Министерство образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ОБЩЕЙ ФИЗИКЕ
Часть [.МЕХАНИКА
Издание 2-е, переработанное и дополненное
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качеств© учебного пособия
Под редакцией Э.Б. Селивановой
НОВОСИБИРСК
2000
УДК 53(076.1)
С 232
Рецензенты:
А.Н. Тюшев, канд. физ.-мат. наук, проф. каф. физики СГГА,
В.Я. Чечуев, канд. техн, наук, доц. кафедры общей физики
НГТУ
Работа подготовлена на кафедре общей физики
для студентов I-II курсов АВТФ, ФЛА, ФАМ, ФАЭМС,
ФПМ
дневной и вечерней форм обучения
Селиванова Э.Б., Шорохова М.А.
С 232 Сборник задач по общей физике: Учеб, пособие. - Новоси-
бирск: Изд-во НГТУ, 2000. - Ч. 1. Механика. - 80 с.
Учебное пособие «Сборник задач по общей физике предназначено для
студентов технических университетов. Сборник содержит задачи по четырем
темам раздела курса общей физики «Механика».
Совместное использование задачника н специально разработанных мето-
дических указаний к решению задач позволяет организовать любые формы обу-
чения и применять на практических занятиях, для индивидуальных расчетно-
графических заданий, на коллоквиумах н для самостоятельного изученна курса
физики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
ПРЕДИСЛОВИЕ...............................................4
1.	Тема: Кинематика поступательного и вращательного
движения материальной точки.....^......................  б
Задачи 1.1	-	1.20 ...................................6
Задачи 1.21	-	1.40....................................9
Задачи 1.41	-	1.60...................................12
Задачи 1.61	-	1.80...................................14
Задачи 1.81 - 1.100............................,.....17
Задачи 1.101 -1.120..................................19
2.	Тема: Динамика материальной точки и поступательного
движения твердого тела................................  23
Задачи 2.1 -2.20.....................................23
Задачи 2.21 -	2.40...................................26
Задачи2.41 -	2.60...............................    29
Задачи 2.61 -	2.80...................................32
Задачи 2.81 -	2.100..................................35
Задачи 2.101 -2.120....................................39
3.	Тема: Динамика вращательного движения твердого тела ......43
Задачи 3.1 - 3.20 ....................................  43
Задачи 3.21 - 3.40...................................45
; Задачи 3.41	-	3.60...................................49
Задачи 3.61	-	3.80.................................  51
ЗадачиЗ.81	-	3.100................................  55
Задачи 3.101-3.120...................................58
4.	Тема: Законы сохранения импульса, энергии
и момента импульса....................................  61
Задачи 4.1	-	4.20 ................................  61
Задачи 4.21	-	4.40................................  64
1 -Задачи 4.41	-	4.60..................................66
Задачи 4.61	-4.80..................................  70
Задачи 4.81	-	4.100..................................73
Задачи 4.101 -4.120................  ,...............76
3
Предисловие
Создавая сборник задач, авторы стремились реализовать индивиду-
альную работу студентов.
Данный сборник задач соответствует учебной программе по курсу
общей физики в техническом университете.
Задачник охватывает 4 темы раздела курса общей физики «Меха-
ника».
1.	Кинематика материальной точки поступательного и вращатель-
ного движения твердого тела.
2.	Динамика материальной точки и поступательного движения
твердого тела.
3.	Динамика вращательного движения твердого тела.
4.	Законы сохранения импульса, энергии и момента импульса.
Во втором переработанном изданий учебного пособия «Механика»
пересмотрены выделенные ранее основные типы задач, изменена в
ряде тем их последовательность, а также по каждому типу увеличено
число задач до 20. И если в первом издании студентам предлагались
индивидуальные задания в «Иде готовых 18 вариантов по каждой теме,
то во втором - неограниченно расширяются возможности у преподава-
теля индивидуализировать работу студентов.
В данной работе каждый новый тип задач во всех темах отделен
свободным промежутком, нумерация задач сквозная (1 тип: с 1 по 20;
2 тип - с 21 по 40; 3 тип: с 41 по 60 и т. д.).
В новом издании учебного пособия авторами были учтены замеча-
ния коллег, внесены исправления, заменены и откорректированы тек-
сты и рисунки некоторых задач. От существующих вузовских задачни-
ков данный отличается тем:, что в нем:
1)	представлены задачи всех выделенных в данной теме типов;
2)	обязательно присутствуют задачи на развитие образных компо-
нентов мышления (графические задачи, при решении которых
зуегся перевод с «языка» формул на «язык» образов, и наоборд!
3)	задачи расположены с нарастанием сложности, а в КдМ
задача повышенной сложности.
Именно такое построение, как показывает каш опыт, позволяет
продуктивно работать студентам различного уровня подготовленно-
сти.
В сборнике не приводятся решения задач и не даются ответы, так
как задачник предполагается использовать также на контрольных ме-
роприятиях: коллоквиумах, экзаменах.
На текущих же занятиях преподаватель выдает лист ответов по
данной теме и каждый студент может проверить правильность своего
ответа.
Наиболее эффективно следует использовать этот задачник со спе-
циально подготовленными для него методическими разработками:
1. Кинематика/ Методические указания к решению задач в курсе
общей физики/ Сост. Селиванова Э.Б., Чечуев В.Я., Родникова Л.М. ~
Новосибирск, 1990.
2. Динамика материальной точки и поступательного движения
твердого тела, динамика вращательного движения твердого тела, зако-
ны сохранения импульса, энергии й момента импульса. / Сост. Сели-
ванова Э.Б., Чечуев В‘Я, Метод, указания к решению задач в курсе
общей физики.-Новосибирск, 1990.
В названных работах в краткой наглядной форме ( в виде таблиц и
блок-схем) изложена теория, дана классификация задач, их алгоритмы,
а также примеры решения задач всех типов, выделенных в данной
теме.
На основе этих примеров могут быть решены и задачи вариантов.
Сочетание указанных методических разработок и сборника задач
позволяет организовать любые формы обучения и использовать как на
практических занятиях, так и для самостоятельного изучения физики.
Канд. пед. наук, доцеит,
чл.-кор. МААЙ'	Э.Б. Селиванова
5
1. Тема: Кинематика поступательного и вращательного
движений матеральиой точки
• 1.1- Дан график зависимости координаты
частицы от времени. Изобразите графики
зависимости скорости, ускорения и
пройденного пути для этой частицы от
времени. Участки 1 и 2 - параболы. Дви-
жение прямолинейное.
» 1.Х На рисунке показана зависимость
скорости тела от времени. Изобразите
трафики зависимости координаты, пути и
ускорения этого тела от времени (х(0) = О,
Уу=У* = $).
•	1.3. Изобразите трафики зависимости
скорости и координаты тела от времени,
соответствующие данному графику
зависимости ускорения этого тела от
времени. Тело движется прямолинейно,
начальные условия: х(0) = О, К(0) = 0.
•	1.4. Тело движется прямолинейно так, что
его координата меняется во времени
указанным образом. Участки 1 и 2-
- параболы. Изобразите трафики зави-
симости скорости, пути и ускорения тела от
времени.
•	1.5. На рисунке показана зависимость
скорости тела от времени. Изобразите
графики зависимости коород^ы, цуги и
ускорения этого тела от времени (х(0) » 0,
Г<Гх = 0).
। *
я
к'
•	1.6. Дан график зависимости ускорений
двух тел от времени. Изобразите
зависимость координаты, пути и скорости
от времени. (Начальные условия: xOi = *02 >
0; К01 = Коз > 0.) Тела движутся прямоли-
нейно.
•	1.7. На рисунке приведен график
зависимости ускорения тела от времени,
движущегося прямолинейно. Изобразите
графики зависимости скорости, коорди-
наты и пути, пройденного телом, от
времени.
•	1.8. Два тела движутся прямолинейно.
Графики зависимости их скоростей от
времени показаны на рисунке (параболы).
Сравните ускорения тел в момент времени
/i и пути, пройденные телами к этому вре-
мени. Изобразите графики зависимости
ускорений тел от времени.
•	1.9. На графике показана зависимость
скорости тела от времени. Изобразите
графики зависимости ускорения,
координаты и пути, пройденного телом, от
аремеии. Тело движется прямолинейно.
•	1.10. Изобразите зависимость скорости
тела от времени, если график ускорения
этого тела имеет вид, представленный на
рИСунке (Оу = аг = 0). Сравните скорости
тела в моменты времени h и t2.
•	1.11. Дай график зависимости
координаты частицы от времени,
состоящий из двух участков парабол.
Изобразите графики пути, скорости и
ускорения частицы от времени, (у = 0; z ~ =
0.)
6
•	L12. Изобразите графики зависимости
ускорения тела, координаты тела и пути,
пройденного телом, от времени,
$ соответствующие данной зависимости
скорости этого тела от времени. Движение
прямолинейное, х(0) = 0.
•	1.13. Два тела движутся вдоль оси х.
Графики зависимости координат от
времени показаны на рисунке (параболы).
Изобразите зависимости скоростей и
ускорений этих тел от времени. Сравните
пути, пройденные телами, к моменту их
встречи.
•	1.14. Дан график зависимости ускорения
частицы, движущейся прямолинейно, от
времени. Изобразите графики зависимости
скорости, координаты и пройденного пути
частицы от времени. (Начальные условия:
х(0)ж0, И{0) = 0; ^ = ^=0.)
•	1.15. Дан график зависимости ко-
ординаты частицы от времени, состоящий
из параболы (от 0 до f() и прямой.
Изобразит^ графики зависимости пути,
скорости и ускорения частицы от времени.
Движение прямолинейное.
•	1.16. Нд графике показана зависимость
скорости тела от времени. Изобразите
графики зависимости пути, координаты и
ускорения теда от времени. Тело движется
прямолинейно.
•	1.17. Дан график зависимости ускорения
двух тел от времени. Изобразите график
зависимости координаты, пути и скорости
частицы от времени. Тела. ЖВДкуТся
прямолинейно. (Начальные усд^рвия: -
= хоз = 0; Гт ~ ^2 ~ 0.)
8
•	1.18. Дан график зависимости скорости
тела от времени. Изобразите графики
зависимости координаты, пути и ускорения
от времени Движение прямолинейное, ХО)
= 0
•	1.19. Дан график зависимости координаты
тела от времени. Все участки 1,2,3 -
параболы. Изобразите графики зависимости
скорости, ускорения и пути тела от времени.
•	1.20. На рисунке показана зависимость
скорости от времени для двух тел. Изобра-
зите графики зависимости ускорений и ко-
ординат этих тел от времени. Сравните пу-
ти, пройденные телами к моменту времени
t == 3,0 с. Сравните ускорения тел в этот мо-
мент времени.
• 1.21. Движение материальной точки описывается уравнением S' -
~ At4 + Bt2 + С, где А - 1,0 м/с4, В = 2,0 м/с2, С = 7,0 м Найдите ско-
рость и ускорение точки в момент времени t = 2,0 с и среднюю ско-
рость за первые 2,0 с движения.
• 1.22. Движение материальной точки задано уравнением х = Л? + Bt +
+ С, где А = 2,0 м/с2, В = 4,0'м/с, 0 5,0 м Найдите для этой точки:
а) мгновенную скорость в начале и в конце второй секунды; б) сред-
нюю скорость движения за вторую секунду; в) мгновенное ускорение в
начале и в конце третьей секунды.
? 1.23. Частица движется со скоростью V - Д>-/(27+3}+4Л), где Ао -
=* 2,0 м/с2. Найдите'. а) модуль скорости частицы I VI в момент времени
t 1,0 с; б) ускорение частицы а и его модум I а\; в) путь S, прой-
денный частицей, за время от 2,0 с ю 3,0 с. Каков характер движения
частицы?
1
• 1.24,,, Радиус-вектор частицу определяется выражением
r=At21 +(С+5/2)7, где А = 3,0 м/с2, В - 4,0 м/с2, С = 2,0 м. Вычислите:
9
а) путь, пройденный частицей за первые 10 с движения; б) модуль пе-
ремещения! Аг| за то же время. Объясните полученные результаты.
•	1.25. Зависимость пройденного телом пути от времени дается урав-
нением S == А - В t + С Л, где А = 6,0 м, В = 3,0 м/с, С = 2,0 м/с2. Най-
дите среднюю скорость и среднее ускорение в интервале времени от
1,0 до 4,0 с.
•	1.26. Тело движется по прямой согласно уравнению х = A t + В где
А = 6,0 м/с, В = - ОД 25 м/с3. Определите среднюю скорость движения
тела в интервале времени от 2,0 с до 6,0 с.
•	1.27. Частица движется со скоростью V-Ai+Btj+Ct2k, где
А = 1,0 м/с, В = 2,0 л//с2, С == 3,0 м/с*. Найдите: а) перемещение частицы
за первые две секунды ее движения; б) расстояние частицы от начала
координат в момент времени t = 2,0 с; в) модуль скорости в этот мо-
мент времени.
•	1.28. Радиус-вектор точки А меняется со временем по закону
г- В t i-C t2 - j, где В и С - положительные константы, i и j -
орты осей х и у. Найдите: а) уравнение траектории точки у(х); б) зави-
симость от времени вектора скорости V (t), ускорения a (t) и модулей
этих величин, т.е. И(0 и о(г); в) средний вектор скорости < V > за пер-
вые t секунд движения и модуль этого вектора I < К > I.
•	1.29. Зависимость координаты тела от времени, движущегося прямо-
линейно, выражена уравнением х = х0 + к?, где к - положительная по-
стоянная. Найдите: а) среднюю скорость тела за третью секунду; б)
зависимость ускорения тела от времени ах (/).
•	1.30. Частица за время t = 10 с прошла полторы окружности радиу-
сом R - 5,0 м с постоянным тангенциальным ускорением ат = const.
Вычислите соответствующие этому промежутку времени значения: а)
пути S и модуля вектора перемещения I Ar I; 6) среднего модуля ско-
рости < V > ( или среднюю путевую скорость); в) модуль средней ско-
рости (< И >| (или модуль средней скорости перемещения). =
> к
•	1.31. Сравните средние скорости в двух случаях: а) если автомобиль
первую половину пути двигался со скоростью 60 км/ч, вторую - со
10
скоростью 40 км/ч; б) если автомобиль первую половину времени дви-
гался со скоростью 60 км/ч, вторую - со скоростью 40 км/ч.
•	1.32. Зависимость пройденного телом пути от времени дана уравне-
нием S = В t + С ? ± D t3, где В = 0,50 м/с, С = 0,14 м/с, D ~ 0,01 м/с3.
Через сколько времени после начала движения ускорение тела будет
равно 1,0 м/с2? Чему равно среднее ускорение тела за этот промежуток
времени?
•	1.33. Тело движется прямолинейно. Зависимость координаты от вре-
мени задана уравнением х = х0 - В t + С ? - D г3, где х0 = 2,0 м, В =
= 3,0 м/с, С = 5,0 м/<?, D = 1,0 м/с\ Найдите скорость и ускорение тела
в конце второй секунды.
•	1.34. Радиус частицы меняется со временем по закону г=Л/(1-аг)
где А и а - положительные постоянные. Найдите скорость и ускоре-
ние точки в зависимости от времени. Определите промежуток времени
At, по истечении которого частица вернется в исходную точку.
•	1.35. Компоненты скорости частицы изменяются со временем по за-
конам: = A cos(o) t), Vy = A sin(& t), V2 = 0, где А и to - константы.
Найдите модули скорости I К I и ускорения | а | и угол а между век-
торами скорости и ускорения. На основании полученных результатов
сделайте заключение о характере движения частицы.
•	1.36. Зависимость пройденного телом пути S от времени дается урав-
нением 8^ А + В t + С где А = 3,0 м, В 312,0 м/с и С = 1,0 м/с2. Най-
дите среднюю скорость и среднее ускорение тела за вторую и третью
секунды его движения.
•	1.37. Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону
r=3t4+2tj+lk - Найдите: а) зависимость скорости к(г) и ускорения
a(f) частицы от времени; б) модуль скорости I К I в момент времени
t~ 1с
•	1.38. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями:
X! = А । + Btt + С|?, где A i = 20 м, В^ = 2 м/с, - 4 м/с3; х2 = А2 +
+ В21 + С2 где Л2 = 2 м, В2 = 2 м/с, С2 = 0,5 м/с2, В какой момент
времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скоро-
сти и ускорения точек в этот момент?
11
•	1.39. Определите траекторию движения, скорость и ускорение мате-
риальной точки, координаты которой заданы уравнениями: х = Ак ? и
у = Ау Л где Ак = 4,0 м/с2, Ау = 6,0 м/с2. Найдите зависимость скорости
v частицы от времени.
•	1.40. Частица движется с ускорением a-Aii + Btj + Ск, где А =
- 2,0 м/с3, В - 4,0 м/с3, С ” 6,0 м/с2. Определите зависимость скорости
тела от времени	модуль.скорости! VI частицы в момент време-
ни t = 2,0 с, если в начальный момент времени t = 0 ее скорость была
Р0 = о.
’	1 е
•	4.41. Телб вращается равноускоренно с начальной угловой скоро-
стью со0 = 5,6 сх и угловым ускорением £ = 1,0 'с12 Сколько оборотов
сделает тело за t - 10 с?
•	1.42. Колесо йайийает вращаться равноускоренно и за пятую секунду
повернулось на угол ср = 20°. На какой уЬ>л оно Повернется за восьмую
секунду?	1	1
Ь 1.43. Точка движется по’бкружности радиусом R = 0,10 и с постоян-
ным тангенциальным ускорением. Найдите угловое ускорение точки,
если известно, что к концу пятого оборота после начала движения ско-
рость точки стала ^-0,79 м/с.	}
•	1.44. Сколько оборотов сделало тело, если частота увеличилась от
5,0 с* до 25 с’1? Угловое ускорение равно 2,0 с2.
•	1.45. На одном валу Насажены два колес# Диаметрами dv = 0,16 м и
d? =* 0,04 м, вращающийся с постоянными угловыми ускорениями е =
= 4,0 с2. Определите линейные скорости нд.рбоддх колес и угловую
скорость вращения в конце второй секунды после начала движения.
•	1.46. Уравнение вращения твердого тела ф = Аг3 + В/, где А = 2,0 с\
В ~ 3,0 с \ Определите угловую скорость to и углдвое ускорений в1 че-
рез г = 2,0 после начала движения.	г1^
• 1.47. Маховое колесо, спустя 1,0 «мин постю, начал авра<|(1ЖЙ! приоб-
ретает скорость, соответствующую частоте 720 о6/лодгиНайИ1вт& угло-
12
вое ускорение колеса и число оборотов колеса за эту минуту. Движе-
ние считать равноускоренным.
•	1.48. Вал вращается с постоянной скоростью, делая 180 об/мин.
С некоторого момента времени вал тормозится и вращается равноза-
медленно с угловым ускорением е = 3,0 с2. Найдите: а) через сколько
времени от начала торможения вал остановится; б) сколько оборотов
он сделает за это время.
•	1.49. Тело, вращаясь равноускоренно, повернулось на угол <р( за вре-
мя tb а за следующий промежуток времени t2 = оно повернулось на
угол ф2 Определите начальную угловую скорость и угловое ускоре-
ние.
•	1.50. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьши-
ло свою частоту за t - 1 мин с v, = 300 об/мин до v2 = 180 об/мин. Най-
дите угловое ускорение е и число оборотов У, сделанных им за это
время.
•	1.51. Камень, привязанный к веревке длиной I = 1,0 м , начинает
вращаться в вертикальной плоскости с угловым ускорением е = 2,0 с\
После двух оборотов веревка оборвалась, когда скорость камня была
направлена вертикально вверх. На какую высоту взлетит камень?
•	1.52. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте
v = 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамед-
ленно, сделал до остановки #= 75 оборотов. Сколько времени прошло
с момента выключения вентилятора до полной его остановки
>
•	1.53. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону ф = b\ t -
- b2 Л где Ь\ = 20 с1, Ь2 = 1,0 с2. Через какое время тело остановится и
сколько оборотов сделает до Остановки?
а/
•	1.54. Точка колеса, вращаясь с постоянным угловым ускорением,
повернулась последовательно на одинаковый угол тъ/4 первый раз за
вре^я = 1,06 с, д второй раз за h = 2,2 с. Найдите угловое ускорение
колеса.
я /.55. Колесо, вращаясь равноускоренно, сделало 180 оборотов за
вре^я t = 10 с после начала движения. Найдите угловое ускорение ко-
ц время, за которое частота вращения достигнет значения v =
= 6$) об/мин
13
•	1.56. Твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону ф =
b\t - b2t\ где Ь| - 6,0 с-1, 62 ~ 2,0 с . Найдите: а) среднее значение уг-
ловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t ~
0 до остановки; б) угловое ускорение в момент остановки.
•	1.57. Колесо* вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости
ш - 20 с' через - 10 об после начала вращения. Найдите угловое
ускорение колеса.
•	1.58. Точка радиусом Л = 1,0 м, вращаясь равнозамедленно, прошла
0,30 м за 5 с, а за следующие 5 с - путь 0,80 м. Определите начальную
угловую скорость и угловое ускорение.
•	1.59. К маховику, вращающемуся с частотой v « 360 мин\ прижали
тормозную колодку. С этого момента он стал вращаться равнозамед-
ленно с ускорением е - 2,0 с2. Сколько времени потребуется для его
остановки? Сколько оборотов маховик сделает до остановки?
•	1.60. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиу-
сом R “ 0,050 м с касательным ускорением ат - 0,50 м/<?. Чему равны
угловая скорость к концу 6-й секунды и сколько оборотов было сдела-
но точкой к этому моменту времени?
• 1.61. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол пово-
рота зависит от времени по закону ф = к  Д где к = 0,20 с 2. Найдите
полное ускорение точки на ободе колеса в момент времени t ~ 2,5 с,
если линейная скорость точки в этот момент равна 0,65 м/с.
• 1.62. Колесо радиусом R = 10 см начинает вращаться с постоянным
угловым ускорением е = 3,14 с’2. Найдите для точек на ободе колеса к
концу 1-й секунды после начала движения: а) угловую скорость со;
б) лилейную скорость К; в) тангенциальное ускорение аг ; г) нормаль-
ное ускорение а^, Д) полное ускорение о; е) угхц мёз^ду направление^
полного ускорения и радиусом колеса.
• 1.63. Точка движется но окружности радиусом Л - 4,0 м. Закон *её
движения выражается уравнением 5 = А' + В • где А = 8,0
= -2 ft м/с2. Определите Момент времени, когда нормальное
точки равно аа = 9,0 м/с2. Найдите скорость К, тангенцнальйдо ускоре-
ние аг и полное ускорение а в тот же момент времени.
14
• 1.64. Груз начинает опускаться с постоянным
ускорением а == 2,0 м/с2 и приводит в движение
ступенчатый вал с радиусами г = 0,25 м и R = 0,5 м.
Определите полное ускорение точки Л/ через 0,6 с после
начала движения.
•	1.65. Найдите во сколько раз нормальное ускорение точки, лежащей
на ободе вращающегося колеса, больше ее тангенциального ускорения
для того момента времени, когда вектор полного ускорения этой точки
составляет угол 30° с вектором ее линейной скорости?
•	1.66. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением 1,5 с2.
Через время t = 1,4 с после начала движения полное ускорение колеса
стало равным 0,81 м/с2. Найдите радиус колеса Л.
•	1.67. Какой угол составляет вектор полного ускорения точки, лежа-
щей на ободе колеса, с радиусом маховика в момент времени, когда
маховик после начала движения сделал 2 оборота.
•	1.6& Камень брошен горизонтально со скоростью Ио - 15 м/с. Най-
дите нормальное а„ и тангенциальное ат ускорение камня через 1 с по-
сле начала движения. Сопротивление воздуха яе учитывать.
•	1.69. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности ра-
диусом R = 4,0 н изменяется по закону = (А + В /)2, где А =
= 1,0 м™с *, В = 13 Л2. Найдите: а) тангенциальное ускорение точ-
ки; б) путь, пройденный точкой за время Л - 6,0 с после начала движе-
ния; в) полное ускорение в момент времени t2 - 1 с.
•	1.70. Тело иазысоте h бросили горизонтально со скоростью Ио. Через
какое время яормальное ускорение станет равным тангенциальному?
Чему раяен .радиус кривизны в этот момент времени?
•	1.71. Точка движется по окружностж радиусом R ~ 0,60 м с тангеици-
альнхм ускорением ат~ 10 м/с. Чеа^ равны нормальное и тайгбнвд-
альное ускорения в конце второй секунды после начайа движения?
Чему равен угол между векторами полного и нормального ускорений в
этот момент времени?
хмЦЗи С башни высотой h = 49 м в горизонтальном направлении бро-
шей* тяжелое тело со скоростью Ио - 5,0 м/с, Определите тангеици-
15
альное и нормальное ускорения тела в точке, соответствующей поло-
вине всего времени падения тела. На каком расстоянии от башни оно
упало?
•	1.73. Материальная точка движется по окружности диаметром D =
-= 40 м по закону S = 50 + А ? + В ? 4- Ct, где So = 8,0 м, А = 1,0 м/с3, В =
= 4,0 м/с2, С = -1,0 м/с. Определите пройденный путь, скорость, нор-
мальное, тангенциальное и полное ускорение точки через t = 2,0 с по-
сле начала движения.
•	1.74. Точка движется по окружности радиусом В = 0,20 м с постоян-
ным тангенциальным ускорением ат = 0,50 м/t?. Через сколько време-
ни после начала движения нормальное ускорение точки будет: а) равно
тангенциальному; б) вдвое больше тангенциального?
•	1.75. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиу-
сом R = 0,10 м с постоянным тангенциальным ускорением ат =
= 0,04 м/с2. Через какой промежуток времени вектор полного ускоре-
ния образует с вектором линейной скорости угол а = 60°? Какой путь
пройдет за это время движущаяся точка?
•	1.76. Камень брошен горизонтально со скоростью 10 м/с, Найдите
радиус кривизны траектории камня R через / == 3 с после начала дви-
жения и угол а между полным а и тангенциальным ат ускорениями-
• 1.77. Через блок радиусам R переброшена нить, на
концах которой находятся два груза, установленных на
одном уровне, t Предоставленные самим себе грузы
приходят в равноускоренное движение и через время t
один из них оказывается выше другого на величину h.
Определите угол поворота блока, угловое, ускорение и
полное ускорение точки А в конце интервала времени t.
Проскальзыванием нити по блоку пренебречь.
• 1.78- Тело брошено под углом 60° к горизонту со скоростью =
= 19,6 м/с. Найдите нормальное и тангенциальное ускорения через
0,5 с после бросания, т
• 1.79. Точка начинает двигаться по окружности радиусом R с посто-
янным тангенциальным ускорением Найдите нормальное и иолйее
ускорение точки, выразив их: а) как функцию времени t и ускорения
16
б) как функцию углового ускорения £ и угла поворота радиуса-
вектора точки (р из его начального положения = 0).
•	1.80. Поезд начинает двигаться по закруглению с радиусом R =
- 400 м, причем его тангенциальное ускорение ат = 0,20 м/с2. Опреде-
лите нормальное полное а и угловое ускорение £, когда скорость
поезда К= 10 .м/с.
•	1.81. Наибольшая высота подъема тела, брошенного под углом к го-
ризонту со скоростью = 20 м/с, равна 10 м. Под кАким углом оно
брошено? Какова дальность полета?
•	1.82. Определите дальность полета и начальную скорость камня,
брошенного под углом к горизонту, если известно, что наибольшая
высота подъема равна 25 м, а радиус кривизны траектории в верхней
точке равен 41 м
•	1.83. Камень брошен с высоты h = 2,1 м над поверхностью Земли под
углом к горизонту а = 45° и упал на расстоянии S' = 42 л/ от места бро-
сания, считая по горизонтали. С какой скоростью камень был брошен,
сколько времени летел и какой максимальной высоты он достиг?
•	1.84, Мяч, брошенный под углом а = 30° к горизонту с высоты h =
= 5,0 м, упал на землю. Определите конечную скорость мяча и даль-
ность полета, если его начальная скорость ~ 22 м/с.
•	1.85. На какое максимальное расстояние I можно бросить мяч в спор-
тивном зале высотой h = 8,0 м, если он имеет начальную скорость Ио =
- 20 м/с? Какой угол а с полом зала должен в этом случае составлять
вектор начальной скорости мяча? Мяч во время полета не должен ка-
саться потолка зала.
•	1.86. Тело брошено под углом а = 45° к горизонту со скоростью =
~ 14 м/с. На какой высоте окажется тело в тот момент, когда его ско-
рость составит с горизонтом угол fl - 30°? Какова максимальная высо-
та подъема тела На каком расстоянии S от места бросания оно
упадет?
17
•	1.87. Камень, брошенный под углом к горизонту, упал на землю со
скоростью 9,8 м/с. Чему равна дальность и высота полета камня, если
его максимальная скорость была больше минимальной в два раза?
•	1.88. Мяч, брошенный горизонтально, ударяется о стенку, находя-
щуюся на расстоянии 5 = 5,0 м от места бросания. Высота места удара
мяча о стенку на 1,0 м меньше высоты, с которой был брошен мяч.
С какой скоростью Ио был брошен мяч? Под каким углом а мяч подле-
тает к поверхности стенки? Запишите уравнение траектории движения
мяча.
•	1.89. При движении тела, брошенного под углом к горизонту, его
координаты изменяются по закону: х ~ 25/ м и у = (43 t - 4,9 ?) м. Най-
дите уравнение траектории и определите скорость в начальный момент
времени, полное ускорение* наибольшую высоту подъема тела и даль-
ность его полета.
•	1.90. Какое расстояние по горизонтали пролетит мяч, брошенный со
скоростью Ио - 10 м/с под углом а = 60° к горизонту, если он ударится
о потолок? Высота потолка h = 3,0 м, удар упругий. Сопротивлением
воздуха пренебречь.
• 1.91. Мотоциклист выезжает на
высокий берег рва, изображенного на
рисунке. Какую минимальную скорость
Кпш он должен иметь в момент отрыва от
берега, чтобы перескочить ров?
Величины a, h> S считать известными.
•	1.92. Какой начальной скоростью должна обладать сигнальная раке-
та, выпущенная под углом а ~ 45° к горизонту, чтобы она вспыхнула в
наивысшей точке траектории, если время ее горения t == 6,0 с? На ка-
ком расстоянии по горизонтали это произойдет?
•	1.93. Скорость теннисного мяча, отброшенного ракеткой под углоЫ-
а = 30° к горизонту, равна Vo == 19,6 м/с. Через сколько времени и на
каком расстоянии, считая по горизонтальному направлению от места
удара ракеткой, будет находиться мяч иа высоте h = 1,0 м? Какова ско-
рость мяча в наивысшей точке траектории?
18
• 1.94. Снаряд, выпущенный из орудия
под углом а = 30° к горизонту, попал в
цель, находящуюся на расстоянии I ~
~ 1000 м (по горизонтали) от точки 0.
Направление 0А образует угол р - 10° с
горизонтом. Найдите начальную
скорость снаряда Ио.
•	1.95. Тело бросили со скоростью Ко ~ 10 м/с под углом а « 60° к го-
ризонту с башни высотой h = 3 м. Сколько времени t пройдет от мо-
мента бросания тела до момента падения на землю? Какова дальность
полета по горизонтали? Под каким углом тело упало на землю?
•	1.96. Из трех труб, расположенных на земле, с одинаковой скоростью
бьют струи воды под углами 60°, 45° и 30° к горизонту. Найдите отно-
шение наибольших высот подъема струй воды и отношение дально-
стей их падения на землю.
•	1.97. Снаряд, выпущенный из орудия под углом а = 30° к горизонту,
дважды побывал на одной и той же высоте h спустя время t\ - 10 с и
t2 - 50 с после выстрела. Определите начальную скорость Ио, высоту
подъема Н и дальность полета S'.
•	1.98. Баскетболист бросает мяч в кольцо со скоростью = 8 м/с под
углом а = 60° к горизонту. С какой скоростью мяч попал в кольцо, ес-
ли он долетел до него за время Г = 1 с?
ч
•	1.99. Шарик бросают под углом а - 30° к горизонту с начальной ско-
ростью V()~ 14м/с. На расстоянии 11 м по горизонтали от точки бро-
сания шарик упруго ударяйся о вертикальную стенку. На каком рас-
стояние по горизонтали от стенки шарик упадет на землю?
•	1.1W. Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы наи-
болыпая высота подъема была равна дальности полета? Считать, что
на тело действует попутяый ветер, сообщающий ему горизонтальное
ускорение а.
1.101. Частица движется в положительном направлений оси х так,
что ее скорость меняется по закону - к • х, где Ио, к положи-
19
тельные постоянные. В момент времени Z = 0, х - 0. Найдите зависимо-
сти от времени: а) координаты х(0; б) скорости частицы И(/).
•	1.102. В момент t = 0 частица вышла из начала координат в положи-
тельном направлении оси х. Ее скорость меняется со временем по за-
кону К=Г0(1-//т),где Ко - вектор начальной скорости, модуль кОТЬро-
го = 0,01 м/с, 0,5 с. Найдите: а) координату х частицы в моменты
времени 6,0 и 10 с; б) моменты времени, когда частица будет нахо-
диться на расстоянии 0,01 м от начала координат; в) путь 5, пройден-
ный частицей за первые 4,0 и 8,0 с.
•	1.103. Яхта, имеющая скорость Ио, спускает парус в момент времени
t0, но продолжает двигаться. Во время этого движения произведены
измерения скорости яхты, которые показали гиперболическую зависи-
мость скорости от времени (И ~ 1/Z) Найдите: а) зависимость пути
S = f (/), пройденного яхтой, от времени; б) зависимость скорости от
пути V “ f(S) после того, как на яхте был спущен парус.
•	1.104. Точка движется в плоскости ху по закону х - bd, у = bit (1 -
- bjt), где by и bz - положительные постоянные, t - время. Найдите:
а) уравнение траекторииу(х); б) скорость и ускорение тела в зависимо-
сти от времени; в) момент времени t0, в который вектор скорости со-
ставляет угол я/4 с вектором ускорения.
•	1.105. Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды ско-
ростью Ул, перпендикулярной к течению реки. Ширина^еки d, а ско-
рость течения равна нулю у берегов и линейно возрастает по мере
приближения к середине реки, где она достигает значения Найдите
траекторию лодки, а также расстояние х0, на которое снесет лодку вниз
по течению, от пункта ее отправления до места причала на противопо-
ложном берегу реки.
•	1.106. Точка движется замедленно по окружности радиусом R так,
что ее тангенциальное' и нормальной ускорения в каждый момент вре-
мени равны друг другу по модулю. Найдите скорость и модуль полно-
го ускорения точки в зависимости от пройденного пути S.
•	1.107. Точка движется в плоскости ху по закону х = A sin (со г)>
у = Л(1 - cos (со 0Х где А # ш - положительные постоянные. Найдите:
а) путь, пройденный за времяг ; б) угол между взорами скорости и
ускорения.
20
•	1.108. Частица движется в плоскости ху со скоростью У=Ач+Вх-],
где i ,/ - орты осей х и у, А и В - постоянные. В начальный момент
времени частица находилась в точке х ~ у - 0. Найдите уравнение тра-
ектории частицы Xх)-
•	1.109. Точка движется, замедляясь по прямой с ускорением, модуль
которого зависит от скорости по закону а - к • где к - положи-
тельная постоянная. В начальный момент времени скорость точки Ко.
Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет
пройден?
•	1.110. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его
угловая скорость зависит от угла поворота ф по закону со = со0 - к -ф,
где ф0 и к - положительные постоянные. В момент времени t = 0 угол
Ф = 0. Найдите зависимости от времени: а) угла поворота ф (0; б) уг-
ловой скорости со (0.
•	1.111. Частица движется прямолинейно так, что ее скорость меняется
по закону V= Ко  sin (са0, где = const. Найдите зависимость ускоре-
ния и скорости от координаты и изобразите эти зависимости графиче-
ски.
•	1.112. Частица движется с ускорением а=-Лг, где к = const. В мо-
мент времени t = 0: г(0^=го,	начальная скорость И парал-
лельна начальному радиус-вектору г. Найдите положение частицы в
зависимости от времени: х (0, у (t), z (0.
•	1.113. Частица движется в плоскости ху с постоянным ускорением п,
направление которого противоположно положительному направлению
оси у. Уравнение траектории частицы имеет вид: у = Ах - 5г2, где А и В
- положительные постоянные. Найдите скорость частицы в начале
координат, если в начальный момент времени х (0) = у (0) ~ 0.
•	1.114. Твердое тело вращается замедляясь вокруг неподвижной оси с
угловым ускорением е~д/со? где со ~ угловая скорость. Найдите сред-
нюю угловую скорость тела за время, в течение которого оно будет
вращаться, если в начальный момент его угловая скорость равна <оо.
21
•	1.115. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с
ускорением Е — Ео COS(p, где Ео - положительная постоянная, а др-
угой поворота из начального положения. Найдите зависимость угловой
скорости тела в зависимости от угла поворота й>(^).
•	Д.116. С вершины наклонной плоскости соскальзывает без трения
тело. При какой высоте h время соскальзывания будет минимально?
Основание наклонной плоскости I.
•	1.117. Частица движется равномерно со скоростью V по параболиче-
ской траектории у - fcx2, где к - положительная постоянная. Найдите
ускорение частицы в точке х - 0.
•	1.118. Частина движется в направлении оси х так, что ее скорость
меняется по закону V =*s ^7^ где ₽ “ Положительная постоянная.
Зная, что в Момент временй t - 0 она находилась в точке х0 = 0, найди-
те: а) зависимость скорости и ускорения частицы от времени; б) сред-
нюю скорость частицы зд время, в течение которого она пройдет путь
от 0 до х.
•	1.119. Модуль скорости части цы меняется по закону К = VQx е **,
где FOr и b - положительные постоянные. Найдите зависимости коор-
динаты и ускорения частицы от времени.
•	1.120. Частица движется прямолинейно так, что ее скорость меняется
( 2л А
по закону V =Hwcosl —t L где Т - const. Найдите зависимость уско-
ренья и скорости от координаты и изобразите эти зависимости графи-
чески.
22
2. Тема : Динамика поступательного движения материальной
точки и поступательного движения твердого тела
О

•	2.1. Дан график зависимости координаты тела
от времени (две параболы). Изобразите график
зависимости силы, действующей на тело, от
времени (у = z « 0).
•	2.2. Графики зависимости силы от времени для
двух тел одинаковой массы, движущихся
прямолинейно, изображены на рисунке. У какого
тела изменение скорости будет больше за
промежуток времени At\ и
•	2.3. На рисунке изображен график зависимости
проекции скорости тела Гх от времени. Сравните
силы, приложенные к телу, в моменты времени
•	2.4. На рисунке изображены графики
зависимости скорости движения от времени для
двух тел под действием равных по величине
тормозящих сил. Какое из этих тел имеет боль-
шую массу ? (Гу = Vz - 0).
•	2.5. На рисунке изображен график зависимости
силы, действующей на тело, от времени.
Изобразите график зависимости скорости этого
тела от времени. В начальный момент тело
покоилось, Кг =* * 0. Сравните скорости в
моменты времени tt и /2*
*	2-6. На рисунке представлен график зави-
, сямости скорости тела, движущегося
' прямолинейно, от координаты. Изобразите
ж график зависимости, приложенной к этому телу
силы от координаты.
• 2.7. На два тела одинаковой массы m
действуют силы FX1 и Fx2> Их зависимость от
времени показана на рисунке. Какое из этих тел
23
в момент времени имеет большую скорость ? Начальные скорости в
обоих случаях равны нулю.
•	2.8. Тело соскальзывает из точки А в точку В
по двум искривленным наклонным
поверхностям. Обе поверхности имеют
одинаковую кривизну и коэффициент трения
для каждой поверхности один и тот же. В каком
случае на тело будет действовать ббльшая сила
трения?
•	2.9. На рисунке изображен график зависимости
силы, действующей на тело массой т, от
времени. Сравните скорости этого тела в момен-
ты времени и t2. Начальная скорость тела
равна нулю. (Fy = FZ = 0.)
• 2.1Q. Тело находится на наклонной плоскости, у которой угол накло-
на а может изменяться от 0 до 90’. Изобразите график зависимости
силы трения F^ от угла а.
•	2.11. На рисунке изображен график
зависимости силы, действующей на тело от
времени. За какой промежуток времени (от 0 до
Zi или от 6 до /г) изменение скорости тела будет
больше ? (Fy - Fz == 0.)
•	2.12* На рисунке показан график зависимости
скорости тела, движущегося прямолинейно, от
времени. Изобразите график зависимости прило-
женной к телу силы от времени.
•	2.13. На рисунке изображены графики
зависимости сил, действующих на два тела одина-
ковой массы, от времени. Какое тело после
прекращения действия силы имело
большую скорость ? Начальные скорости тел
равны нулю (Fy = Fz = 0, К(0) = 0).
• 2.14. На рисунке показан график зависимости
координаты тела от времени (парабола). Изобра-
24
зите график зависимости силы, действующей на тело, от времени.
•	2.15. На рисунке представлен график
зависимости, приложенной к телу силы от
времени. Как меняется скорость тела с
течением времени ? (Fy = Fz = О, К(0) - 0.)
• 2.16. На покоящееся тело действует в горизонтальном направлении
увеличивающаяся сила тяги. Коэффициент трения между поверхно-
стью и телом остается постоянным. Изобразите график зависимости
силы трения от силы тяги.
t

•	2.17. На рисунке изображена зависимость
силы, действующей на тело, от времени. За
какой промежуток времени (от 0 до или от
до t2) изменение скорости тела будет больше ?
(Иу=гг = о.)
•	2.18. Дан график зависимости модуля силы
упругости Iот величины деформации
пружины х. Изобразите график зависимости
модуля силы упругости от деформации для
двух пружин, если онн соединены: а) по-
следовательно; б) параллельно. Коэффи-
циент жесткости каждой пружины равен к.
•	2.19. На рисунке изображена зависимость
силы, действующей на тело, от времени.
Сравните изменение скорости тела за
промежутки времени Ai\ и At2. В начальный
момент времени х0 = О, Ио = 0. (Fy = Fz = 0.)
•	2.20. Дан график зависимости скорости тела,
движущегося прямолинейно, от времени (от 0
до Л - парабола, от до t2 - прямая). Изобра-
зите график зависимости силы, действующей
на тело, от времени.
25
'• 2.21. Груз массой т = 0,20 кг, привязанный к
нити длиной / = 0,40 м# вращается с постоянной
скоростью так, что нить описывает боковую
поверхность конуса. Найдите угловую скорость
вращения груза и силу натяжения нити, если угол
отклонения нити от вертикали а = 30°.
• 2.22. Самолет делает Ыертвую петлю» радиусом R = 500 м с
постоянной скоростью К = 360 км/ч Найдите силу давления летчика
массой т - 70 кг в нижней, верхней н средней точках петли.
• 2.23, Полый шар радиусом R вращается с угловой
скоростью ш вокруг вертикальной оси. При каком
минимальном коэффициенте трения // тело будет
удерживаться на внутренней поверхности шара в
точке С ? Радиус сферы, проведенный в точку С,
составляет с горизонтом угол «х
*2.24. Поезд движется по закруглению радиусом R = 800 м со
скоростью V - 72 км/ч. Определите на сколько внешний рельс должен
быть выше внутреннего. Расстояние между рельсами по горизонтали
Р3рио4?= 1,5 м.
«2.25. Вертикальный вал вращается с угловой
Ц_|| скоростью га С валом шарнирно связан тонкий
|\ t невесомый стержень длиной I = 0,10 м На конце
стеРжня УкРеплен шаР- Найдите угол отклонения
______стержня 07 вертикали, если	14 с *.
*2.26, Шар радиусом Я вращается с угловой
скоростью Та вокруг Вертикальной оси. При каком
* .^\ минимальном коэффициенте трения д тело будет
/	j/XgJ	удерживаться на поверхности сферы в точке С ?
V	1 J	Радиус сферы, проведенный в точку С, составляет с
горизонтом угол a. f
• 2.27 Мотоциклист двигается по окружности радиусор R по вер-
тикальной стене ("гонки по вертикали"). Найдите скорость движения,
ести коэффициент трения ц.
26
• 2.28. На горизонтально вращающемся столике
укреплен вертикальный стержень, к вершине
которого привязана Нить, а на конце нити - шарик
массой т. С какой угловой скоростью ш вращается
столик, если нить составляет со стержнем угол а -
=® 45° ? Длина нтгги / = 6,0 см Расстояние стержня
от оси вращения 10 см.
• 2.29. Горизонтально расположенный диск вращается вокруг
вертикальной оси с периодом Г. На каком расстоянии R от центра
диска может удержаться лежащее на диске тело ? Коэффициент трения
между диском и телом равен А
• 2.30. На гладкое проволочное кольцо радиусом Я,
расположенное вертикально, надета металлическая
бусинка Кольцо вращается с угловой скоростью ш
вокруг вертикальной оси, проходящей по диаметру
кольца. Найдите угол отклонения а бусинки от
вертикали.
• 2.31. Автомобиль массой т = 2,0 10s кг движется
со скоростью V = 54 км/ч по выпуклому мосту,
радиус кривизны которого 7? = 90 м. В точке С
автомобиль давит на мост силой F - 5,0 • 103 Н.
Определите угол се между вертикалью и
направлением на точку С от центра кривизны моста.
• 2.32. Невесомый стержень, изогнутый под углом
а как показало на рисунке, вращается с угловой
скоростью <у относительно реи ОО На стержень
надета бусинка массой т. Определите, на каком
расстоянии I бусинка будет находиться в
равновесии, если коэффициент трения между
бусинкой и стержнем равен /2?
• 2.33. Чему равна максимальная скорость мотоциклиста, если он
будет ехать по наклонному треку с углом наклона а ~ 30°. Радиус
закругления R ~ 90 м, коэффициент трения д « 0,40?
in	5
27
•	2.34. Определите натяжение каната «гигантских
шагов» и угловую скорость вращения, если масса
человека т == 70 кг, длина каната I = 5,0 м и канат
образует со столбом угол а = 30е.
•	2.35. Штанга и вертикальная ось образуют
жесткую конструкцию. Легкая пружина и прикре-
пленная к ней муфта массой т - 1,0 кг надеты на
штангу, по которой они скользят без трения. Муфта
дйижетсД равномерно по горизонтальной
окружности радиусом г = 0,30 м со скоростью V ~
= 2,0 м/с. Определите длину 4 пружины в иерастя-
нутом состоянии. Коэффициент жестко-
сти пружины к = 40 Н/м, угол между верти
калью и штангой а = 30^.
•	236. Внутри конуса с углом при вершине 2а
яахйдятся малый шарик массой т, прикрепленный
к поверхности конуса с помощью нити. Шарик
находится на расстоянии / от вершины конуса.
Конус врашается вокруг вертикальной оси с
угловой скоростью G>. Определите величину силы
натяжения.

•	2.37. На краю наклонной плоскости с углом на-
клона а лежит тело. Плоскость равномерно враща-
ется вокруг вертикальной оси с угловой скоростью
cd. Расстояние от тела до оси равно R. Найдите
наименьший коэффициент трения д при котором
тело удерживается на вращающейся наклонной
плоскости.
• 2.38. Гоночный автомобиль массой т = 6Q0 кг движется вдоль эква-
тора с востока на запад, а затем с той же скоростью К= 400 км/ч отно-
сительно Земли с запада на восток. Найдите разность сил давления
автомобиля на поверхность шоссе в этих случаях.
• 2.39. Два шарика массами т( и т2, соединенные
нерастяжимой нитью длиной I, насажены на тон-
кий невесомый стержень ав и могут скользить по
нему без трения. Стержень вращается в горизон-
тальной плоскости с постоянной угловой скоростью
0,
28
со. На каких расстояниях /] и/2°т оси вращения стержня О]О] будут
находиться эти шарики? Чему равна сила натяжения?
• 2.40. Шарик массой m = 0,050 кг, подвешенный иа нити, качается в
вертикальной плоскости так, что его ускорения в крайнем и нижнем
положениях равны друг другу. Найдите: а) угол отклонения нити в
крайнем положении; б) натяжение нитей в крайнем и в Нижнем поло-
жениях.	* *
mj «1	 ma
•	2 .41. Грузы т и 2т связаны легкой нитью,
переброшенной через блок, укрепленный на
горизонтальном столе. Груз 2т находится в рав-
новесии на грани скольжения. Найдите
коэффициент трения ц и силу давления на ось
блока.
*
•	2.42. Две гири массой тх = 1,90 кг, и =
= 0,90 кг соединены невесомой нерастяжимой
нитью, перекинутой через неподвижный блок.
Нить скользит по блоку без трения. Чему равно
ускорение грузов и сила давления на ось блока?
я • 2.43. Человек везет двое связанны#' между
mt m2 у* собой саней, прикладывая к веревке силу Г =
~ 120 Н под углом а = 45°. Массы саней
одинаковы тх = т2 = 15 кг. Коэффициент трения
полозьев по снегу ц == 0,02. Найдите ускорения саней, силу натяжения
веревки между санями Гн и силу F\, с которой должен тянуть веревку
человек, чтобы сани двигались равномерно.
• 2.44. На подставке лежит тело, подвешенное к
потолку с помощью пружины, которая в начальный
момент не растянута. Подставку начинают опускать
вниз с ускорением а. Определите скорость тела в‘ мо-
мент отрыва. Жесткость пружины А, масса тела т.
• 2.45. Два бруска массами т( и т2, связанные
нерастяжимой нитью, находятся на гори-
зонтальной плоскости. К ним приложены силы
29
fj и F2, составляющие с горизонтом углы а и Д Найдите ускорение
грузов. Коэффициенты трения брусков одинаковы и равны /д Система
движется влево.
* 2.46. Найдите ускорение тел, изображенных на ри-
сунке, и натяжение нити, связывающей тела и т2.
Известны массы ть т0. Коэффициент прения о
горизонтальную поверхность равен д Нить
скользит по блоку без трения. Массой блока инити
пренебречь.
• 2-47. Через неподвижный блок перекинута
невесомая и нерастяжимая нить, к которой
подвешены, три груза массой т - 2,0 кг каждый.
Найдите ускорение грузов и сш^ натяженш нити,
связывающей грузы 1 и 2. Блок невесомый.
 2.48. Дйа соприкасающихся бруска Массами тх =
,л = 2,0 кг и т2 = 3,0 кг движутся равноускоренно по
~diJ.iiiLi.XJ горизонтальной поверхности под действием силы
1	Fo = 35 Н. Коэффициенты трения брусков о
поверхность = 0,10	- Ь,20 соответственно. Найдите силу, с ко-
торой бруски давят друг на Друга, если сила Fo приложена: а) к бруску
1;6)1С бруску 2.	Y
• 2.4<k НаЙ№ге ускорение саиок массой т, если:
*) а) - их тянут за веревку с силой F под углом а к
горизонту; б) - толкают с такой же силой под
Ь) углом а к горизонту. Коэффициент трения ра-
вен ц.	* '
ms
W1
• 2.50. К перекинутой через неподвижный блок
нити подвешен ’груз маёёЬй • 2,0 кг, на
который поставлен перегрузок массой - 0,50
кг. Какое ускорение грузам может сообщить сила
F- ЗОЯ, приложенная к свободному концу нити и
нацрау ценная вертикально вниз? С какой силой
даврт перегрузок на л»!? '	,
а.Я^П^дполагая мавсы грузов^
ми, найдите их ускорения и натяжения нитей в сис-
теМё, изображенной на рйсуике, если груз тх
опускаете# Массой блоков и нитей пренебречь.
зо
• 2.52, Два тела массами т\ и т2, связанные невесомой и нерастяжи-
мой нитью, лежат на горизонтальном столе. Коэффициенты трения
равны а и рг соответственно. Найдите ускорения грузов и силу натя* *
жения нити, если к телу тх приложена сила F, направленная вдоль
стола. Изменится ли сила натяжения, если силу F приложить к телу
т2 таким же образом?
____ч • 2-53, На штанге укреплен неподвижный блок, через
i___который перекинута легкая нить с	двумя грузами т\ ==
ч. у	0,50 кг и тг = 0,10 кг. В грузе	имеется отверстие,
через которое проходит штанга. Сила трения о
ph штангу постоянна и равна 1,3 Н.	Найдите ускорение
°	грузов и силу натяжения нити.	Нить скользит по
блоку без трения. Массами блока и нити пренебречь.
т	• 2.54. На краю стола установлен, невесомый
*	—— блок, через который перекинута невесомая нить,
j связывающая грузы массами тх и т2. На груз
Г"1 дтз массой т2 помещают перегрузок массой т3.
| | j Найдите силу давления перегрузка.
Коэффициент трения между плоскостью и
грузом т\ равен д Система тел движется с ускорением.
• 2.55. Через неподвижный невесомый блок перекинута верев*
“• ка, к одному концу которой привязан груз массой т\.
) На другом конце повис человек массой т2, который,
' перебирая веревку, поднимает груз, оставаясь при
этом на одном и том же расстоянии от пола. Через
w m2 сколько времени груз будет поднят на высоту Л? Ве-
ревка скользит по блоку без
трения, ее массой можно пренебречь.
к
• 2.56. Два одинаковых тела массой m каждый
йоедийены невесомым нерастяжимым стержнем. С
каким ускорением вдоль поверхности движутся тела
под действием указанных сил? Коэффициент трения
между поверхностью я брусками равен /д
• 2.57. Определите ускорение, с которым движется
груз массой в установке, изображенной на ри-
сунке. Рассмотрите частные случаи: a) mt «₽ т2; б)
« т2; в) т\ « 2т2. Нить нерастяжима и невесома,
массами блоков пренебречь. Трение отсутствует.
31
• 2.58. На гладкой поверхности лежит брусок
массой тх = 2,0 кг, на котором находится брусок
массой т2~ 1,0 кг. Оба бруска соединены легкой
— нерастяжимой нитью, перекинутой через
неподвижный блок. Нить движется по блоку без трения. Какую силу F
нужно приложить к нижнему бруску, чтобы он начал двигаться с по-
стоянным ускорением а = qf2? Коэффициент трения между брусками р
- 0,50, Массой блока пренебречь.
• 2.59. Через невесомый блок перекинута нить, к
концам которой привязаны грузы массой mi и т2
(т2 в два раза больше /Hi). Груз т2 поднимают на
высоту Л2 “ 0,30 м, так чтобы груз тх коснулся
пола, и затем отпускают. На какую высоту от пола
поднимется груз ту после того, как груз т2 уда-
рится о пол?
• 2.60. Две гири массами тх - 0,70 кг и т2 КЮ
кг висят на концах нерастяжимой и невесомой нити, которая переки-
нута через неподвижный блок. Гири вначале находятся на одной высо-
те. Через какое время после начала движения более легкая гиря
окажется на 10 см выше тяжелой? Найдите силу давления на ось бло-
ка. Массой блока пренебречь, трение отсутствует.
• 2.61. Санки можно удержать на ледяной горке с уклоном 0,30 (sin а)
силой 60//, а предоставленные самим себе они скатываются с ускоре-
нием а = 2,0-м/с2. Какую силу надо приложить к санкам, чтобы тянуть
их в гору равномерно?
• 2.62. Две наклонные плоскости имеют
одинаковое основание. Каков коэффициент
трения, если время соскальзывания с плоскости с
углом наклона а =• 45* равно. вред^ни
соскальзывания этого же тела с плоскости с
углом наклона р = 60°?
• 2.63. Тело, соскользнув по наклонной
плоскости, прошло по горизонтали до полной остановки расстояние,
равное длине наклонной плоскости. Найдите коэффициент трения
если он на всем пути одинаков. Угол наклона плоскости к горизонту
равен а.	*	-
32
• 2.64. Два тела массами mi и т2 соединены
невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой
1 через неподвижный блок. Найдите отношения
!к2 масс т^тъ нрн КОТОРЫХ второе тело из
состояния покоя: а) начинает опускаться; б)
начинает подниматься. Коэффициент трения между плоскостью и
первым грузом равен /л. Угол наклона плоскости с горизонтом а.
Массой блока пренебречь.
•	2.65. По канатной железной дороге, идущей с уклоном а = 30° к
горизонту, спускается вагонетка массой 500 кг. Определите натяжение
каната при торможении вагонетки в конце спуска, если скорость
вагонетки перед торможением была v0 = 2,0 м/с, а время торможения
t = 5,0 с. Коэффициент трения ц принять равным ц = 0,01.
•	2.66. Куском льда было затрачено на скольжение вниз по плоскости с
углом наклона а = 45’ к горизонту вдвое больше времени по
сравнению с тем, которое потребовалось бы для того же скольжения,
но в отсутствии трения. Чему равен коэффициент трения ц между
льдом и поверхностью?
• 2.67. На наклонную плоскость, составляющую
угол а с горизонтом, поместили два
соприкасающихся бруска массами тх и т2.
Определите силу взаимодействия между
брусками в процессе равноускоренного
движения, если известны коэффициенты трения и соответственно
для каждого бруска и щ
• 2.68. За какое время тело массой m соскользнет с наклонной
плоскости высотой h, наклоненной под углом а к горизонту, если по
наклонной плоскости той же высоты с углом наклона fl оно движется
равномерно? Коэффициенты трения между телом и плоскостью в
обоих случаях одинаковы.
• 2.69. Два груза массами и т2 связаны между
собой нерастяжимой нитью, перекинутой через
блок. Плоскости, на которых лежат грузы,
составляют с горизонтом углы а и fl. Правый
груз находится ниже левого на величину й. Через
33
время /| после начала движения грузы оказались на одной высоте.
Коэффициенты трения между грузами и плоскостями равны /д
Определите отношение мйсс грузов. Массой блока пренебречь.
•	2.70. Ледяная горка составляет с горизонтом угол а = 10*. По иеЙ
пускают камень вверх, который, поднявшись на некоторую высоту,
скользит по тому же пути вниз. Каков коэффициент трения, если время
спуска в 2 раза больше времени подъема?
•	2.71. Через невесомый блок, укрепленный на ребре призмы, грани
m	которой образуют углы а и Д с горизонтом,
перекинута невесомая и нерастяжимая нить. К
У	концам нити прикреплены грузы с равными
массами (mi = т2). Найдите ускорение грузов,
при условии, что коэффициенты трения равны ц и а> 0.
• 2.72. На наклонной плоскости, составляющей
угол а ₽ 30‘ с горизонтом, опускается брусок
X массой иц - 0,40 кг. Коэффициент трения между
VЖ бруском и плоскостью ц = 0,10. Брусок через
------------- систему блоков связан с грузом массой /и2 = 0,30
кг. Определите ускорение груза тх и натяжения нитей. Нити
нерастяжимы и невесомы, массой блоков пренебречь, трение в блоках
отсутствует.
•	2.73. За какое врейя тяжелое тело спустится с вершины наклонной
плоскости высотой 2,0 м И углом Наклона 45е, если предельный угол,
при котором тело может Находиться на наклонной плоскости в покое,
равен 30*7
•	2.74. Брусок массой m соскальзывает с Наклонной плоскости, которая
составляет с горизонтом yrdJf а. Какую наименьшую силу F,
направленную параллельно основание Наклонной плоскости, следует
приложить к бруску, чтобы он оставался на плоскости в покое, если
коэффициент трения покоя между плоскостью и бруском равен д
•	2.75; Наклонная плоскость составляет угол а = 30’ с горизонтом.
Опкйпение масетелпц/тз т ^2/3. Коэффйдаент трения между
плоскостью и вторым телом р. 6,10. НайдиТё Модуль и направление
ускфеййй тел, если они начали двигаться из
1 состояния йбкоя. НйтЬ нерастяжима и невесома,
массой блока пренебречь.
--------1—	• 2.76. Тело массой т = 20 кг равномерно тянут
34
вверх с силой F = 150Я по наклонной плоскости с углом наклона а ==
== 30°. С каким ускорением тело будет соскальзывать с наклонной
плоскости, если его отпустить?
•	2.77. Плоскую шайбу толкнули так, что она начала скользить с
начальной скоростью Vo = 4,0 м/с вверх по наклонной плоскости с
углом наклона а = 30’ при основании. До остановки шайба прошла
расстояние S = 1,0 м. Начнет ли шайба скользить вниз?
•	2.78. Тело лежит на наклонной плоскости, составляющей с
горизонтом угол а = 4‘. Определите при каком предельном значении
коэффициента трения тело начнет скользить по наклонной
плоскости? Найдите с каким ускорением будет скользить тело по
плоскости, еслиц = 0,03?
• 2.79. На наклонной плоскости с углом наклона
а находятся двд груза одинаковой массы wij =
= т1у связанные невесомой и нерастяжимой
нитью. Найдите натяжение нити при движении
грузов. Коэффициенты трения известны и
ук^зацц на рисунке.
• 2.80. Тело начинает движение вверх со скоростью	на
середине наклонной плоскости. Через какое время скорость тела снова
будет равна Ио ? Коэффициент треция между телом и плоскостью ц,
угол наклона к горизонту а.
•	2.81. Бруски массой т\ и «2 находятся на столе.
К бруску массой т2 приложена сила F под углом
а к горизонту. Найдите ускорения брусков.
Коэффициент трения между первым бруском и
столом равен между брусками -
•	2.82; Внутри конической поверхности, дви-
жущейся вверх с ускорением а, по окружности
радиусом R вращается шарик массой т.
Определите период Движения шарика по
окружности. Угол при вершине конуса 2а
35
•	2.83. Вертикальная стенка движется с ускорением
а0. В контакте со стенкой находится брусок. Ко-
эффициент трения между ними ц = 0,40. Опре-
делите ускорение бруска а при: а) а0 = 30
б) а0 = 10 м/с2.
•	2.84. Несколько наклонных плоскостей имеют
общее основание. Каков должен быть наклон
плоскости к горизонту, чтобы время соскальзывания
по этой плоскости было меньше, чем по остальным
плоскостям? Рассмотрите случаи: а) трение
ничтожно мало; б) коэффициент трения //= 0,25.
• 2.85. Тело движется равномерно по горизонтальной поверхности под
действием силы F. Коэффициент трения между поверхностью и те-
лом /л = 0,6. Какой угол с горизонтом должна составлять сила, чтобы
ее значение было минимальным? ‘
•	2.86.	Тележка массой mt	может катиться без
р	трения	горизонтально. На	тележке находится
^"-“2______ брусок	массой m2. Коэффициент трения между
1ВНВИН ними равен /д К бруску	приложена сила F,
достаточная для того, чтобы брусок начал
скользить. Через какое время брусок упадет с
тележки, если ее длина I?
.	• 2.87. Тяжелый шарик подвешен на нити длиной
«мН»	Z. Нить равномерно вращается, образуя с
А	вертикалью угол а Сколько оборотов /V делает
шарик за время /, если маятник установлен в
4-*.^ ракете, которая поднимается вверх с ускорением
аг * 2) «?
pj	• 2.88. На наклонную плоскость с углом а при
основании помещена плоская плита массой т2, а
на нее - брусок массой jwj. Коэффициент трения
между бруском и плитой равен Определите при
---------каких значениях коэффициента Между-плитой и
плоскостью плита не будет двигаться, если ййвестно, что брусок
скользит по плите.
36
mi
•	2.89. Система грузов с массами тх и /и2,
изображенная на рисунке, находится в лифте,
который движется вверх с ускорением а. Найдите
натяжение нити, если коэффициент трения между
поверхностью и грузом mt равен д Массой блока
пренебречь.
•	2.90. Тело массой Ш| лежит на доске массой т2,
находящейся на гладкой горизонтальной
поверхности. Коэффициент трения между телом и
доской равен д Какую силу F надо приложить к
доске, чтобы тело соскользнуло с доски?
•	2.91. Брусок массой т тянут за нить так, что он
движется с постоянной скоростью по
горизонтальной плоскости. Коэффициент трения
между плоскостью и бруском равен д Найдите
угол а, при котором натяжение нити будет
наименьшим. Чему оно равно?
	2.92. На наклонной плоскости с углом наклона а
неподвижно лежит тело. Коэффициент трения
между плоскостью и телом равен д Наклонная плоскость начинает
двигаться по столу с ускорением а, указанном на рисунке. При каком
значении этого ускорения тело начнет соскальзывать?
у т2 • 2.93. На конце доски длиной Z - 0,50 м ц массой
= 0,90 кг лежит небольшой брусок массой т2 =
—о, 10	Какую минимальную скорость Ко нужно
сообщить бруску, чтобы он соскользнул с доски? Коэффициент трения
бруска о доску д = 0,50. Доска лежит на гладкой поверхности.
	 m'i
• 2.94. Через невесомый блок перекинута
нерастяжимая невесомая нить, на которой висят
грузы т\ и т2 (т\ < т2). Блок начинает
подниматься вверх с ускорением 50 относительно
Земли. Полагая, что нить скользит по блоку без
трения, найдите ускорение груза Ш] относительно
Земли.
37
• 2.95. По наклонной плоскости, составляющей
угол а с горизонтом, ускоренно скользит доска
массой М. Коэффициент трения доски о
наклонную плоскость равен д На доску кладут
тело массой т, которое скользит по доске без
трения Какова должна быть миШйлалёйая масса
тела пц, чтобы движение доски по наклонной
плоскости стало равномерным?
1 • 2.96. Через блок перекинут шнурок. На одном
.конце шнурка привязан фуз массой ти по
- другому скользит кольдоДщайба) массой т2 с
постоянным относительно щнурка ускорением а2.
НаЙВДЦРУСКорение груза «t « силу трения кольца
2 >/Р щцурок. Массой шнурку пренебречь и считать,
.	, что груз т\ опускается.

* 2.9*7. На дЬске масСоЙ т2 лежит тело массой
mb к которой^ привязана нить, перекинутая
.через невесомый блок. Кб второму концу
нитц привязан фу? массой М. Коэффициент
трения мездду доской и телом дь между
доской и^стрлрм При какой максимальной
массе ГРУ?а тедо не соскользнет с дбскй?
• 2.98. )₽русок, массой лежит на гладкой
горцзст^цьнр^ поверхности. Ндг бруске лежит
тело мадроЦ ^гХо$Йициент треЙ^мдакду^елом
и брускрм давен /а ^кукцилу F надо приложить
к бруску^ чтобы оц надал выскальзывать' из-подтела т2^
• 2.99. На наклонно^ плоскости с углом цдклона а лежит доска. С ка-
£ки^ усдорением H$.jpi^M даправдециидолж^н бежать по доске чело-
век чтобы дрека р^тавала^ь неподвижной ^аплоскости. Масса чело-
дека ц доски т Ц ^^ответственно. Трениём доски с плоскостью
пренебречь.	1	J	!
. mj f	корце доскц длинойJ и м^сой т
m И у находится короткий брусок йЬссбй /йр Доска
скользит без трения по горизонтальной плоскости.
Коэффициент трения бруска по поверхности доски
38
равен д Какую минимальную скорость нужно толчком сообщить
доске, чтобы она выскользнула из-под бруска?
•	2.101. Тело начинает скользить дю гладкой наклонной плоскости без
начальной скорости в среде, испытывая силу сопротивления
F = mg - e-bt, где b - положительна^ постоянная, mg - сила тяжести'
Угол наклона плоскости с горизонтом а = 30\ Как меняется скорость с
течением времени?
•	2.102. Катер массой m движется со скоростью Vo. В момент времени
t = 0 выключается двигатель. Считая силу сопротивления воды движе-
нию катера пропорционально его скорости	где г = const,
найдите скорость катера в зависимости от пути, пройденного катеррм
с выключенным двигателем, и путь до остановки. (
2.103. На небольшое тело массой ш, лежащее на
F(t) гладкой горизонтальной поверхности, в момент
S времени t = 0 начала действовать сила., зависящая
/д от времени по закону F = b • t, где b - постоянная.
Направление этой силы не изменяется и
.составляет угол а с горизонтом, Найдите;.») Ско-
рость тела в момент отрыва от плоскости; б) путь, пройденный телом к
этому моменту времени.	(
•	2.104. Трамвай движется прямолинейно от остановки А до остановки
В под действием силы F = k - b • S, где к и b - положительные посте*
явные, S - расстояние от остановки А. Найдите расстояние между ос-
тановками Sab и максимальную скорость трамвая,
• 2.105. Шарик массой m помещен в высокий Сосуд с жидкостью и
отпущен без толчка. При этом врзникает сила сопротивления среды,
пропорциональная скорости движения F=-r-P , где г = const - коэф-
фициент пропорциональности. Опишите качественно характер движе-
ния шарика. Найдите зависимость скорости от времени и изобразите
? эту зависимость графически. Выталкивающей силой пренебречь,
|	« 2.104..Точка массой m движется по окружности радиусом г со скоро-
стью V= b t, где b - постоянная. Найдите силу как функцию дуги.
39
•	2.107. Тело массой m движется по плоской траектории так, что тан-
генциальное ускорение = Ьь а нормальное ап =* th • t4, где Ь] и bj -
положительные константы. В момент времени t = 0 скорость V(0) = 0.
Найдите радиус кривизны траектории и силу, под действием которой
происходит движение в зависимости от пройденного пути S.
•	2.108. Модуль скорости частицы массой ш меняется со временем по
закону V - Vo  e'b/t, где b = const. По какому закону меняется сила,
приложенная к телу, от времени? Каков физический смысл Ь? По-
стройте графики зависимости скорости н силы от времени.
•	2.109. Компоненты скорости частицы изменяются со временем по
законам: v/=6-coso)/, y^sincor, где b и ю - постоянные. Как зависит
результирующая сила от времени? Каков характер движения?
•	2.110. Материальная точка массой m вращается вокруг неподвижной
осн так, что ф = А  t2, где А - положительная постоянная. Найдите
силу, действующую на точку в момент времени t, если линейная ско-
рость в этот момент времени равна V.
• 1.111. К бруску массой т, лежащему на
f горизонтальной плоскости, приложили посто-
янную по модулю сиду	В процессе
прямолинейного движения бруска угол а меняется
по закону а b  S, где b - постоянная; S - Путь,
пройденный бруском. Найдите скорость бруска в тот момент, когда
угол а = п/2. Коэффициент трения между плоскостью и бруском
равен /4
•	2.112.1очка А движется по дуге окружности радиусом г. Ее ли-
нейная скорость зависит от дуговой координаты I по закону
V = bV7, где b - постоянная. Найдите угол а между силой F, под дей-
ствием которой происходит это движение, и скоростью V как функ-
цию координаты t.
•	2.113. При падении тела с большой высоты его скорость Vj при уста-
новившемся движении достигает 80 м/с. Определите время т, в течение
которого, начиная от момента начала падения, скорость становится
40
равной 0,5 Vi. Сила сопротивления воздуха пропорциональна скоро-
сти: Fc=-rK,raer = const.
•	2.114. Тело массой т движется замедленно по окружности радиусом
г так, что его тангенциальное а? и нормальное ускорения равны ме-
жду собой по модулю. В начальный момент времени телу была сооб-
щена скорость Ко. Найдите скорость V и силу, действующую на тело, в
зависимости от пройденного пути.
•	2.115. Материальная точка массой т движется вдоль оси х под дей-
ствием силы Fx == Fo sin oof, где Fo и со - постоянные. Найдите зависи-
мость координаты этой точки от времени. Изобразите графически за-
висимость силы, скорости и координаты от времени.
•	2.116. Материальная точка массой т движется вдоль оси х под дей-
ствием силы Fx - - к • х , где k - положительная постоянная. Найдите
уравнение движения х=Х0, если в начальный момент времени
х(0) = 0, х(О) = Ио.
•	2.117. Частица массой m движется по плоскости под действием по-
стоянной по модулю силы F, направление которой поворачивается в
этой плоскости с постоянной углоаой скоростью (о. В момент времени
t = 0, v0 = 0. Найдите модуль вектора скорости v(r).
•	2.118. Найдите, чему равна скорость и ускорение тележки, движу-
щейся под действием постоянной горизонтальной силы F, если на те-
лежке лежит песок, который высыпается через отверстие в платформе
тележки. За t ~ 1 с высыпается масса песка Лт. В момент времени t - 0
скорость тележки равна нулю. Масса песка и тележки вместе равна Л/.
41
•	2.11’9. Тело массой m движется так, что его координата меняется по
закону х = А • sinait, где А и а) - постоянные. Найдите зависимости ско-
рости v(r) н силы Г(х) от координаты.	;
•	2.120, Двигатель тормозящей системы развивает ситу тяги, пропор-
циональную времени F ~ -kt, где к - постоянная. Пренебрегая трением,
определите: через сколько времени от момента включения тормозного
двигателя тело массой т остановите#. В момент включения двигателя
скорость равна vQ. Масса двигателя много меньше массы тела.
-if
42
Л Тема* Динамика вращательного движения
твердого тела
е* 3.1. Колесо вращается так, что полное ускорение
у направлено под углом к скорости. Как направлены
угловая скорость, угловое ускорение, момент силы н
.момент импульса?
* 3-2. Катушку тянут за йить с силой F. Чему равны
моменты сил, действующих на катушку,
I \ £ ) у относительно точки О? Как’ Направлены моменты
этих сил? Горизонтальная поверхность шероховатая.
у	, » 3.3, К телу в точках Д и В приложены дае. силы
равные по, модулю. Чему равны моменты
i /а / . этих сил относительно точки О и как оии
Jyr*	направлены? Чему равен результирующий клиент
- •.<; -ЭТИХСИЛ?:;
• 314. Шар катится Ъверх по наклонной пйоскосТи с
, f	угдом наклойа а. Какйё силы действуют на * шар и
^Х/>1 нему равны ьпилёнты-этих сил Относительно точки
х>_J	
JIJ1 • 3.5. Два тела массами mi и (mi > т2) подвешены
/|Тлг на нити, перекинутой через блок. Какие силы
L J т. создают вращающий момент? Как направлен
/«! .	результирующей момент Сил?
• 3.6. Колесо вращается так, что тангенциальное
ускорение и скорость точки В направлены в
противоположные стороны, как показано на
( . )р рисунке. Как Направлены момент сил, уомент
\ У г|грипульса, угловая скорость,’ угловое ускорение и
полное ускорение точки В относительно центра
вращения?
3 Катушку тянут за ИИть с силой F . Кадие силы
Действуют на катушку м^ему.равны моуенты этих
( ( W J )	<>тносительно точки /Э? Как направлены моменты
\Л*~Ху	этих сил? Горизонтальная поверхность Шероховатая.
иммиммМВБшяимв|в
43
о
•	3.8. Тело совершает колебания относительно точки
О. Чему равен момент силы? Как направлены момент
силы и момент импульса при движении маятника к
положению равновесия? Меняется ли их направление
после прохождения положения равновесия?
•	3.9. Какие силы действуют на шар, который
вкатывается без проскальзывания вверх по наклонной
плоскости? Чему равны моменты этих сил
относительно точки О и как они направлены?
•	ЗЛО. Два тела массами и m2 = m2) подвешены
к двухступенчатому блоку, как показано на рисунке.
Какие силы создают вращающий момент? Как
направлен результирующий момент сил?
•	3.11. Колесо вращается так, что полное ускорение и
скорость направлены как показано на рисунке. Ось
вращения перпендикулярна плоскости колеса. Как
направлены момент ^ил, момент импульса, угловые
скорость и ускорение колеса, нормальное и
тангенциальное ускорения точки В относительно
центра вращения?
•	3.12. Тело массой т, подвешенное на нити,
движется так, что нить описывает боковую
поверхность конуса, в основании которого
окружность радиуса Л Чему равны моменты сил,
действующих на тело, относительно точки О и как
они направлены?
• 3.13. Какие силы действуют на скатывающийся без
проскальзывания шар? Чему равны моменты этих сил
относительно точки О? Как они направлены?
• 3.15. С помощью силы F Каток массой т н
радиусом R перекатывают через ступеньку высотой
h. Чему равны моменты всех сил относительно точки
О?
•	3.16. Колесо вращается так, что тангенциальное
ускорение совпадает по направлению со скоростью.
Как направлены угловая скорость, угловое
ускорение, момент силы, момент импульса колеса и
полное ускорение точки В относительно центра
вращения?
•	3.17. Два тела массами и т2 связаны нитью,
переброшенной через блок. При опускании тела т2,
блок приводится во вращение. Какие силы создают
вращающий момент? Укажите направление
результирующего момента сил.
•	3.18. Тело брошено горизонтально поверхности
Земли со скоростью Fa. Чему равен момент силы,
действующий на тело во время полета, относительно
точки бросания О и как он меняется с течением
времени?
•	3.19. К шероховатой поверхности на веревке
подвесили шар радиусом Я так, что точка подвеса
находится на одной вертикали с центром тяжести
(масс). Укажите силы, действующие на шар, и
моменты всех сил относительно точки О.
•	ЗЛО. Тело бросиДи под углом а к горизонту с
начальной скоростью Кд. Как с течением времени
меняется момент силы тяжести относительно точки
бросания О и какой направлен?
• 3.14. Лестница длиной t и массой т приставлена к
стене. Какие силы действуют на лестницу и чему
равны моменты этих сил относительно точки О?
Напишите1 условие равновесия моментов сил.
• 3.21. Система состоит из трех материальных точек,
расположенных в вершинах равностороннего
треугольника. Во сколько раз момент инерции этой
системы относительно оси О1О1 больше момента
44
45
инерции относительно оси ОО, проходящей через центр масс
системы?
• 3.21. Система состоит из трех материальных
точек каждая массой т, расположенных в
вершинах равностороннего треугольника со
r'x m стороной I На сколько момент инерции этой
——системы относительно осй, проходящей через
вершину О, больше момента инерции
относительно оси, проходящей через центр
масс С? Обе оси перпендикулярны плоскости
рисунка.	1 '
9
_	• 3.23. На сколько момент инерции системы трех
одинаковых стержней отяосйтельно оси OiOt
. т больше мЬмента инерций1 относительно оси ОО?
Каждый стержень имеет МДесу Ь и длину /,

• 3.24. Определите момент инерции системы
' шариков массами т, 2т и Зт Ътносительно оси,
т г Зд» перпендикулярной к прямой, на которой
,.ф..	— расположены шарики, и проходящей через: а)
первый; 6) второй; в) третий шарики. Шарики
считать материальными точками.
•	3.25г Во сколько раз момент инерции сплошного
диска относительно оси, проходящей через точку Oh
перпендикулярно плоскости диска, больше момента
инерции относительно оси, параллельной первой, и
проходящей;через точку О?
•	3.26. Система состоит из друх тонких стержней
массой т и длиной Z каждый, скрепленных между
собой, как показано* * на рйСунке. Найдите момент
инерции этой) системы^ относительно оси ОО,
I проходящей через > коню оююго стержня и
параллельной другому стержню.
• 3.27. Однородный диск радиусом R имеет круглый
вырез, как показано на рисунке. Масса оставшейся
Л части диска щ. Найдите додеит инерции такого
// диска относительно оси, прохладцей через точку О
z перпендикулярна плоскости рисунка.
46
• 3.28. Система состоит из дйух тонких стержней
массой т и длиной / каждый, Скрепленных между
собой, как показано на рисунке. Найдите момент
инерции этой системы относительно оси,
проходящей через точку , О перпендикулярно
плоскости рисунка. Изменится ли момент инерции
этой системы, если угол между стержнями увеличить?
\О
•	3.29. Во сколько раз момент инерции системы
двух шаров (рис.о) больше момента инерции
одного шара (рис.й). Оси вращения указаны.
Массы и радиусы шаров одинаковы.
•	3.30. Чему равен момент инерции диска I
радиусом г относительно оси ОО, когда из него
вырезали диск радиусом
Толщина диска Ь,
плотность р.
•	3.31., На сколько момент инерции системы
сплошных шаров относительно оси О\О{ больше
момента инерции этой же' системы относительно
оси 007 Массы шаров одинаковы и равны т,
радиусы шаров г и 2г, расстояние между
центрами шаров равно 5г.
•	3.32. Дана система, состоящая из четырех
материальных точек массой т каждая и
расположенных вверщицах гаадрата со стороной
а. На сколько момент инерции этой системы Ц
относительно оси O|Oi больше момента инерции
/относительно оси ОО, проходящей через Центр
масс системы и параллельной	’ **
•	3.33. Медный диск радиусом и толщиной b
имеет два выреза радиусами г. Центры вырезов
находятся на окружности радиусом Я/2.
Определите момент инерции дисЦ относительно
осщлфоходяшей черед точку О перпендикулярно
даску^	уи
• 3.34. Два маленьких Шарика массами т\ и т2 соединены стержнем Z,
масса которого мала. Система вращается вокруг оси, проходящей
47
через центр масс перпендикулярно стержню. Определите момент
инерции этой системы.
•	3.35. Момент инерции сплошной пластины
относительно оси, проходящей через точку О
перпендикулярно ее плоскости, равен 10. Из
пластины вырезали два диска массой т и
радиусом г каждый. Чему равен момент инерции I
такой пластины относительно той же оси?
•	3.36. Проволочный равносторонний треугольник
О V /д со стороной b и массой mt равномерно
\	/ распределенной по длине проволоки, может
О,	0! вращаться относительно осей ОО или OiOt, На
сколько момент инерции треугольника
относительно оси больше, чем относительно оси ОО?
(Ли
О
•	3.37. Определите момент инерции системы
одинаковых тонких стержней массой m и длиной
I каждый относительно осей О и Ot
№ 1 перпендикулярных рисунку.
•	3.38. Проволочный равносторонний треугольник
шЛ^\ с0 ст0Р°н°й и массой т может вращаться
/ \ ' относительно оси, проходящей через вершину
/	перпендикулярно его плоскости. Определите
f,	момент инерции его относительно этой оси.
•	3.39. Дана система двух стержней одинаковой
дяй№1 и массы. Во сколько раз момент инерции
этой системы относительно оси OjOi больше
момента инерции относительно оси, проходящей
через точку О перпендикулярно плоскости
рисунка?
•	- 3.4& Дана система, состоящая из четырех
материальных точек массой m каждая и
расположенных в вершинах квадрата со стороной
а. На сколько момент инерции этой системы
относительно оси, проходящей через точку О и
перпендикулярной рисунку больше момента
инерции относительно оси, проходящей через точку О,
48
•	3,41. Шар радиусом R = 0,20 м и массой т = 10 кг вращается вокруг
оси, проходящей через его центр. По какому закону меняется момент
силы и момент импульса шара, если угловое ускорение шара меняется
со временем по закону е = At с2, где А ~ 2 с~3. В начальный момент
времени (/ = 0) шар покоился.
•	3.42. Маховик, масса которого т ~ 50 кг равномерно распределена по
ободу диаметром d = 0,50 м, вращается равноускоренно. Число
оборотов при этом увеличивается от 0 до 2 об/с в течение времени
At = 10 с. Определите момент силы, действующей на маховик, и его
4 момент импульса через 5,0 с после начала движения.
•	3.43. Обруч начинает вращаться так, что полное ускорение точек
обода а = 2,0 м/с, а тангенциальное ускорение а, = const. Чему равен
* момент силы и момент импульса в момент времени, когда скорость
обруча К = 0,6 м/с, Масса обруча т 0,50 м, радиус г = 0,25 м. Ось
вращения проходит через центр обруча перпендикулярно его
плоскости.
• 3.44. Маховик М в виде плоского диска
радиусом Л - 1,0 м и массой т = 900 кг жестко
связан со шкивом К. К шкиву, радиус которого
............"Vy г = 0,15 м, приложена постоянная сила F = 500 Н,
направленная по касательной. Определите, через
' какое время после начала вращения маховик
достигнет угловой скорости ш=6,28 с"1. Маховик считать одно-
родным диском.
•	3.45. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его
середину перпендикулярно стержню по закону <р = At + Bi3 рад, где
А = 2 с"1, В = 0,2 с'3. Определите момент силы и момент импульса в
момент времени 2,0 с. Масса стержня 2,0 кг, длина 1,0 м.
•	3.46. С какой силой следует прижать тормозную колодку к колесу,
вращающемуся с частотой v= 30 с"1, для его остановки в течение At =
>	= 20 с? Масса колеса равномерно распределена по ободу и равна т =
4	= 10 кг, диаметр колеса d = 20 см. Коэффициент трения между
Ж колодкой и ободом р = 0.50.
™	• 3.47. Сплошной циливдр массой т = 6,0 кг и радиусом Я = 20 см
свободно вращается воюуг своей оси с частотой v- 0,50 с-1. Найдите
тормозящий момент Л/, считая его постоянным, если цилиндр
остановился, сделав до полной остановки N— 10 оборотов.
49
•	3>48. Колесо массой т = 0,20 кг и радиусом Я « 0,50 м начинает
вращаться вокруг оси, проходящей через центр колеса
перпендикулярно его плоскости. Тангенциальное ускорение точек
обода, колеса меняется по закону а, ~ At м/с2, где А = 2,0 мс3. Чему
равны момент сил и момент импульса колеса в момент времени / “
= 4,0 <;? Сколько оборотов jV сделает колесо за это время?
•	3.49. Маховик в виде сплошного диска вращается вокруг своей оси,
проходящей через центр диска перпендикулярно его поверхности. Под
действием постоянного тормозящего момента М = 0,50 Им маховик
остановился, сделав У = 6 оборотов С какой частотой v вращался
маховик, если его масса т = 2,0 кг9 а радиусЯ = 10 см?
•	3,50. Сплошной щар массой 1,0 кг и радиусом 0,05 м свободно
вращается вокруг оси, проходящей через его центр В точке, наиболее
удаленной от оси вращения, на шар действует сила, касательная к
поверхности. Угол поворота меняется по закону <р А + В t -
- Ci (рад), где А = 2 рад, В = 20 с"1, С = 1 с~2. Определите величину
тормозящей силы, тормозящий момент и время до остановки.
•	3.51. К колесу, вращающемуся с Частотой v = 2,0 с1 прижали
тормозную колодку с силой 10 Н, Определите коэффициент трения ц
мЬаду колесо^ и колодкой, если колбсо остановилось через At «= 12 с
Масса колеса )п ~ 5,0 кг равномерно распределена по ободу радиусом
К- 10см.
•	3.52. Маховик в виде сплошного диска радиусом г = 20 см вращается
с частотой v = 360 мин1 относительно оси, проходящей через.центр
Диска, перпендикулярно его плоскости. Под действием постоянного
тормозящего момента Л/ = 0,38 Нм ои останавливается, сделав № =
= бОоборотов Найдите массу диска.
о г
•	3.53. Шар массой 12 кг и диаметром 0,30 м вращается вокруг 0$и,
проходящей через еЬо центр масс по закону А-В t + С • ? (рад),
где А == 4 рад, В	С - 0,2 с'2. ОпЬёДелиТе момент сил,
действующий на шар, й йЬмент времени t = 6,0 с. По какому закону
меняется момент импульса?	1
•	3.54. Маховик массой т = 5,0 кг свободно вращается вокруг
Горизонтальной оси, проходящей Через цеНр, делая 720 дб/мия. При
торможении маХЬвик бе&ЙовилСя через At ~ 20 tP Зайдите
тормозящий момент и чиеко оборотов, сделанных маховиком до
50
полной остановки Считать, что масса маховика распределена по ободу
радиусом г = 20 см.
•	3.55. Обруч массой т - 2,0 кг и радиусом R - 50 см начинает
вращаться с постоянным угловым ускорением вокруг оси, проходящей
через центр масс перпендикулярно плоскости обруча. Через время
zk = 2,0 с после начала движения обруч совершил У ~ 10 оборотов.
Чему равны момент силы и момент импульса в этот момент времени?
•	3.56. Маховик в виде сплошного диска массой т = 4,0 кг и радиусом
R = 10 см вращается с частотой v == 1,0 с'1 К поверхности диска
прижали тормозную колодку с силой F = 5,0 Я, в результате чего
маховик остановился через At = 12 с. Найдите угловое ускорение и
коэффициент трения тормозной колодки по поверхности диска.
♦	3.57. Сплошной шар массой т = 2,0 кг радиусом-/? = 10 см вращается
вокруг оси,' проходящей через его центр. Угол поворота шара меняется
по закону <р = А + В t~C I2 (рад), где А = 2 рад, В = 4 с~г, С = 6 с 2.
По какому закону меняется момент импульса? Сколько оборотов N
сделает шар до полной остановки?
м	• 3.58. На покоящийся сплошной цилиндр массой
ш и радиусом R действует момент сил,
М’	изменяюйЙгЙся со временем, как показано ца
/ I	рисунке Определите конечную угловую
О t, 2	1 скорость	*
•	3.59. Два одинаковых диска вращаются с одинаковой урдо^ой
скоростью Один из них вращается относительно1 осй, проходящей
через центр масс, перпендикулярно4 плоскости диска, а другой -
относительно оси, проходящей через Край диска и параллельной
первой Под действием одинаковых Тормозящих моментов сил они
останавливаются Во сколько раз время остановки второго диска
больше первого?	'	*
•	Зг60. Обруч массой т = 5 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг
оси, проходящей через его центр. Угол поворота обруча меняется со
временем по закону (р~ Bt1 + С?, где В = 4 с~2, С=~1 с~3 По какому
‘закону Меняется мЙмекг сил, действующих на обруч? Определите
момент сил и момёнт имйульса в Момент кремейи t = 2 'с
i	'
51
•	3.61. На однородный сплошной цилиндр массой т н
радиусом R плотно намотана легкая нить, к которой
прикреплено тело массой /^.Найдите угловое ускорение
цилиндра, если трением в оси можно пренебречь*
•	3.62. Через блок перекинута нерастяжимая и
невесомая нить, к концам которой прикреплены грузы
и т2 (т\ > т2). Найдите линейное ускорение грузов и
силу давления на ось блока, если блок - однородный
цилиндр массой т0.
•	3.63. Сплошной диск, наглухо насаженный на вал, на
который намотаны две нити одинаковой длины,
опущен без толчка. Масса диска т, диаметр D. Масса
выступающих частей вала диаметр d. Определите
ускорение центра масс диска и силу натяжения каждой
нити. Вал и диск сделаны из одного материала.
•	3.64. Тело приводится во вращение вокруг
горизонтальной оси с помощью падающего груза,
привязанного к шнуру, предварительно намотанному на
вал. Экспериментально было определено, что при массе
груза т = 2,0 кг за время t = 6,0 с груз опускается на
расстояние h ~ 2,0 м. Пренебрегая силой трения,
определите момент инерции тела, если радиус вала г =
8,0 мм
/
•	3.65. Маховик в виде двухступенчатого шкива с
большим диаметром D ~ 10 см и меныним d =
= 5ft см имеет момент инерции 1 = 8,0 • 10'7 кг • л<2.
Невесомая нить с грузом массой т - 200 г поочередно
наматывается в первом случае на шкив малого
диаметра, а во втором - на шкив большего диаметра. В
обоих случаях груз опускается на одну и ту же высоту.
В каком случае время опускания груза больше и во
сколько раз?
•	3-66. Невесрмая и нерастяжимая нить, перекинутая
через фюк с .неподвижной осью, пропущена через щель.
На концах нити подвешены грузы массами mt и т2.
Определите ускорение грузов, если при движении нити
на нее со стороны щели действует постоянная сила
52
трения Еф Блок считать однородным диском мас-
сой т0.
•	3.67. Две нити намотаны на ступенчатый блок,
момент инерции которого I и радиусы R н г (R > г). К
свободным концам нитей прикреплены грузы
массами т\ и т2 (тг > т2) Определите ускорение
грузов, если угол наклонной плоскости а Трением
пренебречь.
•	3.68. Через неподвижный блок, перекинута
нерастяжимая и невесомая нить, на которой
подвешены грузы тх н т2 (т{ > т2). Считая блок
однородным диском массой то, найдите натяжения
нитей. Трением в оси блока-пренебречь.
•	3.69. Однородный сплошной цилиндр массой тп
висит в горизонтальном положении на двух
намотанных на него невесомых нитях. Цилиндр
отпускают без толчка. Какое натяжение испытывает
при опускании цилиндра каждая из нитей?
•	3.70. На ступенчатый цилиндрический блок,
радиусы которого R и г, намотаны в
противоположных направлениях две легкие нити, к
концам которых привязаны одинаковые грузы
массой т. Момент инерции блока I Определите
угловое ускорение блока и натяжение нитей.
•	3.71. На однородный сплошной цилиндр массой т0
и радиусом г плотно намотана легкая нить, к концу
которой прикреплено тело массой mi. Найдите
среднюю величину тормозящего момента сил в оси
цилиндра, если через промежуток времени t после
начала движения скорость тела стала равной К
•	3.7?. На полный тонкостенный цилиндр иамотаиа
нить, свободный коцед которой прикреплен "к потолку.
Нить разматывается под действием собственного веса
цилиндра. Найдите ускорение центра масс цилиндра и
силу натяжения нити. Массой и толщиной нити можно
пренебречь. (Нить при движении остается
вертикальной)
53
s
• 3.73. Тонкая нерастяжимая нить намотана
на вал, момент инерции которого Z и радиус
Л, а затем перекинута через блок радиусом /;
массой т\. К свободному концу нити
подвешен груз массой т2. Найдите линейное
ускорение груза т2- Блок считать
однородным диском.
•	3.74. На двух параллельных горизонтальных
брусьях лежит сплошной цилиндр радиусом R и
массой т, ял который намотана невесомая и
нерастяжимая нить. К опущенному вниз концу нити
приложена вертикальная сила F, равная 0,5m?
Найдите горизонтальное ускорение центра масс цилиндра и
минимальное значение коэффициента трения между цилиндром и
брусьями, при котором будет происходить качение без скольжения
Ось цилиндра перпендикулярна брусьям, центр его^тяжести и сила F
лежат в вертикальной плоскости, проходящей посередине между
брусьями.
•	3.75. Катушка Массой m подвешена на невесомой
нити, намотанной на ее меньший радиус г. На
больший радиус катушки намотана вторая нить, на
конце которой висдо груз. Какова масса груза, если
система находится в равновесии9
т • 3.76. Брусок А массой тх = 0,2СГкг движется
по столу, брусок В массой т2 = 0,30 кг подвешен
-JI g на невесомой инти, перекинутой через блок
I Ход массой m 0,50 кг и радиусом R = 10 см Блок
 я считать однородным диском Ускорение системы
й-2,0м/с? Чему равен коэффициент трения?
огородный сплошной цилиндр массой т
^4 ]	и радиусом Я намотана легкая нить, к концу которой
I	}	прикреплено fefto МасСой УПр В момент времени t ~
= ^иетема пришла в движений. Пренебрегая
L-	треййем в оси цилиндра, найдите зависимость
' "	’ угловой скорости от времени. * 1 1
!	L
54
• 3.78. На однородный блок массой т = 1,80 кг и радиусом Я = 5,0 см
намотана невесомая нить, к концу которой прикреплено тело массой
= 0,60 кг Найдите величину тормозящего момента в оси блока, если
через t 2,0 с после начала движения скорость тела V = 1,50 м/с.

• 3.79. Однородная тяжелая веревка, концы которой
закреплены на однойJ вертикали, охватывает
невесомый обруч. С каким ускорением обруч падает,
если его отпустить?
• 3.80. В системе, изображенной на рисунке,
известны масса груза mb момент инерции
ступенчатого вала Z, его масса т и радиусы г и 2г
Определите ускорение груза после того, как
система представлена самой себе. Считать, что
при д вижении нити остаются вертикальными.
• 3.81. С наклонной плоскости скатывается без скольжения сплошной
цилиндр и тележка. Массы тележки и цилиндра одинаковы, (массой
колес тележки пренебречь). Какое тело скатится быстрее Иво скойъко
раз? Как изменится результат, если масса тележки будет в два раза
больше массы цилиндра?
• 3.82. Однородный щ1ск радиусом R и массой т
лежит на шероховатой поверхности. На боковую
поверхность плотно намотана нить, к свободному
концу которой приложена сила F. После начала
движения диска точка В переместилась на
растояние I в точку В'. Найдите угловую скорость
диска к этому мгновению.
* 3.83. Установка состоит из двух одинаковых
сплошных однородных цилиндров, на которые
симметрично намотаны две легкие нити. Найдите
55
натяжение каждой нити в процессе движения» если масса каждого
цилиндра равна т. Трение в оси верхнего цилиндра пренебрежимо
мало.
•	3.84. Катушка массой ш, радиусами R и г и
моментом инерции I находится на наклонной
плоскости с углом наклона а. На катушку навита
легкая нить, свободный конец которой прикреплен
к стойке так, что при соскальзывании катушки
нить остается параллельной наклонной плоскости.
Найдите ускорение оси катушки, если
коэффициент трения катушки с наклонной
плоскостью равен ц.
•	3.85. На полый тонкостенный цилиндр Массой ш
намотана нерастяжимая и невесомая нить
Свободный конец нити прикреплен к потолку
лифта, движущегося в однородном поле тяжести
Земли вниз с ускорением а&. Цилиндр
предоставлен самому себе Найдите ускорение
центра масс цилиндра относительно лифта и силу
натяжения нити. Считать, что нить направлена
вертикально.
•	3.86. Сплошной цилиндр массой ш может
катиться но горизонтальному столу без
скольжения. На цилиндр намотана нить, второй
конец которой переброшен через невесомый блок
и к нему подвешен груз такой же массой т.
Предоставленная самой себе, система пришла в
движение. Найдите силу трения между цилиндром
и столом, пренебрегая трением в оси блока.
•	3.87. На горизонтальной шероховатой
поверхности лежит катушка массой т, моментом
\	инерции 1 относительно ее оси. На катушку
 намотана невесомая и нерастяжимая нить. Pafoyc
внешнего слоя витков г, радиус торцов катушки R.
Коэффициент трения между катушкой и плоскостью равен ц. lonyfaky
без скольжения начали тянуть за нить с силой F под углом о/ЦаЙдите
модуль и направление ускорения оси катушки.
56
•	3.88. С наклонной плоскости под углом а скатываются без
скольжения сплошной н тонкостенный цилиндры. Какое из тел
скатится быстрее и во сколько раз ? Рассмотрите случаи: a) иц = m2, Г]
= r2; 6) mi = m2, г1 > г2, с) ml > m2, п > r2
•	3.89. Сплошной однородный цилиндр радиусом R, который
вращается вокруг своей оси с угловой скоростью со, положили боковой
поверхностью на горизонтальный стол. Найдите время, в течение
которого цилиндр будет катиться по столу, если коэффициент трения
между цилиндром и столом равен ц.
•	3.90. Однородному цилиндру сообщают начальную скорость Vo, в
результате чего он начинает катиться без скольжения вверх по
наклонной плоскости с углом наклона а. На какую высоту поднимется
цилиндр ?
• 3.91. Сплошной однородный цилиндр массой
«Ь ( Aj mb может свободно вращаться вокруг
V J 7 горизонтальной оси, которая укреплена на
подставке массой ш2 На цилиндр плотно
nii намотана легкая нить, к которой приложена
постоянная горизонтальная сила F. Трение
между подставкой и поверхностью отсутствует. Найдите ускорение
нити
л • 3.92. На тонкостенный цилиндр намотана тонкая
нить, конец которой закреплен на стойке так, что при
соскальзывании цилиндра с наклонной плоскости
( •	нить остается параллельной наклонной плоскости.
Какую скорость приобрел цилиндр, если его ось
------------ прошла расстояние 1 ? Угол наклона плоскости а,
коэффициент трения между плоскостью и цилиндром равен р.
• 3.93. Однородный шар радиусом R скатывается без скольжения с
высоты b по наклонной плоскости. Угол наклона плоскости равен а.
Начальная скорость шара равна нулю. Найдите скорость центра масс и
угловую скорость вращения шара в момент выхода на горизонтальный
г	участок.
• 3.94. По горизонтальной поверхности стола
w irfir ।.I,.й	катится катушка, момент инерции которой
Г	L	относительно ее оси I и масса ш На катушку
I		намотана нерастяжимая и невесомая нить, к концу
которой прикреплен груз массой mb нить перекинута через невесомый
блок. Радиус внешнего слоя витков катушки г, радиус торцов R.
Найдите силу трения между катушкой н столом.
• 3.95- На горизонтальной поверхности лежит
катушка массой ш. Момент инерции катушки
относительно ее оси I, радиусы R и г. Катушку начали
тянуть по горизонтальной поверхности за
нерастяжимую и невесомую нить, намотанную на
меньший радиус с силой F под углом а к горизонту.
Найдите ускорение, с которым будет двигаться ось катушки, если
катушка катится без Ькольжения.
* 3.96. По наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом,
скатывается без скольжения шар. Найдите линейное ускорение центра
масс шара.
• 3.07. Оси тонкостенного и сплошного цилиндров
соединены невесомой штангой. Цилиндры
скатываются без проскальзывания по наклонной
плоскости с углом а. Радиусы цилиндров
одинаковы, масса каждого цилиндра ш.
Определите силу натяжения штанги.
•	3.98. Две прочные линейки расположены параллельно друг другу на
расстоянии d - 2,0 см под углом а 5е к горизонту. С каким
ускорением будет катиться без скольжения по ним шарик, радиус
которого 1,5 см ?	1	f
•	&99. С наклонной плоскости скатывается без скольжения
однородный диск массой пъ НаЙдите силу трения, если угол наклона
плоскости к горизонту равена.
« 3.100. По горизонтальному столу катится без
скольжения диск массой ш, на который намотана
нерастяжимая и невесомая нить. Ко второму
концу нити, переброшенному через невесомый
блок, подвешен груз массой тщ Систры^
предоставлена самой себе. Найдите силу
натяжения нити и ускорение центра масс д иска.
'	Ж
•	3.101. Найдите момент инерции тонкого однородного Стержня
длиной I и массой т относительно оси, перйен^икулярнойк стержню
ипроходяТцей $рез его Центр масс.
58
•	3.102. Найдите момент инерции однородного круглого сплошного
цилиндра относительно оси, перпендикулярной к оси симметрии
цилиндра и проходящей через его центр. Масса цилиндра т, радиус Я,
высота Л.
•	3.103. Цилиндрическая муфта имеет массу т, внутренний радиус
равен г, внешний - Я Найдите момент Инерции муфты относительно
оси, совпадающей с осью симметрии.
•	3.104. Найдите момент инерции тонкого однородного диска массой
m и радиусом Я относительно оси, проходящей через диаметр.
•	3.105. Полый шар имеет массу т. Внешний радиус шара равен Я,
внутренний - г Вычислите момент инерции шара относительно осн,
проходящей через его центр.
•	3.106. Найдите момент инерции однородной прямоугольной
пластинки массой т, длиной / и шириной b относительно
перпендикулярной к ней оси, проходящей через центр пластинки.
•	3.107. Найдите момент инерции тонкого однородного стержня
длиной I и массой m относительно перпендикулярной к стержню оси,
проходящей через конец стержня.
•	3.108. Найдите момент инерции однородной пирамиды массой т,
основанием которой служит квадрат со стороной /, относительно оси,
проходящей через вершину и центр основания.
•	3.109. Стальная однородная пластинка толщиной d имеет форму
прямоугольника со стороной а и Ь (а < 6). Определите момент
инерции пластинки относительно оси ОО, проходящей через центр
масс пластинки параллельно меньшей стороде.
•	3.110. Найдите момент инерции однородного куба массой т
относительно оси, проходящей через центры противоположных
граней. Длина ребра куба /.
• 3.111. Найдите момент инерции тонкого
' т ♦1 однородного стержня длиной И, и массой m
относительно оси ОО, проходящей через
'	центр масс стержня под углом а
а

о
прямоугольной
•	3.112. Имеется однородный прямой круглый
цилиндр. Определите, при каком отношении высоты
цилиндра Н к его радиусу R моменты инерции
относительно осей 00 и О\О\, проходящих, через
центр масс, будут одинаковы ?
•	3.113. Найдите момент инерции однородной
пластинки массой т, длиной I и шириной b
относительно перпендикулярной к ней оси, проходящей через одну из
вершин пластины.
•	3.114. Найдите момент инерции тела массой m
отндсительно оси, проходящей через точку О
перпендикулярно плоскости рисунка. Тело имеет
форму диска радиусом R, в котором сделан
квадратный вырез со стороной а.
•	3.115. Плотность цилиндра длиной I и радиусом R изменяется с
расстоянием от оси вращения линейно от значения р до Зд Найдите
момент инерции цилиндра относительно его оси.
•	3.116. Кинолента плотностью д толщиной b и шириной I движется
со скоростью V. Момент инерции катушки без пленки Zo, радиус г0.
Определите зависимость момента инерции катушки с пленкой от
времени.
•	3.117. Прямой круглый однородный конус имеет массу т и радиус
основания Найдите момент инерции конуса относительно его оси
симметрии.
•	3.118. Найдите момент инерции шара радиусом R и массой т
относительно оси, проходящей через центр шара.
•	3.119. Плотность диска радиусом R и толщиной
d изменяется с расстоянием от оси ОО вдоль
радиуса линейно от значения р\ до pi = 2/h-
Найдите момент инерции диска 1 относительно
оси OiOh проходящей через край диска
перпендикулярно его плоскости.
•	3.120. Найдите момент инерции тонкого
однородного стержня длиной I и массой ш
относительно оси 00, проходящей через конец
стержня под углом а
60
4. Тема: Законы сохранения импульса, энергии
и момента импульса
•	4.1. Деформация пружины меняется со временем
по гармоническому закону. Изобразите графически
зависимости потенциальной, кинетической и
полной энергии от времени для тела массой т,
прикрепленного к пружине.
-2 0 2
•	4.2. Зависимость потенциальной энергии тела от
его положения изображается параболой. По
какому закону изменяется сила, действующая на
тело? Покажите эту зависимость графически.
•	4.3. Материальная точка движется вдоль оси х
под действием силы Fx. Сравните работу силы и
изменение кинетической энергии (Д£к1 и А Ек1)
на участке ОС в двух случаях, когда зависимость
F(x) задана графиками 1 и 2, изображенными на
рисунке.
•	4.4. Два тела соскальзывают без начальных
скоростей с наклонных плоскостей 1 » 2,
цмеющих одинаковую высоту, но разные
основания. Сравните скорости тел F} и V2 в конце
наклонных плоскостей, если коэффициенты
трения в обоих случаях одинаковы и не равны нулю (/л = /4г * 0).
• 4.5. Дан график зависимости силы,
действующей на тело от координаты х.
Изобразите график зависимости потенциальной
энергии тела от координаты х. (Fy ~ Гг- 0).
• 4.6. Постоянная сила( совершает работу.
График зависимости работы от времени Я(г)
изображен на рисунке. Каков характер движения
тела? Постройте график зависимости мощности
от времени, если участок ОС - парабола, СВ -
прямая.
61
j|	• 4.7. Тело соскальзывает из точки А в точку В один
Д	раз по дуге 1, другой раз по дуге 2. Дуги имеют
\ 2 \ одинаковую кривизну и коэффициент трения // в
В обоих случаях один и тот же. В каком случае
	.-^г_т скорость тела в точке В больше ?
•	4.8. Изобразите графики зависимостей потенциальной, кинетической
и полной энергии от высоты для тела, брошенного вертикально вверх с
начальной скоростью Ио.
•	4.9. Зная, что сила тяжести тела зависит от расстояния по закону
F -х г"2 для расстояний г больших радиуса Земли (г > 7?3), изобразите
графики зависимостей силы и потенциальной энергии тела от рассто-
яния л
•	4.10. Камень бросили под углом а к горизонту.
/ Изобразите зависимость мощности от времени,
если работа силы тяжести изменяется от времени па-
раболически.	'
•	4.11. Два тела равной массы начали
одновременно двигаться в поле тяжести по
поверхйостям, показанным иа рисунках, с
одинаковыми начальным^ скоростями Vo. Как
будут отличаться скорости тёЯ к моменту прибытия
в точку С, если: а) щ	= 0; б) /4 =#> * * 0?
♦	4.1Х Потенциальная энергия тела при взаи-
модействии с тонким шаровым слоем радиусом R
г изменяется с расстоянием, как указано на рисунке.
Изобразите Графически зависимость силы
‘ притяжения тела при взаимодействии с шаровым
слоем.
• 4.13. Шарик свободно падает иа горизонтальную поверхность с неко-
торой высоты^ Считая соударение упругим, изобразите зависимости
скорости и потенциальной энергии шарика от времени. Временем уда-
ра пренебречь.' ч	(
62
F	• 4.14. Зависимость силы, действующей на тело от
к	координаты, показана на рисунке. Постройте
О 'Х' * график зависимости потенциальной энергии тела от
\ координаты.(Ку = = 0).
•	4.15. По какой из двух траекторий - гори-
зонтальной ad или состоящей из двух наклонных
участков ас и ab - потребуется совершить
большую работу против сил трения при переме-
щении тела, если коэффициенты трения на всех
участках одинаковы ?
•	4 Л 6. Дан график зависимости силы упругости от
, величины деформации х для двух пружин.
Изобразите графики Зависимости потенциальной
энергии пружины от деформации.
*2

• 4Л7. ДаН график зависимости потенциальной
энергии тела от координаты х при одномерном
движении. Изобразите график *ЗЙгйсимости
силы, действующей на тело, от координаты х.
Участок ОА - парабола.
• 4Л8. Тело бросили под углом а к горизонту с начальной скоростью
К,. Постройте графики зависимости полной, кинетической и потенци-
альной энергии тела от времени.
• 4Л9. Дан график зависимости потенциальной
энергий пружины от величины деформации х.
НаЙдяте работу, совершенную при увеличении
деформации от 2,0 до 4,0 см.
>
• 4.20. Сила притяжения тела к Земле изменяется
с расстоянием г, как показано на риСунке, где Я3'
- радиус Земли. Изобразите график зависимости
потенциальной энергйи тела от расстояния.
Считать, что потенциальная энергия тела на
бесконечности равна нулю.
63
•	4.21. На неподвижный шар налетает движущийся со скоростью V
шар, масса которого в п раз больше массы неподвижного шара. Найди-
те отношение скоростей шаров после центрального упругого удара к
скорости V.
•	4.22. Нейтрон массой та ударяется о неподвижное ядро атома угле-
рода (т = 12 т0). Считая удар центральным и упругим, найдите во
сколько раз уменьшится кинетическая энергия £к нейтрона при ударе.
•	4.23. На тело массой М[, первоначально покоившееся, налетает тело
массой т2у движущееся со скоростью Г2. Найдите скорости тел после
удара. Определите наибольшую энергию, которую налетающее тело
т2 может передать телу Удар центральный, упругий.
• 4.24. Три шара с одинаковыми радиусами, но
различными массами подвешены рядом на нитях
одинаковой длины и соприкасаются. Шар массой
отклоняют, так что он поднимается на высоту
й, и отпускают. При каких массах т2 и т3 все три
шара после соударения первого шара со вторым и
второго с третьим будут иметь одинаковые
импульсы? На какую высоту они поднимутся?
Все соударения считать абсолютно упругими.
•	4.25. Из двух соударяющихся шаров (znt > т2) ббльший шар покоит-
ся. В результате прямого удара меньший шар потерял 3/4 своей кине-
тической энергии. Определите отношение масс шаров —L.
т2
•	4.26. Два шара разной массы подвешены на тонких параллельных
нитях, касаясь друг друга. Меньший шар отклонили на угол 90° и от-
пустили. После удара шары поднялись на одинаковую высоту. Опре-
делите массу меньшего шара, если масса большего шара 0,60 кг, а удар
абсолютно упругий.
•	4.27. Шар массой т, движущийся со скоростью И , налетает на не-
подвижный шар, масса которого т2. Удар центральный и упруги!.
Скорости шаров после удара соответственно равны и г Каким
соотношениям масс соответствуют следующие значения скорости: а)
к;=о; б) к/<0; в) к;>о ?
64
Л -4. Одинаковые упругие шарики массой т,
подвешенные на нитях одинаковой длины в одной
точке, отклоняют в разные стороны от вертикали на
одинаковый угол а и отпускают. Шарики
ударяются и отскакивают друг от друга. Вычислите
силу, действующую на точку подвеса s в трех
случаях: а) при крайних положениях шариков; б) в
Начальный и конечный моменты удара; в) в момент наибольшей де-
формации шариков.
• 4.29. При упругом ударе нейтрона о ядро углерода, нейтрон движет-
ся после удара в направлении, перпендикулярном начальному. Опре-
‘ делите, во сколько раз уменьшится энергия нейтрона в результате уда-
4ра, если масса ядра углерода в п - 12 раз больше массы иё&гроиа.
•	4.30- При упругом столкновении /налетающей
частицы с покоящейся частицей первая полетела под
углом а к направлению первоначального движения,
а вторая - под углом р. Найдите отношение масс
этих частиц.
•	4.31. Два шарика подвешены рядом на нитях
равной длины. Левый шарик отклонили на угол а и
отпустили. После соударения шаров левый оста-
новился, а правый отклонился на угол р. Найдите
отношение масс этих шаров.
^442. Тело массой = 5,0 кг ударяется о неподвижное тело массой
= 2,5 кг, которое после удара начинает двигаться с кинетической
Энергией Ек2 = 5,0 Дж. Считая удар центральным и упругим, найдите
Юшетические энергии £К1 и первого тела до и после удара.
Л
Две одинаковые частицы движутся под углом а друг к другу с
Ильными скоростями И] и И2. После упругого взаимодействия у
К>й из частиц скорость стала равной И/. Найдите угол разлета.
34. Движущееся тело массой тх ударяется о неподвижное тело мас-
t /»2. Считая удар упругим и центральным, найдите какую часть ки-
ической энергии £к1 первое тело передает второму при ударе? За-
iy решите для случаев: а)= т2, б) = 9/и2
65
• 4.35. На гладкой поверхности лежат, касаясь друг
друга, два одинаковых шара массой m и радиусом
каждый. На них налетает такой же третий шар,
движущийся со скоростью И Соударение всех трех
шаров происходит одновременно. Определите
величину и направление скоростей шаров после
упругого удара.
•	4.36. Два шара массами т\ = 0,20 кг и mt = 0J0 кг подвешены на ни-
тях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Первый шар от-
клоняют на высоту ho - 4,5 см и отпускают. На какую высоту подни-
мется каждый шар после удара, если удар: а) упругий; б) неупругий?
о	• 4.37. На два одинаковых неподвижных шара
^7 WT налетает такой же третий, центр масс которого
*	* р движется по средней линии отрезка, соединяющего
центры неподвижных шаров. После упругого удара
налетающий шар останавливается. Каково рас-
стояние S между центрами первоначально неподвижных Шаров, если
радиус шаров Я?
•	4.38. Шар массой летевший горизонтально со скоростью Ио, упру-
го ударяется о шар массой /и, неподвижно висевший на нити длиной L
На какой угол отклонится нить с Шаром т{ после удара?
•	4.39. Ядро атома, имеющее кинетическую энергию WOi распалось на
два осколка равной массы, которые разлетелись со скоростями и К2.
Под каким углом а разлетелись осколки, если их общая кинетическая
энергия после распада стала равной W.
•	4.40. Движущийся бильярдный шар столкнулся с неподвижным ша-
ром. Под каким углом разлетятся шары, если удар упругий и цен-
тральный?	'
. С 4- ♦
•	4.41. Конькобежец массой 70 кг, стоя на коньках на льду, бДОадо в
горизонтальном направлении камень массой 3,0 кг со скоростью
8,0 м/с. На какое расстояние откатится конькобежец, если
коэффициент трения коньков о лед д =* 0,02?	1 '11 *
66
•	4.42. Тело массой т = 0,50 кг бросили вертикально вниз с высоты
hi " 5,0 м со скоростью V == 4,0 м/с. После удара о горизонтальную по-
верхность, тело подпрыгнуло на высоту Л2 = 5,8 А^Зему равна средняя
сила взаимодействия тела с поверхностью, если Время взаимодействия
At - 0,03 с? Каков характер удара?
•	4.43. Баба копра массой пц - 400 кг, используемая для забивки сваи
массой т2 = 100 кг, падает с высоты h = 1,5 м. Найдите среднюю силу
сопротивления грунта, если в результате одного удара свая уходит в
землю на глубину s = 5,0 м. Считайте удар между сваей и падающим
телом неупругим.
• 4.44 Для определения скорости пули приме-
няется баллистический маятник, состоящий из
деревянного бруска массой mlf подвешенного
на легком стержне. При выстреле в горизон-
тальном направлении пуля массой т2 попадает в
брусок и застревает в нем. Какова скорость
пули, если брусок поднимается на высоту й?
Какая часть энергии пули перешла во внутрен-
нюю энергии) системы? Трение в подвесе и
массу стержня'не учитывать.
- mi m	• 4.45. Из пушки трассой т, находящейся на
* ***	I Г0Ре, У ее подножья вылетает в
	 "	* горизонтальном направлении снаряд массой
J...............т\ со скоростью V На какую высоту h
поднимется пушка в результате отдачи, если угол наклона горы б£ а
коэффициент трения равен д
• 4.46. Снаряд массой т попадает в вагой с песком массой М, который
Покоится. Найдите наименьшую скорость снаряда, при которой он мо-
жет вылетать через противоположную стенку вагона, если средняя
Сила сопротивления снаряда о песок Fo. Выстрел был произведен гори-
зонтально вдоль рельсов, длина вагона /, трением колес пренебречь,
стенки вагона считать тонкими.
• 4.47. Боек ковочного молота массой 200 кг падает на поковку, масса
Которой вместе с наковальней 2 500 кг. Скорость бойка молота в мо-
мент удара 2,0 м/с. Найдите: а) энергию, затраченную на деформацию
поковки; б) коэффициент полезного действия удара бойка о поковку.
67
м
• 4.48, Тело массой 1,0 кг сталкивается с
горизонтальной пружиной, массой которой
можно пренебречь, и сжимает ее на 4,0 см.
Коэффициент трения между телом и
горизонтальной поверхностью р = 0,25.
Найдите скорость тела в момент соударения.
• 4.49. Из духового ружья стреляют в спичечную коробку, лежащую на
расстоянии I = 30 см от края стола Пуля массой тх = 1,0 г, летящая
горизонтально со скоростью Vo ~ 150 м/с, пробивает коробку и выле-
V /
тает из нее со скоростью у% • Масса коробки равна т2 = 50 г. При
каком коэффициенте трения р между поверхностью стола и коробкой
она достигает края стола?
•	4.50. В деревянный шар массой т\ - 0,80 кг,
подвешенный на нити длиной / = 1,8 м,
попадает горизонтально летящая пуля массой
т2 = 4,0 г, С какой скоростью летела пуля,
если нить с шаром и застрявшей в нем пулей
отклонилась от вертикали на угол а = 3°?
Размером шара пренебречь. Удар пули
считайте центральным.
•	4.51. Брусок массой т скользит по
наклонной плоскости, высота которой h и
угол наклона а, и падает на неподвижную
тележку с песком массой Какую скорость
приобретет тележка после удара? Коэффи-
циент трения бруска о плоскость равен /х
• 4.52. Груз массой т ~ 0,5 кг падает с некоторой высоты на плиту
массой М- 9,8 кг, укрепленную на пружине с коэффициентом жестко-
сти к - 9,8 Н/см Определите величину наибольшего сжатия пружины,
если в момент удара груз обладает скоростью 5,0 м/с. Удар считай-
те абсолютно неупругим.
• 4.53. По наклонной плоскости, составляющей
угол а с горизонтом, начинает соскальзывать
без трения ящик с песком массой тх. В тот мо-
мент, когда ящик прошел путь Z, в него попада-
ет тело массой т2у скорость которого направле-
68
на под углом fl к горизонту Ящик при этом остановился. С какой ско-
ростью двигалось тело?
• 4.54. Тележка массой движется горизонтально со скоростью С
тележки в направлении, противоположном ее движению соскакивает
человек массой т2 под углом а. Какой была скорость человека во вре-
мя прыжка относительно Земли, если тележка после прыжка останови-
лась, пройдя путь /? Коэффициент трения между тележкой и поверх-
ностью Земли равен ц.
• 4.55. Тело массой т, способное двигаться без
ддютД трения по горизонтальному стержню,
ИМИ закреплено на легкой пружинке жесткостью к.
В тело попадает пуля массой mi, летевшая под
углом а к оси стержня, и застревает в нем. В
результате пружина сжимается на величину Определите скорость
пули V
* 4.56. Человек массой «1, стоя на краю неподвижной тележки, Дрыга-
ет вдоль нее. При этом тележка, масса которой тъ откатывается на
расстояние S Коэффициент трения между тележкой и поверхностью
дороги равен д Какую работу совершает человек при прыжке?
-♦ 4.57. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на
невесомом жестком стержне, и застревает в. нем. Масса пули 5,0 г,
масса шара 0,50 кг При каком предельней расстоянии от центра шара
гдо точки подвеса стержня шар от удара пули поднимется до верхней
точки окружности, если скорость пули равна500 м/с*>
• 4.58. В стальной к^бик массой 1,0' кг,
находившийся в покое на горизонтальной
поверхности, попадает стальной шарик массой
0,01 кг, летевший, горизонтально со скоростью
ц 1,0  103 м/с, и упруго отражается. Определите
какой путь после- удара ЩЮЙДЧТ кубик до
Остановки, если коэффициент трения между кубиком и горизонталь-
ной поверхностью д ОД?	j	,
• 4.59> Тело массой ш, способное двигаться без
m £ 1 ; трения по горизонтальному стержни?, закреп-
лено на нерастяпутой пружине длиной,/, как
показано на рисунке. В тело попадает пуля
массой /иь летящая под углом а к стержню, и застревает в нем. В ре-
зультате тело отклоняется на величину х0. Определите скорость пули,
если жесткость пружины к
•	4.60. Пуля массой znh летевшая со скоростью Рь пробивает один
подвешенный груз массой т и застревает во втором подвешенном гру-
зе той же массы. Пренебрегая временем взаимодействия пули с грузом,
найдите количество теплоты Qu выделившееся в первом грузе, если во
втором выделилось количество теплоты Q2.
•	4.61. Тело массой т - 1,0 кг скользит сначала по наклонной плоско-
сти высотой 1,0 м и длиной склона 10 л<, а затем по горизонтальной
поверхности. Коэффициент трения на веем пути // = 0,05. Найдите:
а) кинетическую энергию тела у основания плоскости; б) расстояние,
пройденное телом по горизонтальной поверхности, до остановки.
•	4.62. Определите мощность трамвайного мотора, если ои тянет со-
став массой 5,0  103 кг со скоростью 6,0 м/с в гору с уклоном 20°. Ко-
эффициент полезного действия мотора tj = 0,9. При каком угле накло-
на затрачиваемая мощность максимальна и чему она равна?
•	4.63. Аэросани движутся вверх по небольшому подъему с устано-
вившейся скоростью, равной ~ 20 м/с; при движении в обратном
направлении, т.е. под уклон, при той же мощности
 двигателя - со скоростью Й2 = 30 м/с. Какая
/|‘ скорость И установится при той же мощности по
горизонтальному пути ?
1 I • 4.64. По наклонной плоскости с углом наклона
Ф	к горизонту с высоты hj без начальной скорости
соскальзывает тело. Достигнув нижней точки О,
тело переходит на другую наклонную плоскость с углом наклона оь и
поднимается вйерх. Коэффициенты трения тела о плоскости равны
и соответственно. Найдите высоту подъема тела^ сбитая, что пере-
ход с плоскости на плоскость происходит без потерь на удар. •
• 4.65. У клон участка: шоссе равен 0,05 (sin а). Автомобиль, спускаясь
под уклон при выключенном двигателе, Движется равномерно со ско-
ростью 15 м/с. МаСса автомобиля 1,5 - 103 кг. (Определите мощность
70
двигателя при подъеме автомобиля по тому же уклону с той же скоро-
£ стью.
\	*4.66. На стенку вогнутой сферической чаши
t ijA \ радиусом R положили небольшое тело. В
I \Т _ п \R/ начальный момент времени центр массы тела под-
I	нят на высоту hx = R/2 над горизонтальной
I	поверхностью. Предоставленное само себе тело
| начинает медленно скользить и останавливается на высоте й2 = hx/2.
к Определите коэффициент трения // между телом и поверхностью ча-
| ши- 4
I • 4.67. Тело, соскользнув с наклонной плоскости с углом наклона а, по
R горизонтальной поверхности прошло такой же путь, что и по наклон-
К ной плоскости. Найдите коэффициент трения считая его одинако-
ва вым на всем пути.
Е • 4.68. Определите коэффициент полезного действия наклонной плос-
ка кости с углом наклона если известен угол ц, - угол минимального
I наклона, при котором начинаете^ скольжение.
I' • 4.69. Ледяная горка составляет с горизонтом угол а == 10°. По ней
I пускают вверх камень, который, поднявшись на некоторую высоту,
F затем соскальзывает вниз. Каков коэффициент трения, есДи время
| спуска в два раза больше времени подъема? Чему равен коэффициент
& полезного действия этой накЫнной плоскости?
₽' ‘ 1 * * 1
| • 4.70. Тело, соскользнув с наклонной плоскости с углом наклона а,
прошло такой же путь .цц роризонтальной поверхности, что и по на-
| клонной плоскости. Чему равен коэффициент трения по горизонталь-
I ной поверхности, если на Циклонной плоскости он был равен //?
К	>;Т-
| • 4.71. Автомобиль массой т = 2,0 - 103 кг движется равномерно в гору
I с уклоном 4,0 м на каждые 100 м пути. Коэффициент трения // = 0,10.
I Найдите работу, совершаемую двигателем автомобиля на пути S' =’
| = 3,0 км, и мощность, развиваемую двигателем, если Известно, что этот
I путь был пройдейзйФ^ 4,6“мин.	'
Е  •	. ?.’:О . ' 1 "	. 'г'  ? .	
Б • 4.72. Груз массой, т равноускоренно поднимают по наклонной плос-
I кости, составляюшеЙ угол а с горизонтом. Коэффициент трения равен
I /А длина наклонной плоскости I. Определите работу, если подъем про-
I исходит в течение времени t.
71
•	4.73. Тормоза автомобиля могут удержать машину на склоне горы с
уклоном 0,2 (sin а). Какой путь пройдет автомобиль при торможении
на горизонтальной дороге при скорости движения 10 м/с, если коэф-
фициент трения в обоих случаях одинаков?
•	4.74. Грузовик может ехать по дороге вверх с уклоном 0,30 м на каж-
дые 100 м пути с постоянной скоростью V = 24 км/ч. С какой скоро-
стью будет двигаться грузовик по дороге вниз при той же мощности
двигателя, если коэффициент трения при движении по дороге вверх и
вниз одинаков и равен д = 0,04.
•	4.75. Мяч начинает соскальзывать (без качения) из верхней точки
полусферы радиусом R. Как высоко он подскочит после удара о по-
верхность, на которой находится полусфера, если удар считать абсо-
лютно упругим? Мяч по сравнению со сферой можно считать матери-
альной точкой.
•	4.76. Однородная цепочка длиной / лежит на столе так, что если Za
этой цепочки свешивается со стола, тр она начинает скользить вниз.
Масса цепочки т, коэффициент трения цепочки о поверхность стода/м
Какая работа против сил трения совершается при соскальзывании всей
цепочкй?.
m А-г	• 4.77. Шарик массой т ~ 10 г падает на наклонную
Т	I	плоскость с углом наклона а = 30° с высоты h =
Ч.	Л	=* 27 см. Ндйдите силу удара, если; а) шарик из стали
^Ч.	|	(удар упругий); б) шарик пластилиновый.
Ч-L Длительность удара в обоих случаях г = 0,03 с.
Размерами шарика пренебречь.
S	,	''
•	4.78. Тело массой т бросили под углом а к горизонту. Через время t
оно упало на землю на расстоянии S. Найдите работу, совершенную
при бросании тела.	'г
•	4J79. Два человека поднимаются на цр^ррхность Зе^ли из метро;
первый - по неподвижному эскалатору, второй - пр эскалатору, дви-
жущемуся вниз со скоростью И = 0,5 м/с. Об$ поднимаются на высоту
h - 10 м. Эскалаторы составляют с горизонтом угод а = 45°. Время
подъема первого по эскалатору - 20 с, второго - В 'Два раза больше.’
Сравните работы, производимые при подъеме каждмм нз подвдмаю-
ЩИХСЯ1
72
•	4.80. Плоскую шайбу толкнули так, что она начала скользить с на-
чальной скоростью Ко = 4 м/с вверх по шероховатой наклонной плос-
кости с углом наклона а - 30° при основании. Скорость шайбы обра-
тилась в нуль, когда она прошла расстояние I - 1,0 м Соскользнет ли
шайба вниз?
•	4.81. Тонкий однородный стержень длиной I может вращаться вокруг
горизонтальной оси, проходящей через конец стержня перпендикуляр-
но ему. Стержень отклонили на 90° от положения равновесия и отпус-
тили. Определите скорость нижнего конца стержня в момент прохож-
дения положения равновесия.
•	4.82. С высоты /ц по наклонной плоскости начал катиться сплошной
цилиндр. Найдите скорость цилиндра на высоте h2. Потерями энергии
иа трение можно пренебречь. Высоты hi и отсчитываются от осно-
вания плоскости до центра цилиндра.
•	4.83. Тонкий обруч катится половину пути по шероховатой поверх-
ности со скоростью Ко, а вторую половину пути по гладкой. Найдите
его среднюю скорость. Потерями энергии на трении пренебречь.
•	4.84. При наличии трения обруч скатывается с наклонной плоскости,
а при отсутствии - скользит цо ней. В каком случае и во сколько раз
скорость, которую будет иметь обруч у основания наклонной плоско-
сти больше?	-	. 5
•	4.85. Определите полную кинетическую энергию, при качении без
скольжения со скоростью V по плоской поверхности; а) цнлшшра мас-
сой т\ б) тележки, масса которой без колес равна т л ямеюшей чезыре
колеса в виде дисков с массами /п/4 каждый» < ‘
Q«4.86. Шар радиусом г катится по двум парал-
лельным направляющим линейкам, расстояние
между которыми d ~ 2,0 см. При каком радиусе шара
энергия поступательного.движения равна энергии
вращательного движения?
•	4.87. Столб высотой h и массой т из вертикальногоположекия пада-
ет на землю. Определите момент импульса столба относительно точки
73
опоры и скорость верхнего конца столба в момент удара о землю. Ка-
кая точка столба будет иметь в любой момент падения ту же скорость,
которую имело бы тело, падая с той же высоты, что и данная точка?
• 4.88. Маховик с моментом инерции J = 0,5 кг №
j \ соединен со шкивом радиусом г ~ 4,0 см. На шкив
fl	\ намотана нить, к концу которой привязан груз
II	у массой т = 0,50 кг. Груз устанавливают на высоте
\\	7 А = 1,0 м от поверхности пола. С какой угловой
скоростью будет вращаться маховик, когда груз
. достигнет пола? Решите задачу, используя закон со-
хранения энергии.
л	• 4.89. Тонкий стержень длиной I ~ 1,0 м и массой
С i	т - 0,60 кг может вращаться без трения вокруг
I ] перпендикулярной ему горизонтальной оси,
•	отстоящей от центра стержня на расстоянии b =
т	=0,10 м. Стержень приводят в горизонтальное
положение и отпускают без толчка с нулевой
начальной скоростью. Определите угловую
скорость <& и силу давления F^ на ось вращения в момент прохожде-
ния стержнем положения равновесия.
•	4.90. Шар и диск имеют одинаковую скорость у основания наклон-
ной плоскости. Какое из этих тел вкатится иа большую высоту, если их
массы и радиусы равны? Изменится ли результат, если масса шара
больше массы диска?
•	4.91. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу т = 0,80
кг, перекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой под-
вешены грузы с массами ~ 0,10 кг и /и2 ~ 0,20 кг. С каким ускорени-
ем будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением
в реи блока пренебречь. Решите задачу, используя закон сохранения
энергии.
Л. ~	• 4.92. Шар, радиус которого равен г, скатывается
по наклонному скату и описывает, «мертвую
*	\ /Жх петлю» радиусом R. Пренебрегая тредаем
I \j	качения, найдите наименьшую высот£ Л центра
\. J шара над центром петли, при которой это
ГТТ1Г-Г-ГГТ	возможно.
74
♦	4*93. Тонкостенный цилиндр, угловая скорость которого относитель-
но его оси = 50 с'1, кладут боковой поверхностью на горизонтальную
плоскость. Сколько оборотов сделает цилиндр до остановки, если ко-
эффициент трения //=0,10. Радиус цилиндра/? = 0,12м.
•	4.94. Тонкий обруч скатывается с наклонной плоскости на горизон-
Г тальную плоскость. На какую высоту h\ подпрыгнет обруч, если он
? скатывается с высоты й. Обруч и плоскость считать абсолютно упру-
гими телами. Угол наклона плоскости к горизонту равен а.
•	4.95. С какой наименьшей высоты И должен съехать велосипедист,
чтобы по инерции (без трения) проехать дорожку, имеющую форму
«мертвой петли» радиусом R == 3,0 м и не оторваться от дорожки в
верхней точке петли? Масса велосипедиста вместе с велосипедом т =
75 кг, причем на массу колес приходится т\ = 3,0 кг. Колеса велосипе-
да считать обручами.
|	j	• 4.96. Однородный шар радиусом г, начинает
I	скатываться без скольжения С вершины сферы
J (R\ у РаДиУС0М & Найдите угловую скорость Шара в
; 11 hi...uMr * । момент отрыва от поверхности сферы.
*	• 4.97. Однородный цилиндр массой ти и радиусом R вращается вокруг
*	своей оси. Угловая скорость цилиндра изменяется за время At от зна-
чения й?1 до значения /ф. Какую среднюю мощность N развивают си-
| лы, действующие на цилиндр?
| • 4.98. Однородный диск массой т и радиусом R раскрутили до угло-
ft вой скорости со и осторожно положили на горизонтальную Поверх-
S.' иость. Сколько Времени диск будет вращаться иа поверхности, если
I коэффициент трения равен //? Давление диска на поверхность считать
| равномерным.
№
I • 4.99. С двух одинаковых наклонных плоскостей скатываются диск и
К шар. Какое из них быстрее достигнет нижней точки плоскостей? Как
Е зависит полученный результат от масс и диаметра диска и шара?
К • 4.100. Диск массой т и радиусом R первоначально вращается вокруг
| своей оси с угловой скоростью /а Под действием внешних сил диск
В останавливается. Чему равна работа внешних сил?
75
•	4.101- На скамье Жуковского стоит человек и держит в вытянутых
руках гири по 3 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси
вращения скамьи 1Х" 50 пм. Скамья вращается с частотой v= 1 с \ Как
изменится частота вращения скамьи и какую работу произведет
человек, если он сожмет руки так, что растояние от каждой гири до
оси уменьшится до 4 ~ 20 см ? Суммарный момент инерции человека
и скамьи относительно оси вращения Zo = 2,5 кг • лЛОсь вращения про-
ходит через центр масс человека и скамьи.
•	4.102. Два горизонтально расположенных диска свободно вращаются
вокруг вертикальной оси, проходящей через их центр. Моменты инер-
ции дисков относительно оси вращения равны ?! и Z2, а угловые скоро-
сти «4ИЙ соответственно. После падени^верхнего диска на нижний
оба диска через некоторое время начали вращаться как единое целое
благодаря трению между ними. Найдите: а) установившуюся угловую
скорость дисков; б) работу, которую совершили силы трения.
•	4.103. Стержень массой т = 10 кг н длиной 1,5 м можрт вращаться
вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через верхний
конец стержня. В середину стержня попадает пуля массой = 10 г,
летящая со скоростью И = 800 м/с в горизонтальном направлении и
застревает в нем. На какой угол отклонится стержень после удара?
• 4.104. Однородный диск массой т и радиусом R
А	вращается вокруг горизонтальной оси, прохо-
~~~дящей через его центр с угловой Скоростью ал От
К	/н\	края диска оторвалась небольшая чдсть массой Ш)
шф	V )	В 707 момент» К0ГДа ее скорость была направлена
V	J	вертикально вверх. На какую высоту поднимется
гп масса ^|? Кдкими станут угловая скорость диска,
его момент импульса и кинетическая энергия?
•	4,105. Однородный тонкий стержень массой т и длиной I свободна
вращается на гдадкой поверхности вокруг своего центра с углоррД
скорость^ Один конец стержня внезапно закрепляется и дальней-
шее вращение его происходит вокруг закрепленного конца. Определи-
те изменение узловой скорости вращения ст^ркня Ал? и его кинетиче-
ской энергии Д£^.
•	4.106. Человек массой то находится на неподвижной платформе
массой т. С какой частотой v будет вращаться платформа, если чело-
76
век начнет двигаться по окружности радиусом г вокруг осн вращения?
Скорость движения человека относительно платформы И. Радиус
платформы R Считать платформу однородным диском, а человека
материальной точкой
... 1	• 4.107. Маятник в виде однородного шара, жестко
а скрепленного со стержнем массой т\ = 2,0 кг и
mi	длиной Z, равной четырем радиусам шара, может
\ качаться вокруг горизонтальной оси, проходящей
I = 47? через конец стержня. В шар нормально к его
поверхности ударилась пуля массой тз - 10 г,
9А летящая горизонтально со скоростью К - 800 м/с и
mJ застряла в шаре. Масса шара т2 ~ 6,0 кг, радиус
R 10 см. На какой угол а отклонится маятник в
результате удара?
•	4.108. Имеются два одинаковых однородных диска. Один из них мо-
жет вращаться без трения вокруг вертикальной фиксированной оси,
проходящей через его центр. Этот диск первоначально неподвижен.
Второй диск раскрутили до частоты vo и положили на первый диск так,
чтобы край второго диска совпадал с центром первого Придя в сопри-
косновение, оба диска мгновенно склеиваются. Определите частоту
вращения этих дисков. Во сколько раз изменится кинетическая энер-
гия дисков?
•	4.109. На краю неподвижной скамьи Жуковского радиусом R и мас-
сой стоит человек массой zn2* С какой угловой скоростью начнет
вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой
т Скорость летящего мяча V направлена перпендикулярно радиусу.
Скамью считать однородным диском.
• 4.110. Гладкий стержень свободно вращается в
горизонтальной плоскости с угловой скоростью Сйь
| п	вокруг неподвижной оси, относительно которой
его момент инерции Z. На стержне находится
________I г	небольшая муфта массой т, соединенная нитью с
Г 1	осью. После пережигания нити муфта без трения
начинает скользить вдоль стержня. Найдите
скорость Г муфты относительно стержня в зависимости от ее расстоя-
ния до оси вращения.
• 4.111. Горизонтальная платформа массой == 100 кг вращается во-
круг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с часто-
77
той щ - 10 об/мин. Человек массой т2 - 60 кг стоит при этом на краю
платформы. С какой частотой п2 начнет вращаться платформа, если
человек перейдет от края платформы к ее центру? Какую работу при
этом совершает человек? Считайте платформу однородным диском, а
человека материальной точкой. Радиус платформы R = 3,0 м.
jP • 4.112. Деревянный стержень массой, равной =
1/2	и длиной I = 0,40 м может вращаться около
I оси, проходящей через его середину перпендику-
-Л лярно стержню. В конец стержня попадает пуля
массой т2 » 0,01 кг, летящая со скоростью V =
= 210 м/с перпендикулярно оси и стержню. Опре-
делите угловую скорость, которую получит стер-
”	жень, если пуля застрянет в нем. Как изменилась
2	при этом кинетическая энергия системы пуля-
стержень?
• 4.113. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стер-
жень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамьи., Ска-
мья с человеком вращается с частотой ц. С какой частотой будет вра-
щаться скамья, если стержень повернуть так, чтобы он принял гори-
зонтальное положение и его конец оказался на оси вращения. Суммар-
ный момент инерции человека и скамьи Z. Длина стержня Z, масса т.
Найдите изменение энергии системы.
• 4.114. На жестком проволочном кольце радиусом
Го, которое может свободно вращаться вокруг вер-
тикальной оси АВ, находятся две одинаковые не-
большие муфточки. Их соединили нитью и устано-
вили в положение 1-1, Затем всей установке сооб-
щили угловую скорость и, предоставив ее самой
себе,,пережгли нить в точке А. Считая, что масса
всей установки практически сосредоточена в муф-
точках, найдите ее угловую скорость, когда муф-
точки соскользнут (без трения) в крайнее нижнее
положение 2-2.
• 4.115. Платформа, имеющая форму диска, может" вращаться вокруг
вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол
повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и,
обойдя ее, вернется в исходную точку? Масса платформы mi - 2ЗД кг,
масса человека т2 = 60 кг. Человека считать материальной точкой.
71
•	4.116. На гладкой горизонтальной плоскости лежит диск радиусом г
На него осторожно положили другой такой же диск, предварительно
сообщив ему угловую скорость fij» так что их центры совпадают. Че-
рез сколько времени оба диска будут вращаться с одной и той же угло-
вой скоростью, если коэффициент трения между ними равен р,?
•	4.117. Горизонтально расположенный деревянный стержень массой
т = 0,80 кг и длиной I = 1,80 м может вращаться вокруг вертикальной
оси, проходящей через его середину. В конец стержня попадает пласт-
массовый шарик массой = 3,0 г, летящий со скоростью V - 50,0 м/с
Определите угловую скорость, с которой стержень начнет вращаться,
если удар абсолютно упругий. Чему равна скорость пули после удара?
•	4.118. Человек стоит на скамье Жуковского, держа в руках ось не-
подвижного колеса. Направление оси колеса совпадает с осью вра-
щающейся скамьи. Определите угловую скорость, которую получит
система, если человек усилием рук приведет колесо во вращение с час-
тотой v— 1,0 с I Моменты инерции относительно оси вращения: чело-
века Л = 1,2 кг- м2, скамьи /2 = 0,4 кг • м2, колеса = 0,8 кг  м2 Какую
работу совершает при этом человек?
• 4.119. Поворотный стол с моментом инерции
/	\ IQ свободно вращается вокруг вертикальной
/	\ оси. На столе проложена прямолинейная ради-
।	альная дорожка, по которой без трения может
I О)у двигаться тело массой т. Нить, привязанная к
у	Ur—I	/ теЛуэ перекинута через маленький блок и ухо-
\	дит под стол через полую ось. Первоначально
система вращается с угловой скоростью и
тело находится на расстоянии Я. Затем внешней силой с помощью
нити втянули тело на расстояние г и оставили в этом положении. Чему
равна работа, которую совершили при втягивании нити?
• 4.120. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руке велоси-
педное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью
«ц, = 15 с1 Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью
скамьи Жуковского. С какой скоростью ш начнет вращаться скамья,
ерш повернуть колесо вокруг горизонтальной оси на 180°? Момент
вдерции человека и скамьи 1~ 8,0 кг-м2, радиус колеса г = 0,25 м. Мас-
са колеса равномерно распределена по ободу и составляет 2,5 кг.
79
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОБЩЕЙ ФИЗИКЕ
Часть 1. Механика
Учебное пособие
Редактор Н Ф. Фабричная
Технический редактор Г. Е. Телятником
Лицензия X? 021040 от 22.02.96. Подписано в печать 13.12.2000. Формат 60x84 1/16.
Бумага офсетная Тираж 300 экз. Уч.-изд. л. 4,75. Печ. л. 5,0. №д. № 1506.
Заказ №863. Цена договорная.
Отпечатано в типографии
Новосибирского государственного технического университета
630092, г Новосибирск, пр К. Маркса, 20