Author: Гарднер М.
Tags: религии дальнего востока настольные игры (на сообразительность, ловкость и удачу) здравоохранение медицинские науки культурно-образовательная работа в целом головоломки
ISBN: 978-5-17-059779-6
Year: 2009
Text
Партии Гарднер
развивающих головоломок,
математических загадок
и ребусов
для детей и взрослых
1000 развивающих
головоломок,
математических
загадок и ребусов
для детей и взрослых
МАРТИН ГАРДНЕР
1000 развивающих
головоломок,
математических
загадок и ребусов
для детей и взрослых
Мартин Гарднер
Множество загадок, игр, развлечений, фокусов
и прочих математических упражнений для ума
от Scientific American, с предисловием Перси Дьякониса
и Рональда Л. Грэма, размышлениями автора,
новым постскриптумом и новой библиографией
Мартина Гарднера, читательскими находками
и 139 рисунками и схемами.
Москва
ACT •Астрель
УДК 22.1:794
ББК 51+77.056я92
Г20
Автор М. Гарднер
Перевод с английского М. Л. Кульневой
Компьютерный дизайн обложки дизайн-студия «Графит»
Настоящее издание представляет собой авторизованный перевод оригинального
английского издания «Mathematical Magic Show» (автор Martin Gardner), впервые
опубликованного в 1989 г. Математической ассоциацией Америки:
The Mathematical Associations of America (Incorporated).
Отрывок из поэмы Night Thoughts Эдмунда Уилсона печатается с разрешения
Farrar, Straus & Giroux, Inc.
© 1953, 1961 by Edmund Wilson
Гарднер, М.
Г20 1000 развивающих головоломок, математических загадок
и ребусов для детей и взрослых / Мартин Гарднер; пер. с англ.
М.Л. Кульневой. - М.: ACT, Астрель, 2010. - 287, [1] с.
ISBN 978-5-17-059779-6 (ООО «Издательство ACT»)
ISBN 978-5-271-24093-5 (ООО «Издательство Астрель»)
ISBN 0-88385-448-1 (англ.)
Любители математических головоломок найдут в этой книге множество
увлекательных задач, интересных игр, занимательных эпизодов из истории
науки и математических курьёзов от всемирно известного популяризатора
науки Мартина Гарднера.
УДК 22.1:794
ББК51+77.056я92
Общероссийский классификатор продукции ОК-005-93, том 2;
953000 — книги, брошюры
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.60.953.Д.009937.09.08 от 15.09.08 г.
Подписано в печать 20.04.2009 г. Формат 6U.\(JU'/n,.
Усл. печ. л. 18,0. Тираж 3000 :жз. Заказ № 10396.
ISBN 978-5-17-059779-6 (ООО «Издательство ACT»)
ISBN 978-5-271-24093-5 (ООО «Издательство Астрель»)
ISBN 0-88385-448-1 (англ.)
© ООО «Издательство Астрель», 2009
© 1965, 1967, 1968, 1976, 1977, 1990 by Martin Gardner
Посвящается Джиму и Эми
Содержание
Введение
Глава 1.
Глава 2.
Глава 3.
Глава 4.
Глава 5.
Глава 6.
Глава 7.
Глава 8.
Глава 9.
Глава 10.
Ничто
Ещё больше шума из ничего
Теория игр, угадайка, окопы
(Ответы на с. 46)
Курьезы факториалов
(Ответы на с. 61)
Вишенка в коктейле и другие задачи
(Ответы на с. 70)
Двойные акростихи
(Ответы на с. 89)
Карточные игры
(Ответы на с. 99)
Арифметика на пальцах
(Ответы на с. 118)
Ленты Мёбиуса
(Ответы на с. 131)
Смешные задачи
10
14
27
33
48
63
79
91
101
119
133
(Ответы на с. 137)
Глава 11. Полигексы и полиаболо 142
(Ответы на с. 153 )
Глава 12. Совершенные, дружественные, общительные 156
(Ответы на с. 166)
Глава 13. Полиомино и спрямление 168
(Ответы на с. 181)
Глава 14. Рыцари квадратного стола 184
(Ответы на с. 198)
Глава 15. Драконова кривая и другие задачи 199
(Ответы на с. 206 )
Глава 16. Цветные треугольники и кубики 218
(Ответы на с. 233)
Глава 17. Деревья 235
(Ответы на с. 244)
Глава 18, Кости 246
(Ответы на с. 254)
Глава 19. Всё 256
Постскриптум 271
Предисловие
Многим читателям, возможно, неизвестно о разнообразии граней
волшебства Мартина Гарднера. В первую очередь, он -
великолепный выдумщик задачек для «гимнастики ума» и всяких волшебных
фокусов. Его первые публикации появились в «Сфинксе»,
американском журнале для фокусников, когда Мартин ещё учился в
университете. Он с удовольствием демонстрирует свои трюки всем,
кому посчастливилось с ним познакомиться. Например, он может
заставить булочку скакать по полу, как резиновый мячик, проглотить
ножик или надеть позаимствованное у вас кольцо на круглую
резинку. Особенно ему нравятся трюки, «опровергающие» законы
топологии.
Магия совсем иного сорта — способность Мартина объяснять
серьёзные математические понятия неспециалистам, причем так, что
они загораются желанием узнать больше. В отличие от многих
других популяризаторов математической науки, он любим не только
дилетантами, но и профессионалами. На вопрос о том, как ему это
удается, он обычно отвечает, что дело всего лишь в отсутствии у
него глубоких познаний. В колледже он не прошёл ни одного
математического курса. Только в 1989 году он выступил в качестве
соавтора научного труда, описывающего новые открытия.
Хотя Мартин был математиком-самоучкой, его личность и
деятельность оказали влияние на многих специалистов, в том числе и
на нас. Однажды он превратил бродячего мальчишку-фокусника в
подающего надежды ученого-математика, опубликовав некоторые
из его математических идей, а позже — оказав ему помощь в
дальнейшем обучении и карьере. В другой раз из его попыток
разобраться в ряде головоломок с целью создания новых вырос целый «букет»
серьёзных теоретических задач.
Мартин нелегко достиг своего успеха. После окончания
Чикагского университета в 1936 году со степенью бакалавра философии
он стал репортёром газеты в Тальсе, а позже - сотрудником пресс-
центра университета. После четырёхлетней службы во флоте во
время Второй мировой войны он начал писать рассказы для журнала
Предисловие 9
«Эсквайр», переехал на Манхэттен и стал одним из редакторов
журнала Humpty Dumpty Magazine. После восьми лет изобретательства
увлекательных развлечений и сочинения рассказов и стихов для
5—8-летних читателей он начал вести свою знаменитую колонку в
Scientific American. А до этого, как нам стало известно, он долгие
годы жил в маленькой мрачной квартирке, носил рубашки с
обтрепанными воротничками и дырявые кальсоны и частенько завтракал
одним лишь стаканом кофе и слоёной булочкой.
В своих публикациях в Scientific American Мартин излагал
результаты большой исследовательской работы. Однажды он сказал, что
работа над колонкой оставляет ему лишь несколько дней в месяц
для других исследований и дел. Его основным мотивом ухода из
журнала стала именно нехватка времени на написание книг и статей
по предметам, не имеющим отношения к математике. В настоящее
время он опубликовал уже более сорока книг, среди которых, кроме
математических трудов, работы, посвященные естествознанию,
философии и литературе. Его долго не переиздававшийся
теологический роман «Полёт Питера Фромма» вновь увидел свет только в 1989
году. Часть его книг составляют сборники литературных эссе и
критических статей.
Мы недавно были у Мартина в гостях и поразились энтузиазму и
детскому восторгу, с которым он воспринял новый для него фокус,
показанный одним из нас. Фокус заключался в любопытном
способе разделения колоды карт. На восьмом десятке лет жизни он так же
упорно, как и в студенческие годы, ищет то, что иллюзионисты
называют новыми и оригинальными «движениями».
Рональд Л. Грэм,
Лаборатория AT&T Bell
и Университет Рутжерс,
Перси Дьяконис,
Гарвардский университет
Осень 1989 г.
Введение
Это восьмой выпуск моих математических игр, которые каждый
месяц появлялись в колонке журнала Scientific American начиная с
декабря 1956 года. Так же как и в предыдущих изданиях, материал был
исправлен, уточнен и расширен при помощи библиографии и
новых данных, предоставленных верными читателями.
Один из таких читателей, не особенно любящий математику, но
тем не менее регулярно читающий мою колонку, часто задает мне
один и тот же вопрос: «Почему бы вам для удобства таких, как я, не
напечатать словарик терминов, которыми вы часто пользуетесь, но
почти никогда не объясняете?»
Хорошо, дорогой читатель, — вот вам такой словарик.
Приведенные ниже «термины» настолько хорошо известны многим, что
большинство читателей этой книги наверняка пролистает их не глядя.
Но если вы — из тех любопытных, для кого большинство
математических трудов остаются за рамками понимания, но все равно по
каким-то неясным причинам вы решили открыть эту книгу, то вам
этот краткий и весьма неформальный словарик может оказаться
полезным.
Алгоритм: процедура решения
проблемы, обычно путем повторения одних
и тех же скучнейших (если вы
выполняете их не при помощи компьютера,
а самостоятельно) операций. Вы
пользуетесь алгоритмами, когда
перемножаете два больших числа,
подсчитываете средства на счету, моете
тарелки или стрижете лужайку.
Вещественные число: рациональные
и иррациональные числа.
Называются так в противовес мнимым числам,
таким как квадратный корень из — 1.
Хотя на самом деле мнимые числа
столь же реальны, как и
вещественные.
Диофантово уравнение: уравнение,
в котором буквы (неизвестные
переменные) обозначают целые числа.
Такие уравнения решает диофантов
анализ.
е: следующее после я («пи») знаменитое
трансцендентное число. Точное
значение е представляет собой предел
выражения (1 + \/п)" при
бесконечном увеличении я. В десятичной
системе значение е = 2,718281828... Это
странное повторение 1828 - всего
лишь забавная случайность.
Иррациональные числа: числа в
подлинном смысле дробные. В виде
десятичной дроби их дробная часть
Введение
11
состоит из бесконечного числа
неповторяющихся знаков, я, е и V2 —
иррациональные числа. (А п и е — ещё и
трансцендентные.)
Комбинаторная математика (или
комбинаторика): исследование
закономерностей расположения
предметов. Особенно интересуется
доказательствами возможности
существования порядка с определенными
ограничениями и, если такая
возможность существует, поиском всех
возможных порядков,
удовлетворяющих тем же условиям. Так, например,
магические квадраты представляют
собой решения древних
комбинаторных задач из области теории чисел.
Можно ли расположить в квадрате
числа от 1 до 9 так, чтобы числа в
каждом ряду, колонке и по диагонали
имели одну и ту же сумму? Да.
Сколькими способами это возможно
сделать? Только одним, если не
рассматривать как отдельные решения
зеркальные отображения и повороты.
Можно ли расположить девять чисел
так, чтобы все названные суммы не
совпадали и были
последовательными? Нет.
Комбинация (сочетание):
подмножество, выбранное безо всякого
порядка. Если множество — алфавит, то
подмножество букв слова КОТ
равнозначно любой другой трёхчленной
комбинации: КТО, ТОК, ТКО и так
далее.
Многогранник (или полиэдр):
жесткая фигура, ограниченная
многоугольниками. Тетраэдр — это
многогранник с четырьмя гранями, куб —
с шестью.
Множество: любой набор чего-либо.
Например, вещественные,
натуральные, нечетные или простые числа,
алфавит, волосы на вашей голове,
слова на этой странице, члены
Конгресса и так далее.
Модуль: число называется равным п
(по модулю к), если при делении его
на к в остатке получается п.
Например, 17 = 5 (по модулю 12), потому
что при делении 17 на 12 остается
остаток 5.
Натуральные числа: 1, 2, 3, 4,...
Неотрицательные целые числа: 0,1,
2,3,4,5,...
N-мерное пространство: евклидово
пространство, имеющее п измерений.
Прямая - 1-мерное пространство,
плоскость - двумерное, наш мир -
трёхмерное. Четырёхмерный
гиперкуб, или тессеракт, — это тело,
имеющее четыре измерения.
Обратная величина: дробь,
перевернутая «вверх ногами». Число,
обратное 2/з. - 3/2. обратное 3 (или 3/i) -
Уз- Величина, обратная единице, -
единица.
Перестановка: имеющее строгий
порядок подмножество. Если
рассмотреть в качестве множества алфавит,
подмножества КОТ, ТКО, КТО и так
далее будут разными перестановками
одного и того же подмножества из
трёх знаков (букв). Красный, синий,
белый — перестановка подмножества
синий, красный, белый.
Порядок л: способ классификации
математических объектов путем особой
перенумерации их с помощью
неотрицательных целых чисел. Так,
шахматная доска — квадратная решётка
восьмого порядка, если нумеровать
число клеток на каждой стороне, и
девятого, если считать линии сетки.
12
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Простое
ю: целое число, отличное
от 0, +1 и -1, не делящееся без
остатка ни на какие целые числа, кроме
себя самого (с плюсом или минусом) и
единицу (с плюсом или минусом).
Первые положительные простые
числа - 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... два
интересных простых числа: 1 234 567 891
иП 111 111 111 111 111 111 111.Самое
большое известное простое число
было обнаружено в 1985 году; это число
22i609i _{В нем 65 050 знаков.
эцис
целые числа и
Сингулярность (или особая точка):
Если некое событие или физический
процесс можно свести к уравнению,
то точка, в которой одна или более
переменных приобретают
определенные переломные значения, считается
особой. Для подброшенного в воздух
мяча особая точка будет самой
верхней, так как именно в этот момент его
скорость равна нулю. Согласно
теории относительности, никакой
космический корабль не может развить
скорость выше скорости света,
потому что при такой скорости уравнения
для расстояния, времени и массы
показывают наступления
сингулярности. В этой особой точке расстояние
превратится в ноль, время
остановится, а масса станет бесконечной.
дроби с целыми числами в числителе
и знаменателе. В десятичной системе
это либо целые числа без дробной
части, либо числа с конечной дробной
частью, либо с дробной частью с
повторяющимся периодом.
Ну вот, введение достигло сингулярности и... внезапно
обрывается.
Мартин Гарднер
Рис. 1.
Обложка специального рождественского выпуска журнала Mind («Мысль»)
за 1901 год
ГЛАВА 1
Ничто
Кажется, никто не знает, что с этим делать.
(Но, конечно, должен знать.)
П.Л. Хит
Предмет нашего разговора — ничто. По определению, ничто не
существует. Однако те понятия, что связаны в нашем сознании с ним,
определённо реальны (как понятия). В математике, естествознании,
философии и повседневной жизни не обойтись без терминов и
символов для описания этих понятий.
Математики ближе всего подбираются к ничто, вводя понятия
пустого (или нулевого) множества. Но это не настоящее ничто,
поскольку оно обладает качествами множества, хотя и отличается от
других множеств. Это единственное множество, не имеющее членов
и входящее в любое другое множество. Из корзины с тремя
яблоками вы можете взять одно, два, три или нисколько яблок. В пустую
корзину вы всегда можете положить ничто.
Нулевое множество - не бессмыслица, хотя на самом деле не
обозначает ничего. Например, оно обозначает совокупность всех
квадратных кругов, четных простых чисел, не равных 2, или
читателей этой книги среди обезьян. В общем случае оно
обозначает множество всех х, которые удовлетворяют любому
утверждению об х, неверному для всех значений х. Все, что вы можете
сказать о члене пустого множества — верно, поскольку в нем нет ни
одного члена, для которого данное утверждение было бы
неверным.
Пустое множество обозначается символом 0. Его не следует
путать со знаком 0, обозначающим ноль. Ноль (обычно) — это число,
обозначающее число членов 0. Нулевое множество ничего не
обозначает, в то время как 0 обозначает число членов такого множест-
Ничто 15
ва. Например, множество яблок в пустой корзине - это 0, а число
яблок - 0.
Порядок построения натуральных чисел открыт великим
немецким логиком Фридрихом Людвигом Готлобом Фреге и переоткрыт
Бертраном Расселом. Он состоит в том, чтобы начать с нулевого
множества и далее применять небольшое число простых правил и
аксиом. Ноль при этом определяется как кардинальное
(предельное) число элементов во всех множествах, которые могут быть
поставлены во взаимно-однозначное соответствие с членами нулевого
множества (то есть эквивалентны). Имея 0, мы можем определить 1
как число членов во всех множествах, эквивалентных множеству,
единственным членом которого является 0. Два - число членов во
всех множествах, эквивалентных множеству, содержащему 0,1, и так
далее. В общем, целое число — это число членов во всех множествах,
эквивалентных множеству, состоящему из всех предыдущих чисел.
Есть и другие способы рекурсивного составления чисел, начиная
с ничего, и каждый из них имеет свои мелкие достоинства и
недостатки, по большей части чисто психологические. Джон фон
Нейман, например, упростил процедуру Фреге на один шаг. Он сразу
сопоставил 0 пустому множеству, 1 - множеству, единственным
членом которого является пустое множество, 2 — множеству, членами
которого являются пустое множество и 1. И так далее.
Несколько лет назад Джон Хортон Конвей из Кембриджского
университета открыл замечательный новый способ составления
числового ряда, который также начинается с нулевого множества.
Вначале он описал свой метод в размноженной вручную тринадца-
тистраничной брошюре под названием «Все числа, большие и
малые». Она начинается так: «Мы хотим построить все числа. Давайте
посмотрим, как справлялись с этой проблемой те, кто в прошлом
достиг в этом успехов». Она оканчивается десятью вопросами,
оставшимися открытыми, последний из которых сформулирован так:
«Есть ли какая-нибудь польза во всей этой системе?».
Конвей рассказал о своей новой системе Дональду Э. Кнуту,
кибернетику из Стэнфордского университета, встретившись с ним за
ланчем однажды в 1972 году. Кнут сразу же заинтересовался
возможностями нового метода и его революционной сутью. В 1973
году, во время недельного отдыха в Осло, Кнут написал введение к
методу Конвея в форме романа. Этот роман вышел в мягкой обложке
в 1974 году в издательстве «Эддисон-Уэсли», где публиковались и
другие работы Кнута, объединенные в серию «Искусство компью-
16 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
терного программирования». Я уверен, что это единственный
случай, когда значительное математическое открытие было впервые
опубликовано в форме художественного произведения. Вышедшая
позже книга Конвея «О числах и играх» открывается описанием его
системы конструирования чисел, а затем показывает применение
этой теории к созданию и анализу игр для двух партнеров. (См. в
моей колонке в Scientific American, сентябрь 1976.)
Роман Кнута «Сюрреалистические числа» имеет подзаголовок
«Как двое бывших студентов занялись чистой математикой и
обрели полное счастье». В послесловии Кнут определяет основную цель
книги не столько как попытку объяснить теорию Конвея, а как
«объяснение того, как человек может создать подобную теорию».
Он продолжает так: «Именно из-за этого я описывал не только то,
как двое моих героев находят верный путь, изучая и разрабатывая
теорию Конвея, но и как они совершают ошибки и испытывают
разочарование. Я хотел дать достоверное описание важнейших
принципов, методов, радостей, страстей и философии математики.
Поэтому писал эту историю так, как будто я сам проводил
исследования».
Двое героев Кнута, бывшие студенты-математики Алиса и Билл
(А и Б), бежали из общества в тихую гавань на побережье
Индийского океана. Там они раскопали чёрный камень, покрытый
старинными письменами на иврите. Билл, знающий этот язык, смог
перевести первое предложение: «В начале всего была пустота, и
Дж.Х.В.Х. Конвей начал создавать числа». Буквами,
соответствующими инициалам Конвея - JHVH, древние евреи обозначали имя
Иеговы. Фамилия Конвей также не содержала гласных, но это было
самым распространенным английским именем, которое можно
было, по мнению Билла, составить с использованием этих согласных.
Продолжение надписи на «Камне Конвея» было таким: «И
сказал Конвей: "Да будет два правила, которые пробудят к жизни все
числа, большие и малые. И первое правило будет таково: Каждое
число порождается двумя множествами ранее созданных чисел. При
этом ни один из членов левого множества не может быть больше
или равен любому члену правого множества. А второе правило будет
таким: Одно число меньше или равно другому тогда и только тогда,
когда ни один из членов левого множества первого числа не больше
и не равен второму числу и ни один из членов правого множества
второго числа не меньше и не равен первому числу". И Конвей
проверил эти два правила, созданные им, и увидел он, что это хорошо».
Ничто 17
Далее текст на камне объясняет, как в нулевой день Конвей
создал ноль. Он сделал это, поместив нулевое множество и слева, и
справа. В символической записи 0 = {0 | 0}, где вертикальная
линия отделяет левое множество от правого. Ни один из членов
левого 0 не равен и не больше члена правого 0, поскольку 0 не имеет
членов. Поэтому первое правило Конвея оказывается
выполненным. Применив второе правило, легко показать, что 0 меньше или
равен 0.
На следующий день, как свидетельствовала надпись на камне,
Конвей создал два первых ненулевых целых числа, 1 и —1. Он
сделал это, просто соединив пустое множество с 0 двумя
возможными способами: 1 = {010} и -1 = {0 10}. Это можно проверить.
Минус 1 меньше, но не равно 0, а 0 — меньше, но не равен 1. Теперь,
естественно, 1 и -1, как и все созданные далее числа, можно
подставить в ту же лево-правую формулу, и таким образом создаются
все целые числа. При 0 и 1, составляющих левое множество, и 0
справа получаем 2. При 0, 1 и 2 слева и 0 справа получаем 3 и так
далее.
На этом этапе читатель может попробовать самостоятельно
включиться в исследование. На обложке «Сюрреалистических
чисел» помещен рисунок Кнута, изображающий огромные валуны,
обтесанные в форме символов {0 11}. Какое число они обозначают?
И сможет ли читатель доказать самостоятельно, что {—1 | 1} = 0?
«Плодитесь и размножайтесь», - сказал Конвей целым числам.
Объединяя конечные, а затем и бесконечные множества, при
помощи одних лишь до смешного простых правил Конвея можно
получить и все остальное. Появились все остальные вещественные
числа: вначале простые дроби, затем иррациональные числа. Под
конец дня с номером алеф-нуль случился Большой взрыв и появилась
Вселенная. Однако это ещё не все. В своем бесконечном
продолжении система Конвея дала начало всем трансфинитным числам
Георга Кантора, бесконечно малым (противоположность бесконечно
больших) и беспредельному множеству множеств загадочных
новых чисел, таких как корни из трансфинитных и бесконечно малых
чисел!
Это удивительное свойство любого фокуса. Пустая шляпа,
лежащая на столе, состоит из небольшого количества аксиом
стандартной теории множеств. Конвей бросает туда два простых правила, а
потом вытаскивает оттуда бесконечную цветную ленту чисел,
которая формирует законченное поле реальных чисел (в противовес
18 1000 развивающих головоломок...
мнимым). Каждое вещественное число окружено другими числами,
которые находятся к нему ближе, чем любые другие. А вся система
оказывается действительно «сюрреалистической».
«О Боже, это пустое множество действительно повсюду! -
восклицает Билл. — Я думаю, что мне стоит написать книгу
"Особенности пустого множества"». Утверждение, что ничто обладает некими
особенностями - общее место в философии, естествознании и
бытовом языке. Кэрролова Алиса могла счесть чепухой, когда
Мартовский заяц предлагал ей несуществующее вино или когда Белый
король поражался её способности видеть «никого» на дороге и
удивлялся, почему «никто» не прибежал следом за Мартовским зайцем.
Ведь того «никого» никто не может обогнать. Однако довольно
легко придумать и реальные случаи, когда ничто присутствует в
человеческом опыте в позитивном смысле.
Рассмотрим дыры. Есть старая задачка о том, сколько глины
помещается в прямоугольной дыре заданных размеров. Хотя дыра
обладает всеми свойствами прямоугольного параллелепипеда
(углами, гранями, сторонами определённой площади, объемом и так
далее), ответ на эту задачу — в дыре не может быть глины. Различные
дыры в нашем теле крайне важны для нашего здоровья, ощущений
и удовольствия. В книге «Волшебник из страны Оз» Плетеный
человек, живущий на Горе-Пирамиде внутри Земли, рассказывает
Дороти о том, как он попал туда. Он был производителем дырок
для швейцарского сыра, пуговиц, пемзы и тому подобных вещей.
Однажды он решил сложить на хранение большое число ям для
столбов, закопав их в землю впритык друг к другу, и в результате
получилась глубокая вертикальная шахта, в которую он случайно и
провалился.
Математическая теория, лежащая в основе известной игры в
«пятнашки» (15 фишек в коробке размером 4x4), лучше всего
«работает», если принять пустое место («дыру») за движущийся кубик.
С ним происходит нечто, аналогичное тому, как атом золота
проникает в свинец. Пузырьки из «ничего» размером с молекулу и больше
могут перемещаться, вращаться и сливаться друг с другом, как
«реальные». Отрицательные токи в проводниках — это результат
движения свободных электронов. Такие «дырки», представляющие собой
отсутствие электронов, могут делать то же самое, что и электроны,
производя положительные токи, идущие в противоположном
направлении.
В 11 главе «Дао Дэ Цзин» Лао-Цзы говорит:
Ничто 19
Тридцать спиц сверкают в колесе,
скрепляют пустоту внутри.
Пустота придает колесу толк.
Лепишь кувшин,
заключаешь пустоту в глину,
и польза кувшина заключена в пустоте.
Пробивают двери и окна - дому служит их пустота.
Пустота — мерило полезного1.
Британский инженер Осборн Рейнольде, умерший в 1912 году,
создал сложную теорию, согласно которой материя состоит из
микрочастиц «ничего», движущихся сквозь эфир подобно тому, как
движутся пузырьки газа в жидкости. Две его книги, посвященные этой
теории, «О преобразовании идей как структуре Вселенной» и
«Субмеханизмы Вселенной», опубликованные Кембриджским
издательством, были восприняты весьма серьёзно. Так, В.В. Рауз Болл в
одном из ранних изданий своих «Математических развлечений и
зарисовок» назвал эту теорию «более привлекательной, чем гипотеза
электронов».
«Обратные идеи» Рейнольдса на самом деле не настолько
ненормальны, как кажутся. Поль Дирак в своей знаменитой теории, в
которой было предсказано существование античастиц, рассматривал
позитрон (антиэлектрон) как дырку в континууме негативного
заряда. Когда электрон и позитрон сталкиваются, электрон падает в
позитронную дырку, в результате чего обе частицы исчезают.
Старинная концепция «неподвижного эфира» больше не
используется в физике. Однако её место не осталось пустым. «Новый
эфир» состоит из «поля инерции», ответственного за существование
базовых сил природы, а возможно, даже и частиц. Джон Арчибальд
Уилер выдвинул идею о существовании многомерного субстрата,
число измерений которого бесконечно. Время от времени часть его
пространств сворачивается таким образом, что происходит взрыв, в
результате которого образуется Вселенная. Наша Вселенная
трёхмерна, развивается во времени и имеет собственный набор законов.
Внутри неё поле «завязывается» в небольшие узелки, которые мы
называем «материей». На микроуровне квантовые флуктуации
создают пеноподобную структуру, внутри которой микроотверстия
1 Перевод О. Борушко.
20 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
(«дырки») образуют пространство с дополнительными свойствами.
Между чем-то и ничем существует разница - однако здесь она
чисто геометрическая, и за этой геометрией никакой физики не стоит.
Пустое пространство подобно прямой линии с нулевой
кривизной. Согните эту линию, добавьте небольшие возмущения,
распространяющиеся в разные стороны, и вы получите Вселенную,
полную материи и энергии. За пределами нашего расширяющегося
пространства, возможно, существуют огромные области,
непроницаемые для света и силы тяготения. Может быть, за ними лежат
иные миры. Можем ли мы сказать, что эти пустые области не
содержат ничего, или они все равно содержат измерение нулевой
кривизны?
Греческие и средневековые мыслители любили рассуждать о
разнице между бытием и небытием, о единичности или
множественности миров, о том, можно ли говорить о «существовании»
абсолютного вакуума, о том, создал ли Бог мир из абсолютного
ничего или вначале создал зачаток материи, который Блаженный
Августин называл prope nihil, или «почти ничто». Те же самые
вопросы волновали философов и теологов Древнего Востока. Когда
боги восточных религий создали мир из великой Пустоты,
«работали» ли они с «ничем» или с чем-то, лишь близким к «ничему»?
Эти вопросы могут показаться чересчур мудрёными. Но измените
терминологию, и вы получите нечто равнозначное современным
научным спорам.
Можно найти бесконечно много примеров из искусства, когда
художники буквально преклонялись перед «ничем». Некоторые из
них забавны, другие совершенно серьёзные. В 1951 году известный
американский художник-абстракционист Эд Рейнхардт
(скончавшийся в 1967 году) начал создавать полностью синие и полностью
красные полотна. Через несколько лет он дошел до крайности - до
чёрного. Его абсолютно чёрные полотна размером пять на пять
футов выставлялись в 1963 году в ведущих галереях Нью-Йорка,
Парижа, Лос-Анджелеса и Лондона (см. рис. 2). Хотя некий критик и
назвал его шарлатаном (Ральф Ф. Колин, «Мошенники и аферисты
мира искусства», Art In America, апрель 1963), более влиятельные
обозреватели (Хилтон Крамер, The Nation, 22 июня 1963, и Гарольд
Розенберг, The New Yorker, 15 июня 1963) восхищались этой чёрной
живописью. В отзыве о выставке чёрных полотен в галерее Пэйс
критик Крамер назвал её «окончательным утверждением
эстетической чистоты» (The New York Times, 17 октября 1976).
Рис. 2.
Эд Рейнхардт: Абстрактное полотно, 1960—1961, масло, 60 х 60 дюймов
Музей современного искусства
22 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
В 1965 году Рейнхардт одновременно выставил свои полотна в
трёх манхэттенских галереях: в одной — чёрные, во второй —
красные, а в третьей - синие. Цена на них варьировала от полутора до
двенадцати тысяч долларов (см. Newsweek, 15 марта 1965). Слова
самого художника в защиту своих чёрных картин можно найти в книге
Americans, 1963, под редакцией Дороти К. Миллер, и в книге Art as
Art: The Selected Writings ofAdReinhardt, 1973, под редакцией Барбары
Роуз. (За эти ссылки выражаю благодарность Томасу Б. Леманну.)
Так как чёрный цвет - это отсутствие света, чёрные холсты Рейн-
хардта оказываются максимально приближены к изображению ничего.
Они даже гораздо ближе отражают суть, чем полностью белые работы
Роберта Раушенберга и других художников. Карикатура в журнале The
New Yorker от 23 сентября 1944 года художника Р. Тэйлора изображает
двух дам на выставке перед полностью белым холстом. Они читают в
каталоге: «В барселонский период он увлекся возможностями
девственно чистого пространства. С отвагой, порожденной самым глубоким
уважением к загадке неуловимого, он в это время создает серию работ,
на которых запечатлена лишь вынашивающая нечто белизна».
Мне не известна ни одна скульптурная работа в жанре
«крайнего минимализма», сведенная к абсолютному минимуму ничего. Но
я не удивлюсь, если прочитаю однажды, что какой-нибудь
знаменитый музей приобрел нечто подобное за много тысяч долларов.
Генри Мур серьёзно разработал эстетику дыр. В 1950 году Рэй
Брэдбери получил первую ежегодную премию «Общества похлёбки и
походов эльфов, лепреконов, гномов и малого народца» на встрече в
Сан-Франциско. Она представляла собой невидимого маленького
человечка, стоящего на бронзовой пластине поверх полированного
орехового пьедестала. Написавший мне об этом Дональд Мур
сообщил, что нельзя было утверждать, что на пьедестале совсем ничего
не было, так как на нём были видны отпечатки двух подошв,
свидетельствующие о том, что человечек там действительно стоял.
Существует множество драматических произведений, в которых
главные действующие лица вообще ничего не говорят. Было ли
создано кем-нибудь такое театральное или кинематографическое
действо, в котором на всём протяжении не показывалось бы ничего,
кроме пустой сцены или экрана? Некоторые из ранних фильмов
Энди Уорхола приближаются к этому. Вполне возможно, что
кто-нибудь из ранних драматургов-авангардистов достиг в этом предела.
Фортепианная композиция Джона Кейджа «Четыре минуты
тридцать три секунды» состоит из тишины указанной продолжи-
Ничто 23
тельности, а исполнитель в это время неподвижно сидит за роялем.
В секундах этот временной промежуток составляет 273. Кейдж
пояснял, что это соответствует температуре минус 273 градуса по
Цельсию, или абсолютному нулю, при которой полностью
останавливается движение молекул. Я сам не слышал этой композиции, но
друзья говорили мне, что это лучшее из произведений Кейджа.
Есть много опубликованных выдающихся примеров ничего.
В качестве примера можно упомянуть 18 и 19 главы «Tristram
Shandy». «Эссе о тишине» Эльберта Хаббарда содержит только
чистые страницы в переплёте из коричневой замши с золотым
тиснением. Я помню, что в детстве видел похожую книгу под названием
«Что я знаю о женщинах», а также протестантский трактат с
заглавием «Что нужно делать, чтобы быть оставленным Богом?» Это был
трактат «Роете Collectif» автора Роберта Фийу, вышедший в
Бельгии в 1968 году и состоящий из шестнадцати чистых страниц.
В 1972 году зоопарк Гонолулу выпустил определитель «Змеи
Гавайских островов: иллюстрированный справочник экзотических видов
змей пятидесятого штата» В. Ральфа Кинга-мл., бакалавра
естественных наук. Один из моих читателей, Ларри Э. Морз, сообщал, что вся
эта монография была перепечатана (естественно, без разрешения) в
книге Nothing Book («Книга ничего»). Этот том, целиком состоящий
из чистых страниц, был выпущен в 1974 году издательством Harmony
House в виде весьма привлекательно оформленного издания. Оно так
хорошо продавалось, что в 1975 году было выпущено ещё более
дорогое (пятидолларовое) подарочное издание на французской
мраморной бумаге и в кожаном переплёте. Согласно газете The Village Voice
(30 декабря 1974), один европейский автор пригрозил издательству
Harmony House судом, так как его книга с чистыми страницами была
выпущена несколькими годами ранее. Он считал, что его авторские
права были нарушены, однако за этим ничего не последовало.
Мой давний читатель из Торонто Говард Лайонс отмечает, что
пустое множество — это излюбленный предмет для авторов песен.
Действительно, стоит только вспомнить «У меня никого нет» (I ain't got
nobody), «Никто меня не любит» (Nobody loves me), «У меня полно
ничего» (I've got plenty of nothing), «Никто не лжет, говоря, что я
плакал о тебе» (Nobody lied when they say that I cried for you), «Нет такой
сладкой девчонки, которая стоила бы соли моих слёз» (There ain't no
sweet gal that's worth the salt of my tears) и сотни подобных строчек.
Порой случается такое, что ничто оказывается потрясающим, как
удар грома. Старая шутка рассказывает о мужчине, который спал на
24 1000 развивающих головоломок...
маяке под сиреной, которая гудела каждые 10 минут. Однажды
ночью, в три часа двадцать минут, механизм не сработал, и смотритель
маяка вскочил с постели с криком: «Что случилось?» Музыканты
одного большого оркестра однажды ради шутки договорились и
одновременно прекратили играть посередине бравурной симфонии, в
результате чего дирижёр упал с подиума. В сельской местности в
Северной Дакоте, где постоянно дует ветер, однажды он внезапно
прекратился. Из-за этого умерли все куры. Один японец рассказывает, что
японское метеобюро теперь передает «предупреждение об отсутствии
ветра», так как в безветренную погоду образуется густой смог.
Существует много подобных примеров, которые никак не
назовешь забавными. Отсутствие воды ведет к смерти; Потеря любимого,
денег или репутации может привести к самоубийству. В
юриспруденции известно множество примеров, когда бездействие признавалось
преступлением. Печальна судьба человека, остановившегося на
железнодорожных путях и при приближении поезда не сумевшего
принять решение, куда отойти — влево или вправо. В рассказе
«Серебряный» Шерлок Холмс делает замечательный дедуктивный вывод из
«любопытного случая» с собакой, которая «никак себя не вела» в
ночь преступления.
Бывает очень трудно спастись от звучащей повсюду популярной
музыки. Как пишет Эдмунд Моррис в замечательном очерке «Оазис
тишины в пустыне шума» (New York Times, 25 мая 1975), шум нельзя
разогнать веером, как сигарный дым. Есть старая шутка о
музыкальном автомате, который за 25 центов предоставлял три минуты
отсутствия музыки. Моррис пишет о поездке на гору Пайке, вид с
которой на Колорадо вдохновил Катарину Ли Бэйтс на создание
«Прекрасной Америки». «Вас мгновенно оглушает звон и грохот из
четырёх гигантских динамиков, направленных на четыре стороны света,
постоянно выкрикивающих в кристально-чистый воздух
ковбойские мелодии». Сейчас даже в Сикстинскую капеллу провели
провода для воспроизведения музыкальных записей.
«Вначале, — пишет Моррис, — настоящая тишина кажется
неуютной, даже пугающей... Вас поражает громкость обычных звуков...
Постепенно ваш слух привыкает к тонкой паутине звуков, которые
обычно остаются неслышимыми - тех самых, которые Джордж
Эллиот назвал «"рёвом, лежащим по ту сторону тишины"». Моррис
приводит список немногочисленных Тихих мест Земли, где можно
скрыться не только от записанной музыки, но и от всего звукового
загрязнения, порождённого цивилизацией.
Ничто 25
Всё это примеры отсутствия чего-либо. Давайте же подумаем о
чудовищной дихотомии между всем сущим, включающим всё без
исключения, и ничем. С начала времён наиболее продвинутые умы
размышляли над этим крайним разделением. Непохоже, чтобы
Вселенная собиралась исчезать (хотя я сам однажды написал рассказ
«Оом», в котором Господь Бог, устав от бытия, уничтожил всё,
включая и себя самого). Но вот мы с вами определённо когда-нибудь
исчезнем. В Средневековье страх смерти переплетался со страхом
вечных мук. По мере того как идея ада теряла популярность (хотя
сегодня она переживает возрождение), этот страх сменился тем,
что Серен Кьеркегор назвал «беспокойством» или «ужасом» перед
возможностью превратиться в ничто.
Это мгновенно приводит нас к тому, что Пол Эдварде называл
«самым последним вопросом». «Почему, - спрашивали Лейбниц,
Шеллинг, Шопенгауэр и сотни прочих философов, — должно
существовать не ничто, а нечто?»
Конечно, это очень любопытный вопрос, не похожий на другие.
Очень многие люди — возможно, большинство из нас — живут,
никогда не задумываясь о нем. Если кто-нибудь спросит их об этом,
они, возможно, вообще не поймут вопроса и сочтут
спрашивающего сумасшедшим. Среди тех же, кто поймет, ответы могут оказаться
очень разными. Мыслители мистического склада (например,
поздний Мартин Хайдеггер) считают его самым глубоким и
фундаментальным из всех метафизических вопросов и с презрением глядят на
философов, которые не придают ему такого значения. Позитивисты
и прагматики считают его банальным. Так как все согласны с тем,
что на этот вопрос невозможно ответить эмпирически или
рационально, значит, это вопрос без познавательного содержания - такой
же бессмысленный, как вопрос о том, какого цвета цифра два.
Действительно, в знаменитой работе Рудольфа Карнапа, посвященной
смыслу вопросов, он вовсю насмехается над разглагольствованиями
Хайдеггера о бытии и небытии.
Третья группа философов, к которым относится, например,
Мильтон К. Мунитц, написавший целую книгу «Тайна бытия»,
считают этот вопрос осмысленным, но утверждают, что его значимость
заключается лишь в нашей неспособности ответить на него. Он
может иметь или не иметь ответа, говорит Мунитц, но в любом случае
этот ответ лежит за пределами науки и философии.
Все, кто больше других задавался этим самым последним
вопросом, вне зависимости от характера своей метафизики, оставили
26 1000 развивающих головоломок...
много красноречивых свидетельств о тех непредсказуемых
моментах (к счастью, недолгих), когда человек неожиданно оказывается
захвачен осознанием глубочайшей тайны смысла существования
всего. Это жуткое переживание лежит в основе знаменитого
философского романа Жана-Поля Сартра «Тошнота». Его рыжеволосый
герой Антуан Рокантен преследуем этой последней тайной. «Круг —
это не абсурд, - рассуждает он. - Его просто объяснить через
вращение отрезка вокруг одного из своих концов. Но вместе с тем
никакого круга не существует». То, что существует в действительности,
например камни или деревья, существует без всяких причин. Они
просто до безумия реальны, они выпирают отовсюду безо всякого
стыда, они просто не могут не существовать. Такое настроение
Рокантен и называет «тошнотой». Уильям Джеймс ранее назвал его
«болезнью онтологического удивления». Похожие друг на друга дни
приходят и уходят, все города одинаковы, никогда не случается
ничего такого, что могло бы что-то значить.
Г. К. Честертон - прекрасный пример противоположной реакции
на абсурдность бытия. Перекладывание на Бога ответственности за
существование мира не может служить ответом на самый последний
вопрос, вовсе нет! Можно задуматься над тем, почему существует
Бог в этом нечто (то есть не ничто). Но хотя мыслитель и не склонен
принижать никого из высших существ подвешиванием Вселенной
на трансцендентный крючок, он говорит о том, что такой перенос
ответственности порождает чувства благодарности и надежды,
которые ослабляют беспокойство. Экзистенциальный роман
Честертона в рассказе «Жив-человек» превосходно дополняет сартровскую
«Тошноту». Его герой, Невинный Смит, настолько вдохновлен
привилегией бытия, что начинает изобретать причудливые способы
убедить себя в том, что он сам и мир не есть ничто.
Пусть П.Л. Хит, предваривший эту главу, скажет в ней и
последнее слово. «Если бы действительно существовало ничто, - пишет он
в заключение своей статьи, посвященной ничему («Философская
энциклопедия»), то не было бы никакой проблемы и никакого
ответа, и даже экзистенциалистам пришлось бы расстаться со своим
беспокойством навсегда. Но раз этого не происходит, то, очевидно,
беспокоиться не о чем. Однако это само по себе уже может
осчастливить любого экзистенциалиста. В противном случае можно решить
(к этому и склоняются некоторые), что их беспокоит не ничто, а они
сами, беспокоящие ничто».
ГЛАВА 2
Ещё больше шума из ничего
Ничего вы ещё не видели.
Эл Джолсон
После опубликования предыдущей главы в виде очерка в Scientific
American в феврале 1975 года мне пришло очень много писем от
читателей, в которых упоминались аспекты проблемы, о которых я не
написал и даже не знал вовсе. Некоторая часть этого материала
включена в переработанную первую главу. Другая часть приводится ниже.
Первой, у кого моя история о смотрителе маяка вызвала
ассоциации с другим занятным случаем, была Эстер Эллиот. Речь идет о том,
что в Нью-Йорке порой называют «феноменом Бауэри-Эл». После
того как старая линия надземной железной дороги в районе Третьей
авеню была снесена, полиция начала получать звонки от людей,
живших неподалеку. Они просыпались через равные промежутки
времени по ночам, слышали странные звуки и испытывали острое
ощущение предчувствия какого-то несчастья. «Расписание теперь
отсутствующих поездов, — как написала мне мисс Эллиот, — воплотилось в
форме регулярных звонков в полицию». Эта история, рассказывает
она, обсуждается Карлом Прибрамом в его книге Languages of the
Brain («Языки нашего мозга») в качестве примера того, как мозг
человека даже во сне продолжает фиксировать происходящее и оценивать
его в свете привычных ожиданий. И при всяком резком отклонении
от стандартного течения событий он просыпается.
Психолог Роберт Б. Глассман также упоминает в своем письме о
случае с Бауэри-Эл и приводит другие примеры. «Мозг человека, -
пишет он, — обладает счастливой способностью забывать,
вытеснять из сознания то, что в настоящий момент не представляется
значимым». Однако на подсознательном уровне этот незначимый
28 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
фон все равно присутствует, и любые изменения в нем переводят его
в область сознания. Российские психологи обнаружили, что, если
люди или животные на протяжении долгого времени слышат один и
тот же повторяющийся звук, они перестают обращать на него
внимание. Однако, если в какой-то момент этот звук меняет свои
качества — хотя бы становится более тихим или кратким, происходит
мгновенное пробуждение сознания.
Верной Раулэнд, профессор психологии из университета «Кейз
Вестерн Резерв», рассуждает о тех же вещах. Его письмо,
приведенное ниже, было напечатано в Scientific American в апреле 1975 года.
Уважаемые господа!
Мне очень понравилось эссе Мартина Гарднера «ни о чём». Правило
Джона Хортона Конвея и гарднеровский анализ «ничего», подобно всем
прочим формам человеческой активности, представляют собой
проявления нервной системы, изучение которой помогает нам понять
происхождение и эволюцию «ничего».
Наш мозг удивительно настроен на распознавание перемен в канве
постоянных факторов окружающей среды. Резкие изменения
стандартных условий представляют собой линии раздела, различимые для
восприятия или интеллекта. «Ничто» ясно «познаваемо», только если
четко отделено от «не-ничто». Даже если его границы нерезки,
небытие не может рассматриваться как абсолют. Это пример
алогичности абсолютов, так как «ничто» невозможно осознавать, если не
сравнивать (или противопоставлять) его не-ничто.
В головном мозге даже такого примитивного животного, как
лягушка, можно обнаружить особые нейроны, ответственные за
пространственные и временные границы. К примеру, нейроны, называемые
«off»-нейронами, активируются тогда, когда «нечто», скажем, свет,
становится «ничем» (то есть темнотой). Таким образом, возникает
положительный ответ на «ничто», которое приобретает собственное
бытие. Недавно скончавшийся польский нейропсихолог Ежи Конорски
указал на возможность того, что при закрытии глаз могут
активироваться off-нейроны, в результате чего мы «видим» темноту и
разделяем этот случай от отсутствия зрения.
Я и мои коллеги использовали временное «ничто» в качестве
пищевого сигнала для кошек, просто делая 10-секундные паузы в постоян-
Ещё больше шума из ничего 29
ном звучании трещотки. Мозг кошки обучался пониманию
значимости такой тишины практически так же, как и при обратном опыте,
когда сигналом служил 10-секундный звук на фоне общей тишины.
«Ничто» и «нечто» можно рассматривать как сходные понятия в
психологических экспериментах с прямой и обратной формой
различных стимулов.
Ничто, которое мы осознаем при помощи специфических сигналов
мозга, может быть узнано лишь при сопоставлении этих сигналов с
другими, раскрывающими рамки реального мира и постоянные
качества существующих объектов. Этот процесс требует акта внимания.
Существует ещё одна форма «ничего», основанная на изменении
характера внимания с одной чувственной модальности на другую (как в
примере с прослушиванием музыки) или на отказ механизма внимания.
При определенных типах заболеваний, связанных с последствиями
инсульта, больные «забывают» о существовании какой-либо части
своего тела и ведут себя так, словно её вообще не существует, как,
например, человек, бреющий лишь половину лица.
Живые организмы добывают и хранят необходимую для жизни
энергию, развивая механизмы компенсации или противодействия
колебаниям своего энергетического притока. Распознавание
отсутствия («ничего») притока энергии должно происходить быстро — в
противном случае жизнь будет невозможна вне самого источника
энергии (как у простейших в питательном бульоне, в отличие от
которых высшие животные могут уходить и возвращаться,
например, к воде).
Если такого прагматического взгляда на биохимическое
происхождение «ничего» и «пустоты» недостаточно для того, чтобы
превратить Лейбницев вопрос («Почему существует нечто, а не ничто?») в
банальность, то я склонен считать, что философы находятся перед
лицом необходимости демонстрации того, что утверждение «Ничто
существует» не является противоречащим самому себе.
Упоминание о моем рассказе «Оом» напомнило мисс Эллиот
следующий отрывок из эссе Хорхе Луиса Борхеса, посвященного
«Биатанатосу» Джона Донна (труду, в котором утверждается, что
Иисус совершил самоубийство) в сборнике «Новые расследования»
(1937-1952):
30 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Перечитав эту заметку, я вспоминаю о трагической фигуре
Филиппа Батца, известного в истории философии под именем Филиппа
Майнлендера. Как и я, он был пылким почитателем Шопенгауэра, Под
его влиянием (а также под влиянием гностиков) я вообразил, что мы —
частицы какого-то Бога, который уничтожил себя в начале времён,
ибо жаждал стяжать небытие. Всемирная история предстала
мрачной агонией этих частиц. Майнлендер (родился в 1841) в 1876 году
опубликовал книгу «Философия отречения» и в том же году покончил с
собой2.
Был ли Майнлендер вымышленным героем Борхеса? Нет, это
реальный исторический персонаж. О нём и его странном двухтомном
труде можно прочитать в «Философской энциклопедии» (The
Encyclopedia of Philosophy, том 6, с. 119).
Несколько читателей рассказали мне о занимательном споре
между теоретиками графа о том, имеет ли смысл понятие
«нуль-графа». Нуль-граф — это граф, не имеющий никаких точек и граней.
Статья Франка Хэрери и Рональда Рида «Имеет ли смысл понятие
нуль-графа?», посвященная этой проблеме, уже стала классикой.
(Эта работа была представлена в виде доклада на конференции по
графам и комбинаторике в университете Джорджа Вашингтона в
1973 году и опубликована в сборнике тезисов, вышедшем в
издательстве «Springer- Verlag».)
«Обратите внимание на то, что вопрос не стоит так: «Существует
ли нуль-граф?» — пишут авторы. — Нас интересует, имеет ли он
смысл». Авторы приводят обзор литературы по теме, анализируют
аргументы за и против и в конечном итоге так и не приходят ни к
какому выводу. На рисунке 3, взятом из их статьи, показано, как
выглядит нуль-граф.
Уэсли Сальмон, философ науки, приводит замечательный
онтологический аргумент в пользу существования пустого множества:
Я только что с большим удовольствием закончил читать вашу
колонку, посвященную «ничто». Она напомнила мне замечание одного
блестящего молодого философа из университета Торонто, который на
лекции по философии математики спросил, отчего бы не
существовать некоему онтологическому доказательству существования
пустого множества. Оно должно было бы начинаться так:
2 Перевод И. Петровского.
Ещё больше шума из ничего 31
Рис. 3.
Нуль-граф
«Под пустым множеством мы понимаем такое множество, пустее
которого невозможно себе представить...» Главным редактором
«Журнала философской логики» тогда был Ван Фраассен. Я послал ему
окончание доказательства:
«Глупец верит всем сердцем, что нет никакого пустого
множества. Однако если это так, то множество всех таких множеств будет
пустым, и, следовательно, оно будет пустым множеством. Ч. Т.Д.».
Я до сих пор не понимаю, почему он не опубликовал это великое
открытие.
32 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Фредерик Мостеллер, статистик-теоретик из Гарварда, так
прокомментировал последний вопрос:
С самого детства (лет с четырнадцати) я страшно мучался этим
вопросом, но при этом не очень стремился обсуждать его с другими
людьми, поскольку несколько раз при попытках сделать это я получал
крайне неожиданный ответ, преимущественно весьма
оскорбительного характера. Впервые задав себе этот вопрос, я был потрясен, и с тех
пор он не давал мне покоя. Яне мог понять, почему его не обсуждают в
газетах каждую неделю? Уверен, что в какой-то мере все упоминания
об акте творения имеют отношение к тому же предмету — но больше
всего волнует меня именно крайняя простота самого вопроса.
Когда я стал старше, то пару раз пробовал заговорить об этом с
физиками, но тоже не получил от них вразумительного ответа.
Может быть, мне просто не везло, и я говорил не с теми физиками.
Однажды я сказал об этом Джону Тьюки, и он в ответ сделал весьма
полезное замечание. Он сказал что-то вроде того, что обсуждение
этого вопроса в настоящее время, вероятно, не даст никакой
существенной информации. То есть мы не достигнем в этом вопросе
прогресса — поэтому тратить на это время довольно трудно.
Вероятно, пока этот вопрос попросту невыгоден.
Мне кажется настолько более логичным существование именно
ничего, чем чего-либо, что для себя этот вопрос я решил. Физики, в конце
концов, смогут доказать, что при наличии системы, содержащей
ничто, из неё автоматически образуется физическая вселенная. (Но я,
конечно, знаю, что сделать это они не смогут.)
ГЛАВА 3
Теория игр, угадайка, окопы
ТЕОРИЯ
Появление теории игр, одного из наиболее практически полезных
направлений современной математики, было предсказано ещё в начале
1920-х годов французским математиком Эмилем Борелем. Но только
в 1926 году Джон фон Нейман предложил доказательство теоремы о
минимаксе - основополагающей теоремы теории игры. На этом
краеугольном камне он практически в одиночку выстроил изящную
базовую структуру теории игр. Его классическая работа 1944 года «Теория
игр и экономическое поведение», написанная в соавторстве с
экономистом Оскаром Моргенштерном, произвела серьёзные волнения в
экономических кругах (см. «Теорию игр» Оскара Моргенштерна,
Scientific American, май 1949 года). С этого времени теория игр
эволюционировала в фантастическую амальгаму алгебры, геометрии,
теории множеств и топологии и применяется не только в экономике, но
и для оценки ситуации в бизнесе, военном деле и политике.
Были предприняты попытки приложения теории игр и к любым
другим конфликтным ситуациям. Какова оптимальная стратегия
государства в период Холодной войны? Является ли «Золотое правило»,
как спрашивали некоторые философы, наилучшей стратегией
получения максимального выигрыша (счастья) в «Великой игре под
названием Жизнь»? Как естествоиспытателю добиться успеха в игре-
провокации со своим колоссальным соперником - Природой? Даже
психиатрия не избежала всеобщего поветрия. Хотя в транзакционной
терапии Эрика Берна (популяризованной им в бестселлере «Игры, в
которые играют люди») математический аппарат теории игры никак
не используется, она заимствует из неё многие термины, и
совершенно очевидно, возникла под влиянием математической теории игры.
34 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Большая часть теории игр разработана на примере так
называемых игр для двоих с нулевой суммой. Это означает, что
соперничество происходит между двумя игроками (при наличии большего
количества участников теория искажается созданием коалиций), и
выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. (Одна из
причин, по которым теория игр плохо применима к международным
конфликтам, - то, что в них не может быть нулевой суммы;
например, потеря для СССР не обязательно означала выигрыш для
США.) Главная цель этой главы — познакомить вас с занимательной
карточной игрой с нулевой суммой, изобретенной Руфусом Айзек-
сом, специалистом по теории игр, автором «Дифференциальных
игр» (изд-во Джона Уайли, 1965)3 и профессором прикладной
математики университета Джона Хопкинса. Но вначале познакомимся
вкратце с некоторыми началами самой теории.
Рассмотрим такую простейшую игру. Игроки А и Б
одновременно показывают друг другу пальцы — один или два. Затем Б должен
заплатить А число долларов, равное числу показанных пальцев.
Очевидно, что такая игра не может быть честной, поскольку
побеждает всегда А. Однако как должен играть А, чтобы получить
максимальный выигрыш, а Б — чтобы добиться минимального
проигрыша? В большинстве игр имеется множество сложных
стратегий, однако в данном случае каждый игрок ограничен всего
двумя вариантами числа пальцев, которые он может показать
противнику. Следовательно, «матрица выигрыша» может быть изображена
в виде квадрата 2x2, как показано на рис. 4. Пусть две возможные
стратегии игрока А показаны слева, а игрока Б - сверху. В клетки
вписана сумма выигрыша для каждой комбинации. Мы видим, что,
если А показывает один палец, а Б — два, в клетке пересечения
оказывается сумма выигрыша в 3 доллара. (Выигрыш всегда показан в
виде выплаты игрока Б игроку А; если фактически деньги
передаются в обратном направлении, выплата игрока Б обозначается
отрицательным числом.)
Если А показывает один палец, то минимальная сумма его
выигрыша - 2 доллара. Если он показывает два пальца, минимальная
сумма выигрыша равна 3 долларам. Наибольшее из значений
минимума (3 в левом нижнем квадрате) называется максимином
(т. е. максимальным минимумом).
1 Айзеке Р. Дифференциальные игры / Пер. с англ. В. И. Аркина, Э. Н.
Симаковой. - М.: Мир. - 1967.
Теория игр, угадайка, окопы
35
h
h
V
У,
2
3
3
4
IS
1
-1
-1
1
1
-7
-2
8
Матрица
выигрыша для
простейшего
варианта игры
Матрица
для игры
«чет-нечет»
Рис. 4.
Матрица
для карточной
игры
Если игрок Б показывает один палец, наибольший его проигрыш
может составить 3 доллара. Если он показывает два пальца,
максимальный проигрыш равен 4 долларам. Наименьшее из этих
максимальных значений (снова цифра слева внизу) называется минимак-
сом (минимальным максимумом). Если клетки максимина и мини-
макса совпадают, как в данном случае, то говорится, что эта клетка
является «седловой точкой» игры, а сама игра называется строго
определённой.
Наилучшая стратегия для каждого игрока включает в себя
использование этой седловой точки. Игрок А стремится к
максимальному выигрышу, всегда показывая два пальца; игрок Б стремится к
минимальному проигрышу, всегда показывая один. Если оба игрока
каждый раз следуют этим стратегиям, размер выигрыша игрока А
каждый раз составляет 3 доллара. Эта сумма называется
«стоимостью» игры. Если каждый игрок постоянно использует оптимальную
стратегию, ему гарантирован выигрыш, равный или превосходящий
стоимость игры. Если он допускает ошибку, применяя не лучшую
стратегию, ему всегда противостоит другая стратегия, не дающая
ему возможности получить выигрыш, равный или превосходящий
стоимость игры. Данная игра, конечно, настолько примитивна, что
обе оптимальные стратегии игроков очевидны на уровне интуиции.
Не все игры являются строго определенными. Если
преобразовать игру с пальцами в «чет-нечет» (аналогичную игре со
сравнением монеток), матрица выигрыша приобретает вид, показанный
на рис. 4 в центре. Если число показанных пальцев совпадает, А вы-
2*
36 1000 развивающих головоломок...
игрывает 1 доллар; если нет — доллар выигрывает игрок Б. Так как
максимин игрока А равен — 1, а минимакс игрока Б +1, то
очевидно, что в такой игре нет седловой точки. Следовательно, ни один
из игроков не может выбрать стратегию, которая была бы лучше
любой другой. Например, для А неразумно всегда показывать два
пальца, так как Б сможет каждый раз выигрывать, показывая один
палец. Для оптимального результата игры каждый из игроков
должен комбинировать две возможные стратегии в определённом
соотношении. Оценка оптимального соотношения стратегий
может быть непростой, но в данном случае характерная для этой
простейшей игры симметрия делает очевидным, что оно должно
быть 1:1.
Это подводит нас к одному из основополагающих принципов
теории игр: для действительно эффективного комбинирования
необходимо использовать какой-то рандомизирующий прием или
устройство. Очень легко показать, почему неслучайное
комбинирование может быть рискованным. Предположим, игрок А по
очереди показывает один или два пальца. Тогда игрок Б легко
предугадывает его действия и постоянно выигрывает. А может
выбрать более хитрую схему комбинации стратегий, но все равно
существует вероятность того, что Б разгадает её. Если он
попытается проводить комбинирование, рандомизируя его мысленно, на
него будет влиять подсознательная необъективность. Когда
основатель теории информации Клод Э. Шеннон работал в
телефонной лаборатории Белла, он со своим коллегой Д.В. Хагельбарге-
ром сконструировал вычислительные машины, которые всегда
выигрывали у человека в «орлянку», если человек делал свой
выбор без помощи каких-либо специальных методов. Компьютеры
Шеннона и Хагельбаргера анализировали игру противника,
определяли в ней неслучайные закономерности и выбирали
соответствующую стратегию, позволяющую машине выиграть. Так как
машины, созданные Шенноном и Хагельбаргером, использовали
разные методы анализа игры, сотрудники лаборатории
устраивали состязания между ними, «сопровождавшиеся, — как пишет
Шеннон, — многочисленными пари и бурным весельем» (см.
Science and Citizens, Scientific American, июль 1954). Единственный
способ свести в игре с такой машиной свой проигрыш к нулю -
использовать какой-либо механизм рандомизирования —
например, каждый раз по-настоящему кидать монетку, чтобы
определить, на какую кнопку нажимать.
Теория игр, угадайка, окопы 37
Матрица игры, показанная на рисунке 4, представляет пример
игры, в которой стратегия рандомизирования довольно-таки
необычна. Игрок А имеет двустороннюю карту, где с одной стороны
картинка «чёрного» туза, а с другой — «красной» восьмерки. У
игрока Б имеется аналогичная карта - с «красной» двойкой и «чёрной»
семеркой. Каждый выбирает какую-либо из сторон карты и
показывает её противнику одновременно с ним. Если цвета совпадают,
выигрывает А, если нет — Б. В каждом из случаев сумма выигрыша в
долларах равняется значению карты, показанной победителем.
Эта игра кажется честной (имеет нулевую стоимость), так как
сумма возможного выигрыша А (8 + 1 = 9) равна сумме
возможного выигрыша Б (2 + 7 = 9). На самом же деле игра необъективна в
пользу игрока Б, который в среднем выигрывает по доллару каждые
3 кона, если правильно комбинирует две стратегии игры.
Поскольку 8 и 1, составляющие одну диагональ матрицы, больше, чем два
оставшихся в ней числа, мы можем сразу же понять, что здесь
отсутствует седловая точка. (В игре, имеющей матрицу выигрышей
2x2, седловая точка будет присутствовать только в том случае,
если оба числа одной диагонали не больше одного и только одного из
чисел другой.) Таким образом, каждому игроку требуется
комбинация стратегий.
Я приведу пример одного способа комбинирования для
каждого игрока, не обосновывая его. Рассмотрим стратегию А,
соответствующую верхнему ряду матрицы. Вычтем второе число из первого:
1 - (-2) = 3. Проделаем то же самое для второго ряда: -7 -8 = -15.
Составим дробь, не обращая внимания на «минусы» и поместив
второе получившееся значение в числителе, а первое - в
знаменателе: 15/3, что упрощается до 5/i- Лучшая стратегия для игрока
А - комбинировать варианты в пропорции 5:1, то есть показывать
туз в среднем 5 раз на каждый показ восьмерки. Подходящим
инструментом рандомизации может служить игральный кубик. Игрок
может показывать туза, когда на кубике выпадает 1, 2, 3, 4 или 5, и
восьмерку, когда на кубике выпадает 6. Естественно, выпадающие
значения необходимо скрывать от противника, который в
противном случае поймет, как действовать ему.
Лучшая стратегия для игрока Б определяется подобным
образом - с помощью вычитания нижнего числа в столбце из верхнего.
В первом столбце получится 8, во втором —10. Не обращая
внимания на «минусы» и составив аналогичную дробь, получим *%> или
5/4. Лучшая стратегия для игрока Б — показывать семерку пять раз
38 1000 развивающих головоломок...
на каждые четыре показа двойки. В качестве рандомизирующего
инструмента можно использовать таблицу случайных чисел,
показывая семерку при выпадении в таблице 1, 2, 3, 4 или 5, и двойку —
при выпадении 6, 7, 8 или 9.
Чтобы вычислить стоимость игры (средний выигрыш игрока А),
предположим, что клетки пронумерованы слева направо и сверху
вниз буквами а, Ь, с и d. Стоимость игры:
ad-be
a+d-b-c
В данном случае формула дает значение -Уз- Пока игрок А
следует оптимальной комбинации стратегий (5:1), он снижает
средний проигрыш на каждый кон игры до трети доллара. Если Б
использует оптимальную комбинацию стратегий (5:4), он
обеспечивает себе средний выигрыш в каждом коне в треть доллара.
Факт состоит в том, что любая матричная игра, вне зависимости
от величины и наличия седловой точки, имеет свою стоимость,
которая может быть достигнута, по крайней мере, при помощи
одной оптимальной стратегии для каждого игрока. Такова
знаменитая теорема минимакса, впервые доказанная фон Нейманом.
Читатели могут поэкспериментировать с карточными играми
такого же типа (2 на 2 карты), используя разные карты, и
подсчитать для каждой такой игры её стоимость и оптимальные
стратегии.
Большая часть настольных игр для двоих, например шахматы
или шашки, представляет собой последовательность поочередных
ходов каждого игрока, которая продолжается до тех пор, пока один
игрок не выиграет или игра не будет сведена вничью. Так как здесь
число возможных последовательностей огромно, а число
возможных стратегий — ещё больше, нарисовать матрицу выигрыша для
такой игры не представляется возможным. Даже такая простая
игра, как «крестики-нолики», требует матрицы, состоящей из
десятков тысяч клеток, каждая из которых пронумерована 1,-1 или 0.
Если игра конечна (каждый игрок имеет ограниченное число ходов
и ограниченное число вариантов каждого хода) и существует
«полная историческая информация» (оба игрока знают полное
состояние игры на любой стадии, предшествующей настоящему ходу),
можно доказать (и первым сделал это фон Нейман), что такая игра
строго определена. Это означает, что существует как минимум одна
Теория игр, угадайка, окопы 39
оптимальная чистая стратегия выигрыша для первого или второго
игрока или же чистые стратегии обоих игроков, которые приводят
к ничьей.
ИГРЫ-УГАДАЙКИ
Почти все карточные игры относятся к типу с последовательными
ходами, однако характеризуются неполной информацией.
Действительно, смысл одинаковых «рубашек» карт именно в сокрытии
информации. В таких играх оптимальные стратегии должны быть
скомбинированы. Это означает, что лучшее решение для всех или по
крайней мере для большинства ходов игрока можно оценить лишь
приблизительно. Стоимостью игры тогда будет среднее значение
выигрыша для длинного ряда игр. Например, в покере существует
оптимальная комбинированная стратегия игры, хотя (так же, как в
шахматах и шашках) она так сложна, что найдены лишь её
упрощенные решения.
Карточная игра Айзекса под названием «Угадайка» (которую
придумала его дочь Элен) примечательна тем, что это игра с
последовательными ходами для двоих игроков помимо неполноты
информации усложнена применением блефа. Однако она достаточно
проста для проведения её полного анализа.
В игре используется 11 карт достоинством от единицы до валета
(последнему присваивается значение 11). Колода тасуется. Из неё
случайным образом выбирается одна карта и кладется лицом вниз
на середину стола. Ни один из игроков не должен знать, что это за
карта. Остальные карты раздаются по пять штук двоим игрокам.
Цель игры — угадать выложенную карту. Это можно сделать, задавая
друг другу вопросы в форме: «Есть ли у тебя такая-то карта?» Другой
игрок должен отвечать честно. Нельзя дважды спрашивать об одной
и той же карте.
В любой момент вместо того, чтобы спрашивать другого игрока,
игрок может закончить игру, назвав карту. Тогда она
переворачивается, и если угадывающий был прав, то он выигрывает. Для успешной
игры игрок должен стараться добыть как можно больше информации
и в то же время раскрыть как можно меньше другому игроку. Игре
добавляет занимательности возможность блефовать, то есть
спрашивать о карте, которая на самом деле имеется у спрашивающего.
В этом случае, если игрок называет карту, которой нет у противника,
тот может подумать, что именно она и является скрытой. Таким обра-
40 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
зом, блеф является важной составляющей стратегии игры как для
защиты, так и для подталкивания противника к неверному решению.
Если игрок А называет карту, скажем, валета, и игрок Б отвечает
утвердительно, тогда оба игрока знают, что эта карта имеется у Б.
И так как о ней нельзя спрашивать повторно и она не является той,
которую требуется угадать, эта карта больше не участвует в игре.
Игрок Б выкладывает её лицом вверх на стол.
Если этой карты у игрока Б нет, он дает отрицательный ответ.
Это становится причиной для сомнения, хотя бы на короткое время.
Если он думает, что игрок А не блефует, он может объявить скрытую
карту и закончить игру. И если такое решение верно, он
выигрывает. Если же он не объявляет в качестве скрытой карты валета, а на
самом деле она действительно такова, тогда игрок А (который
изначально спрашивал о ней) может наверняка объявить её, так как
теперь он знает это точно. Отсюда получается, что, если А не
называет следующим ходом скрытую карту, это означает, что в предыдущем
своем ходе он блефовал, а валет на самом деле находится у него. И
опять же, в таком случае местонахождение этой карты становится
известно обоим игрокам, и данный валет больше не участвует в
игре. Его также выкладывают на стол лицом вверх. Таким образом,
число карт у каждого из игроков уменьшается по ходу игры. После
удаления из игры каждой следующей карты игроки фактически
начинают её заново, только с меньшим числом карт на руках.
Здесь невозможно привести полный анализ стратегии этой игры,
данный Айзексом. Интересующихся я отсылаю к его статье
«Карточная игра с использованием блефа» (The American Mathematical
Monthly, вып. 62, февраль 1955). Я лишь поясню выбор оптимальных
стратегий и то, как можно играть в эту игру при помощи двух
вертушек с нанесенными на них числами (см. рис. 5). Вначале читателям
стоит поиграть в эту игру без помощи инструментов рандомизации,
записывая результаты я-ного числа игр между игроками А и Б. Затем
нужно сыграть столько же (п) игр, в которых использовать вертушки
будет только игрок А, а затем — ещё столько же, в которых вертушки
использует только игрок Б. (Если их будут использовать оба игрока,
игра сведется к простому столкновению случайностей.) Таким путем
можно провести эмпирический тест эффективности стратегии.
Вертушки нужно нарисовать на плотном картоне. В центр
каждой втыкается булавка, а на неё надевается своей петелькой заколка
типа «невидимки». Щелкнув по ней, вы можете заставить круг
вращаться. Конечно, вертушки нужно держать так, чтобы противник
Рис. 5.
Рандомизирующие вертушки для блефа (вверху) и для объявления карты (внизу)
42 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
не мог их видеть (отвернувшись или под столом). После получения
результата от вертушки вы должны сохранять невозмутимое
выражение лица, чтобы соперник не догадался, что подсказала вам ваша
рандомизирующая вертушка.
Верхняя вертушка будет подсказывать вам, когда блефовать.
«Жирные» цифры означают число имеющихся у вас карт. Другие
разбросаны по циферблату и соответствуют числу карт у вашего
противника. Допустим, у вас — три карты, а у него — две. Вы
должны смотреть на кольцо, обозначенное «жирной» цифрой 3.
Щелкните по стрелке. Если она остановится в секторе, расположенном по
часовой стрелке от отметки 2 до толстой горизонтальной линии,
тогда вы блефуете. В противном случае вы спрашиваете о карте,
которая может быть у вашего противника.
В любом случае, блефуете вы или угадываете, вы можете выбирать
карту среди имеющихся у вас возможностей случайным образом.
Если вы хотите провести строгий эмпирический тест стратегии, для
такого выбора также следует использовать рандомизирующее
приспособление. Самое простое из них - третья вертушка, поделенная на
11 секторов с номерами от 1 до 11. Если, например, первая вертушка
советует вам блефовать, а у вас на руках карты со значениями 2, 4, 7
и 8, вы должны крутить эту вертушку до тех пор, пока на ней не
выпадет одно из этих чисел. Если вы не пользуетесь третьей
вертушкой, вы просто выбираете любую из имеющихся у вас карт.
Возможность того, что ваш противник сможет извлечь выгоду из вашей
подсознательной предвзятости решения, так мала, что мы не будем
использовать третью вертушку.
Нижняя вертушка используется, когда вы только что ответили
отрицательно на вопрос противника. На циферблате этой вертушки
кольца пронумерованы курсивом, и эти цифры соответствуют
числу карт у вашего противника. «Жирные» числа рядом с отметками
означают число карт у вас на руках. Так же как в предыдущем
случае, выберите нужное кольцо и раскрутите стрелку. Если она
остановится на том секторе, который расположен по часовой стрелке от
нужной отметки до горизонтальной линии, объявите скрытой карту,
которая была названа перед этим. Если же стрелка не оказывается в
данном секторе, ваши действия зависят от того, одна или больше
карт осталось у противника. Если карта одна, объявите другую
неизвестную карту. Если карт у него больше (а у вас осталась хотя бы
одна), вы должны спросить. Чтобы решить, нужно ли блефовать в
ответ, поверните первую вертушку, но выбирайте кольцо так, как буд-
Теория игр, угадайка, окопы
43
то у противника стало меньше на одну карту. Это делается потому,
что в случае, если он в предыдущем ходе не блефовал, ваш
отрицательный ответ даст ему возможность победить следующим ходом.
Таким образом, вы играете так, как будто он блефовал, и игра будет
продолжаться, а карта, о которой он спрашивал, из-за вашего
отрицательного ответа исключается из игры уже сейчас, даже если она
будет выложена на стол только после его следующего хода.
Кроме тех обстоятельств, которые только что были описаны, вы
можете объявить карту только при следующих условиях:
1) Если вы знаете скрытую карту. (Это происходит в том случае,
если вы не блефовали и получили отрицательный ответ, а ваш
противник не выиграл следующим ходом, а также, конечно, если у
него не осталось ни одной карты.)
2) Если у вас не осталось карт, а у противника ещё есть одна или
более карт. Тогда, если вы не объявите карту сейчас, он обязательно
объявит её следующим ходом и выиграет. Если у вас обоих осталось
по одной карте, неважно, объявите ли вы скрытую карту или
зададите вопрос противнику — вероятность выигрыша в любом случае
составляет 1/2.
3) Если вы должны объявить карту согласно положению второй
вертушки, как уже объяснялось выше.
Таблица на рис. 6 показывает возможность выигрыша для
игрока, который ходит первым. Число карт у него показано сверху, а у
другого игрока — слева.
Число карт у игрока
12 3 4 5
! ■
I '
а
2
О
5
.5
.5
.4
.375
.333
.667
.556
.512
.450
.423
.688
.625
.548
.513
.467
.733
.648
.597
.543
.512
.75
.680
.619
.581
.538
Рис. 6.
Таблица вероятностей выигрыша в «Угадайке»
44 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
В начале игры, если оба игрока используют рандомизирующие
инструменты для наилучшей игры, вероятность выигрыша для
первого игрока составляет 0,538, или чуть больше половины. Если этот
игрок получает по 1 доллару за победу и ничего не платит другому в
случае проигрыша, тогда стоимость игры составляет 538 долларов.
Если после каждой игры проигравший отдает по 1 доллару
победителю, первый игрок выигрывает в среднем 538 игр из каждой
тысячи. Так как он получает 538 долларов, а теряет 462, его чистый
выигрыш составляет 76 долларов, а средний за игру - 76:1000 = 0,076
доллара. Итак, стоимость игры составляет чуть меньше 8 центов за
игру. Если второй игрок не использует рандомизирующий
механизм, шансы первого на победу существенно возрастают, как и
должен показывать эмпирический тест игры.
ОКОПЫ
Это пример простой идеализированной военной игры, с помощью
который Айзеке объяснял принципы комбинированной стратегии
военным. Один игрок, солдат, может по выбору спрятаться в одном
из пяти окопов, изображенных на рис. 7. Другой игрок,
артиллерист, может выстрелить в любую из четырёх точек А, В, С или D.
Солдат будет убит, если он окажется в любом из соседних с местом
попадания окопов. Например, выстрел в точку В будет смертельным
для солдата, прячущегося в окопе 2 или 3.
«Здесь мы можем видеть необходимость комбинированной
стратегии, — пишет Айзеке, — так как солдат может рассуждать
следующим образом: "Крайние окопы могут быть накрыты
каждый лишь одним выстрелом, в то время как центральные — двумя.
Значит, нужно прятаться в одном из крайних окопов". К
несчастью, артиллерист может предугадать такое рассуждение и стрелять
только по точкам А и D. Если солдат предположит такие действия
артиллериста, он спрячется в одном из центральных окопов. Но
теперь артиллерист также может обеспечить себе преимущество,
предположив, что солдат подумает, что он думает таким образом,
и, следовательно, выстрелив по одному из центральных окопов.
Такие попытки перехитрить противника в конечном итоге ведут
лишь к хаосу. Единственный способ, которым любой из игроков
может обмануть противника, - использование комбинированной
стратегии».
Рис. 7.
Игра в «окопы»
46 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Предположим, что выигрыш составляет единицу в том случае,
если артиллерист убивает солдата, и ноль — если ему это не удается.
Тогда стоимость игры равна вероятности верного попадания.
Каковы будут оптимальные стратегии для каждого из игроков и какова
стоимость игры?
ОТВЕТЫ
Игра Руфуса Айзекса «окопы» рассчитана на двух игроков —
«солдата», который может спрятаться в одном из пяти расположенных в
ряд окопов, и «артиллериста», который может выстрелить в любую
из четырёх точек — А, В, С или D (эти точки располагаются между
окопами). В аналогичную игру можно играть с пятью картами,
одной из которых должен быть туз. Один игрок кладет карты в ряд
лицом вниз. Другой игрок выбирает две соседние карты, и, если одна
из них оказывается тузом, он выигрывает.
«Легко нарисовать матрицу 4x5 для этой игры и применить одну
из основных процедур, описанных в учебниках, - пишет Айзеке. -
Но, имея некоторый опыт, несложно в подобных простых случаях
предугадать правильное решение, а потом доказать его верность».
Оптимальная комбинированная стратегия для солдата -
прятаться только в окопах под номерами 1, 3 и 5, выбирая конкретный
окоп с вероятностью Уз- У артиллериста выбор оптимальных
стратегий неограничен. Он присваивает точке А значение вероятности в
Уз, точке D — также У3, а точкам В и С — любые значения
вероятностей, которые в сумме также составляют У3. (Например, он
может придать каждой точке, В и С, значения в У6, или же одной
точке вероятность У3, а другой - 0.)
Чтобы доказать, что такие стратегии будут оптимальными,
сначала рассмотрим возможность выжить для солдата. Если
артиллерист стреляет в точку А, у солдата есть вероятность избегнуть
гибели, составляющая 2/3. То же самое верно и в том случае, если
артиллерист стреляет в точку D. Если он стреляет в точку В, он попадает
в цель только в том случае, если солдат находится в окопе 3, то есть
возможность промаха снова составляет 2/з- Так как в любом случае
вероятность остаться в живых для солдата составляет 2/3, значит, эта
вероятность остается одинаковой для любого выбора артиллериста.
Таким образом, стратегия солдата обеспечивает ему вероятность
выживания, равную 2/з-
Теория игр, угадайка, окопы 47
Теперь рассмотрим стратегию артиллериста. Если солдат
прячется в окопе 1, вероятность попадания составляет 1/з- Если солдат
прячется в окопе 2, артиллерист может убить его только в том
случае, если стреляет в точку А или В. Следовательно, вероятность
попадания составляет Уз плюс та вероятность, которую артиллерист
присвоил точке В. Если солдат прячется в окопе 3, он оказывается
убит, только если артиллерист стреляет в точки В или С. Общая
вероятность попадания при этом равна !/3. Значит, вероятность
попадания в этом окопе равна !/з- Если солдат прячется в окопе 4,
вероятность быть убитым для него здесь равна Уз плюс вероятность,
присвоенная точке С. Если он прячется в окопе 5, вероятность быть
убитым снова составляет У3. Таким образом, стратегия
артиллериста гарантирует ему попадание с вероятностью не менее 1/3.
В предположении, что выигрыш артиллериста в том случае, если
он убьет солдата, равен единице, и нулю, если он промахнется,
стоимость этой игры составляет У3. У артиллериста имеется
неограниченное число стратегий, которые гарантируют ему минимальную
вероятность попадания, равную У3. Возможно, что он сможет
добиться лучших результатов, если ему попадется глупый противник.
Но в случае довольно умного противника он не сможет
рассчитывать на большее, так как у солдата есть возможность свести
вероятность своей гибели к минимуму — !/3. То же самое можно сказать об
этой игре и с точки зрения солдата. Используя свою оптимальную
стратегию, он может сохранить выигрыш в У3 случаях — однако не
может сделать эту долю большей, так как артиллерист может
действовать так, чтобы не позволить солдату этого. В качестве
дальнейших упражнений читатель может попробовать доказать, что не
существует иных оптимальных стратегий, кроме описанных выше.
«Процесс предсказания верного решения не так сложен, как
кажется, — добавляет Айзеке. — Таким образом, читатель может не
только доказать его верность в данном конкретном случае, но и
попробовать применить его для подобной игры с я-ным числом
окопов. Для нечетного числа п вполне очевидно, что предыдущее
решение верно, а для четного п вам придется познакомиться кое с чем
новеньким».
ГЛАВА 4
Курьезы факториалов
В математических формулах, особенно из области комбинаторики,
порой встречаются восклицательные знаки. Однако это вовсе не
выражение восторга. Это символы действия, называемые
факториалами. Знак факториала ставится после целого числа или
выражения, соответствующего такому числу, и означает, что данное число
нужно умножить на все предшествующие ему натуральные числа.
Например, 4!, или «четыре факториал», будет равняться
произведению 4x3x2x1.(В старых учебниках можно встретить обозначение
л-факториала как 1д.)
Почему факториалы так важны для комбинаторной математики
и теории вероятности, которая во многом базируется на
комбинаторных формулах? Ответ прост: п-факториал обозначает число
способов, которыми можно поставить в ряд п предметов.
Представьте себе четыре стула, поставленных в ряд. Сколькими
способами можно усадить на них четверых людей? Существует четыре
варианта занятия первого стула. При любом выбранном варианте
(человеке на первом стуле) второй стул можно занять тремя
различными способами. Следовательно, для первых двух стульев
число вариантов их занятия равно 4x3, или 12. Для каждого их этих
вариантов существует два варианта занятия третьего стула, -
следовательно, общее число вариантов размещения людей на трёх
первых стульях равно 4x3x2, или 24. В любом из этих 24 случаев для
четвертого стула остается лишь один человек. То есть полное
число вариантов занятия четырьмя людьми четырёх стульев равно 4!,
или 4 х 3 х 2 х 1 (= 24).
Курьезы факториалов 49
Точно так же можно показать, что колоду из 52 карт можно
разложить 52! различными способами, и это 68-значное число будет
начинаться с 806581...
Какова вероятность того, что у игрока в бридж на руках
окажется 13 пиковых карт? Вначале нужно определить число различных
игровых комбинаций. Так как порядок расположения в них карт в
данном случае не важен, то нам нужно узнать лишь число
комбинаций из 13 карт, которые можно составить из 52 карт колоды.
Формула для количества комбинаций п элементов, взятых по г за раз, будет
такой: л!/г!(п — г)!. При п, равном 52, и г, равном 13, формула будет
иметь вид 52!/(13! х 39!). При вычислении получим число
635 013 559 600. Следовательно, у игрока в бридж на руках может
оказаться 13 пиковых карт одновременно в одном случае из
635 013 559 600. Вероятность нахождения на руках комбинации из 13
карт любой одинаковой масти, не обязательно пик, в четыре раза
больше, или же 158 753 389 900 к одному. Вероятность того, что
такая комбинация окажется у одного из четырёх игроков, на единицу
больше числа, составляющего одну четверть от вышеприведенного.
(Она не составляет ровно одну четвертую, поскольку мы должны
рассматривать вероятность того, что карты одной масти могут
оказаться не только у одного, но и у других игроков.) Мы видим, что
при такой ничтожной вероятности, ]/з9 688 347 497, сообщения о
подобных случаях, появляющиеся в газетах примерно раз в год, почти
наверняка можно считать «утками». Или же результатом того, что
сдающий случайно идеально перетасовал новую колоду (два раза
переместив карты строго через одну, чтобы не нарушился порядок
карт при раздаче по кругу). Канадский журналист Норман Т. Гридж-
мен указал на то, что довольно часто возникают сообщения о
четырёх идеальных сдачах (карты одинаковой масти у каждого из
игроков) при отсутствии сообщений о двух идеальных сдачах из четырёх,
что в миллионы раз вероятнее.
Из этих элементарных примеров легко понять, что большие
факториалы гораздо проще записывать не в виде полного числа, а
именно в виде факториала. Действительно, факториалы числа настолько
быстро возрастают (см. рис. 8), что до изобретения
быстродействующих вычислительных машин значения их были известны лишь
примерно до 300!, если не считать примерно дюжины факториалов более
крупных чисел, которые кому-то оказывалось не лень сосчитать.
Обратите внимание на приведенный в таблице факториал семи,
равный 5040. Это очень интересное число. В пятой книге своих
50
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Рис. 8.
Факториалы чисел
от 0 до 20
0! = 1
1!=1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5!= 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40 320
9! = 362 880
101 = 3 628 800
111 = 39 916 800
121 = 479 001 600
131 = 6 227 020 800
141 = 87 178 291 200
151=1 307 674 368 000
161 = 20 922 789 888 000
171 = 355 687 428 096 000
18! = 6 402 373 705 728 000
191=121 645 100 408 832 000
20! = 2 432 902 008 176 640 000
«Законов» Платон называет его числом жителей идеального города.
Он обосновывает это тем, что у числа 5040 необычно большое
число множителей (59, включая 1, но исключая само 5040), что дает
возможность удобного распределения населения для
налогообложения, наделения участками земли, призыва на военную службу и
так далее. Платон, вероятно, не знал о том, что числа 7560 и 9240
каждое имеют по 63 целых множителя, и это число множителей
максимально для всех четырёхзначных и меньших чисел. Об этом и
других Платоновых числах можно прочитать в моей книге The Magic
Numbers of Doctor Matrix («Волшебные числа доктора Матрицы»),
опубликованной в 1985 году (глава 14).
Оценить более крупные факториалы можно по формуле Стир-
линга (названной в честь шотландского математика XVIII века
Джеймса Стерлинга):
Курьезы факториалов 51
Эта странная формула содержит два наиболее известных
трансцендентных числа — пие. Абсолютная погрешность этой формулы
(разница между истинным значением факториала и
приближенным) возрастает по мере возрастания самого факториала. Однако
относительная погрешность (абсолютная погрешность, деленная на
истинное значение) постоянно уменьшается.
Эта формула дает замечательное понятие о приближенном
значении факториала и полезна для практических целей. Но
математики склонны вычислять все с абсолютной точностью. Подобно тому
как альпинист лезет на гору или космонавты рвутся попасть на
Луну просто «потому, что она там есть», математики, получив доступ к
вычислительной технике, не смогли устоять перед искушением
исследовать «открытый космос» огромных чисел. (Насколько мы
вправе говорить о том, что большие факториалы, никем ранее не
вычисленные, «там есть», зависит от того, какой математической
философии мы станем придерживаться.) Именно с появлением
компьютеров стало возможным, посылая и обрабатывая сигналы,
увидеть «вблизи» поверхность Луны и Марса. И те же самые
компьютеры предоставляют возможность «вблизи» увидеть большие
факториалы — те невероятно большие числа, которые долгие века
виделись лишь туманно и неопределённо.
Замечания, приведенные в предыдущем абзаце, взяты из
материалов, присланных Робертом Э. Смитом из Миннеаполиса —
руководителем отдела разработки программного обеспечения при
Институте контроля данных. Он написал мне, что занялся исследованием
отдаленных пределов страны факториалов после того, как ему
пришло в голову изобразить на рождественской открытке елку из
одного такого исполинского числа-факториала. Естественно, был
необходим компьютер для того, чтобы напечатать на верхушке «дерева»
одну цифру, затем в следующем ряду ряд из трёх цифр, под ним - из
пяти и так далее. Существуют ли факториалы с подходящим числом
разрядов, которые при таком способе изображения приняли бы
форму идеального дерева? Да, существуют, причем их бесконечно
много. В таблице, приведенной на рисунке 8, видно, что 12! состоит
из девяти разрядов. Его можно напечатать в форме дерева
следующим образом:
4
790
01600
52 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Очевидно, что подобный факториал-«дерево» должен состоять
из такого числа разрядов, которое было бы частичной суммой
бесконечного ряда 1 + 3 + 5 + 7 + ... Если посмотреть на
расположенные по квадратам точки, то видно, что все подобные суммы
составляют ровные квадраты:
1+3 + 5 + 7+ . . .
'J 11
Однако задачей Смита было запрограммировать компьютер так,
чтобы он не только нашел большие факториалы, состоящие из
нужного «квадратного» числа разрядов, но и напечатал их в форме
дерева, состоящего из рядов с 1, 3, 5, 7 и т. д. цифрами. И он это сделал.
Компьютер проверил все факториалы практически до 1000! (а также
некоторые более крупные) и нашел ровно 20 значений, все меньше
1000!, которые состоят из квадратного числа разрядов (см. рис. 9).
В напечатанном компьютером Смита числе 195! обратите
внимание на нижний ряд нулей (см. рис. 10). Если вы изучите ряд 1 х 2 х 3 х
х 4 х 5 ..., то увидите, что любое произведение числа,
оканчивающегося на 5, добавляет хотя бы один ноль в результат. Каждый
множитель, оканчивающийся на один или больше нулей, делает их число в
конце произведения ещё больше. Эти нули никуда не деваются и
при дальнейшем перемножении постепенно накапливаются в
«хвосте» факториала. Факториал 105 имеет «хвост» из 25 нулей.
Для 105! формула Стирлинга дает приближенное значение,
близкое к 1081 со 165 нулями. Если сравнить этот приближенный
результат с точным, показанным на рисунке, то видно (по меткому
выражению Смита), что «использовать формулу Стирлинга для
больших факториалов — то же самое, что для слепца пытаться
представить себе слона, держась одной рукой за кончик его хобота, а
другой — за кончик хвоста».
«Вероятно, может показаться странным, - пишет далее Смит, -
что компьютер не способен сосчитать такое большое число сразу.
Это объясняется тем, что ячеек памяти в одном компьютере не
хватает, и поэтому невозможно использовать стандартную
компьютерную арифметику». Хитрость, как пишет Смит, состоит в том, чтобы
Факториал
7
12
18
32
59
81
105
132
228
265
284
304
367
389
435
483
508
697
726
944
Число разрядов
4
9
16
36
81
121
169
225
441
529
576
625
784
841
961
1089
1156
1681
1764
2401
Рис. 9.
Факториалы-«деревья» меньше 1000!
1
081
39675
8240290
900504101
30580032964
9720646107774
902579144176636
57322653190990515
3326984536526808240
339776398934872029657
99387290781343681609728
ооооооооооооооооооооооооо
Рис. 10.
«Дерево» из 169 цифр числа 105!
54 1000 развивающих головоломок...
использовать несколько отдельных «резервуаров», каждый из
которых способен сохранить t цифр конечного результата. «После
очередного умножения лишние цифры, выходящие за пределы буферных t
разрядов в каждом из блоков памяти, удаляются оттуда и
перемещаются в блок, расположенный слева от данного. Потом
распечатываются все цифры из всех блоков, составляющие значение
факториала». Более полное описание этой программы можно найти в книге
Смита «Основы FORTRAN», изданной в Институте контроля
данных в 1967 году. Ещё одно факториальное дерево, вычисленное этим
методом, показано на рис. 11.
Если число разрядов в факториале равно двум последовательным
квадратам (например, 35! состоит из 42 + 52 = 41 разряда), его
можно распечатать в форме ромба. Для этого нужно просто перевернуть
меньшее дерево из 42 цифр и приставить его к основанию большего
дерева, из 52. Вот так:
1
033
31479
6638614
4929 6665
1337523
20000
000
0
Я оставил в центре «кристалла» промежуток, чтобы немножко
озадачить читателя. Каково пропущенное число? Найти его можно
способом, известным большинству бухгалтеров, и вам, я надеюсь,
тоже. Это делается очень быстро безо всякого умножения.
Существует много других геометрических фигур, которыми
можно изобразить разные факториалы. Компьютер Смита
напечатал 477! в виде шестиугольника с 17 цифрами на каждой стороне
(см. рис. 12). Наконец, чтобы поразить читателя одним из самых
чудовищных результатов расчетов смитовского компьютера, я
предлагаю вам 2206! в форме восьмиугольника (см. рис. 13). Если
бы кто-нибудь полвека назад предположил, что ещё в XX веке
такой факториал будет полностью, цифра за цифрой, записан,
большинство математиков только посмеялись бы над таким смелым
пророчеством.
Курьезы факториалов 55
5
119
9069?
7755879
266003615
25819185379
79Я436067729А
470133958906714
♦601П7463Э96439в
5839112233165772956
54849616625493551679b
U565o795225eA67760AOl2
64?34B9045662147453126349
825790036437158643266482002
88113505694916924243929121639
79951?33206602053R81498?9S36720
697S46se933«l05120020005674705145
2864140997897R956631664608452253922
21821393?2091260А897117102175009Э4598
659546487929459214735007200769105667735
5407428954*655659977226200540160335058131
8365384235510714071491098*35eu73658892?7<*5
51145б4б1421г54773Я04907в53073Э844в4ввв78409о
7503096287591?50952l99952529259e359880A46423952
3931204Шв1вгв0979213544777^4475153в43520в774Л03
0884771160322236511644394192200020735673251A0151958
35354728897604905269289015307797618984464654Л42914912
788273347982561695553121610705027]401259459R7524950A169
440013327395Э168в7о00Н339117б44в3284987б19О750йв3417977А6
47371V45157918O46252226969546616R11434O354618157929*827319H
25456256l370S04983423b5445577o?694536385292145346080336071424
28916011X720849018903949047529128422686467764267877861568498090
42964480000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000
ooooooooooooooooooooooooooooooooooqoooooooooooooooooooooooooooooooo
Рис.11.
«Дерево» из 1156 цифр числа 508!
Можно предположить, что факториалы имеют близкое
отношение к простым числам. Самая известная из многочисленных весьма
изящных формул, связывающих эти два типа чисел, - так
называемая теорема Уилсона. (Сэр Джон Уилсон — английский юрист XVIII
века — вывел эту формулу во время своего обучения в Кембридже;
впоследствии она стала известна Лейбницу). Согласно этой
теореме, (п — 1)! + 1 делится на п тогда и только тогда, когда п — простое
число. Например, при п = 13 величина (п - 1)! + 1 дает 12! + 1 =
= 479 001 601. Легко увидеть, что 12! не содержит среди своих
множителей 13, так как 13 — простое число, и ни 13, ни одно из кратных
ему чисел не является множителями 12!. Но, как это ни
удивительно, добавление всего лишь единицы создает число, делящееся на 13.
Теорема Уилсона - одна из самых красивых и важных теорем из
теории чисел, несмотря на то, что её нельзя использовать в качестве
способа проверки того, является ли число простым.
56 1000 развивающих головоломок...
17108972589718074
14395283079362*9026
080765545554532458183
43255130543516432376912
4603791911119657860822050
367340495642348613717749611
38104459104482535212494659899
52250/9402598873366451131040234
2*0130*9368985267957359091*519290
66647636392705738600295487428650940
0535103530524596394743595531728001641
083783948/45781956212836911156587085000
40781396853030778257813849856692950471963
50893280185/3725755534194119396813233357487
709737509271413007324171020350516977549843435
6118793Э2955191514574Ь3789138048055187827977590
7750007855795U9817496078270462761613125177420579
97l7055468a53b703689036095806399241086011S92997
02о79Оггб88вг03О87101533б539158ОЬ041722б5Э43О
О3776424346Ь1424Э256О1245917031000886439794
86942002854170097571338930915447098888372
333024657^51637441276280296188483408232
2723195014038951851520634322622612616
12431271509190879459978732133255390
601413633379281814639023615443036
233836886l79885626005055280l204
2259*617062894203619648023806
809643832836096000000000000
0000000000000000000000000
ооооооооооооооооооооооо
ооооооооооооооооооооо
ооооооооооооооооооо
00000000000000000
Рис. 12.
Шестиугольное изображение числа 477!
Существует множество сложных (хотя и с простой
формулировкой) проблем, связанных с факториалами, которые пока так и
остаются неразрешенными. Например, никто не знает, бесконечно
ли число факториалов, превращающихся в простые числа после
добавления единицы. Неизвестно, из скольких факториалов
добавлением единицы можно получить квадрат. (Мы говорим сейчас о
самом числе, а не о числе знаков, из которого оно состоит.) В 1876
году французский математик Брокар предположил, что только три
1029729*1160227390839274164030!
16267940732286960838307447113В746
30490l769479927e8989l9B02t363440992
4**l00427**710*1412***1*9545978*179*4
93749l49340399996l7330B362009962993B0«9
4101039699834903969368*6049848740*86047*4
6939414801400008992Э9493ВВ0949090В409999861
6602460491916902609071367606M118903390996719
21B239479l442396101774299B2990B049467Bl77498089
29**022*22207*4*670*20**34**S*233*1594**3921297**
362194967920639391099968938807160144980904808697217
60361*2l401*0113B*4*97979426*9774*9*34297*0Sl*1393*77
07217409694933614976669099462*4909191993032898888999967
0692015**Э7Ш3497509Ц00бЗЗб113Э4*505129ЭЗЭ4**Э«*11*3412
07891202228866097913788927648919064612804719091916933990808
$62886414713844*74392100211?94*90944141784747Э09460а?090472га
0908889060023918313*9707706997379486196269982204498204639226419
Э99Вв6в9в01691ВВ8740вг324го746596303099664346ВгВ47А4«7ВЭ0121Мб98
09496799737137220329029639349B993877923799310227900A626771342793017
97l237a23499994999639364S200121072320143866738821S2S99e634*7099868997
30961699l2B3ie2797789ll69v67lO09lo994»0944299482298777692«0lB(i772939o*9
9482468231089919749338203344543675656839468279720697901109412886408496329
4924l0148loo374780426094BB0997Bo9893l*9ieo93610B*976ll999630604942279492l79
84296686240692468994135036474242*68453669349623925844722719297861094652833933
62430763172140230297034735851828096681328913999866470379419707927774611292*47699
60364062l6l400l5ll7ei8491ieo88«7577945934i5575946o9484a719*l94l6*340B763*4A520361
23170B9*02679S92284739463562759799079427lB94049696459079681Al29900977065l97n9337989
36094971597079919999969966023704*9306141334«22«3298973?14693498649*711106805)43423006
463994096916299*9768659767612737578109393950060072494747721391903313943369997*409917439
669292l0437027529369792*439l777*2793233l9*6*40657263S5229«3l5949l9a46099650639l42*9434S10
7019tt21S65442l68S169269697S23893ie99566l246Bi4o959l269980B9l9l5«20329409917e9e79003l475920B
044290649906799948940779857149279794048804929*4404*992*01163a41712M2*690*9497193U065250*B
A64UlB0707ll3712167744934lB4916586546624214l990l9947489l407l33n317*35008097673431461469561
276eblS63392092lS76618l6l99ee79o9eo27906S204e95o7US754**77*2l47626***33S63999*69l3260*6662
«59lb617635612630749223l6l820SS4oe6l6S12641B335906476986792o6429S35534489790o947*9746649046
7b41b999l34o»4942787ei64U726*097777249674697849l472»9B6914279*220412297U7l000946469639l93
279o9oil5927S(»4748412eU4eS793449e8«7o634222702779996o2o9926999o927077ie2992iee**9333136992
911229911121446112196059858308530090085772*673001457908609480987931191634*61299625358963146
9з54М77гв5МЭб4б5бг5г7594000199в497Ьов19г4б14б936989440Э4в5Э719гЭЭ10бгЭ972Э499В499вв9Э911Э1
04B63l9l907944e5743708099l4l8l«29329S423e2O*7o99BlS430l2B7l2l*471815Bo736*6l24743390290»29l
*97«Зо47?9М375о5гво941о5ба54бВ9Э39о10*Э414го29о731Э7г559оВ755Э1в59*9Э7ог065вВ9477В4938в404
l40934997393336483929S4099690B222234l0746073949429S303«3SB497B77027Sl91*94464642902925l4742
*89«7l9069l97344614?64739329976409364746e9Q944013692924B32B990262l8993l63092629409073307432
98*3<37*792975532237l92736338l2l99749601142fll7086946047693697449907986l9794922960Ob49«o75oB
422961411098421273*361884639106673276902989788937027707173903234397*9704377362637963391970*
26903176*26676259479*2987779747027139684279901717692915347217940718330972281022406020976999
19231093340*3392446906107789099722221024694681063461319307372996082106306372694424873419069
o964J403*9930663949733092473631l96929648322"0307339443428l44802i0l7979994302T0*0ie75634B36*
*235VO7e9933903*069e7669294l982476379532676240789963230134S9i939936*4907S772*44i92B3O2*2673
5947374533149522043979463e*9933209l»99796408096236B7593*7006749l9914BlBl27674444B3279372007
2479979995910726706096991269962174901709978283817096689289631599290783189857144934100631908
9346302000944243304249029*3o9333679667*616*l67762949Sll34B249B941O2o94733012367306(r212*5699
7l4441274496*l9l763.6S724o949320l64M3oaie398694098o222300487l2574068580666063992923933901667
7230224963193b9796l19616936004*766939981419191926024167093911781189412817174309893343800*79
l9l»u69i90*03l98006986926614048l056V94221662640977494ei3336e3649736?607l9925i70992990292274
451264269576946553112125376441969372*736415931091968744923431544233653464036812166293962954
976729921077oe'7oi6loeve5969230367o6eO*5l7l97037BS34*20022962o44*e96647iei0237249499i5937363
в5Г9в)71бЭб856г771в7777бВ0799Э9Ч9ббЭ755*ЭЙ94*9245Э79736в52Э
1?5г)0Эгг1о101Э9Эгг1ЧП4бб1Э05Э1г49ЭЙ421Эо12о
3U240*55S7S4737o9o93996o701071272929206ie89727ll3937326e*8l44US0279976679l9*6?2030*762294
O147673l374l3b641Ol74793496ll99349809l3879l673O14925O4143OOB9687942«34349*2*932)6999999o5*6
305929031106760e6S6677397ieee2*409975l020794307eBe*357l94924907l70466l577344739732272034246
37l0443Sl22O49746259r4So64632630409327i*i4897lSS*20729070l342021i7*4243l84l93B4l952O490l9
Эв415?*59513гвв15700б1в075996999бб9154бгЭ*4бг9796в3796оВ0199В4092А147г1917г70Э04541о7гб
15712г1590»9181400В4б451775гЗв07146б4вЗв66Э7979Э679в2661410б499*973в9135гввВб159б5540
V8255S95359708203V60431**191609«04490206994685*812271164189344778402447747132779673
72673429*2060e960237322899223940603534375e9202e62e53e27B24636169l9760563l9904190l
07«602S65?39n4324733779l*70606766*52296469l9Bl93816l829647i92S76364B?53*17536o4
0323*4622023274*61517721823068921991470745200*2093*18889995951392766191649916
67949e9304943l7426880999«406»9293«39l829990491346*0784113291349169302482017
3eo3l65l0304508330924l75202786l99041446*7169l021386669o04*)402l2*0l0***6*
71408714187828459*73979416544321600570091801616015052259641365601993579
244So41861*7559237S3b573796932l3006o7*6723*020374o6B*6217927l661330*7
09301*194505*12*2394462054170636*6242419793229560961759772203435*83
013813591S7S313614567B366144066394600394572699435664121SU3291016
15863l4578S7l4l76519lo3070ie0eA60529O27628?344644296046300*90l4
•95343412006614176904*63292916*8916059*014956*222227367224697
13346V7l247706153220(t949932204603460l26759S6S699?49851377B7
34*016*4974735*0450704007*062939942473*33835061096*3)1170
07*0456704000000000000000000000000000000000000000000000
О0ОО0О00000О000О00000000000ОО000000Л0О0О000000000ООО0
000000000000000000000000000000000000000000000000000
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
00000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000
Рис 13 ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Число 2206f в форме ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
0000000000000000000000000000000000000
oooooooooooooooooooooooooooooooooo
/sa-M Л. ,\ 000000000000000000000000000000000
(6421 цифра') ooooooooooooooooooooooooooooooo
восьмиугольника ooooooooooooooooooooooooooooooooooo
• ooooooooooooooooooooooooooooooooo
58 1000 развивающих головоломок...
факториала - 4!, 5! и 7! - становятся квадратами при увеличении на
единицу. В работе Recreations in the Theory of Numbers («Развлечения
в теории чисел») Альберт Бейлер пишет, что на компьютере были
просчитаны факториалы вплоть до 1020! без получения
соответствующего результата. Однако предположение Брокара нельзя
считать доказанным.
Легко найти факториалы, являющиеся произведением других
факториалов, но гораздо труднее подобрать такие, которые при этом
представляли бы собой арифметическую прогрессию, и ещё
сложнее, которые были бы последовательными. Известно лишь четыре
примера факториалов, состоящих из произведения
последовательных факториалов: 0! х 1! = 1!; 0! х 1! х 2! = 2!; 1! х 2! = 2! и 6! х 7! = 10!.
В связи с первыми двумя решениями надо заметить, что 0!
считается равным 1, несмотря на то, что таково же и значение 1!.
Строго говоря, 0! не имеет смысла. Но если принимать его равным
1, многие важные формулы сохраняют верность и не имеют
исключений. Одно из основных положений о том, что п\ = п(п — 1)!,
то есть факториал числа п равен взятому п раз факториалу
предыдущего числа, справедливо для любых положительных чисел,
только если принять 0! = 1. Посмотрите на приведенную ранее
формулу п\/г\(п — г)! и посчитайте, сколько существует способов
сочетания двух предметов, взятых по два за раз. Конечно, ответ 1.
Но по формуле такой ответ получится лишь в том случае, если 0!
равен 1. Если бы 0! был равен 0, формула потеряла бы смысл, так
как пришлось бы осуществлять деление на 0. Знаменитый
«бином Ньютона» - ещё один классический пример того, как
верный выбор устраняет исключение в фундаментальной
закономерности.
Запутанная задача нахождения целых чисел, представляющих
собой сумму факториалов цифр, из которых они состоят, была
решена лишь недавно. Существуют четыре варианта решения. Два из
них тривиальны: 1 = 1! и 2 = 2!. Самый большой пример такого
числа был найден в 1964 году Ли Джейнсом из Хьюстона при помощи
компьютера. Это число 40 585, равное сумме 4! + 0! + 5! + 8! + 5!.
Может ли читатель сам найти оставшееся четвертое решение? Его
можно записать в форме выражения А\ + В\ + С! = ABC. Каждая
буква здесь символизирует разные цифры.
Из множества примеров занимательных задач, для решения
которых требуются факториалы, я выбрал ещё одну из теории графов.
Человек, который живет в левом верхнем углу прямоугольника, со-
Курьезы факториалов
59
г
□
Рис. 14.
Задачка про дорогу с использованием факториалов
стоящего из городских кварталов (см. рис. 14), работает в конторе,
находящейся в здании, занимающем правый нижний угол
прямоугольника.
Легко увидеть, что кратчайший путь, которым человек может
добираться до работы, равен 10 кварталам. Но ему скучно ходить
каждый день одной и той же дорогой, поэтому он пытается найти
разные варианты кратчайшего маршрута. Сколько он сможет найти
маршрутов, равных кратчайшему, соединяющих его дом с работой?
И какой краткой формулой можно записать число кратчайших
маршрутов, соединяющих противоположные по диагонали углы
прямоугольной сетки кварталов? (Подсказка: число комбинаций, или
перестановок, п объектов, а из которых одинаковы, а остальные Ь
также одинаковы между собой, равно п\/а\Ы)
ДОПОЛНЕНИЕ
Формула, приведенная в конце главы, является частным случаем
более общей формулы. Число разных способов организации п
предметов, среди которых а, Ь> с и т. д. равны между собой, вычисляется
по формуле
п\
а\Ь\с\"%
60 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Эту формулу легко объяснить. Число перестановок п объектов,
не являющихся одинаковыми, равно п\. Если а объектов среди них
одинаковы, то не имеет значения, в каком порядке они
расставлены. Поэтому мы делим величину на я!, исключая все варианты
расстановки, которые будут одинаковыми из-за идентичности а
объектов. Точно так же мы делим на />!, чтобы исключить все идентичные
перестановки, обусловленные наличием Ъ одинаковых объектов, и
так далее для любых одинаковых объектов. Например, буквы,
составляющие слово MISSISSIPPI, можно расставить 11! способами,
если рассматривать все буквы как разные объекты. Однако если мы
учтем идентичность четырёх букв /, а также четырёх С и двух Р, то
число перестановок составит 11!/(4! х 4! х 2!) = 34 560.
Многие читатели обращали мое внимание на различные
курьезы, связанные с факториалами и подсчетами конечных разностей.
Начните с последовательности идущих подряд чисел в степени я,
где п - любое неотрицательное число:
Iя 2я 3 п 4 п 5 п 6 п.
ЛГ-ный ряд разностей будет представлять собой бесконечное
повторение п\. Обратите внимание, что это справедливо и при п = 0.
Дональд Э. Бойтон, Джеймс Кассельс и контр-адмирал Роберт
С. Хатчер независимо друг от друга прислали мне следующий
метод подсчета нулей в конце любого факториала. Он вряд ли
широко известен. Если число делится на 5, но не делится на 52, к
конечному числу добавляется один нуль. Если оно делится на 52, но не
делится на 53, то добавляется два нуля, и так далее. Значит, число
нулей на конце числа п\ можно найти, поделив п на 5, отбросив
остаток и повторяя процесс до тех пор, пока частное не будет
меньше 5. Сумма всех полученных частных будет равна числу нулей.
Например: 2206!, изображенный на рисунке 13, в конце имеет 549
нулей. Последовательные частные при делении 2206 и всех
последующих частных на 5 (с отбрасыванием остатка): 441, 88, 17 и 5.
В сумме они дают 549.
Проблема нахождения последнего ненулевого разряда в больших
факториалах требует более сложных алгоритмов. Я оставляю
решение этой проблемы заинтересованным читателям. Например, каков
последний ненулевой разряд в 1000!?
Курьезы факториалов 61
ОТВЕТЫ
Пропущенную в середине цифру в факториале-ромбе легко найти,
если вспомнить, что любое число, кратное 9, дает «цифровой
корень», равный девяти (то есть в сумме его цифры дают кратное
девяти число, и эта операция при многократном повторе сводит
число к девяти). Можно суммировать все цифры, составляющие число,
отбрасывая девятки. В конце должно остаться 9. Каждый
факториал больше 5! представляет собой число, кратное 9, так как 6! имеет
множители 3 и 6, а 3 раза по 6 будет 18 — число, кратное 9. Чтобы
получить пропущенную цифру в любом факториале больше 5!, нужно
найти цифровой корень неполного факториала и вычесть его из 9.
Если такой цифровой корень равен 9, значит, пропущенная цифра
может быть нулем или девяткой. Но в данном случае цифровой
корень факториала-ромба оказался равен 3, так что никаких сомнений
быть не может. Пропущенная в середине цифра — 6.
Если бы здесь мы оказались перед выбором, то пропущенную
цифру можно было бы найти при помощи известного теста на
кратность числу 11. Все факториалы больше 10! представляют собой
числа, кратные 11. Если число делится на 11, то сумма всех цифр в
его четных разрядах либо равна сумме всех цифр в нечетных
разрядах, либо отличается от неё на число, кратное 11. Если факториал
больше 10!, при помощи этого теста можно разрешить любое
сомнение в пропущенной цифре.
А\ + В\ + С! = ABC имеет единственное решение 1! + 4! + 5! = 145.
Чтобы доказать, что 1, 2, 145 и 40 585 — это единственные целые
числа, каждое из которых равно сумме факториалов всех своих
цифр, вы можете обратиться к статье Джорджа Д. Пула Integers and
the Sum of the Factorials of Their Digits («Целые числа и суммы
факториалов их цифр»). Она была опубликована в «Математическом
журнале» (Mathematical Magazine, том 44, ноябрь 1971, с. 278-279).
Чтобы найти число различных кратчайших путей из одного угла
сетки городских кварталов в диагонально противоположный,
нужно учесть, что если длина прямоугольника составляет а кварталов, а
ширина - b кварталов, то кратчайший путь из одного угла в другой,
диагонально противоположный, равен а + Ь. Назовем эту сумму п.
Любой маршрут длиной п, соединяющий два угла, может быть
представлен как цепь из п символов, «а» из них соответствуют кварталам,
пройденным по длине, а оставшиеся «Ь» — кварталам, пройденным
по ширине. Если заменить каждый квартал, пройденный по длине,
62 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
одноцентовой монетой, а по ширине — десятицентовой, тогда
число различных вариантов кратчайшего пути можно представить как
число различных способов расположения в ряд этих монеток.
Каждый отдельный маршрут соответствует способу перестановки п
монеток, и наоборот, каждая перестановка монеток соответствует
отдельному маршруту.
Подсказка для решения этой задачи - формула для числа
способов расположения в ряд п объектов, а и b из которых одинаковы
между собой. Прямоугольник имеет в длину 6 кварталов, а в ширину — 4.
Таким образом, вычисление числа вариантов маршрутов аналогично
вычислению числа способов расположения в ряд шести центовых и
четырёх десятицентовых монеток. Ответ: 10!/(6! х 4!) = 210.
Эта задача связана с обсуждением треугольника Паскаля в 15-й
главе моей книги «Математический карнавал», изданной
Американской математической ассоциацией в 1989 году. Это станет
понятно, если пометить каждый перекресток числом, равным числу
кратчайших путей от левого верхнего угла до этого перекрестка.
Ответ 210 можно найти по треугольнику Паскаля, если, начав с его
вершины, переместиться на шесть (или четыре) шага по одной его
стороне, а потом повернуть и переместиться на четыре (или шесть)
шагов в другом диагональном направлении.
ГЛАВА 5
Вишенка в коктейле
и другие задачи
1. ВИШЕНКА В КОКТЕЙЛЕ
Это одна из тех редких чудесных головоломок, которые решаются
мгновенно, если подойти к ним правильно. В формулировке
задания есть изюминка, призванная направить ваши мысли по ложному
экспериментальному пути. Известны случаи, когда умные люди
бились над ней по двадцать минут и в конце концов приходили к
заключению, что она не имеет решения.
В
Рис. 15.
Головоломный «манхэттен»
64 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Положите четыре спички так, чтобы изобразить фужер (см. рис.
15). Задача в том, чтобы передвинуть только две спички таким
образом, чтобы фужер оказался в другом положении, а вишенка —
снаружи. Фужер можно переворачивать как угодно, но он должен
оставаться таким же, как исходный. На рисунке под буквой А показано,
как можно переместить 2 спички, чтобы «перевернуть» фужер.
Однако это не является решением, так как вишенка остается внутри.
Под буквой В показан другой способ «опустошить» фужер. Однако
и это не является решением, так как здесь перемещенными
оказываются три, а не две спички.
2. КУБИК В ОБЕРТКЕ
Каков наибольший куб, который можно полностью завернуть со
всех шести сторон куском бумаги, вырезанным из листа размером
3x3 дюйма? (Естественно, кусок бумаги должен быть единым.)
3. ЛАНЧ В КЛУБЕ ПЛ
Каждый из членов клуба ПЛ («правда-ложь») является либо
правдивым человеком, всегда честно отвечающим на вопрос, либо
лжецом, который всегда отвечает на вопросы нечестно. Когда я
впервые посетил этот клуб, то обнаружил всех его членов
(исключительно мужчин) сидящими вокруг большого круглого стола за
ланчем. Не было никакой возможности отличить правдивых
людей от лжецов по внешнему виду, поэтому я спрашивал у всех по
очереди, кем является каждый из них. Это оказалось бесполезным
занятием. Каждый уверял меня, что говорит правду. Я попробовал
ещё раз, спросив теперь у каждого, кем является его сосед слева.
К моему удивлению, каждый сказал мне, что его сосед слева —
лжец.
Позже в тот же день, уже дома, я начал писать заметки о
посещении клуба и обнаружил, что забыл подсчитать число человек,
сидевших за столом. Я позвонил президенту клуба. Он сказал мне,
что в клубе 37 членов. После того как повесил трубку, я понял, что
не могу быть уверенным в точности этого числа, так как не знаю,
лжет президент или говорит правду. Тогда я позвонил секретарю
клуба.
Вишенка в коктейле и другие задачи 65
«Нет, нет, — сказал мне секретарь. — К сожалению, наш
президент — законченный лжец. На самом деле за столом было 40
человек».
Кому из них я должен был верить, и верить ли хотя бы одному
вообще? Неожиданно я увидел простой способ разрешения загадки.
Сможет ли читатель на основании приведенной здесь информации
выяснить число человек за столом? Задача основана на
предложении швейцарского физика Вернера Йохо.
4. ЧЕСТНЫЙ ДЕЛЕЖ
Двум братьям досталось в наследство стадо овец. Они продали
всех овец, выручив за каждую по столько же долларов, сколько
всего овец было в стаде. Деньги они получили в десятидолларовых
банкнотах, за исключением остатка (монетами дали меньше 10
долларов). Они разделили между собой купюры, положив их на
стол и беря по одной по очереди, пока ни одной купюры не
осталось.
— Это нечестно, — пожаловался младший брат. — Ты брал
первым, и последняя купюра тоже досталась тебе, так что тебе
досталось на 10 долларов больше, чем мне.
Старший брат отдал ему все серебряные доллары, но младший не
успокоился.
— Ты дал мне меньше десяти долларов, — возражал он, — и
должен ещё.
— И то правда, — согласился старший, — давай лучше я выпишу
тебе чек, чтобы у нас все было поровну.
Так он и сделал. Какова была сумма чека? Кажется, что
информации недостаточно, однако на этот вопрос можно ответить.
Рональд А. Воль, химик из университета Рутжерса, недавно
обратил мое внимание на эту красивую задачу, которую он нашел в
одной французской книге. Позже я нашел у себя в архиве письмо от
Карла Дж. Коу, математика на пенсии, раньше работавшего в
Мичиганском университете. В этом письме обсуждалась та же самая
задача, которая, как он рассказал, ходила среди его коллег в 50-е годы.
Думаю, что она до сих пор не стала широко известна, поэтому
предлагаю её вам.
3-10396
66 1000 развивающих головоломок...
5. ТРИ-ГЕКС
В крестики-нолики обычно играют на поле из девяти клеток, в
котором можно выделить восемь рядов по три клетки в каждом. Но
возможно ли расположить девять клеток, чтобы они образовали
девять или даже десять рядов по три клетки? Томас X. О'Бирн из
Глазго, автор книги «Головоломки и парадоксы», вышедшей в Оксфорде
в 1965 году, экспериментировал с различными топологическими
решётками из девяти рядов, чтобы найти среди них такие, на которых
можно играть в крестики-нолики. Он обнаружил, что во всех
стандартных структурах легко выигрывает тот, кто ходит первым.
Исключение составляет вот такая решётка, представленная на рис. 16.
Рис. 16.
Игра «Три-гекс»
Чтобы играть в «Три-гекс», как назвал её О'Бирн, один из
игроков может воспользоваться четырьмя монетками по центу, а другой
- по десять центов. Первому игроку пятый ход делать нельзя.
Игроки по очереди ставят монетки, и первый, кто выставит три монетки
в ряд, выигрывает. Оба игрока действуют наилучшим образом. Кто
из них выиграет? Или же, как в обычных крестиках-ноликах,
неизбежна ничья?
Значение подобных фигур для современной геометрии весьма
занимательно поясняет Гарольд Л. Доруорт в своей книге The
Geometry of Incidence («Геометрия случайностей»), опубликованной в
1966 году, и в буклете, прилагаемом к собственному набору
головоломок «Конфигурации». Помимо своих топологических и
комбинаторных особенностей решётка, изображенная здесь, отличается
необычной метрической структурой: каждый ряд из трёх точек
делится средней точкой на отрезки, относящиеся друг к другу по
принципу золотого сечения.
Вишенка в коктейле и другие задачи 67
6. ЗАДАЧА ЛЭНГФОРДА
Давным-давно шотландский математик Дадли Лэнгфорд наблюдал,
как его маленький сынишка играет в разноцветные кубики. В
комплекте было по два кубика каждого цвета, и малыш построил из них
башню так, что между двумя красными кубиками оказался один
кубик другого вдета, между двумя синими - два кубика другого цвета,
а между двумя жёлтыми — три кубика другого цвета. Заменим цвета
цифрами, и последовательность будет выглядеть так: 3 12 13 2.
Задача о том, как расставить шесть цифр так, чтобы между
единицами была одна цифра, между двойками — две и между
тройками - три, имеет лишь один ответ (вариант обратного порядка мы не
считаем отдельным решением).
Лэнгфорд попробовал сделать то же самое с четырьмя парами
кубиков разного цвета и обнаружил, что такая задача также имеет
лишь одно решение. Сможете ли вы найти его? Эту простую задачу
удобно решать, пользуясь восемью игральными картами: двумя
тузами, двумя двойками, двумя тройками и двумя четверками. Цель —
разложить их в ряд таким образом, чтобы тузы разделяла одна
карта, двойки — две карты и так далее.
Для пяти или шести пар карт «задача Лэнгфорда», как её стали
называть, не имеет решений. Для семи пар имеется двадцать шесть
вариантов решения. Никто не знает, как определить число
существующих решений для данного числа пар. Конечно, всегда есть
изнурительный метод проб и ошибок — но, может быть, кто-нибудь из
читателей сможет найти простой способ определить, есть ли у
задачи хотя бы одно решение.
7. ПЕРЕКРЫВАЮЩИЕСЯ КВАДРАТЫ
В 1950 году Чарльз В. Тригг, в прошлом декан лос-анджелесского
Сити-колледжа, редактируя раздел задач журнала Mathematical
Journal («Математического журнала»), придумал новую рубрику —
«блиц-задачи».
Эти задачки, как пояснял Тригг, отличаются тем, что «могут
решаться трудоемкими методами, однако при правильном озарении
решение находится мгновенно». В своей книге «Математические блиц-
задачки», вышедшей в 1967 году (переиздана в 1985 году), он
предлагает 270 лучших блиц-задач, которые он нашел или сам придумал за
всю свою выдающуюся карьеру эксперта по данному вопросу.
68
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК..
Рис. 17.
Какова площадь
перекрывающегося участка ?
Одна блиц-задачка из книги Тригга (см. рис. 17) такова: даны
два квадрата, меньший со стороной 3 дюйма, больший со стороной
4 дюйма. Угол D большого квадрата находится в центре маленького.
Большой квадрат вращается вокруг угла D, пока точка В не будет ie-
лить сторону АС меньшего квадрата в отношении 1:2. Смоете ла
вы быстро найти площадь перекрывающейся области (на рисунке
заштрихована)?
8. СЕМЬИ СТРАНЫ ФЕРТИЛИИ
Имеющий трёх дочерей положенье исправить пытается,
Да только у половины из них четвертая дочь рождается.
Те же, кому дал Господь сыновей, довольны своим уделом,
Из этого следует, что растет число женщин в целом.
Этот стишок под названием «Учёному на заметку» принадлежит
перу Джастина Ричардсона, и его можно найти в со. ?«ике «Ещё
больше забавных и занимательных стихов», который составил Дж.
М. Коэн. Есть ли смысл в этом стихотворении?
Нет, хотя такой тип ложного статистического вывода весьма
распространён. Джордж Гамов и Марвин Стерн в книге Puzzle-math
(«Головоломная математика») 1958 года издания рассказывают
историю про султана, который, чтобы увеличить в своей стране число
Вишенка в коктейле и другие задачи 69
женщин для гаремов, издал указ, запрещающий матери иметь ещё
детей после того, как она родила своего первого сына. Если же у неё
рождаются девочки, она может рожать сколько угодно. «После
выхода моего нового указа, — говорит султан, — в семьях будет,
например, по четыре девочки и одному мальчику, по десять девочек и
одному мальчику. А в каких-то, вероятно, лишь по одному сыну и так
далее. Отсюда очевидно, что женщин станет больше, чем мужчин».
Как разъясняют Гамов и Стерн, ничего подобного на самом
деле не происходит. Рассмотрим всех матерей, имеющих по одному
ребенку. Половина из них имеет сыновей, другая половина —
дочерей. Затем матери девочек рожают следующего ребенка. Среди
этих детей также будет равное число мальчиков и девочек.
Половина из этих матерей родят по третьему ребенку, и среди этих детей
мальчиков и девочек снова будет поровну. Вне зависимости от
числа рождений и числа человек в семье отношение полов все равно
остается 1:1.
Это подводит нас к статистической задаче, сформулированной
Ричардом Г. Гулдом из Вашингтона. Представьте, что указ султана
вступил в силу, а родители в Фертилии обладают достаточным
здоровьем и продолжительностью жизни, чтобы продолжать рожать
детей до тех пор, пока у них не появится мальчик. При каждом
рождении вероятность появления на свет сына составляет одну вторую.
Вопрос: каково по прошествии достаточно длительного времени
будет среднее число детей в фертилийской семье?
9. РОЖДЕСТВО И ДЕНЬ ВСЕХ СВЯТЫХ
Докажите (просит Соломон В. Голомб), что Oct.31 = Dec.25.
10. ЗАВЯЖИТЕ УЗЕЛ
Возьмите бельевую веревку длиной примерно 120 см. Завяжите на
обоих концах петли, как показано на рис. 18. Петли должны быть
такими, чтобы вы могли просунуть в них руки. Надев петли на
запястья и натянув веревку, попытайтесь завязать узел в центре веревки.
Вы можете делать с веревкой всё что угодно, кроме, естественно,
высвобождения запястья из петли, разрезания веревки или
нарушения существующих узлов. За исключением фокусников, этот трюк
мало кому известен.
70
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Рис. 18.
Веревка для задачи с узлами
ОТВЕТЫ
1. На рис. 19 показано, как нужно передвинуть две спички, чтобы
вишенка оказалась вне фужера.
2. Если запрещено наложение одного слоя бумаги на другой, то
самым большим кубом, который можно обернуть фигурой,
вырезанной из бумажного квадрата со стороной три дюйма, будет куб
со стороной, равной трем четвертям квадратного корня из двух
(3/4 х ^2). Фигура показана на рисунке 20, она складывается по
пунктирным линиям.
'•: '
Рис. 19.
Решение задачи со спичками
Вишенка в коктейле и другие задачи
71
Рис. 20.
Решение без наложения
слоев бумаги
Однако в условии задачи не оговаривалось, что бумага не
должна накладываться (я сделал это намеренно), и я не думал, что при
наложении слоев бумаги можно добиться лучшего результата, чем
тот, что приведен выше, и считал его единственным ответом задачи.
Первым, кто прислал мне вариант, при котором площадь
поверхности обернутого бумагой куба максимально приближена к идеалу
(когда используется практически вся площадь квадратного листа
бумаги), стал математик из университета штата Висконсин, Джон. X.
Халтон. (Ещё три моих читателя, Дэвид Элвелл, Джеймс Ф. Скуддер
и Зигфрид Спира, приблизились к этому результату и нашли
способы обернуть куб большего, чем предложил я, размера. Джорджу
Д. Паркеру удалось найти решение, совпадающее с вариантом
Халтона.)
Способ Халтона требует разрезать квадратный лист так, чтобы
две противоположные стороны куба были закрыты целыми
квадратами, а остальная его часть обматывалась лентой, сложенной в
прямую полосу, так, чтобы площадь перекрывания была настолько
малой, насколько позволит ширина вырезанной вами ленты.
Предположив наличие бесконечного терпения у исполнителя и бумаги с
бесконечно малыми «молекулярными» размерами, как обозначил
это Хальтон, при этом способе можно обернуть куб максимально
приближенных к идеалу размеров — то есть со стороной, равной
%.
Фитч Чейни, математик из Хартфордского университета, нашел
другой способ добиться того же результата, усложнив фигуру,
показанную на рис. 20.
Увеличив центральный квадрат, как показано на рис. 21, он
превратил четыре окружающих квадрата в прямоугольники, а четыре
угловых треугольника, соответственно, увеличил. Закрашенные об-
72
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
ласти, разрезанные, как показано, можно завернуть (показано
стрелками), чтобы увеличить каждый из угловых треугольников.
{А заворачивается один раз, В — трижды.) В результате получается
фигура, подобная исходной, только большего размера. Если
неизбежное наложение слоев бумаги свести к минимуму, получается
результат, аналогичным образом приближающийся к предельной
величине стороны куба, равной % •
3. Если каждый из сидящих за круглым столом либо лжет, либо
говорит правду, и каждый утверждает, что сидящий слева от него -
лжец, значит, за столом находится четное число людей, причем
лжецы и честные чередуются. (При нечетном числе людей невозможно
разместить их так, чтобы хотя бы один из них не назвал соседа
слева честным.) Следовательно, когда президент клуба сказал, что в
Рис.21.
Сложение квадрата для обертывания куба методом Чейни
Вишенка в коктейле и другие задачи 73
нем состоит 37 членов, он лгал. Секретарь назвал президента
лжецом — значит, он честный человек. Следовательно, он сказал правду
про то, что в клубе 40 членов.
4. Сказано, что братья, получившие в наследство стадо, продали
каждую овцу за число долларов, равное числу овец в стаде. Если
число овец п, тогда общая сумма полученных за них денег равна я2.
Эта сумма была выплачена в десятидолларовых банкнотах плюс
остаток. Причем остаток (он меньше 10 долларов) был выплачен
монетами по одному доллару.
По очереди беря купюры, старший брат взял и первую, и
последнюю в стопке. Значит, во всей сумме содержится нечетное число
десятков. Так как квадрат любого произведения десяти содержит
четное число десятков, мы можем заключить, что п (число овец)
должно оканчиваться цифрой, квадрат которой содержит нечетное
число десятков. Такие квадраты есть только у двух цифр — у 4 и 6
(соответственно 16 и 36). Оба эти числа оканчиваются на 6.
Следовательно, п2 (вся сумма, полученная за овец) — это число,
оканчивающееся на 6. Значит, в остатке было 6 долларов.
После того как младший брат взял шесть долларов, у него все
равно было на четыре доллара меньше, чем у старшего, и старший
выписал ему чек на два доллара, чтобы уравнять их доли.
Удивительно, но многие прекрасные математики совершенно верно решают
задачу вплоть до этого момента, но в конце концов забывают, что
чек должен быть не на четыре, а на два доллара!
5. Игра в «крестики-нолики» на поле в виде фигуры «три-гекс»
(см. рис. 22) выигрышна для первого игрока — но только в том
случае, если он начинает с одной из чёрных точек. После этого
неважно, как будет ходить его противник. Первый игрок всегда
сможет сыграть так, чтобы вынудить противника сделать
определенный ход, а затем устроить угрозу на двух рядах одновременно и
таким образом гарантированно победить следующим ходом.
Если игра начинается с угла «доски», тогда второй игрок может
свести игру к ничьей, заняв другой угол. Если первый ход
совершается в вершине центрального равностороннего треугольника,
второй игрок также может свести игру к ничьей, заняв другой угол
этого малого треугольника.
Более полный анализ см. в статье «Новые доски для старых игр»
Томаса X. О'Бирна, New Scientist, 11 января 1962 года.
74 1000 развивающих головоломок..
Рис. 22.
Решение «три-гекса».
6. Единственное решение задачи Лэнгфорда с четырьмя парами
карт — 4131243 2. Конечно, порядок можно сделать обратным, но
это не считается самостоятельным решением.
Если число пар п, задача имеет решение лишь для п, кратных
четырем, или на единицу меньше. Дадли Лэнгфорд опубликовал свою
задачу в регулярном издании Mathematical Gazette, выпуск 42, октябрь
1958, с. 228. В дальнейшем она обсуждалась в статьях К. Дж. Прайдэя
«О задаче Лэнгфорда (I)» и Роя О. Дэвиса «О задаче Лэнгфорда (II)»,
Mathematical Gazette, выпуск 43, декабрь 1959, с. 250-255.
26 решений для п = 1 даны в Mathematical Gazette, выпуск 55,
февраль 1971, с. 73. Различные компьютерные программы
подтвердили этот список решений, а также нашли 150 решений для п = 8.
Э. Дж. Грот и Джон Миллер независимо друг от друга получили с
помощью компьютерных программ 17 792 варианта
последовательностей для п = 11 и 108 144 вариантов для п = 12.
Р. С. Никерсон в статье «Вариант задачи Лэнгфорда» (American
Mathematical Monthly, выпуск 74, май 1967, с. 591-595) изменяет
условие таким образом, что вторая карта из пары со значением к
находится на к-тои месте после первой. Иными словами, каждая пара карт со
значением к разделена к — 1 картами. Никерсон доказал, что задача
имеет решение только в том случае, если число пар равно 0 или 1 по
модулю четыре. Джон Миллер с помощью компьютерной программы
нашел три решения для « = 4(1 142324 3, 1 1342324и41 13423
2), пять решений для п = 5, 252 решения для п = 8 и 1328 для п = 9.
Фрэнк С. Джиллеспи и В. Р. Утц в статье «Общая задача
Лэнгфорда» (Fibonacci Quarterly, выпуск 4, апрель 1966, с. 184-186)
расширяют задачу до троек, четверок и больших наборов карт. Однако
они не смогли найти решений для наборов, больших, чем пары.
Вишенка в коктейле и другие задачи 75
Юджин Левин в том же журнале (выпуск 6, ноябрь 1968, с. 135—138)
в статье «Об общей задаче Лэнгфорда» показал, что необходимое
условие для нахождения решения в случае с тройками карт таково:
число троек п равное -1,0 или 1 по модулю девять. Он нашел
решения для п = 9, 10, 17, 18 и 19 и заключил, что достаточным условием
является также п больше 8. Отсутствие решения для п = 8
впоследствии было доказано компьютерным расчетом.
Левин нашел только одно решение для п = 9. Мне другие
решения также неизвестны, так что оно может оказаться единственным.
Читатели могут доставить себе удовольствие и найти его
самостоятельно. Возьмите из колоды все карты трёх мастей с цифровыми
значениями (от туза до девятки). Сможете ли вы разложить их в ряд
так, чтобы для каждой тройки карт со значениями к между первой и
второй картой оказалось к карт и столько же — между второй и
третьей? Это крайне сложная комбинаторная проблема.
Д. П. Розелль и Т. С. Томассон-мл. в статье «Об общих лэнгфор-
довых последовательностях» в журнале Journal of Combinatorial
Theory, выпуск 11, сентябрь 1971, с. 196—199, сообщают о ряде
новых несуществующих теорем и дают по одному решению для троек
при п = 9, 10 и 17. Насколько мне известно, пока не найдено
никаких лэнгфордовых последовательностей для наборов с числом
членов больше трёх. Точно так же пока не доказано, существуют или
нет такие последовательности.
7. Чтобы решить задачу с перекрывающимися квадратами,
продолжим стороны большего квадрата, как показано пунктиром на
рисунке 23. Очевидно, что меньший квадрат оказывается поделен
этими линиями на четыре одинаковые части. Так как площадь
меньшего квадрата составляет девять квадратных дюймов, то
область перекрывания (заштрихована) должна иметь площадь 9/4, или
2 х/4 квадратных дюйма.
Самое удивительное в этой задаче то, что площадь области
перекрывания постоянна и не зависит от положения большого квадрата
при его вращении вокруг вершины D. То, что 5 делит ЛС в отношении
1:2, излишняя информация, не имеющая значения для нахождения
площади. Она приводится в задаче специально, чтобы сбить с толку.
8. На первом этапе рождений в Фертилии появляются п детей,
где п — это число матерей за любой произвольный период. На
втором этапе появляется я/2 ребенка, на третьем - я/4. Всего сумма со-
76
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Рис. 23.
Перекрывающиеся квадраты
ставит (1 + 1/2 + хU + Ув + ••• )> или 2я. Поделив это число на я,
получим среднее число детей в семье, равное 2.
Многие читатели замечают, что на этот вопрос можно ответить
проще. После того как мы показали, что отношение мальчиков и
девочек всегда будет сохраняться 1:1, очевидно, что по
прошествии длительного времени число мальчиков будет равно числу
девочек. Так как в любой семье может быть только один сын, то в
среднем в ней будет и одна дочь. Значит, среднее число детей в
семье - двое.
9. Если «oct.» принять как сокращение от «octal», то есть
восьмеричной системы, a «dec.» - от «decimal», то есть десятичной, тогда 31
(в восьмеричной системе) будет равно 25 (в десятичной). Это
примечательное совпадение является основной подсказкой в рассказе
Айзека Азимова «Любопытный случай налогового мошенничества» из
цикла, посвященного клубу Чёрных вдовцов (см.
научно-фантастический журнал Ellery Queen's Mystery Magazine, ноябрь 1976 г.).
Джон Фридляйн заметил, что не только Рождество равно Дню
Всех Святых, но и оба эти праздника равны Дню благодарения,
если он приходится на 27 ноября (Novem.27), поскольку 27 в
девятеричной системе равно 25 в десятичной.
Сюзанн Л. Ханауэр предлагает другое решение для равенства
Рождества и Хеллоуина. 31 октября можно записать как 1031. 25
декабря записывается как 1225. А 1031 = 1225 по модулю 194.
Дэвид К. Скотт и Джей Битти независимо установили равенство
ещё более удивительным способом. Пусть буквы в сокращениях oct.
Вишенка в коктейле и другие задачи
77
и dec. обозначены цифрами: О = 6, С = 7, Г =: 5, D = 8, а £ = 3.
Тогда oct. 31 = dec. 25 записывается как 675 х 31 = 837 х 25 = 20 925.
Предположив, что две разные буквы не могут обозначаться
одними и теми же цифрами, что О и D не могут принимать значение 0
(как первые знаки в числах) и что остальные три буквы можно
обозначить любыми цифрами, включая 0, можно установить, что
существует 24 192 различных способа подстановки цифр. Битги
запрограммировал компьютер на проверку всех 24 192 возможностей.
Программа доказала (как и предполагал Скотт), что приведенное
выше выражение уникально!
10. Чтобы завязать узел на веревке, натянутой между запястьями,
вначале потяните её среднюю часть и проденьте под веревку,
охватывающую левое запястье, как показано на рис. 24. Перекиньте
петлю через левую руку, затем потяните обратно из-под веревки,
охватывающей запястье. Теперь петля находится у вас на левой руке, как
видно на правом рисунке. Если снять петлю с руки через левую
ладонь, на веревке образуется узел.
Если наполовину повернуть петлю вправо после того, как вы
первый раз пропустили её под веревкой, охватывающей запястье, но
до того, как вы перекинули её через ладонь, получится
узел-восьмерка. А если конец петли продеть через кольцо, прежде чем пере-
Рис. 24.
Решение задачи с веревкой
78 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
кинуть петлю через руку, кольцо прочно завяжется на веревке после
того, как вы завяжете любой узел.
Ван Каннингем и Б.Л. Шварц независимо друг от друга
написали мне, что постановка задачи не запрещает второго решения.
Сложите ладони, проденьте каждую из них через соответствующую
петлю, а после этого просто разведите руки.
ГЛАВА 6
Двойные акростихи
В современной теории множеств два множества называются
пересекающимися, если у них есть один или более общих элементов.
Кроссворды, двойные акростихи и игры типа «Эрудита» («Скрэб-
бла») можно рассматривать как комбинаторные, в которых 33
элемента (буквы) организованы во множества (слова),
пересекающиеся согласно правилам и геометрическим построениям, в которых
располагаются элементы. Из сотен вариантов словесных
головоломок, использующих пересечения, очень немногие столь же
изящны и имеют такую же интересную историю, как двойной
акростих. Сегодня это почти забытая забава - но именно она стала
прародительницей кроссвордов. В конце XIX — начале XX веков
это была самая популярная игра со словами в англоязычных
странах. В 1915 году восемь лондонских газет каждый день
публиковали двойные акростихи. Газета The World поддерживала эту
традицию, начиная с первого выпуска в 1874 году, а газета Queen - с
1860-х годов.
Двойной акростих — это сильно стилизованная форма, обычно в
виде рифмованных строчек. Вот, например, короткий образчик
такого стиха:
Меж нами рифма есть, но нет согласья,
И если первое кого-нибудь везет,
То может приключиться с ним несчастье,
Когда он на ходу второе пьет.
80 1000 развивающих головоломок...
1
Я царь зверей, меня узнать легко,
Хоть и живу от вас я далеко.
2
Я в каждом доме есть, а если нет,
То в дом не проникает белый свет.
3
Я молод был и одинок когда-то,
Теперь со мной седины да внучата.
4
Когда придет зима, меня залей,
И всех друзей зови играть в хоккей!
5
Что в цирке главное? Узнай,
И это слово разгадай.
В первой строфе загадываются два слова, которые называются
вертикалями. Эти вертикали составляются из первых и последних
букв слов, загаданных в нумерованных строфах. Две вертикали
должны быть равны по длине и в некоторой степени иметь друг к
другу отношение (например, рифмоваться). В данном случае первая
вертикаль, которая называется начальной, это слово ЛОДКА. Вторая
вертикаль - конечная - это слово ВОДКА. Слова по горизонтали,
загаданные в пронумерованных строфах, называются
перекрестными лучами или просто лучами. Окончательный ответ будет таков:
ЛеВ
ОкнО
Д е Д
КатоК
Арен А
Перекрестные лучи могут быть различной длины, как в данном
примере. Иногда допускается писать их задом наперед, использовать
только части слов или даже переставлять буквы в них. Но все эти действия
должны быть зашифрованы в соответствующих строфах. Если средние
Двойные акростихи 81
буквы каждого луча составляют третью вертикаль, называемую
центральной, головоломка получает название тройного акростиха.
Генри Эрнест Дьюдени, автор небольшой книжечки под
названием The World's Best Word Puzzles («Лучшие в мире словесные
головоломки»), опубликованной в 1925 году, приписывает изобретение
викторианских двойных акростихов самой королеве Виктории!
Доказательство этому можно найти в редком издании Victorian Enigmas
or Windsor Fireside Researches: Being a Series of Acrostics Enigmatically
Propounded («Викторианские загадки, или Виндзорские изыскания у
камина: головоломные акростихи для вас»), 1861 год, Шарлотты
Элизы Кейпел. Мисс Кейпел пишет, что её собственные двойные
акростихи сочинены под влиянием загадки, загаданной ей пять лет
назад подругой в Виндзорском замке. По словам подруги, этот акростих
был написан королевой Викторией для своих детей. Хотя загадка
королевы, которую приводит мисс Кейпел, составлена не в рифму, она
определённо является двойным акростихом. Из первых букв
загаданных географических названий составляется слово «Ньюкасл», а
конечная вертикаль (coal mines) в переводе с английского означает
«угольные шахты», которыми знаменит упомянутый город.
Отняв от 1861 года пять лет, мы видим, что датой создания
королевской головоломки оказывается 1856 год. Именно в этом году
(30 августа, как пишет Дьюдени) в «Иллюстрированных лондонских
новостях» появился первый напечатанный двойной акростих.
Автором его значился Катберт Вид — под этим псевдонимом писал
преподобный Эдвард Брэдли. Он назвал свою головоломку «шарадой-
акростихом» и упомянул, что это новомодная игра со словами,
«появившаяся недавно». В шараде были загаданы слова «Лондон» и
«Темза» (в английском написании они содержат одинаковое число
букв). Строки, дающие подсказку, звучали так:
Мир в мире, королевство в королевстве\
Столица доблести, могущества и злата.
Зловонный дух, болото всех известней,
Лишь хламом и отбросами богато.
(Как видите, проблема загрязнения рек отнюдь не нова.)
К 1860 году термин «двойной акростих» стал привычным, и
загадки такого типа были включены в книгу некоего А. Кантаба
«Шарады, головоломки и загадки». «Двойной акростих, — пишет Кантаб, —
совсем недавнее изобретение». К 1884 году увлечение акростихами в
82 1000 развивающих головоломок...
Англии достигло такого уровня, что Филиппа Пирсон, супруга
автора нескольких книг с головоломками, выпустила «Словарь
акростихов», состоявший из 256 страниц и 30 000 распространенных слов,
расставленных в алфавитном порядке по первой и последней букве.
Среди сотен тысяч двойных акростихов, опубликованных в газетах,
журналах и книгах Викторианской эпохи, самыми очаровательными
были принадлежавшие перу Томаса Худа-младшего. Как и отец, Худ-
младший слыл искусным и плодовитым автором юмористических
стихов, многие из которых печатались в журнале Fun («Забава»),
выходившем еженедельно, где он служил редактором, а позднее в собственном
периодическом издании «Комический ежегодник Тома Худа». (Томас
Худ-старший был известным английским поэтом.) Худ-младший
сочинил сотни стихотворных загадок самых разнообразных типов. На
рисунке 25 приведен акростих из детской книги Excursions into Puzzledom
(«Экскурсия в королевство загадок»), авторство которых
приписывается Худу и его сестре. Этот стих был опубликован в 1879 году - спустя
пять лет после смерти Худа. Не сомневаюсь, что знающим английский
язык читателям будет интересно проверить свои знания.
Ruler of all things, for a space his hand
Is traced in sparkling lines throughout the land: \ \
Painting each pane and jewelling each tree,
Checking the brooks and rills that trickled free;
Tasting the roots and fruits all stored away,
Withering the garden blooms that were so gay.
Such is my First, - the boys alone delight
To see his silent traces over night.
And greet him well, for long they all have reckoned
Upon his aid to help them to my Second.
1
Where the fairies come, we grow,
Their most secret haunts we know.
Our fringed fans are tall and green,
Pavilions for the elfin queen.
Those that with all careful heed,
< \ Sow at night our mystic seed,
May her sportive revels see
Underneath the greenwood tree!
Двойные акростихи 83
i 2
4. When a frisky fancy takes
] f The jovial Land of Cakes,
* * She calls for her piper to play her a tune,
\ J Till the very roof-tree shakes!
4 к And then ere it grows too late,
ф A perplexing figure of eight
j к Is danced by the lads and lasses all
41 At a most astonishing rate!
1 r
<• 3
ф J
When Pierre meets Marie in the lane,
i. And slyly steals a kiss,
.! He asks a question clear and plain,
\, To which she answers — this!
О
V. 4
< i No traveller of modern times
\ \ Such wondrous tales narrated; -
\\ As of this ancient mariner
j | Have been most gravely stated.
5
When the storm king rises
From his cloudy lair,
! * And his muttered anger
\ J Grumbles in the air;
jk Doors and windows rattle,
i» Sign-posts creak and groan.
< ъ And from roof and rafter
i \ This is roughly blown.
if
< >
\ f
о
4 f
4 f
О
!?
< i
^ f
* f
о
4 f
<\
* f
о
If
4 f
о
* f
о
4 f
Рис. 25.
Odww из многочисленных двойных акростихов Тома Худа
Неудивительно, что Льюис Кэрролл, большой любитель
головоломок всякого рода, тоже увлекался двойными акростихами и
оставил множество превосходных образцов. Лучший из них
впервые появился в книге 1869 года «Фантасмагория». В своем дневни-
84 1000 развивающих головоломок...
ке 25 июня 1867 года Кэрролл пишет: «Блор [один из учеников
Кэрролла с математического факультета оксфордского колледжа
Крайст-Черч] привел свою племянницу, мисс Кейзер, посмотреть
фотографии — её я тоже снял пару раз. Потом сидел, слушая
музыку, доносившуюся с бала Крайст-Черч, и писал по просьбе мисс
Кейзер очередной акростих-балладу, наподобие тех, что я
показывал Блору раньше».
А вот как Кэрролл предваряет свою балладу в «Фантасмагории»:
«[Она] была написана по просьбе кое-кого из моих юных друзей,
отправившихся на торжественный оксфордский вечер - а также в
качестве примера того, чего можно достичь, превратив акростих из
набора отдельных строф в связное стихотворное произведение. Иначе
строфы на произвольные темы, которым до сих пор был акростих,
получаются не более занимательными, чем взятая наугад страница
энциклопедии. В первых двух строфах загадываются два главных
слова, а в каждой из последующих - по одному из слов-лучей».
На рисунке 26 приведен один из наиболее запутанных
акростихов Льюиса Кэрролла:
THERE was an ancient City, stricken down
With a strange frenzy, and for many a day
They paced from morn to eve the crowded town,
And danced the night away.
I asked the cause: the aged man grew sad:
They pointed to a building gray and tall.
And hoarsely answered «Step inside, my lad,
And then you'll see it all.»
1
Yet what are all such gaieties to me
Whose thoughts are full of indices and surds?
x2+ 7x + 53 = 11/3
2
But something whispered «It will soon be done:
Bands cannot always play, nor ladies smile:
Endure with patience the distasteful fun
For just a little while!»
Двойные акростихи 85
3
A change came o'er my Vision — it was night:
We clove a pathway through a frantic throng:
The steeds, wild-plunging, filled us with affright:
The chariots whirled along.
4
Within a marble hall a river ran —
A living tide, half muslin and half cloth:
And here one mourned a broken wreath or fan,
Yet swallowed down her wrath;
5
And here one offered to a thirsty fair
(His words half-drowned amid those thunders tuneful)
Some frozen viand (there were many there),
A tooth-ache in each spoonful.
6
There comes a happy pause, for human strength
Will not endure to dance without cessation;
And every one must reach the point at length
Of absolute prostration.
7
At such a moment ladies learn to give,
To partners who would urge them overmuch,
Aflat and yet decided negative —
Photographers love such.
8
There comes a welcome summons — hope revives,
And fading eyes grow bright, and pulses quicken:
Incessant pop the corks, and busy knives
Dispense the tongue and chicken.
9
Flushed with new life, the crowd flows back again:
And all is tangled talk and mazy motion —
Much like a waving field of golden grain,
Or a tempestuous ocean.
86 1000 развивающих головоломок...
10
And thus they give the time, that Nature meant
For peaceful sleep and meditative snores,
To ceaseless din and mindless merriment
And waste of shoes and floors.
11
And One (we name him not) that flies the flowers,
That dreads the dances, and that shuns the salads,
They doom to pass in solitude the hours,
Writing acrostic-ballads.
12
How late it grows! The hour is surely past
That should have warned us with its double knock?
The twilight wanes, and morning comes at last —
«Oh, Uncle, whafs o'clock?»
13
The Uncle gravely nods, and wisely winks.
It may mean much, but how is one to know?
He opes his mouth — yet out of it, methinks,
No words of wisdom flow.
Рис. 26.
Сам Кэрролл не назвал ответ, но в 1932 году при издании
сборника The Collected Verse of Lewis Carroll («Сборника стихотворений
Льюиса Кэрролла»), безымянный редактор снабдил этот акростих
вертикалями, которые считал верными, ТОРЖЕСТВО и
ЧУДОВИЩА (commemoration и monstrosities), не приводя перекрестных
лучей. Этот сборник был переиздан издательством Довера под
названием The Humorous Verse of Lewis Carroll - «Юмористические
стихи Льюиса Кэрролла». Приведенный ответ, с тех пор
преследовавший акростих Кэрролла, однозначно неверен. Насколько мне
известно, впервые правильные вертикали были приведены в статье
X. Катберта Скотта The Best Acrostics («Лучшие акростихи»),
опубликованной в журнале The Strand Magazine, выпуск 50, декабрь
1915, с. 722-728, с ответами на 109-й странице следующего выпус-
Двойные акростихи 87
ка. Начальная вертикаль — КВАЗИБЕЗУМИЕ (quasiinsanity),
конечная — ТОРЖЕСТВО (commemoration). Пусть читатель сам
поищет перекрестные лучи — все, кроме четвертого и девятого, раз-
гадываются без труда.
Легко понять, как двойные и тройные акростихи с их двумя или
тремя вертикальными словами развились в более сложные формы, в
том числе кроссворды и более новые разновидности, получившие
название «двойных кростихов» (Double-Crostic). Первый
настоящий кроссворд был составлен ливерпульцем Артуром Уайнном, в
начале XX века переехавшим в США, чтобы заняться
журналистикой. Он был редактором журнала Fun, воскресного приложения к
New York World, и именно там опубликовал 21 декабря 1913 года
первую «Головоломку-крестословицу». Её можно найти в книге Кларка
Киннэрда Encyclopedia ofPazzles and Pastimes («Энциклопедии
головоломок и игр») 1946 года издания. Новая головоломка имела такой
скорый успех, что Уайнн начал составлять подобные головоломки
всех возможных форм и размеров.
В 1924 году двое молодых людей, Ричард Саймон и Макс
Шустер, открыли в Нью-Йорке свое издательство. У тетушки Саймона
была больная подруга, которая очень любила кроссворды,
печатающиеся в «Нью-йоркском мире». Тетушка спросила у племянника,
есть ли книга с подобными головоломками, которую она могла бы
подарить подруге? Такой книги в тот момент не было. Саймон и
Шустер получили разрешение на воспроизведение 50 кроссвордов
(редакторы журнала назвали эту идею «самой дурацкой после
сухого закона») и убедили компанию Venus Pencil пожертвовать им 50 000
карандашей, чтобы прикрепить их к обложке книги в качестве
рекламного трюка. Первые 50 000 экземпляров The Cross Word Puzzle
Book («Книги кроссвордов») разошлись за три месяца, породив
волну безумного увлечения, докатившуюся до Англии, Франции и
других стран. В Канаде приобрели популярность двуязычные
кроссворды, где в одном направлении подставлялись английские слова, а в
другом — французские. За последующие двадцать лет компания
Саймона и Шустера продала более 2 млн экземпляров сборников
кроссвордов.
Большинство американских газет в 1924 году стали печатать
ежедневные кроссворды. Потрясенное издательство New York World
объявило, что её первый ежедневный кроссворд будет составлен
знаменитым Гелетгом Берджессом, и сопроводило это таким
четверостишием:
88 1000 развивающих головоломок...
Они карандаши жуют,
Про сон и пищу забывая,
И жен своих несчастных бьют,
Всю жизнь в шараду превращая.
Последней сдалась газета New York Times. С 1942 года в ней стали
печататься воскресные головоломки под редакцией Маргарет Фар-
рар, супруги издателя Джона Фаррара. Маргарет занимала этот пост
вплоть до выхода на пенсию в 1969 году. (Под фамилией Петерб-
ридж она была одним из трёх редакторов первой книги кроссвордов
Саймона и Шустера.) Сейчас более 90% всех американских газет
выходят с ежедневными кроссвордами. Ежегодно продаются
миллионы сборников кроссвордов. Этот вид головоломок обрел
популярность практически во всем мире, за исключением таких стран,
как Япония и Китай, где господствует иероглифическое письмо.
«Двойные кростихи» типа Double-Crostic, где из слов,
загаданных в головоломке, образуются цитаты из литературных
произведений, а также их названия и фамилии авторов, были изобретены
выпускницей колледжа Уэллсли, преподавательницей английского
языка и литературы в университете Бруклина Элизабет Силмэн
Кингсли. Первый «двойной кростих» миссис Кингсли появился в
журнале Saturday Review of Literature в марте 1934 года. За ним
последовало большое число этих головоломок для того же журнала, потом
и для других изданий, таких как сборники Саймона и Шустера.
Когда в 1952 году она удалилась на пенсию, работу продолжила её
ассистентка Дорис Нэш Уортмэн, которая занималась этим до самой
своей смерти в 1967 году. «Double-Crostic» — это зарегистрированная
торговая марка, но головоломки подобного типа регулярно
появляются под разными названиями.
Один из самых ранних и сложных в составлении вариантов
двойного акростиха - это квадрат из слов, который можно
рассматривать как конечную стадию акростиха, так как каждая буква в нем
означает пересечение двух слов. Набор п слов по горизонтали, каждое
из которых состоит из п букв, пересекается с набором п слов по
вертикали, также состоящих из п букв каждое и читающихся сверху
вниз. Иногда вертикали оказываются идентичными горизонталям,
иногда наборы слов в разных направлениях совершенно не
совпадают. В своей книге Дьюдени говорит, что именно он первым сложил
стихотворные определения для таких квадратов, и приводит ряд
примеров. Эдмунд Уилсон, разделявший со своим литературным
Двойные акростихи 89
противником Владимиром Набоковым любовь к словесным играм,
однажды тоже попытался переложить словесные квадраты в стихи.
В одном из примеров из его книги Night Thoughts («Ночные думы»),
1961 года издания, даны пять горизонтальных слов, за которыми
следуют подсказки к пяти другим словам, составляющим
вертикали. Сможете ли вы построить уилсоновский квадрат размером 5x5?
My first is a garment that fastens behind;
My second applies to a lush little lake;
My third in your Handwdrterbuch you will find
May mean whilst or because; my fourth is a fake:
The Association of Impotent Old Apoplectic Parties;
My fifth is the steamship Nigerian Royal Highness;
My sixth a confection of musical art is;
My seventh an organ remote from the sinus;
My eighth is a painter fantastic and French;
My ninth is exclaimed at a wrench or a stench;
And my tenth is a nimble but mythical wench.
Рис. 27.
Поэма Эдмунда Уилсона, по которой строится квадрат 5x5
ОТВЕТЫ
Вертикальные слова в поэме Тома Худа - это FROST and SLIDE.
Слова-лучи - FERNS, REEL, oui (по-французски «да»), S1NDBAD,
TILE.
Приведенный двойной стих Льюиса Кэрролла с ответами по
вертикали QUASI-INSANITY И COMMEMORATION был впервые
опубликован с правильным решением в 1915 году в журнале Strand
Magazine. Слова-лучи - 1. QUADRATIC; 2. UNDERGO; 3. ALARM;
4. STREAM; 5. ICE; 6. INTERIM; 7. NO; 8. SUPPER; 9. ARENA; 10.
NIGHT; 11.1; 12. TWO; 13. YAWN. Автор упомянутой статьи
сомневался относительно девятого слова, предлагая в качестве
альтернативы ARISTA, по моим предположениям, это AURORA. Её сияние
действительно напоминает складки портьеры, волны которой, по
словам автора, причудливо колышутся («mazy motion»). Дмитрий
90 1000 развивающих головоломок...
Боргман, автор книги Beyond Language, посвященной словесным
играм, обратил мое внимание на фразу «tangled talk» в девятом стихе.
По его мысли, это ABRACADABRA. В качестве альтернативы
четвертому слову-лучу Боргман предлагает SCRIM (холст), указывая на
поворот «half muslin and half cloth» (и кисея, и одежда).
Двусмысленность четвертого и девятого лучей породила
большое число интересных вариантов. Так, Мартин Баркенроуд
отмечал, что в этой поэме позаимствовано две фразы из поэмы Кублай-
хан Кольриджа - «river ran», «mazy motion». Но эти аллюзии не
помогают прояснить эти два сомнительных варианта.
Я просто не в состоянии перечислить всех, кто писал мне об
этом, но некоторые варианты все же приведу. Большинство
читателей остановились на варианте «stream» для четвертого луча. Четыре
читателя назвали «swarm», четыре - «stoicism» (swallowed down her
wrath), а три — «schism». Были варианты — seam, spasm и scrum
(геологическая формация Рагби).
Девятое слово-луч (для него уже предлагали arena, aurora и
abracadabra) тоже оказалось противоречивым. Ещё предлагалось для
него America, asea (к морю), aphasia, agora, alfalfa, ataxia, arista, arcadia,
avena и anarrhoea (из греческого — возвращение воды после отлива).
Робинсон Роув после глубокого и обширного анализа
предположил, что правильные решения для строчек четыре и девять, как и
другие слова, невозможно найти, не обратившись к традициям
Оксфорда. Студент, которому Кэрролл посвятил эту поэму-загадку
(его образ скрывается за «дядей» (Uncle) в строфах 12 и 13),
наверное, без труда справился бы с этими вопросами.
Горизонтальные линии квадрата Уилсона составляют слова
apron, reedy, indent, A.I.O.A.R, S.S.N.R.H, вертикальные - arias, penis,
redon, О dear!, nymph.
ГЛАВА 7
Игральные карты
Игральные карты с их численными значениями, четырьмя мастями,
лицевой и оборотной сторонами, а также простотой случайного
перемешивания издавна предоставляют для занимательной
математики райскую бесконечность возможностей. В этой главе мы
рассмотрим некоторые примечательные комбинаторные задачи и
парадоксы, для которых игральные карты служат превосходной рабочей
моделью.
В своей книге New Mathematical Diversions from Scientific American
(«Новые математические развлечения от Scientific American») я
вкратце упоминаю о любопытном принципе, открытом молодым
фокусником-самоучкой Норманом Гилбрессом. Сложите колоду
карт так, чтобы красные и чёрные карты чередовались. Разделите
колоду на две кучки так, чтобы верхние карты в них были разных
цветов. Если теперь провести тасовку методом «перелистывания»
(колоды кладутся на стол близко друг к другу, отгибаются и словно
книга отпускаются по карте), то все пары карт, лежащих рядом в
колоде, будут состоять из одной красной и одной чёрной. Вы можете
дать кому-нибудь один раз сдвинуть колоду, а затем 26 раз сыграть с
ним в «масти». Каждый из вас будет брать карту сверху колоды. Ваш
противник выигрывает в том случае, если цвета ваших карт
совпадут. Естественно, выигрывать будете все время вы. Гилбресс позже
обнаружил, что его принцип является лишь частным случаем
общего правила, которое среди иллюзионистов теперь носит имя Гилб-
ресса. Оно приложимо к любой повторяющейся серии символов и
лучше понимается на примерах.
92 1000 развивающих головоломок...
Сложите колоду карт так, чтобы масти в ней чередовались в
определённом порядке. Например: пики, черви, трефы и бубны.
Снимая сверху колоды по одной карте, отложите на стол 20—30 карт. (Не
имеет никакого значения, сколько именно карт окажется в
отложенной кучке.) Примените тасовку перелистыванием двух частей
колоды. Как это ни удивительно, каждая четверка карт будет
содержать карты всех мастей. Разнообразные трюки с картами,
основанные на общем принципе Гилбресса, нередко описываются в
периодических изданиях, посвященных фокусам. Самый простой трюк —
дать кому-нибудь разложить и перетасовать колоду, потом убрать её
за спину или под стол и делать вид, что «чувствуете» масти
пальцами, выкладывая на стол по четыре карты всех мастей.
Необходимо, чтобы перед перетасовкой одна часть колоды
оказалась сложена в обратном порядке. Если вы выкладываете карты с
верха колоды на стол, это происходит автоматически. Другой метод -
снять часть колоды, перевернуть «лицом» вверх и перетасовать с
остальными картами, которые остаются вверх «рубашкой». Третий
вариант — брать карты по одной сверху колоды и засовывать их внутрь
колоды: первую - ближе к низу, вторую - куда угодно, но над
первой (если хотите, прямо над ней), третью — над второй и так далее,
пока остается место, куда совать карты. Это то же самое, что снять
часть колоды, переложить её в обратном порядке и перетасовать
перелистыванием. Естественно, изначальный порядок карт в колоде
нарушится, но карты останутся в тех же четверках, содержащих все
масти.
Можно применить правило Гилбресса к повторяющимся
последовательностям из 52 членов — взять две колоды карт и разложить
карты в одной из них в последовательности, строго обратной второй
колоде. Если теперь перетасовать две колоды, как описано выше, и
разделить пополам, то у вас получится две колоды, каждая из
которых содержит по полному набору карт!
Общее правило Гилбресса демонстрирует, насколько плоха эта
эффектная тасовка как метод рандомизирования. Это подвигло
другого математика, преподобного Джозефа К. Сиберца из
Бостона, к созданию первой в своем роде компьютерной программы для
показа компьютером загадочного фокуса с картами. Для него
требовалось 52 перфокарты для IBM, на каждой из которых было
надписано название игральной карты. И программа, и «колода»
загружались в машину, а затем компьютер выдавал следующие
инструкции:
Игральные карты 93
1. Несколько раз снимите колоду, а затем перетасуйте
перелистыванием.
2. Разделите колоду на две части.
3. Посмотрите верхнюю карту в одной из кучек и запомните её.
4. Засуньте эту карту внутрь той кучки, откуда она была взята,
затем перетасуйте две кучки вместе (однократно).
5. Снимите часть карт с верха колоды (можете повторить
несколько раз, если хотите).
6. Теперь верните мне колоду, и я найду вашу карту.
Если карта, которую запомнил человек, была, например,
пятеркой червей, компьютер быстро печатал на экране: «Вы запомнили
пятерку червей. Не спрашивайте меня, как я это узнал. Волшебники
никогда не раскрывают своих секретов. Попробуйте сделать то же
самое ещё раз, и я снова угадаю». Если человек неточно следовал
инструкциям ЭВМ, она иногда все равно находила нужную карту,
возможно, задавая ему дополнительные вопросы: «Я не могу точно
определить цвет вашей карты. Пожалуйста, помогите мне — если она
черная, передвиньте переключатель В, а если красная —
переключатель С». За этим следовало: «Спасибо. Ваша карта — ...». Если
человек не следовал инструкциям и компьютер не мог найти карту, он
печатал: «Вы не следовали моим указаниям. Пожалуйста, запомните
другую карту, и я найду её». Если опять происходило то же самое,
компьютер вежливо предлагал попробовать ещё раз, но после
третьей неудачи говорил: «Я не буду искать вашу $$=)$** карту, если вы
отказываетесь мне подчиняться. Пожалуйста, попробуйте ещё раз».
Нетрудно понять, как программа находила нужную карту.
Двойная перетасовка перелистыванием всего лишь разбивала
изначальный порядок карт в колоде на четыре пересекающиеся
последовательности. Если инструкции выполнялись точно, лишь одна карта
оказывалась не на своем месте в этих последовательностях.
Обнаруживая карту, компьютер тут же запоминал новый порядок колоды и
мог сразу же повторить фокус. Читатель сам может легко повторить
этот фокус, записав порядок карт в колоде или взяв свежую
нераспечатанную колоду, которая разложена производителем в простом
порядке (из неё нужно лишь удалить джокеров и запасные карты), и
запомнить его. После того как зритель выполнит ваши инструкции,
вы можете унести дважды перетасованную колоду в другую комнату
и там, сверившись со своим списком, определить карту,
оказавшуюся не на месте.
94 1000 развивающих головоломок...
В телешоу «Мэверик», популярном в середине 1960-х гг., ведущий
Берт Мэверик спорил с любым желающим, что сможет взять наугад
25 карт и собрать из них пять покерных комбинаций ценностью в
стрэйт и выше. (Комбинации, стоящие больше, чем стрэйт, — это
флеш, фулл-хаус, каре, стрит-флеш и роял-флеш.) Такое же пари
заключал на телевидении и Пол Брайан в 1967 году в одной из серий
«Беги, если жизнь дорога». Это называется у игроков «заявкой» -
пари, в котором со стороны кажется, что условия невыгодны тому, ктр
его заключает. Однако на самом деле он имеет все шансы выиграть.
Если читатель попробует проэкспериментировать с 25 наугад
выбранными картами, он удивится, насколько легко окажется составить
из них пять покерных комбинаций. Вначале попробуйте выбрать
флеши (их должно быть не меньше двух), потом — стриты и фулл-ха-
усы. Я абсолютно не в курсе, какова именно вероятность выигрыша
такого пари, но очевидно, что она очень высока. Но возникает
вопрос: всегда ли в данном случае вас ждет успех? Оказывается, нет.
Существуют варианты последовательностей 25 карт, которые нельзя
сложить в пять покерных комбинаций рангом в стрит и выше.
После этого вступления я предлагаю читателям рассмотреть 25
карт, изображенных на рис. 28. Можно ли выиграть пари с таким
набором? Если вы считаете, что можно, то найдите пять комбинаций.
Если считаете, что нет, докажите, что это невозможно. Эта нехитрая
задача решается быстро, если к ней подойти правильно. Ключ к
разгадке — одна карта. Эту головоломку прислал мне Хэмп Стивене.
А вот ещё одна комбинаторная задача. Положите лицом вниз в
ряд любые три карты. Требуется, переворачивая по одной карте за
раз, в шесть ходов перебрать все 23 = 8 различных перестановок
сочетаний карт, лежащих лицом вверх и вниз, и в конечном итоге
перевернуть лицом вверх все три карты. Это можно сделать шестью
способами. Обозначим положение карты картинкой вверх буквой
К, а рубашкой вверх — буквой Р. Тогда одно из решений будет таким:
РРР, РРКУ РККУ РКР, ККРУ КРР, КРКи ККК. (Эти восемь
перестановок, кстати, соответствуют восьми рядам «таблицы истинности»,
заключающей в себе восемь возможных комбинаций правды и лжи
для трёх утверждений символьной логики.)
Можно ли решить аналогичную задачу с четырьмя картами? В этом
случае у нас будет 24 = 16 различных способов перестановки. Задача —
начиная с четырёх карт и переворачивая за один ход по одной карте
(они лежат вверх рубашками), за 15 ходов пройти все 16 перестановок,
закончив положением всех карт лицом вверх. Оказывается, это невоз-
♦ ♦
♦ч
Кг*^аняг~п
МНИ
♦ ♦
2 ♦
щ
■■■■■
Щ
BbJo
"♦♦♦
♦Ч
♦ч
А Л,
HI
D
i
i
DC
1
01
Рис. 28.
Можно ли собрать из этих карт пять покерных комбинаций рангом
в стрит и выше?
96 1000 развивающих головоломок...
можно. Мэннис Черош в своей колонке в журнале The Mathematics
Student Journal («Студенческий математический журнал») поставил
задачу найти простой способ доказательства этой невозможности. Это
доказательство легко приводит к обобщению для ряда в п карт.
К.Л. Бейкер привлек мое внимание к малоизвестному пасьянсу,
который, как он обнаружил, может быть упрощен с получением
бесконечного числа увлекательных комбинаторных головоломок. Этой
игре научил Бейкера его отец, который, в свою очередь, в двадцатые
годы прошлого века узнал её от одного англичанина. Её отличие от
прочих пасьянсов в том, что, хотя начальный расклад случаен, но
после того, как карты выложены на стол, игрок обладает полной
информацией. Таким образом, каждый начальный расклад может быть
либо разрешимым, либо нет. Так же как в шахматах, раскладывающий
пасьянс должен просчитывать ходы далеко вперед, так как любая
ошибка неисправима. Эта игра обладает особым шармом — она в чем-
то сродни головоломкам типа «пятнашек». Если игрок достаточно
искусен, вероятность выигрыша велика, а это приходит с опытом.
Для этого пасьянса нужна полная колода в 52 карты. Их нужно
разложить лицом вверх в восемь колонок, как показано на рис. 29.
Раскладывать нужно слева направо, накладывая карты друг на
друга, как изображено на рисунке. (В первых четырёх колонках
оказывается по семь карт, а в последних четырёх - по шесть.) Бейкер
обозначает эти колонки буквой В с индексом от 1 до 8. Четыре позиции,
обозначенные на рисунке пунктиром, называются клетками «вне
игры» и обозначаются Р1, Р2, РЗ, Р4. В начале игры они пусты.
Цель — выложить на эти позиции по тринадцать карт одной масти
по порядку, начиная с туза. Пасьянс считается сложенным, только
если все позиции Р оказываются полностью заполненными.
Четыре пунктирные клетки под основными колонками, 77 - Т4,
называются «временными клетками». По ходу расклада на любую из
этих позиций можно класть по одной (не более) карте. Таким
образом, там может находиться не больше четырёх карт одновременно.
Правила таковы:
1. Карты можно перемещать только по одной.
2. Из любой колонки В можно забирать только верхние
(незакрытые) карты.
3. Туза можно положить на любую пустую клетку Р. Поверх него
можно класть двойку той же масти, на неё — тройку и так далее до
короля. Эти карты можно брать с открытых концов колонок или с
временных позиций.
Игральные карты
97
PI
Р2
РЭ
Р4
В1 В2 ВЗ В4 В5 В6 В7
i ' i i
L i { ! I J
Рис. 29.
Схематический расклад пасьянса Бейкера в четверичном варианте
4. Верхнюю карту в колонке В можно переместить в другую
колонку, только если верхняя карта в ней — следующая по
старшинству той же масти.
5. Любую карту можно переместить на пустую клетку Т, где она
может лежать сколько угодно, пока вы не захотите переместить её
куда-нибудь ещё.
6. Если какая-то из колонок В оказывается пустой, на её место
можно положить любую «подвижную» карту.
7. Карту с клетки Г можно перемещать на позицию Р, на место
пустой колонки В или на верхнюю карту в колонке, если она является
следующей по старшинству той же масти, что и перемещаемая карта.
Бейкер совершил примечательное открытие, заметив, что, убирая
масти из колоды, можно получить пасьянсы «низшего порядка». При
раскладе трёх мастей (троичный вариант) карты раскладываются в семь
колонок с тремя клетками Р и тремя временными позициями. При
двоичной игре (с двумя мастями) колонок шесть, клеток Р—две и
временных клеток также две. Единичная игра раскладывается на пять колонок
с одной клеткой Р и одной — Г. Все ли варианты имеют решение?
4-10396
98
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Чтобы разобраться в этом вопросе, проще всего начать с
двоичной версии. Вы должны взять колоду, убрать из неё все карты каких-
либо двух мастей, перемешать оставшиеся 26 карт и разложить их
случайным образом. Только играя по-настоящему, вы можете
воспринять все очарование этой игры. Неплохо записывать все
начальные варианты расклада, чтобы иметь возможность в случае неудачи
восстановить исходное положение и попытаться применить иную
стратегию. Возможно, сложить тот же вариант удастся кому-то из
ваших друзей или родных. Не все варианты начального расклада
имеют решение, но часто оказывается, что казавшийся безнадежным
вариант вдруг разрешается после какого-либо изменения в стратегии.
В заключение читателю предлагается попробовать свои силы в
двоичной игре, показанной на рис. 30, где две масти (черви и пики)
разложены поочередно. Скажем сразу, что решение у этого
расклада есть - попробуйте найти самое простое.
Пасьянс Бейкера (я называю его так, поскольку не нашел другого
названия этой игре) ставит самые разнообразные сложные комбина-
Р2
1
*
1
♦i
а
-
V
А А,
[4
i
>?
м
Т1
Т2
Рис. 30.
Можно ли сложить этот двоичный пасьянс менее чем за пятьдесят ходов?
Игральные карты 99
торные вопросы. Среди прочих, поставленных Бейкером и
оставшихся у него без ответа, такие: снижается ли шанс на выигрыш при
повышении «порядка» расклада? Если да, то достигает ли он нуля или
какого-либо ненулевого предела? Какова максимальная оценка числа
ходов, ниже которого не может опускаться решение этой задачи?
ОТВЕТЫ
Этот набор из 25 карт невозможно разложить в пять покерных
комбинаций рангом в стрит и выше. Ключ к доказательству — четверка
червей. В этом наборе нет ни одной тройки или пятерки, так что эта
четверка не может быть членом стрита. Других карт этой масти всего
три - значит, она не может быть членом флеша. Других четверок нет,
так что с ней нельзя составить и фулл-хаус. Наконец, в наборе нет
четырёх карт одинакового значения, поэтому четверка червей не может
быть и пятой картой, добавленной к четырем одинаковым.
Вторая задача — доказать, что четыре лежащие лицом вниз карты
нельзя превратить в лежащие лицом вверх, переворачивая их по одной
и пройдя все шестнадцать возможных комбинаций. Для
доказательства используется простая проверка соответствия. Каждый раз, когда вы
переворачиваете карту, число карт, лежащих вверх картинкой,
меняется с четного на нечетное и наоборот. Вначале их число четное (ноль -
это четное число) — следовательно, последняя, шестнадцатая
перестановка должна быть нечетной. Однако в задаче оговорено, что
последняя перестановка должна представлять собой четыре карты лицом
вверх — то есть четное число. Значит, задача не имеет решения.
Может ли сложиться любой вариант расклада единичного
пасьянса? Нет. Существует много тысяч нерешаемых начальных
комбинаций (например, в первом ряду - 6, В, Т, 8, 9; во втором - К, 4, 3,
7, 10; в третьем — Д, 5, 2). Однако подсчитано, что более 99%
начальных вариантов расклада имеют решение, которое легко найти.
Определение максимальной оценки числа ходов, ниже которой не
может опускаться решение для этого расклада, — более сложный
вопрос, ответ на который пока не найден. Неизвестно это и для
двоичного расклада.
Четвертая задача - сложить двоичный пасьянс из начального
расклада, показанного на рис. 30, кратчайшим способом. Более
65 читателей Scientific American нашли решение в 49 ходов, и это
определённо является минимумом. Все эти варианты требуют по-
100
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
мещения тринадцати червовых карт на клетку Р за 32 хода, а за
остальные 17 ходов оставшиеся пиковые карты перемещаются на
другую клетку Р. Первый вариант 49-ходового решения,
присланный Уорреном X. Ольрихом, показан на рис. 31.
Номер
хода
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Карта
Kv
8 v
7¥
Т¥
2 v
84k
24k
К¥
Д»
б¥
К4к
74к
Т4к
24к
В¥
10¥
б¥
7¥
б¥
8¥
9¥
3¥
4¥
5¥
б¥
Куда
перемещается
Т1
В4
В4
Р1
Р1
ВЗ
Т2
В2
В2
В4
Т1
ВЗ
Р2
Р2
В2
В2
Т2
В1
В1
Т2
В2
Р1
Р1
Р1
Р1
Номер
хода
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
Карта
7»
8¥
9¥
10¥
В¥
Д*
К¥
74k
84k
94k
34k
104k
44k
B4k
54k
Д4к
64k
74k
84k
94k
104k
B4k
Да
K4k
Куда
перемещается
PI
PI
PI
PI
PI
PI
PI
T2
B1
B2
P2
B4
P2
B5
P2
P2
P2
P2
P2
P2
P2
P2
P2
P2
Рис.31.
Решение пасьянса за 49 ходов
ГЛАВА 8
Арифметика на пальцах
О боги! Неужели два плюс два должно равняться четырем?
Александр Поуп, Дунсиада, книга 2
Антропологи не нашли настолько примитивного общества,
которому был бы неизвестен счет. Одно время они считали, что если у
какого-то племени в языке отсутствуют слова для обозначения
количества, кроме «один», «два» или «много», то эти дикари не умеют
считать больше чем до двух. Ученые не могли понять, как этим
людям удается, например, управляться со стадами овец и точно знать,
что одна овца пропала. Некоторые ученые думали, что у дикарей
феноменальная память, благодаря которой они хранят в голове
образ стада или, возможно, помнят каждую овцу «лично». Позже
исследователи обнаружили, что тот факт, что все числа больше двух
обозначаются одним и тем же словом, вовсе не означает, что
представитель племени не осознает разницы между пятью и шестью
предметами. Точно так же обозначение одним и тем же словом
зеленого и синего цветов не означает, что человек не видит разницы
между цветом травы и цветом неба. У племен с ограниченным
набором числительных в языке существуют замысловатые способы
счета на пальцах рук и ног, а также прочих частях тела в определённом
порядке, причем полностью в уме. Вместо того чтобы помнить
слово, обозначающее пятнадцать, человек просто вспоминает, что он
завершил свой мысленный подсчет, скажем, на большом пальце
левой ноги.
Большинство примитивных систем исчисления основаны на
пятерках, десятках или двадцатках. Все антропологи сходятся во
мнении друг с другом (и с Аристотелем), что это объясняется числом
пальцев у человека. (Редкий случай, когда антропологи в чём-то
102 1000 развивающих головоломок...
сходятся!) Однако существуют многочисленные исключения.
Некоторые туземцы Африки, Австралии и Южной Америки пользуются
двоичной системой. У немногих племен существует троичная
система. Так, одно бразильское племя считает, основываясь на трёх
суставах, имеющихся в каждом пальце. Четверичная система ещё
более редка, она зафиксирована преимущественно у некоторых
южноамериканских племен и индейцев Юки из Калифорнии, которые
считают, основываясь на четырёх промежутках между пальцами.
Шире всего распространена пятеричная система. Во многих
языках слова, обозначающие «пять» и «рука», звучат одинаково или
имеют общий корень. Так, например, в персидском языке пенна
означает «рука», а в санскрите пантча — это «пять». У
южноамериканских индейцев Таманако одно и то же слово обозначает «пять» и
«вся рука». Слово, обозначающее «шесть», буквально переводится
как «один на второй руке». «Семь» — как «два на второй руке».
«Восемь» и «девять» образуются аналогично. «Десять» - это «обе руки».
Считая от 11 до 14, они вытягивают обе руки и говорят «один на
ноге», «два на ноге» и так далее до пятнадцати, что звучит как «вся
нога». Несложно догадаться, что дальнейший счет продолжается
«одним на второй ноге» и так далее до 19. Таманакское слово «двадцать»
буквально переводится как «один индеец», «двадцать один» — «один
на руке второго индейца». «Два индейца» — это сорок, «три
индейца» — шестьдесят. Древние календари острова Ява и ацтеков
содержали пятидневные недели. Существует теория, согласно которой
римская цифра X состоит из двух пятерок (V), из которых одна
перевернута, а V является символическим изображением
человеческой руки.
В древних языках числительные часто были идентичны словам,
обозначающим пальцы рук, ног, другие части тела. Современное
английское слово «digit» — «цифра» — происходит от латинского слова
«палец», что свидетельствует о «пальцевом» происхождении
англосаксонского счета. Но есть и удивительные исключения. Маорий-
ское числительное «четыре» идентично слову «собака». Очевидно,
потому, что у собаки четыре ноги. У ныне вымершего племени аби-
понов из Южной Америки «четыре» обозначалось как «пальцы на
ноге нанду» - три спереди и один (редуцированный) сзади.
Примитивные системы счисления на основе чисел от 6 до 9
крайне редки. Очевидно, что люди, сталкиваясь с необходимостью
давать наименования числам больше пяти, переходили от одной
руки ко второй и принимали десятичную систему Ею пользовались
Арифметика на пальцах 103
древние китайцы, египтяне, греки и римляне. Один из любопытных
случаев древней математики — шестидесятеричная система, которая
существовала у шумеров и от них перешла в Вавилон. С помощью
этой системы древние шумеры и вавилоняне достигли
исключительно высокого развития математики. (Наши меры времени и
углов — пережиток вавилонской системы счета.) Сегодня десятичная
система является в мире практически универсальной, даже у
примитивных народностей. Дэвид Юджин Смит в своей книге History of
Mathematics («История математики») 1923 года издания сообщает,
что изучение семидесяти африканских племен показало, что все
они пользуются десятичной системой счета.
За исключением пяти, простые числа крайне редко становятся
основой системы счета. В.В. Роуз Болл в своей книге A Short Account
of the History («Краткая история математики») 1908 года издания
упоминает лишь о семеричной системе западноафриканского
племени бола и об одиннадцатеричной системе ранних племен маори,
хотя мне не удалось найти подтверждения этим данным. Двадцате-
ричная система (пальцы рук и ног) в истории весьма обычна. Самый
выдающийся пример — счет индейцев майя. Эта система является
одной из наиболее продвинутых среди всех древних систем счета,
так как использует ноль и позиционную запись («ценность» цифры
зависит от разряда) и существенно превосходит неудобную
римскую систему. От этого утверждения содрогаются
культурологи-релятивисты, поскольку сказать такое означает сравнить абсолютные
ценности, игнорируя культурные границы. Отголоски двадцатерич-
ной системы сегодня можно обнаружить и в европейских языках.
Так, по-французски «восемьдесят» - записывается как «четыре
двадцатки» (quatre-vingts). В английском языке устаревший вариант
слова «восемьдесят» - «fourscore» (словарный пример «fourscore and
seven years ago...» — восемьдесят семь лет тому назад). А в датском
языке числительные представляют собой занятную смесь
десятичной и двадцатеричной систем.
В связи с очевидной связью между 5 и 10, наиболее
распространенными древними основами систем счета на основе пальцев одной
и двух рук, многие писатели-фантасты предположили, что системы
исчисления внеземных гуманоидов должны аналогичным образом
основываться на числе имеющихся у них пальцев. (Представители
диснеевской мультипликационной культуры должны пользоваться
четверичной или восьмеричной системой, так как у них у всех всего
по четыре пальца на каждой руке.) Гарри Л. Нельсон из Ливермора,
104
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Калифорния, прислал мне следующую головоломку. Представьте,
что посланный на Венеру автоматический космический корабль
передал изображение наскальной надписи, которая, судя по всему,
представляла собой математический пример на сложение (см. рис.
32). Предположив, что венерианцы используют позиционную
запись, как и мы, а основа системы их счета соответствует числу
пальцев на одной руке, узнайте, каким должно быть число пальцев на
руке жителя Венеры. Также мы предполагаем, что числа не
начинаются с нуля. В противном случае это была бы запись суммы в
десятичной системе: 05 + 05 = 010.
Рис. 32.
Пример на сложение
в «венерианской» записи
7\
Сегодня десятичная система так прочно и повсеместно
утвердилась, что, по всей видимости, для человечества нет шанса
перейти на другую, несмотря на то, что двенадцатеричная система
предоставляет определенные практические преимущества.
Например, в ней у основы целых четыре множителя по сравнению
со всего двумя у десяти. И у этой системы на протяжении многих
веков сохранялись стойкие приверженцы. У систем, основанных
на простых числах, таких как 7 или 11, также имеются
технические преимущества, хотя в основном с точки зрения теории чисел.
Об этом ещё в XVIII веке писал французский математик Луи Ла-
гранж.
Многие математики отстаивают удобство систем, основанных на
степенях двойки, особенно с основанием 8 и 16. «Несомненно,
наши предки разработали десятичную систему на основе подсчета
собственных пальцев, — пишет в сборнике Bulletin of the New York
Mathematical Society (октябрь 1891 г.) В. Вулси Джонсон. — Однако
нам остается лишь пожалеть об этом в связи с преимуществами
восьмеричной системы. Наши предки абсолютно необоснованно
считали и большие пальцы, хотя по своей природе они существенно
отличаются от остальных. Природа словно хотела оградить нас от
ошибки, которую мы все же совершили».
Арифметика на пальцах 105
Дональд Кнут однажды обнаружил научную работу Эммануэля
Сведенборга 1718 года под причудливым названием A new system of
reckoning which turns on 8 instead of the usual turning at 10 («Новая
система счета, основанная не на 10, как обычно, а на 8»). Её перевел и
опубликовал в трудах ассоциации Swedenborg Scientific Association,
Филадельфия, в 1941 году Альфред Эктон. Сведенборг предлагает новую
номенклатуру цифр и пишет в заключении: «Если при практическом
использовании эта система получит одобрение, то я предполагаю, что
образованный мир получит от её использования множество
преимуществ». Кстати, недавно было обнаружено, что вороны умеют
считать до семи (см. статью The Brain of Birds («Мозг птиц») Лоренса
Стетнера и Кеннета Матиньяка, Scientific American, июнь 1968).
В главе, посвященной троичной системе, в своей книге Sixth Book
of Mathematical Games («Шестая книга математических игр») я
упоминал о том, что два математика, предпочитающих 16-ричную
систему, изобрели странную номенклатуру. Спешу добавить, что
современные ЭВМ уже давно используют арифметику на восьмеричной
основе, а позднее в языке 360-х IBM появилась и шестнадцатерич-
ная система исчисления, использующая 16 знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, А, В, С, D, E, F.
В примитивных обществах встречаются не только
разнообразные системы счисления, но и разнообразные подходы к счету. Так
как большинство людей правши, счет обычно начинается с левой
руки. Часто это имеет даже ритуальное значение (есть и примеры
левого счета). Как пример, счет начинают с большого пальца или
мизинца, касаясь пальцев левой руки пальцем правой, загибая их
или, наоборот, разгибая из сжатого кулака. На Андаманских
островах, расположенных в Бенгальском заливе, местные жители
начинают счет с мизинца и при счете касаются соответствующим
пальцем носа. Островное племя из Торресова пролива, разделяющего
Австралию и Новую Зеландию, считает до пяти, касаясь поочередно
пальцев левой руки. Но потом, вместо того чтобы перейти к
пальцам правой руки, они касаются левого запястья, локтя, плеча, соска
и грудины, а потом продолжают счет в обратном порядке на правой
стороне тела. Математики установили, что, когда считающий
касается при счете пальцев и других частей тела, он имеет дело с
порядковыми числительными (первый, второй, третий и так далее). Если
же пальцы показываются одновременно, обозначая, к примеру,
четырёх лягушек, то человек говорит о количественном показателе
(один, два, три и так далее).
106 1000 развивающих головоломок...
У древних греков была разработана сложная система жестов,
соответствующих числам от одного до нескольких тысяч. О ней
упоминает Геродот — однако о точных жестах практически ничего не
известно. У древних китайцев и других народов Востока
существовали подобные системы, которые до сих пор используются в этих
странах для торга на рынке, чтобы можно было скрыть сумму под
полой одежды от находящихся рядом людей. Многие римские
авторы упоминают о жестовой системе выражения чисел,
существовавшей в Древнем Риме. Бэда Достопочтенный в VIII веке н. э. в своем
труде The Reckoning of Times («Исчисление дат»), посвященном
расчету даты Пасхи, упоминает о римской символической числовой
системе, которая простирается вплоть до миллиона.
(Предложенный им символ для миллиона — две сложенные ладони.)
Описание подобных методов входит во многие арифметические
руководства периода Средневековья и Возрождения. Типичный
пример, приведенный на рисунке 33, взят из первого значительного
печатного математического труда — фолианта 1494 года Луки Пачо-
ли, монаха-францисканца. Этот монах позднее написал книгу,
посвященную золотому сечению, иллюстрации к которой выполнил
его друг Леонардо да Винчи. Римский поэт Ювенал имел в виду
подобную систему в следующих строках поэмы «Сатиры»: «Воистину
счастлив тот, кто... считает свои годы на правой руке» - то есть тот,
кто доживает до ста лет — первого числа, для изображения которого
«на пальцах» у римлян использовалась правая рука. Обратите
внимание, что большинство «левых» символов повторяются на правой
руке. Знаки на одной руке могут временами казаться одинаковыми,
однако на самом деле между ними существуют тонкие различия,
незаметные неискушенному взгляду (к тому же на такой грубой
иллюстрации!). Святой Джером писал в IV веке, что число 30 связано с
браком: круг, который формируют большой и указательный пальцы,
символизирует союз мужа и жены. Подобным образом 60
связывалось со вдовством, так как в этом знаке круг разрывается.
Все эти старинные методы пальцевых знаков основаны на
десятичном счете. Но точно так же можно использовать подобные знаки
для счета и в любой другой системе. Действительно, пальцы
прекрасно подходят для счета по самой простейшей системе счисления
- бинарной, или двоичной. Согнутый или выпрямленный палец
соответствует двум положениям переключателя в схемах современных
компьютеров, использующих двоичный код. Фредерик Пол в статье
How to Count on Your Fingers («Как считать на пальцах»), опублико-
Арифметика на пальцах
107
Рис. 33.
Итальянская система пальцевых знаков, зарисованная
Лукой Пачоли в 1494 году
ванной в 1966 году в странном сборнике Digits and Dastards («Цифры
и негодяи»), предлагает начинать счет со сжатых кулаков,
повернутых тыльной стороной вверх. Вытянутый палец соответствует
единице в двоичной системе, согнутый — нулю. Таким образом, чтобы
посчитать от 1 до 1111111111 (что соответствует 1023 в десятичной
108
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
системе), нужно начать с разгибания мизинца правой руки. Для
выражения двойки в десятичной системе, то есть 10 в двоичной,
нужно согнуть мизинец и вытянуть безымянный палец правой руки.
Если вытянуты оба пальца - мизинец и безымянный, - это
соответствует 11 в двоичной системе или трем в десятичной. На рисунке 34
изображено, как показать на двух руках 500 в двоичной системе.
Немного потренировавшись, вы сможете использовать пальцы для
быстрого счета в двоичной системе и даже, как поясняет Пол, для
двоичного сложения и вычитания. Благодаря тому что символьная
(«булева») логика целиком построена на двоичной системе (истина-
ложь), с помощью пальцев рук можно решать простые задачи из
области математической логики.
0 111110 10 0
Рис. 34.
Число 500 в двоичном коде,
показанное на пальцах
Любое число в двоичной системе, состоящее из одних единиц,
обязательно будет на единицу меньше соответствующей степени
двойки. Например, 1023 в десятичной системе, которое в двоичной
пальцевой системе показывается распрямлением всех десяти
пальцев, равно 210 - 1. Это навело Пола на мысль о занятной
головоломке. Допустим, мы хотим вычесть некоторое число п из 1023 (или из
любого другого числа, которое в двоичной системе выражается
рядом единиц). Можете ли вы предложить крайне простой способ
быстро произвести такое вычитание на пальцах?
Так как в Средневековье и эпоху Возрождения мало кто знал
таблицу умножения дальше 5x5 (счетами также мало кто владел),
существовало множество способов вычислить произведения чисел от
6 до 10. Один из распространенных методов, названный в труде 1492
года «древним правилом», — это использование комплементарных,
или дополняющих, чисел на базе десяти (число, комплементарное
п, равняется 10 - п). Чтобы перемножить 7 и 8, запишем числа,
комплементарные им — 3 и 2. Каждое из них при вычитании из
непарного ему дает 5 (8 - 3 = 7 - 2 = 5). Таково число десятков в произведе-
Арифметика на пальцах 109
нии 7x8. Произведение 3x2 равно 6. Пятьдесят и 6 дают 56 - это и
есть конечный результат умножения.
Для этого метода в качестве счетного инструмента часто
использовались пальцы. Пальцам каждой руки присваивались значения от
6 до 10, начиная с мизинца. Чтобы умножить 7 на 8, соедините
седьмой палец одной руки с восьмым другой, как показано сверху на
рис. 35. Обратите внимание, что число, комплементарное 7,
представлено тремя пальцами, расположенными над
соприкасающимися на левой руке, а комплементарное 8 — на правой. Пять
расположенных ниже пальцев символизируют 5 - число десятков в ответе.
К пятидесяти нужно прибавить произведение верхних пальцев — 2x3,
или 6. В результате получаем 56. Этот способ умножения на пальцах
любых чисел от 6 до 10 широко практиковался в эпоху Возрождения
и, говорят, до сих пор используется крестьянами в некоторых
районах Европы и России.
Сегодня этот метод имеет значительную педагогическую
ценность для начальной школы не только потому, что он увлекателен
для детей, но и потому, что он тесно связан с алгебраическим
умножением двучленов. Вместо использования чисел, комплементарных
внутри десятка, мы можем представить 7 и 8 как дополнения к 5,
записав их в виде двучленов (5 4- 2) и (5 + 3), а затем провести
умножение:
5Н
5н
25 Н
н
25 Н
h2
ЬЗ
- 10
^ 15 Н
- 25 Н
Ьб
ь 6 = 56.
Первые два числа в нижнем ряду соответствуют сумме нижних
пальцев, умноженной на 10, а 6 соответствует произведению
верхних пальцев.
Пальцевый метод умножения легко обобщается для других
полудесятков, больших 10, хотя нет никаких свидетельств того, что
когда-либо в истории подобный метод применялся для чисел
больше 10. Для всех полудесятков, заканчивающихся на 5,
используется несколько иная процедура. Давайте рассмотрим
следующий полудесяток от 11 до 15 и предположим, что нам нужно
перемножить 14 и 13. Пальцам присваиваются значения от 11 до 15,
и те пальцы, которые соответствуют перемножаемым числам, со-
3X2 = 6
5 X Ю = 50
7X8 = 50 + 6 = 56
7X10 = 70 + 0 = 70
Рис. 35.
Как производить умножение чисел от 6 до 10 с помощью пальцев
Арифметика на пальцах
111
прикасаются, как показано на рис. 36. Семь расположенных ниже
пальцев умножаются на 10, и получаем 70. Но теперь вместо того,
чтобы добавить к этому числу произведение расположенных
выше пальцев, мы не обращаем на них внимания, а перемножаем
между собой нижние пальцы каждой руки, 4x3= 12. Сложив 12 и
70, получим 82. Последнее действие — прибавить 100 (константа).
Ответ- 182.
Объяснить, каким образом этот метод работает, можно
по-разному. Самое простое — рассмотреть его в понятиях умножения
двучленов:
10 + 3
10 + 4
100 + 30
+ 40+12
100 + 70+12=182.
Левые 100 — добавляемая константа, 70 — сумма нижних
пальцев, умноженная на 10, а 12 - произведение нижних пальцев
обеих рук.
Для всех полудесятков, оканчивающихся на 0, применяется
первая процедура. Для чисел от 16 до 20 нижние пальцы имеют
«ценность» 20, а добавляемая константа увеличивается до 200, как
показано в примере перемножения 17 и 19 (см. рис. 37).
7 X Ю = 70
3X4=12
13 X 14 = 70 + 12 + 100 = 1*2
Рис. 36.
Умножение в полудесятке от И до 15
112
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
3X1=3
17 X
6 X 20 = 120
= 120 + 3 + 200 = 323
Рис. 37.
Умножение на пальцах от 16 до 20
Перемножая шесть нижних пальцев на 20, получаем 120.
Произведение верхних пальцев на обеих руках дает 3. К 123 добавляем
константу 200 и получаем 323 - окончательный ответ. Биномная
запись такова:
10 + 7
10 + 9
100 + 70
+ 90 + 63
100 + 160 + 63 = 323.
Если мы переместим влево 100 из 160, а 60 из 63 — в середину, то
получим 200 + 120 + 3. Это соответствует подсчету на пальцах.
Константа здесь - 200, сумма нижних пальцев, умноженная на 20,
равна 120, а произведение верхних пальцев каждой руки равно 3.
Таблица на рис. 38, взятая из статьи Ферда У. Макэлвейна Digital
Computer — Nonelectronic («Неэлектронный компьютер»),
опубликованной в сборнике Mathematics Teacher за апрель 1961 года, дает
значения нижних пальцев для каждого полудесятка, а также добавочные
константы. Не забывайте, что для каждого полудесятка,
оканчивающегося на 0, используется первая процедура, в которой участвуют
верхние пальцы. Для полудесятков, оканчивающихся на 5,
используется вторая процедура, где не участвуют верхние пальцы. Значения,
придаваемые нижним пальцам для полудесятков, оканчивающихся
Арифметика на пальцах 113
на 5, равны \0(d — 1), где d — номер десятка. Для полудесятков,
оканчивающихся на 0, это значение 1(W. Добавочная константа для
полудесятков, оканчивающихся на 5, равна 100(d — I)2. Для
полудесятков, оканчивающихся на 0, константа равна \00d(d — 1).
Данная таблица может быть продолжена для всех остальных
полудесятков. Существует много способов записи общих формул для
полной процедуры.
Значения Добавочная
Десяток Полудесятки нижних пальцев константа
1
2
3
4
1-5
6-10
11-15
16-20
21-25
26-30
31-35
36-40
0
10
10
20
20
30
30
40
0
0
100
200
400
600
900
1200
5 41-45 40 1600
46-50 50 2000
Рис. 38.
Таблица значений пальцев и констант для умножения чисел до 50
Натан Альтшиллер Курт в книге Mathematics in Fun and in Earnest
(«Математика в шутку и всерьез») 1958 года издания предлагает
следующую формулу:
(а + х)(а+у) =
что может быть записано как
{а + х)(а +у) = а(х +у) + ху + а2,
где х и у — конечные цифры в числах, которые надо перемножить, а
а может быть равно 5, 10, 15, 20, 25, 30, ..., то есть первым числам
каждого полудесятка.
114 1000 развивающих головоломок...
Можно ли применять умножение на пальцах к числам из разных
полудесятков, например, 17 х 64? Оказывается, да. К несчастью,
этот процесс довольно сложен, требует придания различных
значений пальцам каждой руки, поэтому я отсылаю интересующихся к
упомянутой выше статье Макэлвейна, где описан этот метод.
Конечно, всегда можно разбить большие числа на более мелкие части
и провести с ними серию умножений на пальцах, а потом сложить
промежуточные результаты для получения окончательного. Так, 9x13
можно представить как (9 х 6) + (9 х 7).
Во всем этом есть и философское зерно. Чистая математика в
общепринятом понимании — продукт человеческого ума. Однако
между ней и устройством мира существует удивительное
соответствие. Особенно ярко оно проявляется в поведении физических
тел, например камешков или пальцев, сохраняющих свою
индивидуальность. Так, «2 + 2 = 4» это не просто закон чистой
арифметики, независимой от реального мира, но и закон прикладной
арифметики. Антропологи, изучающие различные культуры, постоянно
стремятся привязать к обыденному народному сознанию науку, и в
частности математику. Они заявляют, что, поскольку разные
племена используют различные системы счета, математические
законы являются строго культурными, как, например, правила
перевозки грузов или игры в бейсбол. Они забывают о том, что
различные системы исчисления, используемые разными народами, есть
не более чем различные способы символического выражения и
передачи одних и тех же чисел, которые подчиняются одним и тем
же арифметическим законам, вне зависимости от того, кто
пользуется ими — математик из Гарварда или абориген, считающий на
пальцах.
Очевидно, что нет такого места на Земле или на других планетах,
где бы два и два пальца вместе не составляли бы четыре.
Единственное исключение я нашел в романе Дж. Оруэлла «1984». В описанной
там жуткой сцене пыток Уинстон Смит, в конце концов, вынужден
признать, что два плюс два равно пяти:
О'Брайен показал ему левую руку, спрятав большой палец.
— Пять пальцев. Вы видите пять пальцев?
-Да.
И он их видел, одно мимолетное мгновение, до того, как в голове у
него все стало на свои места. Он видел пять пальцев и никакого
искажения не замеча/i.
Арифметика на пальцах 115
Точно такая же возможность рассматривалась Достоевским. «Но
дважды два четыре — все-таки вещь пренесносная, — говорит герой
повести «Записки из подполья». - Дважды два четыре - ведь это, по
моему мнению, только нахальство-с. Дважды два четыре смотрит
фертом, стоит поперек вашей дороги руки в боки и плюется. Я
согласен, что дважды два четыре - превосходная вещь; но если уже все
хвалить, то и дважды два пять — премилая иногда вещица».
Может, это и премило, однако не применимо ни к какому
логически возможному миру. Это субъективное, противоречащее само
себе заблуждение, которое может возникнуть лишь временно, и то
под влиянием «коллективного солипсизма» (как называл это Ору-
элл), когда любая истинность, в том числе и в науке, определяется
без связи с абстрактными законами логики или с математическими
законами построения внешнего мира.
ДОПОЛНЕНИЕ
Дж. Э. Линдон, проживающий в английском городе Эддлстоуне,
является, на мой взгляд, величайшим современным английским
автором юмористических стихов. Так как его произведения не
слишком широко печатаются (единственным исключением в США
служит опубликованная The Worm Runner's Digest), то большая их часть
доступна лишь его знакомым, которым, я надеюсь, хватает ума их
хранить. Приведенная ниже поэма, посвященная открытию
арифметики, попала ко мне в 1968 году — вскоре после того, как эта
глава появилась в Scientific American.
У ИСТОКОВ АРИФМЕТИКИ
Дж. Э. Линдон
Шел первобытный Магг по лесу,
Съедая всё, что мог поймать,
И так набрел он на поляну,
Где Огг надумал размышлять.
Смотрел, смотрел он всё на камни
(их было двадцать и один),
Костистый лоб свой тер забавно,
угрюм, задумчив, недвижим.
116 1000 развивающих головоломок...
• •• о О О«
о 0 0 о© » 0
Какого черта Огг гладит —
Тряхнул Магг головой -
На сей расколотый гранит? —
и грохнул булавой.
Огг тыкал в камни, а затем
Стал пальцы загибать.
Рассвирепев, воскликнул Магг:
«Что, колесо опять?»
Огг, с гулом стукнув себя в грудь,
Ответил: «Есть идея,
Но записать её — никак,
увы, я не умею.
Смотри: возьмем с тобой по три
руки и пары глаз,
и это — словно две руки,
ноги и нос взять раз».
Сложив прямоугольник вмиг,
Продолжил Огг: «Смотри,
здесь три по семь камней в радах,
А также... семь по три.
О о о
о °о
о • О
Арифметика на пальцах
И если верно для камней,
что дважды два — четыре,
так верно то для всех вещей,
что есть иль будут в мире!»
Магг мрачно камни оглянул
и рыкнул исподлобья:
«Не понял я, что ты загнул,
проверим-ка теорию!»
С трудом собравши жен своих
(Огг — двух, а Магг — четыре
плюс две руки и плюс нога),
сказали: встаньте шире!
Все тщетно было, и тогда
Магг взял свою дубину
и стал порядок наводить
в рядах своих любимых.
117
Триумф идеи налицо:
Три по семь — семь по три!
Огг в восхищении орет
А Магг считает их.
Кусок гранита поострей,
Огг от скалы отбил
И высек сразу же на ней:
«Здесь Огг закон открыл...»
118 1000 развивающих головоломок...
Магг заскучал и прочь побрел,
чтоб новых жен добыть:
ведь сколько, чтоб открыть закон,
придётся жен побить?!
ОТВЕТЫ
Единственное решение «венерианской» задачи 12 + 12 = 101 в
троичной системе исчисления. Таким образом, у венерианцев должно
быть по 3 пальца на каждой руке. (Венерианская сумма
эквивалентна 5 + 5 = 10 в нашей, десятичной, системе.) Реймонд Де Мерс
написал мне, что, если у венерианцев по три пальца на руках, то,
скорее всего, они будут пользоваться шестеричной системой. Он
считает, что более вероятно, исходя из условия задачи, что у них всего три
пальца, на одной руке - один, а на второй - два.
Кеймерон Д. Андерсон из Уиндзора, Онтарио, Канада, и
англичанин Гренвилл Тернер из Шеффилдского университета
предположили, что венерианские символы могут означать не сложение, а
умножение. Тогда решений у этой задачи может быть неограниченное
число. Вы можете попробовать доказать, что решение для
наименьшей основы системы счисления — это 13 х 13 = 171 в восьмеричной
системе.
Во втором задании предполагается, что десять вытянутых
пальцев обеих рук означают десять единиц в бинарной системе, что
эквивалентно 210 - 1, или 1023 в десятичной, вам нужно найти
простой метод вычитания из этого числа некоего меньшего п. Фредерик
Пол в вышеупомянутой статье предлагает следующее: п необходимо
просто выразить в двоичной системе, используя пальцы так, как
описано. Теперь, загибая каждый вытянутый палец и вытягивая
каждый загнутый - то есть заменяя двоичные единицы на нули и
наоборот, — мы получим нужный нам ответ в бинарной системе.
ГЛАВА 9
Ленты Мёбиуса
Стриптизершу по имени Мила
К фантастике страсть погубила.
Новый танец придумать решив,
Назвала его «Мёбиус-стрип» —
И больше не видели Милу.
Сирил Корнблат
У листа бумаги две стороны и одна грань, огибающая его по
замкнутой кривой. Может ли существовать такой лист, у которого будет
одна грань и одна сторона, так что муравей сможет переползти между
любыми двумя точками листа, ни разу не пересекая грани? Трудно в
это поверить, но действительно никто не замечал существования
односторонних поверхностей, пока немецкий математик и
астроном Август Фердинанд Мёбиус, скончавшийся в 1868 году, не
описал в своем труде «Werke» (т. 2, 1858) ленту с половинным оборотом.
После этого лента, получившая имя своего первооткрывателя, стала
самой известной из многочисленных топологических забав.
Топология — это широкая область современной математики, изучающая
способность структур деформироваться без разрывов (так
называемая «непрерывная деформация»).
Деформация, при которой сохраняются топологические
особенности, такие как односторонность ленты Мёбиуса, часто
поясняется на примере ленты из мягкой резины, которая может быть
сформована в объект любой конфигурации при условии, что в ней не
делается разрывов, а также отделения и перестановки частей. Однако
это распространенное заблуждение. Деформация, сохраняющая
топологические особенности, должна определяться куда более
техническим способом, включая сохранение расстояний между точками.
Вполне реально существование двух топологически эквивалентных
структур (гомеоморфных, как любят говорить топологи), которые в
нашем трёхмерном пространстве не могут быть преобразованы одна
в другую непрерывной деформацией. Один из простых примеров —
120
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
две резиновые ленты Мёбиуса, являющиеся зеркальным
отображением друг друга, так как они повернуты в противоположных
направлениях. Эти ленты невозможно преобразовать одну в другую
путем растягивания и выворачивания — однако они топологически
идентичны. То же самое верно для ленты Мёбиуса и ленты с тремя
или иным нечетным числом полуповоротов. Все такие ленты, а
также их зеркальные отображения являются гомеоморфными, хотя ни
одну из них нельзя превратить в другие путем «резиновой»
деформации. То же верно и для всех лент (и их зеркальных отображений) с
четным числом полуповоротов. Такие ленты топологически
отличаются от лент с нечетным числом полуповоротов, но гомеоморфны
друг другу (см. рис. 39).
Они гомеоморфны, как говорят топологи, внутренне, то есть при
рассмотрении только самих поверхностей, но не пространства, в
котором они могут располагаться.
Именно потому, что наша модель ленты Мёбиуса помещена в
трёхмерном пространстве, она не может быть преобразована в свое
зеркальное отображение или в ленту с тремя полуоборотами. Если
бы мы могли поместить бумажную ленту Мёбиуса в четырёхмерное
пространство, было бы возможно преобразовать её, «вернув»
обратно в любую сторону, как и ленту с любым нечетным числом полу-
НЕЧЕТНОЕ
ЧЕТНОЕ
п=1
/А\
п = 0
Рис. 39.
Ленты с нечетным (слева) и четным (справа) числом полуоборотов
Ленты Мёбиуса 121
оборотов. Точно так же ленту без поворотов (топологически
эквивалентную цилиндру или листу бумаги с отверстием в нем) можно
было бы, поместив в четырёхмерное пространство, повернуть и
вернуть обратно в наши три измерения с любым четным числом
полуоборотов любого направления.
Но вместо того чтобы воображать манипуляции с лентами в
четырёхмерном пространстве, давайте лучше представим их как
способные к самопересечению поверхности нулевой толщины в трёх
измерениях. Довольно просто вообразить, как изменить
скрученную ленту, пропустив её сквозь себя и превратив в топологически
эквивалентную структуру. Например, «призрачная» лента Мёбиуса
может быть пропущена сквозь себя, в результате чего получится её
зеркальное отображение. То же возможно и с любой поверхностью с
нечетным числом поворотов любого направления.
Если скрученная лента находится в трёхмерном пространстве, то
говорят, что «она обладает внешними топологическими свойствами»,
которых не имеет при рассмотрении отдельно от пространства, в
которое помещена. Лишь в этом «внешнем» смысле можно говорить
о том, что лента Мёбиуса топологически отлична от, скажем, ленты
с тремя полуоборотами.
Самая фантастическая особенность ленты Мёбиуса (или любой
структуры, внутренне идентичной ей) в том, что при разрезании точно
по средней линии получается не две ленты, а одна большего размера.
Поразительно, но новая лента, полученная таким способом,
оказывается двусторонней и двугранной. Поскольку топологическая
структура помещена в трёхмерном пространстве, она имеет 2л + 2
полуоборота, где п — число (нечетное) полуоборотов исходной
ленты. Если п = 1, у новой ленты будет 4 полуоборота — четное число,
то есть она будет внутренне гомеоморфна цилиндру. Если п = 3,
у получившейся ленты будет восемь полуоборотов, и она завяжется
в простой узел.
Лента с четным числом полуоборотов (0, 2, 4,...) при разрезании
всегда дает две отдельных ленты, идентичные исходной, за
исключением ширины. В трёхмерном пространстве у каждой такой ленты
будет п полуоборотов и две ленты будут соединены в п/2 местах. Так,
если п = 2, при разрезании вдоль получается две ленты, каждая с
двумя полуоборотами, соединенные подобно звеньям цепи. Если
п = 4, одна лента будет дважды обвиваться вокруг второй. При п = 2
можно разрезать ленту и получить два соединенных кольца,
оторвать одно, второе разрезать на два ещё более тонких, соединенных
122 1000 развивающих головоломок...
в цепочку, оторвать одно, и продолжать в том же духе
(теоретически) сколько угодно.
В книге «Математические чудеса и тайны»3 (Mathematics, Magic,
and Mystery) я объяснял, как фокусники используют эти
особенности в старинном трюке с разрыванием одежды под названием
«Афганские ленты». Стивен Барр предложил новый способ
демонстрации тех же самых свойств. Он начертил среднюю линию на
широкой и тяжелой бумажной ленте раствором нитрата калия, а затем
подвесил ленту на гвоздь так, чтобы она опиралась на него лишь
половиной своей ширины. Теперь, если прикоснуться к нарисованной
линии в нижней точке кольца тлеющей сигаретой, она быстро
загорается, и огоньки, поднимаясь вверх по обеим сторонам кольца,
встречаются наверху. Половина ленты отваливается, образуя либо
одну ленту большего размера, либо две соединенные в цепочку
ленты, либо завязанные узлом ленты, в зависимости от того, сколько
полуоборотов (один, два или три) было у исходной ленты.
Ещё один неожиданный результат можно получить, разрезав
ленту с нечетным числом полуоборотов на три части, то есть начав
резать на расстоянии ]/з ширины от края и дважды обойдя кольцо.
В результате получается лента, идентичная исходной, за
исключением ширины (это центральная треть исходной ленты),
соединенная со второй, в два раза длиннее, которая идентична (только уже)
ленте, получающейся при разрезании исходной ленты надвое. Если
п = I (лента Мёбиуса), при разрезании натрое получается маленькая
лента Мёбиуса, соединенная с более длинной двусторонней лентой
с четырьмя полуоборотами (см. рис. 40).
Исходя из этого, двое моих читателей - Элмер Л. Мюнгер и
Стивен Р. Вудбери — независимо друг от друга предложили
занимательную головоломку. После того как вы получили две соединенные
ленты путем разрезания ленты Мёбиуса натрое, попробуйте сделать
из них тройную ленту Мёбиуса, показанную на рис. 40. Если у вас
это получится, результатом будет забавная структура, в которой две
внешние «ленты» на всем протяжении разделены находящейся
«между» ними лентой Мёбиуса.
При этом можно предположить, что лента Мёбиуса окружена
двумя отдельными лентами, - но, конечно, вы понимаете, что это
не так. Такую же структуру можно получить, сложив вместе три
идентичные ленты. Можно их свернуть, удерживая вместе, а затем
3 1-еизд: М.: Мир, 1964.
Ленты Мёбиуса
123
Рис. 40.
Разрезанная натрое лента (1) превращается в две
соединенные ленты (2), из которых можно сделать
одну тройную (3).
соединив три соответствующие грани. Если такую тройную ленту
покрасить «снаружи» в красный цвет, то вы увидите, что можно
поменять местами внешние части таким образом, чтобы красная
сторона большей ленты оказалась внутри, а тройная лента
снаружи оказалась неокрашенной. Весьма занимательно делать
подобные ленты толщиной в т слоев с п полуоборотами, а затем
попытаться вычислить, каковы будут результаты их разрезания на две и
три части.
У ленты Мёбиуса есть много загадочных внутренних качеств.
Топологи называют её «неориентируемой». Представьте себе ленту как
истинную поверхность нулевой толщины. Мысленно поместите в
124 1000 развивающих головоломок...
это двумерное пространство плоских существ, зеркально
несимметричных (не идентичных собственному зеркальному отображению).
Если такое существо один раз обогнет ленту, оно превратится в
зеркальное отображение себя самого. (Космологи разработали
аналогичные модели повернутого трёхмерного пространства, в котором
астронавт смог бы совершить путешествие «вокруг» космоса и
вернуться с сердцем с другой стороны.) Не забывайте о том, что
двумерные существа находятся «в» поверхности нулевой толщины, а не
«на» ней.
Все неориентируемые поверхности должны содержать хотя бы
одну мёбиусову поверхность. Иначе говоря, из любой неориентиру-
емой поверхности можно вырезать мёбиусову поверхность.
Топологи обнаружили множество причудливых типов неориентируемых
поверхностей, таких как бутыль Клейна, проективная плоскость и
поверхность Боя (открытая немецким математиком Вернером
Боем). Все они замкнуты и не имеют краев, как поверхность сферы.
Бутыль Клейна может быть разрезана пополам, в результате чего
получаются две ленты Мёбиуса, как я объяснял в своей книге Sixth
Book of Matematical Games from Scientific American («Шестая книга
математических игр от Scientific American»). Проективная плоскость
превращается в ленту Мёбиуса, если в ней прорезать дыру.
Все неориентируемые поверхности в трёхмерном пространстве
односторонни, а все ориентируемые (в которых плоские
асимметричные существа не могут поменять ориентацию на зеркальную) —
двусторонни. Число сторон при этом не является внутренним
топологическим свойством, как «ориентабельность». Лишь в нашем
трёхмерном пространстве мы можем говорить о том, что двумерная
поверхность имеет одну или две стороны. Точно так же мы можем
говорить о замкнутой одномерной линии как об имеющей
наружную и внутреннюю стороны при размещении на плоскости.
Другая внутренняя особенность, присущая ленте Мёбиуса,
имеет отношение к теории графов. На плоскости или на любой
ленте с четным числом полуповоротов максимальное число точек,
которые можно соединить непересекающимися линиями,
проходящими между каждой парой точек, четыре (см. рис. 41). Нетрудно
доказать, что с пятью точками это проделать невозможно. Однако
на мёбиусовой поверхности можно соединить
непересекающимися линиями шесть точек. Рассмотрим шесть точек на полоске
бумаги (см. рис. 41). Допустим, два конца полоски соединяются,
при этом лента поворачивается один или любое другое нечетное
Ленты Мёбиуса
125
Рис.41.
Точки на плоскости (слева)
и на ленте (справа)
число раз. Можете ли вы соединить точки попарно линиями, не
пересекающимися друг с другом и не проходящими через точки?
Здесь мы также предполагаем, что полоска имеет нулевую
толщину. Каждую линию нужно представить как проходящую «в»
бумаге, подобно чернилам ^ просачивающимся на противоположную
сторону листа.
Ленте Мёбиуса находится и практическое применение. В 1923
году Ли де Форест получил американский патент на пленку в виде
ленты Мёбиуса, на обеих «сторонах» которой можно было
записывать звук. Аналогичная идея была применена в магнитофонах,
чтобы в два раза увеличить длительность записи на перекрученной ленте.
Несколько патентов было вьщано на конвейерные ленты в виде ленты
Мёбиуса, которые можно использовать с обеих сторон. В 1949 году
О. X. Харрису был выдан патент № 2479929 на абразивную ленту
Мёбиуса. Компания Б. Ф. Гудрича стала обладательницей
подобного же патента (№ 2784834) в 1957 году. В 1963 году патент № 3302795
был выдан Дж. У. Джейкобсу на самоочищающуюся
фильтровальную ленту для уборочных машин. В результате стало легко смывать
грязь с обеих «сторон» ленты по мере её оборота.
126 1000 развивающих головоломок...
В 1963 году Ричард Л. Дэвис, физик из альбукеркской
корпорации «Сандия», изобрел резистор с нулевой реактивностью на
принципе ленты Мёбиуса.
Подсоединив металлическую фольгу двумя концами к
непроводящей ток резине, а затем свернув из этой конструкции
тройную ленту Мёбиуса, Дэвис обнаружил, что при пропускании
электрических импульсов в обоих направлениях по фольге лента
приобретает любые желаемые характеристики
электропроводимости (см. Time за 25 сентября 1964 года и Electronics Illustrated за
ноябрь 1969 года).
Лента Мёбиуса стала предметом вдохновения для многих
современных скульпторов, которые создают на её основе абстрактные
творения. В новом Музее истории и технологии при Смитсонов-
ском институте в Вашингтоне выставлена восьмифутовая стальная
лента Мёбиуса, медленно вращающаяся на пьедестале. Она
установлена прямо перед входом в музей. Швейцарский скульптор
Макс Билль создал на основе ленты Мёбиуса десятки
разнообразных абстрактных работ (см. рис. 42).
Художники также используют ленту Мёбиуса в живописи и
рекламной продукции. На рисунках 43 и 44 представлены два примера
использования её голландским художником Морисом К. Эшером.
В 1967 году Бразилия принимала математический конгресс, и в его
честь была выпущена марка с изображением ленты Мёбиуса. В 1969
году эта лента, но в виде треугольника, была изображена на марке,
выпущенной в Бельгии. (Эти марки показаны на рис. 45.)
Уплощенная в виде треугольника лента Мёбиуса стала
официальным символом выставки «Экспо-74», проходившей в Спокейне,
штат Вашингтон. На обложке журнала New Yorker за 5 апреля 1976
года красовалась лента Мёбиуса, по которой в обоих направлениях
шагало около 30 бизнесменов.
Лента Мёбиуса служит центральной идеей для многих
научно-фантастических произведений, начиная с моего «нульстороннего»
профессора (из No-Sided Professor) и заканчивая «Стеной мрака» (ТЪе Wall of
Darkness) Артура Кларка, опубликованного в июле 1949 года в
сборнике Super Science Stories. Многие друзья присылали мне на Рождество
открытки с разными пожеланиями, например, «бесконечной
радости», написанными на ленте Мёбиуса. Интересно, что если вы будете
крутить в пальцах такую ленту с надписью, то слова будут всегда
написаны нормально, хотя при этом на её внутренней стороне они
окажутся вверх ногами. Когда я был редактором журнала Humpty Dumpty
Рис. 42.
«Непрерывная поверхность в форме
колонны» (1953), галерея Олбрайта —
Нокса, Буффало
Рис. 43.
«Лента Мёбиуса П>
резьба по дереву,
Морис К. Эшер
128
I 000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Рис. 44.
«Лента Мёбиуса I», резьба по дереву, Морис К. Эшер, 1961. Скульптура
изображает рассеченную надвое ленту. Это единая лента в форме трёх рыбок,
каждая из которых кусает переднюю за хвост.
Magazine, то даже придумал игру на этом принципе (см. мой рассказ
Watch the Thanksgiving Day Parade, ноябрь 1955 года, с. 82—84).
Писатели, пользующиеся печатными машинками и печатающие
быстро, чтобы не заменять постоянно бумагу, нередко вставляют в
машинку бумагу в рулонах, похожих на бумажные полотенца. Если
брать достаточно длинную полосу бумаги, то её можно замкнуть в
петлю, повернув так, чтобы печатать непрерывно на обеих
сторонах. Уолдо Р. Тоблер как-то предложил напечатать на ленте
Мёбиуса карту мира так, чтобы полюса находились на её ребрах, а линии
широты и долготы располагались симметрично. Проткнув такую
карту в любой точке, с другой стороны вы попадете в точку, которая
на глобусе располагается диаметрально противоположно.
Гексафлексагоны являются фигурами с нечетным числом
полуповоротов, так что тоже представляют собой мёбиусовы поверхности.
Ленты Мёбиуса
129
BENELUX 1944 1969
BELGiOUE
Рис. 45.
Бразильская и бельгийская марки
с изображением ленты Мёбиуса
Задача 15 из следующей главы позволит вам получить
представление о занимательной топологии «пересекающихся» лент Мёбиуса.
Задача о минимальной длине ленты, которую можно свернуть и
соединить в ленту Мёбиуса, помещена в моей книге Book of
Mathematical Games from Scientific American («Книга математических
игр из Scientific American»), Спортсмены, занимающиеся лыжной
акробатикой (фристайлом), сейчас выполняют трюк под названием
«прыжок Мёбиуса», при исполнении которого делают сальто,
одновременно разворачиваясь вокруг своей оси.
Группа французских писателей и математиков, публикующая
свои экспериментальные произведения под групповым
псевдонимом ОиЫРо («УЛиПо»), пользуются лентой Мёбиуса для создания
новых стихотворений. Например, на одной стороне ленты пишется
четверостишие с рифмой абаб, а на другой — с рифмой вгвг. При
сворачивании из неё ленты Мёбиуса получается новое
стихотворение с рифмами авбг — авбг. (Две главы моей книги Penrose Tiles to
Trapdoor Ciphers 1989 года издания посвящены творчеству УЛиПо.)
В последние годы даже авторы, не специализирующиеся на
математике, кажется, прониклись любовью к мёбиусовым
поверхностям как символу бесконечности. Существует стихотворение
Чарльза Олсона «Лента Мёбиуса» и «Чета Мёбиусов: одиннадцать
коротких неприличных историй» Кароля Берге, на обложке
которых изображена огромная лента Мёбиуса. Каждую из историй
также венчают ленточки поменьше. «Когда мужчина и женщина
становятся любовниками, - написано на форзаце книги, - между
ними возникают потенциально бесконечные отношения, которые,
подобно ленте Мёбиуса, не имеют ни начала, ни конца, а лишь не-
5-10396
130 1000 развивающих головоломок...
прерывное протяжение... В этих историях — мудрость и
откровенность, которых достаточно для того, чтобы вы почувствовали
родство с этими людьми, как будто познакомились с ними где-то на
мёбиусовой ленте жизни».
Не вполне понятно, что прибавляет к старинной метафоре
кольца или круга поворот на бесконечной петле. Все, что он дает, — это
приводит вас обратно в те места, где вы уже были, - но то слева, то
справа. Однако остается неясным, как же приложить это к
кинопленке человеческой жизни?
Первый рассказ из книги Джона Барта Lost in the Funhouse
(«Потерявшийся в комнате смеха») был опубликован в 1968 году.
Он, скорее всего, служит введением в повествование и устроен
так, что его нужно читать на настоящей мёбиусовой поверхности.
Читателю рекомендуется разрезать страницу по пунктирной
линии, затем свернуть и склеить, чтобы получилась лента Мёбиуса,
на которой можно прочесть бесконечную «присказку». «В один
прекрасный день произошла история, которая началась в один
прекрасный день, когда произошла история, которая
началась...»
Это старинная детская присказка, которая имеет лишь
бесконечное начало, но не имеет ни середины, ни конца. Однажды я написал
такой вот «метастих» без середины, с бесконечным началом и
бесконечным концом:
Жил да был метапоэт,
Был он сыт, обут, одет,
Но не знал, о нем писать,
И тогда решил начать
Вот такой вот метастих
О безумных днях своих:
«Жил да был метапоэт,
Был он сыт, обут, одет,
Но не знал, о чем писать,
И тогда решил начать
Вот такой вот метастих
О безумных днях своих:
«Жил да был метапоэт...»
Ленты Мёбиуса 131
«Здесь истории конец», —
Написал наш молодец,
И, вздохнув, убрал перо,
Потому что понял, что
«Здесь истории конец», —
Написал наш молодец,
И, вздохнув, убрал перо,
Потому что понял, что
«Здесь истории конец»...
К несчастью, я пока не нашел подходящей топологической
поверхности, на которой можно было бы это напечатать.
ОТВЕТЫ
Один из способов решить головоломку с лентой Мёбиуса показан
на рис. 46. Допустим, что ленту повернули прежде, чем соединили
её концы. Тогда точки а, Ь, с, d, e на нижней стороне ленты совпадут
с соответствующими точками на верхней стороне. Поверхность
следует принимать имеющей нулевую толщину, линии расположены не
«на», а «в» ней.
Комплементарным к этому графу является карта, которая для
окрашивания требует не менее 6 цветов (соседствующие области
обязаны иметь различные цвета). На рис. 47 приведено ещё одно, уже
симметричное решение, которое также нашли многие из читателей.
Рис. 46.
Ответ к головоломке с лентой Мёбиуса
132
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Рис. 47.
ГЛАВА 1 О
Смешные задачи
Для решения приведенных ниже небольших задачек не требуется
владения высшей математикой. Большинство из них содержат
неожиданные вопросы-«ловушки», и их не надо принимать всерьез.
1. В одной африканской деревне живет 800 женщин. Три
процента из них носят по одной сережке. Из оставшихся 97% у половины в
ушах две серьги, а у другой половины — ни одной. Сколько всего
сережек у всех женщин?
2. Каждая грань выпуклого многогранника может служить
основанием, если его поставить на горизонтальную поверхность. У
правильного многогранника центр тяжести расположен в середине, так что он
устойчив при установке на любую грань. Неправильные
многогранники могут быть неустойчивы при установке на некоторые грани, то есть
если их поставить на стол такой гранью вниз, они будут
переворачиваться. Возможно ли построить такой неправильный выпуклый
многогранник, который был бы неустойчив при установке на любую грань?
3. Какое число пропущено в этом ряду: 10, И, 12, 13, 14, 15, 16,
17, 20, 22, 24, 31, 100, —, 100 000? (Подсказка - пропущенное число
должно быть в троичной системе.)
4. Среди утверждений в условии этой задачи есть три ошибки.
Найдите их.
а) 2 + 2 = 4
#4+72 = 2
в) 3 7з х 3 У8 = 10
^ 7 - (-4) = 11
д) -10(6 -6) = -10
134
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
5. Логик, которому было нечем заняться в маленьком городке,
решил сходить в парикмахерскую. В городе было только два
парикмахера, и у каждого своя мастерская. Логик заглянул в первую и
увидел, что там парикмахер был небрит и с взлохмаченной головой.
В другой парикмахерской был полный порядок. Парикмахер был
свежевыбрит и с аккуратной прической. Логик вернулся в первую
парикмахерскую и постригся там. Почему?
6. К полю для игры в крестики-нолики добавили одну клетку
(см. рис. 48). Если играть в игру, как обычно, то первый игрок легко
сможет выставить три значка в ряд, начав партию, как показано на
рис. 49. Без дополнительной клетки второй игрок может не дать ему
выиграть, только если займет центральную клетку. Но на рисунке
показано, как первый игрок может пойти в данном случае, с
гарантией выигрывая следующим ходом.
Рис. 48.
Рис. 49.
Выигрывает первый игрок
Так что давайте изменим правила. Добавив дополнительную
клетку, введем новое правило. Если игрок хочет выиграть, поставив
в ряд свои значки в нижнем ряду, то он должен занять все четыре
клетки в нем. Может ли в таком случае первый игрок с гарантией
победить?
7. Секретарша напечатала четыре письма четырем адресатам и
надписала четыре конверта. Если она будет вкладывать письма в
конверты случайным образом, какова вероятность того, что именно
три письма попадут в правильные конверты?
8. Рассмотрим три точки: центр правильного тетраэдра и любые
две его угловые точки. Эти три точки будут лежать на одной
плоскости. Верно ли то же самое для всех неправильных тетраэдров?
9. На поверхности шара выбраны три случайные точки. Какова
вероятность того, что все три окажутся в одном полушарии? Будем
считать, что окружность, разграничивающая полушария, является
частью каждого из них.
Смешные задачи
135
10. Если вы возьмете три яблока из корзины с тринадцатью
яблоками, то сколько яблок у вас будет?
И. Из точки С проведены две касательные к окружности (см.
рис. 50). Отрезки касательных УС и АС всегда равны. Допустим,
длина каждого из них - 10 единиц. Точка Р на окружности выбрана
случайным образом так, чтобы она оказалась между точками Хи Y.
Затем через точку Р провели ещё одну касательную. Каков периметр
треугольника ABC?
ю
Рис. 50
Задача с касательными
10
12. Если сумма в девять тысяч девять сотен и девять долларов
записывается как $9909, то как правильно записать сумму в
двенадцать тысяч двенадцать сотен и двенадцать долларов?
13. Химик открыл, что некая химическая реакция идет 80 минут
при условии, что экспериментатор одет в пиджак. Когда же он был
без пиджака, то реакция всегда занимала один час и 20 минут. Как
вы это объясните?
14. Каждая из двух бумажных фигур, изображенных на рис. 51,
состоит из горизонтальной ленты, присоединенной к вертикальной
такой же длины и ширины. Они идентичны друг другу, за
исключением того, что вторая фигура имеет полуоборот вертикальной
ленты. Если первую фигуру разрезать по пунктирной линии, как это ни
удивительно, получится большой квадрат, изображенный в виде
рамки рисунка. А что получится, если вторую фигуру точно так же
разрезать по пунктирной линии?
15. Равносторонний треугольник и правильный шестиугольник
имеют одинаковые периметры. Если площадь треугольника - две
квадратных единицы, какова будет площадь шестиугольника?
16. Можно ли построить куб размерами 6 х 6 х 6 из 27 блоков
размерами 1x2x4 (см. рис. 52)?
17. Посетитель ресторана обнаружил в чашке с кофе муху. Он
потребовал у официанта другую чашку. Отпив из неё один глоток, он
136
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Рис.51.
Топологический вопрос
Рис. 52.
Головоломка с рассечением куба
воскликнул: «Это та же самая чашка, которая была у меня
вначале!» Как он это узнал?
18. Имеется металлический лист в форме квадрата со стороной 2
фута и присоединенных к его противоположным сторонам
полукругов (см. рис. 53). Если вырезать из центра этой фигуры круг
диаметром в два фута, как показано на рисунке, какова будет площадь
оставшегося металла?
19. «Я гарантирую вам, - сказал продавец в зоомагазине, - что
этот попугай будет повторять все слова, которые услышит».
Покупатель приобрел попугая, но обнаружил, что тот не произносит ни
единого слова. Однако продавец говорил правду. Как это объяснить?
2
Рис. 53.
Рис. 54.
Смешные задачи 137
20. Из одного угла квадрата проведены две линии, точно
делящие площадь квадрата на три равные части (см. рис. 54). В каком
отношении эти линии делят стороны квадрата?
21. Кусок цилиндрической железной трубы длиной в десять
футов имеет внутренний диаметр четыре дюйма. Если засунуть в трубу
со стороны А стальной шар диаметром три дюйма, а со стороны В —
шар диаметром два дюйма, то возможно ли при помощи железного
прута протолкнуть каждый шар через трубу так, чтобы достать его с
другого конца?
22. Предложите по меньшей мере три способа измерения высоты
здания при помощи барометра.
23. Как можно сделать куб из пяти спичек? Гнуть или расщеплять
спички нельзя.
24. Какая ситуация более вероятна после раздачи карт в бридже
на четверых: у вас и вашего партнера будут на руках только пики или
же у вас обоих не будет пиковых карт вообще?
25. Эта старая задачка по-прежнему ставит в тупик
практически всех, кто впервые сталкивается с ней. Смит отдал клерку в
отеле 15 долларов за ночь. Когда клерк обнаружил, что постоялец
дал ему лишние 5 долларов, он отправил к нему в номер
коридорного с пятью долларовыми банкнотами. Нечестный коридорный
отдал Смиту только три купюры, а две оставил себе. Получилось,
что Смит заплатил за комнату 12 долларов. Коридорный забрал
два доллара. Таким образом, всего получается 14. Где оставшийся
доллар?
ОТВЕТЫ
1. Если из 97% женщин половина носят по две серьги, а половина -
ни одной, то это все равно что все носят по одной. Таким образом,
показав, что все 800 женщин в среднем носят по одной серьге,
получим всего 800 сережек.
2. Нет. Если бы выпуклый многогранник мог бы быть
неустойчивым на любой из граней, тогда можно было бы сделать вечный
двигатель. Каждый раз, когда фигура переворачивалась бы на новое
основание, она все равно оставалась бы неустойчивой и, таким
образом, переворачивалась бы снова.
3. Каждое из этих чисел равно 16 в разных системах исчисления,
начиная с шестнадцатеричной и далее в убывающем порядке, за-
138 1000 развивающих головоломок...
канчивая двоичной. Недостающее число - шестнадцать в троичной
системе, или 121.
4. Из данных выражений неверны только б и д, так что
утверждение, что ошибок в них три, также неверно. Это и есть третья ошибка.
5. Парикмахеры должны стричь друг друга. Логик выбрал того,
который лучше подстриг своего конкурента.
6. Предположим, что клетки пронумерованы от 1 до 10 слева
направо и сверху вниз. Первый игрок может выиграть лишь в том
случае, если сделает первый ход на клетку 2 или 6. Я предоставляю
читателям возможность самостоятельно разработать его дальнейшую
стратегию при всех ответных ходах противника.
7. Ноль. Если три письма положены в правильные конверты, то
четвертое — тоже.
8. Да. Любые три точки в пространстве могут лежать в одной
плоскости.
9. Вероятность этого - единица. Любые три точки на сфере
принадлежат к одному полушарию.
10. Три яблока.
11. Периметр треугольника - 20 единиц. Отрезки
касательных, выходящих из одной точки, равны между собой, так что YA =
=АР, а ВР = ХВ. Так как АР + ВР — это сторона треугольника ABC,
то легко заметить, что периметр его равен 10 + 10 = 20. Это одна
из любопытных задач, которые можно решить другим способом,
если точно знать, что решение имеется. Так как точка Р может
быть в любом месте на окружности между точками Хи Y, то мы
можем предельно сдвинуть её к любой из этих точек. В обоих
случаях одна из сторон треугольника ABC превращается в ноль, а
сторона АВ увеличивается до 10, и в результате получается
упрощенный до прямой «треугольник» со сторонами в 10, 10 и 0
единиц. Его периметр равен 20. (Приношу благодарность Филипу К.
Смиту-мл.)
12. $13 212.
13. 80 минут равны одному часу и 20 минутам.
14. При разрезании второй фигуры получится то же самое, что и
при разрезании первой. Действительно, мы получим такой же
большой квадрат, вне зависимости от того, как скручена вертикальная
лента! Если хотите ещё сюрприз, посмотрите, что получится, если
разрезать неперевернутую ленту второй фигуры пополам, а
перевернутую — на три части.
15. Три квадратных единицы (см. рис. 55 и 56).
Смешные задачи
139
Рис. 55.
Решение задачи о треугольнике
и шестиугольнике (рис. 56)
Рис. 56.
16. Нет. Представьте, что куб со стороной 6 единиц состоит из 27
блоков кубической формы со стороной 2 единицы, раскрашенных в
чёрный и белый цвета. Так как 27 - число нечетное, то должно быть 13
кубиков одного цвета и 14 — другого. Неважно, как расположены они
внутри большого куба, но половина из них должны быть белой, а
половина - чёрной. Так что, как бы вы ни складывали их, большой куб
будет содержать равное число чёрных и белых блоков. А это
противоречит тому факту, что большой куб состоит из неравного количества
кубиков разного цвета — значит, построить его из 27 блоков нельзя.
17. Посетитель ресторана размешал сахар в чашке с кофе,
прежде чем заметил муху.
18. Два полукруга вместе составляют круг, совпадающий с
отверстием. Таким образом, оставшийся металл будет иметь площадь в
четыре квадратных фута.
19. Попугай был глухим.
20. Разделяющие квадрат на три равные по площади части линии
также делят в отношении один к двум и стороны квадрата. Как
указал в своем письме Пит Хейн, приславший мне эту задачку, это
легко увидеть, разделив любой прямоугольник пополам диагональю,
проведенной из того же угла, что и делящие его на три части линии.
Каждая половина прямоугольника, очевидно, делится одной из
этих линий на два треугольника, один из которых по площади в два
раза меньше другого. Так как одна из сторон у них общая, значит,
основание меньшего треугольника должно быть в два раза меньше,
чем основание большего.
21. Можно, если проталкивать два шарика в трубу не одновременно.
22. Вот пять способов:
(1) Спустить барометр на веревке с крыши и измерить длину
веревки.
(2) Сделать то же самое, но не измерять длину веревки, втянув
барометр обратно, а оставить его качаться, как маятник, подсчитав
140 1000 развивающих головоломок...
длину веревки по частоте колебаний маятника. (Благодарю за этот
вариант Дика Эйкерса.)
(3) Бросить барометр с крыши. Засечь время, которое он будет
падать, и подсчитать расстояние по формуле свободного падения.
(4) В солнечный день найти отношение высоты барометра к
длине его тени и по этому отношению вычислить высоту здания по
длине его тени.
(5) Найти управляющего домом и предложить ему барометр за
то, что он скажет вам высоту здания.
Решение № 1 очень старое (я слышал его от своего отца в
детстве), но наиболее полное обсуждение этой задачи со всеми
вариантами решения, кроме второго, дано в книге Александра
Каландры The Teaching of Elementary Science and Mathematics («Уроки
элементарного естествознания и математики») 1969 года издания.
Более раннее рассмотрение этой задачи тем же автором,
опубликованное в издании для учителей Current Science («Современная
наука»), послужило основой для заметки в New York Times от 8
марта 1964 года.
23. Если рассматривать «куб» в числовом смысле, то из пяти
спичек можно составить число 1, или 27, или VIII, или I — то есть
числа, представляющие собой кубы (третью степень) каких-либо
других чисел. Если у спичек ровные грани, то при размещении
их так, как показано на рис. 57, в центре получается маленький
куб.
24. Вероятности этих двух ситуаций равны. Если у вас и вашего
партнера нет ни одной пиковой карты, значит, все они сданы
другим двум игрокам.
Рис. 57.
Куб из пяти спичек
Смешные задачи 141
25. Прибавляя 2 доллара, полученные коридорным, к 12,
заплаченным Смитом за комнату, мы получаем бессмысленную сумму.
Смит в итоге отдал 12 долларов, из которых 10 взял клерк, а 2 -
коридорный. Отдав вначале 15 долларов, Смит получил обратно 3
доллара, которые при сложении с 12 долларами, полученными клерком
и коридорным, дают в сумме те же 15 долларов.
ГЛАВА 1 1
Полигексы и полиаболо
Обычные паззлы-картинки практически лишены математического
интереса: кусочки в них ставятся на место путем проб и ошибок, и
при наличии достаточного упорства и терпения рано или поздно
картинка будет собрана. Но если головоломка состоит из деталей в
форме простых многоугольников, задача составления из них
определённой фигуры уже относится к области комбинаторной
геометрии, и её решение требует серьёзного математического анализа, а
возникающие при этом вопросы порой оказываются совсем не
тривиальными. Если при выборе множества многоугольных деталей
применить простые правила комбинаторики, задача приобретает
изящество, а исследование комбинаторных свойств этого
множества оказывается не только способом убить время, но и весьма
захватывающим занятием.
У любителей математических головоломок наибольшей
популярностью пользуются так называемые «полиомино». Они
представляют собой набор квадратных деталей, которые нужно сложить
всеми возможными способами. Этой разновидности головоломок
посвящено множество работ — в том числе книга Polyominoes
(«Полиомино») Соломона В. Голомба, профессора университета Южной
Калифорнии. Другая хорошо изученная разновидность составных
фигур - это «полиамонды», получающиеся при соединении по
граням равносторонних треугольников. Гексиамонды (полиамонды,
состоящие из шести равносторонних треугольников) рассмотрены в
моей книге Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American
(«Шестой книге математических игр от Scientific American»).
Полигексы и полиаболо 143
Многие читатели, полюбившие задачи с полиомино и поли-
амондами, предложили мне другие способы выбора основного
набора многоугольников, на основе которых можно придумывать
подобные головоломки. В этой главе мы рассмотрим два таких набора,
которые чаще всего упоминаются в письмах читателей. Однако до
сих пор сведений в печати о них крайне мало.
Так как существует только три типа равносторонних
многоугольников, которыми можно заполнить поверхность (квадрат,
равносторонний треугольник и правильный шестиугольник), то в первую
очередь на ум приходит именно составление различных фигур из
набора одинаковых шестиугольников. Два шестиугольника можно
соединить всего двумя способами, три - тремя, а четыре - семью.
Из-за того что такие фигуры напоминают структурные химические
формулы веществ с бензольными кольцами, двое читателей, Элинор
Шварц и Джеральд Дж. Клутье, предложили называть их «бензена-
ми». Предлагались и другие названия. Однако мне кажется
наилучшим вариант «полигексы», предложенный Дэвидом Кларнером,
одним из первых исследователей таких фигур. На рис. 58 показаны
7 тетрагексов с названиями, предложенными читателями.
Следующий по числу составных частей набор шестиугольников -
пентагекс — имеет 22 разновидности, так что в качестве развлечения
несколько громоздок. Гексагексов существует 82, гептагексов - 333,
а октагексов - 1448. (Зеркальные отражения не считаются отдель-
Червяк Полоска
Рис. 58.
Семь различных тетрагексов
144 1000 развивающих головоломок...
ными фигурами.) Подобно случаям полиомино и полиамондов, для
вычисления числа полигексов, которые могут быть сложены из
данного числа шестиугольников, формула пока не найдена.
Читателю предлагается вырезать набор тетрагексов из картона.
Если у вас дома пол выложен шестиугольными плитками, вы
можете вырезать детали соответствующего размера, чтобы использовать
пол в качестве игрового поля для составления тетрагексов. Из
восьми симметричных фигур, представленных на рис. 59, все, кроме
одной, можно составить из полного набора (семи тетрагексов).
Многие читатели предлагали в своих письмах «ромб», «треугольник» или
«башню». «Клякса» и «виноградная гроздь» — изобретения Ричарда
Э. Хорвитца, «кольцо» — Клутье, «пирамида» — Кларнера, а «ковер» —
Т. Марлоу и Кларнера. Можете ли вы найти здесь фигуру, не
составляющуюся из семи тетрагексов? Пока не найдено простого
доказательства её невозможности. (Эта фигура - не «башня», хотя сложить
её трудно, и существует лишь один способ сделать это, если не
считать банальной перестановки двух частей, образующей зеркальное
отображение фигуры.) Использовать необходимо все семь деталей.
Решения, полученные отражением всей конфигурации, не
считаются отдельными.
Из 22 пентагексов (рис. 60) можно получить множество
удивительных симметричных фигур. «Ковер» (который можно разделить
на две части и составить из них более длинный и узкий ковер)
придумал Роберт Дж. Кларнер (отец Дэвида Кларнера). Другие фигуры
присланы Кристофом М. Хоффманом из Гамбурга. Обратите
внимание на то, что два ромба можно сложить иначе и получить «ромб»
(точнее сказать, параллелограмм) размером 5 х 22 шестиугольника.
(Марлоу предложил различные способы составления такого
двойного ромба и ромба, состоящего из двух треугольников.) Но ни из
тетра-, ни из пентагексов нельзя составить шестиугольник. Однако
Марлоу и мисс Шварц предложили способ составления этой
фигуры со стороной 4 из семи тетрагексов и трёх тригексов.
Взяв неправильные многоугольники, мы увидим, что самые
простые из них — это равнобедренные прямоугольные треугольники.
Их можно соединять друг с другом катетами или гипотенузами. Мы
будем называть катеты сторонами s, а гипотенузы — сторонами И.
Первым описал эту группу фигур в литературе Томас О'Бирн (New
Scientist, декабрь 1961). Воспользоваться деталями такой формы ему
предложил житель английского Бристоля С. Дж. Коллинз,
предложивший называть фигуры, состоящие из четырёх треугольников,
Ковер
Пирамида
Рис. 59.
Фигуры, получающиеся из набора тетрагексов (за исключением одной)
Ромбы
Ковер
Треугольники
Попкорн
Елка
Месяц
Рис. 60.
Фигуры, которые можно составить из пентагексов
Полигексы и полиаболо
147
«тетраболо». Отсюда возникло общее название — «полиаболо».
Существует три варианта диаболо, четыре триаболо, 14 тетраболо, 30
пентаболо и 107 гексаболо.
Набор из 14 тетраболо, представленный на рис. 61, имеет общую
площадь в 28 квадратов со стороной s, или в 14 со стороной А. Так как
оба эти числа не являются квадратами, составить из полного набора
тетраболо квадрат невозможно. Квадрат размером 2s у, 2s имеет
площадь, соответствующую площади двух тетраболо, - однако доказано,
что составить его из них невозможно. Существует три квадрата,
которые можно составить из неполного набора тетраболо (см. рис. 62).
F G Н
«Четные» тетраболо
К L
«Нечетные» тетраболо
Рис.61.
14 различных тетраболо
1
я i
V j
Е
1
Рис. 62.
Квадраты, составленные из тетраболо
148 1000 развивающих головоломок...
Если вы вырежете из картона полный набор тетраболо, то
наверняка получите удовольствие, составляя из них эти квадраты. Для
самого маленького из них имеется лишь два решения, а для остальных
найдены ещё далеко не все.
На рис. 63 показаны все прямоугольники со сторонами из
отрезков s, площадь которых такова, что позволяет составить их из
полного или неполного набора тетраболо. На рис. 64 —
прямоугольники со сторонами из отрезков И. (Очевидно, что получить
прямоугольник с двумя сторонами, равными И, невозможно, за
исключением квадрата Их И.) Обратите внимание на то, что наибольшие по
площади прямоугольники каждого типа, для составления которых
необходим полный набор тетраболо, считаются неразрешимыми.
Ниже я приведу замечательное доказательство этого, найденное
О'Бирном и опубликованное им в собственной колонке в журнале
New Scientist от 18 января 1962 года.
Большинство доказательств невозможности существования по-
лиомино базируются на раскрашивании фигур по типу шахматной
доски. Но в данном случае этот способ не помогает. Доказательство
О'Бирна основано на числе сторон h, которые имеются у полного
набора деталей. Если каждую деталь разместить таким образом,
чтобы катеты составляющих её треугольников располагались по
горизонтали и по вертикали, как на рис. 61, то их гипотенузы будут
направлены либо наклонно влево, либо наклонно вправо. У фигуры А
нет сторон, образованных гипотенузами (отрезками И). Эта и
следующие восемь фигур (В, С, D, E, F, G, Н, I) называются «четными»,
так как в каждой из них четное число отрезков И, направленных в
обе стороны. (Ноль также считается четным числом.) Остальные
пять фигур (J, К, L, M, N) называются «нечетными», так как у них
по нечетному числу отрезков И каждого направления.
Из того, что существует нечетное число «нечетных» фигур,
следует, что неважно, каким способом составлена фигура со сторонами
из отрезков s, ориентированных ортогонально. В ней все равно
будет иметься нечетное число сторон из отрезков И, направленных
наклонно в обе стороны.
Теперь рассмотрим два прямоугольника, для построения
которых требуется полный набор из 14 тетраболо. Очевидно, что в
каждом прямоугольнике должно быть четное число отрезков И,
направленных в обоих направлениях. Внутри такого прямоугольника
любой отрезок И имеет пару — такой же отрезок, направленный в ту же
сторону. Таким образом, полное число внутренних отрезков h обоих
/
ч
\
2X3
\\
2X4
ч
ч
ч
ч
2X6
ч
ч
\
\
3X4
ч
Ч
\
\
\
/
/
/
/
3X6
\
/
IX,
\
5
\
\
\
3X8
2Х(7... 14)
7
7
\
Ч
ч
ч
/
/
/
/
4X5
Рис. 63.
Прямоугольники из тетраболо со сторонами
из отрезков s. Доказано, что серые
прямоугольники невозможно составить
из существующих тетраболо.
1
4X6
4X7
150 1000 развивающих головоломок...
типов должно быть четным. В треугольнике же, стороны которого
состоят из отрезков Л, отрезков каждого типа по периметру также
будет четное число. Таким образом, нельзя сложить прямоугольник
из полного комплекта 14 тетраболо. Это доказательство нельзя
применять для всех билатерально симметричных фигур. Возможно, вам
будет интересно самостоятельно доказать это, попробовав сложить
такую фигуру из 14 тетраболо.
Закрашенные серым прямоугольники на рис. 63, имеющие в
высоту четное число отрезков s, а в длину 7 и более таких отрезков, не
могут быть составлены из тетраболо. Это можно доказать,
попробовав поместить внутрь такого прямоугольника шесть тетраболо (В,
D, E, G, M, N). Мы увидим, что это невозможно сделать, если не
разбивать прямоугольник на две части, которые не будут
представлять собой набор из квадратов со стороной s. Таким образом, эти
тетраболо не могут входить в состав прямоугольника. Из оставшихся
же тетраболо можно составить фигуру, максимальная величина
периметра у которой будет равн^ Us. Однако прямоугольник
размером 2x7 имеет периметр, равный 1 8s, что на один отрезок s больше,
чем имеется в частичном наборе из восьми тетраболо.
На рис. 63 и 64 показано разбиение на составные части всех
прямоугольников, для которых известны эти способы (на основе
тетраболо). Существуют ли четыре незаполненных прямоугольника? Для
построения каждого из них требуется 12 тетраболо, то есть из
полного набора должны быть исключены одна «четная» и одна
«нечетная» фигура. Прямоугольник со сторонами 3x8, вероятно,
невозможно составить из имеющихся тетраболо, так как его большой
периметр значительно ограничивает число способов, которыми
можно соединить составные части. Тем не менее ни для одного из этих
четырёх четырёхугольников не найдено доказательства
невозможности. И в то же время решения для них также пока не известны.
Читатели, уверенные в своих математических талантах, могут
попробовать сложить непростую фигуру — квадрат, предложенный
О'Бирном. Из полного набора тетраболо исключаются шесть
симметричных фигур, не изменяющихся при перевертывании, и
используются только оставшиеся восемь несимметричных (D, F, Н, I,
J, К, М, N). Так как их общая площадь равна 16 квадратам со
стороной s9 они могли бы составить квадрат со стороной 4s. Однако у
такого квадрата по краям должны располагаться 16 одинарных s-ква-
дратов, а из восьми данных тетраболо можно получить только 12
таких квадратов, расположенных по периметру. Но если брать не толь-
Полигексы и полиаболо
151
2X6
Рис. 64.
Прямоугольники с h-сторонами. Закрашенный серым цветом нельзя
составить из тетраболо.
ко сами восемь несимметричных тетраболо, но и их зеркальные
отражения, то картина меняется. В данном случае мы имеем 16
деталей, которые нельзя переворачивать, то есть для решения нужно
использовать обе зеркальные формы тетраболо. Все 16 деталей имеют
общую площадь в 16 квадратов со стороной А. Можно ли получить
из них квадрат со стороной в 4А? О'Бирн доказал возможность
этого. Однако построения оказались очень сложны и не были
опубликованы.
С помощью тетраболо также можно найти ответ на необычный
вопрос, поставленный К. Дадли Лэнгфордом из шотландского Эйр-
152 1000 развивающих головоломок...
шира и переданный мне британским математиком X. Мартином
Канди. Лэнгфорд спрашивает, существуют ли такие четыре фигуры
одинаковой площади, но разной формы (зеркальные отображения
разными не считаются), которые можно сложить четырьмя
различными способами так, чтобы получились четыре фигуры той же
формы, но большей площади, чем исходные? В каждой большой
фигуре должны присутствовать все четыре маленьких. Мне удалось
найти простое решение этой задачи с применением четырёх тетраболо.
Можете ли вы найти эти четыре фигуры и показать, как они
складываются?
ДОПОЛНЕНИЕ
В Европе производились и продавались головоломки-тетрагексы,
однако в США мне ничего подобного не попадалось. В 1971 году в
продажу поступил набор пластмассовых полигексов (из 10 деталей:
трёх тригексов и семи тетрагексов) с прилагающимся буклетом
задач Стюарта Т. Коффина под названием «Снежинка».
Многие читатели смогли найти доказательства единственности
способа построения «башни» из тетрагексов (в двух зеркальных
вариантах). Во всех доказательствах ключевым моментом является
положение «пропеллера».
Эндрю К. Кларк из английского Чешира написал, что из любых
полигексов 4-го и 5-го порядков можно составить непрерывную
поверхность, а среди гексагексов таким свойством обладают все,
кроме четырёх фигур. Также он указывает на то, что поверхность
можно «замостить» любым полиаболо четвертого порядка. Для пятого
порядка исключений уже четыре, для шестого — 19. Но эти
результаты никем не подтверждены.
В.Ф. Ланнон, сотрудник Атласской компьютерной лаборатории
в Чилтоне, Англия, подсчитал число существующих полигексов до
12-го порядка. Эти сведения опубликованы в статье Counting
Hexagonal and Triangular Polyominoes («Подсчет шестиугольных и
треугольных полиомино»), опубликованной в сборнике Graph Theory
and Computing, под редакцией Р.К. Рида в 1972 году. Число
существующих полигексов от 9-го до 12-го порядка равно соответственно
6572,30 490, 143 552 и 683 101.
Подсчетом полиаболо практически никто не занимался.
Несколько читателей сходятся на том, что число существующих гепта-
Полигексы и полиаболо
153
боло — 318. Чарльз В. Тригг насчитал 1106 октаболо, а Роберт
Оливер - 3671 нонаболо.
ОТВЕТЫ
Несуществующая фигура-тетрагекс из представленных на рис. 59 —
треугольник. Доказательство невозможности его существования,
представленное Дэвидом Кларнером, начинается с рассмотрения
ограниченного числа положений, в которых может находиться
«пропеллер».
На рис. 65 показано предложенное Кларнером решение для
самой сложной фигуры — «башни». Обратите внимание, что
закрашенная часть фигуры имеет ось симметрии, относительно которой
её можно отобразить зеркально, и таким образом получить второе
решение.
Один из способов составить квадрат из восьми асимметричных
тетраболо и их зеркальных отображений (без переворачивания
деталей) был найден независимо друг от друга в 1962 году двумя
британскими энтузиастами - Р.А. Сезтерингтоном из Таунтона и
Э.Ф. Спинксом из Летчфорта (см. рис. 66). Детали G, Н и М обра-
т
G
\
В
/
Р
/ D /
с у
F
у
к
К
/
/
L
R
Рис. 65.
Тетрагекс «башня»
Рис. 66.
Решение сложной задачи с тетраболо
154
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК..
Рис. 67.
Решение задачи о повторяющихся
формах тетраболо
V
зуют фигуру, которая может быть зеркально повернута. Группы
JKN и FJ К также можно повернуть, а СЕ можно поменять местами
с МР, что даст нам различные варианты решения. Томас О'Бирн из
Глазго недавно нашел новый способ размещения А, В, С, D, E, F, G
и Н, при котором из них составляется искомый квадрат, внутри
которого в результате поворотов деталей вокруг своей оси и их
взаимного обмена местами возможны и другие варианты решения.
Одним словом, полный набор решений не только не найден, но и не
подсчитан.
Из четырёх тетраболо можно составить фигуры, повторяющие
по форме каждую из составных частей (см. рис. 67). Для этого
необходимо лишь переместить треугольник. Обратите внимание, что
при перемещении треугольника в другие позиции возникают
фигуры, повторяющие очертания ещё четырёх тетраболо. В результате
получается восемь различных фигур, то есть более половины всего
набора тетраболо. Уэйд Э. Филпотт и другие заметили, что такая же
задача может быть решена и для тетраболо С, I, К и L.
Имеются ли другие наборы из четырёх различных составных
частей, обладающие теми же характеристиками? Морис Дж. Пова из
Блэкберна, Англия, доказал, что их существует бесконечное число.
Его доказательство основывается на решении, показанном на рис. 68,
слева, где из четырёх октомино получается четыре различные
фигуры большего размера, но тех же очертаний. При аффинном
преобразовании, изменяющем углы, получаем бесконечное множество
решений.
Полигексы и полиаболо
155
I
Рис. 68.
Задача с октомино с бесконечным числом решений
Пова также нашел решение для задачи с четырьмя гексамино (см.
рис. 69). Эти детали соединяются в 15 различных гексамино, в том
числе и в подобные себе. Пова считал, что для гексамино других
решений не существует. Самое большее, чего он добился с пентамино, это
четыре «укрупненные» детали, которые ему удалось сложить из
четырёх исходных форм (правда, подобием форм пришлось пожертвовать).
—
г
Рис. 69.
Решение задачи с получением подобных фигур из гексамино
Подборку задач с четырьмя прямоугольниками из тетраболо
разрешил Джон Харрис, изящно доказав, что ^-прямоугольники
размеров Зх8и4х6не могут быть составлены из существующих
тетраболо, и найдя решения для двух /г-прямоугольников 2 х 6 и 3 х 4.
ГЛАВА 1 2
Совершенные, дружественные,
общительные
Нелегко найти другое множество целых чисел, обладающее столь же
увлекательной историей и столь же изящными характеристиками и
окруженное такой же бездной тайн — и столь же бесполезное с
практической точки зрения, - как совершенные числа и их близкие
родственники, дружественные числа.
Совершенное число - это всего лишь число, равное сумме всех
собственных делителей (за исключением самого числа).
Наименьшее такое число - 6. Оно равно сумме своих трёх делителей: 1, 2 и 3.
Следующее в этом ряду — число 28. Оно представляет собой сумму
1+2 + 4 + 7 + 14. Эти два числа произвели когда-то большое
впечатление на комментаторов Ветхого Завета — как иудейских, так и
христианских. Ведь мир был создан Богом за 6 дней, а Луна
оборачивается вокруг Земли за 28! Августин Блаженный в «Граде Божьем»
(книга 11, глава 30) утверждает, что Бог мог бы создать мир за одно
мгновение, однако предпочел заниматься этим 6 дней, ибо
совершенство этого числа подразумевает совершенство сотворенной
Вселенной. (Ещё раньше подобные взгляды были высказаны Филоном
Александрийским в третьей главе его труда «О сотворении мира».)
Августин в заключение главы, посвященной числу 6, говорит так:
«Не следует пренебрегать числами. Внимательному взору
открывается, какое великое значение нужно придавать им во многих местах
Священного Писания».
Первым выдающимся достижением в области теории
совершенных чисел было великолепное евклидово доказательство того, что
выражение 2Л~!(2Л - 1) всегда равно четному совершенному числу,
Совершенные, дружественные, общительные 157
если выражение в скобках представляет собой простое число. (Оно
не может быть простым, если только п не является простым; если же
п — простое, тогда 2п — 1 не оказывается простым очень редко.)
Только 2000 лет спустя Леонард Эйлер доказал, что этой формулой
выражаются все четные совершенные числа. Говоря о
«совершенных числах», я буду иметь в виду именно «четные совершенные
числа», поскольку ни одного нечетного совершенного числа не
известно и, как предполагают, не существует.
Чтобы интуитивно ухватить суть замечательной формулы
Евклида и увидеть, насколько тесно она связывает совершенные числа с
хорошо знакомым нам рядом удвоения 1, 2,4, 8, 16..., вспомните
легенду о персидском царе, которому так понравилась игра в
шахматы, что он пообещал её изобретателю любой дар, который он
только захочет. Мудрец попросил у него вроде бы скромный дар: одно
пшеничное зернышко за первую клетку шахматной доски, два - за
вторую, четыре — за третью и так далее по степеням числа 2 до 64-й
клетки. Оказалось, однако, что за последнюю клетку он должен был
получить 9 223 372 036 854 775 808 зерен. Общее же число всех зерен
равно удвоенному этому числу минус 1, то есть в несколько тысяч
раз больше, чем весь мировой урожай пшеницы за год.
На рис. 70 каждая клетка шахматной доски обозначена числом
зерен, которые нужно было на неё положить. Если отнять от любой
клетки по одному зерну, то получится 2" — 1, где п — номер клетки,
то есть выражение в скобках из формулы Евклида. Если это число —
простое, то умножим его на число зерен в предыдущей клетке (2п~х
в формуле). Вуаля! У нас получилось совершенное число! Простые
числа типа 2п — 1 теперь называются простыми числами Мерсенна в
честь французского математика XVII века, занимавшегося их
изучением. На рисунке закрашены клетки, которые при отнятии одного
зерна становятся мерсенновыми числами и из которых получаются
первые девять совершенных чисел.
С помощью формулы Евклида несложно доказать
разнообразные причудливые и занятные свойства совершенных чисел.
Например, все совершенные числа являются треугольными. Это
значит, что совершенное число зерен можно разложить в форме
равностороннего треугольника, как десять кеглей или пятнадцать
биллиардных шаров. Иными словами, каждое совершенное число
можно представить в виде суммы 1 + 2 + 3 + 4 + ... Также просто
показать, что любое совершенное число, за исключением 6, является
суммой последовательных кубов нечетных чисел: I3 + З3 + 53 + ...
158
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Рис. 70.
Степени двойки на шахматной доске. Закрашенные серым клетки ведут
к простым числам Мерсенна.
Цифровой корень любого совершенного числа (кроме 6) -
единица. Чтобы получить цифровой корень, сложите все цифры в
числе, потом сложите цифры в получившемся результате и
продолжайте в том же духе до тех пор, пока не останется одна цифра. Это то же
самое, что исключать последовательно все девятки в записи в
процессе суммирования. Так что, утверждая, что цифровой корень
числа равен 1, мы имеем в виду, что при делении этого числа на 9 в
остатке будет 1. Для доказательства этого свойства совершенных чисел
требуется показать, что евклидова формула всех совершенных чисел
дает число с цифровым корнем, равным единице, всегда, когда п -
нечетное, поскольку все простые числа, за исключением 2, -
нечетные. Единственное четное простое число, 2, дает единственное со-
Совершенные, дружественные, общительные 159
вершенное число — 6, не имеющее в качестве цифрового корня
единицу. Также все совершенные числа (кроме 6) делятся без остатка на 4
и по модулю 12 равны 4.
Из-за того что совершенные числа так тесно связаны со
степенями двойки, можно ожидать, что в них обнаружатся какие-нибудь
примечательные свойства при записи их в двоичном коде. Я
предлагаю вам вначале самостоятельно попытаться установить правило, с
помощью которого это можно сделать, а затем доказать, что оно
применимо в любом случае.
Ещё одно удивительное свойство совершенного числа в том, что
сумма чисел, обратных всем делителям, включая само число, равно 2.
Например, возьмем число 28:
UI + I + A + -U-I = 2.
1 2 4 7 14 28
Эта теорема практически непосредственно вытекает из самого
определения совершенного числа п как суммы собственных
делителей. Очевидно, что сумма всех делителей такого числа равна 2я.
Пусть ау by Су... — все делители совершенного числа. Тогда можно
записать равенство таким образом:
п п п -
a b с
Разделив все члены на я, получим:
a b с
Верно и обратное. Если числа, обратные всем делителям числа л,
в сумме дают 2, то это число - совершенное.
Два самых существенных вопроса, касающихся совершенных
чисел, на которые пока не найдено ответа: существуют ли
нечетные совершенные числа и бесконечен ли ряд четных
совершенных чисел? Пока не найдено ни одного нечетного совершенного
числа, однако и не доказано то, что такие числа не существуют.
(Брайант Такерман в 1967 году показал, что если нечетное
совершенное число существует, то оно должно быть больше 1036.) Ответ
на второй вопрос зависит от того, бесконечно ли множество про-
160 1000 развивающих головоломок...
стых мерсенновых чисел, так как каждое такое число
непосредственно связано с соответствующим совершенным числом. Если
подставить в формулу 2п — 1 вместо п первые четыре мерсенновых
простых числа (3, 7, 31 и 127), в результате получатся более
крупные мерсенновы числа. Более семидесяти лет математики
надеялись, что эта процедура в конечном итоге приведет к
установлению бесконечности ряда мерсенновых чисел. Однако очередное
выражение, где « = 213— 1 = 8191, повергло их в уныние. В 1953
году на ЭВМ было рассчитано, что 28191 — 1 не является простым
числом. Никто не знает, продолжается ли ряд мерсенновых
простых чисел бесконечно или имеет свой предел.
В своей книге Number Theory and Its History («Теория чисел и её
история») Остен Ор приводит кажущееся весьма разумным
предсказание Питера Барлоу, взятое им из книги этого автора. Книга
Питера Барлоу Theory of Numbers («Теория чисел») увидела свет в
1811 году. Приводя девятое совершенное число, Барлоу добавляет:
«Это самое крупное из совершенных чисел, которые будут найдены,
так как, учитывая полное отсутствие области их практического
применения, маловероятно, чтобы кто-нибудь стал утруждаться
вычислением больших, чем данное, совершенных чисел». В 1876 году
французский математик Эдуар Люка, автор классического
четырёхтомного труда по занимательной математике, объявил о
нахождении следующего совершенного числа, 2126(2127 — 1). Двенадцатое
мерсенново число, на основе которого оно было вычислено, на
один меньше, чем число зерен, соответствующее последней клетке
второй шахматной доски, если продолжать заполнять её по тому же
алгоритму, что и первую. Позднее Люка усомнился в этом числе,
однако впоследствии было доказано, что оно действительно простое.
Это самое большое из мерсенновых чисел, найденное без помощи
современных ЭВМ.
На рис. 71 приведены формулы для 24 известных совершенных
чисел, число знаков в каждом из них и несколько самих чисел,
размеры которых позволяют поместить их в таблицу. Двадцать
третье совершенное число появилось на свет в 1963 году, когда с
помощью ЭВМ в Иллинойском университете было найдено
двадцать третье мерсенново число. Математический факультет
университета был так горд своим открытием, что долгие годы после
этого это число красовалось на почтовых штемпелях этой
организации (см. рис. 72, вверху). В 1971 году в исследовательском
центре компании IBM, расположенном в Йорктаун-Хайтс в Нью-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Формула
2](22-1)
22{23-1)
24(25-1)
25(27-1)
212(213-1)
216{217-1)
218(219-1)
230(231-1)
260(261-1)
288{289-1)
ЗЮбрю/.!,
2126(2127-1)
2520{2521-1)
06О6126О7 _ 11
21278(21279 _ it
22202(22203 _ 11
22280>22281 _ ji
23216(23217 _ it
24252(24253 _ ji
24422(24423 _ |»
29688(29689 _ ^1
29940(29941 _ it
211212(211213 _ ji
219936(219937 _ j»
Число
6
28
496
8128
33 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
2 305 843 008 139 952 128
Число
Цифр
1
2
3
4
8
10
12
19
37
54
65
77
314
366
770
1327
1373
1937
2561
2663
5834
5985
6751
12 003
Рис.71.
Двадцать четыре известных совершенных числа
6-10396
162
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Йорке, Такерман нашел двадцать четвертое мерсенново число
(см. рис. 72, внизу).
Оно состоит из 6002 знаков и является на данный момент самым
большим из известных простых чисел. И, конечно, из него следует
двадцать четвертое совершенное число.
Ещё одна мучительная загадка - последние цифры в
совершенных числах. Исходя из формулы Евклида, легко доказать, что любое
четное совершенное число должно оканчиваться на 6 или 8. (Если
последняя цифра — 8, то перед ней должна стоять цифра 2; если
последняя — 6, то ей предшествует 1,3,5 или 7; исключение
составляют 6 и 496.) Первые четыре совершенных числа - 6, 28, 496 и 8128 -
были известны ещё в древности, и отсюда было сделано поспешное
заключение о том, что и дальше в ряду все числа попеременно
оканчиваются то на 6, то на 8. Многочисленные античные и более
поздние математики принимали это за догму — особенно после того, как
оказалось, что пятое совершенное число действительно
оканчивается на 6 (впервые оно было точно указано в анонимном
манускрипте XV века). Но, увы, так же оканчивается и шестое
совершенное число. У двадцати четырёх известных совершенных чисел
последние цифры таковы:
6,8,6,8,6,6,8,8,6,6,8,8,
6,8,8,8,6,6,6,8,6,6,6,6.
Эта последовательность способна привести в негодование. В
первых четырёх числах 6 и 8 следуют по очереди, затем четыре раза по-
О11213_1
IS PRIME
yW#s-P0SIAGti
Рис. 72.
Почтовый штемпель и
фирменный бланк с двумя
наибольшими известными
простыми числами
IBM
P.O. Воя 21»
Vorklown Height», N*w Yoffc 106M
2|9937-1ма
Совершенные, дружественные, общительные 163
вторяются сочетания 66 и 88. Потом, после одинокой шестерки,
следуют три восьмерки, потом три шестерки и одна восьмерка.
И наконец, появляется последовательность из четырёх
шестерок. Есть ли какой-то смысл во всех этих сочетаниях цифр? Может,
и нет. Пока никто не открыл правило, которое позволяло бы
определять последнюю цифру следующего, ещё неоткрытого
совершенного числа. Однако если вам известна евклидова формула для
совершенного числа, то найти его последнюю цифру довольно легко.
Можете ли вы предложить правило для этого?
Числа, на I большие или на I меньшие суммы собственных
множителей, называются «почти совершенными». Все степени двойки
являются «почти совершенными» числами типа +1. Никаких других
почти совершенных чисел этого типа неизвестно. Но и не доказано,
что их нет. Почти совершенных чисел типа —1 пока не найдено
вообще, как не доказано и то, что их не существует.
Дружественные числа возникли в результате очевидного
обобщения совершенных. Предположим, мы берем какое-либо число,
складываем все его делители и получаем следующее число. Затем
складываем делители уже этого числа и продолжаем в том же духе в
надежде снова прийти к начальному числу. Если оно получается на
первом же этапе, другими словами, цепочка состоит всего из
одного звена, значит, это число - совершенное. Если в цепочке два
звена, то эти два числа называются дружественными. Каждое из таких
чисел равно сумме делителей другого. Самые маленькие из таких
чисел - 220 и 284 - были известны ещё пифагорейцам. Собственные
делители 220 - это 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110. Сумма этих
чисел равна 284. Собственные делители 284 - 1, 2, 4, 71 и 142. Их
сумма равна 220.
В братстве пифагорейцев числа 220 и 284 почитались как
символы дружбы. Библейские комментаторы обращали внимание на
то, что в Книге Бытия (32:14) сказано о 220 козах, которых дал
Иаков Исаву. Комментатор считает это разумным выбором,
поскольку 220 как одно из пары дружественных чисел символизировало
любовь Иакова к Исаву. В Средние века эти числа использовались
в составлении гороскопов, а талисманы с ними считались
дарующими любовь. В одиннадцатом веке некий араб записал, что
испытал эротическое переживание, съев нечто, помеченное числом
284, в то время как второй участник эксперимента проглотил
число 220. Правда, никаких подробностей этот экспериментатор, увы,
не приводит.
164
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Следующая пара дружественных чисел, 17 296 и 18 416, была
найдена только в 1636 году знаменитым Пьером де Ферма. Ферма
и Рене Декарт независимо друг от друга открыли правило для
нахождения определённого типа дружественных пар. Им не было
известно, что то же самое правило уже в IV веке вывел один арабский
астроном. С его помощью Декарт нашел третью пару: 9 363 584 и
9 437 056. В XVIII веке Эйлер составил список 64 дружественных
пар (правда, две из них впоследствии оказались не
дружественными). Адриан-Мари Лежандр в 1830 году нашел ещё одну такую
пару. Затем, в 1867 году, шестнадцатилетний итальянец Б. Николо И.
Паганини (тезка знаменитого скрипача) поразил математический
мир, заявив, что дружественными являются числа 1184 и 1210. Эту
вторую снизу по величине пару до сих пор почему-то никто не
замечал! Хотя, вероятно, юноша обнаружил её просто путем проб и
ошибок, это открытие навсегда вписало его имя в историю теории
чисел.
Сейчас известно более тысячи пар дружественных чисел (на рис. 73
приведены пары, меньшие, чем 100 000). Самый полный список дан в
монографии Элвина Дж. Ли и Джозефа Мадахи The History and
Discovery of Amicable Numbers («История и открытие дружественных
чисел»), опубликованной в журнале Journal of Recreational
mathematics, том 5, № 2, 3 и 4, 1972.
Рис. 73.
Пары дружественных чисел,
содержащие 5 и менее разрядов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
220
1184
2620
5020
6232
10 744
12 285
17 296
63 020
66 928
67 095
69 615
79 750
284
1210
2924
5564
6368
10 856
14 595
18416
76 084
66 992
71 145
87 633
88 730
Совершенные, дружественные, общительные 165
Самые крупные числа из 1107 пар этого списка имеют по 25
разрядов. В том же, 1972, году Х.Ж.Ж. Риель из Амстердама нашел ещё
несколько пар, которые не попали в этот список. Самые большие из
них имеют по 152 разряда. Насколько мне известно, это самые
большие дружественные числа, известные на сегодняшний день.
В каждой паре дружественных чисел либо оба четных, либо
(гораздо реже) оба нечетных числа. Но пока никем не доказано, что не
может существовать дружественной пары из четного и нечетного
чисел. Все известные на сегодняшний день нечетные
дружественные числа являются кратными 3. Предполагается, что именно
такими должны быть все нечетные дружественные числа. Для расчета
дружественных пар не существует общей формулы. Также
неизвестно, конечно ли их множество.
В 1968 году я обратил внимание на то, что сумма любых чисел в
дружественной четной паре кратна 9, и решил, что это верно для
всех таких пар. Ли развенчал мой вывод, найдя три примера, не
подчиняющихся этой закономерности, среди известных
дружественных чисел, а затем нашел ещё восемь пар среди тех, что вычислил
сам. (См. статью On Division by Nine of the Sums of Even Amicable Pairs,
Элвин Дж. Ли, Mathematics of Computation, вып. 22, июль 1969, с.
545—548.) Так как все числа, не соответствующие моему
предположению, имеют цифровой корень, равный 7, я изменил свое
утверждение следующим образом. «За исключением дружественных пар
чисел, равных 7 (по модулю 9), все остальные четные
дружественные числа при сложении в паре друг с другом дают 0 (по модулю 9)».
Если в цепочке, приводящей обратно к исходному числу,
имеется более двух звеньев, такие числа называются «общительными». До
1969 года было известно лишь две такие цепочки. Обе обнародовал
в 1918 году французский математик П. Пуле. Одна из этих цепочек —
пятичленная. Она состоит из чисел 12 496, 14 288, 15 472, 14 536 и
14 264. Другая начинается с числа 14 316 и имеет двадцать восемь
звеньев! Это самая длинная из известных цепочек общительных
чисел. (Обратите внимание на то, что 28 — это совершенное число,
а если в самом маленьком числе этой цепочки переставить тройку
в начало, то получится число п с точностью до 4 знаков после
запятой.)
И вдруг парижанин Анри Коэн в 1969 году открыл восемь
цепочек общительных чисел по четыре звена в каждой! (См. его статью
On Amicables and Sociable Numbers, журнал Mathematics of Computation,
вып. 24, с. 423-429.) Позднее другими математиками были найдены
166 1000 развивающих головоломок...
ещё четырёхчленные цепочки. Всего сегодня известно 14 таких
цепочек, самые маленькие числа в которых таковы:
1 264 460
2 115 324
2 784 580
4 938 136
7 169 104
18 048 976
18 656 380
28 158 165
46 722 700
81 128 632
174 277 820
209 524 210
330 003 580
498 215 416
За исключением открытых в 1918 году пятичленной и двадцати-
восьмичленной цепочек, других, содержащих более 4 звеньев,
неизвестно. Самая большая загадка — существует ли цепочка
общительных чисел длиной в три звена, получившая название «толпы»?
Никто не может найти причину, по которой её существование было бы
невозможным. Однако никто до сих пор не нашел и примера такой
цепочки. Перебор с помощью компьютера чисел вплоть до 60
миллиардов не дал результата. Несмотря на бесполезность таких
множеств, их поиски, вероятно, будут продолжаться и дальше, пока
кто-нибудь не найдет трёхчленную «толпу» или не докажет её
невозможность.
ОТВЕТЫ
Какое простое правило можно предложить для записи
совершенного числа в двоичной системе, если у вас есть его евклидова
формула? Вспомним формулу: 2я"1 (2" — 1). Правило будет таким:
запишем п единиц, а затем п - 1 нулей. Пример: совершенное число
496 = 25~!(25 — 1) в двоичной системе запишется как 111 110 000.
Это правило просто понять. В двоичной системе 2" - это всегда
1 с п нулями. Выражение в левой части формулы Евклида, 2"~\ еле-
Совершенные, дружественные, общительные 167
довательно, будет в двоичной системе представлять собой 1 и п - 1
нулей. Выражение в скобках (2п — 1), иначе говоря, число, на 1
меньшее «-ной степени двойки, в двоичной системе будет
представлять собой п единиц. Очевидно, что произведением этих двух чисел
станет число с п единицами и п - 1 нулями.
Читателям наверняка будет интересно проверить теорему о
сумме чисел, обратных множителям совершенного числа, записав эти
обратные числа в двоичной системе и затем сложив их.
Для нахождения последней цифры совершенного числа можно
применить несколько правил, основанных на его евклидовой
формуле. Данное правило кажется мне самым простым. Оно
применимо ко всем совершенным числам, за исключением 6. Если
показатель степени (п — 1) кратен 4, то совершенное число оканчивается
на 6. В противном случае оно оканчивается на 28.
ГЛАВА 13
Полиомино
и спрямление
Всеобщий интерес к полиомино был порожден книгой Соломона В.
Голомба Polyominoes («Полиомино»). Полиомино — это
многогранник, образованный соединенными по граням единичными
квадратами. В свою очередь, популярность полиомино подтолкнула
Голомба, преподававшего электроинженерию и математику в
университете Южной Калифорнии, уделить больше свободного времени
изучению некоторых темных углов данной области. В своих
письмах он постоянно ставил занимательнейшие задачи, имевшие
отношение к игре в пентамино, которую изобрел много лет назад.
На рис. 74 показаны 12 возможных пентамино (полиомино,
состоящих из пяти квадратов) с названиями, данными им Голомбом.
Чтобы сыграть в стандартную игру в пентамино, вам понадобятся
эти 12 фигур, вырезанных из картона, и стандартная доска для
шашек 8x8 клеток, которые должны быть такого же размера, что и
квадраты, из которых состоят ваши пентамино. Если вы ещё
никогда не играли в такую игру, вам лучше приготовить набор
пентамино и заранее потренироваться с ним. Эта игра - одна из самых
необычных математических настольных игр, появившихся в
последние годы.
Играют в неё вдвоем. Игроки садятся за доску и кладут рядом
набор пентамино. Первый игрок берет любую фигуру и кладет её на
любые пять клеток доски. Второй кладет на доску вторую фигуру, и
так далее, пока кто-то из игроков окажется не способен сделать ход -
либо потому, что ни один из оставшихся пентамино не подходит к
оставшимся свободным клеткам, либо потому, что больше не оста-
Полиомино и спрямление 169
V
I
N
Уж Luwl
и w
Рис. 74.
12 пентамино
лось не выложенных на доску фигур. Этот игрок считается
проигравшим. Конечно, запрещается пользоваться какими-либо
набросками. Партии в эту игру обычно скоротечны. Для успешной игры
необходимо мастерство и воображение. Математики пока
абсолютно не имеют понятия, кто из игроков должен выигрывать при
условии безошибочной игры. «Полный анализ этой игры, - пишет
Голомб, — представляет собой задачу, приближающуюся по своей
сложности к пределам возможностей быстродействующего
компьютера при условии наличия существенного запаса времени и
крайне сложной программы». Голомб объясняет, что наиболее
успешная стратегия для этой игры - постараться разделить доску на
отдельные равные участки. В этом случае весьма вероятно, что на
каждый ход вашего противника, сделанный на одном участке
доски, вы сможете ответить ходом на другом участке. Если игра будет
продолжаться в таком же духе, последний ход останется за вами.
Голомб разработал типичный пример, в котором оба игрока
стараются придерживаться этой стратегии. Он показана на рис. 75.
Игрок А кладет фигуру Jf рядом с центром доски, чтобы не дать своему
противнику разделить её. Игрок Б в ответ кладет фигуру Uвплотную
к А^ход 2). Голомб замечает, что это хороший ход, так как он «не
упрощает ситуацию для противника и не позволяет ему разделить
доску». Игрок А теперь также старается перехитрить противника. Он
кладет фигуру L (ход 3) так, чтобы препятствовать разделению
доски. Четвертый ход, который делает игрок Б, неудачен, так как он
позволяет игроку А положить фигуру W (ход 5) таким образом, что
170 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
1 6
1 II
1] Г 1
1 2
п
НИ
(Р
Рис. 75.
она делит доску на два равных участка по 16 клеток в каждом. В
данном случае эти участки равны не только по размеру, но и по форме.
Теперь игрок Б кладет фигуру / (ход 6), надеясь, что противник
не найдет фигуры, соответствующей другому свободному участку.
Однако А оказывается способен положить фигуру Р так, что в
результате выигрывает. Все три оставшиеся свободными участка
достаточно велики для того, чтобы вместить фигуру. Однако те, что
могли бы подойти - I, P и U, - уже были использованы.
Наиболее интересный вариант стандартной игры, продолжает
Голомб, это игра с предварительным выбором пентамино. В этом
случае игроки выбирают фигуры не перед каждым ходом, а
заранее, перед началом игры, по очереди. Тот, кто последним берет
фигуру, ходит первым. Игра продолжается как обычно, за
исключением того, что игрок может выкладывать на доску только свои
фигуры. В этом случае стратегия игры совершенно иная. Вместо того
чтобы пытаться разделить доску, добившись того, чтобы осталось
четное число ходов, игрок старается обеспечить как можно больше
возможностей для размещения своих фигур и одновременно
лишить противника места на доске, подходящего для его фигур. Это
осуществляется созданием «убежищ», как назвал их Голомб, -
участков доски, которым соответствуют только собственные
фигуры игрока.
Партия этого типа изображена на рис. 76. Голомб комментирует
её следующим образом. Игрок А избавляется от фигуры X, самой
неудобной из имеющихся у него, делая первый ход, как показано на
рисунке. (Фигуры, выбранные каждым из игроков, перечислены
сбоку от доски; после использования они вычеркиваются.) Игрок Б
в свою очередь выкладывает свой «неудобный» вариант - фигуру W
Полиомино и спрямление 171
(ход 2). Теперь А ходит фигурой F (ход 3), чтобы создать убежище
для своего Y. Игрок Б при помощи фигуры L отгораживает убежище
для U (ход 4). Ход 5 - игрок А кладет фигуру N. Б кладет фигуру /
(ход 6) так, чтобы получившийся треугольник 2x3 соответствовал
бы только двум из оставшихся фигур - Р и U. Затем игрок А кладет
фигуру К (ход 7), но сдается, так как понимает, что дальше игра
пойдет именно так, как показано на рисунке (ход 8). Игроки по
очереди заполняли бы свои убежища, и в итоге А остался с фигурой Т,
которая никуда не подходит.
Если мастерство игроков не одинаково, Голомб предлагает дать
более слабому игроку фору, позволив ему первым выбирать фигуру
и ходить последним. Можно пойти и ещё дальше, дав более слабому
игроку возможность выбрать первым 2 или даже 3 фигуры и также
ходить последним.
Существуют и другие занятные варианты этой игры. В игре «со
сдачей» названия или очертания фигур изображаются на карточках,
которые перемешиваются и сдаются игрокам, как при игре в карты.
Каждый игрок забирает себе те фигуры, которым соответствуют
оказавшиеся у него карточки, и далее игра идет так же, как описано
выше. Можно играть парами, вчетвером, тогда игроки, сидящие
друг напротив друга, играют «командой». Проигрывает та команда,
один из игроков которой оказывается не способен сделать ход. Так
можно играть в любой из описанных вариантов — обычный, с
предварительным выбором или со сдачей карт. Можно также играть
втроем или большим числом человек, но так, чтобы каждый был за
себя. В этом случае выигрывает тот игрок, кто сумеет сделать ход
последним. Он получает за игру 10 очков. Тот, кто первым оказался
не способен ходить, не получает ничего, а остальные игроки — по 5.
Взяв за основу стандартную игру в пентамино, Голомб
предложил и ряд новых задач на квадратной доске необычного размера.
Чтобы возможно было сделать ход, доска должна иметь размеры не
менее чем 3x3 клетки. Но на такой доске тот, кто первым сделает
ход, сразу же выиграет, так как положить на неё вторую фигуру
будет уже невозможно. На доске размером 4x4 всегда выигрывает тот,
кто ходит вторым. Голомб рассмотрел все возможные варианты
первого хода на такой доске - не считая размещения фигур в
зеркальном отображении и перевернутом виде — и соответствующие
ответные ходы, приносящие победу (рис. 77). Во всех случаях,
кроме одного, у второго игрока имеется выбор варианта хода.
Насколько быстро вам удастся найти вариант развития партии, при кото-
172
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
А В
N
Y
V
т
Рис. 76.
Игра в пентамино с предварительным выбором фигур
ром у второго игрока нет возможности пойти иначе, чем
изображено на рисунке?
Можно предположить, что анализ игры на доске 5x5 окажется
сложнее, чем на доске 4x4. Однако, как это ни удивительно, на
самом деле он гораздо проще. Причина этого в том, что в данном
случае существует вариант первого хода, легко приводящий первого
игрока к победе. Можете ли вы найти его?
Доска 6x6 оказывается значительно сложнее, и ещё никто не
рассчитал, кто из игроков будет иметь на ней преимущество. «Было
найдено несколько удачных ходов, позволяющих выиграть второму
игроку, - пишет Голомб, - но полный анализ слишком громоздок,
так как для него требуется точный расчет стратегий, следующих за
каждым из огромного разнообразия первых ходов».
Ещё одна увлекательная задача — определение кратчайшей игры,
которая может быть сыграна на доске 13 х 13 или меньшей. (При
Y
V
T
Полиомино и спрямление
173
Р
U
Y
Т
размерах доски больше 13 х 13 клеток в игре обязательно будут
участвовать все 12 фигур, так что задача превращается в тривиальную.)
Иными словами, каково минимальное подмножество из множества
12 пентамино, с которым можно сыграть на доске пх п так, чтобы
ни одна из оставшихся в наборе фигур не подходила к оставшимся
клеткам? Примеры кратчайших вариантов партии, известных для
досок размером до 13 х 13, показаны на рис. 78. Во многих случаях
существует не один вариант решения.
Поле для кратчайшей игры на доске 5x5 оставлено пустым. Вам
предлагаются две простенькие задачки. Каков кратчайший вариант
игры на такой доске? И каков наиболее длинный?
А если взять не квадратную, а прямоугольную доску?
Тщательно проанализировав все такие доски площадью 36 и менее клеток,
Голомб пришел к выводу, что наиболее сложна доска 5 х 6. На
такой доске первый игрок всегда будет выигрывать при условии
правильной стратегии. К тому же существует несколько
вариантов выигрышных первых ходов. Если предыдущие четыре задания
ю
15
16
17
18
ЦЬ
22
23
24
25
29
30
31
32
■ЫГ к
12
13
14
19
20
21
26
27
28
Рис. 77.
Доказательство преимущества второго игрока
на доске 4x4
33
n=l
О ходов
n = 2
О ходов
L
п = 3
1 ход
п = 8
5 ходов
п=12
10 ходов
Рис. 78.
Кратчайшие варианты игры
на досках со стороной
от 1 до 13 клеток
п= 13
11 ходов
178 1000 развивающих головоломок...
показались вам слишком легкими, возможно, вас порадует это,
гораздо более сложное. Найдите все выигрышные первые ходы
для доски 5x6.
Совершенно иной тип задач, связанных с полиомино, — можно
ли, складывая одинаковые полиомино выбранного типа, получить
прямоугольник? (Асимметричные фигуры можно переворачивать и
укладывать как угодно.) Голомб в своей книге ничего не говорит об
этих задачах, и они ещё мало изучены. Если путем сложения
повторяющихся полиомино можно получить прямоугольник, то каким
будет самый малый из возможных? Если этого сделать нельзя, как
это доказать? Эту задачу предложил ещё во время обучения в
университете Альберты Дэвид Кларнер. В следующем году группа
студентов-старшекурсников была направлена на летнюю стажировку в
Калифорнийский университет Беркли, где занялась исследованием
этой проблемы под руководством Роберта Спиры. Они назвали
тему своих изысканий «задачей о спрямлении полиомино».
Полиомино, которое при повторении может дать прямоугольник, назвали
«спрямляемым».
Мономино (один квадрат) и домино (два квадрата), очевидно,
являются спрямляемыми, так как сами по себе уже представляют
собой прямоугольники. Оба существующих тримино также
спрямляемы: одно из них само по себе прямоугольник, а из двух L-три-
мино можно сложить прямоугольник размером 2 х 3. Из пяти
существующих тетрамино (фигур, состоящих из четырёх квадратов)
прямоугольниками являются тетрамино-полоска и тетрамино-ква-
драт. Два /,-тетрамино образуют прямоугольник размером 4 х 2, а из
Г-тетрамино можно сложить прямоугольник 4x4, как показано на
рис. 79а. Оставшееся последнее тетрамино не является
спрямляемым. Это легко доказать. Если его разместить в пределах
прямоугольника так, чтобы оказался заполненным левый верхний угол,
то невозможно будет сформировать верхнюю сторону
прямоугольника и при этом заполнить другой верхний угол, как показано на
рис. 79 Ь, с.
Аналогичным образом можно найти доказательства
неспрямляемости для большинства пентамино. Вы можете сами попробовать
показать, что пентамино типа Т, U, V, Wy Xy Zy Fn ТУнеспрямляемы.
А /-, L- и Р-пентамино легко превратить в прямоугольники. Таким
образом, у нас осталось только У-пентамино, самая сложная для
анализа фигура. Можно ли сложить прямоугольник из таких
пентамино (см. рис. 79d)? А если мойшо, то каким будет самый малень-
Полиомино и спрямление
С
179
Рис. 79.
Задачи на построение прямоугольников
кий из возможных прямоугольников? Если же этого сделать нельзя,
то как это доказать?
Дэвид Кларнер установил, что спрямляемыми являются девять
гексамино. Единственное гексамино, для построения из которого
прямоугольника требуется повторить его более четырёх раз,
изображено на рис. 80 (вверху) вместе с наименьшим получающимся
прямоугольником. Пока лишь для одного гексамино не доказана
спрямляемость или её отсутствие — это фигура, изображенная
вверху на рис. 81.
Единственное известное гептамино, требующее более чем
четырёхкратного повторения для построения прямоугольника, показано
на рис. 80 внизу. Наименьший прямоугольник, получающийся из
этого гептамино (открытый Джеймсом Э. Стюартом из Эндвелла,
штат Нью-Йорк) — квадрат со стороной в 14 клеток, для построения
которого требуется 28 таких гептамино. Вы можете попробовать
вырезать из картона или тонкой фанеры 28 таких фигурок и сложить из
них квадрат. (Фигуры можно переворачивать и размещать в любом
положении.) Для гептамино, изображенного на рис. 81 внизу,
спрямляемость или её отсутствие ещё не доказана.
О своем великолепном результате Кларнер рассказывает в
письме, датированном 1974 годом:
Обозначим как R множество всех прямоугольников, которые
можно составить из данного повторяющегося полиомино.
Например, R для Y-пентамино начинается так: 5 х 10, 10 х 10, 10 х 14,
10 х 16, ... Пусть также существует конечное подмножество S,
принадлежащее R, такое, что при разрезании на части любого эле-
180 1000 развивающих головоломок...
Рис.81.
Единственные нерешенные
гексамино (вверху)
и гептамино (внизу)
Рис. 80.
Спрямляемое гексамино
(вверху) и гептамино
мента R каждая из этих частей будет принадлежать S. Это
значит, что существует конечное число «неделимых» задач для данного
полиомино. Иными словами, если мы составим достаточно
прямоугольников, то все большие прямоугольники могут быть разрезаны на
более мелкие. Множество «неделимых» прямоугольников для Y-пен-
тамино пока ещё не установлено точно, хотя в разрешении этой
проблемы уже достигнута стадия окончательных расчетов. В
общем, мы не знаем точно, существует ли окончательная формула,
позволяющая определить конечный базис S для данного множества
R. Вероятно, не существует.
Также Кларнер сообщает о наличии алгоритма, который за
конечное число шагов позволяет определить, возможно ли
получить из повторяющегося конечного множества полиомино
прямоугольник размером k x n для некоторого я, где к — данное
(постоянное) натуральное число. Процедура такова: необходимо
последовательно ответить на вопросы. Образует ли множество
полиомино прямоугольник размером 1 х я? Образует ли оно
прямоугольник 2 х я? Образует ли оно прямоугольник 3 х я, и так далее.
Однако невозможно найти ответ на вопрос, образует ли данное
множество прямоугольник, поскольку никто не знает, возможно
ли установить, образует ли прямоугольник одно повторяющееся
полиомино.
Полиомино и спрямление 181
ДОПОЛНЕНИЕ
Впервые я рассказал о голомбовской игре в пентамино на
страницах Scientific American в ноябре 1957 г. С тех пор в продаже
появились две «пиратские» версии игры. Первая, выпущенная фирмой
Philips Publishers в 1960 году, носила название Pan-Kai и состояла из
доски размером 10 х 10 клеток и двух наборов по 12 пентамино (для
двух игроков). В 1967 году появилась игра фирмы Parker Brothers
Universe («Вселенная»). Игровое поле имело форму широкого
креста, а к нему прилагалось четыре набора пентамино, чтобы можно
было играть не только вдвоем, но и втроем, и вчетвером. Точно так
же, как и в правилах Pan-Kai, в инструкции ко «Вселенной»
оговаривалось, что игрок не имеет права класть свою фигуру так, чтобы
образовывался замкнутый участок поля величиной менее чем в
пять клеток. На коробке с игрой была изображена сцена из фильма
«2001: Космическая одиссея», где астронавты играют на борту
своего корабля в аналогичную компьютерную игру. Однако при
выходе фильма на экраны эту сцену заменили на игру в компьютерные
шахматы.
Первая авторская версия этой игры с буклетом, написанным
самим Голомбом, появилась в 1973 году. Её выпустила компания
Hallmark Cards. Случилось же это ровно через двадцать лет после
того, как Голомб впервые представил полиомино
ученым-математикам на незабываемой встрече Гарвардского математического клуба.
ОТВЕТЫ
В первой задаче требовалось найти единственный среди 33
вариантов игр-двухходовок с пентамино на доске 4x4 вариант, где у
второго игрока имеется лишь одна возможность выиграть. Это вариант
игры под номером 26, который ещё раз показан на рис. 82а. Первый
игрок оставляет справа пространство, которое можно заполнить
только L-пентамино. Однако, если поместить на это место эту
фигуру, первый игрок сможет выиграть, заполнив левую часть доски.
С другой стороны, если второй игрок положит слева любую фигуру,
кроме L, то первый игрок сможет выиграть, положив L-пентамино
справа. Значит, чтобы выиграть, второй игрок должен положить
L-пентамино в левую часть доски, как показано на рисунке.
На доске 5x5 первый игрок имеет очевидный шанс выиграть,
положив I-пентамино в центр доски, как показано на рис. 82Ь.
182
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК..
Рис. 82.
Решения задан с пентамино
. А;^. | |
После этого противник должен будет пойти своей фигурой с
одной из сторон, и тогда первый игрок выигрывает, занимая другую
сторону доски. Самая короткая возможная партия на такой доске —
в два хода (рис. 82с), а самая длинная — в пять ходов (рис. 82d).
Вариант самой короткой игры — единственный, в то время как
длинную можно играть по-разному.
На доске 5x6 первый игрок может выиграть, если сделает такой
первый ход, какой показан на рис. 82е. Доказательство этого
довольно сложно, и недостаток места не позволяет мне
продемонстрировать ответные ходы, следующие за всеми возможными
вариантами хода второго игрока. Существует по меньшей мере ещё три
возможности сделать выигрышный первый ход.
Спрямляемым является Y-пентамино. На рис. 82f показано,
каков будет наименьший прямоугольник, который можно составить
из повторений этой фигуры. Здесь изображено одно из четырёх
существующих решений. щ
Полиомино и спрямление
183
Можно ли сложить из Y-пентамино прямоугольник с нечетной
площадью? Оказывается, можно, и самый маленький из таких
прямоугольников будет представлять собой квадрат со стороной в 15
клеток. Решение найдено Дженифер Хэзельгров, кибернетиком из
университета Глазго. Это исключительно сложная задача, ответ на
которую я здесь приводить не стану.
Вариант спрямления гептамино, изображенного на рис. 80 внизу,
приведен на рис. 83. Этот вариант предложен Джеймсом Э.
Стюартом. Однако это не единственное решение, так как четыре
центральных гептамино можно сложить по-разному, а каждая из закрашенных
пар может быть отображена зеркально. Обратите внимание на
замечательную четырёхстороннюю симметрию этой составной фигуры.
Спрямляемых гептамино, кроме этого, известно лишь четыре. Их
стандартное кратчайшее решение продемонстрировано на рис. 84.
Рис. 83.
Квадратное спрямление
гептамино
Рис. 84.
Четыре простейших варианта спрямления гептамино
ГЛАВА 14
Рыцари квадратного стола
Он сидел, опираясь на трость, и думал о том, что этой
липой, стоящей на озаренном скате, можно, ходом коня, взять вон
тот телеграфный столб...
В. Набоков, «Защита Лужина»
Не только в «Защите Лужина», но и в других произведениях
Набокова, который сам был прекрасным шахматистом, герои замечают в
окружающих предметах и пространстве линии, соответствующие
ходу шахматного коня. Главный герой «Лолиты» Гумберт Гумберт
обращает внимание на решетчатое оконце, одно из стекол в
котором красного цвета: «...эта кровоточащая рана среди других
бесцветных клеток, а также её несимметричное расположение (ход коня, бэ
восемь - цэ шесть) всегда меня глухо тревожили».
Из всех шахматных фигур конь, пожалуй, единственная фигура,
ход которой представляет собой несимметричную фигуру. Наверняка
у писателя вызывала тревогу именно эта «кособокость»,
«неправильность» движений этой фигуры. По-немецки эта фигура называется der
Springer - «прыгун». Он действительно как будто прыгает на две
клетки вперед, а потом, как кэрроловский Белый рыцарь из Зазеркалья,
валится в одну или в другую сторону. По-другому эти
несимметричные скачки можно описать так: конь проходит одну клетку прямо, как
ладья, а затем поворачивает на 45° влево или вправо и идет на одну
клетку по диагонали, как слон. Именно так следует описывать ход
фигуры «ма» в китайских или корейских шахматах, так как по правилам,
действующим в этих странах, «ма» не может сделать ход, если
соседняя по диагонали клетка занята другой фигурой. «Кейма» - конь в
японских шахматах — ходит так же, как и в западных. Однако отличие
в том, что двигаться по доске он может лишь вперед.
Британский специалист по головоломкам Генри Эрнест Дьюде-
ни называет шахматного кош&«безответственным мелким комеди-
Рыцари квадратного стола 185
антом». Ни одна другая шахматная фигура не дала пищи для такого
количества необычных и увлекательных комбинаторных задач. В
этой главе мы рассмотрим ряд классических примеров таких задач,
а также познакомимся с кое-какими новинками, изобретенными
Соломоном В. Голомбом.
Самая старинная из задачек с конем, которой посвящено
множество литературы, — это «путешествие коня». В задаче требуется
найти единственный возможный маршрут движения коня (на досках
различного размера и формы), при котором он по одному и только
по одному разу окажется на каждой из клеток. Маршрут считается
замкнутым, если конь возвращается на клетку, с которой начинал
путешествие, и открытым, если его концы не связаны друг с другом
ходом коня. Если доска расчерчена на стандартные чёрные и белые
клетки, то по маршруту следования коня он будет попеременно
оказываться на клетках разных цветов. Таким образом, на замкнутом
маршруте белых и чёрных клеток должно быть поровну. На доске со
стороной, равной нечетному числу клеток, нечетным будет и их
общее число, так что на таких досках невозможно совершить
путешествие с замкнутым маршрутом. На квадратной доске со стороной в
2 или 4 клетки вообще невозможно совершить путешествие, однако
на всех квадратных досках большего размера возможны
путешествия обоих типов. Прямоугольная доска размером 3x4 — это самая
маленькая из прямоугольных досок, на которой возможен
открытый маршрут, а5х6иЗх10- самые маленькие прямоугольные
доски для замкнутого маршрута. Задача не имеет решения для любой
доски, хотя бы одна из сторон которой меньше 3 клеток, а если
хотя бы одна сторона равна 4, то на такой доске невозможен
замкнутый маршрут.
Голомб продемонстрировал, как с помощью клеток двух цветов
доказать невозможность прохождения маршрута, на примере
доказательства невозможности замкнутого маршрута на доске с одной из
сторон, равной 4. Доска размера 4 х п нумеруется четырьмя буквами
(рис. 85). Как видно, перед и после каждой клетки под буквой А на
маршруте должна находиться клетка под буквой С. Клеток с такими
буквами поровну, и все они должны находиться на одном замкнутом
маршруте.
Однако в таком случае клетки В и D вообще не будут входить в
маршрут, так как если совершить ход с клетки С на клетку D, то
попасть с неё на клетку А можно, только предварительно вновь
оказавшись на клетке С. Однако если маршрут замкнутый, то клеток С
186
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК..
в
D
С
А
А
С
D
В
В
D
С
А
А
С
D
В
В
D
С
А
А
С
D
В
в
D
С
А
Рис. 85.
Разметка доски 4хп для доказательства невозможности путешествия
с закрытым маршрутом
на нём будет больше, чем А, а это противоречит условию.
Следовательно, путешествие по такому маршруту на данной доске
невозможно. (Подобное доказательство приводится и Аренсом в 1-м
томе книги Mathematische Unterhaltungen und Spiele на с. 389.)
Неизвестно, сколько возможных маршрутов путешествия коня
существует на доске 8 х 8 — их число измеряется миллионами.
Внимание уделяется обычно тем из них, которые отличаются
необычной симметрией или представляют собой матрицу с интересными
арифметическими свойствами (при последовательной нумерации
клеток на маршруте). На рис. 86 продемонстрирован пример
замкнутого маршрута, предложенный в 1759 году Леонардом Эйлером.
В этом путешествии конь вначале проходит всю нижнюю часть
доски, а затем — верхнюю, и все симметричные относительно
разделяющей половины линии числа имеют разницу в 32.
На доске 8x8 невозможен замкнутый маршрут с
четырёхсторонней симметрией (не меняющий конфигурации при повороте в
любую сторону на 90°). То же самое верно и для любых других досок со
стороной, кратной 4. В то же время на доске размером 6x6
существует 5 таких маршрутов. Если вас интересует эта задача, вы можете
обратиться к книге Мориса Крайчика Mathematical Recreations
(«Математика на досуге») 1953 года.
Рыцари квадратного стола
187
Рис. 86.
Замкнутый маршрут Эйлера. Симметрично расположенные
по отношению к горизонтальной средней линии доски числа опыичаются
друг от друга на 32.
На рис. 87 показан открытый маршрут из журнала The London,
Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine за август 1848 года,
предложенный Уильямом Беверли. Я так и не смог выяснить, тот ли это
Уильям Беверли, что и знаменитый в то время пейзажист и
театральный декоратор. Маршрут Беверли является первым из
найденных «полумагических» маршрутов, в которых сумма чисел в каждом
ряду и каждом столбце равна 260. (Он не может называться
полностью «магическим», так как суммы чисел по обеим диагоналям
отличаются от константы.) Если разделить доску с маршрутом
Беверли на четыре части, как показано на рисунке, то каждый из
маленьких квадратов 4x4 будет магическим по рядам и столбцам, а если
поделить на четыре и каждый из них, то сумма чисел в каждом
квадратике 2x2 будет составлять 130. ::
188
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Рис. 87.
Первый найденный полумагический маршрут путешествия коня: открытый
маршрут с суммой чисел в каждом ряду и столбце, равной 230
Если пронумеровать клетки в обратном порядке, получится
квадрат с абсолютно такими же свойствами, как и исходный.
Существует ли маршрут, составляющий полностью магический
квадрат, на обычной шахматной доске? Это самый
животрепещущий вопрос из данной области задач. Найдено множество
вариантов полумагических маршрутов, как открытых, так и замкнутых, но
ни в одном из них сумма чисел хотя бы на одной диагонали не
соответствует необходимому числу. Можно доказать, что полностью
магические маршруты существуют только для квадратных досок со
стороной, кратной 4. Так как на доске 4x4 вообще невозможно
пройти все клетки ходом коня, то шахматная доска остается самой
маленькой из возможных, для которых доказательство
существования или несуществования такого маршрута ещё может быть найдено.
Рыцари квадратного стола 189
Неизвестны примеры магических маршрутов и для доски 12 х 12.
Однако найдены такие маршруты для досок со стороной в 16, 20, 24,
32, 40, 48 и 64 клетки. Пример замкнутого маршрута с магическим
порядком ходов для доски 16x16 приведен в книге Джозефа С. Ма-
дахи Mathematics on Vacation («Математика на досуге») 1966 года
издания.
Сколько коней можно поставить на одну шахматную доску так,
чтобы ни один из них не угрожал другому? Интуитивно кажется, что
их должно быть 32, что получается, если выставить коней только на
чёрные или только на белые клетки. Однако доказать это не так-то
просто. Один из способов доказательства — поделить всю доску на
прямоугольники размером 2 х 4. В каждом из них конь, стоящий на
любой из клеток, может атаковать лишь одного коня-противника.
Следовательно, в этом прямоугольнике может находиться не более
4 коней, не подвергающихся угрозе нападения. Таких
прямоугольников 8. Следовательно, на всей шахматной доске коней, не
атакуемых другими, будет 32.
Голомб обратил внимание на то, что наиболее профессиональное
доказательство (предложенное в 1964 году Ральфом Гринбергом в
бюллетене American Mathematical Monthly) основывается на
возможности данного маршрута коня на шахматной доске. Как мы уже
видели, по ходу этого маршрута чередуются клетки двух цветов.
Очевидно, что мы не можем поставить на это поле больше 32 коней без
того, чтобы они не начали угрожать друг другу. Точно так же ясно,
что они должны стоять только на белых или только на чёрных
клетках. Иными словами, если бы могли поставить на шахматную доску
33-го коня, то в любом маршруте такой конь должен был бы
перепрыгивать с одной клетки определённого цвета на другую такую же —
а это невозможно. Рассматривая возможность данного маршрута,
мы можем доказать не только то, что на доску можно поставить
только 32 коня, не атакующих друг друга, но и в придачу к этому то,
что два варианта решения такой расстановки не будут пересекаться.
Обобщив это доказательство, мы видим, что оно справедливо для
всех квадратов со стороной в четное число клеток, для которых
возможно проложить маршрут. В квадрате с нечетной величиной
стороны, естественно, маршрут должен начинаться и заканчиваться на
клетках одного и того же цвета. Таким образом, для таких досок
вариант расстановки 32 коней, не угрожающих друг другу, только
один: они будут стоять на клетках того же цвета, что и центральная
клетка доски. к
190 1000 развивающих головоломок...
Теперь давайте обратимся от максимального числа к
минимальному и попробуем выяснить, каким будет минимальное число
коней, расставленных на квадратной доске так, чтобы все незанятые
клетки подвергались угрозе нападения со стороны хотя бы одного
из них? В следующей таблице приведены значения для квадратов с
размерами от 3 до 10, а также число возможных решений (не
учитывая поворотов и зеркальных отображений).
СТОРОНА
3
4
5
6
7
8
9
10
ЧИСЛО ФИГУР
4
4
5
8
10
12
14
16
ЧИСЛО РЕШЕНИИ
2
3
8
22
3
1
1(?)
Примеры решений для квадратов со стороной от 3 до 8 показаны
на рис. 88. В различных изданиях часто печатается единственный
вариант решения для стандартной шахматной доски.
Возможные варианты для следующих по размеру досок — 9 х 9 и
10 х 10 клеток — изучены мало. Решение для доски 9x9 принято
считать единственным, однако доказательства его единственности
не существует, точно так же, как и доказательства того, что для
доски 10 х 10 таких решений два. Читатель может попробовать
самостоятельно найти хотя бы эти три уже известных решения.
Обратите внимание, что в квадрате 7x7, где все незанятые
клетки атакованы, могут быть атакованы и все занятые клетки, а в
квадрате 8x8 под угрозой оказываются только четыре такие клетки.
Если добавить в условие задачи, что атакованы могут быть только
незанятые клетки, то для каждой доски потребуется большее число
коней. (Я признателен за предоставление решений для доски 8x8
Виктору Милли.)
На рис. 89 слева показано, как можно расположить на доске
размером 11x11 двадцать два (22!) коня так, чтобы все незанятые
клетки могли бы быть атакованы и вместе с тем под угрозой не
находился бы ни один конь. Это решение было напечатано в парижском
журнале L'lntermediare des Mathematiciens в выпуске 5 от 1898 года.
Считалось, что данное число фигур, удовлетворяющее условиям за-
Рыцари квадратного стола
191
•
•
•
•
•
•
•
•
3
•
•
•
•
•
4
•
•
•
•
•
•
5
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
7
Рис. 88.
Решения для досок со стороной от 3 до 8
дачи, минимально, даже если разрешить им нападать на другие
фигуры. Однако в 1973 году Бернар Лемэр, также парижанин, нашел
замечательное решение для 21 коня, показанное на рис. 89 справа.
Впервые оно появилось в Journal of Recreational Mathematics, вып. 6,
осень 1973 г.
Все незанятые клетки на доске 12 х 12 можно атаковать при
помощи 24 коней, как показано на рис. 90. Это лучшее известное
решение, если не допускается нападения на другие фигуры. В обоих
случаях других решений неизвестно.
В труде Аренса (том 2, с. 359) приводятся самые известные
решения для досок размером 13 х 13, 14 х 14 и 15 х 15 клеток, где коням
разрешается атаковать не только свободные, но и занятые клетки.
Число минимально необходимых дда этого фигур составляет соот-
192
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Рис. 89.
22 коня атакуют только незанятые клетки (слева), однако атаковать
все эти клетки без ограничения условий можно и 21 конем (справа).
ветственно 28, 34 и 37. В 1967 году Гарри О. Дэвис понизил рекорд
для доски со стороной 14 до 32 коней. Мы впервые публикуем его
решение, обладающее двусторонней симметрией (см. рис. 91).
Если мы будем искать решение для количества коней,
требующихся для нападения на все без исключения клетки доски,
свободные и занятые, то самый простой способ поиска — это изобразить на
прозрачной бумаге два варианта расстановки — для минимального
Рис. 90.
24 коня, атакующие все незанятые
клетки на доске 12 х 12
Рис.91.
32 коня, атакующие все незанятые
клетки на доске 14 х 14
Рыцари квадратного стола
193
числа коней, требующихся для нападения на все чёрные и все белые
клетки. Затем, при наложении друг на друга двух рисунков разными
способами, можно найти окончательные решения. Дьюдени в своей
книге Amusements in Mathematics («Занимательная математика»)
поясняет, что на шахматной доске расставить минимальное число
коней (7) для нападения на все клетки одного цвета можно лишь
двумя способами. Накладывая найденные варианты, можно
обнаружить всего три решения для 14 коней, не считая поворотов и
зеркальных отражений. Работы, посвященные подобным задачам для
больших по площади досок, мне неизвестны.
ШАШМАТЫ
Примерно в 1947 году Голомб придумал комбинированную игру,
сочетающую в себе особенности шахмат и шашек, которую назвал
«шашматы». Так же как в шашках, игра ведется на чёрных клетках 64-
клеточной доски. Так как на такой доске конь не может ходить так,
как принято в шахматах, не покидая при этом чёрных клеток, Голомб
«модифицировал» коня, которого позднее окрестил «коком» (пова-
Рис. 92.
Восемь возможных ходов для кока, находящегося в центре доски.
7-10396
194 1000 развивающих головоломок...
ром). Эта фигура ходит не на две, а на три клетки по прямой, а затем
на одну клетку в сторону. Кок, стоящий в центре доски (обозначен
буквой С на рис. 92), может пойти восемью возможными способами.
Если углубиться в историю, то окажется, что кок, вроде бы
изобретенный в XX веке, уже существовал в персидских шахматах XIV в.
Тогда эту фигуру называли верблюдом. Нам стало известно о правилах
этой сложной древней игры благодаря сохранившемуся манускрипту,
наиболее полный перевод которого приводится в книге Дункана
Форбса History of Chess («История шахмат»). Эта игра называлась
шахматами Тамерлана, так как великий завоеватель якобы был большим
её поклонником. Помимо двух верблюдов с каждой стороны в этих
шахматах дополнительно присутствовали также по два змея
(соответствующих нашим коням) и две очень сильные фигуры, носящие
название «жирафов». Жираф мог ходить на одну клетку по диагонали, а
затем прямо на любое число клеток. Леонард Эйлер занимался
разработкой маршрутов на различных досках для такой фигуры.
«Изобретение кока, — пишет Голомб, — тут же породило две
проблемы: во-первых, можно ли найти для кока на шахматной доске
такой же маршрут путешествия, как для коня, во-вторых, каково
максимальное число коков, которых можно расставить на доске, не
подвергая их нападению?»
Для ответа на первый вопрос Голомб использовал
видоизмененную доску, предложенную его коллегой Ллойдом Э. Уэлчем (см. рис.
93). Доска с зигзагообразными сторонами с клетками, в два раза
превосходящими по размеру клетки нормальной шахматной доски,
накладывается на обычную доску так, чтобы каждая черная клетка
на шахматной доске соответствовала одной клетке верхней доски.
Теперь на новой доске можно играть в любую игру, для которой
требуются только чёрные клетки шахматной доски. Нужно только
соответствующим образом подогнать под конфигурацию доски ходы
фигур. Так как на новой доске ряды и столбцы обычной доски
превращаются в диагонали, то для соответствия такому расположению
слон должен ходить по такой доске, как ладья на обычной, и
наоборот. Играть на такой доске в шашки можно, расставив белые
шашки на клетки с 1 по 12, чёрные - с 21 по 32 и двигаясь не по
диагонали, а по прямой. (Кстати, вам никогда не приходило в голову, что
из-за того, что для игры в шашки нужны клетки только одного
цвета, то на одной доске одновременно можно играть две абсолютно
независимые партии в шашки, используя для каждой партии клетки
разных цветов?)
Рыцари квадратного стола
195
Рис. 93.
Видоизмененная доска, изобретенная Ллойдом Р. Уэлчем
Что ещё занятнее, обращает внимание Голомб, ходы кока на
шахматной доске превращаются на доске Уэлча в ходы коня. Таким
образом, кок может совершить на шахматной доске путешествие,
аналогичное путешествию коня на доске Уэлча. Один из маршрутов
такого путешествия: 1-14-2-5-10-23-17-29-26-32-20-
8 - 19 - 22 - 9 - 21 - 18 - 30 - 27 - 15 - 3 - 6 - 11 - 24 - 12 - 7 -
4-16-28-31 — 25 — 13. Эти номера соответствуют путешествию
кока по черным клеткам шахматной доски. (Два других замкнутых
маршрута кока по черным клеткам шахматной доски описаны в
книге Мориса Крайчика Mathematical Recreations («Математические
развлечения»).)
Так как каждый ход кока на обычной шахматной доске
соединяет две клетки, разделенные двумя ходами коня, то Голомб сделал
вывод, что на доске должен быть такой маршрут путешествия ко-
196 1000 развивающих головоломок...
ня, каждая вторая позиция в котором будет представлять собой
точку маршрута путешествия кока на такой же доске. Однако он
быстро обнаружил, что когда конь попадает в угловую клетку
доски, то дальше он вынужден прыгать на клетку, расположенную по
диагонали относительно клетки, предшествующей на маршруте
угловой. Эти две клетки не связаны между собой ходом кока, так
что Голомб был вынужден признать, что «надежда на то, что из
маршрута путешествия коня можно выделить маршрут для кока,
оказалась пустой».
Вторая из поставленных Голомбом задач решается подобно
аналогичной задаче с конями. Исходя из существования на доске
маршрута для кока, максимальное число коков (16) будет занимать 16
чередующихся клеток этого маршрута. Если отметить вдоль этого
маршрута 16 четных (или нечетных) клеток, это и будет одно из двух
возможных решений. На шахматной доске отмеченные клетки
образуют квадратную решетку из половины клеток одного цвета. Если
доску с зигзагообразными сторонами расчертить так же, как
шахматную, то эти отмеченные клетки будут всеми клетками одного цвета.
Если вы хотите попробовать сыграть в голомбовы шашматы,
вам нужно расставить фигуры так, как показано на рис. 94. Восемь
пешек (М) ходят, как шашки. Два короля (К) ходят, как дамки в
шашках. Слон (В) ходит так же, как в шахматах, а повар (С) - как
описано выше. Так же как шахматный конь, кок не блокируется
фигурами, стоящими на промежуточных клетках его хода. Пешки и
короли «едят» фигуры так же, как в шашках, перепрыгивая через
«жертву». Слон и кок «едят» по шахматным правилам - попадая на
ту же клетку, где стоит «жертва». Если положение вашей фигуры
позволяет «съесть» фигуру противника по шашечным правилам, вы
обязаны бить, за исключением тех случаев, когда одновременно
возможно «съесть» другую фигуру по-шахматному (в таком случае
вы можете выбирать, каким способом «есть» фигуру противника).
Фигуры, находящиеся под угрозой по шахматным правилам, брать
не обязательно. Пешку, добравшуюся до последней линии, следует
превратить в короля, слона или кока.
Ходят по очереди. Цель игры — «съесть» всех королей
противника. Таким образом, при соответствующих обстоятельствах решение
о том, в какую фигуру превратить пешку, имеет большое значение,
как указывает Голомб. Превращение её в короля дает плюс к
защите, в слона или кока - к нападению. Так же как в шашках,
заблокированная фигура выходит из игры.
Рыцари квадратного стола
197
в
ж ш с
Рис. 94.
Начальная расстановка фигур для «шашмат»
ДОПОЛНЕНИЕ
Руфус Айзеке рассказал, что доска, подобная придуманной Уэлчем,
служила ответом на задачку, которую он в детстве видел в журнале
New York World. Айзеке пишет: «Одному шотландскому любителю
шашек надоела скучная доска. Тогда он отпилил от неё половину
клеток. Из оставшейся части получался один просто соединенный
кусок, на котором можно было играть в шашки по обьиным
правилам, не делая никакой дополнительной разметки. Как он разрезал
доску?»
Некоторые из моих читателей пробовали найти самую короткую
партию в шашматы. Самый короткий вариант был предложен
Уилфредом X. Шепардом из Манчестера. Номера соответствуют
номерам чёрных клеток на рис. 93. Обозначения фигур — такие же, как на
рис. 94. Вот как выглядит эта партия:
198
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
1.М22-17
2. М23 - 19
3. С32 - 20
4. С20 х М8
5. С8 х К2
1.С1-13
2. С13-18
З.С18хК30
4. СЗО - 18
5. С18хК31 (выигрыш)
ОТВЕТЫ
На рис. 95 слева показано, как можно расположить минимальное
число коней (14) на доске 9x9 так, чтобы они могли атаковать все
незанятые клетки. Это решение считается единственным. Справа на
этом рисунке показано, как все свободные клетки можно атаковать
16 конями на доске 10 х 10. Это решение также считалось
единственным, пока читатели не нашли второе, показанное на рис. 96.
Рис. 95.
Решения задач для досок 9 х 9 и 10 х 10
Рис. 96.
Новое решение для доски 10 х 10
ГЛАВА 1 5
Драконова кривая
и другие задачи
1. ПРЕРВАННАЯ ПАРТИЯ В БРИДЖ
Приятели собрались сыграть в бридж, хозяин дома сдал около
половины колоды, но в этот момент зазвонил телефон. Когда он,
поговорив, вернулся к столу, то никто не мог вспомнить, кому он сдал
последнюю карту. Как ему продолжить сдавать карты так, чтобы у
всех игроков оказалось их равное число, как и должно быть, при
этом не считая ни сколько карт он уже сдал любому из игроков, ни
сколько их осталось в колоде?
2. НОРА Л. АРОН
У одной студентки было необычное палиндромное имя: Нора Лил
Арон. Её друг, также студент-математик, скучая на лекции,
развлекался, пытаясь составить интересную числовую загадку. Он записал
имя своей подруги в виде простого математического примера:
НОРА
Л
АРОН
Можно ли заменить все буквы цифрами так, чтобы получилось
верное равенство? К удивлению студента, это оказалось
возможным, причем единственным образом. И вы наверняка без особого
200 1000 развивающих головоломок...
труда найдете решение. Предполагается, что ни одно
четырёхзначное число не может начинаться с 0.
3. ЗАДАЧКА С ЧЕТЫРЁХЦВЕТНЫМИ ПОЛИОМИНО
Полиомино - фигуры, составленные из соединенных квадратных
единиц. Один квадрат называется мономино, двойной - домино.
Из трёх квадратов можно составить два вида тримино, из четырёх —
пять тетрамино и т. д. Недавно меня заинтересовало, из какого
минимального полиомино можно путем четырёхкратного повторения
составить такую фигуру, чтобы каждая пара имела общий
граничный сегмент? Мне кажется, что это - октомино, хотя у меня и нет
доказательства. Джон Харрис из Калифорнии нашел пять решений
этой задачи (см. рис. 97), хотя на самом деле их больше. Если
представить каждую фигуру как участок карты, то легко увидеть, что для
того, чтобы соседние регионы были разного цвета, требуется
четыре разных цвета для раскрашивания такой карты.
Теперь давайте снимем ограничение на четырёхкратное
повторение и посмотрим, из какого наименьшего полиомино при
повторении можно составить фигуру, требующую для составления карты
четырёх цветов? Необязательно, чтобы любые четыре составные части
фигуры соприкасались друг с другом. Требуется лишь, чтобы
повторяющиеся полиомино были расположены так, чтобы при
раскрашивании их четырьмя разными цветами две соприкасающиеся
составные части не были бы одинаковы по цвету. Участки, образующиеся
между повторяющимися полиомино, не считаются областями
«карты». Они остаются незакрашенными. Подсказка: в ответе
фигурирует полиомино, порядок которого существенно меньше восьми.
4. СКОЛЬКО ТОЧЕК?
Эта двойная задача была предложена Д. Моллисоном из Тринити-
колледжа для студентов—членов Кембриджского математического
общества.
Первый вопрос: каково максимальное число точек, которое
можно расположить внутри фигуры, изображенной на рис. 98, с
условием, что каждые две точки разделяются расстоянием не менее
квадратного корня из 2?
Драконова кривая и другие задачи
201
Рис. 97.
Октомино Джона Харриса
q
1
Второй вопрос: сколькими разными способами можно
расположить эти точки, если не считать повороты и отражения?
Пунктирные линии на рисунке показывают, что фигура составлена из
четырёх квадратов, окруженных четырьмя половинками квадратов.
Рис. 98.
Задача Моллисона
202 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
5. ТРИ МОНЕТКИ
Вы должны отвернуться, а кто-то из ваших товарищей в это время
выкладывает на стол три разных монетки (например, по 5, 10 и 50
копеек). Он должен положить их таким образом, чтобы не все они
лежали одной стороной вверх (орлом или решкой).
Вам нужно, не оборачиваясь, дать товарищу такие инструкции,
чтобы он, переворачивая по одной монетке, положил их все одной
стороной (орлом или решкой) вверх. Например, вы можете
попросить его перевернуть десятикопеечную монету. После этого он
должен сказать вам, лежат ли теперь все монеты одной стороной. Если
этого не произошло, вы опять должны попросить его перевернуть
одну монетку. Эта процедура продолжается до тех пор, пока все
монетки не будут лежать одной стороной.
Ваши шансы на успех с первого раза равны 1/3. При
использовании наилучшей стратегии каковы ваши шансы на успех решить
задачу за два или менее хода? Каково минимальное число ходов,
гарантирующее вам успех?
Вам может показаться, что эту задачу легко решить, но можно
несколько усложнить её. Ситуация остается такой же, как прежде, только
на этот раз ваша цель — чтобы все монетки лежали орлом вверх.
Допускается любое их начальное расположение, кроме трёх орлов. Так же
как и раньше, после каждого хода вам должны говорить, достигли ли
вы цели. При условии применения наилучшей стратегии каково
минимальное число ходов, гарантирующее успех? Какова вероятность
достичь успеха за два или менее хода, за три или менее хода и т. д.?
6. 25 КОНЕЙ
На доске 5x5 клеток в каждой клетке стоит по шахматному коню.
Можно ли пойти всеми 25 конями одновременно так, чтобы все 25
клеток снова оказались заняты? Кони должны ходить по обычным
шахматным правилам: на две клетки вперед и на одну в любую из
сторон.
7. ДРАКОНОВА КРИВАЯ
Уильям Дж. Картер подготовил для семинара исследовательского
центра НАСА в Кливленде буклет с загадочным рисунком на облож-
Драконова кривая и другие задачи 203
ке (см. рис. 99). Эта «драконова кривая», как он назвал её, была
придумана его коллегой Джоном Хайуэем и затем исследована
Картером, Хайуэем и ещё одним физиком из НАСА, Джоном Бэнксом.
Эта кривая начерчена по клетчатой бумаге, но каждый поворот на
90° закруглен, чтобы показать, что она никогда не пересекается
сама с собой. Вы можете увидеть, что кривая отдаленно напоминает
морского змея, который загребает влево когтистыми лапами и
слегка выставляет над водой морду и закрученный хвост.
От вас требуется найти простой способ получения драконовой
кривой. В ответах я предлагаю три варианта: один из них основан на
последовательности чисел в двоичном коде, второй — на способе
складывания листа бумаги и третий — на геометрическом
построении. Именно на основании второго способа драконова кривая была
придумана впервые. Также я объясню важность 12 отмеченных
точек, которые показывают, что порядок этой кривой - именно 12.
Получается, что эти 12 точек лежат на логарифмической спирали,
хотя обнаружено это было лишь недавно, для открытия данной
кривой никакого значения не имело.
8. ДЕСЯТЬ СОЛДАТ
Десять солдат, все разного роста, стоят в шеренгу. Существует 10!,
или 3 628 800, способов расставить их, однако в любом случае как
минимум четверо будут стоять по возрастанию или убыванию их
роста (они могут стоять не рядом, но если все остальные солдаты
выйдут из строя, то оставшиеся окажутся стоящими строго по
росту).
Вы можете убедиться в этом, проведя эксперимент с десятью
игральными картами рангом от 1 до 10. Значения карт будут
соответствовать росту солдат. Неважно, в каком порядке вы разложите
карты, но четыре или более из них окажутся лежащими в порядке
возрастания или убывания. Предположим, например, что вы
положили карты следующим образом: 5, 7, 9, 2, 1, 4, 10, 3, 8, 6. Ряд 5,
7, 9, 10 представляет собой возрастающий порядок. Допустим, вы
уберете из него 10 и положите её между 7 и 9. В таком случае вы
получите убывающий ряд — 10, 9, 8, 6.
Пусть максимальное число солдат, составляющих убывающий
или возрастающий ряд, будет р. Общее число солдат обозначим п.
Задача не слишком проста: докажите, что при п= Юр = 4. Пытаясь
Рис. 99.
Драконова кривая 12-го порядка
206 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
найти это доказательство, вы, скорее всего, найдете общее правило,
согласно которому легко высчитать р для любого п.
9. ЛЮБОПЫТНОЕ МНОЖЕСТВО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
У множества целых чисел 1, 3, 8 и 120 имеется занятная
особенность: произведение любой пары из них на 1 меньше, чем квадрат
какого-нибудь целого числа. Найдите пятое число, которое можно
добавить к этому множеству, чтобы данная особенность
сохранилась.
ОТВЕТЫ
1. Сдающий должен сдать нижнюю карту из колоды себе, а затем
продолжать сдавать так же снизу, против часовой стрелки, всем
остальным игрокам.
2. Выражение НОРА х Л = АРОН имеет единственное решение в
числах: 2178 х 4 = 8712. Если бы средний инициал в этом имени был
не Л, а А, тогда единственным решением было бы: 1089 х 9 = 9801.
Числа 2178 и 1089 - единственные числа, меньшие 10 000, имеющие
кратное, состоящее из тех же цифр в обратном порядке (мы не
считаем банальные палиндромные числа 3443, умноженные на 1). В
середину каждого из этих чисел можно вставить девятки и получить
более крупные (но не представляющие интереса) числа,
обладающие той же особенностью, например 21 999 978 х 4 = 87 999 912.
Подробнее о таких числах в различных системах счисления
можно прочитать в статье Алана Сатклиффа с причудливым названием
Integers That Are Multiplied When Their Digits Are Reversed («Целые
числа, превращающиеся при умножении в обратную запись самих
себя»), Mathematics Magazine, т. 39, № 5, ноябрь 1966, с. 282-287.
Более крупные числа можно также составить путем повтора
каждой четырёхзначной комбинации: 217 821 782 178 х 4 =
= 871 287 128 712, а 108 910 891 089 х 9 = 980 198 019 801. Само собой,
числа типа 21 999 978 также можно повторять и получать числа-«пе-
ревертыши». Леонард Клозински и Дэннис Смоларски в статье On
the Reversing of Digits («О переворачивании чисел»), Mathematical
Magazine, т. 42, сентябрь 1969, с. 208-210, показывают, что 4 и 9 -
это единственные числа, которые можно использовать в качестве
Драконова кривая и другие задачи
207
множителей для перевертывания непалиндромных чисел. Можно
выразить то же самое иначе. Если целое число представляет собой
множитель для своего «перевертыша», то большее из этих двух
чисел должно делиться на меньшее с получением строго 4 или 9.
Тот факт, что 8712 и 9801 - единственные четырёхзначные
числа, дающие при умножении на целое число число-«перевертыш»,
упоминает в своем знаменитом «Оправдании математика»
(Mathematician's Apology) Дж. X. Гарди в качестве примера
несерьёзного в математике. Для тех, кому симпатичны подобные
курьезы, я привожу здесь следующую таблицу, присланную мне Бер-
наром Гайенни, указывающую на любопытные отношения между
парами чисел:
1089 6534
2178 7623
3267 8712
4356 9801
5445
Эти девять чисел, естественно, являются кратными 1089.
Обратите внимание на то, как меняются цифры в каждом разряде при
движении вверх и вниз. Если первые пять чисел помножить
соответственно на 9, 4, 2 Уз> 1 У2 и 1, то в результате получатся вторые
пять чисел в обратном порядке. 1,4 и 9 — это первые три квадратных
числа, и кажется, что два других множителя, 2 !/3 и 1 ]/2,
совершенно не имеют к ним отношения.
3. На рисунке 100 показано, как всего из 6 домино можно
составить такую сложную фигуру, чтобы для её раскрашивания
потребуется минимум 4 краски, чтобы два соседних домино не были
одинакового цвета.
Рис. 100.
Шесть домино, четыре цвета
208
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Это мое собственное решение. Но, к моему удивлению, двое
читателей (Бент Шмидт-Нильсен и Э.С. Эйнли) нашли способ
добиться того же самого результата, взяв 11 мономино (одинарных
квадратов). Это решение показано на рис. 101. Винсент Крон и
У.Х. Гриндли предложили неформальное доказательство того, что
11 - это минимальное число мономино.
Если задаться вопросом, какое максимальное число мономино
можно сложить так, чтобы каждая пара имела общую границу, то
очевидно, что ответом будет 3. Однако на этот вопрос труднее
ответить, если в качестве единичных составных частей взять кубы.
Вопрос тогда звучит так: какое максимальное число кубиков можно
сложить так, чтобы каждая пара обладала общей поверхностью? Эта
поверхность может быть не целой гранью куба, однако это должна
быть именно поверхность, а не линия и не точка. Ответ — 6.
Прекрасное решение показано на рис. 102. Три куба, обозначенные
сплошными линиями, стоят на трёх, обозначенных пунктиром.
4. На фигуре можно разместить 5 точек так, как показано на рис.
103. Тогда расстояние между любыми двумя точками будет равно
квадратному корню из 2 или больше его. Каждая точка может быть
слегка передвинута, то есть число различных решений фактически
Рис. 101.
Решение задачи с мономино
Рис. 102.
Решение задачи с кубиками
_,^1 !
Драконова кривая и другие задачи 209
Рис. 103.
Решение головоломки с точками
бесконечно. Ну как, удалось ли вам не попасться в тщательно
расставленную ловушку и не начать пытаться располагать точки по
вершинам фигуры?
Эта задача была опубликована в журнале архимедовского
общества Eureka в октябре 1966 года.
5. Наилучший способ сделать так, чтобы все три монеты лежали
одинаковыми сторонами, - это потребовать перевернуть их все,
затем — через одну, а затем — первую из упомянутых. Вероятность
успеха при первом перевороте - Уз- Если вам не повезет, тогда на
втором ходе вероятность успеха составит {/2. Можно подумать, что
шансы на достижение успеха за 2 или менее ходов равны сумме этих
вероятностей, но это неверно. Рассмотрим влияние первых двух
ходов на каждое из шести начальных положений: OOP, ОРО, ОРР,
POO, POP, PPO. Принцип симметрии позволяет за первые два хода
перевернуть любые две монетки. Это приведет к успеху в 4 из 6
случаев, так что вероятность достичь его за 2 или менее хода равна
четырем шестым, или 2/з-
Если вы хотите повернуть все три монетки орлами, то успех
гарантирован за семь ходов. Из восьми начальных положений
исключается только 000. Таким образом, для того, чтобы рано или
поздно получить искомые 000, вам нужно перебрать как максимум
семь вариантов. Самуэль Шварц предложил легко
запоминающуюся стратегию: пронумеровать монетки 1, 2, 3 и переворачивать их в
таком порядке: 1, 2, 3, 2, 1,2, 3. Вероятность успеха на первом ходе
составляет 1/7, на втором или раньше — 2/у и так далее, до 7/7 или 1,
на седьмом ходе или ранее.
Если число монет — я, то очевидно, что требуется 2п — 1 ходов.
Последовательность действий соответствует последовательности
чисел в двоичном циклическом коде. Руфус Айзеке и Энтони Риддл
проанализировали данную ситуацию с позиций теории игр. Игрок,
210 1000 развивающих головоломок...
прячущий монеты, старается увеличить число ходов второго игрока,
который в свою очередь стремится к обратному. Лучшая стратегия
для первого игрока - выбрать одно из семи возможных начальных
сочетаний монет случайным образом. Наилучшая стратегия для
второго — пронумеровать грани кубика двоичными числами от I до
8, а затем нарисовать на его гранях гамильтонов путь.
Последовательность ходов соответствует последовательности бинарных чисел,
полученных, начиная от угла, соответствующего 111 или 000, при
выборе с равной вероятностью одного из двух направлений пути, а
затем прохождении этого пути. Если оба игрока используют
оптимальную стратегию, то ожидаемое число ходов - четыре.
В журнале American Mathematical Monthly за декабрь 1938 года
была помещена обобщенная задача такого типа. В её условии
говорилось об п выключателях, которые включали свет только тогда,
когда были повернуты все. Общая теория подобных поисковых игр
дана в книге «Дифференциальные игры» (Differential Games) Руфуса
Айзекса.
6. 25 коней не могут одновременно перейти на другие клетки.
Это легко доказать проверкой четности. Конь, делая ход, переходит
на клетку, которая отличается по цвету от той, на которой он стоял
вначале. На доске 5x513 клеток одного цвета и 12 другого.
Очевидно, что 13 коней не могут перейти на 12 клеток без того, чтобы
какие-то два из них не оказались на одной и той же клетке. Это
доказательство действует для любой доски с нечетным числом клеток.
Если вместо коней взять ладьи, причем ограничить их ходы
одной клеткой, задача будет иметь такой же ответ с таким же
доказательством невозможности. И, конечно, то же самое будет
справедливо и для любого сочетания коней с такими ладьями.
7. Каждую драконову кривую можно описать
последовательностью чисел в двоичной системе, где единицы будут обозначать
повороты влево, а нули — вправо по ходу кривой от «хвоста» до «морды».
Для каждого порядка кривой формула выводится из формулы
кривой на один порядок ниже следующим образом: добавляем единицу,
затем приписываем все цифры, предшествующие этой единице
(только меняем центральную цифру ряда). У дракона первого
порядка формула представляет собой просто 1. В данном случае после
добавления 1 слева есть лишь одна цифра, и она же является
«центральной». Мы заменяем её на 0 и получаем формулу для дракона
Драконова кривая и другие задачи 211
второго порядка: ПО. Чтобы получить формулу третьего порядка,
после предыдущей формулы пишем 1, затем - ПО с замененной
центральной цифрой, и получаем: 1101100. Точно так же
получаются и формулы всех последующих порядков. Легко заметить, что
каждый дракон состоит из пары драконов порядка на один ниже,
соединенных морда к морде.
На рис. 104 показаны драконовы кривые порядка от 0 до 6. Все
они изображены от хвоста к голове и повернуты так, что «плывут»
направо, высунув кончик хвоста и нос над водой. Если принять за
символ правого поворота не 0, а 1, и наоборот, мы получим
формулы драконов, «плывущих» в другую сторону. Точки на каждой
кривой соответствуют центральным единицам в формулах для
последовательности порядков от 1 до данного. Все эти точки у любого
дракона лежат на логарифмической спирали.
Драконова кривая была открыта физиком Джоном Хайуэем в
результате совершенно других действий. Сложите пополам листок
бумаги, потом раскройте его так, чтобы половинки поднимались
вверх под прямыми углами, и посмотрите на лист с «торца». Вы
увидите дракона первого порядка. Если сложить тот же лист дважды,
всегда в одном и том же направлении, а затем снова развернуть под
прямыми углами, то противоположные края листа будут
представлять собой двух «зеркальных» драконов 2-го порядка. Сложив лист
три раза, вы получите дракона 3-го порядка, как показано на рис.
105. В общем, п сгибов бумаги дают дракона я-ного порядка.
Само собой, двоичную формулу можно применить и для
сложенной бумажной ленты, из которой можно получить модели драконов
более высоких порядков. Допустим, единица обозначает «горку»
(изгиб вверх), а ноль — «долину» (изгиб вниз). Начиная с одного
конца ленты, складывайте её согласно формуле. Если затем
отпустить ленту, позволив каждой складке раскрыться под прямым углом,
вы получите дракона, соответствующего формуле.
Физик Брюс Бэнкс открыл геометрический метод построения,
показанный на рис. 106. Её первая ступень — большой прямой угол.
Затем, с каждым шагом, линейный сегмент заменяется на прямой
угол, образованный более мелкими сегментами, как изображено на
рисунке. Эта процедура подобна складыванию «снежинки»,
описанному мной в книге Sixth Book of Mathematical Games from Scientific
American («Шестая книга математических игр от Scientific American»).
Читатель наверняка сможет понять, почему это приводит к такому
же результату, как и складывание листа бумаги.
212
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
0 1 2
Уильям Дж. Хартер, третий из физиков, первыми
анализировавших драконову кривую, нашел множество фантастических способов
точного совмещения драконов наподобие «паззла» на плоскости, в
том числе и в виде симметричных фигур.
Их можно соединять морда к морде, хвост к хвосту, морда к
хвосту, спина к спине, спина к брюху и так далее. На рис. 107
показаны четыре дракона 6-го порядка, соединенных хвостами. Если вы
хотите самостоятельно изобразить подобную головоломную
конструкцию, попробуйте соединить таким же способом четырёх
драконов 12-го порядка, таких как изображенный на рис. 99. Если
каждая из кривых будет иметь бесконечную длину, они полностью
займут поверхность в том смысле, что каждая сторона каждой
клетки базовой решетки будет пройдена точно по одному разу. Для
экспериментов по соединению драконов лучше пользоваться
прозрачной бумагой, которую можно по-разному накладывать слой на
слой.
Дональд Кнут, кибернетик из Стэнфордского университета, и
Чендлер Дэвис, математик из университета Торонто, провели
наиболее обширное исследование драконовых кривых. Их публикация
Number Representation and Dragon Curves («Числовое представление и
драконовы кривые») в журнале Journal of Recreational Mathematics
(т. 3, апрель и июль 1970 года) содержит большой объем
информации о способах построения драконовой кривой и
последовательностей кривых вместе с их вариациями и обобщениями, а также их
свойствами. Также вы можете обратиться к статье Кнута и его
супруги Джилл, опубликованной в том же журнале в т. 6, лето 1971 года,
Драконова кривая и другие задачи
5 6
213
110110001100100 т
1101100111001001*-
110110001100100
110110011100100 b
1JO110001 lOOlDOJr
1101100111001000-
110110001100100
Рис. 104.
Драконы порядков от 1 до 6 с их двоичными формулами
СгибЗ
Рис. 105.
Сложенный втрое лист дает дракона третьего порядка
214
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Рис. 106.
Геометрический метод
где они рассказывают, как с использованием трёх видов
керамической плитки выложили драконову кривую 9-го порядка на стене в
своем доме.
8. Если поставить в ряд п солдат разного роста, по меньшей мере
р из них будут стоять по убыванию или возрастанию роста. Число р —
квадратный корень их самого маленького квадрата, большего или
равного п.
Для доказательства этого обозначим каждого солдата двумя
буквами, а и d. Пусть а — это максимальное число солдат, стоящих
слева от данного, включая его самого, по возрастанию роста. (Говоря
«слева», я имею в виду справа с вашей точки зрения, если вы стоите
лицом к шеренге.) Пусть d - максимальное число солдат слева от
данного, включая его самого, стоящих по убыванию роста. Легко
показать (я оставляю это вам), что у каждого из солдат будут разные
числовые обозначения. У двух солдат могут совпадать значения а
или d, но не оба эти числа одновременно.
Предположим, 10 солдат стоят так, что в самой длинной
последовательности по возрастанию или убыванию роста среди них р
человек, то есть минимальное возможное число. Ни у одного из них не
может быть значения а или d, превосходящего р. Так как у любых
Драконова кривая и другие задачи
215
Рис. 107.
Четыре дракона 6-го порядка, соединенные хвостами
двоих солдат пары чисел а и d различаются, р должно быть
достаточным для того, чтобы существовало не менее одной различающейся
пары чисел and.
Может ли р быть равно 3? Нет, так как в этом случае будет
существовать только З2 = 9 пар чисел:
я 1 1 1 2 2 2 3 3 3
d 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Любое число р даст нам р2 пар чисел and. Так как З2 = 9, у нас
недостаточно пар для 10 солдат. Однако 42 - уже 16, то есть более
216 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
чем достаточно. Мы можем заключить, что вне зависимости от того,
как стоят солдаты, по меньшей мере четверо из них будут стоять по
возрастанию или убыванию роста. 4 остается числом р для групп
числом до 16 человек. Но для группы в 17 солдат нам придется
перейти кр, равному 5, для того, чтобы получить достаточно пар а и d.
Если поставить в ряд 100 солдат разного роста, хотя бы 10 из них
будут стоять по росту. Однако, если солдат станет всего на одного
больше, число р тут же возрастет до 11.
Эта проблема хорошо освещена в разделе 7 части о
комбинаторном анализе из сборника Mathematical Sciences, вышедшего в
издательстве Массачусетского технологического института в 1969 году.
Автор этой части сборника - Джан-Карло Рота. В обобщенном и
расширенном виде эта задача обсуждается в двух статьях: Monotonic
Subsequences («Монотонные подпоследовательности») Дж. Б. Крус-
кала-мл., Proceedings of the American Mathematical Society, вып. 4, 1953,
с. 264—274, и Longest Increasing and Decreasing Subsequences («Самые
длинные восходящие и нисходящие подпоследовательности»)
Крэйга Шенстеда, Canadian Journal of Mathematics, вып. 13, 1961, с.
179-191.
9. Пятое число — это 0. Естественно, этот ответ элементарен и
является шуточным. Но отсюда возникает весьма сложный вопрос:
существует ли пятое положительное число (отличное от 1, 3, 8 и 120),
которое можно было бы добавить к этому множеству, не нарушая
его свойства (произведение двух любых членов множества должно
быть на 1 меньше, чем квадрат какого-либо целого числа)?
Эта необычно сложная задача из области диофантовой
математики восходит исторически к Ферма и Эйлеру. Об этом можно
прочесть в книге Л.Э. Диксона History of Number Theory («История
теории чисел»), т. 2, с. 517f. У этой задачи действительно богатая
история, а окончательное разрешение она получила лишь в 1968 году.
Один из студентов К. Баукампа из технологического университета
г. Эйндховена в Нидерландах увидел эту задачу в журнале и
рассказал о ней Баукампу. Тот, в свою очередь, показал её коллеге, Дж. X.
Ван Линту. Ван Линт в 1968 году показал, что если 120 и может быть
заменено другим положительным целым числом без нарушения
свойства множества, то в нем должно быть более 1 700 000 разрядов.
Затем Алан Бейкер из Кембриджа соединил результаты Ван Линта с
одной из собственных сложных теорем и, наконец, разрешил
проблему. В статье Бейкера и Д. Дэвенпорта во втором выпуске Quaterly
Драконова кривая и другие задачи 217
Journal of Mathematics, т. 78, 1969, доказывается, что 120 не может
быть заменено другим целым числом, и, следовательно,
множество не может иметь пятого члена. Это доказательство весьма
сложно и требует в том числе подсчета ряда чисел до 1040 знаков после
запятой.
Известно, что существует бесконечное число наборов из 4
положительных чисел с упомянутым свойством: 1, 3, 8 и 120 - это один
из них, имеющий наименьшую сумму. В Journal of Recreational
Mathematics, вып. 4, апрель 1971, в статье Андервуда Дадли и Дж. X.
Хантера, посвященной этой проблеме, приводятся 20 других
вариантов подобных множеств. В 3-м выпуске № 26 Quaterly Journal of
Mathematics за 1975 год П. Канагасабапати и Т. Поннудурай в своей
статье дают менее сложное доказательство несуществования пятого
члена множества 1, 3, 8, 120. Этой же задаче посвящена и статья А
Problem ofFermat and the Fibonacci Sequence («Задача Ферма и
последовательность Фибоначчи») В. Э. Хоггатта-мл. и Дж. Э. Бергама в
журнале Fibonacci Quaterly, вып. 15, декабрь 1977.
Существует ли на самом деле множество из пяти членов, которые
были бы целыми числами и обладали желаемым качеством?
Насколько известно мне, пока этого никто не выяснил.
ГЛАВА 16
Цветные треугольники
и кубики
В 1967 году Франц О. Армбрастер, программист из Калифорнии,
придумал новую модификацию головоломки, которая продавалась
в разнообразных видах на протяжении уже более полувека. Он
снабдил её краткой понятной инструкцией и дал название «Мгновенное
помешательство» (Instant Insanity). Она имела поистине
мгновенный успех. Распространением головоломки занялась компания
Parker Brothers, и продажи в 1968 году достигли невероятного
уровня. Головоломка состояла всего лишь из четырёх пластмассовых
кубиков одинакового размера, с гранями, выкрашенными в четыре
разных цвета. Цель головоломки — поставить кубики в ряд так,
чтобы на каждой из сторон ряда были видны все четыре цвета.
Я уже упоминал об этой головоломке в главе «24 цветных
квадрата и 30 цветных кубиков» книги New Mathematical Diversions from
Scientific American (1966), но наиболее полный её анализ можно
найти в главе 7 книги Puzzles and Paradoxes (1965) Томаса О'Бирна. Он
подсчитал вероятность случайного совпадения головоломки Арм-
брастера — она составила 1 к 41 472! Томас пишет, что наиболее
привлекательная черта этой головоломки в том, что её «можно
вытаскивать на свет божий снова и снова, внося самые мелкие изменения,
в то время как множество других неплохих головоломок,
появившись раз, так и исчезают навсегда либо, в лучшем случае, остаются
известными лишь узкому кругу любителей».
«Мгновенное помешательство» можно отнести к тому
обширному классу комбинаторных задач, в которых требуется собрать в
определённом порядке многогранники или многоугольники со сторо-
Цветные треугольники и кубики 219
нами или гранями, различающимися по цвету или как-то иначе.
Один из первопроходцев комбинаторной математики, майор Перси
Александр Макмахон, скончавшийся в 1929 году, уделял таким
головоломкам много внимания. Макмахон, профессор
физико-математических наук, написал классический двухтомный труд
Combinatory Analysis («Комбинаторный анализ»), 1915 и 1916 годов
издания, и замечательную вводную статью об этом же предмете для
одиннадцатого издания «Британники». Но помимо этого его перу
принадлежит малоизвестный и ставший библиографической
редкостью труд New Mathematical Pastimes («Новые математические игры»)
1921 года, в котором он исследует разнообразные головоломки,
относящиеся к тому же общему типу.
Рассматривая в своей книге 30 цветных кубиков (Макмахон
также обсуждает их в своих «Новых математических играх»), я говорю и
о 24 цветных квадратах Макмахона. Здесь же я познакомлю вас с
другим набором фигур Макмахона — с 24 цветными треугольниками.
Если три стороны равностороннего треугольника покрашены
каждая в один из двух цветов и повороты треугольников не считаются
отдельными вариантами фигур, то вы получаете четыре разных
треугольника. С помощью трёх цветов можно получить 11
треугольников, с помощью четырёх — 24, которые изображены на рис. 108. Для
работы с такими картонными фигурками удобно разделить каждую
из них на три равные равнобедренные части, как показано на
рисунке, а затем закрасить каждую из третей одним из четырёх цветов, в
соответствии с приведенной здесь разметкой. Так как вам не
потребуется переворачивать треугольники (в набор уже входят
«зеркальные» пары), то раскрашивать их нужно только с одной стороны.
При наличии п цветов число разных равносторонних
треугольников, получающихся таким путем, равно
пъ+2п
При п = 3 получающийся набор из 11 треугольников не
представляет никакого интереса, так как из такого малого числа нельзя
сложить никаких интересных фигур. При п = 5 получается 45
треугольников — это многовато для развлекательных целей. А набор из 24
треугольников с четырьмя разными цветами - именно то, что нужно.
Более того, именно из такого набора можно сложить не только
правильный шестиугольник, но и невероятное множество разнообраз-
220
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
А
А
Рис. 108.
24 цветных треугольника
ных симметричных фигур. Макмахон предлагает большое число
комбинаторных задач, основанных на этом наборе. Самая простая —
складывать треугольники подобно домино, чтобы стороны
одинакового цвета соприкасались, и в результате получались бы правильные
многоугольники. Затем он добавляет ещё одно ограничение: весь
многоугольник должен быть ограничен линиями одного цвета.
(Далее мы будем говорить об этих ограничениях как о двух условиях
Макмахона.) В наборе треугольников каждый цвет присутствует на
18 сторонах (четное число), а по условиям Макмахона требуется,
чтобы внутри многоугольника каждый цвет появлялся на четном числе
сторон одиночных треугольников. Отсюда следует, что периметр
любой фигуры, составленной из таких треугольников с выполнением
условий, должен состоять из четного числа сторон треугольников.
Уэйд Э. Филпотт, инженер на пенсии из Лимы в штате Огайо,
проделал с набором треугольников Макмахона большую работу, чем
кто-либо другой из известных мне людей. Все нижеизложенное
взято из нашей с ним переписки и публикуется с его любезного
разрешения.
Нетрудно доказать, что все многоугольники, составленные из 24
цветных треугольников, отвечающие условиям Макмахона, должны
иметь периметр в 12, 14 или 16 сторон треугольников. Как мы уже
выяснили, это число обязано быть четным. Минимальный пери-
Цветные треугольники и кубики
221
▲
метр многоугольника, составленного из 24 треугольников с
одиночной стороной, равен 12. Периметр в 18 единиц невозможен, так как
в наборе содержится всего 18 сторон каждого цвета, а все три
стороны одного треугольника не могут входить в периметр
многоугольника. Таким образом, максимальный периметр многоугольника,
отвечающего всем условиям, равен 16.
Минимальным периметром в 12 единиц обладает единственный
из многоугольников, правильный шестиугольник. Его одноцветная
сторона может быть составлена шестью различными способами,
каждый из которых, в свою очередь, предполагает неизвестное
число отдельных решений. Филпотт оценивает полное число решений
в несколько тысяч (при этом не включая в них варианты поворотов
и отражений фигуры, а также решения, полученные лишь
перестановкой цветов). Филпотг установил, что для каждого типа границы
шестиугольника существует три варианта расстановки трёх
однотонных треугольников (обязательно отличных по цвету от границы
шестиугольника), которые симметрично размещаются вокруг
центра шестиугольника. Так как каждый однотонный треугольник
должен быть окружен треугольными сегментами такого же цвета, в
итоге получается шесть однотонных правильных шестиугольников
меньшего размера, симметрично помещенных внутри границ
большого. На рис. 109 показан принцип получения одноцветной
границы шестиугольника шестью различными вариантами расположения
Рис. 109.
Шесть способов составления правильных шестиугольников
с границей одного цвета
Рис.110.
Примеры каждого типа параллелограмма 3x4с границей одного цвета
224
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК..
Рис. 111.
18 симметричных многоугольников
с периметром 14 единиц
\ 8
14
в центре одного из двух возможных однотонных треугольников. Вы
сами можете попробовать составить шестиугольник, применяя
любой из шести вариантов.
Из 24 треугольников можно получить параллелограммы со
сторонами 2 х 6 и 3 х 4. Легко доказать, что параллелограмм со
сторонами 2 х 6 не отвечает двум условиям Макмахона: из 14
треугольников, формирующих периметр параллелограмма, только 13 имеют
один и тот же цвет. Параллелограмм 3x4 возможен. И здесь точное
число решений неизвестно, хотя Филпотт предполагает, что их
меньше, чем для правильного шестиугольника. Так же как и у
шестиугольника, здесь возможны шесть способов составления границ
фигуры. На рис. 110 приведены предложенные Филпоттом решения
для каждого способа, в каждом из которых присутствует 3
однотонных треугольника (обязательно отличающихся по цвету от границ
параллелограмма), поставленных в ряд.
Параллелограмм со сторонами 3x4 представляет собой пример
симметричной фигуры, периметр которой равен 14 единицам.
Филпотт нашел ещё 18 симметричных многоугольников с тем же
периметром, отвечающих условиям Макмахона. Они изображены на
рис. 111. Для всех этих фигур возможно более чем одно решение.
Легко догадаться, что условием существования фигуры с
периметром 14 должно быть хотя бы одно «острие» (угол в 60°). Ведь хотя бы
один треугольник с двумя одинаковыми по цвету сторонами должен
Цветные треугольники и кубики
225
16
занимать положение, когда обе эти стороны входят в периметр
многоугольника. Обратите внимание на то, что лишь у одной из 18
предложенных фигур «острие» единственное. Эта фигура (под
номером 1) также относится к набору 11 симметричных фигур с
периметром 14 или 16, составить которые возможно лишь единственным
способом. Примечательна также фигура под номером 5.
Согласно Филпотгу, это единственная симметричная фигура,
имеющая 11 различных типов одноцветной границы (максимально
возможное число). Известны примеры решений всех 11 типов.
Филпотт нашел 42 возможные симметричные фигуры с
периметрами 16 (см. рис. 112), так что всего известно 62 симметричных
многоугольника, имеющих решения для данных условий. Филпотт
пишет, что у каждого из этих многоугольников с периметром 16
должно быть не меньше чем три «острия», но не больше четырёх. Не
все симметричные фигуры с тремя остриями имеют решения,
однако все с четырьмя остриями решения имеют.
Предложенная Филпоттом «задача на удвоение» заключается в
составлении двух одинаковых симметричных фигур по 12
треугольников в каждой, которые отвечали бы условиям Макмахона и
имели бы одноцветные границы, отличающиеся по цвету между собой.
На рис. 113 показан один из 28 способов решения этой задачи.
Филпотт считает, что для каждой из фигур возможны сотни, но не
тысяч, вариантов решения.
8-10396
226
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
www
27
39
28
29
30
Рис.112.
42 возможных симметричных многоугольника с периметром 16
Рис. 113.
Решение задачи на удвоение
Цветные треугольники и кубики
227
Также придуманная Филпоттом «задача на утроение»
заключается в построении трёх одинаковых фигур из восьми треугольников,
каждая с границами трёх разных цветов.
Филпотт сообщает, что таких фигур может быть только 10. Они
показаны на рис. 114 с решением для одной из них. Филпотт
оценивает число решений для каждого варианта не более 100.
Из шести треугольников можно составить двенадцать различных
фигур, которые названы гексамондами. Их я представил в своей
10
Рис. 114.
10 симметричных многоугольников, которые можно утроить.
Один из них с вариантом решения.
228 1000 развивающих головоломок...
книге Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American
(«Шестая книга математических игр or Scientific American»), Все гексамон-
ды, за исключением «бабочки», как обнаружил Филпотт, могут быть
учетверены.
Джон Харрис из Санта-Барбары, Калифорния, предложил
задачу на составление шестиугольников с минимальным или
максимальным числом отдельных «кристаллов». («Кристалл»
получается из двух элементов, соединенных по сторонам, имеющим
одинаковый цвет.) Легко показать, что в любой фигуре должен
быть хотя бы один алмаз, но при этом не более 9. Для обоих
случаев существует решение, и не одно. Харрис обнаружил, что в
параллелограмме 3x4 могут содержаться девять «кристаллов»,
причем вариантов решения много. При этом параллелограмм можно
составить и без «кристаллов», причем также различными
способами.
Из какого полного набора треугольников Макмахона можно
составить равносторонний треугольник, отвечающий двум цветовым
ограничениям? Прежде чем дать ответ, мы должны определить, из
каких наборов можно составить равносторонний треугольник, не
учитывая ограничений. Пусть число цветов в наборе равно я, а
число отдельных структурных единиц - т2. Сложить из набора
равносторонний треугольник возможно только для я, удовлетворяющих
следующему диофантовому уравнению:
Сколько целочисленных решений имеет это уравнение?
Филпотт предложил такую задачку в Journal of Recreational Mathematics,
вып. 4, апрель 1971. Некоторые частные решения были
опубликованы в вып. 5, январь 1972. Общее число решений конечно, и самые
маленькие из них — это п = 1, 2 и 24. При этом все остальные
значения п превосходят 5000.
Совершенно очевидно, что единственный треугольник (я = 1)
удовлетворяет обоим цветовым условиям. При п = 2 ясно, что
полный набор т2 = 4 не удовлетворяет условию о границе. При п = 24
из т2 = 4624 элементарных треугольников получается
равносторонний треугольник со стороной в 68 единиц. Отвечает ли эта фигура
обоим условиям? Пока это никем не доказано, хотя и вполне
возможно.
Цветные треугольники и кубики 229
Житель Манчестера Джордж Литтлвуд доказал, что
треугольники, составляющие полный макмахонов набор, складываются в
правильный шестиугольник лишь при п = 4. Это следует из того, что
уравнение
имеет целочисленное решение только для п = 4. Как мы уже видели,
сложить такие шестиугольники, отвечающие обоим цветовым
ограничениям, возможно. Не учитывая повороты, отражения и перестановки
цветов, сколько таких шестиугольников существует? Пока это не
выяснено. Филпотг считает, что это число достигает нескольких тысяч.
Набор из 45 «пятицветных» треугольничков (правда, вместо
разных цветов их стороны были помечены разным числом точек)
был выпущен в Германии в конце шестидесятых. Он носил
название «Тримино». В прилагаемом буклете, написанном Хайнцем Ха-
бером, предлагались различные симметричные фигуры, которые
можно складывать из набора, и варианты игр с их использованием
для нескольких человек. Понятно, что частью этого набора был
набор из 24 «четырёхцветных» треугольничков. Такой же набор
производства Гонконга продавался в США под названием
«Трёхмерное домино». Время от времени в продаже появлялись и
наборы из 24 деталей. Но первый, существование которого мне удалось
задокументировать, был выпущен лондонской фирмой Just Games,
Ltd. в 1975 году.
В 1892 году Макмахон получил британский патент под номером
3297 на свой набор из 24 треугольников, но мне неизвестно,
продвигал ли он его на рынок. В США патент на набор из четырёхцветных
треугольников был выдан в 1985 году Ф.Х. Ричардсу из города Троя
в штате Нью-Йорк. Однако Ричарде описывал его использование
лишь в качестве набора для игр типа домино. В США в продаже
появлялись разнообразные игры такого типа с цветными
треугольниками, из которых стоит отметить наиболее известные: «Contack»
фирмы Parker Brothers, выпущенный впервые в 1939 году, и «А1-1о-
со» производства одной кливлендской фирмы 1964 года.
Можно заменить разноцветные стороны у треугольников
кривыми различной формы. Этот вариант превращения
треугольников в подобие паззла был предложен самим Макмахоном (см.
рис. 115).
230
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Рис. 115.
Паззл из «треугольников» с извилистыми сторонами четырёх типов
Макмахон в своей книге не рассматривает принципиально
другой вариант окраски — не сторон, а углов треугольников. Число
таких треугольников для п цветов будет таким же, как и у
треугольников с разноцветными сторонами. Можно ли составить из таких
треугольников с разноцветными углами (24 треугольника, 4 цвета)
шестиугольник, который бы удовлетворял единственному условию:
чтобы углы одинакового цвета составляли каждую его вершину? К
несчастью, это невозможно. Точно так же невозможно и сложить из
них равносторонний треугольник с симметрично расположенной
треугольной «дыркой». Хотя если пустое место будет расположено в
одном из углов или в середине стороны, то такая фигура возможна.
Но из такого набора можно сложить параллелограмм 3 х 4 и много
других симметричных фигур.
В 1969 году парижанин Марк Одье придумал очередной вариант
игры, состоящей из 24 четырёхцветных треугольников, закрашен-
Цветные треугольники и кубики 231
ных по углам. Эта игра выпускалась и продавалась во Франции под
названием Trioker. Она имеет британский патент номер 1 219 551.
К набору прилагается перечень задач на составление различных
фигур и правила для игр.
В наборе была и 25-я фигурка, окрашенная в два цвета, — так
называемый джокер, который можно было использовать и для
построений, и для игр. Позднее эта игра продавалась и в Испании. В 1976
году во Франции вышла книга Одье и И. Русселя Surprenants
Triangles, к которой прилагался этот набор. В США аналогичная
игра под названием Tri-ominoes производства компании Pressman
была выпущена в свет в 1968 году.
Среди объемных фигур заполнить пространство без промежутков
можно только кубами. Именно благодаря этому свойству кубики
входили в наборы разнообразных головоломок типа «Мгновенного
помешательства». Если вы подберете 27 одинаковых кубиков и покрасите 9
из них в один цвет, 9 - в другой и 9 - в третий (со всех сторон), то
можете попробовать решить две необычные пространственные задачки.
Сразу понятно, что невозможно сложить из 27 кубиков большой
куб размерами 3x3x3 так, чтобы каждый из 27 ортогональных
рядов (параллельных ребрам большого куба) состоял из элементов
одного и того же цвета. А можно ли сложить такой большой куб,
чтобы в каждом из 27 ортогональных рядов присутствовали все три
цвета? Оказывается, можно. Единственное решение этой задачи
(повороты, отражения и перестановки цветов не учитываются)
было найдено Чарлзом Триггом, математиком на пенсии из
Калифорнии. Получится ли у вас «переоткрыть» это решение?
Вторая задача гораздо сложнее. Её не так давно придумал
кембриджский математик Джон Хортон Конвей. Он поставил перед собой
задачу сложить большой куб таким образом, чтобы ни в одном из
тройных рядов (27 ортогональных, 18 диагональных в плоскостях сечения
большого куба и 4 пространственных диагонали, соединяющих
противоположные углы) не содержалось ни по три кубика одинакового
цвета, ни по три разноцветных. Иными словами, в каждом из 49 рядов
из трёх кубиков должны были быть два кубика одного цвета и один -
другого. Конвею удалось найти два разных, но родственных решения
(снова не считая поворотов, отражений и перестановок цветов).
Конечно, вы можете решать обе эти задачи, нарисовав в
качестве отображения трёх уровней большого куба три поля для игры в
«крестики-нолики» и пронумеровав все клетки в них буквами А, Б,
В, соответствующими разным цветам кубиков. Однако и легче, и
Рис.116.
Шесть способов решения задачи с шестиугольниками
Цветные треугольники и кубики
233
интереснее работать с настоящими кубиками, так что я советую вам
потратить немного времени на их добывание и окраску.
ОТВЕТЫ
На рис. 116 показан один из способов построения шестиугольника
из 24 цветных треугольников для всех шести вариантов
одноцветной границы с учетом дополнительного условия, что три
однотонных треугольника вокруг центра фигуры располагались бы
симметрично в показанном порядке. Сколько всего решений существует
для каждого из шести типов, неизвестно.
На рис. 117 приводится единственное решение (не считая
поворотов, отражений и перестановки цветов) для построения из 27
единичных кубиков большого куба 3x3x3 (единичные кубики
окрашены по 9 в три разных цвета, и в каждом ортогональном ряду
присутствует по одному кубику каждого цвета).
Это решение было опубликовано Чарлзом Триггом в журнале
Mathematics Magazine в январе 1966 года.
На рис. 118 показаны два способа расположения того же набора из
27 кубиков, составляющих большой куб 3 х 3 х 3, в котором ни один
из рядов из трёх кубиков (ортогональных и диагональных, в т. ч.
четырёх пространственных диагоналей куба) не содержит ни трёх
одинаковых по цвету кубиков, ни трёх разных. Это единственные варианты
решения данной задачи, найденные Джоном Хортоном Конвеем.
Рис.117.
Решение первой задачи о кубе
234
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Рис.118.
Решения второй задачи о кубе
ГЛАВА 1 7
Деревья
«Непрерывная ломаная» - это совокупность точек (вершин),
соединенных отрезками так, что любые две точки связаны
неразрывным маршрутом. Если такая ломаная не имеет циклических
участков, или маршрутов, замкнутых в одной точке, такую ломаную
называют деревом. В природе настоящее дерево представляет собой
совершенную трёхмерную модель. Некоторые кристаллы растут по
тому же принципу. Реки с притоками на поверхности Земли также
выглядят гигантскими деревьями. Ряд хрупких твердых веществ
при растрескивании на микроскопическом уровне также
демонстрируют ветвистые линии разломов. Электрические заряды могут
ветвиться.
Элементарная ломаная типа «дерева» - это линия, соединяющая
две точки. Три точки также могут быть соединены в дерево
единственным способом. Но четыре точки уже могут быть соединены с
получением двух топологически различных деревьев. Из пяти точек
получается целая «роща» — множество из трёх деревьев, а шесть
точек дают шесть деревьев (см. рис. 119). Размещение точек и форма
соединяющих их линий не имеет значения, так как в качестве
отличительных особенностей рассматриваются только топологические
свойства дерева. Вы можете представлять их себе как структуры,
состоящие из одинаковых шариков, соединенных эластичными
связками. Такие деревья называются «свободными», в отличие от
«укорененных», у которых выделяется одна точка, и «меченых», у
которых все точки индивидуально помечены.
Точки
Деревья
Y
V
V
FTt
Рис.119.
Топологически различные деревья из 2—6 точек
Деревья
237
v
/
v
v \
7
у
11
12
Рис. 120.
Двенадцать семиточечных деревьев, два из которых — «близнецы»
Существуют и другие типы деревьев, для которых пока не
разработана стандартная номенклатура. Задача подсчета числа
различных «-точечных деревьев данного типа превращается в сложную
комбинаторную теорию. Из семи точек можно получить 11
свободных деревьев. Далее ряд продолжается так: 23, 47, 106, 235, 551 ...
Дюжина семиточечных деревьев показана на рис. 120 - однако два
из этих деревьев повторяют одно другое. Сможете ли вы обнаружить
238 1000 развивающих головоломок...
этих «близнецов»? Если хотите, попробуйте изобразить 23 дерева из
8 точек.
Очевидно, что любое дерево из п точек имеет п - 1 соединяющих
отрезков, а общее число таких отрезков в лесу из п точек и к
деревьев равно п - к. Ещё одна бросающаяся в глаза теорема о деревьях
отображена в сказочной повести Фрэнка Баума The Magical Monarch
of Mo and His People («Волшебник-правитель страны Мо и его
народ»). Яблоко, висящее высоко на ветке, нельзя достать,
забравшись на дерево, так как кто-то отпилил ближайший к нужной ветке
кусок ствола на растопку. Теорема: удаление любого из отрезков ло-
маной-дерева разрушает его. Даже самый верхний из отрезков при
удалении оставляет конечную точку ломаной «подвешенной».
Исследования деревьев начались лишь в конце XIX века, однако,
само собой, подобные диаграммы строили ещё в древности. С их
помощью удобно отображать самые разнообразные связи -
например генеалогические — и разделять что-либо по иерархическому
принципу. Одно из самых известных деревьев средневековой
метафизики было впервые изображено неоплатоником III века Порфи-
рием в комментариях к Аристотелю. В сущности, «древо Порфирия»
являлось тем, что теперь мы назвали бы «бинарным деревом». Все
категории здесь делятся на две взаимоисключающие группы,
основываясь на свойствах, присущих либо одной, либо другой из них.
(См. «Федр» Платона.) Субстанция, summum genus, делится на
телесное и бестелесное, телесное, в свою очередь, на живое и неживое.
Живое подразделяется на чувствующее (животные) и нечувствую-
щее (растения). Животные делятся на разумных (человек) и
неразумных. Разумные же состоят из множества отдельных личностей —
это дерево infama species. После изобретения гравировки философы
эпохи Возрождения полюбили иллюстрировать свои труды
фантастически ветвящимися и причудливо украшенными порфировыми
деревьями.
Пьер де ла Рамэ (он же Пётр Рамус), французский
логик-протестант, убитый в 1572 году в Варфоломеевскую ночь, был ярым
поклонником такого бесконечного бинарного разделения всего и вся,
так что впоследствии такие деревья стали называть его именем. В
начале XIX века Иеремия Бентам стал, вероятно, последним из
серьёзных философов, уделявшим много внимания бинарным деревьям.
Он понимал, что составление полного бинарного дерева во многих
областях (например, в ботанике) невозможно и что любая категория
может быть, как яблоко, поделена тысячами возможных способов.
Деревья
239
Однако продолжал считать, что дихотомическое разделение - один
из величайших инструментов анализа. Он писал о «несравненной
красоте рамусовых древ», а один из разделов в своем сочинении
озаглавил: «Как посадить энциклопедическое рамусово древо на
любом участке поля искусства и науки».
Современные философы (за исключением тех, кто трудится в
области формальной логики) редко используют деревья. Однако
ученые нашли для них применение в таких разнообразных отраслях
науки, как химические структурные формулы, схемы электрических
цепей, теория вероятности, биологическая эволюция,
экспериментальные исследования, стратегия игр и все многообразие
комбинаторных задач. Самый примечательный из известных мне примеров
неожиданного использования деревьев в комбинаторике (а именно
в анализе карточных пасьянсов) приводится в обсуждении теории
деревьев в книге Дональда Кнута Fundamental Algorithms.
Пасьянс, который рассматривает Кнут, известен под названием
«Часы». Но его называют также «Путешественники», «Спрятанные
карты» или «Четыре короля». Колода сдается на тринадцать кучек
лицом вниз, по четыре карты в каждой, которые располагаются так,
как показано на рис. 121, наподобие цифр на циферблате часов.
Тринадцатая («королевская») стопка карт кладется в центре.
Нужно перевернуть верхнюю карту из этой стопки и подсунуть её
лицом вверх под стопку, соответствующую её значению. Например,
вы берете из «королевской» стопки четверку и, значит, должны
положить её под стопку, соответствующую четырем часам на циферблате.
Рис. 121.
Начальный расклад
пасьянса «Часы»
Нижние карты и их связь
через древо
240 1000 развивающих головоломок...
Если выпал валет — под одиннадцатую стопку и так далее. Затем вы
переворачиваете верхнюю карту из той стопки, под которую только
что засунули предыдущую. Её вы кладете под соответствующую
стопку таким же образом. Если вы достали карту, соответствующую
по значению той же стопке, где она была, переверните её лицом
вверх, суньте под низ и возьмите следующую. Если все пятьдесят две
карты окажутся перевернутыми вверх лицом, вы выиграли. Если вы
ещё до этого перевернете четвертого короля, то вы проиграли.
Данная игра проходит чисто механически, для неё не требуется
никакого мастерства. Кнут в своей книге доказывает, что шансы на
выигрыш равны ровно У13. А также что в среднем число карт,
перевернутых до конца партии, составляет 42,4. Это единственная из
игр, приводимых в популярных книгах о пасьянсах, для которой
точно рассчитана вероятность выигрыша.
Кнут также обнаружил простой способ заранее определить,
сложится ли пасьянс. Для этого нужно лишь посмотреть на нижние
карты в каждой стопке. Нарисуем ещё одну схему и обозначим на
ней значения всех нижних карт, за исключением центральной.
Теперь соединим все эти карты линиями с соответствующими
стопками (см. рис. 121, справа). (Если значение карты соответствует той
стопке, где она лежит, линия не проводится.) Перерисуем эту
диаграмму так, чтобы стала очевидной её «древесная» структура (см.
рис. 122). Только в том случае, если диаграмма будет представлять
Рис. 122.
Связи карт в виде дерева
Деревья
241
собой дерево, включающее все 13 стопок карт, пасьянс сложится.
Расположение сорока неизвестных карт значения не имеет.
Данная игра, как показывает её дерево, выигрышна. Можете
самостоятельно построить диаграмму для другого начального
расклада (см. рис. 123) и выяснить, сложится ли этот вариант, а потом
проверить полученный результат, по-настоящему разложив пасьянс до
конца. Доказательство того, что проверка деревом всегда дает
верный результат, приводится Кнутом в его книге. Помимо того что
этот труд представляет собой введение в монументальное
кибернетическое исследование, он содержит огромное количество свежего
материала для занимательной математики.
Дерево, включающее в себя все точки данного множества,
называется «перекрывающим» для этих точек. Одна из первых
теорем теории деревьев была сформулирована в XIX веке
кембриджским математиком Артуром Кейли, который открыл и доказал, что
число различных перекрывающих деревьев для п маркированных
точек равно п в степени п - 2. (Кейли - один из отцов теории
деревьев, он разработал её в 1875 году как метод подсчета числа
изомеров углеводов.) Представим себе 4 города - А, В, С и D. Если
соединить их перекрывающим деревом, сколько у нас получится
вариантов сети дорог, соединяющих города? По формуле Кейли
получим 42, то есть 16 (см. рис. 124). Топологически некоторые из
полученных деревьев подобны. Однако наши точки (города)
маркированы, и они будут считаться разными. В местах перекрестков
одна из линий изображена проходящей под другой, чтобы не
создавалось впечатления ещё одной точки в этом месте — иначе
дерево состояло бы из 5 точек.
Рис. 123.
Нижние карты, по которым нужно
составить дерево
D О
Рис. 124.
16 маркированных деревьев, перекрывающих 4 точки
Деревья 243
Представим себе п городов, связанных общей железнодорожной
сетью, состоящей из прямых участков пути, соединяющих между
собой пары городов. Пути могут пересекаться, но такие места не
рассматриваются в качестве новых вершин ломаной (то есть не
являются пунктами пересадки).
Как же найти перекрывающую все точки ломаную, обладающую
минимальной общей длиной?
Легко увидеть, что самая короткая ломаная представляет собой
дерево. В противном случае она содержала бы замкнутый участок.
Укоротить ломаную можно было бы путем удаления одного из её
отрезков: тогда «кольцо» разорвется, но все города останутся
связанными. Если можно исключить все замкнутые участки, укорачивая
ломаную, значит, самая короткая будет представлять собой дерево.
Для нахождения минимального по длине перекрывающего
дерева существует несколько простых алгоритмов. Стандартная
процедура была впервые описана Джозефом Крускалом в статье On the
Shortest Spanning Subtree of a Graph and the Traveling Salesman Problem
(«О самых коротких поддеревьях графов и задаче коммивояжера»),
Proceedings of the American Mathematical Society, т. 7, февраль 1956. Она
такова. Определим расстояния между каждой парой городов, затем
расставим их по возрастанию. Самый короткий путь, соединяющий
города, обозначим 1, следующий по длине - 2 и так далее. Если два
расстояния равны, порядок их нумерации неважен. Два ближайших
друг к другу города соединим прямой линией. Затем проделаем
последовательно то же самое для всех остальных пар городов. Если
какой-то из отрезков окажется частью замкнутой структуры,
проводить его не нужно. Сразу переходите к следующей паре городов.
В результате у вас получится перекрывающее дерево
минимальной длины. Могут существовать и другие варианты деревьев с такой
же минимальной длиной, однако при помощи алгоритма Крускала
вы точно нарисуете один из них.
Минимальное перекрывающее дерево обладает множеством
свойств, которые нетрудно доказать. Например, составляющие его
отрезки пересекаются только в вершинах, и ни в одной из вершин
не должно сходиться более пяти отрезков.
«Задача об экономичном дереве», как её иногда называют, это не
то же самое, что знаменитая «задача о коммивояжере», решение
которой так и не найдено. Эта задача состоит в нахождении
кратчайшего замкнутого маршрута, который позволил бы коммивояжеру
посетить строго по одному разу все города и вернуться в исходный.
244
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Для большого количества городов существуют неплохие
компьютерные алгоритмы, позволяющие найти близкий к искомому
результат. Однако точного общего метода не существует — кроме,
конечно, утомительного перебора всех возможных маршрутов.
Если мы будем соединять города деревом, в котором могут
возникать новые дополнительные вершины, то кратчайшее из таких
деревьев будет называться «штайнеровым». К примеру, каким будет
кратчайший путь, соединяющий четыре города, расположенных в
углах квадрата? Пусть сторона квадрата равна 1 миле. Помните, что
кратчайшее перекрывающее дерево в данном случае может
содержать дополнительные точки. То есть оно не обязано быть
четырёхточечным. Если у вас получится найти такое дерево, можете
попробовать решить более сложную задачу: найдите минимальное штай-
нерово дерево для пяти углов правильного пятиугольника.
ОТВЕТЫ
На рисунке с семиточечными свободными деревьями повторяются
деревья под номерами 5 и 8.
Второй вариант расклада пасьянса не сойдется.
Соответствующая ему ломаная не будет представлять собой дерево. Во-первых,
она прерывается, а во-вторых, на ней имеется замкнутый участок.
На рис. 125 показаны минимальные штайнеровы деревья для
вершин квадрата и правильного пятиугольника. Отмеченные
точками углы равны 120°. Можно подумать, что «экономичное дерево»
Рис. 125.
Экономичные деревья для вершин квадрата и пятиугольника
Деревья 245
для вершин квадрата получится из его диагоналей (суммарная
длина которых равна 2 \/2 = 2,828). Однако представленная на рисунке
структура обладает общей длиной 1 + л/3 = 2,732.
Хьюго Стейнхаус в своем сборнике 100 Problems in Elementary
Mathematics («Сто задач элементарной математики») приводит
доказательство того, что данное дерево самое короткое. Минимальная
длина дерева внутри пятиугольника со стороной 1 равна 3,891.
Самое короткое штайнерово дерево, вписанное в
равносторонний треугольник, имеет четвертую вершину в центре фигуры.
Минимальные штайнеровы деревья для всех многоугольников с
шестью и более сторонами представляют собой просто периметр
фигуры без одной стороны. В общем виде задача поиска минимальных
штайнеровых сетей, соединяющих п точек на плоскости, а также
способ построения таких сетей при помощи мыльной пленки
рассмотрены в книге Ричарда Куранта и Герберта Роббинса What Is
Mathematics? («Что такое математика?») 1941 года выпуска.
ГЛАВА 18
Кости
Мы постарались как можно лучше просчитать все
шансы, а потом бросили кости,
Джимми Картер
о своем решении баллотироваться в президенты.
Цит. по New York Times, 10 июня 1976
В большинстве настольных игр элемент случайности вносится с
помощью разнообразных простых генераторов случайных чисел.
Самым известным из подобных приспособлений ещё со времён
Древнего Египта является «игральный кубик», или «кость».
Почему именно такая форма сохранилась на протяжении многих веков?
В качестве игральных костей использовались и другие пять
правильных многогранников, однако из всех них куб обладает
максимумом преимуществ. Его проще всего изготовить, число его граней
не слишком мало, но и не слишком велико, и он в меру просто
катается (однако не чрезмерно просто).
Тетраэдр всегда был наименее популярен в качестве такого
приспособления. Он с трудом может катиться, и у него слишком
маленькое число граней - четыре. Следующим по
распространенности после куба исторически был октаэдр. Такие кости найдены в
египетских гробницах и используются в некоторых играх в настоящее
время. Додекаэдр (с двенадцатью гранями) и икосаэдр (с
двадцатью) использовались преимущественно для предсказаний судьбы.
Во Франции в XVI веке именно с помощью додекаэдрической
кости часто предсказывали судьбу. А если разбить один из «магических»
хрустальных шаров, которыми пользовались гадалки тех времен и в
которых ответ на вопрос появлялся в окошечке сверху,
выплывающим из глубины, то можно увидеть, что эти ответы написаны на
гранях плавающего в жидкости икосаэдра.
Несколько лет назад Японская ассоциация стандартов нашла
практическое применение икосаэдрическим костям. Так как число
Кости
247
граней такой кости равно дважды по десять, то, пронумеровав все
грани два раза цифрами от 0 до 9, мы получим изящный инструмент
для генерирования случайных двузначных чисел для игрового
бизнеса, теории игр и так далее. Эти кости продаются в наборах по три
разного цвета (красного, синего и жёлтого), так что каждый бросок
дает сочетание трёх случайных цифр. Фотографии этих костей
помещены на обложке редкой монографии Биргера Янссона Random
Number Generation («Генерация случайных чисел»), изданной на
английском языке в Швеции в 1966 году.
Самые древние кубики, найденные в египетских гробницах,
имеют возраст около четырёх тысяч лет. Они разного размера,
изготовлены из разных материалов и по-разному маркированы. Однако
многие из них уже очень похожи на современные (в которых цифры
от 1 до 6 расположены на гранях кубика так, чтобы сумма цифр на
противоположных гранях равнялась семи). Если не устанавливать
такого ограничения, расположить цифры на гранях кубика можно
30 различными способами, считая и зеркальные отражения (но не
учитывая два возможных расположения на гранях двух, трёх и
шести точек, изображения которых лишены четырёхсторонней
симметрии). Если сумма цифр на противоположных гранях равна семи,
как во всех современных кубиках, то расположить их можно только
двумя способами, представляющими собой зеркальные
отображения друг друга.
Все кубики, производимые сегодня на Западе, ориентированы
одинаково: если держать кубик так, чтобы видеть грани с 1, 2 и 3
точками, цифры будут возрастать против часовой стрелки. В
Японии продаются кубики обеих ориентации (см. рис. 126).
Кубики, аналогичные западному типу, используются для всех
игр, кроме маджонга, где применяются кубики, «идущие наоборот»,
как говорила кэрролловская Алиса. Кубики обоих типов в Японии
бывают западного стиля (белые с черными точками) и
традиционные, у которых на грани с одной точкой она очень большая, глубо-
Рис. 126.
Японские кубики западного образца
(слева) и для игры в маджонг
(справа).
248 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
ко вдавленная и красная. У китайских и корейских кубиков также
имеется большая красная точка, и, кроме того, красные также и
точки «четвертой» стороны. В корейских и китайских играх эти
красные точки, кажется, не несут никакого смысла, кроме как в
определении права первого хода (который достается тому игроку, который
выбросит больше красных точек). Происхождение красных отметок
на кубиках неизвестно. Стюарт Кулин в изданной на средства
автора монографии Chinese Games with Dice («Китайские игры с костью»)
в 1889 году ссылается на какие-то древние китайские мифы,
которые якобы объясняют происхождение этой особенности. Однако
сам же считает, что она имеет индийское происхождение.
Современный профессионал игры в кости настолько привыкает
к определённой ориентации граней кубика (то есть к тому, как
расположены вокруг любого из углов грани с определенным числом
точек), что, если показать ему кубик, закрыв пальцами две
противоположные грани, он мгновенно может сказать, сколько точек на
каждой из них. Это умение помогает определить шулерские
кубики, которые несут на гранях только три цифры, так что они
одинаковы на противоположных гранях. Благодаря тому, что в любом
положении видны только три грани кубика одновременно, для всех
игроков такие обманные кости, лежащие на столе, выглядят
совершенно нормальными. Однако такой кубик невозможно сделать
таким образом, чтобы все тройки соседних граней давали
«правильный» порядок. Вы можете взять кубик сахара и нанести на него
любые три пары цифр, соответствующие цифрам на трёх соседних
гранях нормального кубика, так, чтобы одинаковые цифры были на
противоположных гранях. Теперь, рассмотрев кубик со всех восьми
углов, вы увидите, что у четырёх из них грани будут ориентированы
«в обратную сторону». Таким образом, при использовании такого
кубика в игре ровно в половине случаев он будет падать так, что
ориентация граней будет неправильной. В таком случае опытный
игрок сразу определит обман.
Мошенники обычно используют для надувательства кубики с
разными комбинациями и вбрасывают незаметно для других в игру
именно те кубики, которые больше подходят в данный момент.
Из-за большой вероятности раскрытия мошенничества такие
кубики нельзя надолго оставлять в игре. Поэтому человек,
подбрасывающий и убирающий их, должен действовать быстро и с большой
сноровкой. Авторитет в области азартных игр Джон Скарн пишет в
своей книге Scarne's Complete Guide to Gambling («Полное пособие по
Кости 249
азартным играм Скарна») 1961 года издания: «Жизнь искусного
мошенника в игре в кости обычно коротка; уж слишком велика
нагрузка для нервной системы».
Существуют и шулерские кости, на которых повторяется только
одна грань (как правило, с двумя или пятью точками). Их
используют по две или в паре с нормальной костью, чтобы везение
мошенника не так бросалось в глаза. Обнаружить их труднее, и иногда они
могут оставаться в игре долгое время. Настоящие мастера
мошенничества никогда не опустятся до использования совсем уж
откровенных методов обмана — например, костей с одними единицами и
двойками или таких пар, на которых всегда выпадает 7 или 11 (одна
кость с шестерками и двойками, другая — с одними пятерками). Как
свидетельствует Скарн, их можно использовать лишь при игре с
совсем неопытными партнерами и при ярком искусственном
освещении, когда игроки не видят ничего, кроме верхней грани кубика.
Нанесение на кости «неправильного» набора точек — лишь один
из методов мошенничества. Помимо этого может искажаться форма
костей, так, чтобы они падали чаще на одну из сторон. Это
достигается различными способами — выпуклостью некоторых граней, их
неравными размерами, разной обработкой поверхностей и т. д.
Иногда в кубики заделывают магнит, который реагирует на включение
скрытого под столом электромагнита. Лучший метод проверки для
обычных костей — многократное бросание их в воду, чтобы
убедиться, что сверху оказываются разные грани с примерно одинаковой
частотой. Если вам интересно узнать об этом во всех подробностях,
рекомендую вам книгу Джона Скарна и Клейтона Росона Scarne on
Dice («Скарн об игральных костях») 1968 года выпуска.
Игра в кости была очень популярна в Древней Греции и Риме,
особенно среди благородного сословия, а в Средние века с её
помощью убивали время и рыцари, и простолюдины. Существовали
даже школы по обучению игре в кости. Современный вариант игры,
который чаще всего можно увидеть в Соединенных Штатах сегодня,
возник примерно в начале 1890-х годов, когда негры из Нового
Орлеана и его окрестностей упростили правила сложной английской
игры в «хазард». (Кости и сейчас в шутку называют «африканским
домино».) После этого игра, точно так же, как джазовая музыка,
распространилась сначала вверх по Миссисипи, а потом и по всему
континенту. В крупных игорных домах её не признавали вплоть до
самого конца XIX столетия. Сегодня это самая динамичная из всех
игр в казино. Многие считают, что тот, кто кидает кости, имеет пя-
250 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
тидесятипроцентный шанс выиграть. Однако несложно доказать,
что на самом деле он несколько ниже. Если быть точным,
вероятность выигрыша составляет 244Д95> или 0,493.
Вычисляя вероятность выпадения комбинаций на костях, легко
запутаться. В десятой главе последней книги «Гаргантюа и
Пантагрюэля» Рабле искатели приключений попадают на остров Жуликов,
построенный из двух огромных костяных кубов. «Наш лоцман
рассказал нам, - говорит Пантагрюэль, - что эти две белоснежные
кубические скалы стали причиной большего количества
кораблекрушений, больших потерь людских жизней и имущества, чем... Сцилла
и Харибда». Игральные кости часто называют «чертовыми». У Рабле
остров Жуликов населен 21 демоном удачи, по одному для каждой
комбинации очков на костях - от самого крупного демона,
Двойной шестерки, до самого мелкого, Двойной единицы. Диаграмма на
рисунке 127 демонстрирует 6x6, или 36, вариантов падения костей.
Рассмотрев их, мы видим, что различных комбинаций — 21. С
помощью этой основной диаграммы легко подсчитать вероятность
выпадения любой суммы, от 2 до 12. Обратите внимание на то, что
7 можно получить шестью различными способами — больше, чем
любую другую сумму. Следовательно, вероятность выпадения 7
очков равна 6/зб. или Уб- Это наиболее часто выпадающая сумма
очков в игре.
Уильям Сароян в коротком рассказе «Два потерянных дня в
Канзас-Сити» описывает игрока в кости, пытающегося выбросить 4
очка, «одну из самых трудных комбинаций в мире». Диаграмма
подтверждает правоту писателя: труднее всего выбросить 2 и 12, но ни
одна из этих сумм не может быть «очком» в игре в кости.
Следующие по вероятности — 3 и 11, которые также не могут быть «очком».
Самые трудные из используемых комбинаций, таким образом, 4
(«Маленький Джо») и 10 («Большой Дик»). Каждая из них может
получиться тремя способами, так что вероятность их выпадения -
3/36, ИЛИ 7l2-
В подсчете вероятностей в игре в кости путались даже некоторые
маститые математики. Лейбниц считал, что 11 и 12 имеют
одинаковую вероятность выпадения, так как обе этих суммы получаются
лишь при одной комбинации значений на двух костях. Он не учел,
что 12 действительно получается лишь при одной комбинации,
тогда как 11 может быть составлено пятеркой на первом кубике и
шестеркой на втором или же шестеркой на первом и пятеркой на
втором. Значит, на самом деле вероятность получить 11 очков в два ра-
3 2
4 3
5 4
6 5
7 6
8 5
9 4
(!
■
•
•
•
•
к
•
•
• •
• •
■
из
•
•
•
• •
• •
• •
10 3
D
11 2
12 1
■
ft.
• •
• •
• •
• ♦
Рис. 127.
36равновероятных комбинаций двух костей
252
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
за выше, чем 12. В Греции и Риме предпочитали игру с тремя
костями, и Платон в 12-й книге своих «Законов» упоминает о том, что
самые трудные суммы при такой игре — это 3 и 18. Действительно,
только они могут быть выброшены единственным образом (1-1-1
и 6 — 6 — 6). При бросании трёх костей общее число комбинаций
составляет 6x6x6, или 216, так что вероятность выпадения 3 равна
!/2i6- То же самое относится и к 18.
Эти две труднейшие суммы были прекрасно известны и грекам,
и римлянам. Греки называли комбинацию из трёх шестерок
«Афродитой», а трёх единиц - «псом». В греческой и латинской
литературе встречается много упоминаний об этих комбинациях и других
реалиях игры в кости. Римский император Клавдий даже написал
книгу «Как выиграть в кости», но, к несчастью, она не сохранилась.
Вот три простых задачки с костями.
1. Фокусник, повернувшись спиной, просит кого-нибудь кинуть
три стандартные кости и сложить выпавшие значения на верхних
гранях. Затем зритель берет любую кость и добавляет к полученной
сумме очки на её нижней грани. Потом он вновь бросает одну эту
кость и прибавляет к общей сумме выпавшие очки. После этого
фокусник первый раз поворачивается и смотрит на кости. Хотя он не
знает, какую кость бросали дополнительно, он может определить
получившуюся в итоге сумму. Каким образом?
2. На рис. 128 изображена с трёх сторон одна и та же шулерская
кость. Сколько точек на грани, противоположной шестерке? Это
задача Аарона Дж. Фридлэнда из книги Puzzles in Math and Logic
(«Загадки математической логики»), 1970 год.
Рис. 128.
Сколько точек на грани, противоположной шестерке,
у этой шулерской кости ?
3. Как нужно промаркировать два кубика, нанеся на каждую из
граней любые цифры от 1 до 6 или оставив грань пустой, чтобы
при бросании их с равной вероятностью выпадала любая сумма от
1 до 12?
Кости 253
Использование кубика как рандомизирующего инструмента
сделало кости популярным литературным символом случайности.
Всем знакомо выражение «жребий брошен», приписываемое Юлию
Цезарю, якобы сказавшему эти слова, решив пересечь Рубикон. У
древних греков была пословица, гласившая, что «кости богов всегда
залиты свинцом» (то есть используются для нечестной игры).
Центральное положение квантовой механики гласит, что на квантовом
уровне все события подчиняются чистой случайности. Поэтому
Эйнштейн и говорил, что согласно квантовой механике «Вселенная —
это кости, в которые играет Бог». Порой на это возражают, что если
это и верно для квантовых процессов, то в человеческой истории
превалируют законы причинности. Однако простой мысленный
эксперимент способен это опровергнуть. Представьте себе
искусственный спутник, на котором размещена водородная бомба. Её
сброс запускается щелчком счетчика Гейгера, регистрирующего
радиационное излучение. Если момент этого щелчка, как событие
квантового уровня, есть результат чистой случайности, тогда эта
случайность обуславливает, какая часть Земли будет уничтожена.
Так, мы с легкостью совершаем прыжок из квантового микромира к
глобальному изменению человеческой истории, что способно
привести в ужас философов-детерминистов.
Идея Бога, играющего в кости человеческой историей, нашла
мрачно-юмористическое отражение в романе Роберта Кувера The
Universal Baseball Association, Inc., J. Henry Waugh, Prop. Дж. Генри Во,
чье имя является аллюзией на имя Бога-отца Иеговы, — одинокий
бухгалтер, живущий в квартирке над гастрономом. Чтобы скоротать
время, он придумывает воображаемый бейсбольный матч, ход
которого определяется различными комбинациями очков, выпадающих
на трёх игральных костях. (Причем вначале он пользуется костями
разных цветов, связывая разные события игры с каждой из 216
комбинаций, но затем, едва не ослепнув в попытках различить цвета при
каждом броске, отказывается от разноцветных кубиков и переходит к
56 комбинациям, возможным для трёх обычных костей.) За этим
занятием проходит не один месяц, и постепенно Во начинает
представлять игроков своей команды реальными людьми, которые в конце
концов начинают вести в его голове свою собственную жизнь,
становясь в каком-то роде более реальными и постоянными, чем сам Во.
Доходит до того, что они начинают сомневаться в существовании Во.
Вы можете вспомнить пьесу Пиранделло «Шесть героев в
поисках автора» или ранний роман Унамуно «Туман», в котором персо-
254
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
наж приходит к писателю, протестуя против своей гибели в конце
романа и напоминая ему, что, возможно, сам автор — не более чем
туманное, непостоянное сновидение какого-нибудь
непостижимого игрока в кости дьявола.
ОТВЕТЫ
Фокусник может назвать окончательную сумму, просто прибавив
семь к сумме трёх значений на верхних гранях костей. Эта сумма
представляет собой сумму трёх этих значений плюс сумму значений
на верхней и нижней стороне одной кости. Так как сумма значений
двух противоположных граней всегда равна семи, то это очевидно.
Этот фокус — упрощенный вариант фокуса, приведенного в
книге Клода Гаспара Баше, посвященной математическим
развлечениям и изданной в 1612 году. В варианте Баше нужно подбросить три
кости, сложить значения на их верхних гранях, затем выбрать две
кости, добавить к общей сумме сумму значений на их нижних
гранях, бросить их снова, прибавить к общей сумме сумму значений их
верхних граней, затем взять одну из этих костей, прибавить её
нижнюю грань, бросить кость и прибавить к общей сумме значение её
верхней грани. В этом случае окончательная сумма будет равна
сумме верхних граней трёх костей плюс 21.
Ответ на вторую задачу состоит в том, что на такой шулерской
кости, показанной с трёх сторон, напротив шестерки должна быть
двойка. На рис. 129 показано, как должна выглядеть такая кость,
если развернуть все её грани на плоскости.
Третья задача взята из книги Д. Бернарда 100 Brain-twisters («Сто
головоломок») — сборника оригинальных головоломок, вышедшего
в Англии в 1966 году. Если две кости могут упасть одним из 36
способов, а все суммы от 1 до 12 должны выпадать с равной вероятностью,
Рис. 129.
Ответ на задачу о кости
•
•
•
•
• • •
• •
• •
•
•
•
•
Кости 255
тогда каждая из этих сумм должна получаться тремя способами.
Единственный вариант получить тремя способами 12 очков — это
сделать на одной кости одну шестерку, а на другой - три.
Единственный вариант получения трёх единиц — одна единица на одной из
костей и три пустых стороны на другой. В таком случае задача может
иметь лишь одно решение: одна из костей должна быть стандартной,
а на другой должно быть три шестерки и три пустых стороны.
Этот метод применим для любого из пяти правильных
многогранников. Например, если мы возьмем две икосаэдрические кости,
то для того, чтобы на них с равной вероятностью выпадали любые
суммы от 1 до 40, одна из костей должна быть обычной (с гранями,
несущими от 1 до 20 очков), а на другой должны быть 10 граней с
двадцатками и 10 пустых.
ГЛАВА 1 9
Всё
Забавно, что онтологическая загадка на самом деле очень
проста. Её можно выразить всего лишь двумя словами: «Что
там?» И ответ будет ещё проще: «Всё».
Виллард Ван Орман Кин, «О том, что там».
В первой главе этой книги речь шла о ничто, о нём мне больше
нечего сказать, впрочем, как и о чем-нибудь, потому как все, что я
знаю о чем-то, уже изложено мной там же, где я говорил ни о чем.
Однако осталось ещё кое-что — а именно «всё».
Для начала отметим занятный факт. Кое-что в этом мире, а
именно мы с вами, устроены настолько сложно, что способны
интересоваться всем на свете. «Что есть человек по природе своей? -
спрашивает Паскаль. — Ничто в сравнении с бесконечностью, все в
сравнении с ничем, то есть нечто между ничем и всем».
В логике и теории множеств «вещи» отображаются кругами Вен-
на. На рис. 130 точки внутри окружности а соответствуют людям.
Точки внутри окружности b обозначают пернатых тварей.
Перекрывание этих кругов, или «пересечение множеств», здесь зачернено.
Это означает, что в нем нет членов. Это не что иное, как наш старый
знакомец — пустое множество.
Пока все ясно. А что можно сказать о точках вне этих двух
окружностей?
Очевидно, что они соответствуют объектам, не относящимся ни
к с, ни к 6, то есть не к людям и не к пернатым. Но насколько
протяженно это множество? Для прояснения этого вопроса Огастес де
Морган придумал выражение «Вселенная дискурса». Это весь
спектр объектов, о которых нам известно. Порой оно точно
определяется, порой приблизительно предполагается, порой остается
полностью неопределенным. В теории множеств оно определяется
точно через определение так называемого универсального множества,
Всё
257
Рис. 130.
Диаграмма Венна для положения «У человека нет перьев»
или, говоря проще, универсума (Вселенной). Это множество с
границами, совпадающими с границами вселенной дискурса. А они
могут быть любыми, какими мы пожелаем.
Рассматривая круги Венна а и Ь, мы, по всей видимости,
интересуемся лишь живыми существами. Если так, наш универсум будет
ограничен этим набором объектов. Однако допустим, что мы захотим
расширить его путем добавления третьего множества — всех
пишущих машинок, а круг b изменим на множество любых покрытых
перьями вещей. Как видно на рис. 131, все три области перекрывания
остаются пустыми. Это то же самое пустое множество, однако
границы нулевого множества также расширяются. «Ничто» всегда одно,
однако дырка в земле — совсем не то же самое, что дырка в сыре.
Дополняющим к множеству к будет множество всех элементов
универсального множества, не относящихся к к. Отсюда следует, что
универсум является дополнительным к пустому множеству.
До каких пределов мы можем расширить универсальное
множество, не потеряв способности рассуждать о нем? Это зависит от
наших задач. Если мы расширим универсальное множество с рисунка
130 до любых идей, множество пересечения больше не будет
пустым, так как мы можем представить себе человека с перьями.
Евклидовы теоремы и их доказательства будут иметь смысл, только
если ограничить Вселенную дискурса точками на евклидовой плоско-
9-10396
258
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
Рис. 131.
Диаграмма Венна для трёх множеств
сти или в трёхмерном пространстве. Если мы заключаем, что
двенадцать яиц можно поровну разделить только между одним, двумя,
тремя, четырьмя, шестью или двенадцатью людьми, значит, мы
рассуждаем об универсальном множестве, содержащем целые числа.
Джон Венн (изобретатель такой диаграммы) уподобил Вселенную
дискурса нашему полю зрения. Это все то, на что мы смотрим. Все,
что находится позади нас, мы не замечаем.
Однако мы способны расширить вселенную дискурса
невообразимо далеко. Мы способны включить в неё такие абстрактные
понятия, как число 2, «пи», комплексные числа, идеальные
геометрические фигуры и даже нечто такое, что мы не можем зрительно
представить — например гиперкуб или неевклидово пространство. Мы
Всё 259
можем говорить о таких универсумах, как «краснота» или
«трусость». Мы можем включать в универсум то, что было в прошлом,
то, что будет в будущем. Словом, вещи реальные и воображаемые —
во всех случаях мы будем способны рассуждать о них. У каждого
динозавра была мать. Если на следующей неделе в Чикаго будет
дождливо, старая водокачка намокнет. Если бы Шерлок Холмс
действительно свалился в Рейхенбахский водопад, он бы погиб.
Давайте расширим наш универсум до множества всех объектов,
которые можно описать без логических противоречий. Любое
утверждение, которое мы сделаем об этом универсуме, если оно не
будет противоречивым, окажется (в определённом смысле) правдой.
Противоречивые объекты и утверждения не должны существовать
или быть истинными по той простой причине, что противоречие
ведет к бессмысленности. Когда философы — например Лейбниц —
говорили о «всех возможных мирах», они имели в виду те миры, о
которых они могли говорить. Вы вполне можете рассуждать о мире,
где люди и пишущие машинки покрыты перьями. Но вы не можете
сказать ничего разумного о квадратном треугольнике или целом
нечетном числе, которое без остатка делится на два.
Возможно ли расширить Вселенную дискурса до бесконечности
и назвать её множеством всех возможных множеств? Нет, так как
это невозможно без прихода к противоречию. Георг Кантор доказал,
что кардинальное число любого множества (максимально
возможное число его элементов) всегда меньше, чем кардинальное число
множества всех его подмножеств. Для любого конечного множества
это очевидно (если в нем п элементов, то оно должно содержать 2п
подмножеств). Но Кантор смог показать, что это также применимо
и к бесконечному множеству. Однако если попытаться применить
эту теорему ко всему, то мы неизбежно погрязнем в непреодолимых
сложностях. Множество всех множеств должно иметь
бесконечность, или кардинальность, «максимальный алеф», в противном
случае оно уже не будет всем. С другой стороны, оно не может иметь
бесконечности максимального алефа, так как кардинальность его
подмножеств должна быть ещё выше.
Когда Бертран Рассел впервые столкнулся с доказательством
Кантора, что максимального алефа не существует и, следовательно,
не может существовать «множества всех множеств», он в это не
поверил. В 1901 году он писал, что Кантор «допустил одну
незначительную неточность, которую я надеюсь прояснить в одной из
будущих своих работ», и что существование максимального алефа «оче-
260 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
видно», так как «если взять все, то прибавлять будет уже нечего».
Когда эти заметки были переизданы в книге «Мистицизм и логика»
шестнадцать лет спустя, Рассел снабдил их примечанием, в котором
каялся в собственной ошибке. («Очевидно» - опасное слово для
использования в трудах обо всем.) Именно размышления Рассела об
этой ошибке привели его к открытию знаменитого парадокса о
множестве всех множеств, которые не являются членами самих себя.
Подводя итог, можно сказать, что, когда математик пытается
совершить последний переход от множества к бесконечности, он
обнаруживает, что это невозможно. Понятие «Всего» противоречит
само себе и, следовательно, не существует!
Однако то, что множество всех множеств не может быть
определено в стандартной теории множеств, носящей имя Зермело-Френ-
келя, никак не мешает философам и теологам рассуждать обо
«Всем», хотя они называют его по-разному: «сущее», «ens», «то,
что», «бытие», «абсолют», «господь», «реальность», «дао»,
«брахман», «дхарма-кайя» и так далее. В это понятие, естественно,
должно входить все то, что было, есть и будет, все, что можно вообразить,
и всё, что находится за пределами человеческого понимания. Ничто —
это тоже часть всего. Если расширить универсум до таких пределов,
то придумать что-либо бессмысленное (но не противоречивое), что
не может существовать хоть в каком-нибудь смысле, очень трудно.
Логик Рэймонд Смаллиан в одном из своих замечательных, но
неопубликованных сочинений пересказывает случай из книги Оскара
Менделя Chi Po and the Sorcerer («Чи По и Чародей»). Чародей Бу Фу
давал Чи По урок живописи. «Нет, нет! - воскликнул он как-то. -
Ты рисуешь только то, что есть. А секрет истинного мастерства в
том, чтобы нарисовать то, чего нет!» Удивленный Чи По спросил:
«А что такое — то, чего нет?»
Здесь как раз удобно спуститься с высот и заняться более
скромной Вселенной - Вселенной современной космологии. Эта наука в
её сегодняшнем виде берет начало с утверждения Эйнштейна о том,
что Вселенная замкнута, но неограниченна. Если в космосе
имеется достаточно массы, наше трёхмерное пространство
сворачивается, подобно поверхности сферы. (На самом деле оно становится
трёхмерной гиперповерхностью четырёхмерной гиперсферы.)
Сейчас мы знаем, что Вселенная расширяется из первичного огненного
шара, однако, по-видимому, в ней недостаточно массы для того,
чтобы она коллапсировала. Теория неизменного состояния
породила массу дискуссий и дала толчок многим важным научным иссле-
Всё 261
дованиям. Однако в настоящее время она опровергается такими
открытиями, как существование реликтового излучения (которое не
объясняется ничем, кроме как последствиями существования того
самого первичного огненного сгустка, или «Большого взрыва»).
Пока без ответа остается принципиальный вопрос: есть ли где-
нибудь во Вселенной (в чёрных дырах?) достаточное количество
«спрятанного» вещества, масса которого в конце концов остановит
расширение Вселенной и приведет к началу сжатия. Если это
произойдет, то это сжатие превратится в неизбежный коллапс, и
специалисты не видят, как предотвратить сворачивание Вселенной в
сингулярность на поверхности огромной чёрной дыры — того жуткого
места, где материя перестает существовать и перестают действовать
любые известные законы физики. (Замечательный «портрет»
чёрной дыры можно увидеть на рис. 2.) Исчезнет ли тогда Вселенная,
подобно той самой птице, которая летала задом наперед
сужающимися кругами, пока не исчезла в собственном гнезде? Попадает ли в
конечном итоге все, оказавшееся в чёрной дыре, через
какую-нибудь «белую дыру» в совсем другое пространство? Или же Вселенная
все-таки сможет избежать сингулярности и произойдет ещё один
Большой взрыв? Если такое возможно, значит, наша Вселенная
представляет собой своего рода «маятник», попеременно то
расширяется, то сжимается.
Среди физиков, занимающихся построением моделей
Вселенной, ближе всех ко всему подошел Джон Арчибальд Уилер из Прин-
стонского университета. В его безумном представлении наша
Вселенная - это одна из бесконечного множества других вселенных,
которые как будто находятся в некоем странном «месте»,
называемом «суперпространством».
Чтобы хотя бы смутно осознать, что подразумевает Уилер под
«суперпространством», можно начать с упрощенной вселенной,
состоящей из отрезка, на котором живут две частицы - черная и серая
(см. рис. 132, сверху). Отрезок имеет одно измерение, но частицы
могут двигаться по нему туда-сюда (мы позволим им проходить
сквозь друг друга), создавая двумерный космос: в нем будет одно
пространственное и одно временное измерение.
Историю жизни частиц можно изобразить по-разному.
Например, их можно нарисовать в виде двух волнистых линий (которые в
теории относительности называются мировыми линиями) на
двумерном пространственно-временном графике (см. рис. 132, внизу).
Где была черная частица в момент времени к? Найдем точку к на
—6—5—4—3—2—1 12 3 4 5 6
Рис. 132.
Пространственно-временной график существования космоса из двух частиц
от зарождения до гибели
Всё 263
временной оси, переместимся по горизонтали к мировой линии
чёрной частицы, а затем, спустившись вниз, определим её
пространственную координату на другой оси.
Если вы хотите своими глазами увидеть, как живописно может
быть отражена история нашей зачаточной вселенной с помощью
двух мировых линий, возьмите листок картона и прорежьте в нем
линию. Она должна быть равна по длине отрезку-«вселенной», а по
ширине — частице. Приложите картон к чертежу так, чтобы видеть
через прорезь вселенную. Медленно двигайте его вверх. Сквозь
прорезь вы увидите движущееся изображение двух частиц. Они
зарождаются в центре своего космоса и начинают свой танец, двигаясь
вверх и вниз, пока не достигают пределов, после чего опускаются
обратно к центру и исчезают в чёрной дыре.
В кинематике применяется сходный метод: изменения в системе
частиц отображаются на диаграмме как движение одной частицы в
пространстве более высокого порядка, которое называется
«конфигурационным». Как проделать то же самое с нашими двумя
частицами? Наше пространство конфигурации снова окажется двумерным,
но теперь обе координаты будут пространственными. Каждой из
частиц придадим свою координату (см. рис. 133). Положения частиц
можно представить точками, которые называются «ансамблем
конфигураций». По мере передвижения этих точек их координаты по
обеим осям меняются. Одна ось определяет положение чёрной
частицы, другая - серой. Траектория, пройденная движущейся точкой,
соответствует изменениям взаимного расположения частиц и
наоборот. История всей системы из двух частиц теперь определяется
единственной траекторией. Данная диаграмма не является
пространственно-временной (время добавляется потом, как
дополнительный параметр). Линия движения не может ветвиться, так как
это обозначало бы деление одной частицы на две.
Однако она может пересекать сама себя. Если система обладает
периодичностью, линия будет представлять собой замкнутую
кривую. Если мы хотим превратить эту диаграмму в пространственно-
временную, то должны добавить координату времени и наблюдать
за траекторией передвижения точки уже в трёх координатах.
Эта методика в общем виде применима к любой системе из N
частиц в пространстве любой мерности. Допустим, в нашем
маленьком прямолинейном космосе существует 100 частиц. У каждой из
них — по одной степени свободы, так что наш ансамбль
конфигураций будет состоять из 100-мерного пространства. Если наша вселен-
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК..
—6
Рис. 133.
Конфигурационное пространство истории двух частиц в одномерной вселенной
ная — система из 7V частиц на плоскости, то у каждой частицы
имеется 2 степени свободы, и конфигурационное пространство в таком
случае должно иметь 2N измерений. В трёхмерном космосе у
частицы три степени свободы, значит, измерений конфигурационного
пространства — 3N. В общем, гиперпространство имеет число
измерений, равное сумме степеней свободы всей системы. При
добавлении к диаграмме временной координаты она превращается в
пространственно-временной график.
К несчастью, положение точки в конфигурационном
пространстве в конкретный момент не позволяет нам узнать что-либо о прошлом
системы или предсказать её будущее. Работая в области молекулярной
термодинамики, Д. В. Гиббс обнаружил немного более сложное
пространство, в котором можно было изобразить систему молекул таким
Всё 265
образом, чтобы продемонстрировать детерминизм. Он добился этого,
описав каждую молекулу шестью координатами: три из них
определяли положение частицы, а ещё три — импульсы. Движение в так
называемом «фазовом пространстве» (по Гиббсу) с числом измерений,
равным 6 N, будет описывать историю жизни N частиц. Причем теперь
положение точки уже дает нам достаточно информации для того,
чтобы в принципе реконструировать полную историю системы, а также
предсказать её будущее. Так же как и в ранее описанном случае,
траектории не могут ветвиться, но на этот раз они не могут и пересекаться.
Самопересечение на траектории означало бы, что достичь
определённого состояния можно двумя путями, из двух других состояний, а
также перейти из него в два других состояния. Но обе эти возможности
исключаются положением, что позиция и совокупность импульсов
частицы (к которым относится и вектор движения) полностью
определяют каждое следующее её состояние. Однако кривая может быть
замкнутой — скажем, в случае периодичности движения.
Наша Вселенная, обладающая неевклидовым пространством-
временем и квантовыми неопределённостями, не может быть
отображена в таком простом виде, как фазовое пространство. Но Уилеру
удалось найти способ сделать это в суперпространстве. Точно так
же, как и пространство конфигурации, суперпространство не имеет
временной координаты, но обладает бесконечным числом
измерений. Единичная точка в суперпространстве обладает бесконечным
числом координат, которые полностью определяют структуру
нашего неевклидова трёхмерного пространства, его размеры,
расположение всех частиц и структуру всех полей (в том числе и кривизну
самого космоса) в каждой точке. По мере движения суперточки
меняющееся число её координат описывает изменение состояния нашей
Вселенной, учитывая и субъективность взгляда наблюдателя,
которая выражается через релятивистские и вероятностные параметры
квантовой механики. Таким образом, траектория движения
суперточки описывает всю историю нашей Вселенной!
Но когда на подмостках суперпространства разыгрывается
представление существования нашего космоса, бесчисленное
множество других суперточек, являющихся отображениями других
трёхмерных вселенных, проходят по своим путям. Близкие друг к
другу суперточки соответствуют близким по качествам вселенным
— тем самым «параллельным мирам», впервые появившимся в
научной фантастике благодаря перу Герберта Уэллса («Люди как
боги»). Такие параллельные вселенные, отрезанные друг от друга вви-
266 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
ду того, что они занимают различные слои суперпространства,
постоянно «выбрасываются» в пространство-время через
сингулярность, переживают свой расцвет и исчезают в той же
сингулярности, возвращаясь в абсолютную вневременную «прегеометрию», из
которой вышли.
При рождении такого космоса ряд случайных факторов
порождает особую комбинацию логически непротиворечивых (Лейбниц
называет их со-возможными) частиц, констант и законов. Для того
чтобы в такой структуре стало возможным возникновение живой
материи, она должна пройти крайне тонкую настройку. Если
изменить какую-нибудь из констант тонкой структуры вселенной хотя
бы на йоту, существование Солнца, подобного нашему, станет
невозможным. Почему же мы все-таки существуем? Благодаря такому
набору случайных факторов, который породил структуру космоса,
допускающую это. Бесконечное множество иных миров,
настроенных чуть иначе, рождаются и гибнут, не имея в своей структуре
никого, кто смог бы за этим наблюдать.
Эти «бессмысленные» вселенные (бессмысленные потому, что не
содержат в себе наблюдающих составляющих) существуют лишь в
условном смысле своей логической допустимости. Епископ Беркли
говорил, что существовать — значит быть воспринимаемым. Чарлз
Сандерс Пирс утверждал, что существование вообще понятие
относительное. Опираясь на мнение этих философов, Уилер пришел к
выводу, что вселенная существует в истинном смысле этого слова лишь
тогда, когда внутри неё развивается некое самосознание, где сама
вселенная и те, кто воспринимает её, существуют в неразрывной
связи друг с другом. «Ни райские кущи, ни земная юдоль не обретают
реальности без человеческого разума», говоря словами Беркли.
Насколько я понимаю, Уилер все же не пошел за Беркли до
конца — до утверждения о том, что материальный мир берет начало в
восприятии Бога. Согласно Беркли, бытие Божие доказывается тем
фактом, что дерево очевидно существует, даже когда на него никто
не смотрит. Представьте, что Господь провел множество
космических экспериментов, пока наконец не подобрал такую модель,
которая допускала бы существование жизни. А что стало с остальными
мирами? Не остались ли они где-то «там», где только верховное
божество может наблюдать за ними? Чтобы подтвердить их
существование, вовсе не требуется наличие таких нелепых созданий, как мы с
вами, в качестве наблюдающих и участвующих в процессе этого
существования.
Всё 267
Уилер, по всей видимости, упорно пытался отмежеваться от
такой точки зрения. Он утверждает, что квантовая механика требует
наличия внутри вселенной собственного наблюдающего субъекта,
вне зависимости от того, существует ли какой-нибудь наблюдатель
вне её или нет. По одной из его метафор — вселенная без
собственного наблюдателя все равно что мотор без электрического тока.
Космос начинает развиваться только тогда, когда в нем
«гарантировано появление и существование на протяжении какого-то
промежутка времени жизни, сознания и позиции наблюдения». Вселенная и
её внутренние наблюдатели не могут существовать друг без друга,
даже если существование наблюдателей является лишь
потенциально возможным событием. Это порождает необычный вопрос:
насколько прочно существование вселенной до момента появления
первых форм жизни? Существует ли она в полном смысле этого
слова с самого момента Большого взрыва или же её существование
обретает прочность лишь по мере появления и усложнения форм
живой материи? И насколько истинно существование какой-нибудь
значительно удаленной от Млечного пути галактики, в которой,
возможно, нет своих внутренних наблюдателей? Существует ли она
только в том случае, если становится объектом наблюдений из
другой галактики? Или же вселенная настолько чувствительна и
внутренне целостна, что для существования всех её объектов на
протяжении всего цикла её жизни достаточно кратчайшего акта
наблюдения, совершаемого в любой момент?
Уильям Джеймс является автором знаменитой сентенции о
тысяче бобов, брошенных на стол. Хотя они падают хаотично, мы можем
увидеть в их расположении геометрические структуры.
Существование, пишет Джеймс, может быть лишь порядком, который наше
сознание выделяет из бесструктурного моря случайностей. Это
кажется родственным взглядам Уилера. На самом деле нет ничего, кроме
процесса, для которого необходимо наше сознание. Мы - те, кто
мы есть не потому, что таков мир, а мир таков потому, что мы — те,
кто мы есть.
Когда теория относительности только появилась, многие ученые
и философы религиозной направленности утверждали, что новая
теория поддерживает такой взгляд. Джеймс Джине говорит, что
феномен природы «обусловлен не механической вселенной вне нас,
существующей от нас независимо, а нами самими и нашим
опытом». Артур Стенли Эддингтон пишет, что физический мир - «это
лишь абстракция, не обладающая никакой самостоятельной сущно-
268 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
стью вне связи с нашим сознанием». Большинство современных
физиков не согласятся с тем, что теория относительности
поддерживает это направление идеализма. Сам Эйнштейн горячо это
отрицал. То, что величины расстояния, времени и массы зависят от
точки взгляда наблюдателя, никоим образом не подрывает реальности
пространственно-временной структуры, существующей
независимо от любых наблюдений.
Не подрывает этой реальности и квантовая механика. Какое
отношение к независимому существованию космической структуры
имеет статистический характер квантовых законов, которые прило-
жимы к этой структуре в любой точке наблюдения? Если
наблюдение изменяет функции состояния системы частиц, это вовсе не
означает, что «там» на самом деле нет ничего, что может подвергаться
этим изменениям. Эйнштейн мог заметить в квантовой механике
предпосылки для подобной занятной редукции физики до
психологии — однако мало кто из сегодняшних физиков согласится с этим.
Как бы то ни было, вера в существование внешнего мира, не
зависящего от человеческого существования, однако познаваемого
нами лишь частично, это определённо наиболее приемлемая и
понятная точка зрения, которой придерживаются сегодня
большинство ученых и философов. Как я полагаю, отрицание этой парадигмы
не способно ничего добавить к ценности теистического или
пантеистического мировоззрения. А зачем лезть в дебри малопонятной
терминологии, если от этого нет никакой выгоды?
Однако мы не станем здесь обсуждать эти ставшие
традиционными вопросы. Лучше я расскажу вам о загадочной книжечке с
названием «Эврика: стихотворение в прозе», написанной Эдгаром
Алланом По незадолго до смерти. Эдгар По был убежден, что это
вершина его творчества. «То, о чем я пишу, — пишет он в письме к
ДРУГУ» — в должное время произведет революцию в мире Физики и
Метафизики. Я говорю об этом спокойно - но я говорю об этом».
В другом письме он пишет: «Теперь бессмысленно со мной спорить,
я умираю. У меня не осталось никакого желания жить после того,
как я написал "Эврику". Больше мне стремиться не к чему».
Эдгар По заказал своему издателю Джорджу Патнэму напечатать
произведение тиражом 50 000 экземпляров. Патнэм выплатил По
четырнадцать долларов аванса за его «памфлет» и... напечатал 500
экземпляров. Отзывы критиков были по преимуществу
неодобрительные. До сего дня эту книгу, кажется, лишь во Франции
воспринимают всерьез. Однако в свете современных космологических де-
Всё 269
батов в прозаической поэме Э. По нашему взгляду открывается
панорамная картина, по сути представляющая собой богословскую
версию космологии Уилера! Как указывает Бивер, «Я» в «Стране
грез» («Dreamland») Эдгара По превращается в саму Вселенную:
Дорогой темной, одинокой,
Где бродят демоны да бесы,
Пришел я в чудный край Видений,
Где справедливо правит Ночь
Я шел давно из диких мест,
Но сей страны достиг недавно
Вне пространства — вне времени
Вселенная началась, пишет Эдгар По, когда Господь создал
«первичную частицу» из ничего. Из неё во всех направлениях начала
«излучаться» материя в форме «невыразимо огромного, однако
конечного числа невообразимо, однако не бесконечно малых атомов».
По мере расширения Вселенной постепенно возрастало влияние
силы тяжести, и благодаря ей материя сформировала звезды и
планеты. Постепенно сила тяжести тормозит расширение Вселенной, и
она начинает сжиматься, пока не вернется снова в ничто.
Последний «шар шаров мгновенно исчезнет» (что бы сказал По, узнай он о
чёрных дырах?!), и Господь нашей Вселенной останется «всем во
всем».
В видении По каждая вселенная - предмет наблюдения своего
божества, которое смотрит на неё, подобно тому, как мы смотрели
на танец двух частиц в нашем одномерном мире. Но есть и другие
боги, которые наблюдают за другими вселенными. Они
«невероятно удалены» одна от другой. Между ними невозможна никакая
связь. В каждой из них, говорит По, имеется свой «новый и,
возможно, совершенно отличный от других ряд условий». Божества у
По свидетельствуют о том, что эти условия не являются продуктом
случайного распределения. Структура мира на самом тонком
уровне именно такова, потому что наш Господь этого пожелал. В
суперкосмосе По повторяющаяся череда рождений и смертей
бесконечного числа вселенных — это процесс, идущий «вечность и вечность;
новая Вселенная появляется и превращается в ничто с каждым
ударом Божественного Сердца».
Непонятно, что имел в виду По, говоря о «Божественном
Сердце» - Бога нашей Вселенной или божество высшего уровня, наблю-
270 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
дающего за всеми нижестоящими богами откуда-то из
суперкосмоса? Согласно индуизму, за Брамой-создателем стоит Брахман,
который настолько непостижим и чужд человеку, что все, что мы можем
сказать о нём, - это Neti neti («не то и не то»). А наблюдает ли за
Брахманом ещё один, «супер-супер-супер» наблюдатель? И можем
ли мы определить наивысший уровень суперпространства, на
котором обитает Последний наблюдатель, или же его существование
исключается противоречием в стандартной теории множеств,
касающимся максимального алефа?
Этот величайший вопрос задается в последней строфе Гимна
творения «Ригведы». Упоминающийся здесь «Он» — это безличный
Единый, стоящий надо всеми богами:
Знамо только божеству,
Что сверху взирает на всех.
Сотворен наш мир иль нет,
Но кто взирает на него,
Тогда не знает уж никто!
Кажется, здесь мы прикасаемся - а может, так и остаемся
бесконечно далеко — к краешку Всего. Последнее слово я предоставляю
К. С. Льюису: «Все — это предмет, о котором много не скажешь».
Постскриптум
1 И 2. НИЧТО И ЕЩЁ БОЛЬШЕ ШУМА ИЗ НИЧЕГО
Во время подготовки первого издания этой книги редактор
поинтересовалась у меня, нужно ли получать разрешение Музея
современного искусства для того, чтобы поместить в книге иллюстрацию с
репродукцией абсолютно чёрной картины Эда Рейнхардта (см. рис. 2).
Я заверил её, что в этом нет необходимости. Дальше, как я и
предполагал, на каком-то этапе выпуска мне все-таки задали вопрос об
отсутствующей иллюстрации под номером 3. Кстати, данное
изображение нуль-графа было воспроизведено (без выражения
признательности автору) в «Математическом словаре». (См. Dictionary of
Mathematics под редакцией Э. Дж. Воровски и Дж. М. Борвейна,
Лондон, 1989, рис. 257).
Размышляя над недавней вспышкой интереса к так называемому
«антропному принципу» (об этом см. главу 31 моей книги Whys and
Wherefores, изд-во Университета Чикаго, 1989), я вдруг понял, что
могу ответить на самый последний вопрос: почему существует
нечто, а не ничто? Да потому, что если бы здесь ничего не было, то не
было бы и нас, задающихся этим вопросом! Я полагаю, это вполне
ясно демонстрирует абсурдность антропного принципа. Не то
чтобы он в корне неверен, но он ничего не прибавляет к решению
любых философских или естественнонаучных проблем. Датский поэт
Пит Хейн в одном из своих груков выражает это так:
Величие нашей Вселенной
Для большинства несомненно.
Но если, не слишком мудрствуя,
Рассмотреть вопрос непредвзято,
Не заметить её отсутствия
Тоже было бы трудновато.
Л. Барнес, чиновник органов юстиции из Миссури, в своем
письме писал мне, что в большом теннисе английским словом «love»
^
#■
Рис. 134.
Скульптура Генри Мура «Ядерная энергия», установленная на территории
Чикагского университета на том месте, где Энрико Ферми в 1942 году провел
первую цепную реакцию. Искусно расположив в объеме конструкции пустые
места, Мур добился её сходства одновременно с ядерным «грибом», глазницами
черепа, человеческим эмбрионом и сводами храма.
Постскриптум 273
(любовь) обозначают нулевой счет. Это навело меня на мысль, идея
нуля может оказаться даже более интересна, чем думают. Он же
прислал мне четверостишие из местной газеты Сент-Льюиса Post-
Dispatch от 7 июля 1967 года:
Создав мир математики,
постигли
величие идеи
ни-о-чем.
Некоторых читателей заинтриговал эпиграф к первой главе. Это
третье предложение из статьи «Ничто», написанной Хитом для
«Философской энциклопедии». Как и Льюис Кэрролл во второй
книге об Алисе, Хит использует понятие «Никто» в качестве имени.
Вот как выглядит эта фраза в контексте всего абзаца:
НИЧТО — внушающая благоговение, однако совершенно
неудобоваримая идея, высоко ценимая писателями, имеющими склонность
к мистицизму или экзистенциализму. В то же время у большинства
прочих людей она вызывает чувство беспокойства, тошноту или
настоящую панику. Если вы спросите: а кто же знает, что с ним делать? — я
отвечу вам: Никто (ему положено). Однако и обычный человек, как
правило, без особого труда справляется с задачей говорить, видеть,
слышать или делать ничто. Для философов здесь все гораздо
сложнее. С тех самых пор, как Парменид заявил, что невозможно
говорить о том, чего нет (тем самым тут же вступив в противоречие с
самим собой), а после этого открыл для себя мир, в котором
происходит только ничто, возобладало впечатление, сохраняющееся и
поныне, что в данном вопросе слишком трудно выбрать верный путь
между смыслом и бессмыслицей. Поэтому практически всеми негласно
признается, что чем меньше об этом рассуждать, тем лучше.
4. КУРЬЕЗЫ ФАКТОРИАЛОВ
Может ли факториал, больший, чем 1!, быть квадратом какого-либо
числа? Может ли сумма первых т факториалов (за исключением
т = 1 и 3) быть квадратом? (Первым в ряду мы считаем 0!.) Простые
доказательства невозможности обоих положений можно найти в
заметках Дэвида Сильвермэна, приведенных в библиографии.
По горизонтали
1. «
6.
_ страшного!»
_ особенного.
15. Наряд леди Годи вы
16. Антоним чего-либо
17. - Как дела?
18. Nichts (нем.)
19. Nothing (англ.)
20. Ноль
21. Укон
23 не сказать.
24. Не нечто.
25. Naught (англ.)
26. Содержание «пустой» речи
29. Меон
30. «Сухая» ничья
31. NIGHT ON (англ., анаграмма)
32. Nil (англ., лат.)
33. не достичь
35. Rien (фр.)
36. Ответ на вопрос «Что делаешь?»
37. Яйцо петуха
41. не даётся так дешево и не
ценится так дорого, как вежливость.
43. Что может помнить человек, потерявший
память
44. Много шума из
45. Отсутствие чего-либо
46. Нулевое количество чего-либо
47. не выдумывайте!
48. Является ли священным?
49. Что есть в жизни американца
определённого, кроме смерти и уплаты налогов?
По вертикали:
Что более увлекательное, чем игры?
(12/3)-22
не вечно под луной
Спасибо за !
Содержимое пустого множества
0
Середина бублика
Всё или
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. Суммарный счёт игроков в игре с нулевой
суммой
1 1. Цена вещи, приобретенной даром
1 2. Текущий счёт банкрота
1 3. Nihil (лат.)
14. «... и , кроме правды».
20. Крайняя степень незначительности
22. zilch (амер., сленг)
25. «Мудрые не говорят в опасные
времена» (Джон Селден)
26. Содержимое вакуума
27. жество
28. Что может двигаться быстрее света
29. Niente (ит.)
31. п - п = п. Найти п.
33. Лучше, чем .
35. «Новое платье» короля
37. не произошло
38. У меня нет.
39. То, чего не существует
40. Не оставляйте врагу
42. Вот это:
45. Что нужно вписать в ячейки этого
кроссворда.
., заслуживающего внимания © 1979 PSC Games Limited Partnership
Рис. 135.
Этот кроссворд, составленный Уиллом Шортцем, был опубликован
в весеннем выпуске 1979 года журнала Games в качестве первоапрельской
шутки. Поскольку ответом на все вопросы кроссворда будет «ничего»,
верное решение — оставить все клетки пустыми.
Постскриптум 275
Дуглас Хофштадтер в своем письме интересуется основанием
такой любопытной последовательности: 0, 1,2, 720!,... Ответ: 0, 1!, 2!!,
3!!!,...
Густав Дж. Симмонс в заметке, также упомянутой в разделе
библиографии, предполагает, что 3!, 4!, 5! и 6! — единственные четыре
факториала, равные произведениям трёх последовательных цифр.
(Эти тройки -1x2x3, 2x3x4, 4х5х6и8х9х 10.) Насколько я
знаю, это предположение остается неподтвержденным.
Чарльз У. Тригг в своей статье задает следующую задачу.
Единственное нечетное п, факториал которого состоит из п цифр, - это 1.
Какое нечетное п имеет факториал, в котором 2л цифр?
Единственный ответ - 267.
Дин Хаффман видоизменил для своей рождественской открытки
дерево, изображенное на рис. 10 (для 105!), расставив последние 25
нулей в пять рядов по пять цифр, которые составили ствол дерева.
Джозеф Мадахи сообщил мне, что 450! называют факториалом
Шахерезады, так как в нем 1001 знак.
Я ранее упоминал о том, что неизвестно, конечно ли множество
простых чисел, равных факториалу плюс 1. Семнадцать из них
известны: это я = 1, 2, 3, И, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427,
872 и 1477. Последнее из соответствующих простых чисел, 1477! + 1,
содержит 4042 знака.
Также неизвестно, конечно ли множество простых чисел типа
«факториал минус 1», найдены 15 из них: для п = 3,4, 6, 7, 12, 14, 30,
32, 33, 38, 94, 166, 324, 379 и 469. Последнее из простых чисел
соответствующего ряда, 469! — 1, состоит из 1051 знака. За эти сведения
я благодарен Самуэлю Йетсу, одному из самых замечательнейших
американских энтузиастов-математиков нашего времени.
5. ВИШЕНКА И ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
Прорыв в деле решения задачи Лэнгфорда был достигнут двумя
японскими математиками из Технического колледжа Мияги. Така-
нои Хаясака и Садао Сайто использовали особый калькулятор,
чтобы найти четверки, составляющие лэнгфордовские
последовательности. Они нашли три таких последовательности, каждая длиной
4 х 24 = 96 знаков. Они доказали, что минимальное значение п
(числа четверок) равно 24. Три последовательности приведены в их
статье Langford Sequences: A Progress Report в Mathematical Gazette, вып.
276 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
63, декабрь 1979. В том же самом году они опубликовали результаты
компьютерного поиска для пятерок и шестерок (при п равном
соответственно 24 и 21). Решений найдено не было.
В 1980 году в колледже Льюиса — Кларка Джон Миллер завершил
компьютерный поиск по оригинальной задаче Лэнгфорда для пар
(дублетов), начиная с п = 15. Он сообщил, что нашел 39 809 640
цепочек, исключая последовательности в обратном порядке.
Впоследствии, изучая вариант Никерсона, он нашел 227 968 решений для
п = 12 и 1 520 280 решений для п = 13.
Когда я писал о том, что Юджин Левин нашел только одно
решение для троек при п = 9, я не знал о том, что Миллер произвел
утомительный компьютерный поиск, в результате которого получил
три решения для п = 9:
191618257269258476354938743
191218246279458634753968357
181915267285296475384639743
Ещё один подобный поиск Миллера дал пять решений для троек
при п = 10:
110 1617935863 10 7539684572 10 429824
110 1214297248 10 5647935863 10 753968
4 10 1714189347 10 3568397526 10 285296
81 10 1319638473 10 6495874625 10 29725
131 10 1349638457 10 6495827625 10 2987
Последняя статья, посвященная общей задаче, Exponential Lower
Bounds for the Numbers ofSkolem and Extremal Langford Sequences, Яро-
мира Абрама, появилась в Ars Combinatoria, вып. 22, 1986.
6. ДВОЙНЫЕ АКРОСТИХИ
Э. Росс Эклер в своей статье в журнале Word Ways в 1986 году
поместил отчет о своем открытии акростиха, появившегося раньше
процитированного в главе о Генри Дьюдени и датированного 1856
годом. В выпуске 1852 года Family Friend Эклер нашел две словесные
головоломки, которые явно представляют собой двойной и тройной
акростихи.
Постскриптум 277
7. ИГРАЛЬНЫЕ КАРТЫ
Рудольф Ондрейка подтвердил мое утверждение о том, что выиграть
связанное с покером пари с 25 выбранными случайно картами
действительно можно с большой вероятностью. Он перемешал колоду,
сдал себе 100 раз по 25 карт и обнаружил, что может сложить из них
покерные комбинации в 986 случаях. Он оценил возможность
выигрыша в 98-99%. Было бы любопытно составить компьютерную
программу, чтобы подсчитать точную вероятность.
8. АРИФМЕТИКА НА ПАЛЬЦАХ
Джеймс Альберт Линдон жил в английском городке Эддлстоуне, где
вместе с сестрой держал, по его собственному выражению, «убогий
магазинчик подарков». Он умер в 1979 году в возрасте 65 лет,
практически в нищете, слепоте и безвестности. Хотя мы никогда не
встречались, мне действительно не хватает его писем и тех нигде не
публиковавшихся стихов и головоломок, которые он присылал мне
в них. Его юмористические стихи можно было бы собрать у его
друзей и составить прекрасную книгу - только кто возьмется её
напечатать?
9.ЛЕНТЫ МЁБИУСА
Лоррэйн Лэрисон, профессор биологии из университета
Массачусетса, привлекла мое внимание к противоречию, о котором я
раньше не знал. Есть некоторые свидетельства о том, что Д. Б. Листинг,
один из пионеров топологии, изучал ленту Мёбиуса ещё за
несколько лет до того, как появилась статья Мёбиуса 1865 года, в ко-
278 1000 развивающих головоломок...
торой он излагал свои результаты изучения этой поверхности. Она
цитирует статью Invitation to Combinatorial Theory M. Фреше и К.
Фана 1967 года.
Канадское Министерство охраны окружающей среды в 1984
году сделало ленту Мёбиуса своим логотипом, символизирующим
вторичную переработку материалов. Как отмечено в их
пресс-релизе: «Опрошенные граждане и представители
перерабатывающей промышленности всецело подцержали выбор ленты Мёбиуса
в качестве канадского символа безотходных технологий».
Национальные предприятия, использующие в производстве своей
продукции вторичное сырье, стали помещать этот символ на её
упаковке. На логотипе лента разделена на три участка, как показано
ниже.
Номер патента, выданного Ли Де Форесту в 1925 году, был указан
неверно (я исключил его из текста). Об этом сообщили мне
несколько читателей, но я не смог восстановить источник, из
которого был взят этот номер, как не смог и найти верный. Я был бы рад
узнать его от кого-то из читателей. В 1986 году мне сказали, что IBM
выпускает принтеры, в которых используется лента в виде ленты
Мёбиуса, что в два раза увеличивает срок её службы.
11. ПОЛИГЕКСЫ И ПОЛИАБОЛО
По просьбам многих читателей на рис. 136 показаны 22 пентагекса.
Мне неизвестны подсчеты полигексов (исключая отражения, но
включая фигуры с отверстиями) порядка выше 12, как я уже говорил
в дополнении к главе. Так же неизвестны и какие-либо успехи в
нахождении формулы для их подсчета.
Эндрю Кларк изучал складывание полиаболо: всеми ли
фигурами порядка от 1 до 4 можно замостить плоскость. Кларк
обнаружил, что всеми, кроме четырёх пентаболо. В случае с гексаболо 19
исключений. Он также изучал трёхмерные аналоги этих фигур,
сложенные из пространственных фигур, состоящих из половинок
кубов. Такие половинки, полученные при разрезании кубов по
диагонали, складываются так, что по крайней мере одна грань каждого
фрагмента соединялась с гранью другого. Таким образом
достигается контакт поверхностей определённой площади. Три полукуба,
соединенные таким образом всеми возможными способами, дают 12
фигур, из которых можно составлять другие фигуры по тем же
правилам.
Постскриптум 279
12. СОВЕРШЕННЫЕ, ДРУЖЕСТВЕННЫЕ,
ОБЩИТЕЛЬНЫЕ
Предположение, что не существует нечетных совершенных чисел,
продолжает оставаться одной из самых известных неразрешенных
задач в теории чисел. Если бы это предположение оказалось
неразрешимым, его можно было бы считать верным. Почему? Будь оно
неверным, тогда должен был бы существовать опровергающий его
пример (то есть нечетное совершенное число), и, таким образом,
задачу можно было бы считать решенной.
Свойствам, которыми обладали бы нечетные совершенные
числа, если бы они существовали, посвящена обширная литература.
Ещё Евклид показал, что нечетное совершенное число должно
иметь форму к(р4т+]), где/? — это нечетное простое число, а к —
совершенный квадрат.
Однако не все числа, которые можно записать в такой форме
(например, 243), являются совершенными. В 1980 году было
показано, что нечетное совершенное число должно иметь по меньшей
мере 8 различных множителей.
Может ли нечетное совершенное число быть квадратом? Легко
доказать, что нет, поскольку, как мы уже говорили раньше, сумма
делителей совершенного числа равна 2л, то есть четному числу. Если само
число нечетное, то и все его делители нечетные. Если целое число
представляет собой квадрат, то у него нечетное число делителей: его
квадратный корень плюс пары делителей, меньших и больших, чем
квадратный корень. Отсюда, нечетное совершенное число,
являющееся квадратом, должно иметь нечетное число нечетных делителей.
Однако сумма нечетного числа нечетных чисел не может быть четной.
С момента выхода первого издания этой книги в 1977 году с
помощью компьютера было найдено ещё 7 простых мерсенновых
чисел. Так что таблица, приведенная на рис. 71, продляется до 31
совершенного числа. Новые совершенные числа показаны на рис. 137.
Любопытный и малоизвестный факт о совершенных числах — то,
что любое совершенное число (допустив, что нечетных
совершенных чисел не бывает) можно выразить в форме 6х + 28.у, гдехиу —
неотрицательные целые числа. Обратите внимание на то, что
коэффициенты здесь — это два первые совершенные числа. Например,
496 (третье совершенное число) равно (6 х 50) + (28 х 7). Простое
доказательство этого факта приведено в статье Sum of Perfect Numbers
Рейнальдо Джудиче в журнале Mathematical Magazine, 49, ноябрь
1976, с. 257.
а
Рис. 136.
22 пентагекса
Постскриптум 281
В последнее десятилетие наблюдался настоящий взрыв открытий
новых пар дружественных чисел и одновременно новых формул для
них. Один из наиболее активных исследователей в этой области - Эл-
вин Ли из Фарго, штат Северная Дакота. Он рассказал мне, что
единственное действительно значимое достижение в этой области —
теорема, представленная немецким математиком Вальтером Борхо в 1972
году в статье, посвященной формуле Табит ибн Курра. Ли первым
показал, как с помощью теоремы Борхо можно вывести неофаниченное
число новых формул. К 1989 году было известно более 55 000 пар
дружественных чисел. Самая большая, найденная Германом те Риелем,
содержит 282 знака. Ли рассказал мне, что в Германии найдена ещё
большая пара, каждое из чисел в которой содержит более 600 знаков, -
но детали мне неизвестны. Проведя утомительное исследование
чисел, меньших 10 000 000 000, те Риель нашел 1427 пар.
Многие из предположений за это время оказались доказанными
или опровергнутыми. Одно из самых интересных доказательств —
что сумма чисел, обратных всем дружественным числам, сходится,
то есть ряд имеет офаниченную сумму. Долгое время
предполагалось, что каждое нечетное дружественное число является кратным
3, но это предположение было опровергнуто. То же самое
произошло и с моим вторым предположением о том, что сумма каждой
четной дружественной пары равна 0 или 7 (по модулю 9). В 1984 году те
Риель нашел два примера, опровергающих это. Меньший из этих
двух примеров - пара 967 947 856 и 1 031 796 176. Сумма этих пар
равна 3 (по модулю 9).
В 1988 году двое математиков сообщили, что предположение о
том, что любое нечетное дружественное число является кратным 3,
также неверно. Авторы приводят 15 примеров, опровергающих это,
самый маленький из которых - пара д(140453)(85857199) и
я(56099)(214955207), где а = 54 х 73 х 113 х 132 х 172 х 19 х 612 х 97 х 307.
Возможно, существуют и меньшие примеры. Существуют ли
нечетные дружественные пары, в которых только одно число делится на
3, остается недоказанным.
Остаются нерешенными два важных вопроса, касающихся
дружественных чисел. Существует ли «толпа»? Конечно ли множество
дружественных пар?
Мерсенновы числа не следует путать с простыми числами
Ферма, которые имеют форму 2п + 1. Известно всего 5 таких
чисел (л = 2°, 21, 22, 23, 24), и неизвестно, конечно ли это множество.
Ферма предположил, что если такое число — простое, то п является
282 1000 развивающих головоломок...
степенью двойки. Его предположение о том, что числа,
записываемые в такой форме, обязательно будут простыми, если п - степень
двойки, опровергается при п = 32. В 1988 самым маленьким
непроверенным таким числом было (2 в степени 220) минус 1, но
доказано, что это не простое число.
25 221700(221701 — П 29 2110502(2110503 — П
26 223208(223209 — 1) 30 2132048(2132049 — 1)
2у 244496^44497 _ jx ^{ 2216090(2216091 — 1)
2g 286242(286243 — П
Рис. 137.
Совершенные числа, найденные с 1977 года. Числа в скобках — мерсенновы
простые числа. 29-е мерсенново число, найденное в 1988 году, оказалось
меньшим, чем следующие два, найденные раньше. Другие мерсенновы числа и
соответствующие им совершенные, возможно, ещё попадут между известными.
13. ПОЛИОМИНО И СПРЯМЛЕНИЕ
Нерешенные задачи на спрямление, упомянутые в главе,
относящиеся к гексамино и гептамино, изображенным на рис. 81 справа,
были разрешены в 1987 году Карлом Дальке, кибернетиком из AT&T
Bell Laboratories в Нейпервилле, штат Иллинойс.
Первым делом Дальке попробовал доказать, что оба спрямления
невозможны. Ему это не удалось, и тогда он предпринял
систематический компьютерный поиск наименьшего прямоугольника,
который, возможно, может быть составлен из повторений каждой
фигуры. О его успехе сообщил Иварс Петерсон в Science News, вып. 132
от 14 ноября 1987, с. 132.
Соломон Голомб также работал над обеими этими задачами. Он
обнаружил, что каждая фигура может при бесконечном повторении
складываться в бесконечную полу-ленту (тянущуюся бесконечно в
одном направлении). Он также обнаружил, что любая из этих фигур
при повторении может сложиться в прямоугольник с отверстием,
равным единичной фигуре-части. «Я был удивлен, — сообщил он
изданию Science News, когда ему сообщили о решении, найденном
Дальке. — Множество умнейших людей работали над этим. Это при-
мечательнейшее достижение».
На самом деле честь первооткрывателя способа спрямления
гептамино должна принадлежать новозеландцу Карлу Шереру. Он по-
Постскриптум 283
ставил такую задачу в Journal of Recreational Mathematics, вып. 14,
№ 1, 1981/82 год, с. 64. Шерер нашел способ спрямления гептами-
но в прямоугольник размером 16 х 42 — больший, чем
прямоугольник Дальке, размеры которого составляли 21 х 26. Так как никто из
читателей не смог решить заданной Шерером задачи, публикация
его открытия состоялась значительно позже. См. вып. 21, № 3
упомянутого журнала за 1989 год.
Дальке поместил две коротких заметки в Journal of Combinatorial
Theory, серия А, май 1989. Первая носила название The Y-Hexomino Has
Order 92 (с. 125—126), и в ней автор утверждал, что наименьший
прямоугольник, который может быть выложен гексамино, имеет размеры
23 х 24. Он состоит из 92 отдельных гексамино - это самое большое
число для составления минимальной по размерам фигуры из любых
гексамино. Другая статья, A Heptomino of Order 76 (с. 127-128),
сообщала о том, что прямоугольник размером 19 х 28 — наименьшее решение
для гептамино. Он состоит из 76 повторений, что на 2 меньше, чем в
решении, которое Дальке нашел раньше и которое было опубликовано
в Science News. Два наименьших прямоугольника показаны на рис. 138.
В статье Polyminoes Which Tile Rectangles в Journal of Combinatorial
Theory, серия А (май 1989), Соломон Голомб сообщает о некоторых
результатах по поводу того, что я буду называть порядком
спрямления (ПС) полиомино. ПС — это наименьшее число реплик, которое
составляет прямоугольник. Если само полиомино является
прямоугольником (и только в этом случае), его ПС составляет 1. (Для
полиомино, из которого нельзя составить прямоугольник, ПС не
определяется.) Голомб описывает условия, при которых полиомино
имеет ПС 2 и 4, и показывает, что существует неограниченное
число полиомино с ПС 2, а также с любым ПС, кратным 4.
Голомб перечисляет множество пока не разрешенных задач.
Например, известно только по одному примеру полиомино с ПС 10 и
18. Существуют ли полиомино со всеми четными ПС? Главный
нерешенный вопрос — есть ли такие полиомино, кроме полиомино с
ПС 1, которые имели бы нечетный ПС? Существование полиомино
с небольшими нечетными ПС, например 3 или 5, «представляется
маловероятным». При этом Голомб не находит причин, по которым
не могут существовать полиомино с большим нечетным ПС.
Эдвард де Боно изобрел и запатентовал простую, но очень
изящную игру для двоих, в которую играют на поле 4 х 4 с двумя L-тетра-
мино и двумя мономино (одиночными квадратами). Правила игры
изложены в книге The Five-Day Course of Thinking издательства Pelican.
Рис. 138.
Решения сложной задачи на спрямление, предложенные Карлом Дальке.
Сверху — 92 повторения гексамино, формирующие прямоугольник размером
23x24, полученный в 1987 году. Внизу — 76 повторений гептамино,
составляющие прямоугольник 19 х 28 (1988 год).
Постскриптум 285
Об этой игре де Боно пишет также в британском ежемесячнике Games
and Puzzles (ноябрь 1974). Эта игра получила название «L-game», она
описана также в книге Brain Games Дэвида Притчарда 1982 года
издания и проанализирована в первом выпуске Winning Ways 1982 года Эл-
вином Берлекампом, Джоном Конвеем и Ричардом Гаем.
Карл Шерер в статье L-Play is a Draw в Journal of Recreational
Mathematics, вып. 12, № 1,1979-80, доказывает, что при условии, что
оба игрока используют рациональную тактику, игра всегда сводится
вничью. Эта игра продавалась в США фирмой JABO, Inc., а в
Англии - Just Games.
15. ДРАКОНОВА КРИВАЯ И ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
С тех пор, как я впервые написал о драконовой кривой, термин
«фрактал», предложенный Бенуа Мандельбротом, стал
общеупотребительным, а драконова кривая, конечно же, фрактал. Труды,
посвященные фракталам, в том числе классическая работа Fractal
Geometry of Nature Мандельброта, появляются настолько
стремительно, что я даже не буду пытаться перечислить их здесь.
Выборочная библиография по этой теме приведена в конце главы 3
«Фракталы Мандельброта» в моей книге Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers 1989
года издания. Если хотите почитать о замечательном обобщении
драконовой кривой до трёхмерной структуры, отсылаю вас к статье
Wire Bending Мишеля Мендеса Франса и Дж. О. Шаллита, Journal of
Combinatorial Theory, серия А, вып. 50, январь 1989, с. 1-23.
Заметка в Scientific American, посвященная «серым кодам»,
процитированная в ответе на задачу 5, полностью перепечатана в моей
книге Knotted Doughnuts and Other Mathematical Entertainments 1986
года издания.
16. ЦВЕТНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ И КУБИКИ
Корреспондент из Токио в 1974 году сообщил мне, что диофантово
уравнение, приведенное мною в этой главе, изучал профессор Уши-
яма (к сожалению, его полное имя мне неизвестно). Он показал, что
существует по крайней мере два решения для т больше 24.
Я уже упоминал о том, что писал о наборе из 30 цветных кубиков
Макмахона в книге New Mathematical Diversions from Scientific
286 1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК...
American. Я ещё раз вернулся в этой теме в своем разделе в журнале
в сентябре 1978 года, и эта заметка пока не вошла ни в одну из книг.
Там приводятся несколько элегантных новых решений, найденных
Джоном Конвеем.
17. ДЕРЕВЬЯ
Айзек Азимов, получивший в свое время степень доктора
биохимии, написал мне, что деревья, воспроизведенные на рис. 119,
соответствуют изомерам углеводородов. (Изомеры — это вещества с
одинаковым числом атомов составляющих их элементов, но
расположенных по-разному.) Те деревья, в которых ни одна из точек не
может быть соединена более чем с четырьмя другими, подобны
открытым углеродным цепочкам. Уникальное двухточечное дерево
соответствует этану, трёхточечное — пропану. Два четырёхточечных
дерева — это бутан и изобутан. Три пятиточечных дерева подобны трем
изомерам пентана: пентану, изопентану и неопентану. Первые пять
шеститочечных деревьев - это изомеры гексана: обычный гексан,
2-метилпентан, 3-метилпентан, 2,3-диметилбутан и 2,2-диметилбу-
тан. Так как в шестом дереве одна из точек соединена с пятью
другими, ему не соответствует ни один из углеводородов.
Молекулы углеводородов могут образовывать замкнутые цепи,
«чтобы ещё больше усложнить дело», как пишет Азимов, «и
порадовать математика на досуге». Азимов интересуется, не теория ли
графов позволила химикам предсказать, что молекула, состоящая из
сорока атомов углерода и восьмидесяти двух атомов водорода,
имеет ровно 62 491 178 805 831 изомер?
18. КОСТИ
Больше любопытных фактов о костях вы можете найти в главе 5,
посвященной нетранзитивной игре в кости, моей книги Wheels,
Life, and Other Mathematical Diversions5, а также в главе 19 о зихер-
мановых костях в книге Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers 1989 года
издания.
' Гарднер М. Крестики-нолики / Пер. с англ. И. Е. Зино. - М.: Мир. - 1988.
Постскриптум 287
19. ВСЁ
Из главы, посвященной всему, вам должно быть понятно, что я —
нераскаявшийся платонист вот в каком смысле. Я верю, что и
материальный мир, и абстрактный мир чистой математики существуют
вне зависимости от существования человека. Если читателя
интересует обоснование этого весьма широко распространенного мнения,
которого придерживается подавляющее большинство человечества,
за исключением ограниченной кучки мыслителей, не способных
расстаться с идеей о том, что именно человек является мерой
абсолютно всех вещей, он может обратиться к моей книге Whys of a
Philosophical Scrivener, часть 1, глава 5; к моему же сочинению Order
and Surprise, часть 2, глава 34, или же к моему комментарию в
American Journal of Physics, апрель 1989, с. 203.
Научно-популярное издание
Мартин Гарднер
1000 РАЗВИВАЮЩИХ ГОЛОВОЛОМОК, МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ЗАГАДОК И РЕБУСОВ ДЛЯ ДЕТЕЙ И ВЗРОСЛЫХ
Перевод с английского М. Л. Кульневой
Зав. редакцией Е. М. Иванова
Редактор П. М. Волцит
Художественный редактор И. В. Шибалкина
Технический редактор Г. А. Этманова
Компьютерная верстка Е. М. Илюшиной
ООО «Издательство ACT»
141100, РФ, Московская обл., г. Щёлково, ул. Заречная, д. 96
ООО «Издательство Астрель»
129085, г. Москва, пр-д Ольминского, д. За
Вся информация о книгах и авторах Издательской группы «ACT» на сайте
www.ast.ru
По вопросам оптовой покупки книг Издательской группы «ACT»
обращаться по адресу:
г. Москва, Звездный бульвар, д. 21 (7 этаж)
Тел.: 615-01-01, 232-17-16
Заказ книг по почте:
123022, Москва, а/я 71, «Книга - почтой», или на сайте: shop.avanta.ru
ОАО «Владимирская книжная типография»
600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7.
Качество печати соответствует качеству предоставленных диапозитивов
1000 развивающих головоломок,
математических загадок и ребусов
для детей и взрослых
Очень рекомендую, но будьте осторожны: математические
головоломки вызывают привыкание.
Дэвид Джонс,
«Нью Сайентист»
Первая книга Мартина Гарднера была опубликована в 1935 г.
С тех пор и по сей день он очаровывает, озадачивает и
развлекает бесчисленное множество читателей во всем мире. М.
Гарднер - лауреат многих престижных наград и званий, автор более
40 книг, в том числе художественных и философских. Другие
книги головоломок Мартина Гарднера- «Калейдоскоп
головоломок», «Лучшие математические игры и головоломки», «Новые
математические развлечения» теперь также доступны в русском
переводе.
Математическое шоу начинается с главы о Ничто и
заканчивается главой обо Всем. Между ними вы посетите почти все области
развлекательной математики: теорию игр, факториалы,
логические головоломки, карточные игры и фокусы, счет на пальцах,
ленты Мебиуса, полиомино, совершенные числа, прогулки
шахматного коня, топологические деревья и игру в кости. У М. Гарднера
всегда найдутся в запасе свежие факты и идеи, делающие
необыкновенно интересными даже давно исхоженные области.
Например, от путешествий шахматного коня он переходит к повару
(фигуре, которая ходит на три клетки вперед и одну в сторону),
затем верблюду, змею и жирафу. В главе об игре в кости вы
найдете очень «полезные» советы, как шулерничать и не быть
пойманным.
Харви Меллар,
«Тайме Литерари Сапплмент»
www.elkniga.ru