптимизации в данном случае формулируется следующим образом:
найти максимум функции	Z(L,N) = k4Z■ N
при ограничении	1,6L + 0,05+2 < 6.
Применение метода множителей Лагранжа приводит к следующей задаче
безусловной оптимизации: Z(L,N,X) = hjb ■ N + /Ц1,6L + 0,05N - 4).
Взяв частные производные Z(L, N, X) по L,N,X и приравняв их нулю, получим
уравнения:^=-^+1,6^ = 0, Щ- = к-Л+0,051 = 0, H = l,6L + 0,05W-4 = 0.
oL 2 у/L	oN	дЛ
Решив эту систему уравнений, получим: Nopi = 53, Lopi= 0,83 м, Уор,=\Ъ1 м/с.
Как видно, использование мультипликативного критерия привело к другим
значениям оптимальных параметров автомата по сравнению с решением задачи
при аддитивном критерии оптимальности. Причина различий - неодинаковые
диапазоны взаимной компенсации абсолютных и относительных изменений
частных критериев. Поэтому при решении конкретных задач необходимо тща¬
тельно анализировать и обосновывать целесообразность учета абсолютных или
относительных изменений значений частных критериев и выбирать либо адди¬
тивный, либо мультипликативный обобщенный критерий оптимальности.
3.2.3.	Методы определения весовых коэффициентов
Веса критериев - самая главная проблема многокритериальной оптимиза¬
ции. Весовые коэффициенты w, должны качественно отражать важность соответ¬
ствующих частных критериев. Их значения выбираются исходя из анализа ми¬
рового уровня развития данной отрасли, из требований к проектируемому объ¬
екту и из существующих возможностей реализации этих требований. Открытие
новых физических принципов и разработка новых методов проектирования мо¬
гут существенно влиять на значения весовых коэффициентов.
Чаще всего веса назначают, исходя из интуитивного представления о срав¬
нительной важности критериев. Однако исследования показывают, что человек
(эксперт) не способен непосредственно назначать критериям корректные чис¬
ленные веса. Необходимы специальные процедуры получения весов. Наиболее
популярны на практике методы экспертных оценок.
Основная идея методов экспертных оценок: использовать интеллект людей,
их способность искать и находить решение слабо формализованных задач.
Наиболее эффективными методами проведения экспертизы в настоящее время
считаются методы ранжирования и приписывания баллов.
56

Метод ранжирования. Пусть экспертиза проводится группой из L экспер¬
тов, которые являются квалифицированными специалистами в той области, где
принимается решение. Метод основан на расстановке частных критериев в по¬
рядке их важности. Цифрой 1 обозначают наиболее важный частный критерий,
цифрой 2 - следующий по важности и т. д. Далее ранг 1 получает оценку т (ко¬
личество частных критериев), ранг 2 - оценку in - 1 и т. д. до ранга т, которому
присваивается оценка 1. Обозначим полученные оценки г*, где / - номер экс¬
перта, к - номер критерия и сведем результаты опроса экспертов в таблицу
Значения элементов нижней строки таблицы г. = X /'••,/= 1, 2, ..., т.
‘ 7=1 J
/ т
Тогда весовые коэффициенты wt =rj "У'г1 , i = 1,2, .... т.
/ i=i
Пример. Группа из трех экспертов (L = 3) привлечена для ранжирования че¬
тырех критериев (т = 4). Эксперты расставили критерии в следующем порядке:
Эксперты
Места
1
2
3
4
1
F,
Fi
F4
F2
2
Fs
Fi
F:
Fi
3
Fi
F4
Fi
F3
Определим элементы матрицы рангов критериев согласно алгоритму (пер¬
вому месту - четыре балла, а второму - три и т. д.):
Эксперты
Критерии
Fi
Fi
Fi
Fa
1
4
1
3
2
2
3
2
4
1
3
4
2
1
3
E оценок
ri = 11
n = 5
n = 8
Г4 — 6
т
= 11 + 5 + 8 + 6 = 30; wi=0,3667; и2=0,1667; из=0,2666; и4=0.2.
1=1
57

Метод приписывания баллов. Эксперты оценивают важность частного
критерия по шкале [0 10]. При этом разрешается оценивать важность дробными
величинами или приписывать одну и ту же величину из выбранной шкалы не¬
скольким критериям. Обозначим через /г,, балл j-го эксперта для /-го критерия,
тогда вес /-го критерия, установленный j-м экспертом rJI = hjJ ^ hJj, а значения
/ /=1
весовых коэффициентов определяются аналогично методу ранжирования.
Пример. Пусть три эксперта поставили четырем критериям следующие баллы:
Эксперты
критерии
Fi
Fi
Fi
Fa
Сумма
1
/ш = 10
h\i — 4
A13 = 8
Al4 = 6
28
2
ln\ = l
hn — 5
/?23— 10
A24 = 3
25
3
Ай = 10
Аз: = 6
Азз = 5
Аз4= 7
28
Веса критериев:
Эксперты
критерии
Fi
Fi
Fi
Fa
1
10/28
4/28
8/28
6/28
2
7/25
5/25
10/25
3/25
3
10/28
6/28
5/28
7/28
X оценок
п - 0,9943
n = 0,5571
0,8643
r4= 0,5843
т
£ п = 0,9943 + 0,5571 + 0,8643 + 0,5843 = 3; w, = 0,3314; w2 = 0,1857; w3 = 0,2881;
(=i
W4= 0,1948.
Замечания
1.	Применение подобного подхода к решению многокритериальных задач
может привести лишь к получению решения, оптимального с точки зрения вы¬
бранной группы экспертов. В ответственных случаях обычно привлекают не¬
сколько независимых групп экспертов.
2.	В случаях, когда компетентность экспертов различна, ее можно ценить
методом ранжирования или приписывания баллов и получить значения весов
L
экспертов а1, Тогда >) =^>'р • о.;.
/=1
Статистическая обработка результатов экспертных оценок. Если рас¬
сматривать результаты оценок каждого из экспертов как значения некоторой
случайной величины, то к ним можно применять методы математической стати¬
стики.
-
Среднее значение оценки для /-го критерия г, = — у
L .м
1
L
выражает кол¬
лективное мнение группы экспертов. Степень согласованности мнений экспер-
2 J L	_ 2
тов характеризуется величиной дисперсией оценок сг, = — 1>>-С)2. Чем
L j=i
58

меньше значение дисперсии, чем с большей уверенностью можно опираться на
значения /•.,/ = 1, т как оценки степени важности частных критериев Ft,
i = 1, т.
_ / т _
Весовые коэффициенты Wj = rj , / = 1, ..., т.
Статистическая обработка результатов экспертных оценок подобна стати¬
стической обработке результатов измерений. На достоверность экспертизы су¬
щественно влияют такие факторы, как численный состав экспертной группы,
уровень компетентности экспертов; состав вопросов, представляемых экспертам
и т. д. Индивидуальные экспертные оценки также носят на себе печать случай¬
ности: настроение, самочувствие, обстановка, а также знание и опыт.
Формальные методы определения весовых коэффициентов это приемы,
позволяющие по информации о частных критериях оптимальности определять
значения весовых коэффициентов w,.
Прием 1. Для каждого частного критерия оптимальности Ft, i = 1, ..., т вы¬
числяется коэффициент относительного разброса по формуле:
5,	= —	— = 1 - —, где F~ = min Ff (Л'), F+ = max FAX).
F+	F+	xed	xed
l	l
Весовые коэффициенты получают наибольшее значение для тех критериев,
относительный разброс которых наиболее значителен:
w, =5,./Х5,Д= 1,
/ *=1
Пример. Рассмотрим конкретную числовую задачу в следующей постановке:
minF1(x) = min4(x-2)2 +5, minF7(x) = min(x-4)2 +1, D = {0<x<5\.
X&D	XnD	X€D	XIeD
Коэффициенты относительного разброса значений критериев:
F1+=41,F1-=5,61=^ = ^, F2+=17,F2-=1,52
17-116
17	17
Весовые коэффициенты:
w, =-
«1
8j +62
36
41/
36 16
v41 + 17.
= 0,48. w,
8j +82
16
17/
'36 16'
.41+17,
= 0,52.
Прием 2. Пусть все /<’. #0, / = 1,2, ..., т. Рассматриваются коэффициенты
FtW-Ff
р,(Л) =	;	, характеризующие отклонение частных критериев опти-
F~
мальности от их наименьших значений, и важность /-го критерия зависит от вы¬
полнения неравенства:
£.<Ф-	(*)
59

Значения ф, /' = 1, т задаются лицом, принимающим решения (ЛПР) и
характеризуют важность критериев (чем важнее критерий, тем меньше значе¬
ние ф). Пусть R* - наибольший радиус окрестности точки X* - точки минимума
/-го критерия оптимальности, точки которой (xi, х„) удовлетворяют неравен¬
ству (*):
R* ~ max
Хе D
Fi(xv ...,x„)-Fr
F~
Чем больше значениеR*, тем меньше выбирается значение весового коэф-
* / ™ / *
фициента: w, = 1 /R* /	\/R*, i = 1, ..т.
/	7 = 1
Пример. Рассмотрим задачу предыдущего примера и положим, что ЛПР задал
ц! = 0,4, цг = 0,6. Точки минимумов критериев: х* = 2, Ff = 5 и х* = 4, Fi = 1.
FC, ~ max ] (х-2)2
Тогда:
4(х-2)2 +5-5
<0,4 =0,5
R* - max \ (х —4)"
'„«'К	'	'
(х-4)2 +1-1
<0,6 =0,6
Wj = — = 0,545
w2 = — = 0,455
3.3.	Методы последовательной оптимизации
Из этой группы методов многокритериальной оптимизации рассмотрим ме¬
тод последовательных уступок и метод равенства частных критериев.
3.3.1.	Метод последовательных уступок
Основная идея метода: некоторое снижение величин более важных крите¬
риев для повышения величин менее важных:
1)	частные критерии ранжируются по важности (главным считается крите¬
рий zi, менее важным zi и т. д. до zm);
2)	осуществляется поиск лучшего решения по наиболее важному критерию
(пусть ему соответствует значение zimm);
3)	осуществляется поиск решения, наилучшего по следующему критерию,
причем делается уступка Ai > 0 по первому критерию (значение z\ должно быть
не больше, чем zimin + Ai);
4)	п. 3) повторяется для каждого последующего критерия при заданных
уступках по всем, уже рассмотренным (на последнем шаге значения каждого
критерия Zi из т - 1 предыдущих должны быть не больше Zimm+ А,).
Таким образом, оптимальным считается решение последней задачи из сле¬
дующей последовательности:
60

1)	HaiiTHZimin= min z, (x).
XeD
2)	Найти Z2min =minz, (X).
XeD
Zl — Zimin I A].
3)	Найти Zwmin =min z(X).
XeD
Z,<Zimin+Ai,/= 1, m- 1.
Величины уступок выбирают в пределах инженерной точности: 5—10 % от
наименьшего значения критерия.
Пример. Пусть в области D = {0;4} заданы два критерия zi(x) = (х - I)2 + 1,
Z2(.v) = (х — 2)2 + 2, которые нужно минимизировать, причем критерий zi важнее
критерия г?.
1.	Задача оптимизации: найти min zi(x) = min[(x - 1 )2 + 1 ]:
при ограничении хе {0;4}.
Минимум zi достигается в точке xiopt = 1: Zimin = 1.
2.	Назначается величина уступки Ai =0,1 и решается следующая задача оп¬
тимизации: найти min z-i(x) = min[(x - 2)2 + 2]:
при ограничениях: хе {0;4}:
(х-1)2+1< 1 +0,1.
Применяя для решения метод множителей Лагранжа, получим задачу без¬
условной оптимизации: Ф(х, /.) = (х - 2)2 + 2 + А.((х- I)2 - 0,1). Находим частные
Г(х-2) + Х(х-1) = 0
производные функции Ф(х, X) и приравниваем их к нулю: -I I)9	0 1	0	’
откуда:
X2opt= 1,32. Согласно алгоритму, решение, полученное на последнем этапе,
будет считаться оптимальным, т. е. xopt= 1,32.
Замечание. Если каждый из частных критериев очевидно более важен, чем
последующий, то можно ограничиться учетом только попарной связи критериев
и выбирать величину допустимого снижения очередного критерия с учетом по¬
ведения лишь одного следующего критерия.
Недостатком метода является необходимость формирования неизменного
для всей задачи априорного ранжирования критериев, а также трудности с назна¬
чением и согласованием величин уступок, возрастающие с ростом количества
частных критериев.
3.3.2.	Метод равенства частных критериев
Принцип компромисса в данном случае основан на идее равномерности:
стараются найти такие значения переменныхХ= (xi, ..., х„), при которых норми¬
рованные значения всех частных критериев с учетом весовых коэффициентов
становятся равными между собой: w, • z,(X) = const, / = 1,
61

Замечание. Чем больше частных критериев, тем труднее добиться выполне¬
ния этого равенства.
Пример. Применим метод равенства частных критериев для определения
оптимальных параметров переносного автомата для забивания стальных дюбе¬
лей в бетонные стены, см. и. 3.2.1, 3.2.2. Будем считать, что частные критерии
zx{L, N) _ z2(L, N) kjL_N
одинаковы по важности, тогда-
V .
218	65
Выразим Z2 через zi: z2 = ^пих zx => N = —150^ и подставим в уравнение
"max	218
для массы автомата: l,6Z + 0,05-^-15(K/Z = 4. Решив это квадратное уравнение
218
относительно Vi и выбрав положительный корень, получим: 4ь= 1,024 или
L= 1,05 м. Таким образом, Nopt = 46, Lopt= 1,05м, Vopt= 152 м/с, т. е. получен тре¬
тий вариант оптимального решения этой задачи.
3.4.	Метод анализа иерархий
Этот метод предложен профессором Томасом Саати в 70-х годах прошлого
века для ситуаций, когда численно оценить альтернативы по критериям затруд¬
нительно, но возможно попарное сравнение альтернатив по каждому из крите¬
риев. Метод включает четыре основных этапа.
1.	Построение иерархии «цель-критерии-алыпернативы». Например, цель:
выбор места работы; критерии: (1) зарплата, (2) соответствие имеющейся квали¬
фикации, (3) удаленность от дома; альтернативы: (1) ОАО «Завком», (2)
АО «Завод Тамбовполимермаш», (3) АО «АРТИ-завод».
2.	Парные сравнения альтернатив по каждому из критериев согласно таблице:
(возможны и промежуточные
оценки: 2,4,6, 8) и построение по резуль¬
татам сравнения матриц попарного срав¬
нения альтернатив по критериям. В рас¬
сматриваемом примере это будут мат¬
рицы размерностью 3x3:
Рейтинг
Описание
1
Одинаковое предпочтение
3
Умеренное предпочтение
5
Явное предпочтение
7
Очевидное предпочтение
9
Абсолютное предпочтение
по критерию (1)
Алы.
(О
(2)
. (3)
(О
1
1/5
1/3
(2)
5
1
3
(ЗУ
3
1/3
1
(АО «Завком» явно предпочтительнее АО «Завод Тамбовполимермаш» и уме¬
ренно предпочтительнее АО «АРТИ-завод», в свою очередь АО «АРТИ-завод»
умеренно предпочтительнее АО «Завод Тамбовполимермаш»);
ГАльт. (1) (2) (З)-'
по критерию (2)
\
(1)
(2)
(3)
1	1/5	3
5	13’
1/3 1/3	1 ,
62

по критерию (3)
(АО «Завод Тамбовполимермаш» явно предпочтительнее АО «Завком» и уме¬
ренно предпочтительнее АО «АРТИ-завод», в свою очередь АО «Завком» уме¬
ренно предпочтительнее АО «АРТИ-завод»);
(Альт.	(1)	(2)	(3)^|
(1)	1	3	5
(2)	1/3	1	3
.	(3)	1/5	1/3	1	,
(АО «Завком» явно предпочтительнее АО «АРТИ-завод» и умеренно предпочти¬
тельнее АО «Завод Тамбовполимермаш», в свою очередь АО «Завод Тамбовпо¬
лимермаш» умеренно предпочтительнее АО «АРТИ-завод»).
Построенные матрицы нормализуются так, чтобы сумма элементов каждого
столбца была равна единице (каждый элемент делится на сумму элементов соот¬
ветствующего столбца), а затем строится вектор приоритетов (его элементами
являются средние арифметические элементов строк нормализованной матрицы):
0,652 0,556 0,692^
'0,633'
по критерию(1)
0,13 0,111 0,077
->
0,106
0,217 0,333 0,231у
1 0>26 J
по критерию (2)
по критерию (3)
4158
0,79
0,053
0,652
0,217
0,13
0,13
0,652
0,217
0,692
0,231
0,077
0,429л
0,429
0,143
0,556л
0,333
0,111
->
л0,239л
0,623
0,138
0,633
0,26
0,106
3. Взвешивание критериев
построение матрицы сравнении и вектора при-
'Крит. (1) (2) (3)'
оритетов для критериев. Матрица сравнений:
(«зарплата»
(1)	153
(2)	1/5	1 1/3
v (3)	1/3 3	4
явно предпочтительнее «квалификации» и умеренно предпочтительнее «удален¬
ности», в свою очередь «удаленность» умеренно предпочтительнее «квалифика¬
ции»), Нормализация и вектор приоритетов:
4.	Выбор наиболее предпочтительной альтернативы - вычисление ранга
каждой альтернативы с учетом веса критериев:
АО «Завком» - 0,633 • 0,633 + 0,239 • 0,106 + 0,633 • 0,26 = 0,591,
АО «Завод Тамбовполимермаш» - 0,106 • 0,633 + 0,624 • 0,106 + 0,26 • 0,26 =
= 0,201,
АО «АРТИ-завод» - 0,26 • 0,633 + 0,138 • 0,106 + 0,106 • 0,26 = 0,207.
Очевидно преимущество ОАО «Завком», две другие альтернативы практи¬
чески равнозначны.
'0,652 0,556 0,692'
'0,633'
0,13 0,111 0,077
—>
0,106
0,217 0,333 0,231
0,26
V ’ У
63

Пункты 2 и 3 рекомендуется дополнять так называемой проверкой согласо¬
ванности оценок. Эта проверка считается необходимой, если число альтернатив
и критериев превосходит 4. Ее суть - проверка транзитивности оценок: если аль¬
тернатива (1) предпочтительнее (2) по какому-либо критерию, а (2) предпочти¬
тельнее (3), то (1) должно быть предпочтительнее (3).
Проверка заключается в следующем. Суммы столбцов исходной матрицы
сравнений умножаются на элементы соответствующего вектора приоритетов и
складываются. Для сравнения альтернатив по критерию (1) в рассмотренном при¬
мере: X = (1 + 1/5 + 1/3) • 0,633 + (5 + 1 + 3) • 0,106 + (3 + 1/3 + 1) • 0,26 = 0,97 +
+ 0,954 + 1,127 = 3,051. В случае идеальной согласованности эта сумма должна
быть равна числу альтернатив (трем).
Затем рассчитывается коэффициент согласованности CR =
(Х-п)/(п-1)
RI
где п - число альтернатив, R1 - индекс рандомизации для рассматриваемого
числа альтернатив. Значения RI сведены в следующую таблицу:
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
R1
0
0
0,58
0,9
1,12
1,24
1,32
1,41
1,45
1,49
для рассматриваемого примера CR = (3,051 - 3)/(2 • 0,58) = 0,044. Согласован¬
ность оценок считается приемлемой, если значение коэффициента CR не превос¬
ходит 0.1. Коэффициент согласованности рассчитывается для матриц сравнений
по всем критериям и матрицы сравнения критериев. Если какой-то из них пре¬
вышает 0.1, надо проверить корректность выбранных степеней предпочтения.
3.5.	Оптимальность по Парето
Пусть для каждого решенияХ= (п,	из областиDопределен набор его
оценок по всем критериям: (zi(X),Z2(X), ..., z,,,(X)) - векторная оценка решениях
Сравнение двух любых решений представляет собой сравнение их векторных
оценок. Далее будем считать, что оптимальным является решение, которому со¬
ответствует минимальное значение каждого частного критерия z,(X), /' = 1,
Определения. 1. Решение Х\ доминирует решение Х>, если z,(X() < гДХ)
V/ = 1, ..., т и хотя бы для одного (/-го) критерия z/Xi) < z/Хг), т. е. переход от
Xi kXi не приведет к росту значения какого-либо критерия, но значение одного
из критериев точно уменьшится.
2.	Решение, не доминируемое никаким другим решением, называется Па-
рето-оптималъным. Множество таких решений называется множеством Па¬
рето (обозначается буквой Р, Р cz D). Парето-оптимальные решения располага¬
ются между решениями, оптимальными с точки зрения каждого частного крите¬
рия.
3.	Множество векторных оценок, соответствующих множеству D, называ¬
ется критериальным пространством Yd, множество Парето - областью компро¬
миссов Yp, множество доминируемых решений - областью согласия Ye.
64

Рисунок 3.1 - Отсутствие (а) и наличие (б) противоречий
между частными критериями
В области согласия нет противоречий между частными критериями опти¬
мальности, т. е. в этой области существует решение, оптимальное с точки зрения
всех критериев, см. рис. 3.1 а. В области компромиссов частные критерии про¬
тиворечат друг другу: минимум по каждому из них соответствует различным Па-
рето-оптимальным решениям, см. рис. 3.16.
Оптимальность по Парето означает, что невозможно улучшить значение од¬
ного из частных критериев, не ухудшая значения хотя бы одного из остальных.
Пример. Пусть множество D состоит из 11 решений, оцениваемых двумя кри¬
териями. Векторные оценки решений следующие: Z(Xi) = (2; 4), Z(Xi) = (3; 5),
Z(X3) = (3; 3), Z(X4) = (5; 2), Z(X5) = (4; 3), Z(X6) = (1; 3), Z(X7) = (2; 3), Z(X8) = (3; 2),
Z(Xg) = (2; 2), Z(Xio) = (3; 1), Z(Xu) = (2; 1). Критериальное пространство иллюстри¬
рует рис. 3.2 а. Множества Парето образуют решения, лежащие на правой верхней
или левой нижней границе области D: если оба критерия необходимо максимизиро¬
вать, то множество Парето образуют решения Xi, Ха, Х$, а если минимизировать - то
решения Хб,Хц.
а)	б)
Рисунок 3.2 - Критериальные пространства и множества Парето
65

Замечания.
1.	Для определения множества Парето используют правило «уголка»: уго¬
лок вида *- используется для определения области компромиссов в критериаль¬
ном пространстве, когда критерии максимизируются, а уголок *- - когда миними¬
зируются.
2.	В случае, когда множество D является непрерывным, критериальное про¬
странство представляет собой некоторую область на плоскости, см. рис. 3.2 б.
Множество Парето в данном случае представляет собой часть границы области
Yd: если критерии минимизируются «юго-западную границу», если максими¬
зируются - «северо-восточную».
3.	Если область Yd не выпуклая, ее Парето-оптимальная граница может со¬
стоять из отдельных линий и/или точек. На рис. 3.2 б для случая максимизации
критериев это правый верхний пик.
3.5.1.	Методы построения множества Парето
Определение. Множество Парето в двумерном пространстве критериев
(т = 2) называется компромиссной кривой.
Если (yi(1),yi(2)) и (}}2(1\у2(2)) - произвольные точки, принадлежащие компро¬
миссной кривой (КК), и vi(1) <>'211), to_vi(2) >_V2(2), т. е. в двумерном представлении
критериального пространства КК не содержит ни горизонтальных, ни вертикаль¬
ных отрезков. Она может состоять из несвязных отрезков, содержать изолиро¬
ванные точки и представляет собой геометрическое место точек соприкоснове¬
ния поверхностей уровня z\{X) = Ь\ и zi(X) = Ьг, в которых справедливо равенство:
gradzi = - 5gradz2, 0 < 5 < оо.
Если функции z\(X) и zi(X) дифференцируемы, то равенство gradzi = - 5gradz2
эквивалентно системе алгебраических уравнений —- = -8—,у = 1,..., и, кото-
dxj dxj
рая определяет кривую в пространстве параметров xi = <pi(5), ..., х„ = фя(5).
КК представляет собой участок этой кривой, на котором 5 > 0, принадлежащий мно¬
жеству D, и определяется параметрическими уравнениями: z\ = zi(<pi(5), ..., фя(5)),
Z2 =Z2(<pi(5),..., ф«(5)), 5 > 0.
Пример. На множестве I) = {- 0,5 < xi < 0,5; 0 < хг < 1} заданы два критерия:
zi(xi, xi) =xi2+ 4х22 nz2(xi, хг) = (xi + l)2 + (хг - l)2, которые необходимо миними¬
зировать.
Абсолютный минимум функции zi(xi, хг) находится в точке Xiopt = (0,0), при¬
надлежащей области D, а функции гг(х1, хг) - в точке 26opt = (- 1,1), лежащей за
пределами области D. Условный минимум функции гг(х1,Х2) находится в точке
ЛАс юв ( 0,5,1).
66

Частные производные:
dz]
dx,
dz,
dz-
dz-,
l = 2x1,^L = 8x2,^ = 2(x1+l№ = 2(x2-l)
dX
dxl
dx-,
f2x = -28(x +l)	8	8
Система уравнений: <1 y 1	1 Д, откуда x, =--—-, x2 =-—-, т. e. пара-
[0X2 — /о^л*2 ij	5 + 1	0 + 4
метрические уравнения ЮС для случая, когда точки Х\ opt и Хъцп принадлежат об-
ч 2	/	<, ч2	Л ,	\2	^	, Л2
ласти D, имеют вид: zi(8) — —
8 + 1
+ 4-
8 + 4
, z2(8) =
8 + 1
+ -
8 + 4
В пространстве параметров уравнение КК можно получить, выразив 8 через х\,
через Х2 и приравняв полученные выражения: х2 = - 2^+4 • Найдем точку пере¬
сечения этой кривой с прямой х\=- 0,5: Хп = (- 0,5, 0,2), при этом 0 < 8 < 1, zi(0)
0,
Z2(0) - 2, zi(l) = 0,41, гг(1) - 0,89, т. е. между точками Xiopt и Х„ КК соответствует
уравнению х2 =	а далее совпадает с прямой х\ = - 0,5, см. рис. 3.3 а. В
критериальном пространстве КК соответствует выражениям zi(8) и Z2(8) на
участке между точками (0,2) и (0,41, 0,89), а далее идет к точке [zi(- 0,5, 1);
гг(- 0,5, 1)] = (4,25, 0,25) см. рис. 3.3 б.
б)
Рисунок 3.3 - Компромиссная кривая в области D (а) и в области Yd (б)
Введем ограничение на изменение параметров х\, хг\ |x2-xi- 0,375 I > 0,125.
Точки условного минимума критериев в этом случае не изменятся, но изменятся
множества D и Yd, см. рис. 3.4 а, б. Компромиссная кривая в данном случае будет
состоять из трех отрезков, см. рис. 3.4 в.
67

Рисунок 3.4 - Область D (а), область Yd (б) и КК (в) при наличии ограничения
Как видно, определение КК даже для простого примера является достаточно
сложной задачей. Поэтому в вычислительной практике чаще применяются чис¬
ленные методы определения множества Парето. Например, в области D форми¬
руется сетка, координаты узлов которой задаются датчиком случайных чисел,
вычисляются значения критериев в этих узлах и путем сравнения их значений
строится множество Парето на выбранной сетке.
3.5.2.	Способы сужения множества Парето
Определение. Оптимально-компромиссным решением называется одно из
Парето-оптимальных, предпочтительное с точки зрения ЛПР. Выбор ЛПР зави¬
сит от имеющейся информации о важности частных критериев.
При достаточно большой мощности множества D множество Парето может
оказаться настолько большим, что ЛПР оказывае тся не в состоянии осуществить
выбор самостоятельно. Для выбора оптимально-компромиссного решения в каж¬
дой конкретной многокритериальной задаче необходимо использовать дополни¬
тельную информацию, которая при формировании совокупности критериев оста¬
лась неформализованной и потому неиспользованной. Рассмотрим некоторые
способы сужения множества Парето с использованием дополнительной информа¬
ции.
68

Указание граничных значений критериев. Дополнительная информация в
этом случае имеет вид: z,(Xopt) < G, z/Xopt) > Q, i,j e (1, ..., m), i Ф j. Каждое из
чисел Ci представляет собой верхнюю или нижнюю границу для /'-го критерия.
Заметим, что указание граничных значений критериев не может быть осно¬
вано на постановке задачи принятия решения: набор значений (Ci, С г, .... С,„) и
отношений предпочтения - это дополнительная информация, используемая
ЛПР.
Субоптимизация. В этом случае дополнительная информация представляет
собой указание на один из критериев как важнейший и задание граничных зна¬
чений для остальных.
Лексикографическая оптимизация. Критерии упорядочиваются по относи¬
тельной важности следующим образом: zt> zj> ...> zk, i,j, ke{\,..., m),i Ф j Фк:
выбирается важнейший критерий, затем следующий за ним по важности и т. д.
до наименее важного.
Методы ЭЛЕКТРА, предложенные профессором Б. Руа (Франция). В этих ме¬
тодах отношения предпочтения на множестве Парето строятся следующим обра¬
зом.
Для каждого из т критериев (предполагается, что все критерии числовые)
определяется вес - положительное число, характеризующее его важность.
Например, при назначении весов критериям выбора автомобиля: цена (крите¬
рий 1), важнее комфортности (критерий 2), а та, в свою очередь, важнее, чем ско¬
ростные качества (критерий 3) и внешний вид автомобиля (критерий 4). Кроме
того, критерии 3 и 4 имеют одинаковую важность, а, рассматриваемые сов¬
местно, имеют большую важность, чем критерий 1, т. е.:
р\ >рг>рг= Р4,рз+ р4>р\.
Один из вариантов назначения весовых коэффициентов: р\ = 5; рг = 4; ръ =
= Ра = 3.
Часто весовые коэффициенты нормируют: X, = pj ^Pj , i = 1, ..., т, т. е.
/ i=1
т
1^ = 1-
/=1
Для того чтобы определить, превосходит ли решениеХкрешениеXi, необходимо:
1)	Разбить множество критериев на три подмножества:
-	критерии, по которым Хк превосходит Хц
-	критерии, по которым Хк и X'i имеют одинаковые оценки;
-	критерии, по которым Xi превосходит Хк.
2)	Определить относительную важность каждого из этих подмножеств
Pkl ’Pkl’Pkl как сумму весов входящих в них критериев и считать, что вариант Л)
превосходит Л) если, выполняется условие:
/ т	/ т
Pujlp,>pkylp,-
69

Это условие является необходимым, но не достаточным условием превос¬
ходствах* надХл В некоторых методах ЭЛЕКТРА формулируется дополнитель¬
ные условия, которые учитывают не только оценки Х* и Xi по критериям, но и
значения разностей этих оценок.
Пример. Выбрать место работы:
Критерий
№ варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Зарплата, (т. руб.)
90
50
70
80
40
60
90
60
65
Отпуск, (дни)
20
30
36
40
60
30
35
24
35
Время, (мин)
60
20
40
50
15
10
60
10
40
Из смысла задачи следует, что критерии 3 (зарплата) и О (отпуск) следует мак¬
симизировать, а критерий В (время, затрачиваемое на дорогу) - минимизировать.
Парето-оптимальными являются варианты {3, 4, 5, 6, 7}, т. к. вариант 1 до¬
минируется вариантом 7, варианты 2 и 8 - вариантом 6, вариант 9 - вариантом 3.
Указание нижних границ критериев: 3 - не менее 60 т. руб.; О - не менее
30 дней; В - не более 40 минут.
Этим дополнительным ограничениям удовлетворяют варианты {3, 6, 9}, из
них Парето-оптимальными являются варианты 3 и 6, из которых и делается окон¬
чательный выбор.
Метод ЭЛЕКТРА. Веса критериев: pi = 0,5, рв = 0,3, ро = 0,2. Сравнивая
решения 3 и 6 при Сзб = 0,8, получим: р = 0,5 + 0,2 = 0,7, р = 0, P36 = 0,3,
P+/XPi =	>Р3-б/XР‘ = 0,3, т.е. решение 3 предпочтительнее решения 6.
, i=i	/ i=i
Субоптимизация. Пусть важнейшим критерием является 3.
Ограничения: О - не менее 30 дней,
В - не более 40 минут.
Множество D образуют варианты {2, 3, 5, 6, 9}. Оптимальным является ва¬
риант 3, которому соответствует максимальная зарплата.
Лексикографическая оптимизация. Упорядочим критерии по относитель¬
ной важности следующим образом: 3 > В > O (важнейший критерий - зарплата,
следующий за ним по важности - время, затрачиваемое на дорогу, наименее важ¬
ный - отпуск). Максимальное значение по критерию 3 имеют варианты 1 и 7, по
критерию. В эти варианты одинаковы, по критерию О лучшим является вари¬
ант 7, который и будет выбран в качестве оптимального.
70

4.	ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА
И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
До сих пор рассматривались ситуации выбора между вполне определен¬
ными вариантами решения - принятия решений в условиях определенности. Рас¬
смотрим ситуации, когда каждый из вариантов решения может быть реализован
с известной вероятностью (принятия решения в условиях риска) и когда эти ве¬
роятности неизвестны (принятия решения в условиях неопределенности).
В этих ситуациях прибыль или затраты, связанные с каждым альтернатив¬
ным решением, зависят от заданной или прогнозируемой вероятности его реали¬
зации и являются случайными величинами. В качестве критерия принятия реше¬
ния, как правило, используется ожидаемое значение стоимости.
4Л. Построение «дерева решений» и таблицы исходов
Пример. Для финансирования проекта бизнесмену нужно занять сроком на
один год 15 млн руб. Банк может одолжить ему эти деньги под 15 % годовых или
вложить в дело со 100%-ным возвратом суммы, но под 9 % годовых. Из про¬
шлого опыта банку известно, что 4 % таких клиентов ссуду не возвращают. Да¬
вать заем или нет?
Для решения подобных задач рекомендуется строить так называемое «де¬
рево решений». Построим его в виде таблицы:
Альтернативы
Действия
Вероятности
Возврат,
млн руб.
Ожидаемый доход,
млн руб.
А
Дать заем
Вернули: 0,96
15 х 1,15 = 17,25
17,25x0,96 + 0x0,04- 15 =
= 16,56-15 = 1,56
Не вернули: 0,04
0
0 15=15
В
Инвестировать
под 9 %
1,00
15 х 1,09 = 16,35
16,35-15 = 1,35
Поскольку ожидаемый доход больше для альтернативы А, принимается ре¬
шение выдать заем.
Последовательность принятия решения выглядит так:
1.	Определить все возможные в данной ситуации варианты решения и для
каждого из них определить все его возможные исходы (построить «дерево реше¬
ний»),
2.	Оценить качество исходов и выбрать оптимальный вариант решения.
Замечания. 1. Таким образом будет выбран более вероятный вариант реше¬
ния, но в реальности ситуация может быть и обратной.
71

2.	Выбор решения зависит от вероятностей исходов, поэтому важно знать,
насколько оно чувствительно к изменению значений вероятностей (насколько
можно полагаться на это решение).
Проведем анализ чувствительности рассмотренного примера. Ожидаемые
чистые доходы для альтернатив А и В довольно близки: 1,56 и 1,35 млн руб. Вы¬
бор решения зависит от значения вероятности возврата займа. Обозначим веро¬
ятность «невозврата» займа через р и приравняем ожидаемые доходы для вари¬
антов А и В: 17,25 х (1 -р) + 0 хр - 15 = 1,35, откудар = 0,052.
Близость полученного результата к исходному р = 0,04 указывает, что вы¬
бор решения очень чувствителен к вероятности «невозврата» и даже малая
ошибка может привести к выбору другого варианта решения.
«Дерево решений» - удобный инструмент для принятия решений в условиях
риска, однако решать подобные задачи можно и другими способами.
Пример. Продавец газет закупает их оптом по 5 руб. и перепродает по 10 руб.,
а если у него остается нераспроданный товар, он может сдать его назад по 2 руб.
Сколько ему нужно закупать газет, чтобы получить максимальный доход'?
Составим таблицу возможных доходов продавца в руб.:
Закупка, штЛСпрос,
шт.
0
10
20
30
40
50
0
0
0
0
0
0
0
10
-30
50
50
50
50
50
20
-60
20
100
100
100
100
30
-90
-10
70
150
150
150
40
-120
-40
40
120
200
200
50
-150
-70
10
90
170
250
Статистика спроса на газеты (анализ проводился в течение 100 дней):
Объем спроса на газеты
0
10
20
30
40
50
Число дней, когда имел место
такой спрос
3
17
37
29
12
2
Расчет ожидаемой прибыли:
Закупка,
шт.
Ожидаемая прибыль, руб.
0
= 0
10
(-30) • 0,03 + 50 • 0,17 + 50 • 0,37 + 50 • 0,29 + 50 • 0,12 + 50 • 0,02 = 47,6
20
(-60) • 0,03 + 20 • 0,17 + 100 • 0,37 + 100 • 0,29 + 100 • 0,12 + 100 • 0,02 = 81,6
30
(-90) • 0,03 + (-10) • 0,17 + 70 • 0,37 + 150 • 0,29 + 150 • 0,12 + 150 • 0,02 = 86,0
40
(-120) • 0,03 + (-40) • 0,17 + 40 • 0,37 + 120 • 0,29 + 200 • 0,12 + 200 • 0,02 - 67,2
50
(-150) • 0,03 + (-70) • 0,17 + 10 • 0,37 + 90 • 0,29 + 170 • 0,12 + 250 • 0,02 = 38,8
72

4.2.	Функция «полезности»
В рассмотренных примерах критерий оптимальности решения выражался в
виде реальных денег. Зачастую возникают ситуации, когда при анализе следует
использовать скорее «полезность», чем сумму платежей. Например, предполо¬
жим, существует вероятность 50 %, что инвестиция в 20 млн руб. принесет при¬
быль в 40 млн руб., и, с такой же вероятностью, будет полностью потеряна. Со¬
ответствующая ожидаемая прибыль равна 40 х 0,5 - 20 х 0,5 =10 млн руб.
Хотя ожидается прибыль, разные люди могут по-разному интерпретировать
полученный результат:
-	инвестор, который идет на риск, может вложить деньги, чтобы с вероят¬
ностью 50 % получить прибыль в 40 млн руб.;
-	осторожный инвестор может не захотеть рисковать потерей 20 млн руб.
Как видно, разные люди, в силу различных обстоятельств, проявляют разное от¬
ношение к риску, поскольку результаты для них имеют разную полезность.
Функция «полезности» как критерий выбора оптимальной альтернативы,
отражает отношение к деньгам конкретного человека в конкретной ситуации,
например, к риску выиграть или проиграть определенную сумму. В рассмотрен¬
ном примере наилучший платеж равен 40 млн руб., а наихудший —20 млн руб.
Установим шкалу полезности U (utility), изменяющуюся от 0 до 100, где 0 соот¬
ветствует полезности -20 млн, а 100- + 40 млн, т. е. U(-20) = 0и U(40) = 100.
Если отношение ЛПР беспристрастно к риску, то результирующая функция
полезности является прямой линией, соединяющей точки (0, -20) и (100, 40), см
рис. 4.1, прямая Y. В этом случае полезность равна денежной оценке результата.
В более реальных ситуациях функция полезности может принимать видХ, Z или W.
Рисунок 4.1 - График функции «полезности»
73

Кривая X характеризует осторожность, большую чувствительность к потере,
чем к прибыли: при изменении на 10 млн руб. вправо от точки, соответствующей 0
руб., полезность увеличивается на длину отрезка \а, Ь], а влево - уменьшается на
длину отрезка [Ь, с], причем |а, Ь\ <| Ь,с\. Кривая Z, наоборот, характергоует склон¬
ность к риску: при тех же изменениях ±10 млн руб. движение вправо предпочти¬
тельнее движения влево - |d, е\ > \e,j\. В общем случае ЛПР может гоменять свою
оценку полезности риска в зависимости от его суммы: в этом случае соответству¬
ющая кривая полезности будет иметь вид удлиненной буквы S, см. рис. 4.1, кри¬
вая W.
Для построения реальной функции «полезности» необходимо определить
полезность, соответствующую промежуточным значениям, например,
х = -10 млн, х = 0, х = 10 млн, х = 20 млн или х = 30 млн по формуле:
Щх) = р ■ Щ- 20) ± (1 -р) • С/(40) = 100 • (1 -р), 0 <р < 1.
Для определения значения Щх) ЛПР должен определить предпочтение
между гарантированной наличной суммой х и возможностью сыграть в лотерею,
где с вероятностью р реализуется проигрыш в сумме 20 млн руб. и с вероятно¬
стью (1 — р) — выигрыш в 40 млн руб. Под предпочтением понимается выбор
значения р, при котором возможности сыграть в лотерею или получить гаранти¬
рованную сумму х являются одинаково привлекательными. Например, если
х = 10 млн руб., то гарантированные 10 млн руб. наличными и лотерея одинаково
привлекательны прир = 0,3, то [/(10) = 100 • (1 - 0,3) = 70.
Эта процедура продолжается до тех пор, пока не будет получено количество
точек (х, Щх)), достаточное для определения формы функции «полезности». За¬
тем Щх) можно окончательно определить путем приближения полученного мно¬
жества точек алгебраическим полиномом.
Таким образом, процедура определения функции «полезности» полностью
определяется мнением ЛПР, т. е. в эту процедуру вносится элемент субъекти¬
визма, причем получить точное значениер, обычно не удается: определяется не¬
который диапазон. С другой стороны, полученные результаты для группы ЛПР
(группы экспертов по какой-либо проблеме) можно классифицировать и, изучив
их отношение к риску, принимать более обоснованные решения.
Замечание. «Вероятности», используемые при определении функции «по¬
лезности», не вытекают из каких-либо статистических данных, т. е. это не веро¬
ятности в том смысле, как их понимает теория вероятностей. «Настоящие» веро¬
ятности можно получить в результате обработки статистики построения функ¬
ций «полезности».
4.3.	Принятие решений в условиях неопределенности
Как указывалось выше, в данном случае вероятности реализации каждого
из вариантов решения неизвестны. Наиболее популярный подход к решению по¬
добных задач предусматривает заполнение таблицы возможных исходов и по¬
строение гипотез относительно вероятностей реализации вариантов решения.
74

Общий вид таблицы возможных исходов при т решениях (а,, / = 1,т) и
п условиях выбора (sj,j = 1,и):
Решения\Условия
51
52
Sn
а\
v(au si)
v(a 1, 52)
v(a\, Sn)
02
viai, .vi)
v(a2. Si)
V(02, Sn)
От
v(a,„, .vi)
v(am, si)
v(a,„, s„)
В расчетной практике наиболее популярны следующие гипотезы:
1)	все возможные условия выбора равновероятны (критерий Лапласа);
2)	выбор наилучшей альтернативы из наихудших (минимаксный критерий);
3)	прогнозирование вероятностей с применением «параметра оптимизма»
(критерий Гурвица);
4)	замена таблицы возможных исходов таблицей потерь (критерий Сэвиджа).
Критерий Лапласа опирается на принцип недостаточного обоснования: по¬
скольку распределение вероятностей неизвестно, нет причин считать их различ¬
ными, т. е. P(sj) = 1 In, j = 1, ..., п. Если при этом v(a,, sj) - прибыль, то лучшим
является решение
:, обеспечивающее max]—Vvfa ,s )1, а если v(a,, sj) - из-
' Iя >1 J
держки, то лучшему решению соответствует min —
' {"7
{-!>(«/л)
Пример. Выбор вместимости строящегося стадиона. Варианты решения: 15,
20, 30 или 35 тыс. человек. В качестве условий выбора используем затраты на
строительство при различных уровнях комфорта зрителей. Таблица возможных
издержек для данной задачи имеет вид:
Вместимость, тыс. чел.
Издержки, млн руб.
15
100
120
160
185
20
120
110
145
170
30
140
145
140
175
35
170
165
150
190
Решение задачи по критерию Лапласа:
Вместимость, тыс. чел.
Ожидаемые затраты, млн руб
15
(100 + 120 + 160 + 185)/4 = 141,25
20
(120 + 110 + 450 + 170)/4 = 136,25
30
(140 + 145 + 140 + 175)/4 = 150
35
(170 + 165 + 150 + 190)/4 = 168,75
Как видно, оптимальным с точки зрения критерия Лапласа является вариант
стадиона вместимостью 20 тыс. человек.
75

Замечание. Если удается спрогнозировать распределение вероятностей воз¬
можных исходов, т. е. зафиксировать значения P(sj),j = 1,п, то лучшим с точки
зрения прибыли будет решение maxjy/J(.v)■ v(al, s)|, а с точки зрения издер¬
жек решение min j У, /J(.v,) ■ v(al, ,v, ) j. Такой метод принятия решения называют
методом Байеса-Лапласа.
Минимаксный критерий основан на консервативном, осторожном поведе¬
нии ЛПР. Если в таблицу возможных исходов внесены значения получаемой
прибыли, то в качестве оптимального выбирается решение, соответствующее
max|minv(a;,^)|, а если в таблицу внесены издержки, то - minjmax y(aJ,.s'/)|.
Результаты применения этого критерия для решения задачи выбора вмести¬
мости стадиона:
Вместимость, тыс. чел.
Издержки, млн руб.
Мах издержки, млн руб.
15
100
120
160
185
185
20
120
110
145
170
170
30
140
145
140
175
175
35
170
165
150
190
190
Как видно наилучшей альтернативой из наихудших является решение по¬
строить стадион на 20 тыс. человек.
Критерий Гуреица - это минимаксный критерий, модифицированный примене¬
нием «параметра оптимизма» 0 < а < 1. Если значения Ия,, sj) представляют собой до¬
ходы, лучшему решению соответствует max |a-maxv|<7,, Sj ) + (l-a)rnin r(e,-, л, )j, а
v{ahSj) - издержки, то - min a-minv^, ^j+(l-a)maxv(a/, . Отметим,
если
что при а = 0 критерий Гурвица становится минимаксным, а при а = 1 - макси-
максным, т. е. будет выбираться наилучшая альтернатива из наилучших.
Например, при а = 0,25 применение критерия Гурвица для решения задачи
о выборе вместимости стадиона даст следующие результаты:
Вместимость, тыс. чел.
Издержки, млн руб.
Критерий Гурвица, млн руб.
15
100
120
160
185
100 ■ 0,25 + 185 • (1 - 0,25) = 163,25
20
120
110
145
170
110-0,25 + 170-(1 -0,25) = 155
30
140
145
140
175
140 ■ 0,25 + 175 • (1 - 0,25) = 166,25
35
170
165
150
190
150-0,25 + 190-(1 -0,25) = 180
т. е. оптимальной вместимостью стадиона также окажется 20 тыс. человек. Но
если принять а = 0.7, то получим:
76

Вместимость, тыс. чел.
Издержки, млн руб.
Критерий Гурвица, млн руб.
15
100
120
160
185
100 • 0,7 + 185 ■ (1-0,7) = 125,5
20
120
110
145
170
110 0,7 + 170 (1-0,7) = 128
30
140
145
140
175
140 • 0,7 + 175 - (1-0,7) = 150,5
35
170
165
150
190
150 0,7+ 190 (1-0,7) = 162
т. е. оптимальной стала вместимость 15 тыс. человек.
Критерий Сэвиджа предусматривает формирование таблицы потерь по
, ч /{VKS4"V(a'’Sy)’1
правилу: r\ai9Sj\ =
. если v-доход
/(а,.,^)-тт{у(а,^)),
. Оптимальным счита¬
ет и v-потери
ется решение, которому соответствует минимум потерь. Таблица потерь для за¬
дачи выбора вместимости стадиона:
Вместимость, тыс.
чел.
Потери, млн руб.
Мах потери, млн руб.
15
0
10
20
15
20
20
20
0
5
0
20
30
40
35
0
5
40
35
70
55
10
20
70
Как видно, согласно критерию Сэвиджа, уровень расходов для вариантов
вместимости 15 и 20 тыс. человек одинаков, т. е. можно выбрать любой из этих
вариантов
Другие гипотезы относительно вероятностей реализации вариантов реше¬
ния конкретной задачи можно сформировать из мнений экспертов с учетом того,
что эксперты высказывают мнения, но не несут ответственности за принятое на
их основе решение.
77

5.	ОСОБЕННОСТИ ПРИНЯТИЯ ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ
Задачи выбора наилучших вариантов при проектировании технических объ¬
ектов и систем в условиях ограниченного финансирования является одной из
наиболее типичных для использования методов принятия решений.
Важными особенностями проектируемых технических объектов являются:
применение новых технологий, применение новых конструкций машин и обору¬
дования, использование компьютерных технологий в системах управления,
усложнение структуры и рост числа объектов информационного взаимодей¬
ствия, необходимость адаптации к быстро меняющейся обстановке.
На всех этапах проектирования задачи анализа и синтеза решаются как оп¬
тимизационные. Однако решение таких задач, как синтез оптимальной струк¬
туры объекта, параметрической оптимизации встречает серьезные трудности,
обусловленные следующими обстоятельствами:
-	отсутствие достоверных данных, для построения математических моде¬
лей, необходимых для решения задач оптимизации;
-	высокая стоимость и длительные сроки проведения экспериментальных
исследований для получения достоверных данных;
-	субъективизм в выборе критериев, весовых коэффициентов, оценки сто¬
имостных затрат ит.д,;
-	высокая размерность решаемых задач;
-	ведение проекта группами специалистов разного профиля.
В последнем случае возникают проблемы конструирования всей системы из
готовых «черных ящиков», синтеза по техническим характеристикам элементов
объекта с требуемыми показателями качества. В этих условиях возрастает роль
качественных методов принятия проектных решений - экспертных оценок, а
также методов принятия решений в условиях неопределенности, или частичной
неопределенности, т. е. методов Байеса-Лапласа, Сэвиджа и др.
5.1.	Основные понятия
Проект это последовательность взаимосвязанных операций, направлен¬
ных на достижение конкретного нового результата. Для их выполнения требу¬
ется продолжительное время и ресурсы (трудовые, материальные, оборудова¬
ние). Иногда в качестве синонима термина «проект» используется термин «про¬
грамма», хотя, строго говоря, программа представляет собой долгосрочную дея¬
тельность и подразумевает выполнение более чем одного проекта.
В отличие от проектов и программ задача (частное техническое задание) яв¬
ляется краткосрочным действием (рассчитанным на период от нескольких
недель до нескольких месяцев), выполняемым одной организацией. Из комбина¬
ции задач может складываться проект.
Проект в своем естественном развитии проходит ряд отдельных фаз, обра¬
зующих его жизненный цикл: формирование концепции, планирование, проек¬
тирование, изготовление, ввод в эксплуатацию (инсталляция) и завершение.
78

Основными особенностями проектов являются:
—	наличие конкретной, строго определенной цели;
—	привлечение для их выполнения нескольких групп проектировщиков;
—	требование наличия ресурсов, объемы которых, как правило, ограничены;
—	наличие процесса управления, т. е. планирования, контроля и регулирова¬
ния.
Многим проектам, связанным с разработкой новых технических объектов,
присущи: уникальность; наличие неопределенности; сложность решаемых задач.
Наиболее часто выпускникам магистерской программы 27.04.03.02 «Системный
анализ проектно-технологических решений» приходится участвовать в выполне¬
нии проектов по созданию нового производства, в том числе много ассортимент¬
ного, или по разработке оптимальной стратегии перепрофилирования действую¬
щего производства на выпуск новой продукции. На фазе жизненного цикла этого
типа проектов выполняются следующие работы.
1 .Концепция: определение возможностей или потребностей, краткое тех¬
нико-экономическое обоснование.
2.	Определение (планирование): подготовка предложения по новому техни¬
ческому объекту, план его создания, лист согласования, определение научно-ис¬
следовательских работ, запрос на ассигнования.
3.	Проектирование', разработка проекта технической системы или объекта,
возможно, создание и испытание прототипа.
4.	Разработка и производство', создание прототипа серийного образца, а
также создание производственного и тестового инструментария; изготовление
первых серийных образцов.
5.	Внедрение, установка: производство, распространение и продажа про¬
дукции; оценка производительности.
6.	Завершение проекта: создание концепций новых проектов для совершен¬
ствования продукта; итоговый отчет для сравнения полученных результатов с
планом создания объекта, запросом на ассигнования и т. д.
Под управлением проектами понимается выполнение некоторого комплекса
действий по планированию, распределению и регулированию трудовых и мате¬
риальных ресурсов, оборудования с учетом всех ограничений данного проекта
(технических, бюджетных и временных). Управление проектами включает:
—	определение центров ответственности за проект в целом;
—	создание системы комплексного планирования и контроля;
—	формирование команды проекта и управление ею с целью объединения и
координации усилий всех исполнителей, задействованных в проекте.
По степени определенности и полноты исходных данных задачи принятия
проектных решений делятся на три класса:
—	к первому классу относятся задачи, для которых задаются лишь перечень
вариантов п и критерий в виде словесной формулировки целевой функции (Ц),
это задачи принятия решений в условиях «полной» неопределенности или задачи
качественного характера;
79

-	второй класс задач характеризуется заданием количественных данных
(часто приближенных) о значениях критерия в различных ситуациях, возможно
вероятностях этих ситуаций и т.п., это задачи принятия решений в условиях «ча¬
стичной» неопределенности (или риска);
-	для задач третьего класса задаются математические модели, позволяю¬
щие рассчитывать значения критерия и другие характеристики, необходимые
для принятия решения, это класс задач математического программирования
(условия полной определенности).
Задачи первого класса обычно возникают, когда решение необходимо при¬
нять оперативно и в достаточно новой области, а для сбора экспериментальных
(статистических) данных и разработки математической модели нет времени (или
средств). Для решения задач этого класса широкое распространение получили
методы экспертных оценок.
Для задач второго класса известно большое число методов, как классиче¬
ских с хорошо разработанной теорией, так и эвристических, например, методы
минимакса, Байеса-Лапласа, Гурвица, Сэвиджа.
5.2.	Методика принятия проектного решения
При выборе методов, используемых для принятия решения, необходимо, в
первую очередь, учитывать условия и фазы жизненного цикла проекта. В
табл. 5.1 даны общие рекомендации по выбору методов в зависимости от этих
факторов.
В рассматриваемой методике используются следующие положения:
1)	принятие решений производится на каждой фазе выполнения проекта;
2)	наибольшее число альтернативных вариантов анализируется на началь¬
ных фазах проекта (концепция, планирование);
3)	состав группы альтернативных вариантов после завершения очередной
фазы может изменяться;
4)	для каждой фазы жизненного цикла проекта характерны свои признаки
генерации вариантов;
5)	для принятия решения предпочтительно использовать результаты приме¬
нения комбинации различных методов.
80

Таблица 5.1
Рекомендации по выбору методов, используемых для принятия
				проектных решений
Этапы ЖЦ
проекта
Условия принятия решений
Полная
неопределенность
Неопределенность
Частичная
неопределенность
Определенность
Концепция
Методы
Экспертных
оценок
Методы
экспертных
оценок
Байесовские
методы
Анализ
иерархий
Планирование
-
Методы
Гурвица,
Сэвиджа
Байесовские
методы
Анализ
иерархий
Проектирование
-
Методы
Гурвица,
Сэвиджа
Байесовские
методы
Методы
оптимизации
Производство
-
-
Методы
математической
статистики
Методы
оптимизации
Эффективность принимаемых решений в основном определяется тремя фак¬
торами:
-	правильной постановкой задачи исследования, т. е. определением типа за¬
дачи и выбором модели;
-	выбором наиболее эффективного метода решения (или группы методов);
-	использованием компьютерных технологий для оперативной обработки
данных.
Принятие проектных решений включает следующие этапы:
1)	формирование множества альтернативных вариантов
2)	определение задания для экспертизы;
3)	задание целевой функции;
4)	формирование экспертной группы;
5)	выбор метода проведения экспертизы;
6)	работа группы экспертов;
7)	математическая обработка результатов экспертизы;
8)	принятие решения по результатам экспертизы;
9)	выделение вариантов для окончательного принятия решения;
10)	определение показателей эффективности вариантов в различных ситуациях;
11)	расчет оптимального варианта методами принятия решений в условиях
неопределенности.
81

Учитывая особенности задач проектирования и возможности использова¬
ния компьютерных технологий, наибольшее применение находят следующие ме¬
тоды:
-	экспертных оценок, в частности ранжирования вариантов (ЭОР) и парных
сравнений (ЭОПС);
-	Байеса-Лапласа (Б-Л);
-	минимакса (ММ);
-	Гурвица (Г);
-	минимизации последствий ошибочного решения Сэвиджа (С).
В зависимости от важности исследуемой проблемы, повторяемости реше¬
ния задач, наличия информации о вероятностях ситуаций в табл. 5.2 приведены
рекомендации по применению различных групп методов.
Таблица 5.2
Рекомендации по применению различных групп методов
Важность
проблемы
Вероятности
ситуаций
Повторяемость задач
однократные
многократные
Высокая
известны
ЭОПС; ММ
ЭОПС; Б-Л
неизвестны
ЭОПС; ММ
ЭОПС; ММ
Средняя
известны
ЭОПС; Б-Л; ММ; С
ЭОР; Б-Л; Г
неизвестны
ЭОПС; С; ММ
ЭОР; Б-Л; Г
Низкая
известны
ЭОР; Б-Л; ММ; С
ЭОР; Б-Л; Г
неизвестны
ЭОР; Б-Л; Г; С
ЭОР; Б-Л; Г
Для обработки статистических данных также используется многочисленная
группа методов, в частности, регрессионный анализ (РА), корреляционный ана¬
лиз (КА), дисперсионный анализ (ДА), проверки статистических гипотез (ПСГ).
Каждый метод эффективен для решения определенной группы задач. Так,
при анализе существенности влияния факторов на выход объекта при большом
числе факторов и значительном изменении критерия удобно использовать метод
ДА. При идентификации моделей важное значение имеет точность определения
значений входных переменных. Если ошибками в определении X можно прене¬
бречь, то можно использовать методы РА, если же значения X рассматриваются
как случайные величины, то применяются методы КА.
Методы ПСГ используются в различных задачах, связанных с анализом слу¬
чайных величин (идентификация закона распределения случайной величины,
проверка существенности различий между параметрами распределения), постро¬
ением доверительных интервалов, оценки степени согласованности мнений экс¬
пертов и др.
Принятие проектных решений связано с большим объемом вычислений и
для оперативного их выполнения требуется компьютерная поддержка. В послед¬
ние годы на рынке программных продуктов появились инструментальные сред¬
ства поддержки принятия проектных решений (AutoPLANT, PLANT-4D, Model
Studio CS).
82

6.	лабораторный практикум
Лабораторные работы выполняются в среде MathCAD.
Лабораторнаяработа №1. Поиск безусловного и условного экстремума
функции двух переменных
Задание: 1. Найти точку (хГ, хг*), в которой заданная функция/(xi, хг) из
таблицы 6.1 достигает минимума или максимума.
2.	Найти точку (хГ, хг*), в которой заданная функция/(xi, xi) из таблицы 6.2
достигает минимума при выполнении ограничения g(xi, xi) < 0.
Таблица 6.1
Функции и области поиска экстремума
№
п/п
Функция/(xi, XI)
Вид
экстремума
Область поиска
экстремума
1
- 0,75 • (XI - 0,5 • Х22)2- 1,25 • (2- xi)2 + 0,8
Максимум
Х1е|"0,51,х2еГ1,61
2
(xi2 + xi-I)2 + 0,15 • xi3-хг + 0,9
Минимум
XI е [-2,3],
хге Г-2,31
3
- xi + 1,4-х2 - е ’ 1,2
Максимум
xie[-13,-8],
хге [-2,31
4
0,2 • (xi + Х2)2 + 0,3 • (2,5 + Х2)2 + 0,3
Минимум
xie[-l,4],
хге [-5,01
5
- 0.6 • (xi + 1,6)2 - 0,25 • (хг + 3.2)2 + 0,6
Максимум
xie[-4,l],
хг е [-6, -11
6
-1,9 • [1,2 + 0,35 • (xi + 3,1)2 + 0,88 • (хг- 2,1)2]-‘
Минимум
xi е [-5,0],
хге Г-1,41
7
225 е~^Щ^ _2’87)2-°>58-(*2 -/и)2
Максимум
xiе [0,5], хге [-2,3]
8
— 0,8 • xi + 1,1 • xi3 — 0,9 • xi3— 1,2 • А2+ 2,9 • xi2+ 3,1 • Х22
Минимум
xi е [-2,3],
хге Г-3,21
9
— 0,95 • xi4 — 1,03 • Х22 — 4,11 • xi + 4,96 • Х2
Максимум
xi е [-3,21, хге [1,61
10
(л-1 - 0,94) • е1,03' - (1,12 + е-0’95 ' ) • Sin(x2)
Минимум
xie[-4,l],
хге Г-1,41
11
— 1,1 • {х\2 + 0,9 • Х2 — 0,8)2 — 0,12 • xi3 + Х2 — 1
Максимум
xi е [-3,2],
хге Г-2,31
12
11 л с I 0,02-х,2 +0,18-х?
1,1 • xi -1,5 • Х2+ е ’ 1 ’ 2
Минимум
xie[-10, -5],
хге [-2,31
13
- 0,4 • (0,8 • xi + хг)2 - 0,3 • (2,4 - хг)2 + 1
Максимум
xie[-5,01,x2e[0,51
14
0,48 • (xi +2,1)2 + 0,14 • (хг + 4,2)2 - 0,4
Минимум
xi s [-3,2],
хг е Г-6, -11
15
2,8 • [0,9 + 2,5 • (xi - 1,1 )2 + 0,38 • (хг+ 1,9)2]-1
Максимум
xie[-l,4],
хге Г-5,01
16
- 1,48 • d'94'1 ~2Д2)2-0'45-('2-3'91)2
Минимум
xie[0,5], хге[1,6]
83

Окончание таблицы 6.1
№
п/п
Функция f (xl, х2)
Вид
экстремума
Область поиска
экстремума
17
0,8 • (xi - 0,4 ■ Х22)2+ 1,3 • (хг - 1,5)2 - 1,2
Минимум
лте[-1,4],
X2S Г-2,31
18
1,2 • xi - 0,9 • х23+ 1,1 • xi3 + 0,8 • х2- 3,1 • xi2 - 2,9 • хг2
Максимум
xi е [-2,3],
хге Г-3,21
19
1,06 • xi4 + 0,94 • хг2 + 3,88 • xi - 5,16 • хг
Минимум
Х1бГ 3,21, Л2 SE Г1,6]
20
- (xi - 1,07) • е°'%'х' + (0,89 + е“1Д2'^ ) • Sin(x2)
Максимум
xi s [—4,1],
X2S Г-1,41
Таблица 6.2
Функции и ограничения
№
п/п
Функция Дхц хг)
Функция g(xi, хг)
1
0,8 • (1,1 • хг - xi)2 + 1,2 • (2,75 +xi)2 - 0,63
0,16 • xi2 + 0,12 • хг2 - 1,07
2
0,91 • (xi - 1,1)2 + 0,3 • (хг - 2,2)2+ 0,4
0,83 - xi2+ 0,21 - хг2-0,95
3
0,4 • (0,8 • хг +xi)2 + 0,3 • (2,4 - xi)2 + 0,3
0,59-xi2+ 0,15-лг2-1,15
4
0,16 • (xi + 6,4)2 + (хг + 3,2)2 - 1,3
0,02 -xi2 + 0,1 • лг2-0,85
5
0,7 • (0,9-xi - хг)2 + 1,2 • (1,8 - хг)2 - 0,8
0,31 - xi2+ 0,08 - лг2-0,8
6
0,83 • (xi + 1,2)2 + 0,42 • (хг - 2,4)2 + 0,2
0,69-xi2+ 0,17-лг2-0,9
7
0,8 • (1,1 • xi - хг)2 + 1,2 • (2,75 + хг)2 - 0,3
0,09 • xi2 +Х22 - 1,1
8
0,11 • (xi - 7,2)2 + 0,29 • (хг + 3,6)2 - 0,5
0,08 • xi2 + 0,02 • хг2 - 1,05
9
0,2 • (xi + лг)2 + 0,3 • (2,5 + xi)2 + 0,2
0,13 xi2+ 0,21 • хг2 - 0,96
10
0,77 • (xi + 1,3)2 + 0,19 • (хг - 3,9)2 + 0,5
0,15 • xi2 + 0,59 • хг2 - 1,3
11
-2,7 - [1,1 + 2,4 - (л-1-0,9)2+ 0,43 • (х2 + 2,2)Т‘
0,63 xi2+ 0,19 хг2-1,05
12
-1,8 • ГО,9 + 0,25 • (л-1-3,2)2+ 0,78 • (х2+ 1,9)21 1
0,23 • (xi - I)2 + 0,59 • (хг - 1 )2 - 1,45
13
-0,7 • xi + 1,2 • Х23 —1,1* xi3 — 1,3 • Х2 + 2,8 * х\2 +
+ 3,2 • хг2
0,17 • (xi + 2)2 + 0,55 • (хг + 1 )2 - 1,15
14
(л-1 - 1,14) • е0,93 ’’ - (0,92 + ) • Sin(x2)
0,29 • (xi - I)2 + 0,85 • (хг + 1 )2 - 0,85
15
0,96 • xi4 + 1,14 • Х22 + 4,18 * xi — 4,88 * хг — 0,7
0,67 • (xi + I)2 + 0,35 • (хг + 1 )2 - 0,55
16
(xi2 + хг - 0,95)2 + 0,18 • xi3 — хг + 1,9
0,71 • (xi + I)2 + 0,28 • (хг + 1 )2 - 0,65
17
0,9 • (1,2 - хг)2 + 1,3 • (0,8 • xi — хг)2 - 0,4
0,75 • xi2 + 0,25 • хг2 - 0,75
18
апл 1 л £ 1 0,03-х?+0,13-х?
0,94 • xi - 1,45 • хг + е ’ 1 2
0,28 • (xi + З)2 + 0,77 • хг 2 - 0,91
19
0,2 • (3,5 + лг)2 + 0,3 • (1,5 • xi + хг)2 + 0,8
0,31 • (xi + 2)2 + 0,72 • (хг- I)2 - 0,96
20
0,78 • (xi - 0,44 • хг2)2 + 1,13 • (хг - 1,57)2 - 1,6
0,81 • (xi + I)2 + 0,22 • хг2- 0,89
Порядок выполнения работы:
1)	изобразить линии равных значений функции/(xi, хг) из таблицы 4.1 в об¬
ласти поиска ее экстремума с применением процедуры CreateMesh',
2)	выбрать начальное приближение (xi(0\ хо(0)) к точке экстремума функции
в указанной области;
3)	найти точку минимума (максимума) функции/(xi, xi) из таблицы 4.1 с
применением процедуры Minimize (Maximize);
4)	изобразить линии равных значений функции / (хц хг) из таблицы 4.2
вблизи точки (0, 0) и линию g(xi, Х2)=0 с применением процедуры CreateMesh,
84

5)	выбрать начальное приближение (xil0), Х2(0)) к точке экстремума функции;
6)	найти точку минимума функции/(хц хг) при условии g(xi, хг) ^ 0 с приме¬
нением блока Given и процедуры Minimize.
Контрольные вопросы:
1.	Какое направление поиска минимума функции из фиксированной точки
наиболее предпочтительно? Почему?
2.	За счет чего метод наискорейшего спуска превосходит в скорости метод
градиента с постоянным шагом?
3.	Основные недостатки градиентных методов оптимизации.
4.	Как следует поступить, если результатом применения метода сравнения
значений целевой функции на сетке значений аргументов является точка, распо¬
ложенная на границе области изменения аргументов'?
5.	В какой ситуации, и каким образом производится уменьшение величины
рабочего шага поиска при использовании метода многогранника'?
6.	Какие обстоятельства затрудняют применение метода штрафных функ¬
ций?
7.	Как должна выбираться начальная точка поиска условного экстремума
при использовании метода прямого поиска с возвратом и метода возможных
направлений?
8.	Каков порядок применения методов условной оптимизации при ограни¬
чениях типа равенств?
Тестовые задания: выберите правильные ответы на вопросы
Вариант 1
1.1.	Укажите классификационные признаки общей задачи принятия реше¬
ний
1.	Множество альтернатив и принцип выбора определены
2.	Множество альтернатив определено, принцип выбора не может быть фор¬
мализован
3.	Множество альтернатив не ограничено, принцип выбора определен
4.	Множество альтернатив не ограничено, принцип выбора не может быть
зафиксирован
1.2.	Укажите корректное определение оптимизации
1.	Определение правила выбора лучшего из возможных вариантов
2.	Выбор лучшего из возможных вариантов
3.	Совокупность методов выбора лучшего из возможных вариантов
4.	Постановки задач выбора лучшего из возможных вариантов
1.3.	Какое из условий оптимальности функции f (х) является необходимым?
1.	Если в точке х = х* функция fix) имеет минимум, то в некоторой окрест¬
ности этой точки хе [х*— 8, х* + 8], 8 > 0 выполняется условие fix) >Дх*)
85

2.	Если в окрестности точки х* (хе [х*- 5, х*+5], 8 >0) выполняется условие
fix) <fix*), то в точке х = х* функция /(х) имеет глобальный максимум
3.	Если/'(х*) = 0 и/"(х*) > 0, то в т. х* fix) имеет минимум
4.	Если/'(х*) = 0 и/"(х*) < 0, то в т. х* Дх) имеет максимум
1.4.	Градиент функции в данной точке - это
1.	Вектор, направленный в сторону наибыстрейшего убывания функции
2.	Вектор, направленный в сторону наибыстрейшего возрастания функции
3.	Вектор, совпадающий с направлением той оси координат, вдоль которой
функция убывает быстрее всего
4.	Вектор, совпадающий с направлением той оси координат, вдоль которой
функция возрастает быстрее всего
1.5.	Укажите недостаток всех методов решения задач оптимизации, ос¬
нованных на построении оптимизирующей последовательности допустимых
решений?
1.	Нахождение локального экстремума, ближайшего к начальному прибли¬
жению
2.	Использование конечных разностей вместо частных производных целе¬
вой функции
3.	Застревание в «овраге» целевой функции
4.	Неоправданно большое количество вычислений целевой функции
Вариант 2
2.1.	Какой подход может быть использован для решения общей задачи при¬
нятия решений?
1.	Выбор начального множества альтернатив и его последовательное уточ¬
нение
2.	Выбор наилучшей из множества «полезных» альтернатив, отобранных с
помощью вспомогательного принципа выбора
3.	Выбор наилучшей из множества альтернатив, отобранных экспертами
4.	Все перечисленные подходы
2.2.	Что из перечисленного не является этапом формулировки задачи опти¬
мизации?
1.	Словесное представление о параметрах задачи, множестве ее решений и
поставленной цели
2.	Запись критерия оптимальности как функции параметров задачи
3.	Запись условий, определяющих область допустимых значений парамет¬
ров
4.	Выбор метода решения задачи
86

2.3.	Какое из условий оптимальности функции f(x) является достаточным?
1.	Если в точке х = х* функцияДх) имеет минимум, то в некоторой окрест¬
ности этой точки хе [х*— 5, х* + 8], 5 > 0 выполняется условие Дх) >Дх*)
2.	Если в окрестности точки х* (хе [х* 8, х* + 8], 8 >0) выполняется условие
fix) < Дх*), то в точке х = х* функция Дх) имеет глобальный максимум
3.	Если /'(х*) = 0, то функция fix) имеет экстремум в т. х*
4.	Если/"(х*) Ф 0, то функция fix) имеет экстремум в т. х*
2.4.	Антиградиент функции в данной точке — это
1.	Вектор, направленный в сторону наибыстрейшего убывания функции
2.	Вектор, направленный в сторону наибыстрейшего возрастания функции
3.	Вектор, совпадающий с направлением той оси координат, вдоль которой
функция убывает быстрее всего
4.	Вектор, совпадающий с направлением той оси координат, вдоль которой
функция возрастает быстрее всего
2.5.	Как проверяется корректность выбора интервалов допустимых значе¬
ний аргументов целевой функции при использовании для поиска ее экстремума
метода сеток?
1.	«Узел» сетки, которому соответствует экстремальное значение функции,
всегда лежит на границе области допустимых значений аргументов
2.	«Узел» сетки, которому соответствует экстремальное значение функции,
никогда не попадает на границу области допустимых значений аргументов
3.	Выбранные интервалы изменения аргументов не содержат асимптот
функции
4.	Выбранные интервалы изменения аргументов не содержат седловых то¬
чек функции
Вариант 3
3.1.	Укажите возможный способ сравнения альтернатив по их свойствам
1.	По конкретному свойству
2.	По естественной числовой характеристике свойства
3.	По искусственной числовой характеристике свойства
4.	Возможны все перечисленные способы
3.2.	Определите класс задачи оптимизации, если ее постановка включает
ограничения на изменение параметров, а критерием является нелинейная функ¬
ция
1.	Вариационная задача на условный экстремум
2.	Задача нелинейного математического программирования на безусловный
экстремум
3.	Задача нелинейного математического программирования на условный
экстремум
87

4.	Задача линейного математического программирования на условный экс¬
тремум
3.3.	Какую из вычислительных процедур оптимизации рекомендуют приме¬
нять, если аналитические выражения производных целевой функции известны?
1.	Сравнение значений целевой функции на сетке значений аргументов
2.	Непосредственное использование необходимых условий экстремума це¬
левой функции
3.	Отсечение множеств заведомо неоптимальных решений
4.	Построение оптимизирующей последовательности допустимых решений
3.4.	Чем обусловлено изменение величины рабочего шага поиска экстремума
функции методом градиента с переменным шагом?
1.	Предусматривается разработчиком алгоритма поиска
2.	Положением текущей точки поиска относительно начального приближе¬
ния
3.	Уменьшением длины градиента функции по мере приближения к точке
экстремума
4.	Увеличением длины градиента функции по мере приближения к точке
экстремума
3.5.	Какую геометрическую фигуру необходимо сформировать при поиске
экстремума функции трех переменных методом многогранника?
1.	Квадрат
2.	Куб
3.	Правильную пирамиду
4.	Правильный октаэдр
Вариант 4
4.1.	В каком случае задача принятия решений является многокритериаль¬
ной?
1.	Для сравнения альтернатив используется одно свойство, имеющее число¬
вую характеристику
2.	Для сравнения альтернатив используется набор свойств, имеющих число¬
вые характеристики
3.	Для сравнения альтернатив используется свойство, не имеющее числовой
характеристики
4.	Для сравнения альтернатив используется набор свойств, не имеющих чис¬
ловых характеристик
4.2.	Определите класс задачи оптимизации, если ее параметры могут при¬
нимать только определенные значения, а критерием является функционал
1.	Вариационная задача дискретного программирования
2.	Задача нелинейного дискретного программирования
88

3.	Задача нелинейного математического программирования
4.	Комбинаторная задача
4.3.	В каких случаях рекомендуют применять процедуру сравнения значений
целевой функции на сетке значений аргументов?
1.	Когда известны аналитические выражения производных целевой функции
2.	Когда можно сформулировать правила отсечения заведомо неоптималь¬
ных решений
3.	Когда можно использовать достаточные условия оптимальности
4.	Всегда, когда это не связано со слишком большим объемом вычислений
4.4.	Алгоритму какого из методов соответствует кратчайший путь от
начального приближения к точке экстремума функции многих переменных?
1.	Метод градиента с переменным шагом
2.	Метод градиента с постоянным шагом
3.	Метод наискорейшего спуска
4.	Метод координатного спуска
4.5.	Как уменьшается рабочий шаг поиска экстремума функций многих пе¬
ременных методом многогранника?
1.	Уменьшается длина наибольшей грани многогранника
2.	Уменьшается длина всех граней многогранника, кроме наименьшей
3.	Длины граней многогранника уменьшаются соответственно абсолютным
значениям частных производных целевой функции
4.	Одинаково уменьшается длина всех граней многогранника
Вариант 5
5.1.	Как оценивается качество альтернатив при наличии результатов их
попарного сравнения по каждому свойству?
1.	По произведению значений элементов строк матрицы результатов срав¬
нения
2.	По произведению значений элементов столбцов матрицы результатов
сравнения
3.	По сумме значений элементов строк матрицы результатов сравнения
4.	По сумме значений элементов столбцов матрицы результатов сравнения
5.2.	Определите класс задачи оптимизации, если ее постановка включает
линейные ограничения на изменение параметров, а критерием является линей¬
ная функция
1.	Задача нелинейного математического программирования на безусловный
экстремум
2.	Задача линейного программирования
3.	Задача дискретного линейного программирования
4.	Комбинаторная задача
89

5.3.	Какая из вычислительных процедур оптимизации применяется на прак¬
тике чаще других?
1.	Сравнение значений целевой функции на сетке значений аргументов
2.	Непосредственное использование необходимых условий экстремума це¬
левой функции
3.	Отсечение множеств заведомо неоптимальных решений
4.	Построение оптимизирующей последовательности допустимых решений
5.4.	В какой ситуации алгоритм метода наискорейшего спуска предусмат¬
ривает уменьшение рабочего шага?
1.	Когда значение целевой функции в следующей точке превышает ее зна¬
чение в исходной
2.	Когда первый же шаг во вновь выбранном направлении поиска приводит
к увеличению значения целевой функции
3.	При каждом изменении направления поиска минимума функции
4.	Рабочий шаг поиска уменьшается за счет уменьшения длины градиента
функции
5.5.	Какой из методов оптимизации, основанных на построении оптимизи¬
рующей последовательности допустимых решений, применяется на практике
чаще других?
1.	Метод градиента с постоянным шагом
2.	Метод наискорейшего спуска
3.	Метод случайных направлений
4.	Метод многогранника
90

Лабораторная работа №2. Решение задачи линейного программирования
Задание: Сформулировать математически указанный вариант задачи линей¬
ного программирования и решить ее в среде MathCAD.
Варианты заданий
Вариант 1. Цех выпускает 3 вида продукции из 4-х видов сырья. Определить
объем производства каждого продукта, при котором достигается максимальная
прибыль и достаточны запасы сырья:
Вид сырья
Вид
продукции
А | В 1 С | 5
Стоимость
1 т, т. руб.
потребность, т
I
2
1
-1
4
7
п
2
4
2
-1*
3
ш
-1
-1
-1
1
2
Запасы, т
8 | 4 | 1 | 8
* (1) - побочный продукт в данном процессе.
Вариант 2, Фирма-посредник поставляет компьютеры с 3-х складов в 5 ма¬
газинов. Число компьютеров на складах, потребности магазинов и стоимости пе¬
ревозок:
№
склада
№ магазина
Число
комп, на
складе
1
2
з
4
5
Затраты на 1 компьютер, руб.
I
10
0
30
40
20
15
п
50
10
20
30
30
25
ш
40
80
10
40
30
20
Потребности магазинов, шт.
20
12
5
8
15
Определить поставки с каждого склада в каждый магазин, при которых суммар¬
ная стоимость перевозок минимальна.
Вариант 3, Распределите годовой бюджет рекламной фирмы, равный
500 000 $ по четырем видам рекламы так, чтобы получить максимальную при¬
быль:
Ср-во рекламы
Ограничения на
распределение бюджета
Прибыль,
$/$
Телевидение
Не более 40 %
10
Радио
Не менее 50 % от телевидения
3
Газеты
4
Интернет
Не более 20 %
6
91

Вариант 4. Сформировать диету из пяти видов продуктов с необходимым
содержанием питательных веществ при минимальных затратах:
Продукты
Содержание питательных веществ, г/кг
Цена 1
белки
жиры
углеводы
витамины
кг., руб.
Хлеб
2
1
12
2
12
Соя
12
8
0
2
36
Рыба
10
3
0
4
62
Фрукты
1
0
4
6
28
Молоко
2
4
3
2
20
Минимальное
содержание в диете, ед.
20
10
30
40
Вариант 5. Спланировать недельные поставки продукции от каждого по¬
ставщика каждому потребителю, при которых транспортные расходы будут ми¬
нимальными:
Потребители
Недельный объем
Поставщики
Wi
W2
W3
W4
Стоимость транспорта 1 шт.
,руб
Fi
200
200
200
400
15
F2
300
100
100
300
25
F3
300
600
300
400
20
Недельная потребность, шт.
20
12
5
9
Вариант 6. Максимизировать прибыль компании, изготавливающей три
вида смазочного масла из четырех видов сырья:
Вид
Содержание
сырья в масле
Цена 1 бочки,
Мах. объем продажи,
масла
X
Y
Z
W
руб-
бочек/год
А
-
-
< 25 %
> 10%
9000
90 000
В
-
-
-
>15%
8700
100 000
С
> 20 %
< 50 %
<15%
-
8400
120 000
Цена 1 бочки сырья,
зуб.
7200
6000
6700
7500
Вариант 7. Сформировать недельный план выпуска 3-х видов продукции ме¬
бельного цеха, обеспечивающий максимальную прибыль:
Виды
Затраты труда, чел/час
Прибыль от
Мин. выпуск,
продукции
Лесопилка
Сборка
Отделка
продажи, руб.
шт./неделя
Стулья
1
2
1
900
40
Столы
2
4
1
1100
10
Шкафы
4
2
2
1500
5
Резерв раб. силы, чел/час/нед.
360
520
220
92

Вариант 8. Спланировать годовые поставки стали трех металлургических за¬
водов четырем металлообрабатывающим, минимизировать транспортные расходы:
Металлообраб.
заводы
Металлургические заводы
Годовая
потребность, тыс. т.
Ml
М2
Мз
Стоимость перевозки 1 тыс. т, руб.
Pi
1500
1900
1400
12
р2
1900
1800
1600
15
Рз
1900
1800
2000
25
Р4
1500
1900
1800
36
Объем производства, тыс.т./год
50
30
20
Вариант 9. Определить объем продаж трех видов столового вина и необходи¬
мое для этого число бутылок красного вина для получения максимальной прибыли:
Столовое вино
Ограничение по содержанию красного вина
Цена
Объем
Бургундское
Бордо
Испанское
Анжуйское
1 бут., $
продаж, бут.
Божеле
> 30 %
-
< 50 %
10,96
< 200 000
Сент-Жорж
> 30 %
-
< 30 %
> 20 %
20,46
не огр.
Сент-Эмильен
-
> 60 %
< 30 %
-
20,08
< 180 000
Цена 1 бутылки, $
10,08
9,6
5
6,6
Ограничения на импорт, бут.
100 000
130 000
150 000
75 000
Вариант 10. Определить объем недельного выпуска каждого из видов продукции
цеха сборки бытовой электроники, при котором достигается максимальная прибыль:
Вид продукции
Объем работы, чел/час.
Прибыль от
Изгот. частей
Сборка
Проверка
продажи, т. руб.
Муз. центр
2
1
1
1,5
Телевизор
3
2
1
2,2
Видеоплейер
2
3
2
0,9
Макс, объем работ, чел/час/нед.
360
240
180
Возможность хранения: не более 170 изделий в неделю.
Вариант 11, Сформировать недельный план перевозок подшипников с трех
фабрик четырем ремонтным предприятиям так, чтобы сумма расходов на пере¬
возку была минимальной:
93

Фабрики
Ремонтные предприятия
Объем
производства,
тыс. шт./нед.
Ci
С2
Сз
С*
Стоимость перевозки 1 тыс
шт., руб
Fi
130
170
170
140
50
f2
180
160
160
180
25
F3
120
140
190
170
25
Объемы ремонтов, тыс.пгг./нед.
15
20
20
30
Вариант 12, Распределите часть годового семейного бюджета, равную
100 т. руб. по четырем видам вложений так, чтобы получить максимальную при¬
быль:
Вид вложения
Ограничения на распределение бюджета
Прибыль, руб./руб.
Акции
Не более 50 % от Сбербанка
1,25
Валюта
Не менее 20 %
1,15
Сбербанк
Не менее 50 %
1,07
Коммерческий банк
Не более 20 %
1,1
Вариант 13, Составить недельный план выпуска продукции станкострои¬
тельного производства, обеспечивающий максимальную прибыль:
Вид станка
Необх. кол-во комплектующих, шт.
Прибыль,
т.руб./шт.
Возможная
реализация
I
II
III
Сверлильный
1
4
2
10
70
Фрезерный
2
3
3
30
80
Токарный
10
10
8
20
40
Кол-во доступных изделий, шт.
650 | 850 | 650
Вариант 14. Минимизировать расходы на перевозку бригад по обслужива¬
нию бурового оборудования в 5 городов мира тремя авиалиниями:
Авиалиния
Г орода
Возможн.
ЧИСЛО
перевозок
Калькутта
Сидней
Бейрут
Даллас
Сан-Паулу
Стоимость одной перевозки, $
Ai
1600
2400
800
1000
1400
20
А2
1500
2100
700
1200
1600
30
Аз
1400
2300
700
1400
1200
20
Необходимое число перевозок
15
10
20
10
15
Вариант 15, Максимизировать прибыль компании, изготавливающей три
вида бензина с применением четырех присадок:
94

Вид
Содержание присадки в бензине
Цена
Мах. Объем
бензина
ТЭС
ММА
АДА
К-31
1 литра, руб.
продажи, л/мес.
А-80
8-10 %
0%
0%
5-7 %
15
50 000
А-92
0%
0%
10-15 %
7-10%
18
80 000
А-95
0%
12-15%
10-12 %
0%
21
30 000
Цена 1 литра присадки, руб.
25
60 |
77
95
Вариант 16. Обеспечить выполнение плана поставок, возможность хранения
продукции и максимальную прибыль цеха красителей:
Цвет
Время переработки
на стадиях ХТС, ч.
Прибыль
План
красителя
1 -я ст.
2-я ст.
3-я ст.
4-я ст.
от продажи, т.руб./т
поставок, т
Желтый
1
3
1
2
3
10
Оранжевый
6
1
3
3
6
3
Красный
3
3
2
4
4
2
Фонд раб. времени стадий, ч.
120
72
48
72
Возможность хранения продукции: 25 т.
Вариант 17. Минимизировать затраты на транспортировку автомобилей,
производимых тремя заводами, в четыре города при заданных объемах выпуска,
обязательствах по поставкам, стоимости перевозки одного автомобиля:
Город
Стоимость перевозок 1 шт., $
Объем
Завод I
Завод II
Завод III
поставок
П
100
900
600
1500
Гг
400
200
100
2500
Гз
100
200
700
2700
Г4
900
800
300
3300
Объем производства, шт.
6000 |
3000 |
3000
Вариант 18. Максимизировать прибыль пекарни, выпекающей три вида
хлеба из четырех видов сырья. Доля сухого сырья в хлебе не превышает 80 %:
Вид хлеба
Ограничения по содержанию сырья в хлебе
Цена
1 кг,
руб.
Мах. Объем
продажи,
кг/месяц
Тмин
Ржаная
мука
Пшеничная
мука
Ячменная
мука
Бородинский
4-5 %
> 70 %
0%
0%
10
3000
Орловский
1-2 %
< 40 %
> 30 %
0%
8
4000
Дарницкий
0%
< 30 %
> 30 %
<15%
6
7000
Цена 1 кг сырья, руб.
120 | Ш1 | 15* | 8*
* с государственными дотациями
95

Вариант 19. Составить план производства трех видов карамели (А, В, С),
при котором прибыль будет максимальной. Затраты сырья, запасы сырья в цеху
и прибыль от реализации каждого вида карамели:
Вид сырья
Затраты сырья для видов карамели, т/т
Запасы сырья, т
А
В
С
Сахарный песок
0,8
0,5
0,6
800
Патока
0,4
0,4
0,9
600
Фруктовый сироп
-
0,1
0,1
120
Прибыль, руб./т
108
112
126
Вариант 20, Составить дневной рацион откорма животных, обеспечиваю¬
щий получение питательных веществ А, Б и С в необходимых объемах при ми¬
нимальных затратах. Содержание питательных веществ в кормах и их цены:
Питательные
вещества
Содержание в кормах, кг/кг
Норма
потребления, кг
I
II
III
А
0,1
0,3
0,4
> 60
Б
0,2
0,4
0,2
> 50
С
0,1
0,4
0,3
> 12
Цена руб./кг
9
12
10
Порядок выполнения работы
1.	Определить число независимых параметров задачи и присвоить им нача¬
льные неотрицательные значения.
2.	Записать целевую функцию задачи и ограничения на изменения незави¬
симых параметров.
3.	Сформировать рабочий файл системы MathCAD и найти оптимальное ре¬
шение задачи.
4.	Проверить выполнение всех ограничений и найти значение целевой функ¬
ции, соответствующее оптимальному решению.
Контрольные вопросы
1.	Признаки задачи линейного программирования.
2.	Почему число линейно-независимых ограничений задачи должно быть
меньше числа независимых переменных?
3.	Может ли целевая функция задачи линейного программирования иметь
несколько экстремумов?
4.	Что такое степень неопределенности задачи и при какой степени неопре¬
деленности возможно ее геометрическое решение?
5.	Идея алгоритма симплекс-метода решения задач линейного программи¬
рования.
96

Тестовые задания: выберите правильные ответы на вопросы
Вариант 1
1.1.	В каком соотношении должны находиться число независимых пара¬
метров задачиусловной оптимизации и число ограничений?
1.	Число независимых параметров равно числу ограничений
2.	Число независимых параметров больше числа ограничений
3.	Число независимых параметров меньше числа ограничений
4.	Возможен любой из перечисленных вариантов
1.2.	Укажите главное преимущество метода штрафных функций
1.	Высокое быстродействие алгоритма
2.	Простота реализации алгоритма
3.	В результате применения метода определяется глобальный экстремум це¬
левой функции
4.	Высокая надежность алгоритма
1.3.	Укажите признак задачилинейного программирования
1.	Параметры задачи могут принимать только определенные фиксирован¬
ные значения
2.	Число независимых переменных меньше числа ограничений
3.	Целевая функция и все ограничения линейны
4.	Ограничения на изменение значений параметров задачи отсутствуют
1.4.	Задачалинейного программирования всегда имеетрешение, если
1.	Область допустимых решений задачи представляет собой шар
2.	Область допустимых решений задачи представляет собой многогранник
3.	Область допустимых решений задачи представляет собой выпуклый мно¬
гогранник
4.	Область допустимых решений задачи представляет собой выпуклый за¬
мкнутый многогранник
1.5.	Укажите признак оптимальностирешения задачилинейного програм¬
мирования на минимум целевой функции
1.	Все коэффициенты в выражении целевой функции через свободные неиз¬
вестные отрицательны
2.	Все коэффициенты в выражении целевой функции через свободные неиз¬
вестные положительны
3.	Все коэффициенты в выражении целевой функции через свободные неиз¬
вестные равны нулю
4.	Все коэффициенты в выражении целевой функции через свободные неиз¬
вестные не равны нулю
97

Вариант 2
2.1.	Каким образом учитывает наличие ограничений метод штрафных
функций?
1.	Проверкой выполнения ограничений на каждом шаге поиска экстремума
целевой функции
2.	Изменением целевой функции: введением в нее штрафа за нарушение
ограничений
3.	Формированием комбинации нарушенных ограничений для возврата в об¬
ласть допустимых значений параметров задачи
4.	Наличие ограничений не учитывается
2.2.	Укажите главный недостатокметода прямого поиска с возвратом
1.	Малая скорость сходимости алгоритма к точке экстремума
2.	В результате применения метода определяется локальный экстремум це¬
левой функции
3.	Чувствительность к выбору начального приближения
4.	Его применение может привести к образованию «оврагов» целевой функ¬
ции
2.3.	В каком соотношении должны находиться число независимых пара¬
метров задачилинейного программирования и число ограничений?
1.	Число независимых параметров равно числу линейно независимых огра¬
ничений
2.	Число независимых параметров больше числа линейно независимых огра¬
ничений
3.	Число независимых параметров меньше числа линейно независимых
ограничений
4.	Возможен любой из перечисленных вариантов
2.4.	В каком случае задача линейного программирования имеет множество
оптималъныхрешений?
1.	Число базисных неизвестных больше числа свободных
2.	Число базисных неизвестных меньше числа свободных
3.	Линии равных значений целевой функции параллельны одному из огра¬
ничений
4.	Линии равных значений целевой функции пересекают все ограничения
2.5.	Укажите признак оптимальностирешения задачилинейного програм¬
мирования на максимум целевой функции
1.	Все коэффициенты в выражении целевой функции через свободные неиз¬
вестные отрицательны
2.	Все коэффициенты в выражении целевой функции через свободные неиз¬
вестные положительны
98

3.	Все коэффициенты в выражении целевой функции через свободные неиз¬
вестные равны нулю
4.	Все коэффициенты в выражении целевой функции через свободные неиз¬
вестные не равны нулю
Вариант 3
3.1.	Укажите главный недостаток метода штрафных функций
1.	Неочевидный выбор начального приближения
2.	В результате применения метода определяется локальный экстремум це¬
левой функции
3.	Неочевидный выбор значения штрафа за нарушение ограничений
4.	Значительные затраты времени на поиск экстремума
3.2.	Какой вектор соответствует центру конуса возможных направлений
задачи на условный минимум при ограничении вида g(xi,х„) > О?
1.	Антиградиент целевой функции
2.	Градиент функции ограничения
3.	Векторная сумма антиградиента целевой функции и градиента функции
ограничения
4.	Векторная сумма градиента целевой функции и антиградиента функции
ограничения
3.3.	Почему задача линейного программирования без ограничений не имеет
смысла?
1.	Положение экстремума целевой функции очевидно
2.	Область допустимых решений задачи не определена
3.	Невозможно выбрать начальное приближение
4.	Линейная целевая функция не имеет выраженных экстремумов
3.4.	Какое решение задачи линейного программирования называется опор¬
ным?
1.	В нем все базисные неизвестные равны нулю
2.	В нем все свободные неизвестные равны нулю
3.	Соответствующее одной из вершин многогранника допустимых решений
4.	Соответствующее одной из граней многогранника допустимых решений
3.5.	В какой ситуации транспортная задача линейного программирования
считается сбалансированной?
1.	Число поставщиков равно числу потребителей товара
2.	Общий объем поставок товара равен общему объему потребления
3.	Число ограничений на поставку товара равно числу ограничений на по¬
требление
4.	Целевая функция задачи имеет единственный экстремум
99

Вариант 4
4.1.	Каким образом учитывает наличие ограничений метод прямого поиска
с возвратом?
1.	Возврат в предыдущую точку поиска при нарушении ограничений
2.	Изменением целевой функции: введением в нее штрафа за нарушение
ограничений
3.	Формированием комбинации нарушенных ограничений для возврата в об¬
ласть допустимых значений параметров задачи
4.	Наличие ограничений не учитывается
4.2.	Укажите главное достоинство метода возможных направлений
1.	Высокое быстродействие алгоритма
2.	Простота реализации алгоритма
3.	Определяется глобальный экстремум целевой функции
4.	Высокая надежность алгоритма
4.3.	При какой степени неопределенности задачи линейного программиро¬
вания возможно ее графическое представление?
1.	1
2.	2
3.	3
4.	4
4.4.	Какая процедура лежит в основе алгоритма симплекс-метода решения
задач линейного программирования?
1.	Полный перебор опорных решений
2.	Направленный перебор опорных решений
3.	Определение направления градиента целевой функции
4.	Построение многогранника допустимых решений
4.5.	Как достигается сбалансированность транспортной задачи линейного
программирования, если спрос на товар превышает предложение?
1.	Вводится фиктивный поставщик товара, объем фиктивных поставок не
включается в целевую функцию
2.	Вводится фиктивный поставщик товара, объем фиктивных поставок
включается в целевую функцию
3.	Вводится фиктивный потребитель товара, объем фиктивного потребления
не включается в целевую функцию
4.	Вводится фиктивный потребитель товара, объем фиктивного потребления
включается в целевую функцию
100

Вариант 5
5.1.	Укажите главное преимущество метода прямого поиска с возвратом
1.	Высокое быстродействие алгоритма
2.	В результате применения метода определяется глобальный экстремум це¬
левой функции
3.	Высокая надежность алгоритма
4.	Его применение не может привести к образованию «оврагов» целевой
функции
5.2.	Укажите главный недостаток метода возможных направлений
1.	Малая скорость сходимости алгоритма к точке экстремума
2.	В результате применения метода определяется локальный экстремум це¬
левой функции
3.	Чувствительность к выбору начального приближения
4.	Его применение может привести к образованию «оврагов» целевой функ¬
ции
5.3.	Какие параметры задачи линейного программирования называются ба¬
зисными неизвестными?
1.	Коэффициенты при этих неизвестных в системе ограничений образуют
определитель, равный нулю
2.	Коэффициенты при этих неизвестных в системе ограничений образуют
определитель, отличный от нуля
3.	Коэффициенты при этих неизвестных в системе ограничений отличны от
нуля
4.	Коэффициенты при этих неизвестных в системе ограничений равны нулю
5.4.	Укажите недостаток симплекс-метода решения задач линейного про¬
граммирования
1.	Малая скорость сходимости алгоритма к оптимальному решению задачи
2.	Неочевидный способ получения начального опорного решения
3.	Невысокая надежность алгоритма
4.	В результате применения метода определяется локальный экстремум це¬
левой функции
5.5.	Как достигается сбалансированность транспортной задачи линейного
программирования, если предложение превышает спрос на товар?
1.	Вводится фиктивный поставщик товара, объем фиктивных поставок не
включается в целевую функцию
2.	Вводится фиктивный поставщик товара, объем фиктивных поставок
включается в целевую функцию
3.	Вводится фиктивный потребитель товара, объем фиктивного потребления
не включается в целевую функцию
4.	Вводится фиктивный потребитель товара, объем фиктивного потребления
включается в целевую функцию
101

Лабораторная работа №3. Решение вариационной задачи
с закрепленными концами
Задание: Реализовать в среде MathCAD алгоритм решения задачи из
табл. 6.3: найти функцию х(/), доставляющую минимум функционалу Дх, /), в
классе кусочно-линейных функций, или в классе полиномиальных функций по
указанию преподавателя.
Таблица 6.3
Функционалы и граничные условия
№
вар-та
Функционал
Граничные условия
1
I(x,t) = J (х,2-4-х2 + 2■x-t-r'jdt
x(-l) = 2, x(l) = 4
2
I(х,/) = J (х,2 + 4-х2 +4-Х-Г +/-Cost'jdt
x(-l) = 2,x(l) = 0,5
3
I(x,t) = J (x,2+9-x2 + 2-x-t-t-Sin/)dt
x(0) = 1, x(2) = 2
4
I(x,t) = J (x,2-4-x2 +2-х + /-е2’'jdt
x(-2) = 0, x(0) = 1
5
I(x,/) = J (x,2-9-x2 + 2-x-Sin/-/2 -e’ )<//
x(0) = 1, x(l) = -1
6
l{x,t) = J i(x,2 + 4-x2 +6-x-ef + 2-/-Cos/)rf/
x(—1) = l,x(l) = 3
7
l(x,t) = J t(x,2+ x2 + 4-x-ef -t-Smt}dt
x(-l) = l,x(l) = 3
8
I(x,t) = J i(x,2 + 4-x2 -i-8-х-е2' +3-t2))dt
x(—1) = l,x(l) — 3
9
/(x,/) = |o |2-ii!+2-i! +x-Cosl-5 l)fifr
x(0) = 2, x(2) = 2
10
/(х,() = [|(х,!+4'Х2-8х-/ + 2'/2)Л
x(-l) = 3,x(l) = 1
Порядок выполнения работы
1.	Записать выражения для искомой функции x(t) (для кусочно-линейных
функций вначале можно принять x(t) = I, для полиномиальных - х(ао, а\, I) = an I
+ а\ ■ t) и ее производной. Записать подынтегральную функцию <р(х,/) и гранич¬
ные условия.
2.	Для кусочно-линейных сЬункиий выбрать число точек излома кривой х(t)
(р = 4ч-6), определить их абсциссы U, i = 0, ..., р, присвоить ординатам х,,
/ = 0, ...,р начальные значения. Записать выражение для функции /'(xi,... x;,-i ) как
сумму значений (I, - I, i) • ф(х„ /,), / = 1, ..., р, используя для записи производной
х( t) конечную разность.
3.	В блоке Given задать граничные условия (для кусочно-линейных функций
хо и хр, для полиномиальных — х(ао, а\, to) и х(ао, а\, tp)) и найти с помощью про¬
граммы Minimize значения х,, / =1,..., р - 1 (для кусочно-линейных функций) или
ао,а\ (для полиномиальных функций), при которых функция /Дхi,... хр i ) или функ¬
ционал Дао, а\, t) принимают минимальные значения. Запомнить эти значения (/')
или /1).
102

4.	Реализовать п. п. 2,3 повторно, увеличив числор точек излома кривой x(t)
или степень полинома х(ао, а,„, /) на 1. Запомнить значения Fi или h.
5.	Вычислить относительную ошибку определения функции х(/): А = |Fi -
- Fi\I\F2\. Если А > 0,25, повторить действия и. 4, предварительно переприсвоив
F\ или h значения Fi или к.
Контрольные вопросы
1.	Основной признак вариационной задачи'?
2.	В каком виде задаются граничные условия вариационной задачи с закреп¬
ленными концами? Со свободными концами'?
3.	Общая схема решения вариационной задачи численным методом.
4.	Что является параметрами вариационной задачи, если искомая функция
кусочно-линейная? А если полином'?
5.	Признак окончания решения вариационной задачи, если искомая функция
является кусочно-линейной? А если полиномом'?
Тестовые задания: выберите правильные ответы на вопросы
Вариант 1
1.1.	Укажите отличие функционала от функции
1.	Функционал - это функция нескольких аргументов
2.	Функционал - это совокупность нескольких функций
3.	Функционал - это функция функции
4.	Отличий нет
1.2.	Вариационные задачи возникают
1.	При исследовании статики объектов с распределенными параметрами
2.	При исследовании кинетики объектов с распределенными параметрами
3.	При исследовании динамики объектов с распределенными параметрами
4.	Во всех перечисленных ситуациях
1.3.	Почему необходимое условие экстремума функционала не используется
в вычислительной практике?
1.	Условие не является достаточным
2.	Сложность формирования и решения уравнения Эйлера
3.	Это условие не определяет вид экстремума
4.	Все перечисленные причины
1.4.	Что является предметом поиска, если функция x(t) определяется ме¬
тодом Рица?
1.	Точки излома кривой х(1)
2.	Уравнения составляющих кривой х(1.)
3.	Значения коэффициентов алгебраического многочлена
4.	Вид элементарных функций алгебраического многочлена
103

7.5.	Когда функция x(t), представляемая в виде кусочно-линейной зависимо¬
сти, считается найденной?
1.	Найдены все ординаты точек излома кривой х(1)
2.	Найдены все абсциссы точек излома кривой х(1)
3.	Значения функционала, найденные при разбиении отрезка [Гн, /к] оси / на
р и 2р микроотрезков, отличаются не более чем на заданную величину
4.	Значения функционала, найденные при разбиении отрезка [/„, /,<] оси / на
р и (р + 1) микроотрезков, отличаются не более чем на заданную величину
Вариант 2
2.1.	Укажите верное определение вариации аргумента функционала
1.	Сумма двух функций из класса, в котором определен функционал
2.	Разность между двумя функциями из класса, в котором определен функ¬
ционал
3.	Произведение двух функций из класса, в котором определен функционал
4.	Частное от деления одной функции из класса, в котором определен функ¬
ционал, на другую
2.2.	Какие вариационные задачи называют задачами с закрепленными кон¬
цами?
1.	Когда граничные условия определяют точки плоскости xl
2.	Когда начальное и конечное состояния объекта характеризуется обла¬
стями на плоскости xt, заданными в виде функций
3.	Когда начальные и конечные точки всех искомых функций x(t) совпадают
4.	Когда заданы значения функционала, характеризующие начальное и ко¬
нечное состояния объекта
2.3.	Какой подход чаще всего применяется в вычислительной практике для
решения вариационных задач?
1.	Использование необходимого условия экстремума функционала
2.	Сведение к последовательности задач поиска экстремума функций мно¬
гих переменных
3.	Принцип максимума Понтрягина
4.	Динамическое программирование
2.4.	Что является предметом поиска, если искомая функция x(t) представ¬
ляется в виде кусочно-линейной зависимости?
1.	Точки излома кривой x(t)
2.	Ординаты точек излома кривой x(t)
3.	Абсциссы точек излома кривой x(t)
4.	Уравнения составляющих ломаной x(t)
104

2.5.	Как выбирается начальное значение порядка многочлена x(t), определя¬
емого методом Рица?
1.	Указывается в постановке задачи
2.	Рассчитывается, исходя из ограничений на изменение x(t)
3.	Исходя из представлений исследователя о характере x(t)
4.	Фиксируется минимально возможное значение
Вариант 3
3.1.	Укажите верное определение приращения функционала, соответству¬
ющего вариации Ах его аргумента x(t)
1.	Произведение значений функционала от x(t) + Ах и от х(1)
2.	Частное от деления значения функционала от х(/) + Ах на значение от х(1)
3.	Сумма значений функционала от x(t) + Ах и от х{1)
4.	Разность между значениями функционала от x(t) + Ах и от x(t)
3.2.	Какие вариационные задачи называют задачами со свободными концами?
1.	Когда граничные условия определяют точки плоскости xt
2.	Когда начальное и конечное состояния объекта характеризуется обла¬
стями на плоскости xt, заданными в виде функций
3.	Когда начальные и конечные точки всех искомых функций x(t) не совпадают
4.	Когда не заданы значения функционала, характеризующие начальное и
конечное состояния объекта
3.3.	Какие ограничения чаще всего накладываются на изменение функций
x(t), определяемых при поиске экстремумов функционалов?
1.	В виде неравенств, определяющих область изменения значений функции
2.	В виде неравенств, определяющих область изменения значений производ¬
ной функции
3.	В виде нелинейных уравнений
4.	В виде дифференциальных уравнений
3.4.	Когда функция x(t), определяемая методом Рица, считается найденной?
1.	Определен вид всех элементарных функций многочлена х(!)
2.	Определены значения всех коэффициентов многочлена х(1)
3.	Значения функционала, соответствующие порядку многочлена т и 2т,
различаются меньше, чем требуется по условию
4.	Значения функционала, соответствующие порядку многочлена т и т + 1,
различаются меньше, чем требуется по условию
3.5.	Какие требования предъявляются к элементарным функциям много¬
члена x(t)?
1.	Должны быть непрерывны
2.	Должны быть дифференцируемы
3.	Должны быть непрерывно-дифференцируемы
4.	Должны быть линейными
105

Лабораторная работа №4. Решение задачи многокритериального выбора
Задание: выбрать лучшую из альтернатив решения предложенной задачи из
табл. 6.4 с точки зрения указанных в таблице критериев двумя методами по ука¬
занию преподавателя:
1)	заменой критериев ограничениями;
2)	формированием и сужением множества Парето;
3)	методом взвешивания и объединения критериев;
4)	методом анализа иерархий.
Таблица 6.4
Задачи многокритериального выбора
№
п/п
Задача,
альтернативы
Критерии
Описание предпочтений
1
2
3
4
1
Покупка
автомобиля:
A.	Suzuki;
B.	Mitsubishi;
C.	Honda;
D.	Toyota
1.	Стоимость;
2.	Расходы
на обслуживание;
3.	Расход бензина;
4.	Комфорт
Критерии: стоимость, комфорт, расходы на бензин,
расходы на обслуживание
Стоимость'. Suzuki существенно дороже всех,
Honda немного дороже Mitsubishi, Toyota
существенно дешевле всех
Расходы на обслуживание: Mitsubishi дороже всех,
Toyota и Suzuki примерно равны, Honda дешевле всех
Расход бензина: самый высокий у Suzuki, немного
меньше у Honda, существенно меньше у Mitsubishi,
самый низкий - у Toyota
Комфорт: самая комфортная - Toyota, чуть менее -
Mitsubishi, существенно хуже - Honda, самая
некомфортная Suzuki
2
Выбор
университета для
поступления:
A.	Oxford;
B.	Московский
гос. ун-т;
C.	Томский гос.
ун-т.;
D.	Тамб. ГТУ
1.	Размер
стипендии;
2.	Квалификация
преподавателей;
3.	Стоимость
жизни в городе;
4.	Престижность
диплома
Критерии: стоимость жизни в городе, престижность
диплома, квалификация преподавателей, размер
стипендии.
Стипендия: Oxford не платит стипендии студентам,
в Тамб. ГТУ стипендия небольшая, в Томском гос.
ун-те - немного больше, в Московском -
существенно больше
Преподаватели: самые квалифицированные -
в Oxford, чуть менее квалифицированные -
в Московском гос.
ун-те, существенно менее - в Томском гос. ун-те,
самая низкая квалификация - в Тамб. ГТУ
Стоимость жизни: самая низкая - в Тамбове,
существенно выше - в Томске, гораздо выше -
в Москве, самая высокая - в Лондоне
Диплом: самый престижный - Oxford, немного
менее - Московского гос. ун-та, существенно менее -
Томского гос. ун-та, самый непрестижный - Тамб.
ГТУ
106

Продолжение таблицы 6,4
№
п/п
Задача,
альтернативы
Критерии
Описание предпочтений
1
2
3
4
3
Выбор спутницы
жизни:
A.	Татьяна;
B.	Лариса;
C.	Наталья;
D.	Ольга
1.	Внешность;
2.	Финансовые
запросы;
3.	Домовитость;
4.	Характер.
Критерии: внешность, характер, финансовые
запросы, домовитость
Внешность-. Лариса - красавица, Татьяна - довольно
миловидна, Ольга - симпатична и стройна, Наталья
-	малопривлекательна
Финансовые запросы: самые большие - у Ольги,
чуть менее - у Татьяны, выше среднего - у Натальи,
ниже среднего - у Ларисы
Цомовитостъ: самая хозяйственная - Наталья, чуть
менее - Ольга, существенно менее - Татьяна, еще
менее - Лариса
Характер: Лариса - мягкая и покладистая, Наталья
-	строгая, но справедливая, Татьяна - «душа
компании», но «себе на уме», Ольга -
с диктаторскими наклонностями
4
Выбор дороги:
A.	Автострада;
B.	Шоссе;
C.	Грейдер;
D.	Проселок
1.	Расстояние;
2.	Качество
покрытия;
3.	Контроль;
4.	Инфраструктура
Критерии: расстояние, инфраструктура, качество
покрытия, контроль
Расстояние: самое большое - по автостраде, чуть
меньше - по шоссе, существенно меньше
по грейдеру, самое короткое - по проселку
Качество покрытия: лучшее - на автостраде,
существенно хуже - на шоссе, еще хуже -
на грейдере, отсутствует - на проселке
Контроль: самый жесткий - на автостраде, на шоссе
- почти такой же жесткий, много мягче -
на грейдере, на проселке - практически отсутствует
Инфраструктура: самая развитая - на шоссе, чуть
менее - на автостраде, существенно менее -
на грейдере, на проселке - практически отсутствует
5
Выбор породы
дерева для
строительства:
A.	Береза;
B.	Сосна;
C.	Дуб;
D.	Лиственница
1.	Цена за 1 м3;
2.	Легкость
обработки;
3.	Долговечность;
4.	Водостойкость
Критерии-, долговечность, цена за 1 м3, легкость
обработки, водостойкость.
Цена: самый дорогой - дуб, лиственница немного
дешевле, сосна еще дешевле, береза ■ самая дешевая
Обработка: самая легкая в обработке береза, сосна
- существенно тяжелее, дуб - еще тяжелее,
самая тяжелая в обработке - лиственниц
Цолговечностъ: самая долговечная лиственница,
чуть менее - дуб, существенно менее сосна, самая
недолговечная - береза
Водостойкость: самая водостойкая лиственница,
чуть менее - сосна, существенно менее - дуб, еще
менее - береза
107

Ял одолжение таблицы 6,4
№
п/п
Задача,
альтернативы
Критерии
Описание предпочтений
1
2
3
4
6
Выбор
устройства для
работы
в социальных
сетях:
A.	Компьютер;
B.	Ноутбук;
C.	Планшет;
D.	Смартфон
1.	Начальная цена;
2.	Стоимость
обслуживания;
3.	Емкость ЗУ
4.	Размер
экрана
Критерии: начальная цена, размер экрана, емкость
ЗУ, стоимость обслуживания
Цена: Компьютер и ноутбук сравнимы
по стоимости, смартфон немного дешевле, планшет
существенно
дешевле
Обслуживание: самый дорогой - смартфон, планшет
немного дешевле, ноутбук еще дешевле, самый
дешевый - компьютер
Емкость ЗУ: Компьютер и ноутбук имеют
и внешнюю и оперативную память сравнимой
емкости, планшет и смартфон - только оперативную
память меньшей емкости
Экран: самый большой - у компьютера, немного
меньше - у ноутбука, существенно меньше -
у планшета, самый маленький - у смартфона
7
Выбор спутника
жизни:
A.	Анатолий;
B.	Александр;
C.	Владимир;
D.	Сергей
1.	Образование;
2.	Физическая
подготовка;
3.	Внешность;
4.	Характер
Критерии: характер, образование, внешность,
физическая подготовка
Образование: Сергей учится в аспирантуре,
Александр закончил технический вуз, Владимир -
военное училище, Анатолий - экономический
колледж
Физподготовка: самый физически крепкий -
Владимир, Александр и Сергей уступают немного,
Анатолий - существенно
Внешность: Анатолий и Владимир - красавцы,
Александр и Сергей - довольно симпатичны
Характер: Анатолий - повеса и сердцеед,
Александр - оптимист и трудяга, Владимир лидер
и карьерист, Сергей - умница и самоед
8
Выбор
санатория:
A.	«Липецк»,
г. Липецк;
B.	«Сосновый
бор»,
Тамбовский
район;
C.	«Лесная
Жемчужина»,
г. Котовск;
D.	«Сосны»,
г. Пенза
1.	Качество
лечения;
2.	Уровень
сервиса;
3.	Качество
питания;
4.	Расстояние
от Тамбова
Критерии: качество лечения, расстояние
от Тамбова, качество питания, уровень сервиса
Печение: самое качественное - в «Липецке», чуть
хуже - в «Соснах», еще хуже - в «Лесной
жемчужине», самое некачественное в «Сосновом
бору»
Сервис: лучший - в «Сосновом бору», немного
хуже - в «Соснах», существенно хуже ■ в «Липецке»
и «Лесной жемчужине»
Питание: самое качественное - в «Соснах», немного
хуже - в «Лесной жемчужине», существенно хуже -
в «Липецке» и «Сосновом бору»
Расстояние: дальше всего - до Пензы, до Липецка
существенно ближе, «Сосновый бор» и «Лесная
жемчужина» - рядом с Тамбовом
108

Окончание г а б л и ц ы 6.4
№
п/п
Задача,
альтернативы
Критерии
Описание предпочтений
1
2
3
4
9
Выбор
Интернет-
провайдера;
A.	«ЬапТа»;
B.	«Ростелеком»;
C.	«Зеленая
Точка»;
D.	«Комстар-
Регионы»
1.	Стоимость
пакета
«Эконом+ТВ»;
2.	Скорость;
3.	Служба
поддержки;
4.	Качество
услуг
Критерии: качество услуг, стоимость пакета
«Эконом+ТВ», скорость, служба поддержки
Стоимость: самая большая - у «Зеленой точки»,
немного меньше - у «Комстар-Регионы», существенно
меньше - у «Ростелекома», самая маленькая -
у «ЬапТа»
Скорость: самый скоростной - «Комстар-Регионы»,
чуть менее - у «ЬапТа», еще меньше - у «Зеленой
точки», самый медленный - «Ростелеком»
Служба поддержки: самая оперативная - у «ЬапТа»,
немного хуже - у «Ростелеком», и «Зеленой точки»,
самая плохая - у «Комстар-Регионы»
Услуги: лучшее качество - у «Зеленой точки», чуть
хуже - у «Ростелекома», еще хуже - у «Комстар-
Регионы», самые некачественные - у «ЬапТа»
10
Выбор материала
водопроводных
груб:
A.	Металлопласт;
B.	Армированный
пластик;
C.	Нержавеющая
сталь;
D.	Черная сталь
1.	Цена за 1 м;
2.	Допустимое
давление;
3.	Долговечность;
4.	Внешний вид
Критерии: Долговечность, цена за 1 м, внешний вид,
допустимое давление
Цена: Самая дорогая - нержавеющая сталь,
металлопласт немного дешевле, армированный
пластик - еще дешевле, черная сталь - самая дешевая
Цопустимое давление: Самое большое -
у нержавеющей и черной стали, у металлопласта -
существенно ниже, у армированного пластика -
еще ниже
Цолговечностъ: самый долговечный - металлопласт,
немного менее - нержавеющая сталь, еще менее -
армированный пластик, самая недолговечная - черная
сталь
Внешний вид: лучший - у армированного пластика,
чуть хуже - у металлопласта, существенно хуже -
у нержавеющей и черной стали
Порядок выполнения.
1.	Составить вектор весов критериев, используя шкалу 1 + Ю и нормализо¬
вать его.
2.	Замена критериев ограничениями:
2.1.	Выбрать главный критерий и минимально допустимые уровни для
остальных.
2.2.	Выбрать все приемлемые альтернативы и лучшую из них по главному
критерию.
3.	Формирование и сужение множества Парето:
3.1.	Выбрать два критерия и сформировать множество Парето графическим
методом.
3.2.	Выбрать оптимальную альтернативу из множества Парето, используя
лексикографическую оптимизацию и метод ЭЛЕКТРА.
109

4.	Взвешивание и объединение критериев:
4.1.	Составить матрицу рейтингов альтернатив по критериям, используя
шкалу 1 н- Ю и нормализовать ее.
4.2.	Умножить нормализованную матрицу на нормализованный вектор ве¬
сов критериев и получить значения объединенного критерия для всех альтерна¬
тив. Выбрать наиболее приемлемую альтернативу.
5.	Метод анализа иерархии:
5.1.	Для каждого из критериев: составить и нормализовать матрицу попар¬
ного сравнения альтернатив, вектор приоритетов альтернатив, меру согласован¬
ности оценок и коэффициент их согласованности. Если коэффициент согласо¬
ванности превосходит 0,1, вернуться к составлению матрицы попарного сравне¬
ния альтернатив по соответствующему критерию.
5.2.	Составить и нормализовать матрицу попарного сравнения критериев,
вектор приоритетов критериев, меру согласованности оценок и коэффициент их
согласованности. Если коэффициент согласованности превосходит 0,1, вер¬
нуться к составлению матрицы попарного сравнения критериев.
5.3.	Определить средневзвешенные рейтинги альтернатив путем умножения
компонент векторов приоритетов альтернатив по критериям на соответствую¬
щую компоненту вектора приоритетов критериев. Выбрать наиболее приемле¬
мую альтернативу. Сравнить с результатом выбора в и. 4.
Контрольные вопросы.
1.	Сущность, достоинства и недостатки метода перевода критериев в огра¬
ничения.
2.	Порядок формирования объединенного критерия.
3.	Как можно оценить корректность экспертного выбора весов критериев?
4.	Основные этапы метода анализа иерархий.
5.	В чем суть проверки согласованности оценок при анализе иерархий?
Тестовые задания: выберите правильные ответы на вопросы
Вариант 1
1.1.	Укажите главную проблему постановки и решения многокритериаль¬
ных задач
1.	Математическая формализация критериев оптимальности решений
2.	Определение множества допустимых решений
3.	Выбор соотношения между оценками решений по разным критериям
4.	Формирование множества Парето
1.2.	В какой ситуации рекомендуется решать многокритериальные задачи
методом анализа иерархий?
1.	Выбор граничных значений второстепенных критериев очевиден
2.	Формирование аддитивного критерия не вызывает затруднений
3.	Возможно попарное сравнение альтернатив по каждому критерию
4.	Возможна численная оценка альтернатив по каждому критерию
110

1.3.	В каком случае говорят, что решение задачи многокритериального вы¬
бора Xi доминирует решение Хз, если оптимальным является решение, кото¬
рому соответствуют минимальные значения частных критериев?
1.	Для всех критериев выполняется условие: z,(X\) < z,(Xi), i = 1,т
2.	Для всех критериев выполняется условие: z,(X\) < z,(J6), / = 1,т
3.	Хотя бы для одного частного критерия выполняется условие z,(Xi) < z,(Xi),
а для всех остальных - условие z/Xi) < z/Xi), / Ф i
4.	Хотя бы для одного частного критерия выполняется условие zlXi) < z,(Xi),
а для всех остальных — условие zj(Xi) <Zj(X2),j+i
1.4.	Как поступают если некоторые из критериев задачи многокритери¬
ального выбора необходимо максимизировать, а остальные -минимизировать?
1.	Находят два решения: лучшие с точки зрения каждой из групп критериев
2.	Изменяют знаки критериев одной из групп на противоположные
3.	Критерии одной из групп заменяют ограничениями
4.	Постановка задачи считается некорректной
1.5.	Укажите цель применения методов экспертных оценок при решении
задач многокритериального выбора
1.	Математическая формализация частных критериев
2.	Назначение частным критериям корректных численных значений весов
3.	Выбор корректного способа нормирования частных критериев
4.	Обоснованный выбор частных критериев
Вариант 2
2.1.	Способ согласования критериев оптимальности решений задачи мно¬
гокритериального выбора определяется
1.	Математической формализацией критериев оптимальности решений
2.	Дополнительной информацией, не формализованной при постановке за¬
дачи
3.	Определением множества допустимых решений
4.	Мощностью множества Парето
2.2.	Укажите верный способ нормализации матриц попарного сравнения
альтернатив по критериям при использовании метода анализа иерархий
1.	Сумма элементов каждой строки матрицы должна быть равна 1
2.	Сумма элементов каждого столбца матрицы должна быть равна 1
3.	Сумма всех элементов матрицы должна быть равна 1
4.	Все элементы главной диагонали матрицы должны быть равны 1
111

2.3.	Какое решение задачи многокритериального выбора на минимум част¬
ных критериев называется Парето-оптималъным?
1.	Решение, не доминируемое никаким другим
2.	Решение, которому соответствуют минимальные значения всех частных
критериев
3.	Решение, которому соответствует минимальная сумма значений всех
частных критериев
4.	Решение, которому соответствует минимальное произведение значений
всех частных критериев
2.4.	Укажите главный недостаток применения аддитивного критерия оп¬
тимальности решений задачи многокритериального выбора
1.	Неочевидный выбор значений весов частных критериев
2.	Низкие оценки по одним частным критериям могут быть компенсированы
высокими оценками по другим
3.	Отсутствие возможности применения для частных критериев разных знаков
4.	Отсутствие возможности применения, если некоторые частные критерии
максимизируются, а другие минимизируются
2.5.	Укажите основную процедуру метода ранжирования частных крите¬
риев оптимальности решений задачи многокритериального выбора
1.	Нормализация частных критериев
2.	Назначение весов частным критериям
3.	Расстановка частных критериев в порядке уменьшения их важности
4.	Расстановка частных критериев в порядке увеличения их важности
Вариант 3
3.1.	Укажите главную проблему сведения задачи многокритериального вы¬
бора к классической задаче оптимизации
1.	Формирование множества Парето
2.	Выбор способа сужения множества Парето
3.	Обоснование выбора основного критерия
4.	Обоснование выбора граничных значений второстепенных критериев
3.2.	Элементами вектора приоритетов при использовании метода анализа
иерархий являются
1.	Средние арифметические элементов столбцов нормализованной матрицы
попарного сравнения альтернатив по критериям
2.	Средние арифметические элементов строк нормализованной матрицы по¬
парного сравнения альтернатив по критериям
3.	Суммы элементов строк нормализованной матрицы попарного сравнения
альтернатив по критериям
4.	Суммы элементов столбцов нормализованной матрицы попарного срав¬
нения альтернатив по критериям
112

3.3.	Что означает термин «оптимальность по Парето»?
1.	Можно улучшить значение одного из частных критериев, не ухудшая зна¬
чения остальных
2.	Невозможно улучшить значение любого из частных критериев, не ухуд¬
шая значения остальных
3.	Можно улучшить значения всех частных критериев, кроме одного
4.	Невозможно улучшить значения всех частных критериев
3.4.	Укажите верную формулировку принципа справедливой относительной
компенсации частных критериев задачи многокритериального выбора
1.	Сумма относительных уменьшений значений одних критериев не превы¬
шает суммы относительных увеличений значений других
2.	Сумма абсолютных уменьшений значений одних критериев не превышает
суммы абсолютных увеличений значений других
3.	Относительные уменьшения значений одних критериев не превышают от¬
носительных увеличений значений других
4.	Абсолютные уменьшения значений одних критериев не превышают абсо¬
лютных увеличений значений других
3.5.	Укажите особенность метода приписывания баллов при выборе весов
частных критериев оптимальности решения задачи многокритериального вы¬
бора?
1.	Важность частных критериев оценивается по десятибалльной шкале
2.	Разрешается оценивать важность дробными величинами
3.	Разрешается приписывать одну и ту же оценку нескольким критериям
4.	Все перечисленные особенности
Вариант 4
4.1.	Почему при записи аддитивного критерия оптимальности решений за¬
дачи многокритериального выбора значения частных критериев нормируют?
1.	Частные критерии могут иметь разные размерности
2.	Значения частных критериев имеют разные знаки
3.	Некоторые из частных критериев необходимо максимизировать, а дру¬
гие - минимизировать
4.	Сумма весовых коэффициентов частных критериев должна быть равна 1
4.2.	Проверять согласованность попарного сравнения критериев и альтер¬
натив по критериям рекомендуется в ситуации, когда
1.	Число альтернатив превосходит 3
2.	Число альтернатив превосходит 4
3.	Число альтернатив превосходит 5
4.	Число альтернатив превосходит 6
113

4.3.	В каком случае возможно геометрическое представление области Па¬
рето решений задачи многокритериального выбора?
1.	Число критериев равно 2
2.	Число альтернатив равно 2
3.	Число критериев равно 3
4.	Число альтернатив равно 3
4.4.	К какому виду обобщенного критерия оптимальности решений задачи
многокритериального выбора приводит принцип справедливой относительной
компенсации частных критериев?
1.	Аддитивному без использования весов частных критериев
2.	Мультипликативному без использования весов частных критериев
3.	Аддитивному с использованием весов частных критериев
4.	Мультипликативному с использованием весов частных критериев
4.5.	Укажите основную идею метода последовательных уступок решения
задачи многокритериального выбора
1.	Применение к экспертным оценкам частных критериев методов статисти¬
ческой обработки результатов экспериментов
2.	Вычисление коэффициентов относительного разброса частных критериев
3.	Расчет отклонений частных критериев от их наименьших значений
4.	Ранжирование критериев по важности и некоторое снижение величин бо¬
лее важных критериев для повышения величин менее важных
Вариант 5
5.1.	Укажите возможный вариант выбора нормирующего делителя част¬
ных критериев при формировании аддитивного критерия оптимальности реше¬
ний задачи многокритериального выбора
1.	Директивные значения, заданные заказчиком
2.	Максимальные значения критериев, в области допустимых решений
3.	Разность между максимальным и минимальным значениями критерия в
области допустимых решений
4.	Все перечисленные варианты
5.2.	В случае идеальной согласованности попарного сравнения критериев и
альтернатив по критериям
1.	Сумма произведений столбцов исходной матрицы попарного сравнения
на элементы соответствующего вектора приоритетов равна 1
2.	Сумма произведений сумм столбцов исходной матрицы попарного срав¬
нения на элементы соответствующего вектора приоритетов равна 1
3.	Сумма произведений столбцов исходной матрицы попарного сравнения
на элементы соответствующего вектора приоритетов равна числу альтернатив
4.	Сумма произведений сумм столбцов исходной матрицы попарного сравне¬
ния на элементы соответствующего вектора приоритетов равна числу альтернатив
114

5.3.	Какое решение задачи многокритериального выбора называют опти¬
мально-компромиссным?
1.	Предпочтительное с точки зрения лица, принимающего решение
2.	Одно из Парето-оптимальных, предпочтительное с точки зрения лица,
принимающего решение
3.	Лучшее из Парето-оптимальных по значению суммы частных критериев
4.	Лучшее из Парето-оптимальных по значению произведения частных кри¬
териев
5.4.	Укажите главное достоинство обобщенного мультипликативного кри¬
терия оптимальности решений задачи многокритериального выбора
1.	Справедливая взаимная компенсация частных критериев
2.	Знаки частных критериев не имеют значения
3.	Использование весов частных критериев не требуется
4.	Нормирование частных критериев не требуется
5.5.	Укажите основную идею метода равенства частных критериев опти¬
мальности решений задач многокритериального выбора
1.	Парные сравнения альтернатив по каждому критерию
2.	Замена всех критериев, кроме одного, ограничениями
3.	Поиск решения, которому соответствует равенство нормированных зна¬
чений всех частных критериев с учетом весовых коэффициентов
4.	Выбор таких весов частных критериев, что их произведения на значения
критериев равны между собой
115

Лабораторная работа №5. Принятие решений в условиях риска
Задание: выбрать лучшую из альтернатив решения предложенной задачи из
табл. 6.5 с использованием информации о вероятностях выбора. Проанализиро¬
вать чувствительность полученного решения.
Таблица 6.5
Задачи принятия решений в условиях риска
№
вар-та
Задача,
альтернативы
Вероятности
Описание условий выбора
1
2
3
4
1
Планирование
посевной
кампании:
A.	Пшеница;
B.	Подсолнечник;
C.	Сахарная
свекла
Цены:
снизятся - 0,25;
повысятся - 0,3;
не изменятся -
0,45
Если цены возрастут, урожай пшеницы даст
100 тыс. руб. чистого дохода, подсолнечника
- 200 тыс. руб., сахарной свеклы -
300 тыс. руб.
Если цены останутся неизменными, прибыли
не будет совсем.
Если цены понизятся, урожай пшеницы
приведет к потерям 20 тыс. руб.,
подсолнечника - 35 тыс. руб., сахарной
свеклы - 50 тыс. руб
2
Выбор способа
вложения денег:
A.	Банковский
депозит;
B.	Золото;
C.	Акции.
Доходность:
упадет - 0,1;
не
изменится - 0,5;
вырастет - 0,4.
При снижении доходности прибыль
от депозита увеличится на 5 %, золото даст
убыток в 10 %, а акции - прибыль в 2 %
При неизменной доходности прибыль
от депозита увеличится на 7 %, от золота -
на 5 %, от акций - на 7 %
При росте доходности прибыль от депозита
увеличится на 8 %, от золота - на 30 %,
от акций па 20 %.
3
Планирование
тиража книги
на три года
вперед:
A.	2000 экз.;
B.	3000 экз.;
C.	4000 экз;
D.	5000 экз
Спрос на книгу
в ближайшие три
года:
2000 экз. - 0,1;
3000 экз. - 0,5;
4000 экз. - 0,2;
5000 экз. - 0,2
Прибыль от продажи - 900 руб. за 1 экз.
Убытки при непродаже - 400 руб. за 1 экз.
Убытки от неудовлетворенного спроса -
100 руб. за 1 экз.
4
Выбор рекламной
кампании:
A.	Не
проводить;
B.	Скромная;
C.	Интенсивная
Результаты
кампании:
провал - 0,3;
скромный успех
-0,5;
большой успех -
0,2
Стоимость скромной рекламной кампании
200 тыс. руб., интенсивной 500 тыс. руб.
Если рекламная кампания не проводится
вовсе, ожидаемый годовой доход -2 млн руб.,
в случае ее провала - 1 млн руб., в случае
скромного успеха - 2,5 млн руб., большого
успеха - 5 млн руб.
116

О к о н ч а н и е г а блиц ы 6.5
№
вар-та
Задача,
альтернативы
Вероятности
Описание условий выбора
1
2
3
4
5
Выбор
Потребителя
Продукции
при доп.
проценте брака:
A.	< 0,8 %;
B.	<1,2%;
C.	<1,4%
Доля брака:
< 0,8 % - 0,25;
<1,2% -0,4;
<1,4%-0,35
Поставщик штрафуется на 10 тыс. руб.
за каждую 0,1%, если процент брака выше
допустимого.
Если процент брака ниже допустимого,
поставщик получает прибыль - 5 тыс. руб.
за каждую 0,1 %. Продукция перед отправкой
потребителям не проверяется
6
Планирование
дневной закупки
выпечки:
A.	100 шт.;
B.	150 шт.;
C.	200 шт.;
D.	250 шт.;
E.	300 шт
Ежедневный
спрос:
100 шт. - 0,2;
150 шт. - 0,25;
200 шт. - 0,3;
250 шт. - 0,15;
300 шт. - 0,1
Магазин покупает выпечку по 25 руб.
за 1 шт., а продает по 55 руб. Если продукция
не продана, то к концу дня она может быть ре¬
ализована по 15 руб. за 1 шт.
Штраф за неудовлетворенный спрос - 10 руб.
за 1 шт.
7
Выбор компании
для покупки
Акций
с прибылью:
A.	Высокая;
B.	Низкая;
C.	Средняя
Котировки:
возрастут -
0,45;
не изменятся -
0,25;
снизятся - 0,3
Сумма вложений - 3 млн руб.
Рост котировок: А - прибыль 65 %,
В - прибыль 30 %, С - прибыль 50 %
Постоянство котировок: А - прибыль 20 %,
В - прибыль 20 %, С - прибыль 20 %
Снижение котировок: А - потери 50 %,
В - прибыль 5 %, С - потери 30 %
8
Выбор мощности
производства:
A.	Большая;
B.	Малая;
C.	Увеличение
от малой
до большой через
2 года (при высоком
спросе)
Спрос
на продукцию:
высокий - 0,5;
средний - 0,2;
низкий - 0,3
Период работы - 10 лет.
Затраты: А - 500 млн руб., В 100 млн руб., С
- 420 млн руб
Г одовой доход:
высокий спрос. А - 10 млн руб., В - 2,5 млн
руб. С - 9 млн руб.;
средний спрос. А - 6 млн руб., В - 2,5 млн руб.
С - 5 млн руб.;
низкий спрос. А - 3 млн руб., В - 2 млн руб.
С - 2 млн руб
9
Выбор
инвестиционного
фонда:
A.	Простой;
B.	Специальный;
C.	Глобальный
Цена акций:
вырастет - 0,4;
не изменится -
0,5;
снизится - 0,1
Прибыль:
рост-. А - 8 %, В - 30 %, С - 20 %;
неизменность: А-7%, В-5%, С-7%;
падение: А-5%, В — 10 %, С- 2%
10
Выбор
Цневной
троизводительности:
A.	10 тыс. шт.
B.	12 тыс. шт.
C.	14 тыс. шт.
D.	16 тыс. шт.
E.	18 тыс. шт.
Ежедневный
спрос:
10 т. шт. - 0,1;
12 т. шт. - 0,2;
14 т. шт. - 0,3;
16 т. шт. - 0,3;
18 т. шт. - 0,1
Кондитерский цех печет торты
себестоимостью 450 руб. за 1 шт. и реализует
по 600 руб. за 1 шт. Если торт не продан,
убытки составят 300 руб. за 1 шт.
Штраф за неудовлетворенный спрос - 200 руб.
за 1 шт.
117

Порядок выполнения работы.
1.	Построение дерева принятия решений или таблицы возможных исходов
(по указанию преподавателя).
2.	Выбор критерия оценки качества решения (максимизация прибыли или
минимизация затрат).
3.	Оценка каждого из вариантов решения и выбор лучшего.
4.	Анализ чувствительности полученного решения.
Контрольные вопросы.
1.	Чем отличается «принятие решения в условиях риска» от «принятия ре¬
шения в условиях неопределенности»?
2.	Преимущества и недостатки дерева решений задачи по сравнению с таб¬
лицей возможных исходов?
3.	Для чего осуществляется анализ чувствительности решения, принятого в
условиях риска?
4.	Какие выводы можно сделать из анализа функции «полезности» приня¬
того решения?
5.	На каком основании чаще всего строятся гипотезы относительно вероят¬
ностей условий, в которых осуществляется принятие решения?
Тестовые задания: выберите правильные ответы на вопросы
Вариант 1
1.1.	Укажите признак принятия решения в условиях риска
1.	Имеется единственный вариант принятия решения
2.	Осуществляется выбор между вполне определенными вариантами решения
3.	Каждый из вариантов решения может быть реализован с известной веро¬
ятностью
4.	Вероятности реализации вариантов решения неизвестны
1.2.	Каким образом формируется «дерево решений» задачи принятия реше¬
ний в условиях риска?
1.	Определить все возможные варианты решения
2.	Определить все возможные варианты решения и оценить их качество
3.	Определить все возможные варианты решения и зафиксировать все воз¬
можные исходы для каждого из них
4.	Определить все возможные варианты решения и выбрать наилучший
1.3.	Укажите основание выбора наилучшего варианта решения задачи в
условиях неопределенности
1.	Объективных оснований нет
2.	Оценка вариантов решения по критерию оптимальности
3.	Значения вероятностей реализации вариантов решения
4.	Построение гипотезы относительно вероятностей реализации вариантов
решения
118

1.4.	Укажите отличие метода Байеса-Лапласа от метода Лапласа реше¬
ния задач выбора в условиях неопределенности
1.	Вместо вероятностей возможных исходов используются их значения
2.	Вместо значений возможных исходов используются их вероятности
3.	Вместо среднего арифметического возможных исходов используются
суммы их произведений на вероятности
4.	Вместо суммы произведений возможных исходов на их вероятности ис¬
пользуются средние арифметические возможных исходов
1.5.	При каком значении «параметра оптимизма» критерий Гурвица ста¬
новится минимаксным, если таблица возможных исходов содержит издержки?
1. 0,0
2.	0,3
3.0,7
4.	1,0
Вариант 2
2.1.	Укажите признак принятия решения в условиях неопределенности
1.	Имеется единственный вариант принятия решения
2.	Осуществляется выбор между вполне определенными вариантами решения
3.	Каждый из вариантов решения может быть реализован с известной веро¬
ятностью
4.	Вероятности реализации вариантов решения неизвестны
2.2.	Каким образом можно оценить достоверность решения задачи в усло¬
виях риска?
1.	Методами математической статистики
2.	Оценить его чувствительность к изменению значений вероятностей
3.	Методом экспертных оценок
4.	Сформировать область Парето
2.3.	Какую гипотезу относительно вероятностей реализации вариантов
решения задачи в условиях неопределенности использует критерий Лапласа?
1.	Все возможные условия выбора равновероятны
2.	Выбор наилучшей альтернативы из наихудших
3.	Прогнозирование вероятностей с применением «параметра оптимизма»
4.	Замена таблицы возможных исходов таблицей потерь
2.4.	Какое решение задачи выбора в условиях неопределенности считается
оптимальным с точки зрения минимаксного критерия, если в таблицу возмож¬
ных исходов внесены значения получаемой прибыли?
1.	Соответствующее наибольшему из минимальных значений прибыли
2.	Соответствующее наименьшему из максимальных значений прибыли
3.	Соответствующее наибольшему из максимальных значений прибыли
4.	Соответствующее наименьшему из минимальных значений прибыли
119

2.5.	При каком значении «параметра оптимизма» критерий Гурвица ста¬
новится минимальным, если таблица возможных исходов содержит издержки?
1. 0,0
2.	0,3
3.	0,7
4.	1,0
Вариант 3
3.1.	Что обычно является критерием принятия решения в условиях риска
или неопределенности?
1.	Прибыль или убыток
2.	Ожидаемые прибыль или убыток
3.	Вероятность прибыли или убытка
4.	Безразмерная функция прибыли или убытка
3.2.	Как оценивается чувствительность выбора решения задачи из «дерева
решений» вусловияхриска?
1.	Строится «функция полезности»
2.	Определяется степень близости вероятностей благоприятного и неблаго¬
приятного исходов
3.	Вероятность неблагоприятного исхода сравнивается с ее значением при
равенстве ожидаемых доходов или убытков для обоих вариантов
4.	Вероятность неблагоприятного исхода сравнивается с вероятностью бла¬
гоприятного при равенстве ожидаемых доходов или убытков
3.3.	Какую гипотезу относительно вероятностей реализации вариантов ре¬
шения задачи вусловиях неопределенности использует минимаксный критерий?
1.	Все возможные условия выбора равновероятны
2.	Выбор наилучшей альтернативы из наихудших
3.	Прогнозирование вероятностей с применением «параметра оптимизма»
4.	Замена таблицы возможных исходов таблицей потерь
3.4.	Какое решение задачи выбора в •условиях неопределенности считается
оптимальным с точки зрения минимаксного критерия, если в таблицу возмож¬
ных исходов внесены значения издержек?
1.	Соответствующее наибольшему из минимальных значений издержек
2.	Соответствующее наименьшему из максимальных значений издержек
3.	Соответствующее наибольшему из максимальных значений издержек
4.	Соответствующее наименьшему из минимальных значений издержек
120

3.5.	Какие значения может принимать «параметр оптимизма» критерия
Гурвица прирешении задач выбора в •условиях неопределенности?
1.	-1<а< 1
2.	-1<а<0
3.0<а<1
4.0<а<100
Вариант 4
4.1.	Укажите отличие «дерева решений» задачи в условиях риска от «таб¬
лицы исходов»
1.	Отличий нет
2.	«Таблица исходов» содержит более двух вариантов решения
3.	Применение «таблицы исходов» не предусматривает перебор всех воз¬
можных исходов для выбранных вариантов решения
4.	Неодинаковые критерии оптимальности решений
4.2.	Что такое «функция полезности»?
1.	Возможный критерий оптимальности решений задачи оптимизации
2.	Возможный способ комбинации критериев оптимальности решений за¬
дачи многокритериального выбора
3.	Критерий выбора оптимального решения задачи в условиях риска
4.	Критерий выбора оптимального решения задачи в условиях неопределен¬
ности
4.3.	Какую гипотезу относительно вероятностей реализации вариантов
решения задачи в •условиях неопределенности использует критерий Гурвица?
1.	Все возможные условия выбора равновероятны
2.	Выбор наилучшей альтернативы из наихудших
3.	Прогнозирование вероятностей с применением «параметра оптимизма»
4.	Замена таблицы возможных исходов таблицей потерь
4.4.	При каком значении «параметра оптимизма» критерий Гурвица ста-
новитсяминимаксным, если таблица возможных исходов содержит доходы?
1. 0,0
2.	0,3
3.	0,7
4.	1,0
4.5.	Какие значения вносятся в таблицу потерь критерия Сэвиджа, если
таблица возможных исходов содержит доходы?
1.	Разности между максимальным и текущим доходом
2.	Разности между текущим и минимальным доходом
3.	Разности между минимальным и текущим доходом
4.	Разности между текущим и максимальным доходом
121

Вариант 5
5.1.	Как строится «таблица исходов» задачи выбора в условиях риска при
большом количестве вариантоврешения?
1.	В любом случае в таблицу помещаются все возможные варианты
2.	Варианты группируются и из каждой группы выбирается один
3.	В таблицу помещаются только те варианты, для которых известны веро¬
ятности исходов
4.	В таблицу помещаются только те варианты, для которых не известны ве¬
роятности исходов
5.2.	Укажите основной недостаток применения «функции полезности» при
решении задачи в условияхриска
1.	Она всегда имеет «овраг»
2.	Она не имеет выраженного экстремума
3.	«Вероятности», используемые при ее определении, не вытекают из каких-
либо статистических данных
4.	Основой для ее построения является оценка привлекательности исходов
конкретным человеком
5.3.	Какую гипотезу относительно вероятностей реализации вариантов
решения задачи вусловиях неопределенности использует критерий Сэвиджа?
1.	Все возможные условия выбора равновероятны
2.	Выбор наилучшей альтернативы из наихудших
3.	Прогнозирование вероятностей с применением «параметра оптимизма»
4.	Замена таблицы возможных исходов таблицей потерь
5.4.	При каком значении «параметра оптимизма» критерий Гурвица ста-
новитсямаксимаксным, если таблица возможных исходов содержит доходы?
1.0,0
2.0.	3
3.0.	7
4. 1,0
5.5.	Какие значения вносятся в таблицу потерь критерия Сэвиджа, если
таблица возможных исходов содержит издержки?
1.	Разности между максимальной и текущей издержкой
2.	Разности между текущей и минимальной издержкой
3.	Разности между минимальной и текущей издержкой
4.	Разности между текущей и максимальной издержкой
122

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предлагаемое пособие включает основные сведения о теории принятия ре¬
шений, методах и алгоритмах решения задач принятия решений в условиях опре¬
деленности, частичной и полной неопределенности.
В пособии рассмотрены:
-	математическая формализация и основные подходы к принятию решений
в различных условиях;
-	методы оптимизации (принятия решений в условиях полной определен¬
ности при наличии единственного критерия), в том числе методы решения задач
линейного программирования и вариационных задач;
-	методы многокритериального выбора в условиях определенности;
-	методы принятия решений в условиях риска и неопределенности;
-	особенности принятия проектных решений.
Лабораторный практикум содержит формулировки заданий, исходные дан¬
ные, рекомендации по выполнению, контрольные вопросы и тестовые задания к
пяти лабораторным работам:
-	поиск безусловного и условного экстремума функции двух переменных;
-	решение задачи линейного программирования;
-	решение вариационной задачи с закрепленными концами;
-	решение задачи многокритериального выбора;
-	принятие решения в условиях риска.
В качестве основного инструмента выполнения лабораторных работ студен¬
там предложено использовать систему инженерных расчетов MathCAD.
Автор надеется, что предлагаемое пособие будет полезно для магистрантов,
обучающихся по программе 27.04.03.02 «Системный анализ проектно-техноло¬
гических решений» и программе 15.04.01.03 «Цифровое машиностроение» днев¬
ной формы обучения, а также для аспирантов и работников проектно-конструк¬
торских подразделений промышленных предприятий.
123

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Таха, X. Введение в исследование операций / X. Таха. - М. : Вильямс,
2005.	-912 с.
2.	Эдцоус, М. Методы принятия решений / М. Эддоус, Р. Стэнсфилд. - М. :
Юнити, 1997. - 587 с.
3.	Федунец, Н. И. Теория принятия решений / Н. И. Федунец, В. В. Куприя¬
нов. - М. : Горная книга, 2005. - 218 с.
4.	Демидова, Л. А. Принятие решений в условиях неопределенности /
Л. А. Демидова, В. В. Кираковский, А. Н. Пылькин. - М. : Горячая линия-Теле-
ком, 2012. -288 с.
5.	Козлов, В. Н. Системный анализ и принятие решений: учебное пособие /
В.Н. Козлов. СПб: Изд-во СПБГПУ, 2009. 233 с.
6.	Лисьев, Г.А. Технологии поддержки принятия решений / Г.А. Лисьев,
И. В. Попова. М. : Флинта, 2011.	133 с.
7.	Гуров, С. В. Теория системного анализа и принятия решений: учебное по¬
собие / С. В. Гуров. - СПб : Изд-во СПбГЛТУ, 2008. - 144 с.
8.	Солодовников, И. В. Теория принятия решений: учебное пособие /
И. В. Солодовников, О. В. Рогозин, О. Б. Пащенко. М. : Изд-во МГТУ им. Бау¬
мана, 2008. - 54 с.
9.	Горбунов, В. М. Теория принятия решений: учебное пособие / В. М. Гор¬
бунов. - Томск : Изд-во ТПУ, 2010. - 67 с.
10.	Балыбин, В. М. Принятие проектных решений: учебное пособие /
В. М. Балыбин, В. С. Лунев, Д. Ю. Муромцев, Л. И. Орлова. - Тамбов : Изд-во
Тамб. гос. техн. ун-та, 2003. - 80 с.
11.	Семериков, А. В. Теория принятия решений. Лабораторные работы: ме¬
тод. указания / А. В. Семериков, Е. С. Буханец. - Ухта: Изд-во УГТУ,
2006.	- 48 с.
12.	Сидняев, Н. И. Теория планирования эксперимента и анализ статистиче¬
ских данных: учебное пособие / Н. И. Сидняев. - М. : ИД Юрайт, 2012. - 399 с
124

(П//\ Инфра-Инженерия
\fr IS / Издательство технической литературы
Издательство предлагает учебную литературу
последующим направлениям:
Интернет-магазин
infra-e.ru
•	IT. Информатика
•	Авиационная и ракетно-космическая техника
•	Автоматизация
•	Автомобильная техника
•	Арматура. Трубопроводы
•	Бетоны
•	Бурение нефтяных и газовых скважин
•	Вооружение. Радиоэлектронные системы
•	Газовое хозяйство
•	Геодезия, картография и маркшейдерское дело
•	Геология. Геофизика. Геохимия
•	Горное дело
•	Железнодорожный транспорт
•	Лесная промышленность
•	Логистика
•	Машиностроение
•	Медицина и биоинженерия
•	Металлургия
•	Нефтегазовая промышленность
•	Педагогика. Психология
•	Пищевая промышленность
•	Промышленная безопасность. Охрана труда
•	Разработка и эксплуатация нефтяных
и газовых месторождений
•	Сварочное дело
•	Словари
•	Сети и коммуникации. Волоконно-оптическая техника
•	Строительство
•	Судостроение
•	Транспортное строительство. Дороги. Мосты. Тоннели
•	Физико-математические науки
•	Химия. Химические технологии
•	Экология. Безопасность жизнедеятельности
•	Экономика. Управление. Электронная коммерция
•	Электроника
•	Электро- и теплоэнергетика
WhatsApp
Telegram
Телефон
8-800-250-66-01
8-911-512-48-48
Более 2000 выпущенных книг
по 30 темам и направлениям
Доставляем наши книги по
всей России от Калининграда
до Камчатки, а также в
страны СНГ
Нам доверяют более 90
учебных заведений в России
и за рубежом

Учебное издание
Карпушкин Сергей Викторович
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИИ
Учебное пособие
Подписано в печать 31.03.2025
Формат 60x84/16. Уел. печ. л. 7,44. Печать по требованию.
Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс».
Издательство «Инфра-Инженерия»
160011, г. Вологда, ул. Козленская, д. 63
Тел.: 8 (800) 250-66-01
E-mail: booking@infra-e.ru
https://infra-e.ru
Издательство приглашает
к сотрудничеству авторов
научно-технической литературы