Text
Пособие
физике
С. П. Мясников Т. Н. Осанова
ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для слушателей подготовительных
отделений вузов
®
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1988
ББК 22.3
М99
УДК 53
Рецензент — кафедра физики
2-го Московского государственного медицинского института
им. Н. И. Пирогова (зав. кафедрой — проф. А. Н. Ремизов)
Мясников С. П., Осанова Т. Н.
М99 Пособие по физике: Учеб. пособие для подгот.
отделений вузов. — 5-е изд., испр. и перераб. — М.:
Высш. шк. 1988. — 399 с: ил.
Пособие представляет собой сборник вопросов и задач по основным разде-
разделам программы вступительных экзаменов в вузы. В него включено много инте-
интересных задач и вопросов, которые предлагались на вступительных экзаменах
в различных вузах. В пособии к каждому параграфу даются краткие теоретиче-
теоретические сведения. Разоб'раны наиболее типичные задачи. В отличие от предыдущего
издания A981 г) переработаны некоторые вопросы и задачи, внесены необхо-
необходимые исправления.
м 430602ПООD309000000)-<46 58_88 ББК 22 3
001@1)—88 53
© Издательство «Высшая школа>, 1976
@ Издательство «Высшая школа», 1988, с изменениями
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к пятому изданию 6
Введение 7
§ 1. Роль физики в процессе познаваемости материального мира j
§ 2. Математический аппарат физики 7
Элементы векторной алгебры у
Элементы дифференциального и интегрального исчислений jq
Порядок решения задач 12
Глава I
Механика
13
§ 1. Кинематика .«
Равномерное прямолинейное движение .fi
Упражнения |_
Равнопеременное прямолинейное движение *
Упражнения ^
Некоторые виды сложного движения ~*
Упражнения
Движение материальной точки по окружности. Вращатель-
Вращательное движение твердого тела ?4
Упражнения ~~
Вопросы для повторения 51
§ 2. Динамика 5*
Применение законов динамики к прямолинейному движению
тела (материальной точки) » 51
Упражнения
Применение законов динамики к движению тела (мате-
(материальной точки) по окружности 68
Упражнения 73
Применение основных законов динамики к космическим по-
полетам 74
Упражнения 82
Импульс тела. Закон сохранения импульса 83
Упражнения 87
Вопросы для повторения 88
§ 3. Работа, мощность, энергия. Закон сохранения энергии 88
Упражнения •. 107
Вопросы для повторения 108
§ 4. Статика 108
Упражнения 119
Вопросы для повторения 120
§ 5. Статика жидкостей и газов 121
Упражнения 128
Вопросы для повторения 128
в 3
Глава II
Молекулярная физика и термодинамика
§ 1. Основные положения молекулярно-кинетической теории 129
Теплота и работа 129
Упражнения 144
Вопросы для повторения 145
§ 2. Свойства газов 146
Упражнения 156
Вопросы для повторения 157
$ 3. Работа газа. Тепловые машины 157
Упражнения 164
Вопросы для повторения 165
§ 4. Насыщающие и ненасыщающие пары. Влажность .... 165
Упражнения 170
Вопросы для повторения 171
§ 5. Свойства твердых и жидких тел 171
Тепловое расширение твердых и жидких тел 171
Упражнения 177
Поверхностное натяжение жидкостей. Капиллярные явления j 78
Упражнения 183
Деформация твердых тел. Закон Гука 184
Упражнения 186
Вопросы для повторения 187
Глава III
Электричество
§ 1. Электростатика *°"
Закон Кулона. Напряженность электростатического поля *°°
Упражнения 201
Потенциал электростатического поля. Работа силы по пере-
перемещению заряда в электростатическом поле 202
Упражнения 211
Электроемкость. Энергия заряженного проводника и элект-
электростатического поля 212
Упражнения 222
Вопросы для повторения 223
§ 2. Постоянный ток 223
Ток в металлах 223
Упражнения 239
Работа и мощность тока. Тепловое действие тока .... 240
Упражнения 248
Ток в электролитах и газах 249
Упражнения 256
Вопросы для повторения . 257
§ 3. Электромагнетизм 257
Магнитное поле тока. Силы, действующие в магнитном поле
на проводник с током, на движущийся электрический заряд
и на рамку с током 257
Упражнения 271
Работа по перемещению проводника с током в магнитном
поле Электромагнитная индукция. Энергия магнитного поля 272
Упражнения 283
Вопросы для повторения 284
4
Глава IV
Оптика
§ 1. Основные фотометрические величины и законы 285
Упражнения 292
Вопросы для повторения 293
§ 2. Геометрическая оптика 294
Отражение света. Зеркала 294
Упражнения 306
Преломление света. Тонкие линзы. Оптические приборы 307
Упражнения 328
Вопросы для повторения 330
§ 3. Квантовые свойства света 330
Упражнения 337
Вопросы для повторения 338
Глава V
Колебания и волны
§ 1. Механические колебания и волны 339
Упражнения 354
Вопросы для повторения 355
§ 2. Электромагнитные колебания и волны 355
Упражнения 366
Вопросы для повторения 367
§ 3. Волновые свойства света 367
Упражнения 375
Вопросы для повторения 376
Глава VI
Строение атома и атомного ядра
§ 1. Строение атома 377
Упражнения 381
Вопросы для повторения 381
§ 2. Строение атомного ядра 382
Упражнения 387
Вопросы для повторения 387
Приложения 389
Ответы к упражнениям 396
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Основная цель книги — помочь поступающим в вузы повторить
школьный курс физики и подготовиться к последующему обучению в
институте.
Четвертое издание книги вышло в 1981 г. Осуществление реформы
общеобразовательной и профессиональной школы требует прочного
овладения учащимися основами наук. Это нашло отражение в «Про-
«Программе вступительных экзаменов для поступающих в высшие учебные
заведения СССР в 1987 г.». Данное пособие включает материал, соот-
соответствующий основным разделам курса физики. В пятое издание вне-
внесены изменения, учитывающие современные требования, предъявляемые
к абитуриентам на вступительных экзаменах.
Каждый параграф начинается с краткого изложения основных
теоретических понятий, законов, формул. Затем приводятся задачи с
подробными решениями и небольшое число качественных задач. Закан-
Заканчивается параграф упражнениями и вопросами для повторения. Реше-
Решения задач построены по единому, наиболее целесообразному плану,
указанному во введении. Решение задач слушателями подготовитель-
подготовительных отделений будет способствовать выработке у них прочных теоре-
теоретических знаний, умений и навыков, необходимых в практической дея-
деятельности в различных областях народного хозяйства В конце книги
приводятся таблицы, необходимые при решении задач, единицы физи-
физических величин СИ, а также правила приближенных вычислений.
Кроме задач, составленных самими авторами, в пособии исполь-
использованы задачи, которые предлагались на олимпиадах и вступительных
экз-аменах по физике в МВТУ им. Н. Э. Баумана и других технических
вузах Москвы.
Пособие предназначено для слушателей подготовительных отделе-
отделений высших технических учебных заведений, может быть использовано
учащимися средних школ и средних специальных учебных заведений,
а также лицами, занимающимися самообразованием.
Автор приносит благодарность проф. А. Н. Ремизову и асе.
Н. В. Тыглияну за большую работу, проделанную ими при подготовке
рукописи к изданию.
Т. Н. Осанова
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. РОЛЬ ФИЗИКИ В ПРОЦЕССЕ ПОЗНАВАЕМОСТИ
МАТЕРИАЛЬНОГО МИРА
Физика — одна из основных естественных наук. Она
изучает закономерности наиболее общих форм движения
материи.
«Материя есть философская категория для обозначе-
обозначения объективной реальности, которая дана человеку в
ощущениях его, которая копируется, фотографируется,
отображается нашими ощущениями, существуя независи-
независимо от них» {Ленин В. И. Поли. собр. соч. Т. 18. С. 131).
Материя существует только в движении. К физиче-
физическим формам движения материи относятся механическая,
молекулярная, электромагнитная и ядерная. Движу-
Движущаяся материя существует в пространстве и времени.
Значит, пространство и время — формы существования
материи.
Мир движущейся материи познаваем. В процессе
изучения движения материи большая роль отводится
физике. Изучение физики помогает формированию диа-
лектико-материалистического миропонимания и развитию
производительных сил общества.
Физика — наука опытная. Все физические законы,
физические исследования начинаются с опыта или под-
подтверждаются (иногда опровергаются) опытом. Данные
новых опытов уточняют физические законы или опреде-
определяют границы их применимости.
Физика — наука точная, широко использующая мате-
математический аппарат.
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ФИЗИКИ
Элементы векторной алгебры
Физические величины могут быть скалярными или
векторными. Скалярными величинами (скалярами) назы-
называются такие, которые характеризуются только числовым
значением. Примерами скалярных величин являются вре-
время /, масса т, температура Г, электрический заряд q,
потенциал ф и др. Скалярные величины могут быть поло-
положительными и отрицательными и складываются алгеб-
алгебраически.
Пример 1. Определить полный заряд системы, если
<7i = 2 нКл, G2=— 7 нКл и д3 = 3 нКл.
Полный заряд системы q= q{-\-q2-\- q3 =
= {+ 2 • 10"9 - 7 • 10"9 + 3 • 10~9) Кл =
= -2 нКл.
Векторными величинами (векторами) называются та-
такие, которые характеризуются числовым значением и на-
направлением. Примерами векторных величин являются
скорость v, ускорение а, сила F, импульс mv, напряжен-
напряженность Е электрического поля, магнитная индукция В,
напряженность Н магнитного поля и др.
Векторные величины складываются геометрически.
Пример 2. Сложить две силы: /71 = ЗН и F2=4H;
векторы Fi, F2 составляют с осью ОХ углы
10 и 40° соответственно (рис. 1).
Сложение векторов (символическая запись):
Результатом сложения этих сил является сила F, назы-
называемая равнодействующей. Вектор F направлен по диа-
диагонали параллелограмма, построенного на векторах Fi
и F2, как на сторонах, и по модулю равен ее длине
(рис. 1). Модуль вектора F находим по теореме коси-
косинусов:
= л/32 + 42 4-2-3.4cos D0° — 10°)Н « 6,8 Н.
Угол, который вектор F составляет с осью ОХ, находим
по формуле
a= arctg
F\ sinai
3-0,17 + 4.0,64
Рис. 1
= arctg 0,51 ^0,47 рад.
Проекции вектора а на оси
ОХ и OY прямоугольной систе-
системы координат равны ах =
= a cos a, ay=as№(x, где а —
угол между вектором а и осью
ОХ. Зная проекции вектора,
можно найти его модуль и угол
между вектором и осью ОХ
(рис. 2):
Рис. 2
При умножении вектора А на У
положительный скаляр к получа-
получаем новый вектор &А, направление О
которого совпадает с направлени-
направлением вектора А, а числовое значе-
значение отличается в к раз.
Пример 3. Определить импульс
тела массой 2 кг, движущегося со ско-
скоростью 5 м/с.
Импульс тела равен ти = 2«5 кг-м/с=10 кг м/с и
направлен в сторону v (рис. 3).
При умножении вектора А на отрицательный скаляр к
получаем новый вектор &А, направление которого проти-
противоположно вектору А, а числовое значение отличается
в к раз.
Пример 4. Заряд q = —7,5 нКл помещен в электри-
электрическое поле с напряженностью Е =
= 400 В/м. Найти модуль и направление
силы, действующей на заряд.
Сила равна, по определению, F = qE. Так как заряд
отрицателен, то вектор силы направлен в сторону, про-
противоположную вектору Е (рис. 4). Модуль силы равен
F = |<7|? = 7,5-10-9 Кл-400 В/м = 3-10 Н = 3 мкН.
Скалярным произведением векторов А и В называется
скаляр, равный произведению числовых значений векто-
векторов Д и В, умноженному на косинус угла между ними:
С = АВ cos a.
Символическая запись скалярного произведения:
С = АВ.
Пример 5. Найти работу постоянной силы F = 20 Н,
если перемещение тела 5 = 7,5 м, а угол а
между силой и перемещением равен 120°.
Работа силы равна, по определению, скалярному про-
mv
Рис. 3
Рис. 4
изведению силы и перемещения: А =
1 =Fs = /7scosa=20.7,5cosl20° Дж =
' = —150~ Дж=-75 Дж
Векторным произведением векторов
А и В называется вектор С, численно
равный произведению числовых значе-
Рис 5 ний векторов А и В, умноженному на
синус угла между ними:
С = АВ sin a.
Вектор С перпендикулярен плоскости, в которой ле-
лежат векторы А и В, причем его направление связано с
направлениями векторов А и В правилом буравчика
(рис. 5).
Символическая запись векторного произведения:
С = АХ В.
Элементы дифференциального и интегрального
исчислений
Пусть в некоторой области значений х существует
функция f(x) (рис. 6). Обозначим Ах = Х\— х, А/(х) =
= f(x\) — f{x). Выражение
называется первой производной функции f(x) по аргу-
аргументу х.
Графически ^ = tga, где a — угол наклона каса-
касательной к кривой в точке А к оси абсцисс.
Производная от первой производной называется вто-
второй производной и обозначается $ .
Свойства производной
1. Если (х)=Сф(х), где С = const,
1 v I —— V> ————— т
dx dx
J 2. Если f(x) = ф1(л:) + ф2(^),
dx dx dx '
3. Если f(x) =
то
т
4. Если /(*) = -^-, то
dx
5. Если f(x) =
Рис. 7
), то
Значения производных некоторых элементарных функ-
функций см. в табл. 1 Приложений.
Если
df(x)
dx
возрастает.
df{x)
dx
df(x)
dx
Если
убывает.
Если
>0, то при возрастании х функция f(x)
<0, то при возрастании х функция f(x)
= 0, то функция ((х) имеет экстремальное
(минимальное или максимальное) значение.
Пусть в некоторой области значений х существует
функция f(x) (рис. 7). Разобьем интервал ab изменения х
на элементарные отрезки Длсь Дх2, ..., Дх/, ..., Дхл. Соста-
п
вим сумму 2/(Xi)Ajtj. Выражение
1™ 2 f{Xi)&Xi = \ /(jc)djc
/=1 a
Л -»- оо
называется определенным интегралом.
Выражение )f(x)dx называется неопределенным ин-
интегралом.
Свойства интеграла
1. Если f(x) = 2 Kx)dx, то \ 2 fi(x)dx = ?\fi{x)dx.
i= 1 i= 1 i= I
2. Если /(*) = аф(х), то \ <xy(x)dx —a\ y(x)dx.
Значения интегралов от некоторых элементарных
функций см. в табл. 2 Приложений.
И
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Прочитать условие задачи. Выяснить, какие физи-
физические явления или процессы в ней заданы.
2. Вспомнить определения физических величин, ха-
характеризующих как эти явления, так и свойства тел,
в них участвующих.
3. Вспомнить, какие физические законы справедливы
для явлений, заданных в условии задач.
4. Выяснить физический смысл величин, конкретизи-
конкретизирующих заданные в задаче явления или процессы.
5. Слева записать все данные (выразив их в СИ) и
искомые величины.
6. Сделать чертеж (схему, рисунок) к задаче по при-
принятым правилам, учитывая при построении условие за-
задачи.
7. Записать математически необходимые физические
законы и определения физических величин, учитывая при
записи условия задачи.
8. Записать в математическом виде соотношения, вы-
выражающие физический смысл дополнительных условий,
конкретизирующих заданные в задаче явления.
9. Решить полученную систему уравнений в общем
виде относительно искомых величин.
10. Произвести проверку размерности полученной
формулы.
11. Вычислить значения искомых величин с учетом
правил приближенных вычислений (см. Приложения).
ГЛАВА I
МЕХАНИКА
§ 1. КИНЕМАТИКА
Кинематика изучает различные механические движе-
движения тел без рассмотрения причин, вызывающих эти дви-
движения.
Равномерное прямолинейное движение
Равномерным прямолинейным движением называется
движение, при котором материальная точка (тело) за
любые равные промежутки времени совершает равные
перемещения.
Перемещением материальной точки (тела) называет-
называется вектор, соединяющий ее начальное и конечное поло-
положения.
Любое движение происходит по закону, который дол-
должен определять положение тела в пространстве в данный
момент времени. Для описания движения введем прямо-
прямоугольную систему координат XOY. Тогда положение тела
определится его координатами х и у. Следовательно,
закон движения должен давать зависимость координат
х и у от времени /; его можно найти, вычислив проекции
вектора перемещения на оси координат.
В случае равномерного движения вдоль оси ОХ про-
проекция перемещения тела на ось ОХ равна
sx = х — Хо = vxt,
и уравнение движения примет вид
x = xo + vxt9 A)
где хо — координата тела в начальный момент времени;
vx — проекция вектора скорости тела на ось ОХ\ t —
время движения тела.
** Знаки перед слагаемыми в правой части уравнения A) зависят
от выбора направления оси ОХ.
13
Рис. 8
Рис. 9
График зависимости перемещения от времени показан
на рис. 8. Из графика видно, что скорость
v = s\/t\ = tga.
График зависимости скорости от времени показан на
рис. 9. Из графика видно, что перемещение s{ = v\t\,
численно равно площади прямоугольника ОАВС.
1. Из двух точек А и В, расположенных на расстоянии
90 м друг от друга, одновременно в одном направлении
начали движение два тела. Тело, движущееся из точки Л,
имело скорость 5 м/с, а тело, движущееся из точки Ву —
скорость 2 м/с. Через какое время первое тело нагонит
второе? Какое перемещение совершит каждое тело? За-
Задачу решить аналитически и графически.
Решение. 1. Выберем начало оси X в точке А и на-
направим ее по движению тела (рис. 10). Тогда уравнения
движения тел таковы:
где х\ и Х2 — координаты первого и второго тел. Для
точки С, в которой первое тело нагонит второе, х\ = х2,
t=t\, или с учетом формул A)
перемещения тел та-
таТогда
ковы:
51 = Х\ —ДГо1 = V\t\,
52 = Х2 — *02 = V2t\>
Sl = 5-30 м== 150 м;
s2= 2-30 м = 60 м.
2. Отложим в масштабе по
оси абсцисс время / движения,
а по оси ординат — значения
координаты х. Запишем урав-
уравнения движения тел:
Х\ = V\t, Х2 = X02 + V2t.
Рис. 11
Тогда зависимость координат от времени может быть
изображена прямыми 1 и 2 (рис. 11). Найдем координа-
координаты их точки пересечения С: / = 30 с, х\ = х2=\50 м.
Следовательно, первое тело нагонит второе через 30 с.
Перемещения тел соответственно равны six = х\ = 150 м
И 52*= Х2—-Х(J = 60 М-
2. Скоростной лифт в высотном здании поднимается
равномерно со скоростью 3 м/с. Начертить график пере-
перемещения. Определить по графику время, в течение кото-
которого лифт достигнет высоты 90 м B6-й этаж).
Дано: v — 3 м/с; у = 90 м.
Решение. Пусть ось У совпадает с направлением дви-
движения лифта, а начало оси — с точкой, в которой лифт
находится в начальный момент времени. Тогда у0 = 0,
у = vt. Следовательно, 5 = у—уо =
= vt. Для построения графика пере-
перемещения отложим по оси абсцисс
время /, а по оси ординат — пере-
перемещение 5 (рис. 12). Зависимость
перемещения от времени изобразит-
изобразится прямой ОАУ тангенс угла наклона
которой к оси / численно равен ско-
скорости v. По графику определим, что
лифт достигнет высоты 90 м за 30 с.
3. По графику перемещения
(рис. 13, а) построить график ско-
скорости и определить характер движе-
движения тела относительно оси X
(рис. 13,6).
S.M
80
60
40
20
20
Рис. 12
t,C
15
Sx\
а)
Отв. Из рис. 13, а следует, что
тело движется равномерно в от-
отрицательном направлении оси X,
поскольку проекция sx вектора
перемещения на ось X отрица-
отрицательна и возрастает по абсолют-
абсолютному значению прямо пропорцио-
пропорционально времени (рис. 13, в).
~*~ Упражнения
X
4. Один автомобиль, двигаясь
равномерно со скоростью 12 м/с в
течение 10 с, совершил такое же
перемещение, что и другой, за
15 с. Какова скорость второго ав-
автомобиля?
5. Турист вышел из пункта,
расположенного в 2 км к востоку
и в 1 км к северу от перекрестка
дорог, и за 1 ч прошел 5 км к вос-
востоку под углом 135°. Определить
конечное положение туриста.
6. Пользуясь прямоугольной системой координат, изо-
изобразить вектор перемещения, направленный под уг-
углом 45° на северо-восток от точки, расположенной в 1 км
к востоку и в 2 км к северу от развилки дорог. Найти
координаты конца вектора перемещения, если его модуль
равен 25 км.
7. Тело переместилось из точки с координатами
д=1 м и i/o = 4 м в точку с координатами х\ = 5 м и
ух = 1 м. Найти модуль вектора перемещения тела и его
проекции на оси координат.
8. Определить по графику характер движения тела
(рис. 14).
9. По графику перемещения (рис. 15) начертить гра-
график скорости.
Рис. 13
30
10
О 20
Рис. 14
t, С
20
0
10 20 i,C
Рис. 15
16
Равнопеременное прямолинейное движение
Равнопеременным прямолинейным движением называ-
называется движение, при котором скорость материальной точки
(тела) за любые равные промежутки времени изменяется
на равные величины. Это движение может быть равно-
равноускоренным и равнозамедленным.
Для описания равнопеременного движения проводим
ось X (или Y) в направлении, совпадающем с траекто-
траекторией тела. Тогда уравнение движения и формула ско-
скорости
где vo — скорость тела в начальный момент времени;
а — ускорение движения. Знак « + » или «—» зависит
от выбора .направления оси X и направления векторов vo
и а. Для свободного падения тел ускорение принять рав-
равным g= 9,8 м/с2.
Вектор скорости неравномерного (в частности, рав-
равнопеременного) движения можно также найти как пер-
первую производную от вектора перемещения по времени:
ds
Тогда проекция вектора скорости на ось X vx = —.
Вектор ускорения переменного движения можно найти
как первую производную от вектора скорости по времени:
dv
а
Зная проекции векторов скорости vx = vx(t) и ускоре-
ускорения ах = ax{t), можно найти координату х и проекцию
вектора скорости тела на эту ось:
х = ) vxdt, vx = ) axdt.
/i tx
В переменном движении пользуются понятием сред-
средней скорости.
Средней скоростью переменного движения называется
отношение вектора перемещения 5 тела ко времени t,
за которое это перемещение совершено:
<v> = s/h
17
Рис. 16
В равнопеременном движении под средней скоростью
понимают среднее арифметическое начальной и конечной
скоростей:
График зависимости скорости от времени показан на
рис. 16. Из графика видно, что
а =
V\ —
а перемещение 5 численно равно площади Oabc. График
зависимости перемещения от времени при vo = О имеет
вид, показанный на рис. 17. Скорость тела в данный мо-
момент времени t\ равна тангенсу угла наклона между ка-
касательной к графику и осью времени:
v =± tga.
** Во всех задачах, кроме 84, 101, 146, сопротивление воздуха
не учитывать.
10. Автомобиль начинает движение без начальной
скорости и проходит первый километр с ускорением аь
а второй — с ускорением #2. При этом на первом кило-
километре его скорость возрастает на 10 м/с, а на втором —
на 5 м/с. Что больше: а\ или аг? Найти ускорения.
Дано: si = 52 = Ю3 м; vo = 0; v\ = 10 м/с; V2 = 15 м/с.
Решение. Пусть ось X совпадает с направлением дви-
движения автомобиля. Начало оси выберем в точке, из ко-
которой автомобиль начинает движение. Запишем уравне-
уравнение движения автомобиля и формулу скорости:
x = xo + vot + at2/2\ v = vo + at. A)
18
Для конечной точки первого уча-
участка уравнения A) примут вид
—^
0
А
Рис.
п2
i
(—
В X
18
S\ = Х\ — Xq\ = CL\t\/2\ V\ = CL\t\.
Решая совместно эти уравнения,
получаем v\ = 2axs\, откуда
102 ?=5. ИГ2 м/с2.
Для конечной точки второго участка уравнения A) при-
примут вид
52 = *2 —*02= 01*2 + аг/1/2 (так как 0o2=0i),
?>2 = V\ -\-U2t2-
Решая совместно эти уравнения, находим v\ — v\ =
откуда
у2 — У? 152— 102 М п or I rv — 2 / 2
0 = ; а = = 625-10 м/с2
п or I rv — 2 / 2
= 6,25-10 м/с2.
Следовательно,
11. Два велосипедиста едут навстречу друг другу.
Один, имея скорость 18 км/ч, движется равнозамедленно
с ускорением 20 см/с2, другой, имея скорость 5,4 км/ч,
движется равноускоренно с ускорением 0,2 м/с2. Через
какое время велосипедисты встретятся и какое переме-
перемещение совершит каждый из них до встречи, если расстоя-
расстояние между ними в начальный момент времени 130 м?
Дано: i/oi = 18 км/ч = 5 м/с; ах = 20 см/с2 = 0,2 м/с2;
у02 = 5,4 км/ч = 1,5 м/с; аг = 0,2 м/с2; *о2 = 130 м.
5l — ? S2— ? Т— ?
Решение. Пусть ось X совпадает с направлением дви-
движения первого велосипедиста, а начало координат —
с точкой О, в которой он находился в момент времени
/ = 0 (рис. 18). Тогда уравнения движения для велоси-
велосипедистов таковы:
Х{ = voxt — ait2/2 Ooi = 0), х2 = Xo2-Vo2t-a2t2/2. A)
В момент встречи (/ = т) в точке Л
х\ = х2. B)
Тогда, подставляя выражения A) в B), получаем
?>t — aiT2/2 = xq2 — vwi — агт2/2, откуда
2 130 оп
т —
5+1,5 С~~ 2U С;
19
- ОГк 0,2-202 ~~
= 5»20 -— м = 60 м,
12. При равноускоренном движении из состояния по-
покоя тело проходит за пятую секунду 90 см. Определить
перемещение тела за седьмую секунду.
Дано: 55 =90 см = 0,9 м.
S7-?
Решение. Проведем ось X в направлении движения
тела, а начало оси выберем в точке О, из которой тело
начинает движение (рис. 19). Тогда, согласно уравнению
движения, Х4 = а/4/2, хь = atl/2, где /4 = 4 с, /5 = 5 с.
Следовательно, перемещение тела за пятую секунду
s5 = хъ — X* = a(tl — ft)/2, откуда
a = 2s5/(tl-U). (i)
Аналогично, s7 = x7 — х6= a(/? — /I)/2, где /7 = 7с; /б =
= 6 с. С учетом уравнения A) получим
13°. Уравнение движения тела дано в виде х =
= 15/ + 0,4/2. Определить начальную скорость и ускоре-
ускорение движения тела, а также координату и скорость тела
через 5 с.
Дано: / = 5 с.
а — ? v0 — ? х — ? v — ?
Решение. 1-й способ. Сравним данное уравнение
движения тела с уравнением движения в общем виде:
х = xq + Vot + а/2/2; х=15/ + 0,4/2. A)
Очевидно, что х0 = 0, а коэффициенты при / и /2 равны
v0 = 15 м/с и а/2 = 0,4 м/с , откуда а = 0,8 м/с2. Коор-
Координату тела через 5 с найдем
*- из уравнения A):
jc == A5-5 + 0,4-52) м = 85 м.
Скорость тела через 5 с оп-
Рис. 19 ределим по формуле
20
v =
\ v = A5+0,8-5) м/с = 19 м/с. J^
2-й способ. Координату х при / = 5 с
найдем из уравнения A). По определению
скорости
и = -*?.= -*-( 15/+ 0,4/2) = 15 + 0,8/;
d/ d/
,8-5) м/с =19 м/с;
a = .?L=JL(i5 + 0,80 = 0,8 м/с2.
У//////.
Рис. 20
14. С вертолета, находящегося на высоте 300 м,
сброшен груз. Через какое время груз достигнет земли,
если вертолет: 1) неподвижен; 2) опускается со ско-
скоростью 5 м/с; 3) поднимается со скоростью 5 м/с?
Дано: у0 = 300 м; vo = 5 м/с.
Решение. Направим ось Y вертикально вниз, начало
оси поместим в точке О на высоте уо от поверхности зем-
земли (рис. 20).
1. Если вертолет неподвижен, то уравнение движения
груза
y = gt2/2. A)
Когда груз достигнет поверхности земли (t=t\f у=Уо),
уравнение A) примет вид у0 = gt\/2y откуда время паде-
падения груза на землю
с = 7,8 с.
2. Так как перед падением груз опускался вместе с
вертолетом со скоростью у0| то уравнение движения
груза
y=v0t + gt2/2. B)
Когда груз достигнет поверхности земли (t=t2, У=Уо),
уравнение B) примет вид у0 = Vot2 + gtl/2y откуда
Решая полученное уравнение, находим
21
Следовательно, /2~7,3 с (отрицательный корень отбра-
отбрасываем, так как время движения />0).
3. Составим уравнение движения груза:
у= -v0t + gt2/2 C)
(так как перед падением груз поднимается вместе с вер-
вертолетом со скоростью vo). В момент достижения грузом
земли (/=/3, У = Уо) уравнение C) примет вид у0 =
= — votz + gtl/2, откуда
/2 — 2v°t3 __ iML = о
3 g ё
Решая полученное уравнение, находим
, vo ± л/vl -f 2gy0
t3 = ;
Отбрасывая отрицательный корень, получаем /^8,3 с.
15. С воздушного шара, опускающегося вниз с по-
постоянной скоростью 2 м/с, бросили вертикально вверх
груз со скоростью 18 м/с относительно земли. Опреде-
Определить расстояние между шаром и грузом в момент, когда
груз достигает высшей точки своего подъема. Через ка-
какое время груз пролетит мимо шара, падая вниз?
Дано: uoi = 2 м/с; и<J = 18 м/с.
s —? т —?
Решение. Направим ось Y вертикально вверх, начало
оси совместим с точкой О, в которой находился воздуш-
воздушный шар в момент бросания груза (рис. 21).
Тогда уравнения движения воздушного шара и
груза таковы:
7 У\ = — tfoi/, У2 = v02t — gt2/2. A)
[У02
Скорость движения груза изменяется по зако-
0\ _^ НУ ^=^02 —?^. В наивысшей точке А подъема
Т/ скорость груза равна нулю: 0 = vO2 — gtMaKC\
следовательно, время подъема груза tMaKC =
5| = Vo2/g. Координата груза в точке А
V////////////.
РИС. 21 У2А = V02t«aKc
22
За это же время /маКс воздушный шар опустится в точ-
точку В с координатой у\в = —foi/макс = —aoii>o2/g. Расстоя-
ние между точками А и В равно
s = \АВ\ = \АО\ + \ОВ\ = \У2л\ + \ухв\ = -g-
В момент т, когда камень пролетит мимо шара, коорди-
координаты тел будут одинаковы: у\ = у2, или с учетом урав-
уравнений A) —Uoit = У02Т —gT2/2, откуда
2B+18)
—^ С4С
Т- , Т —^
16. Одно тело брошено вертикально вверх с началь-
начальной скоростью Уо, другое свободно падает с высоты h.
Найти зависимость расстояния между телами от време-
времени, если известно, что тела начали движение одновре-
одновременно.
Дано: vo, у0 = Н.
Ду = /(/)-?
Решение. Направим ось Y вертикально вверх, начало
оси выберем на поверхности земли (рис. 22; точка О).
Так как тела брошены одновременно, то время их движе-
движения одинаково и законы движения имеют вид у\ =
= voit — gt2/2y y2 = Уо — gt2/2, где у0 — начальная коор-
координата второго тела.
Расстояние между телами в любой момент, пока одно
из тел не упадет, выражается уравнением Дг/= t/2 — У\ =
= Уо — gt2/2 — v0lt + gt2/2 = yo — vot, или
Ay = h-vOit. v
17. Два тела брошены вертикально вверх |
с одинаковой начальной скоростью vo и с
интервалом времени т. Определить скорость
движения второго тела относительно пер- v01 к
вого. По какому закону изменяется расстоя- |
ние между телами? q
Дано: vo\ т Ш7//77777
V-? Ау-? Рис. 22
23
Решение. Направим ось У вертикально вверх, начало
оси выберем на поверхности земли в точке бросания тел,
а за начальный отсчет времени примем момент бросания
первого тела. Запишем уравнения движения тел: у\ =
= v0t — gt2/2, y2= vo(t — T) — g(t — TJ/2. Расстояние меж-
между телами изменяется по закону
Иу = ух-у2= vot - gt2/2 - vo{t-T) + g{t-TJ/2 =
2/2 — gxt.
В выбранной системе координат скорости первого и вто-
второго тел изменяются по закону v\ = vq — gtt V2 =
= vq—g{t—т). Тогда скорость движения второго тела
относительно первого
v = V2 — v\ = vo — g(t—T) — vo-\- gt = gx = const;
значит, относительное движение тел равномерное.
18. Мяч брошен вертикально вверх. На высоте h он
побывал дважды с интервалом времени At. Определить
начальную скорость бросания мяча.
Дано: /г; А/.
г/о-?
Решение. Направим ось у вертикально вверх, начало
оси выберем на поверхности земли (рис. 23; точка О).
Запишем уравнения движения мяча для моментов вре-
времени t и + Д
h=v0t-gt2/2t h = vo{t + At)-g(t + AtJ/2. A)
Решая совместно уравнения A), находим vot — gt2/2 =
= vQt + v0At — gt2/2 — gtAt — gAt2/2, откуда
t = Bvo-gAt)/Bg). B)
Подставим выражение B) в A):
Y \
i
\
i <
>
откуда
i9# Тело свободно падает с высоты 490 м.
Определить перемещение тела в последнюю
Рис. 23 секунду падения.
24
Дано: h = 490 м; Л/ = 1 с.
Ау — ?
Решение. Направим ось У вертикально
вниз, начало О оси расположим на высоте h
от поверхности земли (рис. 24). Тогда урав-
уравнение движения тела
У = gt2/2.
A)
Когда тело достигнет поверхности земли
(/=/2, у = У2 = Ь)у уравнение A) примет вид
h = gtl/2, откуда t2 = ^2h/g. В момент
(/2 —ДО тело окажется в точке А с коорди-
координатой yi=g(t2 — M) /2. Тогда
V///////,
Рис. 24
lj м = 93 м.
20°. Мяч, брошенный вертикально вверх, упал на зем-
землю через 3 с. С какой скоростью был брошен мяч и на
какую высоту он поднялся?
Дано: t\ = 3 с.
VO— ? f/макс— ?
Решение. Направим ось У вертикально вверх, начало
оси О выберем на поверхности земли (рис. 25). Тогда
уравнение движения тела и формула скорости
y=vot-gt2/2, A)
v = vo — gt. B)
На поверхности земли t=t\y у — 0, тогда
уравнение A) примет вид O=vot\—gt1/2t от-
откуда
у
Ai
vo =
9,8-3 м
~ = 14,7 м/с.
В наивысшей точке А подъема мяча / = /Макс,
У = t/макс, v = 0. Запишем уравнение B) для
точки А: 0=и0 —g/макс, откуда
^макс = Vo/g. C)
** Время подъема можно найти и другим способом. Так как в точ-
точке Л координата у максимальна, то dyMaKC/dt = О, или с учетом урав-
уравнения A)
dyu
« d ( *• / 1^Л „ гт/ П
— = -Jjl ^Ofмакс ? 7 == V° — ?*макс = U?
откуда
/макс =
Подставив уравнение C) в A), найдем
Умакс — Уо'макс ^ "" V° "^ 1^" === 2^'
14,72 - ,
f/макс = 2>98 М = 1 1 М.
21. Тело бросают вертикально вверх со скоростью
4,9 м/с. Одновременно с предельной высоты, которой
оно может достичь, бросают вертикально вниз другое
тело с той же начальной скоростью. Определить время,
по истечении которого тела встретятся.
Дано: vo = 4,9 м/с.
Решение. Направим ось Y вертикально вверх, а нача-
начало оси О выберем на поверхности земли (рис. 26).
Тогда уравнения движения первого и второго тел
Ух = voit — gt2/2, y2 = Уо — v02t — gt2/2,
где vox == ?>о2 = vq. В точке В встречи (/ = т, у\ = у2)
имеем
иот — gT2/2 = уо — 1>от — gT2/2,
откуда т = yo/Bvo), где у0 — наибольшая высота подъе-
подъема первого тела, у0 = уМакс = v2/Bg) (см. задачу 20).
Подставляя это выражение в формулу для т,
получаем
22. Первую половину пути автомобиль дви-
двигался со скоростью 80 км/ч, а вторую полови-
половину — со скоростью 40 км/ч. Найти среднюю
Рис. 26 скорость движения автомобиля.
26
Дано: v\ = 80 км/ч « 22 im/c; t;2 = 40 км/ч « 11 м/с.
Решение. Так как при равномерном прямолинейном
движении путь равен модулю вектора перемещения, то
(v)=s/t. A)
Здесь 5 — путь автомобиля; / = t\ + h = Si/yi + $2/^2—
полное время движения, где si, 52 — пути автомобиля за
время t\ со скоростью v\ и время U со скоростью v2
соответственно. По условию задачи, si = $2 = s/2; сле-
следовательно,
* = s/{2vx) + s/{2v2). B)
Подставив выражение B) в A), найдем
(V)
s/2-vx + 5
2-22-11 м
1 ^ -т
14'7
<">= 22 + Пс
23. Кабина лифта поднимается в течение первых 4 с
равноускоренно, достигая скорости 4 м/с. С этой ско-
скоростью кабина движется в течение 8 с, а последние 3 с
она движется равнозамедленно. Определить перемещение
кабины лифта. Построить графики скорости, перемеще-
перемещения и ускорения.
Дано: Д/i = 4с; Д/2 = 8 с; Д/3 = 3 с; и2 = 4 м/с.
h — ?
Решение. Направим ось Y вертикально вверх, а на-
начало оси совместим с началом движения кабины лиф-
лифта. Рассмотрим движение кабины на трех участках. На
первом участке перемещение
Ai = <0,>Д/,, A)
где (v\) — средняя скорость на этом участке. Так как
движение здесь равноускоренное, то
(Vl) = (иНач + Укон)/2 = @ + V2)/2 = V2/2.
Учитывая это, перепишем уравнение A):
А, = V2M\/2.
На втором и третьем участках перемещения соответст-
соответственно равны
27
V, М/С
Так как <у3) = 02/2, то Л3 =
= У2Л/3/2. Следовательно, пол-
полное перемещение кабины лифта
h = hi + h2 + Лз,
или
* 8 12 16 t,c
46
40
с
/
/
ГУ
D'
0 h
a, м/с2
8 12 16 t.c
в)
О
-1
-2
ж
= -^-(A/, +2A/2 + A/3),
h = ±D+2.8+3) м = 46 m.
Построим графики скорости,
перемещения и ускорения, рас-
рассматривая каждый участок
движения отдельно. Полный
график скорости (рис. 27, а) —
ломаная OBCD. График пере-
перемещения (рис. 27, б) состоит
из трех участков: ОВ' — учас-
участок параболы с вершиной в
точке О, В'С — отрезок пря-
прямой и CD' — участок парабо-
параболы с вершиной в точке D'; гра-
график ускорения (рис. 27,в) —
ломаная ABB'CC'D.
24. Поезд в течение 10 с уве-
увеличил скорость с 36 до 54 км/ч.
В течение следующих 0,3 мин он
двигался равномерно. Опреде-
Определить перемещение и среднюю
скорость поезда. Построить гра-
графики скорости и перемещения
Дано: vo = 36 км/ч = 10 м/с; v = 54 км/ч i = 15 м/с;
Д/, = 10 с; Д/2 = 0,3 мин = 18 с.
(v)-? s-?
Решение. Совместим ось X с направлением движения
поезда, а начало оси выберем в точке О, в которой
скорость поезда была равна vo. Рассмотрим движение
поезда на двух участках. На первом участке переме-
перемещение
Д/i.
С
8 П\ \16
Рис. 27
28
Так как движение поезда на первом участке равноуско-
равноускоренное, то средняя скорость его движения на этом участ-
участке <ui> = (и0 + v)/2. Тогда
_
^ 1 —
A)
так как движение на втором участке равномерное, то
Следовательно, полное перемещение поезда s = s\ -\- S2
или [см. A) и B)]
1 + V\t2\
10 + 15-18) м = 395 м.
s =
2
10 + 15
Средняя скорость движения поезда
= s/t9
У, м/с
20
10
3 16 24 t,c
US -
О 8 16
где / = Д/i + Д/2. Тогда
Л/, + Д/2 *
395 м
14,1 м/с.
xv/ 10+ 18с
Построим графики скорости
(рис. 28, а) и перемещения
(рис. 28, б), рассматривая
каждый участок движения от-
отдельно.
25. Как двигался мотоцик-
мотоциклист, график скорости движе-
движения которого изображен на
рис. 29?
Отв. Из графика видно, что
Рис. 28
Рис. 29
29
а)
н
мотоциклист начал движение
из состояния покоя (точ-
(точка О). На участке О А он дви-
двигался равноускоренно, на
участке АВ его движение
было равномерным, а на
участке ВС — равнозамед-
ленным с большим по абсо-
абсолютному значению ускорени-
ускорением, чем на участке ОА
(tgai<tga2). Участок CD
соответствует остановке.
Участки D?, EF, ЕК графика
соответствуют движению мо-
мотоциклиста в обратном на-
направлении: равноускоренно-
равноускоренному (участок D?), равномер-
равномерному (участок EF) и равно-
замедленному (участок FK).
26. По заданному графи-
графику скорости (рис. 30,а) по-
построить графики ускорения
и перемещения.
Отв. На участке Ot\ дви-
движение равноускоренное в по-
положительном направлении
оси X (рис. 31; участок тра-
траектории О А), поэтому график
X ускорения имеет вид пря-
прямой, параллельной оси /
(рис. 30,6; участок be), а
график перемещения — уча-
участок параболы Ос\ с верши-
вершиной в точке О. На участке t\t2 движение равномерное
(рис. 31; участок траектории АВ), поэтому график
ускорения имеет вид прямой, идущей вдоль оси t (рис.
30,6); участок /1/2), а график перемещения — прямая
C\d\, касающаяся параболы в точке С\ (рис. 30, в). На
участке /г^з движение равнозамедленное в прежнем на-
направлении (рис. 31; участок траектории ВС). Поэтому
график ускорения имеет вид прямой, параллельной оси t
(рис. 30,6; участок de)> а график перемещения —
участок параболы с вершиной в точке е\, касающийся
прямой c\d\ в точке d\ (рис. 30, в).
Рис. 30
Рис. 31
30
27. По графику пере-
мещения, состоящему из
двух участков парабол
(рис. 32, а), построить
график скорости и ускоре-
ускорения.
Отв. На участке Ot\
(рис. 32, а) движение
равнозамедленное и на-
направлено в сторону, про-
противоположную оси X
(рис. 33; участок траекто-
траектории ОА)У поэтому ско-
скорость отрицательна и
убывает по модулю (рис.
32, б; участок Ьс)у а ус-
ускорение положительно
(рис. 32, в\ участок Ь\С\).
На участке t\h движение
равноускоренное в напра-
направлении оси X (рис. 33;
участок траектории АО),
поэтому скорость положи-
положительна и возрастает по
модулю (рис. 32, б; учас-
участок cd), а ускорение оста-
остается прежним по модулю
и направлению (рис. 32, в\
участок C\d[). На участке
t2t3 движение-равнозамед-
движение-равнозамедленное в прежнем направ-
направлении (рис. 33; участок
траектории ОВ), поэтому
скорость положительна и
убывает по модулю (рис..
32, б; участок de), а уско-
ускорение отрицательно (рис.
32, в; участок d"ex). На
участке /3*4 движение равноускоренное и направлено в
сторону, противоположную оси X (рис. 33; участок тра-
траектории ВО), поэтому скорость отрицательна и возрас-
возрастает по модулю (рис. 32,6; участок ef)y а ускорение
остается прежним (рис. 32, в; участок e\f\).
28°. Тело движется вдоль оси X по закону х = 6 —
— 3/ + 2/2. Найти среднюю скорость тела и ускорение за
л
А
В
Рис. 33
** Построение всех графи-
графиков выполнялось без масштаба.
31
промежуток времени 1—4 с. Построить графики пере-
перемещения, скорости и ускорения.
Дано: t\ = 1 с; /г = 4 с.
Решение. По определению,
, v IM + 02
= - 3 + 4/,
A)
Из уравнения A) с учетом Л и /2 имеем v\ = (— 3 +
+ 4-1) м/с = 1 м/с, t;2 = (-3 + 4-4) м/с= 13 м/с.
Тогда
1 + 13
¦ = 7 м/с;
<">= 2 с
а = iL = А(_ з + At) = 4 м/с2 = const.
График перемещения — парабола
(рис. 34, а), где хо = 6 м — началь-
начальная координата тела; график ско-
скорости — прямая (рис. 34, б), где
vo = — 3 м/с — начальная скорость
тела; график ускорения — прямая,
параллельная оси абсцисс (рис.
34, в).
29°. Скорость тела выражается
формулой v = 2,5 + 0,2/. Найти пе-
перемещение тела через 20 с от начала
движения.
Дано: t\ = 0; /2 = 20 с.
Решение. По определению, 5 =
h
= \ vdt. Тогда
20
s = j B,5 + 0,20 d/ = B,5/ +
20
ь,с
Рис. 34
= 2,5-20
+ у0,2B0J м = 90 м.
32
Упражнения
30. Поезд, идущий по горизонтальному участку со
скоростью 36 км/ч, начинает двигаться равноускоренно
и проходит 600 м, имея в конце участка скорость 45 км/ч.
Определить ускорение и время ускоренного движения.
31. По одному направлению" из одной точки одновре-
одновременно пущены два тела: одно — равномерно со ско-
скоростью 98 м/с, другое — равноускоренно с начальной
скоростью, равной нулю, и ускорением 980 см/с2. Через
какое время второе тело нагонит первое?
32. За вторую секунду после начала движения авто-
автомобиль прошел 1,2 м. С каким ускорением двигался
автомобиль? Определить перемещение автомобиля за
десятую секунду после начала движения.
33. Уравнение движения тела х = 5/ + 0,8/2. Опреде-
Определить ускорение и начальную скорость движения тела.
34. Мяч падает на плоскую поверхность с высоты
20 м и вновь подпрыгивает на высоту 5 м. Чему равна
скорость мяча в момент падения на площадку? Сколько
времени проходит от начала падения мяча до момента
достижения им точки наивысшего подъема? Какова ско-
скорость мяча в момент отрыва от площадки?
35. Тело падает с высоты 2000 м. За какое время оно
пройдет последние 100 м?
36. Поезд отошел от станции с ускорением 20 см/с2.
Достигнув скорости 37 км/ч, он двигался равномерно в
течение 2 мин, затем, затормозив, прошел до остановки
100 м. Найти среднюю скорость поезда. Построить гра-
график скорости.
37. Первую половину времени своего движения авто-
автомобиль двигался со скоростью 80 км/ч, а вторую полови-
половину времени — со скоростью 40 км/ч. Определить среднюю
скорость движения автомобиля.
38. Материальная точка двигалась прямолинейно.
На расстоянии 1 км от начального положения она оста-
остановилась, а затем в противоположном направлении
прошла 1,2 км до полной остановки. Чему равны пере-
перемещение и полный путь, пройденный точкой?
39. Автомобиль, двигаясь равноускоренно, прошел
Два смежных участка пути по 100 м каждый за 5 и 3,5 с.
Определить ускорение и среднюю скорость автомобиля
на каждом участке пути и на двух участках вместе.
40. Тело А бросают вертикально вверх со скоростью
20 м/с. На какой высоте находилось тело В, которое бу-
2-580 33
Рис. 35
Рис. 36
дучи брошено с горизонтальной скоростью 4 м/с одновре-
одновременно с телом Л, столкнулось с ним в полете? Расстояние
по горизонтали между начальными положениями тел 4 м.
Найти время движения тел до столкновения и скорость
каждого тела в момент столкновения.
41. По графику скорости (рис. 35) построить графики
перемещения и ускорения и объяснить характер движе-
движения тела на различных участках.
42. По графику перемещения (рис. 36) построить
график скорости и ускорения и объяснить характер дви-
движения на каждом участке.
43. С некоторой высоты падает коробка, в центре
которой находится металлический шарик, не соприкасаю-
соприкасающийся с ее стенками. Определить движение шарика от-
относительно стенки коробки во время падения. Сопротив-
Сопротивление воздуха не учитывать.
Некоторые виды сложного движения
Равномерное прямолинейное движение. Любое равно-
равномерное движение, происходящее с постоянной ско-
скоростью v вдоль произвольной прямой АВ (рис. 37),
можно разложить на два независимых равномерных и
прямолинейных движения
вдоль осей X и У со скоро-
скоростями Vx И Uy.
Для описания этого дви-
движения выберем прямоуголь-
прямоугольную систему координат XOY.
Тогда уравнения движения
тела
X = Хо + Vxtt
У = Уо + vyt,
Рис. 37
где vx = v cos a, vy = v sin а.
34
Скорость тела в любой точке траектории
V = -yj vl + vl
и направлена вдоль траектории движения.
Движение тела, брошенного горизонтально с неко-
некоторой высоты. Это движение можно разложить на два
независимых движения: равномерное и прямолинейное,
происходящее в горизонтальном направлении со ско-
скоростью vx, равной начальной скорости бросания vo{vx =
= Уо), и свободное падение с высоты, на которой нахо-
находилось тело в момент бросания, с ускорением g.
Для описания этого движения выберем прямоуголь-
прямоугольную систему координат XOY. Направим ось X по гори-
горизонтали, а ось У — по вертикали вверх. Тогда уравнения
движений по осям X и У
х = хо + vot, у = уо — gt2/2.
Скорость тела в любой точке траектории
и направлена по касательной к траектории в данной
точке.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Это движение можно разложить на два независимых
движения: равномерное и прямолинейное, происходящее
в горизонтальном направлении с начальной скоростью
vox = uocosa, и свободное падение с начальной ско-
скоростью voy = uosina, где a — угол между направлениями
вектора скорости vo и осью X (рис. 38).
Для описания движения выберем прямоугольную си-
систему координат XOY. Направим ось X по горизонтали,
а ось OY—по вертикали вверх. Тогда уравнения дви-
движений
х = хо + vOxt, у = Уо + voyt — gt2/2.
Скорость тела в любой точ-
точке траектории
v =
v2y
ГДе Vx = Vox, Vy = Voy — gt, И
направлена по касательной
к траектории в данной точке.
Направление вектора ско-
скорости в произвольной точке
Рис. 38
2**
35
траектории определяется углом ср, образованным векто-
вектором скорости v с осью Ху по формуле
tg ф = Vy/Vx.
** Значения х0 и уо, а также знаки перед слагаемыми в правых
частях написанных выше уравнений во всех трех случаях зависят от
выбора начала координат и направления осей X и У.
44. Пассажир поезда, идущего со скоростью 40 км/ч,
видит в течение 3 с встречный поезд длиной 75 м. С ка-
какой скоростью идет встречный поезд?
Дано: v\ = 40 км/ч « 11 м/с; / = 3с; / = 75 м
t/2 —?
Решение. Рассмотрим движение второго поезда от-
относительно системы отсчета, связанной с первым поез-
поездом. Тогда скорость второго поезда относительно вы-
выбранной системы отсчета v = v^ + v2 (v{ = — vi — ско-
скорость земли относительно первого поезда; v2 — ско-
скорость второго поезда относительно земли), или в скаляр-
скалярной форме и = v\ + V2 = v\ + V2. Учитывая, что v = l/t,
получаем /// = v\ + Уг, откуда
v2= l/t — vu v2 = G5/3 — 11) м/с = 14 м/с.
45. Лодка движется поперек реки перпендикулярно
ее берегам со скоростью 2 м/с. Под каким углом к вы-
выбранному направлению оси У и с какой скоростью отно-
относительно поверхности воды гребец держит курс, если
скорость течения реки 5 км/ч (рис. 38)?
Дано: v = 2 м/с; v\ = 5 км/ч ж 1,4 м/с
а — ? и2 — ?
Y i
0
Рис. 39
Решение. Рассмотрим движе-
движение лодки относительно берега.
Тогда скорость движения лодки
v = vi + V2> где Vi — переносная
скорость, обусловленная течением
реки, V2 — скорость движения
лодки относительно воды. Так
как, по условию задачи, vJLvi, a
v2=v — vi (рис. 39), то
36
v2 =
V
= Vl>42 + 22 м/с ^2,4 м/с. v
Тангенс угла равен lga=v\/v,
откуда
a = arctg (v\/v)\ a =
= arctg A,4/2) « 0,84 рад.
46. С какой скоростью и по
какому курсу должен лететь са-
самолет, чтобы за 2 ч пролететь
на север 300 км, если во время
полета дует северо-западный ве-
ветер под углом 30° к меридиану
со скоростью 27 км/ч?
Дано: /= 2 ч = 7,2-103 с; /= 300км = 3-Ю5 м;
а = 30° « 0,52 рад, и, = 27 км/ч = 7,5 м/с.
Vo — ? ffi — ?
Решение. Рассмотрим движение самолета в системе
отсчета, связанной с землей. Проведем ось X в направле-
направлении на восток, а ось Y— на север (рис. 40). Тогда ско-
скорость движения самолета в выбранной системе отсчета
V = Vi+V2j
Рис. 40
или (рис. 40)
у2 = V — Vi
и по теореме косинусов находим скорость:
A)
v2 = л! v\-\- v2 -\- 2v\ ucosa,
где v = IIt. Таким образом,
= -\М + l2/t2+2vjcosa/t ,
= V7.52+C-105/G,2-103)J -
-> + B.7,5.0,86.3. 105)/G,2. 103) м/с « 48,3 м/с.
Так как проекция суммы равна сумме проекций то,
находя проекцию A) на оси X и У, имеем
u2sin(p = uisina, i^coscp = Uicosa + у» B)
37
откуда tg ф =
ф = arctg -
v\ sin a
icosa -f
v\ sin a
ИЛИ
Ф — arctg 7M
ж 0,078 рад.
v\ cosa -f- /// '
7,5-0,5
io5/G,2.io3)
arctg 0,078
47. Самолет летит горизонтально со скоростью
360 км/ч на высоте 490 м. Когда он пролетает над точ-
точкой А, с него сбрасывают пакет. На каком расстоянии
от точки А пакет упадет на землю?
Дано: v0 = 360 км/ч = 100 м/с, h = 490 м.
Решение. Направим ось X горизонтально, ось Y вер-
вертикально, начало координат выберем в точке А (рис. 41).
Запишем уравнения движения пакета по осям X и Y:
x=vot, y = y^-gt2l21
где уо = h. Для точки падения В (t = t\y x = хв,
= 1/5 = 0) уравнения A) примут вид
хв =
0 = А - gt\/2.
A)
у =
B)
C)
Время движения пакета до точки В найдем из уравне-
уравнения C):
U =
D)
Искомое расстояние s = хв найдем из уравнения B)
с учетом D):
S = Vot[ =
=Г\ 5=10'
2-490 м = 103
9,8
М.
Y///////////7777//.
А В
Рис. 41
48. Струя воды в гидромо-
гидромониторе вылетает из ствола со
скоростью * 50 м/с под углом
35° к горизонту. Найти даль-
дальность полета и наибольшую
высоту подъема струи.
Дано: Vq — 50 м/с;
а = 35° « 0,61 рад.
h — ? s
38
Решение. Выберем систему координат с началом от-
отсчета в точке О вылета струи (рис. 42 на с. 40) и запи-
запишем уравнения движения струи:
x = vOxt, A)
у = vOyt - gt2/2. B)
Скорость движения струи по оси Y изменяется по за-
закону
Vy = VOy — gt. C)
Для точки А (вершина параболы) / = /макс, у = h, vy =
= 0. Тогда уравнение C) примет вид 0 = voy — g/макс,
откуда
/макс = Voy/g. D)
Применяя уравнение B) для точки Л, находим h =
Kc — ^/макс/2, или с учетом D)
л_„0!/____^__.
Учитывая, что vOy == uosina, получаем
. vlsm2a и 502-0,572 . , о
* = —2Г~; Н= 2.9,8 М-41>3 М'
Запишем уравнение B) для точки В падения струи на
землю (/ = /в, у = 0, х = s):
0 =
Тогда время движения струи до точки В
(в = 2vOy/g = Buo/g)sina. E)
Запишем уравнение A) для точки В:
s = vOxtB. F)
Подставляя выражение E) в F) и учитывая, что
vOx = y0cosa, находим
2uosin a i/o sin 2a
s = Vq cosa
8 g
502-0,94 O.A
5 = —r-g— м ж 240 м.
39
49. Под каким углом к горизонту надо бросить тело,
чтобы высота его подъема была равна дальности полета?
Дано: h\ s.
Решение. Высота подъема тела (см. задачу 48)
h = u§sin2a/Bg),
дальность полета
5 = Bvl/g) sin a cos a.
По условию задачи, h = s, поэтому vl sin2a/Bg) =
= 2uo sinacosa/g, откуда
tg a = 4; a = arctg 4 ж 1,3 рад.
50. Тело брошено с начальной скоростью vo под
углом а к горизонту. Найти скорость тела в высшей точ-
точке подъема и в точке его падения на горизонтальную
плоскость.
Дано: i/0; а.
VA
— ? нд — ?
Решение. Построим траекторию движения тела в вы-
выбранной системе координат (рис. 42). В любой точке
траектории полная скорость движения тела может быть
подсчитана по формуле и — -\[и2х -\- v\, где vx = vox =
= uocosa и vy = voy — gt — горизонтальная и верти-
вертикальная составляющие скорости в данной точке траек-
траектории. В наивысшей точке А подъема
= 0.
vx =
= Vq cos a, vy
Следовательно, полная
скорость тела в точке А
= "V vl
Рис. 42
VA
= Vx =
= г^о cosa.
Очевидно, что вектор
скорости в точке А на-
направлен горизонтально.
Аналогично, для точки
В падения тела на зем-
землю получим
40
vx= Vox = Uocosa, uy=voy — glB, A)
где время движения тела до точки В может быть подсчи-
подсчитано по формуле (см. задачу 48)
tB = {2vo/g)s\na. B)
Подставляя во вторую из формул A) выражение B) и
учитывая, что voy = Vo sin a, находим u,,= uosina—
— g{2vo/g) since = — uosina. Следовательно, полная ско-
скорость в точке В
VB
— V v* + vl = v
^о sin2 a =
Для определения направления вектора скорости тела в
точке В используем рис. 42, из которого видно, что
tgai = Vy/vx = — ^osina/(uocosa) = — tga,
т. е. вектор скорости тела в точке В падения состав-
составляет с горизонтом угол аи численно равный углу бро-
бросания а.
51. Тело свободно падает с высоты 4 м. На высоте
2 м оно упруго ударяется о небольшую закрепленную
площадку под углом 30° к горизонту. Найти полное вре-
время движения тела и дальность его полета.
Дано: И = 4 м; Л = 2 м; a = 30° ж 0,52 рад.
/ — ? s — ?
Решение. Выберем систему координат с началом в
точке О (рис. 43) и запишем уравнение движения тела
на первом участке ЛВ траектории:
у = Уо — gt2/2, A)
где уо = Н. Скорость
движения тела на этом
участке
v=-gt. B)
-Для точки B(t = t\\
y=h\ v = vB) уравне-
уравнения A) и B) примут
вид h= H—gt\/2, \vb\ =
= gtu откуда
/i = -\J2{H - h)/g, C)
\vb\ = g~\j2(H — h)/ g =
~~h) . D)
Рис. 43
41
На втором участке BD траектории тело движется по па-
параболе и уравнения движения тела
х = vbJ, E)
у = h + vbJ - gt2/2y F)
где vbx = vbcosy, vbv = veslny. Учитывая, что удар упру-
упругий и угол а = 30°, имеем а = р = у. Тогда vb, =
= us cos a, vrv = ив sin а, или с учетом D)
vb. = ^2g(H — A)cosa, vBy = ^2g(H — h) sin a. G)
В точке падения D (t = t2\ у — 0; x = s) уравнение F)
примет вид 0 = h + vBy t2 — gtl/2, откуда t2 =
= ^±^ + 2g\ или с учетом G)
/ — У2^Я — h^ sina
8
(8)
(отрицательный корень отбрасываем). Тогда полное вре-
время движения тела
- h) sin a -f- -yfigh -h 2g(^ — h) sin2a
, V2-9,8D--2)-0,5 + V2-9,8-24-2-9,8D - 2)-O25
"I g-g — ^ 1U,1 C.
Дальность полета найдем из уравнения E) с учетом (8):
— h) cosaX
ч/ yj2g(H - h) sina + V2g/i + 2g(H - h) sin^a
9,8D - 2H,87X
V2»9,8D-2)-0,5 + V2-9,8-2 + 2-9,8D - 2H,5^ м ^
« 5,6 м.
52. Как изменятся время и дальность полета тела,
брошенного горизонтально с некоторой бысоты, если
скорость бросания увеличить в два раза?
42
Отв. Дальность полета 5 = vxt, где время / полета
определяется только высотой тела над поверхностью
земли. Поэтому если высота не изменяется, а скорость
бросания увеличивается в два раза, то и дальность поле-
полета должна возрасти в два раза.
53. Под некоторым углом к горизонту из шланга бьет
струя воды. Почему восходящая ветвь струи сплошная,
а нисходящая рассыпается на отдельные части?
Отв. Рассмотрим два соседних участка восходящей
ветви. Скорость частиц на каждом последующем участ-
участке меньше скорости частиц на каждом предыдущем
участке, что приводит к уплотнению струи. В нисходящей
же ветви струи это различие в скоростях частиц двух
соседних участков приводит к нарушению целостности
струи.
Упражнения
54. Самолет летит относительно воздуха со скоростью
800 км/ч. Ветер дует с запада на восток со скоростью
15 м/с. С какой скоростью будет двигаться самолет
относительно земли на юг и под каким углом к меридиа-
меридиану надо держать при этом курс?
55. Дождевые капли, падающие отвесно, попадают
на окно автомобиля, движущегося со скоростью 45 км/ч,
и оставляют на нем след под углом 30° к вертикали.
Определить скорость падения капель.
56. Дальность полета тела, брошенного горизонталь-
горизонтально со скоростью 10 м/с, равна высоте бросания. С ка-
какой высоты брошено тело?
57. Как изменяются время и дальность полета тела,
брошенного горизонтально, при увеличении высоты его
подъема в четыре раза? Скорость бросания при этом не
изменяется.
58. Снаряд вылетел из орудия с начальной скоростью
1000 м/с под углом 30° к горизонту. Определить даль-
дальность полета и время движения снаряда. Орудие и точ-
точка падения снаряда находятся на одной горизонтали.
59. С высоты h над поверхностью земли брошено
тело под углом а к горизонту со скоростью vq. С какой
скоростью тело упадет на землю?
60. С вершины наклонной плоскости, составляющей с
горизонтом угол 36°, со скоростью ио='5 м/с бросают
камень под углом 30° к горизонту. На каком расстоянии
от точки бросания упадет камень?
43
61. Под каким углом к горизонту надо бросить тело,
чтобы наибольшая высота подъема была равна дально-
дальности полета? Считать, что на тело действует попутный
ветер, сообщающий ему горизонтальное ускорение а.
62. Шарик бросают под углом 30° к горизонту с на-
начальной скоростью 14 м/с. На расстоянии 11 м от точки
бросания шарик упруго ударяется о вертикальную стенку.
На каком расстоянии от стенки шарик упадет на землю?
63. Вагон движется со скоростью 72 км/ч. Дождевые
капли в безветренную погоду оставляют след на его окне
под углом 60° к вертикали. Какова скорость падения
капель?
64. Моторная лодка проходит одно и то же расстоя-
расстояние по течению реки за 4 ч, а против течения — за
6 ч. За какое время лодка прошла бы это расстояние в
стоячей воде?
Движение материальной точки по окружности.
Вращательное движение твердого тела
При движении материальной точки по окружности
направление вектора линейного ускорения не совпадает
с направлением вектора линейной скорости. В любой
точке траектории линейная скорость v тела направлена
по касательной к окружности, а вектор ускорения а мо-
может быть разложен на два вектора: ак и ац (рис. 44),
где ак — составляющая вектора а по касательной к тра-
траектории в данной точке, называемая касательным (тан-
(тангенциальным) ускорением; ац — составляющая вектора а
по нормали (радиусу) к касательной к траектории в дан-
данной точке, называемая центростремительным (нормаль-
(нормальным) ускорением an = v2/.R. Из рисунка видно, что
а =
at
При равномерном движении по ок-
окружности (ак = 0) а = ац и направ-
направлено по радиусу к центру окружно-
окружности. В этом случае
4л2/?
пе-
пе_ ___
_
где / — длина окружности; Т
риод вращения (время одного пол-
полного оборота); R—радиус окруж-
окружности.
Рис 44
44
Вращательное движение твердого тела характеризуют
следующие величины: ф — угловое перемещение (угол
поворота произвольного радиуса от начального положе-
положения); со — угловая скорость; v — частота вращения;
Т — период вращения. Величины со, v и Т связаны
между собой соотношением
со = -у- = 2nv.
При равномерном вращении тела уравнение движения
Ф = со/.
При равнопеременном вращении тела (равноускорен-
(равноускоренном или равнозамедленном) уравнение его движения, а
также формула зависимости угловой скорости от вре-
времени имеют вид
ф = со0/ + -—, со = coo ± е/,
где соо — начальная угловая скорость; е — угловое уско-
ускорение.
В этих формулах выбирают знак « + » для равно-
равноускоренного вращения, знак «—» — для равнозамедлен-
ного. При неравномерном, в частности равноперемен-
равнопеременном, вращении угловая скорость может быть выражена
как первая производная от угла поворота по времени:
Угловое ускорение при равнопеременном вращении
можно найти как первую производную от угловой ско-
скорости по времени:
dco
Е== ~df'
Зная о = со(/) и 6 = е(/), можно найти ф и со:
Ф — \ cod/ и со = \ ed/.
Угловые величины ф, со и е связаны с соответствую-
соответствующими линейными величинами /, v и а следующими соот-
соотношениями:
/ = ф/?, v = со/?, ак = eR, ац = со2/?.
45
65. Определить центростремительное ускорение точек
земной поверхности на экваторе, на широте 45° и на
полюсе, вызванное суточным вращением Земли.
Дано: Г=24 ч = 8,б4-104 с; ф, = 0 рад; ф2=45°^0,79 рад; ф3» 1,57 рад.
Решение. Все точки земной поверхности участвуют в
суточном вращении Земли с угловой скоростью
A)
следовательно, имеют центростремительное ускорение
ац == аз2/-, B)
где r=Rcosq>— радиус окружности, по которой дви-
движется точка, ф — широта места, R — радиус Земли
(рис. 45).
Из уравнений A) и B) получаем ац = -=z- R cos ф,
откуда ускорения точек на экваторе, на широте 45° и на
полюсе соответственно равны:
3,4-10-м/с2,
= 1);
2 = CLul СОБфг', <2ц2
2,4-10~2 м/с2;
= 0, так как
(8,64-104J
s 3,4.10~2.0,7 м/с2 «
= cos у = 0.
66. Шкив диаметром 20 см
делает 300 оборотов за 3 мин.
Определить период вращения,
угловую и линейную скорости
точки на ободе шкива.
Дано: D = 20 см = 0,2 м, N = 300;
/ = 3 мин = 180 с.
Рис. 45
Т —¦> о)—? v — ?
Решение. Шкив, вращаясь
равномерно, делает jV оборотов
за / секунд. Следовательно,
время одного полного оборота
(период вращения)
T=t/N\ Т = A80/300) с =
= 0,6 с.
46
Угловая скорость
со = 2я/Г; со = B-3,14/0,6) рад/с = 10,5 рад/с.
Линейная скорость
v = о)/? = o)D/2; у = A0,5-0,2/2) м/с = 1,05 м/с.
67. Найти радиус вращающегося колеса, если извест-
известно, что линейная скорость точки, лежащей на ободе,
в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей
на 5 см ближе к оси колеса.
Дано: v\ = 2,5 v2\ &R — 5 см = 5-10~2 м.
Я — ?
Решение. Так как угловая скорость всех точек твер-
твердого тела одинакова, то линейные скорости точек соответ-
соответственно равны
Vx = <о/?, V2= CD(/? — Л/?). A)
Подставив выражения A) в условие v\ = 2,5 v2, полу-
получим со/? = 2,5со(/? — Л/?), откуда
п 2,5-ЛЯ п 2,5-5-10~2 Q Q 1П_2
R = R==м^8,3.10 м.
R = TT> R==Г5м^8,3.1
68. Вал начинает вращаться и в первые 10 с совер-
совершает 50 оборотов. Считая вращение вала равноуско-
равноускоренным, определить угловое ускорение и конечную угло-
угловую скорость.
Дано: / = Юс; N = 50.
со — ? е — ?
Решение. Поскольку начальная угловая скорость
равна нулю, уравнение движения и формула угловой
скорости
Так как угловое перемещение за один полный оборот
равно 2л, то полное угловое перемещение вала, соответ-
соответствующее N оборотам, ф = 2nN. Подставив это выраже-
выражение в уравнение движения, получим 2я N = е/2/2, откуда
4-3,14-50 рад ГЛО , «
= w—^=6,28 рад/с2.
Зная е, вычислим конечную угловую скорость вращения:
со = е/; со = 6,28-10 рад/с = 62,8 рад/с.
47
69. Колесо при вращении имеет начальную частоту
5 с, после торможения его частота уменьшилась до
3 с. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов,
сделанных им за это время.
Дано: vo = 5 с; v = 3 c~!
______
Решение. Уравнения движения колеса
ф — оH/ — 8/2/2, A)
о) = соо — е/. B)
Поскольку ф — 2л N и со — 2nv, преобразуем уравнение
B): 2nv — 2nv0 — е/, откуда
е = 2"(v°~ v) ; е=2-ЗЛ4-E-3) Iff. ^p.21 рад/с'.
* ии С
Учитывая A) и B), находим полное число оборотов:
м л е/2 ., г ^л 0,21 -602 О/1ГЛ
^ = vo/--sr; Л^= 5-60--г^тт-= 240.
70°. Колесо вращается по закону ф — 4 + 5/ — /3.
Найти в конце первой секунды вращения угловую ско-
скорость колеса, а также линейную скорость и полное ус-
ускорение точек, лежащих на ободе колеса. Радиус колеса
2 см.
Дано: R = 2 см = 0,2 м; / = 1 с.
а) — ? v — ? а — ?
Решение. Согласно определению, угловая скорость
со ==E —3-1) рад/с = 2 рад/с.
Линейная скорость
v = со/?; и = 2-0,2 м/с = 0,4м/с.
По определению, угловое ускорение е = —^-, или с уче-
учетом A)
е = -^-E - З/2) = - 6/; е = - 6 рад/с2.
Полное линейное ускорение
где ак = е/?, ац — со2/?. Тогда
48
о4; а = 0,2д/(-6J+BL м/с2^ 1,44 м/с2.
71°. Тело вращается так, что зависимость угловой
скорости от времени дается уравнением со = 2 + 0,5/.
Найти полное число оборотов, совершенных телом за
первые 20 с.
Дано: 'i = 0. h = 20 с.
Решение. По определению, ср = з ^d/. Тогда
== 140 рад.
Полное число оборотов тела
N= N= ^22
/V 2я ' 2-3,14
72. Точка движется по окружности радиусом 20 см
с постоянным касательным ускорением 5 см/с2. Через
сколько времени после начала движения центростреми-
центростремительное ускорение точки будет вдвое больше касатель-
касательного?
Дано: R = 20 см = 0,2 м; ак = 5 см/с2 = 5-10~2 м/с2;
ац = 2ак.
t — ?
Решение. По определению, v = aKt. Подставив это вы-
выражение в формулу для центростремительного ускорения,
получим an=v2/R=(aKtJ/H = ab2/R. По условию за-
задачи, ац = 2ак, или а2/2//? = 2ак, откуда
73. Одинаковое ли расстояние проходят правые и
левые колеса автомобиля на повороте дороги?
Отв. Правые и левые колеса проходят различные
расстояния, так как их линейные скорости неодинаковы:
чем дальше находятся колеса от центра закругления
дороги, тем больше их линейная скорость.
49
74. Почему ракета-носитель первого искусственного
спутника Земли после отделения от спутника начала его
опережать?
Отв. После отделения спутник приобретает скорость
большую, чем скорость ракеты-носителя (см. задачу
150). Поэтому полуось эллиптической орбиты спутника
больше полуоси орбиты ракеты-носителя, причем они
будут двигаться по разным эллиптическим орбитам. По
третьему закону Кеплера, период вращения ракеты-
носителя меньше, чем период вращения спутника, и
ракета-носитель будет опережать спутник.
Упражнения
75. Минутная стрелка часов на Спасской башне
Кремля имеет длину 3,5 м. На сколько передвинется ее
конец за 1 мин?
76. Определить среднюю орбитальную скорость спут-
спутника, если средняя высота его орбиты над Землей
1200 км, а период вращения равен 105 мин.
77. Каковы угловая и линейная скорости точек
поверхности Земли на широте 45°?
78. Турбина ГЭС имеет диаметр рабочего колеса 9 м
и совершает за минуту 68,2 оборота. Определить скорость
концов лопаток турбины.
79. Маховик, вращающийся с частотой 2 с, оста-
останавливается в течение 1,5 мин. Считая движение равно-
замедленным, определить, сколько оборотов сделает
маховик до полной остановки, а также угловое ускоре-
ускорение маховика.
80. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угло-
угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала
вращения. Найти угловое ускорение колеса.
81. Вентилятор вращается с частотой 15 с. После
выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сде-
сделал до остановки 75 оборотов. Сколько времени прошло
с момента выключения вентилятора до его полной оста-
остановки?
82. Колесо вращается с постоянным угловым ускоре-
ускорением 2 рад/с2. Через 0,5 с после начала движения пол-
полное ускорение колеса стало 13,6 м/с2. Найти радиус
колеса.
1. Перечислите основные раз-
разделы механики и дайте краткую
характеристику каждому из них.
2. Какое движение называется
равномерным? равноперемен-
равнопеременным? 3. Назовите виды равно-
равнопеременного движения. 4. На-
Напишите уравнение равномер-
равномерного движения и постройте
график этого движения. 5. Что
называется средней скоростью,
мгновенной скоростью и уско-
ускорением переменного движения?
6. Напишите уравнение движе-
движения и формулу скорости для
равноускоренного и равноза-
медленного движений (с на-
начальной и без начальной ско-
скорости). 7. Постройте графики
скорости равномерного, равно-
равнопеременного, равноускоренного
и равнозамедленного движе-
движений. 8. Какой вид имеет график
ускорения равнопеременного
движения? 9. Как движется те-
тело, брошенное вертикально
вверх? 10. Чему равно уско-
Вопросы для повторения
рение тела, брошенного вер-
тикально вверх? Каково соот-
соотношение между временами
подъема и падения тела? 11.
Сформулируйте принцип неза-
независимости движений. 12. По-
Постройте траектории движения
тела, брошенного горизонталь-
горизонтально и под углом к горизонту.
На какие более простые движе-
движения можно разложить каждое
из этих движений? 13. Что на-
называется дальностью полета и
от чего она зависит? 14. Что на-
называется баллистической кри-
кривой? 15. В какой точке траекто-
траектории тело, брошенное под уг-
углом к горизонту, обладает наи-
наименьшей скоростью? 16. Как
направлены векторы линейной
скорости и линейного ускоре-
ускорения при криволинейном движе-
движении? 17. Какова зависимость
между линейной и угловой ско-
скоростями при движении матери-
материальной точки по окружности?
18. Какое ускорение называет-
называется центростремительным?
§2. ДИНАМИКА
Динамика изучает причины изменения состояния дви-
движения тел.
Применение законов динамики к прямолинейному
движению тела (материальной точки)
В механике приходится иметь дело с тремя видами сил:
1) силой упругости, возникающей при деформациях
опоры (N) или нити (Т);
2) силой тяжести P=mg;
3) силой трения Frp = \iN, где \i — коэффициент трения,
N — сила нормальной реакции опоры.
При решении задач по динамике необходимо обра-
обратить особое внимание на правильное использование
второго закона Ньютона.
Сначала необходимо сделать к задаче рисунок, на
котором нужно указать систему отсчета, расставить все
силы, действующие на данное тело, и там, где это тре-
требуется, указать направление векторов скорости и ускоре-
ускорения. Затем надо записать второй закон Ньютона в век-
векторной форме:
51
2 р, = та, A)
n
где 2 F, — Fi + f*2 + ••• + Fn; m — масса тела; а —
* = i
ускорение тела.
Наконец, векторное уравнение A) нужно спроеци-
спроецировать на выбранные направления осей X и У:
п п
2 FiX = ma,, 2 /% = ю^ B)
1=1 , i=i
и решить полученную систему уравнений B) относитель-
относительно неизвестных величин.
Если в движении находится не одно, а несколько
связанных между собой тел, то необходимо для каждого
тела отдельно выполнить все вышеуказанные действия
и решить полученную систему уравнений.
83. Вагон массой 20 т движется равнозамедленно
с ускорением 0,3 м/с2 и начальной скоростью 54 км/ч.
Найти силу торможения, действующую на вагон, время
движения вагона до остановки и перемещения вагона.
Дано: т = 20т = 2-104 кг; а = 0,3 м/с2; ио = 54 км/ч =
= 15 м/с.
fTp—? t—Ч s — ?
Решение. На вагон действуют сила тяжести mgy сила*
трения FTp и сила нормальной реакции N (рис. 46).
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
mg + Ftp + N = ma. A)
За положительное направление оси X примем направ-
направление движения вагона. Так как движение вагона равно-
замедленное, то вектор ускорения направлен в сторону,
противоположную направлению движения. Проецируя
обе части уравнения A) на ось X, получаем
— FTp = — та или
= 2- 104-0,ЗН= 6кН.
Время движения ваго-
вагона до остановки и прой-
пройденное им расстояние
Рис. 46 найдем из кинематических
52
уравнений: 0=vQ — at, s = vo/Ba), откуда
t=vo/a\ /=15/0,3 c=50c и s=\52:
: B-0,3) m = 375 м.
84. Тело массой 3 кг падает в воздухе
с ускорением 8 м/с2. Найти силу сопротив-
сопротивления воздуха.
Дано: т = 3 кг, а = 8 м/с2.
F-?
тд
У
Решение. На падающее в воздухе тело Рис 47
действуют: mg — сила тяжести и F — сила
сопротивления воздуха (рис. 47). Так как движение
равноускоренное, то вектор ускорения направлен в сто-
сторону движения. Запишем для тела второй закон Ньютона
mg + F=ma. Проведем ось Y в направлении движения
тела и, спроецировав на ось силы и ускорение, получим
mg— F = та, откуда
F = mg — та = m(g - a); F = 3(9,8—8) Н = 5,4Н.
85. Груз массой 50 кг равноускоренно поднимают
с помощью каната вертикально вверх в течение 2 с на
высоту 10 м. Определить силу натяжения каната.
Дано: т = 50 кг, / = 2 с, h = 10 м.
Г—?
Решение. На груз действуют: mg — сила тяжести
и Т — сила натяжения каната (рис. 48). Так как груз
движется равноускоренно вверх, то и ускорение а на-
направлено вертикально вверх. Запишем для груза второй
'закон Ньютона в векторной форме:
Т + rng = ma. A)
Проведем ось Y в направлении движения гру-
груза и, найдя проекции сил и ускорения на ось,
получим Т — mg = ma, откуда
Т = mg + ma= m{g + а).
Так как движение тела равноускоренное без
начальной скорости, то h = а/2/2, откуда а = Ъ
= 2/z//2. Тогда
= 50 ^9,8 + ^-)н-740 Н. Рис 48
53
Следовательно, при равноускоренном
движении груза вертикально вверх сила
натяжения больше силы тяжести.
86. Человек массой 70 кг поднимается
в лифте, движущемся равнозамедленно
вертикально вверх с ускорением 1 м/с2.
-г Определить силу давления человека на
У пол кабины лифта.
Рис. 49 , 9
Дано: т = 70 кг; а — 1 м/с .
F — ?
Решение. На человека, находящегося в кабине лифта,
действуют: mg — сила тяжести и N — сила реакции пола
кабины (рис. 49). Ускорение движения направлено
вертикально вниз. Запишем для человека второй закон
Ньютона:
Проведем ось Y в направлении движения лифта и,
находя проекции ускорения и сил на ось У, получим
mg = ma. A)
ем ось Y в
проекции уск
N — mg = — та,
откуда
N = mg — та= m{g — а); N = 70(9,8—1)Н =* 616Н.
На основании третьего закона Ньютона сила давле-
давления F человека на пол кабины равна по модулю силе
реакции N пола кабины: /7==yv=616 H.
87. Клетка подъемника массой 5000 кг обслуживает
шахту глубиной 900 м. Когда клетка находится на дне
шахты, на нее начинает действовать вертикально вверх
сила тяги 60 кН. Через 150 м после начала подъема
сила тяги изменяется так, что на протяжении следу-
следующих 600 м движение клетки становится равномерным.
Наконец, сила тяги изменяется еще раз так, что клетка
останавливается, достигнув вершины шахты. Силу трения
считать постоянной и равной 5 кН. Рассмртреть движе-
движение клетки на этих участках и определить время подъема.
Дано:т = 5-103 кг; Л = 9-102.м; /> = 5 кН = 5.102 Н- F =
= 60 кН = 6-104 Н; /i,= l,5.102 м; /i2 = 6,102 M.
54
Решение. Рассмотрим движение клетки подъемника
на каждом участке. На первом участке длиной h\ клетка
движется равноускоренно с нулевой начальной скоростью,
на втором участку длиной /i2 клетка движется равномер-
равномерно. На третьем участке длиной
Аз = Л -(А, +й2) A)
клетка движется равнозамедленно и в конце участка
останавливается.
Для описания движения клетки направим ось Y
вертикально вверх и выберем начало оси на дне шахты.
Запишем уравнение движения клетки на первом участке:
y, = a,t2l2. B)
Если t = tu то yx = h\ и уравнение A) примет вид
h\ = ai/i/2, откуда
C)
Из второго закона Ньютона, записанного в проекции
на ось У (рис. 50):
FT — mg — FTp = mai, — найдем
ax = (FT-mg-/>)/m. D)
Подставим выражение D) в C):
U = л/2/цт/(/ч - mg - FTp). E)
Скорость в конце первого участка v\ = a\t\, или с учетом
D) и E)
F^mg-F 2h,m _-^ / 2h,(F,-mg-FTf)
I I
-Fr? -/ 2/i im = -W
V FT—mg—Fjp V
На втором участке клетка движется равно-
равномерно с той скоростью, которую она получи-
получила в конце первого участка:
Выбрав начало оси Y для второго участка
на высоте h\ от дна шахты, запишем урав-
уравнение движения клетки:
ТР
тд
У2 = V2t. G) Рис. 50
55
Если / = t2, то у2 = h2 и уравнение G) примет вид
h2 = v2t2, откуда t2 = h2/v2, или с учетом F)
t2 = h2 V m/[2hi{Fr - mg - Frp)} .
Время движения на третьем участке найдем, используя
понятие средней скорости: <и3) = (v2 + 0)/2 = v2/2y или
с учетом F)
Тогда время движения клетки на третьем участке
/3=/1з/(и3>. (8)
Преобразуем формулу (8) с учетом A) и G):
Тогда полная продолжительность подъема клетки
mg _ Fip) +
mg -
88. Груз массой 45 кг перемещается по горизонталь-
горизонтальной плоскости под действием силы 294 Н, направленной
под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения груза
о плоскость 0,1. Определить ускорение движения груза.f
Дано: F = 294 Н, m = 45 кг, \х = 0,1, а = 30° ж 0,52 рад.
а — ?
Решение. На груз дейст-
^ вуют: mg — сила тяжести,
а N — сила нормальной реак-
*" ции плоскости, F — сила
>- тяги, FTp — сила трения.
X Вектор а направлен парал-
лельно плоскости направо
(рис. 51). Запишем для тела
Рис. 51 второй закон Ньютона:
56
mg + N + F + FTp = ma A)
Выбрав направления осей X и Y и найдя проекции сил и
ускорения на оси, получим
F cos a — .Гтр = та; B)
N + F sina — mg = 0. C)
Из уравнения C) находим, что N = mg — F sina. Тог-
Тогда FTp = |aA/ = n(mg — F sina). Подставим это выраже-
выражение в B): F cos a — \i(mg — F sina) — та, откуда
F cos a — \i(mg — F sin a) m
m '
_ 294-0,87 - 0,1D5-9,8 - 294-0,5) м
~~ 45 7~
5,9 м/с2.
89. Тело скользит равномерно по наклонной плоско-
плоскости с углом наклона 40°. Определить коэффициент
трения тела о плоскость.
Дано: a = 40° « 0,7 рад.
Решение. На тело при его скольжении по наклонной
плоскости действуют: mg — сила тяжести; N — сила нор-
нормальной реакции плоскости; FTp — сила трения. Ускоре-
Ускорение при равномерном скольжении тела равно нулю
(рис. 52). Запишем для тела второй закон Ньютона:
mg + N + FTp = 0.
Найдя проекции сил на выбранные оси X и У, получим
mg sin a — FTp = 0, A)
— mg cos a = 0.
B)
Из уравнения B) находим, что
N = mgcosa. Учитывая закон для
силы трения скольжения FTp =
= \xN=\imgcosa, запишем урав-
уравнение A) в виде mgsina =
= \xmgcosa= 0, откуда
М- = tg a; [i = tg40° « 0,84.
57
Рис. 53
90. Автомобиль массой 1 т
поднимается по шоссе с укло-
уклоном 30° под действием силы
тяги 7 кН. Найти ускорение
автомобиля, считая, что сила
сопротивления не зависит от
скорости и составляет 0,1 от
силы нормальной реакции
опоры.
Дано: т = 1 т = Ю3 кг; F = 7 кН = 7-103 Н, а = 30° « 0,52 рад;
ц = 0,1.
Решение. На автомобиль действуют: mg — сила тяже-
тяжести; N — сила нормальной реакции шоссе; F — сила
тяги; Ftp — сила трения. Выберем направление вектора а
вверх вдоль наклонной плоскости (рис. 53). Запишем
для автомобиля второй закон Ньютона:
mg + F + N + Ftp = ma.
Найдя проекции сил и ускорения на выбранные
оси X и У, получим
— mg sin a + F — /чр = тау A)
— mg cos а + # = 0.
B)
Из уравнения B) находим, что N = mgcosa. Учитывая,
что FTp = \xN = \л mg cos а, запишем уравнение A) в ви-
виде — mg sin a + F — \x mg cos a = та, откуда
F — mg (sin a -j- И cos a) #
m '
n - 7-103- 103-9,8@,5 + 0,1-0,87) м , 2
a — j-q3 -jr — i>^ м/с .
91. Брусок массой 2 кг скользит по горизонтальной
поверхности под действием груза массой 0,5 кг, прикреп-
прикрепленного к концу нерастяжимой нити, перекинутой через
неподвижный блок. Коэффициент трения бруска о по-
поверхность 0,1. Найти ускорение движения тела и силу
натяжения нити. Массами блока и нити, а также тре-
трением в блоке пренебречь.
Дано: т\ = 2 кг; тг = 0,5 кг; ц, = 0,1.
а — ? Т —?
58
Решение. Рассмотрим
движение каждого тела от-
отдельно. На брусок действу-
действуют: m\g — сила тяжести;
N — сила нормальной реак-
реакции плоскости, Ti — сила
натяжения нити; FTp — сила
трения (рис. 54). Запишем
для бруска второй закон
Ньютона:
+ N + Ti + FTp = miai.
1/
///////
У
[N a
Рис. 54
Спроецировав полученное уравнение на выбранные на-
направления осей X и У, получим
A)
B)
Так как из уравнения B) следует, что N = m\g, то
/чР = \iN = \xm{g. Тогда [см. A)]
Т\ — \im\g = т\п\. C)
На груз действует: m2g — сила тяжести, Т2 — сила на-
натяжения нити. Запишем для груза второй закон Нью-
Ньютона:
g 2 = m2a2.
Спроецировав уравнение D) на ось У, получим
m2g — Т2 = т2а2.
D)
E)
Складывая уравнения C) и E) и учитывая, что Т\ =
= Т2 = Г, а п\ = а2 = а, получаем т2^ — Г + Г —
= (т2 + mi)a, откуда
a ==
m2g —
IT12
9,8@,5-0,1-2)
^« 1,2 м/с2.
Силу натяжения нити находим из уравнения E):
Т = m2g — m2a = m2(g — a);
T = 0,5(9,8-1,2) H^ 4,3 Н.
92. Груз массой 5 кг, связанный нерастяжимой
нитью, перекинутой через неподвижный блок, с другим
грузом массой 2 кг, движется вниз по наклонной плос-
59
кости. Найти силу натяжения нити и ускорение грузов,
если коэффициент трения между первым грузом и плос-
плоскостью 0,1. Угол наклона плоскости к горизонту 36°.
Массами нитей блока, а также трением в блоке прене-
пренебречь.
Дано: т\ = 5 кг, т2 = 2 кг; ц = 0,1, а = 36° « 0,63 рад.
Т — ? а—?
Решение. Рассмотрим движение каждого груза от-
отдельно. На первый груз действуют: ni\g — сила тяжести;
N — сила нормальной реакции наклонной плоскости;
Ti — сила натяжения нити; FTp — сила трения (рис. 55).
По условию задачи, вектор ускорения ai для первого
груза направлен вниз вдоль наклонной плоскости. За-
Запишем для первого груза второй закон Ньютона:
mig + N -f- Ti + FTp = m,\di\.
Проецируя это уравнение на выбранные оси Х\ и У],
получаем
ia — Т\ — FtP = m\au A)
N = 0. B)
Из уравнения B) находим, что N=m,\gcosay поэтому
FTp = jjltV = \im,\g cosa. C)
Из уравнений A) и C) получаем
triigsina — Т\ — \im\gcosa = гп\п\. D)
На второй груз действуют: m2g — сила тяжести, Т2 —
сила натяжения нити. Ускорение а2 второго груза на-
направлено вертикально вверх (рис. 55). Запишем второй
закон Ньютона для второго груза:
E)
Спроецировав уравне-
уравнение E) на ось Уг, по-
получим
—m2g+T2=m2a2. F)
Сложив уравнения
D) и F), получим
mig slna— Т\ — \un\gX
X cos a + Т2 — m2g ='
= гп\п\ + tn2a2. Учиты-
Учитывая, что Т\ = Т2 = Т и
Рис. 55
а\ = а2 = а, находим
60
mig(sina —
ni\
m2
mi(sin a — jacosa) — m2
Силу натяжения нити определим из уравнения F):
Т = m2g + m2a = m2(g + a); T == 2(9,8 + 0,77) H «
« 21 Н.
93. Невесомый блок укреплен на вершине двух на-
наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы 30
и 45°. Гири А и В массой 1 кг каждая соединены нитью,
перекинутой через блок. Найти ускорение, с которым
движутся гири, и силу натяжения нити. Считать нить
невесомой и нерастяжимой. Трением пренебречь.
Дано: a = 30° ж 0,52 рад; р = 45° « 0,79 рад; тх = т2 = 1 кг.
Решение. Из предположения, что массы нити и блока
равны нулю, следует, что силы натяжения нити в каждом
ее сечении одинаковы, а из условия нерастяжимости
нити — что ускорения обоих грузов численно равны
Т\ = Т2 = Т и а\ = а2 = а.
A)
Рассмотрим движение каждого тела. На груз А дейст-
действуют: m,\g — сила тяжести, Nj — сила нормальной реак-
реакции опоры, Ti — сила натяжения нити (рис. 56). Пред-
Предполагая, что груз А скользит вниз по наклонной плос-
плоскости, находим направление вектора ускорения aj. За-
Запишем второй закон Ньютона для груза А:
Спроецировав это уравнение на выбранные оси Х\ и У\,
получим
— Т\ =
B)
|-tf, =0.
C) \
На груз В действуют:
m>2g — сила тяже-
тяжести; N2 — сила нор-
нормальной реакции на-
Рис 56
61
клонной плоскости; Т2 — сила натяжения нити. Второй
закон Ньютона для груза В имеет вид
m2g + N2 + Т2 = ГП2&2.
Спроецировав это уравнение на оси Х2 и У2, получим
— m2gsina -f- Г2 = т^а^ D)
— m2g cos a -\- N2 = 0. E)
Уравнения C) и E) в данной задаче не используются,
так как силой трения пренебрегаем. Решаем систему
уравнений B) и D), складывая их: migsinp — Т\ —
— m2g sin a + Т2 = Ш\п\ + гп2а2, откуда с учетом A)
находим
mtgsin E — m2gsin a (mi sin p — m2 sin a)g m
m\ -f- mi rti\ -\- ГП2 '
A-0,7 - Ь0,5).9,8 м А no /2
Силу натяжения нити найдем из B) с учетом A):
Т = migsin p — гп\п = mi(gsinp -~ а)\
Т = 1(9,8-0,7 - 0,98) Н « 5,9 Н.
94. К концам невесомой и нерастяжимой нити, пере-
перекинутой через невесомый и неподвижный блок, подвеше-
подвешены два груза массой по 100 г каждый. На один из гру-
грузов положен перегрузок массой 10 г. Найти силу, с кото-
которой перегрузок давит на груз, а
также силу давления на ось блока.
Дано: гп\ = т2— 100 г= 0,1 кг;
m = 10 г = 0,01 кг.
Решение. Из условия невесомо-
невесомости и нерастяжимости нити следу-
следует, что сила натяжения нити на
всех участках одинакова и все гру-
грузы движутся с одним и тем же
ускорением:
Т\ = Т2 = Г; а\ = а2 = а.
Рис. 57
A)
62
Рассмотрим силы, действующие на каждый из грузов.
На первый груз действуют: raig — сила тяжести;
Ti — сила натяжения нити; F — сила давления перегруз-
перегрузка (рис. 57).
Записывая второй закон Ньютона для первого груза
в проекциях на ось У, получаем
m\g = F — Т\ = тхах. B)
На второй груз действуют: ra2g — сила тяжести,
Т2 — сила натяжения нити.
Записывая второй закон Ньютона для второго груза
в проекциях на ось У, получаем
Т2 — m2g = m2a2. C)
На перегрузок действуют: rag — сила тяжести; N —
сила реакции опоры. Записывая второй закон Ньютона
для перегрузка в проекциях на ось У, получаем
mg — N = max. D)
Складывая уравнения B) — D) и учитывая, что mxg =¦
— m2g = Mg, F = N, получаем Mg -{- N — T -\- T —
— Mg + mg — N = Ma + Ma -f- гаа, откуда
a = mg/BM + m). E)
Найдем силу давления F перегрузка на груз, которая
по третьему закону Ньютона численно равна силе реак-
реакции N. Из уравнения D) с учетом E) и A) определим
„ .. 2m Mg
F = N = mg — ma = ОА, . ;
ь 2М + т
р — 2-0,01-0,1-9,8 н _ о о iq-2 и
~"~ 2-0,1 -f 0,01 ~~ '
Сила давления на ось блока
FA - 2Г. F)
Из уравнения C) находим силу натяжения нити:
Г = М(а + g), или с учетом E) Т = 2Mg(m + М)/{2М +
+ т). Тогда уравнение F) примет вид
т + М
2М -f m J
Q01^0'1 И - 2 1 H
63
0
1
i
'mpz
{ i
'19 F? 7 Frn
^.
1
T2t T12 Fw
V
1
mg
mg
Рис. 58
95. Три груза массой по 1 кг связаны нитью и дви-
движутся по горизонтальной плоскости под действием силы
10 Н, направленной под углом 30° к горизонту. Опре-
Определить ускорение системы и силы натяжения нити, если
коэффициент трения 0,1.
Дано: гп\ = т2 = га3 = т = 1 кг, F = 10 Н, а = 30° « 0,52 рад;
ц = 0,1.
а — ? Т\2 — ? 7*23 — ?
Решение. Рассмотрим силы, действующие на каждый
груз. На первый груз действуют: mg — сила тяжести;
Ni — сила нормальной реакции; F — приложенная сила;
FTp 1 — сила трения (рис. 58).
Второй закон Ньютона для первого груза в проек-
проекциях на оси X и У имеет вид
F cos а — Т\2 — /чР 1 =5= та, N\ + F sin а — mg = 0.
A)
Из второго уравнения A) находим N\ = mg — F sin a,
тогда Fjp i = [iN\ = [i(mg — F sin а) и первое уравне-
уравнение A) примет вид
F cosa — 7*12 — \*>{mg — F sina) = ma. B)
Аналогично, для второго груза
T2i—FTP2 — Г2з = ma, N2 — mg = 0 C)
и после преобразований этих уравнений имеем
Г21 — V^nig — Т2з = та. D)
Для третьего груза
Т32 — /чрз = ma, N3 — mg = 0, E)
64
откуда
7^32 — ping = та. F)
Складывая уравнения B), D) и F) и учитывая, что
Ti2=T2\, ^23=^32, получаем Fcosa—[i(mg — Fs\na)—
— 2\xmg = Зта, откуда
F (cos a -f \x sin a) — 2>\img
a "" 3m '
_ 10@,87 + 0,1-0,5) - 3-0,Ы-9,8 м ^ 9 , , 2
a — 3 j ?г^ Д1 м/с .
Из уравнений D) и F) найдем:
T2l = Ti2 = 2m(a + jig);
7\2 = 2-1B,1 + 0,1-9,8) H« 6,2 H;
7^32 = Г23 = m{a + jig);
723= 1B,1 +0,1-9,8) H^ 3,1 H.
96. Одно и то же тело взвесили на пружинных и
рычажных весах на экваторе и полюсе. Каковы показа-
показания приборов?
Отв. На рычажных весах масса тела определяется в
сравнении с массой эталонных тел — гирь. Так как вес
тела и вес эталонных тел одинаково изменяются при
перемещении их по поверхности Земли, то показания ры-
рычажных весов на экваторе и полюсе будут одинаковы.
На пружинных весах вес тела определяется в сравнении
с силой упругости пружины. Жесткость пружины от ши-
широты места на поверхности Земли не зависит, поэтому
показания пружинных весов будут на полюсе больше,
чем на экваторе. Действительно, записывая второй за-
закон Ньютона для тела, подвешенного на пружине на
полюсе и экваторе, находим
mg _. Тп = 0, mg — Тв = mv2/R, где Гп и Тэ — сила
натяжения пружины на полюсе и экваторе соответствен-
соответственно. Тогда Гп = tng, Тэ = mg — mv2/Rf т. е. Тп > Г9.
97. По столу тянут груз с помощью нити, прикреп-
прикрепленной к динамометру, показывающему 30 Н. Второй
раз тот же груз приводят в движение с помощью нити,
перекинутой через неподвижный блок, на которой висит
гиря массой 3 кг. В каком случае груз движется быст-
быстрее?
Отв. Во втором случае сила 30 Н действует на систе-
систему тел с большей массой, чем в первом случае. Поэтому
в первом случае груз движется быстрее.
3—560 6*
98. Почему скорость поезда на горизонтальном
участке пути не возрастает бесконечно, если сила тяги
двигателя действует непрерывно?
Отв. При увеличении скорости тела возрастают силы
сопротивления, которые в итоге уравновесят силу тяги.
Поэтому движение поезда через некоторый промежуток
времени становится равномерным.
99. Тела падают вследствие притяжения Земли.
В чем неточность этого выражения?
Отв. В природе нет тел, только действующих или
только испытывающих действие, а есть равноправные
взаимодействующие тела (третий закон Ньютона). Сле-
Следовательно, нужно сказать: тело и Земля взаимно при-
притягивают друг друга, но вследствие огромной массы
Земли по сравнению с массой тела мы не обнаруживаем
ее движения по направлению к телу.
100. Как объяснить, что бегущий человек, споткнув-
споткнувшись, падает в направлении своего движения, а по-
поскользнувшись, падает в направлении, противополож-
противоположном направлению своего движения?
Отв. Явление легко объясняется на основании пер-
первого закона Ньютона. В первом случае ноги человека
замедляют движение, а туловище сохраняет по инерции
прежнее состояние движения, поэтому человек падает в
направлении движения. Во втором случае туловище че-
человека по инерции сохраняет прежнее состояние движе-
движения, в то время как ноги начинают скользить вперед
быстрее, поэтому человек падает назад.
Упражнения
101. Тело массой 200 г падает вертикально вниз с
ускорением 920 см/с2. Чему равна сила сопротивления
воздуха?
102. С какой силой давит на дно шахтной клетки груз
массой 100 кг, если клеть поднимается вертикально
вверх с ускорением 24,5 см/с2?
103. На каком расстоянии от перекрестка должен
начать тормозить шофер при красном свете светофора,
если автомобиль движется в гору с углом наклона 30°
со скоростью 60 км/ч? Коэффициент трения между ши-
шинами и дорогой 0,1.
104. Наклонная доска, составляющая с горизонтом
угол 60°, приставлена к горизонтальному столу (рис. 59).
Два груза массой по 1 кг каждый соединены легкой
66
нитью, перекинутой через непод- ( |
вижный невесомый блок, и могут *^
перемещаться соответственно по
доске и столу. Найти силу натяже-
натяжения нити и ускорение системы,
если коэффициент трения тел о по-
поверхность доски и стола одинаков
и равен 0,3.
105. Фуникулерная дорога составляет угол 30° с го-
горизонтом и имеет две кабины массой по 4600 кг каж-
каждая. Кабины соединены тросом, который проходит через
блок, расположенный на верхней станции. Опускающая-
Опускающаяся кабина несет дополнительный груз массой 600 кг.
Найти ускорение системы и расстояние, пройденное
каждой кабиной, если движение начинается из состояния
покоя, а потом достигается скорость 14,4 км/ч. Найти
силу натяжения троса. Трением, массами троса и блока
пренебречь.
106. На горизонтальной поверхности лежат два свя-
связанных нитью груза массой т каждый. На нити, при-
прикрепленной к этим грузам и перекинутой через непо-
неподвижный блок, подвешен такой же груз. С каким уско-
ускорением движется система грузов и какова сила натяже-
натяжения нити между грузами, лежащими на поверхности?
Трение не учитывать.
107. К одному концу нити, перекинутой через блок,
подвешивают груз массой 500 г, к другому — груз мас-
массой 300 г. Найти ускорение системы, перемещение
каждого груза и скорость, приобретенную через 1,2 с
после начала движения. Трение не учитывать, массами
блока и нити пренебречь.
108. Два тела, связанные нитью, движутся по гори-
горизонтальной плоскости под действием силы 100 Н, направ-
направленной горизонтально. Если силу приложить к правому
телу (mi = 7 кг), то сила натяжения нити равна 30 Н.
Определить силу натяжения нити, если сила приложена к
левому грузу (т* = 3 кг). Считать, что в обоих случаях
тела движутся в направлении приложенной силы. Тре-
Трением пренебречь.
109. Человек везет двое саней массой по 15 кг каж-
каждые, связанных между собой веревкой, прикладывая
силу 120 Н под углом 45° к горизонту. Найти ускоре-
ускорение саней и силу натяжения веревки, связывающей
сани, если коэффициент трения полозьев о снег 0,02.
ПО. На столе лежит деревянный брусок, к которому
3** 67
привязаны нити, перекинутые через блоки, укрепленные
на обоих концах стола. К свободным концам нити под-
подвешены грузы массами 0,85 и 0,2 кг, вследствие чего
брусок приходит в движение и за 3 с проходит расстоя-
расстояние 0,81 м. Зная, что масса бруска 2 кг, определить
коэффициент трения и силу натяжения нитей.
111. Две гири массами 2 и 1 кг соединены нитью,
перекинутой через неподвижный блок. Найти ускорение,
с которым движутся гири, силу натяжения нитей и силу
давления на ось блока.
Применение законов динамики к движению тела
(материальной точки) по окружности
Решение задач на динамику движения тела по ок-
окружности принципиально ничем не отличается от реше-
решения задач на динамику поступательного движения.
В этом случае проекция ускорения тела на ось У,
направленную вдоль радиуса к центру окружности,
известна — это центростремительное ускорение. Поэтому,
по второму закону Ньютона,
mv2/R = Fy или тсо27? = Т7,
где F — сумма проекций на ось У сил, действующих
на тело.
* * *
112. Автомобиль с грузом массой 5 т проходит по
выпуклому мосту со скоростью 21,6 км/ч. С какой силой
он давит на середину моста, если радиус кривизны моста
50 м?
Дано: т = 5 т = 5-103 кг; v = 21,6 км/ч = 6 м/с; R = 50 м.
F — ?
Рис. 60
Решение. На автомобиль действу-
действуют; mg — сила тяжести; N — сила
нормальной реакции моста (рис. 60).
Направим ось У вертикально вниз по
радиусу моста. Запишем для автомо-
автомобиля второй закон Ньютона в вектор-
векторной форме:
mg + N = ma.
Проецируя это уравнение на ось У,
получаем
mg— N = тау,
68
где ay = all = v2/R. Тогда mg — N ==
= mv2/Ry откуда N—mg — mv2/R =
— m(g—v2/R). По третьему закону
Ньютона, с такой же силой автомо-
автомобиль будет давить на мост, т. е.
F = jV, или
F =
i?-V F = 5-103(9,8 —
У
•с
Рис. 61
113. Ведерко с водой вращают в вертикальной плос-
плоскости на веревке длиной 0,5 м. С какой наименьшей
скоростью нужно его вращать, чтобы при прохождении
через верхнюю точку удержать воду в ведерке?
Дано: / = 0,5 м.
v — ? -
Решение. На воду в верхней точке траектории дей-
действуют: mg — сила тяжести; N — сила нормальной ре-
реакции дна (рис. 61). Направляя ось Y вертикально вниз
к центру С окружности и записывая в проекциях на нее
второй закон Ньютона для воды в ведерке, получим
mg -{- N = тауу
где ау = ац = и2//. Тогда
mg -\- N = mv2/t.
В момент отрыва воды от дна ведерка N = 0, поэтому
mg = mv2/l, откуда
v = -\/9,8-0,5 м/с « 2,2 м/с.
у =
114. В нижней точке петли Нестерова летчик давит
на сиденье кресла самолета с силой ^*~—^
7100 Н. Масса летчика 80 кг, радиус /' • N
петли 250 м. Определить скорость /
самолета. f
Дано: /г=7,1 • Ю3 Н; т=80 кг; /?=2,5-102 м. \
Решение.. На летчика действуют:
mg — сила тяжести; N — сила нор-
нормальной реакции сиденья (рис. 62).
Направляя ось Y к центру С окруж-
окружности и записывая в проекциях на
\
\
\
/V \аЦ//
гпд
Рис. 62
Рис 63
нее второй закон Ньютона для лет-
летчика, получим
N — mg = таъ,
или N — mg = mv2/R,
откуда v = ~yf(N — mg)R/m. Соглас-
Согласно третьему закону Ньютона, N=F,
тогда
- mg)R
V
G,M03 — 80.9,8).2,5-102
~ 80
115. Шарик массой 200 г, привязанный нитью к под-
подвесу, описывает в горизонтальной плоскости окружность,
имея постоянную скорость. Определить скорость шарика
и период его вращения по окружности, если длина нити
1 м, а ее угол с вертикалью составляет 60°.
Дано: m = 200 г = 0,2 кг; / = 1 м; а = 60° « 1,05 рад.
v _ ? т — ?
Решение. На шарик действуют: mg — сила тяжести;
Т— сила натяжения нити (рис. 63). Запишем для шари-
шарика второй закон Ньютона:
mg + T = ma.
Спроецируем это уравнение на выбранные направления
осей X и У:
Т sin a = maXi — mg
Tcosa = may.
Учитывая, что ау = 0 (шарик не движется в вертикаль-
вертикальном направлении), ax—v/Ry У? =/sina, и подставляя
выражения для ах, ау и R в A), получаем
Т sin a = mv2/(l sin a), Г cos a = mg.
Разделим почленно уравнения B):
B)
v — sin a
cos a
; v = 0,87
3,8 м/с.
При равномерном движении шарика по окружности его
период вращения
70
Т = 2nR/v = Bд//и) sin a;
т 2.3,14.1-0,87 f .
/ = ¦ ¦— еж 4 г
3,8 с lf* L*
116. Шарик массой 500 г, под-
подвешенный на нерастяжимой нити
длиной 1 м, совершает колеба-
колебания в вертикальной плоскости.
Найти силу натяжения нити в
момент, когда она образует с вер-
вертикалью угол 60°. Скорость шарика
в этот момент 1,5 м/с.
Дано: m = 500 г = 0,5 кг; / = 1м; а = 60°
v = 1,5 м/с.
Рис. 64
1,05 рад;
Т — ?
Решение. На шарик действуют: rag — сила тяжести;
Т — сила натяжения нити (рис. 64). Запишем для ша-
шарика второй закон Ньютона:
rag-f-T = raa.
Направляя ось Y вдоль радиуса и проецируя на нее урав-
уравнение, получаем
Т — mg cos a = may. A)
Учитывая, что ау = а^= и2//, перепишем уравнение A):
Т — rag cos a = гаи2//, откуда
~7 Ь ё cos a) '»
Т = 0,5(^1 + 9,8-0,5) Н « 3,6 Н.
(ф^ 117. Полусферическая чаша ра-
| диусом 20 см вращается вокруг вер-
R тикальной оси с частотой 2 с.
В чаше находится маленький ша-
шарик, вращающийся вместе с ней.
Определить угол между радиусом,
проведенным в точку нахождения
шарика, и вертикалью.
Дано: R = 20 см; v = 2 с.
Рис. 65 а — ?
71
Решение. На шарик действуют силы: mg — сила
тяжести; N — сила нормальной реакции внутренней по-
поверхности чаши (рис. 65). Запишем второй закон Нью-
Ньютона:
mg-f- N = ma. О
Направляя ось X к центру окружности радиусом г, по
которой вращается шарик, а ось Y — по вертикали и
проецируя на них уравнение A), получаем
jVsina = max, Ncosa — mg = 0.
Так как ах = ац = v2/r = о2г, со = 2nv, r=/?sina, то
B)
since = 4n2v2/?msina, Ncosa = mg.
Разделив почленно уравнения
= Dtt2v2/?/g)sina, откуда cos a =
B),
найдем tga =
2/?) и
a = arccos
а = arccos
1,26 рад.
118. На сколько должен быть поднят наружный рельс
над внутренним на закруглении железнодорожного пути
радиусом 300 м, если ширина колеи 1524 мм? Нормаль-
Нормальную скорость, при которой сила давления на рельсы пер-
перпендикулярна им, принять равной 54 км/ч.
Дано: R = 300 м; / = 1524 мм = 1,524 м; v = 54 км/ч = 15 м/с.
h- ?
Решение. Чтобы поезд двигался по окружности радиу-
радиуса R со скоростью и, на него должны действовать силы,
сообщающие ему центростремительное ускорение, на-
направленное по условию задачи горизонтально (рис. 66).
Для большей устойчивости поезда на повороте и меньшей
изнашиваемости наружного рельса этот рельс приподни-
Рис. 66
72
мают. Тогда равнодействующая силы тяжести mg и силы
нормальной реакции N рельс сообщает поезду необходи-
необходимое центростремительное ускорение.
Записывая второй закон Ньютона для поезда в проек-
проекциях на оси X и Y (рис. 66), получаем
N —- sin a = maXi iVcosct — mg = О,
где ах = ац = v2/Ry откуда tga = v2/(Rg) и tga =
= 152/(9,8-300) ж 7,7-10 . Так как tga—малая вели-
величина, то sin a ^ tga.
Иначе из /SABC sin a = h/l. Окончательно
h = ~\ h = 1,524-7,7.10 м « 0,12 м.
119. Почему пассажир, стоящий у правой (по ходу
поезда) двери движущегося вагона метро, при его пово-
повороте оказался прижатым к двери?
Отв. Очевидно, поезд метро повернул влево и начал
движение по закруглению дороги. Человек же, сохраняя
по инерции прежнее состояние движения, будет прижат
к двери.
120. Почему в северном полушарии реки подмывают
правый берег?
Отв. Земной шар вращается с запада на восток. Как
известно, линейная скорость вращения точек земной
поверхности уменьшается в направлении от экватора к
полюсам. Поэтому вода в реке, текущая на север, будет,
сохраняя прежнюю скорость, по инерции отклоняться к
востоку и подмывать правый берег.
Упражнения
121. Определить скорость движения автомобиля мас-
массой 2 т по вогнутому мосту радиусом 100 м, если он
давит на середину моста с силой 25 кН.
122. Гирька, привязанная к нити длиной 30 см, опи-
описывает в горизонтальной плоскости окружность радиу-
радиусом 15 см. Определить частоту ее вращения.
123. К потолку вагона подвешен на нити шар. Трам-
Трамвай идет со скоростью 9 км/ч по закруглению радиу-
радиусом 36,4 м. На какой угол отклонится при этом нить с
шаром?
124. Мальчик вращается на «гигантских шагах» с
частотой 16 мин. Длина канатов 5 м. Определить
силу натяжения канатов, если масса мальчика 45 кг.
73
125. Самолет, имея скорость 720 км/ч, делает петлю
радиусом 400 м в вертикальной плоскости. Определить
силу давления бензина на дно бака площадью 1 м2,
заполненного бензином до высоты 0,8 м, в нижней точке
петли.
126. Конькобежец движется со скоростью 12 м/с по
окружности радиусом 50 м. Под каким углом к горизон-
горизонту он должен наклониться, чтобы сохранить равновесие?
127. Диск вращается в горизонтальной плоскости с
частотой 30 мин. Каким должен быть коэффициент
трения между диском и лежащим на нем телом, чтобы
оно не соскользнуло с диска? Расстояние от оси диска
до тела 20 см.
128. Шарик на веревке длиной 50 см равномерно
вращается в вертикальной плоскости. Найти, при какой
частоте вращения веревка оборвется, если предел проч-
прочности веревки 9mg, где т — масса шарика.
Применение основных законов динамики
к космическим полетам
Наряду с рассмотренными законами динамики в этом
разделе используем закон всемирного тяготения
где F — сила взаимодействия (сила тяготения) между
двумя материальными частицами; т\ и т2 — массы ма-
материальных частиц; г — расстояние между частицами;
G — гравитационная постоянная.
Сила тяготения в гравитационном поле действует на
тело независимо от того, есть опора или ее нет. При
свободном падении тело не испытывает реакции опоры,
тогда наступает явление невесомости. Например, неве-
невесомость наступает, когда спутник движется вокруг пла-
планеты.
Первая космическая скорость — наименьшая началь-
начальная скорость, при которой тело начинает движение в
направлении, параллельном его поверхности, чтобы
тело стало искусственным спутником планеты. Она
различна на разных высотах и для разных небесных
тел. Вблизи поверхности Земли ^1 = 7,91 км/с называет-
называется первой космической скоростью:
74
где go — ускорение свободного падения вблизи поверх-
поверхности планеты; R — радиус планеты.
Наименьшая начальная скорость, которую надо сооб-
сообщить телу, чтобы оно, начав движение вблизи поверх-
поверхности небесного тела, преодолело его притяжение, на-
называется второй космической скоростью:
Эта скорость меняется с высотой и различна для раз-
разных небесных тел. Для Земли v2 = 11,19 км/с ж П,2Х
ХЮ3 м/с.
Если в начальный момент времени тело имело вторую
космическую скорость и на него не действуют никакие
другие силы, кроме силы тяготения, то оно будет дви-
двигаться относительно небесного тела по параболической
траектории.
129. Вычислить ускорение свободного падения тела,
находящегося на расстоянии 100 км от поверхности
Земли.
Дано: h = 100 км = 105 м.
Решение. На тело, находящееся на высоте h над по-
поверхностью Земли, действует одна сила — сила тяготе-
тяготения, направленная к центру Земли и равная
F = GMm/r2, A)
где М — масса Земли; т — масса тела; г — расстояние
от центра Земли до тела.
Под действием этой силы тело будет двигаться вер-
вертикально вниз равноускоренно с ускорением g. Запишем
для тела второй закон Ньютона в проекциях на ось К,
направленную вертикально вниз:
F = mg,
или с учетом формулы A)
GMm/r2 = mgy
откуда,
g = GM/r2.
75
Здесь г = R + Л, где R — радиус Земли, h — высота
тела над поверхностью Земли. Тогда на высоте h
м
(R + hf
B)
У поверхности Земли h ж О, поэтому г = R и g =
= GM/R2. Это ускорение у поверхности Земли будем в
дальнейшем обозначать go:
go =
GM
C)
go =
6,67- 10~n. 5,97-1024 м
9,8 м/с2.
F,37-106J c'
После почленного деления уравнений B) и C) получим
g/g0 = R2/(R + /гJ, откуда g = goR2/(R + hf. Так как
/i//?<Cl, то воспользуемся приближенным соотноше-
соотношением (l + ~)~2 « 1 — 2А//?.
Тогда
g = 9,8A — 2-105/F,37-106)) -^- ^ 9,51 м/с2.
130. Космический корабль массой 106 кг начинает
•подниматься вертикально вверх. Сила тяги его двига-
двигателей 2,94-107 Н. Определить ускорение корабля и вес
тела, находящегося в нем, если на Земле на тело дей-
действует сила тяжести 5,88 • 102 Н.
Дано: т,= 106 кг; FT = 2,94-107 Н; m2go = 5,88-102 Н.
Решение. На космический корабль дей-
действуют: FT — сила тяги двигателей; F —
сила тяготения (рис. 67). По закону все-
всемирного тяготения,
F = GMmx/r2,
где r = R + h (см. задачу 129). Так как в
начале подъема h<^R, то, пренебрегая h по
сравнению с /?, можно считать rzzR.
Тогда
F = GMnu/R2.
Записывая для корабля второй закон Ньютона в проек-
проекции на ось У, получаем
Fr — F = т\п; или Ft — GMmi/R2 = т\п,
откуда
поскольку GM/R2 = g0. Тогда
а = B,94-107. 10 - 9,8) м/с2 = 19,6 м/с2 = 2g0.
Найдем вес тела, находящегося в движущемся корабле.
Напомним, что вес — это сила, с которой тело дейст-
действует на связь (растягивает пружину, давит на поверх-
поверхность и т. д.). В нашем случае вес тела, находящегося
в поднимающемся корабле, — это сила Рл, с которой тело
давит на корабль. Для ее определения рассмотрим силы,
действующие на тело в корабле. Таких сил две: N — сила
нормальной реакции корабля, F' = GMm2/r2zzGMm2/R2—
сила тяготения.
Записывая для тела, находящегося в корабле, второй
закон Ньютона в проекции на ось У, получаем
откуда
N= F' + m2a= GMm2/R2 + т2а = m2{GM/R2 + a).
Учитывая, что корабль и тело поднимаются с ускорением
а = 2go, находим N = m2(go-\-2go) = 3m2go- По третьему
закону Ньютона,
fA = N = 3m2go\FA= 3-5,88.102Н « 1,76 кН.
131. Подлетев к неизвестной планете, космонавты при-
придали своему кораблю горизонтальную скорость 11 км/с.
Эта скорость обеспечила полет корабля по круговой ор-
орбите радиусом 9100 км. Каково ускорение свободного
падения у поверхности планеты, если ее радиус 8900 км?
Дано: v = 11 км/с = 1,1.104 м/с; г = 9100 км = 9,1 • 106 м;
R = 8900 км = 8,9-106м.
Решение. На космический корабль действует только
одна сила тяготения со стороны планеты, направленная
к ее центру и согласно закону всемирного тяготения
равная
F = GMm/r\
11
где М — масса планеты; т — масса
'N космического корабля; г — расстоя-
расстояние от центра планеты до корабля
(радиус орбиты). Преобразуем это
выражение, умножив числитель и зна-
знаменатель на R2:
F=
Mm
M
R2
Рис. 68
A)
Здесь, как и в случае Земли, g0 =
= GM/R2 — ускорение свободного па-
падения у поверхности планеты. Запи-
Запишем для космического корабля второй закон Ньютона
в проекциях на ось У, направленную к центру планеты:
F = тау,
где
ау= ац = v2/R.
B)
C)
Подставим выражения A) и C) в B): g0mR2/r2 —
= mv2/r, откуда
v2r . A,Ы04J-9,Ы06 ь
(8,9-106J
14 м/с2.
132. На экваторе некоторой планеты тело весит вдвое
меньше, чем на полюсе. Плотность вещества этой пла-
планеты 3 г/см3. Определить период вращения планеты во-
вокруг своей оси.
Дано: Рэ=Рп/2; р = 3 г/см3 = 3-103 кг/м3.
7—?
Решение. На тело, находящееся на поверхности пла-
планеты, действуют: F — сила тяготения со стороны плане-
планеты; N — сила нормальной реакции поверхности планеты
(рис. 68). На полюсе тело покоится относительно инер-
циальной системы отсчета. Тогда
F+Nn = 0 или F = Mi.
По закону всемирного тяготения,
F= GMm/R2,
где т — масса тела; М — масса планеты; R — радиус
планеты. По определению плотности, M — pV, где V —
78
объем планеты. Считая планету сферой, получаем V =
= 4/3я/?3, М = 4/3я/?3р. Тогда сила тяготения
откуда Nn = 4I
На экваторе тело вращается вместе с планетой, т. е.
имеет ускорение ац= io2R = 4n2R/T2y где Т — период вра-
вращения планеты. По второму закону Ньютона, F — N3 —
= ma^ или
4/3jiGpmR -N3 = m4n2R/T2. B)
Так как сила нормальной реакции опоры, по третьему
закону Ньютона, равна весу тела и, по условию задачи,
Рэ=у2Рп, то N3=l/2Nn = 2/3nGpmR, откуда
/? — 2/3nGpmR == 4n2Rm/T2. C)
Окончательно
6л Т—-\ 6'3'|4
V
Gp ' '
133. Спутник движется по круговой орбите в плоско-
плоскости экватора на высоте, равной радиусу Земли. С какой
скоростью должен перемещаться наземный наблюдатель,
чтобы спутник появлялся над ним каждые 5 с? Разобрать
случаи, когда направления движения спутника и вра-
вращения Земли совпадают и когда — противоположны.
Дано; Л == Я; Т = 24 ч = 8,64-104 с; /= 5 ч = 1,8-104 с.
Решение. На спутник, движущийся по круговой орби-
орбите, действует сила тяготения со стороны Земли F =
= GMm/r . Учитывая, что, по условию задачи г = 2R,
преобразуем написанное выражение:
г п Mm п М m m .. ч
f=CTF=GT7=2»T W
Здесь go = GM/R2 — ускорение свободного падения у по-
поверхности Земли. Запишем для спутника второй закон
Ньютона в проекциях на ось Y, направленную к центру
Земли:
F - тау, B)
где
ау=а^ v2/r = v2/{2R). C)
79
N А
Подставим формулы A) и C)
в B):
gom/4 = mv2/BR),
тогда v = -yjgoR/2 ., Угловая ско-
рость спутника о)= v/r= v/BR) =
V()
Земля
Opfruma
спутника
Рис. 69
Рассмотрим два случая.
1. Спутник перемещается в
направлении движения Земли
(рис. 69). За время / спутник
пройдет по своей орбихе рас-
расстояние АВСАВ = 5 = vt и попадет в точку В, отстоя-
отстоящую от А на расстоянии
\АВ\ = vt — 2nr=cort — 2яг=г(о)/~ 2л) = 2/?((о/ — 2л).
D)
Чтобы спутник оказался над наблюдателем, последний
должен попасть в точку В за то же время, т. е. пройти
расстояние HiBil со скоростью v\-\-v2, где v\ —скорость
наблюдателя относительно Земли; иг — скорость Земли.
Следовательно,
E)
Из рисунка видно, что угловые перемещения спутника и
наблюдателя за время / одинаковы, т. е. <pi = ф2. Так как
<pi = |i4ifli|//?, ф2=|ЛВ|/B/?), то с учетом формул D)
и E) получим
R 2R
Учитывая, что V2 = 2nR/T и co = Vgo/(8/?), находим
-2л.
откуда
«1,04-102 м/с.
2. Спутник перемещается в направлении, противополож-
противоположном движению Земли. Предоставляем читателям самим
убедиться, что в этом случае
80
134. Средняя высота спутника над поверхностью Зем-
Земли 1700 км. Определить его скорость и период вращения.
Дано: h = 1700 км = 1,7-106 м.
Решение. Движение по круговой орбите происходит
под действием только силы тяготения со стороны Земли:
F= GrnM/{R + h)\ A)
где R — радиус Земли. Записывая для спутника второй
закон Ньютона в проекциях на ось У, направленную к
центру Земли, получаем
F = тауу B)
где
2 C)
Учитывая формулы П) и C), преобразуем уравне-
уравнение B): GmM/(R+hy= mv2/{R + h)y откуда
v2=GM/{R + h). D)
Умножая числитель и знаменатель правой части уравне-
уравнения D) на R2y получаем
2
v =
R2
2 Д+Л '
где GM/R2 = go — ускорение свободного падения у по-
поверхности Земли. Следовательно,
v2 = goR2/(R + h), E)
откуда
V =
R+h '
Период вращения спутника по круговой орбите ради-
радиусом h
81
г 2-3,14F,37 -106 -+- 1,7 -106) _o. 1Гк3
/ — . г C^< l У4 • III С
i — 7,1-103 '
135. Можно ли запустить спутник так, чтобы он все
время находился над одним и тем же пунктом Земли?
Отв. Это возможно в том случае, если период враще-
вращения спутника равен периоду вращения Земли вокруг сво-
своей оси, а плоскость его орбиты совпадает с плоскостью
земного экватора.
136. Будет ли гореть спичка, зажженная внутри кос-
космического корабля, движущегося по орбите вокруг
Земли?
Отв. Все предметы внутри космического корабля, если
его двигатели не включены, находятся в состоянии не-
невесомости. Поэтому конвекции воздуха внутри корабля
не* будет и продукты сгорания, скопляясь около пламени,
погасят его.
Упражнения
137. Найти силу тяготения, действующую со стороны
Земли на тело массой 1 кг, находящееся на поверхности
Луны. Расстояние между центрами Земли и Луны при-
принять равным 384 000 км.
138. Определить плотность планеты, продолжитель-
продолжительность суток на которой равна Г, если известно, что на
экваторе планеты тела невесомы.
139. Спутник делает 16 оборотов за время одного обо-
оборота Земли. Определить период, высоту и скорость спут-
спутника, считая его орбиту круговой.
140. С увеличением высоты полета спутника его ско-
скорость уменьшилась с 7,79 до 7,36 км/с. Определить,
на сколько изменились период вращения спутника и уда-
удаленность его от земной поверхности.
141. Искусственный спутник движется вокруг плане-
планеты Л, имея период вращения Т\. Как изменится период
вращения спутника, если он будет двигаться вокруг
планеты В, имеющей такую же плотность, как и плане-
планета Л, но вдвое больший радиус? Спутник движется по
круговой орбите вблизи поверхности планеты в обоих
случаях.
142. Какую перегрузку испытывает космонавт, вра-
вращающийся в горизонтальной плоскости на центрифуге
диаметром 12 м с угловой скоростью 4,04 рад/с?
143. Период вращения спутника по круговой орбите
82
вокруг Земли 240 мин. Определить высоту орбиты спут-
спутника над поверхностью Земли.
144. Определить период вращения и орбитальную
скорость искусственного спутника, движущегося вокруг
Луны на высоте 200 км от ее поверхности, если масса
Луны 7,3-1022 кг, а ее радиус 1,7-106 м.
145. Определить период вращения искусственного
спутника вблизи планеты, которую можно принять за
однородный шар плотностью р.
Импульс тела. Закон сохранения импульса
Второй закон Ньютона можно записать в виде
FA/ = A(mv),
где FA/ — импульс силы; mv = р — импульс тела.
Запишем второй закон Ньютона в дифференциальной
форме:
Fd/=d(mv), или F = -^-.
Если на систему взаимодействующих тел действуют
внешние силы, то справедливо соотношение
2 А(т,У;) = 2 F/Д/,
где Amtv/ — изменение импульса каждого тела массой т,-
системы, на которое действует внешняя сила F,; F/A/ —
импульс этой силы.
При отсутствии внешних сил (система замкнута)
справедлив закон сохранения импульса
л
2 rrtiWi = const,
i = 1
где mi — масса отдельного тела в системе взаимодей-
взаимодействующих тел; V/ — скорость этого тела; п — число взаи-
взаимодействующих в системе тел.
Для системы, состоящей из двух взаимодействующих
тел, закон сохранения импульса примет вид
83
= т\\Х\
при упругом взаимодействии;
m\\\ -f ГП2У1 = (mi + m2)u
при неупругом взаимодействии. Здесь Vi и V2 — скорости
тел до их взаимодействия; ub u2, u — скорости тел после
взаимодействия.
При решении задач записываем для тела закон со-
сохранения импульса в векторной форме, выбираем направ-
направления осей координат и проецируем на них обе части
векторного уравнения.
146. Тело массой 0,2 кг падает с высоты 1 м с уско-
ускорением 8 м/с2. Найти изменение импульса тела.
Дано: т = 0,2 кг; h = 1 м; а = 8 м/с2.
Решение. Тело падает с ускорением а, и его скорость
изменяется. При этом изменение импульса
A(mv) = ту — mvo = m(v — v0).
Проецируя обе части этого уравнения на ось У, направ-
направленную вертикально вниз, получим
Л(ти) = m(v — и о). A)
Так как тело начало падать из состояния покоя, то его
начальная скорость и0 = 0; конечная же скорость v тела
может быть найдена из уравнения v = -y/2ah. Учитывая
это, из уравнения A) получаем Д(/гш) = m-\/2ah; Л(ти) =
= 0,272-8.1 кг-м/с = 0,8 кг-м/с.
147. Молекула массой 5-Ю"6 кг, летящая со ско-
скоростью 500 м/с, упруго ударяется о стенку под углом 30°
к перпендикуляру. Найти импульс силы, полученный
стенкой при ударе.
Дано: т = 5- 10~26 кг; v = 500 м/с; а= 30° « 0,52 рад.
FM — ?
Решение. Направим ось X перпендикулярно стенке,
а ось Y—вертикально вверх (рис. 70). Из третьего за-
закона Ньютона следует, что импульс силы, действующей
на стенку, численно равен импульсу силы, действующей
на молекулу. По второму закону Ньютона, импульс силы,
действующей на молекулу,
FA/ = m(v2 —Vi),
84
или в проекциях на оси X и У
(FM)X= m(v2x — v\x)y
(FM)y = m(v2y — v\y).
Так как удар упругий, то v\ =
= V2 = vy cci = a2 = a. Поэтому
uu= —у cosa; u2* = v cosa;
и1У= —и sin a; v2y:= — v sina,
откуда
(FM)X = 2mucosa, (fA/)y = 0.
По определению, импульс силы
или с учетом выражений для (FAt)x и {FAt)y
FAt = i/BmucosaJ =
148. Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально
вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с,
попадает в вагон с песком массой Юти застревает в
нем. Найти скорость вагона, если он двигался со ско-
скоростью 36 км/ч навстречу снаряду.
Дано: mi = 100 кг; и, = 500 м/с; т2 = 10 т = 104 кг;
v2 — 36 км/ч = 10 м/с.
и— ?
Решение. Запишем для снаряда и вагона с песком
закон сохранения импульса при неупругом ударе:
m2v2 = (mi + m2)u. A)
Выбирая направление оси X совпадающим с направле-
направлением движения снаряда и проецируя на нее обе части
уравнения A), получаем m\V\ —-m2u2 = {т\ + m2)w, от-
откуда
-m9v> 100-500—104-10
Ш\ -р- ^2
100+104
— = -5 м/с.
Следовательно, направление движения вагона не изме-
изменилось.
149. Граната, летящая со скоростью 15 м/с, разорва-
разорвалась на два осколка массами 6 и 14 кг. Скорость боль-
85
шего осколка возросла до 24 м/с по направлению дви-
движения. Найти скорость и направление движения мень-
меньшего осколка.
Дано: v = 15 м/с; и2 = 24 м/с; т\ = 6кг; т2 = 14 кг.
и,-?
Решение. Проведем ось X в направлении движения
гранаты и запишем закон сохранения импульса в проек-
проекции на эту ось:
(mi + m>2)v = m\U\ + т2и2, A)
где т\-\-т2— масса всей гранаты. Из соотношения A)
находим
_ (m,-f m2)u — т2и2 . F+14I5— 14-24 м_ ~ ,
W 1 — 'у Ы\ — — —О М/С.
т\ 6с'
Знак минус означает, что меньший осколок полетит в
направлении, противоположном направлению движения
гранаты.
150. Третья ступень ракеты состоит из ракеты-носи-
ракеты-носителя массой 500 кг и головного конуса массой 10 кг.
Между ними помещена сжатая пружина. При испыта-
испытаниях на Земле пружина сообщила конусу скорость
5,1 м/с по отношению к ракете-носителю. Определить
скорости конуса и ракеты, если их отделение произойдет
на орбите при движении со скоростью 8 км/с относи-
относительно Земли.
Дано: тх = 5-102 кг; т2 = 10 кг; v0 = 5,1 м/с;
v = 8 км/с = 8-Ю3 м/с.
U\ — ? U2— ?
Решение. Запишем для третьей ступени ракеты закон
сохранения импульса в проекциях на ось X, совпадаю-
совпадающую с направлением движения ракеты по орбите:
m2)v = m{ui + m2u2i A)
где т\ — масса ракеты-носителя; т2 — масса конуса;
их — скорость ракеты-носителя относительно Земли после
ее отделения от конуса; и2 — скорость конуса относи-
относительно Земли после его отделения от ракеты.
Так как после отделения скорость спутника относи-
относительно ракеты-носителя та же, что и на Земле, то
и2 — и\ = vq или
U2= U\-\-Vo'y U\ = U2— Vq. B)
86
Подставляя поочередно каждое из уравнений B) в
уравнение A), получаем:
т2 о «^з 10-5,1 м
B = °0- " = 810—ф«
8-103 м/с;
^8005 м/с.
151. Почему удар молотом по тяжелой наковальне,
положенной на грудь циркового артиста, оказывается
для него безвредным, тогда как такой же удар прямо по
телу артиста является гибельным?
Отв. Так как масса наковальни больше чем масса мо-
молота, то скорость, которую она приобретает после не-
неупругого соударения с молотом, будет мала и сила, дей-
действующая на артиста, будет тоже невелика. Кроме того,
площадь соприкосновения наковальни с телом артиста
больше, чем у молота, поэтому дополнительное давление,
оказываемое наковальней на тело артиста в момент уда-
удара, меньше, чем давление молота. Вследствие этого та-
такой удар будет безвредным.
Упражнения
152. Метеорит и ракета движутся под углом 90° друг
к другу. Ракета попадает в метеорит и застревает в нем.
Масса метеорита т, масса ракеты т/2, скорость метео-
метеорита и, скорость ракеты 2v. Определить импульс метео-
метеорита и ракеты после соударения.
153. Снаряд массой 20 кг, летящий горизонтально со
скоростью 500 м/с, попадает в платформу с песком мас-
массой Юти застревает в нем. Определить скорость, кото-
которую получила платформа от толчка.
154. Какую скорость получит неподвижная лодка,
имеющая вместе с грузом массу 200 кг, если находящий-
находящийся в ней пассажир выстрелит в горизонтальном направ-
направлении? Масса пули 10 г, ее скорость 800 м/с.
155. Снаряд массой 50 кг, летящий вдоль рельсов со
скоростью 600 м/с, попадает в платформу с песком мас-
массой Юти застревает в песке. Вектор скорости снаряда
в момент падения образует угол 45° с горизонтом. Опре-
Определить скорость платформы после попадания в нее сна-
снаряда, если платформа двигалась навстречу снаряду со
скоростью 10 м/с.
87
156. Ракета, масса которой без заряда 400 г, при сго-
сгорании 50 г топлива поднимается на высоту 125 м. Опре-
Определить скорость выхода газов из ракеты, считая, что
сгорание топлива происходит мгновенно.
157. Два шара массами 6 и 4 кг движутся вдоль
одной прямой со скоростями 8 и 3 м/с. С какой скоро-
скоростью они будут двигаться после абсолютно неупругого
удара, если: 1) первый шар догоняет второй; 2) шары
движутся навстречу друг другу?
158. Лодка массой 150 кг и длиной 2 м покоится на
поверхности пруда на расстоянии 0,7 м от берега и об-
обращена к нему носом. Человек массой 70 кг, сидевший
в лодке, переходит с ее носа на корму. Причалит ли
лодка к берегу?
Вопросы для повторения
1. Дайте определение силы и 8. Сформулируйте закон все-
массы и назовите их единицы мирного тяготения. Каков физи-
в СИ. 2. Что такое плотность? ческий смысл гравитационной
3. Сформулируйте законы Нью- постоянной? 9. Почему сила тя-
тона. 4. Что такое инерция? жести изменяется с увеличением
5. Назовите виды сил в меха- высоты тела над поверхностью
нике. 6. Что называют импуль- Земли? Изменяется ли при этом
сом тела? 7. Сформулируйте масса тела? 10. Дайте определе-
закон сохранения импульса. ния первой и второй космиче-
космических скоростей.
§ 3. РАБОТА, МОЩНОСТЬ, ЭНЕРГИЯ.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Работой постоянной силы называется величина
А = Fs cosa,
где F — сила, действующая на тело; 5 — перемещение
тела под действием силы; a—угол между направления-
направлениями силы и перемещения. Если а<л/2, то Л>0; если
а= я/2, то А = 0; если а>я/2, то А<0.
Если на тело действует переменная сила, то
А = (Fcosa>s,
где (Fcosa) — среднее значение проекции силы на пере-
перемещение. Более строго работу переменной силы надо
рассчитывать по формуле
А = \ Fsds,
где Fs = Fcosa—проекция силы на перемещение.
88
Мощностью называется величина
где t — время, за которое совершается работа.
Если движение равномерное, то
N=Fv,
где v — скорость равномерного движения.
В случае неравномерного движения вводят понятия
мгновенной и средней мощности:
NFv
где v — мгновенная скорость движения; (v) — средняя
скорость переменного движения.
Коэффициент полезного действия (КПД) механизма
Wn
где Ап (Nn, Wn) — полезная работа (мощность, энергия)
механизма, Л3 (М$, W3) — затраченная механизмом ра-
работа (мощность, энергия).
Различают два вида механической энергии: кинети-
кинетическую и потенциальную.
Движущееся тело обладает кинетической энергией
где т — масса движущегося тела; v — его скорость.
Тело, поднятое над поверхностью земли, обладает
потенциальной энергией
Wn = mgh,
где h — высота тела над поверхностью земли.
Сжатая или растянутая пружина обладает потенци-
потенциальной энергией
где к — жесткость пружины; х — сжатие (или растяже-
растяжение) пружины.
Под полной механической энергией W тела понимают
сумму кинетической и потенциальной энергий:
89
Замкнутой системой тел называется такая система,
на которую не действуют силы со стороны тел, не входя-
входящих в эту систему. Для замкнутой системы тел, если
между телами системы действуют только консерватив-
консервативные силы, полная механическая энергия системы оста-
остается постоянной (закон сохранения механической энер-
энергии) :
2 Wi = const,
где Wi — полная механическая энергия отдельного тела
системы; п — число тел в системе.
Для тела, движущегося со скоростью v на высоте h
над поверхностью земли, закон сохранения механической
энергии имеет вид
„2
-+ mgh = const.
2
Когда на тело или систему тел действуют внешние силы,
полная механическая энергия системы тел (тела) изме-
изменяется. При этом справедливо соотношение
А = ДЦ7 = Н7—Ц70,
где А — работа внешних сил; Д№—изменение полной
механической энергии тела (системы тел); W и Wo —
конечная и начальная механические энергии тел (систе-
(системы тел). Это же соотношение справедливо, когда в за-
замкнутой системе тел между ними действуют неконсерва-
неконсервативные силы (например, силы трения). В этом случае
А — работа неконсервативных сил.
159. Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, попадает
в вал и проходит до остановки 0,5 м. Определить силу
сопротивления вала движению пули, если ее масса 24 г.
Дано: vo = 400 м/с; s = 0,5 м; га = 24 г = 2,4-10~2 кг.
F— ?
Решение. Проведем ось X в направлении движения
пули (рис. 71). Так как а= я, то cosa= —1, тогда
< 0 * Иначе:
Рис.71 A=W-W0, B)
90
По условию, -tt?= 0 (пуля
остановилась), а
Ч: Г
1
./V
И Ь /
1 *
//////////.'//////////// '
'та
Подставим A) и C) в
B): —fs= -mvl/2, от-
откуда Рис. 72
F _ mug . 77 2,4-lQ-2-4002 и ^ о о тт
~~ 25 ' 2-0,5 ^ ' К
160. Поезд массой 600 т, отойдя от станции на 2,5 км,
приобрел скорость 60 км/ч. Какую среднюю мощность
развивает локомотив, если коэффициент трения 0,005?
Дано: т = 600 т = 6-105 кг; s = 2,5 км = 2,5- 103 м;
v = 60 км/ч = 16,7 м/с, \i = 5- Ю-3.
Решение. Проведем ось X в направлении движения
поезда. На поезд действуют: mg — сила тяжести; N —
сила нормальной реакции рельсов; F — сила тяги; FTp —
сила трения (рис. 72). Так как изменение кинетической
энергии должно быть равно работе внешних сил, то
AW = Л, или
W-W0 = Al+A2, A)
где W = mv2/21 Wo = 0, А\ = Fs — работа силы тяги;
А2= —FjpS — работа силы трения. Работа силы тяжести
и силы нормальной реакции опоры равны нулю, так как
они перпендикулярны перемещению. Для горизонтальной
поверхности сила трения равна /чР = \iN = \img. Подста-
Подставим выражения для Wt Wo, A\ и А2 в уравнение A):
mv2/2 = Fs — \xmgs. Тогда сила тяги
B)
Согласно определению, средняя скорость равноперемен-
равнопеременного движения
(v)=(v + vo)/2 = v/2, C)
так как ио = 0. По определению, средняя мощность
(N) = F(v). D)
Подставим формулы B) и C) в D).
91
-С;
у i
-<
В
)
С
6.105.16,7 / 16.72
V
~ 2 V 2-2,5. КK "*¦
+ 5 • 10~3 • 9,8) Вт « 0,52 МВт.
161. Груз массой 2 кг, .падающий с вы-
высоты 5 м, проникает в мягкий грунт на глу-
глубину 5 см. Определить среднюю силу сопро-
сопротивления грунта.
Дано: т = 2 кг; h = 5 м; hi = 5 см = 0,05 м.
Рис. 73 Решение. Направим ось Y вертикально
вверх, начало оси выберем на глубине h\ от
поверхности земли (рис. 73). На участке СО действует
внешняя сила (сопротивление грунта), поэтому
AW = A или W—W0 = At A)
где Wq= mgh-\-mgh\ — механическая энергия груза в
точке В\ W — механическая энергия груза на глубине h\
от поверхности земли. Так как в точке О (/ = 0 и и = 0,
то W = 0.
Работа внешних сил на участке СО А — —(F)h\.
Подставив выражение для Wo, W и А в уравнение A),
получим Q — mgh — mghi — —{F)h\, откуда
= mg(±+ l); (F) =2-9,8(^+ l) H « 1,98 кН.
162. Брусок скользит сначала по наклонной плоскости
длиной 42 см и высотой 7 см, а потом, пройдя по гори-
горизонтальной плоскости расстояние 142 см, останавливает-
останавливается. Определить коэффициент трения, считая его везде
одинаковым.
Дано: /i = 42 см = 0,42 м; /2 = 142 см = 1,42 м; h = 7 см = 0,07 м.
I*-?
Решение. Рассмотрим движение бруска на двух участ-
участках: наклонной и горизонтальной плоскостях (рис. 74).
При движении по наклонной плоскости на брусок дей-
действуют: mg — сила тяжести; Ni—сила нормальной ре-
реакции наклонной плоскости; FTPi — сила трения, причем
/чР1 = \iNi = jxm^cosa. A)
92
mg
Рис. 74
При движении по горизонтальной поверхности на брусок
действуют: mg — сила тяжести; N2 — сила нормальной
реакции горизонтальной плоскости; FTP2 — сила трения,
причем
FTP2 = \xN2 = \ifng. B)
Изменение полной механической энергии бруска равно
работе сил трения FTpi и FTp2:
где
C)
D)
AW = W— Wo = 0 — mgh = —mgh,
А = А, + А2 = —FTp,/i -fTP2/2.
Подставив выражения D) в C), получим —mgh =
= — F-rpJi — FJP2l2j или с учетом формул A) и B) mgh =
= |img(/iCosa-H2), откуда \х — /z/(/icosa+ /2). Из рисун-
рисунка видно, что cosa= л/12\—Н2/1\. Тогда
h 0,07
0,422 —0,072+ 1,42
; 0,04.
163°. Найти работу, которую надо совершить, чтобы
сжать пружину, жесткость которой 29,4 Н/см, на 20 см.
Считать деформации упругими.
Дано: *i = 0; х2 = 20 см = 0,2 м; 6= 29,4 Н/см = 2,94-103 Н/м
Решение. 1-й с п о с о б. Работа по сжатию пружины
равна изменению ее потенциальной энергии:
Ь& л 2,94-103.0,22
; А ^
93
_ 2-й способ. По определе-
':Лед • Л* ^Я^&Х^У// х нию работа сжатия пружины
Рис. 75 Л =
164°. Сани, движущиеся горизонтально по льду со
скоростью 5 м/с, выезжают на дорогу. Определить рас-
расстояние, пройденное санями по дороге, если их длина 1 м,
а коэффициент трения саней о поверхность дороги 0,5
(рис. 75). Трением саней о лед пренебречь.
Дано: |д, = 0,5; Vo = 5 м/с; / = 1 м.
L — ?
Решение. Разобьем расстояние, пройденное санями
по шероховатой поверхности дороги, на два участка. На
первом, равном длине / полозьев, сила трения перемен-
переменна, так как происходит постепенное увеличение силы нор-
нормальной реакции поверхности дороги от нуля до значе-
значения, равного силе тяжести саней. На втором участке /ь
когда полозья полностью уходят со льда, сила трения
постоянна. Подсчитаем работу силы трения на этих двух
участках: Лтр = ЛТР1 +ЛТр2-
Пусть сани прошли часть первого участка длиной х
(рис. 75). Так как сила нормальной реакции пропорцио-
пропорциональна пройденному расстоянию iV= mgx/l, то сила тре-
трения, действующая на сани, равна Fyp = \imgx/L Тогда
работа силы трения на первом и втором участках
= —\
xdx =
о *
/„ 2
Лтр2= — \xmgli.
Полная работа силы трения на двух участках
со
** Работу сил трения на первом участке можно рассчитать сле-
следующим образом. Так как сила трения пропорциональна перемещению
94
FTp = \xmg x/l и возрастает от 0 до FuaKC — M-/nS"» T0 средняя сила
трения
<f>_
откуда работа силы трения
Л, = -(F)l= -[imgl/2.
Иначе, работа силы трения равна изменению кинетиче-
кинетической энергии саней: Атр = AW = W2— Wi. По условию,
W2 = О, W\ = mvl/2\ следовательно,
ATp=-Wi= -mvl/2. B)
Из выражений A) и B) получим — \img(l/2 + l\) =
= —mvl/2, откуда
Все расстояние, пройденное санями, равно
L = / + /, = / + -^—-= -1-г-,
. 52 + 0,5-9,8-1 о .
L= 2-0,5.9,8 м~3'1м-
165°. Груз массой 5 кг свободно падает с некоторой
высоты и достигает поверхности земли за 2,5 с. Найти
работу силы тяжести.
Дано: m = 5 кг; / = 2,5 с.
Л — ?
Решение. Полная работа силы тяжести
о
А = ] Fcosad/i, A)
н
где h — высота, с которой упал груз; F=mg — сила
тяжести, действующая на груз; cosa=— 1. Преобразуем
выражение A):
о
А = — \ mgdh = — mgh\°H = mgH.
н
Так как И = gt2/2, то
- gt mg t
с q q2 о r2
Л = ±^±2-ДЖ « 1,5 кДж.
95
166. Груз массой 0,5 кг падает с некоторой высоты
на плиту массой 1 кг, укрепленную на пружине жестко-
жесткостью & = 9,8*102 Н/м. Определить наибольшее сжатие
пружины, если в момент удара груз обладал скоростью
5 м/с. Удар неупругий.
Дано: /п 1 = 0,5 кг; т2 = 1 кг; k = 9,8- Ю2 Н/м; v = 5 м/с.
х—?
Решение. По закону сохранения энергии, полная ме-
механическая энергия груза вместе с плитой после удара
равна потенциальной энергии сжатой пружины:
2 ^kx2/2t A)
где /Л2 — масса плиты; и — скорость груза и плиты после
удара, которую можно найти по закону сохранения им-
импульса для неупругого удара: m\v = (т\ + т^и, откуда
u = miv/(mi + m2) B)
Тогда, подставляя формулу B) в A), получаем
22 kx2
ИЛИ
откуда
g(m1 + 2)|Vg(i42J-f kmW/{m{+m2) .
X— -k ,
_ 9,8@,5-f l)-f V9,82@,5-HJ + 9t8-10^0,5^57@,54-1) ^
X— 9,8-102 ~~ M~
«8,2- 1(Г2 м.
(Отрицательный корень не удовлетворяет условию за-
задачи.)
167. Уклон участка шоссе равен 1 м на каждые 20 м
пути. Спускаясь под уклон при выключенном двигателе,
автомобиль движется равномерно со скоростью 60 км/ч.
Определить мощность двигателя автомобиля, поднимаю-
поднимающегося по этому уклону с той же скоростью. Масса авто-
автомобиля 1,5 т.
Дано: sin a =/i//= 1/20 = 0,05; у = 60 км/чж!7 м/с; т^1,5 т=г
= 1,5-103 кг.
N — ?
96
6)
Рис. 76
Решение. Так как при подъеме движение автомобиля
равномерное, то
N = Fv, A)
где F — сила тяги двигателя при подъеме; v — скорость
автомобиля. При подъеме на автомобиль действуют:
mg — сила тяжести; N — сила нормальной реакции шос-
шоссе; F — сила тяги; FTp — сила трения (рис. 76, а). За-
Записывая второй закон Ньютона для автомобиля в про-
проекциях на оси X и Y (рис. 76, а), получаем F — FTp —
— mgsinoc=0 (а = 0, так как v = const), откуда
F= Frp-{- mg sin a. B)
При спуске на автомобиль действуют: mg — сила тяже-
тяжести; N — сила нормальной реакции; FTp — сила трения
(рис. 76,6). Аналогично первому случаю получим
mg sin а— /гтр = 0, откуда
FTp = mg sin а. C)
Подставим выражение C) в B): F = 2mgsma. Тогда
уравнение A) примет вид
N—2mgsma-v\
N = 2 • 1,5 • 103 • 9,8 • 0,05 • 17 Вт « 25 кВт.
168. Определить работу подъема груза по наклонной
плоскости, среднюю мощность и КПД подъемного устрой-
устройства, если масса груза 100 кг, длина наклонной плоско-
плоскости 2 м, угол ее наклона к горизонту 30°, коэффициент
трения 0,1, ускорение при подъеме 1 м/с2. У основания
наклонной плоскости груз находился в покое.
Дано: т = 100кг; 1=2 м; а= 30°»0,52 рад; ц = 0,1; а= 1 м/с2.
А _? <#> — ? л—?
4-580
97
Решение. Изменение полной
механической энергии обуслов-
обусловлено действием на груз силы
тяги и силы трения:
Здесь Л —- работа силы тяги,
ЛТр — работа сил трения
(U70=0 по условию задачи).
Конечное значение полной ме-
механической энергии
W = mv2/2 + mgh == mat + mgl sin a,
так как t/2 = 2a/.
Сила трения на наклонной плоскости Frp=\iN =
= \imgcosat поэтому Лтр= —-jjimg/cosa (рис. 77). Под-
Подставляя эти выражения в уравнение A), получаем
А = ml{a + gsin a+\igcos а);
Л = 100-2A+9,8.0,5+0,1.9,8-0,87) Дж= 1,35 кДж.
Средняя мощность подъемного устройства
где t — вре,мя подъема груза, которое может быть полу-
получено из уравнения равноускоренного движения
/= at2 /2 (t/o = O). B)
Из уравнения B) найдем t = ^j2l/a. Следовательно,
л 1 v>. in3
/ хгч i,oo-iu т^---675 Вт
л[21/а V2-2/1
По определению, КПД подъемного устройства равен
где Л3 = А = 1,35 кДж.
Полезным действием подъемного механизма является
перемещение груза на высоту h = /sina. Поэтому Лп =
= mg/sina;
Лп= 100.9,8-2.0,5 Дж = 980Дж,
откуда
т]^ 980/A,35-103) «0,73.
98
169. Шар массой m, подвешенный
на нити длиной /, отклоняют на угол
90° от вертикали и отпускают. Опре-
Определить силу максимального натяжения
нити.
Дано: т; /; а= 90° « 1,57 рад.
Т ">
1 макс •
Решение. Максимальное натяжение
нить испытывает при прохождении
шаром точки В. В точке В на шар дей-
действуют: mg — сила тяжести; Тмакс — сила натяжения
нити (рис. 78). Запишем для шара второй закон Ньюто-
Ньютона в проекциях на ось К:
Гмакс — mg = тпу, A)
где ay=v2/R, /? = /. Учитывая это, перепишем уравне-
уравнение A): ГМакс — mg=mv2/l, откуда
TMaKC = mg + mv2/L B)
Для определения скорости шара в точке В применим
закон сохранения энергии для точек А и В:
Так как Wa — mgl, Wb = mv2/2, то уравнение C) примет
вид mgl= mv2/2y откуда v2 = 2gl. Подставив выражение
для v2 в уравнение B), получим
TMaKC = mg + m-2gl/l=3mg.
170. Спутник массой 12 т вращается по круговой ор-
орбите вокруг Земли, обладая кинетической энергией
54 ГДж. С какой скоростью и на какой высоте вращается
спутник?
Дано: т=12 т = 1,2-104 кг; №к=54 ГДж = 5,4.1010 Дж.
v-? h—?
Решение. Кинетическая энергия спутника WK = mv2/2,
откуда
v2 = tlWu/m (\\
к/ \ * /
Тогда
103 м/с.
99
__-, / 2-5,4-1010 _м__о.
Высота h подъема спутника и его скорость и связаны
соотношением
v* = goR2/(R + h) B)
[см. задачу 134; формула E)]. Приравниваем правые
части уравнений A) и B): 2WK/m = g0R2/(R+h)y откуда
-0
171. На какое расстояние удалится от поверхности
Земли ракета, запущенная вертикально со скоростью
9 км/с? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Дано: и = 9 км/с=9-103 м/с.
h — ?
Решение. На ракету массой т действует переменная
сила тяготения
F=GmM/r\ A)
где М — масса Земли; г — расстояние между ракетой и
центром Земли.
При подъеме ракеты на высоту h эта сила совершит
работу
R + h
А= \ Fcosadr, B)
где сс=л рад — угол между направлениями силы и пере-
перемещения; R — радиус Земли. Подставляя выражение A)
в B), получаем
, Y* тМ , г тМ \R+h
GmMh /Оч
C)
Иначе, работа равна изменению кинетической энергии
ракеты: A = kW=W2—W\. На высоте h W2 = 0, тогда
Л = — Wx = — mv2/2. D)
Приравняем правые части выражений C) и D):
GmMh/[ R{R+h)} = mv2/2. E)
100
Преобразуем выражение E), умножив и разделив левую
часть на R:
RhGM/[ {R + h)R2} = v2/2. F)
Так как GM/R2~go — ускорение свободного падения
вблизи поверхности Земли, то равенство F) можно запи-
записать в виде RhgQ(R + h)=v2/2, откуда
2Rgo — v2 '
и- (9-10У-6,37-106 ,_, ,7.1П7М
172°. Рассчитать вторую космическую скорость, кото-
которую надо сообщить ракете у поверхности Земли, чтобы
она навсегда покинула ее.
Дано: ?о = 9,8 м/с2; R\ = 6,37-106 м; /?2=оо.
v — ?
Решение. На ракету массой m действует переменная
сила
, A)
работа которой
Л = 5 Fcosadr. B)
/?.
Учитывая, что а=л рад, и подставляя выражение {I) в
B), получаем
А— [ г mM a _ GmM |°° __ GmAi /Q4
\x r r \Ri Rt ч '
Иначе, Л = AIF= Г2— Wu Так как U72 = 0, то
A = -Wi = -mv2/2. D)
Приравнивая правые части выражений C) и D), имеем
GmM/Ri = mv /2, или после преобразований, аналогич-
аналогичных предыдущей задаче, g0Ri = i>2/2, откуда
173. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар,
подвешенный на легком жестком стержне, и застревает
в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Рас-
101
Рис. 79
стояние от точки подвеса стержня
до центра 1 м. Найти скорость
пули, если известно, что стержень
с шаром отклонился от удара пу-
пули на угол 10°.
Дано: тг= 1000mi /= 1 м;
а= 10°«<),Ь7 рад..
Решение. Запишем закон со-
сохранения импульса для неупругого удара в проекции на
ось X (рис. 79): mxv = (mi +m2)uy откуда
Здесь v — скорость пули до столкновения; и — скорость
шара и пули после их столкновения. В выражении A)
кроме v неизвестна еще скорость w, которую можно найти
по закону сохранения энергии. Пусть в результате столк-
столкновения с пулей центр массы шара поднялся на высоту А,
тогда, по закону сохранения энергии, (mi+m2)u2/2 =
откуда
B)
1 = / — /cosa=/(l —-cosa). Подставим
в уравнение B): и2 = 2gl(l —cosa),
Из рисунка имеем
выражение для А
откуда u = -^2gl{\ — cosaj. Тогда уравнение A) можно
привести к виду
m,
C)
Используя тригонометрическое уравнение sin(a/2)=
= УA — cosa)/2, преобразуем выражение C):
— «570 м/с.
174. Человек, находящийся в вагонетке, толкает
другую вагонетку. Они приходят в движение и через
некоторое время останавливаются вследствие трения.
Определить отношение перемещений вагонеток до оста-
102
новки, если масса первой вагонетки с человеком в три
раза больше массы второй вагонетки.
Дано: гп\ = Зтг.
si/s2 — ?
Решение. Запишем для вагонеток закон сохранения
импульса для упругого взаимодействия в проекции на
ось X, направленную в сторону движения первой ваго-
вагонетки:
0 = m\U\ — Ш2«2, О)
где и\ и и2 — скорости первой и второй вагонеток сразу
после толчка (взаимодействия).
Из уравнения A) следует, что
t7liUi = 1712U2. B)
Преобразуем уравнение B), используя условие задачи:
, откуда
C)
Изменение кинетической энергии каждой вагонетки равно
работе силы трения: Д№ = Л. Учитывая, что Д№ = 0 —
— ти2/2 и А = — /чР5= —-\imgs, получаем —ти2/2 =
= —\xmgs, или
t/2/2=^s. D)
Тогда для первой и второй вагонеток соотношение D)
можно записать в виде
E)
Разделив почленно уравнения E), получим
или, учитывая соотношение C),
175. Баба копра массой 400 кг падает на сваю массой
100 кг, вбитую в грунт. Определить среднюю силу сопро-
сопротивления грунта, и КПД копра, если известно, что при
каждом ударе свая погружается в грунт на 5 см, а высо-
высота поднятия бабы копра 1,5 м. Удар неупругий.
Дано: т1 = 400кг=4-102 кг; т2= 100 кг= I02 кг;
s = 5 см = 5- Ю~2 м; h = 1,5 м.
<О - ? л - ?
103
| | Решение. Работа силы сопротивле-
¦" ^\* ния грунта равна изменению полной
механической энергии системы тел
(свая и баба копра):
A = bW=W-Wo=-Wo A)
у//у// (W = 0 по условию задачи).
По определению, работа силы сопро-
Рис. 80 тивления
А = - (F)s. B)
Начальная механическая энергия равна сумме кинети-
кинетической и потенциальной энергий сваи и бабы копра пос-
после их соударения, т. е. Wo — Wn + WK. Кинетическую
энергию представим в виде WK = р2/ [2(гп\ + т2)],
где р — импульс сваи и бабы копра после соударения.
Так как Wn = (т\ + m)gs, to
Wo = (mi + m2)gs + р2/ [2(m, + m2)]. C)
По закону сохранения импульса, для неупругого соуда-
соударения имеем р = pi. Здесь р\ — импульс бабы копра
перед ее ударом в сваю. Из закона сохранения меха-
механической энергии для падения бабы копра с высоты h
(рис. 80) имеем р\/{2т\) = m\ght поэтому
р2 = р2 = 2m\gh. D)
Подставляя соотношения B), C) и D) в уравнение A),
получаем
m2\gh
<F> = (m, + m2)g +
= 9,8D-102 + 10
/"*te/ Q Q» 1 П^ T-T
КПД механизма равен
ц = Лп/Лз,
так как A3 = mgh = p2/Bm). Полезная работа Aa=WK,
где WK— кинетическая энергия сваи и бабы копра после
их соударения; WK = p2/[2(mi + m2)]. Так как р = рь
то, подставляя эти выражения в уравнение E), полу-
получаем
т, 400
1 400 -f 100
104
176. На вершине гладкой полусферы радиусом 0,5 м
находится шайба массой 10 г. Шайба начала скользить
вдоль сферы под действием горизонтально направлен-
направленного кратковременного импульса силы 2«10~3 Н«с. На
какой высоте от основания полусферы шайба оторвется
от ее поверхности?
Дано: R = 0,5 м; т = 10 г = 10~2 кг; FM = 2-10~2 Н-с.
Я—?
Решение. Шайба вплоть до момента отрыва движется
по окружности под действием: mg — силы тяжести; N —
силы нормальной реакции поверхности сферы. Записывая
второй закон Ньютона для шайбы в проекциях на ось У,
направленную вдоль радиуса к центру окружности
(рис. 81), получим
mg cos a — N = тац,
где ац = а^ = v2/R\ cos а = H/R. В момент отрыва сила
нормальной реакции опоры равна нулю. Тогда
mgH/R = mv2/R, или mgH = mv2. A)
По закону сохранения механической энергии имеем
+ mgH =
2m
+ mgR,
B)
где F&t — импульс шайбы на вершине полусферы. Из
уравнения B) получаем
mv2 = (FAtJ/m + 2mg{R — Я).
Тогда
mgH =
2mgR - 2mgH,
_ 2-0,5
~~ 3
0,47 м.
2.10-
1
3-9,8
M «
177. Тело массой т скати-
скатилось с горы высотой h. Какую
минимальную работу нужно со-
совершить, чтобы поднять тело
105
обратно на гору, действуя на тело с силой, направленной
вдоль перемещения.
Дано: h, m
Решение. Так как тело, скатившись с горы, остано-
остановилось, то его полная механическая энергия измени-
изменилась. Изменение полной механической энергии тела при
спуске равно работе сил трения: &W\ = А\. Так как
ДИ7, = Wi — U^oi = 0 — mgh = - mgh, A)
то A\ = — mgh.
При подъеме тела изменение его полной механической
энергии равно
= А2 + А3. B)
Здесь &W2 = W2 — W02 = mgh — О = mgh\ A2 — ра-
работа силы тяги; Аз — работа сил трения при подъеме.
Так как сила тяги направлена вдоль перемещения, то
сила нормальной реакции опоры, а следовательно, и
сила трения будут такими же, что и при спуске с горы.
Отсюда Аз = А\у или с учетом уравнения A)
Лз = - mgh. C)
Окончательно из уравнений B) и C) получаем
А2 = AU72 — Аз = mgh — (— mgh) = 2mgh.
178. Груз поднимают на высоту /г, а затем равно-
равномерно перемещают по горизонтальной поверхности на
расстояние h. В каком случае затраченная работа боль-
больше? Коэффициент трения тела о поверхность принять
равным \i. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Отв. При подъеме груза массой т на высоту h ра-
работа равна mgh. При равномерном перемещении груза
по горизонтальной поверхности на расстояние h работа
равна \xmgh. Поскольку, как известно из опыта, коэффи-
коэффициент трения скольжения всегда меньше единицы, то во
втором случае работа будет меньше.
179. Как нужно бросить мяч на пол с высоты /г, чтобы
он подпрыгнул на высоту Я, большую /г?
Отв. Мяч нужно бросить с начальной скоростью, от-
отличной от нуля. Тогда начальная механическая энергия
мяча mgh + mu2/2. Если удар мяча о пол упругий, то
мяч поднимется на высоту Я, которую можно найти из
106
закона сохранения энергии mgh-\-
+ mv2/2= mgH. Из этого уравнения
видно, что Н больше h.
Упражнения
180. Поезд массой 500 т подни-
поднимается со скоростью 30 км/ч по Рис. 82
уклону 10 м на 1 км пути. Коэффи-
Коэффициент трения 0,002. Определить
мощность, развиваемую локомотивом поезда.
181. Камень, скользящий по горизонтальной поверх-
поверхности льда, останавливается, пройдя 48 м. Определить
начальную скорость камня, если известно, что коэффи-
коэффициент трения 0,06.
182. Пуля массой 10 г, летевшая со скоростью 400 м/с,
пробив доску толщиной 5 см, уменьшила скорость вдвое.
Определить среднюю силу сопротивления доски движе-
движению пули.
183. Танк, масса которого 15 т и мощность 368 кВт,
поднимается в гору с уклоном 30°. Какую максимальную
скорость может развивать танк?
184. Велосипедист должен проехать по «чертову коле-
колесу», радиус которого 8 м. С какой высоты велосипедист
может начать движение, чтобы не упасть (рис. 82)? Тре-
Трение не учитывать.
185. Баба копра массой 500 кг падает на сваю массой
100 кг со скоростью 4 м/с. Определить КПД копра для
упругого и неупругого ударов.
186. Люстра массой 100 кг подвешена к потолку на
металлической цепи, длина которой 5 м. Какова высота,
на которую можно отклонить люстру, чтобы при после-
последующих качаниях цепь не оборвалась, если известно, что
разрыв наступает при силе натяжения 2 кН?
187. Конькобежец массой 70 кг, стоя на льду, бросает
в горизонтальном направлении шайбу массой 0,3 кг со
скоростью 10 м/с. На какое расстояние откатится конько-
конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед 0,02?
188. Пружина детского пистолета, жесткость которой
10 Н/см, имеет длину 15 см. До какой высоты поднимется
шарик массой 10 г, выпущенный из пистолета вертикаль-
вертикально вверх, если пружина пистолета была сжата до 5 см?
Сопротивлением воздуха пренебречь.
189. Ящик с песком массой 10 кг удерживается пру-
пружиной, жесткость которой 30 Н/см. Пуля массой 10 г,
107
движущаяся со скоростью 500 м/с, попадает в ящик и
застревает в нем. Определить, на сколько при этом со-
сожмется пружина.
190. Два груза, массы которых относятся как 1:4,
соединены сжатой пружиной и лежат на горизонтальной
поверхности стола. При распрямлении пружины груз
меньшей массы получает кинетическую энергию 40 Дж.
Найти потенциальную энергию сжатой пружины. Трение
не учитывать.
191. Мяч, падающий с высоты 3 м, после удара о пол
подскочил на 2,5 м. Как согласовать это с законом сохра-
сохранения механической энергии?
Вопросы для повторения
1. Дайте определение энергии.
2. Что называется кинетической
энергией тела? 3. Чем отлича-
отличаются консервативные силы от
неконсервативных? 4. Что назы-
называется потенциальной энергией?
5. Напишите выражения потен-
потенциальной энергии тела, подня-
поднятого над поверхностью земли,
и потенциальной энергии сжа-
сжатой пружины. 6. Сформулируй-
Сформулируйте закон сохранения полной ме-
механической энергии. Назовите
условия, при которых выполня-
выполняется этот закон. 7. Что назы-
называют механической работой? 8.
Как связаны между собой ра-
работа и энергия? 9. Напишите
формулы для расчета работы
постоянной и переменной силы.
10. Что называют механической
мощностью? 11. Чему равны
средняя и мгновенная мощно-
мощности при переменном движении?
12. Назовите единицы энергии,
работы и мощности в СИ. 13.
Что называют коэффициентом
полезного действия механизма?
§ 4. СТАТИКА
Статика изучает условия равновесия тела под дейст-
действием приложенных сил. Под равновесием понимают со-
состояние покоя или равномерного и прямолинейного дви-
движения или вращения. Различают следующие виды равно-
равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Усло-
Условием равновесия является экстремальное значение по-
потенциальной энергии, что математически записывается
в виде
dWn
dx
= 0.
Условием устойчивого равновесия является минималь-
минимальное значение потенциальной энергии, что математически
равносильно условию
108
Для равновесия материальной точки необходимо, что-
чтобы векторная сумма всех сил, приложенных к точке, была
равна нулю:
2 F/ = 0.
Если спроецировать все силы, действующие на мате-
материальную точку, на выбранные оси X и У, то условие
равновесия принимает вид
2 Fu = 0; 2 Fiy = O-
«=i i=i
Равновесие твердого тела зависит не только от моду-
модуля и направления действующих сил, но и от точки прило-
приложения сил.
Момент силы М относительно оси равен произведению
силы F на плечо / (перпендикуляр, опущенный от оси
вращения на линию действия силы):
Момент силы, стремящейся повернуть тело относи-
относительно оси против часовой стрелки, считается положи-
положительным, по часовой стрелке — отрицательным.
Для равновесия тела необходимо выполнение двух
условий:
1. Векторная сумма всех сил, приложенных к телу,
равна нулю.
где п — число сил.
2. Алгебраическая сумма моментов сил относительно
любой оси равна нулю:
2 A*/ = 0f
1=1
где п — число моментов.
192. Груз массой 10 кг уравновешен двумя грузами,
причем масса второго груза 18 кг. При этом нить, удер-
удерживающая третий груз, направлена от точки А горизон-
109
V//////////////////////
Рис. 83
тально (рис. 83, а). Определить массу третьего груза и
угол а:
Дано: mi = 10 кг; Ш2= 18 кг.
т3
— ? CL— ?
Решение. На точку А действуют силы натяжения ни-
нитей Ti, Т2 и Т3 (рис. 83,6). Так как система тел не-
неподвижна, то для каждого груза можно записать:
n = mig, T'2=m2g, n = m3g. A)
Условие равновесия для точки А имеет вид
причем T\=TU ^2 =^2, Гз=Гз. Выбирая направления
осей X и Y и проецируя на них это уравнение, получаем
3 = 0, B)
0. C)
Из уравнений C) и A) найдем cosa= T\/T2 = т\/гп2У
откуда a= arccos(mi/m2), а= arccos A0/18) «0,98 рад.
Из уравнения B) найдем Гз= r2sina, или тз^= m2gsina,
откуда
m3=m2sina; m3== 18-0,832 кг« 14,9 кг.
193. Деревянный брусок лежит на наклонной плоско-
плоскости. С какой силой нужно прижать брусок к наклонной
плоскости, чтобы он оставался на ней в покое? Масса
бруска 2 кг, длина наклонной плоскости 1 м, высота
60 см. Коэффициент трения бруска о наклонную плос-
плоскость 0,4.
Дано: т = 2кг; /=1м; Л = 60см = 0,6м; ц = 0,4.
F — ?
ПО
Решение. На брусок дейст-
действуют: mg — сила тяжести;
N — сила нормальной реакции
наклонной плоскости; FTp —
сила трения; F — сила, прижи-
прижимающая брусок к наклонной
плоскости (рис. 84). Так как
брусок не может вращаться, то
для его покоя достаточно вы-
выполнения только первого усло-
условия равновесия
Рис. 84
ТР = О. A)
Выбирая направления осей X и Y и проецируя на них
уравнение A), получаем
mgsina— /7Tp = 0, N — mgcosa— F = 0.
Учитывая, что Frp=[xN1 sina=/z//, cosa= -\//2~/г2//,
и решая полученную систему уравнений, находим
13'7 н-
194. Однородная тонкая балка АВ массой 100 кг опи-
опирается одним концом на гладкий горизонтальный пол,
а другим — на гладкую плоскость, наклоненную под
углом 30° к горизонту. Конец балки В поддерживается
веревкой с грузом, перекинутой через блок С (рис. 85).
Определить массу груза и силы нормальной реакции пола
и наклонной плоскости. Трением в блоке пренебречь.
Дано: mi =100 кг; р = 30° = 0,52 рад.
ГП2 — f /Vi — f N2 ~
Решение. Рассмот-
Рассмотрим силы, действующие
на балку: m\g — сила
тяжести; Ni и N2 — си-
силы нормальной реакции
пола и наклонной плос-
плоскости; Т — сила натя-
натяжения веревки. Под
действием этих сил
балка находится в рав-
Рис 85
новесии. Напишем для балки первое условие равновесия:
mig+Ni + Na + T-O, A)
Направляя оси X и Y так, как указано на рисунке, и
проецируя на них уравнение A), получаем
jV2sinp-rcosp = 0, B)
— ntig + Ni + N2 cos p + T sin p = 0. C)
Запишем для балки второе условие равновесия относи-
относительно оси, проходящей через точку В:
М,-М2 = 0. D)
Здесь M\ = N\li, М2 = m\gl2 — моменты сил Ni и rti\g от-
относительно выбранной оси, где /i = Lcosa, /2 =
= (L/2)cosa—плечи сил N\ и m\g\\ L=\AB\ — длина
балки. Подставив выражения для М\ и М2 в уравнение
D), получим iViLcosa—m\g(L/2)cosa = 0, откуда
Из уравнений B) и C) найдем силу натяжения:
W E)
Из условия равновесия для груза получим T'=m2g,
причем Т'=ТУ откуда
m2 = —=-2-sinp; т2 = -272-кг = 25 кг.
Из уравнения B) с учетом выражения E) найдем
N2= 100-9
195. Однородный тонкий стержень О В лежит на двух
опорах D и С, расстояние между которыми а (рис. 86).
Коэффициент трения стержня об опоры \i, угол наклона
стержня к горизонту а, длина участка \СВ\ = Ь. Какова
должна быть длина стержня L, чтобы он находился в
равновесии?
Дано: \OB\ = L\ |DC| = a; \CB\ = b\ \i\ a.
L- ?
Решение. На стержень ОБ действуют: mg — сила тя-
тяжести; Ni и N2 — силы нормальной реакции опор D и С;
FTpi и FTp2—силы трения. Силы трения направлены вдоль
И2
стержня вверх, так как
стержень стремится со-
соскользнуть вниз. Напи-
Напишем для стержня пер-
первое условие равновесия:
+ FTp2 + N2 = 0
Направим оси I и У Рис- 86
так, как указано на
рисунке, и спроецируем на них уравнение A):
/>, + Frp2 — mg sin a= 0, B)
Ni — N2 — mg cos a= 0. C)
Принимая во внимание, что FTp^\xNy запишем уравне-
уравнения B) и C) в виде
\xN\ + \iN2 — mg sin a> 0, D)
Ni — N2 — mgcosa=0. E)
Напишем для стержня второе условие равновесия отно-
относительно оси, проходящей через точку С:
Mi —Л*2 = 0. F)
Здесь M\ = mgl\y M2=N\l2 — моменты сил mg и Ni от-
относительно выбранной оси, где li = (L/2 — b)cosa и
/2 = а — плечи сил mg и N. Подставим выражения для
Mi и Мг в уравнение F):
0. . G)
Из уравнений E) и G) найдем N\ = mgcoscx(L/2 — b)/at
N2= mgcosa(L/2 — b — а)/а. Учитывая это, из уравне-
уравнения D) можно найти длину стержня:
196. Лестница длиной 4 м приставлена к идеально
гладкой стене под углом 60° к горизонту. Коэффициент
трения между лестницей и полом 0,33. На какое расстоя-
расстояние вдоль лестницы может подняться человек, прежде
чем лестница начнет скользить? Массой лестницы пре-
пренебречь.
Дано: /=4м; a = 60° « 1,05 рад; ц = 0,33.
S —?
Решение. На лестницу действуют: F — сила давления
человека на лестницу; Ni и N2 — силы нормальной реак-
5—580 ИЗ
ции стены и пола; FTp — сила тре-
трения (рис. 87). Скольжение лест-
лестницы можно рассматривать как
совокупность двух движений: вра-
вращательного (около точки О) и
поступательного (в направлении
против оси X). Первое условие
равновесия лестницы имеет вид
Спроецируем полученное уравне-
Рис. 87 ние на оси X и Y:
Напишем второе условие равновесия лестницы отно-
относительно точки О:
М,-М2 = 0. B)
Здесь M\ = N\l\ и М2 = /7/2 — моменты сил N\ и F отно-
относительно выбранной оси, где /i = /sina и /2=Scosa —
плечи сил Л/i и F. Учитывая это, перепишем уравнение
B): AMsina— /7Scosa=0, откуда
^ AMsina N\l ,
^cosa F °
Из уравнений A) и закона для "сила трения /7тр=цЛг2
следует, что N\ = \iFy поэтому
S = ^/tga; S = 0,33-4-V3 (м) ^2,3 м.
197. На нити длиной 20 см висит шар радиусом 5 см,
опирающийся на вертикальную стенку. Нить касается
шара в точке С. Определить коэффициент трения шара
о стенку.
Дано: /=20 мм =0,2 м; /?=5см=0,05 м.
тд
Рис. 88
Решение. На шар действуют:
rag — сила тяжести; N — сила нор-
нормальной реакции стенки; Т — сила
натяжения нити; FTp — сила трения
(рис. 88). Напишем для шара пер-
первое условие равновесия:
114
Направляя оси ОХ и OY так, как указано на рисунке, и
проецируя на них уравнение A), получаем
N— Tsina=0, — mg + Т cos a+FTp = 0. B)
Запишем для шара второе условие равновесия относи-
относительно оси, проходящей через точку О:
-М1 + М2 = 0. C)
Здесь Mi = /rTp/i, М2=Г/2 — моменты сил FT? и Т отно-
относительно выбранной оси, где /1 = /2=/? — плечи сил. Учи-
Учитывая это, перепишем уравнение C):
— FTpR + TR = 0 или /чР = 7\ D)
Решая систему уравнений B) и D) с учетом того, что
/чр^М-iV, находим
. E)
Так как АС и АВ — касательные к окружности, прове-
проведенные из одной точки, то Z.OAC= a/2 и tga/2 = /?//.
Находя синус угла по формуле
окончательно получим
2.0,05-0,2 ~2Л6'
198. Два шара массами 3 и 5 кг скреплены стержнем,
масса которого 2 кг. Определить положение общего цент-
центра масс, если радиус первого шара 5 см, второго — 7 см,
длина стержня 30 см.
Дано: mi = 3 кг; ш2 = 5кг; т3 = 2кг; R{ — 5 см = 0,05 м;
#2 = 7 см = 0,07 м; / = 30 см = 0,3 м.
Решение. Так как центр
масс системы совпадает с цент-
центром тяжести, то найдем его
положение из условия равно-
равновесия системы в поле тяготе-
тяготения. Для этого закрепим систе-
систему на оси, проходящей через
центр тяжести С (рис. 89).
В этом случае достаточно рас-
Рис. 89
115
смотреть только условие равновесия си-
системы относительно указанной оси:
A)
Здесь
Т/77* 5"
mg
б)
Рис. 90
f, = mig/i, M2=m2gl2 и Мз =
— моменты сил m\g\, m2g2 и
относительно выбранной оси, где
h — x — плечи сил m\g, m2g и тз?;
х — расстояние от середины стержня до
центра тяжести (рис. 89). Учитывая это,
перепишем уравнение A): m\g(l/2-\- R\-\-
+х) — m2g(R2 —1/2 —х) + mzgx = 0, от-
откуда
ТП 2 R 2 — ftl\R\ — L\tTl2 — A72i)/2
Ш\ -j- /712 ~h fTl3
5 -0,07-3 -0,05 + 0,3E —3)/2
3 + 5 + 2
м.
199. Однородная плоская пластинка имеет форму
круга, из которого вырезан круг вдвое меньшего радиуса,
касающийся первого круга (рис. 90, а). Определить поло-
положение центра масс пластинки.
Дано: R.
Решение. Так как центр масс пластинки совпадает
с ее центром тяжести, то найдем положение центра тяже-
тяжести пластинки. Если вставить вырезанную часть пластин-
пластинки на прежнее место, то силу тяжести mg тела можно
представить как равнодействующую двух сил (рис.
90, б): силы тяжести m\g вырезанной части и силы тяже-
тяжести m2g оставшейся части (круг с отверстием). Пла-
Пластинка будет находиться в равновесии относительно оси,
проходящей через точку О. Запишем для полученной
системы второе условие равновесия относительно ука-
указанной оси:
— Mi+A*2 = 0. A)
Здесь M\ = m\gr и М2= m2gx — моменты сил тяжести
m\g и m2g относительно точки О, где г и х — плечи сил
тяжести m\g и m2g.
116
Учитывая это, перепишем уравнение A): —
откуда
B)
Массы однородных пластинок одинаковой толщины
равны:
т2 = т — гп\ = рл/г(/?2—г2),
где р — плотность материала пластинки; S — площадь
сечения всей пластинки; Si — площадь сечения выреза;
h — толщина пластинки. Учитывая это, перепишем урав-
уравнение B):
яр/1г2г г3
*-~ nph(R2-r2) ~~ Я2-г2 "
Используя условие задачи (г=/?/2), находим
Y_ ! _
*~ 8^J-/?2/4) ~ 6 '
Следовательно, центр масс расположен на расстоянии
/?/6 от центра пластинки.
200°. Зависимость потенциальной энергии от коорди-
координаты х задается в виде W(x) = — 5*2 + 4* —3. Найти
координату точки, соответствующей положению равно-
равновесия этой системы. Выяснить характер равновесия.
Дано: W{x) = — Ъх2 + 4х — 3.
х— ?
Решение. По определению, система находится в рав-
равновесии при выполнении условия
dx ~U*
Следовательно, находя первую производную по коорди-
координате х от выражения для потенциальной энергии
—(—5х2 + 4х — 3)= — Юл:+ 4 и приравнивая ее нулю,
получаем уравнение — 1 Од: + 4 — 0, откуда координата
точки, соответствующей положению равновесия системы,
л: = 0,4м. Для определения характера равновесия иссле-
исследуем знак второй производной:
Следовательно, равновесие системы неустойчивое.
117
201°. Потенциальная энергия тела массой 0,5 кг изме-
изменяется по закону W(x) = 6х2-\-4х — 2. Найти ускорение
тела при прохождении им положения равновесия.
Дано: m = 0,5 кг.
а— ?
Решение. По определению, работа (L4 равна изме-
изменению dW энергии тела:
Иначе:
dA = Fdx. B)
Приравнивая правые части выражений A) и B), полу-
получаем dW=Fdxy откуда
По второму закону Ньютона, a = F/m, или с учетом вы-
выражения C) а==~~~сЬГ* выполняя операцию дифферен-
дифференцирования, находим
a = — -A-Fx2 + 4x-2) = — A2*+ 4). D)
Координату тела в положении равновесия определяем из
условия 4г-=0> или -г-Fг2+4^—2) = 12х+4=0, отку-
QX QX
да х= —1/3 м. Подставляя х и т в выражение D), полу-
получаем
—ет{«-D)+«]-"¦
202. Почему длинным ключом гайку легче отвернуть,
чем коротким?
Отв. Чтобы повернуть гайку ключом, к нему нужно
приложить силу, момент которой должен быть равен или
больше момента силы трения, действующей между гай-
гайкой и винтом. Так как момент силы равен произведению
силы на плечо, то чем длиннее ключ, тем меньше может
быть приложенная к нему сила.
203. Какая из двух машин, груженная дровами или
сеном, легче опрокинется, если их массы одинаковы?
118
Отв. Легче опрокинется машина с сеном, так как ее
центр масс расположен выше, чем у машины с дровами.
Устойчивость тела тем больше, чем ниже его центр масс.
Упражнения
204. Стенной кран имеет длину подкоса ?С=4м,
длину тяги АС = 3 м и расстояние АВ = 1,5 м. Определить
силы, действующие на тягу АС и подкос ВС, если масса
поднимаемого груза 2 т. Какое действие производят эти
силы на тягу и подкос (рис. 91)?
У///////////^^^^^
Рис. 91
Рис. 92
205. Электрическая лампа массой 2 кг подвешена к
потолку на шнуре АВ, а затем оттянута к стене веревкой
ВС. Определить силы натяжения шнура и веревки, если
а=60° и р=135° (рис. 92).
206. Цилиндрический бак диаметром 20 см наполнен
водой и подвешен к шарниру А на невесомой штанге,
неподвижно скрепленной с баком (рис. 93). Вода выте-
Рис. 94
119
0,2 м
1
0,1м
0,05М
Рис. 95
кает из бокового отверстия
площадью 2 см2, просверлен-
просверленного в баке около его дна, со
скоростью 4,43 м/с. На какой
угол от вертикали отклонился
бак? Высота бака 1 м. Массой
бака и понижением уровня во-
воды в нем вследствие вытекания
пренебречь; считать угол откло-
отклонения малым.
207. Однородный стержень АВ прикреплен к верти-
вертикальной стене посредством шарнира А и удерживается
под углом 60° к вертикали с помощью веревки ВС, обра-
образующей с ним угол 30° (рис. 94). Определить силу нор-
нормальной реакции шарнира, если известно, что масса
стержня 2 кг.
208. Балка длиной 10 м лежит на двух опорах. На
расстоянии 2 м от левого конца балки лежит груз массой
5 т. Определить силы давления балки на опоры, если ее
масса 10 т.
209. Масса трамбовочного катка 100 кг, радиус 0,5 м.
Какую минимальную силу нужно приложить к катку, что-
чтобы перекатить его через балку высотой 10 см?
210. На стержень действуют две параллельные силы
10 и 25 Н, направленные в противоположные стороны.
Точки приложения сил расположены на расстоянии 1,5 м
друг от друга. Определить равнодействующую сил и точ-
точку ее приложения.
211. Найти положение центра масс однородной пла-
пластинки, размеры и форма которой указаны на рис. 95.
212. Шар массой 10 кг лежит на двух одинаковых
наклонных плоскостях, образующих с горизонтом углы
45°. Определить силу давления шара на плоскости.
Вопросы для повторения
1. Что называется равновесием
тела? 2. Перечислите виды рав-
равновесия тел. 3. Сформулируйте
условие равновесия материаль-
материальной точки. 4. Что называют мо-
моментом силы? 5. Как найти на-
направление вектора момента си-
силы? 6. Что называется плечом
силы? 7. Сформулируйте усло-
условие равновесия тела относи-
относительно неподвижной оси враще-
вращения. 8. Сформулируйте условия
равновесия тела в общем слу-
случае. 9. Что называется центром
масс системы тел и как рассчи-
рассчитать его положение в прост-
пространстве? 10. Что называется
центром масс тела? 11. Как най-
найти положение центра масс тела
произвольной формы?
120
§ 5. СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
Давлением р называется величина
где F — сила, действующая на поверхность площади 5,
расположенную перпендикулярно этой силе.
Давление столба однородной жидкости на глубине h
(гидростатическое давление)
где р — плотность жидкости.
Жидкость (газ) передает производимое на ее поверх-
поверхность давление по всем направлениям одинаково (закон
Паскаля).
Из закона Паскаля следует, что при равновесии одно-
однородной жидкости в сообщающихся сосудах давление на
поверхности одного уровня в этих сосудах одинаково.
На тело, погруженное в жидкость (газ), действует
выталкивающая сила, численно равная силе тяжести
жидкости (газа), вытесненной погруженной частью этого
тела и приложенная в центре тяжести вытесненного
объема (закон Архимеда). Из закона Архимеда следует
условие плавания тел: если выталкивающая сила числен-
численно равна силе тяжести тела, погруженного в жидкость
(газ), то тело плавает в жидкости (газе).
213. В цилиндрический сосуд налиты равные массы
ртути и воды. Общая высота двух слоев жидкостей
29,2 см. Определить давление жидкостей на дно сосуда
(рис. 96).
Дано: h = 29,2 см = 0,292 м; mx = m2.
р-?
Решение. Полное давление
жидкостей на дно сосуда
A)
Здесь р\= p\gh\ — давление рту-
ртути на дно сосуда; р> = p2gh2 —
давление воды на дно сосуда, где
pi и р2 — плотности ртути и воды
соответственно. Подставим эти
выражения в уравнение A):
Рис. 96
121
•с?
А Ч
причем
B)
C)
По условию задачи, массы стол-
в бов жидкостей одинаковы; следо-
следовательно, ГП\ = ГП2> ИЛИ p[k\S =
= P2U2S, откуда
Р 1 All = p2^l2, D)
где S — площадь основания сосуда. Из C) и D) найдем
Al = ftp2/(pl+P2), Й2= Apl(pi+P2). E)
Подставим выражения E) в B):
рфгЛ \ 2p\p2gh
р=.
I + Р2 Pi +P2
pi +Р2 '
2-13,6-103-103 -9,8-0,292 о со о
Р = 13,б.юЧю^ Па«5,ЗкПа.
214. В два колена U-образной трубки налиты вода и
масло, разделенные ртутью (рис. 97). Поверхности раз-
раздела ртути и жидкостей в обоих коленах находятся
на одной высоте. Определить высоту столба воды, если
высота столба масла 20 см.
Дано: /г2 = 20 см = 0,2 м
Решение. Согласно закону Паскаля, давление в обоих
коленах трубки на уровне АВ (поверхность раздела рту-
ртути и жидкостей) одинаково:
Р\ = р2. A)
Здесь pi = plghl и р2 = p2gh —
давления в левом и правом ко-
коленах соответственно на уров-
уровне АВ\ pi и р2 — плотности
воды и масла. Подставляя эти
выражения в равенство A),
получаем p\gh{ = p2gh2, откуда
Рис. 98
pi
0,9-103-0,2
Го3
м = 0э18 м.
122
215. К малому поршню гидравлического пресса при-
приложена сила 196 Н, под действием которой за один ход
он опускается на 25 см, вследствие чего большой пор-
поршень поднимается на 5 мм (рис. 98). Какая сила давле-
давления передается при этом на большой поршень?
Дано: Л1 = 25см = 0,25м; /i2 = 5 см = 0,05 м; Fj=196H.
F2-?
Решение. По закону Паскаля, pl=p2y где pl = F\/S\ —
давление малого поршня площадью 5 на жидкость; р2 =
= F2/S2 — давление жидкости на большой поршень пло-
площадью S2. Переписывая закон Паскаля в виде Fi/S\ =
= /r2/S2, находим
F2 = F{S2/Sl. A)
Поскольку жидкость несжимаема, объем жидкости, пере-
перешедшей из одного колена в другое, одинаков: Vi = V2,
или Sift1 = S2/*2, откуда
S2/S, = /iI//i2. B)
Подставляя отношение B) в выражение A), получаем
216. Какова должна быть высота цилиндрического
сосуда радиусом 5 см, заполненного водой, чтобы сила
давления воды на дно сосуда была равна силе ее давле-
давления на боковую поверхность?
Дано: R = 5 см = 0,05 м.
h— ?
Решение. По определению, сила давления на дно
сосуда
F = pS. A)
Так как давление на дно сосуда p = pgh (p — плотность
воды, h — высота сосуда, S = nR2 — площадь дна сосу-
сосуда), то выражение A) примет вид F=pghnR2.
Аналогично, сила давления на боковую поверхность
сосуда
где <р> =р/2 — среднее давление воды на боковую по-
поверхность сосуда; S6OK — площадь боковой поверхности
123
Рис. 99
217. Динамокгетр, к которо-
которому подвешен кусок сплава, со-
состоящего из меди и серебра,
показывает в воздухе 2,41 Н,
в воде 2,71 Н. Определить
массу меди и серебра в этом куске. Выталкивающей си-
силой воздуха пренебречь.
откуда mg=T\y m = T\/g. При взвешивании в воде на
кусок металла действуют: mg — сила тяжести; Т2 — сила
натяжения пружины; F — выталкивающая сила воды
(рис. 99,6). Запишем условие равновесия тела в воде:
Решение. При взвешивании в воздухе на кусок метал-
металла действуют: mg — сила тяжести; Ti — сила натяжения
пружины (рис. 99, а). Запишем условие равновесия тела
в проекциях на выбранную ось Y:
рм и рс — плотности меди и серебра Решим совместно
уравнения B)—D):
\
mc =
+
Р Р
10,5-103-8,9-103 / 2,17 — 2,41
/ 2,17 — 2,41 2,41 \
,8 \ Ю3" *~ 8,9-103/
A0,5.103-8,9-103)9,8
^0,210 кг.
Учитывая, что т=Т\/g, из уравнения C) находим
mM = B,41/9,8 — 0,210) кг=0,035б кг.
218. Полый железный шар взвешивают в воздухе и
керосине. Показания динамометра соответственно равны
2,59 и 2,16 Н. Определить объем внутренней полости
шара. Выталкивающей силой воздуха пренебречь.
Дано: Г, = 2,59 Н; Г2=2,16 Н.
Решение. При взвешивании в воздухе на шар дей-
действуют: mg — сила тяжести; Ti — сила натяжения пру-
пружины (рис. 99, а). Запишем условие равновесия тела в
проекциях на ось Y:
откуда mg = Ти или m = T\/g. При взвешивании в кероси-
керосине на шар действуют: mg — сила тяжести; Т2 — сила
натяжения пружины; F — выталкивающая сила керосина
(рис. 99, б). Запишем условие равновесия шара в керо-
керосине в проекциях на ось У:
2 + F = 0. A)
Учитывая, что mg= T\y F = pKgV (V — объем шара; рк —
плотность керосина), преобразуем уравнение A):
Т2—Т\ +ркЯ^/з== 0- B)
Объем полости Vn=V— 1/ж, где Уж — т\/рж — объем,
занимаемый железом. Следовательно, Vn=V — т/рж.
Так как т= T\/g, то
Решая совместно уравнения B) и C), получаем
125
У,
zzEz {
^
T
z~z_zn
щ
Рис. 100
( 2,59
\ 0,8-
2,59-2,16
2,59
103.9,8 7,8-10
\ 3
.9,8/ M W
219. Однородное тело плавает
на поверхности керосина так, что
объем погруженной части составля-
составляет 0,92 всего объема тела. Опреде-
Определить объем погруженной части при
плавании тела на поверхности воды.
Дано: Vn = 0,92V.
Решение. Обозначим: V — объем всего тела; Vn —
объем погруженной части тела, плавающего в керосине;
Vn — объем погруженной части тела, плавающего в воде.
На тело, плавающее в керосине, действуют: rag — сила
тяжести; F= — pKVng — выталкивающая сила керосина
(рис. 100). Из условия плавания следует, что mg = F,
или
где рк — плотность керосина.
Аналогично запишем условие плавания тела в воде:
B)
=F*, или mg=
где рв — плотность воды.
Из уравнений A) и B) получим рк-0,92К^= p*V'ng,
откуда
220. Тонкая деревянная палочка длиной 20 см закреп-
закреплена шарнирно на одном конце и опущена свободным
концом в воду. Какая часть длины палочки будет нахо-
находиться в воде при равновесии?
Дано: L = 20 см = 0,2 м.
Решение. На палочку, погруженную в воду, действу-
действуют: mg — сила тяжести; F — выталкивающая сила воды;
N — сила нормальной реакции шарнира (рис. 101). При-
126
Рис> т
меняя к палочке условие
равновесия тела, имеюще-
имеющего ось вращения, имеем
Здесь Afi = /r/i и М2 =
= mgl2 — моменты сил F '_
и mg относительно оси,
проходящей через точку О;
/i = (L — //2)coscc и 12 =
= (L/2)cosa — плечи сил
F и mg.
Подставив выражения для М\ к М2 ъ уравнение A),
получим
F{L —1/2) cos a- mg(L/2) cos a= 0. B)
Учитывая, что F = pBgSl и mg = pAgSL (S — площадь
поперечного сечения палочки), запишем уравнение B)
в виде
C)
= 0i откуда
Решая уравнение C), находим
Так как длина погруженной части не превосходит длины
палочки, то
/=Ц1-У1-рд/р.);
/=0,2A -Vb-0f8103/103)M« 0,11 м.
221. Что труднее удержать в воде: кирпич или кусок
железа, если они имеют одинаковые массы?
Отв. Кусок железа удержать в воде труднее.
222. Одинаковая ли выталкивающая сила действует
на тело, если его погружать в жидкость на разную
глубину?
Отв. Так как жидкость практически несжимаема, то
ее плотность на разных глубинах одинакова. Следова-
Следовательно, выталкивающая сила на разных глубинах будет
также одинакова.
223. В пресной или морской воде осадка судна
больше?
Отв. Осадка судна в морской воде меньше, чем в
пресной, так как плотность морской воды больше, чем
пресной.
127
Упражнения
224. Какая сила давления может быть получена на
гидравлическом прессе, если к длинному плечу рычага,
передающего давление на малый поршень, приложена
сила 100 Н, отношение плеч рычага 1:9, а площади
поршней пресса соответственно равны 5 и 500 см2?
КПД пресса 0,8.
225. Барометрическая трубка наклонена под углом
30° к горизонту. Какова длина ртутного столба в ней
при нормальном атмосферном давлении?
226. На какой глубине в пресной воде давление в три
раза больше атмосферного, равного 1,017 -105 Па?
227. В две сообщающиеся трубки с разной площадью
сечения налита ртуть. Затем в более широкую трубку с
площадью сечения 8 см2 налито 272 г воды. На сколько
выше будет уровень ртути в узкой трубке?
228. Слиток из золота и серебра взвешивают в воз-
воздухе и в воде. Показания динамометра соответственно
равны 3 и 2,756 Н. Определить массу золота и серебра в
слитке.
229. Кусок дерева плавает в воде, погружаясь на
3/4 своего объема. Какова плотность этого дерева?
230. Полый медный шар объемом 44,5 см3 плавает в
воде, погружаясь в нее до половины. Определить объем
полости шара.
231. Однородная палочка шарнирно укреплена за
верхний конец, ее нижний конец спущен в воду. Палочка
находится в равновесии, когда в воду погружена ее
половина. Найти плотность материала палочки.
Вопросы для повторения
1. Что называется давлением и
силой давления? Назовите еди-
единицу давления в СИ. 2. Сфор-
Сформулируйте закон Паскаля. 3.
Чему равно давление жидко-
жидкости на некоторой глубине h?
4. Как рассчитать силу давления
на дно и стенки сосуда? 5.
Сформулируйте законы сооб-
сообщающихся сосудов для одно-
однородной и разнородной жидко-
жидкостей. 6. Объясните принцип
действия гидравлического прес-
пресса. 7. Что такое выталкивающая
сила? 8. Сформулируйте закон
Архимеда. 9. Назовите условия
плавания тел. 10. Что называют
подъемной силой?
ГЛАВА II
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МОЛЕКУЛЯРНО-
КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Теплота и работа
Все вещества состоят из атомов и молекул. Для из-
измерения количества вещества вводится единица — моль.
В моле любого вещества содержится одинаковое число
молекул jVa = 6,02- 1023 моль (постоянная Авогадро).
Все молекулы находятся в непрерывном хаотическом
движении, которое называется тепловым.
Сумма кинетической энергии хаотического движения
всех молекул тела W* и потенциальной энергии их взаи-
взаимодействия Wn называется внутренней энергией тела U:
U=WK+Wn.
Для идеального газа потенциальной энергией молекул
пренебрегают, поэтому его внутренняя энергия зависит
только от температуры:
Здесь с — удельная теплоемкость газа при постоянном
объеме; m — масса газа; Т — термодинамическая темпе-
температура газа, К; Г = 273 + ^, где t — температура газа,
в °С.
Молекулы газа обладают средней кинетической энер-
энергией поступательного движения
где т0— масса одной молекулы; иСк = У(v2) —средняя
квадратичная скорость поступательного движения мо-
молекул.
Согласно молекулярно-кинетической теории, эта энер-
энергия связана с термодинамической температурой соотно-
соотношением
где k = R/N\ — постоянная Больцмана.
129
Изменение внутренней энергии тела может происхо-
происходить в результате двух процессов: теплообмена и превра-
превращения механической энергии во внутреннюю энергию
тела.
Для любых процессов, в которых участвует тело,
выполняется закон сохранения энергии (первое начало
термодинамики): количество теплоты, сообщенное телу,
идет на изменение внутренней энергии тела и на совер-
совершение телом работы над внешней средой:
A)
При этом считают:
Q>0, если тело получает некоторое количество теп-
теплоты;
Q<C0, если тело отдает некоторое количество теплоты;
Л>0, если тело совершает работу;
Л<0, если работа совершается над телом.
Рассмотрим два частных случая изменения внутрен-
внутренней энергии.
1. Изменение внутренней энергии при теплообмене
(без совершения механической работы). В этом случае
уравнение A) принимает вид
Q = AU. B)
Изменение внутренней энергии AU можно подсчитать
из следующих соотношений:
AU = cmAT C)
при нагревании или охлаждении;
AU = Xm D)
при плавлении или отвердевании;
AU = rm E)
при парообразовании или конденсации;
AU = qm F)
при сгорании вещества. Здесь с — удельная теплоем-
теплоемкость тела; А, — удельная теплота плавления; г — удель-
удельная теплота парообразования; q — удельная теплота сго-
сгорания; т — масса тела; AT — изменение температуры,
Д7=в—Гнач, где в — конечная, Гнач — начальная темпе-
температура тела. При отвердевании или конденсации в фор-
130
мулах D) и E) необходимо считать Д?/<0. В общем
случае уравнение B) имеет вид
i G)
Если в теплообмене участвует несколько тел, то алге-
алгебраическая сумма количества теплоты, отданного .телами,
внутренняя энергия которых уменьшается, и количества
теплоты, полученного телами, внутренняя энергия кото-
которых увеличивается, для изолированной системы тел рав-
равна нулю. Это положение называется уравнением теплово-
теплового баланса
п п
2ц ^с' отд ~Т~ ^j Wj получ == 0, (8)
1=1 /=1
где Qota и <ЗполУч подсчитываются по уравнению G).
2. Изменение внутренней энергии при совершении
телом механической работы (без теплообмена с окру-
окружающей средой). В этом случае уравнение A) принима-
принимает вид
откуда
MJ=-A. (9)
Механическая работа Л может быть подсчитана из
известных соотношений.
** При наличии теплопотерь различают количество теплоты Qn,
идущее на изменение внутренней энергии тела (полезное количество
теплоты), и полное количество теплоты Q3 (с учетом теплопотерь)
В этом случае вводят понятие коэффициента полезного действия г\
232. Найти массу одной молекулы водорода.
Дано: М = 2-1СГ3 кг/моль
Решение. Если взять 1 моль водорода, молярная мас-
масса которого М = 2-10~3 кг/моль, то, по определению,
в нем будет содержаться число молекул Л/а =
131
X 1023 моль. Следовательно, масса одной молекулы
водорода
233. Сколько молекул воды содержится в капле мас-
массой 0,2 г?
Дано: т = 0,2 г=0,2.10 кг; М=18-1(Г3 кг/моль.
Решение. В капле массой т содержится число молей,
равное
v = т/М.
Так как в моле содержится Na молекул, то в v молях
воды содержится Nav молекул. Следовательно,
N = ^Na; ^ = ^|^11.6,02 • 1023 ^ 6,7 • 1021.
234. Определить среднюю квадратичную скоррсть
молекул кислорода при 20°С. При какой температуре
эта скорость равна 500 м/с?
Дано: Л = 293 К, о2с к = 500 м/с
Решение. По определению, средняя кинетическая
энергия одной молекулы газа
ЯГк1 = |/2т0<о?>, @
где то — масса одной молекулы; uiCk = У(и?> — средняя
квадратичная скорость. Иначе, согласно молекулярно-
кинетической теории, средняя кинетическая энергия по-
поступательного движения одной молекулы газа задается
выражением
W^=3/2kTl. B)
Приравнивая правые части выражений A) и B), полу-
получаем 1/2ГП0 (v2\) =3/2kT\, откуда
Так как fe = /?//VA, то выражение C) можно записать
в виде v\cK = ^l3RTi/\moNA), или, учитывая, что
= Му получим
132
32-10~3
м/с.
Аиалогично, V2ck = -^3RT2/M, откуда
т vl*M . г 5002.32.10-3 у
235. Какое количество теплоты нужно сообщить 2 кг
льда, взятого при — 10°С, чтобы лед расплавить, а полу-
полученную воду нагреть до 100°С и выпарить?
Дано: т = 2 кг; Г, = 263 К; Г2 = 373 К.
Q-?
Решение. Изменение внутренней энергии льда равно:
АЦ=Слт(Г„л-7) A)
при его нагревании до температуры плавления;
bU2=Xm B)
при плавлении льда;
Д?/3=свт(Гк-Гпл) C)
при нагревании получившейся воды до температуры ки-
кипения;
At/4=rm D)
при испарении воды.
Тогда полное количество теплоты, которое нужно
сообщить телу,
Q = M!i+Ml2 + MJ3 + bU*. E)
Подставив выражения A) —D) в E), получим
Q = 2[ 2, Ы 03B73 — 263) + 3,35 • 105 + 4,19 • 103 X
X C73 - 273) + 22,6.105] Дж « 61 МДж.
236. В латунный калориметр массой 128 г, содержа-
содержащий 240 г воды при 8,4°С, опущено металлическое тело
массой 192 г, нагретое до 100°С. Окончательная темпера-
температура, установившаяся в калориметре, 21,5°С. Опреде-
Определить удельную теплоемкость испытуемого тела.
Дано: т,= 128 г = 0,128 кг; т2 = 240 г = 0,24 кг; Г, = Т2 = 281,4 К;
т3= 192 г = 0,192 кг; Г3=373К; в = 294,5 К.
съ- ?
133
Решение. В теплообмене участвуют три тела: кало-
калориметр, вода и металл, причем металл отдает количество
теплоты, а вода и калориметр получают. Составим урав-
уравнение теплового баланса:
Oi + Q2 + Q3 = 0, A)
где Qi=A(/|=Cim,(e-;Ti), Q2 = Д[/2 = с2т2@- Г,) —
количества теплоты, полученные калориметром и водой
соответственно; Q3 = Ai/з = СзтзF — Т$) — количество
теплоты, отданное телом. Подставим эти выражения в
уравнение A): C\m\(h-— 7*1)
— Тг) = 0, откуда
_ (dmi +С2/П2) (в — ГО
63"" тз(Гз-в)
@,38» 103• 0Л28-Ь4,19> 103>0,24) B94,5-281,4) Дж _
3~" 0,192C73-294,5) кг-К ~
«9,2-102 Дж/(кг.К).
237. В латунном калориметре массой 100 г находится
5 г льда при —10°С. В калориметр вливают 30 г рас-
расплавленного свинца при температуре плавления. Что
будет находиться в калориметре после теплообмена и
какая в нем установится температура? Потерями теплоты
на испарение пренебречь.
2 = 263 К; т3=30 г =
т — ? 0 — ?
Решение. Уравнение теплового баланса для задач
такого типа сразу составить нельзя, так как неизвестен
результат процесса теплообмена. Чтобы его установить,
проведем анализ процесса.
Теплообмен в системе происходит между тремя тела-
телами: калориметр и лед получают, а свинец отдает количе-
количества теплоты Q\, Q2 и Q3 соответственно. При этом,
конечно, справедливо уравнение теплового баланса
Qi + Q2 + Q3 = 0. A)
После окончания процесса в системе установится неко-
некоторая температура. Ее значение в принадлежит интер-
интервалу температур: Гг<в<ГПлз, где Г 2— начальная тем-
температура льда и калориметра, Гплз — начальная темпе-
температура (температура плавления) свинца. Такая неопре-
неопределенность конечной температуры вызвана тем, что в
134
системе при теплообмене могут происходить фазовые
переходы льда и свинца. Поэтому поступим так: произ-
произвольно выберем значение конечной температуры в,
затем рассчитаем для этой температуры значения Qi,
Q2 и Q3, после чего проверим тождественность выполне-
выполнения уравнения теплового баланса A). Если оно выпол-
выполняться не будет, то по значению его левой части мы
сделаем окончательные предположения о результате
процесса теплообмена. Итак, допустим, что 6=ГПЛ2, где
Тпл2 — температура плавления льда, т.е. мы считаем,
что теплообмен проходил так: свинец полностью отвердел
и охладился, а калориметр и лед нагрелись до темпера-
температуры ГПл2 = 273 К. Допустим также, что лед не плавился.
Теперь рассчитаем Qi, Q2 и Q3:
Q\ = Cxm\{Tnn2—T2)\ Qi = 0,38.103.0,iX
X B73 — 263) Дж = 380 Дж;
Q2 = c2m2{Тпл 2 — Т2)\ Q2 = 2,ЫО3 • 5 • 10 X
X B73-263) Дж= 105 Дж;
Q3= — Х3тз + с3тз(Гпл2 —Гплз); Q3 = —3.10Х
X @,25 • 105 + 0,13 • 103 • F00 - 273)) Дж « —2025 Дж.
Найдем сумму: Q, + Q2+Q3=C80+105-2025) Дж =
= — 1540Дж. Видим, что при сделанных предположе-
предположениях уравнение теплового баланса не выполняется. Так
как его левая часть отрицательна, то допустим, что ко-
конечная температура по-прежнему 6= Г™ 2, но при этом
расплавилась часть льда массой т, т. е. лед получил
количество теплоты Q2 + km. Подставим теперь уточнен-
уточненное значение количества теплоты, полученного льдом,
в уравнение A) и найдем из него массу воды (распла-
(расплавившегося льда):
т= 1540/C,35-105) кг = 4,6-10~3 кг.
Так как масса получившейся воды не больше, чем на-
начальная масса льда, то наши последние предположения
о результате теплообмена верны.
Таким образом, установившаяся температура 273 К,
в калориметре находится лед массой 4х-10 кг, вода
массой 4,6«10~3кг и твердый свинец массой 3«10~кг.
238. Найти массу воды, превратившейся в пар, если
в сосуд, содержащий 1кг воды при 20°С, влить 10 кг
расплавленного свинца при температуре плавления.
135
Сосуд латунный, его масса 0,5 кг. Потерями тейлоты
пренебречь.
Дано: mi=l кг; Г, = Г2 = 293 К; т3=10кг; т2=0,5кг.
Решение. Хотя нам не известен результат процесса
теплообмена, мы допустим, что конечная температура тел
установилась равной температуре кипения воды: в =
= Тк\ (см. решение задачи 237), т.е. теплообмен про-
протекал так: вода и калориметр, получив количества теп-
теплоты Q\ и Q2 соответственно, нагрелись, а свинец, отдав
количество теплоты Q3, отвердел и охладился до темпе-
температуры в = 373 К. Допустим также, что часть воды мас-
массой m перешла в пар. При этих предположениях для
значения массы образовавшегося пара выполняется
условие
0<m<mi. A)
Составим теперь уравнение теплового баланса для такого
результата процесса теплообмена:
Qi + Q2 + Q3 = 0, B)
где
e— ГО + rim, C)
e- Г,), D)
Q3 = — \ътг + с3т3(в — 7"Плз). E)
Из системы уравнений B) — E) находим массу испа-
испарившейся воды:
_ тз[Хз + Сз{Тпл3 - в)] - (mici + ГП2С2) (в - Тх)
__ 10[0,25-10s -f 0,13-103F00 —373)]
Ш - 22ДГГО^ КГ ~
A.4,19-103 + 0,5-0,38- 103) C73 - 293)
22,6-Ю5
КГ
Так как полученное значение массы удовлетворяет усло-
условию A), то наши предположения о результате теплооб-
теплообмена верны.
239. В сосуде, теплоемкость которого 0,63 кДж/К,
находится 0,5 л воды и 250 г льда при 0°С. Какая устано-
установится температура после впуска в воду 90 г водяного пара
при температуре 100°С?
136
Дано: С, = 0,63 кДж/К = 0.63-103 Дж/К, V2 = 0,5 л = 5-10~4 м3;
т3 = 250 г =0,25 кг; т4 = 90 г = 0,09 кг; Тал3 = 273 К;
Тк з=373 К.
в — ?
Решение. Как и в предыдущих задачах B37, 238),
результат процесса теплообмена нам не известен. Поэ-
Поэтому допустим, что все тела после окончания теплообме-
теплообмена имеют температуру в, большую температуры плавле-
плавления льда, но меньшую температуры кипения воды. При
этом калориметр нагрелся, получив количество теплоты
вода массой т2 = р21/2 нагрелась, получив количество
теплоты
Q2 = c2m2(e - Гплз) = с2р2К2(® - Гплз); B)
лед расплавился и получившаяся вода нагрелась, взяв
количество теплоты
<2з = Х3т3 + с2т3(в - Гплз); C)
пар сконденсировался, а образовавшаяся вода охлади-
охладилась, отдав количество теплоты
Q4 = — Г4/П4 + с2тА(® — Гкз). D)
Составим теперь уравнение теплового баланса:
Qi + Q2+Q3+Q4 = 0. E)
Подставив в него выражения для Q\ — Q4, получим
С,(в - Г„лз) + С2р2К2(в - Гплз) + АзШз +
+ с2пгз{8 — Гплз) — АЧт4 + с2т4F — Ткз) = 0,
откуда установившаяся температура
Ф т4г4 + ^i Т'плз — ^з^з 4- с2[ гп4Тк3 4- (Р2^2 + тз)Тпл3] %
Ci 4- c2{p2V2 4- m\ 4- /лз) '
_ 0,09-22,6» 105 4- 0,63-103-273 — 0,25-3,35-105
~~ 0,63-103 4- 4,19-10"A03-5-10~4 4- 0,09 4- 0,25) ^ ¦"
+ 0,63-1034-4,19-103A03-5-10-44-0,094-0,25) ^^^ 1Ч*
Поскольку 273К<311 К<373 К, наши предположения о
результате теплообмена верны.
240. В сосуде, из которого быстро выкачивают воз-
воздух, находится вода при 0°С. Из-за интенсивного испа-
137
рения происходит постепенное замораживание воды.
Какая часть первоначального количества воды может
быть превращена таким образом в лед?
Дано: Т = 273 К.
тп\/т —?
Решение. Обозначим т — первоначальная масса
воды; т\у Ш2 — массы воды, превращающиеся в лед и
пар соответственно. Необходимое для образования пара
количество теплоты здесь может быть получено только в
результате того, что при замерзании воды выделяется
теплота. В этом случае уравнение теплого баланса при-
примет вид
Здесь Qi = A(/i = — miX — количество теплоты, выде-
выделенное при замерзании воды; Q2 = А(Уг= гпгг — коли-
количество теплоты, затраченное на испарение воды, где
X — удельная теплота плавления льда, г — удельная
теплота парообразования воды. Подставляя эти выраже-
выражения в уравнение теплового баланса, находим mik= т,2Гу
откуда п%2 = гп\Х/г. Так как при теплообмене масса воды
не меняется, то т= т\ + т2 или m=mi
откуда
mi г т{ 22,6- 105 А о~
=и&1
m \ + r * т 3,35 • 105 + 22,6-105 '
241. При изготовлении льда в комнатном холодиль-
холодильнике температура воды за 5 мин понизилась с 16 до 12°С
и еще через 1 ч 55 мин вода превратилась в лед. Найти
удельную теплоту плавления льда.
Дано: Л/, = 5 мин =0,3-103 с; Г, = 289 К;
Т2 = 285 К; т = 1 ч 55 мин = 6,9- 103с.
Я,—?
Решение. Холодильник получает количество теплоты
от воды при ее охлаждении и отвердевании и с помощью
специального устройства передает его внешней среде.
Поэтому температура в камере холодильника остается
постоянной. Значит, можно считать, что скорость изме-
изменения внутренней энергии воды также постоянна:
Д(У//= k = const. A)
138
Так как внутренняя энергия воды за время t = Atx -\-т
изменилась на Д?/ = ст(Тщ, — 7"i) — km, то учитывая
эти выражнения, из уравнения A) получим
пг[с(Гпл - Тх) - X] I (Д/, + т) = к. B)
Так как за время Ati температура воды уменьшилась, то
внутренняя энергия изменилась на &Ux = cm(T2—Tx).
Учитывая это, из уравнения A) получаем
= k. C)
Подставляя C) в B), окончательно находим
к = 4,19 • 103 [ 273 - 289 - B85 - 289) X
X @,3-103 + 6,9-103)/@,3.103I Дж/кг «
«3,35-105 Дж/кг.
242. Раскаленный алюминиевый куб, положенный на
лед, температура которого —20°С, полностью в него по-
погрузился. Определить начальную температуру куба. Из-
Изменением объема куба при его охлаждении пренебречь.
Дано: Т\ = 253 К.
Г2-?
Решение. Чтобы алюминиевый куб полностью погру-
погрузился в лед, достаточно расплавить лед в объеме куба.
Поэтому будем считать, что в теплообмене участвуют
только куб и лед того же объема. Составим теперь урав-
уравнение теплового баланса:
Qi+ Q2 + Q3 = 0, (l)
где Q\ — количество теплоты, полученное льдом при его
нагревании до температуры плавления; Q2 — количество
теплоты, полученное льдом при его плавлении; Q3 — ко-
количество теплоты, отданное кубом при его охлаждении до
температуры плавления льда. Учитывая, что
Q,= с\Ш\{Тпл — Т\), <?2 = кгпх, (?з = с2т2(Гпл — Т2), преоб-
преобразуем уравнение A):
пл — Т\) + кгпх = с2т2(Г2 — Тал). B)
Поскольку mx = pxV и т2=р2У (V — объем куба),
уравнение B) примет вид
139
откуда
т
С2Р2
г _ 2,1¦103-0,9-103B73- 253) + 3,3-1O5.Q,9.103 „
2~" 0,88- Ю3.2,7- 10J ^"^
+ 273 К ^ 414 К.
243. При выстреле вертикально вверх свинцовая пуля
достигла высоты 1200 м. При падении, ударившись о
землю, она нагрелась. Считая, что 50% механической
энергии пули пошло на ее нагревание, рассчитать, на
сколько повысится ее температура. Сопротивлением
воздуха пренебречь.
Дано: h = 1,2-10s м; г\ = 50% или г\ = 0,5.
ДГ-?
Решение. Используем соотношение
где Д(/ = стА7' — изменение внутренней энергии пули
при ее нагревании на ДГ; А = W — Wo = — mg/i — рабо-
работа сил при неупругом ударе пули о землю. Тогда сшАТ =
= T}mg/i, откуда
дт __
АУ —
R 45 к
244. При какой скорости свинцовая пуля, ударившись
о преграду, плавится? Температура пули до удара 100°С.
При ударе 60% механической энергии пули превращает-
превращается во внутреннюю энергию.
Дано: Т = 373 К; г\ == 60% или х\ = 0,6.
v — ?
Решение. Используем соотношение
2Д?/=— тИ. A)
Здесь 2Д?У = тХ + ст(Тпл — Т) — изменение внутренней
энергии пули при ее плавлении и нагревании до темпера-
температуры плавления; А = W — Wo = — mv2/2 — работа сил
при неупругом ударе пули о преграду, где Тпл — темпе-
температура плавления свинца. Учитывая эти выражения,
140
перепишем уравнение A): ст{Тпл — T)-\-mX = r\mu2/2t
откуда
V
_ / 2[0,13.
V
— Г) -f
л
103F00
-X]
У
— 373) + 0
0 6
i,25-105)
M
с
245. Сани массой 6 кг скатываются с горы, образую-
образующей с горизонтом угол 30°. Пройдя ио склону горы 50 м,
сани достигают скорости 4,5 м/с. Определить количество
теплоты, выделенное при трении полозьев о снег
(рис. 102).
Дано: m = б кг; а = 30° « 0,52рад; / = 50 м; v = 4,5 м/с.
Q-?
Решение. Рассмотрим изолированную систему тел,
состоящую из полозьев санок и ледяной поверхности го-
горы. Используем соотношение
= -Л,
A)
где А= W — Wo — работа сил трения полозьев о лед;
W = mu2/2 -\- mgh — полная механическая энергия са-
саней в конце движения; Wo=mgH—полная механиче-
механическая энергия саней в начале движения. Учитывая вы-
выражения для Л, W, Wo, перепишем уравнение A):
AU = - {mv2/2 + mgh - mgH) = mg{H - A) —
— mu2/2 = m(gl sin a — v2/2).
Тогда
AU = 6(9,7-50-0,5 — 4,52) Дж»1,4 кДж.
Так как изменение внутренней энергии взаимодействую-
взаимодействующих тел измеряется количеством теплоты, то количество
теплоты, выделенное
при трении полозьев
о снег, должно быть
равно изменению
внутренней энергии
этих тел: Q = AU ж
« 1,4 кДж.
246. При нагре-
нагревании на спиртовке
141
Рис. 102
300 г воды от 18 до 68°С было сожжено 7 г спирта.
Найти КПД спиртовки.
Дано: mi = 300 г = 0,3 кг; Г, = 291К; Т2 =341 К; т2 = 7 г =
3
Решение. По определению,
| A)
Здесь Qn = 2At/i = C\tn\{T2 — 7^) — количество теплоты,
идущее на изменение внутренней энергии воды; Q3 =
= Л U2 — Цтпч — количество теплоты, выделяющееся при
сгорании спирта, где С\ — удельная теплоемкость воды,
q — удельная теплота сгорания спирта. Подставим вы-
выражения для Qn и Q3 в уравнение A):
qm2
_ 4,19. 1Q3.O,3C41 - 291) _
71 ~ 2,93.107.7- Ю-3 /о ^ 3 /о>
247. КПД тепловоза равен 30%. Определить расход
нефти в нем за час при мощности 7,36-102 Вт.
Дано: ц = 30%, N = 7,36- 102 Вт; / = 1 ч = 3,6- 103с.
Решение. КПД тепловоза
л—g^-ioo%. A)
Здесь Qn = Дt/i =А = Nt — количество теплоты, идущее
на изменение внутренней энергии газа, вследствие чего
совершается механическая работа; Q3 = A^2=^/n — ко-
количество теплоты, выделенное при сгорании нефти, где
q — удельная теплота сгорания нефти. Подставим выра-
выражения для Qn и Q3 в уравнение A):
л —
откуда
т —
qm
Nt-\00%
142
7,36- 102-3,б. 103.100 п 1П
кг^0,19 кг.
m = 30.4,61. ю7 кг^0
248. Двигатель расходует 25 кг бензина в час и ох-
охлаждается водой, разность температур которой при вхо-
входе в охлаждающее устройство и выходе из него 15 К.
Определить секундный расход воды, если на ее нагрева-
нагревание затрачивается 30% энергии, выделившейся при сго-
сгорании бензина.
Дано: т = 25 кг; т = 1 ч = 3,6-103 с; ДГ = 15 К; ц = 30%,
или г] = 0,3.
тс— ?
Решение. По условию задачи,
Л= Qn/Qa,
где Qn — количество теплоты, необходимое для нагрева-
нагревания воды; Q3 — количество теплоты, выделенное при сго-
сгорании топлива. Учитывая, что Qn = cm\hT и Q3 = qm,
получаем
г] = cm\&T/(qm),
откуда масса воды
Ш\ = qmr\/(c&T).
Следовательно, ежесекундный расход воды
4,6ЬЮ7.25»0,3 1 .л ,
КГ«1,М КГ/С.
Шс — 4,19.103.15-3,6.103 КГ«1
249. Когда лед может быть нагревателем?
Ответ. Лед может быть нагревателем при контакте с
телами, температура которых меньше его температуры.
Так как температура образования льда при нормальных
условиях 273 К, то температура тел, для которых лед
является нагревателем, должна быть меньше этой тем-
температуры.
250. Почему сырые спички не загораются?
Ответ. Спичка загорается, когда ее температура до-
достигает температуры воспламенения вещества головки.
При трении сырой спички о коробку спичка получает
энергию, большая часть которой расходуется на испаре-
испарение влаги, содержащейся в спичке. Поэтому температура
143
головки спички не может достичь температуры воспла-
воспламенения.
251. Почему зимой для освобождения тротуаров от
льда их посыпают солью?
Ответ. Смесь льда с солью имеет более низкую тем-
температуру плавления, чем чистый лед. Поскольку темпера-
температура окружающего воздуха выше этой температуры
плавления, смесь начинает быстро плавиться.
252. С одинаковой высоты упали два тела одинако-
одинаковой массы — медное и железное. Какое из них при ударе
нагреется до более высокой температуры?
Ответ. Будем считать, что температура тел до их па-
падения одинакова и что во внутреннюю энергию перехо-
переходит при неупругом ударе одна и та же часть их механи-
механической энергии. Так как масса тел, высота подъема, а
следовательно, и конечные скорости в момент удара
равны, то
или
с1т{Т1-Т) = с2т{Т2-ТI A)
где Т\ и Т2 — температуры медного и железного тел в
момент удара; Т — начальная температура тел. Так как
Ci<Cc2, то из уравнения A) следует (Т\ — Т)>(Т2 — Т),
т. е. медное тело нагревается при ударе до более высо-
высокой температуры, чем железное.
Упражнения
253. Вычислить массу одной молекулы озона О3, угле-
углекислого газа СОг и метана СН4.
254. Сколько молекул содержится при нормальных
условиях в 1 кг водорода Нг? кислорода О2?
255. Средняя кинетическая энергия поступательного
движения молекул газа при температуре 5000°С равна
1,7 • 10~23 Дж. Какова эта энергия при температурах
—273 и 1000°С?
256. Смешано 24 л воды при 12°С и 40 л воды при
80°С. Определить установившуюся температуру, если во
время смешения тепловые потери составляли 420 кДж.
257. В калориметр, содержащий 270 г воды при
12°С, опустили кусок алюминия массой 200 г, нагретый
144
до 100°С. Температура теплового равновесия 23°С.
Определить удельную теплоемкость алюминия. Тепло-
Теплоемкость калориметра 42 Дж/К.
258. Лед массой 20 кг при —20°С опущен в 20 л воды
при 70°С. Весь ли лед расплавится?
259. Свинцовая пуля летит со скоростью 200 м/с. Ка-
Каково изменение температуры пули, если вся ее энергия
идет на нагревание?
260. Паровой молот массой Ют свободно падает с
высоты 2,5 м на железную болванку массой 200 кг. На
нагревание болванки идет 30% количества теплоты, вы-
выделенного при ударе. Сколько раз падал молот, если
температура болванки поднялась на 20°С?
261. Тепловоз массой 213,5 т, движущийся со скоро-
скоростью 72 км/ч, останавливается. Какое количество тепло-
теплоты выделилось при торможении?
262. Какую мощность развивает велосипедный двига-
двигатель, если при скорости движения 25 км/ч расход бензи-
бензина составлял 1,7 л на 100 км пути? КПД двигателя 20%.
263. Что произойдет с уровнем воды в стакане, где
плавает кусок льда, когда лед расплавится?
Вопросы для повторения
1. Сформулируйте основные по-
положения молекулярно-кинети-
ческой теории. 2. Опишите ка-
какие-либо опыты, подтверждаю-
подтверждающие основные положения мо-
лекулярно-кинетической тео-
теории. 3. Что называют внутрен-
внутренней энергией вещества? 4. Назо-
Назовите два способа изменения
внутренней энергии тел. 5.
Сформулируйте первое начало
термодинамики. 6. Перечислите
виды агрегатного состояния ве-
вещества. 7. Что называется плав-
плавлением (отвердеванием) веще-
вещества? 8. Изменяется ли темпе-
температура при плавлении (отверде-
(отвердевании) вещества? Как называет-
называется эта температура и от чего
она зависит? 9. Что называется
парообразованием (конденсаци-
(конденсацией) вещества? 10. Назовите два
способа парообразования. 11.
Изменяется ли температура при
парообразовании (конденсации)
вещества? Как называется эта
температура и от чего она зави-
зависит? 12. Напишите формулы,
позволяющие рассчитать изме-
изменение внутренней энергии ве-
вещества при плавлении (отвер-
(отвердевании), а также при парооб-
парообразовании (конденсации) веще-
вещества. 13. Чему равно изменение
внутренней энергии вещества
при его нагревании или охлаж-
охлаждении, если вещество находится
в одном и том же агрегатном
состоянии? 14. Что называется
удельной теплоемкостью веще-
вещества, удельной теплотой плавле-
плавления и удельной теплотой паро-
парообразования? 15. Чему равно
изменение внутренней энергии
вещества при его сгорании?
16. Что называется удельной
теплотой сгорания топлива? 17.
Напишите уравнение теплового
баланса.
6—580
145
§ 2. СВОЙСТВА ГАЗОВ
Состояние любого газа можно охарактеризовать его
массой т, занимаемым им объемом V, давлением р> ока-
оказываемым газом на стенки сосуда, температурой Г, при
которой находится газ, а также его молярной массой Af.
Уравнения, которые связывают между собой эти вели-
величины, называются уравнениями состояния газа.
Закон Бойля— Мариотта. При m = const и Т = const
pV = const,
или для двух состояний газа
P\V\ =
Этот закон описывает изотермический процесс.
Закон Гей-Люссака. При m = const и р = const
v ,
-—= const,
или для двух состояний газа
Ух V2
г, г2 *
Этот закон описывает изобарный процесс.
Закон Шарля. При m = const и V = const
-~= const,
или для двух состояний газа
Р\ Рг
Этот закон описывает изохорный процесс.
Объединенный закон газового состояния (формула
Клапейрона). При m = const
= const,
или для двух состояний газа
p\V\ _ P2V2
г, ~~ г2 *
Следовательно, любое состояние газа можно сравнить с
его состоянием при нормальных условиях: р0 =
= 1,01-105 Па, Го = 273 К @°С), \/о = 22Д. 10 и3 (объ-
(объем 1 моль любого газа при нормальных условиях).
146
Уравнение Клапейрона—Менделеева (уравнение сос-
состояния идеального газа)
где m — масса газа; М — молярная масса газа; R =
= 8,3 Дж/(моль-К) — постоянная для всех газов вели-
величина, называемая молярной газовой постоянной.
Закон Дальтона. Если в сосуде находится смесь не-
нескольких газов, не вступающих друг с другом в химиче-
химические реакции, то давление смеси газов равно сумме
парциальных давлений (давлений, производимых каж-
каждым газом, если бы он один занимал весь сосуд):
Р = р\ +Р2 + -+Рп.
** Любую задачу на применение газовых законов можно решить,
пользуясь формулой Клапейрона или уравнением Клапейрона—Мен-
Клапейрона—Менделеева (в зависимости от условия задачи). Законы Бойля—Мариотта,
Гей-Люссака и Шарля можно считать частными случаями этих урав-
уравнений.
* * *
264. Объем пузырька воздуха по мере всплывания
его со дна озера на поверхность увеличивается в три ра-
раза. Какова глубина озера?
Дано: У2 = ЗК,.
к—?
Решение. Считаем, что температура воды в озере на
любой глубине одна и та же. Тогда температура воздуха
в пузырьке тоже постоянна и, по закону Бойля—Ма-
Бойля—Мариотта,
P\VX = p2V2,
где pi, р2 — давления воздуха в пузырьке у дна и по-
поверхности озера соответственно; V\, V2 — объемы пу-
пузырьков у дна и поверхности озера.
Очевидно, что давление воздуха в пузырьке у поверх-
поверхности озера равно атмосферному давлению р0, т. е.
р2 = ро. Тогда piVi = 3pQV\, откуда р{ =Зр0.
Следовательно, увеличение давления у дна озера
Ар = Р\ — ро = Зро — Ро = 2р0. Как известно из гидро-
гидростатики, Ар = pgA, где р — плотность воды; h — глубина
озера. Приравнивая правые части двух последних урав-
уравнений, имеем 2рв = pgh, откуда
, 2р0 , 2-1,ОЫ05
U?
265. Сосуд с воздухом, давление которого 97 кПа,
соединен с поршневым откачивающим устройством.
После пяти ходов поршня давление воздуха в сосуде
стало 29 кПа. Определить отношение объемов сосуда и
цилиндра откачивающего устройства.
Дано: р0 = 97 кПа = 9,7-104 Па; р5 = 29 кПа = 2,9-104 Па; п = 5.
Решение. Пусть Vi и V2 — объемы сосуда и цилиндра
откачивающего устройства. После первого соединения
цилиндра с сосудом по закону Бойля — Мариотта имеем
PoVi = pi(V\ + V2), откуда рх = p0V\/(Vi + V2).
После второго соединения p\V\ = p2(V\ + V2), откуда
р2 = р\V\/(V\ + V2)y или р2 = ръУ2\/{У\ + V2J. Аналогич-
Аналогично, после пятого соединения р5 = PoV\/(V\ + V2M. Пре-
Преобразуем полученное выражение:
откуда
У/, + К2 1 ро
g Kt 5 ig р5
V.
= 0,1050.
По таблице антилогарифмов находим (V\ + V2)/V\ «
«1,274, откуда V1/V2 « 3,65.
266. В закрытом сосуде вместимостью 1 л содержится
12 кг кислорода. Найти давление кислорода при 15°С.
Дано: Ц= 1 л = 10~3 м3; т = 12 кг; Ti = 288 К.
Pi-?
Решение. Сравним состояние данной массы кислорода
(/?i, Vi, T\) с его состоянием при нормальных условиях
(ро, Voy To). По объединенному закону газового состоя-
состояния,
p\V\/T\ =
Так как Уо = #*/ро, где ро — плотность кислорода
при нормальных условиях, то p\V\/T\ = (
откуда
на
1,01-105.12-288 ^ o n. , n8 n
io-»-273.i,43
267. Вычислить давление одного моля газа, зани-
занимающего при температуре 300 К объем 1 л.
Дано: 7*1 = 300 К; Vt = 1 л = 10~3 м3
Pi-?
Решение. Сравним состояние данной массы газа
(pi, 1Л, Т\) с его состоянием при нормальных условиях
(ро, Vo, То). По объединенному закону газового сос-
состояния,
откуда
PoVoTi 1,01-105.22,4-10~3.300 о о лп Лд „
Р = МГ; Pl= iF^273 Па«2,49МПа.
268. Сколько молекул воздуха находится в комнате
объемом 240 м3 при температуре 15°С и давлении 105 Па?
Дано: Vx = 240 м3; Г, =288 К; рх = Ю5 Па.
N -}
Решение. Чтобы использовать объединенный закон
газового состояния, сравним между собой состояния
данной массы воздуха при заданных (pi, V\, T\) и нор-
нормальных (ро, V^o, To) условиях. Тогда
To. A)
Поскольку объем воздуха при нормальных условиях
Vo = m/po (ро — плотность воздуха при нормальных ус-
условиях), уравнение A) примет вид p\V\/T\ = рогп/(Горо),
откуда
m = p\V\Topo/{poT\).
Найдем, сколько молей v содержится в данной массе
воздуха:
v == пг/М =
Так как 1 моль любого газа, в том числе и воздуха, со-
содержит число молекул, равное постоянной Авогадро Л^а,
то
149
- 6 02 10*3
Н>5-240.273.1,29 27
269. Объем воздуха в комнате 100 м3. Какова масса
вышедшего из него воздуха при повышении температуры
от 10 до 25°С, если атмосферное давление 102 кПа?
Дано: Vi = 100 м3; Г, = 283 К; Т2 = 298 К;
р, = 102 кПа = 1,02-10е Па.
Лт —?
Решение. Сравним состояния массы гп\ воздуха, на-
находящегося в комнате, при заданных (p\t V\, T\) и нор-
нормальных (Ро, V6, То) условиях:
Tx = poVl>/To =
где Vo = гп\/р0. Тогда
mx = piVir0po/Cripo).
При повышении температуры объем и давление не изме-
изменяются, но масса воздуха в комнате будет другая — т2.
Аналогично, сравним состояния массы m<i воздуха при
заданных (рх, Vu Т2) и нормальных (р0, V'd, To) условиях:
р\У\/Т2 = роУо/То = рот2/{Торо)у где 1/о/ = т2/ро. Тогда
m2 = P\V\Topo/(T2po).
Таким образом, масса вышедшего воздуха
p0i\
Po TJ2 '
_ 1,02.105-100.129.273 298-283 fi«.
- ГДГТО3 298-283 КГ ~ М3 КГ'
270. В цилиндре с площадью основания 100 см2 на-
находится воздух. Поршень расположен на высоте 50 см от
дна цилиндра. На поршень кладут груз массой 50 кг,
при этом он опускается на 10 см. Найти температуру воз-
воздуха после опускания поршня, если до его опускания
давление было равно 101 кПа, а температура 12°С.
Дано: 5=100 см2=10~2 м2; /i, = 50 см = 0,5 м; m = 50 кг; / =
= 10 см = 0,1 м; ро = 101 кПа=1,0Ы05 Па; Г, = 285 К.
Решение. Рассмотрим два состояния воздуха под
поршнем: до опускания поршня и после его опускания.
До опускания поршня состояние воздуха характеризуется
параметрами рь V\, T\, после опускания поршня — пара-
параметрами p2i V2j T2y где V\ = Shi, p\=p0, р2 = ро-\-р\ р'=?
= mg/S, V2=:Sh2, или, так как h2 = h\—/, то V2=S(hi —
— [). Применим к этим двум состояниям формулу Кла-
Клапейрона: piVi/Tl = p2V2/T2i откуда
т I/ т и I/ \ A ^
Подставим в формулу A) выражения для ри V\y p2
и VV.
т {po + mg/SWhi-QTj (po + mg/S)(hl-l)Tl
j n — и _ ————————__——__
PqSH.\ poh\
Т — A»01-iQ5 + 5Q'9,8.102)@,5-0,l).285 „ ^
2~ 1,01 • 105 -0,5
271. Найти плотность водорода при температуре
15°С и давлении 98 кПа.
Дано: Г =288 К; р=98 кПа = 9,8-104 Па.
Решение. Используем уравнение Клапейрона — Мен-
Менделеева pV= niRT/M. Так как V=m/p, то написанное
выше уравнение примет вид pm/p= m/(MRT)t откуда
рМ 9,8-10*.2-Ю-3 кг
P = ir; P= 8,32.288 ^r^
272. Юг кислорода находятся под давлением 0,303 МПа
при температуре 10°С. После нагревания при постоянном
давлении кислород занял объем Юл. Найти начальный
объем и конечную температуру газа.
Дано:т = 10 г=1(Г2 кг; р=0,303 МПа = 3,03-105 Па, Г, =
= 283 К; V2= Ю л= 10~2 м3.
V, - ? Т2 - ¦>
Решение. Из уравнения Клапейрона — Менде^теева
pV\ = mRT\/M найдем объем кислорода до его нагре-
нагревания:
ь^"м7"' 1/l=32.io-3.3,o3.i?'M ^2'4'10 м •
По условию задачи кислород нагревают при постоянном
давлении, поэтому его температуру после нагревания
можно найти по закону Гей-Люссака V\/T\ = V2/T2, от-
откуда
- Т= 1°''
1S1
273. Из баллона со сжатым водородом вместимостью
10 л вследствие неисправности вентиля утекает газ.
При 7°С манометр показывает давление 5 МПа. Пока-
Показание манометра не изменилось и при 17°С. Определить
массу вытекшего газа.
Дано: V= 10 л=1(Г2 м3; 7, = 280 К; р = 5 МПа = 5.106 Па;
Т2 = 290 К.
Дт — ?
Решение. Используя уравнение Клапейрона — Мен-
Менделеева pV~m\RT\/M, находим первоначальную массу
водорода:
Аналогично найдем массу п%2 водорода после утечки:
m2 = pVM/{RT2).
Следовательно, масса вытекшего газа
»¦
274. Определить плотность смеси, состоящей из 4 г
водорода и 32 г кислорода, при температуре 7°С и давле-
давлении 93 кПа.
Дано: mi =4 г=4-10~3 кг; т2=32 г = 32-10~3 кг; р = 93 кПа =
= 9,3-104 Па; Г=280 К.
Решение. По закону Дальтона, давление смеси
A)
где р\ и р2 — парциальные давления водорода и кисло-
кислорода при данных условиях. Запишем уравнение Клапей-
Клапейрона — Менделеева для каждого газа в отдельности:
По условию задачи, У1 = 1Л2—V; Т\=Т2—Т. Тогда для
водорода piV==m\RT/Mu откуда
p[ = mlRT/{MlV). B)
Аналогично, для кислорода
p2 = m2RT/(M2V). C)
Подставим выражения B), C) в A):
__ mi RT . m2 RT _ RT / mt . m2 \
p~~Wl v ^""m7 v ~ v \Mi~T~ m2) •
152
откуда
—^
м2) '
По определению, плотность смеси газов
P = m/V, E)
где m = mi + m2 — масса смеси и газов.
Подставим выражение D) в E):
4-lQ-3-f-32-10~3 9,3-104 кг ^
P ~ 4-10~3/B• 10-3) -h32• 10-3/C2• 10) 8,32-280 M3 ~
«0,48 кг/м3.
275. Имеется два сосуда с газом: один вместимостью
3 л, другой — 4 л. В первом сосуде газ находится под
давлением 202 кПа, а во втором 101 кПа. Под каким дав-
давлением будет находиться газ, если эти сосуды соединить
между собой? Считать, что температура в сосудах одина-
одинакова и постоянна.
Дано: К, = 3 л=3-10~3 м3; V2 = 4 л = 4-10~3 м3; р, = 202 кПа =
= 2,02-105 Па; р2 = 101 кПа= 1.0Ы05 Па.
р-?
Решение. По закону Дальтона,
Р = Рз + Р4. A)
Так как процесс изотермический, то парциальное давле-
давление газа в каждом сосуде можно найти по закону Бой-
ля— Мариотта: p\V\ = рзУу рчУ2 = Р\\\ где V=yxJry2,
Тогда парциальное давление газа в каждом из сосудов
после их соединения
Подставляем выражения B) в A):
р\У\ , P2V2 р\V\ +P2V2 .
Р— у "Г у — у
2.02-105.3-10-3-f 1,01-105-4-10-3 o , .
276. В сосуд вместимостью Юл, наполненный сухим
воздухом при нормальных условиях, вводят 3 г воды и
нагревают до 100°С. Определить давление влажного
воздуха в сосуде при этой температуре. Зависимостью
температуры кипения воды от давления пренебречь.
153
Дано: m = 3 г = 3-10 кг; V= 10 л=1(Г2 м3; 7=373 К.
р-?
Решение. По закону Дальтона, p = pi + p2, где р\9
р2 — давления сухого воздуха и водяного пара соответ-
соответственно. Так как нагревание происходит при постоянном
объеме, то давление сухого воздуха при 373 К определя-
определяется по закону Шарля: ро/7*о = pi/T, откуда р1 = роГ/Го.
Найдем давление водяного пара, считая его идеальным
газом. Число v молей водяного пара в сосуде
v = га/М,
где М — молярная масса пара. Тогда объем, занимае-
занимаемый паром при нормальных условиях,
V'o=Vov=Vom/M A)
Из объединенного закона газового состояния р0Уг6/Г0 =
= p2V/T найдем давление пара: р2= PoVoT/(TQV)y или с
учетом формулы A) р2 = poTVom/{ToVM). Следовательно,
давление влажного воздуха
Ро7 роТУрМ _ рх>Т / . , _^о__^_\ .
Р То ~* T9VM ~ Го \ + I/ М/'
1,01.105.373 (х , 22,4.1Q-3.3.1Q-3
Р =273
277. Сколько молекул воздуха находится в 1 см3 со-
сосуда при 10°С, если воздух в сосуде откачан до давления
1,33 мкПа?
Дано: V= 1 см3= 10 м3, Г=283 К, р=1,33 мкПа== 1,33-10 Па.
Решение. Число молекул в 1 см3 воздуха можно
найти, зная постоянную Авогадро Л^а и число v молей,
содержащихся в 1 см воздуха, по формуле
Число v молей, содержащихся в 1 см3 воздуха, можно
найти как отношение гп/Му где га — масса воздуха, за-
заключенная в 1 см3 воздуха, а М — масса моля воздуха.
Отношение же гп/М можно найти из уравнения Клапей-
Клапейрона — Менделеева:
m/M = pV/{RT).
Таким образом, искомое число молекул
164
278. В озере на глубине 100 м при температуре 8°С
находится в равновесии шар массой 40 г, наполненный
воздухом. Найти массу воздуха внутри шара, если атмо-
атмосферное давление 99,7 .кПа. Шар считать тонкостенным,
изготовленным из резины.
Дано: Л= 100 м; Г= 281 К; т = 40 г = 4-10~2 кг; рат=99,7 кПа =
= 9,97-104 Па.
ГП\ — ?
Решение. На шар, погруженный в воду, действуют:
mg — сила тяжести; F=pVg — выталкивающая сила
воды, где р — плотность воды (рис. 103). Из условия
плавания следует, что mg=F или mg=pVgf откуда
V=m/p. Массу воздуха внутри шара найдем из урав-
уравнения Клапейрона — Менделеева:
mi = MpV/{RT). A)
Здесь р = рат -\- ргс, где рге = phg — гидростатическое
давление воды на глубине А. Подставим выражения
для р и V в формулу A):
КГ
RT •
29-lQ-3(9,97»104+ 103
mi = 8^281
ж 5,36.10~4кг.
279. Почему тело глубоководной рыбы раздувается,
если рыбу извлечь на поверхность?
Отв. На большой глубине давление внутри рыбы
уравновешено наружным давлением, которое намного
больше атмосферного. Если рыбу извлечь на поверх-
поверхность, то внешнее давление станет равным атмосферному,
а давление внутри рыбы остается прежним. Вследствие
этого объем тела рыбы резко увеличивается.
280. Баллоны электрических
ламп заполняют криптоновым га-
газом при низком давлении. Почему?
Отв. При работе лампы газ
внутри нее сильно нагревается,
что приводит к сильному увели-
увеличению давления. Поэтому, если
бы начальное давление не было
низким, это могло бы привести к
взрыву баллона лампы. Рис i^3
Ж
Упражнения
281. Узкая цилиндрическая запаянная с одного конца
трубка расположена горизонтально. Воздух в трубке,
объем которого 240 мм3, отделен от атмосферы столби-
столбиком ртути длиной 15 см. Если трубку поставить верти-
вертикально открытым концом вверх, то воздух в ней займет
объем 200 мм3. Определить атмосферное давление.
282. В одном баллоне емкостью 2 л давление газа
0,33-105 Па, в другом, емкостью 6 л, давление того же
газа 0,66• 105 Па. Баллоны соединяют трубкой, имеющей
кран. Какое давление установится в баллонах при откры-
открывании крана? Процесс считать изотермическим.
283. В баллоне находится газ, давление которого
131,3-10б Па, а температура 30°С. Из-за утечки газа
его давление в баллоне понизилось до 2,02 • 105 Па, а
температура до — 25°С. Какая часть газа осталась в
баллоне?
284. Открытая с обеих сторон цилиндрическая трубка
небольшого сечения длиной 100 см наполовину погруже-
погружена в ртуть. Верхний конец ее закрывают и вынимают
трубку из ртути. Определить длину столбика ртути,
оставшейся в трубке. Атмосферное давление считать нор-
нормальным.
285. Определить разность масс воздуха, заполняюще-
заполняющего помещение объемом 50 м3, зимой и летом, если летом
температура помещения достигает 40°С, а зимой падает
до 0°С. Атмосферное давление считать нормальным.
286. Найти массу 1 моль смеси, состоящей из 25 г
кислорода и 75 г азота.
287. До какой температуры нужно нагреть колбу,
содержащую воздух при 20°С, чтобы его плотность
уменьшилась в 1,5 раза?
288. Определить массу кислорода, находящегося в
баллоне вместимостью 1 л под давлением 0,93-105 Па
при температуре 17°С.
289. Какой объем занимают 3 г углекислого газа,
находящегося при температуре 27°С под давлением
133 кПа?
290. Определить плотность кислорода, находящегося
в баллоне под давлением 3-Ю5 Па при температуре
17°С.
291. Начертить графики зависимости давления от
объема для изотермического, изобарного и изохорного
процессов.
15S
Вопросы для повторения
1. Что называют изотермиче-
изотермическим процессом? 2. Сформули-
Сформулируйте закон Бойля — Мариотта.
3. Что называют изотермой?
Изобразите изотерму в коорди-
координатах р, V. 4. Что называют
изобарным процессом? 5. Сфор-
Сформулируйте закон Гей-Люссака.
6. Что называют изобарой? Изо-
Изобразите изобару в координа-
координатах V, Т. 7. Что называют изо-
хорным процессом? 8. Сформу-
Сформулируйте закон Шарля. 9. Что
называют изохорой? Изобрази-
Изобразите изохору в координатах р, V.
10. Сформулируйте объединен-
объединенный закон газового состояния.
11. Напишите уравнение Кла-
Клапейрона— Менделеева. 12. Сфор-
Сформулируйте закон Дальтона. 13.
Объясните физический смысл
термодинамической температу-
температуры. 14. Перечислите парамет-
параметры, характеризующие состоя-
состояние газа, назовите их единицы
в СИ.
§ 3. РАБОТА ГАЗА. ТЕПЛОВЫЕ МАШИНЫ
Элементарная работа, которую совершает газ, нахо-
находящийся в цилиндре под поршнем, при расширении за-
задается выражением
dA = Fcosad/.
При a=0 получим
¦-pdV,
A)
где р — F/S — давление газа; S — площадь поршня;
dV=Sdl— изменение объема газа.
Полная работа газа при его расширении, от объема V
до Уг, определяется интегрированием:
v2
A-[piV.
Тепловой машиной называется устройство, в котором
внутренняя энергия топлива превращается в механиче-
механическую работу.
В любой тепловой машине должны быть нагреватель,
рабочее вещество и холодильник
(рис. 104). Нагреватель сообщает
рабочему веществу количество
теплоты Qi. Холодильник отни-
отнимает у рабочего вещества коли-
количество теплоты Q2. Рабочее веще-
вещество совершает механическую ра-
работу
Нагреватель
Радочее
бещестбо
Холодильник
Рис. 104
\Ъ1
Работа тепловой машины характеризуется КПД,
задаваемым выражением
КПД идеальной тепловой машины, предложенной Карно,
равен
где Т\ и Гг — температуры нагревателя и холодильника
соответственно. КПД тепловой машины всегда меньше
единицы (второе начало термодинамики). Идеальная
тепловая машина обратима (холодильная машина).
292°. Углекислый газ массой 10 г нагрет от 20 до ЗО°С
при постоянном давлении. Найти работу расширения
газа и изменение его внутренней энергии.
Дано: гп= 10 г= 1(Г2 кг; Г, = 293 К; 7*2=303К.
А — ? MJ — ?
Решение. Изменение внутренней энергии углекислого
газа при его нагревании от температуры Т\ до темпера-
температуры Тч найдем по формуле
где с — удельная теплоемкость углекислого газа при
постоянном объеме*. Поэтому
Л[/ = 0,83-103. 10~2C03—293) Дж=83 Дж.
Работа расширения углекислого газа
v2
A = \pAV. A)
По условию задачи, давление углекислого газа р= const,
тогда давление, как постоянную величину, можно выне-
вынести из-под знака интеграла и выражение A) примет вид
-V]). B)
* Эту формулу можно применить, так как для идеального газа
внутренняя энергия зависит только от температуры, поскольку потен-
потенциальной энергией взаимодействия молекул газа мы пренебрегаем.
1S8
Из уравнения Клапейрона — Менделеева
находим объем углекислого газа при температуре Т:
V=mRT/(Mp). Следовательно, при температурах Т\ и 7*2
углекислый газ будет занимать объемы
Подставим выражения C) в A):
tnRTj mRTi \ mR
т \
А= ^'о-д2 C03-293) Дж« 18,9 Дж.
293°. Кислород Ог массой 6 г при температуре 30°С
расширяется при постоянном давлении, увеличивая свой
объем в два раза вследствие притока теплоты извне.
Найти работу расширения, изменение внутренней энергии
газа и количество теплоты, сообщенное кислороду.
Даио: т = 6г = б.10~3кг; Г, = 303 К; V2=2Vi
A — ? AU — ? Q — ?
Решение. Изменение внутренней энергии кислорода
при его нагревании на ДГ
AU = cm&Ty A)
где с — удельная теплоемкость кислорода при постоян-
постоянном объеме (см. сноску к задаче 292°); АГ=Г2— Т\ —
изменение температуры; Т\ и Гг — начальная и конечная
температуры кислорода.
Так как расширение кислорода происходит при по-
постоянном давлении р, то, используя закон Гей-Люссака
находим конечную температуру кислорода:
T2=V2Tl/Vi = 2VlTl/Vl = 2Tl. B)
Подставляя выражение B) в (I), получаем
bU = cm(T2—Ti) = cm{2Ti — Ti) = cmTi\
ЛG = 0,92-103-6.10~3.303 Дж «1,67 кДж.
159
Найдем работу расширения:
v2
или, учитывая, что р= const,
v2
-Vi) = pVi. C)
Из уравнения Клапейрона—Менделеева pV\ = mRT\/M.
Найдем объем кислорода при температуре Т\\
Подставим выражение D) в C):
А = п mRTl = mRTx •
V Мр м f
- 6-10~3-8,32.303 п --о п
>4 = оо iA-з Дж « 473 Дж.
Количество теплоты, сообщенное газу, найдем по перво-
первому началу термодинамики:
Q = A670 + 473) Дж^2,14 кДж.
294°. Азот N2 массой 10 г расширяется изотермиче-
изотермически при температуре — 20°С, и его давление уменьша-
уменьшается от 202 до 101 кПа. Определить работу расширения,
изменение внутренней энергии азота и количество сооб-
сообщенной ему теплоты.
Дано: m = 10 г = 10~2 кг; Т = 253 К;
р{ = 202 кПа = 2,02-105 Па; р2 = 101 кПа = 1,01.105 Па.
А — ? Л(У —? Q — ?
Решение. Так как изменение внутренней энергии
газа
а температура газа в процессе расширения остается
постоянной, то изменение температуры AT = 0 и, следо-
следовательно, Л(У = 0. Найдем работу расширения:
v2
A)
160
Из уравнения Клапейрона — Менделеева определим дав-
давление:
Подставляя формулу B) в подынтегральное выраже-
выражение A), получаем
A=\2!Uv= mRT
Н V [
mv м \ v
Определив по закону Бойля — Мариотта отношение объ-
объемов V2/V1 = р\/р2 и подставив его в выражение C),
получим
Количество теплоты, сообщенное газу, найдем из первого
начала термодинамики:
Q = AU + A,
или, поскольку AU = О,
Q = А « 521 Дж.
295°. В цилиндре под невесомым поршнем площадью
15 см2 находится воздух массой 0,2 г при температуре
20°С. Определить работу, которую надо совершить при
медленном равномерном подъеме поршня на высоту от
10 до 20 см. Атмосферное давление нормальное.
Дано: S== 15 см2 = 1,5-10~3 м2; т = 0,2 г = 2-10~4кг;
Т = 293 К; hi = 10 см = 0,1 м; Л2 = 20 см = 0,2 м.
А р
Решение. При равномерном подъеме поршня на него
действуют: FBH — внешняя сила; F—сила давления со
стороны воздуха, находящегося под поршнем; FaTM — си-
сила давления атмосферного воздуха (рис. 105). Найдем
работу внешней силы по подъему поршня на h2:
A=[Fmdh. A)
161
Чтобы найтн внешнюю силу, запишем усло-
условие равновесия поршня в проекциях на
ось Y: Fbh + F — Faru = О, откуда
Fbh = ^атм — F.
Согласно определению, Fam* = poS* F = pS.
Здесь ро — атмосферное давление; р =
= mRT/(MV) — давление воздуха, находя-
находящегося под поршнем, где V = Sh — объем
воздуха, находящегося под поршнем, когда
Рис. 105 поршень находится на произвольной высо-
высоте Л. Тогда выражение для силы давления
воздуха, находящегося под поршнем, примет вид F =
= mRTf(Mh). Подставляя формулы для FaTM и F в выра-
выражение (I) и производя интегрирование, получаем
А = \ (FaT>( - F) dh = \ F8Tm dA - \ F&h =
111 III НИ1
w
F
F атм
2 IP-8,32-293
29. ю-3
4 M hx '
105.l,5.10~3@,.2 -0,1) -
In -??-] Дж « 3,5 Дж.
** Поскольку движение поршия медлеггное, то температуру Т
можно считать постоянной ш вымести при интегрировании за знак rr-
теграла.
296. Идеальная тепловая машина получает от нагре-
нагревателя, температура которого 500 К, за один цикл
3360 Дж теплоты. Найти количество теплоты, отдавае-
отдаваемое за один цикл холодильнику, температура которого
400 К. Найти работу машины за один цикл.
Дано: Ti = 500 К; Qi = а 360 Дж; Т% =. 400 К.
Решение. По определению», КПД идеальной тепловой
машины r\ = (Qi — Q2)/Qi = (Г1 — T2)/Tu откуда
3360-400 „ О^ОО
—500— Дж = 2688
162
Работа машины за один цикл
А = Q, - Q2; А = C360 - 2688) Дж = 672 Дж.
297, Идеальная тепловая машина Карно, цикл кото-
которой совершается в обратном направлении (холодильная
машина), использует воду при 0°С в качестве холодиль-
холодильника и воду при 100°С в качестве нагревателя. Сколько
воды нужно заморозить в холодильнике, чтобы превра-
превратить в пар 500 г воды в кипятильнике?
Дано: U = 100DC; Г, = 373 К; U = 0°С; Т2 = 273 К;
mi = 500 г = 0,5 кг.
Решение. При замерзании воды массой т2 выделяет-
выделяется количество теплоты
Q2 = кт2. A)
где X — удельная теплота плавления льда.
Для испарения массы т\ воды нужно затратить
количество теплоты
Qx = гтх. B)
где / — удельная теплота парообразования воды.
Из выражения КПД идеальной тепловой машины
Карно т] = (Qi — Q2VQ1 ={Ti — T2)/Ti находим
Q2 = T2Q,/T{. C)
Подставив выражения A) и B) в C), получим А,т2 =
= T2mlr/Tu откуда
_ ГгШ'г . __ 273-0,5>22,6.105 ^ о 47
1712 ~ TiX ' m<1 ~ 373-3,35.105 КГ ^ ' КГ'
29в. Найти работу тепловой машины за один цикл,
изображенный на рис. 106.
Дано: pi; р2", У\\ Уч-
1 2
J
д >
Решение. Работа расширения га-
газа численно равна площади фигуры,
ограниченной графиком p=p{V),
осью абсцисс и ординатами началь- 0 V1 Vz V
ной м конечной точек графика. На
участках графика 1-2 и 3-4 работа ри«с. 106
163
равна нулю, так как на этих участках объем газа не
изменяется. Работа машины за один цикл численно равна
разности площадей прямоугольников V\2 3V2 и V\ 1 4V2y
т. е. площади прямоугольника 1234. Из рисунка находим
эту площадь:
А = p2{V2 - Vi) - Pi(V2 - Vx) = (p2 - Pi) (V2 - Vi).
Упражнения
299. Азот N2 массой 200 г нагревают на 100 К сна-
сначала изобарно, а затем изохорно. Какое количество теп-
теплоты потребуется для этого в том и другом случаях?
300. В сосуде находится 20 г азота N2 и 32 г кислоро-
кислорода О2. Найти изменение внутренней энергии смеси этих
газов при ее охлаждении на 28 °С.
301. Азот N2, начальное давление которого 1,01X
ХЮ5 Па и объем 10 л, расширяется изотермически,
увеличивая свой объем в два раза. Найти работу, со-
совершаемую газом.
302. Давление азота в сосуде объемом 3 л после на-
нагревания возросло на 2,2 МПа. Определить количество
теплоты, сообщенное газу.
303. При расширении одноатомного газа от 0,2 до
0,5 м3 его давление возросло от 404 до 808 кПа. Найти
работу газа, количество подведенной к газу теплоты и
изменение его внутренней энергии.
304. В идеальной тепловой машине количество тепло-
теплоты, полученное от нагревателя, равно 6,3 кДж. 80% этой
теплоты передается холодильнику. Найти КПД машины
и работу за один цикл.
305. Найти работу тепловой машины за один цикл
(рис. 107).
306. Воздух массой 2 кг находится в сосуде при тем-
температуре 16°С. Какую работу он совершит при изобар-
изобарном нагревании до 100°С?
307. В цилиндре находится азот при температуре
20 °С. На высоте 50 см от осно-
основания цилиндра расположен лег-
легкий поршень, на котором лежит
груз массой 100 кг. Определить
работу, которую совершит газ при
V,
1
7
J
изобарном нагревании его до
60°С. Площадь
линдра 100 см2. Ат
Рис. 107 ление нормальное.
0* \i \р-у 60°С. Площадь основания ци-
1 z линдра 100 см2. Атмосферное дав-
164
Вопросы для повторения
1. Сформулируйте первое на- холодильной машиной? 5. Чему
чало термодинамики. 2. Нали- равен КПД тепловой машины?
шите формулы для расчета эле- 6. Чему равен КПД идеальной
ментарной и полной работы, со- тепловой машины Карно? 7.
вершаемой при расширении га- Объясните, как графически
за. 3. Сформулируйте второе можно вычислить работу теп-
начало термодинамики. 4. Что ловой машины,
называют тепловой машиной?
§ 4. НАСЫЩАЮЩИЕ И НЕНАСЫЩАЮЩИЕ ПАРЫ.
ВЛАЖНОСТЬ
Над поверхностью жидкости вследствие ее испарения
всегда находится пар этой жидкости. Различают пары
насыщающие и ненасыщающие.
Насыщающим называется такой пар, который нахо-
находится в динамическом равновесии с жидкостью (число
молекул, вылетающих с поверхности жидкости за 1 с,
равно числу молекул, возвращающихся в жидкость).
Ненасыщающим называется такой пар, плотность и
давление (упругость) которого меньше, чем плотность и
давление насыщающего пара при данной температуре.
Ненасыщающий пар по своим свойствам не отличает-
отличается от обычного газа. Поэтому для него справедливо
уравнение Клапейрона — Менделеева
Воздух, содержащий водяной пар, называется влаж-
влажным, а не содержащий водяного пара — сухим.
Различают абсолютную и относительную влажности.
Абсолютной влажностью р называют массу т водя-
водяного пара, содержащегося в 1 м3 воздуха при данной
температуре, т. е. плотность водяного пара при данной
температуре.
Относительной влажностью В называют отношение
плотности р водяного пара при данной температуре к
плотности рн насыщенного пара при той же температуре:
В = -?-100%.
Рн
Ее можно определить и с помощью психрометрической
таблицы.
Ненасыщающий пар может быть превращен в насы-
насыщающий в результате изохорного охлаждения.
165
Температура, при которой пар становится насыщаю-
насыщающим в результате изохорного охлаждения, называется
точкой росы Т?. При охлаждении пара до температуры
ниже точки росы он частично превращается в жидкость.
308. Определить абсолютную влажность воздуха, если
парциальное давление пара в нем 14 кПа, а температу-
температура 60 °С.
Дано: р = 14 кПа = 1,4-104 Па; / = 60°С; Т = 333 К.
__
Решение. Используя уравнение Клапейрона — Мен-
Менделеева pV = mRTIM, имеем
m/V = Mp/{RT).
Следовательно, абсолютная влажность воздуха
Мр 18-10~3.1,4-104 кг О1 1Л_2 ; з
P = ^f; Р= 8,32.ззз—иг«9,ыо 2кг/м3.
309. Определить абсолютную влажность воздуха, если
его температура 15°С, а относительная влажность 80%.
Дано: / = 15°С; Т = 288 К; В = 80% = 0,8-
р-?
Решение. Относительная влажность
В = р/рн,
откуда р = Врн. Плотность насыщающего пара при
288 К находим из табл. 5: рн = 12,8-10~3 кг/м. Тогда
р = 0,8-12,8- 1(Г3 кг/м3 « 1,02-10 кг/м3.
310. Литр влажного воздуха при 50°С имеет массу
1,04 г при нормальном атмосферном давлении. Опре-
Определить абсолютную влажность воздуха.
Дано: V = 1 л = 10~3 м3; t = 50°С; Т = 323 К;
m = 1,04 г = 1,04-10~3 кг; р = 1,01 • 105 Па.
р-?
Решение. Абсолютная влажность
Р = т„/У, A)
где тп — масса водяного пара в данном объеме воздуха.
По условию задачи,
т = тп + mfl, B)
р = рп + р., C)
где /лв — масса сухого воздуха в данном объеме;
рн, рв — парциальные давления водяного пара и сухого
воздуха. Парциальные давления рп и рв находим из
уравнения Клапейрона — Менделеева, записанного для
водяного пара и сухого воздуха:
рв = mmRT/{M*V), D)
рп = maRT/(MnV)9 E)
где AfB, Mn — молярные массы сухого воздуха и водяного
пара соответственно.
Подставим выражения D) и E) в C):р=Dг- +
+ тг~) ~17~» или с учетом соотношения B) р = ( -tj—h
/V1B / V \ Мп
Подставив выражение F) в A), получим
Р ~~ Мв -М„ \ RT V )'
— 18-1Q-3 /
Р" 29-10-3-18-Ю \
1,0Ы05.29'10~3
8,32-323
1,04-Ю"
L) J^_ « 0,082 кг/м3.
/ м
10"
311. В сосуде находится воздух, относительная влаж-
влажность которого при 10°С равна 60%. Определить отно-
относительную влажность воздуха после уменьшения его
объема в три раза и нагревания до 100°С.
Дано: /, = 10°С; Г, = 283 К; В, = 60% = 0,6;
л = 3; /2= Ю0°С; Т2 = 373 К.
В2~?
Решение. Абсолютная влажность воздуха до его сжа-
сжатия и нагревания
pi = BipHl,
167
где рН| — плотность насыщающего пара при температу-
температуре Т\. После уменьшения объема воздуха в п раз его
плотность увеличится также в п раз, т. е.
Р2 == ftpi == пВ\рщ. A)
Как известно, из опыта, давление насыщающих паров
при температуре кипения жидкости равно атмосферному
р0. Следовательно, при нагревании влажного воздуха
до 373 К давление насыщающих паров воды, содержа-
содержащихся в воздухе, становится равным нормальному атмо-
атмосферному давлению ро. Плотность насыщающего водяно-
водяного пара рн3 при этих условиях находим из уравнения
Клапейрона — Менделеева:
Р =; EljL /O\
3 rt2 ' vz;
Тогда относительная влажность воздуха после умень-
уменьшения его объема и нагревания равна
Я2 = ^-100%. C)
Подставляя выражения A), B) в C), находим
Мпро
Я — 3-0>6>9>4-10~3>8'32;373
2 ~~ 18-КГ3-1,01-105
312. Определить абсолютную и относительную влаж-
влажности воздуха, если его температура 18°С, а точка росы
соответствует 8°С.
Дано: / = 18°С; Т = 291 К; tp = 8°С; Тр = 281 К.
р-? Я-?
Решение. Зная точку росы, можно найти по табл. 17
массу насыщающего водяного пара, содержащегося в
1 м3 воздуха. Это и будет определять абсолютную влаж-
влажность р воздуха при любой температуре, равной или
большей точки росы. Следовательно, р = 8,3* Ю~3 кг/м3.
Найдем относительную влажность воздуха:
В = — 100%,
Рн
где рн — плотность насыщающего пара при 291 К. Тогда
168
313. Относительная влажность воздуха в комнате
63%, а температура 18°С. На сколько градусов должна
понизиться температура воздуха на улице, чтобы окон-
оконные стекла в комнате запотели?
Дано: В = 63% = 0,63; / = 18°С; Т = 291 К.
АГ— ?
Решение. Абсолютная влажность воздуха
Р = ?рн,
где рн — плотность насыщающего пара при 291 К. Тогда
р = 0,63.15,4-10-3 кг/м3 = 9,7.1(Г3 кг/м3.
При понижении температуры воздуха на улице до точки
росы пар вблизи оконных стекол становится насыщаю-
насыщающим и начинает конденсироваться — стекла запотевают.
При этом масса пара в 1 м3 не изменяется вплоть до
точки росы ГР = 283,5К. Следовательно, оконные стекла
запотеют, если температура воздуха на улице понизится
на АГ = B91 —283,5) К=7,5 К.
314. Два сосуда объемами 5 и 3 м3 содержат воздух
при температурах 15 и 28°С и относительной влажности
22 и 46%. Определить относительную влажность воздуха
после соединения между собой этих сосудов.
Дано: 1/, = 5 м3; Я, = 22% = 0,22; /, = 15°С; Г, = 288 К;
V2 = 3 м3; ?2 = 46%=0,46; /2 = 28°С; Г2 = 301 К.
В — ?
Решение. Масса водяного пара в каждом сосуде до их
соединения
и т2 = р2^2, A)
где pi и р2 — плотность водяного пара в каждом сосуде.
Относительная влажность в каждом сосуде до их соеди-
соединения
#l = pi/pHl И #2 = (
откуда pi = 51pHl и р2 = В2рн2. Тогда [см. A)]
ГП\= ВlpH.Kj И ГП2= B2Ph2V2. B)
Абсолютная влажность воздуха после соединения сосу-
сосудов p = (mi +m2)/(Vi + V2), или с учетом B)
Д|Рн,У|+Д2Рн,У2
р==- к,
169
Относительная влажность воздуха после соединения со-
сосудов
B^+*V* 100%. C)
Пренебрегая теплоемкостью сосудов и массой водяно-
водяного пара в виду их малости, имеем из уравнений теплового
баланса
mBlcBF - ГО = тв,св(Г2 - в), D)
где в — температура воздуха в сосудах после их соеди-
соединения. Так как mBl = pBVi и mB2 = pBVr2, то D) можно за-
записать в виде pBVricBF—- T\) = PbV2Cb(T2 — 6), откуда
5.288 + 3-301 „ 9 - „
К = 293К.
Зная Гь Т2 и в, из табл. 17 находим: рн, = 12,8Х
ХЮ-3кг/м3; р„2 = 27,2.10-3кг/м3; рн= 17,3-10~3 кг/м3.
Подставив эти значения в выражение C), найдем
315. Чем объясняется, что вечером после жаркого
летнего дня в низменной местности наблюдается образо-
образование тумана?
Отв. Вечером после жаркого летнего дня температура
воздуха понижается на 10—15°С. Вследствие этого водя-
водяной пар, находящийся в воздухе, становится насыщаю-
насыщающим и частично превращается в воду в виде тумана.
316. Почему зимой заметно выделение тумана при
дыхании, а летом — нет?
Отв. Температура выдыхаемого воздуха приблизи-
приблизительно 36°С. Водяной пар, находящийся в нем, зимой
охлаждается ниже точки росы, становится^ насыщающим
и частично конденсируется в воду в виде тумана. Летом
же температура окружающего воздуха выше точки росы,
поэтому туман не образуется.
Упражнения
317. Абсолютная влажность воздуха при температуре
60°С равна 5«10~3кг/м3. Определить абсолютную влаж-
влажность воздуха после понижения температуры до 20°С.
318. Определить абсолютную влажность воздуха в
170
комнате, если его относительная влажность 80%, а тем-
температура 15°С.
319. Определить абсолютную влажность воздуха, если
парциальное давление пара в нем = 1,4* 104 Па, а темпе-
температура 60°С.
320. Давление воздуха при температуре 26°С и отно-
относительной влажности 70% равно 1,017» 105 Па. Опреде-
Определить давление воздуха, если его температура понизится
до —5°С, а относительная влажность станет равной 80%
при прочих неизменных условиях?
321. Относительная влажность воздуха вечером при
температуре 1б°С равна 60%. Ночью температура возду-
воздуха понизилась до 4°С и выпала роса. Сколько водяного
пара конденсировалось из 1 м3 воздуха?
322. Чему была равна относительная влажность воз-
воздуха при температуре 20°С, если при давлении 6 МПа
точка росы равна 100°С?
323. Сколько молекул водяного пара содержится в
комнате объемом 100 м при нормальных условиях и от-
относительной влажности 20%?
324. В цилиндре под поршнем находится 3,5 г воды и
2,9 г водяного пара при 40°С. Газ изотермически расши-
расширяется. При каком объеме вода в цилиндре полностью
испарится?
325. В помещение подают 20 000 м3 воздуха при 18°С
и относительной влажности 50%, забирая его с улицы
при 10°С и относительной влажности 60%. Сколько воды
нужно испарить, чтобы относительная влажность возду-
воздуха в помещении не изменилась?
Вопросы для повторения
1. Что называется испарением? от влажного? 6. Что называется
2. Что называют динамическим абсолютной влажностью? 7. Что
равновесием между паром и называется относительной влаж-
жидкостью? 3. Что называют на- ностью? 8. Что называют точкой
сыщающим паром? 4. Что пред- росы? 9. Как превратить нена-
ненаставляет собой ненасыщающий сыщающии пар в насыщающий?
пар? Каким уравнением описы- 10. Какими приборами измеря-
вается поведение такого пара? ют влажность воздуха?
5. Чем отличается сухой воздух
§ 5. СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ И ЖИДКИХ ТЕЛ
Тепловое расширение твердых и жидких тел
При нагревании твердого тела его линейные размеры
/ изменяются по закону
A)
Г71
где /о — линейный размер тела при 273 К; ДГ = Г— Го —
изменение температуры тела при его нагревании от Го =
= 273 К до Г; а — коэффициент линейного расширения.
При нагревании твердых тел и жидкостей их объем V
изменяется по закону
У=У0A+рДГ), B)
где Vo — объем тела при 273 К; Р — коэффициент объем-
объемного расширения тела, связанный с коэффициентом ли-
линейного расширения а приближенным соотношением
Р«3а. Коэффициенты объемного расширения жидко-
жидкостей р приведены в табл. 16.
Изменение объема твердых и жидких тел при их на-
нагревании приводит к изменению их плотности по закону
Р = ро/A+рЛГ), C)
где ро — плотность тела при 273 К.
** При расчетах, в силу того что аЛГ<1 и рЛГ< 1, необходимо
пользоваться приближенными формулами
1
A
где jc< I,
326. Железная линейка при 15°С имеет длину 1 м.
На сколько изменится длина линейки при охлаждении
до —35°С?
Дано: /1=15°С, Г, = 288 К; /i = I м; /2= — 35°С; Г2 = 238К
М — ?
Решение. По закону линейного расширения,
/i = /o[ 1+0G-1-Го)], A)
/2 = /0[1+о(Г2-Го)], B)
где h — длина линейки после ее охлаждения до темпе-
температуры Гг; а — коэффициент линейного расширения же-
железа. Тогда изменение длины линейки
А/= /i -/2= /о[ 1 +сх(Г1 - Го)] -/о[ 1 + с<Г2- Го)] =
= Wri-r2). C)
Найдя /о из уравнения (I) и подставляя его в выраже-
выражение C), получаем
172
Учитывая, что а{Т\ — Г0)<С 1, выражение D) можно при-
приближенно записать в виде
Л/ ж gc/iCTi — Г2) A ( )) i
Д/« 1,2-10—8• 1 .B88-238) млб-10 м.
327. Разность длин алюминиевого и медного стержней
при любой температуре составляет 15 см. Какую длину
при 0°С будут иметь эти стержни?
Дано: Д/= 15см = 0,15 м; /0 = 0°С; Г0 = 273К.
/ал - ? /м - ?
Решение. По закону линейного расширения,
A)
B)
где ОвЛ, Ом — коэффициенты линейного расширения алю-
алюминия и меди. По условию задачи,
/м — /ал = Д/, /ом — /оал = Д/. C)
Вычтем почленно из уравнения A) уравнение B):
/ал - /м = /Ом( 1 + ОвлДГ) - /ом( 1 + ОмДТ) = /Оал - /ом +
+ /оалссалДГ — /ома*.Д7\ D)
Преобразуем выражение D) с учетом C): — Д/=—Д/ +
+ ^оалосалДГ — /омосмДГ, откуда
ОалСЛел 0MUUi . ^Oj
Найдя /Оал из уравнения C) и подставляя его в выраже-
выражение E), получаем /омавл -— осалД/ — /омосм = 0, откуда
/ом = Д/0Сал/@СаЛ — ОСм).
Аналогично находим, что
/оал = Д/Ом/(Овл — Ом).
Тогда
/ — 0,15-2,4-10~5 ~ Л (ч 1
м 2,4-10~5—1,7-10~5 ~ *к '
t 0,15-1,7-Ю-5 А ос
173
328. На нагревание железного бруска израсходовано
1,68 МДж теплоты. Как изменился объем бруска?
Дано: Q=l,68 МДж = 1,68-106 Дж.
AV— ?
Решение. По закону объемного расширения, V =
), откуда
Здесь § = 3а—коэффициент объемного расширения
железа, где а — коэффициент линейного расширения.
Количество теплоты, необходимое для нагревания
бруска на Д7\
откуда A7=Q/(cm). Так как масса бруска m = pV0, то
Изменение объема бруска
= 3aQ .
=
cpV0 cp '
0,46-103•7,8-103
329. При температуре 0°С вода и керосин занимают
одинаковые объемы по 4 л. Найти разность их объемов
при 50°С.
Дано: Г0=273К; V0b=V0k=4 л^-Ю м3; Т =323 К.
Решение. По закону объемного расширения,
Ув-УсЦЦ-ЭвДГ), Кк=У0кA4-РкЛГ),
где ДГ=Г~-Го; рв, Рк — коэффициенты объемного рас-
расширения воды и керосина. Тогда разность объемов воды
и керосина
где Vo=V^oK=VoB. Следовательно,
ДУ = 4.1СГаC23 — 273) A0-10~4 — 1,8-1(Г4) м3 «
«1,64-10~4 м3.
330. Железный бак вмещает 50 л керосина при 0°С.
Сколько керосина выльется из бака, если его внести в
комнату с температурой 20°С?
Дано: Ко = 50 л = 5-Ю-2 м3; /0 = 0°С, 7 = 273К; * = 20йС; Г =
= 293 К.
Am — ?
Решение. При нагревании на 20°С увеличение объема
керосина будет больше, чем увеличение объема бака,
поэтому часть керосина выльется. Обозначим: т0 —
масса керосина в баке при 273 К; т — при комнатной
температуре. Тогда масса вылившегося из бака керосина
Дал = trio — ту или A/7i = poVro— Р^» 0)
где ро — плотность керосина при 273 К; р и V — плот-
плотность керосина и объем бака при комнатной температуре.
Объем железного бака после его нагревания
где рж«3аж. Плотность керосина после нагревания бака
Подставим выражения B) и C) в (I):
Ро
1(Г5)Х
1+ Эк(Г-
X B93 —273) кг»0,8 кг.
33U Стальной шарик массой 100 г
опущен на нити в керосин. Как изме-
изменится сила натяжения нити, если всю
систему нагреть от 20 до 50аС (рис.
108)?
Дано: т = 100 г = 0,1 кг; /, = 20°С,
Г, = 293 К; t2 = 50°С; Т2 = 323 К.
ЛГн — ?
Решение. При температуре Т\ на
шарик, погруженный в керосин, дейст-
действуют: mg — сила тяжести; THi — сила
натяжения нити; FB, — выталкиваю-
выталкивающая сила. Запишем условие равнове-
равновесия шарика в проекциях на ось У:
1
X
Рис. 108
откуда
rHl = mg-FBl. A)
Здесь FBi = pKVcg, где рк — плотность керосина. Так как
рр( ) (Р)(
l/Oc=m/poc и ATi=Ti — Го, то выталкивающая сила
где ас — коэффициент линейного расширения стали.
Перепишем уравнение A) с учетом B):
Т —та Рок"! 1+30^1-Го)] g _
Аналогично, сила натяжения нити при температуре
P»K^t'+30.G;-Го)] g _
i—lo))g-
Тогда
нн2Н1 (Рк
РОС
ЛГ„ = 0,Ь9,8.0>8.103A0.10-4-3.1,2.10-5)Х
ХC23 — 293)/G,8.1СГ3)Н^З мН.
332. Масса спирта, взятого при 0°С в объеме 500 см3,
равна 400 г. Определить плотность спирта при 15°С.
Дано: го = О°С; Г0 = 273К; К0 = 500 см3 = 5- 1(Г4 м3; t= 15°C;
Г=288К; m = 400 г = 0,4 кг.
р-?
Решение. Плотность спирта
р~ 1 + РДГ * (О
Так как po = m/Vo, то [см. A)]
176
Учитывая формулу приближенного вычисления, находим
Р ~ 5 °104_4 [ 1-Н-10-4B88-273)] ^.«0,79- Ю3 кг/м3.
333. Куб, вырезанный из монокристалла, при нагре-
нагревании изменяет не только объем, но и форму. Почему?
Отв. В монокристалле вследствие анизотропии коэф-
коэффициент линейного расширения в различных направле-
направлениях различен, поэтому форма монокристалла изменя-
изменяется.
334. Почему наиболее точные измерительные инстру-
инструменты делаются из особого сплава — инвара?
Отв. Инвар имеет малый коэффициент линейного
расширения, поэтому случайные колебания температуры
не отражаются на точности измерительного инструмента.
Упражнения
335. Длина алюминиевой линейки при 0°С равна
79,5 см, а железной — 80 см. При какой температуре
длины линеек будут равны?
336. При 0°С железная и медная проволоки имеют
одинаковую длину, равную 500 м. Определить разность
их длин при 30°С.
337. Объем свинцового шара при 20°С равен 1,8 дм3.
Определить, на сколько увеличится объем этого шара
при нагревании его до 100°С.
338. При 20°С керосин и серная кислота взяты в оди-
одинаковых объемах по 500 см3. Какая будет разница в
объеме этих жидкостей при 0°С?
339. В одном колене сообщающихся сосудов темпера-
температура 10°С, в другом 80°С. Уровень керосина в одном
колене 280 мм, в другом — 300 мм. Найти коэффициент
объемного расширения керосина.
340. Сосуд из латуни при его нагревании увеличился
в объеме на 0,6%. На сколько градусов был нагрет
сосуд?
341. В углублении льда, имеющего температуру 0°С,
влито 60 г воды при температуре 75°С. Какой объем
будет иметь углубление после остывания воды?
342. Нефть содержится в железной цилиндрической
цистерне, высота которой 6 м, а диаметр основания 5 м.
7 — 580 177
При температуре 0°С нефть не доходит до краев цистер-
цистерны на 20 см. При какой температуре нефть начнет пере-
переливаться через край цистерны? Учесть тепловое расши-
расширение цистерны.
Поверхностное натяжение жидкостей.
Капиллярные явления
Поверхностный слой жидкости находится в состоянии
натяжения и обладает запасом потенциальной энергии.
Поверхностное натяжение
F W
а = —р- или а = -^-,
где Fnn — сила поверхностного натяжения; / — длина
контура поверхности жидкости, на которые действует
эта сила; W — потенциальная энергия поверхностного
слоя; S — площадь поверхности слоя.
Изогнутый поверхностный слой оказывает на жид-
жидкость избыточное давление по сравнению с тем, которое
испытывала бы жидкость с плоским поверхностным
слоем. Выпуклый поверхностный слой давит на нижеле-
нижележащие слои жидкости, вогнутый — растягивает.
Избыточное давление ри, оказываемое на жидкость
со стороны сферической поверхности радиусом R,
где знак « + » — для выпуклого мениска; знак «—» —
для вогнутого мениска.
В узких трубках (капиллярах) вследствие смачива-
смачивания или несмачивания жидкостью стенок сосуда кривиз-
кривизна поверхности жидкости (мениск) становится значи-
значительной. Избыточное давление вызывает заметное под-
поднятие или опускание уровня жидкости.
Высота подъема жидкости в капиллярной трубке при
полном смачивании стенки трубки
где р — плотность жидкости; g — ускорение свободного
падения; R — радиус капиллярной трубки.
178
343. Тонкое алюминиевое кольцо радиусом 7,8 см
соприкасается с мыльным раствором. Каким усилием
можно оторвать кольцо от раствора? Температуру ра-
раствора считать комнатной. Масса кольца 7 г.
Дано: Я = 7,8 см = 7,8- 1(Г2 м; m = 7 г=7-1(Г3 кг.
F — ?
Решение. На кольцо действуют: mg — сила тяжести;
FnH — сила поверхностного натяжения; F — внешняя
сила (рис. 109). Так как кольцо соприкасается с раство-
раствором и наружной и внутренней сторонами, то сила поверх-
поверхностного натяжения
Fn н = 2а/,
где / = 2л/?. Условие отрыва кольца от раствора, записан-
записанное в проекциях сил на выбранную ось F, имеет вид
F F, или
F = mg + 2а/ = mg + 4 noR.
Тогда
/^ = 7-10~3-9,8 + 4-3,14.4.10~2.7,8.10~2 Н«0,11 Н.
344. Деревянная палочка длиной 4 см плавает на по-
поверхности воды. По одну сторону от палочки осторожно
налили мыльный раствор. С каким ускорением начнет
двигаться палочка, если ее масса 1 г? Сопротивление
воды при движении палочки не учитывать.
Дано: /=4 см = 4-10~2 м; т= 1 г= 10~3 кг.
Решение. В горизонтальной плос-
плоскости на палочку действуют силы по-
поверхностного натяжения со стороны
воды FnHx и со стороны мыльного ра-
раствора Fnn2 (рис. ПО). Запишем для
палочки второй закон Ньютона в про-
проекциях на выбранную ось Y:
Fn щ — Fn н2= Я1#,
откуда
тд
Рис. 109
179
Так как FnHl = o\t и FnH2 = о2/, где в\
и G2 — поверхностное натяжение воды
и мыльного раствора, то
т
a =
Рис. 110
Дано: г=2-10~3
= " fops ^=1,36 М/С2.
345. Какая энергия освобождается
при слиянии мелких водяных капель
радиусом 2«10~3 мм в одну каплю
радиусом 2 мм?
мм = 2-10~6 м; R = 2 мм = 2-10~2 м.
W — ?
Решение. Изменение потенциальной энергии поверх-
поверхностного слоя капель, вызванное уменьшением площади
поверхности AS капель при их слиянии в одну каплю,
где Si — площадь поверхности всех мелких капель; S2 —
площадь поверхности большой капли; о — поверхностное
натяжение воды.
Очевидно, что S\ = 4nr2n и S2==4n/?2. Масса воды
остается постоянной, поэтому
пт = М, B)
где п — число мелких капель; т — масса мелкой капли;
М — масса большой капли. Так как га = р1Л = 4/зрд/*3 и
М==р1/2=4/зря/?3, то из уравнения B) получаем
Следовательно, площадь поверхности всех мелких капель
S\ = 4nr2R3/r3 = 4nR3/r. Подставляя выражения для S\
и S2 в уравнение A), находим
X [B-
— 1] Дж = 3,7 мДж.
346. Под каким давлением находится воздух внутри
пузырька радиусом 5»10~3мм, расположенного под по-
поверхностью воды?
180
Дано: /?^=5-10~3 мм = 5-10~6 м.
р-?
Решение. Давление воздуха в пузырьке
где р0 — атмосферное давление; ри — избыточное давле-
давление. Так как ри = 2сг//?, то р = ро + 2а//?, где а — поверх-
поверхностное натяжение воды. Тогда
р=1,0Ы05 Па + 2'7>4'Ш6~2 Па = 130кПа.
5 • 10
347. Два мыльных пузыря радиусами 10 и 5 см выду-
выдуты на разных концах одной трубки. Найти разность
давлений внутри пузырей. Что будет происходить с раз-
размерами пузырей, если их предоставить самим себе?
Дано: R\ = 10 см = 0,1 м; /?2 = 5 см = 0,05 м.
Др — ?
Решение. Давление р внутри мыльного пузыря
A)
где ро — атмосферное давление; ри — избыточное давле-
давление, создаваемое искривленным поверхностным слоем
мыльной воды Очевидно, что ри = 2«2а//? (а — поверх-
поверхностное натяжение мыльной воды). Множитель 2 постав-
поставлен потому, что мыльная пленка имеет две поверхности:
внешнюю и внутреннюю. Тогда уравнение A) примет
вид
B)
Для первого и второго пузырей уравнение B) можно
4/
записать в виде р, = ро + 4а//?ь р2 = ро + 4а//?2. Тогда
разность давлений внутри пузырей
Др= 4.4.10^0,1-0,05) Па=1>6 Па
Из расчетов видно, что давление внутри малого пузыря
больше, чем внутри большого. Следовательно, воздух
переходит из малого пузыря в большой. Объем малого
пузыря будет уменьшаться, а большого — увеличиваться,
пока не сравняются радиусы поверхностей.
181
- Щ
348. Капиллярная длинная, открытая с
обоих концов трубка радиусом 1 мм напол-
наполнена водой и поставлена вертикально. Оп-
Определить высоту столба оставшейся в ка-
капилляре воды. Толщиной стенки капилляра
пренебречь.
Дано: /?= 1 мм= Ю м.
h — ?
Решение. На воду в капиллярной трубке
действуют: mg — сила тяжести; FnH — силы
поверхностного натяжения в верхнем и ниж-
нижнем мениске (рис. 111). Запишем условие
Рис. Ill равновесия столба жидкости в проекциях
сил на ось У:
2Fnn — mg=0.
Учитывая, что Fnn = o2nR и mg=pgV=pgnR2h1 где о —
поверхностное натяжение; р — плотность воды, получаем
2o-2nR — pgnR2h = 0, откуда
h =
4а
4-7,4-
103-9,8-10-
-3.10
-2
м.
349. Разность уровней смачивающей жидкости в
коленах U-образной трубки 23 мм (рис. 112). Диаметры
каналов в коленах трубки 2 и 0,4 мм. Плотность жидко-
жидкости 0,8 г/см3. Определить поверхностное натяжение
жидкости.
Дано: h = 23 мм = 2,3-10~2 м; D, = 2 мм = 2-10~3 м, ?>2=0,4мм =
= 0,4-1(Г3 м; р = 0,8 г/см3 = 0,8- 103 кг/м3.
а — ?
Решение. Условие равновесия жидкости в сообщаю-
сообщающихся сосудах рл = рв, где рл и рв — давления в левом и
правом коленах на уровне АВ. Учитывая, что рА = р0 —
— ри, и рв = Ро—-Ри2+Рл, где р0 — атмосферное давление,
вие равновесия жидкости примет вид ро — 4a/Di=po —
— 4o/D2+pgh, откуда
pghD\D2
' 4(Di-Z>2) '
Г3 H
4-B-
3-0,4-
182
350. Почему волоски кисточки,
расходящиеся в воде, слипаются,
если кисточку вынуть из воды?
Отв. Если кисточку вынуть из
воды, ее волоски покрываются
пленкой воды и сближаются под
действием силы поверхностного
натяжения пленки.
351. Какую жидкость можно
налить в стакан выше его краев?
Отв. Можно налить несмачи-
вающую жидкость, так как силы
взаимодействия между молекула-
молекулами жидкости больше сил взаимо-
взаимодействия между молекулами жид-
жидкости и стекла. Равнодействующая всех этих сил направ-
направлена внутрь жидкости и удерживает частицы жидкости,
оказавшиеся выше краев стакана.
Рис. 112
Упражнения
352. Определить поверхностное натяжение масла,
плотность которого 0,91 г/см3, если при пропускании
через пипетку 4 см3 масла получено 304 капли. Диаметр
шейки пипетки 1,2 мм.
353. Какую массу имеет капля воды, вытекающая из
стеклянной трубки диаметром 1 мм? Считать диаметр
капли равным диаметру шейки трубки.
354. Воздушный пузырек диаметром 0,002 мм нахо-
находится в воде вблизи ее поверхности. Определить плот-
плотность воздуха в пузырьке.
355. На сколько давление воздуха внутри мыльного
пузыря больше атмосферного, если диаметр пузыря 5 мм?
356. Каково отношение высот подъемов в капиллярах
воды и керосина при прочих равных условиях?
357. В сообщающихся капиллярных трубках радиу-
радиусами 0,5 и 2 мм разность уровней ртути 10,5 мм. Опреде-
Определить поверхностное натяжение ртути.
358. В капиллярной трубке жидкость поднимается на
80 см. Определить высоту столбика жидкости, которая
может удержаться в трубке, если ее полностью заполнить
жидкостью в горизонтальном положении, а затем повер-
повернуть вертикально.
183
359. Капля воды массой 0,2 г находится между двумя
стеклянными пластинами, расстояние между которыми
0,1 мм. Найти силу притяжения пластин друг к другу.
Деформация твердых тел. Закон Гука
Деформацией называется изменение формы и разме-
размеров тела под действием приложенных сил. Различают
упругие и неупругие деформации.
Упругой называется деформация, которая полностью
исчезает после прекращения действия сил. Неупругой
называется деформация, которая частично сохраняется
после прекращения действия сил.
Для упругих деформаций справедлив закон Гука.
M = ±.ol0t
где Д/=/ —/0— абсолютное удлинение (деформация)
тела; / — длина деформированного тела; /0 — первона-
первоначальная длина тела; Е — модуль продольной упругости
(модуль Юнга); o=F/S — напряжение; F — сила, дей-
действующая на тело; S — площадь поперечного сечения
тела.
Напряжение апр, при котором тело, подвергнутое де-
деформации, начинает разрушаться, называется пределом
прочности.
360. Чему равно удлинение латунного стержня длиной
4 м, имеющего площадь сечения 0,4 см2, под действием
силы 1 кН?
Дано: /о=4 м; 5 = 0,4 см2 = 4-10 м2; ^=1кН==103Н.
М — ?
Решение. По закону Гука, абсолютное удлинение тела
где Е и а — модуль Юнга и напряжение латуни. Тогда
361. При какой предельной нагрузке разорвется
стальной трос диаметром 1 см, если предел прочности
стали 1 ГПа?
184
Дано: D = 1 см = 10~2 м; апр = 1 ГПа = 109 Па.
Решение. Предельное напряжение
СГпр == i пр/«Ь,
где S = nD2/4 — площадь поперечного сечения троса.
Следовательно, предельная нагрузка, т. е. сила, действу-
действующая на трос,
362. Стальной брус вплотную помещен между камен-
каменными неподвижными стенами при 0°С. Найти напряже-
напряжение материала бруса при 20°С.
Дано: /о = О°С; Го =273 К, / = 20°С; Г=293К.
a — ?
Решение. При нагревании свободного бруса на ЛГ его
длина была бы равна l=lo(l +аАТ), откуда
Д/=/— /о = а/оЛ7\ A)
где а — коэффициент линейного расширения стали; /0 —
длина стального бруса при температуре То.
Расстояние между стенами не изменяется, поэтому
Л/ — абсолютное сжатие бруса, возникающее при его
нагревании. Из закона Гука следует, что напряжение
материала бруса при 293 К
о = ЕМ/10у
где Е — модуль Юнга стали, или с учетом выраже-
выражения A)
а = 2,2 • 1011 • 1,Ы0B93 — 273) Па = 48,4 МПа.
363. Стальная проволока длиной 1 м закреплена
одним концом так, что может совершать колебания в
вертикальной плоскости. К свободному концу проволоки
прикреплен груз массой 50 кг. Проволоку с грузом откло-
отклоняют на высоту подвеса и отпускают. Определить абсо-
абсолютное удлинение проволоки в нижней точке траектории
при движении груза. Площадь сечения проволоки
0,8 мм2, массой проволоки пренебречь.
185
/
Дано: /о = 1 м; т = 50 кг;
S = 0,8 мм2 = 8-10-7
/ л/ — ?
/
^у Решение. По закону Гука, абсо-
абсолютное удлинение проволоки
M = Flo/(ES), A)
тУ где F — сила, растягивающая про-
проволоку в точке А\ Е — модуль Юн-
р га стали. Рассмотрим силы, дейст-
действующие на груз при его прохожде-
прохождении через точку A: rag — сила тяжести; Т — сила натя-
натяжения проволоки (рис. ИЗ). Запишем для груза, под-
подвешенного к проволоке, уравнение второго закона Нью-
Ньютона в проекциях на ось Y:
Т — mg = may.
Здесь ау = ац = и2//, где / — длиня растянутой проволоки
в точке А. Отсюда
Т = mg + mv2/l = m(g + v2/l). B)
Для нахождения скорости v груза в точке А применим
закон сохранения энергии для двух положений груза в
точках А и В: Wa = Wb, или mu2/2 = mgl, откуда v2 =
= 2gl. Подставим это выражение в уравнение B):
Т = m(g + 2gl/l) = 3mg.
По третьему закону Ньютона, сила Fy растягивающая
проволоку, численно равна силе натяжения Т: F = Т =
= 3mg. Учитывая это, перепишем уравнение A):
А , 3/лр7о * / 3*50*9,8*1 о . , гу_з
Л/= -?§-; А/= 2.3-ю"-8-ю-' м~ 8,4-Ю м.
364. Почему резцы не изготовляют из стекла, твер-
твердость которого равна твердости инструментальной стали?
Отв. Стекло обладает низкой прочностью на растяже-
растяжение (и изгиб) при комнатной температуре по сравнению
со сталью.
Упражнения
365. Какую силу надо приложить к стальной проволо-
проволоке длиной 2 м для ее растяжения на 1 мм? Площадь се-
сечения проволоки 0,5 мм2.
186
366. Медная проволока диаметром 1 мм разрывается
при нагрузке 188,4 Н. Найти предел прочности меди при
растяжении.
367. При какой наименьшей длине свинцовая проволо-
проволока оборвется от собственной силы тяжести, если разрыв
произойдет вблизи точки подвеса?
368. Железная проволока при 30°С натянута горизон-
горизонтально и закреплена концами между неподвижными опора-
опорами. С какой силой будет действовать проволока на точки
закрепления при понижении температуры до — 10°С?
Площадь сечения проволоки 2 мм2.
369. Медный стержень 1 м равномерно вращается
вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец.
При какой угловой скорости вращения стержень разор-
разорвется? Предел прочности меди опр = 235 МПа.
370. Найти работу при растяжении стальной проволоки
длиной 1 м и радиусом 1 мм, если к ней подвешен груз
массой 100 кг.
Вопросы для повторения
1. Что называется коэффициен-
коэффициентом линейного расширения? 2.
Что называется коэффициентом
объемного расширения? 3. Ка-
Какова связь между коэффициен-
коэффициентами линейного и объемного
расширений? 4. Каков физиче-
физический смысл поверхностного на-
натяжения жидкости? 5. Напишите
формулу для расчета избыточ-
избыточного давления под изогнутой
поверхностью жидкости. 6. На-
Напишите формулу для расчета
высоты подъема жидкости в ка-
капиллярной трубке. 7. Что назы-
называется деформацией тела? 8.
Перечислите виды деформации
твердого тела. 9. Что называет-
называется пределом прочности тела?
10. Что называется напряжени-
напряжением? 11. Сформулируйте закон
Гука для упругих деформаций.
12. Каков физический смысл
модуля Юнга? 13. Назовите еди-
единицы модуля Юнга и напряже-
напряжения в СИ.
ГЛАВА III
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
§ 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Закон Кулона. Напряженность
электростатического поля
По закону Кулона, сила взаимодействия между двумя
точечными неподвижными электрическими зарядами
4яеоег2 '
где #1 и <72 — абсолютные значения зарядов; г — расстоя-
расстояние между зарядами; е — относительная диэлектрическая
проницаемость среды, в которой находятся заряды; ео —
электрическая постоянная, ео= 5—«8,85 • 10~12 Ф/м.
Для расчета взаимодействия неточечных зарядов вво-
вводят понятия:
1. Линейная плотность заряда для равномерно заря-
заряженной нити
r-dq
т —"dT'
где d/ и dq — элемент длины нити и его заряд.
2. Поверхностная плотность заряда для равномерно
заряженной поверхности
где dS и dq — элемент площади поверхности и его заряд.
Приведем основные формулы для расчета напряжен-
напряженности электростатического поля.
Напряженность поля
Я
откуда сила, действующая на заряд q, помещенный в
поле Е,
188
Напряженность поля точечного +п р* -п
заряда или заряженной сферы Q *? О
-. „ Pup 1 14
где Q — заряд, создающий по- ™L- ll^
ле; г — расстояние от заряда
(или центра заряженной сферы) до данной точки поля.
Напряженность поля бесконечной равномерно заря-
заряженной плоскости (однородное поле)
Е =
где а — поверхностная плотность заряда; е — диэлектри-
диэлектрическая проницаемость окружающей среды. Вектор Е пер-
перпендикулярен плоскости.
Напряженность поля двух разноименно заряженных
параллельных плоскостей (поле плоского конденсатора)
? =—.
8о8
Если электрическое поле образовано несколькими
точечными зарядами qiy то его вектор напряженности Е
в данной точке равен векторной сумме напряженно-
стей Е,- полей, созданных в этой точке каждым зарядом
в отдельности (принцип суперпозиции электрических
полей):
Е,.
Два разноименных одинаковых по числовому значе-
значению точечных заряда, находящихся на некотором рас-
расстоянии / друг от друга, называются электрическим дипо-
диполем (рис. 114). Точки, в которых расположены заряды,
называются полюсами диполя. Плечо диполя 1 — это век-
вектор, направленный от отрицательного полюса к положи-
положительному, а его длина равна расстоянию между полюса-
полюсами. Величина ре = ^1 называется электрическим момен-
моментом диполя (дипольным моментом).
371. Два одинаковых небольших шарика массой 0,1 г
каждый подвешены на нитях длиной 25 см. После того
как шарикам были сообщены одинаковые заряды, они
189
разошлись на расстояние 5 см.
Определить заряды шариков.
Дано: т\ = шг = т = 0,1 г =
= 1(Г4 кг; /, = /2 = / =
= 25 см = 25-Ю-2
г = 5 см = 5-10"
м;
Рис. 115
Решение. На каждый из от-
отклоненных шариков действуют:
mg — сила тяжести; Т — сила
натяжения нити; F — электриче-
электрическая сила взаимодействия шари-
шариков (рис. 115). Запишем условие
равновесия шарика под действием приложенных сил:
Запишем это уравнение в проекциях на выбранные оси
X и У:
— rsincc+F=0, Tcosa—mg = 0. A)
Учитывая, что F = ^2/Dя?оег2), запишем A) в виде
), Tcosa= mg. B)
Разделив почленно первое из уравнений B) на второе,
получим tga=q2/Dneoer2mg). Так как угол а мал, то
tga^sina=r/B/). Тогда г/B/) = ^2/Dяеоег2т^), откуда
Q =
_- in-2-л/ 2.3,14-8,85.10~12'l -5.10~2-10~4-9,8 „ ^
«5,2 нКл.
372. Два положительно заряженных тела с зарядами
1,67 и 3,33 нКл находятся на расстоянии 20 см друг от
друга. В какой точке на линии, соединяющей эти тела,
надо поместить третье тело с зарядом — 0,67 нКл, чтобы
оно оказалось в равновесии? Массами тел пренебречь.
Дано: ?!*= 1,67 нКл= 1,67-1(Г9 Кл; ?2= 3,33 нКл = 3,33- 1(Г9 Кл;
г = 20 см = 0,2 м; |^з1 = 0,67 нКл = 0,67-10~9 Кл.
х— ?
Решение. На тело С с зарядом q$ действуют Fi и F2 —
электрические силы взаимодействия с зарядами q\ и q<i
190
соответственно (рис. 116). х
Запишем условие равно- ^
весия тела С в проекциях
на ось X:
откуда F\ = F2, Учитывая, что
4леое(г—хJ '
__
где х — расстояние между телами с зарядами q2 и
получаем
0,2 м
м.
373. По первоначальным представлениям Бора, элект-
электрон в атоме водорода движется по круговой орбите. Вы-
Вычислить скорость движения электрона, если радиус его
орбиты 0,5-10~8 см (рис. 117).
Дано: Я = 0,5-1(Г
= 5-КГ
Решение. На электрон, движущийся по круговой орби-
орбите, действует электрическая сила его взаимодействия
с ядром, равная
F== \e\g
где И — абсолютное значение заряда
электрона; ц — заряд ядра атома во-
водорода; R — радиус орбиты электрона.
Пренебрегая силой гравитационного
взаимодействия электрона с ядром,
запишем для электрона второй закон у
Ньютона в проекциях на ось Y
(рис. 117):
Рис. 117
191
где т — масса электрона; ay = aa=v2/R. Тогда
откуда
\e\q
м
4-3,14-8,85-КГ1*-1-9,1-КГ31-5-1(ГП с ~
«2,25-106 м/с.
374. Два точечных заряда 6,7 и —13,ЗнКл находятся
на расстоянии 5 см друг от друга. Найти напряженность
электрического поля в точке, расположенной на расстоя-
расстоянии 3 см от положительного заряда и 4 см от отрицатель-
отрицательного.
Дано: qx = 6,7 нКл = 6,7-10~9Кл; я2« -13,3 нКл = —13,3X
X \0 Кл; г = 5 см = 5-10"* м, г, = 3 см = 3-10~2 м;
г2 = 4 см = 4-10~~2 м.
F - ?
Решение. По принципу суперпозиции напряженность
поля в точке А равна Е = Ei + E2, где Ei — напряжен-
напряженность поля в точке Л, созданного зарядом ^ь Е2 — на-
напряженность поля в точке Л, созданного зарядом q2
(рис. 118).
Так как заряды qx и q2 точечные, то Е\ = <7,/Dneoeri),
Е2 = <72/Dлеоег2). Из условия задачи следует, что угол
между векторами Ei и Е2 прямой, тогда напряженность
поля находим по теореме Пифагора: Е = -у ?? + ?г, или
с учетом Е\ и
~ _!_л /4
г 4яеО8 V г
1
4-3,14-8,85.10-
F,7. Ю-9J A3,3-Ю-9J В _
C-10-2L "• D.10L м ^
101 кВ/м.
375.°. Тонкий стержень дли-
Рис 118 ной 20 см равномерно заря-
192
I
дх
X
г
А
жен с линейной плотностью
1 нКл/см. Определить напря-
напряженность поля, созданного
стержнем в точке А (рис. 119)
на продолжении его оси на Рис 119
расстоянии 10 см от ближнего
конца, и силу взаимодействия
стержня и заряда 10~8 Кл, помещенного в точку А.
Дано: / = 20 см = 0,2 м; т = 1 нКл/см = 10~7 Кл/м;
г = 10 см = 0,1 м; q0 = 10~8 Кл.
Е — ? F— ?
Разобьем стержень на элементы малой длины Ах. За-
Заряд Aq элемента Ах считаем точечным. Найдем напря-
напряженность АЕ поля, созданного в точке А элементом дли-
длины Ах стержня, находящимся от точки А на расстоянии
х, по формуле
Так как t = Aq/Axy то Aq = xAx и
Векторы напряженности поля от других элементов длины
стержня направлены в ту же сторону, что и вектор dE.
Напряженность поля в точке А
=^ (
1
4ябО8\ х)\Г' 4яе0е
10 7 0,2JL—R R/
F J
4.3,14-8,85. Ю-12 0,1.@,1+0,2)
Тогда сила взаимодействия стержня и заряда
376. В трех вершинах квадрата со стороной 40 см
находятся одинаковые положительные заряды по 5 нКл
каждый. Найти напряженность поля в четвертой вер-
вершине квадрата (рис. 120).
193
Дано: а = 40 см = 0,4 м;
<7= 5нКл = 5-109 Кл.
?—?
Решение. По принципу су-
суперпозиции электрических по-
полей для точки А находим
Рис. 120
Е = Е! + Е2 +
A)
где Ei, E2 и Ез — напряженности полей, созданных
зарядами q\t q<i и цъ соответственно в точке А. Запишем
уравнение A) в проекциях на выбранные направления
X и У:
Ех = Е\ sina + ?2 + ?3 cosa, Еу— — Е\ cosa + ^з sina.
B)
Учитывая, что Е\ = Е^= ^/Dяе0еа2); Е2 = q/{4nE0sr2),
г2 = 2a2, sina = cosa = V^/2, и подставляя эти выраже-
выражения в уравнения B), находим:
_J 4 j
4^806^ 4леов2а2
5-10-
4-3,14-8,85.Ю-12-1-0.42 м
377. Определить напряженность электрического
поля, созданного диполем, в точке на перпендикуляре
к плечу диполя на расстоянии 50 см от его центра, если
заряды диполя 10~8 и — 10~8 Кл,
а плечо диполя 5 см.
Дано: d = 50 см = 0,5 м; q\ = Ю~8 Кл;
q2 = _ Ю"8 Кл;
/= 5 см = 5-Ю-2 м.
Е— ?
Решение. По принципу супер-
суперпозиции напряженность поля ди-
диполя в точке О равна сумме на-
пряженностей Ei от заряда q\ и
Ег от заряда q<i (рис. 121):
Е = Е, + Е2.
194
или в проекциях на ось X
Е = Е\ cosa + ?2 cosa,
где a — угол между векторами Et и Ег и осью ОХ. Так
как заряды диполя точечные, то
Из рисунка находим г = ^Jd2 + /2/4, cos а= 1/B-^1 d2 +12 /4)
Подставляя Е\у г и cosa в выражение для напряженно-
напряженности поля диполя, получаем
Е = ?2 -J = Ш A)
4ле0еD2 + /2/4) 2^fd2 + /2/4 ле0еD42 + /2K/2 *
Так как в знаменателе выражения A) 4d2^/2, то
ql
F_ 10-8.5-10-2 В .
^ ~~ 4.3,14.8,85. 10"l2.0,5J м °° D/ *
Из формулы видно, что напряженность поля диполя убы-
убывает обратно пропорционально d3, т. е. быстрее, чем
напряженность поля точечного заряда, убывающая
обратно пропорционально d2.
378. Имеются две металлические концентрические
сферы, радиусы которых 5 и 10 см и заряды 2 • 10~"8 и
—10~8 Кл. Определить напряженность поля, созданного
этими сферами, в точках, отстоящих от центров сфер на
расстояниях 3,8 и 14 см. Построить график зависимо-
зависимости напряженности поля от расстояния точки от центра
сфер.
Дано: /?, = 5 см = 5-10~2 м; R2 = 10 см = 0,1 м; qi = 2-10~8 Кл;
q2 = — Ю"8 Кл; г, = 3 см = 3-10~2 м; г2 = 8 см = 8- 10~2 м;
г3= 14 см = 14-Ю-2 м.
?, -? Е2 —? ?3 —? Е = Е(г) -?
Решение. По принципу суперпозиции напряженность
поля в любой точке равна
где Ei — напряженность поля в данной точке, образо-
образованного сферой с зарядом q\\ E2 — напряженность поля
в той же точке, образованного сферой с зарядом ^2.
Используя принцип суперпозиции, находим напряжен-
195
ность поля в точках Л, В и С в
проекциях на ось г.
Для точки А (рис. 122)
Еа = Е
\а
Рис. 122
Так как Е\А = Е2а = 0 (напря-
(напряженность поля внутри проводни-
проводника равно нулю), то и ?л = О
(точка А внутри сфер).
Для точки В
Ев = Е\в — Е2вУ
или, учитывая, что Ехв = q\/{4№oerl) и Е2в = 0, имеем
Ев = . .' а ;
2-10-
4.3,14-8,85.10"I2(i
Для точки С
— «28кВ/м.
Учитывая, что Е\с =
имеем
и ?гс = 1^21/Dя8оег|),
?с=
4-3,14-8.85
2 10""* 10~^ В
^A4-10-V -»4,6кВ/м.
Для построения графика используем найденные зна-
значения Еа, Ев и Ее, а также подсчитаем напряженности
поля в точках М и N, лежащих на поверхностях сфер.
Напряженность поля для всех точек внутри малой сферы
Е\ = ЕА = 0.
Напряженность поля Е" для точки на внешней поверхности
малой сферы
2-10-
4-3,14.8,85.
— =72кВ/м.
м
196
Напряженность поля для точки
на внутренней поверхности
большой сферы
F, 2.1Q-8
2~~ 4.3,14-8,85- КГ12-0,1
= 18 kB/m.
! м
Напряженность поля для точки
на внешней поверхности боль-
большой сферы
rv/ q\ — 1<Уг1
Рис. 123
2-108 - 10~8
в
4.3,14-8,85.10-i2.0,l2
По полученным данным строим график зависимости Е от г
(рис. 123). Из рисунка видно, что зависимость Е от г слож-
сложная. При r<cR\ кривая идет вдоль оси абсцисс (?==0),
при г — R\ и r=R2 кривая терпит разрывы.
379°. Два одинаковых положительных заряда находят-
находятся на расстоянии 20 см друг от друга. Найти на прямой,
перпендикулярной линии, соединяющей заряды и проходя-
проходящей через середину этой линии, точку, в которой напря-
напряженность поля максимальна.
Дано: qi = q2\ I = 20 см = 0,2 м.
Решение. Возьмем на оси X произвольную точку Л, на-
находящуюся на расстоянии х от точки О (рис. 124). По
Рис. 124
197
принципу суперпозиции напряженность поля в этой точке
E=Ej + E2, A)
где Ei и Ег — напряженности в точке А поля, созданного
зарядом q\ и зарядом q2.
Проецируя векторное уравнение A) на ось Ху получаем
Е = Е\ cosa + ?*2cosa, B)
где a — угол между векторами Ei и Е. Так как Е\ = E2t
то равенство B) можно записать в виде
C)
х 2х
Из АОАС находим спъп.— = . —— Учиты-
V^ 4- / /4 ' "
вая, что Е\ = ^/Dя8о8г2), где г =
перепишем выражение C):
_ 2<7-2*-4
Е = ¦ =
4деоеD;с2 + I2) У4*2 + I2 деоеDл:2 -f /2K/2 *
Если в данной точке напряженность поля максимальна,
то
dE/dx = 0. E)
Подставляя в условие E) выражение D) и производя
операцию дифференцирования, получаем
А- \ 4qx 1 =
dx L ле0еDл;" + /")"/" J
Aq
Ё?.Dх2 + /2K/2 - *4-D*2 + /2K/2
d* ах ^
О3/2]2 "~
откуда
_g.D^ + /2K/2 _ x_d_D^ + /2K/2 = 0;
Dл:2 + /2K/2 - л:|{4д:2 + /2I/2 4-2л: = 0;
Dх2 + /2)l/2[Dx2 + I2) - 12л:2] =0; 4л:2 + I2 - \2х2 = 0;
«± 0,071м.
380. Поле создано бесконечной вертикальной плоско-
плоскостью с поверхностной плотностью заряда 4 нКл/см2.
В нем подвешен на нити шарик массой 1 г и зарядом
198
1 нКл. Определить угол, образованный
нитью с плоскостью.
Дано: а = 4 нКл/см2 = 4- КГ Кл/м2;
т = 1 г = Ю-3 кг;
q = 1 нКл = 10"9 Кл.
F
Решение. На заряженный шарик,
подвешенный на нити в электрическом Рис. 125
поле, действуют: F — электрическая
сила, с которой поле плоскости действует на заряженный
шарик; mg — сила тяжести; Т — сила натяжения нити
(рис. 125). Запишем условия равновесия шарика в про-
проекциях на оси X и Y:
F — Т sina = 0, или F = Т sina,
— тё + ^cosa = 0, или mg = Tcosa,
откуда после почленного деления уравнений A)
tga= F/(mg).
A)
B)
Учитывая, что F=qE, E— a/Beoe), и подставляя эти
выражения в B), получаем tga= qa/{2zozmg)y откуда
a=arctg
qa
10~9«4«10~
0.23^0,225 рад.
381. Электрическое поле создано двумя бесконеч-
бесконечными параллельными плоскостями с поверхностной плот-
плотностью заряда 2 и —4 нКл/м2 (рис. 126, а). Определить
напряженность поля между плоскостями и вне плоскостей.
Построить графики напряженности поля для участков
////
= 2 нКл/м2 = 2-10"9 Кл/м2 ; а2 =
-4-Ю-9 Кл/м2.
Дано: а, = 2 нКл/
= -4-Ю-9 Кл/м2
- 4 нКл/м* =
?/-? ?„-? ?,
///
-?
Решение. Рассмотрим области /, // и /// поля (рис.
126, а).
Область /. По принципу суперпозиции напряженность
поля в этой области
Е, = Е, + Е2, A)
199
г,
¦Hj
Iz
a)
J,
или в проекциях на ось X
Е,=Е2- Е,
ill
где ?2 = |о2|/Bе08) и ?i =
= ai/Beoe). Принимая во
внимание эти выражения,
перепишем формулу A):
E,=
\ог\
\O2\ — O\
2eO8
1
5)
Рис. 126
Ей = Е2 +Ei =
Ж
I02I
2eO8
4.10-9-2.10-9 g,~113B/M,
Cf 2-8,85- 10-^-1 м 7
Аналогично находим значе-
значения напряженностей полей
для двух других областей.
Область //:
<У\ \<J2\ + оч
2е0е
F — 4'10~9 + 2-10-9
11 ~~~ 2-8,85-10~12-1
Область ///:
— «339 В/м.
?"/// = Е\ — ?г =
at
1<т2| cti—ICT2I .
2еО8
2-10~9 —4-10~9 В hod/
?ш== 2.8,85-10-»-1 —«-ПЗВ/М.
По полученным данным построим график изменения на-
напряженности поля вдоль оси X (рис. 126, б).
382. Вблизи отрицательно заряженной пластины плос-
плоского конденсатора образовался электрон вследствие
столкновения молекулы воздуха с космической частицей.
С какой скоростью электрон подлетит к положительно
заряженной пластине, если заряд пластины 1 нКл, ее
площадь 60 см2, расстояние между пластинами 5 мм?
Дано: q = i нКл = 10~9 Кл; S = 60 см2 = 6-10~3 м2;
d = 5 мм = 5-10~2 м.
Решение. Образующийся при столкновении электрон
начнет двигаться в однородном поле плоского конденса-
200
тора равноускоренно с начальной скоростью, равной нулю.
Из уравнения равноускоренного движения d = at2/2
находим время движения электрона от одной пластины до
другой: t = ^J2d/a. Подставляя это выражение в формулу
скорости v = at, получаем
A)
По второму закону Ньютона, ускорение движения элек-
электрона
а== F/mt
где т — масса электрона; F = \е\Е — электрическая сила,
действующая на электрон со стороны поля конденсатора;
е — заряд электрона; Е = о/(гог) — напряженность поля
внутри конденсатора; а = q/S — поверхностная плотность
заряда на пластинах конденсатора. Принимая во внима-
внимание эти выражения, перепишем формулу A):
-V-
2\e\qd
Seoem
2-1,6.10 19.1(Г9.5.1(Г3 М - па |л6 .
>.0-3.8,85. 10-'М.9>Ы0-3' Г*5'76*10 М/С
383. Чем объяснить, что легкий бузиновый шарик вна-
вначале притягивается к наэлектризованной палочке, а затем
отталкивается от нее?
Отв. При поднесении палочки к шарику на нем по
индукции наводятся заряды разных знаков. На стороне
шарика, ближней к палочке, наводится заряд, противопо-
противоположный по знаку заряду палочки. На дальней стороне
шарика наводится заряд одного знака с зарядом палочки.
Сила притяжения разноименных зарядов больше силы от-
отталкивания одноименных зарядов, так как разноименные
заряды шарика и палочки окажутся ближе расположен-
расположенными друг к другу, чем одноименные заряды. При сопри-
соприкосновении заряд, противоположный по знаку заряду па-
палочки, нейтрализуется. Шарик приобретает заряд,
одинаковый по знаку с зарядом палочки, и поэтому начнет
отталкиваться от нее.
Упражнения
384. Даны два шарика массой 1 г каждый. Какой заряд
нужно сообщить каждому шарику, чтобы сила взаимного
201
отталкивания зарядов на шариках уравновесила гравита-
гравитационную силу взаимного притяжения шариков? Шарики
находятся в воздухе.
385. Два одинаково заряженных шарика, имеющие
массу 0,5 г каждый и подвешенные на нитях длиной по
1 м, разошлись на 4 см друг от друга. Найти заряд каж-
каждого шарика.
386. Стальной шар радиусом 0,5 см, погруженный в
керосин, находится в однородном электрическом поле
напряженностью 35 кВ/см, направленной вертикально
вверх. Определить заряд шара, если он находится во
взвешенном состоянии.
387. Кольцо из проволоки радиусом 10 см равномерно
заряжено зарядом — 5 нКл. Найти напряженность элек-
электрического поля на оси кольца в точках, находящихся
от центра кольца на расстояниях 0, 5, 8, 10 и 15 см. Начер-
Начертить график зависимости напряженности поля от расстоя-
расстояния от центра кольца.
388. Маленький шарик массой 100 мг и зарядом
16,7 нКл подвешен на нити. На какое расстояние надо
поднести к нему сниз> одноименный и равный ему заряд,
чтобы сила натяжения нити уменьшилась вдвое?
389. Во сколько раз сила тяготения между двумя
протонами меньше силы их кулоновского отталкивания?
390. Три отрицательных заряда по 9 нКл каждый рас-
расположены в вершинах равностороннего треугольника.
Какой заряд нужно поместить в центре треугольника,
чтобы система находилась в равновесии?
391. Шарик, имеющий массу 0,4 г и заряд 4,9 нКл, под-
подвешен на нити в поле плоского воздушного конденсатора,
заряд которого 4,43 нКл и площадь пластины 50 см2. На
какой угол от вертикали отклонится при этом нить с ша-
шариком?
392. Два одинаково заряженных шарика, подвешен-
подвешенных на нитях равной длины, разошлись на некоторый угол.
Какова плотность материала шариков, если при погруже-
погружении их в керосин угол между нитями не изменился?
Потенциал электростатического поля.
Работа силы по перемещению заряда
в электростатическом поле
Потенциал электростатического поля
Ф= — A/qy
202
где А — работа сил поля при перемещении заряда из
бесконечности в данную точку поля.
Потенциал поля точечного заряда или заряженной
сферы
Если поле образовано несколькими точечными заря-
зарядами, то потенциал поля в данной точке равен алгебраиче-
алгебраической сумме потенциалов полей, образованных в этой точке
каждым зарядом отдельно:
п
i = 1
Связь между напряженностью Е электростатического
поля и разностью потенциалов U на обкладках плоского
конденсатора (однородное поле) такова:
Р ф! — ф2 _U_
С ~~ d ~~ d '
где d — расстояние между обкладками плоского конден-
конденсатора. Работа электрической силы по перемещению заря-
заряда в электростатическом поле из одной точки поля в другую
А = <7(q>i — ф2) = qU.
393. Пылинка массой Ю 8 г висит между пластинами
плоского воздушного конденсатора, к которому приложено
напряжение 5 кВ. Расстояние между пластинами 5 см. Ка-
Каков заряд пылинки?
Дано: т= 10"8 г = 1СГ
U = 5kB = 5.10j
d = 5-КГ2 м.
кг;
Решение. На пылинку в элек-
электрическом поле действуют: mg —
сила тяжести; F — электрическая
сила со стороны поля (рис. 127).
Рис. 127
203
Запишем условие равновесия пылинки в проекциях на
ось Y:
откуда F= mg.
Учитывая, что F= qE и Е= U/d, получаем qU/d= mg,
откуда
q = -!#-, q= 10""'^t10"' Кл= 9,8.10-'6Кл.
и о • 1U
394. Электрон влетает в плоский воздушный конден-
конденсатор параллельно его пластинам со скоростью 6- 107 м/с.
Расстояние между пластинами 1 см, разность потенциалов
600 В. Найти отклонение электрона, вызванное полем кон-
конденсатора, если длина его пластины 5 см.
Дано: v = 6-107 м/с; d = 1 см= 10 м; ?7 = 600 В;
/= 5 см = 5-Ю м.
Л—?
Решение. На электрон, влетевший в электрическое
поле, со стороны поля действует сила
F=\e\E,
где Е = U/d.
Поскольку напряженность электрического поля на-
направлена вверх (рис. 128), сила, действующая на элек-
электрон, направлена вниз. Движение электрона можно рас-
рассматривать как суперпозицию двух независимых движе-
движений, происходящих в горизонтальном и вертикальном
направлениях. В горизонтальном направлении электрон
по-прежнему будет двигаться равномерно, так как в этом
направлении на него не действуют никакие силы. Одно-
Одновременно с этим под действием электрической силы он
равноускоренно перемещается вниз. Траекторией движе-
движения будет парабола. Это движение электрона в конден-
конденсаторе подобно движению тела, брошенного горизонталь-
горизонтально. За время движения в конденсаторе электрон пролетит
по горизонтали расстояние
а по вертикали перемес-
переместится вниз на расстояние
— — — —
[—.—3
Е
•—•——__
—¦—,
*-—^
B)
Рис. 128
где а — ускорение дви-
движения.
204
Решая совместно уравнения A) и B), находим
h = а/2/Bи2). C)
Чтобы определить ускорение, применим уравнение второго
закона Ньютона. Так как на электрон в вертикальном
направлении действует только одна сила F (силой тяжес-
тяжести, действующей на электрон, пренебрегаем), то F = та,
откуда а = F/m> или
a=\e\U/(dm). D)
Подставляя выражение D) в C), получаем
, _ P\e\U . _ E- 1Q-2J-1,6- 1Q-|9-6OO ^
П ~~ 2v2dm ' П ~~ 2.F-107J-Ю-2-9,1-Ю1 М ~
« 3,65-10 м.
395. Два шарика с зарядами 6,7 и 13,3 нКл находят-
находятся на расстоянии 40 см друг от друга. Какую работу нужно
совершить, чтобы сблизить их до расстояния 25 см?
Дано: qx = 6,7 нКл = 6,7- 1(Г9 Кл; q2 = 13,3 нКл = 13,3-10~9 Кл;
П = 40 см = 0,4; г2 = 25 см = 0,25 м.
Решение. В задачах такого типа удобно считать один
из шариков неподвижным, образующим электрическое по-
поле, а другой — движущимся в поле первого шарика. Пусть
заряд q\ шарика создает поле, а шарик с зарядом q2 дви-
движется в этом поле из точки, находящейся на расстоянии
г\ от шарика q\, в точку, находящуюся на расстоянии г2
от него. Тогда работа, которую при этом совершает внеш-
внешняя сила,
Лвн = — А = <72(ф2 — q>i), A)
где ф1 и ф2 — потенциалы начальной и конечной точек
поля. Так как поле образовано точечным зарядом, то
Ф, = -г^— и ф2 = —^—. B)
Подставим выражения B) в A):
Я\ Ц\ \ _ <7i?2(ri — г2) т
4леоег2 4 4 '
А — 6,7» 10~9.13,3» 10~9@,4 - 0,25) п 1 о
вн "" 4-3,14 -8,85.102.1 -0,4.0,25 Д W '
205
л.
396. На расстоянии 50 см от
поверхности шара радиусом
9 см, заряженного до потен-
потенциала 25 кВ, находится точеч-
точечный заряд 10~8 Кл. Какую ра-
работу надо совершить для умень-
Рис> 129 шения расстояния между ша-
шаром и зарядом до 20 см?
Дано: /, = 50 см = 0,5 м; R = 9 см = 0,09 м; фш = 25 кВ =
= 25-103 В; q = 10~8 Кл; /2 = 20 см = 0,2 м.
А — ?
Решение. Пусть заряд q перемещается из точки В в
точку С в электрическом поле, созданном заряженным
шаром (рис. 129). Работа по перемещению заряда в
электрическом поле
Аэл = q (фд — фс). A)
Учитывая, что потенциалы поля, образованного заряжен-
заряженным шаром, в точках В и С фя = qm/ [4леое(/? + 1\)\ и
фС = qU}/ [4ябое(/? + /г)], перепишем выражение A):
Д _ J ^ш </"» 1 =
Ч[ 4дб0е(У? + /,) 4яе0е(/? + /2) J
__ <7<7ш(/2 — /Q
/i) (/? -h /2) '
Потенциал точки на поверхности шара
B)
откуда заряд шара
Подставляя выражение C) в B), находим
1-1- 1х
Лэл-Ш -9-10 -25 10 @09 + 0
« — 39,5 мкДж.
Знак минус означает, что электрическая сила препят-
препятствует перемещению заряда, т. е. направлена в сторону,
противоположную движению. Для перемещения заряда
к нему должна быть приложена внешняя сила, направлен-
206
ная по движению, работа кото-
которой Л= — Лэл. Следовательно,
А = 39,5 мкДж.
397. Определить работу
электрических сил по переме-
перемещению заряда 1 нКл из точки
А в точку В и из точки С в точ-
точку D, если г=6 см, а = 8 см,
<7i = 3,33 нКл, <72= —3,33 нКл
(рис. 130).
0/
Дано: q = 1 нКл = 1СГ9 Кл, г = 6 см = 6-10~2 м; а = 8 см =
= 8-10 м; ?, = 3,33 нКл = 3,33-10~9 Кл;
q2 = _ 3,33 нКл = - 3,33 • 10"9 Кл.
Л — ?
Решение. 1. Работа электрической силы по перемеще-
перемещению заряда q из точки А в точку В
Аав = q (фл — фв). A)
Здесь фд = фл, + фл2 = <7i/Drteoeri) + Я2/ DлеоеА*2); фв =
= фд, + фб2 = ^1/Dл808/-2) + <72/DяеО8Г1) — потенциалы
поля, образованного зарядами q\ и ^2 в точках Л и Б, где
г, = г, r2 = V^~+~^- Подставим фл, <рв, п и г2 в урав-
уравнение A):
V
А — 1O~9C,33-1Q-9 + 3,33.1Q-9) ^
Лав "~ 4-3,14-8,85-Ю-12.1-6-Ю-2 Л
' f (8. IPJ"— 6- 10)
10
VF.10"z)a +(8-Ю-2J
8.10-7 Дж.
2. Работа электрической силы по перемещению заря-
заряда q из точки С в точку D
Acd = q (фс — фо). B)
Здесь фс = фС| + фс2 = ^1/DлеО8г3) + <72/Dлеоег3); ф0 =
= Фо, + 4>Df= ^,/Dле0е/'4) + ^2/Dле08/-4) — потенциалы
поля, образованного зарядами qx и q2, в точках С и D, где
г3 = а/2, r4 = V^2 + а/4. Подставляя выражения для
фс, фо, г3 и г4 в уравнение B), получаем
207
Рис-
Так как qx = —q2, то (^1 + ^2) = 0 и Acd = 0.
398. Какой скоростью обладает электрон, пролетевший
ускоряющую разность потенциалов 200 В (рис. 131)?
Дано: U = 200 В.
Решение. На электрон в электрическом поле действует
электрическая сила F = \е\ ?, под действием которой он
летит равноускоренно против направления вектора напря-
напряженности поля. При этом электрическая сила совершает
работу по перемещению электрона, равную изменению
кинетической энергии электрона:
A = tiW«=W«- WKo.
Учитывая, что А = \e\U, WK = mu2/2 и WKo = 0, полу-
получаем \e\U = niv2/2y откуда
2\e\ U _ / 2-l,6-10~19-200 м
399. Шарик массой 1 г перемещается из точки Л, по-
потенциал которой 600 В, в точку В> потенциал которой ра-
равен нулю. Определить скорость шарика в точке А, если в
точке В его скорость 20 см/с. Заряд шарика 10 нКл.
Дано: т = 1 г = 10~3 кг; q>i = 600 В; ф2 = 0;
v = 20 см/с == 0,2 м/с; q = 10 нКл = 10"8 Кл.
Решение. Шарик перемещается под действием элект-
электрической силы со стороны поля. При этом изменение ки-
кинетической энергии шарика равно работе электрической
силы:
МРК = А A)
Поскольку Д№к= mv2/2 — mvl/2 и A = q(y\— ф2), урав-
уравнение A) можно привести к виду mv2/2 — mvi/2 =
= <7(ф1 — ф2), откуда
208
— фг)/т;
i>o = i/0>22 — 2-10-8600-103 м/с « 0,17 м/с.
400. Шарик массой 40 мг, имеющий заряд 1 нКл, пере-
перемещается из бесконечности со скоростью 10 см/с. На ка
кое минимальное расстояние может приблизиться шарик к
точечному заряду, равному 1,33 нКл?
Дано: т = 40 мг = 4-10~5 кг; qx = 1 нКл = 10~9 Кл;
v = 10 см/с = 0,1 м/с; <7г = 1,33 нКл = 1,33-10"9 Кл.
Решение. На заряженный шарик при его движении в
электрическом поле действует со стороны поля электри-
электрическая сила, работа которой равна изменению кинетиче-
кинетической энергии шарика:
К = А.
Так как &WK = WK — WKo = 0 — mv2/2 = — mv2/2y A =
= <7i(cpoo — <pi) = <7i[0 — ?2 Dле0е/-)] = — qxq2/ Dяе0ег),
то — mv2/2 = — ^1^2/Dяео8г), откуда
г = ™* ¦ г = Ю-9-1,33;10"9 _
2mv2 ' 2.3,14-8,85- I0~12.4.10-5-0,l" ^
« 6-10-2 м.
401°. В поле, созданном заряженной сферой радиусом
10 см, движется электрон по радиусу между точками,
находящимися на расстояниях 12 и 15 см от центра сфе-
сферы. При этом скорость электрона изменяется от 2-Ю5 до
2 -106 м/с. Найти поверхностную плотность заряда сферы.
Дано: R = 10 см = 0,1 м; г\ — 12 см = 0,12 м; г2 = 15 см = 0,15 м;
vi = 2- 10б м/с; v2 = 2-106 м/с.
Решение. При движении электрона электрическое поле
совершает работу, равную изменению его кинетической
энергии:
A)
Иначе, электрическая сила со стороны поля, действую-
действующая на электрон при его движении в поле,
F=\e\E,
8—580 209
где Е = q/ Dлеоег2) —напряженность поля заряженной
сферы. Отсюда видно, что электрическая сила зависит
от расстояния г и изменяется при движении электрона
в поле, поэтому ее работа
'г
А = j F cosadr,
или, учитывая выражения для F и Е и принимая во вни-
внимание, что cosa = 1 и заряд сферы q = а4я/?2,
А-\
4яеое/-2
Вынося постоянные величины за знак интеграла и произ-
производя операцию интегрирования, получаем
- oR2\e\ ? dr oR2\e\
еО8
oR2\e\ (r2 - г,)
B)
Приравнивая правые части выражений A) и B), на-
находим
m(v\ - v\) = oR2\e\ {г2 - гх)
2 еоЕГ[Г2 '
откуда
__ 8,85- 10-'2-0,12>0Л5.9,1. 1Q-31 [B» 106J -B* 105J Кл ^
a _ 2.0,1М,6.1(Г19@,15 _ 0,12) ?" ^
« 5,96 нКл/м2.
402. Двум металлическим шарам разного радиуса
сообщили одинаковые заряды. Будут ли переходить заря-
заряды с одного шара на другой, если их соединить провод-
проводником?
Отв. Поскольку потенциалы шаров различны [ф =
= Q/ Dлеое/?)], при соединении шаров заряд будет пере-
переходить с шара с большим потенциалом (меньший радиус)
на шар с меньшим потенциалом (больший радиус) до
тех пор, пока потенциалы шаров не примут одинаковое
значение.
210
Упражнения
403. Две параллельные плоские пластины, находящие-
находящиеся на расстоянии 10 см друг от друга, заряжены до раз-
разности потенциалов 1 кВ. Какая сила будет действовать
на заряд 10~4 Кл, помещенный между пластинами?
404. Расстояние между зарядами 1 Кл и — 6,67 нКл
равно 10 см. Какую работу надо совершить, чтобы пере-
перенести второй заряд в точку, находящуюся от первого за-
заряда на расстоянии 1 м?
405. Материальная точка с зарядом 0,67 нКл, дви-
двигаясь в ускоряющем электрическом поле, приобретает
кинетическую энергию 107 эВ. Найти разность потенциа-
потенциалов между начальной и конечной точками траектории
частицы в поле, если ее начальная кинетическая энергия
равна нулю.
406. При радиоактивном распаде из ядра атома поло-
полония вылетает а-частица со скоростью 1,6«107 м/с. Какую
разность потенциалов надо приложить, чтобы сообщить
а-частице такую же скорость?
407. Определить силу взаимного отталкивания двух
шариков в воздухе, если каждый из них заряжен до по-
потенциала 600 В. Диаметр каждого шарика 1 см, расстоя-
расстояние между центрами шариков 20 см.
408. Поле создано тонким стержнем, который согнут в
полукольцо и равномерно заряжен с линейной плот-
плотностью 20 нКл/м. В центре полукольца помещен точеч-
точечный заряд — 1 нКл. Определить работу, которую надо
совершить для перемещения заряда из центра полуколь-
полукольца в бесконечность.
409. В центре полого металлического шара радиусом
1 м с зарядом 3,34 нКл находится маленький шарик
с зарядом 6,67 нКл. Определить потенциалы поля в точ-
точках, находящихся от центра шара на расстояниях 0,5;
1; 10 м.
410. В вершинах квадрата расположены точечные за-
заряды 1,33; —0,66; 0,99; — 1,32 нКл. Определить потен-
потенциал поля в центре квадрата, если его диагональ равна
20 см.
411. Определить потенциал точки поля, созданного
металлическим шаром с поверхностной плотностью заря-
заряда 10~и Кл/см2 и радиусом 1 см, если расстояние от этой
точки до поверхности шара 9 см.
8** 211
Электроемкость. Энергия заряженного проводника
и электростатического поля
Электрическая емкость проводника
ф
Электрическая емкость шара
С = 4я88о/?,
где R — радиус шара.
Электрическая емкость плоского конденсатора
где S — площадь пластины конденсатора; d — расстоя-
расстояние между пластинами.
Электроемкость батареи, состоящей из параллельно
соединенных конденсаторов,
п
с = 2 с,,
i = I
а из последовательно соединенных конденсаторов —
_L= у J_
и . = , с,
где С\ — электроемкость отдельного конденсатора; п —
число конденсаторов в батарее.
Электрическая энергия заряженного проводника
W = 1<7ф = 1 СФ2.
Электрическая энергия заряженного конденсатора
Энергия электростатического поля (однородного)
2
где V — объем, занимаемый полем.
Объемная плотность энергии поля
w = у еое?2.
212
412. Металлический шар радиусом 5 см заряжен до
потенциала 150 В. Найти потенциал и напряженность
поля в точке Л, удаленной от поверхности шара на рас-
расстояние 10 см.
Дано: R = 5 см = 5-10~2м; фш = 150 В; d = 10 см = 0,1 м.
Ф— ? Е — ?
Решение. Потенциал поля, образованного заряженным
шаром в точке А (рис. 132),
Ф = <7/Dлеоег), A)
где q — заряд шара, г = R + d — расстояние от центра
шара О до точки А.
Емкость шара
Сш = 4яб0е/?. B)
Иначе, Сш = ^/фш, откуда q = Сшфш, или с учетом B)
q = 4л8ое/?фш. C)
Подставляя выражение C) в A), находим
4яб0е/?фш R R
<Р = 4яеоеГ = Т *• = T+~d ^'
Напряженность поля, образованного заряженным шаром
в точке Л,
Е= я
или с учетом выражения C)
R R
4-
м-¦«¦¦»/»•
413. Два шара, радиусы кото-
которых 5 и 8 см, а потенциалы соот-
соответственно 120 и 50 В, соединяют
проводом. Найти потенциалы ша-
шаров после их соединения и заряд,
перешедший с одного шара на
другой. Рис. 132
213
ф| = 120 В; ср2 =
= 50 В.
Решение. Зная радиусы шаров, запишем выражения
для их емкостей: С\ = 4яе0е/?1 и C<i = 4л8ое/?2- Тогда за-
заряды каждого шара до их соединения соответственно
равны
Ц\ — Cicpi = 4ле0е/?1ф1 и q2 = С2ф2 = 4леое/?2ф2. A)
Общий заряд шаров до их соединения
q\+ Q2 — ф
+ /?2ф2>. B)
После соединения шаров между ними произойдет пере-
перераспределение зарядов: часть заряда с шара с большим
потенциалом перейдет на шар с меньшим потенциалом,
в результате чего потенциалы шаров станут одинаковыми
и равными ф. Следовательно, после соединения шаров вы-
выражения A) и B) примут вид
q\ =
Я\ + Я2 = 4л80е/?1ф
= 4леО8(/?1 + Я2)<р. C)
Но при соединении шаров между собой их общий заряд не
изменяется; следовательно, q\ + Цг = q\ + qi, или с уче-
учетом формул B) и C)
откуда
ф1/?1+ф2/?2 120-5- Ю 4" 50-8- Ю D 77 D
Ф = Rl + Rl ; Ф = 5.10-5 + 8.ю-2 в « 77 В.
Зная ф, находим заряд, перешедший с одного шара на
другой:
= 4леО8/?1(ф1 — ф);
Л^ = 4-3,14.8,85- КГ12.Ь5-1(Г2A20 - 77) Кл =
= 2,4-100 Кл.
414. Три заряженные водяные капли радиусом 1 мм
каждая сливаются в одну большую каплю. Найти потен-
потенциал большой капли, если заряд малой 10"|0 Кл.
214
Дано: п = 3; г = 1 мм = Ю м; q = 100 Кл.
Решение, Потенциал большой капли
<P=Q/C, A)
где Q = nq, С = 4ле0е/?.
Радиус R большой капли найдем из закона сохранения
массы:
М = пт, B)
где т = pV = 4/зряг3 — масса маленькой капли; М =
= pV\ = /зря/?3 — масса большой капли. С учетом этих
выражений равенство_B) можно привести к виду R3 =
= пг3, откуда R = r\jn . Подставляя выражения для Q, С
и /? в уравнение A), получаем
3 10~
415. Площадь пластины плоского воздушного конден-
конденсатора 60 см2, заряд конденсатора 1 нКл, разность по-
потенциалов между его пластинами 90 В. Определить рас-
расстояние между пластинами конденсатора.
Дано: S = 60 см2 = 6- 1(Г3 м2; q = 1 нКл = 10~9 Кл; V = 90 В.
d — ?
Решение. Емкость плоского конденсатора
С == EoeS/d или С == q/U.
Приравнивая правые выражения, получаем eoeS/d =
= q/U, откуда
U = , й= j^rg М « 4,0 • IU М.
416. Пластины плоского конденсатора изолированы
друг от друга слоем диэлектрика. Конденсатор заряжен
до разности потенциалов 1 кВ и отключен от источника
напряжения. Определить диэлектрическую проницаемость
диэлектрика, если при его удалении разность потенциа-
потенциалов между пластинами конденсатора возрастает до 3 кВ.
215
Дано: Ux = 1 кВ = 103 В; U2 = 3 кВ = 3- 1О3 В.
е — ?
Решение. Так как конденсатор отключен от источника
напряжения, то его заряд в обоих случаях будет одина-
одинаков: q\ = q2. Принимая во внимание, что q\ = U\C\ и
q2 = U2C2t находим U\C\ = U2C2y откуда
62/Ul = CJC2. A)
Учитывая, что для плоского конденсатора С\ = eieoS/d
и С2 = E2BoS/d, получаем
Ci/C2= e,/e2. B)
Сравнивая выражения A) и B), находим U2/Ui = ei/e2,
откуда
3-103-1 о
-1F-=3.
417. Плоский воздушный конденсатор, расстояние
между пластинами которого 5 см, заряжен до 200 В и
отключен от источника напряжения. Каким будет напря-
напряжение на конденсаторе, если его пластины раздвинуть
до расстояния 10 см?
Дано: d\ = 5 см = 5-10~2 м; Vx = 200 В; d2 = 10 см = 0,1 м.
Решение. Емкость конденсатора и напряжение на нем
соответственно равны
до раздвижения пластин;
после раздвижения пластин.
Мы учли, что при раздвижении пластин заряд конден-
конденсатора не изменяется, так как конденсатор отключен
от источника напряжения. Почленно разделив выраже-
выражение A) на B), найдем U\/U2 = di/d2t откуда
418. Расстояние между пластинами плоского воздуш-
воздушного конденсатора, присоединенного к источнику напря-
216
жения с ЭДС 180 В равно 5 мм. Площадь пластин кон-
конденсатора 175 см2. Найти работу по раздвижению пластин
до расстояния 12 мм в двух случаях: 1) конденсатор перед
раздвижением пластин отключен от источника; 2) кон-
конденсатор в процессе раздвижения пластин все время
соединен с источником.
Дано: € = 180 В; d\ = 5 мм = 5-10~3 м; d2 = 12 мм =
= 12- КГ3 м; 5 = 175 см2 = 1,75-10~2 м2.
Решение. 1. Работа, совершаемая в этом случае,
равна изменению энергии конденсатора, т. е.
Ax = b>W=W2— Wu A)
где W\ = q2/BC\) — энергия и Ci = eoeS/d\ — емкость
конденсатора до раздвижения пластин; W2 = q2/{2C2) —
энергия и Сг= BozS/d2 — емкость конденсатора после
раздвижения пластин. Если конденсатор отключен от ис-
источника, то заряд q на его пластинах остается постоян-
постоянным в процессе раздвижения пластин:
q = C\UX = BozSUi/du
или, поскольку до раздвижения пластин U\ = #,
q = eqeS &/d\.
Учитывая выражения для Wu W2, Ci, C2 и qy перепишем
формулу A):
A — 8,85» IP2.1 -1,75- IP-1802A2> 10~3 — 5» 10~3) n __
Al - 2.E-Ю-8J ДЖ~
= 705 НДЖ.
2. Если конденсатор соединен с источником, то раз
ность потенциалов на его пластинах остается постоянной
Полная работа, совершаемая при раздвижении пластин,
А = А2 — Лкст, B)
где А2 — работа внешней силы, Л»ст = ?&q = 8(q\ — q2) -
работа источника по перемещению заряда Д^; q'\ = С\8 -
заряд конденсатора до раздвижения пластин; q2= С28 -
заряд конденсатора после раздвижения пластин. Работу
Лист источника мы взяли со знаком минус, так как при
перемещений заряда с положительной обкладки на отри-
отрицательную источник совершает отрицательную работу.
217
Иначе, полная работа равна изменению энергии кон-
конденсатора
А = bW = W2 — Wx. C)
Приравнивая выражения B) и C), находим А2 — Анст =
= №2 — ^ь откуда
А2 = №2 - Wx + Л„сТ. D)
Здесь HPi = Ci <?2/2 и W2 = С2 <?2/2 — энергия конденса-
конденсатора до и после раздвижения пластин. Подставляя
выражения для Лист, W\ и W2 в формулу D), находим
Л2 = С2ё2/2 - d<?2/2 + 8{Схё- С2ё) =
или, учитывая, что Ci = eqeS/cIi и С2 = eoeS/d2t
д ?2 / eoeS eoeS \
2"" ~\~5i 5Г ""
- _ 8,85» IP2» 1 «1,75» 10~2-1802A2> Ю—5» 10~3) д ___
= 293 нДж.
419. Три конденсатора емкостями 1, 2 и 3 мкФ соеди-
соединены последовательно и присоединены к источнику напря-
напряжения с разностью потенциалов 220 В. Каковы заряд и
напряжение на каждом конденсаторе?
Дано: d = 1 мкФ = 10~6 Ф; С2 = 2 мкФ = 2-10~6 Ф;
С3 == 4 мкФ = 3- Ю-6 Ф; U = 220 В.
Решение. Обозначим: ф1 — потенциал пластины /;
ф2 — потенциалы пластин 2 и 3 (потенциалы равны, так
как пластины соединены); фз — потенциалы пластин 4
и 5; ф4 — пластины 6 (рис. 133). Пластина / получит от
источника заряд + Я- На пластине 2 наведется по индук-
индукции заряд — q> а на пластине 3 — заряд + Я- Аналогично,
г г г по индукции возникает заряд —q на
JLlk^jk-ijk—j пластине 4, -\-q на пластине 5, —q на
пластине 6. Таким образом, при после-
последовательном соединении конденсаторов
ц1± I заряды на любом из конденсаторов
'? одинаковы. Обозначим эти заряды ^i =
= <72 = <7з=<7. По определению,
Рис. 133
218
Ф1 = ф2 = q/Ci = U\, ф2 — ф3 = q/C2 = U2,
Фз — ф4 = q/Сз = U3.
Складывая почленно эти равенства, получаем
Ф1 - Ф4 = <7A/Ci + 1/С2 + 1/Сз),
откуда, учитывая, что ф! — ф4 = U — напряжение источ-
источника, находим
и
1/С, + 1/С2+ 1/Сз '
я =
Тогда напряжения на конденсаторах:
В = 120 В;
Таким образом, при последовательном соединении кон-
конденсаторы разной емкости находятся под разным на-
напряжением. Чем меньше емкость, тем больше напряжение
на обкладках конденсатора.
420. Между клеммами А и В включены конденса-
конденсаторы емкостями 2 и 1 мкФ (рис. 134, а). Вычислить ем-
емкость системы.
Дано: С, = 2 мкФ = 2-10~6 Ф; С2 = 1 мкФ = 10~6 Ф.
С — ?
Решение. Рассмотрим отдельно участок цепи между
точками D и Е (правая часть рис. 134, а). Он состоит из
двух параллельных ветвей, в одну из которых включен
конденсатор емкостью С2, а в другую — последовательно
три конденсатора емкостями С\. Тогда емкость этого
участка Cde = С2 + С, где С находим из условия 1/С =
= 1/Ci + 1/Ci + 1/С, = 3/С, откуда С = С,/3. Тогда
Cde = С2 + Ci/З = (ЗС2 + С,)/3. A)
219
421. Лейденская банка емкостью 3,3 нФ заряжена до
разности потенциалов 20 кВ. Предполагая, что при раз-
разряде банки 10% ее энергии рассеивается в виде звуковых
и электромагнитных волн, определить количество выделив-
выделившейся теплоты.
Дано: С = 3,3 нФ = 3,3-10~9 Ф; U = 20 кВ = 2-104 В;
Q-?
Решение. Электрическая энергия заряженной банки
W=CU2/2. A)
220
Заменим участок цепи между точками D и Е эквивалент-
эквивалентной ему емкостью Cde (рис. 134,6). Теперь искомая ем-
емкость С равна сумме емкостей двух параллельных вет-
ветвей, в одну из которых включен конденсатор емкостью Сг,
а в другую — последовательно три конденсатора емкостя-
емкостями Сь Cde и С\. Тогда С = С2 + С", где С находим из
условия
Энергия W' — Oy\W теряется на излучение. Следователь-
Следовательно, количество выделившейся теплоты
Q = W — 0,l№=
или с учетом формулы A)
гл r\c\CV2 г\ 0,9-3,3-10~9B-104J и Л а п
422. Конденсатор емкостью 1 мФ при напряжении
1200 В применяют для импульсной стыковой сварки
медной проволоки. Найти среднюю полезную мощность
разряда, если он длится 10 с. КПД установки 4%.
Дано: С=1мФ=1(Г3Ф; (/=1,2.103В; /=1(Г6с; ц = 0,04.
Решение. Средняя мощность разряда
<N)=A/t,
где A = AW=W«- Wt=CU2/2-0=CU2/2. Следова-
Следовательно,
<Л0 = CU2/Bt).
Средняя полезная мощность
<Лп> Вт 28
423. Металлический шар радиусом 3 см имеет заряд
2» 10~8 Кл. Шар погружен в керосин так, что не касается
стенок сосуда. Определить объемную плотность энергии
поля в точках, отстоящих от центра шара на расстоянии
2 и 4 см.
Дано: # = Зсм = 3-10 м; <7 = 2.10-8Кл; r, = 2-10M; г2 =
= 4.10~2м; е = 2.
W\ — ? ДО2 — ?
Решение. Объемная плотность энергии
ш = Е0е?2/2.
Точка, находящаяся на расстоянии Г\ от центра заряжен-
заряженного шара, расположена внутри шара, где напряжен-
напряженность Е\ поля равна нулю, поэтому в этой точке здл = 0.
Для точки, отстоящей от центра шара на расстоянии гч>
объемная плотность энергии
где Е2 — напряженность поля в этой точке.
Так как Е2 = д/DлЕоЕг1), то
B-10~8J Дж
424. Пластины плоского воздушного заряженного
конденсатора притягиваются с силой F. Изменится ли
эта сила, если ввести в воздушный зазор между пласти-
пластинами конденсатора пластинку из диэлектрика?
Отв. Вводя пластинку из диэлектрика, мы ослабляем
напряженность поля в пространстве, занятом диэлектри-
диэлектриком, но не изменяем напряженности поля в зазорах меж-
между диэлектриком и пластинами конденсатора. Поэтому
сила притяжения F между пластинами не изменится.
Упражнения
425. Конденсатор состоит из трех полосок станиоля
площадью 10 см2 каждая, разделенных слоями слюды
толщиной 0,5 мм. Крайние полоски станиоля соединены
между собой. Определить емкость конденсатора.
426. Воздушный конденсатор состоит из двух круглых
пластин радиусом 10 см. Расстояние между пластинами
1 см, разность потенциалов 120 В. Определить заряд кон-
конденсатора.
427. Конденсатор, заряженный до напряжения 100 В,
соединяется параллельно с конденсатором такой же
емкости, но заряженным до напряжения 200 В. Какое
напряжение установится между обкладками?
428. Три конденсатора емкостями 2, 4 и 6 пФ соеди-
соединены параллельно и подключены к источнику с напряже-
напряжением 1 кВ. Найти заряды на конденсаторах.
429. Батарея из двух последовательно соединенных
лейденских банок емкостями 300 и 500 пФ заряжена до
напряжения 12 кВ. Определить напряжение и заряд на
обкладках первой и второй банок.
430. Шар радиусом 25 см заряжен до потенциала
222
600 В. Какое количество теплоты выделится в проводни
ке, если шар соединить этим проводником с землей?
431. Найти объемную плотность энергии электростати
ческого поля в точке на расстоянии 2 см от поверхности
заряженного шара радиусом 1 см. Поверхностная плот
ность заряда шара 16,5 мкКл/м2. Диэлектрическая про-
проницаемость среды равна двум.
Вопросы для повторения
1. Сформулируйте закон Куло-
Кулона. 2. Объясните физический
смысл относительной диэлект-
диэлектрической проницаемости. 3. Что
называется напряженностью
электрического поля? 4. Напи-
Напишите формулы для расчета
напряженности поля точечного
заряда, заряженной сферы, бес-
бесконечной заряженной плоско-
плоскости, плоского конденсатора. 5.
Сформулируйте принцип супер-
суперпозиции электрических полей.
6. Что называют разностью по-
потенциалов? 7. Чему равна рабо-
работа по перемещению заряда в
электростатическом поле? 8. На-
Напишите формулы для расчета
потенциала поля, образованно-
образованного точечным зарядом и заря-
заряженной сферой. 9. Как связаны
между собой напряженность
поля и разность потенциалов
для однородного электростати-
электростатического поля? 10. Что называют
электроемкостью? 11. Напишите
формулы для расчета электро-
электроемкости шара и плоского кон-
конденсатора. 12. Чему равна элек-
электроемкость батареи конденса-
конденсаторов при последовательном и
параллельном их соединении?
13. Напишите формулы для
расчета энергии заряженного
конденсатора. 14. Чему равна
объемная плотность энергии
электростатического поля? 15.
Назовите единицы заряда, на-
напряженности электрического
поля, потенциала.
§ 2. ПОСТОЯННЫЙ ТОК
Ток в металлах
Ток в металлах обусловлен движением свободных
электронов внутри проводника. Количество электричест-
электричества <7> протекающее через поперечное сечение проводника
в 1 с, называется силой тока:
Плотность тока задается выражением
где S — площадь поперечного сечения проводника, пер-
перпендикулярная направлению тока.
223
Закон Ома для участка цепи
R '
где U — напряжение на данном участке цепи; R — со-
сопротивление данного участка цепи.
Для однородного проводника
где / — длина проводника; S — площадь поперечного
сечения проводника; р — удельное сопротивление про-
проводника.
Зависимость удельного сопротивления металлического
проводника от температуры
р = ро( 1 +аАТ),
где ро — удельное сопротивление проводника при темпе-
температуре 273 К; а — термический коэффициент сопротив-
сопротивления; АТ= Т— То — изменение температуры провод-
проводника.
При последовательном соединении проводников общее
сопротивление равно сумме сопротивлений отдельных
проводников:
R = ? Ri.
i= i
При параллельном соединении проводников обратная
величина полного сопротивления равна сумме обратных
величин сопротивлений отдельных проводников:
где Ri — сопротивление отдельного проводника; п —
число проводников на данном участке цепи.
Закон Ома для замкнутой цепи
где &—электродвижущая сила источника (ЭДС); R —
сопротивление внешнего участка цепи; г — сопротивле-
сопротивление внутреннего участка цепи.
Напряжение U на участке, содержащем ЭДС,
224
¦1 +
1 /Г
¦^F-
i
i
R
a) 5)
Рис. 135
где Rn — полное сопротивление участка цепи. Знак «—»
берут тогда, когда ток внутри источника течет от отрица-
отрицательного полюса к положительному (рис. 135, а), знак
« + » — когда ток внутри источника течет от положитель-
положительного полюса к отрицательному (рис. 135, б).
При последовательном соединении источников их
общая ЭДС и общее внутреннее сопротивление могут
быть найдены из соотношений
п п
8= 2j <f/, т = 2j П-
/ = 1 i = 1
При параллельном соединении источников эти вели-
величины могут быть найдены из соотношений
где &i — ЭДС отдельного источника; п — внутреннее
сопротивление отдельного источника.
Для расчета разветвленных цепей удобно пользовать-
пользоваться правилами Кирхгофа.
Первое правило. Алгебраическая сумма токов,
сходящихся в узле, равна нулю:
?// = 0,
где п — число неизвестных токов.
Направления токов выбираются произвольно с учетом
того, чтобы в алгебраическую сумму входили как поло-
положительные, так и отрицательные токи. Токи, подходящие
к узлу, считают положительными, токи, отходящие от
узла, — отрицательными.
Если в схеме содержится N узлов, то по первому пра-
правилу Кирхгофа можно составить N—1 независимых
уравнений.
Второе правило. В любом произвольно вы-
225
бранном замкнутом контуре разветвленной цепи алгебра-
алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участ-
участках контура равна алгебраической сумме ЭДС, встре-
встречающихся при обходе этого контура:
Направление обхода контура выбирается по часовой
стрелке или против часовой стрелки. Тогда произведение
ILRi считается положительным, если направление тока U
совпадает с выбранным направлением обхода контура.
ЭДС считается положительной, если она повышает по-
потенциал в направлении обхода контура.
По второму правилу Кирхгофа можно составить п —
— (N — 1) уравнений, где п — число неизвестных токов,
N — число узлов в схеме.
432. Найти сопротивление между точками А и D
(рис. 136, а), если каждое из трех сопротивлений равно
1 Ом (сопротивлением соединительных проводов пре-
пренебречь).
Дано: R = 1 Ом; п = 3.
Решение. Так как точки Л и С, а также точки В и D
соединены проводниками, сопротивление которых мы не
учитываем, то схему а можно заменить эквивалентной
схемой б. Из нее видно, что сопротивление между точка-
точками А и D можно вычислить по формуле для параллель-
параллельного соединения проводников
откуда
226
—
#2
A, I _?l
= /?/я; /?Л?)=1/ЗОм^0,ЗЗОм.
т
Рис. 136
6)
Рис. 137
433. Найти полное сопротивление электрической цепи
(рис. 137), если внутреннее сопротивление источника
1 Ом, а сопротивления других участков цепи соответ-
соответственно равны 4, 3, 12 и 6 Ом.
Дано: г=1Ом; Я, = 4 Ом; Я2 = ЗОм; Яз=12Ом; Я4 = 6Ом.
Я- ?
Решение. На схеме (рис. 137, а) сопротивления R\ и
/?з соединены параллельно, поэтому схему можно начер-
начертить иначе, совместив точки А и В (рис. 137,6). Теперь
легче подсчитать общее сопротивление цепи. Сопротив-
Сопротивления R\ и /?3 соединены параллельно. Обозначим их
общее сопротивление R'. Тогда
откуда
Сопротивления R' и R2 соединены последовательно. Обо-
Обозначим их общее сопротивление R". Тогда
#? —— А* 1 #? —— ———————— I D ill
Теперь найдем общее сопротивление R'" параллельных
участков с сопротивлениями R" и R4: —^г~==~г + ~»
R' R" *\4
или, учитывая выражение A), ^=_
, 1
+ -ТГ-, откуда
«\4
227
B)
Наконец, найдем общее сопротивление всей цепи: R =
= г + /?'", или, учитывая выражение B),
RxRa
6D-12 + 4
Ом = 4 Ом.
1 4.6+12.6+4.12+4
434. Найти силу тока, получаемую от батареи с ЭДС
6 В, если сопротивления различных участков соответ-
соответственно равны 2, 6, 3 и 1,5 Ом. Внутренним сопротивле-
сопротивлением батареи пренебречь (рис. 138).
Дано: &=6В; #i = 2Om; #2 = 6 Ом; #з = ЗОм; #4=1,5Ом.
Решение. Сопротивления Ri и R2 соединены парал-
параллельно. Обозначим R их общее сопротивление. Тогда
откуда
Контур ABC последовательно соединен с сопротивлением
/?4. Следовательно, полное сопротивление этой части схе-
схемы R'=R + R4y или с учетом A)
?i + R2) /о\
*,+? • B)
Часть схемы ABCD соединена параллельно с сопротив-
~ лением /?з. Тогда полное сопро-
сопротивление цепи найдем из условия
1//?"=1//?'+1/Яз, или, учиты-
'/¦ ^// ?>.D«_1_ DA D. _1_ РЛ •
- —, откуда
Рис. 138
C)
гш
Силу тока, потребляемую от батареи, найдем из закона
Ома для замкнутой цепи:
или с учетом C)
, 6(
3B.
** Эту задачу можно было решить, пользуясь правилами Кирх-
Кирхгофа. Предлагаем убедиться в этом самим читателям.
435°. При какой постоянной силе тока через попе-
поперечное сечение проводника пройдет заряд 50 Кл за про-
промежуток времени от 5 до 10 с от момента включения
тока? Какой заряд пройдет через поперечное сечение
проводника за то же время, если сила тока в проводнике
изменяется со временем по закону /=6 + 3/?
Дано: А<7=5ОКл; /i = 5c; /2 = 10 с.
/ - ? q2 - ?
Решение. Если сила тока постоянна, то
где Д/ = /2 —Л. Тогда
Если сила тока изменяется со временем, то заряд, про-
прошедший через поперечное сечение проводника за тот же
промежуток времени,
h
5 3/d/ =
|-.102-6-5-~у.52) Кл= 142,5 Кл.
436. По проводнику с площадью сечения 50 мм2 течет
ток. Средняя скорость дрейфа свободных электронов
229
0,282 мм/с, а их концентрация
7,9-1027 м~~3. Найти силу тока
и плотность тока в проводнике.
Дано: S = 50 мм2 = 5- 1(Г5 м2;
<и> = 0,282 мм/с = 2,82 X
X Ю м/с; /1 = 7,9-1027 м~3.
Рис. 139
Решение. Выделим в проводнике участок длиной А/
и площадью сечения S (рис. 139). За промежуток време-
времени Д/ через сечение проводника протечет заряд
где п — концентрация свободных электронов; е — заряд
электрона; ДУ=5Д/ — объем выделенного участка про-
проводника. По определению, /=Д^/Д/, или с учетом Дя и
AV
A)
Замечая, что, согласно определению, Д//Д/= (v) — сред-
средняя скорость дрейфа свободных электронов, перепишем
A) в виде
I=neS(v)\
/ = 7,9.1027.1,6.10-19.5.10-5.2,82.10-4 А» 17,8 А.
Тогда плотность тока
437. Цепь, имеющая сопротивление 100 Ом, питается
от источника постоянного напряжения. Амперметр с
внутренним сопротивлением 1 Ом, включенный в цепь,
показал силу тока 5 А. Какова была сила тока в цепи до
включения амперметра?
Дано: Я =100 Ом; Яо= 1 Ом; /=5 А.
/о-?
Решение. До включения амперметра по закону Ома
для участка цепи сила тока была равна
h=U/R. A)
После включения амперметра сила тока стала равна
230
Решая совместно уравнения A) и B), находим
. _ R + Ro r j _ A00+1M лслс д
438. Элемент с ЭДС 2,1 В и внутренним сопротивле-
сопротивлением 0,2 Ом соединен с реостатом. Определить силу тока
в цепи и сопротивление реостата, если напряжение на
зажимах элемента 2 В. Какой длины надо взять для изго-
изготовления реостата железную проволоку, если площадь
ее сечения 0,75 мм2?
Дано: $=2,1 В; г = 0,2Ом; (/ = 2 В; S= 0,75 мм2 = 7,5-10~7 м2.
Решение. По закону Ома для замкнутой цепи, сила
тока
I = */(R + r). A)
Иначе, по закону Ома для участка цепи, состоящего из
реостата (рис. 140), та же сила тока равна
/=?///?. B)
Решая совместно A) и B), получаем:
= 4 Ом; / = -?, / = |-А = 0,5 А.
Так как R = pl/S, то длина железной проволоки
439. Гальванический элемент с ЭДС 1,5 В и внутрен-
внутренним сопротивлением 1 Ом замкнут на внешнее сопротив-
сопротивление 4 Ом. Найти силу тока в цепи, падение напряже-
напряжения во внутренней части цепи и напряжение на зажимах
элемента.
Дано: &=1,5 В; г= 1 Ом; # = 4 Ом.
г
~~' '"""' 2~ ' I
Решение. Силу тока найдем из закона
Ома для замкнутой цепи:
'-- 8 • /^ *'5 Л-^03 А
4+1 * * Рис. 140
231
Падение напряжения во внутренней части цепи
U\=Ir\ Ui = 0,3-1 В = 0,3 В.
Напряжение на зажимах элемента меньше ЭДС на вели-
величину падения напряжения во внутренней части цепи;
следовательно,
U2=€—Ir\ t/2 = (l,5 —0,3) В= 1,2 В.
440. Внутреннее сопротивление г элемента в k раз
меньше внешнего сопротивления /?, которым замкнут
элемент с ЭДС 8. Найти, во сколько раз напряжение U
на зажимах элемента отличается от ЭДС.
Дано: R/r=k\ 8.
и/8--> ^
Решение. По закону Ома для замкнутой цепи,
/ = */(/? +г). A)
Так как напряжение на зажимах элемента меньше ЭДС
на падение напряжения во внутреннем участке цепи, то
U = 8 —- /г, или с учетом A)
|/= 8г = р R = 8 m
° R+r ° R + r \+r/R ' К }
По условию задачи, R/r—ky или r/R=\/k. Тогда B)
Р k
можно привести к виду U= _r = 8, откуда
и __ k
g - k + \ '
Из уравнения B) видно, что если внешнее сопротивление
велико по сравнению с внутренним, то r/R становится
малым по сравнению с единицей и значение напряжения
приближается к значению ЭДС.
441. Реостат из железной проволоки, миллиамперметр
и источник ЭДС включены последовательно. При темпе-
температуре 0°С сопротивление рео-
реостата 200 Ом, а сопротивление
миллиамперметра 20 Ом. Мил-
? лиамперметр показывает 30 мА.
Каким будет показание милли-
миллиамперметра, если реостат на-
нагреется до 50°С? Внутренним
сопротивлением источника пре-
Рис. 141 небречь (рис. 141).
232
Дано: Го = 273 К, Яо = 200 Ом, Ra = 20 Ом, /0 =30 мА
= 3-Ю А, Т= 323 К
Решение. До нагревания реостата сила тока, по зако-
закону Ома для замкнутой цепи, равна
/о = «/(/?<> +Л.). A)
После нагревания реостата
a). B)
Здесь /? = /?оA +аАТ), ДГ=Г — То, где а — термический
коэффициент сопротивления железа. Изменением сопро-
сопротивления миллиамперметра пренебрегаем. Решая со-
совместно уравнения A), B), получаем
{== Io(Ro±Ra)
R<i\+a(T-To)]+Ra '
з-игуоо + М) А«2,36.10-2 А.
200[ 1+6-10-3C23 -273)] + 20
442. Вычислить ЭДС и внутреннее сопротивление
батареи, состоящей из трех источников ЭДС (рис. 142),
если ЭДС источников соответственно равны 10, 20 и
30 В, а их внутренние сопротивления равны 1 Ом.
Дано: ё\ = Ю В; <?2 = 20 В; ?3 = 30 В; гх = г2= г3= г= 10 Ом.
Решение. В задаче дано смешанное соединение источ-
источников. Если считать ЭДС 62 и 83 положительными, тогда
ЭДС 8\ будет отрицательной. Найдем общее сопротивле-
сопротивление г' и общую ЭДС для участка ВС, состоящего из па-
параллельно соединенных источников ё\ и 82:
— = -L + —= — IsA + i
откуда
г / ^^ \г з'г
2,
Теперь найдем об-
общую ЭДС € и общее Рис. 142
сопротивление R всей батареи, подключенной между точ-
точками А и D:
= 35В;
443. Найти ЭДС и внутреннее сопротивление источ-
источника, зашунтированного сопротивлением 6 Ом, если без
шунта ЭДС источника 12 В, а его внутреннее сопротив-
сопротивление 3 Ом.
Дано: Я = 6 Ом; 8 = 12 В; г = 3 Ом.
= 1. + гз = у + г = !-г> г= 1,5 Ом.
В' — ? г' — ?
Решение. Рассматривая шунт как источник, внутрен-
внутреннее сопротивление которого /?, а ЭДС равна нулю, полу-
получим батарею, состоящую из двух источников, соединен-
соединенных параллельно. Тогда внутреннее сопротивление г' и
ЭДС 8' такой батареи можно найти из соотношений
J^^J , J_. 8' _ 8 , о
откуда r' — rRI(r
3-6
3-1-6
«^^r' g/r. Тогда
UM, 6 = Т. D = Ot>
444. Вольтметр с внутренним сопротивлением 2500 Ом,
включенный в сеть, показал напряжение 125 В. Опреде-
Определить дополнительное сопротивление, при подключении
которого вольтметр показывает 100 В (рис. 143).
Дано: # = 2,5-103Ом; (/,= 125 В; ?У2=100В.
Яд"?
Решение. Напряжение на дополнительном сопротивле-
сопротивлении U\ — U2. Тогда, используя закон Ома для участка
Rg цепи, можно написать
При последовательном соеди-
соединении сила тока на различных
участках цепи одинакова, по-
поэтому, зная внутреннее сопро-
сопротивление R вольтметра и паде-
Рис. 143
234
ние напряжения Иг на нем, по закону Ома для этого
участка цепи имеем
1=V2/R. B)
Подставляя B) в A), находим
445. Миллиамперметр предназначен для измерения
силы тока не более 10 мА. Что нужно сделать для того,
чтобы миллиамперметр можно было применять для изме-
измерения силы тока до 1 А, если его внутреннее сопротивле-
сопротивление 0,9 Ом?
Дано: /о= 10мА= 10~2 А, #0 = 9,9Ом; /= 1 А.
Решение. Миллиамперметр включается в цепь после-
последовательно. Если в цепи сила тока / больше максималь-
максимальной /о, на которую рассчитан миллиамперметр, то парал-
параллельно ему следует включить сопротивление /?ш, называе-
называемое шунтом (рис. 144). Оно выбирается таким, чтобы
сила тока в приборе не превышала /о.
Применим первое правило Кирхгофа для узла А:
I — /0-/ш=0. A)
Выберем направление обхода замкнутого контура ABCDA
по часовой стрелке и применим к этому контуру второе
правило Кирхгофа:
/о#о--/ш/?ш = 0. B)
Решая совместно уравнения A) и B), получаем
r> /o/?o n 10-9,9 ~ r\ t г\
/?ш= . . ; /?ш = п—г?-пгОм = 0,1 Ом.
446. В электрическую цепь включены четыре сопротив-
сопротивления 1 кОм каждое и источники, ЭДС которых 1,5 и
1,8 В. Определить силу тока во всех сопротивлениях.
Внутренними сопротивле-
сопротивлениями источников прене-
пренебречь (рис. 145).
I A h -к В
Дано: #=1 кОм= 103Ом;?,= ^=^ "^ ^
= 1,5 В; $2= 1,8 В.
Л. /2, /з. Л - ?
Решение. Из рисунка вид-
видно, что сопротивление /?4 за- Рис. ж
235
Рис. 145
корочено проводником
АВСУ сопротивлением ко-
которого пренебрегаем.
Следовательно, ток че-
через сопротивление /?4 не
пойдет, т. е. /4=0. Ос-
Оставшаяся часть цепи со-
содержит два узла в точ-
точках О и В и три замкну-
замкнутых контура. Следова-
Следовательно, можно составить
одно уравнение по пер-
первому правилу Кирхгофа
и два уравнения по вто-
второму правилу. Применяя
первое правило Кирхгофа для узла В, находим
Применим второе правило Кирхгофа для замкнутого
контура АО В А (обходим контур против часовой
стрелки):
/3/?+/,/?= «,.
Аналогично, применим второе правило Кирхгофа для
контура ОСВО (обходим контур против часовой стрелки):
Решая совместно полученную систему уравнений, нахо-
находим искомые силы тока:
т 8\-\~ 82 , г 1,5+1,8 д , 1 д.
/з==—зя—• /з== з.ю* А=1Л мА'
/2=-
2R
/1==/3-/2; /, =
/2 =
1,8 —1,5+1,ЫО'МО3
2-Ю3
'-0,7.10~3) А==0,4мА.
= 0,7мА,
447. Два элемента, ЭДС которых 1,9 и 1,1 В, внутрен-
внутренние сопротивления 0,8 и 0,1 Ом, замкнуты параллельно
на внешнее сопротивление 10 Ом (рис. 146). Определить
силу тока во внешней цепи.
Дано: ?| = 1,9 В; <?2=1,1 В; г, = 0,8 Ом; г2 = 0,1 Ом; Я =10 Ом.
Решение. Электрическая цепь содержит два узла в
точках К и С и три неизвестных тока. Следовательно,
236
можно составить одно уравнение
по первому правилу Кирхгофа и
два уравнения по второму прави-
правилу.
Применим первое правило Кирх-
Кирхгофа для узла К:
I, ft
Рис. 146
Применим второе правило Кирхгофа для контура ABDKA
(обходим контур против часовой стрелки):
Ixrx+IR= ex.
Аналогично, применим второе правило Кирхгофа для
контура АВСКА (обходим контур против часовой
стрелки):
—/г/*2 == ё\ — 82.
Решая совместно систему полученных уравнений, на-
находим
/ =
1.9-0
-0,8
-А«0,12А.
10@,8+0,1)+ 0,8-0,]
448. Сопротивления участков АВ, ВС и AD соответ-
соответственно равны 1000, 500 и 200 Ом. Гальванический эле-
элемент, полюсы которого подключены к точкам Л и С, име-
имеет ЭДС 1,8 В. Гальванометр регистрирует силу тока
0,5 мА в направлении, указанном стрелкой. Определить
ЭДС второго гальванического элемента, пренебрегая
внутренними сопротивлениями элементов и внутренним
сопротивлением гальванометра (рис. 147):
Дано: /?1=103Ом; #2=5-102Ом; #3 —2-102Ом;
?,= 1,8 В; /2 = 0,5 мА=5-10~4 А.
#2-?
Решение. Электрическая
цепь содержит два узла в точ-
точках А и В н три неизвестных
тока. Следовательно, можно
составить одно уравнение по
первому правилу Кирхгофа и
два уравнения по второму пра-
правилу. Для узла В по первому
правилу Кирхгофа найдем
Рис. 147
Рис. 148
/i—/2 —/з = 0.
Применим второе правило Кирхго-
Кирхгофа для контура АВС8\А (обходим
контур против часовой стрелки):
Аналогично, применим второе пра-
правило Кирхгофа для контура ABe^DA
(обходим контур по часовой стрел-
стрелке) :
C= О2.
Решая полученную систему уравнений, находим
р ___ &\R\ + h{R\R2 + R\Rz + R2R3) .
__ l,8-103+5-10-4A03-5-102+103-2.102-f5-102-2.102) n
б2~" 1О3 + 5.1Оа Ь~~
= 1,47 В.
449. К точке А однородного проволочного кольца при-
присоединен провод, а к диаметрально противоположной
точке В — скользящий контакт. Как будут изменяться
показания вольтметра при движении скользящего кон-
контакта (рис. 148)?
Отв. Участок цепи между точками А и В можно рас-
рассматривать как параллельное соединение двух проводни-
проводников одинакового сопротивления. При движении скользя-
скользящего контакта вверх или вниз сопротивление одного из
этих проводников будет уменьшаться. Это приведет к
уменьшению сопротивления участка цепи ЛВ, так как
сопротивление участка цепи /?, состоящего из двух па-
параллельно соединенных проводников с сопротивлениями
R\ и /?2, всегда меньше сопротивления /?i, если /?i<l/?2.
Поэтому падение напряжения на участке АВУ а следова-
следовательно, и показания вольтметра будут уменьшаться.
450. Почему при коротком замыкании напряжение
на клеммах источника близко к нулю, хотя сила тока
в цепи имеет наибольшее значение?
Отв. При коротком замыкании сопротивление внеш-
внешнего участка цепи мало по сравнению с внутренним со-
сопротивлением источника. Поэтому, хотя сила тока в цепи
велика, падение напряжения на внешнем участке цепи,
равное напряжению на клеммах источника, будет мало.
238
Упражнения
451. Вычислить общее сопротивление участка цепи,
если сопротивление каждой стороны и диагонали квад-
квадрата 8 Ом. Сопротивлением соединительных проводов
пренебречь (рис. 149).
452. Восемь проводников сопротивлением 20 Ом каж-
каждый попарно соединены в четыре параллельных цепи.
Определить общее сопротивление данной цепи.
453. Медная и железная проволоки одинаковой дли-
длины включены параллельно в цепь, причем железная про-
проволока имеет вдвое больший диаметр. Сила тока в мед-
медной проволоке 60 мА. Какова сила тока в железной про-
проволоке?
454. Сопротивление нити накала электронной лампы
40 Ом, сопротивление включенной части реостата 20 Ом,
сила тока в цепи 0,2 А. При замыкании того же элемента
на сопротивление 10 Ом сила тока 0,1 А. Найти ЭДС
элемента и его внутреннее сопротивление.
455. При замыкании элемента на сопротивление
4,5 Ом сила тока в цепи 0,2 А, а при замыкании того же
элемента на сопротивление 10 Ом сила тока 0,1 А. Найти
ЭДС элемента и его внутреннее сопротивление.
456. Элемент замыкается первый раз на внешнее
сопротивление 5 Ом и дает силу тока 0,25 А, второй
раз — на внешнее сопротивление 9 Ом и дает силу тока
0,15 А. Какую силу тока дает элемент, если его замкнуть
накоротко?
457. Элементы с ЭДС 1,8 и 2 В и внутренними сопро-
сопротивлениями 0,3 и 0,2 Ом соединены в батарею так, что
во внешней цепи с сопротивлением 0,2 Ом идет ток 4 А.
Как в этом случае соединены элементы?
458. Шесть элементов с ЭДС 1,5 В и внутренними
сопротивлениями 0,4 Ом каждый соединены в батарею
так, что во внешней цепи с сопротивлением 0,2 Ом идет
ток 6 А. Как в этом случае соединены элементы?
459. Вольтметр имеет со-
сопротивление 200 Ом. После-
Последовательно с ним включили
проводник сопротивлением
1 кОм. Во сколько раз изме-
изменилась цена деления вольт-
вольтметра?
460. Определить сопротив-
сопротивление шунта гальванометра, Рис- 149
299
I. г.
R ''
Рис. 150
Рис. 151
Рис. 152
рассчитанного на 1 А, если внутреннее сопротивление
самого гальванометра равно 20 Ом, а полная шкала
соответствует силе тока 5 мА.
461. Определить изменение температуры медного про-
проводника, если его сопротивление возросло в два раза.
462. Внешнее сопротивление цепи 1,4 0м, ЭДС источ-
источников 2 В каждый, внутренние сопротивления этих источ-
источников соответственно равны 1 и 1,5 Ом. Найти силу тока
в каждом источнике и во всей цепи (рис. 150).
463. Определить силу тока, которую показывает ам-
амперметр, если напряжение на зажимах источника 2,1 В,
а сопротивления соответственно равны 5,6 и 3 Ом. Сопро-
Сопротивлением амперметра и внутренним сопротивлением
источника пренебречь (рис. 151).
464. Найти силу тока в сопротивлении /?2 и падение
напряжения на нем, если сопротивления участков цепи
равны /?1 = /?з = 40Ом, /?2 = 80Ом, /?4 = 34Ом, ЭДС ге-
генератора 100 В. Внутренним сопротивлением генератора
пренебречь (рис. 152).
Работа и мощность тока. Тепловое действие тока
Работа, совершенная электрическим полем по переме-
перемещению заряда q на участке цепи, равна
где / — сила тока в данном участке цепи; U — напря-
напряжение на участке цепи; t — время прохождения тока по
участку цепи.
По закону сохранения энергии,
где &W— изменение энергии проводника и окружающих
его тел.
240
Мощность тока при прохождении его по проводнику
с сопротивлением R равна
Количество теплоты, выделяющееся при прохождении
тока по проводнику, определяется по закону Джоуля—
Ленца:
Коэффициентом полезного действия называется величина
где An(Wn, Nn) — полезная работа (энергия, мощность);
Л3(№з, N3) — затраченная работа (энергия, мощность).
465. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление
аккумулятора, если он дает во внешнюю цепь 9,5 Вт при
силе тока 5 А, а при силе тока 8 А — 14,4 Вт.
Дано: /,=5 А; #, = 9,5Вт; /2=8 А; ЛГ2= 14,4 Вт.
8— ? г — ?
Решение. По закону Ома для замкнутой цепи,
/,= «/(/?, +г), /2= S/{R2 + r). A)
Сопротивления /?i и /?2 найдем из соотношений Wi =
= /?/?!, iV2 = /i/?2, откуда
Rl=,Ml/H R2=N2/fi. B)
Подставляя выражения B) в A), получаем
**= Nl/I*+r' /2= N2/ll+r'
Решая совместно уравнения C), находим
Тогда
_q t p. . 9,5.8-14,4.5
°M
6 = 5-8(8-5)В^2Л В' Г= 5-8(8-5)
^0,03 Ом.
466. В электрической цепи при внешних сопротивле-
сопротивлениях 2 и 0,1 Ом выделяется одинаковая мощность. Найти
внутреннее сопротивление источника.
9-580 241
Дано: #i = 2 Ом; Я2 = 0,1 Ом; ЛГ, = М2
г — ?
Решение. По закону Ома для замкнутой цепи, для
двух значений внешнего сопротивления имеем:
/l= 8/{Ri+r), /2= 8/{R2+r)9
ё =/,(|?1+г), ?=/2(/?2 + г). A)
Сила тока связана с мощностью соотношением JV==/2/?,
откуда I = -tJN/R. Подставляя I{=-yjN/Rx и /2 = УЛ/у/?2
в выражения A), получаем
8 =^NjRi(Ri + r)t 8 = ifN/R2{R2+r). B)
Приравнивая правые части выражений B) и преобразуя
полученное равенство, находим г:
Ом «0,45 Ом.
467. Батарея состоит из параллельно соединенных
элементов. При силе тока во внешней цепи 2 А полезная
мощность равна 7 Вт. Определить число элементов в ба-
батарее, если ЭДС каждого элемента 5,5 В, а внутреннее
сопротивление 5 Ом.
Дано: / = 2А; #=7 Вт; 5= 5,5 В; г = 5Ом.
п — ?
Решение. Полезная мощность, выделяемая на сопро-
сопротивлении R,
A)
По закону Ома для замкнутой цепи найдем силу тока:
/= 86/№ + Гб), откуда /? = ( «б~/гб)//, где «в= «—
ЭДС батареи, состоящей из п одинаковых параллельно
соединенных элементов; Гб = г/л — внутреннее сопротив-
сопротивление этой батареи. Подставим выражения для Гб, ёб и
/? в уравнение A): Лг== / (?—Ir/n)t откуда
__ /V _ 22-5 _g
л- ?/-tf '' Л- 5,5.2-7 -Ь*
242
468. Элемент с внутренним сопротивлением 4 Ом и
ЭДС 12 В замкнут проводником с сопротивлением 8 Ом.
Какое количество теплоты будет выделяться во внешней
части цепи за 1 с?
Дано: г = 4 Ом; 8 = 12 В; R = 8 Ом; / = 1 с.
Решение. Количество теплоты, выделяющееся во
внешней части цепи за 1 с, равно
Q/t = I2/R. A)
По закону Ома для замкнутой цепи,
I=S/(R + г). B)
Подставим выражение B) в A):
Q - *2R • Q _ 12*.8 Дж_
— — (R + rf • / — (8 + 4J с ~
469. На плитке мощностью 0,5 кВт стоит чайник, в
который налит 1 л воды при 16°С Вода в чайнике за-
закипела через 20 мин после включения плитки. Какое
количество теплоты потеряно при этом на нагревание
чайника и излучение?
Дано: W= 5-102Вт; V = 1 л = 10 м3; Г, = 289 К; U =
= 20 мин = 1.2- 103с.
W — ?
Решение. Полная энергия, затраченная на нагрева-
нагревание воды, чайника, излучение и т. д.,
№з = Nt.
Полезная энергия, затраченная на нагревание воды,
Здесь ЛU — изменение внутренней энергии воды при
ее нагревании; с — удельная теплоемкость воды; m =
= pV — масса воды, где р — плотность воды. Тогда поте-
потери энергии на нагревание чайника, излучение и т. д.
равны
Я7'=[5.102.1,2-103 - 4,19-103.103.10~3C73
— 289)] Дж « 250 кДж.
243
470. Однородный железный проводник длиной 100 м
подключают к источнику постоянного напряжения 100 В
на 10 с. Как изменится при этом температура провод-
проводника? Изменением сопротивления проводника при его на-
нагревании пренебречь.
Дано: / = 102 м; U = 102 В; / = 10 с.
ДГ —?
Решение. Для нагревания железного проводника тре-
требуется количество теплоты
Qi = ДС/ == стДГ. A)
Здесь т = DSI — масса проводника; S — площадь его
поперечного сечения; с — удельная теплоемкость желе-
железа, D — плотность железа.
По закону Джоуля — Ленца, полное количество теп-
теплоты, выделенное в проводнике,
Q2 = U2t/R. B)
Здесь R = p//S, где р — удельное сопротивление железа.
Пренебрегая теплопотерями, находим Q\ = Q2, или с уче-
учетом выражений A), B) cDSlkT = U2St/(p[), откуда
A0Т'10
471. Определить сопротивление подводящих проводов
от источника с напряжением 120 В, если при коротком
замыкании предохранители из свинцовой проволоки пло-
площадью сечения 1 мм2 и длиной 2 см плавятся за 0,03 с.
Начальная температура предохранителя 27 °С.
Дано: U = 120 В; S = 1 мм2 = 10~6 м2; / = 2 см = 2-10~2 м;
/ = 3-10~2 с; Т = 300 К.
R — ?
Решение. Количество теплоты, необходимое для на-
нагревания свинца до точки плавления и последующего
плавления свинца при этой температуре, равно
Qx = Д1/! + Д(У2.
Так как &U\ = стДГ, Д(/2 = А,т, т = DIS, ДГ = Тм —
— Г, то
Qi = D/S[c(rM-r) + M. A)
244
где D — плотность свинца; с — удельная теплоемкость
свинца; Тпл — температура плавления свинца.
При коротком замыкании сопротивление цепи R +
+ /?пР, где /?Пр = pl/S — сопротивление предохранителя.
Сила тока короткого замыкания
/ = U/(R + Rnp).
По закону Джоуля — Ленца, количество теплоты, вы-
выделяющееся в предохранителе за время /, Q2 = /2/?пр/.
Тогда
V2 ~ (R
Считая, что все количество теплоты, выделяющееся в
предохранителе, идет на его плавление, получаем
Q, == Q2, или с учетом выражений A) и B)
откуда
l2(Ti/
1Z>U V 11,3-
р I li nrr-i I ?.,1 • l\J «O* 10
103[ 0,13-103F00—300L-0,25-105)
-^ — 2,1 • 10~7.2-10~2} Ом « 0,34 Ом.
472. Воздух, находящийся в закрытом сосуде вмести-
вместимостью 1 л при нормальных условиях, нагревается элект-
электрическим нагревателем, рассчитанным на ток 0,2 А и
напряжение 10 В. Через сколько времени давление в
сосуде повысится до 1 МПа? КПД нагревателя 50%.
Дано: V = 1 л = 10 м3; / = 0,2 А; V = 10 В; р2 = 1 МПа =
= 106Па; т) = 50% = 0,5.
Решение. Количество теплоты, выделенное током за
время t, найдем из закона Джоуля — Ленца:
Qx = PRt = Wt. A)
Количество теплоты, необходимое для нагревания воз-
воздуха от температуры Т\ = 273 К до температуры Гг,
Q2== cm(T2- Г,), B)
245
где с — удельная теплоемкость воздуха; т — его масса.
По условию задачи, Q2 = 0,5Qi, или с учетом выражений
A) и B) ст(Г2-Г,) = О,5/1/7\ откуда
/ = ст(Т2 - Г|)/@,5/1/). C)
Здесь m = pV, где р — плотность воздуха.
Так как объем V, занимаемый газом, не изменяе^с^
при нагревании газа, то» применяя закон Шарля
Pi/5ri==P2/5n2, находим конечную температуру газа:
Г2= jTi/?2/Pi. Подставим выражения для га и Гг в C):
0,5/(У 0,5/ U
. _ lf005-103- 1,29» КГ3- IP.273-[ 10в/A,01«103)- 1] ^
f~" 0,5-0.2.10 С^
«3,18- 103с.
473. Найти КПД источника тока с внутренним со-
сопротивлением 0,1 Ом, если он работает на нагрузку с
сопротивлением 1,5 Ом.
Дано: г = 0,1 Ом; #=1,5 Ом.
Решение. По определению, КПД равен
где Mi — полезная мощность, выделяющаяся во внешней
части цепи; М* — затраченная мощность, выделяющаяся
во всей замкнутой цепи. Мощности М, и N3 найдем из
соотношений Nn = I2R> N3 — I2{R + r). Тогда
474°. Полезная мощность, выделяемая во внешней
части цепи, достигает наибольшего значения 5 Вт при
силе тока 5 А. Найти внутреннее сопротивление и ЭДС
источника тока.
Дано: #иакс = 5 Вт; /ма*с = 5 А.
г — ? ?_
Решение. По закону Джоуля — Ленца, полезная мощ-
мощность, выделяемая во внешней части цепи с сопротив-
сопротивлением /?,
N = I2R. A)
246
По закону Ома для замкнутой цепи,
/=«/(/? +г).
Тогда [см. A)]
N=S2R/(R + rJ. B)
Мощность, выделяемая во внешней части цепи, макси-
максимальна (#= Ломаке) при выполнении условия
Дифференцированием уравнения C) находим внешнее
сопротивление /?макс, при котором мощность максимальна:
d Г S7R 1 __?2(/?-f гJ-?2/?-2(/? + г) _А.
d/?L (tf-frJJ ~ (Я + гL ~U'
ПоДСТаВИМ /?„акс В ураВНеНИЯ A) И B): Ломаке = /максГ,
откуда
г=^акС//2акс; г = E/52) Ом = 0,2 Ом.
Тогда
=(§2/Dг), откуда
р
^ = 2-|-В = 2 В.
о
475. Является ли работа, совершаемая источником
тока во внутренней части цепи, величиной, постоянной
для данного источника?
Отв. Не является.
476. Почему нить электролампы сильно нагревается,
а подводящие провода остаются холодными?
Отв. Количество теплоты, выделяющееся в проводни-
проводниках при их последовательном соединении, прямо пропор-
пропорционально их сопротивлениям (закон Джоуля — Ленца).
Сопротивление нити электролампы велико, а сопротивле-
сопротивление подводящих проводов мало, поэтому нить электро-
электролампы нагревается сильно, а подводящие провода —
Очень слабо.
247
Упражнения
477. Три проводника, сопротивления которых равны
соответственно 3, 6 и 8 Ом, соединены параллельно.
В первом проводнике выделяется 21 кДж теплоты. Опре-
Определить количество теплоты, выделяющееся во втором и
третьем проводниках за то же время.
478. Два проводника сопротивлениями 10 и 6 Ом
соединены сначала последовательно, а затем параллель-
параллельно между двумя точками с разностью потенциалов 20 В.
Найти количество теплоты, выделенное в каждом про-
проводнике за 1 с.
479. В медном проводнике длиной 2 м и площадью
поперечного сечения 0,4 мм2 идет ток. При этом ежесе-
ежесекундно выделяется 0,35 Дж теплоты. Сколько электронов
проходит за 1 с через поперечное сечение этого провод-
проводника?
480. Какой длины надо взять нихромовый проводник
диаметром 0,5 мм, чтобы изготовить электрический ка-
камин, работающий при напряжении 120 В и дающий
1 МДж теплоты в час?
481. Два проводника одинакового сопротивления R
подключаются к сети с напряжением U сначала парал-
параллельно, а затем последовательно. В каком случае по-
потребляется большая мощность от сети?
482. На электроплитку мощностью 600 Вт поставили
кастрюлю, вмещающую 1 л воды и 0,5 кг льда при 0°С.
Через сколько времени температура воды в кастрюле
поднимется до 60°С, если КПД плитки 80%?
483. К концам свинцовой проволоки длиной 1 м при-
приложена разность потенциалов 10 В. Сколько времени
пройдет от начала пропускания тока до момента, когда
свинец начнет плавиться? Начальная температура свин-
свинца 27°С.
484. Одинаковые огнеупорные сосуды, один с оловом,
другой со свинцом, нагреваются на электрической плитке.
Массы олова и свинца равны, их начальная температура
20°С. Во сколько раз будут отличаться длительности
процессов плавления этих металлов?
485. Определить силу тока в цепи свинцового акку-
аккумулятора, если его ЭДС = 2,2В, внешнее сопротивление
0,5 Ом, КПД 65%.
248
Ток в электролитах и газах
Растворы, проводящие электрический ток, называют-
называются электролитами. Ток в них обусловлен движением по-
положительных и отрицательных ионов. Прохождение тока
через электролит сопровождается выделением на элек-
электродах составных частей растворенного вещества (элек-
(электролиз).
Масса вещества, выделившегося при электролизе,
может быть подсчитана по объединенному закону Фа-
Фара дея:
т = -тг- //,
Fn *
где т — масса выделившегося вещества; А — молярная
масса; п — валентность вещества; F — постоянная Фара-
дея; / — сила тока в электролите; / — время протекания
тока.
Газы становятся проводниками электрического тока,
если они ионизированы, т. е. в них имеются свободные
электроны, положительные и отрицательные ионы.
Несамостоятельной называется такая проводимость
газа, при которой ионизация вызывается с помощью
постороннего воздействия (пламя, ультрафиолетовое,
рентгеновское излучения и др.).
Самостоятельной называется такая проводимость,
при которой заряженные частицы, разогнанные электри-
электрическим полем, при соударении с нейтральными молекула-
молекулами газа ионизируют их.
Наименьшая необходимая для ионизации атома или
молекулы разность потенциалов поля, ускоряющего
электрон, называется потенциалом ионизации ?Л данного
атома или молекулы.
Энергия электрона, прошедшего эту разность потен-
потенциалов, называется энергией ионизации:
Wi = eUt,
где е — заряд электрона.
Виды самостоятельных разрядов в газах — тлеющий,
дуговой, искровой и коронный.
486. При никелировании пластины ее поверхность по-
покрывается слоем никеля толщиной 0,05 мм. Определить
среднюю плотность тока, если никелирование длится 2,5 ч.
249
Дано: h = 0,05 мм = 5-10 м; / = 2,5 ч = 9-103 с.
__
Решение. Плотность тока
/ = US,
где S — площадь сечения проводящей части электролита,
равная площади пластины.
Для нахождения силы тока применим объединенный
закон Фарадея
Здесь
т = pV = pftS, B)
где р — плотность никеля.
Подставив выражение B) в A), найдем силу тока:
1 ~~ At '
Тогда плотность тока
. phSFn phFn
1 ~~~ ASt JT'
487. При электролизе раствора азотнокислого серебра
в течение часа выделилось 9,4 г серебра. Определить ЭДС.
поляризации, если напряжение на зажимах ванны 4,2 В,
а сопротивление раствора 1,5 Ом.
Дано: / = 1 ч = 3,6« 103 с; m = 9,4 г = 9,4-10~3 кг;
U ^ 4,2 В; #= 1,5 Ом.
Решение. При электролизе раствора азотнокислого
серебра симметрия электродов из одинакового материала
нарушается, электроды поляризуются. При этом возни-
возникает ЭДС поляризации. В этом случае закон Ома для
участка цепи, содержащего ЭДС поляризации, примет
вид U = IR + во, откуда
Sa=U-IR. (i)
250
Так как / = q/t и, по закону Фарадея, q = mFn/A, то
уравнение A) можно преобразовать к виду
р п mFnR
&п = и —
At '
Р-лОП 9,4-Ю-3»9,65» ЮМ-1,5 р _0? р
&» - 4,2 В Ю7,9.10-^3,6. Юа В ~ °J В*
488. Сколько атомов двухвалентного металла выде-
выделится на 1 см2 поверхности электрода за 5 мин при плот-
плотности тока 0,1 А/дм2?
Дано: S = 1 см2 = 1(Г4 м2; t = 5 мин = 300 с;
/ = 0,1 А/дм2 = 10 А/м2; п = 2.
Решение. По закону Фарадея,
1 А ,.
или с учетом того, что / = /S, т = AjSt/(Fn)9 откуда
m/A = jSt/(Fn). A)
Здесь т/А — число молей. Умножив его на постоянную
Авогадро #а, получим число атомов n\f выделившихся
на поверхности электрода:
п\ = mNk/A,
или с учетом уравнения A)
jStNA . „ 10-Ю-4»300.6,02-1023 _пЛ 1П18
П, =~7Г-, П,= 9,65.10^.2 9>4#1° •
489. В раствор,е медного купороса анодом служит
пластина из меди, содержащая 12% примесей. При
электролизе медь растворяется и в чистом виде выделяет-
выделяется на катоде. Сколько стоит очистка 1 кг такой меди,
если напряжение на ванне поддерживается равным 6 В,
а стоимость 1 кВт^ч энергии 4 коп.?
Дано: М = 1 кг; U = 6 В.
х — ?
Решение. Масса чистой меди, выделяющейся на ка-
катоде,
т = М - 0,12 М = 0,88 М.
251
По закону Фарадея,
Alt Aq
Fn Fn
откуда
mnF 0,88MnF ...
Я — —— — -д - (I)
Энергия, затраченная при электролизе, равна W = qU,
или с учетом выражения A)
w __ 0,SSMnFU .
0,88-1-2.9,65-Ю4-6 п „cd
Дж = 4,5 кВт-ч.
Следовательно, стоимость очистки 1 кг такой меди
х = 18 коп.
490°. Определить массу меди, выделившейся на като-
катоде за 10 с при протекании через раствор медного ку-
купороса тока, сила которого равномерно возрастает от
0 до 4 А.
Дано: /, = 0; t2 = 10 с; Л = 0; /2 = 4 А.
Решение. По закону Фарадея, масса выделившегося
на катоде вещества
m = Aq/(Fn\ A)
где заряд, протекший через раствор медного купороса
за время /г,
<7=f/d/. B)
о
По условию задачи;
/ = kt, C)
где k — коэффициент пропорциональности. Для момента
времени ti /2 = й/2, откуда k = /г/^г- Тогда
/ = I2t/t2. D)
Подставляя выражение D) в B) и производя интегри-
интегрирование, получаем
АШ=±±=^. E)
252
С учетом выражения E) формула A) примет вид
Ahh ,
т ==
2Fn '
?'J!?r ll'l? кг = 6,65-10~6 кг.
491. Определить массу кислорода, выделившегося при
прохождении заряда 16 Кл через водный раствор сер-
серной кислоты. Масса одного атома кислорода 2,6-10~26 кг.
Дано: q = 16 Кл; т = 2,6-106 кг.
М — ?
Решение. Молекулы серной кислоты H2SO4 диссоции-
диссоциируют в воде на положительные Н+ и отрицательные
SOJ ионы. Эту реакцию можно записать в виде
H2SO4 -> 2Н+ + БОГ"
Группа SOi , выделяющаяся у анода, вступает в реак-
реакцию с водой:
SO4 + Н2О = H2SO4 + О
В результате этого у анода выделяется газообразный
кислород. Из последнего уравнения видно, что при про-
прохождении через раствор одной группы SOi с заря-
зарядом 2е у анода выделяется один атом кислорода. Сле-
Следовательно, при прохождении через раствор заряда q у
анода выделится q/{2e) атомов кислорода.
Обозначив т массу одного атома кислорода, полу-
получим, что масса выделившегося кислорода
492. Неразведенную серную кислоту хранят в желез-
железной таре, а разведенную — в стеклянной. Почему?
Отв. Неразведенная серная кислота не является
электролитом, а разведенная кислота представляет собой
электролит. При хранении разведенной серной кислоты
в железной таре будет происходить электролиз.
493. В настоящее время при работе гальванических
ванн изменяют направление тока. Зачем?
Отв. Металл осаждается на изделии во время про-
прохождения тока прямого направления. При кратковре-
кратковременном прохождении тока обратного направления осаж-
осажденный металл частично растворяется, в основном на
253
микровыступах катода. Это ведет к улучшению качества
покрытия.
494. Найти энергию ионизации атома гелия, если
его потенциал ионизации 24,5 В.
Дано: Ui = 24,5 В.
Решение. По определению, энергия ионизации равна
где е — заряд электрона. Тогда
Wi = 1,6- Ю-19-24,5 Дж == 39,2- 1(Г19 Дж.
495. Какой наименьшей скоростью должен обладать
электрон для того, чтобы ионизировать атомы водоро-
водорода? Потенциал ионизации атома водорода 13,5 В.
Дано: и( = 13,5 В.
Решение. Для того чтобы ионизировать атом водоро-
водорода, электрон должен обладать кинетической энергией,
равной энергии ионизации:
WK = Wit или ти2/2 = elti,
где е и т — заряд и масса электрона. Тогда
496. Найти плотность тока насыщения в газоразряд-
газоразрядной трубке, расстояние между электродами которой
10 см, если под действием космического излучения
в 1 см3 трубки возникает ежесекундно 10 пар однова-
одновалентных ионов.
Дано: / = 10 см = 0,1 м; nnt = 10 см.^1 = 107 м-'
Решение. Плотность тока насыщения равна
/h-/h/S, A)
где /и — сила тока насыщения; S — площадь попереч-
поперечного сечения трубки.
Учтем, что /й = q/tt q = enV, V = IS. Здесь q — за-
заряд, прошедший через трубку за время t\ e — заряд
254
одновалентного иона; V — объем трубки; п = 2пп —
концентрация ионов, где п„ — число пар ионов.
Принимая во внимание написанные выражения, перепи-
перепишем формулу A):
/. = 2enJS/{tS) = 2ennl/t. B)
Обозначив яп//=яп, число пар ионов, образующихся
в 1 м3 трубки за 1 с, перепишем выражение B):
/н = 2ennti;
/н = 2-1,6-10~19-107-0,1 А/м2 = 3,2.10-13А/м2.
497. Найти среднюю скорость направленного движе-
движения одновалентных ионов в ионизационной камере, если
их концентрация 103 см~~3, а плотность тока насыще-
насыщения 1(Г12 А/м2.
Дано: п = 103 см= 109 м~3; /„ «=* 1<Г12 А/м2.
Решение. По определению,
(v) = l/t A)
где / — длина камеры.
На основании решения задачи 496 напишем
/н = 2ennil=entt, B)
где nt — число ионов, возникающих в 1 м3 за 1 с. Из
выражения B) следует, что / = /н/(ел/), или, поскольку
л/ = n/t,
I = j»t/(en). C)
Подставив выражение C) в A), получим
/гЛ _ JuL — А.- /г.\ _ 102 м _
Я ; *-" ent ~~ еп э ^V? ~~ 1,6- Ю-19.109 с ~~
= 6,2-16~3 М/С.
498. Почему в комнатных условиях заряженный
электроскоп обязательно разряжается?
Отв. Между заряженными листочками электроскопа
возникает электрическое поле, в котором всегда имеется
некоторое количество ионов, образующихся вследствие
действия внешних ионизаторов (например, космиче-
космического излучения). Эти ионы движутся к листочкам
электроскопа и нейтрализуют их заряд.
255
499. Почему высоковольтные линии передачи элект
роэнергии имеют два дополнительных провода, не изо-
изолированных от стальных опор линии и расположенных
выше основных проводов.
Отв. Эти дополнительные провода предназначены
для защиты высоковольтной линии от действия грозовых
разрядов.
Упражнения
500. При электролизе медного купороса за 1 ч выде-
выделилось 0,5 кг меди. Площадь поверхности электродов,
опущенных в электролит, 7,5 м2. Найти плотность тока.
501. Какое количество электрической энергии нужно
израсходовать, чтобы при электролизе раствора азот-
азотнокислого серебра выделилось 500 мг серебра? Разность
потенциалов на электродах 4 В.
502. При силе тока 5 А за 10 мин в электролити-
электролитической ванне выделилось 1,017 г двухвалентного метал-
металла. Определить атомную массу металла.
503. Определить толщину слоя меди, выделившейся
за 5 ч при электролизе медного купороса, если плот-
плотность тока 0,8 А/дм2.
504. Сколько меди выделится при электролизе, если
при этом затрачено 5 кВт«ч электрической энергии.
Напряжение на зажимах ванны 10 В, КПД установки
75%.
505. На процесс электролиза раствора серной кислоты
расходуется мощность 37 кВт. Определить сопротивле-
сопротивление электролита, если за 50 мин на катоде выделяется
0,3 г водорода.
506. Найти массу хлора, выделившегося при про-
прохождении заряда 16 Кл через раствор соляной кис-
кислоты?
507. Электрон, летящий со скоростью 2,2 • 106 м/с, ио-
ионизирует газ. Определить потенциал ионизации этого
газа.
508. Найти силу тока насыщения в ионизационной
камере, площадь электродов которой 100 см2, а расстоя-
расстояние между ними 6,2 см. Ионизатор образует в 1 см3 ка-
камеры ежесекундно 109 одновалентных ионов каждого
знака.
256
Вопросы для повторения
1. Что называют электрическим
током? 2. Дайте определение
силы тока и плотности тока; на-
назовите их единицы. 3. Что назы-
называется сопротивлением провод-
проводника? Как зависит сопротивле-
сопротивление проводника от его геомет-
геометрических размеров, материала
и температуры? 4. Что называ-
называется напряжением, ЭДС и раз-
разностью потенциалов и какова
связь между ними? 5. Сформу-
Сформулируйте закон Ома для одно-
однородного и неоднородного уча-
участков цепи и для замкнутой
цепи. 6. Напишите, чему равно
сопротивление участка цепи при
последовательном и параллель-
параллельном соединениях проводников.
7. Для чего предназначены и
как подключаются к измери-
измерительным приборам шунт и до-
дополнительное сопротивление?
8. Сформулируйте правила Кирх-
Кирхгофа. 9. Напишите формулы для
расчета работы и мощности то-
тока. 10. Сформулируйте закон
Джоуля — Ленца. 11. Что назы-
называется электролизом? 12. Сфор-
Сформулируйте законы Фарадея для
электролиза. 13. Объясните фи-
физический смысл электрохимиче-
электрохимического и химического эквива-
эквивалента. 14. Каков физический
смысл постоянной Фарадея? 15.
Что называется газовым разря-
разрядом? 16. Назовите виды газовых
разрядов. 17. Что называется
потенциалом ионизации?
§ 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
Магнитное поле тока. Силы, действующие в магнитном
поле на проводник с током, на движущийся
электрический заряд и на рамку с током
Индукция . магнитного поля — векторная
екая величина, модуль которой
В == ЦЦо/
2лг
для прямого бесконечно длинного проводника;
физиче-
в центре кругового витка;
В = \i\ioln
для соленоида на его оси (внутри соленоида), где
г — кратчайшее расстояние от проводника до точки,
в которой подсчитывается индукция поля; R — радиус
витка; п — число витков, отнесенное к длине соленоида.
Во всех случаях направление вектора В определяется
по правилу буравчика.
Если магнитное поле образовано несколькими токами,
то индукция поля в данной точке равна векторной
257
сумме индукций В полей, образованных в этой точке
каждым током в отдельности (принцип суперпозиции
магнитных полей):
п
в = 2 в,
Индукция и напряженность магнитного поля связа-
связаны между собой соотношением
В =
где Н — напряженность магнитного поля; \х — магнит-
магнитная проницаемость среды; \х0 — магнитная постоянная.
На проводник с током, помещенный в однородное
магнитное поле, действует сила Ампера
F = ИВ sin a,
где / — сила тока в проводнике; / — длина проводни-
проводника; а — угол между направлениями вектора индукции
магнитного поля и тока. Направление силы Ампера
можно найти по правилу левой руки.
Если магнитное поле неоднородно, то на элемент
проводника длиной d/ действует сила Ампера
dF== IB sin ad/.
Сила, действующая в этом случае на весь проводник,
F= S IB sin ad/.
На электрический заряд, движущийся в магнитном
поле, действует сила Лоренца
F = qvB sma,
где q — заряд; v — скорость движения заряда; a — угол
между направлениями векторов индукции магнитного
поля и скорости заряда. Направление силы Лоренца
можно определить по правилу левой руки (для положи-
положительного заряда).
На рамку с током, помещенную в магнитное поле,
действует пара сил с вращающим моментом
М =
где рт = IS — магнитный момент рамки с током; S —
площадь рамки; a — угол между направлениями вектора
индукции и нормали к плоскости рамки.
258
509. По трем длинным прямым проводам, располо-
расположенным в одной плоскости, параллельно друг другу на
расстоянии 3 см друг от друга текут токи Л = /2 и
/3 == /, + h (рис. 153). Определить положение прямой,
в каждой точке которой индукция магнитного поля,
создаваемого токами, равна нулю.
Дано: т = 3 см = 3-10~2 м; /, = /2; /3 = /, + /2.
Решение. Пусть токи /|, /2 и h текут в плоскости,
перпендикулярной рисунку, в направлении от нас (на-
(направления токов указаны крестиками). Векторы индук-
индукций магнитных полей, создаваемых токами, направлены
по правилу буравчика по касательной в любой точке
линии индукции (обозначены пунктирными окружно-
окружностями).
Искомая прямая, на которой вектор индукции маг-
магнитного поля равен нулю, может быть расположена
между токами /2 и /3 на каком-то расстоянии х от тока /2.
Действительно, векторы индукций Bj и В2 полей, созда-
создаваемых в точке О токами 1\ и /2, направлены вниз, а
вектор индукции Вз поля, создаваемого в этой точке то-
током /з, направлен вверх. Согласно принципу суперпози-
суперпозиции магнитных полей,
В, + В2 + Вз = 0,
или в проекции на ось Y
Вх +В2-Вз = 0. A)
Индукция поля, образован-
образованного бесконечно длинным
прямым проводником с то-
током,
В = |1|ю//Bяг).
Тогда
I,
Y
Рис. 153
259
Подставив выражения
B) в A), получим
\i\ioli
2л(г + х)
2л*
Рис. 154
2л(г - х)
2 или после преобразова-
преобразований 4^+/-*—г=0, откуда
X
-3-10-2м±12,4.10-
8
-м.
Следовательно, Х\ « 1,2-10 2 м. Второй корень квадратно-
квадратного уравнения *2=—1,9«10"~2м соответствует точке, рас-
расположенной между токами 1\ и /г, что также возможно.
Задача имеет два решения.
510. По двум длинным прямым проводникам, находя-
находящимся на расстоянии 5 см друг от друга, протекают токи
по 10 А в одном направлении. Определить индукцию
магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии
3 см от каждого проводника.
Дано: /=5см = 5-10~2 м; 1Х = /2= /= 10 А;
2
В — ?
Решение. Вектор магнитной индукции В поля в точ-
точке А равен векторной сумме индукций Bi и Вг полей,
создаваемых в этой точке каждым током в отдельности
(рис. 154). Направления векторов Bi и В2 определяем по
правилу буравчика. Числовое значение индукции магнит-
магнитного поля в точке А может быть найдено по теореме коси-
косинусов:
В =
l + 2B{B2 cos a .
A)
Индукции магнитных полей, создаваемых каждым током
в точке Л, соответственно равны
B)
^1 2лг, ' ~* 2лг2 *
Так как г\ = г2=г, Bi==B2, то [см. A)]
260
Из ДADC по теореме косинусов найдем /2 = г? + rf —
— 2r ir2cos а, откуда cos а= (г2 + г\ — 12)/{2г\г2) = Bг2 —
— /2)/Bг2). Подставив выражения для Bi и cos а в B),
получим
[
в=
10~У ¦ 10
^" 2-3.14C.10
^ 66,6 мкТл.
,~ 1(Y-2\2 /С. I Q
511. По кольцу из медной проволоки с площадью се-
сечения 1 мм2 протекает ток 10 А. К концам кольца прило-
приложена разность потенциалов 0,15 В. Найти индукцию маг-
магнитного поля в центре кольца.
Дано: S= 1 мм2=1(Г6м2; /=10 А; (/ = 0,15 В.
В — ?
Решение. Индукция магнитного поля в центре круго-
кругового тока
В = |юц//Bг), A)
где г — радиус кольца. По закону Ома для участка цепи,
разность потенциалов на концах кольца
?/ = //?, B)
Где /^ — сопротивление кольца; / — длина кольца. Учи-
Учитывая, что R = p//S и / = 2я/\ перепишем B): U = Ip2nr/S,
откуда
r=US/(I2n9). C)
Подставив выражение C) в A), получим
р_ \io\uipi2 .
D~ US '
D 4-3,14.10—т-1 -3,14-0,17-Ю-7.102 ^ . . т
В = —^ о,15. КГ* ТЛ = 44 МКТЛ'
512. По двум одинаковым круговым виткам радиусом
5 см, плоскости которых взаимно перпендикулярны, а
центры совпадают, текут одинаковые токи 2 А. Найти
индукцию магнитного поля в центре витков.
Дано: Я = 5см = 5-10~2 м; /=2 А.
В — ?
261
Рис. 155
Решение. Индукция магнитного по*
ля, созданного каждым круговым то-
током в центре соответствующего витка,
fii = fl2=iK>ji//B/?). A)
По правилу буравчика для выбранных
направлений токов в витках вектор Bj
направлен от нас, а вектор Вг — впра-
вправо (рис. 155). По принципу суперпози-
суперпозиции индукция результирующего маг-
магнитного поля
Поскольку Bi и Вг взаимно перпендикулярны, по теореме
Пифагора из соответствующего прямоугольного тре-
треугольника находим
В = л/Ж+Bl = Вх У 2. B)
Подставив выражение A) в B), получим
2R •
4.3,14-Ю-7-1 -2-1,41
35,4 мкТл.
513, Требуется изготовить соленоид длиной 20 см и
диаметром 5 см, создающий на своей оси магнитную
индукцию 1,26 мТл. Найти разность потенциалов, кото-
которую надо приложить к концам обмотки соленоида. Для
обмотки применяют медную проволоку диаметром 0,5 мм.
Дано: L=20cm = 0,2m; D = 5 cm = 5- 1СГ* м;
В = 1,26 мТл = 1,26- Ю-3 Тл; d = 0,5 мм = 5-10~4 м.
Решение. Разность потенциалов на концах обмотки
соленоида
(/ = //?. A)
Из выражения B = \i\ioln найдем силу тока, текущего по
соленоиду:
/=В/(ццоя), B)
где n=N/L — число витков, отнесенное к длине соле-
соленоида. Поскольку полное число витков соленоида Л/ =
= L/d, выражение B) можно привести к виду
262
Сопротивление обмотки
Так как /= jtDW = jiZ)L/d, S = nd2/A\ p —
удельное сопротивление меди, то
/? = 4pDL/d3. D)
Преобразуем уравнение A) с помощью
формул C) и D):
г, 4pBLD t
,,
.1Q-7-1,26» 10~3.0,2.5-Ю"
4-3,14.10~7E.10-у
;2,7В.
514. Два параллельных проводника с одинаковыми
токами находятся на расстоянии 8,7 см друг от друга и
притягиваются с силой 2,5* 10~2 Н. Определить силу тока
в проводниках, если длина каждого из них 320 см, а токи
направлены в одну сторону.
Дано: г =
8,7.1СГ2м; F=2,5.10H; /=320 см = 3,2 м.
Решение. Так как, по условию задачи, г<С/, то прово-
провода можно считать бесконечно длинными. Поэтому индук-
индукция магнитного поля, созданного проводником с током
силой 1\ (рис. 156),
По закону Ампера, на проводник с током h действует
сила /72 = /2Bi/, или с учетом A) F2 = h\io[i>Ii/Bлг). Так
как /i = /2 = /, то ^2=Мю|л^2//Bяг), откуда
. -, / 2nrF2 г -,/ 2-3,14.8,7.10~2.2,5-10 А ^ со А
V |iOpi V 4«3,14« 10 «3,2
515°. Металлический стержень длиной 15 см располо-
расположен перпендикулярно бесконечно длинному прямому
проводу, по которому течет ток 2А. Найти силу, дей-
действующую на стержень со стороны магнитного поля,
создаваемого проводом, если по стержню течет ток 0,5 А,
а расстояние от провода до ближайшего конца стерж-
стержня 5 см.
263
Дано: /= 15см= 15-10 м; /2=2А; г = 5см =
/, = 0,5 А.
Л -?
Решение. Разобьем стержень CD на малые элементы
длиной djc и рассмотрим один такой элемент, находя-
находящийся на произвольном расстоянии х от вертикального
провода (рис. 157). По закону Ампера, на каждый эле-
элемент Ах действует сила
направленная вертикально вверх по правилу левой руки
для выбранных направлений токов. Здесь
Bлх) A)
— индукция магнитного поля, созданного током h в
точке, находящейся на расстоянии х от вертикального
провода. Поскольку силы, действующие на другие эле-
элементы стержня, также направлены вертикально вверх,
полная сила, действующая на стержень,
г+1
F,= S IxB2dx. B)
г
Подставляя формулу A) в B) и интегрируя полученное
выражение, находим
г+1 г+1
с Г \io\iI2I\dx Цоц/2/1 ( d* 110*1/2/1 . J
Г I z== \ 7Z 7Z \ 7Z 1П Л I ==
J 2лх 2л J х 2л г
= —в 2 ' in —
7Z 7Z \ 7Z
2лх 2л J, х 2л
4»3,14>10-7-Ь2»0,5
2л "' г . ' 1— 2-3,14
У1п 5'10-2Ч-15.10-2 и^9о 1П-7Н
X in 5< 10_2 ri~z,o*lU п.
X
516°. Два прямолинейных длин-
длинных параллельных проводника
находятся на расстоянии 5 см
друг от друга. По проводникам
текут токи 10 и 20 А. Какую ра-
работу, отнесенную к длине провод-
проводника, надо совершить, чтобы уве-
увеличить расстояние между провод-
проводниками до 10 см, если токи имеют
Рис. 157 одинаковое направление?
0
г
Л
С
\
dF,
йх
1,
В
264
г ¦'«
Рис. 158
Дано: Г| = 5 ем = 5*10~2 м; /i =
= 10 А; /2 = 20 А; г2 = ;
= 10 см=10.10-2 м. J
А/1-7
к?1 Решение. Будем для опреде-
определенности считать, что провод-
проводник с током 1\ неподвижен и
расстояние г изменяется из-за
перемещения проводника с то-
током /2. Второй проводник находится в магнитном поле В\9
образованном проводником с током /i, поэтому на него
действует сила Ампера, равная
F2 = I2Bil (sina=l) A)
и направленная по правилу левой руки в сторону первого
проводника (рис. 158). Эта сила не может увеличивать
расстояния между проводниками, поэтому для перемеще-
перемещения второго проводника к нему надо приложить внеш-
внешнюю силу FBH, равную по модулю и противоположную
по направлению силе F2, т. е. FBH = —-F2, или в скалярной
форме Fbh = F2. Так как первый проводник считается
длинным, то индукция его магнитного поля
Учитывая это, выражение A) можно записать в виде
Тогда внешняя сила, отнесенная к длине второго провод-
проводника,
/.H = F.H//=|io»i/i/2/Bnr), B)
откуда видно, что она уменьшается по мере перемещения
проводника, поэтому работа такой переменной силы
—=J /внс!г,
или, подставляя в подынтегральное выражение форму-
формулу B) и производя операцию интегрирования, получаем
Л ___ f jion/1/2 dr __ \iQ\iIJ2 Г dr
/ J 2л г 2я 3 г ""
2л
г2
265
i
У x
Z
/?
BJ
F
0 ^
mg
7
t
л
У
A _ 4.3,14» 10-y»10»20
/ -~ 2-3J4 X
X In 5>'i0.a Дж/м = 27,6 мкДж/м.
517. В однородном магнитном
поле, индукция которого равна
2 Тл и направлена под углом 30°
к вертикали, вертикально вверх
Л движется прямой проводник мас-
рис 159 со" 2 кг, по которому течет ток
4 А. Через 3 с после начала дви-
движения проводник имеет скорость 10 м/с. Определить
длину проводника.
Дано: В = 2Тл; а« 30° = 0,52 рад; т = 2кг; / = 4А;/ = Зс;
v = 10 м/с.
Решение. На проводник CD, движущийся в маг-
магнитном поле, действуют: mg — сила тяжести; F — сила
Ампера (рис. 159). Так как проводник движется под
углом а к направлению В, то сила Ампера равна
F = /Вх/,
где Вх = В since—составляющая вектора В по оси X.
Следовательно,
F =/В/since. A)
Поскольку движение проводника равноускоренное, запи-
запишем второй закон Ньютона в проекциях сил и ускорения
на ось Z:
F — mg = та,
или с учетом выражения A)
IBlsma—mg = mv/t, B)
Из формулы v =2 at определим а = v/t и перепишем урав-
уравнение B) в виде
/B/sina — mg = mv/tt
откуда
2(9,8 4-10/3) .,.7
- м ^ Ь,57 М.
/ /Bsina • '- 4.2-0,5
266
518. Циклотрон предназначен для ускорения протонов
до энергии 5 МэВ. Определить наибольший радиус орби-
орбиты, по которой движется протон, если индукция магнит-
магнитного поля 1 Тл.
Дано: WK = 5 МэВ = 8-10~13 Дж; В = 1 Тл.
Решение. Протон движется в циклотроне по спираль-
спиральной орбите, состоящей из полуокружностей с постепенно
увеличивающимся радиусом. При этом на него действует
сила Лоренца F = qvB. Запишем для протона второй
закон Ньютона в проекции на ось У, направленную к
центру окружности:
= тау, A)
где ау = ац = v2/R. Тогда уравнение A) можно привести
к виду qvB = mv2/Ry откуда,
R = mV/{qB). B)
Преобразуем выражение B):
mv = -sj2m-y[mv2/2 = s/2mW*, C)
где WK — кинетическая энергия протона. Подставив вы-
выражение C)в B), получим
^1 м = 0,32 м.
1,6- Ю-19-1
519. Электрон, ускоренный разностью потенциалов
300 В, движется параллельно прямолинейному проводни-
проводнику на расстоянии 4 мм от него (рис. 160). Какая сила
будет действовать на электрон, если
по проводнику пустить ток 5 A? j
Дано: г = 4 мм = 4.10 м; /=5 А;
= 300 В.
F — ? (
Решение. При пропускании по про-
проводнику тока на электрон действует
сила Лоренца
A) Рис. 160
267
Так как электрон был предварительно ускорен в электри-
электрическом поле, то А = Д№к, или ell = mv2/2, где т — мас-
масса электрона. Тогда
v = л[2еЩт . B)
Индукция магнитного поля, образованного прямым длин-
длинным проводником с током,
В = |лцо//Bлг). C)
Подставив выражения B) и C) в A), получим
F = \х\хое
2пг
F = 4>3'14<1()~7-1-1.6-100-5-Л/ 2* 1,6» 1Q-'9.300 „
"" 2-3,14.4.10-3 V 9,1-10-3' :
520. Электрон движется в магнитном поле, индукция
которого 2 мТл, по винтовой линии радиусом 2 см и ша-
шагом винта 5 см. Определить скорость электрона.
Дано: R = 2 см = 2-10~2 м; h = 5 см = 5-10~2 м;
В = 2 мТл = 2.10~3Тл.
Решение. Движение электрона по винтовой линии
можно представить как движение по окружности со ско-
скоростью vy под действием силы Лоренца в плоскости, пер-
перпендикулярной индукции поля, и равномерное движение
вдоль поля со скоростью vx (рис. 161). Тогда полная
скорость электрона
V х 1 У ' V /
Найдем отдельно скорости
vy и vx. Запишем для элек-
электрона второй закон Ньютона
в проекциях на ось У:
F = тауу
где F = eBvy, ay=v2y/R. Тог-
Тогда eBvy= mv2y/R, откуда
Рис. 161
vy = eBR/m.
B)
268
Скорость vx найдем из соотно- a) f i s) У
C) Л
р
шения h = vxT, откуда | f
Л
где Т — время, в течение кото- ^ / v
рого электрон продвинется по J
горизонтальному направлению
на один шаг винта. С другой
стороны, Т равно времени, в Рис- 1б2
течение которого электрон прой-
пройдет со скоростью vy расстояние, равное длине окружно-
окружности, т.е. T=2nR/vyy или с учетом B)
Т = 2nRm/(eBR) = 2nm/(eB). D)
Используя соотношения C) и D), получаем
t,x = JL=-$??- E)
Vx T 2лт * V '
Подставив выражения B) и E) в A), найдем
-V
h2e2B2 e2B2R2 _ eB
4n2m'2 ' ~n? 2nm
______
«7,6- Ю6 м/с.
521. Пучок электронов влетает в пространство, где
возбуждены однородное электрическое поле, напряжен-
напряженность которого 1 кВ/м, и перпендикулярное ему однород-
однородное магнитное поле, индукция которого 1 мТл. Скорость
электронов постоянна и направлена перпендикулярно
векторам Е и В (рис. 162, а) Найти скорость движения
электронов. Как будут двигаться электроны, если элек-
электрическое поле выключить? Каков радиус кривизны тра-
траектории электронов в этом случае?
Дано: Е = 103 В/м; В == 1 мТл = 10~3 Тл.
Решение. На электрон в электрическом и магнитном
полях действуют силы
F3A = eE, F^ar = Fn = evB (since = 1). A)
Поскольку электрон движется прямолинейно и равномер-
равномерно, электрическая и магнитная силы взаимно уравнове-
уравновешены. Запишем условие равновесия электрона в проек-
проекциях на ось Y (рис. 162,6):
269
или, учитывая выражения A), evB — е? = 0г откуда
v = Е/В\ v = A03/1(Г3) м/с= 106 м/с.
Если выключить электрическое поле, то на электрон бу-
будет действовать только магнитное поле с силой
FMar = Fn = evB.
Поскольку скорость электрона перпендикулярна силе Ло-
Лоренца, электрон будет двигаться по окружности. По вто-
второму закону Ньютона,
Учитывая выражение A) и то, что ац = v2/Rt получаем
evB = mv2/R, откуда
м.
522. Объяснить, почему два проводника, по которым
текут токи в одном направлении, притягиваются.
Отв. Вокруг первого проводника возникает магнитное
поле, направление линий индукции которого найдем по
правилу буравчика (рис. 163). Второй проводник будет
находиться в этом поле. Так как по второму проводнику
течет ток, то на него действует сила Ампера F2, направ-
направление которой находим по правилу левой руки. Анало-
Аналогично можно показать, что и на первый проводник дей-
действует сила Ампера F\, равная F2.
523. Как будут вести себя два проводника с токами,
расположенные перпендикулярно друг другу (рис. 164)?
Отв. Вокруг проводника с током Л возникает магнит-
магнитное поле с индукцией Bi. На участок АО второго провод-
проводника действует сила Ампера Fu направленная по правилу
левой руки вниз, а на участок ОС действует сила Ампе-
Ампера F2f направленная вверх. Эта пара сил начнет вращать
проводник АС вокруг точки О против часовой стрелки.
г, к
Рис. 163
Рис. 164
270
Аналогично можно показать, что одновременно первый
проводник начнет вращаться вокруг точки О по часовой
стрелке.
Упражнения
524. Найти индукцию магнитного поля в точке, от-
отстоящей на 2 см от бесконечно длинного прямого про-
провода, по которому течет ток 5 А.
525. Найти индукцию магнитного поля в центре кру-
кругового проволочного витка радиусом 1 см, по которому
течет ток 1 А.
526. Принимая, что электрон в атоме водорода вра-
вращается по круговой орбите радиусом 0,53* 10~8 см, опре-
определить индукцию магнитного поля в центре орбиты. Кру-
Круговой ток, эквивалентный движущемуся электрону, при-
принять равным 0,01 мА.
527. Вычислить магнитную индукцию внутри соле-
соленоида с железным сердечником, если на 40 см его длины
намотано 400 витков проволоки. По виткам течет ток 8 А,
магнитная проницаемость железа 183.
528. По двум длинным параллельным проводам, рас-
расстояние между которыми 16 см, текут в противополож-
противоположных направлениях токи по 30 А каждый. Определить ин-
индукцию магнитного поля в точке, расстояние от которой
до обоих проводов одинаково и равно 10 см.
529. На прямой проводник длиной 0,5 м, расположен-
расположенный перпендикулярно силовым линиям поля с индукцией
2 • 10"~2 Тл, действует сила 0,15 Н. Найти силу тока, про-
протекающего по проводнику.
530. Электрон влетает в однородное магнитное поле,
индукция которого 20 мТл, перпендикулярно силовым ли-
линиям поля со скоростью 10® см/с. Вычислить радиус
окружности, по которой будет двигаться электрон.
531. Протон движется со скоростью 108 см/с перпен-
перпендикулярно однородному магнитному полю с индукцией
1 Тл. Найти силу, действующую на протон, и радиус
окружности, по которой он движется.
532. Электрон описывает в магнитном поле окруж-
окружность радиусом 4 мм. Скорость электрона 3,6* 106 м/с.
Найти индукцию магнитного поля.
533. Как направлена сила, с которой магнитное поле
Земли действует в северном полушарии на горизонталь-
горизонтальный проводник с током, если этот проводник расположен
в плоскости магнитного меридиана, а ток по нему идет
с севера на юг?
271
Работа по перемещению проводника с током
в магнитном поле.
Электромагнитная индукция. Энергия магнитного поля
Поток индукции магнитного поля (магнитный поток)
сквозь плоскую поверхность S в случае однородного маг-
магнитного поля с индукцией В
Ф = BS cosa,
где а — угол между направлениями векторов магнитной
индукции В и нормали п к плоской поверхности S.
Элементарная работа магнитного поля по перемеще-
перемещению в нем проводника с током
cL4 =
где / — сила тока в проводнике; dO — изменение магнит-
магнитного потока.
Полная работа перемещения проводника с током
ф2
А = \ /dO> = /(Ф2- Ф|) = /АФ.
ф,
ЭДС индукции, возникающая в соленоиде, связана
со скоростью изменения магнитного потока соотноше-
соотношением
•--*¦?¦•
где N — число витков в соленоиде; ДФ = Ф2 —Ф1 — из-
изменение магнитного потока; Д/=/2—-1\ — время его из-
изменения.
Направление индукционного тока в замкнутом про-
проводнике можно определить по правилу Ленца.
ЭДС самоиндукции, возникающая в соленоиде под
влиянием изменения его собственного магнитного потока.
где Д/ = /2 —Л — изменение силы тока в соленоиде;
Д/=/2 —1\ — время его изменения; L — индуктивность
соленоида.
Индуктивность соленоида
L = 2
где п = N/I — число витков, отнесенное к длине соле-
соленоида; N — полное число витков в соленоиде; / — длина
272
соленоида; S — площадь поперечного сечения соленоида;
\i — магнитная проницаемость среды, заполняющей
соленоид.
Энергия магнитного поля соленоида
W = LI2/2.
534°. В однородном магнитном поле, индукция кото-
которого 1 Тл, движется равномерно прямой проводник дли-
длиной 20 см, по которому течет ток 2 А. Скорость провод-
проводника равна 15 см/с и направлена перпендикулярно век-
вектору индукции. Найти работу перемещения проводника
за 5 с.
Дано: В = 1 Тл; / = 20 см = 0,2 м; / = 2 А;
v = 15 см/с = 0,15 м/с; / = 5 с.
Л — ?
Решение. По определению, полная работа по переме-
перемещению проводника в магнитном поле
A)
где d<D = BdS — магнитный поток сквозь площадку dS,
который пересекает проводник при своем движении за
промежуток времени d/ (рис. 165).
Из рисунка видно, что dS — площадь параллело-
параллелограмма abb'а! со сторонами ab = I и аа' — vdt. Следова-
Следовательно, dS = Ivdt, тогда
B)
Подставим выражение B) в подынтегральное выраже-
выражение A) и произведем операцию интегрирования:
t t _^
А = j IBtvdt = IBlv\ dt = IBlvt; bJL-
_ *""_ „ _ 0
>1= 2-Ь0,2-0,15-5 Дж = 0,3 Дж.
535. В однородном магнитном
поле, индукция которого 0,25 Тл,
находится плоская катушка ра-
радиусом 25 см, содержащая 75 вит-
ков.- Плоскость катушки состав- п1 2а'
ляет угол 60° с направлением
вектора индукции. Определить Рис. 165
ю—5во 273
вращающий момент, действующий на катушку в магнит-
магнитном поле, если по виткам течет ток 3 А. Какую работу
надо совершить, чтобы удалить катушку из магнитного
поля?
Дано: В = 0,25 Тл; R = 25 см = 0,25 м; N = 75;
ф = 60° = я/3 рад; / = 3 А.
М — ? Ави — ?
Решение. На катушку, содержащую N витков, со сто-
стороны магнитного поля действует вращающий момент
М = NpmB sinoc.
Учитывая, что pm = /S, S = nR2 и <х=л/2 — ср (рис. 166),
преобразуем выражение A):
М = NInR2Bsm{n/2—y) = NInR2В coscp;
М = 75-3.3,14.0,252cos(n/3) = 5,5 Н-м.
Работа магнитного поля при удалении из него катушки
Иначе, чтобы удалить катушку из поля, к ней надо при-
приложить внешнюю, например механическую, силу, которая
совершит при этом работу
-Ф2). B)
Здесь Ф1 == NBScosa; Ф2 = 0, так как В2 = 0. Подстав-
Подставляя эти выражения в формулу B) и учитывая, что
5 = л/?2, получаем
Лв„ = /MBjt/?2cos(n/2-q)) = INBnR2 s\nq>\
Лв„ = 3-75-0,25-3,14.0,252sin(n/3) = 8,6 Дж.
536. В однородном магнитном поле индукцией
4 • 10~~2 Тл находится круговой виток радиусом 5 см, по
которому течет ток 1 А. Виток расположен так, что его
плоскость перпендикулярна индукции поля. Какую рабо-
работу надо совершить, чтобы повернуть виток на 90° вокруг
оси, совпадающей с его диаметром (рис. 167)?
Дано: R = 5 см = 5-10~2 м; / = I А,
<р = 90° = л/2 рад;
В = 4-Ш~2Тл.
л э
Решение. Начальное поло-
Рис 166 жение витка с током является
274
положением устойчивого равно-
равновесия, так как вращающий мо-
момент в этом положении равен
нулю. Поэтому при повороте вит-
витка магнитное поле совершает от-
отрицательную работу, а работа
внешней силы положительна. По
определению, работа магнитного
поля при повороте рамки
-Ф,), A)
где <Di = BScosai и Ф2 = Рис* 167
= BS cos a2 — поток магнитной
индукции сквозь плоскость витка в его начальном и ко-
конечном положениях; S = nR2 — площадь поверхности,
ограниченная витком с током. Так как ai = 0 и <Х2 = л/2,
то
Ф\ = BnR2cosau Ф2 = BnR2cosa2.
Тогда выражение A) примет вид
А = /Вл/?2(со$а2 — cosai).
Так как Авн = —Л, то работа внешней силы, поворачи-
поворачивающей виток с током,
Лвн = IBnR2(cosa\ —COSCC2);
Лв„ = 1 -4-10.3,14-E- 10~2J.(l —0) Дж =
= 3,14-10~4 Дж.
537. Прямой проводник длиной 1,5 м, движущийся
равноускоренно в однородном магнитном поле с началь-
начальной скоростью 3 м/с и ускорением 10 м/с2, переместился
на расстояние 0,5 м. Найти среднюю ЭДС индукции в
проводнике. Индукция магнитного поля равна 0,2 Тл и
направлена перпендикулярно скорости движения провод-
проводника. Найти также мгновенное значение ЭДС индукции
в проводнике в конце перемещения.
Дано: / « 1,5 м; у0 = 3 м/с; а = 10 м/с2; Д* = 0,5 м; В = 0,2 Тл.
_____
Решение. По закону Фарадея, ЭДС индукции в про-
проводнике, движущемся с некоторой скоростью в магнит-
магнитном поле,
ДФ
д/
A)
!0*
275
где ДФ = #Ао — магнитный по-
поток, пересеченный проводником
при его движении в магнитном
поле за промежуток времени А/
(рис. 168). Из рисунка видно,
что площадь AS, пронизывае-
пронизываемая магнитным потоком АФ,
можно найти как площадь
прямоугольника Oabc, т. е.
Рис 168 AS = lkx. Тогда АФ = В/А* и
[см. A)]
g_ В/Ад: __ jgi /g\
Если при неравномерном движении проводника в магнит-
магнитном поле в качестве скорости v возьмем среднюю ско-
скорость движения проводника, то по формуле B) вычис-
вычислим среднее значение ЭДС индукции:
<«> = —Я/<и>.
Средняя скорость равнопеременного движения
откуда v = -^vl-{-2aAx — конечная скорость этого дви-
движения. Следовательно, (v) ==
Тогда
= -0,99 В.
Аналогично, если v — мгновенная скорость движения
проводника, то мгновенная ЭДС индукции
«= —В/у, C)
где v = ->/ио + 2аАл: — мгновенная скорость в конце пере-
перемещения. Тогда выражение C) примет вид
г= —0,2-1,5VЗ2+2-10-0,5 в= —1,08 В.
538°. Рамка, по которой проходит ток, равномерно
вращается в однородном магнитном поле, индукция ко-
которого 4 мТл, с частотой 20 с. Площадь рамки 20 см2.
276
Ф мк55
Ю
Рис. 169
Ось вращения рамки лежит в ее плоскости и перпенди-
перпендикулярна вектору индукции поля. Найти максимальный
магнитный поток сквозь плоскость рамки и ЭДС индук-
индукции, возникающей в рамке при ее вращении. Построить
графики зависимости магнитного потока и ЭДС индукции
от времени.
Дано: В = 4 мТл = 4-10~3 Тл; v = 20 с, S = 20 см2 =
Фмакс — ? & макс — ?
Решение. Магнитный поток сквозь плоскость рамки
Ф = BScosa,
где a — угол между нормалью к плоскости рамки и на-
направлением вектора магнитной индукции. При равномер-
равномерном вращении рамки угол а изменяется со временем по
закону а= со/; следовательно,
ф = BScosco/. A)
По закону Фарадея, ЭДС индукции
или с учетом выражения A)
?=. —-1-{BS coso)/) = BScosincof
d/
B)
27,7
Из выражения A) видно, что маг-
магнитный поток при вращении рамки
имеет максимальное значение в мо-
моменты времени, когда cos со/=1.
При этом
Рис. 170 X 2 • 10 Вб = 8 мкВб.
Аналогично, из выражения B) на-
находим максимальную ЭДС индукции в рамке: SMaKC =
= ?Sco, или, поскольку co = 2nv.
?макс = BS2nv\
gMaKC = 4-10~3-2.10~3.2-3,14-20 В ж 1 мВ.
Пользуясь формулами A) и B), построим графики зави-
зависимости Ф и S от времени / (рис. 169). Поскольку со = 2л/Г,
при построении графиков удобнее рассмотреть моменты
времени /, соответствующие l/47\ l/г7\ 3/аТу Т.
539°. Прямоугольная рамка площадью 500 см2, состоя-
состоящая из 200 витков провода, равномерно вращается в одно-
однородном магнитном поле вокруг оси, проходящей через ее
центр параллельно одной из ее сторон (рис. 170), с часто-
частотой 10 с. При этом в рамке индуцируется ЭДС, макси-
максимальное значение которой 150 В. Найти индукцию магнит-
магнитного поля.
Дано: 5 = 500 см2 = 5-10~2 м2; N = 200; v=10c~';
?мако = 150 В.
Решение. По закону Фарадея, в рамке, состоящей из
N витков, вращающейся в магнитном поле, возникает ЭДС
индукции
«--^, A)
где Ф = BScosco/ и со = 2nv. Подставляя эти выражения
в формулу A) и производя операцию дифференцирования,
получаем
i = NBS2nv$m2nvt.
ЭДС индукции максимальна в моменты времени, когда
sm2nvt = 1:
? = «*,«: = NBS2nv,
278
откуда
В = 4Ш^' В= «0.5.10^2.3,14.10 Тл^0,24Тл.
540. Алюминиевое кольцо расположено в однородном
магнитном поле так, что его плоскость перпендикулярна
вектору магнитной индукции поля. Диаметр кольца 25 см,
толщина провода кольца 2 мм. Определить скорость изме-
изменения магнитной индукции поля со временем, если при этом
в кольце возникает индукционный ток 12 А.
Дано: D = 25 см = 0,25 м; d = 2 мм = 2-10~3 м; / = 12 А.
ДВ/Д/ — ?
Решение. По закону Фарадея,
д/ *
Здесь Ф = BS — магнитный поток сквозь поверхность,
ограниченную кольцом. Поскольку площадь 5 поверхно-
поверхности постоянна, можно написать
ДФ = A(BS) = S&B и «=—S-^p A)
откуда IAB/A/I = 8/S. Так как поверхность, ограниченная
кольцом, — круг, то ее площадь
S = дО2/4. B)
По закону Ома для замкнутой цепи,
в=/й,
где R = p//Snp — сопротивление кольца. Так как длина
кольца / = jiD, а площадь сечения провода кольца Snp =
= д^2/4, то выражение для сопротивления кольца можно
записать в виде R == ApD/d2 Тогда
S=ApDI/d2. C)
Подставляя выражения B) и C) в A), получаем
16-12-0,26- 10~7 Тл , с -г /
« 1,6 Тл/С.
3.14.0.25.B. КГ3)*
541. Соленоид, состоящий из 80 витков и имеющий
диаметр 8 см, находится в однородном магнитном поле,
индукция которого 60,3 мТл. Соленоид поворачивается на
279
угол 180° в течение 0,2 с. Найти среднее значение ЭДС,
возникающей в соленоиде, если его ось до и после поворота
направлена вдоль поля.
Дано: N = 80; d = 8 см = 8-10~2 м; cti = 0 рад; а2 = 180° «
« 3,Н рад; Л/ = 0,2 с; В = 60,3 мТл = 60,3- 10~3 Тл.
Решение. ЭДС, возникающая в соленоиде,
«=-*¦??-. о)
где ДФ = Ф2 —Oi = B5(cosa2 —cosai) — изменение маг-
магнитного потока, пронизывающего соленоид при его поворо-
повороте на 180°. Так как S = яс?2/4, cosa2 = —1, cosai = +1,
то
ДФ = -2Яш/2/4 = -Влс12/2. B)
Подставив выражение B) в A), найдем
g_ NBjuP . ?_ 80.60,3. Ю-3-3,14(8. Ю-2J р__П91 р
542. Катушку с ничтожно малым сопротивлением и ин-
индуктивностью 3 Гн присоединяют к источнику тока с ЭДС
15 В и ничтожно малым внутренним сопротивлением.
Через какой промежуток времени сила тока в катушке до-
достигнет 50 А?
Дано: ё\ = 15 В; / = 50 A; L = 3 Гн.
Решение. По закону Ома для замкнутой цепи,
г),
где ё— полная ЭДС в цепи, равная в данном случае сумме
ЭДС источника 8\ и ЭДС самоиндукции ?2, возникающей
после присоединения катушки к источнику. Следовательно,
g==g1 + g2=gl~L^=/(/?+r), A)
где S 2 = — ДД//Д/) — ЭДС самоиндукции.
По условию задачи, сопротивления R и г ничтожно
малы, поэтому выражение A) можно записать в виде
&\ — L—ж 0, откуда скорость изменения силы тока
280
Так как скорость изменения силы тока постоянна, то
/ = —/, откуда / = -^-, или с учетом выражения B)
, il . 50-3 1П
/ = -тт-; / = ——с=10с.
543. Соленоид диаметром 10 см и длиной 60 см имеет
1000 витков. Сила тока в нем равномерно возрастает на
0,2 А за 1 с. На соленоид надето кольцо из медной прово-
проволоки, имеющей площадь поперечного сечения 2 мм2. Найти
силу индукционного тока, возникающего в кольце.
Дано: D = 10 см = 0,1 м; / = 60 см = 0,6 м; N = 103;
Д//Д/ = 0,2 А/с; Snp = 2мм2 = 2-10~6 м2.
/к—?
Решение. При изменении силы тока в соленоиде возни-
возникает ЭДС самоиндукции
где L=iiO\xn2lS — индуктивность соленоида. Так как
п — N/1, и S = jcD2/4, то индуктивность соленоида
L = \io\xnD2N2/Dl)t
тогда
A/
~~ 4/ Л/ *
ЭДС индукции 8кУ возникающая в одном кольце, в УУ раз
меньше, чем найденное выше значение ЭДС самоиндукции
в соленоиде, состоящем из N витков, т. е.
р _ S _ \xo\inD2N M m
По закону Ома для замкнутой цепи, сила индукционного
тока в кольце
где RK = р/к/Snp — сопротивление кольца. Так как U = nD,
то
р. Тогда /к =
или с учетом выражения A)
, UouNDSm A/
/к ==:
4/р М '
28!
/ _ 4.3,14.10-M03.Q,b2.10-6 n2A_ , „, д
/K — 4-0,6.1,7-Ю-8 U'Z A ^ ifZ6 MA*
544. Соленоид длиной 50 см и диаметром 0,8 см имеет
20 000 витков медного провода и находится под постоян-
постоянным напряжением. Определить время, в течение которого
в обмотке соленоида выделится количество теплоты, рав-
равное энергии магнитного поля в соленоиде.
Дано: / = 50 см = 0,5 м; D = 0,8 см = 0,8-10~2 м; N = 2-10\
Решение. По закону Джоуля —Ленца, количество теп-
теплоты, выделившееся в обмотке соленоида при протекании
по ней постоянного тока за время /,
где R = p//Snp — сопротивление медного провода обмотки
соленоида. Длина провода, намотанного на соленоид, рав-
равна произведению длины одного витка на число витков в
соленоиде: / = nDN. Площадь поперечного сечения про-
провода Snp = шйр/4. Поскольку витки соленоида намотаны
вплотную друг к другу, диаметр провода dnp == l/N. Тогда
SnP = nl2/{AN2) и R = 4pDN3/l\ Следовательно,
Q = 412pDNzt/l2. A)
Энергия магнитного поля соленоида
W = L/2/2, B)
где L = \xo\in2lS — индуктивность соленоида.
Так как число витков, отнесенное к длине соленоида,
и площадь поперечного сечения соленоида соответственно
равны п = N/I и S == яО2/4, то индуктивность соленоида
L = tm>iinD2N2/Dl). C)
Учитывая выражение C), перепишем формулу B):
W=~ixwnD2N2I2/{8l). D)
Приравнивая по условию задачи выражения A) и D),
получаем I2fyDN4/l2 = Jx0^D2Ar2/2/(8/), откуда
32pJV '
4-3.14-Ю-'-1-3.14.0.S-tO-2.0,5 „_ , ,c ,п-б
/== 32.l,7-HT*-2.i0'
545. В каком направлении пойдет ток через амперметр
в момент размыкания цепи ключом К (рис. 171)?
282
Отв. До размыкания цепи по
соленоиду и амперметру текут токи
Л и /г. После размыкания цепи в
катушке возникает ЭДС самоиндук-
самоиндукции, которая будет стремиться под-
поддержать силу тока в катушке преж-
прежней; этот индукционный ток пойдет
через амперметр, и стрелка его от-
отклонится в направлении, противопо-
противоположном первоначальному.
Упражнения
546. Какую работу надо совершить для перемещения
проводника длиной 40 см, по которому течет ток 21 А в од-
однородном магнитном поле с индукцией 1,2 Тл на 25 см?
Проводник движется перпендикулярно линиям индукции.
547. В однородном магнитном поле с индукцией 0,06 Тл
находится прямоугольная рамка площадью 40 см2. Рамка
состоит из 200 витков и может вращаться вокруг оси,
перпендикулярной линиям индукции поля. Когда по вит-
виткам течет ток 0,5 А, рамка располагается перпендикулярно
линиям индукции поля. Какую работу надо совершить,
чтобы повернуть рамку из этого положения на *Д оборота,
на 1/2 оборота, на целый оборот?
548. В однородном магнитном поле находится плоский
виток площадью 10 см2, расположенный перпендикулярно
линиям индукции. Найти силу тока, текущего по витку,
если поле убывает с постоянной скоростью 0,1 Тл/с. Со-
Сопротивление витка 10 Ом.
549. В катушке длиной 50 см и диаметром 10 см,
имеющей 1000 витков, сила тока равномерно увеличива-
увеличивается на 0,1 А за 1 с. На катушку надето кольцо из медной
проволоки сечением 2 мм2. Найти силу тока в кольце, счи-
считая, что магнитные потоки в соленоиде и кольце одина-
одинаковы.
550. Квадратная рамка из медной проволоки, площадь
которой 25 см2, помещена в магнитное поле с индукцией
0,1 Тл. Нормаль к рамке параллельна вектору магнитной
индукции поля. Площадь сечения проволоки 1 мм2. Какой
заряд пройдет по рамке после выключения поля?
551. Рамка, имеющая 30 витков, вращается около го-
горизонтальной оси, лежащей в ее плоскости и перпендику-
перпендикулярной плоскости магнитного меридиана, с частотой
10 с~]. Напряженность магнитного поля Земли 40 А/м.
В рамке индуцируется максимальная ЭДС 0,001 В. Найти
площадь рамки.
283
552. Между полюсами динамомашины создано поле с
индукцией 0,7 Тл. Якорь машины состоит из 100 витков
площадью 500 см2 каждый. Найти частоту вращения
якоря, если в нем индуцируется максимальная ЭДС 200 В.
553. По катушке длиной 20 см и диаметром 3 см, имею-
имеющей 400 витков, течет ток 2 А. Найти индуктивность ка-
катушки и магнитный поток, пронизывающий ее сечение.
554. Если сила тока, проходящего в соленоиде, изме-
изменяется на 50 А в секунду, то на концах обмотки соленоида
возникает ЭДС самоиндукции 0,08 В. Определить индук-
индуктивность соленоида.
555. Катушка, содержащая 100 витков, замкнута на-
накоротко и находится в магнитном поле напряженностью
9,6 кА/м. Площадь каждого витка 5 см2, а их плоскости
перпендикулярны линиям индукции магнитного поля ка-
катушки. Какой заряд пройдет по катушке, если ее удалить
из поля? Сопротивление катушки 2 Ом.
556. Обмотка электромагнита имеет индуктивность
0,5 Гн, сопротивление 15 Ом и находится под постоянным
напряжением. Определить время, в течение которого в
обмотке выделится количество теплоты, равное энергии
магнитного поля в сердечнике электромагнита.
557. Замкнутый соленоид с железным сердечником
длиной 150 см и сечением 20 см2 содержит 1200 витков.
Определить энергию магнитного поля соленоида, если по
нему проходит ток 1 А. Магнитная проницаемость желе-
железа 1400.
Вопросы для повторения
1. Что называется вектором маг- дукции сквозь площадку? Назо-
нитной индукции? 2. Как связа- вите единицу магнитного пото-
ны между собой напряженность ка. 9. Напишите формулу для
и индукция магнитного поля? расчета работы по перемеще-
3. Что называется магнитной нию проводника с током в маг-
проницаемостью вещества? 4. нитном поле. 10. Что называет-
Назовите единицы напряженно- ся явлением электромагнитной
сти и магнитной индукции маг- индукции? 11. Сформулируйте
нитного поля. 5. Чему равна правило Ленца. 12. Сформули-
сила Ампера, действующая на руйте закон Фарадея для элек-
проводник с током в магнит- тромагнитной индукции. 13. Что
ном поле? Как найти ее направ- называется явлением самоин-
ление? 6. Чему равна сила Ло- дукции? 14. Напишите выраже-
ренца, действующая на заряд, ние для ЭДС самоиндукции,
движущийся в магнитном поле? 15. Дайте определение индук-
Как найти ее направление? 7. тивности. 16. Напишите выраже-
Напишите выражение для вра- ние для индуктивности соле-
щающего момента, действую- ноида. 17. Назовите единицу ин-
щего на рамку с током в маг- дуктивности. 18. Чему равна
нитном поле. 8. Что называют энергия магнитного поля соле-
потоком вектора магнитной ин- ноида?
ГЛАВА IV
ОПТИКА
§ 1. ОСНОВНЫЕ ФОТОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ
Световой поток определяется световой энергией, излу-
излучаемой точечным источником света, отнесенной ко времени
излучения:
•-¦?¦•
Сила света определяется световым потоком Ф, излу-
излучаемым точечным источником света, равномерно распреде-
распределенным внутри телесного угла со:
где Ф — световой поток.
Телесным углом называется пространственный угол,
ограниченный конической поверхностью, вершина которой
совпадает с точечным источником света, а площадь осно-
основания S является частью сферической поверхности ра-
радиуса R:
S
Освещенность определяется световым потоком, отне-
отнесенным к площади S поверхности, на которую он падает:
Освещенность, создаваемая точечным источником, на
расстоянии г от него
t =
где a — угол между падающим лучом и перпендикуляром
к поверхности в точке падения луча.
Светимость источника определяется световым пото-
285
ком Ф, испускаемым светящейся поверхностью, отнесен-
отнесенным к площади S этой поверхности
«-$¦•
Яркость источника в некотором направлении ф опре-
определяется силой света / источника в этом направлении,
отнесенной к площади S поверхности источника:
Scostp *
где ф — угол между нормалью к площади S и направле-
направлением наблюдения.
Светимость и яркость источника связаны следующим
соотношением:
558. Вычислить световой поток, падающий на площад-
площадку 10 см2, расположенную на расстоянии 2 м от источни-
источника, сила света которого 200 кд.
Дано: S = 10см2 =* 1СГ3 м2; г = 2 м; / = 2-102 кд.
Решение. Примем, что источник находится в центре
сферы радиусом г. Площадка S составляет часть площади
поверхности сферы. Тогда освещенность площадки
? = //г2, A)
так как <х=0. Иначе:
Е = Ф/5. B)
Приравнивая правые части соотношений A), B), находим
[/г2 == Ф/S, откуда
ф = ~5- ; Ф = ?з лм = 0,05 лм.
559. Две электрические лампочки, поставленные рядом,
освещают экран. Расстояние от лампочек до экрана I м.
Одну лампочку погасили. На сколько нужно приблизить
экран, чтобы освещенность его не изменилась?
Дано: Г| » 1 м.
Дг — ?
286
Решение. Освещен-
Освещенность экрана, создава-
создаваемая двумя лампочка- 1 д 2 Ц 2
ми,
г
?,=?,+?2 =
где Е\ и ?*2 — освещен- Рис- 172
ности экрана, создава-
создаваемые каждой лампочкой отдельно.
После того как одну лампочку погасили, а вторую
приблизили к экрану, освещенность экрана стала равна
Ем = I/rl
где г2 — новое расстояние от лампочки до экрана.
По условию задачи, Е\~Еи, тогда 2I/r1= I/rl откуда
г2 = лМ/2 = г\/л[2 . Следовательно,
Аг = г, - г2 = л - r,/V2 = г,A - 1/V2 );
Дг= 1A - 1/1,41) м «0,3 м.
560. По обе стороны от точечного источника света
на одинаковых расстояниях, равных 1 м, помещены эк-
экран и плоское зеркало, плоскости которых параллельны
(рис. 172). Какова освещенность, создаваемая в центре
экрана, если сила света источника 2 кд?
Дано: г = 1м; / = 2 кд.
Е — ?
Решение. Освещенность экрана создается лучами, не-
непосредственно падающими от источника S (например,
луч /), и лучами, падающими после отражения от зер-
зеркала (например, луч 2). Лучи, падающие на экран после
отражения от зеркала, можно рассматривать как лучи
от источника S' — мнимого изображения источника S в
зеркале, находящегося на расстоянии г за зеркалом.
Так как при отражении от плоского зеркала телесный
угол, в котором распространяются падающие лучи не ме-
меняется, то источник S' имеет ту же силу света, что и ис-
источник S. Тогда освещенность экрана
? = ?i + ?2 = IIА + I/rl
где г\ = г, /2 = Зг. Следовательно,
Е =* -г + w = *9?-; Е e тт лк«2>2 лк-
2*7
561. На какой угол нужно повернуть площадку, что-
чтобы ее освещенность уменьшилась вдвое по сравнению с
той освещенностью, которая была при перпендикулярном
падении лучей?
Дано: ?2 = 0,5 Ei.
а — ?
Решение. Освещенность площадки при перпендику-
перпендикулярном падении лучей
?, = //г2. A)
Освещенность той же площадки при наклонном падении
лучей
Е2 = /cos а/г2. B)
По условию задачи, Еч = 0,5?ь Учитывая выраже-
выражения A) и B), получаем /cosа/г2 = 0,51/г2, откуда
cos a = 0,5; а « 1,05 рад.
562. На высоте 5 м висит лампа и освещает площад-
площадку на поверхности земли. На каком расстоянии от
центра площадки освещенность поверхности земли в два
раза меньше, чем в центре (рис. 173)?
Дано: h = 5 м; Ео ~ 2Е.
/ — ?
Решение. Освещенность поверхности земли в центре
площадки
Ео = //А2.
Освещенность поверхности земли
на расстоянии / от центра пло-
площадки
? = /cos а/г2.
Из рисунка видно, что cosa =
= А/г, г = л/А2 + /2. Тогда ? =
' + *K- Учитывая, что
Ео = 2?, получаем //Л2 = 2/ X
X AAVA^+FK, откуда
¦—1 м^3,83 м.
563. Купол, имеющий форму
Рис. 173 полусферы радиусом I м, осве-
288
-АВ
щается двумя одинаковыми
лампами, подвешенными на
высоте 2 м над поверх-
поверхностью земли и находящи-
находящимися друг от друга на том
же расстоянии (рис. 174).
Определить освещенность в
точках полусферы, находя-
находящихся на минимальном рас-
расстоянии от одного из источ-
источников, если полный световой
поток, создаваемый каждой
лампой, 103 лм.
Дано: /?=1м; h = 2 м; / = 2 м; Ф = 103 лм.
Е — ?
Решение. На минимальном расстоянии от источни-
источника А находится точка С, лежащая на прямой, соеди-
соединяющей источник А с центром полусферы О (рис. 174).
Освещенность в точке С создается источниками, на-
находящимися в точках А и ?, отстоящих от нее на рас-
расстояниях \АС\ = г\ и \ВС\ = г2. Следовательно, осве-
освещенность в точке С
Е = /cosai/r? + I cosa2/rt
A)
где
/ = ф/Dя); ai = 0, B)
так как луч АС идет по направлению радиуса полу-
полусферы и совпадает с направлением нормали к поверх-
поверхности полусферы в точке падения. Угол а2 найдем из
Л. ABC по теореме косинусов:
C)
D)
Из рисунка видно, что
г, = \АО\ - \ОС\,
где [ОС] ===== /?. Из Л AOD найдем, что
\АО\ =
\\ ^\\ + \\ У/
Так как, по условию задачи,
I = А = 2/?,
то \АО\ = R-\jb zz 2,24/?. Подставим
\АО\ и \ОС\ в равенство D):
/-1 = 2,24/? — /? «1,24/?.
выражения
E)
для
F)
289
Из Д ABC по теореме косинусов определим
r\ = r\ + /2-2r,/cosp, G)
причем cos p можно найти из AAOD, учитывая, что
\AD\ = 1/2 = R. Тогда
= = db~045 (в)
Подставим выражения F), E) и (8) в G);
г\ = A,24/?J + 4/?2 - 4-1,24/?2.0,45 « З/?2,
откуда
г2«1,73/?. (9)
Подставим выражения E), F) и (9) в C):
rnqa _ A,24*)»+ A,73*)»-4/?' _0 1О
cos а2 ____ « о,12. A0)
Подставим выражения B), F), (9) и A0) в A):
0Л2 ] _ 0,69Ф _ п Пгс Ф .
п 0,055-Ю3 --
t = лк = 55 лк.
564. Найти освещенность поверхности Земли, созда-
создаваемую нормально падающими солнечными лучами.
Яркость Солнца 1,2 • 109 кд/м2. Расстояние от Земли до
Солнца 1,5-108 км, радиус Солнца 7-Ю5 км.
Дано: В = 1,2-109 кд/м2; г = 1,5-108 км= 1,5-101! м;
R = 7.105км = 7-108 м.
Е — ?
Решение. Вследствие большого расстояния от Земли
до Солнца считаем, что лучи, падающие от Солнца на
Землю, идут параллельным пучком. Принимая Солнце за
плоский светящийся диск, находим, что его яркость
В = 2//S,
где S = я/?2. Коэффициент 2 введен ввиду того, что
плоский диск излучает по двум направлениям. Тогда
В = 2//(я/?2), откуда
/ = nBR2/2. A)
290
По условию задачи, cosa= 1. Тогда освещенность по-
поверхности Земли
Е = //г2. B)
Подставляя выражение A) в B), получаем
nBR2
-2тг;
3,14-1,2.
р лк 10 лк
L - 2.A.5-Ю11)* ЛК~в Ш ЛК«
565. Электрическая лампа, сила света которой 100 кд,
заключена в матовый сферический плафон диаметром
5 см. Найти светимость и яркость лампы. Поглоще-
Поглощением света стеклом плафона можно пренебречь.
Дано: / = 100 кд; D = 5 см = 5- \0~2 м.
Решение. Светимость источника
R = Ф/S,
где Ф = /со — излучаемый световой поток; со = 4я —
полный телесный угол; S = л?2. Тогда
/? 4я/ 4/
4-102 лм t ^ ,Л5 /2
510'V ~мг= 1*60 лм/м •
Яркость лампы
566. Лампа силой света 60 кд применяется для пе-
печатания фотоснимка. Если лампу расположить на рас-
расстоянии 1,5 м от снимка, то время экспозиции равно
2,5 с. Определить время экспозиции, если применить
лампу силой света 40 кд, расположенную на расстоя-
расстоянии 2 м от снимка.
Дано: /i = 60 кд; rs = 1,5 м; tx =» 2,5 с; /2 =» 40 кд; г2 = 2м
Решение. Световая энергия, полученная фотобумагой
за время t, равна произведению светового потока Ф на
время экспозиции:
W = Ф/ = ESt.
291
Следовательно, для каждого случая можно написать:
Wi = ExStu W2 = E2St2. A)
Качество фотоснимков одинаково, если в обоих случаях
на фотобумагу попадет одинаковая световая энергия
W\ = W2> или с учетом A) EiSti = E2St2, откуда
t2 = ?i/j/?2.
По закону освещенности, Е\ = l\jr\ и Е2 = /г/г2. Тогда
. Ixr\tx , 60-22-2,5 А АЛ
'2 = Т7Г; '2 = 1,5^.40 с== 6'64 с*
567. Почему с улицы днем трудно рассмотреть внут-
внутренность комнаты через оконные стекла, не приближая
лица вплотную к стеклу?
Отв. От окна на улицу идут два световых потока:
первый создается лучами, отраженными от стекла, вто-
второй — лучами, проходящими через стекло из комнаты.
Так как второй поток создается многократно отражен-
отраженными от стен комнаты лучами, то его интенсивность
значительно меньше, чем интенсивность первого потока,
из-за поглощения и рассеивания света при отражении.
Поэтому наблюдатель видит блестящее стекло, а не
внутренность комнаты.
568. Часто под действием солнечных лучей снег на
покатых крышах тает, а на почве нет. Почему?
Отв. Весной в наших широтах даже в полдень Солн-
Солнце не стоит в зените, поэтому на горизонтальную по-
поверхность солнечные лучи падают под некоторым углом.
Если крыша поката, то угол падения лучей на крышу
меньше угла падения на почву, которую считаем гори-
горизонтальной. Так как освещенность поверхности Е =
= / cos а/г2, то освещенность крыши больше, чем осве-
освещенность поверхности почвы, что и приводит к таянию
снега на покатых крышах.
Упражнения
569. На столбе высотой 6 м висит лампа, сила света
которой 400 кд. Вычислить освещенность поверхности
земли на расстоянии 8 м от основания столба.
570. Между двумя экранами нужно поставить источ-
источник света так, чтобы левый экран был освещен вдвое
сильнее правого. На каком расстоянии от левого экрана
292
нужно поставить источник света, если расстояние между
экранами 100 см?
571. Свет от электрической лампы, сила света кото-
которой 200 кд, падает на небольшую горизонтальную пло-
площадку под углом 45°, создавая освещенность 141 лк.
Найти расстояние г от лампы до площадки и высоту h>
на которой она подвешена (см. рис. 173).
572. На столбе на высоте 3 и 4 м над поверхностью
земли одна над другой висят две лампы силой света
200 кд каждая. Найти освещенность поверхности земли
на расстоянии 2 м от основания столба.
573. Лампа подвешена к потолку и находится между
вертикально висящими картиной и плоским зеркалом.
Определить световой поток, падающий на картину пло-
площадью 0,5 м2, если расстояния от лампы до картины
и зеркала соответственно равны 4 и 2 м. Сила света лам-
лампы 96 кд.
574. Два точечных источника света расположены на
расстоянии 2 м друг от друга. На перпендикуляре,
опущенном на середину линии, соединяющей источники,
расположена под углом а небольшая площадка на рас-
расстоянии 1 м от этой линии. При угле а= 15° освещен-
освещенности обеих сторон площадки одинаковы и равны 20 лк.
Определить силы света источников.
575. Лампа, в которой светящимся телом служит на-
накаленный шарик диаметром 3 мм, дает силу света 85 кд.
Найти яркость лампы, если ее сферическая колба диамет-
диаметром 6 см сделана из прозрачного стекла.
576. Найти освещенность края стола диаметром 1 м,
если он освещается лампой, висящей на высоте 1 м от
центра стола. Полный световой поток лампы 600 лк.
577. Лампа силой света 1000 кд висит на высоте
8 м от поверхности земли. Найти площадь участка, в пре-
пределах которого освещенность не менее 1 лк.
Вопросы для повторения
1. Что называется световым по-
потоком? В каких единицах он вы-
выражен? 2. Что называется силой
света источника? В каких едини-
единицах она выражается? 3. Что на-
называется телесным углом? 4. Что
называется освещенностью? 5.
Напишите формулу для расчета
освещенности, создаваемой то-
точечным источником света. 6.
Что называется светимостью?
В каких единицах она выража-
выражается? 7. Что называется ярко-
яркостью источника? В каких едини-
единицах она выражается? 8. Напиши-
Напишите формулу, связывающую
между собой светимость и
яркость.
293
§ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Отражение света. Зеркала
При отражении лучей света от границы раздела двух
сред выполняется следующий закон.
1. Луч падающий АО, луч отраженный ОВ и нор-
нормаль ОС к отражающей поверхности в точке падения
луча лежат в одной плоскости. Угол падения i равен
углу отражения i\ (рис. 175).
Если лучи, падающие на границу раздела двух сред
параллельным пучком, после отражений остаются парал-
параллельными, то такое отражение называется зеркальным,
а сама поверхность — плоским зеркалом.
При построении изображения предмета в плоском
зеркале следует помнить, что все лучи, исходящие из
какой-либо точки предмета (например, из точки А;
рис. 176), после отражение от зеркала пойдут так, что
их продолжения будут пересекаться за зеркалом в одной
и той же точке А'. Точка А' является мнимым изобра-
изображением точки А. Аналогично выполняется построение
изображения точки В. В результате изображение пред-
предмета получается прямым, мнимым, равным по величине
самому предмету, расположенному симметрично с ним
по отношению к плоскости зеркала.
Если зеркально отражающая поверхность представ-
представляет собой часть сферы, то зеркало называется сфери-
сферическим. Центр сферической поверхности, точка С, на-
называется оптическим центром зеркала (рис. 177). Верши-
Вершина шарового сегмента, точка О, называется полюсом
Рис. 175
Рис. 176
294
Рис. 177
зеркала. Прямая, проходящая
через оптический центр и по-
полюс зеркала, называется глав-
главной оптической осью зеркала.
Любая прямая, проходящая
через оптический центр зерка-
зеркала, называется побочной оп-
оптической осью. Сферические
зеркала делятся на вогнутые
и выпуклые.
Если на вогнутое зеркало
падает пучок параллельных лучей, то после отражения
от зеркала они пересекаются в одной точке — фокусе
зеркала. Фокус /\ лежащий на главной оптической оси,
называется главным фокусом зеркала (рис. 178, а). Гео-
Геометрическое место всех фокусов образует фокальную
поверхность.
От выпуклого зеркала параллельный пучок лучей
отражается так, что продолжения отраженных лучей
за зеркало пересекаются в одной точке F — мнимом фо-
фокусе (рис. 178, б).
Рис. 178
Фокусное расстояние \OF\ ~ F (фокус зеркала), ра-
радиус кривизны которого /?,
Если предмет находится на расстоянии d от зеркала,
а его изображение — на расстоянии / от зеркала, то
-±-
±т
В этой формуле расстояния от зеркала до действи-
действительных точек берутся со знаком « + », а расстояния
от зеркала до мнимых точек — со знаком «—».
При построении изображений в сферических зеркалах
295
из всего пучка лучей, падающих на зеркало, удобно
использовать следующие лучи:
а) луч, параллельный главной оптической оси зер-
зеркала, который после отражения от зеркала проходит
через главный фокус;
б) луч, проходящий через главный фокус, который
после отражения от зеркала идет параллельно главной
оптической оси;
в) луч, проходящий через оптический центр зеркала,
который после отражения идет по тому же направлению
назад.
Отношение линейных размеров А'В' изображения к
линейным размерам АВ самого предмета называется
увеличением зеркала:
г \А'В'\ 1_
\АВ\ d'
578. Плоское зеркало АВ может вращаться вокруг
горизонтальной оси О. Луч света падает на зеркало под
углом а. На какой угол повернется отраженный луч,
если зеркало повернется на угол р (рис. 179, а)?
Дано: а; E
V-?
Решение. При повороте зеркала на угол р нормаль
к зеркалу также повернется на угол р, поэтому угол
падения после поворота зеркала а + р, а угол между
падающим и отраженным лучами 2(а+Р). До поворота
же зеркала угол между падающим и отраженным лу-
лучами был 2а. Следовательно, отраженный луч повернет-
повернется на угол (рис. 179,6)
у = 2(сс + Р) - 2а = 2р.
Рис. 179
579. Луч света,
направленный гори-
горизонтально, падает на
вертикально стоя-
стоящий экран. Если на
пути луча поместить
плоское зеркало, то
световое пятно на
экране смещается
вверх на 3,5 см (рис.
180). Определить угол падения луча на зеркало, если
расстояние от зеркала до экрана 50 см.
Дано: h = 3,5 см = 3,5-10 м; / = 50 см = 0,5 м.
Рис. 180
Решение. Рассмотрим ход луча SO, падающего в
точку О плоского зеркала MN. Согласно построению,
DO — перпендикуляр, опущенный на зеркало, СО —
перпендикуляр к горизонтальной линии SA, ОБ — отра-
отраженный луч. Из рисунка видно, что Z.DOC = я/2 — /;
АСОВ = я/2 - a; /LDOB = /. Тогда (я/2 - /) + (я/2 -
— а) = /, откуда
/ = (я-а)/2. 'A)
Иначе:
tg a = \АВ\/\ОА\ = h/l « а. B)
Подставив выражение B) в A), найдем
580. Сколько изображений получится от светящейся
точки, находящейся между двумя плоскими зеркалами,
расположенными под углом 45° друг к другу?
Дано: а = 45° = 0,785 рад.
п — ?
Решение. Если между зеркалами 1 и 2 поместить
светящуюся точку Ао (рис. 181), то выходящие из нее
лучи будут падать на зеркала и, многократно отражаясь
от них:, давать мнимые изображения источников на своих
продолжениях. Выполняя последовательно построения
изображений точки Ао в зеркалах / и 2, найдем, что
А\ — изображение точки Ло в зеркале /; А2 и А3 —-
297
изображения точек Aq и
А\ в зеркале 2\ Л4 и Аъ —
изображения точек Аъ и
Аз в зеркале / и, нако-
наконец, Л? и Лб — изображе-
изображения точек Аа и As в зерка-
зеркале 2. Все последующие
изображения будут совпа-
совпадать с ранее полученны-
полученными. Таким образом, в зер-
зеркалах, установленных под
углом 45°, получается
семь изображений
581. Радиус кривизны
вогнутого зеркала 80 см.
На каком расстоянии от зеркала нужно поместить пред-
предмет, чтобы его действительное изображение было вдвое
больше предмета?
Дано: R = 80 см = 0,8 м; \А'В'\ = 21ЛЯ|.
Рис. 181
d — ?
Решение. Поместим предмет АВ между фокусом и
оптическим центром зеркала и построим его изображе-
изображение (рис. 182). Для этого рассмотрим лучи, исходящие
из точки А предмета АВ. Из всех этих лучей выберем
луч, падающий на зеркало параллельно главной опти-
оптической оси. После отражения от зеркала он пройдет
через главный фокус F. В качестве второго луча вы-
выбираем луч, идущий из точки А на зеркало через фо-
фокус F. После отражения от зеркала он пойдет парал-
параллельно главной оптической оси. Точка пересечения Л'
отраженных лучей является
действительным изображе-
изображением точки А.
Изображения всех ос-
остальных точек предмета АВ
будут находиться на перпен-
перпендикуляре, опущенном из точ-
точки А' на главную оптиче-
оптическую ось. Следовательно,
А'В' является действитель-
действительным, увеличенным и обрат-
обратным изображением предмета
АВ.
Рис. 182
298
Для нахождения расстояния от зеркала до предмета
воспользуемся формулой вогнутого зеркала:
11 1
1 + 7 = ~
Учитывая, что F = R/2 и \А'В'\/\АВ\ = f/d = 2, т. е.
/ = 2dy находим \/d + \/Bd) = 2/R, откуда
3-0,8
м = 0,6 м.
582. Найти главное фокусное расстояние зеркала,
если светящаяся точка и ее изображение лежат на глав-
главной оптической оси вогнутого зеркала на расстояниях
16 и 100 см соответственно от главного фокуса.
Дано: а = 16 см = 0,16 м; b = 100 см = 1 м.
F — ?
Решение. Построим изображение светящейся точки S,
находящейся между центром зеркала и главным фоку-
фокусом. Для этого рассмотрим два луча: луч SO, идущий
вдоль главной оптической оси, и произвольный луч SA
(рис. 183). Луч SO после отражения от зеркала пойдет
вдоль главной оптической оси в направлении от зеркала.
Чтобы найти, как пойдет луч SA после отражения от зер-
зеркала, проведем фокальную плоскость MN и побочную
оптическую ось CD, параллельную лучу SA, которая пе-
пересечет фокальную плоскость в точке В. Через точку В
должен пройти и луч SA после отражения от зеркала (по
свойству пучка лучей, параллельных побочной оптиче-
оптической оси).
Рис. 183
299
Рис. 184
Изображение S' светящейся точки S будет лежать на
главной оптической оси в точке пересечения отраженных
лучей. Чтобы найти главное фокусное расстояние Ft ис-
используем формулу вогнутого зеркала:
где d = \OF\
Тогда
1
- \FS\ = F
l
a, f = \OF\ + \FS'\ = F + b.
F + a
откуда,
F =
F =
** Предоставляем читателям самостоятельно убедиться, что ответ
будет таким же, если светящаяся точка расположена между полюсом
и главным фокусом зеркала.
583. Вогнутое зеркало поставлено против сходящегося
пучка лучей так, что точка, где лучи пересекались, оста-
осталась за зеркалом на расстоянии 20 см от его полюса
(рис. 184). Отраженные от зеркала лучи сошлись в одну
точку на расстоянии, равном 'Д фокусного расстояния
зеркала. Найти радиус кривизны зеркала.
Дано: И01 = 20 см = 0,2 м, |ОЛ,| = F/Ь.
R- ?
Решение. Если поместить точечный источник света в
точку А\, то его мнимое изображение окажется в точке А
(по принципу обратимости хода лучей). Следовательно,
если изображением считать точку Ль то для нее точка А
зоо
будет являться мнимым источником. В этом случае фор-
формула вогнутого зеркала примет вид
L л- — -
d "*" / ~- F9
где d = |ЛО|; / = \АХО\ = F/5; F = Я/2. Тогда
* I * = 1
d ~ #/E-2) /?/2'
откуда
Я = 8d; # = 8-0,2 м = 1,6 м.
584. Перед выпуклым зеркалом на расстоянии 5 см
помещен экран MN (рис. 185). На расстоянии 5 см от
экрана находится предмет АВ высотой 3 см. При каких
положениях глаза наблюдатель увидит изображение всего
предмета? Каковы наибольшие размеры предмета (при
заданном расположении предмета, зеркала и экрана),
при которых зеркало будет давать изображение всего
предмета? Диаметр зеркала 10 см.
Дано: b = 5 см = 5-10~2 м; а = 5 см = 5-10~2 м;
\АВ\ = 3 см = 3-10~2 м; D = 10 см = 0,1 м.
\АК\ - ?
Решение. Пусть А\В\ — мнимое изображение пред-
предмета А В. Очевидно, что в точке В\ будут пересекаться
продолжения лучей, отраженных от зеркала и заключен-
заключенных внутри конуса TB\G. Аналогично, в точке А\ будут
пересекаться продолжения лучей, отраженных от зеркала
и заключенных внутри конуса АА\Е. Чтобы увидеть
изображение всего пред-
предмета АВ, глаз наблюдате-
наблюдателя должен находиться в
пространстве перед зерка-
зеркалом между лучами BD и
А\Е. Наибольшие разме-
размеры предмета определят-
определятся из подобия треуголь-
треугольников LON и NAK (кри-
(кривизной отрезка OL пре-
пренебрегаем): \AK\/\LO\ =
= a/b% откуда
301
585. На каком расстоянии перед выпуклым сфериче-
сферическим зеркалом должен находиться предмет, чтобы его
изображение получилось в 1,5 раза ближе к зеркалу, чем
сам предмет. Радиус кривизны зеркала 1,6 м. Построить
изображение предмета.
Дано: / = rf/1,5; R = 1,6 м.
d —
Решение. Используем формулу выпуклого зеркала
1
F'
Учитывая, что / = d/1,5 и F = /?/2, находим
1 1
1 __
откуда
d/1,5
0,5/?
d =
R/29
0,5-1,6
M —
Для построения изображения точки В используем два
луча (рис. 186): первый, идущий вдоль побочной опти-
оптической оси ВС, после отражения пойдет в направлении к
точке В\ второй, падающий параллельно главной опти-
оптической оси, после отражения пойдет так, что его продол-
продолжение за зеркалом пройдет через главный фокус F. Точка
пересечения продолжений отраженных лучей дает изобра-
изображение В\ точки В. Опуская из точки В\ перпендикуляр
на главную оптическую ось, получаем изображение А\В\
предмета АВ. Полученное изображение является мнимым,
уменьшенным и прямым.
586. На главной оптической оси вогнутого зеркала
радиусом 40 см находится светящаяся точка S на расстоя-
расстоянии 30 см от зеркала
(рис. 187). На каком рас-
расстоянии перед вогнутым
зеркалом нужно поста-
поставить плоское зеркало, что-
чтобы лучи, отраженные зер-
зеркалами, вернулись в точ-
точку S?
Дано: /? = 40 см = 0,4 м.
d = 30 см = 0,3 м.
х- ?
302
Рис 186
Рис. 187
Решение. Если бы
не было плоского зер-
зеркала, то точка S\ яв-
являлась бы изображени-
изображением светящейся точки S
в вогнутом зеркале
(подробное построение
изображения см. в за-
задаче 582). Если на пу-
пути лучей, отраженных
от вогнутого зеркала и
идущих в точку Si,
поставить плоское зер-
зеркало, то эти лучи будут
падать на него сходящимся пуском и, отражаясь, давать
окончательное изображение в точке S2. Точку Si можно
рассматривать как мнимый источник для плоского зерка-
зеркала (см. задачу 583). Изображение мнимого источника S2
в этом зеркале будет действительным и расположенным
симметрично источнику S\ относительно плоскости зер-
зеркала.
Так как плоское зеркало делит расстояние между
источником Si и его изображением S2 пополам и по усло-
условию задачи точка S2 должна совпадать с точкой S, то
плоское зеркало надо расположить посередине между точ-
точками S и Si. Найдем расстояние от вогнутого зеркала
до изображения в нем светящейся точки по формуле
вогнутого зеркала
1 ¦ 1 1
d + / "" F'
Учитывая, что F = /?/2, находим 1/rf + *// = 2/?, откуда
f = Rd/Bd-R). A)
Из рисунка видно, что расстояние от плоского зеркала
до вогнутого
х = d + (/ - d)/2 = (d + Л/2, B)
или после подстановки выражения A) в B)
м = 0,45 м.
X =
2d - R '
X :==
2-0,3 — 0,4
587. Два одинаковых вогнутых зеркала поставлены
друг против друга так, что их фокусы совпадают. На
расстоянии 50 см от первого зеркала на общей оси зеркал
помещен точечный источник света (рис. 188), Где полу-
303
Рис. 188
чится изображение источника после отражения лучей от
зеркал? Радиус кривизны каждого зеркала 80 см.
Дано: dx = 50 см = 0,5 м; R = 80 см = 0,8 м.
х — ?
Решение. Если бы не было второго зеркала, то точка S\
являлась бы изображением светящейся точки S в первом
зеркале. Если на пути лучей, отраженных от первого зер-
зеркала, поставить второе зеркало, то эти лучи будут падать
на него сходящимся пучком и, отражаясь, давать окон-
окончательное изображение в точке S2. Точку S{ можно рас-
рассматривать как мнимый источник для второго зеркала.
Изображение мнимого источника S2 во втором зеркале
действительное и расположено на расстоянии х от второго
зеркала. Применяя формулу вогнутого зеркала для пер-
первого зеркала, находим положение точки S\:
+
= 1/Л или l/di + 1//, = 2//?,
откуда
-R). A)
Аналогично, применяя ту же формулу для второго зерка-
зеркала, находим положение точки S2:
или, учитывая, что F = R/2 и f2 = л:, получаем —l/d2
+ \/х = 2//?, откуда
B)
304
Из рисунка видно, что d2 — fi—2F. Тогда [см. A)]
и уравнение B) с учетом C) можно привести к виду
х = @,8-0,5) м = 0,Зм.
Из решения следует, что положения точек S и S2 совпа-
совпадают.
588. На главной оптической оси вогнутого зеркала ра-
радиусом 50 см на расстоянии 35 см от его полюса находится
точечный источник, сила света которого 75 кд. Определить
максимальную освещенность экрана, находящегося на
расстоянии 2,5 м от зеркала и расположенного перпенди-
перпендикулярно главной оптической оси.
Дано: R = 50 см = 0,5 м; d = 35 см = 0,35 м; / = 75 кд;
L = 2,5 м.
?—?
Решение. Освещенность максимальна в центре экрана
и равна сумме освещенностей от источников S и S' (его
изображения в вогнутом зеркале; рис. 189):
E0 = E + El = I/r2 + Il/rl A)
где г = L — d — расстояние от источника S, a r\ = L — f —
расстояние от источника S' до экрана Э\ I — сила света
источника S\ I\ — сила света источника S'. В отличие от
задачи 560 сила света источника S' не равна силе света
источника S, так как при отражении от вогнутого зеркала
телесный угол, в котором распространяются отраженные
лучи, не равен телесному углу, в котором распространя-
распространяются падающие на зеркало лучи. Для расчета силы света
от источника S' рассмотрим световой поток, падающий от
источника на зеркало Ф = /со. Если пренебречь потерями
энергии при отраже-
отражении, то такой же поток
будет распространять-
распространяться в телесном угле
coi: Ф = /icoi- В то же
время cod2 = tDi/2 (рис.
189). Из этих соотно-
соотношений получаем
Рис. 189
L
¦—
f
s
~~—,
1 -580
305
Подставляя B) в A) и учитывая выражение для
получаем
Расстояние от изображения источника S' до зеркала
d ^ f F '
где F = /?/2. Тогда
f Rd . f 0,5*0,35
f = 2d=R> f= 2.0,35-0,5 м =
Окончательно
0,875 \2 i \ in.
Т35-У B,5-0,875H ЛК»194лк.
589. Под каким углом должен падать луч на плоское
зеркало, чтобы отраженный луч был перпендикулярен па-
падающему?
Отв. Луч должен падать на зеркало под углом л/4 рад.
В этом случае по закону отражения угол отражения равен
я/4 рад. Следовательно, угол между падающим и отра-
отраженным лучами равен я/2, т. е. лучи взаимно перпенди-
перпендикулярны.
590. Если поверхность воды колеблется, то изображе-
изображения предметов в воде принимают причудливые формы.
Почему?
Отв. Колеблющуюся поверхность воды можно рассмат-
рассматривать как совокупность вогнутых и выпуклых зеркал раз-
различного радиуса, дающих разнообразные изображения.
Упражнения
591. Человек стоял перед плоским зеркалом, затем
отошел от него на расстояние 1 м. На сколько увеличилось
при этом расстояние между человеком и его изображе-
изображением?
592. Предмет находится между двумя параллельными
плоскими зеркалами. Сколько получится изображений?
593. Луч света, отраженный от зеркальца гальвано-
гальванометра, падает на центральное деление шкалы, располо-
расположенной на расстоянии 1,5 м от зеркальца, перпендикуляр-
перпендикулярно направлению падающего луча. При пропускании тока
через гальванометр зеркальце повернулось, причем све-
306
товое пятно на шкале переместилось на 2 м. Определить
угол поворота зеркальца.
594. Вогнутое зеркало дает увеличенное в три раза об-
обратное изображение предмета. Расстояние от предмета
до изображения 28 см. Определить главное фокусное
расстояние зеркала.
595. Изображение, даваемое вогнутым зеркалом, в че-
четыре раза меньше предмета. Если предмет передвинуть
на 5 см ближе к зеркалу, то изображение будет меньше
предмета в два раза. Найти главное фокусное расстояние
зеркала.
596. Фокусное расстояние вогнутого сферического
зеркала 1 м. На каком расстоянии от зеркала необходи-
необходимо поместить точечный источник света, чтобы его изобра-
изображение совпало с источником?
597. На каком расстоянии от лица нужно держать
выпуклое зеркальце диаметром 5 см, чтобы видеть все
лицо, если фокусное расстояние зеркальца 7,5 см, длина
лица 20 см?
598. Светящаяся точка расположена на расстоянии 1 м
от выпуклого зеркала, а ее изображение делит пополам
отрезок оптической оси между полюсом зеркала и его
фокусом. Найти радиус кривизны зеркала.
599. Вогнутое и выпуклое сферические зеркала, ра-
радиусы кривизны которых одинаковы и равны 60 см, уста
новлены так, что их главные оптические оси совпадают.
Где нужно поместить предмет перпендикулярно главной
оптической оси, чтобы его изображения в зеркалах были
одинаковы? Расстояние между полюсами зеркал 150 см.
600. Построить изображение предмета, даваемое вы-
выпуклым зеркалом. Зависит ли характер изображения от
расстояния предмета до зеркала?
601. Построить изображение предмета, даваемое во-
вогнутым зеркалом, если предмет расположен: 1) за опти-
оптическим центром зеркала; 2) между фокусом и оптическим
центром; 3) между фокусом и полюсом зеркала.
Преломление света. Тонкие линзы.
Оптические приборы
Преломление света на границе раздела двух сред под
чиняется следующему закону.
Луч падающий АО, луч преломленный ОВ и нор
маль ОС к преломляющей поверхности в точке падения
луча лежат в одной плоскости (рис. 190). Отношение
1!** 307
Рис. 190
Рис. 191
синуса угла падения i к синусу угла преломления г есть
величина постоянная, равная относительному показателю
преломления второй среды относительно первой:
Относительный показатель преломления света П2\ свя-
связан с абсолютными показателями преломления л2 и п\ и со
скоростями распространения v\ и V2 света в двух соседних
средах соотношениями
п2
v2
Скорость распространения света в вакууме с =
= 3 • 10 м/с. Скорость распространения света в воздухе
Явление полного отражения света наблюдается при пе-
переходе света из оптически более плотной в оптически ме-
менее плотную среду и заключается в том, что свет полно-
полностью отражается от границы двух сред, если все лучи па-
падают под углом, большим предельного.
Предельным углом /0 (рис. 191) называется угол паде-
падения, при котором преломленный луч скользит по границе
двух сред. Находится этот угол из соотношения
siruo = —•
При прохождении сквозь призму луч света отклоня-
отклоняется к ее основанию (рис. 192). Угол у называется пре-
преломляющим углом призмы, угол б — углом отклонения
между падающим и вышедшим из призмы лучами. Для
поворота лучей на я/2 и л рад служит прямоугольная
308
Рис. 192
равнобедренная призма, называе-
называемая призмой полного отражения.
Прозрачное тело, ограниченное
двумя сферическими или сфериче-
сферической и плоской поверхностями, на-
называется линзой. Точка, через кото-
которую любой луч проходит не изменяя
своего направления, называется
главным оптическим центром О линзы (рис. 193, а). Пря-
Прямая FF, проходящая через вершины О\ и Ог сферических
поверхностей, называется главной оптической осью. Лю-
Любая прямая АВ, проходящая через оптический центр
линзы, называется побочной оптической осью.
Линзы, превращающие падающий на них параллель-
параллельный пучок лучей в пучок сходящихся лучей, называются
собирающими.
Линзы, превращающие падающий на них параллель-
параллельный пучок лучей в пучок расходящихся лучей, называ-
называются рассеивающими.
Схематические изображения собирающей и рассеиваю-
рассеивающей линз даны на рис. 193, б.
Пучок лучей, параллельных главной оптической оси,
после преломления в линзе сходится в главном фокусе F.
Для собирающей линзы главный фокус является действи-
действительным, для рассеивающей — мнимым. Каждая линза
имеет два фокуса: передний и задний. Плоскость MN,
проведенная через главный фокус перпендикулярно глав-
главной оптической оси, называется фокальной (рис. 193, а).
Каждый из лучей, параллельных оптической оси, после
A v
F 0,
o\
V
Oz
\
M
F
/V
\/
Рис. 193
309
преломления в линзе проходит через одну и ту же точку,
лежащую в фокальной плоскости линзы.
Для построения изображений в линзах из всего пучка
лучей, падающих на линзу, удобно использовать следую-
следующие лучи:
а) луч, параллельный главной оптической оси, после
преломления проходит через главный фокус;
б) луч, проходящий через главный фокус, после пре-
преломления проходит параллельно главной оптической оси;
в) луч, проходящий через оптический центр линзы,
после преломления проходит по тому же направлению.
Формула линзы и правило знаков совпадают с анало-
аналогичными формулой и правилом знаков для сферических
зеркал, т. е.
Фокусное расстояние F линзы, радиусы R\ и R2 кривиз-
кривизны сферических поверхностей и абсолютные показатели
преломления п\ и п2 вещества линзы и окружающей среды
связаны между собой отношением
где знаки перед слагаемыми, содержащими R\ и R2, берут-
берутся положительными для выпуклых поверхностей и отрица-
отрицательными — для вогнутых.
Величина, обратная фокусному расстоянию, называет-
называется оптической силой линзы:
0-4-
Оптическая сила системы линз, сложенных вплотную,
равна сумме оптических сил линз, входящих в систему:
Линейным увеличением линзы называется отношение
линейного размера изображения А\В\ к линейному раз-
размеру предмета АВ:
r_ \AxBx\ f
\ЛВ\ d *
Полное увеличение оптической системы линз равно
произведению увеличений, даваемых каждой линзой в от-
отдельности:
Г = Г,Г2Гз...
310
602. На стеклянную пластинку, показатель преломле-
преломления которой 1,5, падает луч света. Найти угол падения
луча, если угол между отраженным и преломленным
лучами 90° (рис. 194).
Дано: п =1,5; у = 90° « 1,57 рад.
i— ?
Решение. Из рисунка видно, что i+y+r=n, откуда
г=я—y—i. Тогда, учитывая у, получаем
г = л/2-/. A)
Иначе, по закону преломления света,
sim'/sinr=rt. B)
Из выражения A) находим sinr=sin(n/2—t) = cos/.
Тогда уравнение B) можно привести к виду sim'/cosi =
= tg/ = n, откуда
* = arctgn; /=arctgl,5«0,98 рад.
603. Абсолютные показатели преломления алмаза и
стекла соответственно равны 2,42 и 1,5. Каково отноше-
отношение толщин этих веществ, если время распространения
света в них одинаково?
Дано: Aii = 2,42; «2=1,5.
/2//1 - ?
Решение. Абсолютные показатели преломления п\ и
п2 алмаза р стекла связаны со скоростями v\ и у2 рас-
распространения света в этих веществах соотношением
n\/tl2=V2/V\. A)
Так как свет распространяется в
однородной среде с постоянной
скоростью, то
vx = lx/U V2=l*/U B)
где t — время прохождения света
сквозь вещество; 1\ — толщина
алмаза; /2 — толщина стекла.
Разделив почленно выражения
B), получим
l2/lx. C) рис. 194
311
Рис. 195
Из сравнения уравнений A) и
C) найдем
/2//i = 2,42/1,5 =1,61.
604. Найти предельный угол
падения луча на границу раздела
стекла и воды (рис. 195).
Дано: щ = 1,5; м2= 1,33.
/о-?
Решение. Предельный угол падения, при котором
наблюдается явление полного отражения, находим из
условия sinio=ti2/n\, откуда
/о= arcsin(Ai2/rti);
?0 = arcsin( 1,33/1,5) ж 1,08 рад.
605. Лучи света выходят из скипидара в воздух. Пре-
Предельный угол для этих лучей 42°53'. Определить ско-
скорость распространения света в скипидаре.
Дано: /о = 42°53' « 0,64 рад.
Решение. Показатели преломления п\ и я2 скипидара
и воздуха связаны со скоростями распространения света
в этих средах соотношением
n2/ni = v/c. A)
Иначе, предельный угол падения, при котором наблюда-
наблюдается явление полного отражения, находится из условия
sin/o= Лг/ль B)
Сравнив между собой уравнения A) и B), получим
sin /о = v/с> откуда
v = с sint0; v = 3-108.0,68 м/с»2,0Ы08 м/с.
606. На нижнюю грань плоскопараллельной стеклян-
стеклянной пластинки нанесена царапина. Наблюдатель, глядя
сверху, видит царапину на расстоянии 4 см от верхней
грани пластинки. Какова толщина пластинки?
Дано: h — 4 см= 4-10~2 м.
Я — ?
312
Решение. Пусть царапи-
царапина находится в точке А
нижней поверхности стек-
стеклянной пластинки. Построим
изображение точки Л, кото-
которое видит наблюдатель (рис.
196). Для этого рассмотрим
два луча: АС — луч, падаю-
падающий перпендикулярно на
верхнюю поверхность пла-
пластинки; AD — луч, падаю-
падающий на верхнюю поверх-
поверхность под малым углом /.
Из рисунка видно, что точка В будет мнимым изображе-
изображением точки А. Для нахождения толщины И пластинки
рассмотрим AACD: |ЛС|= |CD|/tg/, или, поскольку
\АС\ = Н и
d
В
i
у/
/
/ " / S
/ /
Рис. 196
Отрезок d найдем из ABCD: \CD\ = |CB|tgr, или, учиты-
учитывая, что \CD\ = d и |СВ| = А, d = higr. Тогда H = higr/tgi.
Поскольку углы г и i малы, отношение тангенсов этих
углов можно заменить отношением их синусов, т. е.
tgr/igittsinr/sin/. Следовательно,
# = /isinr/sin/.
Но, по закону преломления, sinr/sin/= nc/nB = пс> так как
пв= 1. Тогда
607. Определить угол отклонения луча стеклянной
призмой, преломляющий угол которой 3°, если угол паде-
падения луча на переднюю грань призмы равен нулю.
Дано: y=3°« 0,052 рад; /, = 0.
6 — ?
Решение. Из рис. 197 видно, что Z.AKM— Z.BCD =
= /LNKE = y. Обозначим ANKF=an /LEKF=b. Тогда
По закону преломления света для грани CD найдем
sinY/sma= \/п. Вследствие малости углов a и у получим
v/a- Тогда у/а=\/п, откуда
B)
313
Рис. 197
Рис. 198
Подставляя соотношение B) в A), получаем
б==ум — y = y(" — 1); 6 = 0,052A,5 — 1) рад = 0,026 рад.
608. На стеклянную трехгранную призму с прелом-
преломляющим углом 45° падает луч света и выходит из нее под
углом 30°. Найти угол падении луча на призму.
Дано: v=45° «0,79 рад; г2 = 30° « 0,52 рад.
Решение. Рассмотрим ADKE, образованный лучом
DE и перпендикулярами KD и КЕ к граням призмы АС
и ВС (рис. 198). По известной из геометрии теореме
внешний угол р этого треугольника равен сумме двух
внутренних углов г\ и /г, не смежных с ним, т.е. р =
= П+*2. Но P = Y» как Два угла со взаимно перпендику-
перпендикулярными сторонами; следовательно, y = r\+i2, откуда
Г1 = у — 'V A)
По закону преломления, для грани СВ siru2/sinr2= 1/n,
откуда siru2 = sinr2/n = 0,5/1,5 = 0,333; /2= 19,5°. Тогда,
согласно A), п = 45° —19,5°=25,5°.
По закону преломления, для грани AC siru'i/sinri = п,
откуда sirui = nsinrr,
sinix = 1,5 • 0,43 = 0,645; /1 = 40° 12' = 0,698 рад.
609. Собирающая линза дает действительное увели-
увеличенное в два раза изображение предмета. Определить
фокусное расстояние линзы, если расстояние между лин-
линзой и изображением предмета 24 см. Построить изобра-
изображение предмета в линзе.
Дано: Г =2; /= 24 см = 0,24 м.
F — ?
314
Рис. 199
Решение. Для построения изображения верхней точ-
точки А предмета АВ рассмотрим два луча (рис. 199). Пер-
Первый луч, идущий параллельно главной оптической оси,
преломившись, пройдет через главный фокус линзы; вто-
второй, идущий через главный оптический центр линзы, не
изменит своего направления. Точка пересечения А\ этих
лучей является действительным изображением точки А.
Опустив из точки А\ перпендикуляр на главную оптиче-
оптическую ось, получим действительное, увеличенное и пере-
перевернутое изображение А\В\ предмета АВ. Для нахожде-
нахождения фокусного расстояния воспользуемся формулой лин-
линзы l/d+1//= 1/F, откуда
F = df/(d + f). A)
Линейное увеличение линзы Г= \A\B\\/\AB\ = f/d, откуда
B)
Решение. Фокусное расстояние двояковыпуклой линзы
связано с абсолютными показателями преломления п\ ве-
вещества линзы и п2 окружающей среды соотношением
A)
315
610. Найти фокусное расстояние двояковыпуклой
стеклянной линзы, погруженной в воду, если известно,
что ее фокусное расстояние в воздухе 20 см.
Аналогично, для линзы, находящейся в воде,
Rx
1 , 1
+
Разделив почленно соотношения A) и B), получим
F2/F1 = (п\ — 1)п2/(п\ — /i2), откуда
2
п\—п2
611. Чему равно главное фокусное расстояние плоско-
плосковыпуклой стеклянной линзы, находящейся в скипидаре,
радиус кривизны выпуклой поверхности которой 25 см?
Дано: /?2 = 25 см = 0,25 м.
F — ?
Решение. Фокусное расстояние линзы найдем из фор-
формулы
B)(!*) о
Так как для плоской поверхности линзы 1 //?i = 0, то фор-
МУЛУ A) можно привести к виду —=(— 0"Б~» откуда
г \ П2 / А2
г R2 R2TI2 п 0,25-1,47
1,5—1,47
= 12,25м.
612. Построить изображение светящейся точки, нахо-
находящейся на главной оптической оси тонкой собирающей
линзы на одинаковом расстоянии от линзы и ее фокуса.
Дать характеристику изображению.
Дано: d=0,5/\
Решение. Воспользуемся формулой собирающей лин-
линзы \/d—\/f=\/FJ откуда
f=Fd/(F-d),
или с учетом того, что d = 0,5/r,
316
Следовательно, изображе-
изображение светящейся точки бу-
будет мнимым, расположен-
расположенным на расстоянии F от
линзы. Для построения
изображения светящейся
точки S используем два
луча: луч SO, идущий
вдоль главной оптической
оси, и произвольный луч
SA (рис. 200). Луч SO
Рис. 200
проходит через линзу без преломления. Чтобы найти ход
луча SA после преломления в линзе, проведем фокаль-
фокальную плоскость MN и побочную оптическую ось DO, па-
параллельную лучу SA, которая пересечет фокальную пло-
плоскость в точке В. Через точку В должен пройти и луч SA
после преломления в линзе (по свойству пучка лучей,
параллельных побочной оптической оси). Изображение
S' светящейся точки S будет лежать на главной оптиче-
оптической оси в точке пересечения продолжений преломленных
лучей.
613. Какое увеличение дает лупа, оптическая сила
которой 16 дптр? Построить изображение предмета в
лупе.
Дано: D = 16 дптр.
Г — ?
Решение. Увеличение, даваемое лупой,
где F — фокусное расстояние лупы; L — расстояние наи-
наилучшего зрения, равное 0,25 м для нормального глаза.
Следовательно, Г = 0,25 «16 = 4
Для того чтобы рассмотреть предмет через лупу, его
располагают между лупой и ее фокусом (рис. 201). Для
построения изображения А - ^
точки А этого предмета ис- i ^\^,
пользуем два луча, исходя- I
щих из нее: один, парал- [
лельный главной оптической —-^
оси, после преломления про-
проходит через фокус; другой,
проходящий через главный
оптический центр линзы, не Рис. 201
317
Рис. 202
изменит своего направле-
направления. Изображение А\ точ-
точки А получится в точке
пересечения продолжений
преломленных лучей. Ана-
Аналогично получаем изобра-
изображение Si точки В. Сле-
Следовательно, изображение
А\В\ предмета АВ мни-
мнимое, увеличенное и прямое.
614. На рассеивающую линзу падает сходящийся
пучок лучей. После прохождения через линзу лучи пе-
пересекаются в точке, лежащей на расстоянии 15 см от
линзы. Если линзу убрать, то точка пересечения лучей
переместится на 5 см ближе к линзе. Определить оптиче-
оптическую силу линзы.
Дано: d= 15 см = 0,15 м; /=5см = 0,05м.
D — ?
Решение. Если поместить точечный источник света
в точку А, то точка А\ будет его мнимым изображением
(рис. 202). Тогда по формуле рассеивающей линзы
1/d—1//=—1/F имеем
F = fd/(d-f), A)
где f = d — l. По определению, оптическая сила рассеи-
рассеивающей линзы равна D= — 1/F, или с учетом выраже-
выражения A)
n_ d-f __ I .
fd
0,05
-дптрж—3,3 дптр.
0,15@,15-0,05)
615. Рассеивающая линза с фокусным расстоянием
12 см расположена между двумя точечными источни-
источниками так, что к одному из них находится вдвое ближе,
чем к другому. Расстояние между изображениями источ-
источников получилось равным 7,8 см. Найти расстояние меж-
между источниками.
Дано: f = 12 см = 0,12 м; d2 = 2di\ /=7,8 см = 0,078 м.
Решение. Построим изображение S' и S? светящихся
точек Si и S2 (рис. 203) (см. подробное построение в
318
задаче 612). Запи-
Запишем формулу рассе-
рассеивающей линзы для
каждого источника:
По условию, ^2 =
= 2d,, l = fx+h, L =
= d\ +d2. Тогда
4BF-l)
4BF-0
Рис. 203
. _ -9-0>12@,12-0>078)+3'0,12V8@I2J-|-(Q,12-0>078J _
4B-0,12-0,078) ~~
_ -0,045+0,123
— 0,648
откуда L«0,12m. (Отрицательный корень не соответ-
соответствует условию задачи.)
616. Пучок лучей, параллельных главной оптической
оси, падает на двояковыпуклую линзу, главное фокусное
расстояние которой 12 см. На расстоянии 14 см от первой
линзы расположена вторая двояковыпуклая линза с
главным фокусным расстоянием 2 см. Главные оптиче-
оптические оси линз совпадают. Где получится изображение?
Дано: Fx = 12 см = 0,12 м; /= 14 см = 0,14 м; F2= 2 см = 0,02 м.
Решение. Построим ход лучей в данной оптической
системе (рис. 204). Из условия видно, что фокусы F\ и
F2 линз совпадают (/= Fi + /гг). Следовательно, выходя-
выходящий из второй линзы пучок лучей параллелен главной
оптической оси. Изображения не будет (находится в бес-
бесконечности).
617. Объектив фотоаппарата имеет фокусное расстоя-
расстояние 50 мм. С какой выдержкой надо снять автомобиль,
находящийся на расстоянии 2 км от фотоаппарата и
движущийся равномерно со скоростью 72 км/ч перпенди-
перпендикулярно оптической оси фотоаппарата, чтобы его изоб-
319
Рис. 204
ражение на снимке переместилось за это время на рас-
расстояние 0,005 мм? Построить изображение.
Дано: /7 = 50 мм = 5-10~2 м; d = 2 км = 2-103 м;
v =72 км/ч = 20 м/с; s, = 0,005 мм = 5-10~6 м.
Решение. Для построения изображения автомобиля
(предмета АВ) рассмотрим два луча (рис. 205, а): один
из лучей, падающий параллельно главной оптической
оси, преломившись, пойдет через фокус F объектива;
другой, идущий через оптический центр объектива О,
не изменит своего направления. Точка пересечения А\
преломленных лучей является действительным изображе-
изображением точки А. Опуская из точки А\ перпендикуляр на
главную оптическую ось, получим действительное, умень-
уменьшенное и перевернутое изображение А\В\ предмета АВ,
За время выдержки / автомобиль переместится на
расстояние s=vt, откуда
t = s/v. A)
Из рис. 205,6 следует, что s/si = d/f, откуда
s = S[d/f. B)
а)
Рис. 205
Из формулы собирающей линзы 1Д/+ 1//= \/F найдем
Подставив выражение C) в B), получим
s = Sl(d-F)/F.
Тогда из уравнения A) находим
si{d-F) ^ sxd %
Fv ~ Fv '
5 • 10~6 -2 • 103 1/Л_2
1 5-Ю-3-20 С Ш *
618. Изображение предмета на матовом стекле фото-
фотоаппарата с расстояния 15 м получилось высотой 30 мм,
а с расстояния 9 м — высотой 51 мм. Найти фокусное
расстояние объектива.
Дано: d\ = 15 м; hx =30 мм = 3« 10~2 м; d2 = 9 м, Л2 = 51 мм =
= 5,Ы0-2м.
F — ?
Решение. Применив формулу собирающей линзы для
расстояний d\ и d2i получим
J_ , J___J_. j |_JL=_L (П
dx /i F d2 f2 F
Используя формулу увеличения линзы для тех же рас-
расстояний, находим h/h\ = d\/f\y h/h2 = d2/f2t откуда
где h — высота предмета. Подставив B) в A), найдем
* | "¦ * * | я * /Q\
dx ' hxdx ~ F f d2 "t" h2d2 "~~* ^ '
Совместно решая уравнения C), получаем
г d2h2-dxhx п 9.5,1.10-2-15.3-10 п ло
F = ————; f = —5 i.io-Ц —з-кН—м^0,43м.
619. С помощью зрительной трубы, фокусное расстоя-
расстояние объектива которой 50 см, наблюдатель ясно видит
предметы, находящиеся на расстоянии 50 м от объектива.
В какую сторону и на сколько надо сдвинуть окуляр,
чтобы установить трубу на бесконечность? Построить
изображение.
Дано: /7= 50 см = 0,5 м; d=b0u.
I— ?
321
Решение. Используя формулу линзы l/d+ \/f\= I//7,
находим расстояние от объектива до изображения, по-
полученного в нем:
р dF г 50-0,5
При наведении трубы на бесконечность изображение
в объективе должно получиться в его фокальной плоско-
плоскости, т.е. /2 = 0,5м. Следовательно, окуляр нужно сме-
сместить к объективу на расстояние
/= fi —/2; / = @,505-0,5) м = 0,005 м.
Построим изображение предмета в зрительной трубе
(рис. 206). Для этого возьмем два луча, исходящих из
точки А предмета АВ.
Первый луч, проходящий через фокус F\ объектива,
после преломления пойдет параллельно главной оптиче-
оптической оси до падения на окуляр в точке D. После пре-
преломления в окуляре он пойдет так, что его продолжение
пересечет оптическую ось в точке fV
Второй луч, проходящий через оптический центр О\
объектива, не изменит своего направления и упадет на
окуляр в точке Е. Чтобы найти ход луча после преломле-
преломления в окуляре, проводим через точку F4 фокальную пло-
плоскость MN и побочную оптическую ось, параллельную
этому лучу и пересекающую фокальную плоскость в точ-
точке К. Второй луч преломляется так, что его продолжение
пройдет через точку К.
Точка Ач пересечения продолжений первого и второго
лучей, вышедших из окуляра, является мнимым изобра-
изображением точки А. Опуская из точки Ач перпендикуляр
на главную оптическую ось,
получим мнимое, уменьшен-
уменьшенное и прямое изображение
А< АчВч предмета АВ.
620. Микроскоп состоит
из объектива и окуляра,
расстояние между главными
фокусами которых 18 см.
Найти увеличение, даваемое
микроскопом, если фокусные
расстояния объектива и оку-
окуляра соответственно равны
2 и 40 мм. Построить изоб-
Рис. 206 ражение предмета.
2F
V
\4
V
\
\
ч
322
Дано: /= 18 см = 0,18 м; F,= 2 мм = 2-10~3 м; F2=40mm =
= 4-10-2 м.
Г — ?
Решение. Построим в микроскопе изображение пред-
предмета АВ, который обычно помещают вблизи фокальной
плоскости объектива. Для этого возьмем два луча, исхо-
исходящих из точки А предмета АВ (рис. 207). Первый луч,
проходящий через фокус F\ объектива, после преломле-
преломления пойдет параллельно главной оптической оси до паде-
падения на окуляр в точке D. После преломления в окуляре
луч пройдет через его фокус F2.
Второй луч, падающий на оптический центр О\ объек-
объектива, не изменит своего направления и упадет на окуляр
в точке Е. Чтобы найти ход луча после преломления
в окуляре, проведем через точку F2 фокальную плоскость
MN и побочную оптическую ось, параллельную этому
Рис. 207
лучу и пересекающую фокальную плоскость в точке /(.
Тогда второй луч после преломления в окуляре пройдет
также через эту точку.
Точка А2 пересечения продолжений первого и второго
лучей, вышедших из окуляра, является мнимым изобра-
изображением точки А. Опуская из точки А2 перпендикуляр на
главную оптическую ось, получим мнимое, увеличенное
и перевернутое изображение А2В2 предмета АВ.
Поскольку микроскоп состоит из двух линз (объектив
и окуляр), то увеличение микроскопа
г = г,г2,
где Fi — увеличение объектива; Г2 — увеличение оку-
окуляра. По определению, увеличение объектива
r, = /,/di. B)
323
F\, то Y\&l/F\. Окуляр действует
C)
Так как /i ж I и d\
как лупа, поэтому
T2=L/F2i
где L = 0,25 м — расстояние наилучшего зрения. Под-
Подставив выражения B) и C) в A), получим
г== IL т= 0,18-0,25 = 56о
621. На рассеивающую линзу с главным фокусным
расстоянием F\ падает пучок лучей, параллельных глав-
главной оптической оси. На каком расстоянии от центра рас-
рассеивающей линзы надо поместить собирающую линзу,
чтобы выходящие из нее лучи снова пошли параллельно
главной оптической оси? Главное фокусное состояние F2
собирающей линзы в два раза больше, чем рассеиваю-
рассеивающей (рис. 208).
Дано: Л; /г2=2/?|.
Решение. Для рассеивающей линзы
A)
Считают, что источник пучка параллельных лучей нахо-
находится в бесконечности, поэтому \/d\ = 0 и из форму-
формулы A) получим
откуда Fi = f\. Следовательно, мнимое изображение
источника, полученное в рассеивающей линзе, находится
в ее мнимом фокусе и является источником для собираю-
собирающей линзы. Для собирающей линзы
B)
следует,
\/d2+\/f2=\/F2.
V
Рис. 208
Из рисунка
что d2 — F\-\-l. По ус-
условию задачи, выходя-
выходящие из собирающей
линзы лучи должны
пойти параллельным
пучком, т. е. 1 //2 = 0.
Подставляя выражения
для F2, d2 и /2 в B),
получаем
1/B/=-,) =
324
откуда l=F\1 т.е. искомое расстояние равно главному
фокусному расстоянию рассеивающей линзы.
622. В вогнутое зеркало радиусом кривизны 50 см на-
наливают воду. Оптическая сила полученной системы
5,3 дптр. Вычислить главное фокусное расстояние водя-
водяной линзы.
Дано: R = 50 см = 0,5 м; D = 5,3 дптр.
F — ?
Решение. Оптическая система состоит из вогнутого
зеркала и водяной плосковыпуклой линзы, сложенных
вплотную, поэтому ее оптическая сила
D = Di+2D2, A)
где D\ = l/Fi = 2/R — оптическая сила вогнутого зерка-
зеркала; D2 — оптическая сила водяной линзы. Коэффициент 2
вводится в формулу A) потому, что лучи дважды про-
проходят через водяную линзу. Из A) следует, что D2 =
= (D—Di)/2, или с учетом выражения для D\
D2 = (D-2/R)/2. B)
По определению, главное фокусное расстояние /72 =
= 1/D2, или с учетом выражения B)
F* = -D^VR> F2= 5,3-2/0.5 м~Ь54м-
623. Двояковыпуклая линза получена из двух одина-
одинаковых тонких часовых стекол, пространство между кото-
которыми заполнено водой. Оптическая сила такой линзы
4 дптр. Определить оптическую силу плосковогнутой лин-
линзы, состоящей из одного тонкого часового стекла, касаю-
касающегося дна тонкостенного цилиндрического стеклянного
сосуда, если пространство между часовым стеклом и
дном сосуда также заполнено водой.
Дано: Dq = 4 дптр.
D2 — ?
Решение. Чтобы определить оптическую силу плоско-
плосковогнутой линзы, запол-
заполним часовое стекло, на-
ходящееся на дне ци-
ЛИНДрНЧеСКОГО
водой (рис. 209). Тогда
получим тонкий плос- Рис. 209
325
1
А
f°ALh
Of
J 1
N.
x \c
Рис. 210
непараллельный слой во-
воды, который можно рас-
рассматривать как систему,
состоящую из двух водя-
водяных линз; плосковыпук-
плосковыпуклой (вверху) и плоско-
плосковогнутой (внизу). Опти-
Оптическая сила плоскопарал-
плоскопараллельного слоя воды
D = 0. A)
С другой стороны,
D = D{ + D2i B)
где Di, D2 — оптические силы плосковыпуклой и плоско-
плосковогнутой линз. Плосковыпуклая линза является полови-
половиной двояковыпуклой линзы, разрезанной по линии АВ,
поэтому ее оптическая сила
О1 = 0о/2 = 2дптр. C)
Подставляя выражения A) и C) в B), находим 0 =
= 2 дптр-+• D2, откуда D2= — 2 дптр.
624. Определить оптическую силу очков для дально-
дальнозоркого глаза, для которого расстояние наилучшего
зрения 40 см.
Дано: ?д=40см = 0,4м; LM = 25 см = 0,25 м.
D — ?
Решение. При отсутствии очков изображение S' точ-
точки S получится на сетчатке С глаза, если точка S распо-
расположена на расстоянии SO, равном расстоянию наилуч-
наилучшего зрения дальнозоркого глаза L& от хрусталика
глаза X (рис. 210). Чтобы дальнозоркий глаз мог рас-
рассматривать более близкие точки, надо применить линзу Л
очков. При этом изображение S7 точки S", расположен-
расположенной на расстоянии наилучшего зрения LH нормального
глаза от линзы очков, по-прежнему будет получаться на
сетчатке С глаза, а человек видит не саму точку S", а ее
мнимое изображение S, расположенное на расстоянии
наилучшего зрения дальнозоркого глаза ?д от хрустали-
хрусталика X глаза. Оптическая система линза — глаз имеет
оптическую силу (пренебрегаем расстоянием между гла-
глазом и линзой)
х, A)
326
где Dn и Dx — оптическая сила линзы очков и хруста-
хрусталика глаза. Иначе:
где / — расстояние от сетчатки до хрусталика глаза.
Поскольку линза очков расположена на малом рас-
расстоянии О\О от хрусталика глаза, пренебрегая послед-
последним, можно считать, что d=LH. Оптическую силу хруста-
хрусталика глаза можно найти, применив к нему формулу
линзы при отсутствии очков:
Здесь d'=LA. Учитывая выражения B) и C), перепи-
перепишем формулу A) в виде
1,1 п , 1 , 1
откуда
625. Близорукий человек различает мелкие предметы
на расстоянии не более 15 см. Определить, на каком рас-
расстоянии он сможет их хорошо видеть в очках с оптиче-
оптической силой — 3 дптр.
Дано: d\ = 15 см = 0,15 м; D2=— 3 дптр.
Решение. Оптическая сила глаза без очков при близо-
близорукости
где d\ = \SO\ — расстояние от предмета до хрусталика
глаза; /=|OS'| — расстояние от хрусталика глаза до
сетчатки (рис. 211).
Оптическая сила близорукого глаза в очках
D = D1 + D2 = Jr+-i-, B)
где D2 — оптическая сила очков; d2&\S"O\ — расстояние
от предмета до хрусталика глаза при наличии очков
327
(расстоянием между линзой
очков и хрусталиком прене-
пренебрегаем).
Из уравнений A) и B)
имеем \/d\-\-D2= \/d2, от-
откуда
0,15
Рис. 211
1-3-0,15
;0,27 м.
При наличии очков близорукий человек видит мнимое
изображение S предмета S", находящегося на большем
расстоянии от глаза, чем без очков.
626. Почему в жаркий день очертания предметов над
нагретой почвой кажутся колеблющимися?
Отв. В жаркий день от поверхности почвы вертикаль-
вертикально вверх циркулируют потоки нагретого воздуха. Вслед-
Вследствие неравномерности нагревания плотность воздуха не-
непрерывно и беспорядочно изменяется, а от плотности
зависит коэффициент преломления. Поэтому очертания
предметов кажутся колеблющимися.
627. Чем объясняется блеск драгоценных камней?
Отв. Блеск драгоценных камней объясняется явле-
явлением полного отражения, условия для которого создают
специальной огранкой.
628. Почему растения не поливают в жаркий солнеч-
солнечный день?
Отв. Капли воды, оставшиеся на листьях после по-
поливки, играют роль маленьких линз, которые могут фо-
фокусировать солнечные лучи, вследствие чего листья могут
получить ожоги.
Упражнения
629. Какова истинная глубина реки, если при опреде-
определении на глаз по вертикальному направлению глубина
ее кажется равной 2 м?
630. Луч света переходит из стекла в воду. Угол паде-
падения луча на границу раздела этих двух сред 40°. Опре-
Определить угол преломления и предельный угол.
631. Луч света падает на трехгранную призму из
кварцевого стекла под углом 36°. Преломляющий угол
призмы 40°. Под каким углом луч выйдет из призмы и
328
каков его угол отклонения от начального направления?
632. Где получится изображение и какое оно будет,
если предмет расположен на расстоянии 30 см от соби-
собирающей линзы с главным фокусным расстоянием 60 см?
633. Расстояние между электрической лампой и экра-
экраном на оптической скамье 1 м. Между ними находится
собирающая линза, которая дает на экране уменьшенное
изображение лампы. Если линзу придвинуть к лампе на
60 см, то на экране появится ее увеличенное изображе-
изображение. Определить главное фокусное расстояние линзы.
634. Построить изображение в собирающей линзе,
если предмет расположен: 1) за двойным фокусным рас-
расстоянием; 2) между фокусом и точкой, находящейся на
двойном фокусном расстоянии от линзы; 3) между фоку-
фокусом и линзой.
635. Радиусы кривизны поверхностей двояковыпук-
двояковыпуклой стеклянной линзы, находящейся в воде, равны 50 см
каждый. Найти оптическую силу линзы.
636. Построить изображение предмета, даваемое рас-
рассеивающей линзой. Зависит ли характер изображения от
расстояния между предметом и линзой?
637. Определить фокусное расстояние рассеивающей
линзы, если при падении на нее сходящегося пучка лучей
они пересекаются при выходе из линзы в точке, лежащей
на главной оптической оси на расстоянии 25 см от линзы.
При отсутствии линзы точка пересечения лучей переме-
переместится на 7 см от ее положения при наличии линзы.
638. С самолета, летящего на высоте 4 км, нужно
сфотографировать местность и получить снимки в мас-
масштабе 1:5000. Определить оптическую силу объектива.
639. Для получения нормальных фотографий разме-
размером 12X9 см необходимо освещать бумагу в течение 8 с.
Как надо изменить продолжительность освещения, если
требуется увеличить размеры фотографии до 48X36 см?
640. Зрительная труба с фокусным расстоянием 50 см
установлена на бесконечность. После того как окуляр
трубы передвинули на некоторое расстояние, стали видны
ясно предметы, удаленные от объектива на 50 м. На ка-
какое расстояние передвинули окуляр при наводке на рез-
резкость?
641. Объектив и окуляр микроскопа имеют фокусные
расстояния, равные соответственно 3 и 50 мм. Расстоя-
Расстояние между объективом и окуляром 135 мм, расстояние
от предмета до объектива 3,1 мм. Найти увеличение мик-
микроскопа.
329
642. Одна сторона двояковогнутой линзы посеребрена.
Радиус кривизны поверхностей линзы 20 см. На рас-
расстоянии 50 см от линзы находится предмет высотой 5 см.
Определить высоту изображения, даваемого оптической
системой.
Вопросы для повторения
1. Что называется абсолютным
и относительным показателями
преломления? 2. Сформулируй-
Сформулируйте закон отражения света. 3. Что
называется полюсом, оптиче-
оптическим центром и фокусом зер-
зеркала? 4. Напишите формулу для
расчета фокусного расстояния
сферического зеркала. 5. Сфор-
Сформулируйте закон преломления
света. 6. В чем состоит явление
полного отражения? При каких
условиях оно происходит? 7. Ка-
Какие виды линз вы знаете? 8. Что
называется фокусом и оптиче-
оптическим центром линзы? 9. Что на-
называется оптической силой лин-
линзы? В каких единицах ее выра-
выражают? 10. Напишите формулу
для расчета фокусного расстоя-
расстояния линзы. 11. Объясните по-
построение изображения в зерка-
зеркалах. 12. Объясните построение
изображения в линзах.
§ 3. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
Такие явления, как фотоэффект, давление света и не-
некоторые другие, приводят к новому представлению о
свете, согласно которому световой поток есть поток
элементарных частиц — фотонов (квантов света). Одна
из характеристик фотона — его энергия. Монохроматиче-
Монохроматический световой поток состоит из фотонов с одинаковой
энергией
и hc
где h — постоянная Планка; v — частота света; с — ско-
скорость света в вакууме; X — длина волны.
Явление, заключающееся в том, что металлические
тела, подвергнутые облучению светом, испускают элект-
электроны, называется внешним фотоэффектом.
Для фотоэффекта справедливо уравнение Эйнштейна
где е — энергия фотона; А — работа выхода электрона
из металла; mv2/2 — максимальная кинетическая энер-
энергия вылетевшего электрона; т — масса электрона.
Фотоэффект наблюдается только при облучении ме-
металла светом с частотой, большей или равной критиче-
ззо
ской частоте vo, называемой красной границей фотоэф-
фотоэффекта, т. е. красная граница соответствует энергии фото-
фотона, равной работе выхода электронов из металла:
При этом скорость v электронов, а следовательно, и ки-
кинетическая энергия mv2/2 электронов равны нулю.
Свет, падая на тела, оказывает на них давление,
зависящее от интенсивности света и отражательной спо-
способности поверхности тела. Формула светового давления
такова:
где р — давление света; / — интенсивность света, т. е.
световая энергия, падающая на поверхность тела в 1 с,
отнесенная к этой поверхности; с — скорость света в
вакууме; р — коэффициент отражения света.
Если тело зеркально отражает световые лучи, то р= 1
и тогда р = 2//с. Если тело полностью поглощает свет
(черное тело), то р = 0 и р = //с.
643. Определить наибольшую длину волны света, при
которой может происходить фотоэффект для платины.
Дано: Л = 8,5-1(Г19 Дж.
Лмакс •
Решение. Из формулы A = hv0 найдем красную грани-
границу фотоэффекта для платины:
vo = A/h. A)
Этой частоте соответствует искомая максимальная длина
волны
или с учетом выражения A)
. 3-108.6,62-1(Г34 о ол 1А_7
А,Макс = 4^ м« 2,34-10 м.
8,5 • 10
644. Определить наибольшую скорость электрона, вы-
вылетевшего из цезия, при освещении его светом с длиной
волны 400 нм.
331
Дано: А, = 400 нм = 4-10~7м.
Решение. Из формулы Эйнштейна для фотоэффекта
hv = A + mv2/2 имеем i>MaKc = -\/2(/iv—Л)/т . Учитывая,
что v = c/X, получаем
V2 / 6,62-10-34.3.108 оо 1А_1
9.Ы0-31 \ 4.1Q-7 3'2#1°
= 6,5-105 М/С.
645. Наибольшая длина волны света, при которой
наблюдается фотоэффект для калия, 6,2* 10"" см. Найти
работу выхода электронов из калия.
Дано: Хмакс=6,2-1О-5см = 6,2.1О-7 м.
Л-?
Решение. Наибольшая длина волны, при которой
наблюдается фотоэффект для металла, связана с красной
границей фотоэффекта для этого металла соотношением
. A)
Работа выхода электронов из металла A = hvo, или с уче-
учетом выражения A)
hc
646. Наибольшая длина волны света, при которой
происходит фотоэффект для вольфрама, 0,275 мкм. Найти
работу выхода электронов из вольфрама; наибольшую
скорость электронов, вырываемых из вольфрама светом
с длиной волны 0,18 мкм; наибольшую энергию этих
электронов.
Дако: >.макс = 0,275 мкм = 0,275-10~6 м; к= 0,18 мкм = 0,18-10~6 м.
А - ? 1>макс - ? WMaKC - ?
Решение. Работа выхода электронов
л he л 6,62.10-34.3-108
Л=1^:;Л= 0,275.10-*
332
Из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта, учитывая,
что v = c/Xy имеем hc/X = А -\- ти1акс/2у откуда макси-
максимальная кинетическая энергия
TV7 mvlaKc he *
Миманс— 2 —~"Т~~ »
Гмакс = 6'62011°8:3;0-I'1Q3 Дж - 7,2 -10-» Дж «
Зная наибольшую энергию вылетевших электронов, най-
найдем соответствующую ей наибольшую скорость:
I
2-3,8.10177 м
, 1 • I U С
647. Энергия фотона равна кинетической энергии
электрона, имевшего начальную скорость 106 м/с и уско-
ускоренного разностью потенциалов 4 В. Найти длину волны
фотона.
Дано: e=WK\ уо=1Обм/с; U=4B.
I— ?
Решение. Энергия фотона г = hv — hc/k, откуда
l = hc/e. A)
По условию задачи,
где т — масса электрона; v — конечная скорость элект-
электрона, ускоренного электрическим полем.
Работа электрического поля равна изменению кине-
кинетической энергии электрона, т.е. mv2/2 — mvl/2 = Л, от-
откуда mv2/2 = mvo/2-\-A, или, поскольку A = eUy
tnv2/2 = tnvl/2 + eU. C)
Здесь mvl/2 — начальная кинетическая энергия элект-
электрона; е — заряд электрона. Из уравнений B) и C)
находим
8= mvl/2-\-eU'. D)
Подставив выражение D) в A), получим
, he
~~ mv2Q/2 + eU '
333
648. В явлении фотоэффекта электроны, вырываемые
с поверхности металла излучением частотой 2«1015Гц,
полностью задерживаются тормозящим полем при разно-
разности потенциалов 7 В, а при частоте 4« 1015 Гц — при раз-
разности потенциалов 15 В. По этим данным вычислить по-
постоянную Планка.
Дано: v1 = 2-1015ru; (/, = 7B; v2 = 4.10I5ru; (У2=15В.
h — ?
Решение. Запишем уравнение Эйнштейна для двух
рассмотренных в условии задачи случаев фотоэффекта:
A)
Так как вылетевшие с поверхности металла электроны
полностью задерживаются тормозящим электрическим
полем, то изменение их кинетической энергии равно ра-
работе электрического поля:
mv2/2 = eU. B)
Учитывая выражение B), перепишем A) в виде
hvi=zA + eUu hv2 = A + eil2.
Решая совместно эту систему уравнений, находим
е(Ц2-Цх) .
it, — —————-—¦—¦• ^
649. Сколько фотонов попадает за 1 с в глаза челове-
человека, если глаз воспринимает свет с длиной волны 0,5 мкм
при мощности светового потока 2 • 10~17 Вт?
Дано: / = 1 с; X = 0,5 мкм = 5-10~7 м; N = 2-10~17 Вт.
Решение. Полная энергия света, попавшего в глаз,
W = Nt. Энергия одного фотона г = hc/X. Тогда число
фотонов, попавших в глаз,
_ W _ NtX . __ 2'10~>7'1'5»10 _ сП
П — е "" he ; П "" bU
334
650. Капля воды объемом 0,2 мл нагревается светом
с длиной волны 0,75 мкм, поглощая ежесекундно 1010 фо-
фотонов. Определить скорость нагревания воды.
Дано: V = 0,2 мл = 0,2-10 м3; X = 0,75 мкм = 7,5-10 м;
л= 1010 с.
Д7-/Л/— ?
Решение. Количество теплоты, полученное водой,
<Э = свтД7\ A)
где т — масса капли воды; св — удельная теплоемкость
воды; ДГ — изменение температуры воды при ее нагрева-
нагревании. Количество энергии, отданной светом за промежу-
промежуток времени Д/,
W = пеД/, B)
где е — энергия одного фотона. Пренебрегая всеми воз-
возможными потерями, считаем, что вся энергия, полученная
каплей, идет на ее нагревание, т. е. W = Q, или, учиты-
учитывая выражения A) и B), neAt= mcBAJ\ откуда находим
скорость нагревания воды:
ДГ/Д/ = ле/(тс). C)
Замечая, что m = pV, где р — плотность воды, и e = hc/'k,
перепишем выражение C):
AT _ nhc
М ~~ A,pVcB '
АГ __ Ю'в-б^.Ю-^-З-Ю8 К _ о 1 с 1 о-9 к 1с
"ДГ~" 7,5- Ю-7-10*.0,2- 1<Н.4,2.10й Т" "" ^10#1и *' С'
651. Найти давление света на стенки колбы электри-
электрической лампы мощностью 100 Вт. Колба лампы — сфера
радиусом 5 см, стенки которой отражают 10% падаю-
падающего на них света. Считать, что вся потребляемая лам-
лампой мощность идет на излучение.
Дано: N == 102 Вт; R = 5 см = 5-10~2 м; р = 0,1.
р-?
Решение. Световое давление
р = /A+р)/с, A)
Поскольку / = N/S, где S = 4л/?2 — площадь поверхно-
поверхности лампы, формулу A) можно преобразовать:
335
652. Пучок света с длиной волны 0,49 мкм, падая пер-
перпендикулярно поверхности, производит на нее давление
5 мкПа. Сколько фотонов падает ежесекундно на 1 м2
этой поверхности? Коэффициент отражения света от дан-
данной поверхности 0,25.
Дано: I = 0,49 мкм == 4,9-10~7 м; р = 5 мкПа = 5-10~6 Па;
р = 0,25.
п — ?
Решение. Из формулы светового давления р = 1A +р)/с
найдем энергию всех фотонов, падающих на 1 м2 поверх-
поверхности за 1 с:
Энергия одного фотона
8 = hv = hc/X.
Следовательно, число фотонов, падающих ежесекундно
на 1 м2 поверхности лампы, равно
__/__
е 41+р) '
5-10~6-4,9-10-7
-2-1 on 1^21 -2 -1
м 'с ' = 2>9-1021м 2-с '
6,62-10~34.( 1+0,25)
653. На поверхность площадью 100 см2 ежеминутно
падает 63 Дж световой энергии. Найти световое давление
в случаях, когда поверхность полностью отражает и пол-
полностью поглощает все излучение.
Дано: S= 100 см2 = 10~2 м2; /=1мин = 60с; № = 63Дж.
Решение. 1. Так как р=1, то световое давление
р = 21/с.
Но, согласно определению, /= W/(St), поэтому
2W 2-63 п а 7 п
р = —ft', Р = in6, ю-2 = ' мкПа.
2. Так как р = 0, то р = I/с, или
Р = ~-\ р = з.ю».ю-».ад Па = °'35 мкПа*
336
654. Почему проявление фотографических снимков
производится при красном освещении?
Отв. Красный свет не действует на фотопластинку
ввиду малой энергии фотонов этой частоты и ее недо-
недостаточно для того, чтобы начались химические реакции в
эмульсионном слое.
655. На какую поверхность, черную или белую, свет
производит большее давление?
Отв. Отражаясь от белой поверхности, свет произво-
производит на нее давление р = 2//с. От черной поверхности
свет практически не отражается, при этом р = I/с (см.
задачу 653). Отсюда видно, что на белую поверхность
световые лучи производят большее давление.
Упражнения
656. Определить энергию фотона, если соответствую-
соответствующая ему длина волны равна 17«10~13 м.
657. Определить работу выхода электронов с поверх-
поверхности цинка, если длина волны, соответствующая крас-
красной границе, составляет для него 300 нм.
658. Найти красную границу фотоэффекта для лития.
659. Красная граница фотоэффекта для калия соот-
соответствует длине волны 0,577 мкм. При какой разности
потенциалов между электродами прекратится эмиссия
электронов с поверхности калия, если катод освещать
излучением с длиной волны 0,4 мкм?
660. Определить красную границу фотоэффекта для
цезия, если при освещении его излучением с длиной
волны 0,35 мкм задерживающий потенциал равен 1,47 В.
661. Какая часть энергии фотона, вызывающего фо-
фотоэффект, расходуется на работу выхода, если наиболь-
наибольшая скорость электронов, вырванных с поверхности цин-
цинка, составляет 106 м/с? Красная граница фотоэффекта
для цинка соответствует длине волны 290 нм.
662. На поверхность металла падает поток излучения
с длиной волны 0,36 мкм, мощность которого 5 мкВт.
Определить силу фототока насыщения, если 5% всех
падающих фотонов выбивают из металла электроны.
663. На зеркальную поверхность площадью 10 см2
под углом 45° падает поток фотонов интенсивностью
1018 фотон/с с длиной волны падающего света 400 нм.
Определить давление света на поверхность, если коэффи-
коэффициент отражения от поверхности 0,75.
664. Поток излучения мощностью 1 мкВт падает пер-
12-580 337
пендикулярно на 1 см2 поверхности. Определить давление
света, если коэффициент отражения 0,8.
665. Найти световое давление солнечного излуче-
излучения на 1 м2 земной поверхности, перпендикулярной
направлению излучения, если солнечная постоянная
8,38 кДж/ (см2«мин). Коэффициентом отражения света
от земной поверхности пренебречь.
666. Параллельные лучи длиной волны 0,5 мкм пада-
падают нормально на зачерненную поверхность, производя
давление 10~~9 Н/см2. Определить число фотонов, заклю-
заключенных в 1 м3 падающего светового потока.
Вопросы для повторения
1. Чему равны масса, скорость красной границей фотоэффек-
и энергия фотона? 2. Что назы- та? 8. Что такое задерживаю-
вается явлением фотоэффекта? щий потенциал? 9. Напишите
3. Назовите виды фотоэффекта. формулу для расчета светового
4. Объясните, как работает фо- давления. 10. Чему равно давле-
тоэлемент. 5. Сформулируйте ние света на абсолютно черную
законы фотоэффекта. 6. Напи- поверхность? на зеркальную по-
шите уравнение Эйнштейна для верхность?
фотоэффекта. 7. Что называется
ГЛАВА V
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
§ 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Гармонические колебания происходят под действием
силы F, пропорциональной смещению х тела из положе-
положения равновесия и направленной в сторону положения
равновесия:
F = —Лх,
где к — коэффициент пропорциональности.
Закон движения для гармонических колебаний
х =
где х — смещение тела от положения равновесия в
данный момент времени; А — амплитуда колебания;
со/ + фо — фаза колебания; фо — начальная фаза; со —
круговая частота.
Круговая частота ш связана с частотой колебаний v и
периодом колебаний Т соотношениями
со = 2л v = 2 л/У.
Период собственных колебаний математического ма-
маятника.
где / — длина маятника; g — ускорение свободного па-
падения.
Период собственных колебаний пружинного маятника
Г = 2лУ m/Af,
где m — масса колеблющегося тела; k — жесткость пру-
пружины.
Мгновенная скорость тела, совершающего гармони-
гармоническое колебание,
где Ло)= Умакс — амплитуда скорости.
12** 339
Ускорение тела, совершающего гармоническое колеба-
колебание, в данный момент времени
а = -jjj-= 7" == —^o
где Лоз2 = амакс — амплитуда ускорения.
Сила, вызывающая гармонические колебания,
F = та = — m/4(o2sin((o/-|-(po) = — moo2*,
где тЛоJ = FMaKC — амплитуда силы; т — масса колеб-
колеблющегося тела. Так как Т7 = — kx, то к = гасо2.
Полная энергия тела, совершающего гармоническое
колебание,
И7 = тА 2со2/2 == &Л2/2.
Наряду с собственными колебаниями любое тело мо-
может совершать вынужденные колебания под действием
внешней вынуждающей силы. Если частота внешней
силы совпадает с частотой собственных колебаний тела,
то наступает явление резонанса.
Тело может участвовать одновременно в нескольких
колебательных движениях. При этом имеет место сложе-
сложение колебаний. Рассмотрим два частных случая сложе-
сложения колебаний.
1. Складываются два колебания, происходящие по
одной прямой в одном направлении с одинаковыми пе-
периодами, но разными амплитудами и начальными фаза-
фазами. Уравнения слагаемых колебаний имеют вид
Х\ = Л1 sin(co/ + Ф01), *2 = >42sin(co/~
Результирующее колебание выражается уравнением
х = х\ + х2 — A sin(co/ + фо),
где А = ->//42+y42+2>lii42Cos((po2—Ф01) — амплитуда ре-
_. . A i
зультирующего колебания; ф0 = arctg
его начальная фаза.
2. Складываются два взаимно перпендикулярных ко-
колебания одинакового периода, но разных амплитуд и
начальных фаз. Траектория результирующего колебания
задается уравнением
2 2
"Й~ + ~Й 2^7СО$(Ф02-Ф(") = sin2(q>O2-<jpoi).
340
В зависимости от разности фаз и амплитуд это будет
либо прямая, либо эллипс, либо окружность.
Процесс распространения колебаний в упругой среде
называется волной. Если направление колебаний совпа-
совпадает с направлением распространения волны, то такая
волна называется продольной, например звуковая волна
в воздухе. Если направление колебаний перпендикулярно
направлению распространения волны, то такая волна
называется поперечной. Длина волны
А,= vT,
где Т — период колебания; v — скорость распростране-
распространения волны.
Уравнение плоской волны
х = A sine/ / — -?-j = A sin(<o/ — kr)%
где k = 2яД — волновое число; г — расстояние, прой-
пройденное волной от источника колебаний до рассматривае-
рассматриваемой точки (рис. 212).
Разность фаз двух колеблющихся точек, находящих
ся на расстояниях г\ и г 2 от источника колебаний,
Дф = ф2 — ф1 =
При падении плоской волны на границу раздела двух
сред возникает отраженная волна, которая, складываясь
с падающей волной, образует стоячую волну.
Уравнение стоячей волны
х = 2i4cos?/-sinG)/,
где A(r) = 2Acoskr — амплитуда стоячей волны.
Амплитуда стоячей волны максимальна в точках,
удовлетворяющих условию
Рис. 212 Рис. 213
341
и называемых пучностями стоячей волны. Здесь п =
= 0, 1, 2, ... (рис. 213; точки А, С, Е, ..).
Амплитуда стоячей волны минимальна в точках,
удовлетворяющих условию
г = B/1+1L"
и называемых узлами стоячей волны. Здесь п = 0, 1,2, ...
(рис. 213; точки В, D, F, ...).
* * *
667. Материальная точка массой 10 г колеблется по
закону х = 0,05sin@,6/ + 0,8). Найти максимальную силу,
действующую на точку, и полную энергию колеблющейся
точки.
Дано: т = 10 г = 10~2 кг; х = 0,05sin@,6/ + 0,8).
Решение. Из сопоставления общего вида уравнения
движения гармонических колебаний х = A sin((o/+(po)
с уравнением х = 0,05 sin@,6/ + 0,8), данным в задаче,
следует, что Л = 5-10~2 м, со = 0,6 рад/с, ф0 = 0,8 рад.
Из выражения для силы, вызывающей гармонические
колебания, F = —-тАсо2sin(со/ + фо) получаем
Fo= тЛсо2; Fo = 10-5-10~2@,6J Н = 1,8-10~4 Н.
Полная энергия колеблющейся точки
~„ тЛ2оJ
W 2 ;
„7 10~2.E-10~2J.@,6J п - - _
№ = —2— Дж = 4»5 мкДж.
668°. Написать уравнение гармонического колебания,
амплитуда которого 10 см, период 10 с, начальная фаза
равна нулю. Найти смещение, скорость и ускорение ко-
колеблющегося тела через 12 с после начала колебаний.
Дано: А = 10 см = 0,1 м; Т = 10 с; ф0 = 0; t\ = 12 с.
х-.} у,_? ai__?
Решение. Запишем уравнение гармонического коле-
колебания:
х = A sin(o)/ + фо) = A sinf -у-/ + фо).
Подставим в него данные задачи:
х == 0,1 sinB'|*014 /) = 0,1 sinO,628/.
342
Для момента t\
х = 0,1 sin@,628 • 12) м ж 0,095 м.
Скорость колеблющегося тела
_ d* _
или с учетом данных задачи
v = 0,1 -0,628 cosO,628/ = 0,0628 cosO,628/.
Для момента t\
vi = 0,0628cos@,628-12) м/с» 1,95-10 м/с.
Ускорение колеблющегося тела
а = ~- = —i4oJsin((o/ + фо),
или с учетом данных задачи
а = -0,1.0,6282sin0,628/ = -0,0393 sinO,628/.
Для момента t\
ах = —0,0393sin@,628-12) м/с2 = —3,73-10 м/с2.
669. Через какой минимальный промежуток времени
после начала колебаний смещение точки из положения
равновесия будет равно половине амплитуды, если пе
риод колебания 24 с, начальная фаза равна нулю?
Дано: х\ = А/2, Г =24 с, фО = О.
Решение. Запишем уравнение гармонического коле-
колебания
-y t + фо).
2л 1
По условию, х\ = Л sin—^-^i = -?р4, или, сокращая на Л,
Но синус равен 1/2, когда его аргумент равен л/6, т. е.
-Y"/ = -jp откуда /i = Г/12; /, = B4/12) с = 2 с.
670. Написать уравнение гармонического колебания,
если его амплитуда 5 см, период 4 с, начальная фаза
343
Х,м
-0,03
-0,05
У, м/с
а, м/с2
б)
Рис. 214
я/4 рад. Построить графики
зависимости смещения, скоро-
скорости и ускорения от времени.
Дано: Л = 5 см = 0,05 м; Г=4 с;
фо = л/4 рад.
*=*(/) — ? v=v{t) — ?
a = a{t)~ ?
Решение. Подставляя в
уравнение х — Asm Bл//Г + фо)
данные задачи, получаем
Для построения графика зави-
зависимости смещения х от времени
составим таблицу значений сме-
смещения х для различных момен-
моментов времени t. Для начального
момента /0 = 0 из уравнения A)
имеем
х0 == 0,05sin(jx/4) м ж 0,035 м
Из уравнения A) находим вре-
время /макс, соответствующее мак-
максимальному смещению лгМакс=Л:
0,05 = 0,05sin(^- /макс +
2я . . л\
—/макс+yJ =
Sin
2я
2я. .л я , пСл
—Т—Гмакс "Т"-J-= "о" , Гмакс = и,0 С.
Определим х в моменты /i =
= /макс + Г/4; /2 = U + Т/4 и т. д.
Полученные значения / и х вно-
вносим в таблицу:
/, с
X, М
0
0,035
0,5
0,05
1,5
0
2,5
—0,05
3,5
0
4,5
0,05
344
Используя таблицу, строим график перемещения х =
= x(t) (рис. 214, а). Для построения графика скорости
используем уравнение
= A cocos
f -у-
или с учетом данных задачи
Л л- 2л / 2л , . л\ а ло / 2л
v = 0,05 — cos(^ —/ + TJ « 0,08 cos ( —
По аналогии с предыдущим случаем составим таблицу:
t, с
v, м/с
0
0,06
0,5
0
1.5
-0,08
2,5
0
3,5
0,08
4,5
0
Используя таблицу, строим график зависимости v =
= v(t) (рис. 214, б). Для построения графика ускорения
используем уравнение
а = —Лсо2 sin ( -j-1 + фо) ,
или, учитывая данные задачи,
Аналогично предыдущим случаям составляем таблицу:
t, с
а, м/с2
0
—0,08
0,5
—0,12
1.5
0
2.5
0,12
3,5
0
4,5
—0,12
Используя таблицу, строим график зависимости а =
= а(/) (рис. 214, в).
671. Написать уравнение гармонического колебания
тела, если его полная энергия 3«10~5 Дж, максимальная
сила, действующая на тело, 1,5 мН, период колебания
2 с и начальная фаза 60°.
345
Дано: №=3.1(Г5Дж; /7макс= 1,5 мН= 1,5-10 Н; Г = 2с;
= 60° = я/3 рад.
* = *(/) — ?
Решение. Смещение колеблющегося тела
Для нахождения амплитуды запишем выражения для
полной энергии и максимальной силы:
W = mA2u>2/2, FMaKc = mi4(o2. B)
Разделив почленно выражения B), найдем
л _ 2W л __ 2-3-1Q-5 __А 1П_2
~^Г; 1,5-Ю-3 M-4#1U М'
Тогда формула A) примет вид
672. Маятник состоит из тяжелого шарика массой
100 г, подвешенного на нити длиной 50 см. Определить
период колебаний маятника и энергию, которой он обла-
обладает, если наибольший угол его отклонения от положения
равновесия 15°.
Дано: т= 100 г = 0,1 кг; / = 50см = 0,5м; а = 15° « 0,26 рад.
Т — ? W — ?
Решение. Считая шарик математическим маятником,
а его колебания — гармоническими, находим период
колебаний:
T=,2n-yJT/g'y Т = 2• 3,14У0,5/9,8 с» 1,42 с.
Полная энергия маятника, отклоненно-
отклоненного на угол а, есть потенциальная энергия
Wn = mgh. A)
Рис. 215
Из рис. 215 следует, что Л = |ЛО| —
— \ОВ\. Так как |O?| = /cosa, то
h = l — lcosa=l(\ —cosa). B)
Подставив выражение B) в A), по-
получим
Wn = mgl(l— cosa);
346
Wn = 0,1.9,8 -0,5A — 0,97) Дж » 15 мДж.
673. Шарик подвешен на длинной нити. Первый раз
его поднимают по вертикали до точки подвеса, второй
раз отклоняют на небольшой угол. В каком из этих слу-
случаев шарик быстрее возвратится к начальному положе-
положению, если его отпустить?
Дано: /.
U/t2 — ?
Решение. Рассмотрим первый случай. Из уравнения
l=zgt2i/2 найдем время t\ свободного падения шарика с
высоты, равной длине / нити:
tl=^[2l/g, A)
Во втором случае время /2 движения шарика из откло-
отклоненного положения в положение равновесия найдем из
уравнения гармонического колебания jc = i4sin((o/-|-(po).
Так как в начальный момент времени маятник имеет
максимальное отклонение от положения равновесия, то
фО = я/2. Так как в положении равновесия х=0, то
0 = A sin (со/2 + я/2); следовательно, sin (со/2 + я/2) = 0,
<о*2 + я/2 = я, откуда
/2 = я/Bсо)=7У4. B)
Шарик представляет собой математический маятник,
поэтому период его колебаний T = 2n-yjl/g. Подставив
это выражение в B), найдем
Разделив почленно уравнение A) на C), получим
Следовательно, в первом случае шарик быстрее возвра-
возвратится к начальному положению.
674. Маленький шарик подвешен на нити длиной 1 м
к потолку вагона. При какой скорости вагона шарик
будет особенно сильно колебаться под действием ударов
колес о стыки рельсов? Длина рельса 12,5 м.
Дано: /= 1 м; s=12,5 м.
V— ?
347
Решение. Шарик совершает вынужденные колебания
с частотой v, равной частоте ударов колес о стыки
рельсов:
v = v/s. A)
Если размеры шарика малы по сравнению с длиной нити,
то тело можно считать математическим маятником,
период колебаний которого To = 2n-yjl/g. Тогда частота
собственных колебаний
Амплитуда вынужденных незатухающих колебаний мак-
максимальна в случае резонанса, когда v«vo. Подстав-
Подставляя в это условие выражения A) и B), находим —==
f •
12,5 _ / 9,8 м с о ,
у=1шт V— т~6'2 м/с-
675. Медный шарик, подвешенный к пружине, совер-
совершает вертикальные колебания. Как изменится период
колебаний, если к пружине подвесить алюминиевый ша-
шарик того же радиуса?
Дано: р, = 8,9-103 кг/м3; р2 = 2,7• 103 кг/м3.
7-,/Г2-?
Решение. Так как шарики, подвешенные к пружине,
представляют собой пружинные маятники, то период их
колебаний
Т\ = 2лд/m\/ky Г2==2лУт2//г,
где /П1 = 4/зя/?3р|» т2 = 4/зяЛ3р2 — массы медного и алю-
алюминиевого шариков. Тогда
т. е. период колебаний уменьшится\
348
676. Два одинаково направленных колебания с рав-
равными частотами имеют амплитуды 20 и 50 см. Второе
колебание опережает первое по фазе на 30°. Определить
амплитуду и начальную фазу колебания, полученного от
сложения этих колебаний, если начальная фаза первого
колебания равна нулю.
Дано: Л, = 20 см = 0,2 м; ^2=50 см = 0,5 м; <pOi = 0, фог — фо! =
= 30° ^0,52 рад.
А - ? фо - ?
Решение. При сложении двух колебаний, происходя-
происходящих в одном направлении, амплитуда результирующего
колебания
А = УЛ1 +А1 + 2АХА2 cos (ф02 — ф<н);
А = У@,2J + @,5J + 2 - 0,2 • 0,5.0,87 м « 0,68 м.
гт 1 А\ sin фо( 4-^2 sin Ф02
Из выражения tgcpo = -: ; ,——— найдем на-
Г toT A\ COS фО| + Л2 COS фО2
чальную фазу суммарного колебания:
А\ sin фо1 + А2 sin
Фо === arciy
COS ф01 4" ^2 COS
Фо-arctg 0°22;,0+00550°857 -arctg 0,394 ^0,38 рад.
677. Точка участвует одновременно в двух гармони-
гармонических взаимно перпендикулярных колебаниях с кратны-
кратными периодами, одинаковыми амплитудами и начальными
фазами, равными нулю. Начертить траекторию точки,
если период колебаний по оси Y в два раза больше, чем
по оси X.
Дано: А1=А2 = А\ фО, = фо2 = О; 72=27*,.
Решение. Уравнения гармонических колебаний вдоль
осей X и Y имеют вид
x = Asin2r-t, (I) y = As\n^t. B)
Так как, по условию задачи, Г2=2Ги то уравнение
B) можно привести к виду
«/ = i4sin-^-/ = i4sin-^-/. C)
349
Так как общее уравнение траектории в данном случае
дает трансцендентное уравнение, то решаем эту задачу
численно. Используя уравнения A) и C), составим таб-
таблицу для значений х и у в различные моменты времени /,
выраженные в долях периода 7V
/
0
ri/8
7*1/4
37V8
Г,/2
X
0
0,7Л
А
0JA
0
у
0
0,4Л
0,7Л
0,9Л
А
Точка на
графике
а
Ь
с
d
е
t
5Г,/8
ЗГ1/4
7Г./8
7-,
X
-0,7Л
-Л
-0,7Л
0
у
0,9Л
0,7Л,
0,4Л
0
Точка на
графике
/
h
k
I
Построим траекторию abcdefhkl точки, используя данные
таблицы (рис. 216). Вследствие симметрии дополним
траекторию участком ami. В справедливости этого пред-
предлагаем убедиться самим читателям.
678. Смещение из положения равновесия точки, нахо-
находящейся на расстоянии 4 см от источника колебаний,
через промежуток времени Г/6 равно половине амплиту-
амплитуды. Найти длину волны.
Дано: г=4 см = 0,04 м; /=7У6; х=А/2.
Решение. Преобразуем уравнение волны
х = A sin со(/ — r/v),
учитывая, что со = 2л/Г и X=vT:
~ Л - . / 2лГ 2л-0,04
Тогда ~2== sm\iYr 1—
или после преобразований -^=
. ( л 0,08л \
= sin( — —1, откуда видно,
\ о Л /
что аргумент синуса равен я/6,
л 0,08л л ^
т.е. -г —=-^-. Следователь-
3 л о
но, ^ = 0,48 м.
679. Поперечная волна рас-
распространяется вдоль упругого
350
шнура со скоростью 15 м/с. Период колебания
точек шнура 1,2 с, амплитуда колебания 2 см. Определить
длину волны, фазу и смещение точки, отстоящей на 45 м
от источника колебаний, через 4 с.
Дано: и= 15 м/с; Т= 1,2 с; А = 2 см = 2-10~2 м; г = 45 м; / = 4 с.
Решение. Длина волны
Х=уГ; А,= 15-1,2 м=18 м.
Фаза и смещение любой точки могут быть найдены из
уравнения волны
х = A sin (o(/ —г/у).
Фаза колебания равна аргументу синуса в уравнении
волны:
?o,z4 рад.
Смещение точки
х = 2.10-2.sin 5,24 мда —1.73.КГ2 м.
680. Вдоль некоторой прямой распространяются коле-
колебания с периодом 0,25 с и скоростью 48 м/с. Спустя 10 с
после возникновения колебаний в исходной точке, на
расстоянии 43 м от нее, смещение точки оказалось рав-
равным 3 см. Определить в этот же момент времени смеще-
смещение и фазу колебания в точке, отстоящей на 45 м от
источника колебаний.
Дано: 7=0,25 с; v = 48 м/с; /=10 с; п = 43 м; г2 = 45 м; х\ =
= 3 см = 3-10~2 м.
Х2 — ? ф2 — ?
Решение. Уравнения колебаний точек, отстоящих от
источника колебаний на расстояниях Г\ и Гг,
Х\ = A sin (о(/ — ri/cj), X2 = A sin о)(/ — гг/с),
или, учитывая, что со = 2л//,
Амплитуду колебаний найдем из уравнения для jci:
м Х\
"~sin[Bn/T)(f-ri/iO) '
351
- 3-10~2 А . п_2
Л~ sin [Bя/0,25) A0-43/48)] М ~ b * * U M'
Из уравнения для Хч найдем фазу колебания ф2 в точке,
отстоящей на расстоянии г 2 от источника колебаний:
?
"® рал=145-?-рад~227>65
Смещение в точке, находящейся на расстоянии гг от
источника колебаний, в момент времени t
Х2 — А Sin ф2*,
= 6.10-2siny=^6.10-2 м.
681. Две точки находятся на расстояниях 6 и 12 м от
источника колебаний. Найти разность фаз колебаний
этих точек, если период колебаний 0,04 с, а скорость их
распространения 300 м/с.
Дано: п = бм; г2= 12 м; Г = 0,04 с; v = 300 м/с.
Лф— ?
Решение. Уравнения колебаний точек
откуда фазы колебаний этих точек
2я / г, \ 2я
Разность фаз Аф=ф1 — фг, или с учетом выражений A)
. г\ \ 2я / . г2\ 2я , ч
--) __^-_) =_(Г2_Г1);
Г A2-6) рад = л рад.
А(Р = о.оГзоо
Указанные точки колеблются, в противоположных фазах.
682. Расстояние между второй и шестой пучностями
стоячей волны 20 см. Определить длину волны стоячей
волны.
Дано: Дгб.2=20 см = 0,2 м.
352
Решение. По условию за-
задачи, Да*6,2=а-6—Л2, где г6 —
расстояние от источника ко-
колебаний до шестой пучности
стоячей волны; г 2 — рас-
расстояние от источника до вто-
второй пучности. Но расстояние
г от источника до соответ-
соответствующей пучности связано
с длиной волны соотношением гп — 2п'к/4, где п — номер
пучности. Тогда
Рис. 217
откуда
Дг6 2
0,2 _, _
= -у-м —
683. На шнуре длиной 3 м, один конец которого при-
привязан к стене, а другой колеблется с частотой 5 Гц, воз-
возбуждаются стоячие волны. При этом между источником
и стеной образуется шесть узлов. Найти скорость рас-
распространения волны в шнуре.
Дано: 1—3 м; v=5 Гц.
и — ?
Решение. Скорость распространения волны v = K/T =
= 'kv. Из рис. 217 видно, что /=11Л/4, откуда А, = 4//11.
Тогда
4/у
ТГ
v =
м/с = 5,45 м/с.
684. Изменится ли период колебаний качелей, если
на доску качелей положить груз?
Отв. Качели можно рассматривать как математиче-
математический маятник. Поэтому период колебаний качелей не
изменится, так как он от массы не зависит.
685. Если нести груз на веревочной петле, то при
определенном темпе ходьбы груз начнет сильно раскачи-
раскачиваться. Почему?
Отв. Если частота толчков при ходьбе совпадает с
частотой собственных колебаний груза, наступит резо-
резонанс, что и приведет к сильному раскачиванию груза.
353
Упражнения
686. Период колебаний материальной точки 2,4 с,
амплитуда 5 см, начальная фаза равна л/2. Каковы
смещение, скорость и ускорение колеблющейся точки
через 0,4 с после начала колебаний?
687. Тело совершает гармонические колебания по за-
закону х = 50sin(tt/3)/ см. Определить амплитуду силы и
полную энергию тела, если его масса 2 кг.
688. За какое время тело, совершающее гармони-
гармонические колебания, уравнение которых х = A sin со/, про-
проходит: 1) всю траекторию от среднего положения до
крайнего; 2) первую половину траектории; 3) вторую
половину траектории?
689. Построить на одном рисунке два графика гар-
гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами 3 см
и периодами 8 с, но имеющими разность фаз л/4 и Зл/2.
690. Найти максимальную скорость и максимальное
ускорение колеблющейся точки, если ее амплитуда 5 см,
а период 4 с.
691. Материальная точка совершает гармоническое
колебание с периодом 2 с, амплитудой 50 мм и началь-
начальной фазой, равной нулю. Найти скорость точки в мо-
момент времени, когда смещение точки из положения рав-
равновесия равно 25 мм.
692. Амплитуда гармонического колебания матери-
материальной точки 2 см, полная энергия ее колебаний
3-Ю" Дж. При каком смещении от положения равно-
равновесия на эту точку действует сила 2.25-10~5 Н?
693. Маятниковые часы идут правильно при длине
маятника 55,8 см. На сколько отстанут часы за сутки,
если удлинить маятник на 0,5 см? Маятник считать
математическим.
694. Определить период колебаний пружинного ма-
маятника, если его масса 196 г, а жесткость пружины
2-102 Н/м.
695. Складываются два одинаково направленных гар-
гармонических колебания с одинаковыми периодами, рав-
равными 8 с, и одинаковыми амплитудами, равными 0,02 м.
Разность фаз колебаний л/4, начальная фаза одного из
колебаний равна нулю. Написать уравнение результи-
результирующего колебания.
696. Точка участвует одновременно в двух взаимно
перпендикулярных колебаниях, уравнения которых х =
354
= 2 sin со/, у = 2 cos со/. Найти траекторию движения
точки.
697. Волна распространяется от источника колеба-
колебаний вдоль прямой. Смещение точки для момента вре-
времени 0,5 Т составляет 5 см. Точка удалена от источника
колебаний на расстояние Х/3. Определить амплитуду
колебания.
698. Источник совершает незатухающие колебания
по закону х = 0,05 sin 500nt м. Определить смещение
точки, находящейся на расстоянии 60 см от источника
колебаний, через 0,01 с после начала колебаний. Ско-
Скорость распространения колебаний 300 м/с.
699. Определить разность фаз двух точек, отстоящих
друг от друга на расстоянии 20 см, если волна рас-
распространяется со скоростью 2,4 м/с при частоте 3 Гц.
700. Один камертон — источник звуковых волн — по-
помещен перед ухом наблюдателя, а другой такой же —
на расстоянии 47,5 см от первого камертона. При этом
наблюдатель не слышит звука. Определить частоту коле-
колебаний камертона.
Вопросы для повторения
1. Какие колебания называются
гармоническими незатухающи-
незатухающими? 2. Напишите выражения для
смещения, скорости и ускоре-
ускорения колеблющейся точки. 3. Что
называется амплитудой, перио-
периодом, фазой колебания? 4. Напи-
Напишите формулы периода коле-
колебаний математического и пру-
пружинного маятников. 5. Чему
равна полная энергия незату-
незатухающего гармонического коле-
колебания? Почему она постоянна?
6. Какие колебания называются
затухающими? вынужденными?
7. Что такое резонанс? 8. Какой
процесс называется волновым?
9. Назовите основные типы ме-
механических волн. 10. Что назы-
называется длиной волны? 11. Напи-
Напишите формулу, связывающую
длину волны, ее скорость рас-
распространения и период. 12. На-
Напишите уравнение бегущей вол-
волны. 13. Объясните, как образу-
образуется стоячая волна. 14. Что на-
называется пучностью и узлом
стоячей волны? Как рассчитать
их положение относительно ис-
источника колебаний?
§ 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
При равномерном вращении с угловой скоростью со
плоской рамки площадью S, состоящей из N витков,
в однородном магнитном поле с индукцией В в рамке
возбуждается ЭДС индукции
ё = ё0 sin (со/ + фо),
где ёо — NSB со — амплитуда ЭДС.
355
Если напряжение, подводимое в цепь, не содержа-
содержащую индуктивности и емкости, изменяется по закону
U = Uо sin со/,
то сила тока / изменяется по аналогичному закону:
/ = /о sin со/.
Сопротивление такой цепи, называемое активным,
равно
Ra = ио/1о.
Сила постоянного тока, который в цепи с активным
сопротивлением выделяет ту же энергию за одно и то
же время, что и переменный ток, называется действую-
действующей силой переменного тока /д. Постоянное напряже-
напряжение, соответствующее действующей силе тока, назы-
называется действующим напряжением UR. Действующие на-
напряжение и сила тока связаны с амплитудными зна-
значениями следующими соотношениями:
UA = ?/0/л/2 ; /д = /o/V2 .
Расчет цепей переменного тока с активным сопротив-
сопротивлением производится, так же как и при постоянном токе,
с учетом действующих напряжений и сил токов.
Рассмотрим цепь, состоящую из малого активного
сопротивления Ra и конденсатора емкостью С (рис.
218, а). Если напряжение на конденсаторе изменяется
по закону
U = Uo sin со/,
то, пренебрегая активным сопротивлением /?а, имеем
q = q0 sin со/, / = /0 cos со/,
где <7о = CUOi /о = ^осо = CUQ со.
а)
6)
Рис 218
6)
356
Сопротивление такой цепи (емкостное сопротивле-
сопротивление), по закону Ома, равно
Rr _ ?i _ J_
AC ж ТГ •
/о (оС
Рассмотрим цепь, состоящую из малого активного
сопротивления Ra и катушки индуктивностью L (рис.
218,6). Если напряжение в контуре изменяется по за-
закону
U = Uо sin со/,
то, пренебрегая активным сопротивлением /?а, имеем
/ = — /о COS О)/,
где /о = Uq/((uL).
Сопротивление такой цепи (индуктивное сопротивле-
сопротивление), по закону Ома, равно
Полное сопротивление цепи переменного тока при на-
наличии в ней активного, емкостного и индуктивного
сопротивлений (рис. 218, в) равно
Система, состоящая из двух обмоток, связанных од-
одним сердечником, называется трансформатором. Если
первичная обмотка содержит Ni витков, а вторичная —
N2 витков, то коэффициент трансформации
k = Ni/N2= S1/S2.
где 8\ и ё2 — ЭДС индукции в первичной и вторичной
обмотках.
Если падение напряжения на активном сопротивлении
в первичной цепи трансформатора ничтожно мало и вто-
вторичная обмотка разомкнута, то 8\ = U\ и 8ъ = и%\
тогда
КПД трансформатора называют отношение мощности Р2у
отдаваемой вторичной обмоткой, к мощности Pi, под-
подводимой к первичной обмотке:
,, = .?.100%.
357
В контуре, состоящем из индуктивности L и емкости С,
могут возникать собственные электромагнитные колеба-
колебания, период которых определяется формулой Томсона
Т ==
Такой контур является источником электромагнитных
волн, представляющих собой распространение колеба-
колебаний электрического и магнитного полей. Уравнения
плоской электромагнитной волны имеют вид
Е = ?osinco(f — г/с), В = Bosinco(/ — г /с)>
где с = 3 • 108 м/с — скорость электромагнитной волны в
вакууме.
701. В сеть переменного тока с действующим напря-
напряжением 110 В включены последовательно конденсатор
емкостью 50 мкФ, катушка индуктивностью 200 мГн и
активным сопротивлением 4 Ом. Определить амплитуду
силы тока в цепи, если частота переменного тока 100 Гц,
а также частоту переменного тока, при которой в данном
контуре наступит резонанс напряжений.
Дано: Gд=110 В; С =50 мкФ = 5.1(Гб Ф; L = 200 мГн = 0,2 Гн;
/?а = 4Ом; v=100ru.
/о - ? vp - ?
Решение. По закону Ома, амплитуда силы тока
/ ^0 /14
0 УЯа+[<0/.-1/(<0С)]2 *
Учитывая, что ?/0=(/д-\/2 и co=2nv, формулу A) приво-
приводим к виду
;
¦yJRl+[2nvL-\/{2nvC)]2
¦V42+[2.3,14.100-0,2-1/B-3,14.100-5.10)]2
При резонансе напряжений амплитуды напряжения
на конденсаторе и катушке индуктивности равны С/ос =
= Uql. Так как Uoc = /0/BnvpC), U0L=2nvpLI0y то
vp = р=-'> vp = / : Гц » 50 Гц.
2п[ГС 2314/02510-5
358
702°. В электрической цепи с малым
А
ис*
активным сопротивлением, содержа-
содержащей конденсатор емкостью 0,2 мкФ и
катушку индуктивностью 1 мГн, сила
тока при резонансе изменяется по за-
закону / = 0,02sinco/ (рис. 219). Найти
мгновенное значение силы тока, а так-
же мгновенные значения напряжений
на конденсаторе и катушке через !/з периода от начала
возникновения колебаний. Построить графики зависимо-
зависимости силы тока и напряжений от времени.
Дано: С = 0,2 мкФ = 2- 1(Г7Ф; L == 1 мГн = 10~8 Гн; / = Т/3.
I— ? Uc — ? UL—?
Решение. Так как активное сопротивление /?а«0,
то циклическая частота со = 2я/7\ или с учетом формулы
Томсона
2л
2пл/Тс
= 7, Ы О4 рад/с.
рад
По закону изменения силы тока,
A)
Для / = Т/3 мгновенное значение силы тока
(-^-^r) А= 1,73-Ю-2 А.
Напряжение на конденсаторе Uc = q/C, где q — заряд
конденсатора. По определению, сила тока равна / =
= d<7/d/, откуда q = )Idt. Подставляя в эту формулу
о
подынтегральное выражение A) и производя интегриро-
интегрирование, получаем
q = \ 0,02sincoM/ = — -^
Jo w
Тогда напряжение на конденсаторе
г/ 0,02 . 0,02 . / . я
359
Для / = Г/3
0,02 ./2я Т_
^Ш1 3
Ь —5") В = 0,7 В.
Напряжение на катушке
Рис.220 ДЛЯ ^= Г/3
h = 0,02-7,1 • 104.10~3sin('^--|- + -^~) B^— 0,7 В.
Графики зависимости силы тока и напряжений на кон-
конденсаторе и катушке показаны на рис. 220, а, б.
703°. В электрической цепи (см. рис. 219) напряже-
напряжение на конденсаторе изменяется по закону ?/c = 0,01sina)/.
Найти мгновенное значение силы тока, а также мгновен-
мгновенные значения напряжения на конденсаторе и катушке
через */б периода, если емкость конденсатора 0,02 мкФ,
а индуктивность катушки 10 мГн. Построить графики за-
зависимости силы тока и напряжений на конденсаторе и
катушке от времени.
Дано: С = 0,02 мкФ = 2-10~8 Ф; L = 10 мГн = 10~2 Гн; t = Г/6.
Решение. По аналогии с задачей 702, при Ra = 0
имеем
о) = —т=*> о) = __--??J- « 7,1 • 104 рад/с.
Мгновенное значение напряжения на конденсаторе
Uc = 0,01 sinco^. A)
Для t= Г/6
{Ус = 0,01 sin(-y- -J-) В « 8,6 мВ.
360
Заряд конденсатора q = CUcy или с учетом A) q =
= 0,01C'Sino)/. Сила тока
/ = ii- = -1.@,01 CsinwO = 0,01 Ceo cosco* =
= 0,01 Ceo sin (со/ + -у-) • B)
Мгновенное значение силы тока для момента / = Г/б
/ = 0,0Ь2-Ю-8-7,Ь 104 sin (-^ +-у") А=7,1 мкА.
Напряжение на катушке Ul = ^-^р йли с учетом B)
UL = L-^O.OOlCcocoso)/) = -0,01LC(o2sino)/.
Так как со2 = 1/(LC), то
Ul = —0,01 sinco/ = 0,01 sin(co/ +л).
Мгновенное значение напряжения на катушке для вре-
времени / = Г/6
Графики зависимости силы тока и напряжений от вре-
времени предлагаем построить самим читателям по анало-
аналогии с предыдущей задачей.
704. Найти амплитуду ЭДС, наводимой при вращении
прямоугольной рамки с частотой 50 Гц в однородном
магнитном поле с индукцией 0,2 Тл, если площадь рамки
100 см2, вектор индукции перпендикулярен оси вращения
рамки, а начальная фаза равна нулю.
Дано: v = 50 Гц; S = 100 см2 = 10~2 м2; В = 0,2 Тл; ф0 = 0.
Решение. По закону Фарадея, ЭДС индукции, возни-
возникающая в рамке,
8= —Дф/А/. A)
Здесь АФ = Ф2 —Ф1 —изменение магнитного потока за
промежуток времени Д/, где Ф1 = BScosco/ и Ф2 =
= BScos[co(/ + A/)] —магнитные потоки, пронизывающие
рамку в моменты времени / и t-\-At. Тогда
Дф = ф2 — ф{ == B5{cos[(o(/ + A/)] — cosco/}. B)
361
Используя тригонометрическую формулу cos(a+p) =
= cosacos|3 — sinasinp, преобразуем выражение B):
Дф = BS(coso)A/coscoA/ — sinco/sincoA/ — cosco/).
Так как соД/ мало, то coscoA/^1 и sincoA/^coA/; следо-
следовательно,
Дф = SS(cosco/ —coA/sino)/ — cosco/) = —BSwA/sino)/.
C)
Подставив выражение C) в A). получим 8 — BSw sin of,
откуда видно, что амплитуда ЭДС So = BSco, или, по-
поскольку со = 2ttv,
So = 2nvBS; So = 2.3,14.50-0,2.10 В = 628 мВ.
** ЭДС можно найти дифференцированием, если закон Фарадея
записать в виде
705. Напряжение на концах участка цепи, по которо-
которому течет переменный ток, изменяется с течением времени
по закону U = (/0sin(G)?-}-tt/6). В момент времени / =
= 7/12 мгновенное напряжение равно 10 В. Определить
амплитуду напряжения.
Дано: *= Г/12; Vx = 10 В.
С/о-?
Решение. Подставляя в уравнение
t/= Gosin((o/ + rc/6)
значения U\ и / и учитывая, что со = 2я/7\ получаем
10=[/0sin(-y--I-+-g-) или 10= t/osin-y-,
откуда
П 10 1Q D^IUD
Uo = sin(n/3) ^ЖЗТ3^11'513-
706. Электропечь, сопротивление которой 22 Ом, пи-
питается от генератора переменного тока. Определить коли-
количество теплоты, выделяемое печью за 1 ч, если амплитуда
силы тока 10 А.
Дано: R = 22 Ом; t = 1 ч = 3,6-104 с; /0 = 10 А.
Q-?
362
Решение. По закону Джоуля — Ленца для цепи пере-
переменного тока
Q = l\Rt = (/o
/ 39,6 МДж.
707. Сила тока в первичной обмотке трансформатора
0,5 А, напряжение на ее концах 220 В. Сила тока во
вторичной обмотке 11 А, напряжение на ее концах 9,5 В.
Определить КПД трансформатора.
Дано: /, = 0,5 А; (/, = 220 В; /2 = 11 A; U2 = 9,5 В.
Решение. КПД трансформатора
Так как Рг = /2^2 и Pi = I\U\, то
i2u2
708. В течение какого времени будет гореть неоновая
лампа, если ее подключить на 1 мин в сеть переменного
тока с действующим напряжением 120 В и частотой
50 Гц? Лампа зажигается и гаснет при напряжении 84 В.
Дано: tQ = 1 мин = 60 с; UA = 120 В; v = 50 Гц; U3 = 84 В.
Решение. При включении лампы напряжение на ее
электродах изменяется по закону
t/= t/0sin2jtv/, A)
где
Uо = У2 t/д, B)
Неоновая лампа зажигается и гаснет при напряжении
Us < Uo; следовательно, в течение одного полупериода
продолжительность ее горения
Д/=*2-*1, C)
где t\ и U — интервалы времени от начала периода до
момента вспышки и гашения лампы. Так как в интерва-
интервале to содержится 2/<уу промежутков Д/, то за это время
лампа горит в течение времени
/, = 2/ovA/. D)
363
Из уравнений A) и B) найдем, что U = -д/2 UAs\n2nvt.
Если t = t\ и / = /г, то U = t/3, тогда
\//ai и (Л =
откуда
Следовательно, ЮОл/i = л/6, откуда t\ = 1/600 с. Анало-
Аналогично, sinBл • 50/2) ~ 1 /2, тогда 1 00л/2 = 5я/6, откуда
/2 = 5/600 с. Подставив значения t\ и /2 в уравнение C),
получим
Л/ = E/600 - 1 /600) с = 1 /150 с.
Время горения лампы найдем, подставив значения
Д/, /о и v в уравнение D):
tx = B.60-50.1/150) с = 40 с.
709. Разность потенциалов на обкладках конденсато-
конденсатора в колебательном контуре изменяется по закону U =
= 50cosA04tt/). Емкость конденсатора 0,9 мкФ. Найти
индуктивность контура, закон изменения со временем
силы тока в цепи, а также длину волны, соответствую-
соответствующую этому контуру.
Дано: С = 0,9 мкФ = 9-10~7 Ф.
L— ? /(/) — ? Я — ?
Решение. Из формулы Томсона
Т = 2лл/ТС (I)
найдем L = Г2/Dя2С), или, учитывая, что Г=2л/са,
L=l/fCa>2). Из уравнения U = 50cos\0Ant видно, что
о)=10л рад/с. Следовательно, индуктивность контура
Длина волны Х=сТ, или с учетом выражения A)
Ъ^ 2.3,14.3.10^ 4
со ' 104-3,14
По определению, сила тока равна
/= — /osincof. B)
Так как /0 = /70/(o)L), то [см. B)]
/= —^
364
Значения Uq и со находим из уравнения U = 50соэ104д/:
(/о = 50 В, о)= 104л рад/с. Следовательно,
/= rsinl04n/ = —1,42 sin 104л/.
104-3,14- 1.12-10—3
710. Емкость переменного конденсатора контура при-
приемника изменяется в пределах от С\ до C2 = 9Ci. Опре-
Определить диапазон волн контура приемника, если емко-
емкости С\ конденсатора соответствует длина волны, рав-
равная 3 м.
Дано: С2 = 9С,; X, = 3 м.
Я*-?
Решение. Обозначим Х\ и А,2 длины волны, ограни-
ограничивающие диапазон. Тогда
A)
B)
где Т\ и Г2 — наименьший и наибольший периоды коле-
колебаний контура. Учитывая, что С2 = 9Сь уравнение B)
можно написать в виде
%2 = бпсл/Ic'i. C)
Из сравнения уравнений A) и C) находим, что Х2 = 3Xi,
т. е. ^2 = 3«3 = 9 м. Следовательно, диапазон волн кон-
контура приемника заключен в интервале от 3 до 9 м.
711. По спирали электролампы, включенной в элек-
электрическую цепь, пропускают сначала постоянный, а затем
переменный ток одинакового напряжения. Одинаковое ли
количество теплоты выделяется спиралью лампы в этих
случаях?
Отв. Рассматривая спираль как активное сопротив-
сопротивление, можно сказать, что она нагреется в обоих слу-
случаях одинаково, так как, по условию задачи, напряже-
напряжение постоянного тока равно действующему напряже-
напряжению ?/д переменного тока. По закону Джоуля — Ленца
имеем соответственно для постоянного и переменного
токов
Q1=[/2///?, Q2=Utt/R.
Из сравнения этих выражений видно, что Qi = Q2.
712. Как осуществляется передача энергии из пер-
первичной обмотки трансформатора во вторичную, если об-
365
мотки трансформатора не соединены между собой про-
проводником?
Отв. При прохождении электрического тока по пер-
первичной обмотке трансформатора в ней возникает маг-
магнитный поток, который целиком проходит внутри сердеч-
сердечника и пронизывает витки вторичной обмотки. Так как
по первичной обмотке проходит переменный ток, то маг-
магнитный поток изменяется со временем, при этом во вто-
вторичной обмотке возникает ЭДС индукции.
713. Почему при радиосвязи на коротких волнах по-
получаются зоны молчания?
Отв. Вследствие неоднородности атмосферы для элек-
электромагнитных волн этого диапазона происходит их пре-
преломление, что и ведет к возникновению зон молчания.
Упражнения
714. В сеть переменного тока с напряжением 120 В
последовательно включены проводник с активным сопро-
сопротивлением 15 Ом и катушка индуктивностью 50 мГн.
Найти частоту тока, если амплитуда тока в цепи 7 А.
715. Колебательный контур имеет индуктивность
1,6 мГн и емкость 0,04 мкФ. Максимальное напряжение
на зажимах 200 В. Определить максимальную силу тока
в контуре. Активным сопротивлением контура пре-
пренебречь.
716. Найти мгновенное и действующее значения ЭДС
переменного тока через 0,002 с от начала колебаний,
если амплитудное значение ЭДС 127 В. Частота пере-
переменного тока 50 Гц, начальная фаза равна нулю.
717. Первичная обмотка трансформатора с коэффи-
коэффициентом трансформации, равным 8, включена в сеть с
напряжением 220 В. Сопротивление вторичной обмотки
2 Ом, сила тока во вторичной обмотке трансформато-
трансформатора 3 А. Определить напряжение на зажимах вторичной
обмотки. Потерями в первичной обмотке пренебречь.
718. Катушка длиной 50 см и площадью поперечного
сечения 3 см2 имеет 1000 витков и соединена парал-
параллельно с воздушным конденсатором. Конденсатор состо-
состоит из двух пластин площадью 75 см2 каждая. Расстояние
между пластинами 5 мм. Определить период колебаний
полученного контура.
719. Найти период колебаний контура, излучающего
электромагнитную волну, длина волны которой 3 км.
720. Определить период колебаний в контуре, содер-
366
жащем конденсатор емкостью 500 пФ и катушку индук-
индуктивностью 1 мГн.
721. В колебательном контуре индуктивность катушки
можно изменять от 50 до 500 Гн, а емкость конденса-
конденсатора — от 10 до 1000 пФ. Какой диапазон частот можно
получить при настройке такого контура?
722. Найти частоту собственных электрических коле-
колебаний в контуре, содержащем катушку индуктивностью
3 мГн и конденсатор емкостью 2 мкФ.
723. Электромагнитные волны распространяются в
однородной среде со скоростью 2-Ю8 м/с. Какую длину
волны имеют электромагнитные колебания в этой среде,
если их частота в вакууме 1 МГц?
Вопросы для повторения
1. Как устроен простейший ко-
колебательный контур? 2. Чему
равны частота и период собст-
собственных колебаний контура? 3.
Напишите выражение для ЭДС,
возникающей в рамке, равно-
равномерно вращающейся с некото-
некоторой угловой скоростью в маг-
магнитном поле. 4. Что называют
действующими значениями на-
напряжения и силы тока? 5. Чему
равны активное, емкостное и
индуктивное сопротивления? 6.
Чему равно полное сопротив-
сопротивление цепи переменного тока?
7. Что называется трансформа-
трансформатором? 8. Что называется коэф-
коэффициентом трансформации? 9.
Что называется КПД трансфор-
трансформатора? 10. Напишите уравне-
уравнение для плоской электромаг-
электромагнитной волны. 11. Чему равна
скорость электромагнитной вол-
волны в вакууме?
§ 3. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
Такие явления, как интерференция, дифракция и дис-
дисперсия света, определяют волновые свойства света.
Интерференцией света называется явление наложения
когерентных световых волн, в результате которого в од-
одних местах пространства возникают максимумы, а в дру-
других — минимумы интенсивности света; при этом происхо-
происходит перераспределение световой энергии в пространстве.
Когерентными называются световые волны, разность фаз
которых остается постоянной во времени.
Условие максимума интенсивности света
где Д = /12^2 — niA-i —оптическая разность хода волн; X —
длина волны; k= 1, 2, 3, ... — целое число.
Условие минимума интенсивности света
367
Л = Bft+1)^-.
При наблюдении интерференции света в тонких плос-
плоскопараллельных пластинках в отраженном свете условия
максимума и минимума интенсивности света имеют вид
Д = 2dncosr ^=2*^;
Д = 2dncosr L= Bft+ 1)-L,
где d — толщина тонкой пластинки; п — показатель пре-
преломления материала пластинки; г — угол преломления
света в ней.
При интерференции света в проходящем свете усло-
условия максимума и минимума меняются местами.
Дифракцией света называется явление, возникающее
при распространении света в среде с резко выраженными
неоднородностями и проявляющееся в распространении
света в области геометрической тени. Дифракцию света
можно наблюдать с помощью дифракционной решетки.
Условие главных максимумов при нормальном паде-
падении света на дифракционную решетку имеет вид
где d — период решетки; <р — угол отклонения луча от
первоначального направления; К — длина волны падаю-
падающего на решетку света; ft=l, 2, 3, ... — целое число
(порядок спектра).
Дисперсией света называется явление зависимости
показателя преломления света от длины световой волны.
Опытным доказательством существования дисперсии
является разложение белого света в спектр с помощью
трехгранной призмы. Спектр белого света содержит семь
основных цветов, непрерывно переходящих друг в друга.
Следовательно, белый свет — сложный. Раскаленные
твердые и жидкие тела дают сплошной спектр, раскален-
раскаленные газы — линейчатый спектр, характерный только для
данного элемента.
В оптике часто пользуются понятием светового луча.
Луч — это линия, вдоль которой свет переносит энергию.
724. Световая волна с длиной волны 700 мм распро-
распространяется в воздухе. Какова длина волны в воде?
Дано: Х\ = 700 нм = 7-10~7 м.
368
Решение. Длины волн Х\ и Х2 световых волн в воздухе
и в воде связаны со скоростями v\ и v2 распространения
этих волн в воздухе и воде следующими соотношениями:
А.1 = vi/v и k2—v2/vy A)
где v — частота световых колебаний, которая не изменя-
изменяется при переходе света из одной среды в другую. Раз-
Разделив почленно уравнения A), получим
li/X2=vi/v2. B)
Скорости распространения света в воздухе и в воде свя-
связаны с абсолютными показателями преломления п\ и n<i
этих сред соотношением
V\/V2 = П2/П\.
C)
Сравнивая между собой выражения C) и B), находим
Х{/12 = п2/пи откуда
П2
7.1Q-7-!
Гзз
5,2б.10-7м.
725. Два когерентных источника Si и S2 с длиной
волны 0,5 мкм находятся на расстоянии 2 мм друг от
друга. Параллельно линии, соединяющей источники, рас-
расположен экран на расстоянии 2 м от них. Что будет на-
наблюдаться в точке А экрана (рис. 221)?
Дано: X = 0,5 мкм = 5-10~7 м; d = 2 мм = 2-10 м; / = 2 м.
А — ?
Решение. В точке А экрана будет максимум интен-
интенсивности, если разность хода двух лучей, исходящих из
источников Si и S2j равна целому числу длин
волн, и минимум интенсивности, если эта раз- #
ность хода равна нечетному числу полуволн.
Вычислим разность хода (рис. 221):
где
, \S\A\ = l. Следовательно,
Л =
Так как d/l<^\y то, используя формулу при-
приближенного вычисления, получаем
2/ '
13—580
2-2
м=10~6 м.
Рис. 221
369
Az
Рис. 222
Сравнивая значения А и X, видим, что разность хода Л
равна целому числу длин волн (двум); следовательно,
в точке А освещенность будет максимальна.
726. Сначала вертикальную мыльную пленку наблю-
наблюдают в отраженном свете через красное стекло (Х\ =
= 6,3-10 м). При этом расстояние между соседними
красными полосами равно 3 мм. Затем эту пленку наблю-
наблюдают через синее стекло (к\ = 4• 10~7 м). Найти расстоя-
расстояние между соседними синими полосами. Считать, что
форма пленки за время наблюдения не изменяется.
Дано: Я., = 6,3-10~7 м;
3 мм = 3-10м; А* = 4-10"
Решение. В глаз наблюдателя попадают лучи, отра-
отраженные от тонкого клина перпендикулярно его поверх-
поверхности. Тогда для fe-й и (/г+1)-й красных полос оптиче-
оптические разности хода соответственно равны
(cosr = 1 в обоих случаях). Здесь hk и hk+i —соответ-
—соответствующие данным полосам толщины вертикальной мыль-
мыльной пленки, сечение которой — клин (рис. 222, а, б). Из
выражений A) находим
B)
C)
откуда
2л(Ан.1-А*) = А.1.
Аналогично, для синих полос
Разделив почленно выражения B) и C), получим
hk+\ —hk Ai
Лт+i —hm Яг
370
Иначе, из подобия заштрихованных треугольников
(рис. 222) следует
*»-Н-\ =:_?!_. E)
h 4-1 — ^m X2
Приравнивая правые части выражений D) и E), нахо-
находим Х1Д2 = х\/*2, откуда
х2 =
х2 =
7 м = 1,9- Ю
U
-3
м.
; :
.1 о,о
727. Найти радиус кривизны линзы, применяемой для
наблюдения колец Ньютона, если расстояние между вто-
вторым и третьим светлыми кольцами 0,5 мм. Установка
освещается светом с длиной волны 5,5 • 10~7 м. Наблюде-
Наблюдение ведется в отраженном свете.
Дано: Д3,2 = 0,5 мм = 0,5-10~3 м; X = 5,5-10~7 м; п = 1.
R — ?
Решение. Из ДОЛЯ (рис. 223) имеем |ВЛ|2 = |?О|2 +
+ \АО\\ или R2 = rl+{R-h)\ откуда rl-2Rh + h2 = 0.
Пренебрегая малой величиной h2 по сравнению с осталь-
остальными слагаемыми, получаем г* = -\/R2h . Иначе, для
светлого fe-ro кольца в отраженном свете разность хода
равна
откуда 2Л = Bй+1)-|р Тогда
|р
Для k = 2 и /г = 3 имеем
Тогда
-0,4
2/г •
Рис. 223
13** В
371
откуда
= @,5-IPJ-1 „_
0.08А ' " 0,08-5,5-10"
-; Л =
м = 5,7 м.
728. Найти наибольший порядок спектра для желтой
линии натрия с длиной волны 5,89 • 10~7 м, если период
дифракционной решетки 2 мкм.
Дано: X = 5,89- 10~7 м, d = 2 мкм = 2- 10~6 м.
k ~ ? '
Лмакс
Решение. Воспользуемся формулой дифракционной
решетки
(i)
откуда
k = cfsincp/X.
Из выражения A) видно, что при заданных d и X поря-
порядок спектра к будет максимальным, когда sincp = 1, т. е.
при угле отклонения ф= 1,57 рад. Следовательно,
2-10"
i " . «
Лмакс — ~Т—, гСмаь
Л «J,OC7 • 1U
729. На каком расстоянии от дифракционной решетки
нужно поставить экран, чтобы расстояние между нуле-
нулевым максимумом и спектром четвертого порядка было
равно 50 мм для света с длиной волны 500 нм? Постоян-
Постоянная дифракционной решетки 0,02 мм.
Дано: k = 4, / = 50 мм = 5-10 м; X == 500 нм = 5-10~7 м;
d = 0,02 мм = 2-10-5 м.
х-}
Решение. Из
= kXy имеем
Рис. 224
формулы дифракционной решетки
sincp =ftA,/d. (I)
Иначе, sin ф можно найти из ААВС
(рис. 224), в котором сторона ВС яв-
является частью экрана, расположенного
на расстоянии х=\АВ\ от дифракцион-
дифракционной решетки; в точке В наблюдается
нулевой максимум — неотклоненное
изображение, в точке С — изображе-
изображение спектра четвертого порядка:
sincp = \ВС\/\АС\ = l/^fF+x1. B)
372
Сравнив между собой уравнения A) и B), получим
kX/d = //д//2 + х2, откуда
х= у d 1 ~ЛК 1 =
' Л А,
л: =
4 5|-7^'10~Т-4^E.10-О2м^0,5м.
730. Определить угол дифракции для спектра второго
порядка света натрия с длиной волны 589 нм, если на
1 мм дифракционной решетки приходится пять штрихов.
Дано: k = 2\ Х= 589 нм = 5,89-10~7 м;
/Vo = 5mm-' = 5.103м.
Решение. Из формулы дифракционной решетки
dslny = kX найдем
эшф = kX/d. A)
Так как число штрихов, отнесенных к длине решетки,
связано с периодом решетки соотношением No= \/d, то
формуле A) можно придать вид эшф = kXNo, откуда
ф = arcsin kXM0'y
Ф= arcsin 2-5,89-10~7.5-103 рад « 5,8-10~3 рад.
731. Определить наибольший порядок спектра, кото-
который может образовать дифракционная решетка, имею-
имеющая 500 штрихов на 1 мм, если длина волны падающего
света 590 нм. Какую наибольшую длину волны можно
наблюдать в спектре этой решетки?
Дано: No = 500 мм = 5-105 м; Л.= 590 нм = 5,9-10~7 м.
Решение. Из формулы дифракционной решетки
dsmy = kX найдем
k = dsmy/X. A)
Учитывая, что d= l/N, преобразуем формулу A):
k = 5тф/(ХЛГо). B)
Из выражения B) следует, что при заданных X и No
наибольший порядок спектра &Макс можно наблюдать при
наибольшем значении этфмакс = 1, т. е.
it 1
&макс —
373
Наибольшая длина волны, которую можно наблюдать
с помощью этой решетки,
. ds\nyM3KC 1 . 1
ЗКС~ *макс "" k^No' ЛМЭКС "
= 6,67-10~7 м.
732. Вода освещена красным светом. Какой свет ви-
видит человек, открывший глаза под водой?
Отв. Человек видит красный свет, так как окраска
света, воспринимаемая глазом, зависит не от длины вол-
волны, которая изменилась при переходе света в воду, а от
частоты колебаний, которая осталась прежней.
733. При наблюдении мыльной пленки, образованной
в плоской вертикальной рамке, можно заметить, что ин-
интерференционные полосы с течением времени перемеща-
перемещаются вниз. Затем верхняя часть пленки окрашивает-
окрашивается в черный цвет, вслед за этим пленка рвется. По-
Почему?
Отв. Вода в пленке постепенно стекает вниз, вслед-
вследствие чего нижняя часть пленки утолщается, а верхняя
становится тоньше. На участках разной толщины будут
различны и условия интерференции, что приведет к по-
появлению на поверхности пленки темных и светлых полос.
По мере стекания воды толщина различных участков
пленки изменяется, поэтому изменяются и условия интер-
интерференции, полосы при этом как бы перемещаются по
пленке. Когда толщина станет очень малой (d«0), то
разность хода будет равна Х/2. При этом волны во всех
точках пленки начнут гасить друг друга и пленка окра-
окрасится в черный цвет.
734. В камере обскура с помощью малого отверстия
можно получить изображение предмета. С уменьшением
размера отверстия четкость изображения сначала воз-
возрастает, а потом падает. Почему?
Отв. До тех пор, пока размеры отверстия много боль-
больше длины волны падающего на него света, явлением
дифракции можно пренебречь, поэтому изображение по-
получается отчетливым. Для его построения можно приме-
применять законы геометрической оптики. Как только размеры
отверстия уменьшаются до того, что становятся соизме-
соизмеримыми с длиной волны, необходимо учитывать явление
дифракции (распространение света в области геометри-
геометрической тени). Изображение получается размытым, неот-
неотчетливым.
374
735. Одинаков ли спектр Солнца, Луны, планет и
звезд?
Отв. Спектры Солнца, Луны и планет одинаковы,
так как Луна и планеты светят отраженным солнечным
светом. Спектры звезд могут отличаться друг от друга.
736. Почему для запрещающих сигналов на транспор-
транспорте принят красный цвет?
Отв. Лучи красного цвета имеют большую длину вол-
волны по сравнению с лучами других цветов, входящих в
состав спектра. Лучи с большей длиной волны меньше
рассеиваются атмосферой, находящимися в ней пылинка-
пылинками, водяным паром и т. д., поэтому они лучше видны
издалека.
Упражнения
737. Длина волны некоторых лучей в воде равна
435 нм. Какова длина волны этих лучей в воздухе?
738. В опыте с зеркалами Френеля расстояние между
мнимыми изображениями источника света 0,5 мм, рас-
расстояние до экрана 5 м. В зеленом свете получились ин-
интерференционные полосы на расстоянии 5 мм друг от
друга. Найти длину волны зеленого света.
739. Свет из проекционного фонаря, проходя сквозь
маленькое отверстие, закрытое синим стеклом, попадает
на экран с двумя маленькими отверстиями, находящими-
находящимися на расстоянии 1 мм друг от друга, и падает на другой
экран, отстоящий от первого на расстоянии 1,7 м. Рас-
Расстояние между интерференционными полосами на экране
оказалось равным 0,8 мм. Найти длину световой волны.
740. На мыльную пленку с показателем преломле-
преломления 1,33 падает белый свет под углом 45°. При какой
наименьшей толщине пленки отраженные лучи будут
окрашены в желтый цвет с длиной волны 6• 10~5 см?
741. Кольца Ньютона образуются между плоским
стеклом и линзой с радиусом кривизны 8,6 м. Монохро-
Монохроматический свет падает нормально. Измерениями уста-
установлено, что диаметр четвертого темного кольца равен
9 мм. Найти длину волны падающего света.
742. На дифракционную решетку нормально падает
фиолетовый свет с длиной волны 0,45 мкм. Период
дифракционной решетки 2 мкм. Чему равен наибольший
порядок спектра, который можно наблюдать с помощью
этой решетки?
743. Дифракционная решетка имеет 500 штрихов на
375
1 мм. На каком расстоянии от средней неразложенной
линии окажутся начало и конец видимого спектра пер-
первого порядка на экране, находящемся на расстоянии 2 м
от решетки, если решетка расположена параллельно
экрану, а освещение производится под прямым углом к
поверхности решетки?
Вопросы для повторения
1. Что называется интерферен-
интерференцией света? 2. Какие волны на-
называются-когерентными? 3. На-
Напишите условия максимума и
минимума интенсивности света
при интерференции. 4. Пере-
Перечислите способы получения ко-
когерентных источников волн. 5.
Что называется дифракцией
света? 6. При каких условиях
можно наблюдать дифракцию
света? 7. Как устроена дифрак-
дифракционная решетка? 8. Напишите
формулу дифракционной ре-
решетки. 9. Что называется дис-
дисперсией света? 10. Объясните
причину возникновения спект-
спектра. 11. Перечислите известные
вам типы спектров. 12. Опи-
Опишите, как устроен спектроскоп.
ГЛАВА VI
СТРОЕНИЕ АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
§ 1. СТРОЕНИЕ АТОМА
Атом любого элемента состоит из положительно за-
заряженного ядра, вокруг которого движутся электроны.
Суммарный заряд всех электронов, входящих в состав
атома, равен заряду ядра.
Простейшим по своему строению атомом является
атом водорода, состоящий из ядра, вокруг которого дви-
движется один электрон. Согласно первому постулату Бора,
он движется по одной из п круговых орбит, не излучая
энергии. При переходе электрона с одной орбиты на дру-
другую атом водорода излучает или поглощает один квант
энергии (второй постулат Бора):
Av= W2—W1,
где h — постоянная Планка; v — частота излучаемого
света; №2 и W\ — полная энергия электрона в атоме на
соответствующей орбите, которую можно вычислить по
формуле
где е — заряд электрона; т — масса электрона; ео —
электрическая постоянная; п— 1, 2, 3, ... — номер орбиты
электрона.
Длина волны А, света, излучаемого атомом водорода
при переходе с одной орбиты на другую, может быть
определена из формулы
где R — постоянная Ридберга.
Для видимого света п{ = 2 — номер орбиты, на кото-
которую переходит электрон, п2 = 3, 4, 5, 6 — номер орбиты,
с которой переходит электрон.
745. Определить энергию, испускаемую при переходе
электрона в атоме водорода с третьей орбиты на первую.
377
Дано: п х — 1; п — 3.
е —?
Решение. По второму постулату Бора, энергия, ис-
испускаемая атомом при переходе электрона с третьей ор-
орбиты на первую, равна
Здесь Wn2 = -eAm/(8h2e2on22) и Wni = —^/(8Л2е§/г?) -
энергии электрона, находящегося на третьей и первой
орбитах. Подставим выражения для Wn2 и Wni в фор-
формулу A):
е tn . е т е т / \ l \
8/t2eot2 8Л2еоя2 8/г2ео V я! "яТ/ '
8F,62- Ю-34J-(8,87- Ю-12J V З2 ;
= 1,94-10~18 Дж.
746. На сколько изменилась энергия электрона в ато-
атоме водорода при излучении атомом фотона с длиной вол-
волны 4,86-10 м?
Дано: Х= 4,86-10~7 м.
SW —
Решение. Изменение энергии атома при излучении фо-
фотона A\^=/iv, или с учетом того, что v = c/X9
= ^; AW= 6'
747. Вычислить полную энергию электрона, находя-
находящегося на второй орбите атома водорода.
Дано: п = 2.
W — ?
Энергия электрона, находящегося на второй орбите
атома,
378
748. Найти наибольшую и наименьшую длины волн
в видимой области спектра излучения атома водорода.
Дано: п2 = 2.
Решение. Длина волны света, излучаемого атомом
водорода при переходе электрона с одной орбиты на дру-
другую, определяется из формулы
¦ Л(А—А-).
Наименьшая энергия излучается атомом при переходе
электрона на вторую орбиту с ближайшей к ней третьей
орбиты (мз = 3), что соответствует излучению света с
наибольшей длиной волны Хмакс. Следовательно,
Наибольшая энергия излучается атомом при переходе
электрона на вторую орбиту с бесконечно удаленной
орбиты (дгоо = оо), что соответствует излучению света с
наименьшей длиной волны А,мин. Следовательно,
Х- 1,097- l
Однако эта длина волны не попадает в область ви-
видимого света (Хмин<:400 нм). Поэтому из условия ХМИн^
^400 нм и формулы A), подбирая п, находим, что
А,мин = 4,1»10 м при п = 6. Таким образом, в видимой
области наблюдаются всего четыре линии спектра излу-
излучения атома водорода.
749. При переходе электрона с некоторой орбиты на
вторую атом водорода испускает свет с длиной волны
4,34» 10~7 м. Найти номер неизвестной орбиты.
Дано: К = 4,34-10~7 м; п2 == 2.
л*-?
Решение. Воспользуемся формулой для определения
длины волны света, излучаемого атомом водорода при
переходе с одной орбиты на другую:
379
откуда
т1\/п1—\/(ХЯ) Vl/22—1/D,34-10~7-1,097-107)
750. На дифракционную решетку нормально падает
пучок света от разрядной трубки, наполненной атомар-
атомарным водородом. Постоянная решетки 5 • 10~4 см. С какой
орбиты должен перейти электрон на вторую орбиту, что-
чтобы спектральную линию в спектре пятого порядка можно
было наблюдать под углом 41°?
Дано: d = 510~4 см = 5-Ю м; /г = 5; л2=2;
Ф== 41° ж 0,72 рад.
л»-?
Решение. Из формулы дифракционной решетки
dsincp = kX найдем длину волны излучаемого света, со-
соответствующую данной спектральной линии:
- dsincp
K~
Из формулы —=zR\--p -7-j можно определить но-
номер неизвестной орбиты:
П
или с учетом выражения A)
__ 1
Пк~~~ -y/l/nl-k/idsmyR) '
1
^' 3.
tlk т
Vl/22—5/E-10~6.0,656-1,097-107)
751. Строение атома (ядро + электроны) напоминает
строение Солнечной системы (Солнце + планеты). В чем
различие между ними?
Отв. Между электронами и ядром в атоме действуют
электрические силы притяжения, тогда как между плане-
планетами Солнечной системы и Солнцем действуют гравита-
гравитационные силы притяжения.
Кроме того, движение электронов в атоме не удовле-
удовлетворяет принципам и законам классической механики,
а подчиняется законам квантовой механики.
752. Чем отличается атом, находящийся в основ-
380
ном состоянии, от атома, находящегося в возбужденном
состоянии?
Отв. Основное отличие между этими атомами состоит
в том, что в атоме, находящемся в возбужденном состоя-
состоянии, электроны движутся по орбитам, более удаленным
от ядра, и обладают большим запасом энергии, чем элек-
электроны в атоме, находящемся в основном состоянии.
Упражнения
753. При излучении атомом водорода фотона полная
энергия этого атома изменилась на 2,56 эВ. Найти длину
волны излучаемого света.
754. Какую наибольшую энергию должны иметь элек-
электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами
этих электронов спектр водорода имел только одну спект-
спектральную линию?
755. Вычислить полную энергию электрона, находя-
находящегося на третьей орбите атома водорода.
756. Определить длину волны, соответствующую
третьей спектральной линии в видимой области спектра
атома водорода.
757. При переходе электрона в атоме водорода с чет-
четвертой стационарной орбиты на вторую излучается зе-
зеленая линия водородного спектра. Определить длину вол-
волны этой линии.
758. Электрон в атоме водорода может находиться на
круговых орбитах радиусами 0,5-10~8 и 2• 10~0 м. Как
относятся угловые скорости вращения электрона на этих
орбитах?
759. Радиус орбиты электрона в атоме водорода
2«10~10 м. Фотоны какой длины волны могут вызвать
ионизацию этого атома?
760. С какой частотой вращается электрон в атоме
водорода, находясь на круговой орбите радиусом
5.10-11 м?
761. При облучении паров ртути электронами энергия
атома ртути увеличилась на 4,9 эВ. Какую длину вол-
волны будет излучать атом при переходе в основное со-
состояние?
Вопросы для повторения
1. Опишите планетарную мо- Сформулируйте постулаты Бо-
дель атома. 2. В чем недоста- ра. 4. Напишите формулу для
ток планетарной модели? 3. полной энергии атома водоро-
381
да. 5. Напишите формулу для 7. Что называется квантовым
угловой скорости вращения числом? 8. Напишите формулу
электрона по стационарной ор- для расчета длины волны в ви-
бите. 6. Получите формулу для димой области спектра атома
радиуса стационарной орбиты. водорода.
§ 2. СТРОЕНИЕ АТОМНОГО ЯДРА
Атомное ядро состоит из нуклонов: протонов и ней-
нейтронов. Число нуклонов в ядре равно массовому числу А
[округленной до целого числа атомной массе элемента,
выраженной в атомных единицах массы (а. е. м.)]. Число
Z протонов в ядре равно порядковому номеру элемента
в Периодической системе Менделеева и представляет
собой заряд ядра, выраженный в единицах элементар-
элементарного заряда (заряда электрона). Следовательно, число
нейтронов в ядре N = A — Z.
Любой элемент или элементарную частицу обознача-
обозначают символически: гХ. В этих обозначениях имеем: для
протона — !р; для нейтрона — 1п\ для электрона — -?е;
для позитрона — ?е; для а-частицы — \а.
Атомы одного и того же элемента могут иметь разное
число нейтронов в ядре. Такие атомы называются изото-
изотопами данного элемента.
Масса покоя ядра меньше массы покоя нейтрального
атома на массу электронов, входящих в состав электрон-
электронной оболочки атома:
где те — масса электрона.
Дефектом массы ядра называется разность между
суммой масс покоя нуклонов и массой покоя ядра:
где Шр — масса покоя свободного (вне ядра) протона;
Шп — масса покоя свободного нейтрона.
Энергия связи ядра определяется работой, которую
необходимо совершить для того, чтобы расчленить ядро
атома на отдельные нуклоны и удалить их друг от друга
за пределы действия ядерных сил без сообщения им кине-
кинетической энергии. Энергия связи ядра выражается соот-
соотношением
где Дт — дефект массы ядра; с — скорость света в ваку-
вакууме.
382
При бомбардировке какими-либо элементарными час-
частицами ядра атомов одного элемента могут превращать-
превращаться в ядра атомов другого элемента. Реакции превраще-
превращения элементов (ядерные реакции) записывают в виде
схем
А у \ 4 A -f- 4 v A v | 0_ А л/
При записи учитывают закон сохранения электриче-
электрических зарядов и числа нуклонов.
При изучении свойств атомов было обнаружено явле-
явление радиоактивности. Радиоактивные вещества могут
испускать три типа излучения: сс-излучение, р-излучение
и 7-излучение.
a-Излучение представляет собой поток положительно
заряженных частиц — двукратно ионизированных атомов
гелия; р-излучение представляет собой поток электронов;
7-излучение является электромагнитными волнами корот-
короткой длины волны.
При радиоактивном распаде число радиоактивных
(нераспавшихся) атомов убывает со временем по закону
где No — число радиоактивных атомов в начальный мо-
момент времени; к — постоянная радиоактивного распада;
/— время распада.
Периодом полураспада радиоактивного изотопа назы-
называется промежуток времени, в течение которого распа-
распадается половина радиоактивного вещества, имевшегося
в начальный момент времени:
ъ _ In 2 _ 0,693
762. Каково строение ядра изотопа лития
Дано: iLi.
Z - ? N - ?
Решение. Из символической записи изотопа лития
зЫ следует, что ядро изотопа лития состоит из семи ну-
нуклонов (Л = 7): трех протонов (Z = 3) и четырех нейтронов
(//=7-3 = 4).
763. Чем отличаются ядра изотопов азота !jN и !?N?
Дане: !?N; !?N.
z_? л/ — ?
ш
Решение. Из символической записи изотопов азота
^N и ljN видно, что число протонов в их ядрах одинако-
одинаково и равно семи (Z = 7), а число нейтронов соответствен-
соответственно равно jVi=14 — 7 = 7 и 7V2 == 15 — 7 = 8. Следователь-
Следовательно, ядра этих изотопов отличаются числом содержащих-
содержащихся в них нейтронов.
764. Вычислить дефект массы ядра изотопа foNe.
Дано: ?§Ne; тр = 1,6724 - 107 кг; тп = 1,6748 -КГ27 кг; Мя =
= 33,1888-10~27 кг.
Дт — ?
Решение. Дефект массы ядра равен
Am = Zrrip + (A — Z)mn — Mn. A)
Из символической записи элемента 2oNe следует, что
Л = 20 и Z=10. Тогда формулу A) можно записать так:
Д/л=10тр + B0 — Щтп — Мя = 10{тр + тп) — Мя\
Дт = [ 10A,6724-107 + 1,6748- 1(Г27) -
— 33,1888-10~27] кг = 2,882-108 кг.
765. Найти энергию связи ядра изотопа лития lL\.
Дано: 5Li; тр= 1,6724-107 кг; mn= 1,6748- КГ27 кг; Мя =
= 11,6475- КГ27 кг.
Решение. Энергия связи ядра
№св = Дтс2. A)
Поскольку Am = Zmp-\-(A—Z)mn — Мя, равенство A)
можно привести к виду
Wcs = [ Zmp + {А - Z)mn - Мя] с2.
Из символической записи изотопа лития \\Л следует, что
Л = 7 и Z = 3. Подставив значения А и Z в выражение
A), получим
Wcb = [ Ътр + Атп — Мя] с2;
№св = [C-1,6724-107 + 4-1,6748- 1(Г27- 11,6475Х
X 1(Г27)]C.108J Дж = 6,20Ы0-12 Дж.
384
766. В результате захвата а-частицы ядром изотопа
азота I4-N образуются неизвестный элемент и протон.
Написать реакцию и определить неизвестный элемент.
Дано: 2L; '}N; \p.
Решение. Запишем ядерную реакцию
l *\AX. A)
Так как суммы для массовых чисел и зарядов в правой
и левой частях выражения A) должны быть равными,
то 14 + 4= 1+А, 7 + 2= 1+Z, откуда А = 17, Z = 8.
Следовательно, полученный элемент символически можно
записать в виде Х\Х. Из.таблицы Менделеева найдем, что
это изотоп кислорода ^О.
767. В результате захвата нейтрона ядром изотопа
I4N образуются неизвестный элемент и а-частица. Напи-
Написать реакцию и определить неизвестный элемент.
Дано: Jn; 4N; \а.
Решение. Запишем ядерную реакцию:
По закону сохранения массовых чисел и зарядов найдем
14+ 1=Л + 4, 7 + 0=Z + 2, откуда А= 11, Z = 5. Следо-
Следовательно, символически неизвестный элемент можно за-
записать в виде {\>Х. Из таблицы Менделеева найдем, что
это изотоп бора ^В.
768. Радиоактивный натрий ?fNa распадается, выбра-
выбрасывая р-частицы. Период полураспада натрия 14,8 ч.
Вычислить количество атомов, распавшихся в 1 мг дан-
данного радиоактивного препарата за 10 ч.
Дано: ?}Na; Г-/2= 14,8 4^5,33- 104 с; /=10 4 = 3,6-104 С;
т=\ мг= 10~6 кг.
385
Решение. Число распавшихся атомов за время /
&N=N0-Ny A)
где No — число нераспавшихся атомов в начальный мо-
момент времени, равное числу всех атомов, в 1 мг nNa;
N — число нераспавшихся атомов через время /. По-
Поскольку N = Noe~~u, формулу A) можно привести к виду
e~kt). B)
Учитывая, что X= In 2/Г'/2, преобразуем выражение B):
). C)
Так как в моле nNa содержится число атомов, равное
постоянной Авогадро ЛЧ, to в данной массе m содержит-
содержится число No атомов, равное произведению числа молей
пг/М на постоянную Авогадро Л/а:
No==mMA/M, D)
где М — молярная масса натрия. Подставив формулу D)
в C), получим
= 2410ю6_3 6,02»1023(l-2-3'6-10VE'33'104))^9,3-1018.
769. Определить период полураспада радона, если за
1 сут из 1 млн. атомов распадается 175 000 атомов.
Дано: /= 1 сут=8,64.104с; No= 106; AN = 1,75-105.
тъ - ?
Решение. Период полураспада радона
Г7а = 0,693А. A)
Постоянную радиоактивного распада X найдем из соот-
соотношения (см. задачу 768) AiV== Л^оA —е~х/)» откуда
X==7IiTlg No-AN ' B)
386
Подставив выражение B) в A), получим
__ 0,693(lge)/
Л"~ lg[No/(No-b
0,693.0,43-8,64.104 о ~~ 1П5 „
/2""lg[106/A06-l,75.105) C~3'3'10 С-
770. Почему а-частицы, испускаемые радиоактивными
препаратами, не могут вызывать ядерных реакций в тя-
тяжелых элементах?
Отв. Энергия таких а-частиц недостаточна для прео-
преодоления электрических сил отталкивания ядра тяжелого
элемента для сближения с ним до расстояния 10~~15м,
начиная с которого силы взаимодействия нуклонов зна-
значительно превышают электрическое взаимодействие.
771. Чем отличаются по своему строению ядра атомов
радиоактивных элементов от ядер атомов обычных эле-
элементов?
Отв. Число нейтронов в ядре атомов радиоактивных
элементов значительно превышает число протонов обыч-
обычных элементов. Например, в ядре изотопа урана 292U
содержится 146 нейтронов и 92 протона.
Упражнения
772. Каково строение ядра изотопа калия ?1К?
773. Чем отличаются ядра изотопов кислорода 1|О,
8U
774. Какую минимальную энергию необходимо затра-
затратить, чтобы разрушить ядро изотопа гелия гНе?
775. Определить дефект массы для ядра изотопа во-
водорода ?Н.
776. Как изменяются массовое число и номер элемен-
элемента при протонном радиоактивном распаде?
777. Найти продукт реакции при бомбардировке ядер
изотопа магния i|Mg а-частицами, если известно, что в
этой ядерной реакции выделяются нейтроны.
778. Записать схему ядерной реакции и определить
неизвестный элемент, образующийся при бомбардировке
ядер изотопов алюминия ?зА1 а-частицами, если извест-
известно, что один из продуктов реакции нейтрон.
779. Сколько ядер распадается в 1 с из каждого
миллиарда ядер изотопа иода 'Ш
8U И
387
780. За 8 ч начальная масса радиоактивного изотопа
уменьшилась в три раза. Во сколько раз она уменьшится
за сутки, считая от начального момента времени?
781. Объяснить, почему при р-распаде из ядра атома
вылетают электроны.
Вопросы для повторения
1. Из каких частиц состоит атом- связи ядра? 6. Какие законы
ное ядро? 2. Как найти число можно использовать при напи-
протонов и число нейтронов, сании ядерных реакций? 7. Ка-
входящих в состав ядра атома? кие три типа излучения испус-
3. Что называется изотопом? 4. кают радиоактивные вещества?
Что называется дефектом мае- 8. Сформулируйте закон радио-
сы ядра? 5. Чему равна энергия активного распада. 9. Что назы-
называется периодом полураспада?
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Производные некоторых функций
Функция
с = const
хп
ах
ех
In лг
Производная
0
пхп~1
ах\па
е*
1
х
Функция
sin*
COSJC
tg*
cigx
Производная
COS*
— sin*
1
cos'J*
1
sin x
2 Неопределенные интегралы некоторых функций
Функция
*"
/
X
ех
Интеграл
*п+1
1п|*[ + С
е*+С
Функция
sin*
COS*
tgx
ctg*
Интеграл
— COS*-f-C
sin* + С
— In|cos*| + C
lnjsin*| -j- С
3. Единицы СИ физических величин
Величина
Единица
наименование
размерность
Основные единицы
Длина
Масса
Время
Сила тока
Температура
Сила света
Количество вещества
метр
килограмм
секунда
ампер
кельвнн
кандела
моль
м
с
А
К
кд
моль
м
кг
с
А
К
кд
моль
389
Продолжение
Величина
Единица
наименование
обозначе-
размерность
Угол плоский
Угол телесный
Дополнительные единицы,
радиан рад
стерадиан ср
Производные единицы
безразмерная
безразмерная
Площадь
Объем
Период
Частота периодического
процесса
Частота вращения
Плотность
Скорость
Ускорение
Сила
Давление
Работа, энергия, количе-
количество теплоты
Мощность
Электрический заряд (ко-
(количество электричества)
Электрическое напряже-
напряжение, разность потенциалов,
эдс
Напряженность электри-
электрического поля
Электрическая емкость
Электрическое сопротив-
сопротивление
Магнитный поток
Магнитная индукция
Напряженность магнитно-
магнитного поля
Индуктивность
Световой поток
Освещенность
Оптическая сила
квадратный
метр
кубический
метр
секунда
герц
секунда в ми-
минус первой
степени
килограмм на
кубический
мето
метр в секунду
метр на секун-
секунду в квадрате
ньютон
паскаль
джоуль
ватт
кулон
вольт
вольт на метр
фарад
ом
вебер
тесла
ампер на метр
генри
люмен
люкс
диоптрия
м2
м3
с
Гц
с
кг/м3
м/с
м/с2
н
Па
Дж
Вт
Кл
В
В/м
Ф
Ом
Вб
Тл
А/м
Гн
лм
лк
дптр
м2
м3
с
с~1
с
м-кг
м-с-1
м-с~2
м-кг«с~2
1 2
м -кг«с
М2'КГ»С~2
м2-кг-с~3
с-А
м^кг-с^-А
м-кг-с^-А
м~2-кг~|-с4-А2
м2-кг-с~3-А~2
м2«кг«с~~2« А
кг-с^-А
м-1-А
м • кг * с • /\
кд
м~2-кд
м-1
аэо
4. Приближенные значения некоторых физических постоянных
Физическая постоянная
Радиус Земли
Масса Земли
Нормальное ускорение свободного
падения
Гравитационная постоянная
Постоянная Авогадро
Молярная газовая постоянная
Постоянная Больцмана
Объем моля газа при нормальных
условиях
Элементарный заряд
Масса электрона
Постоянная Фарадея
Скорость света в вакууме
Постоянная Планка
Постоянная Ридберга
Масса протона
Масса нейтрона
Обозначе-
Обозначение
R
М
g
G
R
к
Vo
е
те
F
с
h
R
mp
тп
Числовое значение
6,37-106 м
5,97-1024 кг
9,8 м/с2
6,67.10"" м3/(кг-с2)
6,02-1023 моль
8,32 Дж/ (моль- К)
1,38-Ю-23* Дж/К
22,41 м3/моль
1,6-Ю-19 Кл
9,11-10~31 кг
9,65-104 Кл/моль
3.108м/с
6,62-10~34 Дж-с
1,097-107 м-1
1,6724-107 кг
1,6748-10~27 кг
5. Плотность некоторых веществ, !03 кг/м3
(р = 1,01-10* Па; Г = 273 К)
Твердые
тела
Алюминий .... 2,7
Дерево 0,8
Железо 7,8
Кирпич 1,8
Лед 0,9
Медь 8,9
Никель 8,8
Свинец 11,3
Серебро . . . . 10,5
Сталь . . 7,8
Жидкости
Бензин 0,7
Вода:
морская .... 1,03
чистая .... 1,0
Керосин 0,8
Масло 0,9
Ртуть 13,6
Спирт 0,8
Газы
Водород .... 0,089-10"
Воздух .... 1,29-10~3
Гелий 0,18-10~3
Кислород. . . . 1,43-10~3
6. Модуль продольной упругости, 10й Па
Алюминий 0,7
Железо 2,1
Латунь 0,9
Медь 1,2
Свинец 0,17
Сталь 2,2
391
7. Поверхностное натяжение жидкостей
при комнатной температуре, 1СГ Н/м
Анилин 4,3 Мыльный раствор . . . 4,0
Вода 7,4 Спирт 2,2
Керосин 3,6 Ртуть 47,1
8. Удельная теплоемкость, 103 Дж/(кгК)
Азот 1,05 Лед 2,10
Алюминий 0,88 Медь 0,38
Вода 4,19 Олово 0,23
Водород 14,20 Свинец 0,13
Воздух 1,005 Спирт 2,42
Железо 0,46 Сталь 0,46
Кислород 0,92 Углекислый газ . . . 0,83
Латунь 0,38
** Для газов даны удельные теплоемкости при постоянном объеме
9. Молярная масса некоторых газов, 10 3 кг/моль
Азот N2 28 Воздух 29
Водород Н2 2 Гелий Не2 4
Водяной пар Н2О .... 18 Кислород О2 32
Углекислый газ СО2 ... 44
10. Температура плавления твердых тел, К
Алюминий 933 Медь 1356
Железо 1803 Олово 505
Латунь 1173 Свинец 600
Лед 273 Серебро 1233
11. Удельная теплота плавления, 105 Дж/кг
Алюминий 3,90 Олово 0,58
Лед 3,35 Свинец 0,25
Медь 1,80 Серебро 1,01
12. Температура парообразования, К (Р= 1,01 -105 Па)
Вода 373 Спирт 351
Ртуть 630 Эфир 308"
13. Удельная теплота парообразования, 105 Дж/кг
Вода 22,60 Спирт 9,05
Ртуть 2,82 Эфир 3,68
392
14. Удельная теплота сгорания, 107 Дж/кг
Бензин 4,61
Дерево 1,26
Каменный уголь .... 2,93
Керосин 4,61
Нефть 4,61
Спирт 2,93
15. Коэффициент линейного расширения твердых тел,
ю-5 к-1
Алюминий 2,40
Железо 1,20
Инвар 0,15
Латунь 1,90
Медь 1,70
Свинец 2,90
Сталь 1,10
Стекло 0,90
16. Коэффициент объемного расширения жидкостей,
10~4 К
Вода 1,8
Керосин 10,0
Нефть 10,0
Ртуть . . .
Серная кислота
Спирт
1,8
5,6
11,0
17. Плотность насыщающих водяных паров при различной
температуре
т, к
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
р, 10-3кг/м3
2,14
2,33
2,54
2,76
2,99
3,24
3,51
3,81
4,13
4,47
4,84
5,20
5,60
6,00
6,40
6,80
7,30
7,80
8,30
8,80
т, К
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
р, Ю-3 кг/м3
9,40
10,00
10,70
11,40
12,10
12,80
13,60
14,50
15,40
16,30
17,30
18,30
19,40
20,60
21,80
23,00
24,40
25,80
27,20
28,70
393
18. Диэлектрическая проницаемость (относительная)
Вода 81,0
Глицерин 39,1
Керосин 2,0
Парафин
Слюда .
Стекло .
Эбонит .
2,0
7,0
7,0
3,0
19. Удельное сопротивление и
сопротивления
Вещество
Алюминий
Вольфрам
Железо
Медь
р, 10~7 Ом-м
0,26
0,55
1,20
0,17
а, 10 К
3.6
5,2
6,0
4,2
температурный коэффициент
проводников
Вещество
Нихром
Свинец
Серебро
р. Ю-7 Ом-м
11.0
2,10
0,16
а. Ю-3 К'1
0,4
4,3
3,6
20. Коэффициент преломления (абсолютный)
Алмаз 2,42
Вода 1,33
Воздух 1,00029
Кварц 1,54
Лед
Скипидар
Спирт .
Стекло .
1,31
1,47
1,36
1,50
21. Работа выхода электронов из металла, 10~19 Дж
Вольфрам 7,2
Калий 3,2
Литий 3,8
Платина 8,5
Цезий 3,2
Цинк 6,6
22. Основные характеристики некоторых элементарных частиц
Частица
а-Частица
Нейтрон
Позитрон
Протон
Электрон
Символ
24а
In
ie
IP
Ле
Заряд, 10-'9 Кл
3,2
0
1,6
1,6
— 1.6
Масса. Ю-27 кг
6,6446
1,6748
0,000911
1,6724
0,000911
23. Масса ядер некоторых легких изотопов, 10 27кг
!н
?Не
1.6726
, 3.3436
зНе 6,6446
§Li 9,9855
37Li 11,6475
ЧВ , 18,2767
l?N 23,2461
ЧО 26,5527
ЧО 28,2202
ISNe 33,1888
394
24. Приближенные вычисления
При решении физических задач мы имеем дело с приближенными
числовыми значениями. К ним относятся также многие константы,
например g=9,8 м/с2 и др.
В настоящее время в распоряжении учащихся имеются различные
счетно-вычислительные машинки (калькуляторы, микрокалькуляторы),
которые при вычислении дают большое число значащих цифр. Учащие-
Учащиеся должны понимать, сколько цифр после запятой следует оставить,
а остальные отбросить и в дальнейших расчетах не учитывать. Ниже
приводятся правила приближенных вычислений.
1. При сложении и вычитании результат округляется так, чтобы
он не имел значащих цифр в разрядах, которые отсутствуют хотя бы
в одной из данных.
Пример. 3,351+2,45+1,2534^7,05.
2. При умножении сомножители округляются так, чтобы каждый
содержал столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с
наименьшим их числом.
Пример. 2,51.1,2.5,245« 2,5• 1,2.5,2.
В окончательном результате оставляют такое же число значащих
цифр, как в сомножителях после округления.
3. При делении соблюдается такое же правило, как и при умно-
умножении.
Пример. 6,24:2,124^6,24:2,12.
4. При возведении в квадрат (или куб) в результате берется
столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени.
Пример. 1,252ж 1,56.
5. При извлечении квадратного корня (или кубического) в резуль-
результате берется столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное
выражение.
Пример. Уб,82«2,61.
Эти же правила следует применять при вычислении сложных
выражений.
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
36
39
40
v
58
4. v2= 8 м/с. 5. х= —1,5-103 м; у = 4,5-103 м. 6. х = 19-103 м;
= 2 -104 м. 7.5=5 м; Sx = 4 м; Sy = — 3 м. 30. а « 0,05 м/с2;
« 53 с. 31. / = 20 с. 32. а = 0,8 м/с2; Sl0 = 7,6 м. 33. а = 1,6 м/с2;
= 5 м/с. 34. vi = 19,8 м/с; / = 3 с; v2 = 9,9 м/с. 35. /«0,5 с.
<и>«8,2 м/с. 37. <и>«16,7 м/с. 38. 5 = —200 м; /=2,2-103 м.
а = 2 м/с1, <i>,> = 20 м/с; <и2> = 28,6 м/с; <и> = 23,5 м/с.
. Л = 20 м; /= 1 с; и, = 10,2 м/с; у2 = Ю,6 м/с. 54. <р« 0,068 рад;
221,7 м/с. 55. v «21,7 м/с. 56. А « 20 м 57. Возрастут в два раза.
s«8,7-104 м; /«102 с. 59. v = ^2gh+v20. 60. s«5,l м 61. ct =
= arcctg (— —) 62. s«6,3 м. 63. и «11,5 м/с. 64. /« 17,3-103 с
75. /=0.37 м. 76. i>«7,6-103 м/с. 77. co«7,2.10~5 рад/с; v«
«3,25-102 м/с. 78. и «32 м/с. 79. N = 90 об; е«0,14 рад/с2. 80. e«
«3,2 рад/с2. 81. /= 10 с. 82. tf«6,l м.
101. f«0,12 H. 102. F=103 H. 103. s«24 м. 104. Г«5 Н;
а «2,1 м/с2. 105. а = 0,3 м/с2; s = 27 м; Г «24 кН. 106. а = g/3;
T=mg/3. 107. а =2,45 м/с2; Л =1,8 м; у«3 м/с. 108. 7=70 Н.
109. а«2,7 м/с2; Г«43 Н. ПО. ц«0,3; Г, = 8,2 Н; Т2 = 2 Н. 111. а«
«3,3 м/с2; Т= 13 Н; Ffl = 26 Н. 121. и «16 м/с. 122. v = 0,98 с.
123. а«0,018 рад. 124. Г«632 Н. 125. F«61,5 кН. 126. сс« 1,3 рад.
127. ц>0,2. 128. v«2,l с. 137. FT= 2,70 мН. 138. р
О/
. 139.
= 5400 с; /i = 2,7-105 м; и«7,7-103 м/с. 140. ЛГ«102 с; A/i«7,8-104 м.
141. Т2=Тх. 142. a«10g. 143. /i = 6,37-106 м._144. Г=7,54-103 с;
V = 1,6-103 м/с. 145. Г = V3n/(Gp). 152. Р = л/2 ту. 153. с; « 1 м/с.
154. t» = 4-10 м/с. 155. v2= —7,8 м/с. 156. у = 400 м/с. 157. и, =
= 6 м/с; tin = 3,6 м/с. 158. Лодка не достигает берега.
180. N = 123 кВт. 181. уо«7,5 м/с. 182. <F> = 12 кН. 183. умакс =
= 5 м/с. 184. /i=20 м. 185. тц«55,6%, х\2 = 83,3%. 186. А = 2,6 м.
187. s«0,07 м. 188. А «50 м. 189. Л/= 0,03 м. 190. Wn = 50 Дж.
204. Fx «52 кН, F2«39 кН. 205. Г, « 14,3 Н; Г2«Ю,1 Н. 206. a =
= 1,4- 10~2 рад. 207. yV«9,8 Н. 208. Fx « 60 кН; /^«90 кН. 209. F =
= 580 Н. 210. /="= 15 Н; д:« 1 м. 211. л: = 0,13 м от левого конца
пластинки. 212. FA«69 H.
396
224. /\=72 кН. 225. /=1,52 м. 226. Н « 20,8 м. 227. / =
= 2,5.1(Г2 м. 228. т3»9,6.1(Г2 кг; тс«20,4.1(Г2 кг. 229. р =
= 0,75-103 кг/м3. 230. У„ = 4,2.1(Г5 м3. 231. р = 0,75- 103 кг/м3.
253. тОз=8.10-26 кг; тсо,~ 7,3-106 кг; тСН4 ~ 2,7-10~26 кг.
254. jVH2=3.1026; NO2 = 1,9- 10й. 255. U7K1 = 0, №К2=2,6.100 Дж.
256. в «326 К 257. с «840 кДж/(кг-К). 258. Растает 15 кг льда.
259. ДГ = 154 К. 260. 25 раз 261. Q = 42,7 МДж. 262. #«736 Вт.
263. Не изменится.
317. р=5-10-3 кг/м3. 318. р = 10,24- 10~3 кг/м3. 319. т«
«2,8- 10"j кг. 320. р«99,7 кПа 321. т = 1,76- 10~3 кг. 322. ?«58,7%.
323. #«3,3-1024. 324. К =0,1 м3. 325. т = 41,2 кг.
335. Г =803 К. 336. Д/=7,5-10-2 м
338. AV=4,4-10~6 м3. 339. р«10~3 К. 340. ДГ« 100 К. 341. V;
«1.06.10-4 м3. 342. Г = 309 К. 352. а«3,14-10-2 Н/м. 353. т =
= 2,25-Ю кг. 354. р = 3,2 кг/м2. 355. Др = 64 Па 356. /iB//zK ^ 1,64.
357. а «0,47 Н/м. 358. Л = 1,6 м 359. F = 2,96 Н 365. f = 55 Н.
366. апр = 235 МПа. 367. /= 177 м. 368. F«202 H. 369. ш = 238 рад/с.
370. Л = 0,72 мДж.
384. ?«8,6.10-14 Кл. 385. qx = <72«4,2 нКл. 386. ? = 10 нКл.
387. ? = 0; 1600; 1710; 1600, 1150 В/м. 388. г=7,2-10~2 м.
389. В 1,25-1036 раз. 390. ?«5,2 нКл. 391. а «0,122 рад. 392. р =
«= 1,6-103 кг/м3. 403. F=1H. 404. Л = 540 Дж. 405. (/=2,4 мВ
406. {/=2,66 MB. 407. F=25hH. 408. Л«565 нДж. 409. Ф, = ф2 =
= 90 В; фз = 9В. 410. ф« 15 В. 411. Ф«12,6В. 425. С«248пФ
426. <7«3,ЗнКл. 427. U= 150B. 428. ?, = 2 нКл; ^2 = 4нКл; <7з==6нКл.
429. Ux = 7,5 кВ; U2 = 4,5 кВ; G1 = Цч = 2,25 мкКл. 430. Q = 0,5 мДж
431. w = 97 мДж/м3.
397
281. рат = 100 кПа. 282. р«58 кПа 283. т2« 0,019т,. 284. / =
=¦25 см. 285. Дт = 8,2 кг. 286. М^29-\0~3 кг/моль. 287. Г» 440 К.
288. т^1,2.10-3 кг. 289. V« 0,128 м3. 290. р^4 кг/м3.
451. /?0 = 4Ом. 452. /?0=ЮОм. 453. / = 34 мА. 454. /=33,5 мА.
455. ?=1,1 В; г= 1 Ом. 456. /кз= 1,5 А. 457. Последовательно. 458. В три
параллельные группы по два элемента последовательно. 459. В 6 раз.
460. R = 0,1 Ом. 461. ДГ = 238 К. 462. / = 1 А; /, = 0,6 А; /2 = 0,4 А.
463. / = 0,2 А. 464. /2 = 0,4 A; U2 = 32 В. 477. Q2 = 10,5 кДж;
<?з«7,9 кДж. 478. Q,«15,6 Дж; Q2«9,4 Дж; Q3 = 40 Дж; Q4«
«6,7 Дж. 479. rt«l,27-1019. 480. /«9,3 м. 481. /V, = 4iV2. 482. /«
« 1,14.103 с. 483. /« 1,6 с. 484. Свинец расплавится быстрее в 1,67 раза.
485. / = 2,86 А. 500. /«56 А/м2. 501. №=1,8 кДж. 502. Л =
= 65,4 г/моль. 503. h «5,4-10 м. 504. т = 0,445 кг. 505. R = 0,4 Ом.
506. т«5,9-10-6 кг. 507. Ut= 13,5 В. 508. /и = Ю А.
524. В=50мкТл. 525. Я = 62,8мкТл. 526. #«119мТл. 527. Я =
= 1,84 Тл. 528. В = 96 мкТл. 529. /=15 А. 530. /?«2,8-10~4 м.
531. F = 1,6-10~13 Н; Я«1,04-10~2 м. 532. В = 5 мТл. 546. Л = 2,5 Дж.
547. Л, = 0,024 Дж; Л2 = 0,048 Дж; Л3 = 0. 548. / = 10~5 А. 549. / =
= 0,74 А. 550. ^ = 0,074 Кл. 551. S = 1,07-10~2 м2. 552. v=8 с.
553. L = 7,M0 Гн; Ф = 3,55 мкВб. 554. L = 1,6 мГн. 555. q =
= 2,4 мКл. 556. / = 0,017 с. 557. W = 1,69 Дж.
569. Е = 2,4 лк. 570. г = 0,4 м. 571. г = 1 м; h = 0,71 м. 572. ? =
= 14,26 лк. 573. Ф = 3,75 лм. 574. /, = 80 кд; /2 = 46 кд. 575. В =
= 1,2-107 кд/м2. 576. ? = 34,2 лк. 577. 5= 1,055-103 м2.
591. х = 2 м. 592. Бесконечно большое число. 593. ф= 2,9-10~4 рад.
594. F«0,l м. 595. F = 0,25 м. 596. jc = 1,26 м. 597. х = 0,45 м.
598. /? = 2м. 599. х= 1,05 м (от вогнутого зеркала). 629. h — 2,66 м.
630. г=0,82 рад; /0 = 1.13 рад. 631. г2«0,41 рад; б«0,34 рад.
632. / = 0,6 м; мнимое изображение. 633. F = 0,16 м. 635. D = 0,42 дптр.
637. F= 6,4 м. 638. О = 1,25 дптр. 639. / = 50 с. 640. /= б-Ю м.
641. Г = 187,5. 642. \AiBA = 9-10~3 м.
656. ?=1,15-10-13 ДЖ. 657. Л = 6,55-Ю-19 Дж. 658. v0 =
= 5,8-1014 Гц. 659. (У = 0,95 В. 660. v = 4,76- 1014 Гц. 661. А; = 60%.
662. /„= 7,27-Ю-18 А. 663. р = 2,03 мкПа. 664. р = 6-10-" Па.
665. р = 4,6 мкПа. 666. п = 2,52-1013 м~3.
686. *= 2,5-10~2 м; 1/ = 0,11 м/с; а= —0,17 м/с2. 687. Fo = 109 Н;
W&2J кДж. 688. /, = Г/4; t2 = Г/12; h = Г/6. 690. имакс =
= 7,85-Ю-2 м/с; амакс = 12,3-10~2 м/с2. 691. v = 0,136 м/с. 692. х =
= — 1,5-10—2 м. 693. Д/= 3,46-10* с. 694. Т «0,2 с. 695. х =
= 3,7.10-2sin@,785/-f-0,392). 696. л:2/4 + У2/* = 1. 697. Л «5,8 см.
698. х — 0. 699. Аф = 1,57 рад. 700. v == 348 Гц.
398
714. v=61 Гц. 715. /макс=1 А. 716. ?д=50В; ?= 70 В. 717. t/ =
= 21,5 В. 718. Г=6,28.1(Г7 с. 719. Т = 10~5 с. 720. Г«4,7-10~6 с.
721. От 2,3 до 7,1 кГц. 722. v = 71 кГц. 723. Я. = 200 м.
737. Я, = 5,79-10~7 м. 738. А. = 5-10~7 м. 739. X=4J.1O-7 м.
740. d мин= 1,3-Ю-7 м. 741. Л, = 5,89-10~7 м. 742. fcMaKC = 4. 743. /1 = 0,4м;
/2=0,8м.
753. Л. = 4,86-10~7 м. 754. W = 1,94-10~18 Дж. 755. W =
= —2,42-Ю-19 Дж. 756. A,= 4,34.10~7 м. 757. Х=4,88-10~7 м.
758. wi/(o2=8. 759. А. == 3,45-10~7 м. 760. v=3,6-1016 Гц. 761. Х =
= 25,3-10~7 м.
772. Л = 39; Z== 19. 773. Числом нейтронов. 774. W& 4,53-10~12 Дж.
775. Дт»2,44-10-29 кг. 776. АЛ = 1; AZ=1. 777. ?47Si. 778. ?§Р.
779. bN = 103. 780. п = 27.
Учебное издание
Станислав Петрович Мясников
Татьяна Николаевна Осанова
ПОСОБИЕ ПО ФИЗИКЕ
Зав. редакцией Е. С. Гридасова. Научный редактор Н. В. Тыглиян.
Редактор Г. Н. Чернышева. Мл. редакторы Г. В. Вятоха, Н. П. Май-
Майкова. Оформление художника Ю. Д. Федичкина. Художественный ре-
редактор В. И. Пономаренко. Технический редактор Е. И. Герасимова.
Корректор Г. И. Кострикова
ИБ 6169
Изд. № ФМ-894. Сдано в набор 22 05 87. Подп. в печать 22 12.87.
Формат 84ХЮ8'/з2. Бум. кн-журн Гарнитура литературная. Печать
высокая. Объем 21,0 уел печ. л. 21,21 усл. кр.-отт. 17,90 уч.-изд. л.
Тираж 200 000 экз. Зак. № 580. Цена 80 коп.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул.,
д. 29/14.
Ярославский полиграфкомбинат Союзполиграфпрома при Государствен-
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 150014, Ярославль, ул. Свободы, 97.