/
Author: Ляховский В.Д. Болохов А.А.
Tags: математика теория групп
Text
В.Д.Ляховскии, АА.Болохов
ГРУППЫ СИММЕТРИИ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
Пособие посвящено основным методам теории групп, применяемым в
современной теории элементарных частиц. Изложен теоретико-групповой подход
к исследованию элементарных частиц, рассмотрены групповые основы
конкретных физических моделей.
Книга предназначена для студентов старших курсов физических факультетов
университетов. Может быть полезна научным работникам, аспирантам,
специализирующимся в области физики элементарных частиц.
Содержание
Наиболее употребительные обозначения 3
Предисловие 6
Глава 1. Симметрия в классической механике 9
§ 1. Частица в ньютоновой механике. Наблюдаемые величины, 9
инерциальные системы отсчета и группа Галилея. Активные и
пассивные преобразования, принцип относительности и физическая
симметрия. Алгебра наблюдаемых
§ 2. Отличия механики специальной теории относительности от 23
ньютоновой. Преобразования Лоренца и группа Пуанкаре. Алгебра
Ли группы Пуанкаре и реконструкция наблюдаемых
§ 3. Ковариантность и лагранжев формализм. Теория групп в 31
классической механике
Глава 2. Общая алгебра 34
§ 1. Понятие группы. Подгруппа. Пространство параметров. Группы 34
движений
§ 2. Отображения групп. Гомоморфизмы. Факторгруппа, Виды 40
гомоморфизмов.
§ 3. Прямое произведение групп, прямая сумма абелевых групп. 44
Полупрямое произведение. Двойные классы смежности
§ 4. Кольца, тела, поля, кватернионы 50
§ 5. Модули, их гомоморфизмы и тензорные произведения. Кольцо матриц 54
и. эндоморфизмов модуля. Кватернионные единицы и матрицы
Паули
§ 6. Векторное пространство, дуальное пространство. Билинейное 59
отображение и билинейная форма, полуторалинейная форма.
Классические группы. Группы Sp{\), SUB), SOC)
§ 7. Алгебра над полем: ассоциативная, Ли, T{V), S{V), f\{V). Алгебра 70
Клиффорда и спинорная группа. Алгебра Дирака
Глава 3. Топологические группы и группы Ли 82
§ 1. Свойства групповых операций в топологических группах 82
§ 2. Подгруппы, нормальные подгруппы, факторгруппы, естественные 84
отображения, гомоморфизмы топологических групп. Прямые
произведения
§ 3. Многообразия: гладкость, координаты, локальная размерность, карты, 87
атласы. Группы Ли. Параметризация. Общая линейная группа и
классические группы как группы Ли
§ 4. Связные компоненты топологической группы, К(ё). Теорема о 93
конечной порожденное™. Свойства дискретных нормальных
подгрупп. Компоненты группы Лоренца.
§ 5. Локальная группа, локальные изоморфизмы. Свойства локальных S6
групп
§ 6. Однопараметрические подгруппы. Единственность 99
однопараметрической подгруппы с заданным направляющим
вектором. Канонические координаты I и II рода
§ 7. Подгруппы и факторгруппы в канонических координатах, группа 103
Лоренца
§ 8. Накрывающее пространство. Принцип монодромии. Универсальная 108
накрывающая группа
Глава 4. Алгебры Ли 117
§ 1. Локальные свойства группы Ли и ее алгебра Ли 117
§ 2. Гомоморфизмы алгебр Ли 119
§ 3. Линейные алгебры Ли. Алгебры дифференцирований. 123
Присоединенное представление
§ 4. Разрешимые, нильпотентные, простые и полупростые алгебры Ли. 128
Радикал. Теорема Леви — Мальцева
§ 5. Восстановление группы Ли по алгебре Ли. Ряд Кэмпбелла — 131
Хаусдорфа. Экспоненциальное отображение
Глава 5. Простые и полупростые алгебры Ли 134
§ 1. Форма Киллинга. Критерии Картана —
§ 2. Комплексификации, овеществления и вещественные формы 137
§ 3. Подалгебры Картана. Разложение Картана 140
§ 4. Корневые системы. Схемы Дынкина 145
§ 5. Корневые системы и простые алгебры Ли. Разложение Картана — 150
Вейля. Базис Вейля, стандартный базис
§ 6. Классификация и каноническая реализация простых алгебр Ли 158
Глава 6. Элементарная теория представлений 162
§ 1. Основные понятия 162
§ 2. Общие свойства неприводимых представлений и подпредставлений. 172
Сплетающий оператор. Леммы Шура. Теорема Бернсайда
§ 3. Прямой интеграл представлений. Инвариантное интегрирование. 176
Мера Хаара. Фактормера и интегрирование на однородном
пространстве. Регулярное представление
§ 4. Унитарные представления компактных групп. Теорема о 187
конечномерности
§ 5. Инфинитезимальный метод. Унитарный трюк 190
Глава 7. Представления полупростых алгебр Ли 195
§ 1. Веса, старшие веса, их свойства. Фундаментальные представления —
§ 2. Конечномерные неприводимые представления алгебр 57B, С) и slC, С) 199
Компактные вещественные формы. Фундаментальные
представления su C)
§ 3. Тензорные произведения представлений d(suB)) и d(suC)) и их 209
разложение на неприводимые
§4. Схемы Юнга 215
§ 5. Ограничения неприводимых представлений алгебр su(ri). Частные 224
случаи
§ 6. Элементы Казимира. Универсальная обертывающая алгебра. 232
Операторы Казимира и их собственные значения
§ 7. Коэффициенты Клебша — Гордана. Скалярные факторы 239
§ 8. Конечномерные представления алгебры soC, 1). Связь с 245
представлениями группы Лоренца
Глава 8. Симметрия в квантовой физике. Элементарные частицы 255
§ 1. Квантовомеханическое описание и преобразования симметрии.
Теорема Вигнера и проективность представления группы симметрии.
Унитарность. Элементарные частицы и неприводимые
представления
§ 2. Изотопическая симметрия и операторные лучи. Мультипликаторы и 264
коциклы проективного представления. Фазовые расширения.
Эквивалентность проективных представлений группы и векторных
представлений ее универсальной накрывающей
§ 3. Изотопические мультиплеты, формула Гелл-Манна — Нишиджимы. 274
Зарядовое сопряжение и G-четность
§ 4. Унитарная симметрия и унитарные мультиплеты. Эволюция 279
унитарной симметрии
§ 5. Гипотеза кваркового строения адронов. Массовые формулы и теорема 286
Вигнера — Эккарта
Глава 9. Индуцированные представления и релятивистская 296
симметрия
§ 1. Алгебраическая конструкция индуцированных представлений. 296
Унитарные представления. Простейшие свойства
§ 2. Метод малой группы. Представления группы ЕB). Группа Пуанкаре, 302
ее орбиты. Представления собственной группы Пуанкаре для т Ф 0
и т = 0. Представления общей группы Пуанкаре
§ 3. Релятивистские уравнения движения. Волновые функции, 320
неприводимые представления и ковариантные проекторы. Методы
построения уравнений движения. Примеры
Указатель литературы 333
НАИБОЛЕЕ УПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
0 — пустое множество
Основные алгебраические структуры:
К— поле
Z — кольцо целых чисел
Z+—целые положительные числа
Zv — поле целых чисел по моду-
модулю р
Q — поле рациональных чисел
R — поле вещественных чисел
R+— положительные вещественные
числа
R* = /?\0 — мультипликативная груп-
группа вещественных чисел
С — поле комплексных чисел
С* =С\0 — мультипликативная груп-
группа комплексных чисел
у. — I ело кватернионов
Q — алгебра октав
Линейные пространства:
V\, W™ ,... — линейные простран-
пространства над К размерности п, т,...
$$ — гильбертово пространство
]/(*) — пространство, дуальное к V
Is)
v еИ*) — элемент дуального про-
пространства
X — прямое произведение
<Ъ — прямая сумма
® — тензорное произведение
dim - - размерность
R", Сп—/i-мерное вещественное
(комплексное) пространство
Mat (а, К)—кольцо пХп матриц
над К
I, /„ — единичная матрица
11
1р, д — матрица вида
р
1„ О
' >р
( ° М
г»—матрица вида I )
Е1к — матрица Окубо, (Elk)lm = Ь1т ъ\
det — определитель
Тг — след
< , >=/ — форма
/— матрица формы
< • > — форма полуторалинейная
симметричная
(•) — форма билинейная симметрич-
симметричная
<* > — форма полуторалинейная
антисимметричная
( * ) — форма билинейная антисим-
антисимметричная
(" ) Р' ч — форма билинейная симмет-
симметричная с матрицей Iv, q
(,) — скалярное произведение
5«—сфера (х, х) = 1 в Rn+^
L2(G) — пространство квадратично-
интегрируемых функций на G
Отображения (морфизмы):
ф() Ь<=В.
композиция отображений
пример, г|з )
(на-
(наотображение
обратное к <р
id — тождественное
ф-1 — отображение,
(ф-i ° q?=id)
Кег '[> — ядро ф
Im ф — образ ф
¦*—< изоморфизм
~ — изоморфизм и эквивалентность
- гомоморфность
к (V, W) — множество гомо-
гомоморфизмов V в W над К
— множество эндоморфизмов
всех автоморфиз-
Нот
End
Ant
Int
множество
мов
множество
морфизмов
внутренних авто-
Сопряжения и инволюции:
т — транспонирование
(*)—дуальное сопряжение
* — комплексное сопряжение
т — эрмитово сопряжение
~~ — дираковское сопряжение
¦—¦ — кватерпионное сопряжение
С — зарядовое сопряжение
Р — пространственное отражение
Т — отражение времени
Группы:
G/K (K\G) — однородное простран-
пространство левых (правых) классов
по подгруппе К
G//C — факторгруппа G по нормаль-
нормальной подгруппе К
gx — представитель класса x=gxK
k(g, x) — фактор
Z(G)—центр группы G
K(g) — (связная) компонента эле-
элемента G
X — прямое произведение групп
t> — полупрямое произведение групп
G — расширений группы G
С — накрывающая группа, простран-
пространство
G — (универсальная) накрывающая
группа, пространство
D(G, V)—представление группы G
в пространстве V
dim D — размерность представления
diiL, d[iR — мера Хаара левая, пра-
правая
DL, DR — регулярное представление
левое, правое
Dc>h, DQR — квазирегулярное пред-
представление левое, правое
Л с (g) — модуль группы
DG | д.— ограничение представления
на подгруппу К
?)д- ,о — индуцированное представ-
представление
%D(g)—характер представления
t, — сплетающий оператор
С [D, В] — пространство операторов,
сплетающих представления D
и В
D\ с — комплексная оболочка пред-
представления
D^n — вещественная форма пред-
представления
Du — компактная вещественная фор-
форма представления
Алгебры:
• — ассоциативное умножение
[, ] — композиция Ли, матричный
коммутатор
Hi — структурная константа алгеб- д
ры Ли
® — тензорное произведение опера-
операторов
Д — внешнее (грассманово) произ-
произведение
© — прямая сумма алгебр
I полупрямая сумма алгебр
T(V)—тензорная алгебра
S(V) — симметрическая алгебра
Л (V) — внешняя алгебра
C(V, f)—алгебра Клиффорда
Z(A)—центр алгебры А
AV\A®\... — производный ряд
A(iy ^B)' • • • — центральный ряд
31 —радикал
Der A — дифференцирования алгеб-
алгебры А
der А — внутренние дифференциро-
дифференцирования алгебры
Ж — форма Киллинга
С„ — оператор Казимира
ехр — экспоненциальное отображение
Ad (Л) — присоединенное представ-
представление алгебры А
ad» — присоединенный оператор эле-
элемента v
Классические группы, их алгебры Ли:
GL(n, К) 1 ,
glln К) I—°бЩая линейная груп-
группа Ли и ее алгебра Ли
5 — специальная группа (например,
SL(n, К))
s — алгебра бесследовых матриц
U — унитарная группа (например,
U(n))
и — алгебра эрмитовых матриц
О — ортогональная группа (напри-
(например, О(р, q))
о —• рлгебра антисимметричных мат-
матриц
Sp — симплектическая группа (на-
(например, Sp(n, С))
sp — симнлектическая алгебра
Группы и алгебры физической сим-
симметрии:
R
Rj
г —
lj —
Г —
у
А
группа вращений
— матрица вращений
алгебра вращений
генератор группы вращений
группа Галилея
алгебра Галилея
группа Лоренца
— матрица преобразований Ло-
Лоренца
собственная группа Лоренца
собственная ортохронная груп-
группа Лоренца
l
I — алгебра Лоренца
/оф — генератор группы Лоренца
Р — группа трансляций
р — алгебра Ли группы трансляций
рл —генератор группы трансляций
П — группа Пуанкаре
П? —собственная ортохронная груп-
группа Пуанкаре
к — алгебра Пуанкаре
з — матрицы Паули
? B), ? C)—гоуппа движения ев-
евклидовой плоскости, трехмер-
трехмерного пространства
Mt — пространство Минковского С C, 1) — алгебра Дирака
е', = tjki — структурные константы Y,,— образующая алгебры Дирака
алгебры о-матриц Г л — базисный элемент алгебры Дн-
ка — матрицы Гелл — Манна .
f"c —структурные константы алгеб- о[11| =-j [-(у, "(А
ры Ли Я-матриц Тб = 'ГоГ1ГгГз
dfrC — структурные константы сим- / — спин
метрической алгебры Л-матриц У — пшерзаряд
ПРЕДИСЛОВИЕ
За последние десятилетия групповые методы стали неотъ-
неотъемлемой частью фундамента квантовой физики. Особенно отчет-
отчетливо их значение проявилось в теории элементарных частиц,
где теоретико-групповой подход утвердился не только как пло-
плодотворный метод, но и как естественный язык, необходимый
любому специалисту в области физики высоких энергий.
Предлагаемое учебное пособие создано на основе курса «Тео-
«Теория групп и элементарные частицы», который на протяжении
ряда лет входит в учебный план подготовки студентов кафед-
кафедры теории ядра и элементарных частиц Ленинградского уни-
университета.
Авторы ставили своей основной задачей изложить на до-
доступном уровне результаты и методы теории представлений
групп Ли, ориентируясь главным образом на группы, нашед-
нашедшие широкое применение в теории элементарных частиц, пока-
показать эффективность группового описания явлений в квантовой
физике, подготовить читателя к усвоению теории групп, необ-
необходимому для глубокого понимания теории элементарных
частиц.
Книга предназначена для студентов III—IV курсов физиче-
физических факультетов, овладевших основами линейной алгебры и
математического анализа, знакомых с элементарными понятия-
понятиями топологии и теории дифференцируемых многообразий.
Глава 1 на примере механики материальной точки знакомит
читателя с важнейшими группами симметрии — Пуанкаре, Га-
Галилея и группой вращений. Здесь устанавливается органиче-
органическая связь динамики механического объекта и структуры ал-
алгебры Ли группы симметрии. На этой основе формулируются
важнейшие групповые задачи физической теории.
Глава 2 «Общая алгебра» содержит сведения из смежных
разделов математики, необходимые для построения теории
групп Ли и их представлений, которые, как правило, мало зна-
знакомы студентам.
Последовательному изложению теории групп Ли посвящены
главы 3, 4 «Топологические группы и группы Ли» и «Алгебры
Ли», где подробно рассматриваются топологические характе-
б
ристики групп Ли, их локальные свойства, структура алгебр
Ли и восстановление группы по алгебре. Наиболее изящные
результаты теории алгебр Ли (теория Картана — Вейля) при-
приведены в главе 5 «Полупростые алгебры Ли».
В главе 6 «Элементарная теория представлений» вводятся
основные понятия и важнейшие классические результаты тео-
теории линейных представлений (леммы Шура, свойства унитар-
унитарных представлений, инвариантное интегрирование).
В главе 7 подробно рассмотрены конечномерные представ-
представления полупростых алгебр Ли. Унитарные неприводимые пред-
представления компактных групп Ли (в частности, группы враще-
вращений и SU(n)) и конечномерные неприводимые представления
группы Лоренца строятся с помощью инфшштезимального
метода.
Результаты в главах 1—7 используются для анализа теоре-
теоретико-групповых аспектов современных моделей квантовой тео-
теории элементарных частиц. В главе 8 «Симметрия в квантовой
физике. Элементарные частицы» раскрываются роль симмет-
симметрии в классической и квантовой механике и специфика кзанто-
Еомеханпческпх представлений групп (проективность, унитар-
унитарность, связь элементарности физического объекта с неприводи-
неприводимостью представления группы симметрии).
Глава 9 «Индуцированные представления и релятивистская
симметрия» посвящена построению неприводимых квантовомс-
ханнческих представлений групп симметрии. Изложение теории
представлений групп Ли завершается рассмотрением метода
индуцированных представлений. С помощью этого метода стро-
строится система квантовомеханнческих представлений общей груп-
группы Пуанкаре. Разные способы выделения неприводимых под-
подпространств в пространствах состояний локализуемых частиц
порождают различные типы ковариантных уравнений движения.
Алгебраические методы в теории элементарных частиц до-
достигли такого уровня развития, при котором для изучения ори-
оригинальных работ оказывается недостаточно поверхностного зна-
знания теории групп. Поэтому авторы стремились привести точ-
точные формулировки основных положений и теорем. Последние
иллюстрируются множеством примеров и упражнений, пред-
представляющих физический интерес. В пособии затрагивается до-
достаточно широкий круг математических вопросов, что позволит
читателю составить общее представление о методах теории
групп и подготовить его к работе со специальной литературой
по теории элементарных частиц и при необходимости — по
теории групп.
Проработка доказательств важнейших положений теории
групп помогает глубже усвоить основные понятия и облегчает
их дальнейшее использование в физических задачах (с которы-
которыми может встретиться читатель) как рабочего метода. С этой
же целью отдельные этапы доказательств предлагаются в виде
упражнений. Если доказательство в этом плане не представ-
представляет интереса или требует привлечения обширного дополни-
дополнительного материала, оно вовсе опускается либо заменяется
схемой рассуждений и снабжается ссылкой на специальную
литературу.
Предлагаемое пособие не отменяет (более того, предпола-
предполагает) необходимости обращения к другим литературным источ-
источникам, поскольку служит целям начального обучения теории
групп. В этой связи прилагаемая библиография не претендует
ка полноту и ориентирована в основном на доступную читате-
читателю (не только в смысле изложения, но и в смысле досягаемо-
досягаемости) литературу. К ней же мы отсылаем читателя за ссылками
на пионерские работы и библиографически редкие (к настоя-
настоящему времени) издания.
В книге принята поглавная нумерация элементов текста
(теоремы, леммы, утверждения, примеры и др.). Исключение
составляют таблицы и рисунки, имеющие сквозную нумерацию.
Номера утверждений выделены полужирным шрифтом. Конец
каждого утверждения, доказательства, примера и других эле-
элементов отмечается знаком Ў или V. Последний используется,
когда один выделяемый элемент содержится в другом (напри-
(например, лемма внутри доказательства).
Авторы выражают глубокую признательность сотрудникам
кафедры теории ядра и элементарных частиц физического фа-
факультета ЛГУ за полезные замечания и пожелания. Авторы
чрезвычайно благодарны Н. В. Борисову, рекомендации кото-
которого помогли в работе над пособием.
ГЛАВА 1
СИММЕТРИЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
§ 1. Частица в ньютоновой механике. Наблюдаемые
величины, инерциальные системы отсчета и группа Галилея.
Активные и пассивные преобразования, принцип
относительности и физическая симметрия. Алгебра
наблюдаемых
Симметрия физической картины мира находит отражение
в широком использовании теоретико-групповых методов в фи-
физике. Хотя их систематическое применение для получения кон-
конкретных физических результатов свойственно квантовой тео-
теории, обратимся сначала к групповым аспектам классической
физики (которая традиционно развивается без явного обраще-
обращения к теории групп). При этом подчеркнем следующее обстоя-
обстоятельство.
A) Физика оперирует двумя основными понятиями: наблю-
наблюдаемыми (такими характеристиками рассматриваемого физи-
физического объекта или системы, которые могут быть измерены
каким-либо прибором) и состояниями данного объекта или си-
системы. В классической физике состояние считается заданным,
если указаны значения всевозможных наблюдаемых рассмат-
рассматриваемого объекта. Первоочередная задача любой физической
теории — подобрать математическую реализацию указанных ка-
категорий. V
Простейшим объектом ньютоновой механики является
материальная точка (в дальнейшем будем называть ее части-
частицей). Важнейшими наблюдаемыми частицы служат ее декар-
декартовы координаты хи, k=l, 2, 3, в какой-либо системе отсчета
(СО) в данный момент времени t. Областью значений t явля-
является вещественная ось R1. Основное свойство этой наблюдае-
наблюдаемой соответствует эмпирическому факту — «однородности вре-
времени», заключающемуся в том, что последовательность и темп
изменения взаимных положений системы взаимодействующих
материальных тел не зависят от момента времени t0, в котором
было приготовлено начальное состояние. Это позволяет из все-
всевозможных отображений R]^>-Rl выделить совокупность Я»
преобразований вида g(x) : t-*~f==t+x, которая обладает сле-
следующими очевидными свойствами:
B) любые два преобразования можно провести последова-
последовательно, что определяет третье, также принадлежащее данной
совокупности. Такое сопоставление называется композицией
(умножением) преобразований g(%i) и ?(тг) и обозначается
значком °:
9
C) существует тривиальное преобразование (заключающее-
(заключающееся в том, что на самом деле ничего не преобразуется), назы-
называемое тождественным. Другое название выделенного элемен-
элемента e=g@) из рассматриваемой совокупности — единичный
элемент, или единица:
g {-) ° е = ес g (х) ¦= g (-);
D) для любого элемента g(x) данная совокупность содер-
содержит преобразование, «возвращающее все на своп места», —
обратное преобразование (обратный элемент), обозначаемое
(ёЧт)) или ^"'(т). т- е- ё'"!(т) с g(x) =e. Очевидно, что об-
обратным элементом по отношению к g~l{x) является g{%), т.е.
g(t) °g-l(r) = e;
E) для композиции более чем двух преобразований, вооб-
вообще говоря, необходимо фиксировать последовательность их вы-
выполнения. Пусть сначала необходимо выполнить преобразова-
преобразование g(x[), затем — преобразование, являющееся композицией
g (тз) ° g (тг) • Удобным способом фиксации служит расстановка
скобок:
? К) = (я Ы °.? Ы) ° g Ы-
В этом отношении совокупность преобразований Ро обладает
свойством, называемым ассоциативностью, согласно которому
результат не зависит от способа расстановки скобок.
Например, для трех преобразований всегда
(g ('л) ° g Ы) °g(h) = g Ы) ° (g ("г) ° g (м)),
поскольку g(x2)^g(xi) =(
Свойствами B)—E) рассматриваемой совокупности преоб-
преобразований Ро обладают практически все достаточно полные на-
наборы преобразований эквивалентности геометрических объек-
объектов. В общем случае, если такие свойства присущи какому-
либо множеству G={g}, оно называется группой, а его эле-
элементы g^G — элементами группы. Таким образом,. Ро—группа.
F) Замечание. В качестве закона композиции элемен-
элементов (чисел) Т], т-2 е R1 для вещественной оси R1 можно взять
операцию арифметического сложения. Множество R1 с такой
композицией, как нетрудно проверить, обладает свойствами
B) — E) и, следовательно, является группой (единичным эле-
элементом которой служит число нуль). Именно этой группе мы
сопоставили Ро при рассмотрении свойства E). Это стандарт-
стандартный прием. Такие сопоставления (отображения) групп G и G',
при которых согласованы законы композиции, называются изо-
изоморфизмами групп (в более общем случае — гомоморфизмами.
Подробнее см. гл. 2).
ю
G) Замечание. Для любых элементов g(xi), g)
выполняется соотношение g(x\) ° g(%2) =ё(т:2)оё(ъ\) ¦ Это свой-
свойство называется коммутативностью. Для произвольной группы
коммутативность не предполагается. Т
Обратимся снова к механике. Областью значений коорди-
координат х частицы является евклидово пространство R3 (расстоя-
(расстояние р между точками хну определяется как p=[(x'i—У\J +
+ (л'2—УгJ + (хз—УзJ]-1"- В классической механике возмож-
возможность описания событий с помощью различных СО означает,
что в момент времени i связь координат частицы в системе
отсчета 2 и ее координат в ?' выражается соотношениями *>
xk{t)^Rkl{t)Xl{t) + ck{t) (й= 1,2,3). A)
Здесь R — произвольная ортогональная матрица (поскольку
расстояние р предполагается не зависящим от выбора СО),
ас — не зависящий от х вектор.
Существование класса физически выделенных СО (для дан-
данного класса формулируется принцип относительности) — важ-
важнейшее положение механики, выраженное первым законом
Ньютона. Системы отсчета этого класса принято называть
инерциальными (ИСО). Применение первого закона Ньютона
к системе V не взаимодействующих частиц позволяет прийти
г заключению, что связь A) координат в классе ИСО возмож-
возможна при R, не зависящих от t, а с — зависящих от него разве
что линейно: c = a + v/. Такие R и с определяют некую сово-
совокупность преобразований класса ИСО в себя, которая пред-
представляет собой группу и объединяется с временными трансля-
трансляциями Ро в группу Галилея Г.
Рассмотрим основные ее преобразования:
Ро: t-*tr — t-\--, х->х' = х, B)
pK3): t^>t' = t, х-^х' = х + а, C)
К: t-*t' = t, xk -> *; = - vk t -+- xk, D)
R. t-+t' = t, xk-+x'k = Rklxt. E)
Преобразования B) и (З) соответствуют изменению начала
отсчета времени и координат. Соотношение D) связывает си-
системы отчета, движущиеся с относительной скоростью v.
(8) Упражнение. Установите, что каждая совокупность
преобразований Р C) и К, как и Ро, является группой. (Ро —
группа временнь1х. трансляций, Р C)—группа пространствен-
пространственных трансляций, К — группа галилеевых преобразований.) V
Преобразования E) описывают поворот декартовых осей.
*) Здесь и далее по повторяющемуся индексу предполагается суммиро-
суммирование. Индексы, на которые нежелательно распространять это правило
Эйнштейна, будем заключать в скобки.
11
Последнему соответствует ортогональная .матрица /?
(det/?= + I, т. е. предполагаем, что все СО ориентированы
одинаково). Композиция таких преобразований описывается
матричным произведением матриц (которое, как известно, ассо-
ассоциативно). Тождественному преобразованию соответствует еди-
единичная матрица / с матричными элементами A)ы=Ьы- Здесь
б« — 6-символ Кронекера. Наконец, для любого преобразования
существует обратное, поскольку существует обратная матрица.
Следовательно, множество таких преобразований есть группа.
Она называется специальной ортогональной группой трехмер-
трехмерного пространства и обозначается 50C).
(9) Замечание. Группа 50C) некоммутативна. (Пока-
(Покажите это.) V
Совокупность координат х(а) каждой из частиц (а=1, 2,.
. . ., N) за время наблюдения составляет траекторию ее движе-
движения. Установление уравнений траекторий движения является
основной задачей механики. Для рассматриваемой системы эти
уравнения имеют вид (второй закон Ньютона)
ОТ.(в) X,;*) = F(a) (ХA), . . . , Х(Д')),
где F(a) — сила взаимодействия частицы (а) со всеми осталь-
остальными, определяемая потенциалом U : F=—dilfdx\ m(a)— мно-
множитель пропорциональности, являющийся наблюдаемой вели-
величиной— массой частицы (а).
Для описания состояния частицы с массой m(a) можно ис-
использовать значения наблюдаемых: координат х(а) и скоростей
х(а) или взаимно-однозначных функций от них, например коор-
координат Х(а) И ИМПуЛЬСОВ Р(а)= Ща)х(аУ
Действительно, в классической механике множеством на-
наблюдаемых для частицы является совокупность функций от
локальных характеристик ее траектории (х, х, х, ...). При
фиксированном характере взаимодействия (заданном потенциа-
потенциале U(xu ..., Х(#))) указанный набор характеристик полностью
определяется, если известны координаты и импульс частицы
в данный момент времени.
A0) Итак, множество состояний частицы (а) совпадает с
множеством Ф(а) пар векторов (х<а), Р(а)) =Ф(а> и называется 0а-
зовым пространством. Динамика объекта S0-*t : ф@)-мр(?)
(уравнения движения) задает на пространстве Ф семейство
фазовых траекторий.
Преобразование фазовых пространств Ф(а)-^Ф'(а) ПРИ пере-
переходе ИСО из одной в другую определяется действием группы
Галилея на пространстве координат (соотношения B) — E)).
На пространстве импульсов они имеют вид
/V Р'О = Р (' + *). F)
ЯC):р'@ = Р@. G)
12
v, (8)
k (9)
«(Эти соотношения можно получить, продифференцировав B)—¦
{5) по t и выразив скорость через импульс.) V
До сих пор мы рассматривали преобразования систем от-
отсчета — «пассивные» преобразования, т. е. относящиеся к одно-
одному и тому же состоянию. Однако наша задача состоит не
-столько в нахождении эквивалентных способов описания явле-
явления, сколько в отыскании классов эквивалентных явлений. Для
этого будем рассматривать активные преобразования, т. е. свя-
связывающие разные состояния, вообще говоря, разных объектов
(а) и (р).
A1) Пусть результаты физических исследований показы-
показывают, что, отвлекаясь от некоторых характеристик упомянутых
объектов, можно увидеть сходство последних и установить эк-
эквивалентность их пространств состояний Ф((Х)~ф(р)=ф, при-
причем динамика объекта (а) реализуется семейством фазовых
траекторий, настолько близких к траекториям объекта (р), что
их динамики также можно отождествить: S(a)=S(p)=S.
Обратимое преобразование g: Ф-MD будем называть пре-
преобразованием физической симметрии, если оно переводит фа-
фазовые траектории {%*)} объекта (а) в фазовые траектории
{<р(р)} объекта (р) (или в достаточно близкие (в подходящем
смысле), когда симметрия нарушена). Другими словами, пре-
преобразования g физической симметрии должны удовлетворять
соотношениям
g°S^t = S0^tog. A0)
Совпадение (близость) фазовых траекторий объектов (а) и (р)
гарантирует, что результат многократного применения преоб-
преобразований по-прежнему является преобразованием физической
симметрии:
Это означает, что совокупность преобразований физической
симметрии образует группу. V
Группа Галилея была введена нами как группа «пассивных»
преобразований. Рассмотрим свободное движение частицы (а)
в двух инерциальных системах отсчета 2 и 2'.
A2) На рис. 1 {<р} и {ф'} представляют собой фазовую
траекторию частицы (а) в системах 2 и 2'. Воспроизведем
в 2 кривую {г|>}, идентичную кривой {ф'} из системы 2'. Тогда
согласно принципу относительности Галилея состояние if @),
приготовленное в системе 2, будет развиваться по траектории,
совпадающей с линией {ij?} (в противном случае системы 2 и
13
2' не были бы эквивалентны). Указанное построение может
быть выполнено по любой исходной траектории {ср}, причем во
всех случаях {\J}}—фазовая траектория в системе 2. Таким
образом, преобразование группы Галилея g : S-vS' индуци-
индуцирует на пространстве Ф преобразование g : {ф}->-{г(:} множе-
Рис. 1.
ства фазовых траекторий в себя. Мы построили «активную»
реализацию группы Галилея и установили, что она является
группой физической симметрии. V
Следствия из этого обстоятельства выразим в терминах ско-
скобок Пуассона, для чего нам потребуется алгебра Ли у группы
Галилея.
Характерной чертой данной группы является существование
преобразований, сколь угодно мало отличающихся от тождест-
тождественного. Скажем, можно лишь «немного» сдвинуть СО, «слег-
«слегка» повернуть и т. д. Таким свойством не обладает, например,
группа преобразований, заключающихся в отражении х^-э—хк
любого числа координатных осей (она содержит конечное
число элементов!). Класс групп Ли, для которых такое свой-
свойство является необходимостью и которым принадлежит группа
Галилея, выделяется еще и тем, что совокупность достаточно
близких к единице элементов определяет естественную алгеб-
алгебраическую структуру — алгебру Ли.
Поясним это на примере вращений/? =50C). Малое, или
инфинитезимальное, преобразование R^S0C) имеет вид
1
где матричные элементы rhm — бесконечно малые числа. Их
можно считать параметрами инфинитезимальных преобразова-
преобразований, разумеется, с учетом того, что не все они независимы.
Условие ортогональности RTR — I в первом порядке малости
имеет вид гт + г = 0, т. е. требует антисимметричности г. В дан-
данном порядке малости произведение преобразований R и /?'
таково:
14
Следовательно, множество (пространство) антисимметричных
матриц г в некотором смысле линейно: по крайней мере его
элементы г и г' можно складывать, и сумме снова соответ-
соответствует инфинитезпмальное вращение: R?R'. Этому множеству
можно сопоставить линейное пространство. Для этого доста-
достаточно в матрицах г отделить какой-либо матричный базис еп
от малых параметров со,,: л=2 е^щ и образовать всевозмож-
всевозможные линейные комбинации z с элементами базиса ец, умножен-
умноженными па конечные числа, скажем гп:
z=^e.zr. A1)
(Такая процедура, разумеется, в значительной степени неодно-
неоднозначна.) Разобьем правую часть выражения A1) на такие сла-
слагаемые, каждое из которых соответствует вращению в опреде-
определенной координатной плоскости. Отметим, что таких плоскостей
ровно столько, сколько линейно независимых антисимметрич-
антисимметричных матриц. Действительно, пронумеровать эти плоскости
можно, скажем, мультииндексом T]=(t/), составленным из упо-
упорядоченных (?</) номеров координатных осей, лежащих в
данной плоскости. В качестве независимых матричных элемен-
элементов антисимметричной матрицы гкт можно взять элементы, ле-
лежащие над диагональю (к<т). Далее, в каждом слагаемом
нпфннитезпмальным параметром щц) выберем бесконечно ма-
малый угол поворота. (Для определенности положитель-
положительным углом договоримся описывать поворот от координатной оси
с меньшим номером к оси с большим.)
Поскольку конечный (активный) поворот i?(co(,,)) на угол
соц.!) в указанной плоскости есть преобразование
fх'Л /eosco(,7, — sin 1»(,7)\ fxt
^X'jj Uill W(,7) VOSW^:j)j\Xj
то инфиннтезимальное вращение имеет вид
t хк ->x'k = xk (kj=t, j),
/?(<¦>.//>): \(xt
A2)
/,
0
\
xt
A3)
Отметим, что мы не пользовались явным образом трехмер-
трехмерностью векторного пространства: все вышесказанное годится
для произвольной размерности п. Группа вращений векторов
в Rn, обозначаемая SO(n), называется" специальной ортого-
ортогональной группой п-мерного пространства.*)
*) Специальность означает, что ихп-ортогональные матрицы R преоб-
преобразований из этой группы подчинены условию detJ?=l.
15
Таким образом, искомый базнс инфинитезимальных преоб-
преобразований группы SO (п.) состоит из п(п—1)/2 антисимметрич-
антисимметричных матриц
hi) —
A4)
где указаны только ненулевые матричные элементы. Для запи-
записи матричных элементов базисных матриц в общем виде мож-
можно использовать 6-символы Кронекера:
Линейное пространство, определяемое этим базисом, называет-
называется алгеброй Ли группы SO(n) (алгебра обозначается строч-
строчными буквами: so(n)).
В общем случае алгебра Ли А— это линейное пространство,
на котором задан билинейный закон композиции — коммутатор
Ja, b] элементов а, Ь, с, ...еЛ, обладающий свойствами:
A3)
A4)
A5)
[а, Ь] 6 А;
\а, 6] = - [Ь, а};
[а, \Ь, с]] + [Ь, [с, а}
, [а, Ь]]=0. Ў
(Последнее требование носит название тождества Якоби.)
Разложение элементов А по базису 1а, где a — нумерующий
(мульти)индекс a=aala, b = bala, ¦¦¦ и билинейность лиевой
композиции [,] приводят к формулировке требования A3)
в виде [/«, k]=cl[>lv> гДе коэффициенты разложения стр пра-
правой части называются структурными константами данной ал-
алгебры Ли.
Элементы базиса алгебры Ли А какой-либо группы G при-
принято называть генераторами данной группы.
A6) Замечание. В силу отмеченного выше произвола
в выборе независимых (инфинитезимальных) параметров со
генератором допустимо называть любой элемент алгебры
Ли. В гл. 2—4 будет показано, что каждый элемент a^so(n)
определяет подгруппу в группе SO(n) (именуемую однопара-
метрической) элементов Ra{x) вида Яа(х) =ехр(ха), где пра-
правая часть представляет собой матричный ряд. Композиция
элементов из однопараметрической подгруппы имеет вид
ЯвЫ-ДаЫ = Яв К+ ¦=*)• Т
В случае so(n) законом композиции является матричный
коммутатор
-16 '-.
[a, b]=a-b — b-a?so(n), A6)
где а— 2 аШ(ц), 6= 2 ЫктЧ(кт). При этом требование A5)
удовлетворяется вследствие ассоциативности матричного умно-
умножения • в коммутаторе A6), а условие A4) тривиально.
Выражение A5) позволяет легко вычислить коммутатор
базисных матриц
Следовательно, структурные константы so(n) имеют вид
8«* 3;> Ks + hm *ir hs - \m hr \s - Зу* К Ks- A8)
Случай soC) уникален, поскольку при /г —3 размерность
п(п—1)/2 этой алгебры также равна 3. Поэтому мультииндекс
(ij) можно заменить на векторный по тем же правилам, что
и для векторного произведения соответствующих ортов в R3:
() Ч к)\
A9)
Вычисление трех независимых коммутаторов генераторов 1\
(/=1,2, 3) дает
[li. lj]=*ijklk (i,J, k = U 2, 3), B0
где для структурных констант алгебры Ли soC) (в базисе h)
использовано общепринятое обозначение
A7) Данные константы оказываются отличными от нуля
в том (и только в том) случае, когда i, j, k — какая-либо под-
подстановка чисел 1, 2, 3. При этом eijfe принимает значение
(—1)°(»' ь h\ где a(i, j, k) — четность указанной подстановки.?
Итак, соотношение B0) определяет структуру алгебры Ли
группы вращений. Из общей теории алгебр Ли можно извлечь
следующий рецепт воспроизведения Ли-алгебраической струк-
структуры для таких групп, как группа Галилея (подробнее см.
гл. 4).
A8) Пусть гс-параметрическая группа G задана как группа
преобразований (движений) некоторого многообразия Ж:
= gz- z,
Для частицы в качестве такого многообразия можно взять
просто координатное пространство R3, пространство-время R4
или фазовое пространство Фр,X—R6. В качестве групповых
2 Зак. № 152 17
параметров dv можно взять четыре параметра (т, а) в преоб-
преобразованиях B), C) пространственно-временных трансляций^,
три параметра v преобразований Галилея D), кроме того,,
имеется три параметра в подгруппе вращений R=SOC). Для
вычисления алгебры Ли нам достаточно трех инфинитезималь-
ных параметров сад)~Юй (см. соотношение A3)). Таким об-
образом, geF есть g(%, a; v; ю). Отметим, что единичному эле-
элементу соответствуют нулевые значения всех параметров;
()
В линейном пространстве #" ={f(z)} функций на многооб-
многообразии Ж каждому элементу группы движений G можно сопо-
сопоставить линейный оператор на SF—левый сдвиг Lg:
г). B1 >
Тогда генераторам /v группы G соответствуют (линейные) диф-
дифференциальные операторы
MSLU- B2>
Коммутирование этих операторов и определяет структурные
константы алгебры Ли исходной группы.
A9) Упражнение. Найдите указанные операторы для
трех реализаций многообразия^: R\, /?*х, Ф в случае груп-
группы Галилея, j
Введем следующие обозначения для генераторов группы
Галилея. Через lk по-прежнему будем обозначать генераторы
вращений, для генераторов пространственно-временных транс-
трансляций используем обозначение Р^ (\i=Q, 1, 2, 3) и для генера-
генераторов преобразований Галилея — обозначение Кг (/=1, 2, 3).
Путем несложных выкладок приходим к следующим коммута-
коммутационным соотношениям:
г/ / 1 - IMP 1 в Р \1 к~ 1 в к
l*ft> 'mj — kmn^n' L'*> ' mi kmn' m 1*й» '^mi kmn'^n'
I/*, Po) - [P*, PA = [Km, Kn] = [Pm, Ka] =0, B3)
[^o, Km] = Pm{k, m, n = \, 2, 3; (д., v = 0, 1, 2, 3).
B0) Упражнение. Получите данные соотношения.
B1) Поскольку у есть алгебра Ли группы физической сим-
симметрии, то она оказывается естественным инструментом для
построения наблюдаемых. Мы уже отмечали, что множество»
наблюдаемых, например для частицы (или системы частиц),
совпадает с множеством функций на фазовом пространстве.
Как известно, для подмножества вФ достаточно гладких (на-
(например, оо-дифференцируемых) функций на фазовом простран-
пространстве введение скобок Пуассона
, » , ч п / м VI I дА дВ дА дВ \ , „г л
|А(р, х), В(р, x))=>j—j—-J—j—U-BGrf,
18
наделяет эту совокупность структурой алгебры Ли (антисим-
(антисимметричность закона композиции B4) очевидна, а проверка вы-
выполнения тождества Якоби хотя и скучна, но принципиальных
трудностей не представляет).
В полученной таким путем алгебре наблюдаемых si- рас-
рассмотрим подалгебру, связанную с группой G физической сим-
симметрии рассматриваемой задачи. Каждой однопараметрической
подгруппе gia(k) этой группы с параметром А и генератором
1а сопоставим совокупность преобразований si- в себя:
А(р, х)-*А(#(Л)р, gi(b)*)=A(p(K), х(Л)). Тогда
вА dx(a)i дА dP{«)i
1
есть скорость вариации любой наблюдаемой А по параметру X.
Генератору 1а сопоставим наблюдаемую хя(р, х)—преобра-
х)—преобразующую функцию, такую, что для любой наблюдаемой А вы-
выполняется соотношение
ЬА
х=о
= (Х«, А) B6)
(см. [10, с. 263—300]). Отсюда и из равенства B5) следует,
что ха является решением системы уравнений
дх{а) , dl
_ dxW i
Х=0
x=o
B7)
и определяется с точностью до константы.
B2) Упражнение. Сформулируйте условие разрешимо-
разрешимости этой системы. V
B3) С одной стороны, коммутатор преобразований, отве-
отвечающих генераторам 1а, 1ъ и параметрам Я, а, порождает одно-
параметрическую подгруппу gz (в окрестности единичного эле-
элемента) в соответствии со структурой алгебры Ли группы С
(см. гл. 4), т. е. если z=c?ble и у — параметр этой подгруп-
подгруппы, то
(^Iх..-о = ^|т.о = ^{Хс.Л). B8)
С другой стороны, для левой части соотношения B8), запи-
записанной с помощью повторных скобок Пуассона, можно исполь-
использовать тождество Якоби. В результате получим соотношение
Нх„. X»}, А}=сеаЬ{хс, Л}.
Таким образом,, алгебра преобразующих функций с точносты©
до констант воспроизводит структуру алгебры Ли группы фи-
физической симметрии:
{la, Xb\=CCabXc + rlab. B9)
Симметрийное происхождение наблюдаемых ia не вызывает
сомнений.
Свобода сдвига любой преобразующей функции на констан-
ТУ 1аг+%а + Ьа, которую допускают соотношения B6), указы-
указывает на возможность устранения хотя бы некоторых постоян-
постоянных Г\аЬ.
B4) Пример. Предположим, что для преобразующих
функций /;(р, х), отвечающих генераторам вращения Ц, скоб-
скобки Пуассона оказались равными
{/((р, X), /,(р, х)}=еуй/4(р, x)+v).. (i, у, Л=1, 2, 3). C0)
Нетрудно заметить, что здесь всего лишь три произвольные
константы, ибо скобки Пуассона антисимметричны: тц5- = —цц.
Поэтому в качестве констант можно выбрать комбинации
gi = V2 (Ъз — Ъг) = "*32з. §2 = 1/г('1з1 ~ Ъз) = — ^з. h = Va (^12—
— Yj21) = 7j12, т. е. %b — i'l2rltjsijk- Тогда константы ~q следующим
©бразом выражаются через 8;*)
Следовательно, скобки Пуассона для функций I (р, х) =
= 1(р, х) — S воспроизводят структурные соотношения для гене-
генераторов 1 точно.
В данном примере нам удалось исключить все константы,
что не всегда возможно (ср. с B6)). Исчерпывающий ответ по
этой проблеме дает теория проективных представлений (см.
гл. 8, §2). Т
Выражения для преобразующих функций, связанных с груп-
группой Галилея (для системы взаимодействующих частиц), не-
нетрудно получить, пользуясь соотношениями B) — E) и F) —(9).
Например, для трансляций C) и G) уравнения B7) приобре-
приобретают вид
*) Здесь необходимо воспользоваться следующим свойством антисиммет-
антисимметричного тензора гаьс-
eabhe,iik=&<iibbi—6aj6(,i (a, b, i, j, k=\, 2, 3). C1)
Напомним, что всевозможные соотношения для этих тензоров можно полу-
получить суммированием индексов в левой и правой частях следующего основного
равенства:
8„
Так, при п = 3 возможны, кроме того, соотношения eajAeijA=2 6a<,
20
_ dP(
dP(a) I
— n
0 '
da,
Используя для решения обозначение хь = /\(р> х), имеем
C3)
т. е. наблюдаемая Рл(р, x) имеет смысл полного импульса
системы:
, х) =
B5) Замечание. Именно в связи с этим обстоятельст-
обстоятельством в качестве основных наблюдаемых для частицы удобно
брать не координату и скорость v=x, а координату и им-
импульс mv. V
В случае преобразований D), (8) приходим к уравнению
дКк(р, х) _ dP'(a) i _
-5UT
которому удовлетворяет функция
Кк(р, x)=—tPk(p,
C4>
Назовем ее галилеевым моментом. С помощью этой наблюдае-
наблюдаемой, как будет показано далее, описывается закон движения
центра масс хц м= 2! т(а)ЩаI 2 m,(a) рассматриваемой системы
(*) («)
частиц. Совершенно аналогично генераторам вращений сопо-
сопоставляются наблюдаемые
имеющие смысл компонент полного углового момента количе-
количества движения системы. Для краткости 1(р, х) будем называть
просто угловым моментом. Наконец, в случае трансляций во
времени получаем уравнения
9Р0(р.х)
P(a)i'
(р, х)
>)<
dz
1 А"
т=0
») /¦
Сопоставляя их с уравнениями движения в гамильтоновой
форме, можно сразу сделать вывод, что Ро(р, х) может быть
отождествлен с точностью до несущественной постоянной с га-
гамильтонианом Н рассматриваемой системы:
21
po(p, D'^
B6) Структура алгебры наблюдаемых C3) — C6) со скоб-
скобками Пуассона {,} в качестве закона композиции определяет-
определяется непосредственным вычислением. К такому же результату
приводит замена всех коммутаторов [,] в B3) на скобки {,}
за исключением [Р, К]=0. В этом случае имеем
. х), Kj(p, x)}=-btJM,
C7)
где неустранимая константа М — полная масса системы частиц
M^). Неустранимость констант в структурных соотноше-
ниях C7) является специфическим свойством группы Гали-
Галилея. V
Таким образом, основным наблюдаемым в классической ме-
механике однозначно соответствуют генераторы группы симмет-
симметрии рассматриваемой задачи. Остается только отметить, что
вследствие указанной симметрии построенные наблюдаемые
Р», Ki, 1} являются интегралами движения (обращаем внима-
внимание читателя на то, что стандартный вывод такого заключения
основывается именно на симметрийных соображениях).
B7) Замечание. Не вся группа Галилея содержится в
Fpynne симметрии гамильтониана: генераторы Ki с Ро не ком-
коммутируют:
\Р0(р, х), fCt(P, x)}=/Vp, x).
Тем не менее, сохранение во времени наблюдаемой К имеет
место вследствие явной зависимости К от времени:
o. K|=-P + P =
Постоянство величины К=—
<<*)
m(a)X(a)=const эквивалент-
но утверждению, что точка, имеющая координаты центра масс
О х<«)/^ = W + K'M C8)
шеремещается прямолинейно и равномерно со скоростью
V=P/M. Скорость V можно приписать частице с массой
M—I, т{а) и импульсом P=S p(a), равными соответственно
(«) («I
нолной массе и полному импульсу рассматриваемой системы.
22
•§ 2. Отличия механики специальной теории '
относительности от ньютоновой. Преобразования Лоренца
и группа Пуанкаре. Алгебра Ли группы Пуанкаре
зл реконструкция наблюдаемых
Известно, что область применимости ньютоновой механики
ограничена требованием малости скоростей объектов и скоро-
скоростей систем отсчета относительно друг друга по сравнению со
скоростью света. Следовательно, в реальном мире галилеева
симметрия реализуется лишь как приближенная. Однако это
не означает, что учет релятивистских эффектов приводит к
уничтожению симметрии: просто специальной теории относи-
относительности (СТО) соответствует симметрия другого типа. До-
Достаточно отметить, что в предыдущих рассуждениях мы опира-
.лись в основном на принцип относительности Галилея. В основе
СТО также лежит принцип относительности — Эйнштейна.
Исследуя рассматриваемую систему материальных точек
(частиц) в рамках СТО, прежде всего остановимся на тех мо-
моментах, которые нуждаются в изменениях или уточнениях.
Класс выделенных (инерциальных) систем отсчета в дан-
данном случае такой же, как и в ньютоновой механике. Обратим-
Обратимся к преобразованиям D), описывающим переход от системы
отсчета 2 к движущейся относительно нее со скоростью v си-
системе 2!'. Пусть х и х' — координаты в системах 2 и 2!' соот-
соответственно.
Принцип постоянства скорости света в различных ИСО
с2 dt2 - (dxf = с2 (dt'J — (dx'f = 0 C9)
определяет на пространстве-времени форму, универсальную
для всех таких систем. Использование данной формы для вве-
введения в пространстве-времени (псевдоевклидовой) метрики по-
позволяет сформулировать геометрически проблемы СТО. При
этом необходимы некоторые предварительные соглашения, по-
поскольку матрица g этой формы (метрический тензор) диаго-
нальна, но не кратна единичной: diagg=(l, —1, —1, —1):
B8) координаты точки в пространстве-времени суть компо-
компоненты контравариантного вектора и отмечаются верхним индек-
индексом. (Как правило, с этой целью будем использовать греческие
буквы |х, v, р, а);
B9) правило суммирования Эйнштейна (см. примечание
на с. 11), уточняется: повторяющиеся индексы должны быть
разной вариантности, т. е. один — верхний, а другой — нижний.
(Сворачивание индексов одной вариантности будем проводить
лишь в случаях, когда соответствующая метрика евклидова,
и при условии, что это заведомо не вызовет недоразумений.) Т
Таким образом, матричные элементы g следует писать с
нижними индексами: g^v. У единичной матрицы матричные
элементы есть символ Кронекера. В силу соглашений B8) и
23
B9) их следует нумеровать индексами разной вариантности:
6>V Тогда у обратной к g матрицы индексы верхние. Ее
матричные элементы g»v называются контравариантными ком-
компонентами метрического тензора. С помощью g^ и gv* можно
«опускать» и «поднимать» индексы. Нижними индексами нуме-
нумеруются ковариантные компоненты вектора:
Х^ = gp,v X .
Соотношение C9) теперь можно записать в виде
g^dx* dxv = g^dx'»- dx' = 0 (|i, v = 0, 1, 2, 3). D0)
(Здесь dx°=cdt, dx^—cdf.) Именно оно совместно с некото-
некоторыми другими естественными физическими предположениями
и определяет закон N преобразования координат от ИСО 2
к 2', движущейся с относительной скоростью v [30]:
л:0 -* х'° = 1 (v) х° — ? (v) vk xk,
N: ' г h tibn i D1)
*'* ()*»+[8 + (()l)^]l"
Мы использовали стандартное обозначение y(v) = (l—v2/c2)-'^
и распорядились масштабом длины [/] и времени [t] так, что-
чтобы скорость света с равнялась 1[/]/[/].
Выпишем здесь же соотношения для пространственных вра-
вращений и пространственно-временных трансляций. Эти преобра-
преобразования связывают покоящиеся относительно друг друга ИСО
и поэтому имеют одинаковый вид и в ньютоновой, и в реляти-
релятивистской механике:
v0 __v v-0' v-0
X -+X —X
xk->x'k = R*mxm (k, m = \, 2, 3),
P. x*^x'* = x*-{-a?- (ji = 0, 1, 2, 3). D3)
Совокупность преобразований D1) и D2) образует группу —
собственную ортохронную группу Лоренца А*.
C0) Просто группа Лоренца А определяется как группа
линейных преобразований х-*~х' в /?4, сохраняющих форму
(ds)i = gv.4dxv-dx\ D4)
называемую квадратом интервала.
Как нетрудно убедиться, это требование допускает преобра-
преобразования Л, меняющие знак нулевой компоненты вектора:
sign*/0 = —sign*0. При этом определитель матрицы преобра-
преобразования может принимать значения ±1. Требование специаль-
специальности: detA= + l выделяет в Л подгруппу, называемую соб-
собственной группой ЛоренцаЛ+. Подгруппа Л*сА, сохраняю-
сохраняющая знак нулевой компоненты х : sign*'0 = sign*0, называется
24
ортохронной группой Лоренца. Наконец, совокупность преоб-
преобразований, удовлетворяющая обоим требованиям, носит назва-
название собственной ортохронной группы Лоренца Л *_. Следующая
схема демонстрирует разложение Л в соответствии с собствен-
собственностью ( + ), несобственностью (—), ортохронностью (f) и не-
ортохронностью (|):
л =
Группа Л вместе с трансляциями Р D3) составляет неодно-
неоднородную группу Лоренца — группу Пуанкаре П.чр
Как в случае ньютоновой, так и релятивистской механики
мы выделили совокупность {2} инерциальных систем отсчета
в пространстве-времени R4 (в последнем случае оно называет-
называется пространством Минковского М4) и перечислили типы коор-
координатных преобразований D1) — D3), описывающих переходы
2-+-Е' и представляющих собой пассивную реализацию собст-
собственной ортохронной группы Пуанкаре П+. (В данной главе ГЦ
для краткости будем именовать просто группой Пуанкаре).
Обратимся к динамическим аспектам релятивистской меха-
механики и в полную меру используем принцип относительности
Эйнштейна. Для этого было бы достаточно дословно повторить
для группы Пуанкаре все рассуждения A2) и:
C1) построить реализацию данной группы активными пре-
преобразованиями;
C2) установить, что она является группой физической сим-
симметрии. Т
Необходимо только внести некоторые уточнения. Во-первых,
воссоздавая в системе 2' картину, аналогичную изображенной
на рис. 1, следует учитывать, что параметром кривой {<р'}
является преобразованное время f. Во-вторых, полагалось бы
уточнить способ описания состояний (фазового пространства
и фазовых траекторий), т. е. фактически дать определение ре-
релятивистского импульса частицы.
С этой целью используем наличие Пуанкаре-симметрии, по-
поскольку результат C2) не зависит от конкретного спосо-
способа описания состояний. В качестве компонент импульса по-
прежнему возьмем наблюдаемые, связанные с генераторами Рь.
группы пространственных трансляций D3). Тогда из предпо-
предположения существования импульса как основной переменной
гамильтоновой динамики и его симметрийном происхождении
сможем фактически вывести форму зависимости импульса от
скорости.
Таким образом, сначала необходимо реализовать алгебру
Ли группы Пуанкаре и установить коммутационные соотноше-
соотношения для ее генераторов. Реализуем генераторы дифференциаль-
дифференциальными операторами на множестве функций, заданных на про-
пространстве Минковского Mi, и для их вычисления используем
формулы B2) и D1) — D3). Для генераторов Пуанкаре транс-
трансляций и преобразований Лоренца получим
p = —
да*
dx v
*~~ dvh
— = —=(^ (ц, v = 0, 1, 2, 3), D6)
a-0 8x" dx'
^ = — xkdo + xodk (k = \, 2, 3), D7)
v=0
а для вращений, как и прежде,
L = *ikmXidk (i, k, m = l, 2, 3). D8)
В результате приходим к следующим структурным соотноше-
соотношениям алгебры Ли л группы Пуанкаре:
\1 / I = ?-ь / Г/, я 1 = е- я Г я- й-ь] = е ь / D9)
"[1ь'рв]'=0, {Стрк]'=^тРт, ' m m> E0)
[«„ Р0] = 0, [nt, Pk] = -blkP0, E1)
[Я,„ Pv]=0 (i, k, m=\, 2, 3; ц, v = 0, 1, 2, 3). E2)
В 4-мерных обозначениях l^v — —/V(J, = дг^ду — xvd^{nk = /Oft.
li = ?ikmlkm) эти соотношения записываются компактно:
f/чм, ioa] = (g> Ui + g-n I, ?чп I a gall), E3)
l./av, Pf]='(gW'Pv. — gMP-,), [Py., A]=0 ([X, V, p, O=0, 1,2, 3).
E4)
Теперь сформулируем исходные предположения.
C3) Динамика системы свободных частиц определяется га-
мильтоновыми уравнениями движения
0 л ^ =
где гамильтониан Н=1, Н{а) и Я(а) — энергия частицы (а).
(а)
C4) Ллгебра наблюдаемых $? — множество функций f на
фазовом пространстве Ф={(рA), х(]); ...p(N), x(N))} со скобка-
скобками Пуассона в качестве закона композиции (f\, /^2) —*-fs-
C5) Скобки Пуассона
26
(«)
не меняются при преобразованиях D1) — D3) (т. е. инвариант-
инвариантны относительно группы Пуанкаре). Как мы знаем, отсюда
следует, что генераторам этой группы с точностью до констан-
константы соответствуют наблюдаемые в s? — преобразующие функ-
функции. Скобки Пуассона для них воспроизводят (возможно,
с точностью до константы) структурные соотношения для гене-
генераторов.
C6) Импульс Р(а) совместно с х(а) описывает состояние ча-
частицы (а) (точку в фазовом пространстве Ф(а)) и является не-
независимой динамической переменной, взаимно-однозначно свя-
связанной с V(a)=d0X(a). В алгебре наблюдаемых импульсу соот-
соответствуют генераторы трансляций Р для частицы (ос). Это
означает, что преобразующая функция
¦г*(РA)> ХA)' • • •/ |для единственной ==Р(ч.) 1f Ў V"'/
частицы (а)
Отметим, что в C5) нами специально предусмотрена воз-
возможность отличия на константу скобочных структурных соот-
соотношений для преобразующих функций от Ли-алгебраических
для соответствующих генераторов группы Пуанкаре. В случае
группы Галилея мы столкнулись с неустранимостью таких кон-
констант, поэтому представляется принципиально важным остано-
остановиться на этой проблеме для группы Пуанкаре.
C7) Пусть скобки Пуассона, соответствующие коммутато-
коммутаторам D9) — E2), имеют вид
Kfti t-m)—Bkmn'n' I'Oft' 'oml = **/n 1 T*m>
\lk' ^Oml == s*tmn ton ~T~ rikmi {'¦In "ml ==zkmn' n~T~ ~mn> (?&\
{lm, po] = -pk+ak, {l,{, P0}=h, ( '
\kb Pm\ = ~Po + hm, IP*. PA = V,
где a, p, y> К т|, О и к — константы (здесь для краткости
lk = lk(p, х), .. .). Константы в первом соотношении (для 4)
мы устранили ранее (см. B4)). Произвол в выборе остальных
констант ограничен, во-первых, антисимметричностью скобок
E6), откуда ykm=—ymh, Хцу= ~У-уц, и, во-вторых, тождест-
вом Якоби.
C8) Упражнение. Покажите, что переопределением функ-
функций Рц, t^k устраняются все нетривиальные константы в пра-
правых частях E8). V
Возвращаясь к предположениям C3) — C6), можно отбро-
отбросить в C5) оговорку о возможности отличия на константу ско-
скобочных структурных соотношений от таковых в алгебре Ли
группы Пуанкаре. Без ограничения общности можно полагать,
27
что скобки Пуассона преобразующих функций воспроизводят
лиевы скобки генераторов группы Пуанкаре точно. V
Вычислим преобразующие функции. Для пространственных
трансляций в силу предположения C6) получим
.>*. E9>
Уравнения B7) для преобразующей функции трансляций во
времени
дР0(р,х)_
dxt
дР°fp> х) —
—
как и прежде, совпадают с гамильтоновыми уравнениями дви-
движения E5), означая, что генератору временных трансляций в
алгебре наблюдаемых соответствует полная энергия (гамиль-
(гамильтониан) рассматриваемой системы частиц:
Р0(р, х) = #(р, х) = 2#(.)- F0>
(")
Для преобразующих функций поворотов в плоскости {ik}
уравнения B7) имеют вид
(a) m
F1)
W ft.
где со — угол поворота.
На первый взгляд эта система определяет /,-ь(р, х) лишь
с точностью до произвольной функции c,-ft(x), поскольку пра-
правая часть уравнений F1) не известна:
1* (р. х)=
Однако из соотношения
следует, что функции с»(х) могут быть лишь постоянными.
(Обратим внимание на переход к равенству каждых слагаемых
в левой и правой суммах по частицам (а) в равенстве F3).
Для возможности такого перехода, вообще говоря, недостаточ-
недостаточно отсутствия взаимодействия частиц: желательно, кроме того,
предположить аддитивность наблюдаемых в F3)). Выбор по-
28
стоянных dh фиксируется при устранении констант в правых
частях C0): cih=0, т.е.
Подчеркнем, что отсутствие констант в правой части соотноше-
соотношений F3) существенно.
Аналогично если воспользоваться соотношением
Ко*, Рт\ = -^тРЛР> х), F5)
ТО ДЛЯ фуНКЦИИ /oft
/о*(Р, x)=2(A'o/W— Л») о *(.)*)• F6)
Таким образом, мы получили выражения для преобразую-
преобразующих функций группы Пуанкаре за исключением одной Р0(р,х),
являющейся гамильтонианом рассматриваемой системы. Про-
Проанализируем структурное соотношение
{'о*, Ро\=РЛР, х). F7)
Поскольку для свободной (и, следовательно, равномерно дви-
движущейся) частицы гамильтониан #(а)=р(аH не может зависеть
от Х(а), равенство F7) означает, что
На основании аддитивности приходим к соотношениям
(/V)oJ = (P(.)J + <), F8)
где т*а)—константы, зависящие, может быть, от номера части-
частицы. Величину /П(„) будем называть инвариантной массой, или
массой частицы (а).
C9) Замечание. Отметим, что константы интегрирова-
интегрирования выбраны положительными. Т
В качестве р(аH далее будем рассматривать положительное
значение корня от правой части F8)
,) + <). F9)
Поскольку в гамильтоновы уравнения движения входит ско-
скорость V(a)=dox(a), ее удается выразить через р(ау.
29
что в свою очередь несложно разрешить относительно импуль-
импульсов:
р. = Wi!^L=:m(a)v(a)T;v). ¦ G0)
У1- VU)
Как и следовало ожидать, если для малых скоростей отож-
отождествить константы интегрирования т^ с ньютоновой массой
частицы (а), то выражение для импульса совпадет с импуль-
импульсом ньютоновой механики.
Таким образом, для системы частиц в СТО с группой сим-
симметрии Пуанкаре мы построили такой же набор наблюдаемых,
как и в случае ньютоновой механики с группой симметрии
Галилея. Все эти наблюдаемые суть интегралы движения, что
нетрудно проверить. Наряду с введенными понятиями энергии
и импульса Ро(р, х) и Pk(V, х) для величин U{p, x) =
= Sikmthm{p, х) мы сохраним название компонент углового
момента, тем более, что выражения для них совпадают с C5)
(по форме зависимости от импульса, но не от скорости!). Как
и для группы Галилея, переменные /W(p, x) (назовем их ком-
компонентами лоренцева момента) отличаются от предыдущих
наблюдаемых явной зависимостью от времени /=лг°. Однако
частная производная лоренцева момента по t (равная Ри)
точно компенсируется скобкой {Ро, /Оа} в выражении для пол-
полной его производной по времени
(Р. х) _ д i , , р /о 1 _ о
Постоянство момента
/о* (Р. х) = xopk—
позволяет выделить точку хц и — центр инерции системы
частиц:
Хц. и = B/\в)о
4 («)
находящуюся в состоянии равномерного и прямолинейного дви-
движения (СО СКОрОСТЬЮ Уц.и=Р//эо)-
Для завершения построений полагалось бы проверить со-
совместность полученных результатов с исходными предположе-
предположениями C3) — C6). В частности, необходимо убедиться в соот-
соответствии скобочных соотношений E8) с законами преобразо-
преобразования импульса частицы, которые теперь могут быть вычис-
вычислены, поскольку известна его связь со скоростью Х(а), и мож-
можно исходить из формул D1) — D3) преобразования координат
30 ,-.-;
(и времени) лТ(а)ц. С этой задачей рекомендуем читателю спра-
справиться самостоятельно.
Рассмотрев в рамках ньютоновой механики систему свобод-
свободных частиц, мы убедились, что принцип относительности озна-
означает наличие физической симметрии, важнейшие наблюдаемые
указанной системы имеют симметрийное происхождение, а сама
алгебра наблюдаемых теснейшим образом связана со структу-
структурой алгебры Ли группы симметрии — в данном случае группы
Галилея. Вместе с тем в случае релятивистской механики си-
системы свободных частиц знание группы симметрии позволило
восстановить набор наблюдаемых и динамику физического
объекта. Таким образом, без явного преувеличения можно за-
заключить, что симметрия составляет основное содержание
физики.
§ 3. Ковариантность и лагранжев формализм. Теория
групп в классической механике
Симметрия, обусловленная принципом относительности (т. е.
утверждением о независимости (инвариантности) законов фи-
физики по отношению к какой-либо группе преобразований G),
делает возможной геометрическую классификацию на-
наблюдаемых по группе G. Так, например, в случае СТО на осно-
основании формул преобразования D1), D2) время х° и коорди-
координаты частицы xh можно рассматривать как компоненты А~век-
тора. Действительно, D1), D2) суть законы линейных преоб-
преобразований в четырехмерном векторном пространстве, осущест-
осуществляемых 4Х4-(псевдо)ортогональными матрицами Л J1: xv-*-x'v- =
=A^xv (p,, v = 0, 1, 2, 3). Таким же свойством обладает и
набор {рц} = (pOj p), включающий энергию частицы и состав-
составляющие ее 3-импульса, т. е. 4-импульс {р^} — вектор. Инва-
Инвариантные величины типа интервала ds (см. D4)) называются
скалярами, а набор величин 1^(р, x) — (lOk(p, x); /ьт(р, х)),
нумеруемых парой индексов \х, v = 0, 1, 2, 3, представляет со-
собой (антисимметричный) тензор второго ранга.
В соответствии с принципом относительности при переходе
в другую систему отсчета уравнения, выражающие законы при-
природы, должны сохранять свой вид: новые функции
состояния от новых аргументов должны удовлетворять уравне-
уравнениям того же вида, что и старые функции состояния от старых
аргументов. Данное свойство носит название ковариантности
уравнений. Оно предполагает жесткую взаимосвязь преобразо-
преобразовательных свойств различных наблюдаемых. (Наблюдаемые
хи, Рц, ly.v, ¦ ¦ ¦ обладают простейшими законами преобразова-
преобразования относительно группы Лоренца, а именно линейными.)
Ковариантность уравнений проще всего установить, если в
них используются переменные, сами обладающие этим свой-
свойством (т. е. организованные в наборы, одинаково определяе-
31
мые в различных ИСО). Компоненты 3-вектора Xi не кова-
риантны, что и служит основанием для перехода от параметри-
параметризации траектории частицы с помощью времени х0 к какому-
либо другому параметру т, взаимно-однозначно связанному с
л-0=л;0(т), а в остальном произвольному. (Этот произвол, ко-
конечно, необходимо сужать в связи с неудобством использова-
использования для каждой частицы отдельного параметра Х(а)' желатель-
желательно иметь один параметр для всех частиц).
Уравнения движения классической механики могут быть
получены на основании вариационного принципа (см., напри-
например, [10, 19]). Параметрическое задание траектории
Х(а) = Х(а) (т) (совместно с уравнением х0 = хо(х) определяющее
мировую линию частицы) позволяет сформулировать такой
принцип в ковариантном виде. Для этого достаточно (и необ-
необходимо) потребовать инвариантность действия 5:
где 3?—лагранжиан системы частиц; точкой обозначена про-
производная d/dr.
Следовательно, лагранжев подход позволяет достаточно
формализованно учесть наличие симметрии. При этом возни-
возникает теоретико-групповая задача — исследование преобразова-
преобразовательных свойств наблюдаемых. Она, как правило, сводится к
задачам тензорной алгебры.
Инвариантность действия относительно п-параметрической
группы преобразований G проявляется в существовании п не-
независимых интегралов движения (теорема Эмми Нётер). На-
Напомним, что инвариантность в гамильтоновом подходе позво-
позволила нам ввести все существенные наблюдаемые для системы
частиц.
D0) Замечание. В данном параграфе мы исходили из
принципа относительности и пассивной формы преобразований.
Ранее мы убедились, что это равносильно принципу физиче-
физической симметрии (напомним, что ее преобразования мы опреде-
определили как активные). Разумеется, что при использовании прин-
принципа относительности различие активных и пассивных преобра-
преобразований для физика не столь принципиально. Существуют,'
однако, физические симметрии, не имеющие пассив-
пассивной реализации (в связи с чем на них не распростра-
распространяется принцип относительности в стандартной формулировке).
D1) В механике примером этого является симметрия отно-
•ч
сительно преобразований Т отражения времени: дго->—х0. V
Реализовать указанную симметрию пассивными преобразо-
преобразованиями означает «сконструировать» такую СО (или прибор),
находясь в которой наблюдатель воспринимал бы каждую по-
последовательность реально развивающихся событий как «прокру-
«прокручиваемую в обратную сторону». Устройство, обладающее дан-
32
ным свойством, читателю хорошо известно под названием «ма-
«машина времени».
Другим примером симметрии, преобразования которой не
реализуются пассивно, может служить известная из курса
ядерной физики изотопическая симметрия нуклонов. V
Итак, на примере механики мы убедились, что симметрия
составляет -неотъемлемую часть здания физики, и, следова-
следовательно, для овладения последней необходимо знать теорию
групп, являющуюся аппаратом теории симметрии. В первую
очередь речь идет о строении и свойствах группы вращений
R =SOC), общей для симметрии Лоренца и Галилея (вслед-
(вследствие чего регламентируемые ею черты физической теории оди-
одинаковы в релятивистской и ньютоновой физике). Далее, имея
в виду теорию элементарных частиц, следует отдать предпоч-
предпочтение изучению групп Лоренца и Пуанкаре. Действительно,
кардинальные свойства элементарных частиц проявляются в
процессах столкновения и взаимопревращения, причем наибо-
наиболее интересные события происходят тогда, когда относительные
скорости частиц не малы по сравнению со скоростью света.
Как мы убедились, инфинитезимальная структура группы
симметрии сама позволяет выделить наиболее существенные
для данного физического объекта наблюдаемые и определяет
их свойства (алгебра этих наблюдаемых жестко связана с ал-
алгеброй Ли группы симметрии). Поэтому инфинитезимальный
метод в теории групп, заключающийся в сведении групповой
задачи к алгебраической, имеет также нетривиальное физиче-
физическое значение.
Мы видели, что исследование свойств ковариантности урав-
уравнений физики предполагает установление законов преобразо-
преобразования наблюдаемых. Наиболее простыми законами являются
линейные, и тогда описание свойств таких наблюдаемых (т. е.
тензоров) есть одна из задач теории представлений групп. Во-
Вообще говоря, эти законы не должны быть обязательно линей-
линейными, и потому обращение к данной теории в рамках класси-
классической физики не представляется закономерным. Однако пере-
переход к квантовомеханическому описанию физической реально-
реальности почти полностью погружает проблемы симметрии в область
теории линейных представлений.
3 Зак. № 152
ГЛАВА 2
ОБЩАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Понятие группы. Подгруппа. Пространство параметров.
Группы движений
В нерелятивистской механике на примере преобразований
Галилея мы убедились в существовании следующих свойств
преобразований симметрии g:
A) множество преобразований G={g} обладает бинарным
законом композиции (законом умножения) grg2=gs^G',
B) закон композиции ассоциативен: {gi-g2)-g3=gi'(g2-ga)'t
C) в множестве G имеется выделенный элемент е, такой,
что g-e=g и e-g=g;
D) каждому элементу g^G можно сопоставить g~l^Gy
называемый обратным к g, такой, что g~~i-g = e и g-g~{ = e.
Множество G={g}, обладающее данными свойствами
(групповыми аксиомами), называется группой, элемент е, удо-
удовлетворяющий свойству C), называют единичным элементом,
или единицей группы. Множества, характеризуемые только пер-
первыми тремя свойствами, называют моноидами, а при наличии
только первых двух •— полугруппами.
Отметим, что в конкретных случаях реализация абстракт-
абстрактной операции группового умножения может быть различной.
Например, множество Z целых чисел (или множество R веще-
вещественных чисел) обладает групповой структурой с операцией
арифметического сложения в качестве групповой композиции.
О множестве Z (или R) с этой композицией говорят, что оно —
аддитивная группа целых (или вещественных) чисел.
Это множество Z (или R) обладает еще одним законом
композиции — арифметическим умножением. Очевидно, что при
такой структуре Z — моноид. .Если из R «выколоть» единствен-
единственный необращаемый элемент (т. е. нуль), то множество
R;i.==R\0 является группой и называется мультипликативной
группой вещественных чисел. Читателю не составит труда дать
определение аддитивной (С) и мультипликативной (С*) групп
комплексных чисел. Менее тривиальные примеры доставляют
матричные множества с групповой композицией — матричным
умножением.
Рассмотрим, в частности, множество вращений g в /?п
x'i=gi}lxk. Вращение не меняет скалярных произведений, сле-
следовательно, 2 x'iy'i = 'Z х{у\ т. е. gT=g~l, ибо gT-g=I=e^
i I
34
Такие преобразования -координат и соответствующие матрицы
g называют ортогональными. Поскольку det gr=detg, то
detg=±l. Нетрудно проверить, что все групповые аксиомы
для рассматриваемого множества матриц, именуемого ортого-
ортогональной группой «-мерного пространства или группой O(n)t
выполнены.
Выберем из группы О (я) множество только тех элементов
g, для которых detg= + l. Оказывается, что оно также удов-
удовлетворяет всем групповым аксиомам, т. е. замкнуто относи-
относительно отображений gi-g2~*-g3 и g-*-g~}- Выделенная таким
способом группа называется группой специальных ортогональ-
ортогональных преобразований 50 (п). Сформулируем определение.
E) Подмножество в группе G, замкнутое относительно
групповых операций {~1 и •), называется подгруппой груп-
группы G. Т
Отметим, что все групповые
свойства формулируются аб-
абстрактно. Необходимо лишь ука-
указать абстрактное множество и
задать таблицу умножения, т. е.
бинарный закон композиции.
Реализации у одной и той же
группы могут быть различными.
Задание реализации группы
связано с введением «групповых
параметров». Распространенной
параметризацией группы враще-
вращений 50C) являются углы Зйле*-
ра ф, •& и г|5 (рис. 2), с помощью
которых может быть описано от-
относительное положение исходной 2 и повернутой 2' систем
координат. Введем преобразования
cos ср — sin <р
(I)
Рис. 2.
g, = sin
0<ср<2тг, 0<&О,
Тогда вращение, переводящее 2! в 2', может быть воспроизве-
воспроизведено последовательными преобразованиями A): g(<p, d, -ф) =====
=g$g$g<t>- Нетрудно видеть, что каждая из матриц ?ф, g®, g+
сама порождает подгруппу. Если к группе 50 C) добавить от*
ражение
35
w= ( -1 I B)
V —* /
я все произведения wg, gw, geS0C), то полученная совокуп-
совокупность преобразований совпадает со всей группой 0C). Эле-
Элементы w я е тоже образуют подгруппу в 0C). Эта подгруппа
W помимо того, что состоит всего из двух элементов, обладает
замечательным свойством:
F) каждый ее элемент коммутирует с каждым элементом
исходной группы G, т. е. wg = gw, w e W, g e G. Подгруппа из
всех таких элементов W = Z(G) называется центром.
G) Другую подгруппу, являющуюся центром, можно по-
получить, рассмотрев группу GL(n, К), называемую общей ли-
линейной группой над полем K—R (или С) вещественных (или
комплексных) чисел и состоящую из неособенных, т. е. обра-
обратимых, вещественных (комплексных) матриц пХп. Групповым
законом композиции в данном случае является матричное ум-
умножение, относительно которого групповой единицей служит
единичная матрица
'1
(8) Покажите, что совокупность матриц вида Я/, где k^R*
С), является центром в группе GL(n, К). V
Если центр совпадает со всей группой, то группа назы-
называется абелевой (или коммутативной).
Абелевыми группами являются:
(9) группа трансляций Р (п) в векторном пространстве Rn
p(n) = {t(a) :У х, x^t(a)x=x+a, a^Rn}. Элемент e=t(O)~
единичный элемент, t~{(a)=t(—а)—обратный. Область из-
изменения параметров: a^Rn.
A0) Группа вращений плоскости SOB) и 0B). Группу
SOB) можно рассматривать как подгруппу в S0C).
A1) Группа дискретных вращений плоскости — совокуп-
совокупность поворотов {g(<p)} на угол <р, целый кратный фиксирован-
фиксированному углу ct:<p = mct. Если при этом число а — рациональное
кратное л, то группа исчерпывается конечным числом таких
вращений. Группа называется конечной, если содержит лишь
конечное число элементов, у
Обратимся к специальной линейной группе SL(n, К) а
cGL(n, К) (условие специальности выделяет в GL(n, К) под-
подмножество матриц с единичным детерминантом). Для G' =
=SL(n, К) условие F) не выполняется. Зато для G' справед-
справедливо gG'=G'g или gG'g-l = G'.*^ Действительно, для любых
*) Произведение вида gS элемента группы g на какое-либо подмноже-
подмножество SczG есть сокращенная запись множества {gs: s^S}. Аналогично
RS = {rs : S}
36
g^ GL(n, К), g'e G' элемент g = gg'g'1 принадлежит G', по-
поскольку det g== det g'= 1.
Подгруппа G', удовлетворяющая условию gG' = G'g,
g^GzDG', называется нормальной (или инвариантной) под-
подгруппой. Отметим, что центр всегда является нормальной под-
подгруппой. В общем случае произвольной подгруппы HaG мно-
множество K = gHg-l={ghg-\ h^H) не совпадает с Я. Не со-
составляет труда проверить, что подмножество К само является
подгруппой в G. Подгруппы Я и К, связанные соотношением
K=gHg~l для какого-либо geG, называются сопряженными.
Рассмотрим подгруппы {§ф} и {g&} в SOC). Чтобы убе-
убедиться, что они являются сопряженными, достаточно указать
элемент geS0C), такой, что g{g4}g^l== {g#}. Очевидно, что
в качестве g можно взять преобразование, переставляющее
/ п
координаты 1 и 3, например g= I,1
— sin cp
cos cp
' 1,
Для матричных групп, таких, как 50 C), не вызывает ни-
никаких затруднений введение экспоненциальной параметризации,
поскольку для любой матрицы ее абсолютно сходится ряд
2rj- aft==exp а. Например, для матрицы ф/12=ф 1 су-
к ¦ \ О/
ществуют и легко вычисляются матричные элементы ряда
ехр ф /]2 с произвольным параметром q>^R:
(cos tp —sin cp \
sincp cos a. ]?{g}.
1/
В этом представлении ехр ф1 / ехр ф2/=ехр(ф1 + ф2)/. Таким
образом, экспоненциальное отображение устанавливает некое
соответствие (далее такое соответствие будем называть гомо-
гомоморфизмом) аддитивной группы R с подгруппой {g<p}czG. Под-
Подгруппы, характеризуемые таким свойством, будем называть
однопараметрическими. Ясно, что подгруппа, сопряженная
однопараметрической, и сама является таковой.
Матрица /, экспоненциальное отображение которой ехр<р/
порождает однопараметрическую подгруппу Я матричной груп-
группы G, есть генератор группы G. В частности, li2 ¦— один из ге-
генераторов группы 50C) (см. A.19)). Поскольку операцию
сопряжения можно применить к каждому слагаемому экспо-
37
инициального ряда и далее разнести к каждому множителю, то
генератором сопряженной (относительно элемента g^G) под-
подгруппы Hr=gHg~1 является l'=glg~l. В рассматриваемом
примере матрица сопряженного 1\% генератора в подгруппе {g$}
имеет вид
A2) Упражнение. Установите взаимную сопряженность
©днопараметрических подгрупп группы 50C) (что, вообще го-
говоря, для произвольной группы не имеет места). С этой целью
покажите, что преобразования из этих подгрупп суть враще-
вращения вокруг фиксированной оси. Т
Установим, каково минимально необходимое число п веще-
вещественных параметров, с помощью которых можно охарактери-
охарактеризовать (задать) любой элемент группы вращений. В общем
случае это число называется размерностью группы G, а сама
группа — п-параметрической.
Поскольку для 50C) каждому преобразованию почти одно-
однозначно соответствует набор углов Эйлера ср, О, г|) в области,
указанной в A), то этот набор минимален, т.е. SOC) —3-па-
раметрическая группа. Аналогичный вывод уже был сделан
в гл. 1 относительно некоторого подмножества элементов из
SOC), достаточно «близких» к единичному.
A3) Упражнение A2) приводит к иной параметризации
группы 50C) путем задания угла поворота а и оси вращения
п (определяется двумя параметрами). Необходимо только со-
согласовать направления поворотов. Используем свойство преоб-
преобразований 50C) не менять ориентации репера /i={h(i)}
(t=l, 2, 3) (ориентированный объем V(h) параллелепипеда,
построенного на векторах репера, при вращениях не меняется).
Для положительных значений ее в качестве поворота gn (a)
выбираем тот, который осуществляет вращение в плоскости
{h(i), hB)} от вектора h(i) к вектору hB), если hC)=n и репер h
имеет одинаковую ориентацию с репером ортов
1, 2 и 3.
При рассмотрении однозначности такой параметризации не-
необходимо учесть следующие очевидные соотношения: [gn (a) ]-1 =
i=gn (—a) =g~n(a) =?пBя—а). Таким образом, если вектор п
пробегает всю единичную сферу 52, то область изменения пара-
параметра а следует ограничить интервалом [0, я]. Значит, совокуп-
совокупность элементов группы S0C) может быть взаимно-однозначно
отображена на внутренность сферы радиусом л: каждому век-
вектору ы=ап из этой области соответствует поворот gn(a)
(рис. 3). Диаметрально противоположные точки на границе этой
области необходимо отождествить, поскольку в 50C) справед-
справедливо соотношение gn (я) =g-n (я).
38
Рис. 3.
Проследим поведение точек в рассматриваемой области соот-
соответствующих последовательному применению преобразования
gn(<x), а=т^0, т. е. степеням
lg«(a)]\ k=±l, ±2, ...
Все они лежат на прямой л и
даже при небольшом а равно-
равномерно удаляются в простран-
пространстве параметров от центра
сферы и проходят полуотрезки
от 0 до ±яп за конечное чис-
число шагов. Следовательно, лю-
любой элемент группы SOC)
может быть представлен как
конечная степень некоторого
элемента, изображающая точ-
точка которого находится в е-
окрестности центра сферы.
A4) Подмножество S эле-
элементов группы G называется порождающим, если достаточно
конечного числа произведений элементов seS и их обратных,
чтобы получилось все множество G. Элементы порождающего
множества называются образующими группы.
Если S ¦— конечное множество, то группа называется конеч-
конечно-порожденной.
A5) Пусть группа G является группой преобразований
(движений) множества X с элементами (точками) х, у, . . .еХ
Про G говорят, что она действует на X, а (левое) действие ее
элементов, скажем, g : х-*-у, обозначается так: x-^gx = у е X.
При этом предполагается, что gi(g2x) = (gig2)x и ех=х для
всех хеХ. (Для правого действия соответственно (xg\)g2=
=x(gig2) и хе=х). Само множество X называется G-модулем
(или G-пространством).
Возьмем некоторую точку xq e X и рассмотрим множество
точек Gxo={gxo: g^G}. Оно называется орбитой группы
G в X. Подмножество GxaaX само является G-модулем. Ха-
Характерным свойством орбиты является то, что для любой пары
х, у принадлежащих ей точек всегда найдется элемент g^G,
такой, что y=gx. Это свойство называется транзитивностью,
а G-модуль с таким свойством — однородным.
Рассмотрим для некоторой фиксированной точки хое1 со-
совокупность Я элементов /ieG, таких, что пхо=хо. Как легко
заметить, Н является подгруппой в G. Она называется группой
стабильности точки х0 (малой группой точки х0).
Возьмем в качестве примера G = SOC). Пространство R3
является G-модулем. Сфера Sj; с любым радиусом • р в
R3zdS* = {х : х2=р2} является однородным 50C)-модулем.
Наконец, группой стабильности любой точки xeSp является
(однопараметрическая) подгруппа вращений вокруг оси л=х/р.
39
A6) Упражнение. Докажите, что группы стабильности
Нх и Ну любых двух точек х, г/еХ однородного G-модуля Х
сопряжены в G.
§ 2. Отображения групп. Гомоморфизмы. Факторгруппа.
Виды гомоморфизмов
A7) Рассмотрим группу 0C). Известно, что у нее есть
центр W= {e=/, w——/}. Разобьем все множество элементов
группы 0C) на следующие классы: пусть ge0C); возьмем
элементы g-e и g-w = w-g и объединим их в один класс. По-
Поступим так со всеми ge0C). Тогда если элемент g принадле-
принадлежит некоторому классу, то он не принадлежит никакому
другому.
Группа 0C) оказалась разбитой на попарно непересекаю-
непересекающиеся классы. Сопоставим всякому классу тот его элемент,
определитель которого равен +1 (такой элемент g+ есть в каж-
каждом классе). Полученный закон задает отображение множеств
Здесь мы использовали очень важный прием построения смеж-
смежных классов в групповом множестве.
Дадим соответствующие определения.
A8) Пусть Н — подгруппа в группе G. Тогда:
а) множество элементов gH={g-h} называется левым
смежным классом в G по подгруппе Н;
б) множество Hg называется правым смежным классом по
той же подгруппе;
в) элемент g в gH (или в Hg) называется представителем
класса.
A9) Смежные классы обладают следующими свойствами:
1) они разбивают множество элементов группы G на непе-
непересекающиеся подмножества;
2) представители этих классов определяются неоднозначно.
Любой элемент из смежного класса может быть выбран пред-
представителем. Пусть g'^gH, т. е. g'=gh'. Тогда g'H'=gh'H'=g#;
3) подгруппа Н (как множество) является смежным клас-
классом единичного элемента е.
Множество (пространство), элементы которого суть левые
(правые) классы смежности gH(Hg) называется левым (пра-
(правым) факторпространством G по Н и обозначается G/H (соот-
(соответственно H\G).
B0) существует естественное отображение q>: G^-G/H (ска-
(скажем, для левого):
Данное отображение <р называется каноническим.
40
B1) Перейдем теперь к случаю, когда Н — нормальная под-
подгруппа в G. Свойства смежных классов по нормальной под-
подгруппе таковы:
1) gH=Hg по определению нормальной подгруппы;
2) gHg-lH=H=eH=e';
3) HgH=gH или eHgH=gH;
4) g\.Hg2H=g\g2H, что позволяет ввести закон композиции
на множестве смежных классов (giH) ¦ (g2H) = (gig2H). Ассоци-
Ассоциативность и указанные свойства означают, что этот закон компо-
композиции является групповым. Группа смежных классов в G no-
нормальной подгруппе Н с законом композиции (giH)¦{g2H)=
= (gig2^) называется факторгруппой G/H группы G по под-
подгруппе Н. 1
Построенные в примере A7) смежные классы OC)/W об-
образуют группу (центр всегда является нормальной подгруп-
подгруппой!).
Таким образом, если в группе G есть нормальная подгруп-
подгруппа Н, то каноническое отображение q>: G^>-G/H обладает свой-
свойством
B2) Отвлечемся от метода построения ф и рассмотрим
отображения групповых множеств с аналогичными свойствами:.
lfte)f(W() G f()G'
l-fteiga)f(giW(g2), gbg2eG, f(g)
Отсюда вытекают следующие соотношения.
2. f(e)=ef, где е и е' — единичные элементы групп G
и G' соответственно;
1
f(g) (f(g))
Отображение f группы G в группу С, обладающее указан-
указанными свойствами, называется гомоморфизмом группы G в G'.
В частности, если Н — нормальная подгруппа в G, то канони-
каноническое отображение q>: G^>-G/H является гомоморфизмом. На-
Назовем его каноническим гомоморфизмом G в G/H. Y
Приведем примеры гомоморфизмов:
B3) 0C)^-50C) —построенное в примере A7) отображе-
отображение;
B4) Z^>-Zn — отображение аддитивной группы Z целых чи-
чисел в (аддитивную) группу классов вычетов по модулю п (см.
также пример F2));
B5) GL(n, C)-»C*, где f(g) = detg, gzsGL(n, С);
B6) GL(n, C)^C*, где f(g) = |detg|, g<=GL(n, С);
B7) SOB)-*-SOC). Здесь образ f(g) для 2X2 матрицы,
S02)
1
\0 О Г
41
Образ гомоморфизма Imf есть множество {f(g), ge G} об-
образов всех элементов из G. (Im f не обязательно совпадает с
G'. — См. примеры B6) и B7)).
Прообраз Ker f единичного элемента называется ядром го-
гомоморфизма.
Данные нами определения проиллюстрированы рис. 4, где
условно изображен гомоморфизм f группы G в G'.
Основные свойства вве-
введенных объектов сформули-
сформулируем в виде теоремы, дока-
доказательство которой предла-
предлагаем в качестве упражне-
упражнения.
B8) Теорема. Образ 1га /
и ядро Кег f гомоморфизма
f: G^r-G' являются подгруп-
подгруппами соответственно в G'
и G, причем Kerf — нор-
Рис. 4. мальная подгруппа в G. j
Гомоморфизмам с неко-
некоторыми частными свойствами соответствуют специальные на-
названия.
Мономорфизм (инъекция, или инъективный гомоморфизм)—
это гомоморфизм, ядро которого тривиально: Ker f=e (рис. 5).
В примере B7) отображение f группы 50B) в 50C) яв-
является мономорфизмом.
Отметим, что для мономорфизма каждый элемент g'elmf
имеет только один прообраз, и, следовательно, отображение f
на подмножестве Im f обратимо.
Эпиморфизм (сюръекция, или сюръективный гомомор-
гомоморфизм) — это гомоморфизм f: G-*-G', образом которого являет-
является вся группа G', т. е. f есть отображение «на» (рис. 6). Пред-
Предлагаем читателю указать эпиморфизмы в примерах B3)—B7).
Рис. 5.
Рис. 6.
Отображение f : G-*-G', являющееся инъекцией и одновре-
одновременно эпиморфизмом, называется изоморфизмом (биективным
отображением, или биекцией),- а' сами группы G и G' — изо-
42
морфными. В этом случае Кег/=ё и Im/=G'. Следовательно,
/ обратимо, и нетрудно проверить, что обратное отображение
/-1 также является изоморфизмом. Таким образом, изомор-
изоморфизм есть отношение эквивалентности. Для его обозначения
будем использовать символ «. Символом ~ будем обозна-
обозначать наличие (нетривиального) гомоморфизма групп, скажем,
G~ G' (когда «направление» отображения заведомо известно
либо несущественно).
Для закрепления этих понятий предлагаем читателю само-
самостоятельно доказать следующее утверждение.
B9) Теорема. Гомоморфный образ группы изоморфен фак-
факторгруппе по ядру гомоморфизма (т. е. Ira/» G/Ker/). у
Гомоморфизм / группы G в себя называется эндоморфиз-
эндоморфизмом.
Инъективный эндоморфизм / : G^-G по теореме B9) яв-
является изоморфизмом и называется автоморфизмом.
Ясно, что отображение G-*-G, задаваемое.последовательным
применением двух разных автоморфизмов /i и /г, также явля-
является автоморфизмом. Таким образом, множество автоморфиз-
автоморфизмов группы G естественным образом наделяется законом ком-
композиции (ассоциативным). Тождественное отображение
id: G—*-G, id(g)=g относительно этого умножения является
единицей, а обратный изоморфизм /~!—обратным элементом к /.
Множество Aut G всех автоморфизмов группы G (с опре-
определенным выше законом композиции) называется группой всех
автоморфизмов данной группы.
Свойства гомоморфизмов группы удобно формулировать в
терминах диаграмм.- Рассмотрим, например, диаграмму, порож-
порождаемую гомоморфизмом теоремы B9):
О -^ Н
Здесь ф—-канонический гомоморфизм G в G/Ker/, а т — тож-
тождественное вложение (мономорфизм) группы Im/ в Н. Диа-
Диаграмма называется коммутативной, если для любой пары групп
все соединяющие их цепочки гомоморфизмов таковы, что их
образы на любом элементе исходной группы совпадают.
Если в диаграмме C) г|) — изоморфизм, существование ко-
которого утверждается теоремой B9), то данная диаграмма ком-
коммутативна. Наоборот, если потребовать, чтобы диаграмма
D)
43
была коммутативной, то гомоморфизм /', обеспечивающий та-
такое свойство, единствен. (Он равен xoty-1. — См. диаграмму
C).)
В теории групп важную роль играют точные последователь-
последовательности
Лг-2 „ ^л-1 „ fn ,-, ^и+1
... — Gn_x — -* Gn —» Gn+1 —-»...,
такие диаграммы, у которых всякий образ предыдущего гомо-
гомоморфизма является ядром последующего (см., например, рис. 7).
C0) Упражнение. До-
Докажите, что точность для по-
последовательности
/
а) e-^G-^H;
б) G-^H-^e;
в) e-*-G-*-H-*-e
эквивалентна тому, что гомо-
гомоморфизм f является: а) моно-
Рис. 7. морфизмом; б) эпиморфиз-
эпиморфизмом; в) изоморфизмом.
C1) Упражнение. Постройте такие гомоморфизмы /,-,
Л /г
чтобы последовательность е->22->0C) ->5ОC) -*-е была
точна. Т
В последнем упражнении мы оперируем последователь-
последовательностью вида
е->Н ->G->K->e. E)
C2) Упражнение. Покажите, что утверждение о точно-
точности последовательности E) эквивалентно следующему:
1) Н — нормальная подгруппа в G;
2) K^G/H.
C3) Если при данных группах К и Н группа G может быть
включена в точную последовательность вида E), то она на-
называется расширением группы К по группе Н.
§ 3. Прямое произведение групп, прямая сумма
абелевых групп. Полупрямое произведение.
Двойные классы смежности
В C3) мы дали определение расширения G группы К по
группе Н. Всегда ли такая группа G существует? Каковы бы
ни были группы К и Н, существует хотя бы одно расшире-
расширение G. (В зависимости от свойств К и Н неизоморфных рас-
расширений может быть даже много.)
44
C4) Действительно, возьмем множество, являющееся пря-
прямым произведением множеств К и Н: G=KXH={(k,h): k<=K,
/геЯ}, и определим в нем закон композиции для элементов
g'=(kf, h')f=G и g"=(k",h")^G, положив
g>.g» = g = (k'k", h'h"). V F)
Множество G содержит единичный элемент относительно ум-
умножения F)
« = (*«. e*)€G, G)
где ек и ен — единицы групп К и Я соответственно.
Все остальные групповые аксиомы A) — D) также выпол-
выполнены.
Далее, у построенной группы G есть естественные гомомор-
гомоморфизмы Ри Р2 на исходные группы К и Я:
(ft, h)Xk (KerP1 = {(ejf, /г)}), (g)
(A, h) %h (КегЯ2 = {(й, ен)\).
Ядра этих гомоморфизмов изоморфны соответственно группам
КегР)»//, Кег Р2~К, что определяет мономорфизмы (вло-
(вложения) групп К и Я в G:
т2 = КегЯ,).
Следовательно, G — расширение и не только К по Я, но и Я
по /С.
Определенная таким способом группа G называется пря-
прямым произведением групп К и Я.
C5) Рассмотрим пример G = SL(n, K)XSL(m, К). Пусть
?г-,- и /гге — матричные элементы матриц k^SL(n, К),
h^SL(m, К). Элемент (k, К) прямого произведения также
можно представить матрицей (п -f- rn) X {п + т):
A0)
о ц/„||)
Нетрудно проверить, что умножение этих матриц действитель-
действительно реализует закон композиции F). Ў
На основании определения C4) прямого произведения групп
отметим, что элементы (k, eH) и (ек, К) коммутируют друг
с другом. Такое свойство является одним из характеристиче-
характеристических свойств групп, представляющих собой прямое произве-
произведение.
45
Сформулируем критерий представимости группы в виде
прямого произведения подгрупп.
C6) Теорема. Пусть группа G имеет подгруппы /Си//, та-
такие, что:
2) KH=G,
3) kh=hk (/г<=/С )
Тогда отображение KXH-^G по правилу (k, h)^-kh есть изо-
изоморфизм.
Доказательство теоремы предлагаем читателю провести са-
самостоятельно. Т
Отметим, что операцию прямого произведения групп можно
определить для произвольного числа «прямых сомножителей»,
и данная операция ассоциативна. Специально отметим случай^
когда все «прямые сомножители» суть абелевы группы. (Ясно,
что при этом прямое произведение также принадлежит множе-
множеству абелевых групп.)
При конечном числе (аддитивных) абелевых групп их пря-
прямое произведение принято называть прямой суммой. (Подроб-
(Подробнее см. [18,гл. 1]).
Приведем в качестве примера векторное пространство Rn
(или С") — абелеву группу, которая есть прямая сумма п эк-
экземпляров аддитивной группы R (или С).
C7) Обратимся к менее тривиальному способу расширения
группы К по Н — полупрямому произведению, которое будем
обозначать К\>Н. Для его построения необходимо существова-
существование нетривиального гомоморфизма /C-^-Aut Я, сопоставляющего
любому элементу k^K автоморфизм группы Я:
k:h->h' = x{k)h. A1)
Тогда на прямом произведении множеств KXH=G определим
композицию, положив
(й,, h,)-(k2, A,) = (M2. Ai (X (*i) *2)>. A2)
Предлагаем читателю самостоятельно убедиться, что это груп-
групповой закон композиции. (Проверьте, что единичным элемен-
элементом в G является (ек, ен), а обратным к (k, h) —элемент
C8) Важнейшим для нас примером полупрямого произве-
произведения является группа Пуанкаре П. В пространстве Минков-
ского ее преобразования пе П имеют вид
тг = 7г(я, A):/^xv = AU' + flf. A3)
Здесь порядок выполнения операций Л и трансляций общепри-
общепринятый: п(а, А)=я(а, е)°я@, Л). Если для подгруппы транс-
трансляций Р с П (неоднородной части преобразований A3)) ис-
использовать аддитивность параметров a^R4 при групповой ком-
46
позиции, то любому элементу Л группы Лоренца Л можно»
сопоставить ззаимно-однозначное отображение Р-+Р:
где (Aaf
.— автоморфизм группы Р. Последовательное применение пре-
преобразований A3), определяющее групповую композицию в П,.
дает
к(аи Aj)o7r(a2, л2) = тг (Й1 -f Л, а2, Л, Л2), A4)
что совпадает с законом умножения A2) в полупрямом про-
произведении Л О Р. Т
Отметим, что расширение G группы К по Н, являющееся
прямым или полупрямым произведением, по построению содер-
содержит не только Н, но и К в качестве подгруппы.
C9) Теорема. Пусть группа G содержит подгруппу К и нор-
нормальную подгруппу Н, такие, что: 1) К[\Н=е; 2) KH=G.
Тогда G=K\>M. T
Итак, мы выявили простейшие способы расширения группы
К по Н.
Рассмотрим свойства факторпространства G/H по произволь-
произвольной подгруппе Н. На множестве классов {gH} = G/H естест-
естественно определить действие группы G: g- (g'#) = (gg'H). По-
Поскольку оно транзитивно, ибо для любых двух классов (giH)
и (g2#) имеем {g\H) = {gjg2-1) (g2H), то G/H — однородный
(левый) G-модуль. Группой стабильности «точки» (еН) явля-
является сама подгруппа Н.
D0) Пусть теперь X — произвольный однородный G-мо-
G-модуль, такой, что группа стабильности некоторой его точки
хое1 есть Н. Отображение f: G-*-X вида g^>~x=gxQ сопостав-
сопоставляет одну точку iel всем элементам класса gH. При этом
прообраз любой точки хеХ в G/H единствен, ибо для g'?=gh,
h^H, соотношения х — gx0 и x = g'x0 сразу приводят к проти-
противоречию.
Таким образом, отображение f : GIH-*~X, определяемое ком-
коммутативной диаграммой
взаимно-однозначно и, что очевидно, коммутирует
G/НЛХ
47'
« действием группы G. Поэтому G-модуль Х и факторпростран-
¦ство G/H можно не различать.
D1) Обозначим G/H=X и через х, у, ... — его элементы.
Каждому классу хе! удобно сопоставить какой-либо (один!)
элемент gx группы G из этого класса — представитель класса
смежности. Его выбор в значительной мере произволен. Удоб-
Удобно (но не обязательно) представителем класса еН=х0 выбрать
e^Hc^G. Тогда любой другой элемент gi^xt однозначно
представим в виде
gi = gxhr A5)
Здесь hi = h(gi)^H. Если при действии элемента группы
g : x-^>-y=gx, то элемент ggx принадлежит классу у:
ggx^=gyh(g> X), A6)
где элемент h(g, ;с)еЯ, зависящий от способа выбора пред-
представителей gx^x, называется фактором, и его зависимость от
g и х очевидно определяется соотношением
h{g,x)=g?ggx. A7)
D2) Свойства фактора:
1) h(e, x) = e; A8)
2) Atetgjj, x)=h(gx, g2x)h(g2, х); A9)
3) h(g~\ gx) = hri(g, x); B0)
4) h(gx, xo)^=gXo. B1)
Рекомендуем читателю вывести эти свойства самостоя-
самостоятельно. Т
При произвольной подгруппе Н класс, которому принадле-
принадлежит произведение представителей gxgy, вообще говоря, зависит
от способа их выбора.
D3) Упражнение. Докажите, что множество gxHgyti
тогда и только тогда принадлежит одному классу gzH, когда
подгруппа Н нормальная. V
D4) Известно, что если Н — нормальная подгруппа в G, то
X=G/H является группой с естественным умножением клас-
классов: xy=z.
Выбрав в каждом классе по одному представителю, в соот-
соответствии с разложением A5) получаем возможность «парамет-
«параметризации» элементов группы G с помощью элементов множе-
множества ХхН:
gt**(xh hi).
Запишем произведение элементов g\, g2 в виде
48
2 = gxi h\ gx, h, = gXl gx.2 (g;* A, gXt) ht =
= gxvxt h (g.Xl, Xt) (g~* К gx.) fl2.
Поскольку подгруппа HaG нормальная, то отображение
B2)
является ее автоморфизмом. Тогда групповую композицию в
терминах элементов из ХХН можно представить так:
(*„ А,)-(*2. Ля) = (*,*,, h(gXl, x2):{1(g-^)hi}h2). . B3)
D5) Как видим, при расширении Х=К по Н общего вида
отличие B3) от закона A2) для полупрямого произведения
АГ1># заключается в тривиальности фактора h(g, x)=e из
соотношения A6). В случае прямого произведения тривиален
и автоморфизм B2) для gm (x, е). В дальнейшем нам понадо-
понадобится такое расширение, когда нормальная подгруппа H<^G
принадлежит центру группы G, — центральное. Закон компози-
композиции в ХхН предлагаем читателю вывести самостоятельно (см.
также [15, 33]).
D6) В заключение рассмотрим разбиения группы G на
классы смежности по разным подгруппам.
Пусть подгруппы К и Н вложены одна в другую: KczHciG.
Обозначим X=G/K, Y=G/H и Z=H/K. Фиксация предста-
представителей gv в классах г/еУ приводит к однозначному разложе-
разложению произвольного элемента G
Зафиксируем также представители {hz} в Z. Тогда
g = gyh2k.
Очевидно, что всегда возможен «согласованный» выбор пред-
представителей {gx} В X
gx = gyhz, B4)
сопоставляющий точкам х G-модуля Х элементы (у, z) пря-
прямого произведения множеств YxZ. Действие группы G на
YXZ задается соотношением
g-(y, z) = (gy, h(g, y)z\ B5)
где h (g, у) еЯ — фактор.
D7) Пусть теперь Н и К — произвольные подгруппы в G.
Множество HgK называется двойным смежным классом G по
подгруппам Н и К (их совокупность обозначается H\G/K).
Относя элементы группы G к содержащим их двойным клас-
классам, мы разбиваем всю группу G на непересекающиеся множе-
множества HgK.
4 Зак. № 152 49
Зафиксируем представители gx в классах x^X=G/K. Оче-
Очевидно, что класс x=gxK целиком содержится в одном двойном
классе HgxK. Как описать все левые классы х'', содержащиеся
в HgxK?
Это несложно сделать в случае HgXoK=HeK. Если под-
подгруппы Н и К не пересекаются, то класс HeK=\JhK. Если же
лея
Н(]К = Ьофе, то все множество элементов hLoeK попадает
в один класс смежности по К. Тогда НеК= U hzeK, где
2
Zo—H/Lo и hz — представитель в классе
Очевидно, что в общем случае двойного класса у =
*=HgyK еУ = й\ G/K, где gv — его представитель, задача сво-
сводится к отысканию условий, при которых элементам ft и ft' из Я
соответствуют совпадающие левые классы hgvK — h'gvK. Для.
совпадения этих классов необходимо и достаточно, чтобы лю-
любой элемент второго класса, скажем, h'gye, совпал с каким-ни-
каким-нибудь элементом первого. Пусть это hgyk = h'gy. Взяв ft' = ft/»
получим
h4' l k\
Это означает, что I, являясь элементом подгруппы Н, одновре-
одновременно принадлежит подгруппе Ку, сопряженной подгруппе К
относительно элемента gy:
Ку~Ьу. B6)
Следовательно, совпадение классов hgyK = h'gyK возможно
тогда и только тогда, когда huh' принадлежат одному и тому
же классу г группы Я по подгруппе Lv: z<=Zy = H/Lv. Зафик-
Зафиксировав представители ftz e z, получим
U U hzgyK=G= U gxK. B7)
уея\отс генц xeaiK
Отсюда следует, что любой класс х имеет вид
Тем самым элементы левого G-модуля X = G/K отождествля-
отождествляются с парами {у, z), y^Y = H\G/K, z^Zy = H/Hf]Ky.
Отметим, что согласованный выбор представителей gx = hzgv.
всегда возможен.
§ 4. Кольца, тела, поля, кватернионы
Обозначим через Mat(n,R) (Mat(n, С)) множество всех ве-
вещественных (комплексных) матриц размерности пХп.
Отметим следующие его свойства:
D8) множество обладает двумя законами композиции
(мультипликативным и аддитивным);
50
D9) по аддитивному закону оно абелева группа;
E0) по мультипликативному — моноид;
E1) согласование обоих законов композиции выражается
свойством (х + y)z = xz + yz и z(x + у) = zx + zy для любых
элементов х, у, z данного множества — дистрибутивностью.
Множество F, обладающее указанными свойствами, назы-
называется кольцом.*)
E2) Mat (я, Я) и Mat (п, С) —кольца.
E3) Множество R[t] (или C[t]) полиномов независимой
переменной t с коэффициентами из R (или С) есть кольцо.
E4) Кольцом является множество Z целых чисел.
E5) Упражнение. Пусть Mat (п,А) — множество «мат-
«матриц» над А, где А — какое-либо множество (т. е. элементы
meMat(n,А) суть подходящим образом занумерованные се-
семейства из п2 элементов а^^А). Для наделения Mat (я, Л)
структурой кольца достаточно, чтобы кольцом было А. Пока-
Покажите это. Т
Аддитивная подгруппа кольца F, содержащая 1 и замкнутая
относительно мультипликативного закона композиции, назы-
называется подкольцом кольца F.
E6) Например, Mat(n,R) — подкольцо в Mat (я, С).
Левым идеалом /л кольца F называется аддитивная под-
подгруппа кольца F, такая, что множество /л замкнуто относи-
относительно операции левого умножения на любой элемент x^F,
т. е. xJ^Jn или -Р/л^/д.
Аналогично аддитивная подгруппа /пр — правый идеал, если
p
Наконец, идеал / называется двусторонним, если он одно-
одновременно и левый, и правый (для краткости / называют прост©
идеалом).
E7) Например, пусть /<ft) a Mat (n, R) — множество матриц
с нулевым k-u столбцом, тогда /<ft> — левый идеал.
E8) Подмножество .Mfe> матриц с нулевым k-м столбцом и
1-й строкой — двусторонний идеал в Mat(n, R).
E9) Если кольцо F коммутативно (т. е. ху = ух для любых
х, y^F), то все идеалы в нем двусторонние. V
Отображение колец f:F^-K, гомоморфное по обоим зако-
законам композиции, называется кольцевым гомоморфизмом, т. е.
fW=f(x)f(y)
Для любых x,y^F. При этом
*) "Точнее, унитарным кольцом, или кольцом с единицей, — требова-
требование E0). Будем рассматривать только такие кольца, в которых элемент 1
(мультипликативная единица) отличен от 0 — так в кольце обозначается
аДДитивная единица, называемая нулем.
4* ТП
Ядром Kerf кольцевого гомоморфизма f называют ядро ад.
дитивного гомоморфизма, т. е. множество f~l @).
F0) Упражнение. Докажите, что для кольцевого гомо-
морфизма f:F-*-K: a) Kerf — двусторонний идеал в F-t
б) Im f — подкольцо в К. V
Для того чтобы кольцевой гомоморфизм f:F^>-K являлся
изоморфизмом, достаточно потребовать взаимной однознач-
однозначности отображения f.
F1) Упражнение. Пусть / — идеал в F. Рассмотрим
аддитивную факторгруппу F/J. Определим на ее элементах
мультипликативный закон композиции, положив (x+J) ¦ (у-{-
+/) = (ху-\-1). Докажите, что F/J — мультипликативный мо-
моноид. V
Аддитивная факторгруппа F/J кольца F по идеалу / с опре-
определенной в F1) мультипликативной композицией называется
факторкольцом кольца F по J.
F2) Например, аддитивная факторгруппа Zm = ZlmZ кольца
щелых чисел Z по идеалу / = mZ, состоящему из чисел, кратных
числу пг, есть факторкольцо. Умножение классов вычетов
<x> = x-{-mZ в соответствии с F1) есть <х><у> =
= <ху>. Т
Пусть в кольце F элемент х обратим, т. е. 3 x~l^F — такой,
что х~1 -х = х-х~1 = 1. Рассмотрим множество F% всех обрати-
обратимых элементов из F. Очевидно, что оно является группой.
Группа F% называется группой обратимых элементов кольца F.
F3) В кольце Z указанная группа состоит из двух элемен-
элементов: Z* = {1, —1} и изоморфна аддитивной группе Z2.
F4) Если множество F% = F \0, то кольцо F называется те-
телом. Кольцо Z целых чисел телом не является, но представляет
собой подкольцо кольца Q рациональных чисел. Кольцо Q,
а также R и С — тела. Эти примеры характеризуются, кроме
того, коммутативностью (здесь и мультипликативная группа
обратимых элементов F.^. также абелева).
F5) Коммутативное тело называется полем. Следовательно,
Q, R, С — поля.
F6) Простейшее тело, не являющееся полем, представляют
кватернионы к. Аддитивная группа у, изоморфна аддитивной
группе R*, т. е. элементами дек являются «аборы четырех ве-
вещественных чисел q~ (q°, ql, q2, q3) с покомпонентным сложе-
сложением в качестве аддитивного закона композиции. В естествен-
естественном базисе еа(а = 0, 1, 2, 3) в 7?4
q = qa ea = q° e0 + qk ek = q° e0 + q.
Здесь элемент базиса е0 будем считать мультипликативной еди-
единицей в х, т. е. для любого q^x
qeo = eoq = q. B3)
52
Наложив требование дистрибутивности E1) на композиции
в х, можно определить умножение, задав его лишь на элемен-
элементах базиса {еа}. Тогда из соотношения B8)
еоеа = еае0 = ел (« = 0, 1, 2, 3). B9)
Положим
el = -e0 (?=1,2,3). C0)
Элементы eh(k = 1,2,3)—аналоги мнимой единицы поля ком-
комплексных чисел (кратко их называют мнимыми единицами те-
тела х); кватернионы вида q = qheh (k = 1, 2, 3) называют чисто
мнимыми. Наконец, произведение двух разных мнимых единиц
ек, ет (кфт) равно (с точностью до знака) третьей:
ek em ~ zkmn вп> C1)
где Ehmn — полностью антисимметричный тензор (см. A.17)).
Тогда общий случай произведения мнимых единиц C0) и C1)
можно записать в виде
«*«« = - ьш ео + Чтпеп. C2)
F7) Упражнение. Покажите, что определяемый соотно-
соотношениями B9), C2) закон умножения ассоциативен. Т
Таким образом, по мультипликативной композиции % — мо-
моноид, и, следовательно, — кольцо A = е0).
F8) Введем в и инволюцию — кватернионное сопряжение ¦—•
и рассмотрим ее свойства. (Напомним, что инволюцией назы-
называется операция, квадрат которой есть тождественное отобра-
отображение). Кватернион, сопряженный q — q°e0 -J~ qheh, обозначим
через q и положим
q = q*eb-qkeb. C3)
Важнейшее свойство кватернионного сопряжения выражается
соотношением
ql' = ?-q. C4)
(Проверьте самостоятельно.)
F9) Взаимно-однозначное отображение f моноида (группы,
кольца) F в G, такое, что f{xy) =f(y)f(x), называется анти-
антиизоморфизмом.
G0) Кватернионное сопряжение—антиизоморфизм кольца
* на себя (т. е. антиавтоморфизм). Отметим, что инвариантными
относительно операции C3) являются только элементы с ну-
нулевыми мнимыми компонентами, т. е. вида q = q°e0, поэтому
величина qq = qq всегда вещественна:
53
- 2(<7*J ]e<, = №(q) e0. C5)
qq =
Норму кватерниона N(q) будем называть также модулем ква-
кватерниона и обозначать N{q) = \q\.
Важнейшими свойствами N(q) являются:
G1) невырожденность, т. е. N(q) = Ooq = 0; отсюда еле-
дует, что % — тело, поскольку любой ненулевой элемент в «\0
имеет обратный:
C5)
G2) мультипликативность, т. е.
C7)
Отображение N :q-^N(q) есть гомоморфизм группы обрати-
обратимых элементов тела % на мультипликативную группу Rll,+ поло-
положительных вещественных чисел. Ядро N~l(l) этого гомомор-
гомоморфизма называется (мультипликативной) группой унимодуляр-
ных кватернионов.
G3) Упражнение. Покажите, что х* ~ R*+ X iV-'(l).
(Постройте мономорфизм 7?^+->и^. и примените теорему C6).)
§ 5. Модули, их гомоморфизмы и тензорные произведения.
Кольцо матриц и эндоморфизмов модуля. Кватернионные
единицы и матрицы Паули
G4) Абелева группа Е (с аддитивной композицией) назы-
называется левым {правым) модулем над кольцом F (или левым
{правым) F-модулем), если определено левое (правое) умно-
умножение (F, Е) -*~ Е элементов ае? на элементы кольца а-*-ха,
x^F, такое, что:
1) x(ai + а2) = ха{ + ха2;
2) (х + у)а = ха + уа;
3) \-а — а, х(уа) = (ху)а.
(Аналогично для правого умножения.)
G5) Пример. Любая абелева группа сама по себе яв-
является 2^модулем.
G6) Аддитивная группа Mat (я X пг, К) матриц с п строками
и m столбцами есть левый модуль над Mat(n, К) и правый над
Mat(m, К). (Для совокупности прямоугольных матриц будем
использовать символ Mat (я X т, К), сохранив простое обозна-
обозначение Mat(n, К) в случае п = т.)
G7) Любой (левый' или правый) идеал / кольца F есте-
естественно является (левым или правым) F-модулем.
' G8) В частности, кольцо всегда есть левый (правый) модуль
«над самим собой», равно как и над любым своим под-
кольцом. Т
54
Подмодулем Е' модуля Е над F называется подгруппа
E'czE, замкнутая относительно умножения на элементы коль-
кольца F. Например, подмножество матриц € одним или более ну-
нулевых столбцов в M.at(nXtn, К) является левым подмодулем
в Mat(n X т, К) над Mat (л, /С).
G9) Если Е' — подмодуль в /•'-модуле Е, то фактормодулем
называется аддитивная факторгруппа классов смежности
Е\Е' = {(а + Е')}, умножение которых (для определенности ле-
левое) «а элементы кольца F задается соотношением
х {а + Е') = (ха + Е').
Бели отображение f:E-*-C модулей С, Е над одним и тем
же кольцом F является гомоморфизмом аддитивных групп и
при этом (скажем, в случае левых модулей)
f(xa) = xf(a), x?F, a?E, C8)
то / называется гомоморфизмом модуля Е в С (или F-гомомор-
физмом модулей или F-линейным отображением).
Нетрудно проверить, что для гомоморфизма модулей
/:?->С его ядро Кег/ = /-1@) и образ Im/ — подмодули в
Е и С соответственно.
(80) Прямая сумма (левых) модулей Е®Е' есть прямая
сумма аддитивных групп Е, Е' с умножением на элементы
кольца F:
х (а, а') = (ха, ха'), x?F, a(iE, а'^Е'.
(81) Модуль Mat (л X пг, К) мож«о рассматривать как пря-
прямую сумму m экземпляров левых Mat (п, К) -модулей Кп. Т
(82) Рассмотрим (для определенности левые) Р-модули Е
и Е' и множество их /^-гомоморфизмов: HomF{E,E'). Это мно-
множество естественно наделяется структурой абелевой группы
(аддитивной): образ суммы гомоморфизмов / и g есть сумма
образов:
Введение аналогичным образом умножения «а элементы кольца
наделяет Ногпр(?; Е') структурой левого Р-модуля, но только
для коммутативного F, В противном случае kf, вообще говоря,
•не является гомоморфизмом левых модулей (см. определение
G9)). (Нетрудно заметить, что для двустороннего F-модуля
Е' аддитивная группа F-гомоморфизмов левых модулей
Ногпу(?', Е')—правый Р-модуль.) В частном случае Е' =
~F HomF (E,F) ^ ?(*) называется дуальным модулем.
55
(83) Замечание. Любой модуль над коммутативным коль-
кольцом F можно считать двусторонним. Пусть, например, Е — пра-
правый /-модуль. Определим левое умножение: xa==b — ax, a,b еЯ,
*е/. Требования G4) здесь выполнены.
(84) Замечание. В некоммутативном случае аналогичная
конструкция определяет на Е структуру левого модуля, но не
над F, а над противоположным к F кольцом /ф . Последнее
совпадает с / как множество и отличается мультипликативной
композицией ф , которая имеет вид х ф у = ух.
(85) Введем теперь тензорное произведение /-модулей
Е и Е'. При этом пусть Е — правый, а Е' — левый модули. Возь-
Возьмем прямое произведение множеств (Е, Е') в качестве порож-
порождающего множества некоторой абелевой группы, которую обо-
/ч л
значим EQ)E'. Если для ее композиции использовать символ +,
то в качестве элементов из ? @ ?' мы понимаем всевозможные
конечные «суммы»
(а-ъ bt) -f- (аг, b2)-t ... — {aJt bj) — (aJ+l, bJ+1) — ...
элементов (air bi) e (E, E') и «пустую сумму» в качестве еди-
•ч
нйчного элемента группы EQE' (нуля). Рассмотрим множе-
множество 5 элементов вида
(а^+аъ b) — (au Ь) — (аг, Ь),
(а, bi-\-b2) — (a, А,) —(а, Ь2),
•ч
(ах, b) — (a, xb), xQF,
— порождающее множество некоторой абелевой подгруппы N
•ч
Факторгруппу ?@ E'lN назовем тензорным произведением
над F модулей Е и Е' и обозначим Е ®рЕ'. (Когда заведомо
известно, о каком кольце идет речь, указывающий на него ин-
индекс в значке ® обычно опускают.) Посредством (а ® Ь) обо-
обозначим образ элемента (а, Ь) при каноническом гомоморфизме
Построенная абелева группа E®FE', вообще говоря, ника-
никакой модульной структурой над F не обладает. Но если Е' — дву-
двусторонний модуль, то Е ®яЕ' естественным образом наделяется
структурой правого /"-модуля:
и левого, если двусторонним является Е. Для коммутативного
кольца F их тензорное произведение Е®ЕГ всегда является
/-модулем. V
56
Подмножество SczE называется линейно независимым над Fr
если равенство 2 хаа = 0 возможно лишь при всех xoef, рав-
ных нулю.
Базисом «ад Т7 модуля Е называется линейно независимое-
множество 5, порождающее модуль Е (с помощью аддитивной
композиции и умножения на элементы кольца). В этом случае-
любой элемент ае? представим единственной линейной комби-
комбинацией образующих s^S с коэффициентами xs: a = 2 xss.
s es
(86) Утверждение, f-модул и с равномощными базисами
изоморфны. Т
Если мощность базиса 5 конечна и равна числу n(S), то ми-
минимальное такое п называется размерностью (над F) модуля-
Е: я = dimE.
(87) Покажем, что тело кватернионов х является С-модулем
размерности 2. Построим мономорфизм сг:С->-х; 1та=Си.
Такой а существенно не единствен. Образом геС может быть не
только любая из базисных мнимых единиц eh (k = 1, 2, 3), но и
их произвольная комбинация при условии —ео= (ст(г)J =
= (xkekJ = — jx|2e0. Возьмем, например, а(/)=—е3. Определим
умножение элементов ^ех на комплексные числа z = х + iy:
qz = qc (z) — q(eox — e3y).
Тем самым х наделяется структурой -правого С-модуля. В каче-
качестве базиса х над С можно взять любые два элемента из к,.
составляющие вместе с е3 линейно независимое (над С) мно-
множество. Для простоты возьмем 5= {ео,е2}. Тогда любой
имеет единственное представление в виде
> + e2z^, zie' = xw + /y'eC (a=l, 2),
и отображение
D0>
взаимно-однозначно. Т
Эта конструкция позволяет объяснить связь кватернионов.
с известными читателю матрицами Паули ои (?=1, 2, 3)
, ')• —С ")¦ —f -.)• Di>
Рассмотрим отображения Lu : q yq' = uq (u, q, q'^x) (ле-
(левые сдвиги). Эти отображения — гомоморфизмы правого С-ио-
Дуля х в себя. Дадим определения связанных с ними понятий.
5Г
(88) Гомоморфизмы Р-модуля в себя называются эндомор-
эндоморфизмами модуля (или операторами в Е). Как уже было пока-
показано, Horrid (?, Е') всегда является абелевой группой (аддитив-
(аддитивной). В рассматриваемом частном случае Нот*-(?,?¦) суще-
существует мультипликативная композиция — композиция отображе-
отображений, относительно которой единицей является тождественное
отображение id : а -»- ае?. Кольцо Нотр-(.Е, Е) s= End^C^) на-
называется кольцом эндоморфизмов модуля Е (или кольцом опе-
операторов в Е). Элементами группы U обратимых элементов
кольца Нотпр{Е,Е) являются изоморфизмы Е на Е (над F)—•
автоморфизмы /'-модуля Е. Группа U=kxxtFE называется груп-
группой всех автоморфизмов модуля, или общей линейной группой
/¦-модуля: AutpE = GL(E,F). В частности, множество Ь{%)
всех левых сдвигов является подкольцом в Endc(x), а при
и Ф О LU — элементы группы автоморфизмов Autcx правого
С-модуля и. Отметим, что кольцо Ь{к) изоморфно кольцу ква-
кватернионов и, и их можно не различать.
Вследствие изоморфизма модулей % и С2 каждому левому
сдвигу Lu однозначно сопоставляется элемент кольца Endc(C2).
Этот эндоморфизм d(u) можно определить из требования ком-
коммутативности диаграммы
-/
7J2 | Т. D2)
T[u)
у Г%
(89) Упражнение. Покажите, что в общем случае п-мер-
ного модуля Е над F с базисом 5 = {s,-} коммутативная диа-
диаграмма
Е — F
<43)
определяет гомоморфизм d: End^(?') -+M.at(n,F). Здесь
y(a'Si) = (а1,а2, ..., an)efn.
(90) Гомоморфизм L(x)->MatB, С)—представление коль-
кольца L(к). Матрицы представления ёа = d(ea)^MatB, С) для
базисных единиц еа в х по 7?-линейности определяют и произ-
произвольную d(u) = uaea. Их вычисление не представляет труда.
Очевидно, что ё0 = I. Вычислим, например, ё\. Сдвиг элементом
?\ есть
Leiq = q' = ~qie0-\-q°el—q3 e2 + ф e3 — ^_^3 _ .^
<см. D0)). Поскольку
58
то
Аналогично вычисляются и остальные матрицы:
«-(' .)••-(-«"')•«-(.-')• И''/)- D4>
Как видим, матрицы представления мнимых кватернионных
единиц отличаются от эрмитовых матриц Паули D1) множи-
множителем: eh = —iok- Следовательно, ё*=—^.Заметим, что в пост-
построенной реализации кватернионному сопряжению соответствует
операция эрмитового сопряжения:
•f. D5)
Действительно, инволюция ' ' не только отразится на способе
вложения сг:С->-и (где она эквивалентна комплексному сопря-
сопряжению) , но и -превратит правый С-модуль в левый (в силу
свойства C4)), что, в свою очередь, приведет к транспонирова-
транспонированию матриц представления d.
§ 6. Векторное пространство, дуальное пространство.
Билинейное отображение и билинейная форма,
полуторалинейная форма. Классические группы.
Группы Sp{X), 5/7B), SOC)
Рассмотренный случай модулей % «* С2 характерен тем, что
они определены над кольцом С, которое является одновременно
телом (и даже полем). Такого типа модули обладают рядом
особенностей.
Модуль над телом F называется линейным, или векторным,
пространством (над F).
Самым -важным свойством векторных пространств является
возможность всегда снабдить их базисом. Доказательство этого
можно найти в [6, 18].
Любые два базиса векторного пространства V над F должны
иметь одинаковую мощность (размерность) dim V = п.
Подпространством W векторного пространства V (над F) на-
называется подмодуль W dV, факторпространством V/W — фак-
тормодуль. Очевидное свойство их размерностей выражается
соотношением
59
dim V/ W = dim V — dim W.
Прямая сумма и прямое произведение векторных пространств
также вводятся в соответствии с модульной структурой.
(91) Дуальный модуль 1Л*) над телом F есть векторное про-
пространство («ад F), которое называется дуальным к V простран-
пространством, или пространством функционалов 1Л*) = Ногпр (V, F) r
а его элементы — функционалами на V. Т
Простейшим функционалом является скалярное произведе-
произведение в Rn элемента x^Rn с фиксированным элементом a^Rn:
kxk = blka>xk. D6)
Для значений функционалов feV(*' употребляют символиче-
символическое обозначение fix) = <f,x>. (Элементы из дуальных про-
(*)(*)
странств 1А*), №(*), ... далее будем обозначать через v, w, ...).
Следует иметь в виду сделанное в (82) уточнение структуры
модуля HomF(V,F), в силу которого, скажем, в случае правого
(*)
F-пространства V, элементы v должны принадлежать ле-
левому — 1Л*).
Очевидно, что в случае конечномерного V вследствие F-ля-
(*)
нейности любой функционал v однозначно восстанавливается по
набору {d} своих значений на элементах какого-либо базиса
(*) (*> (*) (*)
S : Ci = v(ei). Поэтому v е 1Л*) представим в виде v = 2 Vh, где
k
(*)
^eKW можно определить следующим образом: это функцио-
функционал, принимающий значение ck^F на элементе базиса eh и рав-
равный нулю на остальных элементах базиса S, а на всем V опре-
определен по ^-линейности. Иными словами,
(*) (*)
v =ckek, D7)
(*)
где набор функционалов {eh} уже нормирован:
D8)
(Напомним, что для F, не являющегося полем, коэффициенты
(*)
ck в соотношении D7) следует писать слева, если ek — гомо-
гомоморфизм правых ^-пространств: V-*-F.)
(*)
Линейная независимость набора {ek} в И*) очевидна.
(*)
В силу разложения D7) {eh} порождают все 1Л*>. Следова-
Следовательно, справедлива следующая теорема.
60
(92) Теорема. Если векторное пространство V над, телом F
конечномерно и 5= {еи ..., еп\—какой-либо базис в нем, то
(*)(*) h
•dim V<*> = dim V = n и функционалы {ek : ей(е,) = 6< } обра-
образуют базис в V-*K T
(*) (*)
Базис {ей}=5сгУ<*) называется дуальным базисом (к 5сУ).
(93) Следствие. Отображение V-*- 1Л**> == AЛ*))(*), со-
(**)(*) (*)
¦поставляющее каждому JceF функционал л:: и-> <и, х> на VW,
является изоморфизмом V на Й**>. Т
(*) (*)
(94) Элемент тела vix) = <v,x>^F можно рассматривать
(*)
¦как образ пары (b.xjeF'X V при отображении f прямого
(*) (* (*)
произведения У<*) X V-*-F :f(v,x) = <v,x> = v(x). He будучи
гомоморфизмом даже аддитивных групп У<*> X V и F, это ото-
отображение является гомоморфизмом ^-модулей по каждому аргу-
менту v, х (при втором фиксированном), т. е.
(*)
a + <v, y> b,
D9)
{l\{$?V{m, x,y?V, a, b?F.
Отображения f, обладающие свойством D9), называются би-
билинейными. Билинейное отображение f(ViXV2)-+F общего вида
можно задать, если V\ и У2 являются пространствами ^-линей-
^-линейных функционалов друг на друге. Тогда
что по-прежнему можно записать как <v\,v2>. (Для опреде-
определенности будем считать, что V2 — правое векторное простран-
пространство над F.) V
Элементы v^Vi и v2^V2 называются ортогональными отно-
относительно f, если <©ь v2> = 0. Далее, v\ называется ортогональ-
ортогональным (относительно }) к какому-либо подмножеству 52c:V2, если
он ортогонален к любому его элементу. Аналогично опреде-
определяется ортогональность элементов из V2 к подмножеству
(*)
f(v, ¦
xa + у
(*)
<av-\
>b) =
(*)
- bw,
(*)
x>
xa
= a
+ yb> = '
(*)
b<
x> a
(*)
(*)
+ <^,
b,
Заданное формулой D6) скалярное произведение (x,y)^R
элементов х и у из Rn является билинейным отображением /
вида (Ух V)->-F. Такое билинейное отображение называется
билинейной формой на векторном пространстве V. Всегда ли
такая существует?
При любом фиксированном аргументе, скажем, х, предпола-
предполагаемая форма f{x,y) определит функционал на V, который бу-
61
дет элементом противоположного относительно V модуля,
а именно левого, если V — правый, т. е.
f(x, у) = <?(*), у\ E0)
где ф(х)еУ<*>. Свойства f относительно другого аргумента за-
зависят от допустимых свойств отображения ф : V-*- У<*>.
Дадим определение. Пусть Е— (левое) векторное простран-
пространство над телом F, а Е' — левое над телом F' и пусть о : F-+-F' —
изоморфизм. Тогда гомоморфизм у:Е-*-Е' аддитивных струк-
структур, такой, что
<? (ах) = о (а) ср (х), a?F, x?E,
называется полулинейным отображением векторных пространств
относительно изоморфизма о. (Для правых пространств можно
дословно повторить то же.)
В силу замечания (84) векторное пространство V мы всегда
можем рассматривать как левое над противоположным к F
телом F® . Очевидно, что максимально допустимое требование
к ф — это требование полулинейности ф относительно изомор-
изоморфизма т:/*10 -W7. Если т существует, то он является антиавто-
антиавтоморфизмом тела F (см. F9)):
(95) Пусть V — правое векторное пространство над телом F,
допускающим антиавтоморфизм x:a^-ax^F, и ф : V-*~ И*'—•
полулинейное отображение относительно изоморфизма т: i70-*-^.
Отображение f: (V X V) -*-F, задаваемое соотношением E0),
называется полуторалинейной формой на V относительно анти-
антиавтоморфизма т. Основные свойства полуторалинейной формы f
выражаются соотношениями
] l2, у),
f{x, yxay +y2a2)=f(x, yi)a1-\-f(x, y2)a2, E1}
au a2?F, x, хъ х2, у, у,, у2? V.
В частном случае, когда F = К — поле и (анти) автоморфизм
т тождественный, форма / является билинейной.
Обратимся к полулинейному отображению ф. Пусть
5 = {бг} — базис в правом векторном пространстве V и
(*)
?(*) = {ek}—дуальный базис. Значения ф(е^) разложим по ба-
базису ?<*':
?W=/J?*. E2)
Совокупность коэффициентов этого разложения fih =
= <ф(бг),е^> =f(ei,ek) образует матрицу f полуторалинейной
62
формы f в базисе 5 пространства V. В ее терминах значение
формы на векторах х = егх\ у = ekyk, xi,ykeF, записывается
так:
(где элементы х, у отождествлены с вектор-столбцами своих,
координат).
(96) Можно показать (см., например [13, § 1.6]), что при
условии f(x, у)=0о f(y, x) = О антиавтоморфизм т есть инво-
инволюция, а для самой формы f(x,y) существуют только две воз-
возможности:
f(x,y) = (f(y, x))\ E4)
fix, y) = -(f(y, х))\ E5)-
Если выполняется соотношение E4), форма называется эр-
эрмитовой (относительно инволюции т). Обозначим ее f(x, y) =
= <х-у>. Бели справедливо E5)—антиэрмитовой. Такую
форму обозначим через <х * г/>.
Если в условиях E4), E5) т = id (что возможно лишь в
случае коммутативного тела F = К, т. е. поля), то форма назы-
называется симметричной (f = (х-у)) и антисимметричной (f =
= (х * у)) соответственно.
Форму / далее будем считать невырожденной (т. е. такой,
что вектор х, ортогональный всему V, есть х = 0). В качестве
тела F будем рассматривать только поля R. и С и тело кватер-
кватернионов х.
(97) Замечание. Если на векторном пространстве V с ба-
базисом {вг} = S задана билинейная невырожденная форма f, то
бывает удобно в пространстве V ввести дуальный базис
{} S<fl относительно формы f как такой набор векторов
, что
fie1, ej) = blj. E6)
Подчеркнем, что е'еУ. В У<*) также вводится дуальный базис
. . (*),
«?</) — {б(/;} относительно формы f как набор функционалов;
е If), определяемых формулой
%\f) (x)=/(е\ х). E7)
(98) Формы f на V — инструмент для отределения совокуп-
совокупности групп, которые называются классическими. А именно, со-
совокупность автоморфизмов и : V-*- V, таких, что
/(«И, u{y))=f{x, у), х, y?V, E3)
б»
¦является группой и называется группой унитарных преобразо-
яаний пространства V (над F) относительно формы f (или уни-
унитарной группой V относительно f). Обозначим ее Uf(n,F). Все
"классические группы, кроме пяти исключительных групп Кар-
тана, являются унитарными группами для стандартных форм
при F = R, С, х.
(99) В частности, если форма f задана в некотором базисе S
единичной матрицей f = /„, то ее унитарные группы над F =
= R,C,% называются ортогональной, унитарной, симплектиче-
ской соответственно.
Обозначения этих групп приведены в табл. 1.
Таблица 1
р
U, (n, F)
R
О(п)
С
U {п)
"Л
Sp(n)
0
1
| G2, Fit E6, Е-„ ?8
A00) В последнем столбце таблицы указывается связь
исключительных групп Картана с алгеброй октав *) (октонио-
но-в, или чисел Кэли) Q, которая замыкает серию из четырех
алгебр с делением R, С, %, Q.
Указанные в нем группы, как и Uf(n, F), являются группами
автоморфизмов «^-модулей». Метод применения этих структур
в теории элементарных частиц обсуждается в [45]. Т
*) Алгебра октав Й — это модуль над х размерности 2 с мультиплика-
мультипликативной композицией. Пусть {е0, е7} — базис в Й над %, т. е.
Отождествим тело х с его образом при вложении ст : x->-Q вида q-*-ai = eBq
и выберем базис в Й над /?:{е^= о(е^). ет=е7еа = еое7, е3 + 1=е7вг (ц =
=0, 1, 2, 3, t=l, 2, 3)}. Искомая композиция задается на базисе
•ед (Л=0, 1, ..., 7) (на всей алгебре Й определяется по /?-линейности):
еАев=— блв + fABcec, E9)
где полностью антисимметричный объект {авс однозначно фиксируется сле-
следующими ненулевыми компонентами:
/123 = /246 = /Чз5 = /зб7=/б51 =/572=/Vl4= 1- F0)
Октонионное сопряжение и = сйоео + <влед->-(в^1 «=со°ео—(олел {А=1, 2, ..., 7)
обладает свойством
которое вместе с альтернативностью (т. е. ослабленной ассоциативностью)
(сй'сй)сй=сй'(исй), со'(со'со) = ((»'(»')со
обеспечивает мультипликативность невырожденной нормы N ((а)
N2 (ш) = шаш (¦ e0R
и существование обратного элемента для любой октавы со#0.
¦64
Указанные в табл. 1 группы Uf(n,F) можно рассматривать
как группы матриц над соответствующими телами. (Совокуп-
(Совокупность же матриц над алгеброй Q группы образовать не может,
поскольку умножение таких матриц не является ассоциа-
ассоциативным!)
A01) Упражнение. Покажите, что в случае я-мерного
векторного пространства V над F гомоморфизм кольца Hn&F(V)
в Mat (n,.F), определяемый соотношениями D3), является изо-
изоморфизм о м. X
В свою очередь группа автоморфизмов Aut^'l7) изоморфна
GL(n.F)—группе обратимых элементов в M.ai(n,F). Следова-
телыю, группу Uf(n, F) можно отождествить с подгруппой
в GL{n,F)~.
/\
A02) Форма / определяется своей матрицей f в каком-либо
базисе. Классификация форм сводится к приведению матрицы
формы к стандартному виду. Решение последней задачи (по
крайней мере для F = R, С) известно читателю из курса линей-
линейной алгебры. Рассмотрим формы, соответствующие матрицам
<ч /ч
стандартного вида. Для эрмитовой формы: 1) / = /„; 2) / = 1„,.,,
р -г q = п, — диагональная матрица сигнатуры (р, q), т. е. р
элементов (—1) и q—(-1-1). Названия групп Ut(n,F) при
/ = 1р>д те же, что и в случае f = In (см. (99)), только содержат
приставку «нсевдо» и указание сигнатуры.
Опустим случай нетривиальной сигнатуры у симметричной
формы, поскольку для F = R она совпадает с эрмитовой, при
F = С матрица [Рл приводится к /„, а при F = у. билинейных
форм не существует. Таким образом, симметричной форме (¦)
соответствует только одна новая для нас группа: при f =
= ln,F = С унитарная группа Uf(n,C) =O(n,C) и называется
комплексной ортогональной группой.
Для антиэрмитовой формы над R : <,> = ( * ) (она невы-
рожденна лишь при четной размерности п = 2т) в качестве
стандартной матрицы возьмем симплектическую f = F2m-
F2,n=[_I Im)- F1)
Соответствующая группа Uf(n, R) = Sp(n, R) называется веще-
вещественной симплектической. В случае антисимметричной формы
(*) -над С с той же матрицей f = F2m группа называется ком-
комплексной симплектической: Uf (п, С) = Sp (n, С).
Антиэрмитову над С, но не билинейную форму (/ = <*>)
можно считать отличающейся от эрмитовой множителем [. Здесь
новых ограничений не возникает, и мы имеем дело с уже встре-
встречавшейся группой U(p,q).
5 Зак. Хо 132
65
Наконец, матрицу антизрмитовой формы <*> над х возь-
мем в виде / = \1п, где i — некоторый чисто мнимый кватернион.
Определяемую этой формой пруппу иногда называют ортосим-
плектической. Мы обозначим ее 0%Bп).
Полученную классификацию представим в виде табл. 2. При
этом в группах над R и С удобно выделить специальные под-
подгруппы наложением условия det и = 1 на их матрицы.
Таблица 2
R
С
X
<->р.ч
SO(p, q)
SU{p, q)
Sp (p, q)
<•>/!
(•)
SO(n)
5G (и)
Spin)
SO in, C)
<*>
(*)
Sp in, R)
SUip, q)
SO* Bn)
Spin, C)
—
A03) Рассмотрим группы в последней строке табл. 2. Выяс-
Выясним, как соотносятся они с предыдущими. С этой целью отме-
отметим, что изоморфизм С-модулей у:х^>-С2 (см. D0)) влечет за
собой изоморфизм пространств %п и С2п (над С). Сохраним за
ним обозначение у и каждому вектору х^%п с компонентами
хг = е0Х[\) + е2Х\2) сопоставим 1е С2п, компоненты которого
К' Y'
Л. = /\ A),
Тогда требование коммутативности диаграммы
г, Т1
F2)
F3)
1
С2*
определяет мономорфизм каждой из указанных групп матриц
над к в GLBn,C). Какие подгруппы GLBn,C) являются обра-
образами Sp(p,q), Sp(n) и S0%Bm)?
Рассмотрим, например, форму, определяющую группу
Sp(p,q). Ее значение на элементах х,у можно представить в
виде
<х-У>р,я =
— Х$ е2)
Раскрывая скобки и вынося е2 влево (при этом необходимо вос-
воспользоваться очевидным соотношением ze2 = e2z*, z^C), полу-
получаем
66
— e2 \X\\) lP, q KB) — ^}i)lp, q У (i)) — еъ X^ hP, iqY — e2 XJ JPt q Y,
F4)
где через JVA обозначаем 2п X 2n матрицу
, F5)
Относительно преобразований и из группы Sp(p,q) инва-
инвариантны все компоненты кватерниона <x-y>Piq, и в частности
обе комплексные компоненты в соотношении F4). Таким
образом, индуцированный диаграммой F3) автоморфизм
u^GLBn,C) пространства С2п является унитарным сразу
относительно двух форм. Нетрудно проверить, что в свою оче-
редь любому такому элементу u^GLBn,C) соответствует мат-
матрица и симплектической группы.
Отметим, кроме того, что умножение на (—1) р элементов
базиса приводит матрицу второй формы ]РЛ к F2n (первая при
этом не меняется). Следовательно, (псевдо)симплектическую
группу (Sp(p,q)) Sp(n) можно определить как пересечение
комплексной симплектической группы SpBn,C) с (псевдо) уни-
унитарной.
A04) Упражнение. Определите, пересечению каких мат-
матричных групп над С изоморфна S0%{2m).
A05) Рассмотрим простейший случай симплектической
группы Sp(\). Ее элементами являются кватернионы и, такие,
что при сдвиге х^-х' = их выполняется <х' -у'> = <.х-у> = ху.
Таким образом, группа Sp(l) изоморфна группе унимодуляр-
ных кватернионов: ии = е0. В представлении d (см. диаграм-
му D2)) им соответствуют матрицы и = d(u) = иаёа, удовлетво-
удовлетворяющие в силу соотношения D5) условию унитарности
«+ и = 1.
Кроме того, определитель матрицы
-'(«'-'«'Л F6)
также равен квадрату модуля кватерниона u-.detu= |и|2= 1.
Отсюда следует, что группа 5рA) изоморфна группе SUB).
A06) Упражнение. Покажите, что: 1) любая унитарная
матрица вида F6) является унитарной и относительно симплек-
5* 67
тической формы в С2; 2) утверждению 1) эквивалентно соот-
соотношение
uF2 = F,u*, u?SUB). F7)
A07) В заключение параграфа остановимся на связи этих
групп с чрезвычайно важной для нас группой SOC).
Предварительно укажем некоторые полезные соотношения:
[oit °j]=2ietJkak, F3)
К, 3;.]=2^а0, /,у, к = \, 2, 3,
где матрица оо = ё0 = I, а скобками [,] и {,} мы обозначили
коммутатор и антикоммутатор матриц соответственно. (Далее
кватернионы х, и и представляющие их матрицы ж, и не будем
различать и опустим значок « v ».)
Матрицы aft и е& — бесследовые, поэтому
Тг и = 2п°.
Тогда компоненты кватерниона выражаются через матричные
элементы следующим образом:
и* = \.гТг[е»и), |х = 0, 1, 2, 3. F9)
В частности,
Простое обобщение этого соотношения приводит к билиней-
билинейной форме на к как на ^-модуле:
(*\У) = 7.Тг(*у), х,у?? G0)
Построим сужение этой формы на чисто мнимые кватернионы
(х-у) = —г/гТг(ху) = хт/у и рассмотрим преобразования вида
/?„:х->х' = ихн, HGS/?(l) = S6rB). G!)
Они не выводят нас из подпространства R3 мнимых кватернио-
кватернионов
Тгх' = Тг(«хи)=Тгх = 0.
Отображение u^-Ru — гомоморфизм группы SUB) в группу
0C), поскольку преобразования Ru очевидно оставляют инва-
инвариантной форму (•) в /?3. Установим, чему равен определитель
матрицы Rih преобразования Ru:
jc^ = Rlhx*, G2)
Rk = 1/2Тг {71Ъ-ек и) ^= \!2 Tr {oi7iak и). G3)
68
С этой целью' рассмотрим преобразование базисного репера
{eh} -»- {e'k) или {oh} ->• {о'и}:
a'h = uok и = Rkm am.
Закон композиции {e'h} очевидно такой же, как и для {eh}:
Го' о.'] =2/е. . . з.'
В левой части имеем
= #,-, а, #/а *а 2ieft, *2 *3 (#~\ /., a<v
Воспользовавшись ортогональностью /?, приходим к соотно-
соотношению
п р D о с
'I *1 »а к. Л i- fe3 "*l ft-j *з "'1 'а 'з'
Отсюда следует, что определитель i? равен +1.
Таким образом, отображение u-^-Ru действительно является
гомоморфизмом группы SUB) в 50C). Покажем, что оно яв-
является эпиморфизмом.
Рассмотрим унимодулярные кватернионы вида
оо
и = exp z= "V znjn\, z?*. G4)
л-О
Отсюда следует, что обратный элемент u~1 = exp(—z). Условие
г = —z уннмодулярности и означает, что кватернион z — чисто
мнимый, т. е. 2 = zhek = z и z2 = —zz = —|z|2e0, что позволяет
без труда свести матричный ряд G4) к обычным функциям:
и = exp {zk ek) = е0 -о? | z | + j|j sin | z |. G5)
Отсюда следует, что любой унимодулярный кватернион пред-
представим в виде экспоненты.
A08) Уп р а ж н е н и е. Покажите, что элементу группы SUB)
и (и, ш) =¦ exp(-^-nkek j, \nkelt\ = \, G6)
соотношения G1), G3) сопоставляют вращение вокруг оси п на
угол ю.
Указание. Определение угла поворота можно свести к вы-
вычислению величины (x\i)-X(i)), где x(i) — какой-либо вектор, ор-
ортогональный направлению п в /?3.
A09). В A2), A3) мы установили, что вращения gn (o>)
(О < ю <: я) исчерпывают все преобразования из группы 50C).
Таким образом, гомоморфизм G1) SU{2) -*-5OC) является
69
отображением «на», т. е. эпиморфизмом. Ядро этого отображе-
отображения состоит из элементов и = ±е0.
Наконец, отметим, что при параметризации G6) простран-
пространство параметров группы SUB) является шаром радиусом 2л,
в два раза большим по сравнению со случаем группы 50C)
(см. A3)). Напомним, что в последнем случае при ю = я мы
должны были «сшить» диаметрально противоположные точки
сферы. В группе SUB)
и(п, ш = -) = пкек,
т. е. соответствующие точки различаются на элемент центра
(—е0). Граница группы SUB) в пространстве параметров также
«сшивается», но принципиально иным образом — стягивается
в одну точку: и(п, 2я) = —е0 (см. G5)).
§ 7. Алгебра над полем: ассоциативная, /.и, 7~A/), (,
A(V). Алгебра Клиффорда и спинорная группа. Алгебра
Дирака
В гл. 1 мы уже рассматривали алгебры Ли. Они представ-
представляют собой частный случай более общей конструкции.
(НО) Алгебра А над полем К это:
1) векторное пространство А над К',
2) снабженное мультипликативным законом композиции;
3) дистрибутивным (справа и слева): (х + у)z = xz + yz,
z(x + у) = zx + zy, x, у, z€eA;
4) /(-билинейным (kx)y=k{xy) — x(ky), k^K,x, у е А. У
Для мультипликативной композиции, т. е. отображения
А ХА-*-А, общепринято также обозначение (д, (\х(х,у)<^А).
В частном случае, если умножение р, ассоциативно, то
алгебра А называется ассоциативной. Если в А содержится еди-
единичный элемент 1 относительно этой композиции, то такая ассо-
ассоциативная алгебра является кольцом.
Неассоциативная алгебра с антисимметричным законом ком-
композиции (\i(x,y) =—ц(у, х)), удовлетворяющим тождеству
Якоби
]Х{Х, [х(_у, Z))-j-|i(y, |i(Z, X,) + V(Z, р{Х, У))==0,
называется алгеброй Ли.
A11) Отметим, что любую ассоциативную алгебру (A, jxac)
можно снабдить структурой алгебры Ли (А, цЛи ), определив
композицию ;
Н-Ли(Х' У) = ^ас (л% У) — ^ас (}', х). G7)
Например, кольцо Mat (я, К)—ассоциативная алгебра. Взяв
в качестве композиции матричный коммутатор (хЛн (., •) = [¦,¦],
70
мы наделяем Mat(n, К) структурой алгебры Ли. Для ее обозна-
обозначения попользуем символ gl(n,K). По аналогии с gl(n,K) лиев
закон композиции в общем случае также обычно обозначают
[,] и называют коммутатором. Т
Подалгеброй алгебры (Л,[х) называется подпространство
VczA, замкнутое относительно умножения \i. Например, в
gl(n,R) совокупность so(n) антисимметричных матриц является
подалгеброй.
Подалгебра JczA называется левым (правым) идеалом,
если ц(Л,/)<г/(ц(/, Л)сг/), и двусторонним идеалом, когда вы-
выполнены оба условия. В случае алгебры Ли все три понятия
эквивалентны, и мы используем понятие просто «идеал».
A12) Факторалгеброй A/J называется факторлространство
A/J по двустороннему идеалу / с законом композиции jx'
V-'(x + J,y + J) = *{x,y) + J. G8)
Гомоморфизмом f алгебры (Л, jx) в (Л', jx') над полем К
называется гомоморфизм векторных пространств f:A-*-A', при
котором
/№, У)) = !*'(/(*). fW, x,y?A.
Сформулировать свойства ядра и образа гомоморфизма алгебр
мы предлагаем читателю самостоятельно. У
Итак, алгебра — это векторное -пространство над полем с би-
билинейным и дистрибутивным законом композиции.
С произвольным векторным пространством У над полем К
естественным образом связываются некоторые алгебраические
конструкции. Прежде всего это тензорная алгебра над V.
Определим тензорное произведение У® V векторных про-
пространств У и V как тензорное произведение /(-модулей (см.
(85)). Тогда V®V — также /(-векторное пространство.
A13) Упражнение. Покажите, что совокупность элемен-
элементов вида {ei®e'j }, где е{ и e'j —элементы базиса (соответ-
(соответственно в У и V), является базисом в V®V.
A14) Упражнение. Докажите, что {V®Vr) ® V" =
A15) Будем считать поле К тензорным пространством над
V ранга 0, само ;векторное пространство — тензорным простран-
пространством ранга 1 и по индукции определим тензорное простран-
пространство над V ранга г T^(V) как тензорное произведение
Образ элемента (^ij, ху), ..., .%)) при каноническом гомо-
гомоморфизме (УХ УХ ... X У)->-У<8>У® ... <8>У по-прежнему
обозначим через X(i)®%)(8) ... ®Х(Г).
Произвольные элементы Г(Г)(У) (называемые контравариант-
ными тензорами ранга г) однозначно представляются в виде
71
T(r) (V) Э x = X1 '•- 'г еи ® el% ®...®ei ,
где {?;}—элементы базиса в У и коэффициенты х'1' " 'г ^К.
Эти коэффициенты называются компонентами тензора.
Рассмотрим прямую сумму векторных пространств (над К)
Определим на /(-векторном пространстве Т(У) умножение, за-
задав его на тензорах хе7<г)(У), ^fl7)
х ®у = x1'1 ¦ ¦ ¦ lryh ¦ ¦ ¦ js e^®...® e: ® eh ® .. . ® ej G T(r^s) (V)
h j
и распространив на все Т(V) по линейности. (T(V), ®) — (ассо-
(ассоциативная) алгебра над К, называемая (контравариантной)
тензорной алгеброй над V.
Аналогичным образом построим тензорное произведение
7(s)(V(*)) s экземпляров дуального к У пространства V'(*', эле-
элементы которого
х=х.,: , е ®е ®...®е
¦—ковариантные тензоры ранга s. Прямая сумма
также является тензорной алгеброй над V—ковариантной.
A16) Замечание. Обратим внимание читателя на то, что
в литературе можно встретить эквивалентное определение ко-
вариантного тензора ранга s как полилинейной формы на
Vs = У X У X ... XV. Множество t(s) полилинейных форм а:
УХ КХ ... XV-*-К есть множество функционалов на Vs,
удовлетворяющих условию линейности по каждому аргументу.
Контравариантный тензор также можно определить как поли-
полилинейную форму на У<*) X У;*; X ... X У**1.
A17) Наконец, обратимся к смешанной тензорной алгебре
над У, которая порождается всевозможными тензорными произ-
произведениями элементов из 7»(У) и Т&(У<*>). Так возникают сме-
смешанные тензоры, например, вида
_ н ¦ -Ь,К (*). (*)
х — х л л • • eh e'i ен ekl ek,
(значок ® здесь для краткости опускаем).
Отметим, что тензоры с компонентами, скажем, x\f. и
у'..}, вообще говоря, принадлежат различным /(-векторным про-
72
странствам. Смешанная тензорная алгебра T(V, У<*>) является
прямой суммой всех таких пространств.
Возможна и несколько иная конструкция. Она основана на
вытекающем из утверждения (86) изоморфизме пространств,
(*) (*)
например, с базисами {ei®eJ®ek} и {еi®ей®ety. Определим
смешанную тензорную алгебру T(V)® Г(У(*>) как прямую сум-
сумму пространств
T(V)®T(V'*>) = -rTlr){V)®T{s){Vw),
Г, S
задав умножение & их элементов (смешанных тензоров ранга
г + s) соотношением
'""'r jt...j ei®...®ei ®ен ®...®esj®
у ''¦ r> m,... га,- екх ® ... ® екг, ®е"» ® ... ® еrtls' ) =
, h (*) (*)
Г + Г'
i + i
Ранее мы рассматривали билинейное отображение /
X V-^K (см. (94)): f(v,x) = v(x), *еУ<*), хеУ. Его можно
(*> (*)
продолжить на V^®V^K (или V®Vm^ К) : f (v®x) =v(x)
(*) <•-:•)
(;1лн f(.v, l1) ='j(.t)). В общем случае такая операция является
гомоморфизмом смешанного тензорного пространства ранга
r-\-s в пространство ранга (г—l) + (s—1) и называется сверт-
сверткой:
I I*) КО ' ('¦) (*>
f \ е>- ® ... ® е, ® . . . ® гк-\. ® ...',== еил (еЛ е'> ® .. .
(соединенные скобкой тензорные сомножители в правой части
отсутствуют). При этом компоненты тензора получаются сво-
сворачиванием компонент исходного тензора по двум соответствую-
соответствующим значкам (поскольку ek\eiri) = б*'О-
A18) Рассмотрим некоторые свойства композиций "; и ®
относительно операторов (эндоморфизмов) в векторных про-
пространствах. Пусть в пространствах Vx и V2 заданы операторы
«ieEEndx(Vi) ~Mat(nuK) и u2e?EndK(V2) «Mat(n2,/C). Тогда
операторы ы1ф2 = UiQ,u2^EnuK(Vi^yV2) и м =
K(Vy®V2), задаваемые соотношениями
1, u2x2),
73
называются соответственно прямой суммой и тензорным произ-
произведением операторов и\ и и2.
A19) Упражнение. Покажите, что при подходящем вы-
выборе базисов в пространствах V\, V2, V\ '^},V2 и V\®V2 матри-
цам операторов и1ф2 и «j_2 можно придать вид
или
где ut — матрица оператора tii(i — 1,2). Ў
Вернемся к рассмотрению тензорной алгебры Г (У). Нетруд-
Нетрудно проверить, что ее подалгебра a(V), порожденная элементами
вида t<%) (х®у — у®х), x,y^V, t^T(V), является двусторонним
идеалом. Идеалом будет также подалгебра a(V), порожденная
элементами t®(x®y + y®x), x,y^V, t^T(V) (и также дву-
двусторонним).
A20) У п р а ж н е н и е. Покажите, что Т(V) представимо пря-
прямой суммой: 1) T(V)=S(V)(Ba(V),
2) T(V) = Л(Ю@ <*(V), rReS(V) (соответственно Л(V)) —
прямая сумма пространств тензоров х, таких, что их компо-
компоненты at-v-V" не меняются (соответственно меняют знак) при
перестановке любых двух индексов х-лак'лг- = +(—)x~i
Ассоциативные фактор алгебры S (V) « Т (V) /о (V) и Л (Ю
~ T(V)/a(V) называются соответственно симметрической алгеб-
алгеброй над V и внешней алгеброй над V. Последняя называется
также алгеброй Грассмана, а элементы базиса 5 = {ег} про-
пространства V называются образующими для этих алгебр. Компо-
Композиция элементов х, уеЛ (V) обозначается х/\у и называется
внешним, или грассмановым, произведением.
Рассмотрим разложение алгебры Грассмана в прямую сумму
векторных подпространств. Положим Л(г)(^) — 0 при г < 0,
д@)A/)=Я, AW(V) = V и A<r)(V) = (A(r-1)(V)}AV. Из
определения идеала <x{V) и алгебры Л(Ю следует, что для
V A)(Ю
74
х Лу = -у Лх, G9)
а значит, в качестве базиса в ЛB)(^) можно взять упорядочен-
упорядоченные внешние произведения {ег Д еу, i < /} элементов базиса в V,
и в общем случае Лм(^) —упорядоченные произведения
{gi( Ле;] Л •¦¦ Ле/г , ix < к < ¦¦¦ <h}- Отсюда следует, что
Д(У)—конечномерное векторное пространство: /\^ (V) = О
при г > п.
A21) Упражнение. Найдите размерность внешней (грасс-
мановой) алгебры Л (У) над векторным пространством V раз-
размерности п.
A22) Упражнение. Покажите, что внешнее произведение
однородных элементов х(г) — .х:'1 '''1' еи Л ... Л eir, У {s) —
= VJl '"'sen Л ••• Д eis есть
Соотношение (80) делит однородные элементы на два класса:
четные (степени 0) н нечетные (степени 1).
A23) Пусть е, = ^г — образующие алгебры Грассмана в,
умножение в которой запишем обычным образом: ^Л®; =
^ ftibj = —bfoi. Снабдим 22-градуировкой векторное простран-
пространство Mat(m, К), полагая, что элементам некоторого базиса
S = Va} = {^i0)j U {/51'] можно присвоить степень 0 или 1, причем
так, что произведение матрицы из четногб подпространства
имеет степень, совпадающую со степенью второго сомножителя,
а умножение на нечетную матрицу всегда эту степень меняет,
т. е.
Приведем два примера возможной градуировки блоков
Обозначим через Matz (m, в) множество таких линейных ком-
комбинаций А = Sx^v)atv' матриц из Mat(/n, К) с коэффициентами
а
из G, в которых матрицы a^v' с определенной градуировкой
v eZ2 допустимо умножать лишь на грассмановы элементы х^)
той же степени. Очевидно, что Matz (m, G) — ассоциатив-
чая алгебра. Задав на этом же множестве композицию
\>-слЛА> В)=АВ-ВА, (81)-
75
получим пример структуры, называемой Ъ^-градуированной
алгеброй Ли (супералгеброй Ли) со .следующими характерными
чертами:
1) суперлиевой композицией нечетных генераторов (базис-
(базисных матриц) в соответствии с (81) является операторный
(матричный) антикоммутатор:
2) тождество Якоби для генераторов принимает вид.
Алгебру MatZz (тп,0) можно рассматривать как кольцо эндо-
эндоморфизмов некоторого «6-модуля»—множества линейных ком-
комбинаций X = Zx[!% o'v) элементов 22-градуированного вектор-
V
ного пространства У'" с коэффициентами Xv'} из G. Группа авто-
автоморфизмов (т. е. обратимых элементов'из MatZo (m,®)) та-
такого 6-модуля является примером супергруппы (подробнее
см. [41]).
A24) Замечание. При описании состояний системы
частиц с разными типами статистики используется грассманова
алгебра: ее четные-элементы—для бозонных степеней свободы,
нечетные — для фермионных. Симметрия такой системы описы-
описывается супергруппой. V
A25) Перейдем к следующей конструкции — алгебре Клиф-
Клиффорда. Для этого обратимся к тензорной алгебре Т(V). Пусть
на V задана билинейная форма f:VX V->K. Для определен-
определенности будем считать ее невырожденной и симметричной. Рас-
Рассмотрим (двусторонний) идеал J(f) в Т(V), порожденный эле-
элементами вида х ® х—f(x,x), x<=V. Факторалгебра C(V,f) —
= T(V)/J(f) называется алгеброй Клиффорда. Произведение ее
элементов х, у обозначим через ху.
Алгебра Клиффорда С(V,f) содержит поле К и векторное
пространство V в качестве прямых слагаемых.
В качестве базисного элемента в подпространстве К возь-
возьмем 1. В У удобно выбрать тот базис S = {ei), в котором1
матрица формы / приведена к простейшему (стандартному)
/^
виду. Так, в случае К = R будем считать, что матрица f есть
По определению алгебры Клиффорда квадрат любого эле-
элемента jceF есть
76
{xlel)-{x*ek)=f,kxlx*.
Отсюда следует, что для произведения базисных элементов еи
?к при 1Фк выполняется соотношение
erek + ek-el = 0 Ц?=к),
что можно переписать, сняв ограничение 1фк, в виде
erek + ek-ei = 2fik-l. (82)
Представляется очевидным, что при гомоморфизме
T{V)'-+C(V,f) = T{V)IJ{f) образ любого элемента из W){V)
можно представить линейной комбинацией.упорядоченных про-
произведений eil -e.2(ii < н) и l^K. Пользуясь соотношением (82),
читатель индуктивным путем докажет, что, как и в случае
алгебры Грассмана, в качестве базиса в C(V,f) можно взять
набор всех упорядоченных произведений образующих
е,?и . ¦ ¦ е,г (/, < /, < ... < ir). (83)
Таким образом, размерность C(V,f) совпадает с размер-
размерностью /\ (V) и равна 2п (см. A21)).
Итак, с симметричной формой f на векторном пространстве
V можно связать некоторую конструкцию — алгебру Клиффор-
Клиффорда C(V,f). Ранее (см. табл. 2) с помощью таких форм мы дали
определение ортогональных групп.
A26) Можно предполагать, что ортогональная группа
Uf(n,K) и алгебра C(V,f) связаны друг с другом. Рассмотрим
группу обратимых элементов C^^J) = {и} кольца C(V,f) и
каждому и сопоставим преобразование алгебры Клиффорда
C(V,f) в себя:
g (к): х -> х' = ихиг1, х = хАеА ?C(V, /), и = ивев ? С,, (V, /),
где А, В нумеруют базис C(V,f), скажем (83). (В таком случае
в качестве А можно использовать мультииндекс, являющийся
упорядоченным подмножеством множества {1, 2, ..., п), нуме-
нумерующего базис S а V. Пустому подмножеству А = 0 следует
сопоставить единицу поля К: е й = 1.)
Очевидно, что g(u) является автоморфизмом алгебры Клиф-
Клиффорда. В группе автоморфизмов {g(u)}~ С„. (V, f) выделим пре-
преобразования, переводящие подпространство Vcz C(V,f) в себя:
g(n): uVtr1 С V. (S4)
Для сужения на V преобразования g(u)\v = g(u) соотношение
(82) дает
(g (u)x-g(u) х) = {х'-х') = х'к/ктх"" =
= х'х' = (мхи) {ихи~1) = xkfknxm = (х-х),
что эквивалентно ортогональности этого сужения.
77
Требованию (84) удовлетворяют, в частности, элементы
u(ij)<=C(V,f) вида
'"re{ej). (85)
Правую часть мы понимаем как формальный ряд, вычислить
который в данном случае не составляет труда:
и {ij) = 1 cos -^- + efij sin -^- при е]е) = + 1, (86)
и {ij) = 1 ch ~ -r e^j sh -|- при е]е) = — 1. (87)
Группа, порожденная произведениями элементов вида (85j,
называется спинорной группой и обозначается Spin (У,/).
В иной записи — Spin(n) или Spin (p,q), при этом имеются в
УК /V
виду стандартные случаи / = /„ или / = Ip>q (над R).
Отображение u-*~g(u)= g(u) \v определяет гомоморфизм
Spin (]/, f) в ортогональную грушу.
A27) Упражнение. Покажите, что этот гомоморфизм яв-
является эпиморфизмом группы Spin(n) (Spin(p, q)) на группу
SO(n) (SO(p,q)), а его ядро состоит из элементов ±1еС(У,/).
Указание. Воспользуйтесь тем, что группа SO(n) порож-
порождается произведениями элементов вида A.12). V
В квантовой теории электрона Паули и релятивистской тео-
теории электрона Дирака читатель уже встречался с представле-
представлениями алгебр Клиффорда C(R3, /3) и С(ЯА, /3,i). Свойства (82)
образующих алгебры Клиффорда воспроизводятся антикомму-
антикоммутаторами матриц Паули о; (t = 1, 2, 3) в первом случае и мат-
матриц Дирака Yn (ц = 0, 1> 2, 3) —во втором. Переформулировав
конструкцию G1), G2), G5) .в терминах алгебры C(R3,h), не-
нетрудно убедиться в изоморфности групп SpinC) ~5f/B). В по-
последующих главах будет установлено, что в свою очередь
SpinC,l)«SIB,C).
A28) Матричные реализации алгебры Клиффорда одновре-
одновременно являются представлениями спиноряой группы. Для про-
простоты в дальнейшем будем обозначать алгебру Клиффорда че-
через C(V, /p,g) = С(р, q), где р + q — п — размерность V. Слу-
чай / = 1п будем описывать, полагая р = 0. Пусть имеется пред-
представление d алгебры Клиффорда, т. е. гомоморфизм d : C(p,q)-*-
->-EndK(W) =Mat(m,/С), где т — размерность W над К.
В качестве К ¦рассмотрим поле С комплексных чисел.
Образы элементов базиса еА^С(р, q) обозначим через
ГА = d{eA). Матрицы Г, (i= 1, 2, ..., п) воспроизводят соот-
соотношение (82) для образующих ег:
ГЛ + Г,Г,. = 2/Д (88)
и поэтому их основным свойством является Тг Гг- = 0. Действи-
78
тельно, из соотношения (88) при i = k вытекает обратимость
любой из них, а при [фк это выражение переписывается в виде
Следовательно, Тг1\ = 0.
Очевидно, что наряду с представлением d должно суще-
существовать (вообще говоря, отличное от него) представление &*\
порожденное произведениями матриц Г) s= d (ег). Для удоб-
удобства 'бывает желательно на представление d наложить условие
эрмитовости или антиэрмитовости матриц Гг-. Поскольку
V'l = fkkl (суммирования нет), то очевидно, что допустимо тре-
требование лишь эрмитовости Гй, если fku = 1, и антиэрмитовости
Th при fhh = —1.
Замена некоторого числа матриц Гй-wTft антиэрмитовыми:
обеспечивает переход к представлению алгебры Клиффорда
C(p,q) с любой нетривиальной 'сигнатурой. В релятивистской
квантовой теории необходимо представление die^) = у^ алгебры
СC, 1) минимальной размерности. (В качестве матрицы фор-
формы f служит gp,v — метрический тензор в М4.) Минимальная раз-
размерность представления алгебры С(га) есть dimd(C(n)) = 2" ,
где [п/2]—«целая часть» числа га/2. В случае СC,1) о«а
равна 4.
A29) Фундаментальная теорема Паули. В алгебре
матриц Mat D, С) любые два набора {уп}, {у'^} (\х = 0, 1,
2, 3), реализующие представления образующих е^ алгебры-
Клиффорда С C,1)
Y v _|_ " " = 9f /
-iX + iX = 2gJ { '
связаны преобразованием подобия у'и = 5уц5~', S^GLD,C).
Доказательство аналогичной теоремы в общем случае C(p,q)
приводит « делению совокупности ортогональных групп на
классы {50B^)} и {S0Bk+ 1)}, которое проявляется в клас-
классификации полупростых групп Картана, при построении опера-
операторов Казимира для этих групп и т. д. Такое разбиение обуслов-
обусловливается различными свойствами «последнего» элемента ба-
базиса (83): еи nsse1e2 . .. еп коммутирует со (всеми образую-
образующими вг при нечетном га = 2k + 1 и антиком мутирует со всеми
et при п = 2k. Ў
Поскольку биопинор'Ы Дирака — элементы пространства W
представления алгебры Клиффорда С C,1)—сами по себе не^
являются наблюдаемыми величинами [5] (наблюдаемые — их.
квадратичные .комбинации), то, вообще говоря, физические ве-
величины не зависят от выбора базиса в СC,1). По фундамен-
фундаментальной теореме Паули это означает, что мы вправе выбрать то
79'
представление {ум = d(eM)}, которое наиболее удобно при кон-
конкретном расчете.
A30) Напомним, что представление, первоначально исполь-
использованное самим Дираком, имеет вид
Обращаем внимание читателя на то, что в физических при-
приложениях выбор базиса (над С) в пространстве матриц
MatD, С) ~ СC, 1), называемом алгеброй Дирака, несколько
отличается от представления образующих алгебры Клиффорда
у а = d(eA). В частности, вместо антиэрмитового элемента \\п2з,
как правило (но яе всегда!), используется у5 == iyol2S с квадра-
квадратом y'i = I. Вместо матр-иц y.uv = \VYv(.!-i < v) также переходят
к (Хцл> = iynv(\x < v). При этом для удобства ковариантного сво-
сворачивания индексов снимают ограничение (ji<v), положив
Наконец отметим, что четыре элемента v,uvp(i-i < v < p) могут
отличаться от произведений уц5 = iYnYo только знаками. Набор
матриц
. ™ = {Л 7,. %(!x<v), T,5, 7.) 192)
является 'базисом (над полем С) в алгебре Дирака, ортогональ-
ортогональным относительно формы
<х-у>=-±-Тг(х*у), х, y?}\&t{A, С). (93)
A31) Кроме инволюции « + », являющейся антиавтомор-
антиавтоморфизмом алгебры Дирака, в пространстве Mat D, С) нетривиаль-
нетривиальным физическим смыслом обладают также следующие опера-
операции: во-первых, IV-»-YoI\vYo- Поскольку при этом yo~>-Yo,
Yft->- —уь. (k = 1, 2, 3), в пространстве Минковского ей соответ-
ствует операция Р пространственного отражения. Во-вторых,
операция зарядового сопряжения IV-*- С-'Гл-С, где С — 4X4
матрица, определяемая из условия С~1у^С = —y,T (cm- [5,23]).
A32) Для удобства записи закона умножения элементов ба-
базиса (92) можно ввести набор {FN} с верхними мультиин-
дексами. Например, o»v = g^agx^aa^ (ограничение (а < р)
здесь снято). Кроме того, полезно использовать полностью анти-
антисимметричный (псевдо)тензор 8<*Эт>б (см. примечание на с. 20).
Отметим, что для ковариантных индексов еош = — 1! В соответ-
соответствии с указанным примечанием (при учете знака е ) чита-
читатель может получить следующие правила свертки:
= — 24, e^'.'-vs1-'^3 = — 63
3,
(94)
?hu.vt? pp = — 8 o'o -4- о o'o -4-0 8*6 — о 8' о —о 8'о — 8 ?й .
С помощью е матрицу у5 можно определить так:
Мы предлагаем читателю самостоятельно провести некото-
некоторые вычисления в алгебре Дирака. Овладение такой техникой
необходимо для освоения квантовополевой теория элементар-
элементарных частиц.
A33) Упражнение. Исходя из соотношения (89) и не
используя явного представления у-матР1ИЦ> получите соотно-
соотношения
Тг (т.Тр) = 4#„р, Тг (трТЛ Лз) = 4 (^рв^ + gmgf? - g„$,,),
Tr (ТЛЛ JvTo) = 4ise?iiv, Тг (тЛра;,Л5) = - <K?,V, (95)
Tr (o^O(x»t.->) — —4isa!3|J.»,
Tr (Tp°«3 Тха1") = 4 [ — s?al3(, g1' ex,^x +
"T (Spj^jiS^.v ~T~ S^SaiSnX Opab3v6i[x ep3&oiabvX JJ •
A34) Упражнение. Выведите следующие фрагменты за-
закона умножения в алгебре Дирака:
a]iV Та == S!-"*3 Т'Тп Т" ' (?va'(v. ё";,.а Tv ),
Таа^ = sn«pf7i — i (г,« Т„. — ?.„Л„),
6 Зак. Ni 152
ГЛАВА 3
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ГРУППЫ ЛИ
§ 1. Свойства групповых операций в топологических
группах
Группа физической симметрии, как правило1, является груп-
группой движений топологического1 пространства. Это позволяет
ввести естественное понятие близости для ее элементов и тем
самым наделить группу G структурой топологического' простран-
пространства. Непрерывность преобразований физической симметрии
должна быть согласована с топологической структурой на G.
Для этого оказывается достаточным потребовать, чтобы группо-
групповое умножение и переход к обратному элементу g-*-g~l были
непрерывными операциями в искомой топологии.
В главе 1 мы установили, что группа симметрии обеспечи-
обеспечивает нас наблюдаемыми, если, во-первых, окрестность единич-
единичного элемента е отождествляется с окрестностью 0 в Rn, и, во-
вторых, векторы ее касательного пространства в точке е яв-
являются генераторами однопараметричеоких подгрупп. Выделяе-
Выделяемая благодаря такому 'свойству совокупность топологических
групп известна под названием групп Ли. Некоторые их свой-
свойства являются общими для всего класса топологических групп.
Этот «ласе сначала и рассмотрим.
A) Итак, топологическая группа — это множество G, являю-
являющееся группой и одновременно топологическим пространством,
причем групповые операции суть непрерывные отображения:
a) G X G-+G для умножения и б) G^-G для операции «-1».
Другими словами, пусть g3 = gig2 и U(g3)—наперед заданная
окрестность элемента g3. Тогда можно указать окрестности
^() U(), такие, что
U(gt)-U{gz)<zU{gs). A)
Далее, для любой окрестности U{g~x) элемента g~l всегда най-
найдется U(g), такая, что (U(g))~l cz U(g-1).
B) Замечание. В определении A) условия а), б) можно
заменить требованием непрерывности отображения (glt
ga)-+grg2*- Ў
Группу G называют компактной, локально компактной, связ-
связной, односвязной и т. д., если G —топологическая группа, яв-
82
ляющаяся компактным (соответственно локально компактным,
связным, односвязным (и т. д.) пространством.
C) Примеры. Множество R вещественных чисел является
(аддитивной) группой и, как известно, топологическим про-
пространством. Отображение (х, у)-*~х — у, х, y^R непрерывно.
D) Группа GL(n,K) (K = R,C) является множеством обра-
обратимых матриц в Mat (л, К). Последнее, как известно, — /(-век-
/(-векторное пространство размерности п2. Фундаментальные системы
окрестностей точек а, Ъ и с = а¦ b~'<=GL(n, К)c=Mat(n,К):
U, (а) = [а' : | a\k - aik |< 8} п 01 («, К). B)
Аналогично определяются U (Ь) и f/(c). Групповые операции
непрерывны. (Покажите это.)
E) Группу SU{2) ~ Sp(l) мы отождествили с группой уни-
модулярных кватернионов а, Ь, с, ... бх: \а\ = \Ь\ = \с\ = ...
... =1. Множество последних совпадает со сферой SsczR4, то-
топологическая структура которой индуцирована из R4. Следова-
Следовательно, топологию на SUB) можно ввести', потребовав, чтобы
изоморфизм множеств SC/B)«— S3 был гомеоморфизмом. Непре-
Непрерывность групповых операций нетрудно доказать, исходя из
закона умножения:
C)
а\ = \Ь\=\,
где а«е = а*е* (i = 1, 2, 3). V
Из определения топологической группы G следует, что сдвиги
Lg : g-*-g' = gog и инволюция «^4>> ig-^-g являются гомео-
морфными отображениями G^>-G. Поэтому:
F) подмножества gU, Ug, U~1czG открыты (или замкнуты).,
если открытым (или замкнутым) является подмножество UczG;
G) локальные свойства группы достаточно задавать на
окрестности одного (любого) элемента, в частности е. На-
Например:
(8) группа GL(n, К), К = R, С — локально компактна, ибо
точка ееU(e)czGL(я,К) обладает окрестностью U(e) (см. B)),
замыкание которой компактно;
(9) топологическая группа G тогда и только тогда дискретна,
когда для единичного элемента допустима окрестность U(е) = е;
A0) в любой окрестности единицы W(e) содержится такая
U(e), что U(e) ¦U~1(e)czW(e) (возьмите в A) gi = g2~l = e);
A1) в любой окрестности U (е) содержится симметричная
V(e)dJ(e), т. е. вместе с каждым элементом g^V(e) содержа-
содержащая и обратный к нему: §-'еУ(е)с(/(е).
§ 2. Подгруппы, нормальные подгруппы, факторгруппы,
естественные отображения, гомоморфизмы
топологических групп. Прямые произведения
Пусть G— топологическая группа и Н — подгруппа в груп-
не G*\ А. подгруппу Н (или нормальную а. подгруппу Н) на-
назовем топологической подгруппой группы G (соответственно
нормальной топологической подгруппой), ©ели Н одновременно
является замкнутым подмножеством в топологическом про-
пространстве G.
A2) Замечание. В топологической группе любая а. под-
подгруппа является топологической группой в индуцированной то-
топологии. В частности, все классические группы из табл. 2 реа-
реализуются как а. подгруппы GL(n,C) и потому являются топо-
топологическими. Если индуцированная топология на подгруппе Н
оказывается дискретной, то Н называется дискретной подгруп-
подгруппой группы G.
A3) Простейшей иллюстрацией нетривиальности указанных
©пределений является группа G — {g(xu T2)=exp2ni(tiPi +
+ Т2Р2)}, гомеоморфная тору Т2 = S1 X S1. Здесь Рг—диаго-
Рг—диагональные 2X2 матрицы
И1 oV И0.)-
Подгруппа Haib={ga,ъ(х) =g(ar, b%)} называется рациональ-
рациональной обмоткой тора при a/b^Q и иррациональной обмоткой
тора в противном случае. Исследование свойств обоих типов
На,ь предлагаем читателю провести самостоятельно.
A4) Теорема. Пусть G—топологическая группа. Тогда:
а) если Н—а. подгруппа (или нормальная а. подгруппа) в
G, то ее замыкание Н также является а. подгруппой (нормаль-
(нормальной а. подгруппой) в группе G;
б) если а. подгруппа Н является открытым подмножеством
В G, то #=Я. _
Доказательство, а) Покажем, что а-Ь~1^Н для эле-
элементов а. Ь<=Н. Пусть W — окрестность элемента (а-&~!).
Тогда в G существуют окрестности U(a) и U(b), такие, что
V(а) • (U(b))~l a W. Эти окрестности должны иметь нетри-
нетривиальное пересечение с Н, поэтому существуют х, у^Н, такие,
что x^U(a), y^U(b). Поскольку х-у~1^Н и rf'ef, то
любая окрестность элемента (ab~l) имеет непустое пересечение
с Я, т. е. ab-x<=H. ..••..
*) При необходимости подчеркнуть, что данное понятие рассматривается
в абстрактно-групповом смысле и безотносительно наличия в G структуры,
скажем, топологического пространства или многообразия, будем употреблять
сокращение «а. подгруппа».
«4
б) Одновременно с Н открытым подмножеством в G явля-
является каждый класс смежности gH. Объединение всех отличных
от Н=еН смежных классов есть также открытое подмноже-
подмножество в G. Но оно является дополнением G \Н, следовательно,
Я — замкнуто. V
A5) Примеры. GL(n, C)=>GL(n, R)—замкнутая под-
подгруппа.
A6) SL(n, К), K=R, С — замкнутая подгруппа в GL(n,K),
A7) U(п) (или SU(п))—в GL(n, С) (соответственно в
SL{n,C)).
A8) О(п) (или SO(n))—в GL(n, R) (соответственно в
SL(n,R)).
A9) Подгруппа SOC) в 0C) открыта и замкнута одно-
одновременно. W -&?
Топологическая факторгруппа G/H топологической группы
G — это факторгруппа группы G по нормальной а. подгруппе Я
и факторпространство топологического пространства G по
замкнутому в G подпространству Я. Фактортопология по су-
существу согласована с групповым умножением в факторгруппе,
поэтому G/H — топологическая группа.
При факторизации G-+GJH в общем случае (т. е. когда Я
не обязательно нормальная подгруппа и, возможно, незамкну-
незамкнутая) очевидны следующие свойства:
B0) А. факторпространство G/H топологической группы G
однородно. (Напомним, что топологическое пространство X на-
называется однородным, если для любой пары его элементов
а, Ь^Х найдется непрерывное отображение Х->Х, при котором
а->6.)
B1) Отображение факторизации является непрерывным и
открытым, но сохранять свойства отделимости не обязана
Действительно, при факторизации по а. подгруппе Я, не яв-
являющейся ни открытым, ни замкнутым подмножеством, точка
в G/H в фактортопологии не будет ни открыта, ни замкнута,
ибо прообраз замкнутого (открытого) множества должен быть
замкнут (открыт).
B2) Свойства компактности наследуются при факторизации
по топологическим подгруппам. Если G — компактна (или ло-
локально компактна), то пространства G/H тоже компактны (со-
(соответственно локально компактны).
B3) Пример. Все факторпространства (и факторгруппы)
группы GL(n, К), K=R, С по топологическим подгруппам ло-
локально компактны.
B4) Пусть G — топологическая группа. Если ее подгруппа
Ы компактна и пространство GJH также компактно (или хотя
бы локально компактно), то сама группа G компактна (соот-
(соответственно локально компактна), поскольку гомеоморфна пря-
прямому произведению HxG/H топологических пространств.
B5) Возьмем в качестве примера G—SO(n), H—SO(n—1)
8S
и X—SO(n)/SO(n—1). Рассмотрим орбиту У группы G в
G-модуле Rn, содержащую какую-либо точку y@)<=Rn. Для про-
простоты выберем вектор ут= (О, ..., О, 1). Отметим, что группе
стабильности этой точки соответствует группа H=SO(n—1),
поэтому G-модули Х и У изоморфны.
Из ортогональности преобразований g^SO(n) следует, что
все точки gy@) орбиты У принадлежат сфере Sn~l в. простран-
пространстве Rn : Sn-l={y : y\ + yt + ... + у\ = \). Чтобы установить
совпадение Y=Sn~\ достаточно показать, что любую точку
сферы y^Sn~l можно представить в виде y=gy®), g<=SO(n).
Если у имеет компоненту уп= —1, эта задача тривиальна:
все остальные компоненты ук = 0 (k=/=n), и в качестве иско-
искомого g^SO(n) можно взять преобразование отражения чет-
четного числа осей в Rn, включающего ось я, поэтому положим
УпФ— 1.
Каждому (п—1)-компонентному вектору х сопоставим анти-
антисимметричную матрицу:
' [2i^D,
Взяв в качестве х вектор с компонентами
нетрудно проверить, что матрица Клейна
g=]-ZJL?SO(n) E)
I [ X
выполняет искомое преобразование Уфу-+у = gy(oy
Итак, X=SO(n)/SO(n— 1) и сфера S™-1 в ^и изоморфны
как множества и как G-модули. Одновременно они являются
топологическими пространствами. Введенная с помощью B)
топология в GL(n, R), индуцирует топологию в замкнутой ее
подгруппе SO (я), фактортопология которой и определяет наХ
структуру топологического пространства. Эта структура экви-
эквивалентна индуцированной на сфере S" из Rn, в чем нетрудно
убедиться, используя элементы D) в качестве представителей
классов 50 (я) /SO (я — 1).
Сфера Sn~~l — компактное топологическое пространство.
Исходя из вырожденного случая SO A) = 1, индукцией по п
получаем, что все группы SO (я) компактны.
B6) Дословное повторение сказанного применительно к слу-
случаю G = U(n), H=U(n—1) позволяет прийти к выводу о го-
гомеоморфизме U(n)/U(n—l)^S2n~l и компактности всех
Fpynn U(n).
B7) G = U(n), #={exp i%In}ttU(\). Группа G является
S6
прямым произведением G=U(l)xSU(n). Из свойства B2)
следует, что SU(n) ж GJH компактна.
Здесь же напомним, что группа Sp(n) (см. табл. 1 и 2) яв-
является подгруппой в SUBn). Множество ее элементов выде-
выделяется дополнительным условием сохранения симплектической
формы с матрицей F2n (см. B.61)), значит, Sp(n) в SUBn)
замкнута и потому компактна.
B8) Пусть G и Я — топологические группы. Гомоморфиз-
Гомоморфизмом топологических групп называется непрерывный а. гомо-
гомоморфизм групп / : G-*-H. Следует учесть, что топология в об-
образе Im fczH, вообще говоря, может оказаться слабее индуци-
индуцированной отображением f, поэтому основную роль играют от-
открытые гомоморфизмы, в частности изоморфизм топологиче-
топологических групп — групповой изоморфизм, являющийся гомеомор-
гомеоморфизмом топологических пространств.
Только для открытых гомоморфизмов имеет смысл сформу-
сформулировать теорему, повторяющую теорему B.29), и ее утверж-
утверждение будет справедливо. V
В качестве примера предлагаем читателю рассмотреть ото-
отображение U(n)-+SU(n).
Эта же группа U (n) = U(l) XSU(n) иллюстрирует понятие
прямого произведения топологических групп. Определим его
как топологическое пространство G\XG2 с топологией произве-
произведения и групповой структурой — прямым произведением групп.
Групповые операции в G\XG2 непрерывны. Таким образом,
GiXG2 — топологическая группа.
Отметим очевидное свойство: проекторы B.8) — открытые
гомоморфизмы.
§ 3. Многообразия: гладкость, координаты, локальная
размерность, карты, атласы. Группы Ли. Параметризация.
Общая линейная группа и классические группы как
группы Ли
В главе 1 подчеркивалось, что нас интересуют группы с
гладкой окрестностью единичного элемента.
Исходное понятие — гладкая зависимость функций на рас-
рассматриваемом множестве (в данном случае пусть это будет
окрестность U(е)). Непрерывная функция f:U(e)-*-R назы-
называется гладко *> зависящей (т. е. аналитически, оо-дифферен-
цируемо или r-кратно дифференцируемо зависящей) от непре-
непрерывной функции f1 : U(e)-*-R, если для всех точек U
f(g) = F(fi(g)), F)
где функция F: R-*-R, называемая выражением f через f — со-
*) Здесь и далее для краткости термин «гладкость» употребим для обо-
обозначения как аналитичности, так и собственно гладкости.
87
ответственно аналитична, оо-дифференцируема или г-кратно
дифференцируема в точке я1 =/'(#)• Подобным образом пони-
понимается и гладкая зависимость f от нескольких функций
Л f2 fn
B9) Гладкость U(e) означает, что можно указать класс
функций С(е) (Са(е), С°°(е), Сг{е)—в соответствующих слу-
случаях), определенных на U(e), такой, что:
1) С(е) содержит любую функцию, гладко зависящую от
конечного числа функций из С(е);
2) существует набор координатных функций (/', f2, ..., fn)
из С(е), называемый системой координат на U(e), гомеоморф-
но отображающий U(e) на некоторый куб в Rn: g-кк
<xk=fh(M))
\xk-fk (e) | < a,
причем каждая функция из С(е) гладко зависит от f1, f2, ..., fn
на U(e).
Окрестность U{e) тогда называется кубической, число а —
шириной куба (относительно системы координат {/*}), а число
п — локальной размерностью U(e).
Отметим, что {/'} является системой координат в любой
точке из U(e).
C0) Утверждение. Для того чтобы набор функций
fn, \'%, ..., fmeC(e), выражающихся через координаты по-
посредством функций F'k
f>k{g) = F'k(P(g), ...,/« (g)) (g?U(e)),
также был системой координат на U(e), необходимо и доста-
достаточно, чтобы: 1) ш = п; 2) функциональный определитель
D(F'K...,F'n] „ggij
dfl\ K}
при fi=fi(g) был отличен от нуля. V
Рассмотрим свойства группы глобально. Из однородности
топологического пространства группы G следует, что гладкая
структура, задаваемая кубической окрестностью U(gu), клас-
классом C(g0) гладких функций и системой координат f, f2,
..., fneC(go) на U(go), имеется во всех точках goeG, если
только она имеется в точке е.
Действительно, сдвиг на g0 определяет U(go) как совокуп-
совокупность всех элементов g' вида g'=gog, g^U(e) и гладкие
функции f на U (g0):
f(g')=f(?), f?C(e).
C1) Пусть при этом гладкие структуры во всех случаях,
когда окрестности U{gi), U{g2), ... нетривиально пересекают-
88
Рис. 8.
Ся, согласованы, т. е. классы C(g') и C(g') на пересечении
U{g')?\U{g') совпадают (рис. 8).Т
Тогда топологическое
пространство G по опреде-
определению есть гладкое много-
многообразие. В силу утвержде-
утверждения C0) локальная размер-
размерность во всех точках связ-
связного многообразия G оди-
одинакова и называется гло-
глобальной размерностью (или
размерностью) многообра-
многообразия.
Очевидно, что из требо-
требования C1) вытекает следу-
следующее:
C2) если {л:*}, {у™} и
{x'h} — координаты точек h,
g и h' группы G, принадле- *
жащих соответственно гладким окрестностям Uu U2, U3 и h' =
— gh, то локальные координаты
x'k=fk(gh)=ftc(y\ ..., у"; х\ ..., хп) =/*({у'|; \х)\) (8)
являются гладкими (класса Са, С°° или Ст) функциями локаль-
локальных координат сомножителей. V
Нетрудно заметить, что верно и обратное: при условии C2)
топологическая группа G наделяется структурой гладкого
(класса О, С°° или Сг) многообразия, с которой согласованы
групповые операции. Такие группы G и носят название групп
Ли (соответственно аналитических или дифференцируемых).
C3) Замечание. Для исключения некоторых патологи-
патологических случаев предполагается, что база топологии в G счет-
на. V
Мы исходили из гладкости окрестности U(e) единичного
элемента. Вместо U(e) всегда можно взять «меньшую» окрест-
окрестность W(e)czU(e) с наследственной гладкостью, и в частности
системой координатных функций {/*} : W(e)^-Rn. Напомним,
что окрестность W какой-либо точки многообразия и гомео-
морфное отображение {f*} : W-*-QczRn на область Q в Rn на-
называются картой на многообразии в данной точке.
Всевозможные сдвиги W(e)-+W(g) =gW(e) образуют по-
покрытие картами всего многообразия G, и в частности окрестно-
окрестности U(e), причем в случае пересечения W(gt) с какой-либо
картой W(g2) согласованы гладкие структуры, или если
/'={/''} и f"={f"h}—координатные функции соответственна
на W(gi) и W(g2), то для сужения f и /" на пересечение
У(gi)f)W(g2) композиция
89
/' ° (/"Г1 :Rn^Rn (9)
•— гладкое отображение.
Вследствие компактности куба U(e) из его покрытия
{W(g)}g^U(e) можно выбрать конечное: {Wa=W(ga)}
(а=1, 2, ..., N). Взяв в качестве W(e) окрестность S, являю-
являющуюся порождающим множеством, нетрудно убедиться, что из
покрытия {W(g)}g^G группы G можно выбрать не более чем
счетное подпокрытие {Wa}- Для компактной группы G из него
можно выбрать даже конечное.
Напомним, что набор карт {Wa}> покрывающий все много-
многообразие и такой, что для любых пересекающихся карт Wx и W2
определяемое в (9) отображение удовлетворяет требованию
гладкости, называется атласом на многообразии.
C4) Замечание. При отождествлении гладкой окрест-
окрестности W (е) с порождающим множеством 5 мы ограничили
себя классом групп, являющихся связными многообразиями.
(Напомним, что связным топологическим пространством (мно-
(многообразием) называется такое, которое непредставимо в виде
объединения двух непустых непересекающихся замкнутых мно-
множеств.) В приведенном определении группы Ли свойство связ-
связности многообразия предполагать необязательно. Тогда в круг
рассмотрения попадут и такие группы, как группа 0C), яв-
являющаяся объединением классов смежности {S0C), w-S0C)}
(см. 2.17)).
C5) Введение локальных координат на группе Ли тесно
-связано с параметризацией данной группы. Локально, напри-
например, в U'(е)—это просто взаимно-обратные процедуры: коор-
координатные функции {/*} осуществляют гомеоморфное (и, следо-
следовательно, взаимно-однозначное) отображение U (e) -+Rn : g->
-*-{**=/*(#)}• Тогда отображение x-+g—g(x) (g(x) =
=§(х\ х2, . . ., хп)) является параметризацией элементов из
U{e).
В качестве пространства параметров рассматриваемой груп-
группы возьмем минимальную область D в Rn, характеризуемую
тем, что g(x) пробегает все элементы группы G (хотя бы один
раз), если х пробегает всю D. Рассчитывать на то, что пара-
параметризация x-^-g(x) произвольной группы Ли во всех точках
хеЬ является гладким (или хотя бы гомеоморфным) отобра-
отображением D-*-G, не приходится. Для примера здесь можно со-
сослаться на параметризацию группы S0C) углами Эйлера (см.
рис. 2) g=g(cp, ¦&, if>). Она вырождена при ¦&=(). Параметри-
Параметризация gn(co) этой же группы теряет взаимную однозначность
на границе шара при ю=л.
C6) Предположим, что заданы группа симметрии G и ее
параметризация D-*-G. Пусть из физических соображений сле-
следует, что G допускает (согласованную с групповой) структуру
непрерывного многообразия класса С0, и в частности, что ее
параметризация определяет некоторую карту (W(e), f) в окре-
окрестности U (е) единичного элемента, где f={fh} гомеоморфно
отображает W(e) на некоторую область QczD пространства Rn.
В этих условиях, как оказывается, нет. необходимости спе-
специально проверять, является ли G аналитической или хотя бы
оо-дифференцируемой группой Ли. По теореме Глиссона —
Монтгомери — Циппина всякая топологическая группа со струк-
структурой С°-многообразия, согласованной с групповой, допускает
структуру аналитической группы Ли. ^
Мы не имеем возможности остановиться здесь на рассмотре-
рассмотрении этой теоремы [9]. Для нас существен лишь вывод, что
группы физической симметрии можно считать аналитическими
группами Ли. В дальнейшем будем именовать их просто груп-
группами Ли.
Отметим основные свойства, которые следуют из существо-
существования атласа аналитических координат, т. е. таких, что функ-
функции в правой части (8) — аналитические.
C7) Всякая а. подгруппа группы Ли, являющаяся замкну-
замкнутым подмногообразием, сама есть группа Ли (назовем ее под-
подгруппой Ли).
C8) Всякая факторгруппа группы Ли по нормальной под-
подгруппе Ли — группа Ли.
C9) Всякая группа Ли локально компактна и локально
связна.
D0) Прямое произведение Gx# групп Ли является груп-
группой Ли. Проекторы B.8) — аналитические отображения много-
многообразий (см. F6)).
D1) Одной из важнейших групп Ли является группа
GL(n, R). Ранее для задания топологии в GL(n, R) мы исполь-
использовали пространство Rn\ образованное наборами матричных
элементов матриц g^GL(n, R). Любую матрицу geMat(n, R)
удобно представить в виде
Тогда пространством параметров группы GL(n, R) является
Все Rn* за вычетом подмногообразия меньшей размерности,
выделяемого алгебраическим уравнением
det(/+x)=0
Любой элемент g0 обладает кубической окрестностью
)GL(n, R). Координатные функции
Гомеоморфно отображают U(go) на куб в Rn* подходящей ши-
ширины е. Отметим, что глобальные координаты произведения
U'=I+x'=gh выражаются аналитически через координаты
91
•**> У'к сомножителей k = I+x, g=I+y;
Таким образом, группа GL(n, R) является группой Ли,
Аналогично комплексные координаты
g = I+z?U(go)cGL{n,C), go = I + zQ A2)
наделяют группу GL(n, С) структурой комплексного многооб-
многообразия, причем групповая композиция с нею согласована. Та-
Такие группы называются комплексными группами Ли.
Группу GL(n, С) можем рассматривать и как веществен-
вещественную 2я2-параметрическую группу Ли с пространством пара-
параметров R2"', образованным вещественными и мнимыми частя-
частями матричных элементов г\я.
D2) Напомним, что классические группы из табл. 2 яв-
являются подгруппами в GL(n, С) (или в GL(n, R)). Усло-
Условия, их выделяющие, имеют вид системы ¦ алгебраических
уравнений для матричных элементов группы GL(n, С) (GL(n,
R)). Следовательно, любая классическая группа является
замкнутым подмногообразием в GL(n, С) (GL(n, R)), т. е.
подгруппой Ли.
Например, в случае группы SO(n, С) упомянутые уравне-
уравнения имеют вид
detg=\, ~det?—1=0, A3)
gr/g = /, ~gT/?-/ = 0.
Левые части уравнений A3) являются комплексно-анали-
комплексно-аналитическими функциями координат комплексного многообразия
GL(n, С). Следовательно, SO(n, С) также может рассматри-
рассматриваться и как (вещественная) группа Ли, и как комплексная
группа Ли.
Это не относится, например, к группе SU(n), поскольку ле-
левые части соответствующих уравнений
det?-l=O, g'/g = I A4)
не являются комплексно-аналитическими функциями. Но они
представляют собой аналитические функции 2 п2 координат
(вещественного) многообразия GL{n, С).
D3) Упражнение. Укажите все группы из табл. 2,
являющиеся комплексными группами Ли.
92
.§4. Связные компоненты топологической группы, К(е).
Теорема о конечной порожденности. Свойства
дискретных нормальных подгрупп. Компоненты группы
Лоренца
Перейдем к рассмотрению свойств группы физической сим-
симметрии, вытекающих из связности или несвязности ее много-
многообразия. Напомним сначала, что компонентой элемента g то-
топологического пространства (топологической группы) G назы-
называется максимальное связное множество К(§), содержащее
этот элемент (оно всегда замкнуто).
D4) Утверждение. Компонента единицы К(е) является нор-
нормальной топологической подгруппой группы G.
Доказательство. Свойство замкнутости К(е)=К(е)—•
характеристическое свойство компоненты [24, с. 97]. Необходи-
Необходимо показать, что К(е) —нормальная подгруппа.
Поскольку отображение g-+g~l является гомеоморфизмом
G-+G, то множество K~l{e) = {h~1, k^K{e)} связно. Оно
содержит е, а тогда К~х(е)'=К(е) в силу максимальности ком-
компоненты К(е). Следовательно, К(е) наряду с каждым элемен-
элементом h содержит и обратный к нему h~x. Далее пусть h^K(e).
Сдвиг G^-hG также является гомеоморфизмом, поэтому множе-
множество hK(e) связно. Оно также содержит е = М~1, поэтому
hK{e)'=K(e), т. е. К(е)—подгруппа.
Наконец, для любого geG отображение G-t-gGg*1 — так-
также гомеоморфизм. При этом gK(e)g~1 связно, содержит еди-
единицу е = geg~\ и потому gK(e)g~l^K(e). Ў
В силу однородности факторпространства G/K(e) его эле-
элементы (классы смежности) сами являются компонентами в G.
Факторгруппа G/K(e) называется группой компонент тополо-
топологической группы G.
D5) Свойство К(е) = G является характеристическим для
¦связной группы G.
D6) Свойство К{е) = е характеризует вполне несвязную
группу.
D7) Упражнение. Покажите, что группа компонент
G/K(e) топологической группы G вполне несвязна. Т
В частном случае локально связной группы G, т. е. допу-
допускающей связную окрестность единицы U (е) (как известно, та-
таковы группы Ли), справедливо более сильное утверждение.
D8) Утверждение. Группа компонент G/K(e) локально связ-
связной топологической группы G дискретна.
В самом деле, образ U(e) при каноническом отображении
G-*~G/K(e), с одной стороны, является точкой (ибо U(e)cz
^К{е)^>-еК{е)), а с другой — окрестностью единицы
в G/K(e) (поскольку каноническое отображение открыто). Т
93
Рассмотрим теперь свойство связных групп, впервые уста»
новленное нами для группы SOC).
D9) Теорема о конечной порожденности. Связная тополо-
топологическая группа порождается любой окрестностью своей еди-
единицы.
Доказательство. Пусть U(e) — U — окрестность еди-
единичного элемента связной топологической группы G. Рас-
Рассмотрим подгруппу H^G, порожденную элементами этой ок-
окрестности. Группа Я— объединение множеств вида (И)т. В
свою очередь каждое (U)m есть объединение множеств вида
и- (U)m~l, u^U, поэтому все (U)m вместе с Я открыты одно-
одновременно с U. Но тогда по теореме A4) Я замкнута. Вместе
с Я открытостью и замкнутостью обладает дополнение G\H.
Если б=?Я, то группа G является объединением непустых
замкнутых множеств H\]G\H (поскольку Ягэ?/ заведомо не-
непусто), что противоречит предположенной условием теоремы
связности. Т
Полезным критерием, позволяющим во многих случаях
устанавливать связность той или иной группы, является сле-
следующая теорема.
E0) Теорема. Пусть Я — топологическая подгруппа груп-
группы G. Если группа Я и факторпростраиство G/H связны, то
сама группа G также связна.
E1) Упражнение. Докажите теорему E0). V
В качестве примера применения этой теоремы рассмотрим
случай G = SO(n), H=SO(n—1). В примере B5) мы уста-
установили, что G/H гомеоморфно сфере S"-1. Последняя, как из-
известно, связна при всех я>1. Поскольку в тривиальном слу-
случае Я = 50A) эта группа содержит лишь один (единичный)
элемент и безусловно связна, то следствием доказанной тео-
теоремы является такое утверждение.
E2) Утверждение. Все группы SO (n) (гс>1) связны.
E3) Упражнение. Покажите, что группы U(я), SU(n),
Sp(n) (n^l) связны. V
Чтобы сформулировать еще одно свойство связных групп,
отметим, что в любой топологической группе G ее центр Z(G)
всегда является замкнутым множеством, что следует из регу-
регулярности топологического пространства G [24, с. 140]. Под-
Подгруппы, принадлежащие центру Z(G), будем называть цент-
центральными.
E4) Теорема. Любая дискретная нормальная подгруппа
Я связной топологической группы G является центральной нор-
нормальной подгруппой.
Доказательство. В силу дискретности Я у любого
ее элемента /геЯ найдется окрестность V(h), не содержащая
других элементов из Я, кроме h. Вследствие непрерывности
отображения k-+ghg-1 как по h, так и по g найдется окрест-
окрестность единицы V(e), такая, что U(e)hU~l (e)czV(h). Тогда для
94
любого элемента u<=U(e) необходимо, чтобы uhu-^V(h) я
uhu~l^H в силу инвариантности подгруппы Н. Значит, uhu~l =
=h, поскольку в V(h) других элементов из Н нет. Воспользо-
Воспользовавшись теперь теоремой D9) о конечной порожденное™, при-
приходим к выводу, что h коммутирует со всеми элементами груп-
группы G, т. е. принадлежит ее центру. W
Итак, наиболее важное свойство связных топологических
групп (и групп Ли) выражается теоремой о конечной порож-
порожденное™. Она же лежит и в основе инфинитезимального ме-
метода теории групп.
E5) Для нас интерес представляют также несвязные груп-
группы Ли — их устройство описывается в утверждениях D4) и
D8), откуда следует, что в общем случае группа Ли G явля-
является расширением некоторой дискретной группы F с помощью
связной группы GQ=K(e)—компоненты единицы в G. Таким
образом, для задания порождающего множества S группы G
необходимо к любой окрестности U(e)^K(e) добавить обра-
образующие дискретной группы F.
Возьмем, например, несвязную группу 0C). Указанное рас-
расширение является прямым произведением S0C) X Z2 компо-
компоненты единицы К(е) = 50C) на группу отражений W={e,.
w} (см. B.17)).
E6) Рассмотрим группу Лоренца Л = 0C, 1) (см. 1.30)).
Топологическая группа является объединением замкнутых мно-
множеств— собственной группы Лоренца А+ = 5ОC, 1) и совокуп-
совокупности несобственных преобразований Лоренца Л_ (не состав-
составляющих группы!) :Л—Л+иЛ_, причем Л+ и Л_ не имеют об-
общих элементов. В Л_ содержится столько же компонент,
сколько и вЛ+, ибо A/A+«sZ2. Отметим, что в качестве пред-
представителей классов смежности Л/Л+ удобно выбрать тождест-
венное преобразование е и преобразование Р отражения про-
пространственных осей, матричные элементы которого числе и-
н о совпадают со значениями метрического тензора:
-1 _t ) = >/Ч* = ?-,,,. A5)
E7) Возьмем в пространстве Минковского М4 точку ут0, =
==A,0,0,0) и рассмотрим орбиту группы 50C,1), ее со-
содержащую. Малой группой (группой стабильности) точки
г/(о) очевидно является группа R =SOC) чисто пространст-
пространственных вращений. Все точки орбиты А+//? принадлежат ги-
гиперболоиду У:
У2^ё^У=^ . A6)
представляющему собой несвязное множество. Его компонен-
компоненты У1 и У+ выделяются дополнительными условиями
95
r*:y°>U A7)
У1 :У>< -1. A8)
В пространстве У* содержатся все точки орбиты собствен-
собственной ортохронной группы Лоренца Л_|.
E8) Упражнение. Покажите, что точку ут можно
перевести в любую точку уеУ^ подходящим преобразованием
вида A.41). V
Итак, факторпространство ЛЬ7? и компонента гипербо-
гиперболоида У+ изоморфны как множества. Используя матрицы пре-
преобразований A.41) в качестве представителей классов смежно-
смежности, нетрудно убедиться, что индуцированная топология на
Л|//? эквивалентна топологии на У в R4.
Поскольку пространство У + = Л|,7? связно и этим же свой-
свойством, как известно, обладает группа R =50C), то по тео-
теореме E0) собственная ортохронная группа Лоренца Л?
связна.
Теперь нетрудно установить, что указанные в A.45) мно-
множества Л|, Л + , Л* и Л^ являются связными компонентами
-г т — —
группы Лоренца Л.
E9) Упражнение. Постройте таблицу умножения
группы компонент Л/Л|. В качестве представителя второго
Л ЛЛ
класса в Л+/Л^ полезно использовать преобразование S — PT
лолного отражения в М4:
/=> (РТЦ = - 3; . где 7 =
1 I- A9)
1
§ 5. Локальная группа, локальные изоморфизмы. Свойства
локальных групп
Исключительная роль, которую играет окрестность едини-
единицы U(e) в связной топологической группе, побуждает отвлечь-
отвлечься от всех иных групповых отношений, кроме тех, что насле-
наследуются в U (е). Получаемый при этом математический объект,
для задания которого необходимо указать топологическую
группу (или группу Ли) G и окрестность единицы f/(e)eG,
называется локальной группой (или локальной группой Ли)
и является классом эквивалентности по определяемому ниже
отношению локального изоморфизма.
F0) Топологические группы (группы Ли) Gy и G2 называ-
называются локально изоморфными, если существует такое гомео-
морфное отображение f: Ui(ei) ->¦ U2(e2) (локальный изо-
36
морфизм) окрестности единицы U\(ei)e.Gl па окрестность
единицы U2(e2) группы G2, которое удовлетворяет следующим
требованиям:
а) если в окрестности U\{e\) наряду с элементами g, /ie
содержится и их произведение gh^.Ul(e{), то f(gh)~
)()
б) если элементы g,he.U\(e{) таковы, что f(gh)^U2(e2),
то их произведение gh также принадлежит Vx(ei). V
Обобщение локального изоморфизма — локальный гомо-
гомоморфизм f (в определении F0) вместо гомеоморфного отобра-
отображения «па» следует взять непрерывное «в»).
Отметим, что Ker/ = f~'(e) обладает свойством, в соответ-
соответствии с которым для g-eO'i(ei), /геКег/ элемент ghg~l при-
принадлежит 1<ег / ео всех случаях, когда он содержится в Ui(ei).
Подгруппа И в локальной группе G, пересечение которой
с U(е) обладает тем же свойством, называется локальной
нормальной подгруппой. Объединение в один класс смежности
по Н элементов g', g" из U(e), для которых g'(^")^'еЯ, при-
приводит к понятию локальной факторгруппы G/H с естествен-
естественным умножением классов смежности.
Наконец, отметим, что при открытом локальном гомомор-
гомоморфизме Gj и G2 f : ?/]—>-?/г существует локальный изоморфизм
G/KfIf
F1) Рассмотрим установленный в B.107) гомоморфизм f
группы SUB) на группу SOC) (см. B.71)). Можно видеть,
что его ограничение на окрестность U\ czSUB), соответст-
соответствующую шару радиусом р<л п пространстве параметров
{п, и} (см. соотношение B.102)), удовлетворяет требовани-
требованиям F0).
F2) Замечание. Группы 50C) и SUB) связны (см.
упражнение E3)), т. е. в этом примере локально изоморфны
связные группы, отнюдь не изоморфные глобально. V
Проанализируем свойства локальных групп.
F3) Теорема. Пусть ./V — дискретная нормальная подгруп-
подгруппа топологической группы G. Тогда естественный гомомор-
гомоморфизм G-+-G/N является локальным изоморфизмом.
Доказательство. Вследствие дискретности ./V найдется
такая окрестность единицы W(e)czG, что кроме е она не име-
имеет с jV других общих элементов. В соответствии с A0) в W(e)
содержится окрестность U(e), такая, что U (е) ¦ ?/~'(е) с: W (е).
Рассмотрим сужение естественного гомоморфизма f : G-+G/N
на окрестность U(e). Пусть U'(e')aG/N — ее образ. Пред-
Предположим, что элементы и\, u2^U(e) имеют совпадающие об-
образы u'1=f(Ui) и u'2 = f(u2) = и,. Тогда элемент «i-к^'еЛ/.
Но окрестность U(e)^ut, Us выбрана так, что Ui-u~^^W{e).
Следовательно, и,\ = и2, так как е — единственная общая точ-
точка Лг и W(e).
7 Зак. X: 132 97
Таким образом, каноническое отображение f, будучи непре-
непрерывным и открытым, на U(е) к тому же взаимно-однозначно,
т. е. является гомеоморфизмом U(e)^*-U'(e'). Удовлетворение
требований F0) есть простое следствие гомоморфности f. V
Доказанная теорема обобщает случай локального изомор-
изоморфизма, упомянутый в примере SUB) ~SOC). Действительно,
как известно, 50C) «5 ?/B)/Z2, где 2г~{е0, —е0}—центр груп-
группы SU B).
F4) Теорема. Если G] и G2 — локально изоморфные связ-
связные топологические группы, то существует топологическая
группа G с такими дискретными инвариантными нормальны-
нормальными подгруппами N\ и Л:2, что G/Ni~G] и G/N2^ G2.
Приведем схему доказательства. Пусть UczGi и VczG2—¦
те окрестности единиц в группах Gj и G2 и f : U-*-V — то ото-
отображение, существование и соответствующие свойства кото-
которых предполагает локальный изоморфизм.
Образуем множество W= {(?/, f(u))} пар элементов w e ?/,
f(u)eV, а также Wn, понимая под произведением пар сле-
следующее:
(и, /(а)) ¦ {v, f(v)) = (uv, f(u) ¦ f(v)).
Рассмотрим множество G, являющееся объединением всех
W". Оно является группой и, как можно показать (подробнее
об этом см. [24, с. 144]), допускает введение топологии, при-
причем так, что проекторы ф[ : {их • ... ¦ ит, f(ii\)- ... • f(um)) -*-
->"i'...-«™eG| и ф2: {щ, -...-иш, f{ui-...-f(um))-+
-^-f(u1)-...-f(um)^G2, которые являются а. гомоморфизмами
G соответственно в Gi и G2, являются гомоморфизмами топо-
топологических групп. Но во всевозможных парах {и\-...-ит,
f(ui)-...-f(um)) встретятся все элементы группы G] на пер-
первом месте и все элементы G2 — на втором, ибо 0 и V —
порождающие множества для этих групп (поскольку послед-
последние связны), т. е. Gi^GjNi (i=l, 2). Дискретность инвари-
инвариантных подгрупп .л/; = Кегф,- при этом является следствием то-
того, что в окрестности WczG отображения срг- взаимно-однознач-
взаимно-однозначны, а значит, W не содержит других элементов из подгрупп
Л'ь Nz кроме единицы е = (еи е2) ¦
F5) Следствие. Если в условии теоремы F4) группы Gi
и G2 не только связны, но и локально связны, то: а) группа G
связна; б) нормальные подгруппы N\, N2 — центральные.
Доказательство, а) В отличие от просто связности
локальная связность [1, с. 294] предполагает в каждой окре-
окрестности любой точки пространства G наличие связной окрест-
окрестности. Пусть в Gi такой окрестностью единицы является U.
Одновременно связны U и окрестность W, порождающая G.
98
Тогда W принадлежит компоненте единицы K{e)czG. Так как
любой элемент g^G представим (конечным) произведением
элементов из W, а последние принадлежат подгруппе К(е\,
то g?=K(e), т. е. G:=K(e).
Пункт б) есть следствие а) и теоремы E4). 4F
Следствие F5) особенно важно потому, что группы Ли
(а именно они и представляют для нас интерес) локально
связны.
§ 6. Однопараметрические подгруппы. Единственность
однопараметрической подгруппы с заданным
направляющим вектором. Канонические координаты
I и II рода
Ограничим рассмотрение группами Ли. Предварительно на-
напомним следующие определения.
F6) Пусть Н и G — многообразия размерности соответст-
соответственно т и п, а Ф — отображение // в G. Если локальные ко-
координаты x!l любой точки g = Ф (h), принадлежащей образу
Im ФсС, являются гладкими (класса Сь\ Сх или Сг) функ-
функциями xh = Ф'1{у1, ..., ут) локальных координат {у1} точки
/ie//, то Ф называется гладким отображением (соответствую-
(соответствующего класса) многообразия Н в G. Если при этом ранг мат-
матрицы \\дФк/ду'\\ во всех точках 1г принимает одно и то же мак-
максимальное значение, то Ф называется регулярным отображе-
отображением. Если -регулярное отображение Ф ннъективно (что воз-
возможно лишь при т^п), то оно называется вложением много-
многообразия Н в G. Если т = п и к тому же Ф отображает Н на
вес G, причем Ф^1 также регулярно, то такое вложение назы-
называется диффеоморфизмом.
Гладкой кривой в группе Ли G назовем гладкое отобра-
отображение Rl-+G : t-^-g(l) eG, t^R^. Локальные координаты
x{ = fi(g) точек кривой — гладкие функции параметра t. Нас
в основном будут интересовать кривые, проходящие через
единичный элемент группы, поэтому отображение Rl-±G нор-
нормируем условием g-@)=e. В свою очередь систему координат
в U(е) также удобно подчинить требованию /г'(е)=0, чтобы
совместить ее центр с единицей группы. Иногда для обозна-
обозначения координат элемента g будем использовать ту же корне-
корневую букву: х> (() =fi(g(t) )=gi(t).
Касательная к гладкой кривой {класса Сг, г > 0) в точке
g(t0) определяется прямой в пространстве параметров, про-
проходящей через точку xa={gi(tQ)}^Rn с направляющим век-
вектором
а' = %^' ¦ B0)
F7) Таким образом, с каждой точкой группы g^G ассо-
ассоциируется векторное пространство Vng направляющих векторов
к дифференцируемым кривым в G, проходящим через эту точ-
точку. Назовем его касательным пространством к G в точке g.
Эта конструкция эквивалентна обычно вводимому понятию
касательного пространства к многообразию G (более подроб-
подробно об этом см., например, в [15]).
Однопараметрическая подгруппа в G — это гладкая кри-
кривая, являющаяся гомоморфизмом топологических групп
/?'-vG. При соглашении о нормировке последнее требование
принимает вид
g{t + s)^g(t)g(s) (t, st/?1). B1)
Ограничиваясь локальным рассмотрением, изучим ее свой-
свойства в пределах одной карты U(е) (проблема продолжения
рассматривается, например, в [32]).
F8) Замечание. При указанном условии в определе-
определении однопараметрической подгруппы отображение {t}-*-{g(t)}
достаточно считать локальным гомоморфизмом. Именно это
в конечном итоге приводит к тому, что алгебра Ли (см. § 7 и
гл. 4) оказывается сопоставленной сразу всему классу групп
Ли, локально изоморфных данной. V
Нетрудно показать [24, с. 294], что кривая g(t) удовлет-
удовлетворяет дифференциальному уравнению
??1 4t), ?'@) = 0, B2)
где и) (g(t)) =— ;—:. ' '-\ , а аналитические функции
d(gJ(s) is ^
ff — координаты элемента g{t+s) (см. (8)). Тогда известные
теоремы анализа приводят к следующим выводам.
F9) Каждый направляющий вектор аеК" определяет
вднопараметрическую подгруппу группы Ли G.
G0) Существует только одна однопараметрическая под-
подгруппа ga(t) с заданным направляющим вектором аеК".
G1) Всякая однопараметрическая подгруппа ga(t) группы
Ли — аналитическая кривая. Функции gl(a\, а2, ..., ап; t) ана-
литично зависят от всех своих аргументов.
G2) Однопараметрические подгруппы следует считать не-
независимыми, если их направляющие векторы линейно незави-
независимы.
G3) Свойства F9) — G2) сохраняются при аналитическом
нреобразовании координат {fi}->-{fi}, 1{^Са(е). Т
Итак, совокупность однопараметрических подгрупп группы
Ли G в области параметров ficr/?" (значений координат
xi(g)=gi, g^U(e)) является пучком аналитических кривых,
проходящих через начало. В этой точке у каждой кривой есть
100
своя касательная прямая, и в области Q они представимы ря-
рядом Тейлора.
Как известно, существует аналитическое преобразование
координат, которое переводит такое семейство кривых в пря-
прямые во всей области Qc^". Искомая система локальных ко-
координат группы Ли G называется канонической (I рода).
Таким образом, если система координат xl(g) =g' — кано-
каноническая, то ее основное свойство заключается в том, «то лю-
любая одпопараметрическая подгруппа g(t) в U(е) имеет коор-
координаты
g4f) = a't, B3.)
где a'^Vg .
Рассмотрим примеры.
G4) В группе SUB) ^Sp(l) вводимые соотношением
B.76) координаты
х1 — to/г' (/ = 1, 2, 3) B4)
канонические.
G5) В группе GL(n, С) мы ввели аналитические коорди-
координаты соотношением A2). Экспонента еш осуществляет уни-
универсальный изоморфизм аддитивной (R1) и мультипликативной
(/?*) групп. Это наводит на мысль представить элементы
g<=GL(n, С) в экспоненциальном виде.
Экспоненту от матрицы xeMat(n, С) определим сначала
формальным рядом
I: 1
G6) Упражнение. Покажите, что каждый из я2 рядов для
матричных элементов в правой части B5) сходится абсолютно
и равномерно для матриц х из любой ограниченной области
в Mat (л, С).
Очевидно, '"> -кмношепне B5) определяет обратимую
матрицу g = expxe^GHn, С), поскольку ряд g' = ехр (—х)
также абсолютно сходящийся, и перемножение рядов дает
g'-g = I = g-g'.
G7) Таким образом, соотношение B5) определяет отобра-
отображение Mat (л, С) в GL(n, С). Покажем, что в действительно-
действительности любой элемент g^.GL(n, С) представим в виде экспонен-
экспоненты g = exp х от некоторой матрицы xeMat(«, С).
Приведем комплексную матрицу g^GL(n, С) преобразо-
преобразованием подобия g^-g=ygy~l к нормальной форме [6]:
104
B6)
где блоки т«х) соответствуют г(с,)-кратно вырожденным собст-
собственным значениям а. и являются треугольными (для определен-
определенности верхними треугольными) Г(а)ХГ(а) матрицами с числами
а на диагонали:
' п 1
/ я 1
I a 1
7. 1
B7)
Поскольку собственные значения обратимой матрицы g от-
отличны от нуля, каждая такая матрица т имеет вид x = e]na(I -j-
+ iV), где матрица Лг нильпотентпа: ее степень г обращается
в нуль: (iV)r=0. Очевидно, что т(а) < л, поэтому в представ-
представлении T = elll0Cexpv матрица v является полиномом степени не
выше п:
Л'"
In (/ + Л) = Л' - т +
—
т. е. проблема сходимости не возникает, и матрица v одно-
однозначно определена по Л'.
Представив в экспоненциальном виде каждый блок, заме-
заметим, что и вся блочно-диагональная матрица g представляет-
представляется экспонентой:
g = ехр ЧФ (In я/(„) + V(a)) = ехр х,
т. е.
где
B8)
G8) Замечание. Вычислим определитель матри-
матрицы B8):
det g = det g = П (а)Г{а) =
ехр
н In a = ехр Tr x = ехр Тг х.
Ш2.
Соотношение
deig = eTrx = eTr[ng B9)
в случае конечномерных матриц g является тождеством.
В квантовой теории поля при отсутствии конструктивного спо-
способа введения определителя оператора соотношение B9) слу-
служит его определением.
G9) Для перестановочных матриц X, y^Mat(«, С)
ехр(яХ + ЗГ) = ехр аХ-ехр?К. C0)
Следовательно, все кривые
gx(t) = exp(tX) C1)
являются однопараметрическими подгруппами, а 2 п2 коор-
координат
g = expx^{Rexlj, \mx)\ C2)
— каноническими I рода. (Напомним, что GL(n, С) можно
рассматривать и как комплексную группу Ли. Тогда канони-
канонические координаты — комплексные числа {^j}.) В достаточно
малой окрестности единицы е=/ эти координаты совпадают
с координатами zj в A2), поэтому функциональный опреде-
определитель G) отличен от нуля (и равен 1 при g=e).
(80) Нам понадобятся также канонические координаты
II рода — их можно ввести, если известна совокупность одно-
параметрических подгрупп {ga(t)} рассматриваемой группы
Ли G в какой-либо аналитической координатной системе x^g).
Возьмем любые п независимых подгрупп gh{th)^gak (th) (т.е.
отвечающих линейно независимым векторам {ай}) и парамет-
параметризуем элементы ge(/(e) координатами (tl, . . ., tn), по-
положив
g(t\ t\..., t«)--=gi(t1)-g2(t-)-...-gn(t"). C3)
Такие координаты g-*~(tl, tz, . • ., tn) называются канонически-
каноническими координатами II рода.
(81) Упражнение. Покажите, что старые координаты
xl(g) = xl(tl, ..., tn) элемента в левой части C3) являются
аналитическими функциями параметров {t1} и функциональ-
функциональный определитель F) отличен от нуля.
§ 7. Подгруппы и факторгруппы в канонических
координатах, группа Лоренца
Проанализируем свойства подгрупп Ли группы G, пред-
представляющих собой замкнутые подмногообразия.
Рассмотрим сначала подгруппу Ли Н как группу Ли, а за-
затем свойства ее тождественного вложения в G. Как и любая
103
группа Ли, Я обладает аналитическими координатами {г'1}:
W(e)-+Rm, где W(e)—карта и т — размерность Я. Пусть
координаты {zh} — канонические II рода, т. е. любой элемент
hW есть
А (г1, z- z») = ht(z*)-h2 (г2) •...•//,„ (г'"), C4)
где {Л/((гй)}—совокупность независимых однопараметриче-
ских подгрупп.
Установим теперь, как Я может быть вложена в группу G.
Значения аналитических координат .v»(ft)=/i< в G точек
h^U(e)f\W(e) являются функциями координат zh(h) в Я:
x'(h) = hl(z\ z-,..., г"). C5)
Представив эти функции в виде (см. (8))
" I' 1 **,..., <¦ ) —J U"i t* ili I I* ) • ¦ • "m Vй /1 Л
можно последовательно показать, что они аналитически зави-
зависят от каждого zh (k=l, 2, ..., т), и убедиться, что в окрест-
окрестности W'(e)czHczG ранг матрицы ||<№/<?2fe!l точно равен т.
Отметим теперь, что все направляющие векторы Ь одно-
параметрических подгрупп в подгруппе Я — это те и только
те F'}еУ", которые одновременно лежат в касательном под-
подпространстве в точке 0=х(е) к подмногообразию в QczR",
определяемому системой уравнений
х< — h'(z\ z~, ... , zm) = 0 (i = 1, 2, ... , п). C6)
Таким образом, совокупность {b}=Vf является линейным
подпространством в Vne (размерности т). Всегда существует
такой базис в V", что его первые т образующих являются ба-
базисом в V™ , а остальные ортогональны V™. Тогда из опреде-
определения B3) канонических координат I рода вытекает следую-
следующее утверждение.
(82) Утверждение. Пусть Я — подгруппа Ли (размерности
т) в группе Ли G (размерности п). Тогда:
а) в G существуют такие локальные канонические коорди-
координаты I рода {xi(g)}, что при
хт^ = ... = хп — 0 C7)
первые т из них являются одновременно (локальными) ка-
каноническими координатами I рода на подгруппе Ли Я;
б) отображение
(х\ . . . , х, хт+\ ..., хп) -» (у1, .. . , у"'), C8)
гДе yh(gH)=xm+k(g) вводит локальные аналитические коор-
координаты на однородном пространстве G/H. (G/H очевидно яв-
является многообразием.)
104
(83) Утверждение. Если в условиях предыдущего утверж-
утверждения подгруппа Ли Н — нормальная, то определяемые отобра-
отображением C8) координаты являются локальными каноническими
I рода на группе Ли G/H. У
Полученные выводы удобно проиллюстрировать группой
GL(n, С). Канонические координаты на GL(n, С) мы ввели
с помощью экспоненциального представления B8). Однопара-
метрические подгруппы определяются соотношением C1):
X ? Mat (ft, С). (ЗЭ)
(Чтобы не путать направляющие векторы.X— {Xfi с коорди-
координатами в группе, последние обозначаем строчными буквами:
х = {*;.}.)
(84) Считаем G = GL(n, С) комплексной группой. Под-
Подгруппа H—SL(n, С) выделяется условием detgr=l, что в си-
силу соотношения B9) эквивалентно
Tr.Y=-O, TrA^O. D0)
Очевидно, что
у = Тгх D1)
— локальная координата в (комплексном) многообразии
G/H~CX. В факторгруппе G/H она же является (тривиальной)
канонической I рода. (В вещественной группе Ли G/H — две
координаты: (Ret/, Imy).)
Очевидно, что все педиагональпые матричные элементы х
войдут..в число канонических координат SL(n, С). Тогда в си-
силу соотношения D0) произвольный элемент g^SL(n, С) име-
имеет вид
g = expx, dlagx=ixl ..., x^-Jv -^ (А1) ) • . D2>
(85) H—SLin, R), G = SL(n, С). Очевидно, что локальны-
локальными (причем существенно локальными) координатами подгруп-
подгруппы H=SL(n, R) являются вещественные части координат
группы SL(n, С). Последнюю здесь необходимо считать веще-
вещественной Bн2-параметрической).
(86) H=SO(n, С), G = SL(n, С). Требование сохранения
формы (•) над С
g4g = I D3)
в экспоненциальном представлении матрицы g~=expx имеет
вид
хт + х = 0. D4)
Подобная задача уже рассматривалась в § 1, гл. 1 для
вещественного случая SO(n), гдз был построен базис из ли-
105
нейно независимых матриц /(гд в пространстве направляющих
векторов X этой группы (см. A.14), A.15)). Представив с их
помощью общее решение уравнения D4)
D5
получим п-(п—1)/2 вещественных канонических координат
x('.')(i</) группы SO(n). Их продолжение на комплексные
значения дает канонические координаты SO(n, С).
(87) Замечание. Удвоение числа матриц 1(ц) и пара-
параметров x(i^ позволяет придать выражению D5) формально
тензорный вид
ЗдеСЬ /(;;) = —1(Ц) И X(ij) = —XUi).
(88) G = Л+ = SOC, 1). В качестве Н будут фигурировать те
подгруппы, факторпространства G/H по которым встречаются
в расслоении М4 на Л+-однородные пространства.
Очевидно, что любая орбита в группы Лоренца в М\ со-
содержится в подмногообразии Ya пространства R4, определяе-
определяемом уравнением
(x-yK,i = a D6)
(в действительности совпадает с ним).
(89) Начало координат уг= @, 0, 0, 0) само по себе явля-
является орбитой 0О вследствие однородности преобразований
SOC, 1). Группой стабильности #о его единственной точки
является вся группа Л+. Элементы группы Л+= 50C,1) обо-
обозначим здесь через Л=[[Л^|| (для матрицы формы /3,i исполь-
используем введенное нами стандартное обозначение g\iv = (/(з,1)ц\-)-
Уравнения ATgA = g, выделяющие SO C, 1) как подгруп-
подгруппу в SL D,R)y в канонических координатах последней имеют
вид
S^xl + S4?^ = 0. D7)
Таким образом, матрица х^ с нижними индексами удовлет-
удовлетворяет уравнению D4). Следовательно, значения канониче-
канонических координат SL D, R) на подгруппе 50 C, 1) можно
представить в виде
'2^)/kV) D8)
(V-, v, Р, (я), (?) = 0, 1, 2,3)
и шесть параметров oj<aP'(a< p) взять в качестве канонических
координат на 50C, 1). Удобно удвоить их число (см. заме-
замечание (87)), положив
106
«,<?*> = _ «,<«з>, /(?в)=_/(вЭ), D9)
и поменять знаки некоторых матриц 1{а^ в определении A.15):
Введя для координат ю в частных случаях обозначения
в'= шо', <D' = ffljj = i8|/,fflW) (/, у, ? = 1, 2, 3), E1)
выражение D8) для значений координат х(\) можно записать
в виде
'О | а1 »2
* | 0 w3 —
оK 0 со1
¦¦х =
E2)
(90) При а = 0 уравнение D6) определяет конус 6С в R4
(рис. 9), из которого мы должны выколоть точку г/т=@, 0,
0, 0) = б0. В классе взаимно сопря-
сопряженных подгрупп Ну — групп стабиль-
стабильности всевозможных точек г/е вс —
нам достаточно рассмотреть одну. Вы-
Выберем ее, руководствуясь простотой:
утс = A, 0, 0, 1).
Для того чтобы однопараметрпче-
ская подгруппа Л(/)=ехр/А", прохо-
проходящая через элемент expx=exp/A'|;=/l,
принадлежала группе стабильности
Ис точки у, необходимо хг/(О)=0, т. е.
О3==Я,3 = 0. Очевидно, что замена
co-+(v', v2, v3, /Л л2, л3), где 2v> =
= f)'1 + cu2, 2v2 = f}2—со1, v3:=ai3, приво-
приводит к координатам в SO C, 1), которые обладают описанными
в утверждении (82) свойствами. Значения л' = 0 имеют коор-
координаты элементов из подгруппы Нс:
'0 |_ ^i_^J ^
¦Л I 0 v3 | -v,
Рис. 9.
А = exp j
E3)
Ло
v,
о
Совокупность {)/} есть локальные координаты в окрестности
Умев 0c^AJHc.
(91) При а>0 все орбиты являются двуполостными гипер-
гиперболоидами. Достаточно рассмотреть одну из них, скажем,
€+, положив а = 1 и взяв точку г/(+) в виде у(г+) = A, 0, 0, 0)
107
(рис. 9). Этот случай был рассмотрен в E7). Остается только
добавить, что координатами в группе Я+=5ОC) = R очевид-
очевидно являются w={coft}. Связь локальных координат 9- = {0!} в
Л+ R с координатами точек гиперболоида у^б\ — Y f (см. 17))
нетрудно установить из соотношения
где |1)|2 = (&1
(92) Как и в предыдущем случае, из совокупности однопо-
лостпых гиперболоидов, описываемых уравнением D6) при
«<0, достаточно выбрать один: а =— 1. Взяв в качестве стан-
стандартного вектор y\_f= @, 0, 0, 1), нетрудно отождествить его
группу стабильности #(_) с группой SO B, 1). Более подробное
исследование этой орбиты б, ^A+/SO B, 1) мы предлагаем
читателю провести самостоятельно. У
Итак, мы установили, что в канонических координатах все
группы Ли локально имеют одинаковое строение: в окрестно-
окрестности точки х(е)=0 пучок всех прямых, проходящих через нее,
представляет собой все семейство однопараметрических под-
подгрупп данной группы. Различие групп Ли фиксированной раз-
размерности п состоит в том, что в разных группах Ли по-разно-
по-разному замыкаются «параллелограммы» gT^Oef1 @§2(t)S\ @, со-
составленные из отрезков однопараметрических подгрупп gu g2
при /->0. Кроме того, возможны различия в глобальных свой-
свойствах многообразий, которыми являются группы Ли, а имен-
именно в связности н односвязности.
§ 8. Накрывающее пространство. Принцип монодромии.
Универсальная накрывающая группа
(93) В замечании F8) отмечалось, что алгебра Ли сопо-
сопоставляется всему классу групп Ли, локально изоморфных дан-
данной. Обозначим его через {G}. В этом классе достаточно рас-
рассмотреть только связные группы: все несвязные в соответст-
соответствии с утверждениями D4), D8) реализуются как расширения
дискретных групп с помощью связных групп Ли. Таким обра-
образом, возникает проблема описания класса локально изоморф-
изоморфных связных групп Ли (обозначим его {G}CB)-T
Для любых двух связных групп G\, G2^{G}CB теоремы E4),
F4) и следствие F5) утверждают существование связной
группы G, такой, что d ж G/Nu где Nt (i = \, 2) —дискрет-
—дискретные нормальные подгруппы в G (принадлежащие ее центру).
Прежде чем обсуждать проблему существования универ-
универсальной группы Ли G сразу для всего класса {Gi}CB, рассмот-
рассмотрим свойства отображений вида
JC8
накрывающего отображения
(94) Связное пространство (или О-мпогообразие) G, для
которого определено непрерывное (или О-гладкое) отображе-
отображение о : U-*-G, называется накрывающим пространством (на-
(накрывающим многообразием) пространства G, если любая точка
g^G обладает такой окрестностью 11*3 g, что:
1) полный прообраз or1 (U) = U L1* czG есть объединение
а
попарно непересекающихся компонент Ua;
2) ограничение сок отображения со на каждую компоненту
Uа является гомеоморфизмом (диффеоморфизмом) Ua на всю U.
При этом окрестность 11, существование которой предполагает
данное определение, называется правильно накрытой (или допу-
допустимой) относительно со, а само отображение со — накрываю-
накрывающим. Каждая ' Ua называется правильно накрывающей компо-
компонентой.
(95) Известным примером
•является а : R-+-S1 (рис. 10).
(96) Формула B.71) реа-
реализует накрывающее отобра-
отображение со многообразия SU{2)
на многообразие SO C)«
txSU B)/Z2. Из нее видно,
что каждая точка R<=SO C)
обладает правильно накрытой
относительно со окрестностью
U(R) и имеются точно две
правильно накрывающие ком-
компоненты: принадлежащие им
матрицы SU B) различаются
знаком, Т
Отметим, что число пра-
правильно накрывающих компо-
компонент одинаково для правильно
накрытых окрестностей всех
точек связного пространства
G. Это число z (со) называется числом накрытия.
(97) Значением z(co) = 2 характеризуется гомоморфизм
<о : Spin(n)-^SO(n) (см. B.126), B.127)), также являющийся
накрывающим отображением. V
Накрытия (G, со) и (G', со') пространства (многообразия)
G назовем эквивалентными, если существует гомеоморфизм
(диффеоморфизм) ф : G'-^>-G, такой, что накрывающее отобра-
отображение со' представимо композицией о/=ф°со. Например,
5GB) и группа унимодулярных кватернионов Sp(l)—экви-
Sp(l)—эквивалентные накрывающие многообразия для SOC).
(98) Связное и локально связное пространство G назовем
односвязным, если при любом его накрытии (G, со) число на-
Рис. 10.
109
крытия z(co) = ], т. е. со взаимно-однозначно и является го-
гомеоморфизмом (диффеоморфизмом) G^G (или любое накры-
накрывающее пространство односвязного пространства G с точно-
точностью до эквивалентности совпадает с ним самим).'
Односвязное накрывающее пространство G для произволь-
произвольного связного G называется также универсальным накры-
накрывающим, у Решение проблемы (93) сводится к решению сле-
следующих задач.
(99) Необходимо установить, допускает ли пространство
группы G, представляющей класс {G}PB, универсальное накры-
накрывающее G.
A00) Выяснить возможность восстановления па простран-
пространстве (J групповой структуры, при которой накрывающее ото-
отображение— гомоморфизм групп G-*-G.
A01) Дать описание всех групп из класса {G}CB. T
Первая задача имеет следующее решение.
A02) Теорема. Всякое связное локально односвязное*' про-
пространство G обладает универсальным накрывающим простран-
пространством G.
Доказательство этой теоремы громоздко и требует получе-
получения ряда промежуточных результатов, поэтому мы отсылаем
читателя к книге [35, т. 1, § 2д'\. V
Обратимся к более наглядному гомотопическому определе-
определению односвязности. Исходным объектом этой теории является
путь — непрерывное отображение / отрезка [0, 1] е R1 в топо-
топологическое пространство (или многообразие) G. Последнее
предполагается линейно связным, т. е. таким, что любые его
две точки gu g2^G могут быть связаны непрерывным путем
/ : [0, l]->-G и f@)=gu f(l)=g2. На множестве всех путей
в G можно ввести композицию, сопоставив двум путям f, f
результирующий. Разумеется, такое умножение определено
лишь для тех пар путей, у которых начало второго пути со-
совпадает с концом первого: /'@)=f(l).
Замкнутым путем называется путь, у которого конец со-
совпадает с началом: f(l)=f(O). Для совокупности Фй всех
замкнутых путей с общим началом, скажем, точкой g = f@) =
— f(l), /ecbg, введенное умножение определено для любой
пары путей, и результат также является путем из этой со-
совокупности. Тривиальный путь, состоящий из одной точки
g, называется единичным. Отметим, что путь f~1:f(O =
=f(t—1), называемый обратным путем к f, отнюдь не явля-
является обратным элементом в Фй относительно рассматриваемо-
рассматриваемого умножения.
*) Локально односвязным в данном слугае считается такое пространст-
пространство G, у которого любая точка обладает по крайней мере одной односвязной
окрестностью.
ПО
Множество всех путей, и в частности Ф^, разбивается на
классы эквивалентности отношением гомотопии: два пути f,ff
гомотопны, если существует непрерывное семейство путей
{ф5}, se [0, 1], такое, что ф|8=о=/ и ф|8=1 = /' (т. е.'пути /, f
можно непрерывно деформировать или стягивать друг в друга).
Композиция в Фё естественным образом определяет умноже-
умножение на множестве лй клас-
классов замкнутых гомотопных
путей. Совокупность ag в
отличие от Фб оказывается
группой!
A03) Пример. На рис.
\\,а показан замкнутый •
путь на сфере S1 (окруж-
(окружности), составленный из ну- Рис. п.
ти от точки g до g\ и об-
обратного. Семейство путей cps из точки g до gs (н обратно) стя-
стягивает этот путь в единичный. Путь на рис. 11,6 очевидно при-
принадлежит классу, отличному от единичного. Его л-кратпые произ-
произведения порождают новые классы. Вместе с классами обрат-
обратных к ним путей (и единичным классом на рис. 11, а) их мно-
множество образует группу, изоморфную Z. _W
Группа классов гомотопных путей, как оказывается, не за-
зависит (с точностью до изоморфизма) от начальной точки g^G
и называется фундаментальной группой топологического про-
пространства (многообразия) G. Она обозначается через я'(О).
A04) В примере A03) фундаментальной группой сферы
S1 является Z. Однако при л> 1 все сферы S'1 обладают триви-
тривиальной фундаментальной группой: любой замкнутый путь па
них стягивается в точку (покажите).
A05) Групповое про-
пространство SO C) мы пред-
представили шаром с отождест-
отождествленными концами диамет-
диаметров. Кроме единичного клас-
класса такое пространство допу-
допускает и еще один класс пу-
путей: его представителем мо-
может быть любой диаметр.
Рис. 12. Произведение таких путей
очевидно принадлежит еди-
единичному классу — группа тс1 (SO C))» Z2 (рис. 12). Т
Пространство G=G называется односвязным, если его фун-
фундаментальная группа jt'(G)«e тривиальна. Эквивалентность
этого определения данному ранее в (98) следует из того, что
любое накрытие односвязного (в гомотопическом смысле) про-
пространства есть гомеоморфизм. Это доказывается в [24, теоре-
111
ма 77]. В этой же теореме устанавливается также универ-
универсальность пространства G: любое накрывающее пространство
G данного линейно связного, локально связного пространства
G в свою очередь накрывается его одпосвязным накрываю-
накрывающим G. V
Перейдем к задаче A00).
A06) Теорема. Пусть линейно связное пространство G яв-
является накрывающим пространством линейно связной, локаль-
локально связной топологической группы G. Тогда на топологиче-
топологическом пространстве G существует единственная с точностью до
изоморфизма групповая структура, относительно которой
накрывающее отображение со : G ->¦ G есть гомоморфизм
топологических групп, причем его ядро ы (е) дискретно. (До-
(Доказать эту теорему можно гомотопическим методом [24, тео-
теорема 79].)" V
Такая группа G называется накрывающей группой тополо-
топологической группы G.
В решении задачи A01) центральную роль игра°т одно-
связная накрывающая группа. Это видно из теоремы, которую
мы назовем принципом монодромии (ее доказательство чита-
читатель найдет в [35, т. 1, с. 74; 24, теорема 80]).
A07) Принцип монодромии. Пусть G — односвязная топо-
топологическая группа и ф — локальный гомоморфизм группы G
в связную группу Н (f.U-^-V, UczG, VaH. Если при этом
окрестность U связна, то существует продолжение f : G-*-H
локального гомоморфизма ф (f|t/ = cp) до глобального, и оно
единственно. V
Односвязная накрывающая группа G топологической груп-
группы G называется ее универсальной накрывающей группой.
Следующее утверждение связывает свойства универсального
накрывающего отображения (d:G-^-G с фундаментальной груп-
группой пространства G.
A08) Утверждение. Пусть G — универсальная накры-
накрывающая группа топологической группы G и со : G^-G — (уни-
(универсальный) накрывающий гомоморфизм. Тогда фундамен-
фундаментальная группа пространства G изоморфна ядру гомоморфизма
со : it1 (G) «Ker со.
A09) Универсальная накрывающая группа d какой-либо
группы Ли Gi из класса {G}CB в действительности должна быть
универсальной накрывающей для любой его группы. Это следует
из того, что для любой пары локально изоморфных групп Ли Gi,
G2 группа G из теоремы F4) является накрывающей как для
G1( так и для G2. Тогда она в в свою очередь может быть накры-
накрыта универсальной накрывающей, скажем, группы G\:G\. В силу
112
единственности универсальной накрывающей G2 должен су-
существовать изоморфизм Gi^G2, равно как и для любой груп-
группы Gi^{G\}CB. Итак, мы установили, что каждый класс ло-
локально изоморфных групп {G}CB однозначно (с точностью до
изоморфизма) определяет группу G — общую универсальную
накрывающую для содержащихся в нем групп. Вместе с тем
эта группа вполне характеризует содержимое данного класса
(G}
}
(ПО) Теорема. Пусть G — односвязная топологическая
группа, и связная группа Gx локально изоморфна ей (т. е.
<5ie{G}CB). Тогда G\ изоморфна факторгруппе G по дискрет-
дискретной нормальной подгруппе N\, принадлежащей ее центру:
NZ(G)
Несложное доказательство, основанное на принципе моно-
дромии, предлагается в качестве самостоятельного упраж-
упражнения. Ў
Итак, класс связных локально изоморфных групп Ли {G}CB
полностью определяется свойствами универсальной накрыва-
накрывающей.
A11) В гл. 8 будет показано, что группа квантовомехани-
ческой симметрии односвязна. Таким свойством не обладает
группа вращений /?=SOC): ее фундаментальная группа
я1 E0C)) ^Z2. Группа SUB) ~Sp(l) является односвязной
(в качестве одной из реализаций ее группового пространства
мы рассматривали сферу S3 (см. E) и A05))) и накрывает
группу 50C) ж SU BI2,2. Именно она предсказывает наблю-
наблюдаемые значения собственных угловых моментов (спинов) эле-
элементарных частиц.
A12) Группа S0(n) [п> 3) имеет строение, аналогичное
строению S0C): однопараметрические подгруппы gx(t), где
t — угол поворота (см. § 1 гл. 1) «склеиваются» в диамет-
диаметрально противоположных точках t—±n. Ее фундаментальная
группа также изоморфна Z2, а универсальной накрывающей
является группа Spin (n). Этот вопрос строго рассматривает-
рассматривается в [24,35]. Отметим, что класс {50(п)}св содержит (с точ-
точностью до изоморфизма) две (при п нечетном) либо четыре груп-
группы (при четном л), поскольку тогда центр Spin(n) есть Z2XZ2
при n=4k и Z*— при л = 2 + 4& (см. там же).Т
Односвязность групп SU(n) выявляется с помощью следую-
следующего утверждения.
A13) Утверждение. Пусть G — связная группа Ли и
И — ее связная подгруппа Ли. Если однородное пространство
G/H гомеоморфно сфере Sm (при т>3), то nl(G) жлНН).
Доказательство целиком основано на гомотопическом ме-
методе [24, с. 376].
A14) Группа SU B) сама гомеоморфна сфере S3, поэтому
л'E^/B))«е. Отметим, что SU(n)/SU(n—l)**U(n)/U(n—l).
8 Зак. № 152 ИЗ
Это пространство гомеоморфно сфере 52™ (см. B6)), поэто-
поэтому односвязность всех групп SU(n) является следствием
утверждения A13).
A15) Поскольку группа U(I) гомеоморфна окружности в
С да Л2, то я1 (U(l)) да я1 (S1) да Z. Следовательно, все группы U(n)
неодносвязны: их фундаментальные группы я1 (U(n)) »Z. T
Одним из полезных критериев односвязности является сле-
следующее утверждение.
A16) Утверждение. Прямое произведение G = KXH
топологических пространств К и Я односвязно тогда и только
тогда, когда К и Н односвязпы [35, т. I].
A17) Например, представим общую линейную группу в ви-
виде GL(n, C) = Crl:XSL(n, С). Поскольку С* гомеоморфно R2 с
выколотой точкой и очевидно неодносвязно (л1 (С*) ~Z), то
группа GL(n, С) также не является односвязной.
A18) Возьмем группу SL(n, C) = G. Отметим, что она
тривиально одиосвязна при п=\, и рассмотрим ее орбиту
Y(n) в пространстве О, содержащую точку уг@) = (О, 0, ...,
О, 1). Несложно проверить, что преобразованием g : У(оу-*~У —
= g'</(o), g^G = SL(n, С) точку #@) можно перевести в лю-
любую точку у<^Сп за исключением начала у=0. Минимальное
нетривиальное значение п д,ля данного случая равно 2, а про-
пространство Сп \0да/?2"\0да У{п) при п >¦ 2 очевидно односвяз-
односвязно. Таким образом, в разложении пространства SL(n, С) да
да Y(n) X Go необходимо рассмотреть Go — группу стабильно-
стабильности точки г/@). Она представляет собой множество матриц вида
h |0^ E5)
где очевидно h^SL(n—\, С)=Н и хт= (х\ х2, . . ., хп~1)^
еСп"'. Заодно отметим, что из закона композиции преобра-
преобразований go= (/?, х) вида E5)
(/?,, x,)-{h2, я3) = (АЛ, h2xt-\-x2) E6)
следует, что G0=SL(n—1, C)t>P{n—1) есть полупрямое про-
произведение группы SL(n—1, С) и группы трансляций Р(п—1)
в С". Последняя изоморфна аддитивной группе С"™1 и по-
поэтому одиосвязна. В итоге- приходим к выводу, что односвяз-
односвязность группы SL(n, С) определяется односвязностью SL(n—\г
С) и, следовательно, все группы SL(n, С) односвязны.
A19) Подчеркнем, что первая нетривиальная группа в рас-
рассмотренной серии SLB, С), точнее, ее вещественная реализа-
реализация, обозначаемая SLB, C)R — одна из важнейших в кванто-
квантовой теории элементарных частиц, поскольку она является уни-
универсальной накрывающей для связной компоненты группы
Лоренца — собственной ортохронной группы Л|_ . Построим
гомоморфизм со, осуществляющий универсальное накрытие.
114
Обратимся к ^-линейному подпространству Ф эрмитовых
матриц х=х еМатB, С).
Разложим их по базису, составленному из матриц Паули а
и в0 (см. B.41))
X — Х- 3,t (у. — U, I, Z, О). \ОЦ
С помощью инволюции а->а= @о,—s) зададим ^-билиней-
^-билинейную форму (•)/ на ф, положив
(x-y)f = \ Тг {ху) = g,^y. E8)
Матрица этой формы совпадает с метрическим тензором в про-
пространстве Минковского Л44, что позволяет отождествить его
с Ф.
Рассмотрим /?-линейпые преобразования в .Mat B, С), пере-
переводящие ф в себя:
где матрица g^SLB, С). Покажем, что при такой реализа-
реализации действия группы SLB, C)R па Ф форма E8) инвариант-
инвариантна. Напомним, что линейное преобразование тогда и только
тогда сохраняет симметричную форму (•)/, когда оно сохра-
сохраняет определяемую ею норму j л: j 2= (jc - jc) / для всех векторов
линейного пространства. Отметим, что \х\2 совпадает с опре-
определителем матрицы х:
у'> I V' у 1 Y ~
хх -f- ix2 x° — х3
Следовательно, соотношение E9) определяет гомоморфизм as
группы SLB, C)R в группу Лоренца Л,
Обозначим через ац элементы базиса в Ф, дуального
к {av} относительно формы E8). Тогда
^ = @^.^)/. F1)
Явное выражение матричных элементов A(g) через мат-
матричные элементы матрицы g^SLB, C)R имеет вид
Af (g) = (?' ¦ govg+)f = -i- Tr ftg<s-,gf). F2)
Из аналитичности этих функций следует, что со отображает
связную группу SLB, C)R в компоненту единицы группы Ло-
ренца — Л| . Покажем, что со — отображение «на». Подгруп-
Подгруппа SUB)czSLB, С)R посредством а отображается на всю под-
подгруппу 5ОC)=/?сЛ1; (см. B.107) —B.109)). Поэтому доста-
8* 115
точно удостовериться в транзитивности действия E9) группы
SLB С)б У|Л^//? й
ур
SLB, С)я на орбите |^
= A, 0, 0, 0). Поскольку уравнение
( ру
содержащей точку хт{0) =
для любой эрмитовой матрицы х (при det;c=l и х°>0), как
известно, всегда имеет решение gx^SLB, C)R (более того,
среди всех таких gx существует по крайней мере одна эрми-
эрмитова матрица g^=gx), то искомая транзитивность тем самым
установлена. Ядром отображения со очевидно является центр
группы SLB, C)R
Z(SLB, C)) = {e, — e\~Z2^n' (л?) .
Итак, мы убедились, что группа 5LB, C)R является универ-
универсальной накрывающей для собственной ортохронной группы
Лоренца: A|~5LB, C)R.
ГЛАВА 4
АЛГЕБРЫ ЛИ
§ 1. Локальные свойства группы Ли и ее алгебра Ли
Выберем в группе G размерности п окрестность единицы
Ue в пределах одной карты. Пусть {хг}, {у1} и {z>) (г—1, ...,
п) — значения аналитических локальных координат элементов
gx, gy и gz=gxgy, принадлежащих Ue. Напомним, что г*(х\
..., хп; у1, ..., уп) — аналитические функции переменных {**},
{у1}. Разложим функцию г{ в ряд Тейлора вблизи единицы
)
r= v=0
Здесь е — параметр, определяемый размерами окрестности
Ue. Числа
5-'
называются структурными константами группы G в заданных
локальных координатах.
A) Упражнение. Покажите, что структурные кон-
константы группы Ли удовлетворяют тождеству Якоби:
Указание. Тождество Якоби — это переформулирован-
переформулированное в терминах структурных констант свойство ассоциативно-
ассоциативности группового закона умножения. V
Отметим два тривиальных свойства структурных констант:
B) абелевой группе Ли соответствуют структурные кон-
константы, равные нулю;
C) координаты {да*} элемента q=gxgyg~i gy1 выражаются
через координаты {х'} и {у1} (при условии q^LJe) и структур-
структурные константы:
w^x, jO=<W+0(e3). C)
Последнее свойство позволяет сформулировать процедуру
построения алгебры Ли по группе Ли.
Рассмотрим в окрестности Ue n независимых однопарамет-
117
рических подгрупп gi(t), соответствующих базису {и,} направ-
направляющих векторов в V"• Построим кривую
q{t) = g,{t)gk{t)gf(t)g?it), D)
с
которую в Ue можно считать однопараметрической подгруппой
с параметром s = t2. Нетрудно убедиться, что кривая g(s)=E
=g(t) имеет касательный вектор dgF", координаты кото-
которого совпадают со структурными константами группы G:
Иными словами, композиция D) однопараметрических под-
подгрупп индуцирует в пространстве V" композицию Ли их ка-
касательных векторов [vj, Vk\=cljk Vi.
Описанная конструкция явно зависит от выбора координат
в группе G. В дальнейшем, введя понятие изоморфизма
алгебр Ли, сможем убедиться, что алгебры Ли, построенные
в разных координатных системах и в разных точках группы
G, эквивалентны. Следовательно, можем назвать алгебру, опре-
определенную структурными константами группы Ли G па л-мер-
ном векторном пространстве V(n, К) (К — основное поле),
алгеброй Ли группы Ли G.
D) При м е р. Пусть G~SUB) ^Sp(l) — группа унимо-
дулярных кватернионов (см. C.5)). В окрестности единицы
пространства G построим полный набор независимых одно-
однопараметрических подгрупп {Ui(t)}. Удобно выбрать их в виде
е,) (/=1, 2, 3). E)
Тогда при гомоморфизме SUB)-+SOC) элементам щA) бу-
будут сопоставляться вращения на малый угол 0=2^ вокруг
осей х, у и г соответственно. Касательные векторы к подгруп-
подгруппам Ui(t) образуют базис {е*} трехмерного касательного век-
векторного пространства. Построим однопараметрические под-
подгруппы
qjk is) = Uj (]/J) uk A/7) uf (Vs) и*"'(y's) =
= e{! + 2se^, + ... (j,k = 1, 2, 3; s = f-).
Найдем координаты касательного вектора к подгруппе qjk(s):
г>< = + 2^.
Мы построили алгебру Ли suB) группы SUB) —трехмерное
действительное векторное пространство с законом композиции
\eh ek] = + 2г'ке„ F)
который перевыбором базиса /fe=efe/2 приводится к виду
118
hP G)
Та же алгебра возникает на пространстве комплексных бес-
бесследовых антиэрмитовых 2X2 матриц с базисом {—д-сг^}
(ок — матрицы Паули) и матричным коммутатором в каче-
качестве композиции.
E) Упражнение. Покажите, что для G=SOC, 1)
композиция D) порождает матричный коммутатор касатель-
касательных векторов /apeMatD, R) к подгруппам вращений в пло-
плоскости (а, C) (см. C.50)):
[С У = - g.J-l? - gjv, + gj* + gJw W (8)
Очевидно, что если группа G абелева, то всякая подгруппа
q(t) типа D) является тривиальной: q(t)—e. Следовательно,
всякая композиция в алгебре Ли Л=([], V) группы G также
тривиальна: [vit v2] = 0. Алгебра Ли с тривиальным законом
композиции называется абелевой.
F) Пример. Алгебра Ли группы Р (п) трансляций
в «-мерном векторном пространстве представляет собой абе-
леву «-мерную алгебру р(п) = ([] = 0, V'").V
Алгебра Ли компактной группы Ли называется компакт-
компактной. В частности, компактной является алгебра Ли suB), по-
построенная в примере D).
Если Н — подгруппа группы Ли G, то касательное прост-
пространство V(e, Н) содержится в пространстве V(e, G). Пусть
-В= ([]jst V{e, H))—алгебра Ли группы Я. Очевидно, что ее
композиция []в является ограничением на V(e, H) компози-
композиции []А алгебры А=([]А, V(e, G)) группы G, т. е. всякой под-
подгруппе Ли Н группы Ли G соответствует подалгебра В ее алге-
алгебры Ли А. В частности, всякой однопараметрической подгруппе
соответствует одномерная абелева подалгебра в А.
¦§ 2. Гомоморфизмы алгебр Ли
Как и во всякой алгебре над полем (см. B.110)), гомомор-
гомоморфизм алгебр Ли есть гомоморфизм их векторных пространств,
коммутирующий с законом композиции.
Если f : А—уВ — гомоморфизм алгебры Л=([]л, V) в ал-
алгебру В=([]в, W), то подпространство KerfcrF вместе с ог-
ограничением закона композиции []лцсег/ образует идеал J
алгебры А. Аналогично образ Im/ должен быть замкнут отно-
относительно композиции []в и составляет подалгебру С=
= ([]в-цт/, 1т/"), содержащуюся в В. Обычно знак ограниче-
ограничения в законах композиции подалгебр и идеалов опускается:
J=([]a, Vj), C= ([]b, Wc), VjdV, WeezW. Очевидно, что
всякий идеал в алгебре Ли двусторонний. Следовательно, для
119
любого /сЛ существует факторалгебра Ли A/J на фактор-
пространстве V/Vj с композицией B.78).
В категории алгебр Ли специальные типы гомоморфизмов
(эпиморфизмы (lmf=B), мономорфизмы (Kerf = 0) и изо-
изоморфизмы (Kerf=On Imf = B)) сохраняют обычный смысл.
Легко показать, что все алгебры Ли одной и той же группы
Ли G, получаемые при разном выборе базиса в касательном
пространстве V(e), а также в любом другом касательном про-
пространстве V(g), изоморфны. Группе Ли сопоставляется един-
единственная с точностью до изоморфизма алгебра Ли.
G) Упражнение. Докажите, что гомоморфный образ
алгебры Ли изоморфен ее факторалгебре по ядру гомомор-
гомоморфизма.
(8) Упражнение. Пусть А — алгебра Ли группы G,
В — алгебра Ли нормальной подгруппы N группы G. Пока-
Покажите, что подалгебра В — идеал в Л. У
Идеал называется абелевым, если он является абелевой
подалгеброй.
(9) Пример ы. В группе ?C) содержится инвариантная
подгруппа трансляций Р C). В алгебре е C) группы Е C) ей
соответствует абелев идеал р C).
A0) Инвариантной подгруппе трансляций Р в группе
П = А[>Р соответствует абелев четырехмерный идеал р в ал-
алгебре Ли тс группы Пуанкаре. Факторалгебра я/р эквивалентна
алгебре Ли so C,1) группы Лоренца Л « П/7\ V
Сопоставим каждому элементу уеЛ эндоморфизм прост-
пространства V по правилу
v'-+v"=[v, v']=z&dv-v', (9)
где для эндоморфизма вида (9) введено специальное обозна-
обозначение — ad,,. Операторы adv называются присоединенными
операторами.
Пусть /=([], W) —идеал в алгебре Л, 1УсУ. Тогда для
всякого элемента v§W присоединенный оператор ad*, перево-
переводит подпространство W в себя, a adw, шеУ, — осуществляет
отображение V-y-W. Если всякий оператор a<i№ аннулирует
пространство V, то идеал / называется центральным идеалом
алгебры Л. Максимальный центральный идеал в Л носит на-
название центра алгебры А и обозначается Z(A). Элементы
w^Z(A) коммутируют со всеми элементами алгебры Л.
A1) Упражнение. Покажите, что центральной нор-
нормальной подгруппе Ли группы G соответствует центральный
идеал ее алгебры Ли. У
Рассмотрим алгебру Л, содержащую абелеву подалгебру В.
Пусть С — максимальная подалгебра, СсгЛ, содержащая В
в качестве центра, B=Z(C). Будем называть С централиза-
централизатором В в Л.
Утверждение, сформулированное в упражнении (8), уста-
120
навливает связь между нормальными подгруппами в группах
И идеалами в их алгебрах. В примерах (9), A0) факторал-
гебры оказывались алгебрами соответствующих факторгрупп.
В действительности справедлива более общая теорема.
A2) Теорема. Всякий локальный гомоморфизм (эпимор-
(эпиморфизм, мономорфизм или изоморфизм) групп Ли индуцирует го-
гомоморфизм (эпиморфизм, мономорфизм или изоморфизм соот-
соответственно) их алгебр Ли. При глобальном гомоморфизме групп.
Ли происходит факторизация алгебры Ли по идеалу, являюще-
являющемуся алгеброй Ли ядра гомоморфизма.
Доказательство. Пусть f : G-*-H — локальный гомо-
гомоморфизм групп Ли, gi(t) и g2(t)—однопараметрические под-
подгруппы (заданные локально) в G, h\(t) и h2(t)—их образы
в группе Я. Обозначим через аь а2 и b\, Ъ2 касательные век-
векторы к подгруппам gi(t), g2(t) и h\(t), h2(t) соответственно.
Построим локальную подгруппу qG(s) =gi(is)g2(~ys)gi [(У$) X
Xgz (is) с касательным вектором а3 и подгруппу qH(s) =
= hi(is)h2(is)h~\ys)hTl (is) с касательным вектором Ьъ. Вся-
Всякому элементу а алгебры Ли А группы G однозначно сопостав-
сопоставляется локальная однопараметрическая подгруппа в G (см.
C.69)). Пусть В— алгебра Ли группы Н. Каждому элементу
аеА поставим в соответствие элемент Ьей, являющийся ка-
касательным вектором к образу однопараметрическои подгруппы в.
G с касательным вектором а. Такое отображение очевидно явля-
является гомоморфизмом векторных пространств алгебр А и В,
причем f(ai)=bi. Кроме того, так как f(qG(s)) =^h(s), to
=Ь3 или
/([а,, а2]) = [/(а1), /(а2)].
Следовательно, f — гомоморфизм алгебр Ли. Остальные утвер-
утверждения первой части теоремы читатель без труда докажет
самостоятельно.
Рассмотрим теперь глобальный гомоморфизм f : G^>-H.
Если ядро его дискретно, то группа G локально изоморфна
группе Н. Следовательно, изоморфны и их алгебры Ли. Если
же Ker f = L — подгруппа Ли, то всякой однопараметрическои
подгруппе в L соответствует касательный вектор, принадлежа-
принадлежащий V(e, L)cz V(e, G). Следовательно, гомоморфизм f индуци-
рует такой гомоморфизм / алгебр Ли, ядром которого является
алгебра Ли группы L = Кег /. Т
A3) Следствие. Локально изоморфные группы Ли
имеют изоморфные алгебры Ли. Алгебра Ли характеризует
свойства класса локально изоморфных групп в целом.
A4) Примеры. В примере D) была построена алгеб-
алгебра Ли группы SU B). Ту же алгебру имеет и группа 50C,
Щ SUB)/Z: soC, R) ~su{2).
A5) Алгебры групп Л, Л+=5ОC, 1) и SLB, C)R изо-
изоморфны: soC, l)«*s/B, C)R. T
Рассмотрим алгебры Л=([]Л, V) и В=([]в, W). На
прямой сумме их пространств V®W естественным образом
возникает структура алгебры Ли с законом композиции []с:
[(уи wt), (v.2, ze'2)]c = ([^, v2]A, [wu W2]B). A0)
Алгебра Ли С=([]с, V&W) называется прямой суммой
алгебр А я В, С=А(?)В. В алгебре С каждое прямое слагае-
слагаемое является идеалом, поскольку композиция A0) любого
элемента иеЛ с любым элементом шеВ равна нулю. Отобра-
Отображения вложения Л->-Л0-В, В-+А(?В и проектирования
А'~) В^-А, AQ)B-+ В являются гомоморфизмами алгебр
Ли. В свою очередь, если пространство алгебры Ли С пред-
ставимо в виде прямой суммы подпространств V я W, причем
всякий элемент v^V коммутирует " с любым элементом
!»Ef:[i), ш]с = 0, то С^А^)В, где Л=([]с, V), а
i3==([]c, W). В прямой сумме алгебр Ли присоединенные опе-
операторы любого из прямых слагаемых действуют тривиально
па другом прямом слагаемом. Легко проверить, что алгебра
Ли прямого произведения групп Ли всегда представима в ви-
виде прямой суммы алгебр Ли сомножителей.
A6) Упражнение. Покажите, что алгебра Ли soD,
R) изоморфна прямой сумме двух алгебр Ли suB). T
Предположим, что пространство алгебры Л представимо
в виде прямой суммы подпространств F<3 U7, причем каждое
из прямых слагаемых замкнуто относительно ограничения за-
закона композиции []а, т. е. и В= ([ ]А, V), и /=([]А, W)—под-
W)—подалгебры в Л. Если подалгебра / является к тому же идеалом
алгебры А, то Л называется полупрямой суммой алгебр В и /.
В полупрямой сумме A = B\—J оператор adK переводит каждое
из подпространств V и W в себя. Следовательно, структура по-
полупрямой суммы алгебр В и / задана тогда и только тогда,
когда известен гомоморфизм / алгебры В в алгебру End /. Эле-
Элементы подалгебры /(?>)c:End'/ отождествляются с ограниче-
ограничениями на W операторов ad^:
[v, w] =f(v) w.
A7) Утверждение. Если группа Ли G представима в виде
тюлупрямого произведения подгрупп Ли И и N, G «
^:H[>N, то ее алгебра Ли Л изоморфна полупрямой сумме
¦алгебр Ли В и / подгрупп Я и N соответственно, A~B\—J.
A8) Упражнение. Докажите утверждение A7).
Структура полупрямой суммы характерна для пространст-
пространственно-временных симметрии.
A9) Примеры. Алгебра Ли еC) группы ?C) изо-
изоморфна алгебре soC) |— jo C).
J22
B0) Алгебра Ли я группы Пуанкаре изоморфна полупря-
полупрямой сумме so C, 1) f— p. T
В § 4 с помощью понятия полупрямой суммы будет сфор-
сформулирован рецепт для стандартного разложения произвольной
алгебры Ли — разложения Леви.
§ 3. Линейные алгебры Ли. Алгебры дифференцирований.
Присоединенное представление
Линейной алгеброй Ли называется алгебра Ли линейной
группы Ли.
Построим прежде всего алгебру Ли общей линейной груп-
группы GL(n, К), К = R, С. На /г2-мерном (действительном или
комплексном) аналитическом многообразии GL(n, К) ло-
локальные канонические координаты мы ввели с помощью экс-
экспоненциального отображения C.33), C.37).
Касательным пространством V(e, GL(n, К)), т. е. линей-
линейным пространством алгебры Ли группы GL(n, К), является
Mat (я, К). Выберем матрицы Хи A", e Mat (n, К) в качестве
направляющих векторов однопараметрических подгрупп. Что-
Чтобы определить закон композиции искомой алгебры, найдем
касательный вектор к однопараметрической подгруппе q(s) =
X {i- Ks Xt + ^X] -.) [, ) )
[*„ Xj} + t(h ' (и)
где [] — матричный коммутатор. Итак, алгебра Ли группы
GL(n, К) представляет собой пространство Mat (л, К) с мат-
матричным коммутатором в качестве закона композиции:
gl(n, /() = ([], Mat (л, К))- Мы будем стремиться сохранить
в обозначении линейной алгебры Ли те же символы (строч-
(строчные), что и в обозначении (прописными буквами) соответст-
соответствующей группы Ли.
B1) Поскольку всякая линейная группа Ли является под-
подгруппой общей линейной группы, то всякая линейная алгебра
Ли-—подалгебра алгебры gl(n, /(), и ее композиция-—мат-
композиция-—матричный коммутатор. Для определения соответствующего под-
подпространства напомним, что любой элемент окрестности
Ue<=GL(n, К) представим в виде exp tX (см. C.75) —C.79)).
Это позволяет сформулировать условия, накладываемые на
элементы g^GL{n, К) при выделении тех или иных подгрупп,
в виде ограничений на матрицы X пространства алгебры
§l(n,K). T
123
Алгебры Ли важнейших линейных групп приведены
в табл. 3. (Условия для элементов неунимодулярных групп
и алгебр легко получить, сняв требование detg" = 1 и TrX = o
соответственно.)
Таблица з
Группа
SL(n, К)
SU(n)
SU{p, q)
SU% Bл)
SO (n, K)
SO (p, q)
SO^ Bл)
2r = n
Sp (r, K)
Sp (P, q)
p+q= nj2
Условия, наложенные на элементы
g?GL(n, К)
det?=l
det g— 1
detg=\
g-l = gT
det g = 1
det g-= 1
//» o\
j I C*
X?gl(n, K)
Tr^ = O
A ' = ~ л.
TV V Л
1 Г -Л ::^ U
Tr^=O
'?V'V. —'
XT = — X
F~1XTF=- X
Алгебра
«/(я, /<)
s« (я)
s«(p, q)
sii4*- Bл)
so (я, К)
so(p, q)
sp (л, К)
sp(p, q)
Простой способ построения структурных констант линей-
линейных алгебр Ли основан на введении специального базиса, ко-
который в физической литературе получил название базиса
Окубо.
Построим в пространстве Mat (я, К) алгебры gl(n, К) ба-
базис {Eh }, состоящий из матриц вида
{Elk)la = blX (i, k, I, m=\, ..., п). A2)
Композиции элементов Ей в gl(n, К) принимают простой вид
124
[Ei, Eq] = bqE%-KE'q A3)
co структурными константами
(i \
<l\(P\= " P * ~ * ' "' ' '
В пространстве алгебры so(n, К), состоящем из антисим-
метричных матриц (табл. 3), базис Окубо представляет собой
антисимметричный вариант базиса {?*}:
Mi = Ei-El A5)
Здесь число базисных элементов очевидно равно у (п2—п). Их
композиции имеют стандартный вид при любом значении п:
[Ml, M»}=bi(lMpk-bpkMi} + bpMk4-bk4M?, A6)
«ак и структурные константы
а )
)
Рассмотрим алгебру so(p,q) (табл. 3). Базис Окубо удобно
выбрать в ней в виде
Mlk=fiaEt~fkvE\, A8)
где fs=I(p, q) —матрица формы / (метрический тензор). Выра-
Выражение для композиции базисных элементов аналогично форму-
формуле A6):
[М*, Мрч] =fipMkq +fkqMip -fiqMkp -fkpMiq. A9)
Коммутационные соотношения алгебры soC, 1) в упражнении
E) формула (8)) были приведены в базисе Окубо с метриче-
метрическим тензором g.
Перейдем к алгебре sl(n, К). Для обеспечения равенства
нулю следа матрицы преобразуем базисные матрицы Окубо
(На индексы диагональных матриц Окубо соглашения о сум-
суммировании (см. A.29)) не распространяются.) Очевидно, что
матрицы Ak не независимы:
jl^O. B1)
125
Этот недостаток компенсируется простотой и универсальностью
записи композиции в базисе Окубо:
¦[А[, А?]=8'Л?-3?< B2)
Рассмотрим случай К=С и построим с помощью элементов
Ak набор антиэрмитовых матриц {Л*}: I
~\j — iAj, Aft — i \Ak -j- Aj ) ,
V \j — П \^(-> AJ Ak ' '
> Лу (J, Aft —/i* Лу.
Они образуют базис Окубо в алгебре su(n). Выпишем комму-
коммутационные соотношения базисных элементов
[К At}=0,
[A/j , A? J=O?Aft —0АЛ? -|-С)?/\; —u;A? B4)
(в последней строке для сокращения записи использовано оче-
очевидное равенство Arr(+) =2Arr).
В заключение введем базис Окубо в алгебре su(p, q). Вновь
обозначим через f=I(p, q) метрический тензор и рассмотрим
базис
Композиции элементов Л7>. легко получить из формул B4):
[Ajj, Apq J— — JjqAp +fA
j4 ,
\\ \(-)|_fA(t)_(+ )
4 V/> * Pe J—J 1ч Pi J
Г л(+) д(-I ^ л( + ) ^ Л(+) J_ ^ Л( + )
[Am, Apq J = / jqApk —fpkA/q -tfkq.<\pj —J
Базис Окубо можно ввести и в других линейных алгебрах
Ли, названных в табл. 3. Однако для них закон композиций
матриц Окубо становится слишком громоздким.
Пусть Л=([], V"k). Выберем в пространстве Mat (л, К) та-
такие эндоморфизмы тп, для которых выполняется равенство
m-[vu v2] = [m-vu v2] + [vu mv2]. B7)
Они называются дифференцированиями алгебры. А. В силу би-
126 . ,
линейности лиевой композиции [,] множество всех таких мат-
матриц образует подпространство в Mat (л, К). Если т\ и т2 удов-
удовлетворяют условию B7), то, как легко заметить, тем же свой-
свойством обладает и коммутатор [mi, т2]. Следовательно, множе-
множество всех дифференцирований (с композицией в виде матрич-
матричного коммутатора) образует подалгебру в gl{n, К)- Она назы-
называется алгеброй всех дифференцирований алгебры А и обозна-
обозначается через DerA
Множество элементов группы GL(n, К) (группы автомор-
автоморфизмов, пространства V"k), сохраняющих композицию алгебры
А, образует подгруппу Aut А в GL(n, К). Она называется груп-
группой (всех) автоморфизмов алгебры А.
B2) Упражнение. Докажите, что DerА есть алгеб-
алгебра Ли группы Aut Л. V
Введенные в § 2 присоединенные операторы (см. формулу
(9)) также являются дифференцированиями:
ас^К, v2] = [v[vt, v2]] = [[v, vi]v2] + [vl[v, vt]] =
= [advvx, v2] -f [vu advv2].
Множество присоединенных операторов оказывается замкну-
замкнутым относительно матричного коммутатора, т. е. в свою оче-
очередь образует подалгебру в алгебре Der Л. Эта подалгебра но-
носит название алгебры внутренних дифференцирований der А ал-
алгебры А : der Л с Der Л.
B3) Уп р а ж н е и и с. Покажите, что подалгебра der A.
является идеалом в Der Л. V
Применим оператор ad. _,, к вектору oeF:
acV, vt] v = №*> ^1 V] = adWi adVtv -
— adz,2 ady, v — [ad»,, adP, ] v. B8f
Из равенства B8) следует, что отображение u-^-ad,, алгеб-
алгебры Л в алгебру ее внутренних дифференцирований есть гомо-
гомоморфизм алгебр Ли.
Пусть L — кольцо линейных операторов /, действующих
в пространстве W. На пространстве L естественно вводится
структура алгебры Ли с композицией
[/„ 1,1 = 1^-1,1,
(см. § 7 B.111)). Гомоморфизм d алгебры Ли Л в алгебру Ли
3? =([,], L) линейных операторов называется (линейным)
представлением d(A, W) алгебры Л в пространстве W. Пред-
Представление называется точным, если Ker d — 0.
Гомоморфизм Ad : u-*-ad» алгебры Л в алгебру ее внутрен-
внутренних дифференцирований носит название присоединенного пред-
представления Ad (Л) алгебры А. Ядро присоединенного представ-
представления совпадает с Z(A).
127
Выберем базис {vi} в пространстве V алгебры А и вычислим
матрицу оператора асЦ в этом базисе:
Присоединенный оператор базисного элемента алгебры дейст-
действует на V как матрица, составленная из структурных констант
алгебры.
§ 4. Разрешимые, нильпотентные, простые и полупростые
алгебры Ли. Радикал. Теорема Леви —Мальцева
Пусть W] и W2 — подпространства в пространстве V алгеб-
алгебры Ли Л=([], V). Под [Wu W2] будем понимать подпрост-
подпространство в V, являющееся линейной оболочкой элементов вида
|шь дог] (w1^W\, до2е№г). Построим следующие два ряда под-
подпространств в V:
а) производный ряд б) центральный (убывающий) ряд
[V, V]^V°\ [V, l/]=l/A) = l/A),
[И», И'>]-И2\ [V, кA>] = ц„,
[1/B), И2)] = 1/C), ... [V, Vl2)]=Vi3) ... B9)
... [Vin~l\ V^^V^ [V, 1/(Л-,)] ЕЕЕЕ 1/(л) ...
. . . D Ип-1} Z) l/(n) D . .. .. • =) V{n-i) D Цв) D . . . -
Алгебра Л называется разрешимой, если существует целое
¦положительное п, такое, что У<п)=0, т. е. производный ряд
обрывается. В частности, если алгебра абелева, то У<1)=0.
Алгебра А называется нильпотентой, если существует це-
целое положительное п, такое, что У(И) = 0, т. е. обрывается цент-
центральный ряд. Очевидно, что для абелевой алгебры А, как и в
предыдущем случае, V(i)« Й') = 0. Отметим, что из условия
У(П) = 0 сразу следует, что алгебра А имеет нетривиаль-
нетривиальный центр Z(A) = ([]A, V(n-\)).
Из сравнения рядов B9а) и B96) вытекает, что нильпотент-
ная алгебра всегда разрешима, но не наоборот.
Существуют другие эквивалентные определения разрешимо-
разрешимости и нильпотентности [25]. Например, алгебра А нильпотент-
на, если существует такое целое положительное п, что для лю-
любого набора п элементов v\, ..., vn^V справедливо равен-
равенство
ad^adw, ... асЦ a&v = 0. C0)
Перечислим важнейшие свойства разрешимых и нильпотент-
яых алгебр Ли.
B4) Всякое производное подпространство У<г-) алгебры замк-
128
нуто относительно ограничения на F<*> ее закона композиции.
Полученные таким образом подалгебры ... А^сА^—^а .. .cz
czA^czA называются производными подалгебрами алгебры А.
B5) Производная подалгебра Л<г> является идеалом в ал-
алгебре А.
B6) Факторалгебра Л<*'/Л(г'+1) абелева.
B7) Если А разрешима, т. е. Л(п>=0, то Л*"* — абелев
идеал в Л. Разрешимая алгебра всегда содержит нетриви-
нетривиальный абелев идеал.
B8) Если Л разрешима, то всякая ее подалгебра и всякая
ее факторалгебра разрешимы.
B9) Алгебра А разрешима, если она содержит разреши-
разрешимый идеал /, такой, что факторалгебра A/J разрешима.
C0) Всякое подпространство V(i) центрального ряда B96)
замкнуто относительно ограничения композиции []а на !/(,>
C1) Подалгебра A(i) является идеалом в Л.
C2) Факторалгебра Лга/Л(г+1).— центр в алгебре Л/Л(г+!). V
Все эти свойства легко получить, используя только опре-
определения подпространств VW и V^ (см. формулу B9)). Дока-
Докажем в качестве иллюстрации свойство B5).
Из формул B9а) и свойства B4) следует, что ЛA) — идеал
в А. Предположим, что А^-]) — идеал в Л. Тогда, используя
тождество Якоби, получаем
[v, v(l)]r=[v\v{i-l\ vit-1)]]=[v{i-')[v1 v(i~l)}] +
[v{i-l\ И'-1}] = И0,
т. е. Л(') — идеал в Л.Т
Очевидно, что абелева алгебра разрешима и нильпотентна.
C3) Примеры. Подалгебра Л верхних (нижних) тре-
треугольных матриц в алгебре gl(n, К) разрешима. Ее произ-
производный ряд обрывается на п-м шаге, Л<"'=0. Подалгебра
Л*™—') матриц вида
C1)
является одномерным абелевым идеалом в Л. Пространство
первой производной подалгебры ЛО состоит из строго верхних
(нижних) треугольных матриц (с равными нулю элементами
главной диагонали).
C4) Подалгебра Л строго верхних (нижних) треугольных
матриц в gl{n, К) нильпотентна. Центральный ряд обрывает-
обрывается в этом случае на (п—1)-м шаге, Л(П-1> = 0. Здесь подал-
подалгебра Л(„_2) матриц вида C1) —одномерный центр в Л. V
Отметим, что в примере C3) первая производная подал-
9 Зак. Us 152 129
гебра сама оказалась нильпотентной алгеброй. Это свойство
справедливо и в общем случае.
C5) Первая производная подалгебра разрешимой алгебры
нильпотентна. (Доказательство см. в [15].)
C6) Пример. Алгебра Ли операторов координат и им-
пульсов в квантовой механике, порожденная скобкой [р, х] =
/\
= е, нильпотептна. ~У
Алгебра Ли А называется полупростой, если не содержит
нетривиальных разрешимых идеалов.
C7) Алгебра Ли полупроста, если в ней нет абелевых идеа-
идеалов (кроме нуля).
C8) Упражнение. Докажите свойство C7), предва-
предварительно установив, что производная подалгебра JW идеала
/ алгебры А является в свою очередь идеалом алгебры Л.
C9) Полупростая алгебра Ли совпадает со своей первой
производной.
D0) 3 а м е ч а н и е. Обратное неверно. Например, алгеб-
алгебра я содержит абелев идеал р. В то же время яО)я*я (см.
A.49)-A.52)). Т
Производный ряд алгебры, которая не является ни полу-
полупростой, ни разрешимой (содержит разрешимые идеалы), мо-
может стабилизироваться на любом конечном шаге.
Алгебра Ли Д—([], V) называется простой, если не со-
содержит нетривиальных идеалов и dim V>1.
Среди известных нам алгебр Ли физических симметрии от-
отметим простые алгебры suB) и / = s/B, C)R. Критерий про-
простоты и полная классификация простых алгебр Ли будут при-
приведены в главе 5.
D1) Алгебра полупроста, если представима в виде прямой
суммы простых (см. также E.6)). V
Так, например, полупроста алгебра so D, R). Она изоморф-
изоморфна прямой сумме двух алгебр suB) (см. упражнение A6)).
Рассмотрим множество всех неэквивалентных разрешимых
идеалов алгебры А. Если алгебра А конечномерна, то среди
разрешимых идеалов найдется единственный идеал максималь-
максимальной размерности, так называемый радикал алгебры Ли . А.
D2) Всякий разрешимый идеал алгебры Ли содержится
в ее радикале.
D3) Если 01 — радикал алгебры А, то факторалгебра
А/ 31 полупроста.
D4) Упражнение. Докажите эти утверждения, исполь-
используя свойства B8) и B9). Т
Понятие радикала позволяет сформулировать очень важ-
важную структурную теорему.
D5) Теорема (Леви — Мальцева). Всякая алгебра Ли А,
не являющаяся разрешимой, представима в виде полупрямой
суммы A^S\— Я (разложение Леви), где S — полупростая
130
подалгебра, Ж — радикал алгебры А. Доказательство этой
теоремы можно найти в [11].
D6) Примеры. Изоморфизмы е C) »soC) j— р C),
яда soC, l)j— рD) есть разложения Леви. Радикалы рC) с
С е C) и рD) с= я абелевы.
D7) Алгебра Ли группы .?B) представима в виде полу-
полупрямой суммы so B) \—рB), но это не есть разложение Леви,
так как алгебра soB) одномерна (а значит, абелева). Алгеб-
Алгебра еB) разрешима.
§ 5. Восстановление группы Ли по алгебре Ли. Ряд
Кэмпбелла—Хаусдорфа. Экспоненциальное отображение
В B1) с помощью матричной экспоненты мы всякому эле-
элементу линейной алгебры Ли сопоставили локально элемент
соответствующей группы Ли. Матрицы х линейной алгебры Ли
служили аналитическими координатами элемента g=expx
в окрестности единицы. По закону композиции линейной алгеб-
алгебры можно восстановить (локально) закон композиции группы
в канонических координатах {х}:
expx ехр_у = ехр z, z = x -\-у -f -^- [лг, у] + • • ¦ C2)
Таким образом, всякой линейной алгебре Ли сопоставляется
локальная группа Ли. В формуле C2) функция z(x,y) вы-
выписана лишь с точностью до членов второго порядка по мат-
матричным элементам матриц х и у (максимум модуля матрич-
матричных элементов х и у определяется размерами окрестности 1)е, в
которой строится локальная группа). Оказывается, зная закон
композиции [,], можно найти все члены разложения функции
z(x, у) в ряд Тейлора в окрестности нуля:
у
[¦¦¦ \х, у] ... у] х] ... х]у] х] ... х]у] ... у]
(Ь _4_ А- Ь -L/-L Л- ] \ Ь \ 1 \ & I / ' (OOJ
\К1 { • ¦ • i кт i Li I • • • I lm/ К1- с\- • ¦ ¦ кт- 1т-
(*i=0, 1).
Доказательство формулы C3) — формулы Кэмпбелла — Хаус-
Хаусдорфа и оценку ее сходимости можно найти в [22, 25].
Ряд C3) неудобен для вычислений, но его существование
доказывает возможность восстановления умножения в локаль-
локальной группе сколь угодно точно по ее алгебре Ли., С помощью
формулы Кэмпбелла—Хаусдорфа можно получить полезные
соотношения
9* 131
V, C4)
ехрЛ'ехр Кехр (— X) =ехр (ехр (X) К-ехр (— X)) =
= ехр (ехр (ad*) Г), C5)
где adX — присоединенный оператор элемента X в линейной
алгебре А.
Обобщим описанную выше процедуру восстановления ло-
локальной группы Ли на случай произвольной алгебры Ли.
Введем понятие экспоненциального отображения, аналогичное
матричной экспоненте. Пусть Д=([], V) —алгебра Ли,
v — окрестность Oel/, в которой ряд C3) сходится для х,
у^и. Определим формально множество ехр v, изоморфное и,
и зададим на нем топологию, потребовав, чтобы отображение
ехр : v <-> G было гомеоморфизмом. На топологическом прост-
пространстве G с помощью формул C2), C3) построим аналити-
аналитический закон композиции, который снабдит G структурой ло-
локальной группы Ли. (При этом матричные коммутаторы сле-
следует заменить композициями алгебры Л.) Сформулируем вы-
вывод в виде теоремы.
D8) Теорема. Всякая алгебра Ли является алгеброй Ли
некоторой локальной группы Ли.
Подробное доказательство см. в [24, 25]. Ў
Известно, что всякой локальной группе Ли однозначно со-
сопоставляется связная односвязная группа Ли (см. § 3.8).
D9) Теорема. Всякой алгебре Ли однозначно сопоставля-
сопоставляется связная односвязная группа Ли, алгеброй Ли которой она
является. V
Таким образом, задача восстановления группы Ли по ал-
алгебре Ли получает окончательное решение. Всякая связная
группа Ли G с заданной алгеброй А есть факторгруппа GJN
по дискретной нормальной подгруппе Ncr.G (см. C.110)).
Напомним, что несвязная группа эквивалентна расширению
некоторой дискретной группы по связной группе Ли /((e)cG
(см. утверждение C.48)). Классификация групп Ли сводится
к классификации алгебр Ли и дискретных групп.
При экспоненциальном отображении прямой tX, проходя-
проходящей через начало координат в пространстве V, сопоставляется
в Ue однопараметрическая подгруппа g(t) =exp tXczG, един-
единственная, имеющая касательный вектор X (см. C.70)). Пусть
элементы exptX, ехр tY и exptZ принадлежат Ue и ехр(^Х)Х
Xexp(^K)=exp(?Z). Тогда tZ совпадает с рядом Кэмпбелла —
Хаусдорфа от tX и tY. Рассмотрим гомоморфизм /: Л-нЗ алгебр
Ли. Сопоставим алгебре В локальную группу Н с помощью
экспоненциального отображения и выделим в Н элементы
exp(tf(X)), exp(tf(Y)) и exp(?f(Z)). В силу гомоморфное™ ото-
отображения f элемент tf{Z) отождествляется с рядом Кэмпбелла—
132
Хаусдорфа от tf(X) и tf(Y) (см. формулу A6)). Следовательно,
exp(tf(X))exp(tf(Y)) = exp(tf(Z)), т. е., гомоморфизм / инду-
индуцирует гомоморфизм ф == ехр /, такой, что диаграмма
ехр j Т ехр C6)
А Лв
коммутативна. Сопоставим согласно теореме D9) алгебрам
А и В единственные связные односвязные группы Ли G и Н.
Группы G и Н — локальные подгруппы в G и Н. В соответствии
с теоремой о монодромии (теорема C.107)) локальному гомо-
гомоморфизму ф однозначно сопоставляется глобальный гомомор-
гомоморфизм ф-.G-^H. Окончательно приходим к следующему выводу.
E0) Теорема. Конечномерные представления связных од-
носвязных групп Ли находятся во взаимно-однозначном соот-
соответствии с представлениями их алгебр Ли. У
Это утверждение играет решающую роль в инфинитезималь-
пом методе теории представлений (см. § 6.5).
E1). Пример. Отождествим пространство присоединен»
ного представления алгебры suB) с подпространством бес-
бесследовых эрмитовых матриц в Mat B, С) (см. табл. 3). С по-
помощью экспоненциального отображения представлению
Ad(swB)) сопоставляется представление s&d группы Sf/B)
в том же пространстве с операторами
(см. формулу C4)). Сопоставление это взаимно-однозначно,
так как группа SU B) связна и односвязна. Представление Фй
называется присоединенным представлением, группы. У
ГЛАВА 5
ПРОСТЫЕ И ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Разложение Леви позволяет свести изучение произвольной
алгебры Ли к анализу полупростой подалгебры и радикала.
При построении индуцированных представлений будет выяс-
выяснено, что структура неприводимых представлений алгебры Ли
почти полностью определяется свойствами фактора Леви —
полупростой подалгебры.
Важнейшим свойством полупростых алгебр Ли является
существование аналога скалярного произведения — формы
Киллинга, — инвариантного относительно присоединенного
представления алгебры.
§ 1. Форма Киллинга. Критерий Картана
Пусть d(A, W)—представление алгебры А в пространстве
W. Инвариантным элементом пространства W назовем aieW,
такой, что d(a)w = 0 для всех а^А.
A) Пример. В присоединенном представлении Ad(glB,
С)) матрицы вида X/eMatB, С)—инвариантные элементы
пространства представления. Ў
Рассмотрим два представления d(A, V) и b (A, W) алгебры
А. На их тензорном произведении V ® W можно реализовать
представление г алгебры А по правилу
с (a) (v ®w) = d{a) v <§§ w -\-v §?) b (a) w =.
A)
Легко проверить, что отображение с — гомоморфизм A->-gl(V<g)
® W). Представление с(А, V®W) называется тензорным про-
произведением представлений d и Ь, c=^d®b.
Пусть на пространствах представлений V и W задана били-
билинейная форма <,>. Рассмотрим ее как отображение
V®W^*K{K — основное поле). Форма называется инва-
инвариантной, если индуцирует на К тривиальное представление
алгебры Л. Это означает, что образ всякого элемента c(a)(v®
®w) в К равен нулю:
<d (a) v, w> + <v, b (a) w> = 0. B)
J34
В частности, инвариантной формой является форма следа,
строящаяся на пространстве V алгебры Л=([], V) с помощью
конечномерного представления d (A, W):
<vu T»2> = Tr(cf(w1), d{v3)). C)
Она инвариантна относительно действия А на V как на прост-
пространстве присоединенного представления.
B) Упражнени е. Покажите инвариантность формы
следа. Т
Из определения C) следует, что форма следа симметрична.
Частным случаем формы следа является форма Киллинга
X{vu v2) = Tr(adPladPll). D)
Здесь в роли представления d выступает присоединенное
представление.
Теперь можно сформулировать два фундаментальных по-
положения теории полупростых алгебр Ли.
C) Критерий Картана разрешимости. Линейная алгебра Ли
Л=([], V) разрешима в том и только в том случае, если фор-
форма Tr(oo(i)) обращается в нуль для всех оё|/и Щ\)^ V0) (см.
формулу D.29)). Ў
' Иными словами, необходимым и достаточным условием раз-
разрешимости линейной алгебры является ортогональность про-
пространств VW и У по форме Тг(иу').
D) Критерий Картана полупростоты. Алгебра Ли А полу-
полупроста тогда и только тогда, когда ее форма Киллинга невы-
невырождена. Т
Доказательство критериев Картана [25, 28] выходит за
рамки предлагаемого курса.
E) Пусть А = ([], V)—полупростая алгебра Ли, / =
= ([L ^) —ее идеал. Тогда ограничение композиции []л на
подпространство W± , ортогональное к W в V по форме Ж,
задает идеал /± ==([], Wx ), причем A~Jfr)J±.
Доказательство. По условию Tr{ad,cad«) =0 для
всех w e W и be Wу. Рассмотрим величину Tr(adicad|l, u] ) при
произвольном eel' и воспользуемся инвариантностью формы
Ж:
, [v,u\) =— Ж([у,хю],и) =—X(w',u) =0.
Отсюда следует, что элемент [и, и] также принадлежит W _,
т. е. ^х=([], W± )—идеал. Пересечение пространств W и
W± равно нулю, так как на нем невырожденная форма Ж
тождественно равна нулю. Очевидно также, что всякая компо-
композиция [ш, и] тривиальна. Кроме того, поскольку Ж билиней-
билинейна, невырождена и симметрична, пространство V можно пред-
представить в виде V^WQWL. Следовательно, Ax-J@J^ (см.
§2.6). V . _ ^ *Г)
135
F) Полупростая алгебра представима в виде прямой сум-
суммы простых единственным образом (ср. с D.41)).
Доказательство. Поскольку размерность алгебры Ли
конечна, то процесс последовательного выделения идеалов в
ней ограничен. В итоге приходим к представлению алгебры А
в виде такой прямой суммы -Л©...фЛв. где каждое слагае-
слагаемое не имеет нетривиальных идеалов. Размерность dim/k>l,
так как всякая одномерная алгебра абелева, а абелев идеал
не может содержаться в полупростой А.
Единственность разложения Л~/)@... ©7т следует из
«минимальности» прямых слагаемых /?г. Т
G) Всякий идеал полупростой алгебры полупрост. Это
утверждение легко получить с помощью свойства F).
(8) Первая производная подалгебра ЛО полупростой ал-
алгебры Л= ([], V) совпадает с Л.
Доказательство тривиально.
(9) Форма следа точного конечномерного представления
полупростой алгебры Л невырождена.
A0) Упражнение. Докажите утверждение (9), ис-
используя инвариантность формы следа и свойство G).
A1) Пусть б=([], VB)—полупростая подалгебра произ-
произвольной алгебры Ли Л=([], V). Ортогональное дополнение
V_l к VB по форме Киллинга Ж алгебры Л обладает следую-
следующими свойствами: V±Q)Vb^V, [Vx, Ув]сУх, и если В —
идеал в Л, то и ([], Vх) — идеал в А.
Доказательство. Ограничение Ж в формы Ж на под-
подпространство Vb есть форма следа представления d алгебры
В, где d^AdA^y —ограничение присоединенного представле-
ния на Vb- Так как В полупроста, то представление d точное
и Ж в невырождена (см. свойство (9)). Следовательно, V~
~УвфУх- Тогда из инвариантности Ж легко выводятся два
последних свойства V±. Ў
A2) Всякое дифференцирование полупростой алгебры Л
внутреннее.
Доказательство. Алгебра внутренних дифференци-
дифференцирований der Л = ([], М) реализует точное представление полу-
полупростой алгебры Л и является идеалом алгебры DerA —
= ([], N). Следовательно, N~M(^)MX и [М, М±] =0 (см.
свойство A1)). Рассмотрим элемент ad, .до, где шхеМ^
= — [v, m±w] + mx [v, w] = [m±, ad v] w = 0.
Так как v и w произвольны, полученное равенство означает,
что т± =0. V
A3) Действительная полупростая алгебра Ли компактна
136
тогда и только тогда, когда ее форма Киллинга отрицательно»
определена. V
Приведем доказательство первой части этого утверждения,
которое наглядно демонстрирует связь между свойствами фор-
формы Киллинга и топологией соответствующей группы Ли. (Пол-
(Полное доказательство см. в [32, гл. 2].)
Пусть А — полупростая алгебра Ли с отрицательно опре-
определенной формой Ж . Алгебра А изоморфна der А (свойство
A2)), причем в данном случае der Л является алгеброй Ли
группы Aut/4 (см. упражнение D.22)). Так как форма Ж
инвариантна, группа AutA сохраняет Ж, т. е. Aut/4 — под-
подгруппа в Uyv>(V, R), выделяемая условием D.27) (системой
алгебраических уравнений). Для знакоопределеннои формы Ж
группы Uyy>(V, R) и Aut А компактны. V
A4) Замечание. Отрицательная определенность фор-'
мы Ж связана с тем, что матрицы присоединенных операто-
операторов антисимметричны — этого требует инвариантность формы.
След квадрата нетривиальной антисимметричной матрицы от-
отрицательно определен, "ф
A5) Пример. Присоединенное представление алгебры.
suB) (см. пример D.4)) имеет вид
/О 0 0\ /0 0 —1\ / 0 1 0\
ad,, = 0 0 1 , ad,,= 0 0 0 , ad/. = — 1 0 0 .
\0 -10/ 410 0/ \ 0 0 0/
Форма Киллинга на базисных элементах обладает свойством-
Алгебра suB) компактна.
A6) Упражнение. Постройте алгебру Оегя (я—ал-
(я—алгебра Ли группы Пуанкаре (см. A-49)-—A.52) и пример
D.46)).
Указание. Алгебра Der я содержит подалгебру Der so C,.
1)—алгебру дифференцирований простой алгебры Лоренца.
Следовательно, Der я гэ so C, 1).
Ответ. Der я^% \—а, где а — одномерная абелева подал-
подалгебра. Физический смысл преобразований а — изотропное рас-
растяжение координатных осей.
§ 2. Комплексификации, овеществления и вещественные
формы
Основным инструментом исследования полупростых алгебр*
Ли является система собственных векторов и собственных зна-
значений операторов присоединенного представления. Простран-
Пространство вещественной алгебры Ли может не содержать соответст-
соответствующих собственных векторов. Это вынуждает при изучении
137'
вещественных полупростых алгебр переходить от пространст-
пространства Vr к его комплексному расширению Vnfc- Рассмотрим
алгебраические свойства этой процедуры.
Пусть А=([], Уд)—вещественная алгебра Ли. Распро-
Распространим по линейности закон композиции [,] на простран-
пространство Vc:
где Vi e VR. Тем самым мы задали комплексную алгебру Ли
А\с= ([], Vc), которая называется комплексификацией ве-
вещественной алгебры А. Очевидно, что размерность алгебры
при этом не меняется. Выясним, как отражается комплекси-
фикация на структурных свойствах алгебры.
A7) Подалгебры, идеалы, а также свойства разрешимости
и нильпотентности (в том числе наличие радикала) сохраня-
сохраняются при комплексификации.
Доказательство. Расширение поля скаляров не мо-
может отразиться на существовавших в вещественной алгебре
Ли подалгебрах и идеалах и изменить вид производного и
центрального рядов алгебры. Ў
A8) Если вещественная алгебра А полупроста (разрешима),
то и ее комплексификация А^с полупроста (разрешима), и
наоборот. (Формы Киллинга алгебр А и А\с невырождены
(вырождены) одновременно.) т
Следует подчеркнуть, что подалгебры и идеалы в А$с мо-
могут не иметь аналогов в исходной алгебре А.
A9) Пример. Алгебра soC, R) при комплексификации
остается трехмерной простой алгеброй Ли: soC, /?)»с~
~soC, С). Комплексифицируем вещественную простую алге-
алгебру soC, 1). Выберем в алгебре soC, l)tc базис {/,, nh} (см.
формулы A.49)). Используя композицию A.49), легко прове-
проверить, что линейные оболочки элементов 7г (lj -f itij) и l/2 (h —
— itij) составляют подпространства идеалов в алгебре
soC,.l)tc, B то время как в исходной вещественной алгебре
нетривиальные идеалы отсутствовали. Каждая из полученных
подалгебр эквивалентна soC, R)\c, так что soC, l)tc«
~soC, CHsoC, С). 7
Пусть теперь А = ([], Vc)—комплексная алгебра Ли. Су-
Сузим поле скаляров до R, т. е. рассмотрим Vc как вещественное
пространство вдвое большей размерности {V)R. Всякий элемент
ие (V)r является в то же время элементом Vc, тем самым за-
закон композиции алгебры А переносится на (V)R. Очевидно, что
полученная конструкция является алгеброй Ли. Назовем ее
овеществлением (A)r комплексной алгебры Ли А: (A)R =
= ([]i (^)л)- Нетрудно установить связь между свойствами
комплексной алгебры Л и ее овеществления (A)R.
B0) При овеществлении подалгебра переходит в подалгеб-
138
ру, идеал — в идеал. Разрешимая (нильпотентная) алгебра име-
имеет разрешимое (нильпотентное) овеществление.
B1) Если А полупроста, то (Л)д полупроста, и наоборот.
Доказательство. Если алгебра содержит разрешимый
идеал, то она содержит абелев идеал (см. свойство D.27)).
Если же А содержит абелев идеал, то тем же свойством обла-
обладает и (Л)я, т. е. из полупростоты (Л)д следует полупростота
Л. Пусть форма Киллинга Ж алгебры (Л)д вырождена. В этом
случае КегХортогонально всякому базисному элементу vh про-
пространства V алгебры. В свою очередь всякий элемент
syeKerJf разложим в базисе {vk, ivh). Форма Ж на базисных
элементах {vkj совпадает со значениями исходной формы Кил-
Киллинга Жп алгебры А на {vu}. Следовательно, вырожденность
формы Ж алгебры (Л)п влечет за собой вырожденность Жп: из
полупростоты Л следует полупростота (Л)д. ?,
B2) Если Л проста, то (A)R проста, и наоборот.
B3) Упражнение. Докажите свойство B2).
B4) Пример. Выберем в комплексной простой алгебре
siB, С) базис в виде матриц—Ч2 ok. В алгебре siB, С) число
базисных элементов увеличивается вдвое: {—'/гаь, '/W/J-
Структурные константы алгебры si B, C)R в этом базисе совпа-
совпадают со структурными константами алгебры soC, 1) в базисе
{4, tih} (см. A.49)). Иными словами, siB, C)R^ soC, 1). Ў
Перейдем к рассмотрению операции, которая в известном
смысле является обратной к комплексификации.
Пусть А— {[], Vc)—комплексная алгебра Ли. Построим
ее овеществление (A)R. Выберем в (Л)н такую подалгебру
A±R, чтобы ее комплексификация Ащ^с была изоморфна исход-
исходной алгебре Л. Алгебра Л^н носит название вещественной фор-
формы комплексной алгебры А. Размерности алгебр Л и Л^д сов-
совпадают. Поскольку Aimc ~ А, то всякой подалгебре (идеалу)
в Л|н соответствует подалгебра (идеал) в А, но не наоборот
(см. пример A9)). Разрешимость и нильпотентность алгебр
AiR и Л одинаковы. Очевидно также, что алгебра А и ее вещест-
вещественная форма A) R полупросты и неполупросты одновременно
{см. свойство A8)). Построение вещественной формы эквива-
эквивалентно выбору в алгебре А такого базиса, в котором все струк-
структурные константы действительны.
B5) Замечание. В приложениях нас будут интересовать
как эрмитовы, так и антиэрмитовы представления алгебр сим-
симметрии. Но в представлении вещественной алгебры Ли переход
от эрмитова к антиэрмитову оператору (и наоборот), осущест-
осуществляемый умножением на i, приводит к тому, что все структур-
структурные константы становятся мнимыми. Так что мы часто будем
встречаться с представлениями d вещественных алгебр Ли Л,
для которых
), d(a2)].
139
Желательно по-прежнему считать представление d гомоморфиз-
гомоморфизмом вещественных алгебр. Поэтому алгебру Ли с мнимыми
структурными константами будем рассматривать как эквива-
эквивалентную реализацию вещественной алгебры, j
Следующее утверждение является тривиальным следствием
свойства A7).
B6). Если алгебра А проста, то и ее вещественная форма
AiR проста. Ў
Известно, что всякая комплексная группа Ли G может рас-
рассматриваться как вещественная группа Ли (G)R вдвое большей
локальной размерности. Назовем группу (G)R овеществлением
комплексной группы Ли G. Следующее свойство оправдывает
введение этого термина.
B7) Алгебра Ли группы (G)R изоморфна овеществлению
(A)R алгебры Ли А группы G. Ў
Вещественной формой Gm комплексной группы Ли G назы-
называется подгруппа группы (G)fl=3 G,B, алгебра Ли которой сов-
совпадает с вещественной формой A\R алгебры Ли А группы G.
Если группа G\R компактна, то она носит название компактной
вещественной формы группы G. В этом случае алгебра Ли
Л|Д называется компактной вещественной формой алгебры А.
B8) Примеры. Группы SU(п) и SO(n, R) являются ком-
компактными вещественными формами групп SL(n, С) и SO(n, С)
соответственно. Их алгебры Ли su(n) и so(n, С) — компактные
вещественные формы алгебр sl(n, С) и so(n, С).
B9) Группа 50C, R) не является вещественной формой
группы SLB, С), несмотря на то, что алгебра soC, R)^suB).
Группа 50C, R)—компактная вещественная форма группы
50C, С).
§ 3. Подалгебры Картана. Разложение Картана
В дальнейшем, если не оговорено противное, А = ([], Vc)
будет означать комплексную простую алгебру Ли.
Основным инструментом исследования простых алгебр яв-
является присоединенное представление. Сопоставим всякому при-
присоединенному оператору adc(ae Kc) характеристический поли-
полином
Pv (X) = det (И- ad,) = 2 ^а (v\ E)
4-0
где п = dim V, Ck(v)—однородная степени п — k полиномиаль-
полиномиальная функция компонент вектора v. В соответствии с теоремой
Келли — Гамильтона [5] всякий присоединенный оператор яв-
является решением своего характеристического уравнения:
Pt,(adt,) = 2(adt,)*c»(») = 0. F)
А=0
140
0
-1
0
ON
О ,
о)
ad; =
о
0
Vo
о
о
1
1 \
о ,
О/
j
ad, =
I
( О
О
\-1
О
О
О
О
1
О
Предположим, что характеристические полиномы построены
для всех операторов присоединенного представления Ad (Л). Тем
самым определены п + 1 числовых функций Ck(v) на простран-
пространстве V. Наименьший номер функции cu(v), не равной тождест-
тождественно нулю, называется рангом алгебры Л.*' Для вычисления
ранга достаточно построить характеристические полиномы ба-
базисных элементов алгебры.
C0) Пример. Если в алгебре 5/B, С) в качестве базиса
•выбрать матрицы {'/гол = //*}. то ее структурные константы бу-
будут мнимыми и равными iejft (ср. пример D.14)). Диагонали-
зуем оператор ad;3 и перейдем к базису его собственных век-
векторов:
В этом базисе матрицы присоединенных операторов и их харак-
характеристические полиномы имеют вид
ad,-, = 0
' Vo
Ph (%) =л3—h,Pl+ (к) = h3, Р,_ (h) =к3.
Сравнивая полученные выражения с формулой E), находим
наименьший номер нетривиальной функции. Ранг алгебры
si B, С) равен единице. ?
C1) Ранг г алгебры А удовлетворяет неравенству 0 < г ^ п,
где п = dim V. (Определитель присоединенного оператора все-
всегда равен нулю, так как всякий элемент алгебры коммутирует
сам с собой). Ў
Пусть алгебра А = ([], Vc) имеет ранг г. Назовем регуляр-
регулярным элементом вектор seV, на котором функция cr(v)=?0.
Например, в алгебре s/B, С) элемент /3, а также любая линей-
линейная комбинация, его содержащая, являются регулярным эле-
элементом.
Рассмотрим на пространстве V алгебры А действие целых
неотрицательных степеней характеристической матрицы (adv—¦
—?J)p, p e Z+, oeV, J,eC. Множество элементов aieF,
аннулируемых достаточно большой степенью р е Z+ оператора
(ad» — hi), образует подпространство V^, пространства V. На-
Назовем VI нилыгространством оператора (ad,, — hi). В частно-
частности, Vv — нильпространство присоединенного оператора ad,,.
C2) Размерность пространства V° совпадает с наименьшим
номером k функции ch(v), отличной от нуля в точке v.
*) Это определение справедливо для любой алгебры Ли, не обязательно
простой.
141
Доказательство. Приведем матрицу adu к нормальной
форме C.26), т. е. к блочно-диагональному виду, где каждый
блок т(а) имеет стандартную структуру C.27). Все блоки, со-
соответствующие ненулевым собственным значениям оператора
adt, регулярны, блок то с а = 0 — нильпотентная матрица с еди-
единицами над главной диагональю. Степень нильпотентности бло-
блока то равна кратности г нулевого собственного значения:
(xo)i- = o. Следовательно, оператор (ad,,.J3 при всех рТ^г анну-
аннулирует подпространство размерности г. Кратность нулевого соб-
собственного значения матрицы adr очевидно совпадает с наимень-
наименьшим номером k функции ck, для которой сь(и)=^0. Т
C3) Пример. В алгебре siB, С) одномерное подпростран-
подпространство с базисным элементом 1$ является нильпространством опе-
оператора ad/,, причем низший ненулевой коэффициент в полиноме
Pi,(K) есть с,(/3) =—1-
C4) Ограничение закона композиции [,] алгебры А на под-
подпространство Vv определяет подалгебру АасА. v
Это свойство непосредственно следует из формулы
= У b[p) [(adr, - л/)*ш,„ (adB - !*/)*-*«>,], (8)
-««ЗИ
ft—О
где X и \х — собственные значения оператора adr,; W\, w2^V;
b{t,p)eC; p, k^Z+. Действительно, пусть wu w2^ Vl, К=ц = О.
Тогда при р > 2r каждый член суммы содержит оператор ad*,
в степени больше г, и правая часть формулы (8) обращается в
нуль, у
C5) Упражнение. Получите формулу (8), используя
свойства матрицы ad« как оператора дифференцирования. ?
Пусть в характеристической матрице (ad,, — XI) параметр X
равен какому-либо собственному значению присоединенного
оператора ad,,. Совокупность нильпространств {V»}, где X при-
принадлежит спектру оператора adL., обладает следующими свой-
свойствами.
C6) V=0l4 (X <= Spec(adr)).
C7) [Vl, П]с^ (X,(ieSpec(ado)). V
Первое из этих свойств является следствием структуры мат-
матрицы ad,; в нормальной форме. Второе может быть легко полу-
получено из формулы (8), если положить в ней w^Vl, w2^.Vv- Ў
C8) Ограничение формы Киллинга Ж простой алгебры А
на нильпространство Vv регулярного элемента v невырождено.
Доказательство. Пусть v — регулярный элемент алге-
алгебры А. Построим оператор ad^ady, где х е Vv; у е VI ; ц, ve
eSpec(adt,). Если zeF^, то adxadyz e ys+n+v (CM. свойство
142
C7)). Поскольку подпространства Vv с разными К не пересека-
пересекаются, оператор adxady будет нильпотентным, если К -)- ц ф 0.
Следовательно, Tr(adxady) = Ж (х, у) = 0. Разложение прост-
пространства V алгебры А на нильпространства оператора (ad,,—
— hi) можно переписать в виде
V = I/?, © { Ф ^I ( W\ = К ф 1/гТ\ Ь 6 Spec (ad,)). (9>
А;>0
Прямую сумму (9) будем называть разложением Картана
пространства V алгебры А. Полученный результат означает, что
все прямые слагаемые в разложении (9) взаимно ортогональны
по Ж. Если в пространстве Vv содержится подпространство,,
ортогональное VI по форме Ж, то оно ортогонально всему про-
пространству V. Последнее невозможно, так как Ж невырождена.
Следовательно, невырождено и ограничение Ж о. Ў
Подалгеброй Картана В простой алгебры А называется мак-,
спмальная абелева подалгебра алгебры Л, содержащая регу-
регулярный элемент.
C9) Теорема. Если v — регулярный элемент алгебры А, то
алгебра А® является подалгеброй Картана В алгебры А. Раз-
Размерность подалгебры В равна рангу алгебры А.
Доказательство. Рассмотрим ограничения ad^1 и
admj оператора adw для шеУ°„ на подпространства Vl и
(:9 Vl соответственно. Пусть W0 — множество элементов w<=Vv ,
для которых ad^1 не нильпотентно, и?1 — множество элементов
w e Vv с отличным от нуля детерминантом матрицы adL1' . Оба
множества открыты, так как являются дополнениями к алге-
алгебраическим подмножествам в Vv. По той же причине каждое
из них либо плотно в Vv, либо пусто. Однако W1 заведомо не-
непусто, так как содержит v, для которого det(adi") = ПАР . Если
W0 тоже непусто, то оно нетривиально пересекается с W1, по-
поскольку оба множества — дополнения к алгебраическим в VI .
Пусть nef'fl W°, adl»0) имеет собственное значение, равное
нулю ([v, и] =0), причем его кратность строго меньше ранга
г алгебры А (так как и е W0). Поскольку и е W\ то кратность
нулевого собственного значения оператора adu та же, что для
оператора ad« , т. е. строго меньше г. Последнее противоречит
определению ранга г алгебры А. Следовательно, W° пусто, и
всякий оператор adS1 нильпотентен. Тогда в силу теоремы Энге-
ля [11] алгебра матриц adw нильпотентна. Согласно критерию
Картана C) это означает, что Ti^ad^d^') = 0 гущ всех шеУст
143
w' e Vl(l). В то же время Ж .л невырождено. Следовательно
1/°A)=0, и алгебра Л° абелева.
По построению Л° —максимальная абелева подалгебра в
А, содержащая v.
Последнее утверждение теоремы является следствием свой-
свойства C2) и определения регулярного элемента. V
D0) Пример. Разложение Картана алгебры s/B, С) имеет
вид
каждое из подпространств одномерно. Подалгебра Л/3 является
максимальной абелевой подалгеброй, содержащей регулярный
элемент 13, т.е. подалгеброй Картана.
D1) Если В— подалгебра Картана простой алгебры Л, то
все операторы acU, Ъ е В, можно диагонализовать, причем од-
одновременно.
Доказательство. Матрицу ad6 в нормальной форме за-
запишем в виде суммы диагональной s и нильпотентной п матриц:
Матрицы асЬ, sun коммутируют друг с другом.
Покажем, что существуют такие Ь\, Ь2^5, что ad* = s,
aduj = п. Матричные элементы кг матрицы s представляют собой
собственные значения оператора ad;,, и всякий вектор vqj,, при-
принадлежащий нильпространству Vb, является собственным век-
вектором матрицы s с собственным значением X. Пусть и<х) ^ Уь ,
У(и) е VI. Тогда [vw, y(rt] e Vxb+i" (см. свойство C7)). Сле-
Следовательно, справедливо равенство
т. е. яеОегЛ. Поскольку все дифференцирования алгебры А
внутренние, s = adb, для некоторого Ь\ еЛ, Кроме того, s ком-
коммутирует со всеми операторами adb, Ъ е В:
[ad6, s] v(l) = X adftt;(X) — s adbv(X) = 0.
Представление Ad Л точное, следовательно, [В, bi] =0, т. е. b\
принадлежит подалгебре Картана. Матрица п оказывается рав-
равной
Так как матрица adb2 нильпотентна, то и всякое произведе-
произведение матриц adb2adb, b<=B, тоже нильпотентно и Tr(adblladb) =
=0 для всех fteB. В силу свойства C8) это означает, что
Ь2 = 0, т. е. приведение к нормальной форме диагонализует мат-
матрицу ad&. Этот результат справедлив для любого 6еВ.
144
Поскольку все adb коммутируют друг с другом, то они диа-
гонализуются одновременно. Ў
Пусть {vt} — базис пространства V алгебры А, в котором
диагональны все операторы ad.., , {vj} — базис пространства \'в
подалгебры Картана В. Всякому базисному элементу у,- соот-
соответствует г собственных значений операторов {adDj. Таким об-
образом, всякой простой алгебре Ли можно сопоставить набор,
состоящий из п r-мерных векторов. Взаимное расположение и
относительные длины этих векторов оказываются однозначно
связанными со свойствами простой алгебры. Совокупность ука-
указанных векторов в целом обладает свойствами корневой системы,
с которыми мы познакомимся в следующем параграфе. Можно
доказать существование в пространстве VB такого базиса, в ко-
котором все корневые векторы системы вещественны ([32], с. 166,
см. также теоремы E7) и E9)).
§ 4. Корневые системы. Схемы Дынкина
Рассмотрим конечномерное действительное векторное про-
пространство V и вектор аеУ. Автоморфизм saeAutV называ-
называется отражением, связанным с а, если множество Н(а) инва-
инвариантных относительно sa векторов образует гиперплоскость в
V и выполняется равенство
sx« = — ci. A0)
Легко проверить следующие свойства:
D2) У~Я(аH«Я.
D3) (seJ = id.
D4) если (,) —скалярное произведение в У, то с его помо-
помощью на V можно задать невырожденную билинейную форму
<»>
«) = <«, г» = 2-?-^- A1)
и выразить через нее оператор отражения
sxv — v — <«, v>«.~W A2)
D5) Пример. В трехмерном евклидовом действительном
пространстве операция sa эквивалентна обычной процедуре от-
отражения относительно плоскости Я, ортогональной вектору «.
Плоскость /^ играет при этом роль инвариантной гиперплоско-
гиперплоскости Я(«). ?
Назовем системой корней пространства V множество L век-
векторов j еУ, таких, что:
1) s,xL = L для любого «eL;
2) sx$ = p + ma, где a, S e L, m e Z;
3) линейная оболочка L совпадает с V;
4) 0 6 L.
10 Зак. Кг 152 145
Из определения отражений и систем корней непосредственно
следует:
D6) для любых двух корней «,6eL величина < а,В> =
= 2
(а, я)
¦ целое число.
D7) Если « еL, то (— «)gL. T
Корневая система называется приведенной, если в ней отсут-
отсутствуют параллельные корни (корни аи —а считаются антипа-
антипараллельными) .
D8) Примеры. В табл. 4 изображены приведенные одно-
, Таблица 4
R1
Kopnedjp c^c-rievc
-ос «
я
К»
К
йбозна-
иечие
А,
А,+ А,
Д
й2
a
Угс7
п!2
2т. 13
Зтг/U
5г. '6
Схема
О
о о
146
мерные и двумерные корневые системы. Отношение длин корней
в случае А\ + А\ произвольно. Ў
Возможно лишь восемь вариантов относительного располо-
расположения двух корней приведенных корневых систем. Введем обо-
обозначение
/и(«, р) = <«, p> = 2-?|f. A3)
Подставив в формулу A3) выражение для скалярного произ-
произведения (а, р) =
cos ф, получим
т(а, р)т(р, а) = 4 cos2 з.
A4)
Левая часть этого равенства есть целое число, значение правой
части меняется в интервале [0, +4]. Следовательно, выраже-
выражение A4) может принимать лишь пять дискретных значений: О,
1, 2, 3, 4. Если а и р— корни, принадлежащие приведенной си-
системе L, то последняя возможность не представляет интереса,
так как случай ф = 0 отпадает (корни параллельны), а случай
Ф = я тривиален в силу свойства D7). Оставшиеся четыре зна-
значения позволяют построить семь вариантов взаимного располо-
расположения пары корней (табл. 5).
Таблица 5
/re (a, g)
0
1
— t
2
2
3
-3
0
1
1
1
— 1
1
- 1
r
90° = T-./2
6C°=--it'3
120° = 2r 3
45° = ti/4
135° == Зтс/4
3O° = it;6
1.50° = 5r./6
« -HS
Произвольны
1/2
/3
a | =
GC
a
я
я
я
=
=
=
=
PI
Указанные варианты иллюстрируются диаграммами табл. 4.
В табл. 5 \т(а, р)\ ^ \т(р, а)\. Очевидно, что случай
\т{а, р)\ < \т{р, а)\ сводится к предыдущему заменой я*^$.
Подмножество 5 системы корней L zd S, являющееся бази-
базисом пространства V, называется базисом системы L, если каж-
каждый корень f3eL представим в виде суммы Р = Z&e«, ^eZ,
«es
причем либо все k,a ^ 0, либо все ka ^ 0. В конкретной системе
L можно построить базис по следующему правилу. Выделим в
L подсистему L+ положительных корней, т. е. таких, что (х,«.)>
> 0 для некоторого стандартного вектора хеК В L+ в свою
очередь выделим подмножество неразложимых Корней, т. е. та-
таких, которые нельзя представить в виде суммы других положи-
10*
тельных корней. Полученное множество S неразложимых поло-
положительных корней будет удовлетворять всем ' требованиям,
предъявляемым к базису системы L.
D9) Пример. Обратимся вновь к табл. 4. Вектор « в слу-
случае Ах и векторы « и р в остальных диаграммах играют роль
базисных элементов соответствующих систем. v
Пусть V s» Vif?iV2, а векторы корневой системы L простран-
пространства V содержатся в объединении Vi [) V2. В этом случае систе-
система L называется приводимой. Она представима в виде объеди-
объединения Lx U L2, причем подсистемы Lx и L2 являются корневыми
системами подпространств Vx и V2 соответственно. В противном
случае корневая система называется неприводимой. Изучение
произвольной корневой системы сводится к анализу ее неприво-
неприводимых компонент.
E0) Пример. В табл. 4 лишь одна система А\-\-А\ явля-
является приводимой. Т
Для удобства сравнения и классификации каждой корневой
системе сопоставляется граф, вершины которого взаимно-одно-
взаимно-однозначно соответствуют базисным элементам системы. Каждая
пара вершин графа будет соединяться разными способами в за-
зависимости от величины угла между базисными векторами (см.
табл. 4). Цифры в вершинах графа указывают отношение квад-
квадратов модулей корневых векторов. Вершины не помечаются чис-
числами, если отношение длин базисных векторов произвольно, на-
например в системе А\ + А\. Построенные по таким правилам гра-
графы называются схемами Дынкина. Очевидно, что всякой при-
приведенной неприводимой системе корней соответствует связная
схема Дынкина. Простейшие схемы Дынкина приведены в
табл. 4.
Приведем формулировку теоремы, завершающей классифи-
классификацию приведенных неприводимых корневых систем.
E1) Теорема. Всякая непустая связная схема Дынкина изо-
изоморфна одной из следующих (табл. 6).
Доказательство этой теоремы можно найти в [22, 24]. Т
Отметим, что среди неэквивалентных приведенных неприво-
неприводимых корневых систем содержатся четыре бесконечные серии
однотипных систем: Ап, В„, Сп и Dn и пять исключительных
схем: G2, F4, EB, E7 и fa-
Сформулируем рецепт явного построения корневых систем.
Рассмотрим евклидово пространство Rn со скалярным произве-
произведением (,) и стандартным ортонормированным базисом {vi}.
Пусть множество Z<n> — сетка точек в Rn с целочисленными ко-
координатами.
Система Ап. Рассмотрим в пространстве Rn+1 вектор
л+1
2 Vi = v и построим в точке с координатами вектора у гипер-
i-i
плоскость Я, ортогональную v. На пересечении множеств
Z^n+lif\H выберем точки /, для которых A, 1) =2. Множества
148
Таблица 6
СО п *t
векторов {1} == L образует корневую систему Лп. Нетрудно ви-
видеть, что всякий элемент leL имеет вид (Vi — Vj), [ф], а в
качестве базиса S можно выбрать множество {(vi — t»t-+i)}.
Система Вп. Рассмотрим в пространстве Rn сетку точек
Z<n' и выберем в множестве векторов с координатами из Z<n> те,
для которых A, 1) = 1 либо (!, 1)/=2. Всякий такой вектор
leL имеет вид {±гг-, ±vt±Vj}, 1ф). Базис системы L может
быть выбран в виде S = {(vi~v2), (v2 — v3), ..., {vn-\ — vn)t
Vn).
Для остальных систем ниже указаны множества L их векто-
векторов в Rn и один из вариантов базиса 5.
Система Cn.L = {l?Z(n)| A, 1) = 2,4} = {(±2^), {±vl±v})l+j)t
i, / = 1, ... , п:
S rrr [(Vl — v2), (va ~
(v^ — vn), 2vn).
149
Система Dn. L = [l? Zw | A, 1) = 2 } = ((± ъ ± г,,);>/}, i,
J~\, ... , n:
S=[(vl — vi), (vs — v3),... , (¦»„_,— vn), {vn^-\-vn)\.
Система G-2 (см. табл. 4).
( )
2 (
Система F4. L — {(± vt), (+ v{ ± Vj)l=bJ, 1/2(± ^i ± ^ ± г'з±
+ x;4)}, /, ; = 1, .... 4:
Система Еъ. L = U±vl± V/)^., i, j = 1, ... , 5; ± 1;,tva-
S; (vM — vt), /=1,..., 4; >/2 {v, + г»8 - V v\\ .
/-2
Система E-t. L = (± t», ± г^.^^ i, у = 1, .... 6; ±{г>7 - г<8);
\ «-1
I \ /=2 /J
Система E8. L = \(±vt±vj); >/2 У (-\)"lU)vt, ^\m(i)^2n),
( -I i=l J
I \ 1 = 2 I)
§ 5. Корневые системы и простые алгебры Ли.
Разложение Картана —Вейля. Базис Вейля, стандартный
базис
Обратимся вновь к системе векторов, сопоставляемых комп-
комплексной простой алгебре Ли Л=([], V) (см. § 3).
Пусть {vi} — базис-пространства У (/ = 1, ..., л), в котором
все операторы adj, подалгебры Картана В cz А диагональны.
Если г — ранг алгебры А, то пусть первые г базисных элементов
{wj} (/= 1, ..., г) образуют базис пространства Vb подалгебры
В. Всякому базисному элементу Vk сопоставим r-мерный вектор
1ft с компонентами ^Jt(fj) ^Ц (/'= 1, ¦••> г; й = 1, ..., п),
определяемыми по формуле
A5)
В этой системе векторов {Xft} (k = 1, ..., п) первые г равны ну-
нулю. Обозначим через L подсистему ненулевых векторов {Xftj
(k = r+ 1, ..., п).
E2) Теорема. Система L векторов {Xft} (k = r-\-l, ..., п),
соответствующая простой комплексной алгебре Ли А, является
приведенной неприводимой корневой системой в действительном
r-мерном векторном пространстве Rr.
Доказательство этой теоремы [22, 28] требует привлечения
большого числа дополнительных сведений, у
Проанализируем взаимосвязь свойств алгебры Л и ее корне-
корневой системы L. Построим разложение Картана пространства V
(формула (9)) для каждого базисного элемента Vj подалгеб-
подалгебры В:
v=vB@\ ф (vli®v:>4 = vBe\ ф wx}\, A6)
I i{>oK ' > ') U{>o ' I
где суммирование идет по несовпадающим собственным значе-
ниям Xft(t)j). Рассмотрим пересечение пространств QW^f ==
:= w^k при фиксированном k. Поскольку все подпространства
W^ и VB при фиксированном / взаимно ортогональны по форме
Ж (см. доказательство свойства C8)), то совокупность {IF ,
Vb) . + —также система взаимно ортогональных по Ж подпро-
подпространств. Напомним, что среди XeL+ нет совпадающих кор-.
ней и для всякого XeL вектор—X принадлежит L, так что
подпространство W состоит из одномерных подпространств
V л и V~\ Окончательно получаем разложение пространства V
на ортогональные по Ж подпространства
/-\ A7)
Формулу A7) будем называть разложением Картана—Вейля.
Применяя свойство C7) к этому разложению, получаем следу-
следующее свойство.
E3I1/4 V^ldVx+^ (X+ji, X, |ieL).
E4) Теорема. Пусть А = ([], У) —комплексная простая ал-
алгебра Ли, L — ее корневая система, V = V'.b©j©A/x©\/~>-)}—
разложение Картана — Вейля. Тогда для каждого XeL+ под-
пространства Vх, V~x, [Vх, Vх] == Vj^ одномерны. Ограничение
закона композиции [,] на всяком подпространстве У^ф Vх Э
^r;V (XeL+) образует подалгебру алгебры А. Базисные эле-
элементы b-Jt xx и ух пространств V{?K Vх и Vх можно выбрать так,
что закон композиции в указанной подалгебре примет вид
Первые два утверждения этой теоремы непосредственно сле-
следуют из свойств разложения Картана — Вейля. Доказательство
последней части теоремы можно найти в [22, 25, 28]. V
E5) Пример. Положим в алгебре slB, С) (см. пример
C0))
b=2ls=,c3, ,x:=]/2/+ = l(o1 + ia2) и у = У 2 L = у (а, - h,).
Одномерные подпространства V1, V~] и \'ь с базисными
элементами х, у и Ь соответственно реализуют разложение Кар-
Картана— Вейля V = Vb (Ь У1 © У~\ причем структурные коггстан-
ты алгебры s/B, С) в этом базисе совпадают с приведенными в
формуле A8).
Отсюда следует, что подалгебра A8), являющаяся по теоре-
теореме E4) стандартным структурным блоком простой комплексной
алгебры Ли, изоморфна siB, С). W
E6) Теорема. Приведенные неприводимые системы корней L
в пространстве Rr и классы изоморфных простых комплексных
алгебр Ли А ранга г находятся во взаимно-однозначном соот-
соответствии. Т
Всякой корневой системе L можно однозначно сопоставить
векторное пространство V, представимое в виде A7), гдеХ ё!+,
dim FA= dim V~x = 1, dim VB = г. Теорема E8) утверждает, что
закон композиции Ли на пространстве V, согласованный с раз-
разложением (9), восстанавливается по корневой системе L с точ-
точностью до эквивалентности. Задача построения простой алге-
алгебры Ли по корневой системе имеет не только теоретическое, но
н практическое значение. Для ее решения в общем виде необхо-
необходимо ввести универсальный базис в пространство V, причем так,
чтобы максимально упростить вычисления. Одним из таких ба-
базисов является базис Вейля.*)
E7) Теорема о базисе Вейля. Пусть V—линейное векторное
пространство V = VB A {^5( V'©V~'')\, сопоставляемое приведен-
х
ной неприводимой системе L размерности г = dim VB- Каждому
*) Для универсальных базисов не существует общепринятой термино-
терминологии. Мы в основном придерживаемся терминологии Серра [25].
152
базисному корню >ч (/= 1, ..., г) сопоставим тройку базисных
элементов {bt, xu г/;} в пространстве V^ikjyVXi@V~Xi. Следующие
композиции однозначно определяют простую алгебру Л=([],
V) с корневой системой L:
[bh b,\=0 (i,J=U .... г),
=*i, К
, j/y]
[bh Xj] = т (i, j) Xj, [bh yj] = -m{i, J)yj,
[-^.. A] = С [^- -Ч] = 2хх. (lM)
Доказательство приведено в [И]. Т
Теорема E7) предполагает следующий порядок построения
структурных констант. Для всякого базисного корня Xj компо-
компонента (X;)' определяется как
Тем самым задаются композиции элементов Ь\ и X] (i, j = 1, ...
..., г). Относительная нормировка элементов хг и г/j фиксирует-
фиксируется так, чтобы выполнялись соотношения A8) теоремы E4). По-
Поскольку разность базисных корней не может быть корнем, то
все композиции A9) согласованы с корневой системой L.
Соотношения B0) означают, что коэффициенты разложения
всякого корня по базисным корням ограничены по модулю. Сле-
Следует иметь в виду, что корневая диаграмма содержит значитель-
значительно более наглядную информацию: на ней легко указать ^се па-
пары корней, сумма которых не содержится в L. Аналогичная ин-
информация может быть получена из формулы B0) с помощью
тождества $коби.
Рассмотрим важное следствие теоремы E7). В формулах
B1) содержится утверждение, что всякая композиция [х-А,
х ] Ф 0, если X-j-ji?EL"r. Легко проверить его справедливость
для любой пары элементов базиса {v-A}, XeL. Очевидно, что-
всякий элемент Ьх принадлежит подалгебре Картана и {Ь;} —
ее базис.
Проиллюстрируем рецепт построения структурных констант
в базисе Вейля на примере системы Л2. Искомую алгебру Ли
будем обозначать тем же символом Лг, что и корневую систему
(табл. 7).
153=
Таблица 7
So
X,
Уз
Mi
ь,
й.
с
А,
Ф—<L
Л
\ /
VL
X,
2х,
-Я,
21,
7\,
х}
п
С
Уз
-ч
V,
¦У г
У,
Уг
Уг
-г у.
0
х1
0
-Уз
-У}
ъ,
с
-X,
0
Уз
E8) Пример. Подалгебра Картана В алгебры А2 двумер-
двумерна, так что размерность пространства V равна восьми. Сопоста-
Сопоставим базисным корням Xi и Х2 две тройки образующих {bit xit уг)
(i = I, 2) с композициями A9). Формула A3) и табл. 5 позво-
позволяют найти числа m(i, j):
2 -IN
-1 2)-
Таким образом, мы фиксировали координаты векторов )п и Хг и
композиции
Выразим лг3 через образующие ^i и лгг по формуле B1):
и потребуем, чтобы
[b3, xs] = 2x3, b3=s[x3, у3], у3~[уи у-,}.
Тогда Ьй оказывается равным bl + b2, а композиция
['Уи УЛ = -Уз-
Все остальные структурные константы легко найти с помощью
тождества Якоби:
[^з» Ух] = [[хл, x2]yi] = [bl, х2}= — хъ
[*з, У2] = [[-«i, *2] У->] = - [Ь2, х,] =jci,
«54
1*1. у3] = — [х, \уи у2]] = [у2, Ь1] = —Уз,
[*а, Уз] = —[х2[Уи У2]] = -[Уь Ь>]=у1.
Как уже отмечалось, явный вид корневой диаграммы во мно-
многих случаях избавляет от вычислений:
[х3, *,] = [у3, Ух] = [ха, х,\ = [у3, J/,] =0.
Если же не пользоваться корневой диаграммой, то согласно
формуле B1) следует положить равными нулю первые две из
этих композиций и применить тождества Якоби для определения
остальных.
Окончательный результат представлен в табл. 7, где на пе-
пересечении строки v и столбца до приведена композиция [v, до].
Так как лиево умножение антисимметрично, достаточно запол-
заполнить клетки таблицы, лежащие над главной диагональю. V
Базис Вейля рассчитан на минимальное использование яв-
явного вида корневой диаграммы: достаточно знать, как положи-
положительные корни разлагаются по базисным (с коэффициентами
из Z). Если диаграмма доступна для рассмотрения, предпочти-
предпочтительнее строить алгебру в стандартном базисе. При этом уда-
удается резко сократить объем вычислений.
E9) Теорема о Стандартном базисе. Сопоставим приведен-
приведенной неприводимой системе L векторное пространство V=Vbxp
ei9(V*W~*)}, dimVB = r. В подпространстве №= ^(Vx О
х х
Ф V~x) можно ввести такой базис {%} A ёЦ и такой набор
элементов {by)czVB, что
-V
Структурные константы Л^„ будут обладать следующими свой-
свойствами:
Л^=-Л^, B4)
К^ = Н-->.,-». - B5)
Для всякой тройки корней X, ji, veL, таких, 4toX+jjl+v = 0>
NXv. = N^ = N^. B6)
Для всякой четверки корней X, jjl, v, ре L,таких, что Л. -f- ji -j-
_|_v + p=O и никакая пара из них в сумме не равна 0,
iV^vp + Л^Л^р + NyXNw = 0. B7)
Для всякой серии корней X-f?{i, где X + {1^0 и p^k^Q,
155
Л^ = ^%,*). B8>
Определенные таким образом структурные константы задают
простую алгебру Ли А = ([], V) с корневой системой L.
Доказательство этой теоремы можно найти в [22, 28, 32]. у
Формулы B3) не фиксируют базис в подалгебре Картана.
Удобно выбрать Ь^ дляХеЗ в качестве базисных элементов
пространства Vb- Компоненты корней в композиции [Ь^, Хц] =
= ([i)Ax определяются с помощью обычного скалярного про-
произведения (ц)*= (^.t1) в корневом пространстве. Структурные
константы очевидно зависят от нормировки корней в L, что по-
позволяет подобрать для них наиболее удобные числовые значения.
Формула B8) определяет лишь модуль структурной константы
/V!Jtv. Выбор знака N.ly остается произвольным, если он не про-
противоречит условию B7). Единственное число, определенное по-
формуле B8), после фиксации знака задает 12 структурных
констант алгебры А с помощью формул B3) — B6).
F0) П.ример. Для сравнения обоих методов (E7) и E9))
построим стандартный базис в алгебре А2. Воспользуемся сво-
свободой в нормировке корней и положим |5ч| = У2. Для удобства
сравнения обозначим через {xh}, {yh} набор базисных элементов
в пространствах V* и V~^.
Найдем структурную константу Ni?. 5ч— серия корня 5.2 со-
состоит из двух векторов: Х2 и '--г + ^i = ?-з, Р — 0 ^ k ^ q = 1. no-
формуле B8) находим Л',2 = V2 {5ч, )ч) = 1. Выберем ЛА12= -Ь 1.
Тогда ЛГ_1_„9 = +1. Сумма корней ~ки Х2 и — Х3 равна нулю, так
что
.V12 = Л'Л -л = N-з, 1 = -}- 1, ,29),
Л''—!, -2 = N—2, 3 = Л'з, -1 = -]- 1.
Из условия B3) следует, что в алгебре А2 все остальные струк-
структурные константы типа N-A,, равны нулю. Для определения ком-
композиций [6, х] достаточно выписать скалярные произведения
Если в стандартном базисе совершить преобразование-
{хи, yk}-+{xk, —Ук), то часть констант К-1Л изменит знак, и тогда
закон композиции алгебры Л2 совпадет с построенным в E8)-
в базисе Вейля. Т
F1) Упражнение. Постройте закон композиции алгебры
G2 в стандартном базисе. (Модули корней удобно выбрать в;
виде 1^1 =у2/з и \12\ =f2.)
Ответ приведен в табл. 8, где в условном масштабе показань*
основные серии корней. Т
Отсутствие обозримого графика для корневых систем боль-
большой размерности (г > 2) не создает принципиальных трудно-
156
Таблица 3
: x-s
X3
*l
*5
Xl
V6
ь
h
h
h
ibf
X,
f1'
-x.
x,
0
^5
1
U Л.
L
xz
-In
2i,
0
0
1
V \
\
1
/
3
-x2
-%
0
0
0
*a
-^e
!^
7
si
щ
0
^
0
0
0
0
0
\
у
4
У6
0
0
-у,
Уз
-!/S
У
0
У.
0
x2
0
-I»,
Уг
Уг
-гуг
0
X,
0
0
0
0
0
X,
*з
Я
0
Уз
2_х
У,
0
-*•
0
0
0
9|
У,
-j9,
0
-я»
0
0
0
Уз
¦ ¦"
У' В
стей при построении стандартного базиса алгебры Ли. В част-
частности, явные реализации систем, приведенные в § 4, позволяют
произвести все вычисления, указанные в теореме E4). Естест-
Естественно, что их объем при этом резко возрастает. Вместе с тем,
как будет показано, большинство комплексных простых алгебр
Ли реализуется как классические линейные алгебры Ли. Их
структурные константы проще получать, пользуясь, например,
базисом Окубо (см. гл. 4, § 3). Преимущества вычислений в ба-
базисах Вейля и стандартном связаны с явным выделением п-од-
алгебры Картана и согласованностью с корневой диаграммой,
Что особенно важно при построении представлений.
157
§ 6. Классификация и каноническая реализация простых
алгебр Ли
Теорема E6) устанавливает взаимно-однозначное соответ-
соответствие множеств неэквивалентных приведенных неприводимых
корневых систем с неэквивалентными простыми комплексными
алгебрами Ли. Классификация корневых систем, представлен-
представленная в табл. 6, служит одновременно классификационной схемой
для простых комплексных алгебр Ли.
Итак, существуют четыре бесконечные серии и пять исключи-
исключительных простых алгебр Ли над С (см. табл. 6). По-прежнему
будем обозначать алгебру тем же индексом, что и соответствую-
соответствующую ей схему Дынкина. Классификация становится особенно
наглядной ввиду эквивалентности бесконечных серий простых
алгебр Ли и множеств линейных классических алгебр.
F2) Упражнение. Покажите, что корневая система L
алгебры sl(n, С) эквивалентна A(n-D-
Указание. Постройте в базисе Окубо (см. § 3 гл. 4) эле-
га п
мент b = 2 CiE\, 2 с{ = 0, где все комплексные числа сг различ-
ны. Покажите, что b — регулярный элемент. Линейная оболочка
матриц {А\} есть подалгебра Картана В, содержащая Ь. Базис-
Базисные элементы в В удобно выбрать в виде bq = А\— Aq+l . Ком-
Компоненты корневых векторов «J задайте формулой
К Apq]={*"9)sApg = a.pg(bs)Ap4. C0)
Постройте изоморфизм ф корневого пространства и Vb, при ко-
котором Ья<—>а$+1. Тогда формула C0) определит билинейную
форму <,> на корневом пространстве, причем <яр, a'l+l > =
= (a^)s. С помощью табл. 5 покажите, что корни {*ss+ }
(s=l, . . ., п—1) образуют в пространстве Vb^ базис системы
А(п-1). W
Приведенная выше схема доказательства может быть ис-
использована для построения схем Дынкина симплектических
sp(n, С) и ортогональных so(n, С) линейных алгебр Ли. Окон-
Окончательный результат представлен в табл. 9.
Линейные алгебры, изоморфные G2, F+, Е6, Е7 и Es, не счи-
считаются классическими, поскольку,не задаются условиями сохра-
сохранения билинейной (или полуторалинейной) формы над R
или С.
Полученная нами полная классификация простых комплекс-
комплексных алгебр Ли позволяет классифицировать и все простые ве-
вещественные алгебры Ли.
F3) Теорема. Всякая простая вещественная алгебра Ли яв-
является вещественной формой либо овеществлением комплексной
простой алгебры Ли.
158
Таблица 9
Серия
Ап
п> 1
Вп
п > 2
с»
Dn
п > 4
Каноническая
реализация
si (п + 1, С)
so vln -+- 1. С)
S/7(,;. С)
so Brt, С)
Овеществления
и вещественные формы
sl(n + I, C)^
s/(/i + I, R)
su (p, q), p + q = и 4- 1
s/Л (л + 1), л + 1 =2,4
so Bл+ 1, С)д,
so (/7, q), p + q = 2и + 1
sp (и, /?!
sp(jC. ?). p + q = n
so Bл, С»Л
so (jP, <7), p + q = '2n
so% Bл)
Компактные
вещественные
формы
*Н (И + 1)
soi2/i 4- li
spin)
soBn)
Доказательство. Пусть Л = ([ ], VR) — простая вещест-
вещественная алгебра Ли. Рассмотрим ее комплексификацию Ацс =
= ([]> У\с) (см. § 2). Алгебра Л»с либо проста, либо предста-
вима в виде прямой суммы простых Atc= C{:Lk.
Если Л|С проста, то утверждение теоремы тривиально, так
как А является одной из вещественных форм A^c^r-
Пусть А^с полупроста. Если L\ — простое прямое слагаемое
А^с, то в разложении 3Lk содержится также простая подалгеб-
подалгебра L\, которая получается из Lx = ([], V\) заменой простран-
пространства V, на комплексно сопряженное ему пространство Vi. Алге-
Алгебра L] не может совпадать с L*, так как это означало бы на-
наличие в исходной алгебре А нетривиального идеала. Алгебра А
содержится в А\с и инвариантна относительно комплексного
сопряжения. Следовательно, элементы соответствующего под-
подпространства в I/ft должны иметь вид v-\-v*. Построим ото-
отображение / : vx -> я, + ^i, где vx ^ Vx.
F4) Упражнение. Покажите, что / коммутирует с ком-
композицией [,] алгебры (!,)/?. V
159
Отсюда следует, что А + с не может содержать других
идеалов кроме L1 и L\, так как А не имеет нетривиальных иде-
идеалов. Следовательно, V\c ~VX z)V*i, и образ 1га/совпадает
с А : А ^ (Z.j)tf, что и требовалось доказать. Y
Итак, среди вещественных форм и овеществлений комплекс-
комплексных простых алгебр Ли бесконечных серий (табл. 9) содержатся
все вещественные простые классические алгебры Ли. Их следу-
следует дополнить вещественными формами и овеществлениями ис-
исключительных комплексных алгебр Ли [32].
Если на числа п в сериях Вп, Сп и Dn (см. табл. 6, 9) не
накладывать ограничений, то в классификация схем Дынкипа
возникнут перекрывания. Например, схема D3 эквивалентна
Таблица 10
Эквивалентные схемы
Дынкина и изоморфизмы
комплексных алгебр
si B, С\ х soC, С) к Sp(l, С)
В2 ~ С2
so E, С) « sp B, С)
Z>2« Д.0/1,
so D, С) х si B, С) Ф si B, С)
A3~D3
s/D, С) = so F, С)
Изоморфизмы вещественных форм
и озеществленнй
suB) х soC, /?) & sp(l)
si B, R) x su A, 1) и so B, 1) и sp A, R)
so E, /?) и sp B)
soC, 2) x spB, R)
soD, 1) «sp(l, 1)
so D, R) ^ so C, /?) © so C, /?)
soB, 2)srs/ri, 7?)ф«/B, /?)
s/B, C)ff и soC, 1)
«о+D) !»s/B, /?HsuB»
shD) * soF, /?)
s/D, /?) «so^3, 3)
shB, 2) я so D, 2)
suC, 1) aso*F>
su*D) * so to, 1)
so% (8) ar so F, 2)
160
Аз и т. п. Это означает, что линейная алгебра soF, С), сопо-
сопоставляемая схеме 1>з, является простой алгеброй, эквивалент-
эквивалентной s/C, C)=A3. Изоморфизм soF, C)~s/C, С) в свою оче-
очередь индуцирует изоморфизм вещественных простых алгебр Ли.
Например, suD)»soF, R) и т. д. Подобные изоморфизмы
предоставляют возможность выбора наиболее удобной матрич-
матричной реализации простой алгебры в зависимости от условий за-
задачи (табл. 10). Существует единственный изоморфизм про-
простых действительных алгебр Ли, не индуцированный совпаде-
совпадением схем Дынкина, so+(8)~soF, 2).
Легко заметить, что среди вещественных форм простой ком-
комплексной алгебры всегда присутствует компактная алгебра.
Это свойство присуще не только классическим алгебрам Ли.
F5) Теорема. Всякая простая комплексная алгебра Ли
имеет компактную вещественную форму. Т
Введем в простой комплексной алгебре А стандартный ба-
базис (см. теорему E9)) и рассмотрим ее вещественную форму
Аи на линейной оболочке базисных элементов tib.,(x- ~л:_-)>
Ал л
t(#.-(-л: ,)}. Доказательство теоремы сводится к следующему.
F6) У п р а ж н е н и е. Покажите, что форма Киллипга
алгебры А отрицательно определена на подпространстве ал-
алгебры Аи и W{A)iAa=X{Au). Ў
Компактные вещественные формы классических простых
комплексных алгебр Ли приведены в табл. 9.
Поскольку всякая полупростая алгебра представима в ви-
виде прямой суммы простых слагаемых (см. A1)), ее свойства
целиком определяются свойствами простых компонент. Прове-
Проведенная классификация простых алгебр является в то же вре-
время основой классификации полупростых алгебр Ли.
ГЛАВА 6
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
§ 1. Основные понятия
Пусть задан гомоморфизм D группы G в группу движе-
движений некоторого множества X. Гомоморфизм D и множество X
назовем представлением группы G и обозначим D(G, X). Ос-
Основным объектом нашего исследования будут линейные пред-
представления D(G, V), где V — линейное пространство, называе-
называемое пространством представления, a D — гомоморфизм в груп-
группу Aut V.
A) Линейные представления группы G можно строить по
представлениям общего вида D(G, X). Для этого рассмотрим
линейное пространство F'(X, V) векторнозначных функций
f : X->-V па множестве X. Представление D(G, X) индуцирует
гомоморфизм группы G в группу автоморфизмов линейного
пространства F(X, V), т. е. линейное представление D(G,
F(X, V)). В зависимости от того, является X левым пли пра-
правым G-модулем, преобразования /—»-/', индуцируемые в F [X,
V), различны:
Г (х) = (D (g)f) (х) --= I /{xg) ~ ДЛЯ пРавого ^-модуля, A)
\f(g~]x) — для левого G-модуля.
Легко проверить, что при таком действии оператора
D(g)(g^G) отображение D является гомоморфизмом. Y
Другим методом построения линейного представления по
G-модулю является погружение последнего в линейное прост-
пространство, представимое в виде объединения G-модулей.
B) Пример. Группа де Ситтера. Рассмотрим группу G
непрерывных преобразований в пространстве Минковского, со-
сохраняющих форму:
dr2 = tfdxv.dx* = h2 [(dx0J — (dxxJ — (dx2J — {dx3J],
'?#+¦ B)
Очевидно, что G содержит нелинейные преобразования, так
что пространство М4, будучи G-модулем, не может служить
162
Пространством представления. Построим объединение G-моду-
лей Мл(г) для всех r<=R+. В полученном пятимерном прост-
пространстве введем координаты yl(X= О, 1, 2, 3, 5) так, что
У, уУ = г ¦
C)
Определение матриц у см. в § 2.8. В этих координатах преоб-
преобразования группы G сохраняют билинейную форму
/ (У) = (У? - (У1J - (/J - (У3J - (Я2 = г2, D)
так что каждому элементу geC можем сопоставить (линей-
(линейное) ортогональное преобразование в пространстве Л15 с мет-
метрикой ( + , —, —, —, —), т. е. построить (линейное) представ-
представление группы G. В соответствии с классификацией линейных
групп (см. табл. 2) группа инвариантности формы D) есть
0D, 1).Т
C) Упражнение. Докажите, что отображение G-^OD,
1), индуцированное соотношением C), есть изоморфизм. V
В дальнейшем, если не оговорено противное, будем назы-
называть представлениями лишь линейные представления.
Размерность пространства V представления D(G, V) на-
называется также размерностью представления: dim ?> = dirn V.
Представление называется вещественным (комплексным),
если пространство представления вещественное (соответствен-
(соответственно комплексное).
Представлением топологической группы (группы Ли) G бу-
будем считать такой гомоморфизм D(G, V) в группу Aut V, для
которого отображение D:(g, v)-j>-D(g)v пространства GXV
в V непрерывно (а н а л и т и ч и о).
Определение всякой линейной группы является одновремен-
одновременно заданием ее представления (в виде группы линейных опера-
операторов, т. е. группы матриц). Такие представления будем назы-
называть определяющими.
Одной из задач теории представлений является изучение
свойств группы с помощью ее линейной модели. При этом есте-
естественно стремление строить такие гомоморфизмы, в которых не
терялась бы информация об исходной структуре. Представ-
Представление D(G), удовлетворяющее условию KerD = e (e — еди-
единица группы G), называется точным. Если образ Im D в груп-
группе Aut V есть тождественное преобразование ImZ) = idf
представление называется тривиальным.
В приложениях часто встречается ситуация, когда прост-
пространство V представления D(G, V) имеет несколько эквива-
эквивалентных реализаций Vj. С помощью отображения, осуще-
осуществляющего эквивалентность фг'-V^Vj, легко построить
представления Dt(G, V,) с операторами
И* 163
T1- ' E)
Удобно рассматривать равенство E) как отношение эквивалент-
эквивалентности в множестве представлений группы G. Сформулируем
определение. Пусть D(G, V) и B(G, W) —представления
группы G в пространствах V и W соответственно. Если суще-
существует изоморфизм, такой, что
С: 1/як W,
F)
для всех g^.G, то представления D и В считаются эквива-
эквивалентными.
Равенство F) интересно рассмотреть и в том случае, когда
пространства У. и W неизоморфны и представления •?) и 5'не-
5'неэквивалентны. Будем называть отображение ? : V->-W, удов-
удовлетворяющее условию F), сплетающим оператором независи-
независимо от того, является 'Q изоморфизмом или гомоморфизмом.
Множество сплетающих операторов образует линейное прост-
пространство ?[?), В] с: Horn(V, W) (см. B.82)). Размерность прост-
пространства сплетающих операторов dim ?[Д В] называется чис-
числом сплетения. Изоморфизм, осуществляющий эквивалент-
эквивалентность представлений (если таковой существует), является част-
частным случаем сплетающего оператора.
Для топологических групп (групп Ли) сплетающим будем
называть непрерывный (аналитический) оператор,
удовлетворяющий равенству F). Если представления- эквива-
эквивалентны, то ?-' наряду с 'Q является сплетающим оператором.
Если G — группа симметрии системы квантовых объектов
(преобразующихся по различным представлениям группы G),
то отображения ? описывают их инвариантные связи.
D) Пример. Для группы SUB) тождественный изо-
изоморфизм D в группу унитарных упимодулярных комплексных
2x2 матриц реализует определяющее представление D(SUB),
С2) в двумерном комплексном пространстве. Рассмотрим про-
пространство F однородных линейных функций f(zu z2) двух комп-
комплексных переменных. Сопоставим всякому элементу
линейное преобразование
{В (g) f) (zu z2) =f(gnzi + g2iz2, ?l2Zi + g&zt). G)
Легко убедиться, что изоморфизм g^>-B(g) определяет представ-
представление B(SUB), F), эквивалентное D(SUB), С2). Сплетающий
оператор ? : C2^-F имеет вид
4*1, Ч) =/„,„, G F, j\Vi - vxzx + v&, (vu vt) e C\ V
164
Пусть на пространствах Vx и У2 заданы представления Dt
и Z>2 группы G. Рассмотрим тензорное произведение Vi®V2 и
сопоставим всякому g^G оператор C(g):
С (g) (v, <g) г»,) = Д (я) г», <g) D2 (g) v,. (8)
Отображение G-^{C(g)} есть гомоморфизм групп: оно задает
на пространстве V\® V2 представление C(G, V\®V2), которое
мы назовем тензорным произведением представлений Бг н Dy,
CDD
На пространствах Fi и Уг зададим невырожденную били-
билинейную (или полуторалинейную) форму / : V\ ® Уг^^^С- Пусть
на V2 действует представление D группы G. Всякому опера-
оператору D (g) можем сопоставить дуальный оператор ?)(*)(g), дей-
действующий на пространстве V\.
f{Dw(g)vuv2)=f{vuD(g)v2). (9)
В частности, если пространства Vx и У2 конечномерны и f —
матрица формы /, то
Di*4g) = (f-yD<(gfr
для билинейной формы и
для полуторалинейной.
Отображение ф : G -*¦ {/?(*) (^)} не является групповым гомо-
гомоморфизмом. Однако его можно дополнить отображением
I: G-*-G~l, чтобы поменять порядок действия операторов.
Композиция v>°% задает представление D<*>/ группы G
на пространстве V\\
D<*>f{s)^D(*)(g''). A2)
Представление ?)***/ (G, У)) называется сопряженным к пред-
представлению Z)(G, У2) относительно формы f. Поскольку / невы-
невырождена, размерности представлений D и D<f>f совпадают.
Для конечномерных представлений матрицы операторов
D<*>/ (g) имеют вид
&*>'№ = (Г1 го1 (г1) Г, A3)
165
если f билинейна, и
D™'(g) = (ГЧ'D\g-*) A A4)
если f полуторалииейна.
Представление
?><*> = (?+)-', A5)
сопряженное к D относительно формы скалярного произведе-
произведения в гильбертовом пространстве, б\дем называть просто со-
сопряженным к D,
Форма / очевидно инвариантна относительно действия тен-
тензорного произведения представлений D< V
Для конечномерных пространств и билинейной формы f
существует естественный изоморфизм ср : V2*~*Vu при кото-
котором базису {иг.?} сопоставляется базис {v\ }, такой, что f(v[,
v2j)=blj (см. B.97)). С помощью этого изоморфизма пред-
представлению D<*>/ можно сопоставить представление Д.,.) группы
G операторами ф—'D^Vnp, действующее в V2. Из формулы A2)
следует, что представление
DM = <?~tD<>f<f . A6)
эквивалентно представлению группы G операторами DT(g~1)
в том же пространстве У2-
Если f полуторалинейна, то существует естественный анти-
антиизоморфизм ф* : V2-*-Vi, т. е. (f*(a'U2i) = а*{иц. Представле-
Представление
0^ = ^-^^^, A7)
действующее в пространстве У2) вновь оказывается эквивалент-
эквивалентным представлению DT (g-1) (а не Z7<s>).
Таким образом, всякому представлению D можно в том
же пространстве сопоставить представление ?>(*)— (DT)-\ кото-
которое назовем контраградиентным представлению D.
Рассмотрим представление D(G, Ж ) в гильбертовом про-
пространстве Ж и скалярное произведение (,) в качестве фор-
формы f. Скалярное произведение инвариантно относительно тен-
тензорного произведения D<*><g)D. Пусть теперь все операторы
представления D унитарны. Тогда D<*) будет совпадать с D
и скалярное произведение (,) инвариантно относительно D:
(D(g)hu Dte)A,) = (Ab /г2).
Такое представление называется унитарным.
166
Обобщим понятие унитарного представления. Пусть f —
произвольная (билинейная или полуторалинейная) форма на
пространстве V, инвариантная относительно представления
D(G, V). Построим представление Z)<s>/. Из инвариантности
/ следует
D<#>/ = D. A8)
Назовем такое представление самосопряженным. Унитарное
представление есть частный случай самосопряженного.
Отметим существенное различие свойств самосопряженных
представлений для билинейной и полуторалннейной форм.
Из равенств A3) — A8) следует, что
DW^{DT)-I^D<*>/ = D, / — билинейна; A9)
D(*, ^(D^-^WD'T' xD f = D, / —полуторалинейна, B0)
т. е. в последнем случае из самосопряженности D не следует
эквивалентность D и DM. Представление D^\ эквивалентно
здесь такому D*, операторы которого получаются из операто-
операторов D (g) комплексным сопряжением
Будем называть представление D* комплексно сопряженным
представлению D.
E) Пример. Пусть D — определяющее (унитарное)
представление группы SU B) в пространстве С2. Представле-
Представление D^)=DT(g-^) = D*(g) не совпадает с D(g). Примем во
внимание изоморфизм групп SUB) и Sp(\) (см. B.105) и
B.106)). Представление D группы SUB), являющееся одно-
одновременно определяющим представлением группы Sp(l), со-
сохраняет билинейную симплектическую форму в С2 с
матрицей F. Следовательно, Z) = Z)<*>/?= (FT)-f(DT)-' FT«
~ (DT)-l=D*, т. e. D^D*. Установленная эквивалентность не
зависит от вида билинейной формы.
F) Пример. Определяющее представление ортогональ-
ортогональной группы О(р, q), p + q = n, является самосопряженным отно-
относительно билинейной формы с матрицей 1Рл:
D = D^f = IJ\ (DT4P. я = Ip!4D(*)IP, я, B1)
где /Р; q играет роль матрицы формы и оператора, сплетаю-
сплетающего представления D<*>f и D^j.
Определяющее представление группы U(p, q), p-\-q=n, об-
обладает очевидными свойствами:
167
В общем случае представления D и D^) не эквивалентны. Дей-
Действительно, их эквивалентность означала бы существование би-
билинейной инвариантной формы в пространстве определяющего
представления. Последнее справедливо только в случае групп
SUB) nSU(l, I) (SU(l,l)~Sp(l,R)). W
G) Пример. Рассмотрим унитарное представление
D(U(п), V) группы U(п). Относительно формы скалярного
произведения в V представления D<*> и D^ обладают свой-
свойствами B2), т. е. D^)=D*. Представление D(%)®D унитарно
и вещественно:
(Д*, ®D)* = (D* <g> Df = D® D* ^D*®D^ Д», ® D.
Тогда для контраградиентного представления справедливо
свойство, аналогичное A5):
((Д*, ® Df) = (((А*, ® D;v)-')* ^ DlS) ® D.
Следовательно, помимо полуторалинейной формы представление
D(*)®D сохраняет билинейную форму на V®V. Такие представ-
представления приведены в гл. 7, их физическая интерпретация рассмот-
рассмотрена в гл. 8. V
Пусть гомоморфизм D групп Ли G и Aut V • реализует
представление D(G, У). Сопоставим гомоморфизму групп Ли
гомоморфизм их алгебр Ли по теореме D.12). В результате
получим коммутативную диаграмму
а ^^ Aut v
! 1 ' B3)
\ d (A, V) i
А * gllV)
где d(A, V)—дифференциал аналитического отображения
D — осуществляет представление алгебры Ли в пространстве V.
Таким образом, всякому представлению группы Ли G соответ-
соответствует представление ее алгебры Ли в том же пространстве:
если ае.А — направляющий вектор подгруппы g(f)c=G, то опе-
оператор d(a) должен быть равен направляющему вектору под-
подгруппы D(g(t)) линейных операторов:
t-o
= d(a). B4)
(8) Упражнение. Пусть d(A, V) и с (A, W) — диффе-
дифференциалы представлений D(G, V) и C(G, W) группы Ли G.
Покажите, что формула B4) сопоставляет представлению
168
D(G, V)<8)C(G, W) тензорное произведение представлений
d(A, V)®c{A, W) (см. E.1)). T
Если на пространствах У] и У2 заданы невырожденная фор-
форма / и представление D(G, V2), то представлению D<*>f (G)
ложно по правилу B4) сопоставить представление d<*>f (A,
V\) алгебры Ли А группы G. Будем называть представление
(j<*>/ ^4, V'i) сопряженным, представлению d(A, У2) относитель-
относительно формы f. Из формулы A2) следует, что операторы d<">f (a)
связаны с дуальными операторами сЬ*^(а) равенством
cf^ (a) = 4,d(!>) (я1', _ B5)
где дуальный оператор а*»*)(«) определяется по форме / (см.
(9) — (П)). Форма f инвариантна относительно d<*>f®d, в чем
легко убедиться, применяя формулу B4). к условию инвариант-
инвариантности A8).
С помощью изоморфизма л (антиизоморфизма Я*) прост-
пространств \'2 и V\ построим представления d(%) в У2:
dM = )~ld 'г'у/.дг,- — dT, f — билинейна, B6)
d(])=ki~ld r/*^ — d\ f—полуторалинейна. B7)
Унитарному представлению группы Лий G сопоставляется такое
представление d(A) ее алгебры, для которого
а = — а =й. К/-Щ
В квантовой механике предпочтительнее иметь дело с эрми-
эрмитовым оператором. Этого легко достичь, считая однопараметри-
ческие подгруппы g(t) зависящими от мнимого параметра
т= (—it). Переопределим оператор d(a):
= d{a). B9)
-=о
Тогда унитарному представлению группы будет соответствовать
эрмитово представление ее алгебры Ли
d = df = d^\ C0)
(9) Замечание. Эрмитово представление вещественной
алгебры, сопоставленное унитарному представлению группы,
только в том случае является вещественным гомоморфизмом,
если вместо исходной алгебры рассматривается ее реализация
с мнимыми структурными константами (см. замечание
E.25)). Т
169-
Представление алгебры Ли d(А) назовем самосопряжен-
самосопряженным, если оно совпадает с представлением, сопряженным от-
относительно некоторой (билинейной или полуторалинейной) не-
невырожденной формы.
Отметим, что в случае антиэрмитова представления d
представление d^ можно связать с исходным операцией ком-
комплексного сопряжения
</(•,*</*. C1)
Если же представление d эрмитово, то
d^tx — d*. C2)
Из формул B6), B7) следует, что для самосопряженных
представлений d^=d<*>f справедливы соотношения ¦
d(*) ~ d, /—билинейна, C3)
(d(*))*-^id, /—полуторалинейна. C4)
A0) Примеры. В примере D.4) мы построили три не-
независимые однопараметрические подгруппы щ в группе SUB)
(см. формулу D.5)). Их направляющие векторы 1,(/=1, 2, 3)
составляют базис в алгебре suB). Рассмотрим определяющее
представление D подгрупп щ
j -itoj) C5)
и построим операторы, представляющие базис алгебры suB):
d(lj) = --hj. C6)
В эрмитовом базисе по формуле B9) получим
d(l C7)
Так что алгебра матриц Паули с учетом предыдущего заме-
замечания реализует представление алгебры suB), соответствую-
соответствующее определяющему представлению группы SUB). Комплекс-
Комплексно сопряженному представлению D* сопоставляется представ-
представление —d* алгебры suB) (оно эквивалентно dM(suB))).
Матрица F симплектической билинейной формы, инвариант-
нон относительно представления D, сплетает представления
d и —d*(\) = —о*, поскольку FsF-] =—a*. Y
A1) Выберем в группе SL{2, С) независимые однопара-
однопараметрические подгруппы exp 2(ft)crft (k=l, 2, 3). Овеществим
SLB, С), т. е. будем рассматривать ее как вещественную
группу вдвое большей размерности. Построим в SLB, C)R
шесть независимых однопараметрических подгрупп:
?(ft) = Rez(ft), s(S) = Imzw. ^ ;
370
Матрицы C8) можно рассматривать как операторы определя-
определяющего представления D группы SLB, C)R. В примере E.24)
был построен базис алгебры si B, C)R в виде {—iokl%, а^/2}.
Применяя формулу B4), видим, что дифференциал d отобра-
отображения D совпадает с определяющим представлением алгебры
s/B, С)л:
i 4" *•*.-. C9)
*
По представлению d определяются представления d^) и d
Кроме того, по форме / можно построить представление
d<*>/. Из соотношений A3), A4) видно, что представления
d ''' f для всякой билинейной формы эквивалентны dM, а в
случае полуторалинейной — сопряженному представлению
d<*> = —d^. Из четырех возможностей d, dM, d* и d<*> пер-
первые два представления (как и в случае SUB)) сплетаются
матрицей F симплектической формы (в чем проявляется изо-
изоморфизм s/B, C)«spB, С) —см. табл. 10). Так как матрица
F вещественна, то она же сплетает представления d<*> = (d(%))*
и d";.
Отметим, что вследствие изоморфизма siB, C)R~soC, 1)
операторы d(a), aeslB, С)я являются одновременно операто-
операторами представления алгебры soC, 1) в С2, Т
Рассмотрим подпространство V\<^V в пространстве пред-
представления D(G, V). Пусть операторы D (g) не выводят из У\.
Тогда ограничения D\(g)=D\Vl(g) операторов D образуют
подгруппу линейных преобразований пространства V\. Сопо-
Сопоставляя всякому g^G оператор D\(g), получаем представле-
представление D{{G, V\) группы G, которое называется подпредставле-
нием представления D.
Для топологической группы подпредставление может быть
реализовано только па з а м к н v том подпространстве
V,czV.
Представление называется приводимым, если содержит
нетривиальные подпредставления.
A2) Упражнение. Пусть DX{G, V{) — подпредстав-
ленпе представления D(G, V). Покажите, что гомоморфизм D
индуцирует гомоморфизм группы G в группу линейных опера-
операторов па факторпространстве V/VV Полученная конструкция
называется факторпредставлением D по D\. T
Представление D(G, V) называется разложимым, если со-
содержит подпредставления DX(G, V\) и D2(G, V2), такие, что
V~ViQ)V2- В этом случае говорят также, что представление
эквивалентно (прямой) сумме представлений Dx и D2:D^
DQD
Если в представлении D для всякого подпредставления
Z)j существует D2, такое, что D^D\^D2, то представление на-
171
зывается вполне приводимым. В таком представлении всякое
инвариантное (относительно действия группы) подпространст-
подпространство имеет инвариантное дополнение.
A3) Утверждение. Всякое конечномерное представление,
сохраняющее (как группа линейных операторов) невырож-
невырожденную билинейную (или полуторалинейную) форму, вполне
приводимо. В частности, вполне приводимо всякое конечно-
конечномерное унитарное представление.
A4) Упражнение. Докажите это утверждение. Т
Если представление D(G, V) не содержит нетривиальных
подпредставленин, то оно называется неприводимым. Наличие
подпредставления в представлении топологической группы
означает существование зам к и у т о г о инвариантного под-
подпространства в пространстве представления. Будем различать
алгебраическую неприводимость, т. е. отсутствие инвариант-
инвариантных подпространств, и топологическую неприводимость, при
которой пространство представления . не должно содержать
замкнутых инвариантных подпространств.
A5) Упражнение. Покажите, что определяющее пред-
представление ¦ всякой простой классической линейной группы
алгебраически неприводимо. Воспользуйтесь утверждением
A3). V
Пусть на пространствах V\ н У2 задана невырожденная би-
билинейная (полуторалинейная) форма f. Предположим, что на
пространстве У2 действует представление D(G, V2). Построим
представления D^f (G, У\) и DM(G, V2).
A6) Представления D, Dc>f и D{*)(d, d<*>f и d^)) неприво-
димы, приводимы, вполне приводимы одновременно. Т
Предлагаем читателю проверить это утверждение самостоя-
самостоятельно.
При определенных условиях аналогичная связь может быть
установлена между свойствами представления D группы Ли и
представления d ее алгебры (см. диаграмму B3)).
§ 2. Общие свойства неприводимых представлений и
подпредставлений. Сплетающий оператор. Леммы Шура.
Теорема Бернсайда
Изучение произвольного представления D(G, У) существен-
существенно упрощается, если его можно разложить в прямую сумму.
Совокупность свойств прямых слагаемых содержит практически
всю информацию об исходном представлении. Задача, следова-
следовательно, состоит в выделении неприводимых подпредставлений
D, сумма которых эквивалентна исходному представлению.
Первый шаг состоит в распознавании неприводимых пред-
представлений. Для этого обратимся к свойствам неприводимых
представлений и сплетающих операторов.
A7) Лемма Шура I. Если Dj(G, У]) и D2(G, У2) алгебраи-
172
чески неприводимы, то всякий сплетающий оператор Z\D{, D2]
-равен нулю либо обратим. **
Доказательство. Пусть ¦ W\ — ядро оператора ?,
Жег l, = W\. Тогда
Wx Wi = Df. W, =-- О,
т. е. Wx инвариантно относительно D\. Из неприводимости D{
следует, что W{ либо тривиально, либо совпадает с простран-
пространством V\.
Пусть tt?2 = Im 'Q. Тогда
Иными словами, W2 — инвариантное подпространство в F2-
Неприводимость D2 означает, что W2— либо нуль, либо V2.
Зная возможные значения ядра и образа оператора ?,
можно утверждать, что t, либо аннулирует V\, либо изоморф-
изоморфно отображает его на V2. В последнем случае существует об-
обратное отображение t,~]. W
A8) Следствие. Алгебраически неприводимые пред-
представления либо эквивалентны, либо не сплетаются. ^
Итак, для алгебраически неприводимого представления D
все элементы пространства ? [D, D]=Z[D], кроме нуля, обра-
обратимы. Следовательно, ? является телом.
A9) Теорема. Пусть размерность алгебраически неприводи-
неприводимого представления D(G, Vk) не бо,лее чем счетна. Тогда для
К—С пространство ?[?>] изоморфно С. Если же K = R, то C[Z)]
может быть изоморфно R, С или х.
Доказательство этой теоремы можно найти в [15]. Т
Будем различать три типа вещественных неприводимых
представлений: вещественный, комплексный и кватернион-
ный — в зависимости от того, будет ^[D]^R, С или •/.
С помощью теоремы A8) нетрудно доказать следующее
утверждение, широко используемое в приложениях.
B0) Следствие. Если овеществление D(G, V^h) алгеб-
алгебраически неприводимого комплексного (кватернионного) пред-
представления неприводимо, то оно есть вещественное неприводи-
неприводимое представление комплексного (кватернионного) типа. Ком-
Комплекс ификация D(G, V^c) вещественного алгебраически не-
неприводимого представления является неприводимой суммой
двух неэквивалентных неприводимых или суммой двух экви-
эквивалентных неприводимых в зависимости от того, было D(G,
Vr) вещественного, комплексного или кватернионного типа. Т
Для топологически неприводимых представлений
лемма Шура в общем случае неверна, так как не всякий спле-
сплетающий оператор имеет замкнутый образ. Однако в двух важ-
важных для нас частных случаях можно доказать аналог леммы
Шура.
173
B1) Лемма Шура II. Пусть D — конечномерное неприво-
неприводимое комплексное представление в гильбертовом пространст-
пространстве Ж . Всякий оператор ?е?[1>] имеет вид t, = Xl, Х^С1.
Доказательство. Пусть X — собственное значение
оператора ?. Рассмотрим множество М = {х<=Ж, t,x = Xx}. Оно
непусто, замкнуто (как множество решений алгебраического
уравнения) и инвариантно:
ID (g) x = D (g) Zx = W (g) x (x (; M),
Тогда из неприводимости D следует M= ffl, т. e. t,x = Xx на
всем Ж-Y
Известно, что для бесконечномерных представлений топо-
топологических групп сплетающий оператор не обязательно имеет
дискретный спектр, так что доказать лемму Шура II в общем
случае не удается. Однако если представление D унитарно и
lе=:[?>], то ?м=С[?>] и ?е= i/2(l +;•:¦)е;^ [D]. Оператор | — са-
самосопряженный и, следовательно, имеет дискретные собствен-
собственные значения. Более того, можно доказать [2] неприводимость
унитарного представления, если все его нетривиальные сплетаю-
сплетающие операторы кратны /.
B2) Лемма Шура III. Унитарное представление D пепри-
водимо тогда и только тогда, когда всякий ?еС[?>] имеет вид
()
B3) Следствие. Унитарные неприводимые представ-
представления абелевой группы одномерны. V
Будем называть операторно неприводимым такое пред-
представление D(G, Vk), для которого пространство C[D] состоит
из операторов /./ (Яе/С). Лемма Шура III утверждает, что
понятия неприводимости и операторной неприводимости для
унитарных представлений эквивалентны. В этих терминах мож-
можно переформулировать и другие утверждения данного парагра-
параграфа. Отметим, что из операторной неприводимости неприводи-
неприводимость не следует, если представление не является вполне при-
приводимым.
B4) Пример. Рассмотрим одномерное кватернионное
представление D : SUB) -+х% в правом х-модуле х1,
D(g)q=*(g)q, q, v-e*\ *(g) = «:^,,бЧ, 2 (*'f = 1 •
Оно эквивалентно определяющему представлению группы
SUB) в С2 (см. B.105))
г,, \ /и0 — iu3 — и2 — ix'
В (g) = .
\и2 —ш1 й°4-
Овеществим представление В. Пронумеровав координаты ба-
базиса {vuv2}^C2 над R r{ = Revu r2 = Reu2, r3 = Imyb r4 = lmv2,
для матриц B(SUB), C\R ) получим
174
, , /—го., О \ / 0 а3
{ О -Wo'T V— =з О.
B5) У и р а ж п е п и е. Покажите, что представление С ие-
приводимо над R, пользуясь тем, что всякое его подпредстав-
ление есть вещественное представление алгебры кватернионов. V
Представление С есть овеществление кватерыионного пред-
представления D. Следовательно (см. B0)), это неприводимое ве-
вещественное представление кватерниопного типа, т. е. С [С]»*1.
Действительно, линейно независимые вещественные матрицы
г _у - __/' ° —i°>\ > I 0 /\ .. Ца, 0
1 \-te, 0 / " \-1 0! ¦' \0 -/-,
сплетают представление С.
Комплексификация C(SUB),R]c)—приводимое представ-
представление. Матрица
приводит его к виду В QB*. Напомним, что В*жВ (см. E)).у
B6) Если представление приводимо и вполне приводимо,
то проекторы на инвариантные подпространства являются его
сплетающими операторами. Таким образом, для комплексного
вполне приводимого представления отсутствие нетривиальных
сплетающих операторов может служить критерием неприводи-
неприводимости.
B7) В примере B) мы рассмотрели способ построения ли-
линейного представления D группы де Ситтера 0D, 1). Пред-
Представление D иеприводимо (см, A5)). Построим представле-
представление спинорной группы G (см. B.126), B.127))—универсаль-
B.127))—универсальной накрывающей для связной компоненты группы де Ситте-
Ситтера. Введем матрицы оАВ, где А, В —0, 1, 2, 3, 5, а^^'/г^^ Y5]
и а^^{/2[\'ц, yv1- ^x коммутационные соотношения имеют вид
^АВ^ CCD} _ 21 (gADaBC 4- gBC0AD _ gAC^BD_gBDaAC^ D0)
где матрица метрического тензора g=/4, i. Сравним соотно-
соотношения D0) с композицией алгебры so (А, 1) в базисе Окубо
(см. D.19)). Согласно замечанию (9) мы получили четырех-
четырехмерное комплексное представление алгебры Ли группы де Сит-
Ситтера. С помощью экспоненциального отображения построим
175,
группу линейных операторов exp(i®ABOAB), реализующую пред-
представление D группы G.
Рассмотрим преобразования х=хАуА -*¦ x'=D (g)xD(g~l) (=
еСC, 1), представляющие элементы geG = SpinD, 1) вида
B.85) — B.87). Для каждого хФ-%,1 легко указать элемент g
этого вида, такой, что x^=x'=D(g)xD(g-1). Отсюда следует,
что оператор, коммутирующий со всеми матрицами представ-
представления, кратен единичному. В силу свойства A3) это доказы-
доказывает неприводимость представления D. У
Предыдущий пример тесно связан со следующим утверж-
утверждением, имеющим широкое практическое применение.
B8) Теорема Бернсайда. Если D(G, V) —неприводимое
комплексное конечномерное представление, то линейная обо-
оболочка операторов {D(g)} совпадает с пространством End У
(доказательство см. в [15]).
B9) Пример. В определяющем представлении D груп-
группы SUB) всякая матрица D(g) представима в виде
Совокупность матриц {/, Oj) образует базис (над С в прост-
пространстве End С2). Аналогичная ситуация складывалась в пре-
предыдущем примере.
§ 3. Прямой интеграл представлений. Инвариантное
интегрирование. Мера Хаара. Шактормера и
интегрирование на однородном пространстве.
Регулярное представление
В приложениях приходится оперировать такими представ-
представлениями, для которых процесс выделения инвариантных под-
подпространств существенно бесконечен. Оказывается, что если
они унитарны, то в известном смысле их можно разложить на
неприводимые.
Обобщим понятие прямой суммы представлений.
Пусть X — топологическое пространство с мерой |х [4].
Зададим семейство {Жх} (хе!) гильбертовых пространств.
Определим новое пространство Н;
как пространство измеримых функций / на X, значение кото-
которых в каждой точке хе! есть вектор соответствующего гиль-
гильбертова пространства Щх. Введем скалярное произведение
вЯ:
176
(Л. ЛЬ,= 3 /.W. /2
Будем называть пространство Н прямым интегралом гильбер-
гильбертовых пространств Жх.
Пусть задано семейство представлений {DX(G, Жх)}, при-
причем всякая скалярная функция (Dx(g)f(x), h(x))yg^ измери-
измерима для f, h<=H, g^G. Определим оператор D(g) на Н по
формуле
D(g^ \D*{g)d?{x). D3)
Гомоморфизм группы G в группу линейных операторов D (g)
называется прямым интегралом представлений Dx.
Понятие прямого интеграла представлений позволяет уста-
установить разложимость унитарных представлений сепарабель-
ных локально компактных групп [15]. Приведем соответствую-
соответствующее утверждение для групп Ли.
C0) Теорема. Всякое унитарное представление группы Ли
может быть разложено в прямой интеграл неприводимых. Т
Эта теорема не только обобщает утверждение A3), но и
позволяет с помощью формализма С*-алгебр построить раз-
разложение D3) для операторов произвольного унитарного пред-
представления D и тем самым полностью решить стоящую перед
нами задачу [12, § 13]. Такое решение, имеющее важное тео-
теоретическое значение, редко бывает конструктивным.
Свойства неприводимых унитарных представлений тесно свя-
связаны со свойствами функций на группе. Пусть в пространстве
Ж унитарного представления D(G, Ж) фиксирован ортоиорми-
рованный базис {hi}. Введем понятие матричного элемента
представления
Dik(g) = (hh D{g)hk). D4)
Матричные элементы представления — это скалярные функции
на группе. Пространство функций {Dih(g)} инвариантно отно-
относительно левых (правых) сдвигов на группе, т. е. на {?>-;& (?)}
реализуется представление группы G. Нам важен случай, когда
это представление унитарно. Тогда на пространстве {Du,(g)}
должно существовать инвариантное скалярное произведение,
которое естественно задать в виде
(D№, Dn) = \ D\k (g) Dn (g) du. (g), D5)
б
где в силу унитарности представления мера d\i(g) должна быть
инвариантна относительно сдвигов на группе. Так возникает
12 Зак. № 152 177
проблема инвариантного интегрирования на группе и построе-
построения инвариантных мер.
Мера |j. па локально компактном хаусдорфовом простран-
пространстве W есть линейное отображение в R множества CK{W) не-
непрерывных функций на W с компактным носителем, причем
для каждого компактного подмножества К с: W должно суще-
существовать такое NK<=R^, что
| ч (/) | < Л'л- sup | / (-V) |, /G Ск С О\ х ? W.
Мера называется положительной, если j.i (/) > 0 для f > 0.
Рассмотрим группу Ли G как аналитическое многообразие
размерности п. Определим на G «-форму со через внешнее про-
произведение 1-форм dXi^\/(-*)(g) (d.Xi : V(g)-*-R). т. е. для каж-
каждой карты U положим
оз|г = ? (.Vl, ..., л-„) ах, ; \ dxn, Ф е С35 (G). D6)
На множестве Сц- функций с компактным носителем, накры-
накрываемым картой U, введем меру с помощью отображения н:
-J- : / -> \ /о)у = \/ (а-!, . . . , лг„) <в (дг„ ... , л:г) rfjCj ... сГдг„. D7>
Здесь интегрирование ведется по координатам точек ком-
компактного носителя функций /еС^, под f (х) следует понимать
f.(g(x)), a dx\ ... dxn есть значение функционала
dx\/\. . ./\dxn на тензорном произведении векторов инфините-
зимального репера в V(x). Для распространения отображения
ц на все множество C°(G) представим всякую f^C°(G) в виде
суммы 2 ft, где каждая f, имеет компактный носитель, накры-
i
ваемый некоторой картой атласа группы G. Окончательно мера
ц, на группе Ли G задается отображением
¦х : С" (G) -> R,
мл= f>=2 f>- D8)
Мера D/), D8) не зависит от выбора аналитических коор-
координат в G. Она положительна, если функция ср(х) в формуле
D6) положительна «на атласе {?/*}».
Рассмотрим в окрестности Ue единицы группы G систему
канонических координат {x(g)} как гомеоморфизм Ue и окрест-
окрестности нуля в касательном векторном пространстве V{e). Со-
Совершим левый сдвиг окрестности Ue на элемент h^G. В окрест-
окрестности Uh=hUe введем координаты {y(g)} так, чтобы для
U
y{g)~x(!r'g). D9)
Система карт подобного вида образует атлас. В нем мы смо-
сможем построить функцию ф(х) так, что мера D8) будет инва-
инвариантна относительно сдвигов:
178
f'(g)=f(bg). •Af) = [>¦{/'\
2
Как явствует из соотношения E0), левоинвариантная мера
порождается левоннвариантной формой со. Аналогично опреде-
определяется правопнвариантная мера. Значение функционала ел па
произведении векторов инфннитезимального репера в точке
есть мера на ннфпнитезнмальной окрестности этой точки, по-
поэтому сама инвариантная форма (а также ее значение па тел-
зорном произведении векторов инфиннтезимальной окрестное:!
точки) также называется инвариантной мерой и обозначает-
обозначается dy\.
Для нахождения вида функции cp(.i') в инвариантной мере
da рассмотрим такой сдвигg'==hg, при котором Ue[\Uh = W^=0,
Координаты точки k'^W должны удовлетворять условию
y{k')=x{k).
Пусть в Uh форма d\i имеет вид
rf|i = iF (у) dy1- /\ ... л dy".
Напишем условие инвариантности для d\\. относительно сдвига
<Р (х (k)) dx' /\ ... /\ dxn U = W (у (k1)) dy А ... Л dy" \k, =
xl Л. ... Adxn\k, E1)
откуда следует, что ф=Чт, и в частности
¦о (х (?')) dx< д . • • Л dx» \к, = ? (у (?')) dy1 Л ... Л dyn \k, =
^A-1 д... ,\dx"\k,.
Перепишем полученное соотношение в виде
Пусть k'=e, h-l = g. Воспользуемся произволом в нормировке
инвариантной меры dn и положим ц>(х(е)) = 1. Предыдущее
равенство позволяет найти функцию ср:
l ] E2)
Итак, левоинвариантная мера на группе Ли G может быть вы-
вычислена по формуле
dv.L (g) = der1 [^У/l J dx" A • •. /\ dx\ E3)
=
Это выражение справедливо в пределах карты Ue и распро-
J2* 179
страняется на весь атлас многообразия G соотношением E1).
Аналогично строится правоинвариантная мера на G:
vR (g) = der1 [^ffy\g,^ J ^'Л ••• Л dx". E4)
Приведенные выше рассуждения составляют основу доказа-
доказательства следующей теоремы.
C1) Теорема Хаара. На всякой группе Ли существует
единственная с точностью до множителя ненулевая левоинва-
риантная (правоинвариантная) мера. V
Эту меру называют левой (правой) мерой Хаара.
C2) Примеры. Пусть G — группа матриц вида
Найдем координаты «сдвинутой» матрицы g"=gg':
а" = аа', b" = ab'-\-b.
Полученные функции подставим в формулу E3):
dpL (g) = ar2da /\ db.
Аналогично строится правая мера Хаара. Здесь она не совпа-
совпадает с левой:
dpR (g) = а~х da Л db. у
C3) В группе GL(n, С; R) в качестве координат матрицы g
вновь можно выбрать численные значения ее матричных эле-
элементов. п2Хп2 матрица преобразования координат
4^fJ^ (i, k, I, m = \, ..., n)
легко приводится к блочно-диагональному виду. Все п диаго-
диагональных блоков равны между собой и совпадают с матри-
матрицей g. Окончательно имеем
п
Отметим, что здесь правая и левая меры совпали, т. е.
мера Хаара оказалась двусторонне инвариантной. V
Исследуем подробнее связь между правой и левой мерами
Хаара.
Пусть dj.iH — правая мера Хаара на G. Под действием ле-
левого сдвига d\iR перейдет в другую, по-прежнему правую
меру Хаара:
= г/ч (р\ (h ffC ffl
В силу теоремы Хаара мера dvR(g) может отличаться от ис-
180
ходной лишь на числовой множитель, зависящий только от
элемента h и структуры группы G:
bo(h)d^(g). E5)
Элементарные выкладки показывают, что числовая функция
Дс(/г) реализует одномерное представление группы G. Рассмот-
Рассмотрим произведение До {g)d \XR(g). Оно инвариантно относитель-
относительно левых сдвигов и, следовательно, является левой мерой
Хаара:
'(g). E6)
В свою очередь
(g). E7)
Легко убедиться, что форма dpLR(g^), рассматриваемая как
функция g, инвариантна относительно левых сдвигов, так что
правая и левая меры Хаара связаны соотношением
dv-R(g-') = dvL(g). E8)
Функция Де называется модулем группы G. Для двусторон-
двусторонней инвариантности меры Хаара на группе необходимо и до-
достаточно, чтобы ее модуль был тождественно равен единице.
Такие группы носят название унимодулярных. К унимодуляр-
ным группам относятся, в частности, компактные группы Ли,
связные полупростые, а также нильпотентные [32, гл. 10, § 1].
Функцию Дя можно вычислить с помощью присоединенного
представления s4-d (G) группы G, т. е. представления линейны-
линейными операторами в касательном пространстве к группе G, инду-
индуцированного преобразованиями подобия g'-^-gg'g'1 в G (см.
D.51)).
C4) Упражнение. Докажите справедливость формулы
Ao{g) = tets*dg(G). E9)
C5) Пример. Выразим координаты элемента g' группы
матриц в примере C2) через координаты (%, р) вектора ее ал-
алгебры Ли с помощью экспоненциального отображения:
1 { 0 1
Совершим преобразование подобия
, _, (a b\ I expx pexpy \ fa'1 —стгЬ
ggg =(о i)( о 1 До
x exp y(ap—b) +
I 0 1
181
и вычислим явный вид оператора s4-dg:
s4-da=[
" \0 а
Найдем модуль группы по формуле E9):
Тот же результат можно получить с помощью соотношения
E7), если известен явный вид правой и левой мер (см. пример
C2)). Ў
Обобщим понятие инвариантной меры на случай, когда
группа действует транзнтивно на некотором G-модуле с инду-
индуцированной на нем структурой аналитического многообразия.
Всякий однородный (левый) G-модуль Х можно рассматривать
как факторпространство XmG/H, где Н — подгруппа стабиль-
стабильности точки (см. B.15), B.40) и § 3.2). Естественно попытать-
попытаться связать меру на X с мерами Хаара на G и Н. Введем поня-
понятие квазиинвариантной меры dh на однородном G-модуле Х,
т. е. m-формы (tn —dim X), преобразования которой при сдви-
сдвигах сводятся к умножению на положительный числовой мно-
множитель (зависящий в общем случае от координат точки х н
элемента g группы G). Пусть d\iR и d\R— правые меры Хаара
групп G и Н. Тогда справедлива следующая теорема.
C6) Теорема. На однородном пространстве XtvG/H суще-
существует такая квазиинвариантная мера dX(x), что
dv-x (g) = До (gx) dl (х) Л d^ (Л), g = gxh. T F0)
Форма d'h называется фактормерой d\iR no dxR.
C7) Замечание. Положив множитель пропорциональ-
пропорциональности мер d\x и dhf\d\ равным Aa(gx) и фиксировав предста-
представителей классов, мы исчерпали произвол в выборе фактормеры
d/.. V
Как преобразуется квазиинвариантная фактормера при
сдвигах (левых для левого G-модуля Х) ?
C8) Упражнение. Докажите, что закон преобразования
фактормеры выражается через факторы h(g, x) (см. B.16),
B.17)):
Д^ (h (g, x))
d\(gx) ° 4d\(x). V F1)
d\(gx)= , , 4d\(x). V
& ; Дя (li (g, x)) v '
Если Ag=Ah, to из соотношения F1) следует, что фактор-
мера dh левоинвариантна (и не зависит более от выбора пред-
представителей gx). Ее можно вычислить так же, как меру Хаара
на группе. В канонических координатах {у1, . . ., у} левоинва-
риантная фактормера d). имеет вид
1Е2
d\L (x) = det-1 f-^rrrr W Л • • • Л dy»\ F2)
g = g A
Воспользовавшись формулой E7) и определением F0),
можно найти связь фактормеры dk с левыми мерами Хаара на
G и Я:
Ао (?) dt»? (g) = Ас (gj Ая (А) Л (х) л о\ (Л),
Д» (Л) F3)
^ () ^ rf>() Л rf(/) ^
Если Я — нормальная подгруппа в G = K-H (см. B.44)),
например G = Kt>H, то фактормера d/. становится левой ме-
мерой Хаара на K=X=G/H:
Формула F0) принимает вид
dv.R (g) = А,;; (Л) Л7 (А) Л dv^ (А), ^ = йЛ, F4)
который еще более упрощается для унимодулярной группы G:
d{,.(g)=dlL(k)/\dvK(h). F5)
Все приведенные рассуждения легко переносятся на случай
правого однородного G-модуля Y=H\G.
Продемонстрируем, как свойства факторизации облегчают
задачу построения меры Хаара на группе Ли.
C9) Пример. Параметризуем пространство группы
G = SOC, R) углами Эйлера (•&, ср, г|)). Выделим в G однопа-
раметрическую подгруппу Я вращений с параметром я|). По-
Поскольку всякий g^G представим в виде g=k('i}, cp)ft(i|)), то
k(u, (p)eG могут быть выбраны в качестве представителей
классов X=GjH. Углы Ф и ср — координаты на факторпро-
странстве X (сферические координаты вектора, в который пе-
переходит орт ez евклидовой системы координат при преобразо-
преобразовании g(h, ср, г|))). Очевидно, что XmS2. Группы G и Я унн-
модулярны. Следовательно, мера Хаара на G факторнзуется
в виде (см. формулу F0))
где d%L — левоинвариантная мера на S2, dv — мера Хаара
на Я. Воспользуемся известным выражением для инвариант-
инвариантного относительно вращений элемента поверхности сферы
S2 :dhb(k(b, ф)) =sin$d$ Д d<p. Нормируем объем группы
50C, R) на единицу. Тогда окончательное выражение для
меры Хаара d\i(g) имеет вид
183
dp (g (&, ?, *)) = -grrsi" & rf» Л rf'-p Л d-b. т F6)
D0) Упражнен и е. Покажите, что форма
d* (g ^, ?, 'V)) = -7^7 sin ft tfil Л^тЛ cfu F7)
есть нормированная на единицу инвариантная мера на группе
SUB), параметризованной углами Эйлера.
D1) Пример. В другой известной параметризации груп-
группы SUB) (см. B.76))
g = expi~(n, n) F8)
мера Хаара легко вычисляется непосредственно. Удобно на-
начать с группы U B), где всякий элемент представим в виде
и{а„, а) = а,/— t(a, s) (а, 6 Я, ~ = 0, 1, 2, 3). F9)
Преобразование координат {аа} при левом сдвиге и" = и'и
имеет вид
а = а'оап — {а', а),
а" = а'ап + а('(а -f- [а' х< а].
По формуле E3) получаем выражение для меры Хаара на
U B):
d\x (и (а)) = (al + a2)" da0 Л dax Л da, Л ^а3.
Перейдем к переменным с=Уа^ + а2 и Ь = а/с:
, , . ... fiY db, Adb« /\ dbn
d{(cb)) A ^iA •
Под действием сдвига на элемент g^SUB)<z:UB) первый
сомножитель в разложении d[i не меняется. Следовательно,
второй сомножитель представляет собой инвариантную меру
на группе SUB). Подпространство группы 5GB) в ?/B) вы-
выделяется условием с=1. Сравнивая выражение F9) для
g-eSt/B) с параметризацией F8), g=yi—b2 /—i(b, s) =
= cos ш/г/ +г sin™/^ (п, с), получаем
- = -f sin2 -^ rfu» Л rfQ. G0)
dli (я) = pL==
Здесь dQ ¦— инвариантный элемент поверхности сферы радиу-
радиусом | п | = 1. V
D2) Упражнение. Тем же методом получите выраже-
выражение для меры Хаара на группе SLB, C)R:
dk(b)=\ b22 \-2 Bi) db\2 Л db12 Л db*n Л db21 Л db*22 Л db2i.
184
Здесь матрица {bih}^SL{2, С). Меру на GLB, С) см. в при-
примере C3).
D3) Пример. Рассмотрим собственную ортохронпую
группу Пуанкаре как полупрямое произведение П+ ^ Л1 > Р.
Всякий элемент ПеП1 однозначно представим в виде
П(Л,а)=П(Л, 0)П(/, а) (Ле=Л1, а^Р). Пусть dv и d% —
меры Xaapa на группах л + и Р соответственно. Рассмотрим
форму а v(A) /\d g(«) и подействуем на нее левым сдвигом на
элемент П'(Л/, а'). Воспользуемся явным видом закона ком-
позншш полупрямого произведения:
П(\", а") = П(Л', а')П(Л, а) = П((Л'Л), A~V + a).
Координаты элемента Л преобразуются только сдвигом на А',
так что dv(A) остается инвариантной. Инвариантна и d%(a).
поскольку изменение координат элемента а свелось к аддитив-
аддитивному сдвигу. Теперь подействуем на исходную форму правым
сдвигом на П(.Л/, а'). Координаты Л" будут определяться
правым сдвигом А па А', и форма dv вновь останется инва-
инвариантной, так как группа А+ унимодулярна. Преобразование
а-^а" состоит из автоморфизма aut(V,.-i и аддитивного сдвига
па а'. Автоморфизм действует на вектор а как унимодулярная
матрица (А')"- Следовательно, и на этот раз d\ инва-
инвариантна.
Мы доказали, что форма
фх (II = Ха) = dv (А) /\ d\ (a), G1)
есть двусторонне инвариантная мера Хаара на \\', установив
тем самым, что группа Пуанкаре унимодулярна. V
D4) Нормальная подгруппа Рс П+. есть П^-модуль отно-
относительно преобразований подобия ПЯП^1. При этом трансля-
трансляции действуют на Р тривиально, т. е. Р является эффективно
Л1-модулем
(А, Ь){1, а) (Л, й)-' = (/, \а).
Следовательно, Л|-инвариантная мера па Р — в то же вре-
время и Ili-инвариантная мера.
D5) Воспользуемся тем, что PmR* является однородным
пространством группы SLD, R). Легко непосредственно прове-
проверить, что d\i{a) —/\daa — инвариантная мера на Р относн-
а
тельно группы SLD, R). Перейдем к координатам {52=
а\ а2, а3}:
d (s^ A d& A da' A das
Отсюда с помощью стандартных рассуждений находим-
SOC, 1)-инвариантную меру dv(a), которая очевидно и Л + -ин-
вариантна:
185
Ada'
di(a) = —/ G2)
Для каждой конкретной орбиты параметр s2 является фикси-
фиксированной величиной. V
Инвариантное интегрирование позволяет построить для
произвольной группы Ли унитарные представления стандарт-
стандартного вида.
Пусть d\x —¦ мера Хаара на группе G. Рассмотрим про-
пространство L2(G) интегрируемых с квадратом скалярных функ-
функций. Поскольку G является G-модулем, то на пространстве
L2(G) индуцируется структура линейного G-модуля. Обозна-
Обозначим через DR(g) (соответственно DL(g)) оператор преобразо-
преобразования в L2(G), порожденного правым (левым) сдвигом на эле-
элемент g':
DR(g)f(g')=f(g'g),
DL(g)/(g')=f(g-1g').
Как отмечалось в § 1, группа операторов DR(g) (или DL(g))
образует линейное представление группы G в пространстве
F(G, С). В силу инвариантности меры Хаара подпространство
L2(G)czF(G, С) инвариантно. Представление группы G опера-
операторами DR(g) (DL(g)) на пространстве L2(G) называется
правым (левым) регулярным представлением.
Снабдим пространство L2(G) скалярным произведением
(А. Л)= \A(g)f->(g)d?(g). G3)
Регулярные представления унитарны относительно этой полу-
торалннейной формы:
Если GzdH и Ag = Ah, to на однородном пространстве X&G/H
существует левоинвариантная фактормера d% (см. формулу
F0)). По аналогии с предыдущим случаем построим левое
квазирегулярное представление группы G в пространстве L2(X):
DQL{g)f(x)=f{g-'x).
Оно сохраняет скалярное произведение
(А. Л)= \ /*(х)/2(х) с1Цл) =
Точно так же с помощью правого G-модуля Y=H\G строится
правое квазирегулярное представление D®R(G).
486
§ 4. Унитарные представления компактных групп.
Теорема о конечномерности
Если группа G компактна, то любому ее представлению В
можно сопоставить унитарное представление D, эквивалентное
В. Конкретная конструкция представления D не имеет прак-
практического значения, поэтому мы не приводим ее описание [15,
§ 9]. Для нас важно, что изучение представлений компактной
группы сводится к изучению ее унитарных представлений.*'
В свою очередь свойства унитарного представления (в силу
теоремы C0)) полностью определяются свойствами его непри-
неприводимых компонент.
Компактность топологического пространства группы G дает
возможность нормировать ее меру Хаара (компактные группы
унимодулярны):
Обозначим через D(G, Ж) топологически неприводимое уни-
унитарное представление компактной группы G. Введем в Ж ор-
тонормированный базис {/г,-} и построим матричные элементы
Dih(g) представления D (см. формулу D4)). Теорема о свой-
свойствах матричных элементов, которую мы сейчас сформулируем,
представляет собой важнейший этап в изучении унитарных не-
неприводимых представлений.
D6) Теорема. Всякое топологически неприводимое унитар-
унитарное представление компактной группы G конечномерно. Его
матричные элементы Da удовлетворяют условию
f (D,k 'g))*Dlm (g) dv- (g) = -f^-fr (A/f h,r (Aft, AJ. G4)
G
Если представления D'{G, Ж') .и D"(G, Ж") не эквивалентны,
то всякий матричный элемент D'ih ортогонален всякому D"im.
Доказательство. Левая часть выражения G4) есть
непрерывная числовая функция A (hi, hk, hi, hm). Так как она
линейна по hm, то в пространстве Ж представления D должен
существовать такой элемент р, зависящий от hu, hi и hi, что
hk, hu hm) = (p(hi, hh, hi), hm)m.
В свою очередь вектор р как непрерывная линейная функция
от hk может быть изображен действием на hk некоторого ли-
линейного оператора t,(hi, hi):
А-(С (A,, h,)hk, hm)m. G5)
*) В действительности для существования унитарного, эквивалентного
B(G, V) представления D необходима локальная выпуклость пространст-
пространства V. В приложениях это требование всегда выполняется, и мы будем рас-
рассматривать только такие представления.
187
Покажем, что t — сплетающий оператор представления D. По-
Подействуем на аргументы hu. и hm функции А оператором D (g');
C,(hh h,)D(g')hk, D(g')hm) =
= \ [Dh.. a {g') kk (g))" D!lv d (е-) чт (g) d\x (g) =
a
= ((//„ D(g)D(g')hkY(hl, D(g)D(g')hm)d?(g) =
s
= f (DmiSg'W Dlmigg')d\± g) = {',{hl, ht)hk, hm)}6.
a
Это равенство можно продолжить, используя унитарность пред-
представления D:
(-,(//„ h,)/ik, /imOg = (D(g'):(hh fh)hk, Dig')hm)M.
Сравнивая исходное и конечное выражения, видим, что опера-
оператор I коммутирует с любым оператором унитарного неприво-
неприводимого представления D. Это означает, что 'С,=Ы, где ЬеС
(см. лемму Шура III).
Множитель Ь есть непрерывная функция векторов /г,- и hi,
линейная по первому и антилинейная по второму аргументам.
Следовательно, ее можно записать в виде матричного элемента
некоторого линейного оператора г\:
b(hh hl) = (rfil, Л,)х.
Рассуждая аналогично, получаем, что г\ также принадлежит
пространству сплетающих операторов C[Z)], т. е. ц = с1, а=С.
Подставим полученные выражения для операторов ц и Z в
формулу G5):
A = (b{hh hi)hk, hm)M = b*{hlt h,)(hk, lim)M =
= (/гь ^A)ag(A*. hm)% = c(ht, ht)jg(hk, 1гт)ж. G6)
Используя унитарность представления и инвариантность меры
d\\, легко показать, что константа с должна быть веществен-
вещественной и положительной.
Пусть h\, .... hn — любое конечное подмножество базиса
{hi} пространства Ж. Так как оператор D(g) унитарен, для
всякого hh^{hi} справедливо неравенство
т. е.
J88
Проинтегрируем это неравенство по группе G и восполь-
воспользуемся соотношением G6):
пс ^ 1 => с ^ \jn.
Константа с должна быть больше нуля, так как в противном
случае норма всех матричных элементов операторов D{g) об-
обратится в нуль. Следовательно, представление D конечномерно.
Положив dim D=n, окончательно получим c=l/dimD.'
Пусть D' и D" — неэквивалентные унитарные неприводимые
представления. Рассмотрим величину
Вновь вводя оператор ?,{hi, hi) и повторяя предыдущие рассуж-
рассуждения, получаем
; 6 ;[?>', ?>"j = o,
т. е. Л = 0. Т
Утверждение о конечномерности неприводимого унитарного
представления D компактной группы Ли G можно распростра-
распространить на любое топологически неприводимое представление
B(G), поскольку, как отмечалось в этом параграфе, всякое
B(G) эквивалентно неприводимому унитарному представлению.
Совсем иначе обстоит дело, когда группа некомпактна. Ее
точное унитарное представление осуществляет эквивалентность
€е топологического пространства и пространства группы опера-
операторов, сохраняющих форму скалярного произведения. Послед-
Последнее компактно, если пространство представления конечномерно
(см. C.26)).
D7) Теорема. Всякое точное унитарное представление не-
некомпактной группы бесконечномерно. V
В теореме D6) утверждается, что матричные элементы не-
неэквивалентных неприводимых унитарных представлений D ком-
компактной группы G образуют ортонормированную систему в
пространстве скалярных функций L2(G). Можно надеяться, что
эта система окажется полной. Для исследования этого вопроса
необходимо описать все неэквивалентные представления D(G).
D8) Утверждение. Множество неэквивалентных неприводи-
неприводимых представлений группы Ли G (матричные элементы
которых принадлежат L2(G)) не более чем счетно (доказа-
(доказательство см. [15, § 10]).
D9) Утверждение. Всякое неприводимое унитарное пред-
представление D(G, Ж) компактной группы G эквивалентно
подпредставлению ее правого регулярного представления
DR{G)
)
Доказательство. С помощью матричных элементов
Dik(g~x) с фиксированным первым индексом < = 1 построим
в L2(G) ортонормированную систему функций ^nDlh{g), где
189
n = dimD. Рассмотрим подпространство L2(D)aL2(G)—ли-
L2(D)aL2(G)—линейную оболочку системы {^nD\h{g)}- На U(D) реализуется
неприводимое подпредставление в DR(G), эквивалентное D(G);
DR (о')
D(g)D
Мы видим, что каждому оператору DR(gf) однозначно сопо-
сопоставляется оператор D(g'), действующий в пространстве Ж,
и наоборот. V
Итак, матричные элементы операторов неэквивалентных
неприводимых компонент в разложении правого (или левого)
регулярного представления образуют ортонормированную си-
систему функций на компактной группе G. Максимальность та-
такого набора есть следствие предыдущего утверждения. Для
построения на этой основе обобщенного Фурье-анализа на
группе G необходима полнота указанной системы функций в
L2(G).
E0) Теорема Петера—Вейля. Пусть {DS(G)} —система всех
неэквивалентных неприводимых унитарных представлений ком-
компактной группы G. Функции
VTsDlk(g) И, /г=1, ... , ns),
где ns=dim Ds, образуют полный ортонормированный базис в
пространстве L2(G, d\i) (доказательство см. в [34, гл. 7]). V
Практический рецепт построения полной системы неприво-
неприводимых унитарных представлений, который мы рассмотрим в
следующей главе, основан на инфинитезимальном методе.
§ 5. Инфинитезимальный метод. Унитарный трюк
Принципиальная возможность перехода от представления
алгебры Ли к представлению группы обсуждалась в гл. 4. Там
было установлено (см. теорему D.50)) взаимно-однозначное со-
соответствие конечномерных представлений связных односвязиых
групп Ли и их алгебр Ли.
Ограничимся рассмотрением полупростых групп Ли и пока-
покажем, что свойства всякого конечномерного представления по-
полупростой группы G могут быть определены, если известны
свойства неприводимых неэквивалентных эрмитовых представ-
представлений алгебры Ли Аи ее компактной вещественной формы GM.
Расчленим задачу на несколько этапов.
E1) Утверждение. Пусть G — связная группа Ли, А — ее
алгебра Ли, D(G, V) — конечномерное представление группы
G, d(A, V) — представление алгебры А, являющееся дифферен-
дифференциалом отображения D. Всякое D-инвариантное подпростран-
190
ство в V fif-инвариантно, и наоборот. Представления D и d не-
приводимы, приводимы и вполне приводимы одновременно.
Доказательство. Предположим сначала, что подпро-
подпространство WcV инвариантно относительно d. Рассмотрим эле-
элемент аеЛ и построим exp(a)eG. Воспользуемся свойством
экспоненциального отображения
Для конечномерного представления экспоненциальное отобра-
отображение строится в виде матричной экспоненты
D (exp (a)) = / ~f- d{a) + 4r d>" (a) "т • • ¦ •
так что всякое W инвариантно относительно операторов
D (ехр(а)). Итак, существует окрестность Ue^G, такая, что W
инвариантно относительно операторов D{Ue). Группа G связ-
связна, следовательно, пространство W инвариантно относительно-
всей группы операторов D(G) (см. теорему C.49)).
Справедливость обратного утверждения почти очевидна.
Дифференциал d отображения D не может выводить из под-
подпространства, инвариантного относительно D.
Так же просто доказывается и вторая часть утверждения
E1). Т
E2) Утверждение. Пусть D(G, V) и C(G, W) — пред-
представления связной группы Ли G, d(A, V) и с (A, W) —их диф-
дифференциалы. Из эквивалентности представлений алгебры dm с
следует эквивалентность представлений группы Dm С, и на-
наоборот.
Доказательство. Сплетающий оператор ?e?[d, с]
сохраняет свойства при экспоненциальном отображении. Он
остается сплетающим для операторов D(Ue) и C{Ue), где
Ue — окрестность единицы, накрываемая экспоненциальным
отображением. Так как группы операторов D(G) и C(G) свя-
связны, то свойство, установленное локально, оказывается спра-
справедливым для представлений D и С в целом.
Доказательство обратного утверждения проводится анало-
аналогично, у
В § 2 были введены понятия комплекснфикашш и овещест-
овеществления представлений, связанные с изменением поля скаляров
пространства представления. Выясним теперь, что происходит
при изменении поля скаляров в пространстве алгебры L линей-
линейных операторов /(а), реализующих представление в комплекс-
комплексном пространстве V. Построим комплексификации Afc и L^c
алгебр А и L и распространим по линейности гомоморфизм
d на А^с- Полученное представление d\c будем называть ком-
комплексной оболочкой представления d. Обратив эту процедуру»
построим по представлению d(A, V) комплексной алгебры А
представление rf| в (Л | л, V) вещественной формы A\r. Пред-
ставление d^R называется вещественной формой представления
d (соответственно компактной вещественной формой du, когда
Л;д=Лм компактна). Построение комплексной оболочки воз-
возможно лишь для комплексных представлений. Только такие
лредставления будем рассматривать в этом параграфе.
Пусть теперь D (G) — представление комплексной группы
G, G;R — ее вещественная форма. Сопоставим гомоморфизму D
вещественно аналитическое отображение D вещественных мно-
многообразий вдвое большей размерности. Таким образом, полу-
получим представление группы (G)R, содержащей подгруппу G^.
Ограничение D(G±R)=D±R называется вещественной формой
представления D группы G. «Сопряженное» ему понятие ком-
комплексной оболочки представления группы будет введено в кон-
конце параграфа.
E3) Пример. Алгебра s/B, С) является комплексифика-
цией алгебры suB). Комплексная оболочка dtc определяю-
определяющего представления d алгебры suB) совпадает с определяю-
определяющим представлением Ь алгебры si B, С) (алгеброй бесследо-
бесследовых комплексных 2X2 матриц). В свою очередь представление
d является вещественной формой b^R представления Ь. Ана-
Аналогично определяющее представление D E/7B)) можно интер-
интерпретировать как (компактную) вещественную форму BiR опре-
определяющего представления В группы SL B, С) (см. примеры
A0) и A1)).
E4) Утверждение. Комплексная оболочка tftc(Atc)
представления d(A) неприводима тогда и только тогда, когда
d(A) неприводимо. Представления d^c(Atc) и Ь^с(А^с) экви-
эквивалентны тогда и только тогда, когда эквивалентны исходные
представления d(A)mb(A).
Доказательство тривиально.
E5) Утверждение. Всякая связная комплексная полу-
полупростая группа Ли имеет компактную вещественную форму.
E6) Упражнение. Докажите утверждение E5), исполь-
используя теорему E.65).
E7) Утверждение. Компактная вещественная форма
Gu односвязной комплексной полупростой группы Ли G одно-
связна [22].
E8) Утверждение. Всякое конечномерное представле-
представление полупростой алгебры Ли вполне приводимо.
Доказательство (Вейль. Унитарный трюк). Пусть
А — комплексная полупростая алгебра Ли, d — ее конечномер-
конечномерное представление, G — односвязная группа Ли, соответствую-
соответствующая А. Представлению d однозначно сопоставляется представ-
представление D(G) группы G (см. теорему D.50)). Построим компакт-
компактную вещественную форму Gu группы G (см. утверждение E5))
и компактную вещественную форму группы операторов D(G, V),
изоморфную группе Gu. В результате получим конечномерную
192
компактную вещественную форму DU(GU) представления
D(G). Представление Du вполне приводимо (см. теорему C0)).
Рассмотрим алгебру Аи группы Gu и дифференциал du отобра-
отображения Du, т. е. представление du(Au), которое вполне приво-
приводимо одновременно с Du (утверждение E1)). Комплексная
оболочка dunc является вполне приводимым представлением
алгебры Л (утверждение E4)).
E9) Упражнение. Докажите, что представления d
и du^c совпадают. VT
F0) Утверждение. Пусть G-—односвязная комплекс-
комплексная полупростая группа Ли, Gu — ее компактная веществен-
вещественная форма. Всякому конечномерному неприводимому представ-
представлению Du группы Gu однозначно сопоставляется конечномер-
конечномерное неприводимое представление D группы G, и наоборот.
Доказательство. Построим алгебру Ли Аи группы Gu.
Дифференциал du отображения Du реализует неприводимое
представление алгебры Л« (утверждение E1)). Комплексная
оболочка du^c представления du есть неприводимое представ-
представление алгебры Ли группы G (утверждение E4)). Так как
группа G односвязна, то по теореме D.50) конечномерному
представлению du^c(A) однозначно соответствует представле-
представление D(G). Из неприводимости du^c следует неприводимость D
(утверждение E1)).
В свою очередь, если D — неприводимое конечномерное
представление группы G, то ему однозначно сопоставляется не-
неприводимое представление d алгебры А. Компактная вещест-
вещественная форма du представления d также неприводима. Группа
Gu односвязна, так что по представлению du(Au) ее неприво-
неприводимое представление Du вновь восстанавливается однозначно.
Легко убедиться, что представление Du является компакт-
компактной вещественной формой представления D, представление D
естественно назвать комплексной оболочкой представления
D
С помощью теоремы Бернсайда B8) можно показать, что
описанная выше процедура сопоставляет эквивалентным пред-
представлениям DuttDu эквивалентные представления DmD',
и наоборот, чр
F1) Пример. Определяющее представление группы
SLB, С) было построено в примере A1) в виде комплексной
оболочки определяющего представления компактной веществен-
вещественной формы SUB) группы SLB, С). Т
Проанализируем полученные результаты.
Пусть группа G компактна и односвязна. Основная задача
теории представлений состоит в построении полной системы не-
неприводимых унитарных представлений. Поскольку эти пред-
представления конечномерны, утверждения E1), E2) и теорема
D.50) позволяют свести исходную задачу к построению систе-
системы неэквивалентных неприводимых конечномерных эрмитовых
13 Зак. № 152 195
(антиэрмитовых) представлений алгебры Ли группы G. Каж-
Каждому полученному представлению алгебры взаимно-однозначно
сопоставляется унитарное неприводимое представление группы.
Локально представление группы можно построить с помощью
экспоненциального отображения. Задача глобального восста-
восстановления представления группы значительно сло'жнее. Однако
существуют обширные области физических приложений (клас-
(классификация частиц, законы сохранения и т. д.), где всю необхо-
необходимую информацию можно извлечь из алгебры А физической
симметрии и ее представлений.
Рассмотрим связную компактную группу Ли G. В этом слу-
случае на основании утверждений E1), E2) также можно приме-
применить инфинитезимальный метод исследования представлений.
Здесь, однако, не всякое представление алгебры Ли А будет
дифференциалом представления группы G. В полной системе
неприводимых эрмитовых конечномерных представлений необ-
необходимо выбрать «интегрируемые». Практически это всегда
удается сделать.
Пусть, наконец, G — полупростая вещественная односвяз-
ная группа Ли. При построении конечномерных представлений
ее алгебры Ли А (однозначно соответствующих представле-
представлениям группы) воспользуемся тем, что А является овеществле-
овеществлением либо вещественной формой некоторой комплексной полу-
полупростой алгебры В. Во втором случае задача сводится к по-
построению неприводимых конечномерных представлений алгеб-
алгебры В, что в свою очередь эквивалентно заданию системы не-
неприводимых представлений ее компактной вещественной фор-
формы. Если же алгебра А есть овеществление алгебры В, то не
все неприводимые представления d(A) можно получить из
представлений d(B). Здесь полезно рассмотреть комплексифи-
кацию А^с алгебры А. С помощью представлений й(Ацс)
удается построить все неприводимые конечномерные представ-
представления d(A), хотя для этого приходится использовать приводи-
приводимые представления d(A^c)-
Если группа G полупроста, вещественна и связна, то в по-
полученной системе представлений d{A), как и в предыдущих
случаях, необходимо произвести отбор.
Не будем останавливаться на случае несвязной группы, по-
поскольку известно, что она есть расширение некоторой дискрет-
дискретной группы по связной. Характерные для него проблемы и спо-
способы их решения проще всего проследить на примере построе-
построения представлений общей группы Пуанкаре (см. гл. 9).
ГЛАВА 7
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛУПРОСТЫХ АЛГЕБР ЛИ
§ 1. Веса, старшие веса, их свойства. Фундаментальные
представления
Пусть Л=([], W)—комплексная простая алгебра Ли,
L — ее корневая система и
w= wB © f © (wxяэ w~x)\ = wB © w+© w~ (i)
U+ ^ J
— разложение Картана — Вейля (см. формулу E.16)).
Рассмотрим представление d(A, Vc)- Обозначим через V,
подпространство векторов v, собственных для всех операторов
d(b) (Ъе=В):
B)
Если Vy?=0, то линейная форма veW^*1 называется весом
представления d.
A) Всякое конечномерное представление d простой ком-
комплексной алгебры Ли А имеет по крайней мере один вес.
Доказательство этого свойства основывается на теореме Ли
[35, т. III, гл. 5, § 1] о полной приводимости представлений
разрешимых алгебр. Алгебра В абелева, ограничение dA±e
вполне приводимо, конечномерно. Оно разлагается в прямую
сумму неприводимых одномерных представлений алгебры В.
Следовательно, форма v, определяемая равенством B), всегда
существует, у
B) Если v—вес представления d(A, V), X—корень алгеб-
алгебры А, то d(W') У аV V+3L
Доказательство. Пусть ojsW oeV, Тогда
, w])v =
Отметим, что функционал v+X является весом в том и толь-
только в том случае, когда вектор d(w)v отличен от нуля.
Предположим, что в представлении d(A, V) существует та-
такой вес ft, что всякий его сдвиг [i+l на положительный корень
XeL+ уже не является весом. Будем также считать, что в про-
пространстве Vу, найдется вектор и, порождающий все простран-
13* 195
ство представления под действием операторов d{a). В этом
случае вес р. называется старшим весом, а вектор и — старшим
вектором представления d.
C) Операторы d(w~), w~^W~, действуя на старший век-
вектор и представления d(A, V), порождают все пространство V.
Доказательство. Если и — старший вектор представ-
представления d(A, V), то для любого иеУ найдется такое целое по-
положительное число k, что
t) ... d(wk)ii (wtGW, 1=1, ..., k). C)
Всякий элемент Wi представим в виде суммы Wi = w
(см. формулу A)). Предположим, что в выражении C) k=l.
Тогда
v = d (та;) u = d (wB) и + d (таг) u-\- d (w+) a —
= [i (wB) u-\-d (та;") и,
t. e. v порождается действием операторов d(w~). Пусть ска-
сказанное справедливо для k=m. Тогда, как легко проверить, то
же верно и для k — m+ 1. Т
Введем в пространстве W(b частичное упорядочение. Для
пары функционалов a, p^W{B] будем считать выполненным не-
неравенство «<fi, если
Р - « =2 теА' D)
i
аде Xi&S — базисные корни, m,-eZ+. Тогда старший вес [i бу-
будет больше любого сравнимого с ним веса.
D) Всякое конечномерное неприводимое представление
d(A, V) простой алгебры А = ([ ], We) имеет старший вес.
Доказательство. Число различных весов представле-
представления d конечно. Выберем среди них какой-либо максимальный
(по упорядочению D)) вес |i. Рассмотрим произвольный вектор
в^Уц. Так как d(A, V) неприводимо, вектор v (под действием
операторов d(a)) порождает все пространство V. Следова-
Следовательно, {1 —старший вес, v — старший вектор представления
d.T
Вес v называется простым, если соответствующее ему про-
пространство Vvодномерно.
Следующие три свойства весов неприводимого конечномер-
конечномерного представления d(A, V) доказываются одновременно.
E) Старший вес представления d(A, V) прост.
F) Все веса представления d(A, V) сравнимы, и всякий
вес можно записать в виде
v = ft — ^ ЩК Щ 6 z+. h 6 S- E)
196
G) Старший вес [i сопоставляется представлению d(A, V)
однозначно.
Доказательство. Пусть v — старший вектор представ-
представления d. Рассмотрим пространства Vv для всех весов v пред-
представления d, сравнимых с ji. Построим подпространство t/sK:
Пространство U содержит вектор v и очевидно инвариантно от-
относительно действия операторов d(W~). Следовательно, UmV
(см. свойство C)). В прямой сумме F) подпространство V^
одномерно, что указывает на простоту старшего веса р. Всякий
вес v имеет вид E), поскольку он меньше ц (см. формулу D)).
Так как все веса представления d оказались сравнимы, стар-
старший вес определяется однозначно (как максимальный вес), у
(8) Множество N(d) весов v представления d(A, V) инва-
инвариантно относительно группы отражений s^ в
(9) Если v2 = s^v,, 4i^N(d), то
dim l/Vl = dim l/Va.
A0) Если v и v-j-X — веса, wl ? Wx, ^^V^ и v4 ф 0, то
d (wx) vy ф 0.
Доказательства этих утверждений приведены в [28,
гл. 14]. т
Применим оператор sx к старшему весу ji неприводимого
конечномерного представления d(A, V) (см. E.12)):
= ji - 2 -ib-0- X = ji - <Х, ji> X.
Сравнивая это выражение с формулой E), приходим к выво-
выводу, что
A1) Всякий функционал jieW1*' однозначно (с точностью
до эквивалентности) определяет неприводимое представление
d(A, V). Размерность представления d конечна в том и только
в том случае, когда fi удовлетворяет условию G).
Доказательство см. в [25, ч. III, гл. 7]._ j
Итак, классу эквивалентных неприводимых конечномерных
представлений d(A, V) простой комплексной алгебры Ли
А взаимно-однозначно сопоставляется конечная система N(d)
векторов v в пространстве Wf>. Она инвариантна относительно
отражений s^ и содержит максимальный вектор [i (старший
вес). Всякий вектор v^N(d) может быть получен из ц сдви-
сдвигом по «решетке» корневых векторов X алгебры А. Система
N{d) называется весовой диаграммой представления d.
Пусть {I — старший вес неприводимого конечномерного пред-
представления d(A, V). Построим в пространстве W^ два вспомо-
вспомогательных вектора х и Р:
A2) Формула Вейля. Размерность конечномерного пред-
представления d(A, V) со старшим весом р
Доказательство формулы Вейля основывается на свойствах
ннфинитезимальных характеров [28, гл. 15, § 6]. Ў
В качестве базиса пространства W$, где строится весовая
диаграмма, можно выбрать систему 5 базисных корней {Хг}.
Если компоненты весов считать по формуле E.22) (как для
корней в базисе Вейля (теорема E.57))
то компоненты старшего веса |i будут целыми неотрицательны-
неотрицательными числами. Помимо S удобно ввести в W$ такой базис {а»},
в котором всякий вес v представлялся бы линейной комбина-
комбинацией элементов базиса с целыми неотрицательными коэффи-
коэффициентами.
Определим элемент а< как дуальный к Ь{ относительно фор-
формы <,>:
Всякому базисному вектору я,- (фундаментальному весу) мож-
можно сопоставить неприводимое представление d{ (фундаменталь-
(фундаментальное представление) со старшим весом «г. Ранг алгебры А со-
совпадает с числом ее неэквивалентных фундаментальных пред-
представлений. Неприводимое представление d задается своим стар-
старшим весом |i или последовательностью {тг} целых неотрица-
неотрицательных чисел
т, = <Хг, ц> (г = 1, ... , г) A0)
— коэффициентами разложения веса [i по фундаментальным
весам а{:
Конец всякого вектора, являющегося весом неприводимого
представления, лежит в узле решетки, ребрами которой слу-
служат фундаментальные веса.
Фундаментальные представления играют роль элементар-
элементарных конструкций при построении полной системы неприводи-
неприводимых представлений.
A3) Каково бы ни было неприводимое конечномерное пред-
представление d(A, V), всегда можно построить тензорное произ-
произведение фундаментальных представлений dt, содержащее d
в качестве неприводимой компоненты.
Доказательство. Пусть представление d имеет стар-
старший вес fi с координатами {т,\, ..., тг}. Построим представле-
представление t(A, T) = <g>di так, чтобы всякое фундаментальное пред-
представление di встречалось в t сомножителем Шг раз. Легко про-
проверить, что максимальный вес v представления t совпадает
с ji. Действуя операторами t(a) на вектор, соответствующий
весу ft, получим неприводимое подпространство и*=Т. Под-
представление, реализующееся на U, будет эквивалентно d
в силу совпадения старших весов.
§ 2. Конечномерные неприводимые представления алгебр
si B, С) и si C, С). Компактные вещественные формы.
Фундаментальные представления su C)
Ранг алгебр 5/B, С) и s/C, С) равен соответственно еди-
единице и двум (их схемы Дынкина см. в табл. 4). Если модули
корней выбрать равными ]/2, как было предложено в § 5.4, то
коммутационные соотношения в базисе Вейля и в стандартном
базисе будут совпадать с точностью до знака (см. пример
E.60)).
В алгебре 5/B, С) существует единственное с точностью до
эквивалентности фундаментальное представление. Фундамен-
Фундаментальный вес л легко найти по формуле (9), его модуль равен
половине модуля корня:
Вес <х вместе с отраженным весом —<х составляет весовую диа-
диаграмму фундаментального представления (рис. 13), поскольку
пара (а, —а) очевидно удовлетворяет свойствам E) и G).
Рнс. 13.
199
Всякому числу m^Z+ соответствует неприводимое конечно-
конечномерное представление d(slB, С), V) со старшим весом {i=m«.
Воспользуемся выражением E) для произвольного веса v
представления d:
v == {1 — пХ = та — nl = /-^—л
Под действием оператора sx вектор v очевидно меняет знак:
Sj.v=—v. Вес —v не должен превышать щ и так как все веса
сравнимы, то
Число различных весов равно т+1. Окончательно весовая
диаграмма N (d) представления d имеет вид
-Х, -^Х, ..., --f-XJ. A3)
fJ
Построим матрицы базисных операторов d(b, x, у) в базисе
Вейля. Пусть vo^Vp—старший вектор представления. Про-
Пространство Vj! одномерно, так как старший вес прост. В каждом
из пространств У„_„х (п==0, 1, ..., т) выберем образующую
A4)
Под действием операторов d(b), d(x) и d(y) векторы va>
Vi, ..., vm преобразуются по формулам
H, A5)
, A6)
d(x)va = (m-n+l)vn-_u A7)
Первые два равенства — тривиальные следствия определения
веса и формул A3) и A4).
A4) Упражнение. Докажите соотношение A7) индук-
индукцией по п. у
Построим линейную оболочку U образующих {vn}- Из фор-
формул A5) — A7) следует, что пространство U инвариантно отно-
относительно действия операторов d(a). Следовательно, U=V.
Множество {vn} составляет базис пространства представления
d, а формулы A5) — A7) определяют матричные элементы опе-
операторов d(a) в этом базисе. Одновременно мы доказали, что
подпространства Fv одномерны, т. е. все веса v простые.
Теперь можно построить любое конечномерное неприводи-
неприводимое представление алгебры suB) в виде компактной вещест-
вещественной формы du соответствующего представления d(slB, С)).
Для этого удобно перейти к новому базису в пространстве V.
200
Обозначим через / коэффициент пропорциональности стар-
старшего веса р и корня X: /==т/2. Нумеровать новые базисные
векторы »j будем индексом /=/ — п:
7 = У, У—1, —У. A8)-
Положим
где с, = У( /)(/)
Найдем выражения для матричных элементов операторов
представления d в новом базисе:
y^ ^h B0>
В компактной вещественной форме suB) алгебры 5/B, С)
выберем базис
в котором структурные константы мнимые, а унитарному пред-
представлению группы соответствует эрмитово представление ал-
алгебры (см. замечания E.25), F.9)). Представления du(suB))
принято нумеровать индексом /, принимающим целые и полу-
полуцелые положительные значения (значок и для простоты записи
опускается). С помощью формул B0) получаем
dJ{h)r\j = jrtj,
dJ ik) flj = T CJ" Чуч + T с№' B1 >
dJ (l2) t)j= — y Cj+i V + T c/^ -1 •
Матрицы dJ(h) эрмитовы. Мы построили полную систему
(см. A1), а также § 6.5) неприводимых эрмитовых представ-
представлений {dJ} алгебры suB). Пространство V представления d1
будем рассматривать как гильбертово, dimV=2/+l. Всякое
представление dJ будет самосопряженным относительно ска-
скалярного произведения в V (см. формулу F.30)).
Построим контра градиентное представление dL по формуле-
F.27):
Представление dL-. неприводимо (см. свойство F.15)). Его ком-
комплексная оболочка dJ{t)tcявляется неприводимым (см. F.54)).
201'
представлением алгебры slB, С). Из формулы B1) следует,
что d?Hc(&)=2d?)tcD) = — dJ(b), т. е. весовая диаграмма
iV(d?)tc) может быть получена из весовой диаграммы N{d)
отражением в начале координат пространства весов Wb. Вся-
Всякая N(d) (формула A3)) инвариантна относительно такого от-
отражения. Следовательно,
dH^c^d, dU^d1. B2)
Эквивалентность представлений df^ и dJ можно установить
непосредственно.
A5) Упражнение. Покажите, что оператор
О
FJ~\ .~X \ B3)
.(-О"'
сплетает представления d^) и dJ.
A6) Замечание. Оператор FJ можно рассматривать как
матрицу инвариантной билинейной формы на пространстве
представления dJ. При таком подходе эквивалентность d(j
и dJ вновь выступает как проявление изоморфизма групп
SUB) nSp(l) (см. пример F.5)). у
Приведем простейшие примеры неприводимых представле-
представлений dJ алгебры suB).
A7) Представление d^'(suB)) по аналогии с представле-
представлениями d(slB, С)) называется фундаментальным (или спинор-
ным). Собственные значения / оператора d'/'(l3) равны ±7г.
Векторы пространства фундаментального представления назы-
называются спинорами. В базисе {г^-} матрицы dl^{li) имеют вид
{см. B1))
^2(/.) = -^- B4)
Таким образом, спинорное представление алгебры suB) со-
совпадает с определяющим, у
A8) Положим /=1 (/=1, 0, —1) и построим трехмерное
представление
B5)
202
Это представление эквивалентно присоединенному представле-
представлению алгебры suB) (с мнимыми структурными константами).
Сплетающий оператор имеет вид
-Х О X
H
0 1
Перейдем к рассмотрению неприводимых конечномерных
представлений алгебры A2=slC, С) (ее корневую диаграмму
и коммутационные соотношения см. в табл. 7). Алгебра Л2
ранга 2 имеет два фундаментальных веса «i и «2- С помощью
формулы (9) легко найти ортогональные проекции векторов
л, и а2 на базисные корни Xj и Х2:
(X,, а1) _ 1 и,, а2)
\h
• = о,
= 0,
Для удобства пользования весовыми диаграммами увели-
увеличим масштаб в У2 раз: величина <Хг, v > станет равной орто-
ортогональной проекции веса v на направление корня X*. Тогда из
формулы (9) непосредственно можно получить координаты
фундаментальных весов (рис. 14).
NG,0)
N@,/)
л.
;
VJ
0
2
VT
-2
-К
--/
Ь
У,
/ a = V,
^ А,,
? 2
\
\-ь2
А,,
4-VJ
V л
/
-А,2
/
1
V
-А,,
К,
Рис. 14.
Всякой паре чисел т\,
Конечномерное представление d
{ти тг)
соответствует неприводимое
. Построим весовые диа-
граммы фундаментальных представлений с('-°) и с'0'1'. В мно-
множествах («1—П\ X]—п2Х2} и («2—«iXi—n2 X2} (Щ, n2^Z+) нуж-
нужно отобрать такие v, для которых отражения «xv не превос-
превосходят старших весов «, и а2 соответственно. Проще всего это
Сделать графически. Весовые диаграммы на рис. 14 позволяют
Также найти кратность весов фундаментальных представлений,
т. ,е. размерность пространств Vv. Всякий вес veiV(c<0' '>)==
, 1) можно получить из фундаментального х2 с помощью
203
отражений sx,. Следовательно, все веса v простые, и dim d°- ''=3.
To же верно и для второго фундаментального представления
»°)
= X» 7 * X/ 2
Столь же легко построить графиче-
N(,i) ски весовую диаграмму (рис. 15)
представления c(lil)co старшим весом
{л.=«!-(-«2- Более сложные весовые
диаграммы приведены на рис. 16 и 17.
Для нахождения размерности пред-
представления, заданного весовой диаграм-
диаграммой, необходимо определить кратности
ее весов. В случае алгебры Л2 с этой
целью используется правило, которое
мы сформулируем без доказательства.
Рис. 15. A9) Утверждение. Всякая диа-
диаграмма N(mu 1П2) конечномерного не-
неприводимого представления алгебры Л2 распадается на после-
последовательность вложенных друг в друга шестиугольных и тре-
N (.2,2 >
C,2)
Рис. 16.
угольных контуров. Пронумеруем их извне внутрь. Кратность
весов всякого шестиугольника равна его номеру.
Кратность весов первого тре-
треугольника также равна его номе-
номеру и остается постоянной для
всех следующих. Нулевой вес
считается вырожденным тре-
треугольником или шестиугольником
в зависимости от того, находится
он внутри треугольного или шес-
шестиугольного контура. Т
Продемонстрируем это прави-
правило на примере диаграммы NC,
2). Она содержит три контура:
внешний шестиугольный, содер-
содержащий 15 простых весов, второй рнс-
204
шестиугольный — девять двукратных весов и внутренний тре-
треугольный, составленный из трех трехкратных весов. Размер-
Размерность представления с<3-2) равна 42.
На рис. 15—17 кратность веса v неприводимого представ-
-ления равна числу кружков на конце вектора v.
Нулевой вес представления с*1- •> имеет кратность 2, так что
dim d1' ''=8. Старший вес {i этого представления совпадает
с корнем Хх + Х2. С точки зрения теории представлений вектор
¦Jtj -f- X2— старший вес присоединенного представления алгебры
Ач. Следовательно, с<!>') эквивалентно присоединенному пред-
представлению Ad(A2). Двукратный нулевой вес, отличающий весо-
весовую диаграмму МA, 1) от корневой, по определению не содер-
содержащей нулевых векторов, описывает подпространство подал-
подалгебры Картана Vo=WB.
B0) Упражнение. Покажите, что. для алгебры s/C, С)
формула Вейля (свойство A2)) принимает вид
dlmc<m» m*> =fl +i_(m1 + m2)|(l+m1)(l+m2). у B6)
Построим матрицы операторов фундаментального представ-
представления ci!'°) (s/C, С), V). Каждому весу Vi
Vl, 2, 3 = (*i, «i — ?<t, «i — \— X^}
сопоставим базисный вектор qt^V
?Ь2'3 = |?\с(У,)?\ с{у,)с{уг)ф). B7)
Операторы с (а) легко определяются в этом базисе по весовой
диаграмме iV(l,0) и табл. 7 структурных констант. Например,
оператор c(yt), переводящий вес vt- в v; — X,, имеет лишь один
отличный от нуля матричный элемент, соответствующий серии
{«!,«(— X]}. Так как c{yi)qx = q2, этот матричный элемент
равен +1. Операторы c(bj) диагональны, их собственные зна-
значения совпадают с проекциями весов на направления Xt и Х2.
В результате имеем
B8)
205
/о о о\ /о о
с(х2) = О О 1 , с(х3) = (О О О
\0 0 0/ \0 0 О/
Построенное фундаментальное представление сС*0) алгебры
s/C, С) эквивалентно определяющему. Если среди диагональ-
диагональных матриц Окубо As (i = l, 2, 3) (см. D.20)) в качестве ба-
базисных комбинаций выбрать А\ —А\ и А\ —А\, то операторы
B8) полностью совпадут с базисными матрицами Окубо алгеб-
алгебры s/C, С). _
Для фундаментального представления d-^l)s=c удобно вы-
выбрать базис пространства представления в виде
?1,2,з = {<Ь —с(л:,) ft, с(*2) ?(*,)?,}, B9)
где qi соответствует весу v*:
V, = «2 —Х2 —X,, V2 = «2 —^2» V3 = «g.
Как и в предыдущем случае, с помощью весовой диаграммы
А'@, 1) получаем матричные элементы операторов с:
c(bt) =
/0 -1 0\ /0 0 0
c(yt)= 0 0 0, с(у2)= 0 0 -1
\о о о/ \о о о
Сравнение формул B8) и C0) позволяет установить, что пред-
представление с является контраградиентным к представлению с:
С@.1)==сA,H)==_^A,0))т# C1)
В отличие от алгебры siB, С) представления с(!'0) и с^H'не-
с^H'неэквивалентны. Представление с1-0'') также можно считать опре-
определяющим для s/C, С). _
Построим компактные вещественные формы си, си — фун-
фундаментальные представления алгебры suB>). Как и в случае
алгебры suB), выберем в suC) базис {%} (&=1, ..., 8)
[ak) = {bit Ь2, xt~(xj + yj), xJ~i{yj-Xj)), C2)
в котором структурные константы мнимые.
206
f Закон композиции алгебры s«C) с мнимыми структурными
^константами в базисах {а*} и {Яч}, приведен в табл. 11.
Таблица 11
h
h
к
Xe
x7
X^
4
X3
x4
A//3) (*,+
4
-*T
с =
0
К
x+
-хГ
2,2-
-3-
-3+
лг з
¦«Г
4
-Г
,-з-
X7
-3-
-з+
¦*3
-2+
2(bl + b,
X7
X2
-**
26i
^+
-VS4
h
ХГ
4
щ
4
-4
~~X2
4
0
Выпишем матрицы операторов
1
d{xt
О 1 0
) = l 10 0
0 0 0
О —/ 0
0.
/о о о\ ч /oor
i=/0 0 1 , d{xt)= 0 0 0|, C3)
0 1 0
/0 0 0
1 0 0
0 0 -А
= \i 0 0 ], d{xj)= О О -И, d[xj)= О О О .
о о о
о » о
/ о о
Точно так же из представления с<0'') в качестве компактной
20Г
вещественной формы получим представление Ф°>'>, контрагра-
диентное к d^'°>.
^=4<У>=_(<*A'О>)Т. C4)
Представления dA>0' и &°-'> эрмитовы, так что
rf<0'1J = _(</<'•0')*. C5)
В специальной литературе неприводимые представления d
алгебры suC) и соответствующие им представления D группы
SUC) обозначаются одинаково: например, rf(i.°)^ E). В фи-
физическом базисе (см. замечание F.9)) Z) = expid, и ком-
комплексно сопряженному представлению D* сопоставляется пред-
представление —d* алгебры suB). Поэтому представление &°>')
обозначается C*).
B1) Замечание. При использовании таких обозначений
следует помнить, что существуют неэквивалентные представле-
представлеиия одинаковой размерности (например, dim dS2< >>=15=
di#>4))
)
Антиэрмитово определяющее представление алгебры suC)
было построено в § 4.3 в терминах матриц Окубо Л*. Домно-
жив базисные операторы {AJ, Л?<+), Л*'"' } на —i и выбрав
в качестве независимых диагональных матриц —г (Ai—А] ) и
—г(Лг—Лз), получим алгебру эрмитовых матриц Окубо, тож-
тождественную представлению d<l< °\
B2) В пространстве весов можно рассмотреть ортогональ-
ортогональный нормированный базис {X,, X'eseV/з" (Х!+2Х2)} и дуаль-
дуальный к нему {bu fc'is1//^ (bi + 2b2)} в WB. В модели 5[/C)-сим-
метрии адронов операторы d([lyf b') = Y и d(]/2bi) гэТ'з при-
приобретают физический смысл гиперзаряда и третьей проекции
изотопического спина соответственно (см. § 8.3,4).
Матрицы определяющего представления алгебры swC) в
этом базисе были впервые построены М. Гелл-Манном [8] и по-
получили название Ъ-матриц:
Ъазисы {ki} и {а,} мало различаются, так что почти все струк-
структурные константы su(S) годятся одновременно для обоих бази-
базисов (см. табл. 11). В физической литературе для структурных
констант в базисе {ki} принято обозначение
^. C7)
208
По теореме Бернсайда F.26) линейная оболочка операторов
?) = expid совпадает с MatC, С). Действительно, матрицы
{/, d(a,i)} (в частности, {/, hi}) составляют базис в простран-
пространстве MatC, С) ассоциативной алгебры 3x3 матриц.
B3) Упражнение. Используя свойства матриц Окубо,
покажите, что
Tr(X,X*) = 2Srt, C3)
{O, К) = >-Л + )kr.j = 2dJklll + ± bjkl, C9)
Ч-k = 'fMi + dJk?4 + T bjkl- D0)
Числа djhi называются структурными константами антикомму-
тацпонных соотношений. Для них справедливо равенство
^/ = ТТг('Л' }-k}''-i)- Ў D1)
Фундаментальные представления C) и (<?*) были построены
по весовым диаграммам. В общем случае при наличии кратных
весов удобнее пользоваться методом тензорных произведений.
§ 3. Тензорные произведения представлений d(suB)) и
d'suC)) и их разложение на неприводимые
Пусть d{A, V) и с (A, W)—неприводимые конечномерные
представления простой алгебры A, N(d) и N(c) —их весовые
диаграммы, {иг}, {Wj} и {vi®Wj} — базисы пространств V, W
и V®V/ соответственно. Рассмотрим тензорное произведение
представлений t(A, V ® W) = d ® с. Если базисы {иг} и {Wj}
согласованы с разложением F) пространств представлений,
т. е. всякий Vi (или Wj) имеет вес v, e N(d) (|j e#(c)), то век-
вектор Vi(&Wj имеет вес •cij = v^ + fj. Это следует из выражения
E1) для оператора' t(b):
t (b) = dF)® I' +1® с (b).
B4) Весовая диаграмма N(t) представления t(A,
¦x,d{A, V)®c(A, W) совпадает с множеством векторов
vteEN(d), %fe=N(c). T
Графическое построение весовой диаграммы N(t) можно на-
начать с диаграммы любого сомножителя, например N(c). Далее
необходимо, последовательно принимая конец каждого ве-
весового вектора ^еЛА(с) за начало координат, воспроизводить
диаграмму N(d), сохраняя масштаб и направление осей. Ассо-
Ассоциативность тензорного произведения позволяет распростра-
распространить это правило на любое число сомножителей. На рис. 18
показан порядок построения весовых диаграмм тензорных про-
произведений фундаментальных представлений алгебры suC):
3 ® 3*, 3 ® 3. Более сложная весовая диаграмма тензорного
14 Зак. № 152 209
„O.SJ „<«,»
1
1
О О О
Pirc. 18.
произведения /=<§®S изображена на рис. 19. Пунктиром по-
показан контур исходной диаграммы N(8), сплошной линией —
контур диаграммы N(8), построенной на конце старшего веса
исходной диаграммы. Числа означают кратности весов.
1 2 ' 1
,B.2)
о—о—о
р О О о
о_с-о—р
сео
.(е,з)
Л
с- с с. о
V У
-Я--О--О- ф~о'-4
о —о-—о—-о с—
Рис. 19.
Графический анализ позволяет без особого труда найти
коэффициенты разложения представления t на неприводимые.
Если (ieJV(/)—старший вес представления t, то соответст-
соответствующее неприводимое представление d(\i.) содержится в t
с кратностью, равной кратности веса ji. Вычтем диаграммы
A'(d(ji)) из iV(/). В силу полной приводимости рассматривае-
210
мых представлений мы вновь получим диаграмму некоторого
представления и сможем повторить всю процедуру сначала.
B5) Примеры. Рассмотрим представление t(suB)) =
= d'b® ... ®d'12, содержащее п сомножителей. Весовая диа-
диаграмма N(t) содержит векторы {па, (п—2)а, ..., —п«}, так
что разложение представления t(suB)) на неприводимые мож-
можно записать в виде
Кратность веса (п—2k)x^N(/) равна биномиальному коэффи-
коэффициенту Сп=п\ (k\(n — k)]). Поскольку все веса неприводи-
неприводимых представлений dJ просты, коэффициент Г(П/2-й) опреде-
определяется кратностями соседних весов:
_rk rk-i_ n!(n-2k+i) „
B6) На рис. 18—20 весовые диаграммы представлений
3®3*, 3®3, 8®8 и 3®3 ®3 разлагаются на неприводимые
d 4
Рис. 20.
графическим методом. При выделении диаграммы неприводи-
неприводимого подпредставления применяется правило подсчета кратности
весов (утверждение A9)). j
Полностью решить задачу разложения представления t на
неприводимые графически не удается. Для выделения непри-
неприводимых инвариантных подпространств воспользуемся алгеб-
алгебраическими свойствами тензорных произведений, инвариант-
инвариантностью относительно действия t(a) пространств симметричных
и антисимметричных тензоров.
Начнем с алгебры suB). Пусть t — n-кратное тензорное
произведение представлений d%l\ гц — базисные спиноры. Базие
пространства Т представления / состоит из тензоров
Tj,, ..., } =Чп Tjy,® ... ® t}j ¦ Построим инвариантное под-
14* 2Н
пространство S(n)aT полностью симметризованных тензоров
с базисом Т<;1 j }. Тензор 7\ 2, ..., \ч принадлежит под-
подпространству старшего веса ji(r/V(?), {«¦ = ««. Следовательно,
S (п) должно содержать подпространство неприводимого пред-
представления dn'2. Размерность представления dn2> равная п-)-1,
совпадает с мощностью базиса \Tnt _,¦ Л. Таким образом,
пространство S (п) неприводимо, и на нем реализуется под-
представление, эквивалентное dKi• Аналогично можно пока-
показать, что всякое подпространство 5 (р, k) тензоров, симмет-
симметричных по р значкам и антисимметричных по k парам значков,
р + 2/г = п, неприводимо. Число независимых подпространств
S (р, к) в Т равно r{n2-k) (см. формулу D3)). Пространство
антисимметричных тензоров второго ранга Т[л\ одномерно. На
нем реализуется тривиальное представление алгебры suB).
Так что всякое пространство S (p, k) изоморфно S (p=n—2k)
и реализует неприводимое представление d(n2~lz).
Итак, мы можем построить полный набор неприводимых
инвариантных подпространств, соответствующих разложению
D2). Операторы t(a) есть сумма тензорных произведений еди-
единичных матриц и матриц фундаментального представления d'-1-
(см. формулу C.1)). Матрица перехода от базиса {7\-, j^
к базису {T{Jl,...,jnh 7"[Л,;2,,/з )п], ...'приводит операторы
t (а) к блочно-диагональному виду, где каждый блок реализу-
реализует неприводимое подпредставление ci[~k) и встречается
Г(Я;2 - h) раз. Отметим, что для построения любого неприводи-
неприводимого представления d1 достаточно пространства симметрич-
симметричных тензоров 7\/,, ...,/], где n = 2J.
Если t (su B)) —с?л ® dJ\ то базис пространства представ-
представления каждого сомножителя удобно записать в виде Тп\, ...,у- i
(n — 2Ji, 2J2). Тогда пространство Т представления t с базисом
р» Jni] l!u ¦ ¦ ¦ • ln2) будет содержать инвариантные неприво-
неприводимые подпространства
7'=5(л1 + /га)©5(л1 + л2-2,1)© ... ®5(%-^, n2) D4)
при tti^n2. Кратность каждого слагаемого в D4) равна еди-
единице. Действительно, все базисы типа Т . ,
4
с одной антисимметризованнои парой индексов совпадают
вследствие симметризации наборов {/'} и {/}.
Итак, мы доказали известную формулу
t = dJl <g> dJ'« dJl +J> 0 dJt +Jt~l® ... ф dJl~Ji, У, > J2. D5)
212
Перейдем к анализу тензорных произведений t(suC)) фун-
фундаментальных представлений C) и C*) алгебры suC).
B7) Рассмотрим два примера. Пусть t=3®3. На рис. 18
показано, как разлагается это представление на неприводимые.
Базисный элемент Tu = q1^)q1— старший вектор, так что ба-
базис представления F)=afB'°) состоит из симметрнзованных
тензоров Т('" '2' .Следовательно, антисимметризованные тензо-
тензоры 71''"'2' образуют ба-зис представления d<0>')=(<?*). С по-
помощью диаграммы, приведенной на рис. 18, легко уточнить со-
соответствие между базисами {qi] (формула B9)) и {Г'1''2}:
д^ЧцТ"-". D6)
Точно так же устанавливается изоморфизм пространства анти-
антисимметричных тензоров с базисом 7V,.i2] и пространства пред-
представления d1-1' °)= C):
qi = ^T[Ll.. T D7)
B8) Следующий важный пример — представление t=3®3*,
разлагающееся в сумму октетного (8) и тривиального A)
представлений (рис. 18).
Представление C*) = — (^'¦°>)т совпадает с представле-
представлением (dA'°^)<*>/, сопряженным d1-1'^ относительно билинейной
формы с матрицей /. Следовательно, тензор Т)Ч — Т-, -f- Т2 + Ts
является инвариантным элементом в пространстве представле-
представления 3 ® 3* (см. пример F.7)). Он порождает пространство три-
тривиального подпредставления dP-^s= A).
Изоморфизмы D6), D7) позволяют иначе сформулировать
полученное свойство. Перепишем базис Т) в виде 7*4 Тогда
инвариантный тензор Т)Ь[ перейдет в эквивалентный тензор
третьего ранга:
7, ,2, 3] + Т2 [3, 1J + Т3 ,., 2] = тШг^ D8)
Инвариантность тензора D8) означает, что он аннулируется
операторами представления afC0)®^1'0)®^1'0'. Из рис. 20 вид-
видно, что скалярное подпредставление A) действительно содер-
содержится в разложении на неприводимые представления 3®5®5.
Тем же свойством обладает и 3* ® 3* ® 3*. Т
B9) Упражнение. Используя свойства весовых диа-
диаграмм тензорных произведений фундаментальных представле-
представлений алгебры smC), покажите, что ассоциативная алгебра инва-
инвариантных тензоров порождается элементами Т)Ц и T«ft sijk- T
Перейдем к анализу тензорного произведения произвольно-
произвольного числа фундаментальных представлений
t = 3<g> ... <g> 3 ® 3* <g> ... ® 3*
213
и соответствующих им базисных тензоров Т'}[,У''"- Симмет-
Симмет\н '»!
ричные тензоры с компонентами а\н '.»!, как и прежде, по-
рождают инвариантное подпространство S. На этот раз наличие
инвариантного тензора 5} делает подпространство S приводи-
приводимым. Свертки с б) порождают инвариантные подпространства
тензоров меньшего ранга. Для алгебры su(S) существует един-
единственный смешанный инвариантный тензор. Следовательно,
подпространство S(n, /)crS симметричных (п раз контрава-
риантных н / раз ковариантных) тензороз, удовлетворяющих
условиям
D9)
пепрнводимо. Дополнительное к S подпространство в Т состоит
из частично антпсимметризоЕанных тензоров. Антнснмметризо-
вать можно только пары или тройки индексов (одной валент-
валентности). Эта процедура эквивалентна свертке с тензором е^
по двум пли трем индексам, т. е. понижение ранга тензора.
В редуцированном таким образом пространстве вновь выде-
выделяется подпространство S(k, р) и т. д.
'30) Упражнение. Покажите, что всякое неприводимое
под:.]. ">странство в Т имеет вид S(k, p), k + p^n + l. ?
На:';дем числа (ть т2), характеризующие неприводимое
'юдпросгранство S (k, p). Его старший вектор имеет вид
А; ¦.'.') з, следовательно, ji,= miai + m2 a.2=k a i + p'«2. Итак,
S(k, p) —пространство неприводимого представления dih'p-'.
C1) П р и м е р ы. В разложении представления
t = 3®3®3 = (W) Ф {в) -;? (8) -{П
тензоры т{'1:'"'А образуют базис декуплета, Г^"^'''"'1 и
j[' .'гГз! порождают пространства двух октетов и, наконец,
j[i., ¦',¦'»] — синглет.
C2) Представим в тензорном произведении t=(8) ® (8)
пространства октетных сомножителей в виде S(\, 1) (компо-
(компоненты его тензоров Т=а'Т) удовлетворяют условию а1// =0).
Тогда неприводимые пространства представления
(8) ® (8) = B7) Ф (.10) о G0й; , [8) © 'М) 3 (/)
(см. рис. 19) порождаются тензорами
214
§ 4. Схемы Юнга
При тензорном анализе представлений больших размерно-
размерностей удобно пользоваться методом схем Юнга. Сформулируем
его для случая алгебры su(n).
Алгебра su(n) имеет ранг г = л—1. Ее комплексификация
совпадает с алгеброй Аг. Следовательно, существует г неэкви-
неэквивалентных фундаментальных представлений алгебры su(n) и
столько же фундаментальных весов я*. Пусть d — фундамен-
фундаментальное представление со старшим весом aj. Построим тензор-
тензорное произведение // таких фундаментальных представлений
Базис пространства представления t состоит из тензоров
Используя симметризацию и антисимметризацию индексов,
построим оператор, который, как будет показано, является
проектором на неприводимое инвариантное подпространство.
Зададим невозрастающую последовательность целых неот-
неотрицательных чисел qs:
Чх > Я 2 > ... -> qT (.Ях Л- ¦ ¦ ¦ + Яг = А\ /¦ = л — 1). E0)
Каждому числу qs сопоставим строку из qs клеток и объеди-
объединим все г строк в схему, изо-
изображенную на рис. 23. Прону-
Пронумеруем клетки схемы от 1 до
N. Каждому числу l^-k^N
сопоставим индекс 4 базисно-
базисного тензора 7"»----'(д'. Будем
считать, что построенная схе-
схема задает оператор Y, спммет-
ризующий индексы с номерами
в каждой строке и затем ан- |__|__L._j
тнскмметризующпй индексы с
номерами, попавшими з один
столбец. Такой оператор пазы- Рис. 21.
ваетея симметризатором Юнга,
а задающая его схема — схемой Юнга.
Снмметризатор Юнга У очевидно является оператором
проектирования и выделяет в пространстве представления t
подпространство, которое мы обозначим через 5(У). Это под-
подпространство инвариантно.
C3) Утверждение. Пространство 5 (У) неприводимо.
Симметризатор У однозначно задает неприводимое представле-
представление t*(su{n), ' S(Y)) =?<«'-«¦¦ «•-*" *n-r-«n-v *n-\l в свою
215
очередь всякому неприводимому представлению d("!l '"«-О
однозначно соответствует схема Юнга У с числами
л-1 п—1
<7; = ^ ,^, q\_ = v OTs, ..., ^^ = /7zn^. Ei)
.?"! .5 = 2
Доказательство. Пронумеруем базисные корни Х;. ал-
алгебры Ап в порядке расположения их в схеме Дынкина (см.
табл. 4).
Все веса {Vj(d)} фундаментального представления
d=d^'0' ¦ • ¦ ¦os простые. Они равны
«1, «1 — *ъ «! — >., — л,, . . . , «! — X, — . . . — X,,.,. E2)
Итак, dimd = n. Пусть тензор Tj образует базис подпро-
подпространства с весом v • — а, — X, — Х2 — ... — X3-_i.
Всякий вес | представления /у можно записать как линей-
линейную комбинацию весов Vj фундаментального представления of
(свойство B4)). Формула E2) убеждает нас в том, что все
веса {!} сравнимы. Тогда конечномерное представление tY
имеет максимальный вес
¦ п(Y) = <7lV, + <?2v, + . .. + ?,,v,. ('7/GZ+, ^4, = A')- E3)
Подставим выражения E2) в формулу E3):
.i ( У) = \\ - (X - д,) X, - .. . - (Л' - д} - ... - ?„_,) Хл.,. E4)
Для любого веса
5 = 2 ^Л- = 'v«i - 0V—^) >.,-...- (.v- у! -... — ^-,) х„_,
E5)
разность
{1 (Г) — ? = (<?, — ?г) X, -I- (t/t — ?г 4- <?2 — ?•-) >-2 + • • •
должна быть линейной комбинацией базисных корней с поло-
положительными коэффициентами (свойство F)). Отсюда следует,
что q\ в разложении E3) имеет максимальное значение, до-
допустимое в представлении tY. Фиксируем его. Среди всех весов
с максимальной величиной q\ вес ji (У) имеет максимально до-
допустимое значение коэффициента q2 и т. д. В принятой нами
нумерации базисных тензоров Ti весу § (см. формулу E5))
соответствует тензор, где q\ индексов равны 1, qi индексов—¦
2, . . ., qn индексов — п. Среди индексов ?ь . . ., iN тензора с
весом [л (У) должно быть максимально возможное число qi
единиц, максимальное, не превосходящее q\, число q2 двоек
и т. д. С помощью схемы Юнга (рис. 21) легко установить,
216
что число индексов этого базисного тензора, имеющих значе-
значение /, равно числу <7j клеток у-й строки, т. е. коэффициенты q:
в разложении E3) веса [-'.(У) совпадают с длинами строк схе-
схемы У. Очевидно, что в пространстве 5(У) существует единст-
единственный базисный тензор с такими свойствами. Вес [х (У) прост.
Пусть c({i) —неприводимое представление, соответствующее
весу {а(У). Мы показали, что 5(У) содержит подпространство
V, изоморфное пространству представления с(;л). Предполо-
Предположим,, что 5(У) приводимо. Так как оно вполне приводимо
(утверждение F.58)), то S(Y) я=: У-¦;_- V\, где подпространство
1Л также инвариантно. Подпредставленне, действующее на V]t
имеет максимальный вес z^N(tY)
Соответствующий базисный тензор имеет ^/ индексов, рав-
равных 1, q{ индексов, равных 2, и т. д.
Построим схему Z со строками длиной q{, ..., q'n:
Я\>Я',> •¦•*> Я'п.х>Я'а, 2^'=iV- E6)
В общем случае оно не является схемой Юнга для алгебры
su(n), так как число ее строк равно п. Симметризатор, кото-
который мы обозначим тем же символом Z, является проектором,
как и снмметризаторы Юнга. Пространство S(Z) инвариантно
и содержится в V{. Тогда S(Y)[}S(Z)=?0. Вместе с тем, схемы
У и Z имеют одинаковое число клеток и Y=?Z. Произведение
YZ таких проекторов равно нулю. Предположение приводимо-
приводимости S(Y) привело к противоречию.
Итак, спмметризатор Юнга У определяет единственное
(с точностью до эквивалентности) неприводимое представление
с(ц)«/г со старшим весом ?л. С помощью формул A0) и E4)
легко выразить индексы ms представления c(\i) через длины
строк схемы У:
ms — 2-^~- = qs — i7s^, 1 < s </г — 1. E7)
Рассмотрим теперь произвольное неприводимое эрмитово
( 'Hj, . . . ,'П j )
представление d' алгебры su(n). Построим схему
Юнга У, у которой ш/ одноклеточных столбцов, т2' двукле-
точных и т. д.
C4) Упражнение. Покажите, что представления tyr и
( т,, . . . ,т ¦, )
dK ' эквивалентны. V
Таким образом, между схемами Юнга алгебры su(n) н
классами эквивалентных неприводимых эрмитовых ее пред-
представлений установлено взаимно-однозначное соответствие, у
Поскольку множество схем Юнга оказалось полным, обсу-
обсудим вопрос о роли введенных схем Z с qn?=0. Пространства
217
S(Z) неприводимы так же, как и 5(F). Схема Z содержит qn
столбцов с п клетками. Каждому из них соответствует п анти-
симметризованных индексов в базисном тензоре Г'" '^про-
'^пространства S(Z). Тензорный сомножитель Т1": ' остается
инвариантным под действием операторов представления tz. Вес
тензора Т [h '"] равен нулю, поскольку он равен сумме весоз
Vy фундаментального представления d. Пространство с базис-
базисным элементом Т ¦¦••>1«1 —это пространство тривиального
(одномерного) преде; мления алгебры su(n). Следовательно,
элементы неприводимого пространства S (Z) преобразуются как
тензоры ранга (N— nqn). Схема Юнга неприводимого пред-
представления /2 получается из Z вычеркиванием всех qn столбцов,
состоящих из п клеток. Нормированный инвариантный тензор
я-го ранга будем обозначать е'1'''' ' '" . Знаки его пснулеЕЫх
компонент фиксируются условием
е1,2, .... л= +]_
C5) Пример. Для тензорного произведения 3®3®3 фун-
фундаментальных представлений алгебры s«C) можно построить
две схемы Юнга (рис. 22). Схема присоединенного представле-
Рис. 22.
ния dt1'1) допускает два неэквивалентных варианта распреде-
распределения индексов по клеткам. В итоге получаем три нетривиаль-
нетривиальных неприводимых подпредставления. Для построения всех не-
неприводимых подпространств необходимо учесть существование
инвариантного тензора с коэффициентами eijk — столбца из
трех клеток, f
Мы рассмотрели тензорные произведения представлений
d11'0''''' 0)=d. С тем же успехом можно было положить б осно-
основу конструкции фундаментальное представление а'@'• ¦->и'1),
свойства которого аналогичны d.
C6) Упражнение. Покажите, что представление
di0 0Л) контраградиентно представлению d (l'0> 0):
ill, 0, ... , 0) j@, ... ,0, 1) __ / r-o\
Базисные элементы пространства представления d '''' '
218
удобно нумеровать нижними индексами: {7,}. Как ранее, мож-
можно доказать существование инвариантного тензора с компонен-
компонентами г. . . Поскольку форма скалярного произведения
тоже инвариантна относительно rf(S) ® ^(см. B8)), то вся-
всякая свертка выделяет в пространстве смешанных тензоров
7V \k инвариантные подпространства. В частности, тензоры
'/'""¦''"-is. . . составляют базис Фундаментального
представления d('' ¦ ¦ ¦ ¦ !). Иными словами, тензор Г^1' '"-"
ведет себя под действием операторов представления как Tj.
К тому же результату можно прийти, используя правило,
сформулированное в утверждении C3): схема Юнга представ-
представления d@ °'*' состоят из одного столбца высотой п—\.
Аналогично для других фундаментальных представлений
алгебры su (п) схема Юнга всякий раз будет состоять из одного
столбца. (Например, для su E) см. рис/23, а— г.)
а
Л3.2Д0)
—1 . —i
I г —v
{ Ч
1 ь
1
ж,
Рис. 23.
Перепишем формд'лу Веиля (8) в терминах параметров схем
Юкга.
C7) Формула Вейля. Пусть Y(d)—схема Юнга неприводимо-
неприводимого эрмитова представления d алгебры su(n). Составим таб-
таблицу:
а
Р
1
Я,
Pi = <7i -'г п — 1
/х = « - 1
Ч,
p2 = q-2 + n-2
'¦2 ™ П ~
Яп-1
Рп-1 = Чп-1 + 1
^п~ 1 :==
0
/„ = 0
Размерность представления
E9)
219
C8) Пример. Представление, схема У которого изобра-
изображена на рис. 23, д, эквивалентно присоединенному представле-
представлению алгебры suE) (см. упражнение D9)). Вычислим размер-
размерность присоединенного представления по формуле E9):
q 2
г 1 б
/ j 4
1
4
3
1
3
2
1
о
1
0
0
0
dim (ad) =
6-4.3-2-4.2-3-2
4.3-2.3-2-2
= 24. V
C9) Упражнение. Покажите, что размерность фунда-
фундаментального представления со схемой У (рис. 23, б) н контра-
градиентного ему представления У (рис. 23, в) равна 10.
D0). Упражнение. Вычислите размерность представле-
представлений d'"'1'1''0 и d{"'2>p''-) (рис. 23, е, ж) по формуле ВейляE9).
Ответ: 75, 50. ?
Перейдем к основной задаче — разложению тензорных про-
произведений неприводимых представлений в терминах схем Юнга.
Начнем с простого случая, когда один из сомножителей равен
d^'-''---'°i с одноклеточной схемой Y(d), а второй — произволь-
произвольное неприводимое представление с{'" " ' т"-1> со схемой У (с).
Пусть
.1 I.
Т in.
—^
¦— оазисный тензор пространства представления с (антпопм-
метризацпя по столбцам не обозначена). Для выделения в про-
пространстве представления d®c неприводимых Подпространств
необходимо симметризовать по Юнгу базисные тензоры
7 1'" ¦¦¦ i\- ¦¦}{¦¦¦' 'A/'.v+i^ T e построить все неэквивалентные опе-
операторы Z (а не только YI), содержащие симметризатор Y(c).
Если теперь в схемах Z (с числом клеток (iV+1)) вычеркнуть
все /г-клеточные столбцы, получим полный набор неприводимых
подпространств-
D1) Схемы Юнга всех неприводимых подпредставлений в
тензорном произведении представлений с'"'1 "г"~^(со схемой
У) и dA>0 0) получают добавлением одной клетки к схеме У
всеми способами, совместимыми с условием E6), и последую-
последующим вычеркиванием n-клеточных столбцов. Схема, целиком со-
состоящая из «-клеточного столбца, описывает тривиальное под-
представление, у
D2) Пример (рис. 24).
В представлении rfA> Ч®^1-0' неприводимая компонента
d(I|°) получена вычеркиванием трехклеточного столбца в по-
последней схеме Z. v
Следующие ^правила разложения (тензорных) произведений
220
схем Юнга устанавливаются аналогично свойству D1). Мы
приведем их без доказательств.
л С,»,- ,0)
п
„¦">
r.A ,!>
п = гп
лолл ...о)
в
d(W dH,0>
® ? =
du-'
dw,°.
d
<7,ff,-,0. ¦ ¦,")
= 2)
Рис. 24.
D3) Разложение произведения схемы Y на строку (пред-
(представление d'Q" °' ¦¦¦•"'') содержит те и только те схемы Z, кото-
которые получаются последовательным добавлением к У каждой
клетки по правилу D1), но не более одной клетки строки в
один столбец. Схемы Z, различающиеся лишь порядком распо-
расположения клеток строки, учитываются только одни раз.
D4) Пример (рис. 25).
,0)
du.^<
•
•
.|.|.
,0)
•1 е
e
a
•
•
•
•
•
Рис. 25.
D5) Рассмотрим произведения произвольных схем Y и Y'.
В каждой клетке одного из сомножителей (например, Y') по-
поставим номер ее строки. Перемножим последовательно У на
каждую строчку схемы У по правилу D3). Для всякой по-
построенной таким образом схемы выпишем цепочку номеров в
ее клетках справа налево построчно сверху вниз. В разложе-
разложении нужно оставить только те схемы, для которых полученная
последовательность чисел удовлетворяет условию: для любого
члена последовательности число единиц перед ним больше или
221
равно числу двоек, число двоек больше или равно числу троек
и т. д.
D6) Пример (рис. 26).
В
1
2
7
2
7
2
7
2
[2271]
+
П2Т21
1\2\ +
7 7
B112]
2 +
[2112]
ТТ2| +
7
2
2
[7722] [/722] [2277] [2727] [2772] [7272]
7
2
7
2
ф
Ф
2
Рис. 26.
D7) Упражнение. Разложите тензорное произведение
присоединенных (октетных) представлений алгебры s«C) с по-
помощью схем Юнга. Ответ приведен на рис. 27.
(8)
E)
B7)
(•¦о)
i J
(
70
*)
е
-'X''
Рис. 27.
D8) Упражнение. Постройте разложения тензорных
произведений представлений алгебры suE), приведенные на
рис. 28. у
Некоторые свойства неприводимых представлений можно
установить по внешнему виду их схем Юнга. Мы уже отмеча-
отмечали, что схемы Юнга системы фундаментальных представлений
алгебры su(n) —это столбцы высотой от 1 до п—1. Характер-
222
ный вид имеют также схемы присоединенных представлений.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим тензорное произведение
фундаментальных пред-
E*)
ставлений d{ ° и
^A,0 0)
D9) Упражне-
Упражнение. Используя конт-
раградиентность пред-
,10 0.1)
ставлении а
и d A'°— >0> и форму-
формулу E2), покажите, что
максимальный вес {i
представления t =
(Л
D
B4)
F
E)
D =
A0*)
A0*)
ф п
Н
щ
tr
""¦ 1
G5)
U
B4)
равен сумме базисных
корней, f
«Старший корень»
корневой диаграммы
алгебры su(n) также
равен сумме базисных
корней (см. §5.5). Так
что определяемое ве-
весом {1 неприводимое
подпредставление в t
эквивалентно присо-
присоединенному. Итак, для
построения схемы
У (Ad) нужно выделить
подпредставление мак-
максимальной размерно- Рис- 28.
сти в тензорном произ-
произведении столбца высотой п — 1 на клетку.С помощью свойства
D1) получим параметры схемы У (Ad): <7i = 2, <72 = <7з= • • • =
= <7n-i = l- Отметим, что представление t всегда разлагается на
два подпредставления — присоединенное и тривиальное (см., на-
например, рис. 28, а).
Наличие тривиального подпредставления является специфи-
специфической чертой тензорного произведения контраградиентиых
представлений. Действительно, если представления контрагра-
диентны, то существует форма, инвариантная относительно их
тензорного произведения, т. е. тривиальное подпредставление.
Если схема Y(d) задается числами {qs}, то схема Y(d^)) долж-
должна «дополнять» Y(d) до схемы тривиального представления,
состоящей из n-клеточных столбцов. Для этого длины строк
{qs'} схемы Y (d^) положим равными
223.
Можно найти Y(d(%)) графически. Впишем Y (d) в прямо-
прямоугольник со сторонами qx и п. Отрежем схему Y(d). Если
оставшуюся систему клеток повернуть на 180°, то получится
схема Y(d(%)).
Очевидно, что Y (d^)) — Y(d) в том и только в том случае,
если d ~ d(^), т. е. d ~ dM = —dT = —d*. В физической литера-
литературе такие представления называются просто самосопряженными.
E0) Примеры. Присоединенные представления d '°'---0>1)
являются самосопряженными: (8) в suC), B4) в suE) и т.д.
E1) Упражнение. Покажите, что индексы {/л,} само-
самосопряженных представлений образуют симметричную последо-
последовательность (nil, m.2, ¦ ¦ ., т2, Ш\). у
В заключение обсудим роль различных фундаментальных
представлений алгебры su(n). Представления dn'{)""'"} и
d1''1' "" {'Л) выделены. Они имеют минимальную размерность и мо-
могут рассматриваться как определяющие представления алгебры
su(n). Мы показали, что тензорных степеней представления
я!'>0""'0> достаточно для построения любого конечномерного
неприводимого представления. Очевидно, что то же
справедливо и для d'0' —<М) . Назовем такие представления
порождающими. С помощью схем Юнга легко установить, какие
из фундаментальных представлений
являются порождающими.
E2) Фундаментальные представления ds(su(n)) являются
порождающими, если и только если числа п п s взаимно
простые.
E3) Упражнение. Пользуясь методом схем Юнга, до-
докажите свойство E2). V
Для алгебры suF), например, порождающими являются
лишь представления d\ и d$. Если же число п простое, то вся-
всякое фундаментальное представление алгебры su(n)—порож-
su(n)—порождающее.
§ 5. Ограничения неприводимых представлений алгебр
su(n). Частные случаи
Ограничением dA\ в представления d(A, V) алгебры А на
подалгебру В назовем ограничение на В гомоморфизма d. Опе-
Операторы dAiB(b) действуют в пространстве представления V.
Необходимость изучать ограничения представлений связана
с иерархией симметрии. При построении симметрии, обобщаю-
обобщающей исходную, алгебра последней оказывается подалгеброй в
алгебре новой симметрии. При этом важно знать, какие физи-
физические объекты, классифицированные по старой схеме, входят
224
б пространство неприводимого представления (элементарный
объект) новой алгебры симметрии.
В этом параграфе рассматриваются лишь регулярные вло-
вложения, то есть те, что согласованы с разложением Картана
исходной алгебры. Они играют фундаментальную роль в фи-
физических приложениях. Схемы Дынкпна позволяют найти все
регулярные полупростые подалгебры в su(n) (а после некото-
некоторой модификации схем — во всех простых алгебрах Ли).
Регулярной подалгебре соответствует подпространство кор-
корневого пространства исходной алгебры. Если согласовать ба-
базисы алгебры Л и подалгебры В : {u7}c:{i>,i}, то на исходной
корневой диаграмме L(A) фиксируются поддиаграмма
L(B)a:L(A) и соответствующее корневое подпространство.
Пусть алгебра А имеет корневое пространство W, а подалгеб-
подалгебра ВаА— корневое подпространство W'czW. Весовая диа-
диаграмма ограничения с1Л;в равна проекции весовой диаграммы
N(d) исходного представления на подпространство W.
E4) Пример. В алгебре su{3) единственной регулярной
полупростой подалгеброй является suB). Корневая система
L(suB)) может быть вложена в L(suC)) тремя неэквивалент-
неэквивалентными способами в зависимости от того, отождествим ли базис-
базисный корень X подалгебры suB) с Xlt Х2 или Я3=Х,+Я2 (см.
рис. 13 п 14). Пусть X--Xi (рис. 29). Тогда операторы пред-
представления a^uC),suB)=c на весовой диаграмме осуществляют
сдвиги по горизонтали. Весовая диаграмма N (d) исходного
представления расслаивается на поддиаграммы N(c). Вместо
проектирования на горизонтальную ось всей N(d) удобнее вос-
воспользоваться готовыми инвариантными подпространствами (со-
(соответствующими каждой из N(c)). На рис. 29, а, б, г показа-
показано, как диаграммы N(C)), JV ((<?*)) и N{{10)) расслаиваются
на диаграммы неприводимых представлений алгебры suB).
Здесь сразу получаем ограничение с представления d разло-
разложенным на неприводимые. В общем случае поддиаграммы М{с)
соответствуют приводимым представлениям. Их разложение не
представляет труда, так как все веса неприводимых представ-
представлений cJ(su{2)) простые. На рис. 29, в показано построение
ограничения с*1- '> неприводимого представления d('>!). Одна из
поддиаграмм N (с) соответствует прямой сумме представлений
с1 и с0, у
Графический метод построения ограничений и разложения
их на неприводимые компоненты прост и удобен. С его по-
помощью можно получить в тензорной форме базисные элементы
каждой неприводимой компоненты.
В пространстве фундаментального представления dA0) при
стандартной нумерации базисных элементов (см. формулу B7))
операторы с*1-0' не выводят из подпространств с базисными
векторами {Т\ Т2} и {Г3}. Следовательно, для всякой тензор-
тензорной степени представления dA>°> ограничение 4ион«иB) не мо-
15 Зак. Aft П2 225
¦213
c(t'0>= с'
С" ,
Я-С.0)
= B,1.'3)9 A,-2/3)
с<0'"=С''2
C(s'r'=(.2,-H3) © G, 2/3)
f(v'=(J,O© B,7) ф B,-7
V
г «
I Q--
-1
-2
c<J'")=D,'}® {3,0) © B,-7) ф G,-2)
¦«• О »-
Рис. 29.
жет изменить в тензоре j'u---''n число индексов со значением
1 = 3. Из диаграммы N(d^'°>) видно, что это число однозначно
задает инвариантные подпространства с поддиаграммами N(c).
Проиллюстрируем это на примере присоединенного представле-
представления с!'1-1). Классифицируем его тензоры {Г!<1 ^'г1 '3'} по указан-
указанному признаку:
т[2{\]1)\
1]1}( 7[3{2]2} 7[1{2J3}1
ITU{3}3}^ 7[2{3]3}J_
226
Легко убедиться, что тензор Т1 \ > > аннулируется оператора-
операторами сA'''(/). Он порождает пространство скалярного подпред-
ставлення с0. Три других тензора того же типа задают базис
подпредставления сх. Первое и третье подмножества порожда-
порождают подпространства спинорных представлений с.
Поскольку ранг алгебр suC) и suB) отличается на едини-
единицу, в подалгебре Картана алгебры suC) существует одномер-
одномерное подпространство элементов, коммутирующих с фиксиро-
фиксированной подалгеброй su{2), — подалгебра мA). Вместе с suB)
она составляет подалгебру AmsuB) ©мA)е«иC), макси-
максимальную среди содержащих suB) в качестве прямого слагае-
слагаемого.
Для выяснения структуры ограничения dsllly^A обобщим
понятие тензорного произведения представлений. Пусть
сл(А\, V\) и с2(А2, V2) —представления алгебр А\ и А2 соот-
соответственно. Назовем их тензорным произведением представле-
представление / алгебры /!к;Г^2 в пространстве Vi®V%:
t((at, а2))=с1(а,)®/+/®с-Л«:0- F1)
E5) Упражнение. Докажите, что /—ci(g>f2 неприводи-
мо тогда и только тогда, когда c;Mi) и Со(А-2) непрпводимы. у
Если {ci} и {с2}—полные системы неприводимых представ-
представлений алгебр А\ и .42, то множество {с\®с*} есть полная си-
система неприводимых представлений алгебры АжА\---/А2. От-
Отметим, что ограничение неприводимого представления t на
одно из прямых слагаемых, например /л,л,, состоит из опера-
операторов С\{п\) ®1. Это означает, что представление /д^, экви-
эквивалентно прямой сумме представлений с\ с кратностью dimc2.
Ограничение /ли, непрпводнмо в том п только в том случае,
когда г2 одномерно.
Эрмитовы неприводимые (одномерные) представления ал-
алгебры и(\) реализуются операторами умножения па действи-
действительные числа. Выберем базисный элемент подалгебры
u(l)c=s«C) в виде bY = lk(bi + 2b2) (см. B2)). Пусть <?.(«(!))
и е2(и(\)) — неприводимые представления, причем
К, v = e, {by) v—y\v, Y,, v — e-i [bY) v = y2v (yu y,?R).
Представления в\ и е2 эквивалентны тогда и только тогда,
когда yl=y2, т. е. множество неэквивалентных неприводимых
эрмитовых представлений алгебры и(\) можно/ параметризо-
параметризовать действительными числами y^R : {еЩ.
Построим ограничение c(mt' m° — d'^'.i^A ¦ Всякое подпро-
подпространство, неприводимое относительно ограничения c{m" ms) =
=^!оC)Г1иB), составляет прямую сумму эквивалентных не-
неприводимых представлений е№. Если известно разложение
представления clm" ™z) на неприводимые компоненты cJ, то
для построения неприводимых- компонент ограничения dmi- тг)
15* <т
достаточно для каждого cJ найти соответствующее ему пред-
представление <?(*". Индексы представлений е{у> (собственные зна-
значения оператора Y) легко найти по весовой диаграмме, поде-
поделив на уЗ ортогональные проекции соответствующих весов на
ось Я/()/ —вектор, дуальный к элементу У). В физической
литературе представления с-г®е<") нумеруют парой чисел
(dim cJ, у). В этих обозначениях ограничения сA'°) и с'0-')
имеют следующую структуру:
Эти и подобные им разложения приведены на рис. 29.
Вернемся к общему случаю L^>A=Al@A2. Пусть d и d' —
нредставления алгебры L, с и с' — их ограничения на А. Рас-
Рассмотрим ограничение с"=(ца тензорного произведения
t=d®d'. Если известны разложения c=©(ci®c2) и
г'=ф (ct(g)c2), то неприводимые компоненты представления с"
можно построить, не прибегая к помощи весовой диаграммы
N(t).
E6) Упражнение. Проверьте следующие равенства:
с" —с® с', F2)
®(с,®с:2)). Т F3)
E7) Ограничения с неприводимых представлений d(suC))
позволяют однозначно классифицировать базисные векторы
нространства представления d. Базисный элемент vl полностью
характеризуется неприводимой компонентой cJ®e^\ которой
он принадлежит, и весом / в пространстве представления cJ.
Ита1с, чтобы задать вектор v!, достаточно указать три числа:
/, / и у. f
Если ранг алгебры больше двух, графическое изображение
весовых диаграмм становится затруднительным. В этой ситуа-
ситуации полезно использовать свойства тензорных произведений,
иолученные в упражнении E6).
Рассмотрим для определенности алгебру su(o). Схема Дын-
кина позволяет сразу найти простые подалгебры, которые
можно вложить в suE): это suD), suC) и suB). Так как
базисные корни X i и Х2 ортогональны корню Х4 (не соединены
с ним линиями), то в suE) можно вложить полупростую под-
подалгебру s«C) ®smB). Ранг алгебры suC) @s«B) на единицу
меньше ранга алгебры suE). Следовательно, как и в преды-
предыдущем случае, в подалгебре Картана алгебры suE) сущест-
существует подалгебра ыA), коммутирующая с жыC)ф suB). Пря-
Прямая сумма A^s«C)(B suB) фиA)—-максимальная подал-
подалгебра в s«E), содержащая прямое слагаемое smC)©smB)-
228
1Именно эта подалгебра представляет интерес с точки зрения
^объединенной su E) -симметрии слабых и электромагнитных
взаимодействий (см. § 8.4).
Начнем с ограничения фундаментального представления
¦^ = rf(',o,о,о)= E) на подалгебру А : с=4<E«л.
Выпишем веса фундаментального представления d (см. фор-
формулу E2)):
v, = a, v2 = « — X,, v3 ж — Xj — X , g^
v,j = а — X, — Х2 — Х3, v:> = а — Xj — Х-> — X, — Х(.
Здесь а — первый фундаментальный вес. Будем считать X, и
Х2 базисными корнями подалгебры suC), а Х4 — базисным
корнем подалгебры suB).
Вектор
коммутирует с подалгеброй' suC)iг) suB), поскольку дуальный
к нему вектор X' удовлетворяет условию (X', Х1|2,4)=0. В при-
приложениях физический смысл приписывается оператору
bl+jb, + 2b3 + bi). F5)
Его собственными значениями у мы и будем нумеровать не-
неприводимые представления е^ алгебры мA).
Всякая неприводимая компонента представления с эквива-
эквивалентна тензорному произведению t=dim" m*)g)c/<g>e<'A Его
ограничение на любое из прямых слагаемых Af в А предста-
вимо в виде прямой суммы эквивалентных неприводимых пред-
представлений алгебры А{. Кратность неприводимой компоненты
равна произведению размерностей двух других тензорных со-
сомножителей в t. Как и раньше, неприводимые представления t
будем нумеровать тройкой чисел (dim й'ОТ1>'>, dim с3, у).
Для определения тензорных сомножителей d<m" л'2', г' и е^<
нужно предварительно построить ограничения dfUEHsu^ и
dBu(b) i suB) и разложить их на неприводимые компоненты. Затем
в пространстве V исходного представления d(suE)) выделя-
выделяются подпространства Wu неприводимых подпредставленнн
dlm» m*"®cJ алгебры suC)QsuB). Наконец, в каждом из под-
подпространств Wk определяется собственное значение оператора
d(Y).
Если на весовой диаграмме F4) проследить действие опе-
операторов dSUE) sitC) (см. свойство B)), то выделятся три не-
неприводимые поддиаграммы {v,, v2, ^ }, |v4) и {v5j:
) = CH(JH G).
Аналогично для ограничения на подалгебру suB) получим
229
dsu E) t sa B) = (/) ? (/) ^ ( /) ? B). F7)
Сравнивая разложения F6) и F7), находим неприводимые
подпредставлення d(suC) ,: suB)) в виде тензорных произве-
произведений t — d'~">f m>)®cJ:
dsu E.. I (iU C. * *« B)) = (•?. /) Э (A 2). F8)
По формулам E.22), B) и F4) вычислим собственные значе-
значения у для неприводимых подпространств в F8). Теперь можем
записать окончательное разложение для ограничения с:
1, -})Э(А 2, 1). F9)
Итак, базис пространства представления d состоит h3.s«C)-
триплета, где каждая компонента преобразуется по скалярно-
скалярному представлению подалгебры suB) и является собственным
вектором оператора У с у=—2/3 и saB)-дублета, каждая
компонента которого ведет себя как suC) -скаляр с у= + \.
Отражение в начале координат преобразует диаграмму
NE) в диаграмму N(E*)) представления d1-0'0-0-l). При этом
поддиаграммы ограничений d3Ui5HSu@) переходят в поддиаграм-
поддиаграммы для контраградиентных представлений, поддиаграммы
ограничений dSi,.E); suB) не изменяются, а знак чисел у меняется.
Так что разложение представления ^«[зн'л следует из фор-
формулы F9):
E*),д = (з*, А ~)ЭA, 2, -1). ¦ G0)
Разложение ограничений других неприводимых представле-
и if til, ТПЛ " j*
нии d можно найти, не ооращаясь к весовым диа-
диаграммам. Так, следующее фундаментальное представление
A0) = di0''¦ °' °) содержится в тензорном произведении
{5)® {5) = A0) + A5). Правила F2), F3) приводят к разло-
разложению
2, ±
I 2, ^H(/, 2®2, 2).
Пространства представлений A0) и A5) можно отделить, если
учесть, что первое состоит из антисимметричных тензоров W> h\
а второе — из симметричных т[ик) (см. схемы Юнга, рис.24).
Следовательно,
'. 2), G1)
1,2, 4-H(/, 3, 2). G2)
23»
С помощью схем Юнга можно выяснить структуру произ-
произвольного представления алгебры suE). Однако чем сложнее
схема Юнга, тем более громоздкой становится процедура вы-
выделения неприводимых подпространств 5(У). Вычисления мож-
можно упростить, применяя тензорный метод к каждой неприводи-
неприводимой компоненте, кроме «старшей».
Найдем, например, разложение ограничения dsu^iA'. Пред-
ПредdA ' '°> G5)
рр р р ^р
ставление d'A '• '.°>= G5) содержится в тензорном произведе-
произведении (JO*) ® A0) = G5) о B4) ® A). Ограничение синглета
пмеет очевидную структуру
(/)|А = (/, Л 0).
Представление B4) ==^(!.°.°.1) в свою очередь содержится в
тензорном произведении E*) ® E) = B5) &(!)¦ Подставим в
эту формулу выражения F9) и G0), воспользуемся правила-
правилами F2), F3) и вычтем компоненту (/, /, 0):
А = (8, 7, 0)® (Л U 0HC*, 2, +|)е
е/.з, я -4te(/, з, о).
Ту же процедуру применим к произведению A0*)® A0) и по-
получим искомое разложение
= C*, 1, ~~)® (б*, 2, -|JS(<9, 5, 0N
0C, 2, -4)е(?, 7, 0)Э(Л Л 0)9
E8) У п р а жн е н и е. Разложите ограничение dst'Js)\A^ на
неприводимые компоненты.
Ответ.
, 2, _1\©(з*. 2, -
0C,3, 4)©C, 7,4-'H(/, 2, 3).
3
Отметим, что ограничения dSUE)\A не позволяют однозначно
классифицировать векторы пространства неприводимого пред-
представления d даже с привлечением ограничения d^uli^Csu B)e«(i»
в каждом тензорном произведении d<mi1 m»)®cJ®e^). Эту ситуа-
ситуацию проще продемонстрировать на примере алгебры su(A).
В-ограничении ^цD)^цB)е^B)ецA) вектор пространства пред-
представления характеризуется числами /ь /г. У, /i и /2. Этого,
однако, недостаточно для его однозначной фиксации. Обратим-
231
ся к ограничению ^5ИD)^цC)еиA). Здесь базисный вектор зада-
задается набором из шести чисел: т\, т^, у\, у%, I, / (учтена ре-
редукция smC)|swB) ф "A))- Сравним эти два ограничения.
Неприводимые представления d(suC)) имеют кратные веса,
тогда как. все веса d(suB) ф suB)) простые. Следовательно,
ограничение ^ьГиDL!ш2)ЭтеB)е„.,) не позволяет до конца расще-
расщепить кратные веса неприводимого представления алгебры swE).
Добиться однозначности можно, только рассматривая после-
последовательность вложенных друг в друга максимальных простых
подалгебр. Окончательный результат приведем без доказатель-
доказательства.
E9) Утверждение. Пусть d — неприводимое представ-
представление простой алгебры L ранга г. Построим цепочку простых
подалгебр /.гэ^гэ/^гэ . . . гэ/.г_! ранга г—1, г—2, . . . , 1 и на-
набор ограничений dTj>Lt = Ci. Разложим каждое из ограничений
с,- на неприводимые компоненты. Для расщепления кратного
веса v представления d достаточно указать, пространству
какого неприводимого подпредставления принадлежит вектор
с весом ч в каждом из ограничений С{. ?
Сколько чисел нужно задать для фиксации вектора? Не-
Неприводимое представление алгебры ранга г задается г числами
(например, {mj}), и г параметров определяют вес v. Непри-
Неприводимое подпредставление подалгебры L; задается (г—/) чис-
числами. В результате имеем
Я = 2г + 2(г-1)=Щ^. . G3)
Для алгебры suC) величина R = 5:mi, m2, v1, vz (коорди-
(координаты веса v), /. To же число параметров было получено при
использовании ограничения на подалгебру suB)ф ыA). Здесь
оба пути приводят к эквивалентным результатам.
Для алгебры suE) величина R=14. Ограничение на под-
подалгебру As=suC) ¦?) suB) ф иA) (с последующей редукцией
suC)\su{2) э мA)) дает лишь 12 параметров. Это означает,
что в общем случае ограничение dSuE)iA содержит кратные
неприводимые компоненты, которые при таком подходе не
удается различить. Этот эффект проявляется лишь при боль-
большой размерности представления d. В физических приложениях,
где эта размерность обычно мала, для идентификации вектора
достаточно рассмотреть ограничение на подалгебру Л (см.
гл.8).
§ 6. Элементы Казимира. Универсальная обертывающая
алгебра. Операторы Казимира и их собственные значения
Неприводимые представления простых алгебр Ли нумеро-
нумеровались до сих пор координатами старшего веса. Другой способ
классификации представлений основан на использовании соб-
232
ственньтх значений операторов Казимира. Он применим и в
случае неполупростых алгебр. Главное же его преимущество
состоит в том, что операторы Казимира реализуют инвариант-
инвариантные квантовомеханические наблюдаемые.
Пусть Л=([], У)—алгебра Ли, T(V)—ассоциативная
тензорная алгебра (см. B.115)). Построим двусторонний идеал
JczT(V), порождаемый элементами
v,®v2 — v2®vx — [vu ю.г] (vt, v2?V). G4)
Факторалгебра U(A)==T(V)/J называется универсальной обер-
обертывающей алгеброй алгебры Ли А. Произведение элементов
щ, u2^U(A) записывается как и\Щ-
Всякое представление d(A, W) алгебры А естественным об-
образом продолжается до представления d(T(V), W) тензорнсш
алгебры T(V):
d{of ®v2® ... ® vt) — d(vx) d (v2)... d[v,). G5)
При этом оператор, соответствующий элементу G4), обращает-
обращается в нуль: dTiJ = Q, и формула G5) определяет представление
универсальной обертывающей алгебры d(U(A), W).
Пусть {а,} — базис алгебры А, {«;} — его образ при естест-
естественном вложении пространства V в О (А). Мономы
1, IIlt Uijl,,,. . . , «,-,«;,. . .UiT, . ..,
/,</„:.., /,</,<...</,,... G6)
образуют базис универсальной обертывающей алгебры U(А)
(теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта [11, гл. 5, § 2]).
В приложениях часто оказывается полезным базис, составлен-
составленный из симметрнзованных тензоров
1, а„ у2 (и,- uk + uk «,) т ^ IU,... и, , ... G7)
"•('« V)
Здесь суммирование производится по всем перестановкам о
индексов ((], . .., ir). Нетрудно убедиться, что базисы G6) и
G7) эквивалентны. Как во всякой ассоциативной алгебре в
О (А) можно ввести композицию [и, и'\—ии'—и'и и превра-
превратить алгебру U(А) в бесконечномерную алгебру Ли.
Элементы С центра Z(U(A)) универсальной обертывающей
алгебры называются элементами Казимира алгебры А.
Доопределим присоединенные операторы ас1„ алгебры А нз
пространстве алгебры U(А) по формуле aduu' = [и, и']. Чтобы
элемент С алгебры U(A) принадлежал центру Z(U(A)), необ-
необходимо и достаточно выполнения условия
adu.C — Q, 1= 1, ... , п — dim V.
Запишем разложение для элемента Казимира С в базисе
(81):
233
C = const +giu, + gi*uluk+... G8)
Под действием присоединенных операторов adu члены разло-
разложения будут вести себя как тензоры соответствующего ранга.
Каждое слагаемое в выражении G8) аннулируется оператором
adu. Таким образом, каждый член этого разложения является
инвариантным тензором над пространством V представления
Ad Л, т. е. элементом Казимира.
Существует стандартный метод построения элементов Кази-
Казимира для простых комплексных алгебр Ли.
Для всякой простой алгебры А нам известен инвариантный
тензор третьего ранга. Его компоненты — структурные констан-
константы алгебры: с\к- Он ковариантен по двум нижним индексам
и контравариантен по верхнему (относительно Ad). Сворачи-
Сворачивая индексы в произведении матриц структурных констант,
можно построить компоненты g\ ir инвариантного тензора
любого ранга. С помощью формы Ж поднимем индексы базис-
базисных векторов G7) и получим инвариантные элементы Кази-
Казимира в виде g/u ..., ir и1'... и г.
В простой алгебре А элемент Казимира первого порядка
Ci=giUi всегда равен нулю (иначе существовало бы одномер-
одномерное инвариантное подпространство в V). Компоненты инва-
инвариантного тензора второго ранга совпадают с матричными эле-
элементами формы Киллинга:
С, = gik и1 и" = Tr (ad vt ad vk) ul uk = и'1 щ. G9)
Аналогично получают элементы Казимира любого порядка:
= Tr (ade/i ade/]... adU; ) Ф .. . и1'. (80)
Выберем в пространстве У алгебры Л ортонормированный
базис {bit Xi, Уз}, согласованный с разложением Картана —•
Вейля (формула E.17)). В этом базисе элемент Казимира С2
имеет стандартный вид
С2 = /'• '• bh bh + 2 {Уi xj + У; Xj), (81)
i
где / — ограничение формы Ж на Ув- Отметим, что f можно
диагонализовать (свойство E.38)).
F0) Упражнение. Получите формулу (81), записав
форму Ж в базисе {&*, Xj, Уз} и воспользовавшись свойством
E.37). у
Помимо формы Ж каждому неприводимому представлению
d(A, W) можно сопоставить инвариантную форму следа (см.
§ 5.1) (vi, Vh)=Tr(d(Vi)d(Vh)). Форма следа неприводимого
представления невырождена. В самом деле, ядро инвариантной
234
формы составляет идеал алгебры А и, следовательно, три-
тривиально. Поскольку инвариантная билинейная симметричная
форма на V единственна [35, т. III, гл. 3, § 10], то форма сле-
следа всякого неприводимого представления d пропорциональна
Ж. Множитель пропорциональности зависит лишь от представ-
представления d.
Мы убедились, что в качестве компонент инвариантного
тензора gihU^u4 можно выбрать матричные элементы формы
следа любого неприводимого представления d алгебры А.
Приведенные выше рассуждения автоматически переносятся
на элементы Казимира произвольного порядка. Сформулируем
окончательный результат.
F1) Утверждение. Пусть d(A, W)—произвольное не-
неприводимое представление простой алгебры А. Тогда числа
gh ir=,lx{d{vk)...d{virS) (82)
— компоненты инвариантного элемента Cr. W
Формула (82) облегчает построение элементов Казимира,
если в качестве d выбрать представление минимальной раз-
размерности.
F2) Упражнение. Постройте элемент С2 алгебры
s/C, С) с помощью фундаментального представления с^-°'>
(выражения B8)).
Ответ.
з
В разложении G8) (см. также (80)) число инвариантных
слагаемых неограничено. Среди них можно выделить конечный
набор порождающих элементов С так, что всякий элемент Ка-
Казимира будет их алгебраической функцией.
F3) Теорема. Число элементов, порождающих центр Z(U)
обертывающей алгебры U(А) простой алгебры Ли А, равно
рангу алгебры А.
Доказательство этого утверждения см. в [3, гл. VIII, § 8]. у
Как мы уже отмечали, всякое представление d(A, W) про-
продолжается до представления d(U(A), W) универсальной обер-
обертывающей алгебры. Оператор d(C), сопоставляемый элементу
Казимира С в представлении d(U(A), W), называется опера-
оператором Казимира в представлении d.
Порождающими операторами Казимира назовем операторы
d(C), где С — порождающие элементы центра Z(U). Всякий
оператор Казимира в конечномерном представлении d имеет
вид d(C)=cI (лемма Шура II).
F4) Теорема. Множество классов эквивалентности конечно-
конечномерных неприводимых представлений простой алгебры А и
235
множество наборов собственных значений порождающих опе-
операторов Казимира находятся во взаимно-однозначном соот-
соответствии.
Доказательство см. в [35,гл. 5, § 1]. ^
Итак, набор собственных значений порождающих операто-
операторов Казимира может служить для нумерации неприводимых
г редставленнй простых алгебр так же, как и координаты стар-
старшего веса.
Продемонстрируем на примере алгебры sl(n, С), как свя-
связаны собственные значения операторов С; с числами ть . . .
. . ., тг (см. формулу A0)).
Воспользуемся базисом Окубо в алгебре sl(n, С) (см.
§ 4.8) и с помощью формулы (86) построим элемент Казимира
i'-ru порядка. Его удобно факторизовать в виде
Формулы D.22) позволяют убедиться, что под действием при-
присоединенных операторов а6(А\) элемент F^^ ведет себя как
.-VJ. Иными словами, свертка индексов в тензоре F(i~\) выделяет
в тензорном произведении /—1 присоединенных представле-
представлений неприводимую компоненту, эквивалентную Ad(sl(n, С)).
Пусть d'x¦""¦••¦ '"n-i>_ неприводимое представление алгебры
sl(n, С) и w — его старшин вектор. Подействуем па w опера-
'гором Казимира
= У d {F4 .up)d {A1;) w+^d (^,_„ ч) d (A'j,) zc. (84)
4аЫ Jam
Р •-1 V ' <1
Положительным корням «pq, p>q, алгебры sl(n, С) соответ-
соответствуют базисные элементы Арч (см. упражнение E.62)). Поэто-
Поэтому во втором слагаемом выражения (84) остается сумма вида
Q--.P q<p
Ц'-Р
Выразим матрицы Окубо Ар через базисные элементы {Ь}
подалгебры Картана (в базисе Венля):
К=Т (~ *i - 2*2 - Щ -...-(/>- 1) Ьр_х +
+ (ч -Р) Ьр +(n-ip+\)) ЪрЛ + • • • + Vi)- (85)
Это позволит найти зависимость собственных значений
тр, d(Ap)w = mpw от чисел {т,}—собственных значении опе-
операторов {d(bj)}:
236
d (С,) w --= V mp d {FZ_i
~ 2/0d i
) P] «' =
Вектор diF^p)w допускает редукцию по s:
d (Fp{i)p) w = ^d [P^h g) d (A«) w = d (F
q<p
-f-
-f ^
Матрица a чисел aM
«p^ = 8Pe (^p - (P ~ " ] ) )
обладает свойствами
V
(86)
d[[FpKS-u q, A"P\) w = (Zip - (P -l))d (/-X
4-
w. {oi)
0, q>p,
(88)
что позволяет произвести полную редукцию операторов
(i-D%) в соотношении (86):
Итак, собственное значение с; оператора Казимира d(C()
равно сумме матричных элементов 1-й степени матрицы а.
Легко проверить, что любые нетривиальные функции о,, Ci
• • •> cin-i, где все U различны, независимы. В качестве набора
порождающих элементов Казимира можно выбрать множество
С2, С3, ¦ ¦ ., Сп (элемент С\ тривиален) н нумеровать неприво-
неприводимые представления числами с2, . .., с„.
Если выразить матрицы kpq через матрицы Окубо вещест-
вещественной формы sl(n, C)|# и подставить эти выражения в фор-
формулу (83), то получим элемент Казимира алгебры sl(n, C
237
При переходе к вещественной форме собственные значения с(
не изменяются, поскольку не меняются собственные значения
{ть ..., mn_i} операторов d(bj).
F5) Пример. Порождающий элемент Казимира алгебры
s/B, С)
в базисе {1\, /2, /з} компактной вещественной формы suB) (см.
E.25), F.9)) имеет вид
С помощью формулы (85) найдем числа т-р
~ 1 ,
J
1 ,
=^ — -^т — — J
дающих элемента Казимира: С2 = ApqAq
= Л^Л^ = 1/, dabc}.J,blc. Получите собственные значения
и построим матрицу а (см. (88)). Формула (90) дает ответ,
хорошо известный из курса квантовой механики:
c2 = 2J{J+\). T (92)
F6) Упражнение. Алгебра sl{3, С) имеет два порож-
порожpqAqp = '/г Vv' ^3 ==
.J,blc. Получите со
операторов Казимира в представлении d{m"'"-] ¦
Ответ.
с2 = -g- (mj + ^2 + т1т2 + Зтг -+- 3/гг2) t (93)
с3 = -^ («Ь - m2) Bm, + m2 + 3) Bот2 + /га, -f 3). Т (94)
С помощью матриц Окубо можно построить стандартные
выражения для элементов Казимира других комплексных про-
простых классических алгебр Ли и их вещественных форм [2].
В § 5.6 (теорема E.63)) было показано, что всякая простая
вещественная алгебра Ли есть либо вещественная форма, либо
овеществление простой комплексной алгебры Ли. Зная эле-
элементы Сг комплексной простой алгебры Ли А, можно по-
построить элементы Казимира ее овеществления (A)r. Рассмот-
Рассмотрим, например, элемент Казимира С2 алгебры А-
Запишем его в виде
С2 = g№ uluk = \ glk (и1 - i (iu1)) (и" - i (ш*)) =
= т Si* («' «* ~ (fa') <<M*» ~ 4 Stk и' (to*) • (95)
Ограничим поле скаляров в А. Вещественная и мнимая част»
238
выражения (95) инвариантны как относительно ad(ггч), так и
относительно ad(iuq). Следовательно,
С2 = g,k (а1 пк - (in1) {iuk)), C2 - glk и* (ш*)
•—¦ элементы Казимира алгебры A\r.
F7) Упражнение. Постройте элементы Казимира ал-
алгебры Ли группы Лоренца si B, C)R:
С, = 12-п2, <?2 = ln. Ў (96)
Если алгебра А неполупроста, нахождение элементов Кази-
Казимира становится значительно более сложной задачей, посколь-
поскольку форма Киллинга Ж а вырождена и присоединенное представ-
представление приводимо.
В частном случае, когда идеал / в разложении Леви
у4=([], V) =S|— / абелев и присоединенные операторы ad*
реализуют на пространстве Vj неприводимое представление
подалгебры 5, сохраняющее билинейную форму f, элемент
Казимира второго порядка имеет естественный вид
fjkvivh({vj}—базис в Vj). Для получения элементов Казимира
высших порядков необходимо построить ограничение AdA+s и
разложить на неприводимые компоненты пространство V и его
тензорные произведения нужной степени. Тривиальному под-
представлению соответствует тензор Г, инвариантный относи-
относительно AdA^s- Он будет элементом Казимира алгебры А, если
AdA+jT=0 и образ тензора Т при естественном отображении
T(V)-*~U(A) не равен нулю.
Применив описанную процедуру к алгебре Пуанкаре
я=/Ьр, получим два порождающих элемента Казимира:
Сг = ^ ^, с4 = ^ /> е"*" 1^ р„ (97)
записанные в базисе A.53), A.54).
§ 7. Коэффициенты Клебша—Гордана. Скалярные факторы
Задача разложения тензорного произведения представлений
унитарных групп возникает в квантовой физике при описании
картины рассеяния. Поскольку физическим частицам сопостав-
сопоставляются базисные элементы пространств неприводимых пред-
представлений, необходимо определить вклад тензорного произве-
произведения пары базисных элементов в базисный элемент каждой
неприводимой компоненты.
Пусть {d1} -— полная система конечномерных неприводимых
представлений алгебры А и разложение произведения dp®dL
имеет вид
pL = (^a,d'. (98)
239
Здесь a,i — кратность неприводимой компоненты d1. В каж-
каждом пространстве V1 представления dl введем ортонормирован-
кый базис {v'i}. Формула (98) означает, что
VP 6S VL ~ ^-i n \'' CQQ1
где a;У7 —прямая сумма as экземпляров пространства V1.
В пространстве представления dp®db естественно возникло
два базиса, соответствующих правой и левой частям равенства
(99):
v\ и v
j- s
р =],..., dimdp; I—
1
A00)
\i = 1, ... , dim d1; s = 1, . .. , af
Наша задача состоит в определении коэффициентов разложе-
разложения элементов v'i'' по базису {vp ®i>f}—коэффициентов
Клебша — Гордана (К—Г):
¦в> * =
р,
Р
A01)
/, s, i
Совокупность коэффициентов К—Г (при фиксированных Р и
L) образует квадратную матрицу U (с числом строк
dim dp xdim dL). В силу ортонормированности базисов A00)
матрица U унитарна, поэтому матричные элементы матрицы
обратного преобразования
' SV,M A02)
(ЮЗ)
A04)
A05)
связаны с коэффициентами К—Г соотношениями
/Р L
//,
Р /,
Р l
/Р L
\р I
Р
Р
V
/Р L
I
I, s\
I
р> V/
= V8»
Матрица U есть преобразование, которое приводит оператор
dp(v) ®dL{v) к блочно-диагональному виду
-)ajd'(v). A06)
Пусть представления d1 являются дифференциалами пред-
представлений D1 связной группы Ли G с алгеброй А. Та же
матрица U осуществляет разложение DP®DL на неприводимые
компоненты (утверждение F.51)).
Перепишем соотношение A06) в виде
240
. DP (g) ® Dl (g) =-- U'' ф a, D' (g) U
i/ приравняем матричные элементы правой и левой частей:
Р Г
p' I'.
и i, <", *
Здесь мы воспользовались возможностью связать все кратные
неприводимые подпространства тождественным отображением
так, чтобы в каждом из V'--s оператор D1 (g) задавался одной
и той же матрицей.
Пусть группа G компактна, а представления {D1} унитар-
унитарны. Домножим обе части равенства A07) на (Dch,' (g))* и про-
проинтегрируем по мере Хаара на G (см. теорему F.46)):
dim Dq j" DPPP- (g) DLW (g) (D?,. (g)V d?(g) =
Q, s\ /Q, s
q / \ч'
A08)
Эта формула может быть использована для вычисления коэф-
коэффициентов К—Г. Соотношения A01) и A08) не фиксируют
коэффициенты К—Г однозначно. В каждом неприводимом под-
подпространстве тензоры Vp®vLt сопоставляются с базисными
элементами v с точностью до унитарного преобразования в
V1. Кроме того, допустимы унитарные преобразования, пере-
перемешивающие векторы эквивалентных неприводимых компонент.
Если матрицы операторов d(v) (или D(g)) во всех эквива-
эквивалентных неприводимых пространствах совпадают, произвол
резко уменьшается. Так, для однократных неприводимых ком-
компонент V1 остается неопределенным общий множитель, равный
по модулю единице.
Построим оператор ?, сплетающий представление (98) и
сохраняющий структуру прямой суммы в правой части:
Матрица ? должна иметь блочно-диагональную структуру
(следствие F.18)). Обозначим через t? оператор, действующий
на подпространстве ajVJ, и выделим в нем блоки, соответст-
соответствующие каждому из эквивалентных подпространств VJ:
J rJ
Каждый блок ?,Jm сплетает представления, эквивалентные dJ.
Так как во всех подпространствах VJ (с фиксированным /)
16 Зак. .\". 152 241
матрицы операторов dJ(а) совпадают, то по лемме Шура \\
блоки t,ki кратны единичной матрице:
"J ' ' " г™ A09)
Применим сплетающий оператор С к равенству A06):
"у J
Потребуем, чтобы матрица Z, была унитарной. Тогда матрич-
матричные элементы (?,U)pi,jjS составят набор коэффициентов К—Г,
эквивалентный исходному. Каждый блок Z* унитарной матри-
матрицы ? зависит от а/ произвольных вещественных параметров,
т. е. для устранения неопределенности в наборе коэффициен-
коэффициентов К—Г необходимо фиксировать п=1 а} параметров. Рас-
j
смотрим один из возможных способов.
Выберем а3 базисных элементов vP®Vi и в каждом экзем-
экземпляре VJ'S пространства VJ — базисный элемент vj's. Из
коэффициентов К—Г, соответствующих этим базисным элемен-
элементам, составим ajXaj матрицу
'Л ]> <Рх 1Х | vJ.' 2> . .. </?! /j | vf a'
(НО)
Преобразование ?/-»-? U индуцирует преобразование матрицы
В, В-+ВА, где матрица Л составлена из чисел Хт, q (см. форму-
формулу A09)):
Если с, унитарна, то унитарна и матрица Л.
Представим В в виде B=RY, где R — эрмитова положи-
положительно определенная матрица, У — унитарная матрица, и обе
они однозначно определяются по В. Положим Л=У-' и со-
совершим переход к эквивалентной системе коэффициентов К—Г
так, чтобы 5->-ЛЛ=6У-1=/?. Таким образом, мы всегда мо-
можем предполагать, что матрица В, составленная из коэффи-
коэффициентов К—Г, эрмитова и положительно определена. Наложе-
Наложение этого условия исчерпывает произвол в определении коэф-
коэффициентов К—Г, если матрица В невырождена. Легко убедить-
убедиться, что всегда существует набор [vj®vn, vi), для которого В
невырождена.
242
Как уже отмечалось, для нахождения коэффициентов К—Г
алгебры Ли L может быть использована формула A08). Про-
Процедура вычисления существенно упрощается, если известны
коэффициенты К—Г максимальной простой подалгебры LxaL.
Искомые величины выражаются тогда через коэффициенты
К—Г алгебры L\ и некоторые численные множители более
простой природы.
Пусть L — простая алгебра ранга г, {dI(L, У1)} — полная
система ее конечномерных неприводимых представлений. Для
нумерации базисных элементов пространств К1 в § 5 исполь-
использовались цепочка простых подалгебр Lz^L\^>L2 гэ ... :r>Z.r_i
ранга г—1, г—2, . . ., 1 и ограничения c[P*=zdLilii представ-
представления d1 (упражнение .E9)). Будем задавать базисный вектор
следующим набором чисел: мультииндекс / представления d1
(или координаты старшего веса ^(d1)), старшие веса рз не-
неприводимых компонент во всех ограничениях с,- и номера &¦>,
разделяющие кратные неприводимые компоненты, вес т в не-
неприводимой компоненте представления cj-—i алгебры Lr_i^
»s/B, С). (Числа k\, k2, ..., kr-u m однозначно фиксируют
вес v в представлении dl.) Всякий базисный элемент будем
обозначать символом
-\ да}..
Перепишем в этих обозначениях формулу A01)
Р Q \
?.' k\ К'; у." k'\ X"/
Л s \= у
V-k, )./ ?
ч" к" X"
X
X
Р
¦•' h' )'
V- я . Л /
Q
X
(Ш)
Теперь рассмотрим тензорные сомножители в правой части с
точки зрения подалгебры L\. Разложим тензорное произведе-
произведение пространств V1 и W":
Сравним определяющее уравнение для коэффициентов К—:Г
алгебры L]
ft' ft"
Q
.A12)
с формулой A11). Если ? =•!*', тр/девые части 1равенств (Т1Ц
16* h$a
и A12) принадлежат пространствам эквивалентных неприво-
неприводимых представлений алгебры L\. Используем базис, в кото-
котором матрицы операторов эквивалентных представлений совпа-
совпадают и сплетающий их оператор ? пропорционален единич-
единичному: ?=Х7. Х^С.
Пусть кратность представления d в разложении d' ®d'x
равна а,.. Оператор V, сплетающий $" и © dfi'k") в разложе-
k', к", t
нии (dp^®dQ)|ii, представляет собой строку из (а„оуа„»)
квадратных блоков вида Z/*'*"/. Множители yjk'k" могут зави-
зависеть от индексов представлений Р, Q, J, \i, ^', ji" и меняться
нри переходе к другим кратным компонентам представлении
^ и d''1. Важно подчеркнуть, что ул не зависят от
О "!
a'1'
индексов, обозначенных символом X. Оператор "-J осуществляет
©тображенне пространства
l, t . ,11, k
J
t, k', к"
t, к' k"
>- A',»"
2 у U s
(ИЗ)
h' k"
Матричные элементы оператора ?' носят название L^-ска-
жярных факторов. Подставляя разложение A12) в формулу
A13) и сравнивая полученное соотношение с определяющим
уравнением A11), получаем
/J
К \
Р Q \
' А', )/ ft" Л", >/'/
Р Q \) /v- t
V-' V-"
A14)
Коэффициенты К—Г алгебры L оказались выраженными
через коэффициенты К—Г подалгебры L\ и L\-скалярные фак-
факторы.
Используя свойства A04), A05), получаем условия норми-
нормировки для Li-скалярных факторов:
2
J, s, h
2
[i, |i'.
fe', к'
ft'
P
51' k
rt
t
P
С
r ,
a
k'
I
s
ft
Q
1
Л
V /г' u." k"
X
..K
= Vp'Vp
a
8ft'r'
Q
p'r' p" /-"
(H5)
A16)
244
I Если коэффициенты К—Г алгебр L и L\ зафиксированы, то
•соотношения A14) однозначно определяют Z-гскалярные фак-
факторы.
Процедуру редукции коэффициентов К—Г можно продол-
продолжить по цепочке простых подалгебр в L вплоть до siB, С).
Для алгебры s«C) формула A14) позволяет выразить
коэффициенты К—Г через соответствующие коэффициенты под-
подалгебры suB), домноженные на suB)-скалярные факторы:
т
у
У
1
S
. j
S
т
I
т\
У
т
У
У
2
, У
т\
J"
/и,
У"
у)
т
У"
/
\
2
J
j
Jl ^"\ (\\7)
J у У У J" У ! V У у"/'
Здесь мы использовали нумерацию базисных векторов непри-
неприводимых представлений алгебры suC), введенную в E7). В мо-
моделях smC)-симметрии подалгебра suB) чаще всего ассоции-
ассоциируется с алгеброй Ли группы изотопических преобразовании,
поэтому в физической литературе множители пропорциональ-
пропорциональности коэффициентов К—Г алгебр suC) и suB) носят назва-
название изоскалярных факторов.
Таблицы коэффициентов К—Г и изоскалярных факторов
приведены в [23, 40] и периодических обзорных справочниках
свойств элементарных частиц [37]. Свойства коэффициентов
К—Г и их применения в квантовой физике подробно рассмат-
рассматриваются в [16, 36].
§ 8. Конечномерные представления алгебры soC, 1).
Связь с представлениями группы Лоренца
В этом параграфе мы построим систему конечномерных не-
неприводимых представлений некомпактной вещественной алгеб-
алгебры / группы Лоренца Л. В примере E.24) она вводилась как
овеществление siB, C)r простой комплексной алгебры. Меж-
Между представлениями d(slB, С)) и d(slB, C)R) не существует
столь простой связи, как между представлениями комплексной
злгебры и ее вещественной формы (см. утверждение F.54У),
поэтому удобнее рассматривать алгебру / как вещественную
форму полупростой алгебры so D, С) (табл. 9, 10):
/ = 50C, \) — soD, C)iR^(slB, СH5/B, C)),R.
Построим фундаментальные представления алгебры soD, О).
Ее корневая диаграмма приводима и равна объединению орто-
ортогональных друг к другу диаграмм подалгебр siB, С). Легка
найти фундаментальные веса «' и а" (рис. 30). По-прежнему
всякое конечномерное неприводимое представление с одно-
однозначно задается своим старшим весом р- с координатами
Й45
(mf, m") в базисе {а', а"}. Мы будем пользоваться индексами
7'ззт'/2 и ]"=т2.
-V
-2
-1
2
1,
-2
\
*cc"*
. 1 I
-K'
N @,Г >
-i—
NG,0)
А,"
Рис. 30.
Введем в алгебре siB, CHs/B, С) базис Вейля {Ь', х', у',
*"» у", &"}• Фундаментальное представление с<1/2' °) не является
точным, поскольку все операторы подалгебры s/B, С)" три-
тривиальны (рис. 30). Следовательно, с<1/2'°> эквивалентно пред-
представлению с'<г подалгебры siB, С) (см. A5) — A7)):
). (П8)
Эти операторы действуют в спинорном пространстве С2.
Выразим генераторы 1, п группы Лоренца (см. A. 49))
через элементы базиса Вейля:
k = -~ {-ix' + iy' - ix" + iy"), nz = ± (x' -у' - x" +y),
A19)
Вещественная форма C|/? 0)=#/2'°> представления сС'2'0) назы-
называется фундаментальным (спинорным) представлением алгеб-
алгебры I. Его операторы имеют знакомый нам вид (см. F.11))
d( ' A) = —-к- 5, ^ (п) = —гг si A20)
или в базисе с мнимыми структурными константами
42, 0) ,
I = тг5.
A21)
Мы установили, что это представление сохраняет билиней-
билинейную симплектическую форму с матрицей F. Следовательно.
е помощью F можно построить инвариант представления d<Va. •>
Е./7'»^^?.^ A22)
н тем самым ввести спинор с верхним индексом ц$=вр$аца-
На пространстве спиноров с верхними индексами действует
контраградиентное представление
Матрица F сплетает представления d и d^ (F~{ опускает,
a F поднимает спинорные индексы).
Аналогично строятся второе фундаментальное представле-
представление алгебры siB, С)ф«/B, С) и соответствующее ему пред-
представленне алгебры /. По весовой диаграмме (рис. 30) нахо-
находим матричные элементы нетривиальных операторов:
J), *@'ll2V> = Q. A24)
Выделив в с*0- 1/г> нужную нам вещественную форму c({V2) =
= йГ(°.'/^ получим выражения
rf'<°-I'«(l)=-4-«T, tf@'1;>) = l* A25)
в случае вещественных структурных констант и
d'(°'1'2'(l)=i.ff, rf'f°'1'2>(n) = 4-* A26)
— в случае мнимых.
Легко непосредственно убедиться, что матрица F сплетает
представление сИ0*1/2> с представлением <#'^ °)*, комплексно
сопряженным первому фундаментальному:
В приложениях чаще используется именно представленне
d('/2. о)* = <^о. 7'2)_ Пространство его составляют комплексно сопря-
сопряженные спиноры |*. Для удобства их компоненты нумеруют-
нумеруются пунктирными индексами %i (при этом знак комплексного
сопряжения не пишется). Представление с?(°.'/*) сохраняет фор-
форму с матрицей F, с помощью которой можно поднять (матри-
(матрицей F—1 опустить) индекс пунктирного спинора и построить
инвариант
Всякое представление dJ'< °) является точным неприводи-
неприводимым представлением подалгебры sl{2, C)czsoD, С). На это
указывает структура его весовой диаграммы. Как и прежде,
для построения операторов cW-°)(a') можно воспользоваться
готовыми выражениями для dJ'(a') (см. B1))
247
и выделить вещественную форму d(J/-°> = c(/#' '. Отсюда непо-
непосредственно следует, что представление dS3'<0) алгебры / мож-
можно реализовать в пространстве симметричных тензоров (спин-
тензоров) ранга 2/' над пространством спиноров С2. Для их
компонент введем обозначение |fai;..., „.v,\.
Операторы представления в пространстве спин-тензоров
строятся по формуле E.1):
'>0) (а) = ^
-f/®afn2'O)(a)(8i/(8).. .®/-f . .. +/<8>... <g>/®a!(l2''" (а). A28)
Аналогично по представлениям c{0'J"> строятся вещественные
формы d(P-J") на симметричных пунктирных спин-тензорах ран-
ранга 2/":
Очевидно, что d(-J/'0) и d*0") связаны комплексным сопряже-
сопряжением
Обратимся к весовым диаграммам представлений d{J''°\
d('),J") и d<J/'°)(g)rf@'J//). Старший вес тензорного произведения
совпадает со старшим весом неприводимого представления
dsJ'<-J"). Все веса рассматриваемой диаграммы простые, т. е.
представление d^'- ^^d^- J неприводпмо и
0, J") ~dV'.'')m A30)
Следовательно, пространство представления d(J''J'"> состоит
из смешанных спин-тензоров
Комплексное сопряжение меняет порядок индексов ]', J":
d{J'-J")* = d{J"'J'\ A31)
F8) Упражнение. Покажите эквивалентность представ-
представлений gF>3> и —с№°) (соответственно rf(°'/) и —dr(°>JS>).
Если представления d и —(Pz&d^) эквивалентны, то форма,
соответствующая сплетающему оператору, инвариантна. Най-
Найдите ее.
248
Ответ.
: = d<J-Oi (F) =
(-if
0
где F отождествляется с элементом ia2 алгебры si B, C)R
в определяющем представлении. Матрица Z может быть ис-
использована для поднятия мультииндекса спин-тензора в про-
пространстве представления d<J- Ol. у
F9) Упражнение. Всякий элемент ае/ можно отож-
отождествить с комплексной матрицей в siB, C)R. Покажите, что
оператор с1^'^(а) является эрмитовым пли антиэрмитовым в
зависимости от того, эрмитова или антнэрмнтова матрица а. у
При равенстве нулю одинаковых индексов сомножителей
тензорного произведения представлений d (/) разложение па
неприводимые компоненты сводится к такой же задаче для
алгебры siB, С) (см. формулу D5)):
,<¦/,. о)
flf"
V'01,
A32)
A33)
Объединяя формулы A30), A32)
лучаем
n A33), в общем случае по-
Л- Л)
d{
J")
A34)
'=/ + f ,
Это правило можно установить графически, анализируя ве-
весовые диаграммы.
Диаграммный метод облегчает также построение ограниче-
ограничений представлений d{l). Рассмотрим подалгебру soC)csoC, 1).
Элемент b ее подалгебры Картана в базисе Вейля имеет вид.
b = 1/2(b'+b"). Следовательно, сопоставляемый b базисный
корень равен 72(^'-f-X") (рис.31).
Зафиксируем корневое пространство подалгебры soC) на
весовой диаграмме представления d (/). С помощью метода,
описанного в E4), без труда находим ограничения d««oC)- Для
неприводимых представлений df-J'> °>, d®< jrn> и <#J/> J"~> резуль-
результат можно записать в общем виде:
'10' Г)
Э
— r
a; iO (Я) = rb
A35)
249»
dvi2,i:i)
uI sou)
-«-Or
Рис. 31.
Если для представления d известно разложение A35), то его
индексы восстанавливаются с точностью до порядка. Иными
словами, структура ограничения diS0C) определяет неприводи-
неприводимое представление dSy• J"'> с точностью до комплексного сопря-
сопряжения.
Проанализируем с этой точки зрения определяющее пред-
представление b алгебры soC, 1). Оно неприводимо и веществен-
вещественно. Структура ограничения bjsop) очевидна:
Отсюда непосредственно следует
A36)
A37)
Пространство представления b состоит из векторов х*-1=
= (х°, х\ х2, х3), тогда как cf(Va,'« действует в пространстве
спин-тензоров %„$ . Оператор t,, сплетающий эти представле-
представления, легко найти по формулам A36), A30) и B5).
G0) Упражнение. Постройте оператор ?.
250
Ответ.
Представление сИ"г>ад сохраняет инвариантной билинейную
форму F®F. В RA—{x) ей соответствует форма
совпадающая, как и следовало ожидать, с метрическим тензо-
тензором {g^}.
Строки и столбцы матрицы ?;~! нумеруются индексами |л
и (ар). Зафиксируем ц и будем рассматривать аир как ин-
индексы матрицы 2x2. Мы получим четыре матрицы Паули о^1.
Это позволит переписать действие оператора ?~' в виде
х = г-Чу1, хр = ^±=(^У$Щ. A39)
Аналогичные выкладки с матрицей ?, приводят к известной
формуле
однозначно сопоставляющей вектору х эрмитову 2X2 матрицу.
С помощью тензорных степеней представления b можно
построить любое представление dSJ'*J"\ в котором сумма
(J' + J") —целое число. Например,
b®b^ dW2' 1Л) О аA:2' т = diU !) Э d{U 0)
Пространство представления b®b состоит из тензоров с ком-
компонентами A'^v.
G1) Упражнение. Покажите, что представления d^>"
и d(°-°) реализуются на тензорах л:'1"} и x|i соответственно. V
Обратим внимание на эквивалентность присоединенного
представления алгебры soC, 1) прямой сумме неприводимых
представлений d^^X^dffi'''. После выделения вещественной
формы soC, 1) в so D, С) пространства представлений оста-
остаются комплексными. Комплексифицированное пространство
алгебры soC, 1) в самом деле приводимо. Инвариантные под-
подпространства строятся на базисных векторах {/ь + шй} и
{I i}
251
С помощью экспоненциального отображения построим из
представлений d{J/> J"~>(soC, 1)) систему конечномерных непри-
неприводимых представлений D(-J'*J. Они будут однозначными пред-
представлениями группы L^SL{2, С)я, универсальной накрываю-
накрывающей в классе локально изоморфных групп с алгеброй soC,1)
(см. C.119)).
G2) Какие из представлений D^'-7"' являются однозначны-
однозначными па факторгруппе Z./Z2»AJ.? Очевидно, что диаграмма
5iB,C) A!
dv.j\ /p:n " ' A42)
определяет однозначное представление D группы Лоренца Al
только при условии D(J'"/")(Z2) =/, где Z2={e, —e}azSLB, С).
Поскольку степень симметризованных тензорных сомножителей
типа DC':., о) „ д(о, -k) B d(j', j", известна, то
Dir- Г) ( - е) = ( - 1 J (/' "У"> /. A43)
Таким образом, искомыми представлениями являются те и
только те, у которых число /'+/" целое, у
В частности, О<'/2-1/2> эквивалентно определяющему пред-
представлению группы Л|-
Отметим, что ограничение Г>л1 jsoC)= TCJ всякого одно-
однозначного представления группы Л^ является однозначным
представлением группы 50C) и содержит неприводимые ком-
компоненты CJ только с целыми спинами / (см. A35)), что и сле-
следовало ожидать, поскольку именно такие (и только такие)
представления CJ=exp cJ группы SUB) являются однознач-
однозначными представлениями группы вращений S0C) thSUB)jZ2.
(Для доказательства достаточно воспроизвести соотношения
A42), A43), взяв за основу отображение S?/B)-vSOC).)
В квантовой физике важную роль играют все представле-
представления группы L. Здесь всякое представление Ж3''3") интегри-
интегрируемо. Построим с помощью экспоненциального отображения
определяющее представление D<'/2-°'(Z,). Всякий его оператор
представим в виде произведения унитарной и эрмитовой
матриц:
Dd,2, о) {L) _ L _ ?Нт== ехр / __J_ \ ехр / _ l_ ^ h\ _ (U4)
Подгруппа /R = {R}=SU{2)czSLB,C)R. Разложение A44)
252
можно интерпретировать как определение класса смежности
y^Y=R\L для каждого L<=L.
Перейдем к представлению D№-'^)(Z.). Операторы его диф-
дифференциала Ж'1-''<2Ца) в М^ имеют вид
;-' (dil%0 (a)®/+/®rf<0'12>(a;):. A45)
Отождествим d^';'2-°>(a) с матрицей aes/B, С)к. Тогда опера-
оператор di-°'l^){a)=a*. Вектор х запишем как эрмитову матрицу
A40) и подействуем на него оператором A45):
(х'з) = а (ха) + (х<з) а;,
x' = l-ldiy2'xm(a) Cv. A46)
Применив экспоненциальное отображение, получим известное
правило C.59) преобразования матрицы (х а) уннмодулярны-
ми матрицами группы SLB, C)R:
ехр а (х<з) ехр a" = (х'а , х' = А (а) к. A47)
Здесь Л — преобразование группы Лоренца, сопоставляемое
матрице ехр а при гомоморфизме L->\. Матрицу (х а) при
х2 = det (х а) = I также можно рассматривать как элемент
группы L. (Она соответствует элементу h<=H в разложении
A44).) Равенство A47) интерпретируется при этом как свой-
свойство умножения в L. Оно выполняется в произвольном пред-
представлении D:
Diexpa)D(xo) П'(ехр а) = D (х'о). A48)
Нам потребуется аналогичное соотношение для х' = \-1 (а)х:
D (х'о) = D(exp { — a))D (;ca> Df (ехр ( — a)).
Воспользуемся свойством матрицы
A49)
и перепишем предыдущее равенство для обратных операторов:
D (х'а) = D' (ехр a) D (ха) D (ехр а). A50)
В приложениях наряду с D(J'<J") удобно использовать пред-
представления ?>'<•", '")=?)(/'. o)®Z)'(°.J"), где
(см. формулы A25), A26)). При этом оператору
253
в представлении D/{-°> 'W соответствует матрица
A51)
Все рассмотренные в этом параграфе представления конеч-
конечномерны и, следовательно, неунитарны (см. теорему F.47)).
Однако их ограничения на подгруппу SUB) унитарны, что по-
позволяет использовать их при построении унитарных неприводи-
неприводимых представлений группы Пуанкаре.
ГЛАВА 8
СИММЕТРИЯ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
§ 1. Квантовомеханическое описание и преобразования
симметрии. Теорема Вигнера и проективность
представления группы симметрии. Унитарность.
Элементарные частицы и неприводимые представления
Теория элементарных частиц основывается на квантовоме-
ханическом описании физических явлений.
Основные аксиомы квантовой механики предполагают, что
состоянию физической системы соответствует вектор \^> (век-
(вектор состояния) гильбертова пространства Жз\^>, а наблю-
даемой % — оператор % в этом пространстве. Принцип супер-
суперпозиции приводит к необходимости сопоставления наблюдае-
наблюдаемым линейных операторов.
Наблюдаемой % соответствует некоторый прибор для ее
измерения. С квантовомеханической точки зрения роль прибора
активна. В процессе измерения, как правило, создается новое
состояние, такое, что повторное измерение этой наблюдаемой
(если оно возможно) должно дать тот же результат. Поэтому
предполагается, что для каждой наблюдаемой yv должны су-
/\
ществовать собственные состояния ее оператора %:
и результатом любого измерения наблюдаемой % в любом со-
состоянии |г|)> может быть лишь число, принадлежащее спект-
РУ %¦ В разложении произвольного состояния |ф> по набору
нормированных собственных состояний | '^х~> (или просто \Х>)
наблюдаемой yw
коэффициенты г|)у интерпретируются как амплитуды вероятно-
вероятности того, что |г|з> совпадает с \Х,>. (Сама вероятность равна
l^il2-) Функция i|>(Aj)=i|)j на спектре наблюдаемой % называет-
называется волновой функцией состояния |ф >.
Набор наблюдаемых, значениями которых можно характе-
характеризовать состояния, ограничен требованием одновременной из-
измеримости этих наблюдаемых. Таким наблюдаемым {a, fi, ...}
соответствуют взаимно коммутирующие операторы а, р, ...
255
Следовательно, а, р, ... обладают общей системой собствен-
собственных состояний \aj, bk, ...>, которые могут быть пронумерова-
/\ УЧ
ны с помощью собственных чисел а,, Ь/., .. . операторов a, р, ...
¦A) Если минимальный набор А независимых наблюдае-
наблюдаемых содержит лишь коммутирующие наблюдаемые и любая на-
наблюдаемая, не содержащаяся в Л и коммутирующая со всеми
наблюдаемыми набора А, есть функция последних, то он назы-
называется полным набором.
B) Замечание. Напомним, что различным способам
выбора полного набора соответствует разнообразие представ-
представлений (волновых функций) в квантовой механике.
C) Замечание. Разложение A) следует тогда понимать
как разложение по системе общих собственных состояний на-
наблюдаемых полного набора. Т
Нормируемым состояниям соответствуют квадратично сум-
суммируемые волновые функции на спектре наблюдаемых полного
набора. Их множество и представляет собой квантовомеханн-
ческое фазовое пространство. (В действительности оно не-
несколько шире, поскольку приходится для удобства включать
в него собственные состояния основных наблюдаемых, скажем,
Pi или X), принадлежащие непрерывному спектру и нормируе-
нормируемые только в обобщенном смысле.)
D) Описание квантовомеханическнх состояний с помощью
векторов |г|)> гильбертова пространства нуждается в одном
существенном уточнении. Предсказаниями теории являются ве-
вероятности переходов
wx2 = \<-\\^.> ? B)
и математические ожидания р, \> ... (средние значения) на-
наблюдаемых
Й = <'Ь|3| 4>, ... C)
Отсюда следует, что векторы \$> и |i|/> = e;6|\|)> приводят
к одним и тем же предсказаниям для всех наблюдаемых и,
таким образом, соответствуют одному п тому же состоянию
объекта, т. е., строго говоря, физические состояния в квантовой
механике описываются не вектором |г1:>, а лучом — совокуп-
совокупностью векторов
|ф> = \eli\p\. D)
Вектор состояния |if>—только представитель класса векто-
векторов, соответствующих данному состоянию. Это обстоятельство,
как мы увидим, приводит к отличию квантовомеханической
симметрии от классической.
E) Обратимся к преобразованиям симметрии в квантовой
256
физике (ср. A.11)). Будем считать их активными, т. е. преоб-
преобразованиями множества состояний
Тогда преобразованию соответствует некий оператор, который
мы обозначим через Ug, и новое состояние запишем так:
Определяющее свойство преобразований физической симметрии
(см. A.10)) можно теперь сформулировать как перестановоч-
/\
ность (с точностью до фазового множителя!) Vg с оператором
развития
UgS^t = S^t0geli. E)
Как и прежде, отсюда следует, что совокупность преобразова-
преобразований симметрии является группой.
F) Замечание. Следует различать приборы, создающие
состояния, и собственно измерительные, используемые для на-
наблюдения за развитием состояний, у
Динамика исходного и преобразованного состояний просле-
прослеживается по временной зависимости средних значений наблю-
наблюдаемых в этих состояниях. Соответствующие измерения можно
мыслить как проводимые одним наблюдателем одним и тем же
набором измерительных приборов. Таким образом, активное
преобразование есть преобразование только векторов |^>,
а операторы, описывающие наблюдаемые, при этом не ме-
меняются.
Иное положение возникает при рассмотрении пассивных
преобразований. В этом случае наблюдатели в СО 2 и 2'
имеют дело с состоянием (точнее, с ансамблем состояний), при-
приготовленным одним и тем же прибором, и пользуются (одина-
(одинаковыми) измерительными приборами. Последние находятся в
различной взаимной ориентации (или состоянии движения) и
по отношению к создающему прибору и потому соответствуют,
вообще говоря, разным наблюдаемым. Поэтому пассивное пре-
преобразование h описывается отображением множества наблю-
наблюдаемых (операторов) на себя:
•ч /ч
А : Р -> h
при неизменных векторах состояния ||
Ранее было показано, что принцип относительности любому
пассивному преобразованию симметрии сопоставляет некото-
некоторое активное, и различать их имеет смысл, лишь поскольку об-
обратное верно не всегда. Квантовомеханическое описание фор-
17 Зак. № 152 257
мально стирает это различие. Действительно, любому преобра-
преобразованию g: |i|)>-H^g> в Ж можно сопоставить преобразова-
УЧ /Ч
ние операторов p-»-pg, потребовав выполнения равенства
Это позволяет говорить о преобразовательных свойствах на-
наблюдаемых без необходимости перехода к пассивной точке
зрения.
G) Особо важную роль в квантовой механике играют сово-
s\ /ч /ч у\
купности наблюдаемых {р = (р1, р2,. .. , pm)}»Vm, для кото-
которых соотношение F) задает линейное представление группы
симметрии
Здесь D(g)—матрица линейного представления группы G.
•ч
Такие операторы {ра} называют (контравариантными) тензор-
тензорными операторами. (Ковариантные тензорные операторы
{Ро}—те, для которых преобразование F) эквивалентно конт-
раградиентному к D преобразованию Dr(g~1).)
(8) Пример. Операторы координат х, или углового мо-
момента Uk — тензорные операторы относительно группы вра-
вращений. V
Обратимся к основному свойству преобразований симмет-
симметрии в квантовой механике. Вероятности переходов w^2 =
= | <t|32|i|)i> |2 для исходных состояний и преобразованных
®iu2'= |<^вфг| ^«^i> |2 должны совпадать (противное озна-
означало бы несоответствие динамик состояний |г|)> и ?/|)
Исключительную важность этого свойства подчеркивает сле-
следующая теорема.
(9) Теорема Вигнера. Пусть преобразование U в Ж удов-
удовлетворяет соотношению (8). Тогда найдется унитарное или
антиунитарное преобразование Uo, такое, что
= enw\p (9)
(отсюда следует, что с точностью до постоянной фазы такое
преобразование Uo единственно). Доказательство см. в [7]г
а также в [38]. \7
Напомним, что преобразование Uo называется антиунитар-
антиунитарным, если
<uob I ^i> = (<фа I Ь>)* = <Ь ! +2>- A°)
УЧ
Соответствующий оператор О0 обладает свойством антилиней-
антилинейности:
258
0 | -j>2>. A1)
A0) Замечание. Композиция двух антиунитарных пре-
преобразований — преобразование унитарное. Y
Теорема Вигнера утверждает, что мы не в состоянии отли-
отличить преобразования симметрии от унитарных (или антиуни-
антиунитарных) преобразований в^, и потому можно (и даже сле-
следует) отождествлять их с таковыми.
Посмотрим, к чему это приводит для всей совокупности
преобразований Ug. Из соотношения (9) следует, что отобра-
отображение G в группу {Ug} всех унитарных преобразований в Ж
будет воспроизводить закон композиции только на состояниях,
т. е. лучах | ф>, но не на их представителях |t|3>e|<J»>. Та-
ким образом, произведение операторов Ugl¦ Ugl совпадает
с Ugx.gi лишь с точностью до фазового множителя:
Ugi-0g.=zi(gi, g2)Uei.e,. A2)
Здесь \r(gi, ?2I=1, но этого не требуется для следующей,
более общей структуры.
A1) Отображение группы G в группу обратимых линейных
и антилинейных операторов GLA (Ж) в гильбертовом простран-
пространстве Ж, при котором закону композиции в G соответствует со-
соотношение A2) в ОЬА(Ж), где х — численный множитель, на-
называется проективным представлением группы G. Множители
т(§ь ?2) называются мультипликаторами проективного пред-
представления. Т
Свойства проективных представлений, такие, как приводи-
приводимость, полная приводимость и т. д., формулируются так же,
как и в случае обычных представлений. (Последние при необ-
необходимости подчеркнуть их отличие от проективных называют
векторными.)
Например, проективное представление называется унитар-
унитарным, если осуществляется унитарными операторами (матрица-
(матрицами). Очевидно, что мультипликаторы т такого представления
по модулю равны 1.
A2) Таким образом, в квантовой механике мы имеем дело
с проективным представлением группы симметрии. Его почти
всегда можно считать унитарным, поскольку допускаемая тео-
теоремой Вигнера альтернатива может относиться лишь к суще-
ственно дискретным преобразованиям (таким, как Т- и Р-от-
ражения). Действительно, пусть Go — связная подгруппа Ли
группы симметрии G (например, связная компонента единицы
в G). Поскольку любой элемент g<^G0 является произведе-
произведением некоторых gb g2, ..., gr^V(e), где V(e)—окрестность
единичного элемента, то оператор Ug представим в виде
Ug = e»UgtUgl... Dgr, (Щ
17* 259
где б — совокупная фаза. Напомним, что окрестность V(e)
всегда может быть выбрана так, что любой ее элемент g3 есть
квадрат некоторого элемента /is=ygs, ей же принадлежащего.
Тогда в силу замечания A0) только унитарные операторы со-
соответствуют элементам из V(e) и на основании соотношения
A3) любому элементу geG0.
A3) Как видим, лишь некоторые элементы дискретной
группы симметрии могут быть представлены антиунитарными
операторами в Ж. Оказывается, если группа симметрии содер-
жит операцию Т обращения времени (см. A.41)), искомый
оператор с необходимо^ью антиунитарен. Элементарные со-
соображения, приводящие к такому выводу, основаны на поло-
положительности энергии физических состояний, что исключает пе-
ремену знака оператора энергии Я при перестановке с Т. Со-
Совпадение динамик исходных и преобразованных состояний (one-
ратор развития имеет вид Sj-w = exp iHt) при наличии 7-отра-
жения t->—t в этих условиях можно обеспечить, лишь допу-
допустив, что «пронесение» оператора преобразования симметрии
через S0^t сопровождается заменой t->—i. j
Итак, основными свойствами преобразований симметрии в
квантовой механике являются их линейность (антилинейность)
в пространстве Ж векторов состояния и унитарность (антиуни-
(антиунитарность) соответствующих операторов. Именно поэтому до-
иустимы непосредственная теоретико-групповая формулировка
и решение задач квантовой механики в рамках теории пред-
представлений групп. Свойство проективности этих представлений
обсудим в следующем параграфе.
Важная особенность квантовомеханической симметрии за-
заключается в том, что она позволяет дать простую формулиров-
формулировку такого свойства, как элементарность рассматриваемых фи-
физических объектов — фундаментальных частиц. Поскольку
представление группы симметрии G в Ж оказывается унитар-
унитарным, то оно полностью приводимо, и Ж распадается на непри-
неприводимые подпространства Жа-
Неизбежно возникает вопрос о роли (эрмитовых) операто-
ров Х(АВ) с нетривиальными матричными элементами, связы-
связывающими различные неприводимые подпространства. Соответ-
Соответствующие наблюдаемые осуществляют дополнительную дета-
детализацию структуры «элементарного» объекта (помимо той, что
заложена в группе G). Возможно, мы недооценили симметрию
рассматриваемого объекта («элементарный» объект с группой
симметрии G'zdG, конечно, обладает более богатой внутренней
структурой). Тогда либо получим неприводимое представление
260
более широкой группы симметрии С, либо вновь придется ре*
шать проблему происхождения операторов типа Х{АВ). В по-
последнем случае может оказаться, что по некоторым причинам
таким операторам не соответствуют никакие наблюдаемые,
однако отсутствие наблюдаемых типа Х(Ав) может быть гаран-
гарантировано лишь в случае неприводимости Ж.
A4) Замечание. Нам известна лишь одна причина та-
такого запрета — принцип суперотбора, формулируемый для та-
таких (центральных) наблюдаемых Z< (i=l, 2, ..., г), измере-
измерение которых всегда возможно (т. е. они входят в любой пол-
полный набор. — См. A)). Это, например, электрический заряд Q,
барионный заряд В и т. д. Принцип суперотбора ограничивает
область применимости принципа суперпозиции, накладывая за-
запрет на образование линейных комбинаций векторов из под-
подпространств Жг,Жг>, соответствующих различным собствен-
собственным значениям г, г' хотя бы одного центрального оператора
2. (Такая комбинация не может описывать физическое состоя-
состояние, поскольку тогда вероятность для наблюдаемой Z иметь
определенное значение отличалась бы от 1.) Равным образом
невозможно существование наблюдаемой, оператор которой
имеет ненулевые матричные элементы, связывающие подпро-
подпространства Жг и Жг>\ он не коммутирует с оператором Z, что
противоречит определению центральной наблюдаемой. Следо-
Следовательно, по принципу суперотбора нежелательные наблюдае-
наблюдаемые можно исключить, отнеся G-н^приводимые подпростран-
подпространства Ж а к различным собственным значениям какой-либо
центральной наблюдаемой. Тогда объект, описываемый прямой
суммой двух и более таких Ж а, заведомо неэлементарен.
A5) На основании изложенного объект (частицу) следует
считать элементарным, если пространство его векторов состоя-
состояния Ж неприводимо относительно группы G физической сим-
симметрии.
A6) Замечание. В таком случае элементарными, строго
говоря, можем считать только стабильные частицы. Действи-
Действительно, как будет показано в следующей главе, неприводимые
унитарные представления группы Пуанкаре характеризуются
фиксированным значением массы (собственным значением one-
ратора Казимира этой группы Р2=Р11Р^). Нестабильным же
частицам в силу теоремы Фока — Крылова (см., например,
[31, с. 160, 161]) должно соответствовать непрерывное распре-
распределение по энергии и, следовательно, по массе. Равноправное
рассмотрение стабильных и распадающихся частиц как элемен-
элементарных может быть оправдано следующим. Объединение тех
и других производится при обнаружении признаков более вы-
высокой симметрии (скажем, изотопической, унитарной и т. д.),
которую можно рассматривать лишь как приближенную (на-
(нарушенную) . Нестабильность части состояний из ее мультипле-
261
та—(неприводимого) представления соответствующей груп-
группы— обусловлена той же причиной, что и нарушение симмет-
симметрии. Можно думать, что если бы (в каком-либо гипотетиче-
гипотетическом мире) симметрия не нарушалась, то все состояния из дан-
данного мультиплета были бы стабильны.
A7) Формализм квантовой механики отражает единство
понятий симметрии и наблюдаемых. Действительно, наблюдае-
наблюдаемым сопоставлены эрмитовы операторы в Ж. Преобразования
симметрии реализуются тоже операторами в Ж — унитарными.
.Тогда генераторы 4 группы симметрии G представлены анти-
•Ч УЧ УЧ
эрмитовыми операторами Ik- Эрмитовы операторы Нк=%к
естественным образом определяют набор (основных) наблю-
наблюдаемых. Алгебра наблюдаемых %k совпадает с алгеброй Ли А
группы G
[х*. Ъп\= КтХ,
в базисе, упомянутом в замечании E.25). (Здесь предполагается,
что представление G в S? — векторное. Обоснование этому бу-
будет дано в следующем параграфе.)
Наблюдаемым, зависящим от %ь, т. е. (функциям), соответ-
соответствуют элементы обертывающей алгебры & (А). Разумно пред-
иоложить, что алгебра наблюдаемых не содержит иных, т. е.
не связанных с какой бы то ни было физической симметрией, у
В рамках квантовомеханического описания оказывается воз-
возможным сопоставить наблюдаемые существенно дискретным
симметриям (что лишено смысла в классической теории).
A8) Рассмотрим, например, Р-отражения. (Строго говоря,
соответствующая симметрия в природе отсутствует.)
Отражение Р трех пространственных осей представимо
комбинацией отражения относительно одной оси и вращения.
Следовательно, при наличии /? = SO C) -симметрии свойства
операции Р определяются свойствами зеркального отражения.
Экспериментальная проверка такой симметрии заключается в
установлении совпадения динамики S(ap) точной (до послед-
последнего существенного «винтика») зеркальной копии (ар) рас-
рассматриваемого объекта (а), поставленного в соответствующие
А.
(«Р-отраженные») внешние условия, с наблюдаемой в зеркале
динамикой исходного.
Для макроскопических объектов Р-симметрия имеет место
и проявляется в инвариантности уравнений движения класси-
классической механики относительно преобразований
Не исключено, что в микромире найдутся объекты, не имею-
имеющие «зеркального» двойника.
262
Возможно, что такими объектами являются нейтрино, на-
например электронное ve — частица спина 7г с практически ну-
нулевой массой т. Точнее, при т—0 следует говорить не о спи-
спине, а о спиральности (см. (9.21)). Спиральность X~(s-p) есть
проекция спина частицы на направление ее движения. Спин
частицы s, орбитальный момент 1 = х X р, полный угловой мо-
момент L=l + s и спиральность к при операции A4) преобра-
преобразуются так:
->
Следовательно, для самой постановки вопроса о Р-симметрии
необходимо существование нейтрино с к = 7г (правых) и к—
=—7г (левых). Только тогда будет иметь смысл операция
Р-отражения в пространстве состояний. Четких эксперименталь-
экспериментальных свидетельств существования правых нейтрино до сих пор не
получено. В любом случае поведение других частиц, скажем,
правых и левых электронов, в процессах слабого взаимодействия
несимметрично. Напротив, сильное и электромагнитное взаимо-
УЧ
действия демонстрируют симметрию относительно Р-отра-
жения.
Поскольку двукратное отражение приводит к исходному со-
стоянию и оператор Р унитарен,то
fa = u>P?,\<»p\ = \. A5)
Строгое рассмотрение проективности представления опера-
ции Р будет проведено в гл. 9, а здесь для простоты положим
<ор=1. Тогда векторы состояний
ф± = |<|»> ±Р|ф> A6)
•ч
— собственные для оператора Р. Его собственные значения
+1 и —1 называются Р-четностью (или просто четностью) со-
состояний г])*. Это (мультипликативное) квантовое число сохра-
сохраняется в процессах сильного и электромагнитного взаимодей-
взаимодействий. Его можно приписать всем состояниям участвующих
в таких процессах частиц. (В действительности вследствие
проективности в случае частиц полуцелого спина речь может
идти лишь об относительной четности.) V
Аналогично в квантовой физике возникают наблюдаемые,
соответствующие другим дискретным симметриям, например за-
рядовой С для состояний частиц и античастиц.
263
§ 2. Изотопическая симметрия и операторные лучи.
Мультипликаторы и коциклы проективного представления.
Фазовые расширения. Эквивалентность проективных
представлений группы и векторных представлений ее
универсальной накрывающей
A9) Уже установлено, что представление группы симмет-
симметрии в пространстве векторов состояния Ж является проектив-
проективным. Таким образом, возникает задача классификации неэкви-
неэквивалентных (неприводимых, унитарных) проективных представ-
представлений заданной группы симметрии, у/
Уточним это на примере изотопической симметрии адронов
(сильновзаимодействующих частиц). Ядра атомов можно счи-
считать состоящими из частиц двух сортов — протонов р и ней-
нейтронов п, связанных ядерными силами (сильным взаимодей-
взаимодействием), не зависящими от сорта частиц. Различие во взаимо-
взаимодействии, скажем, протона с протоном—{рр), протона с ней-
нейтроном—(рп), вполне объяснимо действием электромагнит-
электромагнитных сил (вследствие различия электрического заряда Q у про-
протона (Q=l) и нейтрона (Q = 0)). Сужение матрицы оператора
заряда Q на прямую сумму Жх подпространств состояний
протона Ж? и нейтрона Жп, таким образом, имеет вид
о о) •
Оператор барионного заряда В (здесь он совпадает с нуклон-
ным зарядом) представится в таком случае единичной матри-
матрицей. При этом состояния протона и нейтрона (как собственные
состояния оператора Q они ортогональны) имеют вид
A7)
(Нас пока не интересуют другие квантовые числа и структура
волновых функций для |i|5p> и |i|5n>.) Отметим, что вслед-
вследствие суперотбора по Q векторам
не соответствуют реальные состояния. Однако этот суперотбор
является практически единственной причиной, накладывающей
запрет на такие комбинации (если не считать нестабильности
нейтрона, вызванной слабым взаимодействием). Сильные взаи-
взаимодействия нечувствительны к величине электрического заряда.
Можно думать, что в воображаемом мире, где «выключены»
слабые и электромагнитные силы, комбинации вида A8) рав-
равноправны с векторами A7), и подстановки
264
л>, |я'> = 7 |/»> + 8|и> B0}
не сказываются на структуре ядерной материи. Этим комбина-
комбинациям соответствуют отличные от 1 и 0 средние значения элек-
электрического заряда, что, повторяем, с точки зрения ядерных сил
несущественно. Существенным следует считать лишь необходи-
необходимость рассматривать две такие комбинации: (внутреннее) про-
пространство состояний нуклонов двумерно (см. A7)). Оно назы-
называется изотопическим.
B0) Итак, ограничиваясь рассмотрением ядерных сил, пре-
преобразование A9) можно считать преобразованием физической
(изотопической) симметрии. При этом должны сохраняться
вероятности переходов. Амплитуды этих вероятностей означают
нормировку |р> и |я> и их ортогональность. Следовательно,.
2X2 матрица О преобразования A9) в Жы должна быть уни-
унитарной.
Эти операторы и осуществляют проективное представление
группы GT изотопической симметрии:
U(g1)C{ga)=-z{g1, gt)U(gtgJ (|х|=1; glt g2?GT)
Установить, что это за группа, в данном случае сравнительно-
несложно. Следует исходить из того, что представление O(g)
является определяющим и потому точным.
На суперпозиции B0) нет иных ограничений кроме унитар-
унитарности: все они, как уже подчеркивалось, равноправны. Однако
•\
множество U B) содержит матрицы О=е{ч>1, кратные единич-
единичной. Они описывают тривиальные фазовые преобразования век-
векторов |t|)> еЖ, не отражающиеся на физических состояниях.
Для векторного представления группы GT сразу последовал
бы вывод: GT & t/B)/{e*4»}«St/B).
Убедимся, что и в данном случае GTxSUB).
По аналогии с состояниями — лучами D) в Ж — введем1
операторные лучи U (g) — классы операторов вида
B2>
Естественный закон композиции
V{gi)-V(gi) = {Ui-Oa: tf,eU(?i), ^6Ute2)} B3>
наделяет множество лучей {U} структурой группы и очевидно
точно воспроизводит закон композиции в GT:
Вместе с тем очевидно, что операторные лучи совпадают с
классами смежности UB)/U(l)=SU{2) (C/(l) = {е»ч>}) и про-
265.
изведение B1) является произведением в группе SUB)
GTSUTB)
B1) В рассмотренном примере SUTB) заложена схема дей-
действий, необходимых для установления структуры группы той
или иной симметрии. Предположим, например, что каждый
кварк (из которых по современным воззрениям «составлены»
адроны) может пребывать в трех независимых («цветных»)
состояниях, к различию которых нечувствительны межкварко-
вые силы. Рассуждая аналогично предыдущему, читатель убе-
убедится, что группа цветной симметрии изоморфна SU(S) (она
обозначается через SUCC)).
B2) Вернемся к исследованию проективных представлений.
На примере SUTB) мы фактически установили, что группа
операторных лучей U(G), однозначно определяемая точным
проективным представлением g-*-U(g), изоморфна группе сим-
симметрии G. Очевидно, что одной и той же группе U(G) соот-
соответствуют разные представления G в Ж — согласно выбору
Бредставителей в классах B2). Столь же очевидно, что все они
¦физически эквивалентны и в данной задаче классификации
проективных представлений не имеет смысла различать их.
B3) Совокупность лучей |ф> не образует линейного про-
пространства, поэтому действующие на них операторные лучи
U (g) не образуют векторного представления группы G. Одна-
Однако если бы U(G) всегда восстанавливалась по содержащемуся
в ней векторному представлению U(G0) некоторой группы Go
(необязательно совпадающей с G), то наша задача A9) пол-
полностью свелась бы к классификации векторных представлений
групп. Т
л.
Итак, эквивалентными мы считаем представления О(G) и
U'(G), связанные соотношением
B4)
где фаза t,(g) ¦—произвольная функция. Можно доказать (см.,
например, [39]), что класс L) эквивалентных представлений
должен содержать хотя бы одно такое, в котором операторно-
значная функция O(g) на G сильно непрерывна в подходящей
окрестности V(e)c^G. Доказательство основывается на физи-
физически естественном предположении, что средние значения на-
наблюдаемых в состояниях \tyg> непрерывно зависят от g'.
В этом случае мультипликаторы %{g\, ?г) такого представ-
представления должны быть непрерывными по обоим аргументам.
Мультипликаторы т и х' эквивалентных представлений назо-
назовем эквивалентными.
Ассоциативность группового умножения накладывает на
функции %{g\, gz) ограничение
11 (ffi, Яг ёъ) ¦* (gt, gt) = * (ёи gz) * (gig* ?з). B5)
266
которое следует из сравнения двух способов расстановки ско-
Л /Ч /N.
бок в произведении O(gi)O(g2)O(g3).
Ограничение |т| = 1 (см. B1)) удобно удовлетворить тож-
тождественно, положив
Функцию Q(gi, g2) (она непрерывна, если такова x(g\, ?2))
будем называть коциклом данного проективного представления.
Требование ассоциативности применительно к Q имеет вид
2 (gv g2g») + а (я-2, gj = ^ tei, #2) + ^ tei?a, ga). B6)
Из соотношения B4) следует, что между эквивалентными
мультипликаторами существует связь
*' (ёи ff2) = (*': (Ы * (Я,- gt) el- <*•>) е~к (^ff2),
автоматически согласованная с условием B5). Тогда для экви-
эквивалентных коциклов получаем
?' tei, g-2) = s (й-,, ?2L-'- (ёд + с^2)-r*(fts-2) = q + д [;i,
где
(ff2) ~ ^ (gi^2). B8)
Коцикл QJ удовлетворяет требованию ассоциативности B6)
тогда и только тогда, когда ему удовлетворяет Q.
Для исключения тривиальной эквивалентности, соответст-
соответствующей постоянной фазе ?(g)=const в B4), B7), потребуем,
чтобы
Q(e, e) = 0. B9)
Это ограничивает фазы преобразований эквивалентности усло-
условием
С (е) = 0. C0)
Всюду в дальнейшем требования B9), C0) будут предпола-
предполагаться выполненными.
При исследовании класса эквивалентных коциклов основная
идея заключается в изучении локальных свойств коциклов Q,
а затем в рассмотрении того, в какой мере их можно распро-
распространить на группу G в целом. Остановимся на узловых мо-
моментах (несложные доказательства читатель найдет в ориги-
оригинальной работе [39]).
Класс эквивалентности любого коцикла Q, как уже извест-
известно, содержит хотя бы один непрерывный.
B4) Теорема. Для любого коцикла Q группы Ли G его
267
класс эквивалентности содержит дифференцируемый локаль-
локальный коцикл.*) V
B5) Можно установить, что в классах эквивалентности все-
всегда содержатся коциклы специального вида. Коцикл Q будем
называть каноническим, если:
1) Q — дифференцируемый коцикл;
2) Q(gi, g2)=0 для элементов gu g2 из одной и той же
однопараметрической подгруппы.
B6) Лемма. Любой локальный коцикл Q группы Ли G эк-
эквивалентен каноническому локальному коциклу. V
Сужение отношения эквивалентности на канонические ко-
коциклы приводит к важному результату.
B7) Лемма. Если локальный коцикл Q канонический и ко-
коцикл Q'=Q + A[X] эквивалентен ему, где X(g) — фаза преоб-
преобразования, то коцикл Q' является локальным каноническим
тогда и только тогда, когда X(g) —линейная форма канониче-
канонических координат группы G (в соответствующей окрестности еди-
единицы), j
Для установления аналитичности локального канонического
коцикла конструируется вспомогательная группа. (Она же по-
помогает выяснить, в какой мере глобальный коцикл восстанав-
восстанавливается по локальным свойствам.)
B8) Происхождение этой вспомогательной группы можно
пояснить, рассмотрев умножение операторных лучей B2).
Проективное представление O(g) фиксирует представителей в
классах V(g). Произведение произвольных операторов
W =#(!>, g) = el*U(g)?\J(g)
имеет вид
Г1-^2 = ехр/(&1 + »2 + 2(^1, g2))Q[g&). C1)
Множество операторов W^U(G) образует представление груп-
группы GQ = {g : g = (ft, g)} с композицией
(»,. gi)-(&2, ?2) = (»i + »24^tei, g,), gyg*). C2)
Справедливость групповых аксиом B.1) — B.4) для умножения
C2) вытекает из свойств коцикла Q: соотношения B6) и нор-
нормировки B9).
Назовем группу Gq фазовым расширением группы G. Мно-
Множество Т элементов вида t — (#, е) принадлежит ее центру,
и факторгруппа по нему изоморфна исходной группе Ga/TzzG,
т. е. фазовое расширение Gq является центральным расшире-
расширением группы G (см. B.45)).
*) Если рассматриваемое свойство коцикла определено или существенно
только в окрестности единичного элемента группы, коцикл будем называть
локальным. Дифференцируемый коцикл — дифференцируемая функция кано-
канонических координат группы.
2Й8
Очевидно, что эквивалентные коциклы Q и Q' = !
определяют изоморфные фазовые расширения Ga и Gq' — изо-
изоморфизм выражается соотношением
/ : (», g) - (»', g') = (» - С (g), g). C3)
Удобно не различать эти группы, т. е. фазовое расширение
G~{Gq} поставить в соответствие всему классу эквивалент-
эквивалентных коциклов, интерпретируя соотношение C3) как репара-
метризацию G.
B9) Зафиксируем в G параметризацию элементов
ft .— rr ( yO yl Уп\ *
р (х)- рг ( v\ = рг (?\ —~> ?а = fa (\х$\' (xi^W а В y = П 1 п
C4)
взяв в качестве xk (k = 1, ..., п) канонические координаты
группы G, а в качестве х° — параметр # при условии, что ко-
коцикл Q в C2) — локальный канонический. Тогда G — локаль-
локальная группа Ли, и канонические локальные коциклы в классе
{?2} определяют (локальные) канонические координаты на G.
(Проверка этого утверждения элементарна.) Как известно,
в канонических координатах группы Ли функции fa, и в част-
частности !°({х*}; {уз})=х°+уо + ?1(§(х1), g(V)),—аналитические,
т. е. справедлива следующая теорема.
C0) Теорема. Локальный канонический коцикл Q — анали-
аналитическая функция локальных канонических координат группы
Структурные константы dp D.1) локальной группы G
имеют вид
Ctk = Cfk, Cm = Cm = О,
C5)
~о _ ... / д-Q d>Q
\дх1дук ду1ахк1\х,у^п,
i, К т=\, 2, ... , л,
где cTk — структурные константы исходной группы G.
C1) Матрица ||а,тЛ определяет антисимметричную билиней-
билинейную форму со на алгебре Ли А группы G:
со (х, у) = ш;А л'У, х, у?А. C6)
Форму со назовем инфинитезимальным коциклом.
Определим по ней (трилинейную) форму dco:
dm {x,y, г) = <в ([х,у], z) + m([y, z], jc) + ti) ([z, x],y). C7)
26?
Тогда основное свойство со кратко записывается в виде
Действительно, последнее эквивалентно требованию
ckijwkm + <tpkj + c)m ш fti = О, (ЗВ>
которое есть тождество Якоби для структурных констант с\
алгебры Ли А группы G. Итак, каждому (локальному) кано-
каноническому коциклу Q проективного представления группы G
соответствует инфинитезимальный коцикл со: билинейная анти-
антисимметричная функция на алгебре А, удовлетворяющая соот-
соотношению da—0. Верно и обратное утверждение (доказатель-
(доказательство сводится к задаче восстановления локальной группы Ли G
по ее алгебре Ли).
C2) Отношение эквивалентности коциклов Q и Q' индуци-
индуцирует эквивалентность инфинитезимальных коциклов со и со':
О)' ZH Ш <=> U)' = U) d [С],
где d[t,]—некоторая билинейная антисимметричная форма
на А. Напомним (см. лемму B7)), что фаза преобразования,,
связывающего канонические коциклы ?i(g)=A(x)=XiXi, есть
линейная форма канонических координат (в V(e)).
Определим линейную форму Л на Л: х = xivi-^-A(x) = KiX\
В соответствии с C5) матрицу ||угтЛ формы d[Q = d[A] мож-
можно получить дифференцированием выражения
Д [С] = А (х) + Л (у) - A (In {(exp х) (ехр у)}),
откуда
Т** = Ф» C9>
(см. формулу Кэмпбелла—Хаусдорфа D.32) и D.33). «Выжи-
«Выживает» только вклад коммутатора 7г|Х у]-), т. е.
d\A)(x, y) = A([x, у]). D0)
C3) Итак, исследование классов эквивалентных проектив-
проективных представлений сведено к построению классов эквивалент-
эквивалентности инфинитезимальных коциклов со. Множество таких со —
линейное пространство, размерность г' которого не может пре-
превышать числа г=п(п—1)/2, поскольку матрицы WanhW анти-
антисимметричны и подчинены системе линейных соотношений C8).
(Она тривиальна лишь в случае абелевой группы G, т. е.
в остальных случаях г'Кг.) Размерность г0 линейного про-
пространства классов Н2(А, R) = {&} эквивалентных инфинитези-
инфинитезимальных коциклов
ro = r'-r",
где г" — размерность подпространства коциклов вида D0).
270
(Для абелевой группы, как это следует из C9), г"=0, т. е,
го = г = л (л—
C4) Упражнение. Покажите, что коциклы Q и Q'=kQ
(keRj.) определяют изоморфные фазовые расширения. VT
C5) Задача построения классов эквивалентности Н2(А, R)
допускает решение для каждой конкретной группы G. Она фак-
фактически решена нами для группы вращений /?=SOC), Гали-
Галилея и Пуанкаре. Действительно, в проективном представлении
g-yO(g) =exp{xk0 (vu)} коммутационные соотношения для
генераторов группы G воспроизводятся в виде
К такому же виду скобочных структурных соотношений мы
пришли в A.23) (см. формулу A.29)). (Отметим, что принцип
соответствия скобке Пуассона {,} сопоставляет 7« [,].) Сдвигу
преобразующих функций (генераторов) на постоянную точно¦
соответствует преобразование эквивалентности eiA, порождаю-
порождающее сдвиг
#Ю-> и (vk) + я.й.
Результат проведенного в A.24), A.26), A.37), A.38) ис-
исследования устранимости констант в структурных соотношениях
можно переформулировать следующим образом. В проектив-
проективном представлении алгебры Ли у группы Галилея возможна
только одна неустранимая константа, следовательно, простран-
пространство Н2{у, R) одномерно: го=\. Для группы вращений
/? = 5ОC) и группы Пуанкаре, у которых все константы устра-
устранимы, Го = О. Все инфинитезимальные коциклы этих групп эк-
эквивалентны нулевому.
C6) Замечание. В калибровочных теориях элементар-
элементарных частиц наиболее привлекательными физическими чертами
обладают модели с полупростой группой симметрии. Для та-
таких групп справедлива следующая теорема.
C7) Теорема. Любой инфинитезимальный коцикл полупро-
полупростой группы Ли эквивалентен нулю.
Для доказательства используется невырожденность матри-
цы Ж формы Киллинга полупростой группы G. Тогда в левой
части C8) условия dco = 0 можно обратить «коэффициент»
при со в каком-либо слагаемом и переписать это условие:
^m^LTrC03 по-
последовательно, со имеет вид d[A]. j
Итак, задачу нахождения классов эквивалентных инфини-
тезимальных коциклов группы симметрии будем считать ре-
271-
шенной. Предположим, что все коциклы эквивалентны нулево-
нулевому. Это означает, что фазовое расширение Gm{Gq} локально
изоморфно прямому произведению {егй} X G. Тогда всякое про-
проективное представление группы G эквивалентно векторному
представлению ее локальной группы (и алгебры Ли). Как из-
известно, эти представления совпадают с векторными представ-
представлениями исходной группы G только для односвязных групп.
C8) Утверждение. Проективное представление связной
группы G при #г(Л, R)=0 эквивалентно векторному пред-
представлению ее универсальной накрывающей G. Ў
До обсуждения случая #2 {А, Я)фО установим, что при
¦определенных условиях задача A9) не требует обращения к
свойствам H2(A,R).
C9) Теорема. Конечномерное непрерывное проективное
представление T(G) связной односвязной группы Ли G экви-
эквивалентно векторному ее представлению.
Доказательство. Пусть т.— мультипликатор представ-
представления T(G) (не предполагаемого унитарным):
Tig,) T(g2) = x(gu g2) T(gu g2), dim T=m
{¦% — непрерывная функция, поскольку представление Т непре-
непрерывно). Определители конечномерных матриц T(g) удовлетво-
удовлетворяют соотношению
det T (gt) det T (g2) = (х (gl g2)r det T (glgt).
Определим матрицы T'(g), положив
Tf (g) = (det T(g)yim T(g). D1)
Отображение <р : Т-*-Т' в подходящей окрестности V(e) можно
сделать непрерывным, выбрав фиксированную ветвь корня пг-п
степени. Отображение <р однозначно и непрерывно продолжа-
продолжается на всю группу G в силу ее односвязности. Мультиплика-
Мультипликатор т' представления Т'
непрерывен. Так как он удовлетворяет соотношению
m
(x'(gi, g'2))m=l, то является константой: т/=с=У1. Тогда
мультипликатор %0 представления То
g + T0(g)=(l/c)T'(g) D2)
равен единице, у
Применение подобной процедуры к случаю группы враще-
вращений 50C) подчеркивает роль односвязности. Действительно,
572
в V(е) соотношения D1), D2) определяют представление с
мультипликатором то, равным единице. Однако невозможно
гарантировать совпадения непрерывного продолжения функции
(det Т (g)) Vm в точку g вдоль двух негомотопных путей. В та-
таком случае придется отказаться либо от непрерывности, либо
от однозначности представления То.
D0) Замечание. В случае группы вращений R = SOC) ж
«5t/B)/Z2 среди неприводимых представлений ее универсаль-
универсальной накрывающей 50C) mSUB) содержатся (при полуцелом
спине) двузначные, не являющиеся векторными представления-
представлениями в обычном смысле. Их можно интерпретировать как проек-
проективные представления 50C) с дискретным мультипликатором
teZo. Как видим, возможность существования объектов (эле-
(элементарных частиц), описываемых такими представлениями, вы-
вытекает из самых общих принципов квантовой механики и не
имеет аналога в классической физике.
D1) Обсудим общий случай Н2(А, Я)фО. Проективное
ХЧ УЧ ~^
представление U{G) определяет векторное представление W(G)
фазового расширения С (по построению). Определив классы
{(й}л/:^ нетривиальных пнфинитезпмальных коциклов, построим
соответствующие расширения G = G({со}) и исследуем их век-
векторные (неприводимые унитарные) представления. (Как и
прежде, речь должна идти о представлениях односвязной на-
крывающей G, которая также представляет собой расширение,
но уже по дискретной подгруппе.) Из последних отберем лишь
такие, для которых сужение на центральную подгруппу
Г={(§, е)} состоит из скалярных операторов {е!*} (см. B8) —
•Ч /Ч ~~*
построение операторов W=W(g)). Таким образом, квантово-
механическая проблема классификации (неприводимых, уни-
унитарных) проективных представлений группы симметрии сводит-
сводится к стандартной задаче теории линейных представлений для
накрывающей G.
Поэтому группу G принято называть группой квантовоме-
ханической симметрии. В частности, П называется квантовоме-
ханической группой Пуанкаре; Aj~5LB, С)—квантовомеха-
нической группой Лоренца.
Для абелевой группы размерности п>\ Н2(А, R)^0 (см.
C3)). Однако в частном случае, который потребуется в даль-
дальнейшем, справедливо следующее утверждение.
D2) Теорема Баргмана. Проективное представление ком-
компактной связной абелевой группы G эквивалентно ее векторно-
векторному представлению. (Доказательство см. в [39].) f
18 Зак. .4. 132 273
Другим примером группы с Н2{А, Р)=?0 является группа
Галилея Г. В силу соотношения
[Ki,Pj] = i^jni _ D3)
(см. A.37)) дополнительному генератору расширения Г сле-
дует придать смысл оператора массы т.
D3) Замечание. Этим устраняется неравноправие на-
наблюдаемой т в нерелятивистском случае: массе т до сих пор
мы не могли сопоставить ни генератор группы симметрии, ни
элемент обертывающей алгебры, j
Различные значения тфО определяют изоморфные расши-
расширения Г=Г(т) (см. упражнение C4)), так что достаточно ис-
исследовать представления Г (т) при какой-либо фиксированной
массе.
D4) В случае симметрии Галилея есть веские основания
ограничиться только указанными представлениями, т. е. не
рассматривать класс эквивалентности нулевого коцикла и со-
соответствующих векторных представлений группы Г [43]. Дейст-
Действительно, в неприводимом представлении группы Галилея опера-
оператор Казимира |Р|2 = Р,-Р; является числом, поэтому волновые
функции if(P) в импульсном представлении заданы на сфере
|рр = const. D4)
В силу канонических квантовомехаиическпх коммутационных
соотношений
[Xh Pft^lhltj D5)
переход к координатному представлению ij; (p)—*-\j; (x) осущест-
осуществляется преобразованием Фурье. Как известно, при наличии
ограничения D4) .функция гр(х) не может быть локализована.
Такая трудность не возникает в проективном представлении
группы Г с нетривиальным коциклом ы(Кг, Р^-^Ьцгп. Дей-
Действительно, в силу соотношения D3) любое ограничение типа
D4) оказывается невозможным, pt может принимать любое
значение из R и г|)(х) может быть локализована. Таким обра-
образом, симметрия Галилея (по необходимости) является приме-
примером нетривиального отличия квантовомеханической группы
симметрии от соответствующей классической.
§ 3. Изотопические мультиплеты, формула Гелл-Манна—
Нишиджимы. Зарядовое сопряжение и G-четность
В случае изотопической SUTB) -симметрии результаты пре-
предыдущего параграфа означают, что пространство векторов со-
состояния сильновзаимодействующих частиц (адронов) являет-
является пространством векторного представления группы SUTB)-
Генераторы Та (а=1, 2, 3) этой группы
[Тп, Tb] = UabeTe . D6)
274
суть наблюдаемые — компоненты изосппна. В полный набор
может войти лишь их линейная комбинация, коммутирующая
с электрическим зарядом Q. Пусть это будет Т3.
Двумерное (внутреннее) подпространство состояний нукло-
нуклонов реализует спинорное представление группы SUTB). Здесь
операторы Та имеют вид
Та\Ж —~а— '. 2 Зо (п == * > 2, 3), D7-)
где аа — матрицы Паули.
Отметим, что в Ху операторы наблюдаемых Q и Тъ ока-
/\ УК /\
зываются связанными соотношением Q = t3 + //2, где единич-
единичную 2X2 матрицу / можно рассматривать как сужение на Жм
некоторого оператора, называемого оператором гиперзаряда Y.
Эмпирическое соотношение
Q = /3 + Y',2 D8)
называется формулой Гелл-Манна — Нишиджимы.
В Ж у действует фундаментальное представление d''2. Следую-
Следующее представление dl (t = 1) имеет размерность п = 2t + 1 = 3.
Оно вещественно (см. 5.15)), а векторы состояний должны
быть собственными для Т3, т. е., вообще говоря, комплексными.
Для определенности рассмотрим триплет л-мезонов—
псевдоскалярных частиц (скалярность означает, что спин / = О,
а приставка «псевдо» — внутреннюю четность Р(зт) =—1). Для
пионов Y = 0.
Пусть 1я;,>еЖг. {Ь = \, 2, 3) —базисные векторы неприво-
неприводимого представления группы SU1' B):
tb | кя> = с?' (vb) i т,а> = - /sftflC | v (a, /?, с = 1, 2, 3).
Пространство Ж я. наряду с каждым вектором |л?,> содержит
луч {ei(t\nb >}, а следовательно, и нормированные собственные
векторы оператора 7'3:
|---)>=A.,/2)(|Я,>ТЛ^>), ^@)> = |тг3>, D9)
соответствующие собственным значениям ± 1 и 0. Именно эти
векторы описывают реальные состояния. Их совокупность на-
называется изотопическим мультиплетом л-мезонов. Напомним,
что вследствие нарушенного характера изотопической симмет-
симметрии они разделены в силу суперотбора по Q. В приближении
симметрии, что эквивалентно пренебрежению правилом этого
суперотбора, связь векторов мультиплета л с векторами |ла>
имеет смысл и взаимно-однозначна.
D5) В общем случае G-симметрии ее мультиплеты состоят
из частиц, векторы состояний которых — собственные для et;
18* '.225
генераторов, допускающих включение в полный набор' наблю-
наблюдаемых. Без ограничения общности в качестве этих генерато-
генераторов можно взять элементы базиса подалгебры Картана груп-
группы G. Тогда ее весовые диаграммы адекватно отражают содер-
содержание мультнплетов. f
Изотриплет пионов удобно представлять в виде эрмитовой
2X2 матрицы
^-=(|/У2)гЛ, E0)
где ла— волновая функция для вектора |яа>. Множитель
CJ/2)-1 здесь введен для нормировки на единицу волновых
функций независимых состояний |яа> относительно скаляр-
скалярного произведения (я'-л) = Тг(л/я). Преобразование w=SUTB)
реализуется операцией
и:г - гс'=A У2) %аа = иг:и\ E1)
Выразив матричные элементы я через волновые функции со-
состояний мультиплета
получим
Г(>Г2 + ) E2)
И-гиперонов
¦— частиц с такими же спином и четностью, как и нуклоны:
/ = 7г, P(Z)= + P{N) (что кратко обозначается как GР) =Gг+)).
Для этого триплета гиперзаряд У также равен нулю и заряд
Q = 73={—1, 0, +1}. Однако в отличие от матрицы волновых
функций пионов E2) выражение E3) неэрмитово. Эрмитово
сопряженной 2 следует считать матрицу волновых функций
античастиц 2:
Представлением вида E1) является также нзотриплет
E3)
) E4)
В данном случае имеем дело с операцией С зарядового сопря-
сопряжения. Она сопоставляет состояниям частицы (а) состояния со-
соответствующей античастицы (а):
Ch>=/;.OOP>, | ;(а)| = 1 E5)
276
с комплексно сопряженными волновыми функциями (с точ-
точностью до фазового множителя ?(сс), который для простоты бу-
будем считать равным ±1 [23]).
В рамках релятивистской квантовой теории поля необходи-
необходимость введения античастиц связана с требованием полноты си-
системы состояний (массивных) частиц с положительной энергией.
Вообще говоря, допустимо совпадение состояния частицы (а)
и античастицы (а). Такие частицы называются истинно ней-
нейтральными. (Например, п°-мезон.) Нейтральным называется
также мультиплет, если для каждой входящей в него, частицы
он содержит и ее античастицу. (Изотриплет пионов обладает
данным свойством.)
D6) Убедимся, что нейтральной частице (мультиплету) со-
соответствуют нулевые значения аддитивных центральных наблю-
наблюдаемых. (Для нейтрального мультиплета — только тех, что ком-
коммутируют с группой симметрии. Например, не все состояния в
изотриплете я соответствуют нулевому электрическому заряду
Q, но, как отмечалось, именно эта наблюдаемая теряет право
на суперотбор в приближении изотопической симметрии.)
Напомним, что по определению центральные наблюдаемые
Zj (/= 1, 2, ..., г) коммутируют друг с другом и со всеми
остальными наблюдаемыми. Их аддитивность позволяет предпо-
предположить, что наблюдаемые Z,- суть генераторы некоторой абеле-
вой группы симметрии G(Z). Подчеркнем, что G (Z) должна
быть компактна, поскольку спектр зарядов Z; дискретен. Доста-
Достаточно рассмотреть только ее связную компоненту единицы
Gq(Z) —с существенно дискретными элементами мы связываем
мультипликативные квантовые числа.
Итак, G0(Z)—связная компактная абелева группа. Пусть
ср7(/=1, 2, ..., г)—канонические координаты на ней. В силу
теоремы D2) ее квантовомеханическое представление эквива-
эквивалентно векторному. На подпространствах состояний элементар-
элементарных частиц оно унитарно и неприводимо, а потому одномерно:
Ug = expiqj'fj (g?G0(Z)}. E6)
Здесь «заряды» qj=Qj{a)—значения наблюдаемых Z,, харак-
характеризующие данную частицу (а).
Тогда матрица волновых функций, эрмитово сопряженная,
скажем, к матрице пионов E2) (или 2-гиперонов E3)), описы-
описывает состояния мультиплета, являющегося представлением груп-
группы G0(Z), комплексно сопряженным E6). Таким образом, анти-
античастица (ос) характеризуется противоположными по знаку заря-
зарядами qj(a) = —qj(a), и ее состояния могут совпасть с состоя-
состояниями частицы лишь в случае нулевых значений всех q>. По-
Последнее выполняется для триплета пионов, но не для Е-гиперо-
нов, у которых нетривиально значение барионного заряда
ЯB) 1
277
D7) О С-симметрип следует сказать примерно то же, что и
в случае Р-отраженпй (см. A8)).
Обозначим вектор состояния, например нейтрино (антиней-
(антинейтрино) со спиральностью л, через |v; K> (|v; /. >). Динамика
процессов слабого взаимодействия не позволяет говорить о сим-
симметрии относительно операций:
P:
•ч
С : |'
ч48) Замечание.
(СР):
.. ,. 1 ¦ ч v \j • [ )
j . , I ' V v j \J • 1 '
«Комбинированное»
>, E7)
E8)
преобразование
2> E9)
можно считать преобразованием симметрии в слабых взаимо-
действиях. Хотя динамики состояний |сс>, СР\а> и не комму-
•тируют с операцией СР, соответствующие процессы еше менее
интенсивны, чем процессы слабого взаимодействия (вызываю-
(вызывающее их взаимодействие названо сверхслабым). Отметим, что в
силу СРТ теоремы (см., например, [27]) нарушение СР-симмет-
рии эквивалентно нарушению Г-симметрип. V
D9) Как и в случае Р-отраженнй, зарядовая симметрия
приводит к (мультипликативному) квантовому числу — С-чет-
ности, сохраняющемуся в электромагнитных и сильных взаи-
взаимодействиях. Согласно правилу суперотбора аналогичные A6)
С-собствснные состояния существуют лишь для истинно ней-
нейтральных частиц, и только они характеризуются определенной
С-четностью. V
E0) Приписывание определенной С-четности нейтральному
мультиплету (например, изотриплету л), вообще говоря, несо-
несостоятельно.
Это станет очевидным, если на примере пионов рассмотреть
/А.
действие операции С на состояниях |яа> (а=1, 2, 3). Вос-
иользовавшнсь соотношениями D9), можно получить
т. е. по существу С-сопряжение есть зеркальное отражение
второй оси в трехмерном изотопическом пространстве Жп пред-
представления d1. Очевидно, что такая операция не может комму-
коммутировать с группой SUT{2). Указанный недостаток можно
578,
устранить, дополнив С-сопряжение поворотом вокруг второй
оси до полного отражения С в Жп-
J=exp(i72-)C. F0)
Наблюдаемая, соответствующая этой операции, называется
G-четностью и является важной характеристикой нейтральных
изомультиплетов с целым (и только целым!) значением изо-
спнна. В общепринятой краткой нотации указывается только
знак О-четности частицы, равно как н знаки Р-четностн н
С-четности (С„) его нейтральной компоненты: tG(Jp)Cn. На-
Например, для пионов записываем 1~@ )".
§ 4. Унитарная симметрия и унитарные мультиплеты.
Эволюция унитарной симметрии
Существование нескольких совокупностей пзомультиплетов
с примерно одинаковыми пространственными свойствами (оди-
(одинаковыми спин-четностями (JF) и близкими по величине мас-
массами) наводит на мысль, что реальная симметрия сильных
взаимодействий шире, чем SUTB).
Изомультиплеты, скажем, со спин-четностью Gг+), кроме
нуклонов N и Б-гиперонов, — это 3-гипероны V2 (V24") н нзо-
синглет Л 0('/г+), известные еще в начале 60-х годов, разли-
различаются значениями гиперзаряда У: 1, 0, —1 и 0 соответствен-
соответственно (барпонный заряд В равен единице для всех названных
частиц).
Практически идентичные свойства этих частиц в процессах
сильного взаимодействия позволили предположить, что истин-
истинная симметрия GF последнего шире SUTB). Неприводимое
унитарное представление ее группы, содержащее изомульти-
изомультиплеты N, 2, . . ., конечномерно, следовательно, GF компактна.
Ранг минимальной такой группы не меньше двух, поскольку
в полный набор наблюдаемых кроме Т3 должно войти не
меньше одной независимой, скажем, гиперзаряд Y. Группа
SU1' B) X UY (\) служит для классификации частиц, однако
рассматриваемое представление относительно нее по-прежнему
приводимо. Оставалось выбрать GF из четырех простых (полу-
(полупростых) компактных групп ранга 2. Это группы SUC), G2,
OE)»SpB) и OD)fvSUB)xSUB).
Все группы, кроме первой, не подошли либо из-за несоот-
несоответствия содержания изомультиплетов в их неприводимых
представлениях реальным состояниям, либо из-за нефизических
(не наблюдаемых в действительности) запретов. (Более по-
подробно с этими вопросами можно ознакомиться в [29].)
Указанные барионы N, 2, S и Л погружаются в восьмимер-
восьмимерное представление группы SUFC) (симметрия получила назва-
название «унитарной»). Аналогичная E3) 8x8 матрица
p+
5=1 ?- — 1°У2 -f Лоу'б «° j F1 >
нормируется по форме Тг(ЛтВ) во внутреннем пространстве.
(Здесь не рассматривается проблема согласованного выбора
фаз векторов для каждого состояния мультиплета: унитарной
симметрией он не фиксируется и определяется удобством реа-
реализации операций типа зарядового сопряжения [23, гл. 8].)
Преобразования симметрии имеют вид
В -*B' — uBir, uGSUC).
Изотопической подгруппе соответствуют унитарные 3X3 мат-
матрицы
(sUrB) |°\
¦- -ю •
0 0 1/
Аналогичным образом заполняется октет Ф псевдоскаляр-
псевдоскалярных @"")- и октет Ф* векторных A~) -мезонов [37]:
К+ \
/с» » F2)
Ф*= Р- — ?о У 2 4-?°,Уб ^*о |. F3)
Как уже было показано в D5), содержание мультиплета
группы симметрии G можно описывать весовой диаграммой ее
представления. Обозначив веса символами соответствующих
состояний, например, октетам В, В сопоставляем диаграммы
, 8='
F4)
E1) Отметим десятимерное представление flf<3'°) (декуплет)
с (/я) = (з/2+):
280
Г4 v
-312 -7 -112 0 V2 1 312
7
F5)
Напомним, что классификация F5) резонансов Д, 2* и Е*
позволила предсказать существование частицы Q- с t(Jp) =
= 0C/2+) и У=—2. В силу эквидистантности масс А, 2* и Е*
ожидаемое значение массы этой частицы .~1680МэВ. Обнару-
Обнаружение О~-гиперона с требуемыми свойствами явилось триумфом
унитарной симметрии, у
Дальнейшее развитие SUFC) -симметрии происходило в не-
нескольких направлениях. Укажем следующие.
E2) Интенсивно разрабатывалась теория калибровочных
полей (или полей Янга — Миллса), основанная на калибровоч-
калибровочной (или локальной) симметрии (см., например, [26]). Послед-
Последняя отличается от ортодоксальной G-симметрии относительно
преобразований и: ifi—+ty'=uty тем, что ее преобразования на
состояниях существенно зависят от координат дсм, хеМ4, ха-
характеризующих эти состояния, т. е. преобразования волновых
функций в координатном представленип
О (л") -> ¦'/ (л-) = и (х) -Ь (л-),
где «(x')gG при всех .veAf4. С формальной точки зрения
группа калибровочной симметрии G[Af4] есть прямое произве-
произведение по точкам пространства Минковского:
G
Gx,
причем все Gx изоморфны G. (Обычную G-симметрию при этем
называют глобальной.)
E3) Второе направление было обусловлено тем, что сово-
совокупность известных адронных состояний заполняет далеко нг
все представления SUC) низшей размерности. В частности,
не обнаружены кандидаты для представлений F), F'*), а так-
также для фундаментальных представлений C) и (<?*). Это на-
находит объяснение в кварковой модели. В рамках последней
унитарная симметрия мыслится как симметрия в мире адронов
281
{jV, 2, ..., n, К, ...}, составленных из («унитарного») триплета
кварков q~ (qu q2, дъ) = (и, й, s)*)
F6)
каждый из которых в свою очередь может находиться в одном
из трех («цветных») состояний. Этому соответствует симметрия
нового уровня —цветная SUCC) (см. B1)). (Калибровочная
теория с группой SUCC) [M4] называется хромодинамикой.)
E4) Прогресс техники эксперимента также отразился на
статусе группы SUFC): ее следует считать лишь подгруппой
в более широкой группе ароматов. Были обнаружены мезон-
ные состояния (в частности, //-ф-мезон), с которыми следует
связать новые наблюдаемые (не содержащиеся в алгебре Кар-
тана группы SUC)), т. е. группа ароматов GF имеет ранг г > 2.
На языке кварков это означает, что кроме (и, d, s) должны су-
существовать и кварки, соответствующие нетривиальным значени-
•ч /к л
ям новых наблюдаемых {С—«charm», b—«.beauty», t—«truth»).
Кварки, существование которых в настоящее время мы имеем
основания предполагать, см. в табл. 12.
Таблица 12
Кварки
1>.= 1,2,3)
Ч
dx
s>,
с\
h
в
1 3
1,3
1 /3
1/3
1/3
1/3
0
+2/3
—13
—13
+ 2;3
-1/3
-2/3
т3
1/2
— 1/2
0
0
0
0
Y
1/3
13
-2 3
0
0
0
с
0
0
0
1
0
0
ь
0
0
0
0
1
0
t
0
0
0
0
0
1
Экспериментальные данные хорошо согласуются с предполо-
предположением, что группа симметрии ароматов есть SUFF). Пере-
Перечисленные в таблице кварки принадлежат ее фундаментально-
фундаментальному мультиплету.
E5) Интенсивная разработка моделей слабого взаимодей-
взаимодействия элементарных частиц привела к построению единой тео-
*) Ставшие традиционными обозначения первых двух кварков соответст-
соответствуют знаку третьей компоненты нзоспина: Т3=1/2—«up», Т3=—1/2—«down».
s-кварк обладает нетривиальной странностью S sY—В = — 1—«strange».
Для отличия от цветных степеней свободы u = {u-t}.(%—l, 2, 3), ...типы
состояний и, d, s названы «ароматами» («flavour»), а группа унитарной
симметрии — группой ароматов SUF C).
рии слабого и электромагнитного взаимодействия (модели
Вайнберга — Салама [14]) и возродила надежды на построе-
построение единой теории вообще всех взаимодействий.
Как уже отмечалось, процессы слабого взаимодействия не
обладают Р-симметрией. Это приводит к тому, что состояния
(пли их волновые функции) с одним значением спиральное™
и противоположным (если таковое существует) входят в теорию
несимметрично. (Для краткости принято использовать индексы
«L» («левый») или «R» («правый») в зависимости от знака
спиралыюсти.) Скажем, е~ — волновая функция «левого» по-
позитрона с л= —7г-
Объединенная теория слабого.и электромагнитного взаимо-
взаимодействия — это калибровочная теория, основанная на глобаль-
глобальной группе симметрии Gw= (SU{2) X C/(l) )w. Лептоны
(vc, e~), (v-ц, \и~), (vT, т~) образуют ее приводимое представле-
представление. Оно приводимо и для каждого «поколения» — указанных
пар лептонов. Например, левые частицы L\= WL) являются
дублетом, а правый электрон е# — синглетом. Преобразова-
Преобразовательные свойства остальных поколений точно такие же. Если
генератор подгруппы Uw(\), обозначаемый через Yw, считать
слабым гиперзарядом, то для лептонов существует аналог фор-
формулы Гелл-Манна — Нишиджимы D8):
Q-..--TF + Vw;2. F7)
Тогда дублеты Li имеют Yw(Li)=—1, а синглеты (скажем,
<?j?) — Yw(e$)=—2. (Для античастиц знаки следует заменить на
противоположные.)
Необходимым атрибутом калибровочной G[Af4]-теории яв-
являются векторные частицы (кванты калибровочного поля),
реализующие присоединенное представление (глобальной)
группы G. Они служат «переносчиками» взаимодействия.
Б рассматриваемом случае их должно быть четыре: SUW{2)-
триплет Ацг и синглет В^ (и, — индекс Лоренц-вектора). По-
Поскольку Uw{\) входит в Gw прямым сомножителем, то эти
частицы обладают нулевым слабым гиперзарядом Yw = 0,
и спектр Q совпадает со спектром 7Y — {—1, 0, 1; 0}.
Включение в данную теорию адронов подразумевает уста-
установление их классификации относительно группы Gw.
В общепринятой модели [42] (где оказалось необходимым
предположить существование четвертого кварка — с) электро-
электромагнитное и слабое взаимодействие адронов есть взаимодейст-
взаимодействие составляющих их кварков с теми же калибровочными ча-
частицами А и В, с которыми взаимодействуют и лептоны. При
этом кварки и, d, s и с сгруппированы в два дублета и четы-
четыре синглета (относительно Gw). Синглетами являются правые
состояния этих кварков, а дублеты ql , q\ образованы левыми:
283
d, cos Ь + s, sin Ъ) I d' I.
L \sL cos ft — dL sin&/ \s' ,f
Здесь ft — угол Кабиббо — феноменологический параметр. Его
величина ft~13° до сих пор не нашла удовлетворительного
теоретического объяснения. С физическим содержанием модели
читатель может познакомиться в работах [14, 42]. Отметим
только, что данная схема позволяет добавлять и другие новые
кварки, но исключительно парами. Так, пару q\ — \ /7 можно
\oL!
считать G^-дублетом (tR и bR — синглеты), причем компонен-
компоненты d', s', b' мультиплетов q'i с Тл = —'/г соответствуют сме-
смеси, вообще говоря, всех трех кварков d, s, b. Впрочем, это
смешивание невелико, поэтому далее мы его не учитываем.
Подчеркнем, что формирование мультиплетов q't призвано-
прежде всего удовлетворить экспериментальным фактам, при
этом набор кварков вслед за лептонами расщепился на три по-
поколения:
t
b
Таким образом, унификация всех видов взаимодействии
(исключая гравитационное) должна основываться на сущест-
существовании трех поколений фундаментальных частиц:
F8)
Они состоят из синглетов (лептоны) и триплетов (кварки) от-
относительно цветной группы SUCC). Относительно Gw, как
уже отмечалось, левые состояния этих частиц реализуют дуб-
дублеты, а правые — сннглеты. Для каждого поколения нетрудно-
написать разложение по представлениям группы (SUCC)X
XSUwB)XUw(l)). Например,
=$?+B),
v I U
e\d
= (/, 2, - 1) + (з, 2, |) + (Л А - 2) + C,1, 4) + C, /, -|j .
F9>
Эти мультиплеты должны содержаться в представлении (же-
(желательно неприводимом) группы симметрии GE единой теории.
Группа GE должна быть простой (только в таком случае в теори»
возможна единственная константа взаимодействия). Ранг мини-
минимальной такой GE равен рангу группы (SUCC)XGW), т. е. че-
284
тырем. Минимальными (по размерности) простыми группами
ранга 4 и более являются S?/E) и 50A0). Модели объединен-
объединенной теории сильного, слабого и электромагнитного взаимодей-
взаимодействия, основанные на этих группах симметрии, в настоящее вре-
время наиболее популярны.
E6) Проанализируем SUE) -классификацию фундаменталь-
фундаментальных фермионов F9) (остальные «поколения» рассматриваются
совершенно аналогично). Они не укладываются в неприводи-
неприводимое представление, что вынуждает перейти к совокупности двух
фундаментальных представлений этой группы. Обратимся к
(SUC)X(SUB)XU(\))) содержанию 5-плета и 10-плета
SUE) (см. G.69), G.71))-:
= (/, 2, 1 ) + (•?, А-
2, 1UG,;>2). G0)
Как видим, это не совсем совпадает с разложением F9). Соот-
Соответствие восстановится, если к набору частиц F9) добавить
разложение для набора их античастиц. Можно убедиться, что
им взаимно-однозначно сопоставляется содержание мультипле-
тов E), A0), {10*) и E*).
E7) Упражнение. Заполните указанные мультиплеты
частицами и античастицами первого поколения. V
E8) Замечание. При заполнении представлений SU (Ъ)
неизбежно приходится наряду с кварками включить в A0) ан-
антикварки. В результате приходим к несохранению барионного
числа В. j
E9) Замечание. Для моделей, подобных SUEE), ха-
характерно выделение одного «поколения» — существование дру-
других фактически рассматривается как проявление некоего вы-
вырождения.
Унитарная SUFC) -симметрия присутствует здесь лишь в
неявном виде. Она, разумеется, становится явной в более ши-
широких схемах (включающих все «поколения» фундаментальных
фермионов). у
Таковы характерные особенности современного статуса уни-
унитарной симметрии, т. е.: а) SUFC) следует рассматривать как
локальную (калибровочную) симметрию SUFC) [M^]; б) эле-
элементарные объекты, реализующие фундаментальное представ-
представление группы симметрии, суть кварки; другие неприводимые
представления реализуются связанными состояниями кварков;
в) число кварков больше трех, а соответствующая симметрия
GF шире, чем SUFC); г) в единой теории SUFC) не выдвига-
выдвигается на первый план.
285
§ 5. Гипотеза кваркового строения адронов. Массовые
формулы и теорема Вигнера —Эккарта
Изложим кварковую модель строения адронов. Исходный
постулат: наблюдаемые адроны являются связанными состоя-
состояниями кварков и антикварков, реализующих фундаментальные
представления C) и C*) группы SUFC):
G1)
Тем самым для кварков зафиксированы значения наблюдае-
наблюдаемых Т?, п Y (см. табл. 12). Барионный заряд В коммутирует
с SUFC), поэтому он одинаков для всех кварков.
Преобразовательные свойства их связанных состояний
ji['(<7(i). ЦB), ¦ ¦ ¦', Q(i), ¦¦¦)> должны совпадать со свойствами
тензорного произведения представлений группы симметрии на
свободных состояниях:
'г1 (Яп) > ¦ • • 1 9{v,' 9(i ' • • • > с1(,\-'))> '—' ® I Ям -" ® I Яг-,) •*• G2)
(а) (?)
На вопросе о существовании состояний |<7]>(|<7>) свободных
кварков (антикварков) останавливаться не будем.
Вне радиуса действия сил, связывающих кварки, состояния
j\|'> практически ничем (а в случае их стабильности — абсо-
абсолютно ничем) не отличаются от состояний элементарных объ-
объектов. Следовательно, в совокупности {|i|)>} нас прежде всего
интересуют пространства, неприводимые относительно группы
симметрии. Таким образом, кварковая модель адронов в каче-
качестве одной из основных содержит задачу разложения тензор-
тензорного произведения представлений группы симметрии на непри-
неприводимые.
Подчеркнем, что сказанное относится п к группе простран-
пространственно-временной симметрии частиц — группе Пуанкаре. Ее
квантовомеханические представления будут построены в гл. 9.
В задаче разложения этих представлений [21] сейчас более
важной является часть, относящаяся к описанию внутреннего
углового момента связанного состояния — спина составной
частицы. Поскольку подгруппа вращений К =50C) —общая
для групп симметрии Пуанкаре и Галилея, воспользуемся из-
известным читателю правилом сложения углового момента в пе-
релятивистской квантовой механике.
Итак, полагаем, что состояния кварков реализуют представ-
представление группы вращений 50C), в котором операторы углового
момента имеют вид
286
где /(aj—(неприводимые) операторы собственного углового
момента кварка (спина), a Lta) — операторы орбитального.
Совместим начало отсчета с центром масс системы кварков
(и антикварков). В этом случае оператор полного момента
(«о.
J ~ -Ли® ¦-
совпадает с оператором собственного углового момента адрона.
Известно, что низшим (по энергии) состояниям, скажем,
в атомах, соответствуют полные орбитальные моменты
1 = 1 До® . . . ® (L^a)®/)® . . ., равные нулю: L2 = L(L+ 1)=0.
(а)
Можно полагать, что тем же свойством обладает и связанная
система кварков. Значениям L=\, 2, ... соответствуют более
высокие по энергии (а следовательно, и по массе) состояния.
Для простоты ограничимся рассмотрением случая L = 0. Тогда
собственный угловой момент адрона составляется лишь из спи-
спинов кварков: / —/=Е /(i>® . . . ® (I®Ua)) ®. . . Для последних
разумно выбрать минимальное значение /<«)== V2- Мезонные
состояния обладают целым спином, т. е. должны быть состав-
составлены из четного числа фундаментальных частиц. При этом по-
поскольку их барпонный заряд должен быть нулевым, число
кварков и антикварков в них должно быть одинаковым. Про-
Простейшей такой системой является двухчастичная: qq.
F0) Тогда (при L = 0) возможны два значения спина /:
/=0 и /=1. SUC)-свойства этих состояний определяются
разложением (см. рис. 18)
-^(vii + cd+ss). G3)
В центре диаграммы унитарного октета мы выделили норми-
нормированную компоненту изотриплета VVi^""—dd) и изосинглет
\'ys(uu + dd—2 ss) (см. § 7.5). Соответствующие G3) состояния
можно отождествить с нонетом (Фф т|') псевдоскалярных ме-
мезонов при / = 0 и с нонетом векторных мезонов (Ф* (В о>) при
/=1, если установить их Р- и С-четность.
/\
Пространственная четность P{qq) определяется орбиталь-
орбитальной четностью (—l)L связанного состояния и произведением
287
внутренних четностей. Последнее для частицы и античастицы
спина '/г равно —1 (см. (9.30)). В результате имеем
— 1) "*"* = — 1. G4)
что и наблюдается у нонетов (Ф@т)') и (Ф* со).
А.
С-четность системы частица — античастица выражается ра-
равенством
Л ~ _ i i\L+l Gz.\
где / — значение суммарного внутреннего момента кварков.
(Элементарный вывод этого соотношения см., например, в [23,
-с. 277].) Для нейтральных компонент в G3) получаем значе-
нпя С-четности, согласующиеся с экспериментально известны-
известными свойствами нонетов (Ф + ti') и (Ф*фо):
/=У = 0=> C(O?BV) = + 1, l=J=l => С(Ф*<3Ш)= —1-
F1) Замечание. Формулы G4) и G5) показывают, что
в кварковой модели в мезонных состояниях не появляются не-
некоторые комбинации Aр)сп. Такие комбинации называют «эк-
«экзотическими». Отметим, что состояний с экзотическими кван-
квантовыми числами обнаружить не удалось.
F2) Замечание. В разложении G3) синглетное состо-
состояние и одна из нейтральных компонент октета (восьмая) явля-
являются суперпозициями одних и тех же комбинаций кварков.
Если существуют взаимодействия, нарушающие симметрию,
то нет оснований полагать, что в реальные состояния эти ком-
комбинации входят именно с указанным в G3) весом. Физические
¦ состояния, диагонализующие полную энергию, вклад в ко-
которую дают и потенциалы упомянутых взаимодействий, могут
оказаться суперпозицией («смесью»), скажем, синглета и неко-
некоторой компоненты мультиплета (тогда говорят, что «сущест-
«существует смешивание»). Отметим, что речь может идти лишь о ней-
нейтральных компонентах: смешивание остальных запрещено су-
. перотбором по центральным наблюдаемым из подалгебры Кар-
тана группы симметрии.
F3) Обратимся к рассмотрению барионов. Минимальное
нетривиальное число связанных кварков, обеспечивающих по-
.луцелое значение спина, равно трем. Если барион составлен
исключительно из кварков, то барионный заряд кварка
B() 4
В данном случае одна из основных теорем квантовой теории
поля (теорема о связи спина и статистики. — См., например,
[27]) приводит к нетривиальным ограничениям, которые за-
заключаются в требовании антисимметричности волновой функ-
функции рассматриваемых состояний относительно перестановки
пары кварков.
,288
Представим волновую функцию в виде
+ = *'(¦*..)' ЛЪ- V> •(^(.)®^,i)®^m) ' (V®\»)<8> W- G6)
Здесь мы выделили координатную часть W и волновые функ-
функции q, r\ в унитарном и спиновом пространствах. Для низших
по массе барионных состояний по-прежнему положим L = 0.
Волновые функции Ц' при L = 0 следует считать симметричны-
симметричными относительно перестановок координат кварков, поскольку
предположение антисимметричности W при L = 0 приводит к
появлению некоторых свойств адронов, не подтверждаемых
экспериментально.
При симметричной W волновые функции в унитарном и
спиновом пространствах должны бы быть в целом антисиммет-
антисимметричными. Тогда, скажем, в состоянии с полным спнном
/ = У = 3/2, спиновая волновая функция полностью симметрична.
Следовательно, унитарная волновая функция должна быть ап-
тиснмметризована. Но в разложении представления <7(а)®<7(р)<8>
®^G) полностью антисимметрично лишь синглетное состояние
(см. пример G.31)), что резко противоречит реальному поло-
положению вещей: состояния спина &/2 образуют декуплет F5).
Напомним, что такой мультиплет в произведении C) <g> (<3) <g> C)
полностью симметричен.
Таким образом, чтобы привести наивную кварковую модель
в соответствие с реальной системой состояний, необходима мо-
модификация. Она основывается па предположении существова-
существования трех дополнительных кварковых степеней свободы (цвет-
(цветных), реализующих представление C) группы SUCC). По-
Последняя входит в группу симметрии сильных взаимодействий
GS=GFXSUC C) прямым множителем. Следовательно, непри-
неприводимые представления Gs имеют вид Ds = DF (g> Dc, где DF
и Dc неприводимы. Цветные степени свободы в реальных физи-
физических состояниях ненаблюдаемы, т. е. последние «бесцветны».
(Есть основания считать, что это свойство может быть получе-
получено как следствие в калибровочной теории SUC C) [М4] с силь-
сильной связью.)
Пусть g(tt)x (X = 1, 2, 3)—волновая функция кварка в цвет-
цветном пространстве. Бесцветность состояний адронов означает,
что они являются синглетамп относительно 5t/cC). Тогда на-
наличие цветных степеней свободы практически не вносит изме-
изменений в кварковую картину строения мезонов. В разложении
G3) достаточно каждую унитарное волновую функцию допол-
дополнить цветной и свернуть у них индексы. Например, ud-+u\^-d.
В случае барнонов единственный SUC (З)-сипглет в произ-
произведении (|(а) <8> 1(р) ® l(v)) антисимметричен. Таким образом, вол-
волновую функцию G6) следует дополнить множителем
е**1" Е(а)я l(№ bv)y.- В результате приходим к требованию сов-
совместной симметричности унитарной и спиновой частей относи-
относительно перестановок кварков. Для спина /=3/2 это дает еднн-
19 Зак. .% 152 • 289
ственноё неприводимое представление SUFC) — декуплет. Обо-
Обозначая операцию симметризации символом.{}, имеем
-3 . G7)
Здесь для удобства установления кваркового состава каждой
частицы декуилета D мы добавили выражение F5).
В случае / = /=7г спиновая часть (т](а)<8>Ti(P)®tj(vj) обла-
обладает смешанной симметричностью, а в разложении унитарной
волновой функции C) ® C) ® C) в свою очередь имеются два
октета со смешанной симметричностью (см. пример G.31)).
Нетрудно проверить, что каждой октетной комбинации соответ-
соответствует только одна спиновая, приводящая к итоговой симмет-
симметричности спиновой и унитарной частей волновой функции. Ба-
рионам F1), F4) можно сопоставить любой из этих октетов.
(В рамках нерелятивистской SUF)-схемы появляются естест-
естественные основания рассматривать только один из них [17].)
Итак, в предположении существования цветных степеней
свободы кварковая модель способна описать состояния адро-
нов в интервале масс 0,135—1,67 ГэВ для значений спинов
0. 1; 72, 3/г- Как видим, представления типа F) и (б*) при
этом, действительно не появляются. Другие адронные состоя-
состояния также представимы системами из двух или трех кварков
(с нетривиальным орбитальным моментом L) [17]. Однако,
как выяснилось, все-таки не все ¦— потребовалось ввести новые
ароматы.
F4) Ограничимся рассмотрением строения мезонных состоя-
состояний с симметрией SUFD). Пусть кварки qT=(u, d, s, с) реа-
реализуют фундаментальное представление D) группы SUFD):
с =
G8)
Тогда мезоны Ф(?; q) образуют представление G5)ф(/) этой
группы:
290
cs(f')
/?v
G9)
В скобках здесь проставлены символы частиц со спином
7 = 0 — скалярных мезонов [37]. S?/FD)-cinnvieTHoe состояние
не выделено. Эта же диаграмма описывает (У5)¦-,-.(/) пред-
представление SUFD) на векторных A~)-мезонах. Проставить сим-
ролы частиц на диаграмме читателю не составит особого
труда, у
До сих пор вопросы, связанные с нарушением рассматри-
рассматриваемых симметрии, практически не затрагивались. Между тем
в физике оно играет, пожалуй, более важную роль, чем идеаль-
идеальная симметрия.
Например, для унитарной SUFC)-симметрии возможность
различия эквивалентных состояний связана не только с нали-
наличием наблюдаемых (скажем, Y, Q), различающих эти состоя-
состояния, но и с существованием взаимодействий, чувствительных
именно к этим наблюдаемым. (В данном случае это соответст-
соответственно умеренносилыюе и электромагнитное взаимодействия).
8 результате реальные состояния, которые должны быть «диа-
гональны» для всей совокупности взаимодействий, характера
зуются не только различными значениями наблюдаемых из
подалгебры Картана группы внутренней симметрии, но и, во-
вообще говоря, разной собственной (внутренней) энергией, т. е.
массой.
F5) Таким образом, расщепление масс частиц одного муль-
типлета группы внутренней симметрии является естественным
следствием того, что ее нарушение также имеет внутреннюю
крироду. Из приведенных рассуждений следует, что наблюдае-
наблюдаемая М — масса (или ее квадрат Af2=P2) во внутреннем про-
пространстве является некоторым элементом обертывающей алгеб-
алгебры группы внутренней симметрии.
Разумеется, нарушение этой симметрии проявляется не
только в расщеплении масс, но и в различии значений других
наблюдаемых (например, магнитных моментов). Здесь мы
ограничимся рассмотрением массовых соотношений.
Точное определение М как элемента, обертывающей алгебры
по существу эквивалентно точному решению квантовополевых
19* Н291
уравнений для взаимодействующих элементарных частиц
(кварков). При феноменологическом описании частиц доста-
достаточно сосредоточить неизвестные нам аспекты динамики в не-
нескольких параметрах и установить соотношения, которые с точ-
точки зрения (нарушенной) симметрии должны выполняться во
всяком случае.
Относительно малая интенсивность электромагнитного взаи-
взаимодействия обусловливает незначительность его влияния на
величину масс адронов. Действительно, массы частиц, разли-
различающихся только электрическим зарядом (т. е. принадлежащих
адному изомультнплету), можно считать одинаковыми. В та-
ком случае оператор М прн учете лишь сильного и умеренно-
сильного взаимодействий должен коммутировать не только с
нодалгеброй Картана (Т3, У), но и с остальными генераторами
йзоспиновой подгруппы SUTB). Следовательно, в обертываю-
обертывающей алгебре группы SUFC) — это элемент вида
Л1 = Л10'1 + Д, (80)
где Мь — функция только операторов Казимира Q рассматри-
рассматриваемой группы, а Д коммутирует лишь с SUTB) <g> UY A).
F6) Для простоты предположим, что Д = Дв — тензорный
вператор (см. G)), преобразующийся, как оператор гиперзаря-
гиперзаряда Y — восьмая компонента октета.
F7) В общем случае такие элементы обертывающей алгеб-
•Ч /Ч
ры формально представнмы производными Д8= {д/д а8До) от
инвариантного элемента До по генератору Ks = Ъ = Y. Восполь-
Воспользовавшись тем, что До от ?.8 зависит лишь через операторы Ка-
Казимира Са, а также явным выражением (см. 7.66) для послед-
последних, можем записать
Здесь аир — функции- операторов Казимира рассматриваемой
круппы. Имея в виду кварковую структуру адронов, следует
вредположить, что а и р могут зависеть также от спина / час-
частиц мультиплета, полного орбитального момента кварков L
и других наблюдаемых. Таким образом, Мо, а, р суть феноме-
феноменологические параметры, вообще говоря, свои для каждого
юультиплета SUFC). Выразив величину (81) через значения
изоспина Т и гиперзаряда Y, в результате для М получим вы-
выражение
М = М Л + ~ ^
(82)
которое с хорошей точностью описывает массы барионных. со-
стояний. В случае мезонов формула (82) должна быть записа-
записана для оператора квадрата массы (М-*-т2, М0-+тЬ).*1 Необ-
ходпмо, кроме того, учесть, что формулы вида (82) пригодны
только для состояний одного мультиплета, тогда как некоторые
из реальных мезонных состояний могут представлять собой на-
набор компонент мультпплета и синглета (см. замечание F2)).
Следовательно, в этом случае появляется еще одни неизвест-
неизвестный нам параметр, описывающий смешивание.
F8) Пусть, например, \ц>, \ц'>—физическое состояние
@^)-мезонов ц и ц'. Представим их суперпозицией синглета
|п.о> и компоненты октета |г]з>:
| y,> = cos !> | t]s> — sin ft | v;0>,
| Y;'> ~ Sill ft I 7is> -f COS 7, \rM>.
При вычислении матричных элементов т2 для физических
состояний достаточно дополнительно учесть, что функция /«в
для синглета, вообще говоря, может принимать иное значение,
чем для октета. В результате для мезонных нонетов (Ф(В'П) н
(ф*@со) имеем столько же параметров, сколько и независимых
изомультиплетов, т. е. можем определить только величины эти*
параметров, в том числе параметр смешивания fh
F9) Обсудим предположение F6). Первая часть его, со-
гласно которой оператор Д — тензорный, означает, что Д при-
принадлежит конечномерному представлению SUFC) и носит фи-
физический характер. На основании второй в разложении упомя-
упомянутого представления предполагаем существенной лишь октет-
ную компоненту. Для оценки такого приближения выясним,
какие представления содержатся в этом разложении в самом
общем случае. С этой целью обратимся к теореме, чрезвычайно
полезной для вычисления матричных элементов тензорных опе-
операторов.
G0) Теорема Вигнера — Эккарта. Матричные элементы
неприводимого тензорного оператора Та между базисными
векторами состояния \Fiy «;> неприводимых унитарных пред-
представлений DFi компактной группы G в пространствах
имеют вид
К, s..4
А \ Т (l\, s /-,, г).
<Ft, а,\ I и
F, а,> = У
2' ' 2u \a-i
к
F
а
(81»
*) В рамках теории калибровочных полей механизм спонтанного нару-
нарушения симметрии приводит именно к линейным формулам масс для барно-
нов и квадратичным — для мезонов (см., например, [14]).
293
Где
\а1а
K,sK\_u
а-,
коэффициенты [Клебша—Гордана; Т (К,
sk\Fu F) — скалярные функции, а суммирование распростра-
распространяется на те (и только те) представления DK в разложении
Ж>, <%>Ж/.¦ = j- 'Mk,sk, которые эквивалентны представлению
К, 5д-
D '. (Инвариантные относительно 6" величины Т(К, s^\F1, F)
принято называть редуцированными матричными элементами
тензорного оператора.)
Доказательство основано на инвариантности тензорных
операторов (см. G)) относительно преобразования:
П'% (g) UJ
= T
F/j
,gl ^ „. _ , . (85)
<(Без ограничения общности представление D1' в условии тео-
теоремы можно считать унитарным и значок опустить: D"b = А,ь.)
Если матричные элементы сужения О на Жр обозначить
через Dlalb :
fi p |р . ^ „г , . /ЙК\
s j i
"хо для матричного элемента в (84) из соотношения (85) выте-
вытекает
<Flt ал | TFa\Fi, a,> =
= DFa\bi (g) Dlb (g) DtX (g) </=¦„ bx I 7f | F2, b,>. (87)
Ввиду фактической независимости правой и левой частей
этого соотношения (87) от g напрашивается интегрирование
обеих его частей по группе. Предварительно следует восполь-
воспользоваться разложением G.107):
?;*,(«¦№ (?) =
Л', *-
/F, F
\a, a
а' /'
\ Ь'
(Здесь и далее указано суммирование лишь по символу, нуме-
нумерующему представления. Суммирование по другим повторяю-
повторяющимся индексам подразумевается.) Тогда в силу соотношения
ортогональности матричных элементов неприводимых представ-
представлений группы G (теорема F.46)) в сумме по (К, sK) останутся
лишь слагаемые для представлений (Л', sK), 'эквивалентных
представлению F2. В результате получим искомую форму (84),
где
T(K,sK\F1,F)-
L
dim D1' \
bl b/
bx
F,,
(88}
G1) Следствие. Если группа G в теореме G0) одно-
294
кратно приводима, то рассматриваемый там матричный эле-
элемент пропорционален коэффициенту Клебша — Гордана:
\F a> = {Fl F
а, | Ta\F,, a->> =
\а, а
а-,/
T(F,\FltF). (89)
G2) Итак, по теореме Вигнера — Эккарта в разложении
тензорного оператора А содержатся те неприводимые .представ-
.представления (а), для которых коэффициенты Клебша — Гордана в
правой части соотношения вида (84) отличны от нуля. Нетруд-
Нетрудно установить, исходя из свойств указанных коэффициентов,
что в этом (н только в этом) случае представление (а) долж-
должно содержаться в произведении представлений (а/)<8>(а(). На-
пример, для октета барнонов В в массовом операторе сущест-
существенны компоненты из неприводимых представлении
Требованию коммутативности с SUrB) + UY({) удовлетворяет
лишь
А ?(8) г (8)^B7).
Следовательно, предположение, что Д~У (его называют октет-
поп доминантностью) эквивалентно отбрасыванию компоненты
из B7). В этом случае массовая формула (82) предсказывает
одно соотношение для масс изомультиплетов N, ?, 2, Л°.
В случае декуплета барионов D М^(Ю*)®A0) =
= (/)©(#)© B7) ф F4), октетная доминантность (отбрасыва-
(отбрасывание B7) и F4)) приводит к возможности получения двух пред-
предсказаний на основе формулы (82) (одно из них — значение
.массы Q -гиперона, см. E1)). f
В заключение отметим, что по такой же схеме можно рас-
рассматривать соотношения масс в любой группе внутренней сим-
симметрии. В частности, в случае SUFD) естественным обобще-
обобщением октетпоп является 15-плетная доминантность. Направле-
Направление в алгебре Ли suFD), «вдоль» которого расщеплены массы,
есть комбинация элементов (У, С) подалгебры Картана, ком-
коммутирующих с нзосппновой подгруппой SUrB). Определение
элемента обертывающей алгебры S/(suF(A)) с соответствую-
соответствующими свойствами повторяет процедур}', проделанную для
SUFC) (см. (81)), и в рамках данной схемы не содержит ни-
ничего принципиально нового.
Мы рассмотрели некоторые особенности описания симмет-
симметрии при квантовомеханическом подходе к теории элементарных
частиц. Взаимопревращение последних, проявляющееся в их
взаимодействии, обусловливает переход к формализму вторич-
вторичного квантования —• квантовой теории поля. Эта теория должна
основываться на группе Пуанкаре релятивистской симметрии.
ГЛАВА 9
ИНДУЦИРОВАННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ СИММЕТРИЯ
Унитарные представления, играющие особую роль в кванто-
квантовой теории, строились в гл. 7 для полупростых компактных
групп Ли. Для некомпактных и неполупростых групп построе-
построение неприводимых унитарных представлений основано на ме-
методе индуцированных представлений.
§ 1. Алгебраическая конструкция индуцированных
представлений. Унитарные представления. Простейшие
свойства
Для любой группы G всегда можно построить регулярные
(правое и левое) представления. Лишь для полупростых групп
удается удовлетворительно провести разложение регулярного
представления на неприводимые. Обобщим схему построения
регулярного представления. Пусть для подгруппы К группы G
известно представление D(K, V). В пространстве F(G; V) функ-
функций на G со значениями в V выделим подпространство
F(G, К,; D) таких функций, что
/ (gk) = D(k-i)f(g), где g<=G, k^K. A)
Пусть X — факторпространство классов G/K. Условие A)
означает, что значения f(g) во всех точках g^x^gxK можно
получить из f(gx) с помощью операторов представления D(K)
(рис. 32).
Рис. 32.
Рассмотрим действие левого регулярного представления DL
группы на f(g)=f(gxk)^F(G, К; D) и покажем, что свойство
A) инвариантно относительно действия операторов DL(g):
DL (g,)f(g)=f(g7lgxk)=DL(
296
Подпредставление левого регулярного представления груп-
группы G, действующее на пространстве функций F(G, К; D), на-
называется представлением группы G, индуцированным представ-
представлением D подгруппы К- Обозначим его через DK\g-
В частном случае К=е, dim V= 1 пространство F(G, К; D)
совпадает с пространством скалярных функций на группе G
п индуцированное представление DK^G эквивалентно регуляр-
регулярному DL. Аналогично для произвольной подгруппы К и одно-
одномерного тривиального представления D(K) индуцирование
приводит к квазирегулярному представлению D^L.
Индуцированное представление можно реализовать на про-
пространстве F(X, V) функций на X=G/K со значениями в У.
Для этого всякой f(g)<^F(G, К; D) сопоставим функцию
, V) по правилу
A) Упражнение. Покажите, что пространства F(X, V)
и F(G, К'. D) изоморфны, у
Пусть отображение z:F(G, К; D)—>-F(X, V) осуществляет
указанный изоморфизм. Гогда представление zDk\gz~x = Dk\a
в пространстве F(X, V) эквивалентно DK^a:
zDK faigjz1 <?{х) =--zDKia(g)f (gx) = zf (g-1gx) =
= zf(gg-1* k №*, *)) =zD (A"» (g'\ x)) f (gg-lx) =
= D (g;1 ggg-'J ? (g'ix)- D)
Здесь использованы свойства факторов B.16), B.17). Итак,
операторы индуцированного представления D%f0 в простран-
пространстве функций на X со значениями в V имеют вид
D*,o (g) ? (х) = D{gxlggg-,x) ? (gf1 x). E}
(Там, где это не приведет к недоразумениям, не будем явно
указывать символ X в операторе Dk\q (g)-)
Нетрудно убедиться, что представления, получаемые для
разных систем представителей {gx} в формуле C), эквивалент-
эквивалентны. Аналогичная конструкция возникает при использовании
правых сдвигов и правого регулярного представления DR.
Далее мы убедимся, что при определенном выборе подгруп-
подгруппы К и представления D индуцирование позволяет получить
унитарные неприводимые представления группы G.
B) Сформулируем условия, при которых в пространствах
F(X, V) и F(G, К; D) можно ввести скалярные произведения
так, чтобы представления Dk\q и D^fo стали унитарными.
Излагаемый ниже метод называется методом Макки [44], а со-
соответствующие представления — индуцированными в смысле
Макки.
Начнем рассмотрение с простейшего случая, когда группа
G унимодулярна, а подгруппа К компактна. Пусть представле-
297
ние D(K, V) унитарно, F(G, К; D) — пространство функций,
интегрируемых с квадратом по мере Хаара на G. Тогда ска-
скалярное произведение на пространстве F(G, К; D) естественно
определить по формуле
(/.. Л)/- = \(/. (si Л (s))v ^ (s)- F)
о
Унитарность представления ?>л*о на гильбертовом про-
пространстве F(G, К; D) очевидна.
Подынтегральное выражение в F) постоянно на классах
^=gxK, поэтому факторизация меры d\x(g) приводит скаляр-
скалярное произведение (,)F к виду
(Л, М- = ) d\>. (х) \ Фи (ft) (Л (gxk), f2 (gxk))y =
j G)
Если К некомпактна, скалярное произведение F) теряет
смысл, однако форма G) как определение скалярного произве-
произведения (фь ф2) в пространстве F(X, V) остается справедливой.
(Тогда унитарность Dk\g обеспечена унитарностью D(K, V).)
В случае неунимодулярных групп G и К по унитарному
представлению D(K) необходимо построить неунитарное С(К):
/t^D(k), (8)
где Дс и Ак — модули соответствующих групп (см. F.55)).
Затем на пространстве F(G, К; С) стандартно строится инду-
индуцированное представление CK\g- Ў
C) Упражнение. Покажите, что Ck»g унитарно отно-
относительно скалярного произведения G) с квазиинвариантной
мерой F.61) в качестве меры интегрирования.
D) Транзитивность индуцирования. Если группа G содержит
вложенные друг в друга подгруппы HzdK, to представление
группы G можно индуцировать как непосредственно с подгруп-
подгруппы К, так и через промежуточное представление DK\ и подгруп-
подгруппы Я, в свою очередь индуцированное с К- Оба пути приводят
к эквивалентным результатам:
DI<iG ~' DKbfi*o- T (9)
E). Теорема о подгруппах. Рассмотрим ограничение Дачофя
индуцированного представления Dk*g на произвольную подгруп-
подгруппу Н cz G. Для описания его структуры воспользуемся свой-
свойствами двойных смежных классов Y =zzH\G/К B.47). На-
Напомним их.
Если определить Ky^gyKg~yl и Lv = Ку П Н, т0 каждый
двойной класс у представляет собой дизъюнктное объединение
классов x?X = G!K вида hz{y)gyK, где z (y)?Zy ^ H'Ly:
298
y = U lh{y)gyK.
z(y)ezy ¦
Согласованный выбор представителей классов х означает
Пусть Dk — унитарное представление, D\ — представление
группы Kij определяемое формулой Di- (kv = gvkgjl ) =D(k).
Построим ограничение D/v- u и индуцированное им представ-
представление ?>Л',;/. ,*// • С его помощью ограничение Dk*g>xh можно
разложить в' прямой интеграл представлений (доказательство
см. в [20]):
D,, а i я = j d? (у) Dlv Uy t //. т A2)
Для анализа приводимости индуцированных представлений
нам потребуются свойства сплетающих операторов для пред-
представлений, индуцированных с разных подгрупп.
F) Теорема о переплетении индуцированных представле-
представлений. Пусть К и Н — такие подгруппы в G, что пространства
X=G/K и X\ — G/H компактны. Пусть представления DK и Вп
конечномерны, а представления Drug и Bh»g реализованы в
пространствах функций f^F(G, К; D) и ty^F(G, H; В) соот-
соответственно. Пусть z(g) —обобщенная функция на группе G
со значениями в Hom(l/D, VB) и структурным условием
z(hgk)-B(h)z(g)D{k). A3)
Тогда сплетающие, операторы l,^$[Dk^g, BH1G] имеют вид
(- • /) (Л = fг (г) / (?¦'#) ^J- <#) = f - (й-''1 g)f(x) dv- (g) =
о а
= (г(й-'-'г.г)/(^д.)^(х). A4)
.V
Доказательство см. в [15]. Ў
G) Замечание. Если подгруппа Л' некомпактна, то опе-
оператор !; может существовать только в виде интеграла по фак-
торпространству А'. V
В силу структурного условия функция z задана, если изве-
известны ее значения на представителях gu двойных классов
y=Hg,,K. Элементы hgyk и h'gbk' могут совпадать, если
h' = hl, a k'=g^l~1gyk, где l^Ly (см. § 2.4). Следовательно,
В A) z (gy) D(g;1 Г' gy) = z(gy). A5)
Здесь D можно считать оператором ограничения DyK \l ,
представления DyKi на подгруппу Ly. Иными словами,
299
Отметим, что для G = H f> К, когда Y=H\G/K состоит из
одного элемента, в качестве которого удобно выбрать е, функ-
функция z(g) определяется значением в одной точке е.
(8) Приведем аналогичный результат для неунпмодуляр-
ных групп. Пусть До, Дк и Дя — модули соответствующих
групп. Рассмотрим пространство сплетающих операторов ?
для представлений EKG и Сщв, где Ек и Сн определяются
с помощью представлений DK и Вн по формулам вида (8).
Построим дополнительно представление группы К с операто-
операторами
(k,
A7)
Свойство C) справедливо для представлений CK\g и Ен*о,
если в его формулировке видоизменить структурное условие
A3):
z(kgk) = E(h)z(g)C(k), A8)
н выражение для оператора ? записывать в виде интеграла по
факторпространству X:
{'-/) (g) = f г (g'!gx) f <gx) rfji (x)=\z (gx) f (ggj d? (x). A9)
X x
Здесь функция z(g) также полностью определяется своими
значениями на пространстве У и должна удовлетворять усло-
условию
Т B0)
В частном случае К=Н и B = D теорему о переплетении
можно использовать для вывода критерия неприводимости ин-
индуцированного представления.
(9) Утверждение. Представление Dk\q операторно не-
неприводимо, если Ок унитарно, непривэдимо и Z, [Dj^;/ ,
DA.;i]=0 (S[c&vUi, EKiL =0 для неунимодулярных групп)
для всех классов у? У кроме тривиального. V
Доказательство. В данном случае Dk\g—'унитарное
представление. Оно неприводимо, если всякий оператор
?еЦДя»а] вида A4) кратен единичному (см. F.22)). Для этого
достаточно, чтобы представление D было неприводимо и зависи-
зависимость z(gy) от y^K\G/K имела вид Ь(у—е).
Действительно,
(- • /) !ё) = f dV- (х) г (gx) f (ggx) =
А'
300
= \ rf(*(y) dp (Z) Z (kz (у) gy)f(gk, (y) g ) =
кг
= f Ф, (у) f d(x (г) D (*, (y)) г (gv) / (g-ft, (y) gy). B1)
Подставим в это выражение z(gy)=b{y—е):
f rfa (у) f d,x (г) D (kz(v)) 3 ( v- e) f (gkz{y)gv) =
= \ rf;x (г) D (*„,,)/ (^Л, (e) )=/(?•) f dp (г).
z_
Для завершения доказательства остается заметить, что Ly при
у=е совпадает с К и 5 [?>К]^С для неприводимого пред-
представления DK. у
Аналогично доказывается следующее утверждение.
A0) Неприводимые индуцированные представления
и Вн ^ & неэквивалентны, если Q [Dx- *i ,, #я,1 ]=0 при всех
Нетрудно переформулировать это утверждение для неуни-
модулярны.х групп.
Одним из важнейших результатов в общей теории индуци-
индуцированных представлений является теорема взаимности, впер-
впервые доказанная Фробениусом для конечных групп.
A1) Теорема Фробениуса. Пусть BG — представление груп-
группы G, DK — унитарное, неприводимое представление подгруп-
подгруппы К- Тогда
dim 5 [DK,a, В] = dim С \D, Bo;A-]. Ў _ B2)
Это свойство представляет собой сокращенный вариант тео-
теоремы Макки (полную формулировку см. в [2, гл. 18 § 3]).
Остановимся на важном следствии теоремы Фробениуса.
A2) Пусть группа G компактна. Напомним, что регулярное
представление DL группы G эквивалентно De\c индуцирован-
индуцированному тривиальным представлением подгруппы К=е. Если
B(G, V)—неприводимое представление, то размерность про-
пространства ?[D(e.), BOie] =5[/d, Iв] совпадает с размерностью
оператора 1В> т. е. пространства VB- Теорема Фробениуса по-
позволяет утверждать, что регулярное представление содержит
любое неприводимое представление В группы G с кратностью,
равной dim V'b (ср. с F.49)).
301
§ 2. Метод малой группы. Представления группы ЕB).
Группа Пуанкаре, ее орбиты. Представления собственной
группы Пуанкаре для т=?0 и т=0. Представления
общей группы Пуанкаре
Процедура построения неприводимых унитарных представ-
представлении групп, содержащих нетривиальную разрешимую нор-
нормальную подгруппу, называется методом малой группы. Он
был разработан Е. П. Вигнером [7] специально для группы
Пуанкаре. В пятидесятых годах Г. Макки предпринял деталь-
детальное систематическое исследование индуцированных представле-
представлении, и в частности метода малой группы, получившего широкое
распространение в теории групп и квантовой физике.
Пусть G — связная группа Ли. Тогда по теореме Леви—•
Мальцева (см. теорему D.45)) G«5N N, где подгруппа 5
полупроста, а подгруппа N разрешима. Пусть Dx — неприво-
неприводимое представление нормальной подгруппы. Всякому элемен-
элементу g^G сопоставим представление Dx(n)=DN(g-1ng). Сово-
Совокупность представлений {Df; g^G} называется орбитой пред-
представления DN.
Среди D\ очевидно присутствуют представления, эквива-
эквивалентные Dx, например, D'H, где m^N. Выделим совокупность
всех таких /ieG, что Dx^Dx- Как легко убедиться, множе-
множество {/г} составляет подгруппу HczG. Подгруппа Н носит па-
звание малой группы представления DN. Очевидно, что ./V со-
содержится в Н как нормальная подгруппа. Факторгруппа H/N
называется малой когруппой.
Если в качестве исходного представления выбрать любой
другой элемент DSN орбиты {D%}, то его малая группа Н' бу-
будет сопряжена группе Я: H'=gHg~l. Все малые группы
представления одной орбиты изоморфны.
A3) Теорема. Пусть разложение Леви—Мальцева связной
группы G имеет вид G^S',j>N. Пусть DN — неприводимое
(одномерное) представление нормальной подгруппы N. По-
Построим его м-алую группу Н и малую когруппу R—H/N. Рас-
Рассмотрим неприводимое представление DR группы R и пред-
представление Вп вида
= DN(n).DR(r). - B3)
Индуцированное представление Вн^с является неприводи-
неприводимым, н тем же методом можно получить всякое неприводимое
представление группы G. При этом каждой орбите {D%} взаим-
взаимно-однозначно сопоставляется класс эквивалентных неприводи-
неприводимых представлений группы G.
Всякое унитарное представление группы G можно по-
построить в виде BHfG с помощью унитарных представлений
DN и DR. V
302
Приведем алгебраическую часть доказательства. Подробное
доказательство см. в [2, гл. 17, § 1].
Построим представление Д\-«a=sCH. По теореме о под-
подгруппах E) его ограничение Cu^n разлагается в прямой инте-
интеграл
Поскольку .V — нормальная подгруппа в Я, то Ny' fvNzaLy-ш
Си.х = j4(/) DX:, B4)
н все D% эквивалентны унитарному неприводимому представ-
представлению DN. Свойство B4) очевидно справедливо и для всякой
неприводимой компоненты С/,г =5Я представления Сн-
Покажем, что индуцированное представление B/mg непри-
водпмо. Используем утверждение (9) в качестве критерия не-
неприводимости. Рассмотрим пространство Y=H\Gfff, найдем-,
группы H!t:=gyHgy~] , Ly= HyflH и построим представления
ВНч,ВУн t (gy hg~1) — B{h). Всякая группа Нц очевидно содержит
нормальную подгруппу .-V. Тем же свойством обладает и:
всякая группа L,,. Для нетривиальных классов уеУ достаточ-
достаточным условием обращения в нуль пространства С [Вун ± /_ <л
В/ц/. ] является отсутствие нетривиальных сплетающих one-
у
ратороБ для ограничений йя^л^д- и В/щ. ;д-• Поскольку для
ВН1Лт справедливо разложение B4), то всякое представление-
Вуц длг также разлагается в прямой интеграл
Представления DW образованы из D\ «Од- с помощью эле--
ментов gyft H. Следовательно, если у?={Щ, то во множестве-
D\n\ нет эквивалентных пар представлений. Неприво-
димость представления Вн^с доказана.
Итак, неприводимое унитарное представление группы G
может быть индуцировано неприводимой компонентой Вн пред*
ставления DN t я- Покажем, что для представления Вн справед-
справедлива формула B3). Малая группа Я содержит нормальную,,
подгруппу JV. Следовательно, Я, как и G, представима в виде.
полупрямого произведения Я ж R О N. Элементы г подгруппы
R могут быть выбраны в качестве представителей классов H/N,_
причем все факторы n{ru r2) тривиальны (см. B.45)).
Реализуем представление Сн на пространстве F(H, N; D).
Так как всякий элемент йеЯ представим в виде h—nr, то
зоа
произвольная функция f^F(H, N; D) в силу структурного
условия полностью определяется своими значениями на фак-
факторгруппе R. Поэтому достаточно рассмотреть действие опера-
операторов CH(h) на F(R,~N; D):
Си (А) / (г,) = ОЛ-я (Л = иг) / (г,) =/(г-1я-1 гх) =
=/ ('~1'-,7.', (О) = «.V1 (у,, (л")) / (г г,) = т (п) t (г г,).
Представление Ду неприводимо и, следовательно, одномерно.
По определению малой группы представление D% (п) эквива-
эквивалентно Dk и в силу одномерности совпадает с ним, так что
Си (Л = пг) / (г,) = Дч- («) / (г"' г,). B6)
Отсюда следует, что Сн(п) есть оператор умножения на число,
в то время как Сн(г), осуществляющий левый сдвиг на ска-
скалярных функциях f, является оператором левого регулярного
представления группы R, так что подпространство в
F(H, N; D), неприводимое относительно представления Ся+н,
неприводимо и относительно СН- Иными словами, выделение
неприводимой компоненты Вн сводится к аналогичной задаче
для левого регулярного представления группы R.
Предположим, что эта задача решена — неприводимое уни-
унитарное представление D(R, V) построено. Пусть Вн — непри-
неприводимая компонента представления Сп. такая, что
Bh^r~D(R, V). Формула B6) справедлива и для подпред-
ставления Вн:
DN (n) DR (r)v = В„ (nr) v (v G V). B7)
Следовательно, операторы BH(h) обладают структурой B3).
Всякое неприводимое представление DG может быть выде-
выделено из представления, индуцированного его ограничением
¦Ogya'. в виде неприводимой компоненты. Мы предлагаем чита-
читателю самостоятельно провести детальное доказательство этой
части теоремы.
A4) Упражнение. Покажите, что всякое унитарное
неприводимое представление группы G представимо в виде
Bh\g, где Вц определяется формулой B7). V
Вновь вернемся к рассмотрению неприводимого представле-
представления D(G, W) и его ограничения Dg\k- Очевидно, что какую
бы неприводимую компоненту D^oiN мы ни выбрали для по-
построения операторов Вн вида B7), индуцированное представ-
представление Вц\а будет эквивалентно Da-
Пусть DqIn действует в пространстве WnaW. В силу не-
неприводимости DG всякий вектор wm e Wm (соответствующий
неприводимой компоненте D<-mi(G\N, Wm)) представим в виде
Da{g)wn. Следовательно, всякое подпредставление Dal* эк-
эквивалентно D'al% . Для получения неприводимых представле-
304
нпй группы G (из каждого класса эквивалентности) достаточ-
достаточно выбрать по одному представлению Dx из каждой орбиты
неприводимого представления группы /V. у
A5) Замечание. При доказательстве теоремы мы не
использовали полупростоту подгруппы S. Утверждения теоре-
теоремы остаются в силе и тогда, когда группа изоморфна полу-
полупрямому произведению разрешимой нормальной подгруппы Л'
и произвольной подгруппы К-
A6) Проиллюстрируем метод малой группы простейшим
примером. Построим неприводимые унитарные представления
группы Е{2). В данном случае справедливо разложение
Леви— Мальцева EB)fvU(\) i РB), несмотря на то, что
фактор Леви GA) оказался абелевой группой.
Пусть but — двумерные вещественные векторы пространств
Р{2) и РB)<*> соответственно. Вектор t параметризует непри-
неприводимые унитарные представления группы РB):
DVB, (Tb) = exp/(t, b). B8)
Поскольку подгруппа Р{2) нормальна, ее топологическое про-
пространство РB) является t B) -модулем относительно преобра-
преобразований подобия
где и действует на векторы be/3B) как оператор вращения
в определяющем представлении. На дуальном пространстве
РB)<*>=е7"B) реализуется дуальный ?B)-модуль:
"V-b«> : * -* "'*• B9)
Орбиты группы Е B) в пространстве ГB)—окружности ра-
радиусом г. Множество орбит распадается на два класса: г>0
и г=0. Всякой орбите Orb ?B) в Г B) соответствует орбита
\{DpB))g] (t?Orb?B)) представления Dpl2!:
\ (() (
C0)
Рассмотрим случай г>0. Здесь подгруппа стабильности
точки (она же малая группа Н представления) совпадает с
РB) в силу соотношений B9), C0). Мадая когруппа тривиаль-
тривиальна, и представление В н имеет вид
Индуцированное представление реализуем в пространстве ска-
скалярных функций HaXttEB)IHttU(l)*iSl:
20 а»к. ». 152 ЗЙЭ
((М). Ь)ТC-а), C1 >
где а, ре [0, 2я), г^р играют роль представителей классов
xfaSK
Перейдем к рассмотрению орбиты с г = 0. В этом случае
группа ?B) целиком составляет малую группу Н (см. форму-
формулу F2)). Малая когруппа R изоморфна U(I). Запишем ее уни-
унитарные неприводимые представления в виде
D'R (ив) = exp ijy. (аб [0, 2-), j = О, ~ 1, ± 2, ... ). C2)
В силу совпадения малой группы с исходной группой Е{2)
искомое индуцированное представление эквивалентно Вн'.
В'н*е&) (g)~BJH(g = zbua) = DJR(u,)^expijz. C3)
Мы построили полную систему неприводимых унитарных
представлений группы ?'B). у
В группе Пуанкаре закон композиции определяется умно-
умножениями в группах Л и Я и автоморфизмами %а-
П'П = (Л', т„.)(Л, тв)г=(Л'Л, Хл(-в.)та)=(Л'Л, V. fl. М =
= (А'Л, -. ) C4)
\ (а ' а'+а)'
Метод малой группы применим для связных групп Ли. Поэто-
Поэтому конструирование представлений группы Пуанкаре начнем
с построения неприводимых представлении ее связной компо-
компоненты— собственной ортохронной группы Пуанкаре 111 ^
В гл. 8 было установлено, что нам необходимы унитарные
проективные представления группы Пуанкаре и что они экви-
эквивалентны векторным унитарным представлениям, ее универ-
универсальной накрывающей. Здесь и далее для краткости квантово-
механическую группу Пуанкаре будем обозначать буквой П:
П = fi; ^ SL B, C)R >P~L г> Р.
Рассмотрим группу П как П-модуль относительно преоб-
преобразований подобия. Тогда нормальная подгруппа Р также
приобретает структуру П-модуля. Очевидно, что сама подгруп-
подгруппа Р действует на Р тривиально. Действие L на Р соот-
соответствует автоморфизмам /ь. Выпишем явный вид преобразо-
преобразований пространства Р группы Р и дуального ему простран-
пространства Р<*)эр со структурой дуального П-модуля: ¦ .
306
L : a -> Л7га, L : p ^ ALp, C5)
t6 : a -> a, xb: p -> p.
L -модуль Я<*) эквивалентен L-модулю М4.
Классификация орбит группы П на jP<*) совпадает с клас-
классификацией орбит Z, на М4 (см. C.88) — C.92)):
1. 0?а=\р\р* = т2; w2>0; /po>OJ;
2. 0^={р\р* = т*; /га2>0; А, < 0};
3. 0/Я( = |/> ]/>* = -/л2; /и2>0}; C6)
4. ?0+ {|2 0 >0}
5. ео=\р\р* = О; Ро<О};
6. (?25=(/р = @, 0, 0, 0)}.
В указанных L-однородных топологических пространствах
подгруппами стабильности стандартного вектора являются
SUB) для 6т и &Та, SLB, /?)«5С/A, 1)—для _^/m, fB)
(двукратная накрывающая группы ?B))—для 6t и б/'о"
и, наконец, сама Z- — для во. Поскольку подгруппа Р три-
тривиально действует на векторы реЖ*>, то подгруппами ста-
стабильности П-однородных пространств C6) являются:
1. 6т и 6m — SUB)[>P, стандартный векторр = (т, 0, 0,0);
2. <9о+ и 6^ — ЕB)[>Р, стандартный вектор р={\, 0, 0, 1);
C7)
3- 6im — SU(\, \)\>Р, стандартный вектор р = @, т, 0, 0);
4. $}—П.
• Приступим к построению неприводимых представлений
ipynnbi П. Запишем неприводимое унитарное представление
группы Р в виде
Dp(za) = exp i(p-a). ¦ C8;
Здесь вектор р, нумерующий представления, очевидно при-
принадлежит дуальному П-модулю Р<*>. Отметим, что в представ-
представлении Dp всякий генератор группы трансляций Р реализуется
оператором умножения на число — компоненту вектора р. По-
Построим орбиту представления Dpi
Оп (ха) = D (П-Чо II) = D (L-4-i vL) = D(L-\L) = D AL (tJ) =
= D (*, ! Л = ехр i(p - (Aj;1 a)) = expi((ALp).a). C9)
Соотношение C9) означает, что множество неприводимых
представлений {Dp} нумеруется параметрами р, принадлежа-
принадлежащими одной орбите группы., Пуанкаре в пространстве Р(*>.
20* зог
A7) Пусть р^бт- Выберем исходное представление Dp
с
с индексом р (стандартным вектором р=(т, О, 0, 0)). Тогда
из формулы C9) следует, что малая группа Н представления
Dp изоморфна подгруппе стабильности стандартного вектора
однородного пространства бт, а малая когруппа R совпадает
€ SUB):
Н^ SU B) [> Р, R^R^SUB). D0)
Полная система неприводимых унитарных представлений D~
круппы 5GB) была построена в § 7.2. С помощью операторов
D-fi(r) и DPj{%) по формуле B3) построим неприводимое уни-
унитарное представление Ви:
п О
ВНР №,) = DP" ?(r). D1)
Неприводимое унитарное представление группы Пуанкаре
^яt п реализуем в пространстве F(X, V) интегрируемых с
квадратом функций <? на X = П/7/ ш L/R со значениями в
нространстве V представления В$. Формула D1) позволяет
.о j
етождествить пространство V v с пространством V представ-
г О
дения Djft так'как dim D/ =1. В свою очередь факторпрост-
ранство А' изоморфно орбите 6т (или 6т) (см. классификацию
C6)).
Как отмечалось в A3), всякое представление, индуцирован-
/ ° \п j j°
ное с \Dp {t)J D# (r), эквивалентно Вн.п. Следовательно,
множество {S^tn}, р?бт состоит из представлений группы
Пуанкаре, эквивалентных Вм%а- т. е. индуцированное пред-
представление надлежит снабдить индексами (У, т, -\-) (или для
краткости (J, /га)).
Итак, рассмотрим индуцированное представление В/?\п ,
реализованное в пространстве функций на 6т со значениями
в VJ:
BJh\ п (И) Т (р) = BJ°P (П;1 ПП(П-, р)) ср (П- pi D2)
В качестве представителей классов Пр, входящих в аргумент
еператора Bfp(Il), удобно выбрать бусты Lp, эрмитовы матри-
о
,«ы из 51B, С) я, такие, что Lp (p a) Lp = (р а) (см. G.147)).
3@8
Преобразуем аргумент оператора Bjp, используя формулы C5)
и определение факторов B.17):
Подставим полученное выражение в формулу D2) и упростим
аргумент функции ф в соответствии со структурой П-модуля Р:
~ (r(L, L~l p)) ? (L~'p) =
ж(гиЛ-*Р))*A--*р). (Щ
Функции ф(р) описывают состояния элементарной реляти-
релятивистской квантовой частицы. Каждому пространству F(X, V) ж
mF(ff, V) неприводимого представления 5Л'" п можно при-
приписать индексы (/, т, ±) н, таким образом, классифицировать
элементарные частицы по их пространственно-временным ха-
характеристикам. Каков физический смысл этой классификации?
Напомним, что вектор реР в формуле C8) реализует ге-
генератор трансляции в представлении Dp.
Аргумент функции состояния <р(р) принадлежит f)ti как
факторпространству 1«П/Я. Удостоверимся, что и здесь век-
вектор р имеет смысл импульса частицы. Подействуем на функ-
функцию ф(р) оператором В
.) ? (Р) = ехр Цр-а) ср (р). D4)
Отметим, что собственное значение оператора импульса в
представлении BJnln совпадает с аргументом функции состоя-
мня. Векторы П-модуля Я<*> имеют физический смысл им-
импульсов релятивистских квантовых систем. Инвариант т, с по-
помощью которого классифицируются орбиты модуля Р<*\ оче-
г-ядно есть масса часпгцы.
Для расшифровки значения индекса / достаточно рассмот-
рассмотреть действие оператора В/''п -^ на вектор состояния части-
частицы в системе покоя:
Я
Полученный закон преобразования означает, что функция
ф(р) описывает частицу со спином J. Итак, классификация
309
элементарных частиц по свойствам симметрии пространства-
времени производится по спину, массе (и знаку энергии).
A8) Замечание. Множество векторов <р(р) можно в
известном смысле считать волновой функцией релятивистской
квантовой частицы. При этом набор наблюдаемых ограничен
пространственной симметрией и предполагается, что <р(р) за-
задана на спектре их значений, причем ц>(р, т, /) отлична от
нуля лишь при т и /, равных индексам представления В7т(П)'
Индекс / связан с собственным значением оператора Кази-
Казимира В(С4) алгебры Пуанкаре (см. G.97)) формулой
Я (С,С4) ?(?>=-47 (У+1) »(/>). D6)
A9) Упражнение.
Представление
произведения вида E):
Вщ-п
Докажите соотношение D6). VV
унитарно относительно скалярного
f d{x (р)
ъ (p))vJ.
D7)
Здесь d\i(p)—инвариантная
упражнения F.44), F.45)):
мера на гиперболоиде 6т (см.
РC) ,;. p\3)
D8)
подынтегральном выражении 4-импульс р имеет вид
Т
рр
B0) В формуле D3) оператор представления Вн\п запи-
записан так, что функция состояния преобразуется как спинор
только в системе покоя. Для выявления спинорных свойств
<р(р) при любом значении импульса р выполним преобразова-
преобразование базиса в пространстве F(X, VJ). Предварительно перепи-
перепишем выражение для оператора представления:
Bi"in (П) о (р) = exp I (pa) Di
LL{L-X p)) с?
D9)
пы
(Z.; LL{L-
Дополним представление Di, до представления D'/' °' груп-
L (см. § 7.8), которое действует в том же пространстве
0) J(J °2
) р у
ViJ'0)^ VJ. Ограничение D(J' °2 совпадает с D~. Следователь-
Следовательно, в формуле D9) оператор DL (г) можно рассматривать
как ограничение на R соответствующего оператора представ-
представления группы L:
0) (LJ
Bf?\n (П) cp (p) = exp i (pa)
= expi(pa)D<LJ-0)(L;1)D</-0>(L)
^U-«P))?(Z-P) =
310
Перейдем к новым базисным функциям
Тогда оператор индуцированного представления имеет вид
(U)if(p) = expi (pa)D(LJ-0)(L)<HL-'p). E.1)
В этой формуле отчетливо проявляются свойства функции г|з(р)
как релятивистского спинора. Базис E0) носит название спи-
норного базиса.
Перепишем скалярное произведение D8) в терминах спн-
корных функций состояния:
(<К. ЬЪ = Jg;^ (/О №-1 (LP)D-* (Lpyh (p) =
При выводе этой формулы мы воспользовались свойствами
матриц Паули и бустов в группе L (см. G.147) — G.150)). ?
B1) Проведенное выше построение для орбит б'т практи-
практически без изменений переносится на орбиты 01~п (с той же
группой стабильности), так что формулы D3) и E1) описы-
описывают преобразования состояний релятивистских элементарных
квантовых частиц с массой покоя тф§ и спином / как в слу-
случае положительной, так и отрицательной энергии. Представле-
Представления, соответствующие орбитам Слт и 0% (т. е. частицам с
мнимой массой и частицам с импульсом, тождественно равным
кулю) не играют существенной роли в квантовой физике.
Остается рассмотреть орбиты G'q и 0^ с подгруппой стабиль-
^v- О
иости Е B) [>Рдля стандартных векторов р=A, 0, 0, 1) и
р={ — \, 0, 0, —1).
Пусть в представлении Dp (см. формулу C8)) стандарт-
стандартный вектор имеет вид р=A, 0, 0, 1). Тогда с помощью соот-
соотношений C9) и C2) можно найти структуру малой группы
и малой когруппы:
Я яг ?B) > Р, RxEB).
Полная система неприводимых унитарных представлений
группы ?B) была построена в A6). Поскольку группа П яв-
является двукратным накрытием собственной группы Пуанкаре,
то подгруппа стабильности стандартного вектора р в П — так-
также двукратная накрывающая соответствующей подгруппы ста-
311
бильности в П| . Для представлений первого класса (см. фор-
формулу C1)) переход к накрывающей группе ЕB) означает
появление нетривиальной малой когруппы Z2.
В этом случае (при г>0) представления 5Я^B) беско-
бесконечномерны. Следовательно, индуцированное представление
В*? .п должно быть реализовано в пространстве функций
с бесконечным числом компонент, т. е. бесконечнокомпонент-
пых спиноров. Элементарные частицы с такими свойствами не
обнаружены, и мы не будем подробно рассматривать эти пред-
представления.
В случае г=0 при переходе к группе Е B) малая ко-
группа также двукратно накрывается. Обозначим ее U(\).
Соответственно изменяются области значения параметров пред-
представлений C2) и C3):
Dt (й.) = ехр//.а (а?[0. 4 ~), Х = 0, ± 1/2, ± 1, .±3/2,...),
U A)
4<2,(v4rA/b- E3)
Построим представление
Вн ° ("A) = B'ti \-а-ь и.) = D"P (-a) Dlno) (tu) = ехр / [(ра) + Щ
н индуцируем представление группы Пуанкаре
Z&t°n (П) <Цр) = ВКн° (Щ-1 ПП(П-, р) ? A1->) =
r (L, L^^
- ехр i {pa) BliB) [L;x ЬЦг'р)) f (L-'p). E4)
Здесь функции ф задаются на пространстве ХтЩНж
6t • Бусты Lp определены равенством
Lp(op)L'j, = (ар). Под действием операторов, соответствующих
в группе 5GB) вращениям вокруг третьей оси, функция состоя-
состояния в системе, стандартного импульса преобразуется как объект
со спиральностью Я:
Вн?п (r3 (a)) v {р) =¦ В\ B) (rs (а)) <р (р) =
= DlU)(r3(a))<p(^) = exp(/).7)<p(^). ' E5)
Представление В^?п унитарно относительно скалярного про-
произведения (см. F.45));
312
(?„ et)F = \ dkpl (p2) ('f, (p), Ъ (р))ук =
р
J Тур=^
Существенные особенности представлений с m=Q проявля-
проявляются при построении спинорного базиса. Представление В^{1)
неточно, его ядро нетривиально. Следовательно, у простой груп-
группы L не может быть представлений, ограничения которых из
ЕB) совладают с Bgm ¦ Тем не менее, слинорный базис необ-
необходим нам для построения представлений группы Пуанкаре с от-
отражениями. Откажемся временно от унитарности представлення,
чтобы ввести спинорный базис. Построим вспомогательное пред-
представление С (?B)) со следующими свойствами: 1) точное; 2) со-
содержащее подпространство унитарного представления S^B);
3) имеющее пространство представления, на котором реализует-
реализуется представление D группы L (желательно неприводимое), при-
причем ограничение DL,^(ri эквивалентно С(ЕB)). Тем самым
практически однозначно определяется конечномерное, неунитар-
неунитарное Bа -f- 1)-мерное представление С'(ЕB)). Далее в представ-
представлении
С'й,°п (TI)«t>(p) = expi7?a)CL ?i (Lpl LL(L-,p))<b (L~]p) =
= ехр I (pa) D\ °Up})D):'0(L)D): ° (L{L-lp)) ФA^р)
спинорный базис вводится стандартно:
H E7}
С///п (И) Ф (Р) - exp i (pa) D'C ° (Z.) 9 (L^p). ES>
Еще раз подчеркнем, что представление E8) неунптарно. ?
Процедура построения представления группы Пуанкаре для
частиц со спиральностью л, нулевой массой покоя и положи-
положительной энергией почти полностью повторяется при построении
представлений с отрицательной энергией (орбита ва).
B3) Обратимся к представлениям общей группы Пуанкаре
П1^Л>>Р, где Л—общая группа Лоренца, содержащая
/\ л л ^
подгруппу отражений W={P, T, S, /} и нормальную подгруп-
подгруппу Л+. В определяющем представлении группы Л операто-
операторы отражений в пространстве М4 задаются очевидными равен-
равенствами (см. формулы C.18) и C.22))
Дхг = (а«, —х), Тх=( — х°, х), Sx=—x.
При расширении группы Л операторами отражения квадраты
313
их уже не обязательно должны совпадать с единицей, так что
можно построить несколько неэквивалентных расширений L,
каждое из которых при факторизации по Z2 переходит в Л.
Рассмотрим полупрямое произведение
П^Ь[>Р. F0)
Оно содержит подгруппы L и Р, являющиеся ^модулями от-
относительно канонических автоморфизмов /».;
Ha векторном пространстве Р(*) естественно возникает струк-
структура дуального W-модуля (относительно формы (р-а)). Одна-
Однако такой, внешне очевидный, путь реализации преобразований
и} на пространстве Р<*> приводит к противоречию с экспери-
экспериментально наблюдаемой положительностью энергии физиче-
физических частиц. Для сохранения положительности энергии мы вы-
вынуждены отказаться от реализации W-модуля Р(*> как дуаль-
дуального к Р. Напомним, что преобразования симметрии кванто-
квантовой системы могут быть представлены либо унитарными, либо
антиунитарными операторами. Оператор пространственного от-
отражения не влияет на знак энергии, поэтому предположим, что
антиунитарными (и, следовательно, антилинейными) являются
операторы отражения времени Т и полного отражения 5.
Воспользуемся формулами F1) и D4):
= ехр [ — / (ра)] = ехр [В E) i (pa) В (S)\.
При сохранении знака энергии под действием антнлйнейно-
го оператора В (S) импульс преобразуется по правилу
Sp = B-4S)pB(S) = p. F2)
Аналогично получаем закон преобразования Р<*) под действием
Р- и Г-отражений:
(р°, -р\ ~р\ -р3),
р\ -р), F3)
Тр = S-1 (Т)РВ(Ъ = - ( -Р°, Р\ Р\ Р")- Ў
B4) Для нахождения соответствующих формул для L как
W-модуля воспользуемся свойством накрывающего отображе-
отображения и гомоморфностью групп L и Л. Свойства F1) остаются
справедливыми и для группы Лоренца, операторы которой в
данном случае удобно параметризовать элементами орбит и
314
подгруппы стабильности точки. Разложим произвольную мат-
матрицу Л группы Лоренца в определяющем представлении на
произведение симметричной и ортогональной матриц:
Л = ЛрЛл (см. G.144)), подставим в нее выражение A.41) и
воспользуемся явным видом оператора Р в определяющем
представлении:
р-1\Р= \-plAR = (ApARy-\ \ = \\R. F4)
При переходе к накрывающей группе L симметричной матри-
матрице Ар сопоставляется эрмитова Lp, а ортогональной Ад — уни-
унитарная LR. Легко убедиться, что равенство вида F4) сохраняет
силу и для группы L:
p-iLP=LplLR=(LpLRy~l, L = LpLR. F5)
Поскольку конечномерные представления Dl группы SLB, C)R
обладают свойством DL AД) =C| (L) (см. упражнение G.69)),
то и для них справедливо правило F5):
fi (P) DL (L) В (Р) = {DL {L)yr\ F6)
Операторы в правой части равенства принадлежат сопря-
сопряженному представлению. Если Dl — самосопряженное пред-
представление, DL faD^, то оператор В(Р) может быть опреде-
лен в пространстве V. В противном случае для задания В(Р)
необходима прямая сумма пространств VD и V <Ч!>.Для непри-
неприводимого представления D(/ ' J) соотношение F6) принимает
вид
Я-1 (Р) DLr< Г) В (Р) = D(/"' J>) ¦ F7)
Отметим, что операторы Dl (Lr) инвариантны относительно
действия отражения Р. Последнее непосредственно вытекает из
соотношений F5) и F6). у
Если в пространстве F($m, JW>0)) неприводимое представ-
представление -B/Ttn действует в спинорном базисе по формуле E1),
/\
то в пространстве векторов B(P)ty(p) действие группы Пуан-
Пуанкаре задается операторами
В (Р) ехр / (pa)D1/'0> (L) A (I) S (Р) =
exp I (Pp.a) Df' J) (L) Д (Щ, F8)
где А—оператор левого сдвига. Следовательно, область зна-
значений функции B(P)ty(p) принадлежит пространству l/@-J)
(
представления Df'J).
315
Для построения оператора В(Р) необходимо рассмотреть
пространство FFt>, V(J> °> ^ У<°.J)) функций со значениями в
прямой сумме F'°I®1"°'J'. Полученный таким образом
П-модуль в общем случае является приводимым.
B5) Перейдем к рассмотрению оператора отражения вре-
менн. Представим антнлпнейный оператор Т в виде произве-
произведения оператора комплексного сопряжения и линейного опера-
тора Т и перепишем с их помощью автоморфизм F1):
В (Т) •!>(/>) -В (Г) •;>*(/>),
* v , (Ь9)
(L)B(T) D(L)
Пользуясь явным видом оператора Г в определяющем пред-
представлении группы Л, получаем окончательно
В" G) ?>; (Z.) .e (T) = (U
Свойство операторов конечномерных представлений Z)/. (см.
упражнение G.68))
О;-1 {L) = D (F) D* (L)D-1 (F) (F= /о,)
позволяет выразить матрицу В(Т) через оператор D(F):
B(T)=rtfD(F) A^1=1)-, G1)
где учтена унитарность оператора В(Т). у
Предположим, что неприводимое проективное представле-
нпе B^f построено (причем операторы В(П*) и В(-Р) унп-
тарны, а В(Г) антпунитарен). Ограничение Bjjf|nt в общем
случае является приводимым проективным унитарным пред-
представлением группы 3. Разложим представление Bjjt|nt па
неприводимые. Очевидно, что всякая неприводимая компонента
эквивалентна неприводимому унитарному представлению груп-
группы П=(П+). Пространство такого неприводимого представ-
представления при /л>0 (см. A7)) есть F(X, V-1) «F(<^. y(J.°)), где
VJ — пространство неприводимого представления D' группы
SUB), на котором реализуется представление D^°> группы L.
Рассмотрим вектор §{p)^FFm , -V^-^) и подействуем на
него операторами В(Р) и В(Т). Как уже было показано, эти
операторы осуществляют преобразование r|j(p)->г|з'(р) е
^F(()m, V{0'J)), так что пространство неприводимого пред-
представления В (ill) содержится в F{6m, V@'}) ® V(J-0)) ¦ Само
316
представление В A11) также эквивалентно некоторому непри-
неприводимому унитарному представлению одной из накрывающих
групп П+=П. Всякая группа П представляет собой двукрат-
ное накрытие группы ГЦ , так что квадраты операторов В(Р).
В(Т) uB(S) удовлетворяют условиям
сор, о>у, ms = fj 1.
Следовательно, имеется восемь неэквивалентных групп П и
соответственно восемь типов неприводимых квантовомеханпче-
ских представлений В(Щ.
B7) Упражнение. Покажите, что во всяком представ-
представлении В(П), удовлетворяющем перечисленным выше свойст-
свойствам, таблица
табл. 13.
умножения ограничения
П у "
эквивалентна
Таблица 13
Операторы
отражений
В(Р)
В(Т)
B(S)
В(Р)
(л)pIM j-ШгВ (S)
ых<»тВ(Т)
В if)
B(S)
o,Tf
о»гй(Р)
B(S)
«>рВ(Т)
ы^рВ\Г)
B8) Начнем построение представления B(W) с оператора
•ч.
В(Р). Обратим внимание на тот факт, что подпространство
функций от р= (ро, 0, 0, 0) инвариантно относительно дейст-
действия оператора пространственного отражения. На этом подпро-
подпространстве оператор В(Р) должен выглядеть особенно просто,
с
так как преобразуется только форма функции ij>(p). Всякий
вектор \p^F0m, F'-7'0'® V<°>J)) может быть представлен в
виде пары (-фj, ijJ), где tyi^FFm, У(/'0))> a ^eff^ , F@••/))
преобразуется по представлению Z)'<°-J> (см. G.125), G.126)).
Подействуем оператором В(Р) на вектор л^(р) и воспользуем-
воспользуемся соотношением F8):
@ Ж'
317
В том же базисе оператор В (Лл) имеет вид
\ О DJ(AR)
Как было установлено (см. равенства F5) и F6)), операторы
В(AR) и В(Р) коммутируют. Следовательно, операторы М
и jV кратны единичному (см. F.22)):
M = al, N = bl (а, Ь?С).
Унитарность оператора В(Р) позволяет фиксировать модули
чисел а и Ь:
а\^=\Ь\ — \.
Наконец, в соответствии с выводами B6) мы должны рас-
смотреть две возможности: 1) В2(Р)=1, аЬ = +1;
2) В2(Р) = —1, аЪ=—\.
B9) Упражнение. Покажите, что всякое проективное
представление группы {/, Р} в первом случае эквивалентно
представлению с а = Ь = т]я-=+1 либо а = Ь — цр=—1; во
втором — представлению, где а = Ь = г|?= +i либо а = 6 =
Таким образом, в пространстве всякого квантовомеханнче-
ского представления В(П) возможен переход к такому базису,
где векторы состояний г|)(р) в системе покоя — собственные
векторы оператора В(Р). Их собственные значения будут рав-
равны т]?=±1—в первом и r\p=ihi — во втором случаях. От-
Отметим, что в силу линейности операторов В (П) всякий вектор
В(П)\р(р) также будет собственным с тем же собственным
значением. При наличии Я-симметрии должен существовать
суперотбор по квантовому числу г\р, Р-четности.
Мы установили явный вид оператора В(Р) на инвариант-
инвариантном подпространстве векторов г|)(р):
о
Чтобы найти выражение для В (Р) на всем пространстве
F@m, F'O)r, Vftfl), воспользуемся соотношениями E1),
F8):
3J8
ьФр)\ =
G3)
Оператор Р-отражения принимает наиболее простой вид на
пространстве Г (От, y(J.J>):
В(Р)-Нр) = ^'НРр)- G4>
Если представление В(П) действует в когерентном простран-
пространстве состояний с фиксированной четностью цр, то выражение
E2) для скалярного произведения в сшшорном базисе можно
переписать, используя оператор В(Р):
Oh, b)f = jg-W (р) ^"' (М в (Я)-1^1 о-1 (Ap)t2 (p)=
.^ (p)B[P)r^ifAp). G5)
При выводе этого выражения мы использовали основное свой-
ство оператора Р-отраження (см. формулу F6)). j
C0) Чтобы завершить построение представления 5A1),
выпишем явный вид оператора B(S). В соответствии с табл. 13
В(§)=В{Р)В(Т),тгкчто
0 /\ /D17' 0) (F) 0
о) ( О D'»"^
о )ф^- G6>
Так же строятся и представления С'-°(П), ограничения
которых на П эквивалентны представлениям Сн)п с массой
нуль, у
В теории поля происходит дальнейшее уточнение величин
"Чр и Л г в формулах G1), G3) и G6) [23]. Собственные зна-
чения оператора Р-отражения оказываются равными ± 1 для
частиц с целым спином и ±i — для частиц с полуцелым спином..
Далее, с учетом внутренней симметрии группа Пуанкаре рас-
расширяется с помощью дискретной операции зарядового сопря-
сопряжения. Связь между фазовыми множителями во всех четырех
операциях отражения фиксируется теоремой о СРГ-инвариант-
ности [27]. и...
319
Пространства представлений fi(ll) вида FFti, V(J'°) t*)
^ 1/(о,/) и F {6ti , W'J~>) приводимы за исключением
F{€m, V*00*)- По построению представление 5д,г неприво-
димо. Следовательно, указанные пространства характеризуются
собственными значениями операторов Казимира группы W : сор,
(от и (os. Как мы выяснили, вместо о)р следует использовать
значение фазового множителя ^^ — четность частицы. Мульти-
Мультипликаторы тт и о)р оказываются связанными со спином ча-
частицы. Действительно,
В- (Т) 6 (р) = | т^ | * D (F) D* (F) 6 (/>) = oV> (/7).
Так как jqj |2= 1, то
т
D (/=) D* (О = «„ = ( + ! прн ¦{ Ц6ЛОМ'
' \ — 1 при У полуцелом.
Л л ^ч
СРГ ф
Л л ^ч
Вследствие СРГ-инвариантности третья фаза ы8 оказывается
однозначно связанной с зарядовой четностью, так что пред-
представление Bn^w фиксируется заданием Р- н С-четностей ча-
частицы.
§ 3. Релятивистские уравнения движения. Волновые
функции, неприводимые представления и ковариантные
проекторы. Методы построения уравнений движения.
Примеры
Основной задачей теории элементарных частиц является по-
построение модели их взаимодействия. Локальность взаимодей-
взаимодействия элементарных частиц приводит к необходимости опреде-
определить состояние объекта в заданной точке пространства Мнп-
ковского. Переход от импульсного представления к координат-
координатному осуществляется преобразованием Фурье (см., например,
(8.44)). В предыдущем пункте мы построили некоторые, в об-
общем случае приводимые, представления В (И). Трехмерное пре-
преобразование Фурье от элементов пространств F{6ti, V<J-°) ©
0 V@'J)) и FFm , V(J'J~>), на которых реализованы операторы
В(П), определяет координатное представление в первично
квантованной теории, где зависимость от времени следует из
уравнения Гейзенберга и для свободной частицы описывается
множителем exp ipot, ро=Ур2 + 'я2- Описание процессов рож-
рождения и уничтожения частиц требует локальности и во време-
времени. Для того чтобы стало возможным преобразование Фурье
по переменной t, необходимо вложить пространство F(€my V)
в F(P, V). Элементы пространства F(P, V) обычно называют
волновыми функциями (ср. A8)).
320
Предположим, что удалось построить проектор л (т. /, +),
который выделяет в пространстве F{P, V) неприводимое под-
подпространство представления общей группы Пуанкаре. Оно со-
состоит из решений уравнения
-(/«, У,+ ЖР) =*(/>)• G7)
Проектор тг (т, I, +) в координатном представлении есть
функция от оператора ри = —id/dxil:
-х(т, У,+ ) )(х)=:Ъ(х). G8)
Соотношения G7) и G8) называются уравнениями движения
релятивистской свободной элементарной частицы в импульсном
и координатном представлениях [46 J.
Используя свойства пространств F (СТп , V) п F(P, V),
можно утверждать, что решения уравнений G7) и G8) описы-
описывают состояния частицы с массой ш, спином /, положитель-
положительной энергией, фиксированной Р-четпостью и фазой o>s- Значок
( + ) в проекторе n(m, J, +) в дальнейшем опускаем.
Обратим внимание на две существенно различные причины
приводимости пространства F(P, V): замену пространства
VJ^aViJ'°> неприводимого представления малой группы про-
пространствами VV. °) zy V^-J) или V^'J) и переход от пространства
функций на орбите 6,„ к пространству функций на Р. Проек-
Проектор л должен устранить приводимость как первого, так и вто-
второго рода. Различие оудет особенно заметным при сравнении
уравнений движения бесспнновых частиц и частиц со спином
C1) Представление В~", действующее на пространстве
F{€m , V@-°>), непрнводимо. Проектор, выделяющий это под-
подпространство в F(P, V<0'°>), имеет очевидную структуру:
(Р21т2) -2, (р) = О (р) или (р- - /п2) ф (р) = 0. G9)
В координатном представлении это уравнение совпадает с
уравнением Клейна — Гордона.
C2) Рассмотрим представление В'~ в пространстве F(tti>
J.-V, 0) фУ@.л), Из явного вида операторов В(Р) (см. формулу
G3)) следует, что подпространство векторов вида (г|;(р),
О (Рр)) инвариантно относительно действия оператора про-
пространственного отражения. Формулы F8), G1) и G6) позво-
позволяют убедиться в инвариантности и неприводимости относи-
относительно действия всей группы П. Более того, пространство
векторов вида (ty(p), ty(Pp)) описывает частицу с фиксирован-
фиксированным спином /, так как в системе покоя функция состояния
под действием операторов группы SUB) преобразуется по не-
неприводимому представлению, эквивалентному DJ. Таким
21 Зак. .V 132 321
образом, искомый проектор л на подпространстве векторов в
системе покоя совпадает с проектором, выделяющим подпро-
подпространство VJ неприводимого представления DJ (SUB)).
Нетрудно получить выражение для л в произвольной систе-
системе отсчета. Пусть
Тогда
В (I) -В (L-1) D (L) Ъ (L-1 р) = D (L) ^ (L'1 р),
D{L)T.D-'(L)'Y(p) = V{p),
где p = L~lp. Введем обозначение л (р) =D(L)aD-^ (L) и вос-
воспользуемся стандартным разложением L = LPLR. Проектор я
сплетает представления группы SUB), т. е. операторы л и
D (LR) коммутируют. Следовательно,
K(p) = D(Lp)r.D-4Lp). (SO)
C3) Упражнение. Покажите, что л(р) —ковариапг-
пый оператор:
Перейдем к пространству функций F(P, V{J- °)ф 1А0'J)). Опе-
Оператор я должен не только проектировать область значений
функции на неприводимое подпространство VJ, по и гаранти-
гарантировать принадлежность импульса частицы фиксированной
орбите б'т. Для параметра р в проекторе (80) это условие
выполнепо (если ре^). Таким образом, функция ij:(p) толь-
только тогда является решением уравнения
~(р)'Пр)^-1Нр), (SO
когда ее аргумент принадлежит орбите 6т ¦ Итак, множество
решений уравнения (81) составляет пространство неприводи-
неприводимого представления Bi™^ (П). Соотношение (81) является
общим релятивистским ковариантным уравнением движения
для массивной частицы со спином. Конкретный вид проектора
п{р) зависит от выбора пространства F(P. V), в которое по-
погружается пространство неприводимого представления собст-
собственной квантовомеханическои группы Пуанкаре. Далее мы рас-
рассмотрим стандартные формы уравнений движения. W
Специфика конструкции спинорного базиса, в пространстве
состояний безмассовых частиц не позволяет полностью распро-
распространить приведенные выше рассуждения на случай т = 0 (см.
D1) и D2)).
322
C4) Уравнение Дирака. Построим пространство неприво-
неприводимого представления Вт"*(П). Для этого рассмотрим про-
пространство волновых функций F(P, УС/а. о) 0 усо,'/2)). Чтобы вол-
волновые функции в системе покоя преобразовывались по непри-
неприводимому представлению группы вращения со спином /=Vs
достаточно использовать проектор на одно пз прямых слагае-
слагаемых в пространстве У№,0)@ у(о, >«.
"'- (о
Здесь yo дпагональиа, т. е. уо=( )• Произведя замену
\0-/'
с
Yo = \v(/7)M/"~1> c помощью определения (80) и соотношений
G.148), G.150) найдем вид проектора л(р):
X Т, (РУ ЛA W(il- ':) (Л;1) + m)=--i G:j У1 + w). (S3)
Подставив выражение (83) в общее уравнение движения (81),
получим уравнение Дирака
Каждая компонента решения у^(р) уравнения Дирака удовлет-
удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона, так как условие
(л (р) J=л(р) эквивалентно требованию р2 = т2.
Для скалярного произведения в пространстве волновых
функций Дирака удобно использовать выражение G5). В пред-
представлении, где операторы /)№, o>qi(o, Уг)(/,) приведены к блочпо-
диагональпому виду, для оператора В(Р) справедлппо выра-
выражение G2), т. е. он совпадает с матрпце/i r:»vo:
.р
'—Ъ11р)ь2(р), (85)
где введена операция днраковского сопряжения
s^+(j5)Yo (ср. с B.131)). у
C5) Уравнение Првка. Для частицы со спином /=1 в ка-
качестве исходного неприводимого представления группы П
можно рассмотреть Вт- '(П) и получить пространство функций
F(P, У*1.0'© 1/@Д)). Если л<е начать рассмотрение с приводимого
] 0
представления В ' ш (П) на пространстве F(@Z,VWqVW), to
при переходе к спинорному базису получим представление
DW*. V.) группы L:
В%\\?0 (П) ^ (^) = exp {I (pa)) D2X '2) (/.) ф (?-'р).
21* 323
Оператор /-"-отражения не выводит из пространства F((С 1П ,
ус/г. 'k))t так ЧТо в качестве пространства представления Вт1(Щ
молено выбрать F(P, l/(!/-'-|/г)). Воспользуемся явным видом опе-
ратора Р в определяющем представлении группы Л. Проектор
* = ±-{1-Р), P4=gr, (86)
(см. C.15)) выделяет состояния частицы со спином 7=1 в си-
системе покоя. Выражение для оператора л(р) легко получить,
используя явный вид бустов в представлении D^- '/i] — опреде-
определяющем представлении группы Лоренца (см. A.41)):
, (р) DA2 1 " (L,) «D" 2 ' 2> (L;1) = {*,¦ - _^lj . (87)
Использование выражения (87) в соотношении (81) приводит
к уравнению движения
^-Р-ф)У(р)=%(р). (88)
Его решения описывают состояния частицы со спином 7=1 и
массой т. Действительно, условие (п(р) J = л(р) приводит
к тому, что каждая компонента ¦фц(р) волновой функции удов-
удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона
lp2-m2)f(p) = 0. (89)
Домножнм обе части уравнения (88) на компоненту р^
импульса, принадлежащего орбите t'm, и свернем индексы.
Использовав условие (89), получим соотношение
Р'\(Р) = О, (90)
которое называется уравнением Прока. Множество решений
еистемы уравнений (89) и (90) (или множество решений урав-
уравнения Прока с условием р^бт ) составляет пространство не-
неприводимого представления В'"' 1\+ общей группы Пуанкаре.
i P~S
Оператор В(Р) в этом представлении очевидно пропорциона-
пропорционален соответствующему оператору в определяющем представле-
представлении группы Лоренца:
С его помощью можно получить выражение для скалярного
ироизведения в пространстве волновых функций Прока:
т
(91)
324
C6) Уравнения для тензорных волновых функций. Форма-
Формализм Прока без труда обобщается на волновые функции мас-
массивных тензорных частиц. Рассмотрим в качестве примера слу-
случай /==2. В приводимом представлении Вт*2®1(р°..П) при по-
построении епннорного базиса используется представление Z)A-!'
группы L. Его можно реализовать на пространстве симмет-
симметричных бесследовых тензоров ранга 2 (см. упражнение G.71)).
Соответствующим пространством волновых функции является
r(P, V(l-!))- Выберем проектор я вида
я==1(/_Р)в)-1(/_Р). (92)
о
Оператор (92) в каждом тензорном сомножителе в "ф[а.-л (Р)
выделяет подпространства V^\ так что симметричный бессле-
С' С
довый тензор, удовлетворяющий условию л-ф(р) =г|)(р), преоб-
преобразуется по представлению D^2)(SUB)). Оператор л(р) строит-
строится аналогично проектору (87):
Окончательно уравнения движения для волновых функций час-
частиц с массой т и спином 2 имеют вид
/Г4{оч,(/7) = 0,
(944
Полученный результат легко обобщается на случай произволь-
произвольного целого спина /:
Выражение для скалярного произведения волновых функций
получается из формулы (91) тривиальной заменой индекса р.
мультииндексом {ui, . . ., \ij}. T
C7) Уравнения Рариты—Швингера. Для описания прост-
пространств состояний массивных частиц с полуцелым спином J>1
объединим методы, использованные в уравнениях Дирака и
Прока. В качестве исходного представления рассмотрим тен-
тензорное произведение fin' !" ®-Sn' *е*ф ¦ ¦ •<Е0 ,? —/ + у2. В спинор-
ном базисе будет действовать представление DC-1'*- °' ® D('i/2-ft/z*
группы L, которое при переходе к общей группе Пуанкаре
необходимо расширить до ВС'ь^С.'й^йС/и;^ Таким обра-
образом, пространство волновых функций для частиц со спином /
оказывается равным F(P, J/OA, о> вчо, >/*) ® yd/2, вд) _ Выберем
проектор я в виде тензорного произведения операторов .(82)
и (86):
325
* = 4"(То + /) ® ^r{I-P). (96)
На волновых функциях г|г" к (р) (со значениями в про-
пространстве ус/г. 0)^@, |/2)) оператор я(р) в произвольной системе
отсчета имеет вид
г. (р) = ± (Т р* +т) ® 8? - ^ ¦ (97)
v/ ' 2mv ':j^ ' «--=1 \ m- / v
Подставив его в условие (81), получим систему уравнений
'Рариты — Швингера:
№-т)Ъ{*1--'*к](р)=0,
^{-. ^}^ = °- ( }
Пространство ее решений приводимо. Если на функции
ф1^' ¦ • ¦ ¦ ;Xft} (p) не накладывается дополнительных условий кроме
симметризации тензорных индексов, проектор л выделяет в си-
системе покоя подпространство, преобразующееся по приводимо-
приводимому представлению D''2<g)Dh группы SUB). Для того чтобы ре-
решения уравнений Рариты — Швингера составляли простран-
пространство неприводимого представления Вт + (П), в качестве про-
V 5
странства волновых функций следует взять F \Р, V 2 ' @
(A i±i)\
©К 2 ). С этой целью функция ф (/?) б ^(Р, V"ll/2l0)---@'ll2)®
®Ии"') записывается в виде спинтензора Ья'1'"""(?)
(В"'-?? И.-Ш1* 1 (Р)> тензорные индексы заменяются парой спи-
норных индексов, все пунктирные и непунктирные спинорные
индексы симметризуются (см. § 3.8). у
C8) Уравнения Баргмана — Вигнера. Волновые функции
для частиц со спином />1 можно строить, непосредственно
обобщая метод Дирака. Исходное представление выберем в
виде симметризованного тензорного произведения п экземпля-
экземпляров fin'1'2. Ему будет соответствовать пространство волновых
функций F(P, V(™/2>0) e V$>nr2)) с элементами <|Ла" ' ¦ •'М (/?),
где at — биспинорный индекс. Проектор л строится как тен-
тензорное произведение п операторов (82):
-=®1т1то + Л. (99)
так что
*(Р)=®1ш{1»Р* + т)- A00)
S2fi
Подставив выражение A00) в уравнение (81), получим си-
систему уравнений движения Баргмана—Вигнера:
(Т^-Ю)^" •¦""''• •¦" ?»](р)^0. A01)
Эти соотношения выделяют в пространстве волновых функ-
т. л'2, + ¦—¦
цип подпространство неприводимого представления ВГ) „ ,„ (П;.у
C9) Уравнения для 2B J + 1)-компонентной волновой функ-
функции. То же, что и в предыдущем случае, пространство
f(P, 1/("'2- °> (г. У@1 п/2)) можно рассматривать как множество
2B7+1)-компонентных волновых функций -ф(р). Вместо
проектора (99), действующего на каждый биспннор, построим
проектор на пространстве V<nl2- °> — "V@>n/2' в целом, причем
инвариантное подпространство будем выделять в виде диаго-
диагонали:
j_
Т
Как и в уравнении Дирака, первое слагаемое в проекторе я
с точностью до фазового множителя iyp совпадает с операто-
ром Р-отраженпя в пространстве F(P, F(«/2. °)@ УФ, »/2)) ¦.
A02)
Построим проектор для функций в произвольной системе
отсчета по стандартному рецепту (80):
(P)D (L-1 ) + ~f=--
A03)
При выводе этой формулы были использованы соотношение
F6) и свойство G.148) —G.150).
Вернемся к базису симметризованных спиноров (см. § 7.8),
т. е. запишем 2B/+1)-компонентную волновую функцию в
виде
327
В этом базисе операторы D' ' / —] и D " [—) представле
ны в виде
(см. G.151)):
зр\ ар
ны в виде тензорного произведения операторов \ —! и ( —
Подставляя полученные выражения в формулу A03), прихо-
приходим к следующим уравнениям движения для частицы со спи-
спином / = п/2:
(*Р)ЬЛ°Р& ¦¦¦(V)i"'h: i](P)=mnJt {*.,.... *а)(Р),
(Щ\ 0р)% ¦ ¦ ¦ («>);Ч{.,. ... , .„, (Р)^гп^^ м (р). AС4)
Легко убедиться, что при п=1 вновь имеем обычное уравне-
уравнение Дирака, у
D0) Неприводимые представления и уравнения движения
для частиц с т=0.
В рассматриваемом случае необходимо иметь в виду сле-
следующие два обстоятельства.
Во-первых, не для всех безмассовых частиц эксперимен-
экспериментально наблюдается симметрия относительно общей группы
Пуанкаре П (см. гл. 8). Пространство состояний нейтрино
оказывается инвариантным относительно дискретных операций
Г-отражения и комбинированного СЯ-отражения (см. (8.48)).
Построение соответствующих представлений не сопровождает-
ся характерным для /'-отражения «удвоением» пространства
представления. В частности, волновые функции нейтрино —
двухкомпонентные спинорные функции.
Прежде чем обсуждать вторую особенность представлений
с т = 0, напомним, что генератор подгруппы U A) малой ко-
группы Е{2) имеет вид \p\~llikeihmpm (при р—A, 0, 0, 1)
он совпадает с /i2). Его собственные значения (спиральность)
нумеруют неприводимые представления S//tn группы П. В со-
соответствии с формулами F3) и F5) оператор спиральности
328
антикоммутнрует с оператором Р-отражепия. Отсюда следует,
что элементарная частица с фиксированной спиральностью не-
неинвариантна относительно пространственного отражения, так
что в пространстве неприводимого представления С 'и°(П) при
т = 0 должны присутствовать как состояния со спиральностью
?., так и состояния со спиральностью —/.. Ограничение
С-1'0 является (при ^=5^=0) приводимым представлением,
в то время как для частиц с тфО соответствующее пред-
представление В^" было неприводимым. При переходе от П к П
спиральность перестает быть характеристикой безмассовой
элементарной частицы, напротив, спин (пли абсолютная вели-
величина спиралыюсти) сохраняет значение квантового числа при
классификации массивных частиц по представлениям группы
П. 7
D1) Уравнение движения нейтрино. В данном случае до-
достаточно рассмотреть пространство неприводимого квантово-
мсханпческого представления собственной группы Пуанкаре.
Такое представление для т==0 было построено в предыдущем
параграфе (см. формулу (Ы)) на функциях FFu, Vх- \. Перей-
Перейдем к пространству F\P, V{t0)) волновых функций в спи-
норном базисе (см. формулу E8)). Наша задача состоит в
выделении подпространства в F(P, V(l'°), инвариантного
относительно представления В'*'°(П\ т. е. подпространства
состояний с массой нуль и спиральностью /-.
Если фиксировать стандартный импульс р=(\, 0,0, 1), то
операторы алгебры Ли подгруппы ЕB) в группе L в базисе
{/,-, п-) имеют вид
/;„ /.+Я.-, /., — «,.
Поскольку ограничение S^j,gB. должно быть неточным пред-
^— о
ставлением группы ЕB), то на волновые функции г|)(р)е
<^F{P, Vl' ') в системе стандартного импульса необходимо
наложить условия
Расширим поле скаляров в алгебре I группы L : l^hC-
Перейдем в 1^с к базису {*/2&, х, у, х1гЪ', х', у'}, в котором
l\c = sl{2, С) , slB, С), и перепишем соотношения A05):
П°0)У 0.
329
Эти условия эквивалентны следующим:
Возвращаясь к базису {lj, п;}, получаем уравнение
так что проектор л оказывается равным
Переход от стандартного импульса р к произвольному
ре во произведен с помощью буста: Lp p = p. В случае ма-
малой группы ЕB) всякий буст Lp представим в виде произве-
произведения LV = LRLH, где множитель LHe# соответствует гипер-
гиперболическому повороту в плоскости {0, 3}, a LR принадлежит
подгруппе SU{2) и соответствует трехмерному вращению
стандартного вектора A, 0, 0, 1)-»-A, Д- ). Поскольку эле-
элементы Lu и аз коммутируют, то проектор п(р) можно запи-
записать в виде
г. (р) = D(X' °> (Lp) ^D(X- °> {L~x) -D(X'0) (LR) r.D^0) {L~Rl) =
A09)
где |р|=/?о, так как рЕ^о". Проектор A09) выделяет в про-
пространстве волновых функций F(P, Vil'0) ) подпространство со-
состояний элементарной частицы с массой /п=0 и спираль-
ностью л:
^D^0)^p)^{p) = \p0^(p). A10)
Решения уравнения движения (ПО) образуют пространство
неприводимого квантовомеханического представления С~ '+
собственной группы Пуанкаре. В частном случае л=!/2 урав-
уравнение
- (»Р) Ф (Р) =Ро'НР) A11)
носит название уравнения Вейля для нейтрино. Т
330
D2) Уравнения Максвелла. В спинорном базисе простран-
пространство волновых функций системы, инвариантной относительно
"общей группы Пуанкаре, как и в случае тФО, можно выбрать
в виде F(P, I/'/'0) 9) V(tl))- Существенно, что здесь задача
состоит в построении проектора на состояния со спиральнос-
тями -f- X и — к. Неприводимые квантовомеханические предста-
представления группы П нумеруются индексом (Х| : Сп\ t ,„' (П).
Воспользуемся вычислениями, проведенными для нейтрино,
заменяя всякий раз представление Dl' прямой суммой
Da, 0) © (о, х)_ представим волновую функцию ']> (р) ? F (P, V{K 0);7
qV @'Л)) в Виде пары ('!>, (р), ^2{р)) с областью значений V{l'0)
для i}»i (p) и Vго'х> для Ь2 (р). Тогда из условий вида A06) полу-
получим
(Н2)
Вместо уравнения A07) в базисе {h, tii} имеем
Л°Р)>
Дальнейшие выкладки, аналогичные D1), приводят к системе
уравнений движения
(И4)
решения которой образуют пространство неприводимого пред-
представления C°'l)vl>+ (П). В частном случае А—1 получаем
- i4Pk^i (Р) =РоЬ (Р). /в ч _.
Напомним, что ty\(p) и ^(р)—трехмерные комплексные век-
векторы. В трехмерных обозначениях уравнения примут вид
[р X ф, (р)] = — (ро*1 (Р), n1cv
331
Полученную систему легко привести к виду, знакомому из
электродинамики, заменив комплексные поля (^(р) и фг(р) на
действительные В(р) и Е(р). Так как $i(p) удовлетворяет
тому же уравнению, что и $2(р), то положим
В результате уравнения A15) превращаются в уравнения
Максвелла для электромагнитного поля в вакууме
[р X В (/?)] =-р„Е (/>), (р,Е(р))^=О,
[рХЕ(р)]=р„В(р), (р, В (/;))= 0. l ;
Ограничение Cff{Xn' + является приводимым унитарным пред-
представлением собственной группы Пуанкаре. Полезно написать вы-
выражение для скалярного произведения на пространстве решений
системы A15) в спинорном базисе. В соответствии с формулами
D8) и E7) имеем
Подставим произведение LHLR= Lp в предыдущую форму-
формулу и воспользуемся эрмитовостью матрицы LH:
Здесь представление D — прямая сумма ?>('•• °>*(°>'), а элемент
LH записывается в виде матрицы I ' ^| ¦ _i2 Поскольку
решения уравнений A15) имеют лишь два значения спираль-
ности: >, и —к то окончательное выражение для скалярного
произведения принимает вид
IP f ^
A17)
Представление С~'1+ для электромагнитного поля можно
реализовать на пространстве функций Fin(p) со значениями
в антнсимметризованном тензорном произведении V(';'- > <8>
<g) i/0/2. vy двух четырехмерных векторных пространств. Никаких
принципиальных изменений, кроме некоторого усложнения
проекционных операторов, при этом не происходит. Такая же
ситуация возникала при рассмотрении массивных частиц, где
одно и то же неприводимое представление реализовалось раз-
различными проекторами на различных пространствах волновых
функций, инвариантных относительно действия группы П и
содержащих искомое неприводимое подпространство. Выбор
той или иной формы уравнений движения диктуется условиями
конкретной физической задачи, у
332
Для применения рассмотренного формализма к описанию
реальных физических частиц следует построить полную группу
физической симметрии вф. На примере формул масс (8.82)
можно видеть, что пространственно-временная и внутренняя
симметрия нетривиально связаны. Истинная природа этой свя-
связи пока не известна. В качестве первого приближения естест-
естественно считать группу пф равной прямому произведению групп
Пуанкаре и внутренней симметрии Go. Тогда пространство сво-
свободной частицы можно описать решениями уравнений движе-
движения G7), снабдив волновые функции индексом внутренней
симметрии, нумерующим базисные векторы неприводимого
представления группы Go.
Описание процессов взаимодействия элементарных частиц
требует перехода к формализму вторичного квантования —
квантовой теории поля. В ней волновым функциям, рассмот-
рассмотренным в § 3, сопоставляются операторы поля [23], которые
по-прежнему удовлетворяют свободным уравнениям движения
G7) в представлении взаимодействия.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алекса и дрян Р. А., Мирзах а нян Э. А. Общая топология. М.,
1979. 336 с.
2. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения.
М., 1980. Т. I. 455 с; Т. П. 396 с.
3. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М., 1978. 342 с.
4. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер. М., 1967.
398 с.
5. Б ь ё р к е и Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория.
М., 1978. Т. I. 296 с; Т. II. 408 с.
6. Варден ван д е р Б. Л. Алгебра. М., 1976. 648 с.
7. В и г н е р Е. П. Теория групп и ее приложения к квантовомеханпческой
теории атомных спектров. М., 1961. 443 с.
8. Гелл-Манн М. Восьмимерный формализм: теория симметрии в силь-
сильных взаимодействиях. — В кн.: Элементарные частицы и компенси-
компенсирующие поля. М., 1964, с. 117—146.
9. Г л у ш к о в В. М. Строение локально-бикомпактных групп и пятая про-
проблема Гильберта. — Успехи мат. наук, 1957, т. 12, вып. 2, с. 3—41.
10. Голдстейн Г. Классическая механика. М., 1975. 416 с.
11. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М., 1964. 356 с.
12. Диксмье Ж- С*-алгебры и их представления. М., 1974. 400 с.
13. Дьёдонне Ж- Геометрия классических групп. М., 1974. 205 с.
14. Квантовая теория калибровочных полей. М., 1977. 436 с.
15. Кириллов А. А. Элементы теории представлений. 2-е изд. М., 1978.
344 с.
16. Климык А. У. Матричные элементы и коэффициенты Клебша—Гор-
дана представлений групп. Киев, 1979. 304 с.
17. Кокке дэ Я. Теория кварков. М., 1971. 344 с.
18. Ленг С. Алгебра. М., 1968. 564 с.
19. Медведев Б. В. Начала теоретической физики. М., 1977. 496 с.
20. М е и с к и й М. Б. Метод индуцированных представлений. Пространство-
время и концепция частиц. М., 1976. 288 с.
333
21 Мишель Л., Шааф М. Симметрия в квантовой физике. М.г 1974.
250 с.
22. Найыарк М. А. Теория представлений групп. М., 1976. 560 с.
23. Новожилов Ю. В. Введение в теорию элементарных частиц. М.,
1972. 474 с.
24. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. 3-е изд. М., 1973. 520 с.
25. Серр Ж--П. Алгебры Ли и группы Ли. М., 1969. 376 с.
26. Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию ка-
калибровочных полей. М., 1978. 240 с.
27. С т р и т е р Р., В а й т м а н А. С. РСТ, спин и статистика и все такое.
М., 1966. 250 с.
28. Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. Семинар «Софус Ли». М,
1962. 306 с. '
29. Теория групп и элементарные частицы. М, 1976. 375 с.
30. Ф о к В. А. Теория пространства, времени и тяготения. 2-е изд. М., 1961.
564 с.
31. Фок В. А. Начала квантовой механики. М., 1970. 376 с.
32. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические про-
пространства. М., 1964. 534 с.
33. Холл М. Теория групп. М., 1962. 468 с.
34. Хьюитт Э., Росс К- Абстрактный гармонический анализ. М., 1975.
Т. I. 654 с: Т. II. 900 с.
35. Шевалле К. Теория групп Ли. М., 1948. Т. I. 315 с; 1958. Т. II. 276с;
1958. Т. III. 308 с.
36. Ш е л е п и н Л. А. Исчисление коэффициентов Клебша — Гордана и его
физические приложения. — Труды Физич. ин-та АН СССР, 1973, т. 70,
с. 3—119.
37. Barash-Schmidt N., Barbaro-Galtieri A., Bricman С.
ct. al. Review of particle properties. — Phys. Lett., 1978, vol. 75B,
p. I—XXI, p. 1—250.
38. Bargmann V. Note on Wigner's theorem on symmetry operations.—
J. Math. Phys., 1964, vol. 5, p. 862—868.
39. Bargmann V. On unitary ray representations of continuous groups,—
Ann. Math., 1954, vol. 59, p. 1—46.
40. Carruthers P. Introduction to unitary symmetry. Interscience Pub!.,
1966. 228 p.
41. Fa yet P., Ferrara S. Supersymmetry. — Phys. Lett. C, 1977, vol. 32,
p. 249—334.
42. G 1 a s h о w S., I 1 1 i о p u 1 о s J., M a i a n i L. Weak interactions with
Lepton — Hadron symmetry. — Phys. Rev., 1970, vol. D2, p. 1285—1292.
43. Inonti E., Wigncr E. Representations of Galilei Group. — Nuovo Cim.,
1952, vol. 9, p. 705—718.
44. Ma с key G. W. On induced representations of Groups.—Amer. J. Math.,
1951, vol. 73, p. 576—592.
45. Ogievetsky V., Tzeitlin V. Exceptional Gauge theories in 3x3
matrix formalism. — J. Phys. A: Math. Gen., 1978, vol. 11, N 7,
p. 1419—1426.
46. Weinberg S. Feynman rules for any spin, I. — Phys. Rev., 1964,
vol. 133B, p. 1318—1332.
47. Z w e i g G. An SU3 model for strong interaction symmetry and its
breaking. Preprint CERN, 1964. 33 p.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Наиболее употребительные обозначения 3
Предисловие ............. 6
Глава 1. Симметрия в классической механике 9
§ 1. Частица в ньютоновой механике. Наблюдаемые величины, инер-
циальные системы отсчета и группа" Галилея. Активные и пас-
пассивные преобразования, принцип относительности и физическая
симметрия. Алгебра наблюдаемых . . • . . . . —
§ 2. Отличия механики специальной теории относительности от ньюто-
ньютоновой. Преобразования Лоренца и группа Пуанкаре. Алгебра
Ли группы Пуанкаре и реконструкция наблюдаемых ... 3
§ 3. Ковариантность и лагранжев формализм. Теория групп в класси-
классической механике .......... 31
Глава 2. Общая алгебра 34
§ 1. Понятие группы. Подгруппа. Пространство параметров. Группы
движений ............ —
§ 2. Отображения групп. Гомоморфизмы. Факторгруппа, Виды гомо-
гомоморфизмов ............ 4-0
§ 3. Прямое произведение групп, прямая сумма абелевых групп. По-
Полупрямое произведение. Двойные классы смежности ... 44
§ 4. Кольца, тела, поля, кватернионы ....... 50
§ 5. Модули, их гомоморфизмы и тензорные произведения. Кольцо
матриц и эндоморфизмов модуля. Кватернионные единицы и
матрицы Паули . ^ . . ...... .54
§ 6. Векторное пространство, дуальное пространство. Билинейное ото-
бр'ажение и билинейная форма, полуторалинейная форма. Класси-
Классические группы. Группы 5/7A), SUB), SO C) 59
§ 7. Алгебра над полем: ассоциативная. Ли, T(V), S(V), ,A(V).
Алгебра Клиффорда и спинорная группа. Алгебра Дирака . 70
Глава 3. Топологические группы и группы Ли ..... 82
§ 1. Свойства групповых операций в топологических группах . . —
§ 2. Подгруппы, нормальные подгруппы, факторгруппы, естественные
отображения, гомоморфизмы топологических групп. Прямые
произведения ........... 84
§ 3. Многообразия: гладкость, координаты, локальная размерность,
карты, атласы. Группы Ли. Параметризация. Общая линейная
группа и классические группы как группы Ли. .... 87
§ 4. Связные компоненты топологической группы, К(е). Теорема о ко-
конечной порожденное™. Свойства дискретных нормальных под-
подгрупп. Компоненты группы Лоренца ...... 93
§ 5. Локальная группа, локальные" изоморфизмы. Свойства локальных
групп ............. ?6
§ 6. Однопараметрические подгруппы. Единственность однопараметри-
ческой подгруппы с заданным направляющим вектором. Кано-
Канонические координаты I и II рода 99
§ 7. Подгруппы и факторгруппы в канонических координатах, группа
Лоренца ............ 103
§ 8. Накрывающее пространство. Принцип моиодромии. Универсаль-
Универсальная накрывающая группа ........ 108
Глава 4. Алгебры Ли . . . . . . . . . .117
§ 1. Локальные свойства группы Ли и ее алгебра Ли. ... —
§ 2. Гомоморфизмы алгебр Ли . . . . . . . . .119
§ 3. Линейные алгебры Ли. Алгебры дифференцирований. Присоеди-
Присоединенное представление . . . . . . ... .123
§ 4. Разрешимые, нильпотентные, простые и полупростые алгебры Ли.
Радикал. Теорема Леви — Мальцева 128
§ 5. Восстановление группы Ли по алгебре Ли. Ряд Кэмпбелла —
Хаусдорфа. Экспоненциальное отображение . . . . .131
335
Глава 5. Простые и полупростые алгебры Ли ..... 134
§ 1. Форма Киллинга. Критерии Картана ...... —
§ 2. Комплексификации, овеществления и вещественные формы . . 137
§ 3. Подалгебры Картана. Разложение Картана . . . . .140
§ 4. Корневые системы. Схемы Дынкина . . . . . .145
§ 5. Корневые системы и простые алгебры Ли. Разложение Картана —
Вейля. Базис Вейля, стандартный базис . . . . .150
§ 6. Классификация и каноническая реализация простых алгебр Ли 1?8
Глава 6. Элементарная теория представлений . . . . .162
§ 1. Основные понятия .......... —
§ 2. Общие свойства неприводимых представлений и подпредставле-
ний. Сплетающий оператор. Леммы Шура. Теорема Бернсайда 172
§ 3. Прямой интеграл представлений. Инвариантное интегрирование.
Мера Хаара. Фактормера и интегрирование на однородном про-
пространстве. Регулярное представление . . . . . .176
§ 4. Унитарные представления компактных групп. Теорема о конечно-
конечномерности ............ 187
§ 5. Инфинитезимальный метод. Унитарный трюк . . . . .190
Глава 7. Представления полупростых алгебр Ли .... 195
§ 1. Веса, старшие веса, их свойства. Фундаментальные представления —
§ 2. Конечномерные неприводимые представления алгебр si B, С) и
s/C, С). Компактные вещественные формы. Фундаментальные
представления su C) ¦ . . . . . . . . . 199
§ 3. Тензорные произведения представлений d(suB)) и d(suC)) и их
разложение на неприводимые 209
§ 4. Схемы Юнга 215
§ 5. Ограничения неприводимых представлений алгебр su(n). Част-
Частные случаи ........... 224
§ 6. Элементы Казимира. Универсальная обертывающая алгебра. Опе-
Операторы Казимира и их собственные значения .... 232
§ 7. Коэффициенты Клебша — Гордана. Скалярные факторы . . 239
§ 8. Конечномерные представления алгебры so C, 1). Связь с пред-
представлениями группы Лоренца ........ 245
Глава 8. Симметрия в квантовой физике. Элементарные частицы . 255
§ 1. Кваптовомеханическое описание и преобразования симметрии.
Теорема Вигнсра и проективность представления группы сим-
симметрии. Унитарность. Элементарные частицы и неприводимые
представления ........... —
§ 2. Изотопическая симметрия и операторные лучи. Мультипликаторы
и коциклы проективного представления. Фазовые расшире-
расширения. Эквивалентность проективных представлений группы и век-
векторных представлений ее универсальной накрывающей . . 264
§ 3. Изотопические мультиплеты, формула Гелл-Манна — Нишиджи-
мы. Зарядовое сопряжение и G-четность. ..... 274
§ 4. Унитарная симметрия и унитарные мультиплеты. Эволюция уни-
унитарной симметрии .......... 279
§ 5. Гипотеза кваркового строения адронов. Массовые формулы и тео-
теорема Вигнера — Эккарта ......... 286
Глава 9. Индуцированные представления и релятивистская сим-
симметрия ........... 296
§ 1. Алгебраическая конструкция индуцированных представлений.
Унитарные представления. Простейшие свойства .... —
§ 2. Метод малой группы. Представления группы Е B). Группа
Пуанкаре, ее орбиты. Представления собственной группы Пуан-
Пуанкаре для тфО и т = 0. Представления общей группы Пуанкаре 302
§ 3. Релятивистские уравнения движения. Волновые функции, непри-
неприводимые представления и ковариангные проекторы. Методы по-
построения уравнений движения. Примеры 320
Указатель литературы .......... 333
336
ОПЕЧАТКИ
Страница
27
38
43
58
73
102
108
109
144
150
172
173
189
197
206
208
216
218
230
244
262
274
279
293
294
Строка
13-я сверху
6-сверху
1-сверху
5-я снизу
13-я сверху
6-я сверху
13-я сверху
6-я сверху
10-я сверху
15-я снизу
20-я снизу
9-я снизу
10-я сверху
6-я сверху
9-я снизу
3-я сверху
4-я сверху
8-я сверху
20-я сверху
16-я сверху
20-я сверху
15-я снизу
2-я ciepxy
7-я снизу
13-я сверху
Напечатано
Р
(l ~l)
Kerf = e
«ч
(*) (*)
® e's (g)... (gi ems'. W"
s+ s'
/•; ¦ v
а 1 \
•
\ • « 1/
б
cc
1/2 2(-I)m@
D i \ d d f и d 1
является неприводимой
суммой
D°ik(g)
V =
d?'H)
d @,0,0,
U к, '*"
2f(A)
Ъит
отражения С
Жр
Следует чит»ть
Р
ш \
\ 1 >
Кег/=е
(*). (*)
®e/l-®..;®e""s'. T
la I i
/ а 1 \
а 1 \
•
\ 1 1
^(-) '
СО
1 /О 'V1 /* 1 \/7l( A)
D^, (rf, /*V и rfw)
является неприводимой,
суммой
D'ik(g)
U —
е(*)
. X,
Т[1г.:... /„1
отражения G
Жр;