COURS DE LA FACULTE DES SCIENCES DE PARIS
COURS
D'ANALYSE MATHEMATIQUE
PAR
EDOUARD GOURSAT
Membre de L'Institut
Piofesseur a la Faculte
des Sciences de Paris
CINQUIEME EDITION
TOME II
THEORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES
EQUATIONS DIFFERENTIELLES
EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES
DU PREMIER ORDRE
GAUTHIER — VILLARS
PARIS

э. г у р е а
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ТОМ ВТОРОЙ
ЧАСТЬ II
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО
проф. А. И. НЕКРАСОВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Б. К. МЛОДЗЕЕВСКОГО
ВНОВЬ ПРОСМОТРЕН И ПЕРЕРАБОТАН
ПО ПЯТОМУ ФРАНЦУЗСКОМУ ИЗДАНИЮ
проф. В. В. СТЕПАНОВЫМ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА 1933 ЛЕНИНГРАД

TT 11-5-2.
Редакционную работу по этой книге провел И. И. Бронштейн. Издание оформила
О. Н. Персиянинова. Корректуру держал С. Ф. Морошкан. Наблюдал за выпуском
Е. М. Богданов.
Рукопись сдана в производство 4/V 1932 г Листы подписаны к печати S/XI1 1932 г.
Книга вышла в. свет в декабре 1932 г. в количестве 5 000 экземпляров на бумаге формата 62 Х**.
Печати, знаков в листе 67 000, листов в книге 18. Заказ .№ 1436. ГТТИ 429. Уполномоченный
Главлнта № В-39552,
1-я типография Огиза РСФСР .Образцовая". Москва, Вал >вая, 2Ь.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Глава XVIII.
Стр.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИПТ„. ЖИРОВАНИЯ.
I. Получение диференциальных уравнений 9
362. Исключение постоянных 9
П. Уравнения первого порядка 12
363. Разделение переменных ' 12
364. Однородное уравнение 13
365. Линейные уравнения 15
366. Уравнение Бернулли 17
367. Уравнение Якоби 17
368. Уравнение Риккати 18
369. Уравнения, не разрешенные относительно у' 20
370. Уравнение Лагранжа « 22
371. Уравнение Клеро 23
372. Интегрирование уравнений F(x, У) = 0, F(y, у) = 0 24
373. Интегрирующий множитель 25
374. Приложение к конформному отображению 28
375. Уравнение Эйлера 29
376. Метод, основанный на теореме Абеля 33
377. Теоремы Дарбу 34
378. Приложения 37
III. Уравнения высших порядков 39
379. Интегрирование уравнений -j-=-=f(x) 39
380. Различные случаи понижения порядка 42
381. Приложения 45
Упражнения 47
Глава XIX.
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ-
1. Исчисление пределов 51
382. Общие положения 51
383. Существование интегралов системы диференциальных уравнений . 51
384. Системы линейных уравнений 55
385. Уравнения в полных диференциалах 56
386. Применение исчисления пределов к уравнениям в частных произ-
производных 58
387. Общий интеграл системы диференциальных уравнений 63
И. Метод последовательных приближений. Метод Коши-Липшица 67
388. Последовательные приближения ." 67
389. Случай линейных уравнений 70

Стр.
390. Распространение на аналитические функции 71
391. Метод Коши-Липшица • . . 73
392. Разложение т в ряд полиномов 79
III. Первые интегралы. Множитель 81
393. Первые интегралы • 81
394 Множитель 87
395. Интегральные инварианты . • . . 89
IV. Бесконечно малые преобразования 92
396. Группы с одним параметром 92
397. Приложение к диференциальным уравнениям 95
398. Бесконечно малые преобразования 97
Упражнения 103
Глава XX.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
I. Общие свойства. Фундаментальные системы • ... 105
399. Особые точки линейного диференциального уравнения 105
400. Фундаментальные системы 107
401. Неоднородное линейное уравнение 111
402. Понижение порядка линейного уравнения 114
403. Аналогии с алгебраическими уравнениями 118
401. Сопряженное уравнение 119
II. Некоторые частные виды линейных уравнений 121
405. Уравнения с постоянными коэфициентами 121
406. Метод Даламбера 126
407. Линейные уравнения Эйлера .... • 128
408. Уравнение Лапласа 129
III. Правильные интегралы. Уравнения с периодическими коэфициентами . . 133
40Э. Подстановка интегралов вокруг критической точки 133
410. Исследование общего случая 135
411. Аналитический вид интегралов 136
412. Теорема Фукса • ... • . . . 138
413. Уравнение Гаусса • 143
414. Уравнение Бесселя 145
415. Уравнения Пикара 147
416. Уравнения с периодическими коэфициентами ••.-¦• • 150
417. Характеристические показатели 152
IV. Системы линейных уравнений 154
418. Общие свойства 154
419. Сопряженные системы 158
420. Линейные системы с постоянными коэфициентами 159
421. Приведение к каноническому виду 163
422. Уравнение Якоби ;• . . 164
4?3. Системы с периодическими коэфициентами 165
424. Приводимые системы 166
Упражнения 168
Глава XXI.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
I. Особые начальные значения 172
425. Случай, когда первая производная обращается в бесконечность . 172
426—427. Случай, когда значение первой производной неопределенно . 173

Стр.
11. Исследование функций, определяемых некоторыми уравнениями первого
порядка 180
428. Особые точки интегралов 180
429. Функции, определяемые диференциальным уравнением у' = R (х,у) 181
'430. Однозначные интегралы уравнения у'm= R(y) 186
431. Вывод эллиптических функций из уравнения Эйлера 192
432. Уравнения ьысших порядков 194
ill. Особые интегралы 196
433. Особый интеграл уравнения первого порядка 196
434. Примеры; различные замечания 196
435. Геометрическое истолкование 202
436. Особые интегралы системы диференциал^ных уравнений .... 204
Упражнения • 206
Глава XXII.
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
1. Линейные уравнения первого порядка • . 212
437. Общий способ 212
438. Геометрическое истолкование 216
439. Характеристические конгруэнции 219
г 1. Уравнения в полных диференциалах 222
440. Исследование уравнения dz = A dx + В dy 222
441. Метод Майера 226
442. Исследование уравнения Pdx-\- Q dy + R dz = 0 227
443. Скобки (и, v) и [a, v] 231
ill. Уравнения первого порядка с тремя переменными . . . 233
444. Полные интегралы 233
445. Метод Лагранжа и Шарпи 237
446. Задача Коши 242
447. Характеристики. Метод Коши 245
418. Вывод характеристик из полного интеграла 254
44Э. Распространение метода Коши на случай многих переменных . . 256
IV. Совместные уравнения 259
450. Однородные линейные системы 259
451. Полные системы 262
452. Обобщение теории полных интегралов 266
453. Системы в' инволюции 267
454. Метод Якоби 271
V. Общее понятие об уравнениях высших порядков 272
455. Исключение произвольных функций 272
456. Общая теорема существования 276
Упражнения 28U
Указатель • 284

ГЛАВА XVIII.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ.
I. ПОЛУЧЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
362. Исключение постоянных. Рассмотрим семейство плоских кривых,,
представляемое уравнением
F(x, у, c,,ct, ... , са) = 0, A)
зависящим от п произвольных постоянных. Дадим этим постоянным опре-
определенные, но произвольные, значения; последовательные производные от
функции у переменного х, определяемой предыдущим уравнением, удо-
удовлетворяют соотношениям:
Останавливаясь на соотношении, определяющем производную п-го-
порядка, мы получим всего «-f-1 соотношений между х, у, у', у", ...
• • •, _у("> и постоянными с,, с2, ..., сп. Исключая эти постоянные, мы при-
придем, вообще, только к одному соотношению между х, у, у', ..., у'"):
ф(*,лУ, /, ...,/л)) = о. C)
Из самого происхождения этого уравнения очевидно, что всякая-
функция, определяемая соотношением A), удовлетворяет уравнению C),
каковы бы ни были значения, даваемые постоянным ct. Соотношение A)
называется частным интегралом диференциального уравнения C). Сово-
Совокупность этих частных интегралов называется общим интегралом того
же уравнения*. Пользуясь геометрическими терминами, что часто бывает
удобно, мы будем также говорить, что всякая кривая, представляема»
уравнением A), есть интегральная кривая уравнения C), или уравне-
* Часто общим интегралом, диференциального уравнения C) называют соотношение A), где
ct, с2, ..., сп имеют постоянные, но произвольные, значения. Давая этим постоянным определен-
определенные частные значения, мы получим частный интеграл.
(Ред.)

10 ГЛАВА XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 362
•ние C) есть диференциальное уравнение семейства рассматриваемых кри-
кривых. Мы видим, что порядок диференциального уравнения равен числу
«произвольных постоянных, от которых зависит это семейство кривых.
Ясно, впрочем, что из предыдущего рассуждения никак не следует, что
уравнение C) не имеет других интегралов кроме представляемых урав-
-нением A); и действительно, как мы увидим несколько ниже, оно
может иметь и другие интегралы.
Все предыдущее неприменимо к исключительным случаям, когда, исключая п
параметров с,- из п +1 соотношений A) и B), мы придем к нескольким различ-
различным соотношениям между х, у, у, у", . . ., У"'. Тогда можно было бы составить
из них одно соотношение, не содержащее У"), так что рассматриваемое семей-
семейство кривых состояло бы из интегральных кривых диференциального уравнения,
порядок которого ниже числа п. Это будет иметь место, если кривые зависят
•на самом деле только от и — р параметров (р > 0); например, кривые, предста-
представляемые уравнением F\x, у, <р (а, &)] = 0, только повидимому зависят от двух
произвольных параметров а и Ь: на самом деле они зависят только от одного
переменного параметра с = <р (а, Ь). Но понижение порядка диференциального
уравнения может произойти также в другом случае; например, кривые, предста-
представляемые уравнением у2 = 2аху + Ьх2, действительно зависят от двух различных
лараметров а и Ь, однако, эти кривые всегда удовлетворяют уравнению у = ху'.
Причина этого лежит в том, что эти кривые распадаются на две прямых,
проходящих через начало координат, каждая из которых есть интеграл уравне-
уравнения у = ху'.
Примеры. Прямые, проходящие через данную точку (а1, Ь), представляются
уравнением
у — Ь = С{х—а) D)
« зависят от произвольного параметра С. Исключая этот параметр из предыду-
предыдущего соотношения и соотношения у'^=С, мы непо редственно придем к дифе-
ренциальному уравнению этой системы прямых:
у—Ь=у'(х — а). E)
Обратно, уравнение E) -мзжно представить в виде:
У ^ 1 .
у — Ь х — а'
•следовательно, всякий интеграл этого уравнения удовлетворяет соотношению
Log (y — b) = Log (x — а) + Log С,
равносильному уравнению D).
Совокупность прямых у = С{х -\- С2, лежащих на плоское ж, образует
семейство, зависящее от двух параметров; его диференциальное уравнение есть
у" z= 0. Обратное предложение получается непосредственно.
Окружности, лежащие в одной плоскости,
*2 + у'* + 2Ах + 2Ву-\-С = 0 F)
образуют семейство, зависящее от трех параметров; следовательно, соответствую-
соответствующее дифесенциальное уравнение должно быть третьего порядка. Диференцируя
трижды предыдущее соотношение, получим:
0, 1
/
ЗУУ + уу'" + By"' = 0.
Исключая В из двух последних формул, придем к искомому уравнению:
= 0. (8)

§ 362 1. ПОЛУЧЕНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 11
Единственные плоские линии, удовлетворяющие этому уравнению, суть
окружности и прямые. Мы видим прежде всего, что прямые суть интегралы, так
как уравнение удовлетворяется, если У—0, и следовательно, У" = 0. Предпо-.
яожим, что у" фО; мы можем представить уравнение (8) в виде:
v"'_ зуу
У 1+У2'
отсюда, обозначая через С{ постоянное, не равное нулю, получим:
Log У = у Log A + У2) + Log С,,
или
У" -Г
0+У2)
Интегрируя снова, будем иметь:
У
С2,
, С{х 4 С,
Интегрируя еще'раз, получим окончательно:
это — уравнение окружности.
Пользуясь следующим методом, указанный Альфаном (Halphen), нетрудна
голучить диференциальное уравнение конических сечений Если кривая второго
порядка не имеет асимптоты, параллельной оси Оу, то, решая ее уравнение отно-
относительно у, получим уравнение вида:
С;
после двух диференцирований будем иметь:
или
так что
2
(У)"
у —
(Ах* +
= (АС-В>)
(У)
л
2Вх+СJ
2
есть трехчлен второй степени относительно л:. Следовательно, чтобы исключить
коэфициенты А, В, С, достаточно его продиференцировать трижды; искомог
диференциальное уравнение можно представить сокращенно в виде:
Выполняя вычисления, мы придем к уравнению
40у"з _ 4 Ъу' 'y'"yw + 9У Jj/V - 0. (9)
Гаким способом мы можем получить и диференциальное уравнение парабол.
2
В самом деле, для параболы мы имеем: А =¦ 0, а (у'") 3 есть двучлен первой
степени.

12 ГЛАВА XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 362—363
Следовательно, диференциальное уравнение параболы в сокращенном виде есть
или, выполняя вычисления:
5у."« — 3yyv = 0. (IjO)
II. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
Всякое диференциальное уравнение л-го порядка, которое получается
от исключения постоянных, имеет бесконечное множество интегралов, за-
зависящих от п произвольных параметров. Но совсем не очевидно, что
всякое заданное диференциальное уравнение имеет интегралы. Это—
основной вопрос, которым мы займемся в следующей главе. Здесь мы
сначала рассмотрим несколько простых типов диференциальных уравне-
уравнений первого порядка, интегрирование которых приводится к квадрату-
квадратурам. Существование их интегралов будет доказано самим способом их
получения. Если с точки зрения чистой логики этот путь и можно кри-
критиковать, то, во всяком случае,"он соответствует историческому порядку.
363. Разделение переменных. Простейшим типом диференциального
уравнения является уже изученное уравнение
dy
аУх = Пх), (И)
где f(x) — непрерывная функция, если независимое переменное х дей-
действительно, и — аналитическая функция, если х рассматривается как ком-
комплексное переменное. Мы видели, что это уравнение имеет бесконечное
множество интегралов, которые можно представить формулою
v =
л
= I f(x)dx-\-C,
где нижний - предел л;0 можно рассматривать как данное постоянное, а
С обозначает произвольное постоянное. Уравнение
можно привести к предыдущему, рассматривая у как независимое пере-
переменное и х как известную функцию; в самом деле, из него получаем:
dx 1
dy у (у)'
и следовательно,

§ 363-364 11. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 13
Вообще, если диференциальное уравнение первого порядка, решено
относительно производной от неизвестной функции, то часто бывает
удобно представлять его в диференциальном обозначении:
Р(х, y)dx-\-Q(x, y)dy = 0; A3)
в таком виде не предрешается вопрос о выборе независимого перемен-
переменного, которым может быть как х, так и у. Если мы хотим ввести вместо х
и у новые переменные и и v, то достаточно заменить в уравнении A3)
х, у, dx, dy их выражениями через и, v, du> dv. Заметим также, что
можно, не меняя интегралов уравнения A3), умножать или делить обе
части уравнения на один и тот же множитель р.(х, у); надо только
принять во внимание решения уравнения ]цх, у) = 0, которые при этом
могут или появиться, или исчезнуть. Оба частных случая, которыми мы
только что занимались, связаны с более общим приемом разделения
переменных. Если диференциальное уравнение первого порядка имеет вид:
Xdx-^-Vdy = G, A4)
где X и У зависят только, соответственно, от л; и у, то говорят, что
переменные разделены. Уравнение интегрируется в квадратурах, так как,
полагая
U~ \ Xdx-\- Г Yds/,
мы можем представить это уравнение в виде dU=0; его общий инте-
интеграл есть ?/=С.
Уравнение
O, A5)
где X и Хл зависят только от х, а К и К, зависят только от у, мож
но привести к предыдущему виду, разделив обе части на Хл Ул. Заме
тим на этом примере, что мы отбрасываем, таким образом, решения
двух уравнений: ^,=0, К, =0. В самом деле, ясно, что если y=±zb
есть решение уравнения К,—0, то у = ? есть интеграл данного урав-
уравнения, тогда как он, вообще, не содержится в общем интеграле но-
нового уравнения.
364. Однородное уравнение. Всякое уравнение вида
dv .,, , A6)
где правая часть есть однородная функция нулевой степени, называется
однородным уравнением. Его можно привести к интегрируемому виду,
полагая у = их, так что новые переменные будут х и и; в самом деле,
мы имеем:
d v du
— = и -f- х — ,
dx dx

14 ГЛАВА XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 364
и уравнение A6) обращается в
Переменные можно разделить, представив это уравнение в виде:
dx du
x~~f(u)—u*
и общий интеграл получается квадратурою:
Г du
C^nu>-u
A7)
у
достаточно заменить в нем и через —, чтобы иметь уравнение инте-
X
тральных кривых данного уравнения A6)*.
Общее уравнение этого семейства кривых имеет вид:
где С—произвольное постоянное. Они все подобны между собою, при
чем начало координат есть центр подобия, а меняется только отношение
подобия в самом деле, предыдущее уравнение можно получить из урав-
уравнения
изменяя в нем л и у, соответственно, в — и —. Обратно, пусть будет
дано какое-нибудь семейство кривых, подобных относительно начала коор-
координат, соответствующее диференциальное уравнение будет однородным
уравнением первого порядка. В этом можно было бы убедиться вычи-
вычислением, но результат очевиден и непосредственно; в самом деле, каса-
касательные к различным кривым этого семейства в точках пересечения этих
кривых с прямою, выходящею из начала координат, должны быть па-
параллельны между собою, и следовательно, угловой коэфициент у' каса-
у
тельаой должен ¦ зависеть только от отношения —
X
К однородному виду можно привести уравнения:
dx
где а, Ь, с, а', Ь\ с' — произвольные коэфициенты, a b и b не равны
Уравнение A6) допускает в качестве интеграла также и прямые у^тх, где т — корень
уравнения: т=/(т). Эгн прямые могут заключаться в общем интеграле (как в случае уравнения
+У' = "). а могут представлять и особые интегралы (хуп —у).

§364—365 II. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 15-
одновременно нулю. В самом деле, чтобы это уравнение было однород-
однородным, нужно, чтобы было с = с' = 0. Полагая
где X и Y—новые переменные, а а и р — постоянные, мы приведем,
рассматриваемое уравнение к виду:
dY =
dX ~~ '
dX ~~ ' [а'Х -}- о' Y -\- а'а -\- b$ -j-
чтобы это уравнение было однородным, должно быть:
с') '
Если ab' — Ьа' не равно нулю, то эти два условия определяют»
постоянные аир. В том частном случае, когда ад1—-Ьа' = 0, предполо-
предположим, например, что ЬфО; мы будем иметь:
где k — постоянный множитель, имеющий конечное значение. Полагая.
ах-\-Ьу = и, мы приведем рассматриваемое уравнение к виду:
1 du а ! / и-\~
~bd~~~~b~r'kA
где переменные разделены.
365. Линейные уравнения. Линейным диференциальным уравнением
первого порядка называется уравнение вида:
а?+Ху + Х, = 0, A9).
где X и Xj — функции от х. Если Хл = 0, то это уравнение можно-
представить в виде:
— ~yXdx=0, B0)<
и егэ общий интеграл получается одною квадратурою:
х
-\X-dx
у = Се Ха .
Чтобы проинтегрировать полное уравнение A9), когда Хл отлично-
от нуля, мы посмотрим, нельзя ли удовлетворить этому уравнению, взяв-
для у выражение вида B1), но в котором С рассматривается уже не как
постоянное, а как неизвестная функция от х. Это предположение равно-
равносильно замене переменного у = Yz, где г — новая искомая функция, и-
Y—какой-нибудь из интегралов уравнения B0/. Выполнив эту подста-
подстановку и приняв во внимание соотношение B0), которому удовлетворяем
функция Y, мы представим уравнение A9) в виде:

16 ГЛАВА XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 365
Это уравнение интегрируется одною квадратурою, и мы получим:
ч-де С— произвольное постоянное. Таким образом общий интеграл урав-
«ения A9) получается двумя последовательными квадратурами. Заме-
Заменяя Y его выражением, мы можем представить этот интеграл в следую-
следующем виде:
-$xdx( С \ха*
у=е J~~~{C— j*ieJ" <** j, B2)
где нижние пределы обоих интегралов могут быть взяты произ-
произвольно.
Мы видим, что общий интеграл линейного уравнения есть целая
линейная функция произвольного постоянного интегрирования вида:
где
t(x) и
— определенные функции от х. Это свойство характеризует линейные
уравнения, так как, исключая постоянное С из предыдущего уравнения и
•из уравнения
у = С/'(*) + ?'(*)¦
•мы, очевидно, придем к соотношению, линейному относительно
у и у'.
Этот результат можно представить .в другом виде. Пусть будут у1 ,
уг, у3 три частных интеграла линейного уравнения, соответствующие
значениям С,, С2, С„ постоянного С. Исключая функции /(дг) и ц>(х)
из соотношений
(j:), у, =
мы придем к равенству:
¦Уз—-У]_сз— Ст
у, — Ут С8 — С,!
откуда видно, что для трех любых частных интегралов уЛ, уг, у3
линейного уравнения отношение
¦Уз— Ул
V, — у,
¦постоянно. Следовательно, если известны два частных интеграла уп
у2 линейного уравнения, то мы непосредственно получаем общий инте-
интеграл в виде:
= const.
К этому можно прибавить, что, если известен только один частный

§ 365-367 II. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА . 17
интеграл уг, то мы получим общий интеграл одною квадратурою; в
самом деле, полагая у =уг -\- и, мы придем к уравнению
тождественному с уравнением B0).
366. Уравнение Бернулли. Уравнением Бернулли называется уравнение
вида:
^х + Ху + Х1У»=0, B3)
где показатель п отличен от нуля и от единицы. Это уравнение приво-
приводится к линейному виду подстановкою у*-а = г. В самом деле, разде-
разделив обе части уравнения на у" и положив у1~п = г, мы получим:
1 d2, = о.
1 — п dx
К этому же типу можно привести уравнение вида:
ср iZ\ dx -f ф [^-\dy-\-kxm{xdy — ydx) = 0, B4)
где k и т — произвольные числа. В самом деле, полагая у = их, мы
можем представить рассматриваемое уравнение в виде:
[? (и) + и ф (и)] ^ -f- х ф (и) + ***+> = 0,
подстановка лг~("г+1' = г приводит затем это уравнение к линейному.
367. Уравнение Якоби. Уравнением Якойи называется уравнение:
(а + а'х + а"у) (xdy — y dx) — (b +¦ b'x + b"y) dy + (c + c'x + c"y) dx = 0, B5)
где a, a', a", b, b', b", c, c\ c"—постоянные коэфициенты. Если a = b = e = 0,
то, разделив уравнение B5) на а'х -\- а"у, мы приведем его к виду B4). Чтобы
свести общий случай к этому частному, положим:
где X, Y— новые переменные, и а, A — некоторые постоянные. После этой под-
подстановки уравнение B5) примет вид:
Ч-лТ) (X dY — YdX) —
— [В + Ь'Х + b"Y— (А + а'Х + a"Y) а — АХ] dY + B5Г)
¦+ [С + с'Х + с"У— (А -+- а'Х + a"Y) f — A Y] dX = 0,
где
А = а -Н а'а +• а"\, В = Ъ + &Ч+ Ь% C —
Это уравнение B5') приведется к виду B4), если Аа — 5 = 0, А$ — С==0.
Таким образом задача сводится к определению постоянных а, р из этих двух
условий; последние можно представить в более симметричном виде, вводя вспо-
вспомогательное неизвестное X:
2 3. Гурса, т. II, ч. 2.

18 ГЛАВА XVII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЁ УРАВНЕНИЯ § 367—368
Исключая неизвестные a, ji, мы придем к уравнению т| етьей степени oti o-
сительно i:
а — \ а! а"
Ь V — \ Ь"
с1 с с" — X
= 0.
Таким образом интегрирование уравнения Якоби зависит прежде всего от
решения этого уравнения третьей С1епени, в чем ниже мы убедимся другим
методом.
368. Уравнение Риккати. Уравнением Риккати (Riccati) называется
уравнение
d?+Xy* + Xiy + X2 = 0, B6)
где X, Хл, Х2— ф нкции от х. В общем случае это уравнение не
может быть проинтегрировано в квадратурах; при произвольных коэфи-
циентах X, Х-,, Х2 его интегралы представляют новые трансцендентные
функции, свойства которых мы изучим ниже. Но это уравнение имеет
отношение к занимающему нас вопросу, так как оно обладает следую-
следующим свойством: если известен один частный интеграл уравнения Рик-
Риккати, то его общий интеграл получится двумя квадратурами.
Пусть будет _у, один из частных интегралов уравнения B6). Выпол-
Выполнив замену переменного у=у^-\- г, мы придем к уравнению того же
вида, но которое не должно содержать члена, не зависящего от г, так
как г = 0 есть интеграл нового уравнения; действительно, после этой
замены мы получим:
f = 0, B7)
и достаточно положить здесь
1
чтобы привести уравнение B7) к линейному, таким образом наше пред-
предложение доказано.
Из этого получается несколько важных следствий. Общий интеграл
получающегося линейного уравнения относительно и имеет вид (§ 365):
u=>Cf(x)+ <p(*);
следовательно, общий интеграл уравнения Риккати будет иметь вид:
1 С/(х)+ъМ B8)
Это показывает, что этот инте рлл есть линейная рациональная
функция постоянного интегрирования. Обратно, всякое диференциаль-
ное уравнение первого порядка, обладающее этим свойством, есть урав-
уравнение Риккати. В самом деле, пусть будут f(x), ср(лг), /г(х), ш, (л:)
какие-нибудь четыре функции от х; все функции у, представляемые
формулою B8), где С есть произвольное постоянное, удовлетворяют

§ з68 it. Уравнений Первого порядка i§
некоторому уравнению первого порядка, которое нетрудно получить,
решая соотношение B8) относительно С и диференцируя обе части по х.
Таким образом мы имеем:
и соответствующее диференциальное уравнение
(У/— /i) («Pi — <р/ — Л>') — (Ъ —УУ) (V'f + У/' - /,') = О
будет, действительно, вида B6). Пусть будут у, , у2, уа, у4 частные
интегралы уравнения Риккати, соответствующие значениям Сл , С2, Са,
С4 постоянного С. Так как в выражение B8) интеграла уравнения Рик-
Риккати постоянное С входит линейно, то на основании теории ангармо-
ангармонического отношения мы имеем соотношение, которое легко проверить
и непосредственным вычислением:
Л— У' . УЯ—У'=С4— С, шСл — С,ш
отсюда видно, что ангармоническое отношение любых ч тырех част-
частных интегралов уравнения Риккати есть постоянное.
Эта теорема позволяет найти без всякой квадратуры общий интеграл урав-
уравнения Риккати, если известны его три частных интеграла УЛ,у<,,у%. Всякий
другой интеграл должен быть таким, чтобы ангармоническое отношение
У—У, .Уя — V
было постоянно. Следовательно, мы получим общий интеграл, приравни-
приравнивая это отношение произвольному постоянному: мы видим, что у будет
линейною и рациональною функциею постоянного; отсюда следует, что
предыдущее свойство ангармонического отношения четырех интегралов
принадлежит только уравнениям Риккати.
Заметим, наконец, что, если известны только два частных интеграла уЛ ,
_у2, то интегрирование уравнения B6) заканчивается одною квадратурою.
В самом деле, сделав преобразование у = у, -f- г, мы получим уравнение
относительно г, имеющее интегралом у2—у1; поэтому линейное урав-
уравнение относительно и = — также имеет один известный частный инте-
. z
грал, именно . Следовательно, мы найдем общий интеграл урав-
Уг У\
нения относительно и = — одною квадратурою*.
* Все эти свойства уравнения Риккатн можно также вывести из того соображения, что урав-
уравнение Рнккатн не меняет своего Еида Hi ii.jH каком томографическом преобразовании вида
fz -Х- to
у =Л—'-^—где /, /. , «, «. — функции от х. Если известны один, два или три интеграла уравнения
/tz + <f t
B6), то вс гда можно выбрать томографическое преобразование таким образом, чтобы в преобра-
преобразованном уравнении Рик<агиодн I, два нли три коэфициента многочлен! второй степени относи-
относительно z были равны нулю. Линейное уравнение можно рассматривать как уравнение Риккатп,
имеющее частный интеграл у— ОО. '". е. такое, что уравнение, получающееся и? него после иод-
ста овкн у~—, должно иметь решение z-U.
2*

20 ГЛАВА XVIII. ДИФЁРЁНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 368—369
П р и л о ж е н и е. Рассмотрим семейство кругов, лежащих водной плоско-
плоскости и зависящих от одного переменного параметра. Пусть будут a, b, R коорди-
координаты центра переменного круга в прямоугольных координатах и его радиус; по-
положим, чго а, Ь, R суть известные функции переменного параметра а. Найдем
кривые, пересекающие каждый из этих кругов под известным углом V, постоян-
постоянным или представляющим данную функцию от а. Координаты каждой точки М
круга С с центром (а, Ь) и радиусом R можно представить формулами:
x = a-j-R :оьв, y—
где 8 есть угол между радиусом, проведенным в точку М, и направлением Ох
Задача приводится к определению этого угла 6 в функции параметра а таким
образом, чтобы линия, описываемая точкою М, пересекала круг С под углом V.
Таким образом диференциальное уравнение задачи есть
заменяя dx и dy их значениями, будем иметь после приведения:
R^ + b'cosb — a' sin 8 — ctg V(R' -f a' cos в + V sin 8) = 0,
где a', b', R' суть производные от a, b, R по а. Взяв за новое переменное
t—tg-^, получим уравнение Риккати:
2# +
2# + b\i - Щ — 2аЧ — ctgV[R\\ +P) ~Ь а'A - V) + 2b't] = 0. B9)
Следовательно, достаточно знать, одну'траекторию, чтобы получить все остальные
двумя квадратурами.
Рассмотрим частный случай, когда траектории ортогональны; тогда угол V
будет прямым, и его котангенс равен нулю. Если, сверх того, мы предположим,
что центры рассматриваемых окружностей лежат иа прямой линии, то мы без
всяких вычислений знаем два частных интеграла уравнения B9), так как линия
центров есть одна из искомых ортогональных траекторий, и она пересекает каж-
каждый круг в двух точках. Негрудно проверить, что в этом случае интегрирование
приводится к одной квадратуре, так как, взяв линию центров за ось Ох, мы при-
приведем уравнение B9) к виду:
da
369. Уравнения, не разрешенные относительнр у'. Во всех предыду-
предыдущих случаях мы предполагали, что диференциальное уравнение решено
относительно у'. Рассмотрим теперь диференциальное уравнение первого
порядка ^(л:, у, у') = 0 общего вида. Пусть будет S поверхность, пред-
представляемая уравнением F{x, у, z) = 0, которое мы получим, заменяя
в предыдущем уравнении у' через z. Всякому интегралу .У = /(.*) дан-
данного диференциального уравнения соответствует кривая Г, представляемая
уравнениями:
у = /(х), z=*f(x); (Г)
она лежит на поверхности S, так как
F[x, /(*), f{x)] - 0.
Но линия Т не может быть произвольною линиею поверхности ?>; в самом
деле, вдоль линии Г количества у w z суть функции от х, удовлетворяю-

§ 369 И. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 21
щие соотношению dy— zdx = 0, причем это соотношение сохраняет
свой вид, если мы возьмем вместо х какое-нибудь другое независимое
переменное.
Обратно, пусть будет Г линия, лежащая на поверхности S; коорди-
координаты х, у, z точек этой линии суть функции переменного параметра а.
Если функции лг = (р,(а), _У = ср2(а)> г — Чз(а) удовлетворяют соотноше-
соотношению dy = z dx, то из них можно получить интеграл рассматриваемого
уравнения. В самом деле, два первых уравнения лг = <р](аг), у = у2(а)
представляют некоторую плоскую кривую С; предположим, что у=/(х)
есть уравнение этой кривой, разрешенное относительно у. Вдоль линии Г
мы, по предположению, имеем г=/'(х); так как Г лежит на поверх-
поверхности S, то F[x, f(x), f(x)]=0, и следовательно, кривая Г есть инте-
интегральная кривая. Исключение представлял бы только тот случай, когда
кривая С обращалась бы в точку, а линия Г — в прямую, параллельную
оси Oz. Таким образом интегрирование уравнения F(x, у, У) = 0 равно-
равносильно разысканию кривых на поверхности S, для которых имеет место
соотношение: dy — zdx = 0.
Предположим теперь, что координаты х, у, z точек поверхности 5
выражены явно в функции двух переменных параметров и, v:
x=f(u, v), y = y(u, v), 2 = ф(м, v):
мы получим всякую кривую Г поверхности S, установив некоторое соот-
соотношение между и ч v, чтобы эта кривая определяла интеграл, необходимо
и достаточно, чтобы было dv^z dx, или
du+dV=$(U, V
Таким образом мы получаем диференциальное уравнение вида:
dv
dv
разрешенное относительно —.
Такое преобразование особенно просто в применении к уравнениям,
решенным относительно одного из переменных х или у. Рассмотрим
например, уравнение
у=/(х,у'). C0)
здесь можно взять за переменные параметры х и у'=р. Тогда поверх-
поверхность 5представится уравнениями:
х = х, z=p, y=f{x, p),
и соотношение dy = zdx обращается в
й/ , J/ dp
Этот результат мож о было бы получить и непосредственно, дифе-
ренцируя уравнение C0) и заменяя у' через р. Пусть будет /?—(р(лг, С)

11 ГЛАВА XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 370
общий интеграл уравнения C1); чтобы получить из него общий инте-
интеграл уравнения C0), достаточно заменить в формуле C0) у1 через ср (лг, С).
370. Уравнение Лагранжа. Рассмотрим как частный случай уравне-
уравнение линейное относительно переменных х и у:
'); C2)
диференцируя обе части и обозначая у' через р, мы получим уравнение:
Рассматривая р как независимое переменное, а х — как функцию от р,
мы можем представить это уравнение в виде:
[<р (р) —р] -^ + *<р' (р) + Ф' (р) = о;
это уравнение — линейное и интегрируется двумя квадратурами. Полу-
Получив х в функции р и внеся это значение х в формулу
мы получим координаты лг и _у в функции параметра р и произвольного
постоянного *.
[{етрудно выяснить, как расположены в этом случае интегральные кривые.
Заметим, чю х, а следовательно, и у суть целые и линейные функции произ-
произвольного постоянного С:
y = CFi(p) + <bl{p); C3)
но функции F{p), Ft(j>), <t>(p), Ф^(p) не могут быть произвольными, так как
параметр р представляет угловой коэфициент касательной; для этого должно
быть F' (р) = р F'(p), Ф(р) = рФ'(р). Пусть будут Го, Г, частные интегралы,
соответствующие значениям С = 0, С=1 постоянного:
Г >хо:==
Ъо = ФАР). 1(Уа =
тогда уравнения C3), представляющие общий интеграл Г, можно представить
также в виде:
Кривые То, Г\, Г имеют в точках ЛГ0(хв, у0), M^Xi, yt), M(x, у), соответ-
ствующик одному и тому *е значению количества р, параллельные касательные.
С другой стороны, из предыдущих формул получаем:
У -Уо _ х — хл _ С ,
у-у, x-xt C—V
мы видим, что три точки М, Мо, М{ лежат на одной прямой, и отношение
постоянно. Отсюда следует такое геометрическое построение: пусть будут даны
* Уравнение C2, можно также прнвести к линейному уравнению посредс!вом преобразования
Лежандра (т. I, § 58)."
Однородные уравнения у = х<э<У), неразрешенные относительно у', можно рассматривать
как частные случаи уравнения Лагранжа и интегрировать таким же образом.
Уравнение C2) допускает л качестве г нгеграла также и прямые у = тх + ф (/я), где т — корень
уравнения т = <р (/те). Этн прямые могут в некоторых случаях составлять часть общего интеграла,
а м^гут п/е^тавлнть собой и особые интегралы.,

§ 370—371 II. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 23
кривые Го и Г(; соединим прямою линиею те точки М$ и Aft этих кривых,
в которых касательные параллельны между собою, и возьмем на этой пря-
прямой такую точку М, чтобы отношение -ггтг- было равно данному постоян-
постоянному К. Когда точки Мй и М, описывают кривые Го, Г,, точка М опишет
интегральную кривую Г, и изменяя постоянное К, получим общий интеграл.
371. Уравнение Клеро. Замечательный частный случай уравнения Ла-
гранжа был еще ранее исследован Клеро (Clairaut); уравнением Клеро
называется всякое уравнение вида:
C4)
Следуя общему методу, продиференцируем обе части этого уравнения
и положим у'=р; мы придем к уравнению
[x + f(p))fx = 0. C5)
Это уравнение удовлетворяется, если положить— =0, откуда /7 = С.
Следовательно, общий интеграл уравнения Клеро будет:
C6)
Это уравнение представляет семейство прямых линий; нетрудно убедиться,
что эти прямые, действительно, представляют интегральные линии урав-
уравнения Клеро. Но мы также удовлетворим уравнению C5), полагая рав-
равным нулю первый множитель х + /'.(/?) = 0. Отсюда следует, что суще-
существует еще другой интеграл уравнения C4), представляемый соотношениями
исключая р из этих двух соотношений, мы получили бы огибающую
прямых, представляемых уравнением C6). Следовательно, уравнение Клеро
имеет, кроме того, еще другой интеграл, представляющий огибающую
прямых, образующих общий интеграл. Так как этот интеграл нельзя
получить из формулы C6), какое бы частное значение мы ни давали
постоянному С, то он называется особым, интегралом.
Мы приходим к уравнению Клеро, когда ищем плоскую кривую по каким-
нибудь свойствам ее касательных, не зависящим от положения точки прикосно-
прикосновения. В самом деле, пусть будет y=f(x) угавнение искомой кривой; так как
уравнение касательной есть У=у'Х-\-у — ху', то мы приходим к соотношению
между У и у — ху1, т. е. к уравнению Клеро. Ясно, что в этом случае настоящее
решение задачи дает именно особый интеграл. Найдем, напр меп, такую кри-
кривую, чтобы произведение расстояния двух данных точек F и F' от каждой
ее касательной было равно постоянному №. Пусть будет 1с расстояние FF'.
Взяв середину отрезка FF1 за начало координат и прямую FF' за ось Ох, мы
придем к диференциальному уравнению:
(у _ ху' J — &у 2 = Ш A — у'%
причем мы предположили, что обе точки F и F1 лежат по одну сторону касатель-
касательной. Отсюда имеем: у — ху' ±У~№ + д2У2, riu ai = №-\-c\ Общий интеграл
представляется семейством прямых
у — Сх± y~t "~

24 ГЛАВА XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 371—372
Особый интеграл — огибающая этих прямых — есть эллипс
я* ^ № '
он представляет настоящее решение задачи.
372. Интегрирование уравнений F(x, у') — 0, F(y, y') = 0. Уравне-
Уравнения, содержащие только одно из переменных х или у, интегрируются
в квадратурах, если их можно решить относительно у' (§ 363). Если дан-
данное соотношение — алгебраическое, то у есть или абелев интеграл, или
функция, обратная абелеву интегралу. Всякий раз, когда данное соотно-
соотношение нулевого или первого рода (§ 309), мы можем выразить х и у через
функции некоторого переменного параметра или рационально, или через
основные трансцендентные функции, например $и, аи, Zju. Рассмотрим
сначала уравнения F(y, У) = 0 нулевого рода; мы можем выразить у и
у' как рациональные функции переменного параметра и, у=/(м), у' ==/,(«),
и из соотношения dy —у' dx получим /'(и) du = /а(н) dx. Таким образом
переменные х и у выразятся через параметр и формулами:
у=№, x=)fju) du-
Такой же прием применим к уравнениям F(y, y') = 0, когда это соотно-
соотношение— первого рода, но здесь должно взять для /(и), /,(а) эллипти-
эллиптические функции, пхну выразятся через трансцендентные функции
р, С, а- (§ 326).
Точно так же можно поступать и с уравнениями F(x, y') = 0, когда
соотношение—нулевого или первого рода; впрочем, их можно привести
к предыдущему виду перестановкою хну.
Примеры. 1. Уравнение у2(у' — 1) = B—УJ — нулевого рода; полагая
2—у'=уи, получим: у' = 1 + н2, у = и. Соотношение dy=y' dx принимает
. du I , „
в этом случае вид: dx = — • следовательно: х= (- С, и общий интеграл
рассматриваемого уравнения есть у = х — С -,.
X — О
2. Возьмем уравнение у'3 — зуз — 9у*—12_у2 = 0; рассматривая в нем у а у'
как координаты точки, легко виде1ь, что это уравнение представляет уникурсаль-
ную кривую четвертого порядка, имеющую три двойных точки:
В самом деле, мы можем представить данное уравнение в виде:
(У - 2J (У+ 1) = (ЗУ+ 2J.
Полагая сначала у== Ф — 1, получим Зу%= (и -f- 1J (н —2), полагая-затем и—2=3^,
будем иметь окончательно следующие выражения для у и у' через параметр t
Соотношение dy = y' dx приводится здесь к dx(l+<2) = Л; отсюда находим;

§372—373 II.-УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 25
следовательно, общий интеграл предложенного уравнения будет
3. Пусть будет R (у) многочлен третьей или четвертой степени, первый со
своею производного. Рассмотрим диференциальное уравнение
C8)
Мы видели выше (§ 330), что этому соотношению первого рода можно удовле-
удовлетворить, полагая j/=/(u), у1 =/' (и), где /(и) есть эллиптическая функция второго
порядка. Условие dy=y dx обращается в du = dx, и, следовательно, общий инте-
интеграл уравнения C8) есть эллиптическая функция y=f{x -f- С).
Если степень многочлена R{y) ниже третьей, или если эют многочлен, хотя
и третьей или четвертой степени, не будет первым со ев >ею производного, то
соотношение C8) — нулевого рода. Применяя предыдущий метод, мы 'можем
выразить учу' через рациональные функции параметра и, и нетрудно убедиться,
что общий интеграл есть или рациональная функция or x, или рациональная
функция от еах.
373. Интегрирующий множитель. Метод интегрирования разделением
переменных был обобщен Эйлером. В самом деле, рассуждение § 363
применимо ко всякому уравнению первого порядка:
Р(х, y)dx+Q {х, у) dy = 0, C9)
коэфициенты которого Р и Q зависят от обоих переменных х и у, если
, ЬР dQ „ ,
только будет —=-—. Это условие необходимо и достаточно для того,
чтобы Pdx-\-Qdy было полным диференциалом от некоторой функции
U(x, у), причем, как мы выше видели (т. I, § 144), эта функция полу-
получается посредством квадратур. Следовательно, уравнение C9) тождественно
с уравнением di/=0, и мы получим его общее решение, установив
между х и у соотношение вида U(x, y) = C. Таким образом уравнение C9)
интегрирует.я в квадратурах всякий раз, когда коэфициенты Р и Q удо-
дР dQ
влетворяют условию: т~==Т^'
Очевидно, что для того, чтобы можно было приложить предыдущий
метод, нет необходимости, чтобы было —=— , достаточно знать
ду Эл:
интегрирующий множитель, т. е. такой множитель \i.(x, у), чтобы про-
произведение
ii{x,y)[Pdx-\-Qdy]
d(u.P) b(iiQ)
удовлетворяло условию интегрируемости —-— = , или, раскрывая:
ду аХ
0. D0)
Таким образом разыскание интегрирующих множителей приводится к инте-
интегрированию уравнения D0), т. е. к интегрированию линейного уравне-
уравнения в частных производных первого порядка. Можно подумать, что,
поступая'таким образом, мы ставим интегрирование уравнения C9) в за-
зависимость от задачи, повиди\ому, более трудной; но должно заметить,
что для применения этого метода достаточно знать какое-нибудь частное

26 ГЛАВА XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 373
решение уравнения D0), и во многих случаях можно найти частный
интеграл уравнения D0) более или менее прямыми приемами. Найдем,
например, в каком случае уравнение C9) имеет интегрирующий множи-
множитель, не зависящий от х. Если мы предположим — = 0, то уравнение D0)
ду
обращается в
дХ у дУ дХ
дР а<?
ду дХ
и выражение ——— не должно зависеть от у; в этом случае мы полу-
получи
чим интегрирующий множитель ц одною квадратурою. Предположим
сверх того, что Q= 1; тогда ч— должно быть некоторою функциею X
ду
переменного х, и уравнение C9) есть линейное уравнение
В этом случае уравнение D0) имеет решение:
и нетрудно убедиться, что, умножив уравнение C9') на этот множитель,
мы получим в левой части полный диференциал:
X I X X \
Jxdx I IXdx f lXdx \
eX] (dy -f- Xy dx -f- X, dx) = d\ j ex° -f Xe*1 dx 1 = 0;
\ x» l
дальнейшее интегрирование требует таких же вычислений, какие мы имели
в первом методе (§ 365).
Ниже мы увидим, что при весьма общих условиях, которые всегда
выполняются в случаях, рассматриваемых здесь, уравнение D0) имеет
бесконечное- множество интегралов. Если мы знаем один интегрирующий
множитель д,, то все остальные можно получить следующим образом.
Положим jjt=)jLx/, тогда уравнение D0) обращается в
но мы знаем одну функцию, удовлетворяющую этому соотношению: это
функция U{x, у), полный диференциал которой равен \i.^{Pdx-\- Qdy);
dU bU
в самом деле, ее частные производные ——, —— равны соответственно
и ]1{Q и удовлетворяют уравнению D0'). Следовательно, мы имеем
также — —- — —=-—- = 0; отсюда видно, что должно быть г> = <р(?/1,
Ьу Ъх дх ду т ч
и общее выражение интегрирующих множителей есть jj. = ц <р (U), где

§ 373 II. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 27
(р — произвольная функция от U. Нетрудно проверить, что д есть дей-
действительно интегрирующий множитель; в самом деле, умножая на у (U)
тождество
получаем:
jt,tp'i/) (Pdx + Q dy) = <p (U) dU,
и правая часть есть точный диференциал функции
F(U) «
Отсюда вытекает важное следствие; если ji2 и jj.2 —два интегрирующих
множителя, то отношение — есть функция от U. Если это отношение
не есть постоянное число, то общий интеграл диференциального уравне-
уравнения будет — = const.
Последняя теорема позволяет в некоторых случаях находить интегри-
интегрирующий множитель. Рассмотрим диференциальное уравнение
Pdx-\- Qdy-\-P1dx-\-Q^dy = O, D1)
где Р, Ри Q, Qj — функции от х, у, и предположим, что мы умеем
найти интегрирующие множители для каждого из выражений Pdx-\-Qdy,
Р1 dx + Q] dy. Общее выражение интегрирующих множителей для Р dx-\-
-f- Q dy есть jj.(p(f/), где ц — уже известный множитель, U—функция
от х и у, получаемая квадратурами, и <р — произвольная функция. Общее
выражение интегрирующих множителей для Р1 dx -+• Q1 dy также есть
р1,ф ({/,), где jj., и Uj — определенные функции и ф — произвольная
функция. Если можно выбрать функции (риф так, чтобы было
то мы будем иметь интегрирующий множитель и для данного уравне-
уравнения D1).
Рассмотрим, например, уравнение
ах dy -\-bydx-\- хтуп(ах dy + $у dx) = О,
где а, Ь, а, р — постоянные. Всякий ишегрирующий множитель для ах dy -\- bydx
имеет вид —<р (Jf*ye); точно так же всякий интегрирующий множи1ель второй
части имеет вид: - m+l n+l<Ji(xPj/*). Чтобы иметь общий интегрирующий множи-
множитель, достаточно найти два таких показателя рад, чтобы было хтуп(хьуа)Р — (х$у)ч,
что равно.ильно условиям:
ра — qo. -\- п = 0, рЬ — gf + т = 0.
Эги условия совместимы, если а$ — Ьа не равно нулю, и определяют итерирую-
итерирующий множитель вида: хмyN- По умножении на этот интегрирующий множитель

28 ГЛАВА XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 373-374
рассматриваемое уравнение принимает вид. vP~ldv -\- v^'dv, = 0, где v=xbya,
Vi = xPy1, и интегрируется непосредственно.
В том случае, когда а$ — ай = 0, мы имеем — = -j- -=k и можем предста-
представить данное уравнение в виде: (axdy -\- by dx) (I -|- kxmy") = 0.
Примечание. Если известен общий интеграл дифергнциального уравнения первого
порядка, то легко получить и интегрирующий множитель этого уравнения. В самом деле, пусть
будет Длг, у) = С общий интеграл уравнения C9). Диференциальное уравнение кривых, представляе-
представляемых уравнением C9), можно иначе представить в виде: -— dx -\- — dy = 0; чтобы оио было тож-
Ж $
дественно с уравнением C9), должно быть ~— = -^ ; общее значение обоих предыдущих отноше-
отношений и есть, очевидно, интегрирующий множитель для Р dx -{- Q dy. Всякий другой интегрирующий
множитель равен первому множителю, умноженному на произвольную функцию от f(x, у).
374. Приложение к конформному отображению. Теория интегрирую-
интегрирующего множителя имеет важное приложение в задаче о конформном отоб-
отображении. Пусть будет
ds2 ^?du2-]- 2Fdu dv-\-G dv*
квадратичная форма от du и dv, коэфициенты которой Е, F, G суть
аналитические функции от и, v и притом такие, что EG—F2 неравно
нулю. Выражение для ds2 можно представить иначе в виде:
ds2 = (adu -j- b dv) (ax du -f- b1 dv;,
где a, b, a-,, b1—также аналитические функции от и, v. На основании
теоремы, которая будет доказана ниже со всею строгостью, каждое из
выражений adu \ b dv, a, du -(- bx av имеет бесконечное множество инте-
интегрирующих множителей, которые также будут аналитическими функциями
от и и v. Если JJ., )Л]—два таких множителя, то мы имеем тождест-
тождественно:
H(adu -\- bdv) = dll, \il(a1 du -f bidv)=dUi,
и, следовательно,
]X]xlds2 = dUdUl.
Положим:
u=x+ir, иг=х — 1У, Wi, = y;
тогда
Edu2 + 2Fdu dv + Qdv=l (dX2 -f d Y2).
Следовательно, всякая аналитическая поверхность может быть изобра-
изображена на плоскости с сохранением углов. Если поверхность действитель-
действительная, то можно предположить, что действительные точки поверхности
соответствуют действительным значениям переменных и и v\ при этом
коэфициенты Е, F, G будут действительными, а а и а, а также b и
bv — мнимыми сопряженными. Ясно, что мы можем взять для р |i,
и, следовательно, для U и ил, мнимые сопряженные значения, так что
действительным значениям и и v будут соответствовать действительные
значения X и Y. Следовательно, действительным точкам поверхности
соответствуют действительные точки плоскости.

§ 374-375 И. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 29
Так как всякая аналитическая поверхность может быть представлена
на плоскости с сохранением углов, то отсюда следует, что любые две
аналитические поверхности могут быть конформно отображены одна
на другую.
375. Уравнение Эйлера. Для интегрирования различных видов дифе-
ренциальных уравнений применялись весьма разнообразные искусствен-
искусственные приемы. Один из замечательных примеров этого рода принадлежит'
Эйлеру в применении к уравнению, получившему название уравнения
Эйлера. Это — уравнение вида:
-?=+ *L = 0, D2)
где X и Y суть многочлены четвертой степени, зависящие соответственно
от х и у и имеющие одинаковые коэфициенты:
X = а0х4 -f- аЛх3 -)- <*2х* -f a?x + а4,
Y == аоу* -\- агу* 4- a2y2 -f a3y 4 at.
Так как переменные разделены, то мы получим общий интеграл урав-
уравнения D21 двумя квадратурами, которые введут две трансцендентные
функции, зависящие соответственно от х и у. Эйлер открыл основное
свойство интеграла этого уравнения, послужившее исходным пунктом для
теории эллиптических функций, показав, что интегральное соотношение
между хну, на первый взгляд трансцендентное, на самом деле будет
алгебраическим.
Рассмотрим предварительно тот случай, когда X есть многочлен вто-
второй степени и притом не точный квадрат; линейною подстановкою его
можно привести к виду: Х = А(х2 — 1); в этом частном случае уравне-
уравнение D2) принимает вид:
^ ^ . D3)
1/1— Jt2 1/1— у*
Освобождаясь от знаменателя, мы можем представить последнее уравне-
уравнение в виде:
—y*dx 4- Vl — x2 dy =
отсюда видно, что мы имеем тождественно:
d (лг1Л —
Следовательно, выражение 1^A—лг2)A — \") — ху есть интегрирующий
множитель для уравнения D3\ и общий интеграл этого уравнения будет
иметь вид:
УГ^У-\-уУ1—х* = С, D4)

30 ГЛАВА XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 375
ИЛИ
—*s)(l—.У2) ~ху = С, D5)
так как уравнение D3) имеет два интегрирующих множителя
1 и УA — лгг)A—>2) —лгу.
Нетрудно убедиться, что обе формулы D4) и D5) равносильны, так как
мы имеем тождественно:
(xl/i— y2-\-yVri— *2J-Ь|УA— -*г2)A— у*) — дгу]2== 1.
Освобождаясь от корня, мы можем представить общий интеграл D5)
уравнения D3) в виде:
x2_^y2Jr 2Сху-\-С'* — 1=0, D6)
где С — произвольное постоянное; уравнение D6) представляет семей-
семейство кривых второго порядка, касающихся четырех прямых лг = ±1,
у = ±1.
Смелым наведением Эйлер пришел к. формуле такого же вида, но
более общего характера, относящейся к случаю, когда X есть любой
многочлен третьей или четвертой степени («Institutiones calculi integralis»,
т. I, гл. V и VI).
Пусть будет F(x, у) многочлен второй степени, зависящий от двух
переменных х ун у и симметричный относительно каждого из переменных:
F (х, у) = Алх*у* + A2xy (х -\-у) +
+ Аа(х* + у») + А,ху + А6(х +у) + А6. ^'>
Этот многочлен зависит от шести произвольных коэфициентов Л,, А2,
As, А4, Аъ, А6, и соотношение ^(лг, у) = 0 можно представить в двух
равносильных формах:
F(x, у) = My" + Ny -f P = 0, \ D8)
F(x, y) = M1x* + N,x+P1=0, /
где М, N, Р суть многочлены второй степени по лг:
N=A2x* + А4х-\~А5, Р=
а многочлены Мл, Л/3, Рл получаются из М, N, Р заменою х через у.
Из соотношения ^(лг, у) = 0 выводим F'xdx -\- F'dy = 0, или, ^заменяя
F'x и F' их выражениями, имеем:
BМгх -f Л^) dx 4- BМу -\-N)dy = 0. D9)
Из соотношений D8) получаем:
2MV + N=±УМ2 — ШР,
и формулу D9) можно представить иначе в виде:
dX +
E0)
Это соотношение будет тождественно с уравнением D2), если будет
N2 — 4МР— X, откуда по симметрии следует равенство: Щ— 4MlPl = Y.

§ 375 П. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 31
Так как многочлены М, N, Р — второй степени, то многочлен N2 —AMP —
четвертой степени, и нужно выразить, что два многочлена четвертой
степени тождественны между собою, для чего требуется только пять
условий. Так как мы располагаем шестью коэфициентами At многочлена
F(x, у), то мы видим, что один из этих коэфициентов останется про-
произвольным. Следовательно, существует бесконечное множество многочле-
многочленов вида D7), зависящих от одного произвольного постоянного С, и
таких, что из соотношения между переменными х и у
F(x,y) = 0 E1)
можно вывести соотношение D2). Следовательно, соотношение E1) пред-
представляет общий интеграл рассматриваемого уравнения.
Вычисление, нужное для действительного определения многочлена F(x, у),
можно упростить, пользуясь следующим геометрическим представлением, данным
Якоби. Чтобы иметь дело с общим случаем, рассмотрим многочлен Четвертой
степени R(t), первый со своею производного; пусть будут tlt tb t3, ti корни урав-
уравнения R(t) = O. С другой стороны, пусть будет ? какая-нибудь кривая второго
порядка, координаты х, у точек которой выражены в функции переменного пара-
параметра t рациональными дроэями второй степени, так что каждой точке {х, у) кри-
кривой 2 соответствует одно значение параметра t; обозначим через т{, /я2, т3, т4
точки кривой ?, соответствующие значениям tit t^, t3, <4 параметра. Наконец,
пусть будет ?г другая кривая второго порядка, проходящая через четыре точки
т{, /и2, т3, /и4. Всякая прямая, касающаяся кривой ?', пересекает кривую ? в двух
точках: М и М'; если tut' суть значения параметра, соответствующие точкам М
и М', то соотношение между t и t' и будет искомого вида. В самом деле, оче-
очевидно, что это соотношение симметрично относительно t и ? и, сверх того, вто-
второй степени относительно каждого из переменных, так как, например, через
точку М можно провести только две касательных к кривой ?' и, следова1ель1 о,
каждому значению t' соответствуют только два значения t.
Пусть это соотношение будет:
F(t,t') = O. E2)
Как мы видели выше, из него можно вывести соотношение между дифе-
ренциалами dt, dt' вида:
-^=^-7^ = 0, E3)
yp(t, VP{t>)
где P(t) есть многочлен четвертой степени. С точностью до постоянного мно-
множителя этот многочлен P{t) m ждествен с R(t). В самом деле, 1ак как
уравнение E0) показывает, что многочлен Pit), составленный по вышеуказанному
способу, есть дискриминант многочлена F(t, t'), рассматриваемого как функция
от f, то корни уравнения P(t) = 0 суть те значения t, для которых два значе-
значения f, определенные из уравнения F(t, t') = 0, совпадают между собою. Но алге-
алгебраический смысл соотношения E2) показывает непосредственно, что это можег
иметь место только в том случае, когда обе касательные к кривой Б', выходящие
из точки М, аиваются между собою, т. е. если эта точка М есть одна из
точек /я,, тъ т3, /и4, в которых кривые S и ?' пересекаются между собою, так как
только в этом случае две касательные, проведенные к кривой ?' из точки М,
взятой на кривой 2, сливаются м:жду собою. Следовательно, чтобы получить
общий интеграл уравнения
VR @ VR(t')
где /? t) = aof* + djf3 + a$P 4 as? + a4, которое отличается от данного уравне-
уравнения D2) т лько обозначениями, мы приходим к следующему методу, требующему
только рациональных операций. Сначала составим общее уравнение кгивых вто-
I ого порядка ?', проходящих через четыре точки т„ тг, т3. /и4 кривой ?, затем

32
ГЛАВА XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 375
выразим условие, что прямая, соединяющая точки М и М' кривой 2, соответст-
соответствующие значениям tut' параметра, касается кривой ?'. Полученное соотношение,
содержащее произвольное постоянное С, есть общий интеграл уравнения Эйлера.
Чтобы выполнить вычисления, возьмем за 2 параболу у% — х и положим
x = t2, y=t. Кривая второго порядка ?', представляемая уравнением
Ах* + А'у* + 2В"ху + 2В'х + 2Ву + А" = О,
E5)
пересекает кривую 2 в четырех точках, определяемых уравнением четвертой сте-
степени относительно t, которое получим, заменяя х через № и у через /. Чтобы
эти корни совпадали с корнями уравнения /?(?) = О, достаточно иметь:
А = а0, А' + 2В' — да, 2В" = alt IB = а3, А" — <ц. E6)
Так как коэфициент В' остается произвольным, то мы положим В' — С, что дает;
А' = а2 — 2С.
Напомним теперь, что тангенциальное уравнение кривой 2', т. е. условие того,
чтобы прямая ах -\- [Sj/ -f f = 0 касалась этой кривой, имеет вид:
А В" В' а
В" А1 В р
В' В A" y
= 0.
E7)
Уравнение прямой, соединяющей точки (f2, t) и (?'2, t') кривой 2, есть
следовательно, мы можем положить:
Подставляя полученные значения для А, В, А', В, А", В", а, р, т в условие E7)
и заменяя t и i' соответственно через х и у, мы приходим к общему интегралу
уравнения Эйлера в следующей форме, данной Стильтьесом (Stieltjes):
"
С
1
2
а.2-2С
«3
2
— (-*¦+ J'l
С
«3
2
«4
1
-(х + У)
ху
0
= 0.
E8)
Это уравнение представляет семейство кривых четвертого порядка, имеющих
две бесконеч о удаленных двойных точки, лежащих соответственно на осях Ох
и Оу. Так как уравнение E8) — второй степени относительно постоянного С, то
через каждую точку плоскости проходит две кривых семейства, что нетрудно
было предвидеть, так как предложенное диференциальное уравнение дает два про-
противоположных значения -^ для каждой точки (х,у). Эти оба значения -гудела-
ются равными между собою только в том случае, если точка (х, у) принадлежит
кривой ХК=0, которая распадается на четыре прямых ?>,, Z>2, D3, Dt, парал-
параллельных оси Оу, и четыре прямых До Да, Дз. Д4. параллельных оси Ох. Предста-
Представим уравнение Эйлера в виде Ydx* — Xdy^^O и возьмём точку М (х, у) на
одной из прямых Д, например на Д,. Для координат точки М мы имеем Y=0,
ХфО, и уравнение Эйлера дает для -^- двойной корень --^ = 0. Через эту точку М
проходит первая интегральная кривая, именно, самл прямая Д4. Но можно

§ 375-376 П. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 33
убедиться, что кривые, представляемые формулою E8), имеют своею огибаюшею
совокупность восьми прямых, определяемых' уравнением XY=0, так что через
точку М прямой Д( проходит еще другая интегральная кривая, касающаяся пря-
прямой Д|. 3jecb мы имеем новый пример особых интегралов, так как восемь пря-
прямых Dj, Д/ не содержатся среди кривых, представляемых общим интегралом E8)
Примечание. При выводе формулы <58) мы предполагали, .что многочлен R (х)— четвер-
четвертой степени, первый со своею пронзводною. Но ясно, чго* полученный нами результат допускает
прямую проверку, в которую последнее предположение не входит. Например, применяя общий
метод (§ 362), можно было бы составить диференциальное уравнение кривых, представляемых'урав-
иением E8); полученное уравнение было бы необходимо тождественно с уравнением Эйлера при
всяких значениях коэфициентов а0, alt ... , ait так как оно тождественно с иим, когда эти коэфи-
циенты не удовлетворяют никакому частному соотношению. Следовате шно, фо мула E8) приме-
применима ко всем-случаям.
376. Метод, основанный на теорема Абеля. Общий интеграл уравнения
Эйлера также очень легко вывести из теоремы Абеля. Пусть теперь R (х) обозна-
обозначает многочлен третьей или четвертой степени, первый со своею производного, и
рассмотрим кривую С, определяемую уравнением у1* :=/? (х). Если переменная
алгебраическая кривая С встречает кривую С только в трех переменных точ-
точках Mt, Mit Ms, то, как мы доказали выще (§ 360),- коор шнаты этих трек пере-
переменных точек (х1( у{), (х2, у.2), (х$,Уз) удовлетворяют соотношению
**_, dx, + dxs = o E9)
У\ Уг Уз
Если секущая кривая С зависит от двух переменных параметров, которые
можно выбрать таким образом, чтобы две точки пересечения (л??, yt), (jf2, _у2) сов-
пачали с двумя любыми заранее выбранными точками кривой С, то координаты
третьей точки пересечения (х3, уз) будут функциями координат двух первых
точек (х{, у{- х%,у2), удовлетворяющими соотношению E9). Следовательно, уравне-
уравнение —- Н ^ = 0 равносильно уравнению —^ = 0, общий интеграл которого есть
.Vi -V2 Уз л
Хз — const. Так как точки (х{, у{), (дг3, _у.2) лежат на кривой С, то мы имеем:
у\ = R (х{), уЪ= R (х^), и уравнение—- -\ ^ = 0, которое можно представить
У< У-г
в виде:
dx dx^
VR{)
тождественно с уравнением Эйлера, только в других обозначениях. В формуле,
Определяющей общий интеграл
лг3 = F (*,, у{; х.2, j/a) = const, F1)
должно заменить _у4 и уг соотве ственно через \ R (х{) и YR (ха)> причем в фор-
формулах F0) и F1) корни должны иметь одни и те же знаки. Таким образом мы
здесь получаем для общего интеграла формулу, содержащую корни, тогда как
формула E8) рациональна. Но иррациональный вид иногда более выгоден.
Выполним вычисления, предполагая, что многочлен R {х) приведен к нормаль-
нормальной форме Лежандра R (х) = A — х2) A — №х% где k1 отлично от нуля и еди-
единицы. Парабола С:
j,= a*» + »* + l, F2)
встречает кривую С, представляемую уравнением у* = R {х), в точке (х = 0,
_у = 1) и в трех переменных точках, абсциссы х{, х%, Хз которых суть корни урав-
уравнения
(а% - k4-)xi + 2аЬх* + (Ь* + 1а + № + 1)л: + 2й = 0,. F3)
которое получим, исключая у и отбрасывая множитель х.
Из этого уравнения выводим соотношения:
№ + ?а + № 4- I
x3xt — да_ ff '—
3 Э. Гуреа, т. I, ч. 2.

:34 ГЛАВА XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 376—377
2Ъ
xlxax,=f ki_a2
и, следовательно.
х{ + х3+х3 = ах iX.^3- F4)
Но мы можем определить а и Ь, выразив, что парабола С' проходит через две
точки (хиу{), (х^.Уъ). В частности, мы имеем:
1
внося это значение а в предыдущую формулу, мы получим окончательно выра-
выражение для х3 через хь у{, х2, j/2:
J2 „.1
Следоратель::о, общий интеграл уравнения Эйлера
_gfL.+_g*«--Q F5)
пред1 тавится формулою:
377. Теоремы Дарбу. Рассмотрим диференциальное уравнение вида:
ydx) = 0, F7)
где L, М, N — целые многочлены относительно х, у степени не выше т, при1 ем
по крайней мере один из них будет степени т. Чтобы соотношение и (х, у) = const
представляло общий интеграл уравнения F7), необходимо и достаточно, чтобы
уравнение F7) было тождественно с уравнением -, dx + j- dy = 0, откуда выте-
вытекает равенство;
L — + M — — N(x — +y-)=0. F8)
ox ay \ dx oyj
Это условие принимает более симметричный вид, если мы заменим х через —
у
и у через — , гае z есть фиктивное переменное, которое после выполнения ука-
указанных действий мы всегда будем предполагать равным единице. После такой
замены и [х, у) обращается в однородную функцию нулевой степени и, следова-
следовательно, мы имеем:
д ди , ди .
ду дг
Поэтому условие F8) принимает вид:
b" *» ^ = A{u) = 0, F9)
д
L + M + N^ = A{u) 0,
дх ду дг
и, обратно, если мы получим однородную функцию нулевой степени и(х у, г),
удовлетворяющую соотношению F9), то и (х, у, z) = const представляет общий
интеграл уравнения F7).
Дарбу показал *, что можно со тавить функцию и (х, у, z), удовлетворяющую
этим условиям, когда известно некоторое число частных алгебраических интегра-
интегралов уравнения F7). Предположим, что уравнение F7) имеет алгебраический инте-
* „Sur les equations differentielles algebriques du premier ordre et du premier degre" (Bulletin
des Sciences malhematiques, \Ы%).

§ 377 П. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 35
грал, определяемый соотношением f(x, y) = 0, где f(x, у) — неразложимый много-
многочлен степени h. Повторяя предыдущие вычисления, мы видим, что соотношение
°- G0)
должно быть следствием уравнения /(х, у) = 0. Если мы и здесь заменим х
через — , у через — и затем умножим на zh, то f(x, у) обратится в однородную
функцию от х, у, z степени h, удовлетворяющую соотношению
y oz
а условие G0) примет вид:
+ Al + N=Nhf. G1)
дх ду dz
Эго условие удовлетворяется не тождественно, но при условии f(x\y, z) = 0.
TuK как по предположению это соотношение неприводимо, то, должно быть:
Л (/) = */, G2)
где k обозначает многочлен относительно х, у, z, который должен быть степени
т — 1, так как, если степень функции / есть h, то степень А (/) равна т-\- h — 1.
Предположим теперь, что мы нашли р алгебраических иитегралов ypjBHe-
ния F7), определяемых р соотношениями
Л (х, у) = 0, /,(*, jO = 0, ...,/, (х, у) = 0,
где fit /2, ... , /р — неразложимые мно очлены степеней Л,, hi, ... , hp. Для
этого неооходимо, чтобы имели место р тождеств следующего вида:
Л (Л) = *!/«, AtfJ^KJ»..., A{fp) = Kpfp, G3)
причем степень всех многочленов К\, К%, ... , К„ равна т — 1.
Заметим, что символ операции А (/) обладает свойствами, аналогичными свой-
свойствам производной, и, в частности, к нему можно приложить правило диференци-
рования сложных функций: если F (и, v, w) есть какая-нибудь функция от н, v, w,
то мы имеем:
Следовательно, если мы положим н^//^ ••• fV\ гДе ai> аъ ••• > ар ~ неко-
некоторые постоянные, то мы будем иметь:
-4(и) = а,/«'-1/? ••• /^ Л (/,) + <*.,/?'/г'" ...' fl"A(U)+...,
или, принимая во внимание формулы G3):
A{u) = (alKi+4Ki+ ... +арКр)и. G3')
Функция и (х, у, z) — однородная степени ath{ -f- a.2h.2 + • • • + "-php ¦ Если
мокно выбрать постоянные а,, ..., ар таким образом, чтобы было
сцЛ, + ... -\-*.php =
«,^,+ ...+«^ =
то уравнение и (х, у, z) = const представит, на основании доказанного выше,
общий интеграл рассматриваемого уравнения.
Уравнения G4) составляют систему -)-1 однородных уравнений отно-
еитеяьно аь а2, ... , ар, так как во втором уравнении многочлен степени т — 1
относительно х и у содержит — членов. Мы, наверное, сможем удовле«

36 ГЛАВА XVIll. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЁ УРАВНЕНИЯ § 377
творить этим уравнениям значениями а,-, которые не равны все нулю, и, следова-
следовательно, закончить интегрирование всякий раз, когда неизвестных будет больше,
чем уравнений, т. е. когда будет
т(т4-1)+± G5)
Это — первая теорема Дарбу. Если уравнения G4) не независимы, то можно
для них найти решения и тогда, когда р не достигает предыдущей гра-
границы 4LSHL 1 _|_ 2; в мемуаре Дарбу приведено много примеров этого рода.
Если известно только р=— -|- 1 частных алгебраических интегралов,
то можно выбрать р постоянных а,- таким образом, чтобы удовлетворялись
условия
_ dL ЬМ dN \
( G6)
...+a,ft, = -m-2, ' J
которые равносилен системе — — + 1 линейных неоднородных уравнений
Полученная таким образом функция и удовлетворяет уравнениям
Jo йй to fdL дМ , dN\
дх . ду дг \Ьх ду
QJX Qtl _
, 1 g i , i tfj I O\tj
ду Ьг
ди ,
отсюда, исключая — и заменяя г через 1, получим:
дг
. ди , ,,ди ,г Г, , m , ди , ди~] , fdL , дМ , dN
—- + — )=0,
ду oz /
х через
умножая на zm\ поэтому, полагая г = 1, мы имеем также:
Но мы придали функции ./V однородный вид, заменяя х через — , у через — и
дг дх ду
и' предыдущее соотношение может быть представлено в следующем виде:
_2лЛ=0. ,G7)
)
(MNy)+u(f+^x^
ду \дх ду дх ду
Нетрудно убедиться, что последнее условие показывает, что и есть интегрирую-
интегрирующий множитель уравнения F7). Таким образом мы получаем вторую теоргму
Дарбу.
„ /я (/я+ 1)
Еслч изве.тны ^-+1 частных алгебраических интегралов урав-
уравнения F7), то можно составить его интегрирующий множитель.
Доказательство этой последней теоремы неприменимо в том частном случае,
, т (т -<- 1) , ,
когда определитель из коэфициентов при неизвестных а,- в —^-- • -)- 1 уравне-
уравнениях, выведенных из соотношений G6), равен нулю. Но тогда мы можем удовле-
т(т -\- 1) , ,
творить —^——— -\-1 однородным уравнениям, которые получим, отбрасывая
правые части, значениями at, которые не все равны нулю, а следовательно,
по первой теореме, получить общий интеграл.

§ 377—378 II. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 37
Пример. Рассмотрим, в частности, уравнение Якоби (§ 367); здесь число
/и = 1. Найдем сначала линейные интегралы вида их -\- vy + wz — 0. На основа-
основании общего метода должно быть тождественно
и (bz + b'x + b"y) -+- v {cz + с'х -\- с"у) --J- w (az -\- а'х + а"у) — X (их + vy + wz),
где X — постоянный множитель; отсюда получаем три условия:
ub + vc + и» (а — X) = 0, н (Ь' — X) -\- vc' -\- wa' = 0,
ub" + v (с" — X) + и>я" = 0,
и, исключая и, v, w, приходим к у, авнению относительно X, уже выведенному
первым методом (§ 367).
Мы ограничимся рассмотрением общего случая, когда это уравнение относи-
относительно X имеет три различных корня Х{, Х2, Х3; каждый из этих корней приводи г
к линейному интегралу и, следовательно, мы имееи три линейных функцил X,
Y, Z, дающих тождества
На основании общей теории отсюда п-ожно получить общий интеграл, так
как в этом случае /и=1. Для этого'должно определить три числа a, f, f, удовле-
удовлетворяющих соотношениям
Мы можем взять
а = Х2 —Х3> p = Xs —Xt, T = ^i — h,
и, следовательно, общий интеграл уравнения Якоби будет:
Xh"h У1''11 Zli~M = const.
378. Приложения. Пусть требуется определить плоскую кривую по
данному соотношению F(x, у, т) =0 между координатами (х, у) пере-
переменной точки этой кривой и угловым коэфициентом т касательной
в этой точке; очевидно, что мы получим искомые кривые, интегрируя
диференциальное уравнение первого порядка F(x, у, у') = 0, которое
выводится из данного соотношения ^(лг, у, т)=0 заменою т через у'.
Если это уравнение будет степени q относительно у', то, как мы это
докажем ниже, через любую точку плоскости проходит вообще q кри-
кривых этого рода Рассмотрим, например, семейство кривых С, представ-
представляемых уравнением Ф(х, у, а) = 0, зависящим от одного произвольного
параметра, и найдем их ортогональные траектории,, т. е такие кривые С,
которые в каждой своей точке пересекают ортогонально кривую С, про-
проходящую через ту же точку. Пусть будут т, т угловые коэфициенты
касательных к ортогональным кривым С, С, проходящим через одну и
ту же точку (лг, у)\тпт' должны удовлетворять соотношению \ -\-т ^'=0.
С другой стороны, пусть будет F(x, у, У) = 0 диференциальное
уравнение данных кривых С; мы имеем F(x, у, т) = 0, так как т есть
угловой коэфициент касательной к кривой С, проходящей через точку
(х, у), и, следовательно, мы будем иметь:
Но т' — также угловой коэфициент касательной к кривой С', проходя-
проходящей через точку (х, у); следовательно, эта кривая удовлетворяет, с своей
стороны, уравнению i
Г[ху-у^о

38 ГЛАВА XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 378
Итак, мы получим дифергнциальное уразнение орто:опальных траек-
траекторий к кривым С, заменяя у1 через j- в диференциальном уравне-
уравнении кривых С.
Чтобы получить диференциальное уравнение кривых С, нужно исклю-
()Ф лФ
чить а из двух уравнений Ф = 0, 1 у1 = 0; следовательно, чтобы
оХ by
получить диференциальное уравнение ортогональных траекторий,
нужно исключить а из двух соотношений: Ф = 0,—— у1 — = 0.
Рассмотрим, например, семейство кривых второго порядка, представ-
представляемых уравнением:
УЧ- Зл2 — 2ах — 0,
где а — переменный'параметр. Применяя предыдущее правило, мы при-
приходим к однородному диференциальному уравнению
(у2 — Зх2)у' + 2ху=0.
Полагая в нем у—их и разделяя переменные, получим:
dx . 3 du du du
~x~ + ~u u~+\ ~u~^\ ~ '
отсюда имеем:
л:и3=С(и2 —1), или >г = С{у*—х%
Следовательно, ортогональные траектории суть кривые третьего порядка
с двойною точкою в начале координат.
Как более общий случай рассмотрим поверхность S, координаты
х, у, z точек которой выражены в функции двух переменных парамет-
параметров и, v:
x = /(u,v), y=f(u,v), z = ty{u,v).
Из этих формул выводим:
dx — —du-{--Ldv, dy — -^ da 4- -1 dv, di = -l du -4- -i dv.
dv
Всякому значению отношения — соответствует некоторая касательная
к поверхности, проходящая через точку (и, v). Если мы будем искать
такие кривые на этой поверхности, чтобы касательная к каждой из этих
кривых в любой ее точке зависела только от положения этой точки
на поверхности, то мы и здесь придем к интегрированию диференциаль-
рого уравнения первого порядка
/?H; G9)
и обратно, всякое уравнение такого вида устанавливает зависимость
между точками кривой, расположенной на поверхности. 6', и касатель-
касательными в этих точках.

§ 378-379 III. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 39
Определим, например, кривые, пересекающие под постоянным углом V
семейство данных кривых, расположенных на поверхности. Если две кри-
кривые С, С проходят через одну точку (и, v) и пересекаются под постоян-
постоянным углом V, то мы имеем общую формулу (т. I, § 252):
Edubu\rF(dubv + dvbu)\Odvbv
cos V= r г :, (80)
VE du2 -\- 2Fdu dv -\- G dv2 \ E bu2 -+- 2F6u Sv-^-G dv2
где E, F, G имеют обычное значение, du, dv обозначают диференциалы,
соответствующие перемещению по кривой • С, а диференциалы Ьи, bv
bv
соответствуют перемещению по кривой С. Если кривые С даны, то -г-
Си
bv
есть известная функция от и и г;, — = л(н, v), и, заменяя в предыду-
bv
щем соотношении (80) г- через я (и, v), мы получим соотношение вида:
искомых
Flu, v, — 1=0, представляющее диференциальное уравнение
\ <*v}
траекторий.
Рассмотрим, например, траектории, пересекающие под постоянным
углом меридианы поверхности вращения
х = р cos со,
Мы имеем здесь:
« = р, v=a>, E = l
уравнение (80) обращается в
-г-г-
Решая последнее уравнение относительно dm, находим:
. ,.]/l+/'2(p d?
dw — tg V —-,
Р
откуда ш получается квадратурою.
III. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.
dny
379. Интегрирование уравнения—-^=/(лт). Пусть нам дано диферен-
циальное уравнение л-го порядка
^ = F(x,y,jf,y, ... ,/•-«), (81)
где yW ч= —;.; пользуясь этим уравнением и теми, которые

40 ГЛАВА XVIU ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 379
из него последовательными, диференцированиями, мы можем выразить все
производные, начиная с _у(/1\ через х, у, у', у", ... , у^п~г\ Следова-
Следовательно, если для частного значения ха независимого переменного мы зада-
зададим соответствующие значения у0, у'о, ... ., у^~^ искомой функции у
и ее п—1 первых производных, то мы можем вычислить таким спосо-
способом значения всех высших производных неизвестной функции при значе-
значении х0 переменного х и составить целый ряд
сумма которого представляет искомый интеграл, если только этот инте-
интеграл разлагается по формуле Тейлора. До работ Коши сходимость этого
ряда принимали без доказательства*. Несколько далее мы увидим, что
это действительно будет так при некоторых условиях, которые мы точно
установим. Здесь же иы укажем только несколько простых типов дифе-
ренциальных уравнений л-го порядка, интегрирование которых может быть
приведено к квадратурам или к интегрированию уравнения порядка нлже,
чем п.
Диференциальное уравнение
представляет самый простой тип диференциального уравнения и-го
порядка. Оно интегрируется п последовательными квадратурами; в самом
деле, обозначая- через х0 произвольное постоянное число имеем после-
последовательно:
X
d"-1y_ Г
/(x)dx-{-C0,
rfn-S
ах"~' J . J и *
ж х х
y—[dx[dx... [f{x)dx4-
^"ь2. . (я°— 1) '"*" 1.2 :..(n — U) + * * * + C«-i»
raeCs_,, Ся_5, ... , Co суть /г произвольных постоянных, равных соответ-
соответственно значениям интеграла "й * его 4—1 первых производных при
X = Хп.
* См„ например, „Traits" Лакруа.

§ 379 III. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 41
Выражение х х х
У== [dx [dx ... Г/ x)dx
Х„ X,
содержит п последовательных квадратур; но его можно заменить выраже-
выражением, содержащим только одну квадратуру, выполняемую над функциею,
в которую переменное х в содит как параметр. Ниже это предложение
будет выведено как следствие из общей теории (§ 401), но его нетрудно
проверить и непосредственно. В самом деле, положим:
(84)
1.2.Л-
применяя известные правила диференцирования определенных интегралов,
получим отсюда последе ательно:
ну i \
d"Y
и, наконец, - =/(лг). Следовательно, функция К, есть интеграл урав-
ctx
нения (83). Сверх того, функции К и F, вместе' со своими п — 1 пер-
первыми производными равны нулю при х—х0. Следовательно, обе они
делятся на (л: — хо)п; но их разность, представляющая многочлен не выше
(п—1)-й степени, может делиться на (л: — хо)а только в том случае,
если она тождественно равна нулю; следовательно, У1= У-
I d"y \
Если уравнение FI х, ——• = 0 может быть разрешено относительно
d"y
производной —~, дело сводится к вышеописанному процессу вычисления.
ctx
Но может случиться, что разрешение этого уравнения относительно ^—^
практически невозможно, а между тем, х и —- можно выразить в фун-
сие
кции вспомогательного параметра t следующим образом:
В этом случае мы можем выразив все производные у1"', у(-п~2'>, . ..
и самую функцию у через тот же параметр t в квадратурах. Действи-
Действительно, мы имеем:.
dy(n-i) = y(n)dx = h(t)g\t)dt,
и, следовательно,
J с

42 ГЛАВА XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 379^-380
Вообще, зная у№> в функции t, мы получим у<-Р-и по формуле:
Возьмем, в частности, интеграл Y, обращающийся в нуль вместе со сво-
своими я—1 первыми производными при лг = лг0. Этот интеграл имеет вид:
dny
причем мы подставили вместо -— его выражение /(л:) из заданного
4"у
диференциального уравнения - ~ =/ ix).
&х
Пусть t0 — значение параметра tK соответствующее значению л;0 неза-
независимого переменного; если в предыдущей формуле мы сделаем замену
переменного z = g(u), мы получим:
t
Y = i^zrni \[g[t) ~еШя-У(ти) da,.
так как f\glu)], очевидно, равно /г(и).
Легко проверить непосредственным вычислением, аналогичным преды-
предыдущему что все производные от Y по х до (п— 1)-го порядка вклю-
включительно, обращаются в нуль при t = t0, а производная порядка п
равна h(t).
dny
Примеры. 1. Если уравнение между л: и -т—^ алгебраическое рода
нуль, то за функции g{t) и h(t) можно взять рациональные функции, и
мы получим общий интеграл, интегрируя рациональную функцию.
2. Когда заданное уравнение разрешено относительно х., можно
положить h[t) = t, и вычисление определенного интеграла
[g(t)-g(a)]a-ig'(a)adi
'о
сводится интеграцией по частям к вычислению интеграла:
к
380. Различные случаи понижения порядка. Вот наиболее часто встре-
встречающиеся случаи, когда можно понизить порядок уравнения:
1. Уравнение не содержит неизвестной функции. Уравнение вида:
ч dv \
•¦•••^Н 0 <*<«>. (85)
непосредственно приводится к уракн^нию (tj-1— ft)-ro порядка подстанов-

§ 380 III. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 43
dky
кою —-г=и. Если можно проинтегрировать получающееся вспомога-
dx*
тельное уравнение для и, то затем мы получим у квадратурами, как это
было указано в предыдущем параграфе.
dy
Иногда бывает возможно выразить х и и — —-^ через вспомогательный
параметр t формулами:
причем функции / и <р содержат также произвольные постоянные, вве-
введенные при интегрировании уравнения относительно и. Мы можем в этом
случае выразить и у через t квадратурами. Мы имеем сначала:
rfy(*-i) = ср (/) dx = ср (O/'tf) <«;
отсюда получим _у(*-М; также вычислим последовательно jA*~2', ...у'
до _у.
2. Уравнение не содержит независимого переменного. Если мы
имеем уравнение вида:
' dx'
то его можно было бы привести к предыдущему виду, приняв у за
независимое переменное, ад: — за неизвестную функцию; новое уравнение
л dx
не содержало бы х, и взяв — за новое неизвестное, мы пришли бы
к уравнению (л — 1)-го порядка. Но можно выполнить эти оба преобра-
dy
зования сразу, приняв у за независимое переменное и —-=р за неиз-
CIX
вестную функцию. В самом деле, мы имеем:
d2y dp dp dy dp
dx dy dx dy'
d3y d I dp\ d . dp\
— == — I /7 —— 1 = - \ p —— n = n
dx3 dx \ dy) dy \ dy/
dy) +P dy*
dry
и т. д. Вообще, -— выразится через р и его г — 1 производных
CIX
по у. Следовательно, мы действительно получим диференциальное урав-
уравнение (л — 1 )-го порядка.
Предположим, что мы проинтегрировали это вспомогательное уравне-
уравнение (п—1)-го порядка; чтобы иметь дело с самым общим случаем, пред-
предположим также, что переменные у и р выражены формулами y=f(t),
p=*y{t) через вспомогательное перэменнэе t, которое может быть равно
и одному из них; дричем функции / и ср зависят, кроме того, от про-

44 ГЛАВА XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ §. 380
извольных постоянных. Из соотношения dy = pdx будем иметь t'(t)dt =
= ср (t) dx, так что х, в свою очередь, получится одной* квадратурою:
Этот метод особенно удобен в применении к уравнению второго
порядка:
которое, таким образом, приводится к уравнению первого порядка:
Пусть будег р = <р(у, С) общий интеграл это о уравнения первого
порядка. Из соотношения — = ср (у, С) мы получим х квадратурою:
CLX
Если общий интеграл уравнения относительно р разрешен относи-
относительно у и может быть представлен в виде у =/(/?, С), то мы имеем
также
и, следовательно,
'(p)dp
Таким образом координаты точек интегральной кривой будут выражены
через вспомогательный параметр р, представляющий угловой коэфициент
касательной к этой кривой.
. 3. Уравнение, однородное относительно у, у', у", ... , Ул). Еслит
есть степень однородности уравнения, то последнее можно представить
в виде:
( V' У" у(П)\-0- (87)
у ' 7*'" 'Т]~ ' ( '
мы видим, что, если уг есть его частный интеграл, то будет интегралом
и Х_У], каково бы ни было постоянное X. Полагая у = е^ , можно по-
понизить порядок этого уравнения на единицу; в самом деле, мы имеем:
. \udx „ Г a dx
yl = uei , y" = ei
(и'-f «*), ....
е-
и, вообще, у^ равно произведению е- на целую функцию от и, и\
и", .. , и^г~1\ Таким образом после предыдущей подстановки рассма-
рассматриваемое уравнение обращается в уравнение (п—1)-го порядка отно-
относительно и.
4. Уравнение, однородное относительна х, у, dx, dy, d2y, .... af"y.
1акое уравнение не меняется при изменении х в Сх и у в Су,

§ 380-381 III. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 45
у
где С—какое-нибудь постоянное. Предположим, что мы взяли — = и
за новую неизвестную функцию и t~TX>gx за новое независимое пере-
переменное. Полученное диференциальное уравнение не дблжно изменяться,
когда мы заменим t через t -j- Log С, не меняя и: следовательно, оно не
должно явно содержать переменного t. В самом деле, наше уравнение не
должно меняться от умножения х, у, dx, dy, , dny на С, следовательно,
от умножения v', у", У",..., у(л) соответственно на 1, С, С~2, ...
. . . , С~п+г. Отсюда легко видеть, что рассматриваемое уравнение дол-
должно иметь вид:
f(~, У, ху",
\ х
Если мы полож iM у = их, то вообще будем иметь:
и произведения ху", х2у'п, ... выразятся через и,хи', х2и", ... , х"^"),
так что наше уравнение примет вид:
Ф(и, хи1, х*и", ..., xnuW) = Q.
Если мы затем положим х = е', то все произведения хи', х2и", . .. вы-
du
разятся в функции от —, —— , ... , и мы, действительно, придем к
урав 1ению, не содержащему переменного t *.
Примечание. Применяя различные, указанные выше способы приведения, мы иногда
можем получить некоторые интегралы вспомогательного уравнения, хотя и не можем найти его
общий интеграл. П едыдущие методы не теряют своего значения и в этом случае; оии позво-
позволяют получить в квадратурах интегралы рассматриваемого уравнения; но в этом случае найденные
интегралы будут содержать менее, чем п произвольных постоянных.
381. Приложения. 1. Уравнения вида y=/(jr) входят в один из предыду-
предыдущих типов, но их можно интегрировать и непосредственно; в самом деле, умнэ-
жая обе части на 2у', мы получим после первого интегрирования:
уа = С + Г 2/(jr) dy = F(y) + С,
Уо
и отсюда найдем х квадратурою:
Рассмотрим, например, уравнение
У == *^оУ ~i~ ^ \У^ "Т" &%У "I ^з >
* Можно также поступать иначе, взяв за переменные а и v — хи'. В самом деле, мы полу-
dv , , „ „ dv , , . „ dv
чим . = а' + хи" и, следовательно, хги = — и'х — хи\ или х*и" = v -=—- v.
dx pu du
Продолжая применять тот же прием, мы придем к диференциальному уравнению (л — 1>го
порядка между и н v.

46 ГЛАВА XVltl. ДИФЁРЁНЦИАЛЬНЫЁ УРАВНЕНИЯ § 381
где по крайней мере один из коэфициентов а0, а{ не равен нулю. Умножая обе
части на 2у и интегрируя, получим сначала:
У2 = Ц У + | «tV1 + а»У + 2а3у + С.
ОЗщий интеграл этого нового уравнения есть эллиптическая функция (§ 372),
которая, в частности, может приводиться к простой периодической функции или
даже к рациональной функции, если постоянное С выбрано таким образом, чтобы
многочлен, стоящий в правой части, не был первым со своею производного.
2. Иногда удается применить последовательно несколько методов приведения
к одному и тому же уравнению. Рассмотрим, например, уравнение четвертого
порядка 5(У"M — зуу-v = 0. Если мы сначала положим у" = и, то получим уравне-
уравнение второго порядка 5и'2 — 3««"=0, однородное относительно и, и', и". Поло-
(vdx v' 2
жим, далее, и = е ; мы будем иметь 3»' =¦ 2vi, или -^=^т, отсюда
3 1
где а — произвольное постоянное. Затем последовательно получим:
1
у = — АЬ (х ¦+ afГ + сх + d,
где Ь, с. d — постоянные. Таким образом мы "пришли к общему уравнению пара-
парабол (§ Зэ2).
Ь. Определим плоские кривые, радиус кривизны котстых пропорционален
отрезку нормали, заключающемуся между ее основанием М и точкою пересече-
пересечения N эгой нормали с данною прямою. Примем данную прямую за ось Одг;тогда
диференциальное уравнение задачи будет:
l+/2 + W/' = 0, (88)
причем (I равно отношению радиуса кривизны к длине MN. взятому со знаками
плюс или минус, в зависимости от того, совпадает ли направление от Ж к центру
кривизны с направлением ММ или противоположно ему. Чтобы проинтегриро-
проинтегрировать уравнение (88), положим у' = р; уравнение примет вид:
или
dy
после первого интегрирования получим:
_
где С — произвольное постоянное. Затем из соотношения dy = pdx будем иметь:
или

§ 381 III. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 47
Положим р = tg а; тогда все кривые, получающиеся при изменении постоян-
постоянных С и Xq , получатся перемещением или преобразованием подобия из кривой Г,
представляемой уравнениями:
а
х = |i \ cosh-o da, у = cos^ а. (Г)
и
По этим уравнениям нетрудно составить представление о форме кривой при
всяком значении количества р.. Если у- — целое, то квадратуру можно выполнить.
Если ц — целое положительное, то кривая не имеет ветеей, простирающихся в
бесконечность, но она может иметь ДВ1 существенно различных вида в зависи-
зависимости от четности или нечетности чиста ц Если ц — число нечетное, то х есть
периодическая функция от а (т. I, § 117), а кривая Г есть выпуклая замкнутая
алгебраическая кривая. Если ц — четное, то х возрастает на постоянное количе-
•ство, отличное от нуля, когда а возрастает на 2п; у всегда положительно. Мы
имеем периодическую кривую с бесконечным множеством точек возврата, лежа-
лежащих на оси Ох. По виду кривая похожа на циклоиду; она обращается в послед-
последнюю при jx = 2.
Примечание. В предыдущих примерах мы всегда старались свести интегрирование
диференциальнего уравнения к интегрированию уравнения низшего порядка. Как это ни странно на
первый взгляд, но н обратный прием молет иногда привести к цели. Рассмотрим, например, ди-
ференциальное уравнение первого порядка Т (х, у, у') = 0; дифереицируя его и комбинируя полу-
полученное уравнение с данным, мы, очевидно, получим бесконечное множество диференцнальных
уравнении второго порядка, которые имеют интегралами все интегралы рассматриваемого уравне-
уравнения. Предположим, чго, поступая таким образом, мы можем наитн уравнение второго порядка,
.огорое можно прои тегрировагь; пусть будет у = со (•». С, С) его общий интеграл. Все интегралы
рассматриваемого уравнения первого порядка заключаются в этой формуле, ио, так как они зави-
зависят только от одного произволыого постоянного, то между пост янными С и С должно суще-
существовать некоторое соотношение. Чтобы его получить, достаточно выразить, что функция ср (х, С, С)
удовлетворяет предложенному уравнению первого порядка; таким образом мы придем к некоторому
определенному соотношению между постоянными С, С.
Самый интересный пример этого приема дан Монжем (Monge), который применил его к
нахождению линий кривизны эллипсоида. Пусть будут 2а, 2Ь, 2с оси эллипсоида; проекции линий
кривизны на плоек сть, проходящую через большую и среднюю ось. определяются диференциаль-
иым уравнением:
А хуу'* + (л' - Ау* — В)у' — ху = 0, )
(,¦>(№ — С2) _qi (a? — ft») > (89)
Ы (а' -с')' а' — с*,' >
Диференцируя уравнение (89) и исключая затем количество хч — Ду2 — В, мы получим дифе-
ренцнальное уравнение второго порядка:
V" V' 1
у— + I = 0;
У X
отсюда последовательно находим:
уу' = Сх и у1 = Схг + С.
Мы получим общий интеграл уравнения (89), установив между С и С соотношение
АСС'-\- С + ВС = 0, в чем можно убедиться, заменяя в левой части уравнения у1 через Сх1 + С *.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Найти диферёнциальное уравнение кривых второго порядка, исходя из их
общего уравнения в нерешенном виде и исключая коэфициенты из этого урав-
уравнения и из ураьиений, полученных из него посредством пятикратного дифе|генци-
рования.,
2. Проинтегрировать диференциальные уравнения:
(уа_ у*=у(у'1+у)*, jr(l-T-2y*j + jcy = 0,
A +у2)уу" — (Зуг _ \)y"i, (лг2 +у*)у" —уу'* + ху'3 + ху' —у = О,
Чху (y — 2a)y' — 2yi(y — 2a) — 0, хуу" + ху'2 -^ уу' = 0,
i — 4 = 0.
* Уравнение (89) тачже легко интегрируется обычными приемами. В самом деле, достаточно
положить jc* = X, у* = К, умножив предварительно все члены уравнения на ху dxi, чтобы приттн
к уравнению К iepo.
Лагранж и, Дарбу упофебляли аналогичные искусственные приемы для интегрирования урав-
уравнения Эйлера (см. Бертран (Bertrand), Traite de Calcul integral, стр. 569—572). Сюда же примыкает
теорема Аппеля (Appel), Comptes rendus, 12 ноября 1888).

48 ГЛАВА XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЁ УРАВНЕНИЯ §381
3. Применить общие методы понижения порядка к интегрированию дифе-
речциального-уравнения конических сечений и к уравнению у"ут-= feyivs.
4. Найги те интегралы уравнения y"=z2yi{y—1), которые представляют
рациональные функции или простые периодические функции переменного.
5. Подобные сети. Семейство окружностей, задается тремя функциями
a=f(a\ b = g(a),k = h (a\ представляющими координаты центра и радиус через
параметр а; два семейства (а, Ъ, k) и (а(, bit ft,) называются подобными, если вы-
выполняются условия:
Диференциальные ур внения ортогональных траекторий таких двух семейств соз-
падают между собою (§ 368, приложение).
Пусть Г, Г, — кривые центров окружностей этих двух семейств; первое
условие (а) выражает параллелизм касательных в соответственных точках кри-
кривых Г и Т{. Дня заданного семейства (at, bit ft,) можно найти все ему подобные
семейстра, задав произвольно кривую Г, и установив точечное соответствие
между Г, Г4 посредством параллелизма касательных, второе же условие (а)
определит тогда радиус ft,.
Среди семейств, подобных данному, всегда имеется бесконечное множество,
образующее семейство окружностей, ортогональных к данной окружности. В
самом деле, если к двум уравнениям (а> прибавить условие (^-\-,ь\— ftj=ft2,
выражающее ортогональность окружное i и (а,, b{, ft,) к окружности @, 0, ft), мы
получаем систему трех уравнений для определения (a,, 6,, ft,).
[См. диссертацию Rdaquet, Тулуза 1882].
6. Даны треугольник ABC и кривая Г, лежащая в плоскости этого треуголь-
треугольника; пусть будут а, Ь, с точки пересечения сторон треугольника с касательного»
к кривой Г в точке т. Найти кривые Г, для которых ангармоническое отноше-
отношение четырех точек т, а, Ь, с остается постоянным, когда точка т перемещается
по одной из этих кривых.
Доказать, что при этом ангармоническое отношение касательной в точке т
и прямых тА, тВ, тС также постоянно.
¦ 7. Даны точка О и прямая D; найти такую кривую, чтобы отрезок касатель-
касательной МЫ, заключающийся между точкою прикосновения М и точкою N, в кото-
которой касательная пересекает прямую D, был* виден из точки О под постоянным
углом.
8. Найти проекции на плоскость хОу кривых, лежащих на параболоиде
2аг = nvfl-\-у%, касательные к которым образуют с осью Ог данный постоянный
угол f.
9. Нчйти ортогональные траектории семейств кривых, представляемых одним
из следующих уравнений:
где а — переменный параметр.
10. Доказать, что необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение
" (,Х:У) — С представляло семейство параллельных кривых, есть
где <р F) есть произвольная функция от 8.
[Вырчзить, что ортогональные траектории суть прямые линии].
11.. Найги необходимое и достаточное условие того, чтобы интегральные
кривые уравнения у' =/ (х, у) представляли семейство параллельных кривых, и
показать, что в этЬм случае интегрирование уравнения можно выполнить квадр!-
турою.
12*. Составить общее уравнение кривых ьторого порядка, пересекающих
ортогонально данную кривую второго порядка С в четырех общих точках. Эти

§ 381 УПРАЖНЕНИЯ 49
кривые вто ого порядка образуют, вообще, несколько различных семейств; найти
ортогональные траектории каждого из этих семейств. Вывести отсюда все орто-
ортогональные системы, у которых оба семейства состоят из кривых второго порядка.
[Если f=0, <p = 0 суть уравнения двух кривых второго порядка, пересекаю-
пересекающихся ортогонально в четырех общих точках, то должно иметь место тождество
вида:
d/df dfd?
7" г- + г- г- = V + WP.
дх дх ду ду
где X и |t — постоянные коэфициенты].
13. Нагти условие, при котором интегральные кривые диферен шального
уравнения у' =f(x,y) составляют семейство изотермических линий, и показать,
что в этом случае можно получить интегрирующий множитель.
[Софус Ли.]
14. Найти такую плоскую кривую С, чтобы треугольник, имеющий одну вер-
вершину в произвольной точке М этой кривой, другую в соответствующем центре
кривизны и третью — в основании ординаты точки М, имел постоянную пло-
площадь. Показать, что одна из координат выражается в функции другой квадра-.
турою, и что можно, не интегрируя уравнения, составить представление- о форме
кривой. [Взять прямоугольные оси координат.]
15. Пусть будет М некоторая точка данной плоской кривой С, Р — ц?нтр
кривизны кривой, соответствующий этой точке, М Т— касательная. Через точку Т,
в которой касательная пересекаетесь Ох, проведена прямая, параллельная оси Оу,
пересекающая нормаль МР в некоторой точке N. Определить кривую С таким
образом, чтобы отношение МР к MN было постоянным.
16. Найти такие поверхности вращения, чтобы в каждой их точке радиусы
кривизны главных Сечений были направлены в одну сторону и имели по!тоян-
ную сумму а. Какой вид имеет меридиан поверхности?
17*. Показать, что общий интеграл уравнения Эй ,ера может быть пре ;ста-
влен в виде:
[У -ао{х + J0» - at(x + у) - ак= С,
[ х_у
где X — аох* + а{х^ + а^ + а3х
[Лагранж.]
[Достаточно решить уравнение E8) (§ 375) относительно постоянного' поел;
нескольких преобразований мы придем к требуемому виду.]
18. Асимптотические линии поверхно.ти, представляемой уравнениями:
х = А (и — a)m(v — а)п,
у = В(и— b)m\v — Ь)п,
l
получаются интегрированием уравнения Эйлера, если m=zn и и т-\-п —
Вывести отсюда асимптотические линии тетраэдральной поверхности
19. Найти условия, при котор.х дифергнциальное уравнение
dy-f(x,y)dx=?0
имеет интегрирующий множитель виза XY, где X зависит точько от х, и У —
только от у, и показать, как найти этот м ожитель, если он сущ.ств\ет.
20*. Да1Э плоская кривая С. Рассмофим середину т хорды ММ, соединя-
соединяющей две п; оизвольные точки М, М' этой кривой. Если точка М остается
неподвижною, а точка М' описывает кривую С, то точка т описывает кривую с,
подобную С. Показать, что кривые с удовлетворяют диферен шальному уравне-
уравнению первого порядка, которое интегрируется, как и уравнение Клеро, заменою
4 Э. Гурса, т. II, ч, 2.

50 ГЛАВА XVIII. ДИФЁРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 381
в нем у произвольным постоянным. (Bulletin de la Soclete matfiematique,
т. XXIII, стр. о8).
21. Проинтегрировать ди^еренциальное уравнение
Р(/'. У — ху»,у - ху' + ~уп.) = 0.
Заметим, что у"' входит множителем в прои водную от левой части. Существуют
аналогичные уравнения любого порядка |см. Диксон (Dixon), Philosophical
Transactions, т. CLXXXVI, часть I; Р а ф ф и (Raffy), Bulletin de la Societe mathe-
matique, т. XXV, стр. 71; Б у н и ц к и Й, Bulletin des Sciences mathetnatiqu.es, т. XXXI,
2-я еерия, стр. 250].
22*. Всякое уравнение вида: у"*-\-у'* =f (У -f- у), допускает, вообще говоря,
бесконечное множество особых интегралов, определяемых некоторым диферен-
циальным уравнением первого порядка.
[Nouvelles Annales de Mathematiques, 4-я серия, т. XX, октябрь 19-0].

ГЛ ABA' XIX.
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ.
Первые строгие методы доказательств существования интегралов
системы дифёренциальных уравнений и уравнений с частными производ-
производными принадлежат Коши. Знаменитый математик дал для аналитических
уравнений тип приема доказательства, основанного на методе сравнения,
названном им исчислением пределов. Ему принадлежит также и другой
метод, в котором не предполагается, что данные уравнения — аналити-
аналитические; о нем мы будем говорить далее.
I. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ.
382. Общие положения. Основная идея исчисления пределов состоит
в применении усиливающих функций, рассуждения здесь очень похожи .
на те, которыми мы пользовались при доказательстве существования
неявных функций (т. I, § 184). Так как всякая аналитическая функция
имеет бесконечное множество усиливающих функций, то понятно, что
этот метод 'можно видоизменять весьма различным образом. Простота
доказательства зависит в значительной мере от выбора усиливающих
функций. После работ Коши его доказательства были усовершенствованы
и распространены на более общие случаи Брио и Буке, Вейерштрассом,
Дарбу, Мерей, Рикье (Ftiquier), Ковалевского и многими другими. И теперь
еще постоянно пользуются этим методом при исследовании аналогичных во-
вопросов, касающихся уравнений в частных производных, при разнооб-
разнообразных начальных условиях.
383. Существование интегралов системы дифёренциальных уравнений
Рассмотрим сначала одно уравнение
?-«*•»• (|)
правая часть которого голоморфна вблизи системы значений ха, уа.
Докажем, что это уравнение имеет интеграл у(х), голоморфный
в области точки лг0 и обоащающийся в уа при х = ха.
Предположим для сокращения формул, что хо—уо = О; это равно-
равносильно условию обозначать х — х0 и у—у0 через х и у. Если данное
уравнение имеет интеграл, голоморфный вблизи точки лг=О и обра-
обращающийся в нуль вместе с х, то, чтобы составить разложение в целый
ряд этого интеграла, нужно только знать значения всех высших произ
водных этого интеграла при х = 0.
4*

52 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 383
Прежде всего из уравнения A) мы имеем | — I =/ч0, 0) с другой
стороны, из уравнений, которые мы получим, повторно диференцируя
уравнение A), мы можем вычислить значение производной любого
порядка в функции от х, у и производных низшего порядка:
d2y д/ й/ а у
dxz Ъх Ъу dx'
B)
d3y _^ i 2 a2/ dy -i *f(dy\* I Ъ1срУ
dx3 bx2"f" bxby dx*by2 \dx) ~* by dx2 '
Полагая в этих соотношениях х =у = 0, мы выразим последовательно
начальные значения высших производных
искомого интеграла через коэфициенты разложения функции f(x, у) по
степеням х и у. До работ Коши принимали без доказательства, что
полученный таким образом целый ряд
__'(dy\ х ,(d2y\ x2 \(dny\ x"
\ И г I 1 •" I Л1-2 / 1.0 ~Г • • • I V //*•"/- 1 . 9 я
\ах10 1 \ах /01 z \ах /0 i z.. .п
-}-... C)
будет сходящимся при всех значениях х, близких к нулю.
Чтобы доказать это существенное предложение со всею строгостью,
заметим, что действия, помощью которых вычисляются коэфициенты
ряда C), состоят исключительно только из сложений и умножений, так
ldny \
\dxn /0
ldy \
что значение, получающееся для ~ , можно представить в виде:
\dxn /0
- • • • .«о». • • • .<**<>)>
где Рп есть многочлен с целыми положительными коэфициентами, a alk
обозначает (Коэфициент при х1ук в разложении /(дг, у). Следовательно,
если мы заменим функцию f(x, у) усиливающею функциею eg (at, К) и
будем искать голоморфный интеграл вспомогательного уравнения
dY
^ = <р (х, Y), E)
обращающийся в нуль вместе с х, то коэфициенты ряда, представляю-
представляющего разложение функции Y, будут положительными числами, соответ-
соответственно большими модулей коэфициентов того же порядка ряда (А).
Если ряд, ¦ представляющий Y, — сходящийся в некоторой области, то,
тем более, будет сходящимся и ряд C). Но ряд для Y будет, наверное,
сходящимся, если вспомогательное уравнение имеет голоморфный инте-
интеграл, обращающийся в нуль при х = 0.'
Предположим, что функция /(х, у) голоморфна, когда значения х
к у остаются внутри. кругов С, С, описанных в плоскостях обоих пере-

§ 383 I. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ 53
менных из начала координат радиусами а и Ь, и непрерывна- на самих
окружностях С, С; пусть будет М верхняя граница модуля | f (х, у) |
в этой области. За усиливающую функцию можно взять выражение
и вспомогательное уравнение E), по умножении обеих частей на ( 1
можно представить в виде:
Y\dY_ M
:х
1 ¦ "
а
Мы можем непосредственно убедиться, что это уравнение имеет голо-
голоморфный интеграл, обращающийся в нуль при л: = 0; в самом-деле, так
как переменные разделены, то мы получаем из этого уравнения:
G)
Постоянное, которое нужно прибавить к правой части, чтобы иметь
общий интеграл уравнения F), здесь равно нулю, если мы примем для
логарифма значение, равное нулю при лг = О. Решая уравнение G) от-
относительно Y, получим:
(8)
если мы примем для корня значение, обращающееся в единицу при
х = 0, то формула (8), действительно, представит интеграл уравнения F),
равный нулю при х = о. Эта функция Y голоморфна в области точки
л;:=0; в самом деле, функция, стоящая под корнем, голоморфна внутри
круга С с радиусом а, и обращается в нуль при
_ь_\
~ V
Если переменное х остается внутри круга С , описанного из начала
М
2аМ) (9)
2аМ . (. х\
координат радиусом, равным ?, то мод, ль количества —-— Log II 1
остается меньшем единицы*, и потому корень есть функция от х, голо-
голоморфная в этом круге С. Следовательно, ряд, представляющий разложе-
разложение функции Y, — сходящийся в круге с радиусом р, и это тем более
верно по отношению к первому полученному ряду C).
Из формулы C) легко видеть, что все коэфициенты разложения У
действительны и положительны, что мы, впрочем, знали уже заранее.
Следовательно, если мы дадим х какое-нибудь значение, модуль которого
* В самом деле, все коэфициенты разложения этой функции по степеням х дейагвителыш и
отрицательны. Следовательно, ее модуль при ] х | < р меньше модуля того зна ення, которое она
принимает п.ш х = р, т. е. меньше единицы.

54 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 383
меньше р, то модуль значения Y будет меньше суммы ряда, получаю-
получающегося при замене х через р. Таким образом во всякой точке, взятой
в круге С, мы имеем \Y\<^b, а следовательно, н'\у\<^Ь. Следова-
Следовательно, если мы заменим в f(x, у) количество у суммою ряда C), то
результат подстановки будет некоторою функ'циею Ф (л:), голоморфною
в круге с радиусом р. Из способа получения коэфициентов ряда C) сле-
dy
дует, что две функции Ф(х) и -т- вместе со всеми своими производными
&х
равны между собою при х = 0. Следовательно, они тождественны между
собою, и голоморфная функция у удовлетворяет всем требуемым условиям.
Чтобы получить коэфициенты ряда C), можно непосредственно под-
подставить в уравнение A) вместо у целый ряд у—С^х + С2х2 -)- ... и
выразить, что обе части уравнения между собою тождественны. Коэ.фи-
циент при х"'1 в — есть пСп, а коэфициент при хп~л в правой части
зависит, очевидно, только от С,, C2> ..., Сп_г и от коэфициентов ajk.
Таким образом нетрудно проверить, что коэфициенты Сп вычисляются
только при помощи сложения и умножения.
Этот метод легко распространить на систему из любого числа урав-
уравнений первого порядка. Пусть будет
¦?;=МХ> Ум У* •••» Уп) (/*=!, 2,,.., л) A0)
система диференциальных уравнений, в которых функции ft голоморфны
вблизи значений х0, (v3H, ... , (уяH. Эти уравнения имеют систему
интегралов, голоморфных, в области точки х0 и обращающихся при
х = х0 соответственно в (у,H, {у2H, ..., {упH.
Повторяя рассуждения, вполне аналогичные предыдущим, мы приведем
доказательство этой теоремы к доказательству предложения, что система
вспомогательных уравнений
dx dx dx
A1)
имеет систему интегралов, голоморфных вблизи точки л: = 0 и обра-
обращающихся в нуль при х = 0; при этом мы предполагаем, что ф,нк-
ции /(- остаются голоморфными, и \ft\<^M, пока |лг — хо'^а,
\У[ — (уД)!^* Так как эти интегралы имеют одинаковые производные
и все обращаются в нуль при л: = 0, то они должны быть тождественны;
поэтому достаточно рассмотреть только одно уравнение
dY _ М
dx
где опять можно разделить переменные. Это уравнение имеет интеграл

§ 383-384. I. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ 55
\
голоморфный в круге с радиусом р = а\\ -т- e^" + ^MaJ и. равный нулю
при лг = О. Следовательно, интегралы системы A0) голоморфны в том же круге.
Одно уравнение л-го порядка
можно заменить равносильною системою п уравнений первого порядка:
dx~yv dx ~y*' •' ~аГ~Уп-г'
вводя в качестве вспомогательных неизвестных производные от у до
(п—1)-го порядка. Отсюда мы получаем общую теорему:
Уравнение A2) имеет интеграл, голоморфный в области точки х0
и притом такой, что этот интеграл и его (и—1) первых производ-
производных принимают при х = х0 произвольно заданные значения у0, у'о, ...
••чУ{о~1\ если только функция F(x, у, у',..., y("-D) голоморфна
вблизи системы значений х0, у0, у'о, ... , у^"~1\
Из предыдущего доказательства следует, что уравнение A) не может
иметь более одного голоморфного интеграла, принимающего значение у0
при х = ха. Но отсюда пока еще нельзя заключить, что не существует
неголоморфчого интеграла, удовлетворяющего тому же условию *. По-
Последнее предложение будет доказано ниже со всею строгостью (§ 387).
334. Системы линейных уравнений. Впоследствии мы получим другим
методом большее значение для нижней границы радиуса сходимости
рядов, представляющих, интегралы (§ 390). Но при некоторых частных
видах функции /, иногда можно, пользуясь тем же исчислением пределов,
применить более выгодные усиливающие функции.
В частности, это имеет место в том очень важном случае, когда
данные уравнения — линейные.
Пусть будет:
§ (г=1, 2,..., я) A4)
* Вот те рассуждения, которыми пользовались Брио и Буке при рассмотрении этого вопроса.
Пусть будет .у, голоморфный интеграл уравнения A), принимающий значение у0 при х = х0. Пола-,
гая у = у, + г, мы представим уравнение A) в виде:
^ = г ф (х, г), (Ibis)
где функция 4<(-*, г) голоморфна при х = л0, г = 0. Предположим, что это уравнение имеет инте-
грал^ отличный от г = 0, но стремящийся к нулю, когда переменное х описывает кривую С, при-
приводящую в точку Хо. Пусть будут Хк'хг точки этой кривой, которым соответствуют значения г, и
г, количества г. Из уравнения (Ibis) получаем:
— = \ фгж. z)dx.
z, к,
Когда Xi стремится к Xq, г4 стремится к нулю, и модуль левой части этого равенства неогра-
неограниченно возрастает, тогда как модуль пр„в.й части сохраняет конечное значение; следовательно,
ие может существовать интеграла, стремящегося к нулю, отличного от г = 0. Но,это доказатель-
доказательство предполагает, что точка х стремится к точке х0, описывая кривую С конечной длины.

56 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВ ВАНИЯ § 384-385
система линейных уравнений, где atk и Ь, суть функции только одного
переменного х, голоморфные в круге С, описанном из точки х0 ради-?
усом, равным /?. Докажем, что эти уравнения имеют систему инте-
интегралов, голоморфных в круге С и обращающихся при х
ственно в o'j),,, oyo (vnV
При доказательстве мы можем предположить, ыто
ООо = {У,\ = • - • = (У„\> = °.
так как, если мы заменим yt через (уД+.У^ то система A4) не изме-
изменит вина, и новые коэфициенты останутся голоморфными в круге С.
Пусть будет М наибольшее значение модуля всех функций alk, bt в
круге С с центром х0 и радиусом r<C.R. Функция
—~—- (i-b^+K,+ ... + уя>
jX— Хо
будет усиливающею для всех функций апул -(-... -|- а[Луп -\- bt, и мы
приходим к рассмотрению вспомогательной системы:
dx dx " ' dx . х — х0' ' ] "•" а ' '"' " '
г
Так как функции Yt должны быть равны нулю при х = х0, и их про-
производные также равны между собою, то они тождественны, и систему (.15)
¦ можно заменить одним уравнением
dY M
это уравнение' интегрируется разделением переменных-. Интеграл, равный
нулю при х = х0, выражается в виде:
он голоморфный в круге С. Следовательно, будут голоморфными в
круге С и интегралы системы A4); а так как число г может быть взято
сколь угодно близким к числу /?, то отсюда следует, что эти интегралы
голоморфны в круге С.
385. Уравнения в полных диференциа ах. Пусть будет xlt xt, ...,xn
система л независимых переменных, г — неизвестная функция этих переменных и
Л. h. •••>//! — данные функции от х{, дга хп, г;
У равнением в полных диференциалах называется соотношение вида:
dz=fidxi+fidxi+ ... +fndxn- A7)
Hi самом деле оно равносильно п отдельным уравнениям
f Аf

§ 385 I. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ 57
Допустим, что существует функция г от xi, х%, ,.., хп, удовлетворяющая
этим п соотношениям. Мы можем вычислить двумя различными способами вто-
вторую производную с—j— (i^A). Выразив, что получающиеся обоими способами
ох, аХь
л и(я—1)
результаты тождественны между собою, мы получим —i——- соотношении:
1 • л
и функции г может быть взята только из числа тех функций, которые удовлетво-
удовлетворяют этим соотношениям. Здесь мы рассмотрим только тот очень важный случай,
когда эти соотношения удовлетворяются тождествен.О. В этом случае уравне-
уравнение A7), или равносильная система A8), называются вполне интегрируемыми.
Если дано уравнение в попных оиф ренциалах, вполне интегрируемое,
в котором функции /, голоморфны вблизи системы значений (XiH, (xa)o( ... ,
...,(лг„H, 20, то это уравнение имеет интеграл, голоморфный вблизи системы
значений (*,)„ (а„H и обращающийся в г0 при xi — {xi\, ... , хп = (х„H.
Из уравнений A8) и из тех уравнений, которые мы получим их повторным
диференцированием, мы можем выразить все частные производные от неизвест-
неизвестной функции г через г, xt, х%, ..., хп и, Следовательно, через коэфиаиенты раз-
разложения голоморфного интеграла, если он существует. Но, между тем, как оче-
, aPz
видно, что мы можем только одним способом вычислить производные вида —, на-
ОХ?
против, необходимо несколько остановиться на доказательстве того, что мы всегда
получим одни и те же выражения для каждой из остальных производных любого
дР+9г
порядка, например для производных вида , хотя их можно вычислять раз-
dxfdxi
личными способами. Последнее будет верно для производных второго порядка,
если условия A9; удовлетворяются тождественно. Чтобы доказать, что это свой-
свойство общее, достаточно показать, что если оно верно до частных производных
порядка р, то оно будет также верным и для частных производных порядка р -\- 1.
Мы будем опираться при этом на следующее замечание: пусть будет
U х3 хп, z) какая-нибудь функция от Xi, х% хп, г; положим:
dx-Щ + Tz '* dx^dxJ=dx-k{dTj ('¦ *- L 2. • • • > «).
непос[ едственным вычислением легко убедиться, что из ус/овий A9) при всяком
виде функции U мы имеем:
dx,dxk ~~ dxkdx, '
Пусть будут и и v две частных производных порядка, р, из которых вторая
отличается от первой тем, что одно из диференцирований по х( заменено в ней
диференцированием по хк. Предложение будет доказано, если мы покажем, что
Ъи ди, dv bv .
З^ + ЗР^З^. + й''1
du dv ,, ' „
т. е. что -j— = -;—. Но и и v получаются от диференцирования некоторой част-
dXfr dx?
ной производной w порядка р — 1 соответственно попеременным xj я хк. Таким
dw dw
образом мы имеем и = —г-, v = -— , и то pa енство, которое нужно доказать,
ах, ахк
di d>
diw d>w
приводится к соэтношению -—3— =-—-—, которое было только что доказано.
dXi CLxk dxk ах.
Следовательно, чтобы доказать сходимость получающегося разложения инте-
интеграла г, можно заменить функции /(- усиливающими функциями <р,- при ом уело-

58 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 385—386
вии, чтобы эти функции <р, были выбраны таким образом, чтобы вспомогательное
уравнение с полными диференциалами было также вполне интегрируемым. Пред-
Предположим для простоты, что (лг,H — (*гH = ... = (*л)о = ^о = 0; за усиливающую
функцию для всех функций ft можно взять выражение вида:
М
и вспомогательное уравнение
<я=, "Г77Г''-ТГА 7п> ,ч B0)
будет вполне интегрирз'емым вследствие симметричности правой части относи-
относительно п переменных Xj. Чтобы получить голоморфный интеграл, обращающийся
в нуль вместе с переменными X/, достаточно найти интеграл, который был бы
функциею только одного переменного X=xt + х2 -\- ... + хп ; таким образом мы
приходим к обыкновенному диференциальному уравнению вида F):
Так как интеграл этого уравнения разлагается в сходящийся ряд, в котором коэ-
фициент при любом члене х\' ¦ ¦¦х"^ действителен и положителен, то получен-
полученное разложение для г будет и подавно сходящимся в той же области. Эга тео-
теорема может быть легко распространена на системы уравнений с полными дифе-
диференциалами между «независимыми переменными дс4, лга, ... t xn и т функциями
zit zb ... , zm этих переменных:
=Ла dxt+...+ flh dxt +...+fnh dxn (hz\'l'"" "*)•
Вычисляя двумя различными способами производные вида ^—5^- . мы придем
к условиям:
система B1) называется вполне интегрируемою, если условия B2) удовлетво-
удовлетворяются тождестренно, и мы имеем следующую теорему, которая доказывается
так же, как предыдущая:
Всякая вполне интегрируемая система, в которой функции /,• голоморфны
вблизи Системы значений (х^, (Х^о (хпH, (z^, ..., (zm\, имеет систему
интегралов, голоморфных в области точки (xCii,, .... (-*„)„ и принимающих
соответственно значения (г,H, (г$0> ••¦> СОо при хх = {хк)й, .... хп = (хп)9.
386. Применение исчисления пределов к уравнениям в частных про-
производных. Пользуясь методом исчисления пределов, мы можем также
доказать существование интегралов системы уравнений в частных произ-
производных. Рассмотрим сначала одно уравнение первого порядка
Ьг _ Ьг Ъг Ьг
^г-/(*„¦*„,...,¦*„,*, av^;- ¦••'ъх~

§ 386 I. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ 59
где правая часть не содержит производной-—. Из этого уравнения и из
тех, которые мы получим, диференцируя его последовательно, мы можем
выразить все частные производные от z через хг, х2, ... , хп, z и через
частные производные от г, взятые только по хг, ха, ... , хп. В самом
й*2 + • • • + "п + ] Z
деле, это предложение верно для производных вида -—
Х О^2
чХ-у О-^л2 ¦ ¦ •
как в этом можно убедиться, диференцируя обе части уравнения B3) а2
раз по х2, ... , ап раз по хп. Если же мы продиференцируем
обе части уравнения B3) один раз по хг и любое число раз по другим
переменным лг2, лг3, ... , хп и затем заменим в правой части частные
производные, в которые входит одна деривация по хг, их уже найден-
ными выражениями, то мы получим. для производных
выражения, обладающие высказанным выше свойством; очевидно, что'это
предложение имеет вполне общий характер, так как этот прием можно
продолжить неограниченно.
Предположим теперь, что функция / голоморфна вблизи системы зна-
значений (лгД, ... , (хпH, г0, (р2\, ..., (рпH; пусть будет <р (лг2, хя, ..., хп)
функция (п—1) переменных х2, х3,..., хп, голоморфная в области
точки* (х2H, (х3)а, . ..,(лся)ои притом такая, что для этих частных зна-
значений мы имеем:
Если эти условия удовлетворяются, то уравнение B3) имеет интеграл,
правильный в области точки (лг,H , ... , (хпH и обращающийся в
<р 'х2, х3, ... , хп) при хг = (хгH.
По предположению, функция <р(л:2, х%, ... , хп) разлагается в ряд по
положительным степеням переменных xt— (x^q, и его коэфициенты суть до
постоянных множителей значения частных производных от этой функции в
точке (х2H, ... , (хпH. Так как функция z, существование которой мы
хотим доказать, должна обращаться при дг1 = (л:1H в <р(лг2, лг3, ... , хп),
то отсюда мы знаем значения в точке (хг)а, {х2H, ..., (хпH всех тех
частных производных от этой функции г, в которые не входят
диферзнцирования по переменному л^,. Но мы только что видели, как
можно выразить все другие частные производные, в. которые входят
диференцирования по Xj. "Следовательно, мы можем вычислить после-
последовательно всё коэфициенты разложения функции z по степеням
переменных х{—(x^q при помощи коэфициентов разложений фун-
функций / и <р, и притом в это вычисление войдут только действия
сложения и умножения. Следовательно, чтобы доказать, что получаю-
получающееся разложение—сходящееся, мы опять можем воспользоваться уси-
усиливающими функциями; если, заменяя в предыдущем вычислении функ-
функцию / усиливающею функциею F и функцию ср другою усиливающею
* Для краткости мы будем называть точкою всякую систему значений, действительных или
и нимых, даваемых переменным, рассматриваемым в данном вопросе.

60 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ' § 386
функцнею Ф, мы получим сходящийся- ряд, то тем самым будет доказана
и сходимость ряда, представляющего функцию 2*.
Прежде всего несложными преобразованиями можно заменить началь-
начальные условия другими, более простыми. Можно предположить, что
(A-j)o== (л:2)о== • • • ==(-*:л)о==^' так как эт0 равносильно замене обозна-
обозначения xt — (л:,H через х(; если, сверх того, мы положим:
z = <р {х2, х3, ... , хп) f и,
то новая неизвестная функция и должна обращаться в нуль при jtj:=O.
Кроме того, можно предположить, что после этих преобразований пра-
правая часто уравнения B3) не будет содержать постоянного члена; в самом
деле, если бы -разложение начиналось с постоянного члена а, отличного от
нуля, то, чтобы его не было, достаточно положить и = ах1-\-Ь.
Есл 1 после всех этих преобразований мы заменим правую часть урав-
уравнения B3) соответствующею усиливающею функцией), то доказатель-
доказательство нашей теоремы приведется к доказательству того, что уравнение
dZ М
дх2^'" Ьхп
где М, г, р — некоторые определенные положительные числа, имеет
интеграл, голоморфный в области точки хг = 0, лс2 = О^.,., хп = 0,
обращающийся в нуль при лс, = 0, причем, благодаря введению члена —М,
* В случае уравнения вида: -^ =/, + /,^-| +/п ^- , где /,, /, /п суть функции
одних только *!,-»,, ... , дгп, сходимость может быть доказана весьма просто.
Прежде всего рядом преобразований, аналогичных приведенным в тексте, можно привести
к доказательству того, что вспомогательное уравнение
допускает интеграл, правильный в области точки л, — 0 хп = 0 и обращающийся в нуль при
xl = 0.
Будем для этого ис ать ч .сгный интеграл вида:
Z = F(Xi, и), где а - х, -(-... + хп.
Уравнение (Е) может быть, таким образом, представлено в форме:
полагая F = г 4- Ф, имеем:
п - 1
(E,
Уравнение (Е,^ будет удовлетворено, если принять:
_

§ 386 I. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ 61
свободный член правой части уравнения B4) равен нулю, как и свобод-
х
ный член уравнения B3). Заменяя в правой части х: через -],гдеа— по-
положительное число, меньшее единицы, мы только увеличим коэфициенты
разложения правой части, и теорема будет и подавно верна, если мы
докажем наше предложение для нового уравнения:
/
1 —
Вместо того чтобы доказывать, что это уравнение имеет правильный
интеграл, обращающийся в нуль при х1 = 0, достаточно показать только,
что оно имеет правильный интеграл, представляемый целым рядом, все
коэфициенты которого действительны и положительны. В самом деле,
коэфициенты этого третьего разложения будут не меньше коэфициентов
ряда, который получим, предполагая, что Z равно нулю при
Это Следует из того, что все коэфициенты третьего разложения выво-
выводятся действиями сложения и умножения из ко'эфициен.тов членов, не
зависящих от хх\ поэтому, если во втором разложении коэфициенты при
членах, свободных от xv равны нулю, а в третьем разложении они
положительны, то и коэфициенты при всех остальных членах третьего раз-
разложения необходимо больше, чем коэфициенты при соответствующих
членах второго разложения; следовательно, если третье разложение будет
сходящимся, то будет сходящимся и второе. Чтобы доказать, что третье
разложение — сходящееся, попробуем удовлетворить уравнению B5),
принимая Z за функцию только одного переменного Х= -1 -|- х2-\-.. .-\-хп.
откуда мы находим частный интеграл:
Ф, = -п Log ( . - U j+ __L_. (ц _ *.) ,
и уравнение ,Е,) может быть записано в виде:
D(Xi, и)
Общий интеграл (В,), а еле .овательно, и (Е,), есть
где <р - произвольная функция.
Д1Я того чтобы этот интеграл обращался в нуль при х{ — 0, функция <р должна удовлетво-
удовлетворять соотношению
[1 / _ и* \ I _ и
М(п -Л) \и~гЬ]\~ n-V
ИЛИ) пол га 9
Интеграл уравнения (Ё), полученный таким образом, голоморфен в области точки
ж, = жг = ..'. ж хп = 0.

62 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 386
Таким образом мы приходим к диференциальному уравнению первого
порядка:
1 п -1 \ dZ n — \ (dZy M ...
т—г I^TitfP ¦^+z-Af- B6)
Предположим, что а взято настолько малым, чтобы коэфициент в левой
части при —— был положителен. При X—Z — 0 уравнение B6) имеет
ал
dZ
для ——- два различных корня, из которых один равен нулю. Следова-
Следовательно, это уравнение имеет интеграл, голоморфный в области точки
Х=0 и равный нулю вместе со своею первою производною при Х=0.
Легко непосредственно убедиться, что все коэфициенты разложения этого
интеграла — положительные числа. В самом деле, уравнение B6; можно
представить в виде:
где А — положительно, а Ф(Х, Z) обозначает ряд, все коэфициенты
которого положительны. После " первого диференцирования получим:
?3 — ол — d~— 2- — 4- йФ —
d Х^ ~ ¦ dX dX* "f" ЬХ + п dX'
При Х=0 функции Z и -j-rj равны нулю; следовательно, ——положи-
ал ¦ dX*
тельно; такое же доказательство остается и для следующих производных.
Таким образом мы доказали существование интеграла уравнения B5),
правильного в области точки хг = х2— ... =дгп = О и разлагающегося
в ряд с положительными коэфициентами. Отсюда, по предыдущему, сле-
следует, что уравнение B5) имеет интеграл, правильный в области той же
точки и обращающийся в нуль при х, = 0. Последнее, очевидно, верно
и для уравнения B4). Отсюда, далее, следует, что ряд, получающийся
как разложение искомого интеграла z уравнения B3), — сходящийся, пока
модули разностей xt—(*,H остаются меньшими некоторого положитель-
положительного числа г. Сумма этого ряда есть функция, голоморфная в обла-
области точки (хгH, (х2H, ..., (хпH и обращающаяся при х1 = (х1H в
<р {х2, х3, ...,хп). Легко видеть, что эта функция, действительно, удовле-
удовлетворяет данному уравнению B3); в самом деле, если мы заменим вфунк-
ции / переменные г, —, . .. , — найденною функциею и ее частны-
дХ2 оХп
ми производными, то в результате получим некоторую функцию
<!>(*,, х2, .. ,,хп), правильную в области точки (дг,H, (*2)о> • • • » (*я)о>да"
лее, из самого способа получения коэфициентов ряда z следует, что функ-
. Ъе
ции ф и -— вместе со всеми своими частными производными равны
дХ

§ 386-387 I. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ 63
между собою в точке (JCjH, (х2H, • • • > (хп)<р следовательно, эти две функ-
функции тождественны.
Предыдущее доказательство применимо и к системам совместных
уравнений первого порядка
^L=/ll ^ = /l ^=?r B7)"
у которых правые части содержат только переменные х-,, х2, ... , хп,
функции гл, z2, ... , zp и частные производные первого порядка по
независимым переменным хг, х3, ... , хп, за исключением производных
по хг Предполагая, что правые части голоморфны вблизи системы
частных значений всех стоящих в них переменных (-х^о, (г*)о» (Pf)^ где
pf = —-, мы приходим к следующей теореме:
Уравнения B7) имеют систему интеграл в, голоморфных в обла-
области точки (*jH,..., .(хпH и обращающихся при х1 = {х1H в р дан-
данных функций (pj, (ра,..., (р от (п — 1) переменных х2, х3,..., хп,
голоморфных в области точки (х2H, (х3H,... , (*„)<, и таких, что
значения функций tpft и —^ в этой точке равны (гкH и (/?*)„
(*=1, 2,..., р; 1=2, 3,...,' п).
387. Общи ин.еграл системы диференциальных уравнений. Предыду-
Предыдущая теорема позволяет пополнить теорию диференциальных уравнений
во многих существенных отношениях. Так, например, из нее непосред-
непосредственно вытекает существование бесконечного множества интегрирующих
множителей для выражений вида Р(х, у) dx -)- Q (x, y)dy, когда Р и Q
суть аналитические ф/нкции переменных х и у (§ 373).
Вернемся к уравнению первого порядка у=/(х, у); пусть будет
(х0, у0) одна из пар значений, при которых функция f(x, у) — правиль-
правильная; Мы можем рассматривать голоморфный интеграл, существование
которого мы доказали и# который принимает значение у0 при x = xQ,
как функцию трех независимых переменных х, х0, у0; с этой точки
зрения мы и будем теперь его изучать. Для определенности предполо-
предположим, что- функция f(x, у) — прав льная в области точки (х = а, _У=рК
Очевидно, что мы можем рассматривать данное уравнение как уравнение
в частных производных
?=/(*, У). B8)
определяющее функцию у трех переменных х, х0, у0. Найдем интеграл
этого уравнения, голоморфный в области точки х=а, хо = а, .yo = ji и
обращающийся в у0 при х — х0. Это последнее условие имеет другой
вид, чем условие предыдущего параграфа; нэ чтобы обойти это затруд-
затруднение, нужно только ввести вместо х и х0 два новых независимых
переменных и=х-\-х0 и v = x — х0. Тогда уравнение B8) обращается
в уравнение
B9).

64 ГЛАВА XtX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ §.38?
и нам нужно найти интеграл этого нового уравнения, голоморфный
вблизи значений и —2а, v=0, уо — $ и обращающийся в у0 при
v = 0. Из общей теоремы (§ 386) следует, что существует один и
только один голоморфный интеграл, удовлетворяющий этим условиям;
обозначим его через <f(x, х0, уо\ предполагая, что и и v заменены их
выражениями через х, х0. Пусть будет D область, определяемая усло-
условиями | х — се] ^ г, \х0 — а | ^ г, ,| у0 — р | ^ р, в которой эта функция
правильная. Функция <р обладает в этой области следующими свой-
свойствами.
Прежде всего из самого способа ее получения следует, что, если х0
и )'о — постоянные, то она представляет интеграл диференциального
уравнения у1 —f(x, у), принимающий значение >„ при х = х0. Этот
интеграл, наверное, голоморфный, если \х— а|<г, какие бы значения
ни имели х0 и уп в области D.
Разложение функции у(х, х0, у0) имеет вид:
У—Уо-\-(х — хо)Р{х, х0, у0),
где Р также обозначает правильную функцию. Из общей теории неяв-
неявных функций следует, что из этого уравнения можно, обратно, вывести
соотношение yQ = ty(x, x0, у), где правая часть есть также целый ряд.
Эта функция ty(x, xo,y) тождественна с функцией) (р(лг0, х, у).
В самом деле, пусть будут х0 и хл две точки области D;. интеграл,
равный у0 при х = х0, принимает в точке хл, некоторое значение ул, и
мы имеем: .У] = <р (¦*•)> х0, у0). Но, очевидно, что обе' пары значений
(х0, у0), (х^, y-i) равносильны; следовательно, их можно взаимно пере'
ставить, и мы имеем также: У0 = ч(х0, xv ул).
Пусть будет jfp какое-нибудь значение переменного х, удовлетворя-
удовлетворяющее условию \Xq — а\<С- Мы покажем, что всякий голоморфный
интеграл уравнения B8), проходящий через какую-нибудь точку (х0, у0)
области D, удовлетворяет соотношению вида:
<РК, х, у) = С. . C0)
В самом деле, рассмотрим голоморфный интеграл уравнения B8),
обращающийся при х = х0 в yQ\ этот интеграл принимает при х'о неко-
некоторое значение у'о, и, следовательно, по самому определению функции <р
мы имеем tp (х'о, х0, у0) =У^ Пусть будет х другое значение перемен-
переменного в той же области к у — соответствующее ему значение того же
интеграла уравнения B8); мы имеем также у(х'й, х, у)==у'# и, следова-
следовательно, рассматриваемый голоморфный интеграл действительно удовле-
удовлетворяет соотношению вида C0). Диференцируя его по д: и заменяя про-
производную у' ее значением f(x, у), мы закаючаем, что функция <f(.x'o, x,y)
удовлетворяет соотношению
?+?«* *-•• <31>
Это со тношение необходимо должно быть тождеством, так как оно
должно удовлетворяться при лг = дг0, y—yQ, причем точка (j:l, y0) есть
произвольная точка области D.

§ 38? I. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ 65
Это замечание позволяет дать отвгт на вопрос, пока оставленный
нами открытым (§ 383). Рассмотрим в плоскости переменного х какую-
нибудь кривую Г, неограниченно приближающуюся к точке х0; мы
будем говорить, что функция у переменного х, за аналитическим продол-
продолжением которой вдоль кривой Г мы можем проследить, стремится к-у0,
когда х, оставаясь на Г, стремится к х0, если для всякого положитель-
положительного числа е можно найти такое положительное число т], чтобы \у—уо\
оставалось меньшим г при всех значениях х, лежащих на Г внутри
круга с радиусом, равным 7), и с центром в точке х0. Из рассуждения
Брио и Буке (см. стр. 55) еще не следует, что не существует никакого дру-
другого интеграла, кроме голоморфного, который стремился бы к у0 при
приближении х к х0 в том смысле, как это только что было указано.
Теперь мы можем доказать, что в области D это свойство, действительно,
имеет место. В самом деле, рассмотрим какую-нибудь определенную
точку (* , у0) и возьмем в уравнении B8) за новое неизвестное опре-
определенную выше'функцию У=<р(г0, х, у). Мы имеел:
d Y й<р dtp dy
dx Ъу Ъу dx'
на основании соотношения C1) данное диференциальное уравнение обра-
обращается в —— = 0. Но если при приближении х к х0 у стремится к у0,
то. то же самое имеет место и для Y, так как по условию у(х, х0, у0)
обращается при х = х0 в )'о, и, очевидно, что единственным интегралом
dY п ¦ х
нового уравнения — = 0, удовлетворяющим этому условию, будет Y=yQ.
Следовательно, искомый интеграл должен удовлетворять соотношению
ИЛИ уо = у + (х — хо)Р{х, у, х0). C2)
Но из теории неявных функций следует (т. I, § 184), что уравнение
C2) имеет только один корень, стремящийся к _у0 при приближении х
к х0, и что этот корень есть, действительно, голоморфная функция *.
Отсюда мы заключаем, что всякий интеграл уравнения B8), прохо-
проходящий через любую точку области D, удовлетворяет соотношению вида
C0). На этом основании говорят, что уравнение C0) представляет в
области D общий интеграл диференциального уравнения; число С
есть постоянное интеграции, которое остается произвольным, по крайней
мере, в некоторых пределах. Мы видели, что уравнение C0) также
можно представить в равносильном виде: у=у(х, х'й, у^), где у'о —
постоянное интегрирования.
Все эти свойства можно распространить и на систему диференциаль-
ных уравнений
dx ~h ' У" У*" ¦" Уп)' dx ~h' '' •' dx '« ( '
* Пи кар, Traite d'Analyse, т. U, 2-е изданиэ, сгр. 355—358; П е н л е в е, Lecons de Stock-
Stockholm, стр. 18—20 и стр. 394-396.
5 Э. Гурса, т. II, ч. 2.

66 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 387
Предположим, что правые части этих уравнений голоморфны вблизи
системы значений х = а, ул = jJj, ... , Уп=$„- Мы можем и здесь рас-
рассматривать данные уравнения как систему уравнений в частных произ-
производных между п функциями уг, у2, ... , уп и (п-\-2) независимыми
переменными х, х0, iyiH, ... , (У„)о и искать интегралы этих уравне-
уравнений, которые были бы правильными вблизи значений
и обращались бы при x — Xq соответственно в Су.]H, О^о» • •»• • ООо*
Пусть будут
у1 ~ср, [х, х0, (улH, ... , (упH],
у = <р2, .'.. , уп = <р„ [ж, *0, (?,)„, -.. , СУ„)о1 <34)
л функций, определенных таким образом; мы предположим, что они
голоморфны в области D, определяемой условиями:
\х — о|<г, |лг0 — а|«гг, \у, — (у,\>|<р.
Из формул C4), обратно, получаем:
(Л)о= <Pi К> *, Л» • • • . Л)> • • • ' (Ул)о= <РЯ К. ¦*•> У1> • • - . У Л C5)
здесь каждая из функций <р, при всяком значении х0 удовлетворяет соот-
соотношению
Ьх fyi ''' ЙУЯ "
Мы можем доказать это предложение так же, как выше, заметив,
что голоморфные интегралы, принимающие значения (уД, ... , (упH при
х — х0, удовлетворяют соотношениям C5), а следовательно, и соотно-
соотношениям C6), которые мы получим из предыдущих, диференцируя их по
независимому переменному х и заменяя ~-i через /г Соотношения C6)
должны быть тождествами; в самом деле, как и выше, можно показать,
что, предполагая х0 постоянным, можно выбрать значения (y-jH, ... (У„)о
таким образом, чтобы интегральная кривая * проходила, через любую
точку области D. Следовательно, левая часть формулы C6) должна быть
равна нулю для координат всякой точки этой области.
Если в данных уравнениях C3) мы примем за новые неизвестные
функции п функций Yt=:tf.(xQ, х, yv ... , уп), где х0 — постоянно, то
при условиях C6) эти уравнения обратятся в
). C7)
dx dx dx /
Отсюда следует, что все интегралы системы C3) удовлетворяют соот-
соотношениям вида C5), где (_у,H, ... , (у„H—постоянные; это верно по
меньшей мере для тех из этих интегралов, которые проходят через одну
из точек области D, в которой функции <р — правильные. Здесь мы
* Обобщая мы будем говорить, что всякая система интегралов уравнений C3) определяет
интегральную кривую.

§ 387-388 П. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 67
опять будем говорить, что формулы C5) представляют в этой области
общий интеграл системы C3).
Как и выше, из предыдущих уравнений можно вывести, что нет
никакой другой системы интегралов, кроме голоморфных, которые стреми-
стремились бы к (yjH , ... , (vnH > когда х стремится к xQ.
имеем:
— xo)pi{xo, х, у,,.-.., у„),
и определитель Якоби yi> тг» • • • » .«j при х — х равен единице. Из
О(УЛ, J, ... , У„) Н ° К
общей теории неявных функций следует, что уравнения C5) имеют
только одну систему корней уг, уг, ... , уп, стремящихся к (у,H,
(у2H, ... , (упH при приближении х к х0, и эти корни голоморфны.
• Таким образом, в конечном выводе, через всякую точку области D
проходит одна и только одна интегральная кривая; эта кривая пред-
представляется я уравнениями yt = tyi(x), где функции tyt голоморфны,
если только х — а | «S г.
II. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ.
МЕТОД КОШИ-ЛИПШИЦА.
388 Последовательные приближения. Метод последовательных приближе-
приближений >ыл применен с успехом Пикаром к обыкновенным диференциальным урав-
уравнением и ко многим уравнениям в частных производных. Мы изложим примене-
применение этого метода к обыкновенным дифегенциальным уравнениям с существенным
дополнением, принадлежащим Э. Линделёфу (Lindelof).
Пусть будет у (х) интеграл диференциального уравнения -- =/(*, у), при-
t (XX
нимающий значение уо'прп лг = лг0. Эта функция у (х), очевидно, удовлетворяет
соотношению
х
t, C8)
и обратно. Уравнение C8) есть интегральное уравнение; очевидно, что оно одно
может заменить собою два условия у' (x)=f[x, y(x)] у(хо)=уо; вместе с тем
к нему легко применить метод последовательных приближений. Мы изложим
згот метод в применении к системе двух уравнений первого порядка
?х=Пх,у,г), 'fx=<t(x,y,z), . C9)
прешо^агая сначала, что переменные действительны. Предположим: 1) что обе
функции / и <р непрерывны, когда х изменяете•• от х0 до х0-)- а, а у и z изме-
изменяются соответственно между гршицами (уй — b,yo-{-b), (z0 — с, гй-\-с); 2) что
"абсолютное значение каждой из этих функции остается меньшим некоторого поло-
положительного числа М, когда переменные х, у, z остаются в предыдущих грани-
границах; 3) након ц, что существуют два таких положительных числа А и В, что
\f(x, у, z)—f(x,y, z')\<A\y-y'\ + B\z-z'\-> '
| <р (х, у, z) — ? (х, У, z1) | < А \у — У | + B\z — z1 \)
для любых точек (х, у, г) и (лг, у', г'), содержащихся в вышеуказанной области.
Для удобства рассуждения положим а > 0; пусть будет h меньшее из трех
положительных чисел а, -д, д>. Докажем, что уравнения C9) имеют систему
интеграюв, i-егр рывных в пр межутке (дг0,лг0 + К) и принимающих значения
5*

68 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 388
ул и Zq при лг = дгв. Для этого гцедставим уравнения C9) в форме инте-
интегральных уравн ний:
X X
У{х)=уй + ^/[t, у [t], z (О] dt, z(x) = zo+\t[t, у (t), z (t)] dt; D1)
Xo *0
мы решим эти уравнения последовательными приближенилми тем же способом,
как систему совместны* уравнений (т. I, § 33), причем возьмем за первые при-
приближенные значения самые начальные значения уа и г0. Таким образоя мы будем
иметь:
X
=y*+\f{t, j/0, zo)dt,
\
= z0 + [ ? [t, уi (t), zt @] dt,
г, (д:) = zo + \f(t, yi, г0) dt,
\ D2)
Ух (¦«) -= Л + \f'\t. У, @. г1 @) <«•
и вообще
X
Уп W = У» + [f !'• Уп-1 @. zn_, (t)] dt,
4 \ D3)
%lt,yn-iV.zn_df)ldt I
Докажем сначал?, что если х заключается в границах (лг0, х0 -f h), то этот
прием вычисления можно продолжать неограниченно. Прежде всего, если х
заключается в предыдущей промежутке, то мы имеем:
\yt-yo\<Mh<b,
¦ и точно так же |г( — гй\ < с. Следовательно, если мы заменим в / и у количе-
количества у и z через у{ и гь то получающиеся при этом функции от х будут непре-
непрерывны между дг0 и х0 + Л1( и их абсолютные значения останутся меньше числа М.
По той же причине _уа и г2 будут функциями от лг, непрерывными в проме-
промежутке (х0, xo-j-h), и мы будем иметь в этом промежутке I >2 — Уп I < Ь,
\z%—z0 | < с. Это рассуждение можно продолжить неограниченно; все функции
уп и г„ будут непрерывными между х0 и х0 + Л, и мы всегда будем иметь
в этом промежутке: \у„ — у„ |< b, | г„ — гр |< с:
¦Чтобы доказать, что при неограниченном возрастании числа п, уп и zn стре-
стремятся к определенным пределам, заметим, что из уравнений D2) мы имеем:
\ydx)—yu\<M(x — Xb), I z, (х) - 20 ! < М (х - х0), D4)
где х заключается' в промежутке (лг0, х9 + Л). Далее, получаем:
Уч <x) — У^ {x)= \ \f\t, yi (t), zK 't)\ —f(t, y0, za)} dt,
J
или, принимая во внимание неравенства D0):
X X
\У-2 'х) —у{ (х)\ < \ А | yt (t) —y0 \dt-{-\B\ z,Xt, — za\d
Х„ Jt,,

§ 388 II. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 69
и, следовательно, на основании неравенств D4):
\у, (х) -у, (х) |< М (А + В) <Х ~ f" .
Такие жг формулы имеют место для \г.г<х)— zi (x) |, и, продолжая таким
образом далее, мы вообще будем иметь:
\Уп С*) -У„-Лх)\<ЛЦА + В,"- i(Х ~ Х*)„ )
\ D5)
~ *п-1
Д)"' 1,2 п ¦
Следовательно, рялы
—Уд+ ---+(Уп—Уп-1)+ ¦¦
z.2-zt) + ... + (zn — «„_,) + .
все члены которых суть функции от .*, непрерывные в промежутке {х9, Xq + Kh
будут равномерно сходящимися в этом промежутке. Поэтому суммы Y(xj ylZ(x)
обоих рядов при значениях х, заключающихся между х0 и х0 + Л, будут непре-
непрерывными функциями от х. При неограниченном возрастании числа п соотноше-
соотношения D3) обращаются в пределе в
X
[t, Y(t\ Z(t)]dt, Z{x) = zo+'\f[f, Y{t), Z(t,]dt.
xa
В самом деле, мы только что видели, что в промежутке (х0 ,хо-\- К) разности
Y(') — Л-i Wi ^(f) — zn-i(x) стремятся неограниченно к нулю, и, следова-
следовательно, в силу соотношений D0), интегралы
X
J {/[*. Y{t), Z t)] -f[t, уп-{ @. г„_, (t.] \ dt,
, Y(t), Z(t)]~<f[t, j,B_,(*), г„-1 t]\dt
при неограниченном возрастании числа п, также стремятся к нулю. Таким обра-
Зом функции Y(x) и Z(х) удовлетворяют всем требуемым условиям.
Очевидно, что прелыдущий метод применим при всяком числе уравнений
системы. Неравенства D0), играющие существенную роль в предыдущем доказа-
доказательстве, будут, наверное, удовлетворены при подходящих значениях А к В вся-
всякий ран, когда функции / и <р им^ют частные производные по .у и г, непрерыв-
непрерывные, пока переменные заключаются между указанными границами; это непосред-
непосредственно следует из формулы конечных приращений (т. I, § 17). Заметим также,
что если функции / и <р остаются непрерывными при изменении х между грани-
границами ха — а и х0 -j- а и при изменении у и г между прежними границами, то
из предыдущего рассуждения следует, чго существует система интегралов Y(x)
и Z(x), принимающих значения j/q и z0 при x = Xq и непрерывных в промежутке
(л:0 — Л, лго + Л), где Л имеет прежнее значение.
Не существует других интегралов, кроме Y(x) и Z(x), принимающих
значения _у0- и z0 при х — хй. Так как доказательство одно и то же при всяком
числе уравнений, то мы рассмотрим для простоты только одно уравнение
dy .. .
. —f(x, у); положим, как выше,
X X
У1 =Уо + \f(t, Уо) dt гуп = Уо + [fit, Уп-i dt.
X,, Х„
Густь будет Y{ x) интеграл этого уравнения, принимающий значение j/0 при
х — х0 и непрерывный в промежутке»^ , х^ j|-.«' где" а'), где а' есгь число, меньшее

70 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 388—389
наименьшего из чисел а и -г. и притом такое, что | Y{(x)—Уц\<Ъ в проме-
промежутке (х0, х0 + а'). Так как Vt удовлетворяет данному уравнению, то мы имеем:
и, следовательно,
X
Ydx)-yn(*) = $ {f[t, K,(OJ -f[t, yn-i @]} Л.
Положим последовательно в этом соотношении п = \, 2, 3,...; при п=
будем иметь:
\Ydx)-yi{x)\<Ab{x — xu),
затем при п = 2
х
I К, (х) - уг (х)]<а\)АЬA- х0) dt = АЧ {Х~*/\
х„
и вообще
При неограниченном возрастании числа п правая часть этого равенства стре-
стремится к нулю; следовательно, интеграл Ул тождествен с пределом выражения уп,
т. е. с У *.
389. Случай линейных уравнений. Из общего рассуждения следует, чю
интегралы уравнений C9) будут, наверное, непрерывны в определенном выше
промежутке (лг0, х0 + Л). Но во многих случаях можно утверждать, что сущест-
существует более широкий промежуток, в котором эти интегралы остаются непрерыв-
непрерывными. В самом деле, если мы возвратимся к предыдущему доказательству, то
увидим, что условия Л < jz, h<-jTj введены только для того, чтобы быть уве-
уверенным, что промежуточные функции yt, zt, у%, гг, ... не выходят из границ.
(Уо — Ь,Уь + Ь), (z0 — с, zo + с), и потому функции f(x, yit гЛ, f {x, yit z,) оста-
остаются непрерывными функциями от х между х0 и х0 + Л. Если же функции
f(x, у, г), ?(лг, у, г) остаются непрерывными, когда х изменяется от х0 додго + я.
а у и z от — оодо + °°> то нет надобности вводить зТи условия: в е
функции yit Zj будут непрерывны в промежутке (дг0, хо-\- а) В этом случае, чтобы
доказать сходимость обоих рядов D6), нужно только, как и выше, чтобы существо-
существовали два таких положительных числа А и В, чтобы неравенства'D0) удовлетво! я-
лись при всех значени.х у, у', г, г', когда х остается в промежутке (дг0, дго + д).
В самом деле, повторяя предыдущие рассуждения и обозначая через М верхнюю
границу количеств \f(x, уо , го)\ и | f (х, ул , г0) I в промежутке (лг„, хй-\-а),
мы увидим, что неравенства D5) остаются в силе, а этого достаточно для доказа-
доказательства существования непрерывных интегралов уравнений C9).
Из формулы конечных приращений следут, что предыдущие условия уловле*
творяются, если функции f(x, у, г), <р (х, у, г) имеют частные производные по
у л г, которые остаются конечными при все* значениях у и z и при изменении
переменного х от ха до дг0 -f- а. Это, например, имеет место для уравнения
dy , .
.- = х + sin у.
dx
Его правая часть f(x, _у) = д: -j- sin _y есть непрерывная функция от х, у при
всяких значениях х и у, и абсолютное значение частной производной J- не больше
оу
* За всем, что касается приближенного интегрирования диференциальиых уравнений, я от ы-
лаю читателя к работам К о т т о и л (Cotton) (Асш mathematica, т. XXXI; Bulletin de la Societe
natMtnatique de Напое, т. XXXVI, XXXVU,- XXXVIII; Annalis de VUniversite de GrenaMe т. Х,ХД),

§ 389—390 И. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 7t
единицы; следовательно, все . интегралы этого уравнения непрерывны, когда х
изменяется от — оо до + оо *.
В частности, предыдущие заключения применимы к системе линейных урав-
уравнений
^/ = аи>1 + а(!^2+ ••• + О-тУпЛ- bi (?=; 1,12, ..., п\ D7)
коэфициенгы которых а№, b, cyib функции от х. Если все эти функции непре-
I ывны в промежутке (лг0, *i), то все интегралы этой системы также непрерывны
н этом промежутке. Поэтому, если все кс эфициенты — многочлены, то все инте-
интегралы непрерывны при изменении х от — оо до -f- °°-
Ограничиваясь действительными переменными, мы видим, что интегралы
линейных уравнений не могут иметь других особых точек, кроме особых точек
коэфициентов этих уравнений. Это весьма важное свойство не распространяется
на другие уравнения, поводимому, столь же простые, например на уравнение
Примечание. Часто приходится иметь дело с системами линейных уравнений,.коэфици-
енты которых суть аналитические функции некоторых параметров. Предположим для определенно-
определенности, что коэфициеиты ац^ и bi уравнений D7) суть функции от х, непрерывные в промежутке
(а, Ь) и, кроме того, зависят аналитически от некоторого параметра X, причем в некоторой области D
они будут его голоморфными функциями.
Интегралы этой системы, принимающие данные начальные значения при значении х0 перемен-
переменного х, заключающемся между а и ft. представятся во всем промежутке {а, Ь) равномерно сходя-
сходящимися рядами, и из самого способа их получения ясно, что все члены этих рядов суть функции
параметра X, голоморфные в области D. Следовательно, эти интегралы суть сами функции от X,
голоморфные в области D (§ 280).
Чаше всего случается, что коэфициеиты ац, и ftj суть целые функции параметра X; следова-
следовательно, в таком случае и самые интегралы будут та-же целыми функциями от X. Мы можем непо-
непосредственно получить разложения по степеням X интегралов, принимающих даииые начальные зна-
значения, вставляя в обе часги уравнений D7) разложения вида:
yi — Oj0 + «iiX + • • • + И|рХР -f-. . . (/=1, 2,. .. , л),
где и-,], суть функции от х, и выражая, что обе части тождественны между собою; при этом
функции иц, должны принимать при х=х(, данные начальные значения,, тогда как функции иш, где
* S=l, при х=Хо должны быть равны нулю. Определяя, таким образом, последовательно коэфици-
коэфициеиты од , мы получим для них системы линейных уравнений. Ниже мы еще вернемся к этому
вопросу (см. т. Ш, § 462—463).
390. Распространение на аналитические функции. Предыдущий метод
можно" распространить и на комплексные переменные. Для этого достаточно
заметить, что для аналитической функции одного или нескольких переменных мы
имеем неравенства, аналогичные неравенствам D0). В самом деле, рассмотрим
сначала функцию/(дг) одного комплексного переменного х, голоморфную в обла-
области Q, ограниченной выпуклою линиею С, и яа самой этой линии; пусть будет
А наибольшее значение модуля |/'(лгI в этой области. Разность f(x%)—f(x{),,
где дг2 и Xi — любые точки этой области, равна определенному интегралу
\f'(x)dx, взятому вдоль прямой, соединяющей эти обе точки. Следовательно,
мы имеем: i//v\ *tv\\ ^ л\ *¦ *¦ i
I/ \^i) —/ \Xi) | <^ -Я I x% — x^ i.
Точно так же, пусть будет f(x, у) функция двух переменных х и у, голо-
* Аналогичную теорему можно получить из исчисления пределов. Пусть будет /(х, у) анали-
аналитическая функция, действительная при всякой системе действительных значений х и у и голо-
голоморфная в области этой системы значений. Предположим, кроме того, что \f(x,y)\ остается
меньшим некоторого постоянного числа М, если' соответственно
Если хо, Ун есть система каких-нибудь действительных значений х и у, то мы заключаем,
функция / (х, у) голоморфна в области, определяемой неравенствами \х — х„\^а, \ у — у„ | ^ ft,
и ад модуль меньше чис ia M. Тогда из исчисления пределов следует, что) иит-гграл уравнениях
/=/(*, у), равный уа при x=xa, будет, наверное, голоморфным в. некогором круге С, радиус г кото-
( 10й)
рого, равный а\1 — е а ) ,не зависит от х0, Уц. Пользуясь кругами с радиусом, равным г, мы
можем получить аналитическое продолжение этого интеграла вдоль действительной оси, откуда
видно, что интеграл будет голоморфным внутри полосы, ограниченной двумя прямыми, парад-
дельными действительной оси и отстоящими от и<.е на расстояние г.

72 ГЛАВА XX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 390
морфная, когда эти переменные остаются соответственно в двух областях Q и Q',
ограниченных двумя выпуклыми линиями С и. С; пусть будут А и В наибольшие
значения модулей |Д'| и \fy'\ в этой области. Если х{ и дс2 — две какие-нибудь
точки плошади Q, а у{ и j>2 — две какие-нибудь точки плошади Q', то мы имеем:
/ (*2, y%*—f (*i.' Уд = U (х2, y-2\—f (*(, У2)]
и, следовательно, по доказанному выше,
\f(xi,yi)-f<xi,yl,)\<A\x2-xl\
Это доказательство приложимо при всяком числе независимых переменных.
Мы зиесь ограничимся для простоты случаем одного уравнения
"?=/'*. У)- («)
Предположим, что правая часть голоморф ча в области, определяемой нера-
неравенствами \х — хо\^а, \у — j/ol^fr; пусть будет М значение максимум модуля
\f',x у)\ в этой области, и h—меньшее из двух чисел а и -д. Опишем в пло-
плоскости пе,еменного х из точки х9 круг Сл радиусом, равным h, и положим, как
выше:
X
)d*. yi=y,+\if[t,yi'A]dt,... yn=
Хъ *! -to
Предполагая, чю точка х лежит внутри круга Cft, мы сначала докажем
последовательно, что
\У\—Уь\<Ь, \У% — У»\<Ь \уп— Уо\<Ь,...
Следовательно, все эти функции ук, Уъ, ..., уп переменного х голоморфны
в круге Сь, и действия можно продолжать неограниченно. Далее, мы имеем:
V»И-Л,-!(*) = ][{/['• Л-iWl-ZU. Уп-1Ш\а1, D9)
где интеграл взят вдоль прямой
шее значение модуля
соединяющей точки ха , х. Пусть будет А наиболь-
когда \х — дго|^Л, \у — yo'^h; на основании
предыдущего, мы имеем попрежнему:
\f\t,yn-iit)]-f[t,yn-i(t)}\<A\yn.i{Jt)-yn_^t)\.
Чтобы доказать, что и здесь имеет место неравенство, аналогичное неравен-
неравенствам D5), предположим, что
Это соотношение,' очевидно, верно при я = 2. Положим х = х9 + re*'; заме-
заменяя переменное t — х0 через рг6/, мы приведем интеграл D9) к интегралу по р,
взятому вдоль действительной оси от 0 до г, и получим:
1-г ... п
6 ' ¦ '
или
у„*х =-yn-i(х) < МА" '

§390-391 П. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 73
Доказательство заканчивается, как и выше. Именно, ряд с общим членом
<уп— Уп-д> — равномерно сходящийся в круге Сл, и, так как все его члены суть
i оломорфные функции, то его сумма есть функция, голоморфная в том же круге
(§ 293\ удовлетворяющая уравнению D8) и принимающая значение yt при х = х0.
Разложение в целый ряа этого интеграла, кочечно, тождественно с тем,
которое дает исчисление пределов, но граница для радиуса сходимости здесь
выше, чем в п.рвом метбде.
Замечание, сделанное в § с89 по поводу линейных уравнений для случая
действительных переменных, распространяется также и на аналитические функции
комплексного переменного. Предположим, что козфициенты aik и 6, уравнений
D7) суть аналитические функции комплексного переменного х. Отметим в пло-
плоскости х особые точки этих функций и предположим, что из каждой из этих
точек проведена неограниченная полупрямая как продолжение отрезка, соединяю-
соединяющего точку x,i с этою особою то4кою. Совокупность точек пло:кости, не лежа-
лежащих ни на одной из предыдущих линий, называется звездою, соответстаующею
системе особых точек. Прямая, соединяющая точку х0 с любою точкою х звезды,
не проходит ни через одну из особых точек, и из рассуж ений § 389 следует,
что вдоль этой прямой все интегралы системы D7) будут голоморфны. Так как
точка х t сть любая ючка звезды, то отсюда мы заключаем, что >-се интегралы
линейной системы голоморфны во всей звезде; этот результах будет доказан ниже
другим Способом (§ 399)
Пользуясь методом последовательных приближений, мы можем получить для
интегралов линейных уравнений разложения в ряды, сходящиеся во всей звезде.
Пусть буиет А какая-нибудь область плоскости, ограниченная замкнутым конту-
контуром С, лежащим всеми своими точками в звезде; ряды, получаемые методом
последовательных приближений, будут равномерно сходящимися в области А.
Предоставляем читателю наши доказательство этого предложения; оно ведется
тем же путем, какой был применен нами выше.
391. Метод Коши-Липшица. Первоз из доказательств существования инте-
интегралов сиаемы диференциальных уравнений, данных Коши, юхранилось в его
лекциях, записанных аббатом Муаньо (Moigno) и напечатанных им в 1844 г.
Впоследствии Липшиц значительно упростил это доказательство и выставил на
вид предположения, необходимые для того, чтобы это доказательство имело силу.
Чтобы был ясно виден ход рассуждений, возвратимся к. простейшему урав-
уравнению
Мы доказали (т. I, § 75\ что интеграл аюго уравнения, принимающий зна-
значение уй при х = хй, есть предел суммы
y» + f(xt>)(xl-xt)+f(x,)(xa-xl)+...+f(xn-l (хп-х„_д, E0)
где xlt х2 аг„_| суть (п — 1) точек прсмежутка (лг0, х), когда число п
неограниченно возрастает так, что все промежутки (х,— -*7_t) стремятся к нулю.
Этот прием, соответственным образом обобщенный, и приводит к первому дока-
доказательству Коши. Для простоты изложения рассмотрим случай одного урав-
уравнения
% = f^,y). E1)
Пре положим, что функция f(x, у) действительных переменных х, у непре-
непрерывна, когда, х изменяется от х^ло х9 -\- а к у изменяется от уа — b до _у0 + Ь,
И что существует такое положите 'ьное число k, что если у и у' суть два каких-
нибудь числа, содержащихся в промежутке (у0 — Ьл yQ -f- b), их :-аключается
между х0 и ха + а, то
\f(x. У)— fix, y)\<k\y-y' |. . E2)
Эго условие; на важное значение которого указал Липшиц, мы будем назы-
для крат*осiи условием Липшица.
Пусть будет М верхняя гранит модуля \f(x, y)\ в предыдущей области,-

74 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 391
и Л — меньшее из двух чисел а и -г-т (мы предполагаем, что а > О, Ь > 0).
Чтобы доказать, что уравнение E1) имеет интеграл, принимающий значение уй
при"лг = лг0 и непрерывный в промежутке (лг0, х0 + Л), мы будем подражать,
насколько эго возможно, ходу рассуждений, которым мы пользовались при доказа-
доказательстве существования начальной функции от функции- f(x). Пусть будет х
какое-нибудь значение переменного, заключающееся в промежутке (х0, лго4-Л);
возьмем между л0 и х некоторое число промежуточных значений х1, х*, . . .
..., Xj-i, xit ..., xn-i, идущих в возрастающем порядке от дг„,до х. Положим
последовательно:
, у6){х1 — х0), у*=У1->г}{хи ydiXi — Xi),. . ., E3)
и вообще
Л=Л-1 +/(¦*/-!.Лч)(**-*/-i) («- 1, 2, . . . , /г- 1). E4)
Сумма
o.Уо) (х{—х0) +•/(*,,_yt) (*3—*,)+••¦ -т-/(дг„-1, J'n-i) (*„-*„_,) E5)
имеет очевидное сходство с суммою E0), в которую она обращается, если функ-
функция f(x, у) не зависит от у. Таким образом мы должны исследовать, стремится ли
эта сумма (S5) к пределу при неограниченном возрастании числа п. Мы расши-
расширим эту задачу, введя предварительно две суммы, аналогичные количествам S
и s (т. I, § 69).
Рассмотрим треугольник ABC, образуемый прямыми, представляемыми урав-
уравнениями:
Из определения числа Л следует, что функция / (х, у) непрерывна, если точка
(х, у) остается внутри или на сюроне этого треугольника, и ее абсолютное зна-
значение не превосходит числа М.
ПрямыеX — xlt Х=х3,. . . , Х—х, параллельные оси Оу. разбивают тре-
треугольник ABC на несколько равнобедренных трапеций Q_j b^^fii, из которых
первая приводится к треугольнику АЬ^с^ Пусть будут М{ и /и4 наибольшее'
и наименьшее значения функции/(дг, j/)b этом треугольнике АЬ{сг ; мы имеем —
М ^ ту < Мj ^ М. Проведем через точку А прямые с угловыми коэфициен-
тами М, и тс, эти прямые встретят прямую Х = хк в двух точках Pt и р{, орди-
ординаты которых соответственно равны К, = у0 -f- Af4 (х{ — лг0) и у{ =Уо + т1 (дг4 — х)
[чдесь буква у{ обозначает уже не то количество, как в формулах E3)—E5)].
Очевидно.- что эти точки Р, и р, лежат внутри или на сторонах треуголь-
треугольника ABC, n.Yl>yl. Проведем через точку Р, прямую с угловым коэфйццен-
том М до пересечения ее в ?>2 с прямою Сфг, точно так же через точку pt
проведем прямую с угловым коэфициентом — М до пересечения ее в q% с тою же
прямою д262. Пусть будут ЛТа и та наибольшее и наименьшее значения функ-
функции fix, у) в трапеции PiQ^^Pi, прямая с угловым коэфициентом М2, проходя-
проходящая через точку Pit пересекает прямую да63 в точке Ра, ордината которой равна
У.2=У{+М3(х3-х{),
а прямая с угловым коэфициентом т2, проходящая через р{, пересекает a2&g
в точке /?2 с ордин->тою y<i=yi-{- т$(хг—х{). Очевидно, что мы имеем К2>_у2
и Y.2 — y-i^Yl—Vi, причем здесь равенство может иметь место только в том
случае, если цунЛшя f(x, у) остается постоянною в трапеции PiQiq^Pi, так как
Уз —У2== Vi-yi + (Aff - Щ) (*з - ^i).
Этот процесс можно продолжать. Получив на прямой С,_16,_1 две1 точки Pj-i
и /7/_i, проводим через P,-i прямую, параллельную АВ, и через p^.i прямую,
параллельную АС; мы получим при этом равнобедренную трапецию Pi-\QjqiPi-i.
Пусть будет Mt наибольшее значение функции f(x, у) ъ этой трапеции, и тг —
ее наименьшее значение; прямая с угловым коэфициентом Л^, проходящая
через Р/_1, пересекает прямую Cfii в некоторой точке Pit а прямая с угловым
коэфициентом /и(-, проходящая через р,-_,, пересекает Cibi в некоторой точке р,.
Таким образом мы составим две ломаных линии, выходящих из тонки Дв:

§391
II. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
75
линию APjPjj.. . Pf_,P/...Pn, которую обозначим через L, и линию рф^
.-. . Pi-\Pi---Pn, которую обозначим через /; обе эти линии встречают прямую
Х = х соответственно в точках Рп и рп. Из caw ого построения этих линий оче-
очевидно, что они обе лежат внутри треугольника ABC, что линия L на всем своем
протяжении расположена над линиею/, и что расстояние между этими двумя ли-
линиями, измеряемое по прямой, параллельной оси Оу, не может убывать при воз-
возрастании абсциссы от х0 до х. Ординаты Yn и уп крайних точек линий L и /
вполне аналогичны суммам S и s (т. I, § 69); мы положим S=Vn, s=yn.
Каждому способу разбиения промежутка (лг0, х) соответствует своя сумма S
и своя сумма s. Если мы разобьем произвольным образом каждый из частичных
промежутков (.Xi-i, xj) на более мелкие промежутки, то из предыдущего геоме-
геометрического построения непосредственно следует, что линия L', соответствующая
этому новому разбиению, будет расположена на всем своем -протяжении под
линиею L, а линия Г — над линиею /. Следовательно, мы имеем Sr^5, s'^ss, где
буквы S' и s' обозначают суммы, соответствующие второму разбиению. Отсюда
заключаем, как в § 69 (т. I), что есл-и S, s, Slt st представляют суммы, соответ-
соответствующие двум каким-нибудь способам разбиения промежутка (х0, х), то
мы и«еем 5<S/, st > S. Следовательно, обозначая»через / нижнюю границу
сумм S и через /' — верхнюю границу сумм s, мы будем иметь /'^/.
Для того чтобы суммы S и s имели общий предел, когда наибольшая ампли-
амплитуда всех частичных промежутков xt — дг,_, стремится к нулю, необходимо-и
достаточно, чтобы S — s стремилось к нулю. В самом деле, мы можем представить
эту разность в виде:
разность S — s может быть меньше произвольного числа е только в том случае,
если каждое из чисел S — /, / — /', /' — s (ни одно из них не может быть отри-
отрицательным) меньше s. Но так как положительное число е произвольно мало,
то последнее может иметь место только в том случае, если /' = /; кроме того.
S и з должны иметь общий предел /. Но. для того чтобы доказать, что S - S

76 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 391
имеет пределом нуль, еще не достаточно предположить, что функция f(x, у)
непрерывна; здесь именно и необходимо ввести условие Липшица.
Пусть будут У, и yt ординаты точек Р/ и pt, и lt — разность Уг —yt. Так как
в треугольнике ABC функция f(x, у) непрерывна, то для всякого положительного
числа X можно найти такое положительное число я, чтобы было
\f(x,y) — f(x',y')\<l
всякий раз, когда расстояние между точками (дг, у) и (х', у') треугольника ABC
меньше о; мы будем предполагать, что-все разности х! — х1_1 меньше о. Из
построения, посредством которого мы переходили от точек Pj-i Pi-i к точкам
Pt, pt, следует, что
8/ = 8,-1 + {Mi - m,) {xt - Xi-Cn
с другой стороны, мы имеем:
М,-щ=/ х>, yt')-fW. УП =
= [/(*/. yi)-fW, л1)] + W*,". у!) -/<*/'. у/'п.
где {х- , у,') и (дг,", у") суть координаты1 некоторых двух точек трапеции
Следовательно, принимая во внимание условие E2), мы имеем:
но разность \у" —у/ | не может быть больше, чем количество bi^l
и поэтому
M
Предположим, что все промежутки настолько малы, чго все произведения
2MK(Xj - jc,_i) меньше числа X; тогда разность М,-—т1 будет меньше числа
2Х-)--/(8(_( и, следовательно, мы будем иметь неравенство:
8/ < */-. [1 + К (xi - Xi_,)] + 2\ (Xi - Xi_,). E6)
2Х
Прибавив с обеих сторон по -гг, его можно представить иначе, в. виде:
А
"' + f) [l + К'•*' ~ х'~l)]-
Следовательно, и подавно имеем:
Полагая в последней формуле последовательно i= 1, 2, . . ., п и умножая полу-
полученные неравенства почленно, будем иметь:
или
Так как положительное число X можно взять сколь угодно малым, если только
все частичные промежутки будут сами меньше некоторого соответственным обра-
гом выбранного положительного числа, то мы видим, что суммы S и s имеют
общий предел. Этот предел есть функция от дг, F(x), определенная в промежутке
(х0, х0 -f h), Покажем теперь, что эта функция F(x) есть интеграл данного урав-
уравнения E1), обращающийся в у<, при лг = лг0. Для этого мы опять обратимся
к геометрическому представлению.
Если все частичные промежутки стремятся к нулю, то не только концы
.обеих многоугольных линий L и I стремятся к одной предельной точке, но

§ 391 II. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 77
и сами эти линии стремятся к некоторой предельной кривой. В самом деле, вся-
всякая прямая, параллельная стороне ВС, пересекает линию L в некоторой точке Р
и линию / в некоторой точке р, и расстояние Рр меньше количества S — s; кроме
того, по свойству этих многоугольных линий ординаты всех точек Р больше
ординат точек .р. Так как при этом расстояние Вр стремится к нулю, то отсюда
следует, что точки Р и р стремятся к некоторой одной предельной точке it,
лежащей на рассматриваемой прямой. Очевидно, что место этих точек к есть неко-
некоторая кривая С, расположенная между ломаными линиями L и I и проходящая
через .точку А. Ордината точки с абсциссою х этой кривой равна определенной
выше функции F{x), так как положение точки к на прямой Х=х определяется
только теми частями обеих многоугольных линий, которые лежат налево от пря-
прямой Х — х. Предположим, что обе ломаные линия L и I продолжены до сто-
стороны ВС, и все частичные промежутки меньше наименьшего из. двух чисел а
и <умК' ПУСТЬ бУдУт Р{х) и Q(x) непрерывные функции, представляющие в про-
промежутке (х0, Хц + h) ординаты точек линии L и линии /. Разность Р(х)— Q (х)
2\
меньше количества -ry{eKh—1), а потому каждая из функций Рх, Q (х) отли-
чается от F(x) на еще мет шее количество. Так как число I можно сделать сколь
угодно малым, то мы видим, что можно составить равномерно сходящийся ряд
непрерывных функций, имеющий в промежутке (х0, х„ + h) сумму F(x); следо-
следовательно, эта функция F(x) — также непрерывная.
Очевидно, что всякая ломаная линия, лежащая между L и /, имеет своим
пределом ту же самую кривую С. Такова, например, многоугольная линия Л, ко-
координаты (xit Zi) последовательных вершин которой определяются рекуррентного
формулою:
+ fi,-„ zt_,)(xt — x^,),
причем первая вершина лежит в точке (лг0, _у0); таким образом мы приходим к
выражениям E5), из которых мы исходили. Заме1им также, что, применяя то же
построение, начиная от точки М (лг\ у') кривой С, мы получим две ломаных
линии V и t', расположенных между Lulu, следовательно, все более и боле
приближающихся к части кривой С, содержащейся между точкою М' и пря-
прямою ВС. Заметив аго, Еозьмем на к| ивой С две точки M'ix', у') и М" (х", у"),
близкие между собою (х"^>х'). "Из предыдущих построений очевидно, что угло-
угловой коэфициент прямой М'М" заключается между наибольшим и наименьшим
из значений, приобрегаемых функциею f(x, у), когда точка х, у описывает тре-
треугольник, образуемый прямыми:
Х=х", Y—y' = M(X—x'), Y — y' = — M(X—x').
Если разность х" — х' будет меньше некоторого соответственным образом
выбранного положительного числа, то оба эти крайних значения фун ции f{x,y)
будут отличаться от f(x\ у') и f(x", у") также сколь угодно мяло/Следовательно,
если одна из двух точек, например М", неограниченно приближается к первой,
то угловой козфициент прямой ММ" имеет ггределом f{x\ у'). Таким образом
функция Fix) удовлетворяет данному диференциальному уравнению E1). Кр >ме
того, очевидн , ч<о кривая С проходит через точку А, т. е. мы имеем /r(Af0) = j/0.
' Кривая С—единственная, удовлетворяющая условиям. Если бы существовала
другая кривая С, то эта кривая С не могла бы быть всеми своими точками ниже
всех линий L и выше всех линий /, так как эти линии стремятся к кривой С,
и, следовательно, в этом случае кривая С совпала бы с С. С другой стороны,
кривая С проходит через точку А между линиями. L и /. Отсюда следует, что
должна быть, по крайней мере, одна линия L или /, с которою кривая С" пере-
пересекается. Пусть это будет, например, одна из линий L. Предположим, что С пере-
переходит через линию L снизу вверх, пересекая ее в некоторой точке п,, лежащей
на стороне Pl_lPi. Пусть будет /я,-^ точка кривой С, абсцисса которой равна
х,^{; по теореме конечных приращений угловой коафициент хорды т^уП, равен
значению функции f(x, у) в некоторой точке дуги ml_lni; следовательно, этот
угловой коэфициенг не может быть больше углового коэфициента стороны P,-iPt,
так как дуга т^^п, лежит внутри трапеции Pt-iQfltPi-i \ между тем из чертежа
видно, что он должен быть больше углового коэфициента прямой Р,_(Р,-.

78 глава xix. Теоремы существования § 391
Мы видим, что изложенный здесь первый метод Коши и метод последова-
последовательных приближений дают одну и ту же границу для промежутка, в котором
интеграл, наверное, существует. Но, с теоретической точки зрения, метод Коши
обладает неоспоримым преимуществом; именно, мы покажем, что, пользуясь этим
методом, можно найти интеграл во всяком конечном промежутке, в котором этот
интеграл непрерывен. Говоря точнее, предположим, что уравнение E1) имеет
интеграл y — F(x), непрерывный в промежутке (дг0, х0 + /), а функция f{x,y)
также непрерывна и удовлетворяет условию E2) в области (Е) плоскости хОу,
ограниченной прямыми х = х0,' х = х0 + I и двумя кривыми Y=F(x) ±т), где
т)—произвольное'положительное число. Разобьем промежуток (лг0, xo-f-lj на
более мелкие частичные промежутки и, исходя из точки (х0, у^, построим указан-
указанную выше ломаную линию Л, соответствук щую принятому способу разбиения.
Если все частичные промежутки будут меньше"некото рог « соответственно
выбранного положительного числа, то эта многоугольная линия на всем
своем протяжении будет лежать в области (?), и разность ординат каждых
двух точек с общею абсциссою, взятых соответственно на кривой С и на
линии Л, будет меньше любого заранее данного положительного числа г.
Пусть будут лг0, лг,, xit . . . , лг,-!, Xj,. . . , хп_{, х0 + / абсциссы точек
разбиения, yt, у{ ,..., Y—соответствующие им ординаты кривой С, и
у0, г,, г3, . . . , Zj, . .. , zn — ординаты вершин линии Л. Предположим сначала,
что все вершины, расположенные влево от вершины (лгг-,г,\ лежат в области (?),
и найдем верхнюю границу разности dl=\zl—yt\.
С одной стороны, по самому определению линии Л имеем:
с другой стороны, из формулы конечных приращений имеем также:
*Л У!) (*/ — xi-i),
где (лг/, у/) — координаты некоторой точки кривой С, a x't заключается между
дг;_) и Xi'. Отсюда получаем:
«I—^/=^-1 —У1-1+ Xi — x^t) [/(*/_!, «/_,) -/Л', у/)]. E7)
Козфициеит при (xt—jc,-_t) можно представить иначе в виде:
. У[~д— /№', У! ]¦
По условию E2) абсолютное зна ёние первой разности меньше Kdl^i. С другой
стороны, так как функция f(x, у) .непрерывна в области (?), то она будет
непрерывною функциею от х вдоль кривой С, и можно взять настолько малое
положительное число я, чтобы для двух каких-нибудь точек (х, у), (х', у') кривой С
количество \f(x,y)—f(x',y')\ было меньше некоторого данного положительного
числа Л, если | х — х' | < я. Следовательно, выбрав число а под этим условием,
мы имеем:
d, < d,_, + (*, - х,- д (И + Ktf.-Л; E8)
это соотношение одинаково с соотношением E6), и мы, как и выше, получим
из него:
Предположим, что число X настолько мало, что 2\(eKl—l)<f/ff); мы последова-
последовательно докажем, что все d{, dif.. .,dn меньше т). Следовательно, все вершины много-
многоугольной линии Л лежат в области Е).
Пусть будет Р (х) ордината какой-нибудь точки линии Л; точно так же пусть
будет Q (х) ордината точки вспомо: ательной многоугольной линии Л', которую
получим, соединяя между собою прямыми точки кривой С с абсциссами
Хо , хи х2, . . ., *n_i, Xq -\-1. Мы'имеем:
Р (х) - F(x) = P{x) - Q (x) + Q (х) - F{x).
Если колебание функции ^(д:) в каждом из частичных промежутков меньше

§ 391-392 II. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 79
числа -|-» то мы всюду имеем | Q(x) — F(x) |< у. Если, кроме того, чис-
число 1 меньше, чем -=-, то мы будем иметь \Р(х)—5W,<y и, следова-
следовательно, | Р (х) — F (х) |< г. Таким образом непрерывная функция Р(х) предста-
представляет во всем промежутке (х0, Х(, + I) функцию F(x) с приближением, меньшим
числа е.
Метод Коши-Липшица можно распространить на системы диференциальных
уравнений без всяких затруднений, кроме некоторых усложнений в формулах.
Он распространяется также и на комплексные переменные. Исследования Пикара
(„Traite d'Analyse",т. II, стр.332—340, 2-е изд.) и Пенлеве показали,что этот метод
приводит .к разложениям в сходящиеся ряды интегралов во всей области их
существования, если правые части данных диференциальных уравнений остаются
голоморфными в этой области.
392. Разложение - в ряд многочленов *. Мы применим метод Коши-
1 — х
Липшица к интеграции в комплексной области уравнения - = у* с начальным
условием у=1 при дг = О. Очевидно, что интеграл, удовлетворяющий этому
условию, есть . Предположим, что х не принимает действительных зна-
х 2х
чений, ббльших единицы, и разобьем интервал @, х) точками деления —, — , ...
п — \
Применение общего метода приводит к рассмотрению следующей последова-
последовательности, которую мы запишем, изменяя обозначения, в виде:
и вообще
^"|l = «?)+-J_{^")}2. /><я-1. (а)
Ясно, что {/?"' есть многочлен степени 2»— 1. Для нахождения верхнего пре-
предела модуля разности {/'"* (х)— , когда х не равен действительному числу,
большему единицы, рассмотрим, кроме того, последовательность:
4n)=i, «<">=——,..., «<"*=—!- „<«)=_!_.
и ' х р рх " 1-х
Пусть М верхний предел модуля ———, когда z пробегает отрезок прямой
от точки z = 0 до точки z = x; каковы бы ни были числа п я р, всегда имеем
I ир | ^ Af. С другой стороны, простое вычисление дает нам:
Положим:
— ап) — — и<п) и<п) — Х law?+— (а{п)?и{п)
ир — пир ие + 1— п УиР > + „21<иР > up+l-
вычитая почленно соотношения (а) и (аг), получим:
Д?Я) Д(Л) _ .? Д(Л) Ш(Я) I „(Л) Х I u'n)l2 ц(«)
Р + 1 Р п Р Р Р J — ф\ Р > Р+1'
* Е. Goursat, Sur quelques developpements de en series de polynomes (Bulletin des
Science mathimatiques, 2-е serie, t. XXVII, 1903, p. 226).

80
ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
§ 392
Модуль величины f/jj1'+ и?" меньше, чем 2М
обозначая модуль х через р, мы имеем неравенство:
и, следовательно,
Чтобы доказать, что многочлен
стремится к пределу
.
при
леограниченном возрастании п, достаточно доказать, что | ДдЛ) | стремится к нулю
вместе с —. Для этого рассмотрим одновременно с последовательностью поло-
положительных чисел | Д'/1' J AJJ1' | положительные числа v{, v2, . . . , vn, связан-
связанные с ц = 0 рекуррентной формулой:
vl\
где
Мы имеем:
и, следовательно,
Сравнивая соотношения (Р) и (f), мы выводим последовательно неравенства:
и, наконец, Д^л) <fn. Но Лсла »,, г>2,..., р„ как раз те самые, которые
приходится последовательно вычислять при применении метода Коши-Липшица
1 к отысканию интеграла вспомогательного уравнения:
= 2Мv 4 f2 + Я,
(8)
обращающегося в нуль при * —0. Пусть п настолько велико, что Н оказывается
меньше М\ Тогда" уравнение r* + 2Mr+ff—0 имеет два отрицательных
корня а, р:
а = — М — УМ* — И, f=-/
1 _ е(л-рх
и искомый интеграл имеет вид:
Этот интеграл имеет полюс в точке с положительной абсциссой:
* — Н
Log ( ^-) Log
М —
- Я
— Я
т), неограниченно возрастает при стремлении Н к нулю. Пусть п столь Велико,
что р меньше т^; тогда функция v непрерывна и возрастает от нуля до р,
и изображающая ее кривая обращена выпуклостью вниз. Точки с координа-
координатами ! —, vp ) суть вершины ломаной линии, которая имеет своим пределом
при неограниченном возрастании п интегральную кривую, и очевидно, что в силу

§ 392-393 III. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. МНОЖИТЕЛЬ 81
свойств этой кривой наша ломаная линия лежит под кривой. Следовательно, мы-
яолучим, в частности:
Когда л неограниченно возра; тает, аир стремится соответственно к —2М
1 _ е -*Мо „
и к нулю, а второй множитель имеет пределом тпт—sur- • Следовательно,
начиная с некоторого л, мы будем иметь:
-2пе -Щ
Многочлен U("](х) действительно имеет пределом -j при л, стремя-
стремящемся к бесконечности, если только х не принимает действительных значе-
значений, ббльших единицы. Во всякой конечной области плоскости, ограниченной
контуром С, не имеющим общих точек с отрезком действительной оси + 1 \- оо,
многочлен Lft^ix) стремится равномерно к . _ .
Пусть, в самом деле, R есть радиус круга с центром в начале, заключающего
в себе область D, и пусть Ш есть максимум
, когда г лежит в области D',
1—2
описанной радиусом-вектором, соединяющим начало с переменной точкой кон-
контура С. Если заменить р через R, а М через ЭД, то предыдущие неравенства
будут применимы для всякой точки х области D, и, следователь! о, d'^' (x) \ авно-
мерно стремится к нулю вместе с — в области D.
С помощью многочленов U^(x) можно образовать ряд многочленов, имею
щий своей суммой и равномерно сходящийся в области D (т. 1, § 197).
III. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. МНОЖИТЕЛЬ
393. Первые интегралы Пусть будет дана система п — 1 аналити-
аналитических диференциальных уравнений первого порядка; представим эти
уравнения в симметричном виде;
dXj dx2 dxn
где знаменатели Х-,, Х2, ..., Хп суть функции п переменных х-,, хг, ..., хп.
Такая форма диференциальных уравнений не предрешает выбора незави-
независимого переменного, которое может1 быть одним из переменных х( или
даже может быть взято совершенно произвольно. Выше мы видели, что
при некоторых условиях, которые были точно указаны, все интегралы
этой системы, проходящие через какую-нибудь точку некоторой опреде-
определенной области D, представляются системою уравнений вида:
A (*i^*2> •' •' ¦*!.) = С^ U (¦*!• *2' "¦?х") ^ 1 F0)
где (л — 1) функций /,, /г, ... , tn-л — голоморфны в области D, а
Cj, С2,'... , Сп_1 суть постоянные, которые можно выбирать произвольно,
по крайней мере, в некоторых границах (§ 387). Формулы F0) представ-
6 Э. Гурса, т. И, ч. 2.

82 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 393
ляют общий интег; ал системы E9) в области D, которая не охватывает
непременно всю совокупность возможных значений переменных. Может
случиться, что мы будем иметь несколько систем различных формул,
представляющих общий интеграл в различных областях. Ясно также, что
даже и в одной и той же области D система формул F0) — не един-
единственная; мы можем заменить п—1 функций ft другими п—1 функ-
функциями Ft, зависящими только от функций ft, при условии, чтобы эти
п — 1 функций F( были независимыми функциями переменных //#
Каким бы образом ни были взяты функции /{, но если формулы F0)
представляют общий интеграл системы E9), то функции ft удовлетворяют
одному и тому же уравнению в частных производных первого порядка.
В самой деле, предположим, что координаты точек (л,, х2, ... , хп)
интегральной кривой выражены в функции переменного параметра. Если
мы заменим в ft координаты xt, хг, ... , хп их выражениями в функции
этого параметра, то результат подстановки должен дать постоянное, сле-
следовательно, мы имеем df/^^O и, заменяя в dfl диференциалы dxlt dx2, ...
пропорциональными hvi количествами Хг, Х^, ..., мы найдем, что ft
удовлетворяет уравнению
|^|г0. F1)
Это соотношение должно удовлетворяться тождественно, если мы заме-
заменим в нем / через /,, так как постоянные Ct можно выбрать таким
образом, чтобы интегральная кривая проходила через любую точку обла-
области D. Следовательно, п— 1 функций Д, /2, ... , /и_1 суть п— 1 инте-
интегралов уравнения X(f) =0. Очевидно, что всякая функция II (/,, /2, ..
¦¦¦ifn-i) при любом виде функции II есть также интеграл уравнения F1)
в силу соотношения
^H) = ^Jf(Л) 4-^ Jf(/,)+...+~-^(Л.1),
которое нетрудно проверить.
Обратно, мы получаем, таким образом, все интегралы уравнения
X (/)=*= О. В самом деле, искл'ючая коэфициенты Xt из п уравнений
мы получим соотношение:
/, А, Л
хя
отсюда с едует, что/ есть некоторая функция II (Д, ^,...,/и) от
п—1 частных интегралов Д, /5, .. . , fn_x (т. I, § 52). К тому же
результату можно притти также заменою переменных. В самом деле, возь-
возьмем новую систему независимых переменных y]t y2, ... , уп таким обра-
образом, чтобы п — 1 переменных _у1; у2, ... , уп_г были равны самим
функциям Д, /,,..., Гп_Л, а переменное уп вместе с функциями
У],У2, ••. , Уп-1 образовало систему п независимых функций от перво-

§ 393 Ш. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. МНОЖИТЕЛЬ 83
начальных переменных хл, х.,, ... , хп. Тогда уравнение X(J)**lQ обра-
обратится в уравнение такого же вида:
которое должно иметь п—1 частных интегралов
t=y\ f=y«-i-
Отсюда имеем:
и уравнение F2) обращается в-— = 0. Следовательно, общий интеграл
дУп
есть произвольная функция от yv у2, ... , Уп_л *.
Отсюда следует, что интегрирование уравнения в частных производ-
производных Х{/) = 0 приводится к интегрированию системы диференциачьных
уравнений E9). Обратно, предполо • им, что каким-нибудь образом мы
получили интеграл / уравнения X{f)^=Q. Если мы заменим в этой функ-
функции / переменные хг, х2, ... , хп координатами точек интегральной кри-
кривой уравнений E9), выраженными в функции переменного параметра,
который может быть и одною из этих координат, то мы получим
постоянное количество. В самом деле, если мы предположим, что хл,
х2, ... , хп суть функции переменного параметра, удовлетворяющие соот-
соотношениям E9), то полный диференциал df предыдущей функции приво-
приводится к КХ(/), где К обозначает общее значение отношений —'.Сле-
довательно, уравнение /=С есть следствие системы рассматриваемых
диференциальных уравнений; поэтому функция / называется первым
интегралом этой системы **.
Если известны п—1 не ависимых первых интегралов, то, как было
по азано, мы непосредственно получим общий интеграл системы E9);
если же известны только р независимых первых интегралов (/?<«—1),
то можно привести интегрирование данной системы к интегрированию
системы п—р — 1 диферен чиальных уравнений. В самом деле, пусть
будут /,, /2, ... , /р эти р первых интегралов; из р соотношений
А =г Ц i *2 == ^2» • • • » 'р==*-'р
можно выра >ить р из переменных хг, х2, ... , хп, например xv х2, ... х
в функции п—р остальных х г, ... , хп и р произвольных постоян-
постоянных С,, С2, ... , С . Следовательно, остается только определить х Л,
х 2, ... , хп в фикции одного независимого переменного. Если мы
обозначим через Хр+Л, X 2, ... , Хп функции, в которые обратятся
функции <YO+1, Хр+г Хп после замены переменных хп хг, ... , хр
* Пр 1 обоих этих рассуждениях не требуется, чтобы.функция / была аналитическою. Един-
Единственными ограничениями, налагаемыми на функцию /, будут те, которые обусловливают возмож-
возможность применения формул замены переменных, т. е. искомая функция / должна иметь частные про-
производные, и эти производные должны быть непрерывны.
** Это тассуждение непр менимо, еслн множитель К оэращается в бесконечность во всех точ-
точках интегральной .кривой, что имеет место, ее ш координаты всех точек этой кривой обращают
в иу !Ь все п функций X,:. Лолжно также' сделать 'исключение для тех интегралов, для которых
в области каждой точки интегральной кривой по крайне/i мере одна из функций X,, Х%.. .., Х„
будет неголоморфною. Этот случай имеет место для особых интегралов.
6*

84 ГПАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 393
их выражениями, то задача приводится к интегрированию новой системы
d>^_, dx „ йх„
где знамена ей зависят от р произвольных постоянных.
Мы мокем также рассужд!ть другим образом Если мы возьмем новую
систему независимых переменных ул, y.t, .., уп, где р не еменных
уг, у2, ... , у тождественны с р известными первыми интеграции
/,, /3, ... , /р, то уравнение X(f) = 0 об атится в уравнение того же вида
К(/) = 0, кото ое должно иметь интегралы /=уг, .... i — yp; следо-
следовательно, это уравнение будет иметь вид:
и его интегрирование приводитя к интегрированию системы п — р—1
диференциальных уравнений первого порядка:
у у •
Из этого видно, насколько важно разыскание первых^ интегралов.
В кажд м частном случае нахождение нокого первого ишеграла состав-
составляет новый шаг к полному решению. Но для разы кания их нельзя дать
никакого определенного правила; замети только, что задача приводится
к составлению интегрируемого сочетания уравнений E9), т. е. к нахо-
нахождению п таких множителей ц,, ц2, ... , цп, чтобы было:
и чтобы
Из dx, -f- М*2 + • • • + К dxn
было точным диференциалом dtp. В самом деле, -очевидно, что из урав-
уравнений E9) можно вывести новое отношение, равное первоначальным:
dxt _ щ dx, 4- . .. + ».п dxn _
X, ъ*л + ... + ]1яХа '
следовательно, соотношение
dtp = ц, dxy -f • • • -t- К dxn = 0
будет следствием уравнений E9), если будет:
Зная множители ji/f мы получим первый интеграл <р квадратурами.
В частности, это будет иметь место всякий раз, когда мы можем найти п
множителей nlt ц2, ... , р.п таким образом, чтобы было
и каждый множитель p.t зависел бы только от хг
Заметим также, что после того, кнк щы получили р пегжых интегпа-
лов системы F9;, может случиться, что новая система вполне ин1ег^и-

§ 393 III. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. МНОЖИТЕЛЬ 85
руется при частных числовых значениях постоянных С,, С,, ... , С„,
хотя при произвольныч значениях этих постоя .ных выполнить интегри-
интегрирование на самом деле и невозможно.
Примеры. 1. Требуется проинтегрировать систему
du dv dw
— = гда, -r- = wu., j- = u»; F1)
dx dx dx K '
здесь легко заметить две интегрируемые комбинации adu = v dv = w dw. Следова-
Следовательно, мы имеем два первых интеграла w — xfl^=Ci а2 — ш-2 = С2 и, внося зна-
значения v и w, выведенные из этих соотношении, в первое уравнение F4), мы
придем для определения и к диференииальному уравнению
рх _c-lXu2_c2); F5)
его общий интеграл естъ эллиптическая функция, которая в частных случаях
может обратиться в однократно периодическую функцию или даже в раиионая*
ную. Так- как рассматриваемая система симметрична относительно и, v, w, то мы
заключаем, что v и w суть также эллиптиче кие функции от х.
2. Рассмотрим систему
du dv dw
— = rv-qw,-x=pw — ru,-^ = qu — pv, F6)
где p, q, r—данные функции от х Мы имеем здесь интегрируемую комбинацию
и du -j- v dv -\- w dw = i, откуда получаем один первый интеграл «2 + %& + а»2 = С.
Оставляй в сюроне случай, когда С = 0, мы можем предположить, что С=1,,так
как систем;) F6. не изменяет.я при умножении и, v, w »л од .н и тот же постоян-
постоянный множитель. Вместо тою, чтобы из соотношения ы2-(-»2-|-да* = I определять
одно из неизвестных, мы можем применить более симметричный прием, рассмат-
тривая и, v, w как координаты точ к шара с радиусом, равным едлнице, и выра-
выразить их в функции двух переменных параметров, например в функции парамет-
параметров, определяющих прямолинейные образующие шара. Д 1Я этого положим:
. u'-j-iv 1 -f- w . и -\- iv 1 — w
1 — w и — iv ' l+w и — iv ~~
отсюда" имеем:
V l 1W=
Ы=
т, V — l т
А A А — pi
Вставляя эти значения и, v, w в систему F6 , мы после несложных вычисле-
вычислений найдем, что X и ц должны удовлетворять одному и тому же уравнению
Риккати:
da . q — iv a + ip ._
таким образом интегрирование данной системы приведено к интегрированию урав-
уравнения Риккати *.
3. Рассмотрим еще уравнение, проинтегрированное Лиувиллем:
полагая у' — г, мы заменим его системою:
dx dy — dz
1 z «i.
отсюда получаем интегрируемую комбинацию \- <р {х) dx -|- f(y) dy = 0
* См. Дарбу, Theorie des surfaces, т. 1, гл. II; предыдущий мегод свлциг определение про
страиств и.он кривой пи ее натуральным уравнениям: R=f(s), Г=ф Is), к интегрированию уравне-
уравнения Риккати.

8и ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 393
Следовательно, рассматриваемое уравнение второго порядка имеет первый
интеграл
f(j>)dy
у'ех> еу" = с;
этот интеграл можно получить и непосредственно, разделив на У все ччены данного
уравнения второго порядка. Полученное уравнение первого порядка имеет вид:
У = CXY, и так как в нем переменные разделены, то интегрирование заканчи-
заканчивается двумя квадратурами.
Примечание I. Иногда заменяют систему E9) системою:
А, л, лп
где t есть вспомогательное переменное, которое в большинстве случаев вводится только для боль-
большей симметричности в рассуждениях. Если мы проинтегрируем первоначальную систему E9), то
получим t квадратурою; в самом деле, заменяя, например, вХ, переменные х$, х,, ...,хп их выра-
выражениями в функции от xt и произвольных постоянных С4, С8, ... , С„ ,, мы придем к соотно-
соотношению
dt=P(Xi, С„ С,
откуда и получим t к.адратурою. Отсюда следует, что общий интеграл новой системы F8) пред-
представится я уравнениями:
/i~ '"l, /зм"8> ***»/71 )Д^*Т1 [» /и 1^1, -?а , ••• , -?п)=i — 1ц, F9)
me ti. ft /п 1 суть и — 1 различных интегралов уравнения Х(/) = 0, и (о — новое произвольное
постоянное.
Обратно, чтобы получить интегральную кривую системы E9), проходящую через данную
точку {х , х,..., хп), можно обратиться к системе F8) и, рассматривая в ней t как независимое
переменное, найти такие ее интегралы, которые при г=0 принимали бы соответственно значе-
значения-*, *,..., хп. Пусть будут
19 оо, оо о и
эта интегралы; ясно, что формулы G0) и представляют искомую кривую. Исключение было бы
только в том случае, если бы все функции Xi были равны нулю при начальных гиачениях х
о
и голоморфны в их области. В этом случае формулы G0) обратились бы b-jtj= x.. Но, так как при
этом отношения —-, —п принимают неопределенный вид, то еще нельзя утверждать, что не
dxi dxt
существует никакой интегральной кривой, проходящей через данную точку. Мы исследуем этот
случай ниже (§ 417).
Примечание П. Из связи, существующей между системою днференцнальиых уравне-
уравнений E9) и линейным уравнением F1), следует, что X(f) есть ковариант системы E9). Это значит
следующее. Предположим, что мы взяли новую о стему независимых переменных уи у3 уп,
связанных с переменными хи xlt ... , хп соотношениями:
Xi=fi(yi уп) (< = 1, 2, ... , л); G1)
уз формул замены переменных следует, что < - есть однородная и линейная функция производ-
ных ^- , и X{f) переходит в выражение того же вида:
оУ1
где.}^, К2...., Уп — функции от yt, у^,... , уп • Докажем, что, сделав в уравнениях E9; ту же
замену переменных, мы придем к системе диференциальных уравнений
dy,_dv, _dyn
~v~—и~ -~ — ~V~ f ' л>
'i 1] 'п
в которой знаменателями служат те же самые функции Yu F2 Yn, которые входят в ур. вне-
ние 172).
Эту теорему можно было бы доказать непосредственным вычислением, но ее можно вывести
также нз последних предложений. В самом деле,, пусть будет *
dy\_dy%_ _dyn
система уравнений, которую мы получим, сделав в первоначальной системе уравнений замену
переменных G1); достаточно показать, что Zt, Zs Zn пропорций, альны У,, Y%,..., Yn Пусть

§ 393—394 III. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, МНОЖИТЕЛЬ 87
будет f(xt, X},... ,хп) первый интеграл системы E9) и F(ylt у,, ...,уп) — функция, получающаяся
из f(xt, х2, ... , хп) после предыдущей замены переменных; так как мы имеем X'(/)=0, то будем
также иметь K(f)=O. С друтй стороны, очевидно, что F(yi, y% уп) есть первый интеграл
новой системы G4), г. е. интеграл линейного уравнения
Мы видим, что линейиые уравнения Y(Fi — 0, Z(/\ = 0 имеют одни и ie же интегралы, следовательно,
их коэфициеиты пропорциональны, и теорема доказана. Последнее заключение вытекает из того
соображение, что линеин е уравнение Х(/) = 0 вполне определено до некоторого множителя, если
известны его п — 1 независимых интегралов /4, /9, ... , ./n_t. В самом деле, из п — 1 уравнений
X(/jj=O линейных и однородных относительно Xt, Х2, ... , Хп» всегда можно определить отношёг
ние этих неизвестных коэфициент в, так как все определители (я— 1)-го порядка; составляемые из
частных производных функции /$, не могут быть оди .временно равны нулю (т. I, § 52). Заметим
еще, что самое общее линейное уравнение, имеющее ц—1 данных интегралов /j, может &ьпь пред-
представлено в виде:
п(*„ * *„ ^о.
?>(*„ *„..., хп>
где U(xif дга,..., Хп) — произвольная функция.
394. Множитель. Теория интегрирующего множителя была распространена
Якоби на совместные диференциальные уравнения. Пусть будут /,, /2, ...,/„_,
независимые первые интегралы системы E9); как мы заметили выше, уравнение
X(f) = 0 тождественно с уравнением:
± 0
О (х,, х2, ... , хп)
Выразив, что коэфициенты при производных — в обоих уравнениях пропорцио-
ЪХ1
нальны, мы придем к л соотношениям вида:
bi=MXi (/=1, 2, .... п\ G5)
где Д,-обозначает коэфициент при - в определителе Д. Функция М называется
bxt
множителем.
Каковы бы ни были первые интегралы /(, /2, ... , /„_), эта функция М удо-
удовлетворяет линейному уравнению в частных производных:
t • • • -\
гг t • • • \ги. (/а)
дх, дх2 дх„
В самом деле, подставив в это уравнение вместо каждого из произвепений
(=\1 его выражение через определитель (и—1)-го порядка и выполнив ука-
указанные диференцирования, мы найдем, что каждый член левой части есть прои>
ведение производной второго порядка вида -—— Aфк) на л — 2 частных про-
dfix
fik
изводных первого порядка. Чтобы доказать, что результат равен нулю, достаточно
показать, что он не содержит ни одной производной второго порядка. Возь-
мем, например, производную —^—; эта производная находится в двух членах.
dxflXy
В первом члене множителем при — будет коэфицинт при — в Aj, т. е.
dxfixz дх^
— "'"•' '"-' , а во втором — коэфициент при -^ в Д2. Очевидно, что эти
D{x3, xt,..., хп) Ъх{
коэфиииенты получаются один из другого при перестановке в Д первой и второй
строки; следовательно, сумма этих обоих членов раина нулю; то же имеет место
для других членов.
Если Mi есть частный интеграл уравнения G6), то, сделав подстановку
М - Afjn, мы приведем это уравнение к виду X(\l) = 0. Отсюда следует, что если
мы знаем как*ой-нибудь множитель М системы E9), то общий интеграл уравне-
уравнения G6) есть М•!!(/,, Д, ... , fn\ где Я — произвольная функция. Всякая функ?

88 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 394
ция этого вида есть также множитель; другими словами, существует л — 1 таких
первых интегралов Ft Fn_,, что M-U (/,, /2, ...,/n_t) можно вывести из
F,,..., Fn-i таким же образом, как М выводится из /, /и-г Яля этого должно
быть, если Xt ф 0
\_ D(F,,F%,..., /*,.,) _ J_ D(Ft, F2 Ря_$ D (/,,/,,,.... tn-J
X{ D(xit x3 xn) Xt DJt, fit...,/„_,) D(x2, Xj,..., xn)
или, по свойству множителя М:
Г) (F,, F.2,..., Fn-I) witt i ч
Этому условию можно удовлетворить бесчисленным множеством способов, и даже
взять заранее л—2 первых интегралов Ft.
Рассмотрим систему уравнений:
dx, __dx%_ _ dxn _
-р -у——...—-у- — at, (П)
с вспомогательным переменным t. Мы можем привести уравнение G7) к простому
виду:
dyl = dyi=... = dyn_l=0, dyn = dt, G8)
взяв за новые переменные я — 1 первых интегралов/,.,/,,...,/„_, и функ-
функцию /я, входящую в формулы F9). Нетрудно получить общее выражение множи-
множителей уравнений G7) qepei переменные yt. В самом деле, всякий множитель
имеет вид:
D*yx'""yx-;)u^'»"¦¦¦• у»-*
хх)
с другой стороны, мы имеем:
'~~ dt ду, dt '" ду„ dt дУп'
Диференцируя по yn формулы Vj=/j J'n==/n- определяющие замену пере-
вх,
менаых, и решая относительно—', получим:
*—г у»-, D (xit х&, ... , х„)
, Уз Уп
D ,х,, х.г, ..., х„,
следовательно, общее выражение множителя будет:
»-* *-v l79)
где Ф—произвольная функция от у,, у2 yn-i-
Предположим теперь, что, сделав какую-нибудь замену переменных xt и не
меняя при этом переменного t, мы привели систему уравнений G7) к виду:
dx;_dx.!_ _dxj _ 0.
л, л% л„
гле X/ — функции новых переменных х/, не зависящие от t. Если М' есть мно-
множитель этой новой системы, то мы имеем также:

§394-395 III. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. МНОЖИТЕЛЬ 89
взяв в обеих формулах G9) и (81) одну и ту же функцию Ф и разделив их
почленно, получим:
D ,*,',xj,... ,х„') '
Отсюда следует, что если известен множит/ ль М для системы G7), то из него
можно получить множитель М' для преобразованной системы (свойство
инвариантности).
Этим свой твом объясняется практическая важность множителя. Предполо-
Предположим, что мы знаем л -2 первых интегралов системы 59) и, кроме того, е мно-
множитель. Тогда заменою переменных можно привести эту систему уравнений
к виду:
О
0 Xn-i л«
и мы знаем множитель М' этой новой системы, т. е. решение уравнения
- + '
** —1 °хп
следовательно, М' есть интегрирующий множитель для Х„'dxn_l — X.l_idxn', и
интегрирование заканчивается квадратурами. В этом заключается начало, или
принцип п 'Следнего множителя Якоби.
О iметим один случай, часто встрьчаюшийся в механике, именно, когда
^г—? = 0. Уравнение (/6) обращается здесь в Х(М) = О, и мы непосредственно
знаем один множитель М=1.
Это замечание ириложимо также к уравнению второго порядка у"=/(х, у),
интегрирование коюрого приводится к интегрированию системы
dx_ dy d>'
1 ~~ У ~~ fix, у) '
если известен ее какой-нибудь первый интеграл <|> 'х, у, у' =С, то на основа-
основании предыдущего можно окончить интегрирование KBaiparyporo Hen удно это
проверить следующим обра ом. Решим уравнение <J» ix, у, у') = С относительно У:
У = <Р х, у, С).
Так как, каково бы ни было постоянное С, все интегралы этого уравнения пер-
первого порядка должны удовлетворять уравнению у" = f(x, у), то должно быть
дф д(р , ,
—- -\ L ip=/, и, следовательно, так как / не содержит С:
*х ду _ ,, ^ _.
дхдС ЬуЬС ЬудС
оср
отсюда следует, что -1 есть интегрирующий множитель для d>-f dx.
оС
395. Интеграньные инварианты. Свойство инвариантности множителя отно-
относительно всякой замены переменных можнэ свя3 1ть с общей теориею и те-
гральных инвариантов, принадлежащей Пуанкаре *, о которой мы скаже.м
здесь несколько слов. Рассмотрим сначала систему трех диференниальных урав-
уравнений
dJL = *y=d± = dt. (83)
где X, У, Z - тункции от х, у, г. Для прэстоты изложения мы предположим,
* Пуанкаре, Les mi^thodes nouvelles de la Mecanique celesle, jr. Ш. гл. XXII н след. (;м
также мемуар Гурса. Sur les invariants integraux, Journal he Mathematiques, 0-я серии, т. IV.

90 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 395
что эти уравнения определяют движение частицы в пространстве, причем t пред-
представляет время. Частица, коюрая в момент ^ = 0 находилась в точке Мо (х0, уа, za),
в момент t пришла в точку Mt с координатами (х, у, z). Когда точка Af(l описы-
описывает некоторую область Ьо пространства, точка Mt опишет соответствующую
область Df. Пусть будет М (jc, у, '?) какая-нибудь функция переменных х, у, z;
тройной интеграл /= \\\ М dx dy dz называется интегральным инвариантом
системы (83), если значение этого тройного интеграла
М [х, у, z) dx dy dz,
распространенного на область Dt, не зависит от t и равно значению того же инте-
интеграла, распространенного на область ?>„. Например, если уравнения (83) опреде-
определяют движение несжимаемой жидкости, то объем области Dt постоянен, и инте-
интеграл \ \[ dx dy dz есть интегральный инвариант.
Точно так же определяются интегральные инварианты линий и поверхностей.
Если точка Afo описывает линию L$ или поверхность 2о > т0 точка Mt опишет
линию L( или поверхность 2г • Криволинейный интеграл
\ a dx + P dy + 7 dz
называется интегральным инвариантом, если значение этого интеграла вдоль ли-
линии Lt не зависит от t и равно значению того же криволинейного интеграла,
взятого вдоль Z-o • Точно так же интеграл по поверхйости
Pdydz+Qdzdx + Rdx dy
называется интегральным инвариантом, если значение этого интеграла, распро-
распространенного на поверхность 2/. не зависит от t.
Эти опре еления нетрудно распространить на общий случай системы лифе-
ренциальных уравнений вида F8). Для такой системы существуют п классов инте-
интегральных инвариантов: 1-го порядка, 2-го порядка и-го порядка, в зависимо-
зависимости от числа измерений множества, на которое распространен интеграл. Условия,
при которых кратный интеграл порядка р был бы интегральным инвариантом,
можно легко получить при помощи формул замены переменных в крнтных инте-
интегралах. Мы сделаем вычисление для кратного интеграла и-го порядка. Пусть
будет
А
кратный интеграл л-го порядка, распространенный на область Dt, соответствую-
соответствующую, как было указано, определенной области Do; этот интеграл будет интеграль-
интегральным инвариантом, если он не зависит от t, т. е. если /'(?) = 0. Чтобы вычислить
эту производную, дадим t приращение h и найдем коэфициенг при h в разложе-
разложении I(t-\-ti). Обозначим через лу измененное значение xL, соответствующее
изменению t в t-\-h; мы имеем:
причем новый интеграл распространен на область D/, точечно соответствующую
области Dt. Выражение f(t-^-h) можно представить иначе в виде:
*!'''"'*"? dxtdx2 .. .dxn.

§395
III. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. МНОЖИТЕЛЬ
91
С другой стороны, опуская члены, содержащие h в степени выше первой, имеем:
*,' = *,¦-t- hXt+...,
(дг/, х,' хя) = ЛЦх1.х2,...,ха) + Н (х.д-^-+....+Х„^
\ ojr, Ьх„
D ix,', лг2', ... , х„')
D ,х{, х2, .'.. , х„)~'
1 г й-
й
1 + й
Ьх„
М [х,\ xj ха')
дх,
дх„ J
~' +•••
dl
Следовательно, производная -г имеет выражение:
—='ГС гга>Л|;
Л JJ "".) L Ьх,
Dt
' ' —^ dx{ dX} ... dxa.
п J
дхп
Чтобы / было интегральным инвариантом, необходимо и достато но, чтобы -т
было тождественно равно нулю, какова бы ни была область D; следовательно,
должно быть:
(84.
дх, Ьх„
Условие (84) тождественно с уравнением G6), и мы получаем теорему Пуанкаре;
Чтобы кратный интеграл
был интегральным инвариантом, необходимо и достаточно чтобы М было
множителем.
Если мы сделаем в уравнениях G7) какую-нибудь замену переменных
х, = ьЫ, .V2. ••• . Уп) ('='. 2, .... и),
то мы получим новую систему:
dy,_
'1 'i 'п
если Ш есть множитель системы G7), то й-кратный интеграл
_ _ dyn _
т; •
G7')
есть интегральный инвариант этой системы, и очевидно, что л-кратный интег! ал,
который получается из предыдущего тою же заменою переменных,
Я-.
К ¦•*

92 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 395—39 i
есть интегральней инвариант преобразованной системы G7'). Следовательно,
м, D(*b*2 хп)
О(уг,у%1... , уп)
есть множитель новых-уравнений G7'), как уже это было доказано непосредст-
непосредственно (§ 394).
Пример. Чтобы объем был интегральным инвариант м уравнений (83), М — 1
должно быть множителем; отсюда следует, что должно быть: •
r + r + f=a (85)
OX OJ7 02
Это—условие несжимаемости жидкое;и, установившееся движение кото-
которой определяется уравнениями (83).
IV. БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫЕ ПРЕОБРАЗО АНИЯ
396. Группы с одним параметром*. Всякая совокупность бе-конечного мно-
множества преобразовании какого нибудь ха актер-i, выполняемых нид переменными
Xi, х<ь хп, (оставляет группу, если преобр зование, являющееся |езулкта-
10м двух каких-нибудь последовательно выполненных пре* бразопений это' сово-
совокупное и, входит в ту же совокуп ость. Для определенности рас> мотрим два
переменных х, у, пусть будет 7 преобразование, опреде яе'мое формулами:
х1 = fix, у; а), у = f {х, у, а), (86)
где а есть произвольны» параметр. Если мы посмотрим hi x т\ у как на коор-
координаты некою|>ой го4ки М плоско ти, а на х' и у' — к к на оорд ниты дру>ой
точки М', то предыду пие форм»лы опр д лят ючечное преобразование Таким
об. азом кажд му з'. чению параме.р-t а соотегствует определенное преобразо-
преобразование; изменяя эют п.н-аи-етр, мы получии би конеч ое множество различных
преобразований. Предположим, что мы выпо гнили последовительно два различ-
различных преобразонании этой совоку ности, соответствующие двум ка им-ниб дь
значениям а и Ь параметра Первое преобразочгние приведет от пары значений
(х, у) к паре зн .чений (У, у1 , определяемы < фо >му1. ми (86); второе преобразо-
ьанпе приведет зат^м от пары (х, у') к третьей паре {х", у"), где
x"=f(x\ У; Ъ), у"=ч{х\ У; Ь). (87)
Заменим в этих писледних формулах х' и у их значениями (86); получаю-
получающиеся формулы
x" = F(x, у; а, Ь), у" = Ф(х, у; а, Ь) (88)
определяют также точечное преобразование, но зависящее от двух параметров а
и Ь. Мы будем говори ь, что совокупность преобразований 86 об| азует непре-
непрерывную группу с одн м параметром, если ной е преобразование (88) принад-
принадлежит к той же овокупносш ^86;. Для этого необходимо и достаточно, что^-ы
формулы (88) имели вид:
¦*" = / х, у; с; y" = t(x, у; с), (89,
где с есть значение параметра, зависящее от а и b, c = $(a, b). Очевидно, что
предыдущее определение применимо при всяком числе п ременных и, в частно-
частности, при одном переменном. Например, формула с одним переменным х' = х~\-а,
или формулы с двумя переменными
дг'=лг ? а, у'=у + 2а,
х = х cos а — у sin а, у' — х sin a -{¦ у cos a,
х' = ах, у = а^у
определяют группы с одним Параметром. Напротив, преобразования
* Теория непрерынгых групп преобразований разработана Со фу сом Ли во многих мему-
мемуарах и в сочи шнии „Theorie der Transforni-icions^ruppen", -

§ 396. IV. БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 93
не образуют группы, так . как преобразование х' —х + а-\-Ь, У = у >- а*-\-Ь\
являющееся резулы.том двух последовательных преобразований, не входит в со-
состав той же совокупности.
Рели в формулах (86\ определяющих группу преобразований мы положим
й = П(а), где a — новый параметр, то очевидно, что получающиеся при-этом
формулы определяют также группу. То же самое будет, если мы сделаем замену
переменных, как в этом нетрудно убедиться непосредавенно В самом деле, если
совокупность точечных преобразований в плоскости такова, что преобразование,
являющееся результат^ м двух последовательных преобразований, входит в
состав той же совокупности, то ясно, что это свойство не зависит от выбора
координат, помощью которых определяется положение точки в плоскости. Впрочем,
в этом легко убедиться и непосредственно следующим образом.
Положим
х=п(и, v), у — \1у(и, v);
и) сть будет, обратно:
l
так что тождественно имеем:
х=п[П-1{х, у), П-1(х,у)], у = П{ [П-Чх, у), П^-^х.у)].
По предположению рассматриваемые преобразования составляют группу, и
формулы (89, где (c = ty(a. b), суть слеиствия формул (86) и (87). Пусть будут
(и, V), (a' v'), a", v") пары значений новых переменных, cootbiтствуюшие по
порядку плрам (X, у), (х, у), (х", у"). Мы имеем:
и' = Ц-1(х', У) = П-1 {/[П и, v), П,(а, v); а\, <р [II a, v\ И, (a, v); a]} =
= /="(«. v, а),
v'= П71(лг',У)=П71{ /[П.'н, v), П,(и, V); а], <р [П (и, v), П4 (н, »); «]} =
= Ф и, v а),
мы докажем наш? предложение, если покажем, что формулы (90> также опреде-
определяют группу преобразований. Дейстнительно, мы имеем, например:
u" = F «', v<\ b),
или
и"=П~1 {/|П(н', V), nt("', »'); Ь], <р[И(й', v'), II,(в1, v'): b]}\
так как формулы (8^) определяют группу, то правую часть paieHi-тв! можно пред-
представить иначе в виде:
П-1 [/(*', У; Ь), ? (*', У; Ь)] = П-» [/(*, у, с), ? (х, у; с)];
поэтому
и" = IT \ f\H(и, v , II, (и, V); с], <р [П(и, v), П, (u, v,; c]y=F(a, v, с);
точно так же докажем, что v" = Ф (a, v: с).
Две группы преобразований, коюрые можно привести, таким образом, одну
к другой заменою .переменных, называются подобными. Например, группы
х' — ах, и' = и +- Ъ подобны, так как мы переходим от одной к другой, полагая
а = log х, b = log a.
Займемся о ределением всех групп с одним параметром для двух перемен-
переменных, предполагая, что функции /и <р — ан лптические и, кроме того, что группн
сод ржит юждес енное преобразование, т. е. чю для частого "Н'Чения а0
пар метра мы имеем 'ри всякие хну тождестра f(X, у ао) = х, <р х, у ал) = у
В уравнениях, выражяющих свойства гр\ппы,
f{x', У; b)=f(x, у, с), \ х\ У; Ь) = ч{х, у. с) (91)
можн"> рассматривать х, у, а, с как независимые переменные, и b — как функцию
от а и с, определяемую соотношением с = $(а,Ь,\ переменные х\ у' суть функ-

94 глава хк. Теоремы существований § зЭб
ции от х, у, а, определяемые формулами (86). Диференцируя соотношения (91)
по а, получим:
+ +-К^ = о, дЛ.д^ + ^1д1 + д<? д±=о. (92)
дх' да Ьу' да db да дх' да ду' да дЬ да
Производная — определяется формулою
да
д'Ь йф db л
— + — —=0
да db да
и, следовзтельно, зависит только от а и Ь, поэтому, решая уравнение (92; отно-
относительно
х^ у
да да
мы будем иметь формулы вида:
= Ца, Ъ \ (.*-, у, Ь), 6у= I {а, Ь) п (*•, У, Ь).
да да
Но х' и у не зависят от Ъ следовательно, также не зависят от Ъ и коли-
количества X, Е, т),и х' и у суть интегралы системы диференциальных уравнений
;, У) п (х\ у)
(93)
принимающие при а = а0, соответственно, значения х л у. Обратно^ каковы бы
ни были функции i (х, у, щ {X, у), формулы x'=-Jk,x, у, a), y' = <f(x, у, а),
представляющие интегралы предыдущей системы, обращающиеся соответственно
в х и у при частном значении а0 параметра, определяют непрерывную группу
преобразований. В самом деле, вв дем для простоты новый параметр t, полагая
тогда формулы (93) представятся в приведенном виде:
dy' =dt (94)
х', у)
Как мы видели выше (§ 593), общий интеграл этой системы имеет вид:
Q.Or'.y^Cj, Q2{x\y') = t + Ci.
где Я, и Я2 —определенные функции от х', у', и С,, С2—произвольные
постоянные. Интегралы, принимающие при t=0 значения х и у, опре .еляются
сиаемою уравнений:
9-i (х\ У) = (Л (х, у\ ^2 (У, У) == 9.2 (х, у) +1 (.95)
Предыдущие формулы, действительно, определяют непрерывную группу, так
как,- если мы выполним последовательно два преобразования, соответствующие
значениям ti и t2 параметра, то результирующее преобразов ние будет соответ-
соответствовать значен.>ю tj -\-1% параметра. Преобразования, соответствующие значе-
значениям t и —t, обратны одно другому; если мы имеем:
x'=f(x,y;t), y'=~<f(x,y;t),
то, обратно будем иметь:
x=f{x\ у, -t), jf = ?(x'. У; -t).
Примем за новые переменные
и-=9.^х, у), у = Яъ(х,у);

§ 396-39? IV. БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 95
тогда формулы (95) обращаются в
н' = н, v' = v + t, (96)
и мы будем говорить, что группа имеет приведенный вид. Так как группа
и' = и, v' = v-{-t представляет геометрически пос!упательное перемещение плос-
плоскости параллельно пря>ой и —0, то уравнени-я (96) показывают, что всякая
непреры ная группа с одним парам, тром подобна группе nept носов.
Возьмем, например, группу
х1 = ах, у' — aZy.
Применяя общий метод, имеем:
Ьх' х ду'
да а да
В этом случае диференциальные уравнения (93) будут:
dx' dy' da
ИГ ~~ 2/ ~~ а" ~ '
где '( = log а. Конечные уравнения группы представятся формулами
¦}»=},' log*'= l
и мы дадим им приведенную форму, взяв за новые переменные log* и
397. Приложение к диференциальным уравнениям. Мы будем гов
что данное диферснциальное уравнение
_ / dy d%y d>
Fix у, -г-., -Л, ... , т
имеет известную группу преобразований с одним параметром, если, сделав в
нем замену переменных х и у по формулам (86), мы получим уравнение, ко орое
будет тождественно с первоначальным, каково бы ни было числовое значение
параметра а.
Этим свойством можно воспользоваться, чтобы упрости ib интегрирование
уравнения. В самом деле, приведем сначала уравнения, определяющие рассма-
рассматриваемую группу, заменою переменных к простому виду:
и' = и, v' = v + a.
Сделав ту же замену переменных в рассматриваемом диф^ренциальном урав-
уравнении, иы придем к новому диференциальному уравнению #-го порядка:
<b(UiVt*!tp ^1=0. ,98)
V du' du% du",l
Каково бы ни было значение параметра а, уравнение (98) не должно изме-
изменяться при изменении v в v-\-a; это можег быть только в том случае, если
левая часть уравнения не содержит переменного v . Если рассматр ваемое урав-
уравнение— первого порядка, то мы получим общий интеграл квадратурою, если
же л > 1, то, приняв - за новую неизвестную функцию, мы понизим порядок
уравнения на единицу.
Рассмотрим, например, однородное уравнение первого порядка:
dy
dx
='(*)¦
Это урагнение не изменяется при изменении х и у соответственно в ал: и
ау, каково бы ни было постоянное а. Но формулы х' = ах, у' = ау определяют
группу пр.образований; их можно представить иначе в виде:

96 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 39?
следовательно, полагая
— = и, log у = v,
мы придем к уравнению, интегрируемому квадратурою (§ 364).
Рассмотрим еще линейное уравнение первого порядка. Предположим снача-
сначала, что это уравнение вида:
Так как это уравнение не изменяется при замене у через ау, каково бы ни
было постоянное а, то оно допускает группу преобразований х'=х, у' = ау. Сле-
донагельно, взяв logj/ за новую неизвестную функцию, мы приведем его инте-
интегрирование к квадратуре. Пусть будет теперь
% = Q (99)
общее линейное уравнение, и пусть будет yi частный интеграл уравнения
не равный нулю. Легко \бедиться, что угавнение (99) не изменяется при изме-
изменении у в у-]-ау{, следовательно, оно имеет группу преобразовании, опреде-
определяемую формулами:
1
Поэтому, взяв за новое переменное —, мы получим уравнение, интегрируемое
квадратурою. Таким образом мы пришли к вычислениям, изложенным в § 365;
вместе с тем нетрудно убедиться, что различные случаи понижения, указанные
(§ 380) для уравнений высшего порядка, представляют в сущности лишь част-
частные случаи предыдущего метода.
Таким образов все эти различные приемы, которые на первый взгляд
кажутся искусственными и лишенными внутренней связи, могут быть выведены
из одного общего н чала при помощи теории групп преобразований. С кажиою
непрерывною группою преобразований переменных х и у с одним параметром
мож о t<jkhm способом i-вжать бесконечно множество уравнений первого
пор дка. которые и тегри' уются квадратурою, а также уравнений высших поряд-
порядков, порядок которых может быть понижен ¦ на единицу Это замечание м >жет
быть прак!ически полезно при соаавлении диференциальных уравнений в неко-
некоторых «дачах геометрии и механики. В самом деле, предположим, что требуется
найти плоские кривые, обладающие некоторым свойст ом, причем зар. нее
известна такая группа (G) преобразований с одним параметром, что, применив
какое-нибудь преобразование группы (G) к криьой, обладающей требуемым свой-
свойством, мы получим новую кривую, обладающую тем же свойством. Ясно, что
диференциальное уравнение Э'их кривых б дет допускать данную группу пре-
преобразований (G). Следовательно, если мы выберем систему координат (и, V)
таким образом, чтобы урачнения ггуппы (G) имели вид:
и' = и, v' = v + a,
то диференцияльное уравнение искомых крикых в этой системе координат будет
dv d^v. „
содерж. ть только и. , •¦—¦ , .. • Предположим, например, что требуется найти пр -
екции на плоскост хОу асимптотических линий или линий кривизны поверхно-
cih геликоида, причем ось Oz есть о> ь винтового движения, которое > ереме-
щает поверхность по не' самой. О евилно, что если кривая С, лежащая на
плоскости хОу, представляет решение задачи, то будут служить решениями и
все кривые, котооые получ м. поворачивая кривую С вокруг начала ко рдинат
На произвольный угол; уравнения этой группы в полярных координатах будут:

IV БЕСКОНЕЧНОМАЛЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 97
Следовательно, в переменных р и и> диференциальное уравнение кривых будет
содержать только р и -г- (т. I, § 2* 7).
До сих пор мы предполагали, что группа G известна. Теперь мы, естествен-
естественно, приходим к следующей задаче:
Дано диф ренциальное уравнение; узнать, имеет ли оно одну или
несколько непрерывных групп преобразований с одним парамеи ром, и найти
эти группы.
Это — очень важный вопрос, иа котором я не могу здесь подр; бно остана-
останавливаться; я ограничусь только некоторыми указаниями.
398. Бесконечиомалые преобразования. Рассмотрим систему преобраз -
ваний л переменных, определяемых формулами:
xi'=fi(xi,x2 хп> а) (/=1, 2, ...,л), A00)
где функции // зависят от произвольного параметра а. Мы будем говорить, что
эти преобразования образуют группу, если преобразование, являющееся резуль-
результатом двух каких-нибудь после о>ательно выпол* енных преобразований этой
системы, принадлежит к т й же системе Как и выше, можно доказать, что вся-
всякая группа, содержащая тождественное преобразование, т. е. такое, чтобы при
некотором значении а} параметра и при всяких xt, х% х„ было:
/' ¦ v у. V • /7 \ V (i 19 п\
получается интегрированием системы диференциальных -уравнений:
——2±! = — ах* _ . .= ^——е±п = dt. (loi)
Пусть будут
„/___. ij. у х ' t\ (i= 12 ri* A02i
интегралы этой системы, обращающиеся, соответственно, в xlt x$, ..., хп при
f =г0. Формулы A02) определяют непрерывную группу с оаним параметром, при-
причем переменное t представляет параметр. В самом деле, мы видели (§ 393), что
общий интеграл уравнений A01) можно представить в виде:
где й,, йа,..., Йп суть определенные функции переменных х/. Следовательно,
интегралы, принимающие при t = 0 значения xit xit ..., х„, представятся фор-
формулами
О fi>l у t\ О (у у \ Ц ¦ 1 9 П It 1
*/1-*| > • • •> Хп ) М(Ч-М> • • •> •*!!' V* > ' • • •> " " \
которые равносильны формулам A02). Из такой преобразованной формы урав-
уравнений A02) непосредственно видно, что эти преобразования образуют группу
Пусть будет F(xit xit .... х„) функция п переменных xt; если мы заменим
в ней переменные х, фун'циями х!, определяемыми флрмулами 102), го ре-
аультат F ,xt', х.{ хп', будет фувкциею от хь Х%, ..., хп, t, которая при
( = 0 обращается в F(xlt xit ..., хп). Разюжим эту функцию F' по возрастаю-
возрастающим степеням переменного t.
Обозначим, вообще, через F функцию, в которую обращается функция
F(xt, х2 хп) после замены в ней xt через х/; далее, обозначая через/
произвольную функцию от xt, x2, ..., хп, введем символ:
— t У (х х)^--
Ъх, . Ъхп
если же переменные xt заменены через х/, то точно так же положим
• - ' х' х" ^- + 5 (*' *' x's ЪГ'
7 a. l^ypca, г. 11, ч. 2.

98 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 398
Принимая во внимание диференциальные уравнения A01), имеем:
далее, получаем:
и вообще
где X'W(F') обозначает результат операции X', выполненной последовательно
р раз. При < = 0 переменные xt', х{, ..., хп' обращаются 6 х{, х,г, ..., х„
производная
tdPF'-
\ dt
и мы получаем для разложения F' формулу:
Если мы предположим, что функция F—правильная в области значений
х{, дг2, ..., хп, то ряд, стоящий в правой части, будет сходящимся, если \t\
достаточно мало. В частности, мы имеем:
s + ^ х&) + х™ ?) +
х; =xt+ ~ , ^ & ^ { ;
Дадим t бесконечно малое значение Ы; полагая 5дг;=а:/ — х,- и пренебрегая
бесконечно малыми порядка выше первого относительно Ы, мы можем предста-
представить предыдущие формулы в виде:
8^ = 6,?*, lx, = bjt, ¦¦-, *ха = Ьаи. A06)
Мы будем говорить, что эти формулы опреаеляют бесконечно-малое пре-
преобразование;
есть символ этого бесконечно малого преобразования. Всякой группе с одним
параметром соответствует некоторое бесконечно малое преобразо-ание, и обрат-
обратно, мы можем произвольно вы рать п функций iit 52, ..., Е„ переменных
лг,,дг2, ..., xn,nX(f) будет символом бесконечно малого преобразования, опре-
определяющего непрерывную группу, уравнения которой мы получим, интегрируя
систему диференциальных уравнений A01). Введение бесконечно малых преобра-
преобразований позволяет применить к теории групп методы исчисления бесконечно-
малых. Сверх того, во многих вопросах, касающихся групп, входят только бес-
бесконечно мллые преобразования, как мы это увидим на нескольких примерах.
Будем рассматривать xit xit ..., хп как координаты точки в пространстве п
измерений, и t как переменное, измеряющее время. При изменении t точка с
координатами дг/, дг2', •••, х„' описывает в пространстве и измерений кривую или
траекторию, выходящую из точки (xlt x$, ..., ха) Таким образом простран-
пространство л измерений или, по крайней мере, некоторая область, взятая в этом про-
пространстве, разобьется на множество многообразий одного измерения, причем
каждая точка этой области будет принадлежать только одному такому много-
многообразию. Если, каково бы ни было t, мы имеем:
F х{, х,', ..., Xn) — F(xit х.г, ..:, хп),
то функция F(x,,x.2, ...,xn) называется инвариантом рассматриваемой группы.

§ 398 IV. БЕСКОНЕЧНОМАЛЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 99
Нетрудно получить все инварианты группы. В самом деле, полагая в урав-
уравнении (.104) F't=F и разделив обе части на t, получим:
так как это равенство должно иметь место при всяком t, то, в частности, должно
быть X(F)=zO. В этом случае мы будем говорить, что функция F допускает
бесконечно малое преобразование группы. Предыдущее условие — также и
достаточное, так как, если X(F =0, то будет и X[X(F)] = 0 и, следовательно,
X^p'(F) = 0 при всяком р Таким образом единственные инварианты группы
с одним параметром суть интегралы уравнения X(f, = 0.
Заметим, что если две'.группы имеют, соответственно, бесконечномчлые пре-
преобразования X /) и YIX (/), где II (jc, , x^i, ..., хп) есть произвольная функция,
то эти две группы имеют те же инварианты, хотя они и не тождественны межд*
собою. Едли мы применим к одной и той же точке преобразования той и дру-
другой группы, то эта точка опишет в обоих случаях одну и ту же траекторию, но
с раз ичиыми скоростями Обратно, если две группы имеют те же инларианты,
то оба бесконечномалых преобразован я X(f) и Y(f) могут различаться только
множите«ем II (х{ . х.г, ..., х„), зависящим только от xt, xit ..., х„, так как
ооа уравнения X(j) — Q, K(/i = 0 должны иметь одни и те же интегралы.
Ьведем еще следующее важное понятие. Пусть будет
x,=f(x,y; a), yl = <f(x, у; а) A07)
непрерывная группа с двумя переменными. Если мы применим преобразование
этой группы ко всем точкам плоской кривой С, то мы получим другую плоскую
кривую С{. Пусть будут у, у", ..., у«) производные от у по х, и
у;, У1 ..., уМ
производные от у{ по х,,; мы видели (т. 1, § 57), пак можно выразить эти
последние производные через л:, у, у', .... У"), и мы там получили формулы вида:
yt' = i{j, (х, у, У ; а),
у" = 'к(•«. у. У. у"; «).
у,'т = $я(х, у, У, у", ...,У«>, а),
Формулы A07) и f 108J определяют также группу преобразований п + 2
переменных х, j/.У, .. -,у^"\ которая называется группою, продолженною из пер-
первой. Мы примем это предложение без доказате ьства, хотя это доказательство и
не представляет никаких затруднений, кроме -довольно больпих выкладок. Мы
здесь по ажем только, как можно вычислить бесконечно малое преобразование
продолженной группы. Пусть оудет
5 «V , d/
дх dj/
бе конечномалое преобразование аанной группы. Возьмем уравнения этой
Ьх "ГТ" cW J
группы: t,
отсюда получаем:
г._ rfvi,_
7*

103 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 393
Нам нужен только коэфициент при t правой части; мы его получим деле-
делением Он равен
Ьх \ду Ьх) dx \ду) \dx) '
С едовательно, символ бесконечиомалого преобразования продолженной группы
при и = 1 будет:
дх ду 1дх \ду Ьх) ду
Этот прием имеет вполне общий характер. Если коэфициент пра t в разло-
разложении у{1~1) равен тс(дг, у, у', ..., У"-"), то мы имеем для у{(п):
dy(n» + dK+
и коэфициент при t правой части равен
dft \ / о' dz
у\п) I —_ _| 1
dx \дх ду'
Таким образом мы можем вычислить последовательно бесконечномалые пре-
преобразования продолженных групп, получающихся из рассматриваемой группы,
до любого значения п.
Мы будем говорить, что система диференциальных уравнений
х{ х% хп
допускает группу преобразований G с одним параметром, определяемую форму-
формулами (ЬО), если после замены переменных х,, х%, ..., х„ переменными
она
превращается
в
систему
dxi
х,'
dxi
~ х, -¦
_dxn
•¦-ха>
A11)
тождественгую с прежней, каково бы ни было значение параметра а, т. е. если
в системе (lit) Х{', Х2', ..., Хп' суть такие же функции от х{', х{, ..., хп\
какими были в A10> Х{, Х2, ..., ^от дг4, xit .... ха. Из связи, существующей
между системою A10) и уравнением в частных производных
bxi Ьхг " дхп
следует, что для этого необходимо и достаточно, чтобы всякое преобразование
группы G превращало уравнение
vr / /f\ ХЛ у t (v I v I v '\ QJ Л
л (./ ) = 2j ' ' • ' 2 > • • • • " ' :Г~7
в линейное уравнение, равносильное уравнению Л"(/) = 0, каково бы ни было
значение параметра а. Если f{X{, х2 хп) есть интеграл уравнения X(f) = 0,
то f(xi, х3',...,*ха') есть также интеграл уравнения X1 (/) = 0 и, следова-
следовательно, после замены х', х<1, .•., хп' их выражениями A00) /C*V, x2', .... х„')
должно быть также интегралом уравн^ия X(f) — Q. Отсюда следует, что необхо-
необходимым и достаточ ым условием тою, чтобы система диференциальных уравне-
уравнений A10) имела группу преобразований G, будет условие, чтобы всякое пре-

§ 398 IV. БЕСКОНЕЧНОМАЛЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 101
образование этой группы изменяло интеграл уравнения X(f) = 0 в инте:рал
того же уравнения.
Пусть будет
ох, ОХ3 дх„
бесконечномалое преобразование группы О. Заменяя параметр а определенным
выше параметром t, мы имеем:
f(xt',x»',...,xn')=f(xt,xa х п) + уГ(/) + ^Т[Т (/)]+... '
Если f(x{, x%,..., хп) есть какой-нибудь интеграл уравнения A12), то
должно быть интегралом и t (x{', xj *„'), а следовательно, и
,или
Т(Л + -j Т [Т {/)]+...,
каково бы ни было t. В частности, Т V) должно быть интегралом уравнения A12).
Это условие и достаточно. В самом деле, пусть будет А,/а, -.., fn-i система
п — 1 независимых интегралов; если T(f,), 7"(/2), ..., Т(/„_{) — интегралы, то
будет интегралом и T(f), где /—какой-нибудь другой интеграл; в самом деле,
мы имеем /=n(/t,/2, ...,/„.,) и, следовательно:
Но если Г(/) есть интеграл, то на основании предыдущего будет интегра-
интегралом и T[T(f)] и т. д., а следовательно, и f(xt', xj_ , ...,хп')..
Таким образом для того чтобы ей: тема A10) допускала группу преобра-
преобразований G, необходимо и достаточно, чтобы, если f есть интеграл уравне-
уравнения X (/) = 0, то было бы интегралом и Т (/). Для краткости мы будем гово-
говорить, что уравнение X(f)=0 допускает бесконечномалое преобразование T(J).
После этих разъяснений рассмотрим уравнение первого порядна
*-?• <"«
Чтобы уравнение
Ъх Ьу
допускало бесконечномалое преобразование
должно быть:
Л- + Д- = 0, с— +4 - =П(ш),
ох ду ох ду
где щ(л:, у) есть интеграл уравнения X(f)=^0, отличный от постоянного, н
П(ш)—произвольная функция от со. Отсюда получаем:
да) _ _ ВП (со) <к> _ ^11 ((о)
дх An — S? by At\ — 5;
и, следовательно,
rfco . В dx A dy

102 ГЛАВА XIX ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 398
следовательно, —г -г- ecib интегрирующий множитель для В dx—A dy. Обрат-
Обратно, пусть будет <f (х, у) такая функция, что ее полный диференциал равен;
Bdx — Ady
d"= В;-An >
мы имеем:
ах ду дх ду
1 ле. овйтсльно, T(<f) есть интеграл уравнения X(<f = 0, и мы можем выразить
р13\льтат следующем образом;
Чтобы диференциальное уравнение A14) допускало группу преобразова-
преобразований, получающихся из бесконешомалого преобразования
дх ду
необходимо и достаточно, чтобы
В\ - А-ц
было интегрирующим множителем для В dx — A dy
В этом новом методе требуется тотько зн ние бесконечномалых преобразо-
ва ий группы. Так как каждое у} авмение первого порядка имеет бесконечное
множество интегрирующих множителей, то отсюда следует, что В(якое урав ение
первою порядка допускает бесконечное множество бесконечномалых преобра-
преобразований,
Вернемся к общему случаю системы 1,110). Пусть будут А"(/) = 0 соответ-
соответствующее ей линейное у авнение и T{f) — символ бесконечномалого преобра-
преобразования. Рассмотрим уравнение
0, • " A15)
где X [Т (/)] обозначает результат операт и X (/), примененной к T(f), и T[X>f}]
имеег аналогичное значение. Вьтажение Z[/) ccib однородная линейная функция
Э/
производных первого порядка —— и не содержит ни одной производной второго
dXj
порядка; для доказательства достаточно убедится, что коэфициенты при кажаой
произьоднйй второго порядка одинаковы в X[T(f)] и в T[X(f]\. В самом деле,
в T[X(f)] коэфиииент при —-, раяен А",;/; а при равен X^-\-X^f, легко
дх) йх; dxk
видеть, что такие же коф.'ци.-нты будут и в X[T[f)\. Следовательно, урав-
уравнение Z,/)=0 имеет такой же вид, как уравнение А"(/) = 0, и, раскрыьая его
коэфициенты, мы можем преаставить его в виде:
z{f)= \x$l)-T(xc.\*f-+ ... + [xtd-T(Xj\jL f ...=o. A16
dXj OX,-
Если T(f) есть интеграл ур^ьнения X(f) = 0 всякий раз, ьогда / есть инте-
интеграл эт .го yp-iBHiHHn, то очевиано, что всякий интеграл ураинения X(f) = 0
удовлетьоряет линейному уравнению Z(/) = 0, следовательно, должно быть
(§ 393):
Х[Т(Г,]-Т[Х^)] = ? х,,х3 xn)X{f), A17)
где p(xt> х2, ..., хп) е ть произвольная фу кция от х{, х% х„. Обратно.
если мы имеем тождество т, кого вида, то в який интеграл уравн1 ния X(f)—0
удовлетворяет также у авнению X[T(fj] = 0, и следовательно, 7 (/) есть также
интеграл уравнения А"(/) = 0. Таким образом необходимое и достаточное
условие того, чтобы линейное уравнение А"(/) = 0 допускало бесконечно-
малое преобразование T(f) выража тся соотношением A17), zde p есть про-
произвольная функция от xiy x.j, ..., хп.

§ 398 IV. БЕСКОНЕЧНОМАЛЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 103
Соотношение A1?) равносильно п — \ независимым соотношениям;
* (Si)-Г (*>)_*&)- Т(Х9)^ __Х(-п)-Т{Хп)
х{ х.2 хп
Рассмотрим диференциальное уравнение /г-го порядка:
v*y &У
y> dx' dx*
чтобы узнать, допускает ли оно группу преобразований G получающихся из бес-
конечномалого преобразования
дх ду
достаточно заменить уравнение A18) системою п диференциальных уравнений
первого порядка, взяв за вспомогательные неизвестные п — 1 производных
у',у", ..., jA"-'), и исследовать, допускает ли эта система бесконечномалое пре-
преобразование группы, продолженной из G.
Возьмем, например, уравнение второго порядка у" — <f (х, у, у'). Его можно
заменить системою
dx dy dy'
1 "~ У ~ <Р (*. у, У)'
или линейным уравнени-м
дх ду ду
достатошо рассмотреть, допускает ли эго уравнение бесконечномалое преобра-
преобразование
5 {х, У) +- + Ti (х, у) у- -f -' -|- ( -i - - )у - гу'-2 -L..
Ьх ду \_дх \ду дх) ду J ду'
Выполняя вычисления, мы получим условие, содержащее х, у и у', которое
до жно удовлетворяться при всех значениях этих переменных. Если уравнение
второго порядка дано, и нужно найти, какие оно имеет бесконечномалые пре-
преобразования, то неизвестные функции 5 (х, у) и т) (х, у) не должны содержать у'
Выразив, что предыдущее соотношение не з; висит от у', мы можем получить
в гависимоаи от данной функции у (х, у, у') конечное или бесконечное число
уравченш, кою ым должны удовлегворять функции 5 (х, у) и т\(х, у). Вообще,
эти уравшния — не совместимы; это показывает, что произвольно взятое урав-
уравнение второго порядка не имеет бесконечномалых преобразований; то же чтно-
сится и к угавнениим высшего порядка. Отсюда понятно, каким образом Софус
Ли мог классиф-щирозагь диф ренаиальные уравнения по числу различных бес-
конечнома ых преобразовании, которые они допускают.
УПРАЖНЕНИЯ.
1*. Пусть будет Мо наибо!ьшее абсолютное значение функции f(x, y0), ко-
когда х изменяет, я от х0 до х„ + а, и буквы а, Ь, К, ха, у^ имеют те же значения,
как в § 391 Доказать, что интеграл уравнен я у' =/ (х, у), принимающий зна-
значение ув мри х = ха, ecib функция, непрьрывная в промежутке (х, дг + р)> где
1 . /. КЬ\
р есть меньшее из двух чисел а и ^l'g ( 1 + -п- ).
[Линделёф (Lin'delof), Journal de Mathematiques, 1894] [Как в § 3?8,
последовакльно доказываем существование неравенств:
отсюда уп будет заключаться между уа — b и у0 + Ь, если4

104 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 398
2. Найти два первых интеграла систем совме тных уравнений:
dy dz_ — dx
У x r y)~(x — y),2x -2y т г)~
3. Доказать, что выражение
есть интегрирующий множитель для
4. До<азать, что общий вид диференциальных уравнений первего порядка,
допускающих бесконечномалое преобразование
Ь/ д/
У~- х~-,
Ьх оу
есть
Вывести отсюда их интегрирующий множитель..
5. Найти общий вид диференциальных уравнений пе .вого порядка, допу-
допускающих одно из бесконечномалых преобразований
й/ df df 6f
— + х - или х — + ay — ,
дх ду дх оу
6.- Найти группу преобразований для диференциального уравнения
dy
где а — постоянное, и вывести отсю а интегрирующий множитель.
7*. Диференцнальные уравнения пространственной упругой кривой
jrV-*y = 8*' + -g ЕЫ
z'x" — х'г" = by' — -i pjc,
х'У — y'x" = &z' 4 а,
где а, р, 8 — постоянны?, имеют два первых интеггала х"*-\-у'* -\-г'* — 1,
jl (д;2'+ J/2) — 4z' С. Мы получим затем л: и у, интегрируя диференциальное
j равнение второго порядка.
[Э р м и т, Sur quelques applications des fonctions e'liptiques (стр. 93); Oeuvres,
t. Ill, стр. 361.]

ГЛАВА XX.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ.
Из диференциальных уравнений до настоящего времени лучше всего
исследованы линейные уравнения. Они обладают целым рядом характе-
характеристических свойств, которые резко выделяют их из других уравнений
и облегчают их изучение. Сверх того, они в треча:ртся в очень многих
важных приложениях анализа, и весьма полезно изучить их прежде, чем
мы приступим к рассмотрению диференциальных уравнений общего вида.
Мы будем рассматривать здесь, за немногими исключениями, только
такие линейные уравнения, коэфициенты которых суть аналитические
функции независимого переменного.
399. Особые точки линейного дифергнциального уравнения. Линейное
диференциальное уравнение и-го порядка имеет вид:
где а,, а2, ... , ап+л суть функции одного переменного х. Его интегри-
интегрирование равносильно интегрированию системы:
B)
u^c dx ¦ d l ""
где и—1 производных от у входят как вспомогательные переменные.
Предположим, что все коэфициенты а, голоморфны в круге Со с ра-
радиусом R и с центром в точке д:0; пусть будут у0, у0', у0", , уо("~1)
п произвольных постоянных. Прилагая к уравнениям B) общие выводы,
полученные выше (§ 384), мы заключаем, что уравнение A) имеет
интеграл, голоморфный в круге С и принимающий значение уа при
х=х0, тогда как его п—1 последовательных производных принимают
при х — х0 значения
"о > Уо > • • • > Уо
Из общей теории мы уже знаем, что это — единственный интеграл
уравнения A), удовлетворяющий этим начальным условиям; для краткости
мы будем говорить, что этот интеграл определяется начальными усло-
условиями (х0, у0, у0', уи", ... , д'о'""')- Предположим сначала для определен-

106 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 399
ности, что коэфициенты af суть однозначные функции переменного х,
имеющие на всей плоскости только изолированные особые точки. Пусть
будет L какой-нибудь путь, соединяющий две не особые, точки х0 и X и
не проходящий ни через одну из особых точек коэфициентов а,; инте-
интеграл, определяемый начальными условиями (д:0, _у0, уо'\ .. .,yQ{n~1'), пред-
представится целым рядом Р (х — х0), сходящимся в круге Со, описанном
из точки х0- и проходящем через особую точку, ближайшую к точке х0.
Пользуясь этим р,'дом, можно проследить за непрерывным изменением
интеграла вдоль пути L, пока этот путь не выходит из круга Со. Если
линия L выходит из круга Со в какой-нибудь точке а, то мы можем
взять на этом пути точку х,, лежащую внутри круга Со и настолько
близкую к а, чтобы круг Сх с центром в точке хг, проходящий через
особую точку ближайшую к точке х,, не лежал весь внутри круга Со.
Пользуясь рядом Р(х — х0), а также рядами, получающимися от его
диференцирования1, мы можем вычислить значения интеграла и его (п — 1)
последовател! ных производных в точке хг. Пусть будут у^, уг', ..., у^п~1)
эти значения; интегцал уравнения A), определяемый начальными усло-
условиями (xv уг, ул' У\-п~1)), представится целым рядом Рл(х — хг),
сходящимся в круге С,. Суммы двух рядов Р(х — х0) и Рг (х — хг) равны
между собою в части, общей обоим кругам, так как они обе представ-
представляют интеграл уравнения A), удовлетворяющий одним и тем же началь-
начальным условиям. Отсюда следует, что ряд Р, (х—л;,) представляет анали-
аналитическое продолжение в круге С7 той аналитической функции, которая
определяется в круге Со рядом Р(х—х0). Если часть пути L, заклю-
заключающаяся между х, 'и X, не лежит вся внутри круга С,, то мы возьмем
на этом пути новую точку х2, лежащую внутри С,, и т. д.
Мы, наверное, придем к кругу, содержащему точку X, после конеч-
конечного числа таких операций. В самом деле, пусть будет 6" длина пути
L, и д — нижняя граница расстояний между точками пути L и особыми
точками. Радиусы последовательно введенных нами кругов будут йе
меньше §, и мы можем выбрать центры этих кругов таким образом,
чтобы расстояние между двумя последовательными центрами было
больше - " • Соединяя последовательно эти центры прямыми, мы полу-
чим после р операций ломаную линию, дли^а которой будет не меньше
р - -. Если р — ]> S, то длина этой ломаной линии будет больше длины
пути L; следовательно, после не более чем р— 1 операций мы придем
к кругу, содержащему .всю часть пути L, заключающуюся между центром
этого круга и точкою X.
Из всего предыдущего видно, что можно проследить за аналити-
аналитическим продолжением- интеграла вдоль всего пути, описываемого, пере-
переменным х, пока этот путь не проходит ни через одну из особых точек
коэфициентов аг Следовательно, мы заранее знаем, каковы те точки,
которые только одни могут быть особыми точками интегралов линейного
уравнения. При этом может случиться, что какая-нибудь точка а будет
.особою точкою некоторых из коэфяцигнтов а( и вместе с тем не будет
особою точкою всех интегралов. В частном случае, когда все. коэфи-
коэфициенты а1 суть многочлены или целые функции, все интегралы суть

§ 399-400 I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 107
функции, голоморфные во всей плоскости, т. е. целые функции, которые
могут приводиться и к многочленам.
Предыдущие рассуждения распространяются также и на тот случай, когда
коэфициенты at имеют какие-нибудь особенности, причем эти коэфициенты могут
быть многозначными функциями. Если мы выхо им из точки д:0, в которой эти
коэфициенты голомо[:фны, и перемещаем переменное х по пути L, вдоль кото-
которого можно иметь аналитическое продолжение коэфициентов ait то вдоль этого
пути мы можем иметь также и аналюическое продолж ние интегралов. Целы.;
ряды, представпя-ошие интегралы, будут сходящимися в тех же кругах, как и
ряды, представляющи - коэфициенты.
Все эти результаты вполне согласны с выводами, полученными нами по
методу последовательных приближений (§ 389).
400. Фундаментальные системы. Рассмотрим линейное уравнение одно-
однородное, т. е. не содержащее члена, не зависящего от у:
dnv • dn~^v dv
Й + 1^+ + ? + 0 C)
мы обозначаем здесь через F(y) уже не функцию переменного,)/, а
результат диференциальной операции, выполненной над функциею у пере-
переменного х. Из самого определения этого символа следует, что, если
у{, у$, ... , vp суть р каких-н .будь функций от х, a Cv Сг Ср— ка-
какие-нибудь постоянные, то мы имеем тождественно:
F(qyt + С2у2 + ...+Cpyp) = C1F(y1) + C,nya)+ . .-.+С/(ур).
Отсюда видно, что если yv у2, ..., у —интегралы уравнения C), то
будет интегралам и количество Сл уг -j- С2 у2 -j- ... -(- С у„, каковы бы
ни были числовые значения постоянных С{. Следовательно, если мы
знаем п частных интегралов ул, уг, ..., уп этого уравнения, то мы мо-
можем получить из них интеграл:
У = С1У1-^С2у2-{-...-\-СпУп, D)
в выражение которого входят п произвольных постоянных Сп С2, ..., Сп.
Отсюда еще нельзя заключить что формула D) представляет общий
интеграл уравнения C); для этого нужно предварительно убедиться, что
можно выбрать постоянные Сг, ^¦•••> ^п таким образом, чтобы при
частном значении х0 переменного лг, отличном от особых точек, функция.)»
и ее п — 1 последовательных производных имели любые заданные зна-
значения. Обозначим лля краткости через (yfH значение р-й производной
частного интеграла у{ в точке xQ. Приравнивая произвольным коли-
количествам значения интеграла у и его п—1 первых последовательных
производных в точке. х0, мы получим для определения постоянных
Ct, С2, . . . , Сп систему п линейных уравнений. Определител., обра-
образованный коэфициентами при этих неизвестных, должен быть отличен
от нуля. Элементами этого определителя служат функции ул, _уа, ..., уп
и их производные до (я—1)-го порядка; мы обозначим этот определи-
определитель через b(yv yit ... , у„):
У: У 2
Л,
Уг У'»'

!08 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 400
Этот определитель носит название определителя Вронского.'Если опре-
определитель i (ул , у2, ...,уп\ который есть голоморфная функция от х во
всей области, где коэфициенты at голоморфны, не равен тождественно
нулю, то мы возьмем для х0 такую точку, в которой этот определитель
не обращается в нуль; тогда мы можем определить постоянные Ct таким
образом, чтобы у и его п —• 1 последовательных производных приняли
при д:0 любые начальные значения. Следовательно, всякий интеграл
уравнения C) заключается в'формуле D); поэтому говорят, что эта
формула представляет общий интеграл уравнения C), а те интегралы
yv y2, ..., уп, при которых определитель Д(.у], у2, ..., уп) не равен
тождественно нулю образуют фундаментальную систему интегралов.
Если определитель Д(.У], Уг, ..., уп) равен тождественно нулю, то
некоторые из интегралов v:, _y2, ..., уп могут быть получены из осталь-
остальных. Вообще, мы будем говорить, что п функций уЛ, у%,..., уп, пере-
переменного х линейно зависимы, если между этими п функциями суще-
существует соотношение вида:
СгУу + С2у2 + .. . + Спуп = 0, F)
где Су, С2, ... , Сп — постоянные, не равные все нулю. Чтобы п
функций уг, у2,..., уп были линейно зависимыми, необходимо и
достаточно, чтобы определитель &{уЛ,уг, ..., уп) был тожд стаенно
равен нулю.
Прежде всего это условие — необходимое. В самом деле, из соотно-'
шения F) находим и — 1 соотношений того же вида:
C,yf!-}-C2yf+...+CnyW = 0 (/>=1, 2,..., в-1), G)'
между производными первого, второго и т. д. порядков от функций yt.
Так как, по предположению, коэфициенты Ct не равны все нулю, то
уравнения F) и G) могут быть совместными только в том .случае, если
определитель hiy^, у.,, ..., уп) тождественно равен нулю.
Обратно, пусть будет А = 0, и предположим сначала, что все
миноры первого порядка определителя Д относительно элементов послед-
последней1 строки не равны тождественно нулю; пусть, например, коэфициент
при п(п^
Ул Уг ••• Уп-л
У л У г ••• Уп-л
. . . у(п-2)
отличен он. нуля. Пусть будет А часть плоскости переменного х, в
которой функции yt голоморфны, и в которой этот определитель § не
равен нулю. Положим
.. -f Кп_,уп_г,
кг

§ 400 I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 109
из этих п—1 уравнений мы получим для Кл, К2,..., Кп_л функции
от х, голоморфные в области А, так как К1 есть частное от деления
голоморфной функции на минор §, не равный нулю в области А. Эти
функции К,..., А'я_1 удовлетворяют также соотношению:
Уя(»-1) = ад» - » + ад»-» -*-...+*„_, >;г!\ - 9)
так как определитель Д(.у1, .У2> ¦••> .Ул^ равен нулю во всех точках
области А. Диференцируя один раз каждое из уравнений (8) и принимая
во внимание как эти уравнения, так и соотношение (9), получим:
и, слеювательно, К-,' =К2' = .. i=K'a_l = 0. Следовательно, функции
./(Г,, ¦-. , ^„-i равны постоянным, и мы, действительно, имеем между п
функциями _у1? _у2, ..., уп соотношение вида F), где все коэфициенты
постоянны, причем коэфициент Сп отличен от нуля. Очевидно, что это
соотношение, выведенное для области А, имеет место во всей области
существования функций уг, у2, ..., уп.
Заметим, что минор Ь равен определителю
если этот минор § тождественно равен нулю, причем к(уг,уг, ••-,yn_i)
отлично от нуля, то, как и выше, мы выведем отсюда, Что функции
_у,, Уг,---гУп-1 удовлетворяют соотношению вида F), где Сп = 0 и
Ся_1=т^0. Следовательно, продолжая те же рассуждения, мы будем при-
приходить всегда к соотношению вида F), где некоторые из коэфициентов'
могут быть нулями. Таким образом, если мы знаем п интегралов урав-
уравнения C) таких, что Д (у , уг, ..., уп) = 0, то по крайней мере один
из этих интегралов есть линейная комбинация с постоянными коэфициен- ¦
тами других интегралов. Может случиться, что эти п интегралов приво-
приводятся на самом деле к р различным интегралам (р<^п—1); для этого
необходимо и достаточно, чтобы все определители, аналогичные Д,
которые можно образовать из р -\- 1 этих интегралов, были равны нулю,
но по крайней мере один из определителей, составленный из р интегра-
интегралов, был отличен от нуля.
С помощью этой леммы можно также доказать, что общий интеграл
уравнения C> представляется формулою вида D). В самом деле, пусть
будет (_yj, у2, .. . , уп) фундаментальная система интегралов, и у — какой-
нибудь другой интеграл; из п -\- 1 уравнений
= 0,..., F(yn) = 0
мы получим, исключая коэфициенты av a2,..., ап, соотношение:
Следовательно, между этими л —(—. 1 интегралами существует зависи-
зависимость:

ПО ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЁ УРАВНЕНИЯ .§ 400
где С, С], ... , Сп—постоянные, не равные все нулю; при этом козфи-
циент С при_у наверное отличен от нуля, так как интегралы у},уй, ... , уп
линейно различны.
Всякое линейное уравнение га-го порядка имеет бесконечное множество
фундаментальных систем интегралов. Чтобы получить одну из таких систем,
достаточно взять га таких интегралов, чтобы опрел ел итель, составленный из началь-
начальных значений этих п интегралов и их (га — 1) последовательных производных, не
был равен нулю в точке .г,-,-отличной от особых точек. Пусть будет у{, у.2 уп)
первая фундаментальная система, тогда п интегралов Y{, K2 Yn, определяемых
формулами:
(.1=1,2 га),
с постоянными коэфичиентами cjk, также образуют фундаментальную систему,
если определитель D, составленный из я2 коэфициентов cik, отличен от нуля.
В самом деле, по правилу умножения определителей имеем:
Л уп).
Из этой формулы следует, что отношение -т-
dx
одинаково
для всех фундаментальных систем; мы проверим это, составив это отношение.
Припомним сначала формулу, выражающую производную от определителя:
?> =
я, Ь\ <:,... /,
а2 &2 ?2 • • • h
а„ Ь„ с„... 1„
В раскрытом виде этот определитель равен % ± aabpC ... 1Х, причем сумма
распространяется на все перестановки (а, р, •(,..., I) первых п чисел, а знак ±
зависит от класса перестановки. Таким образом мы получим:
D' = 2 ± <Vr- • -А + B ^ ^Ь3'с.г. .!х) + ... +B ± aj>$cy ... //);
но 2 з= аа'ЬрС^ ... /х представляет собою в развернутом виде тот определителы
который получается из D заменой эпемен'ов первого столбца их производными;
аналогично и для следующих групп членов в выражении D'. Таким образом
производная от определителя D порядка п рявна сумме п определителей, каждый
из которых получается из D заменой всех элементов одного столбца или одной
строки соответствующими производными.
Применим это правило к определителю \ у{. у2, ... ,уп); первые п—1 из
получаемых определителей равны нулю, как имеющие по две одинаковых строки,
и мы будем иметь:
d\(yu у, ,уп)
dx
Уп
У1
У?
(я-2)
J'i!
(п-2)
(п-2)
У-1
(л)
Уп
Эта формула верна, каковы бы ни были функции yt, y.2, ..., у„- если же эти
функции суть интегралы уравнения C), то мы можем заменить в последней
/"' через —а^{""^— ... —anyl и
строке j//"' через —а^{""^— ... —anyl и сделать такую же замену для
остальных элементов. Раскрывая полученный определитель по элементам последней
строки и замечая, что некоторые определители будут иметь по две одинаковых
строки, получим окончательно:

§ 400—401 I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 111
Следовательно, искомое отношение равно — flf. Вместе с тем из этой формулы
мы можем получить значение определителя:
х
— Г
е i
aldx
где До обозначает значение определителя Д при х х0. Из полученного выра-
выражения для определителя Д видно, что, если А не р*._но тождественно нулю то Д
буде. отлично от нуля во всякой обыкновенной (не особой) точке; этот результат
можно было &ы вывести также и непосредтенно из найденных ранее свойств
определителя Д.
Следует заметить, что всякое линейное уравнение с фундаментальною
системою интегралов (yi,y-2, ¦¦¦ ,Уп) можно представить в виде A0,:
причем коэфициенты при Ур' содержат только интегралы yt и их производные.
Огскпа следует, что п каких-нибудь линейно независимых функций всегда можно
рассматривать как фундаментальную систему интегралов некоторого линейного
уравнения.
401 Неоднородное линейное уравнение. Выделяя член, не зависящий
от у, мы можем представить неоднородное линейное уравнение в виде:
для краткости мы будем называть это уравнение уравнением с прав <ю
частью, а уравнение F(y>^0—уравнением без правой части. Если
мы знаем какой-нибудь частный интеграл Y уравнения A2), то, произведя
подстановку у = Y-\-z, мы приведем интегрирование этого уравнения,
в силу тождества F( K-f- z) = F (Y) -f F(z), к интегрированию урав-
уравнения без правой части F(z) — Q. Следовательно, общий интеграл урав-
уравнения с правою частью представится формулою:
;..+Скук, A3)
где ул, уг, ... , уп суть п частных интегралов уравнения без правой части,
образующих фун аментальную систему, и С,, С2, . . . , Сп суть п произ-
произвольных постоянных. В приложениях часто бывает нетрудно найти частный
интеграл линейного уравнения с правой частью; в этом случае остается
проинтегрировать уравнение без правой части. При нахождении частного
интеграла уравнения с правой частью часто бывает полезно следующее
почти очевидное замечание: если / (х) есть сумма р функций
таких, что мы можем найти частный интеграл каждого из уравнений
F{y)=^fi(x), F(y) = ft{x> F(y)=fp(x),
то сумма К, -J- Y2 -\- .,. -j- Y этих р частных интеграло-в есть интеграл
уравнения F(y)—f(x).
Отнссительно линейного уравнения с правой частью существует сле-
' дующее общее, предложение: если известен общий интеграл уравнении
без правой части, то всегда можно получить квадратурами общий
интеграл уравнения с правой частью.

112 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 401
Прием, данный для этой цели Лагранжем, называется методом изме-
изменения постоянных. Пусть (ул, у2, ,.. , уп) фундалентальная система
интегралов уравнения F {у) = 0; следуя насколько возможно близко тому
приему, которым мы пользовались в случае линейного уравнения первого
порядка (§ 365), попытаемся удовлетворить уравнению A2', взяв для у
выражение вида
п, A4)
где Са, С,,... , С„ обозначают л функций от. jr. Очевидно, что между
этими функциями можно установить л — 1 произвольных соотношений,
лишь бы эти соотношения не были несовместимы с уравнением. A2).
Положим:
= 0,
= 0;
легко видеть, что тогда производные от у до (л— !)-го порядка пред-
представятся выражениями:
Первое из соотношений A51 выбрано таким образом, чтобы про-
производная первого порядка у' имела то же выражение, как ели бы
Cj, С2, ... , С„ были постоянными; то же относится и к следующим
соотношениям. Производная л-ro порядка имеет менее простой вид:
vc)=с, улы + ад»> 4-...
Вставляя предыдущие выражения для у, у', у", ... , .v(n) в левую часть
уравнения A2), мы найдем, что коэфициенты при С^, С^, .. ., С„ равны,
соответственно, Р(уг), ..., F(yn), и, таким образом, мы придем к новому
соотношению:
Л(-1) с/ 4 у^-1) с; 4-.; -+л(<-1) сп' =/(*)• а5')
Из соотношений A5) и A5') можно определить C'v ... , С'п\ следова-
следовательно, мы получим Cj, С2, ... , Сп квадратурами.
К рассматриваемой задаче можно также применить следующий метод, при-
принадлежащий Коши.
Пусть будет (У1,у%, ... ,уп) фундаментальная система интегралов уравнения
F{у) = 0. Определим постоянные С,,С3, ... ,Сп таким образом, чтобы интеграл
вместе со своими я — 2 последовательными производными был равен нулю при
х—а, и чтобы его производная (л — 1)-го порядка обращалась в единицу.

§ 4D1 1 'ОБЩИЕ СВОЙСТВА. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 113
Полученный, таким образом, интеграл <? (х, а), очевидно, зависит от переменного х
а также от начального значения а, и удовлетворяет п условиям:
а) = 0, f (а, а) = 0, ?"(«¦ а) = 0, ...,^"-^(а, а) = 1, A7)
где <р(р)(а, о) обозначает производную порядка р от ? (х. а) относительно х, в
которой после диференцирования х заменено через а. Заменяя в предыдущих
соотношениях а через х, что равносильно простому изменению обозначений
мы представим их в виде:
?(дг, х) = 0, t(Xx, х)=0 т<п-2)(д:, х) = 0, ч^-х)(х, х) — 1, A7 bis)
причем у(р)(дг, х) обозначает теперв производную порядка р от у (х, а) относи-
относительно х, где после диференцирования а заменено через х. Рассмотрим функцию,
представляемую определенным интегралом:
(х, a)/(a-,rfo, (-18
взятым от произвольного постоянного предела х0. Применяя общую формулу
диференцирования интегралов и обращая внимание на условия (I / bis), мы имееу
последовательно:
X X
dV С rln~lY С
ха
~
Еставляя эти значения У, У,,.. , У^ в F(Y), получим:
X
F (К) ==/(*) + J [Ч(п\х, а) + а^п-1Нх, .)+..
Функция, стоящая в правой части под знаком интеграла, тождественно равна
нулю, так как у {х, а) есть интеграл уравнения без правой части, каково бы ни
было значение параметра а. Отсюда следует, чго функция Y представляемая опре-
определенным интегралом A8), есть частный интеграл линейного уравнения с правой
частью. Можно заметить, что этот интеграл вместе со своими производными до
(п—1).го пор-дка включительно равен нулю при нижнем пределе Хц, который
предполагается обыкновенного точкою коэфициентов данного уравнения *.
* Нетрудно проверить, что метод изменения постоянных и метод Коши приводят к тем же
вычислениям. В самом деле, функции (р (X. «) Коши дчеет вид:
9 (х, а) = 94(к)л(х) + <Р« МЛМ + -• + 9я (*)Уп(*),
прнч м функц in <pj(a) определяю ся условиями:
<Pi(*m(«) H + <Рп(<0 -М») =* 0, \ ¦
*•(«) yS"~2) («)+¦•• + Ы') yJ"~2) («) * 0. > (А)
«piW^"' <<-)+••• + т»;«)л^"^(«) = 1. J
и частный интсгра . A8) кмеет выражение:
х х
Y = yi(x) j>?l(a)/(«)d*+ ...+J»n(*) f T*<«)/<«)<*•*•
Но иЗ сравнений условия (А) с Соотношениями A5) и A5'). определяющими функции С(> в
методе изменения постоянных, непосредственно видно, ч.хо d'(x) = <fi(x)f (х), и следовател»но,
метод изменения произвольных постоянных дает час.иый интеграл посредством тех же квадратур,
чго и метод Коши.
8 Э. Гур«г». т. II, ч. 2

114 ГЛАВА tt. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛьНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 401- 402
Применение этого метода к уравнению —^=/(лг) приводит к результату,
совпадающему с уже полученным выше (§ 379).
402. Понижение порядка линейного уравнения. Если известно не-
сколг^о частных интегралов линейного уравнения, то ими можно восполь-
воспользоваться для понижения порядка уравнения. Рассмотрим сначала одно-
однородное уравнение и-го порядка; пусть будут yt, у2, ..., ур(р <^п)
линейно независимые интегралы этого уравнения. Сделав подстановку
у —yvi, где z обозначает новую неизвестную функцию, мы приведем
данное уравнение F(y) = 0 к уравнению того же вида относительно г,
d
dPy
так как выражение каждой производной -j^- линейно относительно z и
производных от г. Если уг есть интеграл уравнения F(y) = 0, то новое
уравнение относительно z должно иметь решение йг=1; отсюда следует,
что коэфициент при z равен нулю; последнее можно проверить непо-
непосредственным вычислением, так как коэфициент при z есть именно
Следовательно, уравнение относительно z будет иметь вид:
dnz dn~^z dz
где, bvb2, ..., Ъп_г — функции от х. Полагая н=—, мы приведем урав-
уравнение A9; к линейному уравнению (а—1)-го порядка:
Если у,, у2, ..., ур суть р интегралов данного уравнения, то уравне-
у 'V
ние A9) имеет р — 1 интегралов ^- -=-?, и следовательно, урав-
У\ У\
нение B0) имеет р — 1 интегралов:
d
die
[УЛ d !y\
\yj' ••• ' ~dx\yj'
Эти р — 1 интегралов линейно независимы; в противном случае суще-
существовало бы соотношение вида:
где С2, .--, Ср — постоянные, не равные все нулю, и, интегрируя, мы
получили бы соотношение того же вида С2у2-\- ... ^-С у -^С^у^ =0,
где Cj — новое постоянное. Если р~^>1, то применяя тот же прием
к уравнению B0), мы придем к новому линейному уравнению (п—2)-го
порядка, и т-. д. Следовательно, интегрирование однородного линейного
уравнения, у которого известны р независимых частных интегралов-,
привадится к интегрированию.однородного линейного уравнения порядка
п-~р и к квадратурам.

§ 402 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 115
Если р = п — 1, то. последнее уравнение само интегрируется в квад-
дратурах.
Точно так же, если известны р таких интегралов^, _у2, .. .,ур
уравнения с правой частью, что р — 1 функций
линейно- независимы, то, сделав подстановку у = уг-\- г, мы придем
к уравнению без правой части, имеющему/?— 1 интегралов у2 — уг, ,
vp—у1. Следовательно, это уравнение можно привести к линейному
уравнению (п—р-^-1)-го порядка без правой части.
Рассмотрим, например, линейное уравнение второго порядка
пусть будет уг частный интеграл этого уравнения. Полагая у =yxz,
получим:
d у dz , dy. d*y d%z , „ d у, dz . ' d% v,
dx yidx~ dx ' dx* yidx*^ dx dx ~ dx* '
Вставляя предыдущие выражения в уравнение B1) и замечая, что
коэфициент при z равен нулю, будем иметь:
dz
Полагай -г- = «, мы представим это уравнение в виде
du , I dv, , \dx
h \ %-г1+РУ-, —=0;
и ^ \ dx ^y-Xl I yj
интегрируя, имеем:
Л
Log и -j- \p dx -f- Log )'x2= Log С,
ИЛИ
и = —s e Л»
Выполнив еще квадратуру, найдем z, а следовательно и у; мы видим,
что уравнение .B1) имеет интеграл yv определяемый формулою
X
dx
отличный от интеграла yv Следовательно, если известен частный
8*

116 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 402
интеграл однородного линейного уравнения второго порядка, то мы
получим общий интеграл двумя квадратурами *.
Это свойство сближает линейное уравнение второго порядка с урав-
уравнением Риккати (§ 368). И действительно, между этими двумя видами
диференциальных уравнений существует тесная связь. Приме-яя к одно-
однородному уравнению B1) прием' понижения порядка (§ 380, 3°), именно,
[zdx
полагая у =е , мы придем к уравнению Рикатти:
.O. B4)
Обратно, если дано какое нибудь уравнение Риккати
-{-c~0, B5)
где а, Ь, с — функции от х(а=^=0),.то, полагая и = —, мы приведем
его к виду B4), именно:
*'-f *» + (b— -M z-\- ac^O.
Отсюда следует, что общий интеграл уравнения B5) есть
1
где уг и у2 — два независимых интеграла линейного уравнения:
формула B6) содержит в действительности только одно произвольное
С
постоянное,
степени **.
С. _
постоянное, именно -г~, и притом это постоянное входит в нее в первой
* Из этих формул можно вывести простое доказательство одной важной теоремы Штурма.
Предположим, ч.о коэфициенты р и q в промежутке (а. Ь) суть действительные иепр рывные
функции действительного переменно о х; пусть будут ха и xt два последовательных нуля частного
инте ралами) заключившиеся в промежутке (а, Ь). Если у, (х) есть другой частный интеграл,
отличный от yi (х), то из формулы для и имеем:
X
отсюда видно, что отношение — изменяется постоянно в одном направлении, когда х возрастает
от jc0 до Xi. Но это отношение обращается в бескоиечность при x=xQ и х^х^ следовательно, оио
или постоянно возрастает от — во до + 00 или постоянно убывает от -f 00 до — 00. Следова-
тельн у равна ие у% (х) = 0 имеет в промежутке (*„, л,) • корень, и притом только один.
** На первый взгл-'Д кажется, что нужно выполнить квадратуру, чтобы нз общего интеграла
уравнения Риккати B4) вывести общий интеграл линейного уравнения B1). На самом деле это не
так или, точнее, эта квадратура приводится к вычислению интеграла | рйх. Вообще, пусть будет
z=f(x. С) общий ннтеграл диференциальиого уравнения первого порядка — = /(*, г); нз еоотно-
Дкференцируя его по постоянн му С, имеем:

§ 402 I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 117
Пример. Полином Х„ Лежандра (т. I, § 86) удовлетворяет диференциаль-
ному уравнению:
A--^) —-2xg + n(n + l)j/ = 0; B7)
чтобы это доказать, достаточно заметить, что, полагая и = (х*—1)я, имеем соот
ношение (ж*— 1)и' = 2пхи, и, взяв от обеих частей производные 1л+1)-го
dnu
порядка, получим уравнение, которое после замены в нем —~п через у будет тож-
тождественно с уравнением B7). Чтобы иметь второй частный интеграл уравнения
B7j, применим общую формулу B3); здесь р равно
2х _ 1 1
i .- I 1 ~Т~
— 1 лг + 1 ' x — V
и мы получим:
dx
у С d
На первый взгляд кажется, что для вычисления этого интеграла необходимо
знать п Kopi ей а4, а2, ... , ап полинома Х„; но на самом деле это не так. В са-
самом деле, выделяя простые дроби, происходящие от корней + 1 и — 1 знамена-
знаменателя, имеем:
2 \л:—1
где Рп есть многочлен степени 2я — 2, представляющий частное от деления 1—х\
на х3 — 1. Следовательно, мы получим:
Последний интеграл есть рациональная функция, так как если бы он содер-
содержал логарифмический член вида Log(x — о,), то точка а,- была бы особою точкою
следовательно,
r^^=LOg^,
где, разумеется, в обоих частях должно взять одно^и то же значение для постоянного"С.5Приме-|
няя эту формулу к уравнению Риккати B4), заключаем, что если «=<р (х. С) есть, обший интеграл|
этого уравнения, то
Отсюда находим для интеграла уравнения B1):
Если z(, г,, г, суть три интеграла уравнений B4), то, определяя г из уравнения
г — г, ' гъ — г,~
i 363) и выполнив вычисления, находим, что общий интеграл линейного уравнения B1) имеет вид
г,) (г, — г,) (г., - г,;

118 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 402—403
для интеграла у%; но интегралы уравнения B7) не могут иметь других особы*
точек, кроме д:=±1 (§ 399). Поэтому этот интеграл можно вычислить при
помощи элементарных действий (т. I, § 97); так как он должен иметь вид "~*, где
""Я
Qn-l есть многочлен не выше (л— 1)-й степени, то, например, можно -опреде-
-определить коэфициенты этого многочлена из условия
Найдя многочлен Cn_t, мы получчм общий интеграл уравнения B7; в виде;
у = С,Хп + С2 [<?„_,+ \хп Log (J^-|)].
403. Аналогии с алгебраическими уравнениями. Все предыдущие свой-
свойства устанавливают очевидную аналогию между теорией линейных диференциаль-
ных уравнений и теорией алгебраических уравневии. Эта аналогия вндна в очень
многих вопросах. Покажем, например, как можно распространить на линейные
уравнения теорию общего наибольшего делителя. Пусть будет, вообще,
символический многочлен, где во> аи • • • > ап СУТЬ данные функции от хг, если а0
не равно нулю, то для краткости мы будем говорить, что F(y) есть многочлен
л-го порядка. Если G (у) есть символический мно гочлен порядка р такого же
характера, то ясно, что G[F(y)] есть также символический многочлен порядка
п-\-р такого же характера. Пусть будет
tf v
другой многочлен порядка m(m^n). Тогда можно найти такой третий много-
многочлен G (у) порядка л — /и, чтобы многочлен F (у) — G [Ft (у)] был не выше
порядка m — 1 (многочлен нулевого порядка имеет вид ау, где а есть функция
от х). В самом деле, положим
Коэфициент при -г^-п в G[F{(y)] равен Х„&в, и если мы положим Хо=~, то
tin—m
разность F(y) — *о а n_m [Ft (У)] будет не выше (л — 1)-го порядка; пусть будет
а{ коэфициент при ± В этой разности. Если мы положим Х{ = — , то раз-
dxn~i f0
ность
будет не выше (л — 2)-го порядка. Продолжая те же действия, мы видим, что
можно последовательно определить коэфициенты Х„, \ Ьп-т таким образом,
чтобы имело место тождество вида
F(y)-G[Fi(y)]=Fi(y), B8)
где Ft(y) не выше (т — 1)-го порядка, причем эта операция вполне аналогична
делению двух алгебраических многочленов.
Положим теперь, что требуется определить общие интегралы двух линейных
уравнений.
fly) =0. Ft'y =0; B9).

§ 403-404 I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 119
из тождества B8) следует, что эти интегралы тождественны с общими интегра-
интегралами уравнений Fl(y)=0, F2(y) = 0. Если Ft(y) не равно тождественно нулю,
то можно выполнить ту же операцию с Fi(y) и F2(yi и т. д. до тех пор, пока
мы ие придем к двум таким последовательным многочленам Fk_l(y) и Fk(y),
что Fk-l(y, = Gk_l[Fk(y)\ Этот последний многочлен Fk(y) аналогичен алге-
алгебраическому общему наибольшему делителю: все общие интегралы обоих урав-
уравнений B9) удовлетворяют линейному уравнению Fk(y), и обратно. Ьсли сим-
символический многочлен Fk(y) — нулевого поря/ika, то оба уравнения не имеют
никакого другого общего интеграла, кроме очевидного решения у = Ь.
Если в соотношении B8) F%(y) тождественно равно нулю, то в систему инте-
интегралов уравнения F(y)=0 входят все интегралы уравнения Fi<y ==0; обратно,
чтобы все интегралы уравнения Fi(y) = 0 были интегралами уравнения F(y) = 0,
необходимо, чтобы F$(y) было тождественно равно нулю, так как линейное урав-
уравнение не выше (т — 1)-го порядка не может иметь своими интегралами все инте-
интегралы линейного уравнения /и-го порядка. Следовательно, в этом случае мы
имеем тождественно:
Полагая F{ (у) = г, мы приведем интегрирование уравнения F (у) = 0 к
последовательному интегрированию двух линейных уравнений порядков (я — т)
и т:
из которых только второе имеет правую часть.
Из этого замечания можно вывести другое решение одной разобранной выше
задачи. Предположим, что нам известны р независимых интегралов yi, у%,...,
Ур 0? < и) уравнения F(y} = 0. Мы можем составить линейное уравнение
порядка р, имеющее своими интегралами эги р интегралов (§ 400); пусть будет
Fi(y) = 0 это уравнение p-to порядка. Мы имеем тождественно F(y) = G[Ft(y)],
и, проинтегрировав уравнение G (г) = 0 порядка л — р, мы найдем интегралы
уравнения F,(y) = z посредством одних квадратур, так как общий интеграл
уравнения Ft(y) = Q нам уже известен. Мы получаем таким образом такое же
понижение порядка задачи, как и в первом методе (§ 402), но предложенный
здесь прием более симметричен.
Аппелль, Лагерр (Laguerre), Альфан, Пикар и за ними многие другие распро-
распространили на линейные уравнения теорию симметрических функций корней, тео-
теорию инвариантов и глубокие, теории Галуа (Galois) о группе данного алгебраи-
алгебраического уравнения. Теория инвариантов основывается на том почти очевидном
замечании, что однородное линейное уравнение переходит в уравнение того же
вида при всяком преобразовании
где функции / (t) и у (<) — произвольны, t — новое независимое переменное, и
г — новая неизвестная функция. Этим преобразованием иногда можно воспользо-
воспользоваться, чтобы упростить данное уравнение. Если, например, требуется обратить
в нуль коэфициент при производной (п — 1)-го порядка, то оказывается, что для
—z I a.dx
этого достаточно положить y — ze J , сохраняя при этом прежнее пере-
переменное х. Так как мы располагаем двумя произвольными функциями /и у, то
можно было бы думать, что этим можно воспользоваться, чтобы обратить в нуль
два коэфициента; но это приведение, возможное в теории, большею ччастью не
упрощает решения. Например, всегда можно выбрать функции / и у таким обра-
образом, чтобы привести любое линейное уравнение второго порядка к виду г" = 0,
но действительное определение этих функций представляет такие же трудности,
как и самая задача интегрирования данного уравнения.
404. Сопряженное уравнение. Лагранж распространил следующим обра-
образом на линейные уравнения теорию интегрирующего множителя. Пусть будет F{y)
линейная функция от у и его производных
, / + а„у,

120 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 404?
где e0> et, ...an—какие-нибудь функции от х, и У, У'...., ум обозначают,
последовательные производные от у. Определим функцию г от х таким образом,.
Чтобы пгоизведение zFiy) было производного по х от некоторой другой функ-
функции, линейной относительно^ и его производных до (л — 1)го порядка. Приме-
н я к каждому члену произведения zF(y) общую формулу интегрирования по
частям (т. I, § 84), получим:
C0)
где
Обозначим через Ф(у, z) билинейное выражение относительно у и z и иж
производных, стоящее в правой части выражения C0); тогда мы можем предстаг
вить соотношение (.30) в сокращенном виде:
zF (у) - yG (z) = ? [Ф СУ. *)]• C2),
Таким образом при всех возможных видах функций j/ и z бином zF(y) —
— yG{z) есть производная от Ф(.у, z). Если мы примем за z интеграл уравнения!
G (z) = 0, то произведение zF(y) представится как производная от выражения,
такого же вида, линейного относительно у, у1 yin-i)t и. следовательно, урав-
уравнение F(y)=^0 будет равносильно линейному уравнению (я— 1)-го порядка
ФСл *)=с, ' C3)
которое получим, заменив в Ф неопределенную функцию z выбранным нами
интегралом уравнения G(z) = 0. Уравнение G(z) = 0 есть также линейное урав-
уравнение л-го порядка; оно называется сопряженным уравнением к уравнению
/?(j/) = 0, а символический многочлен G(z) — сопряженным многочленом
к многочлену F(y).
Таким образом мы видим, что если известен один интеграл сопряженного
уравнения, то интегрирование данного уравнения приводится к интегрированию
линейного уравнения (я—1)-го порядка с произвольным постоянным в правой,
части. Если известны р независимых интегралов г(, г2, ... , г. сопряженного
уравнения, то всякий интеграл данного уравнения удовлетворяет р соотношениям
вида
Ф Су, жо = сь Ф су, ч) = сь...-. Ф (у, zp) = сг C4>
где Cit С2, ..., Ср — постоянные. Из этих р уравнений можно исключить про»
изводные У"-*), ул-2) yn~p+i); мы придем к линейному уравнению.
(и — />)-го порядка с правой частью, зависящей от р произвольных постоянных.
С,, С2 Ср. В частности, если р = п, т. е. если известен общий интеграл
сопряженного уравнения, то можно решить п 'уравнений C4) относительно.
у У у л-0, и мы будем иметь общий интеграл данного уравнения совсем,
без квадратур. /
Между интегралами обоих уравнений F (у) = О, G(^) = 0 существуют замеча-
замечательные соотношения, которых мы не будем здесь выводить*. Покажем только,
что между этими обоими уравнениями существует взаимность, т. е. если G(z)
есть сопряженный многочлен к ^СУ), обратно, то F{y) есть сопряженный мно-
многочлен к G (г). В самом деле, пусть будет /^СУ) — сопряженный многочлен
* См. Дарбу, Theorie des surface;, г. II, кн. IV, гл. V. Си. также упражнение 17 в конце
*вй главы. ' ' il/w

§ 404-405 II. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 121
к G (г); мы имеем меюду Fi (у) и О (г)' соотношение того же вида, как соотно-
соотношение C2):
yO(z)- zF, (У)=~х № (У, *)l C2bis)
складывая соотношение C2) и C2bis), получим
z[P{y)-F{(у)} = ?[V(у, г) + Ф,(у, z)\.
Если бы F(y) — Ft(y) не было равно нулю, то произведение z[F(y)—F^y]
было бы производного от функции, содержащей неопределенную функцию z и
некоторые из его производных; но производная от функции, содержащей z,
z1 zip), всегда содержит по крайней мере одну производную от z, именно
z(p+l). Следовательно, предыдущее соотношение возможно только в том случае,
если Ft(y) тождественно с F(y).
II НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
405. Уравнения с постоянными коэфициентами. Линейные уравнения
с постоянными коэфициентамм были проинтегрированы Эйлером. Рас-
Рассмотрим сначала уравнение без правой части:
У = 0, C5)
где ал, а2, ..., ал — какие-нибудь постоянные. Из общей теории (§ 399)
следует, что все интегралы этого уравнения совсем не имеют особых
точек на конечном расстоянии: это — целые функции от х. Пусть будет
X X2 Хт
разложение в ряд одного из этих интегралов; ряды, представляющие
последовательные производные от у, имеют аналогичный вид. Заменяя
в левой части уравнения C5) переменное у и его производные их раз-
разложениями в ряды и приравнивая нулю коэфициент при какой-нибудь
степени переменного х, например при хР, мы получим следующее соот-
соотношение между «—|— 1 последовательными коэфициентами:
полагая в этой формуле последовательно р = 0, 1, 2, ... , мы последов
вательно выразим коэфициенты сп, ся_1? ... через и первых коэфициен-
тов с0, сЛ, ... , сп-1, которые можно- взять произвольно. Полученный
таким образом ряд C6) — сходящийся во всей плоскости и представляет
интеграл, равный с0 при х = 0, причем его я—1 первых последователь-
последовательных производных принимают при х=0 соответственно значения
с,,с2, ..., cn_v Покажем, что этот интеграл выражается через показатель-
показательные функции и многочлены *.
Соотношение C7) есть рекуррентная формула с постоянными коэфи-
коэфициентами, связывающая п -\-1 последовательных коэфициентов с,.
Нетрудно найти частные решения этого соотношения. В самом деле,
рассмотрим алгебраическое уравнение
* См. статью О р п к а (Дипс) р Nouvelles АодаЦ? <*S MathematiqHts (J894, стр. 44J»,

122 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. § 405
для краткости мы будем называть это уравнение характеристическим
уравнением, a /(/¦)— характеристическим многочленом. Если г есть
корень этого уравнения, то ясно, что полагая ст = гт, мы удовлетворим
соотношению C7), каково бы ни было значение целого числа р. Под-
Подставляя значения для ст в формулу C6), мы получим егх; таким обра-
образом мы видим, что е*30 есть частный интеграл уравнения C5), если г
есть корень характеристического уравн ния f (r) = 0. Этот результат
нетрудно проверить непосредственно, так как, заменяя в левой части
уравнения C5) у через егх, мы найдем, что в результате подстановки
получится erXf(r).
Если уравнение C8) имеет п различных корней гг, г2, ... , гп, то
мы имеем п частных интегралов е7»*, ег*х, ... , еГпХ, и следовательно,
получим интеграл:-
Сге"х-\- ...
выражение которого содержит и произвольных постоянных
C9)
Формула C9) представляет общий интеграл уравнения C5), так как
определитель Д(е^х, ег&, ..., ег^х) можно представить в виде:
Д =
,... +гп)х
1 гЛ г,« ... г,»-1
1 r r 2 г п—\
2 2 " " * 2
1 г. г? ... rf~l
а известно, что определитель, стоящий в правой части последнего
равенства есть, с точностью до знака, произведение разностей г, — rk,
следовательно, здесь Д не равно нулю.
Прежде чем перейти к тому случаю, когда характеристическое урав-
уравнение имеет кратные корни, докажем сначала одну лемму. Сделаем
в уравнении C5). подстановку у = е"*г, где а — некоторое постоянное,
a z — новое неизвестное. По формуле Лейбница имеем:
= e«x LPx
-1г< -\-
Р<Р~
D0)
Подставляя эти значения для у, у', у",
C5) и вынося е** множителем, получим:
в левую часть уравнения
где О (г) есть линейное выражение относительно г, г',..., г<"> с
постояннымь коэфициентами. Чтобы вычислить коэфициенты выражения
О {г), заметим, что если мы заменим в F{y) указатели производных
показателями, причем у заменим через у° = 1, то полученный результат

§ 405 И. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 123
будет тождественен с f[y). Сделав те же преобразования с функциею г,
мы можем представить формулы D0) символически в виде
следовательно, в том же символическом обозначении О (г) представится
в виде f(a-\-z). Заменяя теперь, обратно, показатели при г через ука-
указатели производной, мы найдем, что новое уравнение относительно г
будет иметь вид:
/^ /^'*] ] ¦ D1)
Пусть будет г корень кратности р характеристического уравнения.
Заменяя в уравнении D1) количество а этим корнем г, мы найдем, что
коэфициенты при z, z1, ... , г^) в этом уравнении равны нулю, и
мы получим интеграл, взяв для z функцию, у которой производная
р-хо порядка равна нулю, т. е. произвольный многочлен (р—1)-й
степени. Следовательно, если г есть корень кратности р характери-
характеристического уравнения, то этому корню соответствуют р различных
частных интегралов линейного уравнения C5), именно егх, хегХ,...,
хр-Чгх.
Рассмотрим k различных корней гЛ, т2, ... , rk уравнения /(г) = 0;
пусть будут ц,, ji2, ... , \xk соответственные порядки их кратности
(?ц/ = «). Пользуясь этими корнями, можно составить п частных инте-
интегралов линейного уравнения. Эти п . интегралов независимы, так как
всякое линейное соотношение с постоянными коэфициентами между
Этими п интегралами было бы вида
«**?) (¦*) -Ь **Ъ (*)+•••+ er**yk (х) = 0,
где <р,, <р2, ..., <pft обозначают многочлены; но' такое соотношение
невозможно, если числа гг, г2, ... , rk различны. Мы не предполагаем,
что в это соотношение входят непременно все k функций ег^х, ег*х, ... .е7**;
если бы некоторые из многочленов <р, (х), (р2(лг), ..., <pft0*r) были
равны нулю, это значило бы, что соответствующие функции в соотно
шение не входят. Положим, что <pj (x) не равно нулю; разделив преды-
предыдущее соотношение на ег'х, получим:
<р, (X) + **r-rt* (р2 (X) + . . . + eClr^i)* (pft (*) = 0.
После первого диференцирования будем иметь:
-г-г,)Ъ (х)] + ... = Q.
В этом новом соотношении многочлен (р., (х) степени и, заменился
многочленом ^[(х) степени пл — 1; степень многочлена, имеющего мно-
множителем ^(л-'ч)-*, попрежнему равна л2; то же самое имеет место по
отношению к остальным многочленам. Следовательно, после (п^-^-Х)-
кратного диференцирования мы получим соотношение того же вида, ка*
и то, из которого мы исходили, но имеющее одним членом менее
е*** фа (*)¦ + е" ф, (*) + ...+ es*x ф4 (х) = 0,

124 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 405
где k — 1 чисел s? = r2 — г,, s,=ra — г,,..., sk = rk — г, различны,
и ф2> Фи • • • > Ф*— многочлены степеней соответственно я,, п3, ... , пк.
Продолжая те же действия мы, наконец, пришли бы к соотношению
вида е'хк {х) = О, где ti (x) есть многочлен, не равный тождественно
нулю; но, очевидно, что такое равенство невозможно,, т. е. п предыду-
предыдущих интегралов независимы между собою. Следовательно, общий инте-
интеграл линейного уравнения C5) представится формулою:
. у = «г.* Ри_, -|- е»* />„,_ ,+ ...+<?** рп_и D2)
где Р^-ь ..., Р^к—1 — многочлены с произвольными коэфициентами,
степени которых равны их указателям.
Если характеристическое уравнение имеет мнимые корни, то общий
иьтеграл D2) содержит мнимые символы, но эти мнимые символы можно
устранить, если вдиференциальном уравнении коэфициенты alf а2,.ч.,ап
действительны. В самом деле, в этом случае если уравнение /(г) = О
ии еет корень а -f- $i кратности р, то оно имеет также корень а — J3/
той же кратности. Сумма двух членов формулы D2), соответствующих
этям двум корням, может быть представлена в виде:
гле Ф(х) и Ч* {х) суть многочлены степени р— 1с произвольными коэ-
фгщиентамя, или в равносильном виде:
е™ [cos $х Фг (х) -f sin рх "Р, (лт)],
1де Фг {х) и *Р, (х) — также произвольные многочлены (р—1)-й
степени.
Примечание. Чтобы выразить общий интеграл уравнения C5) через показательные функ
ции, нужно сначала, как мы видели, решить уравнение/(г)=0. Если это уравнение неоазрешимо
го при помощи рекуррентного соотношения C7) всегда можно вычислить последовательно любое
ч„сго коэфициентов целого ряда, представляющею интеграл, соответствующий данным начальным
у 11ОВИЯМ.
М>жно заранее узнать, сколько коэфициентов следует вычислить, чтобы иметь значение
т- еграла с определенною точностью. Пусть будут А наибольшее из чисел 1, | а, |, ... , | <% | и В
на 1большее из чисел | с, I, I ск | | «„__, и Подставляя в уравнение C5) вместо у его разложе-
н> ¦> C6), нетрудно последовательно убедиться для р=и, 1, 2,... что . С„ + р . <B(Aп)^'*^. Сле-
Следовательно, модуль суммы отброшенных членов ряда C5), представляющего интеграл, начина»
с ыена с хп+Р, меньше суммы ряда
Г (Ап)Т>+*
U-; ... (n
где р=| х[, и следовательно, меньше, чем
1-2 ... in-h р)
Перейдем теперь к рассмотрению линейного уравнения с постоянными
коэфициентами и с правою частью <р (а:). Если <р (х) есть многочлен пг-й
степени bqXm -\- Ь-[хт~л -\- ... , то можно не прибегать к общим методам
и найти частный интеграл непосредственно. В самом деле, если коэфи-.
пмент ап при у в уравнении
не равен нулю, то можно найти такой другой многочлен т-& степени

§ 405 Л. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 125
чтобы, вставив его вместо у в левую часть предыдущего уравнения, мы
получили результат, тождественный с ср'*). Все его т-\- I коэфициен-
.. , ст определятся последовательно из соотношений:
п-ЛС0
С0 =
— \)ап_гсл -\-т'т — 1)ап_2с0 = t2, ....
где ап, по предположению, отлично от нуля. Этот способ вычисления
неприменим, если ап = 0. Для большей общности предположим, что
низший порядок производных, стоящих-в левой части, равен р. Приняв
dPy
за вспомогательное неизвестное г = —, мы преобразуем данное урав-
уравнение в линейное уравнение (п—р)-го порядка, в котором коэфициент
при z не равен нулю. По предыдущему, это уравнение относительно г
имеет частным интегралом многочлен /и-й степени: следовательно, урав-
уравнение относительно у имеет частным интегралом многочлен степени
т-\-р. Мы.определим и в этом случае коэфициенты этого многочлена
прямою подстановкою, но заметим, что коэфициенты при хР~г,
хр~'г, ... , х и постоянный член — произвольны.
Если правая часть <р(лг) имеет вид e<u:P(jr>, где а — постоянное, а
Р(х) обозначает многочлен, то мы приведем этот случай к предыду-
предыдущему, положив y — exaz; мы получим по формуле D1):
dnz .
...ndxn '
?Р(*>. D3)
Как мы видели выше, это уравнение имеет частным интегралом мно-
многочлен, степень которого можно определить непосредственно; следова-
следовательно, уравнение относительно у имеет частный интеграл вида eaxQ(x),
где Q(xi — также многочлен. Предположим, в частности, что Р(х)
приводится к постоянному С. Если а не есть корень характеристиче-
С
ского уравнения, то уравнение D3) имеет частный интеграл г = -— и
/(а)
Се**
уравнение относительно у имеет частный интеграл ~—г. Если а есть
корень кратности р характеристического уравнения, то мы удовлетворим
уравнению D3), положив
или
СхР
следовательно, уравнение относительно у имеет частный интеграл
^—— . Отсюда на основании общего замечания ,§ 401),. можно непо-
сре'давенно найти частный интеграл всякий раз, когда правая часть

126 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДЙФЁРЁНЦИАЛЬНЫЁ УРАВНЕНИЯ § 40S -406
есть сумма произведений показательных функций на многочлены. В част-
частности, это имеет место, если правая часть будет вида cos ах Р(х) или
sinaxP(x), так как достаточно выразить cos ах и sin ах "через еах1 и
e~axl, чтобы притти к разобранному случаю. Если вид частного инте-
интеграла найден из предыдущих соображений, то нет необходимости для
вычисления входящих в него коэфициентов проходить через все указан-
указанные преобразования; часто бывает выгоднее подставить непосредственно
в левую часть данного уравнения полученное выражение и приравнять
между собою соответствующие члены.
Пример. Найдем общий интеграл уравнения:
F(y) = -^—y=ae* + be** + с sin x + gcos 2x, D4)
где a, b, c, g — постоянные. Характеристическое уравнение г*— 1 = 0 имеет про-
простые корни: + 1, —1, + /, — /, следовательно, общий интеграл уравнения без пра-
правой части равен:
у = С&х + Ctf-x + C3 cos x + Ct sin x. D5)
Найдем теперь частный интеграл каждого из четырех уравнений, котогые
получим, взяв последовательно для правого члена выражения ае*, bet*, с sin л1,
gcos2x. Так как единица есть простой корень уравнения f(r) = r*—lz=0, то
йхех пХ€х
первое из этих уравнении имеет частный интеграл jrrr:^= ~г~'> так как 2 не
входит в состав корней уравнения f{r) = 0, то второе уравнение имеет частный
интеграл
Taj ~~W'
В третьем уравнении F (у) — с sin x мы можем заменить sin x через g- ~~.g
и искать частный интеграл каждого из уравнений
eXi р(У)е~х'
но так как +/ и.—/ суть простые корни уравнения /(/•) = 0, то мы заранее
знаем, что эти уравнения имеют соответственно частные интегралы Мхе**, Nxe~xl.
Сумма этих обоих интегралов имеет вид: х{тсо&х-\-nsinx), и мы можем опре-
определить коэфициенты т, п, вставив предыдущее выражение в F{y) и выразив,
что результат тождествен с csin.*1; мы видим, что в этом методе мы можем
не пользоваться символом L Таким образом мы найдем, что должно взять
.m=-j, я = 0. Точно так же найдем частный интеграл j= cos 2x последнего
уравнения F{y) = g cos 2x. Прибавляя все эти частные интегралы к правой части
формулы D5), мы получим общий интеграл уравнения D4).
406. Метод Даламбера. Для интегрирования линейных уравнений с
постоянными коэфициентами и, в частности, для тех случаев, когда харак-
характеристическое уравнение имеет кратные корни, было предложено очень
много методов. Один из наиболее интересных, применимый ко многим другим
вопросам того же рода, состоит в том, что мы рассматриваем линейное
уравнение, у которого /(/•) = () имеет кратные корни, как предел линей-
линейного уравнения, у которого все корни уравнения /(г) = 0 различны.
Вообще, пусть будет
Р(У) = % Л ах |3 + ... + аа_, *? 4 аяу = 0 D6>

§ 406 It. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 127
линейное уравнение, где коэфициенты а17 а2, ... , ап суть функции
от х, зависящие сверх того от некоторых переменных параметров
ал, а2, ... , ар. Предположим, что существует функция f(x, г), обла-
обладающая следующим свойством: при q значениях количества г, зависящих
от параметров аг, а3, ... , ар и, вообще, различных между собою, функ-
функция /(х, г) от х есть интеграл уравнения D6). Пусть будет гл, г2, ... , rq .
эти q значений количества г, так что.функции
/(*> гг), /(•*, г2), ... , /(х, rq)
представляют собою q различных частных интегралов уравнения D6),
когда параметры а,, а2, ... , ар имеют произвольные значения. Если при
некоторых частных значениях этих параметров q значений /•,, г2, , rq
не будут все различны, то число известных интегралов уменьшится.
Предположим, например, что г2 сделается равно л,; если г2 отлично
от rv то уравнение имеет два интеграла, f(x, гг), f(x, r2), и следова-
следовательно, выражение
f(x, г2)—/(х, г,)
есть также интеграл. Но если г2 стремится к rv то предыдущее выраже-
выражение имеет пределом производную [fj (х, г)]г. Если rs также сделается
равным г3, то, предполагая сначала г3 близким к rlt мы возьмем интеграл
fix, r,) —fix, г,) — (гя — г,) [/;(х, г)]г2.
при приближении гя к гл этот интеграл имеет пределом — [frr"(x, r)]r.
Это рассуждение имеет вполне общий характер; если, при некоторых
значениях параметров <Xj., ... , ар, k из корней г,, г2, ... , г делаются
равными Г], то уравнение D6) имеет k частных интегралов *:
* Легко привести более строгое рассуждение. Пусть, заменяя в левой части Г (у) линейного
уравнения.)' через /(*, г), мы получим:
^ ^^ ... +ая/=Ф^> г).
(коэфициенты о0, о„ ..., On не зависят от параметра г).
'Вместе с тем, подставляя в F (у) вместо у выражение - — , мы получим:
Предположим, что.для произвольных значений параметров щ, от которых зависят коэфи-
коэфициенты аи oj, ... , ап имеет место:
Ф(х, r) = (r-rt)(r-r,)...(r-rq)V(x, г)
(г„ rs. ... , rq различны). Если длх частных значений параметров «j, p из числа этих корней ста-
станут равными г4, тогда Ф (х, г) делится на (г — /i)P, и мы имеем:
и следовательно, линейное уравнение допускает в эюм случае следующие р интегралов:

'ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЁНЦиАЛьНЫЁ УРАВНЕНИЯ § 408
В случае линейного уравнения с постоянными козфициентами за пара-
параметры а,, а2, ... , а можно взять самые коэфициенты, и функция/(дг, г)
есть v™. Таким образом мы приходим к тем самым результатам, которые1
были нами получены выше непосредственно.
407. Линейные уравнения Эйлера. Линейные уравнения
**"-*??+'--+*.-г*Ъ + А* = 0' D7)
где <*1Р А2, .. . , Ап—постоянные, приводятся к предыдущим заменою
переменного х=^е'*. В самом деле, замечая, что — = — (ср. § 380),
имеем:
dy_dv_dt__J±_dy db __ 1 / <Ру dy
~dx~ dt~dx~ x~dl' llli~~'
dPy
и нетрудно постепенно убедиться, что произведение хР —~ есть линей-
линейное выражение с постоянными коэфициентами относительно
dy ePy
dV dP ~dW
Следовательно, предыдущею заменою переменного данное уравнение
обращается в уравнение с постоянными коэфициентами.
Чтобы получить общий интеграл уравнения D7), нет необходимости
выполнять вычисления, связанные с этою заменою переменного. В самом
деле, мы знаем, что преобразованное уравнение имеет интеграл вида trt;
следовательно, первоначальное уравнение имеет несколько интегралов
вида et)r = xr. Заменяя в левой части уравнения D7; у через хг, мы
получим в результате подстановки xrf(r), где
/(/•) = /•(/¦—1)... (г—в +1) +
¦f V.(' - 1) • •. (г- я + 2) + ... + Ап_,г 4- Ап.
Если уравнение /(/•) = (), которое играет здесь ту же роль, как харак-
характеристическое уравнение § 405, имеет «различных корней rv rt, . .., rn,
то общий интеграл есть
у = С^ + С,** 4" -.. 4" СУ" ."
¦если же г есть ц-кратный корень уравнения /(г) = 0, то из метода
* Из общей теория (§ 393) следует, что интегралы уравнении D7) ие могут иметь другой осо»
«ой точки, кроме х—0. Но е( не может быть равно ну«ю ни при качом коне,ном значении t; сле-
следовательно, интегралы уравнения, которое получим после замены переменного *=?*, должны быть
целыми функциями.

I 407—403 II. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ЁИДЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ lib
Даламбера следует, что ' этому корню соответствует р. частных инте-
интегралов:
хГ, -~(x1 = x'Logx,..., *^ = х' (Log x)*-\
Следовательно, во всех случаях общий интеграл уравнения D7) есть1
D8)
у г2, ... , rk суть k различных корней уравнения f(r) == О,
д,, д2, , р.к — порядки их кратности, и Р (Log.*)— многочлен ji,_
степени относительно Log* с произвольными постоянными коэфициентами.
Если, мы прибавим к уравнению D7) правую часть вида: хт Q (Log*),
где Q обозначает многочлен, то, как и для уравнений с постоянными
коэфициентами, можно доказать, что полученное уравнение имеет част-
частным интегралом выражение того же вида, как правая часть, коэфициенты
которого можно вычислить посредством подстановки.
408. Уравнение Лапласа. В некоторых случаях можно представить инте-
• грачы линейного уравнения в виде определенных интегралов, Где > езависимое
переменное входит под знаком интеграла как параметр. Одно из наиболее важ-
важных приложений этого метода принадлежит Лапласу. Рассмотрим уравнение
FGO = («о + »•*) ~ + («1 + М) d~^=-i +••¦+ («„' + Ьпх) у=0, D9)
все коэфициенты которого не выше первой степени относительно х. Попытаемся
удовлетворить этому уравнению, взяв для у выражение вида
y=\ Ze**dz, E0)
где Z есть функция переменного z, и L — определенный путь интегрирования,
не зависящий от х. Мы имеем общую формулу:
Н
(?)
заменяя в левой части уравнения D9) переменное у и его производные этими
вы, ажениями, получим:
F(y) = ^ Ze**(P + Qx) dz,. E1)
Ш
где
Р = aazn + aiz«-1 + ... + aa-\z + й„,
Функция, стоящая под знаком интеграла в формуле E1), будет' производной
по z or Ze*xQ, если будет
Из этого условия получаем:
г
г Р
Q
E2)
9 э. гурмц *. й, ч.

13) ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДЙ *ЕРЁНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 40Й
причем нижний предел z0 не должен обращать в нуль многочлен Q (г). При
таком определении функции Z определенный интеграл E1) равен изменению вспо-
вспомогательной функции
Pdz
V= e** ZQ =
вдоль пути L. Следовател'но, чтсбы получить интеграл данного линейного урав-
уравнения D9), достаточно выбрать путь интегрирования L таким образом, чтобы эта
функция V возвращалась к начальному значению после того как г опишет всю
линию L, и чтобы при этом интеграл E0) имел значение конечное и отличное
от нуля.
Пусть будут а, Ь, с,..., I корни уравнения Q(z) = 0. Так как интеграл
\ -д dz имеет вид: R (z) + a Log (z — а) + ... + X Log (z — /), то вспомогательная
функция V имеет вид:
V= е'х+ПМ (z - a)*(.z — ft)? ... (z — 1)\ E3)
где R(z) есть рациональная функция, знаменатель которой имеет своими корнями
только корни а, Ь, с,..., I уравнения Q(z) = 0, каждый с кратностью на еди-
единицу меньшею. Обозначим через Щ, 58, E, ... петли, описываемые переменным г;
вокруг точек а, Ь, с, ... в прямом направлении, начиная от некоторого произ-
произвольного начал?, и через Э1_4, 93_4, ©_j,... те же петли, описываемые в обрат-
обратном направлении. Когда переменное z описывает петлю Щ, функция V получает
множитель е?™% когда переменное z описывает петлю 9l_t, функция V полу чает мно-
множитель е-*™»; то же самое будет и для остальных петель. Отсюда следует, что
если переменное z опишет последовательно петли Щ, SB, 3l_f, 58_i, то функция V
вернется к своему начальному значению. При этом определенный интеграл E0),
взятый вдоль этого пути ABA_iB_i, вообще, не равен нулю; он дает частный
интеграл уравнения D9). Соединяя попарно всеми возможными способами р
точек а, Ь, с /, мы получим ^ .—' интегралов уравнения D9), кою[ые
на самом деле приводятся к р—1 различным интегралам.
Так как -р — 1 меньше л, то мы не получим этим приемом все п частных
интегралов. Чтобы получить другие интегралы, найдем линии L, имьющие своими
начальными и конечными точками некоторые! из особых точек а, Ъ, с,..., I
и обладающие тем свойством, что функция V стремится к нулю при .приближе-
.приближении z вдоль этих линий L к их начальным и конечным точкам. Если а есть про-
простой корень уравнения Q (г) = 0, то, как видно из E2) и E3), функция Z содер-
содержит множитель (z—а)"-1, и интеграл E0) может иметь конечное значение, когда
один из концов линии L находится в точке а, только в том случае, если дей-
действительная часть количества а положительна; в этом случае V, действительно,
стремится к нулю вместе с | z — а |. Если же а есть тя-кратный ко[ ень уравне-
уравнения Q(z) = 0, то рациональная функция #(г) содержит член вида: -.—_т7^_{ ,
и чтобы судить о модуле функции V в области точки г = а, достаточно иссле-
исследовать модуль главной части
Пусть будет
г — а = р (cosip -\-i sin if), Am^t = Л (cos ^
модуль главкой части равен
g_a"9 pa /f'-m cos [ф - (m - l)tp].
Чтобы V стремилось к нулю вместе с | z — а \, достаточно перемещать z

§ 408 И. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 131
по такой линии, чтобы угол у касательной с действительною осью удовлетворял
условию cos ф — (т—1)<р]<0; например, можно взять
Если угон у взяг таким образом, то произведение Zezx также стремится к нулю
вместе с \г— а\. Применяя тот же прием по отношению к остальным точкам
Ь, с /, мы видим, что можно определить еще другие линии L, замкнутые
или разомкнутые, дающие другие частные ингегралы рассматриваемого уравнения.
Наконец, можно также взять за пути интегрирования кривые, удаляющиеся
в бесконечность. И в этом случае нужно искать кривую L с такою бесконечною
ветвью, чтобы функция V стремилась к нул'ю, когда ючка г неограниченно уда-
удаляется по этой ветви. Если, например, рациональная функция R{z) равна нулю,
и если аргумент переменного х заключается между нулем и -н-, то достаючно
перемещать z по бесконечной ветви, асимптотической к направлению, образую-
образующему с действительною осью угол —.
Оставляя в стороне эти общие рассуждения * рассмотрим, в частности, урав-
нениг Бесселя (Bessel)
а^ ^ 0' E4)
г, е я —данное постоянное. Мы имеем здесь:
Р= B/1+1)*, Q = \+z\.
и счедовательно,
—L J-
Z— A + г2)" 2, v=e**(l + z*)n+ 2".
Следовательно, определенный интеграл
у = С *«A + г%)п "~2 dz E5)
есть частный интеграл уравнения E4), если функция ezx{\ + z*)n+ 2 принимает
одинаковые значения в конечной и начальной точках пути L. Здесь за путь L
можно принять, во-первых, две петли, описываемые последовательно, одна в пря-
прямом направлении вокруг точки + /, другая в обратном направлении вокруг
точки —/. Во-вторых, за путь интегрирования можно в^ять линию, окружающую
одну из особых точек ±/ и имеющую две таких асимптотических ветви, чтобы
вдоль них действительная часть произведения zx стремилась к —со.
¦. Мы всегда можем предположить, что действительная часть постоянного п
положительна или равна нулю, так как, сделав подстановку у = х-^г, мы полу-
получим уравнение относительно г, которое будет отличаться от уравнения E4) только
знаком при п. При таких значениях и можно также взять за путь интегрирова-
интегрирования прямую, соединяющую между собою точки +/ и —i; впрочем, полученный
таким образом интеграл тождествен до постоянного множителя с первым инте-
интегралом. Чтобы привести этот последний интеграл к обычному виду, положим
z = it: мы получим:
V 
V 
у - \ еЩ\ — #) dt,
— 1
или, иначе,
+ 1
y=\cosxt(l—t*) dt ,06)
' — 1
¦ См. обширный мемуар Пуанкаре в „American Journal of MathUmaiicamitt т. Vffi

132 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЁ УРАВНЕНИЯ § 403
Здесь необходимо отметить тог замечательный частный случай, когда я есть
половина нечетного числа. Если я положительно, то интеграл E6) всегда суще-
существует; его даже можно представить в раскрытом виде, так как п—-к- есть целое
положительное число. Но если линия L—замкнутая, то определенный инте-
интеграл E5) всегда равен нулю, и может показаться, что в этом случае применение
общего метода дает только один частный интеграл. Однако, напротив, в этом,
повидимому, неблагоприятно и случае можно выразить общий интеграл через
элементарные функции. В самом деле, сделав преобразование, обратное выше-
вышеуказанному, мы получим уравнение, в котором л есть половина отрицательного
нечетного числа. Тогда п—к- есть отрицательное целое число, и определенный
интеграл E5), взятый вдоль дакой-нибудь замкнутой линии, есть частный инте-
интеграл линейного уравнения E4). Взяв за линию L круг с центром в одной из
точек ± I, мы видим, что вычет функции егх{\ -\- га) 2 относительно каждого
из этих двух полюсов есть интеграл линейного уравнения. Но ясно, что вычет
относительно полюса г ¦= + * есть произведение е'* на некоторый многочлен. Это
легко видеть, если мы представим предыдущую функцию в виде
и разложим ertr-О в ряд. Точно так же вычет относительно полюса 2 = —I есть
произведение е-** на многочлен Эти оба частных интеграла разтичны, так как
их отношение равно произведению е*1х на рациональную функцию. Очевидно,
что как их сумма, так и произведение их разности на i будут действительными
интегралами (см. упражнение 8).
Примечание. Линейное уравнение с постоянными коэфициеитамн есть частный случай
уравнения Лапнаса, который получим, предполагая, что все коэфициеиты Ь\ равны нулю. Если
CBipx того ао = 1, го Q(z) = 0, a P (г) обращается в характеристический многочлен /(/). В этом
случае общий метод, повидимому, неприменим, так как выражение для Z теряет смысл. Но
нетрудно усмотреть, как здесь должно видоизменить предыдущий метод. В самом деле, из предыду-
предыдущего рассуждения следует, что определенный интеграл I Zeadz есть частный интеграл линейного
с (Р
уравнения, если только определенный интеграл Zf(z) ez"dz, взятый вдоль того же пути L, равен
to
нулю. Если мы возьмем за путь L какую-нибудь замкнутую линию, то достаточно, чтобы произ-
произведение Zf(z) было внутри этой линии голоморфною функциею от г. Следовательно, если П(г)
обозначает какую-нибудь функцию от г, голоморфную в области Ц плоскости, то определенный
интеграл
5в
взятый вдоль какой-нибудь замкнутой линии L, лежащей в этой области, есть частный интеграл
линейного уравнения с постоянными коэфициеитами. Мы видим, как этот результат, принадлежа-
принадлежащий Кошн, связан с методом Лапласа.
Нетрудно получить этим методом, в виде проверки, уже известные частные интегралы. Пусть
будет а корень кратности р характеристического уравнения /(г) = 0. Возьмем за путь интегриро-
интегрирования круг с центром в точке а, не содержащий других корней уравнения /(г) = 0; пусть будет
П (г) функция, голоморфная в этом круге. Легко видеть, что вычет функции
П (z)eai П BN*°
равен коэфициенту при №—' в разложении по степеням количества Л произведения
Пусть будет . Л (а + Щ
?^±| = До + AlM + ... л д„
коэфициенты До, Д„ ... , Др_ произвольны, так как функция П (г) есть произвольная функ-
функция, голоморфная в области точки а. Следовательно, искомый вычет равен:
[
т. е. мы получили произведение показательной функции <«и произвольный многочлен to — 11-й
степени, в согласии с уже известным результатом.

§ 409 III. УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФИЦИЕНТАМИ 133
III. ПРАВИЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ
КОЭФИЦИЕН ГАМИ.
Вообще, за исключением изложенных выше весьма элементарных случаев,
нельзя узна1ь по одному вицу линейного уравнения, будет ли его общий инте-
интеграл выражаться через алгебраические или элементарные трансцендентные функ-
функции. Поэтому необходимо обратиться к изучению свойств этих интегралов непо-
непосредственно из самого ура нения, вместо того, чтобы пытаться их выразить
(более или менее наула у) комбинациями конечного числа известных функций.
Мы уже знаем (гл. XV), что характер особых точек аналитической функции есть
существенный элемент, позволяющий в некоторых случаях вполне характеризовать
эти функции Но для интегралов линейною уравнения особые точки известны
нам заранее (§ 39'); покажем, как можно в одном обширном и весьма важном
частном случае вполне изучить интегралы в области особой точки.
40J. Подстановка интегралов вокруг критической точки. Пусть будет а
изолирочанная особая точка некоторых из коэфициентов р„ р2 рп линейного
уравнения
dnv dn~iv dv
^ ^-? + РУ = 0; E7)
мы предположим, что эги коэфици нты однозначны в ооласти этой особой точки.
Пусть "будет С -руг с центром в точке а, внутри которого коэфициенты pit рь ...,рп
не имеют других особых точек, ьроме точки а, и хп — точка, лежащая внутри
круга С вблизи точки а Все интегралы уравнения E7) голоморфны в области
точки хо\ рассмо рим п частных интегралов yit yit ...,уп, образующих фундамен-
фундаментальную систему. Если переменное х описывает в прямом направлении круг
с цен ром в точке а, проходящий через точку х0, то мы можем проследить за
аналитич(_ским продолжением интег алов вдоль этого пути и ве| нем я в точ-
ку х„ с п ф дикциями Y,, Y<t Yn, которые будут также интегралами урав-
нени* E7), при1 ем Y/ обоз .ачает функцию, в которую обратится функция уг по-
после об ода перченного х в прямом направлении по кругу вокруг точки а. Так
как Yit Y% Yn суть интегралы уравнения E7), то должно быть
ainyn,
где коэфициенты aift — постоянные, зависящие от выбранной фуйдамеТггально»
системы. Нетрудно получить значение определителя D, составлеыаого из этих п
коэфициентов. В самом деле, мы имеем (§ 400)
X
i. Уь ¦' • > .Уя) = Се *» ;
если х описывает в прямом направлении окружность у с центром в тоже а,
то yi изменяется в Yit и следователию, должно сыть:
- J" ptdx
2 Yn) =.Д Су„ уь..., уп)е Т
Но частное двух определителей Вронского равно D(§ 400); таким образом мы
получим D = e-teW, где R обозначает вычет функции pi относительно точки а.
Следовательно, определитель D никогда не равен нулю.
Так Клк коэфициенты формул E8) зависят от выбранной фундаментальной
системы, то естественно искать такую частную систему интегралов, чтобы фор-
формулы, E^принимали для этой систе-ы наиболее, простой вид. Найдем сначала
такой частный иртеграл « = Xij/1-J-\^уй + ¦•¦-\-lnya> чтобы после обхода вежруг
точки а этот интеграл возвращался к евгему начальному значению с некоторым
постоянным множите >ем Для это о должно бы ь U=su, где U есть значение
функции и пос е обхода, и s — постоянный множитель, или
ЧаиУ1 + аяУъ + • • • + атУп) + • • •
-г «ziaJ'i -!•••+ аппУп) Q

134 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 439
Такое соотношение между я интегралами, образующими фундаментальную
систему, может существовать только в том случае, если "оно обращается в то-
тождество, т. е. если коэфициенты при у{, У%,... , у„ огдельно равны нулю. Сле-
Следовательно, я + 1 неопределенных коэфициентов X,, Х2, ..., Х„, s должны удо-
удовлетворяв я условиям:
E9)
"•+!.!+i(e^-^=b. I
Но все коэфициенты X,, X2,..., \a не могут б™ть равны нулю, так как в про-
противном случае мы имели бы тождественно и = 0; отсюда видно, что s должно
быть корнем уравнения я-й степени
ан — s аи ... аа1
F(s)= ам a^ — s ... ani _o; F0)
ain ain ... ann — s
для краткости мы назовем это уравнение характеристическим уравнением; по
сделанному выше замечанию это уравнение не может иметь корня s = 0,' так как
в этом случае определитель D из я2 коэфициентов alk был бы''равен нулю.
Обратно, пусть будет s корень уравнения ( 0); нз соотиощений E9) мы найдем
для. коэфициентов X,- значения, не равные все нулю, и после обхода переменного
вокруг точки а интеграл к = \{yt + 1^у2 + ... + \ауп получит множитель s.
Предположим сначала, что характеристическое уравнение имеет я различных кор-
корней slt s2, ... , sn- Тогда мы получим я таких -частных интегралов иъ к2, ... ип
которые после обхода в прямом направлении вокруг точки а обращаются в
Ui = st«,, U2 = -s2«2 Un = snum F1)
где Ui обозначает значение интеграла ut после обхода. Эти п интегралов обра-
образуют фундаментальную систему. В самом деле, предположим, что существ) ет
соотношение вида:
О, + С2«9 + ... + С„ип = 0, F2)
где постоянные коэфициенты Cit С2,..., Сп не равны одновременно нулю. После
одного, двух,... , (я — 1) обходов мы получили бы соотношения того же вида:
С, stu{ -j- C2s2u9. jf- ... + C^aun = 0,
Но линейные соотношения F2) и F3) могут иметь место только в том случае
если C^i = 0, ..., Спип = 0, так как соответствующий определитель
и (I, *2, S3 , • • • , sn *)
отличен от нуля.
Нетрудно составит аналитическую функцию, которая после обхода вокруг
точки а приобретала бы постоянней множитель s, отличный от нуля. В самом
деле, функция (х—а)г или er\og(x-a) после такого обхода получает множитель
tfSirfrF и если мы определим г из условия /¦=-^—7 Log s, то эта функция (х—а)г,
действительно, получит множитель s после обхода вокруг точки а. Всякая дру-
другая функция и, обладающая тем же свойством, будет иметь вид (х — а)г<( (х — а),
где функция <((х — а) однозначна в области точки а, так как произведение
и(х — а)~г возвращается к своему начальному значению после обхода вокруг
точки а. Следовательно, интеграл ик имеет вид:
uk=(x— а>гкЩх — а),
где гк = -=—г Log (sk), и функция yk однозначна в области точки а. Так как в круге С,
рписанном из а радиусом R, коэфициенты рь ..., р„ голоморфны всюду, кроме

§ 4C9-41 III УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФИЦИЕНТАМ^ 135
точки а, то в этом круге интеграл ик не может иметь никакой другой особой
точки, кроме точки а. Следовательно, то же должно иметь место и для функ-
функции ук(х — а), и точка а есть для этой функции или обыкновенная точка, или
изолированная особая точка. Можно не рассматривать того случая, когда точка а
есть полюс функции <рй. В самом деле, если бы точка а была полюсом тп-го по-
ряака, то так как показатель гк определен до целого числа, мы могли бы предста-
представить щ в виде:
«*==(*- аУ*-я [(х - а)т чк (х - в)].
и произведение {х — a)m<fk (х — а) было бы голоморфно при х = a.t Если точка а
не есть существенно особая точка для <рй(лг — а), то интеграл ик называется
правильным при х = а. В этом случае можно предположить, что при х = а
функция ак(х—а) имеет конечное значение, отличное от нуля.
410. И следование.общего случая. Остается исследовать тот случай, когда
характеристическое уравнение имеет кратные корни. Мы покажем, что всегда
есть я интегралов, образующих фундаментальную систему и распадающихся
на несколько таких групп, имеющих то свойство, что если уь уч ур обоз-
обозначают р инте.гралов одной и той же группы, то после обхода в прямом напра-
направлении вокруг точки а мы будем иметь:
Yi = sy,,Yi = s(j>,-\-yi) K, = *OV-«+J7,)- F4)
При этом различные значения количества s суть корни характеристического
уравнения, и одному и тому же корню могут соответствовать несколько различ-
различных груыт. В случае, разобранном выше, мы видели, что, когда эти я корней
различны, каждая группа состоит только из одного интеграла.
В сущности, задача сводится к доказательству того, что заменяя yb yit..., у„
соответственным обратом выбранными их линейными комбинациями, мы можем
привести линейную подстановку, определямую формулами E8), к указанному
выше каноническому виду F4). Предположим, что теорема доказана для случая
(я — 1) переменных, и покажем, что она верна н для я переменных.
Из теорем, доказанных в предыдущем параграфе, мы знаем, что всегда можно
найти такой частный интеграл и, чтобы было и = \ш. Заменяя один из интегра-
интегралов, например yit этим интегралом и, мы приведем формулы E8) к виду: ¦
... + Ьтуп.
Если в я — 1 последних формулах мы отбросим члены Ъ^и, ...,Ьп и, .то эти фор-
формулы определяют линейную подстановку для я — 1 переменны \ _у2, Уз уп.
Определитель D' этой подстановки с я — 1 элементами не равен нулю, так как
определитель D линейной подстановки с я переменными, равный цС, должен быть
отличен от нуля. Допустив, что теорема верна для я — 1 переменных, предполо-
предположим, чго эта вспомогательная подстановка приведена к каноническому виду,
т. е. мы нашли такие я — 1 различных линейных комбинаций zit zt, ...2n_i
переменных у%, у$, ..., уп, что фэрмулы, определяющие линейную подстановку
У, = Ьау» + ... 4- ЬшУп (/=2, 3,.... п)
обратились в несколько групп формул вида
Z, = szit Z2 = s (г, -f 2a>,..., Zp = s {zp _, + zp).
Очевидно, что достаточно прибавить к правым частям предыдущих формул
члены, содержащие и, чтобы получить результат такого же преобразования, при-
примененного к формулам F5). Другими словами, мы можем найти я — 1 интегралов,
образующих вместе с интегралом и фундаментальную систему и распадающихся
на несколько таких групп, чго для интегралов zt, z2,..., гр одной и той же
группы будет
Z, = «(*! + z2) + /Csh ?р=*(гр_А + гр)+Кри, F6)
где /Cji К%, • ¦., Кр — постоянные. Прежде всего постараемся уменьшить,

136 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 41 —411
насколько возможно, число коэфициентов, входящих в эти формулы. Для этого
положим
Х .., up = zp + lpu, F6')
где Xj, Хз, ... ,Xp суть p постоянных коэфициентов. Нетрудно убедиться, что для
этих новых инте гралов мы имеем:
Если ц— s не равно нулю, то можно выбрать Xi? Х2,... , \р таким образом, чтобы
коэфициенты при и в правых частях предыдущих формул были равны нулю,
и мы будем иметь для новых интегралов щ.
Ut = зщ, U3=s (и, + м9), .... Up — s(Mp_4 + Up).
Таким образом подстановка, которая после обхода вокруг точки, а переводит
группу интегралов и,- в группу интегралов U, имеет канонический вид. Если же
[1 = 5, то, так как s не может быть равно нулю, мы можем выбрать Xt; X2,... ,\,-i
таким образом, чтобы коэфициенты при к в выражениях для Uit U$,..., Up обра-
обратились в нуль, и мы примем к тем же выражениям для Ui Up. Но может
случиться, что будет не одна, а несколькв различных групп переменных гь которым
соответствует преобразование канонического вида с одним и тем же значением
s=|i. Предположим для определенности, что есть две таких группы, содержащих
соответственно р и q переменных. Выполнив в обеих группах преобразования
вида F6'), мы найдем, что подстановки, соответствующие этим обеим группам,
будут иметь вид:
Ut — sui -\- Kiu, Щ = s (и2 -I- u^,.... Up — s{up+ Up_i), (I)
Щ = зщ1 + Ki'u, Щ = s(в,1 + «/), .... Uj = 5 (n'q + ц'я_). (II)
Если Ki =Ki=*0, то мы имеем три группы интегралов:
(к), («t, ка,.. • , ир), «, м2', .... нД
каждой из которых соответствует подстановка канонического вида: Предположим
К' '
что р^д. Если Ki не равно нулю, то, полагая t^=u/ — -^т-и» мы заменим
Ki
вторую группу интегралов группою q интегралов vit которым соответствует
подстановка канонического вида; полагая затем ио = —^-, мы получим
(р + 1) интегралов щ, uit ..., и., образующих также одну группу, которым
соответствует подстановка канонического вида. Если же f(i = 0 и Ki отлично от
нуля, то, полагая м0' = -i— , мы будем иметь две группы интегралов (иь к2..., «Д
(«о1, «i', ..., ид), которым соответствует подстановка канонического вида. Таким
образом теорема имеет вполне общий характер *.
411. Аналитический вид интегралов. Нам остается найти такие аналитиче-
аналитические выражения для интегралов одной и той же группы, при которых был бы
виден закон их перестановки при обходе переменного вокруг точки а. Пусть
будет yt, уц, ..., ур группа интегралов, которым соответствует перестановка F4).
Положим yh={x—аУгк, где г равно -—г Logs; тогда р функциям zt, гъ ..., гр
должна соответствовать подстановка канонического вида:
Следовательно, функция zt есть некоторая функция <р4 (л: — а), однозначная
* За всем, что касается приложения теории элементарных делителей Бейерштрасса к
линейным диференциальны« уравнения», можно обратиться к мемуару Соважа (Sauvage), Anaales
de I'Ecole Normals superienre, 1891, стр. 285).

§ 411 III. УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФИЦИЕНТАМИ 137
в области точки а. Что касается функции га, то из предыдущих равенств мы
получим.
следовательно, разность
есть некоторая однозначная функцчя ф, (х — а), и мы имеем:
Zi ~ ~Ы L°g ^ " й) t^* "~ ^ + ^х ~ а^'
где у%(х — а) есть также однозначная функция. Вообще, положим
t^~Log (х- а);
если переменное х описывает в прямом направлении петлю вокруг точки а, то
значение количества t волрастает на -единицу, и zt, г2, ... , гр, рассматриваемые
как функции от t, должны удовлетворять соотношениям:
Чтобы найти самое общее решение уравнений F8), заметим, что этим соот-
соотношениям можно удовлетворить, полагая 2, = 1, zt = t и выбирая для zt{f)
соответствующий многочлен степени i—1 относительно t, все коэфициенты кото-
которого мы можем определить последовательно о ин за другим. Мы упростим вычи-
вычисление, заметив, что Соотношение
удовлетворяется при t=0, 1, 2,..., / — 3, если мы возьмем за zt(f) многочлен
вида: Kjt (t — 1) ... (t — i'¦ + 2). Так как при этом обе части последнего равенства
будут многочленами (t — 2)-й степени относительно t, то, чтобы это равенство
удовлетворялось тождественно, достаточно, чтобы оно удовлетворялось еще при
каком-нибудь одном значении t, например при t = i — 2. Отсюда получаем усло-
условие (j— 1) Ki = Ki-i или /С,= -г-—Ту • Таким образом мы получим часгное реше-
решение уравнений F8), положив
Чтобы иметьлбщее решение, обозначим через yk(t) какие-нибудь функиии,
удовлетворяющие условию yft (t -\-1) = ipft (t). Из nepeoi о соотношения F8) сле-
следует, что г, (t) есть функция именно такого вида; обозначим ее через <Pi@- Вто-
Второе из соотношений F8) показывает, что разность z2(f) — ea@zi@ не изменяется
при переходе от t к t -f- 1; следова1ельно, г2(<) должно иметь вид:
Продолжая последовательно то же рассуждение, положим, что мы доказали
что гй_,@ имеет вид:
Ч-1@ == 9k-i@ + e2'fft-2@ + • • • 4 6ft_lft(Q, (K= 3, 4 i).
Из общего соотаошения гД^+1) — zi (t) =Zj^$) слеоует, что разность
Ч № - «**-#)
не изменяется nfи изменении t на < +-1; следовательно, функция zk{i) доллша
иметь вид:
** @ = V* • 0 +¦ fl2?ft_ iW + • •. + hb W.

138 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ §-411—417
Таким образом общее решение уравнений F8) представляется фор-
формулами:
Zi(t)=b{t),
*»(*) = «
h<t (О + О*, (t)
р % - i°fi @ + • • • + %ЧР -1 V) + ЧР №.
где <j)vHKLum <fit tp2, ... , ip_ не изменяются ппи изменении t ял t -\-1.
Возвратимся теперь к переменному х и обозначим через <dj\Logx — а>] много-
многочлен относительно Log(x — a), который получим, заменяя в 6Д<) переменное t
через —;Log(*— а). Мы видим, что/>ииегралов.у,, у.г,... ,ур рассматриваемой
группы, которые изменяются по формулам F4) после обхода переменного в пря-
прямом направлении вокруг точки а, представятся аналитическими выражениями
следующего вида:
x - а),
У г = (х — аУ {02[Log(x - а)] Ф( (х - а) + Ф ,(х — а)},
ур=(х - a)r{Qp[Log (х- а)]ф\(х- e) + ©p-.[Logix-a)}<t>lп-а) +.¦}',
где Ф, (х — а), Ф-iix — а) Фр{х — ^) суть функции, однозначные в облтсги
точ<и а.
Замерим, что все интегралы этой группы можно вывести из последнего ур,
который, будучи расположен по степеням Log(.*r — а), принимает вид.
Ур = (х — аУ[^ (х — а) +
где ф0, |j фр_( суть функции, однозначные в области точки а, из которых
последняя фр_ , отлична от нуля. Из соотношений F4) имеем:
Следовательно, ур-\ есть произведечие (д;—а'/ на многочлен (р — 2)-й сте-
степени относительно Log(х—а\ коэфициенты которого суть функции от х,
Однозначные в области точки а; точно также из yp-i мы выведем у„-г
и т. д.
Если точк 1 а не есть существенно особая точка ни для одной из функций
Ф{, Ф2,..., Фр, то все интегралы рассматриваемой группы ^0> называются пра-
правильными при х=а. На основании сделанного выше замечания (§ 409) мы
можем тогда предположить, что все эги функции Ф;- (х — а) голоморфны при х = а;
для этого нужно будет только, может быть, заменить показатель г неко1Орым
другим меньшим первоначального на целое число.
412. Теорема Фукса. Определение чисел st, st,..., sn или, что то же,
соответствующих показателей rit rit ..., гп, вообще — задача очень труд-
трудная. Но если все интегралы "ра сматриваемого уравнения — правильные в области
точки а ю можно получить эти показатели г, алгебраическими вычислениями.
Это следует из следующей важной теоремы, данной Фуксом (Fuchs^ Чтобы
уравнение E7) имело п независимых интегралов, правильных в области тон-
тонки а, необходимо и достаточно, чтобы в этом уравнении коэфициент pt при
-—^-. имел вид [х — а -'РДдг— а\ где функция Р/х — а) голоморфна в обла-
области точки а.
Если Р,ф) не равно нулю, то точка а есть полюс порядка i коэфициента р/.
Но, если Р/^0) = 0, то точки а есть полюс порядка низшего, чем г; может даже
случиться, что для некоторых из коэфициенгов /?,- точка а еаь обыкновенная

§ 412 Ш. УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФИЦИЕНТАМИ 139
точка. Предыдущие условия можно еще выразить еле ующим образом: Линейное
уравнение должно имгть вид
dv I (
?: + Pn {х\у = О,
где Р{, Ра,..., Рп суть функции голоморфные в области точки а
Мы дадим доказательство только для случая уравнения второго порядка и
предположим для простоты обозначений, что а = 0. В этом частном случае первая
часть теоремы Фукса может быть изложена следующим образом: Всякое уравне-
уравнение второго порядка, которое имеет два различных правильных интеграла
в области начала координат, имеет вид
лгУ' + хР (ху1 + Q [х)у = О, G2
где Р(х и Qlx) голоморфны в этой-области.
Если соответствующее уравнение относительно s F0) имеет два различных
корня sb s2, то уравнение G2) имеет два правильных интеграла вида:
yi = xrt<tt 'X!, у2 = xr2fl 'х), (I)
где показатели г, и г2 различны, а функции <р, (лг, у.2'х голоморфны и неравны
нулю при л: —0. Далее, если уравнение относительно s имеет .двойной корень
и в выражение'общего интеграла не входит логарифмический член, то оба част-
частных интеграла попрежнему имеют предыдущий вид (I, где разность га — г,
равна целому числу. При этом мы всегда можем предположить, что эта раз-
разность не равна нулю, так как если бы мы имели ri = ri, то мы могли бы заме-
заменить у2 выражением q>i @)_v2 — <р3 @) ylt которое делится на Xr,+l- Наконец, если
выражение интеграла в области начала координат содержит логарифмический член,
то мы можем взять фундаментальную систему вида:
yt = xrtb х , y.i = xrt[9l jfjLog x, + ifi'x)], . (Г)
где 4{(х)—голоморфная функция, неравная нулю при х = 0, a folx* — функция
однозначная в области начала координат, которая может иметь полюсом точку
х = 0. Задача приводится к доказательству того, что всякое уравнение, имеющее
в области начала координат два различных интеграла виза (I) или вида (II), при-
принадлежит к типу уравнений Фукса. Непосредственная поверка не представляет
никаких трудностей, но мы можем еще упростить вычисление следующим обра-
образом. Если мы положим у==хгк^ х\и, то линейное уравнение относительно и,
представляющее результат этого преобразования, имеет общий интеграл одного
из видов:
к = Cj + С^хЧ (х), и = Q + С2 [Log 'х, + ic X)],
где функция г.(х) голоморфна при .г = 0 или имеет эту точку полюсом. Произ-
Производная и' имеет вид:
где 1{х есть голоморфная функция, неравная нулю' при дг = О. Следовательно,
линейное уравнение для и будет вида:
«^ ji_ , Vxj
и' ~~ х +1 (х, '
и оно, действительно, содержится в типе уравнений Фукса. Но нетрудно убе-
убедиться, что тип уравнения сохраняется после преобразования видау = хъ уi(x)u;
следовательно, первая часть предложения доказана.
Чтобы доказать обратное предложение, подставим в левую часть уравнения .72)
вместо у разложение вида:
у='слхГ+с1хГ*к+...+ сяхГ+я+...%фац 173J
пусть будут

140 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 412
разложения функций Р и Q. После подстановки коэфициент при хг равен:
[г{г— 1) -|- аог + Ьо] с„.
Так как, по предположению, первый коэфициент со не равен нулю, то за г
должно взять корень уравнения второй степени:
?>(r) = r(r-l) + aor+*o = O. G4;
Взяв для г корень уравнения G4), мы мпжем выбрать с0 произвольно; поло-
положим, например, со=:1. Точно так же, после подстановки найдем, что коэфициент
при хг+Р равен
ср[(.г + Р){г + р - 1) + а0 (.r+p) + b0) + F=cpD r + p +F,
где' F есть многочлен с целыми коэфициентами относительно Cq, cit ..., с„_4,
а0, а{, ..., ар, b0, b{ Ьр. Полагая /7=1,2,3,..., мы можем вычислить
последовательно коэфициенты cit c2 сп, если только D(r-\- р) не равно нулю
при ка»ом нибудь значении целого положительного числа р, т. е. если в урав-
уравнении ('4) второй корнь г1 не разнится от первого корня г на целое положи-
положительное число Устраняя пока из рассмотрения этот случай, мы получим частный
интеграл, представляемый рядом вида . 1б), сходимость которого будет доказана
ниже. Если уравнение ' (/- = 0i имеет ива различных корня г, г", разность кото-
которых не равна целому числу, то, пользуясь предыдущим методом, мы получим
два различных интеграла, и общий интеграл представится в области начала
координат формулою:
у = СУ? (х) + СУ'ф х), 75)
где «(д; и Ъ/(х> — голоморфные функции, не обращающиеся в нуль пги х = 0.
П\ едыдущие рассуждения не применимы в том случае, когда или оба корня
уравнения (/4) равны между собою, или их разность равна целому числу. Пусть
будут г и г — р эти два корня, причем р есть целое положительное число или
нуль. Мы попрежнему можем найти один интеграл вида у{ = хг<$ х), где tp x) —
голоморфная функция, не обращающаяся в нуль при х = 0. Второй интеграл
определится общею формулою B3 , которая здесь обращается в
Сумма ir — р двух корней уравнения G4) равна 1 — я0; следовательно, мы
имеем до = р + I — 2г, и потому
где S х) есть функция, правильная в области начала координат и не равная нулю
при лг = О. Таким образом второй интеграл у3 имеет вид:
T(x)dx
где 7"(.*) — голоморфная функция, отличная от нуля при х = 0
Пусть будет А коэфициент при хр в Т(х); легко видеть, что интеграл у.2
имеет вид
Log*,
где ф (лг) обозначает новую функцию, голоморфную в области начала координат.
Этот результат вполне согласен с общею теориею. В частном случае А может
быть равно нулю; тогда общий интеграл не содержит логарифма в области начала
координат. Следует, однако, заметить, что последнее обстоятельство никогда

§ 412 ffi. УраЬНёНиЯ с пЁРИоДичЁСКиМи коэфШИенгАМИ 141
не имеет места, если р = 0, [так как Г@) не равно нулю], т. е. если уравнение
G4) имеет двойной корень *.
Чтобы закончить доказательство, остается показать, что ряд G3), где г корень
уравнения G4), — сходящийся, если другой корень ? не больше корня г на
целое число. Для простоты изложения можно предположить, что г = 0, и второй
корень г1 уравнения (/4) не равен целому положительному числу; в самом
деле, полагая y-=xv'z, где р. — произвольное число, мы найдем, что уравнение,
ан логичное jD(r)=0, составленное для линейного уравнения относительно г,
имеет своими корнями корни уравнения G4), уменьшенные на (t. Мы предполо-
предположим, что мы предварительно выполнили предыдущее преобразовани •, так что
угавнение G4) имеет один корень г=0, а второй его корень не равен целому
положительному числу. В этом случае Ь$ должно быть гавно нулю; изменив
несколько обозначения и разделив все члены уравнения G2) на х, мы представим
его в следующем виде:
.y, G6)
здесь коэфициенты а,, Ьь аь ... уже имеют не те значения, какие они имели
выше. Остается показать, что, если 1 — а^ не есть целое положительное число,
то у равнение G6) имеет интеграл, голоморфный в области начала координат и
не обращающийся в цуль при х = 0. Пробуя удовлетворить формально этому
уравнению рядом вида:
.+сйяГ + ..., G7)
мы получим для определения коэфициентов. рекуррентную формулу вида'
пс„(п — 1 + а6) = Р„(а„ д2 bt, й2 Ьп, с{, сь..., cn.t), \
(я=1, 2,...), I
где Рп есть многочлен, все коэфициенты которого суть действительные положи-
положительные числа. По предположению, коэфициент я — 1 + а0 не обращается в нуль
ни при каком целом и поюжительном значении числа я; следовательно, прини-
принимая во внимание, что при неограниченном возрастании числа я отношение
—^—- стремится к единице, мы можем найти такое положительное число р,,
чтобы при всех целых и положительных значениях числа я было I л — 1 +
-|-ao|>ti я + 1). С другой стороны, заменим в правой части уравнения Gб)
коэфициенты при ху' и у усиливающими функциями и рассмотрим вспомога-
вспомогательное уравнение:
А,х...) + Y(Bi + B*x +...). G9)
Пробуя удовлетворить этому новому уравнению рядом вида:
..., (80)
мы придем к соотношениям, аналогичным соотношениям G8):
щСп {п+\) = Рп (Л„ А* .... В„ Вь .... Cit..., Ся_4). (81)
Сравнивая формулы, определяющие значения коэфициентов сп и Сп,
_Р„(д)( а, Ь{. bj с, сп-к) г _Рп(Аь Аь Сп_{)
* Предположим, что в уравнении G2) функции Р (х) и Q (*) суть четные функции от х, н
разность корней уравнения ?> (л) = 0 .есть целое нечетное число 2л-f-1; в этом случае логариф-
логарифмический член в интеграле у% всегда исчезает. В самом деле, если мы возьмем за независимое
переменное t = x1, то уравнение G2) превратится в уравнение того же вила:
и, к к легко убедиться, корни уравнения, аналогичного уравнению ?> (л) = 0, будут здесь раины
пол винам корней прежнего уравнениа D (г) — 0. Так как нх разность не есть це юе число, то
отсюда следует, что общий интеграл уравнения G2') не содержит логарифмического члена в области
начала координат. Стедовательно, то же имеет место и для уравнения G2).

142 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 412
мы видим, что из условий Aj^s | a-i \, Bt^s\bj\, | л — 1 + а0 | > ц(л 4- 1) после-
последовательно вытекает:
\ci\<Ci,\ci\<Ci,...,\cn\<Crc,
следовательно, достаточно доказать, что вспомогательный ряд (8Q) — сходящийся,
или, что то же, — показать, что уравнение G9) имеет интеграл, голоморфный
в области начала координат и не обращающийся в нуль при лг = О. Если мы
возьмем для обеих усиливающих функций выражение вида: '
М
i-?'
г
то вспомигатепьное уравнение G9) обратится в
. М 1
xY'-rY ц i_*'
г
отсюда после первого интегрирования получим:
_ ^L
хГ + Y=C( \—~'
и затем
Mr
'=cJ(i-?
лгК= С 1 — - йлг f С"
Остается только положить здесь С' = 0, С = 1, чтобы иметь интеграл, голоморф-
голоморфный в обдасти начала координат и не обращающийся в нуль при д? = 0.
Общий случай. Доказательство теоремы Фукса в общем случае можно
провести, исходя из тех же оснований и показав, что, если теорема верна иля
уравнения (л — 1)-го поряика, то она верна также и для уравнения я-го порядка.
Если уравнение G1) имеет п частных интегралов, распадающихся на несколько
групп вида G0), то оно имеет по крайней мере один интеграл вида (х— а)гу (х — а),
где <р (лс — а) есть функция, голоморфная в области точки я и не равная нулю
при д?=я. Выполнив подстановку у = (х — a)r<f(x — а) и, мы придем к линей-
линейному уравнению относительно и, имеющему частный интеграл н=1; следо-
ловательно, производная и' удовлетворяет однородному линейному уравнению
(я —1)-го порядка. Допустив, чго теорема Фукса верна для линейного уравнения
(я — 1)-го порядка, мы должны заключить, что это уравнение О1носительно и'
входит в тип уравнений Фукса G1); очевидно, тоже имеет место и для уравне-
уравнения относительно и, а следовательно, и для уравнения относительно у.
Обратно, рассмотрим уравнение вида G1), где л = 0. Мы форм льно удо-
удовлетворим этому уравнению рядом вида:
y=cuxr+cixr+l+...
где г есть такой корень осно ного определяющего уравнения
0) = 0, /
что ни одна из разностей между остальными корнями уравнения (82) и этим
корнем не равна целому положительному числу. Как и в случае я = 2, можно
убедиться, что для доказательства сходимости ряда с^х'-\ с{хг+{+... достаточно
показать, что линейиоэ уравнение вида

§ 41:—413 Ш. УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФИЦИЕНТАМИ 143
имеет интеграл, голоморфный в области начала координат и не обращающийся
в нуль при дг = О. Последнее уравнение дает:
Отсюда, пользуясь приемом § 379 и § 401, нахо им частный интеграл:
удовлетворяющий требуемому условию. Если уравнение (S2) имеет я различных
корней rt, /»,..., гп таких, что ни одна из разностей rt — rk не равна щаому
числу,- то общий интеграл линейного уравнения G1) имеет вид:
у = ClXr,b(x) + С^Ъ(х) +...+ С^Дх),
где функции «pi, <р2 <(п голоморфны в области точки х = 0. Если же между
корнями уравнения (82) есть р'авные, или, вообще, такие, что некоторые из раз-
разностей rj — rk равны целым числам, то эти корпи распадаются на несколько групп,
причем разность двух каких-нибудь корней одной и той же группы есть целое
число, тогда как разность двух корней различных групп не равна целому числу.
Пусть будет г наибольший из корней одной из эшх групп; мы только что
видели, чго уравнение G1) имеег частный интеграл вида хг<( (дг), где 9(дг)есть
функция, голоморфная в области начала координат и отличная or нуля при д? = 0.
Полагая у =. дглр (дг) и, затем — = v, мы придем к линейному дифегекциальному
уравнению (л — 1)-го порядка относительно v, которое также входит в тип урав-
уравнений Фукса. Допуская, что теорема верна для уравнения (я—1)-го порядка,
мы видим, что это уравнение относительно v имеет л— 1 различных частных
интегралов вида
v = **[<(,„ (лг) + ф, (х) Log х +... + Ф, С*) (Log х)%
где Фо. 4*i Ф? — функции, голоморфные при д? = 0. Если а не есть целое
число, ю нетрудно доказать рядом интегрирований по частям, что \ vdx есть
выражение того же вида, что и и. Если же а есть целое число, то х vdx содержит
еще логарифмический член
С (Log *)?+»,
где С—постоянный коэфициент. Следовательно, теорема Фукса верна также для
уравнения я-го порядка *.
413. Уравнение Гаусса. Применим этот общий метод к уравнению Гаусса:
х(I - х)у" + [Т - (а + р + 1) а-]/ - ау = 0, (83)
где о, р, 7 — постоянные. Особые точки иа конечном расстоянии суть х =* 0 и
х=\. Определяющее уравнение для точки дг:=О есть r(r-\-f—1)=0; оно
имеет два корня л=0, л = 1—f. Если f не равно ни нулю, ни целому отрица-
отрицательному числу, то из предыдущей теории следует, что уравнение имеет инте-
интеграл, голоморфный в области начала координат. Чтобы определить этот интеграл,
подставим в уравнение ряд:
у — са + ctx +...+ спх"-\
и приравняем нулю коэфициент при дг"-*. Мы почучим рекуррентное соотноше-
соотношение между двумя последовательными коэфициентами:
« (ТГ -г- я — 1) сп = (a-f- л — 1) ся_4;
* Относительно дальнейших подробностей см. мемуары Фукса в Crelle's Journal нлн диссер-
диссертацию Ж. Т а и н е р и (J. Tannery). Annales (Те I'Ecole Normals, 2-я серия, т, IV, 1 75.

144 ГЛАВА XX: ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 413.
отсюда имеем для голоморфного интеграла ряд:
этот ряд называется гипергеометрическим, легко видеть, что он — сходящийся
в круге Го, описанном из начала координат радиусом, равным единице, чтобы
иметь Biopoft интеграл, сделаем преобразование yz=xl ^z; мы придем к урав-
уравнению того же вида:
которое отличается от предыдущего только тем. что а, {!, f заменены соответ-
соответственно через а + 1 — f, р —f— 1 —— -f, 2 — f. Следовательно, если 2 — f не есть ни нуль,
ни целое отрицательное число, то уравнение (S3) имеет второй интеграл
J-iF 1* + 1 — ъ p + 1-Y, 2-т, лг),
и если f не есть целое число, то общий интеграл представится в круге Го фор-
формулою:
СР( р, ъ х) + Cxl-iF(o. + 1-т, р + 1-т, 2-ъх). (85)
Если же 1 есть целое число, то разность двух корней определяющего урав-
уравнения равна или нулю, или целому числу, и интеграл содержит, вообше, лога-
логарифмический член в области начала координат. Мы рассмотрим только тог слу-
случай, кбгда 1 = 1; тогда оба интегр?ла
F(fl, р, ъ х), з^-fF (а + 1—г р + 1 - т- 2 - т, х)
приводятся только к одному F(a, р, т, х).
Чтобы наЙ1и ьторой интеграл, предположим, сначаяа, что ¦у немного отлично
от единицы: 7= 1 —ft, где h очень мало; уравнение (83) имеет два интеграла
F(a, р, 1— ft,л:), xhF(a + h, Р + ft, l + h,x),
и следова ельно, дробь
ft, \-\-h,x) — F(a, P, 1 — ft, лг)
л
есть также интеграл. Когда Л щемится к нулю, это отношение имеет пределом
производную по Л от числителя при А = 0. Производная от множителя х& дает
лога 'Ифмический член, который при Л = 0 обращается вF(а, р, 1,лг) Log*. Чтобы
найти производную по Л от какого нибудь коэфициента того или другого ряда,
например от коэфициента
(а + ft)(a + Д+1)...(о + й + я — 1)(Р I Д)(Р + ft + 1) ... C + ft + я - 1)
1-2...я A + А) B +А)... (л + А)
удобно вычислить сначала логарифмическую производную. Таким образом новый
интеграл выразится формулою:
hlx) = F(a,$,->,x)Logx+ )
л-\л "(°+')••• ^+ "-ОР(Р -И)---(Р Н-я-1) \ D6)
+ 2<Ля A-2...л)» ' J
где
1.1. . 1 . 1 . . 1
-t-л—
Таким же образом можно было бы исследовать интегралы уравнения Гаусса
в области точки jc= 1, но для этого довольно заметить, что при изменении х
в 1—х вид уравнения не меняется, только f измени .ся. в о + р + 1, — f. Следо-

§413—414 III. УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КО&ФЙЦЙЁНТАМИ 145
вательно, в круге \\, описанном из точки х = 1 радиусом, равным ' единице,
общий интеграл представится формулою:
у = C{F{a,% я 4- Р + 1 - Ъ 1 - х) +
+ С,A-л)т"'~р'?(т-«. 1-9, ТЧ- 1 — а — р. 1-х),
если f— о — р не ecib целое число.
Наконец, чтобы исследовать интегралы при значениях х с очень большим
модулем, положим х — —. Тогда мы придем к исследованию интегралов нового
линейного уравнения в области начала координат. Интегралы этого уравнения —
также правильные в области начала кооршшат,и корниопредеяяющего уравнения
суть о и р. Полагая одновременно х — у-, у = t*z, мы снова получим уравнение
вида (83\ но в котором р заменено через а -|- 1 — Y, и у — через а'+ 1 — р. Сле-
Следовательно, уравнение Гаусса имеет интеграл при | х \ > 1:
X-'F ca + 1—т,а + 1— p, - h
\ x j
вследствие симметрии оно имеет также интеграл, получающийся из предыдущего
перестановкою а и р, и общий интеграл представится вне круга Го формулою:
если только a — р не есть целое число.
Примечание. Всякое линейное уравнение вида
(* — а) {х — Ь)У" + Aх Ч-'«)У''+ 'О' = 0, (87)
где а, b, I, m, h — произвольные постоянные Ш'=Ф: Ь), приводится к уравнению Гаусса заменою
переменного х - а ^- [b — a)t.B самом деле, чтобы привести получающееся уравнение
к уравнению (83), достаточно положить у = — ——— и определить а и $ из .условий a + (i + 1. = /,
a|3 = я.
414. Уравнение Бесселя. Рассмотрим, в частности, уравнение
x(l — kx)y" + (c — bx)y'-ay = O, . (89)
имеющее две особые точки дг = О, х^= — . Его можно привести к уравнению
Гаусса з;меною переменного kx=f. Если мы будем приближать параметр k
к нулю, а количества а, Ь, с будут стремиться к конечным пределам А, В, С,
то особая точка х= -г буд»т неограниченно удаляться, и мы получим в пределе
линейное уравнение:
ху" + (С— Вх)у' — Ау — 0, (90)
имеющее на конечном расстоянии только одну особую точку х = 0. Если Вне
равно нулю, то, заменяя Вх через х, мы придем к уравнению того же вида, где
В=\. Если же 5=5=0 и А "отлично от нуля, то 'МОжйо таким же образом пред-
предположить, чго А = 1. Следовательно, уравнение (90) можно всегда представить
в одном из двух следующих видов:
ху" + (х-х)У-ау = 0, (91)
ху" + тУ—у = 0. (92)
Ю' Э. Гурса, т. П, ч. 2.

¦ 146 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 414
Изучая интегралы этих дву^х уравнений в области начала координат, как мы
это делали для уравнения Гаусса, мы придем к двум рядам:
которые можно рассматривать как предельные случаи гипергеомгтрического ряда.
В самом деле, если мы заменим в Р (о, |S, f, х) переменное х через kx и {!
через —, то коэфициент при д?" в F (а, -г-, f. kx) имеет пределом козфициент при
д?л в О (а, ч, х), когда k стремится к нулю. Точно так же коэфициент при дг" в
имеет пределом коэфициент при хп в Jft, х), когда k стремится к нулю.
Если 1 не есть целое число, то общий интеграл уравнения (91) выражается
формулою:
у = QG (а, 7) + С^-Ю (а + 1 - Т, 2 - т, х), (93)
и ючно так же общий интеграл уравнения (92) есть
ъх); (94)
эти формулы пригодны во всей плоскости. Если f есть целог число, то общий
интеграл уравнения (92) всегда содержит логарифмический член. Например, если
Т=.1, мы получим интеграл, отличный от /A(л:), находя предел при Л = 0
01 ношения
x"J(\ +h,x) — J{\ — h,x)
h '
отсюда имеем выражение общего интеграла:
К уравнению (92) можно привести одно линейное уравнение, встречающееся
во многих задачах математической физики. Положим в уравнении (92)
(а
х =——; заменяя i через п -\-1, мы получим уравнение, тождественное с изу--
ченным выше (§ 408):
g g+O-O! (95)
если-в последнем уравнении мы положим еще y = t~"z, то получим уравнение
Бесселя в его обычном виде:
**?-+'§ + (<¦-«¦)* = 01 (93)
Таким образом три уравнения: (92), (95), (9fi), где f=n + l> вполне равно-
равносильны между собою. Если п не есть целое число, то, на основании предыду-
предыдущего, общий интеграл уравнения Бесселя (96) будет:
Выше было доказано (§ 408), что, если п есть половина нечетного числа, то
общий интеграл уравнения (d5) выражается через элементарные трансцендентные
функции *.
* Подробное изложение теории бесселевых функции можно найти в сочинении Нильсена
'Nielsen), Handbuch der Theorie der Zylinderfunktionen, 1904.

§ 414-415 HI. УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОэФиЦиЁНгАМи Ш
Примечание. Уравнение, исследованное Риккати:
da
а (97)
где А, В, т—данные постоянные, можно также привести к одному из трех равносильных уравнений
-4 —
х ура
(92),(95),(95). В самом деле,мы видели выше(§402),чт^о общий интеграл уравнения(97)есть -4 — , где г
есть общий интеграл линейного уравнения:
~^-АВх«Ч = 0. (98)
Сделаем в последнем уравнении замену переменного х = ^1* , где \ н |* — два постоянных коли-
количества, остающиеся пока произвольными. Тогда оно примет вид:
d*z dz
t jjf - (|и - 1) j-{ — АВ\т+V (от + 1)'1—*г = 0; (99)
п
чтобы это уравнение было тождественно с уравнением (9>), достаточно взять и. = и опре-
делить \ из условия ЛВХт+'ц« = — 1. Соответствующее значение для п есть — t- нли —..
Следовательно, общий интеграл уравнения Риккати (97) выражается в конечном виде всякий раз,
ГДа т + 2 еСТЬ половнна положительного или отрицательного нечетного числа 2/+ 1. т. е. вся.
кий раз, когда т = , где i есть положительное или отрицательное целое число.
415. Уравнения Пикара. Если дано линейное диференциалькое уравнение
с мероморфными коэфициентами, то, пользуясь методом Фукса, можно узнать,
будет ли его общий интеграл месоморфною функциею. Для этого необходимо и
достаточно: 1) чтобы интегралы были правильными в области каждой из особых
точек; 2) чтобы все корни решающего уравнения для каждой из этих особых
точек были целыми числами; 3) наконец, чтобы в выражении общего" интеграла
вблизи особой точки отсутствовали логарифмические члены.
Предположим, что все эти условия выполнены. Тогда общий интеграл есть
функция мероморфная, однозначная во всей плоскости. Если коэфициенты урав-
уравнения суть рациональные функции,то особых точек а,,а2,... ,а„ будет конечное
число. В таком случае, чтобы общий интеграл был рациональною функциею, до-
достаточно, чтобы все интегралы нового уравнения, коюрое получим, полагая
х = ~ , были правильными в области точки ? = 0, так как общий интеграл вслед-
вследствие своей однозначности не может содержать ни логарифмического члена, ни
дробных степеней переменного t. Если ато последнее условие выполнено, то
общий интеграл можно получить подстановкою и сравнением коэфициентов.
В самом деле, пусть будет /и,- наименьший корень характеристического уравнения
F0).для точки x — at, и N — наименьший корень характеристического уравнения
для преобразованного уравнения для точки ^ = 0. Ясно, что произведение каждого
интег.( ала у на
(дг — a,)mi(Ar — лг)"*8 • • ¦ (х — ап)тя
есть рациональная'функция, не имеющая полюсов на конечном расстоянии, т. е.
многочлен Я (дг), степень которого не выше числа
ml + mi+...-\-mn — N.
Так как, таким образом, верхняя граница степени этого многочлена известна, то
для определения его коэфициентов достаточно заменить в левой части данного
уравнения переменное у выражением вида Р(х)П.(х — а,)-"Ч, где Я (дг) есть
самый общий многочлен найденной степени, и выразить, что результат подстановки
тождественно равен нулю. ¦
Пикар указал на другой очень важный случай, когда общий интеграл выра-
выражается через основные трансцендентные функции. Если общий интеграл одно-
однородного линейного диференциального уравнения, коэфициенты которого суть
эллиптические функции независимого переменного с одними и теми же
периодами, есть мероморфная функция, то этот интеграл выражается через
трансцендентные функции теории эллиптических функций*.
* Пикар, Crelle's Journal, т ХС. См. также мемуар Ф л о к е (Floquet), Annales de I'Ecole
Ncrf-male, 3-я серия, т. I. 1884.
10*

148 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДЙФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 415
Чтобы упростить изложение, мы приведем доказательство только лля урав-
уравнения второго порядка. Пусть будут /4(дг), /2(дг) два различных интеграла одно-
однородного линейного уравнения у" -f р (х)у' ¦+ q (х)у = О, где р (х) и q(x) суть
эллиптические функции с периодами 2<а и 2<а'. По предположению/^дг) и ft(x)
суть мероморфные однозначные функции. Так как рассматриваемое, уравнение не
изменяется при изменении X в х + 2со, то /((дг + 2 to) и /2(# ¦•)- 2<Ь) суть также
интегралы, и- мы имеем соотношения:
/,(* + 2<а) = оЛ(*) + Ь/3{х), /,(дг + 2<о) = е/Лх) + й/2(дг), A0Э)
где а, Ь, с, d — постоянные коэфициенты, определитель которых ad — be не
равен нулю, так как, если бы было ad — bc = Q, то между /4(лг -f- 2<в)и/а'л: + 2а>)
существовало бы соотношение вида: Ct/4 (дг + 2<а) + С2/2(дг-|- 2<о) = 0, где Ct и
С2 — постоянные, из которых, по крайней мере, одно отлично от нуля; но это невоз-
невозможно, так как интегралы ft и /2 независимы. Точно так же мы будем иметь
другую систему соотношений:
/, (* + 2а>') = а'/, (д:) + *'/а (л:), /„ {лг+ 2«>') = e'h (x) + d% (x), A01)
где а', V, <?, d' — постоянные ко~фициенты, a'd' — b'c' не равно нулю. Будем
искать, как в § 109, такой интеграл у (х) = X/, (лг) -\- ji/j (х), чтобы f(x -\- 2<а) = *у (д;).
Для определения X, |л, в мы имеем два уравнения:
откуда для в получгещ уравнение второй степени:
F(s}= s« — (а + d) s -f- ad'— bc = O.
Если этэ уравнение имеет два различных корня st и ,s2, то существуют два таких
независимых интеграла ti(x) и у*(х), что
и соотношения A01) заменятся двумя соотношениями того же вида:
(ЮЗ)
Пользуясь соотношениями A02) и A03\ мы можем получить два различных
выражения для <?, (х + 2<а + 2<аг) и у2 (х -\- 2<а + 2<а').
С одной стороны, мы имеем:
j
Ь (х + 2» + 2<o'j =
с другой стороны, меняя порядок вычисления, имеем также:
?1 (дг + 2и> + 2<о') = ft?i (д: + 2ш) + /?2 (д: + 2<а) =
Так как Э1И два выражения должны быть тождественны между собою, и st — s3
не равно нулю, то должно быть 1=0; точно так же, рассматривая два выражения
для |р2(дг4-2ш + 2ш'), можно было бы доказать, что, яг = 0. Следовательно, инте-
интегралы ipt (дг), <pj (лг) суть мероморфные функции, которые получают постоянный
мнойштель, когда х возрастает на период; такие функции называются двояко-
периодическими функциями второго вида. Всякая мероморфная' функция .у (дг),
обладающая этим свойством, выражается через трансцендентные функции о, С, о,
IГ/ „\
так как ее логарифмическая производная ^-4-г есть эллиптическая функция, а мы
1 TW
видели, что интегрирование эллиптических функции не приводит ни к каким
другим трансцендентным функциям (§ 326). Впрочем, это можно показать, и без
всякого интегрирования. Пусть будет у(х) такая мероморфняя функция, что
Рассмотрим вспомогательную функцию ф (х) = е?х . , где а и р — некото-
О \Х)
рые постоянные. На основании свойств функции о имеем (§ 323):
ф (ДГ + 2о>) = г2ш?-2т/Д ф (ДГ)> 2ф (ДГ + 2ш') =г *?2и>'р - 2->)'яф (jf)

§ 415 Ш. УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФИЦИЕНТАМИ 149
Чтобы частное '~ было эллиптическою функциею, нужно только, чтобы
было
2<ор — ?дтг) = Log ц, 2»'р — 2да>' = Log ц';
отсюда определим р и а, так как 2и>'т) — 2<щ' не равно нулю (§. 322). Заметим, что
можно взять а = 0, если Log ц и Logi»' пропорциональны соответствующим
периодам '2<о и 2»' *.
Обратимся к случаю, когда уравнение F{s) имеет двойной корень s. Можно
найти два таких различных интеграла <ft (х), f2 (х) (§ 410), чтобы было
fi(x + 2^) = ^i(x), <?.2(х + 2ш) = *C(х, + С<н(,х). A04)
Если С=0. то все интегралы уравнения и, в частности, ft(x) и fa(x) получают
множитель s, когда х возрастает на 2<а; будем искать такую комбинацию инте-
интегралов lfi(x) + к/а (х)> чтобы при возрастании х на 2<а' она получала множитель s'.
Таким образом, исходя из формул A(Ь), мы получим два независимых итеграла
f 1 (¦*)» Чз(х • Яля которых имеет место или
Т, (Ж+ 2»') =*!>,'*;, fa(*+2»') = *i?2'Jf).
ИЛИ
fl (* +¦ 2а,') = ^{'х), П (дг f 2<а') = 5'?2 (ж) + Cf, (^).
В первом случае интегралы ?4(д?), ?j(jc) суть попрежнему двоякопериодические
функции второго рода, так как для них имеют место равенства f, (х -\- 2е>) = sy^x),
<р2 (х + 2(о) =г 5'fа (дг), if1(jf + 2<a') = s'ipi(Jf)> ipH-f 4-2«or) = ^ip2 (д?). Во втором слу-
случае только один интеграл yi (дг) есть двоякопериодическая функция второго рода,
<Pi (х*
что же касается интеграла ip,2 (д:\ то отношение у ¦ возрастает на постоянное С,
когда х возрастает на 2ш', и не меняется, если х возрастает на 2<а. Но функция
АХ. (х) + Вх, где А и В суть постоянные, обладает тем же свойством, если
2Ат\ f 2Вш = 0, 2Лт)' + 2Вш' = С.
Следовательно, разность — АХ. {х) — Вх есть эллиптическая функция.
Если в формулах '104) коэффициент С не равен нулю, то между интегралами
?i.(-W> '?»(•*>> ?i(^ + 2°>''> ?а(-*+2»') существуют сротяошения вида A03), и из
них мы можем вывести по два различных выражения для ?, (дг -f-2o> + 2<a') и для
<ра(дг-)-2ш+ 2«)'). Сравнивая их между собою, мы получим условия l — V, k = n.
Интеграл у^х) есть, попрежнему, двоякопериодическая функция второго рода.
Что касается интеграла <рз (-*")> то мы имеем два соотношения:
, С flt?+V) ?i(?) m
Определим подобно предыдущему коэфициенты -4 и В из условий 2Лт) -f- 2fi<a - —,
' -|- 2Bu>' = ; тогда разность
есть эллиптическая функция. Таким образом мы видим, чю во всех случаях
общий интеграл выражается только через трансцендентные функции е-*, р*, Кх, ох.
Рассмотрим, например, уравнение Ламе:
2Л 0. A05)
где я — целое число, и А — произвольное постоянное. Интегрирование этого
* Оскс вания теории таких функций можно найти в кш:гв А П П е л л я и Л 3 к у о a,
de Да tli^9r.'? dfs functions elliptiques.

150 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 415-416
уравнения было выполнено Эрмитом и послужило точкой отправления для пре-
предыдущей теории. Общий интеграл уравнения Ламе есть мероморфная функция.
В самом деле, единственными критическими точками являются начало координат
и точки 2/иш + 2/и'ш1. В области начала координат интегралы уравнения—пра-
уравнения—правильные, и корни характеристического уравнения G4) суть r' = — n, r*= n -\-1.
Их разность есть нечетное целое число, а коэфициент при .уесть четная функция;
следовательно, выражение общего интеграла не содержит логарифмического члена
(см. выйоску в § 412).
416. Уравнения с периодическими коэфициентами. Во многих важных.
вопросах механики встречаются линейные уравнения с периодическими коэфициен-
коэфициентами; мы укажем здесь кратко их основные свойства.
Пусть будет
g+*?=?f...+/w-o (ice)
линейное уравнение, все коэфициенты р{, ..., рп которого суть непрерывные
функции действительного переменного t, имеющие период ш, который мы всегда
можем предположить положительным. Если интегралы yt (/), yt tt) yn(t)
образуют фундаментальную систему, то ясно, что у{ {t + ш), yt (t -J- o>), ...,
У,i С + ш) СУТЬ также интегралы уравнения A06), так как это уравнение не изме-
изменяется при изменении t в t + ш; следовательно, мы имеем п соотношений вида:
yt (*+») = а1гУ1 @ + а^у, (t)+... + ainyn (t) (/=1,2 л). A07)
Определитель- Н коэфициентов aitt отличен от нуля; в самом деле, повторяя
рассуждения, приведенные в § 409, мы найдем, что этот определитель равенг
Н=е о . A08)
Формулы. A07) определяют линейную подстановку с постоянными коэфи-
циентами, определитель которой не равен нулю. Следовательно, мы приходим
к такому же исследованию, какое было подробно выполнено в § 409—411; но
здесь.^вместо обхода комплексного переменного х в прямом направлении вокруг
особой точки а, переменное t описывает отрезок действительной оси, имеющий
длину ш. Из этого исследования вытекает, что всегда можно выбрать фундамен-
тальную систему интегралов таким образом, чтобы формулы A07) приняли про-
простой канонический вид. Составление такой фундаментальной системы прежде
всего зависит от решения характеристического уравнения
аи — saa ... а,„
F(s)= **', «»-«- • • «*. =0, A09)
все корни которого отличны от нуля, так как их произведение равно определи-
определителю п, значение которого мы только что нашли. Если л корней этого уравнения
различны, то существует такая фундаментальная система интегралов, что фор-
формулы A07) принимают вид:
Если уравнение A09) имеет кратные корни, то всегда можно найти фундамен-
фундаментальную систему интегралов, распадающуюся на несколько групп, причем р интег-
интегралов уг, у%,..,, ур одной и той же группы удовлетворяют соотношениям вида:
Чтобы найти выражения этих интегралов, определим сначала обший вид
такой непрерывной однозначной функции/(/), чтобы было /(*+ on) = sf(t), где
Множитель s не равен нулю. Пусть будет в одно из значений количедт.?! ?> — Log $;

§ 416 III. УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФИЦИЕНТАМИ 151
ясно, Что произведение /(<)«""* имеет период <о, н следовательно, f(t) имеет
вид f(t) = eit<f (t), где <р@ есть непрерывная функция с периодом <а. Если лесть
1
корень характеристического уравнения, то мы положим а,= — Log^; постоян-
2к\Г~
ные а^, которые определены с точностью до кратных числу —- , называются
характеристическими показателями. Следовательно, если уравнение A09) имеет
л различных корней slt sa,..., sn, то уравнение A06) имеет я различных частных
интегралов вида ' ,
j/, = ыь (jt)t Уз — #*?3(f)f ,%.,Уа = е°"'<?п(t), A12)
где а{, о2 а„ — характеристические показатели, и fit fit..., уя — непрерыв-
непрерывные функции с периодом о>.
В общем случае, очевидно, достаточно составить выражения интегралов
группы, удовлетворяющих соотношениям A11). Полагая в этих соотношениях
j;, ="<?>',?,¦, где а = — Logs, получим:
<•>) = МО.
<•?) = ¦**(') +МО, . I (Ш-)
Если t возрастает на <о, то переменное х= —возрастает на единицу, и, взявт
за новое переменное, мы придем к задаче, решенной выше (§ 411). Положим
общие выражения функций ylt yit..., ур имеют следующий вид;
у, = е*ъ @, л = е*[Р, @ ?1 @
[ (ИЗ)
(f=l, 2,...,р), j
где у), ?2,..., fp суть, непрерывные функции с периодом <о, из которых пер-
первая <р4 @ отлична от нуля; Здесь можно заметить, как и в § 411, что все эти
интегралы можно вывести из последнего интеграла группы. В самом деле, го_, (О
равно разности z. (t -\- <а) — z. @;точно так же имеем: гр_а@=гр_)((-1-ш)—zp _,(<)
и т. д. Следовательно, формулы A13) можно представить также в виде:
A14)
где Д4(гр), Да (гр), ... обозначают последовательные разности от zp (t) при пе-
переходе t в t-\-a>. Заметим, что zp(t) есть многочлен (/> — 1)-й степени относи-
относительно t, коэфициенты которого суть периодические функции от t; последова-
последовательные разности &i(zp), \(zp), ... суть многочлены такого же вида и убывающих
степеней, причем разность р-го порядка равна нулю. Обозначим через D(zp),
Щгр),..., D'(zp) последовательные производные от zp, взятые по t, причем
коэфициенты этого многочлена рассматриваются как постоянные. Из теории
конечных разностей известно, что последовательные разности At (zp), Д2 (zp), ... суть
линейные комбинации с числовыми коэфициентамц производных Р (гд),

152' ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 416—417
D\zp),... и обратно*. Следовательно систему интегралов A14), можно замекшь
равносильною системою интегралов:
.A15)
Примечание I. Интегралы группы (ИЗ), соответствующие характеристическому пока-
показателю а, все стремится к нулю при неограниченной возрастании положительного количества t,
если действительная часть показателя а отрицательна, и только в этой случае. Чтобы все
интегралы уравнения A06) стремились к нулю при -неограниченном возрастании (, необходимо и
достаточно, чтобы действительные части всех характеристических чисел были отрицательны,
или, что то же, чтобы модуле всех корней уравнения A09) были меньше единицы,
П р ни е ч ан и а II. Пусть будет ? действительный положительный корень уравнения A09);
естественно принять за а арифметическое значение количества — leg,*; Бея» коефоцдонты уравне-
уравнения A06) действительны, то, очевидно, будут действительны и интегралы у{,уг, .. ,ур группы<113),
а следовательно, и периодические функции <Pi (*), <?,(<),.... Пусть, далее, будет s = X 4- |i j/—1
корень кратности р уравнения A09), причем |t ^ф 0, и « = «' + a" j/— 1 — соответствующее значение
показателя а. К группе интегралов_A13) можно присоединить сопряженную группу", которую полу-
получим, заменяя а через а1—a" \f—1 н функции <pi (I) — через сопряженные функции. Ясно, что,
комбинируя линейно попарно эти 2р интегралов, мы получим систему 2р действительных инте-
интегралов.
Наконец, предположии, что s есть отрицательный действительный корень; тогда значение з
можно представить в виде: а = а'+ it j/— 1, н этому корню соответствует частный интеграл вида:
у = еа'' (cos п + j/^T sin i«)H>t («) + |/~ *t (<)].
где функции ф[ и ф, — периодические и действительные. Если коэфнциенты уравнения A06)— дей-
действительные, то ясно, что действительная1' часть и ковфищкит при ^/—1 интеграла у должны
отдельно удовлетворять линейному уравнению. Если р >1, то те же рассуждения можно применить
и к другим интегралам группы A13).
Впрочем, случай, когда s действительно и отрицательно, приводится к случаю, когда s дей-
действительно и положительно, если взять вместо периода ш период 2ш. В самом деле, очевидно,
что если интеграл получает множитель s, когда t изменяется в f + ш, то он получит множитель i1
при изменении t в / + 2ш.
Прнмечани е 111. Бели коэфициенты pi суть аналитические функции комплексного, пере-
переменного ь^ф t' + t" |/— 1. голоморфные в полосе Л, заключающейся между двумя прямыми t"=± H,
параллельными действительной оси, то интегралы уравнения A06; голоморфны в той же пол-се.
Предыдущие рассуждения, в которых предполагалось, что переменное ( перемещается ло дей-
действительной оси, применили без изменения и к тому случаю, когда это переменное перемещается
в полосе Д. Следовательно, функции ifi (!) в формулы A13) суть периодические функции, голо-
голоморфные в полосе R; поагому их можно, разложить а ряды, расположенные по синусам и коси-
косинусам дуг. кратных ' (§316),
417. Характеристические показатели, Разыскание характеристических пока-
показателей, вообще, очень трудно**. Очевидно, что решение этой задачи приво-
приводится к определению коэфициентов а^ в формулах A07). Эта задача, в свою
очередь, равносильна следующей: зная начальные значения, при t — t0, n инте-
* Не обращаясь к этой теории, можно заметить, что из формулы Тейлора последовательно
имеем:
так как ?>(') (zp) = 0, то из этих равенств можно определить производные D^(zp) как линейные
функции разностей 4,, Д^,...
¦¦ Если коэфициенты л cyib целые аналитические функции комплексного переменного t. то,
ЪШ
сделав замену переменного * = е ш , мы превратим данное уравнение в линейное уравнение, коэ-
коэфициенты которого однозначны в области начала координат, н придем к изучению закона пере-
перестановки .интегралов, когда переменное # опт ывает петлю вокруг начала координат. Но получен-
Яре, ,аки.1 образом, уравнение, вообще, не принадлежит к уравнениям Фукеа.,

§ 417 Ш. УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФИЦИЕНТАМИ 153
гралов Уо Уг, . • • , у„ и их л — 1 производных, найти значения этих интегралов
и их производных при < = @ + в, Тогда коэфициенты alk определяются, как
решения л систем линейных уравнений:
У, (h + <•>) = а„у, Со) + ааУ? (Q + • • • )
«)=aily<f4t<>) + aiiy?Ht<r)+..- + ainy(r\tlj), | A16)
\р=\, 2, .... (я-1)] (/=1, 2,..., я). )
Эту последнюю задачу, вообще, можно решить, только применяя общие
методы, например, последовательными приближениями. Заменим в уравнении Aо6)
коэфициенты р/ через \ph где \—переменный параметр, и разложим по степеням
параметра X интеграл у этого уравнения, принимающий вместе со своими я — 1
последовательными производными при t = t9 некоторые заданные значения, не
зависящие от X:
y=h @ + Vi @ + • • • + W» (*. + •.. (П7)
Так как при Х = 0 уравнение A06) обращается в "j^ = 0, то ясно, что fQ(t) есть
многочлен относите'ьно t не выше (я — 1)-й степ ни, выражение которого полу-
получается непосредственно из начальных условий; чго касается следующих коэфи-
циентов fi (t), f3(t), ... , то, подставляя значения у в уравнение A06), мы опре-
определим их один за другим из соотношений вида:
где правые части зависят только от коэфициентов /,, /2 ft_( и их производ-
ныт, причем эти коэфициенты // вместе со своими производными до (п — 1)-го
порядка включительно должны обращаться при t = te в нуль. Следовательно, эти
коэфициенты получаются квадратурами, а выше было указано (§ 389), что полу-
полученный, таким образом, ряд A17)—сходящийся при всех значениях X. Если мы
положим в соотношении A17) и его производных Х>= 1, то мы получим разло-
разложение рассматриваемого интеграла и его производных в ряды, сходящиеся при
всех действительных значениях количества t. Следовательно, таким образом, можно
получить количества у$0 -f <o); y*f\tt + *>), входящие в формулы A16), в опре-
определить отсюда коэфициенты а^ *,
Пример. Рассмотрим, например, уравнение
g=P«* (ИЗ)
где p{t) есть непрерывная функция от t с периодом <а. На основании фор-
формулы A08) произведение корней характеристического уравнения равно здесь
единице. Следовательно, это уравнение имеет вид:
Si — /4i+l = 0. A19)
Чтобы определить коэфициент А, обозначим через f{t) и <? (t) интегралы уравне-
уравнения A18), удовлетворяющие начальным условиям f @) = 1, /'@) = 0, <р @) == 0,
ipr@)= 1. Из соотношений
полагая г = 0, получим д„ =/ (о»), ап — у' (ш). Но в этом частном случав харак-
характеристическое уравнение есть
(ли — s) (аа — s) — ааа21 = 0, .
* Если мы оставим зн мение параметра У. неопределенным, то из способа вычис lemra ел- дует,
что коэфициеш ы ац,, а следовательно, я коэфицненты характеристического уравнения, будут
целыми функциями этого параметра.

154 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 417—418
и следовательно, мы имеем:
Заменим р (t) через \p(t); разложения интегралов /(?), ip (t) будут иметь вид:
причем функции /я и <ря и их производные /„' и <?„' при f = О равны нулю. Под-
Подставляя эти разложения в обе части уравнения A18), где р заменено через \р,
мы получим соотношения:
отсюда имеем рекуррентные формулы:
i t
fn@ = U ^ (О/»- i @ л, »»@ = ?
из которых можно последовательно определить все функции /п и уя, и.ходя из
условий /0 (?) = 1, ip0 (t) = t. Отсюда находим:
+00
Л = 2+?[/„ (<*) + ?„¦'(<•>)!• A20)
Если функция /;(<) никогда не бывает отрицательною, то непосредственно
видно, чго при (> 0 все функции fn(t), ?„@.'-?л'@ положительны. Следовательно,
А > 2, и в уравнении A19) оба корня действительны и положительны, причем
один из них больше, а_другой меньше единицы. В других случаях заключение
значительно менее очевидно. Если р (t) никогда не принимает положительных зна-
значений, то, как это следует из глубоких исследований А. М. Ляпунова *,
абсолютное значение количества А меньше, чем 2, если абсолютное значение коли-
ш
чесгва ш \ pdt меньше или равно 4. В этом случае оба корня уравнения A19)—
8
мнимые сопряженные, и их модули равны единице.
IV. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ,
418. Общие свойства. Большинство теорем, доказанных для линейного
уравнения, легко может быть распространено на системы линейных урав-
уравнений со многими неизвестными функциями. Не уменьшая общности, мы
всегда можем предположить, что эти уравнения — первого порядка (§ 383),
что мы в последующем изложении и примем. Пусть будутуг, уг, ...,уп
неизвестные функции, и х-—независимое переменное. Из общей теоремы
следует (§ 399), что интегралы не имеют других особых точек, кроме
особых точек коэфициентов. Задавая начальные значения интегралов
У и У% ¦ * • • -Уо для значения х = хв, отличного от особых точек, мы можем
иметь аналитическое продолжение этих интегралов вдоль любого пути,
* А. М. Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, изданне Харьковского Мате-
Математического общества; французский перевод помещен в Annales de la Faculti des_,Sciin(es de Той-
loose, 2-я серия, т. IX. Кроме этого мемуара общая теория линейных уравнений с периодическими
коэфициеитами изложена в мемуаре ф л оке (Floquet) (Annales de VBcole Normale supirieure,
1333) и в сочинении Пуанкаре, Les Wthodes nouvelles d« la JVUcgnique eglestg (т. 1. гл, IVj,

§ 418 IV. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 15)
выходящего из точки х0 и не проходящего ни через одну из этих
известных заранее особых точек.
Предположим, только для большей краткости изложения, что мы
имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными функциями. . Рас-
Рассмотрим сначала систему трех однородных уравнений:
О21)
,
где а, Ь, с, ...—функции только переменного х. Если известна частная
система.интегралов (ул, гг, «j) уравнений A21), то функции (С\-л% Сг1? Сиг)
Также образуют систему интегралов при всяком значении постоян-
постоянного С. Точно также, если известны две системы интегралов (ул, гл, и.,)
и (>*2' Z2i uz)i то из ни* можно составить новую систему интегралов,
зависящую от двух произвольных постоянных:
C,z, -f- С2г2, С,«4 + С2и2).
Наконец, если известны три частных системы интегралов
OV гч ui)> (У2. *2- иг)> (Уж zz> из)>
то формулы
у = СЛ -г- СЛ + C^, z = C,z, 4 Cj f
также представляют систему интегралов, каковы бы ни были постоян-
постоянные С,, С2, С3« Чтобы можно было утверждать, что эти формулы A22)
представляют общий интеграл системы A21), попрежнему необходимо
убедиться, что можно выбрать постоянные С,, С2, С3 таким образом,
чтобы при данном значении xQ переменного х, отличном от особой
точки, переменные у, z, и принимали произвольные заданные значе-
значения у0, г0, uQ. Для этого необходимо и достаточно, чтобы определитель,
составленный из девяти функций ул z,; ut (/=1, 2, 3)
У г zx и
Уя гг «
не был тождественно равен нулю. Мы попрежнему будем говорить, что
совокупность трех частных систем интегралов образует в этом случае
фундаментальную систему.
Если определитель Д тождественно равен нулю, то три частных системы
интегралов приводятся к двум или даже к одной. Предположим сначала, что все
миноры первого порядка определителя Д не равны одновременно нулю, пусть,
например, мийор 8=^^ — у3г{ не равен тождественно нулю. Пусть будет Л

156 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 418
область плоскости, где 8 не обращается в нуль. Определим, две вспомогательные
функции /Ci и Къ, голоморфные в области Л, таким образом, чтобы было:
так как Д равно нулю, то функции /?,, К% удовлетворяют также соотношению
«з = ЛГ,н1 + АГ2и4. A24)
Заменяя в лвух первых, уравнениях системы A21) у, г, и предыдущими выра-
выражениями у3, га, и3 и замечая, что (yt, zit u{) и (у2, гъ и.2) образуют две частных
системы интегралов, мы, после подстановки, получим ив A21):
откуда имеем: /С/ = К$ = 0. Следовательно, функции Ki и К$ суть постоянные,
и соотношения A23) и A24) имеют место во всей области существования функ-
функций у,, z^ щ. Отсюда следует, что система интегралов (у3, z3, щ) есть комбинация
' лвух других систем.
Если все миноры первого порядка определителя Д тождественно равны нулю,
то три системы интегралов приводятся к одной. Так как bee элементы опреде-
определителя Д не могут быть одновременно равны- нулю, то мы предположим, чжо У{
отлично от нуля, и положим у%=Куй из соотношений у^—_у,з4,=0,
yiui—.УЛ—0 имеем также 2а = Kzt, щ = Rui- Заменяя в первом из уравнений
A21) переменные у, г, и, соответственно, через Ryv, /(*,, Ки^ получим ^/(' = 0;
следовательно, К есть постоянное, и система (у^, ги щу отличается от системы
(у1г zlt u{) только постоянным множителем. Точно так же можно было бы убе-
убедиться, что третья система интегралов тождественна с первою. Важно заметить,
что в общем случае j/(, j/j, y3 не должны быть непременно линейно независимы;
например, одна или две из этих функций могу? быть равны нулю, но быть все
три нулями они не могут.
Значение определителя А можно вычислить следующим образом. Произвол»
ная Д' есть сумма трех определителей
л
У-1 г% 
У\
У-2
Уз
«2
заменяя производные у[, z[, и' их выражениями, выведенным»-из уравнений A21)
мы найдем, что. эти три определителя обращаются, соответственно, в — аД, &Д
— с.2Д, Следовательно, мы име^ем соотношение: 4'= — (a-f bv -\- с&А> и
Д (х) =
A25)
Если известен общий интеграл однородной системы A21), то из него
можно вывести квадратурами общий интеграл системы с правыми частями
Ьг
си =
A26)
В самом деле, сделав замену переменных по формулам (Г221, где С,

§«418 IV. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 157
С2, Cs рассматриваются как Новые неизвестные функции, мы превратим
систему A26) в следующую:
*»
йСл . dC. . ¦ dCa
Cj , dC% . dCs
dx ~r4~te±Z*4x
dC, dC, , dC« , , .
1 dx ' 2 dx ' 3 rf* 3
A27)
уравнения (Г27) интегрируются в квадратурах, так как из них имеем:
fg. = *, ^1, 2, 3),
где Xt —: иввгстные функции от х.
Заметим также, что этого преобразования можно избежать всякий
раз, когда. мы можем непосредственно определить частную систему
интегралов (У, Z, U) уравнении A26). Чтобы ^меть общий интеграл этих
уравнений, достаточно прибавить, соответственно, Y, Z, U к правым
частям формул A22), представляющих общий интеграл системы A21)
без правых частей *.
Если известны одна или две частных системы интегралов уравне-
уравнений (.121), то можно понизить порядок системы на одну или две еди-
единицы. Предположим сначала, что известна одна система интегралов
(у,, zv и3), причем функция уг не равна нулю. Произведя замену пере-
переменных'
у=угУ, z^z^Y + Z, u=v,Y+U,
мы придем к линейной системе того же вида, которая должна иметь
частную систему интегралов K=l, Z==0, U=0. Для этого необхо-
необходимо, чтобы в этих новых уравнениях коэфщиенты при Y были равны
* Можно также применить метод, аналогичной методу Коши (§ 401). Пусть будут у = <г(л, а).
z = ФС*, о), и = п(х, а) (<= 1, 2, 3) три .системы интегралов уравнений без правых Частей A21),
удовлетворяющих, соответственно, начальным условиям:
>,•(«, •«>= 1 <(<, («, а) = 0, щ (а, я) = О,
ср,(а, а) = 0, ф, («, «) = 1, %(«, «) = О,
<р, (а, а) я 0, ф. (о, ci) = 0, ч, (в, а) = 1.
Можно непосредственно проверить, что функция
/ («О ?8 (*, а) + Л («) «Pi (*.
X
2 = jf [/, («) Ф, (*, ч) + h («) Ф« (¦». «) + /»(«) Ф» (¦*-
У = J [Л («) % (•», «) +Л («) щ (х,«) + Л(«) *з(*, «)
Образуют систему интегралов уравнений со вторыми частями A26),

f58 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЁ УРАВНЕНИЯ § 418—41*
нулю, и в самом деле, выполнив вычисления, найдем, что эта новая
система есть
dx ' "J dx ' "'" ' "! ' t A28)
J_ » < 1_ ^7 _(_ с-L/ = 0. '
Заменяя в двух последних уравнениях —г- его значением, выведенным из
первого уравнения, мы получим систему двух однородных линейных
уравнений с двумя неизвестными функциями Z и U. Проинтегрировав
эту систему, мы найдем Y квадратурою.
Предположим затем, что известны две независимых системы инте-'
гралов (уг, Zj, н,), (у2, z2, u2). Так как по доказанному выше три опре-
определителя угг2—У22), Ули2—y2Uj, гги2 — z2ux не могут быть равны нулю
одновременно, то мы предположим, что yxz2 — у2гг отлично от нуля.
Положив
где Y, Z, U—новые неизвестные, мы придем к линейной системе того же
вида, имеющей две ча.тных системы интегралов:
Следовательно, коэфициенты при Y и Z в уравнениях новой системы
должны быть равны нулю,- и эта новая система имеет вид:
dx* dx ' : d
как нетрудно проверить. Так как последнее уравнение содержит только U,
то ясно, что эта новая система интегрируется квадратурами.
Предыдущие рассуждения распространяются на системы и линейных
уравнений с п неизвестными. Чтобы иметь общий интеграл такой системы
без правых частей, достаточно знать п частных систем интегралов,
образующих фундаментальную систему. Если известны р различных
систем интегралов (р<С_п), то интегрирование приводится к интегриро-
интегрированию системы того же вида с п — р неизвестными и к квадратурам.
Наконец, общий интеграл системы с правыми частями получае!ся квад-
квадратурами, если известен общий интеграл той же системы без правых
частей.
419. Сопряженные системы. Если дана линейная и однородная система
с я неизвестными
gi = ап yt + ... + «/*У* +• • • •• -г «лЛ ('. * =

§ 419-420 IV. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 159
то линейная система
^ = -auYi-...-akiYk-...-antYn, A30)
которую получим из первой, заменяя у, через У„ изменяя в определителе,
составленном из коэфициентов а/к, строки столбцами и переменив при этом знаки,
называется сопряженной с первой. Из самого способа получения сопряжен-
• ной системы очевидно, что две системы A29) и A30) взаимны
Интегрирование одной из систем A^9), A30) дает интегралы и другой
системы. В самом деле, пусть будут (yi,yit..., у„) и (Yit Y2,..., Yn) две част-
частных системы каких-нибудь интегралов двух взаимно сопряженных систем. Из
уравнений A29) и (U0) имеем:
• • • + УпУп) — 2 Y, (а1|Л + ... + ашук + ... + а1пУп) +
2 Л (- ««К, ^...'—аыУк—...- aniYn).
Переставив указатели / и k во второй сумме, непосредственно видим, что
коэфициент при Ytyk в правой части есть
"л — а/к — °-
Следовательно, правая часть предыдущего равенства тождественно равна нулю, и
* мы имеем между каждыми двумя частными системами интегралов соотношение
+ *kyi + • • • + УиУп=с, A31)
ч где С—постоянное. Таким образом, зная частную систему интегралов (К,, К2, .... У„)
j уравнений A30), мы получаем первый интеграл A31) системы. A29), линейный
относительно неизвестных функций у^-у%,... ,уп-
Если известен общий интеграл сопряженной системы A30), то общий
, интеграл данной системы A29) представится п соотношениями вида A31), где за
К,, У2. •••. У п. должно взять последовательно я различных систем интегралов
уравнений Aс0).
Особенно подробно изучены линейные системы, тождественные с сопря-
сопряженными с ними. Для этого необходимо и достаточно, чтобы определитель ив
коэфициентов aik был косым симметрическим, т. е. чтобы при всяких / и k было
а^ + ам—О и, следовательно, а/( = 0. Если (у,, у%,..., уа) и (гиг.2, ..., zj —
две частные системы интегралов, то соотношение A31) обращается в
•У А + УЛ + ... •+ Уп*п = const;
следовательно, если обе системы интегралов тождественны, то мы имеем также:
У? + Уг* + - ¦ • + Уп2 = const.
Интегрирование линейной системы третьего порядка, тождественной с своею
сопряженной, приводится к интегрированию уравнения Риккати '($ 369). Инте-
Интегрирование системы четвертого порядка того же вида приводится к интегрирова-
интегрированию двух уравнений Риккати (см. упражнение 15 в конце этой главы).
420. Линейные системы с постоянными коэфициентами. Система
линейных уравнений с постоянными коэфициентами
A 32)
? + «^ 4 пУ + • • + п2ПУп == 0.

160 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЁНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 420
решается отысканием системы частных, интегралов вида:
д = я,*», уг = а2е",.... уп = апё^, A33)
где а,, а2, ..., ая, г—неопределенные постоянные коэфициенты, кото-
которые следует определить. Мы приходим, таким образом, к уравнениям:
A34)
которые должны иметь решения, не все равные нулю. Постоянная г долж-
должна быть,- таким образом, корнем характеристического уравнения:
12
«22+ Г
"¦in
ап1.
A35)
Обратно, всякому корню г этого уравнения соответствует но крайней
мере одна система решений уравнений A34): -а,, а2,..., ая, где не
все at равны-нулю, и следовательно, система интегралов вида A33) урав-
уравнений A32). Если характеристическое уравнение имеет п различных, кор-
корней -/-j, т2, ... , гп, мы получим таким способом п систем частных инте-
интегралов. Эти системы различны; действительно, в противном случае мы
имели бы соотношение вида:
с постоянными коэфициентами С,, С2, ... , Сп, из которых по крайней
мере один отличен от нуля, а мы видели (§ 405), что такое соотноше-
соотношение невозможно.
Если гЛ есть кратный корень порядка р характеристического
уравнения, то уравнения A32) допускают р различных систем инте-
интегралов вида:
уг = ew Рг (х\ jf, = е^ Р2 (х), ...., уп = «** Рп (х),
где Рг, Р2, .... Рп — многочлены степени не выше п—1, зависящие
от р произвольных постоянных.
Теорема доказана для р = \, поэтому достаточно показать, что, если
она верна для корня кратности р—Л, то она будет верна и для корня
кратности р. Для доказательства мы можем предположить, что г3=0;
действительно, если заменим _у, через eriXzt\-To коэфициенты utll(i^=k) не
изменятся, а коэфициенты ац заменятся через ait.-\- гл.
Характеристическое уравнение новой системы будет /г(г-|-г,) = 0;
оно допускает г=0 в качестве кратного корня порядка .р. Предполо-
Предположим что мы заранее сделали это преобразование. Уравнения A32) допу-
допускают частную систему интегралов:
где av аг, ..., <хп — постоянные, не все равные нулю. Допустим для

§ 420
IV. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
161
определенности, что аг отлично от нуля, тогда можно предположить,
что ал = 1. Сделав замену переменных
мы приходим к новой системе линейных уравнений с постоянными
коэфициентами, допускающей решение К, = 1, К2 = 0, . . ., Уп = 0:
A36)
где новые коэфициенты имеют следующие значения:
Ап = ai2 — аАг> • • • > Аы = ат ~ а,алп
Характеристическое уравнение этой новой системы
*12
О «2Э —
0 «32 — ЯЗа12
*18
а32 — а3а13 -f г ... а3п-
0 ап1~
для /
1.
= 0
тождественно с характеристическим уравнением F(r)==0 . первой
системы.
Действительно, если к элементам t-й строки (г'^>1) прибавим эле-
элементы первой строки, умноженные на at, уравнение F^ (г) = 0 обра-
обратится в
* »1О "" I О • • • »1-
332
«
23
Чп
«¦•
•з
лпЪ
= 0.
Если мы теперь вычтем из элементов первого столбца, эле-
элементы второго, умноженные на а2, элементы третьего, умноженные
на а3, ... , элементы я-го, умноженные на ап, то- получим
первый столбец определителя F(r), если примем во внимание соот-
соотношения
= ° (»=1. 2,..., п).
11 Э. Гурса, т. II, ч. 2.

162 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЁРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 424
Итак, имеем.тождество F1{r) = F(r)* и, следовательно, уравнение(л — 1)-й
степени
^22 ~Т Г 3 • • ¦ . ^2
= 0, ' A37)
Л А Л
П32 ";!3 + г
1 А А
42 "яЗ ' ' ' - "гп + г
допускает корень г==0 кратности />—1. Но уравнение F2(r) = 0 есть
характеристическое уравнение для системы, полученной отбрасыванием
первого уравнения' преобразованной системы A36). Так как теорема
предполагалась верной для корня кратности р — 1, то эта вспомогатель-
вспомогательная система имеет систему частных интегралов:
где Q2, ... , Qp—многочлены степени не выше р — 2, линейно завися-
зависящие от р—-1 произвольных постоянных. Заменяя Y2, ... , Yn через
Q2, ... , Qn в первом уравнении системы A36), мы. выводим, что
г с
A38)
где С, — новая произвольная постоянная. Соответствующие интегралы
системы A32) будут иметь вид:
где Рг, Р2, ... , Рп—многочлены степени не выше р — 1, линейно
зависящие от р произвольных постоянных. Итак, теорема доказана.
Для фактического вычисления этих интегралов предыдущие преобра-
преобразования не нужны. Если. гл—кратный корень порядка р уравнения
/?(г) = 0, то полагаем:
Л -т •'•—6 * *"\ \"/» • • • 1 * *1 "" G Ж ('Л),
где Ру, ..., Рп — многочлены степени р—1 с неопределенными коэфи-
циентами. Подставляя эти интегралы в заданные уравнения, предполагая,
что они удовлетворяются, мы получим некоторое число соотношений
¦ Во бще, если мы произведем над переменными любое линейное преобразование с постоян-
постоянными коэфицментами
Я = »цК, + Ь|,Г!+ ... + binYn (,=1,2 а),,
детерминантом | *;& |, отличным от нуля, то система A32) заменится нов й линейной системой
посгояниыми коэфициентами D21):
? + ,-. + АщГп=0 .(/=1, 2,... , л).
Пусть Ф (г) —характеристический определитель новой системы; для любых козфициентов Ь-,и иы
будем иметь P(r)=F(r). Это свойство очевидно в силу значения корней уравнения F(r)=0, Korja
корни этого уравнения различны, т. е. когда коэфициенты ац{ с. стемы A32) не удовлетворяют соот-
соотношению:
?>(„, о,,,.... oln)=0. ( )
показывающему, что F(г)=0 имеет кратные корни.
Отсюда мы выводим, что это свойство общее, при помощи метода, часто употребляемого
в вопросах этого рода.
Пусть /рЮ„. •••• Опп)— коэфициент при гР в F(r) и тр (д,„ ... , <%„) — коэфициент при гР
в Р(Г). Всякий раз, когда коэфициенты о|( апп ие удовлетворяют соотношению (и), мы имеем
равеист о fp(r)=*<?p(r). Но это может иметь место только в том случае, если /„=!р„ — тождество
хак какув и фь — целые многочлены по о„. я„,..., ат.

4 420 -421 IV. СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 163
между неопределенными коэфициентами, которые позволят выразить их
все через р из них, которые останутся произвольными.
Каждый корень уравнения F(r) = 0 дает нам столько систем инте-
интегралов, какова кратность этого корня, поэтому всего мы получим п систем
интегралов и докажем так же, как и ранее, что они различны.
421. Приведение к каноническому виду. Всякая линейная система с постоян-
постоянными коэфициентами может быть приведена к простому каноническому виду,
и интегрирование выполняется непосредственно.
Представим эту систему в несколько ином виде:
...+altyn, )
... 4 а2пу ,
:'=~У • Пусть будут К], Y-2, ... , Yn линейные функции от уь Уь ..., уп
с постоянными коэфициентами:
*/= Ьцу, + ЬяУа +...+ Ьтуп (/= 1, 2 п), A41)
где 6/)!г — постоянные, определитель которых отличен от нуля. Система A40) обра-
обратится в систему того же вида:
Yj = AnYl + A22Y2+...+A2nYa,
которую получим, заменяя в выражении Y/
Yi—biiyi' \ bny.i'+ ...+blnyn'=bn (auyl + aliyi + ... + atn yn) -(-...
• • • + bia (aniyi + aniy.2 + ... + aanyn)
функции ylt j/3> ... , ya их значениями, выведенными из формул A41). Если бы
мы рассматривали формулы A40) как определяющие линейную подстановку для
переменных у{, у.2 у„, a Y{, К2 Yn, как п новых переменных, то преды-
предыдущие вычисления представили бы решение задачи об определении линейной под-
подстановки для переменных Ylt Y2 Yw соотве!ствующей линейной подста-
подстановке A40). Но выше мы видели (§ 410), что, выбирая соответственным образом
переменные Yb мы можем привести всякую линейную подстановку к простому
каноническому виду *; при этом переменные распадаются на несколько отдельных
групп, и подстановка .тля р переменных К4, К2, ... , Yp одной и той же группы
имеет вид:
Yi =s Yv K2'=s (Yx + К,), ..., Y'p*=s (Yp_l + Yp). A43)
Следовательно, всегда можно соответственною заменою переменных вида A41)
привести интегрирование системы A40) к интегрированию нескольких систем
вида A43), где Y,' = jj'.
Интегрирование системы A43) выполняется непосредственно, но предпочти-
предпочтительнее привести ее к несколько иному каноническому виду. Положим для этого
Y ' (^0), тогда система A43) обращается в
dzn ,,,
^-->d-^SZP + ZP-i- A44.
* Выше мы предполагали, что определитель подстановки не равен нулю, тогда как определи-
определитель, составленный из коэфициенгов ац,, может быть равен нулю. Но, сделав подстановку yi = e "">(,
мы уменьшим коэфициенты allt а.п* ... , опп иа X, тогда как коэфициенты оц, где i^k, не изме*
иягся. Следовательно, всегда можно выбрать X таким образом, чтобы определитель, составленный
из новых коэфициеитов, был отличен от нуля.
U*

164 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 421-422
Этот новый канонический вид не изменяется при умножении всех неизвест-
неизвестных функций на множитель е** и замене s через s + X, и следовательно, приме-
применим также и к тому случаю, когда характеристическое уравнение имеет нулевой
корень.
Общий интеграл системы A44) представится формулами:
g^-вх^с-ц^^ + C2^^j+...+?,-!•*+С, A = 1, 2, ...,/>),
или равносильными формулами, которые получим, решая предыдущие равенства
относительно постоянных С,-:
3 — xz2 + y-^
вообще, *> A45)
[- **,_, +^г/_,-...+ (- 1)'-' ff^j, г,] е~«=С, (*=1, 2 p).j
422. Уравнение Якоби. Возвратимся к системе трех линейных уравне-
уравнений с постоянными коэфициентами; представим ее в виде:
dx it,
~di = аХ ^ У Сг'
dz
—
A46)
где t — независимое переменное. Сложим эти три уравнения, умножив их,
соответственно, на у dz—zdy, г dx — xdz, xdy — ydx, мы получим:
(ax -\-by-\-cz) (у dz—zdy) + (axx -f Ь^-\-сгг) {zdx — xdz) -\- \
-\-(aix-\-b2y-\-c22)(xdy — ydx):=0. (K )
Это уравнение однородно относительно х, у, s, и следовательно, его
х у
можно заменить соотношением между — и — . В самом деле, полагая
Z Z
в нем x = Xz, y=Yz и деля на г3, получим уравнение Якоби (§ 367
и 377):
-(aX+bY+c)dY+(ihX+b1Y+cJ)dX+\
K }
Пусть будут x=f(t), y=y(t), z=ii{t) интегралы уравнений A46).
При изменении t точка с однородными координатами х, у, z I ее де-
декартовы координаты суть Х= —, Y= — 1 описывает некоторую плос-
z z I
кую кривую Г, представляющую, как это следует из предыдущих вычис-
вычислений, интегральную кривую уравнения Якоби A48). Следовательно, инте-
интегрирование уравнения Якоби приводится к интегрированию системы A46),
т. е. к решению уравнения третьей степени, как мы это обнаружили
другим способом (§ 367).

§ 422—423
IV. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
165
Если характеристическое уравнение имеет три различных корня s,, sit s3, то
на основании рассуждений предыдущего параграфа общий интеграл системы A46)
имеет вид:
Pe-*'=Clt Qe-*t=C2, Re-^—Сз, (I)
где Р, Q, R — однородные линейные функции относительно х, у, г. Отсюда
нетрудно получить однородное выражение нулевой степени, не содержащее пере-
переменного t:
Р'з~s, QJ,-ssRs,-sl==f(t ф
и мы приходим к формуле, уже найденной выше другим методом.
Нетрудно также исследовать случаи, когда характеристическое уравнение
имеет двойной или тройной корень; мы рассмотрим только тот случай, когда фор-
формулы, представляющие общий интеграл, образуют две или одну группу. В первом
случае эти формулы имеют вид:
а во втором:
е-Ы — Сь (Q - tP) e-tf = С» Re-»t=Ca,
=Cb {Q-tP)e-«t=Cb
-tQ
(II)
(III)
где Р, Q, R попрежнему обозначают однородные линейные функции переменных
х, у, г. Исключая t hi формул (И), получим однородное соотношение нулевой
степени, не зависящее от t:
а из формул (III) — соотношение
ы
Соотношения (а), (^), (y) представляют три возможных вида общего интеграла
уравнения Якоби.
423. Системы с периодическими коэфициентами. Рассмотрим систему трех
уравнений вида A46, но в которых коэфициенты а, Ь, с,... суть непрерывные
функции переменного t, и^еящие период со > 0.
Пусть будут (xlt ylt zt), (хь у.2, г2), (х3, у3, г3) три независимые системы
интегралов; функции
X-iW = xt(t+ «), Yt (t = у,(< + •-, Z,(t) = ztV + «)
также образуют систему интегралов, и следовательно, мы имеем три группы соот-
соотношений вида (§ 41Ь):
Xi—ailxl
i= I, 2, 3),
A49)
= aiizi
где а^ — постоянные коэфициенты, определитель D которых не равен нулю
в самом деле, мы имеем соотношение:
Y,
X*
У\ z,
Уг Ч
Уз гз
и, принимая во внимание формулу A25) и повтори: прежние рассуждения (§ 400
и 418), получаем:
A50;

166 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 423—424
Следовательно, когда переменное t возрастает на период <о, функции xl{f),
•*а W> хз (') переходят в функции Xlt Х$, Х3 посредством следующей линейной
подстановки, определитель которой не равен нулю:
ai3x3,
A51)
X3 = a3ix{ + апхц + a33x3.
Для двух других систем функций имеют место такие же преобразования Но
мы знаем, что можно заменить три интеграла jc,, jc2, x3 их тремя независимыми
линейными комбинациями с постоянными коэфициентами таким образом, чтобы
формулы A51), определяющие новую ли тйную подстаноьку, получили простой
канонический вид. Взяв те же линейные комбинации функций (ylt у.2, у3) и
(г4, Z2, 23), мы получим три системы функций, которые преобразуются о.ною и
тою же линейною подстановкою канонического вида, когда t изменяется в t-\-v>.
Очевидно, что это рассуждение имеет общий характер и применимо ко вся-
всякой однородной линейной системе с п неизвестными и с периодическими коэфи-
коэфициентами. Пусть будут у{, >'2 уп неизвестные функции; можно определить
я таких независимых систем интегралов уи, уш yni (i= I,- 2 п), чтобы
п функций ykl, yki, ..., уы превращались в другие функции некоторою линей-
линейною подстановкою канонического вида, когда t изменяется в t -\- ы>, причем эта
линейная подстановка — одна и та же для всех указателей к. Отсюда получаются
такие же следствия, как и выше (§ 416); все интегралы выражаются через про-
произведения показательной функции вида в*' на периодические функции от t или,
общее, на многочлены от t, коэфициенты которых суть периодические непрерыв-
непрерывные функции от t.
Пусть будет
у и = e*tzit yit — etzi, ... , yni~ e^zn
частная система интегралов, где zit zit ... , га суть многочлены относительно t
с периодическими коэфициентами, из которых по крайней мере один имеет cie-
пень р, и нет ни одного по степени выше р. Из этой системы интегралов можно
составить р—1 других систем вида:
yip = е*Ш- » *„ yip = e*D 0>- 0 г2 ynp = fiD^-0 zn,
где производные ?Х') zk взяты при условии, что периодические коэфициенты
при степенях переменного t рассматриваются как постоянные (§ 416). Таким
образом все системы интегралов данных уравнений можно вывести из несколь-
нескольких из них. Действительное определение этих интегралов, относительно которых
мы знаем только их аналитический вид, прежде всего зависит от решения неко-
некоторого алгебраического уравнения л-й степени, которое и здесь называется
характеристическим уравнением системы. Коэфициенты этого уравнения можно
получить, вообще, только посредством приближений, как и в случае одного
уравнения 'и-го порядка (§ 41/).
424. Приводимые'системы. Рассмотрим систему однородных линейных урав-
уравнений вида A40), коэфициенты которых суть ограниченные, неп( ерывные дей-
действительные функции действительного переменного t при всех значениях этого
переменного, больших некоторой границы ta. Произведем над этою системою
преобразование вида:
Zi = bilyl + 6Aj/9 + ... + binya (/= 1, 2, .... л), A52)
где коэфициенты bik удовлетворяют следующим условиям: 1) при t^>tQ они суть
ограниченные непрерывные действительные функции переменного t; 2) они
имеют производные, удовлетворяющие тем же условиям; 3) обратное значение
определителя, составленного из Ьц, ограничено Если мы примем функции zt за
новые неизвестные, то ясно, что система A40) превратится в линейную систему
юго же вида, как и первая. В самом деле, мы имеем:

§ 424 IV. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 167
отсюда, Заменяя yit j/a',..., уп' их выражениями из уравнений A40), получаем:
причем коэфициенты cik обладают теми же свойствами, как и коэфициенты aik.
Теперь остается только заменить в этих новых формулах у±, у$, ..., уп их выра-
выражениями в функции новых неизвестных zlt z2, ..., zn из формул A52).
Если возможно выбрать коэфициенты bik преобразования таким образом,
чтобы новая система была системою с постоянными коэфициентами, то Ляпу-
Ляпунов называет такую систему приводимою *.
Всякая система, коэфициенты которой суть функции непрерывные, дей-
действительные и периодические с общим периодом <о, — приводимая.
В самом деле, рассмотрим сопряженную систему, которая есть, также
Система с периодическими коэфициентами. Пусть будет s корень характеристиче-
характеристического уравнения и а соответствующий характеристический показатель. Чтобы
вз.1ть самый общий случай, предположим, что этому показателю а соответствует
группа из р частных систем интегралов рассмотренного выше вида (§ 423). Сле-
Следовательно (§ 419), из этой группы интегралов сопряженной системы мы
получим р линейных первых интегралов данной системы вида:
Ь У„г„) = Сь
е-' Lv,D (z,) + У-iD (z2) + ... + ynD (*„)] = Сь
е* [ytD(p -О (*) + y2Dip- 0 W) + ... + yjto- й (*„)] = Cp,
где z{, Zy, ..., za — многочлены относительно t не выше (р—1)-й степени с
периодическими коэфициентами, и производные DM) (zk) взяты при условии, что
эти коэфициенты рассматриваются как постоянные. Располагая эти первые инте-
интегралы по степеням t, мы можем представить их иначе в виде:
A53)
tp-
(р-
21)!
2)!
\
где Ylt Kg, ... , Yp суть независимые линейные комбинации с периодическими
коэфициентами переменных yit уь ... , ур; в самом деле, если бы Yb Y2, ... , Yp
не были независимы, то мы получили бы из формул A53) соотношение между
произвольными постоянными Ct, С9,... , Ср и переменным t. Если мы примем
выражения Y{, К2, . ., Yp за новЫе неизвестные, то формулы A53) представят
как раз общий интеграл системы линейных уравнений (§ 421)
Применяя те же рассуждения ко всем группам первых интегралов, опреде-
определяемых группами интегралов сопряженной системы, мы видим, что данная
система переходит в линейную систему с постоянными коэфициентами посредст-
посредством преобразования вида
У) — UУ1 + ЫУ-2+ г- tmУп- A55)
где коэфициенты yik суть периодические функции с периодом со.
Обратное значение определителя D коэфициентов <p,ft ограничено при t > <0;
чтобы это видеть, достаточно показать, что этот определитель D не может обра-
обращаться в нуль при t > <0. Рассмотрим для этого п независимых систем интегра-
интегралов (уп у!-) первой системы и п соответствующих систем (Ya Yin)
преобразованной системы. Определитель -О равен частному от деления опреде-
* А. М. Л я п у н о в, Общая задача об устойчивости движения, издание Харьковского мате-
математического oeuiec^rBfr.

168 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 424
лителя из Yik на определитель из у1к, а мы знаем (§ 418), что при всяком конеч-
конечном значении t два последних определителя имеют конечные значения, отличные
от нуля; следовательно, между <0 и <„ -f- и абсолютное значение определителя D
остается большим некоторого положительного минимума.
Чтобы закончить доказательство, мы можем предположить, что характеристи-
характеристическое уравнение сопряженной системы не имеет действительных отрицатель-
отрицательных корней, так как достаточно рассматривать период '2<о вместо периода ш,
чтобы заменить этот корень его квадратом [§ 416, уравнение (ПО)]. ЕсЯи характе-
характеристическое уравнение имеет только действительные положительные корни, то
очевидно, что можно предположить, что все функции <fik в формулах A55) дей-
действительны, и это преобразование удовлетворяет всем требуемым условиям.
Кроме того, все характеристические показатели будут действительны, и Преобра-
Преобразованная система будет иметь действительные коэфициенты. Но, если характери-
характеристическое уравнение сопряженной системы имеет сопряженные мнимые корни,
то к каждой группе из р таких линейных комбинаций, как Ylt Y2 У„, куда
входят мнимые количества, можно присоединить группу, составленную из мнимых
сопряженных количеств, и ясно, что, комбинируя эти новые переменные попарно
и произведя над ними преобразования вида A52) с действительными коэфици-
ентами, мы и здесь придем к системе с действительными постоянными коэфи-
циентами.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Проинтегрировать линейные уравнения:
yiv) _ 2у" + у = Ае* + Be-* + С sin x + D cos x, у<У) -\- у" = х,
у.. _у/ _^_ у _у _ 2еХ _ 4 cos х,
у'" — ЗУ + 2у = (ах + Ь) е* + се-^х,
х*у'" — 9ху" + 9/ =г 1 + 2х -j- 3*2 Lqg x,
х* + рх+ q,
7ху' —8у = х* — 2х,
X
Х2у"-3ху' + 4у=#+\ " ,
J у 14- х*
о
хзу'" — 9х*У — 37ху' — 64у =се* [а 4- b Log x 4- с (Log х',Ц,
Ixy' — 2y = x cos х — sin x.
Доказать, что, если функция/(.г) голоморфна в области начала координат, то
последнее уравнение имеет частный интеграл, голоморфный в той же области.
2. Проинтегрировать системы линейных уравнений:
dy dz n dz dx dx dy . . . ч
ш
(т)
j_3y + 8*-4«:=0, l+y-
dx dx
(9)

§ 424 IV. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 169
У-а+1)У-2*-г-2A-1)и = 0, ,
г'+Ху + г + 2(Х-1)и = 0, \ (Г)
и' + Ху 4- BХ — 1) н = 0. J
3. Найти общий интеграл уравнения:
Bх + \)у" + Dдг —2)/ — 8у= F**4- * - 3) е*.
если известно, что уравнение без правой части имеет частный интеграл вида е™*,
где т — постоянное.
4 Доказать, что диференциальное уравнение
(Д5«-1)У = Я(Я+1)Л
где п — целое положительное число, имеет интегралом некоторый многочлен
у, — Р(х). Вывести отсюда второй интеграл того же уравнения
где Q (х) — также многочлен.
5. Доказать, что линейное диференциальное уравнение
где ц и v — целые положительные числа, имеет интегралом некоторый многочлен
_у, = Я(дс). Вывести отсюда второй интеграл того же уравнения у% — е*(){х), где
Q(x)— также многочлен.
6. Найти необходимое и достаточное условие того, чтобы линейное уравне-
уравнение У + ру' + qy = 0 имело два независимых интеграла у, и j/2> связанных
соотношением _j/t_ya = 1. Предшлагая, что р = , найти коэфиииент q и общий
X
интеграл.
7. Вывести формулу B3) стр. 115 из выражения A1) (§ 400) для определи-
определителя Д (у„ уз уа).
8. Показать, что уравнение Бесселя
имеет частным интегралом функцию, представляемую определенным интегралом
1
_у, = \ A — z2)"* cos хг dz.
если действительная часть числа т больше, чем —1. Если т есть целое положи-
положительное число, то этот интеграл имеет виц (т. I, § 1, упражнение 21):
2-4-6 ... 2m(Usinx + Vcosjc),
где U а V—многочлены относительно — с целыми коэфициентами, и общий
интеграл есть
y = C{Usinx+ Vcosjc) -{-C'iVsmx— Ucosx).
[Эрмит.|
9. Показать, что, полагая у = tz, можно привести интегрирование системы
линейных уравнений:
df- 4- ay + Ъг = 0, dd2x 4 а,у + btt = Q,
где а, Ь, а?, 64 — функции от х, к интегрированию уравнения Риккати

170 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 424
и к вычислению интеграла
J (а+*,)**.
(См. вторую выноску § 432.)
10. Доказать, что отношение z двух независимых интегралов линейно: о
уравнения
удовлетворяет диференциальному уравнению третьего порядка:
г'" 3 /*"\« 1 . ...
11. Дано диференциальное уравнение
х(у"-у)-ау = 0, (Е)
где а — постоянное; найти такой путь интегрирования L, чтобы функция у (х),
представляемая определенным интегралом
у (х) =
(l)
была частным интегралом уравнения (Е), Доказать, что, если число а — целое, то
уравнение (Е) имеет частный интеграл, не содержащий знака квадратуры; выве-
вывести отсюда общий интеграл и выразить его через возможно меньшее число
трансцендентных функций.
12. Определить функции P(t) и Q (t) так, чтобы функция у, представляемая
формулою:
х х
у=(х~а) J/ (о р (о л + (х - b) J/¦ ю Q @ at,
Ь а
была интегралом диференциального уравнения у=/(;к) при всяком виде функ-
функции f(x).
13. Доказать, что общий интеграл линейного уравнения
ху" т [п + хР (*)]У + х"+« Q (дг) у = 0,
где функции Р (л) и О (лг) голоморфны в области начала координат, однозначен
в этой области (число п — целое, большее единицы).
14*. Доказать, что уравнение вида
,-,g-+ -,-¦ о. и?Й +. •+*<?-.—и?Jf + Q~,w g + -
где функции Qi, Qz, ..., Qn големорфны в области начала координат, имеет
интеграл, голоморфный в этой области, причем можно задать произвольно значе-
значение эгого интеграла и его р—1 последовательных производных при х = 0, если
ни одно целое число, большее, чем (р—1), не будет корнем уравнения
(г -/>)... (г - п + 1) + <?, @) (г -/>)... (г - л + 2) + ... -f Qn-P @) = 0.
[Г у р с a, Annales de I'Ecole Normale, 1883, стр. 265.]
Применяя прием, аналогичный приему § 412, мы сведем дело к доказатель-
доказательству того же предложения для уравнения вида
dPu M /dP~lu du
dxP x \dxP-i dx
г
где
«= у -f- ху' -f- ... -\- хп—Ру№-р,

§ 424 IV. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 171
15*. Пусть будет (Е) система четырех линейных уравнений, тождественная
со своею сопряженной системою (§ 419):
?^ — а,ч У, + аау, + ату3 -+ аа yit aih + аы = О (г = 1, 2, 3, 4). (Е)
Эта система имеет первый интеграл ур-\- у?-\- у$ -\- у^ = С. Если С=0, то мы
удовлетворим предыдущему соотношению, полагая
Л = Р (ч — 5), Л = ?A+^), J'8
внося эти выражения для ylt yit у3, у4 в уравнения (Е), получим систему трех
уравнений:
= (« + ia) A - 5) + 2/o -f (а34 + iau) (n ¦+ 5),
+ «24) A - Ч2) + 2i (а32 + а14) т),
+ а^) A - &) + Я (а3
из которых два последних суть уравнения Риккати. Пусть будут ri—f(x, Ct),
d = ip (.*:, Са) общие интегралы этих двух уравнений; тогда общий интеграл урав-
неная относительно р определится формулою:
гГурса, Comptes rendus, т. CVI, стр. 187 и т. CXLVII1, стр. 612.]
16. Доказать равенстао, в котором левая часть содержит п знаков интеграла:
К X X X X
i j* ?- (jf) dx j f (x) dx ... J ?' (jc) dx J / *) d^= (^jj-, J I ? W —f (y)\n~4{y) dy,
Xq Xq Xq Хц Xq
показав, то обе части суть частные интегралы одного и того же линейного
дифгренциального уравнения л-го порядка, удовлетворяющие одним и тем же
начальным условиям.
17*. Доказать, что интеграл f (х, а) линейного уравнения F(y) = Q (стр. ИЗ),
рассматриваемый как функция .переменного о есть интеграл сопряженного
уравнения G(z) = 0, где х заменено через а.
[Чтобы доказать это предложение, заметим, что интеграл уравнения F(y) — Q,
принимающий вместе со своими п — 1 последовательными производными при
х = хп те же значения, как функция я (х) и ее п — 1 последовательных произ-
производных, имеет выражение
X
(X, a)da,
где z = ti(a). Интеграл, стоящий в правой части, должен зависеть только от it(jc),
я (Xq), ti'(jc0), ... , v.fa-0 (хв). Но его можно представить также в виде [§ 4-4,
формула C2)]:
х х
j F (z) f (X, a) da = | Ф [z, f {X, a ]} ""^ - J zG [, (jf, a)] da,
х„ ¦ x0
и ясно, что предыдущее условие удовлетворится только в том случае, если
G[f(x. a)] = 0. Отсюда нетрудно вывести, что функции <ц (х), определяемые
уравнениями (А) (выноска на стр. 113), образуют фундаментальную систему инте-
интегралов сопряженного уравнения ]

ГЛАВА XXI.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
I. ОСОБЫЕ НАЧАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ.
При доказательстве существования интегра~ьных функций, принима-
принимающих данные начальные значения, существенно предположение, что пра-
правые части данной системы уравнений голоморфны вблизи этих начальных
значений (§ 383). Здесь мы исследуем, ограничиваясь только одним
уравнением, несколько простых случаев, когда это условие не удовле-
удовлетворяется.
425. Случай, когда первая производная обращается в бесконечность.
Рассмотрим уравнение первого порядка
dl=f(x,y), A)
dx
правая часть которого f(x, у) обращается при значениях х — х0, У=У0
в бесконечность и притом так, что обратное значение
голоморфно вблизи х = х0, у==у0. Рассматривая у как независимое
переменное, а х как неизвестную функцию, мы можем представить преды-
предыдущее уравнение в виде:
Но, по предположению, правая часть ^(х,у) голоморфна при л: = л:0,
у=у0; поэтому к уравнению B) применима теорема Коши: существует
интеграл, и притом только один, стремящийся к х0, когда у стремится
к у0, и этот интеграл голоморфен в области точки у0. Так как
-- =?1(х, у) равно нулю при дг = дг0, У=У0 (в противном случае
функция f{x, у) была бы также голоморфною), то разложение функции
х — х0 в целый ряд по степеням у — у0 необходимо начинается с члена
не ниже второй степени. Пусть будет
C)

§ 425-426 I. ОСОБЫЕ НАЧАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 173
это разложение; из формулы C) получаем обратное разложение у—у0
по степеням (х— хо)т (§ 356):
у—Л = М* — -*Ь)*+ «*(* —*..)••+•.. К^О). D)
Следовательно, уравнение A) имеет интеграл, и притом только
один, стремящийся к у0, когда х стремится к хс, и точка х0 есть
для этого интеграла алгебраическая критическая точка *.
426. Случай, когда значение первой производной неопределенно.
Полное исследование всех случаев, когда значение первой производной
неопределенно, значительно сложнее. Мы начнем с уравнения, изученного
Брио и Буке **:
ху — Ьу = а1йх -)- а2Ох* -\- апху -\- aQiy2 -[-...= <р (х, у), E)
где правая часть голоморфна в области точки х=у—0. Посмотрим,
имеет ли это уравнение голоморфный интеграл, обращающийся в нуль
вместе с х. Для этого подставим вместо у в обе части уравнения E)
целый ряд:
у = с,х±сгх*-\-...+спх"-{-...; F)
после подстановки найдем, что коэфициент при хп в левой части равен
(п — Ь) сп, а коэфициент при хп в правой части есть некоторый много-
многочлен
"n\aw а20> • • • > аол> ci> •' • » cn-v>
все коэфициенты которого суть целые положительные числа, и который
содержит только коэфициенты с,, с2, ... , сП_Л и коэфициенты aih.
Таким образом для последовательного определения коэфициентов ряда F)
мы получаем рекуррентное соотношение
(я — b)cn = Pn(aw a2Q, ... , аОп; сг, с2, ... , сп_Л) (я = 1, 2, ...), G)
из которого можно последовательно определить все эти коэфициенты,
если только b не равно целому положительному числу. Устраним пока
из рассмотрения этот случай; тогда из соотношения G) будем иметь:
и т. д. Сумма ряда F) представляет интеграл уравнения E), обращаю-
обращающийся в нуль вместе с х, если только этот целый ряд имеет радиус
сходимости, отличный от нуля. В самом деле, тогда мы имеем право
произвести все вычисления, при помощи которых мы определили коэфи-
коэфициенты этрго ряда (т. I,. § 183).
Чтобы доказать, что ряд F) — сходящийся, заметим сначала, что,
когда п принимает все целые значения 1, 2, 3, ... до бесконечности,
* Геометрически эго значнг, что через точку (х0, _у0) проходит интегральная кривая, и при-
притом только одна; точка (ха, у,,) есть обыкновенная точка этой кривой, и касательная в этой точке
есть прямая х=х0. В теореме предполагается, чго функция /< (х, у) не обращается в нуль при
х—Хй тождественно, т. е. для всякого значениям; в самом деле, в эгом случае интеграл уравне-
уравнения B), принимающий значение лг0 при ^=у0, обращается в х=х„ и уравнение A) не имеет инте-
интеграла, стремящегося к у0, когда х стремите и к х0.
** Journal de I'Ecole Polytechnique, т. XXI, 1856.

174 ГЛАВА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ- § 42В
дробь . -, которая по предположению не обращается в бесконечность,
стремится к нулю. Следовательно, модуль этой дроби имеет некоторый
1
максимум -|-, и мы имеем при всяком значении целого числа ,п нера-
В
венстви.
1
п — b
* С другой стороны," пусть будет
Ф (*, Y) = Aox-\-A0x* + AuxY+Am У* + ... + Aikx<Y>* + ...
усиливающая функция для <р(лг, у), не содержащая ни постоянного
члечт ни члена с У; например, можно взять функцию вида
но для дальнейшего рассуждения нет необходимости точно устанавливать
вид этой функции. По общей теореме о неявных функциях (т. I, § 184;,
вспомогательное уравнение
ВУ=Ф(х, У) (8)
имеет голоморфный корень, обращающийся в нуль вместе с л:. Пусть
будет
«-1-... (9)
разложение в целый ряд этого корня. Чтобы вычислить коэфицценты Ct,
можно подставить в обе части соотношения (8) вместо У разложение
(9); мы получим рекуррентную формулу
ВСп = Р„(А10, А2П,..., А(п; С„ С2, ... , '<?„_,), A0)
где Рп есть такой же многочлен, как и в формуле G), но в котором ал
заменены через Atk и ct — через С{.
Из самого выбора постоянного В и функции Ф (х, У) следует, что
Поэтому, если будет
то будет также и | сп | <^ Сп, так как все коэфициенты многочлена Рп
суть положительные целые числа. Но мы имеем |а]0|^Л10, и следова-
следовательно, ICjKC1,; отсюда мы заключаем, чтр ряд (9) есть усиливающий
для ряда F); следовательно, ряд F) — сходящийся в области начала
координат. Таким образом, если коэфициент b при у в уравнении E) не
раем целому положительному числу, то это уравнение имеет один
и только один голом рфный интеграл, обращающийся в нуль вме-
вместе с х.
Чтобы закончить изучение голоморфных интегралов, обращающихся в нуль
вместе с х, осается еще рассмотреть тот случай, когда b равно целому положи-
тельноиу числу. Предположим сначала, чю & = 1; тогда первое из соотношений

§ 4?6 I. ОСОБЫЕ НАЧАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 175
G) привадится к а10=0. Следовательно, если а(о не равно нулю, то голоморф-
голоморфного интеграла, удовлетворяющего данным начальным условиям, не Существует.
Если же а@ = 0, то, полагая у = 1х, мы придем к уравнению:
„Х + а02Хз + ..., A1)
причем функция <[> (дс, X) голоморфна, если |дг|</-, |Х|<Л, где л и Л — поло-
положительные чи^ла, выбранные соответственным образом. Но уравнение A1) имеет
бесконечное множество интегралов, голоморфных в области начала координат,
так как при х — 0 можно в^ять для X произвольное значение Хо, соблюдая только
условие | Хо | < /V. Следовательно, в этом случае уравнение E) имеет бесконечное
множество голоморфных интегралов, обращающихся в нуль вместе с х.
Если Ь равно целому положительному числу, большему единицы, то коэфи-
циент при х в разложении голоморф шго интеграла, обращающегося в нуль при
дг = О, должен быть равен -—?—; сделав преобразование у = _|°. х -f- \х, мы.
придем к уравнению того же вида, у которого коэфициент при X равен Ь — 1;
1х' — F — 1) X = аю' х +а20' х* + ан'1х + ... ;
следовательно, посредством ряда преобразований этого рпда мы придем к только
что рассмотренному выше случаю. Таким образом, если Ь равно целому положи-
положительному числу, то уравнение E) или не имеет ни одного голоморфного инте-
интеграла, обращающегося в нуль вместе с х, или имеет их бесконечное множество.
Брио и Буке исследовали также, существуют ли интегралы не голоморфные,
стремящиеся к нулю вместе с х,. и доказали, что уравнение E) имеет бесконеч-
бесконечное множество таких интегралов, если действительная часть количества Ь поло-
положительна *. Эту теорему нетрудно доказать, пользуясь методом последовательных
приближений. Заметим сначала, что, если действительная часть количества Ъ
положительна, то, не уменьшая общности, всегда можно предположить, что эта-
действительная часть больше единицы, Ш (Ь) > 1. В самом деле, сделав в урав
нении E) замену переменного х ¦== х'п, где п — целое положительное число, мы
придем к уравнению того же вида, но в котором Ь заменено через пЬ. Таким
образом мы предположим, что Ш (Ь) > 1, и Ь не есть целое число. Как мы только
что доказали, уравнение E) имеет голоморфный интеграл ytJ обращающийся
в нуль вместе с х; полагая _у=_у,-f- и, мы приведем уравнение E) к ви1у:
хи' — bu = <f (x, yt + и) — f (x, y{) = ui/ [х, и).
Так как функция у (х, у) не содержит члена с у, то функция ф (х, и) не
содержит постоячного члена, и предыдущее уравнение можно представить иначе
в виде:
хи' — Ьи = и [ах -|— ры -)- ... ].
Положим, далее, й = Ъ;*, где 1 — новая неизвестная функция; тогда уравне-
уравнение примет вид:
У=Л(« + р)ис»-*+ ...)^±F(l, х, xb-i), A2)
где F обозначает целый ряд, расположенный по степеням X, х, хь~1. .Проведем
в плоскости переменного х из начала координат две полупрямые с аргументами
<о0 и ср! (о>о <С Ш1 <мо ¦+• 2п) и рассмотрим круговой сектор А, ограниченный этими
прямыми и дугою круга, описанного из начала координат радиусом, равным г.
Если д; остается внутри сектора А, и если, с другой стороны, модуль | X |
остается меньшим некоторо о положительного числа /, то, при достаточно малых
г и /, функция ^(Х, х, **-•) будет голоморфною **. Соединим прямолинейным
* Легко убедиться в справедливости этой теоремы в том случае, если b представляет собою
величину, обратную целому числу п. В самом деле, полагая в этом случае х=х'п (л > 1), мы при»
dy
ходим к уравнению х' -?¦—У=/(х, у), в правой части которого нет членов со степенью меньш й
п. я следовательно, как мы видели, оно допускает бесконечное множесво голоморфных относи-
относительно х' интегралов, обращающихся в нуль при л'=±0.
** Бслн х приближается к началу координат, оставаясь внутри сектора А, то производная от
функции F по х может обращаться в бесконечность, если действительная часть количества Ь—%
отрицательна, но в меч оде последовательных приближений эта производная не участвует.

176 ГЛАВА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЫШЕ УРАВНЕНИЯ § 426
отрезком начало координат с какою-нибудь точкою х сектора А и возьмем за
начальное значение переменного X произвольное значение4 \> модуль которого
| *0-| < /. Мы можем применить к уравнению A2) метод последовательных при-
приближений (§ 390); именно, рассмотрим последовательно интегралы:
$ 11 x,
О О
и, вообще,
X
Ь« = *о + ^(Ч|-о х, Xb
о
где все интегралы взяты вдоль проведенной нами прямой. Все основные предпо-
предположения, необходимые для доказательства, здесь имеют место; все функции \{х),
Х2 (х),... голоморфны в секторе А, и функция \п (х) стремится к некоторому
пределу А(х), если г достаточно мало. Поэтому уравнение A2) имеет интеграл,
голоморфный в секторе А и стремящийся к Хо, когда х стремится к нулю, и
следовательно, уравнение (э) имеет бесконечное множество интегралов, не голо-
голоморфных в области начала координат, стремящихся к нулю при приближении
точки х к началу координат и зависящих от произвольного параметра V Таким
образом теорема Врио и Буке доказана.
Условие, чтобы действительная часть количества Ь — 1 была положительна,
существенно. В самом деле, когда переменное х приближается к началу коорди-
координат, оставаясь внутри сектора А, то его аргумент- заключается между <о0 и <ot,
и его модуль стремится к нулю. Пусть будет х = ре'">, Ъ — l = [i-^-v/; мы имеем:
хЬ—1 = eW- + vi) (log ?+ Лч)— е i* log р - viu e / {v log p + |хш); A3)
если р стремится к нулю, причем <в остается внутри границу и ю{, то [ilogp — vo>,
оставаясь отрицательным., неограниченно возрастает по абсолютному значению,
и модуль I**-1! стремится к нулю, Напротив, если действительная часть количе-
количества Ъ — 1 отрицателььа, то» когда х, оставаясь в секторе Л, стремится к нулю, мо-
модуль | лс&— * 1 неограниченно возрястает; поэтому в этом случае функция F(k, x, х&~*)
уже не будет непрерывною в начале t оординьт, и предыдущее доказательство здесь
неприменимо.
Врио и Буке доказали, что, если действительная часть количества b отрица-
отрицательна, то уравнение E) не имеет другого интеграла, стремящегося к нулю
вместе с х, кроме голоморфного. Но их доказательство, очень похожее на дока-
доказательство, приведенное в выносье на стр. 55, содержит предположение, что пере-
переменное х стремится к началу координат вдоль пути конечной длины и с опреде-
определенною касательного в начале координат, и заключение Врио и Буке верно только
при этом условии. Чтобы дать понятие о трудности этого вопроса, рассмотрим
функцию хь и предположим, что действительная часть ц количества Ь отрица-
отрицательна, а коэфициент v при / отличен от нуля; тогда модуль | хь) равен ей- log p—vu>.
Если переменное х описывает кривую, неограниченно приближающуюся к началу
координат, то plogp действительно стремится к -f-co; но, если в то же время
абсолютное значение аргумента jo возрастает так, что разность ц log р — vo> остается
отрицательною и неограниченно возрастает по абсолютному значению, то
модуль | хь | будет стремиться к нулю вместе с | х \. Если v > 0, то достаточно,
чтобы переменное х описывало, например, логарифмическую спираль, предста-
VU) VII)
вляемую уравнением р^=е^, так как в этом случае мы имеем \хь\ — е "* ,
и, если аргумент <о стремится к + оо , то модуль | х | = р и модуль | xb \ сдно-
временно стремятся к нулю.
Если действительная часть количества b отрицательна, и вместе с тем дей-
действительная часть количества -.- отлична от нуля, то исследования Пикара
и Пуанкаре показывают, что уравнение E) имеет бесконечное множество неголо-
неголоморфных интегралов, зависящих от произвольного постоянного и стремящихся
к нулю, если переменное д: описываег щсн* подобный только чю указанному,
вдоль которого модуль | xb \ стремится к нулю. Противоречие между этим

§ 426—427 I. ОСОБЫЕ НАЧАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЙ if?
результатом и теоремою Врио и Буке — только кажущееся, так как в обоих слу-
случаях мы находимся в совершенно различных условиях. Заметим, в частности, что
если переменное х может принимать только действительные значения, то оно не
может бесконечное множество раз обходить вокруг начала координат, и, следова-
следовательно, если действительная часть количества Ъ отрицательна, то уравнение E)
не имеет никакого другого интеграла, стремящегося к нулю вместе с х, кроме
голоморфного.
Все эти выводы легко проверить на простом уравнении ху' = ах + by,
общий интеграл которого есть у = = -f Схь, если 6 — 1 не равно нулю,
1 ¦— о
и у ==ах Log х -f- Cx, если 6 — 1 = 0.
427. Мы дадим только некоторые указания относительно того случая,
когда мы имеем общее уравнение вида:
dy.__ ax-\-by-\-cx* + 2dxy-\-eyi± ... _ Y
( }
dx а'х-^-Ь'у + Сх* -\-2d'xvJre'y2-\- ... X '
где X и Y—целые ряаы, сходящиеся, если
\х\<г, \у\<г.
dy
Мы здесь предположили, что не уменьшает общности, что -— делается
&х
неопределенным при системе значений х—у = 0. Положим в уравне-
уравнении A4) y = vx; тогда оно примет вид:
dv a-\-bv — v(a! -\- ttv)-\-xy(x, v)
dx a' -j- b'v -J- x ф (x, ¦»)
где tp (x, •») и ф (х, г>) — целые ряды, сходящиеся, если одновременно
|х|<[г, | x»jc | <^г. Если уравнение A4) имеет голоморфный интеграл,
обращающийся в нуль вместе с х, то коэфициент при' х в разложении
этого интеграла должен быть корнем уравнения:
так как левая часть уравнения равна нулю при х = 0. Пусть будет vl
один из корней уравнения A6), Если мы положим v = v1 -J- и, то функции
<Р (х, v1 -f- в), ф (х, v1 -f и)
будут попрежнему правильными вблизи значений х = 0, ц = 0, и уравне-
уравнение A5) обратится в уравнение уже изученного нами вида:
если только ъл не обращает в нуль двучлена а! -\- b'v. Так как уравне-
уравнение A6) вообще второй степени, то мы видим, что уравнение A4)
можно привести к виду E) вообще двумя различными способами, и, сле-
следовательно, существуют, вообще, два и только два голоморфных инте-
интеграла, обращающихся в нуль при х = 0. Но эти заключения относятся
только к самому общему случаю, когда коэфициенты a, b, a', b' не удо-
удовлетворяют никакому особому соотношению.
Общее разыскание интегралов уравнения A4), голоморфных или
негояоморфных, стремящихся к нулю вместе с х (причем X и Y— пра-
12 э. гурсв, т. п, ч. г.

178 ГЛАВА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДЙФЕРЁНЦЙАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 42?
вильные функции, обращающиеся в нуль при х= v = Qi),' было, начиная
с мемуара Брио и Буке, предметом весьма многих работ. Хотя и уда-
удалось исследовать все более и более общие случаи, но задача до сих
пор еще не решена окончательно. Мы укажем только на одно ¦ замеча-
замечательное обстоятельство, с которым мы до сих пор не встречались ^Возь-
^Возьмем уравнение:
x*f-by = ax, A8)
dx
и буд.ем искать, как выше, голоморфный интеграл этого уравнения, обра-
обращающийся в нуль при лг = О. Определяя коэфициенты ряда F) подста-
подстановкою в уравнение A8), мы из условий тождественности получим:
а-\-Ьсг = 0, cJ = bc2, 2c2 = bcs, ... , ncn = bcn+v .. ;
отсюда имеем:
а а 2а 1 -2.. .п-а
С1 ~Ь > С2 ^2' 3 Ь3'"''' п + 1 Ь"*г
Таким образом мы, действительно, получаем единственное значение для
каждого коэфициента, но ряд, к которому мы приходим, — всюду рас-
расходящийся, кроме точки х = 0. В этом примере начало координат есть
трансцендентная особая точка для всех интегралов, как в этом можно
убедиться непосредственным интегрированием. Точно так же, точка л = 0
есть трансцендентная особая точка для всех интегралов уравнения
ху1 -\-у2 = 0, и все эти интегралы стремятся к нулю вместе с | х |.
Если переменные х и у могут принимать только действительные значения,
и если требуется построить интегральные кривые уравнения A4), то очень
важно знать,' какой вид имеют эта интегральные кривые вблизи общей точки
ооеих кривых Х=0, Y=0. Мы рассмотрим с этой точки зрения простое урав-
уравнение
dy ах + by
dx dx ¦+¦ b'y' \ '
которое можно проинтегрировать элементарным приемом (§ 364), полагая y = tx.
Для большей симметрии интегрирования заменим уравнение A9) системою
dx dy
где t есть вспомогательное переменное. Выше мы видели (§ 42Г, что эту систему
можно привести к простому каноническому виду, заменяя х и у их линейными
однородными комбинациями X и Y. Характеристическое уравнение здесь есть
оно не может иметь корня s —0, так как, по предположению, ba' — ab' не равно
нулю *. В зависимости от характера этих корней здесь, нужно различать
несколько случаев.
1. Если характеристическое ур внение имеет два действительных различных
корня st, sit то систему [2 ) можно привести к виду:
s^X~7iY==dt''
* Мы предполагаем, что уравнения ах + by = 0, а'х -f b'y = 0 не имеют общ х решений,
кроме х = 0 • у = 0.

§ 42? I. ОСОБЫЕ НАЧАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ i79
следовательно, данное уравнение обращается в
Общий интеграл определяется формулою:
Если sL и S.J .имеют одинаковые знаки, то Y стремится к нулю вместе с X; все
интегральные кривые пройдут через начало координат, которое называется узлом.
если же — отрицательно, то существуют только две интегральные кривые, про-
проходящие через начало координат, именно, прямые Л"=0, Y=0. В этом случае
начало координат называется седловиною (col.).
2. Если характеристическое урав ение имеет мнимые сопряженные корни
Рл в р/ (Р ф 0), то систему B0) можно привв! ти к виду-.
ЩХ+tY) d(X-iY)
— =dt
где X к Y суть линейные однородные многочлены с действительными коэфи-
циентами от переменных х и у. Эти уравнения можно представить иначе в виде:
dX dY _
аХ — рГ рЛЧ-аК
отсюда получаем:
XdX+YdY _XdY— YdX
а (X* 4- Y*) ~~ g (X* + Y*) '
Следовательно, общий интеграл уравнения A9) представится в виде:
r-Tr<)_^4arctg-
Если а не равно нулю, то все эти кривые имеют вид спиралей, неограниченно
приближающихся к началу координат как к асимптотической точке; в этом слу-
случае начало координат называется фокусом.
Если а равно нулю, то общий интеграл состоит из концентрических кониче-
конических сечений. Начало координат называется центром, но этот случай должно
рассматривать как исключение, так как для него требуется условие, выражаемое
равенством, именно: а' -)- Ь = 0.
3. Если характеристическое уравнение имеет двойной корень s, то этот
корень действителен и отличен от нуля, и система B0) приводится к виду:
** dY dt
sX ~~ s(X -t- Y)
dY Y
Уравнение A9) обращается в ^v = l +Tf > и общий интеграл есть Y=CX+
+ -X'Log X. Чтобы построить интегральные кривые^ можно выразить X и У
через вспомогательное переменное, полагая Х=е\ тогда К= Се6 + М. Если 8
стремится к —оо, то X и Y, а следоватетьно, также и х, у, стремятся к нулю;
здесь также начало координат есть фокус.
Предполагая, что х и у очень малы, мы можем рассматривать ах + by,
а'х 4- Ь'у как первые члены разложений функций в целые ряды; тогда предыду-
предыдущие результаты имеют место вообще для уравнений вида A4) в непосредствен-
непосредственной близости от начала координат.
Предыдущая классификация принадлежит Пуанкаре, который распространил
свои исследования на уравнения общего вида A4) с действительными коэфи-
циентами.
12*

180 ГЛАВА' XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 428
II. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ НЕКОТОРЫМИ УРАВНЕ-
УРАВНЕНИЯМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
428. Особые точки интегралов. Те разложения в ряды, посредством
которых мы доказывали существование интегралов системы аналитических
диференциальных уравнений, позволяют вычислять эти интегралы только
внутри круга сходимости. Но мы заметили вообще (§ 337), что если эти
разложения найдены, то этого достаточно, чтобы можно было считать эти
функции определенными во всей области их существования. Рассмотрим
для определенности алгебраическое диферёнциальное уравнение первого
порядка
F(x,y,y') = 0, B1)
где F есть целый многочлен относительно х,у,у'. Пусть будет (х , у0)
система значений, при которой уравнение f(xo,y0,y0') = 0 имеет простой
корень у0'; если х и у стремятся соответственно к д:0 и уог то уравне-
уравнение B1) имеет один и только один корень У, стремящийся к _у0', и этот
корень У =/(лг, у) есть правильная функция переменных х и у вблизи
значений х0, у0. Следовательно, уравнение B1) имеет голоморфный инте-
интеграл, принимающий при х = х0 значение у0, причем его производная
принимает при х = х0 значение у0'. Этот интеграл определен разложе-
разложением в целый ряд только внутри некоторого круга Со с центром в точке х0
и вообще конечного радиуса, но мы можем продолжить аналитически
эту функцию вне круга Со, и эта функция будет удовлетворять уравне-
уравнению B1) во всей области.ее существования. Заметим, что можно вос-
воспользоваться самим уравнением B1|, чтобы вычислить коэфициенты раз-
различных рядов, применяемых в методе аналитического продолжения; если
в, какой-нибудь точке хл круга Со рассматриваемый интеграл равен ylt
то его производная равна одному из корней _у/ уравнения Р(х^, ул, у') = О,
и, диференцируя это уравнение последовательно любое число раз, мы
можем отсюда найти значения всех других производных.
Таким образом всякое диферёнциальное уравнение первого порядка
определяет бесконечное множество аналитических функций (зависящих
от произвольного постоянного). Вообще, это будут трансцендентные функ-
функции, которые нельзя выразить через элементарные трансцендентные функ-
функции; тем более это верно для функций, определяемых алгебраическими
диференциальными уравнениями второго иаи высших порядков. Изучение
свойств этих новых трансцендентных функций и их классификация
составляют предмет аналитической теории диференциальных уравнений.
При изучении диференциальных уравнений можно преследовать две
различные цели. Мы можем или искать необходимые и достаточные усло-
условия того, чтобы уравнения данного вида интегрировались в уже извест-
известных функциях; или, напротив, мы можем искать алгебраические диферен-
циальные уравнения, которые определяли бы трансцендентные функции,
неприводимые к известным элементарным трансцендентным функциям!
и имели бы некоторые определенные характерные свойства, например
были бы однозначными или мероморфными и т. п. Какова бы ни была
наша главная цель, во всяком случае весьма важно определить, какие
особенности могут иметь интегралы данного диференциального уравнения.
Так, особые точки интегралов личейных уравнений неподвижны; на-

§ 42S-429 И. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 181
против, особые точки интегралов нелинейных уравнений вообще, изме-
изменяются с изменением начальных значений. Например, интеграл уравнения
х-\-уу' = 0, принимающий значение у0 при х = 0, есть у = }/у *—х2;
эта функция имеет две критических точки -\-у0, —у0, которые зависят
от начального значения. Точно так же интеграл уравнения у>=у%1 рав-
равный у0 при jc = O, есть у=-.———; он имеет полюс х=.—. Следо-
1 — *Уо У о
вательно, приходится различать два класса особых точек диференциаль-
ного уравнения: .неподвижные особые точки, которые не зависят от взя-
взятых начальных значений (они могут и не быть непременно особыми
точками для всех интегралов); подвижные особые точки, полюсы или
критические точки, которые зависят от начальных значений. Дифе-
ренциальное уравнение может иметь одновременно особые точки обоих
видов.
429. Функции, определяемые диференциальным уравнением у' =
Рассмотрим, в частности, диференциальное уравнение
где Р(х, у) и Q(x,y) — целые многочлены относительно х и у, не имею-
имеющие общим делителем никакого многочлена того же рода. Система
уравнений Р(х,у) = 0, Q(x, y) = 0 имеет несколько систем решений
(a,, Ьг), ..., (а„, Ьп); отметим на плоскости переменного х точки
а,, а2, ..., ап.
Сделав в уравнении B2) преобразование' у — — , мы придем к урав-
уравнению того же вида:
dxо ( Л ^^ЬЛ
система уравнений Рл (х, г) = 0, Qj (x, z) = О также имеет несколько
систем решений (ajf, А,'), • • •., (ат', Ьт'); отметим на плоскости перемен-
переменного х точки а,', а,1, ... , ат'. Точки ал ak' будут, вообще, особыми
точками для некоторых из интегралов уравнения B2); но все эти особые
точки непосредственно известны; это — неподвижные особые точки.
Пусть будет теперь (х0, у0) какая-нибудь система значений, для
которой Q (х0, у0) не равно нулю. Уравнение B2) имеет интеграл, голо-
голоморфный в области точки *0 и обращающийся в у0 при х=х0. Пусть
переменное х описывает какой-нибудь путь L, выходящий из точки х0
и не проходящий ни через одну из точек at, a^. Мы можем аналитически
продолжить этот интеграл вдоль всего пути L, если при этом не встре-
встретим никакой новой особой точки; но может случиться, что мы встретим
по пути новую особую точку интеграла; тогда дальнейшее аналитическое
продолжение вдоль пути L будет невозможно. Пусть будет а первая
новая особая точка, которую мы встретим; рассматриваемый интеграл есть
голоморфная функция вблизи всякой точки X, лежащей на пути I между
точками х0 и а, но тот круг сходимости целого ряда, представляющего
этот интеграл, который имеет центр в точке X, не может содержать

182 ГЛАВА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 429
внутри себя точки а; как бы ни было мало J X — а |. Уравнение Q(a, у) = О
имеет несколько корней pj, р2, ..-.., $N; отметим точки р, на плоскости
переменного у; это уравнение имеет только конечное число корней, так
как в противном случае многочлен Q (х, у) должен был бы делиться
на х — а, и тогда точка а была бы, очевидно, одною из точек at, ak'.
По той же причине уравнения Р (а, у) — О, Q (а, у) = 0 не могут иметь
ни одного общего корня. В дальнейшем исследовании мы должны рас-
рассмотреть несколько различных возможных случаев. Пусть будет Y значе-
значение интеграла в точке X. Прежде всего, нельзя предположить, что при
приближении X к а значение интеграла. К стремится к некоторому
конечному значению [5, отличному от р,, [52, ..., $N; в самом деле, так как
при * = а, У = $ функция R (х, у)—правильная, то, по основной
теореме Коши, существует только один интеграл, стремящийся к [5, при
приближении X к а; этот интеграл — голоморфный в точке а, и следо-
следовательно, вопреки предположению, не имеет точку а особою точкою.
Предположим, во-вторых, что при приближений модуля \Х — а\ к нулю Y
стремится к значению §г При х = а, y=$t функция R {х,у) обращается
в бесконечность, но ее обратное значение — есть функция пра-
R(x, у)
вильная, так как по предположению мы не можам иметь Р (а, [^) = 0.
Но мы видели выше (§ 425), что в этом случае уравнение B2) имеет
интеграл, и притом только один, стремящийся к р,, когда \Х—а\ стре-
стремится к нулю, и точка а для этого интеграла есть алгебраическая кри-
критическая точка. Предположим, наконец, что при приближении \Х — а\
к нулю, модуль | Y\ неограниченно возрастает; тогда уравнение B3) имеет
интеграл, стремящийся к нулю вместе с \Х—а|; мы не можем иметь
одновременно Ра (а, 0)=0, Q, (a, 0), так как точка а отлична от
точек ak'. Поэтому, если Q1(ct, 0) не равно нулю, то функция z голо-
голоморфна в области точки а, и рассматриваемый интеграл К имеет в точке а
полюс; если же Qj(a, 0) = 0, то точка а есть алгебраическая критиче-
критическая точка для z, а следовательно, и для интеграла Y.
В сущности, мы рассмотрели еще не все предположения. В самом
деле, не может ли случиться, что при приближении \Х—а| к нулю Y
tie стремится ни к какому пределу, но и не возрастает неограниченно?
Пенлеве доказал, что это невозможно; до его работ это предложение
допускали без строгого доказательства. Вот рассуждение Пенлеве. Опи-
Опишем из точки а как из центра круг С очень малым радиусом г.
Когда \Х—а| стремится к нулю, корни уравнения Q(X, y) = 0, стремя-
стремящиеся, соответственно к р,, ^2, ..... P№-остаются соответственно внутри
некоторых кругов Yu Y2' • • ¦ » Yiv» описанных из точек р1; Р2, . ...^ как
из центров радиусами pJ; р2, ... , р^; при этом радиус г можно взять
настолько малым, чтобы все эти радиусы р, были меньше всякого задан-
заданного числа е. Рассмотрим вместе с тем круг Г, описанный в плоскости
переменного у из начала координат очень большим радиусом R; пусть
будет (Е) часть плоскости переменного у, расположенная вне кругов ft
и внутри круга Г. Покажем, что когда \Х—а| стремится к нулю, то
соответствующая точка Y, представляющая один из интегралов уравне-
уравнения B2), наконец, остается или постоянно внутри одного из кругов у<
или постоянно вне круга Г. В самом делЪ, если бы этого не было,

§ 429 II. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 183
то всегда можно было бы найти на пути L такие точки X, чтобы \Х<—д|.
было меньше всякого заданного числа, и чтобы вместе с тем соответ-
соответствующие значения Y заключались в области (Е). Предположим, напри-
например, что \Х—о К-75"» а У лежит в области (Е).
Существует положительный минимум для радиуса круга сходимости
интеграла уравнения B2), равного У при х = Х. В самом деле, оче-
очевидно, существует максимум для | R (X, У) |, когда точки X и У остаются
в указанных областях, а для чисел а и b существует положительный
минимум (§ 383). Пусть этот минимум радиуса круга сходимости
есть 7).
По предположению, на пути L существует такая точка X', расстояние
которой от точки а меньше, чем ц, и для которой соответствующая
точка У лежит в области (?). Так как, по только что доказанному, ра-
радиус круга сходимости ряда, представляющего тот интеграл уравнения B2),
который принимает значение У при х=Х', не меньше ij, то отсюда
следовало бы, что точка а лежит внутри этого круга; но очевидно, чго
последнее невозможно, так как а есть особая. точка.
Таким образов при приближении модуля \Х—а| к нулю точка У,
наконец, остается или постоянно внутри одного из кругов у( или
постоянно вне круга Г. Так как радиус р( можно взять .сколь угодно
малым, а радиус /? — сколь угодно большим, то отсюда следует, что
или Y стремится к одному из значений ру, или | У\ возрастает неогра-
неограниченно. Но оба эти случая были нами изучены выше: мы нашли, что
точка а будет или полюсом или алгебраическою критическою точкою.
Поэтому, заменив часть пути L, близкую к точке а, дугою круга,- опи-
описанного из точки а бесконечно малым радиусом, мы можем обойти эту
особую точку и аналитически продолжить интеграл далее, пока не встре-
встретим новой особой точки. Докажем, что на пути L конечной длины может
находиться только конечное число полюсов или алгебраических критиче-
критических точек. Опишем в плоское)и переменного х из каждой точки а\,
ak' как из центра круг очень малым радиусом; опишем также из начала
координат круг очень большим радиусом так, чтобы весь путь L заклю-
заключался в области (Е') плоскости переменного х, ограниченной этими кру-
кругами. Пусть будет хЛ какая-нибудь точка области (?'). Интеграл, модуль
которого неограниченно возрастает при приближении модуля |л: — дг, |
к нулю, равен целому многочлену относительно (х — хг)~г, сложенному
с целым рядом относительно (х — л^), сходящимся в некотором круге
с радиусом р,. Точно так же различные интегралы, имеющие точку хЛ
алгебраическою критическою точкою, представятся рядами, расположен-
расположенными по дробным степеням разгности х — хг\ пусть будет р2 наименьший
из радиусов сходимости этих рядов. Эти числа рг и р2 всегда больше
нуля и непрерывно изменяются с изменением положения точки хг; сле-
следовательно, они имеют некоторый минимум Х>0, и расстояние между
двумя смежными особыми точками, лежащими на пути L, необходимо
больше числа X *. Следовательно, на этом пути лежит только конечное
* Если не Ограничиваться особыми точками, лежащими на пути конечной длины, то инте-
интеграл можег иметь бесконечное множество кршических точек и даже мижет иметь бесконечное

184 ГЛАВА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ §429
число полюсов, или алгебраических критических точек. Таким образом
единственные подвижные особые точки интегралов уравнения B2) суть
полюсы, или алгебраические критические точки. Эти интегралы не
могут иметь подвижных существенно особых точек, а следовательно, не
могут также иметь разрезов.
Нетрудно распространить предыдущие рассуждения и на. такие урав-
уравнения вида B2), где Р(х, у) и Q(x, у) суть целые многочлены относи-
относительно у, коэфициенты которых суть аналитические функции от х. Здесь
нужно только присоединить к точкам at, afc', имеющим тот же характер,
как и выше, еще особые точки этих коэфициентов Если путь, описы-
описываемый переменным х, лежит весь внутри площади, не содержащей
ни одной из точек а{, afc' и ни одной из особых точек коэфициентов
при различных степенях у, ¦ то единственные особые точки, которые
могут иметь интегралы, суть полюсы или алгебраические критические
точки.
Найдем, например, уравнения вида B2), не имеющие подвижных
критических точек. Для этого необходимо, чтобы знаменатель не содер-
содержал у. В самом деле, пусть будут аир такие значения переменных х
и у, что Q(a, P)=0, но числитель Р(а, $) нулю не равен. Интеграл
уравнения B2), стремящийся к нулю, когда \х — а\ стремится к нулю,
имеет в точке а критическую точку, и ясно, что она не будет критиче-
критическою точкою для всех интегралов. Таким образом искомое уравнение
должно иметь вид:
где Рт, Pm_v ...—функции от х. Сверх того, полагая в этом уравне-
1 "
нии у = —, мы должны иметь уравнение того же вида; отсюда следует,
z
что т не может быть больше двух, и . самым общим уравнением, обла-
обладающим требуемым свойством, будет уравнение Риккати. Обратно,
нетрудно убедиться, что уравнение Риккати удовлетворяет выставленному
требованию. В самом деле, если, например, мы возьмем общий интеграл
этого уравнения в виде B6) (§ 401), то ясно, что, помимо особых точек
функций _Vj, уг, этот интеграл не может иметь иных особых точек,
кроме полюсов, происходящих от корней знаменателя ух -\- Суг и изме-
изменяющихся вместе с постоянным С
множество критических точек вблизи любой точки х. Рассмотрим, например, уравнение
2w' = #(*),
где Н(х) — рациональная функция;
общий интеграл этого уравнения есть
х
R{x)dx. (A)
Хо
Предположим, что определенны!) интеграл jR{x)dx имеет четыре периода 1, а, I, $1, причем
числа аи^ — действительные, несоизмеримые между собою. Нетрудно доказать (см. § 304, приме-
примечание), чго Вну1ри круга с, описанного тч какой-нибудь точки *, произвольным радхусом, можно
иайтн бесконечное множество корней у уравнения (А), если соответс!венным образом выбирать
пути интегрирования, и каждый из этях корней есть критическаа точка. Но на пути конечной
длины, описываемом переменным, содержится юлько конечное число критических точек. '

§ 429 II. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 185
Точно так же можно искать уравнения вида B2), интегралы которых не имеют
подвижных полюсов. Пусть будут тип степени многочленов Р(х, у) и Q{x, у)
относительно у, полагая в уравнении B2) у — —, получим:
L
dx QA.)
где Pt и Qi — два другие многочлена относительно г. Пусть будет лг=а какое-
нибудь значение переменного х, не совпадающее ни с одною из неподвижных
особых точек. Уравнение B4) имеет интеграл, стремящийся к нулю при прибли-
приближении модуля |лг —а| к нулю; но отсюда еще нельзя заключить, что уравнение B2)
всегда имеет интеграл, модуль которого неограниченно возрастает при приближе-
приближении \х — а| к нулю; действительно, этого не будет, если соответствующий инте-
интеграл уравнения B4) обратится в 2 = 0. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
было /я<я + 2; это неравенство и представляет условие отсутствия подвижных
полюсов. Сопоставляя этот результат с предыдущим, найдем, что единственное
уравнение,' которое не-имеет никаких подвижных особых точек, есть линейное
уравнение.
Приложение. Из предыдущего результата можно вывести условия того,
чтобы общий интеграл диференциального уравнения первого порядка был рацио-
рациональною функцию постоянного интегрирования при соответственном выббре
этого постоянного. Пусть будет
рациональная функция параметра С, причем коэфициенты многочленов Р(х, С)
и Q(x, С) при степенях параметра С суть произвольные функции количества л:.
Ясно, что производная у' по х есть также рациональная функция от С:
У = Rx' (х, Q;
исключая из предыдущих уравнений параметр С, мы получим соотношение:
У;*)=о. (Е)
где F есть целый многочлен относительно у и у1, коэфициенгы которого могут
быть любыми функциями от х. Рассматривая в уравнении (Е) количество х как
параметр, мы заключаем из самого способа получения этого уравнения, что оно
нулевого рода (уникурсально) относительно у и у1.
Обратно, пусть будет данв диференциальное уравнение первого порядка (Е),
причем левая часть этого уравнения есть целый многочлен относительно у и у',
коэфициенты которого суть произвольные аналитические функции переменного х.
Чтобы это уравнение имело общий интеграл вида (А), .прежде всего необходимо,
чтобы оно было нулевого рода относительно у и у'; в этом случае" можно выра-
выразить у и у' через рациональные функции некоторого параметра и:
y=r(x, a), y' = ri(x,u),
таким образом, чтобы было, обратно, u = s(x, у, у'), причем функции г и rt
рациональны относительно и, и в рационально относительно у и у'. При этом
данное диференциальное уравнение (Е) обратится в уравнение
дг , Ъг du
его можно привести к виду:
где F есть рациональная функция от и. Если общий интеграл уравнения (Е) есть
y = R{x, С), то общий интеграл уравнения (Е4) есть
u = s[x, R{x, С), Rx'(x, С)],

186 ГЛАВА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 429—43)
т. е. рациональная функция от С. Но очевидно, что особыми точками такого
выражения, изменяющимися вместе с С, могут быть только полюсы. Таким образом
необходимо, чтобы все подвижные особые точки \ равнения (Е) были полюсами,
следовательно, уравнение (Е,) должно быть уравнением Риккати *.
Рассмотрим, например, уравнение
y'* = (.Py+Q?(y-a)(y-b),
где Я и Q суть функции от х, и а, Ь — постоянные. Это соотношение — нулевого
рода относительно у и у', и чтобы выразить у и у через рациональные функции
v —Ь
параметра, достаточно положить ='2, мы получим:
/A - Р)ш = (Ь-а) [Р [fit - at») + Q{t- <•)];
здесь уравнение iEt) есть уравнение Риккати
430 Однозначные интегралы уравнения у« = R(у). Изучим еще инте-
интегралы диференциального уравнения
m B5)
где т есть целое положительное число и Р(у) и Q(y)— многочлены
относительно у с постоянными коэфициентами, первые между собою.
Найдем все уравнения вида B5), общий интеграл которых есть одно-
однозначная функция. Пусть будет х0 какое-нибудь значение переменного л:,
и у0 — произвольное значение переменного у, не обращающее в нуль ни
одного из многочленов Р(у), Q (у). При у=у0 уравнение B5) относи-
относительно У имеет т различных корней. Возьмем какой-нибудь из этих
корней у0'; уравнение B5) имеет интеграл, голоморфный в области точки
лг0, принимающий в этой точке значение у0, производная которого при
х = х0 равна у0'. Мы можем аналитически продолжить этот интеграл
вдоль любого пути L, выходящего из точки х0, до встречи с какою-
нибудь из особых точек. Пусть будет а первая особая точка, которую
мы встретим, X—одна из точек на пути L, лежащих между л:» и а,
Y—соответствующее значение интеграла в точке X. Мы можем приме-
применить к уравнению B5) без существенного изменения рассуждения пре-
предыдущего параграфа. Из них' следует, что если модуль | X—а\ стре-
стремится к нулю, то или У стремится к корню одного из уравнений
или модуль | У\ неограниченно возрастает, но не может быть, чтобы Y
не стремилрсь ни к какому пределу.
Рассмотрим различные возможные случаи. Пусть будет b корень крат-
кратности q уравнения Q (у) = 0. Из уравнения B5) находим:
B6)
* Обратное предложение получается непосредственно. Если (Е ) есть уравнение Риккати, то
общий интеграл и есть линейная функция произвольного постоянного ,С, н, следовательно,у~т{х< и)
есть рациональная функция параметра С.

§ 43Э II. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 187
Если переменное у описывает в своей плоскости путь, идущий от
точки у0 к точке Ь, то точка х, перемещаясь в своей плоскости, пере-
переходит из точки д;0 в некоторую точку а, лежащую на конечном расстоя-
расстоянии. Обратно, если х перемещается из х0 в а вдоль этого пути, то у
переходит из у0 в Ь. Полагая у — b = tm, мы получим из уравнения B6)
разложение разности х — а по степеням t, начинающееся с члена сте-
степени (т -}- q). Обратно, для t мы будем иметь разложение по дробным
1
степеням х—а, начинающееся с члена (л: — a)m + Q; следовательно, раз-
разложение разности у — b будет иметь вид:
т г _J_ л
У-Ь = (х — a) m + "[a0-{-a1(x-a)'" + i-{-... J (
так как q— положите ьно, то т-\- q~^> т, и точка х=а есть для рас-
рассматриваемого интеграла алгебраическая критическая точка. Следовательно,
чтобы общий интеграл уравнения B5) был однозначною функциею,
необходимо, чтобы многочлен Q(y) совсем не имел корней, т. е. чтобы
он приводился к постоянному; следовательно, уравнение B5) должно
иметь вид:
У" = Р(У), B7)
где Р(у)—многочлен. Сделав в уравнении B7) подстановку у = —, мы
z
иметь
получим новое уравнение г"™ = (—I)mz2mp( — У, которое должно
\ z I
тот же вид, как уравнение B7); следовательно, степень многочлена Р(у)
не может быть больше, чем 2т. В дальнейшем исследовании мы можем
предположить, что степень многочлена Р(у) равна 2/и. В самом деле,
если степень многочлена Р(у) равна 2т — q, то, полагая у = а-\- —,
где а не есть корень уравнения Р(у)=0, мы придем к уравнению
z"» = (— 1 )т
в котором правая часть есть многочлен B/и)-й степени. Обратно, если
дано уравнение вида B7), где Р(у) есть многочлен B/я)-й степени, то,
, , 1 ,
сделав подстановку у == b -\- — , где b есть корень этого многочлена,
мы придем к уравнению относительно z того же вида, как уравнение B7),
но в котором правая часть представляет многочлен степени меньшей,
чем 2/и.
Мы предположим поэтому, что Р(у) есть многочлен B/и)-.й степени;
пусть будет а первая особая точка, которую мы встретим на пути L, ¦
начиная от точки х0. Если модуль | У\ неограниченно возрастает при
приближении X к а, то, сделав подстановку у = -^- , мы получим урав-
нение относительно z, имеющее голоморфный интеграл, равный нулю
при Х—а; следовательно, точка а есть полюс интеграла у. Остается рас-
рассмотреть тот случай, когда при приближении X к а, У стремится к корню b
многочлена Я(у). Это может быть только тогда, когда порядок кратности

188 ГЛАВА XXI НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 430
этого корня меньше чис :а т. В самом деле, предположим, что Р(у)
делится на (у — b,q, где q~5*m. При рассматриваемых начальных усло-
условиях из уравнения i27) получим:
у
Sy(у)
гдг функция <р (у) — правильная в области точки Ь. Мы видим, что при
q^>m при приближении У к Ь модуль \Х\ неограниченно возрастает;
с едовательно, должно быть д<С.т. Уравнение B7) можно представить
иначе в виде:
~lli B8)
отсюда потучаем для разности х — а разложение по степеням количества
I
(у — Ь)т, начинающееся с члена (от— ^)-й степени. Обратно, из этого
разложения для х — а мы будем иметь разложение разности у — Ь по
т
дробным степеням разности х—а, начинающееся с ч ена (х — аI""**.
Следовательно, точка а есть, вообще, алгебраическая критическая точка.
Чтобы а было обыкнове ;ною точкою, похазатель должен быть
т — q
равен целому числу/, откуда q = m I 1 г) , где / есть целое число,
большее единицы. Это условие вместе с тем и достаточно, так как при
нем мы получим из уравнения B8) разложение:
I 1+1
отсюда, обратно, мы будем иметь для (у — Ь)' разложение по целым
степеням разности х — а.
Таким образом, чтобы интегралы уравнения B7), где Р(у) есть
многочлен Bт)-й степени, не имели критических точек, необходимо и
достаточно, чтобы степень кратности каждого корня уравнения
Р (у) = 0 была равна или больше числа от, или же была равна коли-
количеству mil г-1, где i есть целое число, большее единицы. Если эти'
условия выполнены, то общий интеграл уравнения B7) есть однозначная
функция, особыми точками которой, лежащими на конечном расстоянии,
могут быть-,только полюсы.
В дальнейшем исследовании нужно различать несколько случаев.
Первый случай. Многочлен Р(у) имеет корень, степень кратно-
кратности которого больше т. Очевидно, что такой корень может быть только
один; если, кроме того, многочлен Р(у) имеет р других корней, то
сумма степеней их кратностей меньше числа т
от 1 —

§ 430 II. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 189
Отсюда имеем: р— 1 < — -}-...-{-. , и так как клждое из чисел
г,,/2, ...', ip не менее 2, тор— 1<~-, или /><2. Следовательно,
должно быть р= 1; таким образом порядок кратности другого корня урав-
уравнения есть /nil г). Поэтому порядок кратности первого корня
должен быть т I 1 -|—г), и, извлекая из обеих частей уравнения B7)
корень т й степени, мы получим:
y = A{y-a)lf~(y-bI". (I)
В эту формулу входит случай i = l, соответствующий предположению,
которое мы не рассматривали, что многочлен Р{у) имеет один и только
один корень а кратности 2т.
Второй случай. Уравнение Р(у) = 0 имеет корень, степень крат-
кратности которого равна т. Если оно имеет два таких корня, то извлекая
из.обеих частей уравнения B7) корень /я-й степени, получим:
>' = А(у-а)(у — Ь). (II)
Если же уравнение Р(у)=^0 имеет только один такой корень, то оно
имеет р (р^2) других корней, степени кратности которых меньше т,
причем сумма степеней их кратностей удовлетворяет соотношению
m
1 i i 1 ^P
или р— 1 = -—(- ... -{-— «S тг- • Отсюда имеем р ^ 2. Так как число р
h 1Р 2
больше единицы, то необходимо должно быть р = 2, /, = ^ = 2; следо:
вательно, число т — четное, и уравнение B7) приводится к виду:
/2= Л (у — а)*(у — Ь,(У — с), (Ш)
где а, Ь, с — три различных числа.
Третий случай. Степени кратностей всех корней уравнения
Р(у) = 0 меньше числа т. Очевидно, что число различных корней мно-
многочлена Р (х) не может быть мен;е трех. Пусть будет р число этих кор-
корней. Так как сумма степеней их кратностей равна 2т, то мы имеем:
или р — 2=^—[-...-(--г-^-^-. Отсюда следует, что р*^4, и, так
как р^>2, то может быть или р=4, или р = 3. Если /» = 4, то сумма

190 ГЛАВА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬЙЫЁ УРАВНЕНИЯ § 4:0
так как каждый из знаменателей не меньше 2, то должно быть:
h — h = h ~ h = 2-
Если /? = 3, то задача приводится к разысканию трех таких целых
чисел iv i2, i3, ббльших единицы, чтобы сумма их обратных значений была
равна единице. Если ни одно из этих чисел не равно 2, то каждое из
них должно быть равно 3. Если /j = 2, то сумма обратных значений
двух других чисел равна — . Если эти два числа между собою равны, то
каждое из них равно 4; если же они между собою не равны, то мень-
меньшее должно быть меньше 4; следовательно, меньшее равно 3, а боль-
большее равно 6. Таким образом мы имеем всего четыре возможных комби-
комбинации, и уравнение B7) можно привести к одному- из следующих видов:
у'2^А{у_а) {y_b) (y_c) (y_,d), (IV)
У* = А{у — а)Цу — Ь)Цу — с)\ (V)
У* = А(у — а)Цу - Ь)Чу - с)\ (VI)
у'ь = А(у-а)Чу— Ь)Чу-с)*, (VII)
где а, Ь, с, d — числа, не равные между собою. Все уравнения B7), где
Р(у) есть многочлен B/я)-й степени, интегралы которых суть однознач-
однозначные функции, имеют один из только что найденных видов. Обратно,
всякий ' интеграл любого из этих уравнений есть одно начная функция,
так как, какой бы путь ни описывало переменное, мы можем встретить
на этом пути только полюсы.
Чтобы иметь все уравнения вида B5), общий интеграл которых есть
однозначная функция, следует прибавить к перечисленным здесь видам
уравнений еще те" виды, которые получим, сделав в этих уравнениях
преобразование у — а = —, где а есть один из корней многочлена Р(у).
z
Мы получим следующие новые виды:
у =А{у-а) ', (Г)
У =А(у-аI + ~, (I")
^ =А(у-а), (IV)
у"=гА(у — а)'(у-б), (III')
У = А(у — Ь) (у-с), (III")
у'2 = А{у^а) (у — Ь)(у-с), ¦ (IV)
У* = А(у~а)Чу-Ь)*, (V)
y* = A(y — dP(y — b)*, (VI')
У* = А{у — а)Цу-Ь)\ (VI")
уе = А (у — аM (у - Ь)\ (VII')
у1^ = А(у — а)ъ(у — ЬK, (VII")
ув = А(у — аL(у-ЬK. (VII'")

§ 430 ll. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 191
Уравнения (I), (I'), (I"), которые приводятся одно к другому, имеют
вбщим интегралом рациональную функцию, как это можно непосредст-
непосредственно, проверить, например, для уравнения (I). Уравнения (II), (II'), (III),
(III'), (III") и\.еют общим интегралом периодическую функцию; в этом
легко убедиться прямым вычислением. Наконец, общий интеграл уравне-
уравнений (IV) и (IV) есть эллиптическая функция. Следовательно, новыми
типами уравнений, общий интеграл которых есть однозначная функция,
будут только уравнения (V), (VI), (VII) и уравнения (V)—(VII"), кото-
которые к ним приводятся. Эти уравнения распадаются на три группы, и до-
достаточно проинтегрировать по одному уравнению из каждой группы, на-
например уравнения (V), (VI"), (VII"').
Полагая в уравнении (VI") у = а -f- z2 и извлекая из обеих частей
квадратный корень, получим уравнение вида (IV):
j_
42'^ = А^г(г^-{-а — Ь);
его общий интеграл есть эллишическая функция. Точно так же, полагая
в уравнении (VII'") у = а -\- г3 и извлекая из обеих частей кубичный
корень, будем иметь:
9z'2 = A~* (z* + a~ b);
мы пришли к уравнению вида (IV).
Чтобы проинтегрировать уравнение (V), заметим, что оно первого
рода относительно у и у'. Следовательно, мы можем выразить у и у'
рационально через координаты точек некоторой кривой третьего порядка,
или через параметр t и квадратный корень из многочлена третьей сте-
степени. Действительно, полагая yf=Ati, имеем из уравнения (V):
из соотношений dy=y'dx получим уравнение
общий интеграл которого t =/(х -{-С) есть эллиптическая функция.
Отсюда для общего интеграла уравнения (VI') имеем:
Следовательно, общий интеграл всякого уравнения вида B5), если этот
интеграл есть однозначная функция, есть рациональная функция от х
или от еах, или же эллиптическая функция.
Во всех других случаях, кроме перечисленных выше, общий, и те-
грал уравнения B5) никогда не будет однозначною функциею. Напри-
Например, обратная функция от гиперэллиптического интеграла первого вида
не может быть однозначною. В самом деле, рассмотрим многочлен Р(у),
первый со своею производного, степень которого выше 4; диференциаль-
ног уравнение у'2 = Р(у) не может иметь :дюзначного интеграла. Пусть

192 ГЛАВА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЁНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 430—431
будут (х0, у0) начальные значения переменных х, у; когда \у | неогра-
неограниченно возрастает, то х стремится к конечному значению а, и, обратно,
если х переходит от х0 к а, то \у\ возрастает неограниченно. Так как
степень многочлена Р(у) больше 4, то, полагая у = —, мы найдем, как
было показано выше, что точка а есть алгебраическая Критическая точка
для интеграла уравнения г* = ггР I — I , стремящегося к нулю, когда х
стремится к а; следовательно, z, а также и у, не могут быть однознач-
однозначными функциями от х*.
431. Вывод эллиптических функций из уравнения Эйлера. Из рассужде-
рассуждений предыдущего параграфа следует, в частности, что общий интеграл уравнения
У2 = /?(.у), где R(y)— многочлен третьей или четвертой степени, первый со
своею производною, есть однозначная функция, мероморфная во всей плоскости.
С другой Стороны, обратная функция, которая есть эллиптический интеграл пер-
первого вида, имеет два периода, отношение которых мнимое (§ 307); следовательно,
эта однозначная функция есть функция двоякопериодическая. Таким образом мы
получаем доказательство существования эллиптических функций при помощи
только интегрального исчисления. Это доказательство однозначности обратной
функции'от элчиптического интеграла первого вида отлично от доказательства,
данного выше (§ 329), в котором мы пользовались свойствами функции ри. Мы
покажем в нескольких словах, каким образом можно принять за исходную точку
теории эллиптических' функций интегрирование уравнения Эйлера; это даст нам
понятие о -том пути, по которому шли первые творцы этой теории.
Рассмотрим сначала диференциальное уравнение
dx , dy л
+ 0 B9
общий интеграл которого есть х }^1—Уг-*гУ Y^—Х*—С \§ 375). Ясно, что
общий интеграл также может быть представлен формулою
arc sin x + arc sin у — С;
следовательно, должно иметь место соотношение вида:
arc sin д: + arc sin jr = F{x У 1—уг+у У~1—х*\
Чтобы определить функцию F, положим _у = 0. Тогда мы получим F (*) = arc sin x.
Вследствие предыдущих соотношений будем иметь:
arc sin x + arc sin у = arc sin (x У~\ — у* + у У i — х*). C0)
* В одном из своих мемуаров Врио я Буке искали все уравнения F(y, y')=0, общий интеграл
которых есть однозначная фд нкция, причем F есть многочлен Journal ae I'Ecole Poly technique,
т. XXI). Из найденных нми условий Эрмит вывел, что, соотношение между у и у' должно быть
нулевого или первого рода („Cours lithographic de I'Ecole Polytechnique", 1873), так что для интегри-
интегрирования такого уравнения можно применить метод § 372. Если соотношение F(y, у') — нулевого
рода, то можно выразить у и у' как рациональные функции параметра (; чтобы интеграл данного
уравнения был однозначною функциею, переменное х, которое получается квадратурою, должно
быть равно или линейной функции от t, х=—T*d' нли логаРиФмУ от такой функции,
Если соотношение между у и у — первого рода, то мы можем выразить у и у' через эллиптиче-
эллиптические функции некоторого параметра и, и - = -у — должно быть равно постоянному. Задача Врио
и Буке была обобщена Фуксом, который получил необходимые и достаточные условия того, чтобы
общий интеграл уравнения первого порядка f(x, у, У)=0, алгебраического относительно .у я у'.
имел только постоянные критические точки. Впоследствии Пуанкаре показал, что если эти усло-
условия выполнены, то нтегрирование таких уравнений приводится к квадратурам или к интегрирова-
интегрированию уравнений Риккати (Acta mathemaauca, т. VII).

§.431 II. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЯ 193
Это соотношение равносильно формуле сложения тригонометрических функций-
В самом деле, определим две дуги и и » условиями
лг = sin и, У 1— х* = cos и, у = sin v, YI — У2 = c°s *>,
причем корни имеют те же значения, как и в формуле C0). Тогда из соотноше-
соотношения C0) получим: __
д: У~1 — уР- + у У 1 — х* — sin (и.+ v),
или
sin («-(-»)= sin и cos v -\- sin v cos и.
В этом рассуждении нельзя видеть только остроумный способ вывода формулы
сложения для 'sin лг; оно имеет более глубокое значение. Мы сейчас покажем, как
из него можно очень просто вывести доказательство существования целой одно-
однозначной функции, удовлетворяющей диференциальному уравнению
и обращающейся в нуль при лг = О, тогда как при лг = О ее производная У обра-
обращается в +1. В самом деле, из теоремы Коши следует, что существует аналити-
аналитическая функция у (х), удовлетворяющая этим условиям и голоморфная в области
начала координат, но из этой теоремы нельзя найти радиуса сходимости целого
ряда, представляющего функцию у (лг). Пусть будет R этот радиус сходимости;
круг С, описанный из начала координат радиусом R, есть наибольший из кругов
с центром в начале координат, внутри которых функция у (лг) голоморфна. Произ-
Производная у' (х) голоморфна в том же круге, и мы имеем: у'»(лг) = 1 — у2 (лг). Вер-
Вернемся теперь к уравнению B9) и сделаем в нем замену переменных х = у' (и),
у = у(v), где ии» — новые переменные, и; — функция, которую мы только что
определили. При соответственном выборе значений корней мы имеем также:
Y\ - л? = т (и), У~1 -у* = у' (к),
и уравнение B9) обращается в du -+¦ dv = 0. Следовательно, общий интеграл этого
уравнения можно представить в двух различных видах:
u\v=C
и
лг У~1—у* + у У~1 — х*—С,
ИЛИ
?(и)?'(») + y'(u)y(v) = С.
Отсюда, как и выше, заключаем, что между u + v и у (и) у' (о) -|- у' {и) у (v) дол-
должно существовать некоторое соотношение; полагая в нем » —0, мы получим вид
этого соотьошения:
T(a-r-t>) = T(a)?'(») + Tr(«)f(f). C2)
Это соотношение имеет место, если | и\ < #, | v | < R, \ и + v \ < /?, что, наверное,
будет иметь место, если | и |< -^, | »|< -я- • Предположим, что v — и, и модуль
| и ]<-=-; тогда соотношение C2) обращается в
?Bи)=2Т(н) ?'(«)¦ . C3)
Обозначим через у, (и) функцию 2у (-^j у' (-^у, эта функция голоморфна
в круге, описанном из начала координат радиусом 2R, и, на основании соотно-
соотношения C3), она тождественна с голоморфною функциею у (и) в круге С с
радиусом R. Следовательно, обе эти функции у (и), у4 (и) представляют одну и ту
же аналитическую функцию, голоморфную и вне круга С; поэтому радиус R
этбго круга не может иметь конечного значения, и функция у (и) есть целая
функция от и.
Рассмотрим теперь диференциальное уравнение
C4;
13 Э. Гурса, т. а ч. 2.

194 ГЛАВА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 431-432
где мы берем правую часть в нормальном виде, принятом Лежандром. Рассмотрим
интеграл X(jc) этого уравнения, обращающийся в нуль при д: = 0, и производная
которого равна + 1 при х = 0. Эта функция X (х) голоморфна в области начала
координат. Пусть будет С самый большой круг, описанный из начала координат,
внутри которого функция \(х) мероморфна, и ft— радиус этого круга. Если бли-
ближайшая к началу координат особая точка функции \{х) не есть полюс, то мы
проведем круг С через эту особую точку, так что в этом случае функция 1(х)
будет голоморфною внутри этого круга. Рассмотрим уравнение Эйлера
"* -+ . ^ = = 0, C5)
Д?1)8A-А«^9) V A— Х2)Ц1
общий интеграл которого представится формулою F6) (стр. 34); уничтожая ирра-
иррациональность в знаменателе и сокращая на х? — х$, мы можем представить этот
интеграл в виде
С другой стороны, выбрав соответствующим образом знаки при корнях и сде-
сделав замену переменных д^—-Х(и) и х$ = \(у), мы приведем уравнение C5) к урав-
уравнению du + dv = 0, общий интеграл которого есть и + v= С. Следовательно,
сделав ту же подстановку в формуле C6), мы придем к соотношению вида:
Чтобы определить функцию F, положим » = 0; мы будем иметь F(u) = l и), и
окончательно получим соотношение
{_kil4u)l4v} C7)
Если v = u, то
причем эта формула имеет место, если будет | в[<-,-. Рассмотрим теперь
функцию
эта функция мероморфна в круге, описанном из начала координат радиусом!
равным 2^?, так как она есть частное двух функций, мероморфных в том же
круге. Сверх того, в силу соотношения C3), внутри круга ,С она совпадает
с функцией Х(и). Следовательно, обе функции Х(н) и Ф (и) представляют одну и
ту же аналитическую функцию, причем функция X (и) мероморфна в круге, боль-
большем круга С. Таким образом нельзя предположить, что радиус # круга С имеет
конечное значение, и следовательно, функция Х(и) мероморфна во всей плос-
плоскости.
Формула C7) есть формула сложения аргументов для функции X (и). Если k
стремится к нулю, то в пределе мы получим формулу сложения для sin и; и дей-
действительно, функция sin и может быть рассматриваема как предельное выражение
функции X (и) при k = 0.
432. Уравнения высших порядков. Изучение свойств функций, определяе-
определяемых диференциальными уравнениями высших порядков, представляет гораздо
ббльшие трудности, чем те, с которыми мы до сих пор встречались в уравнениях
первого порядка. Эти трудности в значительной степени обусловлены тем, что
здесь у интегралов могут быть подвижные существенно особые точки. Эти точки
могут быть как существенно особыми точками в обыкновенном смысле, так и

§ 432 tt. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 195
трансцендентными критическими точками. В этом можно убедиться на следующем
примере, данном Пенлеве. Функция
У = $ [Log (Ах + В); gi, g3], C9)
где А и В — произвольные постоянные, есть общий интеграл уравнения второго
порядка:
D0)
г>
Вблизи любого значения переменного х, отличного от .-, эта функция C9)
А
голоморфна или мероморфна. Когда х совершает обходы вокруг точки :г»т0
/л.
функция у получает бесконечное множество различных значений, есчи только 11~
не содержится целое число раз в каком-либо из периодов функции <$(и; gb g3).
С другой стороны, когда переменное х описывает такую кривую, что при этом
\Ах + В\ стремится к нулю, то точка, представляющая количество u=Log (Ах-\-В),
описывает некоторую кривую, простирающуюся в бесконечность; эта кривая
пересекает бесконечное множество параллелограмов периодов функции fu, и функ-
функция у не стремится ни к какому пределу, конечному или бесконечному. Таким
образом, хотя общий интеграл уравнения D0) не имеет ни постоянных трансцендент-
трансцендентных критических точек, ни подвижных алгебраических критических то\ек,
однако, отсюда еще нельзя заключить, что этот интеграл однозначен, и это потому,
что он имеет подвижную трансцендентную критическую точку, именно, точку
В
Х = -~А-
Начиная с уравнений третьего порядка, подвижные трансцендентные особые
точки могут образовать линии. Нетрудно понять, каким образом аналитическая
функция, имеющая разрезы, может не иметь ни одной критической точки в своей
области существования ив то же время не быть однозначною. Рассмотрим,
например, аналитическую функцию /(*), голоморфную в кольце, ограничиваемом
двумя концентрическими окружностями С, С с центрами в точке а, и имеющую
окружности С и С существенными разрезами (§ 344). Функция F(x)=f(x) +
4- Log (x— а) также имеет линии С, С разрезами; она голоморфна в области каж-
каждой точки, лежащей в кольце между С и С, и однако, она имеет бесконечное
множество значений при всяком значении переменного х, заключающемся в этой
области.
Все эти трудности долгое время останавливали математиков. Только в сзоих
последних работах Пенлеве* получил алгебраические диференциальные уравнения
второго порядка, интегрирующиеся в существенно новых однозначных трансцен-
трансцендентных функциях. Из уравнений, найденных Пенлеве, мы приведем только урав-
уравнение
где а и р—постоянные (ар^О). Его общий интеграл е,ть трансцендентная меро-
морфная функция **
* [Bulletin de la Societe Mathimatique, т. XXVIII A900), стр. 201-261 и Ada mathematica,
т. XXV A902), стр. 1—36. См. также Р. В о u t г о и х, Ada mathematica, т. XXVIH, A904),
стр. 97—224 и AnnaleS sc. de I'Ecole Normale Superieare, 3-я серия, т, 30 A913). стр. 255—375
и т. 31 A914), стр. 99—159; В. Gimbier, Ada mathematica, т. 33 П910 , стр. 1—55; I. С h a z у,
Ibid., т. 34 A911), стр. 317—385, R. Gamier, Annales sc. de I'Ecole Normale Superieare, 3-я серия,
т. 2J A912), стр. 1-126 и т. 34 (Ш7), стр. 239-353.]
•* Исходя из линейных уравнений, нетрудно составить системы диференциальных уравнений,
которые обобщают уравнение Риккати и интегралы которых не имеют лругих подвижных особых
точек кроме полюсов. Рассмотрим, например, систему трех линейных уравнений первого порядка:
= 0. z'+ aty + *4г +' с4и = 0, а' ±а,у + Ьгг + ctu = 0; (*)

196 ГЛАВА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 432-433
III. ОСОБЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
433. Особый интеграл уравнения первого порядка. Мы уже видели
несколько раз (§ 371 и 375), что диференциальное уравнение первого
порядка может иметь такие интегралы, которых нельзя получить из
общего интеграла, дав-я в последнем произвольному постоянному част-
частное значение. Этот результат, повидимому, стоит в противоречии с
доказанною выше (§ 387) теоремою Коши, из которой мы получили точное
определение общего интеграла. Поэтому нам необходимо возвратиться
к основной теореме Коши и рассмотреть подробнее, удовлетворяются ли не-
непременно для всех интегралов все те предположения, которые входят в условия
этой теоремы. Рассмотрим для определенности уравнение первого порядка
F{x, у, /) = 0, D1)
где F есть целый неразложимый многочлен относительно лг, у, у', /и-й
степени относительно у'. Всякой системе значений (х0, у0) соответ-
соответствуют на основании уравнения
') = 0, D1 bis)
вообще, т различных конечных значений у^, yt', ..., у„ для у'. Оста-
Остановимся сначала на этом общем случае. Когда модули \х — *01 и
\у—уо\ стремятся к нулю, то т корней уравнения D1) стремятся,
соответственно, к'^', у2', ..., yj, и каждый из них есть голоморфная
функция в области точки (лг0, у0). Например, тот корень, который стре-
стремится к у!, представится разложением в целый ряд:
К уравнению D2) можно применить теорему Коши, и мы заключаем,
что это уравнение имеет интеграл, и притом только один, стремящийся
к у0, когда \х — хо\ стремится к нулю; этот интеграл — голоморфный,
и разложение для у—у0 начинается с члена у/(х — д:0). Таким образом
каждому корню уравнения D1 bis) соответствует один интеграл. Следо-
Следовательно, диференциальное уравнение D1) имеет т и только т инте-
интегралов, принимающих значение у0 при х — х0, и эти т интегралов
голоморфны в области точки х0. Геометрически этот результат можно
выразить следующим образом: через точку Мо (х0, у0) плоскости про-
проходят т интегральных кривых с т различными касательными, и для
каждой из этих кривых точка Мо есть обыкновенная точка. Сверх того,
полагая у = uY. г = uZ, мы найдем, что Y = —, Z = — суть интегралы системы уравнений:
Z' + a
Очевидно, что единственные подвижные особые точки этих интегралов суть полюсы, имен о, нули
функции и.
Но важно заметить, чго уравнения (?) не представляют самого общего вида системы днферен-
ц'иальных уравнений:
r = R(x, Y, Z\, Г =Rt(x, Y. Z), G)
где R и #, — рациональные функции от Y и Z, обладающие этим свойством. В самом деле, пусть
будут Y=:<f(Yi, Zi), Zt=ty{Yl, Zt)— формулы, определяющие преобразование Кремоны (Cremona),
т. е. такое преобразование, что из предыдущих формул, обратно, имеем: Kt=tpi(K, Z), Zi^tytiY, Z),
причем функции <f, ф, <Pi, <h — рациональные. Применяя это преобразование к системе (Р), мы при-
придем к новой системе, обладающей рассматриваемым свойством, которая, наверное, будет вида (¦[),
но, вообще, не будет иметь вида (?).

§ 433 III. ОСОБЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 197
все интегралы уравнения D2), принимающие при х^=х0 значение, близ-
близкое к у0, удовлетворяют соотношению вида: Ф(х, \; ха, у0 -\- С) = О
(§ 387), и рассматриваемый интеграл соответствует значению С=0 про-
произвольного постоянного С.
Если при хс=х0, у=Уа один из корней уравнения D1 bis) обра-
обращается в бесконечность, то достаточно рассматривать, обратно, у как
независимое переменное, а х — как неизвестную функцию. Тогда урав-
уравнение D1) обратится в уравнение того же вида F1(x, у, х') = 0, кото-
которое при х = х0, у=Уо имеет корень х'~0. Если этот корень простой,
то мы получим для х — ^„разложение по степеням разности у—ую,
начинающееся с члена второй степени. Отсюда, обратно, точка х0 есть
алгебраическая критическая точка для интеграла, стремящегося к у0,
когда \х — хо\ стремится к нулю (§ 357). Через точку (*0, у0) прохо-
проходит интегральная кривая, касательная к которой есть прямая х = х0.
Координаты (х0, у0) точки, для которой уравнение D1) имеет крат-
кратный корень, удовлетворяют соотношению
R(x,y, = 0, D3)
которое получим, исключая У из уравнений
Уравнение D3) представляет некоторую кривую (у), и каждой точке
этой кривой соответствуют один или несколько кратных корней урав-
уравнения D1). Пусть будут (лт0, у0) координаты обыкновенной, некратной
точки Мо, взятой на этой алгебраической кривой (у); чтобы иметь дело
с самым простым случаем, мы предположим, что уравнение
имеет двойной корень у0', имеющий конечное значение: если бы этот
двойной корень был бесконечным, то достаточно было бы переменить
роль х и у, чтобы притти к случаю, когда этот корень равен нулю.
Если модули |лг — *0| и \у—уо\ очень малы, то уравнение D1) имеет
два корня, очень мало разнящихся от у0'. Вообще, эти оба корня не
будут голоморфными функциями переменных х и у в области точки
(х0, у0), но их сумма и произведение суть голоморфные функции*, так
что эти два корня уравнения D1), стремящиеся к у0', когда \х — хо\ и
] у —у0 | стремятся к нулю, суть вместе с тем корни некоторого уравне-
уравнения второй степени
У» — 2Р(х, у)у + Q (Л, у) = 0, D4)
где Р(х, у) и Q(x, у) — функции, голоморфные в области точки (х0, у0).
Из уравнения D4) имеем:
*(х, y) — Q{x, у). D5)
Оба корня равны между собою для всех точек кривой (Yj), опреде-
* Этн свойства доказываются так же, как соответствующие георемы для неявных функццЯ
одного переменного (§ 555)

198 ГЛАВА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 433
ляемой уравнением Р2 ¦— Q = 0, эта кривая (у,) должна быть частью
кривой (у), и так как она проходит через точку (лг0, _у0), то вблизи
этой точки она совпадает с (у)- Чтобы изучить соответствующую инте-
интегральную кривую, предположим, что начало координат перенесено в точ-
точку Мо, т. е. что х0=уо = 0. Так как начало координат есть простая
точка* кривой (у), то, если мы возьмем оси координат таким образом,
чтобы касательная в начале координат не была осью Оу, то уравнение
/>2—Q = 0 имеет голоморфный корень у—уг{х), стремящийся к нулю
вместе с х.
Вообще, угло ой козфициент касательной к кривой (у) в начале
координат отличен от двойного корня уо'=Р(О, 0) уравнения D5)
при х='у=0. Мы пока примем без доказательства это почти очевидное
положение; ниже мы к нему еще вернемся.
Полагая в уравнении D5) у = уг -\- г, получим:
z' = P(x, y1 + z)—y1'±V*Q(x. *),
где Ф(х, г) есть целый ряд относительно х и z. В самом деле, так как
ул есть корень уравнения Р2 — Q = 0, то ясно, что после подстановки
у==у1-\~г переменное z должно быть общим множителем под корнем.
Располагая Ф(лг, г) по степеням z, мы будем иметь разложение вида
где ф0, ф2 ,ф2 • • • 1 — функции от х, правильные в области начала коор-
координат. Функция фо(-х) не равна нулю при х=0, так как в этом случае
разложение количества гФ (х, г) не содержало бы членов первой степени
относительно х, г, и следовательно, разложение количества Я2 — Q не
содержало бы членов первой степени относительно л: и у, что противно
допущению, так как, по предположению, начало координат есть про-
простая точка кривой у. Точно так же, если мы заменим в разности
функцию уг ее разложением, то, располагая по степеням z, получим:
Р(х, У1+*)—Л'
причем первая функция ср0 (х) не равна нулю при х = 0, так как, по
предположению, значение производной уг' в начале координат отлично
от Р@, 0). Следовательно, уравнение D5) переходит в уравнение вида:
ф1(*)+„., D6)
причем функции <р0 (х) и ф0 (х) не равны нулю при х — 0.
Положим в этом уравнении z = u2; взяв сначала верхний знак при
корне, получим:
• • • +в
* Если кривая (?) заключает в себе двойную кривую (y,), to выражение Р'—О содержит
множителем точный квадрат; приравняв его нулю, получаем уравнение двойной кривой. Через ка-
каждую точку кривой т4 проходят две интегральных кривых, которые в этой точке соприкасаюгся
между собой и не имеют никаких особенностей,

§ 433 III. ОСОБЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 199
Так как фо(О) не равно нулю, то правая часть уравнения D7) голо-
голоморфна в области точки х = О, и = О, и эта правая часть не равна
нулю при х == 0, и = О, так как tp0 @) не равно нулю. Из D7) следует,
что при л=и = 0 производная — обращается в бесконечность; следо-
следовательно, уравнение D7) имеет интеграл, и притом только один, стре-
стремящийся к нулю вместе с х (§ 425), и начало координат есть для этого
интеграла алгебраическая критическая точка.
Таким образом данное уравнение D4) имеет интеграл у =у1 -)- и2,
стремящийся к нулю вместе с л:; если бы мы взяли при корне в урав-
уравнении D 7) другой знак, то достаточно было бы заменить в этом урав-
уравнении и через — и, и мы получили бы ту же функцию _у = у5-|-и2.
Для этого интеграла начало координат есть алгебраическая критическая
точка. Пусть будет а0 член в правой части уравнения D7), не завися-
зависящий от х и и, и Ьо — коэфициент при и в том же разложении. Тогда
это уравнение примет вид:
или
dx 2u
dii аа -4- bau -
или, наконец,
dx 2и 260и2
Поэтому
X = —- U3 -г- . .
а0 За02
Отсюда, обратно, будем иметь для и разложение по степеням х
i
з
и разложение для у-{-и будет содержать член ел:2. Следовательно, для
интегральной кривой, проходящей через начало координат, это начало
есть точка возврата, и мы может сказать, что кривая (у), представляе-
представляемая уравнением D3), есть, вообще, место точек возврата инте-
интегральных кривых.
Таким образом чергз каждую точку кривой (у) проходит, вообще,
интегральная кривая, имеющая в этой точке обыкновенную точку воз-
возврата первого вида, и угловой коэфициент касательной к интегральной
кривой в этой точке равен двойному корню у0'. Если степень урав-
уравнения D1) выше второй, то через ту же точку проходят и другие
интегральные кривые, соответствующие простым корням уравнения
jF(*o» Vo> У) —0> и для этих кривых эта точка есть обыкновенная точка.
Рассуждения будут совсем другими, если для всякой точки (х0, у0)
кривой (у) соответствующий двойной корень у0' уравнения D1) равен
угловому коэфициенту касательной к кр шой (у) в этой тоже. В этом

200 ГЛАВА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 433
случае прежде всего очевидно, что кривая (у) есть интегральная кривая
уравнения D1). Кроме того, это — интеграл, к которому совершенно не
применима основная теорема Коши, какую бы точку на кривой (у) мы
ни взяли для определения начальных значений переменных х и у. В са-
самом деле, если за начальные значения мы возьмем точку (лг0, у0) кри-
кривой (у), то уравнение
Fix, у, У) = 0
имеет два корня, стремящихся к у0', когда \х — хо\ и \у—уо\'стре-
\у—уо\'стремятся к нулю, но эти оба корня не будут, вообще, правильными функ-
функциями переменных х и у вблизи значений х0, у0, и мы не можем здесь
применить теорему Коши. Получающийся таким образом интеграл назы-
называется особым интегралом. Теоретически разыскание особых интегра-
интегралов не представляет никаких трудностей; в самом деле, для этого доста-
достаточно исследовать, удовлетворяет ли диференциальному уравнению D1)
кривая, представляемая уравнением D3), а для этого надо только вы-
выполнить исключение неизвестных из двух уравнений. Может случиться,
что уравнение D3) представляет совокупность двух различных кривых,
из которых одна есть особый интеграл, а другая — место точек возврата
интегральных кривых.
Если кривая (у) есть особый интеграл, то через каждую точку этой
кривой проходит, вообще, другая интегральная кривая, касательная к
кривой (у). Возьмем начало координат в какой-нибудь точке кривой (у);
мы уже зн.;ем один интеграл ух уравнения D5); это особый интеграл,
для которого одновременно
yl = P(z, у,), Р*(х, у,) = Q(x, уг). D8)
Полагая, как выше, _у =_у1 —]— г, мы попрежнему можем представить
данное уравнение в виде D6»; но в этом случае функция tpo(*j равна
нулю, так как 2 = 0 должно быть интегралом этого нового уравнения.
Так как ,все остальные предположения остаются в силе, то функция <J>0(jc)
не равна нулю при х = 0, и, полагая в уравнении D6) z = uz, мы при-
придем к уравнению, все члены которого имеют множитель и. Разделив
на и, будем иметь диференциальное уравнение:
2и'= и [?1 (*) + «• Ъ(х) + .. .]±V%(х) + ««<k (X) + ..., D9)
к которому можно применить общую теорему Коши. Так как функция
6H(jc) не равна нулю при х = 0, то оба значения корня голоморфны
при jc = O, и = 0. Следовательно, уравнение D9) имеет два интеграла,
голоморфных в области начала координат и обращающихся в нуль при
х = 0; нетрудно убедиться, что эти два интеграла получаются один из
другого заменою и на — и. Следовательно, уравнение относительно у
имеет, кроме особого интеграла, еще другую интегральную кривую:
проходящую через начало координат и касающуюся в нем кривой (у).
Но между этими обоими интегралами есть существенная разница. В са-
самом деле, к уравнению D9) можно приложить общие теоремы § 387.
и интеграл этого уравнения, обращающийся в нуль при х = 0, принад-

§ 433 III. ОСОБЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 201
лежит к семейству интегралов, зависящих от произвольного постоянного.
Следовательно, то же имеет место и для интеграла, касающегося в на-
начале коораинаг особого интеграла, тогда как сам особый интеграл есть,
вообще, изолированное решение. Последнее понятно, потому что особый
интеграл нельзя получить из общего интеграла, давая произвольному
постоянному какое-нибудь частное значение, так как к особому интегралу
неприменимы рассуждения, из которых мы выводили существование общего
интеграла (§ 382).
Таким образом особый интеграл есть, вообще, огибающая остальных
интегральных кривых. Уже Лагранж заметил, что огибающая кривых,
представляемых общим интегралом диференцигльного уравнения первого
порядка, есть- также интеграл того же уравнения; эго почти очевидно,
так как в каждой точке огибающей кривой угловые коэфициенты каса-
касательных к огибающей и огибаемой кривой между собою равны. Отсюда
можно также вывести правило для получения особого интеграла из
самого диференциального уравнения. В самом деле, рассмотрим сначала
какую-нибудь точку М, близкую к огибающей кривой; через эту точ-
точку М проходят две весьма близких между собою интегральных кривых,
и угловые коэфициенты касательных к этим обеим кривым также весьма
мало разнятся между собою. Когда точка М приближается к огибаю-
огибающей, то обе касательные в пределе сливаются друг с другом, и уравне-
уравнение D1) 'имеет двойной корень у1 (т. I, § 198).
Итак, мы видим, что для уравнения первого порядка могут предста-
представиться два существенно различных случая, смотря по тому, представляет
ли кривая (у) место точек возврата интегральных кривых, или она есть
особый интеграл. Естественно спросить себя, какой же из этих двух
случаев надо рассматривать как нормальный. Нетрудно убедиться, что
нормальным является первый случай. В самом деле, кривая (у) есть так-
также огибающая кривых, представляемых уравнением F(x, у, а) —0, полу-
получающимся из D1) посредством замены производной у' параметром а.
Если бы диференциальное уравнение D1) имело особый интеграл, каков
бы ни был многочлен F, то отсюда мы пришли бы к явно неверному
выводу, что в каждой точке огибающей семейства алгебраических кри-
кривых угловой коэфициент касательной равен значению параметра, соот-
соответствующему той огибаемой кривой, которая касается в этой точке
огибающей. Если это условие удовлетворяется для какого-нибудь семей-
семейства кривых, то достаточно изменить параметр (полагая, например,
а = a' -f- s), чтобы это условие перестало удовлетворяться. Следовательно,
если мы имеем уравнение первого порядка, в котором коэфициенты в F
взяты произвольно, а не уравнение, полученное из другого как резуль-
результат исключения произвольного постоянного, то случаи, когда особый
интеграл существует, должны быть рассматриваемы как исключения. Если
этот результат мог прежде казаться некоторым математикам парадоксаль-
парадоксальным, то это, без сомнения, происходило от того, что до работ Коши
изучали, главным образом, такие уравнения, общий интеграл которых
состоит из алгебраических кривых. Так как семейство алгебраических
кривых имеет, вообще, огибающую кривую, то казалось вполне естс
ственным распространить заключение на интегральные кривые любого
диференциального уравнения первого порядка; но мы только что видели,

202 ГЛАВА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЛИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 433-434
что такое обобщение неверно*. Впрочем, даже и в том случае, когда
семейство плоских кривых, зависящих от переменного параметра, имеет
огибающую, разыскивая эту огибающую, мы, как известно, вместе с тем
получаем место особых точек (т. I. § 198 и 199).
434. Примеры. Различные замечания. 1. Рассмотрим уравнение
уг_[_2дгУ—у = 0. E0)
Оба значения для у' равны между собою во всех точках параболы
у-^-х2 — 0, и этот двойной корень равен —х, тогда как угловой коэ-
фициент касательной к параболе есть — 2х. Следовательно, парабола не
есть особый интеграл; покажем, что она представляет место точек воз-
возврата интегральных кривых. Уравнение E0) есть уравнение Лагранжа;
применяя к нему общий метод (§ 370), мы найдем, что координаты х
и у точек интегральной кривой выражаются через переменный параметр
р формулами:
_С _2р _2_?__/!!
р2 3 ' р 3 '
Это — уникурсальные кривые четвертого порядка; при значениях
параметра, которые представляют корни уравнения р3 -|- ЗС— 0, мы имеем
— =-- = 0. Следовательно, каждая из этих кривых имеет три точки
dp dp
возврата, и мы получим место этих точек, исключая р и С из уравне-
уравнений E1) и соотношения /?3 = — ЗС, что действительно приводит к
параболе у -\- хг = 0.
2. Рассмотрим уравнение Эйлера Ху'2 = Y (§ 375); оба значения
У равны между собою во всех точках юждой из восьми прямых, пред-
представляемых уравнением XY= 0. Эти восемь прямых суть особые реше-
решения, и действительно, они образуют огибающую кривых, представляемых
общим интегралом.
3. Чтобы решить вопрос, имеет ли данное уравнение особый инте-
интеграл, можно воспользоваться следующим методом. Если особый интеграл
существует, то, как мы видели, ол удовлетворяет уравнениям
а следовательно, и уравнению
bF , 3F
* В теории огибающих кривых содержится предположение, что вблизи системы решений
х„, уа, а„ уравнений f(x,y, a) = 0,^~^0 функция / и «У вместе со 'своими частными производными
непрерывны, так что к функциям х и у от а, определяемым этими двумя уравнениями, можно
применить рассуждения, прилагаемые к неявным функциям. Но, хотя мы знаем, что, если дано
днференциальное уравнение первого порядка, то оно имеет бесконечное множество интегралов,
зависящих от произвольного постоянного и представляемых в некоторой области уравнением
о (х, у. С) = 0, но ниоткуда не следует, что эта функция f (x,y, С) удовлетворяет предыдущим усло-
условиям. Мы можем даже утвер дать, чтэ, вообщ?, эгого не будет.

§ 434 III. ОСОБЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 203
которое получим, диференцируя первое соотношение. Обратно, предпо-
предположим, что во всех точках некоторой кривой (у) уравнения
!><*,* «0 = 0, ?=0, ?+?*-<> E2)
имеют общее решение для т. Вдоль кривой (у) х, у и т суть функции
одного параметра, удовлетворяющие соотношениям E2). Следовательно,
менаду их диференциадами есть соотношение:
а/7 , . b
d+
ии, принимая во вним ние уравнения E2):
Следовательно, если — не равно нулю во всех точках кривой (у),
ду
то мы имеем у' = т, и эта кривая есть особый интеграл*. Если же
*F . , dF n
-— = 0, то должно быть также — = 0, и необходимо убедиться непо-
дУ оХ
средственным вычислением, представляет ли кривая (у) интеграл.
Это замечание применимо, между прочим, к уравнению Клеро:
F(x, у, У)=/(У, у — ху') = 0.
Положим для краткости и=у — ху'\ три уравнения, которые должны
быть совместимы, здесь будут:
«у. ,-,/)-о,- ^*|_о. Х(_|
и они приводятся только к двум первым. Следовательно, уравнение
Клеро имеет особый интеграл, и мы его получим, исключая у' из этих
двух соотношений.
4. Рассмотрим уравнение
общий интеграл которого со:тоит из кругов, дважды касающихся кривой второго
порядка
и имеющих центры на qch Ox. Эта кривая второго порядка есть особое реше-
решение. Но, кроме того, в каждой точке оси Ох оба значения для у' обращаются
в бесконечность. Однако эта прямая не есть место точек возврата; через каждую
ее точку проходят две интегральных кривых, касающихся в ней между собою,
причем их общая касательная параллельна оси Оу.
5. Чтобы интеграл Г был особым интегралом, недостаточно," чтобы во всех
точках этой кривой уравнение D1) имело двойной корень; необходимо еще, чтобы
этот двойной корень был равен угловому коэфициенту касательной к Г. Рассмо-
* См. статью Дарбу а Ви'.ЦЧп des Sciences mathematiques, т. IV, 1873, стр. 158—176.

204 ГЛАВА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 434-435
трим, например, циссоиды, представляемые уравнением (у— 2а)\х— а)—л?3 = 0.
Прямая л: = 0 есть место точек возврата этих кривых, и в то же время это есть
частный интеграл, соответствующий л = 0. Можно убедиться, что во всякой
точке этого интеграла соответствующее диференциальное уравнение имеет двойной
корень У = 0 и, кроме того, еще бесконечно большой корень; следовательно,
прямая х = 0 не есть особый интеграл.
6. Пусть будет S поверхность, имеющая области, где она выпукла, и области,
где она седлообразна. Эти области разделены кривой Г, — местом параболических
точек, во всех точках которой диференциальное уравнение асимптотических
линий (т. I, § 237)
Odtfi + 2D'dudv + D"dv* = 0
имеет для — двойной корень; ¦ этот двойной корень определяет направление.
единственной асимптотической касательной. Если касательная к кривой Г не сов-
совпадает с этою асимптотическою касательною (это — общий случаи), то кривая Г
есть место, точек возврата асимптотических линий. Но, если асимптотическая ка-
касательная в каждой точке М кривой Г совпадает с касательной к Г, то кривая Г
есть огибающая асимптотических линий. В этом случае кривая Г есть одновре-
одновременно и асимптотическая линия и линия кривизны, так как касательная к ней
есть также ось индикатрисы. Следовательно, нормали к поверхности S вдоль кри-
кривой Г образуют развертывающуюся поверхность, и, так как нормаль к S есть и
бинормаль к Г, как к асимптотической линии, то отсюда следует, что бинормали
кривой Г, а следовательно, и ее главные нормали, образуют развертывающуюся
поверхность; следовательно, Г есть плоская кривая (т. 1, § 225), и рассматриваемая
поверхность S касается плоскости Р кривой Г вдоль этой кривой.
Рассмотрим, например, поверхность вращения. Чтобы один из главных радиу-
радиусов кривизны в точке М этой поверхности был равен бесконечности, необхо-
необходимо, чтобы или радиус кривизны меридиана был равен бесконечности, или каса-
касательная к этому меридиану была перпендикулярна к оси вращения. В первом
случае кривая Г есть параллель, каждая точка которой есть точка перегиба для
меридиана; асимптотическая касательная перпендикулярна к касательной кривой Г,
и эта параллель есть место точек возврата асимптотических линий. Напротив, во
втором случае, кривая Г есть параллелль, во всех точках которой поверхность
касается плоскости этой параллели, как в торе; кривая Г есть огибающая асимпто-
асимптотических линий.
Все эти результаты нетрудно проверить непосредственно на диференциаль-
ном уравнении асимптотических линий поверхностей вращения в полярных коор-
координатах.
435. Геометрическое истолкование. Предыдущие исследования можно пред-
представить в несколько ином виде, на который мы здесь кратко укажем. При этом
мы попрежнему будем пользоваться геометрическими представлениями, хотя рас-
рассуждения нетрудно распространить и на область комплексных переменных.
¦ Мы уже указывали (§ 369), что интегрирование диференциальиого уравне-
уравнения первого порядка F (х, у, у') = 0 равносильно определению кривых Г, лежа-
лежащих на поверхности S, представляемой уравнением
F(x,y,z) = 0, E3)
для которых имеет место соотношение dy — zdx = 0. Проекция с на плоскость
хОу кривой Г, лежащей на поверхности S и удовлетворяющей предыдущему
условию, есть интегральная кривая данного диференциального уравнения, и
обратно. Мы будем предполагать в дальнейшем исследовании, что эта поверх-
поверхность S не имеет иных особенностей, кроме двойных линий, вдоль которых пересе-
пересекаются две полости поверхности, имеющие различные касательные плоскости.
Вместо того чтобы рассматривать кривые с, лежащие на плоскости хОу, мы рас-
рассмотрим кривые Г на самой поверхности S.
Рассмотрим сначала точку М9 (х9, уц, /о) поверхности S, не лежащую на двой-
двойной кривой, причем касательная плоскость в точке jW0 не параллельна оси Ог.
Касательная к кривой Г, проходящей через точку Мл, лежит в касательной пло-
плоскости в этой точке

§ 435 Ш. ОСОБЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 205
а также в плоскости
У-У9—*>1Х-х,) = 0, E5)
так как должно быть: dy— zdx = 0. Эти две плоскости различны, так как (<— )
по предположению не равно нулю; следовательно, эти плоскости пересекаются
вдоль прямой, не параллельной оси Oz. Таким образом через точку ме прохо-
проходит одна и только одна кривая Г, касательная к которой не параллельна оси Oz;
проекция с этой кривой на плоскость хОу проходит через точку /я0 — проекцию
точки Мф и т0 есть обыкновенная точка кривой с. Если точка Мо лежит на двой-
двойной кривой поверхности S, то можно применить предыдущее рассуждение к каж-
каждой из обеих.полостей, если только ни одна из касательных плоскостей в точке Мо
не параллельна оси Oz; следовательно, через точку Мо проходят две кривых. Г,
соответствующих двум полостям поверхности S- Остается исследовать случай,
когда точка Mq лежит на той кривой D поверхности S, для точек которой одно-
одновременно F=0, s- = 0. Мы предположим, что эта кривая D не есть двойная
кривая; тогда это есть место точек поверхности S, в которых касательная пло-
плоскость параллельна оси Oz, причем в точке Мо по крайней мере одна из част-
ных производных j-., -SJ7- отлична от нуля. В этом случае обе плоскости E4)
и E5) параллельны оси Oz, и их линия пересечения также параллельна оси Oz'
если только обе плоскости не сливаются между собою, т. е. если не будет
Устраним пока из рассмотрения этот последний случай. Касательная к кри-
кривой Г, проходящей через точку Мо, параллельна оси Oz> но сама эта кривая Г)
не представляет в точке jW0 никакой особенности. Чтобы в эюм убедиться, заме-
заменим систему двух уравнений
F(x, у, z) — 0, dy = zdx E7
системою двух совместных диференииальных уравнений:
dx dy —dz
$F ~ bF ~.bF JF_ E8)
bz 3z Ъх ду
с начальными условиями x = x0, y=y0, z = z0. Системы E7) и E8) равносильны;
в самом деле, из уравнений E8) мы имеем интегрируемое сочетание dF = Q, и,
следовательно, F (х, у, z) = F (дг0, у0, г0) = 0.
Так как по предположению (->- i =0, а (ч~) +*о(\ ) неравно нулю,
то из уравнений E8) мы получим разложения разностей х — х0 и у—у„ по сте-
степеням z — г0, начинающиеся с членов не ниже второй степени:
Следовательно, точка М„ есть обыкновенная точка кривой Г, проходящей
через Ма, но точка гщ — проекция точки Mt на плоскость хОу — есть точка воз-
возврата (вообще первого вида) для кривой с, — проекции кривой Г. Это замеча-
замечание вытекает из того общего свойства, в котором нетрудно убедиться, что про-
проекция кривой двойной кривизны на плоскость, параллельно касательной к этой
кривой в точке М, имеет точку возврата в точке т — проекции точки М. Пусть
будет d проекция на плоскость хОу кривой D; тогда мы приходим к получен-
полученному выше результату: кривая d есть место точек возврата интегральных кривых.
Этот метод имеет то преимущество, что из него видно, как рассматриваемая осо-
особенность исчезает при переходе от плоскости хОу к поверхности S.
Но результат будет иным, если соотношение E6) удовлетворяется во-всех
точках кривой D. Тогда обе плоскости E4) и E5) сливаются, и мы имеем случай,
когда существует особый интеграл. При этом через каждую точку кривой D

206 ГЛАЁА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЁНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 435 - 436
проходят, вообще, две кривых Г — сама кривая D и некоторая другая кривая,
проекция которой на плоскость хОу касается особого интеграла D.
436. Особые интегралы системы диференциальных уравнений. Теория
особых интегралов распространяется на системы диференциальных уравнений
первого порядка, а следовательно, и на системы высших порядков. Мы рассмо-
рассмотрим только систему двух уравнений первого порядка (что включает случай
одного уравнения второго порядка), причем пойдем путем, обратным предыдущему,
т. е. рассмотрим сначала систему диференциальных уравнений, получающуюся
от исключения постоянных *.
Пусть будут
F(x,y,z;a,b)=0, Ф (х, у, г; а, Ь) =? 0 E9)
уравнения семейства плоских кривых или кривых двойной кривизны Г, завися-
зависящих от двух произвольных параметров а и Ъ; такое семейство называется кон-
груэнциею кривых. Для определенности мы предположим, что функции F и
¦Ф суть многочлены; тогда кривые конгруэнции будут алгебраическими. Обобщим
сначала теоремы, доказанные для конгруэнции прямых (т. I, § 230). Если мы
установим между а и Ь произвольное соотношение Ь — у (а), то получим беско-
бесконечное множество кривых Г, зависящих только от одного переменного пара-
параметра а. Вообще, эти кривые не имеют огибающей кривой; в самом деле, для того
чтобы они имели огибающую, необходимо, чтобы четыре уравнения E9) и F0):
*F }Fdb_ ЙФ ЬФМ
Га + ЪЬ da~ °' 55"+ ЖТа = ° F0)
имели общие решения для х,у, г (т. I, §205).
Исключая х, у, г из этих четырех уравнений, мы придем к одному соотно-
, db
шению между а, Ъ и —:
(|) F1)
т. е. к диференциальному уравнению первого порядка. Если мы возьмем за соот-
соотношение Ъ = (р (а) интегоал этого уравнения, то кривые Г не только образуют
некоторую поверхность 2, но и будут вместе с тем касаться некоторой кривой С,
расположенной на 2>' мы попрежнему будем называть эту кривую С ребром
возврата поверхности 2- Если уравнение F1) — /м-й степени относительно^- , то
всякая кривая Г конгруэнции принадлежит, вообще, т поверхностям, аналогич-
аналогичным 2. и на каждой из этих поверхностей она касается в определенной точке
соответствующего ребра возврата. Таким образом на каждой кривой Г конгруэн-
конгруэнции находится т замечательных точек, которые называются фокальными точ-
точками Эти фокальные точки можно получить, не интегрируя уравнения F1).
В самом деле, для этого достаточно решить четыре уравнения E9) и F0) отно-
относительно х,у, г -г-. Прежде всего составляем соотношение- F1), из которого
находим 5-; данее, исключая -т- из уравнений F0), мы получим новое соотно-
соотношение:
*ЙФ
D(a,b) ~Ъа!Ь db da~°' ^>
и из этого соотношения и из двух уравнений E9) кривой Г мы можем по дан-
данным а и b определить координаты фокальных точек.
Место фокальных точек есть фокальная поверхность конгруэнции; мы
получим уравнение этой поверхности, исключая а и b m трех соотношений E9) и
F2). Фокальная поверхность есть вместе с тем и место ребер возврата С поверх-
* См. мемуар Г у р с a, Sur les solutions singulieres des equations differentielles
. siniultanees (Amer'ean Journal of Mathematics, т. XI).

§ 436 Ш. ОСОБЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Utfi
ностей 2, так как каждая точка кривой С есть фокальная точка для кривой кон-
руэнции, касающейся С в этой точке. Отсюда следует, что всякая кривая Г кон-
конгруэнции касается т полостей фокальной поверхности в т соответствующих
фокальных точках, так как в каждой из этих точек она касается крив й С,
лежащей на этой фокальной поверхности. Все эти свойства представляют очень
большую аналогию с свойствами конгруэнции прямых. Вообще, если многочлены
F и Ф произвольны, то т полостей фокальной поверхности представляются
одним уравнением, но может также случиться, что это уравнение распадается на
несколько различных уравнений. В некоторых частных случаях некоторые из
полостей фокальной поверхности могут обращаться в кривые; тогда соответствую-
соответствующие ребра воззрата С обращаются в точки.
Из этих свойств можно получить следующие результаты для диференциаль-
ных уравнений. Кривые Г суть интегральные кривые системы диференциальных
уравнений, которые получим, исключая постоянные а и b из уравнений E9) и
уравнений
dF , dF , dF , л дФ , оф , , ЙФ , „
Г-+-У+;. г' = 0, — + —у + — z' = 0, F3)
ох оу 02 од: в у ог
получающихся из последних диференцированием.
Пусть будет
Ф (лг, у, г, У, г") = 0, Ф4(лг, у, г, у1, г') = 0 F4)
эха система диференциальных уравнений. Формулы E9) представляют общий
интеграл згой системы, так как по предположению можно взять постоянные
а и Ь таким образом, чтобы кривая Г проходила через любую точку простран-
пространства с коораинатами Хц, у0, г0. Если через эту точку проходят п кривых Г, то
уравнения E9) определят я систем значений для а и Ь. Далее, из уравнений
F3) мы найдем / и z\ и мы видим, чго для точки (дг0, у0, г0) уравнения F4)
определяют п систем значений для у' и z'. Но ребра возврата С суть также
интегральные кривые уравнений F4), так как в каждой точке кривой С значения
переменных х, у, г, у', г' одинаковы как для С,-так и для кривой Г, касающейся С
в этой точке. Следовательно, уравнения F4) имеют, кроме кривых Г, также беско-
бесконечное множество других интегралов, не содержащихся в формулах E9), кото-
которые мы получим, интегрируя уравнение первого порядка F1). Это особые
интегралы системы.
Нетрудно видеть, что для существования фокальных поверхностей нет необ-
необходимости, чтобы . кривые Г были алгебраическими. Достаточно, чтобы волизи
системы решений (х0, у0, 20, а0, Ьо) трех уравнений
F(x, у, z, а, ») = 0, Ф{х, у, z, а, Ь) = 0, ^ ^ =0 F5)
неявные функции х, у, z параметров а и Ь, определяемые этими тремя уравне-
уравнениями и обращающиеся в ха, у6, z0 при а = а0, b — b0, были непрерывны и имели
в этой области непрерывные производные. В самом деле, .пусть будут
*=Л(в, »), y=h(fi.b). z=ft{tt,b) F6)
эти три функции; почость фокальной поверхности, проходящая через точку
с координатами (х„, у0, г„), представится вблизи этой точки формулами F6),
причем параметры а и b имеют значения, близкие к аа и й0. Отсюда нетрудно
вывести уравнение касательной плоскости к фокальной поверхности. В самом деле,
если точка х, у, z описывает какую-нибудь линию, лежащую на этой поверх-
поверхности, то х, у, г, а,.Ь будут функциями одного независимого переменного, удо-
удовлетворяющими уравнениям F5); следовательно, их диференциалы удовлетворяют
соотношениям:
iF iF „ . dF, . d/% , bF .. n

208 ГЛАВА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 436
Принимая во внимание последнее из уравнений F5), мы можем исключить
&а и ЬЪ, причем придем к новому соотношению:
Достаточно заменить здесь Ьх, Ьу, Ъг соответственно через X—дг0, Y — уа,
2—20, чтобы иметь уравнение касательной плоскости к фокальной поверхности;
нетрудно убедиться, что' эта плоскость проходит через касательную прямую
к кривой Г, так как для кривой Г мы из F5) имеем:
дх ду дг дх Ьу дг
дФ 6F
Умножая оба уравнения соответственно на -хт-, ,-тг, мы приходим к уравне-
уравнению F7). Таким образом при«выЕоде свойств фокальной поверхности нужно
только предположение, что к уравнениям F5) можно применить теорию неявных
Функций и, в частности, что функции F, Ф непрерывны вместе со своими част-
частными производными вблизи системы решений (дг0, у0, гл, до> *<»)• Это, наверное,
ос) ществляется, если F и Ф многочлены, но ясно, что эго имеет место и для
многих других функций. Заметим также, что, если кривые Г имеют особые точки,
то место этих особых точек составляет часть фокальной поверхности. Это пред-
предложение доказывается так же, как аналогичное предложение для плоских кри-
кривых (т. I, § 198).
Рассмотрим теперь этот же вопрос с противоположной точки зрения. Пусть
будет даиа система двух диференциальных уравнений первого порядка вида Fч):
найдем, имеет ли эта система особые интегралы, причем мы предположим, что Ф
и Ч1! — многочлены. Пусть будет Мо какая-нибудь точка пространства с коорди-
координатами (х0, j/o. го)> если мы замевим в уравнениях F4) х, у, г соответственно
через х0, у0, z0, то эти уравнения будут иметь, вообще, несколько систем реше-
решений. Пусть будет у'о, z'o одна из этих систем; предположим сначала, что для этой
/Э(ф ф.)
системы определи.ель Якоби ,'—^ не равен тождественно нулю. Тогда мы
получим из уравнений F4) для у' и г' функции, правильные в области точки
( )
и обращающиеся соотве .ственно в у'о и г0 при х = хл, у = уо, г — гй. Сле-
Следовательно, уравнения 64) имеют интегральную кривую, проходящую через
точку Л*о и касающуюся прямой, представляемой уравнением Y—Уо==Уо(^~ хо^
Z — 2о = г'о(Х — хл), и эта кривая входит в состав семейства интегралов, зави-
зависящих от двух произвольных параметров (§ 387). Но результат будет иной, если
?>(Ф Ф
=0; последнее равенство может иметь место только в том случае,
если координаты <х0, у0, Zq) удовлетворяют соотношению:
R{x, у, *) = 0. . F8)
кбюрое получим, исключая у',-г' из трех уравнений:
\J)=0- F9)
Уравнение F8) Представляет некоторую поверхность S, и, как мы только что
видели, ни одна интегральная кривая, не лежащая на поверхности S, не может
быть особым интегралом.
Если .точка Л4в лежит нэ поверхности S, то три уравнения F9) имеют для

§ 436 ш. Особые интегралы 2оэ
этой точки общие решения у' =у'о, z' = z'o. Если прямая D, представляемая урав-
уравнением
^?-° = Г^-° = ~-?0. GЙ)
не есть касательная к поверхности S (как это и будет в общем ел\чае), то' суще-
существует интегральная кривая, проходящая через точку Мо и касающаяся- пря*
мой D, и, как это было доказано выше, точка Mq есть, вообще, точка возврата ¦
этой кривой. Весьма важно замешть, что эта интегральная кривая не может
лежать на поверхности S, так как касательная к этой кривой не лежит в касатель-
касательной плоскости к поверхности S. Следовательно, чтобы существовали особые
интегралы, необходимо, чтобы в каждой точке поверхности S соответствующая
прямая D лежала в касательной плоскости к этой поверхности. Это условие —
достаточное, так как в этом случае через каждую точку поверхности S проходит
кривая, лежащая на этой поверхности и касающаяся прямой D. Эти кривые опре-
определяются диференциальным уравнением первого порядка и, действительно, пред-
представляют особые интегралы уравнения F4), так как в каждой их точке значения у'
и г' образуют кратную систему решении ypaeHefHii F4).
Примеры. 1. Рассмотрим систему совместных уравнений:
у — ху' = 0, x%z'2 = x'i-\-y2—I. G1)
Оба значения для z' равны между собою во всех точках цилиндра ж2 fj/2—1 =0,
и этому двойному корню соответствует направление перпендикуляра, опущен-
опущенного из точки (х, у) нл .ось Oz,
Так как это направление не лежит в касательной плоскости к цилиндру, то
здесь нет особых инте' ралов. На этом примере нетрудно убедиться, что цилиндр
есть место точек возврата интегральных кривьгх,' так как общий интеграл
системы G1) представится формулами:
у = С{х, г = V*1 + У2 — 1 — arc tgУх*'+у*—1 + С2.
2. Возьмем систему диференциальных уравнений вида:
F (У — ¦*/. z-xz', у', z') =0, Ф (у, z' - хг\ у\ г') = 0, G2)
которую можно рассматривать как обобщгние уравнения Клеро. Полагая.
и—у ху1, v = z — хг', имеем из предыдущих соотношений:
ду да
/дФ
I——
\Ьу'
дФ дФ\ „ , /дФ дФ\ „ п
Мы можем удовлетворить последним уравнениям, полагая у" = 0, 2" = 0 или
предполагая, что
Гри первом предпочож'Нии у' и z' равны постоянным а и Ь; таким образом
кривые, составляющие общий интеграл, суть лучи конгруэнции, представляемой
двумя уравнв1иями:
F{y — ax, z — bx, a, b) = 0, Ф (у — ах, z—'bx, а, &) = 0.
Здесь есть и особые интегралы, так как лучи конрруэнции касаются обеих
полостей фокальной поверхности; эти особые интегралы суть ребра возврата раз-
верты аюших поверхностей kohi руэнции и получаются интегрированием диферен-
циального уравнения первого порядка. Мы получим уравнение фокально?
поверхности, исключая у' и z' из соотношений G2) и G3).
И Э. Гурса, т. II, ч. 2.

210 ГЛАВА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 436
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Найти, имеются ли особые интегралы у следующих диференциатьных
уравнений:
{ )у ° + xi)y й=а
[Серре.]
— у*у' -f а*х = 0.
[Шлбмильх.]
= 0.
[Буль.]
= 0.
[Уэль.]
= 0.
[Муаньо.]
2*. Доказать, что уравнение Н{х, У) = 0, получак щееся от исключения у' из
двух соотноше! ий F(х, у, у') = 0, . -—| -у = 0, представляет место точек
дх ду
перегиба интегральных кривых.
Пользуясь пгербразованием взаимными полярами, вывести отсюда теорему
§ 433 относительно места точек возврата интегральных^ кривых.
[Дарбу, Bulletin des Scunces mathematiques, т. IV, 1873.]
3. Найти особые интегралы системы диференциальных уравнений
у =^ ху' + уа -f г\ г — z'x + у'г".
[Серре.]
4. Исследовать, имеет ли диференциальное уравнение второго порядка
A + xi) у г _ ( 2ху'+ ^jf 4 У а + ху' - у = 0
особые интегралы, и найти эти интегралы.
[Л а г р а н ж, Oeuvres, т. X., стр. 233.]
[Заменить это уравнение системою двух уравнений первого порядка.]
5*. Дано диференциальное уравнение второго порядка
F(x, у,у\у") = 0-
\р
исключая у" из этого уравнения и из соотношения —=0, мы получим дифе-
Ъу"
ренциальное уравнение первого порядка Р (х, у, у') = 0, интегралы которого
обладают, вообще, следующим свойством: через каждую точку М любой из
этих интегральных кривых С проходит интегральная кривая уравнения F=0,
имеющая в точке Л! точку возврата второго вида, причем касательное в точке
возврата служит касательная к кривой С в точке М. [American Journal of Mathe-
Mathematics, т. XI, стр. 364.]
6. Вывести свойст а функции ех, исходя из общего интеграла диференциаль-
ного уравнения 1——= 0, представленного в алгебраическом виде ху = С.
Та же задача для функции tg*; сначала для этого найти алгебраический
общий интеграл диференциального уравнения
dx | <» Q
7*. Дано диференциальное уравнение первого порядка y'-=R(x, у) где
R С*1» У) — рациональная .функция от у, коэфициенты которой суть аналитические
функции от х; предположим, что уравнение имеет общий интеграл вида:
То (*)У + Ь (х) уп~' + ... + ft, (х) _

§ 436 III. ОСОБЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 211
Доказать, что, сгелав подстановку вида u = Rt(x, у), где R{ есть рациональ-
рациональная фунщия от у, можно привести это уравнение к yj авнению Риккати.
[Пенлеве (Painleve).J
Ответ. Уравнение (I) можно представить в вид^:
уп +. [Ал(х) + Bt (х) и]уп-'+... + [Аа_,(дс) + Вп_, (дс) и]у + и = О,
где и=——-у^-, причем функции Ab Bt известны, и и удовлетворяет уравне-
уравнению
8. Доксзать, что, газыскивая функцию /(а) под тем условием, чтобы огибаю-
огибающая прямой х cos а -\- у sin а =/(а) была данною кривою С, мы придем к дифе-
ренциальному уравнению, общий интеграл которого состоит из прямых, прихо-
приходящих через постоянную точку кривой С. Действительное решение задачи пред-
представляет особый интеграл.

ГЛАВА- XXII.
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА.
В этой главе, посвященной теории уравнений с частными производ-
производными первого порядка, мы имеем в виду, главным образом, приведение
интегрирования такого уравнения к интегрированию системы обыкновен-
обыкновенных диференциальных уравнений. Хотя в большинстве случаев такое при-
приведение и не может иметь никакого практического значения, тем не
менее оно представляет большой теоретический интерес, так как позво-
позволяет оценить степень трудности задачи. Хотя во всех последующих рас-
рассуждениях не содержится требования, чтобы рассматриваемые интегралы
были аналитическими, но, за исключением случаев, которые будут ука-
указаны отдельно, мы ограничимся только такими интегралами.
I. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ШРВОГО ПОРЯДКА
437. Общий способ. Мы уже видели, что интегрирование однородного
уравнения
где Хг, Х2, ... , Хп суть функции от хг, х2, ... , хп, и интегрирование
системы диференциальных уравнений
<**,<*'! dxn ¦
— две равносильные задачи (§ 392). Если Д, /2, ... , /я-] суть п—1
первых независимых интегралов системы B), то общий интеграл урав-
уравнения A) есть произвольная функция
i Л.-.-- » /„-.!>
этих п—1 интегралов.
Интеграл, удовлетворяющий условиям Коши, мы можем получить сле-
следующим образом.
Предположим, что коэфициенты Xt голоморфны в области частной
системы значений л^, х®, ... , х°п, причем первый .коэфициент (^jH не
равен Нулю. Так как уравнение A) может быть решено относительно
—-, то к нему можно применить общую теорему (§ 386). Следовательно,
существует интеграл этого уравнения, голоморфный в рассматриваемой

§ 437 I. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 213
области и обращающийся при лг1 = лг° в заданную голоморфную функ-
функцию <р (лг2, х3, ... , хп) от («— 1) переменных ха, ..., хп. Чтобы
получить этот интеграл, представим систему B) в виде:
dx,~X1 '•••' dxx~Хл ' [ '
так как правые части уравнений (-3) голоморфны в области системы зна-
значений х®, лг!), ... , х^, то существует система голоморфных интегралов,
принимающих при xl = x° заданные значения С2, С3, ... , Сп, если
только модули | С;. — ;tj| не превосходят некоторой границы; .эти инте-
интегралы суть голоморфные функции переменного л:, и параметров
С2, С3, ... , Сп (§ 387,) и могут быть представлены разложениями вида:
х,
, = С, + (*, — *J) Р, (х,, С2, С3, ... , Сп) (I = 2, 3, ... , п). D)
Решая эти п—1 уравнений относительно Ct, мы получим систему
п — 1 первых интегралов уравнений B) в виде р сложений:
Ci=x1-Jr(x1 — x°l)Qt(x1, х2>... , х„) (/ = 2, 3,...., «), E)
причем функции Qt голоморфны. Ясно, что функция <р(С2, С3,...,СП)
этих п—1 первых интегралов голоморфна в области точки (xj х'Л
и при х1—х® обращается в (р(лг2, х3, ... , хп).
Рассмотрим теперь линейное уравнение:
где Pv Р2, ... , Pn, R могут зависеть как от независимых переменных
x,,'xs, ... , хп. так и от неизвестной функции z. Это уравнение можно
привести к виду A) следующим приемом, которым часто пользуются
в теории уравнений в частных производных. Вместо того, чтобы непо-
непосредственно искать неизвестную функцию z, определим ее как неявную
функцию уравнением
V(z, xlt *„..., xn) = 0, G)
причем искомой функцией будет функция V от «-)- 1 переменных
г, хх, х2 хп. Диференцируя соотношение G), получим:
Ш_|_ — — — 0 i^-L ———О-
3Xj ' dz d<-j ~ ' " " ' 3*я- iz Ьхп ~ '
замен>я в уравнении (о) производные -—, ... , -— их значениями, вы-
дх1 в хп
веденными из предыдущих соотношений, будем иметь:
р,? + ...+р.? + «?-о.

214 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ. § 437
Это новое уравнение имеет вид A), и его интегрирование равно-
равносильно интегрированию системы
dx1_dx1
Рп
Таким образом мы пол,уча м следующее предложение: если ult
и,г, ... , ип суть п первых независимых интегралов системы (9), то
всякая функция z от п переменных хг, х2, ... , хя, определяемая
соотношением вида:
*(«!, «„..., и„) = 0, A0)
где Ф есть произвольная функция от uv и2, ... , ип, есть интеграл
уравнения F).
Отсюда еще нельзя закдючигь, что таким образом мы получим в.е
интегралы уравнения F). В самом деле, чтобы неявная функция, опре-
определяем я соотношением G), была интегралом, нет необходимости, чтобы
было тождественно F(V) = 0; доспточно, чтобы условие F(V) = 0
было следствием уравнения V = 0. Ее, и, например, мы возьмем ал* V
интеграл уравнения вида F{V) = KV, где К есть постоянный множитель,
отличный от нуля, то очевидно, чго соотношение V = Q определит
интеграл уравнения F). Следовательно, необходимо рассмотреть, может ли
соотношение A0) дать все интегралы уравнения F). Чтобы доказать,
что кроме особых с'учаев, которые будут ючно указаны ниже, соотн >-
шение A0) действительно определяет все интегралы данного уравнения,
заменим *в п функциях и]( и2, ... , ип переменное г интегралом уравне-
уравнения (.6); мы получим функции (/,, U2, ... ; lfn от п переменных jc,,
х2, ... , хп. Если мы докажем, что определитель Якоби этих п функ-
функций тождественно равен нулю, то тем самым мы докажем, что суще-
существует соотношение
<Ht/lf uit ...,.ип)=о,
и следовате "ьно, рассматриваемый интеграч удовлетворяет соотношению
вида A0), где произвольная функция Ф заменена через ф. Вычислим
этот определитель:
Представив этот определитель как сумму частных определителей и
замеЧиЯ, что некоторые из них будут иметь два одинаковых столбца,
получим:
Цг, ..., Un)
D х}, х2, ... , хп) JLJy'D(x1 xt_v г, xuv ... , xaj

§ 437 I. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 215
Но к,, и2, ... , ип суть «-первых интегралов системы (9); пЪэтому
Из этих п линейных и однородных уравнений относительно rz —|— 1.
функций Pv ... , Ря, /? имеем:
D р
, и2, ... , ип) ~" Р(ц7, и , ... , д„)
где уИ есть функция от дг,, дг2 л"л, 2, которую всегда можно
вычислить, если известны первые интегралы uv и2, ... , ип. Внося в
соотношение A1) значения определителей, выведенные из уравнений A2),
получим:
Ш = R-Р,рг -Р2рг-...-РлРп, (I2bis)
Если г йсть интеграл уравнения F), то правая часть последнего
равенства равна нулю, и следовательно, этот интеграл удовлетворяет одному
из двух условий Д = 0 или М = 0. В первом случае, как мы только что
доказали, этот интеграл определяется соотношением вида A0). Что
касается соотношения М = 0, то оно определяет одну или несколько
вполне определенных неявных функций. Таким образом мы ^дим, что
за исключением некоторых особых интегралов, не зависящих ни от
одного произвольного постоянного, всё" интегралы уравнения F) удо-
удовлетворяют соотношению вида A0). В последующем мы будем говорить,
что соотношение A0) представляет общий интеграл уравнения F).
Чтобы узнать, может ли данный интеграл удовлетворять соотношению М = 0,
рассмотрим какую-нибудь точку (х®, х\, ..., х%) этого интеграла и предположим,
что все коэфициенты Pit Рь ..., Р„, R голоморфны вблизи этой системы зна-
значений и не обращаются одновременно в нуль при xi=-jpf, z — Zq. Предположим,
например, что Pt отлично от нуля при этих значениях. В зим случае уравне-
уравнение (8) можно решить относительно —, и, применяя теоремы Коши (§ 386), мы
Ьх{
видим, что для щ, щ, ..., ип можно взять функции, голоморфные в области зна-
значений {х\, х^, ... ,дг°). Но одно из уравнений A2) будет:
Так как определитель, стоящий в правой части, голоморфный, и Р{ не равно
нулю при xi = x°i, z = z0,-to отсюда следует, что при этой системе значений М
не может быть равно нулю. Так как точка (x°v ..., х°п, z0) есть произвольная точка
рассматриваемого интеграла, то мы заключаем, что интеграл, удовлетворяющий
соотношению VW = O, может существовать только в двух следующих случаях:
1. Существует такая функция V(xlt хг,..., хп, г), что в:якая система зна-
значений переменных xjt z, обращающая в нуль функцию V, обращает в нуль такте
и коэфициенты Pit Aj,... , Р„, R. Тогда все эти коэфициенты имеют общий мно.-
жигель, и ясно, что, приравнивая этот множитель нулю, мы получим интеграл,
Это — случай, не представляющий никакого интереса,

216 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 437—43&
2. -Предыдущие рассуждения неприменимы еще в том случае, когда интеграл,,
опреде яемый соотношением V— 0, таков, что нблизи всякой системы значе ийк
удовлетворяющих этому соотношению, некоторые» из ьоэфициентов Р,-, R не
будут голоморфными. 3i0t случай может действите ьно иметь место, как мы в. этом»
убедимся ниже.
438. Геометрическог истолкование. В случае уравнения с тремя пере-
переменными изложенный здесь общий метод оопускает простое геометри-
геометрическое истолкование. Представим это уравнение в обычных обозначе-
обозначениях: а* Дг
R, /» = |р 4 = fy, A3)
где Р, Q, /? суть функции трех переменных х, у, г. Пусть будет 5
какая-нибудь интегральная поверхность; так как уравнение касательной
плоскости к этой поверхности есть
то соотношение A3) выражает, что эта касательная плоскость проходит
через прямую D, представляемую уравнениями:
X—х У—у Z—z
Q ~ R
A4)
Таким образом задача интегрирования уравнения A3) геометрически
может быть выражена следующим образом:.
Для каждой точки М{х, у, г) пространства дана прямая Д.
проходящая через эту точку и представляемая. уравнениями A4) -
Найти такую поверхность S, чтобы касательная плоскость к этой
поверхности S в каждой ее точке проходила через прямую D, со-
соответствующую этой точке.
Если известны все поверхности, обладающие этим свойством, то тем
самым мы знаем общий интеграл линейного уравнения. Три функции Р,
Q, R определяют тот закон, по которому изменяет свое напранление
прямая D, когда мы перемещаем точку М. В большинстве случаев эти
три функции Р, Q, R будут аналитическими функциями от х, у, г, но
для последующих рассуждений достаточно, чтобы они удовлетворяли
условиям, указанным в теории диференциальных уравнений (§ 388 и
след.).
Эта геометрическая постановка задачи приводит нас к разысканию
линий Г, которые в каждой своей точке касались бы соответствующей
прямой D; эти линии Г называются - характеристическими линиями.
Покажем сначала, что всякая интегральная поверхность образована
характеристическими линиями (характеристиками). В самом деле,
рассмотрим такую поверхность 5. В каждой точке М этой поверхности
Соответствующая прямая D лежит в касательной плоскости. Следовательно,
можно искать такие кривые, лежащие на этой поверхности, которые
в каждой своей точке касались бы соответствующей прямой D. Мы
получим эти кривые, интегрируя диференциальное уравнение первого
порядка (§378). Следовательно, через каждую точку поверхности S про-
проходит, вообще, одна- и только одна кривая, лежащая на этой поверхности
а обладающая требуемым свойством. Ясно, что эти кривые — характе.

§ 438 I. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 217
ристические; таким образ ж, предложение доказано. Обратное предложе-
предложение почти очевидно. Если поверхность есть место характеристик, то
касательная плоскость в любой, точке этой поверхности содержит каса-
касательную прямую к характеристике, ле-кащей на поверхности и прохо-
проходящей через эту точку", т. е. прямую D. Таким образом рассматриваемая
задача приводится к определению характеристических линий.
Из самого определения характеристических линий следует, что их
диференциальные уравнения суть
следовательно, через каждую точку пространства проходит, вообще, одна
и только одна характеристика, касающаяся соответствующей прямой D.
Предположим, что мы проинтегрировали уравнения A5); пусть будут и
и v два независимых первых инте'рала этой системы. Общий интеграл
представится формулами:
и(х, у, г) = а, v(x, у, г) = Ь, A6)
где а и b — произвольные постоянные. Следовательно, характеристиче-
характеристические кривые, завися от двух параметров, образуют конгруэнцию. Чтобы
получить поверхность, образуемую кривыми этой .конгруэнции, должно
установить между параметрами а и b произвольное соотношение,
например eg (а, 6) = 0; тогда соответствующая интегральная поверх-
поверхность представится уравнением tp (и, г»)=0. Это тот самый результат,
который мы получаем из общего метода предыдущего параграфа, так
как здесь и и v суть два независимых интеграла уравнения:
Примеры. 1. Рассмотрим уравнение рХ-\-ду — тг. Диференциальные урав-
уравнения характеристик
dx dy dz
х у mz
имеют два первых интеграла — = а, — = й, и общее уравнение интегральных
поверхностей есть:
Если /я=1, то характеристики суть прямые, проходящие через начало
координ*т, и интегральные поверхности суть конусы с вершиною в начале
координат. Если т — 0, то характеристики суть прямые, папа'ллельные плоскости
хОу и пересекающие ось Ог; интегральные поверхности суть коноиды.
2. Рассмотрим уравнение ру ~-дх-\- а = 0. Диференциальные уравнения
характеристик
dx _ dy _ dz
у — х —а
допускают две интегрируемых комбинации:

218 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 438
и характеристики представятся уравнениями;
=С„ г - a arc tg -?= Са.
Это — винтовые линии с ходом, равным 2га, расположенные на прямом круг-
круглом цилиндре с осью Ог, Ордий интеграл состоит из геликоидов с произвочь-
ным профилей (мы предиолаг ем, что система координат — прямоугольная)
В частном случаг, ко1да л = 0, характеристики суть -руги с центрили на оси Ог,
плоскости которых параллельны плоскости хОу, интегральные поверхности суть
поверхности вращении с осью Ог.
3. Ортогональные траектории. Пусть будет
F(x,y,z) = C A7)
уравнение такого семейства поверхности 2> зависящих от произвольного пара-
параметра С, что через каждую точку пространства (или, по крайней мере, чясти про-
стганава) проходит одна и только одна из этих поверхностей. Найдем другую
поверхность S, представляемую уравнением:
* = ?(¦*. У),
которая пересекала бы ортогонально в каждой своей точке поверхность 2. про-
проходящую через эту точку. Так как направляющие косинусы нормалей к обеим
bF bF oF „ .
поверхностям пропорциональны соответственно —, — , — для 2 и р, q, —1
дх ду дг •
для S, то условие ортогональности приводит к линейному уравнению:
,*+,?_?=* A8)
дх ду дг
Диференциальные уравнения характеристик
7F~iF~iF ( '
Ьх ду дг
определяют кривые, в каждой точке которых касательного прямою служит нор-
нормаль к поверхности 2> проходящей через эту точку.
Предположим, например, что F(x, у, z) — zf(x, у), причем функция f(x,y) —
однородная /мй степени. Диференциальные уравнения характеристик здесь будут:
dx dy zdz
Принимая во внимание соотношение Эйлера, имеем интегрируемую комби-
комбинацию:
х dx + y dy — mzdzz= 0;
отсюда получаем первый интеграл ж2 + у3 — тгР — а. С. другой стороны, —¦ равно
однородной.функции нулевой степени переменных х, у; следовательно, мы полу-
получим лругой первый инте!рал квадратурою (§ й64).
4. Иногда можно найти характеристические линии без вычислений, по их
геометрическим свойствам. Пусть, например, требуется найти такие поверхности S,
чтобы насате 1ьная плоскость в любой трчче М каждой из этих поверх-
частей пересекала данную прямую Д в тонне Т, равноотстоящ/й отточчиМ,
и от постоянной то it и О прямой Д. Пусть будет М какая-нибудь точки про-
пространства; на прямой Д существует одна и только одна, такая точка. Г, что ТО =
= ТМ, эта точка Т лежит на пересечении прямой Д с плоскостью, перпендику-
перпендикулярною к отрезку ОМ в его середине. Пусть будет D прямая, проходящая через
точ-си М и Т. Касательная плоскость ко всякой поверхности, удовлетворяющей
условиям задачи и пролодящей через точку М, содержит эту прямую D; следо-
следовательно, по сказанному выше, эти поверхности суть интегралы линейною урав-

§438-439 I. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 219
нения. Прямые/)суть касательные к характеристическим линиям.так как эти пря-
прямые все пересек; ют прямую Д, то все характеристические «инии — плоек е, рас-
расположенные в плоскостях, проходят, х через прямую Д. Характ ристики, лежа-
лежащие в од1 ой из этих плоскостей, суть инге ральные крииле некоторого дифе-
ре циа'1Ьиого уравнения первого порятка. Нетрудно видеть из опреде!яющих
их свойств, что эго — круги, касающиеся прямой Д в точке О так как ТО=ТМ.
С шдовательно, искомые поверхности образованы кругами, касающимися прямой Д
в точке О.
Произвольную функцию <р (и, v) можно выбрать таким образом, чтобы
интегральная поверхность проходила через данную кривую Г; мы полу-
получим эту поверхность как геометрическое место характеристических
линий, проходящих через различные точки кривой Г. Если кривая Г
представлена уравнениями:
Ф(дг, у, z) = 0, Фг(х, у, z) = 0, B0)
то задача приводится к разысканию такого соотношения между параме-
параметрами а и ft, чтобы характеристическая линия пересекала кривую Г.
^сно, что мы получим это соотношение, исключая х, у, г из двух
уравненийB0) и двух уравнений и^а, v = b характеристической линии.
Задача имеет только одно решение, если только кривая Г не есть
сама характеристическая. В этом исключительном случае, чтобы иметь
интегрзльную поверхность, проходящую через кривую Г, мы можем
взять любую поверхность, образуемую любым семейством характери-
характеристических линий, зависящим от произвольного параметра, в состав
которого входит кривая Г.
439. Характеристические конгруэнции. Всякому линейному уравнению
вида A3) соответствует характеристическая конгруэнция, состоящая
из характеристических линий этого уравнения. Обратно, всякая кон-
конгруэнция линий, т. е всякое семейство линий, зависящих от двух про-
произвольных параметров а и Ь, есть характеристическая конгруэнция
некоторого .уравнения вида A3)*. В самом деле, предположим сначала,
что уравнения, определяющие эту конгруэнцию, решены относительно
параметров а и Ь:
и(х, у, z) = a, v{x, у, z) = b.
Всякая поверхность S, образованная линиями этой конгруэнции, соеди-
соединенными по произвольному закону, представится уравнением вида:
v = n(u); взяв частные производные по х и у, получим:
dv , Ьу ,. /Эй , Ьи 1
+р п{и)\ +
Исключая Ti'(a), придем к линейному уравнению:
Р(и, у) Р(и, у) Р(и,
P + q +
D\z,
Очевидно, что данная конгруэнция есть его характеристическая кон-
конгруэнция.
* Мы предполагаем, сверх того, что через каждую точку пространства (или части простран-
пространства) проходит одна из эгнх линий, что не имело бы места, если бы все они были расположены
на одной и той же поверхности.

220 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 439
Рассмотрен теперь общий случай конгруэнции, -опре.еляемой двумя
уравнениями произвольного вида:
U(x, у,, г, a, b) = 0, V(x, у, z, a, Ь) = 0. . B1)
Если мы установим между параметрами а и b соотношение произ-
произвольного вида ср (а, й) = 0, то получим уравнение поверхности S, обра-
образуемой линиями Г конгруэнции, если исключим а и b из уравнений B1)
и соотношения tp =*=(). Какова бы ни была функция ф, все эти поверх-
поверхности и в этом случае удовлетворяют одному и тому же уравнению
в частных производных первого порядка. Чтобы получить это уравнение,
можно поступать следующим образом. Три уравнения,
U=0, V=0, <р(я, ?) —0 B2)
определяют три неявных функции z, a, b независимых переменных х и у,
причем, так как третье содержит только а и Ь, то
?^ . B3)
^ 0.
, у)
С другой стороны, диференцируя два первых уравнения B2) по х и у,
мы можем вывести из получаемых соотношений выражения производных
Ьа ЪЬ . Ьа ЬЬ '
дх' Ъх' Ьу ' йу Чбре3 *'•У< Z' P' Ч> п' пРичем Р> $ входят в эти
выражения линейно; внося полученные выражения ¦производных в опре-
определитель B3), мы придем к новому соотношению:
ф (х, у, г, р, q, a, b) =-0.
Остается только исключить а и b из этого соотношения и двух соотно-
шен й B1), чтобы притти к уравнению, содержащему только х, у,
*• Р> Ч- Ф(х, у, z, р, q) = 0; B4)
это — диференциальное урав» ение всех поверхностей, образуемых лини-
линиями конгруэнции. Было бы нетрудно убедиться из самого способа
получения этого уравнения, что оно распачается на несколько уравнений
первого порядка относительно р и q; но это вытекает из самого смысла
этого уравнения. Предположим, например, что через точку М простран-
пространства преходят т лин'й конгруэнции; пусть будут ?>,, D2, ... , Dm
касательные прямые к этим линиям в точке М. Всякая поверхность,
образуемая лин ями конгруэнции и проходящая через точку М, должна
содержать одну из т линий этой конгруэнции, проходящих через точку т,
и следовательно, касательная плоскость в точке М должна проходить
через одну из прямых ?>:, D.,, ... , Dm. Пусть будут Pt, Qt, Rt напра-
направляющие параметры прямой D{ Так'м образом всякая поверхность, обра-
образуемая линиями конгрузнции, должна удовлетворять одному из т урав-
уравнений El=Pip-{-Qfl — Rl=0 (i=l,2 т), B5)
и левая часть уравнения B4) совпадает, до множителя, не зависящего
от р и q, с произведением т линейных множител й Ел, Е2, ... , Ет.
Заметим при этом, чтот вообще, невозможно разделить аналитически
эти т "множителей.

§ 439 I. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 221
Некоторые геометрические задачи также можно привести к уравне-
уравнениям в частных производных" первого порядка, распадающимся на произ-
произведение линейных м южителей. Возвратимся, например, к задаче об орто-
ортогональных траекториях и рассмотрим семейство понерхностей, уравнение
которых F{x, у, z, С) = 0 содержит про звольный параметр С в т-й
степени. Чтобы получить диференци шьное уравнение поверхностей,
пересекающих данные поверхности ортогонально, должно попрежнему
исключить С из соотношения F=0 и из условия
bF , dF bF л -
+0
По предположению через каждую точку М пространства проходят т
поверхностей рассматриваемого семейства. Пусть будут Dx, D,, . .. , Dm
нормали к этим т поверхностям. Касательная плоскость к ортогональной
поверхности в точке М должна содержать одну из этих прямых; следо-
следовательно, уравнение в частных производных распадается на систему т
линейных уравнений относительно р и д.
Обратно, всякое уравнение этого вида устанавливает соответствие
между каждою точкою пространства и т прямыми ?>,, D2, ... , Dm,
через нее проходящими; оно выражает, что касательная плоскость
к интегральной поверхности содержит одну из т прямых D,,
D2, ... , Dm, соответствующих каждой точке пространства. Если мы
назовем характеристикою t сякую линию, которая в каждой своей точке
касается одной из т соответствующих прямых, то из предыдущих рас-
рассуждений попрежнему следует, что интегральная поверхность есть геоме-
геометрическое место характеристик. Чтобы получить, лиференциальные урав-
уравнения этих линий, нет необходимости разлагать левую часть уравнения
на линейные множители. В самом деле, н писав условия того, что эта
левая часть делится на множитель Pp-\-Qq — /?, мы придем к уравне-
уравнениям, однородным относительно Р, Q, /?, которые определяют для
каждой точки (х, у, г) т систем значений для отношений двух из
коэфициентов Р, Q, /? к третьему. Заменяя в этих уравнениях Р, Q, /?
пропорциональными им количествами dx, dy, dz, мы получим диферен-
ци;|льные уравнения характеристик, таким образом, ингегрировчние урав-
уравнения с частными производными и здесь привелось к интегрированию
системы обыкновенных диференциальных уравнений.-
Из предыдущей теории легко видеть, каким образом личсйное уравнение A3)
может иметь инте!ралы, не со!ержащиеся в общем интеграле. Рассмотрим урав-
уравнение в частных производных
F(x,y,z,p,g)=0, B6)
лвая часть которого есть произведение нескольких множшелей, линейных
относи:ельно р, q и неразделимых аналитически; пусть будут
•(*»«?•?)-*•(*¦**?¦¦?)-• да
диференциальные уравнения характеристик этой системы.
Линии, преааавляющие общий интеграл уравнений B7), образуют конгруэн-
конгруэнцию, ко орая есть характеристическая конгруэнция уравнения B >), и общий ин-
интеграл состоит из поверхностей, образуемых линиями этой ко груэнции, соеди-
соединенными по произвольному закону. Но может случиться, что уравнения B7) имею*

222 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 439-440
особые интегралы; это будет в том случае, если характеристическая конгруэнция
имеет ф жалоную повегхность (?). Тогда через каждую точку этой поверхности
проходит линия хапяктеристической конгруэ и ии, касающаяся этой поверхности.
Следовательно, касательная пл< скость к по^рхности ($]) содержит одну из пря-
прямых ?>,-, соответствующих точке прикосно ения, и потому (?) есть интегральная
поверхность уравнения (>ь). При этом она воо ще, не входит ь состав поверх-
поверхностей, образующих общий интеграл; она есть особый интеграл.
Рассмотрим, например, уравнение
[р (л:2 —.**) + qxyf = q*z* (л? f/- z'),
равносильное двум линейным уравнениям:
у* — zS) = 0. B3)
Диф^ренциальные уравнения характеристиче.ских линий будут
Первое уравнение дает г —С; второе уравнение есть уравнение Клеро
(§ 371). Таким образом характеристическая конгруэнция состоит из прямых
линий
z = C, y=Cix±zV\Tc?t
параллельных плоскости хОу и касающихся конуса х*-^ yb — z\ Общий инте-
интеграл состоит из коноидод, образуемых этими прямыми; здесь есть и особый
ин1еграл — сам конус.
В об-ч ти каждой точки (дг0, у0, г0) этого конуса коэфициент при q в урав-
уравнении B8) не будет голоморф 1ым, чго согласно с предыдущим замечанием (§ i37).
II. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФЕРЕНЦЙАЛАХ.
440. Исследование уравнения dz = A dx -\- В dy. Существование инте-
интегралов вполне интегрируемой системы уравнений в полных .диферен-
циалах.было доказано ьыше (§ 385). Интегрирование такой системы
приводится к интегрированию нескольких систем обыкновенных дифе-
ренциальных уравнений с од^им независимым переменным. Метод,
который мы изложим для наиболее простого случая, непосредственно
распрос' раняется и на общий случай.
Рассмотрим уравнение
dz = A(x, у, z)dx-{-B{x, v, z)dy, B9)
где г есть искомая функция двух нез1висимых переменных х и у. Это
уравнение равносильно двум соотношениям:
ё=Л(*'-у'г)- a7==j8(*'J/'2r)- C0)
Следовательно, всякий интеграл, принадлежащий этим двум уравнениям,
удовлетворяет также двум другим уравнениям:
— = — 4- —R fe _^Д дВ .
ЪхЪу- by'bz ' дудх ~Ъх~т~Ъг '
и следовательно, соотношению
ЬА Ы ZB , W .

§ 440 II. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФЕРЁНЦИАЛАХ 223
Если это соотношение не есть тождество, то интегралы данного урав-
уравнения B9) можно искать только среди неявных функций, определяемых
уранн нием C1); следовательно, путем исключения всегда можно узнать,
имеют ли ур1внения C0) интеграл, общий для обоих уравнений.
Например, уравнение
dz = zdx \ (г2 + a2) dy
допускает интеграл г = 0 при а = 0 и не имеет интегралов при а, от-
отличном от нуля. Но для того, чтобы эти уравнения допускали бесчи-
бесчисленное множество интегралов, зависящих от одной произвольной по-
постоянной, необходимо, чтобы соотношение C1) выполнялось тождественно.
В этом случае ур >внение B9) называется вполне интегрируемым.
Услозие интегрируемости C1) инвариантно относительно всякой
замены переменной z:
z = F(x, у, и),
где и — новое переменное. Какова бы ни была функция F, уравнение B9)
заменится новым уравнением того же вида:
du — Ajix, у, a)dx^-Bx{x, у, u)dy,
для которого условие интегрируемости тоже удовлетворяется.
Действительно, новое уравнение можно записать в виде:
ZF , й/7 , ZF
— dx 4- — dy 4- — da = А (х, у, z) dx 4- В (х, у, z) dy. C2)
Ьх ' Ьу ' Ьи ' v '
Следовательно, оно разл гается на два отдельных уравнения:
C3)
в -которых" в правых частях z заменено через F(x, у, и).
Мы могли бы вывести отсюда выражения для — и — но для того
Ъх by
чтобы доказать, что уравнение C2) вполне интегрируемо, достаточно
проверить, что выражение для -— , полученное из первого из уравне-
оХоу
ний C3), тождественно с выражением для -— , взятым из второго.
Диференцируя первое уравнение C3) по у, получим:
й2/?4-— —4- —— 4- —— —-4-й/7——
Ьхду < хш ду Ьуди дх Ь^ Ьх Ьу Ъи ЪхЪу
==^4-—I—4- ——1= —4- —fi
~~~Ъу ^~bz \Sy ~т~Ъи Ъу J Ьу ^~Ъг '
Диференцируя второе уравнение по х, мы получим уравнение, левчя
часть которого отличается от левой части последнего уравнения только

224 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 440
д*и й2м
тем что производная заменяется через -——., а правая часть будет
Ьхду дудх
W . ЬВ
равна SF + te А
Так как условие C1) выполняется тождественно, мы получим- = - ;
это доказывает нам, что условие интегрируемости выполнено и для
уравнения C2).
Пусть теперь г —; <р (х, у, С) будет общий интеграл первого из урав-
уравнений C0), причем у мы рассматриваем как параметр, а С есть постоян-
. Ьш
ная интеграции. Функция <р удовлетворяет соотношению -г- = Л (х,у, ср),
и после замены переменного z—y(x, у, и) в уравнении B9) мы
получаем:
g[ ^] C4)
последнее уравнение эквивалентно двум соотношениям:
а. . ьи
0
Ьи
В силу доказанного общего свойства интеграла эта система тоже
должна удовлетворять условию интеграции, которое здесь сводится к
а*
Для определения нового переменного и мы пришли, таким образом,
к системе вида:
общим .интегралом которой является общий интеграл второго уравнения
и = ф(у, С), где С—постоянная, не зависящая ни от х, ни от у.
Достаточно заменить теперь в <р(х, у, и) и через ty(y,Q, чтобы полу-
получить интеграл вполне интегрируемой системы B9), и мы видим, что
интв'pupзвание этого уравнения сводится к интегрированию двух
обыкновенных длференциальных уравнений C4) « C5).
Пример. Рассмотрим уравнение в полных диференциалах:
1 -t ху 1 -г ху v '
равносильное системе:
Ъг_ \+yz Ьг = х(г — х)
Ьх 1 -+- Ху ду 1 + Ху

§ 440 Н. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФЁРЕНЦИАЛАХ ,225
Здесь условие интегрируемости удовлетворяется, и первое из уравнений C6'),
линейное относительно г и — , имеет общий интеграл:
дх
где и[у) есть произвольная функция от у Внося это значение для z во
уравнение C6'), получим: J1 + -tj = 0, откуда имегм: и (у) = |- С. След ^ва-
Телыю, общий интеграл уравнения C6) есть:
г = х+С{1+ху), C7)
Где С—произвэльног постоянное.
Задачу интегрирования уравнений в полных диференциалах можно
предстчвить геометрически. Для удобства мы будем попрежнему называть
интегральною поверхностью всякую поверхность, представляемую урав-
уравнением z—f(x, у), где функция /[х, у) есть интеграл уравнения B9).
Уравнения 3U), или
¦р = А (х, у, z), q = B (х, у, г),
выражают, что касательная плоскость к интегральной поверхности S
в точке (л:, у, г) этой поверхности совпадает с плоскостью, предста-
представляемою уравнением
y). C8)
Таким образом задача интегрирования уравнения B9) равносильна
следующей геометрической задаче:
Всякой, точке (х, у, г) пространства поставлена в соответствие
плоскость Р, проходящая через эту точку и представляемая урав-
уравнением C8). Найти поверхности S, в каждой точке которых каса-
тельною плоскостью служит плоскость Р, соответствующая этой
точке.
Эта задача похожа на задачу § 438, но в настоящем случае она не
всегда имеет решение. Если условие интегрируемости C1) удовлетво-
удовлетворяется, то, вообще, существует интеграл, и притом только один, урав»
нения B9), принимающий данное значение г0 при системе данных зна-
значений (х0, _у0) переменных х, у Следовательно, в этом случае через
всякую, точку пространства вообще проходит одна и. притом только
одна интегральная поверхность.
Рассмотрим, например, семейство кривых двойной кривизны Г, зави-
зависящих от двух произвольных параметров а и Ь и представляемых
системою двух уравнений:
и(х, у, г) —a, v(x, у, z) — b; C9)
пусть эти кривые таковы, что через каждую точку пространства (или
части пространства) проходит одна и только одна кривая этого семей-
семейства. Вообще, не существует семейства поверхностей S, имеющих эти
кривые Г ортогональными траекториями. В самом деле, касательная пло-
плоскость к поверхности 5 в каждой точке этой поверхности- должна сов-
совпадать с нормальною плоскостью к кривой Г, проходящей через ту же
Ц§ Э. Гуреа, т. 11, ч, 2.

226 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ^440-441
точку. Таким образом мы приходим к частному случаю предыдущей
задачи, которая, как мы видели, не всегда имеет решение, откуда следует,
что произвольно данная конгруэнция кривых вообще' не состоит из
ортогональных траекторий семейства по ерхностей.
Так как касательная плоскость к поверхяо.ти S в точке (х, у, z) должна
быть перпендикулярна к касательной прямой к 'кривой Г,, проходящей
через эту точку, то она будет перпендикулярна к касательным плоско-
плоскостям к двум поверхностям C9) в той же самой точке (х, у, г). Следо-
Следовательно, предполагая, что оси координат прямоугольные, мы должны
иметь, два соотношения:
— р -[_ —. п = О, — р -л а — -W = 0.
Ьху^ Ъуч bz ' ЬхИ7Тлуч bz
Отсюда находим значения для р и q:
р = А(х, у, z\ q==B(x,-y, z),
и, чтобы задача была возможна, условие C1) должно тождественно
удовлетворяться.
Рассмотрим, например, семейство линий
X=aZ, Y=bZ,
где X, Y, Z обозначают соответственно функции переменного х, переменного у
и переменного г. Пользуясь предыдущим методом, находим для р и q следую-
следующие значения:
__ X? _ YZ'
и уравнение в полных диференцйалах можно представить в виде:
Zdz Xdx ,Ydy_
-2т-+-Х- + -уг--1}
Очевидно, что это уравнение вполне интегрируемое, и общий ингеград
получается квадратурами:
441. Метод Майера. Предыдущий ^нетод требует двух последовательных
интегрирований; эти два интегрирования можно заменить одним следующим обра-
образом. Предположим, для определенности, что коэфициенты А (х, у, г) и B(x,y,z)
голоморфны в области точки (дг0, у0, z0); тогда, еели условие C1) удовлетворяется,
существует одна и только одна ишегральная поверхность 5С, проходящая через
точку. (.«„, ^0, гп) Сущность метода Майера (Mayer) состоит в том, то-для полу-
получения этой поверхности сначала определяют линии пересечения этой поверх-
поверхности с П10скостями, параллельными оси Ог и проходящими через точку (.*•„,у0, г0).
Пусть будет Г линия пересечения поверхности 50 с плоскостью
У — уо = т(х — *в), D0)
где т имеет данное значение. Вдоль этой кривой Т мы имеем dy = mdx, и,
заменяя в уравнении B9) у и dy их предыдущими значениями, мы получим
соотношение
dz={A[x. ув + т(х—х0), z] + mB[x,yt + m(x — x0), z\) dx, D1)
которое также удовлетворяется вдоль всей линии Г. Но это соотношение содер-

§ 441—442 II. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФЕРЕНЦИАЛДХ 227
жит только два,, переменных х и z; это диференциальное уравнение первого
порядка, интегрируя которое мы получим кривую Г. Пусть будет
г = f (х, х0, у,,, z0, m) D2)
интеграл этого уравнения, обращающийся в z0 при дг = лг„. Кривая Г представ-
представляется сиаемою двух уравнений D0) и D2). Так как искомая поверхность 50
есть место кривых Г при изменении параметра т, то мы получим уравнение
этой поверхности, исключая т из уравнений D0) и D2); для этого достаточно
заменить в уравнении D2) т через — . Этот метот представляет-очевицную
х — х0,
аналогию с методом, указанным для интегрирования полных дифгренциалов
(т! I, § 375). Его можно было бы также обобщить, заменяя плоскости, парал-
параллельные оси Oz, цилиндрами, проходящими через данную точку (дт0, у0, z0),
с образующими, параллельными оси z.
Возвратимся, например, к уршнению C6) и положим хо=уо = О Полагая
у = тх, dy = mdx, получим из этого уравнения
dz ___ Imxz I — тх*.
dx I -t- mx* 1 -f mx?'
это — линейное уравнение, интегрирование которого не представляет никаких
затруднений; его интеграл, обращающийся в z§ при дг = О, есть:
Следовательно, поверхность So представляется уравнением: z = х + Zq (I -\- ху),
и мы приходим к результату, полученному ранее по пзрвому методу*.
442. Исследование уравнения Р dx -J- Q dy -(- /? dz = 0. Задачу инте-
интегрирования уравнения в полных диференциалах можно представить
в более общей и симметричном виде.
Пусть будут Р(х, у, z), Q(x, yy z), R(x, у, z) функции трех
пегеменных х, у, г. Проинтегрировать уравнение
Р(х, у, z) dx-{-Q(x, у, z) dy-{-R(x, у, z) dz = 0 D3)
значит найти одно соотношение F(x, у, z)=0 между переменными
х, у, г, следствием которого было бы данное соотношение D3) между
этими тремя переменными и их диф ере и диадами dx, dy, dz. Если
функция F содержит переменное г, то мы можем рассматривать хну
как независимые п-ременные, и г как их функцию; мы видим, что эта
функция должна удовлетворять уравнению:
Р Q
dz^dxdy
имеющему вид B9). Заменив в условии интегрируемости C1) А чере.!
р о Q
=-, В через д- и выполнив вычисления, получим:
Это условие не изменяется при круговой перестановке х, у, z и
Pi Q, R', следовательно, мы пришли бы к Юму же самому условию D4),
если бы вместо z приняли за неизвестную функцию какое-нибудь из пере-
менных х или у. Таким образом задача интегрирования уравнения D3)
* М а й е р (Mayer), Ober unbeschrankt integrabele Systeme, Mathematlsche Annalen, т. V.
15*

228 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 442
не отличается по существу от рассмотренной выше задачи (§ 441); но,
представляя уравнение в полных диференииалах в виде D3), мы избе-
избегаем необходимости указыьать, какие переменные мы принимаем за неза-
независимые.
Условие D4) встречается в следующей задаче, тесно связанной
с предыдущею Если дано выражение
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy,
то мы видели t§ 373 и 387), что всегда существует бесконечное мно-
множество множителей р.(х, у), для которых произведение ]i(Pdx-\-Qd\)
есть полный диференциал функции от двух переменных х, у. При пе е-
ходе от двух переменных к трем такая теорема вообще не имеет места.
В самом деле, рассмотрим три функции Р, Q, R трех переменных
х, у, г; чтобы произведение \i.(P dx-\- Qdy -\- Rdz) было точным
диферснциалом, множитель ц должен удовлетворять трем условиям:
b(]xR)
Ъг ~ ду ' Ъх Ьг ' Ьу дх
Умножая эти уравнения соответственно на Р, Q, R и складывая, мы
придем по разделении на ц. к условию интегрируемости D4). Следова-
Следовательно, это условие необходимо, чтобы трехчлен Р dx -\- Q dy -+- R dz
имел интегрирующий множитель. Оно также и достаточно. В самом
деле, если оно удовлетворяется, то уравнение D3) — вполне интегри-
интегрируемое. Пусть будет
F(x, у, g) = C D5)
общий интеграл этого уравнения. Значения производных — и ——,
дХ о V
зыведенные из уравнения D5), должны быть тождественны со значениями
Р О
5" и 5"> полученными из уравнения D3), так как можно взять
R Л;
произвольное постоянное С таким, чтобы интегральная поверхность
прошла через любую точку пространства. Дая этого должно быть:
Р~ Q~ R ~Р'
или dF=]i.<Pdx -\-Qdy-\- Rdz); следовательно, множитель jjl равный
общему значению предыдущих отн~>шений, есть интегрирующий множи-
множитель. Повторяя рассуждения § 373, можно было бы доказать, что суще-
ществует бесконечное множество интегрирующих мно кителей, которые
все имею.т вид htt(F), где тс есть произвольная функция от F.
Условие- интегрируемости '44) есть инвариант относительно всякой замены
переменных. В,са«ом деле, рассмотрим преобразование, определяемое формулами:
x=f(u, v, w), _y = ip(a, v, w\ z = $(u, v, w), D6)
причем определитель Якоби от функций /, ip, ф, по и, v, w не равен тождественно
нулю. После такого преобра-ования трехчлен Pdv-\-Qdy-\-Rdz переходит
в выражение того же вида: Ptdu-i-Qtdv -f- Ridw, где Pt, Qlt /?, —функции от

§ 442 II. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФЕРЕНЦИАЛАХ 229
и, v, w. Если соотношение D4) удовлетворяется, то аналогичное соотношение
также удовлетворяется тождественно. В этом можно было бы убедиться непосред-
непосредственным вычислением (т. 1, гл. III, упр. 19); но эю предложение является также
следствием самого значения условия D4). В самом деле, если соотношение D4)
удовлетворяется, то существуют дье таких функции [i х, у, z) и F(x, у, z\ чю
[1 {Р dx + Q dy + R dz) = dF.
После замены переменных, определяемых формулами D6), ¦ ункцки [i и F
обращаются в функции щ и, v, да), F^u, v, w) новых переменных, и мы имеем
тождественно dF—dF{. Следовательно, предыдущее тождество обращается в
Hi(Pi du + Qidv + Ridm) = dFt,
и, следовательно, трехчлен P{du-\- Qt dv -\- Rtdw имеет интегрирующий множи
тель, Т. е. функции Plt Q,, R{ также удовлетворяют соотношению D7).
Пользуясь этим замечанием, можно представить предыдущий метод интегри-
интегрирования (§ 440) в более общем виде. В самом деле, предположим, что посредством
замены переменных мы представили трехчлен Рdx -f- Q dy -\- Rdz в виде двучлена
Pi du + Q{ dv, содержащего только два диференциала du и dv. Тогда в соотно-
соотношении .47) должно положить /?4 = 0, и мы получим отсюда Pt —^i- = Qi—-
dw dw
д /Pi\ n Pi
— I —- \ = 0, из этого равенства следует, что соотношение —- не зависит
или ¦
от w. Следовательно, интегрирование данного уравнения в полных диференциалах
приводится ь интегрированию уравнения вида: dv +- я(н, v,) du = 0, т.е. к обыкно-
обыкновенному диф.ренциальному уравнению.
Всякий трехчлен вида: Р dx + 'Q dy -\- R dz можно привести к двучлену
P,du +¦ Q{dv бесконечным множеством способов. Например, можно поступать
след.ющим образом. Определим сначала две таких функции у-(х,у, Z) и F (х,у, г\
чтобы при всяких dx и dy было
dF clF _ _
Ьх ду
эта задача приводится к интегрированию диференциального уравнения
Pdx-y Qdy = 0,
где z рассматривается как параметр. Тогда данное уравнение можно представить
D 1>1* ТТЛ*
в виде:
[i/? - -il \dz = [i (Я dx + Q dy + R dz\ = 0
В<яв-новую систему переменных, причем за два из этих переменных мы при-
примем F(x.y, z) и г, мы, действительно, заменим трехчлен Рdx-\-Qdy-\-Rdz
выражением, в которое i-ходят только два диференциала dF и dz. 3toi прием
можно видоизменяв газличным образом. Ясно, например, что можно начать
с интегрирования одного из двух уравнений:
Qdy-\- Rdz = 0, Pdx + Rdz = 0;
этот последний метод, в сущности, тождествен с методом, изложенным в § 440
С последним замечанием можно также связать изящный .прием интегриро-
интегрирования, предложенный Бертраном. Предп ложим, что уравнение D3) вполне инте-
интегрируемое. Начнем с интегрирования лингйного уравнения в частных производных
*Q ^\Э/ /<№ ЭРчд/ /dP__dQ\^_0 D8)

2?0
ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 442
Пусть будут и и v его два независимых интеграла; из двух соотношений
X(u) = 0, X(v) = O
и условия интегрируемости D4) можно исключить три разности
bQ _d/? dR ЬР_ ЬР bQ
bz ду Ьх bz Ъу Ьх
и мы придем к равенству
bit Ьи bur
Ьх dy bz
dv bv bv = 0.
Ьх by dz
P Q R
Следовательно, существуют две таких функции X и щ что одновременно
будет.
_ , bu dv _ , Ьи , bv _ , Ьи dv .n
Р = Х—+ [i—-, <? = Х—+ ц —, /? = Х—+ |i —, D9)
dv &? dj/ dj/ dz dz
и мы можем представить данное уравнение D3) в виде:
X du + ц Л» = 0.
Но мы видели выше, что если уравнение D3) содержит только два диферен-
циала, то отношение — должно зависеть только от переменных и и v\ таким
образом мы пришли к диферёнциальному уравнению между и и о*.
* Метод Бертрана имеет простую геометрическую интерпретацию. Пусть оси координат
прямоугольные, и пусть V— вектор в точке х, у, г с компонентами Р, Q, R. Всикая .интегральная
поверхность 5, проходящая через точку М х, у. Z) пространства, норм 1льна вектору V в этой
почке, и ибр.тно, всякая поверхность, нормальная в каждой точке вектору V, есть интегральная
поверхность уравнении D3). Рассмотрим, кроме того, Вихревой вектор т с началом в точке х,у, г,
троскции которого на оси координат равны
ЬО_
Ьу
дх
dQ_
by
линией вихря мч называем линию, касательная к которой в каждой точке совпадает с направле-
направлением вихревого векгора, а поверхностью вихрей J — iiob;dxhocti-, образованную лин иямн вихрей,
или4, иначе, пов.-рхнооь, касательная п >ос|>ость к которой в к <ждои точке содержит внхр^вой
вектор (§ 438). Тогда условие и-.те рнруеиостн D4) означает, что вектор (Р, Q, R) и вихревой
вектор г, выходящие из одной и той же точки, взаимно перпендикулярны. Если это условие
вы.ы uieHj, то, очевидно, искомый поверхности ^ оудут поиерхностями вихрей. Метод Бертрана и
состоит в том, чтобы сначала найти на>болае общие поверхности вихрей, а затем выбрать про-
произвольную функцию, ог которой зависят поверхности ^}, таким образом, чтобы они были нор-
нормальны в ка идой точке вектору (Р, Q, R).
Эта интерпретация позво>яет слова найти условие интегрируемости. Действительно,, оче-
очевидно, что поверхности 5 могут быть определены следующим свойством: интеграл
/ <= J P dx + Q dy + К dz.
взятый по произвольчому контору (замкнутому или иет — безразлично), лежащему на йоверх-
н cm S, раве i нулю. С доугой стороны, поверхности вихрей j обладают тем свинством, что
тот же самый интегрлл, взятий по замкнутому кошуру на S> равен нулю. Действительно, в силу
формулы Стокса. для эгого достаточно (т. I, § 132), чтобы в каждой точке ? мы имели:
z by I
где о, р, 1 — направлявшие коси усы нормали. Но это условие обозначает, что направление'
век ора т лежит в касательной плоскости к пиверхнисти. Отсюда очевидно, чго всякая поверх-
nocib S есть тоже поверхность вихрей. Итак, если через каждую точку пространства проходит
некоторая поверхность 5, условие D4) до жно удовлетворяться тождественно, так как карательная
плоскость к 5 перпендикулярна к вектору (Р, Q, Ц).

§ 442-443 II УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФЕРЕНЦИАЛАХ 231
Этот метод кажется более сложным, чем предыдущий, так как для интегри-
интегрирования уравнения D8) придется проинтегрировать систему двух диференциаль-
ных уравнений первого порялса Но он более симметричен и может быть выгод-
выгодным, если данное уравнение само симметрично относительно х, у, г. Рассмотрим,
например, уравнение
(У2 +У* + &) dx + (*2 + zx + *«) dy
Условие D4) удовлетворяется, и линейное уравнение D8) здесь обращается в
{z _ у) ±L + {х _¦ г, К. + (у _ Х) 11. = 0;
дх «у дх
из соответствующей системы диференциальных уравнений
dx dy dz
z — у ~~ x — z ~~ у — x
нетрудно получить две интегрируемых комбинации
Следовательно, мы можем взять:
u = x+y + z, v = х* + у* + z\
и значения маожителей \ и ц, получающиеся из уравнений D9), будут:
i$A-v х -\- у -\-z и
Следовательно, преобразозанное уравнение относительно и и v есть
(«2-
или
du-
и dv — vdu ( v \
= = d — .
и* \u J
v
Таким образом общий интеграл будет н = С, или; возвращаясь к пере-
переменным х, у, z:
+ +
443. Скобки (и, V) и [и, v]. Как мы видели, уравнение в полных
диференцшлах, в сущности, равносильно двум совместным уравнениям
р=А(х, у, z), q = B(x, у, z). Рассмотрим теперь два уравнения
произвольного вида:
F(x, у, z, р, q) = 0, Ф(лг, у, z, p, q)==0 E0)
между двумя независимыми переменными хну, неизвестною функциею
г и двумя ее частными производными рад.'
Обратно, если это условие выполнена, уразигние D3) вполне кнкгрируемо. Пусть М6 — не-
некоторая точка пространства, Со — кривая, вы<идящ.я из эгой точки, удовлетворяющая уравнени-о
Р dx + Q dy + Rdz = 0; например, «ы можем )адатьу = f (х) и опр делить г из у^вненн* первого
пор д а. Поверхность вихрей У)< проходящая ч?рез Со, есть также поверхность S. Пусть, вса-
мом д;ле, ММ ' — дуга кривой, ле ..аиий на ?, Мм и М,п' — кривее вихрей, выходящие из точек
М и М', т, т' - их точки пересечения с Со. И гееграл Г Рdx + Q dy + Rdz взятый по замкну-
замкнутом/ контуру ММ'тт'М, равен нулю, гак как ? е;ть поверхность в хрей. Интеграл по mm' РЗ-
вен пул v» в силу выбора Со; то жй самое верно огиоситель-to интегралов по контурам Мт-{-М т
в силу условия D4). Следовательно, ишеграл по ММ' тоже равен нулю, какова бы .н» была
дута ММ' на поверхчосги 2, н, следовательно, эта првархность есть поверхность S.

232 ГЛАВА XXI'. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 443
Если уравнения E0) можно решить относительно р и q, то мы
придем к двум уравнениям: p=f\x, у, z), q=<? х, у, z\ уже рас-
рассмотренного вида, и мы можем узнать^ совместимы ли эти два соотно-
соотношения. Но можно узнать, и не решая уравнений E0) относительно
р и q, удовлетворяется ли условие интегрируемости; для этого доста-
достаточно применить правила вычисления производных от неявных функций.
В самом деле," рассмотрим соотношения E0) как определяющие две
неявных функции p—f{x,y,z), q = u{x, у, z) трех переменных х, у, Z.
Диференцируя уравнения E0) по х, получим:
^Lj-— — -!-— ^- — 0 -^4-——-!-——= 0
дх ~"~ др дх ' dq Ьх ' дх ~* tp дх ' iq Ьх
др
и. .дователы исключая —*-:
и
D(F, Ф) iq ¦ D(F, Ф) =Q
D(p, q) дх Dip, x)
Точно так же найдем:
Р(Р,Ф) dp D(F,
?>(Р, Ч) ду~^О(у, q) ' D(p, q) dz + D^z, q)
Р{Р,Ф) iq_ , D(F, Ф)
D(p, q) dz ^ D(p, z)
_0
D^z, q)
„ dp dp dq dq
Внося значения производных —, -^— , —=- , —— в условие интегри-
ду dZ дх 6Z
руемости
ду dZ дх cZ
и выполняя вычисления, будем иметь:
dF/дФ аФ\ bF_ /^Ф , ^Ф\_
<> \ дх "•" р "aJ) 'Т' lq\dy т~ qJz)
др \Ьх + Р dz ) dq
Положим.вообще, если-и и v суть функции от х, у, z, p, q:
d д . д J) й
_ Аи dv . dv du tu dv Av du
dp dx dp dx Aq dv Aq dy '
Тогда предыдущее условие «южно представить в следующем сокращен-
сокращенном -виде:
\F, Ф] = О E1)

§ 443-441 Ш. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 233
Чтобы два уравнения E0) представляли вполне интегрируемую сис-
систему, необходимо прежде всего, чтобы можно было решить эти оба
уравнения относительно р и q, т. е. чтобы из них нельзя было вывести
соотн >шения между х, у, г, не зависящего от р и q, и, кроме того, чтобы
условие [F, Ф] = 0 было-следе 1вием двух соотношений E0'. Если ск бка
[F, Ф] равна нулю тождественно, то уравнения F=a, Ф = # образуют
вполне интегрируемую систему, каковы бы ни били постоянные а и Ь.
Если же условие [Z7, Ф] = 0 есть следствие только одного уравне ия
F=0, независимо от" второго соотношения Ф —0, то два ура нения
F=Q} ф = й образуют вп лне интегрируемую систему, каково бы m
было постоянное Ь.
Если обе функции F и Ф не содержат z, то выражение скобки
[F, Ф] упрощается. Если и и v произвольные функции от х, у, р, qy
то выражение
Ьи dv bv hu , ди bv bv Ьи
' Ьр их Ьр дх г dq ду cq by
называется скобкою Пуассона. Чтобы два уравнения
F(x, у, p,q)=0, Ф(х, у, р, 0 = 0
были совместимы, условие
(F, Ф)=0
должно удовлетворяться или тождественно, гли как следствие обоих
данных уравнений.
III. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.
444. Полные интегралы. Перейдем теперь к интегрированию уравнений
с частными- производными первого порядк! произвольного вида, но
с двумя только независимыми переменными. В теории интегрирования
таких уравнений Лагранж получил весьма важные результаты, которые
мы и'изложим прежде всего. Пусть будет
F(x, у, z, р, ?)=р0 152)
данное уравнение. Основной результат, полученный Лагр'ачжем, заклю-
заключается в следующем: если известно семейство интегралов, завис щее
от двух "Произвольных параметров, то из него можно вывести (С'.[
другие интегралы диференцированиями и исключениями. В самом деле,
пусть будет
V(x, у, z, а, ?) = 0 E3)
соотношение, содержащее два постоянных а и b и определяющее инте-
интеграл уравнения E2) при всяких 'значениях этих постоянных. Из этого
соотношения мы получим значения частных производных р и q этого
интеграла:
\-Р—=0, -— + ?-— = 0. (о4)
tx ' dz by дг
По предположению функция ' z удовлетворяет уравнению E2).

234 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 444
каковы бы ни были а и Ь; следовательно, исключая параметры а и b ni
трех соотношений E3^ и E4), мы придем к уравнению E2) и только
к нему*. Отсюда следует, что уравнение E2) пргдставляет необходи-
необходимое и достаточное условие тою, чюбы три уравнения E3) и E4)
удовлетворялись системою трех функций г, a, b от двух переменных
х и у, причем р и q обозначают частные прои водные от z. Следова-
Следовательно, задача интегрирования одного уравнения (--.2) равносильна сле-
следующей задаче: найпги три функции z, a, b двух независимых пере-
переменных х и у, удовлетворяющие трем уравнениям E3) и E4).
Если г—/г(х, у), а=/2(х, у), Ь=/-Л (*, У) представляют систему
решений этих трех уравнений, то функция /, (х, у) удовлетворяет также
и уравнению E2), представляющему следствие этих трех уравнений.
Обратно, если /, (х, у) есть интеграл уравнения E2), то три соотноше-
соотношения E3) и E4) совместимы, если мы заменим в них z через /, (лг, у),
а р и q— чергз частные производные от /, (лг, у). Следовательно, отсюда
мы получим для а и b две функции а==/2(х, у), b=fa(x, у), обра-
образующие с функциею /, (х, у) систему решений соотношений E3)
и E4) **
Эта новая задача, хотя и представляется более сложною, чем первая,
решается легко. В самом деле, диференцируя соотношение E3) по
х и у и рассматривая теперь z, а, Ь как неизвестные функции от х и у,
мы в силу уравнений E4) придем к двум следующим соотношениям:
ъу_ъа_л^у_ьь__п waa.av da-
date дх "+" db Ьх ~~ • to iy + d? V •
система у_равн?ний E3) и E5) рав юсильна системе уравнений
E3) и E4).
Очевидно, что мы удовлетворим этой системе, взяв зз неизвестные
функции а и b два произвольных постоянных. Таким образом мы по-
получим для г уже известный интеграл, который Лагранж назвал полным
интегралом. Чтобы решить задачу в самом общем виде, заметим, что
.„, , W dV п
уравнения E5) лине ны и однородны относительно —-, —j-. Следова-
оп аЬ
тельно, мы удовлетворим системе трех уравнений E3) и E5), полагая
—¦ ?=«. ?=°-
Если эти три уравнения совместимы, то они определяют три функции
z, а, Ь переменных х ну. Полученный таким образом интеграл
z=f-l{x, у) уравнения E2) совсем не. зависит от произвольных пара:
метров; он называется особым интегралом:
* В самом деле, ест бы, исключая а и Ь, мы при или ещг к другом/ соотношению
Ф(х, у, z, р, q) = 0, огличному от F = 0, то два совместных уравнения F '=¦ О, Ф = 0 имгли бы
общий для ннх обоих интеграл V ¦= 0, зависящий от двух произвольных постоянных а и Ь, что
незозможчо (§ 440). Следовательно, рассматриваемый интеграл зависел бы в действительности
тильки от одного napiMeipa.
** Геометрическая интерпретация такова: если г = /, (X, у) — уравнение интегральной поверх-
ио.ти S, то через каждую точку Ж этой поверхности проходит полный интеграл, касательный к S,
н соответствующие значения параметров а а Ь суть функции а — 1, (х, у), Ь — /. (х, у) от коорди-
• иаг точки М.

§ 444 III. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 235
Если — и , не равны одновременно нулю, то из уравнений E5)
оп дЬ
имеем: ^
D(x, у>
=0.
отсюда следует, что между функциями а и b существует по крайней
мере одно соотношение, не зависящее от х и у. Если существуют iiBa
таких соотношения, то а и b постоянны, и мы опять приходим к пол-
полному интегралу. Если между а и b существует только одно соотноше-
соотношение, то по крайней мерз одна из функций а и b не приводится к по-
постоянному. Предположим, что это будет функция а; тогда мы можем
представить соэ1ношение между а и b в виде:
*=-<р(а), E7)
и формулы E5) обращаются в
да [W
дх
1 ¦ . да [dV dV ,. 1 _
J ' йу \Ja ' db Y ; J
Таи. как, но предположению, а не равно постоянному, то эти два соотно-
соотношения приводятся только к одному, и три уравнения
V(x, у, z. а, А)=0, * = <р(я), ^-+^tP» = ° E8)
определяют еще новую систему решений уравнений E3) и E4). В част-
частности, получающаяся отсюда функция г=/л(х, у) есть интеграл дан-
данного уравнения E2). Очевидно, что этот интеграл зависит от произволь-
произвольной функции <р(а);.он называется общим интегралом.
Чтобы получить соотношение г=/:(л:, у) между х, у\ г, нужно
было бы исключить произвольный параметр а из двух уравнений:
31/ й1/
V[x, у, z, а, <р(а)| = О, -^ + ^—— <р' (а) = 0; E8bis)
это исключение можно сделать только после того, как функция <р (а) вы-
выбрана. Но из уравнений E8bis) мы всегда можем выразить две коорди-
координаты точек интегральной поверхности в функции третьей координаты и
параметра а.
Предыдущий метод имеет простую связь с теориею огибающих по-
поверхностей. В самом деле, рассмотрим семейство поверхностей S, зави-
зависящих от двух постоянных, представляющее полный интеграл E3). Если
мы установим между двумя параметрами аи b произвольное соотноше-
соотношение ,# = ср(а), то получим семейство поверхностей, зависящих только
от одного произвольного параметра а, и мы будем иметь огибающую
этого семейства, исключая а иа двух уравнений E8bis). Следовательно,
спо об получения общего интеграла из полного интеграла состоит в том,
что мы определяем огибающую однократно бесконечного множества пол-
полных интегралов, которое получим, устанавливая, произвольную зависи-
зависимость меж ту двумя параметрами а и Ь. Точно так же мы получим

236 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 44*
особый интеграл, взяв огибающую всех полных интегралов, когдз пара-
параметры а и b изменяются всеми возможными способами* (т. 1, § 202).
На основании всего сказанного можно было бы думать, что должно
различать три рода интегралов: полный интеграл, общий интеграл и
особый инте' рал. Но из самой теории Лагранжа следует, что существует
бесконечное множество полных интегралов. В самом деле, если мы. уста-
установим между двумя параметрами а и b определенное соотношение
b = n(a, a', b), содержащее два новых постоянных а' и Ь\ то соответ-
соответствующий общий интеграл будет зависеть от этих двух по тоянных а', Ь'
и будет иметь характер полного интеграла. Прежний полный интеграл
будет теперь содержаться в общем интеграле и будет соответствовать
соотношению: ? = тг(а, а', Ь'), установленному между параметрами а' и Ь'.
Следовательно, между общим и полным интегралом нет существенной
разницы. Напротив, особый интеграл, по самому своему геометрическому
значению, не зависит от выбора полного интеграла.
Примеры. 1. Рассмотрим обобщенное уравнение Клеро:
Очевидно, что оно имеет полный интеграл
\-f{a, b).
Этот полный интеграл состоит из семейства плоскостей, зависящих
от двух произвольных парнметров а и Ь; эти' плоскости огибают некото-
некоторую неразвертывающуюся поверхность 2, представляющую особый интеграл
данного уравнения. Чтобы иметь общий интеграл, мы должны установить
между а и Ь произвольное соотношение Ь = у(а) и искать огибающую
полученных таким образом плоскостей. Эта огибающая поверхность,
представляемая системою двух уравнений:
г = ах-\-уу{а) -(-/[а, ср (а)], х-\-у<?(а) -\--~ -f —~ ср' (a) = 0,
есть развертывающаяся поверхность, касающаяся поверхности 2 вдоль
некоторой кривой Г; очевидно, мы можем выбрать произвольную функцию
<р(я<" т ким образом, чтобы кривая прикосновения Г была любою задан-
заданною кривою поверхн >сти 2. Действительно, координаты точки прикосно-
прикосновения плоскости z=ax-\-by-\-f(a, b) определяются из уравнений:
b), л}^ = 0, jr-|-i? = 0." /
¦ Мы видели (§ 433), какой осторожности фе^уют все те рассуждения, встречающиеся при
изучении дицер.нцнальпы< уравнении, которые основаны на теории огибающих. Все трудности,
указанны в теории о.обых решений дифгренцн .льпых урав»е ий первого норядк , имеют
место и для уравн ний с частными лроизводными первого порядка, и мы приход н к тому же
с Mo>iy аи но ..нию: ^равнение с частными 1.роизводнымн первого поряд™, данное произвольно,
обыкнове но не им ет особиги интеграла. Это заплючение не стоит в противоречии с рас^жде-
ниями этого naparj>a<pj, так как мы дос^ка .и. чти к трем уравн^нннм E6) мо-но прило «ить
теорию неявных фупкц. й, и пр дыдушие рассуждения верны Тпдько тогда, когда это ус Овне
уаовлетвор»етс>1. (См. >е» ао flipoy, Sur les solutions singuliefes des equations aux deiivees
pardeUes du premier ordre, Mimoires des savants etragers, т. XXV II).

§ 444-445 HI. УРАВНЕНИЯ ПЁРВбГО ПОРЯДКА W
Исключая х, у, z из этих уравнений и одного из уравнений данной
кривой, мы получим искомое соотношение между а н Ь.
2. Рассмотрим еще уравнение
которое имеет полный интеграл
z = ax-{-f{a)y-\-b.
Это уравнение также представляет плоскость и общий интеграл,
определяемый системою двух уравнений:
z = ax \ у/(а) + <р(а), О = л?+.у/'(в) + <р'(«), E9)
состоит из развертырающихся поверхностей, которые геометрически вечьма
просто определяются. В самом деле; если через определенную точку
пространства, например через начал > координат, мы. проведем плоскости,
•параллельные плоскостям, образук щим полный интеграл, то эти плос-
плоскости будут зависеть только от переменного параметра а, и, следовательно,
они ршбают конус Т, имеющий вершину в тч'але координат. Следо-
Следовательно, соприкасающаяся плоскость ребра возврата ра'вертываю меРся по-
поверхности E9) остается постоянно параллельною соответствующей каса-
касательной плоскости к к°нусу Т, и потому образующие этой поверх-
поверхности параллельны образующим конуса (т. I, § 217).
Уравнения E6), определяющие особый интеграл, в этом . случае не-
несовместимы, так как последнее из них приводится к 1=0. Следова-
Следовательно, здесь нет особого интеграла.
3. Рассмотрим семейство шаров с данным радиусом R, центры кото-
которых лежат в данной плоскости. Эти шары зависят от двух произвольных
параметров, и если мы примем данную плоскость за плоскость хОу
прямоугольной системы осей координат, то шары представятся уравнением:
(х — ау -f (у — bf -f z2 — /?2 == 0.
Мы получим соответствующее уравнение в частных производных,-
исключая а и Ъ из этого уравнения и двух следующих
х—а-\- pz = 0, у — b -\- qz = O,
именно:
Геометрически это уравнение выражает, что отрезок нормали, заклю-
заключающийся между любою точкою поверхности и плоскостью хОу, по-
постоянен и равен R. Общий интеграл есть поверхность канала, огибающая
семейство шаров с радиусом, равным R, центры которых описывают
произвольную линию в плоскости хОу. Здесь есть особый интеграл,
состоящий из двух .плоскостей z = ¦+ R. Очевидно, что эти плоскости
касаются всех остальных интегральных поверхностей.
445. Метод Лагранжа и Шарпи. Из предыдущего видно, что для того,
чтобы найти.ьсе интегралы уравнения первого порядка
F(x, у, г, р, д) = 0, F0)
достаточно знать его полный интеграл, т. е. интеграл, зависящий
от двух произвольных постоянных. Чтобы получить такой интеграл,

238 ГЛАВА ХХП. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 445
предположим, что мы получили каким-нибудь образом такую другую
функцию Ф (л:, у, z, p, q), что два уравнения
F=0, Ф=-а, . F1)
могут быть решены относительно р и q и образуют вполне интегри-
интегрируемую систему, каково бы ни было значение постоянного a. Toifla,
решая эти два уравнения относительно р и q и внося полученные зна-
значения р и q в уравнение dz=p dx -f- q dv, мы получим вполне интегри-
интегрируемое уравнение в полных диференциалах:
dz=/ix, у, z, a)dx-\- ш(х, у, z, a)dy. F2)
При интегрировании этого уравнения мы в едем новое произвольное
постоянное b и, таким образом, будем иметь интеграл данного уравне-
уравнения, зависящий от двух .произвольных постоянных а и Ь.
Метод интегрирования Лагранжа и Шарпи (Charpit) и состоит именно
в том, что к данному уравнению /\=0 присоединяется такое другое
уравнение Ф = а, чтобы система F1) этих двух'уравнений была вполне
интег ируемою. Необходимым и достаточным )словием для этого будет
[F, Ф] = 0 (§ 443); полагая для краткости
х-ьЛ r-?L 7-ъ1- р~^- а-?-
Ьх ' Ьу ' Ъг\ Ьр' Ч~ bq'
мы можем представить это условие в виде:
йФ йФ йФ йФ йФ
l *=°- F3)
Следовательно, вспомогательная функция Ф {х, у, z, p, q) должна
удовлетворять линейному уравнению в частных производных с пятью не-
независимыми переменными. Интегрирование этого линейного уравнения
приводится в свою учередь к интегрированию системы обыкновенных
диференциальных уравнений:
dx dy , dz — dp — dq
P Q Pp + Qq X+pZ
F4)
Но для нашей цели нет необходимости знать общий интеграл сис-
т.емы F4); достаточно получить какой-нибудь первый интеграл этой
системы с тем условием, чтобы уравнения F—0, Ф = а были разре-
разрешимы относительно р и q.
Следовательно, мы имеем такое общее правило:
Чтобы получить полный интеграл уравнения F0), надо найти
сначала такой первый интеграл Ф = а вспомогательной системы F4),
D(F Ф)'
чтобы определитель Якоби ——'-—- ,не был равен нулю, и затем
решить два уравнения F= 0, Ф = а относительно р и q. Внося
найденные выражения для р и q в уравнение dz = p dx-\-qdy, мы
придем к вполне интегрируемому уравнению в полных диференциалах.
Общий интеграл этого уравнения содержит второе произвольное
постоянное Ь\ это — полный интеграл уравнения F0).

§ 445 Ш. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДЮ 239
Один интеграл уравнения F31 известен заранее, именно, сама функ-
функция F. Этот интеграл сам по себе не дает ничего нового, но отсюда
видно, что интегрирование системы F4) приводится к интегрированию
системы только трех диференциальных уравнений первого порядка. Та-
Таким образом выяснена степень трудности задачи.
Если функция F не зависит от неизвестной функции г, то можно
предположить, что функция Ф также не зависит от г, и условие того,
чтобы система F1) была вполне интегрируемою, обращается в
или
ff_;,f_Kf=0; F3bis)
y Ьр Ъд ч
вместе с-тем. вспомогательная система F4) принимает вид:
dx dy —dp — dq
F4bis)
Если известен такой первый интеграл Ф = а этой системы, что
D(F Ф)
——'¦—- не равно нулю, то, определив . р и q из уравнений F=0,
Ф — а, мы приходим к уравнению в полных диференциалах вида:
dz=f (х, у, a)dx-\-<f{x, у, a) dy,
которое интегрируется в квадратурах. Таким образом ^ этом случае
трудность второй части задачи уменьшилась Точно так же и первая часть
задачи облегчается замечанием, что здесь попрежнему известен первый
интеграл F= С системы F4bis); следовательно, эту систему можно за-
заменить системою двух диференциальных уравнений первого порядка.
Примеры. 1. Рассмотрим уравнение, содержащее только одно из трех пе-
переменных х, у, z, например переменное у, F(y, p, q) = 0. Здесь X=Z—Q и,
следовательно, уравнения F4) допускают интегрируемую комбинацию dp = 0.
Поэтому два уравнения F.{y, p,"q) = 0, p = a образуют вполне интегрируемую
систему; это нетрудно проверить, так как, решив данное уравнение относительно #,
мы придем к уравнению в полных диференциалах
dz = a dx -\- f (у, a) dy,
общий интеграл которого получается квадратурами:
\f(y, a)dy + b.
2. Уравнение F(z, p, q) = 0 можно привести к предыдущему виду, взяв за
независимые переменные у и z, ко мы можем и не делать эюй замены перемен-
переменных. В самом деле, здесь Х=К=0, и уравнения F4) приводят к уравнению
dp dq
~P~~q''
отсюда имеем первый- интеграл q = ap. Из двух уравнений
q = ap, F(z, p, q) — 0
получаем:
p=f(z, a), q = af(z, a)

¦24Й ГЛАВА ХХЛ. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 445
и уравнение в полных диференциалах
интегрируется в квадратурах:
dz
h
Рассмотрим, например, уравнение pq— г = 0. Присоединяя к нему соотно-
соотношение д = ар, получим из них:
-/т •=•/!¦
полный интеграл
~(dx+ady);
Aaz = {х -
состоит из параболических цилиндров, касающихся плоскости хОу вдоль образу-
образующей. Плоскость х у есть особый интеграл.
¦ Если F=pq ^z,' то уравнения F4; имеют первый интеграл р—у=а.
Исходя из этого интеграла, мы придем к уравнению в полных диференциалах:
это,уравнение можно представить в виде:
и мы получаем другой полный интеграл z =; {у + а) (х \ Ь), состоящий из пара-
параболоидов, касающихся плоскости лгу.
3. Рассмотрим уравнение вида f{x,q)—/, 'у, q)—0. Диференциальные урав-
уравнения F4bis)
dx dy _ — dp dq
~W~
Ър liq Ъх- • by
имеют первый интеграл /(т. р) = а. Присоединяя это уравнение к данному, мы
найдем из двух соотношений
/(*. Р) = а, f{(y, q) = a
значения р = f (x, a), q = уt {у, в), и уравнение в полных диференциалах
rfz= <р (д;, a' dx -\- ip, (у, a) dy
интегрируется двумя квадратурами:
г=^ <р (х, a) dx + j ?t (j;, e)rfy + b.
Когда уравнение первого порядка имзет предыдущий вид, то говорят, что
в нем переменные разделены. Ратссмотрим, например, уравнение
или, иначе, -- = — . Приравнивая оба отношения постоянному а, получим урав-
уравнение в полных диференциалах
dz = ax dx + — dy,

§ 445 ill. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 241
и отсюда полный интеграл
а* *
4. Найдем все такие функции F(x, у, р, q), чтобы уравнения F4) имели1
первый интеграл ру— qx = a. Для этого необходимо и достаточно, чтобы соот-
соотношение pdy+ydp - q dx — х dq = 0 было следствием соотношений F Jbis);
т. е. чтобы функция F сама была интегралом линейного уравнения
bF dF , ЪР *F .
г Ъq J Ъх ' Ъу * Ър
Соответствующая система диференциальных уравнений
dx dy dp dq
—y~~x ~~—q ~ ~p
(имеет три первых интеграла:
и следовательно, функция F должна иметь вид: F(py— q'x, х*-\-у%, р* + q2)
Разыскание полного интеграла уравнения F = 0 приводится к интегрированию
двух совместных уравнений вина
РУ — qx), py—qx = a.
Лользуясь тожеством
(/>2 + ?2) (-«2 + J'2) = (РУ - <7*J + (РХ
из двух предыдущих уравнений получим:
рх -f qy = V{x? +y*)f(x* + у*, а) -^Ф = у (х* + y\ a);
отсюда находим для р и q следующие значения:
+У, а) — а
ч
и полный интеграл получается квадратурами:
где и = д + 5
5. Иногда можно получить некоторые интегрируемые комбинации диферен*
циальных уравнений F1) непосредственно из геометрических соображений. Пред-
Предположим, например, что требуется определить поверхности S, касательные плос*
кости которых в каждой точке М пересекают под постоянным углом Vплоскость,
проходящую через М и Ог. Ясно, что если поверхность S удовлетворяет усло-
условию задачи, то все поверхности, которые мы получим, перемещая первую по-
поверхность винтовым движением по оси Oz с произвольным ходом винта Н, также
удовлетворяют задаче, а .следовательно, их огибающая поверхность есть интеграл
того же уравнения; но очевидно, что эта огибающая поверхность есть геликоид
с ходом h. Так как его можно перемещать параллельно оси Oz на произвольное
расстояние, то отсюда следует, что уравнение в частных производных задачи и
уравнение в частных производных геликоида ру — qx = a (§ 438) имеют, при
всяком а = ^-, бесконечног множество общих интегралов, зависящих еще от
другого произвольного постоянного, соответствующего перемещению интеграль-
интегральной поверхности параллельно оси Oz. Следовательно, диференциальные уравне-
уравнения F4) характеристических линий уравнения в частных производных поверхно-
поверхностей S имеют первый интеграл ру — qx = a, и мы получим полный интеграл
квадратурами.
.16 Э. Гурса, т. II, ч. 2.

242 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 445-446
Примечание. Следует заметить, что, для того чтобы система F1) была вполне интегри-
интегрируемою, нет необходимости, чтобы соотношение F3) удовлетворялось тождественно; достаточно,
чтобы оно удовлетвор»лось в силу самого соотношения F = 0. Этим замечанием иногда можно вос-
воспользоваться при нахождении функции Ф, В самом деле, найти интегрируемую комбнн.цню урав-
уравнений F4) значит, в сущности, найти пять таких функций Х^., Х„, Хг, Хр, Х„ переменных х, у, z, р, q,
чтобы
Xj, dx + Xy dy + Хг dz-{-Xpdp-f- \q dq
было точным диференцналом d1^, и чтобы, кроме того, было
РХ* + QXj, + (Рр + Qq) \z-(X + pZ)Xp-(Y+ qZ) lq = 0.
Если последнее соотношение удовлетворяется не тождественно, а только в силу уравнении
f= 0. то функция Ф не будет собственно, первым интегралом системы F4). Тем не менее, тах как
множители хх, Х„ равны частным произвол шм от Ф, то два уравнения f — 0, Ф = а образуют
н в этом случае вполне интегрируемую систему, так как уравнение F3), по предположению, есгь
следствие уравнения F — 0 *. То же замечание относится н к системе F4bis).
446. Задача Коши Пусть нам дано уравнение
P=f(x, У, г, д), i65)
правая часть которого голоморфна вблизи системы значений (xQ! yQ, z0, q0),
и, кроме того, пусть дана функция tp (у), голоморфная в области
точки у0 и такая; что <р (Уо) = го> <Р> (Уо) = <7о; выше (§ 386) было до-
доказано, что это уравнение имеет интеграл, голоморфный в области точки
(х0, у0) и обращающийся при х = х0 в данную функцию у (у) Пусть
будет С плоская кривая, данная уравнениями х = х0, z — y(y); геомет-
геометрически этот результат можно выразить следующим образом: для урав-
уравнения F5) существует аналитическая интегральная поверхность, и
притом только одна, проходящая через кривую С.
Это предложение можно обобщить. Рассмотрим уравнение произволь-
ноговида F{x,y,z,po,q) = O, F6)
и определим сначала интегральную поверхность, проходящую через та-
такую же плоскую кривую, как кривая С, но лежащую в плоскости
х — х0 параллельной плоскости у г. Пусть будет z = (p(y) уравнение
цилиндра, проектирующего кривую С параллельно оси Ох. Так как
функция (р голоморфна в области точки у0, то уравнение
р(*о> Уо> zo> Л» ?о) = О> F7)
где го = (р(уо), <7о = <р' (Уо)> и Р рассматривается как неизвестное, имеет
* Если уравнение F = 0 можно решить относительно одного из переменных х, у, г, р, q, то
можно предположить, что функция Ф не содержит этого перем.-нного, и чго оно ие входит также
в коэфициенты X, Y, Z, P, Q. Рассмотрим, например, уравнение вида:
Р +/(*. У, г, q) = 0.
чтобы найти его полный интеграл, достаточно присоединить к нему другое уравнение 9 (х, у, z, q) = a,
образующее с первым вполне интегрируемую систему. Условие [р -f/, <f]= 0 обращается здесь в
u p не входит в это уравнение.
Вообще предположим, что 'соотношение /7= 0 можно удовлетворить, полагая
Р = /(*. У, г, X), q = 9 (х, у, г, X),
где X — вспомогательный параметр. Здесь также можно принять X за такую функц> ю от х, у, г,
чтобы уравнение dz =fdx-\-ydy было вполне интегрируемым; определяя отсюда X (х, у, z), мы и
в этом случае получаем для определения X линейное уравнение:
ду dz сП \ду Ъг I Ъх d* ЭХ Ux dz Г
[Антомари (Antomari). Bulletin de la Soctfte mathematique, т. XIX, стр. 154].

§ 446 III. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 243
несколько корней Пусть будет pQ один из них. Если функция F голо-
голоморфна в области системы значений (х0, у0, г0, р0, до\ и если, кроме
того, частная производная I —) не равна нулю при этой системе значе-
\°Р/о
ний, то уравнение F 5) имеет корень p=f(x, у, z, q), голоморфный
в области значений г0, у0, z0, q0 и обращающийся в р0 при этих зна-
значениях (,т. I, § 184). Таким образом мы приходим к уравнению вида
F5), и следовательно, уравнение F6) действительно имеет интегральную
поверхность, проходящую через кривую С Из предыдущего следует, что
уравнение F6) имеет т интегральных поверхностей, удовлетворяющих
условию задачи, если уравнение F7) есть /га-й степени относительно р.
Исключение возможно только в том случае, если один из корней урав-
нения F7) удовле1воряет в то же время соотношению — = 0 во всех'
др
точках кривой С, так как х0, у0, z0 суть координаты любой точки этой
кривой.
Рассмотрим, наконец, произвольную кривую Г, представляемую систе-
системою двух уравнений;
F8)
определим интегральную поверхность уравнения F6), проходящую через
кривую Г. Эту задачу можно привести к предыдущей заменою перемен-
переменных В самом деле, положим
т гдн соотношение dz=pdx -f qdy обращается в
pl'(Y)dV-j-qdV;
отсюда имеем:
дг дг
и уравнение F6) обращается в следующее:
Х'^] О. F61?ls)
Таким образом мы приходим к разысканию дпя этого нового урав-
уравнения интеграла, приводящегося к ц(К) при Х^=0, и мы видим, что,
вообще, интегральная поверхность уравнения первого порядка опреде-
определена, если дана какая-нибудь кривая, лежащая на этой поверхности.
Интеграчьных поверхностей, отвечающих вопросу, может быть несколько,
если уравнение, соответствующее в этом случае уравнению '67), имеет
несколько различных корней, подобно тому как обыкновенное диферен-
циальное уравнение первого порядка и /и-й степени относительно >•'
имеет, вообще, т интегральных кривых, проходящих через данную
точку. Ниже мы рассмотрим тот исключительный случай, когда преш-
дущие рассуждения неприменимы.
Задача определения интегральной поверхности уравнения в частных
производных первого порядка, проходящей через заданную кривую, на-
называется задачею Коши. Такое название имеет целью напомнить ту тес-
16*

244 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ §,446
ную связь между этою задачею и общею теоремою Коши, которую мы
выяснили выше. Покажем теперь, как можно решить задачу Коши по-
посредством только исключения переменных, если известен полный инте-
интеграл; это даст проверку предыдущих результатов.
Пусть мы знаем полный интеграл V (х, у, z, a, ?) —0, и пусть
Г — кривая, координаты точек которой даны в функции параметра X
формулами: x=f^ ys=g^ g = hW)m F9)
Если эта кривая Г расположена на интегральной поверхности уравне-
уравнения F6), то через каждую точку М кривой Г проходит полный инте-
интеграл, касательный к 2 и, следовательно, касательный к кривой Г. Зна-
Значения параметров а и Ь, соответствующие этому полному интегралу,
суть функции X, определенные условиями:
V(f, g, h, a, *) = 0,
?/<»+?•<»+?™) = 0, G0)
смысл которых очевиден, и которые можно кратко записать в виде:
U(x) = 0, й^=0, (/1)
полагая
)t g I), h(l\ a, b\.
Пусть a(k), b(k) — полученные функции. Искомый интеграл 2 есть
огибающая полного интеграла
V[x,y, г, a(l\ ba)) = O
при изменении параметра X, и мы можем геометрически истолковать этот
процесс следующим образом: мы берем огибающую полных интегра-
интегралов, касательных к кривой Г.
Очевидно, что это геометрическое построение должно привести к по-
верхно.ти, проходящей через кривую Г, что легко проверить и непо-
непосредственным вычислением. В самом деле, берем производную по X от
левой части первого из уравнений G0;. Приняв во внимание второе
уравнение, мы видим, что функции а(Х), Ь(К) удовлетворяют уравнению:
Но, если мы в этом уравнении заменим /, g, h через х, у, z и при-
присоединим к нему уравнение V (х, у, г, а, Ь) = 0, то мы получим урав-
уравнения характеристики, вдоль которой полный интеграл 5 касается своей
огибающей 2. Уравнение G2) выражает, таким образом что эта харак-
характеристика проходит через точку кривой Г с ко >рдинатами лг=/\Х\
y = g(k), z=h(\).
Примечание. Уравнения G0) могут иметь несколько систем решений с разны .и а и Ь.
Тогда через кривую Г.проходит несколько интегралов. В частности, может ^лучиться, что этн
уравнения допускают систему решений, независимых от х, а нмеино о=Оо, Ь~Ь_, Уравнение
^ (/< gi h, #0, 60)=0 удовлетворяется тогда для вс х X, н следовательно, кривая Г лежит на полном
интеграле V(<, у, z, щ\ 60)=0. Обратное доказывается таким же ооразом.
Бо iee подробное исследование задачи Кошн потребовало бы полного решения системы G0)
с двумя неизвестными а и Ь. Мы рассмотрим это далее, после изучения характеристик (§ 447).

§ 446-447 III. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 245
Пример. Требуется найти интеграл уравнения pq = xy, обращаю-
обращающийся в -if (у) при х = х0, если задан интеграл
Уравнение
ах''
должно иметь двукратный корень, удовлетворяющий также соотношению
Заменяя у через и, получаем:
и
и мы приходим к отысканию огибающей интеграла:
при переменном и Диференцируя по м и сокращая на общий множи-
множитель (р' (и) — н<р" (и^, получим уравнение:
и2 (х2 — х02) = ср'2 (и) (у2 — и2).
В частном случае, когда ч/\и) — м(р"(«) = О, <р(и) имеет вид:
<р (и) == аи2 -f P.
и заданная кривая лежит на полном ингеграле:
^ G3)
На этом примере легко проверить общий закон, указанный выше.
Каждый раз, когда заданная кривая Г лежит на полном интеграле
V{x, V, г, а0, bJ — O,
уравнения
удовлетворяются^ если мы придадим а и b значения а — а0; Ь =-Ь0 не
зависящие от \.
447. Характеристики. Метод Коши. Метод Коши не зависит от теории
полного интеграла; мы изложим этот метод с геометрической точки аре-
ния, Для этого найдем сначала геометрическое Значение нелинейного
уравнения в частных производных первого порядка
у,, г, -р, q)~d.

246 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 447
Угловые коэфидиенты касательной плоскости к интегральной поверх-
поверхности 5 в данной точке (х, у, г) пространства связаны между собою
соотношением G4); следовательно, эта касательная плоскость не может
быть произвольною плоскостью, проходящею через точку (х, у, г). Так
как в силу уравнения G4) положение этой касательной плоскости зави-
зависит только от одного произвольного параметра, то она, вообще, огибает
некоторый конус Т с вершиною в точке (х, у, г\ и уравнение G4)
выражает, что касательная плоскость в какой'Нибудь точке М к каж-
каждой интегральной поверхности S, проходящей через эту точку, ка-
касается вместе с тем и некоторого конуса Т, имеющего вершину в
этой точке М.
Очевидно, что конус Т зависит от функции F, а также от поло-
положения своей вершины. Из самого определения конуса Т следует, что
мы получим уравнение этого конуса, имеющего вершину в точке (х, у, z),
разыскивая огибающую плоскости
Z — z=p(X — x) + q(Y- у), G5)
параметры ряд которой связаны соотношением G4). Для этого должно
исключить р и q из двух уравнений G4), G5) и из соотношения (т. I,
§ 198, примечание)
(Y-y)fp-(X-x)fq = 0. G6)
Уравнения G5) и G6) представляют характеристику касательной пло-
плоскости G5) т. е. образующую, вдоль которой касательная плоскость ка-
касается конуса Т. Если мы предположим, что оси координат прямоугольны,
то мы легко найдем уравнение конуса N, дополнительного к конусу Т,
т. е. конуса, образуемого нормалями к различным интегральным поверх-
поверхностям, проходящим через точку М. В самом деле, уравнения нормали
будут:
Х—х-\- p(Z- z) = 0, У—у + q(Z-z) = 0,
и, исключая р и q, получим уравнение конуса Л/:
_«. G7)
Если данное уравнение G4) — линейное относительно р и q, то ко-
конус Л/ обращается в плоскость, и конус Т—в прямую Д. Мы видели
(§ 438), что в этом случае интегрирование приводится к разысканию
кривых, касающихся в каждой своей точке соответствующей прямой Д.
Распространяя этот прием на нелинейные уравнения, мы придем к ме-
методу Коши.
Пусть будет 5 интегральная поверхность, представляемая уравнением
г-¦=/&, у).
Касательная плоскость в каждой точке М этой поверхности касается
также конуса Т вдоль одной из его образующих О Всякая линия С
поверхности S, касающаяся в каждой своей точке соответствующей об-
образующей G, называется характеристическою лициещ (характеристц

§ 447 III. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 247
кою). Чергз каждую точку поверхности 5 (за исключением особых то-
точек, если они существуют) проходит одна и только одна линия этого
рода Почему этим линиям дано название характеристик, будет выяснено
ниже (§ 448). Здесь мы прежде всего покажем, и в этом состоит сущ-
сущность метода Коши, что эти линии могут быть определены системою
обыкновенных диференциальных уравнений, причем не требуется знать
функции fix, у). Из определения характеристических линий прежде
всего следует, что касательная к линии С совпадает с прямою О, опре-
определяемой уравнениями G5) и G6), которые в обозначениях § 445 мож-
можно преде'авить в виде:
X — x__Y—у __ Z—z
Р ~ Q ~~Pp-\.Qq'
Вдоль характеристики количества х, у, г, р, q суть функции одного
независимого переменного; отсюда мы заключаем, что между dx, dy, dz
существуют соотношения
dx__dy dz
p-Q-ppYQq~ '
где и — вспомогательное переменное, введенное исключительно для боль-
большей симметричности в выводах. Вдоль линии С мы имеем также:
dp - rdx-\- s dy, dq = sdx-\-t dy,
где r, s, t — частные производные второго порядка от функции/'х, у).
С другой стороны, так как г=/(дг, у) есть ин еграл данного уравнения
G4), то частные производные г, s, t удовлетворяют также двум соотно-
соотношениям
X + pZ + Pr+Qs = О, Y-\- qZ -f Ps + Qt ¦= 0,
которые получим, диференцируя уравнение G4) соответственно по х и
по у Заменяя в выражениях диференциалов dp и dq диференциалы dx
и dy через Pdu и Qdi, будем иметь:
dp = (Pr -f Qs) du, dq = (Ps -f- Qt} du,
или, в силу предыдущих соотношений:
dp = —(X-\-pZ)du, dq=—(Y-\qZ)du
Присоединяя эти уравнения к уравнениям G8), мы приходим к сис-
системе обыкновенных диференциальных уравнений:
dx dy _ dz _ — dp __ —dq
p-Q-pp + Qq-X + pZ-y + qZ ' K '
Эта система тождественна с системою F4\ полученною методом Ла-
гранжа.
Эта система диференциальных уравнений, совершенно не зависит от
рассматриваемого интеграла. Отсюда можно вывести следующие заклю-
заключения. Пусть будут (х0, у0, г0) координаты какой-нибудь точки. Мо по-
поверхности S, р0 и до-—угловые коэфицлеиты касательной плоскости
В этой точке, Если функция f голоморфна вблизи, этой, систены зндче»

248 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 447
ний, и если в отношениях G9) все знаменатели не равны одновременно
нулю при значениях л;0, у0, zQ, p0, q0, то уравнения G9) имеют систему
интегралов, и притом только одну, принимающих значения х0, у0, z0,
Ль Ча ПРИ и = 0. Отсюда следует, что, если две интегральные поверх-
поверхности касаются между собою в точке (jr0, y0, г0), то они касаются
вдоль общей характеристической линии, проходящей через эту точку.
Для удобства мы будем называть элементом всякую систему значе-
значений пяти переменных х, у, z, p, q; иначе, элемент состоит из совокуп-
совокупности точки с координатами (х, у, z) к кз плоскости с угловыми ко-
эфициентами р, q, проходящей через эту точку. Вдоль характеристической
линии х, у, z, р, q суть функции одного независим го переменного и.
Следовательно, каждой точке характеристической линии соответствует
элемент, состоящий из этой точки и плоскости с угловыми коэфициен-
тами р, q, проходящей через эту точку. Но в силу уравнений G9) мы
имеем; dz dx ¦ dy
следовательно, эта плоскость содержит касательную прямую к характери-
характеристической линии в точке (х, у, z). Когда точка (х, у, z) описывает ха-
характеристическую линию, то соответствующая плоскость огибает некото-
некоторую развертывающуюся поверхность, проходящую через эту линию; эта
поверхность называется характеристическою развертывающейся поверх-
поверхностью. Таким образом каждой характеристической линии соответствует
характеристическая развертывающаяся поверхность, проходящая через эту
линию; в дальнейшем мы будем называть характеристикою совокуп-
совокупность линии и развертывающейся поверхности, а иногда и одну только
линию, когда это не может привести к недоразумению.
Таким образом характеристика состоит из бесконечного множества
элементов, зависящих от одного независимого переменного, причем, бес-
бесконечно малые изменения количеств х, у, z, p, q связаны соотноше-
соотношениями G9). Следовательно, характеристика вполне определена, если дан
один из ее элементов, и предыдущую теорему можно выразить в следу-
следующем виде, вполле ей равносильном:
Если две интегральные поверхности имеют общий элемент, то
они имеют общими все элементы характеристики, выходящей из
этого элемента.
Характеристики зависят от трех произвольных параметров. В самом
деле, характеристика определена, если даны координаты (х0, у0, z0, /?0, q0)
одного из ее элементов. Одной из этих координат, например д:0,
можно дать произвольное числовое значение; с другой стороны, из са-
самого определения характеристик следует, что между координатами лю-
любого элемента существует соотношение
F(Xa, у0, г0, р0, ?0)=0;
следовательно, остается только три произвольных параметра.
Чтобы найти эти характеристики, заметим прежде всего, что уравне-
уравнения G^У тгаеют первый интеграл F— const, так что, если ' F(x, у, z<
р, q) равно- нулю.для коорди«ат.(лг0, у0, z0, p0, q0) начального элемента,
то F будет равно нулю вдоль всей характеристики,, выходящей из этого

§ 447 III УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 249
элемента; это нетрудно было предвидеть из самого способа получения
уравнений G9). Следовательно, чтобы найти характеристики данного
уравнения, можно присоединить к системе G9) само соотношение/г=0;
таким образом, мы приведем эту систему к системе трех диференциаль-
ных уравнений первого порядка.
Предположим, что мы получили в конечном виде уравнение характе-
характеристик; пусть будут, например
ха, у0, г0, р0, 0О\ z=/2{x, х0, у0, га, р0, q0),
х0, у0, гй, рй, q0), q=ft(x, х0, у0, г0, р0, q0)
} (80)
уравнения характеристики, выходящей из элемента (х0, у0, z0, р0, q0),
Два первых уравнения представляют самую характеристическую ли-
линию, и так как всякая интегральная поверхность есть место характери-
характеристических линий, то мы получим эту поверхность, предполагая, что
ха> Уо> zo> A;> <7о СУТЬ функции вспомогательного параметра v. Следова-
Следовательно, нам нужно исследовать, как определять эти пять функций от v,
чтобы поверхность, образуемая характеристическими линиями, была инте-
интегральною поверхностью. Для большей симметрии введем, следуя Дарбу,
вспомогательное переменное и.
Пусть будут
х — <р, («, х0, у0, г0, р0, q0), )
у = у,2(и, х0, у0, z0, p0, q0), > (81)
2 = (р3(и, х0, уа, z0, p0, q0), )
р=у4{и, xQ, у0, z0, р0, <70), I
q = yb(u, х0, у0, га, р0, q0) f
формулы, представляющие те интегралы системы G9), которые прини-
принимают при и = 0, соответственно, значения х0, у0, ?0, р0, q0. Если мы
заменим в этих формулах хп, у0, z0, p0, q0 функциями второго вспомо-
вспомогательного переменного v, то уравнения (81), где и и v рассматриваются
как независимые переменные, представят, вообще, некоторую поверх-
поверхность S. Чтобы эта поверхность 5 была интегральною, а лежащие на
ней линии v = const — характеристическими, необходимо, чтобы фор-
формулы (82) определяли угловые коэфициенты касательной плоскости
к.'шоверхности и, кроме того, чтобы во всех точках поверхности б1 было
F=0. Следовательно, пять функций х, у, z, .p, q двух переменных
и и v должны удовлетворять трем условиям:
F(x,y,z,p,q) = 0, (83)
5-'?-'!-°- <85>
Так как пять функций ср/ суть интегралы системы G9), то, как уже
было указано, F(х, у„ z, р, q) = F(xQ, у0, г0, р0, <70\ и следовательно,
соотношение (83) удовлетворится, если будет:
F(xQ, у0, z0, p0, qo) = O. (86)

250 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 447
Соотношение (84) само по себе удовлетворяется, так как оно есть
следствие диференциальных уравнений. Что касается условия (85/, то
Коши преобразует его следующим образом.
Обозначим левую часть этого соотношения через Н; диференцируя
Н по и, имеем:
dH _ d4 d2x d2v dxdp dv dg
dll -dudV dudV dudV dv dU dv til'
С другой стороны, диференцируя соотношение (84) по v, имеем
также:
й?2 d2x d2y dpdx dqdy
dudV dudV dudV dvdU ivdu'
Вычитая почленно, получим:
dH dp dX dq dy dx dp dy dq _
dll dvdU ' dV dU dv du dv du'
заменяя здесь производные по н их значениями из формул G9), будем
иметь:
дл -,dX , ,.dy , _(!/) . „dq ,
Наконец, принимая во внимание, что пять функций х, у, z, p, q
от v удовлетворяют соотношению
F(x, у, z, р, q)~0,
мы будем также иметь:
bv dv dv dv dv '
следовательно, предыдущее значение производной — можно представить
dU
в виде:
"" " " (87)
Из этого соотношения получаем следующее выражение для Н:
и
Н=Ное » , (88)
где Но обозначает значение Н при и = 0, т. е. когда х, v, z, p, q
обращаются, соответственно, в х0, у0, z0, p0, д0 Так как, по предполо-
предположению, функция F, а следовательно, и ее частная производная Z, голо-
голоморфны вблизи значений х0, у0, z0, p0, q» то, чтобы Н было равно
нулю, необходимо и достаточно, чтобы Но было равно нулю, т. е,, что*
бы было;

§ 447 III. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 251
Таким образом, чтобы получить интегральную поверхность *, доста-
достаточно заменить в формулах (80) или (81) количества х0, у0, г0,
р0, <70 функциями вспомогательного переменного v, удовлетворяющими
двум условиям:
F{*<» У0' *о, Л,- 9о) = °> § - Ро ^ + % ^ • (89)
Пользуясь этим методом, нетрудно получить и решение задачи Коши
В самом деле, если требуется определить интегральную поверхность,
проходящую через данную кривую Г, то можно взять за л:0, у0, z0
координаты точек этой кривой, предполагая, что очи выражены в функ-
функции переменного параметра v\ тогдэ из уравнений (89) мы определим
р0 и q0. Это решение можно также представить геометрически; в самом
деле, первое из соотношений (89) выражает, что плоскость с угловыми
коэфициентами р0, q0, проходящая через точку (х0, у0, *г0), касается
конуса Т, имеющего вершину в этой точке, а второе, — что эта плоскость
проходит через касательную прямую к кривой Г. Таким образом ход реше-
решения может быть представлен в следующем виде: через касательную пря-
прямую к кривой Г в точке М этой кривой проводим плоскость, каса-
касательную к конусу Г, имеющему вершину в точке М; пусть будет С
характеристика, выходящая из элемента, определенного таким об-
образом: поверхность, образованная этою характеристикою, когда
точка М описывает кривую Г, есть интегральная поверхность, про-
проходящая через эту кривую Г.
Поверхностей, отвечающих на вопрос, будет столько, сколько можно
провести чергз касательную прямую к кривой Г плоскостей, касающихся
конуса Т. Ясно, что в каждую отдельную совокупность надо соединять
те пюскости, которые образуют непрерывную последовательность.
¦ Здгсь, однако, предполагается, что знаменатели Р, Q,X + pZ, Y+qZ не равны все нулю
прн начальных значениях Хц, уа, г0, ра, q0. В последнем случае формулы (ol) и (82) обращается
в х = ха, у=Уо, г = г0, р=ра, q = q<» но, если мы ие введем вспомогательного переменного и, то
уравнения G0) могут иметь интегралы, принимающие данные начальные значения (§ 393, примеча-
примечание I). Следовательно, интегралы рассматриваемого уравнения, удовлетворяющие одновременно
четырем уравнениям
« = 0, Q = O,
не охватываются общим методом. Такие интегралы, если они существуки» называютсз особыми.
Их вообще ие бывает у уравнения, данного непосредственно, а не получающегося через исклю-
исключение постоянных.
Все эти рассуждения можно сделать еще более определенными, выяснив, какие предположе-
предположения необходимо сделать, чтобы предыдущие заключения имели место. Прежде всего здесь суще-
существенно предпо южёиие, что F{x,y, г, р, q) есть аналитическая функция от х, у, г, р, q. Но
чтобы доказать, что всякий интеграл z =f(x, у) есть место характеристик, нет необходимости
предполагать, что и сам зтот интеграл аналитический; достаточно допустить, что его производные
второго порядка г. s, t непрерывны, так как только эти производные входят 8 предыдущие доказа-
доказательства. С другой стороны, характеристики определяются системою диференциальных уравне-
уравнений G9), коэф щ 1енты которых зависят от производных от функции F(x, у, г, р, q) и суть, сле-
. довательио, функции аналитические. Поэтому и самые характеристики суть аналитические кривые.
Отсюда видно, что иа всяком интеграле, анаштическом или неаналитическом, существует семей-
семейство аналитических линий — характеристик. Таким образом функции 9е <р» -••¦%, представляющие
общий интеграл уравнений G9), суть аналитические функции от а и начальных значений х0, у„, га.
Pa. ?e (§ 8S7). Чтобы все дальнейшие заключения были правильными, достаточно, чтобы эти на-
начальные значения были непрерывными функциями параметра о, имеющими непрерывные произ-
производные, но нет необходимости, чтобы они были аналитическими функциями от V.
Это вполне согласно с методом изменених постоянных. В самом деле, если полный интеграл
V (х, у, г, а, Ь) есть аналитическая функция своих аргументов, то и F(x.y, г. р, q) будет ана-
аналитическою функциею, но нигде в приведенных рассуждениях ие содержится требования, чтобы
произвольная функция * = <р (а) была аналитическою функциею от а. Аналогичное замечание при-
применимо и к общему интегралу линейного уравнения. Дальнейшие подробности по этому вопросу
см. в диссертации Гедрика (Hedrlck), „0ber den analytlscnen. Cnarakier dec Cosungen yoo D({»
ferentialgleich.ngen", Г?ттинген f90}. ' "'

252 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 447
Рассмотри^ снача а общий случай, когда касательная прямая к кри-
кривой Г не есть образующая конуса 7". Если р0 и q0 суть угловые коэфи-
циёнты касательной плоскости к конусу Г, то направляющие коси-
косинусы образующей прикосновения пропорциональны количествам Ро, Qo,
^oPo^Qi^o [формулы G5) и G6)]. С другой стороны, направляющие
косин>сы касательной к кривой Г пропорциональны
йгГ' йгГ' lw=Po йгГ"^0 ~dv'
TtK как, по предположению, эти две прямые имеют различные направле-
о V dX
ния, то разность Ро-^ — Qo—- не равна нулю, и мы получим из урав-
уравнений (89) р0 и qa как функции от v, голоморфные в области рассмат-
рассматриваемой точки кривой Г. С другой стороны, можно решить два первых
уравнения (81) Относительно и и v, так как при « = 0 функциональный
дх dy iy dx
определитель — ¦—- —: -г- — обращается в
Эй ov du dv
х — | —-, т. е. в н0 —- — Уп — •
dU I dV dV u dV
Внося значения количеств и и v в третью формулу (81), мы н!Йдем,
что z есть функция от х и у, голоморфная в области рассматриваемой
точки (см. § 446).
Если, напротив, касательная прямая к кривой Г в какой-нибудь отдельной
точке этой кривой совпадает с тою образующею конуса Т, вдоль которой пло-
плоскость с угловыми коэфициентами pa, q0 касается этого конуса, то эта точка есть,
вообще, особая точка соответствующего интеграла. Если же это- имеет место
во всех точках кривой Г, то мы должны различать два случая в зависимости
от того, будет ли кривая Г характеристической или нет.
Если кривая Г — характеристическая, то она касается в каждой своей точке М
по одной из образующих G конуса Т, имеющего вершину в этой точке; тогда ха-
характеристическая развертывающаяся поверхность есть огибающая плоскости, касаю-
касающейся конуса Т вдоль образующей О, когда вершина М описывает кривую Г.
Таким образом кривая Г определяет ряд элементов, состоящих Из точек М этой
кривой и из касательных плоскостей Р с соответствующим конусом Т, касаю-
касающихся кривой Г в соответствующих точках М. Характеристическая кривая,
выходящая из каждого элемента, определенного таким образом, совпадает с самою
кривою Г, и формулы (81) не определяют поверхности. Но ясно, что в этом слу-
случае наша задача действительно неопределенная. В самом деле, пусть будут М
точка кривой Г, Р—плоскость, касающаяся конуса Т, имеющего вершину
в точке М, вдоль касательной прямой О к кривой Г, и Г' -=— какая-нибудь другая
кривая, проходящая через точку М, у которой касательного прямою в точке М
будет какая-нибудь прямая плоскости Р, отличная от прямой G. На основании
доказанного выше интегральная поверхность, проходящая через кривую Г',
проходит и через кривую Г.
Если данное уравнение G4) — нелинейное относительно р и q, как мы. это
предполагаем, то есть другая возможность: кривая Г может касаться в каждой
своей точке образующей О соответствующего конуса Т и в то же время не
быть характеристическою. В самом деле, самые общие кривые, обладающие
этим свойством, зависят от произвольной функции. Пусть будет

§ 447 Ш. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 253
уравнение конуса Т, имеющего вершину в точке (х, у, z). Чтобы кривая Г
касалась в каждой своей точке образующей конуса Т, координаты х, у, z точек
этой кривой должны быть функциями переменного v, удовлетворяющими условию
Если мы возьмем, например, х за неззвисимое переменное, то можно произ-
произвольно выбрать y=f(x), и, заменяя в предыдущем соотношении у через f(x),
мы получим диференциальное уравнение первого порядка для определения z
в функции от х. Всякая кривая, удовлетворяющая условию (90) и притом не
характеристическая,- называется интегральною кривою
Предположим, что кривая Г, относительно которой мы хотим решить задачу
Кошй,—интегральная. Из каждой точки М кривой I выходит характеристическая
крййая, касающаяся кривой Г, и из предыдущих вычислений следует, что поверх-
поверхность S, образуемая этими характеристическими кривыми, есть интегральная по-
поверхность; в самом деле, чтобы получить эту поверхность, достаточно взять в фор-
формулах "(81) и (82) за х0, уо, «о координаты точек кривой Г и за р9, q9 — угловые
коэфициенты плоскости, касающейся конуса Г вдоль касательной прямой к кри-
кривой Т. Но эта кривая Г есть особая линия поверхности S. В самом деле, если бы
это было не так, то производные г, s, t имели бы в точках кривой Г конечные
значения?'тай как, кроме того, мы уже имеем из уравнения конуса 7"Q0d;eo =
= P^rfy,,-Туравнениг G8)], то вычисления, сделанные на Стр. 247 при выводе урав-
н.ний G9)^ "были бы здесь применимы без изменения, и отсюда мы заключили бы,
что кривая Г — характеристическая, что противно предположению. В нашем слу-
случае кривая Г — не характеристическая, а огибающая характеристических линий
поверхности S, и аналогична ребру возврата развертывающейся поверхности.
Примечание. Пользуясь методом Коши, нетрудно также получить полный интеграл.
В самом деле, мы удовлетворим условиям (89), полагая х0 = а, уа = Ь, г0 = с, где а, Ь, с — произ-
произвольные постоянные, а р0 и д0 связаны соотношением F (а, Ь, с, р0, qQ) = 0. .Полученная, таким об-
образам, интегральная поверхность есть место характеристических линий, выходящих нз точки (а, Ь,
с), которая, очевидно, есть коническая точка для этой поверхности. Если мы дадим одной из коор-
координат о, 6, с постоянное числовое значение, то получим полный интеграл.
Примеры. Возьмем уравнение pq — ху = 0, рассмотренное Коши; прини-
принимая во внимание самое уравнение, мы можем представить диференциальные урав-
уравнения характеристики в виде:
р их = q dy = -- = х dp = у dq.
Отсюда последовательно выводим интегрируемые комбинации:
dp dx dq dy , p n , q n ,
-l = —, —? = -?, dz = — 2x dx = -2- 7у dy,
p x q у x у -
и характеристика, выходящая из элемента (х0, yt, z0, p0, q0), представится фор-
формулами:
Р х q у р0 9о , 2ч
Ра х« Яо Уо хо Ун
причем х0, у0, р0, q0 связаны соотношением: рйцй = х9уй. Чтобы иметь интеграл,
обращающийся при х = х0 в <р (у), положим, следуя общему методу, Уо = и,
го = ?("). тогда из уравнений (89) будем иметь:
Следовательно, искомый интеграл представляется системою двух совместных
уравнений:
г - <р (и) = -,-"— (лг2 - х 1) — -? ^ (У- — ы2),
т у (и) о ' и ч •"

251 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 447—448
которые определяют и и г в функции от х и у. Эти два уравнения можно за-
заменить следующими:
[Z - =р (И)р = (*» - ЛГ02) О* - И2), [Z - f (И)] f (и) = U (ЛГЗ - Л:Д
из которых второе получается из первого диференцированием по параметру к.
Мы получим искомый интеграл, исключая к, и мы можем заметить, что этот ре-
результат согласен с теорией Лагранжа (ср. § 446).
2. Вернемся к уравнению на стр. 237:
выражающему, что длина отрезка нормали между точкою искомой поверхности и
плоскостью хОу равна /?. Отсюда следует, что для того, чтобы иметь конус нор-
нормалей N для точки М пространства, достаточно описать из точки М шар ради-
радиусом, равным R, и взять прямой круглый конус с вершинею в точке М, проходя-
проходящий через линию пересечения плоскости хОу с этим шаром. Конус Т есть
в н 1шем случае круглый конус с вершиною в точке М, дополнительный к конусу N.
Мы знаем здесь полный интеграл: это — шары с радиусом, равным R, центры
которых лежат в плоскости хОу, следовательно, характеристические линии, т. е.
линии пересечения двух бесконечно близких шаров (см. § 448), суть круги с ра-
радиусом, равным R, плоскости которых параллельны оси Ог. и центры которых
лежат в плоскости хОу. Мы видели, что всякая интегральная кривая может быть
рассматриваема как огибающая характеристическич линий, лежащих на инте-
интегральной поверхности. Следовательно, интегральные кривые представятся сис-
системою трех уравнений:
<х — а)» + [у - ? (а)р 4- г* — /?» = О,
1 + f'2 (а) + ср (а) f (a) —yf (a) — О,
где функция ip (а) произвольна.
448 Вывод характеристик из полного интеграла. Понятие характеристики
естественно "вытекает из теории.Лагранжа. В самом деле, мы видели, что, если
V=0 есть полный интеграл уравнения первого порядка, то мы получим инте-
интегральную поверхность, исключая а из двух соотношений:
V[x, у, z, а, т {а)] = 0, ~ + ^ ,'(«) - 0, (91)
где <р (а) — произвольная функция. Если мы дадим параметру а постоянное зна-
значение, то эти два уравнения представляют кривую, место которой есть интеграль-
интегральная поверхность. Уравнения эюй кривой имеют вид:
V(x, y,z,a,b) = 0, ^ + ~ с= 0, (92)
где а, Ь] с — произвольные параметры. Эти кривые образуют комплекс; таким
образом, мы видим, что интегральные поверхности образованы кривыми этого ком-
комплекса, соединенными по тому или другому закону. Этим объясняется проис-
>ождение названия характеристик, данное этим кривым, так как они суть кри-
кривые прикосновения полно! о интеграла с его огибающею поверхностью. Харак-
Характернее веские развертывающиеся поверхности появляются здесь также есте-
естественно. Рассмотрим характеристическую кривую, соответствующую значениям
ап, ^о. со параметров а, Ь, с; все различные интегральные поверхности, которые
мы получим, выбирая такие функции ip, чтобы было бо^Т^о). Со —?'(ао). ПР°"
ходят чере» эту кривую и касаются между собою вдоль этой кривой, так как
значения количеств р и д, определяемые для каждой точки интегральной поверх-
н сти формулами
dV , dV . dV , bV n ,o,.
Ъх y dz Ъу ' ч dz
одинаковы для всех этих поверхностей. Из четырех уравнений (92) и (93) можно
выразить любые четыре переменных х, у, z, p, q через питое и через три про-
иззольных постоянных а, Ь, с. Чтобы доказать тождественность получаемого, таким

§ 448 Ш. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 255
образом многообразия с характеристиками, выведенными нами ранее из метода Коши,
. предположим, что полный интеграл представлен уравнением вида: г — Фух,у, а, Ь).
Тогда уравнения (92) и (93) обращаются в
.. дФ . ЪФ „
дФ дФ
Из соотношений (94) и (95) можно выразить пять переменных {х, у, z, р, q)
в функциях одного из них (например х) и трех произвольных постоянных а, Ь, с;
задача приводится к доказательству, что эти функции удовлетворяют диферен-
циальным уравнениям F4). Так как функция Ф (х, у, а, Ь) есть полный интеграл
уравнения F^^O, то мы уже имеем между этими пятью функциями два соот-
соотношения:
F{x, у, z, р, q) = О, dz — pdx \ qdy. (95)
С другой стороны, из второго из уравнений (94) находим:
dx
\ да ду
Но, диференцируя по а и Ь тождество
/
_ / . й дФ \
\ Ъх ду )
получим:
z + P + Qo,
db db Ъх ЪЬ ду
и следовательно, исключая Z, будем иметь, на основании второго уравнения (94):
a (98)
ЪЬдх) \даду ЪЬду)
Сравнивая между собою соотношения (97; и (98), видим, что -w- = уг . Осталь-
Остальные ураьнения F4) мы получим, как в § 447, сравнивая соотношения
д«Ф , й2ф Ъ2Ф . Э2Ф ,
dpz=~--dx+ r-r-rfj', dq = ——-dx + --~-dy,
Ъх* Ъхду Ъхду Ъу%
выведенные из уравнений (95), с соотношениями
дФ д2ф (Jф
dJC djf2
ду
которые получим, диференцируя по х и у тождество
. дФ дФ\
Примечание. Теория полного интеграла одинаково применима как к нелинейным урав-
уравнением, так и к линейным. На первый взгляд кажется, напротив, что метод Коши имеет совер-
совершенно различный характер для лннейиых уравнений и для уравнений нелинейных; в самом деле,
характеристические линии линейного уравнения, или уравнения, распадающегося на несколько
линейных уравнений, образую конгруэнцию, а не комплекс. Но если к каждой характеристической

256 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 448-44§
линии мы присоединим характеристическую развертывающуюся поверхность, то это разаичиеисчезает.
В самом деле, каждая характеристическая линия принадлежит бесконечному множеству характе-
характеристических развертывающихся поверхностей, зависящих от произвольного постоянного, так что
эта совокупность линий н поверхностей действительно зависит от трех произвольных постоян-
постоянных *. Рассмотрим, например, уравнение конических поверхностей рх -f- qy — z = o. Уравнение
z = ax\-by представляет полный интеграл, состоящий из плоскостей Р, проходящих через
начало коорднчат. Здесь характеристические линии суть прямые, проходящие через начало коорди-
координат, и характеристические развертывающиеся поверхности суть сами плоскости Р. Следовательно,
мы получим характеристику, присоединяя к прямой, проходящей через начало координат, плоскость,
проходящую через эту прямую; полученная совокупность, действительно, зависит от трех произ-
произвольных постоянных.
449. Распространение метода Коши на случай многих переменных.
Метод Коши нетрудно распространить на урэвнение с любым числом не-
независимых переменных:
F(x-lt х2, ... , хп\ г, р., р2, ..., рп) = 0, Р, = ~. (99)
oXj
Пусть будет 2= Ф (X], х2, ... , хп) какой-нибудь интеграл уравнения (99);
мы будем называть элементом этого интеграла совокупность системы
частных значений х®, х°, ... , х°п i езависимых переменных и соответ-
соответствующих значений z°, p°v ... , р°п функции Ф и ее частных производ-
производных. Будем изменять элементы интеграла, начиная от некоторых началь-
начальных значений л°, z°, /?°, таким образом, чтобы при этом все вргмя
у дол отворялись диференциальные уравнения:
где (§ 445)
Ърк'
Ясно, что эти уравнения вполне определяют на каждом интеграле
семейство линий, т. е. многообразие одного измерения. В самом деле,
если z известно в функции от xv х2, -.. , хп, то известны также част-
частные производные рп а следовательно, и функции Pv Следовательно, соот-
соотношения A00) представляют систему п — 1 диференциальных уравнений
первого порядка между п переменными хп х.2, ... , хп. Из теории дифе-
диференциальных уравнений следует, что ч.ерез каждую точку интегральной
поверхности проходит, вообще, одно и только одно из этих много-
многообразий. Если к каждой точке (Xj, х2, ... , хп, z) одного из этих
многообразий мы присоединим соответствующие значения производ-
производных /?,, р2, ..., рп, то получим бесконечную последовательность эле-
элементов, зависящую от одного переменного, которая, подобно предыду-
предыдущему, называется характеристикою. Покажем, что, если даже выражение
функции z не известно, то к соотношениям A00) можно присоединить
другие диференциальные уравнения^ из которых можно вполне определить
изменения переменных xt, г, pk вдоль характеристики.
Будем i «.ход-.ть из элемента интеграла (дг9, z°, p°k) и рассмотрим
характеристику, выходящую из этого элемента. Вдоль этой характеристики
* В случае линейного уравнения в каждой точке характеристической линии нет определен-
определенной характеристической касательной плоскости (см. § 438). Диференциа |ьные уравнения характе-
характеристик на стр. 217 не содержат р и q, и потому текущие координаты не зависят здесь от р„,
(/о, а только от jt0, _y0, г„. (Ред.)

§ 449 in Уравнения первого порядка 257
переменные лг/( я, рк суть функции одного независимого переменного,
удовлетворяющие соотношению /г=0; их диференциалы удовлетворяют
уравнениям AоО) и, кроме того, следующим уравнениям, вытекающим
из определения характеристик:
dz=pldx1-}- i..-\rpndxn,
!i2Z
dPi—Pn dx1-\-t., -\-plndxrt, plk== Ьх дх (/ = 1, 2,.... п).
Диференцируя соотношение F=0 по переменному xlt получим:
Обозначим через du общее значение отношений A00) и заменим
в предыдущей формуле Р, через —'; мы будем иметь:
(Xl-\-plZ)du-\-pn dx1-\-..
Отсюда заключаем, что вдоль характеристики элементы интеграла удо-
удовлетворяют системе диференциальных уравнений:
Эти уравнения не зависят от функции Ф4 и следовательно, мы можем
определить все элементы характеристики, если известен один ее элемент
{х°п z°, />°). Отсюда, как и выше (§ 447), заключаем, что, если два
интеграла имеют общий элемент, то они имеют общими все эле-
элементы характеристики, выходящей из этого элемента.
Если, как мы и будем предполагать, делители в уравнениях A01)
остаются конечными и не равны нулю при начальных значениях, то из
этих уравнений получим:
-*, =/,(«, 4 г0-/'*)./'* = ?*("> *?»*V*). * = Ф(«.*?.*°,Р2), 002)
где х°р z°, p°k обозначают начальные значения, соответствующие началь-
начальному значению и = 0 вспомогательного переменного и; функции //( <pft, <]>
суть непрерывные функции от а и от начальных значений, имеющие
производные по всем переменным, по крайней мере, внутри некоторой
области.
Так как всякий интеграл есть место характеристик, то ясно, что вся-
всякий интеграл представится формулами A02), где л9, г°, p°k должны быть
функциями от п — 1 независимых переменных, так что эти формулы
представляют многообразие п измерений. Но эти In -\- 1 функций xt, z,
pk от я независимых переменных должны, сверх того, удовлетворять
соотношениям:
it z, pk)==
dz-
17 Э. Гур а, т. II, ч. 2.

258 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 449
Так как диференциальные уравнения A01) допускают интегрируемую
комбинацию dF=0, то, чтобы удовлетворилось первое из соотношений
A0b), достаточно, чтобы было F(х°с, z°,р°к) = 0. С другой стороны, из
соотношений A01) имеем:
Ти~Р' du +¦ •••+/'« du •
Так как начальные значения х®, z°, p°k суть функции от л — 1 не-
независимых переменных ул, v2, ... , ®п_г, то должно быть также:
и=Ьг—р,*х1 — ...—рп*хя = 0,
причем буква § обозначает диференциалы, соответствующие произволь-
произвольным1 приращениям §г>], , bvn^ переменных уг, ... , vn_v Поступая
как в случае « = 2, получим:
dU— db; —рл dbx^ — ... —рпdbxn — dpxbxx — ... — dpnЬхп,
dz =р^хл -f ... -\-pndxn,
bdz=p^dx, + ... -f Pnbdxn + 3/7/^ + ...+ bpndxn.
Так как операции d и 5 переместимы, то
Л/= ? фр, dxt - dPi «*,) = ^lptiPl^- (X, + р, Z) Ьх\ du;
так как z, хг, рк удовлетворяют уравнению F==0, то
и следовательно,
dU= — ZUdu.
Отсюда получаем следующее выражение для U:
Чтобы U было равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы Uo,
было равно нулю, т. е. чтобы было:
Таким образом, чтобы формулы A02) представляли интеграл, не-
необходимо и достаточно, чтобы начальные значения (х°р г°, р°к) были
функциями от п — 1 независимых переменных, удовлетворяющими
тождественно условиям:
П? г°, Р°к) = 0, A04)
х*—...—р?>я*хоа=0. A05)
Всякая система 2/z —f— 1 функций (jc°, z°, p°k) от п—1 переменных, удо-
удовлетворяющая этим двум условиям, определяет многообразие элементов
п — 1 измерения, и предыдущее предложение можно выразить иначе:
всякий интеграл уравнения F = 0 образован характеристиками, выходя-
выходящими из различных элементов такого многообразия.

§ 449-150 III. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 259
В частности, если требуется найти интеграл Коши, обращающийся
при х1 = х°1 в данную функцию Ф(дг2, ..., хп), то мы возьмем
х°, jc°, ... , х°а за независимые переменные (мы предполагаем, что. х\
постоянно); тогда соотношения A05) определят значения количеств
zo,pl,...,pl:
Значение р\ мы найдем из соотношения A04); если Р° не равно нулю
[что мы и должны здесь предположить, так как иначе мы не могли бы
применять общую теорему существования неявных функций (т. I, § 184)],
то р°х определяется из (99) как функция от х®, ..., х°п, голоморфная
в некоторой области, и уравнения A02) определят г, х{, рк как голо-
голоморфные функции от и, х\, ... , х°п. Кроме того, определитель Якоби
xv> • • • i хп)
О (и, *},...,*»)
не равен нулю, так как при и = 0 он на основании уравнения A01)
обращается в Р^. Следовательно, мы можем решить п первых уравнений
A02) относительно и, xQ2, ... , х°п и, внося полученные выражения в по-
последнее уравнение A02), мы будем иметь г как голоморфную функцию
Примечание. Может случиться, что, применяя предыдущее общее правило, мы иногда
не получии интеграла. Например, может случиться, что многообразие элементов, определяемое
формулами A02), не зависит в действшельиости от л произвольных параметров. Эго имело бы
место, если бы многообразие элементов ( х,, z , PjA состояло из характеристик; действительно,
в этом случае многообразие, определяемое формулами A02), совпало бы с многообразием элемен-
/оо о\
Помимо этого случая может также случиться, что, исключая параметры a, vl vn i из
уравнений A02), мы придем к нескольким различным соотношениям между переменными лс4, , х^, z.
Чтобы не отбрасывать такие решения, условились, следуя Софусу Ли, расширить понятие инте-
интеграла и называть интегралом уравнения ^=0 всякую систему 00" элементов (*;, г, pj), удовлетво-
удовлетворяющих соотношениям:
F(xit z, pit) = 0, dz = Pi dxi + .. - + pn dxn. A06)
IV. СОВМЕСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ *.
450. Однородные линейные системы. Рассмотрим систему q однород-
однородных линейных уравнений с одною неизвестною функциею/С*,, д:2> ... , хп):
*12
ол| °™2 я
dxz Ъх2 п дхп
*а (J) —0-ю ^ZT "Г а2а Г" "Г • • • "Г аПа TZT — U'
A07)
* Я ограничусь здесь очерком основных методов в нх существенных чертах. Более подробное
изложение читатель найдет в книге Г у р с a, Sur I'integration lies equations aux deTivees partielles
du premier ordre.
17*

2:0 ГЛАВА ХХП. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 450
в которых коэфициенты alk суть функции от п независимых перемен-
переменных X], х2, ... , хп и не содержат неизвестной функции /. Эти q урав-
уравнений A07) называются независимыми, если не существует никакого
тождества вида
где \, \,...,\д — функции от хи х2, ..., хп, не равные все одно-
одновременно нулю. Ясно, что всякую систему q не независимых уравнений
можно заменить системой q' независимых уравнений (q'<Cq)> равносиль-
равносильною первой, и что никакая система не может содержать более п неза-
независимых уравнений.
Следовательно, мы всегда можем предположить, что q уравнений A07)
независимы, и q ^ я.
Если q = n, и уравнения A07) независимы, то определитель, состав-
составленный из коэфициентов alk, не равен нулю, и эти уравнения имеют
своим общим решением только интеграл /=С; в дальнейшем мы не
будем принимать во внимание этого очевидного решения. Если q<dn,
то всегда можно найти интегралы, общие для уравнений A07), после-
последовательными интегрированиями. В самом деле, предположим, что мы
проинтегрировали одно из этих уравнений, например первое; пусть будет
У-\> Уз* • • • > Уп-i система его п—1 независимых интегралов. Далее,
пусть будет уп такая функция, что определитель Якоби
У2. -мЛ)
D (хг, хг, ... , хп)
неравен нулю. Примемyv y2, ... , уп за новые независимые переменные.
После этой замены уравнение Ху(/) = 0, очевидно, обратится в — = 0,
так как оно удовлетворяется при
/ ===.)'l> У41 • • • г Уп-1>
тогда как уравнение Xt(f) = 0 (?>1) изменится в следующее уравнение
того же вида, причем член с -— можно отбросить, так как —— = о>
ъУ ду
здесь коэфициенты Ьы суть функции от уЛ, у2,... , уп.
Если мы предположим, что коэфициенты Ьы расположены по степеням
переменного уп, то последнее уравнение можно будет представить в виде:
причем коэфициенты си, е'и>... не зависят от уп. Так как неизвестная
функция / не должна зависеть от уп, то эта функция должна удовле-

§ 450 IV. СОВМЕСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 261
творять всем линейным уравнениям, которые получим, приравнивая нулю
коэфициенты при различных степенях переменного уп.
Предположим, что мы выполнили ту же операцию со всеми уравне-
уравнениями Xt(f) = 0 (/^>1). Если система, состоящая из всех независимых
уравнений, которые получим таким образом, содержит п уравнений, то
мы не имеем иного решения, кром? /=С. В противном случае система
будет состоять из г независимых линейных уравнений (л<^я—1 .
Те же операции можно применить к каждому уравнению новой сис-
системы и т. д. Так как при каждой операции число независимых перемен-
переменных уменьшается на единицу, то окончательно мы или найдем, что дан-
данная система не имеет иного решения, кроме /=С, или придем к системе,
состоящей только из одного линейного уравнения.
Очевидно, что эгот метод, удобный в некоторых приложениях, тео-
теоретически очень незовершенен, так как из него нельзя заранее узнать,
имеют ли уравнения A07) интегралы, общие для них всех, кроме инте-
интеграла /= 0. Покажен, как можно решить эту задачу без всякого инте-
интегрирования.
Пусть будет / интеграл, общий для всех уравнений A07); так как
эта функция удовлетворяет двум соотношениям Xt (/) = 0, Хк if) = 0,
где ink — два каких-нибудь из указателей 1, 2, ... , q, то мы имеем
X,[Xk(f)]=Xt@) = 0,
Х„[Х,(Л]=Хк{0) = 0,
и следовательно,
Xt[Xk{f)]-Xh[X,(f)] = 0.
Выше было указано (§ 398), что это новое уравнение содержит
только производные первого порядка и. может быть представлено в 'виде
[§ 398, уравнение A16)]:
Xt [Xh (/)] - Хк [X, (/)] = ?{ Xt {ahh) - Хк (ew) )~ = 0.
А=1
h
Составим все такие уравнения, комбинируя попарно все данные урав-
уравнения; полученные уравнения имеют интегралами все интегралы си-
системы A07). Обозначим через
все те из этих новых уравнений, которые независимы между собою и
образуют вместе с уравнениями A07) систему
*,(/) = <> *,(/) = 0, *,+,(/) = 0, ...,-Jfv+,(/) = 0 A08)
независимых уравнений. Если q-\-s = n, то система A08), а следова-
следовательно, и система A07), не имеют иного решения, кроме f=C. Если
q \ s<C.n, то мы повторим с системою A08) те же операции, которые
мы производили над первою системою, и т. д. Поступая таким образом,
мы придем или к системе п независимых уравнений, и тогла система A07)
имеет только решение /= С, или к такой системе г независимых уран-
нений, где г<^п, что все комбинации

262 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 450—451
суть линейные комбинации выражений Хл(/), ... , Xr(f). Такая система
названа Клебшем (Clebsch) полною системою.
Таким образом мы видим, что изыскание интегралов системы
вида A07) приводится к интегрированию некоторой полной системы.
Можно заметить, что всякая система я независимых линейных урав-
уравнений есть также полная система; поэтому можно сказать, что всякая
линейная система приводится к полной системе.
451. Полные системы. Теория полных систем основывается на следую-
следующих их свойствах.
1. Всякая полная система заменою переменных переходит также
в полную систему.
Пусть будут х,= у,{у1г у2,..., у„) (/=1, 2, ..., п) — формулы
замены переменных такие, что можно, обратно, выразить yv у2, ... , уп
через прежние переменные xit x2, ... , хп. Всякий символ вида
где av d2, ... , ап суть функции от хх, х2, ... , хп переходит в выра-
выражение того же вида
где #,, Ьг, ... , Ьп суть функц и от J,, ... , у„; таким образом мы
имеем тождественно X(f)= Y(f), причем / в левой части обозначает
какую-нибудь функцию от хЛ, хс, ... , хп, а в Y (f)—ту же функцию,
выраженную в переменных ylt y2, ...,уп. Пусть будет
*,(/) —0, .... *,(/) = 0 A09)
полная система. После замены переменных эта система обратится в еле-
дующую: Fi(/) = 0,..., К,(/) = 0, A*10)
где, принимая во внимание формулы преобразования, имеем тождественно
Xt(f)^Yt(f). Докажем, что новая система (ПО) — также полная.
В самом деле, так как при всяком виде функции / мы имеем тожде-
тождественно:
Xiif)=Yt(f), Xh{f)=Yk(f)t
то
X, [Xk (/)] = Yt [Xh (/)] = Yt[ Yk (/)],
и следовательно,
Xt[Xk(/)] - Xk[Xt(/)] ==Y,[Yk(/)| -Yk[Ytif)].
Так кач-, по предположению, система A09; — полная, то при всех
значениях указ телей ink имеем:
Xi [Хк (/)] - Хк [X, [f,] = \Х, (/)+...+ \ХГ (f);
после замены переменных мы будем -иметь также:
У, [ Yk'/)] - Yk [ Y. (/)] = \[ Y, (/)+...+ К Yr (/),
гле Vj_, ,.. , У. обозначают результаты замены в ф>н ция.4 \lt ... , кг ге

§.4$1 IV. СОВМЕСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 263
ременных xlt xv ... , хп их выражениями через переменные _у,, уг, ... , у ,
Таким образом новая система (ПО), действительно,—йодная,
2 Всякая система, равносильная полной системе, есть такж^пол-
ная система.
Система г уравнений, линейных и однородных относител( но —:
dXj
Z1(f) = 0, ..., Z,(f) = O 'A09')
называется равносильною системе A09), если существует г тождеств, вила:
Zk(f) = A,kXl{f) + A2kX2(f)+...+ArkXr(f) (А = 1, 2,..., г),
где коэфициент.л Аш суть функции от xv х2, ... , хп, определитель 'Ко-
'Которых не равен нулю. В этом случае можно, обратно, вырази! ь линейно
•Я] (/)> • • • > -Xr(/J через Z1 (/), ... , Zr{f)\ отсюда ясен смысл названия:
равносильная система. Разность Z1[Zk(f)] — Zk [Zl(/)] можно предста-
представить в виде:
[
следовательно, эта разно ть равна сумме членов вида:
AhlAlh {Xh [Xt(/)) - Xt [Xh (/)]} -f AhiXh (Alk) Xt(f) - A^A^ Xh (/).
Если система A09)—полная, то эга разность будгт линейною функциею
or Хл (/),... , Xr(f), так ка< в:е разности Xk[Xt<J)] -Xt[Xh(f)\, no
предположению, суть линейные функции от X1(f), ... , Xr(f). Так как
обе системы A09) и A09') рачносильны, то отсюда следует, что все
разности Zi[Zk(f)]—Zk{Zi{f)\ вы.ажаются линей»)- через Zj (/),
Z2(/), ..., Zr(f).
Очевидно, что всякую полную систему можно заменить бесконечным
множеством равн сильных ей систем. П лл ная система A09') называется
якобиевою системою, если все выражения Xl[Xk(f)]—Xk[Xl(f)] тож-
тождественно равны нулю. Покажем, что всякая полная система равносильна
некоторой якобиевой.
Так как, по предположению, г уравнений A09') независимы, то мы мо-
можем решить эти г уравнения относительно г производных от /, напри-
например отно:ите-ьно произвозных--, ... , —-. Тогда мы попучим сисему
оХ| дХг
равносильную системе A09) и также полною. Но, если мы составим вы-
выражения Z^[Zk(/)} —Zk[ZJ/)], то очевидно, что в них войдут только про-

264 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 451
изводные ~-~ , .. ., -—, и следовательно, новые урав^ния Z,[Zk(f)\ —
дхг+\ °хп
— Zlt[Zl(/)\ = 0 не могут быть линеййыми комбинациями уравнений A11)
иначе, как в том случае, если левые части новых уравнений тождественно
равны нулю. Следовггеаьно, система A11) — якобиева.
Отсюда следует, что всякая полная система частного вида A11) —
якобиева, но ясно, что якобиева система не должна непременно иметь
Этот виде.
3. Всякую полную систему г линейных уравнений с я независи-
независимыми переменными можно свести, интегрируя одно из уравнений
этой системы, к полной системе г—/ уравнений с п — / независи-
независимыми переменными.
Предположим, что мы проинтегрировали одно из уравнений системы,
например уравнение Х-1(/) = 0; возьмем, как в предыдущем параграфе,
такую новую систему независимых переменных (уг, у2, ... , уп), чтобы
у2, у8, ... , уп были п—1 интегралами уравнения Лг1(/) = 0. После
замены переменных система A09) обратится в новую полную систему, пер-
первое уравнение которой будет --=0. Решая остальные я—1 уравнен й
относительно г—1 прошводных, например относительно производ-
ных -i_ f ... f _i-, мы должны получить полную систему:
У _
A12)
которая имеет частный вид A11) и, следовательно, есть якобкева сис:ема
Но мы имеем:
так как это выражение должно быть тождественно равно нулю, то отсюда
следует, что коэфиииенты clk новой системы не могут зависеть от пере-
переменного уг. Кроме того, при /]>1, k^>\ мы попр?жнему имеам тожде
ственно: Г,[Кй (/)] - К, [^ (/)] = 0,
и следовательно, г— 1 уравнений
• W) = 0, к,(/) = 0, .... КГ(/) = 0 A13)
образуют якобиеву систему г—1 уравнений с я — 1 независимыми пе-
переменными у2, у3, .,. , уп, что и требов лось доказать.
В свою очередь, систему A13) можно привести к полной системе
г—2 уравнений с я — 2 неза>исимыми переменными и т. д. Поступая
таким образом, мы приведем данную полную систему к одцому линей,-

§ 451 IV. СОВМЕСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 265
ному уравнению с п—^-|-1 независимыми переменными. Отсюда еле
дует, что всякая п< лная система г уравнений с п независимыми пере-
переменными имеет п — г независимых интегралов, и ее общий интеграл
есть произвольная функция от этих п — г частных интегралов.
Из предыдущих рассужшний видно также, ка*ие интегрирования
надо выполнить, чтобы п шучить эти интегралы. Ясно, кроме того, что
изложенный метод можно применять различным образом. В самом деле,
мы можем заменить данную полную систему всякою другою равносиль-
равносильною системою и начать с интегрирования какого-нибудь однэго из урав-
уравнений этой новой системы. Например, если мы заменим полную систему
якобиевою системою вида A11), то нам уже известны (г—1) частных
интегралов хй, ... , хг уравнения Z, (/) = 0, и достаточно будет проин-
проинтегрировать систему п — г диференциальных уравнений, чтобы иметь
общий интеграл За всем, что касается других методов интегрирования
полных систем, мы отсылаем читателя к специальным курсам.
Пример. Пусть требуется проинтегрировать систему
ох{ дх3 охА I ....
Х% (Л = ¦— + С»***—*а) ^г~ + (*i-*s*i + Xi — х{х3) - '- =. 0. I
охц dxt dxt
Составив комбинацию X{ [X% (/)] — Xa [Xt (/)], мы найдем, что нужно при-
присоединить к двум данным уравнениям новое уравнение
дх3 dxt
полученная система трех уравнений равносильна якобиевой системе:
Следовательно, система A14) имеет только один независимый интеграл. Об-
Общий интеграл последнего уравнения этой системы есть произвольная функция
от х{, х% и хА — х{х3. Если мы возьмем за независимые переменные дг,, лг2, дг3
и и = лг4 — х{х3 , то каждая функция f(xit x.2, x3, xt) обратится в некоторую
функцию t(xlt x2, х3, и), и система A15) обратится в систему
Два первых уравнения A16) образуют новую якобиеву систему двух
уравнений с тремя независимыми переменными xt, дг3, и. Общий интеграл вто-
второго уравнения есть произвольная функция от дг4 и и ?-, Возьмем снова за не-
ДГ„2
зависимые переменные хь х2 и v = и ^-; при этом всякая функция f (xt ,x2tu)
обратится в функцию ф (дг?, дг2, о), и два первых уравнения примут вид:
Общий интеграл первого уравнения есть произвольная функция от v — хр; сле-
следовательно, возвращаясь к начальным переменным, мы видим, что общий интег-
интеграл системы A14) есть произвольная ф)Нкция от
х2

266 ГЛАВА XXII УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 451-452
452. Обобщение теории полных интегралов. Рассмотрим уравнение
V(xv х2, ... , хп, z; av a2, ... , алг+1) = 0, A17)
определяющее функцию z от п независимых переменных хг, х2, ... , хп,
зависящую, кроме того, от п — г-\- 1 произвольных параметров аг,
а2, ... , ап_г+1. Если мы дадим этим параметрам определенные значе-
значения, то, исключая эти параметры из соотношения A17) и тех соотноше-
соотношений, которые получим, диференцируя соотношение A17):
мы придем, вообще, к г различным соотношениям между
z, лГр ... , хп, /?j, ... , рп,
F^xv ..., хп, z, Pl, ... , /О = 0, /=-, = 0 Fr = 0. A19)
В частных случаях эгих уравнений может быть более п. Ограничи-
ва сь общим случаем, мы, как и выше (§ 444)г будем говорить, что
функция z, определяемая соотношением A17), есть полный интеграл
системы уравнений в частных производных A19). Покажем, что и здесь,
зная полный интеграл системы A19), можно найти все ее остальные
инте ралы. В омом деле, так как уравнения A19) получаются от (склю-
чения аг, а2, ... , а„_л+] из уравнений A17) и A18), то разыскание
интеграла, об цего этим г уравнениям A19), приводится к разысканию
системы функций z, ar ... , ая_г+1 переменных л:,, ... , хп, удовлетво-
удовлетворяющих уравнениям A17) и A18). Очевидно, что мы мож.-м заменить
систему уравнений A17) и A18) системою уравнений A17) и A*0):
*Z*Z М г A20)
Z.da+Z.da+ ... + —аа Ог
dai да2 дап-г+1
причем мы получич это последнее уравнение, диференцир)я уравне-
уравнения A17) и принимая во внимание уравнения A18). Уравнениям A17)
и A20) можно удовлетворить различным образом:
1. Можно прешоложить, что alt а2, ... , ап_г+Л — постоянные; тогда
мы получим полный интеграл.
2. Можно положить
V-0.?-0 .-—0
Исключая из этих уравнений количества av а2, ... , а„_л+1, если
это возможно, мы получим интеграч, не содержащий ш.чего произволь
ного* этот i нтеграл, как ранее, называется особым интегралом.
W
3. Если р.се коэфициенты -— не равни одновременно нулю, то суше-
да^
ствует по крайней мере одно соотношение между иском.ми функциями
а,, а2, ... , ая_г+1 переменных х, (т. I, § 52).

§ 452-453 IV. СОВМЕСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 267
Прешоложим, что мгжду этими функциями существует ровно k не-
независимых соотношений:
/,@,, а2, ..., ап_г+1) = 0, ... , Д(с„ с„ ... , ая_г+1) = 0. A21)
Так как соотношение A20) должно быть следствием соотношений
dft = O {i=l, 2, , k), то существуют k таких коэфициентов
X,, Х2, ... , Xft, что мы имеем тождественно:
Это соотношен. е равнссил.но п — //-1 независимым соотношёнчям:
Ъа, 1 да, к да,
A22)
Исключая из уравнений A17), A21) и A22) кол чесгва
aV а1> ' • • > ая_г+Т 1' 2> • • • » ft'
мы придем, вообще, к одному соотношению между xv х2, ¦ ¦. , хп и z
и, следовательно, к интегралу, общему для всех уравнений A19) и за-
зависящему от вида вьгранных произвольных функций /j, ... , fk. Сово-
Совокупность таких интегралов, которую получим, изм.няя число ft от 1 до
п—г и беря произвольно функции /г, /2, ... , fk, составляет общий
интеграл системы A19). Заметим, что мы получим полный интеграл,
полагая k = n—r-\-\.
Если г=\, то систем! A18) с_01и:ся только к одному уравнению.
Обратно, если дано какое-нибудь уравнение первого порядка
F{xt, z; pk) = 0, то из общих теоргм существования следует, что оно
всегда имеет бесконечное множество интегралов, зависящих от любого
числа произвольных параметров, и следовательно, бесконечное множество
полных интегралов. Предыдущий метод, представляющий обобщение ме-
метода, изложенного в § 444, позволяет найти все интегралы уравнения
/¦"=(), когда известен полный интеграл.
Если г^>1, то система A19), получающаяся изложенным выше обра-
образом из уравнения A17), не есть наиболее общая система г уравнений
первого порядка с одною неизвестною функциею, так как такая система
в общем случае может и не иметь интегралов. В следующих параграфах
мы покажем, как можно узнать, совместима ли такая система, и как
найти ее интегралы, если они существуют.
453. Системы в инволюции. Пусть будет
^(ж,, х2, ... , хп; р„ />„,..., Рп-) = 0, F2 = 0, ... , Fr = 0, A23)
система г уравнений в частных производных первого порядка, не содер-
содержащих неизвестной функции . z; приемом, которым мы пользовались
в § 437, всегда можно привести общий случай к этому частному.'Ра ые-

268 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 453
кание интеграла, общего г уравнениям A23), равносильно следующей
задаче: найти п функций pl = ^1(x1, ... , хп), удовлетворяющих соот-
соотношениям A23) и условиям-?-*- —~.
Если известна система п функций ^(л:,, ... , хп), удовлетворяющих
этим условиям, то мы найдем из нее квадратурами интеграл уравнений A23),
зависящий от произвольного постоянного.
Пусть будут F и Н две каких-нибудь функции 2л переменных xt,
pk\ положим (§ 443)
/=i
где выражение (F, Н) есть скобка Пуассона. Докажем следующее пред-
предложение: если два уравнения F= О, Н= О имеют общий для них
обоих интеграл, то этот интеграл удовлетворяет также уравне-
уравнению (F, Н) = 0.
В самом деле, предположим, что рг, р2, ... , ри суть функции п
переменных хх, ... , хп, удовлетворяющие двум уравнениям F—0, //=0
и условиям-^-=—. Диференцируя соотношение F=0 по д^, по-
лучим:
Ьх, Zj
умножая это уравнение на -— и складывая все аналогичные уравнения,
будем иметь:
i=n l=nk=n
t dpi ZjZj dp t dpk ix,
LJ*xi
Переставляя буквы F и Н и замечая, что в двойной сумме можно
еще переставить указатели i и k, получим:
viй//а/7 , yiyi bF_bHdpt 0
Zj ЬХ/ Ър, ZjZJ Ърк Ър{ dxk
Вычитая почленно оба полученных равенства, будем иметь:
(Л
Если jPj, ... , pn суть частные производные от одной и той же
, , . , dp, bpk
функции, то, каковы бы ни были / и к, имеем -г'-=—= , и следова-
дХк дХ,
тельнб, должно быть: [F,H)=0.

§ 453 IV. СОВМЕСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 269
Это предложение содержит как частный случай доказанное выше
предложение (§ 451) для уравнений линейных и однородных относительно
рг, ... , рп, и из него можно вывести аналогичные следствия. В самом
деле, мы видим, что всякий интеграл уравнений A23) есть также инте-
интеграл всех уравнений (Fa, 7^)= 0, которые можно составить, комбинируя
попарно уравнения A23). Следовательно, к данной системе, можно при-
присоединить те из числа этих уравнений, которые образуют с данными
уравнениями систему независимых уравнений Повторяя эти операции до-
достаточное число раз, мы придем или к системе независимых уравнений,
число которых больше л и которые, следовательно, вообще, не имеют
интегралов, или к такой системе т уравнений (т^.п\ что все уравне-
уравнения (Fa, /гд) = 0 удовлетворяются тождественно или будут алгебраиче-
алгебраическими следствиями предыдущих уравнений.
Такие системы аналогичны полным системам. При этом всегда можно
или убедиться, что данные уравнения несовместимы, или притти к такой
системе, в которой все скобки {Fa, F*\ тождественно равны нулю. В са-
самом деле, предположим, что мы решили г уравнений A23) относительно г
из переменных /7,, ..., рп; это всегда возможно, так как в противном
случае, исключая р,, ... , рг из этих г уравнений, мы пришли бы к со-
соотношению между переменными дс,, ..., хп, и очевидно, что данная
система была бы несовместима. Пусть будет
P,—fi(Pr+v" Рп' •*!>••.. xn) = 0,..., pr—fr(...) = O A25)
полученная, таким образом, равноси1ьная система. Скобки
(Ра— Л» Р%— /р)
не содержат ни одно:о из переменных рг, ... , рг\ следовательно, урав-
уравнения, которые мы получим, приравнивая эти скобки нулю, не могут
быть следствиями первых и представляют новые уравнения, если только
эти скобки не равны нулю тождественно.
Решая эти новые уравнения относительно некоторых из количеств
/V+H • ¦ • > Рп и продолжая те же операции, мы, наконец, или убедимся
в невозможности задачи, или придем к такой системе т уравнений пер-
первого порядка (т «S п)
/^=0, .... /=-„ = 0, A26)
что все скобки (Fa, Fo) тождественно равны нулю. Такие системы, ана-
аналогичные якобиевым линейным системам, называются системами
в инволюции. Следовательно, разыскание интегралов данной системы
уравнений первого порядка приводится к инте! рированию системы
в инволюции. -
Если /и = л, то это интегрирование выполняется непосредственно,
как это вытекает из следующей теоремы: пусть будут F^, F2, ... , Fn
такие функции 2л переменных xt, pk, что все скобки (Fa, F^ тожде-
тождественно равны нулю, и определитесь Якоба А = ]' *' * '—*- не
" \Pl> • ' • > Рп)
равен нулю. Если мы разрешим п уравнений
F1 = a1, F2 = a2 Fn*=aa, A27)
n

270 ГЛАВА XXII УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 453
гд. а,, а2, ... , ап—произвольные постоянные, относительноpvр2,... ,рп
и вставим полученные выражения в ргйхЛ -(-...-{- pndxn, то это
выражение будет точным диференциалом.
В самом деле, мы будем иметь, по предположению:
тогда, как мы видели выше, п функций pv рг,..,, рп переменных хЛ,
х2, ... , хп, определяемые л уравнениями (.127), должны удовлетворять
всем уравнениям
J=lft=l
Возьмем п соотношений этого рода, в которых указатель [5 имеет
одно и то же значение, их можно представчть в виде:
п п
2j bpt La ьрк \ ьх, ъхк
Если мы примем за неизвестные п выражениЛ
*рк [дх, дхк) '
то определитель, составленный из коэфициентов при этих неизвестных,
есть не что иное, как определитель Д, который, по предположению, не
равен тождественно нулю. Следовательно, при всяких / и | должно
быть:
к=1 Pk \*х, *
Взяв п уравнений этого вида, в которых указатель / имеет определен-
ip, dpk
ное значение, мы точно также докажем, что -i-i = -=-=; следовательно,
теорема доказана.
Функция
' Я1 I * • • ¦ I tj ¦+ 1 /
где ап+л — новое произвольное постоянное, пргдставаяет общий инте-
интеграл системы в инволюции A27). Если мы дадим г постоянным опреде-
определенные значения, оставляя остальные постоянные аг+л,..., ап+1 пpoиз^
вольными, то формула A28) представит полный интеграл -системы
в инволюции, состоящей из г первых уравнений A27). Это — настоящий

§ 453—451 IV. СОВМЕСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 271
полный интеграл, так как, по самому способу определения функции Ф,
уравнения
дФ дФ
образуют систему, равносильную системе A27), и очевидно, что един-
единственные независимые соотношения, не содержащие аг+], . . , ап, кото-
которые можно отсюда получить, суть г первых уравнений этой системы.
451. Метод Якоби. Если дана система в инволюции, состоящая из г
уравнений
F-l С*,, • • •, ¦*„; />„... Р„) = а1 Fr(xv ..., рп)= аг, A29
где постоянные av ... , ат имеют определенные значения, то, чтобы
получить полный интеграл этой системы, достаточно присоединить
к ней п — г таких новых функций Fr+1, ..., Fn, чтобы определитель
Якоби т • • • > я не был равен НуЛКI и чтобы новая система
D (xlt .... хп)
Fj=alt..., Fr=ar, Fr+1 =ar+v ... , Fn = an A30)
была сама в инволюции. В самом деле, мы только что видели, что
общий интеграл этой системы A30) есть полный интеграл системы A29).
Если г=1, то этот метод представляет не что иное, как распростране-
распространение метода Лагранжа и Шарпи на уравнение с п переменными.
Метод Якоби решения этой задачи основан на применении замеча-
замечательного тождества, данного Пуассоном. Пусть будут /, <р, <|) три произ-
произвольные функции от 2 я переменных xt, pk; мы имеем тождественно:
Ф). /) + ((Ф- /). <Р) = 0. A31)
В самом деле, каждый член левой части есть произведение частной
производной второго порядка на две частных производных первого по-
порядка. Следовательно, чтобы доказать, что левая часть равна нулю, до-
достаточно показать, что она не содержит ни одной производной второго
порядка, например от функции /, так как три функции /, <р, ф входят
симметрично. Члены, содержащие производные второго порядка от /, мо-
могут происходить только от
((/. «р). <!>) + (<<!>, Л-?) = (ф. «р, /))-(?. (ф. /))¦
Заметим, что (ф, /) и (tfi, /) суть линейные и однородные выражения
относительно производных от /, поэтому, если мы положим
«р, f)=X(f), (ф, /)=
то предыдущее выражение можно представить в виде:
Y[X{f)]—X[Y{f)],
а мы видели (§ 450), что такое выражение не содержит ни одной про-
йз'водной второго порядка от /. Отсюда следует, что все члены левой
части формулы A31) попарно уничтожаются.

272 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВЭДНЫМИ § 454-455
Чтобы проинтегрировать систему в инволюции A29), найдем сначала
функцию, отличную от Flt ... , Fr и удовлетворяющую г линейным и
однородным уравнениям относительно производных от неизвестной функ-
функции Ф:
(/=¦„ Ф) = 0, (F2, Ф) = 0,..., (/=•„ Ф) = 0 A32)
Эти г уравнений образуют якобиечу систему. В самом деле, поло
жим X(<b) = (Flt Ф); так как (Fa, F?) = 0, то тождество Пуассона
принимает здесь вид:
Пусть будет Fr+J интеграл этой якобиевой системы, образующий
с функциями Flt -.. , Fr систему независимых функций переменных
/»,,..., рп; ищем затем интеграл новой системы (r-j- ^уравнений:
(Fv Ф) = 0 (Fr+1, Ф) = 0,
который, как функция от pt, бил бы независим от /=!,, ... , /\.+1. Эта
система будет также якобиевою, так как Fr+l есть интеграл системы A32).
Поступая, таким образом, далее, мы, наконец, найдем интеграл последней
якобиевой системы:
После этого, как мы это видели выше, полный интеграл данной сис-
системы получится квадратурами.
V. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИЯХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.
455 Исключение произвольных функций. Изучение уравнений в част-
частных производных первого порядка с одною неизвестною функциею при-
привело нас к следующим заключениям: 1) интегрирование такого уравнения
приводится к интегрированию системы обыкновенных диференциальных
уравнений; 2) все интегралы уравнения представляются одною или не-
несколькими системами формул, в которые входят явно одна или несколько
произвольных функций и их производные.
Эти свойства, вообще, не распространяются на уравнения с частными
производными порядков выше первого. В обще i случае задачу интегри-
интегрирования такого уравнения нельзя привести к интегрированию системы,
обыкновенных диференциальных уравнений. Хотя и нетрудно обобщить
метод исключения произвольных функлий, приводящий к уравнению
в частных производных первого порядка (§ 439 и 444), но уравнения
высших порядков, которые мы, таким образом, получаем, представляют
лишь весьма частный вид таких уравнений. Так, мы видели, что мы будем
иметь общий интеграл линейного уравнения с двумя независимыми пере-
переменными Рр -\- Qq = /?, соединяя по произвольному закону линии неко-
некоторой конгруэнции. Возьмем теперь семейство линий Г, зависящих от
п -\- 1 произвольных параметров av а2, ... , ая+] (я^> 1):
F(x, у, z, аг, .... о„+1) = 0, Ф(д:, у, z, а3 an+i) = 0; A33)

455 V. ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИЯХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 273
если мы установим между этими п -f-1 параметрами л произвольных
соотношений, то мы получим совокупность линий Г, зависящих уже
только от одного параметра. Эти линии образуют некоторую поверхность 5,
и все* эти поверхности 5, каковы бы ни были п взятых соотношений
между л -\- 1 параметрами, удовлетворяют одному и тому же уравнению
е частных производных л-го порядка, которое называется уравнением
в частных производных семейства поверхностей S: Чтобы доказать это
предложение, заметим, что вместо того, чтобы устанавливать п соотноше-
соотношений между параметрами at, можно взять эти параметры как произволь-
произвольные функции п[(\) вспомогательного переменного X, что то же самое.
Тогда уравнения A33) определят две неявные функции z—f(x, у),
^ = ср(лг, у), и надо показать, что функция z=f(x, у) удовлетворяет
уравнению в частных производных л-го порядка, не зависящему от вида
произвольных функций аДХ). Диференцируя первое из уравнений A63)
по х и у, мы получим два соотношения:
отсюда имеем:
bF
1у »
I dF bF
дх ~ dz F
Из второго уравнения A33) мы получим подобное же выражение
для отношения ~, которое можно вывести из предыдущего, замещая
К
нем F через Ф. Приравнивая между собой эти два выражения, мы
присоединим к двум уравнениям A33) еще одно уравнение, содержащее
х, у, z, p, qr av a2, ... , ап+1:
Ч'^лг, у, z, p,'g, av а2, ,.. , ап+1) = 0. A34)
Поступая с этим новым уравнением так же, как с уравнением /7==0,
мы выведем из него выражение г?-, зависящее от х, у, г, р, д, г, s, t,
av ... , а„+1; приравнивая найденное значение отношения •J'- одному из
К
двух прежних значений, мы придем к новому соотношению, содержащему
производные второго порядка of z:
*Р2 (х, у, z, р, д, г, s, t, av a2, ... , ая+1) = 0. A35)
После л таких операций мы присоединим к системе A33) систему л
уравнений, содержащих а„ а2, ... , ая+1, х, у, z и производные от, z
до л-го порядка. Исключая из этих п-\-2 уравнений функции
18 Э. Гурса. т. II ч. 2.

1274 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 455
а1, а2, ... , ап+л, мы придем, вообще, к одному и только к одному урав-
уравнению между х, у, z и частными производными от z до л-го порядка.
Это и есть уравнение в частных производных тех поверхностей, кото-
которые образованы линиями Г.
Примеры. 1. Если линии Г суть прямые, параллельные плоскости ху, то
уравнения A33) б) дут:
г = а1, у — агх-\-а3.
Применяя общий метод, предположим, чго ait ait а3 суть функции параметра )..
Из двух предыдущих соотношений мы получим для отношения —у, значения -—
и —а2; отсюда имеем:
Диференцируя это соотношение по х и у и разделив почленно, будем иметь:
l'x ps —
V О
Приравнивая это значение отношения —, найденному ранее значению —,
мы придем к уравнению в частных производных линейчатых поверхностей, име-
имеющих плоскость хОу направляющею плоскостью:
2. Предположим, что линии Г суть произвольные прямые. В этом случае
уравнения (.133) можно представить в виде:
Применяя общий метод, получим последовательно:
l'x aiP—l агр а3'
л следовательно, а{р -\- a3b — 1=0. Из этого уравнения имеем:
^•у ats -\- a3t а{
I atr + a3s a3
или
а?г -f- 2д,а35 + a?t = 0. A)
В свою очередь, последнее уравнение дает:
или, освобождаясь от знаменателей:
^ ? ? ^ = 0. (В)
Исключая из соотношений (А) и (В) отношение —, мы получим общее урав-
. вз
нение е частных производных линейчатых поверхностей. Мы видим, что это
уравнение содержит только производные второго и третьего порядков; из самого
способа, получения этого уравнения следует, что в каждой точке поверхности одна

§ 455 V. ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИЯХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 275
из асимптотических касательных имеет с поверхностью прикосновение третьего
порядка (т. 1, § 213).
3. Рассмотрим плоские кривые Г, представляемые уравнениями:
z =/(¦*, У, alt... , an), y = aa+i.
Вместо того чтобы применять общий метод, предположим, что в„ аь ... , ап
суть функции последнего параметра an+t. Поверхность S, образованная этими
кривыми Г, имеет уравнение:
z—flx, у, ?tO0,.... fn(y)l
где <pt,..., <р„ суть произвольные функции от у. Исключая эти п функций из
Ъг b%z b"z
предыдущего соотношения и соотношении, определяющих — , — , ... , —, мы
дх дх* Ьх".
придем к уравнению в частных производных л-го порядка:
дг д"-1г\
-V.r-,...,r -), A36)
дХ dxn-i/
в которое входят производные только относительно х.
Обратно, всякое уравнение в частных производных такого вида можно интег-
интегрировать, как обыкновенное диференциальное уравнение, содержащее у как па-
параметр. Если z—f(x, у, Сь С2> ...,С„)есть общий интеграл этого диференциаль-
ного уравнения, то нужно только заменить в нем Cit C2,... ,Сп произвольными
функциями от у, чтобы иметь общий интеграл того же уравнения, рассма-
. триваемого как уравнение в частных производных с двумя независимыми пере-
переменными х и у.
Как было показано выше, мы получаем общий интеграл всякого урав-
уравнения с частными производными первого порядка с-двумя независимыми
переменными, беря огибающую семейства поверхностей, зависящих от
двух параметров, когда между этими Параметрами установлено произ-
произвольное соотношение (§ 444). Чтобы обобщить этот результат, рассмо-
рассмотрим семейство поверхностей 2, зависящих от п-\-\ параметров (я>1):
F(x, у, г, аг, а2, ... , ая+1) = 0. A37)
Если мы установим между этими п -\-1 параметрами п произвольных
соотношений, или, что то же, заменим #,, а2, ... , ая+: произвольными
функциями вспомогательного переменного X, то мы получим семейство по-
поверхностей 2i зависящих только от одного параметра. Огибающая этого
семейства поверхностей есть некоторая поверхность S, удовлетворяющая
уравнению в частных производных л-го порядка, не зависящему от вида
произвольных функций ау(Х). Мы могли бы получить уравнение этой
поверхности, исключая 1 из обоих уравнений (Г37) и A38):
Но эти два уравнения можно также рассматривать как определяю-
определяющие две функции z = f(x, у), Х = (р(лг, у) двух независимых перемен-
переменных хну. Частные производные р и q определяются двумя уравне-
уравнениями (т. I, § 39):
18*

276 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 455—456
Применяя к этой системе A39) тот же метод, как к системе A33),
мы можем присоединить к ней последовательно п—1 новых соотно-
соотношений между flj, a2, t..,an+1, х, у, z и частными производными от z
порядков 2, -3, , п. Исключая из этих я—1 уравнений и уравне-
уравнений A37) и A39) функции ал, а2, ... , ап+х, мы придем, вообще,
только к одному соотношению, не зависящему от о,, а2, ...,аП+1, в
которое войдут х, у, z и частные производные от z до л-го порядка.
Пример. Если поверхность 1 есть плоскость, то мы получим уравнение
развертывающихся поверхностей s^ — rt-= 0. Если поверхность ? есть шар с по-
постоянным радиусом R, то уравнения A37) и A39) будут:
J_#2_0, \ (МО)
х —
Предположим, что а{, а2, а3 суть функции параметра \; приравнивая между
собою значения отношения \у':\х', выведенные из двух последних уравнений A40),.
мы придем к соотношению:
(rt — &)(z — a3J+[(l-t-/>2)f4 A + q*)r — 2pqs](z— as)+ 1 + p* + q*=--0. A41)
Мы получим искомое уравнение, исключая' ait a2, a3 из соотношений A40) и
A41). Из первого имеем:.
z — as=
и, заменяя в A41) z — а3 найденным значением, мы придем к уравнению в част-
частных производных поверхностей каналов:
(rt — «2)/?2 -|- [A 4- p*)t -f- A + qi)r — 2pqs],
?2J —0. A42)
Геометрический смысл этого уравнения ясен: именно, оно выражает, что один
яз главных радиусов кривизны поверхности равен R (т. I, § 236).
Примечание. Если дана функция нескольких переменных, зависящая от одной или не-
, «скольких произвольных функций, то не всегда возможно, как это было в двух рассмотрен-
рассмотренных здесь случаях, вывести соотношение, и притом только одно, между независимыми перемен-
переменными, функциею г и ее частными производными до некоторого порядка так, чтобы это соотноше-
соотношение не зависело от вида произвольных функций. Рассмотрим, например, функцию г = f {x, у, X, Y),
где F есть определенная функция четырех аргументов х, у. X, Y, причем X и Y суть про-
произвольные функции, соответственно, переменного х и переменного у. Пять производных р, q, r, s, t
.первого и второго порядка зависят от X, X', X", Y, Y', Y", и вообще, нельзя исключить этн шесть
количеств из шести уравнений. Если же мы дойдем до производных третьего порядкагто будем
иметь всего десять соотношений, содержащих восемь переменных X, X1, X". X'". Y, Y',Y",Y"', и
исключение приведет к системе двух уравнений третьего порядка *.
456. Общая теорема существования. Доказательство, данное для
системы уравнений в частных производных первого порядка (§ 386), легко
распространить на более общие- системы нормального вида, исследован-
яые Софьей Ковалевского**:
*„.•••>, <[
ЛГ2, . . . , Xn, Z], #2, . . . , Z , ..'.),
ZP>
A43)
* См. Э р м и т, Cours d"Analyse, стр. 215—229 {CEuvjes, t. II, 1908, стр. 301—515).
** Journal de Crelle, т. LXXX. В своем доказательстве Ковалевская приводит общий случай
к случаю линейной системы первого порядка, но достаточно привести общий случай к случаю
гронзвольной системы первого порядка.

§ 456 V. ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИЯХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 277
где правые части содержат независимые переменные хг, х2, .,. , хп,
неизвестные функции гл, , гр, частные производные от гг не выше
порядка г, включительно, частные производные от z2 не выше по-
порядка г2, .... и т. д.; сверх того, ни одна из производных
не входит в функции Ft.
Общая теорема выражается следующим образом:
Рассматривая входящие в функции F, количества хг, х2, ... ,хп,
#+++
г,, zo, , 2„, — —— как независимые переменные, возьмем
1 1 1
какую-нибудь систему значений этих переменных
ал, а2,..., а„, Ьл, Ь2,..., Ьр, Ь1щ^ ^,
в области которой функции Fl были бы голоморфны.
С другой стороны, пусть будут
fft ffil (П^ 'ft r* — 1 ^
j )
. «Pa» (Р2'--" (Р2Г|~'» I
A44)
функции п—1 переменных х2, д:,, , хп, правильные 6 области точ-
точки а2, ... , ап и такие, чтобы было:
« п
при х2=а2, ..., хп = ап. Тогда уравнения A43) имеют систему
интегралов, и притом единственную, голоморфных в области точки
(аг, а2, ... , ап) и таких, что при хЛ == аЛ будет:
Чтобы доказать эту теорему, заметим прежде всего, что из уравне-
уравнений A43) и из трех уравнений, которые получим диференцируя урав-
уравнения A43), мы можем выразить все частные производные от неизвест-
неизвестных функций через независимые переменные, неизвестные функции и
а».+».+«.« ' . ,
их частные производные ' , где а, меньше числа г, при г=1,
длг1.
меньше числа г2 при / = 2,..., меньше числа г при i=p. В этом
можно1 убедиться последовательно, также как в § 386. Но из началь-
начальных условий непосредственно извесгны числовые значения при х1 = а1,...
. . . , хп = ап тех производных, через которые выражаются все
остальные. Следовательно, мы можем посредством только сложений и
умножений выразить коэфициенты разложений в целые ряды интегралов.

273 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 456
существование которых мы хотим показать, через коэфициенты разло-
разложений функции Ff и функций, данных в таблице A44).
Чтобы докончить доказательство, остается только показать, что
получающиеся таким образом целые ряды — сходящиеся, если только
модули разностей xt—а1 достаточно малы. Выше (§ 383) мы доказали
сходимость таких рядов для случая, когда все числа гг, гг,... , г равны
единице. Мы приведем общий случай к этому частному, принимая за
неизвестные не только самые функции zv ... , г , но и частные про-
производные от каждой функции zt до порядка г( — 1 включительно
(г—1, 2, ...,/?). Положим:
Ъх°лЪхЬ ...
Правые части уравнений A43) содержат переменные xv ..., хп,
функции гл, , zp, новые неизвестные 2а„ ч „„ и некоторые про-
производные первого порядка от этих новых неизвестных. Но, по предполо-
предположению, правые части уравнений A43) не содержат производных от z,
по л:, порядка выше ri — 1, следовательно, производные порядка rt от функ-
функции 2/( которые могут входить в эти правые части, отличны от про-
производной z'r 0 oz; поэтому по крайней мере одно из чисел
а2, а3, .. . , ап отлично от нуля. Если, например, а2>0, то можно заменить
через
при aj -j- а2 -\- .. ,-\- ап = г1. Следовательно, мы можем представить дан-
данные уравнения A43) в равносильном виде:
*¦=!, 2,...IlP
*)•
......... ) П45)
причем правые части уравнений A45) содержат только независимые
переменные, неизвестные и некоторые из частных производных первого
порядка, взятых относительно одного из переменных х2, ... , хп. К урав-
уравнениям A45) должно присоединить еще уравнения, определяющие про-
производные по х, от тех новых неизвестных функций г' , от ко-
торых производные по jc, еще не были даны. Если а, —}— а2 —|— - -.
...-)- а„ < Г/— 2, то непосредственно имеем:
так как здесь a, -j- I -f a2 -{-... -j- an ^ rt — 1, то правая часть сама
представляет одну из введенных неизвестных функций. Если же
то мы должны предположить, что ctj </",-— 1, так как для случая
аг=г1—1 мы уже имеем уравнение A45); следовательно, по крайней

§ 456 V. ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИЯХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 27&
мере одно из чисел а2, ... , а„ будет отлично от нуля. Если, напри-
например, а2]>0, то мы имеем:
«I, «» °n__ »1+1. »i—1 »п A47)
и правая часть есть производная по х2 от одной из вспомогательных
неизвестных функций. Уравнения A45), A46), A47) образуют нормаль-
нормальную систему уравнений первого порядка. Начальные условия, которым
•должны удовлетворять интегралы этой новой системы, непосредственно
вытекают из начальных условий, наложенных на первоначальную систему
A43) в связи с функциями A44), и ясно, что целые ряды, получаю-
получающиеся для интегралов zlt г2, ... , zp новой системы, будут тождественны
с целыми рядами, получающимися для интегралов данной системы. Сле-
Следовательно, эти ряды — сходящиеся в области точки (д,, а2, , ап)
(см. § 386).
Например, уравнение второго порядка r=f(x, у, г, р, q, s, t) можно заме-
заменить системою трех уравнений первого порядка нормального вида:
Ьг др ( др да\ Ьа др
Г" — Р, , =) |*>Л*|СИ>. . ^ I . Г- С- ¦
ох ох \ ду ду/ ох ду
Если при х = Хо должно быть г = <р (у), v- = Ф (у), то' интегралы вспомога-
вспомогательной системы должны обращаться при х = х9, соответственно, в функции
<рСу)> Иу), ?'¦(>)• :
Эта общая теорема не дает ответа на все вопросы, которые можно
предложить относительно существования интегралов произвольной сис-
системы уравнений в частных производных, так как она применима только
к системам рассмотренного нормал^ого вида. Что касается самых об-
общих систем, то им посвящено весьма много работ, из которых бол(.е
новые, принадлежащие Трессу (Tresse), Рикье (Riqurer), Делассю (Dolas-
sus), привели к общему решению следующего вопроса: дана система т
уравнения в частных производных любого порядка с любым числом незави-
независимых переменных и неизвестных функций; найти, имеет ли эта система ин-
т грааы, и в случае утвердительного ответа выяснить, от каких произ-
произвольных и постоянных или функций эти интегралы зависят *.
Исследования этих ученых показывают, чю всякое уравнение в част-
частных производных любого порядка, левая часть которого есть аналити-
аналитическая функция входящих в нее аргументов, имеет бесконечное множество
аналитических интегралов, но мы не можем, вообще, утверждать, как
для обьисновенных диференциальных уравнений (§ 387), что все его
интегралы суть аналитические функции независимых переменных. Выше мы
уже видели (§ 447, выноска) что это не верн > даже для уравнения
первого, порядка. Впрочем,, в последнем нетрудно убедиться и из эле-
элементарного примера, представляемого уравнением р=0, общий интеграл
которого есть совершенно произвольная функция от у.
;- Исследования ' Рикье собраны им в его сочинении „Sur les sistemes d'equattons au" d?-
rivees partieiles A910).

280 ГЛАВА ХХ1Г. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 45S
Метод исчисления пределов неприменим к нецналитическим уравне-
уравнениям. Рассмотрим, например, уравнение
Р + Я/(х, у) = 0, A48>
где /(х, у) есть функция непрерывная, но не аналитическая, удовлетво-
удовлетворяющая условию Липшица относительно переменного у. Выше было
доказано (§ 388—391), что при этом диференциальное уравнение харак-
характеристик
%=tix, у) A49)
имеет бесконечное множество интегралов, зависящих от произвольного
параметра С. Но, чтобы заключить отсюда, как это было сделано в § 392,
что существует интеграл уравнения A48), следовало бы прежде доказать,
что все интегралы уравнения A49) определяются соотношением <р (дг, у) = С,
где функция Ц1 имеет непрерывные производные первого порядка. Мы
возвратимся к этому вопросу в следующем томе.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Пусть задана система трех взаимно перпендикулярных осей OX, OY, OZ и
прямая Д в плоскости XY, параллельная ОХ. Из некоторой точки М простран-
пространства опускается перпендикуляр МР на Д и перпендикуляр МО на OZ. Соста-
Составить общее уравнение тех поверхностей S, у которых касательные плоскости
в любой точке М проходили бы через середину соответствующего отрезка PQ.
Найти также уравнения тех поверхностей S, касательные плоскости в любой
точке М которых будут параллельны соответствующему отрезку PQ, и доказать,
что существует бесчисленное множество (зависящее от двух произвольных пара-
параметров) развертывающихся поверхностей требуемого вида.
2. Найти общее уравнение поверхностей, пересекающих ортогонально шары,
представляемые уравнением:
х* + У2 + z2 + 2<*z = 0.
где а — переменный параметр.
Вывести из полученного результата несколько тройных ортогональных систем
поверхностей.
3. Найти уравнение в частных производных поверхностей, описываемых по-
подвижною прямою, пересекающею данную прямую под данным углом. Проинтегри-
Проинтегрировать полученное уравнение. .
4. Дана плоскость Р и точка О на этой плоскости; найти общее уравнение
всех поверхностей, имеющих то свойство; что если через каждую точку т
одной из них мы проведем нормаль тп, пересекающую плоскость Р в точке я, и
еще Проведем перпендикуляр тр к этой плоскости, то площадь треугольника Опр
будет равна данному постоянному.
5. Та же задача при условии, что угол пОр — постоянный.
6. Найти все поверхности, удовлетворяющие условию:
где X — данное постоянное, О — начало1 координат, т — какая-нибудь точка на
одной из этих поверхностей, р -~ основание перпендикуляра, опущенного из О
на касательную плоскость в¦ точке т, и п — след нормали на плоскости хОу.
7. Найти общее уравнение таких поверхностей, что если через точку т
одной из них провести нормаль тп до пересечения с плоскостью хОу, то длина
тп будет равна расстоянию On.

§ 456 V. ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИЯХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 28Г
8. Найти интегральные поверхности уравнения
xyftp + x*yq =
Определить произвольную функцию таким образом, чтобы характеристик*
образовали семейство асимптотических линий интегральных поверхностей, и наш»,
ортогональные траектории полученных поверхностей.
9. Дано семейство кривых двойной кривизны (Г):
х* + 2у*=а&, х* + у* + z* = bz,
где а и b — переменные параметры.
1° Доказать, что эти кривые суть ортогональные траектории ..некоторого-
семейства поверхностей (S), зависящих от одного параметра.
2° Найти линии кривизны этих поверхностей (S).
Ъ° Показать, что эти поверхности входят в состав тройной ортогональной»
системы, и найти два другие семейства этой системы.
10. Составить уравнение в частных производных, имеющее полный интеграл.
у* (jf2 — aj __ (г _j_ ftj2f и проинтегрировать это уравнение.
И. Найти такие поверхности, чтобы отрезок тп нормали, заключенный',
между поверхностью и точкою п пересечения нормали с данною плоскостью Р,
проектировался на эту плоскость отрезком постоянной длины.
12. Пусть будет п точка, в которой нормаль в точке т к поверхности пере-
пересекает плоскость хОу. Найти такие поверхности, чтобы прямая On была*
параллельна касательной плоскости в точке т:
13. Найти поверхности, пересекающие под данным углом V все плоскости^
проходящие через данную прямую. Показать, что характеристики суть линии
кривизны интегральных поверхностей.
14. Показать, что интегральные кривые уравнения в частных производных,,
имеющего полный интеграл
A — а*) х + k A + д2) z + Чау + b = 0,
где а и b — произвольные постоянные, удовлетворяют соотношению:
15*. Всякая интегральная кривая уравнений в частных производных
F(x, у, z, р, д) = 0,
касающаяся в точке М образующей G конуса (Г) с вершиною в точке М, имеет
прикосновение второго порядка со всякою интегральною поверхностью, касаю-
касающеюся в М плоскости, касающейся конуса (Г) по образующей D.
[Софус Ли.]
16. Из точки М поверхности S опушен перпендикуляр МР на неподвижную
прямую 00'; затем из точки Р опущен перпендикуляр PN на нормаль к поверх-
поверхности S в точке М. Найти такие поверхности S, чтобы длина MN была равна
данной постоянной длине а.
Рассмотреть, в частности, тот случай, когда поверхности S будут геликоидами
с осью ОО1.
17. Определить общий вид таких функций F(x, у, z, p, q), чтобы дифереи-
циальные уравнения характеристик уравнения F=zQ имели интегрируемую ком-
комбинацию d ( — J = 0.
Приложение. Найти такие поверхности S, чтобы расстояние от каждой
точки М одной из них до плоскости хОу было равно расстоянию от точки О до
касательной плоскости к этой поверхности в точке М.
18. Дано уравнение в частных производных
, A)
де Р, Q, /?, S, Т зависят только от переменных х и у; доказать, что ангармоии-

282 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 456
ческое отношение и каких-нибудь четырех частных интегралов уравнения (^удо-
(^удовлетворяет уравнению:
pdu+Qd»=0.
Ьх ду
Зная четыре частные интеграла г,, zb z3, г4 уравнения (I), можно л t
вывести из них общий интеграл?
19. Параллельные поверхности. Пуаь будет 8 (дг, у, z) интеграл
уравнения
доказать, что уравнение в(х, у, z) = C представляет в прямоугольных координа-
координатах семейство параллельных поверхностей.
Отв. Уравнение (Е) имеет полный интеграл:
9 = У(х — аJ + {у— 6J + (г - cf;
мы получим общий интеграл, разыскивая огибающую шара с радиусом, равным 8,
центр которого описывает поверхность или линию. Ясно, что, изменяя радиус 9,
мы получим семейство параллельных поверхностей.
Обратно, чтобы уравнение и(х, у, z) — C представляло семейство парал-
параллельных поверхностей, необходимо и достаточно (гл. XVIII, упражнение 10), чтобы
ы(дг, у, z) удовлетворяло уравнению вида:
которое можно привести к вид\г (Е\ полагая б = «J* («).
20. Чтобы dz + A dx 4- В dy имело интегрирующий множитель, не зависящий
от z, необходимо и достаточно, чтобы это выражение имело вид:
dz + z d<? + ё-v dif,
где » и iji — функции от дг и j/
21. Применить метод Бертрана (§ 442) к уравнению Р dx + Q dy -\- Rdz = 0,
где Р, Q, R суть линейные функции от х, у, г, удовлетворяющие условию инте-
интегрируемости.
22. Дана вполне интегрируемая система вида-
q dy,
dp = (atp + a.2q + a3z) dx + {c{p + c2q -+¦ c3z) dy,
dq = (с^ + c$g + c3z) dx + (b{p + btq 4 b3z) dy,
a,, bj, С; — функции от х, и у; показать, что общий интеграл имеет вид:
где 2lf 22, z3 — три линейно независимых интеграла, и Ct, C2, С3 — произвольные
постоянные *. . .
23. Найти необходимые и достаточные условия того, чтобы уравнения
г=/,(дг, у), 5=/2(дг, у), t=f3(x,y) были совместимы.
Приложение. Найти, какому условию должны удовлетворять функции
А (дг, у), В(х,у\ С(х, у), чтобы интегральные кривые диференциального "урав-
"уравнения A dx* 4- 26 dx dy + С dy* = ОЛлли проекциями на плоскость хОу семейства
асимптотических линий некоторой поверхности.
24. Проинтегрировать систему:
(дг — а) (рх + ЯУ — 2г) — (z — с) (р — дг),
(у — Ь) (рх + qy —2z) = (z — c) (q —у),
где а, Ь, с — постоянные.
* An пел ль, Journal de Uoaville, 3-я серия, т. VIII. стр. 192.

<> 456 V. ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИЯХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 283
25. Пусть S — поверхность, огибающая сферы Z, представляемые в прямо-
прямоугольных координатах уравнением (дг — "У-\-(у—РJ-|- 22 = /?2, где а и (!—два
переменных параметра, R — функция этих параметров.
1° В точке М, где сфера S. соответствующая значениям а, р параметров,
касается огибающей поверхности S, проведена нормаль, встречающая координат-
координатные плоскости, z = 0, х = 0, у = 0, соответственно, в точках А, В, С. Выразить
отрезки АВ, АС в функции от /?, —, —, приняв за положительное направле-
направлена dp
ние нормали то, которое идет от А "к М.
2° Доказать, что можно всегда определить квадратурой . все поверхности S,
для которых между отрезками АВ, ВС и R существует соотношение произволь-
произвольной формы F (ЛВ, ВС, /?) = 0.
3° Каким условиям должны удовлетворять две функции ?(/?) и <f(#), чтобы
существовала поверхность S, для которой АВ= и(/?), ЛС = ф(/?)?
4° В частности, определить поверхности S, для которых АС = Я-\~а,
ABz=m(R-\-a), а и т — постоянны, и указать геометрический способ их
образования.

УКАЗАТЕЛЬ*
(Цифры обозначают страницы настоящего полутома.)
Абеля теорема 33
Алгебраические критические точки 173,
182, 195, 197
Альфан (Jialphen) 119
Альфана метод 11
Аналитическая теория диференциаль-
иых уравнений 180
Аналитические диф. уравнения 81, 180
Аналитические поверхности 28, 29
— функции 28, 71
имеющие разрезы 195
Аналитический вид интегралов 136
Аналитическое продолжение интегралов
107, 180, 181
Аналогия с алгебраич. уравнениями 118
Антомари (Antomari) 242
Аппелль 47
Аппелля теорема 47, 119, 149, 282
Бернулли уравнение 17
Бертран 47
Бертрана метод 229, 230
Бесконечно малые преобразования 97
Бесселя уравнение 131, 145, 169
Врио и Буке 51. 65, 173, 175, 176, 178,
192
Буль 210
Буницкий 50
Бутру 196
Вейерштрасс 51
Вейерштрасса элементарные делители
Вихревой вектор 230
Вихрей поверхность 230
Вихря линия 230
Вполне интегрируемая система (урав-
(уравнений) 57, 222, 242
Вронского определитель 108, 133
Вспомогательный параметр 43, 44
Высших порядков уравнения 39, 194,
272
Галуа 119
Гамбье (Gambier) 196
Гарнье (Gamier) 196
Гаусса уравнение 143
* Подробный именной и предметный указа-
указатель ко всему .Курсу математического анализа"
Гурса будет дан в конце Ш "тома.
Гедрик (Hedrick) 251
Геликоид 218, 241
Геометрическое представление 76
Гипергеометрический ряд 144
Группа непрерывная с одним парамет-
параметром 92
— переносов 95
— продолженная 99
Группы инвариант 98, 99
— подобные 93
Гурса 79, 89, 170, 171, 206, 259
Даламбера метод 126, 129
Дарбу 47, 51, 85, 120, 203, 236, 249
— теоремы 34—36
Движение несжимаемой жидкости 90, 92
Двоякопериоднческие функции 148
Делассю (Delassus) 279
Делитель общий наибольший 118
Диксон (Dixon) 50
Диференциал полный 25, 26
Диференциальное уравнение (см. урав-
уравнение)
Задача Коши 242
Звезда 73
Изменения постоянных метод 112
Изолированное решение 201
Инвариант группы 98, 99
Инвариантность 89
Инварианты интегральные 89,
Инволюция — системы в инволюции 267
Интеграл общий 9, 29, 31, 33, 34, 36,
37, 42, 44, 47, 63, 65, 67, 82, 87, 108,
122, 126,185, 215, 224, 235, 238, 275
— особые точки 71, 180
подвижные и неподвижные 181
— особый 23, 33, 50, 83, 196, 200,
202, 203, 206, 207, 222, 234, 236, 251,
266
— первый 81, 83
— полный 233, 234,238, 254, 255. 266
огибающая 244
— правильный 59, 61, 62, 135, 138
— разложение в ряд 51, 52, 79, 247,
278
— расширение понятия 259
— сходимость 57
— частный 9, 26

УКАЗАТЕЛЬ
285
Интегральная кривая 9, 66, 67, 83, 86,
164, 173, 178, 199, 208, 253
Интегральная поверхность 216, 225, 234,
242, 243, 244, 246, 251, 253, 254
Интегральное уравнение 67, 68
Интегрируемое сочетание уравнений 84
Интегрируемости условие 223, 227, 228,
230, 232
Интегрирующий множитель 25, 29, 30,
36, 49, 63, 87, 89, 102, 119, 228
Исключение постоянных 9
— произвольных функций 272
Исчисление пределов 51, 55, 71, 280
Каналов поверхности 276
Канонический вид 135, 163
Квадратичная форма 28
Клебш 262
Клеро уравнение 23, 47, 49, 203, 209,
Ковалевская 51, 276
Ковариант 84
Комплекс 254, 255
Конгруэнция 206, 217, 221, 226, 255
— лучи 209
— характеристическая 219
Коноид 217
Конформное отображение 28, 29
Коттон 70
Коши 40, 51, 52, 67, 73, 132, 253
— задача 242
— Липшица метод 73, 79
— метод 112, 113, 245, 253, 256
— теорема 172, 182, 193, 196, 200,
215Т 244
— условия 212
Кремоны преобразование 196
Кривая интегральная (см. инт. кривая)
— предельная 77
— уникурсальная 24
Лагерр 119
Лагранж 47, 49, 112, 119, 201, 210, 233,
234, 236, 254
— и Шарпи, метод 237, 247, 271
— уравнение 22, 202
Лакруа 40
Лакур 149
Ламе урэвнение 149
Лапласа .уравнение 129, 132
Лежандр 194
— нормальная форма многочлена 33
— полином 117
—преобразование 22
Лейбница формула 122
Ли Софус 49, 92, 103, 259, 281
Линделёф 67, 103
Линейно зависимые функции 108
Линейное уравнение (см. уравне-
уравнение)
Линейчатые поверхности 274
Линии 'и поверхности характеристи-
характеристические 216, 221, 245, 246, 248, 251,
254, 256
Линии кривизны эллипсоида 47
Линия вихря 230
Липшиц 73
— -Коши метод 73, 79
— условие 73, 76, 280
Лиувилль 85
Логарифмическая спираль 176Ч
Лучи конгруэнции 209
Ляпунов 154, 167
Майера метод 226
Мерей 51
Меоа Альфана 11
— Бертрана 229, 230
— Даламбера 126, 129
— изменения постоянных 112
— Коши 112, 113, 245, 253, 256
— — -Липшица 73, 79
— Лагранжа и Шарпи 237, 247, 271
— Майера 226
— последовательных приближений 67
— Якоби 271
Многочлен сопряженный 120
— 3-й и 4-й степени 30, 31, 33, 192
— характеристический 122
Множитель 87
— интегрирующий (см. интегрирующий
множитель)
Монж 47
Муаньо 73, 210
Наибольший делитель общий 118
Начальные значения особые 172
Независимые уравнения 260
Неподвижные особые точки 181
Непрерывная группа с одним парамет-
параметром 92
Несжимаемой жидкости движение 90,92
Нильсен 146
Нормальная система уравнений 1-го по-
порядка 279
— форма многочлена Лежандра 33
Нулевого рода соотношение 24, 185
Общая теорема существования 276
Общий интеграл (см. интеграл общин)
— наибольший делитель 118
Огибающая интегральных кривых 201,
202, 206, 245
— поверхностей 235, 236, 275
— полных интегралов 244
— характеристических линий 253
Однородное уравнение 13, 38, 95
Однородные, линейные системы 259
— функции 35
Определитель Вронского 108, 133
— Якоби 67, 208, 214, 228, 238, 259,
260, 269, 271
Определяющее уравнение 142

286
УКАЗАТЕЛЬ
Орик (Aimc) 121
Ортогональные траектории 37, 48, 218,
221, 226
— диференциальное уравнение 38
Особые начальные значения 172
— точки интегралов 71, 180
линейного диференциального урав-
уравнения 105, 127
Особый интеграл (см. интеграл особый)
Отображение конформное 28, 29
Параболические цилиндры 240
Параболоиды 240
Параллельные поверхности 282
Пенлеве 65, 79, 182, 195, 211
Первого рода соотношение 24
Первый интеграл 84, 83
Переменных разделение 12, 240
Пикар 65. 67, 79, 119, 176
Пикара уравнение 147
Поверхностей огибающая 235, 236, 275
Поверхность аналитическая 28, 29
— вихрей 230
— интегральная (см. интегральная по-
поверхность)
— каналов 276
— линейчатая 274
— развертывающаяся 204, 237, 252,
253, 256
— характеристическая 248
— тетраэдральная 49
-фокальная 206, 207
Подвижные критические точки 184
— особые точки 181
— полюсы 185
Подобные семейства окружностей 48
— сети 48
Полином Лежандра 117
Полная система 262
Полный интеграл 233, 234, 238, 254,
255, 256
Полных интегралов огибающая 244
Понижение порядка уравнения 42, 114
Последнего множителя принцип 89
Последовательных приближений метод
67
Построение интегральной кривой 178
Правильный интеграл 59, 61, 62, 135,
138
Предельная кривая 77
Преобразование Кремоны 196
— Лежандра 22
— тождественное 93
Приближенное интегрирование дифе-
ренциальных уравнений 70
Приводимые системы 166
Приращений конечных формула 69, 70
Пространственной упругой кривой ди-
диференциальное уравнение 104
Пуанкаре 89, 131, 154, 176, 179, 192
Пуассона скобки 233
— тождество 271, 272
Равносильная система 263 Л
Развертывающаяся поверхность 204,237 i
252, 253, 256
Разложение интеграла в ряд 51, 52, 79
277, 278, '
Расширение понятия интеграла 259
Раффи (Raffy) 50
Ребро возврата 206, 253
Риккати уравнение 18, 85, 116, 147,
159, 169, 171, 184, 186, 192, 195 ¦>"
Рикье (Riquier) 51, 279
Руке (Rouquet) 48
Ряд гипергеометрический 144
Седловина 179
Семейство подобных окружностей 48
-шаров 237, 254
Серре 210
Сети подобные 48
Система в инволюции 267
— диференциальных уравнений 63, 67,
84, 100, 103
— линейных диференциальных уравне-
уравнений 55, 56, 71, 73, 154, 159
— приводимая 166
— фундаментальная 107, 134, 155
— якобяева 263, 272
Скобки Пуассона 233
— (и, v) и [и, v) 231
Соваж 136
Соотношение нулевого рода 24, 185 ¦
— первого рода 24
Сопряженная система 158
Сопряженное уравнение 119
Сопряженный многочлен 120
Спираль логарифмическая 176
Стильтьеса форма интеграла уравнения
Эйлера 32
Стокса формула 230
Сходимость разложения интеграла 57
Таннери 143
Теорема Абеля 33
— Аппелля 47, 119, 149, 282
— Дарбу 34—36
— Коши 172, 182, 193, 196, 200, 215, 24* :
— существования 51 *¦ • -
общая 276
— Фукса 138
— Штурма 116
Теория диференциальных уравнений ¦
аналитическая 180
Тетраэдральная поверхность 49
Тождественное преобразование 93
Точка 59
Точки возврата интегральной кривой199,••
205
Точки фокальные 206
Траектория 98
— ортогональная 37, 48, 218, 221, 226
Тресс (Tresse) 279
Тэйлора формула 40, 152

УКАЗАТЕЛЬ
287
Узел 179 .
Уникурсальная кривая 24
— уравнение 185
Уравнение асимптотических линий 204
— Бернулли 17
—:Бесселя 131, 145, 16Э
— ъ полных диференциалах 56, 222,227,
— 229
— в частных производных 25, 63, 82,
83, 101, 180, 196, 212, 221, 233, 237,
245
— высшие порядков 39, 194, 272
— Гаусса 143
'— интегральное 67, 68
— Клеро 23, 47, 49, 203, 209, 222, 236
—конических сечений 11
— Лагранжа 22, 202
— Ламе 149
— Лапласа 129, 132
— линейное 15, 26, 87, 96, 102, 119
без правой части 111
неоднородное 111
однородное 107, 114, 116
особые точки 105, 127
с периодическими коэфициентами
с постоянными коэфициентами 121,
132
справой частью 111,115
— однородное 13, 38, -95
— ортогональных траекто ий 38
— пространственной упругой кривой 104
— развертывающихся поверхностей 276
— Риккати (см. Риккати уравнение)
— сопряженное 119
— уникурсальное 185
—характеристик 280
— характеристическое 122, 134, 150, 166
— Эйлера 29, 33, 34, 47, 49, 192, 202
— Якоби 17, 18, 37, 164
Уравнение F(x,y') = 0, F(y',v') — 0 24
Уравнение "Уп = t(x) 39
Уравнение у' == R(x, у) 181
Уравнение dz = A dx + В dy 222
Уравнение Рйх 4- Qdy + R dz = 0- 227
Уравнения интеграл (см. интеграл)
— независимые 260
— понижение порядка 42, 114
— порядок 10
— приближенное интегрирование 70
— частное решение 25, 26
Условия интегрируемости 223, 227,
228, 230, 232
— Кошн 212
— Лилвяца 73, 76, 280
Уэль 210
Флоке (Floquet) 147, 154'
Фокальные точки 206
Фокус 179
Формула конечных приращений 69, 70
— Лейбница 122
— Стокса 230
— Тэйлора 40, 152
Фукс 192
— теорема 138
Фундаментальная система 107*"Ю4, 155
функции аналитические 28, 71
имеющие разрезы 195
— линейно зависимые 108
— эллиптические 24, 25, 29, 46, 85,
191
Характеристическая развертывающаяся
поверхность 248
Характеристические конгруэнции 219
— линии (характеристики) 216, 221, 245.
246, 248, 251, 254
— показатели 151, 152
Характеристический многочлен 122
Характеристических линий огибающая
Характеристическое уравнение 122, 150
Центр 179
Циклоида 47
Циссоида -212 '
Частное решение уравнения 25, 26
Частный интеграл 9, 26
Шази (Chazy) 196
Шаров семейство 237, 254
Шарпи и Лагранжа метод 237,247, 271
Шлемильх 210
Штурма теорема 116
Эйлер 25, 121
Эйлера уравнение 29, 33, 34, 47, 49, 192,
202
Элемент 248, 256
Элементарные делители Вейершярасса
136
Эллипсоида линии кривизны 47
Эллиптические функции 24, 25, 29, 46.
85, 191
Эрмит 104, 150, 169, 192, 276
Якоби 31, 87, 89
— метод 271
— определитель (см. определитель
Якоби)
— уравнение 17, 18, 37, 164
Якобиева сис.ема'263, 272