Н.С. Зинченко
Курс
ЛЕКЦИИ ЭЛЕКТРОННОЙ ОПТИКЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО ХАРЬКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Н. С. ЗИНЧЕНКО
КУРС ЛЕКЦИЙ
ПО ЭЛЕКТРОННОЙ ОПТИКЕ
2-е ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ ИЗДАНИЕ
Допущено Министерством, высшего и среднего специального образования УССР и СССР в качестве учебного пособия для студентов физических и радиотехнических специальностей вузов и факультетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ХАРЬКОВСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА имени А. М. ГОРЬКОГО Харьков	1961
535 3-63
В книге рассматриваются основные вопросы геометрической электронной оптики (движение параксиальных электронов в аксиально-симметричных электрическом и магнитном полях, электронные линзы, моделирование полей) и вопросы оптики интенсивных электронных пучков (действие пространственного заряда в пучках, фокусировка электростатическими и магнитными полями, влияние остатков газа и другие).
Кроме того, рассматриваются требования, предъявляемые к электронным пучкам, состояние теории и расчета пучков, различные методы их исследования (обоснование методов, экспериментальное осуществление, ошибки и сравнение отдельных методов).
Книга предназначается в качестве учебного пособия для студентов физических и радиотехнических специальностей вузов.
Ответственный редактор канд. техн, наук Л. К. Черняев.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Необходимость иметь достаточно полный обзор по электронной оптике интенсивных пучков диктуется быстрым развитием таких электровакуумных устройств, как усилители и генераторы сверхвысоких частот, линейные ускорители заряженных частиц и другие. Насущная потребность в таком обзоре давно уже испытывается физиками-исследователями и инженерами, разрабатывающими различные электровакуумные приборы.
Тем не менее до настоящего времени книг по электронной оптике и особенно по оптике интенсивных пучков явно недостаточно. Такие работы, как книга Дж. Р. Пирса «Теория и расчет электронных пучков», обзор М. Д. Габовича «Влияние объемного заряда при распространении интенсивных пучков заряженных частиц», опубликованный в журнале «Успехи физических наук» (т. 56, вып. 2, 1955), и сборник статей серии «Проблемы современной физики» (№ 6, 1956), далеко не полно охватывают актуальные вопросы электронной оптики.
Еще хуже положение с учебными пособиями по электронной оптике. Несмотря на то, что курс электронной оптики читается в ряде высших учебных заведений Советского Союза, учебных пособий, насколько нам известно, пока нет.
Данный «Курс лекций» представляет собою попытку создать такое пособие. Книга написана на основе лекций, которые автор читал в 1955—1958 годах на радиофизическом факультете Харьковского государственного университета, и на основе опыта научно-исследовательской работы в Институте радиофизики и электроники АН УССР. При составлении курса автор стремился включить в него наиболее актуальные вопросы геометрической электронной оптики и оптики интенсивных пучков электронов.
Второе издание книги дополнено двенадцатой и тринадцатой главами, в которых рассматриваются требования, предъявляемые к электронным пучкам, состояние теории и расчета пучков, различные экспериментальные методы их исследования (обоснование методов, экспериментальное осуществление.
3
ошибки и сравнение отдельных методов). В этих главах использованы последние литературные данные и результаты, полученные автором.
Настоящая книга рассчитана на студентов радиофизических факультетов университетов. Возможно, что книга окажется полезной для научных работников и инженеров, занимающихся разработкой различных электровакуумных приборов или использующих электронные пучки в различных физических экспериментах.
Автор выражает искреннюю признательность профессору | В. И. Калинину |и доцентам В. П. Тараненко и В. П. Шестопалову за полезные замечания и предложения при рецензировании, а также кандидату технических наук Л. К- Черняеву, выполнившему большую работу по редактированию этой книги и сделавшему ряд ценных замечаний и предложений. Кроме того, автор выражает благодарность И. К. Овчинникову, В. М. Сорокиной и Н. Т. Туранову за просмотр рукописи и высказанные замечания.
Все пожелания и критические замечания читателей автор примет с благодарностью.
Автор
ВВЕДЕНИЕ
Электронная оптика может быть определена как раздел физики, рассматривающий задачи управления движением заряженных частиц при помощи электрического или магнитного полей с целью их формирования (фокусировки) в пучки.
Свое название электронная оптика получила вследствие аналогии между законами распространения световых лучей в различных оптических средах и законами движения элементарных частиц в консервативных полях.
Эта оптико-механическая аналогия находит свое выражение в тождестве математических формулировок принципа наименьшего действия механики и принципа Ферма геометрической оптики. В самом деле, свет проходит в пространстве только такие пути, на прохождение которых затрачивается экстремальное время (принцип Ферма), т. е. если Pi и Рг— две точки пространства, то ход луча между ними определяется условием
8/ = 8
(1)
С другой стороны, из принципа наименьшего действия механики (принцип Гамильтона) следует, что в потенциальном поле между точками Рг и Р2 частица с массой т движется по такому пути, для которого действие S, равное
dt = mc
принимает минимальное значение, т. е.
(2)
б
Выражая скорость света в среде через показатель прелом-п — ~1> получаем из соотношения (1)
Р2
8/=8— \ ndi=о,
С D
*1
или, вводя оптическую длину пути 5',
Р2
8S' =8 }ndl = 0.
Pi
Для частицы получаем аналогичное соотношение
Р2
8S=8 jnd/ = O,
Pi V
если в (2) положить —=/г. С
Сравнение этих двух принципов показывает, что луч света, проходящий в среде с показателем преломления п (х, у, z) между точками Рх и Рг, будет совпадать с траекторией частицы, движущейся между теми же точками в силовом поле, если действующие силы распределены так, что обусловливают в каждой точке скорость частицы v (х,у,г) = —сп (х, у9 z). Таким образом, движение частицы формально1 можно рассматривать как распространение луча света в оптической среде с показателем преломления п, пропорциональ-v ным —. с
В электронной оптике «оптической средой» для движущихся заряженных частиц являются электрические и магнитные поля. Например, скорость электрона в электростатическом поле определяется разностью потенциалов V, которую прошел первоначально покоившийся электрон. Эта скорость для нерелятивистского случая может быть рассчитана из соотношения
Тогда принцип наименьшего действия запишется следующим образом:
РI	^2 ____________
8j = 8 J	у z)dl — 0.
 A Pi
1 Если учесть волновую природу электрона (волны де-Б ройля), то отмеченная аналогия приобретает глубокий смысл.
Отсюда следует, что в случае электростатического поля роль показателя преломления п выполняет величина У К которую называют электронно-оптическим показателем преломления электрического поля.
Отмечая аналогию между световой и электронной оптикой, мы в самом начале должны также указать на различия между ними. Они состоят в следующем:
1.	В отличие от световых лучей между пучками заряженных частиц, а также между самими частицами существует взаимодействие; это принципиальное различие тем существеннее, чем больше плотность заряда в пучке.
2.	В электронной оптике возможна так называемая фазовая фокусировка электронных пучков, осуществляемая с помощью высокочастотных полей. Подобной фокусировки в световой оптике нет.
3.	В электронной оптике показатель преломления линз изменяется непрерывно и может достигать весьма больших значений.
Начало развития электронной оптики относится к двадцатым годам рашего столетия. Толчком к ее возникновению послужили чисто практические задачи получения узких электронных 1пучков в электронно-лучевых трубках, применяемых в осциллографии. Задачей электронной оптики было прежде всего нахождение способов фокусировки электронных пучков, исходящих из одной общей точки, в некотором общем фокусе. В первоначальных конструкциях электронно-оптических фокусирующих устройств для формирования электронных пучков использовались постоянные электрические и магнитные поля, действующие на электроны с силой, направленной к оси пучка. Этим свойством обладает поле цилиндрического электрода1, окружающего источник электронов—катод, а также аксиальное магнитное поле малой протяженности, создаваемое током в короткой катушке.
Поля в таких фокусирующих системах обладают симметрией вращения, причем радиальная сила поля пропорциональна расстоянию электронов от оси пучка. Сами системы называются электрическими или магнитными линзами. Фокусирующие свойства этих линз определяются их конструкцией и в основных чертах аналогичны фокусирующим свойствам оптических линз. Поэтому, если действие пространственного заряда пучка мало, к ним применимы обычные формулы оптических линз.
Фокусирующее действие аксиально-симметричных электрических или магнитных полей было показано Бушем
1 Предложен Венельтом в 1905 году.
7
в 1926 году. После этого принципы фокусировки электронных потоков принимают более законченный характер. Развитие электронно-оптических систем шло по пути создания и усовершенствования различных типов электрических и магнитных линз, а также улучшения методов их расчета.
Ценный вклад в разработку основ общей теории фокусировки электронных и ионных пучков в произвольных электрических и магнитных полях внесли советские ученые. Среди них особо следует отметить работы Г. А. Гринберга.
Поскольку основной задачей электронной оптики является управление траекториями электронов и ионов, фокусировка их в пучки заданной формы с определенными параметрами, то Гринберг разработал в 1942—1943 годах метод, который позволяет решить в самом общем виде задачу нахождения полей по характеру траекторий, которые должны описывать в этих полях внесенные в них заряды.
Дальнейшее развитие электронной оптики, в связи с новыми ее применениями, шло по пути получения пучков большой длины с высокой плотностью тока (интенсивные пучки). При этом существенным оказывается учет действия пространственного заряда пучков.
В развитии этого важного направления электронной оптики наиболее существенную роль сыграли работы С. А. Богуславского и В. Р. Бурсиана по изучению влияния объемного заряда на движение потока заряженных частиц, В. С. Лукош-кова по исследованию распространения интенсивных пучков, Я. И. Френкеля, С. А. Бобковского, М. М. Бредова, В. И- Давыдова, С. И. Брагинского, которые впервые разработали вопросы нейтрализации объемного заряда в пучках, газовой самоконцентрации пучков и т. д. Из иностранных работ по этим вопросам следует отметить работы оригинального и обзорного характера Дж. Р- Пирса и оригинальные работы А. Гаева, Л. Смита, П. Хартмана и других.
Особое место занимают вопросы электронной оптики в высокочастотных полях. Эти вопросы разрабатывались и разрабатываются в связи с развитием таких генераторов и усилителей сверхвысоких частот1, как клистроны, лампа бегущей волны, электронно-волновая лампа, магнетронный усилитель, лампа обратной волны; электронная оптика высокочастотных полей важна также для теории и техники ускорителей заряженных частиц-
В последнее время в периодической литературе появился ряд работ по вопросам фокусировки пучков с помощью периодически чередующихся магнитных и электрических полей.
1 Частоты от 3- 10е до 3-1011 гц.
В настоящее время электронная оптика является обширной самостоятельной областью физики. Развитие ее идет по пути совершенствования полученных результатов, выявления новых возможностей фокусировки пучков, по пути разработки методов исследования пучков и их разнообразных применений.
Интенсивное развитие электронной оптики определяется важностью ее практических применений. Остановимся на основных областях применения электронной оптики и достигнутых результатах.
Достижением электронной оптики является электроннолучевая трубка. Электронно-лучевые трубки нашли широкое применение в осциллографии, в телевидении (иконоскопы и кинескопы), в радиолокации и других областях техники. В электронно-лучевых трубках для фокусировки применяются аксиально-симметричные электрические или магнитные поля.
Электронный микроскоп является наиболее замечательным достижением электронной оптики. Разрешающая способность электронного микроскопа в 100 раз больше, чем у оптического, что позволяет получить увеличение порядка 100 000. Для фокусировки в электронных микроскопах применяются короткие электрические или магнитные линзы.
В электронных умножителях, дающих усиление тока порядка 500 000 и больше, для последовательной фокусировки электронов на всех промежуточных электродах применяются электрические и магнитные поля специально подобранной конфигурации. Величина коэффициента усиления умножителя определяется степенью совершенства фокусировки вторичных электронов.
Важное значение имеет фокусировка заряженных частиц в различных ускорителях в ядерной физике. Сюда относятся такие устройства, как циклотрон, бетатрон, синхротрон, линейные ускорители и др.
В циклотроне формирование пучка ионов и управление им осуществляется с помощью постоянного магнитного поля и высокочастотного напряжения, прикладываемого к металлическим полуцилиндрам (дуантам). При этом ионы совершают движение по разворачивающейся спирали.
Фокусировка электронов в бетатроне осуществляется с помощью магнитного поля, изменяющегося вдоль радиуса полюсных наконечников. При этом электроны движутся по устойчивой круговой орбите.
В синхротроне наряду с магнитным фокусированием применяется и электростатическое фокусирование.
Для линейных ускорителей заряженных частиц характерны прямолинейные траектории движения частиц. Фокусировка электронов в длинный пучок производится в них при помощи
9
неоднородного высокочастотного электрического поля в зазорах между цилиндрическими соосными электродами.
При фокусировке электронов в высоковольтных устройствах проявляются релятивистские эффекты. Эти вопросы продолжают рассматриваться в ряде работ как советских, так и иностранных авторов.
Особое место занимают методы фокусировки длинных электронных пучков с большой плотностью тока. Такие пучки находят применение в генераторах и усилителях сверхвысоких частот.
В этих электронных приборах для получения электронных пучков цилиндрической формы применяются однородные или аксиально-симметричные магнитные поля, или ряд последовательных коротких магнитных линз. Фокусировка таких пучков стличается рядом особенностей, которые вызываются влиянием их пространственного заряда. Эти случаи фокусировки составляют самостоятельное направление в электронной оптике.
В последнее время рядом отечественных авторов выполнены весьма важные новые работы по теории (В. Т. Овчаров) и новым методам (3. С. Чернов) фокусировки интенсивных электронных пучков.
Необходимо отметить, что точное решение задачи о формировании интенсивных пучков с учетом реальных условий встречается с большими математическими трудностями. Поэтому до настоящего времени это направление электронной оптики сравнительно мало разработано.
Круг вопросов, охватываемых современной электронной оптикой, очень широк. Рассмотреть все вопросы в пределах одной книги без резкого увеличения ее объема невозможно. Поэтому в данной книге рассматриваются только вопросы электронной оптики в статических полях.
ГЛАВА 1
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПОСТОЯННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ
В соответствии с задачами, которые рассматривает электронная оптика, необходимо знать траекторию и скорость электрона в электрических и магнитных полях различной конфигурации. Поэтому в первой главе с целью последовательного изложения приводятся основные сведения о движении электрона в статических электрическом и магнитном полях. Приводимые соотношения применимы и к медленно изменяющимся полям.
Рассмотрение вопросов электронной оптики в данной книге ограничивается случаем нерелятивистских скоростей электронов. При этом начальными тепловыми скоростями электронов всюду, за исключением специально оговариваемых в тексте случаев, пренебрегаем.
Во всей книге используется практическая система единиц МКСА. Поэтому диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума соответственно имеют значения:
10-9
е° ~ 36к
ф/м^ 8,854-10-12 ф/м
и р0 = 4к • 10~7 гн/м
^1,257 • 10"6 гн/м, абсолютная величина заряда электрона е= 1,6020-10'19 к, у —	1,7592-Ю11 к/кг — отношение
заряда электрона к его массе.
1,1.	Уравнения движения и скорость электрона
Электрическое и магнитное поля можно задать вектором напряженности электрического поля Е и вектором напряженности магнитного поля Н.
Для постоянных полей последние являются функциями только координат, т. е.
Е = Е(х, у, z);
Н = Н(х,у, z).
11
На электрон, движущийся в электрическом и магнитном полях со скоростью v, как известно, действует сила Лоренца
F = —еЕ — e[v, В] = — еЕ — ep0[t\ Н].	(1,1)
Здесь первое слагаемое Fe= — еЕ — сила, действующая на электрон со стороны электрического поля. Отметим, что знак минус учитывает отрицательный заряд электрона и, следовательно, направление силы противоположно направлению вектора напряженности электрического поля.
Второе слагаемое — сила, действующая на электрон со . стороны магнитного поля,
^т=-вНо[®> Я]
перпендикулярна как к направлению движения, так и к направлению напряженности магнитного поля.
Запишем теперь уравнение движения электрона. В векторной форме оно имеет вид
(то) = — еЕ — е [о, В],
(1,2)
а в проекциях на координатные оси:
(™>х)= —еЕх - eVyBz +
J- (mVy) — —еЕу — ev2Bx -|- evxB2, и I
(mvj = —еЕг — evxBy + evyBx.
Для нерелятивистских электронов эти уравнения шуте я в виде:
d^x __	( р । о dy___& dz \ .
Л2 —	Ву dt)'
(Р	I	О dz	D	dx\
dt2	ъ	+	Вх dt	Вг	dt )’
d^Z	„ (р	\	D dx	D	dy )
~dfi = -+ By Bx .
(1,3)
(1,4)
(1,5)
перепи-
(1,3)
(1,4)
(1,5’)
Если уравнение (1,2) умножить скалярно на о, то получим
d (mv2\ dt\2~)
= —е (Ev).
Произведение о[о, В] равно нулю, так как [о, В] перпендикулярно к о.
12
Следовательно, изменение кинетической энергии элек* трона вызывается только электрическим полем. Магнитная сила всегда перпендикулярна кои поэтому она не производит никакой работы. Магнитное поле может изменить только направление движения электрона. Напряженность электростатического поля связана известным соотношением со скалярным потенциалом V
Е = —grad V (х, у. z).	(1,6)
Поэтому составляющие напряженности поля будут равны:
F -_dV F — dV F _dV дх ’ > ду ’ г dz и, следовательно, d (mv2\	/с,	. „ i г- \
)=-е	+ £yVy +	=
= (dV_dx .dVdy^dJVd^^ dV
\с*л dt ду dt' dz dt / e dt ’
После интегрирования получаем
mv2
- eV = C.
(1,7)
2
Таким образом, сумма кинетической и потенциальной энергий электрона при его движении в статических электрическом и магнитном полях остается постоянной.
Если в начальной точке скорость электрона и потенциал равны нулю, то постоянная интегрирования С = 0 и
~ mv2 = eV.
Отсюда скорость электрона выразится через потенциал V формулой	____ _
v = /2т;V = 5,93• 10е VV м',сек.	(1,8)
При больших скоростях необходимо учитывать зависимость массы от скорости.
Масса движущегося электрона определяется известным Из специальной теории относительности соотношением
U.9)
. о
где т0 — масса покоя, а р -----отношение скорости элек
трона к скорости света.
Тогда уравнение движения при больших скоростях запишется так:
d	d ( МрУ \ _
dt (/по)
(1.Ю)
13
а полная энергия электрона будет равна
откуда
тс2 = /п0с2 4- 7,
(1Л1)
Здесь первое слагаемое — кинетическая энергия движущегося электрона.
Решение последнего равенства дает для р формулу
(1,12)
(1,12) позволяет рассчитать скорость электрона, прошедшего разность потенциалов V с учетом релятивистского изменения массы. Зависимость массы и скорости электрона от
ускоряющего напряжения представлена на рис. 1,1.
Из рисунка вид-
Рис. 1,1. Зависимость скорости и массы электрона от ускоряющего напряжении.
но, что релятивистское изменение массы электронов приходится учитывать, начиная приблизительно с у=30-т-50 кв\ в частности, это необходимо делать в электронных микроскопах, в мощных пролетных клистронах и
в ускорителях заряженных частиц.
1,2.	Общий случай движения электрона
Рассмотрим движение Э1ектрона под одновременным воздействием однородных электрического и магнитного полей, направленных под произвольным углом друг к другу. При этом прямоугольную систему координат будем ориентировать таким образом, чтобы магнитное поле было направлено вдоль оси z, а электрическое поле — в плоскости xoz (например, под углом 0 к оси г) (рис. 1,2). В таком случае составляющие векторов выражаются соотношениями
14
#х_____ R dy .
Л2	riB dt >
ГЙ2 — ^Ez'
Ех — fsin &, £\ = 0, £’z=£'cos& ВЖ=В/=О, Вг = В
и уравнения ( перепишутся так:
d2y — ^Rdx .
Рис. 1,2. Движение электрона в однородных электрическом и магнитном полях.
Первое интегрирование
дает:
х = — fiExt — цВу 4-у = т^Вх —|—
z = —	4- С3.
G,12a)
Подстановка у в первое уравнение движения приводит к уравнению
X = — цЕх — -цВ (-цВх + С2), или
г,	, Ех । С2
Введя обозначение 5 = х +	4- получим для $ следую-
щее дифференциальное уравнение:
$ + Tj2B2? = 0.
Его решением является
£ = /?sin
Следовательно,
x=tfsin(4«+?)-^-&;	(1,13)
15
Значения постоянных интегрирования Сь Cs, С3, С4, R и определяются из начальных условий для скоростей и координат.
Выражения (1,13 —1,15) показывают, что движение электрона можно представить как наложение следующих двух движений:
+	(1,13')
=	+	J'2 = -/?cos(iqB/4-<p);	(1,14')
*1 = -’if'2 + <V + C4; z2=0.	(1,15х)
Первое движение — это движение по параболе в плоскости, параллельной yoz\ второе — движение по окружности в плоскости, перпендикулярной оси z. Истинное движение электрона представляет наложение равномерного движения по окружности, на движение центра по параболе, т. е. траектория представляет спираль, вьющуюся вокруг параболы. Графически оба движения представлены на рис. 1,2. Величина г^В является угловой скоростью движения по окружности. Поэтому время одного оборота по окружности определяется из условия
ЪВТ = 2^, т. е.	(1,16)
Как видим, период обращения электрона зависит только от магнитной индукции и не зависит от начальных условий, в частности, от начальных скоростей. Круговая частота движения равна
°>С = ЧВ	(1,17)
и называется циклотронной частотой.
1,3.	Частные случаи движения электрона
С помощью формул (1,13; 1,14; 1,15) можно проанализировать любые частные случаи движения электрона в статических полях. Рассмотрим некоторые из них.
1. Движение при
наличии только магнитного поля
Полагая в уравнениях (1,13 —1,15') Ех = £/=0, получаем:
Xj =----= const; х2 = /? sin fa£/ + <?);
С
У1 =	= const; у г = — R cos (jiBt + <р);
Zj = C2t -|“ С4;	= О»
16
Следовательно, электрон движется равномерно по окружности, центр которой перемещается с постоянной скоростью параллельно оси z (параллельно направлению силовых линий магнитного поля). Поэтому траектория электрона представляет винтовую линию, лежащую на прямом круговом цилиндре, ось которого параллельна оси z (рис. 1,3).
Проекция траектории на плоскость хоу является окружностью с радиусом R.
Если составляющие начальной скорости суть vx^ *0^ и v2^ то:
= t]B/?cos <р;
Отсюда радиус окружности
т. е. радиус окружности уменьшается с увеличением ин-
дукции В. Путь, проходимый электроном в направлении силовых линий поля за время одного оборота (шаг спи-
рали), равен д 1	2т
Дг = h = v2 Т = v2 —п .
Этот случай движения имеет место в поле длинной катушки, когда начальная скорость движения электрона имеет составляющую, направленную по оси катушки.
Если электрон вначале двигался в плоскости хоу (v2q =* = 0 — случай движения в поперечном магнитном поле), то z сохраняет свою первоначальную величину и электрон описывает вместо винтовой линии окружность в плоскости, перпендикулярной к оси г.
2
Рис. 1,3. Траектория электрона в постоянном магнитном поле.
Пусть в данном случае вели- __________ ______
чина начальной скорости t>0 = l/’^ 4-^2	V— раз-
ность потенциалов, которую прошел электрон до входа в магнитное поле. Тогда:
ч)х = уВЯ cos (ijB/+<р);
v = -цВЯ sin (-riBt 4- <f>);
тг? + ®’v =	= 2цУ.
J'	*
2 n С. Зинченко
17
Отсюда	_
V-^BR^VW.	(1,19)
Если В измерять в гауссах, V — в вольтах, a R — в сантиметрах, то получается удобная расчетная формула
BR = 3,373 VV.	(1,20)
2.	Движение электрона при наличии только электрического поля
Пусть магнитное поле отсутствует (В = 0), а электрическое поле направлено по оси z. Тогда постоянные интегрирования С2 и С3 по (1,12а) равны составляющим начальной скорости:
С1 =	^2 =	= *4’
Если Ci = C2=0, т. е. в начальной точке электрон движется перпендикулярно к электрическому полю, то
У = ,°у/+Уо, „t2 , Z= — IjE у + Zo.
Рис. 1,4. Параболическая траектория электрона.
Таким образом, в этом случае электрон движется по параболе
Zx=-^-^2-{y— -Уо)2 + го.	(1.21)
график которой приведен на рис. 1,4.
Изменение направления движения электрона на участке у—Уь, характеризующее изгиб траектории, определяется производной
(1,22)
Подобный случай движения имеет место в поле плоского конденсатора, в частности, в поле отклоняющих пластин электроннолучевых трубок.
3.	Движение электрона в параллельных электрическом и магнитном полях
Если векторы Е и В па-
раллельны, то в принятых координатах Ех = Ey = G. При движении электрона в данных условиях следует различать два случая.
18
Первый случай — когда начальная скорость электрона совпадает с направлением полей. В этом случае по (1,18) /?=0. Тогда из (1,13'—1,15') полагая £^ = 0, находим
х _ _	_ о-
1—	2“и’

z
Следовательно, электрон приобретает постоянное ускорение в электрическом поле; магнитное же поле на него не действует. Траектория электрона представляет прямую линию, совпадающую с силовой линией электрического поля.
Второй случай — начальная скорость электрона имеет составляющую, перпендикулярную к направлению полей. Приняв в уравнениях (1,13'—1,15') Ех = 0, получаем:
Хг----x2=/?sln (-»)£/+ <р);
Уг=—^cos
Следовательно, электрон под действием магнитного поля будет двигаться по окружности и ускоряться под действием электрического поля. Траектория электрона, как и при Е—0, будет винтовой линией, но с переменным шагом, навитой на цилиндр с осью, параллельной оси z.
Для радиуса окружности остается справедливым прежнее выражение

здесь —не полная скорость электрона в начальный момент времени, а только ее составляющая, перпендикулярная к оси z. Радиус окружности будет постоянным, так-как нормальная составляющая начальной скорости электрона не изменяется.
4.	Движение электрона во взаимно-перпендикулярных электрическом и магнитном полях
Пусть Е=ЕХ. Тогда, что £2 = 0, получаем:
считая C8 = ^Zo = O и учитывая,
19
я х2 —R sin (tiBi 4- <p);

цВ2 цВ
И y2 = — R cos (tjB/4-ф);
Следовательно, электрон будет двигаться по окружности в плоскости хоу, центр которой движется вдоль оси у со
Е г,, скоростью . Действительно, сумма квадратов х2 и у2
дает окружность с радиусом /?, а у-я координата центра окружности линейно растет со временем. Поэтому результирующая траектория электрона (рис. 1,5) будет циклоидой. Напомним, что циклоиду описывает точка, находящаяся на ободе круга, катящегося по прямой.
Рис. 1ДЦиклоидальная траектория электрона.
Максимальное изменение координаты х электрона равно диаметру круга
2F
(1.23)
Если в начальный момент времени 2-я координата электрона отлична от нуля, то циклоида будет приподнята в направлении этой оси. Движение электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях встречается, например, в электронных умножителях и в плоском магнетроне.
Рассмотренные случаи движения электронов используются в тех или иных электронно-оптических системах при фокусировке электронных пучков-
1,4. Электронно-оптический показатель преломления
Траекторию электрона в однородных электрическом и магнитном полях можно найти, пользуясь понятием об электрон-20
но-оптическом показателе преломления. Поэтому мы рассмотрим электронно-оптический показатель преломления для электрического и магнитного полей.
1. Показатель преломления для электрического поля Выше было показано, что в случае электрического поля показатель преломления равен
п (х, у, г) = у V (х, ~у, z),
где V—разность потенциалов между двумя рассматриваемыми точками. Здесь электронно-оптический показатель определен с точностью до постоянного множителя. Если электрон попадает в электрическое поле с начальной скоростью не равной нулю, то
« = Г	(1,24)
где Vk — потенциал, соответствующий начальной скорости электрона.
Во многих случаях начальная скорость электрона очень мала по сравнению со скоростью, приобретаемой им при дальнейшем движении в электрическом поле, и поэтому ею можно пренебречь.
В силу того что потенциал зависит только от координат точки поля и не зависит от направления движения электрона, электронно-оптический показатель преломления также не зависит от направления. Поэтому электронно-оптическая среда может рассматриваться как изотропная, которая однородна, когда У = const, и неоднородна, когда const.
При переходе электроном границы раздела двух областей поля с разными потенциалами он будет менять направление движения, иначе говоря, траектория электрона будет преломляться
Рис. 1.6. Электронно-оптический закон преломления.
Действительно, если с одной стороны границы раздела потенциал равен У\, а с другой Уг (рис. 1,6), то составляющая
21
скорости, тангенциальная к границе раздела, остается неизменной (вдоль границы силы электрического поля не действуют). Поэтому из равенства
Vi sin а. = *и2 sin р
получаем электронно-оптический закон преломления
sin a v2
sin р
(1,25)
который позволяет определить изменение направления движения электрона. Этот закон применяется при графическом построении траекторий электронов.
Что касается нормальной составляющей скорости, то она при переходе поверхности раздела будет изменяться от значения z^cosa до значения -z^cosp.
Допустим, например, что V2> V\. Тогда при переходе электрона в область более высокого потенциала нормальная составляющая скорости увеличивается и траектория электрона приближается к нормали. В противном случае (V2 < Ц): траектория электрона будет удаляться от нормали.
В реальном поле потенциал изменяется непрерывно. Для построения траектории в этом случае можно заменить непрерывное распределение потенциала ступенчатым, проведя в поле через интервал AIZ эквипотенциальные поверхности V19 V2 — V>4- A V', 1^3» ••• (рис. 1,7) и приняв, что между ними потенциал постоянен, а при переходе через поверхность меняется скачком на А И. Тогда у каждой
эквипотенциальной поверхности изменение направления движения электрона будет определяться отношением показателей преломления
Рис. 1,7. Графическое построение траектории электрона.
При уменьшении AV отрезки ломаной станут короче и в пределе при А1/->0 вся лома-
ная перейдет в истинную криволинейную траекторию.
2. Показатель преломления для магнитного поля
При определении показателя преломления однородного магнитного поля надо учитывать, что скорость — величина векторная. Скорость в любой точке траектории определяется
22
вектором начальной скорости v и изменением направления этого вектора в результате действия магнитного поля. Траектория электрона будет, вообще говоря, пространственной кривой. В частном случае траектория может быть плоской кривой. Тогда ее плоскость будет перпендикулярна направлению силовых линий магнитного поля. При наличии магнитного поля под знаком интеграла (2), выражающего принцип наименьшего действия, кроме слагаемого mv (обусловленного электрическим полем), появится второе слагаемое, равное — e(As), где Л — векторный потенциал магнитного поля, as — единичный вектор, направленный по касательной к траектории электрона. Принцип наименьшего действия в этом случае запишется в форме
[тя — £(Л$)]</$ = 0.
Pi
Следовательно, показатель преломления для магнитного поля равен
nB = — i\(As),	(1,26)
а для случая совместного действия электрического и магнитного полей
n = v— 7) (Л$), или
п = У2т]У —7} (Л$).	(1,27)
Иногда удобнее записывать показатель преломления в виде
п = V V-]/(As).	(1,27')
Так как векторный потенциал связан с магнитной индукцией В через операцию ротора, то показатель преломления можно выразить через В. В частности, для однородного магнитного поля, как известно, векторный потенциал
л=1*£)
л 2 ’
где г — радиус-вектор, определяющий положение электрона в магнитном поле.
Тогда из (1,26) для электрона, движущегося в плоскости, перпендикулярной силовым линиям магнитного поля, следует, что
ЛВв“‘Чу(фо«)-	(1.26')
Полученные формулы указывают на следующие особенности показателя преломления для однородного магнитного поля:
1)	показатель преломления зависит не только от координаты точки, в которой находится электрон, но и от направ
ления движения; следовательно, магнитное поле эквивалентно неоднородной и анизотропной оптической среде;
2)	даже при постоянной величине скорости движения электрона показатель преломления переменный, так как траектория искривляется.
Из сказанного следует, что величина электронно-оптического показателя преломления определяется потенциалом электрического поля и индукцией магнитного поля. Поскольку можно создавать поля с высокими потенциалами и большими значениями индукции, то в электронной оптике показатель преломления может достигать весьма больших значений.
ГЛАВА 11
АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ПОЛЯ
Фокусировка электронов осуществляется путем изменения их траекторий с помощью электрического и магнитного полей. Характер фокусировки зависит от конфигурации фокусирующих полей. Так, для фокусировки пучков к плоскости симметрии применяются поля с плоской симметрией (двумерные поля). Для фокусировки пучков к оси применяются поля с вращательной (аксиальной) симметрией.
Фокусирующее действие двумерных полей на электроны подобно фокусирующему действию цилиндрических линз в световой оптике, а действие аксиально-симметричных полей подобно действию центрированных оптических систем. В силу этого с помощью электрических и магнитных полей можно, подобно получению изображения в световой оптике с помощью линз, получать электронно-оптические изображения.
Отметим здесь, что электронная оптика чаще имеет дело с аксиально-симметричными полями и электронными траекториями, близкими к оси симметрии. Поэтому в данной главе рассмотрены свойства аксиальных полей и уравнения траекторий электронов, движущихся в этих полях.
2,1.	Электрические поля с аксиальной симметрией
При описании полей с вращательной симметрией, которые в дальнейшем называются аксиальными или аксиально-симметричными полями, будем пользоваться цилиндрической системой координат г, <р, z. Ось z направим вдоль оси симметрии поля (рис. 2,1).
Потенциал аксиально-симметричного электрического поля не зависит от угловой координаты <р и является функцией только двух координат, т. е.
и= v^r’(2Д)
Поэтому достаточно знать распределение потенциала в любой одной плоскости, проходящей через ось симметрии (меридианная плоскость).
Для таких полей в силу симметрии справедливо условие
V(-r,z)=V(r,z).	(2,2)
Эквипотенциальные поверхности поля могут быть получены путем вращения картины линий равного потенциала в меридианной плоскости вокруг оси симметрии. Поля с вращательной симметрией могут быть созданы электродами, представляющими поверхности вращения. В электростатическом поле
Рис. 2,1. Составляющие векторов поля с аксиальной симметрией.
поверхности проводников являются эквипотенциальными поверхностями. Поэтому электроды должны иметь форму эквипотенциальных поверхностей аксиально-симметричного поля с соответствующей величиной потенциала.
Аксиально-симметричное электростатическое поле имеет только две составляющих напряженности Е, а именно:
„ dV(г, z) радиальную Ег =-------(2,3)
~ dV (г г) и продольную Е2 =------(2,4)
Следовательно, вектор напряженности электрического поля таких полей лежит в меридианной плоскости (рис. 2,1). Составляющие напряженности электрического поля можно найти по (2,3) и (2,4), если будет известна зависимость потенциала от координат.
Потенциал поля с аксиальной симметрией, когда в нем
26
отсутствуют объемные заряды, удовлетворяет уравнению* Лапласа, которое в цилиндрических координатах имеет вид:
= д2У 1 di/ д*У
dr*' г dr ' dz*
(2,5)
Если между электродами имеются заряды, то уравнение Лапласа должно быть заменено уравнением Пуассона. Поскольку мы сначала не будем учитывать действия пространственного заряда, то решение уравнения (2,5),удовлетворяющее граничным условиям, дает потенциал поля. Это означает, что потенциал должен быть распределен таким образом, чтобы на поверхности электродов, создающих поле, он принимал заданные значения.
При расчете поля в первую очередь будем интересоваться распределением потенциала вблизи оси симметрии, так как движение электронов вблизи оси симметрии представляет наибольший практический интерес. Такой случай движения называется параксиальным (приосевым) и имеет место для узких пучков, проходящих вдоль оси. Соответственно электроны, мало удаленные от оси и имеющие скорости, почти параллельные ей, называются параксиальными.
Потенциал любого аксиально-симметричного поля можно представить в виде бесконечного ряда по возрастающим четным степеням г, а именно:
V(r, z) = У. (z) + V2 (z)r2+ V. (z) r< +...+V2„ (z) г2л + ... (2,6)
Здесь Vo, V2, ^4 и т- А- являются функциями осевой координаты z. В ряд входят только четные степени г, т. к. в силу условия симметрия (2,2) потенциал не должен зависеть от знака г. Подставляя потенциал V (г, z) в виде ряда в уравнение Лапласа и выполняя дифференцирование по г и z, мы получим снова ряд, расположенный по возрастающим степеням г. Сумма полученного таким образом ряда должна быть равна нулю при всех значениях г
v;(*) + H(z)r*+ i/;(z)r<
+ ...+2V2(z)+4V\(*)r2H----h
+ 2V2(z) + 12V\(z)r2 +... =0.
Так как коэффициенты при одинаковых степенях г должны быть в отдельности равны нулю, то получаем совокупность уравнений для коэффициентов Ц:
V;(z) + 4y2(z) = 0;
V'2(z) + 16У4(г)=0;
VI (z) + 36IZ6 (z) =0;
Отсюда:
И2(г) = -
16
Теперь потенциал V (г, z) можно записать следующим образом:
(2.6')
Если в этот ряд подставить г = 0, то получим 1/(0, z)= I/0(z).
Таким образом, функция V0(z) есть потенциал на оси симметрии, который в дальнейшем будем обозначать через Ф(г).
Потенциал аксиально-симметричного поля можно записать теперь только через его значение на оси симметрии, а именно:
Л Z X Ф" (*) 2 I ф,У(г) Ф¥,(г) . .
%) Ф (^)	22 г 22-42	22-42 - 62 Г
^(-П’Ф^г2"
= Ф(*) + 1 2M^W- М
П = 1
Отсюда видим, что распределение потенциала V (г, z) аксиально-симметричного поля во всем пространстве полностью определяется распределением потенциала на оси симметрии. Следовательно, распределение потенциала в любом аксиально-симметричном поле может быть найдено вычислением, если известно распределение потенциала на оси z.
Для составляющих напряженности поля получаем Ф" (г)	Ф'\г)
— -------g г+ 4> г 38Г^ + -	(2,в|
и
фш(2) d>v (z)
-Ег = Ф' (z) -	г* +	г4 - ...	(2,9)
При малых значениях г членами, содержащими г в степени выше первой, можно пренебречь и принять
ф" fz]
Er=^^r;	(2,10)
Ег=-Ф'(г).	(2,11)
2*
Таким образом, при малых значениях г радиальная составляющая напряженности поля пропорциональна г.
Величины Ф(г), Ф'(г) и Ф"(г) можно выразить через их значения в какой-либо точке z = z0, применив разложение в ряд Тейлора
Ф (z) = Ф (z0 + Az) = Ф (z0) + Az Ф' (z0) + у (Az)2 Ф" (z0) + ...
Тогда для потенциала вблизи точки оси z0 получаем разложение в ряд по степеням г и Az
V(r, z) эФ (z0) 4- Az Ф' (z0)+4 (Az)2 Ф* (z0) - 4 Ф" (z0) г2.
(2,12) Из этого соотношения можно определить форму эквипотенциальных поверхностей вблизи точки z0. Пусть поверхность равного потенциала пересекает ось z в точке z0, где V = =Ф(г0). Тогда для точек этой эквипотенциальной поверхности, находящихся в непосредственной близости от оси, из (2,12) получаем:
А-Ф' (г0) г2 =	(Аг)2 Ф" (г0) + Az Ф' (г0) =
*
(Ф' (z0)]2 Ф" (Zo)
(2,13)
Соотношение (2,13) является уравнением гиперболы в переменных Az и г. Поэтому эквипотенциальные поверхности вблизи оси являются гиперболоидами вращения.
Если в точке z0 Ф' (z0) = 0, а Ф" (z0) =# 0, то потенциал
V (г, z) = Ф (z0) +1 (Az)2 Ф" (z0) — 1Ф" (г0) г2. (2,14) Коэффициенты при Az2 и г2 имеют противоположные знаки. Поэтому если Ф" (z0) > 0, то потенциал V поля в непосредственной близости от z0 увеличивается с ростом | Az | и уменьшается с ростом | г |. Наоборот, если Ф"(г0) <0, то потенциал уменьшается с ростом | Az| и увеличивается с ростом | г |. Точка z0 в этом случае называется седлообразной точкой. Таким образом, из вышеизложенного можно установить следующие свойства аксиально-симметричных электрических полей:
1) радиальная составляющая напряженности поля в точке параксиальной области пропорциональна удалению этой точки от оси симметрии;
2) направление радиальной составляющей поля, а значит и радиальной составляющей силы, действующей на электрон, определяется знаком Ф"(г). Фокусировка электронов происходит при Ф" (z) > 0, при Ф" (z) < 0 имеет место дефокусировка (электрон удаляется от оси).
29
2,2. Примеры аксиально-симметричных полей
Рассмотрим два вида электродов, создающих поля с вращательной симметрией.
1. Плоский электрод с отверстием
Плоский электрод с одним круглым отверстием называется диафрагмой. Если по обе стороны плоскости диафрагмы (вдали от отверстия) создать поля с напряженностями Ех и то вблизи отверстия диафрагмы поле будет неоднородным, так
S)
Рис. 2,2. Поле диафрагмы с круглым стверстием.
как при переходе сквозь отверстие (апертуру) диафрагмы напряженность поля изменяется непрерывно от значения Ех значения Е2. Распределение потенциала и поле диафрагмы определяется абсолютными величинами и знаком (направлением) полей слева и справа от нее и может быть рассчитано аналитически. На рис. 2,2а показано распределение потенциала (эквипотенциа-ли) для случая, когда £’1= — Е2\ такое распределение потенциала имеет место, например,когда диафрагма с нулевым потенциалом находится посредине между стинами с потенциалом тенциальные у отверстия диафрагмы искривлены и их действие аналогично действию линз в световой оптике.
Распределение потенциала вдоль оси диафрагмы показано на рис. 2,26. Поле диафрагмы имеет „седловину" (точка о). В окрестностях точки о оно является симметричным как относительно оси z, так и относительно точки о. В этой точке напряженность поля равна нулю, а следовательно, и обе составляющие поля равны нулю
двумя пла-одинаковым V. Эквипо-поверхности
30
дУ = дУ dz dr
В бесконечно малом объеме поля вокруг точки о распределение потенциала будет описываться уравнением
V (Г, Z) = Ф (z0) +1Ф" (z0) Az2 - -L Ф" (z0) r\
Это — уравнение гипербол. Вблизи точки о (z -► z0„ г -► 0) V(r, z) Ф (z0).
Поэтому для поля вблизи точки „седловины" получаем
г2 = 2Дг2.	(2,15)
Это уравнение является уравнением эквипотенциальной поверхности, проходящей через точку о. Из (2,15) следует, что форма поверхности — конус с вершиной в точке о.
Линии пересечения этих эквипотенциальных поверхностей с меридианной плоскостью определяются уравнением
г—±У~2&г	(2,15')
и являются двумя прямыми, пересекающимися в точке о. Их наклон относительно оси симметрии равен 54°44'(tg 54°44'= — УЧ ). Эквипотенциальные линии поля, являющиеся гиперболами вблизи точки о, асимптотически стремятся к этим прямым.
2. Два цилиндрических электрода
Два и большее число соосных цилиндров одинаковых радиусов (рис. 2,3) создают распределение потенциалов.
Рис. 2,3. Трубчатая линза.
которое может быть рассчитано аналитически. Это распределение будет зависеть от величины и знака потенциала каждого из цилиндров и размера зазора между ними. Оно может быть найдено путем решения уравнения Лапласа методом разделения переменных.
31
Подстановка V (г, z) = M (г) N (z) в уравнение Лапласа и разделение переменных приводит к уравнениям:
-^- + 4W=0;	(2,16)
dr2
1 dM r dr
k*M = O,
(2,17)
решения которых имеют вид
TV* (z) = Ak sin kz + Bk cos kz\ л1л(г)=сл/0(м+ад(Лг),
(2,18)
где Z0(fcr)— модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, а
KQ(kr) —- модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка.
Если k принимает непрерывный ряд значений, то суммирование должно быть заменено интегрированием по всей области изменения k:
V(r, z) =j[A(k] sin kz+B(k) cos kz][C(k)I0{kr)-\-D(k)K0(kr)]dk.
(2,19) Так как на оси потенциал может иметь только конечные значения, то функцию (kr) надо отбросить, поскольку она при г = 0 обращается в бесконечность. Тогда для потенциала получаем
V(rtz) = $ [a (k) sin kz^b(k) cos kz]IQ(kr)dk, (2,19') k
где a(k} = A (A)C(A), b(k) = B(k)C(k). Значения a(k) и b(k) определяются из граничных условий.
Для случая двух бесконечно длинных трубчатых электродов радиуса У? с бесконечно узкой щелью между ними и
потенциалами
пишутся так:

граничные условия за-
V(z, /<) = -
для z<0;
V (z, У?) = для z > 0.
Из соображений симметрии вытекает, что в плоскости z = Q для любого значения г VT0, г) = 0; следовательно, b(k)=O.
32
Тогда потенциал поля таких трубчатых электродов запишется следующим образом:
V (г, z) = J a (k) sin kz /0 (kr) dk.	(2,20)
о
Если z>0 и г = Х?, то
со
V(R, z) —	Jа (fe) /0 (kR)sin kz dk.
0
Отсюда можно найти a[k)-.
со
д(*) = VУ T^kR)S,n kzdz ~nkI0(kRY
Поэтому потенциал окончательно определяется функцией
vtr. z'> = И	<2'21!
Полагая г = 0, получим потенциал на оси симметрии
=	<2'22>
и его первую и вторую производные:
Ф' (?) =
Vof a dk « J C0S kzl0(kRY
со
<1>'(z) = -V1?sinte7^)
(2,22'1
Для любых значений потенциалов V\ и У2 надо положить
Vo=V2— Vj, а V(R, 0) = 4- (Vt + V2) и тогда потенциал
Уг- У1
V(r,z)=^±^2
С sin kz /0 (kr)
J Л /0 (kR)
dk. (2,23)
Потенциал на оси и его первые две производные запишутся так:
У]-+-V2, У,—V1 С sin fez dk
2	« J fe lo(kR) *
d H. C. Зинченко
(2,24)
33
ч Vj-Vjf . dk
ФМ =--—7ЖГ-
.	V,—H.f, . , dk
(2,24')
Если -g- принять в качестве независимой переменной, то К
для Ф(г) имеем:
оо
(2,25)
Интеграл в (2,25) достаточно хорошо аппроксимируется функцией th ^1,315[1]. Поэтому приближенное выражение потенциала на оси принимает вид
\ А /	\ *Х /
Кривые распределения потенциала на оси трубчатой системы для трех соотношений величин и V2 показаны на рис- 2,4.
Ф(з)
--------------------1—-12 (------------------------
Рис. 2,4. Изменение осевого потенциала трубчатой линзы (трубки равных диаметров):
1) И1 = 0, Ц = 1; 2) V\ = -l, Ц»1; 3) V\ = -l, И2=0.
Исследование кривых распределения осевого потенциала показало, что область изменения потенциала сосредоточена
34
в пределах расстояния, равного одному диаметру от средней плоскости.
Распределение потенциала для всех значений г внутри соосных цилиндров можно представить в виде эквипотенциальных линий. Картина поля является симметричной как относительно оси z, так и относительно средней плоскости. Эквипотенциали проходят через зазор между цилиндрами и пересекают ось симметрии под прямыми углами.
Следует заметить, что формулы, полученные для потенциала, дают наилучшую точность при бесконечно узком зазоре. Однако зависимость распределения потенциала на оси системы от величины зазора слабо выражена и ею можно пренебречь для большинства практически применяемых узких зазоров. Только при ширине зазора, достигающей величины диаметра цилиндров, ошибка становится значительной. В таком случае аналитическое исследование становится очень сложным, и мы его не приводим.
2,3. Движение электрона в аксиально-симметричном электрическом поле
Произведем расчет траекторий электронов в аксиальносимметричном электрическом поле. Уравнения движения электрона в таком поле запишутся в виде:
dV mz = е -5— ;
dz
mr = e
dV dr ’
(2,26)
(2,27)
d2z	d2r n
где z =	♦ а г = ^2-. Для параксиальных
(r = 0,	они в соответствии с (2,10; 2,11)
следующий вид:
электронов
принимают
mz = еФ' (z);
„ d2z ___ 1 d tdz
М0 ~dP~~'2dz\di
Ф"(г)	/ОО7'\
тг= — е —у-2 г.	(2,27 )
2
, поэтому в результате интегрирования
первого уравнения, обозначая через v. начальную скорость, найдем
d* = /211Ф (z) + vl9.
Для второго уравнения,
d2r dldrdz\dz nKK0,“-'c4d?=di\dzMlTf
после
35
подстановки значения производной -г получаем
(2,27")
Начальные скорости в большинстве случаев малы и поэтому в дальнейшем будем ими пренебрегать. Тогда после выполнения дифференцирования по z в последнем уравнении найдем
Ф (г) г" + г' + г = 0,	(2,28)
dV Ф'(г) dr Ф^(г)
dz2‘ 2Ф(г) dz' 4Ф(г)	'	к '	}
Как видно, это уравнение линейно как относительно Ф, так и относительно г и их производных. Его решение дает зависимость r=r(z). Следовательно, это уравнение является дифференциальным уравнением траектории параксиальных электронов в аксиально-симметричном поле. Это основное уравнение геометрической электронной оптики. Его рассмотрение позволяет сделать следующие выводы:
1)	ход траектории не зависит ни от заряда, ни от массы заряженных частиц;
2)	изменение потенциала во всех точках поля в k раз не изменяет траектории; ее ход не зависит от абсолютных величин потенциалов;
3)	при увеличении линейных размеров электронно-оптической системы в несколько раз траектория также увеличивается во столько же раз;
4)	траектория параксиального электрона определяется только распределением потенциала на оси симметрии.
Дифференциальное уравнение траектории электрона позволяет найти искомую траекторию, если задано распределение потенциала вдоль оси.
На практике часто приходится решать обратную задачу о нахождении распределения потенциала, необходимого для получения траектории заданной формы. Уравнение (2,28) позволяет решить и эту задачу. Покажем, как это можно выполнить. Пусть уравнение траектории r=r(z) известно. Тогда перепишем уравнение (2,28) в таком виде:
3 (гФ) у- + (гФ)" = 0.	(2,29)
Z
Подстановка гФ=е*₽^<^ переводит это дифференциаль-
ное уравнение в уравнение Риккати:
р' (z) + p* (z) + 3	= О.	(2,30)
Если p(z) является решением уравнения (2,30), то
1 p(e)de ф<г’=?йе
Таким путем можно определить распределение потенциала Ф(г), которое дает наперед заданную траекторию.
Общее решение задачи о фокусировке электронов в пучки заданной формы дано Г. А. Гринбергом, который показал, что поле, необходимое для фокусировки электронов в пучок, определяется заданием некоторого числа траекторий электронов. Читателей, интересующихся деталями этой задачи, мы отсылаем к книге данного автора1.
2,4. Магнитные поля с аксиальной симметрией
Рассмотрим теперь свойства магнитных полей, обладающих аксиальной симметрией. Покажем прежде всего, что для расчета аксиально-симметричных магнитных полей, применяемых в электронной оптике, достаточно знать единственную составляющую векторного потенциала, а именно Пусть ось z — ось симметрии. Так как индукция магнитного поля определяется векторным потенциалом из соотношения В = rot А, то составляющие В произвольного статического поля в цилиндрической системе координат запишутся так:
Вг = (го1А)г = у
Дг = (ГОМ)г = у
д (гЛ,) _ дАг dr д<?
дА^___д(гА^}
d<f dz
D , . .. дАг dAz В9— (го1Л)<р— dz дг .
(2,31)
(2,32)
(2,33)
Для пространства, где нет тока, rotB = 0. Записывая это
уравнение в проекциях на оси координат, получим:
(rotB)z = y
д ______ дВг
dr ду
(rot B)r = —	1= 0;
г [ dz
(2,34)
(2,35)
(rotB)f=^f-^ = 0. dz dr
(2,36)
J
1 Г. А. Гринберг. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений, АН СССР, 1948, стр. 507—535.
37
Для полей с аксиальной симметрией магнитная индукция В и векторный потенциал А не зависят от <р. Поэтому вместо (2,31—2,33) будем иметь:
=	(2,31')
1 д (гА9) __ дА?
г dz ~ dz '
, d A dA, 9 dz dr 9
(2,32')
(2 33')
Магнитные поля в электронно-оптических системах создаются катушками, т. е. совокупностью круговых проводников, плоскости которых перпендикулярны к оси симметрии z, а центры находятся на этой оси. Векторный потенциал круговых проводников имеет единственную составляющую что ясно видно из известной формулы для векторного потенциала
Рис. 2,5. Иллюстрация к закону Био — Савара.
(2>37)
V
где J—вектор плотности тока. Поэтому Аг = Ar = Q и из (2,33') следует, что ВФ = 0. Последнее также ясно видно из закона Био — Савара, записанного в векторной форме (см. рис. 2,5). В результате получаем только два следующих соотношения между магнитной индукцией и векторным потенциалом:
Вг = — -	(2,38)
2 г dr	v '
В' = ~£-	(2,39)
Следовательно, такое магнитное поле с аксиальной симметрией имеет только две составляющие: радиальную и продольную. Обе составляющие индукции Вг и В, полностью определяются только одной угловой составляющей векторного потенциала, поэтому в дальнейшем индекс ср опускается.
п	п	м дВ. ~ dBr	п
Далее, в силу того, что Вф = 0, -^ = 0 и =0, по-r cty	dcp
лу чаем:
38
(rotB)z=0; (rotB),=0;
(2,40)
(mt R} ___дВг дВг_______л
(rot В), —	— 0.
Подстановка Вг и Вг в последнее уравнение соотношение
д*А д*А , 1 дА А_п dz* + дг* + г дг г* 0’
(2,404
дает для А
(2.41)
которое отличается от уравнения Лапласа для потенциала электрического поля. (2,41) показывает, что векторный потенциал А является функцией от z и г.
Покажем далее, что векторный потенциал, а следовательно и магнитная индукция в любой точке могут быть представлены в виде рядов, если известно распределение B(z) вдоль оси.
Для аксиально-симметричного магнитного поля Вг должна быть четной функцией от г.
d 1 д(М)
Интегрирование уравнения Вг= ——'	показывает, что
А является нечетной функцией от г. Поэтому угловую (азимутальную) составляющую векторного потенциала можно разложить в ряд по нечетным степеням г:
A (z, г) =ft (z) г +/3 (z) г3 4- /5 (z) г»
Функции fi (z), /з (z) и т. д. необходимо определить. Для этого продифференцируем ряд по z и по г и результат подставим в уравнение (2,41). Тогда мы получим ряд, сумма которого должна быть равна нулю для любого значения г. Этот ряд имеет вид:
Л (г) Г+/з (г) г3 + /; (Z) г* +... 4- 6/з (г) Г + 20Д (z) г3 +
А (г)
Г
+ ЗЛ (z) г + 5/6 (z) г3 +...-
- А (г>г - А («) г3+••• = 0.
Равенство ряда нулю означает, что должны быть порознь равны нулю коэффициенты при одинаковых степенях г. Это дает:
8
Л(г)_ //С?) .
24	2-4*-6 ’
39
Тогда
Afcd=/.(.k-^+ ^гг‘+-
Теперь определим значение функции /i(z). Для этого подставим в (2,38) значение А
5г(г,г) = ^- + ^ = 2Л(г)-^г2 + ...
Полагая г = 0, получим
B2(z,0) = 2f1(z) или/1(г) = ^^ = ^ф-.
Ввиду того, что Вг на оси равна нулю, Вг {г, 0) является магнитной индукцией В (г) на оси симметрии. Следовательно, ft(z) равно половине индукции магнитного поля в точке на оси z. Тогда для А окончательно получаем следующий ряд:
Alz r\~B^r B'^r* I 2	22-4 'Г 22-42-6
Отсюда находим составляющие индукции магнитного поля в точке, не лежащей на оси симметрии:
о	В'Ю. . B'"(z)
(2,42)
(2.43)
B,(z,r) = B(z)-
B4z)r2 . Blv(z) .
22	' 2M2
(2,44)
Таким образом, магнитное поле с аксиальной симметрией можно рассчитать во всем пространстве, если известно поле на оси. Вблизи оси симметрии (параксиальный случай) магнитную индукцию можно считать не зависящей от расстояния от оси. Поэтому для параксиальных электронов аксиально-симметричное магнитное поле можно считать однородным.
Рассмотрим некоторые примеры полей систем с аксиальной симметрией.
Поле на оси катушки, как известно, вычисляется на основании закона Био—Савара. Для отдельного кругового витка радиуса /?, по которому течет ток /, напряженность магнитного поля определяется соотношением

/?27
2 (У?2 + z2)%'
(2,45)
Отсюда следует, что напряженность поля на оси витка имеет наибольшее значение в центре витка и с увеличением
40
расстояния от центра кругового витка уменьшается, стремясь к нулю.
Напряженность поля катушки, состоящей из п витков на единицу осевой длины, получается суммированием по всем виткам значения, найденного из (2,45).
Внутри очень длинной катушки (соленоид) с постоянной плотностью витков при общем числе витков N и длине катушки!/получается однородное магнитное поле, напряженность которого равна
В—
(2,46)
а магнитная индукция
(2,47)
Распределение поля на оси катушки зависит от отношения длины катушки £ к ее диаметру D. Чем меньше длина
Рис. 2,6. Зависимость осевой напряженности магнитного поля катушки от соотношения между ее длиной и диаметром.
катушки по сравнению с ее диаметром, тем сильнее нарушается однородность поля на оси (рис. 2,6).
Кривая распределения магнитного поля вдоль оси симметрии короткой экранированной катушки с полюсными наконечниками с хорошим приближением аппроксимируется следующим выражением (без насыщения железа экрана):
в (Z) = Вйе~г21аг.
(2,48)
где а = 1,2а, если а —четверть ширины кривой B(z). Для
41
некоторых неэкранированных катушек распределение поля хорошо воспроизводится следующей формулой:
(2,49)
а для экранированных катушек по достижении насыщения материала экрана знаменатель имеет первую степень.
Наконец, для переходной области распределение магнитного поля длинных катушек с достаточной степенью точности может быть представлено формулой
B(z) = Bosin*(jy),
(2,50)
где I — длина переходной области.
По известной осевой составляющей магнитного поля B(z) может быть вычислена радиальная составляющая поля, поскольку они связаны друг с другом. Для пространства без токов эта связь определяется уравнением дивергенции
div В —
дВг , 1 д(гВг) dz “и г дг
(2,51)
2,5. Движение электрона в аксиально-симметричном магнитном поле
В этом параграфе будет рассмотрено движение параксиального электрона в магнитном поле с симметрией вращения. Для удобства расчета будем применять цилиндрическую систему координат. Чтобы получить основные уравнения, сначала запишем уравнение движения электрона в векторной форме
та= — е[я, В],
(2,52)
а затем перейдем к уравнениям в проекциях на оси цилиндрических координат.
Поскольку цилиндрические координаты связаны с прямоугольными координатами соотношениями:
X = Г COS ср, y = r sin ср, Z — Z,
(2,53)
а составляющие сил в этих системах связаны соотношениями
Fr = тх cos ср -|- ту sin ср,	(2,54)
42
Fy= — mx sin <? + my cos <?,
(2,55)
то после подстановки значений x и у в (2,54) и (2,55) получим:
Fr = т (г - г^);	(2,54х)
('*?)•	(2,55х)
Выражая составляющие силы через составляющие v и В в цилиндрических координатах, получим следующие дифференциальные уравнения:
т(г — г<р2) = — е {г'^Вг — zBf);
(2,56)
Т	= ~ е {zB' ~ 'гВ&	(2,57)
mz = — е (гВ- — п?Вг).
(2,58)
Для аксиально-симметричного поля в эти уравнения надо подставить
 - 1 д(гА) г г дг
дА dz'
и В = —
Подстановка дает:
„ д(гД)
/я (г — гр2) = —е<?	;
(2,56х)
д(гД) е d (гА) dr	г dt ’
(2,57х)
дА mz — er<td^-
(2,58х)
Интегрируя уравнение (2,57') по времени, находим значение угловой скорости
<р = 7] —
(2,59)
Для однородного магнитного поля А = -у , поэтому
(2>б0)
Эта формула для угловой скорости электрона справедлива также и для параксиальной области поля, так как в преде
43
лах малых значении г аксиально-симметричное поле можно считать-однородным (см. (2,42)).
Угол поворота плоскости, проходящей через ось поля и мгновенное положение электрона, который в дальнейшем будем называть углом поворота траектории в магнитном поле, можно легко вычислить, если учесть, что
d<p  d<p dz dt	dz dt ’
где v—скорость, с которой электрон вступает в магнитное поле, пройдя предварительно разность потенциалов 1/0. Отсюда угол поворота траектории электрона
<?=j/eT IВ (2) dz-	(2,62)
°*о
Поскольку <р не зависит от г0 — начального положения электрона, то все параксиальные электроны, выходящие из точек прямой z = Zq, <? = %, повернутся на один и тот же угол.
Уравнение траектории электрона в меридианной плоскости получается следующим образом.
Подставляя значение угловой скорости и векторного потенциала в уравнение (2,56'), получим
е2В2 (z)
тг =-------- -- г.
4т
d2r
Теперь преобразуем , записав
си
d2r   d (dr dz\ d?r / dz \2
dt2	dt \dz dt /	dz2 \ dt ) '
Тогда, поскольку г2 = 2цУ0, окончательно найдем
_ *2 (г) г
dz2 ~ 4 8У0 '
(2,63)
(2,64)
Это основное уравнение для аксиально-симметричного магнитного поля. Так как в нем коэффициент при г всегда положительный (Уо — ускоряющий положительный потенциал), то все траектории электронов после прохождения через параксиальную область аксиально-симметричного поля будут пересекать ось симметрии.
В результате проведенного анализа мы видим, что траектория электрона описывается двумя функциями: г = r(z) и Ф =ф (z); они соответствуют радиальному и угловому движениям электрона.
Во многих случаях фокусирования радиальное движение может рассматриваться независимо от углового; при этом надо только помнить, что проходящая через ось z и мгновенное положение электрона плоскость все время поворачивается, пока электрон проходит через область магнитного поля.
2,6. Общие уравнения движения электрона в комбинированных полях
Чтобы получить уравнения движения электрона в комбинированных аксиально-симметричных электрическом и магнитном полях, необходимо к правой части уравнений (2,56') и (2,58') добавить составляющие электрической силы, пропорциональные Ег и Ех. В результате получаем:
• д(гД)
* дг
dV е дг ;
(2,65)
(2,66)
•	, U V
mz = — ere? —з---------И г —з— •
oz dz
(2,67)
Для параксиального случая раньше было найдено
. B(z) . B(z) ..	.. .	Ф"(г) 2
Л = —^-г,	= и У=Ф(г)-------------
Подстановка этих значений А, <р и V в (2,65) и (2,67) приводит к уравнениям:
т)Ф' (z);
(2,68)
(2,69)
(в последнем уравнении члены порядка г2 отброшены по малости).
Исключая время из (2,68) и (2,69) путем подстановки
= 2т)КФ (Z)
d
dz
G'4’<*>£)•
45
получаем дифференциальное уравнение траектории
d*r	Ф' (г) dr
d^ 2Ф (z) dz
Ф"(г) , -чВ2(г) 4Ф (г) ' 8Ф (г)
(2,70)
Отметим, что уравнение траектории параксиального электрона является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Здесь, как и в § 2,5, траектория электрона определяется двумя функциями: r= r(z) и <p = <p(z). Уравнение траектории также справедливо и для случая, когда начальная угловая скорость отлична от нуля (источник электронов находится в магнитном поле).
ГЛАВА Hl
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОЛЕЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ
Во второй главе мы рассмотрели в качестве примеров простейшие системы электродов, создающих аксиально-симметричные поля, распределение которых рассчитывается аналитически. Однако на практике чаще встречаются электронно-оптические системы, которые состоят из электродов со сложной формой поверхностей. Для сложных систем электродов не удается аналитически рассчитать распределение потенциала, так как для них невозможно найти <в удобной форме решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям.
В подобных случаях распределение поля находят экспериментально путем моделирования. В данной главе мы рассмотрим два метода экспериментального исследования полей: метод электролитической ванны и метод гравитационной модели. Кроме того, в главе приводятся общие сведения об измерении. магнитных полей, а также способы графического построения траекторий электронов.
3,1. Моделирование полей с помощью электролитической ванны
Этот метод исследования электростатических полей вследствие его универсальности, простоты и хорошей точности является наиболее распространенным. Разработке этого метода посвящен ряд работ [1—5]. Он основан на подобии полей данной электронно-оптической системы, находящейся в вакууме, и ее модели, погруженной в слабый электролит (однородно-проводящую жидкость).
Покажем сначала, что силовые линии электрического поля в вакууме и линии тока в электролите совпадают. В самом деле, напряженность поля в электролите, который яв
47
ляется чисто омическим проводником, прямо пропорциональна плотности тока.
j=cE = — о grad V;	(3,1)
где о — удельная электропроводность электролита.
В объеме электролита, ограниченном электродами, плотность тока подчиняется уравнению непрерывности
divj = O,
или
divj= — о div grad V = —оДУ=0.
(3,2)
(3,2)
Таким образом, если а постоянна, то потенциал между электродами в электролите также удовлетворяет уравнению Лапласа. Иными словами, при отсутствии пространственного заряда в вакууме и источников и стоков в электролите потенциалы определяются одним и тем же уравнением. Следовательно, если погрузить систему электродов в слабо проводя-щий электролит и задать им потенциалы, равные потенциалам исследуемой системы (одинаковые граничные условия), то распределение потенциала остается таким же, как и в вакууме. Это и доказывает высказанное положение.
Реальные электронно-оптические системы обычно имеют малые геометрические размеры. Поэтому для более точного определения распределения поля возникает необходимость замены реальной системы электродов сильно увеличенной моделью, форма которой подобна исследуемой. Такая замена основана на принципе подобия электростатических полей.
Пусть У (х, _у, z) — потенциал электростатического поля, создаваемого электродами в вакууме, является решением уравнения Лапласа
д2У д2У д2У
дх2 ’ dy2 ’ dz2
Если теперь потенциал увеличить в k раз, то новое значение потенциала также будет удовлетворять уравнению Лапласа.
Увеличение всех геометрических размеров электродов системы и расстояний между ними в k раз математически выразится переходом к системе координат:
х' = ftx; y'=ky\ z' = kz.
При таком преобразовании координат уравнение Лапласа не изменяется. Это означает, что если потенциалы электродов
48
модели пропорциональны потенциалам электродов исследуемой электронно-оптической системы, то в электролите получим распределение потенциала, которое с точностью до постоянного множителя совпадает с искомым распределением.
Рис. 3,1. Электролитическая ванна для определения эквипотенциалей аксиально-симметричных полей.
Таким образом, распределение потенциала, а следовательно, и форма эквипотенциальных поверхностей увеличенной модели остается подобной исследуемой и будет определяться только расположением электродов и их потенциалами. Следовательно, для изучения движения заряженных частиц под действием электрических полей можно изменять потенциалы и увеличивать или уменьшать размеры модели электродов в любое число раз, сохраняя при этом только отношения размеров и потенциалов (см. § 2,3).
Для измерения распределения потенциала между электродами в электролите применяется установка, называемая электролитической ванной. Конструкция электролитической ванны достаточно проста и измерения в ней несложны.
Электролитическая ванна (рис. 3,1) состоит из ванны с электролитом, модели электродов, зонда, индикаторного при-
49
бора, переменных сопротивлений и конденсаторов, источника напряжения и пантографа. Ванна изготовляется из изоляционного материала, а ее размеры делают значительно большими размеров модели. От материала стенок ванны зависит степень искажения ими распределения исследуемого поля [6]. Кроме того, точность измерения потенциала зависит от материала электродов и зонда, а также от применяемого электролита. Лучшими являются платинированные электроды или электроды из железа. В качестве электролита обычно применяется водопроводная вода.
Измерения следует производить, используя источник переменного напряжения. Это позволяет предотвратить явление поляризации вследствие электролиза, которое привело бы к искажению поля. Значения потенциалов электродов и зонда задаются с помощью переменных сопротивлений. Конденсаторы Ci и С2 служат для компенсации емкости электродов. Без этого в нулевой ветви мостовой схемы, применяемой здесь, будет оставаться реактивная составляющая тока, которая не позволяет установить мост на нуль. В качестве индикатора тока в нулевой ветви схемы применяют гальванометр, телефон, осциллограф или другие нулевые приборы. Измерение потенциала в любой точке исследуемого поля производится следующим образом. С помощью переменных сопротивлений зонду задают определенный потенциал относительно электродов. Если зонд поместить в такую точку электролита, которая имеет потенциал, равный потенциалу зонда, то в цепи зонда (нулевая ветвь схемы) ток будет равен нулю; последнее регистрируется индикаторным прибором. Перемещая зонд в плоскости таким образом, чтобы ток в индикаторном приборе все время равнялся бы нулю, мы получим эквипотенциальную линию с потенциалом, равным потенциалу зонда. Другим значениям потенциала зонда будут соответствовать другие эквипотенциальные линии.
Воспроизведение эквипотенциальных линий поля на бумаге осуществляется с помощью пантографа.
Пантограф представляет собой прибор, служащий для копирования рисунков с изменением или без изменения масштаба оригинала. Он состоит из шести планок—двух длинных и четырех коротких, соединенных между собою на шарнирах и образующих два ромба.
Длинные планки соединены осью, вокруг которой они могут свободно поворачиваться. К двум противоположным углам ромбов прикрепляются зонд и карандаш; иногда вместо карандаша применяют иголку, которой делают прокол на бумаге. На рис. 3,1 схематически изображен пантограф, в котором ось проходит через середины длинных планок, а поэтому оба ромба одинаковы. Следовательно, в таком случае при 60
перемещении зонда вдоль эквипотенциальной линии карандаш будет вычерчивать линию или ряд точек, повторяя форму эквипотенциали, и изображение распределения поля будет получаться без изменения масштаба.
Применяя ванну достаточно больших размеров, выбирая соответствующий материал стенок ванны, электродов и зонда, а также их размеры, при использовании точного индикаторного прибора можно произвести измерения распределения потенциала с точностью, достигающей процента.
Модель электродов может быть упрощена в случае измерений потенциалов системы электродов с вращательной симметрией. Упрощение основано на том известном факте, что плоскость из диэлектрика, помещенная вблизи заряженных электродов, действует на распределение потенциала в ванне так, как будто за этой плоскостью находятся отражения электродов с теми же по величине и знаку зарядами и потенциалами, как и отражаемые электроды, а сама плоскость отсутствует. В нашем случае с ванной такими плоскостями являются, с одной стороны, поверхность раздела электролит— воздух и, с другой,—непроводящее дно ванны. Поэтому нет необходимости изготовлять всю модель электродов. Достаточно сделать одну половину модели, получающуюся сечением электродов меридианной плоскостью, и погрузить ее в электролит так, чтобы его поверхность совпадала с плоскостью сечения. Тогда отражение дополнит эту половину до полной модели и поле на поверхности электролита будет точно соответствовать распределению поля в меридианной плоскости неразрезанной системы электродов.
Измерения потенциала в указанной плоскости осуществляются с помощью зонда. В этом случае зонд располагается так, чтобы он мог перемещаться по поверхности электролита, погружаясь в него только своим острием. Дальнейшие операции производятся так, как было описано выше.
Поскольку у электродов с вращательной симметрией все меридианные плоскости равноценны, то в качестве их модели можно использовать клинообразный сегмент, который получается сечением электрода двумя меридианными плоскостями, пересекающимися под углом в несколько градусов. Такой элемент модели помещают на диэлектрическое дно ванны, а саму ванну наклоняют, чтобы получился клин электролита.
Край электролита вдоль наклонного дна изображает ось системы. На рис. 3,2 в качестве примера приведено распределение потенциала двух цилиндрических электродов, полученное путем измерений в электролитической ванне.
61
Если необходимо исследовать распределение потенциала системы электродов с плоской симметрией (плоские поля), то для этого достаточно выполнить модель электродов небольшой высоты и поместить ее на горизонтальное дно ванны. В ванне с плоскопараллельным слоем электролита отражения в дне ванны и в воздухе дополнят модель до бесконечных размеров.
Рис. 3>2. Потенциальное поле двух цилиндров (отношение диаметров равно 2).
Для практических целей наиболее важно знать точное распределение потенциала вдоль или вблизи оси системы. В подобных случаях исследование проводят на половинных моделях электродов. При этом устраняются искажения, вносимые поверхностным натяжением у края электролита, когда ванна наклонена.
После получения картины распределения потенциала определяют траектории. Из вышеизложенного следует, что метод электролитической ванны применим к исследованию полей, в которых нет зарядов. Если, как это часто бывает, в исследуемой электронно-оптической системе существует пространственный заряд, то при графическом построении траекторий вводят поправку на его влияние (см. § 8,5). Заметим, что можно путем видоизменения электролитической ванны исследовать в ней распределение потенциала с учетом пространственного заряда. Электролитическая ванна, в которой учитывается действие пространственного заряда, предложена и описана в работе [8].
3,2. Метод гравитационного моделирования
Метод гравитационной модели позволяет непосредственно исследовать фокусирующие свойства электронно-оптических систем, т. е. изучить траектории заряженных частиц в двумерных полях. Этот метод требует меньшей затраты времени на исследование, чем метод ванны. Принцип гравитационного моделирования основан на подобии уравнений движения заряда в плоском электростатическом поле:
— F —е . т т дх'
е F е дУ т у~ тду
и уравнений движения материальной точки поверхности h (х,у) в поле силы тяжести с
•	_ 1	_ дй.
Х М М дх &дх’
_Л, _1_дФ =
У~М Мду & ду’
(3,3)
(3,4)
с массой М по потенциалом Ф:
(3,5)
(3,6)
где h — высота, a g — ускорение силы тяжести.
Уравнения (3,3) — (3,6) показывают, что заряженная частица движется в электростатическом поле по таким же траекториям, как и материальная точка по поверхности, расположенной в однородном гравитационном поле, при условии, что высота точек поверхности пропорциональна потенциалу V (х, у).
Траектории частиц в электростатическом и гравитационном полях не зависят ни от заряда, ни от массы. Поэтому траектории заряженных частиц в электростатическом поле можно моделировать траекториями шариков произвольной массы, катящихся по поверхности соответствующего рельефа.
В качестве поверхности используют равномерно натянутую горизонтальную резиновую мембрану. В местах мембраны, соответствующих сечениям отдельных электродов, ей придают вертикальные отклонения, пропорциональные потенциалам электродов. Высота любой точки деформированной поверхности резины устанавливается пропорционально потенциалу соответствующих точек в электростатическом поле.
При этом высота отсчитывается от горизонтальной плоскости, в которой находилась мембрана до деформации. Резиновое полотно, если пренебречь его сопротивлением на изгиб по сравнению с натяжением, будет иметь форму, соответствующую минимуму потенциальной энергии.
53
Найдем уравнение равновесной поверхности мембраны. Элемент поверхности dS в случае малого наклона поверхности в любой точке запишется в виде
COS а
где а—угол между нормалью к элементу поверхности и вертикальной осью z. Величина этого угла определяется
соотношением
cosa =
Поэтому площадь поверхности определяется выражением
JJ У \дх) \<fy/
где интегрирование должно быть распространено на всю область изменения х и у мембраны.
Так как S должно быть минимальным, то уравнение Эйлера—«Лагранжа приводит к следующему дифференциальному уравнению деформированной поверхности:
Если крутизна поверхности мала
dh
dh
dx
нение (3,7) переходит в уравнение Лапласа
ду
дЧг db дх2 ду2
(3,8)
Таким образом, высота поверхности резины может изображать потенциал в двумерной системе электродов при отсутствии пространственного заряда. Запуская металлические шарики с одного уровня рельефной поверхности резины к другому уровню, по их траекториям определяют траектории заряженных частиц в соответствующем двумерном электростатическом поле. Траектории металлических шариков, движущихся по поверхности резины, можно наблюдать или фотографировать. Освещение шариков при фотографировании производится лампой, создающей световые импульсы. Так непосредственно можно исследовать фокусирующие свойства данной системы. При этом, конечно, начальные направления движения и начальные скорости шариков должны соответствовать начальным направлениям и скоростям электронов. На рис. 3,3 показана модель резиновой мембраны.
Модель состоит из резиновой мембраны, рамы для натяжения резины, приспособления для поддерживания уровня поверхности и механизма для запуска шариков.
Мембрана должна быть равномерно натянутой. Для контроля равномерного натяжения на резину до натяжения ее на раму наносят сетку, состоящую из квадратов или других фигур правильной формы. После натяжения резины фигуры не должны искажаться. Рельеф поверхности резины, соответствующий распределению потенциала, задается с помощью рычажных или пружинных весов. Последние создают необходимое распределение давления с нижней стороны резины.
Рис. 3,3. Устройство гравитационной модели. 1—контур катодного электрода; 2—контур ускоряющего электрода; 3—линейкп; 4— ограничивающая рама; 5—колодка механизма для запуска шариков; б—концы резиновых трубок для подсасывания шариков; 7—концы шпилек, натягивающих мембрану.
Для запуска шариков применяются различные устройства. В модели резиновой мембраны, изображенной на рис. 3,3, шарики удерживаются в начальном положении присасыванием к концам резиновых трубок, соединенных с резервуаром, из которого откачан воздух. Когда трубки отключаются от резервуара и соединяются с атмосферой, то сила, удерживающая шарики, исчезает. Модель отрицательного электрода 1 помещена с нижней стороны мембраны на уровне ее поверхности, а модель положительного электрода 2 надавливает сверху на мембрану, прогибая ее на величину, пропорциональную разности потенциалов между электродами. Для уменьшения влияния концов электродов, т. е. для получения линейного изменения вертикального смещения резины, на нее накладывают металлические линейки 3, которые опираются на электроды.
Подробное описание гравитационной модели читатель может найти в работах [9—12].
Точность исследования траекторий заряженных частиц зависит:
55
а)	от наклона поверхности резины (для получения высокой точности необходимо брать малый наклон);
б)	от радиуса шарика (он должен быть значительно меньше радиуса кривизны поверхности);
в)	от равномерности натяжения резины по всей поверхности;
г)	от коэффициента трения шарика с поверхностью (он должен быть возможно малым).
Рис. 3,4- Фотография траектории электрона, полученная методом резиновой мембраны.
Метод резиновой мембраны дает качественную картину движения частиц в заданном поле. На фотографии 3,4 приведена полученная этим способом траектория электрона в поле системы из двух параллельных плоских электродов и положительно заряженной сетки между ними (схема тормозящего поля). Электрон, вышедший из катода /С, ускоряется положительной сеткой С, а затем тормозится отрицательным потенциалом анода А, Траектория имеет вид пунктирных линий, так как при фотографировании применялось освещение в виде периодических световых импульсов. Поэтому по расстоянию между отдельными точками пунктирной линии мож-56
но определить скорость шарика в различных точках траектории.
Данный метод также позволяет моделировать движение заряженных частиц с учетом пространственного заряда [12], если к мембране приложить распределенную нагрузку. Тогда величина смещения элементов мембраны от положения равновесия h = h (х, у) удовлетворяет уравнению:
»	____р	(391
дх2 <Jy2 Т’	1 ’ 1
где Т — растягивающая сила, приложенная к единице края мембраны, а Р = Р(х, j) — сила, перпендикулярная к мембране, отнесенная к единице поверхности. Приведенное уравнение по форме совпадает с уравнением Пуассона для двумерного поля. Если положить
?(х, y}=k-j
и задать соответствующие граничные условия, то
V(x, y) = kh(x. у),	(3,10)
где А—множитель пропорциональности.
Из (3,10) следует, что отклонение мембраны пропорционально величине потенциала в соответствующей точке поля, включая и влияние пространственного заряда.
На основании изложенного для моделирования траекторий заряженных частиц при наличии пространственного заряда можно применить шарики, катящиеся по поверхности горизонтально расположенной деформированной резиновой мембраны. На мембране вдоль линий, соответствующих электродам, задаются отклонения, пропорциональные потенциалам электродов, а к свободной от электродов поверхности резины прикладывается распределенная нагрузка, пропорциональная в каждой точке поля плотности пространственного заряда. Если распределенная нагрузка отсутствует, то будет иметь место прежний случай моделирования без учета пространственного заряда.
Распределение пространственного заряда движущихся частиц вначале неизвестно. Поэтому для моделирования в этом случае прибегают к методу последовательных приближений. В качестве нулевого приближения можно взять траектории шариков, движущихся по мембране, на которой нет распределенной нагрузки. Фотографируя движение шариков при импульсном освещении, находят отношение их скорости в любой точке к скорости в конце движения. Это отношение будет равно соответствующему отношению скоростей для заряженных частиц, движение которых моделируется шариками.
S1
Так как скорость движения каждой частицы в конце движения обычно известна (частица проходит заданную разность потенциалов), то скорость частицы в любой точке ее траектории можно определить. Зная траектории и скорости частиц, а также плотность тока в области их источника, можно вычислить в первом приближении распределение пространственного заряда, равное отношению плотности тока к скорости в соответствующих точках. Затем к мембране прилагается распределенная нагрузка, находящаяся в соответствии с этим распределением, и снова с помощью шариков определяют траектории и скорости частиц с учетом пространственного заряда. После этого рассчитывают распределение пространственного заряда во втором приближении и соответствующим образом изменяют нагрузку на мембрану.
Поставленные опыты [12] показали, что уже во втором приближении получаются результаты, близкие к действительности.
В данном случае к обычной модели добавляется устройство для подачи распределенной нагрузки на мембрану.
3,3. Измерение распределения магнитных полей
Магнитное поле на оси многослойной катушки без экрана может быть рассчитано достаточно точно [13]. В противоположность этому точных аналитических расчетов распределения поля экранированных катушек в настоящее время не существует. Поэтому для таких катушек приходится прибегать исключительно к экспериментальным методам исследования распределения магнитного поля.
Наилучшим является баллистический метод, который со-стоит в следующем. Измерительная катушка весьма малых размеров помещается в том месте, где должна быть измерена индукция магнитного поля В. При этом плоскость измерительной катушки располагается перпендикулярно оси той катушки, поле которой измеряется. Магнитный поток, связанный с измерительной катушкой, число витков которой N, а площадь сечения S, будет равен NBS. Концы измерительной катушки присоединяются к баллистическому гальванометру. Включая или переключая ток в исследуемой катушке, изменяют магнитный поток. В результате в гальванометре создается импульс тока. Количество электричества, проходящее через измерительную катушку, а значит и через баллистический гальванометр, как известно, пропорционально изменению магнитного потока. Отброс гальванометра пропорционален количеству прошедшего электричества и поэтому является мерой величины индукции магнитного поля В. Разумеется, это справедливо при условии, если при выключе
58
нии тока не будет оставаться остаточного поля. Ошибку, вызываемую за счет остаточного намагничения, можно исключить. Для этого надо вращать измерительную катушку вокруг ее диаметра, причем ось вращения должна быть перпендикулярна к направлению поля. Индуцируемое в катушке переменное напряжение пропорционально B(z).
Можно также измерять поле, быстро удаляя из него пробную (измерительную) катушку. Этот вариант мало пригоден для измерения полей с большой неоднородностью, так как пробную катушку надо каждый раз возвращать точно в определенное место поля- В таких случаях малая неточность в положении катушки приведет к большим ошибкам.
Изменение поля в экранированных катушках с малым расстоянием между полюсными наконечниками и малыми отверстиями в полюсах происходит очень резко. По этой причине для измерения распределения поля в зазорах пригодны пробные катушки очень малых размеров.
В работе [14] для измерения полей линз электронного микроскопа применялась пробная катушка, длина которой была 0,4 мм, внешний диаметр 0,3-т-0,4 мм, а число витков из медной проволоки равнялось 100. Положение катушки в измеряемом поле контролировалось при помощи микроскопа.
Распределение магнитного поля в экранированных катушках с полюсными наконечниками зависит от геометрической формы и магнитных свойств железа последних.
Другие способы измерения распределения магнитного поля в малых объемах описываются в работах [15, 16].
3,4. Способы построения траекторий
Для определения траектории электрона в электрическом поле необходимо знать распределение потенциала вдоль оси симметрии поля. Однако в большинстве случаев распределение потенциала не может быть представлено простой математической функцией. Поэтому для определения траектории в большинстве случаев нельзя воспользоваться решением дифференциального уравнения траектории. В силу этого, наряду с приближенными методами расчета траекторий, применяют графические способы построения траекторий заряженных частиц. Существует несколько графических методов построения траекторий по известной картине распределения поля. Все эти методы построения траекторий в плоских и аксиальносимметричных полях предполагают два допущения:
1) рассматривается движение электронов в одной плоскости;
2) непрерывная, плавная траектория заменяется или отрезками прямых или отрезками дуг.
Мы рассмотрим три метода.
59
Метод плоского конденсатора
Метод плоского конденсатора применяется в тех случаях, когда эквипотенциальные линии искривлены незначительно и в окрестности пересечения траекторией их можно считать параллельными прямыми. Проведем эквипотенциали через интервал A V и заменим непрерывное распределение потенциала ступенчатым (рис. 3.5).
Рис. 3,5. Построение траектории электрона методом плоского конденсатора.
Из равенства составляющих скорости, параллельных экви-потенциалям. следует
J/V sin а = j/jfy J/V + Д У sin (a-f- Да).	(3,11)
Если эквипотенциали проведены достаточно близко, то можно считать ДУ и Да малыми величинами. Тогда (3,11) можно записать в виде
]/ysina= УУ—|-ДУ (slna-|- cosaAa),
откуда получаем
(3,12)
Таким образом, зная а, У, ДУ, можно по формуле (3,12) определить Да и затем построить траекторию.
Метод окружностей и метод парабол
В том случае, когда эквипотенциальные линии сильно искривлены и замена их параллельными прямыми, даже на небо
большом участке приводит к значительным ошибкам, применяют метод окружностей (метод радиусов кривизны), который дает большую точность.
При этом траектория аппроксимируется серией дуг окружностей различных радиусов.
Сущность метода заключается в следующем. Пусть эквипотенциали поля определены с помощью электролитической ванны и известны начальная точка траектории А и направление движения электрона (рис. 3,6) в этой точке. Напряженность электрического поля в точке А
АВ ’
Рис. 3,6. Графическое построе-
л _	ние траектории методом радиусов
где АВ — расстояние вдоль	кривизны,
нормали к между соседними эквипотенциалями. Построим в точке А вектор начальной скорости и разложим вектор Е на параллельную Ех и нормальную Еп составляющие по отношению к Нормальная составляющая Еп создает центростремительную силу, действующую на электрон перпендикулярно к на
правлению его движения, равную
е£л =
mvf
Т
Из-за действия этой силы траектория приобретает некоторую кривизну, которую на небольшом участке между эквипотенциалями Vt и У, будем считать постоянной. Поэтому траекторию электрона между V, и У2 можно заменить дугой окружности, радиус которой будет равен
(3,13)
Поскольку потенциал поля между эквипотенциалями изменяется, то в последней формуле вместо V, лучше брать средний потенциал —
. Центр этой окружности О лежит
на прямой, перпендикулярной к vJ9 Проводя дугу от точ* ки А до пересечения с V2 (точка D), получим участок траектории между и 1/2. Касательная к дуге в точке D определит направление скорости v2 в этой точке, а величина скорости будет равна —
Подобным образом можем определить отрезки траектории между всеми последующими эквипотенциалями, а следовательно, и всю траекторию в заданном электростатическом поле. Радиус кривизны не обязательно каждый раз вычислять по формуле (3,13). Его можно определить графически. Если обозначить через а угол между АВ и АО, то так как Еп = Е cos а = -1 -• cos а, для радиуса кривизны
получим
(3,14)
где С—точка пересечения прямой АО с нормалью к линии АВ в точке В.
Графическое построение траектории производится следующим образом. Из точки А (точка пересечения траектории с эквипотенциальной линией У\) проводят перпендикуляр к эквипотенциали до пересечения его с линией V2 в точке В. Затем проводят перпендикуляры к в точке А и к линии АВ в точке В и продолжают их до пересечения (точка С). Отсюда по (3,14) находят радиус кривизны /?=ОА.
Радиусом В из точки О проводят дугу до пересечения с У2 (точка D). Линия OD представляет перпендикуляр к вектору скорости Ф2 в точке D на эквипотенциали У2. Дальше повторяют то же по отношению к точке D и т. д.
В работах [17, 18] описывается прибор для автоматического построения электронных траекторий по методу окружностей. Недостатком метода окружностей является то, что при малой кривизне траектории радиус В будет очень велик, В подобных случаях более удобным и более точным является метод парабол. Здесь путь между двумя эквипотенциальными поверхностями, как в однородном поле, представляется отрезками парабол (см. § 1,3). При графическом построении траекторий метод окружностей и метод парабол дополняют друг друга. Построение траектории электрона методом парабол состоит в следующем.
Строим вектор скорости в точке А пересечения траектории с эквипотенциалью У\ (рис. 3,7). Проводим перпендикуляр к Vt в точке А и продолжаем его до Пересе
62
чения с V2 в точке В. Затем продолжим АВ за точку А и отмечаем отрезок АС, определяемый соотношением
(3,15)
Из точки С опускаем перпендикуляр на продолжение вектора vl (точка D). Параллельно АС из точки D проводим отрезок DE = AB. Наконец, проводя прямую из точки Е через точку А, получаем вектор скорости соответствующий линии V2. Пунктирная линия пересекает 1^2 в точке F, которая является пересечением траектории электрона с V2. Путь электрона от А до F представляет дугу параболы.
Рис. 3,7. Построение электронной траекторий методом парабол.
Подробное обоснование этого метода построения траектории читатель может найти в книге В. К. Зворыкина и Д. А. Мортона1.
Заметим, что графоаналитические методы, кроме построения плоских траекторий (плоские или аксиально-симметричные поля), позволяют находить и пространственные траектории заряженных частиц в электростатических полях. Описание способа построения пространственных траекторий в электростатических полях приводится в оригинальных работах [19], к которым мы отсылаем читателей, интересующихся этими вопросами.
В заключение данного параграфа рассмотрим графоаналитическое построение пространственных траекторий электронов в магнитных полях методом радиусов кривизны [20]. При этом мы предположим, что распределение магнитного поля известно. Метод графоаналитического построения пространственных траекторий основан на однозначном определении траектории ее проекциями на две плоскости.
1 В. К. Зворыкин и Д. А. Мортон, Телевидение (вопросы электроники в передаче цветного и монохромного изображений), пер. с англ, под ред. проф. С. И. Катаева, изд. иностр, лит., М., 1956, стр. 86.
63
Будем находить траекторию путем построения ее проекций на плоскости хоу и xoz. В рассматриваемом методе ра
диусов кривизны проекции строятся из отрезков последовательных дуг соприкасающихся окружностей. Поэтому надо знать радиусы кривизны этих проекций. Последние связаны с
составляющими соотношениями:
скорости частицы следующими известными
(3,16)
(3,17)
где индексы и и w обозначают величины, относящиеся к проекциям на плоскости хоу и xoz соответственно.
Чтобы выразить радиусы кривизны через составляющие индукции магнитного поля, запишем уравнение движения электрона в магнитном поле в проекциях на координатные оси:
т = — е (уу В, — vx ByY
m-^=-e(vzBx-vxBt);
т~^= - е М ~
Умножая первое уравнение этой системы на vy, а второе — на и вычитая из первого второе, получим
~ vx^ = — Ч [(®> + ®у) В, ~ (Bxvx + Вут»у)].
Аналогичным путем получим
(Вхvx 4- Вг)-Н +	Ву].
Подстановка последних выражений в (3,16) и (3,17) приводит к следующим соотношениям для радиусов кривизны:
—ц[овВ2 —	cos a-f-Ву sin а)] ’	(3,18)
Rw “ -ii[-®wBy4-^(Kcosp4-B,sln₽)] ’	(3’19)
64
где
cosa= —; sina = —;
COsB = —; sin₽ ——. r 7)	v
uw
Соотношения (3,18) и (3,19) являются основными рабочими формулами при построении траектории методом радиусов кривизны. Составляющие скоростей, необходимые для вычисления последующих радиусов кривизны, определяются по направлению касательных к концам предшествующих дуг. Если в точке А (х, у, z) касательные к проекциям траектории составляют с осью х углы а и ₽, то из закона сохранения энергии получаем составляющие скорости в этой точке
_	^0
Vx~ /1+ tg2a + tg2p , .	(3 20)
•o, = ^tga
Построение траектории методом радиусов кривизны производится следующим образом. На плоскостях хоу и xoz из проекций AUq и AWq начальной точки Ао (см. рис. 3,8)
Рис. 3,8. Графическое построение пространственной траектории электрона в магнитном поле.
S Н. С Злпчецко
св
проводят радиусами/?„0 и RW(j дуги A„QAUi и 4Wo-4W1, со-ответствующие взятому достаточно малому приращению Дл0. Радиусы 7?о и Rw определяются по составляющим vXQt ф vro начальной скорости v0 и составляющим BXQ, ВУо, В индукции поля в точке А0 по формулам (3,18) и (3,19). Центры кривизны Оа и От дуг лежат на перпендикулярах к проекциям ®Ио и начальной скорости. Концы построенных дуг дают положение новой точки А! траектории.
В этой точке по углам наклона и р, касательных к построенным дугам по формулам (3,20) находят составляющие vXt, <о. скорости Затем подобным образом производят построение следующих участков, пока не будет построена вся траектория.
ГЛАВА IV
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЛИНЗЫ
В данной главе рассматриваются линзы, т. е. системы электродов, создающие аксиально-симметричные электростатические поля ограниченной протяженности. Ход электронных траекторий определяется распределением поля. Так как при одной и той же конструкции электродов можно создать различное распределение поля и получить различный ход траекторий, то правильнее считать линзой поле.
После рассмотрения характеристик, общих для всех типов линз, даны соответствующие формулы для различных линз, отличающихся характером распределения потенциала, т. е. формой и расположением эквипотенциальных поверхностей. На основании вычислений приводятся данные о характере фокусировки и электронно-оптических изображений, получаемых при помощи различных линз.
Влияние пространственного заряда при всех расчетах не учитывается.
4,1. Типы линз
В зависимости от конфигурации поля, определяемой геометрией электродов и величинами их потенциалов, различают следующие типы электрических линз: одиночные линзы, иммерсионные линзы и иммерсионный объектив.
1. Электрические линзы, в которых потенциал распределен симметрично относительно средней плоскости, называют одиночными или симметричными. Показатели преломления с обеих сторон одиночной линзы имеют одинаковые значения.
На рис. 4,1 даны примеры выполнения электродов и распределения потенциала вдоль оси одиночных линз.
Как видно из рис. 4,1, одиночные линзы состоят из цилиндрических электродов и диафрагм. Линзы, обозначенные буквами а, б и в, имеют равные потенциалы крайних электродов. Средние электроды могут иметь положительный или отрицательный потенциал. Диафрагмы с отверстием являются
&
простейшими линзами и представляют интерес как составные части сложных линз.
Рис. 4,1. Одиночные линзы и распределение потенциала в них.
2. Электрические линзы, у которых распределение потенциала по обе стороны от средней плоскости разное, называются иммерсионными. Показатели преломления по обе стороны иммерсионной линзы имеют разные значения. Выполнение электродов и распределение потенциала вдоль оси таких линз показано на рис. 4,2.
а
«
Рис 4,2. Иммерсионные линзы и распределение потенциала в них.
во втором — замедляющими.
Рис. 4,3. Распределение потенциала на оси иммерсионного объектива.
Иммерсионные линзы чаще состоят из двух или нескольких коаксиальных цилиндров, потенциалы которых различны. Потенциал последнего электрода может быть больше или меньше потенциала первого электрода. Поэтому скорость электронов на выходе из линзы может быть как больше, так и меньше, чем на входе. В первом случае линзы называются ускоряющими, а
3, Иммерсионные линзы, в которых ускоряющее поле непосредственно примыкает к объекту (например, к катоду), называются иммерсионными объективами. Кривая распределения потенциала иммерсионного объектива у катода имеет положительный наклон (рис. 4,3).
По другим признакам электрические линзы подразделяются на: а) короткие и длинные и б) слабые и сильные.
Короткими линзами называют такие линзы, у которых область с отличным от нуля значением второй производной Ф"(г) мала по сравнению с фокусным расстоянием.
Слабыми называют такие линзы, в которых потенциал меняется мало и фокусные расстояния велики по сравнению с протяженностью поля линзы. При прохождении электрона через слабую линзу изменения г малы.
4,2. Характеристики линз
Выясним, какими величинами характеризуются оптические свойства линз. Для этого рассмотрим две любые параксиальные электронные траектории i\(z) и г2(г). Каждая из них должна удовлетворять дифференциальному уравнению (2,27"). Поэтому выполняются соотношения
__d ( ___rir \	1
Тф"г‘<г) <4Д>
И	__ /	__///* \	1
<4’2>
Умножая (4,1) на г2(г), а (4,2) на rx(z) и вычитая одно
равенство из другого, получаем
или
69
Отсюда после интегрирования по z имеем:
Теперь по аналогии со световой оптикой разделим пространство на три области: предметное пространство — область, в которой находится предмет, а электрическое поле отсутствует, поле — область, в которой электроны подвергаются действию сил (собственно линза), и пространство изображений—область, в которой находится изображение и отсутствует поле (рис. 4,4). Выберем начало отсчета расстояний вдоль оси (z=0) в любом месте предметного пространства. Возьмем за rt(z) ту траекторию, которая в предметном пространстве параллельна оси. Для нее
rt(z) = const = rJO),
£1-0.
dz
Обозначим постоянный потенциал в предметном пространстве и в пространстве изображений через Фо и Ф& соответственно.
Рис. 4,4. Фокусы электрических линз.
В пространстве изображений (z>z^) вследствие преломления в поле линзы траектория r\(z) будет проходить под некоторым углом к оси и пересечет ось симметрии в точке Fb — фокусе.
Если положение фокуса в пространстве изображений обозначить через zF, то наклон траектории
• п
«= const = r[(b).
а, следовательно, i\(z) =(z—zp) т\ (b).
*b
Выбирая вторую траекторию r2(z), параллельную оси в пространстве изображений и проходящую через фокус Fo в предметном пространстве, для пространства изображений найдем
70
dr^ dz
= 0; r2(z) = const = r/b).
Тогда в предметном пространстве
dr* dz
=const == r' (0),
т. e. наклон траектории постоянен. Интегрируя, получим
__	dr,	dr n	..
Подстановка г1эг2,	и в уравнение (4,3) дает:
для предметного пространства
-/ф?й(0) г;(0)=с,
для пространства изображений
Тогда
/Ф» гАЬ) г[(Ь) = С.
G(Q) гм= Уф;, г2 (Ь) г\ (Ь) уф0
(4,4)
Соотношение, подобное (4,4), можно написать для любой третьей траектории r3(z), если она в предметном пространстве идет параллельно оси на расстоянии г3 (0) от нее и в пространстве изображений имеет наклон г3 (о):
Гз (0) г'а (0) _	/Ф»
r'ztp) гя(Ь) уф0
(4,5)
Из (4,4) и (4,5) следует, что
г3 (0) _ fl (0) г'з (Ь) г; (Ь)
= const.
Следовательно, для всех траекторий r(z), параллельных оси линзы в предметном пространстве, справедливо соотношение
г (0)	.	,
77^=COnst=-A.	(4,6)
Аналогичное соотношение можно написать для всех траекторий, параллельных оси в пространстве изображений
г (Ь)	,	,
— = const =/0.	(4,7)
Постоянные fb и /0 называются фокусными расстояниями линзы в пространстве изображений и в предметном пространстве соответственно.
о-
71
Подстановка (4,6) и (4,7) в (4,4) дает
(4,8)
Таким образом, отношение фокусных расстояний равно отношению квадратных корней из потенциалов справа и слева от линзы (рис. 4,4) или, что то же, равно отношению электронно-оптических показателей преломления. В частности, если потенциал предметного пространства равен потенциалу пространства изображений, то фокусные расстояния fo и fb равны.
Продолжим в обратном направлении прямолинейный участок траектории i\ (z), проходящей в пространстве изображений через Fbt до его пересечения в точке И с продолжением участка этой же траектории, который расположен в предметном пространстве параллельно оси (рис. 4,5).
Ф"(2) =/= о
Рис. 4,5. Фокусы и главные плоскости иммерсионных линз.
Положение точки z„ определяется соотношением
(0) — ZFh Г* ' пЬ ГЬ‘
или
Как видим, z„ не зависит от расстояния траектории r,(z) от оси симметрии. Следовательно, все точки пересечения для траекторий, имеющих разное расстояние от оси, лежат в одной плоскости, перпендикулярной z.
Эта плоскость Нь называется главной плоскостью пространства изображений. Она расположена на расстоянии fb от фокуса Fb, а ее пересечение с осью z дает главную точку 2нь пространства изображений.
72
Продолжая в обратном направлении участок траектории, проходящей через фокус предметного пространства Fo, до пересечения его с продолжением участка, параллельного оси в пространстве изображений, получим положение главной плоскости предметного пространства. Положение этой плоскости определяется соотношением
г О
Зная положение фокусов и главных плоскостей, можно построить изображение. Построение электронно-оптического изображения показано на рис. 4,6.
Рис. 4,6. Построение электронно-оптического изображения.
Обозначая через х0 расстояние от фокуса предметного пространства до объекта (расстояние объекта) и через хь расстояние от фокуса пространства изображений до изображения (расстояние изображения), запишем следующие соотношения:
______МО) и г ^га(Ь)
°” МО) ь г\(Ь)-
Отсюда получаем формулу изображений XOXb=Jbfb’
(4,9)
С помощью этой формулы можно вычислить положение изображения.
Увеличение линзы выражается следующей формулой:
Г1 (^)	/о	хь
Г1 (0)	х0	ft, '
(4,10)
Обозначая расстояние от главной плоскости Но до объекта 4 = хо+/о, а расстояние от главной плоскости Нь до изображения Z8 = fb хь, из формулы изображений получаем
73
или, учитывая соотношение (4,8) между фокусными расстояниями и потенциалами, получаем
/Фо ।	/Ф^_	(4,11)
4	4 /о /ь
Для короткой и слабой линзы потенциал меняется мало, а поэтому мало изменяется и расстояние электрона от оси. Следовательно, в первом приближении внутри линзы (между z—za и z— zb)
r—ra = const и
Так как основное дифференциальное уравнение
траектории
имеет вид
ф' и •
то его интегрирование в пределах линзы дает
г—(dr\	г—fdr\ га г Ф" .
\dz)zb ^Ф° \dZ/*a ~	4 J КФ dZ'
2а
или, так как
то
=л______
dz Zb	4/4>J /Ф
2а
Отсюда для фокусного расстояния получаем
2а
(4,12)
Ввиду того, что точки za и zb лежат в области, где Ф"(г) = О, пределы интегрирования могут быть взяты от — оодооо. Тогда
оо
со
оо
— оо
74
Следовательно, фокусное расстояние линзы увеличивается при увеличении скорости входящих в него электронов (Фо) и уменьшается с ростом Ф".
Интегрирование по частям дает
Для коротких одиночной и иммерсионной линз
ф' =ф:=ф'=о. а 0 Ь
Поэтому фокусное расстояние коротких одиночных и иммерсионных линз определяется формулами:
1 _	1	[ф'2 я
Л“8ГФ;}ф’/г ;
(4,13)
(4,14)
О
Тогда для коротких линз уравнение (4,11) запишется так:
А
/Ф»=X ЛХ!
/,	8 J Ф*/«
dz.
(4,15)
4,3.	Диафрагма с круглым отверстием
Изогнутые эквипотенциальные поверхности одной диафрагмы с круглым отверстием являются линзой. Изменение потенциала у отверстия (Ф" Ф 0) создает фокусирующее действие на электроны. Диафрагмы с отверстием в сочетании с другими электродами могут быть как рассеивающими, так и собирающими линзами. Распределение потенциала на оси таких линз показано на рис. 4,7 и 4,8.
Если считать, что с обеих сторон к диафрагме примыкают однородные поля с напряженностями Ео = — Ф'с и Еь— — — Ф’ь, то напряженность поля в центре отверстия диафрагмы скачком меняет свое значение с Ео на Еь (это строго справедливо лишь при бесконечно малом отверстии диафрагмы).
76
Рис. 4,7. Собирающая линза (— Ф" (z) < 0).
Рис. 4,8. Рассеивающая линза
(-Ф" (г) > 0).

Поле диафрагмы имеет, кроме продольной составляющей, радиальную составляющую, которая действует на электроны только при переходе с одной стороны диафрагмы на другую. В этой переходной области значение потенциала Ф(г) вблизи отверстия слева и справа от диафрагмы можно заменить значением потенциала в центре отверстия диафрагмы Ф,. Тогда
4 =	fФ"^ =	ф' = ФСъ Фр =	' (4.16)
А 4Ф/3	4Ф;	4Ф:	4Ф,	'	'
га	г
Формула	°
1	— F,
Л	4ФХ
является основной для расчета фокусного расстояния диафрагмы.
Величина, обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы; она тем больше, чем больше отношение изменения напряженности поля вблизи диафрагмы к потенциалу диафрагмы, определяющему скорость электронов.
76
В зависимости от того, будет ли Ф* больше или меньше Ф'о, фокусное расстояние диафрагмы может принимать положительные или отрицательные значения.
Для рассеивающей линзы потенциал слева от диафрагмы (рис. 4,8) повышается (Фо' (z) > 0 и Ей = Ех < 0), а потенциал справа постоянный, т. е. Еь = 0. Следовательно,
4Фг
|£01 ’
I V |
Для собирающей линзы (рис. 4,7)
4Ф, 1^Г
(4,17)
(4,18)
Для случая, когда поле слева и справа от линзы не равно нулю, фокусирующее действие диафрагмы зависит от величины Ео и Еь и их знаков
4,4.	Одиночная линза
Одиночная линза может состоять из трех диафрагм, причем крайние диафрагмы должны иметь одинаковые потенциалы. Такая линза действует как собирающая, независимо от знака потенциала внутреннего электрода по отношению к наружным (рис. 4,9 и 4,10).
Рис. 4,9. Одиночная линза с отрицательным средним электродом.
Рис. 4,10. Одиночная линза с положительным средним электродом.
Так как потенциалы слева и справа от линзы одинаковы, то, полагая Ф0 = Фо, получим для фокусного расстояния одиночной линзы выражение
1	1 С л
7=WTjv^dz- (4'19’
Интеграл может быть вычислен графическим интегрированием, если известно распределение потенциала вдоль оси (например, на основании измерений с помощью электролитической ванны). Таким образом, оптическая сила одиночной линзы растет с ростом изменения напряженности поля внутри линзы и обратно пропорциональна скорости электронов на входе в линзу.
Точный расчет показывает, что фокусирующие свойства одиночной линзы существенно зависят от диаметра отверстия среднего электрода, расстояния между электродами и толщины среднего электрода.
4,5.	Иммерсионная линза
Фокусирующие свойства иммерсионных линз рассмотрим на примере линзы, состоящей из двух коаксиальных цилиндров (см. § 2,2, рис. 2,3).
Пусть, например, потенциал Фо левого цилиндра ниже потенциала Ф6 правого цилиндра. Поле слева от средней плоскости такой линзы производит собирающее действие, а справа от нее — рассеивающее. Однако рассеивающее действие всегда меньше собирающего, так как скорость электронов в области высоковольтного цилиндра всегда больше, чем на входе в линзу. В самом деле, потенциал в средней плоскости
Ф,=
ФоЧ~Ф»
2
Тогда преломляющая нальна отношению
сила левой части линзы пропорцио-
а преломляющая сила правой части линзы — отношению
Первое отношение всегда больше второго. Таким образом, иммерсионная линза из двух цилиндров всегда собирающая.
П
Фокусное расстояние такой линзы можно определить по формуле (4,12). Для этого надо знать аксиальное распределение потенциала, которое может быть найдено аналитически
(см. 2,24) или с помощью электролитической ванны. Фокусное расстояние за-
висит от отношения по-
тенциалов
цилиндров
и отношения их радиусов. Соответствующие графики приведены на рис. 4,11. Здесь фокусное расстоя-
ние измерено от пра-
вого края первого цилиндра. Кривые показывают уменьшение фо-
s
= 3.6
Рис. 4,11. Зависимость фокусного расстояния иммерсионной линзы от отношения потенциалов.
кусного
ростом -т-2
Ч>1
расстояния с и увеличение
его с ростом отношения
диаметров цил индров.
Увеличение изображения
определяется формулой
Эта формула действительна для любой иммерсионной линзы.
4,6.	Иммерсионный объектив
Иммерсионный объектив применяется в различных элек-
тронно-оптических системах и в различных электронных
о hqs
Рис. 4,12. Иммерсионный объектив.
лампах для формирования электронного пучка. Он состоит из катода и двух диафрагм или цилиндров1 (рис. 4,12). Такая система электродов используется для получения электронных пучков с малой угловой расходи-
мостью и минимальным поперечным сечением и называется электронной пушкой.
1 Простейший иммерсионный объектив состоит из катода и одной диафрагмы.
79
Первая диафрагма часто имеет отрицательный потенциал относительно катода и называется сеткой.
Вторая диафрагма имеет положительный потенциал и называется ускоряющей диафрагмой или анодом.
Электрическое поле иммерсионного объектива у катода должно быть ускоряющим. Для этого вторая диафрагма должна располагаться близко от первой. Тогда положительные эквипотенциальные поверхности достигают области катода и ускоряют эмиттируемые электроны. Особенность иммерсионного объектива состоит в том, что электроны входят в линзу со скоростью, близкой к нулю.
Эквипотенциальные поверхности вблизи катода являются собирающей линзой, а за второй диафрагмой — рассеивающей. При этом рассеивающее действие линзы всегда меньше собирающего. Для доказательства этого положения запишем выражения оптической силы для первой и второй диафрагм: для первой диафрагмы
1	Ф'2 - Ф\ Et - Е2
pi — 4Ф1 “ 4Ф, ’
где Е^ п Ег — напряженности поля слева и справа от первой диафрагмы, а Ф1 — потенциал на оси в плоскости первой диафрагмы;
для второй диафрагмы
1 _о—ф;= е2
f2 4Ф,	4Ф/
где Е2 — напряженность поля слева от второй диафрагмы, а Ф2 — потенциал на оси в плоскости второй диафрагмы.
Так как |f2|> и Ф, > 0, то первая диафрагма представляет собирающую линзу, а вторая, в силу того, что Е2 <0, — рассеивающую.
Но Ф2 > Ф,, поэтому преобладает собирающее действие.
Складывая оптические силы первой и второй диафрагм (считая их короткими линзами), получим общую оптическую силу иммерсионного объектива
Фокусное расстояние иммерсионного объектива можно изме-Ф нять путем изменения отношения потенциалов диафрагм-ф1*
представлен на рис. 4,13.
потенциал первой диафрагмы
Рис. 4,13. Зависимость фокусного рассто-яния иммерсионного объектива от отношения потенциалов диафрагм.
•02	•01
Кривая показывает, что с ростом отношения - фокус-^2
ное расстояние увеличивается. Следовательно, для получения короткофокусной линзы должен быть значительно ниже потенциала второй диафрагмы.
При определенных условиях иммерсионный объектив может отражать электроны, т. е. быть электронным зеркалом. Для этого необходимо, чтобы один из электродов линзы имел отрицательный потенциал — более низкий, чем потенциал катода. При входе в зеркало электроны испытывают тормозящее действие поля и меняют направление своего движения на обратное. В зависимости от соотношения между отрицательным потенциалом электрода и потенциалом катода электронное зеркало может быть собирающим, плоским или рассеивающим. В качестве примера использования электронных зеркал можно указать на отражательный клистрон. Вообще же электронные зеркала не нашли широкого практического применения.
4,7.	Аберрации электрических линз
Электронно-оптические изображения, подобно оптическим изображениям, являются более или менее искаженными по сравнению с объектом.
Получающиеся искажения или ошибки электронно-оптических изображений также называются аберрациями. Электронно-оптическим системам свойственны все виды аберраций оптических систем, а именно: хроматическая и сферическая аберрации, а также аберрации косых пучков (кома, астигматизм, кривизна поля и дисторсия). Пространственный заряд электронных пучков тоже вызывает искажение изображения.
Рассмотрим причины и следствия указанных видов аберраций электрических линз.
Хроматическая и сферическая аберрации
Хроматическая аберрация электрических линз обусловлена разбросом скоростей электронов пучка. Электроны с разными скоростями после прохождения линзы пересекают главную оптическую ось в разных точках (рис. 4,14а). Из формулы (4,14) для фокусного расстояния электрических линз непо-
6 Н. С. Зинченко
81
средственно следует, что быстрые электроны будут фокусироваться дальше от линзы, чем более медленные. Следствием этого является искажение изображения. Разброс скоростей электронов пучка всегда существует вследствие следующих причин:
1)	термоэлектроны, эмитируемые катодом, имеют различные начальные скорости;
Рис. 4,14. Разные виды аберраций в электрических линзах.
2)	ускоряющее напряжение колеблется в определенных пределах, что за время наблюдения изображения приводит к изменению скорости электронов;
3)	если электроны проходят сквозь объект (электронный микроскоп просвечивающего типа), то скорости отдельных электронов изменяются неодинаково.
Поскольку скорость вылета электронов из катода невозможно уменьшить до нуля, то хроматическая ошибка всегда будет иметь конечную величину.
82
Поэтому даже в том случае, когда электроны выходят из одной точки на оси и их траектории являются параксиальными, электронно-оптическое изображение будет размытым.
Из формулы для фокусного расстояния следует, что относительное изменение фокусного расстояния за счет разброса скоростей определяется пропорциональным соотношением
dl~ <*Фо.
/ Фо
(4,20)
Данное соотношение определяет продольную хроматическую аберрацию. Если электроны начинают движение из точек, лежащих вне оси, то они испытывают также поперечную аберрацию; при этом резкость изображения будет ухудшаться к его краям. Для уменьшения хроматической аберрации на практике прибегают к следующим мерам: во-первых, уменьшают насколько возможно начальные скорости электронов, применяя низкотемпературные катоды, и, во-вторых, увеличивают ускоряющий потенциал до наибольшей величины, которая еще допустима при данных условиях.
Сферическая аберрация связана с тем, что электроны, пройдя через линзу, собираются тем ближе к линзе, чем дальше от главной оптической оси лежат их траектории. Иначе говоря, сферическая аберрация состоит в том, что фокусное расстояние линзы зависит от радиального расстояния электронных траекторий от оси (рис. 4,146). Этот вид аберрации определяется геометрическими размерами объекта и имеет место для непараксиальных траекторий. Величина сферической аберрации тем больше, чем дальше удалены электронные траектории от оптической оси.
Для параксиальных электронов подобная аберрация отсутствует, так как все электроны данной точки объекта сходятся в одной точке изображения. В этом случае дифференциальное уравнение траектории линейно относительно расстояния г до оси. Поэтому изображение получается правильным, т. е. без искажений.
Для непараксиальных траекторий электронов необходимо учитывать последующие слагаемые в выражениях радиальной и осевой составляющих напряженности аксиально-симметричного электростатического поля, а именно:
_Ф"(г)	Ф<1У>(гг) ,.
г 2	16	’
ф"'(гУ
Е2=_ф'(г) + ^1Г\
83
которые для параксиальных траекторий отбрасывались по малости. Если их учесть, то дифференциальное уравнение траектории становится нелинейным.
Дополнительные слагаемые в составляющих электростатического поля вызывают дополнительное отклонение электрона. Поэтому изображение точечного объекта будет иметь форму пятна (кружочка), а изображение плоского объекта будет в большей или меньшей степени размытым. Величина пятна зависит от радиуса отверстия диафрагмы. Можно показать, что сферическая аберрация пропорциональна третьей степени радиуса отверстия диафрагмы, т. е. для заданного расстояния объекта от линзы пропорциональна третьей степени апертурного угла.
Для уменьшения размытия изображения, связанного со сферической аберрацией, необходимо работать с тонкими пучками. Сферическая аберрация вместе с хроматической является наиболее важной погрешностью в электрических линзах.
Теория аберраций позволяет определить величину любого вида аберраций для любой непараксиальной траектории, если известны ее начальная точка и поля, в которых движутся электроны.
Аберрации косых пучков
Аберрации косых пучков, т. е. внеосевые аберрации, получаются для изображений и объектов, которые смещены относительно оси линзы. Для косых пучков существует несколько различных ошибок изображения, которые были перечислены выше. Рассмотрим коротко каждую из них.
Искажение, называемое комой, получается вследствие того, что различные круговые зоны вокруг оси линзы дают неодинаковые увеличения (рис. 4,14в). В результате этого изображение точки, расположенной вне оси, получается в виде нескольких искаженных окружностей удлиненной формы, приближающейся к каплеобразной (кома). Величина искажения изображения для косых электронных траекторий зависит от радиальной координаты точки объекта, а также от квадрата координаты траектории в апертуре линзы. Эти искажения уменьшаются при использовании меньшей центральной части линзы, однако при этом ослабляется пучок электронов.
Астигматизм электрических линз заключается в том, что в любом объекте, который расположен вне оси линзы, линии, направленные к оси, и линии, перпендикулярные к ним, имеют разные фокусные расстояния (рис. 4,14г). Поэтому два плоских взаимно-перпендикулярных пучка, которые исходят из одной точки объекта после прохождения линзы, собираются
84
в двух различных точках. В результате этого изображения получается нерезким. Если изменяется фокусирующее напряжение, то фокус получается сначала в центре изображения, потом на радиальных, а затем на периферийных линиях. Ошибка за счет астигматизма может быть исправлена путем соответствующего подбора распределения поля линзы.
С астигматизмом линз связан другой вид аберрации, который называется кривизной поля. Этот дефект линз заключается в том, что объект, расположенный в плоскости, перпендикулярной ее оси, имеет изображение на искривленной поверхности, которая является приблизительно сферической поверхностью вращения вокруг оси (рис. 4,145). В результате этого вида аберрации объект, представляющий ряд окружностей, концентрических по отношению к оси, дает изображение, резко очерченное только на одном радиальном расстоянии. Если изменить фокусирующее напряжение так, чтобы получить четкое изображение в центре, то внешние окружности получаются расплывчатыми, и наоборот. Исправление этой ошибки возможно в системе линз за счет подбора распределения поля.
Наконец, последний вид аберрации, называемый дисторсией, обусловлен изменением увеличения с расстоянием от оси. При этом внешние части изображения получаются или увеличенными, или уменьшенными по сравнению с областью, лежащей около оси. В результате дисторсии изображение прямоугольной сетки будет искаженным: параллельные линии объекта становятся в изображении вогнутыми или выпуклыми по отношению к середине (рис. 4,14е). Если увеличение растет с радиальным расстоянием, то изображение имеет «подушкообразную» форму. Если же увеличение уменьшается с радиальным расстоянием, то изображение имеет «бочкообразную» форму. Электрические линзы дают главным образом подушкообразную дисторсию, а электронные зеркала могут давать дисторсию того или другого типа. Аберрация дисторсии в применяющихся на практике системах электродов является малой.
Подробное изложение теории аберраций дается в книге В. Глазера «Основы электронной оптики», к которой мы и отсылаем читателей.
ГЛАВА V
МАГНИТНЫЕ ЛИНЗЫ
Магнитные линзы представляют собой катушки или постоянные магниты, которые создают аксиально-симметричные поля. На тех же основаниях, что и для электрических линз, можно считать линзой собственно поле.
Классификация магнитных линз аналогична классификации линз электрических. Так, магнитные линзы могут быть подразделены: по конфигурации поля — на симметричные и иммерсионные, по расположению фокусов относительно области поля — на длинные и короткие, по оптической силе — на слабые и сильные.
Простейшей магнитной линзой является однородное магнитное поле, которое может быть создано соленоидом. Такие линзы создают электронно-оптическое изображение объекта с увеличением, равным единице. Линзы этого типа являются длинными линзами.
Короткие магнитные линзы представляют собой катушки, диаметр которых равен или даже больше их длины, а осевая протяженность магнитного поля меньше фокусного расстояния. Они создают неоднородное магнитное поле, с помощью которого можно получать как увеличенное, так и уменьшенное изображение. Получаемые при этом пучки электронов могут быть как расходящимися, так и сходящимися.
Электростатический потенциал в пределах магнитных линз считаем постоянным и равным Фо. Все расчеты линз будем производить в цилиндрической системе координат, ось г которой совпадает с осью аксиальной симметрии линз.
5,1. Длинные линзы
В длинной линзе электрон движется внутри однородного продольного поля. Ход траектории электрона зависит от направления начальной скорости электрона по отношению к силовым линиям магнитного поля. Если электроны на-
86
чина ют движение в поле параллельно силовым линиям, то они движутся по прямым вдоль линий поля. Если же электроны начинают движение в магнитном поле под углом к его силовым линиям, то они движутся по винтовым линиям. В последнем случае движение электрона можно описать с помощью двух составляющих скорости: радиальной да, — z>osina и продольной vt = ®0 cos а, где a — угол между и осью z.
Если а=0, то магнитное поле не оказывает влияния на электрон; он будет совершать поступательное движение с постоянной скоростью ©0.
При а ф 0 электрон будет двигаться по траектории, проекция которой на плоскость Е, перпендикулярную индукции поля В, представляет окружность.
Рис. 5,1. Траектория электронов в однородном магнитном поле.
Рассмотрим фокусирующие свойства однородного поля несколько подробнее, чем это было сделано ранее. Различные электроны, выходящие из некоторой точки на оси z с одинаковой скоростью т»0, но под разными углами, будут описывать в плоскости Е окружности, расположенные по-разному и обладающие разными радиусами (рис. 5,1). Величина радиуса, как было показано (см. § 1,3), определяется формулой
vr __v0 sin а
цВ цВ
21г
(6,1)
Поскольку период обращения Т =
не
зависит от ско-
рости, то время полного оборота для всех электронов будет одинаковым. Но для разных электронов продольные составляющие скорости vz = vQ cos а различны.
87
Поэтому за период Т электроны пройдут вдоль оси z расстояние, равное
.	~ 2к <Uq cos а
Дг, = ^Г=---------------- (5,2)
Следовательно, разные электроны пройдут вдоль оси разное расстояние. Это приведет к тому, что, строго говоря, все электроны не соберутся в одной точке на оси. Однако, если углы а малы (параксиальные электроны), то cosa^l и можно считать, что электроны пройдут одинаковые расстояния и соберутся в одной точке, т. е. будут сфокусированы. Шаг винтовой линии Az можно считать фокусным расстоянием длинной магнитной линзы для параксиальных электронов, выходящих из одной точки.
Рис. 5,2. Получение изображения в однородном магнитном поле.
Таким образом, если направление скоростей электронов составляет малый угол с осью катушки, то однородное магнитное поле производит фокусирующее действие на пучок электронов, вышедших из точки на оси. Фокусировка однородным магнитным полем иллюстрируется рис. 5,2, где точки Si, Оь Qj и S2, 02, Q2 являются изображениями точек S, О, Q.
Отметим при этом, что в однородном магнитном поле получается целый ряд повторных изображений, сдвинутых друг относительно друга по направлению В на расстояние Дг = Л, которое равно
h = К2?Фо.	(5,3)
Если электроны выходят из любой точки, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси, то они, двигаясь по спиралям вокруг силовых линий поля, сойдутся в точках также на плоскости, перпендикулярной оси. Таким образом, однородное магнитное поле позволяет получать действительное прямое изображение объекта в натуральную величину.
Для электронов, начинающих движение параллельно оси поля, фокусировка отсутствует, т. е. фокусное расстояние бес
88
конечно. Поэтому однородное магнитное поле нельзя считать линзой в полном смысле этого слова.
5,2. Короткая линза
Короткой магнитной линзой называется такое аксиально
симметричное магнитное поле, которое простирается на рас
стояние, значительно меньшее, чем фокусное расстояние линзы.
Силовые линии короткой магнитной линзы не параллельны ее оси, а напряженность поля в средней плоскости больше, чем на краях линзы. Примерный вид эквипотенциальных линий1 поля линзы в меридианной плоскости показан на
рис. 5,3.	Рис. 5,3. Короткая магнитная линза
Поле короткой катушки (эквипотенциальные линии поля).
симметрично относительно
оси и относительно среднего сечения катушки, перпендикулярного оси; индукция этого поля имеет как продольную, так и радиальную составляющие. Поэтому короткая магнит-
вм
Рис. 5,4. Симметричное распределение аксиальной составляющей магнитного поля короткой линзы.
ная линза подобна симметричной (одиночной) электрической линзе. На рис. 5,4 представлено распределение составляю
1 Под эквипотенциальными линиями магнитного поля подразумеваются линии, перпендикулярные к силовым линиям.
89
щей В (z), подобное распределению потенциала в одиночной электрической линзе. Фокусирующее действие такой линзы отличается от фокусирующего действия длинной линзы. Эти отличия состоят в следующем:
1)	объект и изображение находятся вне поля линзы;
2)	фокусируются не только электроны, входящие в линзу под углом к оси, но и движущиеся параллельно оси;
3)	короткая линза позволяет получать увеличенные изображения объекта, если она является сильной линзой.
Обратимся к определению некоторых характеристик линзы. Для вычисления фокусного расстояния короткой линзы рассмотрим траекторию электрона, выходящего под углом а из точки Ро, находящейся слева от линзы на оси (рис. 5,5). До вступления в поле линзы его траектория будет прямолинейной. В линзе электрон будет испытывать действие силы, направленной к оси. Одновременно он будет выходить из первоначальной меридианной плоскости; плоскость траектории при этом будет поворачиваться на угол
___ гь
в{г}Лг-
га
Траектория электрона в меридианной плоскости, вращающейся вместе с электроном, будет иметь вид, показанный на рис. 5,5.
Рис. 5,5. Траектория электрона в поле короткой магнитной линзы.
г
После выхода из поля линзы траектория электрона будет прямой линией, пересекающей ось симметрии в точке Рь под углом р. Для других электронов, выходящих из точки Ро под малыми углами (параксиальные электроны), траектории будут подобными рассмотренной; все они пересекутся в точке Рь.
Если траектории электронов, входящих в линзу, параллельны оси, то после прохождения линзы они пересекутся в точке, которая называется фокусом.
В первом приближении для слабой линзы можно при-
90
нять, что расстояние траектории от оси в пределах магнитного поля линзы не меняется, т. е.
г = r0 = const.
Тогда, если постоянный потенциал, определяющий скорость электрона до его вхождения в магнитную линзу, равен Фо, уравнение траектории электрона для меридианной плоскости, как мы знаем, запишется в виде
dz2 8Ф0
B\z).
Интегрирование его в пределах za и zb дает
dr dz
dr
Уо
8Фо
*ь ^B2(z)dz. *а
(5,4)
Пределы интегрирования можно выбрать произвольно, если только они лежат вне поля.
Так как
dr^ dz
—-*<!₽ а di
а
то полученное выражение определяет разность наклонов траектории справа и слева от линзы.
Теперь разделим обе части уравнения (5,4) на г0:

za
Так как в короткой линзе главные плоскости совпадают со средней плоскостью, то, отсчитывая расстояние до объекта и до изображения от этой плоскости, получаем
00
<б-5>
Для электронов, входящих в линзу параллельно оптической оси, /1 = оо, а /2=/. Поэтому оптическая сила короткой магнитной линзы будет выражаться формулой
7 = т^вч^ ---- 00
(5,6)
91
Тогда
Угол поворота плоскости траектории определяется формулой (2,62), т. е. _____________________________
’= 1/ A J
2а
Выражая в (5,6) и (2,62) потенциал в вольтах, а магнитную индукцию в гауссах, получим формулы, удобные для практических расчетов:
1	2,2-102Г*	..	.
У ------ф^— I в (z) dz, м~\	(5,6')
га
Zb
B(z)dzt рад.	(2,62')
га
) позволяют сделать следующие
целиком, так как угол поворота
Соотношения (5,6') и (2,62' выводы:
1)	оптическая сила короткой магнитной линзы всегда положительна (линза всегда собирающая) и не зависит от направления магнитного поля;
2)	оптическая сила тем больше, чем меньше скорость электронов на входе в линзу и чем больше площадь, ограниченная кривой квадрата индукции магнитного поля на оси линзы; малое изменение магнитного поля значительно изменяет оптическую силу;
3)	поворот изображения зависит как от величины, так и от направления магнитного поля, а также от длины линзы; изображение объекта поворачивается
не зависит от г0 и -г- .
dz
Фокусирующее действие короткой магнитной линзы
92
можно иллюстрировать рис. 5,6; на нем представлены кривые распределения аксиальной составляющей магнитного поля B(z), r(z) и <р(г).
Можно достичь увеличения оптической силы линзы и уменьшения поворота изображения, если уменьшить область поля вдоль оси фокусирующей катушки путем ее экранирования.
Так как угол поворота зависит от направления магнитного поля В, то траектория электрона не обладает свойством обратимости: траектории электрона, движущегося слева направо и справа налево, не совпадают друг с другом.
Из вышеизложенного следует, что фокусное расстояние и угол поворота изображения могут быть определены, если известно распределение индукции магнитного поля вдоль оси линзы B[z). Это распределение магнитного поля определяется силой тока в обмотке линзы, формой и геометрическими размерами катушки, а также формой и материалом (у.) экрана, в который помещают обмотку линзы. Для катушки цилиндрической формы распределение поля В (z) может быть рассчитано; для катушек более сложной формы расчет B(z) является весьма трудной задачей.
Если распределение поля известно, то интегрирование, необходимое для определения фокусного расстояния, может быть выполнено приближенным методом, например, графическим. Часто пользуются экспериментальным методом определения напряженности вдоль оси.
Ниже приводится, в качестве примера, расчет фокусного расстояния для короткой круговой магнитной линзы. Простейшей магнитной линзой является круговой виток, по которому течет ток. Напряженность магнитного поля на оси такого витка, как известно, определяется формулой

Я2/
2 (z2 + Я2)3'2 '
Тогда оптическая сила витка определяется как
1 -	^4/2 г
/“8Ф0]	32Ф0 J (г2-|-Я2)3	256 Ф0Я •
Для катушки, состоящей из N витков, вместо силы тока I надо подставить число ампервитков IN. Тогда
1 __Зтгр-о^/2 Л^2
7“ 256Ф0Я *
93
Это соотношение определяет число ампервитков, необхо димое для получения фокусного расстояния /, т. е.
IN =
Подставляя значения е и т и выражая ток в амперах, а потенциал Фо в вольтах, получим

(5,7)
Эта формула приближенно справедлива для катушек без экрана. Для катушек с железным экраном надо ввести дополнительный множитель s, т. е. 
(5,8)
здесь s примерно равно • Экранировка уменьшает число ампервитков, а крутизна спадания поля увеличивается. Это положение иллюстрируется рисунком 5,7.
iB(i)
6
Ряс. 5,7. Распределение поля на оси магнитной линзы: а — неэкранированная катушка; б — экранированная катушка без полюсных наконечников; в — экранированная катушка с полюс* ными наконечниками.
Для катушек с железным экраном множитель s зависит от проходящего через катушку тока, увеличиваясь с ростом последнего, так как при насыщении проницаемость железа уменьшается.
94
Если объект (катод) поместить в поле линзы, то такая магнитная линза называется магнитным иммерсионным объективом. В иммерсионном объективе фокусное расстояние столь мало, что фокус находится в поле линзы. При этом полученные выше формулы для фокусного расстояния и для угла поворота изображения становятся уже неверными и вместо них должны применяться формулы сильных линз.
5,3. Магнитно-электрические линзы
В комбинированных магнитно-электрических линзах на электрон одновременно действуют и магнитное и электрическое поля. Будем считать, что оба поля имеют общую ось симметрии, а комбинированная линза является короткой слабой линзой. Тогда, интегрируя дифференциальное уравнение траектории (2,70), получим оптическую силу линзы
1	1 с” 1 <РФ . т) C^(z)	1	1
/ 4K<U КФ +8/ФвЗКФ /е/ za	za
В этой формуле fe— фокусное расстояние электрической линзы без магнитного поля, а Д— фокусное расстояние магнитной линзы. Отметим, что фокусное расстояние магнитной линзы fM зависит от наличия в ней электрического поля. Это объясняется тем, что при наложении электрического поля на магнитное скорость электрона изменяется, а следовательно, изменится и фокусное расстояние магнитной линзы. Лишь в первом приближении оптические силы электрической и магнитной линз складываются. Для более точных приближений фокусирующее действие электрической и магнитной линз нельзя рассматривать независимо одно от другого.
Следует еще отметить, что магнитное поле в комбинированной линзе вызывает поворот изображения относительно объекта на угол ф.
В заключение отметим недостатки магнитных линз. В магнитных линзах встречаются все аберрации, свойственные электрическим линзам (см. § 4,7).
Кроме этого, магнитным линзам свойственно несколько видов аберраций, которых нет в электрических линзах. В частности, в магнитных линзах существуют аберрации, связанные с поворотом изображения. Этот вид искажений называется спиральным. Он появляется в результате того, что поворот различных частей изображения зависит от их радиального удаления. Поэтому прямые линии, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оптической оси, изобразятся в виде 5-образных кривых.
95
Некоторое уменьшение этого вида аберрации может быть достигнуто путем ограничения пучка малым отверстием. Более существенное исправление подобных искажений магнитных линз удается достичь, если применить две линзы, дающие поворот изображения в противоположных направлениях.
Кроме спирального искажения, могут еще существовать искажения, вызываемые пульсацией тока в катушках, а также полями рассеяния. В результате пульсаций тока точечный фокус превращается в расплывчатое пятно. Поля рассеяния превращают точечный фокус в короткую линию.
На этом мы заканчиваем рассмотрение основных сведений из геометрической электронной оптики.
ГЛАВА VI
ДЕЙСТВИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА В ПУЧКАХ
Полученные в предыдущих главах выводы основывались на предположении, что движение электронов происходит в лапласовском поле, которое полностью определяется потенциалами линз, диафрагм и т. п.; плотности тока в пучке предполагались настолько малыми, что влиянием пространственного заряда пучка можно было пренебречь.
В этой и последующих главах рассматриваются вопросы оптики интенсивных пучков электронов — пучков с большой плотностью тока. Такие пучки нашли широкое применение в целом ряде электровакуумных приборов, в частности, в генераторах и усилителях сверхвысоких частот.
Фокусировка пучков с большой плотностью пространственного заряда представляет значительные трудности. При этом уже нельзя говорить о фокусировке в прямом смысле этого слова. Термин фокусировка следует понимать как формирование электронных потоков в пучки различной формы.
Наличие большого пространственного заряда в электронных пучках вызывает следующие эффекты:
1)	расширение пучков вследствие действия кулоновских сил отталкивания;
2)	падение потенциала, которое создается собственным пространственным зарядом электронов;
3)	ограничение токов в пучках, вызываемое падением потенциала.
Перечисленные эффекты ставят предел фокусированию пучков с большой плотностью тока.
Силы электростатического отталкивания и изменение распределения потенциала существенно зависят от геометрии прибора и электронного пучка. Поэтому конечный эффект
7 Н. С. Зинченко	97
действия пространственного заряда оказывается неодинаковым для пучков различной формы.
Величину пространственного заряда можно характеризовать отношением = &, называемым параметром пространственного заряда
Обычное значение параметра пространственного заряда k а
составляет 10”7 —. В пучках электронов, для которых в /2
k меньше 10“ 8	, влияние пространственного заряда можно
в /2
не учитывать.
Ниже будет рассмотрено расширение пучков, распределение потенциала и предельные токи в пучках, а также способы фокусировки цилиндрических, трубчатых, ленточных и других пучков. Анализ будет проведен для электронных пучков, однако полученные результаты могут быть использованы и для других заряженных частиц.
В данной главе будет рассмотрен первый из перечисленных эффектов — изменение поперечного сечения пучков под действием электростатических сил отталкивания.
6,1.	Расширение пучков кругового сечения
В качестве первой задачи, учитывающей действие пространственного заряда, рассмотрим дефокусировку электрон-
Рис. 6,1. Сечение электронного пучка меридианной плоскостью.
ного пучка кругового сечения.
Пусть электронный пучок кругового сечения движется вдоль оси z и при z= 0 входит в область пространства, где потенциал в отсутствии пучка имеет одно и то же значение Vo относительно катода, эмитирующего электроны (рис. 6,1). Сила тока пучка / задана.
Примем, что пучок прошел фокусирующую элек-
трическую линзу, на входе в эквипотенциальную область при z = 0 имеет радиус г0 и является сходящимся; касательная к
траектории крайнего электрона в точке z = 0 образует с осью z угол а. Требуется определить радиус пучка в любом попе
1 В иностранной литературе параметр пространственного заряда на-
зывают первеансом (perveance).
98
речном сечении z. Решение задачи будем производить при следующих упрощающих предположениях:
1)	плотность тока одинакова во всех точках каждого поперечного сечения пучка;
2)	все электроны имеют одинаковую аксиальную скорость v2 *
3)	каждый электрон обладает радиальной скоростью, пропорциональной его расстоянию от оси.
Подобный случай приближенно имеет место для тонких пучков с относительно малым током.
Из качественного рассмотрения задачи следует, что сначала после входа в эквипотенциальное пространство пучок будет сходящимся, а затем вследствие действия электростатических сил начнет расходиться. Поэтому в некотором сечении z = zmIn пучок будет иметь наименьший радиус rmln. В сечении, удаленном от входа на расстояние 2zmIn, пучок будет иметь радиус г0 такой же, как на входе; при дальнейшем увеличении z радиус пучка будет увеличиваться (рис. 6,1).
Для расчета зависимости г (z) применим цилиндрическую систему координат. В силу предположения об однородности пучка задачу можно рассматривать как одномерную.
Чтобы рассчитать форму пучка и найти гш1п и zmIn, достаточно рассмотреть траекторию крайнего электрона в пучке. Уравнение радиального движения крайнего электрона при отсутствии внешних полей имеет вид:
d2r г dt?
(6,1)
где Ег — радиальная составляющая напряженности поля, создаваемого пространственным зарядом. Ее значение на границе пучка можно определить по формуле Гаусса для потока индукции, создаваемого электронами пучка, заключенными между плоскостями z и z-\-dz:
2 тгг е0 Er dz = кг2 р (z)dzt
(6,2)
где г — радиус пучка, р (z) — плотность электронного заряда в сечении z и е0 — диэлектрическая проницаемость вакуума. Поскольку ток пучка задан, выразим плотность заряда внутри аксиально-симметричного пучка через ток
Р nr2 v2 nr2 vQ
(6,3)
где ^0 = 1^2^ Vo — скорость электрона в плоскости z=0.
99
Тогда
(6,4)
Следовательно, электрическая сила, действующая трое и вызывающая расширение пучка, равна
2те0]/'2т] Уог"
на элек-
(6,5)
Кроме сил электростатического отталкивания, на электрон действует сила электромагнитного притяжения, так как движущиеся электроны — это линейные параллельные токи. Индукция магнитного поля на поверхности пучка цилиндрической формы по закону Био и Савара равна
Р’О I . 2 яг
Электромагнитная сила, действующая на движущийся электрон, направлена внутрь пучка и равна
Н> elvo
2 кг
(6.6)
Результирующая сила определяется выражением
. ___ el	__ cl
тг 2гсе0ту’ 2кг 2ке0^0г
, т. е. электро-
магнитное
притяжение в
раз меньше электростати-
ческого отталкивания. Например, при 14=10* в сила притяжения составляет только 4% силы электростатического отталкивания. Поэтому в дальнейшем магнитной силой притяжения будем пренебрегать.
Из (6,1) и (6,4) получаем уравнение движения
d2r _
^2^/2^//
(6,7)
2к г0У2ц Vo г
Принимая во внимание, что r = r(z), запишем
tZ2r с?2 г /c?z\2 dt2 dz2 \dt)
dr d2z
dz dt2'
100
z
Поскольку мы приняли vt => const, то = 0. Теперь по
лучаем уравнение1 траектории в виде
d2r__ I
~ 4/2ке0^ у‘/гг '
(6.8)
d2r
Из (6,8) следует, что стремится к бесконечности при стремлении г к нулю. Это означает, что если пренебречь начальными тепловыми скоростями, то электронные траектории не могут пересекать ось.
Для удобства дальнейшего расчета введем новые безразмерные переменные:
Тогда, производя замену г и z в (6,8), получим следующее уравнение:
d2R 1
dZ2 2 R'	<б«10)
Его однократное интегрирование при граничном условии
dR dZ
z-=o

дает
(/?')2-= in/? + /?'o2.
(6.П)
у /4	у
Здесь /?' = —a ~ — где — начальная радиаль-0	174Z/2	V;
ная скорость. Отсюда для минимального значения R из условия /^=0 получаем
=	(6.12)
Теперь в качестве переменной примем /?' — и. Тогда, так как
1п/?=/?'2—/?'о2, то R — e~~ 0 в"2
и
dR dZ
_ Р' 9
~2е	0 иеи
du
dZ'
1 Уравнение (6.8) можно получить, если в уравнении (2.28') положить Ф' и Ф" равными нулю и добавить член
2 е0
101
dR	_f>,z 2
Ho -rj = и, а следовательно, dZ = 2e	° eu du
и
2± Kin/? + 7?;® Z = 2e~R° Jea*du.
К
(6,13)
Этот интеграл табулирован, и его значения можно найти в таблицах функций1.
Для пучка, сходящегося на входе (/^ < 0 и /? < 1), в верхнем пределе надо брать знак—. В таком случае последнее уравнение описывает траекторию крайнего электрона пучка на участке от Z = 0 до точки, в которой /? = /?mIn, a Z = Zmln>
В этой точке прекращается радиальное движение электрона к оси пучка вследствие предварительной фокусировки и начинается его движение от оси.
Минимальный радиус, до которого можно сфокусировать пучок, определяется соотношением
у3/2
,2__________tg2 а
— R	(174)2/ К	(С
rmin = rQe о =гое	•	6,12'
Расстояние Z = Zmln до плоскости максимальной фокусировки можно считать фокусным расстоянием пучка электронов.
Для пучка, длина которого больше Zmln, /?' > О ив верхнем пределе интеграла следует брать знак +.
После выполнения интегрирования (6,13) можно построить графики функции /? = /?(Z), которые для различных значений /?'о < 0 приведены на рис. 6,2. Данные кривые представляют траекторию периферийного электрона в приведенных единицах R и Z в зависимости от тока пучка /, ускоряющего напряжения Vo и угла а.
Кривые рис. 6,2 показывают, что сечение сходящегося пучка имеет минимум. Минимальный радиус пучка уменьшается при уменьшении тока и при повышении напряжения (см. 6,12'). Расстояние до минимального сечения зависит от т- е- от Угла а на входе. Наибольшее удаление минимума от плоскости Z = 0 соответствует /?'==— 0,92. Наибольшее удаление минимального сечения Z=l,08, а следовательно, значение R = 1 в этом случае вновь достигается при Z = 2,16.
На рис. 6,3 приведен график функции /?=/? (Z) для /?о=О (первоначально параллельный пучок).
1 См., например, Е. Я н к е и Ф. Э м д е. Таблицы функций, М., 1948.
102
Пучок, параллельный на входе, расходится в эквипотенциальном пространстве, причем его радиальное расширение увеличивается, когда растет ток и длина пучка или уменьшается напряжение.
Л 10 оэ 08 07 06 05 ОЬ 03 02 01
0204 06 0810 12 1.4 16 1.8 Z022 £	012345678
Рис. 6,2. Траектории периферийных электронов пучка с учетом пространственного заряда.
Рис. 6,3. Расширение пучка, входящего в эквипотенциальное пространство параллельно.
Экспериментальная проверка расширения пучков кругового сечения показала, что действительное расширение пучка меньше расчетного примерно на 40%. Это объясняется действием положительных ионов, образующихся за счет ионизации молекул остаточных газов.
Рис. 6,4. Прохождение пучка максимального тока через трубку.
Выясним теперь вопрос о максимальном токе, который можно пропустить через трубку диаметра D и длиной L в отсутствии фокусирующих полей.
Электронный пучок считаем сходящимся на входе в трубку, т. е. его сечение внутри трубки имеет минимум.
На основании изложенного следует, что для пропускания пучка электронов через трубку наибольшей длины без потерь тока необходимо, чтобы его минимальное сечение находилось в середине трубки (рис. 6,4).
103
Тогда, полагая в формуле (6,9)
Z=2,16 и z = Lt
для максимального тока пучка получаем следующее выражение:
/£>\2
= 38,5-lO-V/2^) •	(6.U)
Из (6,14) следует, что увеличение ускоряющего напряжения приводит к росту максимального значения проходящего тока. Заметим, что существенное увеличение тока пучка может быть получено путем применения постоянного фокусирующего магнитного поля L
Как отмечалось в постановке задачи, ее решение проведено для упрощенного идеализированного случая. В действительности плотность тока в различных точках сечения пучка различна и является функцией г. Прецположение, что пучок движется в эквипотенциальном пространстве, строго говоря, не соответствует действительности. В области, занятой интенсивным пучком, всегда имеет место понижение потенциала, и, следовательно, электроны пучка движутся в неэквипотенциальном пространстве.
Когда вдоль оси пучка имеется постоянный градиент потенциала (ускоряющее поле), то задача определения формы расширяющегося пучка значительно усложняется. Рассчитаем форму пучка для подобного случая, основываясь на работе [5]. Движение крайнего электрона в радиальном и продольном направлениях с учетом продольного градиента будет описываться уравнениями:
d?r V .
dt2 %w-vr'	(6,15)
V
d2 z
^2 =il grad, К	(6,16)
Проинтегрировав (6,16) и подставив значение v2 в (6,15), получим
d2 Г __________Т)/________
dt2 “ 2 we0 г grad, V+v^)'	(6,15)
Чтобы определить профиль пучка, преобразуем (6,15'). Обо-т/
значая ц grad, V=A, —=—=к и vz0 = B, перепишем (6,15') 2ite0
в виде	d2r к
Г dt2	С6-17)
1 Весь анализ расплывания пучка основан на работах [1—4].
104
Замена переменной t из соотношения X = In (At -f- В) приводит (6,17) к виду
d*r dr____ке^
~d)?~dk~^r'
__
Введем новую переменную 0 соотношением 0 = ге 2 • Тогда (6,17) переходит в
</20	0 к
dt? 4 “’"А2₽ ‘
(6,18)
Полагая тг = 7, преобразуем (6,18) к виду
^1 — 1.
dp — 4
к Д20
Интегрирование относительно 0 дает
В2 / к \ у =8’ + (д2)1пР_ЬС
Если 7 = То, когда 0 = 0О, то
или
Интегрирование (6,19') дает
(6,19)
(6,19)
(6,20)
в
где
При решении конкретных задач по известным значениям vx0, vr, r0, grad* V и I определяются величины Кд, ро,7о, к, А и с помощью (6,20) рассчитывается X—F(0). После вычи-Л/2 сления г = F (X) =f(t) при помощи соотношения z = -^--t--t-vzOt находится r = F(z), т. е. форма пучка.
105
Для пучков, параллельных на входе (го = О), выражение (6,20) упрощается. Полагая vr = 0, получим
Рис. 6,5 показывает результаты численного решения для постоянного градиента вдоль оси, равного—150 когда ток пучка /=25 мка, а радиус на входе г0--=1 мм. Различные кривые профиля пучка соответствуют разным начальным радиальным скоростям.
(6,21)
Рис. 6,5. Форма пучка в пространстве с постоянным градиентом потенциала.
Сравнение расплывания пучка при отсутствии и наличии аксиального поля показывает, что в первом случае профиль пучка симметричен относительно точки минимального радиуса, а во втором—несимметричен. Если поле на оси увеличивается, то увеличивается и радиус пучка в минимуме, и расстояние до минимума.
6,2.	Расширение трубчатого пучка
Задача о расширении полого пучка кольцевого сечения может быть рассмотрена, подобно задаче о расширении сплошного пучка, исходя из движения периферийного электрона пучка [6].
Пусть полый пучок электронов движется между обкладками цилиндрического конденсатора параллельно оси, которую примем за ось z. Размеры системы в поперечном сечении показаны на рис. 6,6. При анализе движения такого пучка
106
будем приближенно считать, что аксиальная скорость электронов везде одинакова, а на входе в конденсатор (2=0) все электроны движутся параллельно оси. Необходимо рассчитать внешний радиус пучка в любом поперечном сечении.
Рис. 6,6. Поперечное сечение трубчатого пучка в цилиндрическом конденсаторе.
Запишем уравнение радиального движения электрона, находящегося на внешней поверхности пучка:
К2~	1
(6,22)
где V2 — потенциал наружной металлической трубки, Va — потенциал наружного края пучка.
Интегрирование уравнения (6,22) с учетом равенства нулю начальной радиальной скорости дает
(6,22')
Примем следующие обозначения величин для параметров рассматриваемой системы:
107
где V—потенциал в пучке, определяемый уравнением Пуассона. Тогда, так как аксиальная скорость электронов dz _ _ 1#
не изменяется и равна = (2^ Va)12 , то после замены Va
в (6,22 ), выполняя интегрирование, получим для траектории электрона
т
или
о
(6,22х7)
где
На рис. 6,7 приведена кривая для отношения расстояний
вдоль оси z, при которых получается одинаковая расходимость полого и сплошного пучков, как функция отношения
Рис. 6,7 Сравнение расширения полого и сплошного пучков (г—для полого пучка, г'—для сплошного пучка).
данного тока / пучков к максимальному току /шах1- Из рис. 6,7 видно, что расширение для пучков обоих типов практически одинаково. Однако при одинаковой плотности тока в обоих пучках расширение полого пучка будет меньше, чем сплошного пучка.
1 Для трубчатого пучка максимальный ток /шах e 1.17 • 10	.
где / — в амперах, V2 — в вольтах.
108
При построении кривой рис. 6,7 данные для сплошного пучка взяты из статьи [7].
6,3.	Расширение пучка прямоугольного сечения
Рассмотрим теперь расширение пучка с поперечным сечением в виде прямоугольника. Пусть электронный пучок прямоугольного поперечного сечения движется в эквипотенциальном пространстве вдоль оси z (рис. 6,8). Будем предполагать, что:
1) плотность тока во всех точках каждого поперечного сечения пучка одинакова;
2) ширина пучка w значительно больше его толщины 2у (ленточный пучок).
Рис. 6,8. Расширение прямоугольного ленточного пучка.
Требуется рассчитать размеры пучка в любом поперечном сечении г, пренебрегая краевым эффектом на краях пучка [8]. В ленточных пучках действие пространственного заряда приводит только к увеличению толщины пучка. Для определения формы расширяющегося пучка необходимо знать силу электростатического расталкивания на поверхности пучка. Исходным уравнением является уравнение Пуассона
d2 V	д2	р
dz2	ду2	е0 ’
(6,23)
Если длина пучка значительно больше его толщины, то потенциал вдоль оси z изменяется значительно медленнее,
чем вдоль оси у и поэтому первым слагаемым уравнения
6,23) можно пренебречь по сравнению со вторым и записать
6,23) в виде
#У	Р
dy2	е0 *
(6,23)
109
Принятое приближение по существу означает замену ленточного пучка бесконечно широким. Интеграл уравнения (6,23') представляет величину напряженности электрического поля на поверхности пучка
у 2е0^-ау ’
где — ток на единицу ширины пучка.
Сила электростатического расталкивания электронов определяется соотношением
Р __ el
y~~2eoz^w'
Тогда уравнение движения электрона запишется так:
</2J	-
di2	2еог»г®
(6,24)
Выполняя интегрирование при начальных условиях / = 0, у — Уо и у = 0, получаем
У— =
(6,25)
или
У~Уо Jo
= 2,4 • 104
/ z2
где / — в амперах, V — в вольтах.
Это решение применимо только для расходящихся пучков; оно показывает, что толщина пучка увеличивается с ростом па • раметра пространственного заряда и длины пучка. Если на вхо-
dt	’
де (z = 0) пучок имеет поперечную скорость
то в (6,25) у0 надо заменить на ут, соответствующее точке, в dy л
которой нормальная составляющая скорости-~ = О, азотсчи-тывать от этой точки. Следовательно, соотношение
У— Ут = ^
Iz>
4е0 VZW
(6,25)
показывает, что пучок имеет профиль, огибающие которого являются параболами.
Это решение охватывает все случаи расхождения прямоугольных пучков. Для ленточного пучка, прошедшего через линзу с фокусным расстоянием /0, крайний электрон имеет
110
уп поперечную скорость vy = —	<v2. Тогда интегрирование
7о
(6,24) при условиях / = 0, _y=j/0	=	приводит
(6,24) при условиях / = 0, у =j/0 и J = — 7?^ /о
к соотношению
(6,26)
Jo , Лгл У=Уо — ^г^ + ъ~----з
/о 4е0 v2
Если положить у=ут = 09 то получим условия, при которых пучок в средней плоскости фокусируется в линию:
zm f 2fQk 2k у f2 4j,°*’	(6,27)
где zm = f — фокусное расстояние с учетом пространственного заряда, a & = т)---•
4e0^w
Рис. 6,9. Кривые расходимости прямоугольного пучка для различных ускоряющих напряжений.
Если zm вещественно, то фокусировка возможна. Поэтому условием фокусировки является 4й . Знак равенства дает максимальное фокусное расстояние /шах = 2/0. При больших значениях k пучок не будет фокусироваться к плоскости. Полученные здесь выводы иллюстрируются рисунком 6,9 для пучка с уо = О,2 см, fQ = 1 см, ~ = 10 ма при различных величинах V.
Следует отметить принципиальное отличие в поведении пучков кругового и прямоугольного сечения. Весьма широкий прямоугольный (ленточный) пучок, как показывает приведенный анализ, можно сфокусировать в линию в средней плоскости (если не учитывать тепловой разброс скоростей). Пучок кругового сечения не может фокусироваться в точку, так как сила электростатического расталкивания должна была бы обратиться в бесконечность. В отличие от этого
111
для ленточного пучка расталкивающая сила при у О остается конечной величиной, ибо она не зависит от толщины пучка.
Кривые расходимости ленточного пучка бесконечной ширины под влиянием собственного пространственного заряда приведены на рис. 6,10. На этом рисунке параметром являет-
Рис. 6.10. Кривые расходимости ленточного пучка для различных величин тока.
ся отношение тока на единицу ширины пучка к максимальному току пучка, при котором еще может быть получен линейный фокус. Величина максимального тока определяется
, _Уо
из условия k = и равна
max
(6,28)
В соответствии с полученными выводами, при /= /шах фокусное расстояние достигает максимального значения и кривая в точке z = 2/0 раздваивается: одна пересекает среднюю плоскость, а вторая — не имеет пересечения.
Полученные соотношения позволяют вычислить величину максимального тока, проходящего через две диафрагмы. Если полуширина диафрагм _у0, а расстояние между ними L, то проходящий пучок будет иметь максимальный
112
ток в том случае, когда Л =4 /0 (пучок фокусируется на расстоянии-^-]. Значение максимального тока равно
шах W
(6,29)
заключение сравним расходимость кругового и прямо-с одинаковыми начальными плот-
В угольного сечения пучков ностью тока и скоростью электронов.
Если k имеют одинаковые значения, то надо сравнивать отношения конечного сечения пучка к начальному. Для прямоугольного и круглого пучков они выражаются соответственно
На рис. 6,11 изображены кривые зависимости расплывания пучков от Л,
Рис. 6,11. Сравнение расплывания кругового и прямоугольного пучков.
т. е. от плотности тока. Из них видно, что расширение кругового пучка больше, чем прямоугольного, причем отличие тем сильнее, чем больше начальные плотности тока.
В приведенном анализе расплывания пучков не учитывались разброс начальных скоростей электронов, влияние остаточных газов (положительных ионов), а также неоднород
ность распределения плотности тока в поперечном сечении и падение потенциала в пучке. В связи с этим возникает необходимость экспериментальной проверки полученных количественных соотношений. Зависимость расплывания пучков кругового сечения от давления газа в области пучка экспериментально исследовалась авторами работы [9] (см. главу XI, рис. 11,3).
Результаты исследования расходимости пучков показывают, что действие пространственного заряда в пучках различной формы проявляется по-разному; поэтому условия, необходимые для осуществления фокусировки, должны быть различными.
8 Н. С. Зинченко
113
ГЛАВА Vll
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В ПУЧКАХ И ПРЕДЕЛЬНЫЙ ТОК
При анализе изменения формы интенсивных пучков в шестой главе учитывались силы отталкивания между электронами, но принималось, что пучок не вызывает изменения распределения потенциала. Однако в действительности в пучках ограниченных размеров наличие пространственного заряда приводит к понижению потенциала в области, где движется пучок, и к появлению градиентов потенциала. Этот эффект проявляется все сильнее по мере роста пространственного заряда. По достижении определенной величины пространственного заряда падение потенциала ограничивает ток в пучке и даже может нарушить нормальное токопро-хождение.
Проявление действия пространственного заряда существенно зависит от граничных условий, а следовательно, для пучков различной формы и геометрических размеров следует ожидать существенно отличающихся результатов. Поэтому в настоящей главе будет рассматриваться распределение потенциала в пучках различной формы, а именно: в прямоугольном, цилиндрическом и трубчатом.
7,1. Падение потенциала по длине бесконечно широкого пучка
Задача об изменении потенциала вдоль бесконечно широкого пучка первоначально решалась в связи с расчетом токо-прохождения в многоэлектродных лампах [1—6]; здесь она приводится в качестве простейшего примера, на котором можно выяснить все принципиальные особенности явлений, наблюдающихся в пучке.
Рассмотрим поток электронов, заполняющий все пространство между двумя бесконечными параллельными плоскими электродами А и Bt и движущийся в направлении нормали к электродам, которую примем за ось z (рис. 7,1).
114
Потенциалы электродов А и В одинаковы и равны Vo, а потенциал катода равен нулю. Примем далее, что скорости электронов, а также плотность тока /, во всех точках каждой плоскости, перпендикулярной оси z, имеют одинаковые значения. Требуется рассчитать распределение потенциала в пространстве между электродами А и В.
В силу принятых допущений все физические величины будут зависеть лишь от осевой координаты z, т. е. задача будет одномерной. Потенциал V между электродами А и В определяется из уравнения Пуассона
d2V у
dz2 e0Z/
(7,1)
где J —плотность электронного тока, v—скорость электронов.
Рис. 7,1. Распределение потенциала по длине пучка.
Подставляя значение ^ = K2^V(z), получаем дифференциальное уравнение для потенциала
d2V j
dz2' %К2ч V (z)'
(7, Г)
Граничные условия задачи имеют вид
V L-0=VI
и, следовательно, задача симметрична относительно сечения
I	гп	1
г =	Поэтому при z=-~ потенциал имеет минимум
dV и
dz * = 4-£
1=0. После умножения уравнения (7,Г) на 2^т-
первое интегрирование в пределах от г до дает
(7.2)
115
dV
Здесь учтено, что -г-
СИ
Поэтому слева остается толь-
ко одно слагаемое, которое равно квадрату напряженности электрического поля. Величина последней изменяется от
Eg = 0 при z = (минимум потенциала) до Fmax при z = Q
и z — l. Скорость электронов в минимуме потенциала
^min	Ут1п •
Поэтому правая часть уравнения (7,2) пропорциональна разности скоростей электронов в произвольной точке zn в точке
I ~
z =	• С ростом плотности тока пучка j потенциал в ми-
нимуме уменьшается и при большой плотности может достигать нуля. В этом случае (VmIn=0) электроны, дойдя до среднего сечения, останавливаются, в пучке возникает виртуальный катод, и нормальное прохождение тока нарушается.
V
После замены -г-—= <р и несложных преобразований
второе интегрирование уравнения (7,1') дает
или
3 /
Поделив левую и правую часть (7,3') на V получим

Полагая z = 0, из (7,4) получаем зависимость отношения потенциала в минимуме к потенциалу на электродах Уо
l2J
от параметра рис. 7,2.
Соответствующий график приведен на
При фиксированных Vo и I этот график представляет зависимость потенциала в минимуме (Уш1п) от плотности тока пучка, входящего в пространство между рассматриваемыми электродами.
l2i
Из рисунка 7,2 видно, что по мере роста параметра —£-V/2
116
отношение -Л111 плавно уменьшается до значения 0,25 v о
в точке В, а затем круто обрывается до нуля и остается равным нулю при дальнейшем увеличении у. Величина пара-/2;
метра —соответствующая крутому спаданию (точка В), v I*
равна 18,64-; при этом плотность тока достигает ® /2
предельной, максимально возможной величины для данных /и Vo. Максимальную плотность тока можно найти из условия _^_=0
rfVinln
Падение потенциала Vo —Vmln увеличивается с ростом плотности тока на входе в систему. При Vn,ln = 0 (точ-п	I
ка С) часть электронов пучка в точке z —	поворачивает
обратно к диафрагме.
rj
Рис. 7,2. Минимальный потенциал как функция параметра ттл-.
V©'2
Максимальное значение плотности тока, соответствующее точке В (рис. 7,2), может быть рассчитано по формуле
у я = 2,33-10-6 ’'В
(7.5)
На основании последних соотношений можно оценить максимальную напряженность электрического поля, связанного
117
с объемным зарядом пучка при j=jB. Порядок этой вели чины будет
2
При последующем уменьшении плотности тока пучка ход изменения
не повторяет хода, который имел место 'о
при увеличении плотности тока. Кривая
имеет гистерезисный характер. Если V о ность тока, начиная со значений j>jc>
как функция Ио
уменьшать плот-
то в системе до j = jo<^jc сохраняется минимум потенциала, равный нулю. В точке D плотность тока изменяется скачком до j ® 7л, Л	I
виртуальный катод в точке z = — исчезает и минимум по-тенциала возрастает до значения, соответствующего точке А. При дальнейшем уменьшении тока 1/ш1п плавно увеличивается до VQ, соответствующего 7 = 0.
При тех плотностях тока пучка на входе в систему, для которых потенциал в средней точке между электродами падает до нуля, пучок электронов распадается как бы на два диода: от первого электрода (диафрагма) до виртуального катода и от виртуального катода до второго электрода (коллектора). К каждому из этих диодов можно применить закон трех вторых.
Если обозначить плотность тока на коллектор через 71
и применить закон трех вторых к каждому из диодов, то мож-/\ /2	/72
но построить зависимость :Ц- от величины График этой
V /г	I/ /г
*о	г о
зависимости изображен на рис. 7,3.
Участок кривой О АВС получается, когда растет плотность тока 7; при уменьшении j получается участок кривой САО.
Отрезок кривой ОАВ соответствует такому же участку на кривой рис. 7,2. При этом электроны движутся только в направлении положительных z, виртуальный катод отсутствует и движения электронов в обратном направлении нет. Следовательно, 71 = 7-
Когда j достигает значения 7в, то потенциал в минимуме скачком падает до нуля, образуется виртуальный катод и часть электронов, соответствующая току 7'=7—7>» возвращается на диафрагму. Ток на коллектор скачком падает до значения jr—jc. При дальнейшем увеличении j ток 7>
118
продолжает уменьшаться. Кривая зависимости j\ от j (при фиксированных Z и VQ) имеет гистерезисный ход: при последующем уменьшении J ток на коллектор изменяется по участку кривой САО.
Такое изменение потенциала в пучке и тока на коллектор указывает на неустойчивое состояние в пучке. Следует
Рис. 7,3. Зависимость плотности тока на коллектор от плотности тока на входе в пространство ускоряющая диафрагма-коллектор.
отметить, что разрывное изменение величины минимума потенциала и тока j\ в зависимости от j является следствием односкоростного приближения для электронов пучка. Если учесть разброс скоростей электронов в пучке, то снижение потенциала и тока будет происходить на конечном интервале значений J. Неустойчивое состояние пучка остается и при учете реального разброса скоростей электронов.
Заметим, что в данном параграфе изменение потенциала рассчитывалось для чисто электронного пучка, т. е. влияние положительных ионов не учитывалось. В действительности вследствие ионизации остатков газа в электронном пучке находятся положительные ионы, которые изменяют распределение потенциала. В частности, при большой плотности ионов может исчезать неустойчивое состояние (состояние виртуального катода) пучка. При этом изменение потенциала, связанное с исчезновением виртуального катода (линия DA на рис. 7,2), не будет столь резким. Экспериментальные данные по этому вопросу читатель может найти в работе [7].
Анализ предельного тока пучка показывает, что при расчете электронно-оптических систем для пучков с высокой
119
плотностью тока необходимо учитывать возможное нарушение нормального токопрохождения.
7,2. Распределение потенциала в ограниченном пучке прямоугольного сечения
Распределение потенциала в ограниченном прямоугольном пучке подробно исследовано и описано в работе [9]. В соответствии с указанной работой рассмотрим задачу о расчете распределения потенциала в поперечном сечении прямоугольного пучка электронов, проходящего внутри прямоугольной металлической коробки в направлении ее продольной оси z. Размеры пучка и металлической коробки, а также выбор системы координат показаны на рис. 7,4. Потенциал металлической коробки будем обозначать Ve.
Рис. 7,4. Прямоугольный пучок в металлической коробке.
Потенциал в любой точке пучка определяется из уравнения Пуассона. Предполагая, что толщина пучка т = 2аи высота коробки d = 2b много меньше их ширины и длины, для средней части пучка можно пренебречь градиентом потенциала в направлении х и zt т. е. принять
dV dv _ л дх ~ dz U’
и записать уравнение Пуассона в виде
d2V _	р
dy2 ~~	е0 ’	(7,6)
По существу это означает замену реального пучка бесконечно широким и бесконечно длинным. Следовательно, изменение потенциала происходит в направлении перпендикуляра к поверхности пучка у, и, таким образом, задача сводится к одномерной. В точке х = 0, j/ = 0 потенциал будет наименьшим.
120
Предположим также, что расплывание пучка в направлении у не происходит (пучок движется в сильном магнитном поле), а плотность тока j одинакова во всех точках поперечного сечения пучка. Тогда для плотности пространственного заряда р (у) на расстоянии у от начала координат имеем:
рСу) v(y)’
и уравнение (7,6) перепишется в виде
d2V _
dy2 е0
/21!
где V — потенциал в пучке.
В результате двукратного интегрирования (7,6') получаем
(7,6')
уравнения
4(//!_И.’ф!(1/7. + 2К1'/.) _ ± (kJ) Ъу, О
(7,7)
где
8о /2ч ’
a Vo — потенциал в плоскости у = 0.
Это уравнение определяет значение потенциала V в любой плоскости у внутри пучка.
Подставляя в уравнение (7,7) V = Vа— потенциал на по-/
верхности пучка (у= ±а) и 1-рМ =Р — отношение ми-\ * а/
нимальной скорости электронов в пучке к максимальной, получим
(1 - Р)’/г (1 + 2/>) = ± 4 W)‘/2 Va~'*a-	(7,7')
Если учесть, что в области от у = а до у = b заряды отсутствуют, то в ней градиент потенциала должен быть постоянным и, следовательно, при у ® а будем иметь:
(7,8)
Тогда уравнения (7,7') и (7,8) можно переписать в следую-
щем виде:
64 Г/-в
4(1-р)(1+2^)2	/ х
ТТй \	]% \р'1
1+4(4-1 а-ла+эд о \ * /	J
(7,9)
121
= 1 + 4(4 — 1) (1 — Р) (1 + 2р) = О (р, ^\, (7, Ю) где Д = /т — ток на единицу ширины пучка.
Графики функций F(p) ~ -А. и G(p)= для различ
ное значение тока
g— параметр!.
Рис. 7,5.
Зависимость F от р
ных величин приведены на рисунках 7,5 и 7,6 соответственно. Здесь, как и в задаче § 7,1, существует максималь-который можно пропустить через трубку прямоугольного сечения.
Пунктирная линия соединяет точки кривых, соответствующие Froax. Область справа от этой линии представляет устойчивые состояния пучка, так как здесь рост тока пучка приводит к уменьшению потенциала 1/0-
Максимальное значение F получается из усло-dF t\ D вия -s— = 0. Выполняя др дифференцирование, получим
О’
d 1 = 3 2р “ 1 т 2 (1—р) (l-j-2p) *
Последнее равенство является условием прохождения мального тока. Подставляя (7,11) в (7,9), находим (1 - р) (1 + 2ру+ 4 (2р -1) (1 + 2р) тах =	(4р - 1)7*
и	№ти=4,-1.
На рис. 7,7 значения Fmax даны в зависимости от отно-т
шения —т. Тогда при известных Ve, т, d и w величина ма-и
ксимального тока определится соотношением
4ах=9,35.10-6	Fmax,	(7,13)
(7,11)
макси-
(7,12)
122
где 4nax=Amax•w—максимальный полный ток в амперах.
VS
График величин
в зависимости от
123
отношения -^-приведен на рис. 7,7. Из них можно опреде
лить распределение потенциала в пучке и отношение квад-
ратов минимальной скорости
Зависимость отношения
F И в
в пучке к максимальной, отношения от F (для то-•'в
ков, меньших максимально-го) при различных значе-ниях -т-показана на рисунках 7,8 и 7,9.
С помощью этих рисунков можно определить минимальный потенциал Vo и потенциал на краю пучка Va.
Значение F может быть вычислено по формуле
F=l,07 • 105---—г,
v’/J—)
в \dl
где /—полный ток пучка в
амперах.
124
Вследствие падения потенциала в пучке уменьшаются скорости электронов, а также появляется некоторое изменение в распределении скоростей электронов в пучке.
7,3. Радиальное распределение потенциала
Радиальное падение потенциала имеет существенное значение в тонких и длинных пучках. Такие пучки применяются в пролетных клистронах, в лампах с бегущей волной и в электронно-волновых лампах. С ростом тока потенциал на оси пучка понижается вследствие отрицательного пространственного заряда электронов. Когда ток достигает некоторого значения, то пучок становится неустойчивым. Кроме этого, вследствие падения потенциала в поперечном сечении изменяется внутреннее сопротивление лампы.
Рассмотрим радиальное распределение потенциала в пучке электронов с радиусом г0 и длиной L (rQ<£L), полностью заполняющем проводящую эквипотенциальную трубку с потенциалом Va [8,10]. Будем считать плотность тока во всех точках поперечного сечения пучка одинаковой, а продольное падение потенциала малым. Примем также, что пу-
чок ограничен сильным продольным магнитным что траектории электронов параллельны оси z. dV dV	„
пучка	и уравнение Пуассона для
в пучке V(r) запишется в виде
полем, так Для такого
потенциала
1r dV\ = 1
г dr ) Ке0г2о /2?Й(г) ’
(7,14)
где / — ток пучка. Задача снова является одномерной. Граничные условия задачи имеют вид
У(г)
dV и -г-dr
О
= 0.
r=0
Введем
И(г)
новые переменные — отношение потенциалов
и приведенный радиус р = г
^0r2 /21!
v о
где V(r)— потенциал в любой точке г, а VQ — потенциал на оси пучка.
Уравнение (7,14) и граничные условия принимают вид
1 d/ d<D
р rfp\ dp
(7,14)
= 1
Р=о ; dp
= 0.
р=0
126
Решение уравнения (7,14') дает зависимость Ф от р.
График этой зависимости приведен на рис. 7,10.
По кривой рис. 7,10 можно построить график зависимости
012345678
р, приведенный радиус
Рис. 7,10. Изменение потенциала вдоль радиуса в цилиндрическом пучке.
потенциалу на краю пучка как функции полного тока пучка. На рис. 7,11 изо-сражена кривая для
* а как функция р2Ф“3/2.
С помощью данного графика можно найти величину потенциала Vo на оси для известных значений тока. В частности, при / = 0 VQ = Va. С ростом тока пучка от нуля до некоторого максимального значения отношено ние-т-г- монотонно умень-* а
шается до значения 0,174. При этом р2ф~3/2 достигает величины 1,963. Отсюда, полагая г = г0, для максимального тока получаем
/max == 1.963те0/27)	= 32,4.10~e	(7,15)
Когда достигает значения 0,174, распределение про-* а
странственного заряда в пучке становится нестабильным, так как кривая изменения р5 имеет вид падающей характера
ристики, и -=-^ падает до нуля (рис. 7,11). Это состояние со-Р а
ответствует образованию виртуального катода на оси элект-
ронного пучка.
Из вышеизложенного следует, что предельный ток определяется только потенциалом трубки относительно катода, т. е. ускоряющим потенциалом1. Как видно из выражения 7 г-2 _ __з/	1 Г
р2ф /1==-—i/—2» уменьшение ускоряющего потен-
2т] V '*rQ
циала приводит к тому, что неустойчивое состояние пучка наступает при меньших токах.
1 Последнее справедливо для случая, когда можно пренебречь продольным падением потенциала.
126
Величина
Рис. 7,11. График изменения отношения потенциала в центре пучка к потенциалу на его поверхности в зависимости от тока пучка.
Рис. 7,12. Зависимость параметров цилиндрического пучка максимального тока от отношения радиуса пучка г0 к радиусу трубчатого электрода га.
127
На рис. 7,12 приведены кривые, аналогичные кривым рис. 7,11 для пучка, который не полностью заполняет трубку [9]. Из рис. 7,12 видно, что потенциал в центре пучка изменяется от при — = 0 до для — = 1 (Ул — потен-3 н га	6 ra v а
циал электрода, a Vr0 — потенциал на поверхности пучка).
Полученные результаты показывают также, что в отличие от широких и коротких пучков, в тонких и длинных пучках падение потенциала определяется не плотностью тока, а полным током.
7,4.	Распределение потенциала в цилиндрическом пучке конечной длины
Пучок электронов, проходящий через эквипотенциальную проводящую трубку, изменяет внутри нее потенциал. Распределение потенциала в пучке зависит от проводимости пучка, материала трубки и от геометрии системы. В частности, распределение потенциала получается различным для разных соотношений между поперечными размерами пучка и трубки и между диаметром и длиной пучка.
Мы рассмотрим распределение потенциала в цилиндрической идеально проводящей трубке конечной длины и радиуса, вдоль оси которой проходит предварительно ускоренный цилиндрический пучок [11].
Определение распределения потенциала в пучке представляет краевую электростатическую задачу. Решение рассматриваемой задачи будем проводить при следующих упрощающих предположениях:
1)	пучок стационарный и моноэнергетический;
2)	плотность тока пучка во всех точках каждого поперечного сечения одинакова;
3)	аксиальная составляющая скорости электронов много больше радиальной1.
Введем следующие обозначения (рис. 7,13):
г0 — радиус пучка,
га — радиус трубки,
L — длина пучка и трубки,
Va — постоянный потенциал трубки относительно катода, j — плотность тока пучка.
Потенциал V (г, z) внутри трубки определяется следующими двумя уравнениями:
в области, занятой пучком, (0 ^г^г0)>
V е0 V2ti V*/2 ’
(7,16)
1 Предполагается, что пучок сфокусирован сильным магнитным полем» направленным вдоль оси z.
128
вне пучка (r0^r^re)
ДУ=О.
(7,17)
Введем в рассмотрение падение потенциала, т. е. понижение потенциала относительно потенциала трубки и обозначим падение потенциала в пучке через V19 а падение потенциала вне пучка через У2; тогда
Для падения потенциала уравнения (7,16) и (7,17) перепишутся так:
Рис. 7,13. Схематическое изображение цилиндрического пучка в цилиндрической трубке.
к
Если р1 мало, то правую часть уравнения (7,16') можно разложить в ряд и отбросить члены в степенях выше первой. Тогда приближенно уравнение (7,16') запишется так:
^=—
•о	Т 2 VJ
у
Отброшенные слагаемые даже при 0,2 в сумме со-ставляют не более 1н-2%.
Окончательно задача будет описываться следующими дифференциальными уравнениями:
AVj + A1 У, = -Л;
AV2 = 0,
9. Н. С. Зинченко
(7,16")
(7,17)
129
где приняты обозначения:
____L----• ьг_ во Г211 Va'
2Va *
На поверхности проводящей трубки V = Va (трубка закрыта с торцов, торец со стороны катода закрыт сеткой) — падение потенциала равно нулю.
Граничные условия задачи имеют вид:
dVi дУ\ дг г-г„ дг
г=г0’
Решение (7,16") и (7,17') будем искать в виде рядов Фурье по синусам: СО
Vt = sin х„ z;
П=1
со
У2 = а(„ sin Х„ z.
П=1
Из первого граничного условия получаем, что
ПК
Подстановка рядов в (7,16") и (7,17') дает следующие дифференциальные уравнения для коэффициентов:
+ 7	- *2) «Я* =	(7,18)
(Ра® , 1 da® .,(2) ~drr±V~d~r пЛп
(7,19)
Здесь Ь„ — коэффициенты разложения (—А) по синусам;
. 4Л
они для нечетных п принимают значения Ь„ — —, а для
л четных Ьп = 0.
Так как уравнения (7,18) и (7,19) являются уравнениями Бесселя, то:
а® = с; /0 (/^Цг) - для Xn < k-
для k„>A;
42) = С2/0().лг) + С3/<0().лг),
130
где Jo — функция Бесселя, а /0 и Ко — модифицированные функции Бесселя.
Постоянные интегрирования Сх, C'lt С2 и С3 определяются граничными условиями и принимают значения:
а)	для ХЙ<Л
= С2 фп»
(XW2)k(/^-XSr0^-/0(VJ+^^K0(knr0)} (	гa)	J
где
•' _____^л___ А (^л Го)__|	4 (^л G1)	(*л Го) | .
л-	Лг0)r.)KQ(knra)J ’
б)	для ln>k
= £гФл>
£___________________^л___________________.
(Х2„-*2)|/0(/хГ=*2г0)ф„-/o(Xnro)+M^/Coanro))
*'О\Лл га)	/
Z> (^л гд) ^0 О'л га)
где
^л	( Л (^л Го)
/о(^лГ.)Я1(><лГо)
Тогда для Vj и V2 получаются следующие выражения:
р
bn
П=1
Ч-k2
л
sin X„z;
Xg-Л2
Ko(^r) sin Xnz.
Это решение показывает, что распределение потенциала внутри металлического цилиндра зависит от плотности тока в пучке и геометрических размеров пучка и цилиндра.
131
Данные формулы позволяют рассчитать падение потенциала как в области, занимаемой пучком, так и вне ее. При этом, зафиксировав г, найдем уравнение распределения потенциала вдоль пучка (продольное падение), а зафиксировав z — уравнение для падения потенциала в поперечном сечении (радиальное падение). Максимальное падение потенциала
Ушах, как следует из формул, будет в точке г = 0, z~~n-
На рис. 7,14 в качестве примера приведены расчетные
Рис. 7,14. Максимальное падение потенциала в пучке в функции тока пучка.
кривые, характеризующие зависимость максимального падения потенциала от тока [12], для пучка со следующими данными:
г0 = 10-3 м, га = 3-10~3лс, £—0,1 м и Ve = 5 • 10® в. Верхняя кривая рис. 7,14 относится к пучку, заключенному в проводящий цилиндр, вторая — к пучку, проходящему в свободном пространстве (в вакууме).
Кривые наглядно показывают, что падение потенциала в пучке, заключенном в проводящий цилиндр, меньше, чем в пучке, проходящем в свободном пространстве. Отметим при этом, что разница величин падения потенциала для обоих пучков увеличивается с ростом тока в пучке.
132
Уменьшение падения потенциала при наличии металлической трубки объясняется действием индуцированных на ее стенках зарядов противоположного знака.
Отсюда следует, что предельный ток пучка в проводящей трубке будет больше, чем ток в свободном пространстве. Расчет продольного падения показывает, что наиболее резкое падение потенциала имеет место у торцов металлического цилиндра, причем падение тем круче, чем больше ток.
В некоторых частных случаях выражения для потенциала упрощаются (например, когда пучок полностью заполняет трубку или когда радиус или длину пучка можно считать бесконечно большими).
7,5. Распределение потенциала в сечении трубчатого пучка [9]
Рассмотрение задачи о распределении потенциала в трубчатом пучке ограничим случаем тонкостенного трубчатого пучка. Пусть трубчатый пучок движется в полости между цилиндрическими коаксиальными электродами вдоль их оси. Принимаемые обозначения показаны на рис. 7,15.
Распределение потенциала между коаксиальными электродами при наличии трубчатого пучка можно определить следующим способом.
Величина заряда в кулонах на единицу длины тонкого пучка определяется соотношением
где I — полный ток пучка в амперах;
Vo—потенциал в пучке; последний в сечении тонкого пучка можно считать приблизительно постоян-ным (см. кривую для
* I на рис. 7,7 при т < d).
Рис. 7,15. Трубчатый пучок между коаксиальными цилиндрами.
133
Этот заряд индуцирует равный ему заряд на стенках электродов, величина которого
q=Ci{Vi~V0)-[-C2(V2-V.),
(7,21)
где Ct и С2 — погонная емкость между пучком и поверхностями внутреннего и внешнего электродов.
Из (7,20) и (7,21) получаем
5,93-10® 1/>
= Ci(Vi-V0)+C2(V2-V0).
(7,22)
Условие максимального тока
di dV0
= 0 дает
где
In —
1
С. 4- С.	. г. •
11	2	1п--
ri
После подстановки (7,23) в (7,22) получаем выражение для тока в виде
(7,24)
и условие для максимального тока
9___________7гоах_________ р ______(7,25)
4 5,93- 10s (См-J-Са) V’4 max
Отсюда максимальный ток трубчатого пучка
2
ш„ = 6,4-10-6
шах*
0
Значения величины в зависимости от
Г при
раз-
личных величинах
показаны на рис. 7,16. Макси-~ ^2
мальный ток для двух крайних случаев размеров проводников будет:
134
6 Vs'* если г2=ео, то /тах= (0,866) -6,4-10 —4-,
,grT
если г, =0, то /„„=(0,866)- 6,4 - 10~6^^.
'о
Практически важно знать пространственное распределение
Fmax
отношения .
потенциала в пучке для токов, меньших максимального. Из (7,24) и (7,25) имеем:
Отсюда для — = 0 'max
135
Использовав последнее соотношение, получаем
(7,27)
Формула (7,27) дает зависимость потенциала в пучке от величины тока пучка; график этой зависимости приведен на рис. 7,17. Из графика видно, что с ростом тока
ОД»

Рис. 7,17. Кривая изменения потенциала в пучке с ростом тока пучка.
в пучке от нуля до максимального значения потенциал 1
в пучке понижается до потенциала в отсутствии пучка. <5
Промежуточные значения потенциала можно определить из графика рис. 7,17.
Приведенный выше анализ показывает, что распределение потенциала зависит от размеров пучка. Поэтому величина тока, при которой нарушается устойчивое состояние пучка, также зависит от геометрии пучка. Определение потенциала в области пучка проводилось нами без учета положительных ионов. Такое рассмотрение является приближенным, поскольку положительные ионы, всегда существующие в реальных лампах в большем или меньшем количестве, уменьшают падение потенциала в электронных пучках. Этот вопрос подробно рассматривается в главе XI.
ГЛАВА V1H
ФОКУСИРОВКА ИНТЕНСИВНЫХ ПУЧКОВ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИМИ ПОЛЯМИ
Из вышеизложенного ясно, что интенсивные пучки желаемых геометрических размеров и форм могут быть получены только при использовании внешних ограничивающих сил, которые должны компенсировать действие пространственного заряда. Такими силами могут быть силы внешнего электростатического поля, внешнего магнитного поля или силы поля положительных ионов в самом пучке. В соответствии с этим различают три способа фокусировки пучков: электростатический, магнитный и газовый.
Отметим, что общего строгого решения задачи о фокусировке пучков в настоящее время еще не существует. Поэтому в этой и в последующих главах рассматриваются задачи фокусировки интенсивных пучков для ряда наиболее важных конкретных случаев. Во всех задачах будем вести расчет без учета тепловых скоростей. При решении каждой задачи будем вводить дополнительные упрощающие предположения.
В данной главе рассматривается электростатическая фокусировка интенсивных электронных пучков разной геометрической формы. Общий подход к расчету электростатической фокусировки интенсивных пучков основан на использовании известного из аналитического решения [1—6] распределения потенциала в прямолинейных потоках электронов, заключенных между поверхностями параллельных пластин, коаксиальных цилиндров или концентрических сфер. При этом одна из поверхностей является катодом, а вторая—анодом. Вырезая из всего прямолинейного потока часть потока между пластинами (пучок прямолинейного сечения или ленточный пучок), цилиндрами (клинообразный пучок) или сферами (конический пучок), заменяют пространственный заряд отсутствующих частей потока электростатическим полем электродов.
137
Иначе говоря, для ограничения расширения интенсивных пучков с помощью электростатических полей необходимо, чтобы поле пространственного заряда на поверхности пучка было скомпенсировано полем электродов. Такая компенсация достигается, если при наличии фокусирующего поля вдоль всей поверхности пучка выполняются следующие два условия: потенциал непрерывен на границе пучка и составляющая напряженности поля, нормальная к поверхности пучка, равна нулю.
Необходимое для фокусировки распределение потенциала на пути пучка создается системой электродов определенной формы. Форма электродов, очевидно, должна зависеть от формы и параметров пучка.
8,1. Фокусировка параллельного пучка прямоугольного сечения
Рассмотрим сначала наиболее простую задачу об электростатической фокусировке параллельного пучка прямоугольного сечения, которая решена аналитически [7]. Пучок будем считать ленточным, начинающимся на плоском катоде (z=0) и направленным вдоль оси z (рис. 8,1). Потенциал катода и начальные скорости электронов предполагаются равными нулю, а ток эмиссии в пучке ограниченным пространственным зарядом. Требуется найти форму электродов, обеспечивающих получение такого пучка.
Для решения задачи прежде всего найдем распределение потенциала вдоль оси г.
Если электроны пучка движутся по параллельным траекториям в направлении z и если плотность тока во всех точках пучка одинакова (однородный пучок), то зависимость между потенциалом, расстоянием и плотностью тока устанавливается, как было показано выше, уравнением Пуассона, записанным в следующем виде:
d2V _ j
dz2 е0К2^	’	<8,1)
Подобная задача для неограниченного пучка решена Чайль-дом (§ 7,1). Мы рассматриваем ограниченный пучок, который проходит в области < 0. В области у > 0 заряды отсутствуют. Чтобы пучок не расширялся, потенциал на границе пучка, как уже отмечалось во введении к данной главе, должен быть непрерывным, а составляющая напряженности поля, нормальная к поверхности пучка, должна быть равна нулю
138
во всех точках поверхности. Эти условия на плоской границе пучка иллюстрируются рисунком 8,1.
Таким образом, граничные условия при у = 0 имеют следующий вид:
(8Л')
V = /(z).
где /(г) является решением уравнения (8,1).
Рис. 8,1. Граничные условия на поверхности прямолинейного электронного пучка.
Найдем решение уравнения (8,1) в области пучка. После умножения (8,1) на 2-т— интегрирование в пределах от О до z дает
(dV\* 4J ..г,
\dz) ’ (8,2)
Постоянная интегрирования равна нулю, так как на катоде потенциал V = 0 и вследствие ограничения тока про-
странственным
зарядом
Для повторного интегрирования запишем (8,2) в виде
V II V I, /2т,
Тогда, интегрируя, получаем
(8,3)
139
Постоянная интегрирования равна нулю, так как при z = 0 (поверхность катода) потенциал равен нулю. Следовательно,
V = 5,69 • 1О’у2/з z4/» = Az/з
(8,4')
или
Таким образом функция f(z) определена.
Для расчета потенциала вне пучка (j/>0) необходимо найти решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям (8,1'). Так как значение потенциала на поверхности пучка уже определено, то V(y, z) можно найти и не решая уравнения. В самом деле, любая функция комплексного переменного, а также и ее вещественная или мнимая части удовлетворяют уравнению Лапласа. Поэтому в V=f(z) координата z может быть заменена на z -\-iy9 т. е.
V(у, z) = Re [f (г + iy)] = 1 [/(z + iy) +f(z-iy)].
При таком выборе V (j, z) уравнение Лапласа будет удовлетворено и, кроме того, будут выполнены и граничные условия.
Поскольку при у = О
^=/(2) = Az4/»,
то для у > 0 получаем . 4 ф
Re [A (z + ry)4/s] = Re [A (z2 + у2)’/зе T ] =
= A (z2 + Уг)г/з cos 4-»,	(8,5)
О
где & = arctg .
В частности, на границе пучка
V = AzVa.	(8,6)
Таким образом, (8,5) выражает распределение потенциала вне пучка, необходимое для фокусировки параллельного пучка прямоугольного сечения. Из (8,5) может быть найдена форма эквипотенциальных поверхностей. На рис. 8,2 представлены такие эквипотенциальные поверхности.
Следовательно, для фокусировки параллельного ленточного пучка необходимо на его пути расположить систему электродов, форма которых совпадает с эквипотенциальными
140
поверхностями, а значение потенциалов на них возрастает в соответствии с (8,6). Многоэлектродная система конструктивно сложна. Но применение многих электродов не обязательно. Можно ограничиться только двумя электродами. Такая система обычно называется «пушкой Пирса». В «пушке Пирса» электроды располагаются на месте эквипотенциальных поверхностей с V—0 (катод) и с V=V0 (ускоряю-
Рве. b,2. Эквипотенциальные линии поля, необходимого для создания параллельного пучка прямоугольного сечения.
щий электрод— анод). Тогда между этими электродами обеспечивается прямолинейность распространения пучка.
Установим форму катодного и ускоряющего электродов. Так как на катоде (z = 0) потенциал V = 0, то
141
Поэтому, если у =/= 0, то должно быть
т. е.
arctg — = ^ = 67,5°.
& z 8
Отсюда форма катодного электрода определяется уравнением
_y = ztg67,5°
(8,7)
и представляет плоскость с углом наклона 67,5° по отношению к поверхности пучка.
Электрод нулевого потенциала
Янад
Зазор для тепловой изоляции
Рис. 8,3. Электронная пушка, создающая прямолинейный поток электронов.
Форма ускоряющего электрода определяется уравнением
A (z2-|-j2)8/3cos
(8,8)
Остальные эквипотенциальные поверхности между катодом и анодом являются кривыми поверхностями, перпендикуляр-
142
ними к краю пучка. На рис. 8,3 изображена пушка, создающая прямолинейный пучок электронов.
Заметим, что форма эквипотенциальных поверхностей не зависит от абсолютных значений потенциалов и выбора единиц, определяющих расстояние между электродами.
8,2. Фокусировка сплошного цилиндрического пучка
Задача о точном расчете распределения потенциала поля, обеспечивающего фокусировку параллельного пучка кругового сечения, в общем виде не решается. Определение необходимого распределения потенциала и формы электродов может быть выполнено приближенным расчетом [8] или экспериментально, с помощью электролитической ванны [9]. Согласно [8], между катодом и ускоряющим электродом потенциал на поверхности пучка должен удовлетворять условиям
V(r0, z] = Az*l*
(8,9)
^-(г0. г)=0
где Го—радиус цилиндрического пучка. Если плотность тока пучка постоянна и тепловые скорости электронов равны нулю, то задача является электростатической и потенциал внутри пучка выражается уравнением Пуассона.
Вне пучка потенциал подчиняется уравнению Лапласа, и вблизи пучка можно применить приближенное аналитическое решение вида
где m = -o-, a Fo, Ft, F2,... — цилиндрические функции [8]. о
Подставляя ряд (8,10) в уравнение Лапласа и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z нулю, получаем:
1 d dF.
г dr
= 0, n = 0, 1;
г], L(r dFn+i г dr\ dr i
(8.И)
n = 0, 1, 2.
Граничные условия (8,9) принимают вид:
F0(l)==l; Fn+1(l) = 0; Ф(1)=0, « = 0,1,2,
143
Эти уравнения могут быть решены точно, последовательно одно за другим, что дает
(8,12)
Значения функций Г2 и Ft приведены в таблице 1.
Цилиндрические функцм		Таблица 1 (и F2 и F4
II о^|-Ч		F,«)
	(-)	(+)
0,1	0,4016	0,0342
0,2	0,2508	0,0166
0,4	0,1103	0,0039
0,6	0,0423	0,0006
0,8	0,0096	0,0002
1.0	0,0000	0,0000
1,5	0,0488	0,0088
2,0	0,1793	0,0158
3,0	0,6448	0,2219
4,0	1,3586	1,020
5,0	2,309	3,022
С помощью таблицы 1 и соотношения (8,10) может быть определена форма эквипотенциальных поверхностей вблизи края пучка. На поверхности пучка потенциал У = Аг™. Уравнением эквипотенциали, которая пересекает пучок при z=z0, является ряд
(8,13)
„	-	г — г0
Для больших ------2 решение в цилиндрических коорди-
натах расходится. Для поверхности катода оно совсем неприменимо и должно быть заменено другим решением. Поэтому рассмотрим решение в сферических координатах вида
V-А {/?” Рт (cos 8) + г’ fl—» [а2 Рп_2 (cos 8) +
+ *2 Qm-2 (Я COS »)] + ...}.	(8,14)
144
Здесь /? = (г2 + z2) /*, O=arctg (r/z) и /?т~2 Qm__2 есть любое решение уравнения Лапласа с особенностью вида In (У? sin в). Физически Qm-2 выражает потенциал, создаваемый пространственным зарядом, если весь заряд сосредоточен на оси. Рт-п представляют потенциал, создаваемый электродами, который не имеет особенностей на оси (исключая точку z = 0).
Рассматривая форму
= In	) Рт (cos ») + Gm (cos ft) (8,15)
\ 'о /
и подставляя Rtn-Qm в уравнение Лапласа, мы найдем От, которое должно удовлетворять неоднородному уравнению Лежандра
= -2тРт(х) + 2х-^,	(8,16)
где x = cos&.
Мы можем найти решение для G не теряя общности, применив граничное условие G(l) = 0. Любое другое граничное условие 0(1)== а эквивалентно замене Qm на Qm4--f-aPm и при этом лишь изменится коэффициент а2 в уравнении (8,14). Первые два слагаемых ряда (8,14) с достаточной точностью будут совпадать с разложением (8,10). Чтобы
найти а2 и bt мы разложим (8,14) по— до степени zm~2. Тогда
Z получим
.. л m 1 т(т — I) V—Azm I---—;---
4
(8,17)
Граничные условия (8,9) при г = г0 определяют а2 и Ь^.
т — 1	1	, т — 1	2	/О1О.
4	9 » ^2	2	9 *
Значения функций P4y3(cos&), Р_»(3(cos&) и О—»/8(cos д) приведены в таблице 2.
Вид эквипотенциалей для больших/? находится отбрасыванием в (8,14) всех членов, кроме первого. При втором порядке интерполяции корень уравнения
Р. (cos&) = 0	(8,19)
10. Н. С. Зинченко
145
соответствует углу 0 = 74°10'. Поэтому катодный электрод представляет асимптотический конус с данным половинным
Функции Лежандра
Таблица 2
X		^4/ W 13	Р1, w /з		6_1/ (•*) /з
1,0	1,0000	1,556	0,43	1,0000	0,000
0,9	0,8466 1/2	1,511	0,45	1,0114 1/2	0,062
0,8	0,6978	1,404	0,48	1,0235 1/2	0,137
0,7	0,5538	1,414	0,50	1,03641/2	0,227
0,6	0,4148 1/2	1,363	0,53	1,0502	0,335
0,5	0,2813	1,308	0,57	1,0649	0,462
0,4	0,1535	1,248	0,62	1,08071/2	0,610
0,3	0,0319 1/2	1,183	0,67	1,09791/2	0,785
0,2	—0,0829 1/2	1,113	0,74	1,1166	0,990
0,1	—0,1905	1,035	—	1,1370 1/2	—
0,0	—0,2898		 >	1,1596	—
0,2728	0,0000	1,165	—	1,1030	0,839
углом. Это согласуется с асимптотическим значением угла, приблизительно равным 75°, полученным в работе [7].
Остальные асимптоты находятся из уравнения
V=Az^ = AR l* P*i3 (cos 0),	(8,20)
которое дает
Я = (г2 -f- z2)V, — z0 [р4д (cos &)]— */<.	(8,21)
Здесь zQ—точка пересечения асимптоты с осью z. Значе-Г Z
ния — и — в зависимости от cosO даны в таблице 3. 20
Таблица 3
Асимптотическая форма эквипотенциальных поверхностей
cos Я	г	Z
1,00	0,000	1,000
0,90	0,548	1,020
0,80	0,785	1,048
0,70	1,110	1,090
0,60	1,550	1,161
0,55	1,847	1,216
0,50	2,245	1,295
0,45	2,812	1,417
0,40	3,72	1,627
0,35	5,63	2,10
0,325	7,70	2,63
0,30	12,62	3,97
146
Так как для 7? > 2г0 второй член в уравнении (8,14) меньше 10% основного члена, то второй член может рассматриваться как малая поправка. Если мы рассматриваем уравнение (8,20) как определяющее величину & для данных R, z0, то поправка <70, обусловленная включением второго члена в уравнение (8,14), дается соотношением
^^(•?)[P;/3(C0S&)r го \г /	/3
уР_ 2/,(cos0) +|-Q_2/3(cos &)
(8,22)
Построив сначала асимптоты, можно найти ход эквипотенциальных поверхностей, применяя поправки в соответствии с уравнением (8,22). Эти исправленные эквипотенциали, сопряженные с эквипотенциалями, рассчитанными по уравнению (8,10), показаны на рис. 8,4.
Рис. 8,4. Эквипотенциали, необходимые для формирования сплошного и полого цилиндрических пучков, полученные расчетным путем.
Необходимо еще найти форму части катодной эквипотенциальной поверхности вблизи края пучка.
Для этого расчета удобно ввести полярные координаты:
я* = [Z2_j_ (Г _ Го)2]1/,; в* = arctg I
(8,23)
в которых уравнение Лапласа запишется так:
1 д р* dV 4- 1 dW =
Я* dR* * dR* + /?*2 а»*2
= - (го + R* sin OT^sIn	• (8,24)
Решение уравнения (8,24) в виде ряда по возрастающим степеням /?*, справедливое для /?* < г0, имеет вид
V= R*m cos rn&*+/?*m+1 (4г0)~1 sin (m — !)&* —
m — 1
m
sin(m+ 1)&*
+ (2r0)~2 R*m+2
cos (/n-j-2)^*
1)
cos m&* cos (m — 2) m +1	m
(8,25)
где m = 4/3
Следовательно, катодная эквипотенциаль касается конуса с половинным углом 67,5°, как было получено раньше; половина угла постепенно увеличивается до 74°10'. Поправка d&*, которая должна быть добавлена к углу 67,5°, для малых — дается выражением md&*= — (т + 1)—’sin 22,5° +
+ hr- - COS 45°.	(8,26)
1 \2r0J 7n(/n+l)	v '
Полученные таким образом эквипотенциали хорошо согла-
суются с результатами, приведенными в работах [7, 10, 111
Распределение потенциала аксиально-симметричного поля и форму электродов, обеспечивающих фокусировку цилиндрического пучка, можно приближенно определить с помощью электролитической ванны. Для этого в электролитическую ванну с клинообразной формой электролита, кроме электро-
дов, параллельно оси z (линия электролита) помещается
диэлектрическая пластинка на расстоянии, равном радиусу пучка (рис. 8,5). Диэлектрическая пластинка представляет край электронного пучка. При этом автоматически обеспечивается условие равенства нулю поля, перпендикулярного границе пучка, так как ток в пластинке отсутствует. Два электрода, являющиеся частями поверхностей вращения, простираются от пластинки внутрь электролита. С помощью зонда определяется распределение потенциала вдоль диэлектрической пластинки. Электродам придается такая форма, при которой потенциал вдоль изолирующей пластинки изменяется по закону V(z)=const z^. Определенные таким способом эквипотенциали для параллельного цилиндрического потока
148
при эмиссии, ограниченной пространственным зарядом, изображены на рис. 8,6.
Расположенный вблизи пучка электрод нулевого потенциала является конусом с половинным углом, равным 67,5°. На больших расстояниях от границы пучка электрод с нулевым потенциалом представляет конус с половинным углом, равным 71°. При этом анод представляет поверхность вращения.
Линия oaeltmpih маю {ocb симмет рии поли)
Пооссо из изоля-иионноео мате^
риала
Рис. 8,5. Электролитическая ванна для определения эквипотенциален, необходимых для фокусировки сплошного цилиндрического пучка.
обращенную выпуклостью к катоду. Форма электродов пушки, соответствующая эквипотенциал ям рис. 8,6, изображена на рис. 8,7. Сравнение рис. 8,6 и 8,4 показывает, что экспериментальные данные по распределению поля и формы электродов аксиально-симметричной пушки находятся в хорошем согласии с расчетными результатами.
8,3. Фокусировка трубчатого пучка
Для полого пучка с внешним и внутренним радиусами г0 и Ь соответственно внешние эквипотенциальные поверхности подобны таковым для сплошного пучка (рис. 8,4). Кроме того, в трубчатый пучок необходимо поместить
149
Расстояние от катода , JL Го
Рис. 8,6. Форма эке и потении ал ей для получения цилиндрического пучка.
Рис. 8,7. Электронная пушка для создания цилиндрического пучка.
150
дополнительные электроды, располагая их в полости внутри пучка, свободной от зарядов. Для внутренних эквипотенциалей можно применить формулы (8,10) и (8,25), если заменить г0 на Ь. Следует отметить, что в уравнении (8,25) 8* отрицательно и, следовательно, поправка сйИ уменьшает | &* |. Дифференциальной формулой, соответствующей уравнению (8,26), является
/nd&* = (т + I)"* 1 sin 22,5°- 7+Лч cos45°. (8,27)
Внутренние эквипотенциали имеют форму, показанную в
Г
нижней части рисунка 8,4. Для малых у радиус кривизны эквипотенциали может быть рассчитан по формуле
которая получается из уравнений (8,10) и (8,12). Весь ход эквипотенциалей для области, свободной от зарядов, показан на рис. 8,4. Следует обратить внимание на то, что масштабы кривых различны для г > г0 и г < Ь.
Недавно для получения трубчатого протяженного пучка была предложена центробежно-электростатическая фокусировка [12]1. Такой способ фокусировки длинных электронных потоков основан на устойчивости движения электронов в радиальном поле цилиндрического конденсатора [14]. В этом случае электронно-оптическая система состоит из электронной пушки и двух коаксиальных цилиндров (рис. 8,8), между которыми приложено напряжение, причем внутренний цилиндр имеет более высокий потенциал. Электроны, вследствие наличия спирального среза у катода и анода, получают вращательный момент и, будучи введены в поле цилиндрического конденсатора под углом к оси системы2, формируются в сплошной трубчатый пучок со спиральными траекториями. Если центробежная сила уравновешивается силой радиального электростатического поля, то электроны движутся вдоль системы по равновесным спиральным траекториям. Условие равновесного движения отдельного электрона имеет вид
= еЕг = е %,	(8,29)
1 В бетатронах применяется центробежно-магнитная фокусировка, обеспечивающая устойчивое движение электрона по равновесной круговой траектории [13].
1 Электроны на входе имеют лишь две составляющие скорости: акси-
альную и азимутальную.
151
где v<? — азимутальная составляющая скорости, г0 — радиус равновесной траектории.
Учтем постоянство момента вращения Рь= г^, воспользуемся формулой для Ег
и перепишем (8,29) так:
где г2 и rt — радиусы наружного и внутреннего цилиндров, а	— разность потенциалов между цилиндрами.
Последнее равенство означает, что если электрон сместится с равновесной траектории к центру, то центробежная сила
Рис. 8,8. Электронно-оптическая система для центробежноэлектростатической фокусировки со спиральной пушкой: /—катод; 2—фокусирующие электроды; Л—анод.
станет больше центростремительной электрической силы и электрон возвратится на более удаленную от центра траекторию. Наоборот, если электрон удалится от оси на расстояние, большее г0, то центростремительная сила будет превалировать, и электрон, совершив затухающие колебания около равновесной траектории, возвратится на нее. Таким образом, в рассматриваемой системе происходит автоматическое возвращение электронов на равновесную траекторию, которая, следовательно, является устойчивой.
Если в систему вводится пучок со значительным пространственным зарядом, то распределение поля в цилиндрическом конденсаторе искажается и равновесное движение электрона может оказаться неустойчивым. Поэтому существует предельный ток, при котором пучок теряет устойчивость.
152
Значение этого тока можно получить путем анализа силовой функции системы по методу Ляпунова, исходя из общего критерия устойчивости [15]:
Тогда, определяя Ег и как функции координаты, фокусирующего напряжения, пространственного заряда и геометрии системы, можно найти предельный ток для различных видов возмущения движения электронов в пучке. Для определения Ег надо знать распределение потенциала в трубчатом пучке. Предположив плотность пространственного заряда распределенной равномерно по сечению, можно определить по соотношению (9,55) потенциал для любого г в области пучка.
Приведем формулы для предельного тока для следующих трех случаев;
1.	Пространственный заряд пучка достигает такой величины, когда напряженность электрического поля Ег на внешней границе пучка обращается в нуль; тогда невозможно не только устойчивое, но и равновесное движение электронов. Приравнивая нулю Е„ находим для предельного тока
или
(8,30)
(8,30')
где Vz—потенциал в вольтах, определяющий аксиальную скорость электронов;
п 1 г 1 . , . а . ь*
С0 = 1П----— 4-Л1П-Т- И к=—-------
i\ 2 b	а2—Ь2
2.	Вследствие пульсаций внешней границы пучка (диаметр пучка меняется) равновесное движение электронов становится неустойчивым; величина предельного устойчивого тока может быть получена из критерия устойчивости1 и выражается формулой
зз-ю~6уГу;	,R4n
<	р	.	(o,ol)
где
су=1п^ + 4-Л21пт-
1 Производная берется по радиусу а внешней границы пучка.
153
3.	Если конфигурация пучка не меняется (сечение пучка постоянное), но вследствие возмущения теряют устойчивость отдельные электроны, то на основании критерия устойчивости для предельного тока получаем
33-10~6 У/к Се
(8,32)
где
1 а 1	д.1 а I
СЛ=1П---------— Я1П — +
е ri 2	£
а2
а? — Ь2
1п^-.
Об эффективности центробежно-электростатической фокусировки можно судить на основании следующих экспериментальных данных:	а
1) были получены пучки с плотностью тока 0,3 ч-0,4
при 1/2=800 -н 1000в и фокусирующем напряжении V— 300 а;
2) через трубку диаметром 4 мм и длиной 0,5 м при 1/^=6004-800 в и 1/=2004-300а прохождение пучка с током 10 ч-15 ма составляло 954-97%.
8,4. Фокусировка конического пучка
Конические сходящиеся пучки можно получить между электродами, форма которых представляет части концентрических сфер. При этом часть внешней сферы является катодом, а внутренней—анодом. Распределение потенциала между двумя концентрическими сферами для случая полного пространственного заряда легко получить, решая уравнение Пуассона в сферических координатах, в предположении, что потенциал не зависит от угловых координат [4]. В этом случае уравнение Пуассона имеет вид
г2 dr\ dr / е0 ’
Пренебрегая начальными скоростями электронов плотность заряда через общий ток пучка I по нию 1= — 4№ рт>, получаем
1 d I dV\	I
-----I r2---j = -----------------
r2 dr у dr I	4ire0r2 У2ц V ’
(8,33)
и выражая соотноше-
(8,34)
где V — потенциал в точке на расстоянии г от центра. Решение уравнения (8,34) имеет вид
/=^/2^,	(8,35)
154
или
2
где а — функция отношения — (rk — радиус кривизны ка-ГЛ
тода).
Из уравнения (8,35) для V имеем:
(8,36)
где
\ г
Подставляя (8,35) в (8,34) и полагая лучить уравнение для определения а, 2	.
In — = т, можно по-а именно:
о
За — dy2
Решение (8,37) дает для а выражение в виде ряда
а = 7 — 0,3т2 + 0,075 т3 — 0,014382 74 + 0,0021609 у5 — ... (8,38)
(8,37)
На рис. 8,9 показаны графики зависимости а и а4/з от отношения радиуса кривизны катода rk к радиусу кривизны анода га. Численные значения а2 приведены в таблице 4.
В формуле (8,35) I— ток всей сферы с телесным углом 4к радиан. Для конуса с половинным углом &, вырезаемого из сферы, ток пучка /0 определяется соотношением
.___1 — cos 0
о	п
Рис. 8,9. Кривые зависимости а и а4/3 г от отношения-—-
/0= 14,67-10
_б 1 — cos О
а2
где Va — потенциал анода.
155
Таблица 4
Величина а3 как функция — г
(а2) для г > Гк и (— а)* для гк > г					
т	т 1	'к — или 	 Гк	Г	а2	(-«)*	г	Гк — или — 7 к	1	а2	(-а)г
1,0	0,0000	0,0000	4,6	1,063	6,712
1,05	0,0023	0,0024	4,8	1,103	7,334
1.1	0,0086	0,0096	5,0	1,141	7,976
1,15	0,0180	0,0213	5,2	1,178	8,636
1.2	0,0299	0,0372	5,4	1,213	9,315
1,25	0,0437	0,0571	5,6	1,247	10,01
1.3	0,0591	0,0809	5,8	1,280	10,73
1,35	0,0756	0,1084	6,0	1,311	11,46
1,4	0,0931	0,1396	6,5	1,385	13,35
1,45	0,1114	0,1740	7,0	1,453	15,35
1.5	0,1302	0,2118	7,5	1,516	17,44
1.6	0,1688	0,2968	8,0	1,575	19,62
1.7	0,208	0,394	8,5	1,630	21,89
1.8	0,248	0,502	9,0	1,682	24,25
1.9	0,287	0,621	9,5	1,731	26,68
2,0	0,326	0,750	10	1,777	29,19
2.1	0,364	0,888	12	1,938	39,98
2.2	0,402	1,036	14	2,073	51,86
2,3	0,438	1,193	16	2,189	64,74
2.4	0,474	1.358	18	2,289	78,56
2,5	0,509	1,531	20	2,378	93,24
2,6	0,543	1,712	30	2,713	178,2
2,7	0,576	1,901	40	2,944	279,6
2.8	0,608	2,098	50	3,120	395,3
2,9	0,639	2,302	60	3,261	523,6
3,0	0,669	2,512	70	3,380	663,3
3,2	0,727	2,954	80	3,482	813,7
3,4	0,783	3,421	90	3,572	974,1
3,6	0,836	3,913	100	3,652	1144
3.8	0,886	4,429	120	3,788	1509
4,0	0,934	4,968	140	3,903	1907
4,2	0,979	5,528	160	4,002	2333
4,4	1,022	6,109	180	4,089	2790
			200	4,166	3270
156
Кривая а4/3 с точностью до коэффициента пропорциональности является универсальной; она позволяет определить потенциал в зависимости от расстояния г для сферического потока. Поэтому уравнение (8,39) выражает изменение потенциала вдоль границы конического пучка.
Вторым условием существования конического пучка является
dV db
где О — полярный угол сферической системы координат. По-
следнее справедливо только
Таким образом, для пучка, ограниченного про-
внутри и на границе пучка.
странственным зарядом электронов между сферическими поверхностями, можно при заданном токе рассчитать распределение потенциала как функцию от расстояния. Зная распределение потенциала, можно подобрать форму фокусирующих электродов так, чтобы заданное распределение осуществлялось и вдоль границы конического пучка.
Форму электродов, создающих распределение потенциала, необходимое для получения конической части сферического потока, можно определить и с помощью электролитической ванны. Границу пучка в этом случае представляют диэлектрической пластинкой. Затем подбирают форму и расположение
Рис. 8,10. Схематическое изображение электролитической ванны для определения формы электродов, необходимых для создания конического сходящегося пучка.
электродов в ванне так, чтобы вдоль пластинки, т. е. вдоль
границы пучка, получить желаемое распределение потенциала. Электролитическая ванна, применяемая для этой цели, схематически изображена на рис. 8,10.
В качестве измерительных приборов обычно применяют ламповые вольтметры. Модели электродов удобно изготов
157
лять из тонких металлических полосок, которые легко изгибаются. Катодный электрод должен составлять с границей пучка угол, равный 67,5°. С помощью указанного на рис. 8,10 осциллографа проверяют фазовый угол между током и напряжением и наличие контактных потенциалов. Зонды, соединенные с вольтметрами, устанавливают так, чтобы получить равные приращения напряжения. На рис. (8,11—8,14) показаны определенные таким способом формы электродов
для четырех различных углов сходимости пучка.
Приведенные кривые являются универсальными, поскольку они применимы при любой величине приложенного напряжения, а анодный электрод может иметь форму любой из эквипотенциальных кривых [16, 17, 20].
Вышеизложенный расчет электронных пушек не учитывает действия анодного отверстия. Когда диаметр анодного отверстия становится больше половины расстояния между
катодом и анодом rk —га, то поле у катода существенно отличается от рассчитанного, ток будет меньше величины, определяемой формулой (8,39) и отверстие является рассеивающей линзой. Тогда пучок оказывается менее сходящимся при выходе из анода, чем при входе. Фокусное расстояние такой линзы (если предположить, что градиент потенциала за пределами пушки равен нулю) близко к величине
или
f___ — За
rk da 9
dR
(8,40)
где R = —.
J
Зависимость — от — представлена кривой на рис. 8,15. rk rk
По известному фокусному расстоянию можно определить угол выхода пучка для любого угла входа.
Влияние пространственного заряда пучка также приводит к дефокусировке пучка на выходе из пушки. Предполагая, что за пределами пушки электрического поля нет (кроме поля пространственного заряда), можно учесть и действие пространственного заряда пучка. Покажем как это делается. Для случая малых углов конуса О приближенно можно положить
г
и	1 /г'\!
l-COS& = -i- —
2 \ г / где г' — радиус пучка.
158
Рис. 8,11. Форма эквипотенциальных электродов, при которой образуется сходящийся пучок с углом раствора 5°,
Рис. 8,12. Форма эквипотенциальных электродов, создающих сходящийся пучок с углом раствора 10°.
Рис. 8,13. Форма эквипотенциальных электродов, при которой образуется сходящийся пучок с углом раствора 20°.
Рис. 8,14. Форма эквипотенциальных электродов, при которой получается пучок с углом раствора 30*.
Рис. 8,15. Зависимость фокусного расстояния сходящегося пучка от отношения анодного радиуса кривизны к катодному*
160
Тогда уравнение (8,39) перепишется в виде
(8,41)
Считая /0, V и г' идентичными /, Уо и г0, из равенства (6,9) находим, что
?	/2 Z
3[а«]Ъ г ‘
(8,42)
Если обозначить радиус пучка в отверстии анода через г0, то после прохождения пучка через отверстие анода
dr _ г0
dz f ’
а значение R' — -^= в сечении отверстия на основании уравнений (6,9) и (8,42) равно
/2/
(8,43)
Выражая расстояние от анодного отверстия z в радиусах катода rk, а радиус пучка г' в радиусах пучка у катода, получим:
(8,44)
(8,45)
Из соотношений данного параграфа и главы VI можно определить величину минимального радиуса пучка и положение минимального сечения на оси пучка, графики этих величин как функций отношения — приведены на рис. 8,16 и 8,17. 'а
На рис. 8,17 пунктирная линия характеризует расстояние — от отверстия в аноде до точки, в которой сходятся гк траектории электронов, если не учитывать действия пространственного заряда.
11. Н. С. Зинченко
161
Из рис. 8Д7 видно, что расстояние до сечения с минимальным диаметром пучка может быть как больше, так и
1.0															
0.6															
0.4															
															
02 0.1															
															
0.06 ом															
															
$5	ПП9															
UJUc *	0.0! & £ 5 §	Q006 СК v*							—	ж						•	
															
jS о.ооо															
															
'5 5> Ас 0.002 S е 0001															
															
00006							—									
0.0004															
															
00002 с е у о.ооо1															
															
							—								
0.00006															
000004															
															
0.00002 000004															
															1
to	1.S	20	2.5	30	35	4.0	4.5 Рк,	Радиусу kamoda^ Га г РаЗиус анода Рис. 8,16. Минимальный радиус пучка как функция отношения радиуса катода к радиусу анода.															
меньше фокусного расстояния в отсутствии пространственного заряда. Соответствующий вид пучков показан на
рис. 8,18 для трех значений
Г а
162
Катод
Рис. 8,18. Форма пучка для различных отношений —• га
163
Кривая рис. 8,16 показывает минимальный достижимый диаметр пучка при наличии пространственного заряда. На основании этого графика можно определить максимальную плотность тока в пучке при условии, что весь ток с катода проходит через отверстие в аноде:
где у0 — плотность тока на катоде.
Если не учитывать влияния пространственного заряда, то в идеальной электронно-оптической системе максимальная плотность тока в пучке зависит от начальных тепловых скоростей электронов и определяется формулой
/шах
=л(1 H-^sin2»1,
(8,46)
где V —- потенциал в рассматриваемой точке, а Т —• температура катода.
Очевидно, что от начальных скоростей также должно зависеть значение достижимого минимального радиуса пучка. Одновременный учет действия пространственного заряда и тепловых скоростей затруднителен.
При достаточно больших значениях потенциала анода пушки Va влияние начальных скоростей становится несущественным, и максимальная плотность тока определяется влиянием пространственного заряда. Наоборот, при малых Va влияние начальных скоростей преобладает над влиянием пространственного заряда и максимально достижимая плотность тока определяется главным образом тепловыми скоростями. Влияние начальных скоростей электронов на фокусировку конических пучков с Л = 0,07 -10~6-4-0,7-10“6 рассматривается в работе [19]. Общие сведения о влиянии начальных тепловых скоростей на фокусировку пучка можно найти в [9].
8,5. Графическое построение электронных траекторий с учетом пространственного заряда
Ранее приведенные методы графического построения траектории (глава III) не учитывают влияния пространственного заряда пучка на движение электронов. Эти методы применимы к пучкам с малым параметром пространственного заряда (£< 10“8	^2). Для пучков с большей плотностью
тока они неприменимы.
х См. [18J.
164
Ниже описывается простой метод построения электронных траекторий с учетом пространственного заряда [19]. Метод состоит в определении скоростей электронов под действием электрического поля и силы пространственного заряда. Исходным является поле электронно-оптической системы без учета пространственного заряда. Эквипотенциальные линии поля находятся с помощью электролитической ванны. Вектор, представ-
v.
—в
Вектор начальной скорости
Второй бектор скорости
вызванное простр. зарядом вызванное электрическим полем Окончательный вектор скорости
Рис. 8,19. Построение траектории с учетом пространственного заряда.
ляющий начальную_скорость крайнего электрона пучка, пропорциональный ]/ I/р строится из точки О (линия ОА на рис. 8,19).
В точке пересечения ОА со средней эквипотенциальной линией Vm строится перпендикуляр к Vm и параллельно ему через конец вектора скорости проводится линия АВ. Второй вектор скорости ОС, длина которого пропорциональна V проводится из той же точки О до пересечения с АВ. Отрезок АС делится пополам, и затем из средней точки строится вектор дополнительной скорости, соответствующей действию пространственного заряда.
Найдем приближенное выражение для бесконечно малого приращения скорости ton. з, соответствующее действию силы
165
пространственного заряда. Для этого исходим из импульса силы Fr, создаваемой пространственным зарядом:
т&оп. 3 — FrZt = — еЕг 8/.	(8,47)
Выражение (8,47) справедливо, если интервал 8/ настолько мал, что Ег можно считать постоянной. Напряженность электрического поля, создаваемого пространственным зарядом, для сплошного пучка равна
Рис. 8,20. Траектория крайнего электрона пучка заданных параметров, построенная с учетом пространственного заряда.
а для полого пучка
где а — внешний радиус и
b—внутренний радиус пучка.
За время 8/ электрон проходит расстояние 85 = т>т8/, где ,от= (2i) Vm) /•. Поэтому приращение скорости для сплошного пучка будет
,8Л8)
где 8S — расстояние, пройденное электроном между двумя эквипотенциалями и 1/2; г — средний радиус пучка между этими эквипотенциалями.
Таким образом, изменение скорости движения электрона, вызванное расталкивающим действием пространственного заряда, пропорционально току пучка и расстоянию между рассматриваемыми эквипотенциалями и обратно пропорционально среднему значению потенциала и среднему значению радиуса пучка на промежутке между эквипотенциалями. На рис. 8,20 приведена траектория (сплошная линия), построен
166
ная графическим методом для пучка, ток которого /=10 ма, ускоряющее напряжение Vo=4 кв и радиус пучка у катода— 1,3 мм.
Пунктирная линия представляет траекторию того же электрона без учета пространственного заряда. Опыт работы с пучками показывает» что точность этого метода вполне удовлетворительна.
ГЛАВА IX
МАГНИТНАЯ ФОКУСИРОВКА ИНТЕНСИВНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ
Фокусировку электронных пучков с помощью электростатических полей возможно осуществить далеко не всегда. Так, например, в клистронах, лампе с бегущей волной, в электронно-волновой лампе электронные пучки проходят через эквипотенциальную металлическую трубку, которая экранирует пучок. Далее, при электростатической фокусировке величина максимального тока пучка резко уменьшается с увеличением длины пучка, и, следовательно, при больших плотностях пространственного заряда формирование длинных пучков с помощью электростатического поля может оказаться невозможным.
В подобных случаях для фокусировки применяются магнитные поля. С помощью магнитного поля можно фокусировать длинные и тонкие пучки относительно постоянного диаметра. При этом плотность тока электронного пучка может достигать 1-4-5 и больше ампер на квадратный сантиметр. Фокусировка магнитным полем существенно зависит от того, находится ли катод в фокусирующем поле или нет. Поэтому оба случая фокусировки следует рассматривать отдельно.
В данной главе рассматривается магнитная фокусировка интенсивных электронных пучков с различной формой поперечного сечения.
9,1. Фокусировка пучков постоянного сечения
В качестве первого примера рассмотрим фокусировку цилиндрического пучка, когда магнитное поле не проникает в область катода, т. е. электроны входят в магнитное поле извне (бриллюэновская фокусировка). Такая фокусировка может быть реализована, если экранировать катод от магнитного поля или расположить экранированную фокусирующую катушку на значительном расстоянии от катода.
Пусть пучок электронов кругового сечения с радиусом го входит в однородное магнитное поле и движется в направле
168
нии вектора индукции поля В, который совпадает с осью z цилиндрической системы координат. Будем считать, что при z<ZO магнитное поле отсутствует (В = 0), а при z>0 магнитная индукция всюду имеет постоянное значение В = В2. Необходимо определить, как следует выбрать величину индукции магнитного поля, чтобы, несмотря на наличие сил пространственного заряда, радиус пучка на всем его протяжении не изменялся. Для решения этой задачи необходимо будет выяснить ряд свойств пучка, сфокусированного магнитным полем, а именно: распределение потенциала, распределение пространственного заряда и распределение скоростей электронов.
Для упрощения рассматриваемой задачи примем два допущения:
1. Пучок на входе в однородное магнитное поле параллельный;
2. Продольное падение потенциала отсутствует.
До вхождения в магнитное поле электроны движутся лишь по прямым и <р = 0. В области фокусирующего поля вследствие совместного действия сил пространственного заряда и магнитного поля электронные траектории превращаются в спиралеобразные кривые. Пусть V — потенциал в области, занятой пучком. Тогда, поскольку В = В2, уравнения движения произвольного электрона пучка запишутся так:
т(г — г?2) = е^—еВгу,	(9,1)
;	(9,2)
т^1	= егВ^'
Вследствие второго допущения остаются два которые запишем в виде;
dV
тг = е ------еВгу + тгу\
уравнения,
(9,1')
j	j /	2 \
т dt “erBr=еВ di (d •	(9’3,)
Уравнение (9,Г) показывает, что в радиальном направлении на электрон действуют три силы; сила пространственного заряда, сила, создаваемая магнитным полем, и центробежная сила. «Легко видеть, что вторая сила, независимо от полярности магнитного поля, направлена к оси, а две другие— от оси пучка.
169
Интегрирование уравнения (9,3') дает:
^=|’2Ч#+С.	(9,4)
Так как при z<0 В=0, а по первому допущению вне магнитного поля ф = 0, то С = 0, и следовательно

(9,4')
Таким образом, в магнитном поле все электроны пучка вращаются с одной и той же угловой скоростью, определяемой лишь значением магнитной индукции.
Для пучка с постоянным радиусом г = О, радиальные силы в пучке уравновешены (г=0), и мы получаем из (9,1')
dV	В2г
dr	4
(9,5)
Интегрирование последнего уравнения по г дает
V = У0 + ^г2,	(9,6)
где VQ — потенциал на оси пучка.
Таким образом, потенциал имеет минимум на оси пучка и возрастает к краям по параболическому закону.
Найдем теперь плотность пространственного заряда в пучке. Подставляя в уравнение Пуассона
d2V	1 dlZ __ р
dr2	г dr е0
значение потенциала из (9,6), находим
^В2
Р = -е0-^-
(9,7)
Это выражение показывает, что плотность пространственного заряда в пучке всюду одинакова и полностью определяется магнитным полем. Для расчета тока пучка необходимо определить величину аксиальной скорости Из (9,2) следует, что для каждого электрона на всей траектории z = 0, т. е. vz = const. Покажем теперь, что для всех электронов поперечного сечения пучка <и2 одинаково. Для любого электрона справедлив закон сохранения энергии
z2 4* (л?)2 = 2т] 1/.
(9,8)
170
Учитывая (9,4') и (9,6), из (9,8) получаем
2= /27)1/0.
Таким образом, все электроны имеют одинаковые аксиальные скорости. Этот результат является следствием того, что часть энергии поступательного движения электронов трансформируется в энергию вращения, причем скорость их кругового движения в каждой точке пучка имеет такое значение, которое необходимо для поддержания аксиальной скорости постоянной по радиусу пучка.
Из постоянства р и vz непосредственно следует постоянство плотности тока j = — pvz.
Подставляя значения р и vZ9 получим для тока пучка с радиусом г0 соотношение

(9,9)
ИЛИ
/= 1,45-1О-6В2^о/2Го,
(9,9')
где выражено: /—в a, Vo-- в в, В — в гс и радиус пучка г0— в см.
Соотношение (9,9) устанавливает связь между током пучка, ускоряющим напряжением, магнитным полем и постоянным радиусом пучка; последний называется равновесным радиусом. Несоблюдение равенства (9,9) приводит к ухудшению или полному нарушению фокусировки.
Значение магнитного поля, обеспечивающее постоянство радиуса пучка, равно
в== Г 1^1777	(9>10)
го	'2 * VJ2
или	_____
_2L.	(9,ю)
ro V V vo
где
J — в ма, Vo — в кв, а г0 — в мм.
Введем в (9,9) потенциал на краю совпадает с потенциалом проводящей полностью заполняет ее. Тогда ток формулой
/ = ^^В2г2о(кг0-т)
пучка Vr , который трубки, если пучок пучка определяется
В2го W2 “8“) ‘
(9,11)
Дифференцирование (9,11) по В показывает, что максимальный
171
ток пучка достигается при выполнении условия

2 z
8 “ 3 '’o'
(9,12)
Поэтому из (9,11) и (9,12) получаем значение максимального тока
.	16	1/ ,,
т ~ 3/6 тег°71 Vro2
(9,13)
ИЛИ
/„ = 25,4-1 СТ6 У?*, О а оптимальное значение магнитного поля должно
4	V!'	V,',
В = л, —^- = 168 — , т /31]/2 го	го
быть
(9,14)
Уравнение (9,14) определяет индукцию магнитного поля, необходимую для пропускания пучкаес максимальным током. При этой величине поля максимальный ток не зависит от радиуса пучка.
Рассмотрим теперь распределение потенциала в сфокусированном пучке. Изменение потенциала вдоль радиуса пучка в соответствии с (9,6) определяется формулой
У(г) = /в-^ф(^-Н.	(9,15)
Подставляя сюда значение В, соответствующее максимальному току, получим для потенциала на оси пучка Vo величину ~ VrQ. Вышеприведенный анализ также применим к пучкам, которые неполностью заполняют трубку. Если применить уравнение Лапласа к области вне пучка, считая, что напряженность электрического поля—линейная функция г0 (параксиальная область), то из (9,15) можно получить соотношение между Vr и потенциалом трубки 1/д:
lZ«=^o+4'n^2'-oln №\,	(9,16)
V о / где — радиус трубки.
Подстановка в (9,11) значения/? из (9,16) приводит к выражению для I как функции VrQ. Условием максимального тока является
(9,17)
172
Подставив (9,17) в (9,16), получим выражение для величины магнитного поля
(9,18)
при расчете Вт в уравнении (9,14) следует заменить Vro на Va.
Тогда из уравнения (9,11) для максимального тока имеем:
1=1 т [ 1 + 21п (£-)], L	V о /J
где 1т — ток, определяемый уравнением (9,13), если следнем Vrn заменить на V„.
Соотношения (9,17 — 9,19) представлены на рис. 9,1
(9,19) в по-
в виде
кривых.
Рис. 9,1. Некоторые соотношения между параметрами цилиндрического пучка, сфокусированного магнитным полем.
Из (9,18) и (9,17) следует, что с ростом радиуса пучка величина фокусирующего магнитного поля увеличивается, а потенциал в центре пучка остается равным
Подобная магнитная фокусировка также может быть применена к прямоугольным (ленточным) пучкам. Пусть ленточный пучок, имеющий в направлении у толщину т, движется вдоль оси z между двумя эквипотенциальными плоскими электродами, параллельными плоскости xoz декартовой системы координат, и заполняет все пространство между электродами. Магнитное поле, как и раньше, направлено вдоль
173
оси z. Тогда, используя допущения, принятые в задаче о фокусировке цилиндрического пучка, путем расчета, подобного приведенному при выводе (9,6), находим для потенциала в произвольной точке ленточного пучка соотношение
^o + ’l-K-J2, Хг
(9,20)
где Уо— потенциал в плоскости симметрии пучка Су=О).
Для тока на единицу ширины пучка получаем соот
ветственно
(D2-2 \Х/2 /-7)44’
IZ	(	т
где Vs— потенциал на поверхности пучка! у = —
(9,21)
совпа-
дающий с потенциалом электродов. Вводя потенциал в плоскости симметрии пучка, найдем
/ = / 2е071*АвЧ1</\
Максимум тока пучка получается при условии
ВЮ	2
71 8	3
Максимальный ток будет иметь величину 16/2
- vs 9
(9,22)
(9,23)
а соответствующее значение индукции будет равно
(9,24)
Изменение потенциала в сечении пучка определяется соотношением, аналогичным (9,15):
v= К --*4’(4/-х*).	(9,25)
При магнитном поле, равном Вт, потенциал в плоскости сим-17	1
метрии пучка Vo равен -^- потенциала на краю пучка.
Подобно круговому пучку в ленточном пучке аксиальные скорости также однородно распределены по всему поперечному сечению. Однако, вместо вращения, как это имело место в цилиндрическом пучке, в ленточном пучке электроны одновременно с переносным движением вдоль оси z будут совершатьпериодические движения в направлении, перпендикулярном оси z.
174
В случае прямоугольного пучка, толщина которого т меньше расстояния d между параллельными электродами, потенциал электродов Va и потенциал на краю пучка Vs связаны соотношением
(9,26)
Рис. 9,2. Некоторые соотношения для максимального тока и фокусировки пучка прямоугольного сечения с помощью магнитного поля.
Максимальный ток достигается при условии
и равен
(9,27)
где 1т определяется уравнением (9,23), в котором следует заменить Vs на Va.
Соответствующее магнитное поле равно
(9,28)
175
Потенциал в плоскости симметрии пучка 1/0 равен
Графики полученных соотношений приведены на рис. 9,2.
Отметим, что на практике для осуществления такой фокусировки требуется несколько большее магнитное поле, чем рассчитанное. Причиной этого является неодинаковая плотность тока пучка, аберрации пушки и тепловые скорости электронов.
9,2. Изменение диаметра пучка
Рассмотрим теперь фокусировку, когда в область однородного магнитного поля входит непараллельный пучок кругового сечения или когда радиус параллельного пучка отличается от равновесного. В этом случае диаметр пучка будет изменяться и, следовательно, форма пучка будет отличаться от цилиндрической, а производная радиуса пучка по осевой ко-dr
ординате не будет равна нулю. Определим форму пучка кругового поперечного сечения, когда магнитное поле направлено вдоль оси пучка, предполагая, что радиус пучка лишь мало отличается от равновесного радиуса г0. Радиальное ускорение электрона можно записать в виде
d2r d2r -2 .dr -dt2 dz2 Z 'dz Z
Считая изменения скорости электронов вдоль оси z малыми, •• d2r •
примем г =-y-yZ2. Поэтому уравнение траектории крайне-
го параксиального электрона пучка запишется в виде d2r _______________ I	В2г
~d& = 4«е0К2^VoV — 71 8Vq ’	<9’29>
где Vo — потенциал на оси пучка.
Введем новую переменную а с помощью соотношения г = г0(1 4-а);
а=------—относительное отклонение радиуса пучка г
го
от равновесного радиуса г0.
После подстановки значения г = r0 (14- а) в (9,29) получаем уравнение1 для а
d*a. Вг _п	.
dz2+^4V0	°’	<9,3°)
1 Здег^ а < 1, т.е. а <
176
или
dz2 + 2г2 a~0
Его решением является
&CZ a=^sin/2^ Следовательно,
/2г •
(9,3(Г)
(9,31)
<осг
COS
Траектория электрона в отсутствии магнитного полу
Рис. 9,3. Пульсации диаметра пучка.
Таким образом, в общем случае электронный пучок будет иметь сечение, периодически изменяющееся с координатой z, т. е. огибающие пучка имеют колебательный характер (рис. 9,3).
В частном случае, когда пучок входит в магнитное поле с начальной величиной a — ao = ашах1, то Ai= О, Л2 = ao и радиус пучка будет колебаться между rmax = ro(l + ao) и г т1п = г0(1 —ao). Тогда для периода / изменения радиуса
пучка имеет соотношение
-Й- = 2".
и, следовательно, _______________________2тс]/2г___4тс1/0 2
т\,2В
(9,32)
Таким образом, задача получения цилиндрического пучка сводится к получению пучка, вводимого в магнитное поле параллельно и с соответствующим радиусом-
Проведенный выше анализ фокусировки справедлив при малых изменениях диаметра пучка.
Рассмотрим теперь большие изменения радиуса для более общего случая, а именно, когда магнитное поле проникает до катода [4].
12 Н. С. Зииченко
177
При расчете бриллюэновского потока все выводы основывались на уравнении (9,4), которое получено при условии Вг = 0. Однако можно показать, что в силу связи между В2 и Br (div В = 0), в неоднородном аксиально-симметричном поле, из уравнения движения (9,3), записанного с учетом радиальной составляющей Вг, следует, что г
о
Это уравнение аналогично (9,3'), но здесь второй член в скобках пропорционален потоку неоднородного магнитного поля, пронизывающему круг с радиусом г.
Уравнение (9,3") показывает, что угловая скорость <р является функцией только координат и поэтому можно ввести новую потенциальную функцию координат, которая равна разности потенциальной электрической энергии и кинетической энергии вращательного движения eV— ~^r2(f2- Применяя потенциальную функцию можем записать закон сохранения энергии в виде
или
т(гг 4- zz} = г~ (eV-	[еV- ?2 j. (9,33')
Так как г и z не являются функциями точки, т. е. определяются не только положением электрона, а и предшествующим ходом траектории, то коэффициенты при г и z в (9,33') должны быть порознь равны нулю, что приводит к уравнениям траектории крайних электронов
и
или .. dV • mz = е —erB# + тлр2	(9, Г)
и dV mz=e^ + erB#-	(9,2')
Все вышеприведенные соотношения справедливы для аксиально-симметричных систем с произвольным распределением
178
потенциалов на электродах и при неоднородном магнитном поле. В дальнейшем мы ограничимся расчетом радиуса пучка, проходящего через проводящую трубку дрейфа. При этом будем предполагать, что магнитное поле однородно, а электрический потенциал при отсутствии пучка в трубке дрейфа одинаков и равен потенциалу трубки Vb. В случае наличия магнитного поля у катода распределение пространственного заряда в поперечном сечении пучка, строго говоря, не будет равномерным [12]. Однако мы будем предполагать, что в каждом поперечном сечении пучка заряд распределен приблизительно равномерно, а радиальная составляющая напряженности электрического поля пространственного заряда пропорциональна г. Тогда траектории внутренних электронов пучка подобны траектории крайнего электрона и поэтому можно рассматривать движение только крайнего электрона.
Потенциал поверхности, по которой проходит траектория крайнего электрона, можно записать в следующем виде1:
У	VS VL 2^0У2г1Уь 1П г ’	<9>34)
или
V=Vb 1 -0,01515 k In
Vb— потенциал трубчатого электрода, окружающего пучок;
Vg — потенциал, создаваемый только пространственным зарядом, распределенным равномерно вдоль оси;
b — радиус трубчатого электрода;
г — средний радиус пучка;
Л
2~ prrfr
t=----и —отношение погонного заряда пучка
///2-пП
в сечении z к среднему погонному заряду, рассчитанному по полному току пучка и потенциалу трубки дрейфа (г, —радиус пучка);
й = —Ю6 — эффективный параметр пространствен-
3/ ного заряда (эффективная проводимость) в мка/в'*. Значение Е обычно больше единицы.
Выражение для V$ справедливо, когда полный заряд на единицу длины пучка постоянен вдоль пучка. В действитель-
1 Начальные скорости считаются равными нулю.
179
ности это выражение применимо в большинстве практических случаев даже при неоднородном распределении заряда. Внутри пучка Vs будет зависеть от радиального распределения заряда. В дальнейшем расчете вместо всех линейных величин будем использовать их приведенные значения, определяемые соотношениями
где g—радиус эмитирующей поверхности катода;1
г0— равновесный радиус пучка, когда магнитное поле у катода отсутствует. Этот радиус в системе единиц вольт — ампер — гаусс-сантиметр равен
ь
0—----------гг
1,2035 Vfi и
1,203-106В
В принятых обозначениях потенциальная функция V = 1 — 0,01515 k ln^ -4-
1 т
ь

2
(9,35)
поскольку mr2 *i =
р
На основании (9,33) получаем
T? + lf = 1 —0,01515*
р2 1п^+/?2
(9,36)
*г ]/2tj Vb >г V2-qVb'
Рассмотрим производную от (9,35) по R, которая имеет вид
о т
2,п2
1
или
rlR = (24iVb)0,01515 k 4>-(1-А \
(9,37)
Уравнение (9,37) показывает, что имеется определенный равновесный радиус Re, при котором радиальное ускорение равно нулю. Если пучок на входе имеет такой радиус и при
1 В случае неоднородного магнитного поля эта величина является
радиусом-вектором д(х) крайних силовых линий магнитного потока, про-
низывающего катод.
180
этом радиальные скорости равны нулю, то поперечное сечение пучка на всем протяжении остается постоянным.
Приравнивая выражение в скобках нулю и решая его отно-
сительно равновесного радиуса	, получаем:
(9,38)
или
где ге — равновесный радиус пучка при наличии магнитного поля на катоде. Равновесный радиус Re медленно изменяется с изменением При отсутствии магнитного поля на катоде (Pg = 0) /?{ = 1иге = г0.
Потенциальная функция в уравнении (9,35) при R — Re имеет максимум, поскольку при этом ее производная равна нулю. Представим потенциальную функцию Р (R) следующим образом:
(D2
к
и
R2	Г Z?2____1
Р (Я)-Р (ЯЛ =-In £2+ (/?*-/?*) 11 —.
Р (Я) — Р (ЯЛ ~ положительная функция, равная при Я = Яе.
(9,39) нулю
Для удобства построения графиков перепишем уравнение (9,35):
—' Я2
- 0,01515 Л In 7^
- 0,01515 k [Р (Я) — Р (Яе)].
(9,40)

Графики функции Р Р (Re) показаны на рис. 9,4 для различных значений Яе- Потенциальная функция дает величину колебаний траектории; радиус пучка будет изменяться от некоторой максимальной до некоторой минимальной величины. Величина максимального или минимального радиуса зависит от полной энергии радиального движения. Так как
181
потенциальная функция не симметрична относительно R =Ret то амплитуда и период колебаний непостоянны. Та часть кинетической энергии, которая определ ется уг, является максимальной, когда потенциальная энергия минимальна. Когда R принимает максимальное или минимальное значение, тг равно нулю. Максимальное значение тгтах при R = Re
равно
Ч3 = 1—0,015156
•г max
(9,41)
P(R)-P(Rf)
R/Rt
Рис. 9,4. Зависимость разности потенциальных функций у пульсирующего пучка от отклонения радиуса пучка от равновесного.
Так как Rb всегда больше, чем Re (в случае, когда пучок полностью проходит через трубчатый электрод), то выражение в скобках будет положительным. Тогда ма
ксимальная кинетическая энергия зависит от того, какая часть энергии приходится на движение в направлении z. Чем больше тем меньше тгтах и тем меньше амплитуда колебаний радиуса траектории. Случай тгшах = 0 соответствует прямолинейному пучку с радиусом, равным среднему.
Таким образом, тгшах является мерой полной энергии
движения в радиальном направлении и может служить постоянной, характеризующей траекторию.
Можно использовать максимальный /?тах и минимальный /?min радиусы для определения траектории.
Из (9,40) и (9,41) при подстановке ^?шах И A?m|n (”ГГ 0)
можно получить соотношение т:тах = 0,01515Г
Ш1П

182
Численное интегрирование (9,40) для различных значений р
Тлпах позволяет определить соответствующие величины
R-e как функции Z, измеренного от некоторой точки Ze (Ze— значение координаты Z в точке, где пучок пересекает равно-
весный радиус, т. е. д-=1).
На рис. 9,5 показано волнистое изменение R в зависимости от Z. На этом рисунке последовательность величин Zmax, ^min и Ze соответствует радиусам /?шах, /?ш1п и Re. Для
Рис. 9,5. Волнистое изменение R в зависимости от Z.
построения полуволны траектории на участке от /?ш|п до /?шах можно применить численное интегрирование, которое дает
dR dZ
и
(9,42)
Подставляя (9,41) и (9,42) в (9,40), получаем
= fЛY =	°’01515*
dZj	Tr
P(R)-P(Re) ;
(9,43)
R
Re
/0,01515
[/W S I\dZlm.Tr 10,01515*
• (9,44)
[/>(/?)-/>(£,)]
i
Результаты численного интегрирования (9,44) представлены р на рис. 9,6. Каждая кривая представляет зависимость 75-Re от Z—Ze соответственно определенному значению параметра
Ъ !dR\ /0,01515 k W шах
183
ч
-*о
R
Рис. 9,6. Зависимость
от Z — Ze (для двух значений /?е).
184
На рис. 9,7 показаны графики Zmax — Zmln на интервале, равном половине пространственных периодов в зависимости
°Т \dZ)atJL ’
Обозначая	— Re = ae и заменяя через Re по соот-
max
Рис. 9,7. Изменение полупериодов (половины длин волн) пульсирующего пучка в зависимости от
max
ношению (9,38) в уравнении (9,37), получим
<Р*е 0,01515 / _ Re\(	₽J-1\
dZ2^ у2 /?Л	'
%
(9,45)
Для малых ae последнее уравнение аналогично уравнению (9,30) и траектория крайнего электрона представляется простой тригонометрической функцией.
При увеличении <хе уравнение (9,45) можно рассматривать как уравнение колебаний с переменной длиной волны; последняя зависит от /?.
9,3.	Ввод пучка в магнитное поле
При осуществлении фокусировки пучков постоянного поперечного сечения существенное значение имеет правильное введение пучка в магнитное поле. Прежде всего в области катода должно быть исключено влияние магнитного поля.
185
В частности, этого можно достичь, если катод экранировать от магнитного поля. Типичная конструкция, создающая с некоторым приближением бриллюэновский поток, показана на рис. 9,8.
Электронный пучок из электронной пушки вводится в однородное магнитное поле через круглое отверстие радиуса в в полюсном наконечнике. Магнитное поле достигает постоянной величины не внезапно, а на расстоянии, сравнимом с радиусом отверстия и даже большем (переходная область). Такое же положение имеет место, когда пучок входит в поле магнитной линзы, край которой расположен на значительном расстоянии от катода. Поэтому для этой переходной области возникает необходимость расчета магнитной индукции, радиуса пучка и расположения края (торца) магнитной линзы или полюсного наконечника магнита относительно положения минимального радиуса пучка в отсутствии магнитного поля. Соответствующие приближенные расчеты даны в работах [6, 7].
Если бы можно было создать скачком магнитное поле, индукция которого В для rmin соответствовала бы равновесному радиусу, то пучок был бы цилиндрическим, с радиусом Го = гш1п (рис. 9,9). Пунктирные кривые показывают профиль пучка при отсутствии магнитного поля, сплошные линии — сфокусированный цилиндрический пучок.
В реальных условиях наличие переходной области конечной длины Z приводит к изменению формы пучка в переходной области под действием пространственного заряда. Рассмотрим поведение пучка в переходной области, где он входит в аксиальное магнитное поле. В этой области аксиальную составляющую магнитного поля будем аппроксимировать функцией
Bz = Bosin’(44)-	<9-46)
\ * /
Такая аппроксимация поля во многих случаях хорошо описывает экспериментальные кривые (см. рис. 9,10).
Радиальная составляющая аксиально-симметричного магнитного поля в области, где нет зарядов, определяется из уравнения
1 д(гВг}
divB = ^ ,	,
dz * r dr
и может быть, следовательно, выражена через Вг.
Уравнение траектории крайнего электрона пучка, как известно, имеет вид d2r I dz* z2
= 0,
"’1 ---------
2ir eorz
2
1SG
Рис. 9,8. Пример электронной пушки, экранированной от магнитного поля.
В,
Рис. 9,9. Идеализированный случай ввода пучка в магнитное поле.
Z
е
Рис. 9,10. Переходная область аксиально-симметричного магнитного поля; пунктиром показана аппроксимирующая функция.
187
В области, где В2 = Во,
а
в переходной области
d2r dz2
#= 0. Введем новые
переменные:
R
о
где
Рис. 9,11. Изменение радиуса пучка в переходной области магнитного поля для разных значений величины а, пропорциональной параметру пространственного заряда.
Тогда после замены переменных в уравнении траектории
получаем
= Г 1	(В Л2
dZ2 "[/? \Bj
(9,47)
где
/ 2/ V а= — 1,5.10* \«г0/
V’/г
Заменяя Bz по (9,46), находим окончательно
d2R dZ2~a
4--/?sln*Z К
(9,4?)
В переходной области Bz<Z BQ для R, мало отклоняющихся от единицы, правая часть уравнения (9,47) положительна, так как а > 0 и выражение в скобках тоже положительно. Следовательно, график функции R = F(Z] является вогнутой кривой, т. е. в переходной области радиус пучка везде больше, чем г0. Чтобы определить зависимость R от /, V и Bzt надо решить дифференциальное уравнение (9,47). Уравнение (9,47) нельзя разрешить аналитически, но его решение может быть представлено в виде рядов, получаемых численным интегрированием [8]. В результате интегрирования получаются кривые, ход которых представлен на рис. 9,11.
1S8
Кривые показывают изменение в переходной области для различных значений а. Пучок имеет наименьший диа-z
метр при Z=l, т. е. при — = 0,637. Это значение имеет место при Bz, изменяющемся в соответствии с формулой (9,46). При выходе из магнитного поля пучок будет расширяться; при этом изменение R будет симметричным относительно его изменения на входе в магнитное поле.
Сравнение изменения поперечного сечения вдоль пучка при наличии и при отсутствии магнитного поля показывает, что минимальный диаметр пучка в первом случае имеет меньшую величину, чем во втором. Это отличие тем значительнее, чем больше а.
Таким образом, электронный пучок должен вводиться в магнитное поле сходящимся и иметь наименьший диаметр при вхождении в область постоянного поля. Тогда будет осуществляться фокусировка цилиндрического пучка с постоянным диаметром во всей области, где существует сответствующее магнитное поле.
9,4.	Пучки, ограниченные магнитным полем
Когда катод находится в магнитном поле, то говорят о магнитном ограничении потока электронов. При этом соотношение между током, ускоряющим напряжением, радиусом пучка и магнитным полем не является критичным. Для ограничения электронного потока в виде пучка с определенными параметрами требуется большее магнитное поле, чем для бриллюэновской фокусировки. Тем не менее часто применяются лампы с катодом, расположенным в магнитном поле.
Известно, что в однородном магнитном поле, силовые линии которого параллельны направлению распространения пучка, поперечные размеры пучка могут поддерживаться постоянными. В этом случае электроны движутся по спиральным траекториям, оси которых идут вдоль силовых линий поля. Величина радиуса спиралей уменьшается с ростом поля, и в сильном магнитном поле электроны движутся почти по его силовым линиям. Движение электрона происходит под действием электрического поля пространственного заряда пучка и ограничивающего магнитного поля.
А. Пучок кругового сечения [9]
Будем считать, что электронный пучок кругового поперечного сечения проходит через проводящую трубку, потенциал которой относительно катода Vo. Катод и пучок помещены в однородное магнитное поле, линии индукции которого направлены вдоль прямолинейной оси пучка перпендикулярно
189
эмитирующей поверхности катода. Поэтому любой электрон, удаленный от оси пучка, движется в радиальном электрическом поле пространственного заряда и в направленном вдоль пучка внешнем магнитном поле \ Из изложенного выше следует, что при таких условиях радиус пучка будет различный в разных поперечных сечениях и зависимость г (z) имеет колебательный характер.
Требуется найти условия, при которых радиус пучка не будет превосходить некоторой максимальной величины гт, если г0 начальный радиус пучка. Из уравнений

учитывая начальные скорости, находим квадрат радиальной скорости электрона
/	2	/	2 \
? = 2fi vr — — T)1 2r2 1 — j —	г0-Ц 1 — Г-± J +
/	г2\
+	+<	(9,48)
где — начальная vr — начальная г
Vr=-^Erdr.
азимутальная скорость электрона; радиальная скорость электрона;
Чтобы определить максимальный радиус пучка, принимаем, что электрон начинает движение, находясь на поверхности пучка с радиусом г0, и при расширении пучка продолжает оставаться на его границе.
Когда г = 0, из (9,48) получаем неявное выражение для максимального радиуса пучка гт
В2 ( г2 \2 IB
vr =^гЦ1-^+^го^-
r*J 2<
(9,49)
Так как Ег=
2теогаг
, то путем интегрирования получаем
=_____t—In —
2гсе0'°г ro
(9,50)
где -иг — скорость электрона вдоль оси z.
Полагая vt= 0 и подставляя (9,50) в (9,49), получим урав-
1 Здесь условия движения электрона отличаются от движения в маг-
нетроне только наличием переносного движения вдоль оси пучка z.
190
нение, из которого может быть определен максимальный
радиус
_Z_ Щ	, М2 _vj.
2те0-уг г0 ‘8	\г9'гт)	2т)'
(9,51)
г
Обозначив In —= р, перепишем (9,51) в виде г о
г	В2	v2
— Р=71 V ro sh2p — 0^2	2 ° г 2т]
Величина гт может быть определена графическим решением последнего уравнения.
Если пренебречь величиной по сравнению с v2, то г — г
значение В, при котором —--------- 1, определится соотно-
го
шением
„	А
В =--------------------7	-----.	(9,52)
2(Keo)721i3/4V*/4rol/ Ln To
F	Г0
Отсюда мы видим, что при заданных /, 70 и г0 с ростом В величина гт стремится к г0. Цилиндрический пучок может быть получен лишь при бесконечно большом магнитном поле. Следовательно, магнитное поле при величине индукции, определяемой (9,52), препятствует попаданию электронов на трубчатый электрод, но не предохраняет пучок от заметного расширения.
Сравнение фокусировки интенсивного пучка с помощью магнитного поля и ограничения пучка полем показывает, что в последнем случае требуется более сильное магнитное поле. Это означает, что при отсутствии магнитного поля у катода эффективность действия поля на пучок увеличивается. Кроме того, при наличии у катода однородного магнитного поля радиус пучка периодически изменяется вдоль его оси. Однако, в случае ограничения пучка начальные условия движения электронов проще условий, небходимых для осуществления бриллюэновской фокусировки.
Б. Пучок прямоугольного сечения
Пусть ленточный пучок, создаваемый плоским катодом, проходит между двумя бесконечными плоскими электродами, параллельными поверхности пучка (рис. 9,12). Катод и пучок находятся в сильном однородном магнитном поле, силовые линии которого параллельны оси пучка z. Обозначения геометрических размеров пучка, электродов и выбор системы координат приведены на рис, 9,12.
191
Требуется определить минимальную величину индукции поля, при которой ни один из электронов пучка не будет попадать на поверхность электродов. При расчете будет пренебрегать изменением потенциала вдоль оси пучка Для решения этой задачи достаточно рассмотреть движение крайнего электрона пучка между поверхностью пучка и электродом.
X
I
(
@В
Рис. 9,12. Ограничение магнитным полем ленточного пучка.
Из рис. 9,12 видно, что любой электрон поверхности пучка находится под воздействием поперечного однородного электрического поля
Так как магнитное поле направлено вдоль оси z9 то движение крайнего электрона пучка подобно движению электрона в плоском магнетроне. Уравнения движения электрона, очевидно, должны иметь вид:
х = — щЕх — -цВу-,
у
Если пренебречь начальными скоростями и действием пространственного заряда, то решения уравнений движения имеют вид (см. § 1,3):

где

1У2
Траектория электрона в плоскости хоу представляет собой циклоиду. Условием нулевого тока на электрод является
•^шах
2 ’
или
d — т
•^шах
Следовательно,
(d — *с) т^В2
или, если выражать В — в гауссах, V—в вольтах, a d —
в сантиметрах,
В >6,72
где 50 =
~— безразмерная величина, зависящая от
плотности пространственного заряда в пучке I параметр
\	Vb
и от размеров пучка
Для вычисления фокусирующего магнитного поля на рис. 9,13 приведены значения коэффициента BQ для токов, меньших максимального. Из рисунка следует, что с ростом тока пучка необходимо увеличивать магнитное поле. По мере уменьшения расстояния между пучком и электродами величина Во увеличивается, и, когда пучок полностью заполняет пространство между электродами ^=lj, индукция поля, обеспечивающая ограничение расширения пучка, обращается в бесконечность.
Наличие начальных поперечных скоростей у электронов приводит к изменению минимальной величины магнитного
18 Н. С. Зинченко
193
поля. Можно показать [10], что с ростом начальной поперечной скорости величина магнитного поля, необходимая для ограничения расширения пучка, увеличивается.
Рис. 9,13. Изменение коэффициента Во от F т для различных величин •
9,5.	Фокусировка трубчатого пучка
Расчет фокусировки трубчатого пучка будем производить для общего случая, когда пучок движется между двумя коаксиальными цилиндрами под одновременным воздействием продольного магнитного и радиального электрического полей. Магнитное поле простирается до катода и является аксиально-симметричным, а в рассматриваемой части пучка однородным. Пучок начинается на кольцевом катоде и его длина вправо от катода неограничена. При анализе фокусировки используется цилиндрическая система координат. Применяемые обозначения показаны на рис. 9,14.
Здесь, как и в предыдущих параграфах, примем, что скорость изменения пространственных величин по координате z значительно меньше скорости их изменения вдоль радиуса г. Далее предположим, что электроны движутся в не-пересекающихся между собою цилиндрических слоях, радиусы которых, вообще говоря, могут изменяться. Благодаря этому заряд, охватываемый слоем, остается постоянным и следовательно каждый электрон движется в поле с логариф-
194
мическим потенциалом. В отличие от предыдущих задач будем предполагать, что распределение пространственного заряда вдоль радиуса пучка может быть произвольным.
Рис. 9,14. Трубчатый пучок в пространстве между двумя коаксиальными цилиндрами.
С целью получения основных уравнений прежде всего запишем закон сохранения энергии для электрона, находяще-
катод
Рис. 9,15. Магнитный поток и траектория электрона в пространстве ускорения электронов.
Z
гося в бесконечно тонком цилиндрическом слое радиуса г:
г2 + (г?)2 +- z2 = У,	(9,53)
где V—потенциал точки пучка относительно катода, а кругло вая скорость, которая на основании уравнений § 9,2 равна

(9,54)
Здесь ф = кг2В — магнитный поток, охватываемый внешней поверхностью пучка в рассматриваемом сечении;
Ф* = *4 Вк—значение магнитного потока, на катоде (рис. 9,15).
В силу принятых предположений потенциал V определяется соотношением
V = a In ~
•о
+ъ
(9,55)
195
где r0 — равновесный радиус, т. е. радиус на котором элек-
трон данного слоя не испытывает действия радиальных сил;
Постоянные а и у являются функциями только г0 и определяются1 средним потенциалом V, соответствующим радиусу г0. Средний потенциал V между электродами равен
VL+VS, где V, —потенциал Лапласа;
— потенциал, создаваемый пространственным зарядом пучка.
Потенциал является решением уравнения Пуассона при условии Vt— Уг=0 и для однородного трубчатого пучка определяется выражением
в чем можно убедиться двукратным интегрированием уравнения Пуассона.
В формулу для а входит значение этого потенциала
у внешнего электрода (г=г2)
1 Подробный вывод приведенных соотношений дается в работе [11].
196
Го
и заряд —1 prdr, приходящийся на единицу длины пучка 80 J
а
между слоями радиусов а и г0-
Постоянная т является средним потенциалом при г = г0.
Для однородного магнитного поля подстановка (9,54) и (9,55) в (9,53) дает
•	1*
г2 = 2т]а In	+ 2ц (т - VJ —-2 + 2<он2 - <»Й Г2, (9,56)
"о	'
где
„ фк	В
2* = 2цУг.
Равенство (9,56) представляет собой дифференциальное уравнение радиального движения любого электрона пучка. Чтобы найти решение этого уравнения продифференцируем его по времени:
Так как на равновесном радиусе г0 радиальное ускорение равно нулю, то решая уравнение (9,56') относительно Q при г=г0, получим
фй = w2 В]/1 —ka,
(9,57)
где
*1 шнГ2
0.
В зависимости от знака а величина — ka может быть меньше или больше единицы, ф* имеет действительные значения при ka меньших 1. Ниже будет показано, что при ka < 1 радиальное движение будет периодическим, т. е. устойчивым. Условие устойчивости выполняется, если эквивалентная потенциальная энергия (полная энергия ми-шг2\	*	а
нус —I минимальна при г0. Это условие может быть выражено соотношением
Ла< 2.
Для дальнейшего расчета введем обозначение г2 = R. Тогда найдем
^ = 2rr-f-2?,
197
или, после подстановки значений г и г, из (9,56) и (9,56'), полагая г2 — Ro, получим
/?=[2^+4<(— Vz)+ 42о>н] 4- 2т)а In ~ -4ш& R. (9,58) Ко
Если R близко к Z?o, то
। R R ,
,п р*= р- -1» г\о *\0
и тогда (9,58) линеаризуется:
R = a0-}-alR,	(9,59)
где
а0 = 4шй rl [/1 - Ла + k (Т - V2) ] И
После умножения (9,59) на 2R и интегрирования получаем
где
R* = 2а0 R -f- а2 R2 + а2, а2 — — 4<»н Rl (1 —
(9,60)
Ла\
2"/
Решение (9,60) может быть записано в следующем виде:
£->+£+*/ >+£“s₽'.
где приняты следующие обозначения:
. Ла
1 ~~2
Ла
У’
(9,61)
(9,62)
(9,63)
Данное решение справедливо для малых колебаний около равновесного радиуса.
С ростом амплитуды (х — амплитудный коэффициент) центр радиальных колебаний удаляется от оси пучка. Это смещение показано на рис. 9,16.
Выражение (9,63), определяющее частоту колебаний, подтверждает ранее приведенное условие устойчивости. Зависимость частоты колебаний р от магнитного поля представлена на рис. 9,17.
В случае, когда я > 0 и электрическая сила направлена
198
от оси пучка, колебания около данного г0 неустойчивы, если индукция магнитного поля ниже некоторого минимального значения. Если же а < 0 и электрическая сила направлена к оси, то р остается действительным даже при магнитном поле, равном нулю, и движение устойчиво.
Рис. 9,16. Зависимость предельных радиусов пучка и смещения центра колебаний от амплитудного коэффициента х.
Допущение о том, что траектории электронов не пересекаются, требует, чтобы р не зависело от г0. Если а не пропорционально г*, то это допущение не имеет места.
Когда равновесный радиус удовлетворяет условию г0>й или го<п, то происходят колебания диаметра пучка как целого. Если же а<Го<6, то пульсирует толщина пучка; при этом, где внешняя ограничивающая поверхность расширяется, там внутренняя сжимается.
В плоскости поперечного сечения траектории электронов совершают ларморову прецессию со средней угловой скоростью <р.
Из (9,57), (9,61) и (9,54) получаем
ф = — <он(К 1 — kv. — 1).
199
<Р зависит от относительных значений электрического и магнитного полей. Поскольку ф имеет одинаковый знак с а и не зависит от х, то фокусировка обусловлена средней угловой скоростью.
Радиальные колебания электронов представляют часть циклоидальных или трохоидальных траекторий, амплитуды которых определяются полной энергией частицы.
Рис. 9,17. Частота колебаний как функция магнитного поля.
Общая кинетическая энергия электрона при г = rQ равна еу, причем доля eVz вызвана аксиальным движением. Разность е (т— У2) представляет энергию, обусловленную угловой и радиальной скоростями. Величина е (7— Vz) должна быть положительной и по меньшей мере достаточной для обеспечения необходимого значения угловой скорости. Любое превышение над этим минимумом приводит к радиальному движению. При расчете полагают 7 — V2 равным его минимальному значению, т. е. принимают л2 = 0. Это дает оптимальную величину
(т - ^)опт=
(Vl — ka- I)2 — 2k
Рассмотрим теперь частный случай. Допустим, что элект-ронная пушка находится в однородном магнитном поле. Для однородного поля с индукцией Bk поток на катоде для цилиндрического слоя равновесного радиуса г0 определяется выражением
Ф* = «Г2 Вк.
Подставляя это выражение в (9,57), находим зависимость а от Bft, В и г0. Плотность заряда р(г0) из вышеприведенной формулы для а определяется соотношением
Поэтому
п(гЛ— ео дл ₽(Го) - - 3F.
(9,64)
В этом случае плотность заряда однородна и зависит от разности В£— В2 = В*фф. Если выразить р через потенциал Vz
200
и ток пучка, то (9,64) приводит уравнению:
к следующему расчетному
^эфф =
_________2_______ ке0 Ч К2тд (Ь2 — а2)
6,9-10~7 /
Ьг — а2 К*/г’
*
Величины 7— Vz, полученные при условии равномерной плотности заряда, отличаются от оптимальных значений. Наиболее выгодный случай получается при равенстве этих величин на внутренней границе пучка, при этом внешние электроны осциллируют. Тогда потенциал внутреннего элек-
трода будет а? Г/	Вг\ а
w \	9	1
3 в^_в>
2 В2 В
а разность потенциалов между электродами
Эта разность положительна; она определяет электрическую силу, направленную от оси, которая усугубляет действие пространственного заряда и, следовательно, увеличивает необходимое для фокусировки магнитное поле.
При Вк1*Ъ колеблются все точки пучка, за исключением точек на его внутренней поверхности. Амплитуда колебаний определяется величиной х, которая зависит от разности между 7 — Уг и (7 — Vz)mz:
Если ВЛ = 0, то х исчезает и весь пучок может находиться в равновесии.
В указанной работе также рассмотрен второй частный случай—когда электронная пушка экранирована от магнитного поля. Несколько частных случаев фокусировки полых пучков круглого сечения рассмотрено в работе [12]-
В работе [13] дано краткое описание фокусировки трубчатого пучка с помощью радиального магнитного поля, действующего на коротком участке пучка, и последующего электростатического поля коаксиальных электродов, действующего на большом участке пучка.
9,6. Фокусировка конического пучка
С помощью магнитного поля определенной конфигурации можно получить интенсивный однородный конически сходя
201
щийся пучок. При этом силы пространственного заряда компенсируются магнитным полем. Приводимый ниже анализ дает хорошую точность для малых углов сходимости, заключенных в пределах 0<2^<20° [14]. Расчет ведется в сферической системе координат (рис. 9,18).
В коническом пучке электроны движутся по спиралям вокруг оси, а их угловая скорость обратно пропорциональна диаметру пучка. Магнитное поле должно быть сходящимся, причем его индукция также должна быть обратно пропорциональна диаметру. В таком поле пучок сходится равномерно, и его поверхность образует конус.
Рис. 9,18. Траектория электрона в коническом пучке.
Линии магнитного поля сходятся к фокусу так, что
В —	_
Вг = —. В этом, в частности, заключается отличие такой г г
фокусировки от фокусировки пучка с постоянным диаметром.
Для описания траектории электрона, а также электрических и магнитных полей применяется приближенное решение, которое удовлетворяет уравнению движения при малых углах сходимости. Первое приближение заключается в том, что скорости г считаются постоянными и не зависящими от (рис. 9,18). Второе условие заключается в предположении о том, что нет движения в направлении О. Конфигурация магнитного поля в каждой выбранной точке пучка задается следующими соотношениями:
58 = -^tg^;
в7=о,
где Вх — величина радиальной составляющей поля на расстоянии г — 1.
Такое магнитное поле осуществляется при определенных граничных условиях. Все поверхности В = const являются параболоидами вращения с общим фокусом в вершине конуса.
202
Допустим, что катод экранирован от магнитного поля и что все поле является аксиально-симметричным. Тогда угловая скорость электрона в любой точке.
*	2кг2sin2» ’
где ф— полный магнитный поток в направлении положительных г, который проходит через поверхность, ограниченную постоянными значениями г и ». Для выбранного магнитного поля
ф = 4кг Вг sin2-^-
<р=
2г cos2 ~2
(9,65)
На основании принятых предположений можно записать:
; = -K2TjV0;
6 = 0.
(9,66)
(9,67)
Предполагая наряду с этим, что плотность радиального тока однородна по конусу, можно найти конфигурацию электростатического поля, создаваемого пространственным зарядом. Для конической проводящей границы напряженность электрического поля внутри пучка определяется соотношениями:
Е, = 0;
£9 = 0,
где q—заряд на единицу телесного угла и на единицу длины радиуса.
Полный ток, проходящий внутри конуса с углом а, определяется выражением
I = — 4-кд Y2>) Vo sin2	.
(9,68)
Покажем теперь, что принятые допущения о распределении скоростей и статических полей удовлетворяют уравнениям движения электрона [14]:
г — г»2— (гsin2») <р2 — —-q [£г + г»Др — г sin »(9,69)
203
2r & 4- r&—(r sin ft cos 8) <p2 = — 7) [£# Ц- r sin ft <p Br—rBT];
(9,70)
(2 sin ft) r<f + (2r cos ft) ft ® + (r sin ft) <p =
= — ?][£? +/Ba-r&BJ.	(9,71)
Подстановка принятых величин скоростей, полей и ускорений в эти уравнения дает точное совпадение уравнений (9,69) и (9,71). С другой стороны, подстановка
Я = -	(9,72)
в уравнение (9,70) дает
7]2 В? tg г _	V)2 В? tg -77-
2г	&	= 2г
cos2 —
что становится тождеством для малых Ф, когда выражение в скобках может приниматься равным единице. Оно может считаться тождеством и для углов до 10°; в последнем случае выражение в скобках равно 0,992. Следует заметить, что рассматриваемые приближения приводят к некоторой ошибке в распределении скоростей для наружных электронов в пучках с большими углами О.
Уравнение (9,72) дает величину индукции магнитного поля, которая необходима для компенсации сил пространственного заряда в направлении Ф для любой величины пространственного заряда. Ток внутри граничного угла а определяется выражением
или
Z = 2/2ze0^B^ l/y2Sln2±, / = 5,8Ы06В‘ V7‘sin24.
(9,73)
(9,73')
Электростатический потенциал в пучке является только функцией угла ft. Для малых углов можно положить
откуда
(9,74)
где Vo — потенциал на оси пучка.
204
Если электроны эмитируются катодом, потенциал кото-
рого равен нулю, то их кинетическая энергия определяется пространственным потенциалом V и выражается уравнением г2 &2 г2 + (г sin & <р)2 = 2т] V.	(9,75)
Коническая эквипотенциальная
Экран пучка
Рис. 9,19. а — форма магнитного поля; б— конический проводящий экран и силовые линии электростатического поля.
Подстановка (9,65), (9,66), (9,67), (9,72) и (9,74) в (9,75) дает

sin2 &В?
4 cos4
Это выражение приближается к точному для малых величин &.
205
Силовые линии электростатического поля при наличии конического проводящего экрана, окружающего пучок, показаны на рис. 9,190.
Конфигурация магнитного поля показана на рис. 9,19а. Силовые линии и эквипотенциали образуют параболоиды вращения с общим фокусом в вершине конуса. При создании полюсных наконечников такой формы можно получить поле рассмотренного вида.
конический пучок
Немагнитный Экран
Магнитный экран
Полюсные ' наконечники
Рис. 9.20. Электронно-оптическая система для фокусировки конического пучка с помощью электрического и магнитного полей.
На рис. 9,20 изображено фокусирующее устройство для получения конического сходящегося пучка. Пушка Пирса, экранированная от магнитного поля, создает сходящийся пучок. Электронный пучок вводится через анодное отверстие в область параболоидального магнитного поля. После прохождения отверстия пучок попадает в область резко нарастающего магнитного поля, и в дальнейшем силы, обусловленные влиянием пространственного заряда, оказываются уравновешенными действием магнитного поля. Зона нарастания магнитного поля должна иметь минимальную длину, так как здесь силы не сбалансированы и поэтому происходит некоторое изменение угла сходимости. Кроме того, для уменьшения дефокусирующего действия анодного отверстия оно должно быть по возможности уменьшено.
ГЛАВА X
фокусировка ПУЧКОВ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ полями
В последнее время, наряду с описанными способами, для фокусировки пучков применяют также поля, периодически меняющиеся с расстоянием. В этом случае пучок попеременно то сходится, то расходится.
Периодические фокусирующие поля могут быть как электрическими, так и магнитными. Эффективность фокусировки периодическими полями выше, чем постоянными полями. Ниже рассматривается фокусировка пучков периодическими электростатическими или магнитными полями с учетом действия пространственного заряда.
10,1. Фокусировка периодическими электростатическими полями
Фокусировку пучков периодическими электростатическими полями будем рассматривать на примере аксиально-симметричного периодического поля [1—5]. Поле, периодическое вдоль пучка, может быть получено с помощью ряда круглых дисков с отверстиями (диафрагм), обладающих попеременно то высоким, то более низким потенциалом (рис. 10,1а); система, подобная данной, может быть получена заменой дисков цилиндрами с тонкими стенками, которые в частном случае могут быть кольцами. Применяются также системы электродов, представляющие собой комбинацию вышеуказанных, т. е. диски с отверстиями, заряженные до потенциала V19 помещенные между цилиндрами с потенциалом V2 (рис. 10,1£).
Каждый из электродов таких систем является электростатической линзой. Фокусируемый пучок электронов проходит вдоль оси системы линз; при этом потенциал вдоль пучка периодически изменяется и соответственно изменяется и напряженность поля. Поэтому, когда электроны движутся
207
в более сильном поле, то последнее сжимает пучок, а в более слабом поле пучок электронов несколько расширяется1.
Распределение потенциала в различных фокусирующих системах электродов различно. Оно не может быть точно выражено простыми аналитическими функциями и при решении задач о фокусировке всегда применяют приближенные выражения.
пучок
Рис. 10,1. Системы электродов для получения аксиально-симметричного периодического электрического поля.
А. Фокусировка с помощью ряда колец
Пусть пучок электронов движется вдоль оси z системы колец, которая является осью симметрии периодического электростатического поля. Потенциал, создаваемый системой колец, приближенно может быть представлен в виде
V (г, z)=V0+V (г) cos kz,
(ЮЛ)
где
г |2л /о \~ГГ v"=FV'^r
г I
1°\Га
1 Периодическое распределение потенциала, обладающее фокусирующим действием, также может быть получено с помощью биспирали, у которой одна спираль имеет потенциал 1^4-14, а вторая Ув— Vt.
208
Vf—фокусирующий потенциал, т. e. потенциал фокусирующих электродов относительно среднего ускоряющего потенциала Vo,
/0—модифицированная функция Бесселя,
а—радиус отверстия колец,
& — осевая длина колец,
Л = у и / - пространственный период.
Требуется найти условия фокусировки, обеспечивающие получение пучка необходимого профиля.
Для решения задачи произведем расчет траектории периферийного электрона.
Траектория электрона на периферии сфокусированного пучка представляет собой некоторую периодическую кривую, колеблющуюся относительно образующей цилиндра с радиусом г0, равным среднему радиусу пучка.
Поэтому уравнение траектории периферийного электрона пучка может быть записано в следующем виде:
r(z) = r0+rt (z), где ^(^ — периодическая функция z, которая по модулю значительно меньше г0. Уравнение радиального движения электрона будет иметь вид
Г* дг +71 2neovoro ’	(10,2)
где / — ток пучка, a vQ — средняя скорость пучка вдоль оси.
Второе слагаемое в правой части уравнения движения представляет ускорение, создаваемое силами пространственного заряда. Это выражение для ускорения справедливо при допущении, что средняя величина пространственного заряда JpdS во всех поперечных сечениях одинакова.
Для упрощения рассматриваемой задачи примем следующие допущения:
1)	крайние электроны пучка всегда остаются на внешней поверхности пучка;
2)	период аксиального изменения диаметра пучка значительно больше диаметра пучка;
3)	изменение аксиальной составляющей скорости электронов, вызываемое периодическим полем, пренебрежимо мало;
4)	радиальные начальные скорости равны нулю.
14 Н. С. Зинченко
209
Если разложить У(г) в ряд Тейлора по степеням г, при = го
и пренебречь членами выше rj, то, используя (10,1), найдем
dV(r, z} дг
[V'(r0)4-У"(г0)Г1]
2я COS -rZ
Теперь уравнение (10,2) перепишется так:
К == Ч [И' (г0)+ V'VoJrJ cos + •>] 7 .	(10,2')
Предполагая аксиальную скорость и поле пространственного заряда постоянными, после замены на v*, получаем1
V*(r0)	2«	У'(г0) 2к ,	/
dz* 2V0 r*COS I Z~ 2PO COS I Z+4V2^l^r0‘{W}
Однородная часть (10,3) является уравнением Матье
где
d2rt dx2
+ (а — 2q cos 2л) ^=0,
и а = 0.
Для q < 0,8 уравнение Матье имеет устойчивые решения, которые могут быть найдены [6]. При определенных начальных условиях (см. ниже) решение уравнения Матье обращается в нуль. Тогда частное решение уравнения (10,3) может быть представлено рядом вида
2/пте ат COS — 2,
(10,4)
m
где ао = О, поскольку предполагается, что г, не содержит постоянной составляющей.
Подставляя (10,4) в (10,3) и приравнивая соответствующие члены, получаем:
4]/ 2те0т//2 у3/г Го ’
1 Если учесть, что rt малая величина.
(10,5)
210
(10,6)
„	2m«
и для общего члена cos—z—
т—
Ч-^m+l)—0.
Из (10,5) находим at =—
/2яеХАу72гоУ"(Го)
(10,7)
(10,5)
Для упрощения расчетов всюду далее принимается, что ве-
V(r0) ( I \ У'(г) 2 Vo ’ \2л/ 21/0
и
УУо)
малы по сравнению
с единицей (фокусирующий потенциал Vf мал по со средним потенциалом Уо).
величина малая по
с единицей, то из (10,7) получим:
2 К,
сравнению
сравнению
V" (I \2am_i 2V0\2k/ 2т2 ’
(Ю.8)
Отсюда видим, что ряд (10,4) быстро сходится и приближенно можно ограничиться его первым членом.
Следовательно, радиальное движение электрона в соответствии с (10,5) определится выражением
или из (10,6)
I	2,
_________________СП 9 —
V 2^0^V^V"(r0)r0	I
2я COS-rZ.
(10,5")
Использовав (10,7) и исключая из (10,5) и (10,6), получим следующее важное соотношение, связывающее потенциалы с током пучка:
V'(r«)V*(re)
(10,9)
Левая часть данного равенства может быть рассчитана из (10,1); она пропорциональна квадрату V/. Таким образом, с помощью (10,9) можно рассчитать необходимый фокусирующий потенциал, если известны параметры пучка.
2
т > 2.
2я\2 К2 У7г/
/ / *
211
Если в уравнении (10,3) пренебречь малым слагаемым
fjCOS
z и действием
УУо) 2У0
пространственного заряда.
то получим уравнение:
Последнее для начальных условий
JjX У'(го)
1 ~\2«/ 2И0
drx dz
= 0
и
при 2 = 0
имеет решение
1	2V, \2,) I •
которое совпадает с (10,5"). Это показывает, что радиальное движение электрона при сделанных предположениях обусловлено лишь периодическим фокусирующим полем.
Подставляя (10,5 ) в слагаемое -„k—rt cos -у- z уравнения
(10,3), получим
Первый член этого выражения должен быть равен второму слагаемому правой части уравнения (10,3). Второй член соответствует наличию второй гармоники в движении электрона, которая мала по сравнению с основной и поэтому ею можно пренебречь. Таким образом, в частном решении уравнения (10,3) фокусирующая сила компенсирует действие пространственного заряда пучка.
Теперь откажемся от третьего допущения в рассмотренной задаче и учтем изменение аксиальной скорости электронов под влиянием периодического поля. Последняя может быть представлена в виде
Так как
сРг. 2 d2r, . dv, dr, Л2 г dz2 г dz dz ’
212
то вместо (10,3) получаем уравнение
d2rx drt 1 dv, dz2 ~ dz V. dz л>
2it cos-y z 4-
I q ' 2^ео^0 Го *
Пренебрегая членами, малыми по сравнению с в первом приближении решение
(10,10)
п-р-, получаем X 1< о
( I \* У'(Го) 2к
W 2V0 Cos I z
совпадающее с полученным ранее.
После подстановки (10,11) в (10,10) и соответствующих преобразований приходим к соотношению, аналогичному (10,9):
Wo) [(т)^(го) + V"(r0)] = (у)’ — У°А • (10,12) 1Л 4 /	\ 1 / W3/2/о
Сравнение (10,12) и (10,9) показывает, что аксиальная составляющая периодического поля усиливает фокусирующее действие системы. Если подставить (10,1) в (10,11) и (10,12),
то получим:
G	Л (Ео)
го	2 Vo	/2л \
£о/°1та/
(10,13)
Д^1/:(М4(и+/;(М4(и]ео=1.212.1(я/ку.. (10,14) .г12ка\
°\ i )
2кг„	,»	.»
где Во = —т~, а /0 и Л> — соответственно первая и вторая
производные модифицированной функции Бесселя /0 по ее аргументу. Выражения (10,13) и (10,14) пригодны для практических расчетов.
Выше было найдено частное решение уравнения движения для крайних електронов пучка. Оно было получено при условии, что начальные поперечные скорости электронов отсутствуют и что траектории электронов являются почти прямыми линиями. Указанное решение также справедливо для электронов, движущихся на произвольном расстоянии г от оси, если в формулах ток I заменить током I (г), протекающим внутри цилиндра радиуса г. Поэтому уравнение (10,14) можно рассматривать как условие, наложенное на зависимость тока от
радиуса:
7(г)=ЛЯ(г),
(10,11)
и
213
где А — постоянная, зависящая от параметров пучка, геометрии и потенциала фокусирующей системы, а
R (г) — функция, которая может быть выражена через функции Бесселя.
Тогда для плотности тока / (г) в функции радиуса имеем:
J'(r) =
A dR
2w dr
Выполнение последнего соотношения свидетельствует о том, что весь электронный поток имеет малые пульсации и является ламинарным.
Для рассматриваемой фокусирующей системы
(ГУу)г
2«г0
2
2ад
о
х [/;«)+/о Ю] 4-Л (?) [<G)+A(O]
Расчет плотности тока как функции радиуса показывает, что j весьма быстро уменьшается от границы пучка к его оси.
Общее решение уравнения (10,3) имеет вид
оо
= Ctcep (z, q) 4~ C2se₽ (z, amcos—^~z, (10,15) m = l
где Cj и C2—постоянные, определяемые начальными условиями, ace₽(z, q) и se₽ (z, q) функции Матье (косинус эллиптический и синус эллиптический) действительного дробного порядка р, которые могут быть вычислены с помощью рядов [6]:
оо
се9 (z, q) =	Л г» cos (2v -|- p) z; (10,16)
V=—oo
oo
se₽(z, q) =	^!,sin(2v + p)yz. (10,17)
V= — OO
Функции Матье стабильны, если параметр q не выходит за границу областей устойчивости, показанных на рис. 10,2. Из этого рисунка видно, что при а = 0 параметр q может принимать значения примерно до 0,87. Третье слагаемое (10,15) является частным решением, которое рассмотрено выше.
214
Начальными условиями для решения соответствующего однородного уравнения являются: значения величины
/ I \ dr,	_
7 = 12^1-^- ПРИ г = 0 и разности а между радиусом, с которым электрон входит в фокусирующую систему, и радиусом, который он должен был бы иметь, чтобы удовлетворить условию (10,14). В случае *[ = 0 в решении присутствуют лишь функции Матье се$ (z, q), а вслучаеа = О присутствуют лишь функции se$(z, q). Если оба начальные условия нулевые, то движение электронов описывается только одним частным решением.
Функции Матье были рассчитаны для некоторых значений q. Результаты вычислений для начальных условий 7 и а изображены на рис. 10,3.
Из кривых рис. 10,3 видно, что электроны могут колебаться вдоль радиуса с гораздо большими периодом и амплитудой, чем те, которые описываются частным решением.
Следует заметить, что когда фокусирующий потенциал больше, чем соответствующий частному решению, а величина q находится в области устойчивости, то движение электрона не выходит за некоторые определенные границы. В этом случае можно получить хорошую фокусировку.
При значительном радиальном движении электронов, когда гг сравнимо с г0, разложение потенциала в ряд по гх теряет смысл, и рассмотренные уравнения не могут применяться.
Б. Фокусировка с помощью системы дисков с отверстиям и
В данном случае фокусирующая система линз (рис. 10,1а) проще рассмотренной выше. Приближенное распределение потенциала на оси системы электродов может быть представлено в виде
V(z) = Vo+ V, (1-cosfez)»	(10J8)
где Vo— средний ускоряющий потенциал на оси.
— амплитуда переменой составляющей потенциала, . 2к	-
fe = — и I — пространственный период.
Задача о расчете фокусирующей системы, как и в предыдущем случае, заключается в установлении соотношений между параметрами системы и пучка, выполнение которых обеспечит примерное постоянство радиуса пучка.
Для данного случая первые два допущения, принятые выше, остаются в силе. Третье допущение — постоянство аксиальной скорости электронов — не имеет места. Но можно принять, что в каждом поперечном сечении все электроны
215
ю
Ci
а
Рис. 10.2. Диаграмма устойчивости с кривыми равных значений ₽ и р для функций Матье дробного порядка.
Рис. 10,3. Решении уравнения Матье: С> се (д, г) и С, sef (q, г).	₽
имеют одинаковые скорости. Найдем зависимость между потенциалом и параметрами пучка, которая необходима для фокусировки пучка.
Введем следующие обозначения:
kz — x и kr=y.
где г — радиальное расстояние внешнего электрона пучка, Л —параметр из (10,18).
Воспользовавшись уравнением (2,28) и учитывая силы пространственного заряда пучка, получим уравнение движения внешних электронов
1 дРу / 1	1 dy  / 1 d2V\ у
уйdx2 \2 V dx)yQ dx'\$Vdx2)уй
(10,19)
.	« P	o "°
где Ул — кг0, Фр — — у-—плазменная частота, а <0 = 211-7-. ео	*
1 dy
На основании второго допущения —-f- является величи-Jo
ной первого порядка малости. Если Vt С V®, то -ту ---
1 dV
также величина первого порядка малости, а если, кроме этого, считать, что У и _у0 — величины первого порядка малости, то уравнение (10,19) верно с точностью до членов второго порядка при условии, что — не больше 10 и не Jo
меньше 10 .
Применяя новые переменные:
Jo Уо перепишем уравнение (10,19) так: d2E I 1	. ( 1 d2&
dx2 "Г” \2Фdx/dx "i" \4Ф</х2
1 / \2
1 /<1)^1 2\ ш/ 9
= 0,
(10,19 )
Полагая а = $ф‘/«, получим d2<i 3 f 1 dti dx2 ' 16 \ <bdx
d2a
\- —
Фа
= 0.
(10,20)
217
Если электронный пучок входит в фокусирующую си-= 0, 7=0
di стему параллельным потоком, т. е.
a °Lo = °<
Л do = 0, то -7-7=0 dx 0=1. После подстановки явного выражения Ф через
л: в (10,20) во втором приближении получим
(Ро 3	А
5x2^”32е2“cos 2л)° —7 = °-	(10,20')
Приближенным периодическим решением для а жить
о= 1 +41 — cos2x),
при
А 32 условии, что S = o" и е2 = —А. Тогда
может слу-
(10,21)
(10,21')
0 = 1+тй (1—cos2x).
а следовательно, для Е находим в первом приближении
Е = — =1 —	(1 —cosx).
г0	4 Vo
Условие существования приближенного решения
(10,21")
(10,22)
позволяет рассчитать необходимый для фокусировки потенциал в зависимости от параметров пучка.
Таким образом, проведенное решение задачи о фокусировке пучков с помощью периодических аксиально-симметричных полей показывает, что при определенных ограничениях электронный поток может быть сфокусирован в почти параллельный пучок. При этом длина получаемого пучка может быть значительной, поскольку периодическое поле может быть продолжено добавлением электростатических линз.
10,2, Фокусировка периодическими магнитными полями [5, 7, 8, 10]
В данном параграфе, подобно периодическим электростатическим полям, будем рассматривать периодические магнитные поля с аксиальной симметрией. Такие поля могут быть созданы системой магнитов с полюсными наконечниками в форме коротких цилиндров (рис. 10,4).
Периодическое поле также может быть осуществлено с помощью системы коротких экранированных катушек с про-218
тивоположной полярностью (рис. 10,5), расположенных вдоль общей оси.
Будем считать, что фокусируемый пучок электронов дви-

(S)

Рис. 10,4. Система магнитов и цилиндрических полюсных наконечников.
Огибающая пучка
Магнитные линзы
Рис. 10,5. Периодическая система магнитных линз.
жется вдоль оси симметрии периодически чередующегося магнитного поля. Введем цилиндрические координаты и направим ось z вдоль оси симметрии поля.
219
Пусть магнитное поле, создаваемое набором магнитных линз, изменяется вдоль оси z по закону
B = B0cosAz,	(10,23)
, 2к	_
где k = -у и I — пространственный период магнитного поля. Такое распределение магнитного поля существует в параксиальной области системы, изображенной на рис. 10,4а. Требуется найти условия фокусировки, обеспечивающие получение нерасходящегося пучка.
Когда электроны параллельного пучка входят в магнитное поле от источника, находящегося вне поля (экранированный катод1), то их угловая скорость, как было показано в § 9,1, становится равной = Для расчета траектории запишем уравнение радиального движения электрона
и+г(т) +7i^==0-\ X f
(10,24)
Для упрощения рассматриваемой задачи будем придерживаться трех допущений, сформулированных в § 10,1.
Из первого и третьего допущений следует, что величина пространственного заряда постоянна. Обозначая среднюю плотность заряда в сечении z—Q через "р, получаем
\ pds = кг’р,
где г0 — радиус пучка перед входом в магнитное поле. Поэтому
р r« Р
Е'=2г^’
ИЛИ
2	Р
где	= — v— плазменная частота.
Р	Е
В0
При движении электрона его угловая скорость все время меняется вследствие изменения В. Поэтому введем в рассмотрение среднюю угловую скорость (<о*)ср= -% (Ч®о)2> так
1 Периодическая фокусировка, когда магнитный поток полностью про-
низывает катод, рассмотрена в статье [9].
220
как
А /2
— эффективное значение магнитного поля. Теперь
уравнение движения крайнего электрона пучка перепишется
в виде
d2r
"di2
+ г —cos2 kz —
2r
= 0.
(10,25)
Так как z = vt, где — аксиальная скорость электронов, то
kz = kvt = 2к	/ = ш/.
Здесь <о — частота силы, действующей на электрон при его движении в пространственно-периодическом поле со скоростью v вдоль оси.
Введем обозначения
kz = x и kr=y.
Тогда, переходя от г к у и от t к х, получим уравнение движения в следующем виде:
или я»	А
^ + B1(l+cos2x)E-^- = 0,	(10,26)
где
Предположим, что индукция магнитного поля имеет максимальное значение при х = 0 (рис. 10,4а) и что вводимый в это сечение пучок является параллельным. Втаком случае £0= 1 и (^ё) = УРавнение (Ю,26) может быть решено приближенно при определенных соотношениях между А и Bt, если 5 мало отличается от единицы. Подставляя 5=1-|-а (а — малая величина) в (10,26), получим
+ [(В, + A) -f- Вх cos 2х] а + |(В, - А) +
+ Bi cos 2х] — 0.
(10,27)
Вид решения этого уравнения зависит от соотношения между А и Bt, т. е. от соотношения между током пучка и магнит-
221
ным полем. Исследования показывают, что если А мало (примерно равно В^ и А и Bt связаны соотношением
(10,28)
то траектория крайнего электрона будет волнистой линией.
При малом нарушении равенства (10,28) в грубом приближении в (10,27) можно пренебречь членами, содержащими cos2x, и записать (10,27) в виде
^ + (В1+Д)а+(Я1-Л)=0;
О
Х=К2
Рис. 10,6. Колебания диаметра пучка при А.
его решением при нулевых граничных условиях является
[1 — cosj/A 4-Z?! х].
Отсюда» когда А =ВЪ то о = 0 и г = г0 по всей длине пучка. Когда BY незначительно отличается от А, то траектория имеет форму, показанную на рис. 10,6.
Решение точного уравнения при помощи вычислительной машины показывает, что аргумент косинуса равен	а
не)/А -4—2?! х. В случае, когда В{ постепенно уменьшается, появляются колебания диаметра пучка, причем период колебаний увеличивается таким образом, что огибающая стремится к кривой расхождения пучка, соответствующей В± = 0.
Для А = 0 или А Вх уравнение движения электрона является уравнением Матье
dx2
+ cos 2х) 5 = 0.
(10,29)
Уравнение Матье имеет как устойчивые, так и неустойчивые периодические решения, что определяется величиной В^
222
Поэтому фокусировка периодическими полями характеризуется наличием устойчивых и неустойчивых областей (рис. 10,7). Это является характерной особенностью такой фокусировки.
Здесь при малом А возможны следующие случаи:
1)	Вг = 0 — наблюдается обычное расплывание пучка; поток ламинарный;
2)	Вг мало; сечение пучка периодически изменяется вдоль оси; амплитуда и период колебаний могут быть достаточно большими.
3)	с ростом Вг период и амплитуда колебаний уменьшаются и при Bt = А пучок становится приблизительно параллельным;
4)	Bt > А — пространственный заряд можно не учитывать; амплитуда колебаний, увеличиваясь, может достигать боль-
0,66	1.72
Рис. 10,7. Области неустойчивости.
шой величины, нарушается ламинарность потока, но электроны не уходят из пучка;
5)	Bi— поток становится неустойчивым, и пучок быстро теряет электроны;
6)	Вг > 0,7 — появляются устойчивые и неустойчивые области высших порядков.
Из соотношения (10,28) следует, что устойчивый почти параллельный поток будет существовать при выполнении следующих условий:
И (чо?)Ср = 2(Ор.
Одним из основных предположений, принятых при решении задачи, является постоянство аксиальной скорости. Выясним условия, при которых выполняется это предположение.
Пусть ъ — скорость всех электронов в сечении z, переменная вдоль пучка. Вследствие постоянства тока пучка для некоторой точки справедливо
где /?—радиус пучка в некотором сечении z.
Теперь будем считать, что пучок проходит скозь трубку. Если условия вдоль пучка меняются мало, то потенциал на границе пучка, проходящего через трубку.
V=aln-+ Va Га
дг г ’
где Va— потенциал трубчатого электрода радиуса га. Для г = /?
МИ	д b
\dr)R Я RVr*'
ИЛИ
V^(V₽-Ve)=Hn^. ' а
Если Уо — потенциал при R = /?0 и z=0, то, обозначая
получаем
где
W=VR-V0 и	=
ДУ~_£_ДЯ	Д/?
Vo = Ro = a Ro' а = 3,03-104/Уо~3\
Тогда, с учетом изменения аксиальной скорости, уравнение (10,25) принимает вид
_|_ п <шс>ср . со . kz _( Voад _ 0 dt2 +* 2 k (V/J 2R ~0,
Если положить Aw0 = o>, то последнее уравнение запишется в виде
S+y(s) +	W1 +cos2*n-(^)/2т=0- (10.30).
м \ QfX I \ v	\ v д J %
Отсюда видно, что для Уо. мало отличающегося от VR, и малых значений а уравнение (10,30) переходит в уравнение (10,26) и его решения в основном хорошо совпадают с ранее полученными приближенными решениями.
224
Рис. 10,8. Оптимальные соотношения между Вг и А.
МН. С. Зинченко
225
На основании приближенных решений построены графики, характеризующие ряд зависимостей. Так, на рис. 10.8 представлена в виде графика связь между значениями и А, обеспечивающими получение пучка с минимальной волнистостью огибающей.
На рис. 10,9 приведен график зависимости амплитуды
Рис. 10,10. Изменение диаметра пучка при фиксированном магнитном поле для четырех значений плазменной частоты (случай
Рис. 10,11. Изменение диаметра пучка при фиксированном магнитном поле для трех значений плазменной частоты (случай А <
колебаний диаметра такого равновесного пучка, как функция А.
Огибающие электронного пучка, рассчитанные с помощью дифференциального анализатора, приведены на рис. 10,10 и 10,11. Рис. 10,10 показывает, как изменяется диаметр пучка при заданном магнитном поле для четырех различных значений плазменной частоты (случай	Рис. 10,11 соот-
ветствует случаю, когда А < В{.
Естественно, что фокусировка периодическими магнитными полями должна зависеть от способа ввода пучка в фо-
кусирующую систему, т. е. от величины и знака начальных поперечных скоростей электронов. Влияние этих скоростей видно из рис. 10,12, на котором изображены огибающие пучка при заданных и равных А и В1 (начальные попереч
ные скорости
приняты в качестве параметра).
226
Таким образом, периодические магнитные поля позволяют фокусировать электронные пучки с определенной величиной пульсации диаметра. С помощью периодической магнитной фокусировки могут быть получены пучки весьма большой длины, поскольку периодическое поле может быть продолжено добавлением магнитных линз. Применение периодических фокусирующих систем повышает эффективность фоку-
Рис. 10,12. Влияние начальных поперечных скоростей на фокусировку.
сировки. Так, если пучок проходит сквозь трубку с диаметром D и длиною £, то при фокусировке с помощью п магнитных линз, расстояние между которыми /0= —, пара-и
I	/Dn\2
метр пространственного заряда будет =38,6-10-61
Кроме того, фокусировка периодическими полями приводит к значительному уменьшению габаритов и снижению веса по сравнению с системами, создающими однородное магнит
ное поле. При этом вес фокусирующей системы может быть уменьшен в десятки раз (до тридцати — последнее для экранированных электронных пушек). Недостатком такой фокусировки является более сложная юстировка магнитной системы, чем в случае однородного поля, а также наличие областей неустойчивых состояний.
На этом заканчиваем анализ фокусировки периодическими магнитными полями. Анализ фокусировки квадрупольным магнитным полем мы рассматривать не будем. Читателей, интересующихся этим вопросом, отсылаем к работе [5].
ГЛАВА XI
ЭЛЕКТРОННЫЕ ПУЧКИ В ПРИСУТСТВИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ионов
Полученные в предыдущих главах формулы, строго говоря, справедливы только для абсолютного вакуума. Изложение электронной оптики было бы неполным без учета положительных ионов, всегда существующих на пути электронных пучков.
Ниже будет показано, что в реальных электронных приборах даже при вакууме 10~5н- Ю~6 мм рт. ст. положительные ионы оказывают существенное влияние на процессы в пучках. Действие положительных ионов проявляется в изменении распределения потенциала в электронных пучках, в уменьшении их расплывания, в увеличении максимального тока пучка, в перераспределении вторично-электронных токов у электродов и т. д.
В зависимости от степени вакуума в приборах, параметров электронных пучков и потенциалов на электродах может иметь место частичная или полная нейтрализация отрицательного пространственного заряда. За счет положительных ионов при давлении газа 10“2-т-10~3 мм рт. ст. можно осуществлять фокусировку электронных пучков (газовая или ионная фокусировка), а при давлении Ю^-е-Ю”6 мм рт. ст. улучшать фокусировку.
Очевидно, что анализ процессов в электронных пучках, при котором учитывается действие положительных ионов, более полно отражает реальные условия. Анализу влияния положительных ионов посвящен ряд работ [1—4].
11Д. Нейтрализация пространственного заряда в пучках
Электроны пучка при своем движении вызывают ударную ионизацию молекул остатков газов и создают положительные иены и вторичные (медленные) электроны. Вследствие наличия потенциального минимума в продольном и поперечном сечениях электронного пучка положительные ионы движутся
229
как вдоль оси, так и в направлении к оси пучка. В результате ионы будут захватываться и накапливаться в пучке. Это приводит к образованию шнура положительного пространственного заряда1 и, следовательно, к изменению потенциала в пучке.
В случае тонких цилиндрических пучков указанный процесс можно пояснить с помощью рисунка 11,1.
На рис. 11,1а представлено типичное распределение потенциала в поперечном сечении пучка в начальном состоянии, когда отсутствуют положительные ионы. Образовавшиеся ионы будут двигаться к оси пучка, накапливаясь там, а вторичные электроны будут уходить из пучка. При этом происходит нейтрализация пространственного электронного заряда. Вследствие компенсации пространственного заряда падение потенциала в поперечном сечении уменьшается (рис. 11,16). Когда
плотность
w>
(6)
(6)
Рис. 11,1. Распределение потенциала в металлической трубке с пучком на различных стадиях нейтрализации пространственного заряда.
1 В бесконечно происходит только
230
положительных ионов становится равной плотности электронов (полная нейтрализация), падение потенциала делается равным нулю; улавливание ионов прекращается и наступает равновесное состояние (рис. 11,1$), при котором силы электростатического расталкивания компенсируются силами притяжения электронов ионами.
Равновесное состояние при полной нейтрализации пространственного заряда пучка определяется скоростью образования ионов, с одной стороны, и потерей ионов за счет их ухода —с другой. Скорость образования положительных ионов, как известно, зависит от давления газа и его природы, плотности электронов в пучке и их скорости.
Найдем основные количественные соотношения, характерные для электронных пучков в присутствии положительных ионов. Для этого, прежде всего, запишем число ионов, образующихся в единицу времени на единице длины пучка:
(dNp \ dt
Здесь г — радиус пучка, пе и = плотность и скорость электронов соответственно, е (V) — удельная ионизация и р — давление газа в баллоне.
Будем считать, что ионы внутри пучка
широком потоке электронов процесс захвата ионов вдоль потока.
= тгг2г ( V) nevep.
(11.1)
образуют ионный газ. Тогда, если плотность ионов в центре пучка пРо, то радиальное распределение плотности ионов определяется формулой Больцмана
еЬУ
ПР=пр,ектр ’
где п- — плотность ионов на стенке трубки,
Ду—разность потенциалов между центром пучка и цилиндрической поверхностью трубки,
Тр — абсолютная температура ионного газа.
Потеря ионов зависит от плотности ионного газа и средней нормальной скорости ионов. Так как средняя радиальная скорость ионов <ир определяется соотношением
( eV
= I —— I
р \ 2~/И ) ’
то число ионов, уходящих на стенку в единицу времени, будет равно
.	ДУ.	...
Г2“*'1'»Л С^г ’• (ад /6	V
где М — масса иона, R— радиус трубки, Vp — температура ионного газа, выраженная в эквивалентных вольтах.
Скорость накопления ионов в пучке будет равна
dt
dNp dt
(—$= w8e(V)nevep — 2vRn eVp (тг^г) \ dt /a \ > e er	po у )
(11,3)
Условием равновесия является
dt
= 0. Из уравнения ба-
ланса ионов имеем:
R пр0 ( mVp \’/2 /Т V)ne\ MV) е р-
(И.4)
Полагая пр0 = пе, можно оценить величину разности потенциалов Д1/, а полагая дополнительно Д1/=0, можно оценить величину давления, при котором будет наступать полная нейтрализация пространственного заряда. Это давление определяется формулой
и =____________В.___(771	/2	(И 4'\
Лди = 0)	•	U1’M
Только это давление соответствует состоянию полной нейтрализации пространственного заряда. Практически для пучков с током в несколько миллиампер при равенстве пр^ = пе величина Д1/ меньше вольта.
231
Когда давление больше, чем определяемое формулой (11,4'), то ДУ может изменить знак (потенциал к оси растет). При таком распределении потенциала пучок захватывает медленные электроны (состояние перенейтрализации). В этом случае скорость образования и скорость потери (утечки) электронов будут соответственно равны:
и
dNe dt
= irr2e ( V) Пе (2ц У)7г р
(П.5)
dNe ~ИГ
I =2к/?п. е
2	°
(П.6)
Здесь пе — плотность электронного газа в центре пучка, a Ve — эквивалентный потенциал, соответствующий температуре электронного газа.
Из равенства (11,5) и (11,6) получаем
Rney
Vт?Г2е( V)ne
(11,7)
Данное соотношение справедливо только при росте потенциала коси пучка, тогда как (11,4) справедливо только при падении потенциала к оси. Для ДУ=0 оба выражения совпадают, что дает
«ео (
пР0	U V~J ’
или
Пе°\т) ~	*
Таким образом, электронный и ионный токи пучка имеют утечку; равновесное движение существует лишь в случае, когда ДУ=0.
Для случая падения потенциала, полагая пе = можно решить уравнение (11,4) относительно ДК Результат решения при условиях /? = 0,5 см\ г = 0,1 см-, е (V) = 7,7; М ---=52000; V = 300 в и VD = 0,026 в показан на рис. 11,2. т--р '	г
Из рисунка видно, что улучшение вакуума равносильно увеличению падения потенциала. При обычном вакууме в лампах величина падения потенциала мала по сравнению с ускоряющим потенциалом.
Процесс накопления ионов в электронном пучке требует определенного времени. Это время может быть подсчитано из соотношения (11,3). Для приближенной оценки времени
232
накопления ионов вторым слагаемым в (11,3) можно пренебречь. Тогда минимальное время накопления тт1п, т. е. время, необходимое для выравнивания плотностей ионов и электронов (полная нейтрализация), можно определить
чаем1
из уравнения
dt — ^г2пе.
С
полу-
Из него для тш,п
(Н.8)
Рис. 11/2. Изменение падения потенциала в зависимости от давления
Выражая тШ|П в микросекундах р — в миллиметрах ртутного столба, а е (V) — числом образовавшихся ионов на один сантиметр при давлении 1 мм рт. ст., имеем:
0,0169
Тт,п“>(У)ИА •
(11,8')
Таким образом, время накопления растет с улучшением вакуума и не зависит от тока пучка. тш1п зависит и от ускоряющего напряжения, а именно, оно обратно пропорционально e(V’) И/2. Так как функция e(V’) имеет максимум (см. [5]), то при больших пределах изменения V изменение Tmin может быть не монотонным.
1 р можно считать постоянным в процессе накопления, если число
ионизированных молекул мало по сравнению с общим числом молекул остаточного газа в объеме пучка.
233
Конечное значение времени накопления нейтрализующих зарядов приводит к тому, что в случае импульсной работы электронных ламп сверхвысоких частот при очень малых длительностях импульса (т<тга1п) не будет заметной компенсации постоянной составляющей электронного пространственного заряда.
Отметим, что проведенные эксперименты [9] показывают соответствие измеренного времени значениям, рассчитанным по формуле (11,8).
Явление нейтрализации пространственного заряда уменьшает расхождение электронных пучков. При этом расхождение должно зависеть от давления газа. Экспериментальные кривые, приведенные на рис. 11,3, подтверждают это. Из рисун-
Рис. 11,3. Экспериментальные кривые, показывающие зависимость расширения пучка от давления остаточного газа.
ка ясно видно увеличение расширения пучка при улучшении вакуума. Так, если давление газа больше 10“влш рт. ст., то расширение отсутствует, а при давлении 5-10-7 и меньше расширение стремится к теоретическому (показано стрелками).
Результатом нейтрализации отрицательного пространственного заряда является практическое отсутствие предельных токов в электронных пучках. Полученное в работе [6] только шестикратное увеличение предельного тока с физической точки зрения нельзя считать состоятельным. Экспериментальные данные [7], дающие предельную плотность тока, близкую к рассчитываемой по формулам, которые не учитывают наличие ионов, по-видимому, могут быть объяснены отсутствием полной нейтрализации отрицательного заряда.
234
11,2. Ионные ловушки
При очень малом давлении газа в лампе плотность положительных ионов в области пучка может быть повышена с помощью ионной ловушки1. Ионная ловушка представляет электрод, положительный потенциал которого выше, чем у других электродов, благодаря чему он препятствует утечке ионов из пучка. Такой электрод может быть осуществлен в виде сетки или в виде кольца, концентричного пучку (в частности, в виде диафрагмы с круглым отверстием); ионная ловушка располагается так, чтобы предотвратить движение ионов к катоду. С помощью ионных ловушек можно регулировать концентрацию ионов в приборе и обеспечивать ионную
Электронный пучок
катод
।	|	b omcymcmbua
Ч	'
! /had1
1----1-----------------
Сечение захвата
Рис. 11,4- Принцип аксиального захвата ионов.
Трубка дрейфа
(О)
Максимум^ необходимей для захвата Кривая потенциала при полной нейтрализации от ДА
~ ~ Т Лонйэкение потенциала пучка
кривая потенциала
фокусировку электронных потоков. Элементарная теория захвата (задержки) ионов может быть пояснена с помощью рис. 11,4.
Вследствие проникновения ускоряющего поля из области катод—анод в пространство дрейфа (сплошная кривая до сечения А А на рис. 11,46) ионы будут двигаться к катоду. Чтобы задержать ионы в пространстве дрейфа, применяют задерживающий электрод (ловушку), потенциал которого выше потенциала пространства дрейфа. К катоду будут двигаться только ионы, которые создаются по левую сторону от сечения АА и эта часть пучка не будет нейтрализована. В отсутствии ионов потенциал на оси пучка всегда меньше потенциала Vo пространства дрейфа. Наоборот, когда пучок содержит ионы,
1 В некоторых электронно-лучевых приборах применяются ионные ловушки для отрицательных ионов; последние отличаются от рассматриваемых ловушек для положительных ионов.
235
то потенциал на оси справа от АА приблизительно равен VOt а при полной нейтрализации (равновесное состояние) равен Уо. Для захвата ионов необходимо увеличить потенциал на оси в сечении захвата обычно на несколько десятков вольт
коллектор
Катод
Откачка
Плод
123456
WU//A
Миллиамперметры
Рис. 11,5. Схематическое изображение прибора для исследования пучка.
(это значение, очевидно, должно зависеть от плотности электронного тока и величины ускоряющего потенциала).
Ниже детально рассматриваются экспериментальные результаты исследования задерживающего действия ионной ловушки, представляющей собой кольцевой электрод- На
Зодерэкиванпцее напряжение
Рис. 11,6. Прохождение пучка в процентах в функции от напряжения ловушки.
рис. 11,5 схематически изображен макет прибора для исследования пучка. Вблизи ускоряющего анода расположено шесть кольцевых электродов. В качестве ловушки может быть взят любой из электродов и этим может изменяться положение задерживающей секции (ловушки). На рис. 11,6 приведены кривые, показывающие прохождение тока пучка в зависимости
236
от изменения напряжения ловушки и ее положения. Цифры у кривых означают номер захватывающего электрода в соответствии с рис. 11,5.
Кривые показывают, что прохождение тока улучшается во всех случаях применения задерживающего потенциала. Лучшее прохождение пучка получается, когда ловушка находится в положении 4, которое соответствует месту, где пучок должен по расчету достигать своего минимального диаметра. Однако даже в этом лучшем случае в описываемых опытах через пространство дрейфа проходит только 25% тока, т. е. значительно меньше, чем следовало бы для нейтрализованного пучка.
Для выяснения причин такого несоответствия рассмотрим распределение потенциала около задерживающего электрода.
ЗахбатЬ/Воющий электрод
Рис. 11,7. Распределение потенциала вблизи ловушки.
Распределение потенциала в пространстве дрейфа макета лампы определяется следующими факторами:
1)	положительное напряжение ловушки увеличивает потенциал в каждой точке пространства дрейфа;
2)	отрицательный пространственный заряд пучка уменьшает потенциал;
3)	наличие движущихся ионов и характер их распределения также влияют на распределение потенциала.
Распределение потенциала вблизи ловушки с потенциалом полученное при помощи электролитической ванны, показано на рис. 11,7 (пунктирные линии). Распределение потенциала при наличии цилиндрического пучка может быть получено приближенным решением задачи о потенциале пространственного заряда пучка, коаксиального проводящим стенкам трубки дрейфа. Результирующее распределение потенциала является суммой этих двух потенциалов и может быть рассчитано численно или графически.
При определенных параметрах пучка и величине потенциала Vt в некоторых точках вблизи ловушки потенциал может
237
быть равен потенциалу пространства дрейфа в отсутствии ионов. Расположение соответствующих эквипотенциалей будет зависеть от величины Vt и параметров электронного пучка. На рис. 11,8 показаны рассчитанные эквипотенциали для трех значений задерживающего потенциала Vt при ускоряющем потенциале 2000 в\ в этих кривых учтено действие положительных ионов (взят случай, когда рассматриваемый пучок находится при давлении 1,07-10~в мм рт. ст.). Ионы изменяют местоположение эквипотенциали Vo. Однако по-
а v*v
Область отсутствия ионов благодаря втягивающему дей------
ствию катода.-*— катод
° при наличии uohoS
Поверхность в отсутствии ионов
соответствующее началу захвата
— Катод
А
(Ъ) Малая величина V.
" Поверхность в отсутствии ионов р _ Поверхность в отсутствии ианоб Поверхность сдвинутая - - ^—благодаря наличию ионов
(в) Большая величина Уе
x'Vz>
у Поверхность в отсут-0 ствии ионов
I_____________
LVj Сдвиг поверхности при наличии ионов
Рис. 11,8. Изменение поверхности захвата в зависимости от потенциала ловушки.
ложение этой эквипотенциали зависит и от движения ионов., Поскольку распределение ионов и распределение потенциала взаимосвязаны, то невозможно определить действительное распределение ионов и истинные эквипотенциали Vo. Необходимо также учитывать, что ионы, которые создаются вблизи ловушки в точках пространства с различным потенциалом, имеют разную энергию. Вследствие этого их движение будет различным, что также будет влиять на распределение ионов в области пучка.
Ионы, образовавшиеся в заштрихованной области, где потенциал выше, чем Vo, движутся к стенкам или в область более низкого потенциала. Поэтому заштрихованная область является областью, в которой нет нейтрализации пространст
238
венного заряда. Положительные ионы, находящиеся в пространстве слева, где потенциал приблизительно равен 1/0, будут оставаться в нем и производить нейтрализацию электронного пучка.
Вследствие процесса нейтрализации эквипотенциальные поверхности Уо начинают смещаться вправо. Рис. 11,80 показывает распределение потенциала, когда Vt мало (ниже значения, необходимого для начала захвата). Область, показанная наклонной штриховкой, имеет потенциал выше Vo; из нее ионы легко уходят.
Область, отмеченная точками, имеет потенциал ниже Vo. Она связана с пространством дрейфа лампы левее сечения АА, где нет нейтрализации (ионы все время движутся к катоду). Эта область не может удерживать ионы. Улавливание может быть только внутри области, полностью окруженной таким потенциальным контуром, который показан точками и пунктиром на рис. 11,80.
Пусть потенциал этого контура будет xl/0, гдех < 1. Когда начнется улавливание, потенциал х VQ будет уменьшаться из-за положительного пространственного заряда, находящегося внутри этого пространства. Некоторое окончательное равновесное распределение может установиться согласно вышеприведенным рассуждениям. В таких условиях нейтрализация не может быть очень полной, во-первых, потому, что улавливающая область мала, и, во-вторых, потому, что улавливание происходит внутри контура с потенциалом ниже VQ.
Рис. 11,8в иллюстрирует распределение потенциала для больших значений 1^. При этом, чем больше Vt, тем дальше вправо сдвигается эквипотенциаль VQ. Следовательно, увеличивается ненейтрализованная часть пучка.
Таким образом, качественное рассмотрение действия ловушки дает представление о расположении области захвата относительно ловушки для различных величин напряжения Vt. Нельзя, однако, представлять, что ионы имеют одинаковую плотность во всех точках внутри области захвата.
При заданном напряжении ловушки в пространстве дрейфа существует поверхность, окружающая определенный объем, снаружи которого находятся ионы. Последние быстро накапливаются в этом объеме до тех пор, пока он не приобретет практически одинаковый потенциал; после этого избыточные ионы движутся к стенкам трубки дрейфа.
Проникновение электронов в это эквипотенциальное пространство происходит без изменения величины и направления скорости, которую они имели на входе. Наклон траектории каждого электрона при пересечении области захвата имеет существенное значение для последующего поведения пучка.
На основании вышеизложенного принцип фокусировки
239
можно сформулировать следующим образом: электроны пучка должны входить в эквипотенциальную область с нулевым наклоном траектории. Если это условие осуществляется, то электроны пучка будут продолжать движение с нулевым наклоном, поскольку в эквипотенциальной области нет радиальных сил.
Наилучшее прохождение может быть получено в том случае, если минимальное поперечное сечение пучка совпадает с положением захватывающей поверхности. При определении положения области захвата необходимо иметь в виду следующие два обстоятельства.
1. Контур, вне которого ионы попадают в ловушку, является некоторой поверхностью вращения (подобно одной из изображенных на рис. 11,8); существование такой поверхности установлено, но действительные размеры и ее положение не удалось определить аналитически, графически или численным способом.
2. Чтобы минимум поперечного сечения пучка совпадал с положением захватывающей поверхности, надо знать положение минимума. В наиболее полном освещении этого вопроса в работе [10] имеются две неточности: во-первых, определение положения минимального сечения пучка может быть только приблизительным, во-вторых, решение дает только примерное поведение электронов на краю пучка. Поведению электронов внутри пучка никакого внимания не уделяется.
Уменьшение скоростей электронов, которое получается вследствие падения потенциала в ненейтрализованном пучке, вызывает накопление зарядов в области, где скорости наименьшие. Следовательно, плотность заряда будет больше у оси, чем на краю пучка.
Так как траектории внутренних электронов пучка проходят через область с большей плотностью заряда, то на эти электроны действуют большие отталкивающие силы, и, следовательно, их траектории достигают минимального удаления от оси раньше, чем для наружных электронов. В результате минимумы траекторий разных электронов не будут располагаться в одной плоскости поперечного сечения. Поэтому различные электронные траектории входят в нейтрализованную область под различными углами наклона; дальнейшее движение электронов также будет различным и будут иметь место пересечения траекторий. Вследствие этого полного прохождения наблюдаться не будет
В заключение рассмотрим значение положения ловушки. При перемещении ловушки ближе к катоду для достижения максимального прохождения пучка потребуется большее напряжение V,. Последнее может быть объяснено тем обстоятельством, что в этом случае влияние поля ускоряющего
240
участка становится сильнее. С другой стороны, максимальное прохождение различно для разных положений ловушки. Выше было установлено, что для прохождения существенное значение имеет положение захватывающей поверхности относительно минимального наклона траекторий электронов пучка. Положение ловушки, при котором захватывающая поверхность находится ближе к месту минимума диаметра пучка, дает лучшие результаты.
Следует заметить, что действие ловушки зависит еще от
формы электродов. Так, например, для пучка с £=2,6-10-6
в /2
и минимальным диаметром 4 мм, который вводился в трубку дрейфа с диаметром 1,28 см и длиной 15 см, при ускоряющем
Пространство дрейфа допЬшоео диаметра для эффективного \ захвата
L. V° \
катод	~
ви
\	Взаимодействия
нно° Задерэкмва- малого диаметра ющий электрод (ловушка}
Рис. 11,9. Ловушка для лампы, в которой пучск заполняет все пространство высокочастотного взаимодействия.
напряжении 300 в и напряжении ловушки специальной формы 95 в, экспериментально получено прохождение пучка, равное 80%.
Если нужно, чтобы электронный пучок почти полностью заполнял трубку дрейфа (обычное требование для клистронов), то на некотором расстоянии за бессеточной ловушкой необходимо сузить диаметр трубки (рис. 11,9).
Таким образом, можно получить необходимую для ионного захвата конфигурацию эквипотенциальных поверхностей, В заключение данного параграфа следует подчеркнуть качественный характер приведенного описания действия ионных ловушек. Строгий теоретический анализ, из которого можно получить количественные соотношения, представляет весьма сложную задачу. Отсюда вытекает необходимость и важность экспериментальных исследований ионных ловушек. Это тем более важно потому, что экспериментальных данных об ионных ловушках очень мало.
11,3.	Ионная фокусировка
В первых двух параграфах данной главы изложены основные сведения о действии положительных ионов в электрон-
16 Н. С. Зинченко
241
ных пучках. В данном параграфе дополнительно рассматривается ионная фокусировка пучков. Из первых двух параграфов известно, что пучок электронов, проходящий в газе при давлении 10~2-н-10~3 мм рт. ст. и даже меньшем, может фокусироваться за счет действия пространственного заряда положительных ионов. При такой фокусировке электронный пучок принимает форму нити (нитевидный пучок) или нитки бус (узловидный пучок), либо промежуточную между этими двумя.
Рассмотрим образование нитевидных и узловидных пуч” ков, для чего установим основные соотношения в ионно-сфокусированных пучках [2, 11,13]. В частности, найдем максимальный радиус, расстояние между узлами (период) и полный ток пучка, считая газ неограниченным.
Для решения поставленной задачи будем исходить из гидродинамической аналогии, считая невырожденный электронный газ идеальным газом, а движение электронов стационарным. Кроме того, предположим постоянство тока пучка. Последнее предположение выполняется лишь при достаточно низких давлениях, когда потери электронов на рассеяние и ионизацию отсутствуют.
Основными величинами, характеризующими электронный пучок при наличии положительных ионов, являются: плотность электронов пе. плотность ионов пр, электрический потенциал V, радиальная vr и аксиальная скорости направленного движения электронов и тепловые скорости электронов. Поскольку пучок обладает аксиальной симметрией, то будем применять цилиндрическую систему координат, ось z которой совпадает с осью пучка. Для установления зависимости перечисленных параметров пучка от координат г и z воспользуемся уравнением баланса ионов, уравнением Пуассона, уравнением непрерывности заряда, уравнениями движения (уравнениями Эйлера) и условием адиабатичности.
Указанные уравнения будут применяться при таких допущениях:
1)	пучок достаточно тонкий, и, следовательно, все величины, характеризующие пучок, можно считать медленно меняющимися вдоль оси;
2)	тепловые скорости ионов малы и ими можно пренебречь;
3)	влияние вторичных электронов на пространственный заряд в пучке пренебрежимо мало.
Первое уравнение — уравнение баланса ионов, как уже dN отмечалось, получается из (11,3) при условии, что —?-£=0.
U ь
242
Мы запишем его в следующем виде:
п М = 1 ^V]PV‘ f Пе (г') г'dr'
' И 2<? г	1/(г)'
(П.9)
В дальнейшем для упрощения записи будем обозначать плотность и скорость электронов через п и v без индексов. Уравнение Пуассона для ионно-фокусируемого пучка запишется так:
?гу=	(11,10)
80
Уравнения движения запишем с учетом поперечной составляющей тепловой скорости („поперечной температуры*), которая соизмерима с разностью потенциалов между осью и краем пучка (~0»1 в). Поэтому функция распределения электронов пучка должна иметь вид
/ (г, W) =
п	К -	+ (^у - 'Ц3,)а
^\1гтт1г Р	2kT
m J г	m
_ (w2 — vz)2 |
2kT, I ’
&
m
где v — скорость направленного движения электронов;
w — полная скорость электрона;
Tz—„продольная* температура;
/—„поперечная* температура.
Поперечную температуру будем считать постоянной по сечению пучка.
Чтобы получить уравнения движения электронов, воспользуемся гидродинамической аналогией. Последнюю можно применить на том основании, что функция распределения для молекул струи идеального газа является максвелловским распределением, наложенным на среднюю скорость конвекционного движения. Движение идеального газа, как известно, описывается уравнением непрерывности (D— плотность газа) div£>® + ^=0 dt
и уравнениями Эйлера, которые при наличии аксиальной симметрии запишутся в виде:
243
Так как мы рассматриваем стационарное движение, то производные по времени равны нулю. Тогда, подставляя D=mn в уравнение непрерывности, получим
div ля = 0.	(11,11)
Подставляя в уравнения Эйлера вместо давления газа kT p = nkT, поперечную и продольную температуры V?=---------
kT
и Vz = —^n плотность объемных сил F==— епЕ = еп grad V9 перепишем уравнения Эйлера так:
dv
dV
(Н.12)
дп дг
/ dv, rnniv. —зН
\ г дг
dvg
dV
дп
, др* г дг
Состояние электронного газа, если пренебречь затуханием, описывается уравнением адиабаты
mn
. (H,13)
-?— = const, D1
где т = ~ — показатель адиабаты.
Последнее условие можно записать в виде
—-j- = const. ПТ-1
Если учесть, что в рассматриваемом случае происходит адиабатическое расширение только поперек пучка, то 7 = 2 (две степени свободы), и поэтому условие адиабатичности
запишется так:
(tfv)— = 0. п
(11,14)
Записанные шесть уравнений (11,9)—(11,14) определяют соотношения между
и, пр9 К vr, vZ9 VT_ неизвестными функциями координат гиг.
Теперь установим зависимость радиуса пучка г от г, т. е. найдем форму пучка. Представим функции п и V в виде разложения по четным степеням г, а именно:
п = п0 — п2г29
V= Vo - V2r2- V><, где слагаемые высших степеней отброшены, а коэффици
244
енты считаем медленно меняющимися функциями z. Из этого разложения для плотности электронов, полагая п(/?)=0, получим, что эффективный радиус пучка
Введем обозначение

и подставим п и V в (11,9):
п (г)=<Ц	_______
Р d ^0 - ^'2 - Vf* - Vo + И2Г2 4- Vj*
Производя соответствующие вычисления, получим
В результате подстановки V и пр(г) в (11,10) и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях г находим:
Если обозначить отношение плотности пространственного заряда к плотности электронов на оси пучка
245
учесть, то
(11,15)
Для существования фокусирующего поля необходимо, чтобы плотность ионов была больше плотности электронов. Поэтому и всегда больше или даже значительно больше единицы и поэтому слагаемым У4г4 можно пренебречь. Следовательно, в поперечном сечении пучка потенциал пропорционален квадрату расстояния точки от оси, а £’г=21/2г. Отсюда также следует, что радиальную составляющую скорости надо искать в виде
vr (г, Z\ = (г) г, где 1*1(2) — медленно меняющаяся функция г.
Теперь оценим порядок величин различных производных. Так как мы рассматриваем тонкие пучки, то угол расхождения пучка является малой величиной (а~10-2). Если расстояние между узлами L, а —максимальный радиус пучка, то R/L~a.. Тогда, если —максимальное значение радиальной скорости, то ее изменение Дт*г порядка vr и, следовательно, можно записать
Кроме того, так как vz— v, то VR~av, и изменением аксиальной скорости можно пренебречь.
После деления (11,12) на еп и замены vz на v, получаем
д (In л) дг
дУ дг
Подстановка vr = z>1(z)r и У= Уо — У2г2 в последнее уравнение дает
—	* 1г= — V Т—4—2Цг. (11,12')
е\	dz	‘ dr	v '
Таким образом, распределение плотности электронов по радиусу выражается гауссовой кривой
п = л0 (2)	(11,16)
где /? —эффективный радиус, зависящий, вообще говоря, от z. Полный ток пучка оо	оо
1=ео | п (г) 2vr dr = veon^ | е~гг1^*2г dr = -evn^R2.
246
Отсюда получается еще одно выражение для эффективного
радиуса
т.епйъ
(П.17)
Подставив (11,16) в (11,12') и сократив после дифференцирования на 2г, получаем
т ( о । dv,\ Vt ,, +®	= -55— V2.
2е \ 1 dz R2
(11,18)
Для того чтобы связать величины R и v, которые являются неизвестными функциями г, воспользуемся уравнением непрерывности. Последнее в цилиндрических координатах принимает вид
Если отбросить малый второй член, заменить v2 на v, подставить п = пое~r2lR\ 'vr==‘vlr и сократить на	то получим
уравнение
2т>| — 2z»i
г2 . v dna . о г2 dR_
R2+~n^~dz±*0~R3liz~
Из(11,17) находим d (In n0) = — 2d (InR) и, следовательно,
r2 W rfln/?\ dz~)
Отсюда связь между и R определяется соотношением
d In R	v dR
Vl "° dz	R dz
Поэтому
, , dvt	v2 d2R
V, + V = -fr j~T • dz	R dz2
(11.19)
Воспользуемся уравнением (11,14) для того, чтобы связать V-p с R. В цилиндрических координатах (11,14) запишется так:
Подставляя сюда n=nQe r2IR\ vr—дифференцируя и деля на -vertlRt> получим
—f dz\
Ут 2г2 dR п0 R3 dz
Vt vt 2r2 _
w0 R2
247
Учитывая значение v19 получаем
т. е.
VT ----= const.
До
Так как п0 пропорционально /?“2, то
1^7(2) R2 (z) = const.
(11,20)
Поскольку поперечная температура постоянна по сечению пучка, то (11,20) можно переписать в виде
VT(z}R2(z)=V^TRl	(11,21)
где Vy—эквивалентная температура катода, а /?0=»
= 1/ —г----эффективный радиус пучка на катоде; здесь
Г
S — площадь эмитирующей поверхности катода, / — ток пучка и Ik — полный ток с катода.
Из (11,19), (11,21) и (11,18) получается следующее уравнение для эффективного радиуса пучка:
(П22)
</z= VR‘ V '	1 ' ’
Подстановка значения R в выражение для V2 устанавливает соотношение между ними, а именно:
(11,23)
Уравнение (11,22) представляет уравнение радиального движения крайнего электрона пучка; при этом первое слагаемое правой части представляет силу, обусловленную тепловыми скоростями („электронное давление"), а второе — действие фокусирующего электрического поля. Последние два уравнения совместно определяют изменение эффективного радиуса пучка вдоль его оси. Вторая производная радиуса дает кривизну кривой R(z). При некотором равно-d2R
весном радиусе = Равновесный радиус Rt может быть найден из условия
ед =^(/?1)7?:.	(11,24)
Радиус Ri является не только равновесным, но и устойчивым, так как при уменьшении радиуса (/?</?j) действие электронного давления сильнее, чем действие фокуси-
24S
d2R рующего поля, и Ф наоборот, если радиус пучка увеличится (/?> /?1), то при этом будет преобладать фокуси-Л	d2# к
рующее действие поля и 2- будет отрицательной.
Следовательно, радиус пучка колеблется в пространстве около равновесного значения
При этом, если начальная фокусировка достаточно хороша и радиус пучка по выходе из системы электродов близок к 7?i, то колебания будут малые и в пределе получается нитевидный пучок. Если же эти условия не выполнены, то получаются большие колебания.
Указанные случаи иллюстрируются рис. 11,10.
Рис. 11,10. Изменение радиуса пучка вдоль его оси (два крайних случая).
В качестве эффективного угла расхождения пучка принята величина
dz J^ydz/R-R;
Следует отметить, что а не совпадает с начальным углом расхождения пучка. Однако угол а тем больше, чем больше начальный угол расхождения и чем больше отклонение начального радиуса пучка от его равновесной величины Для определения произведем подстановку (11,23) в (11,24), и получим
уо = W (. CRI _ _ Л
Т °	Л
249
Перепишем это уравнение в виде
где	___ __________
4пеУ2еЛ1 e(V)p Vj-R0
Соотношение (11,25) для упрощается при Л>1 и Л<1, а именно:
если k 1, т. е. плотность положительного пространственного заряда в пучке велика по сравнению с плотностью электронов, то
— (л .	Vг/,₽»
—\4яео]/ м e(V)pl I '
если Л<^1,т. е. плотность положительного пространственного заряда пучка мала по сравнению с плотностью электронов, то
_/	\7<
\MVe\Vjp) ;
Рассмотрим теперь уравнение (11,22) для определения формы пучка. Умножим (11,22) на 2d/?:
i-^dR-^^dR-^"1R-	(11.26)
Выразим V2 через и:
у _
2	(iH-w)i 2*
250
С другой стороны, согласно (11,23)
у = ——-------
2	4ле0т>/?2
Сравнивая два последние выражения, находим
7?2=-i—^и(1+и)2. 4яе0т»С2 '
Подставляя в (11,26) А? из (11,27) и V2 =
e(V)pv, получим
С2
(1+«)2 ’
(11,27)
где С =
./dR\2	V°TR2 (	1\ I	1+3"
\ dz / V \	R2)	4ке0 Vv	1 + и	U’
Интегрирование дает
4ке0Уг»{Л 1R2	3«4-21n(l+«)|,
где A — постоянная интегрирования.
Выражая R2 через и и заменяя Vj- /?’ его значением из А, соответствующим R = Rt с учетом (11,24), (11,27) и
V2 (#i)= т—пэг во втором слагаемом справа, получим
(dRv I (	u2(l-|-ai)2	.
I ~г~) = ~й---х7~ । А---Ч, ,—h— За + 2 In (14- а) •,
\dz / 4яг0т>У (	а(1+а)8	' 1 ')
где at — значение а при R — Rv
Постоянная интегрирования может быть определена из п п	dR
последнего выражения, если положить R = Rt, и —Ui и —j— =
— а, т. е.
4iteoa2w V
+ 4а! — 2 In (1 + и,).
dR
Выражая —-j— через а и с помощью (11,27) выполняя второе интегрирование, получаем1 и
уу С__________________(1 + За) du______________
Z = "2С" 1, /Т	„2(1 _|_ад р	(11,28)
J ]/ Аи------(i~jFg)i - 3“ +2и 1п о + “)
1 Постоянная интергрирования z0 опущена.
251
Выражения (11,27) и (11,28) совместно дают форму пучка R=R(z). Для нахождения расстояния L между узлами
надо вычислить интеграл в (11,28) для иШ|П и umaz и удвоить полученный результат:
итах
(1 + 3u)du
wmin
Аи —
3u2-|-2uln(l-|-u)
Теперь рассмотрим два крайних случая:
1. Л = а1(14-и1)^> 1; так как u^l, то можно пренебречь единицей по сравнению сии отбросить логарифмический член. Тогда постоянная интегрирования
itSoa^V	г—г
где q =—— и tii s у k. u^j
После подстановки значения и, получаем
а
М e(V)pWW) ’
wmax
3udu
Hmin r
Если ввести новую переменную х = — и вынести ui
из-под корня, то
r v /*\0
’ -*max
2	/*
3x*dx
J /4(1+0х»-1-Зл«‘
ЛШ1П
(11,28')
иг1г, ИЛИ /? =
Радиус пучка в данном случае, согласно (11,27), выразится формулой
Значения лш1п и лшах определяются из уравнения
4(1 +q)x3 — 1 — За4 = 0.
р	Р
Эти значения определят отношения —и как функ-
А1	^ш1п
252
ции b, При этом для q С 1 сечение пучка мало меняется (нитевидные пучки), а для больших q изменения сечения большие (узловидные пучки).
Период изменения радиуса пучка для очень малых q (q -> 0) определяется следующей формулой:
М е( V)pl ) У 2 *
Когда же ^^>1, то, пренебрегая единицей в подкоренном выражении, получим асимптотическое выражение интеграла, равное ~г— • Тогда для периода имеем1:
2тс /л_ 1/2^ WVtKo\\
°И м ) +
тс а21/7» 2/3 ер/ ’
2.	1;
бречь величиной и по In (1 -/и) = и. Тогда
так как и С 1, то можно прене-сравнению с единицей и заменить
/У f du_____
С J /Ли — и2 — и2 ’
а
. о	. 2тсе0а2г>
А = 2ut (1 -|- q ), если q — ——.-их1 Подставляя сюда их s k, получим
„,= 1
9	2e(V)Wo|/ MVj-'
Для радиуса пучка справедливо соотношение
рг__
* 4тсе0г>С2 ‘
На основании формулы (11,28) имеем:
V V f_________du________
^/2и,(14-/)и — и\—и2'
Если вынести из-под корня последнего выражения и2 и ввести
обозначение — = х, то интеграл перепишется так:
о
dx
= — arc sin
(1 + /)— x
1 Второе слагаемое совпадает с полученным в работе [11].
253
Следовательно,
2Cz
г-— = — arc sin
или
и R2
Подстановка----= П2 дает уравнение огибающей пучка
«1 Л,
R- = R*
2С
Рассмотрим аргумент синуса в последнем выражении. Запишем условие, что/? не должно изменяться, если д' остается постоянным, a z изменяется на L:
2С 2к
где расстояние между узлами
М '
Тогда уравнение огибающей пучка перепишется в виде
=	(1 +?') 1 + /1 - (1 + ?')-2sin
В заключение запишем формулы в виде, удобном для расчета. Будем выражать L, /?,, /?0 в см, давление р — в мм рт. ст., удельную ионизацию e(V) — числом пар ионов на 1 см на 1 мм рт. ст.; ток пучка / — в мка, V и Vy— в в, а — в градусах; молекулярный вес газа в сосуде обозначим через р. При этом соответствующая формула для k запишется в виде
fe = 2,8-103e(IZ)p/[л VVV&.
Если k 1, то

£ = 4,5
е(У)рК7// +
4,25 • 10~4
e(V)/»KИ /
и
254
Форма пучка определяется параметром qz
Если k 1, то
и
0,95-1Q—4а21/ q~ 1<V)P /pV°rV]1/3*
I	VW \*/<
p  n 1к I_____I ”	I
К>-и’1О^е2(У)р2[1у )
7,3-10~2
<(V)pVT
Форма пучка в этом случае определяется параметром q'z
1,17-10-2 y/~V~ ~ <V)pRo V ^V°T •
Следует заметить, что все полученные соотношения справедливы в предположении, что ток пучка не меняется по всей длине пучка, т.е. потери электронов на рассеяние и ионизацию отсутствуют. Это предположение выполняется лишь при достаточно низких давлениях. В противном случае надо
было бы подставить в выражение V2= —
ток в виде I=I(z) — lQe—Pzl\ — ток пучка на входе в пространство дрейфа, а К — свободный пробег электронов при давлении в 1 мм рт. ст. При этом дифференциальное уравнение (11,22) значительно усложняется и не интегрируется в квадратурах.
Для малых значений выведенные формулы являются приближенными и ими можно пользоваться, если вместо тока / = /0 подставлять в них среднее значение тока, например IQe~pLR\ Это приводит к увеличению расчетного расстояния между узлами, которое для первого случая при малом параметре q приближенно сводится к появлению множителя порядка epL/^^
Таким образом, применение уравнений гидродинамики к движению электронов в пучке позволяет рассмотреть образование нитевидных и узловидных пучков, а также получить формулы для вычисления радиуса и расстояния между узлами.
Рассмотрим теперь ионную фокусировку ленточного пучка, основываясь на работе [14], используя прежние предположения, за исключением того, что тепловые скорости электронов примем равными нулю. Расчет будем произво
255
дить в декартовой системе координат, ось z которой совпадает с направлением движения электронов.
Уравнение баланса ионов для плотности положительного заряда в плоскости у, параллельной поверхности пучка, запишется в виде
= _, ГМ f е(
Рр у 2eJ у yen— у ’
где (У<’> — V) — разность потенциалов между плоскостью зарождения ионов и плоскостью у.
Разложим потенциал V(y,z) в ряд вблизи плоскости симметрии пучка у = О
У= Уо (г) - У2 (г) у2 + У4 (z)j<-...,
где У2(г),У4(г) и т. д. превращаются в постоянные величины на некотором расстоянии от источника электронов.
Если ограничиться двумя первыми членами, то уравнение траектории для любого электрона может быть записано в виде
dz2 — Vy
(11,29)
Здесь потенциал У определяется суммарной плотностью пространственного заряда p^-J—р. Решения (11,29) имеют вообще колебательный характер, т. е. пучок будет узло-видный. Уравнение Пуассона позволяет найти суммарную плотность заряда пучка, а именно:
Рр+Р = — ео= 2е0 У2.
Перепишем выражение для плотности ионов в виде
Для V2 (z) получаем уравнение 1
1 е( V)pv Р dVi
2е0/У2 JW-yf
1 Плотности заряда не зависят от _ух.
256
Введем обозначения
=ш
(11,30)
где V выражено в в, j — в—2- и I*—молекулярный вес см
газа, наполняющего баллон.
Если ш2«1, то $ = w2, V2 = C4, и уравнение (11,29) для траектории крайнего электрона (у—уе) имеет вид
d2ye dz2
(11,30')
При начальных условиях (для z = 0)
= 01 т
решением (11,30') будет
или
Таким образом, форма огибающей пучка — модуль синусоиды. Максимальная толщина пучка (в пучности) равна
2уе =—7tR—1У S^3-10’2-------^—7= см,
т 1:е(У)р j/М
а расстояние между
Если ш2>1, то из (11,30) получаем
узлами равно
4,65-10“2
м
см.
17 Н. С. Зинченко
257
где /—ток на единицу ширины пучка, а уе — ординаты крайней траектории.
Подстановка в уравнение (11,29) дает
где
(11,31)
dz2
+ Ру J*=о,
если I — в ма, а V— в в.
В результате интегрирования (11,31) с помощью подстановки
dy dz
= х получаем

а2 — — Ру*!* т 2 у
и
dy
Применяя подстановку у =
2-----
m 2 У
ат
cos3<p=Q2cos3<p, находим,
что
3Q2	2 СО82ф</ф 1
У"2ат J К1 — k2 sin ф ’
т. е. z выражается с помощью эллиптических интегралов.
Следовательно, уравнение крайней траектории может быть записано так:
— <2 £[ —z= I—£|ф,	— Л ——ГФ,
/2а J \У2) Г /2/] [ \/2/ V /2/
где^(ф, k) и Е (ф, k) — эллиптические интегралы 1 и 2 рода соответственно, a K(k) и Е (k) — соответствующие им полные интегралы.
1
1 *2= у
258
Для максимальной толщины пучка 2у„ и расстояния между узлами L получаем следующие выражения:
а3/2
= 2Q2 =	:
ат L \ /2 /	\ /2 /J
= 4,72-10“^ ’	т
у’Л
[е ( V)
Условие образования пучка с постоянным сечением (ленточный пучок) состоит в том, что плотность тока изменяется от середины пучка к его границе (р зависит от у). Если
У=У0- У2У2 + У4/,	(11,32)
то
9Р + Р = 2е0 ( V2 - 6 КУ) и
Если представить плотность заряда электронов в виде ряда
Р = Ро ( 1 + а1У2 + а2-У4 + •••)
и выполнить операции, подобные описанным для цилиндрического пучка, то получим ряд соотношений, связывающих коэффициенты а1э а2... с У2 и К-
Дифференциальное уравнение траекторий электронов, движущихся в поле с потенциалом (11,32), имеет вид
полагая
Обозначая
dy dz
= А и выполняя одно-
кратное интегрирование, получим
X2_TJ>4	ру2 д2
2 — 2	2 + 2 ’
или
dz =
dy
ТУ* —	+a2
(11,33)
dy	Л
где a=-^- при _y = 0.
17*
259
Интегрирование обеих частей (11,33) при учете, что у=0 при z = 0, дает
г = [	—=.	(11,34)
J /Т>4 —0у2 + а2
Эллиптический интеграл (11,34) может быть приведен к каноническому виду
2 = 1/ ------£	F(<p, k),
V ₽ + /₽2-4-p2	’
.. ₽ ~ V Р2 — 4уа2 где № — ----
0-|-К Р2— 47а2
Таким образом, уравнения траекторий выразятся через эллиптический синус sn (при условии р2 > 4уа2):
Выражение (11,35) показывает, что расстояние между точками пересечения траекторий с осью г будут разными для траекторий с различными а. Поэтому на достаточном расстоянии от источника произойдет «перемешивание» траекторий и огибающими всего семейства будут прямые
Скорость превращения пучка в ленточный зависит от соотношения между V2 и V4 и от значения а. Другими словами, образование ленточного пучка зависит от давления и природы газа в баллоне, скорости электронов, угла раствора (вхождения) пучка, величины суммарного тока и неравномерности распределения интенсивности по углам по выходе пучка из источника. В работе [14] показывается, что без неравномерного распределения интенсивности по углам ленточный пучок получиться не может.
Результаты экспериментального исследования некоторых соотношений, полученных в данном параграфе, в частности, зависимость расстояния между узлами от давления газа, тока пучка и скорости электронов, приведены в работе [121. Сравнение этих экспериментальных данных с рассчитанными по формулам для пучка кругового сечения показывает достаточно хорошее совпадение.
ГЛАВА XII
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ
После анализа способов и отдельных конкретных видов фокусировки перейдем к общей характеристике электронных пучков. В этой главе рассматриваются некоторые свойства и параметры лучков, важные с точки зрения применения в различных электровакуумных приборах и устройствах-
В настоящее время находят применение электронные пучки, обладающие самыми разнообразными электрическими и геометрическими характеристиками. Требования, предъявляемые к свойствам электронных пучков, к их параметрам, определяются назначением и конструкцией приборов. Назна-чением и конструкцией приборов определяется также и выбор способа фокусировки. Поэтому в каждом конкретном случае применения необходимо знать определенные свойства лучка.
Все известные электронные пучки подразделяют: по плотности тока — на интенсивные и слабые, по скорости электронов — на нерелятивистские и релятивистские, по признакам симметрии — на осесимметричные и неосесимметричные, по форме оси — на прямолинейные и криволинейные, по форме поперечного и осевого сечения — на прямоугольные, цилиндрические, трубчатые, конически сходящиеся и т. д.
Большое разнообразие видов пучков затрудняет введение единой классификации пучков и строгого единого подхода при выборе параметров для описания свойств пучков. Тем не менее удается ввести некоторые параметры и характеристики, которые применимы при описании свойств любого пучка. В данной книге была принята классификация пучков по плотности тока (геометрическая электронная оптика и оптика интенсивных пучков), по способам фокусировки и по их форме.
12,1.	Требования, предъявляемые к пучкам
Требования, предъявляемые к электронным пучкам, весьма разнообразны, поскольку существует множество различающихся между собою электронно-оптических приборов и
261
устройств. По мере совершенствования известных типов приборов требования к свойствам пучков обычно повышаются-С появлением новых типов приборов, работа которых основана на новых физических принципах, возникает необходимость не только в улучшении известных свойств пучков, но также в изучении и использовании тех свойств, которые в старых типах приборов были несущественны.
Для иллюстрации разнообразия требований к пучка,м рассмотрим электронные приборы двух классов: электронные приборы, создающие электронно-оптические изображения, и электронные приборы сверхвысоких частот.
Во всех электронно-оптических приборах, создающих электронно-оптическое изображение (телевизионные трубки, трубки радиолокационных индикаторов, электронные микроскопы, электронно-оптические преобразователи и т. д.), наиболее важным является получение высокой четкости изображения. Четкость изображения зависит от того, насколько мало и резко очерчено поперечное сечение электронного пучка в определенной плоскости (плоскость экрана, плоскость исследуемого объекта и т. д.). Ход пучка (его форма) вне этой плоскости часто бывает несущественным.
Наряду с высокой четкостью в этих приборах требуется достаточная яркость свечения экрана. Последнее налагает определенные требования на плотность тока и скорость электронов пучка. Эти два основных требования обеспечиваются применением электронных пучков с существенно различными параметрами в разных типах приборов данного класса. Например, в приемных телевизионных трубках ток пучка обычно порядка 100 мка; в передающих телевизионных трубках применяются пучки с током порядка всего лишь десятых долей микроампера [!]•
В электронных микроскопах особенно важно иметь четкое увеличенное изображение и высокую разрешающую способность. Для обеспечения этого необходимо, чтобы пучки имели очень малый разброс скоростей электронов и малые углы, образованные электронными траекториями с оптической осью системы (апертурные углы). Значение этих углов определяется диаметром отверстия диафрагмы, которое можно уменьшать только до некоторой величины, так как дальнейшее его уменьшение приводит к преобладанию ошибки электронно-оптического изображения, вызываемой дифракцией электронов над другими ошибками (в частности, обусловленной сферической аберрацией). Кроме указанного, пучки должны иметь достаточно высокую концентрацию электронов на объекте электронного микроскопа.
Применяемые в электронных микроскопах пучки в большинстве случаев имеют ток порядка нескольких микроампер и анодное напряжение порядка 50—100 кв, а в отдельных
262
случаях еще больше [2]. При этом источники питания должны обладать высокой стабильностью.
Существенно иные требования предъявляются к электронным пучкам, которые используются в усилителях и генераторах сверхвысоких частот. Прежде всего, для этих приборов требуются интенсивные пучки электронов, имеющие, кроме того, по всей длине резко ограниченную поверхность и необходимую геометрическую форму.
Величина плотности тока пучка в разных приборах различна и лежит в пределах от сотых долей ампера до единиц и десятков ампер на квадратный сантиметр. Например, в мощных пролетных клистронах необходимы прямолинейные протяженные пучки с плотностью тока, достигающей нескольких десятков а/сл2.
Для мощных ламп СВЧ (генераторов и усилителей), в которых велико влияние высокочастотных полей, большое значение имеет устойчивость пучков. Наоборот, в лампах бегущей волны, используемых для предварительного усиления слабых сигналов, требования к устойчивости пучков менее жесткие. Однако в этом случае пучки должны иметь малые собственные шумы.
Требования к пучкам зависят также от диапазона частот, в котором работают электронные приборы. С ростом частоты в приборах СВЧ уменьшаются поперечные размеры резонаторов или замедляющих систем, а также возрастает скорость спадания высокочастотных полей в поперечных сечениях в направлении нормали к поверхностям, ограничивающим область взаимодействия. Поэтому поперечное сечение и расстояние границы пучка от системы электродов должны по возможности уменьшаться по мере укорочения длины волны. Это приводит к необходимости повышения плотности тока лучков и все более резкого ограничения их поверхности по мере роста рабочей частоты приборов. Разумеется, этими примерами не исчерпывается разнообразие требований к пучкам.
Приведенные примеры показывают, что в зависимости от назначения приборов появляется необходимость применения различных методов фокусировки пучков, имеющих в каждом конкретном случае свои особенности.
Определенные особенности условий фокусировки пучков имеют место при непрерывном и импульсном режимах работы приборов. В частности, эти особенности вызываются тем, что в импульсном режиме вредное действие пространственного заряда электронов меньше или совсем не ослабляется положительными ионами.
Поскольку плотность положительных ионов в электронных пучках зависит от давления газа, то требования к пучкам также зависят от степени вакуума в приборах.
263
Несмотря на большое разнообразие конкретных требований, можно указать ряд общих требований к пучкам, которые должны выполняться в подавляющем большинстве случаев. Эти общие требования можно сформулировать следующим образом:
1)	пучки должны иметь резко очерченные границы заданной геометрической формы и размеров;
2)	пучки должны обладать заданной (как правило, высокой) плотностью тока при заданном ускоряющем потенциале (обычно возможно меньшем);
3)	пучки должны быть устойчивыми при необходимых плотности тока и ускоряющем потенциале.
Кроме того, часто требуется, чтобы движение электронов в пучке было ламинарным.
Разумеется, относительное значение каждого из этих требований зависит от специфических особенностей конкретного применения пучков.
12,2.	Свойства и параметры пучков
Для описания свойств электронных пучков применяются специальные характеристики и параметры. Характеристики и параметры пучков должны отражать наиболее полно и однозначно их существенные свойства.
Поскольку электронный пучок представляет совокупность большого числа в среднем направленно движущихся электронов, то для описания его физических свойств необходимо знать распределение электронов по координатам и по скоростям. В большинстве задач теории электронных пучков дискретность заряда непосредственно не проявляется и электронный пучок можно рассматривать как сплошную среду. Поэтому основными характеристиками любого пучка являются плотность пространственного заряда и усредненная скорость электронов как функции координат. В частности, для аксиально-симметричных пучков обе эти характеристики суть функции двух координат, то естьр=р(г, z) и v=v (г, z). Знания этих двух физических характеристик достаточно для полного описания всех макроскопических свойств любого аксиально-симметричного пучка.
К сожалению, функции пространственного распределения плотности заряда и скоростей электронов во всем пучке не могут быть измерены непосредственно, просто и точно. В силу этого обстоятельства в электронной оптике практически применяется ряд параметров пучков, которые могут быть измерены в настоящее время. Такими параметрами являются: ток пучка и ускоряющий потенциал, длина пучка, форма и размеры поперечного сечения, распределение плотности то
264
ка и потенциала по поперечному сечению и другие. Эти параметры в большинстве своем характеризуют лишь отдельные свойства пучка. Поэтому их можно назвать частными параметрами.
Кроме частных параметров, в электронной оптике применяются также параметры и характеристики, знание которых важно для описания многих свойств любых пучков. Эти параметры и характеристики будем называть общими. К ним, в первую очередь, следует отнести параметр пространственного заряда и степень устойчивости пучка.
Характеристики и параметры пучков в большей или меньшей степени зависят от способа фокусировки, от конструкции электронно-оптической системы, а в приборах сверхвысоких частот — также от высокочастотных полей.
Смысл ряда введенных параметров и характеристик либо очевиден, либо достаточно подробно выяснен в ходе изложения материала в предыдущих главах. Значение и смысл части общих параметров пучков совсем не рассматривались, другой части — рассматривались недостаточно подробно. Поэтому такие параметры и характеристики пучков, как параметр пространственного заряда, степень устойчивости пучка и коэффициент прохождения тока, нуждаются в пояснениях.
Параметр пространственного заряда, введенный в главе VI (стр. 98), характеризует действие внутренних сил, создаваемых пространственным зарядом пучка. Численное значение параметра пространственного заряда зависит от абсолютной величины средней плотности заряда и средней скорости электронов. Внутренними силами в чистоэлектронных пучках являются кулоновские силы отталкивания и силы магнитного притяжения. Соотношение между этими силами зависит от величины средней скорости электронов. Так, в нерелятивистских пучках преобладают кулоновские силы отталкивания. В релятивистских пучках силы притяжения, создаваемые собственным магнитным полем, становятся соизмеримыми с силами отталкивания. Следовательно, параметр пространственного заряда зависит от скорости электронов.
В электронно-ионных пучках внутренние силы определяются суммарным пространственным зарядом. Наличие положительных ионов в объеме пучка приводит к ослаблению сил отталкивания. Поэтому при полной нейтрализации пространственного заряда пучка параметр пространственного заряда k = 0.
Расчет дает следующее общее выражение для параметра пространственого заряда:
265
где/1 — 1— некоторая функция отношения концентраций \пе /
ионов и электронов. Параметр пространственного заряда зависит от геометрической формы и размеров пучка (см. формулы 6,14; 6,29; 7,26; 8,39). Он также зависит от способа фокусировки (см. формулы 8,39 и 9,73).
Внутренние силы пучка вызывают ряд явлений в нем, и результат их действия зависит от внешних условий существования пучка. Так, в несфокусированных пучках наличие этих сил приводит к расширению пучков. В равновесных пучках дефокусирующие силы влияют на степень устойчивости пучка (на жесткость фокусировки).
Так как заряженные частицы пучка находятся в движении, то действие сил пространственного заряда зависит не только от величины сил, но и от продолжительности их действия. Поэтому расширение электронных пучков под действием дефокусирующих сил растет с увеличением параметра пространственного заряда, включающего длину пучка (см., например, стр. 101 и 111).
Когда параметр пространственного заряда достигает больших значений, пучок становится неустойчивым и токо-прохождение нарушается. От величины этого параметра зависит также пространственное распределение потенциала и скоростей электронов (см. стр. 116, 121, 125). Таким образом, параметр пространственного заряда является наиболее универсальным и весьма показательным параметром пучков. Он учитывает как чисто электрические свойства, так и геометрические данные, а поэтому описывает пучок в целом.
Анализ параметра пространственного заряда позволяет сделать важные практические выводы. Так, например, с точки зрения фокусировки пучка выгоднее применять малые токи и более высокие напряжения. Уменьшение ускоряющего потенциала приводит к росту влияния пространственного заряда.
Следует отметить, что параметр k является усредненным параметром. Из его определения следует, что он не учитывает пространственного распределения заряда в объеме пучка, флуктуации плотности заряда, тепловые скорости электронов и т. п.
Устойчивостью электронного пучка называется способность пучка противодействовать изменению его формы при воздействии возмущающих сил. Эта способность зависит от жесткости фокусировки пучка и определяется величиной и законом изменения фокусирующих и дефокусирующих сил, действующих на электроны. Для устойчивости пучков закон изменения должен быть таким, чтобы при смещении электрона с равно
66
весной траектории появлялась разностная возвращающая сила.
Степень жесткости фокусировки определяется:
1)	крутизной нарастания возвращающей силы при смещении электрона с равновесной траектории;
2)	абсолютной величиной возвращающей силы.
Из общих соображений ясно, что чем резче нарастает воз
вращающая сила при отклонении от рав- Сипа новесной траектории, Q то есть, чем больше производная от возвращающей силы по нормали к поверх- 100 ности пучка, тем, при прочих равных условиях, фокусировка ю жестче. Абсолютная величина возвращающей силы зависит не только от закона нарастания, но и от величины фокусирующей и дефокусирующей сил в точке равновесия. Поскольку основная дефокусирующая сила создается пространственным зарядом пучка, то его устойчивость зависит от распределения пространственного заряда по по
02 04 06 Од 1	12 Z4 16
Рис. 12,1. Зависимость фокусирующих и дефокусирующих сил от радиального смещения электрона для разных способов фокусировки:
А — бриллюэновская фокусировка, Б — магнитное ограничение потока,
В — периодическая электростатическая фокусировка,
Г — центробежно - электростатиче. ская фокусировка.
перечному сечению.
На рис. 12,1 приведены кривые, характеризующие баланс фокусирующих и дефокусирующих сил для некоторых способов фокусировки длинных аксиально-симметричных пучков [3, 4]. С целью нормировки всех кривых дефокусирующая сила в точке равновесия полагается одинаковой для разных способов фокусировки (г0 — равновесный радиус).
Силы, участвующие в фокусировке, для разных способов фокусировки по-разному зависят от радиальной координаты. Например, при бриллюэновской фокусировке фокусирующая сила магнитного поля пропорциональна г, а дефокусирующая сила пространственного заряда пропорциональна }/г.
267
Закон изменения возвращающей силы вблизи равновесного радиуса пучка иллюстрируется рис. 12,2. Этот рисунок показывает, что при смещении электрона с равновесной тра-
Рис. 12,2. Зависимость возвращающей силы от смещения электрона с равновесной траектории.
ектории возвращающая сила наиболее резко увеличивается для периодической электростатической фокусировки.
Устойчивость пучка весьма наглядно можно характеризовать с помощью потенциальных функций. При этом степень жесткости фокусировки определяется глубиной и формой потенциальной ямы у поверхности пучка по всей его длине, так как потенциальная яма характеризует как величину возвращающей силы, так и крутизну ее нарастания.
На рис. 12,3 приведены потенциальные функции для тех же способов фокусировки (см. также рис. 9,4).
Из рисунков видно, что по возрастанию степени жесткости рассмотренные способы фокусировки располагаются в такой последовательности: центробежно-электростатическая, бриллюэновская, ограничение магнитным полем, периодическая электростатическая фокусировка с вращением пучка. Существенное повышение устойчивости пучка в поле с переменным знаком градиента происходит вследствие высокой
динамической устойчивости движения в поле быстро меняющихся сил [5, 6].
Важно подчеркнуть, что жесткость фокусировки зависит еще и от абсолютной величины возвращающей силы. Фокусировка будет тем жестче, чем больше величина фокусирующей и дефокусирующей сил. Поэтому иногда, чтобы избавиться от решающего влияния пространственного заряда пучка, вводят добавочную дефокусирующую силу. Тогда сила пространственного заряда будет играть меньшую роль в общем балансе сил. Такой способ повышения жесткости фокусировки следует считать плодотворным.
Коэффициент прохождения тока пучка в определенном смысле также можно считать общим, результирующим параметром. Он равен отношению тока на коллектор к общему току пучка на входе в электронно-оптическую систему. Поэто
268
му коэффициент прохождения тока пучка характеризует как пучок, так и электронно-оптическую систему, и зависит, с одной стороны, от абсолютной величины катодного тока, ускоряющего и фокусирующего потенциалов и формы пучка, с другой — от размеров, формы и взаимного расположения электродов системы. Величина коэффициента прохождения
Рис. 12,3. Вид потенциальных ям вблизи равновесного радиуса для разных способов фокусировки.
тока пучка составляет при электростатической фокусировке в среднем 80-7-98%, а при магнитной фокусировке—75-<-99%.
12,3.	Состояние теории и расчета
Как уже отмечалось, теория фокусировки и расчет электронных пучков имеют приближенный характер. Это определяется упрощающими предположениями, принимаемыми при формулировке задачи, или приближенным характером применяемых математических методов.
По существу электронный пучок следовало бы рассматривать как статистический ансамбль электронов [7]. В электронно-оптической литературе в большинстве случаев электронный пучок рассматривается как макроскопическая система и совсем не принимается во внимание дискретное распределение заряда. Вместе с тем весьма часто для изучения фокусировки рассматривается движение отдельного электрона.
269
В геометрической электронной оптике и теории интенсивных пучков, как правило, не принимаются во внимание волновые свойства электрона. Все это приводит к неизбежной идеализации задач, решаемых в электронной оптике. Кроме этих физических приближений, вводится ряд не столь принципиальных допущений.
В большинстве задач принимаемые упрощения состоят в следующем:
1)	пучки параксиальные;
2)	плотность тока в пучках распределена равномерно;
3)	все электроны имеют одинаковую осевую скорость, то есть изменение осевых скоростей электронов вдоль пучка не учитывается;
4)	граница пучка считается резко очерченной; кроме того не учитываются:
5)	начальные тепловые скорости;
6)	вторичные электроны из электродов;
7)	положительные ионы остаточных газов;
8)	колебания электронов и волны пространственного заряда.
Естественно, что введение этих допущений приводит к исключению из рассмотрения многих процессов, происходящих в пучках.
Задачи о фокусировке пучков в статических полях являются краевыми электростатическими задачами. Приближенное решение их сводится к решению уравнений движения крайнего электрона пучка под действием сил внешних (фокусирующих) постоянных полей и внутренних кулоновских сил собственного пространственного заряда.
Если рассматривается фокусировка пучков при наличии высокочастотных полей (фазовая фокусировка), то в уравнениях движения, кроме указанных статических сил, необходимо учитывать еще переменные силы, создаваемые этими полями.
В настоящее время удается рассчитывать лишь незначительное число параметров пучков. К ним относятся, например, ток пучка, расширение пучка и распределение потенциала. Формулы, устанавливающие зависимость тока пучка ст ускоряющего потенциала, естественно, дают и математическое выражение для параметра пространственного заряда.
Обсудим кратко степень соответствия перечисленных выше упрощающих допущений реальным условиям в пучках.
Теоретические расчеты фокусировки в подавляющем большинстве относятся к параксиальным пучкам. В таком случае аксиально-симметричные поля заменяют однородными. Расчеты непараксиальных пучков представляют более сложные
270
задачи и, как правило, выполняются с меньшей точностью, чем расчеты параксиальных пучков.
Предположение об однородном распределении плотности тока пучка, строго говоря, никогда не выполняется. Опыт показывает, что в интенсивных пучках распределение плотности тока существенно отличается от равномерного (см. стр. 334). По мере роста плотности пространственного заряда появляется минимум плотности тока посередине (на оси) пучка; глубина и ширина минимума увеличиваются с ростом абсолютной величины плотности пространственного заряда. Такое неравномерное распределение плотности тока обусловлено неравномерными распределениями пространственного заряда и осевых скоростей электронов в поперечном сечении пучка. Заметим, что бриллюэновская фокусировка, в отличие от других видов фокусировки, в принципе может дать пучки с равномерным распределением плотности заряда и осевых скоростей по поперечному сечению (см. стр. 171 и [8]).
Покидая катод, электроны имеют разные тепловые скорости. Начальные тепловые скорости электронов составляют несколько десятых долей вольта. Распределение электронов по скоростям является максвелловским распределением; в пучке, вблизи катода, оно близко к максвелловскому, смещенному на величину скорости, приобретаемой под действием ускоряющего потенциала Vq.
Ряд экспериментальных исследований показывает [9, 10], что в электронных пучках, кроме наложения переносного движения на все электроны пучка, происходит искажение максвелловского распределения электронов по скоростям. Отступления от закона Максвелла состоят в изменении ширины кривой распределения, смещении максимума, в росте числа электронов с малой энергией и т. д. Наблюдаемые отклонения зависят от условий формирования пучка и от взаимодействия электронов между собой и с другими частицами. Это означает, что распределение электронов по скоростям зависит от полей в системе, плотности тока и давления газа. Подробное изложение причин, вызывающих нарушение максвелловского распределения, читатель найдет в [11].
Часто в первом приближении изменениями формы кривой распределения можно пренебречь. Тогда дифференциал осевой составляющей плотности тока будет равен
m(v—гл)2 ~ 2*Г	...
yov2e	dv^v^dv,,
где v0=	— средняя скорость переносного движения
потока электронов. Поэтому для пучков, электроны которых ускоряются большими потенциалами и имеют значительные
271
продольные скорости, продольной составляющей тепловой скорости можно пренебречь.
Совсем иное положение с влиянием поперечных составляющих тепловых скоростей. Эти составляющие оказываются сравнимыми с поперечной скоростью электронов в несфокусированном потоке; величина последней определяется падением потенциала между краем и серединой потока. Следовательно, при фокусировке потока эти тепловые скорости должны быть уравновешены.
Кроме разброса осевых составляющих тепловых скоростей электронов, в пучках имеет место также изменение осевых скоростей, обусловленное продольным падением потенциала. Это изменение скоростей зависит от величины параметра пространственного заряда и в пучках с большой плотностью пространственного заряда может быть значительным. Поэтому осевая скорость любого электрона пучка является функцией осевой координаты. Тем не менее в большинстве задач, рассматривающих интенсивные пучки, предполагается, что осевая скорость для любого электрона одинакова во всех поперечных сечениях. Такое допущение приближенно справедливо лишь для пучков с малой плотностью тока.
Выше уже отмечалось, что электронный пучок вследствие теплового движения его электронов, налагающегося на направленное поступательное движение, обладает статистическими характеристиками. По этой причине предположение о существовании резко очерченной границы у пучка является большей или меньшей идеализацией. Наличие расталкивающих электростатических сил пространственного заряда, а также тепловых скоростей приводит к появлению «хвостов» у кривых /(г). Поэтому определени елинейных размеров поперечного сечения пучка (например, диаметра аксиальносимметричного пучка) является условным.
Идеализацией является также представление о чистоэлектронных пучках при обычно встречающемся давлении газа в электровакуумных приборах. В действительности в электронных пучках всегда находится определенное число положительных ионов, которое при некоторых условиях существования пучка может быть весьма большим.
Точность расчетов пучков в основном зависит от того, насколько близки принимаемые допущения к действительности. В настоящее время точность расчетов пучков в лучшем случае составляет ~ 20%. Следует отметить, что точность расчетов ухудшается с ростом плотности тока, с ростом параметра пространственного заряда пучков.
Изложенное показывает, что решение задачи о фокусировке пучков, учитывающее все реальные условия, встречается с большими трудностями — как принципиальными, так и ма
272
тематическими. Все решения конкретных задач о фокусировке являются приближенными и неполными. Поэтому многие явления, происходящие в реальных электронных пучках, современной теорией не учитываются.
В то же время для успешного создания и применения пучков надо знать их основные характеристики и лараметры, в том числе и те, которые не удается рассчитать. Отсюда вытекает необходимость и важность экспериментального исследования электронных пучков.
Электронные пучки являются весьма сложными объектами исследования и поэтому не существует универсального метода, пригодного для исследования всех свойств любых пучков.
Различные методы исследования свойств пучков путем измерения их характеристик и параметров рассматриваются в следующей главе.
18 Н. С. Зинченко
273
ГЛАВА XII!
МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ
Целью экспериментального исследования пучков является: 1) проверка теории фокусирования пучков, 2) измерение тех величин и исследование таких зависимостей, которые не рассматриваются теорией, 3) установление новых закономерностей.
В этой главе анализируются наиболее распространенные и важные методы экспериментального исследования электронных пучков. Подробно рассматриваются следующие методы: подвижной щели, прямого края экрана, дырочной камеры, вибрирующего зонда, зондирующего пучка, рентгеновский метод и другие.
По каждому методу измерения описываются характеристики и параметры, которые можно измерять, принцип измерения, обоснование количественных соотношений, экспериментальное осуществление метода, техника измерений, метод расчета и основные источники ошибок измерения. Кроме того, приводятся экспериментальные результаты, характеризующие возможности отдельных методов. В конце главы дается сравнительная оценка различных методов и указываются некоторые возможные пути разработки новых методов измерения пучков.
13,1. Метод подвижной щели
Метод подвижной щели позволяет измерять размеры поперечного сечения пучка и распределение плотности тока в этом сечении. Вообще говоря, данный метод пригоден для пучков с разной формой поперечного сечения. Мы подробно
274
рассмотрим его для случая измерения параметров заведомо аксиально-симметричных электронных пучков.
Сущность метода состоит в том, что поперек пучка ставится пластинка с вырезанной в ней узкой щелью. По величине тока, проходящего через щель при различных ее положениях относительно оси пучка, судят о самом пучке.
Для анализа метода измерения обратимся к рис. 13,1, на котором изображены поперечное сечение пучка и узкая зондирующая щель. Длина щели выбирается заведомо больше диаметра пучка. Прямоугольная пластина со щелью переме-
Рис. 13,1. Аксиально-симметричный пучок и подвижная щель.
щается в плоскости поперечного сечения пучка. Ток, проходящий через щель, зависит от распределения плотности тока в сечении пучка, ширины щели и ее положения относительно оси пучка.
Пусть вертикальная ось у прямоугольной системы координат параллельна продольной оси щели, а перемещение пластинки происходит вдоль оси х. Примем следующие обозначения: ширина щели — t, радиус пучка — го, расстояние любой точки от оси пучка р=р/л2+_у2.
Для аксиально-симметричного пучка плотность тока зависит только от расстояния рассматриваемой точки от оси пучка, то есть /=/(р),
Перемещая пластинку со щелью и измеряя ток, проходящий через щель, получим кривую зависимости тока г(х) от расстояния щели х от оси пучка. По кривой i(x) можно определить радиальное распределение плотности тока. Покажем, как это можно сделать.
18*
275
Если щель достаточно узкая (/<^г0), то проходящий через щель ток будет равен
F>o—*2
i(x) = 2t]j(p)dy,	(13,1)
о
Плотность тока пучка, вообще говоря, является функцией координат. Для равномерного распределения плотности тока (Др) =const) изменение щелевого тока при передвижении щели будет определяться изменением площадей, вырезаемых щелью в поперечном сечении пучка.
Для иллюстрации на рис. 13,2 приведены кривые Их), отнесенные к максимальному значению щелевого тока /тах.
L1ZL
Со
Рис. 13,2. Зависимость щелевого тока от положения щели:
1 — расчетная для равномерного распределения / 2 — экспериментальная.
Кривая 1 является расчетной кривой, полученной из (13,1) в предположении о равномерном распределении плотности тока. Кривая 2 — типичная экспериментальная кривая, которая заметно отличается от расчетной кривой 1. Это означает, что в реальном пучке распределение плотности тока неравномерное, то есть /=/(р).
Соотношение (13,1) позволяет определить /(р). Поскольку искомая функция / (р) стоит под знаком интеграла, то (13,1) является интегральным уравнением. После замены у через р и х оно принимает вид
С° J (р) Р^Р
U3.2)
X '	9
Уравнение (13,2) является интегральным уравнением типа
276
Вольтерра первого рода [1,2]. Чтобы найти распределение плотности тока пучка по измеренным значениям тока i(x), необходимо решить это уравнение. Для решения рассмотрим интеграл
? i I и	_ 9/ с	С* Лр)рФ
J 1 ' (х2 - г2)*/» J (X2 - r2)‘/2 J (р2—X2)1/2 ’ где г — некоторое текущее значение р.
Изменение порядка интегрирования приводит к уравнению
(13,3)
Значение второго интеграла в правой части (13,3) равно -%. Поэтому уравнение (13,3) может быть записано в виде
4" ( , \(Х)	= (°2^ (Р) Р^Р.	(13,4)
» J (х2—г2) 'г J
Г	г
Правая часть, которую обозначим /(г), имеет простой смысл— это ток, проходящий через сечение пучка вне круга радиуса г. Тогда
2 i (х) xdx
(13,5)
Наконец, дифференцируя уравнение (13,4), получим
•/ ч 1 d С J Г	ntr dr J
Г
i (х) xdx
(13,6)
Таким образом, (13,5) и (13,6) позволяют определить распределение плотности тока пучка и ток через кольцевое сечение г—г0, если известна экспериментальная кривая зависимости тока, проходящего через щель, от смещения х. Следует отметить, что поскольку i(x) —экспериментальная кривая, то расчет по (13,6) приходится вести приближенными методами.
Видоизменением метода подвижной щели является метод прямого края пластинки (экрана). В этом случае измеряется ток той части пучка, которая проходит мимо прямого среза пластинки. Остальная часть пучка перекрывается пластинкой. Принцип измерения параметров пучков методом прямого края иллюстрируется рисунком 13,3.
277
Проходящий ток в этом случае будет равен
—rQ х'
Рис. 13,3. Экран с прямым краем и пучок.
diE(x)	./ \ нет
Так как —-j—=	. -, то после замены i(x) в (13,5) и
U «А	*
(13,6) приходим к преобразованиям iP(x) в 1(г) и /(г) со
ответственно:
' xdx di е (хг — г2)1^ dx
(13,7)
и ...__________________1 d с °____xdx__
яг dr J (%2__г2)1/2 dx
Г
Прибор, необходимый для выполнения измерений, состоит из пластинки со щелью, приспособления для передвижения пластинки, измерителя перемещений и коллектора щелевого тока. Пластинку обычно изготовляют из тантала
Ширина щели должна быть значительно меньше диаметра исследуемого пучка (в десять и больше раз) и постоянной по всей длине щели.
Движение пластинке передается в вакуум с помощью сильфона или составного уплотнения с резиновыми и металлическими прокладками. Для отсчета перемещений щели
1 Тантал обладает относительно высокой удельной мощностью рас* свивания, хорошими вакуумными свойствами и немагнитен.
278
используют микрометрический винт или другой измерительный прибор.
При исследовании электронных пушек пластинка со щелью помещается на место анода, а при исследовании протяженных электронных пучков — на место коллектора. Для уменьшения тока вторичных электронов из краев щели танталовая пластинка должна быть по возможности тонкой. Из опыта работы установлено, что пластинку целесообразно делать из двух тонких пластинок, скрепленных между собою
Электронный пучок
Рис. 13,4. Пластинка со щелью.
при помощи точечной электросварки. При этом в одной из пластин щель изготовляется более широкой, чем в другой (рис. 13,4).
Такое устройство пластинки со щелью обеспечивает достаточную ее жесткость и хороший отвод тепла.
Теперь остановимся на процедуре приближенного численного расчета /(г) по измеренным значениям щелевого тока f(x). Введем новые переменные:
Х=10±т и Я=10—. о
Подстановка их в уравнение (13,6) переводит
ю1/» г di(X) dX ^r0 J ах ’ (*—#)*/* *
его
в урав-
(13,9)
Если г (X) известно, например, в 10 точках (определяется по экспериментальной кривой): Х = 0, 1, 2,... 9, то в каждом интервале 0 < X < 2, 2 < X < 4, 4<Х < 6,... 8<Л"<10 функция 1(х) может быть аппроксимирована параболой. Если аппроксимированные значения подставить в (13,9) и вычислить интегралы, то значения J(R) в десяти точках /? = 0, 1, 2, ... 9 будут определяться формулой
9
10
7 (Л>=(х>-	(13’10)
В этой системе уравнений Af^x — матричный элемент, соответствующий R-й строке и Х-му столбцу матрицы М:
279
ND OO О	7,0711	—5,6569	0,5441	—0,4020	-0,1171
	1	4	— 2,4115	-0,7846	-0,1638
	0	0	7,0711	-5,6569	0,5441
	0	0	1	4	-2,4115
м -	0	0	0	0	7,0711
	0	0	0	0	1
	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0
—0,1816	-0,0664	-0,1088	- 0.C436	-0,0745
—0,2561	-0,0862	-0,1375	—0,0531	—0,0889
-0,4020	-0,1171	—0,1816	—0,0664	-0,1088
-0,7846	-0,1638	-0,2561	—0,0862	-0,1375
—5,6569	0,5441	-0,4020	-0.1171	-0,1816
4	-2,4115	—0.7846	-0,1638	—0,2551
0	7,0711	—5,6569	0,5441	-0,4020
0	1	4	-2,1115	-0,7846
0	0 •	0	7.0711	-5,6569
0	0	0	1	4
Ошибка в определении плотности тока пучка по методу подвижной щели зависит, во-первых, от точности измерений и, во-вторых, от точности численного расчета. Точность измерения распределения плотности тока зависит от ошибки в измерении щелевого тока, ширины щели и отсчетов положения щели. Щелевой ток может быть измерен с некоторой ошибкой 3, Конечная ширина щели t всегда приводит к некоторой ошибке в определении плотности тока. Поэтому из (13,6) получаем следующую формулу для ошибки в определении плотности тока пучка:
1 d г dxdx _____________ д
dr} (Х2 _ f2)V - К^(Г2 _ г2)х/2 ’
если погрешности в измерении ширины щели и ее положения малы по сравнению с погрешностью измерения тока.
Определение диаметра пучка производится по кривой i(x) на определенной высоте последней. Таким образом, в силу размытости границ пучка («хвосты» на кривой /(%)), его диаметр определяется условно.
Отметим, что поскольку формула (13,6) получена без учета возможного искажения пучка щелью за счет изменения распределения потенциала и за счет вторичной эмиссии в области щели, то и в формуле для вычисления ошибки эти явления не учитываются. Вторичные электроны из коллектора щелевого тока также могут внести искажения в результаты измерения. Для уменьшения влияния вторичной эмиссии из коллектора щелевого тока рекомендуется подавать на этот коллектор несколько больший (на 30н- 50 в) потенциал, чем потенциал пластинки.
Приведем пример измерений, выполненных методом подвижной щели [3]. Измерения проводились с электронным пучком с круговым поперечным сечением при токе 1,9 ма и ускоряющем потенциале 800 в. Устройство прибора показано на рис. 13,5.
Прибор состоял из танталовой пластинки 5 в форме ступеньки, в которой прорезаны узкие длинные щели 6 и 7; длина щелей — 10 мм, ширина — 0,1 мм. Расстояние щелей от электронной пушки 1, 2 было 5 и 20 мм соответственно. Это позволяло производить измерения по существу в двух пучках, отличавшихся длиною. Для измерения токов за щелями располагались коллекторы 8 и 9. Танталовая пластинка, коллекторы, второй анод 4 пушки и экран 10 имели одинаковый потенциал. Весь прибор заключался в стеклянный баллон. Пушка монтировалась на отдельной ножке, которая соединялась с баллоном при помощи шлифа.
281
Перемещение пластинки в баллоне осуществлялось с помощью сильфона; последний был связан с микрометрическим винтом. Когда пластинка движется вправо, то через пучок 11 сначала проходит щель 7, а затем щель 6.
Рис. 13,5 Прибор с двумя подвижными щелями.
Результаты измерений и расчета приведены на рис. 13,6.
Кривая 1 показывает изменения относительного тока
(щель 7, длина пучка — 20 мм9 радиус пучка— 1,7 мм). Кри-
Рис. 13,6. Кривые зависимости щелевого тока от положения щели (кривая /) и радиального распределения плотности тока пучка (кривая 2; х=г).
вая 2 представляет распределение плотности тока в поперечном сечении пучка в относительных единицах ](г)/]тах. Она получена путем указанного выше расчета по формуле (13,10). Кривые рис. 13,6 показывают, что ход радиального распределения плотности тока в пучке и закон изменения щелевого
282
тока не совпадают. Отличие вида кривых i(x) и /(г) особенно резко заметно при больших значениях средней плотности тока пучка.
В качестве примера применения метода прямого края пластинки (экрана) рассмотрим исследование пучка, фокусируемого магнитным полем [4]. Схематическое изображение прибора дано на рис. 13,7.
Электронный пучок вводился в однородное магнитное поле через отверстие в одном полюсе магнита и выходил через отверстие в другом. Экран для пересечения пучка имел прямо-
Магнцтные
Рис. 13,7. Схема прибора для измерений по методу прямого края экрана.
угольную форму и мог вращаться на стержне длиною 3 см относительно оси пучка. Кроме вращения, экран мог перемещаться вдоль пучка. Для измерения тока пучка, попадающего на экран, последний был электрически изолирован от остальной системы.
Измерения проводились с целью выяснения вопроса о том, насколько критично соотношение (9,9) между током, ускоряющим потенциалом, магнитным полем и радиусом пучка при бриллюэновской фокусировке. В частности, выяснялась зависимость величины пульсаций диаметра и величины периода изменения диаметра пучка от индукции фокусирующего магнитного поля. Измерения диаметра пучка производились в разных поперечных сечениях пучка.
На рис. 13,8 приведены экспериментальные кривые, полученные для одного из значений магнитного поля. Они показывают:
а)	диаметр пучка как функцию расстояния вдоль оси;
б)	изменение тока, попадающего на экран при пересечении пучка.
Из этих кривых, а также кривых, полученных для других магнитных полей, следует, что измеренные величины периодов изменения диаметра пучка меньше расчетных (см. 9,32). Различный вид кривых перехватываемого тока, полученных
283
для разных плоскостей поперечного сечения пучка, указывает на различное радиальное распределение плотности тока. Распределение плотности тока можно получить путем расчета на основании уравнения (13,10), используя кривые рис. 13,86.
13,2. Метод дырочной камеры
Методом дырочной камеры можно измерять поперечные размеры пучка, распределение по поперечному сечению плотности тока и поперечных скоростей электронов.
Исследуемые пучки могут обладать различной геометрической формой. Максимальное значение плотности тока ис-
Расстояние поперек пучка t мм
Рис. 13,8. а) изменения диаметра вдоль пучка; б) кривые тока перехвата для разных поперечных сечений пучка.
следуемых пучков определяется допустимой удельной мощностью рассеяния на пластинке с отверстием, которая, как правило, составляет 10->-15 вт!см2.
Принцип метода состоит в следующем. На пути пучка помещается пластинка с отверстием, выделяющим из всего пучка малую часть, которая в дальнейшем и исследуется. Отверстие следует выбирать настолько малым, чтобы в его пределах плотность тока была постоянной. Кроме того, для обеспечения достаточной точности в измерении поперечных
284
размеров пучка отверстие должно быть малым по сравнению с этими размерами. В таком случае ток выделенной части пропорционален плотности тока пучка в месте расположения отверстия, а направление движения электронов за пластинкой определяется составляющими их скорости в отверстии. Перемещая отверстие перпендикулярно к оси пучка, можно исследовать законы распределения плотности тока и скоростей электронов в пучке.
Такой метод требует весьма большого числа измерений, и поэтому обычно ограничиваются исследованием распределения вдоль какой-либо одной линии в плоскости поперечного сечения (например, для аксиально-симметричных пучков — вдоль диаметра). В последнем случае требуется весьма тщательная юстировка положения отверстия, для того, чтобы линия перемещения проходила через ось пучка.
Приборы, в которых используется данный метод, могут в деталях различаться между собой (рис. 13,9). Однако все приборы должны включать в себя камеру или пластинку (диафрагму) с малым отверстием, приспособление для ее перемещения в вакууме, измеритель, перемещений и коллектор или флюоресцирующий экран. Пластинка с отверстием должна быть как можно тоньше, так как малое отверстие представляет эквипотенциальный канал. Отверстие может быть круглым или прямоугольным. Пластинка обычно делается из тантала. Механическое крепление пластинки должно быть таким, чтобы можно было осуществлять точное перемещение отверстия вдоль определенной линии поперечного сечения пучка. Передача движения в вакуум обычно осуществляется с помощью сильфона или уплотнения с резиновыми и металлическими прокладками. Для измерения перемещений пластинки часто применяется микрометрический винт.
Недостаток метода, связанный с трудностью юстировки отверстия относительно оси симметрии пучка, можно в значительной степени уменьшить, если наложить две подвижные пластинки с взаимно-перпендикулярными щелями. Пересечение двух щелей образует малое отверстие, которое легко юстировать относительно оси пучка и перемещать вдоль заданной прямой. Такой вариант прибора, примененный нами, оказался весьма удобным в работе.
Измерение тока электронов, прошедших через отверстие, осуществляется токовым прибором в цепи коллектора или путем измерения яркости свечения флюоресцирующего экрана, расположенного за отверстием. Яркость изображения (пятна) при малых токах на экран пропорциональна току. Флюоресцирующий экран может применяться при измерении пучков с малой плотностью тока.
Для измерения размеров поперечного сечения пучка и распределения плотности тока в плоскости пластинки сот-
285
верстием последнюю перемещают перпендикулярно к направлению движения пучка и измеряют проходящий через отверстие ток. Очевидно, угловое распределение электронов за отверстием в этом случае несущественно. Так как отверстие малое и его размеры постоянны, то экспериментальная кривая зависимости тока электронов, проходящих через отверстие, от положения пластинки является одновременно кривой распределения плотности тока пучка вдоль линии перемещения. Поперечные размеры пучка (диаметр в случае аксиально-симметричного пучка) определяют из кривой распределения плотности тока.
Ошибка в определении плотности тока зависит от абсолютной ошибки о в .измерении тока электронов, проходящих через отверстие. Поэтому ошибка в измерении плотности тока1 будет
где S — площадь отверстия.
Поперечные скорости электронов пучка создаются пространственным зарядом, поперечными составляющими тепловых скоростей, а также аберрациями электронно-оптической системы. Кроме того, поперечные скорости электронов пучка зависят от способа фокусировки.
Отметим, что, измеряя поперечные скорости электронов в интенсивных пучках, можно определить провисание потенциала в поперечном сечении пучка.
Исследование распределения поперечных скоростей электронов производится косвенно, путем измерения углового распределения электронов, прошедших отверстие в пластинке камеры.
На рис. 13,9 а и б показано устройство двух приборов, использованных в работе [5] для изучения поперечных скоростей. В первом варианте (рис. 13,9а) исследование производится путем анализа изображения отверстия на флюоресцирующем экране, помещаемом за пластинкой.
Во втором варианте (рис. 13,96) экран заменяют второй подвижной пластинкой с отверстием, за которой помещают коллектор. Таким образом, в этом варианте прибора метод дырочной камеры применяется дважды — один раз для выделения определенной малой части из основного пучка, второй раз для исследования распределения плотности тока, создаваемого этой частью пучка в плоскости второй пластинки.
В отличие от исследования распределения плотности тока, исследование изображения отверстия не дает возможности определить непосредственно поперечные скорости электронов
1 Без учета влияния пространственного заряда вторичных электронов, выбитых из пластинки дырочной камеры.
286
в основном пучке, а требует дополнительных расчетов, которые приведены в [6].
В этой работе исследуются поперечные скорости в конически сходящемся пучке, создаваемом пушкой Пирса (см. стр. 154). Разрез прибора, для которого ведется расчет, и принятые обозначения показаны на рис. 13,10. Рассматриваются
Ламинарный поток
Пластинка с отверстием 0,02 мм
Траектории электронов
Электронная пишка «г
Флюоресцирующий экран
а)
Возможное распределение освещенности
Коннектор
Рис. 13,9. Устройство измерительного прибора, использующего метод дырочной камеры (два варианта).
только параксиальные электроны в пучке с аксиальной симметрией. В случае, когда электроны вылетают с катода с нулевыми скоростями, их движение ламинарно и каждая траектория подобна траектории электронов на поверхности пучка.
Если r = re(z)— уравнение траектории внешнего электрона, совпадающее с уравнением образующей поверхности пучка (решение ведется в цилиндрической системе координат г, <?, z, ось z совпадает с осью пучка), то уравнение траектории любого электрона будет
г = иге(г).
(13,11)
287
При ламинарном движении p=const. Оно может принимать значения от 0 до 1. Если р = 0, то траектория совпадает с осью z.
Если теперь при вылете с катода электрон обладает поперечной скоростью, то его траектория будет пересекать траектории ламинарных электронов. Уравнение (13,11) будет также описывать движение и неламинарных электронов, но р в этом случае является переменным.
Из соотношения, получаемого дифференцированием (13,11):
— = и 19 dp dr,  -
dt2 r dt2 dt dt edt2’
и условия параксиальное™
d2r__ d2re
dt2~v' dt2
авторы получают основное уравнение для определения р
2 dp dr, dt dt
d2v-dt2
= 0,
Электрод, форм и -	отверстием
рующий пучок
Электронная пушка
Рис. 13,10. Электронная пушка Пирса и дырочная камера для анализа пучка.
интегрирование которого приводит к основному соотношению для траектории неламинарных электронов
t
(13,12)
Индексом 1 обозначается значение переменных в определенном поперечном сечении z = zx.
Соотношение (13,12) применяется к различным областям пучка. В области схождения пучка в пушке вычисление интеграла в (13,12) производится путем замены переменной
288
где г—расстояние от центра кривизны системы, V — потенциал (напомним, что теория пушки Пирса строится на основании теории эмиссии сферического катода, развитой Ленгмюром; см. (6,7) и (8,41).
В результате интегрирования получаем уравнение траектории электрона в ускоряющем поле пушки
и—= ГЛ_ < ~ Гк{ VW. J
где rk — радиус кривизны катода, га—радиус кривизны анода,
(13,13)
rk
а — функция —, входящая в формулу Ленгмюра для Г а
тока пучка,
Va — потенциал анода.
Индексом k обозначаются значения переменных на катоде. Для участков траектории, проходящих в эквипотенциальном пространстве, интеграл (13,13) вычисляется на основании теории сходящегося пучка с осевой симметрией (§6,1). В этом случае основное уравнение движения (6,7) позволяет произвести замену переменных в (13,12). Ток, входящий в уравнение (6,7), следует положить равным току I через отверстие в пластинке, служащей анодом пушки. Последний рассчитывается на основании теории Ленгмюра для сферической системы и находится из соотношения1
= 9 -ай -Sin4-
Здесь любой
о
— угол между осью системы и радиусом-вектором точки на краю катода. При малых углах В/г ss , гк
— радиус пучка на катоде. Поэтому уравнение для траектории крайнего электрона принимает вид
= 2i) Varj dt2 9 ( - а2)гк
После замены переменных
dr. г. и3,
ш = —Л , — = в (гт— минималь-гт
1 См. формулы (8,35) и (8,39).
19 н. с. Зинченко
289
ный радиус сходящегося пучка) интеграл в (13,12) сводится к интегралу вероятностей и (13,12) принимает вид
2 du ±
\	/ а
(13,14;

Индекс а обозначает величины, измеренные в сечении анода пушки. Знак минус берется при z<zm, знак плюс —при z>zm, zm— координата сечения с минимальным радиусом.
Соотношения (13,13) и (13,14) позволяют определить полное радиальное отклонение Дг траектории электрона, вылетевшего с катода с некоторой начальной поперечной скоростью, от траектории электрона, вылетевшего из той же точки без начальной скорости. Объединяя (13,13) и (13,14), находим
(13,15)
Изложенная теория рассматривает движение одного электрона, пересекающего ламинарный пучок.
В любой точке пучка поперечные составляющие скорости ламинарно и неламинарно движущихся электронов различны. Это различие вызывается как аберрациями в электроннооптической системе, так и наличием у электронов поперечных составляющих тепловых скоростей в момент вылета с катода. Вследствие неламинарности движения электронов размеры поперечного сечения реального пучка всегда будут отличаться от размеров идеализированного ламинарного. Анализ пучков с учетом поперечных скоростей электронов показывает, что поперечные скорости ухудшают фокусировку и, поскольку тепловое движение неустранимо, этот эффект создает принципиальные ограничения фокусировки.
Для расчета плотности тока в пределах отверстия дырочной камеры с учетом поперечных скоростей авторы пренебрегают аберрациями и учитывают лишь тепловые скорости. Считая, что поперечные скорости электронов в момент выле
290
та с катода распределены по закону Максвелла для температуры катода 7\, и произведя суммирование токов, создаваемых отдельными электронами, авторы получают уравнение, учитывающее влияние тепловых скоростей на распределение плотности тока пучка:
(13,16)
Здесь jr — ожидаемое значение плотности тока в точке Р рассматриваемого поперечного сечения;
г — расстояние точки Р от оси пучка;
/о— плотность тока, которая наблюдалась бы в точке Р при отсутствии тепловых скоростей;
/?— радиус-вектор полярной системы координат в рассматриваемом сечении;
Аг /£Т
о=—-гг/ — —среднее квадратическое отклонение траек-тории электрона;
(rR \
р-j — модифицированная функция Бесселя.
Значение о может быть рассчитано с помощью (13,15). В работе [6] приводится ряд кривых для о, и радиуса окружности, охватывающей заданный процент всего тока пучка в рассматриваемом сечении.
На основании проведенного расчета можно исследовать распределение плотности тока в любой плоскости, расположенной за отверстием дырочной камеры и перпендикулярной к оси пучка. Предполагая, что в этой плоскости находится флюоресцирующий экран, будем ниже говорить об изображении в этой плоскости.
Пусть положение отверстия дырочной камеры фиксировано. Тогда при ламинарном пучке на экране должно наблюдаться изображение совершенно определенного элемента катода, которое должно обладать резко ограниченными краями и при равномерной эмиссии со всех точек катода иметь везде одинаковую яркость. При наличии поперечных тепловых скоростей будет создаваться изображение всего катода, яркость в различных точках будет различна и распределена по нормальному закону. Максимальной яркостью будет обладать изображение того элемента катода, с которого электроны могут проходить отверстие камеры при нулевых начальных скоростях. Отклонения от нормального распределения будут указывать на наличие аберраций или дефектов катода.
19*
291
Для интерпретации изображения необходимо знать увеличение изображения катода в системе.
Из рис. 13,10, на котором приведены обозначения, следует, что 1
(dr\	/Jp \
\dt )nh	\dt r* lnh
1 4dz\ 1	•
\dt)Ph
Индексом ph обозначены значения величин в плоскости пластинки с отверстием.
Для элемента катода, находящегося на расстоянии г01 от оси пучка,
Г01 ~ (Pph
что с учетом (13,12) дает
г01 — rk
dp\ dt I ь
После вычисления интеграла получаем увеличение изображения
Изложенный расчет позволяет учесть изменение закона распределения поперечных тепловых скоростей при переходе от катода к плоскости поперечного сечения пластинки с отверстием. Этот закон изменяется вследствие того, что угол между ламинарными траекториями и траекторией неламинарного электрона изменяется по мере удаления от катода. Легко видеть, что для сходящихся пучков угол растет.
1 Для равновесного движения электронов в пучке
dre dt
292
Элемент плотности тока на катоде, создаваемый электронами с поперечными составляющими скоростей от vx до vx + dvx и от до vy 4- dvy, рассчитывается из
_ ?П /.,2 , ,,2\
djk = const е 2kT х у dvxdvy.
Так как (см. 13,12) j	/« \	2
du
T~dire и
е* k
2 *
то
е dt	vTe
rtti \	Vr
ге М ’
k
k
Расчет сделан лишь для радиальной составляющей скорости, но он верен и для любой поперечной составляющей в силу условия параксиальности, так как условие Ег=аг полностью эквивалентно Ех=ах и Еу=ау. где х и у—декартовы координаты в поперечном сечении, Е—напряженность поля. Подстановка v? в уравнение для djk дает зависимость поперечных скоростей от схождения (компрессии) пучка: d/z=const-e	х ydvxdvy. (13,18)
где М2— отношение радиуса пучка в плоскости z к радиусу пучка на катоде.
Таким образом, поперечная температура электронов увеличивается, если пучок сходится (Mz< 1). Для расходящихся пучков происходит уменьшение электронной температуры.
Соотношения (13,12) — (13,18) позволяют на основании экспериментальных данных найти распределение поперечных скоростей.
Рассмотрим теперь экспериментальные данные, полученные методом дырочной камеры. Измерения распределения плотности тока и расхождения пучка выполнены для пушек со сходящимся пучком [5]. Измерения производились как путем исследования яркости свечения экрана (рис. 13,9 а), так и измерением электронного тока с помощью коллектора (рис. 13,9 6). Результаты обоих способов совпали. Кривые распределения плотности тока и угла расхождения пучка как функции положения пластинки с отверстием относительно оси пучка приведены на рис. 13,11 для пушки, которая имела радиус катода гк = 1,27 лш и создавала пучок с током 3 ма при ускоряющем потенциале Vo = 1000 в и угле схождения & =4°5'.
293
Как показывает кривая, распределение плотности тока в поперечном сечении пучка неоднородно (выше уже отмечалось, что эта кривая распределения с точностью до масштабного множителя совпадает с кривой зависимости тока на экран от смещения отверстия).
Расстояние отверстия от центра пучкаt мм
Рис. 13,11. Кривые радиального распределения плотности тока и углового расхождения пучка.
Трактовка расхождения пучка несколько сложнее. Расхождение измерялось двояко. Предварительно рассчитывалось из простых геометрических соотношений положение изображения отверстия, создаваемое ламинарными электронами. Расчет проводился в предположении, что в плоскости отверстия пучок достаточно резко очерчен и его наибольший радиус равен гшах. Тогда при положении отверстия в точке поперечного сечения г, ф (полярные координаты) ламинарно движущиеся электроны создадут изображение на экране в точкеср, где /?шах— ра-
Gntx
диус изображения. Зная положение этой точки, можно определить угол расхождения пучка. Теоретическая кривая зависимости угла расхождения от смещения отверстия на рис. 13,11 показана пунктиром (линия б).
Экспериментальные точки должны соответствовать центру изображения. Яркости при наличии лишь тепловых скоростей должны быть распределены относительно центра по нормальному закону. Экспериментальные точки показаны треугольниками и свидетельствуют о хорошем совпадении теории и расчета.
Однако эта кривая не дает правильного представления о расхождении, так как яркость по изображению распределялась не по закону Гаусса. Поэтому определялось положение «центра тяжести» яркости изображения и по этому положению устанавливался средний угол расхождения. Соответствующая кривая приведена также на рис. 13,11 (криваяа). Несовпадение обеих кривых свидетельствует об увеличенном расхождении реального пучка.
Дальнейшее исследование распределения яркости по изображению позволяет выявить отдельно влияние поперечных тепловых скоростей и поперечных скоростей, создаваемых аберрациями.
Распределение поперечных скоростей можно изучить двумя способами: измерением распределения яркости изображения и измерением свечения определенной точки изображения как функции положения отверстия.
Графики зависимости логарифма тока в плоскости изображения как функции квадрата расстояния от центра изображения, то есть
/ g	f ? \
log/,- — const I V0M2 I,
должны быть прямыми линиями. Они характеризуют распределение тепловых скоростей. Отклонение этих графиков от прямой линии указывает на наличие аберраций в пушках.
Экспериментальные данные, полученные с указанными пушками, показали наличие максвелловского распределения тепловых скоростей, соответствующего температуре катода и изменяющейся геометрии потока (то есть рассчитанному по эффективной температуре TkIM2). Дефекты пушек, связанные с неоднородностью эмиссии катода, иллюстрирует рис. 13,12.
Кривые данного рисунка получены для электронной пушки, у которой для имитации ионного пятна на катоде был разрушен эмитирующий слой в центре катода.
На рис. 13,13 представлены кривые распределения плотности тока для разного вакуума.
Экспериментальные кривые показывают, что повышение давления приводит к появлению пика плотности тока в центральной части пучка. На основании экспериментов авторам удалось резко уменьшить аберрации в пушках.
2Q5
В работе [7] описано применение прибора с дырочной камерой, подобного приведенному на рис. 13,9 а1 для исследо-
Рис. 13,12. Кривые радиального распределения плотности тока в пучках, создаваемых однородным катодом и катодом с ионным пятном.
вания электронных пучков, ограниченных магнитным полем. Поскольку траектории электронов при ограничении пучка
Рис. 13,13. Радиальное распределение плотности тока в пучке при различном вакууме.
1 Отличие заключалось только в том, что пластинка с отверстием была покрыта флюоресцирующим веществом. Это позволяло оценивать плотность тока в основном пучке по яркости свечения изображения на этой пластинке.
293
магнитным полем являются винтовыми линиями, то у электронов появляются поперечные скорости. Эти поперечные скорости вызывают смещение изображения отверстия (пятна) на экране. Величина смещения пятна I определяется формулой
/ = 2г sin a sind.	(13,19)
Здесь г — радиус винтовой траектории электрона;
а — угол между плоскостью камеры и направлением движения электрона, проходящего через отверстие;
О— угол между осью системы и вектором линейной скорости V.
Величины, входящие в формулу (13,19), зависят от ускоряющего потенциала, магнитного поля и расстояния между экраном и отверстием. Приведем эти зависимости:

2/п\’/г У*/.
е I В '
где Уо — ускоряющий потенциал, В — индукция магнитного поля;
_ d
а 2г cos О ’
d — расстояние экран-отверстие
<1 .
U = arc sin — ,
v
vt—поперечная составляющая скорости, v — полная скорость электрона,
— циклотронная частота.
В определенном интервале значений dlr зависимость величины смещения пятна от угла О имеет линейный характер; чтобы искажение поперечных скоростей дырочной камерой было малым, необходимо выбирать d так, чтобы не выйти за пределы линейной области.
Следует отметить, что выражение (13,19) для смещения справедливо при условии, когда нет электрического поля между экраном и отверстием и если действие сил пространственного заряда на пучок в этой области незначительно.
С помощью дырочной камеры были исследованы: структура полого (трубчатого) пучка, радиальное падение потенциала, колебания пучка.
Трубчатый пучок создавался полым катодом, который имел форму цилиндра. Внутренняя поверхность катода была покрыта эмитирующим слоем, а его ось совпадала с осью трубчатого пучка. Эмитированные электроны вылетали с ка
297
тода под различными углами к оси системы. Электроны, которые уходили под одинаковыми углами, собираясь, создавали слоевой ток. Наличие в рассматриваемом случае отдельных групп скоростей у электронов пучка (опытный факт) приводит к появлению дискретных слоев в изображении пучка на экране.
В пучках большой плотности тока даже при равномерном распределении плотности и одинаковых начальных скоростях появляется изменение аксиальных скоростей вследствие радиального падения потенциалов. По этой при-
Рис. 13,14. Слоистая структура пучка.
чине шаг винтовых траекторий у разных электронов будет разный: электроны, движущиеся в центре пучка, имеют меньший шаг траекторий, чем электроны, находящиеся на краю пучка. Кроме этого, скорость поворота электронов Ег
, находящихся на различном удалении от оси пучка, о
будет разной. Следовательно, и скорость вращения отдельных трубчатых слоев электронов в пучке будет разная, то есть отдельные слои движутся друг относительно друга.
Если в какой-то момент времени произойдет нарушение радиального равновесия в пучке, то появится тенденция к расширению пучка. Электроны пучка будут пересекать магнитный поток, а это вызовет поворот их в некотором направлении, обязательно перпендикулярном к магнитному полю.
Фотография поперечного сечения пучка (рис. 13,14) с большим радиальным падением потенциала наглядно показывает слоистую кольцевую структуру пучка. Явление расслаивания пучка наблюдается при высоких плотностях тока. В плотных ленточных пучках в середине пучка обнаруживаются «водовороты», и при достаточно большой плотности тока мо
298
жет образоваться много отдельных «водоворотов». Эти явления указывают на нарушение устойчивого движения в тонких плотных пучках.
С помощью дырочной камеры также можно исследовать пульсации объема пучка. Когда пучок колеблется, то изображение на светящемся экране становится размытым.
С целью ослабления трудностей, связанных с юстированием дырочной камеры с одним отверстием в работе [8], предлагается дырочная камера с несколькими отверстиями. Ее устройство таково. Танталовая пластинка толщиной 0,6 мм имеет четыре малых отверстия (диаметром 0,06н-0,07 мм). Пластинка может вращаться вокруг оси, которая параллельна оси пучка и находится от нее на расстоянии, большем диаметра пучка. При пересечении пучка вращающейся пластинкой через ее отверстия проходит часть пучка и попадает на коллектор.
Отверстия находятся на различных расстояниях от оси вращения. Поэтому даже при неточной установке пластинки по отношению к пучку какое-нибудь из отверстий пройдет вблизи центра пучка. За один оборот пластинки получается четыре кривых распределения плотности тока. Отверстию, проходящему через ось пучка, соответствует самая высокая и самая широкая кривая. Если пластинка вращается равномерно, то кривые плотности тока можно записывать на кинопленку при помощи шлейфового осциллографа. При этом отбор кривых значительно облегчается.
С помощью описанного прибора можно исследовать пучки диаметром от 0,8 до 2,5 мм как в магнитном поле, так и вне поля. В частности, он применялся для исследования влияния магнитного поля на работу пушки со сходящимся пучком [9]. Измерения пучка при разных режимах показали, что в отсутствии магнитного поля он имеет размытую границу вследствие влияния тепловых скоростей. При некоторых значениях магнитного поля, силовые линии которого совпадают с расчетными траекториями электронов, влияние тепловых скоростей устраняется и пучок приобретает резкие границы. Это показывает, что электростатическая пушка, помещенная в магнитное поле, дает лучшее распределение плотности тока по сечению пучка и позволяет получить резко очерченные пучки.
Распределение плотности тока электронного пучка можно фиксировать на экране электронного осциллографа. Такая индикация плотности тока описана в работе [10], где приводится соответствующая схема измерения.
Кроме приведенных примеров, метод дырочной камеры может применяться в ряде других случаев измерения электронных пучков. Отметим еще его применение для изучения поперечного сечения пучка в рентгеновских трубках [11] и воз
299
можность применения для исследования пучков в ускорителях заряженных частиц.
13,3. Метод вибрирующего зонда
Метод вибрирующего зонда позволяет измерять размеры поперечного сечения пучка, распределения плотности тока, потенциала и аксиальных скоростей электронов в любом поперечном сечении пучка. Метод пригоден для измерений в широком интервале значений плотности тока и мощности электронных пучков с любой формой поперечного сечения. Ниже дается описание этого метода на примере аксиально-симметричного электронного пучка1.
Сущность метода состоит в том, что тонкий колеблющийся зонд, пересекая пучок перпендикулярно к оси, отбирает небольшую часть его тока. По кривой зондового тока можно определить указанные выше параметры и характеристики пучка.
Связь между зондовым током и плотностью тока пучка описывается интегральным уравнением. Решая это уравнение, находят распределение плотности тока в сечении пучка.
Чтобы составить интегральное уравнение, рассмотрим движение электрона, проходящего вблизи поверхности цилиндрического зонда. Примем, что радиус зонда значительно меньше радиуса пучка. Для вывода основных соотношений введем следующие обозначения (рис. 13,15): радиус пучка /о, радиус бесконечно длинного цилиндрического зонда 8, расстояние оси зонда от оси пучка г<, полярные координаты г, а точки в плоскости поперечного сечения. Любой электрон вблизи тонкого зонда движется в поле центральных сил (см. [12]), создаваемых электрическим полем зонда и направленных к его оси. Поэтому из закона сохранения момента количества движения получается следующее условие попадания электрона на поверхность зонда:
г,-— rcose |,
(13,20)
где v3 — скорость электрона при попадании на зонд, v2 = v— скорость электрона в пучке вдали от зонда.
Применение закона сохранения энергии для рассматриваемого электрона дает
^+еДУ=^,	(13,21)
1 Метод вибрирующего зонда принципиально отличается от ленгмю-ровского метода зондов, применяемого для исследования потоков с хаотическим движением заряженных частиц. Отличие вызвано тем, что пучок электронов является направленным потоком электронов.
300
где Д V = V3— V — разность потенциалов зонда и рассматриваемой точки в пучке.
Из соотношений (13,20) и (13,21) следует, что все электроны, которые находятся на расстоянии rcosa от оси пучка, будут попадать на зонд при выполнении условия
2 Cost* 1
I
Пучок электронов |
Проекция зонда на сечение пучка
Рис. 13,15. Вибрирующий зонд в электронном пучке (две проекции) .
<< + 81/ 1+2т|-^ >rcosa>r,.—81/ 1 + 2ц^
ИЛИ
гсова = г{

(13,22)
где ц = —,аДУ и тг соответствуют определенному значе-т
нию г.
Поэтому 81/ 1 + 2ц—г является эффективным радиусом
зонда. Корень 1/ 1 + 2ц—г определяет отклонение элек
трона от начальной прямолинейной траектории под влиянием поля зонда. В случае, когда потенциал зонда мало отличается от потенциала рассматриваемой точки в сечении пучка, то есть когда 2цД1л<'т>“ можно считать, что тонкий зонд не изменяет движения электронов в пучке. При этом
301
вторым слагаемым подкоренного выражения можно пренебречь и тогда получается простое соотношение
rcosa = rt + 8.	(13,22*)
Равенство (13,22') определяет границы проекции поверхности зонда на поперечное сечение пучка.
Если радиус зонда значительно меньше радиуса пучка, то величина тока первичных электронов пучка, которые достигают поверхности зонда, определяется уравнением
4 = J j(r)ds, s
(13,23)
где у (г) — плотность тока в точке г,
$—проекция эффективной поверхности зонда на поперечное сечение пучка, границы которой определяются соотношениями (13,22) или (13,22').
Поскольку ds — 2radr. то уравнение (13,23) приближенно можно представить в следующем виде [13]:
г° _-
г(Г/) = 2 J j (г) г arc cos Г~г~ dr —
Гг-о
— 2 у j (г) г arc cos dr.
Г/4-о
(13,24)
Уравнение (13,23) является интегральным уравнением. Оно показывает, что ток зонда зависит от распределения плотности тока в пучке, от эффективного радиуса зонда и положения зонда относительно центра поперечного сечения пучка.
Проведенный анализ позволяет сделать следующее заключение: при достаточно малых значениях AV траектории электронов возмущаются мало. Следовательно, тонкий зонд с потенциалом, мало отличающимся от потенциала в поперечном сечении пучка, практически не изменяет распределения заряда в пучке. Таким образом, уравнение (13,24) устанавливает связь между током первичных электронов на зонд и плотностью тока в пучке.
Полный ток в цепи зонда создается первичными (быстрыми) электронами, вторичными электронами с поверхности зонда и положительными ионами. Ток положительных ионов значительно меньше тока первичных электронов в силу того, что плотность ионов в электронном пучке обычно не превосходит плотности электронов, а скорость движения ионов значительно меньше скорости электронов. Поэтому ток зонда
302
практически создается первичными и вторичными электронами и определяется уравнением
®вт
i (rt) = f Дг) [1 - а - a J f(v) dv ] ds. (13,25) *	о
Здесь о — коэффициент вторичной эмиссии1, f(v) —функция распределения вторичных электронов по скоростям, т>вт — скорость вторичных электронов. В уравнении (13,25) первый член под интегралом определяет ток первичных электронов,
Рис. 13,16. Идеализированная осциллограмма зондового тока за период колебаний.
второй член — ток вторичных электронов с поверхности зонда, а третий — ток возвращающихся на зонд вторичных электронов, когда потенциал зонда выше потенциала соответствующих точек поперечного сечения пучка.
Теперь рассмотрим определение параметров, указанных в начале данного параграфа. Из вышеизложенного ясно, что для определения радиуса пучка и распределения плотности тока в поперечном сечении (плоскость колебаний зонда) необходимо иметь зондовую характеристику—кривую зависимости зондового тока от положения зонда. Последняя может быть получена с помощью осциллографа.
На рис. 13,16 изображена идеализированная осциллограмма за полный период колебаний зонда и приведены используемые далее обозначения.
В общем случае зондовая характеристика расположена несимметрично относительно точек и Л2, соответствующих крайним положениям колеблющегося зонда, в которых скорость зонда равна нулю. Каждому положению зонда соответствует определенная точка осциллограммы. Пусть х — расстояние точки осциллограммы от точки О, соответствующей среднему положению зонда. Тогда, если развертка осцилло-
1 Последний считается не зависящим от угла падения электронов на зонд и от их скорости.
303
s = A sin it
графа линейная, то при синусоидальном законе колебаний зонда отклонение зонда от положения равновесия будет
(13,26)
Здесь L — амплитуда колебаний зонда, которая может измеряться с помощью микроскопа, I — расстояние между точками остановки зонда.
На основании (13,26), в случае когда B<gr0, радиус пучка определяется выражением
sin it
°	2
Для симметричного случая (x1 = x2) получаем
(13,27)
г0 = Z, sin л	.	(13,27')
Если радиусом зонда нельзя пренебречь по сравнению с радиусом пучка, то формула (13,27; должна быть записана так:
г0 = 4-(sin л-^11 +sin л8.	(13,27")
Чтобы определить радиальное распределение плотности тока пучка, как уже отмечалось, необходимо решить интегральное уравнение (13,25) для зондового тока. Если потенциал зонда ниже потенциала близлежащих точек поперечного сечения пучка, то вторичные электроны не будут возвращаться на зонд. В таком случае величина зондового тока будет определяться уравнением
i(r.)=2(l — о) j у (г) г arc cos — dr —
Г° । »
— 2 (1 — о) j j (г) г arc cos Г--~ dr.	(13,28)
Данное интегральное уравнение может быть преобразовано к уравнению Вольтерра первого рода. С этой целью обозначим
Тогда (13,28) принимает вид, аналогичный уравнению (13,2),
а именно:
или
'•<
(13,29)
(13,29')
304
Далее, для нахождения j(r) по известной зондовой характеристике1 можно воспользоваться приближенным расчетом, который изложен для метода подвижной щели (см. § 13,1).
Измерение радиального распределения потенциала, соз
даваемого в пучке его пространственным зарядом, основано
на использовании влияния вторичной эмиссии из зонда на зондовую характеристику. Для определения потенциала
в какой-либо точке поперечного циллографа фиксируются две зондовые характеристики, которые получаются при несколько отличающихся друг от друга потенциалах зонда.
Чтобы лучше уяснить принцип измерения потенциала в пучке, рассмотрим зондовую
сечения пучка на экране ос-
Рис. 13,17. Зондовая характеристика для двух значений потенциала зонда.
характеристику, описываемую соотношением (13,25).
Пусть при некотором по-
тенциале зонда 1/3 зондовая характеристика представляется сплошной кривой на рис. 13,17.
Часть этой характеристики соответствует таким положе-
ниям зонда Г/>Г/ь для которых потенциал в пучке равен или выше потенциала зонда. Тогда вторичные электроны, уходя с зонда, не будут возвращаться на него. Поэтому
ток в цепи зонда определяется только первыми двумя слагаемыми уравнения (13,25). Для других положений зонда Г/ < rzl некоторые точки в пучке будут иметь потенциал более низкий, чем потенциал зонда. При этом часть вторичных электронов возвращается на зонд и ток в цепи зонда определяется полным уравнением (13,25).
Теперь изменим потенциал зонда на величину2 — ДУ3. Тогда для положений зонда rz>rzl зондовые характеристики i(rl9 У3) и Z(rz, Уз — ДУ3) совпадают; потенциал в пучке в обоих случаях выше потенциала зонда. Для положений зонда rz<rzl эти зондовые характеристики будут расходиться. Вид зондовой характеристики при rz<rzi показан пунктирной линией. Точка разветвления кривых
соответствует такому значению rz, при котором возврат вторичных электронов происходит в единственной точке зонда р (начало процесса возврата). Это означает, что потенциал зонда равен потенциалу в пучке в точке р. Изме
1 Из вышеизложенного следует, что для рассматриваемых расчетов необходимо применять зондовую характеристику, полученную при потенциале зонда меньшем потенциала в пучке. Тогда расчеты упрощаются.
2 Практически изменение потенциала зонда удобно осуществлять наложением прямоугольных импульсов (см, схему рис. 13,19).
20 Н. С. Зинченко
305
няя величину потенциала зонда, можно измерить значение потенциала в других точках сечения пучка. Измеряя последовательно потенциал в различных точках пучка, найдем радиальное распределение потенциала.
Следует отметить, что радиальное распределение потенциала в пучке определяется с точностью до разброса скоростей вторичных электронов. Кроме того, наличие вторичных электронов изменяет пространственный заряд вблизи поверхности зонда. Это вносит определенную ошибку в измерение потенциала в пучке, поскольку мы не учитываем, ввиду сложности, влияния заряда вторичных электронов.
Радиальное распределение осевых скоростей электронов в пучке можно определить по известному (измеренному) радиальному распределению потенциала.
Рис. 13,18. Устройство вибрирующего зонда.
М
Метод вибрирующего зонда можно применять и для исследования пучков, фокусируемых магнитным полем. В этом случае вследствие изменения траекторий электронов изменится интегральное уравнение (13,25). Для соответствующих расчетов можно воспользоваться работой [14].
Рассмотрим практическое осуществление данного метода [13]. Одна из конструкций вибрирующего зонда изображена на рис. 13,18.
Зонд состоит из упругой пластинки а, один конец которой жестко закреплен и впаян в стекло баллона, а на втором конце находится собственно зонд б. В рассматриваемой работе зонд изготовлялся из тонкой вольфрамовой проволоки. На пластинке а укреплялась накладка в из ферромагнитного материала, которая служила для возбуждения колебаний зонда. Возбуждение зонда производилось переменным магнитным полем, которое создавалось небольшим электромагнитом М. Целесообразно работать на собственной частоте зонда, так как при этом легко получить необходимую амплитуду колебаний.
Для настройки в резонанс в качестве источника питания электромагнита применялся звуковой генератор с изменяемой частотой. При достаточной длине вибрирующего зонда возбуждающее магнитное поле не оказывает влияния на элек
306
тронный пучок 1 и в пределах пучка можно считать, что зонд движется параллельно самому себе. Измерение амплитуды колебаний зонда можно производить с помощью микроскопа.
Г?нератор прямоугольных импульсов
R
(|||| Вибрирующий
Uh зонд
о Постоянное Q напряжение
$ пространстве дрейфа
ф "Осциллограф
Рис. 13,19. Схема для получения зондовых характеристик.
Для получения зондовых характеристик применялась схема, приведенная на рис. 13,19.
Ток, проходящий в цепи зонда, создает напряжение на сопротивлении Я, осциллограмма которого является зондовой
Рис. 13,20. Кривая радиального распределения плотности тока в пучке, рассчитанная по зондовой характеристике.
характеристикой. Осциллограммы зондовых характеристик фотографируются. Генератор прямоугольных импульсов слу
1 При необходимости пучок можно экранировать.
20*
307
жит для подачи на зонд небольших импульсных напряжений, необходимых при измерении распределения потенциала в поперечном сечении.
В случае, когда на зонд подается только постоянный потенциал, зондовые характеристики служат для определения радиуса пучка и расчета радиального распределения плотности тока.
На рис. 13,20 приведена кривая распределения плотности тока в пучке; параметры пучка указаны на этом же рисунке. Кривая получена путем разложения плотности тока в ряд по г, вычисления интегралов в уравнении (13,28) и определения коэффициентов ряда по экспериментальным значениям тока зондовой характеристики.
Рис. 13,21. Осциллограмма зондовых характеристик, получающихся при подаче постоянного и импульсного потенциалов на зонд.
Для измерения распределения потенциала в плоскости поперечного сечения пучка от генератора прямоугольных импульсов на зонд подается дополнительное напряжение Д1/3. Подача прямоугольных импульсов позволяет наблюдать на экране осциллографа одновременно как зондовую характеристику, получаемую при постоянном потенциале зонда, так и характеристику, получаемую при постоянном и импульсном потенциалах.
Выходное сопротивление генератора должно быть значительно меньше сопротивления R. При подаче импульсов зондовая характеристика в определенной точке раздваивается. Вид зондовой характеристики при заданных потенциалах на зонде (и постоянном и импульсном) иллюстрирует фотография, приведенная на рис. 13,21.
308
Приведем формулы для оценки ошибок этого метода измерения [15]. Абсолютная ошибка в измерении радиуса пучка определяется из соотношения (13,27") и равна
Если не учитывать влияния пространственного заряда вторичных электронов, то ошибка измерения плотности тока пучка в методе вибрирующего зонда будет такая же, как и в ме-
Рис. 13,22. Схема для зондовых измерений пучка на выходе циклотрона.
тоде подвижной щели (см. стр. 281). Следует обратить внимание на то, что влияние пространственного заряда вторичных электронов в обоих методах различно.
Ошибка измерения потенциала в пучке без учета влияния пространственного заряда вторичных электронов у зонда определяется точностью измерения потенциала зонда. Абсолютная ошибка измерения потенциала в пучке слагается из ошибок в измерении потенциала зонда, зондового тока и величины сопротивления R. Кроме этого, существует ошибка за счет неточности определения точки разветвления на осциллограмме зондового тока.
Для детальной оценки ошибки измерения потенциала в пучке требуется более строгое обоснование этого приема измерения.
Вибрирующий зонд можно успешно применять для измерения распределения плотности тока во внешнем пучке циклотрона [16]. Схема прибора с вибрирующим зондом, примененная в этой работе, приведена на рис. 13,22.
309
В отличие от описанного, здесь для возбуждения колебаний зонда применялся пьезоэлемент (титанат бария). Зонд б, укрепленный с помощью изолятора 8 на стержне 5, совершает колебательное движение и пересекает пучок в заданной плоскости. При этом через пластинчатую пружину 4, 7 на пьезоэлемент 2 будет передаваться давление. На выходе этого элемента появится некоторое напряжение, которое усиливается усилителем 5, и подается на электромагнит /, в результате чего появится тяговая сила. Положение зонда определяет давление на пьезоэлементе, а значит, и напряжение на его
Рис. 13,23. Зондовый измеритель пучка: 1 — фланец, 2— медный диск; 3 — зонд; 4 — отверстие для прохождения пучка.
выходе. Подавая это напряжение на горизонтально-откло-няющие пластины электронно-лучевой трубки, можно определять положение зонда.
Некоторые данные прибора: стержень из латунной трубки диаметром 4 мм имел длину 200 мм, цилиндрический зонд был изготовлен из вольфрамовой проволоки длиною 60 мм и диаметром 0,3 мм, собственная частота механической системы — 25 гц, амплитуда колебаний зонда — 40 мм, полный зондовый ток — 3 мка, коэффициент усиления усилителя 9 равнялся 2-Ю4, осциллограф типа ИО-4. Измерения проводились как в импульсном, так и в непрерывном режиме работы циклотрона. Описанный прибор использовался для непрерывного наблюдения за степенью фокусировки пучка, изменением распределения плотности тока и отклонением пучка
310
от центра мишени в процессе наладки и эксплуатации циклотрона.
В работе [17] описан прибор, представляющий разновидность метода вибрирующего зонда, который использовался для непрерывного контроля за пучком ионов на выходе линейного ускорителя. Этот прибор состоял из шести экранированных зондов, которые были закреплены на вращающемся диске (рис. 13,23). Когда диск вращается, то зонды последовательно пересекают пучок по шести различным траекториям. Воспринимаемый ими ток создает на сопротивлении напряжение, которое подавалось на вход осциллографа ЭНО-1. На экране осциллографа получаются кривые зондового тока.
Прибор использовался при работе с высоковольтным ускорителем ИХФ АН СССР, пучок которого имел постоянную мощность ~ 1 кет. Отбираемый зондами ток не превышал 2% и не мешал нормальной эксплуатации ускорителя.
Метод вибрирующего зонда, кроме исследования интенсивных пучков, применяется для исследования электрической дуги. В работе [18] описаны результаты измерения распределения плотности тока, потенциала и температуры в электрической дуге в воздухе (атмосферное давление). Платиновый зонд с диаметром проволоки 0,3 мм пересекал дугу со скоростью 13 см!сек. При этом плотность тока в дуге составляла 70 -ьЮО а/см2. Естественно, что при анализе процессов, происходящих в дуге при таком высоком давлении, необходимо учитывать столкновения заряженных частиц с молекулами.
В заключение отметим различия в измерениях вибрирующим и неподвижным зондом. Неподвижный или медленно передвигаемый зонд при исследовании интенсивного пучка сильно нагревается. Поэтому этот метод пригоден только для исследования пучков с малыми плотностью тока и мощностью. Попытка обойти эти трудности путем периодического отклонения пучка относительно неподвижного зонда переменными электрическими или магнитными полями неизбежно приводит к возмущениям движения электронов пучка. Поэтому такую попытку нельзя считать целесообразной, особенно когда требуются точные измерения.
Кроме этого, неподвижный зонд не дает возможности непрерывно наблюдать за исследуемым пучком, а работа с ним требует значительной затраты времени.
13,4. Метод зондирующего пучка
Методом зондирующего пучка можно исследовать распределение статических электрических и магнитных полей независимо от их создающих источников. Применительно к электронным пучкам данный метод используется для исследования распределения потенциала в пучках, создаваемого пространственным зарядом.
311
Принцип рассматриваемого метода основан на отклонении прямолинейного зондирующего электронного пучка электрическим (или магнитным) полем, направление которого не совпадает с направлением пучка. Непосредственно измеряемой величиной являются отклонения зондирующего пучка. Когда исследуется электронный пучок, то отклоняющим полем является электрическое поле его пространственного заряда1. Величина отклонения пучка является мерой градиента потенциала и измеряется обычно по смещению изображения на флюоресцирующем экране. Распределение потенциала и пространственного заряда находится по отклонениям пучка путем расчетов. Расчеты распределения пространственного заряда являются весьма сложными и в некоторых случаях практически невыполнимы, что ограничивает применения метода.

Рис. 13,24. Траектория электрона, движущегося в плоских взаимно-перпендикулярных электрическом и магнитном полях.
Выведем теперь математические соотношения, которые устанавливают связь между исследуемыми полями и величиной отклонения зондирующего пучка. Мы сделаем это для произвольного распределения плоских взаимно-перпендикулярных электростатического и магнитостатического полей. При выводе примем следующие упрощающие ограничения: траектории электронов в зондирующем пучке плоские; исследуемые поля слабо возмущают зондирующий пучок и поэтому отклонения его электронов от невозмущенных траекторий
1 Отклонение зондирующего пучка при прохождении его через область с пространственным зарядом можно рассматривать как преломление. Поэтому метод зондирующего пучка иногда называют электронно-оптическим методом.
312
малы; отсутствует взаимное влияние исследуемого поля и поля, фокусирующего зондирующий пучок.
Введем прямоугольную систему координат, ось z которой параллельна оси невозмущенного зондирующего пучка, и примем, что траектория электрона лежит в плоскости уг (рис. 13,24). При входе в исследуемое поле электроны зондирующего пучка имеют лишь осевую скорость, то есть t/'(0)=0. Тогда y=y(z) — уравнение электронной траектории, проходящей через исследуемое отклоняющее поле.
Будем обозначать:
у0 — начальная координата;
V(y, z) — потенциал в точке (у, г) относительно катода электронной пушки, создающей исследуемый пучок;
Еу (у, z) = —0—и Ег (j, z) = —— составляющие электрического поля;
В (У> г) — магнитное поле, перпендикулярное к плоскости электрического поля и направленное из-за плоскости рисунка; _____
ч) = 1^27] V — скорость электрона.
В соответствии с рис. 13,24 составляющая силы, перпендикулярная к траектории, будет равна
„ ,	. (dV , dV ,	, Л
Fn(y, z^ = e\~dy
Так как Fn= =mv2k, то кривизна k электронной траектории в точке Р(у, г) будет d2y/dz2
k=
(13,30)
21’/s mu2
После подстановки Fn и замены cos ф и у' = tg ф получим дифференциальное уравнение
У" (2т>Ю1/2 р I (1+У’Л*	2 И
, 1 (dV , dV + 2K^azJ' ду
Если учесть, что dy]dz<^l (второе ограничение), то (13,31) упростится и примет вид
Л/* = 0.
sin ф через
(13,31)
^^ + (2чЮ,/2В| = 0. (13,32)
J'	dz
Это уравнение вместе с начальными условиями (у=у у'(0)=0) определяет форму траектории.
313
Рис. 13,25. Прибор для измерения распределения потенциала в диоде методом зондирующего пучка.
Форма траектории, а значит, и отклонение электрона от 02, зависят от распределения потенциала V(y, z) и индукции магнитного поля В (у, z). Следовательно, по отклонению электронов от прямолинейной траектории можно рассчитать распределение потенциала или магнитного поля, вызывающего эти отклонения. Распределение потенциала в электронно-оптической системе с исследуемым пучком определяется как потенциалами электродов, так и характером распределения заряда электронов в пучке. Поэтому при исследовании различных случаев распределения заряда в системе приходится применять различные измерительные устройства.
Тем не менее, можно указать общие основные элементы измерительных устройств, использующих метод зондирующего пучка. Эти элементы следующие: электронная пушка, создающая зондирующий пучок; система, ускоряющая и фокусирующая этот пучок; приспособление для перемещения зондирующего пучка относительно исследуемого; флюоресцирующий экран; приспособление для измерения положения изображения зондирующего пучка.
Обратимся к рассмотрению конкретных вариантов измерительных устройств для исследования электронных пучков. Наиболее простым примером применения метода является измерение распределения потенциала между катодом и анодом в плоском диоде [19]. Схематическое изображение измерительного устройства приведено на рис. 13,25.
Исследуемый плотный пучок создается плоским эквипотенциальным катодом К и проходит к аноду А. Зон
дирующий пучок идет от катода к к аноду а, проходит сначала через отверстие в аноде, а затем через узкую щель диафрагмы D перпендикулярно пересекает исследуемый пучок и попадает на флюоресцирующий экран Э. Заземленная диафрагма перемещается, что позволяет пропускать тонкий зондирующий пучок на разных расстояниях от К и А. В описываемых опытах длина исследуемого пучка была равной 10, 12 и 15 мм, а длина зондирующего пучка составляла 380 мм. На экране четкое изображение зондирующего пучка получалось при использовании ускоряющего потенциала Vo около 2 кв и расстояния катод — анод — 40 мм.
Отклонение зондирующего пучка измерялось на экране следующим образом. При холодном катоде К определялось положение пятна на экране, когда потенциал анода А был
314
нет, а отклоняющее электрическое поле
,dV однородным (
равен нулю. Это положение принималось за нулевое. Затем измеряли отклонение от нулевого положения при заданных потенциалах, но в отсутствии исследуемого пучка. После этого накалялся катод К и измерялись отклонения при наличии пучка. Последние измерения выполняются при фиксированной температуре катода. Распределение потенциала по длине пучка определяется из соотношений между отклонениями и полем. В данном случае магнитного поля подобно полю плоского конденсатора. Его можно считать приблизительно
= 0, где ДУ — разность
потенциалов между катодом К и анодом Л, a d — расстояние между ними), если не учитывать краевые эффекты и если плотность пространственного заряда исследуемого пучка мала. Тогда отклонение зондирующего пучка находится из уравнения (13,31), где положено1 В=0. Интегрирование уравнения при #(0) — */о и у\оу =0 дает для отклонения ДУ Z
-ч— — -г- = const, -3— ду d	dz
9/.	(13,33)
где I — длина конденсатора, создаваемого катодом и анодом, L — расстояние от выходного края конденсатора до экрана.
Распределение потенциала вдоль исследуемого пучка (ось у) определяется величиной отклонения и находится по формуле
d то есть отклонение зондирующего пучка пропорционально напряженности электрического поля.
В уравнении (13,33) предполагалось, что ДУ=Уа— линейная функция у. Такое предположение справедливо лишь dV ДУ в первом приближении. В действительности равно лишь приближенно и изменяется по длине пучка. Поэтому на самом деле потенциал выражается интегралом
Функция f(y) определяется из измерений. Падение потенциала находится графическим интегрированием и представлено кривыми рис. 13,26 (параметром является потенциал анода).
Измерения при различных температурах катода показали, что с ростом температуры минимум потенциала становится глубже и отодвигается от катода.
1 В соответствии с рис. 13,24 принято, что ось у направлена от катода К к аноду А, а ось z — вдоль зондирующего пучка.
315
Авторы работы считают полученные ими результаты лишь качественными, поскольку при расчете не учитывались краевые эффекты.
Второй пример относится к измерению распределения по-
тенциала вдоль ленточного пучка, проходящего в эквипотенциальном пространстве (трехэлектродная система) [20]. Из-
Рис. 13,26. Кривые осевого распределения потенциала в диоде (цифры обозначают анодное напряжение в вольтах).
Тонкий зондирующий (ширина его
мерения производились с макетом, схематически изображенным на рис. 13,27.
Электронная пушка, создающая исследуемый ленточный плотный пучок, состоит из плоского катода, плоской сетки С со щелью и щелевого анода Аг. Сеточный электрод экранируется проволочной сеткой Э, которая соединяется с обоими анодами, соединенными также с отклоняющими пластинами и флюоресцирующим экраном. Исследуемый
электронный пучок проходит через щель в одной из стенок коробчатого анодного блока и затем движется
внутри него.
пучок,
также ленточной
формы
0,1 мм), проходит через две открытые стен-
ки анодного блока, пересекает исследуемый пучок под прямым углом и затем попадает на флюоресцирующий экран.
Рис. 13,27. Прибор для измерения потенциала в ленточном пучке методом зондирующего пучка.
Положение зондирующего пучка относительно исследуемого устанавливается с помощью отклоняющих пластин. Процедура измерения отклонений зондирующего пучка такая же, как и в первом примере. Когда катод, сетка С и анод А2
316
имеют одинаковый потенциал, то изображение поперечного
сечения зондирующего пучка на экране представляет отрезок прямой (рис. 13,28а).
При подаче на катод и сетку отрицательного потенциала изображение изменяется; его вид показан на рис. 13,286 (смещение — 20 в). Прогиб посередине линии обусловлен выгибанием эквипотенциальных линий вследствие проникновения поля из области катод—сетка в область анодного блока. После того как катод накаляется и устанавливается окончательный ток эмиссии,	 -- О
картина изображения испытывает дополнительные изменения (см. рис. 13,28в). Вогнутая часть изображения расширяет-
5
Рис. 13,28. Изображение поперечного сечения зондирующего пучка.
ся и перемещается по направлению к катоду, а концы линий остаются приблизительно в первоначальном положении. Перемещение вогнутой части линии измеряется с помощью микроскопа.
Результаты измерения продольного
распределения потенциала иллюстрируются рис. 13,29. Здесь по оси абсцисс отложены положения зондирующего пучка вдоль исследуемого пучка (положение анодной щели отмече
Рис. 13,29. Распределение осевого потенциала между анодом и коллектором в лампе рис. 13,27.
но пунктирной линией, а положение анодной пластины — сплошной линией, обозначенной Л2).
По ординате отложены значения потенциала: сплошная кривая — распределение при отсутствии пучка, пунктирная — при наличии пучка со значительным пространственным зарядом. Перемещение минимума потенциала к анодной пластине автор объясняет вторичной эмиссией и отражением электронов от Л2.
Естественно, что поскольку падение потенциала вызывается пространственным зарядом, то в некоторых случаях возможно рассчитать распределение пространственного заряда по распределению потенциала. Однако в сложных электронно
«7
оптических системах со сложным распределением этих величин расчеты выполнить не удается.
Метод зондирующего пучка может применяться при исследовании электрических и магнитных полей или пространственного заряда в закрытых системах электродов, обладающих большой чувствительностью к нарушению симметрии. В качестве первого примера таких применений опишем исследование распределения потенциала и пространственного заряда в магнетроне со сплошным анодом [21].
Опыт проводился следующим образом: через магнетрон в направлении его оси пропускался широкий пучок электронов, который заполнял все пространство между катодом и анодом. Вследствие влияния пространственного заряда
Рис. 13,30. Схема измерительной установки для исследования потенциала и пространственного заряда в магнетроне.
магнетрона происходит изменение распределения плотности тока в зондирующем пучке. Эти изменения в плотности тока, как уже отмечалось, можно трактовать как преломление пучка. В результате преломления изображение пучка на экране будет отличаться от того изображения, которое получается при отсутствии пространственного заряда в магнетроне.
Для указанных измерений применяют метод теневой индикации. Последний состоит в том, что зондирующий пучок, кроме магнетрона, проходит через две проволочные сетки, из которых одна располагается перед магнетроном, а вторая— после магнетрона. Сетки служат координатной системой для измерения преломления пучка. Схема установки, с помощью которой могут быть проведены такие измерения, приведена на рис. 13,30.
Электронный пучок, прошедший через эту систему, создает на экране изображение в виде теневого рисунка обеих сеток и внутреннего очертания магнетрона. Получающиеся на экране изображения фотографируются для следующих трех случаев: 1) магнетрон без электрического поля, 2) магнетрон с электрическим полем, но без пространственного заряда, 3) магнетрон с электрическим полем и пространствен-
318
ным зарядом (анодное напряжение включено и катод накален).
Исходя из различий таких фотографий, производят расчеты распределения электрического поля в магнетроне. Поскольку электрическое поле в магнетроне аксиально-симметричное, то на основании экспериментальных данных о преломлении зондирующего пучка можно определить радиальную составляющую поля. Радиальное электрическое поле в магнетроне может быть рассчитано по углу преломления ф отдельных частей широкого зондирующего пучка по формуле £л = 2ф^,	(13,34)
где Vo — ускоряющий потенциал зондирующего пучка;
z0 — протяженность электрического поля в направлении оптической оси.
Формула (13,34) справедлива только для малых углов преломления ф. Она может быть получена из соотношения
Дг , .
— = tg ф ~ ф, если сюда подставить значение радиального отклонения Дг=“^. Здесь предположено, что электрическое поле вдоль оси магнетрона постоянно и обращается в нуль на торцах, а радиальные отклонения каждого электрона пробного пучка столь малы, что вдоль каждой траектории в пределах магнетрона Ег постоянно. Следовательно, краевые поля при выводе соотношения (13,34) не учитывались. Это обстоятельство является одной из основных причин ошибок рассматриваемых измерений.
Учет граничных условий усложняется тем, что краевые поля оказываются различными при наличии и отсутствии пространственного заряда.
Эти измерения показали, что при наличии пространственного заряда Ег вблизи катода весьма мало, а при удалении от катода сначала нарастает, а затем убывает. Степень уменьшения Ег в прикатодной области зависит от режима пространственного заряда. С ростом плотности пространственного заряда Ег вблизи катода уменьшается.
z По экспериментальным кривым радиального распределения напряженности электрического поля можно рассчитать распределение плотности пространственного заряда [22]. Кривые распределения пространственного заряда в магнетроне, полученные в этих опытах, имеют качественный характер.
В качестве следующего примера рассмотрим опыты по измерению поля в тлеющем разряде [23]. Поля измерялись в трубке с тлеющим разрядом, длина которой составляла
319
40 см, а диаметр — 10 см. Опыты проводились с воздухом, азотом, водородом, гелием, аргоном при давлениях от 0,03 до 1,0 мм рт. ст. Мощность разряда ограничивалась максимальным потенциалом в 2000 в и максимальным током в 10 лш. Измерение поля у катода проводилось при трех различных давлениях.
Для создания тонкого зондирующего пучка применялась магнитная фокусировка. При этом пучок допускал измерение полей в широком интервале значений, а именно, от 0,2 до 1000 в/см и более. Зондирующий пучок можно было перемещать вдоль разрядной трубки для зондирования в различных поперечных сечениях.
Всю трубку пучок проходил за 40 мин. Применение автоматической записи отклонений сократило время измерения поля настолько, что можно было выполнить подробные исследования без изменения условий разряда. Измеряемые осевые поля автоматически записывались вместе с потенциалами стенки, определенными в тех же точках.
В результате этих опытов были установлены некоторые детали распределения полей в темном пространстве, которые раньше не были известны.
Пример применения метода зондирующего электронного пучка для измерения потенциала в объеме магнитной ловушки с пространственно-периодическим магнитным полем приводится в работе [24]. Измерялся потенциал на оси ловушки и радиальная составляющая поля нескомпенсированного пространственного заряда электронов плазмы. Первые из этих измерений выполнялись с помощью зондирующего пучка, который направлялся вдоль оси ловушки.
С целью облегчения индикации зондирующий пучок модулировали частотой 200 гц. Энергия электронов зондирующего пучка выбиралась наименьшей, но такой, при которой пучок еще мог проходить через ловушку.
Полученная таким методом кривая зависимости потенциала в пространстве ловушки от величины вводимого электронного тока приведена на рис. 13,31.
С целью сравнения подобные измерения проводились также и с помощью накаливаемого зонда [25]. Результаты измерений потенциала обоими методами показали достаточно хорошее совпадение. Они указывают, что накопление электронов в ловушке приводит к образованию в ней отрицательного пространственного заряда. Последний может служить потенциальной ямой для положительных ионов.
Радиальная составляющая электростатического поля измерялась электронным пучком, который пропускался на расстоянии 2,5 см от оси ловушки. В этом случае электроны пучка совершали движение в скрещенных электрическом Ег 320
и магнитном Во полях со скоростью дрейфа v =	. Нали-
“о
чие Ег приводило к повороту зондирующего пучка на определенный угол, который измерялся и по величине которого можно вычислить усредненное значение напряженности электрического поля.
Для данного метода ошибки измерения могут быть оценены лишь приближенно в каждом конкретном случае.
О 20 40 60 000 100 Iot
Рис. 13,31- Зависимость потенциала в магнитной ловушке от тока вводимого пучка.
Общими причинами ошибок являются трудно учитываемые краевые поля, расплывание зондирующего пучка, изменение его тока, несовершенство индикации отклонений пучка.
13,5. Метод рентгеновских лучей
С помощью рентгеновских лучей можно измерять размеры поперечных сечений электронных пучков, а также определять распределение плотности тока в этих сечениях. Этот метод допускает исследование как сравнительно низковольтных (ускоряющие потенциалы порядка нескольких киловольт) , так и высоковольтных (ускоряющие потенциалы порядка ста киловольт и больше) электронных пучков с произвольной формой поперечного сечения. Для пучков, в которых энергия электронов меньше 1 кэв, данный метод практически непригоден.
Принцип метода заключается в следующем. Исследуемый электронный пучок направляется на тонкую металлическую фольгу, расположенную под прямым углом к оси пучка. Вследствие торможения электронов в фольге возбуждается рентгеновское излучение. Рентгеновские лучи, возникшие в результате этого процесса, проходят через фольгу и воздействуют на фотографическую пленку, помещенную непосредственно за ней. Таким образом, на фотопленке получается изображение поперечного сечения пучка.
21 Н« С, Зинченко
321
Измерение распределения плотности тока по сечению пучка основано на следующих закономерностях:
1) интенсивность рентгеновского излучения пропорциональна току пучка;
2) плотность почернения фотопленки пропорциональна, в известных пределах, энергии попадающих на нее рентгеновских лучей.
Интенсивность тормозного рентгеновского излучения (непрерывный спектр) выражается следующей формулой [26]:
J=kIV*Z.
(13,35)
где k — коэффициент пропорциональности;
I — ток пучка;
Уо—ускоряющий потенциал;
Z— атомный номер элемента.
При значениях ускоряющего потенциала выше критического 1 для каждого данного вещества наряду с тормозным возникает и характеристическое рентгеновское излучение. Интенсивность его также пропорциональна току / и поэтому разделение этих излучений необязательно. Таким образом, распределение плотности почернения на фотопленке дает непосредственно распределение плотности тока по сечению пучка.
Плотность почернения фотопленки S определяется энергией рентгеновских лучей, то есть
S = F(Jt),
где 7 — интенсивность рентгеновских лучей;
t — время действия лучей на фотографическую пленку.
Характеристическая кривая 2 фотопленки в области средних значений поглощаемой энергии имеет прямолинейный участок. При больших энергиях наблюдается насыщение, то есть почернение нарастает значительно медленнее, чем поглощаемая энергия. Поэтому плотность почернения фотопленки в разных точках изображения пучка будет пропорциональна плотности тока в соответствующих точках поперечного сечения электронного пучка только при соблюдении указанных условий. Количественные измерения распределения плотности тока в сечении пучка производятся путем фотометрирования изображения.
Толщина фольги выбирается из соображений минимального поглощения ею рентгеновских лучей и ее механической
1 Значения критических потенциалов для разных материалов приводятся в [26].
2 Характеристической кривой называется кривая зависимости почернения от энергии, поглощенной пленкой.
прочности. Поглощение рентгеновских лучей происходит по закону
где J — интенсивность прошедших лучей;
Jq — интенсивность падающих лучей;
н/р — массовый коэффициент ослабления;
d — толщина слоя вещества.
Значение массового коэффициента поглощения определяет как род вещества, выбираемого в качестве фольги, так и ее толщину. Выбор производится, исходя из зависимости массового коэффициента ослабления от X и Z, которая выражается формулой вида
-^ = aX3Z3,	(13,36)
где а — коэффициент пропорциональности, а
X — длина волны рентгеновских лучей.
Из (13,36) видно, что зависимость коэффициента поглощения от атомного номера Z более сильная (Z3), чем интенсивности рентгеновского излучения (J~ Z). Поэтому для всех длин волн рентгеновского спектра целесообразно брать вещества с малым атомным номером. Формула (13,36) также показывает, что при исследовании низковольтных пучков (большие X) создаваемое ими тормозное излучение сильно поглощается. Следовательно, толщина фольги должна быть достаточно малой и тем меньшей, чем меньше ускоряющий потенциал исследуемого пучка.
Однако фольга должна выдерживать атмосферное давление на площадь, превышающую поперечное сечение пучка. Это ставит предел уменьшению толщины фольги. На основании экспериментальных данных можно считать, что для многих металлов приемлемая толщина фольги — порядка десятков микрон.
Рассматриваемый метод позволяет исследовать как электронные пушки, так и электронные пучки. В первом случае фольга выполняет роль анода, во втором — роль коллектора.
Если необходимо исследовать катод пушки, то его монтируют в маленькой лампе, анодом которой является тонкая фольга (рис. 13,32). Эта фольга (часто из меди) напаивается на одну или несколько прямоугольных щелей в анодном блоке. Иногда фольга поддерживается мелкой сеткой. Фотографическая пленка должна по возможности плотно прижиматься к фольге.
При попадании пучка электронов на фольгу почти вся (99%) его энергия превращается в тепло. Мощность пучков, которые обычно приходится исследовать в лампах, как пра
21*	323
вило, превышает допустимую удельную мощность рассеивания на фольгах. Поэтому для понижения рассеиваемой мощности при исследовании пучков используют импульсное напряжение. При импульсном питании за счет выбора длительности импульса и частоты повторения величина средней
Фотоппенка
Рис. 13,32. Расположение элементов прибора при измерениях с помощью рентгеновских лучей.
мощности пучка может быть снижена практически до любого значения. Выбор длительности импульса ускоряющего напряжения определяется двумя соображениями:
1) средняя мощность пучка не должна превышать допустимую для данного материала фольги мощность рассеивания;
2) длительность импульса должна быть больше минимального времени накопления положительных ионов (формула 11,8'). Второе соображение относится к тому случаю, когда исследуемые пучки предназначаются для ламп, работающих в непрерывном режиме. Во многих случаях значение подходящей длительности импульса находился в интервале от нескольких миллисекунд до нескольких микросекунд.
Качество изображения электронного пучка в этом методе, а следовательно, и точность его, в значительной степени зависит от времени выдержки. Оптимальная выдержка зависит от ряда факторов, а именно: тока и ускоряющего потенциала пучка, длительности импульса и частоты повторения, чувствительности фотографической пленки. С ростом этих величин выдержка уменьшается. Кроме того, выдержка зависит от толщины фольги и расстояния между фольгой и пленкой. Увеличение этих величин требует увеличения выдержки. Для обеспечения высокой точности измерения желательно, чтобы выдержки были малыми. Более точных рекомендаций о выборе времени экспозиции дать не удается. В каждом конкрет
324
ном случае выдержка подбирается экспериментальным путем. Следует заметить, что при заданном токе и ускоряющем напряжении время выдержки увеличивается с ростом диа-
метра пучка.
Обратим внимание читателя еще на вопрос об ошибках
данного метода. Точность метода прежде тем, насколько правильно выбрана экспозиция. Как уже отмечалось, для экспозиций, больших нормальной, почернение фотопленки уже непропорционально энергии рентгеновских лучей. В значительной мере оно зависит от условий проявления, состава проявителя, его чистоты и температуры, времени проявления, а также от материала пленки. Влияние этих факторов на изображение учесть трудно. Поэтому ошибка в определении распределе-
всего определяется
Рис. 13,33. Устройство полого катода.
ния плотности тока пучка в лучшем случае составляет ~ 20%.
Кроме отмеченных причин, точность измерений еще зависит от рассеяния рентгеновских лучей в фольге и фотопленке.
Рис. 13,34. Фотографии поперечного сечения пучка с током 12 ма для разных значений индукции магнитного поля (0; 500; 1000 гс соответственно) ; время выдержки при длительности импульса 1 мсек и частоте повторения 2 гц—30,15 и 8 сек соответственно.
Влияние рассеяния тем заметнее, чем больше толщина фольги и расстояние от фольги до пленки. Поэтому диаметр измеряемого пучка должен быть на порядок больше толщины фольги, а фотопленка по возможности плотно прижата к ней.
Определенная ошибка также будет вноситься при фото-метрировании.
Опишем два примера измерений, выполненных с помощью рассмотренного метода. Первый пример относится к измерению радиального распределения плотности тока в пучке [27]. Электронный пучок создавался полым катодом, разрез которого показан на рис. 13,33. Анодом служила медная фольга толщиной 50 мк.
Для фокусировки электронного пучка применялось магнитное поле. На рис. 13,34 приведены фотографии изобра-
325
жения поперечного сечения пучка, полученные для разных величин фокусирующего магнитного поля. Ускоряющий потенциал во всех случаях оставался постоянным и был равен 6 кв.
Рис. 13,35. Зависимость диаметра fl и фактора формы пучка S от фокусирующего магнитного поля.
Остальные величины, характеризующие условия измерений, приведены на рис. 13,34. Из фотографий видно, что такая пушка при указанных условиях создает трубчатый пучок, кольцевое сечение которого зависит от магнитного поля.
Рис. 13,36. Изменение поперечного сечения пучка с ростом магнитного поля.
Распределение плотности тока по кольцевому сечению неравномерное.
На основании фотографий изображения сечения пучка получены некоторые количественные данные.
На рис. 13,35 приведены кривые зависимости наружного диаметра и фактора формы 1 пучка от магнитного поля. Из
1 Фактор формы пучка — отношение плотности тока в данной точке к максимальному значению в кольцевом сечении пучка.
326
рисунка видно, что с ростом магнитного поля диаметр пучка уменьшается и стремится к постоянной величине, которая немного превосходит диаметр катода. Фактор формы сначала уменьшается (до 10%), а затем увеличивается до тех пор, пока трубчатый пучок не превратится в сплошной.
В качестве второго примера приведем результаты исследования конически сходящегося пучка [28]. Условия опытов были следующие. Формирование и фокусирование пучка осуществлялось сначала в электронной пушке, а затем с помощью магнитной параболической линзы (см. § 9,6). Импульсный режим пучка характеризовался следующими данными: ускоряющий потенциал — 150 кв, ток пучка доходил до 10 а, дли-
2fMM
О ОЛ Q8 1.2	1.6	20Ю3 В,гс
Рис. 13,37. Уменьшение диаметра конически сходящегося пучка с ростом магнитного поля:
1 — угол сходимости 1°40'; 2 — угол сходимости 3°5'.
тельность импульса — 2 мксек, частота посылок — одна посылка в секунду. Танталовая фольга толщиной 0,1 мм помещалась в области фокуса пучка на расстоянии 100 мм от начала магнитной линзы.
Фокусирующее действие линзы определялось по зависимости размеров изображения пучка на фотопленке от значения магнитного поля на оси симметрии линзы. На рис. 13,36 приведены фотографии для различных значений магнитного поля. Фотометрирование снимков осуществлялось с помощью фотометра МФ-2.
На рис. 13,37 приведены кривые зависимости размеров изображения фокусного пятна (сечения пучка) от значения
327
магнитного поля. Размеры изображения определялись по ширине фотометрической кривой (рис. 13,38) на уровне 50% от максимального значения.
Оценка плотности тока исследованного пучка (/=80 а/см2) показывает, что рентгеновский метод пригоден для измере* ний интенсивных электронных пучков.
Рис. 13,38. Распределение плотности почернения фотографического изображения сечения пучка для разных значений магнитного поля.
13,6. Другие методы измерения и замечания о моделировании пучков
В предыдущих параграфах подробно проанализирован ряд методов измерений. В данном параграфе мы коротко рассмотрим другие методы измерений, а именно: фотографирование, метод составного коллектора и некоторые методы индикации. Кроме того, будут сделаны замечания о моделировании электронных пучков.
А. Фотографирование
Для фотографирования пучка с целью определения его размеров и профиля используется свечение остаточных газов в объеме пучка вследствие возбуждения молекул газа. Пример фотографии электронного пучка цилиндрической формы показан на рис. 13,39. Эта фотография получена для пучка длиной 60 мм, диаметром 2 мм, при плотности тока 0,5 а!см2. Снимок показывает, что границы пучка достаточно резко очерчены по всей длине пучка.
Важным преимуществом этого метода является его наглядность и возможность определять сложные профили пучков сразу по всей длине. Отметим, что свечение газа на пути
328
Рис. 13,39. Фотография свечения, создаваемого цилиндрическим электронным пучком; давление газа в баллоне 4-10-5 мм рт. ст.
электронного пучка можно не только фотографировать, но и визуально наблюдать. Как наблюдение, так и фотографирование лучше производить в затемненном помещении.
Возможности применения метода определяются интенсивностью излучения светящегося газа, требуемой точностью измерений и конструкцией электронно-оптической системы. Интенсивность излучения из единицы объема пучка пропорциональна числу возбужденных молекул в этом объеме. Последнее определяется числом столкновений электронов с молекулами таза в рассматриваемом объеме за единицу времени. Поэтому интенсивность пропорциональна числу мо
лекул газа в единице объема и зависит от давления, температуры и рода газа, плотности электронов в пучке, формы их траекторий и скорости. Вообще говоря, фотографирование можно производить при сколь угодно высоком вакууме, но при этом потребуется очень большое время экспозиции. Приемлемой считается выдержка от минуты до нескольких часов. Поэтому фотографический метод чаще применяют при давлении газа в интервале от 10~8 до 10~6 мм рт. ст.
Следует иметь в виду, что от числа молекул в единице объема зависит как число возбужденных молекул, так и поглощение резонансного излучения. Поэтому зависимость времени экспозиции от давления оказывается нелинейной. Так как интенсивность излучения помимо давления газа определяется и кинематикой движения электронов, то выдержки зависят от способа фокусировки. Например, при магнитной фокусировке пучков происходит удлинение траекторий электронов и интенсивность излучения становится достаточной для фотографирования при давлениях, которые несколько меньше, чем указанные выше.
Для ускоряющих потенциалов, меньших 10 в, столкновения электронов с молекулами газов являются полностью упругими, и никакого свечения не наблюдается. Следовательно, пучки с ускоряющим потенциалом ниже 10 в этим методом исследовать нельзя.
При фотографировании пучков термоэлектронов необходимо учитывать маскирующее действие света, создаваемого накаленным катодом. Ослабление света от катода может быть достигнуто применением остаточного газа с интенсив
3QQ
ными спектральными линиями в голубой части спектра (например СОг [29]) и последующей фильтрацией излучения с помощью голубого фильтра.
Из нашего опыта работы известно, что резкость границ пучка зависит от давления газа. С ростом давления при неизменных остальных параметрах границы пучка становятся менее резкими. При заметном расширении пучка не всегда удается наблюдать его точные границы. Резкость границ пучка зависит также от углового распределения рассеянных
Рис. 13,40. Зависимость ширины плоского пучка от его тока (сплошная линия — эксперимент, пунктирная — расчет).
электронов вследствие столкновения с молекулами газа и углового распределения резонансного излучения. Поэтому резкость фотоснимка пучка будет разной при прохождении пучка через разные газы.
Приведем примеры использования данного метода. На рис. 13,40 показан график зависимости ширины плоского пучка от его тока для случая, когда пучок проходит в замедляющем электрическом поле [29]. Плоский пучок создавался в плоском триоде, на анод которого подавался потенциал, меньший потенциала сетки.
Ширина пучка измерялась у отражающего электрода: сплошная кривая — экспериментальная, пунктирная — теоретическая. Экспериментальные значения ширины пучка определялись по фотографиям. Обе кривые имеют одинаковый ход. Отличие их состоит в том, что измеренные значения ширины пучка больше расчетных и экспериментальная кривая идет круче.
330
Результаты применения фотографического метода показали, что он обладает достаточной чувствительностью (сравнительно небольшое время экспозиции при обычно встречающихся на практике параметрах пучков) и для среднего вакуума (р~10-5лш рт. ст.) приемлемой точностью. Как показали наши опыты, диаметры пучков, измеренные по фотографиям, оказываются больше, чем измеренные дыроч-
Рис. 13,41. Различные стадии фокусировки электронного пучка магнитным полем.
ной камерой. Это различие зависит от степени вакуума и характера пространственного распределения потенциала в области пучка.
В другой работе [30] с помощью фотографического метода исследовалась динамика электронного пучка при магнитной фокусировке, когда электронная пушка экранирована от магнитного поля.
Фотографии на рис. 13,41 показывают различные стадии фокусировки электронного пучка, получающиеся при постепенном увеличении магнитного поля. Пучок имел ток 9,5 ма, диаметр приблизительно 3 мм, длину 120 мм при ускоряющем потенциале 500 в. Индукция магнитного поля изменялась от О,661Во до 3,55В0; Bq — значение индукции, необходимое для бриллюэновской фокусировки.
Исследование фотографий указывает на наличие спиральных выступов, их асимметрию и образование острых, стреловидных передних краев. Это явление наблюдается в том случае, когда не выполняется условие параксиальности и пучок является неламинарным. Теоретический анализ,
331
выполненный в работе [31], показал, что электроны кольцевых слоев, наиболее удаленных от оси пучка, движутся по спиралям и образуют спиральную токовую полосу, радиус которой
г = rm cos
тгг
где гт — максимальный радиус полосы;
X — расстояние между выступами;
Ф — начальный фазовый угол (при z = 0).
Расстояние X определяется соотношением
где Хс = 2к [(ZiqV)1/2/^] ~ циклотронная длина волны.
Поскольку существуют и другие причины неламинарности движения электронов: неоднородность скоростей, плотности заряда и тепловые эффекты, то становится понятным, почему трудно создать ламинарный пучок с помощью электронной пушки, экранированной от магнитного поля.
Рис. 13,42. Расширение пучка ионов под действием пространственного заряда.
Данным методом можно исследовать не только электронные, но и ионные пучки.
Укажем на один пример применения рассматриваемого метода. В работе [32] описываются результаты опытов по исследованию параметров пространственного заряда k и сложных профилей пучков ионов аргона. Приведенные в работе результаты представляют интерес при проектировании как ионных источников, так и электронных пушек. В частности, фотографии светящегося газа в объеме ионного пучка использовались для ис-гледования (рис. 13,42) расширения пучка под действием пространственного заряда.
Давление аргона составляло от 10-4до 5-10~~4 мм рт. ст.
Сравнение значений параметров пространственного заряда, измеренных по фотографиям и рассчитанных по формуле (8,39), показывает, что различие между ними малое,
несмотря на определенные отличия геометрической формы электродов
Отметим также, что рассчитанные профили пучков и измеренные оказались подобными.
Б. Метод составного коллектора
Составной коллектор представляет собою набор изолированных друг от друга электродов (например пластин), каждый из которых имеет свой вывод. Измеряя ток на электроды, находят распределение тока в поперечном сечении пучка. Расположение электродов по поперечному сечению пучка, расстояние между ними, их форма, размеры и число определяются требованиями конкретной задачи об исследовании пучка. Составной коллектор имеет наиболее простую конструкцию при исследовании широких электронных пучков средней мощности.
С помощью составного коллектора можно определить распределение плотности тока по сечению пучка, а следовательно, и размеры поперечного сечения пучка в плоскости коллектора.
Методы составного коллектора и дырочной камеры с несколькими отверстиями имеют некоторое сходство. В обоих методах исследование пучков производится на основании выделения из всего пучка небольших частей. Различие этих методов состоит в том, что составной коллектор неподвижен, тогда как в методе дырочной камеры пластинка с несколькими отверстиями перемещается в плоскости, перпендикулярной к направлению пучка.
Разрешающая способность и точность метода составного коллектора, как легко видеть, определяются размерами отдельных электродов и зазорами между этими электродами. Этим же в значительной мере обусловлена степень искажения потенциала у коллектора.
Метод составного коллектора применялся, например, в работе [33] с целью измерения радиального распределения плотности тока в пучке. Коллектор состоял из восьми изолированных друг от друга квадратных электродов со стороной 3 мм, расположенных по диаметру пучка. Измерения производились с пучками, получаемыми с помощью магнитного ограничения (см. стр. 189) и отличавшимися значениями тока эмиссии. Например, было измерено j (г) в двух пучках, которые имели одинаковые длину — 60 см9 диаметр — приблизительно 20 мм, ускоряющий потенциал — 10 в, фокусирующее магнитное поле — 690 гс и токи — 0,158 ма и 0,335 ма. Кривые /(г), приведенные в работе, показывают, что при малых
1 Диафрагма с круглым отверстием и пушка Пирса для получения конически сходящегося пучка соответственно.
333
токах эмиссии плотность тока растет с приближением к оси, а при больших токах на оси пучка образуется минимум плотности тока. Таким образом, постоянство плотности тока по сечению пучка не соблюдается.
Эти опыты также показали, что, во-первых, минимум плотности тока на оси пучка с уменьшением энергии электронов становится глубже, во-вторых, постоянство / (г) не соблюдается при токах, которые значительно меньше предельных.
Метод составного коллектора часто применяется для измерения распределения плотности тока пучка ускоренных ионов в плоскости мишени циклотрона [34]. В этом случае на место мишени ставится специальный зонд-коллектор, состоящий из набора металлических пластинок, изолированных как друг от друга, так и от корпуса («земли»). Измеряя ток на отдельные пластинки, можно построить кривую распределения плотности тока. Для измерения тока каждую пластинку соединяют с корпусом через калиброванное сопротивление. Ток в цепи каждой пластинки можно измерять или непосредственно токовым прибором или измеряя напряжение на калиброванных сопротивлениях, создаваемое током ускоренных ионов. Таким путем определяют плотность тока на разных участках поперечного сечения ионного пучка.
В описываемой работе измерение разности потенциалов на калиброванных сопротивлениях производилось поочередным подключением к пластинкам градуированного усилителя постоянного тока с индикатором на его выходе. Переключение усилителя в подобного рода случаях можно производить вручную или автоматически. В работе [34] использовался электронный коммутатор с малым временем переключения Ч Время переключения пластинок выбирается столь малым, чтобы за время измерения распределение плотности тока в пучке не могло существенно измениться. В качестве индикатора распределения потенциала на пластинках коллектора применялся осциллограф. При этом изменения в распределении плотности тока по поверхности коллектора фиксировались визуально или на фотопленке.
Для контроля положения пучка и качественной оценки его параметров применяется ряд методов, которые являются индикаторными. В таких методах применяются следующие индикаторы пучков: экран, покрытый слоем флюоресцирующего вещества или сажи, металлическая сетка, покрытая виллемитом, экран из пластинки графита, ограничивающие металлические диафрагмы, катушки, эмитеры вторичных электронов [36], счетчики нейтронов [37] и т. д.
1 Схема электронного переключателя и описание его работы приводятся там же.
334
Основным требованием к перечисленным методам индикации является малое влияние на пучок. Эти методы применяются для контроля слабых и интенсивных, низковольтных и высоковольтных пучков в электронных микроскопах, элек-тронографах, линейных ускорителях заряженных частиц и т. д.
Флюоресцирующий экран как индикатор помещается на пути пучка и используется для наблюдения очертания сечения пучка и его положения относительно оси системы электродов. Метод флюоресцирующего экрана пригоден для индикации как нерелятивистских, так и релятивистских пучков. Преимущества этого метода заключаются в простоте и малом времени, требующемся для наблюдения. Металлическая сетка, покрытая флюоресцирующим веществом, имеет лучшую проницаемость, чем экран.
Для приближенной оценки формы и размеров поперечного сечения интенсивных пучков в ряде случаев можно применять графитовую пластинку, на которую попадает пучок. Графитовая пластинка легко рассеивает высокие удельные мощности индицируемых пучков. Размеры светящегося пятна на графите находятся в хорошем соответствии с поперечными размерами пучка.
Оценка поперечного размера пучка может быть осуществлена при помощи диафрагм, расположенных по длине пучка. Кроме того, применяя диафрагмы с разными отверстиями и измеряя ток на них, можно приближенно найти и распределение плотности тока пучка.
Для приближенного определения диаметра протяженного электронного пучка большой плотности тока можно воспользоваться оплавлением отверстий системы диафрагм, которые моделируют пролетный канал системы. Такой способ иногда применяется для проверки электронно-оптической системы мощных приборов СВЧ.
Индикацию положения и тока импульсного пучка в линейном ускорителе электронов можно осуществить при помощи катушек [35].
Принцип действия такого индикатора основан на наведении пучком электродвижущей силы в катушках. Исследуемый пучок пропускают между двумя одинаковыми катушками П\ и и2 (рис. 13,43). Если пучок проходит симметрично относительно обеих катушек, то в них наводятся равные э. д. с.
При встречном включении катушек электродвижущие силы компенсируются. Вследствие смещения пучка симметрия нарушается, полной компенсации не будет и выходной сигнал V является мерой смещения Ах. Чтобы регистрировать смещения в двух взаимно-перпендикулярных направлениях необходимо иметь две пары таких катушек.
При последовательном включении катушек индуцированные э. д. с. будут складываться и даже при смещении пучка
335
суммарный сигнал будет мало изменяться. В этом случае выходной сигнал определяется током импульсного пучка и применяется для его измерения.
Определение характеристик и параметров возможно не только путем непосредственного исследования самих электронных пучков, но также путем исследования их моделей. К моделированию прибегают в тех случаях, когда непосредственное исследование пучков по тем или иным причинам
затруднительно или вообще невозможно. Выполнение прямых измерений чаще всего оказывается невозможным для пучков, обладающих высокой удельной мощностью, высокими (релятивистскими) скоростями и т. п. В частности,, высокая удельная мощность пучков ставит предел измерению из-за пре-
Рис. 13,43. Измеритель вышения допустимой мощности рас-с катушками для инди- сеяния на измерительных электро-кяттии ППЛПЖРМИЯ им-	- -	*	г
кации положения им пульсного пучка.
дах. Моделирование создает возможности для исследования пучков
с достаточно высокими значениями параметров. Исследование пучков релятивистских электронов может быть заменено исследованием нерелятивистской модели пучка [38].
Всякое моделирование основано на подобии явлений, происходящих в моделируемой системе и ее модели. Это подобие выражается в совпадении уравнений, описывающих систему и модель и нередко бывает приближенным.
Моделирование электронных пучков другими пучками по существу сводится к моделированию режимов.
Для создания пучка-модели производится расчет подобия, использующий критерии подобия [39]. Последние представляют собой безразмерные числа, тождественность которых характеризует подобные системы. Критерий подобия находится из уравнения системы и ее модели. Подчеркнем, что при моделировании рабочих режимов пучков приходится моделировать и геометрические величины.
В качестве примера рассмотрим критерий подобия для пучков, получаемых при бриллюэновской фокусировке. Для них критерий подобия имеет следующий вид:
н' он
г м' ом
где индекс «н» обозначает основной образец, то есть натуру, а индекс «м» — исследуемую модель.
Очевидно, что для пучков, фокусируемых иными способами, критерии подобия будут другие. Используя критерий подобия, заменяют мощный пучок с высоким значением тока
336
более слабым пучком, одновременно изменяя и другие вели* чины, входящие в критерий подобия.
С целью понижения средней мощности пучка весьма часто переходят на импульсное питание. При этом длительность импульса может уменьшаться только до определенного значения. Для того, чтобы роль положительных ионов в пучке не изменилась, длительность импульса должна быть больше минимального времени накопления ионов. Моделирование и импульсное питание, применяемые одновременно, создают возможности для исследования пучков с любыми высокими параметрами. Следовательно, моделирование и переход на импульсное напряжение дополняют друг друга.
Выше отмечалось, что при моделировании электронных пучков используются соотношения, которые получаются из приближенной теории. По этой причине при исследовании свойств пучков путем моделирования учитываются не все явления, происходящие в пучках Ч Кроме того, моделирование сопряжено с некоторым искажением явлений. Эти обстоятельства следует иметь в виду при практическом применении метода моделирования.
13J. Относительные преимущества и недостатки отдельных методов
В заключение анализа экспериментальных методов исследования проведем их сравнение [40].
Прежде всего следует отметить, что каждый метод имеет определенную ограниченную область применения. Существуют различные ограничения отдельных методов по величине плотности тока, по интервалу ускоряющих потенциалов, по величине удельной мощности пучка, по геометрическим размерам и форме и т. д.
Во всех методах, в которых исследуемый пучок попадает на измерительный электрод (например, пластинка со щелью), имеется ограничение по величине максимальной удельной мощности пучка.
В методах подвижной щели, дырочной камеры, составного коллектора и рентгеновских лучей пучок все время нагревает соответствующий измерительный электрод. Поэтому максимальная мощность исследуемых пучков ограничивается значением допустимой удельной мощности рассеивания материала измерительного электрода. Последняя в большинстве случаев составляет единицы ватт на квадратный сантиметр 1 2.
1 По существу модель пучка может служить только для проверки правильности решения соответствующей задачи и соответствия принятых упрощающих допущений реальным условиям.
2 Охлаждение измерительных электродов не производится.
22 Н. С. Зинченко
337
Метод вибрирующего зонда допускает измерение пучков, имеющих мощность во много раз большую, чем мощность рассеивания, поскольку вибрирующий зонд находится в пучке непродолжительное время. В случае вибрирующего зонда допустимая максимальная удельная мощность исследуемого пучка определяется, кроме материала зонда, частотой колебаний зонда и соотношением между амплитудой колебаний и диаметром пучка. Практически эта мощность может превышать на один-два порядка и больше удельную мощность рассеивания [13].
Таким образом, по величине допустимой удельной мощности исследуемого пучка метод вибрирующего зонда имеет существенные преимущества по сравнению с другими указанными методами.
Ограничение применений этих методов со стороны удельной мощности рассеивания до определенной степени можно устранить, переходя на импульсное питание, т. е. понижая среднюю мощность пучка.
Существование допустимой удельной мощности пучка является одной из причин, которыми определяются интервалы значений плотности тока и ускоряющего потенциала. Максимально допустимая мощность пучка ограничивает верхний предел как плотности тока, так и ускоряющего потенциала пучка. Имеются и другие причины, от которых зависят приемлемые для измерений значения плотности тока и ускоряющего потенциала. Для разных методов измерения эти причины разные. Например, в случае дырочной камеры при заданном ускоряющем потенциале пучка максимальная плотность тока определяется возможностью прохождения части тока через малое отверстие в пластинке, так как последнее является эквипотенциальным каналом. Очевидно, этим же обстоятельством определяется нижний предел ускоряющего потенциала при заданной плотности тока пучка.
В рентгеновском методе решающим является возбуждение рентгеновского излучения. Поэтому рентгеновский метод применим для исследования высоковольтных пучков и совсем не может быть использован для пучков с ускоряющим потенциалом меньше киловольта.
Существуют ограничения по размерам поперечного сечения измеряемых пучков. Измерение очень тонких пучков (диаметр меньше 0,25-н 0,1 мм) встречается со значительными затруднениями, а иногда оказывается невыполнимым с помощью рассмотренных методов (особенно для высокоинтенсивных пучков).
Для определения формы поперечных сечений пучков требуется проделать много измерений вдоль разных направлений в сечении.
338
Число параметров, измерение которых допускается тем или иным методом, также характеризует возможности этих методов. Ряд методов (подвижная щель, рентгеновский метод, составной коллектор) позволяет измерять размеры поперечного сечения и распределение плотности тока. Хотя измере-пия этих параметров имеют особенно большое значение, они не являются во всех случаях достаточными.
Серьезным недостатком некоторых методов (подвижная щель, дырочная камера, рентгеновский метод, составной коллектор) является тот факт, что они позволяют измерять поперечные размеры, форму и распределение плотности тока только в плоскости измерительного электрода, то есть в конце пучка. При этом измерения в промежуточных плоскостях между ускоряющей диафрагмой и коллектором исключаются. Наоборот, с помощью вибрирующего зонда, зондирующего пучка и фотографирования можно производить измерения вдоль всего пучка.
Следует также отметить, что при измерениях распределения плотности тока пучка с помощью подвижной щели, прямого края экрана, зонда (вибрирующего и медленно перемещаемого) происходит усреднение по азимутальной координате. Поэтому эти методы не могут применяться для исследования азимутальной неоднородности пучков.
Укажем на определенные пространственные ограничения. Эти ограничения определяются возможностью применения того или иного метода измерения в данной электронно-оптической системе. Например, возможности измерения пучков в электронно-оптическом приборе будут разные в зависимости от того, какая применяется фокусировка. Поэтому многие методы не могут быть использованы для исследования пучков в готовых электронно-оптических приборах. В подобных случаях приходится изготовлять специальные измерительные макеты, которые служат только для исследований, предшествующих разработке приборов.
В тех случаях, когда для измерения одних и тех же параметров могут быть использованы разные методы, выбор метода определяется простотой конструкции измерительного прибора, точностью методики, удобством и трудоемкостью процесса измерения.
Так, метод дырочной камеры с одним отверстием в конструктивном отношении является одним из сложных. В случаях измерения очень тонких аксиально-симметричных пучков он особенно усложняется необходимостью точного центрирования всего прибора. Правильная картина распределения плотности тока и размеры поперечного сечения получаются лишь в том случае, когда при перемещении пластинки отвер
22*
339
стие проходит через ось пучка. Применение пластинки с несколькими отверстиями или одного отверстия, образованного двумя взаимно-перпендикулярными перемещающимися щелями, значительно ослабляет указанный недостаток этого метода.
Механические конструкции, используемые в методе подвижной щели, проще, чем в методе дырочной камеры. Это существенно облегчает центрирование прибора, почему иногда и отдают предпочтение методам подвижной щели и прямого края.
Метод зондирующего пучка по сложности его практического осуществления относится к наименее выгодным методам. Это проявляется особенно в тех случаях, когда требуется измерять тонкие электронные пучки.
По точности измерения параметров методы зондирующего пучка, рентгеновский и фотографический уступают методам дырочной камеры, вибрирующего зонда, подвижной щели и прямого края экрана. Последняя группа методов обладает весьма высокой точностью, если мал пространственный заряд, создаваемый вторичными электронами из соответствующих пробных электродов. Самые малые ошибки измеряемых величин дает метод дырочной камеры.
Следует обратить внимание на то, что степень возмущения пучка вибрирующим зондом и подвижной щелью разная: возмущение пучка вибрирующим зондом меньше, чем подвижной щелью.
Недостатком некоторых «механических» методов (подвижная щель, дырочная камера) является трудоемкость процесса измерения. При этом нельзя упускать из вида степень сложности обработки экспериментальных данных. Например, замена дырочной камеры подвижной щелью облегчает центрирование прибора и сокращает время измерений, но зато появляется необходимость выполнять расчет распределения плотности тока в пучке по измеренным значениям щелевого тока, который требует значительного времени.
Иногда к методам измерения предъявляются требования обеспечить непрерывное наблюдение за изменением пучка — за степенью фокусировки, распределением плотности тока и отклонением пучка. Такую возможность дает метод вибрирующего зонда, причем для измерения параметров не требуется прерывать основные опыты.
Таким образом, пригодность того или иного метода определяется в каждом конкретном случае измерения возможностью применения его в данной электронно-оптической системе, числом параметров, которые можно измерять, точностью измерения, простотой конструктивного выполнения и трудоемкостью измерений и их обработки.
340
13,8.	Необходимость и возможные направления дальнейшей разработки методов
Проведенный анализ методов измерения пучков приводит к следующим выводам:
1)	не только отдельные, но даже совокупность всех известных в настоящее время экспериментальных методов не позволяет измерять все параметры, которые важны при различных применениях пучков;
2)	точность некоторых методов не удовлетворяет предъявляемым требованиям;
3)	некоторые из применяемых методов недостаточно обоснованы в количественном отношении.
Отметим, что известные методы измерений не охватывают исследование «тонкой структуры» пучков: малых неоднородностей, флуктуаций, колебаний электронов, волн пространственного заряда. Нет надежных способов измерения плотности положительных ионов в электронных пучках. То же следует сказать и об исследовании неустойчивых состояний пучков. Часто разработанные методы не удовлетворяют специ* фическим особенностям измерений релятивистских пучков.
Таким образом, методы исследования электронных пучков отстают от развития электронной оптики. Это тормозит как развитие самой электронной оптики, так и областей ее применений. Поэтому первоочередными задачами техники измерений электронных пучков являются улучшение теории и практики измерений известных методов. Следует иметь в виду, что возможности этих методов еще полностью не использованы. Необходимо более строгое обоснование и, особенно, более строгая оценка точности некоторых методов, в частности, метода зондирующего пучка, рентгеновского метода и измерения распределения потенциала вибрирующим зондом. Важной задачей является учет вторичной эмиссии из пробных электродов.
Кроме улучшения известных методов, необходимо разрабатывать новые методы, основанные на иных принципах измерений. Разработка новых методов измерений диктуется как ограниченностью применений известных методов, так и новыми применениями электронных пучков.
Расширение областей применения пучков предъявляет к ним новые разнообразные требования. Это в свою очередь порождает новые требования к методам исследования пучков.
Отметим некоторые из актуальных и новых применений электронной оптики. В первую очередь следует назвать три известные основные проблемы электроники сверхвысоких частот: повышение частоты генерируемых колебаний, повышение к. п. д. генераторов и усилителей СВЧ и понижение уровня собственных шумов электронно-оптических приборов
341
СВЧ. Решение этих проблем невозможно без улучшения оптики пучков и ряда их параметров.
Новые применения пучков и в связи с этим -новые требования к ним возникли также в связи с новым направлением в ускорительной технике, требующем резкого повышения тока пучков. Здесь необходимо получить ток ускоренных частиц, который бы превышал на несколько порядков уровень, достигнутый в настоящее время.
Для осуществления ядерных реакций с помощью встречных релятивистских электронных пучков также необходимы пучки со значительной плотностью тока [41].
Важные применения плотных пучков заряженных частиц появились в связи с разработками ионных и плазменных двигателей и ракет [42].
Следует еще отметить применение мощных электронных пучков для вакуумной плавки [43]. Электронно-лучевой метод плавки любых металлов, полупроводников и диэлектриков (в том числе и керамических диэлектриков) позволяет получить особо чистые материалы.
Появление новых видов фокусировки обычно приводит к необходимости видоизменения методов измерения пучков. Такое положение создалось, например, в связи с появлением центробежно-электростатической фокусировки, магнитной фокусировки в замедляющем электрическом поле [44] и других.
Укажем теперь некоторые возможные пути разработки новых методов экспериментального исследования пучков.
1.	Наличие электронного пучка в волноводе приводит к изменению волнового сопротивления волновода. Проведенные расчеты показывают, что можно измерять некоторые параметры пучка путем измерения волнового сопротивления волновода, вдоль оси которого проходит интенсивный электронный пучок.
2.	Заслуживающими внимания являются спектрометрические методы, основанные на измерении спектров возбужденных молекул остаточного газа. Эти методы могут дать сведения о многих элементарных процессах, происходящих в пучках.
3.	Особое внимание следует уделить методам исследования, использующим такие явления, как собственные шумы и шумовые спектры пучков. Применяя точные методы анализа шумов и спектров, можно получить полную картину процессов, происходящих в пучках.
Следует отметить, что статистическая теория флуктуационных процессов в электронных пучках с целью применения для измерений в настоящее время еще не разработана. Разработка таких методов исследования позволит всесторонне изучить пучки без какого-то бы ни было возмущения их. Последние два метода позволят выполнять измерения с пучками в готовых электронно-оптических приборах.
342
Таким образом, техника измерений пучков в настоящее время является наиболее отсталой областью электронной оптики.
Мы надеемся, что приведенный в данной главе анализ экспериментальных методов исследования пучков, отдельные примеры измерений и сравнительная оценка отдельных методов помогут экспериментаторам правильно выбрать наиболее подходящую методику в различных конкретных случаях измерений.
Приложение
В настоящее время в литературе по электронной оптике нет единых обозначений: в различных работах для расчетов применяются различные системы единиц, одной и той же буквой обозначаются то абсолютные, то алгебраические значения физических величин и при этом часто не делается никаких оговорок. Вследствие этого некоторые, даже основные, соотношения принимают различный вид, что затрудняет сравнение результатов, полученных разными авторами.
С целью облегчения пользования книгой приводим обозначения основных величин и правила знаков, принятые в данной книге.
1.	Все расчеты приводятся в практической системе единиц МКСА. Потому магнитная проницаемость вакуума р0 равна
|х0 = 4тс. 10~7 гн/м ~ 1,257 • 10~6 гн!м.
а диэлектрическая проницаемость вакуума «0 равна
1 л—9
ео = 7^- Ф1М = 8,854-10~’2 Ф1м.
оотс
2.	Для абсолютной величины заряда электрона принято обозначение е. Поэтому заряд электрона равен
>-19 _
— г = —1,6020-10
3.	Для абсолютной величины отношения заряда электрона к его массе принято обозначение ц. Поэтому
Ч = —= 1,7592-10“ к!кг.
4.	Для алгебраической величины объемной плотности пространственного заряда принято обозначение р.
5.	В соответствии с принятым правилом знаков уравнение Пуассона записывается в виде
ду== —-Р- .
®0
344
6.	Так как в значительной части книги рассматриваются токи, создаваемые электронными потоками, то для удобства записи большинства формул положительным считается ток, направленный противоположно движению электронов. Это соответствует правилу знаков во всех книгах по электронным лампам, где положительным считается анодный ток. Поэтому в книге принято
j = —р-п.
7.	В книге применяются правовинтовые системы координат. Поэтому угловая скорость электрона в однородном магнитном поле определяется соотношением
Остальные обозначения затруднений у читателя не вызовут.
ЛИТЕРАТУРА
Общая библиография
Г. А. Гринберг. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений (гл. XXIV), АН СССР, М.—Л., 1948.
В.	Е. К о с с л е т. Введение в электронную оптику, пер. с англ., под ред. С. Ю. Лукьянова, ИЛ, М., 1950.
Е. А. В а й н р и б, В. И. Милютин. Электронная оптика, Госэнер-гоиздат, М.—Л., 1951.
А.	Рустерхольц. Электронная оптика, пер. с немецкого, под ред. акад. П. И. Лукирского, ИЛ, М., 1952.
Н. А. Капцов. Электроника, Гостехтеоретиздат, М., 1953.
В.	М. Лопухин. Возбуждение электромагнитных колебаний и волн электронными потоками (приложения), Гостехтеоретиздат, М., 1953.
Электронные лампы, ч. II, пер. с англ., под ред. С. А. Оболенского, изд-во «Советское радио», М., 1953.
Дж. Р. Пирс. Теория и расчет электронных пучков, пер. с англ., под ред. М. В. Цехановича, изд-во «Советское радио», М., 1956.
Д. А. Р о ж а н с к и й. Физика газового разряда, Объединенное научно-техническое изд-во НКТП СССР, М.—Л., 1937.
М. Д. Стретт. Современные многосеточные электронные лампы, ред. и дополн. В. С. Лукошкова, Госиздат оборонной пром., М., 1940.
Ю. А. Кацман. Основы расчета радиоламп, Госэнергоиздат, М.— Л.» 1952.
Электроника, под ред. А. А. Жигарева, Госэнергоиздат, М.—Л., 1951.
Д. В. Зернов. Электронная оптика и ее применения, Успехи физических наук, 21, 162. 1939.
Э. Брюхе и О. Шерцер. Геометрическая электронная оптика, Журнально-газетное изд-во, Л., 1943.
М. Я. Мул я ров. Электронно-лучевые приборы, Госэнергоиздат, М.—Л.» 1954.
В. К. Зворыкин и Д. А. Мортон. Телевидение (вопросы электроники в передаче цветного и монохромного изображений), пер. с англ, под ред. проф. С. И. Катаева, ИЛ., М., 1956.
В. Глазер. Основы электронной оптики, пер. с немецкого, под ред. проф. В. А. Фабриканта, Гостехтеоретиздат, М., 1957.
В. Т. Овчаров. Аксиально-симметричные электронные пучки заданной формы, ДАН СССР, 107, 1, 47, 1956.
В. Т. Овчаров. Теория формирования электронных пучков, Радиотехника и электроника, 2, 6, 696, 1957.
К главе II
1. F. Dray. Bell Syst. Techn. J. 18. 1 (1939). Электростатическая электронная оптика.
346
К главе III
1.	В. С. Л у к о ш к о в. Электролитический метод изучения электростатических полей, ИЭСТ, № 10, 1939.
2.	В. С. Л у к о ш к о в. Применение электролитического метода к изучению магнитных полей. ИЭСТ, № 4—5, 1940.
3.	В. С. Лукошко в, В. Л. Ильинский, Т. И. Тамаридзе. Графоаналитические методы построения траекторий электронов, ИЭСТ, № 7, 1940.
4.	F. Himpan. Telefunkenrohre, 16, 198 (1939). Новая конструкция электролитической ванны для определения потенциальных полей.
5.	R. Theile, F. Himpan. Telefunkenrohre, 18, 50 (1940). Выбор материала электродов для определения поля в электролитической ванне.
6.	В. Е. Боголюбов, Ю. М. Ш а м а е в. Электролитическая ванна с минимально искажающими стенками. Электричество, № 10, 68, 1954.
7.	А. А. Жигарев. Моделирование траекторий заряженных частиц, Некоторые вопросы электроники (сборник научных работ № 9), Московский инженерно-физический институт, Машгиз, М., 1955.
8.	В. С. Л у к о ш к о в. Электролитическая ванна с токовводящими элементами для изучения пространственного заряда в электронных приборах. Доклад на конференции общества радиотехники и электросвязи им. А. С. Попова, май 1955.
9.	Б. В. Бобыкин, В. М. Кельман и Д. Л. Каминский. Моделирование движения заряженных частиц в двумерном электрическом поле с учетом объемного заряда. ЖТФ, 22, 736, 1952.
10.	G. A. Alma, G. D i е m е г a. G г о е n d i j k. Phil. Techn. Rev., 14, 11, (1953). Модель резиновой мембраны для прослеживания электронных путей в полях с пространственным зарядом.
11.	G. В. Walker. Proc. Inst. Electr. Eng., 96, 11, 319 (1949). Факторы влияющие на работу резиновой модели.
12.	В. М. Ке л ь м а н и И. Ф. Краснов. Определение величины электронного тока в вакууме методом резиновой мембраны, ЖТФ, 25, 10, 1955.
13.	Л. А. Акользина. Поле многослойного цилиндрического соленоида. Электричество, № 7, 60, 1953.
14.	F. D о s s е. Zs. f. Phys., 117, 437 (1941). К измерению поля магнитных электронных линз.
15.	О. Klemperer, Н. Miller. J. Sc. Instr. 16, 121 (1939). Генератор с измерительной катушкой для измерения полей магнитных электронных линз.
16.	К. J. Williamson. J. Sc. Instr., 24, 242, (1947). Применение метода магнитного шарика для измерения распределения магнитного поля на оси линз электронного микроскопа.
17.	D. Gabor. Nature, 139, 373 (1937). Механический копировщик электронных траекторий.
18.	D. В. Langmuir. Nature, 139, 1066 (1937). Автоматическое построение электронных траекторий.
19.	Н. И. Штепа. Графоаналитическое построение пространственных траекторий заряженных частиц в электростатических полях методом радиусов кривизны. ЖТФ, 26, 10, 2281, 1956;
Н. И. Штепа. Построение пространственных траекторий заряженных частиц в электростатических полях методом радиусов кривизны. Радиотехника и электроника, 2, 5, 636, 1957.
20.	Н. И. Штепа. Графоаналитическое построение траекторий заряженных частиц в магнитных полях. Радиотехника и электроника, 2, 6, 790, 1957.
347
К главе VI
1.	В. С. Л у к о ш к о в. Электростатическое расталкивание электронов в пучке, ЖТФ, VI 1, 26, 1936.
2.	Е. Е. Watson. Phil. Mag., 7-th Series, 3, 849 (1927). Рассеяние электронного пучка.
3.	В. Van Borries a. J. Dosse. Archiv fiir Electrotech, 32, 221 (1938). Распространение электронных пучков с пространственным зарядом.
4.	В. I. Thompsona L. В. Headrick. Proc. I. R. E., 28, 318 (1940), Ограничения пространственным зарядом фокусировки электронных пучков;
Дж. Р. Пирс. Теория и расчет электронных пучков, изд-во «Советское радио», М., 1956;
В. М. Лопухин. Возбуждение электромагнитных колебаний и волн электронными потоками, приложения. Гостехтеоретиздат, М., 1953.
5.	Н. Moss. Wireless Engineer, 22, 262, 316 (1945). Об одной задаче о пространственном заряде и ее применение к расчету электронно-лучевых трубок.
6.	N. Wax. J. Appl. Phys.,20, 3, 242 (1949). Некоторые свойства трубчатых электронных пучков.
7.	L. Р. Smith а. Р. L. Hartman. J. Appl. Phys., 11, 220 (1940). Формирование и поддержание электронных и ионных пучков.
8.	A. Bouwers. Physica, 2, 145 (1935), Фокусировка тонких электронных пучков в вакууме.
9.	L. Field, К. Spangenberg, a. R. Н е 1 m. El. Communication, 24, 108 (1947). Управление расходимостью электронного пучка в высоком вакууме с помощью ионов.
К главе VII
1.	С. А. Богуславский. О влиянии пространственных зарядов на силу термионных токов. Труды Госуд. эксперимент, электротехн. ин-та, вып. 3, 18, 1924.
2.	В. Р. Бур си ан. ЖРФХО, 51, 289, 1921.
3.	В. Р. Б у р с и а н, В. И. Павлов. Об одном частном случае влияния объемного заряда на прохождение потока электронов в пустоте, ЖРФХО, 55, 1—3, 71, 1923, физический отдел.
4.	Л. Н. Д о б р е ц о в. Электронная и ионная эмиссия. Гостехтеоретиздат, М.—Л., 1952.
5.	М. Д. О. Стретт. Современные многосеточные электронные лампы, т. 2, Оборонгиз, 1951;
Ю. А. Кацман. Основы расчета радиоламп. Госэнергоиздат, Л.— М., 1952.
6.	В. С. Л у к о ш к о в. Электронный пространственный заряд и теория триода, ЖТФ, 6, 4, 624, 1936.
7.	В. И. Волосок и Б. В. Чириков. О компенсации пространственного заряда электронного пучка, ЖТФ, 27, 11, 2624 (1957).
8.	В. М. Лопухин. Возбуждение электромагнитных колебаний и волн электронными потоками, приложения, Гостехтеоретиздат, М., 1953.
9.	А. V. Н aeff. Proc. I. R. E., 27, 9 (1939). Влияния пространственного заряда в электронных пучках;
Н. С. Зинченко и В. М. Сорокина, Распределение потенциала в трубчатом электронном пучке конечной длины. Доклад на 4-й Всесоюзной конференции по радиоэлектронике МВ и ССО СССР, 26 октября 1960, Харьков.
10.	L. Р. S m i t h a. P. L. Hartman. J. Appl. Phys., 11, 220 (1940). Формирование и поддержание электронных и ионных пучков.
11.	В. Бродский. К вопросу о проходжении электронного пучка через полый металлический цилиндр. Техническая физика, сб. статей, 1941, стр. 151.
348
12.	Н. С. Зинченко и И. К. Овчинников. Прохождение пучка электронов через диэлектрическую трубку. Доклад на сессии АН УССР, апрель 1959 г.
К главе VIII
1.	С. D. Child. Phys, Rev. 32, 492, 1911, Разряд с накаленного СаО (движение положительных ионов).
2.	I. Langmuir. Phys. Rev. 2, 450, 1913. Влияние пространственного заряда и остатков газов на термионные токи в высоком вакууме.
3.	I. Langmuir and К. Blodgett. Phys. Rev. 22, 347, 1923, Токи, ограниченные пространственным зарядом между коаксиальными цилиндрами.
4.	I. Langmuir and К. Blodgett. Phys. Rev. 24, 49, 1924. Токи, ограниченные пространственным зарядом между концентрическими сферами.
5.	С. Е. Fay, A. L. Samuel and W. Shockley. Bell Syst. Techn. J. К теории пространственного заряда между параллельными плоскими электродами.
6.	Leigh Page and Norman I. Adams. J. Phys. Rev. 68, 5 4-6, 126, 1945, Пространственный заряд между коаксиальными цилиндрами.
7.	J. R. Р i ег се. J. Appl. Phys., 11, 548 (1940). Прямолинейный поток электронов в пучках.
8.	Р. N. Daykin. Brit. J. Appl. Phys., 6, 7, 248 (1955), Поверхности электродов для создания цилиндрического электронного пучка.
9.	Дж. Р. Пирс. Теория и расчет электронных пучков, стр. 178.
10.	Е. R. Harrison. Brit. J. Appl. Phys., 5, 40 (1954).
11.	Kuo-Chi Ho a I. Moon. J. Appl. Phys. 24, 1186 (1953). Распределение электростатического потенциала, применяемого в электроннооптических системах.
12.	3. С. Черно в. Системы с центробежно-электростатической фокусировкой электронного потока. Радиотехника и электроника, 1, 11, 1428; 1956.
13.	А. А. Воробьев. Ускорители заряженных частиц. Госэнергоиздат, М.—Л., 1949, стр. 107.
14.	Г. А. Гринберг. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений, гл. VIII, АН СССР, М.—Л., 1948.
15.	R. Helm, К. S р a n g е n b е г g a L. Field. Electr. Comm, 24, 1, 101 (1947). Метод расчета катода для электронно-лучевых ламп.
16.	Электронные лампы, пер. с англ, под ред. С. А. Оболенского, ч. II, изд-во «Советское радио», М., 1954, стр. 123.
17.	М. Д. Габо вич. Влияние объемного заряда при распространении интенсивных пучков заряженных частиц, УФН, 56, 2 (1955).
18.	W. Е. D а п i е 1 s о п, J. Z. R о s е п f е 1 d a. J. A. Sal oom. Bell Syst. Techn. J., 35, 2, 375 (1956). Анализ формирования пучка в электронной пушке Пирса.
19.	G. R. Brewer. J. Appl. Phys., 25, 243 (1954). Фокусировка электронных пучков с большим током (имеется перевод в сб. «Проблемы современной физики», 6, 1956).
20.	С. П. Тренева. Электронные пушки для формирования сплошных и полых конусообразных потоков с большой плотностью тока, Радиотехника и электроника, II, 7, 925, 1957.
К главе IX
1.	Д ж. Р. Пирс. Теория и расчет электронных пучков, стр. 154.
2.	В. М. Лопухин. Возбуждение электромагнитных колебаний и волн электронными потоками, стр. 289.
349
3.	L. Brillouin. Phys. Rev., 67, 260 (1945). Теорема Лармора и ее значение для электронов в магнитных полях.
4.	С. С. Wang. Proc. I. R. E., 38, 2 (1950). Электронные пучки в аксиально-симметричных электрическом и магнитном полях.
5.	М. Miiller. Telefunken Zeitung, 26, 99 (1953). Магнитная электронная оптика в длиннолучевых усилительных лампах.
6.	G. Convert. Bull. Soc. Trane. Electr., 9, serie 6, 97, 550 (1949). Исследование магнитной фокусировки цилиндрических пучков.
7.	L. В ruck е. Telefunken Zeitung, 26, 99 (1953). Поведение электронных пучков при вхождении в аксиальное магнитное поле.
8.	Л. Коллатц. Численные методы решения дифференциальных уравнений, ИЛ., М., 1953;
Л. В. Конторович и В. И. Крылов. Приближенные методы высшего анализа. Гостехтеоретиздат, Л.—М., 1949.
9.	Л. Смит, В. Паркинс и А. Форрестер. Разделение изотопов в больших количествах электромагнитными методами, УФН, 35, 4, 55G, 1948.
10.	А. V. Haeff, Proc. I. R. F., 27, 9 (1939). Влияние пространственного заряда в электронных пучках.
11.	L. A. Harris, Proc. I. R. E., 40, 700 (1952). Магнитная фокусировка аксиально-симметричных электронных пучков (имеется пер. в сб. «Проблемы современной физики», № 6, 1956).
12.	A. L. Samuel. Proc. I. R. E., 37, 11 (1949). Теория аксиальносимметричных электронных пучков в осевом магнитном поле.
13.	С. В. G г u m 1 у. I. R. Е. Transactions on Electron Devices, ED-3, 1, 62, 1956. Высокочастотный усилитель ЛБВ с электростатической фокусировкой полого пучка, (имеется реферат в ВИ, 15, 11, 1956).
14.	М. Е. Hines. Proc. I. R. E., 40, 1, 61, (1952). Компенсация магнитным полем расталкивающего действия пространственного заряда в сходящемся пучке.
К главе X
1.	W. С. Hahn, С. F. Me teal f. Proc. I. R. Е.» 27, 106 (1939). Лампы co скоростной модуляцией.
2.	E. D. С о u г a n t, M. S. L i v i n g s to п a. H. S. Snyder. Phys. Rev., 88, 1190 (1952). Сильная фокусировка синхротрона — нового ускорителя высоких энергий.
3.	Д ж. Р. Пирс. Теория и расчет электронных пучков, стр. 192.
4.	Р i n King Tien. J. Appl. Pbys., 25, 10, 1281 (1954). Фокусирование длинного цилиндрического пучка электронов с помощью периодического электростатического поля.
5.	А. М. С logs ton, Н. Heffner. J. Appl. Phys., 25, 436 (1954). Фокусировка электронного пучка периодическими полями.
6.	Н. В. Мак-Лахлан. Теория и приложения функций Матье. ИЛ, М.» 1953.
7.	А. V. Н а е f f, L. Р. S m i t h, U. S. P a t e n t № 2225447. 1939.
8.	A. V. Haeff, L. S. Nergaard. Proc. I. R. E., 28, 3, 126 (1940). Широкополосный усилитель с индуктивным выходом.
9.	I. Т. Mendel. Proc. I. R. E., 43, 327 (1955). Магнитная фокусировка электронных пучков.
10.	G. R. Brewer. J. Appl. Phys., 25, 343 (1954). Фокусировка электронных пучков с большим током;
Н.	С. Зинченко и И. К. Овчинников. Экспериментальное исследование прохождения электронного пучка через магнитный ондулятор. Радиотехника, ИВУЗ, 1, 69, 1960.
350
К главе XI
1.	J. В. Johnson. J. Optic. Soc. Amer., 6, 701 (1922). Низковольтный катодно-лучевой осциллограф.
2.	Я. М. Френкель и С. А. Бобковский. К вопросу о нитевидных электронных пучках, ЖЭТФ, 2, 5—6, 353 (1932).
3.	Е. G. Linder а. К. G. Hergvist. J. Appl. Phys., 21, 11, 1088 (1950). Действие пространственного заряда в электронных пучках и его ослабление положительными ионами.
4.	К. G. Hernquist. Proc. I. R. E., 39, 12, 1541 (1951). Действие пространственного заряда и захватывания ионов в тетродах (имеется сокращенный перевод в ВРТ. № 4, 102, 1952).
5.	Л. А. Сена. Столкновения электронов и ионов с атомами газа, ОГИЗ Гостехиздат, Л.—М., 1948.
6.	J. R. Pierce. J. Appl. Phys., 15, 721 (1944). Предельный стабильный ток в электронных пучках при наличии ионов.
7.	Д ж. Р. Пирс. Теория и расчет электронных пучков, стр. 169.
8.	L. М. Field, К. Spangenberg a. R. Helm. Elec. Comm., 24, 1, 108 (1947). Управление расширением электронного пучка при высоком вакууме с помощью ионов.
9.	О. Н е i 1 m. Elec. Comm., 2, 81 (1946).
10.	E. L. Ginzton. Proc. I. R. E., 42, 1548 (1954). Улавливание положительных ионов в электронных пучках.
11.	О. S с h е г z е г. Zs. f. Phys., 82, 11—12, 697 (1933). К теории газовой концентрации электронных пучков.
12.	И. Л. С о к о л ь с к а я. О газовой концентрации электронных лучей, ЖТФ, 5, 6, 984, 1935.
13.	Б. И. Давыдов и С. И. Брагинский. К теории газовой концентрации электронных пучков. Сборник, посвященный семидесятилетию акад. А. Ф. Иоффе, АН СССР, М., 1950, стр. 72.
14.	М. М. Б р е д о в. Автоматическая компенсация объемного заряда в электронных пучках, там же, стр. 155.
К главе XII
1.	И. П. Цуккерман. Электронная оптика в телевидении, Гос-энергоиздат, М.— Л., 1958.
2.	В. М. К е л ь м а н и С. Я. Явор. Электронная оптика, Изд-во АН СССР, М —Л., 1959.
3.	К. К. N. Chang. Proc. I. R. Е., 45, 1, 66, 1957. Ограниченный электронный поток в периодических электростатических полях с очень малыми периодами.
4.	3. С. Чернов. Методы фокусировки электронных потоков в современных приборах сверхвысоких частот, Радиотехника и электроника, 3, 10, 1227, 1958.
5.	П. Л. Капица. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. ЖЭТФ, 21, 5, 588, 1951.
6	П. Л. Капица Маятник с вибрирующим подвесом, УФН, 44, 1, 7, *1951.
7.	А. А. Власов. Теория многих частиц, Гостехтеориздат, М.—Л., 1950.
8.	В. П. Тараненко. О влиянии продольного магнитного поля на распределение скоростей электронов по сечению пучка, Известия Киевского политехнического ин-та, 16, 167, 1954, Киев.
9.	Б. Н. Р у т к е в и ч. О предельных токах в электронных пучках, канд. дисс., ФТИ АН УССР, 1952, Харьков.
10.	Н. Boers ch. Naturwissenschaften, 9, 267, 1953. Распределение энергии термоэлектронов в электронном пучке.
11.	В. Л. Грановский. Электрический ток в газе, 1, Гостех-издат, М.—Л., 1952.
351
К главе XIII
1.	К. J. Harker. J. Appl. Phys., 28, 11, 1354, 1957. Применение сканирующей щели для определения распределения тока в электронных пучках.
2.	В. И. Смирнов. Курс высшей математики, 4, 13, Гостехтеор-издат, М.—Л., 1951;
Н. Margenau and G. М. Murphy. 507, 1943, Математика для физиков и химиков.
3.	Ю. В. Троицкий. Прибор для измерения профиля электронного пучка, ПТЭ, 6, ИЗ, 1957.
4.	J. D. Lawson. J. Electronics, 1, 1, 43, 1955, Некоторые эксперименты с цилиндрическим электронным пучком, ограниченным магнитным полем.
5.	С. С. Cutler and J. A. S а 1 о о m. Proc. I. R. E., 43, 3, 299, 1955, Исследование электронных пучков дырочной камерой.
6 С. С. Cutler and М. Е. Hines. Proc. I. R. Е.» 43, 3, 307, 1955, Влияние начальной скорости в электронных пушках.
7.	Н. F. Webster. J. Appl., Phys, 28, 12, 1388, 1957, Структура электронных пучков, ограниченных магнитным полем.
8.	Ю. В. Троицкий, В. И. Важенин. Прибор для исследования электронных пучков с осевой симметрией, Изв. СОАН СССР, 8, 17, 1959.
9.	Ю. В. Троицкий. Экспериментальная проверка работы электронной пушки в магнитном поле, направленном вдоль траекторий электронов. Изв. СОАН СССР, 1, 56, 1960.
10.	М. St i ch a. Ceskoslovensky Casopis pro Fysiku, 5, sekce A. Rocnik 10, 477, 1960. Измерение распределения плотности тока в электронных пучках.
11.	Р. Gay, Р. В. Horsch, J. S. Thorp and I. N. Keller. Proc. Phys. Soc., 64, part 5, 377B, 374, 1951. Техника микропучков: II—A Рентгеновская трубка высокой интенсивности.
12.	В. Л. Грановский. Электрический ток в газе, 1, 257, Гостех-теориздат, М.—Л., 1952.
13.	И. К. Овчинников, Н. С. 3 и н ч е н к о. Метод вибрирующего зонда для исследования аксиально-симметричных пучков электронов, Укр. ф!з. ж., 4, 2, 219, 1959.
14.	Г. В. Спивак и Э. М. Р е й х р у д е л ь. К общей теории токов на зонд, помещенный в газовый разряд, ЖЭТФ, 6, 8, 816, 1936.
15.	И. К. Овчинников, Н. С. Зинченко. Оценка ошибок при исследовании электронных пучков методом вибрирующего зонда. Доклад на 4-й Всесоюзной конференции МВ и ССО СССР по радиоэлектронике 26 октября 1960, Харьков.
16.	В. М. Кирсанов, к Ф. Линев, Ю. М. П у с т о в о й т. Измерение распределения плотности тока во внешнем пучке циклотрона, ПТЭ, 1, 111, 1960.
17.	Ю. Я. Лапицкий, И. Н. Сливков. Прибор для контроля пучка на выходе ускорителя, ПТЭ, 5, 121, 1960.
18.	Е. Н. Bramhall. Phil. Mag. a. Joum. Science, 13, 682, 1932. Измерения в дуге ленгмюровским зондом.
19.	A. W е h п е 11 und Н. Bley. Zeit. f. Phys., 35, 388, 1926, Экспериментальное определение пространственного заряда.
20.	О. Klemperer. Proc. Phys. Soc., 59, 302, 1947, Электронная оптика и пространственный заряд в ленточных пучках.
21.	D. L, Rever din. J. Appl. Phys., 22, 3, 257, 1951, Электроннооптическое исследование пространственного заряда в магнетроне.
22.	Г. А. Гринберг. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений, Изд-во АН СССР, М.—Л., 1948.
352
23.	R. Warren. Phys. Rev., 98, 6, 1650, 1955, Измерения поля в тлеющих разрядах тонким зондирующим электронным пучком с автоматической записью.
24.	К. Д. Синельников, В. Д. Ф е д о р ч е н к о, Б Н. Р у т-кевич, Б. М. Черный и Б. Г. Сафронов. Исследование магнитной ловушки, ЖТФ, 30, 3, 256, 1960.
25.	Н. Н. Семенов и А. Вальтер. Zeits. f. Phys., 17, 67, 1923, Экспериментальный метод исследования электростатических полей;
М. М. Горшков и Ю. П. Маслакове ц. Применение термозонда к изучению газовой плазмы, ЖТФ, 6, 9, 1513, 1936.
26.	М. И. Корсунский. Физика рентгеновых лучей, ОНТИ НКТП СССР, М.—Л., 1936;
М. А. Блохин. Физика рентгеновских лучей, Гостехтеориздат, М., 1953.
27.	J. S. Thorp. Brit. J., Appl. Phys., 6, 10, 366, 1955, Изучение радиального распределения тока в электронных пучках методом рентгеновских лучей.
28.	П. И. Стрельников и А. И. Федоренко. Исследование фокусирующих свойств параболлоидной магнитной линзы, ЖТФ, 30, 2, 138, 1960.
29.	J. Т, Wallmark. J. Appl. Phys., 24, 5, 591, 1953, Изучение расширения пространственного заряда отраженных электронных пучков фотографическим методом.
30.	Т. W. J о h n s t о n. J. Appl. Phys., 30, 9, 1456, 1959. Неламинарный поток в магнитно фокусируемых пучках, создаваемых магнитно экранированными пушками.
31.	К. J. Harker. J. Appl. Phys., 28, 6, 645, 1957. Неламинарный поток в цилиндрических электронных пучках.
32.	Е. R. Harrison. J. Appl. Phys., 29, 6, 909, 1958. Исследование проводимостей ламп и профилей пучков эмиссионной системы с дырочным диском.
33.	Б. Н. Р у т к е в и ч. О предельных токах в электронных пучках, канд. дисс., ФТИ АН УССР, 1952, Харьков.
34.	Ю. В. Коршунов, Е. А. Мелешко. В. С. Панасюк. Прибор для наблюдения распределения тока ускоренных ионов на мишени циклотрона, ПТЭ, 2, 23, 1957.
35.	L. Bess and А. О. Hanson. Rev. Scient. Instrum., 19, 2, 108, 1948. Измерение электронного тока в 22-Мэв бетатроне;
И. А. Гришаев, Н. И. М о ч е щ н и к ов, В. Ф. Иванов. Измеритель положения и тока пролетающего импульсного пучка заряженных частиц, ПТЭ, 4, 17, 1960.
36.	G. W. Т a u t f е s t and H. R. F e c h t e r. Rev. Scient. Instrum., 26, 2, 229, 1955.
37.	M. C h о d о г о w, E. G i n s t о n, W. H a n s e n, R. К У h 1, E. Neal, W. P a nof s ky. Rev. Scient. Instrum., 26, 134, 1955. Стэнфордский электронный линейный ускоритель высоких энергий.
38.	А. Н. Выставкин, Ю. В. Анисимова, С. С. Шахи-джанов. Моделирование траекторий релятивистских электронов в магнитном ондуляторе, Радиотехника и электроника, 4, 3, 550, 1959;
Н. С. Зинченко и И. К. Овчинников. Экспериментальное исследование прохождения электронного пучка через магнитный ондулятор, Радиотехника, ИВУЗ, 1, 60, 1960.
39.	Л. И. Г у т е н м а х е р. Электрические модели, Изд-во АН СССР, М.— Л., 1949.
40.	Н. С. Зинченко. Методы экспериментального исследования электронных пучков. Доклад на 4-й Всесоюзной конференции МВ и ССО СССР по радиоэлектронике 29 октября 1960, Харьков.
41.	D. W. Kerst and others. Phys. Rev., 102, 2, 590, 1956. Получение очень высоких энергий с помощью пересекающихся пучков частиц;
23 н. С. Зинченко
353
В. А. Москалев, М. Ф. Филиппов, А. Г. Скориков, Ю. М. Скворцов. Сильноточный импульсный стереобетатрон, Физика, ИВУЗ, 5, 35, 1959;
А. А. Коломенский, А. Н. Лебедев. Устойчивость заряженного пучка в накопительных системах. Атомная энергия, 1, 6, 549,1959.
42.	Е. Stuhlinger, R. N. Seitz. Advances Space Sci., N. Y., Acad. Press., 1960. Электростатические ракетные двигатели для космических аппаратов;
S. W. К ash. Proc. I. R.E., 48, 4, 458, 1960. Сравнение ионных и плазменных двигателей.
43.	Т. С. D u М о n d. Metal Progr., 74, 6, 603, 1958, Производство сверхчистых металлов в печи методом электронной бомбардировки;
Н. R. Smith, С. d’A. Hunt and С. W. Hanks. J. Metals, 11, 2, 112, 1959. Плавка металлов электронной бомбардировкой.
44.	Н. С. Зинченко. Расчет магнитной фокусировки электронного пучка в замедляющем электростатическом поле. Радиотехника, ИВУЗ, 4, 1961.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аберрации электрических линз 81
Аберрации сферическая 83
— хроматическая 81
Азимутальная скорость 190
Аналогия гидродинамическая 242
— оптико-механическая 5
Асимптотический вид эквипотенциалей 146
Астигматизм электрических линз 84
Баллистический метод измерения магнитных полей 58
Бесселя функции 131
—	— модифицированные 32, 131
Больцмана формула 231
Бриллюэновская фокусировка 168
Ввод пучка в магнитное поле 185
Вектор напряженности магнитного поля 11
—	—	электрического поля 11
Векторный потенциал 23, 37—40
Виртуальный катод 118, 126
Влияние положения ловушки 240
Вторичная эмиссия из коллектора 281
Газовая самоконцентрация пучков 8, 241
Гамильтона принцип 5, 23
Главная плоскость предметного пространства 73
—	— пространства изображений 72
Де Бройля волны 6
Действие положительных ионов 229
Дисторсия электрических линз 85
Диэлектрическая проницаемость вакуума 11
Длинные магнитные линзы 86
Зависимость плотности тока от тепловых скоростей 291
Заряд пространственный 27, 52, 97
Захвата область 239
Зеркало электронное 81.
Изменение диаметра пучка 176
—	эффективного радиуса пучка 248
Измерение диаметра конически сходящегося пучка 327
—	поля в тлеющем разряде 319
—	потенциала в магнитной ловушке 320
—	распределения плотности тока пучка 275, 282, 309, 325, 333, 334
23*
355
Измерение распределения потенциала вдоль радиуса 305
—	—	—	в	ленточном пучке 316
—	—	—	в	магнетроне 318
—	—	—	в	плоском диоде 314
Измерение сложных профилей ионного пучка 332
—	ширины плоского пучка 330
Индикаторные методы 334
Иммерсионная линза 78
Иммерсионный объектив 79
Импульс силы пространственного заряда 166
Интенсивные пучки электронов 97, 137, 168
Интенсивность рентгеновского излучения 322
Ионные ловушки 235
Исследование электрической дуги 311
Колебания радиуса пучка 177, 199, 249
Кома 84
Контроль за пучком ионов на выходе линейного ускорителя 310
Коэффициент прохождения тока пучка 268
Кривизна поля 85
Ламинарное движение 287
Лапласа уравнение 27, 31, 48, 54, 140
Ленточный пучок 109, 225
Линзы магнитные 86
—	—	длинные 86
—	—	короткие 89
—	электрические 67
—	—	одиночные 77
—	—	иммерсионные 78
Лоренца сила 12
Магнитное ограничение 189
—	—	кругового пучка 189
—	—	прямоугольного пучка	191
—	—	трубчатого пучка 194,	200.
Магнитное поле, ограничивающее прямоугольный пучок 193
Магнитная проницаемость вакуума 11, 261
—	фокусировка пучков постоянного сечения 168
—	— трубчатого пучка 194
Магнитно-электрические линзы 95
Максимальный радиус пучка 190
—	ток в отсутствие фокусирующих полей 104
—	— ленточного пучка 112, 174
—	— цилиндрического пучка 172
—	— через две диафрагмы 113
Максимальная плотность тока в бесконечно широком пучке 117
—	—	— сходящемся пучке 164
Массовый коэффициент ослабления 323
Матье уравнение 210, 222
Метод вибрирующего зонда 300
—	дырочной камеры 284
—	зондирующего пучка 311
—	парабол 62
—	плоского конденсатора 60
—	подвижной щели 274
—	прямого края пластинки 277
—	радиусов кривизны 60
—	рентгеновских лучей 321
—	составного коллектора 333
356
Метод теневой индикации 318
— фотографирования 328
Минимальное время накопления ионов 233
Минимальный радиус пучка 102
Моделирование электронных пучков 336
Нейтрализация пространственного заряда 8, 229, 234
Неустойчивые области 222
—	— высших порядков 223
Неустойчивое состояние пучка 118, 126
Новые применения электронных пучков 341
Ограничения отдельных методов измерения 337
Одиночная линза 77
Оптимальная индукция магнитного поля 172
Оптическая сила	линзы 76
—	—	иммерсионного объектива	80
—	—	короткой магнитной линзы 91
—	—	одиночной линзы 78
Отклонение радиуса пучка от равновесного 176
Ошибки метода	вибрирующего зонда	309
—	—	дырочной камеры 286
—	—	зондирующего пучка	321
—	—	подвижной щели 281
—	рентгеновского метода 325
Падение потенциала по длине бесконечно широкого пучка 114
Пантограф 50
Параксиальные движения 27
—	пучки 270
—	электроны 27, 35
Параметр пространственного заряда 98, 227, 265
Параметры пучков 264
—	—	общие 265
—	— частные 265
Переходная область магнитного поля 186
Период изменения радиуса пучка 177, 185, 253
Плазменная частота 220, 226
Поглощение рентгеновских лучей 323
Подобия критерий 336
Подразделение электронных пучков 261
Полная нейтрализация пространственного заряда 231
Полный ток конического пучка 203
—	— в цепи зонда 302
Полная энергия электрона 14
Построение траекторий с учетом пространственного заряда 164
— электронно-оптического изображения 73
Потенциал пространства дрейфа 237
Потенциальная функция 178, 180, 268
Предметное пространство 70
Пространство изображений 70
Пуассона уравнение 27, 57, 109, 120, 125, 138, 170, 243
Пушка Пирса 141, 206
Равновесный радиус пучка 171, 181, 196, 248
Равновесное состояние в пучке при наличии положительных ионов 230
Радиальное отклонение траектории электрона 290
Радиальное распределение осевых скоростей 170, 306
357
Распределение ионов 238
—	потенциала	114
—	—	в	коническом пучке 157, 206
—	—	в поперечном сечении пучка 230, 246
—	—	в	прямоугольном пучке	120
—	—	в пучке кругового сечения 126
—	—	в	трубчатом пучке 133
—	—	в цилиндрическом	пучке	128
—	—	по	толщине ленточного	пучка 174
—	—	у	ловушки 237
—	электронов по скоростям 271
Расширение пучка 98
—	— в ускоряющем поле 104
—	—	кругового сечения 98
—	—	прямоугольного сечения	109
—	—	трубчатого 106
Резиновая мембрана 53
С	етка — управляющий электрод 80
Сила электромагнитного притяжения 100
— электростатического отталкивания 97, 100
Скорость образования ионов 230
Слоистая структура пучка 298
Состояние перенейтрализации 232
Спиральный вид аберрации 95
Сравнение измерений вибрирующим и неподвижным зондом 311
Сравнение отдельных методов измерения 337, 340
Температура ионного газа 231
Тепловые скорости 271
Ток конического пучка 155
Точность расчетов пучков 272
Траектория периферийного электрона 99, 102
Траектории неламинарных электронов 288
Требования к пучкам 261
Требования к пучкам общие 264
Увеличение изображения 79, 292
—	линзы 73
Угловая скорость 43, 203
Угол расхождения пучка 246
Уравнение баланса ионов 231, 256
—	крайней траектории пучка 257
—	Лапласа 27, 31, 48, 54, 140
—	непрерывности заряда 242
—	огибающей пучка 254
—	Пуассона 27, 57, 109, 120, 125, 138, 170, 243
—	радиального движения 99, 104, 107, 209, 248
—	траектории параксиальных электронов 36, 44, 46
—	—	электрона в ускоряющем поле пушки 289
Ускоряющая диафрагма 80
Устойчивости критерий 153
Устойчивые области 224
Устойчивость пучка 266
Ферма принцип 5
Фокусировка пучка кольцевого сечения 149
—	— конической формы 154, 201
—	магнитная 168
358
Фокусировка периодическими магнитными полями 218.
—	— электростатическими полями 207
—	—	—	— ряда колец 208
—	—	—	— системы дисков 215
—	трубчатого пучка 149, 194
—	центробежно-электростатическая 151
Фокусное расстояние 71
—	—	диафрагмы 76
—	—	короткой магнитной линзы 91
—	—	коротких иммерсионных линз 75
—	—	— одиночных линз 75
—	—	иммерсионного объектива 80
Функция распределения электронов 243
Циклоидальная траектория электрона 20, 193
Циклотронная частота 16
Эквивалентная температура катода 248
Электролитическая ванна 47, 149, 157
Электронное зеркало 81
Электронно-оптический закон преломления 22
Электронная пушка 79
Электростатический потенциал 13, 25
—	— в коническом пучке 204
Эффективное значение магнитного поля 221
Эффективный радиус пучка 245, 247
— угол расхождения пучка 249
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие......................................................3
Введение .	.	.......................................5
Глава I
Движение электрона в постоянных электрическом и магнитном полях
1,1.	Уравнения движения и скорость электрона .	.	.11
1,2.	Общий случай движения электрона.........................14
1,3.	Частные случаи движения электрона.......................16
1,4.	Электронно-оптический показатель преломления ...	20
Глава II
Аксиально-симметричные поля
2,1.	Электрические поля с аксиальной симметрией	...	25
2,2.	Примеры аксиально-симметричных полей	.30
2,3.	Движение электрона в аксиально-симметричном электрическом поле..........................................35
2,4.	Магнитные поля с аксиальной симметрией	....	37
2,5.	Движение электрона в аксиально-симметричном магнитном поле.........................................................42
2,6.	Общие уравнения движения электрона в комбинированных полях........................................................45
Глава III
Методы исследования полей и определения траекторий
3,1.	Моделирование полей с помощью электролитической ванны 47
3,2.	Метод гравитационного моделирования ....	53
3,3.	Измерение распределения магнитных полей....	58
3,4.	Способы построения траекторий...........................59
Глава IV
Электрические линзы
4,1.	Типы линз...............................................67
4,2.	Характеристики линз.....................................69
4,3.	Диафрагма с круглым	отверстием ........................75
360
Стр.
4,4.	Одиночная линза	 77
4,5.	Иммерсионная линза..................................... 78
4,6.	Иммерсионный объектив...................................79
4,7.	Аберрации электрических линз............................81
Глава V
Магнитные линзы
5,1.	Длинные линзы...........................................86
5,2.	Короткая линза..........................................89
5,3.	Магнитно-электрические	линзы............................95
Глава VI
Действие пространственного заряда в пучках
6,1.	Расширение пучков кругового сечения.....................98
6,2.	Расширение трубчатого пучка............................106
6,3.	Расширение пучка прямоугольного сечения .	.	.109
Глава VII
Распределение потенциала в пучках и предельный ток
7,1.	Падение потенциала по длине бесконечно широкого пучка 114
7,2.	Распределение потенциала в ограниченном пучке прямоугольного сечения.........................................120
7,3.	Радиальное распределение потенциала .... 125
7,4.	Распределение потенциала в цилиндрическом п>чке конечной длины.................................................128
7,5.	Распределение потенциала в сечении трубчатого пучка 133
Глава VIII
Фокусировка интенсивных пучков электростатическими полями
8,1.	Фокусировка	параллельного пучка	прямоугольного	сечения	138
8,2.	Фокусировка	сплошного цилиндрического	пучка	.	.	.143
8,3.	Фокусировка	трубчатого пучка........................149
8,4.	Фокусировка	конического пучка.......................154
8,5.	Графическое построение электронных траекторий с учетом пространственного заряда...............................164
Глава IX
Магнитная фокусировка интенсивных электронных пучков
9,1.	Фокусировка пучков постоянного	сечения ....	168
9.2.	Изменение диаметра пучка............................176
9,3.	Ввод пучка в магнитное поле.........................185
9,4.	Пучки, ограниченные магнитным	полем	.189
9,5.	Фокусировка трубчатого пучка........................194
9,6.	Фокусировка конического пучка.......................201
Глава X
Фокусировка пучков периодическими полями
10,1. Фокусировка периодическими электростатическими полями 207
10,2. Фокусировка периодическими магнитными полями .	. 218
361
Глава XI
Стр.
Электронные пучки в присутствии положительных ионов
11,1.	Нейтрализация пространственного заряда в пучках .	. 229
11,2.	Ионные ловушки.....................................235
11,3.	Ионная фокусировка.................................241
Глава XII
Общая характеристика электронных пучков
12,1.	Требования, предъявляемые к пачкам.................261
12,2.	Свойства и параметры пучков........................264
12,3.	Состояние теории и расчета.........................269
Глава XIII
Методы экспериментального исследования электронных пучков
13,1.	Метод подвижной щели...............................274
13,2.	Метод дырочной камеры..............................284
13,3.	Метод вибрирующего зонда...........................300
13,4.	Метод зондирующего пучка...........................311
13,5.	Метод рентгеновских лучей..........................321
13,6.	Другие методы измерения и замечания о моделировании пучков....................................................328
13,7.	Относительные преимущества и недостатки отдельных методов.................................................. 337
13,8.	Необходимость и возможные направления дальнейшей разработки методов........................................340
Приложение...............................................344
Литература ..............................................346
Предметный указатель ....................................355
Николай Семенович Зинченко
КУРС ЛЕКЦИЯ ПО ЭЛЕКТРОННОЙ ОПТИКЕ
Редактор А. Н. Третьякова.
Техн, редактор Г. П. Александрова.
Корректор Б. С. Луценко.
Обложка художника Е. И. Любимова.
Сдано в набор 3/IV 1961 г. Подписано к печати 20/VI 1961 г. БЦ 08494 Формат 60X92716. Объем: 11, 37 бум. л., 22,75 печ. л., 21,4 уч.-изд. л, Зак. 81. Тираж 5000. Цена 85 коп.
Типография Издательства Харьковского госуниверситета. Харьков, Университетская ул., 16.