Text
                    СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО АЛГЕБРЕ
Под редакцией А.И. Кострикина
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
МОСКВА
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛИТЕРАТУРА
2001


УДК 512 @75i ББК 22.143 3-15 СОСТАВИТЕЛИ: В.А. Артамонов, Ю.А. Бахтурин, Э.Б. Винберг, Е.С. Голод, В.А. Псковских, А.И. Кострикин , В.Н. Латышев, А.В. Михалев, А.П. Мишина, А.Ю. Ольшанский, А.А. Панчишкин, И.В. Проскуряков А.Н. Рудаков, Л.А. Скорняков , А.Л. Шмелькин, Сборник задач по алгебре / Под. ред. А.И. Кострикина: Учебник для вузов. — Изд. 3-е, испр. и доп.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 464 с. — ISBN 5-9221-0020-3. Задачник составлен применительно к учебнику А.И. Кострикина "Введение в алгебру" (Т. 1. "Основы алгебры", Т. 2. "Линейная алгебра", Т. 3. "Основные структуры алгебры") и учебному пособию А.И. Костри- Кострикина, Ю.И. Манина "Линейная алгебра и геометрия". Цель книги — обеспечить семинарские занятия сразу по двум обяза- обязательным курсам: "Высшая алгебра" и "Линейная алгебра и геометрия", а также предоставить студентам материал для самостоятельной работы. Для студентов первых двух курсов математических факультетов уни- университетов и педагогических институтов. Библиогр. 20 назв. ISBN 5-9221-0020-3 © физматлит, 2001
ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ 7 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ 7 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ 8 ЧАСТЬ I ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ Глава 1. Множества и отображения 11 § 1. Операции над подмножествами. Подсчет числа элементов ... 11 § 2. Число отображений и подмножеств, биномиальные коэффи- коэффициенты 12 § 3. Перестановки 14 § 4. Рекуррентные соотношения. Математическая индукция 19 § 5. Суммирование 21 Глава П. Арифметрические пространства и линейные урав- уравнения 23 § 6. Арифметические пространства 23 § 7. Ранг матрицы 27 § 8. Системы линейных уравнений 30 Глава 3. Определители 39 § 9. Определители второго и третьего порядков 39 § 10. Выражение определителя. Индуктивное определение 40 § 11. Основные свойства определителя 41 § 12. Разложение определителя по строке и столбцу 43 § 13. Определители и элементарные преобразования 45 § 14. Вычисление определителей специального вида 48
Оглавление § 15. Определитель произведения матриц 50 § 16. Дополнительные задачи 51 Глава IV. Матрицы 56 § 17. Действия над матрицами 56 § 18. Матричные уравнения. Обратная матрица 60 § 19. Матрицы специального вида 65 Глава V. Комплексные числа 68 § 20. Комплексные числа в алгебраической форме 68 § 21. Комплексные числа в тригонометрической форме 70 § 22. Корни из комплексных чисел и многочлены деления круга .. 72 § 23. Вычисления с помощью комплексных чисел 75 § 24. Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости 77 Глава VI. Многочлены 82 § 25. Деление с остатком и алгоритм Евклида 82 § 26. Простые и кратные корни над полями нулевой характерис- характеристики 83 § 27. Разложение на неприводимые множители над R и С 86 § 28. Многочлены над полем рациональных чисел и над конечны- конечными полями 87 § 29. Рациональные дроби 91 § 30. Интерполяция 92 § 31. Симметрические многочлены и формулы Виета 93 § 32. Результант и дискриминант 99 § 33. Распределение корней 101 ЧАСТЬ II ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Глава VII. Векторные пространства 104 § 34. Понятие векторного пространства. Базисы 104 § 35. Подпространства 107 § 36. Линейные функции и отображения 114 Глава VIII. Билинейные и квадратичные функции 117 § 37. Общие билинейные и полуторалинейные функции 117 § 38. Симметрические билинейные, эрмитовы и квадратичные функции 126
Оглавление Глава IX. Линейные операторы 133 § 39. Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица ли- линейного оператора 133 § 40. Собственные векторы, инвариантные подпространства, корневые подпространства 137 § 41. Жюрданова форма и её приложения. Минимальный многочлен 143 § 42. Нормированные пространства. Неотрицательные матрицы . 150 Глава X. Метрические векторные пространства 156 § 43. Геометрия метрических пространств 156 § 44. Сопряжённые и нормальные операторы 164 § 45. Самосопряжённые операторы. Приведение квадратичных функций к главным осям 169 § 46. Ортогональные и унитарные операторы. Полярное разло- разложение 172 Глава XI. Тензоры 178 § 47. Основные понятия 178 § 48. Симметрические и кососимметрические тензоры 181 Глава XII. Аффинная, евклидова и проективная геометрия . 184 § 49. Аффинные пространства 184 § 50. Выпуклые множества 191 § 51. Евклидовы пространства 196 § 52. Гиперповерхности второго порядка 201 § 53. Проективные пространства 208 ЧАСТЬ III ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Глава XIII. Группы 213 § 54. Алгебраические операции. Полугруппы 213 § 55. Понятие группы. Изоморфизм групп 214 § 56. Подгруппы, порядок элемента группы. Смежные классы .... 221 § 57. Действие группы на множестве. Отношение сопряжённости 227 § 58. Гомоморфизмы и нормальные подгруппы. Факторгруппы, центр 233 § 59. Силовские подгруппы. Группы малых порядков 238 § 60. Прямые произведения и прямые суммы. Абелевы группы ... 241
Оглавление §61. Порождающие элементы и определяющие соотношения 248 § 62. Разрешимые группы 252 Глава XIV. Кольца 256 § 63. Кольца и алгебры 256 § 64. Идеалы, гомоморфизмы, факторкольца 263 § 65. Специальные классы алгебр 275 § 66. Поля 281 § 67. Расширения полей. Теория Галуа 286 § 68. Конечные поля 299 Глава XV. Элементы теории представлений 302 § 69. Представления групп. Основные понятия 302 § 70. Представления конечных групп 308 § 71. Групповые алгебры и модули над ними 313 § 72. Характеры представлений 319 § 73. Первоначальные сведения о представлениях непрерывных групп 325 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 329 Приложение. Теоретические сведения 443 § I. Аффинная и евклидова геометрия 443 § П. Гипреповерхности второго порядка 446 § III. Проективные пространства 448 § IV. Тензоры 449 § V. Элементы теории представлений 450 § VI. Список определений 453 § VII. Список обозначений 460
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ*) Вышедшее в 1995 году достаточно большим тиражём второе издание задачника [16] стало уже библиографической редкостью. В 1996 году был опубликован его английский перевод [17]. К сожалению, в [16] содержится достаточно много опечаток. На- Надеюсь, что все они устранены в предлагаемом читателю третьем из- издании, и, разумеется, в нём не возникли новые неточности. В насто- настоящем издании сохранена структура, созданная в [16], устранён ряд опечаток и добавлены новые задачи, в основном в главы 13 и 14. Третье издание подготовлено В.А. Артамоновым с участием ав- авторского коллектива, сотрудников кафедры высшей алгебры Москов- Московского государственного университета, а также Е.В. Панкратьева. Публикация настоящего издания приурочена к выходу учебного пособия А. И. Кострикина "Введение в алгебру" в трех частях [3—5]. А.И. Кострикин ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Поставленные перед сборником задач по алгебре цели, о которых говорилось в предисловии к первому изданию, в основном достиг- достигнуты. Об этом можно судить по поступившим отзывам и по опыту работы членов кафедры (т.е. авторов сборника) со студентами. Вмес- Вместе с тем, почти сразу же выявились существенные изъяны первого издания: недостаточное количество задач числового характера; от- отсутствие ряда типовых задач; неудобная нумерация задач и ответов; близкое соседство разнокалиберных по трудности задач. *) Данное предисловие подготовлено титульным редактором книги, чле- членом-корреспондентом Российской академии наук, профессором, заведующим кафедрой высшей алгебры Московского государственного университета А.И. Кострикиным. К сожалению, Алексей Иванович умер в сентябре 2000 года, не дождавшись выхода в свет этого издания.
Из предисловия к первому изданию Настоящее издание, подготовленное, главным образом, В.А. Ар- Артамоновым (но с участием практически тех же авторов), призвано устранить указанные недостатки. Объём сборника существенно уве- увеличился не только за счёт стандартных задач. Возник специальный раздел задач повышенной, а иногда и весьма высокой трудности; эти задачи, частично извлечённые из журнальной и монографической ли- литературы, помогут в определённой степени удовлетворить запросы сильных студентов и подсказать темы курсовых работ. Эти задачи расположены в конце параграфа после знака * * *. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Существующие сборники задач по курсам "Высшей алгебры", "Линейной алгебры и геометрии" (см., например, [8, 9] и др.) за- зарекомендовали себя с самой лучшей стороны. Поэтому выпуск ещё одного учебного пособия аналогичного жанра нуждается в поясне- пояснении. Составители предлагаемого сборника задач руководствовались простыми соображениями. Изменившаяся за последние годы струк- структура указанных курсов, появление новых разделов, упразднение или частичное сокращение ряда традиционных тем — все это привело к тому, что преподаватели, ведущие семинарские занятия, вынуждены ориентироваться на большое число разнородных источников. Чтобы исправить сложившееся положение вещей, кафедра высшей алгебры МГУ решила подготовить новый сборник задач, который охватывал бы все разделы трехсеместрового курса. Труд с самого начала приобрёл коллективный характер. Сотруд- Сотрудник, ответственный за ту или иную главу, придерживался вырабо- выработанного опытным путём критерия полноты и разнообразия мате- материала, проявляя разумную умеренность в его подборе. Фактически это означало определённое сокращение количества шаблонных чис- численных примеров и выделение в массиве задач наиболее характер- характерных представителей. Таким образом, в сборник вошли в основном те задачи, которые реально предлагались студентам. Сравнительно не- небольшую долю, особенно в первом семестре, составляют задачи повы- повышенной трудности. Все они снабжены указаниями. Роль таких задач, однако, возрастает к концу курса. Наиболее трудные задачи могут предлагаться на дополнительных занятиях по алгебре. Количество теоретических пояснений сведено к минимуму, одна- однако соображения автономности играли всё более значительную роль по
Список литературы мере продвижения к дополнительным главам алгебры. При составле- составлении настоящего пособия было использовано значительное число задач из сборников, указанных в списке литературы. В конце книги приводятся список обозначений и определения ос- основных понятий, используемых в книге, к которым следует обращать- обращаться в случае затруднений при понимании условия задачи. Определения, отсутствующие в последнем списке, можно найти в разделе "Теоре- "Теоретические сведения", где кратко изложены основные утверждения, не- необходимые для решения задач. Авторы выражают благодарность В.В. Батырёву, много порабо- поработавшему над текстом сборника. Особая благодарность — сотрудни- сотрудникам кафедры высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского университета и кафедры алгебры и математической логики Киевско- Киевского университета. Они провели тщательное рецензирование сборника и сделали большое число конкретных замечаний. Авторы благодарны редактору книги Г.В. Дорофееву, который обратил самое серьезное внимание на принципы упорядочения мате- материала и унификацию обозначений, устранив излишний параллелизм, о котором говорилось выше. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. 2. Кострикин А.И., Мании Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. 3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. I. — М.: Физматлит, 1999. 4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. П. — М.: Физматлит, 1999. 5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. III. — М.: Физматлит, 2000. 6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1971. 7. Скорняков Л.А. Элементы алгебры. — М.: Наука, 1980. 8. Фаддеев Д.К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М.: Наука, 1975. 9. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Лаборато- Лаборатория базовых знаний, 1999. 10. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. — М.: Наука, 1975. 11. Цубербиллер О.Я. Задачи и упражнения по аналитической геомет- геометрии. — М.: Наука, 1970. 12. Хорн Р., Джонсон И. Матричный анализ. — М.: Наука, 1989.
10 Список литературы 13. Barbeau E.J. Polynomials. — N.Y.: Springer-Verlag, 1989. 14. Латышев В.Н. Выпуклые многогранники и линейное программиро- программирование. — Ульяновск: Филиал МГУ, 1992. 15. Сборник задач по алгебре / Под. ред. А.И. Кострикина. — М.: Наука, 1987. 16. Сборник задач по алгебре / Под. ред. А.И. Кострикина. — М.: Факто- Факториал, 1995. 17. Exercices in algebra: a collection of exercises in algebra, linear algebra and geometry / Ed. A. I. Kostrikin. — Gordon and Breach Publ., 1996. 18. Дыбкова Е.В., Жуков И.В., Семенов А.А., Щмидт Р.А. Задачи по алгебре. Основы теории групп. — С.-Пб.: Изд-во С.-Пб. ун-та, 1996. 19. Генералов А.И., Дыбкова Е.В., Жуков И.В., Меркурьев А.С, Семё- Семёнов А.А., Щмидт Р.А. Задачи по алгебре. Основы теории колец. — С.-Пб.: Изд-во С.-Пб. ун-та, 1998. 20. Винберг Э.Б. Курс алгебры. — М.: Факториал, 2001.
ЧАСТЬ I ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ Глава I МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ § 1. Операции над подмножествами. Подсчет числа элементов 1.1. Пусть Ai (i Е /), В — подмножества в X. Доказать ра- равенства: a) (|jAi)nB=U(AinB); б) ( f| A4) U В = f](At U В); iei iei iei iei iei iei iei iei 1.2. Пусть X — произвольное множество, 2х — множество всех его подмножеств. Доказать, что операция Л симметрической раз- разности на множестве 2х обладает следующими свойствами: а) А Л В = В Л А; б) (ААВ)АС = АА(ВАС); в) AA0 = А; г) для любого подмножества А С X существует подмножество В С X такое, что А А В = 0; д) (А А В) П С = (А П В) А (А П С); е) ААВ = (АиВ)\(АпВ); ж) А А В = (А\ В) U (В \ А). 1.3. Доказать, что для любых конечных множеств Ai,..., Ап
12 Гл. I. Множества и отображения n Ai = 1 i=l - Е ...H-(-l)*-1 Y1 \Ailn...nA ik\ ... + (-1)п-1\А1П...ПАп\ 1.4. Доказать, что для любого натурального числа п > 1 где Pi,P2,- • • ,Pr — все различные простые делители числа n, ip(n) — функция Эйлера. 1.5. Какое максимальное число подмножеств можно образовать из данных п подмножеств фиксированного множества с помощью операций пересечения, объединения и дополнения? 1.6. Пусть А, В, С — подмножества в некотором множестве. Доказать, что АГ\ В С С тогда и только тогда, когда А С В U С. § 2. Число отображений и подмножеств, биномиальные коэффициенты 2.1. Пусть X — множество людей в некотором помещении, Y — множество стульев в этом помещении и пусть: а) каждому человеку поставлен в соответствие стул, на котором он сидит; б) каждому стулу поставлен в соответствие человек, который на нём сидит. В каких случаях а) и б) определяют отображения X —у Y и Y —у X? В каких случаях эти отображения инъективны, сюръектив- ны, биективны? 2.2. Доказать, что если множество X бесконечно, а его подмно- подмножество Y конечно, то существует биективное отображение X\Y -+ X. 2.3. Пусть / : X -у Y — отображение. Отображение д : Y —)> —У X называется левым (соответственно правым) обратным для /, если д о f = 1Х (соответственно f о д = 1у). Доказать, что: а) отображение / инъективно в том и только том случае, если оно обладает левым обратным;
§ 2. Число отображений и биномиальные коэффициенты 13 б) отображение / сюръективно в том и только том случае, если оно обладает правым обратным. 2.4. Установить биективное соответствие между множеством всех отображений множества X во множество {0,1} и множест- множеством 2х (см. 1.2) и найти |2Х|, если \Х\ = п. 2.5. Пусть \Х\ = т, |У| = п. Найти число: а) отображений; б) инъективных отображений; в) биективных отображений; г) сюръективных отображений; множества X во множество Y. /п\ 2.6. Пусть \ХI = п. Найти число ( ) всех подмножеств в X, \mj состоящих из т элементов (это число называется также числом со- сочетаний из п элементов по т и часто обозначается символом С™). 2.7. Пусть \Х\ —п. Найти число всех подмножеств в X, состоящих из чётного числа элементов. 2.8. Доказать формулу бинома Ньютона i=o 2.9. Пусть \Х\ — п и TTii + • • • + mk — n {jni ^ 0). Найти число п упорядоченных разбиений множества X на к подмно- подмножеств, содержащих соответственно mi,...,m/. элементов. 2.10. Доказать равенства: п )=кп- 2.11. Доказать равенства: n-m
14 Гл. I. Множества и отображения г=0 ч 7 г=1 (-1)'г(П) =0, г=1 W у IP m-ij \ т тг \ и) U + * +--+ * = (n + l)r+1 — (n + 1); n + к + Vs + 1)... (р + г - 1) (р + 1)... (р + п) i=0 n-l 2.12. Доказать, что хш + x ш является многочленом степени т от х + ж. 2.13. Найти число разбиений числа п в упорядоченную сумму из к неотрицательных слагаемых. § 3. Перестановки 3.1. Перемножить перестановки в указанном и обратном поряд- порядках: 1 2 3 4 5\ /12 3 4 5' 3 4 1 5 2) Х V5 3 1 2 . /1 2 3 4 5 б\ /12 3 4 5 ' ' Q б 4 5 2 iy X 1^2 4 1 5 б ЗУ 2 3 4 5\ /1 2 3 4 5\ 1 3 5 у Х V4 5 3 2 1у); , /1 2 3 4 5 б\ /12 3 4 5 rj \3 5 1 б 2 4 Х 1б 3 4 2 1 5/'
§ 3. Перестановки 15 3.2. Записать в виде произведения независимых циклов переста- перестановки: . /1 2 3 4 5 б 7\ ^ \5 4 1 7 3 б 2у '1 2 3 4 5 б 7\ V3 1 б 7 5 2 4у); '1 2 3 4 5 6 7\ V3 7 б 5 1 2 4у); . /1 2 3 4 5 б 7\ Г^ ' " 3 б 7 1 5 2)' 2 3 4 ... 2п-1 2п 2 1 4 3 ... 2п 2га- 1 2 ... га п + 1 п + 2 га + 1 га + 2 ... 2п 1 2 ... п 3.3. Записать в виде таблицы перестановки: а) A3б)B47)E); б) A6 542 3 7); в) A35...2п- 1)B4б...2п). 3.4. Перемножить перестановки: а) [A35)B467)НA47)B356)]; б) [A3)E 7)B46)].[A35)B4)F7)]. 3.5. Определить число инверсий в последовательностях: а) 2, 3, 5, 4, 1; б) 6, 3, 1, 2, 5, 4; в) 1, 9, б, 3, 2, 5, 4, 7, 8; г) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2; д) 1,3,5,7,. ..,2п-1,2,4,6,8,. ..,2п; е) 2,4,6, ...,2п, 1,3,5,..., 2п - 1; ж) к, к + 1,... ,п, 1, 2,..., к — 1; 3.6. Определить четность перестановок: 12 3 4 5 6 5 6 4 7 2 1 Зу 12 3 4 5 6 7 Чз 5216487
16 Гл. I. Множества и отображения 3 5 б 4 2 1 7\ 2 4 1 7 б 5 Зу); 2 7 5 4 8 3 б 1\ 3 5 8 7 2 б 1 4у); 1 2 3 п-1 га 2 4 б ... 1 3 5 .... . . 1 2 3 п-1 га е^ \1 3 5 ... 2 4 б 1 2 3 ... п-1 п\ п п-1 га-2 ... 2 1/' 12 3 4 ... га - 1 га> 3) \п 1 п-1 2 3.7. Определить четность перестановок: а) A2 3...АО; в) A473)F7248)C2); г) (п г2)(г3 г4)(г5 г6)... feife-i ^2fe); д) (ii .. .ip)(ji .. .jq)(ki .. .kr)(h .. .ls). 3.8. Число инверсий в нижней строке перестановки 1 2 ... га равно /с. Найти число инверсий в нижней строке перестановки 1 2 ... п n О"п-1 • • • а1 3.9. Рассматриваются перестановки 1 2 ... га степени п. а) В какой строке (ai,..., an) число инверсий наибольшее? б) Сколько инверсий образует число 1, стоящее в нижней строке на к-м месте? в) Сколько инверсий образует число п, стоящее в нижней строке на к-м месте?
§ 3. Перестановки 17 3.10. Пусть в последовательности ai,..., ап чисел 1, 2,..., п пере- переставлены два числа, q и q + 1, где 1 ^ q ^ п — 1. Доказать, что число инверсий изменится на =Ы. 3.11. Пусть задана перестановка (\ 2 ... п а = \ах а2 ... ап причём число инверсий в нижней строке равно к. Доказать, что: а) а является произведением к транспозиций вида (g, q + 1), где 1 ^ q ^ п — 1; б) а нельзя представить в виде произведения менее к транспози- транспозиций указанного вида. 3.12. Пусть тг, a G Sn, причём а является циклом длины к. Дока- Доказать, что тгсгтг также является циклом длины к. 3.13. Выяснить, как изменяется разложение перестановки в произведение независимых циклов при умножении её на некоторую транспозицию. Что происходит при этом с декрементом переста- перестановки? 3.14. Доказать, что всякая перестановка a G Sn может быть представлена как произведение транспозиций вида: а) A2),A3),...,A,п); б) A2),B 3),...,(п-1,п). 3.15. Доказать, что всякая перестановка a G Sn может быть представлена как произведение нескольких сомножителей, равных циклам A2) и A 23 .. .п). 3.16. Доказать, что всякая чётная перестановка может быть представлена как: а) произведение тройных циклов; б) произведение циклов вида A23), A24),..., A2п). 3.17. Пусть fij — однин из двучленов Xi — Xj или Xj — Xi, где г и j — произвольные натуральные числа от 1 до n, i < j, и пусть f(xi,..., хп) — произведение всех этих двучленов. Доказать, что для любой перестановки a G Sn /(ж^A),...,ж^(п)) = (sgncr) 2 А.И. Кострикин
18 Гл. I. Множества и отображения 3.18. Пусть Т — некоторый набор транспозиций из Sn и Г — граф со множеством вершин 1, 2,..., п и множеством рёбер Т. Дока- Доказать, что: а) всякая перестановка из Sn представляется в виде произведения транспозиций из Т тогда и только тогда, когда граф Г связный; б) при \Т\ < п —1 существует перестановка из Sn, не представимая в виде произведения транспозиций из набора Т. 3.19. Пусть задано число к, причём 1 ^ к ^ ( I. Доказать, что в Sn существует перестановка 1 Н число инверсий в нижней строке которой равно к. 3.20. Найти сумму числа инверсий нижних строк во всех пере- перестановках I 2 Ч 3.21. Пусть \Х\ = ш, |У| = n, a G Sx, r G 5у. Определим f G xxY, полагая Найти: а) sgn?, если заданы sgn а и sgnr; б) длины независимых циклов в разложении перестановки ?, если известны длины к\,..., ks и 1\,..., lt независимых циклов в разложе- разложениях перестановок а и т (с учетом циклов длины 1). Получить отсюда ещё одно решение задачи а). 3.22. Пусть d = d{a) — декремент перестановки а. Доказать, что: а) sgna = (-l)d; б) перестановку а можно представить в виде произведения d транспозиций; в) перестановку а нельзя представить в виде произведения менее, чем d транспозиций. 3.23. Пусть a G Sn. Доказать, что а = а/3, где «,^8пи«2 =
§ 4- Рекуррентные соотношения 19 § 4. Рекуррентные соотношения. Математическая индукция 4.1. Пусть /(ж) = ж2 — ах — Ъ — характеристический многочлен рекуррентного уравнения и(п) = аи{п — 1) + Ьи(п — 2) (п ^ по + 2). Доказать, что: а) функция и(п) = ап является решением данного уравнения, если а — корень /(ж); б) функция и(п) = пап является решением данного уравнения, если а — двойной корень /(ж); в) если /(ж) имеет различные ненулевые корни а\ и «2, то всякое решение данного уравнения имеет вид и{п) = Ci< + С2о?, причём постоянные С\ и С\ определяются однозначно; г) если f(x) имеет двойной корень а, то всякое решение данного уравнения имеет вид и(п) = С\ап + C2nan, причём постоянные С\ и Сг определяются однозначно, если а ф 0. 4.2. Решить рекуррентные уравнения (по = 0): а) Цп) = Зи(п - 1) - 2Цга - 2), Ц0) = -2, гхA) = 1; б) и(п) = -2и(п - 1) - и(п - 2), и@) = -1, гхA) = -1. 4.3. Доказать, что при а ф 1 2 _ 1 nan+1 - (n + l)an + 1 1 + 2a + За2 + ... + па71'1 = — v J (a-IJ 4.4. Вычислить и@) + иA) + ... + и(п), где п ^ 2 и: а) Цп) = 5u(n - 1) - 4и(п - 2), г^(О) = 0, иA) = 3; б) и(п) = 2u(n - 1) - и(п - 2), гх(О) = 1, иA) = -1; в) и(п) = 4:u(n - 1) - 4u(n - 2), Ц0) = -2, иA) = 0. 4.5. Пусть и@) = 0, 1/A) = 1 и и(п) = u(n - 1) + и(п - 2), где п ^ 2. Числа IX(п) называются числами Фибоначчи. Вычислить и(п).
20 Гл. I. Множества и отображения 4.6. Пусть а ^ — 1. Доказать, что для любого натурального чис- числа п справедливо неравенство A + а)п ^ 1 + па. 4.7. Доказать, что для любого натурального числа п ^ 2 справед- справедливо неравенство Bп)! (п!) !J' 4.8. Доказать, что для любого натурального числа п: а) (п + 1)(п + 2)... (п + п) = 2п - 1 - 3 • 5 • ... • Bп - 1); > ¦ о о ¦ , ,„ ,\ „- (п-1)п(п+1)в б) в) 1-2-3 + 2-3-4 + . .. + п(п + 1)(п + 2) = з п(п + 1)(п + 2)(п 4 111 1 п 4-5 5-6 6-7 (п + 3)(п + 4) 4(п 111 1 1 1 ~2 + 3~4 + '+ ,11 ж) —-— + —— + ... + ¦ 2п-1 2^ п + 1 + п + 2 + " 1 1/1 1 1-2-3 2-3-4 n(n + l)(n + 2) 2 V2 (n + l)(n + ' 4.9. Доказать, что при любом натуральном п: а) число п3 + Ъп делится на 6; б) число 2п3 + Зп2 + 7п делится на 6; в) число п5 — п делится на 30; г) число 22п — 1 делится на 3; д) число 116п+3 + 1 делится на 148; е) число п3 + (п + IK + (п + 2K делится на 9; ж) число 72п — 42п делится на 33. 4.10. Доказать, что для любого натурального числа п выполнены неравенства 4.11. Пусть и(п) — последовательность чисел Фибоначчи. Дока- Доказать, что: а) иA) + ... + и(п) = и(п + 2) - 1;
5. Суммирование 21 б) иAJ + ... + и(пJ = и(п)и(п + 1); в) и(п + IJ - и(п - IJ = Ц2га); г) иAK + ... + и(пK = — [ЦЗга + 2) + (-I)n+16ix(n - 1) + 5]; д) ^(ш + п) = и{т)и{п — 1) + ^(m + l)ix(n); е) если п делит m, to u(n) делит и(т); ж) (и(п),и(т)) = и((п,т)). 4.12. Пусть г&о(?) = 0, г/i(t) = 1 и un(t) = tun-i{t) — un-2(t). Доказать, что: aj Uyiytj ^ t — ч , ч sin б) если t = 2cos#, то un(t) = в) un(tJ -uk(tJ =un-k(t)un+k(t)i где к = 0,1,...,га; г) wn+i(tJ - ?/nOJ = u2n+i{t). 4.13. Пусть г и cosrvr — рациональные числа. Доказать, что cosrvr = 0,±l/2,±l. 4.14. На сколько частей разбивают плоскость п прямых, находя- находящихся в общем положении (т.е. никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке)? § 5. Суммирование 5.1. Найти суммы: а) I2 + 22 + ... + п2; б) I3 + 23 + ... + п3. 5.2. Доказать, что сумма 1к + 2к + ... + пк представляет собой многочлен от п степени к + 1. 5.3. Пусть N(a) = |{г | а(г) = г}| — число неподвижных элементов перестановки о G Sn и ()У = 7(s)n!, I < s ^ п. Доказать, что 7A) = 15 7(s) не зависит от п и
22 Гл. I. Множества и отображения 5.4. Доказать, что v^ Мч \1 ПРИ п = 1> \ n(d) = { V I 0 при п> 1, d\n \ где /i(n) — функция Мёбиуса. 5.5. Пусть /(п) и д(п) — две функции N —У N. Доказать, что эк- эквивалентны равенства: а) д(п) = X) №, /Ы = Е d|n d\n 5.6. Доказать, что функция Эйлера (р(п) и функция Мёбиуса fi(n) связаны соотношением if(jl) d n d\n
Глава II АРИФМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 6. Арифметические пространства 6.1. Найти линейную комбинацию 3ai + 5a2 — аз векторов ai = D,1,3, -2), а2 = A,2, -3,2), а3 = A6,9,1, -3). 6.2. Найти вектор х из уравнений: а) ах + 2а2 + За3 + 4ж = О, где ах = E, -8, -1, 2), а2 = B,-1,4,-3), а3 = (-3,2,-5,4); б) 3(ai - х) + 2(а2 + ж) = 5(а3 + ж), где ai = B, 5,1, 3), а2 = A0,1,5,10), а3 = D,1,-1,1). 6.3. Выяснить, являются ли следующие системы векторов линей- линейно независимыми: а) а! = A,2,3), а2 = C,6,7); б) сц = D,-2,6), а2 = F,-3,9); в) ai = B,-3,1), а2 = C,-1,5), а3 = A,-4,3); r)ai = E,4,3), а2 = C,3,2), а3 = (8,1,3); д) ах = D, -5, 2,6), а2 = B, -2,1,3), а3 = F, -3,3,9), а4 = D,-1,5,6); е) ai = A,0,0,2,5), а2 = @,1,0,3,4), а3 = @,0,1,4,7), а4 = B,-3,4,11,12). 6.4. Из координат каждого вектора данной системы векторов одного и того же числа измерений выберем координаты, стоящие на определённых (одних и тех же для всех векторов) местах, и со- сохраним их порядок; полученную систему векторов будем называть укороченной для первой системы, а первую систему будем называть удлинённой для второй.
24 Гл. II. Арифметрические пространства и линейные уравнения Доказать, что: а) укороченная система любой линейно зависимой системы векто- векторов линейно зависима; б) удлинённая система любой линейно независимой системы век- векторов линейно независима. 6.5. Доказать, что если векторы ai, a^-, &ъ линейно зависимы и вектор аз не выражается линейно через векторы а± и а^-, то а± и а^ различаются между собой лишь числовым множителем. 6.6. Доказать, что если векторы ai, a2,...,ak линейно независи- независимы, а векторы ai, a2,..., akj Ъ линейно зависимы, то вектор Ъ линейно выражается через а\, а^,..., ак • 6.7. Пусть задана линейно независимая система векторов ai,... ...,a&. Выяснить, являются ли линейно зависимыми системы век- векторов: а) Ъ\ = 3ai + 2a2 + &з + &4, ^2 = 2ai + Ъа^ + Заз + 2а4, 63 = 3ai + 4а2 + 2а3 + За4; б) Ь\ = 3ai + 4а2 - 5а3 - 2а4 + 4а5, &2 = 8ai + 7а2 - 2а3 + 5а4 - Юа5, Ь% = 2ai — а2 + 8аз — а4 + 2as; в) 6i = ai, 62 = а\ + ^2, 63 = ai + а2 + аз, ..., • • •, &fe = ai +а2 + ... + afe; г) Ь\ — ai, 62 = ai + 2а2, b3 = ai + 2a2 + 3a3, ..., ..., bk = ai + 2a2 + 3a3 + ... + &a/.; д) bj = ai + a2, b2 = a2 + a3, 63 = a3 + a4, ..., ..., bk-i=ak-i+aki bk = ak-\-a1; е) bi = ai - a2, b2 = a2 - a3, 63 = a3 - a4, ..., ..., bk-x = afe_i - afe, bk = ak - ab 6.8. Даны векторы ai = @,1,0, 2,0), a2 = G,4,1,8,3), a3 = @,3,0,4,0), a4 = A,9,5,7,1), a5 = @,1,0,5,0). Существуют ли числа сц такие, что векторы 5 bi = ^Cijdj, i = 1,2,3,4,5, линейно независимы?
§ 6. Арифметические пространства 25 6.9. Найти все значения Л, при которых вектор Ъ линейно выра- выражается через векторы ai, a2, аз: a)ai = B,3,5), а2 = C,7,8), а3 = A,-6,1), Ъ = G, -2, Л); 6)ai = D,4,3), O2 = G,2,1), а3 = D,1,6), Ь= E,9, Л); b)oi = C,4,2), О2 = F,8,7), а3 = A5,20,11), Ъ= (9,12, Л); r)ai = C,2,5), О2 = B,4,7), а3 = E,6, А), 6= A,3,5); д) ai = C,2,6), а2 = E,1,3), а3 = G,3,9), Ъ= (А, 2,5). 6.10. Найти все базисы системы векторов: а) ai = A,2,0,0), а2 = A,2,3,4), а3 = C,6,0,0); б) ai = D,-1,3,-2), О2 = (8,-2,6,-4), а3 = C,-1,4,-2), а4 = F,-2,8,-4); в) ai = A,2,3,4), а2 = B,3,4,5), а3 = C,4,5,6), о4 = D,5,6,7); г) ai = B,1,-3,1), а2 = B,2,-6,2), а3 = F,3,-9,3), о4 = A,1,1,1); д) О1 = C,2,3), о2 = B,3,4,), а3 = C,2,3), а4 = D,3,4), а5 = A,1,1). 6.11. В каком случае система векторов обладает единственным базисом? 6.12. Найти какой-нибудь базис системы векторов и выразить че- через этот базис остальные векторы системы: а) ai = E,2, -3,1), a2 = D,1, -2,3), a3 = A,1, -1, -2), a4 = C,4,-1,2), a5 = G,-6,-7,0); б) ai = B,-1,3,5), 02 = D,-3,1,3), о3 = C,-2,3,4), a4 = D,-l,-15,17); в) ai = A,2,3, -4), a2 = B,3, -4,1), a3 = B, -5,8, -3), a4 = E,26, -9, -12), a5 = C, -4,1,2); г) ai = B,3,-4,-1), O2 = A,-2,1,3), a3 = E,-3,-1,8), a4 = C,8,-9,-5); д) ai = B,2,7, -1), a2 = C, -1,2,4), a3 = A,1,3,1); е) ai = C,2,-5,4), a2 = C,-1,3,-3), a3 = C,5,-13,11); ж) oi = B,1), a2 = C,2), a3 = A,1), a4 = B,3); 3H1 = B,1,-3), a2 = C,1,-5), os = D,2,-l), o4 = A,0,-7); и) oi = B,3,5, -4,1), a2 = A, -1,2,3,5), a3 = C,7,8, -11, -3), a4 = A, -1,1, -2,3);
26 Гл. II. Арифметрические пространства и линейные уравнения к) аг = B,-1,3,4,-1), а2 = A,2,-3,1,2), а3 = E, -5,12,11, -5), а4 = A, -3, б, 3, -3); л) аг = D, 3, -1,1, -1), а2 = B,1, -3, 2, -5), а3 = A,-3,0,1,-2), а4 = A,5,2,-2,6). 6.13. Пусть векторы ai, а2,..., а/, линейно независимы. Найти все базисы системы векторов Ъ\ = а\ — а2, Ь2 = а2 - а3, Ь3 = а3 - а4, ..., &/,_! = afe_i - a,k, bk = ак - аь 6.14. Пусть дана система векторов ai = (aii,ai2,... ,ain) где i = l,2,...,s; s ^ n. Доказать, что если s \aJj\ > ^2\aij i = l для всякого j = 1,..., s, то данная система векторов линейно незави- независима. 6.15. Доказать, что если целочисленные векторы ai, a2,..., a/. G G Zn линейно зависимы над полем Q, то найдутся такие целые числа Ai, А2, ..., А/., взаимно простые в совокупности, что Aiai + A2a2 + ... + XkCLk = 0. 6.16. Доказать,что если система целочисленных векторов линей- линейно независима над полем вычетов по модулю р для некоторого прос- простого числа р, то данная система векторов линейно независима и над полем рациональных чисел. 6.17. Пусть система целочисленных векторов линейно независима над полем Q. Доказать, что найдется лишь конечное число (возможно, нуль) простых чисел р таких, что векторы данной системы линейно зависимы по модулю р. 6.18. Для данных систем целочисленных векторов указать все простые числа р, по модулю которых эти системы линейно зави- зависимы: a)ai = @,l,l,l), о2 = A,0,1,1), a3 = A,1,0,1), а4 = A,1,1,0); б) ai = A,0,1,1), о2 = B,3,4,3), а3 = A,3,1,1).
7. Ранг матрицы 27 § 7. Ранг матрицы 7.1. Найти ранг следующих матриц с помощью окаймления мино- миноров и элементарных преобразований: 9 л) 0 0 0 0 \ 1 О О О 7.2. Найти ранг следующих матриц при различных значениях па- параметра Л: -А -12 б а) ( 10 -19-Л 10 12 -24 13-А>
28 Гл. II. Арифметрические пространства и линейные уравнения 7.3. Доказать, что если ранг матрицы А не изменяется при до- добавлении к ней любого столбца матрицы В с тем же числом строк, то он не меняется при добавлении к А всех столбцов матрицы В. 7.4. Доказать, что ранг произведения матриц не превосходит ранга каждой матрицы-сомножителя. 7.5. Доказать, что ранг матрицы (А\В), полученной приписыва- приписыванием к матрице А матрицы В, не превосходит суммы рангов матриц А и В. 7.6. Доказать, что ранг суммы матриц не превосходит суммы рангов этих матриц. 7.7. Доказать, что всякую матрицу ранга г можно представить в виде суммы г матриц ранга 1, но нельзя представить в виде суммы меньшего числа таких матриц. 7.8. Доказать, что если ранг матрицы равен г, то минор, стоя- стоящий на пересечении любых г линейно независимых строк и линейно независимых столбцов, отличен от 0. 7.9. Пусть А — квадратная матрица порядка п > 1 и г — её ранг. Найти ранг присоединённой матрицы А = (Aij), где Ац — алгебра- алгебраическое дополнение элемента ctji матрицы А.
7. Ранг матрицы 29 7.10. Пусть А и В — матрицы с вещественными элементами с одинаковым числом строк. Доказать, что 7.11. Пусть А и В — квадратные матрицы одного порядка. До- Доказать, что 7.12. Доказать, что каждая матрица ранга 1 имеет вид = *В-С, Ь\С\ Ь\С2 Ь2с\ Ъ2с2 Ьшс2 ... Ьшсп где В = (bi, b2j..., Ьт), С = (ci, C2,..., сп). 7.13. Пусть Ai, А2, ..., А^ — матрицы с одинаковым числом строк, С = (cij) — невырожденная матрица порядка к. Доказать, что ранг матрицы с12А2 ... с1кАк\ ск2А2 ... сккАк) равен сумме рангов матриц Ai, A2, ..., Ак. п 1 л и (А В\ л 7.14. Доказать, что прямоугольная матрица I „ , где А — невырожденная матрица порядка п, имеет ранг п в том и только том случае, когда D = СА~гВ; при этом А С 7.15. Доказать, что каждую невырожденную матрицу с помощью элементарных преобразований II типа со строками можно привести к виду
30 Гл. II. Арифметрические пространства и линейные уравнения а 0 0 0 1 0 0 ... 0 ... 0 ... 1 ... 0 0 0 d) 7.16. Доказать, что матрица с определителем, равным 1, является произведением элементарных матриц вида Е + XEij, г ф j. 7.17. Доказать, что если строки (столбцы) матрицы А линейно зависимы, то с помощью элементарных преобразований II типа со строками и столбцами матрицу А можно привести к виду Ег О О О где Ег — единичная матрица порядка г. 7.18. Пусть А и В — матрицы размеров т х n, n x t и рангов г (А), г (В) соответственно. Доказать, что ранг матрицы АВ не мень- меньше, чем г (А) + г (В) — п. 7.19. Доказать, что всякую матрицу элементарными преобразо- преобразованиями над строками можно привести к виду 'О ... О 1 * О ... О О О О ... О О О * 0 * О 1 * 0 0 0 о * 0 * 1 * * о * * о * * о * *\ 0 0 ... 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 ... 0 0 0 0 0 ... 0 ... 0 0 0 0 ... 0 ... * 0 0 о 1 0 * * 0 * ... * ... 0 \о ... о о о ... о о о ... о о о ... о о о ... о/ и такой вид определен однозначно. § 8. Системы линейных уравнений 8.1. Найти общее решение и одно частное решение системы ли- линейных уравнений, используя метод Гаусса: xi + Зх2 + 5ж3 + 12ж4 = 10, а) \ 2хг + 2х2 + Зж3 + 5ж4 = 4, х + 7ж2 + 9ж3 + 4ж4 = 2;
S. Системы линейных уравнений 31 9xi + 6х2 + 7х3 + 10ж4 = 3, б) { -бж! + 4ж2 + 2ж3 + Зж4 = 2, 3xi + 2ж2 - 11ж3 - 15ж4 = 1; в) ^ - г) + 10ж2 + Зж3 + 7ж4 = 7, + 7ж2 + ж3 + Зж4 = 5, 5ж2 - 4ж3 - бж4 = 3; + 9ж2 + Зж3 + Юж4 = 13, Зж2 + х3 + 2ж4 = 3, бж2 д) { -2xi + Зх2 -4xi + бж2 Х\ + бж2 + xi + Зж2 + х\ + 2ж2 + хл + 4ж2 + .ж4 = 7; ¦ 2хл ^ 4 - 4ж4 = 2, - Зж4 = 3; ж4 = 21, ¦4 = Ю, :4 = 8, = 15, ж4 = 18; ж) + 5ж2 — 8жз = 8, + Зж2 - 9ж3 = 9, + Зж2 - 5ж3 = 7, 8ж2 - 7ж3 = 12; з) 4ж2 + 2ж2 - бж2 + 2ж2 + = -7, Зж4 = 2, = 3. 8.2. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра Л: а) ж1 + бж2 + Зж3 + 2ж4 = 5, — \2х\ — Зж2 - Зж3 + Зж4 = -6, 4xi + 5ж2 + 2ж3 + Зж4 = 3, \х\ + 4ж2 + х3 + 4ж4 = 2;
32 Гл. II. Арифметрические пространства и линейные уравнения в) д) —6ж1 + 8ж2 —2ж1 + 4ж2 -Зж1 + 5ж2 к -Зж1 + 7ж2 ' 2ж! + 5ж2 + 4ж1 + бж2 + 4ж1 + 14ж2 . 2ж! - Зж2 + ' 2Ж! - Ж2 + 4Ж1 _ 2х2 + 6ж1 — Зж2 -Ь \х\ — 4ж2 -+ 2ж1 + Зж2 -+ 4ж1 + бж2 -+ бж! + 9ж2 ¦+ 8ж1 + 12ж2 - 5ж3 + 7ж3 + 4ж3 + 17ж Ж3 + Зж3 ¦+ ¦f ж34- Зж34 Зж3 + 5жз 4- 7жз 4- -9ж34 -ж3 + -Зж3 Л -5ж3Ч + 7ж3 — ж4 - + Зж4 + 2ж4 з + 7ж Зж4 = -5ж4 = -7ж4 = -Лж4 = 4ж4 = -бж4 = - 8ж4 = -10X4 2ж4 = -4ж4 = -бж4 = + Лж4 = 9, = 1, = 3, 4 = А; 2, = 4, = 4, = 7; 5, --7, -9, = 11; з, = 5, --7, = 9; Ж < и) з) Лж4 = A + + ж2 + жз = Л2 + ЗА, + A + Л)ж2 + ж3 = Л3 + ЗА2, + ж2 + A + Л)ж3 = Л4 + ЗА3. + Л)ж1 + ж2 + ж3 = 1, + A + Л)ж2 + ж3 = Л, + ж2 + A + Л)ж3 = Л2; 8.3. Найти все векторы пространства W1, переходящие в вектор Ъ G W71 при линейном отображении а) А = б)А = —)> т, заданном матрицей А:
§ 8. Системы линейных уравнений 33 в) А = г)А = Я)А = е) А = ж) А = з)А = 8.4. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы уравнений: а) Х2 — 2Жз + 2^4 = О, + 5ж2 + бж3 - 4ж4 = О, + 5ж2 - 2ж3 + Зж4 = О, + 8ж2 + 24ж3 - 19ж4 = 0; б) xi - х3 = О, Х2 — Х4 = О, -xi + ж3 - ж5 = О, — Ж2 + Х4 — Xq =0, -ж3 + ж5 = О, -ж4 + ж6 = 0; 3 А.И. Кострикин
34 Гл. II. Арифметрические пространства и линейные уравнения в) xi - ж3 + ж5 = О, ж2 - ж4 + ж6 = О, Xi - Ж2 + Ж5 - Xq = О, Ж2 - Х3 + Ж6 = О, xi - ж4 + ж5 = О; + ж2 = О, = О, Жп-2 +^п_1 +ЖП = О, xn-i + хп = О. 8.5. Найти какой-нибудь базис ядра линейного отображения, за- заданного матрицей: а) в) д) 3 5-42 2 4-63 11 17 -8 4 / б 9 2 \ -4 1 1 5 7 4 2 5 3 /5 6-2 2 3-142 7 9-356 б) 5 3 2 5 7 6 4 3 7 9 9 6 5 8 3 2 0; 5 9-316; 8.6. С помощью правила Крамера решить систему уравнений: а) в) 16ж2 = 17; б) = 2; #1 cos а + Х2 sin a = cos /3, —Х\ sin а + Х2 cos a = sin /3; = 3, = 0, = 0; Ж1 Д) { -х = 6, ж3 = 0, = 2; + Зж2 + 5ж3 = 10, + 7ж2 + 4ж3 = 3, 2ж2 + 2ж3 = 3. 8.7. Найти многочлен /(ж) второй степени с вещественными ко- коэффициентами, для которого /A) = 8, /(—1) = 2, /B) = 14. 8.8. Найти многочлен /(ж) третьей степени, для которого /(-2) = 1, /(-1) = 3, /A) = 13, /B) =33.
§ 8. Системы линейных уравнений 35 8.9. Найти многочлен /(ж) четвертой степени, для которого /(-3) = -77, /(-2) = -13, /(-1) = 1, /A) = -1, /B) = -17. 8.10. Решить систему сравнений: 2x + y-z = l, а) { x-\-2y-\-z = 2, (mod 5); х + у — z = — 1 б) ^ 2х + Ъу + 3z = 1, (mod 17). Ъх + Зу + 2z = 4 8.11. Доказать, что если определитель квадратной матрицы (а^) порядка п с целыми коэффициентами взаимно прост с натуральным числом т, то система сравнений (anxi + ai2 + ... + <2in) = 6i (mod ш), г = 1, 2,..., n, имеет единственное решение по модулю т. * * * 8.12. Пусть А — целочисленная матрица и d — наименьший из модулей ее элементов. Доказать, что если при целочисленных элемен- элементарных преобразованиях строк и столбцов матрицы А число d не уменьшается, то d делит все элементы этой матрицы А. 8.13. Доказать, что с помощью элементарных преобразований строк и столбцов над кольцом Ъ любую целочисленную матрицу мож- но привести к виду f Л, где А = diagjdi,..., dr} и di\di+u 8.14. Доказать, что если квадратная целочисленная система ли- линейных уравнений является определённой по модулю любого просто- простого числа р, то она является определённой и над кольцом целых чисел. 8.15. Выяснить, будет ли квадратная целочисленная система ли- линейных уравнений, совместная по модулю любого простого числа р, совместной над кольцом целых чисел. 8.16. Доказать, что следующие системы уравнений имеют един- единственное решение по модулю всех простых чисел, кроме конечного их числа. Решить эти системы по модулю остальных простых чисел:
36 Гл. II. Арифметрические пространства и линейные уравнения ?i + 2ж2 + 2ж3 = 2, а) < 2ж1 + ж2 - 2ж3 = 1, \х\ - 2ж2 + ж3 = 1; Xi + Ж2 + Ж3 = 1, Х\ + Ж2 + Ж4 = 1, Ж1 + Ж3 + Ж4 = 1, в) Х\ + Ж2 + Жз + Ж4 = 1, Х\ + Ж2 — Жз — Ж4 = 1, Х\ + Ж2 + Жз — Ж4 = 1, ^ Х\ - Ж2 - Ж3 + Ж4 = 0. 8.17. Доказать, что всякую систему линейных уравнений с ве- вещественными коэффициентами можно привести к ступенчатому ви- виду, используя лишь элементарные преобразования II типа. 8.18. Доказать, что при целочисленных элементарных преобразо- преобразованиях строк и столбцов целочисленной матрицы наибольший общий делитель ее миноров фиксированного порядка к не меняется. 8.19. Доказать, что если целочисленная матрица с помощью це- целочисленных элементарных преобразований строк и столбцов приве- приведена к виду f Q oj, где А = diag{di,d2j... ,dr}, di Ф 0 и di\di+u то числа d\, d2, ..., dr определены однозначно (с точностью до знака). 8.20. Два набора неизвестных называются целочисленно эквива- эквивалентными, если они связаны соотношением = U где U — целочисленная матрица с определителем, равным по модулю единице. Доказать, что система уравнений где a^j, bi — целые числа, эквивалентна над кольцом целых чисел системе уравнений вида причем набор неизвестных бору (жь...,жп). ..., уп) целочисленно эквивалентен на-
на§ 8. Системы линейных уравнений 37 8.21. Доказать, что целочисленная система уравнений имеет це- целочисленное решение в том только том случае, когда для любого на- натурального числа к наибольшие общие делители всех миноров поряд- порядка к в матрице системы и в её расширенной матрице совпадают. 8.22. Доказать, что целочисленная система уравнений имеет це- целочисленное решение в том и только том случае, когда она имеет решение по любому модулю р. 8.23. Обосновать следующий практический способ нахождения всех целочисленных решений системы уравнений i = 1, 2,..., m, с целыми коэффициентами. Построим матрицу A b Ел О размера (п + т) х (п +1). Затем, используя лишь целочисленные элементарные преобразования первых т строк и п столбцов, приведем эту матрицу , где С = |dett/| = l, D = (d, 0 0 0 ^ 0 0 d2 0 0 0 ... 0 ... 0 ... dr ... 0 ... 0 0 0 0 0 0 ... 0 ... 0 ... 0 di\di+i, c(i /0, ..., dr ф 0. Тогда система совместна, если di\ci при г = 1,... ,г, ск = 0 при к > г, а общее решение дается формулой = U cr/dr Уг+1 \ Уп t где уг+i, Уг+2, • • -, Уп — любые целые числа.
38 Гл. II. Арифметрические пространства и линейные уравнения 8.24. Найти все целочисленные решения следующих систем урав- уравнений: {2xi + 3^2 — Ижз — 15^4 = 1, 4ж1 - 6х2 + 2ж3 + Зж4 = 2, 2ж1 -Зж2 + 5ж3 + 7ж4 = 1. 8.25. Пусть А и В — матрицы одинаковых размеров, причём од- однородные системы линейных уравнений с матрицами А и В экви- эквивалентны. Доказать, что от А к В можно перейти элементарными преобразованиями строк. 8.26. Пусть задана система линейных комплексных уравнений АХ = Ъ с квадратной невырожденной матрицей А. Предположим, что сумма модулей элементов каждой строки матрицы Е + А мень- меньше 1. Пусть Xq — произвольный столбец и индуктивно определим Хт+1 = (А + Е)ХШ — Ъ. Тогда последовательность столбцов Хш схо- сходится к решению уравнения АХ — Ъ.
Глава III ОПРЕДЕЛИТЕЛИ § 9. Определители второго и третьего порядков 9.1. Вычислить определители: а) г) 3 5 5 3 sin a sin C cos a cos f3 cos a + i sin a ah ас bd cd д) в) log6a 1 cos a — i sin a 9.2. Вычислить определители: -15 4 3-2 0 -13 6 a) г) 1 5 3 1 4 7 2 1 2 2 5 8 3 4 5 3 6 9 5 5 б) д) sin a sin/3 sin 7 cos a cos/3 cos 7 1 1 1 з) и) к) e2 e cos a sin a ж) 4 4 г = cos -тг + г sin -тт — sin а cos a a + bi c + di —c + di a — Ы 0 2 2 2 0 2 2 2 0 0 a 0 bed 1 0 1-г .л/3\ 0 1 —г 1 + г г 1
40 Гл. III. Определители § 10. Выражение определителя. Индуктивное определение 10.1. Выяснить, какие из следующих произведений входят в раз- развёрнутое выражение определителей соответствующих порядков и с какими знаками: а) «13022^31^46^55^64; б) 031^13^52^45^245 в) а34«21О4бО17О73О54Об2. 10.2. Выбрать значения г, j, к так, чтобы произведение входило в развёрнутое выражение определителя шестого порядка со знаком минус. 10.3. В развёрнутом выражении определителя ж 1 2 3 ж ж 1 2 12x3 х 1 2 2х найти члены, содержащие ж4 их3. 10.4. Пользуясь определением, вычислить следующие определи- определители: аи 0 0 ... О $21 &22 0 ••• О а) б) д) О О &32 &33 О в) ап,п-2 0"п,п—1 апп ^31 а32 О О О a4i а42 О О О a5i а52 О О О а 3 0 5 0 6 0 2 1 2 с 3 0 0 0а7 2 0 6 0 3 с 4 5 а7 О О О
§ 11. Основные свойства определителя 41 10.5. Представить в виде многочлена, расположенного по убыва- убывающим степеням ?, определитель -t 0 0 ... О ах а2 -t 0 ... О О О 0 0 ... -t О О О О ... ап -t 10.6. Вычислить определитель, у которого все элементы главной диагонали равны 1, а элементы столбца с номером j равны ai, a2j ... ..., dj-i, (ij+i, ..., dn-> а остальные элементы равны 0. 10.7. Пусть (l 2 - n) )esn I) и А — квадратная матрица размера п с элементами ars, причём ars = 1, если s = гг, и ars = 0 в противном случае. Доказать, что определитель матрицы А равен знаку подстановки а. §11. Основные свойства определителя 11.1. Как изменится определитель порядка п, если: а) у всех его элементов изменить знак на противоположный; б) каждый его элемент а^ умножить на сг~к (с ф 0); в) каждый его элемент заменить элементом, симметричным отно- относительно побочной диагонали; г) каждый его элемент заменить на симметричный относительно "центра" определителя; д) его повернуть на 90° вокруг "центра" (против часовой стрел- стрелки)? 11.2. Как изменится определитель порядка п, если: а) его первый столбец поставить на последнее место, а остальные столбцы сдвинуть влево, сохраняя их расположение; б) его строки записать в обратном порядке? 11.3. Как изменится определитель, если: а) к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить предыду- предыдущий столбец; б) к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить все преды- предыдущие столбцы;
42 Гл. III. Определители в) из каждой строки, кроме последней, вычесть следующую стро- строку, а из последней вычесть прежнюю первую строку; г) к каждому столбцу, начиная со второго, прибавить предыду- предыдущий столбец, а к первому прибавить прежний последний столбец? 11.4. Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечётного порядка равен 0. 11.5. Числа 20604, 53227, 25755, 20927 и 289 делятся на 17. Дока- Доказать, что также делится на 17 определитель 2 0 6 0 4 5 3 2 2 7 2 5 7 5 5 2 0 9 2 7 0 0 2 8 9 11.6. Вычислить, не развёртывая его, определитель X У Z X + Z У X х + У У Z X У + z 1 1 1 1 11.7. Чему равен определитель, у которого сумма строк с чёт- чётными номерами равна сумме строк с нечётными номерами? 11.8. Доказать, что любой определитель равен полусумме двух определителей, один из которых получен из данного прибавлением ко всем элементам г-й строки числа 6, а другой — аналогичным образом прибавлением числа —Ъ. 11.9. Доказать, что если все элементы определителя порядка п являются дифференцируемыми функциями одного переменного, то производная этого определителя является суммой п определите- определителей Di, где все строки определителя D^, кроме г-й, те же, что и в определителе D, а г-я строка составлена из производных элемен- элементов г-й строки определителя D. 11.10. Вычислить определители: а\ + х х ... х ч X CL2 + X . . . X а)
12. Разложение определителя по строке и столбцу 43 б) в) г) + X CL2 а\ а2 + х а2 ... ап + х Х2У1 хпу2 ... /2(^2) ... /2 fan) не выше п — 2 (г = 1, 2,..., п); л) e) h CL2 + ( , где fi(x) — многочлен степени ¦ь„ &п + Ь\ ... 1 + ап ... 1 + ХпУп § 12. Разложение определителя по строке и столбцу 12.1. Разлагал по третьей строке, вычислить определитель 2-341 4-232 a bed 3-143 12.2. Разлагая по второму столбцу, вычислить определитель 5 a 2 -1 4 6 4-3 2 с 3 -2 4 d 5 -4
44 Гл. III. Определители 12.3. Вычислить определители: а) в) д) ж ж у О О ж у О 0 ж 0 0 0. 2/00. а0 -1 О О а\ ж -1 О а2 0 ж -1 0 0 0 X 0 0 0 0 У X ; б) О о о a>n-i О ап О О О О О х О п!ао (п — 1)\а\ (п — —п ж О О -(п-1) ж О 1 -1 О о 2 3 ж О -1 ж О п — 1 п О О О О О О п га- 1 га-2 О 0 ... О 0 ... -1 О ж -1 О ж ж О -1 ж О ... ( О ... ( -1 ... ( -У1 О О О О О О О О ж О 10 0 0 1 (Ц О О 1 1 а2 О 1 О 1 а3 10 0 0 О 1 О О О О О О ап ап О п-1 ап о о о о xn-i О Уп Х"п
13. Определители и элементарные преобразования 45 о а2 О 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 а>2 0 1 .. 0 .. 0 .. 0 .. . 1 . 0 . 0 а 12.4. Доказать, что (п + 1)-й член и(п + 1) последовательности чисел Фибоначчи (см. 4.5) равен определителю порядка п. 1 -1 0 0 1 1 -1 0 0 1 1 0 0 ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 0 0 -1 0 0 0 1 § 13. Определители и элементарные преобразования 13.1. Вычислить определители: 12 3 4 -3 2 -5 13 1 -2 10 4 -2 9 -8 25 а) в) д) ж б) 7 1 7 1 7 1 3 1 3 1 6 0 8 -1 0 5 1 7 4 8 9 -2 9 -2 -9 3 2 -3 2 3 5 9 8 4 3 -4 8 -9 7 5 1001 1002 1003 1004 1002 1003 1001 1002 1001 1001 1001 999 1001 1000 998 999 4 6 -1 4 2 -4 6 -6 5 -2 ; г) е) 1 -1 1 3 -1 -1 -3 0 - 4 4 2 3 3 2 1 2 1 7 2 1 1 -1 4 -2 3 3 -13 27 20 13 46 -1 О 7 5 5 7 2 1 6 6 1 2 -1 -5 -7 -2 О 4 О -2 4 б -4 10 О -2 О -1 1 О 8 2 3 3 2 1 2 5 7 2 1 2 -2 О -5 2 15 14 16 О О -5 б О 44 40 55 64 21 40 -20 -13 24 45 -55 84
46 Гл. III. Определители и) л) м) о) р) 30 20 15 12 1 0,1 0 0 0 0 4 3 -2 2 3 4 5 -3 6 5 0 4 20 15 15 12 12 15 15 20 10 2 0,1 0 0 0 -2 2 1 3 2 -3 12 15 20 30 100 30 3 0,1 0 0 0 -2 3 -6 4 2 -2 -3 4 3 8 6 4 3 4 1 -4 2 -4 2 2 6 5 1000 400 60 4 0,1 0 5 1 -1 -3 5 -4 -7 9 1 1 1 к) 1/2 1/3 1/2 1 10000 5000 1000 100 5 0,1 п) с) 4 3 3 2 2 1 -3 1/3 " 1/2 1 1/2 ¦ 100000 60000 15000 2000 150 6 3 3 4 3 2 5 4 2 14 13 -7 -4 21 23 7 12 4 6 6 5 2 4 5 2 1/2 1 1/2 1/3 5 2 4 3 ( 1 1/2 1/3 1/2 5 3 -13 2 10 3 -23 -2 -6 -5 4 6 3 13.2. Приведением к треугольному виду вычислить следующие определители: а) в) 1 -1 -1 -1 1 а* а2 2 0 -2 -2 3 3 0 -3 1 а* а2 — i п п п 0 1 п п п 1 аи п 2 п п п п 3 п ... п ... п ... п ... п ап - Ъп
13. Определители и элементарные преобразования 47 г) Л) е) х\ а12 а13 Х\ Х2 B23 Х\ Х2 Хз а1п CL2rt ^Зп ж) з) Х\ 1 2 3 п 1 ац d21 1 1 1 2 3 4 п —п а b b b 1 1 1 b а b b 3 4 5 n X 1 ^22 &n2 1 1 —п 1 ai L + Ь хз x2 X 1 an3 b a b a2 n — n — n n X3 о X X 1 —n 1 1 b b b a d2 a>2 -\- ^2 Ж 2 1 n n — n n n —n 1 1 1 1 ra n n n xn xn-l xn~2 ; 1 dn an an и) 13.3. Вычислить определитель a a + ft a + 2ft ... a + (ra — l)ft a a + lft ... a + ft a + 2ft 3ft ... a + (n-2)ft a+(n-l)ft a + (ra - 3)ft a + (ra - 2)ft a + (ra — l)ft a
48 Гл. III. Определители § 14. Вычисление определителей специального вида 14.1. Вычислить следующие определители методом рекуррент- рекуррентных соотношений (см. 4.1): а) в) д) е) 2 1 0 0 5 4 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 а 1 2 1 0 6 5 1 0 0 0 2 4 2 0 0 0 2 3 2 0 0 0 +0 1 0 0 0 1 2 0 0 2 3 1 0 0 0 3 5 2 0 0 0 1 3 1 0 0 а 0 0 2 3 0 0 0 0 3 5 0 0 0 0 2 3 0 0 а/3 + / 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 2 а 0 0 0 0 1 0 0 а/3 + L 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 5 2 0 0 0 0 3 2 б) 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 3 5 0 0 0 0 1 3 0 0 а/3 0 3 1 0 0 ; 5 5 2 3 1 0 0 .. 2 .. 3 .. 0 .. 0 0 0 а + 0 0 0 0 3 1
14- Вычисление определителей специального вида 49 ж 1 1 1 1 2 3 1 22 З2 1 2П Зп 1 п + 1 (п + 1J ... (п + 1)п ап (а-1)п ... (а - п)п a71'1 (a-IO1'1 ... (а-п)п^ а 1 а-1 1 а — п 1 и) 1 Xi + 1 ж2 + xi Xп ~г Жг) — 2 к) ... щ л) Х1 Х\ х2 х\ s~l s+l х2 м) н) 0 1 1 1 1 1 0 ж ж ж 1 ж 0 ж ж ... 1 ... ж ... ж ... 0 ... ж 1 ж ж ж 0 ; о) а У У У X а У У X X а У ... ж ... ж ... ж ... а 4 А.И. Кострикин
50 Гл. III. Определители § 15. Определитель произведения матриц 15.1. Вычислить определитель abed —b a d —с —с —d a b —d с —b a путем возведения его в квадрат. 15.2. Вычислить следующие определители, представляя их в виде произведений определителей: — fa) cos(«i — fa) ... cos(«i — /Зп) ч v.woV^ - fa) COS(«2 —fa) ... COS(«2 - /3n) aj 6) в) cos(an-/?i) cos(an-^2) ... cos(an-f3n) 1 - _ nnhn an°l -aibn )n ... (an + bn)n 50 Si S2 ... Sn-i 51 S2 S3 ... Sn «§2 S3 S4 ... Sn_)_i Sn-1 Sn Sn+i . . . S2n-2 15.3. Доказать, что циркулянт ai a2 as an G-i G-2 @>n—1 &п &1 где sk = x\ + ж§ Q-2 ^3 ^4 • • • ^1 равен f(si)f(s2)... /(en), где /(ж) = ах + а2ж + ... + anxn-\\ Si, 62j • • •, sn — все корни степени п из единицы.
16. Дополнительные задачи 51 15.4. Вычислить определители: 1 а а) а d с b b а d с с b а d d с b а ,п-2 а 1 п-1 а* а 1 п-1 п-2 а п-З § 16. Дополнительные задачи 16.1. Найти наибольшее значение определителя третьего поряд- порядка, составленного: а) из чисел 0 и 1; б) из чисел 1 и —1. 16.2. Доказать, что если в определителе порядка п на пересече- пересечении некоторых к строк и I столбцов стоят элементы, равные нулю, причём к + I > п, то определитель равен нулю. 16.3. Пусть D — определитель порядка п > 1, D\ и D^ — опре- определители, полученные из D заменой каждого элемента ац на его ал- алгебраическое дополнение Ац для D\ и на его минор М^- для D^. До- Доказать, что D\ — D2. 16.4. Взаимной (или присоединенной) матрицей А для квадратной матрицы А размера п называется матрица, в которой на месте ij стоит алгебраическое дополнение А^. Доказать, что: а) \А\ = И-1; б) А = |А|П~2А при п>2т А = А при п = 2. 16.5. {Формула Бине-Коши.) Пусть А = (а^), В = (bij) — матри- матрицы порядка тхп, -Агь...,гт и #гь...,гт — миноры порядка т матриц А и В соответственно, составленные из столбцов с номерами н,...,гш, Доказать, что если т ^ п, и det G = 0, если т > п. 4*
52 Гл. III. Определители 16.6. Пусть А и В — матрицы порядков р х п и п х к соот- Ч ... г\ f ^ 4 1 v А. • • • V7ll \ т-> / -L * * * ill' \ Л 7""> , В\ — миноры матриц А и В, \Л • • • jm/ VJl • • • JrnJ стоящие на пересечениях строк с номерами ii,...,im и столбцов с номерами ji,..., jm, и С = А??. Доказать, что С ll ... h • • • Н ... Jm %\ ... im В [ I, если ттг ^ n, Ji ••• J О, если m > п. 16.7. Доказать, что сумма главных миноров порядка к матрицы А-1 А равна сумме квадратов всех миноров порядка к матрицы А. 16.8. Пусть Доказать, что D = aln 0>nl din a>ni = Dz- 16.9. Доказать, что сумма алгебраических дополнений элементов строки определителя не изменится, если ко всем элементам матрицы прибавить одно и то же число. 16.10. Доказать, что если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны единице, то сумма алгебраических до- дополнений всех элементов определителя равна самому определителю. 16.11. Пусть Ъц A = В =
16. Дополнительные задачи 53 .. а1пЬц ацЬ12 ... alnb12 ... ацЬ1к ... alnblk ап1Ьц ... аппЬц anlb12 ... ann&i2 ... anlblk ... где D (определитель порядка пк) — кронекеровское произведение определителей А и В. Доказать, что D = АкВп. 16.12. Континуантой называется определитель {а\а2 ...ап) = а) Выразить {а\а2 ... ап) в виде многочлена от ai, ..., ап. б) Написать разложение континуанты по первым к строкам. в) Установить следующую связь континуанты с непрерывными дробямиЖ -1 0 0 1 а2 -1 0 0 1 аз 0 0 ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 0 0 -1 0 0 0 а (а2а3 ...ап а2 -\ аз Н 1 1 1 an-i ¦+ 1 16.13. Доказать, что если А, В, С, D — квадратные матрицы порядка п и С ^D = D • гС, то А В С D = \A-lD -В-1С\. 16.14. Доказать, что если А, В, С, D — квадратичные формы порядка п, причём С или D — невырожденная матрица, и CD = DC, то С D =\AD~BC\-
54 Гл. III. Определители сЕ А А сЕ а 1 0 0 1 а 1 0 0 1 а 0 0 ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 0 0 а 16.15. Вычислить определитель ~ . _, , где А = 16.16. Доказать, что определитель, получающийся при вычерки- вычеркивании к-го столбца в матрице — I 71-I-1- п — 1 71-1-9 п + 1 равен 16.17. Доказать, что 2! 3! 4! 1 2! 3! 0 0 0 1 2! = 0, 16.18. (Тождество Эйлера.) Перемножив матрицы Х4 Х2 —Х\ —Х4 \ х2 -х У\ У2 Уз 2/4 2/2 -2/1 2/4 -2/3 2/з -2/4 -2/1 2/2 2/4 2/з -2/2 -2/1 доказать, что (х\ + х\ + ж^ + a>l)B/i + 2/1 + 2/з + 2/1)
§16. Дополнительные задачи 55 16.19. Вычислить определитель матрицы (а^) порядка п, где: а) ctij равно 1, если г делит j, и равно 0 в противоположном случае; б) dij равно числу общих делителей чисел г и j. 16.20. Доказать, что определитель матрицы (dij) порядка п, где d^ — наибольший общий делитель чисел г и j, равен срA)срB)... ip(n). 16.21. Пусть х\ ... хп, у\ ... уп — числа, причём Xiyj ф 1 для всех i,j = 1,...,п, А(жь...,жп), А(у1,...,уп) — определители Вандер- монда. Доказать, что A(xlj...Jxn)A(ylj...Jyn) = det ( ) ТТ A -xiyj). К1 ~ xiVj Ji,j=l,...,n +±1
Глава IV МАТРИЦЫ § 17. Действия над матрицами 17.1. Перемножить матрицы: а) .2. Выполнить действия:
§17. Действия над матрицами 57 а) \о 17.3. Вычислить: 1 О СЛ 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0 0; в) /О 1 0 0\ 0 0 2 0 0 0 0 3 \о о о о/ 17.4. Вычислить: cos a sincA — sin а cos aj 2 l\ /1 О 5 3/ ' U a) в) б) А 1 О Л 3 -1 -5 2 17.5. Вычислить значение многочлена /(ж) от матрицы А: /2 1 0\ а) /(ж) = ж3 - 2х2 + 1, А = 0 2 0 ; VI 1 1/ б) /(ж) = ж3 - Зж + 2, 17.6. Доказать, что если матрицы А и В перестановочны, то г=О Привести пример двух матриц А, В, для которых эта формула неверна.
58 Гл. IV. Матрицы 17.7. Вычислить степени квадратной матрицы Н = /О 1 0 ... 0\ О 0 1 ... О О 0 0 ... 1 о о о ... оу ГА О О \О 1 л О О О ... 1 ... О ... О ... О О л О °) О 1 АУ 17.8. Пусть задана квадратная матрица J = размера п. Доказать, что если f(x) — многочлен, то f(J) = J \л) 0 0 V о 1! /(А) 0 0 2! /'(А) 1! 0 0 • (п-2)! • (п-3)! • /(А) 0 (п-1)! (п-2)! /'(А) 1! /(А) 17.9. Пусть С, А — квадратные матрицы одного размера и /(ж) — многочлен. Доказать, что f(CAC~1) = Cf(A)C~1. 17.10. Вычислить еА, где: / 2 1 \ (° Х 2\ а) А = ^ 9 Л б) А = 0 0 6 . V 4 ^ / \0 О О/ 17.11. Вычислить In А, где: в)А=( J _M; б)А = /1 1 0 ... 0\ О 1 1 ... О \о о о ... iy
§17. Действия над матрицами 59 17.12. Пусть А = (dij) — матрица размера т х п. Доказать, что где Eij — матричные единицы. 17.13. Доказать, что E^Evq — SjpEiq. 17.14. Пусть А — произвольная матрица. Вычислить ЕцА. 17.15. Пусть А — произвольная матрица. Вычислить АЕц. 17.16. Пусть А — квадратная матрица, причём Eij A = АЕц для всех матричных единиц Е^. Доказать, что А = ХЕ для некоторого скаляра Л. 17.17. Пусть А — квадратная матрица, причём ЕцА = АЕц для всех г. Доказать, что матрица А диагональна. 17.18. Пусть квадратная матрица А перестановочна со всеми не- невырожденными матрицами. Доказать, что А = ХЕ. 17.19. Найти все матрицы А порядка п такие, что tr AX = 0 для любой матрицы X порядка п. 17.20. Доказать, что след произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей. 17.21. Доказать, что если С — невырожденная матрица, то для любой матрицы А того же порядка trCAC~1 = tr A. 17.22. При каких Л имеет решение уравнение [X, Y] = ХЕ ([X, Y] — коммутатор матриц X и У)? 17.23. Доказать, что для любых квадратных матриц А, В, С вы- выполняются равенства: &)[А,ВС\ = [А,В]С + В[А,С\; б) [[А,В],С} + [[В,С],А] + [[С,А],В] = 0. 17.24. Доказать,что для любых матриц порядка 2 выполняется равенство [[А, Б]2, С] = 0. 17.25. Пусть А, В, ..., D\ — квадратные матрицы одного поряд- порядка. Выразить произведение матриц А В\ (Ах ? С D ' Id
60 Гл. IV. Матрицы через заданные матрицы. 17.26. Пусть А — треугольная вещественная матрица, переста- перестановочная с 1 А. Доказать, что матрица А диагональная. 17.27. Пусть А — (dij) G Mn(M) — симметричная невырожденная матрица, причём существует такое к < п, что ац — 0 при \г — j\ ^ к. Предположим, что А = 1В • В, где В = (pij) — верхнетреугольная матрица. Доказать, что Ьц — 0, если j — г ^ к. 17.28. Доказать, что любая матрица со следом 0 является суммой коммутаторов матриц со следом 0. 17.29. Для матрицы @ 0 0 V° l 0 0 0 0 1 0 0 ... (Л ... 0 ... 1 ... oy найти такие матрицы А и В, что [А,Х] = Х, [А, В] [Х,В] = § 18. Матричные уравнения. Обратная матрица 18.1. Решить систему матричных уравнений: а) X + Y = б) 2Х - Y = 1 1 0 1 2Х + ЗУ = 1 0 0 1 0 1 -АХ + 2Y = 0 -2 2 0 -1 0 18.2. Доказать, что квадратная матрица X порядка 2 является решением уравнения X2 - 18.3. Решить матричные уравнения а) «>* -!-! -2 -1 3 4
18. Матричные уравнения. Обратная матрица 61 в) н) 18.4. Пусть А, В — матрицы размеров т х п и т х к соответ- соответственно. Доказать, что матричное уравнение АХ = В, где X — мат- матрица размера п х к, имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы А совпадает с рангом расширенной матрицы (А
62 Гл. IV. Матрицы 18.5. Пусть А — квадратная матрица. Доказать, что матричное уравнение АХ = В имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрица А невырождена. 18.6. Пусть А — матрица размера пхт, причём тфп. Доказать, что для любого натурального числа к существует такая матрица В размера п х к, что матричное уравнение АХ = В не имеет единст- единственного решения. 18.7. Доказать, что система уравнений п ^2 aijxj = Вг-> г = 1, 2,..., п, где Xj и Bi — матрицы порядка р х д, имеет единственное решение тогда и только тогда, когда det(a^) ф 0. 18.8. С помощью присоединенной матрицы найти обратную к матрице: Wi 3\ ^ (\ 0\ ч (\ а; 18.9. Найти с помощью элементарных преобразований обратную к матрице: 0 0 0 а) в) (\ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 Оу /2 о о o^ 0 0 0 1 0 2 0 0 \0 0 1 0> б) /0 1 0 \° ( о 0 1 i 0 0 0 0 1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 2 0 0 °\ 0 1 о) -1 0 0 0
18. Матричные уравнения. Обратная матрица 63 /10 0 1 1 0 д) л) 18.10. Найти обратную к квадратной матрице: А 0\ . (А ВС)' '[ОС, а) где А, С — невырожденные матрицы. 18.11. Найти обратную к матрице: а) / 1 2 1 \0 б) 2 1 0 3 1 0 1 2 1 2 0 -1 \ 0 0 1-2 18.12. Пусть А, В, С, D — невырожденные матрицы. Доказать, что А В С D 1 (с- 18.13. Какие значения может принимать определитель а) ортогональной матрицы; б) унитарной матрицы? 18.14. Чему равен определитель целочисленной матрицы А, если матрица А~х также целочисленная? 18.15. Пусть А — квадратная матрица порядка п, элементы кото- которой — многочлены от переменной ?, и det A — ненулевой многочлен. Доказать, что существует единственная матрица В, элементы кото-
64 Гл. IV. Матрицы рой — многочлены от ?, такал, что АВ = В А = (det A)E. Найти В, если: 18.16. Доказать, что в кольце матриц над полем: а) обратимая матрица не является делителем нуля; б) любая матрица либо обратима, либо является левым и правым делителем нуля. 18.17. Доказать, что если матрица Е + АВ обратима, то матрица Е + В А также обратима. 18.18. Пусть А и В — матрицы размеров п х т и т х п, причём АВ и В А — единичные матрицы размеров пит. Доказать, что т = п. 18.19. Пусть А — матрица размера т х п, имеющая ранг т. До- Доказать, что существует такая матрица X размера п х т, что АХ — единичная матрица размера т. 18.20. Как изменится матрица А~х, если в А: а) переставить г-ю и j-ю строки; б) к г-й строке прибавить j-ю, умноженную на с; в) умножить г-ю строку на число с ф 0; г) преобразования а)-в) совершить со столбцами? 18.21. Доказать, что (АВ)-1 = В~хА~х. 18.22. Пусть X — присоединенная матрица (см. 16.4) для квад- квадратной матрицы X. Доказать, что АВ = ВА, АГ1 = (А)~\ (ТА) =*(!). 18.23. Пусть В и С — строки длины п, причём С1В ф —\иЕ — единичная матрица размера п. Доказать, что матрица Е + гВС обра- обратима. 18.24. Пусть В, С — строки длины п, причём С1В — —1, и Е — единичная матрица размера п. Доказать, что ранг матрицы Е-\-1ВС равен п — 1.
19. Матрицы специального вида 65 § 19. Матрицы специального вида 19.1. Доказать, что Ец - Ejj = [Eij,Eji] при г ф j. 19.2. Представить в виде произведения элементарных матриц матрицу: 19.3. Используя свойства элементарных матриц, перемножить матрицы: а) в) г) V 19.4. Доказать следующие свойства операции транспонирования: а) \А + В) = 1А + *В; б) \\А) = А*А; в) *(АБ) = *Б • 1А- г) (^А)-1 = ^А-1); д) *(*А) = А. 19.5. Доказать, что всякая матрица может быть единственным образом представлена в виде суммы симметрической и кососиммет- рической матриц. 19.6. Доказать, что: а) если матрицы А и В ортогональны, то матрицы А~х и АВ также ортогональны; б) если комплексные матрицы А ж В унитарны, то матрицы А~х и АВ также унитарны. 5 А.И. Кострикин
66 Гл. IV. Матрицы 19.7. Доказать, что: а) произведение двух симметрических или кососимметрических матриц является симметрической матрицей тогда и только тогда, когда эти матрицы перестановочны; б) произведение симметрической и кососимметрической матриц является кососимметрической матрицей тогда и только тогда, когда эти матрицы перестановочны. 19.8. При каком условии произведение двух эрмитовых или косо- эрмитовых матриц является эрмитовой матрицей? 19.9. Доказать, что для любой квадратной комплексной матри- матрицы X существует матрица У такая, что ХУХ = X, УХУ — У, и матрицы ХУ и УХ эрмитовы. 19.10. Доказать, что матрица, обратная к симметрической или кососимметрической, является симметрической или кососимметри- кососимметрической. 19.11. Доказать, что если матрицы А и В обе симметрические или кососимметрические, то их коммутатор [А, В] — кососимметри- ческая матрица. 19.12. Верно ли, что всякая кососимметрическая матрица явля- является суммой коммутаторов кососимметрических матриц? 19.13. Найти все симметрические ортогональные и кососиммет- кососимметрические ортогональные матрицы порядка 2. 19.14. Найти все нижние нильтреугольные матрицы, коммути- коммутирующие со всеми нижними нильтреугольными матрицами того же порядка. 19.15. Доказать, что сумма двух коммутирующих нильпотент- ных матриц является нильпотентной матрицей. Верно ли это утверж- утверждение, если матрицы не коммутируют? 19.16. Доказать, что если матрицы А, В и [-А, .В] нильпотентные и матрицы А и В коммутируют с матрицей [А, В], то матрица А + В нильпотентна. 19.17. Доказать, что если матрица А порядка 2 нильпотентна, то А2 = 0. 19.18. Доказать, что всякая нижняя нильтреугольная матрица нильпотентна.
§19. Матрицы специального вида 67 19.19. Доказать, что если матрица А нильпотентна, то матрицы Е — А и Е + А обратимы. 19.20. Доказать, что если матрица А нильпотентна и многочлен /(?) имеет свободный член, отличный от 0, то матрица f(A) обра- обратима. 19.21. Решить уравнение АХ-\-Х-\- А = 0, где А — нильпотентная матрица. 19.22. Доказать, что нильпотентная матрица порядка 2 имеет ну- нулевой след. 19.23. Доказать, что произведение двух коммутирующих пе- периодических матриц является периодической матрицей. Верно ли это утверждение, если матрицы не коммутируют? 19.24. Доказать, что матрица С'АС~1 является нильпотентной или периодической тогда и только тогда, когда матрица А является нильпотентной или периодической. 19.25. Пусть а — перестановка на множестве {1, 2,..., п} и Аа = = (^io-(j)) №j — символ Кронекера). Доказать, что: а) матрица Аа периодическая; б) для любых перестановок а и г Аат = АаАт; в) Аа может быть представлена в виде произведения не более чем п — 1 элементарных матриц. 19.26. Доказать, что произведение верхнетреугольных матриц является верхнетреугольной матрицей. 19.27. Доказать, что матрица, обратная к унитреугольной, явля- является унитреугольной. 19.28. Пусть A,B,C,D — квадратные комплексные матрицы раз- размера п, причём CD = DC. Доказать, что det (Л ^ j ^ 0 <=^> det(AD - ВС) ф 0.
Глава V КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 20. Комплексные числа в алгебраической форме 20.1. Вычислить выражения: а) B + г)C - г) + B + Зг)C + 4г); б) B + г)C + 7г)-A + 2г)E + Зг); в) D + t)E + Зг) - C + t)C " 0; г) E + *)[7.0; 3 + г E + г)C + 5г) A + Зг)(8-г) Л> 2i ' ^ B +гJ ' B + г)D + г) C-г)A-4г) 1 о- ' ' 9 _ ' ' и) B + гK + B - гK; к) C + гK - C - гK; 20.2. Вычислить г77, г98, г~57, гп, где п — целое число. 20.3. Доказать равенства: a) (l + i)8n = 24n, nGZ; б) A + гLп = (-lJ2n, n e Ъ. 20.4. Решить систему уравнений: | A + г)*! + A-г)^2 = 1 + г, f г^1 + A + i)z2 = 2 + 2г, f A - i)zx - 3iz2 = -г, | 2г^1 + C + 2i)z2 = 5 + Зг; 1 2^1 - C + Зг>2 = 3 - г;
1 20. Алгебраическая форма 69 г)г2 = -г, -5z2 = —1 — 2г; ж + г^/ - 2z = 10, д) ^ x-y + 2iz = 20, ж + Зг?/- A + гJг = 30. 20.5. Найти вещественные числа х и у, удовлетворяющие уравне- уравнению: а) B + г)х + A + 2i)y = 1 - 4г; б) C + 2г)ж + A + Si)y = 4 - 9г. 20.6. Доказать, что: а) комплексное число г является вещественным тогда и только тогда, когда ~z = z; б) комплексное число z является чисто мнимым тогда и только тогда, когда ~z — —z. 20.7. Доказать, что: а) произведение двух комплексных чисел является вещественным тогда и только тогда, когда одно из них отличается от сопряжённого к другому вещественным множителем; б) сумма и произведение двух комплексных чисел являются ве- вещественными тогда и только тогда, когда данные числа или сопря- сопряжены, или оба вещественны. 20.8. Найти все комплексные числа, сопряжённые: а) своему квадрату; б) своему кубу. 20.9. Доказать, что если из данных комплексных чисел 2:1,2:2,... ..., zn при применении конечного числа операций сложения, вычита- вычитания, умножения и деления получается число 2:, то из чисел ~2\,~%2->- • • ..., ~zn при применении тех же операций получается число ~2. 20.10. Доказать, что определитель Z3 Z3 вещественные числа, является где 2i, #2, #з — комплексные и а, 6, с чисто мнимым числом. 20.11. Решить уравнения: a) z2 = г; б) z2 = 3 - 4г; в) z2 = 5 - 12г; r) z2 - A + i)z + б + Зг = 0; д) z2 - bz + 4 + Юг = 0; е) z2 + Bг - 7)z + 13 - г = 0.
70 Гл. V. Комплексные числа 21. Комплексные числа в тригонометрической форме 21.1. Найти тригонометрическую форму числа: а) 5; б) г; в) -2; г) -Зг; д) 1 + г; е) 1 - г; ж) 1 + г'л/3; з) -1 + г'л/3; и)-1-г'л/3; кI-г'л/3; л)л/3 + г; м)-л/3 + г; /о н) -л/3 -г; о) л/3 - г; п) 1 + г^-; р) 2 + л/3 + г; с) 1 — B + л/3)г; т) cos « — ^ sin а; у) sin a + г cos a; ч 1 + ztga ч Л . . Г п ф) : ; х) 1 + cos(p + г sm(^, (^ Е I— тг,7г|; 1 — г tga cos if + г sin (p cos ф + i sin ф 21.2. Вычислить выражения: гI000; б) A + гл/ЗI50; в) (л/3 + гK0; г- \ 24 / ^\ 12 л/3 г Л w ^ mo х / 1 -*л/3\ 1 , Д) B-л/3 + гI2; е) f ,V ; ЖН . • I , з) A_.J0 + A+.J0 . 21.3. Решить уравнения: a) \z\ + z = 8 + 4г; б) |г| - z = 8 + 12г. 21.4. Доказать следующие свойства модуля комплексных чисел: a) \z\ ± 221 ^ \z\\ + |z21; б) ||2i| - 1^21| ^ \z\ ± 221; в) |zi + 221 = |^11 + |^21 тогда и только тогда, когда векторы z\ и z^ имеют одинаковые направления; г) \z\ + 221 = ||2i| — 12211 тогда и только тогда, когда векторы z\ и Z2 имеют противоположные направления. 21.5. Доказать, что: а) если б) если в) если < 1, то \z2 - z + i\ < 3; ^ 2, то 1 ^ \z2 -5\ ^9; < 1/2, то |A + г>3+г;г| < 3/4. 21.6. Доказать неравенство \*\ -22| ^ ||^11 - \z2\\ +min{|2i|,|22|} • |argzi -axg22| В каком случае это неравенство обращается в равенство?
21. Тригонометрическая форма 71 21.7. Доказать, что если и = Jz\z2, то Si "I- Z2 2 21.8. Доказать формулу Муавра [r (cos (р + i sin (p)] = rn (cos mp + г sin mp) для целых n/0. 21.9. При n G Z вычислить выражения: a)A + l); «>(—]; / 1 - \ П в) ( : ) ; r) A - 21.10. Доказать, что если z + z x = 2cos(p, то zn + z n = 2cosn(p, где n G Z. 21.11. Представить в виде многочленов от sin ж и cos ж функции: а) вт4ж; б) соз4ж; в) втбж; г) совбж. 21.12. Доказать равенства: [п/2] fn\ а) cosnx = >^ (—l)fe ( ) cosn~2fe ж • sin2/e ж: к=0 V У [(п-1)/2] / П \ б) sinnx = ^ (-1)^1 7 ) cos71^ ж • sin2/e+1 ж. fe=o \ + / 21.13. Выразить через первые степени синуса и косинуса аргу- аргументов, кратных ж, функции: a) sin4 ж; б) cos4 ж; в) sin5 ж; г) cos5 ж. 21.14. Доказать равенства: б) cos""*1 х = ^
72 Гл. V. Комплексные числа в) sin2ra х = г) sm2m+1 х = ^—^ > (-1Г , sinBm + 1 - 2k)x. § 22. Корни из комплексных чисел и многочлены деления круга 22.1. Доказать, что если комплексное число z является одним из корней степени п из числа вещественного а, то и сопряжённое число ~2 является одним из корней степени п из а. 22.2. Доказать, что если yfz = {zi, Z2,..., ^п}, то \/f = {z~i,~z~2, • • • 22.3. Какие из множеств yfz содержат хотя бы одно веществен- вещественное число? 22.4. Пусть z и w — комплексные числа. Доказать равенства1: a) y/znw = z yfw; б) y/—znw = — z yfw; в) yfzw = и yfw, где и — одно из значений yfz. 22.5. Доказать, что объединение множеств yfz и yf^z есть множество 2\fz^. 22.6. Верно ли равенство nyfz^ = yfz (s > 1)? 22.7. Вычислить: a) <fi; б) ^512A-гл/3); в) г) ^Т; д) ^Т; е) ^Т; ж) ^г; з) ^4; и) к) ^/Тб; л) У^27; м) \/8л/Зг - 8; н) у/-72A -гл/3); о) ^Г+7; ч / 18 ч / 7-2г 4+14г Г ~Т р) а/ ;=; с) а/ ?= + -f (8 -2г); А/ 1 + гл/З У V 1 + гл/2 л/2 + 2г v ;' 1 Множество zA есть по определению {za\ a G
22. Извлечение корней 73 3/1-5г т) 7 + г 2-г ' J 22.8. Найти двумя способами корни степени 5 из единицы и вы- выразить в радикалах: ч 2тт ч 2тг ч 4тг ч 4тг a) cos—; б) sin—; в) cos—; г) sin—. 5 5 5 5 22.9. Решить уравнения: а) О + 1)п + О - 1)п = 0; б) О + l)n -(z- l)n = 0; в) (z + i)n + (z-i)n = 0. 22.10. Выразить в радикалах вещественные и мнимые части кор- корней из единицы степеней 2, 3, 4, б, 8, 12. 22.11. Найти произведение всех корней степени п из единицы. 2тг& 2тг& , 22.12. Пусть Еъ = cos \-г sm @ ^ к < п). Доказать, что: п п а) \/1 = {so,?i,...,?n-i}; б) ек=е$ @^к<п); { ek+i, если k + l<n, /n ^ i ^ п//^\ в) ^г/= <^ @ ^ fe <n, 0 ^ / < п); у En, если к + 1 ^ п г) множество Un корней степени п из единицы является цикли- циклической группой порядка п относительно умножения; д) всякая циклическая группа порядка п изоморфна группе Un. 22.13. Доказать, что: а) если числа г и s взаимно просты и аг = а8 = 1, то а = 1; б) если d — наибольший общий делитель чисел г и s, то Ur DUS = = Ud; в) если числа г и s взаимно просты, то всякий корень из едини- единицы степени rs однозначно представляется в виде произведения корня степени г на корень степени s. 22.14. Доказать, что следующие утверждения равносильны: а) г является первообразным корнем из единицы степени п; б) порядок е в группе Un равен щ в) е является порождающим элементом группы Un. 22.15. Доказать, что если е является первообразным корнем степени п из единицы, то е также является первообразным корнем степени п из единицы.
74 Гл. V. Комплексные числа 22.16. Доказать, что если числа г и s взаимно просты, то е яв- является первообразным корнем степени rs из единицы тогда и только тогда, когда г является произведением первообразного корня степени г и первообразного корня степени s. 22.17. а) Пусть z — первообразный корень п-и степени из 1. Вы- Вычислить б) Пусть z — первообразный корень степени 2п из 1. Вычислить в) Пусть z — корень из 1 и zn ± zm ± 1 = 0. Найти пит. 22.18. Доказать, что: а) число первообразных корней степени п из единицы равно ip(n) (см. 1.4); б) если числа тип взаимно просты, то ср(тп) = ср(т)ср(п). 22.19. Доказать, что если z — первообразный корень нечётной степени п из единицы, то — z — первообразный корень степени 2п. 22.20. Обозначим через а(п) сумму всех первообразных корней степени п из единицы. Доказать, что: а) (тA) = 1; б) если п > 1, то ^2 a(d) = 0; d\n в) а(р) = —1, если р — простое число; г) а(рк) = 0, если р — простое число, к > 1; д) a(rs) = a(r) • cr(s), если числа г и s взаимно просты; е) функция су(п) совпадает с функцией Мёбиуса /i(n). 22.21. Пусть d — (положительный) наибольший общий делитель целого числа s и натурального числа n, Si — первообразный корень степени п из единицы (г = 1,2,..., ср(п)). Доказать равенство
§ 23. Вычисления с помощью комплексных чисел 75 22.22. Является ли число : корнем некоторой степени из еди- 2 — г ницы? 22.23. Найти многочлены деления круга (круговые многочлены) Фп(ж) для п, равного: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 6; е) 12; ж) р, где р — простое число; з) рк, где р — простое число, к > 1. 22.24. Доказать следующие свойства круговых многочленов: d\n б) $2n(x) = Фп(—х) (п — нечётное число, большее 1); d\n г) если к делится на любой простой делитель числа п, то д) если п делится на простое число р и не делится на р2, то 22.25. Найти круговые многочлены для п, равного 10, 14, 15, 30, 36, 100, 216, 288, 1000. 22.26. Доказать, что у всякого кругового многочлена: а) все коэффициенты — целые числа; б) старший коэффициент равен 1; в) свободный член равен —1 при п = 1 и равен 1 при п > 1. 22.27. Найти сумму коэффициентов кругового многочлена Фп(х). § 23. Вычисления с помощью комплексных чисел 23.1. Вычислить суммы: ч ЛЛ ЛЛ ЛЛ Л б) и - U + U - U
76 Гл. V. Комплексные числа >;;¦¦¦ 23.2. Доказать равенства: sm -^ cos ¦ sm ^ cos ту a) cosx + cos2x + ... + cosnx = —.—-—-— (х ф 2ктг, к G Z); sin " б) sin ж + sin2x + ... + sinnx = — (ж Ф 2ктг, к G Z); sin | тг Зтг 5тг Bга - 1)тг л в) cos —Ь cos h cos h ... + cos = 0; n n n n ч тг Зтг 5тг Bга — 1)тг г) sin —h sin h sin h ... + sm = 0; n n n n 1 n-i д) — У^(ж + ?кУ)п = xn + yn (soj^i? • • • ??n-i — корни степени га га ^^ из единицы); тгк е) x2n+1 - 1 = (х - 1) Д (ж2 - 2жсов 2га- А;=1 п—1 7 тг/с ж) ж2п-1 = (ж2-1) Д (ж2-2жсо8—+ lV i Iv n ' п — 1 7 /— п 7 3)П8т^Г=о^Г; и) Пет: 2n 2»-1' у 11 2п +1 2» &=1 /г=1 * * * 23.3. Решить уравнение cos ip + I 77/ \ cos((^ + na)xn = 0. nj 23.4. Доказать, что: ... = -Bn + 2cos^); б) L + J + U +•••=« 2" + 2cosv 1 V4/ V7/ 3 V 4
24- Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости 77 ч ЛЛ fn\ fn\ 1 / n o (n - 4)тг r) 2 cos mx=B cos x)m B cos x)m~2 -\ -L J. * Zj , skm(m-k- 1) ...(m- 2k + 1) •¦• + (-1) и ( 23.5. Найти суммы: а) cos x + ( ) cos 2x + ...+ ( ) cos(n + l)x; VI/ W б) sin ж + ( ) sin2x + ...+ ( ) sin(n + l)x; VI/ \nj в) sin2 x + sin2 Зж + ... + sin2Bn - l)x; r) cos ж + 2 cos 2ж + 3 cos 3x + ... + n cos nx; д) sin ж + 2 sin 2x + 3 sin Зж + ... + n sin nx. 23.6. Доказать, что: ч о о о n cos(n + l)xsinnx а) cos x + cos 2x + ... + cos пж = —I ; 2 2 sin ж ч о о о 77 COs(n + l)xsin77X б) sin х + sin 2ж + ... + sin nx = . 2 2 sin ж 23.7. Доказать, что для нечётного натурального числа т sin?77X лЛ(т-1)/2 ТТ ( • 2 . 2 27rJ = (-4Г ;/ sin х — sin Sin Ж хх V 777 § 24. Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости 24.1. Изобразить на плоскости точки, соответствующие числам 5, -2, -Зг, ±1±гл/3. 24.2. Найти комплексные числа, соответствующие: а) вершинам квадрата с центром в начале координат, со сторона- сторонами длины 1, параллельными осям координат; б) вершинам правильного треугольника с центром в начале координат, стороной, параллельной оси координат, вершиной на от- отрицательной вещественной полуоси и радиусом описанного круга, равным 1;
78 Гл. V. Комплексные числа в) вершинам правильного шестиугольника с центром в точке 2 + гл/3, стороной, параллельной оси абсцисс, и радиусом описанного круга, равным 2; г) вершинам правильного n-угольника с центром в начале коор- координат, одной из вершин которого является 1. 24.3. Указать геометрический смысл выражения \z\ — z2\, где z\ vl Z2 — заданные комплексные числа. 24.4. Указать геометрический смысл числа arg , где 2^2 — 2:3 2i, z2, z% — различные комплексные числа. 24.5. Как расположены на плоскости точки, соответствующие: а) комплексным числам zi, z2, 2:3, для которых = \z2\ = б) комплексным числам zi, 2:2, 2:3, 2:4, для которых + 2:2 + 2:3 + 2:4 = 0, 211 = \Z2 24.6. Изобразить на плоскости множество точек, соответствую- соответствующих комплексным числам z, удовлетворяющим условиям: a) |z| = l; б) axgz = 7r/3; в) \z\ ^2; г) \z - 1 - г\ < 1; д) \z + 3 + 4г| ^5; е) 2 < \z\ < 3; ж) 1 ^ \z - 2г| < 2; з) | argz| < тг/б; и) | Rez\ ^ 1; к) -1 < Reiz < 0; л) \lmz\ = 1; м) \Rez + Imz\ < 1; н) о) -|z-2| = 3; п) |z-2|= р) а < aig(z — zq) < /3, где —тг <a<f3^7rnzo — заданное комп- комплексное число. 24.7'. Доказать тождество z — w 2 = 2\z\2 + 2\w\ и указать его геометрический смысл. 24.8. Пусть комплексные числа zi, 2:2, 2:3 соответствуют верши- вершинам параллелограмма А\, А^, А%. Найти число, соответствующее вер- вершине А*, противолежащей А<±. 24.9. Найти комплексные числа, соответствующие противопо- противоположным вершинам квадрата, если двум его другим противополож- противоположным вершинам соответствуют числа z и w.
§ 24- Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости 79 24.10. Найти комплексные числа, соответствующие вершинам правильного n-угольника, если двум его соседним вершинам соот- соответствуют числа zo и z\. 24.11. Изобразить на плоскости множество точек, соответст- 1 + ti вующих комплексным числам z = , где t Е К. 1 — U 24.12. Доказать, что: а) точки плоскости, соответствующие комплексным числам 2i, 22, 23, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют вещественные числа Ai, A2, A3, не все равные нулю, такие, что XiZi + \2z2 + А32:3 = 0, Ai + А2 + А3 = 0; б) точки плоскости, соответствующие различным комплексным числам zi, Z2j 23, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда Z\ - Z3 число является вещественным; в) точки плоскости, соответствующие различным комплексным числам 2i, ^2, 2з, z^ и не лежащие на одной прямой, лежат на од- одной окружности тогда и только тогда, когда их двойное отношение 2i - 23 2i - Z4 : является вещественным числом. Z^ — Zs Z2 — 24.13. Изобразить на плоскости множество точек, соответствую- 2-2i л щих комплексным числам 2, удовлетворяющим равенству = А, Z — Z2 где 21,22 G С и А — положительное действительное число. 24.14. Найти min |3 + 2г — z\ при \z\ ^ 1. 24.15. Найти тах|1 + 4г-2:| при \z - Юг + 2| ^ 1. 24.16. (Лемниската.) Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам 2, удовлетворяющим равенст- равенству \z2 — 1| = А. При А = 1 записать уравнение полученной кривой в полярных координатах. 24.17. Расширенной комплексной плоскостью называется комп- комплексная плоскость, дополненная бесконечно удаленной точкой оо. До- Доказать, что если B1,22,23) и (wi,W2,ws) — две тройки попарно раз- различных точек расширенной комплексной плоскости, то существует дробно-линейное преобразование az + Ъ w = -, а, Ь. с, d G С, ad — be Ф 0, cz + d
80 Гл. V. Комплексные числа переводящее первую тройку во вторую. 24.18. Доказать, что если в каждой из двух четвёрок B:1,2:2,2:3, z±) и (wi,W2,W3,W4:) точек расширенной комплексной плоскости все точки попарно различны, то дробно-линейное преобразование, пере- переводящее одну из этих четвёрок в другую, существует тогда и только тогда, когда совпадают двойные отношения: z\ — Z3 z\ — 2:4 w\ — ws w\ — W4 %2 — %3 %2 — 2:4 W2 — W3 W2 — W4 24.19. Доказать, что при дробно-линейном преобразовании рас- расширенной комплексной плоскости прямые и окружности переходят в прямые и окружности. 24.20. Доказать, что дробно-линейное преобразование az + b w = -, act — ос = 1, cz + a переходит вещественную прямую в себя тогда и только тогда, когда матрица [ , I пропорциональна вещественной матрице. c d) 24.21. Выяснить геометрический смысл дробно-линейного пре- преобразования w = 1/z. 24.22. Выяснить геометрический смысл преобразования комп- комплексной плоскости, заданного формулой w = zn (n ^ 2). 24.23. Доказать, что функция Жуковского w = — I z -\— 2 V z отображает: а) окружность \z\ = 1 на отрезок [—1,1] действительной оси; б) окружность \z\ = Л, R ф 1, в эллипс с фокусами —1,1; в) луч arg2: = ip в ветвь гиперболы с фокусами —1,1. 24.24. Доказать, что всякое дробно-линейное преобразование, отображающее открытую верхнюю полуплоскость на внутренность единичного круга с центром в начале координат, имеет вид w = a =, \а\ = 1, Imb > 0. z — b
24- Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости 81 24.25. Доказать, что всякое дробно-линейное преобразование, отображающее единичный круг с центром в начале координат на се- себя, имеет вид z — b . w = а =, а = 1, о < 1. 1-zb 24.26. Для каких комплексных чисел а отображение z —> z + az2 отображает круг \z\ ^ 1 биективно в себя? А.И. Кострикин
Глава VI МНОГОЧЛЕНЫ § 25. Деление с остатком и алгоритм Евклида 25.1. Разделить многочлен /(ж) с остатком на многочлен д{х): а) /(ж) = 2ж4 - Зж3 + 4ж2 - 5ж + б, д(х) = ж2 - Зх + 1; б) /(ж) = х3 - Зх2 - х - 1, #(ж) = Зх2 - 2х + 1. 25.2. Найти наибольший общий делитель многочленов: а) ж4 + х3 - Зх2 - 4ж - 1 и ж3 + ж2 - ж - 1; б) ж6 + 2ж4 - 4ж3 - Зж2 + 8ж - 5 и ж5 + ж2 - ж + 1; в) ж5 + Зж2 - 2ж + 2 и ж6 + ж5 + ж4 - Зж2 + 2ж - 6; г) ж4 + ж3 - 4ж + 5 и 2ж3 - ж2 - 2ж + 2; д) ж5 + ж4 - ж3 - 2ж - 1 и Зж4 + 2ж3 + ж2 + 2ж - 2; е) ж6 - 7ж4 + 8ж3 - 7ж + 7 и Зж5 - 7ж3 + Зж2 - 7; ж) ж5 - 2ж4 + ж3 + 7ж2 - 12ж + 10 и Зж4 - 64ж3 + 5ж2 + 2ж - 2; з) ж5 + Зж4 - 12ж3 - 52ж2 - 52ж - 12 и ж4 + Зж3 - бж2 - 22ж - 12; и) ж5 + ж4 - ж3 - Зж2 - Зж - 1 и ж4 - 2ж3 - ж2 - 2ж + 1; к)ж4-4ж3 + 1 и ж3-Зж2 + 1; л)ж4-10ж2 + 1 и ж4 -4л/2ж3 +6ж2 +4л/2ж + 1. 25.3. Найти наибольший общий делитель многочленов /(ж) и д(х) и его линейное выражение через /(ж) и д(х): а) /(ж) = ж4 + 2ж3 - ж2 - 4ж - 2, д(х) = ж4 + ж3 - ж2 - 2ж - 2; б) /(ж) = Зж3 - 2ж2 + ж + 2, #(ж) = ж2 - ж + 1. 25.4. Пусть б?(ж) — наибольший общий делитель /(ж) и д(х). До- Доказать, что: а) существуют такие многочлены и(х), v(x), что < deg^(ж) - degd(x),
§ 26. Простые и кратные корни 83 причём d(x) = f(x)u(x) + g(x)v(x); б) в случае а) имеем также degv(x) < degf(x) — degd(x); в) многочлены и(х), v(x) из а) определяются однозначно. 25.5. Методом неопределённых коэффициентов подобрать такие многочлены и(х), v(x), что f{x)u{x) + g{x)v{x) = 1: a) f(x) = ж4 - 4ж3 + 1, д(х) = х3 - Зж2 + 1; б)/(ж)=ж3, <?(ж) = A-жJ; в) /(х)=ж4, g(x) = (l-x)\ 25.6. Найти такие многочлены и(х), v(x), что xmu(x) + (l-x)nv(x) = 1. 25.7. Найти наибольший общий делитель и его выражение через / и # над полем F2: а) / = ж5+ж4 + 1, ^ = х4+х2 + 1; б) / = ж5 + ж3 + ж + 1, д = х4 + 1; в) / = ж5 + ж + 1, ^ = ж4 + ж3 + 1; г) / = ж5 + ж3 + ж, 0 = ж4 + ж + 1. 25.8. Выделив кратные неприводимые множители данного мно- многочлена, разложить его на неприводимые множители: а) ж6 - 15ж4 + 8ж3 + 51ж2 - 72ж + 27; б) ж5 - бж4 + 1бж3 - 24ж2 + 20ж - 8; в) ж5 - Юж3 - 20ж2 - 15ж - 4; г) ж6 - бж4 - 4ж3 + 9ж2 + 12ж + 4; д) ж6 - 2ж5 - ж4 - 2ж3 + 5ж2 + 4ж + 4; е) ж7 - Зж6 + 5ж5 - 7ж4 + 7ж3 - 5ж2 + Зж - 1; ж) ж8 + 2ж7 + 5ж6 + бж5 + 8ж4 + бж3 + 5ж2 + 2ж + 1. 25.9. Пусть К — поле, / G if [[ж]] и д G К[х]. Существуют ли такие г G K[x], h G if [[ж]], что / = hg + г и либо г = 0, либо degr < degg? § 26. Простые и кратные корни над полями нулевой характеристики 26.1. Разделить многочлен f(x) с остатком на ж — жо и вычислить значение /(жо): а) /(ж) = ж4 - 2ж3 + 4ж2 - бж + 8, ж0 = 1;
84 Гл. VI. Многочлены б) /(ж) = 2ж5 - 5ж3 - 8ж, ж0 = -3; в) /(ж) = Зж5 + ж4 - 19ж2 - 13ж - 10, ж0 = 2; г) /(ж) = ж4 - Зж3 - Юж2 + 2ж + 5, ж0 = -2; д) /(ж) =ж5, ж0 = 1; е) /(ж) = ж4 + 2ж3 - Зж2 - 4ж + 1, ж0 = -1; ж) /(ж) = ж4 - 8ж3 + 24ж2 - 50ж + 90, ж0 = 2; з) /(ж) = ж4 + 2гж3 - A + г)ж2 - Зж + 7 + г, ж0 = -г; и) /(ж) = ж4 + C - 8г)ж3 - B1 + 18г)ж2 - C3 - 20г)ж + 7 + 18г, ж0 = -1 + 2г. 26.2. Разложить многочлен /(ж) по степеням ж — жо и найти зна- значения его производных в точке жо: а) /(ж) = ж5 - 4ж3 + бж2 - 8ж + 10, ж0 = 2; б) /(ж) = ж4 - Згж3 - 4ж2 + 5гж - 1, ж0 = 1 + 2г; в) /(ж) = ж4 + 4ж3 + бж2 + Юж + 20, ж0 = -2. 26.3. Определить кратность корня жо многочлена /(ж): а) /(ж) = ж5 - 5ж4 + 7ж3 - 2ж2 + 4ж - 8, ж0 = 2; б) /(ж) = ж5 + 7ж4 + 1бж3 + 8ж2 - 1бж - 16, ж0 = -2; в) /(ж) = Зж5 + 2ж4 + ж3 - Юж - 8, ж0 = -1; г) /(ж) = ж5 - бж4 + 2ж3 + Збж2 - 27ж - 54, ж0 = 3. 26.4. При каком значении а многочлен ж5 — аж2 — ах + 1 имеет —1 корнем не ниже второй кратности? 26.5. При каких а и Ъ многочлен ажп+1 +Ъхп + 1 делится на (ж—IJ? 26.6. При каких а и Ъ многочлен ж5+аж3+6 имеет двойной корень, отличный от нуля? 26.7. Доказать, что многочлены: а) ж2п - пжп+1 + их71'1 - 1; б) ж2п+1 - Bп + 1)жп+1 + Bп + 1)жп - 1; в) (п - 2т)хп - пхп-т + пхт - (п - 2ш); имеют число 1 тройным корнем. 26.8. Доказать, что многочлен ж ж2 хп 1+1!+2Г + - + ^Г не имеет кратных корней.
§ 26. Простые и кратные корни 85 26.9. Доказать, что многочлен aixni + а2хП2 + ... + акхПк не имеет отличных от нуля корней кратности, большей к — 1. а2хП2 + ... + акхПк, щ < п2 26.10. Определить кратность корня а многочлена где /(ж) — некоторый многочлен. 26.11. Доказать, что над полем нулевой характеристики много- многочлен /(ж) делится на свою производную в том и только том случае, если /(ж) = ао(ж - жо)п. 26.12. Доказать, что если многочлен /(ж) степени п не имеет кратных корней, то [f'(x)]2 — /(ж)/"(ж) не имеет корней кратности выше п — 1. 26.13. Рассмотрим рекуррентное соотношение Положим /(ж) — хк — ак-\хк~1 — ... — а$. Доказать, что: а) функция и(п) = птап, г ^ 0, а ф 0, является решением рекур- рекуррентного соотношения тогда и только тогда, когда а — корень /(ж) кратности, не меньшей г + 1; б) если ai,..., аш — все корни /(ж) кратности si,..., sm, то про- произвольное решение гл(п) рекуррентного соотношения имеет вид m и(п) = \ gi(n)a^ где #г(яО — многочлен степени не выше Si — 1 (г = 1,..., гп). 26.14. Пусть /(ж) = по + а\х + .. . + акхк. Доказать, что ненулевое число z является корнем кратности не меньше г + 1 тогда и только тогда, когда + a2z +...+ amz +...+ akz — U, a\z + 2a22:2 + ... + mamzm + ... + kakzk = 0, a\z + 22a22:2 + ... + m2amzm + ... + k2akzk = 0, aiz + 2ra2z2 + ... + mramzm + ... + krakzk = 0.
86 Гл. VI. Многочлены § 27. Разложение на неприводимые множители над КиС 27.1. Разложить на линейные множители над полем комплексных чисел многочлены: а) ж3 - 6ж2 + Их - 6; б) ж4 + 4; в) ж6 + 27; г) х2п + хп + 1; д) cos(narccosx); e) sin(Bn + 1) arcsinx). 27.2. Разложить на линейные и квадратные множители над полем вещественных чисел многочлены: а) х6 + 27; б) ж4 + 4ж3 + 4ж2 + 1; в)ж4-аж2 + 1, |а|<2; г)ж2п + жп + 1; д) х6 - х3 + 1; е) ж12 + ж8 + ж4 + 1. 27.3. Построить многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий: а) двойной корень 1, простые корни 2, 3 и 1 + г; б) двойной корень г, простой корень — 1 — г. 27.4. Построить многочлен наименьшей степени с вещественны- вещественными коэффициентами, имеющий: а) двойной корень 1, простые корни 2, 3 и 1 + г; б) двойной корень г, простой корень — 1 — г. 27.5. Доказать, что многочлен ж3т + ж3п+1 + ж3р+2 делится на ж2 + ж + 1. 27.6. При каких m, n, p многочлен ж3т — ж3п+1 + ж3р+2 делится на ж2 — ж + 1? 27.7. При каких т многочлен (ж + 1)ш — хш — 1 делится на (ж2+ж + 1J? 27.8. Найти наибольший общий делитель многочленов: а) (ж - 1K(ж + 2J(ж - 3)(ж + 4) и (ж - 1J(ж + 2)(ж + 5); б) (ж-1)(ж2-1)(ж3-1)(ж4-1) и (ж + 1)(ж2 + 1)(ж3 + 1)(ж4 + 1); в) хш - 1 и хп - 1; г) хш + 1 и хп + 1. 27.9. Доказать, что если /(жп) делится на ж — 1, то /(жп) делится на жп — 1.
§ 28. Многочлены над полем рациональных чисел 87 27.10. Доказать, что если а/0 и /(ж) делится на (ж — а)к, то /(жп) делится на (жп — ап)к. 27.11. Если F(x) = fi(x3) +xf2(x3) делится на х2 +х + 1, то fi(x) и /2 (ж) делятся на х — 1. * * * 27.12. Пусть значения многочлена /(ж) неотрицательны при всех i G I Доказать, что f(x) = fi(xJ + $2(хJ для некоторых /i(x), /2(ж) ем[ж]. 27.13. Пусть /, g — взаимно простые комплексные многочлены. Тогда максимум из степеней /, g меньше числа различных корней многочлена fg(f + g). 27.14. Пусть /, g, h — попарно взаимно простые комплексные многочлены, причём fn + gn = hn. Доказать, что п ^ 2. § 28. Многочлены над полем рациональных чисел и над конечными полями 28.1. Доказать, что если несократимая рациональная дробь p/q является корнем многочлена /(ж) = аохп + а\хп~1 + ... + ап-\х + ап с целыми коэффициентами, то: а) р\ап; б) q\ao; в) (р — mq)\f(m) при любом т G Z. 28.2. Найти все рациональные корни многочленов: а) х3 - 6х2 + 15ж - 14; б) ж4 - 2ж3 - 8х2 + 13ж - 24; в) бж4 + 19ж3 - 7х2 - 2бж + 12; г) 24ж4 - 42ж3 - 77ж2 + 5бж + 60; д) 24ж5 + Юж4 - х3 - 19ж2 - Ъх + 6; е) Юж4 - 13ж3 + 15ж2 - 18ж - 24; ж) 4ж4 - 7х2 - Ъх - 1; з) 2ж3 + Зх2 + 6х - 4. 28.3. Доказать, что многочлен /(ж) с целыми коэффициентами не имеет целых корней, если /@), /A) — нечётные числа. 28.4. Доказать, что многочлен, неприводимый над полем рацио- рациональных чисел, не может иметь кратных комплексных корней.
Гл. VI. Многочлены 28.5. Многочлен с целыми коэффициентами называется прими- примитивным, если его коэффициенты в совокупности просты. Доказать, что произведение примитивных многочленов является примитивным многочленом. 28.6. Доказать, что если многочлен с целыми коэффициентами приводим над полем рациональных чисел, то он может быть разло- разложен в произведение двух многочленов меньшей степени с целыми ко- коэффициентами. 28.7. Пусть многочлен /(ж) с целыми коэффициентами принима- принимает значения ±1 при двух целых значениях xi, ж2. Доказать, что /(ж) не имеет рациональных корней, если \х\ — ж2| > 2. Если же \х\ — ж2| ^ 2, то рациональным корнем может быть только (х\ + ж2)/2. 28.8. {Признак неприводимости Эйзенштейна.) Пусть /(ж) — многочлен с целыми коэффициентами и существует такое простое число р, что: а) старший коэффициент /(ж) не делится нар; б) все остальные коэффициенты /(ж) делятся на р; в) свободный член /(ж) не делится на р2. Доказать, что многочлен /(ж) неприводим над полем рациональ- рациональных чисел. 28.9. Доказать неприводимость над полем рациональных чисел многочленов: а) ж4 - 8ж3 + 12ж2 - 6ж + 2; б) ж5 - 12ж3 + Збж - 12; в) ж105 - 9; г) Фр(ж) = хр~1 + хр~2 + ... + ж + 1 (р — простое число); д) (ж - ai)(x - а2)... (ж - ап) - 1, где ai,a2,..., ап — различные целые числа; е) (ж - aiJ ... (ж - апJ + 1, где аь а2,..., ап — различные целые числа. 28.10. Доказать, что многочлен хп — ж — 1 при п ^ 2 неприводим над Q. 28.11. Доказать, что многочлен жп + ж + 1 неприводим над Q, если п ^ 2 (mod 3). Доказать, что при п = 2 (mod 3) многочлен хп + ж + 1 делится над Z на ж2 + ж + 1.
28. Многочлены над полем рациональных чисел 28.12. Пусть /(ж) =xn±xm±l. Доказать, что либо /(ж) неприво- неприводим над Q, либо корнем /(ж) является некоторой комплексный корень из 1. 28.13. Пусть /(ж) = хп ± хт ± xq ± 1. Доказать, что либо f(x) не- неприводим над Q, либо корнем /(ж) является некоторый комплексный корень из 1. 28.14. Доказать, что всякий многочлен положительной степени с целыми коэффициентами имеет корень в поле Zp для бесконечного множества простых чисел р. 28.15. Доказать, что если ?q — поле из q элементов, то xq — х = ТТ (х — а). ae?q 28.16. Пусть F — конечное поле. Доказать, что для всякого отображения h: Fn —у F существует многочлен / из кольца F[xi,... ... ,жп], для которого /(аь ... ,ап) = h(ai,... ,ап) для любых сц,... ...,ап GF. 28.17. Пусть /(ж) из 28.10 или 28.11, причём /(ж) имеет q корней, являющихся комплексными корнями из 1. Доказать, что в Q[x] име- имеет место разложение /(ж) = g(x)h(x), где корнями д(х) являются все корни из 1, a h(x) — неприводимый над Q многочлен. 28.18. Доказать, что многочлен /(ж) = хп + ах ± 1, a G Z, непри- неприводим над Q, если \а\ ^ 3. 28.19. Доказать, что если многочлен /(ж) = хп ± 2ж =Ы приводим над Q, то /(ж) = д(х)(х =Ь 1), где д{х) неприводим над Q. 28.20. Доказать, что многочлен /(ж) = хп + дхр + r GZ[x], I ^ ^ р < п, неприводим над Q, если |^|>1 + |г|п~1и|г|не является d-ik степенью для любого неединичного делителя d числа п. 28.21. Многочлен /(ж) = хп + ап-хх71'1 + ... + а0 G Ъ[х] не- неприводим над Q, если |an_i| > 1 + |ao| + ... + |an_2|. 28.22. Найти: а) все неприводимые многочлены степени ^ 4 над полем Z2; б) все унитарные неприводимые многочлены степени 2 над по- полем Z3; в) число неприводимых многочленов степени 5 над полем Z2;
90 Гл. VI. Многочлены г) число неприводимых унитарных многочленов степеней 3 и 4 над полем Z3. 28.23. Найти число неприводимых унитарных многочленов сте- степеней 2 и 3 над полем из 9 элементов. 28.24. Доказать, что многочлен Ф^(ж) при d, делящем р — 1, раз- разлагается на линейные множители над Zp. 28.25. Пусть /(ж) Е Zp[x]. Доказать, что многочлены /(ж), /(ж + 1),...,/(ж+р — 1) либо попарно различны, либо все совпадают. 28.26. Доказать, что при a Е Z* многочлен хр — ж — а неприводим над Zp. 28.27. Пусть Ъ — ненулевой элемент Zp. Доказать, что хр — х — Ъ неприводим над ?рп тогда и только тогда, когда п не делится на р. 28.28. Доказать, что при а ф 1 многочлен xq — ах — Ъ имеет в ?q корень. 28.29. Доказать, что х2п + хп + 1 неприводим над Z2 тогда и только тогда, когда п = Зк для некоторого к ^ 0. 28.30. Доказать, что х4п + хп + 1 неприводим над Z2 тогда и только тогда, когда п = 3^5т для некоторых целых /c,m ^ 0. 28.31. Найти все целые числа а, для которых все корни много- многочлена ж4 - 14ж3 + 61ж2 + 84ж + а целые. 28.32. Пусть 1Ш — число различных неприводимых многочленов степени т со старшим коэффициентом 1 над конечным полем из q элементов. Доказать, что в кольце степенных рядов Q[[z]\ -^— = ТТ 1 1 -qz И \1- zm 1 ч 28.33. В условиях задачи 28.32 доказать, что qk равно сумме т1ш для всех делителей m числа к. 28.34. Пусть 1Ш из 28.32. Доказать, что d\m
29. Рациональные дроби 91 § 29. Рациональные дроби 29.1. Представить рациональную дробь в виде суммы простей- простейших дробей над полем комплексных чисел: а\ _ . Q\ Х ¦ в\ Л ¦ (х-1)Цх + 1J(х-2)' "> (ж-1)(ж-2)(ж-3)(а;-4)' О ~\~ X ч X ч -L п\ - 1)... (х - п)' ; (ж2 - IJ ' ; (хп - IJ ' 29.2. Представить рациональную дробь в виде суммы простей- простейших дробей над полем вещественных чисел: \ х2 *\ * \ х г) 7zi—тт7; д) (ж4 — IJ ' cos(n arccos x)' гг^г, где многочлен /(ж) степени п имеет п различных вещест- вещественных корней; 1 х2 2х-\ ж) Гя 75 3) _в , о^5 и) _/ , i\o/ о , 29.3. Разложить на простейшие дроби над Zv. хР - х 29.4. Доказать, что для любых ненулевых многочленов /, g (fg)' = f §' fg f g' 29.5. Пусть / = (x — ai)... (x — an). Доказать, что ^7 = + ... + • / x - ax x-an
92 Гл. VI. Многочлены § 30. Интерполяция 30.1. Найти многочлен наименьшей степени по данной таблице его значений: а) X -1 б 0 5 1 0 2 3 3 2 б) X /(я) 1 5 2 б 3 1 4 -4 б 10 30.2. Доказать, что многочлен степени < п, принимающий целые значения при п последовательных целых значениях переменной, при- принимает целые значения при всех целых значениях переменной. Верно ли, что такой многочлен имеет целые коэффициенты? 30.3. Доказать, что всякая функция /: F —> F на конечном поле F из q элементов однозначно представляется в виде многочлена степе- степени < q. 30.4. Доказать, что многочлен степени < п, принимающий в точ- точках х\,..., хп значения у\,..., уп, равен п Уг где д(х) = (х-х1)...(х- хп). 30.5. Многочлен f(x) степени не выше п — 1 принимает значения 2/i,..., уп в корнях степени п из 1. Найти /@). 30.6. Доказать, что точки xi,... ,хп G С являются вершинами правильного n-угольника с центром в точке хо тогда и только тог- тогда, когда для любого многочлена f(x) степени < п выполняется ра- равенство f(xo) = -[f(Xl) + ... + f(xn)}. 30.7. Пусть все корни xi,... ,хп многочлена /(ж) различны. а) Доказать, что при любом неотрицательном целом s ^ п — 2 E г=1 = 0. б) Вычислить сумму
§ 31. Симметрические многочлены и формулы Виета 93 30.8. Найти многочлен степени 2п, дающий при делении на х{х — 2)... (ж — 2п) остаток —1. 30.9. Построить над Ър многочлен f(x) наименьшей степени с условием f(k) = к~г для к = 1, 2,..., р — 1. 30.10. Построить над Z7 многочлен f(x) наименьшей степени с условием /@) = 1, /A) = 0 и f(k) = к для к = 2,3,4, 5,6. 30.11. Пусть Fg — поле из g > 2 элементов, с — образующий цик- циклической группы F*. Доказать, что группа подстановок Sq, реали- реализуемая на Fg, порождается отображениями /(ж) = х + 1, h(x) = еж, <?(ж) =х«-2. 30.12. В условии 30.11 доказать, что знакопеременная группа Aq порождается многочленами с2ж, х + 1, (xq~2 + l)g~2. 30.13. Пусть ко,..., кп — натуральные числа и х^ Ьц — элемен- элементы поля F нулевой характеристики, где г = 0,..., n, j = 0,...,^ — 1. Предполагается, что элементы жо,...,жп различны. Доказать, что существует единственный многочлен f(x) G F[x] степени не выше ко + ... + кп — 1 такой, что f^(xi) = Ьц для всех г, j. 30.14. В условии задачи 30.13 положим (x-Xi)k, где Gi{x) = П^г(ж "" xj)kj • Доказать, что f{x) — многочлен степени не выше ко + ... + кп — 1 и f^\xi) = Ьц для всех г, j. § 31. Симметрические многочлены и формулы Виета 31.1. Построить многочлен степени 4 со старшим коэффициен- коэффициентом 1, имеющий: а) корни 1, 2, -3, -4; б) тройной корень —1 и простой корень г; в) корни 2, —1, 1 + г и —г; г) двойной корень 3 и простые корни —2 и —4. 31.2. Найти сумму квадратов и произведение всех комплексных корней многочлена:
94 Гл. VI. Многочлены а) Зж3 + 2ж2 - 1; б) ж4 - ж2 - ж - 1. 31.3. Найти сумму чисел, обратных комплексным корням много- многочлена: а) Зж3 + 2х2 - 1; б) ж4 - ж2 - х - 1. 31.4. Найти значения всех элементарных симметрических много- многочленов от комплексных корней n-й степени из единицы. 31.5. Определить Л так, чтобы один из корней многочлена ж3 — 7ж + А равнялся удвоенному другому. 31.6. Сумма двух корней многочлена 2ж3 — ж2 — 7ж + А равна 1. Найти Л. 31.7. Определить соотношение между р и д, при выполнении ко- которого корни х\, Ж2, жз многочлена ж3 -\-px-\-q удовлетворяют условию 1 1 ж3 = 1 . Ж2 Х\ 31.8. (Критерий Вильсона.) Доказать, что (р — 1)! = —1 (mod p) тогда и только тогда, когда р — простое число. 31.9. Следующие многочлены выразить в виде многочленов от элементарных симметрических многочленов: а) ж2ж2 + Ж1Ж2 + ж2ж3 + Ж1Ж2 + ж?,жз + ж2ж2; / *^1 ' ^2 ' *^3 ^Ж^Ж2 ZX-^X^ ZX2X^j в) (ж1Ж2 + ж3ж4)(ж1Ж3 + ж2ж4)(ж1Ж4 + ж2ж3); г) (xi + ж2 — Ж3 — Ж4)(ж1 — ж2 + жз — Ж4)(ж1 — ж2 — Жз + ж4); д) (ж! + ж2 + 1)(ж1 + ж3 + 1)(ж2 + ж3 + 1); е) (ж1Ж2 + ж3)(ж1Ж3 + ж2)(ж2ж3 + ari); ж) Bж1 - ж2 - ж3)Bж2 -xi- ж3)Bж3 - х\ - ж2); з) (ж1 + ж2)(ж1 + ж3)(ж1 + ж4)(ж2 + ж3)(ж2 + ж4)(ж3 + ж4); И) Хл Жо ~\ Хл Жо ~\ Хл Жо ~\ Хл Жо ~\ ЖоЖо ~\ ЖоЖо 5 к) (х1-1)(ж2-1)(ж3-1); л) ж2 + ...; м) ж3 + ...; н) ж2ж2ж3 + ...; о) ж2ж^ + ...; п) ж^ж2ж3 + ...; р) ж?ж2, + ... 31.10. Найти значение симметрического многочлена F от корней многочлена /(ж): а) ,Р = ж3(ж2+ж3)+Ж2(ж1+ж3)+Жз(ж1+ж2), /(ж) =ж3-ж2-4ж + 1;
31. Симметрические многочлены и формулы Виета 95 в) F = г) F = F = Ж3 (ж2Жз + Ж2Ж4 + Ж3Ж4) + Ж^Ж^з + Ж1Ж4 + Ж3Ж4) + + Х1Х4 + Ж2Ж4) + Х\(Х\Х2 + Ж1Ж3 + Ж2Ж3), /(ж) = ж4 + ж3 -2ж2-Зж + 1; (Ж1 -Ж3J(Ж2 -Ж3J, /(ж) = Ж3 +<2iX2 +CL2X + CL2; /(ж) = Зж3 - 5ж2 д) F = е) F = (ж2 5 /О) = 2ж2 + ж - 1; ж2ж3 /(ж) = 5ж3 - бж2 - 7ж - 8. 31.11. Пусть Ж1,... ,жп — корни многочлена хп + ап-\хп~1 + ... ... + по. Доказать, что любой симметрический многочлен от ж2,жз,...,жп можно представить в виде многочлена от х\. 31.12. Пусть Gki — элементарный симметрический многочлен степени к от х\,..., a^-i•> %i+i•> • • • •> %п- Доказать, что (считается, что ош = 0 при m > п и ami = 0 при т ^ п). 31.13. Рассмотрим многочлен Xt = A + Ж1?)...A + жп?) от переменных Ж1,... ,жп, t. Доказать, что Л^ = l+crit+cr2t2 + .. .+antn. 31.14. Пусть Xt из задачи 31.13 и Sk = х\ + .. . + ж^. Доказать, что 31.15. Доказать формулу Ньютона (считается, что о^ = 0 при к > n). 31.16. Доказать, что в условиях задачи 31.15 2сг2 (к - 1W_ 1 1 CTfe-2 0 1 Vk-3 .. 0 .. 0 о- 0 0 1 СГ2 = 0
96 Гл. VI. Многочлены 31.17. Доказать, что в условиях задачи 31.15 1 fc! si S2 1 0 0 Sk-1 Sk-2 Sk-3 • • • Si к - 1 Sk Sk-1 Sk-2 ... ^2 Si 31.18. Найти sm от корней многочлена Фп(х). 31.19. Найти si,..., sn от корней многочлена у.п—1 X" хп 31.20. Вычислить значения симметрических многочленов Sk от комплексных корней к-и степени из 1. 31.21. Решить над полем комплексных чисел систему уравнений: {Х\ + Ж2 + Ж3 = О, ж^ + ^2 + ж| = 0, ? + ^2 + х\ — 24; б) ж| = б, ж| - Ж1Ж2ж3 = -4, = -3. 31.22. Доказать, что значение от корней степени п из 1 всяко- всякого симметрического многочлена от п переменных с целыми коэффи- коэффициентами является целым числом. 31.23. Пусть ( — первообразный комплексный корень степени к из 1. Доказать, что для любого комплексного числа а (х - а)(х( - а)... (ж^ - а) = (-1)к+\хк - ак). 31.24. Пусть ? — первообразный комплексный корень степени к из 1 и /(ж) — многочлен с комплексными коэффициентами. Доказать, что а) f{x)f{xC) ... f(x(k~1) = h{xk), где h{x) — многочлен; б) корнями h(x) являются в точности к-е степени корней много- многочлена /(ж). 31.25. Найти многочлен третьей степени, корнями которого яв- являются: а) кубы комплексных корней многочлена ж3 — ж — 1; б) четвертые степени комплексных корней многочлена 2ж3 — ж2 + 2.
§ 31. Симметрические многочлены и формулы Виета 97 31.26. Найти многочлен четвертой степени, корнями которого являются: а) квадраты комплексных корней многочлена ж4 + 2х3 — х + 3; б) кубы комплексных корней многочлена ж4 — х — 1. * * * 31.27. а) Пусть f(xi,...,xn) — кососимметрический многочлен от xi,... ,хп. Доказать, что где А(ж1,...,жп) — определитель Вандермонда, a g(xi,... ,жп) — симметрический многочлен. б) Пусть h(x\,..., хп) — симметрический многочлен, причём h(x±, х\, жз,..., хп) = 0. Доказать, что h(xu...,xn) = где u(xi,..., хп) — симметрический многочлен. 31.28. Пусть hk= и Xt из задачи 31.13. Доказать, что: а) АГ1 = б) afe - Лк7Л_1 + ... + (-l)*-1/!*-!^ + (-l)fe/ife =0, fe ^ 1; в) каждый симметрический многочлен является многочленом от 31.29. Разбиением числа п назовем набор Л целых неотрицатель- неотрицательных чисел Л = (Ai,..., Лп), где Ai + ... + Ап — п и Ai ^ A2 ^ ... ... ^ Ап ^ 0. Пусть р(п) — число разбиений числа п. Доказать, что 31.30. Пусть а = (ai,.. .,an), ai > «2 > ... > an ^ 0 — набор натуральных чисел. Положим аа(х1,...,хп)= 7 А.И. Кострикин
98 Гл. VI. Многочлены Доказать, что: а) аа{хи...,хп) = det б) если 8 = (п — 1,п — 2,..., 1, 0), то as(xi,... , жп) — определитель Вандермонда от жп,..., х\. 31.31. Пусть Л = (Ai,..., Лп) — разбиение некоторого натураль- натурального числа к. Положим щ = Ai + п — г для всех г, 8 из задачи 31.30. Пусть 5Л(жь...,жп) = —. as Доказать, что: а) S\(xi,... ,жп) — целочисленный симметрический многочлен; б) S\(xi,..., хп) при всех А = (Ai,..., Ап) образуют базис линей- линейного пространства симметрических многочленов от xi,..., хп\ в) если А = A,.. .,1), то 5Л(ж1,.. .,жп) = ап; г) если А = (п,0... ,0), то S\(xi,... ,жп) = /in (см. 31.28). 31.32. Доказать, что: п а) n б) где суммирование ведётся по всем разбиениям А = (Ai,..., An), A; — сопряжённое разбиение, т.е. Х[ — число таких j, что Xj ^ г. 31.33. Доказать, что i, . . . ,Хп) <Тк(У1, • • • ,Уп)- 31.34. Пусть F — поле дробей кольца целочисленных симметри- симметрических многочленов от xi,... ,жп. Доказать, что F совпадает с под- полем в Q(xi,..., жп), состоящим из всех симметрических рациональ- рациональных дробей.
§ 32. Результант и дискриминант 99 § 32. Результант и дискриминант 32.1. Вычислить результант многочленов: а) ж3 -Зх2 + 2ж + 1 и 2ж2-ж-1; б) 2х3 - Зх2 + 2х + 1 и х2 + ж + 3; в) 2ж3 - Зж2 - х + 2 и х4 - 2х2 - Зх + 4; г) Зж3 + 2ж2 + ж + 1 и 2ж3 + ж2 - ж - 1; д) 2ж4 - ж3 + 3 и Зж3 - ж2 + 4. 32.2. Найти все значения Л, при которых имеют общий корень многочлены: а) ж3 - Аж + 2 и ж2 + Аж + 2; б) ж3 + Аж2 - 9 и ж3 + Аж - 3; в) ж3 - 2Лж + Л3ж и ж2 + Л2 - 2. 32.3. Исключить ж из системы уравнений: Г ж2 - ху + у2 = 3, Г ж3 - ху - у3 + у = О, а) < 2 2 б) <^ I х у + ж?/ =6; I ж + ж — ^/ = 1; i 2 ~ ?ху + 4ж2 I у2 - 7xy + 4ж2 + 13ж - 2у - 3 = О, \у2 - Uxy + 9ж2 + 28ж - 4у - 5 = 0; Г 2/2 + ж2 - у - Зх = 0, [ 2/2 - бж?/ - ж2 + 112/ + 7ж - 12 = 0; Г 52/2 — 6ж2/ + 5ж2 - 16 = О, } у2 - ху + 2ж2 —2/ — ж — 4 = 0. 32.4. Доказать, что i?(/,#i<?2) = R(f,9i)R(f,92). 32.5. Найти результант многочленов Фп и хт — 1. 32.6. Найти результант многочленов Фп и Фт. 32.7. Вычислить дискриминант многочленов: а) аж2 + Ьх + с; б) ж3 + рж + д; в) ж3 + <21Ж2 + а2х + а3; г) 2ж4 - ж3 - 4ж7У2 + ж + 1; д) ж4 -ж3 - Зж2 +ж + 1.
100 Гл. VI. Многочлены 32.8. Найти все значения Л, при которых имеют кратный корень многочлены: а) х3 - Зх + Л; б) ж4 - 4ж + Л; в) х3 - 8х2 + A3 - Х)х - F + 2А); г) ж4 - 4ж3 + B - Х)х + 2х - 2. 32.9. Доказать, что D[(x - a) f(x)} = D[f(x)} ¦ f(aJ. * * * 32.10. Вычислить дискриминант многочлена хп~1 +хп~2 + .. . + 1. 32.11. Вычислить дискриминант многочлена Фп(х). 32.12. Вычислить дискриминант многочлена 1 5 32.13. Пусть / и д — неприводимые многочлены. Доказать, что D(fg)=D(f)D(g)[R(f,g)]2. 32.14. Пусть j, к — натуральные числа и d = (j, к). Доказать, что R{x> - а\ хк - bk) = (-l)'(b*fc<rl - ajkd~1)d. 32.15. Пусть п > к > 0 и d = (n,k). Доказать, что D(xn + ахк + Ь) = (-ijn^-Oa-1^-! x 32.16. Вычислить дискриминант многочлена хп + а. 32.17. Вычислить дискриминант: а) многочленов Эрмита Рп(х) = (-1)пех ^2~1—^{е~х //2); GLX dn б) многочленов Лагерра Рп(х) = (—1)пех-—(хпе~х); ахп / X \ в) многочленов Чебышёва 2 cos f n arccos — j.
33. Распределение корней 101 § 33. Распределение корней 33.1. Составить ряд Штурма и отделить корни многочленов: а) ж3 - Зх - 1; б) х3 + х2 - 2х - 1; в) х3 - 7х + 7; г) х3 - х + 5; д) ж3 + Зх - 5; е) ж4 - 12ж2 - 16ж - 4; ж) ж4 - ж - 1; з) 2ж4 - 8ж3 + 8ж2 - 1; и) ж4 + ж2 - 1; к) ж4 + 4ж3 - 12ж + 9. 33.2. Составить ряд Штурма для вещественного многочлена ж5 — 5аж3 + 5а2ж + 2Ъ. В зависимости от знака числа а5 — Ъ2 найти число вещественных корней многочлена. 33.3. Составить ряд Штурма для вещественного многочлена xn+px + q. В зависимости от чётности и знака числа d— —(n — l)n~1 x хрп — nnqn~1 найти число вещественных корней многочлена. 33.4. Составить ряд Штурма и найти число вещественных корней многочлена ж ж2 хп Еп(х) = 1 + - + - + ... + -. 33.5. Доказать, что многочлен t3 — 3t + г не может иметь более одного вещественного корня в интервале [0,1]. 33.6. Предположим, что все корни многочлена /(ж) G Щх] ве- вещественны, т.е. /(ж) = а(х - сц)к1 ... (ж - ат)кт, а ф 0, где а\ < а2 < ... < ат. Доказать, что: а) /(ж) = па{х - aiI*1'1 ... (ж - аш)кгп~1{х - Ь{)... (ж - bm_i), где ах < hi < а2 < Ъ2 < ... < am_i < 6m_i < am; б) если число к не превосходит степени многочлена /(ж), то крат- кратными корнями k-ik производной /^(ж) являются числа a^, fc^ ^ /с + 2, и только они; в) если /(ж) = спжп + сп-ххп~х + ... + с0, где сп / 0 и cfc = cfe+i = = 0 для некоторого к = 0,..., п — 2, то со = ci = ... = с/. = c^+i = 0. 33.7. Пусть g(x) = frn^n + ... + Ьо — вещественный многочлен, причём Ьп, &о / 0 и ^ = 6/.+1 = 0 для некоторого к = 1,... ,п — 2. Тогда не все корни д(х) вещественны.
102 Гл. VI. Многочлены 33.8. Доказать, что у вещественного многочлена апхп + dn-xx71'1 + ... + а3х3 + х2 + х + 1, ап ф 0, не все корни вещественны. 33.9. Доказать, что все комплексные корни z многочлена пхп — хп~1 — ... — 1 удовлетворяют условию \z\ ^ 1. 33.10. Доказать, что все положительные корни многочлена f(x) = х(х + 1)(х + 2)... (х + га) - 1 меньше 1/п!. 33.11. Доказать, что многочлен ж4 — 5ж3 — 4ж2 — 7ж + 4 не имеет отрицательных корней. 33.12. Сколько корней многочлена х6 + 6х + 10 лежит в каждом квадранте комплексной плоскости? 33.13. Пусть п\ < ... < nk — натуральные числа. Доказать, что многочлен 1 + х711 + ... + хПк не имеет комплексных корней z с усло- л/5-1 вием < 2 33.14. Доказать, что все комплексные корни многочлена хп+1 — — ахп + ах — 1, где а — вещественное число, имеют модуль 1. 33.15. Пусть к — натуральное число и \а,{\ < к при i = 1,... ,п. Доказать, что тогда для любого корня z многочлена апхп + .. .+а\х+1 имеем Ы > " fc + 1 33.16. Доказать, что если все корни многочлена /(ж) Е С[ж] рас- расположены в верхней полуплоскости, то все корни f'{x) лежат в той же полуплоскости. 33.17. Доказать, что если D — выпуклая область комплексной плоскости, содержащая все корни многочлена /(ж) Е С[ж], то все кор- корни /'(ж) лежат в D. 33.18. Пусть дана последовательность вещественных многочле- многочленов /о,/ъ---,/п с положительными старшими коэффициентами, причём: степень //, равна к = 0,..., п; fk = a>kfk-i ~ с/еЛ-2, где ак,ск — вещественные многочлены, причём ск{г) > 0 для всех г G Ш. при к ^ 2. Доказать, что: а) корни всех многочленов /& вещественны;
33. Распределение корней 103 б) между двумя корнями многочлена //. есть корень многочле- многочлена Д_1. 33.19. Определить число вещественных корней: -— ахп а) многочлена Эрмита (-1)пеж2/2-—е~ж2/2; ахп dn б) многочлена Лагерра (-1)пех-—(хпе~х). ахп 33.20. Определить все многочлены с коэффициентами =Ы, имею- имеющие только вещественные корни.
ЧАСТЬ II ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Глава VII ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА В этой главе координаты вектора записываются в строку. Базис пространства, состоящий из векторов ei, в2, ..., еп, записывается строкой (ei,e2,... ,еп), а при переходе к матричной записи коорди- координаты базисных векторов располагаются в столбец. Матрицей перехода от старого базиса к новому базису (е[, е2,... ,е'п), называется матрица Т = (Uj), в столбцах которой стоят координаты новых базисных векторов в старом базисе. Таким обра- образом, (ei,e2,...,e^) = (еь е2,..., еп) Г, а координаты вектора х в старом и новом базисах связаны равенст- равенствами Xi = J^jLi UjXp ИЛИ5 в матричной записи, \Хп/ = Т \X'J § 34. Понятие векторного пространства. Базисы 34.1. Пусть ж, у — векторы, а, /? — скаляры. Доказать, что: а) ах = 0 тогда и только тогда, когда а = 0 или х = 0; б) аж + Eу = /#ж + ау тогда и только тогда, когда а = /? или 2/. 34.2. При каких значениях Л:
§ 34- Понятие векторного пространства. Базисы 105 а) из линейной независимости системы векторов {ai, 02} вытека- вытекает линейная независимость системы {Aai + a2, a\ + Aa2J; б) из линейной независимости системы {ai,..., an} вытекает ли- линейная независимость системы {ai+a2, a2+a3, ..., an_i + an, an + Aai}? 34.3. Доказать линейную независимость над Ж систем функций: а) sin ж, cos ж; б) 1, sin ж, cos ж; в) sin ж, 8т2ж, ..., s'mnx; г) 1, cos ж, С08 2ж, ..., cosnx; д) 1, cos ж, sin ж, С08 2ж, 8т2ж, ..., совпж, s'mnx; е) 1, sin ж, sin2 ж, ..., 8тпж; ж) 1, COS Ж, COS2 Ж, ..., СО8ПЖ. 34.4. Доказать линейную независимость над Ж систем функций: а) eaix, ea2X, ..., еа-х; б) ха\ ж, ..., хап; в) A - о^ж),..., A - anx)~l] где а\,..., ап — попарно различные вещественные числа. 34.5. Доказать, что в пространстве функций одной вещественной переменной векторы Д,..., fn линейно независимы тогда и только тогда, когда существуют числа ai,..., ап такие, что det (fi(dj)) Ф 0. 34.6. а) В векторном пространстве V над полем С определим но- новое умножение векторов на комплексные числа по правилу а о ж = ах. Доказать, что относительно операций + и о пространство V явля- является векторным. Найти его размерность. б) Пусть Сп — абелева группа всех строк (ai,...,an) длины п, di G С. Если Ъ G С, то положим Ьо(ец,..., ап) = {Ьа\,..., Ьап). Является ли Сп относительно операций + и о векторным пространством? 34.7. Доказать, что: а) группа Ъ не изоморфна аддитивной группе никакого вектор- векторного пространства; б) группа вычетов Zn изоморфна аддитивной группе векторного пространства над некоторым полем тогда и только тогда, когда п — простое число; в) коммутативную группу А можно превратить в векторное пространство над полем Zp тогда и только тогда, когда рх = 0 для
106 Гл. VII. Векторные пространства любого х Е А] г) коммутативную группу А можно превратить в векторное пространство над полем Q тогда и только тогда, когда в ней нет эле- элементов конечного порядка (кроме нуля) и для любого натурального числа п и любого a Е А уравнение пх = а имеет решение в группе А. 34.8. Пусть F — поле, Е — его подполе. а) Доказать, что F является векторным пространством над по- полем Е. б) Если F конечно, то \F\ = \Е\п, где п — размерность F как векторного пространства над Е. в) Если F конечно, то \F\ = рт, где р — характеристика F. г) Найти базис и размерность поля С над полем Ж. д) Пусть т\ •> • • • •> тп\ — различные натуральные числа, каждое из которых не делится на квадрат простого числа. Доказать, что числа 1, y/rrii,..., у/тп линейно независимы в пространстве Ж над Q. е) Пусть Т\,..., тп — различные рациональные числа из интервала @,1). Доказать, что в пространстве Ж над полем Q числа 2Г1,..., 2Гп независимы. з) Пусть а — комплексный корень многочлена р G Q[x], неприводи- неприводимого над Q. Найти размерность над Q пространства Q[a], состоящего из чисел вида /(a), / G Q[x]. 34.9. Пусть М — множество, состоящее из п элементов. На мно- множестве его подмножеств 2м определим операции сложения и умно- умножения на элементы поля Z2 по правилу, как в задаче 1.2: IX = X, ОХ = 0. а) Доказать, что относительно этих операций множество 2м яв- является векторным пространством над полем Z2, и найти его базис и размерность. б) Пусть Xl, ..., Xk — подмножества в М, причём ни одно из них не содержится в объединении остальных. Доказать, что Xl, ..., X/, — линейно независимая система. 34.10. Пусть векторы ei,..., еп и х заданы своими координатами в некотором базисе: a)ei = (l,l,l), e2 = A,1,2), е3 = A,2,3), х =F,9,14); б) ei = B,1,-3), е2 = C,2,-5), е3 = A,-1,1), ж =F,2,-7);
§ 35. Подпространства 107 в) ei = A,2,-1,-2), е2 = B,3,0,-1), е3 = A,2,1,4), е4 = A,3,-1,0), х = G,14,-1,2). Доказать, что (ei,... ,еп) — также базис пространства, и найти координаты вектора х в этом базисе. 34.11. Доказать, что каждая из двух заданных систем векторов S и S1 является базисом. Найти матрицу перехода от S к S1: а) 5= (A,2,1), B,3,3), C,8,2)), 5'= (C,5,8), E,14,13), A,9,2)); б) 5= (A,1,1,1), A,2,1,1), A,1,2,1,), A,3,2,3)), 5'= (A,0,3,3), (-2,-3,-5,-4), B,2,5,4), (-2,-3,-4,-4)). 34.12. Доказать, что в пространстве М[ж]п многочленов степени ^пс вещественными коэффициентами системы {1,ж,...,жп} и {1,ж-а,(ж-аJ,...,(ж-а)п}, а е М, являются базисами, и найти координаты многочлена f(x) = по + +а\х + .. . + апхп в этих базисах и матрицу перехода от первого базиса ко второму. 34.13. Как изменится матрица перехода от одного базиса к дру- другому, если: а) поменять местами два вектора первого базиса; б) поменять местами два вектора второго базиса; в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке? 34.14. Доказать, что системы векторов линейно независимы, и дополнить их до базиса пространства строк: а) а± = B,2,7,-1), а2 = C,-1,2,4), а3 = A,1,3,1); б) ^ = B,3,-4,-1), а2 = A,-2,1,3); в) ах = D,3, -1,1,1), а2 = B,1, -3, 2, -5), а3 = A,-3,0,1,-2), а4 = A,5,2,-2,6); г) ^ = B,3,5,-4,1), а2 = A,-1,2,3,5). § 35. Подпространства 35.1. Выяснить, является ли подпространством соответствующе- соответствующего векторного пространства каждая из следующих совокупностей векторов: а) векторы плоскости с началом О, концы которых лежат на одной из двух прямых, пересекающихся в точке О;
108 Гл. VII. Векторные пространства б) векторы плоскости с началом О, концы которых лежат на дан- данной прямой; в) векторы плоскости с началом О, концы которых не лежат на данной прямой; г) векторы координатной плоскости, концы которых лежат в пер- первой четверти; д) векторы пространства Мп, координаты которых — целые числа; е) векторы арифметического пространства Fn, F — поле, являю- являющиеся решениями данной системы линейных уравнений; ж) векторы линейного пространства, являющиеся линейными комбинациями данных векторов а\,..., а/.; з) ограниченные последовательности комплексных чисел; и) последовательности вещественных чисел, имеющие предел; к) последовательности вещественных чисел, имеющие предел а; л) последовательности и(п) элементов поля F, удовлетворяющие рекуррентному соотношению и(п + k) = f(n) + аои(п) + а\и(п + 1) + ... + ak-iu(n + к - 1), где (f(n)) — фиксированная последовательность элементов поля F, к — фиксированное натуральное число, ai Е F; м) многочлены чётной степени с коэффициентами из поля F; н) многочлены с коэффициентами из поля F, не содержащие чёт- чётных степеней переменной ж; о) множества из пространства 2м (см. 4.9), состоящие из чётного числа элементов; п) множества из 2м, состоящие из нечётного числа элементов. 35.2. Доказать, что следующие совокупности векторов прост- пространства Fn, F — поле, образуют подпространства, и найти их ба- базисы и размерности: а) векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты; б) векторы, у которых координаты с чётными номерами равны 0; в) векторы, у которых координаты с чётными номерами равны между собой; г) векторы вида (а, /?, а, /?,...); д) векторы, являющиеся решениями однородной системы урав- уравнений.
§ 35. Подпространства 109 35.3. Выяснить, какие из следующих совокупностей матриц по- порядка п над полем F образуют подпространства в пространстве мат- матриц Mn(F), найти их базисы и размерности: а) все матрицы; б) симметрические матрицы; в) кососимметрические матрицы; г) невырожденные матрицы; д) вырожденные матрицы; е) матрицы со следом, равным нулю; ж) матрицы, перестановочные с данным множеством матриц (при вычислении базиса и размерности предположить, что данное множес- множество матриц состоит из одной диагональной матрицы с различными диагональными элементами); з) матрицы X, удовлетворяющие условию А\Х + XBi = 0, где {Ai, Bi) — заданный набор матриц. 35.4. Пусть M.s — пространство всех функций, определенных на множестве S и принимающих вещественные значения. Выяснить, ка- какие из следующих совокупностей функций /(ж) Е M.s составляют под- подпространство: а) функции, принимающие значение а в данной точке sGS; б) функции, принимающие значение а во всех точках некоторого подмножества ГС 5; в) функции, обращающиеся в нуль хотя бы в одной точке мно- множества 5; г) функции, имеющие предел а при х —У оо (при S = Ж); д) функции, имеющие не более конечного числа точек разрыва (при S = Щ. 35.5. Пусть К°° — пространство бесконечных последовательнос- последовательностей с элементами из поля К. Выяснить, какие из следующих совокуп- совокупностей последовательностей составляют в К°° подпространство: а) последовательности, в которых лишь конечное число элементов отлично от нуля; б) последовательности, в которых лишь конечное число элементов равно нулю; в) последовательности, в которых все элементы отличны от 1. 35.6. Доказать, что в пространствах М°° и С°° следующие сово- совокупности образуют подпространства:
110 Гл. VII. Векторные пространства а) последовательности, удовлетворяющие условию Коши: для лю- любого г > 0 найдется число N Е N такое, что при любых n,k > N выполняется неравенство \хп — Xk\ < s; б) последовательности, удовлетворяющие условию Гильберта: ряд Ei^i \xi\2 сходится; в) последовательности полиномиального роста, т.е. \хп\ ^ Спк, где С, к — натуральные числа, зависящие от последовательности; г) последовательности экспоненциального роста, т.е. \хп\ ^ Сеп, где С — положительное вещественное число, зависящее от последо- последовательности. 35.7. Выяснить, какие из следующих совокупностей многочленов образуют подпространства в пространстве Щх]п (см. 34.12) и найти их базисы и размерности: а) многочлены, имеющие данный корень aGl; б) многочлены, имеющие данный корень a G С \ 1; в) многочлены, имеющие данные корни а±,..., otk Е М; г) многочлены, имеющие данный простой корень aGl. 35.8. Доказать, что если подпространство векторного прост- пространства Щх]п (см. 34.12) для любого к = 0,1,...,т содержит хотя бы один многочлен степени к и не содержит многочленов степени > т, то оно совпадает с М[ж]ш. 35.9. Пусть Щх1,... ,хт] — пространство многочленов от пере- переменных х\,..., хт. Найти: а) размерность подпространства всех однородных многочленов степени к; б) размерность его подпространства, состоящего из всех много- многочленов степени ^ к. 35.10. Пусть V — n-мерное векторное пространство над по- полем F, состоящим из q элементов. Найти: а) число векторов в пространстве V; б) число базисов пространства V; в) число невырожденных матриц порядка п над полем F; г) число вырожденных матриц порядка п над полем F\ д) число /^-мерных подпространств пространства V; е) число решений уравнения АХ = 0, где А — прямоугольная мат- матрица ранга г, X — столбец неизвестных длины п.
§ 35. Подпространства 111 35.11. Найти базис и размерность линейной оболочки следующей системы векторов: а) ai = A,0,0,-1), о2 = B,1,1,0), аз = A,1,1,1), а4 = A,2,3,4), об = @,1,2,3); б) О1 = A,1,1,1,0), о2 = A,1,-1,-1,-1), а3 = B,2,0,0,-1), а4 = A,1,5,5,2), а5 = A,-1,-1,0,0). 35.12. Пусть Li и L2 — подпространства конечномерного век- векторного пространства V. Доказать, что: а) если L\ С Z/2, то dim L\ ^ dim L2, причём равенство имеет место только при L\ =1/2; б) если dim(Li + L2) = 1 + dim(Li П L2), то сумма L\ + L^ равна одному из этих подпространств, а пересечение L\ П L^ — другому; в) если dim L\ + dim L^ > dim У, то L\ П L^ ф 0. 35.13. Пусть U, V, W — подпространства векторного простран- пространства. а) Можно ли утверждать, что U П (V + W) = (U П V) + (U П W)? б) Доказать, что предыдущее равенство верно, если V CU. в) Доказать, что (U + W)n(W + V)n(V + U) = [(W + V)HU] + [(V + U)n W]. г) Доказать, что dim[(C7 + V) П VF] + dim(C7 П У) = dim[(V + VF) П C/] + dim(V П VF). д) Доказать, что (unv) + (vnw) + (wnu)c(u + v)n(v + w)n(w + u) и разность размерностей этих подпространств является чётным числом. 35.14. Найти размерности суммы и пересечения линейных оболо- оболочек систем векторов пространства М4: а) S= (A,2,0,1), A,1,1,0)), Т= (A,0,1,0),A,3,0,1)); б) S = (A,1,1,1), A, -1,1, -1), A,3,1,3)), Т= (A,2,0,2),A,2,1,2),C,1,3,1)); в) S = (B, -1,0, -2), C, -2,1,0), A, -1,1, -1)), Т= (C,-1,-1,0), @,-1,2,3), E,-2,-1,0)).
112 Гл. VII. Векторные пространства 35.15. Найти базисы суммы и пересечения линейных оболочек (oi,a2,a3) и (&1,62,&з>: а) oi = A,2,1), bi = A,2,2), о2 = A,1,-1), Ьа = B,3,-1), а3 = A,3,3), Ъ3 = A,1,-3); б) oi = (-1,6,4,7,-2), bi = A,1,2,1,-1), а2 = (-2,3,0,5, -2), Ъ2 = @, -2,0, -1, -5), а3 = (-3,6,5,6, -5), Ь3 = B,0,2,1, -3); в) oi = A,1,0,0,-1), б! = A,0,1,0,1), аз = @,1,1,0,1), Ь2 = @,2,1,1,0), а3 = @,0,1,1,1), 63 = A,2,1,2,-1); г) а1 = A,2,1,0), Ьх = B,-1,0,1), а2 = (-1,1,1,1), Ъ2 = A,-1,3,7); д) О1 = A,2,-1,-2), bi = B,5,-6,-5), а2 = C,1,1,1), Ъ2 = (-1,2,-7,-3). а3 = (-1,0,1,-1), 35.16. Найти систему линейных уравнений, задающую систему векторов: а) (A,-1,1,0), A,1,0,1), B,0,1,1)); б) (A,-1,1,-1,1), A,1,0,0,3), C,1,1,-1,7)). 35.17. Пусть Li,...,Lfc — подпространства векторного прост- пространства. Доказать, что: а) сумма этих подпространств является прямой тогда и только тогда, когда хотя бы один ее вектор однозначно представляется в виде Xi + ... + ж/г, Xi Е Lf, г = 1,...,&; б) условие Li Г\ Lj = 0 для любых различных i и j от 1 до к не явля- является достаточным для того, чтобы сумма этих подпространств была прямой. 35.18. Пусть подпространства U, V С W1 заданы уравнениями Х\ + Ж2 + . . . + Хп = О, Х\ = Ж2 = . . . = Хп. Доказать, что W1 = С/0 V, и найти проекции единичных векторов на U параллельно У и на У параллельно U. 35.19. Пусть в пространстве М4 U = (A,1,1,1), (-1,-2,0,1)), У = ((-1,-1,1,-1), B,2,0,1)).
§ 35. Подпространства 113 Доказать, что М4 = U © V, и найти проекцию вектора D,2,4,4) на подпространство U параллельно V. 35.20. Доказать, что для любого подпространства U С Жп су- существует такое подпространство У, что Жп =[/0У. 35.21. Доказать, что пространство матриц МП(М) является пря- прямой суммой подпространства симметрических и подпространства ко- сосимметрических матриц, и найти проекции матрицы /1 1 ... 1\ О 1 ... 1 o о ... \) на каждое из этих подпространств параллельно другому подпрост- подпространству. 35.22. Пусть U — подпространство кососимметрических матриц, V — подпространство верхнетреугольных матриц в МП(М). а) Доказать, что U © V = МП(М). б) Найти проекцию матриц Ец на U и V. 35.23. Пусть U — подпространство симметрических матриц, V — подпространство верхненильтреугольных матриц в МП(М). а) Доказать, что U Ф V = Mn(R). б) Найти проекцию матрицы Ец на U и V. 35.24. Пусть F — поле из q элементов, U — подпространство размерности т в пространстве V размерности п. Найти число таких подпространств W в V, что V = U © W. 35.25. Пусть V — линейное пространство над бесконечным полем F и Vi,..., Vk — подпространства в V, причём V = V\ U ... U 14. Доказать, что V — Vi для некоторого г — 1,..., к. 35.26. Пусть V — линейное пространство над полем F, U, W — подпространства в У, причём U U W = V. Доказать, что V = U или V = W. 35.27. Привести пример такого пространства V над конечным полем, что V = U\ U ?/2 U Us, где U\, U2, U3 — собственные под- подпространства в V. 8 А.И. Кострикин
114 Гл. VII. Векторные пространства § 36. Линейные функции и отображения 36.1. Пусть у0 Лг ) у1 л<2 ) < < < Лт ) ут — последова- последовательность линейных отображений векторных пространств. Доказать, что т т dim Ker Ai — ^ dim(Vi/ Im Ai) = dim Vo — dim Vm. 36.2. Пусть F — поле из q элементов. Найти: а) число линейных отображений Fn в пространство Fk; б) число линейных инъективных отображений Fn в Fk; в) число линейных сюръективных отображений Fn в Fk. 36.3. Пусть линейное отображение Л: V —> W в базисах (ei, в2, ^0 12 пространства V и (Д, /2) пространства VF имеет матрицу . . у «j 4 о Найти матрицу отображения А в базисах (ei,ei + в2, ei + в2 + ез) и (/i,/i + /2). 36.4. Пусть L = K[x]i (см. 34.12), К — поле. Найти матрицу ли- линейного отображения A: f{x) н-» f(S) пространства L в пространство М = М2 (К), где 5 = ( ,) — фиксированная матрица, если в L вы- бран базис A,ж), а в М — базис из матричных единиц. 36.5. Пусть А,В: V —> W — линейные отображения, причём dim(Im^) ^ dim(ImS). Доказать, что существуют такие операторы C,V в V и W, что А = VBC, причём С (или V) можно выбрать невы- невырожденным. 36.6. Пусть Л,В: V —У W — линейные отображения. Доказать, что следующие условия эквивалентны: а) КетА^КетВ; б) В = С А для некоторого оператора С в W. 36.7. Пусть А,В: V —> W — линейные отображения. Доказать, что следующие условия эквивалентны: а) 1тЛ С 1тВ; б) А = 232) для некоторого оператора V в V. 36.8. Пусть Л: V —> W — линейное отображение. Доказать, что существует такое линейное отображение В: W —> У, что А = ABA, в = влв.
§ 36. Линейные отображения 115 36.9. Пусть V = Щх]п и отображения аа (a Е М), @г, Y простран- пространства 7вЕ заданы правилами рг+1 «а(Л = /(а), ^(/) = /(i)@), У(Л = / /(*)<&. ./о Доказать, что системы: а) а0,**1,...,а»; б) р°,р\ ...,/?«; в) 7°,71.-•• .7"; являются базисами сопряжённого пространства У*. 36.10. а) Доказать, что для каждого базиса сопряжённого пространства У* существует единственный базис пространства У, для которого данный базис является сопряжённым. б) Найти этот базис в задаче 36.9, а). в) Найти этот базис в задаче 36.9, б). 36.11. Доказать, что для любой ненулевой линейной функции / на n-мерном пространстве V существует базис (ei,... ,еп) пространст- пространства V такой, что для любых коэффициентов х\,..., хп. 36.12. Доказать, что всякое ^-мерное подпространство п-мерно- го пространства является пересечением ядер некоторых п — к линей- линейных функций. 36.13. Пусть / — ненулевая линейная функция на векторном пространстве V (не обязательно конечномерном), U = Кег/. До- Доказать, что: а) U — максимальное подпространство У, т.е. не содержится ни в каком другом подпространстве, отличном от V; б) V = U © (а) для любого а ? U. 36.14. Доказать, что если две линейные функции на векторном пространстве имеют одинаковые ядра, то они различаются линейным множителем. 36.15. Доказать, что п линейных функций на n-мерном прост- пространстве линейно независимы тогда и только тогда, когда пересечение их ядер есть нулевое подпространство. 36.16. Доказать, что векторы ei,...,e^ конечномерного прост- пространства V линейно независимы тогда и только тогда, когда сущест- существуют линейные функции J1,..., fk G V* такие, что det (/*(ej)) Ф О-
116 Гл. VII. Векторные пространства 36.17. Для всякого подмножества U конечномерного пространст- пространства У и для всякого подмножества W сопряжённого пространства V* положим U0 ={/ е V*\ /(ж) = 0 для любого х е С/}, W° ={х e V\ f(x) = 0 для любой функции / е V*}. Доказать, что: а) U0 — подпространство в У*, и если U — подпространство, то dim U + dim U° = dimV; б) если U\ и U2 — подпространства в V, то C/j3 = U® тогда и только тогда, когда U\ = С/2; в) для любого подпространства U пространства V (U0H = С/, (C/i + С/2)° = С/° П С/2°, (C/i П С/2)° = U? + С/2°. 36.18. Доказать, что пространство многочленов Q[x] не изо- изоморфно своему сопряжённому. 36.19. Пусть hjh — две линейные функции на линейном пространстве У, причём h(x)l2(x) = 0 для всех х G V. Доказать, что одна из функций нулевая. 36.20. Пусть /]_,..., Ik —линейные функции на линейном вектор- векторном пространстве V над бесконечным полем. Доказать, что если 1\{х)... lk(x) =0 для всех х G V, то одна из функций нулевая. 36.21. Пусть К — конечное поле из qn элементов, F — подполе в К из q элементов, 1{х) = х + xq + ... + xqn , x G К. Доказать, что: а) 1(х) — линейный оператор в К как векторном пространстве над F; б) ядро оператора 1(х) состоит из всех элементов вида а — aq, где а е К; в) F лежит в ядре оператора 1{х) тогда и только тогда, когда характеристика поля К делит п.
Глава VIII БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 37. Общие билинейные и полуторалинейные функции В этом параграфе предполагается, что характеристика основного поля отлична от двух. 37.1. Какие из следующих функций двух аргументов являются билинейными функциями в соответствующих пространствах: а) f(x, у) = ьх ¦ у (х, у ? Fn — столбцы, F — поле); б) f(A,В) = tv(AB) (А,В G Mn(F), F - поле); B)f(A,B)=tv(AB-BA); r)f(A,B) = det(AB); д) f(A,B)=ti(A + B); е)КА,В)=Ы(А-'В); ж) f(A,B)= ti?А-В); з) f(A,B) — коэффициент на месте (i,j) матрицы АВ\ и) f(u, v) = Re (иг;) (и, v G С, С — векторное пространство над Ж); к) f(u,v) = Re(iuJ); л) f(u,v) = |ггг;|; м) f(u,v) = Im(uv); н) f(u,v) = / uv dt (u,v — непрерывные функции аргумента t Jb на отрезке [а, Ь]); га о) f(u, v) = / uv' dt (u,v — дифференцируемые функции на от- Jb резке [а, Ь], причём и (а) = и(Ъ) = г; (а) = v(b) = 0); pa п) f{u,v) = / (u + vJdt; Jb
118 Гл. VIII. Билинейные и квадратичные функции р) f(u,v) = (uv)(a) (u,veF[x\, a е F); с) f(u,v) = —(uv)(a)\ т) f(u,v) = \u + v\2 - \и\2 - \v\2 (u,v E M3); y) f(u,v) = e(u x v) (x — векторное умножение, e(x) — сумма координат вектора х в заданном базисе). 37.2. В конечномерных пространствах из задачи 37.1 выбрать ба- базис и найти матрицы соответствующих билинейных функций. 37.3. Пусть F — поле и F{x) — поле рациональных функций от переменной х. Доказать, что отображения х \-у гхТ задают автомор- автоморфизмы второго порядка в F(x), где г, г = =Ы и (г, г) ф A,1). 37.4. Пусть p,q — различные простые числа. Доказать, что ве- вещественные числа вида а + Ъ^/р + c^/q + d^/pq, где а, Ь, с, d G Q, обра- образуют подполе Q(^/p, д/^) в М. Проверить, что отображение х —у х~ = а — by/p + Cy/q — dy/pq является автоморфизмом второго порядка в этом поле. 37.5. Пусть F — поле с автоморфизмом а —у а второго порядка. Какие из следующих функций двух аргументов являются полуторали- нейными функциями в соответствующих векторных пространствах: а) /(а, Ь) = 1а -Ъ (а, Ъ G Fn — столбцы); б) f(A,В) = tr(AB) (А, В е Mn(F)); в) f(A,B) = det(AB); г) /(A,B)=tr(A-*B); е) f(A,B) — элемент, стоящий на месте (i,j) матрицы АВ; ж) f(A,B) — элемент, стоящий на месте (i,j) матрицы А1 В] з) f(u,v) = —(uv)(a), (u,v G F[x], a G F; применение автоморфиз- автоморфизма к многочлену означает применение его ко всем коэффициентам). 37.6. Найти матрицу билинейной функции / в новом базисе, если заданы её матрица в старом базисе и формулы перехода: 1 2 3 \ е'1=е1-е2, а) ( 4 5 б , е'2 = ei+e3, 7 8 9 / е3 = ei +e2 + e3;
31. Общие билинейные и полу тор алинейные функции 119 e'i = ei + 2е2 — ез, е2 = е2 - е3, е3 = —ei + е2 - Зе3. 37.7. Пусть полуторалинейная функция / в двумерном комплекс- комплексном пространстве с базисом (ei, e2) задана матрицей В. Найти мат- матрицу В' функции / в базисе (е'1,е'2), где: а) В = е[ = ei + ге2, О —г) ' е2 = +iei + e2; 2 -1 +A ei = 2ei - ге2, б)Б - О У е2 = ге1+е2. 37.8. Пусть билинейная функция / задана в некотором базисе матрицей F. Найти f(x,y), если: 1-11 -2 -1 3 0 4 5 i 1 + г -1 + г 0 2+г 3-г 37.9. Найти значение f(x,y) полуторалинейной функции, задан- заданной в некотором базисе комплексного пространства матрицей В, ес- 5 -1 —г -4 2 г 1- 24 У ¦2г Зг TD / " -1- "v \ *^ V 1 ^ ' "/5 2/ = (-г,6-2г). 37.10. Пусть д — билинейная функция с матрицей G в некотором базисе пространства У, Л — линейный оператор в У с матрицей А. Найти в этом базисе матрицу билинейной функции f(u,v) = д(и, A(v)), если: /1 -1 0\ /_1 1 1 а) G = 2 0 -2 , А = -3 -4 2 \ 3 4 5 / \ 1-2-3 /0 1 2\ б) G = 4 0 3, А = \5 б 0/ 37.11. Пусть g — полуторалинейная функция с матрицей G в не- некотором базисе линейного пространства У, Л — линейный оператор
120 Гл. VIII. Билинейные и квадратичные функции в У с матрицей А. Найти в этом базисе матрицу полуторалинейной функции f(u,v) = g(u,A(v)), если: ^G={ -i 4 + iJ' А={ 2 -ij; : - г 2 - г О 1 + г 37.12. Найти левое и правое ядра билинейной функции /, задан- заданной в базисе (е1,в2,ез) матрицей: /2 -3 1\ /4 3 2> а) 3 -5 5 ; б) 1 3 5 \5 -8 6/ \3 37.13. Пусть F = (Ц)(л/3) и ж = а - Ьл/3, если ж = а + Ьл/3, где а, 5 G Q. Найти в двумерном векторном пространстве над F левое и правое ядра полуторалинейной функции, заданной в базисе (ei,e2) матрицей: л/3 -1-л/зУ „ ^-3 -2л/3^ 4 37.14. Найти левое и правое ядра билинейной функции f(x,y) = = (ж, Л(з/)), где А — линейный оператор с матрицей А в ортонорми- рованном базисе (е1,в2,ез) евклидова пространства: /5-6 1 \ /2 -1 3> а) А = 3 -5 -2 ; б) А = 3 -2 2 \ 2 -1 3 / \5 -4 37.15. Пусть F, ж из 37.13. Найти левое и правое ядра полутора- полуторалинейной функции /(ж, у) = д(ж, Л(з/)), где А — линейный оператор с матрицей А, д — полуторалинейная функция в двумерном прост- пространстве, имеющая в базисе (ei,e2) единичную матрицу: +^ А- б) а=( ° О ОГ ' \2у/Ъ О 37.16. Пусть / — билинейная функция с матрицей F на вектор- векторном пространстве V,U — подпространство в V. Найти левое и правое ортогональные дополнения к U относительно / (т.е. максимальные подпространства U\ и ?/2 такие, что f(Ui,U) = /(t/, t/2) = 0), если: /4 1 3\ a)F= 3 3 6 , U = (A,-1,0), (-2,3,1)); \2 5 9/
31. Общие билинейные и полу тор алинейные функции 121 6)F = 5 -5 3 , U ={B,0,-3), C,1, -5)). V -з У 37.17. При F, х из 37.13, и / — полуторалинейная функция с матрицей G на векторном пространстве У, U — подпространство в V. Найти левое и правое ортогональные дополнения к U относитель- относительно /, если: /1 + л/З 2 a)G= 0 1 2 ) , U = (A,0, л/3), @,2,1)); \1-л/3 2 Л -л/3 б) G = 2 0 \1 1 - л/3 л/Зу 37.18. Пусть F — конечное поле из q2 элементов, причём х = xq для всех х G F. Предположим, что К — конечное поле, содержа- содержащее F и п = dim^ i^T. Доказать, что: а) х —> х — автоморфизм второго порядка в F; б) функция ,3 /(ж, y)=xyq +xq yq + ... + xq yq является полуторалинейной функцией в К как векторном простран- пространстве над F; в) функция f{x,y) из б) невырождена; г) найти левое и правое ортогональные дополнения kFbK от- относительно f{x,y). 37.19. Пусть F = Q[i], К = ^[л/2]. Рассмотрим К как векторное пространство над F. Доказать, что: а) dinii? К = 2; б) функция /B:1+2:2л/2, ^1+^2л/2) = 2:1^1+22:2?2, где черта означает комплексное сопряжение, является полуторалинейной функцией в К как векторном пространстве над F; в) найти матрицу / в базисе е\ — 1, в2 = л/2; г) доказать, что функция / невырождена; д) найти левое и правое ортогональные дополнения kFbK от- относительно /. 37.20. Пусть F = С(ж) — поле рациональных функций с автомор- автоморфизмом, при котором х —> ехт, где г, г = ±1, (г, г) т^ A, !)•
122 Гл. VIII. Билинейные и квадратичные функции а) Доказать, что многочлен у4 — х ? F[y] неприводим над F. б) Доказать, что в поле К = F[y]/(y4 — x) как векторном простран- пространстве над F функция f(u, v) = и(х, y)v(ixT ,у) + и(х, iy)v(sxT ,iy + и(х, —y)v(sxT, —у) + и(х, —iy)v(sxT, —гу) является полуторалинейной. в) Найти матрицу f(u,v) в базисе I,?/,?/2,?/3 пространства К над полем F. г) Доказать невырожденность функции /. д) Найти левое и правое ортогональные дополнения к линейной оболочке A,2/) в К. е) Найти в К такой базис ^0,^1,^2,^35 что /(щ,у^) = <%, где z,j =0,1,2,3. 37.21. При каких из следующих элементарных преобразований базиса матрица билинейной функции меняется так же, как матрица линейного оператора: а) (еь...,еь...,еп) -^ (еь ..., Хеи ..., еп); б) (еь...,еь...,еп) -^ (еь ..., а + Ае^,..., еп) (j ф г); в) (еь-.^еь-.^е^^.^еп) -)> (еь ..., е^,..., еи ..., еп)? 37.22. Найти связь между матрицами А, В, G линейных операто- операторов Л, В ш билинейной (полуторалинейной) функции g в некотором базисе пространства и матрицей F билинейной (полуторалинейной) функции f(x,y)=g(A(x),B(y)). 37.23. Доказать, что всякая билинейная (полуторалинейная) функция / ранга 1 может быть представлена в виде произведения двух линейных функций p(x)q(y) (соответственно p(x)q(y)). К какому простейшему виду можно привести матрицу функции / с помощью замены базиса? 37.24. Пусть е = (ei,... ,еп), е; = (е[,... ,е'п) — два базиса про- пространства V, С — матрица перехода от е к е;, / — билинейная (полуторалинейная) функция на У с матрицами F и F' в этих бази- базисах. Найти связь между матрицами F, F''. 37.25. Доказать, что билинейные и полуторалинейные функции tr(AB), 1т(А1В), tr(AB), tr(A*i?) на пространстве Мп(К) являются невырожденными.
§ 37. Общие билинейные и полу тор алинейные функции 123 37.26. Доказать, что размерности левого и правого ядер били- билинейной (полуторалинейной) функции совпадают, однако сами ядра могут и не совпадать. 37.27. Пусть / — невырожденная билинейная (полуторалиней- ная) функция на пространстве V. Доказать, что для любой линейной функции р найдется единственный вектор v Е V такой, что р(х) = = /(ж, г?) для любого х Е V, и отображение р \-> v является изомор- изоморфизмом пространств V* и V. 37.28. Пусть F — матрица невырожденной билинейной функции / на вещественном пространстве размерности п. а) Доказать, что при нечётном п матрица — F не является матри- матрицей функции / ни в каком базисе пространства V. б) Верно ли утверждение а) для чётного п? в) Верно ли утверждение а) при чётном п для диагональной матрицы F1 37.29. Пусть для ненулевой билинейной (полуторалинейной) функции / на пространстве V существует такое число г, что для любых ж, у Е V f(y,x) =ef(x,y) (соответственно f(y,x) = sf(x,y)). Доказать, что: а) г равно 1 или — 1; б) если U\ и JJ2 — вполне изотропные подпространства относи- относительно /, имеющие одинаковую размерность, и U\ П U^~ = 0, то огра- ограничение / на их сумму \J\-\-JJ2 — невырожденная функция; в) если W\ и W2 — максимальные вполне изотропные подпро- подпространства относительно / и W\ П И^ = 0, то dimVFi = dimH^; г) если невырожденные билинейные функции Д и /2 удовлетво- удовлетворяют рассматриваемому условию (при одном и том же е) и относи- относительно каждой из них V является прямой суммой двух изотропных подпространств, то функции Д и Д эквивалентны. 37.30. Пусть / — билинейная (полуторалинейная) функция на пространстве V и для любых х,у G V из равенства f(x,y) = 0 вы- вытекает f(y,x) = 0. Доказать, что: а) если / — билинейная функция, то / — симметричная или ко- сосимметричная функция; б) если / — полуторалинейная функция, то / — либо эрмитова, либо косоэрмитова функция.
124 Гл. VIII. Билинейные и квадратичные функции 37.31. Пусть /i, /2 — билинейные (полуторалинейные) функции на пространстве V с базисом (ei,... ,еп). На пространстве W с ба- базисом (оц, ai2,..., ain, B2i, • • • ? ^2n5 • • • 5 &ni5..., апп) определим били- билинейную функцию /, положив f(a>ij,aki) = fi(euek)f2(ej,ei). а) Найти матрицу функции / в заданном базисе. б) Доказать, что если пространство V является прямой суммой вполне изотропных подпространств относительно Д, то W является прямой суммой вполне изотропных подпространств относительно /. 37.32. Не производя вычислений, выяснить, эквивалентны ли би- билинейные функции: а) fi(x,y) = 2хху2 -Зххуз + х2уз - 2x2yi - х3у2 f2(x,y) = Ж12/2 -Х2У1 + б) fi(x,y) = Ж12/1 -\-гх1у2, 37.33. Привести к каноническому виду кососимметрические би- билинейные функции: а) Ж12/2 - хгуз - х2у\ + 2ж2^/з + x3yi - ^х3у2; б) 2х!у2 + Ж12/з - 2ж2^/1 + Зх2у3 - х3ух - Зх3у2; в) хху2 + ж4^/з - х2уг + 2ж2^/з - 2х3 Г) Ж12/2 + Xiys + Ж12/4 - ^22/1 - Х2у3 37.34. Привести к каноническому виду косоэрмитову функцию в комплексном пространстве: а) хху2 - гххуъ - ix2y3 - хху2 + гх1у3 + гх2у3 + гх1у1 б) A + г)х1у2 + 2ж1|/з f1 37.35. Доказать, что функция h(f,g) = / fg'dx на пространст- пространство ве многочленов степени ^ 5, обращающихся в нуль в точках 0 и 1, является кососимметрической, и найти для нее канонический базис. 37.36. Доказать, что определитель целочисленной кососимметри- кососимметрической матрицы является квадратом целого числа. 37.37. Пусть / — кососимметрическая билинейная функция на пространстве V, W — подпространство в V, W1- — его орто- ортогональное дополнение относительно /. Доказать, что — dimfW П W^) — чётное число.
§ 37. Общие билинейные и полу тор алинейные функции 125 37.38. Доказать, что для любой косоэрмитовой комплексной матрицы А существует такая невырожденная матрица С, что С А1 С — диагональная матрица, причём по главной диагонали стоят чисто мнимые комплексные числа. 37.39. Пусть / — кососимметрическая билинейная функция на пространстве V, V — её ядро, W — максимальное вполне изотропное подпространство. Доказать равенство dim V + dim V' dim W = . 37.40. Пусть / — невырожденная кососимметрическая билиней- билинейная функция на n-мерном пространстве У, G = {g%j) — кососиммет- кососимметрическая матрица порядка п. Доказать, что существуют векторы vu ... ,vn Е V такие, что дц = f(vuVj). 37.41. Пусть f(x,y) — эрмитова функция в комплексном про- пространстве, q(x) = /(ж,х). Доказать равенство 4/0, у) = q(x + у) - q(x - у) + iq(x + гу) - iq(x - гу). 37.42. Доказать, что вещественная и мнимая части эрмитовой функции на комплексном векторном пространстве V являются соот- соответственно симметрической и кососимметрической функциями на У, рассматриваемом как 2п-мерное вещественное векторное прост- пространство. 37.43. Доказать, что если / — положительно определенная эрми- эрмитова форма на комплексном пространстве, то /(ж,y)f(x,у) ^ /(ж,х) • f(y,у). 37.44. Пусть Л — линейный оператор, / — положительно опре- определённая эрмитова функция на комплексном векторном пространст- пространстве V. Доказать, что если f(A(x),x) = 0 для любого х G У, то Л — нулевой оператор. Верно ли это утверждение для симметрических билинейных функ- функций на вещественном пространстве VI 37.45. Для каких значений п невырожденная билинейная функция на n-мерном векторном пространстве может обладать: а) вполне изотропным подпространством размерности п — 1; б) вполне изотропным подпространством размерности п — 21
126 Гл. VIII. Билинейные и квадратичные функции Вывести формулу для максимально возможной размерности впол- вполне изотропного подпространства. 37.46. Пусть А = (dij) Е Mn(M) — симметрическая матрица и ад = ± ^d$fe — дифференциальный оператор в M[xi,..., хп]. Доказать, что: а) если /Л /уЛ \Уп — замена переменных, то п я2 где (Ьу) = СА*С; б) существует такая невырожденная линейная замена перемен- переменных в Щх1,..., хп], что относительно новых переменных yi,... ,ук где 0 ^ к ^ s ^ п. § 38. Симметрические билинейные, эрмитовы и квадратичные функции В этом параграфе эрмитовы функции рассматриваются в комп- комплексных пространствах. 38.1. Какие из билинейных функций задачи 37.1 являются сим- симметрическими? 38.2. а) Какие из полуторалинейных функций задачи 37.5 явля- являются эрмитовыми? б) Является ли функция f(x,y) из 37.18, б) эрмитовой? в) Является ли функция f(u,v) из 37.20, б) эрмитовой? 38.3. Не производя вычислений, выяснить, эквивалентны ли би- билинейные функции
S. Симметрические функции 127 fi(x,y) =x1y1 + 2х±у2 + 3x1^/3 +4ж2^/1 + Ъх2у2 /2(ж,2/) = 38.4. Не производя вычислений, выяснить, для какой из билиней- билинейных функций / существует базис, в котором матрица этой функции диагональна: а) —х\у\ — 2х\у2 — 2х2у\ — Зх2у2 + x3yi — 4х3у3; б) -х\у2 — х2у\ + Ъх2у2 + Ъх2у3 + Ъх3у2 — х3у3. 38.5. Доказать, что для ортогональных дополнений к прост- пространствам относительно невырожденной симметричной (эрмитовой) функции справедливы равенства: а) ([/-LI- = U; б) (иг + С/гI" = C/f1 П Ui\ в) (С/хПС/гI- = C/1± + C/2-L. 38.6. Найти ортогональное дополнение к линейной оболочке (Л,/2) относительно билинейной функции с матрицей F, если: 1-1 2 \ a)F=( -1 0 -3 , А = A,2,3), /2 = D,5,6); 2-3 7 / -12 5 \ 6)F=\ 2 2 8 , А = (-3,-15,21); /2 = B,10,-14). 5 8 29 / 38.7. Найти ортогональное дополнение к линейной оболочке i,e2) относительно эрмитовой функции с матрицей G, если: 1 i l-i\ _{. , a)G= ( -i 0 -2 , 2= i'_2i -i 3)- + г -2 -2 ) 0 -2 +г -г \ , .,19м G=\-2-i 2 -1 + i , в1 = htv'2'-^ . • / e2 = (-1 + Зг,-Зг,2). г -l-г -1 / 38.8. Методом Якоби найти канонический вид симметрических билинейных функций: б) 2xiy2 + 3xiy3 + 2x2yi - х2у3 + 3x3yi - х3у2 ¦
128 Гл. VIII. Билинейные и квадратичные функции 38.9. Методом Якоби выяснить эквивалентность билинейных функций с матрицами 1 2 3 2 0-1 3-13 а) над полем вещественных чисел; б) над полем рациональных чисел. 38.10. Какие из симметрических билинейных функций задач 37.1 и 37.5 являются положительно определёнными? 38.11. При каких значениях Л следующие квадратичные функции являются положительно определёнными: а) Ьх\ + х\ + \х\ б) 2х\ + х\ + Ъх\ в) х\ + х\ + 5ж| + г) х\ + 4^2 + ж| + д) е) 38.12. Доказать, что для любой положительно определённой сим- симметрической билинейной (эрмитовой) функции / выполнено нера- неравенство причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда ах = /^2/, где а, /3 — неотрицательные вещественные числа, не равные нулю одновременно. 38.13. Не применяя критерия Сильвестра, доказать, что для по- п ложительной определенности квадратичной функции 2_^ a>ij%i~x~j условие пц > 0 (г = 1,... ,п) является необходимым, но не достаточ- достаточным. 38.14. При каких значениях Л являются отрицательно определён- определёнными квадратичные функции: а) —х\ + \х\ — х\ б) \х\ — в) \x\X\ \
S. Симметрические функции 129 - х\\ г) 4xi#i - 2х2х2 — (А + i)x\x2 - (А - г)х\х21. 38.15. Найти симметрическую билинейную (эрмитову) функцию, ассоциированную с квадратичной функцией: а) х\ + 2х\х2 б) xix2 + Ж1Ж3 + х2х3; в) xi^i + ix{x2 — гх\х2 г) E - i)x{x2 + F + i)xix2 + х2х2. 38.16. Найти симметрическую билинейную функцию, ассоцииро- ассоциированную с квадратичной функцией q(x) = /(ж,ж), где: а) /(ж, у) = б) /(ж, ^/) = -Ж 38.17. Эквивалентны ли над полем вещественных чисел квадра- квадратичные функции: и х\ - а) х\ -2х\х2 + 2x1 б) 2х\ + 9^2 + Зжд 38.18. Найти нормальный вид квадратичных функций: а) х\ + х\ + Зж| б) х\ + 2^2 + х\ в) ж^ — г) х\ д) — 2х\х2 е) A -г)х{х2 + A + i)xix2 + A -2i)xix3 + A + 2i)xix3 + ж2ж3 + х2х3; п ж) V^ didjXiXj, где не все числа ai,..., ап равны 0; И) n-1 K) Л)У>-*J, 8 = . . . + Xn 9 А.И. Кострикин
130 Гл. VIII. Билинейные и квадратичные функции м) ^2 \i-j\xiXj. 38.19. Эквивалентны ли над полем комплексных чисел квадра- квадратичные функции: а) х\ — 2х\Х2 + 2х\х<$ — 2х\х^ + х\ + 2ж2^з — 4ж2^4 + х\ — 2х\ и х\ + + б) х\ + 4^2 + х\ 38.20. Пусть д' — отображение вещественного векторного про- пространства V в поле М, для которого существуют такие квадратичные функции а, Ъ и билинейная функция с, что <?(Аж + fiy) = Л2а(ж) + A/icO, у) + / для любых Л,/^еМиж,2/ЕУ. Доказать, что g — квадратичная функ- функция. 38.21. Пусть /i,..., /r+s — линейные функции. Доказать, что по- положительный индекс инерции функции q(x) = \h(x)\2 + ... + \fr(x)\2 - \fr+i(x)\2 - ... - |/r+s(a;)|2 не превосходит г, а отрицательный индекс не превосходит s. 38.22. Найти положительный и отрицательный индексы инерции: а) квадратичной функции q{x) =trx2 на пространстве МП(М); б) квадратичной функции q{x) = tr(xx) на пространстве МП(С). 38.23. Пусть / — невырожденная симметрическая билинейная (эрмитова) функция на пространстве V размерности ^ 3. Доказать, что если функция / не является нулевой на двумерном подпрост- подпространстве С/, то существует такое трехмерное подпространство W D ?/, на котором ограничение функции / невырождено. 38.24. Пусть / — невырожденная симметрическая билинейная (эрмитова) функция, имеющая отрицательный индекс инерции, рав- равный 1, и f(v,v) < 0 для некоторого вектора v. Доказать, что ограни- ограничение / на любое подпространство, содержащее v, невырождено. 38.25. Пусть / — невырожденная симметрическая билинейная (эрмитова) функция на пространстве размерности ^ 3. Доказать, что всякий изотропный вектор лежит в пересечении двух двумер- двумерных подпространств, на каждом из которых ограничение функции / невырождено.
S. Симметрические функции 131 38.26. Доказать, что размерность максимального изотропного подпространства относительно невырожденной симметрической би- билинейной (эрмитовой) функции равна наименьшему из её положи- положительного и отрицательного индексов инерции. 38.27. Найти положительный и отрицательный индексы инерции невырожденной квадратичной функции на 2п-мерном векторном пространстве, обладающем n-мерным вполне изотропным подпро- подпространством. 38.28. Пусть невырожденная квадратичная функция q на 2п-мер- ном пространстве V является нулевой на n-мерном подпространстве U. Доказать, что: а) существует такое n-мерное подпространство U'', что V = U®U', q(U') = 0; б) в некотором базисе функция q имеет вид 38.29. Доказать, что если в симметрической матрице некоторый главный минор порядка г отличен от нуля, а все окаймляющие его главные миноры порядков г + 1 и г + 2 равны нулю, то ранг этой матрицы равен г. 38.30. Доказать, что вещественная симметрическая (комплексная эрмитова) матрица А может быть представлена в виде А = 1С • С (соответственно А = 1С • С), где С — квадратная матрица, тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы А неотрицательны. 38.31. Найти размерность пространства симметрических били- билинейных функций от п переменных. 38.32. Сопоставим каждому (неориентированному) графу Г с вершинами v\,..., vn квадратичную функцию положив CLij = 2' Г1' 0, если если если i = j, Vi и Vj соединены ребром, Vi и Vj не соединены ребром,
132 Гл. VIII. Билинейные и квадратичные функции и рассмотрим графы Л»: Dn Еп: (n = 6,7,8), ?6 (число вершин графа Гп равно п, графа Гп равно п + 1). Доказать, для графов Гп функция qr положительно определена, а для графов Гп положительно полуопределена: qr(x) ^ 0 для лю- любого х. 38.33. Пусть q — невырожденная квадратичная функция на пространстве V над произвольным полем F. Доказать, что если су- существует ненулевой вектор х G V, для которого q(x) = 0, то отобра- отображение q : V —>¦ F сюръективно. 38.34. Пусть f{x,y) — эрмитова неотрицательно определённая функция, причём f(z,z) = 0 для некоторого z ф 0. Доказать, что f(z,t) = 0 для всех t. 38.35. Пусть f(x,y) — положительно определённая эрмитова функция, причём /(ж, х) = f(y,y) = 1 для некоторого х,у ф 0. До- Доказать, что \f(x,y)\ ^ 1.
Глава IX ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ § 39. Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица линейного оператора 39.1. Какие из следующих отображений в соответствующих век- векторных пространствах являются линейными операторами: а) х \-> а (а — фиксированный вектор); б) х \-> х + а (а — фиксированный вектор); в) х \-> ах (а — фиксированный скаляр); г) х \-> (ж, а)Ъ (V — евклидово пространство, а, Ъ — фиксирован- фиксированные векторы); д) х \—у (а, х)х (V — евклидово пространство, а — фиксированный вектор); е) f(x) \-> f(ax + b) (/ G М[ж]п; а, Ь — фиксированные числа); ж) f{x) -> f{x + 1) - f{x) (/Gl[i); з) /(*).->/(*)(*) (/Gl[i); и) (ж1,ж2,ж3) ^ Oi +2,ж2 + 5,ж3); к) (ж1,ж2,ж3) н> (xi +Зж3,ж|,Ж1 +ж3); л) (Ж1,Ж2,Ж3) Н-» (Ж1,Ж2,Ж1 + Ж2 + Жз)? 39.2. Доказать, что всякий линейный оператор любую линейно зависимую систему векторов переводит в линейно зависимую систе- систему. 39.3. Доказать, что в n-мерном пространстве для любой линей- линейно независимой системы векторов а±,..., ап и произвольной системы векторов Ь]_,..., Ъп найдется единственный линейный оператор, пере- переводящий cti в hi (i = 1,..., п). 39.4. Доказать, что в одномерном векторном пространстве вся- всякий линейный оператор имеет вид х \-у ах, где а — некоторый скаляр.
134 Гл. IX. Линейные операторы 39.5. Найти образы и ядра линейных операторов из задачи 39.1. 39.6. Доказать, что оператор дифференцирования: а) является вырожденным в пространстве многочленов степе- степени ^ п; б) является невырожденным в пространстве функций с базисом (cost, sint). 39.7. Доказать, что всякое подпространство векторного прост- пространства является: а) ядром некоторого линейного оператора; б) образом некоторого линейного оператора. 39.8. Доказать, что если два линейных оператора ранга 1 имеют равные ядра и равные образы, то они перестановочны. 39.9. Пусть А — F-линейный оператор на подпространстве L пространства У, отличном от V. Доказать, что существует беско- бесконечно много линейных операторов на У, ограничение которых на подпространство L совпадает с Л, при условии, что поле F бесконеч- бесконечно. 39.10. Пусть А — линейный оператор в пространстве У, L — подпространство V. Доказать, что: а) образ A(L) и полный прообраз Л~1(Ь) являются подпрост- подпространствами в V] б) если оператор А — невырожденный и V конечномерно, то dim A(L) = dim А^Щ = dimL. 39.11. Пусть А — линейный оператор в пространстве У, L — подпространство V и L П Кег А = 0. Доказать, что любая линейно независимая система векторов из L оператором А переводится в ли- линейно независимую систему. 39.12. Доказать для линейных операторов А, В, С неравенство Фробениуса тк(ВА) + тк(АС) <: rk A + тк(ВАС). 39.13. Линейный оператор А называется псевдоотражением, ес- если тк(А - S) = 1. Доказать, что в n-мерном пространстве всякий линейный опера- оператор является произведением не более чем п псевдоотражений.
39. Матрица оператора 135 39.14. Доказать, что для линейного оператора А в п-мерном пространстве множество операторов X таких, что АХ = 0, является векторным пространством, и найти его размерность. 39.15. Найти матрицу оператора: а) (х\, ж2, хз) |->- (х\, х\ + 2ж2, ж2 + Зжз) в пространстве Ж3 в базисе из единичных векторов; б) поворота плоскости на угол а в произвольном ортонормиро- ванном базисе; в) поворота трехмерного пространства на угол 2тг/3 вокруг пря- прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями Xi = ж2 = Жз, в базисе из единичных векторов осей координат; г) проектирования трехмерного пространства на координатную ось вектора е2 параллельно координатной плоскости векторов е± и ез в базисе (еье2,е3); д) х \—> (х,а)а в евклидовом пространстве в ортонормированном базисе (ei,e2,e3) при а = е\ — 2е3 в указанном базисе; е) 14 ,) X в пространстве М2 (Ж) в базисе из матричных единиц; ж) X ь> 1 J в пространстве М2 (М) в базисе из матричных единиц; з) X ь->- *Х в пространстве М2(М) в базисе из матричных единиц; и) X ь->- АХ В (А, 5 — фиксированные матрицы) в пространстве М2(М) в базисе, состоящем из матричных единиц; к) X ь->- АХ + ХВ (А, 5 — фиксированные матрицы в простран- пространстве М2(М) в базисе из матричных единиц; л) дифференцирования в пространстве Ж[х]п в базисе A,ж,... м) дифференцирования в пространстве Ж[х]п в базисе (жп, н) дифференцирования в пространстве Ж[х]п в базисе (х - IJ (х - 1] 1д 1 п! 39.16. Доказать, что в пространстве М3 существует единствен- единственный линейный оператор, переводящий векторы A,1,1), @,1,0), A,0,2) соответственно в векторы A,1,1), @,1,0), A,0,1), и найти
136 Гл. IX. Линейные операторы матрицу этого оператора в базисе, состоящем из единичных век- векторов. 39.17. Пусть векторное пространство V является прямой суммой подпространств L\ и L2 с базисами (ai,..., а к) и (a^+i,..., ап). Дока- Доказать, что проектирование на L\ параллельно L2 является линейным оператором, и найти его матрицу в базисе (ai,..., ап). 39.18. Найти общий вид матриц линейных операторов в п-мерном пространстве, переводящих заданные линейно независимые векто- векторы а\,..., ak (к < п) в заданные векторы Ъ\,..., bk в базисе вида 39.19. Пусть линейный оператор в пространстве V в базисе 1,..., е4) имеет матрицу 0 12 3 5 4 0-1 3 2 0 3 6 1-1 7 Найти матрицу этого оператора в базисах: а) (е2,еье3,е4); б) (ei, ei + е2, е\ + е2 + е3, е\ + е2 + е3 + е4). 39.20. Пусть линейный оператор в пространстве М[ж]2 имеет в базисе A,ж,ж2) матрицу 0 0 1 0 | . Л 0 0> Найти его матрицу в базисе (Зж2 + 2ж + 1, ж2 + Зж + 2, 2ж2 + ж + 3). 39.21. Пусть линейный оператор в пространстве Ж3 имеет в ба- базисе ((8,-6,7), (-16,7,-13), (9,-3,7)) матрицу 1 -18 15 -1 -22 20 1 -25 22
9. Собственные векторы 137 Найти его матрицу в базисе (A,-2,1), C,-1,2), B,1,2)). 39.22. Пусть линейный оператор Л в n-мерном векторном пространстве V переводит линейно независимые векторы а\,..., ап в векторы Ь]_,..., Ъп соответственно. Доказать, что матрица этого опе- оператора в некотором базисе е = (ei,..., еп) равна ВА~Х, где столбцы матриц А и В состоят соответственно из координат заданных век- векторов в базисе е. 39.23. Найти общий вид матрицы линейного оператора Л в бази- базисе, первые к векторов которого составляют: а) базис ядра оператора Л; б) базис образа оператора Л. 39.24. Доказать, что если /(?) = /i(t)/2(t) — разложение много- многочлена /(?) на взаимно простые множители и для линейного операто- оператора Л выполняется равенство /(Л) = 0, то в некотором базисе мат- % О рица оператора Л имеет вид ( , ), где fi(Ai) = 0, /2(^2) = 0. § 40. Собственные векторы, инвариантные подпространства, корневые подпространства 40.1. Найти собственные векторы и собственные значения: а) оператора дифференцирования в пространстве М[ж]п; б) оператора X \-> 1Х в пространстве МП(М); в) оператора х-— в пространстве Щж1п; ах 1 Г г) оператора — / f{i)dt в пространстве Щж]п; х J dnf д) оператора / н-» —— в линейной оболочке ахп г е) оператора / —у / f(t)dt в линейной оболочке J—х (cos ж, sin ж,..., cos тж, sin mx).
138 Гл. IX. Линейные операторы 40.2. Доказать, что в пространстве Щх]п линейный оператор / н-» f(ax + b) имеет множество собственных значений 1, а,..., ап. 40.3. Доказать, что собственный вектор линейного оператора А с собственным значением Л является собственным вектором оператора /(Л), где /(?) — многочлен с собственным значением /(Л). 40.4. Доказать, что если оператор А невырожденный, то опера- операторы А и Л имеют одни и те же собственные векторы. 40.5. Доказать, что все ненулевые векторы пространства являют- являются собственными для линейного оператора Л тогда и только тогда, когда Л — оператор подобия хиаж, где а — некоторый фиксиро- фиксированный скаляр. 40.6. Доказать, что если линейный оператор Л в n-мерном про- пространстве имеет п различных собственных значений, то любой ли- линейный оператор, перестановочный с Л, имеет базис, состоящий из его собственных векторов. 40.7. Доказать, что подпространство V\(A), состоящее из всех собственных векторов оператора Л с собственным значением Л и ну- нулевого вектора, инвариантно относительно любого линейного опера- оператора 23, перестановочного с Л. 40.8. Доказать, что для любой (быть может, бесконечной) со- совокупности перестановочных линейных операторов конечномерного комплексного пространства: а) существует общий собственный вектор; б) существует базис, в котором матрицы всех этих операторов верхние треугольные. 40.9. Доказать, что если оператор Л2 имеет собственное значе- значение А , то одно из чисел А и —А является собственным значением оператора Л. 40.10. Доказать, что: а) коэффициенты с\,..., сп многочлена \А - ХЕ\ = (-A)n + di-XO1-1 + ... + сп являются суммами главных миноров соответствующего порядка матрицы А; б) сумма и произведение характеристических чисел матрицы А равны её следу и определителю соответственно.
Собственные векторы 139 40.11. Доказать, что всякий многочлен степени п со старшим ко- коэффициентом (—1)п является характеристическим многочленом не- некоторой матрицы порядка п. 40.12. Доказать, что если А и В — квадратные матрицы одина- одинаковых порядков, то матрицы АВ и В А имеют совпадающие характе- характеристические многочлены. 40.13. Найти характеристические числа матрицы 1А- А, где А — матрица-строка (ai,..., ап). 40.14. Доказать, что все характеристические числа матрицы от- отличны от нуля тогда и только тогда, когда матрица невырожденная. 40.15. Найти собственные значения и собственные векторы ли- линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами: 2-1 2 \ /010 а) [ 5-3 3 ; б) -4 4 0 -1 0 -2 / V —2 1 2 в) д) е) 7 -12 б 10 -19 10 12 -24 13 3 -1 1 1 3 0 V4 -1 40.16. Выяснить, какие из следующих матриц можно привести к диагональному виду путём перехода к новому базису над полем Ж или над полем С: а) в) Найти этот базис и соответствующий вид матрицы. 40.17. При каких условиях матрица, у которой все элементы, кро- кроме, быть может, элементов ai,..., ап побочной диагонали, равны ну- нулю, подобна диагональной матрице? -1 -3 -3 4 б 5 2 4 3 3 5 3 -1 -1 1 -5 N -9 -7
140 Гл. IX. Линейные операторы 40.18. Для матрицы А порядка п, у которой элементы побочной диагонали равны 1, а остальные элементы равны нулю, найти та- такую матрицу Т, что матрица В = Т~хAT диагональна. Вычислить матрицу В. 40.19. Доказать, что число линейно независимых собственных векторов линейного оператора А с собственным значением Л не боль- больше кратности Л как корня характеристического многочлена операто- оператора А. 40.20. Пусть Ai,..., Лп — собственные значения линейного опе- оператора А в n-мерном комплексном пространстве. Найти собственные значения оператора А как оператора в соответствующем 2п-мерном вещественном пространстве. 40.21. Пусть Ai,..., Лп — корни характеристического многочле- многочлена матрицы А. Найти собственные значения: а) линейного оператора X н-» АХ1 А в пространстве МП(М); б) линейного оператора X \-^ АХА~Х в пространстве МП(М) (матрица А невырожденная). 40.22. Найти все инвариантные подпространства для оператора дифференцирования в пространстве М[ж]п. 40.23. Доказать, что линейная оболочка любой системы собст- собственных векторов линейного оператора А инвариантна относитель- относительно А. 40.24. Доказать, что: а) ядро и образ линейного оператора А инвариантны относитель- относительно Л; б) всякое подпространство, содержащее образ оператора Л, инва- инвариантно относительно Л] в) если подпространство L инвариантно относительно Л, то его образ и полный прообраз инвариантны относительно А; г) если линейный оператор А невырожденный, то всякое под- подпространство, инвариантное относительно Л, инвариантно относи- относительно А~х. 40.25. Доказать, что в n-мерном комплексном пространстве вся- всякий линейный оператор имеет инвариантное подпространство раз- размерности п — 1.
Собственные векторы 141 40.26. Доказать, что линейный оператор в векторном прост- пространстве над полем К, имеющий в некотором базисе матрицу fln-l ап 1 0 0 0 0 1 0 0 ... (Л ... 0 ... 1 ... оу \ где многочлен хп — а\хп~1 — ... — ап-\х — ап неприводим над К, не имеет нетривиальных инвариантных подпространств. 40.27. Пусть линейный оператор А в n-мерном пространстве име- имеет в некотором базисе диагональную матрицу с различными элемен- элементами на диагонали. Найти все подпространства, инвариантные отно- относительно А. 40.28. Найти все инвариантные подпространства для линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу, состоящую из од- одной жордановой клетки. 40.29. Найти в трехмерном векторном пространстве все под- подпространства, инвариантные относительно линейного оператора с матрицей 4-2 2 2 0 2 -1 11 40.30. Найти в трехмерном векторном пространстве все подпро- подпространства, инвариантные относительно двух линейных операторов, заданных матрицами 5 —1 —1 \ / -6 2 3 -1 5 -1 , 2-3 6 -1-1 5 / V 3 6 2 40.31. В М[ж]п и С[ж]п найти все подпространства, инвариант- инвариантные относительно оператора: a) A(f) =x-J-; б) A(f) = - f(t) dt. ax x Jo 40.32. В линейной оболочке функций (cos ж, sin ж,..., cos пж, sin nx)
142 Гл. IX. Линейные операторы найти все подпространства, инвариантные относительно оператора: = |-; б)Л(/)= Г f(t)dt. 40.33. Доказать, что если для операторов Л, В конечномерно- конечномерного векторного пространства V над полем С выполняются равенст- равенства Л2 = В2 = ?, то в V существует одномерное или двумерное под- подпространство, инвариантное относительно Л и В. 40.34. Доказать, что комплексное векторное пространство, со- содержащее только одну прямую, инвариантную относительно линей- линейного оператора Л, неразложимо в прямую сумму ненулевых под- подпространств, инвариантных относительно Л. 40.35. Найти собственные значения и корневые подпространства линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей: /4 -5 2\ а) 5 -7 3 ; б) в) 4 5 б 2 1 1 -5 -7 -9 б 1 2 з1 -15 -5 -б 1 4 б / \ 0 1 0 1 -3 4А -7 8 -7 7, -2 1 0 -1 \ / 3 -1 2 0 2 \ -1 О 1 / 40.36. Доказать, что линейный оператор в комплексном вектор- векторном пространстве имеет в некотором базисе диагональную матри- матрицу тогда и только тогда, когда все его корневые векторы являются собственными. 40.37. Доказать, если что линейный оператор в комплексном век- векторном пространстве имеет в некотором базисе диагональную матрицу, то его ограничение на любое инвариантное подпрост- подпространство L также имеет диагональную матрицу в некотором базисе подпространства L. 40.38. Доказать, что всякое корневое подпространство линейно- линейного оператора Л инвариантно относительно любого линейного опера- оператора В, перестановочного с Л. 40.39. Доказать, что если матрица линейного оператора приво- приводится к жордановой форме, то всякое инвариантное подпространст- подпространство является прямой суммой своих пересечений с его корневыми под- подпространствами.
§41- Жорданова форма 143 40.40. Пусть A Е МП(С). Рассмотрим в пространстве Mnxm(C) оператор La-, где La{X) = АХ. Найти собственные значения La- Найти корневые подпространства оператора La-, где А — верхне- верхнетреугольная матрица. 40.41. Пусть A е МП(С), В е Мт(С), причём А и В не имеют общих собственных значений. Доказать, что: а) если X — матрица размера nxm и АХ — ХВ = О, то X = 0; б) уравнение АХ — ХВ = С, где X, С — матрицы размера п х т, имеет и притом единственное решение. 40.42. Пусть Л — линейный оператор в конечномерном комплекс- комплексном векторном пространстве V. Доказать, что в V существует базис, в котором матрица оператора Л верхнетреугольная. 40.43. Пусть Л — линейный оператор в конечномерном вещест- вещественном пространстве V. Доказать, что в V существует базис, в ко- котором матрица оператора Л имеет блочно-верхнетреугольный вид / V Ах 0 А2 * Ап \ ) где квадратные блоки Ai,..., Ап имеют размер не выше 2. 40.44. Пусть Л, В — линейные операторы в конечномерном комп- комплексном векторном пространстве и ранг оператора ЛВ — В А не пре- превосходит 1. Доказать, что существует общий собственный вектор для Ли В. § 41. Жорданова форма и её приложения. Минимальный многочлен 41.1. Найти жорданову форму матрицы: а)
144 Гл. IX. Линейные операторы и) л) н) V /10 0 12 0 12 3 \1 2 3 0\ 0 О п) м) /0100 0 0 10 0 0 0 1 о\ о о 0 0 0 0 i о о о 1 о/ fa О О а О «23 а О О а где i2, а2з, • • •, an-i,n Ф 0. 41.2. Доказать, что жорданова форма матрицы А + аЕ равна Aj + аЕ, где Aj — жорданова форма матрицы А. 41.3. Пусть А — жорданова клетка порядка п с элементом а на главной диагонали. а) Найти матрицу f(A), где /(ж) — многочлен. б) Найти жорданову форму матрицы А2.
§41- Жорданова форма 145 41.4. Найти жорданову форму матрицы fa 0 0 0 0 0 а 0 0 0 0 1 0 а 0 0 0 0 1 0 а 0 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... а ... 0 0 0 0 0 а) 41.5. Найти жорданову форму матрицы: а) А2; б) А~х (А — невырожденная матрица); если А имеет жорданову форму Aj. 41.6. Найти жорданову форму матрицы А и выяснить геометри- геометрический смысл соответствующего линейного оператора Л, если: а) А2 = Е- б) А2 = А. 41.7. Доказать, что всякая периодическая комплексная матрица подобна диагональной матрице, и найти вид этой диагональной мат- матрицы. 41.8. Доказать, что матрица нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее характеристические числа равны нулю. 41.9. Доказать, что для всякого линейного оператора Л ранга 1 в комплексном векторном пространстве существует такое число &, что Л2 = кЛ. 41.10. Найти жорданову форму матрицы линейного оператора Л и базис (Д,... ,/п), в котором Л имеет эту матрицу, если в базисе (ei,..., еп) оператор Л задается матрицей: 41.11. Найти жорданову форму матрицы линейного оператора в комплексном векторном пространстве, имеющем только одну инва- инвариантную прямую. 10 А.И. Кострикин
146 Гл. IX. Линейные операторы 41.12. Доказать, что максимальное число линейно независимых собственных векторов линейного оператора А с собственным значе- значением Л равно числу клеток с диагональным элементом Л в жордановой форме матрицы оператора А. 41.13. Доказать, что множество линейных операторов в п-мер- ном комплексном векторном пространстве, перестановочных с дан- данным оператором Л, является векторным пространством размерности 41.14. Доказать, что если линейный оператор В в комплексном векторном пространстве перестановочен с любым линейным опера- оператором, перестановочным с оператором Л, то В — многочлен от А. 41.15. Доказать, что если матрицы А и В удовлетворяют соот- соотношению АВ — В А = В, то матрица В нильпотентна. 41.16. В пространстве комплексных многочленов степени не вы- выше 2 по х и у действует оператор А : f(x,y) —У f(x + 1, у + 1). Найти жорданову форму оператора А. 41.17. В пространстве комплексных полиномов от ж, у степени не л д д хт « выше п действует оператор Л = ——Ь тг • Найти жорданову форму А. ох ду 41.18. Доказать, что любая матрица подобна своей транспониро- транспонированной. 41.19. В пространстве Мг(С) рассмотрим линейный оператор La(X) = АХ, где X Е Мг(С) и А — фиксированная матрица из М2(С). Найти жорданову форму оператора La, зная жорданову фор- форму А. 41.20. Доказать, что для любой невырожденной квадратной комплексной матрицы А и любого натурального числа к уравнение Хк = А имеет решение. 41.21. Решить уравнения: 41.22. Используя жорданову форму и задачи 17.7-17.9, вы- вычислить: 1 1\50 ^( 7 - ) б) { -1 3 ) ; б) { 14 -8 41.23. Найти минимальный многочлен диагональной матрицы с различными элементами на главной диагонали.
§ 41- Жорданова форма 147 41.24. Найти минимальный многочлен жордановой клетки поряд- порядка п с числом а на главной диагонали. 41.25. Доказать, что минимальный многочлен клеточно-диаго- клеточно-диагональной матрицы равен наименьшему общему кратному минималь- минимальных многочленов её клеток. 41.26. Найти минимальный многочлен: а) тождественного оператора; б) нулевого оператора; в) оператора проектирования n-мерного пространства V на ^-мерное подпространство L @ < к < п); г) оператора отражения; д) нильпотентного оператора индекса /с; е) оператора Л из 40.31, а); ж) оператора Л из 40.31, б); з) оператора Л из 40.32, а); и) оператора Л из 40.32, б); к) оператора La из 40.40; л) оператора Л из 41.16. 41.27. Найти минимальный многочлен матрицы: / 3 -1 -1 \ /4-2 2 а) 0 2 0 ; б) -5 7-5 \ 1 1 1 / \ -6 6 -4 41.28. Пусть линейный оператор Л в базисе (е1,в2,ез) прост- пространства V имеет матрицу 10 0 1 2 1 -1 0 1 Найти минимальный многочлен g(t) оператора Л и разложить пространство V в прямую сумму инвариантных подпространств в соответствии с разложением минимального многочлена на взаимно простые множители. 41.29. Доказать, что минимальный многочлен матрицы порядка ^ 2 и ранга 1 имеет степень 2. 41.30. Что можно сказать о жордановой форме матрицы линей- линейного оператора Л в комплексном пространстве, если Л3 = Л2? ю*
148 Гл. IX. Линейные операторы 41.31. Доказать, что некоторая степень минимального многочле- многочлена матрицы делится на её характеристический многочлен. 41.32. Доказать, что для подобия двух матриц необходимо, но не достаточно, чтобы они имели одинаковые характеристический и минимальный многочлены. 41.33. Доказать, что если степень минимального многочлена ли- линейного оператора А равна размерности пространства, то всякий оператор, перестановочный с Л, является многочленом от А. 41.34. Линейный оператор называется полупростым, если для любого инвариантного подпространства имеется инвариантное до- дополнительное подпространство. Доказать, что: а) ограничение полупростого оператора на инвариантное подпро- подпространство также является полупростым оператором; б) линейный оператор полупрост тогда и только тогда, когда про- пространство является прямой суммой минимальных инвариантных под- подпространств; в) если для линейного оператора А существует разложение про- пространства в прямую сумму инвариантных подпространств, на каж- каждом из которых ограничение оператора А полупросто, то А полу- полупрост на всем пространстве. 41.35. Доказать, что если минимальный многочлен линейного оператора А в пространстве V является произведением взаимно прос- простых многочленов д\ (х) и д<± (х), то V может быть разложено в прямую сумму двух инвариантных подпространств таких, что ограничения оператора А на эти подпространства имеют минимальные многочле- многочлены gi(x) и #2(х) соответственно. 41.36. Доказать, что для любого линейного оператора существу- существует такое разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств, что минимальные многочлены его ограничений на эти подпространства являются степенями различных неприводимых многочленов. 41.37. Доказать, что если минимальный многочлен линейного оператора А является неприводимым многочленом степени /с, то для любого х ф 0 векторы ж, Ах,..., Ак-1х составляют базис минималь- минимального инвариантного подпространства.
§ 41- Жорданова форма 149 41.38. Доказать, что линейный оператор полупрост тогда и толь- только тогда, когда его минимальный многочлен не имеет кратных непри- неприводимых множителей. 41.39. Доказать, что линейный оператор в векторном прост- пространстве над полем К характеристики 0 полупрост тогда и только тогда, когда он обладает собственным базисом над некоторым рас- расширением поля if. 41.40. Доказать, что сумма двух перестановочных полупростых линейных операторов над полем характеристики 0 является полу- полупростым оператором. 41.41. Пусть Л — линейный оператор в векторном пространстве над полем К характеристики 0 и К[Л] — кольцо линейных опера- операторов, представимых в виде многочленов от Л. Доказать, что если минимальный многочлен оператора Л является степенью неприводи- неприводимого многочлена р(х), то: а) элементы кольца If [Л], делящиеся в этом кольце на элемент р(Л), образуют идеал /, отличный от if [Л]; б) для всякого оператора В Е I минимальный многочлен оператора Л + В делится на р(х); в) существует оператор В Е / такой, что минимальный многочлен оператора Л + В равен р(х). 41.42. Доказать, что всякий линейный оператор Л в векторном пространстве над полем характеристики 0 может быть представлен в виде суммы полупростого и нильпотентного операторов, являющихся многочленами от Л. 41.43. Доказать, что всякий линейный оператор Л можно един- единственным образом представить в виде суммы перестановочных полу- полупростого и нильпотентного операторов. 41.44. Доказать, что если степень минимального многочлена д(х) линейного оператора Л в векторном пространстве V над полем if равна размерности пространства и g(t) является степенью многочле- многочлена, неприводимого над if, то: а) V нельзя разложить в прямую сумму двух инвариантных под- подпространств; б) V является циклическим относительно Л. 41.45. Пусть Ai,...,An — собственные значения матрицы A Е е м„(С).
150 Гл. IX. Линейные операторы Доказать, что: а) для любого натурального числа к trAk = Aj + ... + А?; б) коэффициенты характеристического полинома матрицы А яв- являются многочленами от tr А,..., tr An; в) если tr A = tr А2 = ... = tr Ап = 0, то матрица А нильпотентна. 41.46. Пусть В = * * * /0 0 ... 0 1\ 0 0 ... 1 0 0 1 ... 0 0 1 0 ... 0 0/ е мп(С) и S = —=(Е + iB). Доказать, что для жордановой клетки J(n, A) Е л/2 Е МП(С) справедливо равенство . п-1 41.47. Доказать, что каждая комплексная матрица подобна сим- симметрической. § 42. Нормированные пространства. Неотрицательные матрицы 42.1. Пусть К — нормированное поле (см. 66.35) с нормой Доказать, что следующие функции в Кп являются нормами: а) ||(аь...,ап)|| = \аг б) ||(аь...,ап)|| = max(|ai|,...,|an|); в) 42.2. Пусть К — локально компактное нормированное поле, V — конечномерное векторное пространство над К. Доказать, что любые
' jf.2. Нормированные пространства 151 две нормы ||ж||ь ||ж||2 в V эквивалентны, т.е. существуют такие поло- положительные действительные числа С\, С<±, что для всех х Е V 42.3. Пусть К — нормированное поле, V — конечномерное век- векторное пространство с базисом (ei,... ,em). Пусть хп = xn\e\ + ... • • • + хптет Е V, Xij Е К, п ^ 1. Доказать, что последовательность векторов хп сходится тогда и только тогда, когда сходятся последо- последовательности xni для г = 1,..., т. 42.4. Пусть if — полное нормированное поле и У — конечномер- конечномерное нормированное векторное пространство над К. Доказать, что V полно. 42.Ъ. Пусть К — нормированное поле и У — нормированное век- векторное пространство над К. Обозначим через L(V) множество всех таких линейных операторов Л в V, что число ||Л(ж)|| ограничено, если ||ж|| = 1. Доказать, что: а) L(V) — подпространство в пространстве всех линейных опе- операторов в V; б) L(V) является нормированной алгеброй с нормой ||Л|| = sup ||Л(х)||; N1=1 в) если V конечномерно, то L(V) — пространство всех операто- операторов в V. 42.6. Пусть К — нормированное поле и в Кп заданы нормы а), б) из задачи 42.1. Доказать, что (согласно задаче 42.5) нормы в Mn(if) = L(V) имеют вид: a) \\A\\=max (Y,K\)'> б) РН = ^^ г=1 j=l 42.7. Пусть К — нормированное поле. Для А = (aij) G положим: п а) ЦАЦ! = V \oij\-, б) Р||2 = N в) ||А||з = п • max \ац\. Е 1^-125 Доказать, что каждая из этих функций задает в Mn(if) структу- структуру нормированной алгебры.
152 Гл. IX. Линейные операторы 42.8. Доказать, что для любой матрицы A Е МП(С) определены матрицы еА, sin A, cos А. 42.9. Пусть А е МП(С). Доказать, что: a) sin 2А = 2 sin A cos А; б) егА = cos A + i sin A; в) sin A = heiA - e~iA); г) cos A = ]-{eiA + e-iA). 42.10. Если А, В е МП(С) иЛБ = В А, то 42.11. Пусть А — нормированная алгебра над полным нормиро- нормированным полем К. Доказать, что если х Е А, то существует предел р(х) = lim ||xn||1//n. 42.12. Пусть х — элемент банаховой алгебры А над полным нор- нормированным полем К. Доказать, что радиус сходимости ряда ^2 tnxn e A[[i\] равен р(х)-1 (см. задачу 42.11). 42.13. Пусть х — элемент банаховой алгебры А над полным нор- нормированным полем К. Спектром Sp(x) называется множество всех таких Л G К, что элемент х — Л необратим в А. Доказать, что: а) радиус наименьшего круга в К с центром в нуле, содержащего Sp(x), равен р(х); б) множество Sp(x) компактно в К. 42.14. Пусть A G МП(С) и Ai,..., Лп — все собственные значения матрицы А. Доказать, что max\\i\=p(A)^\\A\\, где ||А|| — произвольная норма в алгебре МП(С), индуцированная в силу 42.5, б) некоторой нормой в Сп. 42.15. Пусть х — элемент банаховой алгебры А над полным нор- нормированном полем К и /(?) G if [[?]]• Доказать, что если р{х) меньше радиуса сходимости /(?), то ряд /(ж) сходится. 42.16. Пусть х — элемент банаховой алгебры А над полным нор- нормированным полем К, д — обратимый элемент А и f(t) G К [[?]]. До- Доказать, что ряд f(x) сходится тогда и только тогда, когда сходится f(gxg~1), причём f(gxg~1) = gf(x)g~1.
' jf.2. Нормированные пространства 153 42.17. Пусть а — элемент банаховой алгебры над полным нор- нормированным полем К. Предположим, что /(?) Е if [[?]], причём ряд /(а) сходится. Пусть у а имеется аннулирующий многочлен степе- степени п. Доказать, что /(a) Е A, а, а2,..., ап~1). 42.18. Пусть A Е МП(С) и Ло,..., Лп — все корни характеристи- характеристического многочлена матрицы А кратностей ко,... ,кп. Предположим, что Ло,..., Лп лежат внутри круга сходимости ряда u(t) Е С[[?]]. Доказать, что (А) = ± г=0 к=0 1=0 =Xi (A - 42.19. Вычислить: , /3-1 а) ехр ( 1 1 б) ехр 4 -2 б -з в) ехр д) sin 7Г- -1 1 7Г + 1 42.20. Найти определитель матрицы е , где А — квадратная матрица порядка п. 42.21. Пусть А е МП(С) и x{t) = — непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Доказать, что решением системы дифференциальных уравнений с постоянными ко- коэффициентами jtx(t) = Ax(t) с начальным условием ж (to) является вектор-функция x{t) = ex (to). 42.22. Пусть А — неотрицательная матрица и Ак — положитель- положительная матрица для некоторого натурального числа к. Доказать, что р(А) > 0.
154 Гл. IX. Линейные операторы 42.23. Привести пример такой неотрицательной 2 х 2-матрицы, не являющейся положительной, что А2 является положительной матрицей. 42.24. Пусть неотрицательная матрица А имеет положительный собственный вектор. Доказать, что матрица А подобна неотрица- неотрицательной матрице, у которой суммы элементов каждой строки одина- одинаковы. 42.25. Пусть А, В — положительные матрицы, причём матрица А — В также положительна. Доказать, что р(А) > р(В). 42.26. Пусть А — невырожденная неотрицательная матрица, причём и обратная матрица А~х также неотрицательна. Доказать, что А — DP, где D — диагональная неотрицательная обратимая мат- матрица, Р — перестановочная матрица. 42.27. Пусть А — неотрицательная матрица, х — такой ненуле- ненулевой комплексный вектор, что Ах — ах — неотрицательный вектор для некоторого вещественного числа а. Доказать, что р(А) > а. 42.28. Пусть А — неотрицательная матрица, причём t А имеет по- положительный собственный вектор. Доказать, что если Ах — р(А)х — неотрицательный вектор для некоторого ненулевого вектора ж, то Ах = р(А)х. 42.29. Пусть А — неотрицательная матрица, причём матрица Ак положительна для некоторого натурального числа к. Доказать, что: а) А имеет положительный собственный вектор; б) р(А) — собственное значение А кратности 1. 42.30. Пусть неотрицательная матрица А имеет собственный вектор х = (жь.. . ,жп), где жь... ,хг > 0, хг+1 = ... = хп = 0. Дока- Доказать, что тогда существует такая перестановочная матрица Р, что (В С\ Р~ХАР = I 1 , где В G Mr(M), D G МП_Г(М), причём В имеет положительный собственный вектор. 42.31. Пусть А — неотрицательная матрица. Доказать, что су- существует положительная матрица В, перестановочная с А, в том и только том случае, если существуют положительные собственные векторы у матриц А и 1 А. 42.32. Пусть А — неотрицательная трехдиагональная матрица. Доказать, что все собственные значения А вещественны.
' jf.2. Нормированные пространства 155 42.33. Пусть А — неотрицательная матрица. Доказать, что 42.34. Для неотрицательных матриц А найти неотрицательные собственные векторы х и р(А):
Глава X МЕТРИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА § 43. Геометрия метрических пространств 43.1. Какие из векторных пространств с билинейными формами из задачи 37.1 являются метрическими? 43.2. Доказать, что вещественная часть f(x,y) и мнимая часть д(х,у) эрмитовой функции на комплексном векторном пространстве V инвариантны относительно умножения на г, т.е. для любых векто- векторов х,у Е V f(ix, iy) = /(ж, у), д(гх, гу) = д(х, у). 43.3. Доказать, что метрическое векторное пространство явля- является прямой суммой подпространства L и его ортогонального до- дополнения lA тогда и только тогда, когда скалярное произведение на L невырождено и что в этом случае скалярное произведение на ZA также невырождено. 43.4. В пространстве МП(С) с эрмитовым скалярным произведе- произведением найти ортогональное дополнение к подпространству: а) матриц с нулевым следом; б) эрмитовых матриц; в) косоэрмитовых матриц; г) верхних треугольных матриц. 43.5. Показать, что эрмитово и евклидово пространства являют- являются нормированными.
^3. Геометрия метрических пространств 157 43.6. Какие из нормирований пространств Мп, Сп из задачи 42.1 индуцированы евклидовой или эрмитовой метрикой? 43.7. Дополнить до ортогонального базиса систему векторов ев- евклидова и эрмитова пространства: а) (A,-2,2,-3), B,-3,2,4)); б) (A,1,1,2),A,2,3,-3)); '2 1 2\ /12 2N в) 1 \з'з'з;Чз'з' з ,//111 1\ /1 1 _1 _1 Г> ^\2' 2'2'2^ '1,2'2' 2' 2 д) (A,1-г,2),(-2,-1 + Зг,3-г)); е) ((-г,2,-4 + г),D-г,-1,г)). 43.8. Найти ортогональную проекцию вектора х евклидова (эрмитова) пространства на линейную оболочку ортонормированной системы векторов (ei,..., е/.). 43.9. Доказать, что в любых двух подпространствах евклидова (эрмитова) пространства можно выбрать ортонормированные базисы (ei,..., ek) и (/i,...,//) таким образом, чтобы (е^, fj) = 0 при i ф j и (е;,/;)^0. 43.10. Пусть (ei,..., е^) и (Д,...,//) — ортонормированные ба- базисы подпространств L и М евклидова (эрмитова) пространства, Л = ((ei,/j)) — матрица порядка к х I. Доказать, что все характе- характеристические числа матрицы 1А • А принадлежат отрезку [0,1] и не зависят от выбора базисов в подпространствах L и М. 43.11. Доказать, что всякая вещественная симметрическая матрица ранга ^ п с неотрицательными (соответственно положи- положительными) главными минорами является матрицей Грама некоторой системы (соответственно линейно независимой системы) векторов n-мерного евклидова пространства. Доказать аналогичное утверждение для эрмитовой матрицы и эрмитова пространства. 43.12. Доказать, что сумма квадратов длин проекций векторов любого ортонормированного базиса евклидова (эрмитова) прост- пространства на /с-мерное подпространство равна к. 43.13. Пусть G — матрица скалярного произведения в базисе (ei,..., еп) евклидова пространства V. Найти матрицу перехода к со- сопряжённому базису (/i,..., fn) и матрицу скалярного произведения
158 Гл. X. Метрические векторные пространства в этом базисе. 43.14. Пусть S — матрица перехода от базиса е к базису е'. Най- Найти матрицу перехода от базиса е', сопряжённого к е, к базису f, сопряжённому к f: а) в евклидовом пространстве; б) в эрмитовом пространстве. 43.15. С помощью процесса ортогонализации построить ортого- ортогональный базис линейной оболочки системы векторов евклидова (эр- (эрмитова) пространства: а) (A,2,2,-1), A,1,-5,3), C,2,8,-7)); б) (A,1, -1, -2), E,8, -2, -3), C,9,3,8)); в) (B,1,3, -1), G,4,3, -3), A,1, -6,0), E,7,7,8)); г) (B,1, -*), A - *, 2,0), (-€, 0,1 - *)); д) (@,1-г,2),(-г,2 + Зг,г),@,0,2г)). 43.16. Найти базис ортогонального дополнения линейной оболоч- оболочки системы векторов евклидова (эрмитова) пространства: а) (A,0,2,1), B,1,2,3), @,1,-2,1)); б) (A,1,1,1),(-1,1,-1,1),B,0,2,0)); в) (@,1 + 2г,-г),A,-1,2-г)). 43.17. Доказать, что системы линейных уравнений, задающих ли- линейное подпространство в Жп и его ортогональное дополнение, связа- связаны следующим образом: коэффициенты линейно независимой систе- системы, задающей одно из этих подпространств, являются координатами векторов базиса другого подпространства. 43.18. Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение к подпространству, заданному системой уравнений: xi + х2 + Зж3 - ж4 = 0, а) { Зж1 + 2х2 - 2ж4 = 0, х\ + Х2 + 4жз — ж4 = 0; ж1 - Зх2 + 4ж3 - Зж4 = 0, б) { Зж1 - х2 + 11ж3 - 13ж4 = 0, ж1 + х2 + 18ж3 - 23ж4 = 0; I xi + A - г)х2 - ix3 = 0, в) < —гх\ + 4ж2 = 0.
§ 43- Геометрия метрических пространств 159 43.19. Найти проекцию вектора х на подпространство L и орто- ортогональную составляющую вектора х: а) х = D, -1, -3,4) и L= (A,1,1,1), A,2, 2,-1), A,0,0,3)); б) х = E, 2, -2, 2) и L = (B,1,1,-1), A,1,3,0), A,2,8,1)); в) х = G, —4, —1,2) и L задано системой уравнений xi + ж2 + ж3 + Зж4 = 0, ж1 + 2х2 + 2ж3 + ж4 = 0, \ + 2^2 + 2жз — 4^4 = 0; г) х = @,1 +г,-г) и? = ((-г, 2 + г, 0), C, -г + 1,г)>; д) х = (г, 2 — г, 0) и L задано системой уравнений 43.20. Доказать, что если в процессе ортогонализации система векторов ai,..., ап переходит в систему Ь]_,..., Ьп, то вектор bk есть ортогональная составляющая вектора а/, относительно линейной обо- оболочки системы ai,..., a^_i (fc > 1). 43.21. Найти расстояние от вектора х до подпространства, за- заданного системой уравнений: а) .= B,4,0,-1), BXl+2X2+X3+Xi=0, \ 2хг + 4х2 + 2ж3 + 4ж4 = 0; б) х= C,3,-4,2), /*1+2*2+*з-*4=0, lxi+ 3^2 + жз — 3x4 = 0; в) х = C,3, -1,1, -1), 2ж1 - 2ж2 + Зж3 - 2х4 + 2ж5 = 0; г) х = C, 3, -1,1, -1), Ж1 - Зж2 + 2ж4 - хъ = 0; д) ж = @, -г, 1 + г), xi + ix2 - B - г)ж3 = 0; е) ж = A, -1, г), xi + E + 4г)ж2 - гх3 = 0. 43.22. Пусть (ei,...,e^) — ортонормированная система векто- векторов n-мерного евклидова (эрмитова) пространства. Доказать, что для любого вектора х выполняется неравенство Бесселя г=1
160 Гл. X. Метрические векторные пространства причём равенство достигается для любого х тогда и только тогда, когда к = п, т.е. данная система векторов является ортонормирован- ным базисом пространства V (равенство Парсевалл.) 43.23. Пользуясь неравенством Коши, доказать, что 2 к ~.|2|L.|2 для любых комплексных чисел а\,..., а/., Ь\,..., bk. 43.24. Доказать, что квадрат расстояния от вектора х евклидова (эрмитова) пространства до подпространства с базисом (ei,...,e^) равен отношению определителей Грама систем векторов (ei,..., е&, х) и (eb...,efe). 43.25. Доказать, что определитель Грама любой системы век- векторов: а) в процессе ортогонализации не меняется; б) неотрицателен; в) равен нулю тогда и только тогда, когда система линейно зави- зависима; г) не превосходит произведения квадратов длин векторов систе- системы, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда век- векторы попарно ортогональны или один из них нулевой. 43.26. Доказать, что определитель матрицы положительно опре- определённой квадратичной формы не превосходит произведения элемен- элементов её главной диагонали. 43.27. Доказать, что для любой вещественной квадратной мат- матрицы А = (dij) порядка п выполняется неравенство Адамара i=l xj=l причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда либо п к=1 либо матрица А имеет нулевую строку. Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для комп- комплексной матрицы А.
§ 1^3. Геометрия метрических пространств 161 43.28. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника ABC в пространстве М5: а) А =B,4,2,4,2), В = F,4,4,4,6), С = E,7,5,7,2); б) А =A,2,3,2,1), Б = C,4,0,4,3), + ^V78, 2 +А^78, З + ^л/78, 2 +-^ zo 13 13 13 43.29. С помощью скалярного произведения векторов доказать, что: а) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон; б) квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. 43.30. Методом наименьших квадратов решить переопределён- переопределённую систему линейных уравнений: а) + х2 - Зж3 = -1, + х2 + х3 = 3, б) 2х± — 5ж2 + Зжз + Ж4 = 5, - бжз + 2^4 = 7, - Зжз + хл ^8. 43.31. (п-мернал теорема Пифагора.) Доказать, что квадрат диа- диагонали n-мерного прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его рёбер, выходящих из одной вершины. 43.32. Найти число диагоналей n-мерного куба, ортогональных данной диагонали. 43.33. Найти длину диагонали n-мерного куба с ребром а и углы между диагоналями куба и его рёбрами. 43.34. Найти радиус шара, описанного около n-мерного куба с ребром а, и решить неравенство R < а. 43.35. Доказать, что длина ортогональной проекции ребра n-мерного куба на любую его диагональ равна 1/п длины диагонали. 43.36. Вычислить объём n-мерного параллелепипеда со сторо- сторонами: а) A,-1,1,-1), A,1,1,1), A,0,-1,0), @,1,0,-1); б) A,1,1,1), A,-1,-1,1), B,1,1,3), @,1,-1,0); 11 А.И. Кострикин
162 Гл. X. Метрические векторные пространства в) A,1,1,2,1), A,0,0,1,-2), B,1,-1,0,2), @,7,3, -4, -2), C9, -37,51, -29,5); г) A,0,0,2,5), @,1,0,3,4), @,0,1,4,7), B,-3,4,11,12), @,0,0,0,1). 43.37. Доказать, что для объёма параллелепипеда выполняется неравенство У(аь..., a/., &b...,fy) ^ У(аь...,а^) • У(ЬЬ ..., bt), причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда (а^, bj) = 0 при всех г и j. 43.38. Найти угол между вектором х и подпространством L: а) L = (C,4, -4, -1), @,1, -1,2)), х = B,2,1,1); б) L= (E,3,4,-3), A,1,4,5), B,-1,1,2)), х = A,0,3,0); в) L= (A,1,1,1), A,2,0,0), A,3,1,1)), х = A,1,0,0); г) L= (@,0,0,1), A,-1, -1,1), (-3,3,3,0)), х = A,2,3,0). 43.39. Доказать, что если каждые два различных из к векто- векторов евклидова пространства V образуют между собой угол тг/3, то к ^ dim У. 43.40. Доказать, что если каждые два различных из к векторов евклидова пространства образуют тупой угол, то к ^ 1 + dim У. 43.41. Найти угол между диагональю n-мерного куба и его /^-мерной гранью. 43.42. Найти угол между двумерными гранями а^а\а^ и правильного четырехмерного симплекса а§а\а2&ъа^' 43.43. Найти угол между подпространствами (A,0,0,0), @,1,0,0,)), (A,1,1,1), A,-1,1,-1)). 43.44. Многочлены называются многочленами Лежандра. а) Доказать, что многочлены Лежандра образуют ортогональный базис в евклидовом пространстве Щх]п со скалярным произведением / f(x)g(x)dx.
§ 43- Геометрия метрических пространств 163 б) Найти явный вид многочленов Pk(x) для к ^ 4. в) Доказать, что degPk(x) = к, и найти развёрнутое выражение для Рк(х) при всех к. г) Вычислить длину многочлена Лежандра Pk (x). д) Вычислить значение Р&A). е) Доказать, что при применении процесса ортогонализации к ба- базису A, ж, ж2,..., жп) пространства Щх]п получается базис, элементы которого лишь постоянными множителями отличаются от соответ- соответствующих многочленов Лежандра, и найти эти множители. f f(xJdx, J-1 ж) Доказать, что интеграл / /(ж) dx, где /(ж) — многочлен J-i степени п с вещественными коэффициентами со старшим коэффици- коэффициентом 1, достигает своего минимума 22п+1 при \п ) 43.45. В пространстве М[ж]п со скалярным произведением f(x)g(x)dx / -1 найти: а) объём параллелепипеда РA, ж,..., жп); б) расстояние от вектора хп до подпространства М[ж]п_1. 43.46. В пространстве L непрерывных функций на отрезке [—тг, тг] со скалярным произведением f{t)g{t)dt найти проекцию функции tm на подпространство V = A, cost, sint,..., cosnt, sinnt). 43.47. Пусть V — псевдоевклидово пространство сигнатуры (р, q) nW — подпространство в V. Доказать, что: 11*
164 Гл. X. Метрические векторные пространства а) если скалярное произведение на W положительно определено, то dim W ^ р; б) если (ж, ж) = 0 для любого х Е W, то dimVF ^ min(p, q). 43.48. Пусть на векторном пространстве задано невырожденное скалярное произведение сигнатуры (р, q) и ограничение его на под- подпространство W — невырожденное скалярное произведение сигна- сигнатуры (pr,qr). Доказать, что ограничение скалярного произведения на W1- невырождено и имеет сигнатуру [р — р1\q — q'). 43.49. Доказать, что в псевдоевклидовом пространстве сигнату- сигнатуры (р, q), где р и q отличны от нуля, существует базис, состоящий из изотропных векторов. § 44. Сопряжённые и нормальные операторы 44.1. Доказать следующие свойства операции перехода к сопря- сопряжённому оператору в метрическом пространстве: а) Л** = Л; б) (А + ВУ = А*+В*; в) (АВУ =В*А*; г) (АЛ)* =АЛ*; д) Л* Л и АА* — самосопряжённые операторы; е) если оператор Л невырожден, то (Л)* = (Л*). 44.2. Найти матрицу оператора Л* в базисе е метрического век- векторного пространства V, если оператор Л имеет в этом базисе мат- матрицу А, а скалярное произведение — матрицу G. 44.3. Пусть (ei,e2) — ортонормированный базис метрического векторного пространства и оператор Л имеет в базисе (ei,ei + e^) (\ 2\ матрицу ( 1. Найти матрицу оператора Л* в этом базисе. 44.4. Найти оператор, сопряжённый к проектированию коорди- координатной плоскости на ось абсцисс параллельно биссектрисе первой и третьей четвертей. 44.5. Пусть Л — проектирование метрического векторного пространства V на подпространство V\ параллельно подпростран- подпространству V2- Доказать, что: а) V = V1±®V2±; б) Л* — проектирование пространства V на V2± параллельно V^~.
§ 44- Сопряжённые и нормальные операторы 165 44.6. Доказать, что если подпространство метрического вектор- векторного пространства инвариантно относительно линейного оператора Л, то его ортогональное дополнение инвариантно относительно опе- оператора Л*. 44.7. Доказать, что ядро и образ сопряжённого оператора Л* являются ортогональными дополнениями соответственно к образу и ядру оператора Л. 44.8. Доказать, что если х — собственный вектор операторов Л и Л* в метрическом векторном пространстве с собственными значе- значениями Л и /i, то \i = Л. 44.9. Пусть V — пространство вещественных бесконечно диф- дифференцируемых периодических функций периода h > 0 со скалярным fh произведением / f(x)g(x) dx. Jo а) Найти оператор, сопряжённый к оператору дифференцирова- дифференцирования 7). б) Доказать, что отображения Л и Б, заданные правилами п п ли) = E^pi(/)' fi(/) = ^(-i)^W), г=0 г=0 где г^о, Щ ..., ип G V — фиксированные функции, являются линейны- линейными операторами в V и В = Л*. в) Доказать, что оператор, определённый правилом A{f) = sin2 \xV\j) + ^ sin ^xV(f), является самосопряжённым. 44.10. Пусть V — пространство вещественных бесконечно диф- дифференцируемых функций на отрезке [а, Ъ] со скалярным произведени- fb ем / f{x)g{x) dx. Доказать, что: J а а) если функции щ,..., ип G V удовлетворяют условиям V\uj){a) = &{щ){Ъ) =0 (j = 1,..., п; г = 0,1,... ,j - 1), то отображения Л и Б, определённые правилами п п ли) = Y.uiV'U), ви) = ^(-i^W). г=0 г=0
166 Гл. X. Метрические векторные пространства являются линейными операторами в V и В = А*; б) линейный оператор Д, определённый правилом A(f) = (х - а)\х - bJV2(f) + 2(х - а)(х - Ъ)Bх -a- b)V(f), самосопряжён. 44.11. Доказать, что если линейные операторы А и В в прост- гь ранстве Ж[х] со скалярным произведением / f(x)g(x) dx определены правилами A{f) = f P(x,y)f(y)dy, B{f) = f P(x,y)f(y)dy, гдеР(х,у) еЩх,у], тоВ = А*. 44.12. Доказать, что если Л — самосопряжённый оператор, то функция f(x,y) = (Ах, у) эрмитова. 44.13. Доказать, что если А и В — самосопряжённые операторы в метрическом векторном пространстве V и (Ах, х) = (Вх, х) для всех х G У, то А = В. 4:4:.\4:. Доказать, что оператор А в евклидовом или эрмитовом пространстве V нормален тогда и только тогда, когда \Ах\ = |Л*ж| для всех х G V. 44.15. Доказать, что если х — собственный вектор нормального оператора А в евклидовом или эрмитовом пространстве с собствен- собственным значением Л, то ж — собственный вектор оператора А* с собст- собственным значением Л. 44.16. Доказать, что собственные векторы нормального операто- оператора в метрическом векторном пространстве с различными собствен- собственными значениями ортогональны. 44.17. Доказать, что: а) ортогональное дополнение к линейной оболочке собственно- собственного вектора нормального оператора А в евклидовом или эрмитовом пространстве инвариантно относительно Л; б) оператор в эрмитовом пространстве нормален тогда и только тогда, когда он имеет ортонормированный собственный базис; в) оператор в евклидовом или метрическом пространстве норма- нормален тогда и только тогда, когда любой его собственный вектор явля- является собственным для сопряжённого оператора.
§ 44- Сопряжённые и нормальные операторы 167 44.18. Доказать, что любое множество перестановочных нор- нормальных операторов в эрмитовом пространстве имеет общий орто- нормированный базис. 44.19. Доказать, что если нормальный оператор Л в эрмитовом пространстве перестановочен с оператором Б, то Л перестаново- перестановочен с В*. 44.20. Пусть Л, В — нормальные операторы в эрмитовом про- пространстве, причём характеристические многочлены этих операторов равны. Доказать, что матрицы операторов Л и В в любом базисе подобны. 44.21. Пусть Л — нормальный нильпотентный оператор в эрми- эрмитовом пространстве. Тогда Л = 0. 44.22. Оператор Л в эрмитовом пространстве нормален тогда и только тогда, когда Л* = р(Л) для некоторого полинома p(t). 44.23. Для всякого многочлена п г=0 ПОЛОЖИМ /о) = ^2^х\ г=0 Доказать, что если Л — оператор в метрическом пространст- пространстве, то: б) если /(Л) = 0, то /(Л*) = 0. 44.24. Пусть Л — нормальный оператор в метрическом вектор- векторном пространстве V и f(x) G К[х]. Доказать, что: а) ядро Кег/(Л) инвариантно относительно Л*; б) ^ в) если f(x) = fi(x)f2(x), где fi(x) и /2(ж) взаимно просты, то Кег/(Л) является ортогональной прямой суммой подпрост- подпространств КегД(Л) и Кег/2(Л); г) если (/(Л))п = 0, то /(Л) = 0. 44.25. Пусть Л — нормальный оператор в евклидовом прост- пространстве V, причём Л2 = —Е. Доказать, что Л* = -Л.
168 Гл. X. Метрические векторные пространства 44.26. Пусть p(t) = t2 + at + Ъ — вещественный неприводимый многочлен. Предположим, что Л — нормальный оператор в евклидо- евклидовом пространстве, причём р(Л) = 0. Доказать, что А* = —А — аЕ. 44.27. Пусть А — нормальный линейный оператор в евклидовом пространстве V, U — двумерное инвариантное относительно А под- подпространство в V, причём А не имеет в U собственных векторов. Доказать, что: а) U инвариантно относительно Л*; б) U1- инвариантно относительно Л и Л*. 44.28. Пусть А — нормальный линейный оператор в двумерном евклидовом пространстве С/, причём Л не имеет собственных векто- векторов. Пусть е = (ei,e2) — ортонормированный базис. Доказать, что матрица оператора Л в базисе е имеет вид а -Ъ Ь а 44.29. Пусть Л — нормальный оператор в евклидовом прост- пространстве V. Доказать, что в V существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора Л имеет блочно-диагональный вид размер клеток А{ не выше двух, причём клетки А{ размера два имеют вид { -Ь- 44.30. Доказать, что всякий оператор в евклидовом (эрмитовом) пространстве является суммой симметрического и кососимметричес- кого (эрмитова и косоэрмитова) операторов. 44.31. Доказать, что всякий оператор Л в евклидовом прост- пространстве V кососимметричен тогда и только тогда, когда для любого х G V векторы х и Ах ортогональны. 44.32. Доказать, что для всякого кососимметрического операто- оператора в евклидовом пространстве существует ортонормированный ба-
45. Самосопряжённые операторы 169 зис, в котором его матрица имеет клеточно-диагональный вид, где по главной диагонали стоят нули или клетки вида а е § 45. Самосопряжённые операторы. Приведение квадратичных функций к главным осям 45.1. Доказать, что произведение двух самосопряжённых опе- операторов в метрическом векторном пространстве является самосоп- самосопряжённым оператором тогда и только тогда, когда эти операторы перестановочны. 45.2. Доказать, что если Л и В — самосопряжённые операторы в метрическом векторном пространстве, то: а) оператор ЛВ + В А самосопряжён; б) при Л = —Л оператор Х(ЛВ — ВЛ) самосопряжён. 45.3. Доказать, что проектирование метрического пространст- пространства Li 0 Li на подпространство L\ параллельно L^ является само- самосопряжённым оператором тогда и только тогда, когда L\ и L^ ортогональны. 45.4. Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей: а) в) - д)
170 Гл. X. Метрические векторные пространства 45.5. Доказать, что функции 1 —=, cos ж, sin ж, ..., cosnx, smnx л/2 составляют собственный ортонормированный базис для симметри- симметрического оператора —г в пространстве ах2 Уп = {«о + сц cos х + Ъ\ sin х + ... + ап cos пх + 6n sinпх\ щ,Ьг G М} 1 /^ со скалярным произведением — / f{x)g{x)dx. К J-7T 45.6. Доказать, что многочлены Лежандра (задача 43.44) состав- составляют собственный базис для самосопряжённого оператора, опреде- определённого правилом ( Л( f))(r) — (г2 — ~\) f"(r) + 2r f'(r) в пространстве многочленов степени ^ п со скалярным произведени- /.1 ем / f{x)g{x)dx. J-i 45.7. Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе эрмитова оператора, заданного в некотором ортонорми- рованном базисе матрицей: 3 2 + 2А . /3 -А / 3 2-х" K2-2i 1 J ' ^ \^г 3) ' В^ 1^2 + г 7 45.8. В пространстве матриц МП(С) положим (А, В) =1т(А-Щ. Доказать, что: а) МП(С) — эрмитово пространство; б) всякая унитарная матрица в этом пространстве имеет дли- длину у/п] _ в) операторы X н-» АХ и X н->- *АХ в пространстве МП(С) сопря- сопряжены; г) оператор X н-» АХ, где А — унитарная матрица, является уни- унитарным. 45.9. Доказать, что самосопряжённые операторы евклидова или эрмитова пространства перестановочны тогда и только тогда, когда они имеют общий ортонормированный собственный базис.
§45- Самосопряжённые операторы 171 45.10. Доказать, что самосопряжённый линейный оператор в евклидовом или эрмитовом пространстве: а) неотрицателен тогда и только тогда, когда все его собственные значения неотрицательны; б) положителен тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительны. 45.11. Доказать, что если А — оператор в евклидовом или эрми- эрмитовом пространстве, то А* А — неотрицательный самосопряжённый оператор и положителен тогда и только тогда, когда оператор А об- обратим. 45.12. Доказать, что если два неотрицательных самосопряжён- самосопряжённых оператора в евклидовом или эрмитовом пространстве переста- перестановочны, то их произведение — неотрицательный самосопряжённый оператор. 45.13. Доказать, что для всякого неотрицательного (положитель- (положительного) самосопряжённого оператора А в евклидовом или эрмитовом пространстве существует такой неотрицательный (положительный) самосопряжённый оператор 23, что В = А. 45.14. Пусть оператор А в трехмерном евклидовом пространстве в некотором ортонормированном базисе задан матрицей '13 14 14 24 18 4 18 29, Найти в этом базисе матрицу положительного самосопряжённого опе- оператора В такого, что В2 = А. 45.15. Доказать, что собственные значения произведения двух неотрицательных самосопряжённых операторов в евклидовом или эрмитовом пространстве, один из которых обратим, являются ве- вещественными и неотрицательными. 45.16. Доказать, что неотрицательный самосопряжённый опера- оператор ранга г в евклидовом или эрмитовом пространстве является сум- суммой г неотрицательных самосопряжённых операторов ранга 1. 45.17. Доказать, что всякий линейный оператор А эрмитова пространства единственным образом представим в виде А = А\ +гД2, где А\ и Аъ — эрмитовы операторы.
172 Гл. X. Метрические векторные пространства 45.18. Пусть А — вещественная матрица Якоби, т.е. симметри- симметрическая матрица вида 'оц рг 0 ... О Pi a2 h ... О О /?2 а3 ... О V О О О ... /?n_i О О О ... ап j причём /?]_•...• f3n-i ф 0. Доказать, что А не имеет кратных собст- собственных значений. 45.19. Найти ортогональное преобразование, приводящее квад- квадратичную функцию к главным осям: aj ож^ ~г ^«^2 Н~ i з^з i\ I I 1т* —I— S т* —I— V т* — / 1 Z О в) Ж^ + ^2 р4) Ж2 _^ Х2 д) ж: — 5ж ej ZiX\X2 Ж^ оХ-^ ' з) х\ + к) 4ж? - х\ х\ — 2х\ — 2х\ — Ъх\ 45.20. Доказать, что если /(ж) = 2_^ ^гх1? т0 Ai|,...,|Ar|) = тах|/(ж)|. \х\ = 1 45.21. Привести эрмитову квадратичную функцию к главным осям: а) в) 6|ж2|2; ж2| ж2| § 46. Ортогональные и унитарные операторы. Полярное разложение 46.1. Доказать, что ортогональные (унитарные) операторы об- образуют группу относительно умножения. 46.2. Доказать, что если оператор в евклидовом (эрмитовом)
46. Ортогональные и унитарные операторы 173 пространстве сохраняет длины векторов, то он ортогонален (уни- (унитарен). 46.3. Доказать, что если векторы х и у евклидова (эрмитова) про- пространства имеют одинаковую длину, то существует ортогональный (унитарный) оператор, переводящий х в у. 46.4. Пусть xi,..., Xk и 2/i,..., уь — две системы векторов евкли- евклидова (эрмитова) пространства. Доказать, что ортогональный (уни- (унитарный) оператор, переводящий Xi в yi (г = 1,..., к), существует тог- тогда и только тогда, когда (xi,Xj) = (yi,yj) при всех г и j от 1 до к. 46.5. а) Пусть w — ненулевой вектор евклидова (эрмитова) пространства. Для любого вектора х положим Доказать, что Uw(w) = —w и Uw(y) = у, если х G (w)^. б) Пусть ж, у — ненулевые векторы евклидова (эрмитова) пространства, причём у ^ (х). Доказать, что найдется такой век- вектор w, что 46.6. Найти канонический базис и матрицу в этом базисе орто- ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:
174 Гл. X. Метрические векторные пространства 46.7. Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе унитарного оператора, заданного в некотором ортонор- мированном базисе матрицей: а) /cos а — sma\ (а фЫ); б) -= 1-г 2-Зг ysin a cos a; Зг 4г -б -: 4 - Зг -2 - бг -2 - бг 1 1 —г 46.8. Доказать, что унитарная матрица порядка 2 с определите- определителем, равным 1, подобна вещественной ортогональной матрице. 46.9. Доказать, что если А — унитарный оператор в эрмитовом пространстве и оператор Л—? обратим, то оператор i(A—?)~1(А+?) эрмитов. 46.10. Пусть А — эрмитов оператор. Доказать, что: а) оператор А — i? обратим; б) оператор В = (А - i?)~1(A + i?) унитарен; в) оператор В — ? обратим; 46.11. Доказать, что для всякого эрмитова оператора А опера- оператор е унитарен и, обратно, всякий унитарный оператор предста- представим в виде егЛ, где А — эрмитов оператор. 46.12. Пусть V — евклидово пространство с базисом (ei, в2, ез) и А — ортогональный оператор в У с определителем 1. Доказать, что
§46- Ортогональные и унитарные операторы 175 где Ар и Аф — повороты в плоскости (ei,e2) на углы ip и ф, Be — поворот плоскости (в2,ез) на угол в. 46.13. Пусть V — пространство эрмитовых матриц порядка 2 над полем Ж с нулевым следом и (А, В) = tr AB (А, В Е V). Доказать, что: а) У — евклидово пространство с ортонормированным базисом 61 ~ л/2 I 0 -1 J ' б2 - л/2 ^1 О,/ ' 6з - у/2 V -* О б) оператор, определенный правилом X \-> АХ1 А (X G V), где А — унитарная матрица, является ортогональным; в) для всякого ортогонального оператора А в пространстве V существует такая унитарная матрица порядка 2 с определителем 1, что Л(Х) = АХ1 А для всех X G V. 46.14. Доказать, что всякий ортогональный оператор А в евкли- евклидовом пространстве является произведением отражений относитель- относительно гиперплоскостей и минимальное число множителей равно кораз- коразмерности подпространства Кег(Л — ?). 46.15. Доказать, что если Л, В — положительные самосопряжён- самосопряжённые операторы, А = ВС и оператор С ортогонален (унитарен), то С — f 46.16. Представить в виде произведения положительного само- самосопряжённого и ортогонального операторов оператор, заданный в некотором ортонормированном базисе матрицей: 46.17. Доказать, что в разложении А = ВС оператора в евкли- евклидовом (эрмитовом) пространстве, где В — неотрицательный само- самосопряжённый (эрмитов) оператор, С — ортогональный (унитарный) оператор, оператор В определён однозначно. 46.18. Доказать, что для всякого унитарного оператора А и любого натурального числа к существует унитарный оператор В, являющийся многочленом от Ли такой, что Вк = ?.
176 Гл. X. Метрические векторные пространства 46.19. Доказать, что самосопряжённый оператор Л положителен, когда коэффициенты с\,..., сп его характеристического полинома tn + c\tn~1 + ... + сп отличны от нуля и имеют чередующиеся зна- знаки. 46.20. Пусть Л, В — самосопряжённые операторы, причём Л положителен. Доказать, что собственные значения оператора ЛВ вещественны. 46.21. Пусть Л — положительный иВ — неотрицательный опе- операторы. Доказать, что собственные значения ЛВ вещественны и не- неотрицательны. 46.22. Пусть Л — самосопряжённый оператор. Доказать, что сле- следующие условия эквивалентны: а) все собственные значения Л лежат в интервале [а, Ь]; б) оператор Л—ХЕ отрицателен при Л > Ъ и положителен при А < а. 46.23. Пусть Л, В — самосопряжённые операторы, собственные значения которых лежат соответственно в интервалах [а, Ъ] и [с, d]. Доказать, что собственные значения Л + В лежат в интервале [а + с, b + d]. 46.24. Пусть Л — самосопряжённый положительный оператор. Доказать, что оператор ел положителен и самосопряжён. 46.25. Пусть Л = ВЫ — полярное разложение оператора Л, где В — неотрицательный самосопряжённый оператор, U — унитарный оператор. Доказать, что Л нормален тогда и только тогда, когда ВЫ = UB. 46.26. Пусть Л = ВЫ — полярное разложение оператора Л, где В — неотрицательный самосопряжённый оператор, U — унитарный оператор. Предположим, что Ai ^ ... ^ Лп ^ 0 — собственные зна- значения В. Рассмотрим в пространстве операторов норму, соответст- соответствующую согласно утверждению задачи 42.5, б) норме в эрмитовом пространстве. Доказать, что: а) б) если оператор Л обратим, то Ап > 0 и ЦЛ!! = —. Ап 46.27. Пусть А — невырожденная квадратная комплексная матрица размера п. Рассмотрим систему линейных уравнений АХ = = Ъ. Пусть Xq — точное решение, Х\ — приближенное, г = Ъ — АХ\ —
46. Ортогональные и унитарные операторы 177 вектор невязки. Доказать, что 46.28. Пусть А — квадратная комплексная матрица. Доказать, что А = U1DU2, где U\,U2 — унитарные матрицы, D — диагональ- диагональная матрица. По главной диагонали D стоят квадратные корни из собственных значений матрицы А-1А. 46.29. Пусть А = (ciij) — комплексная квадратная матрица по- порядка п. Доказать, что: а) det(A • \J2 б) |det | /2 ( ч в) указанная в б) оценка точная. 46.30. Пусть A G МП(С). Доказать, что А — UR, где U — унитар- унитарная матрица, a R — верхнетреугольная. Если А е МП(М), то А = QR, где Q — ортогональная, a R — вещественная верхнетреугольная матрица. 46.31. Пусть А е МП(С). Доказать, что 1~АА = *ДД, где Д — верхнетреугольная матрица. Если A G МП(М), то R можно выбрать из Mn(R). 46.32. Доказать, что всякая унитарная матрица является произ- произведением вещественной ортогональной и комплексной симметричес- симметрической матриц. 46.33. Пусть V — комплексное векторное пространство со ска- скалярным произведением (в поле С рассматривается тождественный автоморфизм). Доказать, что для любого симметрического операто- оператора Л в пространстве V существует жорданов базис, в котором мат- матрица скалярного произведения клеточно-диагональна с клетками 0 0 u 0 0 1 0 ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 1 0 0 0 того же размера, что и жордановы клетки матрицы оператора Л. 12 А.И. Кострикин
Глава XI ТЕНЗОРЫ § 47. Основные понятия В этом параграфе V — n-мерное векторное пространство, п ^ 2, (еь ..., еп) — базис V, (е1,..., еп) — сопряжённый базис прост- пространства V*. 47.1. Какие из следующих тензоров, заданных своими координа- координатами, разложимы: a) Uj = ij; б) t) = Suj] в) tij =i+j; г) t\. = 2^+fe2; д) ^ = SijS^ e) tijk = 6^к6к1? 47.2. Найти значение F(v,f) тензора F = e1 (g) e2 + e2 (g) (ei + 3e3) G Т}(У), где v = ei + 5e2 + 4e3, / = e1 + e2 + e3. 47.3. Найти значение тензора А®В — В®Ае T®(V) от набора а) А = е1 0 е2 + е2 0 е3 + е2 (g) e2 G 5 = e1(g)e1(g)(e1-e3) G Т§(У), ^1 = ei, г;2 = ei + е2, ^з = е2 + е3, ^4=^5= е2; б) А = е1 (g) е2 + е2 (g) е3 + е3 (g) e1 G Т§(У), 5 G Tg(V), все координаты тензора В равны 1, vi = ei + е2, г;2 = е2 + е3, ^з = е3 + еь ^4 = ^5= е2. 47.4. Найти значение F(v,v,v,f,f) тензора F G Т|(У), если все координаты тензора F равны 3, и v = е\ + 2е2 + Зе3 + 4е4, / = е1 - е4.
§4?- Основные понятия 179 47.5. Найти координату tjjg тензора Т Е Т2(У), все координаты которого в базисе (ei,e2,e3) равны 2, в базисе Л 2 3\ (ei,e2,e3) = (еье2,ез) 0 12. 0 1) 47.6. Найти координаты с индексами 1, 2, 3, 3, 3 произведений А 0 В и В 0 А тензоров А = е1 <8> е2 + е3 ® e3 Е где 5(^1,^2,^3) — определитель, составленный из координат i?i, г^з в базисе (ei,e2,e3). 47.7. Найти координаты: a) t\x тензора е1 0 е2 ® (е\ + е2) G ^(V) в базисе (еье2) = (еье2) I б) t}2 тензора Г G Т2(У), все координаты которого равны 1, в базисе (\ 2\ (еье2) = (еье2) в) t\\ тензора е2 0 е1 0 е3 0 ei + е3 0 е3 0 ei 0 е2 G Т^У) в базисе Л о о\ (ei,e2,e3) = (еье2,ез) 2 1 0 . \3 2 1/ 47.8. Найти координаты тензоров: а) (ei +e2) (g) (ex - e2); б) (ei +e2) (g)(ei +e2); в) (ei + 2e2) (g) (ex + е2) - (ex + e2) (g) (ex + 2e2); г) (ei + 2е2) 0 (е3 + е4) - (ex - 2е2) (8) (е3 - е4). 47.9. Пусть п = 4, Г = е1 (g) е2 + е2 (g) е3 + е3 (g) e4 G Т}(У). Найти все такие: а) / G V*, что T(i7, /) = 0 для любого г? Е V; б) г; е У, что Г (г;, /) = 0 для любого / Е У*. 12*
180 Гл. XL Тензоры 47.10. Пусть п = 3, поле К = Zp, Г = е1 ® е2 + е2 ® e3 G Т}(У). Найти число пар (г?, /) Е У х У*, для которых Т(г?, /) = 0. 47.11. Найти ранг билинейных функций: а) (е1 + е2) ® (е1 + е3) - е1 ® е1 - е2 ® e2; б) (е1 - 2е3) 0 (е1 + Зе2 - е4) + (е1 - 2е3) 0 е4; в) (е1 + е3) 0 (е2 + е4) - (е2 - е4) 0 (е1 - е3). 47.12. Доказать, что: а) ранг билинейной функции u®v, где элементы u,v €V* отличны от 0, равен 1; б) ранг биЛИНеИНОИ фуНКЦИИ у,. иг ® vii гДе uij- • • jukj Vi, . . . ..., Vk G V*, не превосходит к. 47.13. Найти полную свертку тензоров: а) (ei + Зе2 - е3) 0 (е1 - 2е3 + Зе4) - (е± + е3) 0 (е1 - Зе3 + е4); б) (ei + 2е2 + Зе3) 0 (е1 + е2 - 2е3) - (а - е2 + е4) 0 (е2 - 2е3 - Зе4); 47.14. Пусть а: У* (g) У —у L(V) — канонический изоморфизм. Вычислить a(t)v при п = 4, где: а) ? = е1 (g) e3, v = ei + e2 + е3 + е4; б) t = (е1 + е2) (g) (е3 + е4), г; = 2ех + Зе2 + 2е3 + Зе4. 47.15. Найти х G У* (g) У такой, что а(ж) = a(tJ для t, равного: а) Bе: - е3) (g) (ex + е2); б) е1 (g) е2 + (е1 + 2е2) (g) e3. 47.16. Пусть на пространстве У задано скалярное произведение с матрицей Провести опускание и подъем индексов у тензоров: а) е1 (g) е3 + е2 (g) е4; б) (е1 + е2) ® (е3 + е4) - (е1 + е3) ® е3; в) tj = E2i + ^4j5 r) t) = i^-. 47.17. Доказать, что если оператор Л диагонализируем, то опе- оператор Л® также диагонализируем. 47.18. Пусть а — след оператора Л, d — его определитель. Найти: )^); 6)tr(^); в) det(^ (g) Л).
48. Симметрические и ко со симметрические тензоры 181 47.19. Найти жорданову форму матрицы оператора Л0Й, если матрицы операторов Ли В имеют соответственно жорданову форму: 1' ; i IV б) и 1' и 2 b)(J }), 0 0 1 V V \0 0 0; § 48. Симметрические и кососимметрические тензоры 48.1. Установить изоморфизм пространств (Т^(У))* и Yqp(V). 48.2. Доказать следующие свойства операторов Sym и Alt в пространстве Тр(У): а) пересечение ядер KerSym и KerAlt равно нулю при q = 2 и отлично от нуля при q > 2; б) Sym • Alt = Alt • Sym = 0; в) оператор V — (? - Sym)(? - Alt) — проектирование. Найти ранг оператора V при q — 3. 48.3. Доказать, что если основное поле имеет характеристику 0, то линейная оболочка тензоров вида vk (v G V) совпадает с Sk(V). 48.4. Установить изоморфизм: a) S«(Vi 0 У2) и е?=15*(У1) 0 5д-ЧУ2); 6)A^(y!ey2) и е?=1А*(У1)(8)Л«-*(У2). 48.5. Доказать, что при dim У > 2 пространства Л2 (Л2 (У)) и Л4(У) не совпадают. 48.6. Доказать, что для любой невырожденной билинейной функ- функции / на пространстве V существует невырожденная билинейная функция F на пространстве Л У, для которой 48.7. Найти след оператора Aq(A) по его матрице Л: A-2 0 0 0 0-31
182 Гл. XI. Тензоры в) = 2,3). (I 0 0 \0 ( 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 -2 0 0 0 °\ о 1 V 0 0 -2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0) /2 0 0 \ 1 2 0 0 0 0 3 0 о^ 0 1 48.8. Найти жорданову форму матрицы оператора Л2(Л), если матрица Л имеет жорданову форму: а) в) 48.9. Доказать, что если tr Aq(A) = 0 для всех q > 0, то оператор Л нильпотентен. 48.10. Доказать, что в n-мерном пространстве V ненулевой опе- оператор вида Ап~1(Л) на An~1(V) либо невырожден, либо имеет ранг 1. 48.11. Доказать, что ^-мерное подпространство W С V инвари- инвариантно относительно линейного оператора Л тогда и только тогда, когда AkW инвариантно относительно Ак(Л). 48.12. Доказать, что для всякого бивектора ? G Л2 (У) существует базис (ei,..., еп) пространства У, для которого ? = ei Л е2 + е3 Л е4 + ... + ek-i Л efe при некотором чётном к. 48.13. (Лемма Картана.) Пусть система i?i,... ,г?д. векторов про- пространства V линейно независима и ?i, ...,?& Е V. Доказать, что л k л *д. = о тогда и только тогда, когда ti,...,t^ Е (^ъ ... ,^/г), и матрица, со- k ставленная из элементов а^-, где ^ = 2_^aijvji симметрическая. 48.14. Доказать, что бивектор ? разложим тогда и только тогда, когда ? Л ? = 0.
§ li-8. Симметрические и ко со симметрические тензоры 183 48.15. Доказать, что для ? Е AP(V), х Е V, х ф О, равенство ?Лж = О выполняется тогда и только тогда, когда ^ = х А 0 для некоторого 48.16. Пусть ? Е ЛР(У) — ненулевой р-вектор и VF = {xG V\ ?Лж = 0}. Доказать, что: а) dim W ^ р; б) dimVF = р тогда и только тогда, когда ? разложим; в) наименьшее подпространство, в p-ik степени которого лежит р-вектор f, есть [7 = {?(г;,... ,%_i)| ^ G V*}. г) dim U ^ р, причём dim U = р тогда и только тогда, когда ? разложим. 48.17. Доказать, что внутреннее умножение i(v*), где v* G У*, является дифференцированием алгебры S(V). 48.18. Доказать, что операторы внутреннего умножения г (г;*) и i(v%), ^1,^2 ^ ^*' коммутируют в алгебре S(V) и антикоммутируют в алгебре A(V).
Глава XII АФФИННАЯ, ЕВКЛИДОВА И ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ § 49. Аффинные пространства 49.1. Доказать, что для любых точек а, Ь, с аффинного прост- пространства ab + be = ~ас. 49.2. Доказать, что если 2_^ ^ = 0> т0 Для Л1°бых точек ai,... ..., ak аффинного пространства вектор 2_^. \аа% не зависит от точки а. 49.3. Доказать, что если \ Л^ = 1, то для любых точек ai,... ..., ak аффинного пространства точка а + 2_^ Х{аЩ (обозначаемая 2^. ^ai) не зависит от точки а. 49.4. Пусть (Р, U) — аффинное подпространство (плоскость) аффинного пространства. Доказать, что: а) U = {pq\ p,q G P}; б) Р = р + U для любой точки р G Р. 49.5. Доказать, что пересечение любого семейства плоскостей аффинного пространства либо пусто, либо является плоскостью. 49.6. Пусть S — непустое подмножество аффинного пространст- пространства А. Доказать, что: а) подмножество (S) = а + (ах \ х е S), где a G 5, не зависит от а и является наименьшей плоскостью, содержащей S; f к к Кг=1 г=1
§ 49- Аффинные пространства 185 49.7. Доказать, что подмножество аффинного независимого множества аффинно независимо. 49.8. Доказать, что любое максимальное аффинно независимое подмножество множества S в аффинном пространстве содержит fc + 1 точек, где к = 1 + dimE). 49.9. Пусть в аффинном пространстве (А, V) заданы две системы аффинных координат: (а, е^,..., еп) и (а', е[,..., е'п), a (ai,..., ап) — координаты точки а' в первой системе и В = (Ь^-) — матрица перехо- перехода от базиса (ei,..., еп) к базису (е^,..., е^) в векторном пространст- пространстве V. Выразить координаты (х\,..., хп) точки х Е А в первой системе через её координаты (х[,... ,х'п) во второй системе, и наоборот. 49.10. Найти систему уравнений и параметрические уравнения, задающие аффинную оболочку множества: а) (-1,1,0,1), @,0,2,0), (-3,-1,5,4), B,2,-3,-3); б) A,1,1, -1), @,0,6, -7), B,3,6, -7), C,4,1, -1). 49.11. Пусть di = (a^i,... ,а^п) (г = 1,..., s) — точки в п-мерном аффинном пространстве. Доказать неравенства гк(а^) - 1 ^ dim(ai,... ,as) ^ гк(а^) и указать условия, при которых левые неравенства превращаются в равенства. 49.12. Доказать, что любые две прямые в аффинном пространст- пространстве содержатся в трехмерной плоскости. 49.13. Пусть Р\ = ai + Li, P2 = a2 + 1/2 — две плоскости в аф- аффинном пространстве. Доказать, что: а) Р\ П Ръ = 0 тогда и только тогда, когда а\а^ ^ L\ -\- L^\ б) если РхГ\Р2ф 0, то dim(Pi U Р2) = dim Pi + dimP2 - dim(Pi П Р2); в) если Pi П Р2 = 0, то dim(Pi U Р2) = dim Pi + dim P2 - dim(Li П L2) + 1. 49.14. Доказать, что для любых плоскостей Pi,..., Ps аффинного пространства dim(Pi U ... U P8) ^ dim Pi + ... + dim Ps + s - 1.
186 Гл. XII. Аффинная, евклидова и проективная геометрия 49.15. Доказать, что степень параллельности двух непересека- непересекающихся плоскостей Pi, P2 равна: а) наибольшему из чисел к, для которых существуют параллель- параллельные плоскости Qi С Pi и Q2 С Р2 размерности &; б) наибольшей размерности плоскости, содержащейся в Pi и па- параллельной Р2, если dim Pi ^ dim P2. 49.16. Найти размерность аффинной оболочки объединения плос- плоскостей ?i и ?2 и размерность их пересечения или степень их парал- параллельности, если: ' ж1 + 2х2 + 2ж3 + 2ж4 = 2, ж1 + Зж2 + 2ж3 + 5ж4 = 3, xi + 2^2 + Зжз + 4^4 = 5, xi - ж2 + Зж3 - 5ж4 = 2; a) Pi: б) Pi: = б, = 2, = 1 — в) P х\ — —6 + 4*, ж2 = 2 + 3*, х3 = 2 + 7*, ж4 = -2 + 5*, ж5 = -3 + 3*. Ж3 = 1 — 2*1 + 2*2, QT1 — I _i_ О/., OX\ — ± T Z,6l, x2 =3 + 2*2, i : s x3 = 5 + 4*2 P2 : ж4 = 4 + 3*i + 2*2 Ж 5 — Z-pq т Z625 49.17. Пусть Pi = ai + Li и P2 = a2 + I/2 — две непересекаю- непересекающиеся плоскости. Доказать, что минимальная размерность плоскос- плоскости, содержащей Pi и параллельной Р2, равна dim Pi + dimP2 — dim(Li П L2). 49.18. Пусть Pi, P2 — две плоскости в аффинном пространстве А над полем К, (Pi U Р2) = А, Р± П Р2 = 0 и пусть Л — фиксиро- фиксированный элемент из К, Л ф 0,1. Найти геометрическое место точек \а\ + A — А) а2, где а± и а2 пробегают соответственно Pi и Р2. 49.19. Пусть Pi = а\ +L\ ш Р2 = a2 + L2 — скрещивающиеся плос- плоскости в аффинном пространстве. Доказать, что для любой точки
9. Аффинные пространства 187 b fi Pi U P2 существует не более одной прямой, проходящей через Ъ и пересекающей Pi и Р2, причём такая прямая существует тогда и только тогда, когда Ъ Е (Pi U Р2), но а\Ъ ? L\ + L2 и a2b ? L\ + L2. 49.20. Найти прямую, проходящую через точку Ъ и пересекаю- пересекающую плоскости Pi и Р2: а) Ъ= F,5,1,-1), \ —xi + 2ж2 + х3 = 1, Pi : < . _ Р2 : б) Ь= E,9,2,10,10), — х2 — ж4 + х$ =2, Pi : < xi - ж3 - ж4 + ж5 = 1, в) 6= F,-1,-5,1), ' хх = 3 + 2*, *2 = 5-*, |- ж3 = 3 - *, 1 9а Ж4 = 6 + *, Х\ - х2 = хз = Х4 = ; < = 4 + = 4 + = 5 + = 4 + Xi х2 хз х4 Хъ 2*, 3*, 4*; = 3, = 24 = 0, = 54 = 64 -6*1 +5*2, -4*i +3*2, -*i +2*2; Pl- < - 6ж4 = 5. 49.21. Пусть ao, ai,..., ап — аффинно независимые точки п-мер- ного аффинного пространства А. Доказать, что всякая точка a G А единственным образом представляется в виде a = 2^ ^iaii гДе Ai = 1. 49.22. Пусть (ao, ei,..., еп) — аффинная система координат в аф- аффинном пространстве (А, V), ai = ao + е« (г = 1,... ,п). Найти бари- барицентрические координаты точки ж = (xi,... ,жп) относительно сис- системы точек ao, ai,..., an. 49.23. Пусть (А, V) — аффинное пространство над полем К, \К\ ^ 3, Р — непустое подмножество в А. Доказать, что Р явля- является плоскостью тогда и только тогда, когда вместе с любыми двумя различными точками а, Ъ G Р в Р содержится прямая (а, 6). Верно ли это утверждение, если К — поле из двух элементов?
188 Гл. XII. Аффинная, евклидова и проективная геометрия 49.24. Доказать, что всякое аффинное преобразование, диффе- дифференциал которого не имеет собственного значения 1, обладает непо- неподвижной точкой. 49.25. Доказать, что для любых двух точек а, Ъ аффинного про- пространства (А, V) и любого невырожденного линейного оператора Л в пространстве V существует единственное аффинное преобразование /, удовлетворяющее условиям /(а) = Ъ и Df = Л, где Df — диффе- дифференциал отображения /. 49.26. Доказать, что для любых аффинных преобразований / и g D(fg) = Df ¦ Dg, где Df — дифференциал отображения /. 49.27. Пусть / — аффинное отображение аффинного простран- пространства А в аффинное пространство В над полем К, ai,...,as Е А, oji,..., as G К. Доказать, что: S а) если ^ а* = 1, то г=1 S б) если ^а-=0, то Р/ г=1 \г=1 / г=1 49.28. Пусть / — аффинное преобразование аффинного прост- пространства (А, У) над полем К, имеющее конечный порядок п. Доказать, что если char K\n, то / имеет неподвижную точку. Верно ли это, если char К | п? 49.29. Доказать, что если G — конечная группа аффинных пре- преобразований над полем К и char if { \G\, то преобразования из G об- обладают общей неподвижной точкой. 49.30. Пусть ао, ai,..., ап и Ьо? Ьъ ..., Ьп — Два набора аффинно независимых точек в n-мерном аффинном пространстве А. Доказать, что существует единственное аффинное преобразование / : А —У А, при котором f{ai) = Ь\ [г = 0,1,..., п). 49.31. Найти все точки, прямые и плоскости трехмерного аффин- аффинного пространства, инвариантные относительно аффинного преобра- преобразования, переводящего точки ао, ai, а2, аз в точки &о, Ьъ &25 ^з соответ- соответственно: а)ао = A,3,4), ai = B,3,4), о2 = A,4,4), а3 = A,3,5), Ьо = C,4,3), Ь1 = (8,9,9), Ъ2 = (-2,-2,-6), 63 = E,7,8);
§ 49- Аффинные пространства 189 б) а0 = C,2,3), сц = D,2,3), а2 = C,3,3), а3 = C,2,4), Ьо = B,4,6), bi = (l,8,12), Ъ2 = (-1,-5,-1), Ъ3 = F,12,11); в) а0 = B, 5,1), аг = C, 5,1), а2 = B, б, 1), а3 = B, 5, 2), Ьо = C,7,3), bi = F,11,6), Ь2 = E,17,9), Ь3 = @,-5,-4); г) а0 = B,5,4), сц = C,5,4), а2 = B,6,4), а3 = B,5,5), Ьо = A,6,6), h = (8,16,18), Ъ2 = (-11, -13, -18), Ьз = G,16,19). 49.32. Доказать, что две конфигурации Pi, P2 и Qi, Q2 в аффин- аффинном пространстве аффинно конгруэнтны в том и только том случае, если dim Pi = dimQi, dimP2 = dimQ2, dim (Pi U P2) = dim(Qi UQ2), и обе пары имеют одновременно пустое или непустое пересечение. 49.33. Существует ли аффинное преобразование, переводящее точки а,Ь,с соответственно в точки ai,bi,ci, а прямую I — в пря- прямую /]_, если: а) a =A,1,1,1), Ъ= B,3,2,3), с =C,2,3,2), i = A,2, 2,2)+ @,1,0,1)*, ai = (-l, 1,-1,1), bi = @,4,0,4), ci = B,2,2,2), *i = (-1,2,0,3)+ A,-5,1,-5L; б) а = B,-1,3, -2), 6= C,1,6,-1), с =E,1,4,1), / = B,0,4,-1)+ @,1,2,0)*, d = A, -2,3,5), 6i = B,1,8,7), Cl = C,2,10, -6), Ji = A,-1, 5,-2)+ @,2,3,-3)*; в) a =B,-1,2,2,), b= E,-4,0,3), с =D,4,6,8), / = G,4,10,9)+ D,4,5,6)*, ai = A,3,2,-2), bi = D,-2,0,0), ci = (-3,10,6,2), /i = E,-6,-1,5)+ B,-6,-3,2)*? 49.34. Существует ли аффинное преобразование, переводящее точки а,Ь,с,d соответственно в точки ai,bi,ci,di, а прямую / — в прямую /i, если: а) a =A,2,3,4), Ъ= A,3,3,4), с= A,2,2,4), d= A,2,3,3), / = (-3,2,4,1) + B,1,-1, -2)*, ai = A, -1,4,2), 6i = B, -2,5,3), Cl = B,0,3,3), di = B,0, 5,1), /i = A, -5,2, -12) + A,1,1,1)*; б) a =(-3,0,2,4), b= (-3,1,3,5), с = (-2,0,3,5), d= (-2,1,2,5), г = (-1,5,5,6) + A,1,1,0)*,
190 Гл. XII. Аффинная, евклидова и проективная геометрия ai = (-1,1,2,3), bi = A,-4,3,5), Cl = (-4,8,1,7), di = D, -8,4,10), h = D,5, -1,1) + D, -6,1,2)t? 49.35. Пусть аффинное пространство А равно (Pi U P2), где Р\ и ?2 — скрещивающиеся плоскости, и G — подгруппа в аффинной группе пространства А, состоящая из преобразований, оставляющих инвариантными Р\ и ?2- Найти орбиты действия G на А. 49.36. Пусть (А, V) — аффинное пространство над полем К. Би- Биективное отображение / : А —>¦ А называется коллинеацией, если для любых трех точек a,b,c Е А, лежащих на одной прямой, точки /(а), /F), /(с) также лежат на одной прямой. Доказать, что если \К\ ^ 3, то образ и полный прообраз плоскости Р С А при коллинеации f-.A—tA являются плоскостями той же размерности, что и Р. Верно ли ут- утверждение, если \К\ = 2? 49.37. Пусть V — векторное пространство над полем К. Отобра- Отображение if : V —У V называется полулинейным относительно некоторого автоморфизма а поля К, если <р(х + у) = <р(х) +<р(у), (р(ах) = а(а)(р(х), где х,у eV, a e К. Полуаффинным преобразованием аффинного пространства (А, V) называется пара (/, D/), где/: А —>¦ A, Df: V —>¦ V, удовлетворяю- удовлетворяющая условиям: Df — биективное полулинейное отображение относительно неко- некоторого автоморфизма поля К; f(a + v) = f(a) + Df(v) для любых a G A, v G V. Доказать, что: а) полу аффинное преобразование является коллинеацией; б) если (А, V) — аффинное пространство над полем К и \К\ ^ 3, то всякая коллинеация / : А —>¦ А является полуаффинным преобра- преобразованием. 49.38. Пусть E, U) — плоскость аффинного пространства (А, V) vlW — подпространство пространства У, дополнительное к U. Дока- Доказать, что всякая точка a G А единственным образом представляется в виде а = Ъ + w, где Ъ G В, w G W и что отображение а н-» Ъ [проек- [проектирование на В параллельно W) является аффинным отображением пространства (A,V) в пространство (B,U).
§ 50. Выпуклые множества 191 § 50. Выпуклые множества 50.1. Доказать, что всякая плоскость аффинного пространства является пересечением конечного числа полупространств. 50.2. Доказать, что подмножество плоскости Р аффинного про- пространства А является выпуклым многогранником в Р тогда и только тогда, когда оно является выпуклым многогранником в А. 50.3. Пусть выпуклый многогранник М в аффинном простран- пространстве задается системой линейных неравенств fi(x) ^0 (г = 1,...,/с; fi ф const). Доказать, что для всякого непустого подмножества J С {1,..., к} множество MJ, задаваемое условиями fi{x) = 0 при г Е J, fiix) ^ О при г (? J, если оно непусто, является гранью многогранника М, и, об- обратно, всякая грань многогранника М имеет вид MJ для некоторого множества J С {1,..., к}. 50.4. Пусть ao,ai,...,an — точки n-мерного аффинного прост- пространства, находящиеся в общем положении, Hi [г = 0,1,... ,п) — ги- гиперплоскость, проходящая через все эти точки, кроме а^, и Hf — ограничиваемое ею полупространство, содержащее точку а^. Дока- Доказать, что conv{a0,ab...,an} = р| Я+. г=0 50.5. Доказать, что грани n-мерного симплекса conv{a0,ab.. .,an} — это выпуклые оболочки всевозможных собственных подмножеств множества {по , а\,..., ап}. 50.6. Найти грани n-мерного параллелепипеда, заданного в неко- некоторой системе аффинных координат неравенствами 0 ^ Х{ ^ 1 (г = 1, 2,...,п). 50.7. Найти вершины и описать форму выпуклого многогранника в трехмерном аффинном пространстве, заданного неравенствами Х\ ^1, Х2 ^ 1, Х% ^ 1, ^1+^2^ "I, Xi + Х3 ^ -1, Х2 + Х3 ^ -1.
192 Гл. XII. Аффинная, евклидова и проективная геометрия 50.8. Найти вершины и описать форму сечений четырехмерного параллелепипеда, заданного неравенствами 0 ^ х\ ^ 1 (г = 1,2,3,4), плоскостями: а) х\ + ж2 + х3 + Х4 = 1; б) х\ + ж2 + х3 + Х4 = 2; в) xi +ж2 +ж3 = 1; г) х\ + ж2 = хз + ж4 = 1. 50.9. Доказать, что замыкание выпуклого множества выпукло. 50.10. Доказать, что открытое ядро М° телесного выпуклого множества М выпукло и его замыкание содержит М. 50.11. Доказать, что образ и полный прообраз выпуклого мно- множества при аффинном отображении являются выпуклыми мно- множествами. 50.12. Доказать, что: а) при сюръективном аффинном отображении полный прообраз гиперплоскости является гиперплоскостью; б) полный прообраз полупространства является полупространст- полупространством. 50.13. Доказать, что выпуклая оболочка множества S состоит из всевозможных комбинаций вида 2_^ \ai-> гДе к di е 5, А; ^ 0 (г = 1,...,/с), ^А; = 1. г=1 50.14. Пусть М — выпуклое множество иа^М. Доказать, что conv(M U а) = |^J аЪ. ьем 50.15. Пусть S — подмножество n-мерного аффинного прост- пространства А. Доказать, что если (S) = А, то conv S есть объединение n-мерных симплексов с вершинами в точках множества S. 50.16. Доказать, что выпуклая оболочка компактного множества компактна. 50.17. Пусть М — выпуклое подмножество двумерного аффин- аффинного пространства и а ? М° (см. 50.10). Доказать, что через точку а можно провести прямую так, что множество М будет лежать по одну сторону от неё.
50. Выпуклые множества 193 50.18. Пусть М — выпуклое подмножество n-мерного аффинного пространства А и а 0 М° (см. 50.10). Доказать, что через точку а можно провести гиперплоскость так, что множество М будет лежать по одну сторону от неё. 50.19. Доказать, что через любую точку замкнутого выпуклого множества, не принадлежащую его открытому ядру, можно провести опорную гиперплоскость. 50.20. Доказать, что всякое замкнутое выпуклое множество М есть пересечение (вообще говоря, бесконечного числа) полупрост- полупространств. 50.21. Доказать, что всякий замкнутый выпуклый конус в век- векторном пространстве есть пересечение (вообще говоря, бесконечного числа) полупространств, границы которых проходят через нуль. 50.22. Пусть fi (г = 1,..., k) — аффинные линейные функции на аффинном пространстве А. Доказать, что система неравенств fi(x) ^ ^ О (г = 1,..., к) несовместна тогда и только тогда, когда существу- существуют такие числа Л^ ^ 0, что ^2i=1 Xifi есть положительная константа. 50.23. Пусть М — компактное выпуклое множество, содержа- содержащее окрестность нуля, в векторном пространстве У, рассматривае- рассматриваемом как аффинное пространство, и пусть М* = {/ G У* | /(ж) ^ 1 для всякого х G М}. Доказать, что: а) М* — компактное выпуклое множество в пространстве У*, содержащее окрестность нуля; б) М** = М при каноническом отождествлении пространства У** с У. 50.24. Доказать, что всякое компактное выпуклое множество совпадает с выпуклой оболочкой множества своих крайних точек. 50.25. Доказать, что максимум аффинной линейной функции на компактном выпуклом множестве достигается в некоторой крайней точке (но, может быть, достигается и в других точках). 50.26. Доказать, что крайние точки выпуклого многогранника — это его вершины. 50.27. Доказать, что всякий ограниченный выпуклый многогран- многогранник совпадает с выпуклой оболочкой множества своих вершин. 13 А.И. Кострикин
194 Гл. XII. Аффинная, евклидова и проективная геометрия 50.28. Доказать, что выпуклая оболочка конечного числа точек является выпуклым многогранником. 50.29. Задать системой линейных неравенств выпуклую оболочку указанных точек четырехмерного аффинного пространства и найти трехмерные грани этого выпуклого многогранника: а) О = (О,0,0,0), а = A,0,0,0), Ъ = @,1,0,0), с = A,1,0,0), d= @,0,1,0), е = @,0,0,1), / = @,0,1,1); б) О = @,0,0,0), а = A,0,0,0), Ъ = @,1,0,0), с =@,0,1,0), d= A,1,0,0), е = A,0,1,0), / = @,1,1,0), 3 = A,1,1,0), /i= @,0,0,1). 50.30. Пусть М и N — выпуклые множества в аффинном про- пространстве (А, V). Доказать, что: а) середины отрезков, соединяющих точки из М с точками из N, образуют выпуклое множество в пространстве А; б) векторы, соединяющие точки из М с точками из N, образуют выпуклое множество в пространстве V. 50.31. Пусть М и N — непересекающиеся замкнутые выпуклые множества в аффинном пространстве А и одно из них ограничено. Доказать, что существует такая аффинная линейная функция / на пространстве А, что f(x) < 0 при всех х Е М и f(y) > 0 при всех yeN. 50.32. Пусть М — компактное выпуклое множество в аффинном пространстве А, N — компактное выпуклое множество в векторном пространстве L всех аффинных линейных функций на А и пусть для всякой точки a G М найдется такая функция / G N, что /(а) ^ 0. Доказать, что существует такая функция /о G N, что /о (ж) ^ 0 при всех х G М. 50.33. (Теорема двойственности линейного программирования.) Пусть F — аффинная билинейная функция на прямом произведении аффинных пространств А и В, и пусть М и N — компактные выпук- выпуклые подмножества пространств А и В соответственно. Доказать, что: a) (,v) (,v); J yeN хем б) существуют такие точки хо G М, у о G N, что при всех х G М, yeN F(x,y0)
50. Выпуклые множества 195 50.34. Доказать, что: а) максимальное число частей (выпуклых многогранников), на которое может разбиваться n-мерное вещественное аффинное про- пространство к гиперплоскостями, равно п б) число частей максимально тогда и только тогда, когда пересе- пересечение любых т заданных гиперплоскостей при т ^ п есть (п — т)- мерная плоскость, а при т = п + 1 пусто; в) если число частей максимально, то число ограниченных частей fk-V равно V п 50.35. Определить, являются ли ограниченными многогранники, задаваемые следующими неравенствами: а) —Зж1 + 5ж2 ^ 10, 5ж1 + 2ж2 ^ 35, х\ ^ 0, ж2 ^ 0; б) —х\ + ж2 ^ 2, 5ж1 — ж2 ^ 10; в) Зж1 — ж2 ^ 4, —х\ + Зж2 ^ 4; Г1 Q^r*-, —I— А-Фъ <С Л 7 ^1*1 —I— A-i*с\ <С 47 1*1 i*c\ <С Л. 1*1 —I— i*^ ^> О* д) —Ж1 + 2ж2 ^ б, 5ж1 — 2ж2 ^ 26, Ж1 + 2ж2 ^ 10; 50.36. Найти угловые точки многогранников: а) х\ + 2ж2 + жз + Зж4 + Ж5 = 5, х\ + жз — 2ж4 = 3, х\ ^0, ж2 ^ 0, жз ^0, ж4 ^ 0, Ж5 ^ 0; б) х\ + ж2 - ж3 = 10, Ж1 - ж2 + 7ж3 = 7, Ж1 ^0, ж2 ^ 0, жз ^ 0; в) 4ж1 + 5ж2 + жз + ж4 = 29, 6ж1 — ж2 — жз + ж4 = 11, Ж1 ^0, ж2 ^ 0, Жз ^0, ж4 ^ 0; г) х\ + 2ж2 + жз = 4, 2ж1 + 2ж2 + 5жз = 5, х\ ^0, ж2 ^ 0, жз ^ 0. 50.37. Найти максимальные и минимальные значения линейной функции z на ограниченном многограннике: а) х\ + 2ж2 + жз + Зж4 + Ж5 = 5, 2ж1 + жз — 2ж4 = 3, х\ ^0, ж2 ^ 0, жз ^0, ж4 ^ 0, Ж5 ^ 0, z — х\— 2ж2 + ж3 + Зж5; б) Зж1 — ж2 + 2жз + ж4 + Ж5 = 12, х\ — 5ж2 — ж4 + х§ — —4, х\ ^0, ж2 ^ 0, ж3 ^0, ж4 ^ 0, ж5 ^ 0, z — 4ж1 - ж2 + 2ж3 + ж5; 13*
196 Гл. XII. Аффинная, евклидова и проективная геометрия в) 5xi + 2ж2 - ж3 + ж4 + ж5 = 42, 4xi Xi ^ О, Ж2 ^ 0, Жз ^ О, Ж4 ^ О, О, = 16, г) xi — 3^2 + хз + 2^5 = 8, 4^2 — 3^4 — Ж5 = 3, Х\ ^0, Ж2 ^ 0, Жз ^0, Ж4 ^ О, Ж5 ^ О, 2: = х\ — 2ж2 + ж3 - ж5. § 51. Евклидовы пространства 51.1. Найти условия, необходимые и достаточные для того, что- бы данный набор из I I неотрицательных вещественных чисел слу- случку жил набором расстояний между: а) п аффинно независимыми точками евклидова пространства; б) п произвольными точками евклидова пространства. 51.2. Существует ли в евклидовом пространстве набор точек ai, a2, аз, а4, as, для которого матрица А есть матрица расстояний (p(ai,aj)), и какова наименьшая размерность пространства, в кото- которое такой набор можно поместить: а) А = б)А = в) А = ( о 1 2 2 ^2л/2 ( о 3 л/5 л/5 ^2л/2 f ° 1 2 л/5 V1 1 0 л/5 л/5 3 3 0 л/14 л/14 л/17 1 0 л/5 2 л/2 2 л/5 0 2л/2 2 л/5 л/14 0 л/2 л/17 2 л/5 0 л/17 1 2 л/5 2л/2 0 2л/3 л/5 л/14 л/2 0 3 л/5 2 л/17 0 л/10 2л/2\ 3 2 2л/3 0 / 2л/2\ л/17 л/17 3 о / 1 \ л/2 1 ; л/То 0 /
51. Евклидовы пространства 197 /О л/5 л/5 л/5 л/5\ л/5 О 2л/5 2л/2 2 л/5 2л/5 О 2 2л/2 л/5 2л/2 2 О 2л/5 2 2л/2 2л/5 О , г) А = 51.3. Доказать эквивалентность следующих двух свойств пары плоскостей {Р, Q} в евклидовом пространстве: а) любая прямая, лежащая в одной из этих плоскостей, перпенди- перпендикулярна любой прямой, лежащей в другой плоскости; б) плоскости Р, Q перпендикулярны и либо скрещиваются, либо пересекаются в одной точке. 51.4. Пусть Q С Р — плоскости в n-мерном евклидовом прост- пространстве Е. Доказать, что любая плоскость Р' С Е, перпендикулярная Р, для которой Р П Р' = Q, имеет размерность ^ п — dim Р + dim Q и существует единственная такая плоскость размерности п — dim P + + dimQ. 51.5. Пусть Р — плоскость в евклидовом пространстве и точ- точка а не принадлежит Р. Доказать, что: а) существует единственная прямая, проходящая через точку а, пересекающая Р и перпендикулярная Р; б) если с — любая точка в Р и z — ортогональная составляющая вектора ~ас относительно направляющего подпространства плоскос- плоскости Р, то а + (z) — прямая, указанная в а); а + z — точка пересечения этой прямой с Р; в) p(a,P) = \z\. 51.6. В евклидовом пространстве найти прямую, проходящую че- через точку а, пересекающую плоскость Р и перпендикулярную Р, если: а) а = E, -4,4,0), Р = B, -1, 2,3) + (A,1,1,2), B,2,1,1)); {, с , _ in Si + OS2 + Ж4 - 1U, 51.7. В евклидовом пространстве найти расстояние от точки а до плоскости Р, если: а) а = D,1, -4, -5), Р = C, -2,1,5) + (B,3, -2, -2), D,1,3,2)); б) а = A,1, -2, -3, -2), Р = C,7, -5,4,1) + + (A,1,2,0,1),B,2,1,3,1));
198 Гл. XII. Аффинная, евклидова и проективная геометрия в) а =B,1,-3,4), Р: 2Ж1 - 4,2 - 8,3 + 13,4 =-19, I х\ + х2 - х3 + 2ж4 = 1; ч (Л о о о л\ р / ^1 - 2х2 - Зж3 + Зж4 + 2ж5 =-2, г) а = A,-3,-2,9,-4), Р. \ \х\— 2x2 — txs + 0Ж4 + ЗЖ5 = 1. 51.8. В n-мерном евклидовом пространстве найти расстояние от точки (bi,..., Ьп) до гиперплоскости 2_^ aiXi = с< 51.9. В пространстве многочленов со скалярным произведением Г1 {ft 9) — I f{x)g(x) dx найти расстояние от многочлена хп до под- J-i пространства многочленов степени меньше п. 51.10. В пространстве тригонометрических многочленов со ска- лярным произведением (/, д) = / f(x)g{x)dx найти расстояние от J — 7Г функции cosn+1 х до подпространства A, cosx, sinx, ..., cosnx, s'mnx). 51.11. Пусть Р — плоскость в n-мерном евклидовом пространст- пространстве Е. Доказать, что через всякую точку a G Е проходит единственная плоскость Q размерности п — dim Р, перпендикулярная Р и пересе- пересекающая её в одной точке. 51.12. Найти в евклидовом пространстве плоскость наибольшей размерности, проходящую через точку а, перпендикулярную плоскос- плоскости Р и пересекающую её в одной точке, если: а) а =B,-1,3,5), Р = G,2, -3,4) + ((-1,3,2,1), A,2,3, -1)); б) а =C,-2,1,4), Р: { 2^1 + 3,2 - ,3 - 2,4 = 4, I 3xi + 2ж2 - 5ж3 + ж4 = 5. 51.13. Пусть Pi —c\-\-L\ и Р<± — С2 +1/2 — две непересекающиеся плоскости в евклидовом пространстве, у vl z — соответственно орто- ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора ~c\ci от- относительно подпространства L\ +L2, и пусть у = у1+у2, где у\ G Li, 2/2 Е L2. а) Доказать, что прямая с\ + у\ + (z) перпендикулярна плоскос- плоскостям Pi, Р2 и пересекает Pi в точке с\ + у\, а Р2 в точке С2 — у^ • б) Найти расстояние р(Р1,Р2). в) Установить биективное соответствие между Ь± Г\ Ь2 и мно- множеством всех прямых, перпендикулярных Pi и Р2 и пересекающих
§ 51. Евклидовы пространства 199 обе плоскости. г) Показать, что все прямые, описанные в в), параллельны между собой и что их объединение представляет собой плоскость размер- размерности dim(Li П L2) + 1. 51.14. В евклидовом пространстве найти расстояние между плос- плоскостями Pi и ?2, если: ч р . \ Х1 + 3^2 + Х3 + Ж4 = 3, 1 х\ + Зж2 - х3 + 2ж4 = б, Р2 = @, 2, б, -5) + ((-7,1,1,1), (-10,1, 2,3)); ( -хх + х2 + х3 + ж4 = 3, \ -Зж2 + 2ж3 - 4ж4 = 4, Р2 = A,3,-3,-1) + (A,0,1,1)); {xi + х3 + Х4 - 2ж5 = 2, ж2 + х3 - ж4 - хъ = 3, xi - х2 + 2ж3 - ж5 = 3, Р2 = A,-2, 5,8, 2)+ (@,1, 2,1, 2), B,1, 2,-1,1)); ч „ { х\ - 2х2 + х3 - ж4 + Зж5 = б, г) Pi : < (^ Х\ — Х3 - Х4 + ЗЖ5 = 0, Р2 = (-4,3,-3,2,4) + (B,0,1,1,1), (-5,1,0,1,1)). 51.15. Точки ao,ai,...,an в евклидовом пространстве располо- расположены на одинаковом расстоянии d друг от друга. Найти расстояние между плоскостями (ao, ai,..., а^) и (a^+i,..., ап). 51.16. Доказать, что конфигурации из двух плоскостей {ai +Lba2 +L2} и {ai + Li, a2 + L2} в евклидовом пространстве метрически конгруэнтны тогда и только тогда, когда р(а\ + Li, a2 + L2) = ^(a^ + 1/15 a2 + I/2), и конфигурации подпространств Li,L2, Ь[,Ь2 ортогонально конгруэнтны в соответ- соответствующем евклидовом векторном пространстве. 51.17. Выяснить, являются ли метрически конгруэнтными в ев- евклидовом пространстве заданные пары плоскостей: а) Pi = @,9,8, -12,11) + (@,2,2,2,1), C,1,1,1, -1)), Р2 = (-3, -4, -5,11, -12) + (G,5, -5, -1, -5), C,5, -1,11,13)); б) Q! = B, -5, -11, -8, -10) + (B, -1,1, -1,1), B, -2,1,0,1)), Q2 = (8,8,10,9,11) + (@,3,4, -4, -3), A4, -2, -5,3,4));
200 Гл. XII. Аффинная, евклидова и проективная геометрия в) Й1 = G, -3, -9, -14,5) + (@,0,0,1,2), B, -1,2,0, -6)), R2 = @,10,9,14, -5) + (A, 7,2,0,6), D, -1,0,2, -2)). 51.18. Найти в евклидовом пространстве геометрическое место точек, через которые можно провести прямую, пересекающую плос- плоскости Pi, Р2 и перпендикулярную этим плоскостям: а) Pi = A,2, -1, -9, -13) + (B,3, 7,10,13), C,5,11,16,21)), 112 3 4 5 , Р2 : < 2xi + 4ж2 + Зжз — ж4 — Зх$ = —4, [ 9х± + Зж2 + х3 — 2ж4 — 2^5 = —138; б) Pi = C,7,2,4,-3)+ (B,5,4,5,3), D,5,6,3,3)), I Л ГУ* - I / ГУ* _ I ГУ* _ ) ГУ* . I ГУ* „ "I /1 I О^Г*-! ^Г*г* —\— ^У1* л ^^7*1- ^^ ^^ 51.19. Доказать, что: а) если движение евклидова пространства имеет две скрещиваю- скрещивающиеся инвариантные плоскости, то оно обладает неподвижной точ- точкой; б) движение / n-мерного евклидова пространства, имеющее непо- неподвижную точку, имеет две скрещивающиеся инвариантные плоскости положительной размерности, если / собственное, п ^ 5 и нечётно или / несобственное, п ^ 4 и четно. 51.20. Пусть ао, ai,..., as и bo, &i,..., bs — два набора точек в ев- евклидовом пространстве. Доказать, что движение, переводящее каж- каждую из точек cti в точку bi, существует тогда и только тогда, когда p(ai,aj) = p(bi,bj) (ij = l,...,s). 51.21. Доказать, что для всякого движения / евклидова прост- пространства совокупность точек а, на которых достигается минимум рас- расстояния р(а, f(a)), является плоскостью, инвариантной относитель- относительно /, и что ограничение / на эту плоскость есть параллельный пе- перенос. 51.22. Доказать, что если у двух тетраэдров в трехмерном ев- евклидовом пространстве соответствующие двугранные углы равны, то эти тетраэдры подобны. 51.23. Дать геометрическое описание собственного движения / евклидово пространства, если: /(О) = (-2,4);
§ 52. Квадрики 201 /(О) = A,1); /2-1 2 \ b)D/=- 2 2 -1 , /(О) = A,0,-1); V -1 2 2 / 1 / 4 ! -8 \ r)Df=- 7 4 4 , /(O) = (-1,-7,2); 9 V 4 -8 1 / 1 / -2 3 6 \ A)Df = -[ 6-2 3 , /@) = (-2,4,1). 3 6 -2 / 51.24. Дать геометрическое описание несобственного движения / евклидово пространства, если: a)D/= (J J), /(О) = A,0); /4 1 -i B)Df = --\ 7 4 4 | , /(О) = A,1,-2); У \ 4 -8 1 /2 2-1 r)D/=- 2-1 2 | , /(О) = D,0,2); d -1 2 2 /-12 2 д) ДГ = - -2 1 -2 , /(О) = B,0,0); 6 \ 2 2-1 1 / 2 3 6 e)Df = -\ 3 6 -2 ' V 6-2 3 § 52. Гиперповерхности второго порядка Обозначения и понятия, используемые в задачах этого параграфа, содержатся в приложении. 52.1. Доказать, что для любых х,у 6 V выполняется равенство Q(a0 +х + у)= q(y) + 2f(x, у) + 1(у) + Q(a0 + х).
202 Гл. XII. Аффинная, евклидова и проективная геометрия 52.2. Доказать, что если Ъ = по + v (v G V) — центральная точка квадратичной функции Q, то Q(b + х) = Q(b — х) для любого х Е V и линейная функция у н-» 2f(v,y) + /B/) нулевая. 52.3. Доказать, что множество центральных точек (центр) квад- квадратичной функции Q задается системой уравнений 52.4. Доказать, что при переходе от аффинной системы коорди- координат (ао, ei,..., еп) к системе координат (ао, е^,..., е^) по формуле = Г матрицы квадратичных форм Q m q в новой системе координат свя- связаны с их матрицами в старой системе формулами A'Q = A'q = где T = ( к 0 г 0 h tn 1 \ / — матрица аффинной замены координат. 52.5. Доказать, что точки пересечения аффинной прямой xk =x°k+rkt (к = 1,...,п) и квадрики Q(xi,... ,жп) = 0 определяются значениями t, удовлетво- удовлетворяющими уравнению At2 + 2Bt + С = 0, где а^п^, G =
§ 52. Квадрики 203 в = Е Ц (*ь ¦ • ¦' *») п = Е (°«*° +ь*) »•«. 52.6. Найти центр квадратичной функции над полем М, заданной в некоторой аффинной системе координат: п а) 2 ^2 XiXj+2^2xi + l = Q] г=1 п ^; + 1 = 0; п-1 в) ^ XiXi+1 + xi + жп + 1 = 0; г=1 п г) ^ ж^ + 2 ^ XfXj + х\ — 0. г=1 l^i<j^n 52.7. Две квадратичные функции Qi : А —у К (г = 1, 2) называют- называются эквивалентными, если существует такое аффинное преобразова- преобразование / : А —у А, что Сг(ж) = XQi(f(x)) для некоторого Л G if* и всех х ? А. Найти число классов эквивалентных квадратичных функций над полем Z3, если: а) размерность А равна двум; б) размерность А равна трем. 52.8. Найти число классов эквивалентных квадратичных функ- функций на n-мерном аффинном пространстве: а) над полем С; б) над полем Ж. 52.9. Пусть точка по аффинного пространства (А, V) лежит на квадрике X и вектор и G V определяет асимптотическое направление. Доказать, что прямая х = по + tu либо целиком лежит на поверхнос- поверхности X, либо пересекает её ровно в одной точке. 52.10. Пусть и G V — вектор неасимптотического направления квадрики Xq, т.е. q{u) ф 0. Доказать, что середины хорд квадри- квадрики Xq, параллельных вектору и, лежат в одной гиперплоскости, и найти её уравнение. 52.11. Доказать, что направление и не является асимптотичес- асимптотическим для квадрики X, заданной уравнением в аффинных координатах, и найти уравнение гиперплоскости, сопряжённой к этому направле- направлению:
204 Гл. XII. Аффинная, евклидова и проективная геометрия а) и = A,1,1,1), X : х\Х2 + ж2жз + Х3Х4 — х\ — х± — 0; б) и = A, 0,..., 0,1), ^2 х*хз +Х!+хп = 1. 52.12. Доказать, что если центр квадрики непуст, то он содер- содержится в гиперплоскости, сопряжённой к любому неасимптотическо- неасимптотическому направлению. 52.13. Доказать, что множество особых точек квадрики есть её пересечение со своим центром. 52.14. Доказать, что особые точки квадрики, если они существу- существуют, образуют плоскость, и написать её уравнения. 52.15. Найти точки пересечения квадрики с прямой: а) х\ + х\Х2 — х2х3 - 5xi = 0, 5 Ю 5 — Х2 Ю — з Xl = -г"= ~^' б) Ъх\ + 9^2 + 9x1 — Ylx\X2 — 6x1X3 + 12xi - Збж3 = 0, XI Х2 Л в) х\ — 2х\ + х\ — 2х\Х2 — Х2Х3 + 4:Х±хз + 3xi — 5жз = 0, xi +3 —-—=х2, х3=0. 52.16. Найти все прямые, лежащие на квадрике х\ + х\ + 5жд — 6х\Х2 + 2ж2^з — 2х\х3 — 12 = 0 и параллельные прямой 52.17. Найти прямые, проходящие через начало координат и ле- лежащие на комплексной квадрике \ 3xi + 2жз = 0. 52.18. Найти уравнение квадрики Q после переноса начала коор- координат в точку О'\ а) Q: ж^ + 5^2 + 4ж| + 4xix2 - 2ж2ж3 - 4xix3 - 2xi - 10ж2 + 4ж3 = 0, О' = C,0,1); б) Q: ж^ + 2^2 + х\ — 4xix2 + бж2ж3 - 2xix3 + 10xi -5 = 0, О'= (-1,1,2).
§ 52. Квадрики 205 52.19. Найти аффинный тип кривой, являющейся пересечением квадрики и плоскости: а) Ъх\ + 4ж| + 24ж1 + 12х2 ~ 72х3 + 360 = 0, х\ — ж2 + хз = 1; б) х\ + 5х\ + х\ + 2xix2 + 2ж2ж3 + 6ж1Ж3 - 2xi + 6ж2 + 2ж3 = 0, 2х\ - ж2 + ж3 = 0; в) ж^ - Ъх\ + Жз - 6xix2 + 2ж2ж3 - Зж2 + ж3 - 1 = 0, 2ж1 - Зж2 - ж3 + 2 = 0; г) ж^ + х\ + ж| - 6ж1 - 2ж2 + 9 = 0, х\ + ж2 - 2ж3 -1 = 0. 52.20. Найти аффинный и метрический типы квадрики, заданной в евклидовом пространстве Mn+1 уравнениями: а) ^ х\ + ^ ж^ж^- + х\ + жп+1 = 0; б) ^ ж^ж^- + Ж1 + ж2 + ... + хп — 0. 52.21. Определить аффинный вид квадрики и найти её центр: а) б) в) г) д) е) ж) з) и) к) Ах\ Ъх\ Ьх\ х\- х{- Ъх\ Ъх\ Ъх\ 4х\ х\- + 2ж^ + 12ж^ _i_ Qt* -I- Qt* _i_ о 2 _|_ о 2 2 о г ^Ж]^Ж2 + Ж2 1 Qrp2 _|_ Qo^2 Z О ! + Зж^ - бж! 1 Q^,2 о^,2 I -4ж1 - 12ж ZiX\ < бж2ж3 -бЖ1 + 4ж2 -бЖ1 + х% — 4х\Х2 — 36 \~ 4х + 9ж ~ -бЖ1 - ж2 + 8ж2жз + 12ж1Жз + 14ж1 1Ж2 — 6ж1Жз + 12ж1 — Збжз = Х2 — 4ж2жз + 2ж1Жз — 4ж2 — — 4ж1Жз — 8ж1 + 10ж2 = 0; f 2ж3 - 1 = 0; + 4ж2 - 1 = 0; :-1 = 0; + 4ж2 + 4ж3 + 3 = 0; = 0; Ь 8ж2 - Збж3 = 0; - 10ж2 + 7 = 0; = 0; 4ж3 + 4 = 0; л) 4х\ -х\-х\+ 32ж1 - 12ж3 + 44 = 0; м) Ъх\ -XJ+ Зж| - 18ж1 + 10ж2 + 12ж3 + 14 = 0; н) 6x1 + бж| + 5ж1 + бж2 + 30ж3 -11 = 0. 52.22. Определить метрический тип квадрики в евклидовом пространстве и выяснить, является ли она поверхностью вращения: а) б) в) г2 х3 о ч = 2ж1Ж2; = Ж1Ж2; = Зж1 + 4ж2;
206 Гл. XII. Аффинная, евклидова и проективная геометрия г) х\ = Зх\ + 4х\Х2\ д) х\ = х\ + 2xix2 + х\ + 1; е) ж^ + 4^2 + 5ж| + 4х\х2 + 4жз = 0; ж) х\ + 2ж1 + Зх2 + 4ж3 + 5 = 0; з) ж3 = х\ + 2xix2 + ж| + 1; и) #i - 2^2 + х\ + 4xix2 - 8xix3 - 4ж2ж3 - 14xi - 14ж2 + 14ж3 + 18 = 0; к) Ъх\ + 8^2 + 5ж| - 4xix2 + 8xix3 + 4ж2ж3 - 6xi + бж2 + бж3 + 10 = 0; л) 2xix2 + 2xix3 + 2ж2ж3 + 2х\ + 2ж2 + 2ж3 + 1 = 0; м) Ъх\ + Ъх\ + Ъх\ — 2х\Х2 — 2х\х<$ — 2ж2ж3 - 2х\ — 2х2 - 2ж3 -1 = 0; н) 2х\ + 6x1 + 2x1 + 8ж1^з - 4ж1 - 8ж2 + 3 = 0; о) 4ж1+Ж2+4ж|-4ж1Ж2-8ж1Ж3+4ж2ж3-28ж1+2ж2 + 1бжз+45 = 0; п) 2х\ + Ъх\ + 2х\ - 2х\х2 - 4xix3 + 2ж2ж3 + 2х\ - 10ж2 - 2ж3 -1 = 0; р) 7ж^+7ж^ + 1бж|-10ж1Ж2-8ж1Жз-8ж2ж3-1бж1-1бж2-8жз+72 = 0; с) 4x1+4x1 -8xj - 10xix2 +4xix3 +4ж2ж3 - 16xi - 1бж2 + 10ж3 -2 = 0; т) 2х\ — Чх\ — 4х\ + 4х\х2 — \6x\Xz + 20ж2жз + + 60ж1 - 12ж2 + 12ж3 - 90 = 0; у) 2xix2 + 2xi^3 — 2х\х± — 2х2х% + 2ж2Ж4 + + 2жз^4 — 2ж2 — 4жз — 6x4 + 5 = 0; ф) 3x1 + 3x1 + Зх\ + Зх\ - 2х\х2 - 2хгх3 - 2х\х± - — 2х2хз — 2х2Х4 — 2x^X4 = 36. 52.23. При каких значениях параметра а квадрика х\ + х\ + х\ + 2ах\х2 + 2ах\х<$ + 2аж2жз = 4а является эллипсоидом? 52.24. При каком необходимом и достаточном условии два гипер- гиперболоида имеют общий асимптотический конус? 52.25. Найти аффинный и метрический типы квадрики, заданной в евклидовом пространстве Mn+1 уравнением п п+1 а 2^. %1 + 2Ь 2, xixj + 2с 2. хг — 0 •> в зависимости от значений параметров а, Ъ и с. 52.26. Квадрика называется k-планарной, если через любую её точку проходит хотя бы одна /с-мерная плоскость, целиком принадле- принадлежащая квадрике, но никакая (к + 1)-мерная плоскость не содержится в квадрике. Доказать, что:
§ 52. Квадрики 207 а) квадрика типа 1^ над Ж &-планарна, где k = min(s,n — s); б) невырожденная квадрика типа In?s над Ж (s — 1)-планарна, если 0 ^ s ^ п/2, и (п - з)-планарна, если s > n/2; в) невырожденная квадрика типа IIn5S над Ж s-планарна, если 0 ^ s ^ п/2, и (п — 1 — з)-планарна, если s > п/2. 52.27. Выяснить, при каких значениях параметров а, 6, с / 0 на квадрике п га+1 a^xf + 2b ^^ хгхз + 2сУ^ ^г = 0 г=1 l^i<j^n г=1 в пространстве Mn+1 лежит плоскость наибольшей размерности, и найти размерность этой плоскости. 52.28. Пусть (ei,..., еп) — базис векторного пространства V над полем К характеристики, отличной от 2. а) Доказать, что при п = 4 все разложимые элементы i?i Л г>2 в Д У удовлетворяют невырожденному однородному квадратичному уравнению Q(xo,..., Ж5) = 0 (квадрика Плюккера). б) Доказать, что все разложимые векторы в пространстве Дг V, 2 ^ г ^ п — 2, удовлетворяют системе однородных квадратичных урав- уравнений <Эг(яо,... jS/rnJ = 0. V г ) в) Пусть на пространстве V имеется невырожденная квадратич- квадратичная форма Q. Тогда на пространстве /\р V можно ввести квадратич- квадратичную форму Qw по формулам Q(o) = 1, Q^)(v1^...^vp) =det Доказать, что полученное продолжение формы Q на алгебру /\(V) является невырожденной квадратичной формой на f\(V). г) Ориентацией n-мерного векторного пространства с невырож- невырожденной квадратичной формой Q называется элемент d G Д V, для которого Q(n\d) = 1. Доказать, что если det Q является квадратом в
208 Гл. XII. Аффинная, евклидова и проективная геометрия поле К, то на V имеются ровно две ориентации, и для любой из них (скажем, d) можно определить изоморфизм векторных пространств \d : V —У /\п~ V, удовлетворяющий соотношению га—1 v Ах = Q(v,X~1x)d = Q^-1)(Xdv,x)d, v е Д У, х е V. (Q — билинейная форма, соответствующая квадратичной форме Q). д) Используя изоморфизм Xd из предыдущего пункта, определим в случае dim V = 3 билинейное отображение V х V —> V с помощью формулы [я, 2/] = А^(жЛг/), x,yeV. Доказать, что так определенное умножение в V наделяет V структу- структурой алгебры Ли над К. § 53. Проективные пространства 53.1. Найти какое-нибудь проективное преобразование плоскос- плоскости, переводящее заданные прямые в заданные прямые: a)x = 0i->-x = 0, у = 0 \-> х = 1; б)х + у = 1\->х = 1, х + у = 0\->у = 0. 53.2. Найти какое-нибудь проективное преобразование плоскос- плоскости, переводящее заданные кривые в заданные кривые: а) х2 + у2 = 1 ь^ у = х2; б) х2 - у2 = 1 н> х2 + у2 = 1. 53.3. Найти какое-нибудь проективное преобразование плоскос- плоскости, переводящее окружность х2 + у2 = 1 в себя и: а) точку @,0) в точку A/2,0); б) прямую х = 2 в бесконечно удаленную прямую. 53.4. Найти какое-нибудь проективное преобразование прост- пространства, переводящее заданную квадрику в заданную квадрику: а) х2 + у2 + z2 = 1 ь->- ху — z2 = 1; б) ху = z \-^> х2 + у2 — z2 = 1; в) ху = z2 \-^ у = х2. 53.5. Найти максимальную размерность плоскостей, содержа- содержащихся в квадрике: х 2 | 2 2 2 1 aj хх + ... + хк — хк+1 — ... — хп = 1;
§ 53. Проективные пространства 209 б) хх + ... + хк — хк+1 — ... — хп = хп. 53.6. Доказать, что над полем комплексных чисел любое проек- проективное преобразование имеет по крайней мере одну неподвижную точку. 53.7. Доказать, что в вещественном проективном пространстве чётной размерности любое проективное преобразование имеет не- неподвижную точку. 53.8. Доказать, что если проективное преобразование п-мерного проективного пространства над бесконечным полем имеет конечное число неподвижных точек, то это число не превосходит п + 1. 53.9. Доказать, что для всякого конечного множества точек А в проективном пространстве над бесконечным полем существует со- содержащая его аффинная карта А. 53.10. Доказать, что любое (к — 1)-мерное подпространство в Рп можно покрыть к аффинными картами и нельзя покрыть меньшим числом аффинных карт. 53.11. Найти число точек n-мерного проективного пространства над полем из q элементов. 53.12. Найти число /^-мерных подпространств n-мерного проек- проективного пространства над полем из q элементов. 53.13. Найти число проективных преобразований n-мерного про- проективного пространства над полем из q элементов. 53.14. Пусть Mi и Mi — непересекающиеся плоскости в Pn, L\ и Z/2 — непересекающиеся плоскости, имеющие те же размерности. Доказать, что существует проективное преобразование, которое пе- переводит М\ В L\ И М.2 В Z/2- 53.15. Доказать, что если проективное преобразование перево- переводит некоторую аффинную карту в себя, то оно индуцирует аффинное преобразование на этой карте. 53.16. Доказать, что всякое биективное преобразование двумер- двумерной проективной плоскости, переводящее прямые в прямые и сохраня- сохраняющее двойное отношение точек на каждой прямой, является проективным. 53.17. Доказать, что с помощью подходящего проективного пре- преобразования любые четыре прямые на проективной плоскости, из ко- которых никакие три не пересекаются в одной точке, можно перевести 14 А.И. Кострикин
210 Гл. XII. Аффинная, евклидова и проективная геометрия в любые четыре прямые, обладающие тем же свойством. 53.18. Доказать, что существует проективное преобразование плоскости, сохраняющее заданный треугольник и переводящее задан- заданную точку внутри этого треугольника в любую другую заданную точку внутри него. 53.19. Доказать, что существует преобразование плоскости, сохраняющее окружность и переводящее заданную точку внутри этой окружности в любую другую заданную точку внутри нее. 53.20. Доказать, что с помощью одной линейки нельзя построить центр заданной окружности. 53.21. Доказать с помощью проективных преобразований, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками противо- противоположных сторон, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда эти точки являются точками касания некоторого вписанного в треугольник эллипса. 53.22. На картине изображена аллея. Расстояние от первого де- дерева до линии горизонта вдоль линии аллеи обозначим через I, рас- расстояние между k-м и (fc + 1)-м деревьями — через а/.. Выразить: а) аз через а\ и а^\ б) а2 через Ihoi. 53.23. Проективное преобразование плоскости называется гомо- гомологией, если оно сохраняет все точки, лежащие на некоторой прямой {оси гомологии), и все прямые, проходящие через некоторую точку {центр гомологии). Доказать, что: а) существует единственная гомология с заданной осью I и за- заданным центром О, переводящая заданную точку А ф О, А ? I, в заданную точку А' ф О, А' ? I, лежащую на прямой О А; б) всякое проективное преобразование плоскости есть произведе- произведение двух гомологии. 53.24. Доказать, что существует единственное проективное пре- преобразование плоскости, сохраняющее окружность х2 + у2 = 1 и пе- переводящее заданные три точки на этой окружности в заданные три точки, также лежащие на этой окружности. 53.25. {Теорема Дезарга.) Доказать, что если прямые АА', ВВ', СС пересекаются в одной точке, то точки пересечения прямых АВ и А'В1', ВС и В'С, АС и А'С лежат на одной прямой.
§ 53. Проективные пространства 211 53.26. {Теорема Паскаля.) Доказать, что точки пересечения про- противоположных сторон шестиугольника, вписанного в окружность, ле- лежат на одной прямой. 53.27. {Теорема Паппа.) Доказать, что точки пересечения про- противоположных сторон шестиугольника, вершины которого находятся поочередно на двух заданных прямых, лежат на одной прямой. 53.28. Пусть ai, a2, аз, а± — прямые на плоскости, проходящие через точку 0,1 — прямая, не проходящая через О. Доказать, что двойное отношение точек пересечения прямых ai, a2, аз, а^ с пря- прямой I не зависит от I (двойное отношение прямых ai, a2, аз, а^). 53.29. Пусть / — невырожденная билинейная функция на (п + 1)-мерном векторном пространстве V. Каждому (к + ^-мер- ^-мерному подпространству U С V сопоставим (п — &)-мерное подпрост- подпространство JJ1- = {у е V | /(ж, у) = 0 для всякого х е U}. Этим соответствием в проективном пространстве P(V) определено отображение Kf, которое каждой ^-мерной плоскости сопоставляет {п — к — 1)-мерную плоскость {корреляция относительно функции /). Доказать, что: а) корреляция сохраняет инцидентность, т.е. б) если функция / симметрическая или кососимметрическая, то корреляция Kf инволютивна, т.е. Kf(Kf(U)) = U; в) композиция корреляции и проективного преобразования есть корреляция; г) всякая корреляция есть композиция фиксированной корреляции и некоторого проективного преобразования. 53.30. Доказать, что всякая корреляция проективной прямой действует на точки так же, как некоторое проективное преобразо- преобразование. 53.31. Доказать, что корреляция на проективной плоскости сохраняет двойное отношение. 53.32. Доказать, что корреляция на проективной плоскости отно- относительно симметрической билинейной функции / переводит каждую 14*
212 Гл. XII. Аффинная, евклидова и проективная геометрия точку кривой /(ж, х) = 0 в касательную к этой кривой, проходящую через данную точку. 53.33. Сформулировать теорему {теорема Брианшона), получа- получаемую из теоремы Паскаля (см. 53.26) применением корреляции. 53.34. С помощью понятия корреляции доказать, что точки пере- пересечения касательных к данной окружности, проведенных через кон- концы всевозможных хорд, проходящих через заданную точку, лежат на одной прямой.
ЧАСТЬ III ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Глава XIII ГРУППЫ § 54. Алгебраические операции. Полугруппы 54.1. Ассоциативна ли операция * на множестве М, если a)M = N, х*у = ху; б) М = N, ж * у = НОД(ж,?/); в) М = N, ж * у = 2ж?/; г) М = Z, х * у = х — у; д) М = Z, ж*т/ = ж2+?/2; е) М = М, ж * 2/= sin ж • sin 2/; ж) М = М*, ж*2/ = ж-2/ж/1ж1? 54.2. Пусть S — полугруппа матриц ( I, где ж,уЕ1, с опера- операцией умножения. Найти в этой полугруппе левые и правые нейтраль- нейтральные элементы, элементы, обратимые слева или справа относительно этих нейтральных. 54.3. На множестве М определена операция о по правилу х о у = = х. Доказать, что (М, о) — полугруппа. Что можно сказать о ней- нейтральных и обратимых элементах этой полугруппы? В каких случаях она является группой? 54.4. На множестве М2, где М — некоторое множество, опреде- определена операция о по правилу (ж, у) о (z, i) = (ж, t). Является ли М2 полу- полугруппой относительно этой операции? Существует ли в М2 нейтральный элемент?
214 Гл. XIII. Группы 54.5. Сколько элементов содержит полугруппа, состоящая из всех степеней матрицы -10 0 0 0 1 0 0 0 Является ли эта полугруппа группой? 54.6. Доказать, что полугруппы Bм, U) и Bм, П) изоморфны. 54.7. Сколько существует неизоморфных между собой полу- полугрупп порядка 2? 54.8. Доказать, что во всякой конечной полугруппе найдется идемпотент. 54.9. Полугруппа называется моногеннощ если она состоит из по- положительных степеней одного из своих элементов (такой элемент яв- является порождающим). Доказать, что: а) моногенная полугруппа конечна тогда и только тогда, когда содержит идемпотент; б) конечная моногенная полугруппа либо является группой, либо имеет только один порождающий элемент; в) любые две бесконечные моногенные полугруппы изоморфны; г) всякая конечная моногенная полугруппа изоморфна полугруп- полугруппе вида S(n,k), определенной на множестве{а1,..., ап} следующим образом: {ai+j, если i + 7 < п, dесли i + j > n, где I — остаток от деления числа i -\- j — п — 1 на п — к. § 55. Понятие группы. Изоморфизм групп 55.1. Какие из указанных числовых множеств с операциями яв- являются группами: а) (А, +), где А — одно из множеств N, Z, Q, М, С; б) (А, •), где А — одно из множеств N, Z, Q, М, С; в) (Ао, •), где А — одно из множеств N, Z, Q, М, С, а Ао = А\ {0}; г) (nZ, +), где п — натуральное число;
§ 55. Понятие группы. Изоморфизм групп 215 е) множество степеней данного вещественного числа а/Ос це- целыми показателями относительно умножения; ж) множество всех комплексных корней фиксированной степени п из 1 относительно умножения; з) множество комплексных корней всех степеней из 1 относитель- относительно умножения; и) множество комплексных чисел с фиксированным модулем г от- относительно умножения; к) множество ненулевых комплексных чисел с модулем, не превос- превосходящим фиксированное число г, относительно умножения; л) множество ненулевых комплексных чисел, расположенных на лучах, выходящих из начала координат и образующих с лучом Ох углы cpi, ф2,- • • тфт относительно умножения; м) множество всех непрерывных отображений ср : [0,1] —У [0,1], для которых ср(О) = 0,(^A) = 1, и х < у => (f(x) < (f(y), относительно суперпозиции? 55.2. Доказать, что полуинтервал [0,1) с операцией 0, где а 0 /? — дробная часть числа а + /?, является группой. Какой из групп из задачи 55.1 изоморфна эта группа? Доказать, что всякая её конечная подгруппа является циклической. 55.3. Доказать, что 2м — группа относительно операции сим- симметрической разности А (см. 1.4). 55.4. Пусть G — группа относительно умножения. Зафиксируем в G элемент а и зададим в G операцию х о у = х • а • у. Доказать, что G относительно новой операции о является группой, изоморфной (G, •). 55.5. Какие из указанных ниже совокупностей отображений мно- множества М = {1,2,...,п}в себя образуют группу относительно умно- умножения: а) множество всех отображений; б) множество всех инъективных отображений; в) множество всех сюръективных отображений; г) множество всех биективных отображений; д) множество всех чётных перестановок; е) множество всех нечётных перестановок; ж) множество всех транспозиций;
216 Гл. XIII. Группы з) множество всех перестановок, оставляющих неподвижными элементы некоторого подмножества S С М; и) множество всех перестановок, при которых образы всех эле- элементов некоторого подмножества S С М принадлежат этому под- подмножеству; к) множество л) множество {Е, A3), B4), A2)C4), A3)B4), A4)B3), A234), A432)}? 55.6. Какие из указанных множеств квадратных вещественных матриц фиксированного порядка образуют группу: а) множество симметрических (кососимметрических) матриц от- относительно сложения; б) множество симметрических (кососимметрических) матриц от- относительно умножения; в) множество невырожденных матриц относительно сложения; г) множество невырожденных матриц относительно умножения; д) множество матриц с фиксированным определителем d относи- относительно умножения; е) множество диагональных матриц относительно сложения; ж) множество диагональных матриц относительно умножения; з) множество диагональных матриц, все элементы диагоналей которых отличны от 0, относительно умножения; и) множество верхних треугольных матриц относительно умно- умножения; к) множество верхних нильтреугольных матриц относительно умножения; л) множество верхних нильтреугольных матриц относительно сло- сложения; м) множество верхних унитреугольных матриц относительно умножения; н) множество всех ортогональных матриц относительно умно- умножения; о) множество матриц вида f(A), где А — фиксированная ниль- потентная матрица, /(?) — произвольный многочлен со свободным членом, отличным от 0, относительно умножения;
§ 55. Понятие группы. Изоморфизм групп 217 п) множество верхних нильтреугольных матриц относительно операции X oY = X + Y — XY; ( х у\ р) множество ненулевых матриц вида I ) (ж, у Е Щ отно- относительно умножения; (х у\ с) множество ненулевых матриц вида I . ) (ж, у Е М), где Л — фиксированное вещественное число, относительно умножения; т) множество матриц 1 0\ (г 0\ ±/0 Л /0 х относительно умножения? 55.7. Показать, что множество On(Z) всех целочисленных орто- ортогональных матриц размера п образует группу относительно умноже- умножения. Найти порядок этой группы. 55.8. Доказать, что множество верхних нильтреугольных матриц порядка 3 является группой относительно операции 55.9. Пусть X — множество точек кривой у = х3, I — прямая, проходящая через точки а, Ъ G X (касательная к X при а = 6), с — её третья точка пересечения с X и т — прямая, проходящая через начало координат О и точку с (касательная к X при с = 0). Положим а(&Ъ = б?, где б? — третья точка пересечения m и X или О, если т касается X в точке О. Доказать, что (X, 0) — коммутативная группа. 55.10. Доказать, что множество функций вида ах + Ъ где а, 6, с, (i G 1 и ас( - 6с ^ 0, является группой относительно опе- операции композиции функций. 55.11. Доказать, что коммутатор [ж, у] =хух~1у~1 элементов ж, у группы G обладает свойствами:
218 Гл. XIII. Группы а) [х,у] г = [у,ж]; б) [xy,z] = x\y,z\x~x\x,z\\ в) [z,xy] = [г^гф^аГ1. 55.12. Пусть задано разложение подстановки а в произведение независимых циклов Найти разложение подстановки сг~1 в произведение независимых цик- циклов. 55.13. Какие из следующих равенств тождественно выполняются в группе S3: а) х6 = 1; б) [[x,y],z] = l; в)[*2,у2] = 1? 55.14. Доказать, что в группе верхних унитреугольных матриц порядка 3 выполняется тождество (ху)п = жп2/п[ж,2/]~п(п~1)/2, n G N. 55.15. Доказать, что если в группе G выполняется тождество [[ж, 2/], г] = 1, то в G выполняются тождества [x,yz] = [x,y][x,z], [xy,z] = [x,z][y,z]. 55.16. Доказать, что если в группе G выполняется тождество х2 = 1, то G коммутативна. 55.17. Какие из отображений групп / : С* н->- W являются гомо- гомоморфизмами: а)/(г) = |г|; б) f(z) = 2\z\; в) f(z) = ±-; r)f(z) = l + \z\; д) /(*) = № e)f(z) = l; ж) f(z) = 2? 55.18. Для каких групп G отображение / : G н->- G, определенное правилом: a)f(x)=x2, 6)f(x)=x-\ является гомоморфизмом? При каком условии эти отображения являются изоморфизмами?
§ 55. Понятие группы. Изоморфизм групп 219 55.19. Сопоставим каждой матрице I , I EGLB,C) функцию Vе d/ О Т ~\~ и у = (см. задачу 55.10). Будет ли это отображение гомомор- сх + а физмом? 55.20. Разбить на классы попарно изоморфных групп следующий набор групп: , п?, (Ц), К, (Ц) , К , (L , Ul2(AJ, где А — одно из колец Z, Q, М, С. 55.21. Найти все изоморфизмы между группами (Z4, +) и (Zg, •). 55.22. Доказать, что группа порядка б либо коммутативна, либо изоморфна группе S3. 55.23. Доказать, что если рациональное число а не равно нулю, то отображение ср : х н-» ах является автоморфизмом группы Q. Найти все автоморфизмы группы Q. 55.24. Пусть G — ненулевая аддитивная группа, состоящая из вещественных чисел, такая, что в каждом ограниченном промежутке содержится лишь конечное число её элементов. Доказать, что G — Ъ. 55.25. Привести примеры плоских геометрических фигур, груп- группы движения которых изоморфны: a)Z2; 6)Z3; в) S3; г) V4. 55.26. Какие из следующих групп изоморфны между собой: группа D4 движений квадрата; группа кватернионов Qg; группа из задачи 55.5, л); группа из задачи 55.5, т)? 55.27. Доказать, что группы собственных движений тетраэдра, куба и октаэдра изоморфны соответственно группам А4, S4, S4. 55.28. Пусть G — множество всех пар элементов (а, 6), а / 0, из поля к относительно операции (а, с) о (с, d) = (ас, ad + b). Доказать, что G является группой, изоморфной группе всех линейных функций х ь->- ах + Ъ относительно суперпозиции. 55.29. Пусть G — множество всех вещественных чисел, отличных от —1. Доказать, что G является группой относительно умножения х • у = х + у + ху.
220 Гл. XIII. Группы 55.30. Доказать, что: а) множество всех автоморфизмов произвольной группы является группой относительно композиции; б) отображение а : х и-» аха~1, где а — фиксированный элемент группы G, является автоморфизмом группы G (внутренним автоморфизмом); в) множество всех внутренних автоморфизмов произвольной группы является группой относительно композиции. 55.31. Найти группы автоморфизмов групп: a) Z; б) Zp; в) S3; г) V4; д) D4; e) Q8. 55.32. Доказать, что отображение а н-» а, сопоставляющее каж- каждому элементу а группы G перестановку а : х н-» ах множества G, является инъективным гомоморфизмом группы G в группу Sq- 55.33. Найти в соответствующих группах Sn подгруппы, изо- изоморфные группам: a) Z3; б) D4; в) Q8. 55.34. Пусть а — перестановка степени п и Аа = (^o-(j)) — квад- квадратная матрица порядка п. Доказать, что если G — некоторая группа перестановок степени п, то множество матриц Аа, где a G G, обра- образует группу, изоморфную группе G. 55.35. Найти в соответствующих группах матриц GLn(C) под- подгруппы, изоморфные группам: a) Z3; б) D4; в) Q8. 55.36. Найти в группе вещественных матриц порядка 4 подгруп- подгруппу, изоморфную группе Q8. 55.37. Доказать, что группу Upoo нельзя отобразить гомоморфно на конечную группу, отличную от единичной. 55.38. Будут ли изоморфны группы a) SL2C); б) S4; в) А5?
56. Подгруппы, порядок элемента группы 221 56. Подгруппы, порядок элемента группы. Смежные классы 56.1. Доказать, что во всякой группе: а) пересечение любого набора подгрупп является подгруппой; б) объединение двух подгрупп является подгруппой тогда и толь- только тогда, когда одна из подгрупп содержится в другой; в) если подгруппа С содержится в объединении подгрупп А и В, то либо CCi, либо ССВ. 56.2. Доказать, что конечная подполугруппа любой группы яв- является подгруппой. Верно ли это утверждение, если подполугруппа бесконечна? 56.3. Найти порядок элемента группы: а) в) 12 3 4 5 2 3 15 4 -л/3 1. ^ б) 12 3 4 5 2 3 4 5 1 Д) ж и) /О 1 0 0\ 0 0 10 0 0 0 1 i о о о/ -1 а 0 1 * А2 Е GL4(IE GL2(C); 1 0 -1 -1 GL2(C); GL2(C); где V0 .. ...,An GLn(C), 0 Хп/ различные корни k-ik степени из 1. 56.4. Пусть р — простое нечётное число, X — целочисленная квадратная матрица размера п, причём матрица Е + рХ лежит в SLn(Z) и имеет конечный порядок. Доказать, что X = 0. 56.5. Доказать, что: 3 4 а) элемент —I—i группы С* имеет бесконечный порядок; 5 5 . 1 4 б) число — arctg - иррационально. 7Г О
222 Гл. XIII. Группы 56.6. Сколько элементов порядка б содержится в группе: а) С*; 6)D2(C); в) S5; г) А5? 56.7. Доказать, что во всякой группе: а) элементы х и уху~1 имеют одинаковый порядок; б) элементы аЪ и Ъа имеют одинаковый порядок; в) элементы xyz и zyx могут иметь разные порядки. 56.8. Пусть элементы х и у группы G имеют конечный порядок и ху = ух. а) Доказать, что если порядки элементов х и у взаимно просты, то порядок произведения ху равен произведению их порядков. б) Доказать, что существуют показатели к и I такие, что поря- порядок произведения хку1 равен наименьшему общему кратному поряд- порядков х и у. в) Верны ли эти утверждения для некоммутирующих элемен- элементов х и у? 56.9. Доказать, что: а) если элемент х группы G имеет бесконечный порядок, то хк = х1 тогда и только тогда, когда к = I; б) если элемент х группы G имеет порядок п, то хк = х1 тогда и только тогда, когда п\(к — I); в) если элемент х группы G имеет порядок п, то хк = е тогда и только тогда, когда п\к. 56.10. Доказать, что в группе Sn: а) порядок нечётной перестановки является чётным числом; б) порядок любой перестановки является наименьшим общим кратным длин независимых циклов, входящих в её разложение. 56.11. Найти порядок элемента хк, если порядок элемента х ра- равен п. 56.12. Пусть G — конечная группа, a Е G. Доказать, что G = (а) тогда и только тогда, когда порядок а равен \G\. 56.13. Найти число элементов порядка рш в циклической группе порядка рп, где р — простое число, 0 < т ^ п. 56.14. Пусть G = (а) — циклическая группа порядка п. Доказать, что: а) элементы ак и а1 имеют одинаковые порядки тогда и только тогда, когда НОД(&,п) = НОДG,п);
§ 56. Подгруппы, порядок элемента группы 223 б) элемент ак является порождающим элементом G тогда и только тогда, когда кип взаимно просты; в) всякая подгруппа ЯСС порождается элементом вида ad, где d\n; г) для всякого делителя d числа п существует единственная под- подгруппа Н С G порядка d. 56.15. В циклической группе (а) порядка п найти все элементы д, удовлетворяющие условию дк = е, и все элементы порядка к при: а) п = 24, к = 6; б) п = 24, jfe = 4; в) п = 100, fe = 20; г) п = 100, fe = 5; д) п = 360, Л: = 30; е) п = 360, к = 12; ж) п = 360, fe = 7. 56.16. Найти все подгруппы в циклической группе порядка: а) 24; б) 100; в) 360; г) 125; д) рп (р — простое число) 56.17. Предположим, что в некоторой неединичной группе все не- неединичные элементы имеют одинаковый порядок р. Доказать, что р является простым числом. 56.18. Пусть G — конечная группа и d(G) — наименьшее среди натуральных чисел s таких, что gs = е для всякого элемента д G G (период группы G). Доказать, что: а) период d(G) делит \G\ и равен наименьшему общему кратному порядков элементов группы G; б) если группа G коммутативна, то существует элемент g G G порядка d(G); в) конечная коммутативная группа является циклической тогда и только тогда, когда d(G) = \G\. Верны ли утверждения б) и в) для некоммутативной группы? 56.19. Существует ли бесконечная группа, все элементы которой имеют конечный порядок? 56.20. Периодической частью группы G называется множество всех её элементов конечного порядка. а) Доказать, что периодическая часть коммутативной группы яв- является подгруппой. б) Верно ли утверждение а) для некоммутативной группы?
224 Гл. XIII. Группы в) Найти периодическую часть групп С* и Dn(C)*. г) Доказать, что если в коммутативной группе G есть элементы бесконечного порядка и все они содержатся в подгруппе Н, то Н совпадает с G. 56.21. Доказать, что в коммутативной группе множество элемен- элементов, порядки которых делят фиксированное число п, является под- подгруппой. Верно ли это утверждение для некоммутативной группы? 56.22. Найти все конечные группы, в которых существует наи- наибольшая собственная подгруппа. 56.23. Является ли циклической группа (Z/15Z)* обратимых эле- элементов кольца Z/15Z? 56.24. Множество всех подгрупп группы G образует цепь, если для любых двух её подгрупп одна содержится в другой. а) Доказать, что подгруппы циклической группы порядка рп, где р — простое число, образуют цепь. б) Найти все конечные группы, в которых подгруппы образуют цепь. в) Найти все группы, у которых подгруппы образуют цепь. 56.25. Представить группу Q в виде объединения возрастающей цепочки циклических подгрупп. 56.26. Установить изоморфизм между группами Un комплексных корней степени п из 1 и группой Zn вычетов по модулю п. 56.27. Какие из групп (д), порожденных элементом д Е G, изо- изоморфны: a)G = C*, g = —]= + -^=i; J л/2 л/2 6)G = GL2(C), g= (° I в) G = S6, g= C2651); д) G = М*, д = 10; бтг бтг е) G = С* , д = cos —- + г sin —-; 5 5 56.28. Доказать, что во всякой группе чётного порядка имеется элемент порядка 2.
§ 56. Подгруппы, порядок элемента группы 225 56.29. Будет ли группа обратимых элементов кольца вычетов Zie циклической? 56.30. Доказать, что всякая собственная подгруппа группы Upoo является циклической конечного порядка. 56.31. Доказать, что: а) в мультипликативной группе поля для любого натурального числа п существует не более одной подгруппы порядка п; б) всякая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической; в) мультипликативная группа конечного поля является цикли- циклической. 56.32. Найти все подгруппы в группах: a) S3; б) D4; в) Q8; г) А4. 56.33. Доказать, что если подгруппа Н группы Sn содержит одно из множеств {A2),A3),...,(In)} {A2),A23...п)}, то Н = Sn. 56.34. Найти все элементы группы G, коммутирующие с данным элементом g Е G (централизатор элемента д), если: a)G = S4, я= 6)G = SL2(M), g в) G = Sn, 0=A23...n). 56.35. Для многочлена / от переменных xi, X2, хз, х^ положим G/ = {а е S4 | /( Доказать, что G/ — подгруппа в S4, и найти эту подгруппу для многочлена: а) / = ххх2 + х3х4; б) / = в) / = х\ + ж2; г) / = д)/= 56.36. Найти смежные классы: а) аддитивной группы Z по подгруппе nZ, n — натуральное число; 15 А.И. Кострикин
226 Гл. XIII. Группы б) аддитивной группы С по подгруппе Z[i] целых гауссовых чисел, т.е. чисел а + Ы с целыми а, Ь; в) аддитивной группы Ж по подгруппе Z; г) аддитивной группы С по подгруппе М; д) мультипликативной группы С* по подгруппе U чисел с моду- модулем 1; е) мультипликативной группы С* по подгруппе М*; ж) мультипликативной группы С* по подгруппе положительных вещественных чисел; з) группы подстановок Sn по стационарной подгруппе элемента п; и) аддитивной группы вещественных C х 2)-матриц по подгруппе всех матриц (а^) с условием a^i = а^2 = ^22 = 0; к) аддитивной группы всех многочленов степени не выше 5 с комплексными коэффициентами по подгруппе многочленов степени не выше 3; л) циклической группы (аN по подгруппе (а4). 56.37. Пусть д — невырожденная матрица из GLn(C) и Н = = SLn(C). Доказать, что смежный класс дН состоит из всех матриц a Е GLn(C), определитель которых равен определителю матрицы д. 56.38. Пусть Н — подгруппа в группе G. Доказать, что отобра- отображение хН н-» Нх~х задаёт биекцию между множеством левых и мно- множеством правых смежных классов G по Н. 56.39. Пусть д\, д2 — элементы группы G и Н\, Н^ — подгруппы в G. Доказать, что следующие свойства эквивалентны: а) дгНг С д2Н2; б) Нг С Н2 и д~1д1 G Я2. 56.40. Пусть д\, д2 — элементы группы G и П\, Н2 — подгруппы в G. Доказать, что непустое множество д\П\ П #2^2 является левым смежным классом G по подгруппе И\ П Н2. 56.41. Пусть К — правый смежный класс группы G по подгруп- подгруппе Н. Доказать, что если x,y,z G К, то xy~1z G К. 56.42. Пусть К — непустое подмножество в группе G, причём если x,y,z G К, то xy~xz G К. Доказать, что К является правым смежным классом группы G по некоторой подгруппе Н. 56.43. Пусть Hi, Н2 — подгруппы в группе G, причём Hi С Н2. Если индекс Hi в Н2 равен п, а индекс Н2 в G равен т, то индекс Hi в G равен тип.
§ 57. Действие группы на множестве 227 56.44. Доказать, что в группе диэдра все осевые симметрии об- образуют смежный класс по подгруппе вращений. § 57. Действие группы на множестве. Отношение сопряжённости 57.1. Найти все орбиты группы G невырожденных линейных опе- операторов, действующих на n-мерном пространстве У, если: а) G — группа всех невырожденных линейных операторов; б) G — группа ортогональных операторов; в) G — группа операторов, матрицы которых в базисе (ei,..., еп) диагональны; г) G — группа операторов, матрицы которых в базисе (ei,..., еп) верхние треугольные. 57.2. Найти стационарную подгруппу Ga вектора а = е\ +в2 + ... ... + еп, если: a) G — группа из 57.1, в); б) G — группа из 57.1, г). 57.3. Найти стационарную подгруппу Gx и орбиту вектора ж, если: а) G — группа всех ортогональных операторов в трехмерном евклидовом пространстве; б) G — группа всех собственных ортогональных операторов в двумерном евклидовом пространстве. 57.4. Пусть G — группа всех невырожденных линейных операто- операторов в n-мерном векторном пространстве V и X — множество всех подпространств размерности к в X. а) Найти орбиты группы G в X. б) Пусть ei,..., еп — такой базис в У, что ei,..., е/. — базис не- некоторого подпространства U. Найти в базисе ei,..., еп матрицы опе- операторов из стационарной подгруппы Gjj. 57.5. Пусть G — группа всех невырожденных линейных операто- операторов в n-мерном векторном пространстве V и F — множество флагов в V, т.е. наборов / = (Vo, Vi,..., Vn) подпространств в V, причём 0 = Vo<V1<...<Vn = V. а) Найти орбиты G в F. б) Пусть ei e Vi\ Vi-i, i = 1,... ,п. Доказать, что еь ... ,en — базис V. 15*
228 Гл. XIII. Группы в) В базисе ei,..., еп найти матрицы операторов из стационарной подгруппы Gf. 57.6. Пусть G — группа всех невырожденных линейных опера- операторов в n-мерном векторном пространстве V и X (соответствен- (соответственно Y) — множество всех ненулевых разложимых g-векторов из AqV (из S«(V)). а) Найти орбиты действия G в X и Y. б) Найти стационарную подгруппу Ga разложимого g-вектора а (вектора из S9(V)). 57.7. Пусть G — группа всех невырожденных линейных опера- операторов в n-мерном вещественном (комплексном) пространстве V и В — множество всех симметричных (эрмитовых) билинейных функ- функций в V. Если д G G и Ь G В, то положим д(Ь)(х,у) = Ь(д~1х,д~1у). а) Доказать, что задано действие G в В. б) Описать орбиты G в В. Найти их число. в) Описать стационарную подгруппу Gb положительно определён- определённой функции Ъ. 57.8. Пусть G — группа всех невырожденных линейных операто- операторов в n-мерном комплексном пространстве V и L(V) — множество всех линейных операторов в V. Если д Е G и / Е L(V), то положим 5 1 7 8 2 4 3 3 б 9 4 1 4 5 8 10 б 3 7 2 . _ ( 6)9~ \7 4 б 1 8 3 2 9 5 10J G blo; а) Доказать, что задано действие G в L(V). б) Описать орбиты G в L(V). 57.9. Найти во множестве {1,2,..., 10} все орбиты и все стацио- стационарные подгруппы для группы G, порождённой подстановкой: б 7 8 9 10> 6 2 17 8 9 10> 9 5 : в) д = A б 9)B 10)C 4 5 7 8) G Si0. 57.10. В прямоугольной системе координат задан ромб с верши- вершинами А =@,1), В = B,0), С =@,-1), ?> = (-2,0). а) Найти матрицы ортогональных преобразований плоскости, пе- переводящих ромб в себя.
§ 57. Действие группы на множестве 229 б) Доказать, что эти матрицы образуют относительно умножения группу G, изоморфную группе V4. в) Найти орбиты действия группы G на множестве вершин ромба и их стационарные подгруппы. 57.11. Найти порядок группы диэдра Dn. 57.12. Найти порядок: а) группы вращений куба; б) группы вращений тетраэдра; в) группы вращений додекаэдра. 57.13. Доказать, что: а) группа вращений икосаэдра изоморфна группе А5; б) группа движений тетраэдра изоморфна S4. 57.14. Найти порядок стационарной подгруппы вершины для группы вращений: а) октаэдра; б) икосаэдра; в) тетраэдра; г) куба; д) диэдра. 57.15. Пусть G — группа аффинных преобразований в п-мерном аффинном пространстве X. Предположим, что Y — множество всех наборов из п +1 точки (Д),..., Ап), находящихся в общем положении. а) Найти орбиты G в Y. б) Найти стационарную подгруппу Ga набора a Е Y. 57.16. Пусть G — группа аффинных преобразований в п-мерном аффинном вещественном (комплексном) пространстве X. Обозначим через Q — множество всех квадратичных функций в X. Если д Е G, h Е Q и х Е X, то положим g(h) = h(g~1x). а) Доказать, что задано действие G в Q. б) Описать орбиты G в Q. в) Описать стационарную подгруппу Gh невырожденной функции heQ. 57.17. Пусть G — группа дробно-линейных преобразований еди- единичного круга с центром О из задачи 24.22. Найти: а) стационарную подгруппу точки О; б) орбиту точки О; в) пересечение стационарных подгрупп двух различных точек единичного круга.
230 Гл. XIII. Группы 57.18. Пусть группа G действует на множестве X т х, у — эле- элементы одной орбиты G в X. Доказать, что все такие д Е G, что д(х) = у, составляют левый смежный класс G по стационарной под- подгруппе Gx и правый смежный класс по стационарной подгруппе Gy. 57.19. Пусть коммутативная группа G действует на некотором множестве М. Доказать, что если для некоторых д Е G и то Е М справедливо равенство дтпо = mo, to gm = m для любой точки т, лежащей в одной орбите с точкой то. 57.20. Пусть Н — подгруппа группы G, a Е G. Доказать, что: а) отображение аа: дН н-» адН есть перестановка на множестве М всех левых смежных классов группы G по подгруппе Н; б) отображение /: а н-» аа определяет действие группы G на М; в) сга является тождественной перестановкой тогда и только тог- тогда, когда а принадлежит пересечению всех подгрупп, сопряжённых с Н в группе G. 57.21. Перенумеровав левые смежные классы группы G по под- подгруппе Н, найти все перестановки аа (задача 57.20), если: а) G = Z4, H — единичная подгруппа; б) G = D4, H — подгруппа, состоящая из тождественного преоб- преобразования и некоторой осевой симметрии квадрата. 57.22. Доказать, что для любой группы G: а) сопряжение определяет действие m ь->- д • m = gmg~1, g,m G G группы G на множестве G; б) стационарная подгруппа точки m (централизатор элемента тп) совпадает со множеством элементов группы G, перестановочных с т. 57.23. Найти централизатор: а) перестановки A2) C 4) в группе S4; б) перестановки A 2 3 ... п) в группе Sn. 57.24. В группе GL2(M) найти централизатор матрицы: 1 0 \ ^ B 0\ ч Л 0 -1 J ; бЧ0 J ; В) 1з 4 57.25. В группе GLn(M) найти централизатор матрицы diag(Ab...,An), если: а) все элементы диагонали различны;
57. Действие группы на множестве 231 б) Ai = ... = Хк = a, Afe+i =... = \п = ЬжафЬ. 57.26. Какие из трех матриц сопряжены между собой в группе GL2(C): А - (ll2 ° 57.27. Пусть F — поле. В группе SLn(F) найти: а) централизатор Сц элементарной матрицы Е + Ец при 1 ^ г ф Ф 3 ^Щ б) пересечение Сц при всех г, j, где 1 ^ i ф j ^ п; в) класс сопряжённых элементов, содержащих Е + Ец. Доказать, что любые две элементарные матрицы Е + а.Ец и Е + fiEpq, где 1^гфЗ,рфд^пта, /^EF*, сопряжены. 57.28. В группе С>2(М) ортогональных операторов найти: а) централизатор оператора поворота на угол q ф ктг; б) централизатор симметрии относительно оси ОХ. 57.29. Доказать, что в группе С>2(М) любые две симметрии со- сопряжены. 57.30. Найти классы сопряжённых элементов групп: a) S3; б) А4; в) D4. 57.31. Найти все конечные группы, число классов сопряжённости которых равно: а) 1; б) 2; в) 3. 57.32. В группе S4 найти класс сопряжённости: а) перестановки A2) C 4); б) перестановки A2 4). 57.33. Есть ли в группах Ss, Sq несопряжённые элементы одина- одинаковых порядков? 57.34. Доказать, что две перестановки сопряжены в группе Sn тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую цикловую струк- структуру, т.е. их разложения в произведения независимых циклов для лю- любого к содержат одинаковое число циклов длины к. 57.35. Найти число классов сопряжённости в группах: a) S4; б) S5; в) S6; г) D4.
232 Гл. XIII. Группы 57.36. Канонической формой матрицы A Е 8Оз(М) называется сопряжённая с А матрица вида '10 0 0 cos ip — sin ip sin ip cos cpj Доказать, что матрицы А\ и А<± сопряжены в 8Оз(М) тогда и только тогда, когда их канонические формы связаны соотношением Ч>\ + ^2 — 2тг/с или ifi — Lp^ = 2тг/с для некоторого целого к. 57.37. Доказать, что: а) если Я и К — сопряжённые подгруппы конечной группы и К С Я, то К = Я; б) подгруппы я = сопряжены в группе GL2(M), иКсЯ. 57.38. Найти нормализатор N(H) подгруппы Я в группе G, если: а) G = GL2(M), Я — подгруппа диагональных матриц; б) G = GL2(M), Я — подгруппа матриц вида 1 0 в) G = S4, H= (A234)). 57.39. Найти группу автоморфизмов: а) группы Z5; б) группы Zq. 57.40. Доказать, что: а) Aut S3 — S3, причём все автоморфизмы группы S3 внутренние; б) Aut V4 — S3, причём внутренним для V4 является лишь тож- тождественный автоморфизм. 57.41. Является ли циклической группа автоморфизмов: а) группы Zg; б) группы Zg? 57.42. Найти порядок группы Aut Aut Aut Zg. 57.43. В группе Sq построить внешний автоморфизм.
§ 58. Гомоморфизмы и факторгруппы 233 57.44. Доказать, что в группе Sn (п ф 6) все автоморфизмы внут- внутренние. 57.45. Доказать, что группа автоморфизмов D4 изоморфна D4. Найти подгруппу внутренних автоморфизмов группы D4. 57.46. Найти группу автоморфизмов группы Dn и подгруппу её внутренних автоморфизмов. § 58. Гомоморфизмы и нормальные подгруппы. Факторгруппы, центр 58.1. Доказать, что подгруппа Н группы G нормальна, если: а) G — коммутативная группа, Н — любая её подгруппа; б) G = GLn(M), H — подгруппа матриц с определителем, рав- равным 1; r)G = S4, H = V4; д) G — группа невырожденных комплексных верхнетреугольных матриц, Н — группа матриц вида Е + 58.2. Будет ли нормальной подгруппой в группе GLn(Z) мно- множество всех матриц вида (а Vе d) где числа a, d нечётны, а числа 6, с четны? 58.3. Доказать, что любая подгруппа индекса 2 является нормаль- нормальной. 58.4. Найти все нормальные подгруппы, отличные от единичной и от всей группы в группах: a) S3; б) А4; в) S4. 58.5. На примере группы А4 показать, что нормальная подгруп- подгруппа К нормальной подгруппы Н группы G не обязательно является нормальной в G. 58.6. Пусть А и В — нормальные подгруппы группы G и АГ\В — единичная подгруппа. Доказать, что ху = ух для любых х G А, у G В.
234 Гл. XIII. Группы 58.7. Пусть Н — подгруппа в G индекса 2, С — класс сопряжён- сопряжённых в G элементов и С С Н. Доказать, что С является либо клас- классом сопряжённых в Н элементов, либо объединением двух классов сопряжённых в Н элементов, состоящих из одинакового числа эле- элементов. 58.8. Доказать, что факторгруппа M*/Q* не является цикли- циклической. 58.9. Найти число классов сопряжённости в группе А5 и число элементов в каждом из классов. 58.10. Доказать, что группа А5 является простой. 58.11. а) Доказать, что в группе кватернионов Qg любая под- подгруппа является нормальной. б) Найти центр и все классы сопряжённости в группе Q$. в) Доказать, что комплексные матрицы относительно умножения матриц образуют группу, изоморфную Qs- 58.12. Найти все нормальные подгруппы в группе диэдра Dn. 58.13. Пусть F — поле и G — подгруппа в GLn(F), содержащая SLn(F). Доказать, что G нормальна в GLn(F). 58.14. Сопоставим каждой матрице ( , , 1 G GL2(C) дробно- \о а) линейное преобразование az + b f{z) = ^Td- Найти ядро этого гомоморфизма. 58.15. Доказать, что ядро любого гомоморфизма группы С* в аддитивную группу Ж является бесконечной группой. 58.16. Пусть п, т ^ 2 — натуральные числа и SLn(Z;mZ) — подмножество в SLn(Z), состоящее из матриц вида Е + Хт, где X — целочисленная квадратная матрица размера п. Доказать, что: a) SLn(Z;mZ) — нормальная подгруппа в SLn(Z);
§ 58. Гомоморфизмы и факторгруппы 235 б) если т = р — простое число, то SLn(Z)/SLn(Z;pZ) ~ SLn(Zp); в) группа SLn(Z;mZ) не содержит элементов конечного порядка при т ^ 3; г) если G — конечная подгруппа в SLn(Z), то порядок G делит -Cn-l)Cn-3)...Cn-3n-1). 58.17. Доказать, что для любой группы G множество всех внут- внутренних автоморфизмов является нормальной подгруппой в группе Aut G всех автоморфизмов группы G. 58.18. Доказать, что любая подгруппа, содержащая коммутант группы, нормальна. 58.19. Найти центр группы: a) Sn; б) Ап; в) Dn. 58.20. Пусть группа G порождена элементами а, 6, причём а2 = Ь2 = ИL = 1. Доказать, что элемент (abJ лежит в центре группы G. 58.21. Доказать, что центр группы порядка рп, где р — простое число (n G N), содержит более одного элемента. 58.22. Пусть G — множество верхних унитреугольных матриц порядка 3 с элементами из поля Zp. а) Доказать, что G — некоммутативная группа порядка р3 отно- относительно умножения. б) Найти центр группы G. в) Найти все классы сопряжённых элементов группы G. 58.23. Найти центр группы: a) GLn(M); б) О2(М); в) SO2(M); г) SO3(M); д) SU2(C); e) SUn(C); ж) верхнетреугольных матриц. 58.24. Найти центр: а) группы всех дробно-линейных преобразований комплексной плоскости; б) группы всех преобразований единичного круга из задачи 24.25.
236 Гл. XIII. Группы 58.25. Доказать, что группа Я является гомоморфным образом конечной циклической группы G тогда и только тогда, когда Я так- также циклическая, и её порядок делит порядок группы G. 58.26. Доказать, если группа G гомоморфно отображена на груп- группу Я, причём аН а', то: а) порядок а делится на порядок а'; б) порядок G делится на порядок Я. 58.27. Найти все гомоморфные отображения: a)Z6^Z6; 6)Z6^Zi8; в) Z18 -^ Z6; г) Zi2 ->• Zi5; д) Z6 ->• Z25- 58.28. Доказать, что аддитивную группу рациональных чисел нельзя гомоморфно отобразить на аддитивную группу целых чисел. 58.29. Найти факторгруппы: a) Z/nZ; б) U12/U3; в) 4Z/12Z; г)М*/^- 58.30. Пусть Fn — аддитивная группа n-мерного линейного про- пространства над полем F и Я — подгруппа векторов ^-мерного под- подпространства. Доказать, что факторгруппа Fn/H изоморфна Fn~k. 58.31. Пусть Нп — множество чисел с аргументами вида 2тгк/п (к Е Z). Доказать, что: a) R/Z ~ U; б) С* /W ~ U; в) С* /U ~ M+; г) U/Un ~ U; д) С* /Un ~ С* ; е) С* /Нп ~ U; ж) Яп/^ ~ Un; з) Hn/\Jn ~ M+. 58.32. Пусть G = GLn(R), Я = GLn(C), Р = SLn(R), Q = SLn(C) А = {X е G |detX| = 1}, Я = {Х еЯ| |detX| = 1}, detX > 1}, N = {X G H\ detX > 0}. Доказать, что: С*; в) G/(iV П G) ~ Z2; г) H/N ~ U; д) G/A ~ 1+; е) Н/В ~ 1+. 58.33. Пусть G — группа аффинных преобразований п-мерного пространства, Я — подгруппа параллельных переносов, К — под- подгруппа преобразований, оставляющих неподвижной данную точку О. Доказать, что:
§ 58. Гомоморфизмы и факторгруппы 237 а) Н является нормальной подгруппой в G; б) G/H ~ К. 58.34. Доказать, что факторгруппа группы S4 по нормальной подгруппе {е, A2) C4), A3) B4), A4) B3)} изоморфна группе S3. 58.35. Доказать, что если Н — подгруппа индекса к в группе G, то Н содержит некоторую нормальную в G подгруппу, индекс которой в G делит к\. 58.36. Доказать, что подгруппа, индекс которой является наи- наименьшим простым делителем порядка группы, нормальна. 58.37. Доказать, что факторгруппа группы GL^Zs) по её цент- центру изоморфна группе S4. 58.38. Доказать, что в группе Q/Z: а) каждый элемент имеет конечный порядок; б) для каждого натурального п имеется в точности одна подгруп- подгруппа порядка п. 58.39. Доказать, что группа внутренних автоморфизмов группы G изоморфна факторгруппе группы G по её центру. 58.40. Доказать, что факторгруппа некоммутативной группы по её центру не может быть циклической. 58.41. Доказать, что группа порядка р2, где р — простое число, коммутативна. 58.42. Доказать, что группа всех автоморфизмов некоммутатив- некоммутативной группы не может быть циклической. 58.43. Найти число классов сопряжённости и число элементов в каждом классе для некоммутативной группы порядка р3, где р — простое число. 58.44. Подгруппа Н называется максимальной в группе G, если Н ф G и любая подгруппа, содержащая Н, совпадает с Н или G. Доказать, что: а) пересечение любых двух различных максимальных коммута- коммутативных подгрупп содержится в центре группы; б) во всякой конечной простой некоммутативной группе найдут- найдутся две различные максимальные подгруппы, пересечение которых со- содержит более одного элемента;
238 Гл. XIII. Группы в) во всякой конечной простой некоммутативной группе сущест- существует собственная некоммутативная подгруппа. 58.45. Доказать, что факторгруппа SL^Zs) по её центру изо- изоморфна А5. 58.46. Доказать, что всякая конечная подгруппа в SL2(Q) явля- является подгруппой одной из следующих групп: D3, D4, De- 58.47. Пусть F — поле, п ^ 3 и G — нормальная подгруппа в GLn(F). Доказать, что либо G D SLn(F), либо G состоит из скаляр- скалярных матриц. 58.48. Пусть F — поле, содержащее не менее четырех элемен- элементов и G — нормальная подгруппа в GL^i*1). Доказать, что либо G D SL2(F), либо G состоит из скалярных матриц. 58.49. Доказать, что SL2B) ~ S3. 58.50. Найти все нормальные подгруппы в SL2C). 58.51. Пусть G — нормальная подгруппа конечного индекса в SLn(Z), п ^ 3. Тогда существует такое натуральное число т, что G С SLn(Z,mZ). 58.52. Пусть F — поле, п ^ 3 и ср — автоморфизм группы GLn(F). Доказать, что существует такой гомоморфизм групп т : GLn(F) —У F* и автоморфизм т поля F, что либо 4>(х) =т(х)дт(х)д-1, либо (р(х) = т(х) д1 т{х)~1 д~1, § 59. Силовские подгруппы. Группы малых порядков 59.1. Найти порядок групп: а) GLn(Fg); б) SLn(Fg); в) группы невырожденных верхнетреугольных матриц размера п над конечным полем из q элементов. 59.2. Изоморфны ли: а) группа Q$ и группа D4; б) группа S4 и группа SL2C)? 59.3. Найти все силовские 2-подгруппы и 3-подгруппы в группах: a) S3; б) А4.
§ 59. Силовские подгруппы 239 59.4. Указать сопрягающие элементы для силовских 2-подгрупп и силовских 3-подгрупп в группах: a) S3; б) А4. 59.5. Доказать, что любая силовская 2-подгруппа группы S4 изо- изоморфна группе диэдра D4. 59.6. В каких силовских 2-подгруппах группы S4 содержатся пе- перестановки: а) A3 2 4); б) A3); в)A2)C4)? 59.7. Доказать, что существуют в точности две некоммутатив- некоммутативные неизоморфные группы порядка 8 — группа кватернионов Qg и группа диэдра D4. 59.8. Доказать, что силовская 2-подгруппа группы Б^С^з)'- а) изоморфна группе кватернионов; б) нормальна в Б^С^з)- 59.9. Сколько различных силовских р-подгрупп в группе А5, где: а) р = 2; б) р = 3; в) р = 5? 59.10. Найти порядок силовской р-подгруппы в группе Sn. 59.11. Сколько различных силовских р-подгрупп в группе Sp, где р — простое число? 59.12. Доказать, что силовская р-подгруппа в группе G единст- единственна тогда и только тогда, когда она нормальна в G. 59.13. Пусть Р = а\ 7 1 1 I a Е /р, р — простое число > . а) Доказать, что Р — силовская р-подгруппа в группе б) Найти нормализатор подгруппы Р в SL2(ZP). в) Найти число различных силовских р-подгрупп в SL2 г) Доказать, что Р — силовская р-подгруппа в группе д) Найти нормализатор подгруппы Р в GL2(ZP). е) Найти число различных силовских р-подгрупп в 59.14. Доказать, что подгруппа верхних унитреугольных матриц является силовской р-подгруппой в GLn(Zp).
240 Гл. XIII. Группы 59.15. В группе диэдра Dn для каждого простого делителя р числа 2п: а) найти все силовские р-подгруппы; б) указать сопрягающие элементы для силовских р-подгрупп. 59.16. Доказать, что образ силовской р-подгруппы конечной группы G при гомоморфизме группы G на группу Н является си- силовской подгруппой в Н. 59.17. Доказать, что любая силовская р-подгруппа прямого про- произведения конечных групп А и В является произведением силовских р-подгрупп сомножителей А и В. 59.18. Пусть Р — силовская р-подгруппа конечной группы G, Н — нормальная в G подгруппа. а) Доказать, что пересечение РГ\Н является силовской р-подгруп- пой в Н. б) Привести пример, показывающий, что без предположения о нормальности подгруппы Н утверждение пункта а) неверно. 59.19. Доказать, что все силовские подгруппы группы порядка 100 коммутативны. 59.20. Доказать, что любая группа порядка: а) 15; б) 35; в) 185; г) 255; коммутативна. 59.21. Сколько различных силовских 2-подгрупп и силовских 5-подгрупп в некоммутативной группе порядка 20? 59.22. Доказать, что не существует простых групп порядка: а) 36; б) 80; в) 56; г) 196; д) 200. 59.23. Пусть р и q — простые числа, р < q. Доказать, что: а) если q — 1 не делится на р, то любая группа порядка pq комму- коммутативна; б) если q—1 делится нар, то в группе невырожденных матриц вида а Ь 0 1 (а, Ъ G Zq) имеется некоммутативная подгруппа порядка pq. 59.24. Сколько элементов порядка 7 в простой группе поряд- порядка 168?
60. Абелевы группы 241 59.25. Пусть К — нормальная подгруппа в р-группе G. Доказать, что KHZ(G) ф 1. 59.26. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем F характеристики р и G — р-группа линейных невырожден- невырожденных операторов в V. Доказать, что существует такой ненулевой век- вектор х Е V, что дх = х для всех д Е G. 59.27. Пусть Р — силовская р-подгруппа в конечной группе G и Н — подгруппа в G, содержащая нормализатор Nq(P). Доказать, что NG(H) = Я. § 60. Прямые произведения и прямые суммы. Абелевы группы 60.1. Доказать, что группы Ъ и Q не разлагаются в прямую сум- сумму ненулевых подгрупп. 60.2. Разлагаются ли в прямое произведение неединичных под- подгрупп группы: a) S3; б) А4; в) S4; г) Q8? 60.3. Доказать, что конечная циклическая группа является пря- прямой суммой примарных циклических подгрупп. 60.4. Доказать, что прямая сумма циклических групп Zm 0 Zn является циклической группой тогда и только тогда, когда наиболь- наибольший общий делитель тип равен 1. 60.5. Разложить в прямую сумму группы: a) Z6; б) Z12; в) Z60. 60.6. Доказать, что мультипликативная группа комплексных чисел является прямым произведением группы положительных вещественных чисел и группы всех комплексных чисел, по модулю равных 1. 60.7. Доказать, что при п ^ 3 мультипликативная группа коль- кольца вычетов Ъ^гь является прямым произведением подгруппы {=Ы} и циклической группы порядка 2П~2. 60.8. Чему равен порядок: а) прямого произведения конечных групп; б) элемента прямого произведения конечных групп? 16 А.И. Кострикин
242 Гл. XIII. Группы 60.9. Доказать, что если в абелевой группе подгруппы Ai, A2,... ..., Ak имеют конечные попарно взаимно простые порядки, то их сум- сумма является прямой. 60.10. Пусть D — подгруппа прямого произведения А х В групп А и В взаимно простых порядков. Доказать, что D~(DHA)x (DHB). 60.11. Пусть к — наибольший порядок элементов конечной абе- абелевой группы G. Доказать что порядок любого элемента группы G делит к. Верно ли это утверждение без предположения об абелевости группы? 60.12. Найти все прямые разложения группы, состоящей из чисел вида ±2П. 60.13. Пусть А — конечная абелева группа. Найти все прямые разложения группы Z 0 А, в которых одно из слагаемых является бесконечной циклической группой. 60.14. Найти классы сопряжённости группы Ах В, если известны классы сопряжённости групп А и В. 60.15. а) Доказать, что центр прямого произведения Ах В равен прямому произведению центров А и В. б) Пусть N — нормальная подгруппа в А х В, причём NH A = NHB = 1. Доказать, что N лежит в центре Ах В. 60.16. Доказать, что если факторгруппа А/В абелевой группы А по подгруппе В является свободной абелевой группой, то А = В 0 С, где С — свободная абелева группа. 60.17. Доказать, что подгруппа А абелевой группы G выделяет- выделяется в G прямым слагаемым тогда и только тогда, когда существует сюръективный гомоморфизм тг: G —У А такой, что тг2 = тг. 60.18. Пусть ifi, if2 — гомоморфизмы групп Ai, A^ в абелеву группу В. Доказать, что существует единственный гомоморфизм ер : А\ х А<2 —У В, ограничения которого на А\ и А^ совпадают со- соответственно с ifi и if2. Существенна ли здесь абелевость группы В1 60.19. На множестве гомоморфизмов абелевой группы А в абеле- абелеву группу В определим операцию сложения по правилу (а + Р)(х) =а(х)
§ 60. Абелевы группы 243 Доказать, что гомоморфизмы А —>¦ В образуют абелеву группу Яот(А,В). 60.20. Найти группы гомоморфизмов: a) Hom(Z12, Z6); б) Hom(Z12, Z18); в) Hom(Z6, Zi2); г) Hom(Ai 0 А2,В); д) Hom(A, Б! 0 В2); е) Hom(Zn, Z*); ж) Hom(Z,Zn); з) Hom(Zn,Z); и) Hom(Z,Z); к) Hom(Z2 0 Z2j Z8); л) Hom(Z20Z3,Z3o). 60.21. Доказать, что Hom(Z, A) ~ A. 60.22. Пусть А — абелева группа. Доказать, что все её эндомор- эндоморфизмы образуют кольцо End А с единицей относительно сложения и обычного умножения отображений. 60.23. Доказать, что группа автоморфизмов абелевой группы совпадает с группой обратимых элементов её кольца эндоморфизмов. 60.24. Найти кольца эндоморфизмов групп: a) Z; б) Zn; в) Q. 60.25. Доказать, что в абелевой группе отображение х ->• пх (п G Е Z) является эндоморфизмом. Для каких групп оно будет: а) инъективным; б) сюръективным? 60.26. Доказать, что кольцо эндоморфизмов свободной абелевой группы ранга п изоморфно кольцу Mn(Z). 60.27. Найти группы автоморфизмов групп: a) Z; б) Q; в) Z2™; г) свободной абелевой ранга п. 60.28. Доказать, что: a) Aut Z30 ~ Aut Zi5; б) Aut(Z 0 Z2) = Z2 0 Z2. 60.29. Доказать, что кольцо End(Z 0 Z2) бесконечно и некомму- некоммутативно. 60.30. Доказать, что кольцо эндоморфизмов конечной абелевой группы является прямой суммой колец эндоморфизмов её примарных компонент. 60.31. Доказать, что подгруппа конечно порождённой абелевой группы также конечно порождена. 16*
244 Гл. XIII. Группы 60.32. Доказать, что всякий гомоморфизм конечно порождённой абелевой группы на себя является автоморфизмом. Верно ли аналогичное утверждение для аддитивной группы коль- кольца многочленов? 60.33. Доказать, что свободные абелевы группы рангов тип изоморфны тогда и только тогда, когда т = п. 60.34. Пусть А, В, С — конечнопорождённые абелевы группы, причём ЛфС^БфС. Доказать, что А ~ В. 60.35. Пусть порядок конечной абелевой группы G делится на число т. Доказать, что в G есть подгруппа порядка т. 60.36. Пусть А и В — конечные абелевы группы, причём для любого натурального числа т в А и В число элементов порядка т одинаково. Доказать, что А ~ В. 60.37. Пусть А и В — конечнопорождённые абелевы группы, причём каждая из них изоморфна подгруппе другой. Доказать, что А~В. 60.38. Доказать, что подгруппа В свободной абелевой группы А является свободной, причём ранг В не превосходит ранга А. 60.39. Пользуясь основной теоремой о конечно порождённых абе- левых группах, найти с точностью до изоморфизма все абелевы груп- группы порядка: а) 2; б) 6; в) 8; г) 12; д) 16; е) 24; ж) 36; з) 48. 60.40. Говорят, что абелева группа имеет тип (ni,n2,... ,п^), если она является прямой суммой циклических групп порядков ni, n2j... ,71*. Есть ли в абелевой группе типа B,16) подгруппы типа: а) B,8); б) D,4); в) B,2,2)? 60.41. Найти тип группы ((а)9 © (ЬJ7)/(За + 9Ь). 60.42. Изоморфны ли группы: а) «аJ © <Ь>4)/<2Ь> и (<а>2 0 <Ь>4)/(а +2Ь>; б) Z6 ©Z36 и Z12 ©Zi8; b)Z6©Z36 и Z9©Z24; г) Z6 © Zio © Zio и Z60 © Zio?
60. Абелевы группы 245 60.43. Сколько подгрупп: а) порядков 2 и б в нециклической абелевой группе порядка 12; б) порядков 3 и б в нециклической абелевой группе порядка 18; в) порядков 5 и 15 в нециклической абелевой группе порядка 75? 60.44. Найти все прямые разложения групп: а) (аJ 0(ЬJ; б) (а)р © (Ъ)р; в) (аJ © (ЬL. 60.45. Сколько элементов: а) порядка 2, 4 и б в группе Z2 © Z4 © Z3; б) порядка 2, 4 и 5 в группе Z2 © Z4 © Z4 © Z5? 60.46. Пользуясь основной теоремой о конечных абелевых груп- группах, доказать, что конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической. 60.47. Пусть F — поле, у которого мультипликативная груп- группа F* конечно порождена. Доказать, что поле F конечно. 60.48. Доказать, что конечно порожденная подгруппа мульти- мультипликативной группы комплексных чисел разлагается в прямое про- произведение свободной абелевой группы и конечной циклической. 60.49. Пусть А — свободная абелева группа с базисом ei,..., еп и х = TTiiei + • • • + тп^п G А\0, где rrii E Z. Доказать, что циклическая группа (х) является прямым слагаемым в А тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель чисел mi,...,mn равен 1. 60.50. Пусть А — свободная абелева группа с базисом xi,...,хп. Доказать, что элементы п Уз = ^2ачх^ j = i,...,n, dij е%, г=1 составляют базис группы А тогда и только тогда, когда det(a^) = =Ы. 60.51. Пусть А — свободная абелева группа с базисом xi,..., хп, В — её подгруппа с порождающими элементами г=1 Доказать, что факторгруппа А/В конечна тогда и только тогда, когда det(aij) ф 0, и при этом \А/В\ = | det(a^-)|.
246 Гл. XIII. Группы 60.52. Разложить в прямую сумму циклических групп фактор- факторгруппу А/В, где А — свободная абелева группа с базисом жьЖ2,жз, В — её подгруппа, порождённая 2/i, 2/2 ? 2/з: 2х2 + Зж3, 9ж3, б) Зж3; ж и) 60.53. В факторгруппе свободной абелевой группы А с базисом х\, х2, жз по подгруппе 5, порождённой xi + х2 + 4жз и 2х± — х2 + 2х%, найти порядок смежного класса [х\ + 2жз) + В. 60.54. В факторгруппе свободной абелевой группы А с базисом Ж1,Ж2,жз по подгруппе В, порождённой 2х\ + х2 — 50жз и 4xi + +bx2 + бОжз найти порядок элемента 32xi + 31^2 + В. 60.55. Доказать, что кольцо эндоморфизмов конечной абелевой группы коммутативно тогда и только тогда, когда каждая её при- марная компонента является циклической. 60.56. Аддитивная подгруппа Н в n-мерном вещественном про- пространстве W1 дискретна, если существует такая окрестность нуля U, что U П Н = 0. Доказать, что дискретная подгруппа в W1 является свободной абелевой группой и её ранг не превосходит п. 60.57. Найти все элементы конечного порядка в W1 /Ъп.
60. Абелевы группы 247 60.58. Пусть Н = Z[i] — подгруппа целых гауссовых чисел в аддитивной группе поля комплексных чисел С. Предположим, что z = x + iy?C\H, где х,у Е М*, причём ху~1 иррационально. До- Доказать, что (z) + Н всюду плотно в С. 60.59. Пусть Н — аддитивная замкнутая подгруппа в Жп. До- Доказать, что Н = L 0 Hi, где L — подпространство в Жп и Hi — дискретная подгруппа в Жп. 60.60. Доказать, что если порядок элемента а абелевой группы А взаимно прост с п, то уравнение пх = а имеет в А решение. 60.61. Абелева группа А называется делимой, если уравнение пх — а имеет в ней решение при любом a Е А и целом п/0. Доказать, что группа делима тогда и только тогда, когда при любом а и любом простом р уравнение рх = а имеет решение. 60.62. Доказать, что прямая сумма делима тогда и только тогда, когда делимы все прямые слагаемые. 60.63. Доказать, что группы Q и Upoo [p — простое число) де- делимы. 60.64. Доказать, что в группе без кручения можно ввести струк- структуру линейного пространства над полем Q тогда и только тогда, когда она является делимой. 60.65. Пусть А — делимая подгруппа группы G, В — максималь- максимальная подгруппа группы G такая, что АГ\В = {0} (такая всегда сущест- существует). Доказать, что G = А 0 В. 60.66. Доказать, что в любой абелевой группе существует дели- делимая подгруппа, факторгруппа по которой не имеет делимых под- подгрупп. 60.67. Пусть А — конечно порожденная абелева группа и В — подгруппа в А. Предположим, что А/В — группа без кручения. Тогда А = В 0 С, где С — свободная абелева группа. 60.68. Пусть А, В — свободные абелевы группы и ip : А ->• В — гомоморфизм групп. Доказать, что Кекр — прямое слагаемое в А. 60.69. Пусть А — свободная абелева группа с базой ei,...,en, С — целочисленная квадратная матрица размера п. Обозначим че-
248 Гл. XIII. Группы рез В множество всех таких векторов x\ei + ... + хпеп Е А, что = 0. Доказать, что В — подгруппа в А, являющаяся прямым слагае- слагаемым в А. Обратно, любое прямое слагаемое в А задается системой линейных однородных целочисленных уравнений. § 61. Порождающие элементы и определяющие соотношения 61.1. Доказать, что: а) группа Sn порождается транспозицией A2) и циклом A2 .. .п); б) группа Ап порождается тройными циклами. 61.2. Доказать, что: а) группа G~Ln(K) над полем К порождается матрицами вида Е + aEij, где a G К, 1 ^ г ф j ^ п, и матрицами Е + ЬЕц, где Ь G К, Ъф-1- б) группа \JTn(K) порождается матрицами Е + аЕ^, где a G К, 1 ^ г < j ^ п. 61.3. Доказать, что специальная линейная группа S~Ln(K) над по- полем К порождается трансеекциямщ т.е. элементарными матрицами вида, E + aEij (i ф j). 61.4. Доказать, что: а) любую целочисленную матрицу с единичным определителем можно привести к единичному виду только элементарными преобра- преобразованиями, заключающимися в том, что к одной строке прибавляется другая строка, умноженная на =Ы; б) группа SLn(Z) конечно порождена. 61.5. Пусть Fg — поле из q ф 9 элементов и а — образующий циклической группы F*. Доказать, что SL2(Fg) порождается двумя матрицами ' 1 1
§ 61. Порождающие элементы 249 61.6. а) Доказать, что А5 порождается двумя подстановками, B54) и A2345). б) Доказать, что Ап при чётном п ^ 4 порождается двумя элемен- элементами: а= A2)(n- l,n), b= A,2,...,п- 1). в) Доказать, что Ап при нечётном п ^ 5 порождается двумя эле- элементами: а = A,п)B,п - 1), Ь = A,2,... , п - 2). 61.7. Найти все двухэлементные множества, порождающие группы: a) Z6; б) S3; в) Q8; г) D4; д) (аJ 0 <Ь>2. 61.8. Доказать, что если d — минимальное число порождающих конечной абелевой группы А, то для группы А (В А аналогичное число равно 2d. 61.9. Доказать, что группа S2 x S3 порождается двумя элемен- элементами. 61.10. Доказать, что если группа имеет конечную систему по- порождающих, то из любой системы порождающих можно выбрать ко- конечную подсистему, порождающую всю группу. 61.11. Будет ли конечно порождённым нормальное замыкание матрицы А = I _ в группе G, порожденной матрицами А и В = 2 0\? 61.12. Доказать, что: а) каждое слово в свободной группе эквивалентно единственному несократимому слову; б) "свободная группа" действительно является группой. 61.13. Пусть F — свободная группа со свободными порождаю- порождающими х\,..., хп, G — произвольная группа. Доказать, что для любых элементов д\,..., дп G G существует единственный гомомор- гомоморфизм ip : F —>¦ G такой, что (f(xi) = #i,..., (f(xn) = дп. Вывести отсю- отсюда, что любая конечно порожденная группа изоморфна факторгруппе подходящей свободной группы конечного ранга. 61.14. Доказать, что в свободной группе нет элементов конечно- конечного порядка, отличных от единицы. 61.15. Доказать, что два коммутирующих элемента свободной группы лежат в одной циклической подгруппе.
250 Гл. XIII. Группы 61.16. Доказать, что слово w лежит в коммутанте свободной группы с системой свободный порождающих х\,..., хп тогда и толь- только тогда, когда для каждого г = 1,... ,п сумма показателей у всех вхождений х\ в w равна 0. 61.17. В свободной группе описать все слова, сопряжённые сло- слову w. 61.18. Доказать, что факторгруппа свободной группы по её ком- коммутанту — свободная абелева группа. 61.19. Доказать, что свободные группы рангов тип изоморфны тогда и только тогда, когда т = п. 61.20. Сколько подгрупп индекса 2 в свободной группе ранга 2? 61.21. а) Доказать, что в свободной группе F ранга к все слова, в которых сумма показателей при каждой переменной делится на п, образуют нормальную подгруппу N. к раз б) Доказать, что F/N = Zn 0 ... 0. Zn 61.22. Доказать, что все сюръективные гомоморфизмы свобод- свободной группы ранга 2 на группу Zn 0 Zn имеют одно и то же ядро. 61.23. Сколько существует гомоморфизмов свободной группы ранга 2 в группу: a)Z20Z2; б) S3? 61.24. Доказать, что в SL2(Z) множество матриц ( ,), где а = d=l (mod 4), b = с = 0 (mod 2), образует группу с двумя порож- порождающими ' 2\ (I v° V' V2 1, 61.25. Доказать, что если группа G с порождающими элементами xi,..., хп задана определяющими соотношениями Щ{х\,..., хп) = 1 (г G /) и в какой-либо группе Н для элементов hi,..., hn G H Ri(hu...,hn) = l, то существует единственный гомоморфизм ср : G —>¦ Н такой, что п) = hn.
§ 61. Порождающие элементы 251 61.26. Доказать, что если между элементами а и Ъ группы выпол- выполнены соотношения а5 = Ь3 = 1, b~1ab = a2J то а = 1. 61.27. Показать, что группа, порожденная элементами а, Ъ с со- соотношениями а2 = Ь7 = 1, а~1Ьа = б, конечна. 61.28. Доказать, что группа, заданная порождающими элемента- элементами xi, X2 с соотношениями: а) ж? = х\ = Oix2J = 1; б) х\—х\ — 1, х^хХ2Х\ = ж?,; изоморфна S3. 61.29. Доказать, что группа, заданная порождающими элемента- элементами xi, X2 и определяющими соотношениями Ж-^ ^ ^2 —— -L5 «?;[ Х^Х\ ^ ^2 5 изоморфна группе диэдра Dn. 61.30. Доказать, что группа, заданная порождающими элемента- элементами xi, X2 и определяющими соотношениями 4 -< 2 2 —1 3 Ж-| — -L, Хл — *^2 5 Х<-> Х\Х2 — Хл , изоморфна группе кватернионов Qg. 61.31. Доказать, что группа, заданная порождающими элемента- элементами xi, X2 и определяющими соотношениями х\—х\ — \^ изоморфна группе матриц {(?;)!"¦}• 61.32. Доказать, что группа, заданная порождающими элемента- элементами xi, X2 и определяющими соотношениями х\ = х\ = (xi^2)n = 1, изоморфна группе матриц 61.33. Найти порядок группы, заданной образующими а, 6 и опре- определяющими соотношениями: а) а3 = Ъ2 = ИK = 1;
252 Гл. XIII. Группы б) а4 = Ъ2 = 1, аЪ2 = Ъ3а, Ъа3 = a2b. 61.34. Пусть G — группа, порожденная элементами хц, 1 ^ г < < j ^ п, с определяющими соотношениями , 1 ^ г < j фк <1фг ^п; =хц, 1 ^i < j <1 ^п. Доказать, что: а) каждый элемент группы G представляется в виде x12 x13 ...xln x23 . . . x2n •••xn_ln , где ш^ G Z; б) G~UTn(Z). 61.35. Доказать, что если G/i? = (^i?) — бесконечная цикличес- циклическая группа, то G = (#)Я, (д) П Н = {е}. 61.36. Описать в терминах порождающих элементов и опреде- определяющих соотношений группы, у которых имеется бесконечная цик- циклическая нормальная подгруппа с бесконечной циклической фактор- факторгруппой. 61.37. Пусть группа G задана порождающими элементами xi, х<± и определяющим соотношением ххх^х^1 — х\. Найти наименьшую подгруппу, порождённую в G элементом х<±. Является ли эта под- подгруппа нормальной? § 62. Разрешимые группы 62.1. Найти коммутатор: , /0 1\ (а 0 а) невырожденных матриц I I и I ^ч (а Ь\ (х у\ (о 0 " (о "[ в) двух транспозиций в симметрической группе Sn; 62.2. Доказать следующие свойства коммутанта G; групп: а) G' — нормальная подгруппа в G; б) факторгруппа G/G' коммутативна;
62. Разрешимые группы 253 в) если N нормальна в G и G/N коммутативна, то G' С N. 62.3. Доказать, что при сюръективном гомоморфизме ср : G' —>¦ i? выполнено равенство (p(G)f = /Г. 62.4. Установить биективное соответствие между гомоморфиз- гомоморфизмами группы в коммутативные группы и гомоморфизмами её фак- факторгруппы по коммутанту. 62.5. Доказать, что коммутант группы GLn{K) содержится в SLn(K). 62.6. Доказать, что коммутант прямого произведения есть пря- прямое произведение коммутантов сомножителей. 62.7. Найти коммутанты и порядки факторгрупп по коммутан- коммутантам для групп: a) S3; б) А4; в) S4; г) Q8. 62.8. Найти коммутанты групп: a) Sn; б) Dn. 62.9. Доказать, что коммутант нормальной подгруппы нормален во всей группе. 62.10. Рядом коммутантов (или производным рядом) группы G называется ряд подгрупп G = G° D G' D G" D ..., где Gi+1 = {G1I. - - - Доказать, что: а) все члены ряда коммутантов нормальны в G; б) для всякого гомоморфизма ср группы G на группу Н 62.11. Доказать, что: а) всякая подгруппа разрешимой группы разрешима; б) всякая факторгруппа разрешимой группы разрешима; в) если Аи В — разрешимые группы, то группа Ах В разрешима; г) если G/A ~ В и А, В — разрешимые группы, то G разрешима. 62.12. Доказать разрешимость групп: a) S3; б) А4; в) S4; г) Q8; д) Dn. 62.13. Пусть TJTn(K) — группа верхних унитреугольных матриц. Доказать, что:
254 Гл. XIII. Группы а) UT™(lf) (множество матриц из XJTn(K) с т — 1 нулевыми диагоналями выше главной) — подгруппа в XJTn(K); б) если А е ит'п(К), В е UTJn(K), то [А, В] е иТ^(К); в) группа XJTn(K) разрешима. 62.14. Доказать, что группа невырожденных верхних треуголь- треугольных матриц разрешима. 62.15. Доказать, что конечная группа G разрешима тогда и толь- только тогда, когда в ней имеется ряд подгрупп G = H0DH1D...DHk = {e} такой, что i?i+i нормальна в Hi и Hi/Hi+i — (циклическая) группа простого порядка. 62.16. Доказать, что конечная р-группа разрешима. 62.17. Доказать разрешимость группы порядка pq, где р, q — различные простые числа. 62.18. Доказать разрешимость группы порядка: а) 20; б) 12; в) p2q, где р, q — различные простые числа; г) 42; д) 100; е) п < 60. 62.19. Доказать для трансвекций Uj(a) = Е + а.Ец формулу при различных г, j, к. 62.20. Пусть F — поле ип^З. Доказать, что: а) SL'n(F) = GL'n(F) = SLn(F); б) группы SLn(F) и GLn(F) не являются разрешимыми. 62.21. Пусть F — поле, содержащее не менее четырех элементов. Доказать, что: а) SI4(F) = GI4(F) = SL2(F); б) группы SLi2(F) и GLi2(F) не являются разрешимыми. 62.22. Пусть р, g, r — различные простые числа. Доказать, что любая группа порядка pqr разрешима.
62. Разрешимые группы 255 62.23. Пусть р, q, r — различные простые числа. Доказать, что неразрешимая группа порядка p2qr изоморфна А5. 62.24. Если порядок конечной группы является произведением различных простых чисел, то G — разрешимая группа, обладающая такой циклической нормальной подгруппой JV, что G/N — цикличес- циклическая группа. 62.25. Пусть G — конечная группа, причём G = G', центр G име- имеет порядок 2 и факторгруппа по центру изоморфна А5. Доказать, что G ~ SL2(Z5). 62.26. Пусть F — поле, V — n-мерное векторное пространст- пространство над F и G — группа невырожденных линейных операторов в У, причём, если д Е G, то д = 1 + /i, где hn = 0. Доказать, что: а) в У существует такой вектор х^О, что дх — х для всех д Е G; б) в У существует такой базис ei,..., еп, что матрицы всех опе- операторов g, g Е G в этом базисе верхнетреугольные; в) группа G разрешима. 62.27. Пусть р, q — простые числа, причём р делит q — 1. Дока- Доказать, что: а) существует целое г ^ 1 (mod g) такое, что rp = I (mod q); б) существует (с точностью до изоморфизма) ровно одна неком- некоммутативная группа порядка pq. 62.28. Доказать, что: а) если в коммутативной группе элементы а, Ъ связаны соотноше- соотношениями а3 = bb = (abO = е, то а = Ъ = е; б) подгруппа, порожденная в S7 перестановками A2 3) и A456 7), не является разрешимой; в) группа с порождающими элементами xi, x<± и определяющими соотношениями х\—х\ — [ххх^L — е не является разрешимой. 62.29. Разрешима ли свободная группа?
Глава XIV КОЛЬЦА § 63. Кольца и алгебры 63.1. Какие из следующих числовых множеств образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения: а) множество Z; б) множество пЪ (п > 1); в) множество неотрицательных целых чисел; г) множество Q; д) множество рациональных чисел, в несократимой записи кото- которых знаменатели делят фиксированное число п Е N; е) множество рациональных чисел, в несократимой записи кото- которых знаменатели не делятся на фиксированное простое число р\ ж) множество рациональных чисел, в несократимой записи кото- которых знаменатели являются степенями фиксированного простого чис- числа р; з) множество вещественных чисел вида х + г/v25 где ж,у Е Q; и) множество вещественных чисел вида х + у л/2, где х,у Е Q; к) множество вещественных чисел вида х + у\/2 + z\/4, где ж,?/, л) множество комплексных чисел вида х + yi, где х,у G Z; м) множество комплексных чисел вида х + yi, где х,у G Q; н) множество всевозможных сумм вида a\Z\ + a^z^ + ... + anznj где а\, а2,..., ап — рациональные числа, z\, z^,..., zn — комплексные корни степени п из 1; х + ул/D о) множество комплексных чисел вида , где V — фик- фиксированное целое число, свободное от квадратов (не делящееся на
§ 63. Кольца и алгебры 257 квадрат простого числа), ж, у — целые числа одинаковой чётности? 63.2. Какие из указанных множеств матриц образуют кольцо от- относительно матричного сложения и умножения: а) множество вещественных симметрических матриц порядка п; б) множество вещественных ортогональных матриц порядка п; в) множество верхних треугольных матриц порядка п ^ 2; г) множество матриц порядка п ^ 2, у которых две последние строки нулевые; д) множество матриц вида I п 1, где D — фиксированное \L)y х J целое число, х,у Е Z; ч / X у\ _ е) множество матриц вида I п I, где V — фиксированный \L)y х J элемент некоторого кольца К, х,у G К; 1 ( х v\ ж) множество матриц вида - I п 1, где D — фиксированное целое число, свободное от квадратов, х и у — целые числа одинаковой чётности; ч f Z W з) множество комплексных матриц вида I _ и) множество вещественных матриц вида \ 63.3. Какие из следующих множеств функций образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения функций: а) множество функций вещественного переменного, непрерывных на отрезке [а,Ь]; б) множество функций, имеющих вторую производную на интер- интервале (а, Ь); в) множество целых рациональных функций вещественного пере- переменного; г) множество рациональных функций вещественного перемен- переменного; д) множество функций вещественного переменного, обращающих- обращающихся в 0 на некотором подмножестве D С М; 17 А.И. Кострикин
258 Гл. XIV. Кольца е) множество тригонометрических многочленов п ао + 2^(ак cos кх + bk sin кх) к=1 с вещественными коэффициентами, где п — произвольное натураль- натуральное число; ж) множество тригонометрических многочленов вида п ао + 2_,cos кх к=1 с вещественными коэффициентами, где п — произвольное натураль- натуральное число; з) множество тригонометрических многочленов вида к=1 с вещественными коэффициентами, где п — произвольное натураль- натуральное число; и) множество функций, определённых на некотором множестве D и принимающих значение в некотором кольце R; к) все степенные ряды от одной или нескольких переменных; л) все лорановские степенные ряды от одной переменной ? 63.4. Во множестве многочленов от переменного t с обычным сло- сложением рассматривается операция умножения, заданная правилом Является ли это множество кольцом относительно заданного умно- умножения и обычного сложения? 63.5. Образует ли кольцо множество всех подмножеств некоторо- некоторого множества относительно симметрической разности и пересечения, рассматриваемых как сложение и умножение соответственно? 63.6. Доказать изоморфизм колец из задач: а) 63.1, о) и 63.2, ж); б) 63.2, з) и 63.2, и). 63.7. Какие из колец, указанных в задачах 63.1-63.5, содержат делители нуля?
§ 63. Кольца и алгебры 259 63.8. Найти обратимые элементы в кольцах с единицей из за- задач 63.1-63.5. 63.9. Доказать, что одно из колец задач 63.3, д) и 63.3, е) изо- изоморфно, а другое не изоморфно кольцу многочленов Ж[х]. 63.10. Доказать, что все обратимые элементы кольца с единицей образуют группу относительно умножения. 63.11. Найти все обратимые элементы, все делители нуля и все нильпотентные элементы в кольцах: а) Zn; б) Zpn, где р — простое число; в) К[х]/(fK[ж]), где К — поле; г) верхних треугольных матриц над полем; д) М2(Е); е) всех функций, определённых на некотором множестве S и при- принимающих значения в поле К; ж) всех степенных рядов от одной переменной; 3)Z; и) ЪЩ. 63.12. Доказать, что группа обратимых элементов Z[V§]* беско- бесконечна. 63.13. Пусть R — конечное кольцо. Доказать, что: а) если R не содержит делителей нуля, то оно имеет единицу и все его ненулевые элементы обратимы; б) если R имеет единицу, то каждый его элемент, имеющий одно- односторонний обратный, обратим; в) если R имеет единицу, то всякий левый делитель нуля является правым делителем нуля. 63.14. Доказать, что в кольце с единицей и без делителей нуля каждый элемент, имеющий односторонний обратный, является обра- обратимым. 63.15. Пусть R — кольцо с единицей, х,у Е R. Доказать, что: а) если произведения ху и ух обратимы, то элементы х и у также обратимы; б) если R без делителей нуля и произведение ху обратимо, то х и у обратимы;
260 Гл. XIV. Кольца в) без дополнительных предположений о кольце R из обратимости произведения ху не следует обратимость элементов х и у; г) если обратим элемент 1 + аб, то обратим и элемент 1 + Ъа. 63.16. Пусть R — прямая сумма колец Д]_,..., Дд.. а) При каких условиях R коммутативно; имеет единицу; не имеет делителей нуля? б) Найти в R все обратимые элементы; все делители нуля; все нильпотентные элементы. 63.17. Доказать, что: а) если числа к и I взаимно просты, то Ъ\а — Z& 0 Z/; б) если п = ргг .. .pkss, где pi,... ,ps — различные простые чис- числа, то Zn = Zy^ 0 ... 0 Zpks; в) если числа к и I взаимно просты, то ip(kl) = ip(k)ip(l), где ip — функция Эйлера. 63.18. Найти все делители нуля в С 0 С. 63.19. Доказать, что: а) делитель нуля в произвольной (ассоциативной) алгебре не яв- является обратимым; б) в конечномерной алгебре с единицей всякий элемент, не яв- являющийся делителем нуля, обратим; в) конечномерная алгебра без делителей нуля является телом (алгеброй с делением). 63.20. Доказать, что: а) конечномерная алгебра с единицей и без делителей нуля над полем С изоморфна С; б) над полем С не существует конечномерных алгебр с делением, отличных от С. 63.21. Перечислить с точностью до изоморфизма все коммута- коммутативные двумерные алгебры над С: а) с единицей; б) не обязательно с единицей. 63.22. Перечислить с точностью до изоморфизма все коммута- коммутативные двумерные алгебры над Ж: а) с единицей;
§ 63. Кольца и алгебры 261 б) не обязательно с единицей. 63.23. Пусть Ш — тело кватернионов. а) Является ли Ш алгеброй над полем С, если умножение на скаляр a Е С понимать как левое умножение на a Е Ш ? б) Доказать, что отображения 1 оЛ .Л о\ . ( о Л , Д) i о являются изоморфизмами Ш как алгебры над полем Ш. на некоторую подалгебру в алгебре матриц Мг(С) над Ж. N 7Т л- ^ 0\ в) Доказать, что отображение z \—У I n _ I является изоморфным Vu z/ вложением поля С в алгебру Н, реализованную в виде подалгебры алгебры М2(С) над Ж (см. б)). г) Решить в Ш уравнение х2 = — 1. 63.24. Тензорной алгеброй T(V) векторного пространства V над полем К называется (бесконечномерное) векторное пространство к=0 где T0(V) = К, Tk(V) = V (g) ... ® V при fe > 0, с умножением /с раз f-g = f®g, где /еВД, ^ G Гт(У). Доказать, что: а) Т(У) — ассоциативная алгебра с единицей над полем К; б) в T(V) нет делителей нуля. 63.25. Алгеброй Грассмана Л(У) векторного пространства V над полем К называется векторное пространство к=0 где Л°(У) = К, с умножением f-g = fAg, где /ё
262 Гл. XIV. Кольца для любых к, т > 0. Доказать, что: а) Л (У) является ассоциативной алгеброй с единицей над полем К; б) каждый элемент из / = ф Ak(V) является нильпотентным; в) каждый элемент из Л(У), не лежащий в /, обратим. 63.26. Симметрической алгеброй S(V) векторного пространст- пространства V над полем К называется векторное пространство где S°(V) = k, с умножением f-g = Sym(f®g), где / G Sk(V), д е Sm(V) для любых к, т > 0. Доказать, что: а) S(V) является ассоциативной, коммутативной алгеброй над К; б) если Ж1,...,жп — базис пространства V, то S(V) изоморфно алгебре многочленов от xi,..., хп. 63.27. Пусть А и В — алгебры над полем К. Тензорное произве- произведение алгебр С — А ®к В определяется как тензорное произведение векторных пространств А и В над К с умножением (а1 0 Ъ1) - (а" 0 Ъ") =а'а" ®Ъ'Ъ". Доказать изоморфизм алгебр над полем К: б) Мп(К) ®к Мт(К) ~ Мтп(К); в) 'M.n(K) ®к А ~ МП(А), где А — произвольная ассоциативная алгебра над К; г) К[Хи ...,Хп]®к K[YU... ,УГО] ~ К[Хи ... ,ХП,УЬ ... ,УГО]; д) М0МС-М2(С); е) S(V) ®к Л(У) ~ T(V) при dim У = 2; ж) Qiy/p) ^Q Q(V^) - Q(y/P + л/^)' г^е Р и ^ — различные прос- простые числа. 63.28. Пусть К — поле характеристики нуль, R = К[х\,..., хп] — кольцо многочленов и pi, ^ — линейные операторы на i? как вектор- векторном пространстве над К, причём для /ЕЙ Pi(f)=Xif, ^
§ 64- Идеалы, гомоморфизмы, факторколъца 263 Обозначим через Ап(К) подалгебру в алгебре линейных операто- операторов в Л, порождённую Pi,... jPnjQij • • • ,Уп- Она называется алгеброй Вейлл или алгеброй дифференциальных операторов. Доказать, что: а) qjPi ~ Pi4j = Sij, piPj = pjpi, qiqj = q^\ б) базис Ап(К) как векторного пространства образуют одночлены 63.29. Пусть / = /(рь... ,pn,qi, • • • ,qn) —элемент алгебры Вейля Ап(К) (см. задачу 63.28.) Доказать, что 63.30. Доказать, что алгебра верхних нильтреугольных матриц порядка п является нильпотентной алгеброй индекса п. 63.31. Доказать, что: а) в кольце всех функций на отрезке [0,1] делителями нуля явля- являются функции, принимающие нулевое значение, и только они; б) в кольце непрерывных функций на отрезке [0,1] делителями нуля являются ненулевые функции, принимающие нулевое значение на некотором отрезке [а, Ь], где 0 ^ а < Ь ^ 1. § 64. Идеалы, гомоморфизмы, факторкольца 64.1. Найти все идеалы кольца: а) Z; б) К[х], где К — поле. 64.2. Доказать, что кольца: а) Ъ[х\] б) К[х,у], где К — поле; не являются кольцами главных идеалов. 64.3. Доказать, что в кольце матриц над полем всякий двусто- двусторонний идеал либо нулевой, либо совпадает со всем кольцом. 64.4. Доказать, что в кольце матриц МП(Д) с элементами из произвольного кольца R идеалами являются в точности множест- множества матриц, элементы которых принадлежат фиксированному идеалу кольца R.
264 Гл. XIV. Кольца 64.5. Найти все идеалы кольца верхних треугольных матриц по- порядка 2 с целыми элементами. 64.6. Пусть / и J — множества матриц вида 0 0 о 9 0 0 h\ 2*, о/ Г 0 lo I 0 0 2m 2n 0 с целыми коэффициентами д, h, к,... Доказать, что / является иде- идеалом в кольце R верхних треугольных матриц над Z, J есть идеал кольца /, но J не является идеалом кольца R. 64.7. Найти все левые идеалы алгебры M2(Z2). 64.8. Найти все идеалы двумерной алгебры L над полем Ж с ба- базисом A,е), где 1 — единица в L, и: а) е2 = 0; б) е2 = 1. 64.9. Доказать, что если идеал кольца содержит обратимый эле- элемент, то он совпадает со всем кольцом. 64.10. Образуют ли идеал необратимые элементы колец: a) Z; б) С[ж]; в) Щх\; г) Zn. 64.11. Доказать, что кольцо целых чисел не содержит минималь- минимальных идеалов. 64.12. Найти максимальные идеалы в кольцах: a) Z; б) С[ж]; в) Щх\; г) Zn. 64.13. Доказать, что множество Is непрерывных функций, обра- обращающихся в 0 на фиксированном подмножестве S С [а, 6], является идеалом в кольце функций, непрерывных на [а, Ь]. Верно ли, что всякий идеал этого кольца имеет вид Is для неко- некоторого S С [а, Ъ]1 64.14. Пусть R — кольцо непрерывных функций на отрезке [0,1], 1С = {/(ж) G R | /(с) = 0} @ ^ с ^ 1). Доказать, что: а) 1С — максимальный идеал R; б) всякий максимальный идеал R совпадает с 1С для некоторого с. 64.15. Доказать, что коммутативное кольцо с единицей (отлич- (отличной от нуля), не имеющее идеалов, отличных от нуля и всего кольца, является полем. Существенно ли для этого утверждения наличие еди- единицы?
§ 64- Идеалы, гомоморфизмы, факторколъца 265 64.16. Доказать, что кольцо с ненулевым умножением и без собственных односторонних идеалов является телом. 64.17. Доказать, что кольцо с единицей и без делителей нуля, в котором всякая убывающая цепочка левых идеалов конечна, является телом. 64.18. Пусть К — коммутативное кольцо без делителей нуля и отображение 5: К \ {0} —> N удовлетворяет условию: для любых эле- элементов а, Ъ Е К, где b ф 0, существуют элементы q,r Е К такие, что а = bq + г и S(r) < S(b) или г = 0. Доказать, что существует отображение Si: К \ {0} —> N, удовле- удовлетворяющее как этому условию, так и условию: для любых a, b G К, где аб^О, S^ab) ^ 5(Ь). 64.19. Доказать, что: а) кольцо целых гауссовых чисел вида х + iy (x,y G Z) евклидово; б) кольцо комплексных чисел вида х + iyy/3 (x,y G Z) не является евклидовым; где х и у — целые в) кольцо комплексных чисел вида — числа одинаковой чётности, евклидово. 64.20. В кольце ЪЩ разделить а = 40 + гна6 = 3 — г с остатком относительно функции S(x + гу) = х2 + у2 из задачи 64.18. 64.21. В кольце Z[i] найти наибольший общий делитель чисел 20 + 9г и 11 +2г. 64.22. Доказать, что всякую прямоугольную матрицу с элемен- элементами из евклидова кольца с помощью элементарных преобразований её строк и столбцов можно привести к виду ei 0 ... О 0 ... 0\ О е2 ... О 0 ... О 0 0 0 . 0 . .. ег .. 0 0 0 ... 0 ... 0 \ 0 0/ где ei|e2 0 0 ... 0 0 (г = 1, 2 ... ,г). 64.23. Доказать, что в задаче 64.22 для г = 1,... ,г произведение ei ... ei совпадает с наибольшим общим делителем всех миноров раз- размера г исходной матрицы.
266 Гл. XIV. Кольца 64.24. Доказать, что любое кольцо, заключённое между кольцом главных идеалов R и его полем частных Q, само является кольцом главных идеалов. 64.25. Доказать, что кольцо многочленов R[x] над коммутатив- коммутативным кольцом R с единицей и без делителей нуля является кольцом главных идеалов тогда и только тогда, когда R — поле. 64.26. Найти все идеалы в алгебре рядов С[[ж]] от одной перемен- переменной х. 64.27. Доказать, что алгебра Вейля Ап(К) (см. задачу 63.28) проста, если К — поле нулевой характеристики. 64.28. {Китайская теорема об остатках.) Пусть А — коммута- коммутативное кольцо с единицей. Доказать, что: а) если /i и /2 — идеалы в А и 1\ + 1<± — А, то для любых эле- элементов Ж1,Ж2 G А существует такой элемент х Е А, что х — х\ Е /i, х — х2 G h; б) если 1\,..., 1п — идеалы в А и /^ + Ij = А для всех i ф j', то для любых элементов xi,..., хп G А существует такой элемент ж G А, что х-ж^4(Ы,...,п). 64.29. Пусть Rm S — кольца с единицей и у?: R ^ S — гомомор- гомоморфизм. а) Верно ли, что образ единицы кольца R является единицей кольца 5? б) Верно ли утверждение а), если гомоморфизм ср сюръективен? 64.30. Пусть К — поле и K[xi,... ,хп] — алгебра многочленов. Предположим, что Д,..., /n G К\х\,..., хп]. Доказать, что: а) отображение ср, при котором L,...,xn)) =g(fi,...,fn), является эндоморфизмом if-алгебры К [xi,..., хп]; б) если ср — автоморфизм K[xi,..., жп], то якобиан J = det не равен нулю; в) если h = h(x2,..., жп), то отображение Ф, при котором
§ 64- Идеалы, гомоморфизмы, факторколъца 267 является автоморфизмом К[х\,..., хп]. 64.31. Пусть К — поле и if [[xi .. .хп]] — алгебра степенных ря- рядов от xi,..., хп. Предположим, что Д,..., /n Е if [[xi ... хп]] имеют нулевые свободные члены. Доказать, что: а) отображение ср, при котором является эндоморфизмом if [[xi,..., хп]]; б) отображение ср является автоморфизмом тогда и только тогда, когда якобиан J = det имеет ненулевой свободный член. 64.32. Пусть if — поле нулевой характеристики и h = h(qi) G G An(K). Доказать, что отображение ср, при котором • • • ,Рп, ^ь • • •, qn)) = /(Pi + ft,P2, • • • ,Рп, ^ь • • •, qn), является автоморфизмом if-алгебры Ап(К). 64.33. Пусть ip — автоморфизм С-алгебры МП(С). Доказать, что: а) левый аннулятор матрицы ср(Епп) имеет размерность п(п — 1); б) жорданова форма матрицы ср(Епп) равна Ец; в) существует такая обратимая матрица У, что Y-\{Enn)Y = Епп; г) отображение А —у Y~1cp(A)Y является автоморфизмом МП(С), переводящим Mn_i(C) в себя; д) существует такая обратимая матрица X, что ц>(А) = ХАХ~г для любой матрицы A G МП(С). 64.34. Пусть К — поле. а) Доказать, что линейное отображение где 1 ^ г, j ^ n, I ^ r, s ^ m и 0 Ers) =
268 Гл. XIV. Кольца является изоморфизмом if-алгебр. б) Доказать, что линейное отображение Ф: М где является гомоморфизмом if-алгебр. Найти КегФ. 64.35. Доказать, что образ коммутативного кольца при гомомор- гомоморфизме является коммутативным кольцом. 64.36. Доказать, что отображение ip: f(x) —у /(с) (с Е Ж) является гомоморфизмом кольца вещественных функций, определённых на Ж, на поле Ж 64.37. Найти все гомоморфизмы колец: a)Z-^2Z; б) 2Z -+ 2Z; в) 2Z -+ 3Z; г) Z -+ M2(Z2). 64.38. Найти все гомоморфизмы: а) группы Z в группу Q; б) кольца Z в поле Q. 64.39. Доказать, что любой гомоморфизм поля в кольцо является или нулевым, или изоморфным отображением на некоторое подполе. 64.40. Пусть К — поле и R = K[xi,...,хп] — алгебра многочле- многочленов от xi,..., хп над полем К. Построить биекцию между простран- пространством строк Кп и множеством всех гомоморфизмов if-алгебр R^ К. 64.41. Доказать, что: а) F[x]/(x -a) ~F (F — поле); б) Ж[х]/(х2 + 1) ~ С; в) Ж[х]/(х2 +ж + 1)~С. 64.42. При каких а и Ь факторкольца Z2[x]/(x2 + ах + Ь) : а) изоморфны между собой; б) являются полями? 64.43. Изоморфны ли факторкольца Цх]/(х3 + 1), Цх]/(х3 + 2х2 + х + 1)? 64.44. Изоморфны ли факторкольца Z[x]/(x2-2), Z[x]/(x2-3)?
§ 64- Идеалы, гомоморфизмы, факторколъца 269 64.45. Пусть а и Ъ — различные элементы поля F. Доказать, что FfxJ-модули F[x]/(x - a), F[x]/(x -b) ~F не изоморфны, но соответствующие факторкольца изоморфны. 64.46. Доказать, что если а ф Ъ и с ф d — элементы поля F, то факторкольца F[x]/((x - а)(х - b))F, F[x]/((x - с)(х - d)> изоморфны. 64.47. Какие из следующих алгебр изоморфны над С: Аг = С[х,у]/(х-у,ху - 1), А2 = С[х]/((х - IJ), А3=СеС, А4=С[х,у], А5=С[х}/{х2)? 64.48. Изоморфны ли алгебры А и В над полем С: а) А = С[х,у]/{хп -у), В = С[х,у]/{х - ут); б)А = С[х, у]/(х2 -у2), В = С[х, у]/((х - уJ)? 64.49. Изоморфны ли следующие алгебры над полем Ж: а) А = Ж[х]/(х2 + х + 1), В = Ж[х]/Bх2 - Зх + 3); б) А = Щх]/(х2 + 2х + 1), Б = ВД/((ж2 - Зх + 2)? 64.50. Доказать, что элемент / алгебры К[х\/(хп+1) {К — поле) обратим тогда и только тогда, когда /@) ф 0. 64.51. Пусть К — поле и / G if [ж] имеет степень п. Доказать, что размерность if-алгебры К [х] / fK [x] равна п. 64.52. Пусть К — поле. Доказать, что: а) если многочлены /, g G К[х] взаимно просты, то K[x]/fgK[x] ~ K[x]/fK[x] Ф К[х]/дК[х]; б) если / = ргг ...j9^s, где pi,...,ps — взаимно простые неприво- неприводимые многочлены, то к[х]//к[х] ~ вд/р^вд е... е вд/^-вд. 64.53. Доказать, что факторкольцо i?/i коммутативного кольца с единицей является полем тогда и только тогда, когда I — макси- максимальный идеал в R.
270 Гл. XIV. Кольца 64.54. Доказать, что идеал / коммутативного кольца R простой тогда и только тогда, когда / — ядро гомоморфизма R в некоторое поле. 64.55. Доказать, что: а) факторкольцо Z[i]/B) не является полем; б) факторкольцо Z[i]/C) является полем из девяти элементов; в) Z[i]/(n) является полем тогда и только тогда, когда п — прос- простое число, не равное сумме двух квадратов целых чисел. 64.56. При каких a Е F7 факторкольцо ??[х]/(х2 + а) является полем? 64.57. Доказать, что при любом целом п > 1 факторкольцо Z[x]/(n) изоморфно Zn[x]. 64.58. Пусть /(ж) — неприводимый многочлен степени п из коль- кольца Zp[x]. Доказать, что факторкольцо Zp[x]/(f(x)) является конеч- конечным полем, и найти число его элементов. 64.59. Доказать, что: а) всякое кольцо изоморфно подкольцу некоторого кольца с еди- единицей; б) п-мерная алгебра с единицей над полем F изоморфна под- подалгебре алгебры с единицей размерности п + 1; в) п-мерная алгебра с единицей над полем К изоморфна некоторой подалгебре алгебры ~М.п(К); г) п-мерная алгебра над К изоморфна подалгебре алгебры Мп+1(К). 64.60. Пусть /]_,...,/s — идеалы в алгебре с единицей А, Ii + Ij = А при i ф j. Доказать, что отображение S : A/ f] k задаваемое формулой S f(a+ p| h) =(a + /b...,a + /s), k=i является изоморфизмом алгебр. 64.61. Установить изоморфизм Q[x]/(x2 — 1) ~
§ 64- Идеалы, гомоморфизмы, факторколъца 271 64.62. Доказать, что Q[x]/(x2 - 2) ~ <Щл/2]. 64.63. Пусть / — максимальный идеал в Ъ[х]. Доказать, что Ъ[х\/1— конечное поле. 64.64. Пусть V — векторное пространство над полем К нулевой характеристики. Доказать, что S(V) ~ где / — идеал в T(V), порождённый всеми элементами х (g) у — у (8) ж, где ж, у Е V. 64.65. Пусть V — векторное пространство над полем К нулевой характеристики. Доказать, что A(V) ~ T(V)/I, где / — идеал в T(V), порождённый всеми элементами х ^ У + У ® х, где ж, у G У. 64.66. Пусть У — векторное пространство размерности 2п с базисом pi .. .pn, g'l ... qn над полем К нулевой характеристики. Доказать, что An(K)~T(V)/I, где / — идеал в T(V), порождённый всеми элементами Pi ® ^j - ^j <8) Pi - 5ij, Pi 0 Pj - Pj 0 Pi, qi 0 qj - qj 0 qi. 64.67. Пусть (ei,..., en) — базис векторного пространства V над полем К характеристики, отличной от 2, и Л (У) — внешняя (или грассманова алгебра) над векторным пространством V. Доказать, что: а) dimA(y) = 2П; б) если жь...,жп+1 G Л1 (У) 0 ... 0Лп(У), то xi ...xn+i = 0; в) формула п ^(е*) = ^2 aiJeJ + ^' г = 1,..., п,
272 Гл. XIV. Кольца где uji Е Л1 (У) 0 ... 0 ЛП(У), задает автоморфизм тогда и только тогда, когда det(a^) ф 0. 64.68. Пусть R — кольцо с единицей. Левым аннуллтором под- подмножества М С R называется множество {х Е R | жт = 0 для всякого т Е М}. Доказать, что: а) левый аннулятор любого подмножества является в R левым идеалом; б) левый аннулятор правого идеала кольца R, порождённого идем- потентом, также порождается (как левый идеал) некоторым идемпо- тентом. 64.69. Доказать, что сумма левых идеалов, порождённых попарно ортогональными идемпотентами, также порождается идемпотентом. 64.70. Пусть /& (к = 1,...,п) — множество матриц порядка п над полем К, состоящее из матриц, у которых вне к-го столбца все элементы равны 0. Доказать, что: а) Ik — левый идеал Mn(if); б) Ik — минимальный подмодуль в Mn(i^), рассматриваемый как левый модуль над собой; в) Мп(К) = h 0...0/n; г) модуль M2(i^) обладает разложением в прямую сумму мини- минимальных подмодулей, отличным от разложения в); д) между двумя этими разложениями модуля M2(i^) существует модульный изоморфизм. 64.71. Пусть R — алгебра всех линейных операторов в конечно- конечномерном векторном пространстве V и Jl — множество всех операто- операторов из Л, образ которых лежит в подпространстве L. Доказать, что Jl является правым идеалом в R. Обратно, пусть J — левый идеал в R. Доказать, что существует, и притом единственное такое подпространство L в У, что J = Jl- 64.72. Пусть R — алгебра всех линейных операторов в конечно- конечномерном векторном пространстве V и II — множество всех опера- операторов из R, ядро которых содержит подпространство L. Доказать, что II является левым идеалом в R. Обратно, пусть / — левый идеал в R. Доказать, что существует, и притом единственное такое подпространство L в У, что / = II-
§ 64- Идеалы, гомоморфизмы, факторколъца 273 64.73. Доказать, что множества матриц: ( J={(o являются подмодулями кольца M2(if) как левого модуля над собой hM2(K)/I~J. 64.74. Пусть R = /i 0 /2 — разложение кольца с единицей е в прямую сумму двусторонних идеалов Д, /2 и е = е± + в2, где ei Е /1, в2 ? h- Доказать, что е± и е<± — единицы колец 1\ и /2. 64.75. Доказать, что кольца Zmn и Zm 0 Zn изоморфны тогда и только тогда, когда тип взаимно просты. 64.76. Кольцо называется вполне приводимым справа, если оно является прямой суммой правых идеалов, являющихся простыми мо- модулями над этим кольцом. При каких п кольцо вычетов Zn вполне приводимо? 64.77. Доказать, что алгебра всех верхних треугольных матриц порядка п ^ 2 над полем не является вполне приводимой. 64.78. Доказать, что в коммутативном вполне приводимом коль- кольце с единицей число идемпотентов и число идеалов конечны. 64.79. Доказать, что во всякой вполне приводимой алгебре пере- пересечение всех максимальных идеалов равно нулю. 64.80. Доказать, что всякое коммутативное вполне приводимое кольцо с единицей изоморфно прямой сумме полей. 64.81. Модуль называется вполне приводимым, если его можно разложить в прямую сумму минимальных подмодулей. Какие цикли- циклические группы вполне приводимы как модули над кольцом Z? 64.82. Кольцо называется вполне приводимым слева, если оно вполне приводимо как левый модуль над собой. Доказать, что если кольцо R вполне приводимо слева и / — его левый идеал, то R = /0 J для некоторого левого идеала J кольца R. 64.83. Доказать, что всякий левый идеал вполне приводимого сле- слева кольца R: а) вполне приводим как левый модуль над R; б) порождается идемпотентом. 18 А.И. Кострикин
274 Гл. XIV. Кольца 64.84. Пусть R — вполне приводимое слева кольцо с единицей. Доказать, что: а) если R не содержит идемпотентов, отличных от 0 и 1, то R — тело; б) если R не содержит делителей нуля, то R — тело. Верны ли эти утверждения для колец, в которых существование единицы заранее не предположено? 64.85. Доказать, что если ху = 0 для любых двух элементов ж, у левого идеала / вполне приводимого слева кольца R с единицей, то/ = {0}. 64.86. Доказать, что если / — идеал кольца R с единицей, то факторкольцо R/I тоже имеет единицу. 64.87. Доказать, что факторкольцо коммутативного нётерова кольца также нётерово. 64.88. Доказать, что кольцо вычетов ZPl...Pm, где pi,...,pm — различные простые числа, является прямой суммой полей. 64.89. Найти все подмодули в векторном пространстве с базисом (ei,..., еп) как модули над кольцом всех диагональных матриц, если diag(Ab...,An) о (aiei + ... + апеп) = Aiaiei + ... + \папеп. 64.90. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей и без дели- делителей нуля, рассматриваемое как модуль над собой. Доказать, что R изоморфно любому своему ненулевому подмодулю тогда и только тогда, когда R — кольцо главных идеалов. 64.91. Доказать, что правило h(x) о / = h(xr)f, где h(x) — фиксированный многочлен, превращает кольцо многочле- многочленов F[x] над полем F в свободный модуль ранга г над F[x]. 64.92. Пусть в кольце R нет делителей нуля и М — свободный Л-модуль. Доказать, что если г G й\0 и m Е М \ О, то гт ф 0. 64.93. Пусть R — кольцо с единицей, причём все Л-модули свободны. Доказать, что R является телом.
§ 65. Специальные классы алгебр 275 64.94. Пусть К поле нулевой характеристики. Доказать, что ал- алгебра полиномов K[xi,..., хп] является простым модулем над алгеб- алгеброй Вейля Ап(К) (см. задачу 63.28). 64.95. Пусть К — поле нулевой характеристики. Доказать, что каждый ненулевой модуль над алгеброй Вейля Ап{К) имеет беско- бесконечную размерность над К. 64.96. Пусть К — алгебра вещественных функций на отрезке [—7г,тг], представимых многочленами от cos ж, sin ж с вещественны- вещественными коэффициентами. Доказать, что: а) К является областью; б) K~R[X,Y]/(X2 + Y2 -1); в) поле частных для К изоморфно полю рациональных функ- функций М(Г). § 65. Специальные классы алгебр 65.1. Доказать, что кольцо многочленов от одного переменного над коммутативным нётеровым кольцом с единицей является нёте- ровым. 65.2. Доказать, что алгебра многочленов от конечного числа пе- переменных над полем нётерова. 65.3. Алгебра А(а,/3) обобщенных кватернионов над полем F ха- характеристики, отличной от 2, где a, f3 Е F*, определяется как вектор- векторное пространство над F с базисом (l,i,j, k) и таблицей умножения 1-1 = 1, 1 - г = г - 1 = г 1 ' 3 = 3 ' 1 = h l-k = k-l = к, г2 = -a, f = -/?, ij = -ji = к. Доказать, что: а) А(а, C) — (ассоциативная) центральная простая алгебра над полем F; б) отображение х = хо + x\i + хчЗ + хзк i->- хо — x\i — х^З — х%к = х~ является инволюцией (т.е. для любых х,у G А(а,/3) выполняются равенства х + у = ж + у, x~y = ljx, ж = ж); 18*
276 Гл. XIV. Кольца в) для любого х Е А(а, /?) х2 - (trx)x + N(x) = 0, где tr х = х + ж и AT"(ж) = жж — элементы поля F; г) алгебра А(а, C) является телом тогда и только тогда, когда норменное уравнение N(x) = 0 имеет в ней только нулевое ре- решение; д) алгебра А(а, C) является либо телом, либо изоморфна алгебре матриц M2(F) — в соответствии с существованием или отсутствием в ней делителей нуля; е) если норменное уравнение имеет в алгебре А(а, /?) ненулевое решение, то оно имеет решение и во множестве ненулевых чистых кватернионов; ж) подалгебра F(a), порождённая элементом а алгебры А(а,/3), является коммутативной алгеброй размерности ^ 2 над F, и если а не является делителем нуля, то F(a) — поле, изоморфное полю раз- разложения многочлена х2 — (tra)x + N(a); з) (теорема Витта) норма N(x) является квадратичной формой ранга 3 на пространстве чистых кватернионов, и, обратно, каждой квадратичной форме ранга 3 на трехмерном векторном про- пространстве W над полем F соответствует алгебра обобщённых кватернионов, определяемая как векторное пространство F 0 W с правилами умножения 1 • w = w • 1, Wi • W2 = —Q(wi,W2) • 1 + [Wi, W2], где Q — билинейная форма на W, ассоциированная с данной квад- квадратичной формой, [1^1,1^2] — векторное произведение элементов про- пространства W; и) приведённая конструкция устанавливает биективное соответ- соответствие между кватернионными алгебрами над полем F (с точностью до изоморфизма) и классами эквивалентности квадратичных форм ранга 3 на трехмерном векторном пространстве над F. (Формы Q: W х W —У F и Q': W x W' —> F называются эквивалентными, если существуют изоморфизм а: W —> W и элемент Л G F* такие, что Q1 (а(х), а(у)) = XQ(x, у) для любых ж, у е W'.) 65.4. Конечномерная алгебра называется полупростой, если она не содержит ненулевых нильпотентных идеалов.
§ 65. Специальные классы алгебр 277 Доказать, что: а) факторалгебра C[x]/(f(x)) полупроста тогда и только тогда, когда многочлен /(ж) не имеет кратных корней; б) алгебра, порождённая полем С и матрицей А в алгебре МП(С), полупроста тогда и только тогда, когда минимальный многочлен матрицы А не имеет кратных корней; в) конечномерная алгебра над полем полупроста тогда и только тогда, когда она вполне приводима слева; г) коммутативная полупростая алгебра с единицей изоморфна прямой сумму полей; д) если все идемпотенты полупростой алгебры лежат в центре, то алгебра является прямой суммой нескольких тел. 65.5. Пусть Н = (hij) — симметрическая (п х п)-матрица над полем F. Алгеброй Клиффорда называется 2п-мерное пространство C(F, H) над F с базисом, составленным из символов eh...ih A ^ Н < г2 < ... < ik ^ п) и е0 = 1, и с умножением, определяемым правилами eiei = ha, eoei = е^е0 = е^, e^ej + е^ = Кц, eh...ik =eh...eik A ^ н < ... < ik ^ га). Если V — n-мерное векторное пространство с базисом (ei,..., еп) и квадратичной формой Q, то алгебра Клиффорда Cq (F) квадратич- квадратичной формы Q определяется как алгебра C(F,H), где h^ = Q(e^ej). а) Доказать, что если Н = 0, то C(F, Н) ~ Л(У). б) Чётной алгеброй Клиффорда С+ (F, Н) (или Cg (F)) называется подалгебра алгебры Клиффорда, порождённая элементами е^ ... е^2т (т = 0,1,..., [п/2]). Доказать, что чётная алгебра Клиффорда квад- квадратичной формы не распадающаяся в F на линейные множители, является квадратич- квадратичным расширением поля F, изоморфным полю разложения F(^Jh212-4hnh22) формы Q.
278 Гл. XIV. Кольца в) Доказать, что при charF ф 2 чётная алгебра Клиффорда квад- квадратичной формы Q на трехмерном векторном пространстве V изо- изоморфна алгебре обобщённых кватернионов формы Q^ на трехмер- трехмерном векторном пространстве W = A2V (см. задачу 65.3). г) В условиях задачи в) доказать, что квадратичная форма N(x) = хх на пространстве чистых кватернионов эквивалентна форме XQ (А е F*). 65.6. Пусть А = Aq 0 А\ — 2-градуированная ассоциативная алгебра над полем К, т.е. A\Aj С Ai+j (сложение индексов по моду- модулю 2). Определим в А новую операцию, полагая [ж, у] = ху - (-l)lJyx, где х е Ai, ye Aj. а) Доказать, что для любых однородных элементов х G А^ у G Aj, z G А имеем Алгебра с 2-градуировкой, для которой однородные элементы удовлетворяют данным соотношениям, называется супералгеброй Ли. б) Пусть V — n-мерное векторное пространство с базисом (ei,..., еп) над полем К характеристики, не равной 2, и Л(У) — внеш- внешняя алгебра на У, / — тождественный оператор на V, Lq = К • I и L\ — линейная оболочка операторов ipi и ^, где (Pi(w) = W Ле», ^i( л...Ле<) = /(-1)р-Чл...Л^Л...Л%> если гк=г, р 10, если ik ф г для всех к = 1,..., р. Доказать, что L = Lq 0 L\ является супералгеброй Ли относи- относительно операции, введенной в а). 65.7. Пусть К — расширение поля Q степени п. Доказать, что: а) для любого многочлена f(x) G Щх] степени п найдется матрица А порядка п, для которой f(A) = 0;
§ 65. Специальные классы алгебр 279 б) алгебра Mn(Q) содержит подалгебру, изоморфную К; в) если L — подалгебра в Mn(Q), являющаяся полем, то [L:Q]^ п. 65.8. Имеет ли делители нуля С-алгебра аналитических функций, определённых в области U С С ? 65.9. Функция комплексного переменного называется целой, если она аналитична на всей комплексной плоскости. Доказать, что вся- всякий конечно порождённый идеал алгебры целых функций является главным. 65.10. Дифференцированием кольца R называется отображение D : R —>¦ Л, удовлетворяющее условиям D(x + y)=D(x)+D(y), D(xy) = D(x)y + xD(y), x,yeR. Найти все дифференцирования колец: a) Z; б) Z[x]; в) Ъ[хъх2,... ,хп]. 65.11. Множество L с операцией сложения, относительно кото- которой L является коммутативной группой, и операцией умножения о, связанной со сложением законами дистрибутивности, называется кольцом Ли, если для любых x,y,z G L выполняется равенства х о х = О, (ж о у) о z + (у о z) о х + (z о х) о у = 0 (тождество Якоби). Доказать, что: а) в кольце Ли выполняется тождество х о у = —у о х\ б) векторы трехмерного пространства образуют кольцо Ли отно- относительно сложения и векторного умножения; в) всякое кольцо R является кольцом Ли относительно сложения и операции х о у = ху — ух; г) множество всех дифференцирований кольца R является коль- кольцом Ли относительно сложения и операции D\ о D2 = D\D2 — D2Di. 65.12. Пусть К — поле и D — дифференцирование if-алгебры матриц Mn(if). Доказать, что существует такая матрица A G G Мп(К), что D(X) = АХ -ХА для всех X.
280 Гл. XIV. Кольца 65.13. Пусть К — поле нулевой характеристики и D — диффе- дифференцирование алгебры Вейля Ап(К). Доказать, что существует такой элемент / Е Ап(К), что D(g) = fg — gf для любого д Е Ап(К). 65.14. Доказать, что полу групповое кольцо R [S] упорядоченной полугруппы S не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда кольцо R не имеет делителей нуля. 65.15. Пусть р — простое число и Ър — кольцо целых р-адических чисел, т.е. множество всех формальных рядов ^2i>0 сцрг, где ai Е Z и 0 ^ пг < р. При этом если для любого пHв Zpn п—1 п—1 п—1 i=0 i=0 i=0 г=0 г=0 г=0 Доказать, что: а) Ър — кольцо без делителей нуля, содержащее Z; б) элемент ^2i>0 сцрг обратим в Ър тогда и только тогда, когда а0 = 1,2,...,р- if в) естественный гомоморфизм групп обратимых элементов Z* —У Zpn сюръективен при любом п; г) каждый идеал в Ър главный и имеет вид (pn), n ^ 0; д) найти все простые элементы в Ър. 65.16. а) Доказать, что поле р-адических чисел Qp, т.е. поле част- частных Zp, состоит из элементов вида pm/i, где т G Z, h G Ър. б) Показать, что Q содержится в Qp в качестве подполя. в) Доказать, что элемент рт ( ^ aip% J из Qp, где 0 ^ а\ ^ р — 1, лежит в Q тогда и только тогда, когда, начиная с некоторого JV, элементы а^, г ^ 7V, образуют периодическую последовательность. г) Найти в (Qfe образы элементов 2/7 и 1/3.
66. Поля 281 65.17. Пусть К — поле, р — неприводимый многочлен от одной переменной X с коэффициентами в К. Построить по аналогии с за- задачей 65.15 кольцо if [Х]р и его поле частных К(Х)Р. Показать, что если р имеет степень 1, то К[Х]р ~ К[[X]]. 65.18. Найти все под кольца поля рациональных чисел Q, содер- содержащие единицу. § 66. Поля 66.1. Какие из колец в задачах 63.1-63.3 являются полями? 66.2. Какие из следующих множеств матриц образуют поле отно- относительно обычных матричных операций: Кх у\ 1 ) ; ж, у Е Q > , где п — фиксированное целое число; пу х) J X пу X пу X пу У X У X У X б) 1 ( „™, ^M ж,уЕМ[, где п — фиксированное целое число; в) 66.3. Пусть К — поле и F — поле дробей алгебры формальных степенных рядов if [[ж]]. Доказать, что каждый элемент из F пред- представляется в виде x~sh, где s ^ 0 и h G if [[ж]]. 66.4. Доказать, что порядок единицы поля в его аддитивной группе либо бесконечен, либо является простым числом. 66.5. Для каких чисел п = 2,3,4,5,6,7 существует поле из п элементов? 66.6. Доказать, что поле из р элементов, где р — простое число, имеет единственное собственное подполе. 66.7. Доказать, что поля Q и Ж не имеют автоморфизмов, отлич- отличных от тождественного. 66.8. Найти все автоморфизмы поля С, при которых каждое ве- вещественное число переходит в себя. 66.9. Имеет ли поле Q(v 2) автоморфизмы, отличные от тождест- тождественного? 66.10. Доказать, что в поле F характеристики р:
282 Гл. XIV. Кольца а) справедливо тождество (х + у)рт = хрт + урт (т — натуральное число); б) если F конечно, то отображение х н-» хр является автомор- автоморфизмом. 66.11. Доказать, что если комплексное число z не является ве- вещественным, то кольцо Ж[г] совпадает с полем С. 66.12. При каких m, n Е Ъ \ {0} поля Q(^m) и Q(^/n) изоморфны? 66.13. Доказать, что для любого автоморфизма ср поля К мно- множество элементов, неподвижных относительно ср, является подполем. 66.14. Доказать, что любые два поля из четырёх элементов изо- изоморфны. 66.15. Существует ли поле, строго содержащее поле комплексных чисел? 66.16. Доказать, что любое конечное поле имеет положительную характеристику. 66.17. Существует ли бесконечное поле положительной характе- характеристики? 66.18. Решить в поле (Ц)(л/2) уравнения: а) х2 + D - 2л/2)ж + 3 - 2л/2 = 0; б) х2 - х - 3 = 0; в) х2 + х - 7 + бл/2 = 0; г) х2 - 2х + 1 - л/2 = 0. 66.19. Решить систему уравнений а) в поле Z3; б) в поле Z5. 66.20. Решить систему уравнений Зх + у + 2z = 1, x + 2y + 3z = l, 4x + Зу + 2z = 1 в поле вычетов по модулю 5 и по модулю 7. 66.21. Найти такой многочлен /(ж) степени не выше 3 с коэффи- коэффициентами из Z5, что Д0) = 3, Д1) = 3, /B) = 5, /D) =4.
66. Поля 283 66.22. Найти все многочлены /(ж) с коэффициентами из Z5, что /@) = /A) = /D) = 1, /B) = /C) = 3. 66.23. Какие из уравнений: а) х2 = 5, б) х7 = 7, в) х3 = а, имеют решения в поле Zn? 66.24. В поле вычетов по модулю 11 решить уравнения: а) х2 + Зх + 7 = 0; б) х2 + Ъх + 1 = 0; в) х2 + 2ж + 3 = 0; г) х2 + Зж + 5 = 0. 66.25. Доказать, что в поле из п элементов выполняется тождест- тождество хп = х. 66.26. В поле Zp решить уравнение хр = а. 66.27. Доказать, что если хп = х для всех элементов х поля К, то К конечно, и его характеристика делит п. 66.28. Найти все порождающие элементы в мультипликативной группе поля: a) Z7; б) Zii; в) Z17. 66.29. Пусть а, 6 элементы поля порядка 2П, где п нечётно. До- Доказать, что если а2 + аЪ + Ъ2 = 0, то а = 6 = 0. 66.30. Пусть F — поле, причём группа F* циклическая. Дока- Доказать, что F конечно. 66.31. В поле рациональных функций с вещественными коэффи- коэффициентами решить уравнения: а) /4 = 1; б) /2 - / - х = 0. 66.32. Доказать, что в поле Zp выполняются равенства: р-1 (р-1)/2 а) ^ к'1 = 0 (р > 2); б) ^ /с~2 = 0 (р > 3). 66.33. Пусть пJиA,...,(т — все корни n-й степени из 1 в поле К. Доказать, что: а) {Ci5 • • • 5 Cm} — группа по умножению; б) {(д,... Хт} — корни степени т из 1; в) m делит п;
284 Гл. XIV. Кольца г) если к Е Z, то к к JO, если m не делит &, ш 1 ттг, если т делит /с. 66.34. Пусть rrikTrik-i .. .то и n^n^_i .. .по — записи натураль- натуральных чисел т и п в системе счисления с основанием s, где s — простое число. Доказать, что: (т\ (то\ (тЛ (тп\ а) числа и • • • ПРИ делении на s дают оди- \п) \noj V^i/ \nnj наковые остатки; о) делится на s тогда и только тогда, когда при некотором г w выполняется неравенство mi < п^. 66.35. Нормированием поля К называется функция ||ж||, х G К, принимающая вещественные неотрицательные значения, причём: ||х|| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0; = \\х\\ Доказать, что следующие функции в Q являются нормирования- нормированиями: а) INI = | о Хх _ о! ^ и, х — и, б) ||ж|| = |x|s, где s — фиксированное число, 0 < s ^ 1; в) ||ж|| = |ж|р, р — простое число, s — фиксированное положи- положительное число, меньшее 1, причём если х = ргтп~1, где m, n — целые числа, не делящиеся на р, то \х\р — р~г. * * * 66.36. Пусть ||ж|| — нормирование Q, причём существует такое у, что \\y\\ ф 0,1. Тогда ||ж|| имеет либо вид б), либо вид в) из зада- задачи 66.35. 66.37. Пусть К — поле и К(х) — поле рациональных функций от одной переменной х. Доказать, что следующие функции в К(х) являются нормированиями: J 1, если / ф О, " | 0, если / = 0;
66. Поля 285 где h,geK[x] и 0<с<1; в) если р(х) — неприводимый многочлен, h = p(x)ru(x)v(x), где и (ж), г? (ж) — многочлены, не делящиеся на р(ж), то \h\ = cr, где О < с< 1. 66.38. Доказать, что: а) пополнение Q относительно нормирования из задачи 66.37, б) равно М; б) пополнение Q относительно нормирования из задачи 66.37, в) равно Qp; в) пополнение Ъ относительно нормирования из задачи 66.37, б) равно Zp; г) пополнение С[ж] относительно нормирования из задачи 66.37, в) с р = х равно алгебре степенных рядов С[[ж]]. 66.39. Последовательность жп, п ^ 1, элементов из Q)p сходится относительно метрики ||/|| из задачи 66.37, в) тогда и только тогда, когда lim \\хп - xn+i\\p = 0. п—>-оо 66.40. При каких t G Q)p сходятся ряды: в) 66.41. Пусть a Е Qp и хп = арП. Существует ли lirr^^oo жп? 66.42. Пусть /(ж) G Zp[ar], a0 G Zpj причём ||/(ао)//'(аоJ||Р < Положим Доказать, что существует а = limап, причём /(а) =0 и \\а — ао\\р < 1. 66.43. Доказать, что любой автоморфизм в Qp тождествен. 66.44. Пусть f(x) G Zp[x] имеет степень п и старший коэффици- коэффициент /(ж) равен 1. Пусть образ /(ж) многочлена /(ж) в Z/pZ[x] разло- разложим, /(ж) = g(x)h(x), где #(ж), /г(ж) взаимно просты, имеют старший
286 Гл. XIV. Кольца коэффициент 1, причём degg(x) = r, degh(x) = n — г. Тогда f(x) = u(x)v(x), где degu(x) = r, deg/i(x) = n — г, старшие коэффициенты -и(ж), г;(ж) равны 1, причём образы и(х), v(x) в Z/pZ[x] равны соответственно д(ж) и /г(ж). 66.45. Пусть /(ж) G Zp[x] и a G Zp, причём в Zp /(а) = 0, /'(а) ф 0. Тогда существует такой элемент Ъ G Zp, что f(b) = 0 и образ 6 в Zp равен а. 66.46. Пусть т — натуральное число, не делящееся на р, a G G 1 + pZp. Тогда существует такое Ъ G Zp, что Ъш = а. 66.47. Пусть поля Qp и Qp/ изоморфны. Доказать, что р — р1. 66.48. Кольцо Ър компактно в Qp относительно р-адической то- топологии. § 67. Расширения полей. Теория Галуа В этом параграфе все кольца и алгебры предполагаются комму- коммутативными и обладающими единицей. 67.1. Пусть А — алгебра над полем К и К = Ко С Кг С Кг С ... С Ks — башня под полей в А. Доказать, что (А : К) = (А : KS)(KS : Ka-{) ...(К,: Ко). 67.2. Пусть А — алгебра над полем К и а G А. Доказать, что: а) если элемент а не является алгебраическим над К, то подал- подалгебра К [а] изоморфна кольцу многочленов К[х]; б) если а — алгебраический элемент над К, то К[а] ~ K[x]/{fia(x)), где fia(x) — некоторый однозначно определенный унитарный много- многочлен (минимальный многочлен элемента а) над К]
§ 67. Расширения полей. Теория Галуа 287 в) если А — поле, то для всякого алгебраического над К элемента a Е А многочлен /ла(х) неприводим в К[х]; г) если все элементы из А алгебраичны над К и для всякого a Е А многочлен fia(x) неприводим, то А — поле. 67.3. Найти минимальные многочлены для элементов: а) л/2 над Q; б) ^5 над Q; в) 10^9 над Q; гJ-ЗгнадМ; дJ-ЗгнадС; е) у/2 + л/3 над Q; ж) 1 + л/2 над (Ц)(л/2 + л/3). 67.4. Доказать, что: а) если А — конечномерная алгебра над К, то всякий элемент из А алгебраичен над К; б) если ai,..., as G A — алгебраические элементы над К, то под- подалгебра K[ai,..., as] конечномерна над К. 67.5. Доказать, что если А — поле и ai,...,as G А — алгеб- алгебраические элементы над К, то расширение K(ai,..., as) совпадает с алгеброй К[а\,..., as]. 67.6. Доказать, что множество всех элементов i^-алгебры А, алгебраических над К, является подалгеброй в А, а если А — по- поле, то под полем. 67.7. Доказать, что если в башне полей К = Ко С Ki С К2 С ... С Ks = L каждый этаж Ki_\ С Ki (i = 1,..., s) является алгебраическим рас- расширением, то L/К — алгебраическое расширение. 67.8. Доказать, что всякий многочлен с коэффициентами из по- поля К имеет корень в некотором расширении L/K. 67.9. Пусть К — поле. Доказать, что: а) для произвольного многочлена из К[х] существует поле разло- разложения этого многочлена над К; б) для любого конечного множества многочленов из К[х] сущест- существует поле разложения над К. 67.10. Пусть К — поле, д(х) G K[x], h{x) G K[x], f(x) = g{h{x)), и а — корень многочлена д(х) в некотором расширении L/К. Дока-
288 Гл. XIV. Кольца зать, что многочлен / неприводим над К тогда и только тогда, когда д{х) неприводим над К и h{x) — а неприводим над К[а]. 67.11. Пусть К — поле, а е К. Доказать, что: а) если р — простое число, то многочлен хр — а либо неприводим, либо имеет корень в К; б) если многочлен хп — 1 разлагается в К[х] на линейные множите- множители, то многочлен хп — a Е К[х] либо неприводим, либо для некоторого делителя d ф 1 числа п многочлен xd — а имеет корень в К; в) предположение о разложимости хп — 1 на линейные множители существенно для справедливости утверждения б). 67.12. Доказать, что над полем К характеристики р ф 0 много- многочлен /(ж) = хр — х — а либо неприводим, либо разлагается в произ- произведение линейных множителей, и указать это разложение, если /(ж) имеет корень xq. 67.13. Найти степень поля разложения над Q для многочленов: а) ах + Ь (a,beQ, аф 0); б) х2 - 2; в) х3 - 1; г) х3 - 2; д) ж4 - 2; е) хр — 1 (р — простое число); ж) хп - 1 (пе N); з) хр — a (a G Q и не является p-ik степенью в Q, р — простое число); и) (ж2 — а\)... (ж2 — ап) (ai,..., ап принадлежит Q* и все раз- различны) . 67.14. Доказать, что конечное расширение L/K является прос- простым тогда и только тогда, когда множество промежуточных полей между К и L конечно, и привести пример конечного расширения, не являющегося простым. 67.15. Пусть L/K — алгебраическое расширение. Доказать, что расширение L(x)/K(x) также алгебраическое и (Их) : К(х)) = (L : К). 67.16. Пусть L/K — расширение. Элементы ai,..., as G L назы- называются алгебраически независимыми над К, если /(ai,..., а8) ф 0 для всякого ненулевого многочлена /(ж1,..., xs) G K[xi,..., х8]. Доказать, что элементы ai,..., as G L алгебраически независимы над К тогда и только тогда, когда расширение K(ai,..., а8) i^-изоморфно полю рациональных функций K(xi,..., х8).
§ 67. Расширения полей. Теория Галуа 289 67.17. Пусть L/К — расширение и а\,..., as; Ъ\,..., Ъп — две мак- максимальные алгебраически независимые над К системы элементов из L. Доказать, что т = п [степень трансцендентности L над if). 67.18. Доказать, что: а) в конечномерной коммутативной if-алгебре А имеется лишь конечное число максимальных идеалов, и их пересечение совпадает с множеством N(A) всех нильпотентных элементов алгебры А (ниль- (нильрадикал алгебры А); б) Ared = A/N(A) — редуцированная алгебра (не содержит отлич- отличных от 0 нильпотентных элементов); в) алгебра A/N(A) изоморфна прямому произведению полей ifi,..., ifs, являющихся расширениями поля if; r)s^(A: К); д) набор расширений Ki определён для алгебры А однозначно с точностью до изоморфизма1; е) если В — подалгебра в А, то всякая компонента В является расширением в одной или нескольких компонентах А\ ж) если / — идеал в А, то компоненты алгебры А/1 содержатся среди компонент алгебры А. 67.19. Пусть К — поле, f(x) e K[x], pi(x)kl .. .ps(x)ks — разло- разложение f(x) в произведение степеней различных неприводимых мно- многочленов над К, А = K[x]/(f(x)). Доказать, что 67.20. Пусть А — if-алгебра и L — расширение поля К. Доказать, что: а) если /i,... /п — различные if-гомоморфизмы А —У L, то Д,... ..., /п линейно независимы как элементы векторного пространства над L всех if-линейных отображений А —У L; б) число различных if-гомоморфизмов А —>¦ L не превосхо- превосходит (A:L). Найти все автоморфизмы полей Q(v/2), Q(a/2 + л/3), Q(v/2). 67.21. Пусть А — конечномерная if-алгебра и L — расширение поля if. Положим Al = L ®к А. Пусть (ei,..., еп) — базис А над if. 1 Расширения К\,..., Ks вместе с каноническими гомоморфизмами А —>¦ Ks называются компонентами алгебры А 19 А.И. Кострикин
290 Гл. XIV. Кольца Доказать, что: а) A ® еь ..., 1 ® еп) — базис AL над L; б) при естественном вложении А в Al образ А является if-под- if-подалгеброй в Al. 67.22. Пусть А — конечномерная if-алгебра, L — расширение поля if. Доказать, что: а) если В — подалгебра в А, то Bl — подалгебра в Al] б) если / — идеал алгебры А и II — соответствующий идеал в4, то в) если А = JJ Ai, то AL ~ г=1 г=1 г) если ifi,... ,ifs — множество компонент алгебры А, то мно- множество компонент алгебр Al совпадает с объединением множеств компонент алгебр (ifi)L, • • •, (Ks)l] д) если F — расширение поля L, то {Al)f — Ар. 67.23. Пусть А — конечномерная if-алгебра, L — расширение поля К, В — некоторая L-алгебра. Доказать, что: а) каждый if-гомоморфизм А —» В однозначно продолжается до L-гомоморфизма Al —> Bl; б) множество if-гомоморфизмов А —>¦ L находится в биективном соответствии со множеством компонент алгебры Al, изоморфных L; в) число различных if-гомоморфизмов А —у L не превосходит (А : if) (ср. с задачей 67.20, б)). 67.24. Пусть F и L — расширения поля if и F конечное. Дока- Доказать, что существует расширение Е/К, для которого имеются вло- вложения F в Е и L в Е, оставляющие на месте все элементы из if. 67.25. Пусть А — конечномерная if-алгебра и А = if [ai,..., as]. Доказать, что следующие свойства расширения L/К равносильны: а) все компоненты Al изоморфны L; б) L — поле расщепления для минимального многочлена любого элемента a G А (расщепляющее поле if-алгебры А). 67.26. Доказать, что если L — расщепляющее поле if-алгебры А и В — подалгебра в А, то любой if-гомоморфизм В —^ L продолжа- продолжается до if-гомоморфизма А —у L. 67.27. Расщепляющее поле L для конечномерной if-алгебры А называется полем разложения для А, если никакое его собственное
§ 67. Расширения полей. Теория Галуа 291 подполе, содержащее if, не является расщепляющим для А. Доказать, что: а) если А = К[а\, ...,о8], то L — поле разложения для А тогда и только тогда, когда L — поле разложения для минимальных много- многочленов элементов а\,..., as; б) любые два поля разложения if-алгебры А изоморфны над if; в) для поля разложения if-алгебры А существует if-вложение в любое расщепляющее поле для А. 67.28. Пусть А — конечномерная if-алгебра, L — поле расщеп- расщепления для А. Доказать, что число компонент L-алгебры Al одно и то же для всех расщепляющих полей алгебры А (сепарабелънал степень (А:К)8 алгебры А). 67.29. Пусть А — if-алгебра и L — расширение поля if. Дока- Доказать, что: а) число компонент алгебры Al не превосходит (А : К)8; б) число различных if-гомоморфизмов А —у L не превосходит (А : К)8 и равенство имеет место тогда и только тогда, когда L — расщепляющее поля для А. 67.30. Доказать, что следующие свойства конечного расшире- расширения L/К равносильны: а) все компоненты алгебры Ll изоморфны L; б) L имеет (L : if) if-автоморфизмов; в) для любых if-вложений cpi: L —У V (г = 1, 2) поля L в любое расширение V/К имеем ipi(L) = cf2(L); г) всякий неприводимый многочлен из if [ж], имеющий корень в L, разлагается над L в произведение линейных множителей; д) L — поле разложения некоторого многочлена из К[х]. (Расши- (Расширение L/K, удовлетворяющее этим условиям, называется нормаль- нормальным.) 67.31. Пусть if С L С F — башня конечных расширений поля if. Доказать, что: а) если расширение F/K нормальное, то расширение F/L также нормальное; б) если расширения L/K и F/L нормальные, то расширение F/К не обязательно нормальное; в) всякое расширение степени 2 нормально. 19*
292 Гл. XIV. Кольца 67.32. Пусть А — конечномерная if-алгебра и a Е А. Характерис- Характеристический многочлен, определитель и след линейного оператора t \-> at на А обозначаются соответственно через Ха/к (а, х), NA/K (a), tiA/K (а) и называются соответственно характеристическим многочленом, нормой и следом элемента а алгебры А над if. Доказать, что если К С L С F — башня конечных расширений полей и a Е F, то: a) Xf/k(o>,x) = NL(x)/K(x)(xf/l(o>,x)), где XF/b(a,x) рассматри- рассматривается как элемент поля рациональных функций if (ж); 6)NF/K(a) = NL/K(NF/L(a)); в) tiF/K(a) = trL/K(trF/jL(a)). 67.33. Пусть L/K — конечное расширение и a G L. Доказать, что: а) минимальный многочлен элемента а равен ^Хк(а)/к(а^х)'1 б) Хь/к(а5ж) является (с точностью до знака) степенью мини- минимального многочлена элемента а. 67.34. Пусть L/ К — конечное расширение. Доказать, что if-би- if-билинейная форма на L (х,у) ^tTL/K(xy) либо невырожденная, либо tr^/^(x) = 0 для всех х G L. 67.35. Доказать, что следующие свойства конечномерной if-ал- if-алгебры А равносильны: а) для всякого расширения L/К алгебра Al редуцированная (за- (задача 67.18); б) (А : К)8 = (А:К) (задача 67.28); в) для некоторого расширения L/К существует (А : К) гомомор- гомоморфизмов if-алгебр А —У L; г) билинейная форма (х,у) н-» №а/к(ху) на А невырождена. (Алгебра А, удовлетворяющая этим условиям, называется сепара- белъной.) 67.36. Пусть L — расширение поля if. Доказать, что конечно- конечномерная if-алгебра А сепарабельна тогда и только тогда, когда сепа- рабельна L-алгебра Al. 67.37. Доказать, что всякая подалгебра и всякая факторалгебра сепарабельной if-алгебры являются сепарабельными if-алгебрами.
§ 67. Расширения полей. Теория Галуа 293 67.38. Пусть А — сепарабельнал if-алгебра, (А : if) = n, (^i,... ..., срп — различные if-гомоморфизмы алгебры А в некоторое её рас- расщепляющее поле L. Доказать, что для всякого элемента a Е А to а/к (а) = ^2vi (а) , NA/K (a) = Д (pi (a), ХА/к(а,х) = 67.39. Конечное расширение L/К называется сепарабелъным, ес- если L — сепарабельная if-алгебра. а) Доказать, что сепарабельное расширение полей является прос- простым. б) Являются ли числа 1 л/2 г а = --+г-—, 6 = л/2 + г Zj Zj примитивными элементами расширения Q(v/2,i)/Q? 67.40. Доказать, что конечномерная if-алгебра сепарабельна тогда и только тогда, когда она является прямым произведением се- парабельных расширений поля if. 67.41. Пусть if = if о С if 1 С ... С if 8 = L — башня конечных расширений полей. Доказать, что расширение L/К сепарабельно тог- тогда и только тогда, когда каждое расширение Ki/Ki-i (г = 1,..., s) сепарабельно. 67.42. Пусть if — поле. Многочлен f(x) G if [ж] называется сепа- рабелъным, если ни в каком расширении поля if он не имеет кратных корней. Доказать, что: а) если if имеет характеристику 0, то всякий неприводимый мно- многочлен из if [ж] сепарабелен; б) если if имеет характеристику р ф 0, то всякий неприводимый многочлен f(x) G if [ж] сепарабелен тогда и только тогда, когда его нельзя представить в виде д(хр), где д(х) G К[х]. Привести пример несепарабельного неприводимого многочлена над каким-либо полем. 67.43. Пусть А — конечномерная if-алгебра. Элемент a G А на- называется сепарабелъным над полем if, если if [а] — сепарабельная
294 Гл. XIV. Кольца if-алгебра. Доказать, что элемент сепарабелен тогда и только тогда, когда сепарабелен его минимальный многочлен. 67.44. Пусть К С L С F — башня конечных расширений полей. Доказать, что: а) если элемент a Е F сепарабелен над К, то а сепарабелен над L; б) утверждение, обратное к а), верно, если расширение L/K сепа- рабельно. 67.45. Пусть А — сепарабельная if-алгебра, /(ж) Е К[х] — сепа- рабельный многочлен. Доказать, что алгебра В = A[x]/(f(x)) сепарабельна. 67.46. Пусть А = K[ai,..., as] — конечномерная if-алгебра. До- Доказать, что следующие условия утверждения равносильны: а) А — сепарабельная if-алгебра; б) всякий элемент a Е А сепарабелен; в) элементы а\,..., as сепарабельны. 67.47. Доказать, что: а) конечное расширение К/F поля F сепарабельно тогда и только тогда, когда либо if имеет характеристику 0, либо характеристи- характеристика if равна р > 0 и Кр = if; б) всякое конечное расширение конечного поля сепарабельно. 67.48. Конечное расширение полей L/К характеристики р > О называется чисто несепарабелъным, если в L \ К нет сепарабельных элементов над if. Доказать, что L/К является чисто несепарабель- ным расширение тогда и только тогда, когда Lp С if для некоторого k ^ 1. 67.49. Пусть if С if о С if 1 ... С if s = I/ — башня конечных расши- расширений полей. Доказать, что расширение L/К чисто несепарабельно тогда и только тогда, когда каждое расширение Ki/Ki-i (ъ = 1,..., s) чисто несепарабельно. 67.50. Доказать, что степень чисто несепарабельного расшире- расширения поля характеристики р > 0 является степенью числа р, а его се- сепарабельная степень равна 1. 67.51. Пусть L/K — конечное расширение полей. Доказать, что: а) множество ifs всех сепарабельных над if элементов из L явля- является полем, сепарабельным над if;
§ 67. Расширения полей. Теория Галуа 295 б) L/Ks — чисто несепарабельное расширение; в) {К. :K) = {L: К).; г) (L : К) = (L : K)S-(L : K)i, где (L : K)i = (L : ifs) несепарабельная степень расширения L/K. 67.52. Пусть К С L С F — башня конечных расширений полей. Доказать, что: а) (F : К)„ = (F : L). ¦ (L : К).; б) (F : K)t = (F : L)t ¦ (L : K)t. 67.53. Пусть L/K — конечное расширение полей, п = (L : К)8 и ifi,..., срп — множество всех if-вложений поля L в какое-либо рас- расщепляющее поле расширения L/К. Доказать, что при любом a G L: п a) tTL/K(a) = (L : 7Г);^(^-(а); в) Хь/к(а,х) = 67.54. Нормальное конечное сепарабельное расширение по- полей L/K называется расширением Галуа, а группа if-автоморфизмов такого расширения называется его группой Галуа и обозначается че- через G(L/K). Доказать, что: а) G{L/К) транзитивно действует на множестве корней из по- поля L минимального многочлена любого элемента поля L; б) порядок группы G(L/K) равен степени расширения L/К. 67.55. Найти группу Галуа расширения: а) С/Е; б) Q(a/2)/Q; в) L/K, где (L:K)= 2; г) 67.56. Группой Галуа над полем К сепарабельного многочлена f(x) G К[х] называется группа Галуа поля разложения этого мно- многочлена над К (как некоторая группа перестановок на множестве
296 Гл. XIV. Кольца корней f(x)). Найти группы Галуа над полем Q многочленов из зада- задачи 67.13. 67.57. Пусть G — конечная группа автоморфизмов поля L и К = LG — поле неподвижных элементов. Доказать, что L/К — рас- расширение Галуа и G(L/K) = G. 67.58. Доказать, что если элементы ai,..., ап алгебраически не- независимы над полем К, то группа Галуа многочлена над полем рациональных функций К(а\,..., ап) есть Sn. 67.59. Доказать, что всякая конечная группа является группой Галуа некоторого расширения полей. 67.60. [Основная теорема теории Галуа.) Пусть L/K — расши- расширение Галуа и G — его группа Галуа. Доказать, что сопоставление всякой подгруппе Н С G подполя LH неподвижных элементов опреде- определяет биективное соответствие между всеми подгруппами группы G и всеми промежуточными подполями расширения L/K, при котором промежуточное подполе F соответствует подгруппе Н = G(L/F); при этом расширение F/K нормально тогда и только тогда, когда под- подгруппа Н нормальна в G, и в этом случае каноническое отображение G ->• G(F/K) определяет изоморфизм G(F/K) ~ G/H. 67.61. Используя основную теорему теории Галуа и существова- существование вещественного корня у всякого многочлена нечётной степени с вещественными коэффициентами, доказать алгебраическую замкну- замкнутость поля комплексных чисел. 67.62. Доказать, что группа Галуа всякого конечного расшире- расширения L/Fp циклическая и порождается автоморфизмом х ^ хр (х Е L). 67.63. Доказать, что группа Галуа над полем К сепарабельного многочлена /(ж) G К[х], рассматриваемая как подгруппа в Sn, содер- содержится в группе чётных перестановок тогда и только тогда, когда дискриминант D = ДО; ~XjJ г>3 многочлена /(ж), где xi,...,хп — корни /(ж) в его поле разложения, является квадратом в поле К. 67.64. Пусть L/К — расширение Галуа с циклической группой Галуа ((р)п. Доказать, что существует такой элемент a G L, что эле- элементы a, ip(a),..., срп~1(а) образуют базис L над К.
§ 67. Расширения полей. Теория Галуа 297 67.65. Пусть L/K — сепарабельное расширение степени п и ifi,..., срп — различные if-вложения L в некоторое расщепляющее для L поле. Доказать, что элемент a Е L является примитивным эле- элементом в L/K тогда и только тогда, когда образы ipi(a),... ,срп(а) различны. 67.66. Найти группу автоморфизмов if-алгебры, являющейся прямым произведением п полей, изоморфных if. 67.67. Пусть L/К — расширение Галуа с группой Галуа G, L = = Y[ La, где La — компонента алгебры Ll, проекция на которую ин- индуцирует на L автоморфизм а, и еа — единица компоненты La. Дока- Доказать, что для продолжений автоморфизмов из G до L-автоморфизмов алгебры Ll справедливы равенства т(еа) = eaT-i, сг,т G G. 67.68. Пусть L — расщепляющее поле для сепарабельной if-ал- if-алгебры А и ifi,... ,ipn — множество всех if-гомоморфизмов А —у L. Доказать, что элементы ?/i,..., уп G А образуют базис А над if тогда и только тогда, когда det(cpi(уj)) ф 0. 67.69. (Теорема о нормальном базисе.) Доказать, что в расшире- расширении Галуа L/К с группой Галуа G существует такой элемент a G L, что множество {сг(а) | a G G} является базисом поля L над if. 67.70. Найти поле инвариантов K(xi,... ,хп)Ап для группы Ап, действующей на поле рациональных функций посредством переста- перестановок переменных. 67.71. Пусть ? — первообразный комплексный корень степени п из 1 и группа G = (а)п действует на поле С(х\,... ,жп) по правилу a(xi) = elXi (i = 1,.. .,n). Найти поле инвариантов C(xi,..., xn)G. 67.72. Найти поле инвариантов для группы G, действующей на поле C(xi,..., хп) посредством циклической перестановки перемен- переменных. 67.73. Пусть поле if содержит все корни степени п из 1 и эле- элемент a G if не является степенью с показателем d > 1 ни для какого делителя d числа п. Найти группу Галуа над if многочлена хп — а. 67.74. Пусть поле if содержит все корни степени п из 1 и L/К — расширение Галуа с циклической группой Галуа порядка п. Доказать, что L = if (у/а) для некоторого элемента a G if.
298 Гл. XIV. Кольца 67.75. Пусть поле К содержит все корни степени п из 1. Дока- Доказать, что конечное расширение L/К является расширением Галуа с абелевой группой Галуа периода п тогда и только тогда, когда где в? = сцеК (г = 1,...,в) (т.е. L является полем разложения над К многочлена IIi=i(x? ~~ ai)s)- 67.76. Пусть поле К содержит все корни степени п из 1 и L = = К(ви...,в8), где 6>гп = йгеГ (г = l,...,s). Доказать, что G(L/K)~((K*)n,ai,...,as)/(K*)n- 67.77. Пусть поле К содержит все корни степени п из 1. Устано- Установить биективное соответствие между множеством всех (с точностью до if-изоморфизма) расширений Галуа с абелевой группой Галуа пе- периода п и множеством всех конечных подгрупп группы К*/(К*)п. 67.78. Доказать, что всякое расширение Галуа L/K степени р по- поля К характеристики р > 0 имеет вид L = К (в), где в — корень многочлена хр — х — a (a G К), и, обратно, всякое такое расширение является расширением Галуа степени 1 или р. 67.79. Пусть К — поле характеристики р > 0. Доказать, что ко- конечное расширение L/К является расширением Галуа периода р тогда и только тогда, когда L = К(#i,..., 68), где вг — корень многочлена хр — х — ai (di е К; г = 1,..., s). 67.80. Пусть К — поле характеристики р > 0 и L = КF\,..., 68), где вг — корень многочлена хр — х — щ (щ G К, г = 1,..., s). Дока- Доказать, что G(L/K)~(p(K),ai,...,as)/K, где р : К —>- К — аддитивный гомоморфизм х \—> хр — х. 67.81. Пусть К — поле характеристики р > 0. Установить биек- биективное соответствие между множеством всех (с точностью до if-изоморфизма) расширений Галуа L/ К с абелевой группой Галуа периода р и множеством всех конечных подгрупп группы К/р(К).
§ 68. Конечные поля 299 § 68. Конечные поля 68.1. Доказать, что всякое конечное расширение конечного поля является простым. 68.2. Доказать, что: а) конечное расширение конечного поля нормально; б) любые два конечных расширения конечного поля F одной сте- степени F-изоморфны. 68.3. Доказать, что: а) для любого числа д, являющегося степенью простого числа, существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из q элементов; б) вложение поля ?q в поле ?д> существует тогда и только тогда, когда q' есть степень q; в) если К и L — конечные расширения конечного поля F, то F-вложение поля К в L существует тогда и только тогда, когда (К : L)\(L : F); г) если многочлен /(ж) над конечным полем F разлагается в про- произведение неприводимых множителей степеней ni,... ,ns, то степень поля разложения многочлена /(ж) над F равна наименьшему общему кратному чисел ni,...,ns. 68.4. Пусть F — конечное поле из нечётного числа q элементов. Элемент a G F* называется квадратичным вычетом в F, если двучлен х2 — а имеет корень в F. Доказать, что: а) число квадратичных вычетов равно (q — l)/2; б) а является квадратичным вычетом тогда и только тогда, когда а(л-1)/2 = 15 и не является квадратичным вычетом при а^^2 = — 1. 68.5. Разложить на неприводимые множители: а) ж5 + х3 + х2 + 1 в F2 [ж]; б) х3 + 2ж2+4ж + 1 в F5[x]; в) ж4 +ж3 +ж + 2 в ?3[х]; г) ж45 + Зж3 + 2ж2 + х + 4 в F5[ж].
300 Гл. XIV. Кольца 68.6. Для элемента a Е F* положим (—) равным 1, если а — квадратичный вычет в F, и — 1 в противном случае. Доказать, что: а) отображение F* —у { — 1,1}, при котором а \-у (— J, является гомоморфизмом групп; — 1 = sgn сга, где аа\ х \-у ах — перестановка на множестве элементов поля F. 68.7. Пусть а и Ъ — взаимно простые числа и а: х —У ах — пере- перестановка на множестве классов вычетов по модулю Ъ. Доказать, что: а) если Ъ четно, то 1 при Ъ = 2 (mod 4), = 0 (mod 4); б) если Ъ нечётно, Ъ = fli=i Pi (Ръ • • • ?Ps — простые числа), то (а\ ( а \ . л ч / где — = (символ Лежанора) (в этом случае sgn а обозна- обозначь/ \ZpiJ (а\ чается через ( — ) и называется символом Лкоби); bij \b2jJ \ b J \b 68.8. Пусть G — аддитивно записанная конечная абелева груп- группа нечётного порядка, о — автоморфизм группы G, (—) = sgn сг, где а рассматривается как перестановка на множестве G. Дока- Доказать, что если G представляется в виде объединения {0} U S U {—S} непересекающихся подмножеств, то (-) = 68.9. Пусть а — автоморфизм группы G нечётного порядка, G\ — подгруппа в G, инвариантная относительно a, G^ — GjG\ и
§ 68. Конечные поля 301 i, <T2 — автоморфизмы G\ и G2, индуцированные а. Доказать, что и получить отсюда утверждение задачи 68.7, б)). 68.10. (Лемма Гаусса.) Доказать, что если N — количество чи- чисел х из промежутка 1 ^ х ^ (Ъ — 1)/2, для которых ах = г (mod 6), 1, то /2\ 68.11. Доказать, что - = (— 68.12. (Квадратичный закон взаимности.) Доказать, что для лю- любых взаимно простых нечётных чисел а и Ъ 68.13. Пусть V — конечномерное пространство над конечным по- полем F нечётного порядка, А — невырожденный линейный оператор на V. Доказать, что 68.14. Пусть F — конечное расширение поля ?q степени п. Дока- Доказать, что в F как векторном пространстве над ?q существует базис вида ж, xq,..., xqm для некоторого х G F. 68.15. Доказать, что элементы xi,...,xn G ?qn образуют базис над ?q тогда и только тогда, когда х2 ... хп \ det -1 2 """ " 68.16. Пусть a G ?qn . Элементы a,aq,...,aq образуют ба- базис ?qn как векторного пространства над ?q тогда и только тогда, когда в ?qn [x] многочлены хп — 1 и ах71'1 + aqxn~2 + ... + aqn~2 взаимно просты.
Глава XV ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ § 69. Представления групп. Основные понятия 69.1. Доказать, что отображение р: Ъ —у GL2(C), при котором р(п) = ( о 1) ' п е Z' является приводимым двумерным комплексным представлением группы Z и не эквивалентно прямой сумме двух одномерных пред- представлений. 69.2. Доказать, что отображение р: (а)р —> GL2(FP) (p — простое число), при котором Р(ак) = является приводимым двумерным представлением циклической груп- группы (а)р и не эквивалентно прямой сумме двух одномерных представ- представлений. 69.3. Пусть A G GLn(C). Доказать, что отображение рл- % —> —У GLn(C), при котором рл{р) — Ап\ является представлением груп- группы Ъ и представления рл и рв эквивалентны тогда и только тогда, когда жордановы нормальные формы матриц А и В совпадают (с точностью до порядка клеток). 69.4. Будет ли линейным представлением группы Ж в простран- пространстве С (Ж) непрерывных функций на вещественной прямой отображе- отображение L, определяемое по формулам: b)(L(t)f)(x)=f(x-t); б) (L(t)f)(x) = f(tx); в) (L(t)f)(x) = /(е'ж);
§ 69. Представления групп. Основные понятия 303 v){L{t)f){x)=etf{x)] A){L(t)f)(x) = f{x)+t; е) (L(t)/)(aO=e«/(:c + t)? 69.5. Какие из подпространств в С (Ж) инвариантны относитель- относительно линейного представления L из задачи 69.4, а): а) подпространство бесконечно дифференцируемых функций; б) подпространство многочленов; в) подпространство многочленов степени ^ п; г) подпространство чётных функций; д) подпространство нечётных функций; е) линейная оболочка функций sin ж и cos ж; ж) подпространство многочленов от cos ж и sin ж; з) линейная оболочка функций cos ж, cos 2ж,..., cos пж; и) линейная оболочка функций eClt, eC2t,..., eCnt, где ci, С2,... ..., сп — различные фиксированные вещественные числа? 69.6. Найти подпространства пространства многочленов, инва- инвариантные относительно представления L из задачи 69.4а. 69.7. Записать матрицами (в каком-либо базисе) ограничение ли- линейного представления L из задачи 69.5 на подпространство много- многочленов степени ^ 2. 69.8. Записать матрицами (в каком-либо базисе) ограничение ли- линейного представления L из задачи 69.5 на линейную оболочку функ- функций sin ж и cos ж. 69.9. Доказать, что каждая из следующих формул определяет ли- линейное представление группы GLn(F) в пространстве Mn(F): а) А(А) • X = АХ; б) Ad(A) X = АХА~г; в) Ф(А) X = АХгА. 69.10. Доказать, что линейное представление Л (см. зада- задачу 69.9, а)) вполне приводимо и его инвариантные подпространст- подпространства совпадают с левыми идеалами алгебры МП(.К"). 69.11. Доказать, что если charF не делит п, то линейное пред- представление Ad (см. задачу 69.9, б)) вполне приводимо и его нетри- нетривиальные инвариантные подпространства — пространство матриц с нулевым следом и пространство скалярных матриц.
304 Гл. XV. Элементы теории представлений 69.12. Доказать, что если charF ф 2, то линейное представле- представление Ф (см. задачу 69.9, в)) вполне приводимо и его нетривиальные инвариантные подпространства — пространства симметрических и кососимметрических матриц. 69.13. Пусть V — двумерное пространство над полем F. Пока- Показать, что существуют представления р\ и р^ группы S3 на V, для которых в некотором базисе пространства V будут выполнены соот- соотношения 2 3)) = (_i _\ Доказать, что эти представления изоморфны тогда и только тог- тогда, когда charF ф 3. 69.14. Пусть V — двумерное векторное пространство над по- полем F. Показать, что существуют два представления pi, p2 группы D4 = (a,b| a4 = b2 = (abJ = 1) на V, для которых в некотором базисе пространства V будут выпол- выполнены соотношения J _ Будут ли эти представления эквивалентны? 69.15. Пусть pi vl р2 — представления групп S3 и D4 из за- задач 69.13 и 69.14. Будут ли эти представления неприводимы? 69.16. Пусть V — векторное пространство над полем F с базисом (ei,... ,еп). Зададим отображение ф: Sn —у GL(V), полагая где а е Sn, г = 1,.. .,п. Доказать, что: а) ф — представление группы Sn;
§ 69. Представления групп. Основные понятия 305 б) подпространство W векторов, сумма координат которых отно- относительно базиса (ei,..., еп) равна нулю, и подпространство U векто- векторов с равными координатами инвариантны относительно представ- представления ф; в) если char F не делит п, то ограничение представления ф на W — неприводимое (п — 1)-мерное представление группы Sn. 69.17. Пусть Рп,т — подпространство однородных многочленов степени т в алгебре F[xi,... ,хп] и charF = 0. Определим отобра- отображение 0: GLn(F) -»> GL(Pnm), полагая для / е Рп ш и А = (а^) е Е GLn(F): / п п \ J \г=1 г=1 / Доказать, что 0 — неприводимое представление группы GLn(F) на пространстве Рп,т- 69.18. Пусть задано n-мерное пространство V над полем F нуле- нулевой характеристики. Определим отображение в : GL(V) —> GL(Amy), полагая 6>(/)(xi Л ... Л хт) = (М) Л ... Л (fxm), где xi,...,xm G У и / G GL(V). Доказать, что ^ — неприводимое представление группы GL(V). 69.19. Доказать, что: а) для любого представления р группы G существует представле- представление р®ш группы G на пространстве т раз контравариантных тензоров на пространстве V такое, что ® 0 ... 0 vm) = (p(^)vi) 0 ... 0 (p(g)vm) при любых г?1,..., vm G У, g G G; б) подпространства симметрических и кососимметрических тен- тензоров являются инвариантными подпространствами для представле- представления р®ш. Найти размерности этих подпространств, если dim У = п. 69.20. Пусть задано представление Ф : G —> GL(V) над полем F и гомоморфизм ? : G —> F*. Рассмотрим отображение Ф^ : G —> GL(V), заданное по правилу Ф^(^) = ?(д)Ф(д), д G G. Доказать, что Ф^ — 20 А.И. Кострикин
306 Гл. XV. Элементы теории представлений представление группы G. Оно неприводимо тогда и только тогда, когда неприводимо представление Ф. 69.21. Пусть Ф — комплексное представление конечной груп- группы G. Доказать, что каждый оператор Фд, g Е G, диагонализируем. 69.22. Пусть p:G —> GL(V) — конечномерное представление груп- группы G над полем F. Доказать, что в V существует базис, в котором для любого g Е G матрица р(д) имеет клеточно-верхнетреугольный вид (() * о рт{д)/ где pi — неприводимые представления группы G. 69.23. Пусть р : G —> GL(V) — конечномерное представление группы G и в V существует базис (ei,...,en), в котором для лю- любого д Е G матрица р{д) имеет клеточно-верхнетреугольный вид из задачи 69.22, где размер di квадратной матрицы pi(g) не зависит от д. Доказать, что: а) линейная оболочка Vi векторов е^1+...+с/._1+1,..., е^1+...+с/. яв- является G-инвариантным подпространством A ^ г ^ ттг); б) отображение д н-» р%{д) является матричным представлением группы G; в) линейное представление группы G, соответствующее этому матричному представлению, изоморфно представлению, возникаю- возникающему на факторпространстве Vi/Vi-i (по определению Vb = 0). 69.24. Пусть р : G —>¦ GL(V) — представление группы G. Доказать, что: а) для любого v G V линейная оболочка (p(g)v \ g G G) является инвариантным подпространством для представления р\ б) любой вектор из V лежит в некотором инвариантном под- подпространстве размерности ^ \G\. в) минимальное инвариантное подпространство, содержащее век- вектор v G V, совпадает с (p(g)v\ g G G). 69.25. Пусть р: G ->• GL(F) — представление группы G и Н — подгруппа в G, [G : Н] = к < оо. Доказать, что если подпростран- подпространство U инвариантно относительно ограничения представления р на подгруппу Н, то размерность минимального подпространства, со-
§ 69. Представления групп. Основные понятия 307 держащего U, инвариантного относительно представления р, не пре- превосходит к • dim U. 69.26. Пусть V — векторное пространство над полем С с бази- базисом (ei,..., еп). Определим в V представление Ф циклической группы (а)п, полагая Ф(а)(е«) = e^+i при г < п и Ф(а)(еп) = е±. При п = 2т найти размерность минимального инвариантного подпространства, содержащего векторы: а) ei +em+i; б) ei +e3 + ... + e2m-i; в) ei - е2 + е3 - ... - е2т; г) ei + е2 + ... + ет. 69.27. Доказать, что у любого множества попарно коммути- коммутирующих операторов на конечномерном комплексном векторном про- пространстве V есть общий собственный вектор. 69.28. Доказать, что всякое неприводимое представление абеле- вой группы на конечномерном векторном пространстве над полем С одномерно. 69.29. Пусть G = (а)р х (Ь)р, где р — простое число и К — по- поле характеристики р. Предположим, что V — векторное простран- пространство над К с базисом жо, ?i,..., жп, з/ь • • • •> Уп- Зададим отображение р: G —>¦ GL(V), полагая p(a)xi = p(b)xi = Xi, 0 ^ г ^ п, р(а)уг = Xi + yi, I ^ i ^ п; р(ЬJ/г = Уг + Жг-1, 1 ^ г ^ П. Доказать, что /? продолжается до представления группы G. Про- Проверить, что это представление неразложимо. 69.30. Доказать, что неприводимые комплексные представления группы ироо взаимно однозначно соответствуют последовательнос- последовательностям (ап) натуральных чисел таким, что 0 ^ ап ^ рп - 1, ап = ап+1 (mod pn) при всех п. 69.31. Доказать, что неприводимые комплексные представления группы Q/Z взаимно однозначно соответствуют последовательнос- последовательностям натуральных чисел (ап) таким, что 0 ^ an ^ n — 1, ап = ат (mod n), если п делит т. 20*
308 Гл. XV. Элементы теории представлений § 70. Представления конечных групп 70.1. Пусть Л и В — два перестановочных оператора на конеч- конечномерном векторном пространстве V над С и Лт = Вп = ? для не- некоторых натуральных чисел тип. Доказать, что пространство V распадается в прямую сумму одномерных инвариантных относи- относительно Л и В подпространств. 70.2. Перечислить все неприводимые комплексные представления групп: а) (аJ; б) (аL; в) (аJ х (ЬJ; г) (аN; д) (а)8; е) (аL х (ЬJ; ж) (аJ х (ЬJ х (сJ; з) (аN х (ЬK; и) (а)9 х (ЬJ7. 70.3. Пусть V — векторное пространство над полем F, Л G G GL(V) и Лп = f. а) Доказать, что соответствие ак н->- Л^ определяет представле- представление циклической группы (а)п на пространстве V. б) Найти все инвариантные подпространства этого представления в случаях: ' 0 1 \ /0—1^ п = 4, Л в) Пусть F = C и в У имеется такой базис во, ei,..., en_i, что J ei+b если г < п- 1, I е0, если г = п - 1. Разложить это представление в прямую сумму неприводимых. г) Доказать, что представление из в) изоморфно регулярному представлению группы (а)п. 70.4. Разложить в прямую сумму одномерных представлений ре- регулярное представление группы: а) (аJ х (ЬJ; б) (аJ х (Ь>3; в) (аJ х (Ь>4. 70.5. Пусть Н = (а)з — циклическая подгруппа группы G, Ф — регулярное представление группы G и Ф — его ограничение на i?. Найти кратность каждого неприводимого представления группы Н в разложении представления Ф в сумму неприводимых: a)G=(b>6) а = Ъ2; б) G = S3, a = A,2,3).
Рк(а) = / / cos . \ sm \ 2тгк n 2тгк n 2тгк — sm n 2тгк cos n § 70. Представления конечных групп 309 70.6. Найти все неизоморфные одномерные вещественные пред- представления группы (а)п. 70.7. Доказать, что неприводимое вещественное представление циклической группы имеет размерность не более двух. 70.8. Пусть pk: (а)п —У GL2(M) — представление, для которого 0<fc<n. Доказать, что: а) представление pk неприводимо, если к ф п/2; б) представления pk и pk' эквивалентны тогда и только тогда, когда к — к1 или к + к' = п; в) любое двумерное вещественное неприводимое представление группы (а)п эквивалентно представлению pk для некоторого к. 70.9. Найти число неэквивалентных неприводимых вещественных представлений: а) группы Zn; б) всех абелевых групп порядка 8. 70.10. Найти число неэквивалентных двумерных комплексных представлений групп: a) Z2, б) Z4, в) Z2 0Z2. 70.11. Пусть G — абелева группа порядка п. Доказать, что чис- число неэквивалентных /^-мерных комплексных представлений группы G равно коэффициенту при tk ряда A — t)~n. Найти этот коэффициент. 70.12. Доказать, что ядро одномерного представления группы G содержит коммутант этой группы. 70.13. Пусть р — представление группы G в пространстве V и в V существует базис, в котором все операторы p(g) (g G G) диаго- нальны. Доказать, что Ker p D G'. 70.14. Доказать, что все неприводимые комплексные представ- представления конечной группы одномерны тогда и только тогда, когда она коммутативна. 70.15. Найти все неизоморфные одномерные комплексные пред- представления групп S3 и А4.
310 Гл. XV. Элементы теории представлений 70.16. Найти все одномерные комплексные представления групп Sn и Dn. 70.17. Построить неприводимое двумерное комплексное пред- представление группы S3. 70.18. Используя гомоморфизм группы S4 на группу S3, постро- построить неприводимое двумерное комплексное представление группы S4. 70.19. Используя изоморфизм групп перестановок и соответству- соответствующих групп движений куба и тетраэдра (см. 57.13), построить: а) два неприводимых трехмерных матричных комплексных пред- представления группы S4; б) неприводимое трехмерное представление группы А4. 70.20. Доказать, что если г — корень степени п из 1, то отобра- отображение а и-» продолжается до представления р? группы Dn. Является ли оно не- неприводимым при ? ф =Ы? 70.21. Пусть р? и p?i — неприводимые двумерные комплексные группы представления Dn из задачи 70.20. Доказать, что р? и р?> изоморфны тогда и только тогда, когда е' = e±l. 70.22. Пусть р — неприводимое комплексное представление груп- группы Dn. Доказать, что р изоморфно р? для некоторого е. 70.23. Пусть р — естественное двумерное вещественное пред- представление Dn в виде преобразований, составляющих правильный n-угольник. Найти такое е, что р изоморфно р?. 70.24. Используя реализацию кватернионов в виде комплексных матриц порядка 2 (см. задачу 58.11, в)), построить двумерное комп- комплексное представление группы Qg. 70.25. Пусть группа G имеет точное приводимое двумерное пред- представление. Доказать, что: а) коммутант группы G' — абелева группа; б) если G конечна и основное поле имеет характеристику 0, то G коммутативна. 70.26. Доказать, что точное двумерное комплексное представле- представление конечной некоммутативной группы неприводимо.
§ 70. Представления конечных групп 311 70.27. Пусть G — конечная группа, р — её конечномерное комп- комплексное представление и в некотором базисе матрицы всех операто- операторов p(g) (g Е G) верхнетреугольные. Доказать, что Ker(^) D G'. 70.28. Доказать, что если в задачах 69.22, 69.23 основное поле является полем комплексных чисел и группа G конечна, то представ- представление р эквивалентно прямой сумме представлений pi,...,рш. 70.29. Доказать, что если в задаче 69.22 основное поле является полем комплексных чисел и группа G конечна, то существует такая невырожденная матрица С, что для всех д Е G /рЛд) о С~1р(д)С = 70.30. Пусть G — конечная группа порядка n, p — её регулярное представление. Доказать, что . < \ Г 0, 0^1, tepid) = S Л [ п, д = 1. 70.31. Доказать, что для любого неединичного элемента конеч- конечной группы существует неприводимое комплексное представление, переводящее его в неединичный оператор. 70.32. Пусть Л, В — линейные операторы в конечномерном век- векторном пространстве V над полем F характеристики 0 и Л3 = В2 = ?, = ВЛ2. Доказать, что для всякого подпространства С/, инвариантного от- относительно ЛиВ, существует подпространство W, инвариантное от- относительно Л, В и такое, что V = U 0 W. 70.33. Найти все неэквивалентные двумерные комплексные пред- представления групп: а) А4; б) S3. 70.34. Найти число и размерности неприводимых комплексных представлений групп: a) S3; б) А4; в) S4; г) Q8; д) Dn; e) А5. 70.35. Сколько прямых слагаемых в разложении на неприводи- неприводимые компоненты регулярного представления следующих групп: a)Z3; 6)S3; в) Q8; г) А4?
312 Гл. XV. Элементы теории представлений 70.36. С помощью теории представлений доказать, что группа порядка 24 не может совпадать со своим коммутантом. 70.37. Могут ли неприводимые комплексные представления ко- конечной группы исчерпываться: а) тремя одномерными и четырьмя двумерными; б) двумя одномерными и двумя пятимерными; в) пятью одномерными и одним пятимерным? 70.38. Доказать, что в группе GL2(C) нет подгруппы, изоморф- изоморфной S4. 70.39. Доказать существование двумерного инвариантного под- подпространства в любом восьмимерном комплексном представлении группы S4. 70.40. Доказать существование одномерного инвариантного под- подпространства в любом пятимерном представлении группы А4. 70.41. Доказать, что число неприводимых представлений груп- группы G строго больше числа неприводимых представлений любой её факторгруппы по нетривиальной нормальной подгруппе. 70.42. Для каких конечных групп регулярное представление над полем С содержит лишь конечное число подпредставлений? 70.43. Доказать, что любое неприводимое представление конеч- конечной р-группы над полем характеристики р единично. 70.44. Пусть G — конечная р-группа и р — её представление в конечномерном пространстве V над полем характеристики р. Дока- Доказать, что в V существует такой базис, что для любого g Е G матрица оператора р(д) верхняя унитреугольная. 70.45. Пусть Н — нормальная подгруппа в конечной группе G. Доказать, что размерность любого неприводимого представления группы G над полем F не превосходит [G : Н]т, где т — наибольшая размерность неприводимого представления группы Н над полем F. 70.46. Доказать, что в GLn(C) существует лишь конечное чис- число попарно несопряжённых подгрупп фиксированного конечного по- порядка. 70.47. Пусть р : G ->• GL3(M) — неприводимое трехмерное ве- вещественное представление конечной группы G и представление р : G —>¦ GLs(C) получается как композиция отображения р со стан- стандартным вложением GL3(M) ->• GL3(C). Доказать, что представле-
71. Групповые алгебры и модули над ними 313 ние р неприводимо. 70.48. Доказать, что всякое неприводимое неодномерное комп- комплексное представление группы порядка р3 является точным. 70.49. Найти число неприводимых комплексных представлений некоммутативной группы порядка р3 и их размерности. 70.50. Вещественное представление Ф циклической группы (а) порядка 4, при котором 0 0-1 Ф(а) =@1 0 1 0 0 разложить в прямую сумму неприводимых. 70.51. Рассмотрим вещественное трехмерное представление группы G = (аJ х (ЬJ, где Ф(а) =6 -5 0 , Ф(Ь) = -Е. Разложить Ф в прямую сумму неприводимых представлений. 70.52. Рассмотрим двумерное комплексное представление Ф группы G = (аJ х (ЬJ, где о Л Л/,ч /о-1 oj' ф(&) = (-1 о Разложить Ф в прямую сумму неприводимых представлений. § 71. Групповые алгебры и модули над ними 71.1. Является ли алгебра кватернионов вещественной групповой алгеброй: а) группы кватернионов; б) какой-либо группы ? 71.2. Пусть V — векторное пространство над полем F с базисом (ei,e2,e3), if : F[S3] -»• End У — гомоморфизм, где <p(<r)(ei) = ea^ для всех a G S3 (г = 1,2,3). Найти размерность ядра и размерность образа гомоморфизма (р.
314 Гл. XV. Элементы теории представлений 71.3. Найти базис ядра гомоморфизма ip: C((a)n) —у С, при кото- котором ср(а) = е, где г — корень степени п из 1. 71.4. Пусть группа Н изоморфна факторгруппе группы G. До- Доказать, что F[H] изоморфна факторалгебре алгебры F[G]. 71.5. Пусть G = G\ х G2. Доказать, что в F[G]~F[Gi](g)F[G2]. 71.6. Пусть G — конечная группа, R — множество отображений из G в поле F. Определим на R операции, полагая для /i, /2 E R Доказать, что Л — алгебра над полем F и отображение / и- J2 geG из R в F[G] — изоморфизм алгебр. 71.7. Доказать, что если группа G содержит элементы конечного порядка, то групповая алгебра F[G] имеет делители нуля. 71.8. Доказать, что всякий неприводимый FfGJ-модуль изомор- изоморфен фактормодулю регулярного FfGJ-модуля. 71.9. Найти все коммутативные двусторонние идеалы групповой алгебры C[G] для: a)G = S3; 6)G = Q8; в) G = D5. 71.10. Найти все элементы х групповой алгебры i^[G], удовлетво- удовлетворяющие условию хд = х при любом д G G. 71.11. Найти базис центра групповой алгебры групп: a) S3; б) Q8; в) А4. 71.12. Доказать, что в групповой алгебре А свободной абелевой группы ранга г нет делителей нуля. Поле частных для А изоморфно полю рациональных дробей от г переменных. 71.13. Пусть А — кольцо, V — А-модуль и V = U © W, причём U — неприводимый модуль и в W нет подмодулей, изоморфных U. Доказать, что если а — автоморфизм модуля У, то a(U) = U.
§ 71. Групповые алгебры и модули над ними 315 71.14. Пусть А — кольцо, А-модуль V разложен в прямую сумму подмодулей V = С/0 W, cp: U -^W — гомоморфизм А-модулей. Дока- Доказать, что U\ = {х + Ц>(х) | х Е U} есть А-подмодуль в V, изоморфный 71.15. Пусть А — полупростая конечномерная алгебра над С и А-модуль V разлагается в прямую сумму попарно неизоморфных не- неприводимых А-модулей: V = V\ © ... © 14. Найти группу автоморфиз- автоморфизмов модуля V. 71.16. Пусть А — полупростая конечномерная алгебра над СиЛ- модуль V есть прямая сумма двух изоморфных неприводимых А-модулей. Доказать, что группа автоморфизмов А-модуля V изо- изоморфна GL2(C). 71.17. Пусть А — полупростая конечномерная алгебра над С и V — А-модуль, конечномерный над С. Доказать, что V имеет ко- конечное число А-подмодулей тогда и только тогда, когда он является прямой суммой попарно неизоморфных неприводимых А-модулей. 71.18. Пусть G — конечная группа, F — поле характеристики О и групповая алгебра А = F[G] рассматривается как левый модуль над собой. Доказать, что для любого его подмодуля U и гомоморфизма А-модулей if : U —У А существует такой элемент a G А, что ip(u) = иа для всех и G U. 71.19. Для каких конечных групп комплексная групповая алгебра является простой? 71.20. Пусть А = F[G] (F — поле), G — конечная группа порядка п > 1, и для п • 1 ф 0 положим ei = (п • I) ^?, е2 = 1 - еь geG Доказать, что Ае\ и Ае<± — собственные двусторонние идеалы и А — Ае\ © Аз2. 71.21. Доказать, что равенство otg-g, OLg G F в групповой алгебре F[G] задает на пространстве F[G] симметричес- симметрическую билинейную функцию и ядро этой функции / — двусторонний идеал в F[G]. 71.22. Пусть G — конечная группа, / — билинейная функция на ], определенная в задаче 71.21. Доказать, что / невырождена, и
316 Гл. XV. Элементы теории представлений найти сигнатуру функции / для групп: a) Z2; б) Z3; в) Z4; r)Z20Z2. 71.23. Пусть Н — подгруппа группы G и оо(Н) — левый идеал в F[G], минимальный среди левых идеалов, содержащих {h — 11 h Е Н}. Доказать, что если Н — нормальная подгруппа, то идеал ьо{Н) дву- двусторонний. 71.24. Разложить в прямую сумму полей групповые алгебры группы (а)з над полями вещественных и комплексных чисел. 71.25. Доказать, что Q[(a)p] (р — простое число) есть прямая сумма двух двусторонних идеалов, один из которых изоморфен Q, а другой Q(s), где г — первообразный корень степени р из 1. 71.26. Пусть G — конечная группа, charF не делит |G|, / — идеал в F[G]. Доказать, что /2 = /. 71.27. Найти идемпотенты и минимальные идеалы в кольцах: a)F3[(a>2]; 6)F2[(a>2]; в) C[(a>2]; г) R[<aK]. 71.28. Пусть G — конечная группа. Доказать, что при любом a Е C[G] уравнение а = аха разрешимо в C[G]. 71.29. Сколько различных двусторонних идеалов в алгебре: а) C[S3]; б) C[Q8]? 71.30. Для каких конечных групп G групповая алгебра C[G] является прямой суммой п = 1,2,3 матричных алгебр? 71.31. Пусть G — группа, А — алгебра над полем F с единицей, ер — гомоморфизм G —У А*. Доказать, что существует единственный гомоморфизм F[G] —У А, ограничение которого на G совпадает с ср. 71.32. Доказать, что если char F не делит порядка конечной груп- группы G, то любой двусторонний идеал групповой алгебры F[G] являет- является кольцом с единицей. Верно ли это утверждение для произвольных алгебр с единицей? 71.33. Пусть F — поле характеристики р > 0, р делит порядок конечной группы G и gEG Доказать, что F[G]u — подмодуль левого регулярного модуля, не выделяющийся прямым слагаемым.
§ 71. Групповые алгебры и модули над ними 317 71.34. Пусть G = (а)р, F — поле характеристики р, Ф : G —> F), где •<••>=(; — представление группы G. Указать такой F[G] подмодуль U ре- регулярного представления V = i^[G], что представление G на V/U изоморфно Ф. При каких р представление Ф изоморфно регулярно- регулярному представлению? 71.35. Доказать, что алгебра ?2 [@J] не является прямой суммой минимальных левых идеалов. 71.36. Пусть Н — р-группа, являющаяся нормальной подгруппой в конечной группе G, F — поле характеристики р. а) Доказать, что идеал оо(Н) из задачи 71.23 нильпотентен. б) Найти индекс нильпотентности идеала ьо{Н) при G = (аJ, H=(aJ,F = ?2. 71.37. Доказать, что все идеалы групповой алгебры бесконечной циклической группы главные. 71.38. Доказать, что циклический модуль над алгеброй F[(a)oo] либо конечномерен над F, либо изоморфен левому регулярному 71.39. Пусть А = С[(#)оо], Р = Axi(BAx2 — свободный А-модуль с базисом (ж1,Ж2), Н — подмодуль, порожденный в Р элемента- элементами /ii, /12. Разложить Р/Н в прямую сумму циклических А-модулей и найти их размерности, если: а) fti = gxx + х2, h2=X!-(g + 1)ж2; б) fti = g2xx + g~2x2, h2 = gAxx + A - g)x2; в) /ii = gXl + 2g~1x2, h2 = A + g)xx + 2(g~2 + g~x)x2. 71.40. Пусть Л, В — линейные операторы на V = F[x], Л(/(ж)) = = f'(x), B(f(x)) = xf(x). Доказать, что отображение ip : g \-> ЛВ про- продолжается до гомоморфизма F^g)^] —у End У, и найти Кет ср. 71.41. Пусть М — максимальный идеал алгебры А = F[(a)oo] и r = dimF(A/M). Доказать, что: а) если F = С, то г = 1; б) если F = М, то г = 1 или г = 2; в) если F = F2, то г может быть неограниченно велико.
318 Гл. XV. Элементы теории представлений 71.42. Доказать, что групповая алгебра свободной абелевой груп- группы конечного ранга является нётеровой. 71.43. Доказать, что в групповой алгебре свободной абелевой группы конечного ранга справедлива теорема о существовании и единственности разложения на простые множители. 71.44. Разложить в произведение простых множителей элемент групповой алгебры А = C[G] свободной абелевой группы G с бази- базисом (gi,g2): а) gig2 + #Г1#2~1; б) l + дг1д2 - gig^1 - 9г2д1- 71.45. Пусть G — свободная абелева группа с базисом (gi,*^)- Найти факторалгебру групповой алгебры А = F[G] по идеалу /, по- порожденному элементами: б) 01 -025 в) дх - 1 и д2 - 2. 71.46. Доказать, что если группа G конечна и алгебра C[G] не имеет нильпотентных элементов, то G коммутативна. 71.47. Пусть Н — нормальная подгруппа в группе G, V — неко- некоторый .FfGJ-модуль и (Н — 1)V — линейная оболочка элементов ви- вида (h — I)i7, где h G H, v G V. Доказать, что: а) (Н - 1)V является FfGJ-подмодулем в V; б) если Н — силовская (нормальная) р-подгруппа в G, char F = р и (H-1)V = V, то У = 0. 71.48. Доказать, что комплексные групповые алгебры групп D4 и Qg изоморфны. 71.49. Найти число попарно неизоморфных комплексных группо- групповых алгебр размерности 12. 71.50. Доказать, что число слагаемых в разложении групповой алгебры симметрической группы Sn над полем С в прямую сумму матричных алгебр равно числу представлений числа п в виде п = п\ + п2 + ... + п/., где щ ^ п2 ^ ... ^ пк > 0.
§ 72. Характеры представлений 319 § 72. Характеры представлений 72.1. Пусть элемент g группы G имеет порядок к и х — п-мерный характер группы G. Доказать, что х(д) есть сумма п (не обязательно различных) корней степени /с из 1. 72.2. Пусть Ф — трехмерное комплексное представление группы (а)з и Хф(д) = О ДЛЯ некоторого g E Z3. Доказать, что Ф эквивалентно регулярному представлению. 72.3. Пусть х — двумерный комплексный характер группы G = — (а)з х (Ь)з- Доказать, что х(я) Ф О ДЛЯ всякого g E G. 72.4. Пусть % — двумерный комплексный характер группы не- нечётного порядка. Доказать, что х(я) Ф О ДЛЯ любого g E G. 72.5. Пусть Ф — n-мерное комплексное представление конечной группы G. Доказать, что Хф(о) = п тогда и только тогда, когда g принадлежит ядру представления Ф. 72.6. Пусть А — аддитивная группа n-мерного векторного про- пространства V над полем ?р и х — неприводимый нетривиальный комп- комплексный характер группы А. Доказать, что подмножество {а Е А\ х(а) — 1} есть (п — 1)-мерное подпространство в V. 72.7. Пусть х — комплексный характер конечной группы G и т = max{|x(#)| | g E G}. Доказать, что Н = {д Е G | Х(д) = ш}, К = {д Е G | \Х(д)\ = т] — нормальные подгруппы в G. 72.8. Доказать, что двумерный комплексный характер % группы S3 неприводим тогда и только тогда, когда %(A23)) = —1. 72.9. Пусть х — двумерный комплексный характер конечной группы G и д Е G''. Доказать, что если х{я) Ф 2, то % неприводим. 72.10. Чему равно "среднее значение"
320 Гл. XV. Элементы теории представлений неприводимого характера неединичной конечной группы G? 72.11. Доказать, что для любого элемента g неединичной конеч- конечной группы G существует такой нетривиальный неприводимый комп- комплексный характер % группы G, что х(д) Ф 0- 72.12. Доказать, что отображение группы G в С является од- одномерным характером группы G тогда и только тогда, когда это отображение является гомоморфизмом группы G в группу С*. 72.13. Доказать, что центральная функция, равная произведению двух одномерных характеров группы G, является одномерным харак- характером группы G. 72.14. Доказать, что операция умножения функций определяет во множестве одномерных характеров группы G структуру абелевой группы G, двойственной к группе G. 72.15. Доказать, что для конечной циклической группы А груп- группа А — конечная циклическая группа того же порядка. 72.16. Пусть конечная абелева группа А разлагается в прямое произведение А = А\ х А2, щ G Ai, «2 ^ ^2- Доказать, что отобра- отображение А —у С* , переводящее элемент (ai, а2) в ai(ai) -а2(а2), является одномерным характером группы А и А ~ А\ х А^. 72.17. Пусть В — подгруппа конечной абелевой группы А и В0 = {a G А | а(Ь) = 1 для всякого Ь G В]. Доказать, что: а) В0 — подгруппа в!и всякая подгруппа в А совпадает с В0 для некоторой подгруппы В; б) В~А/В°; в) В\ С В<± тогда и только тогда, когда В\ D В®; г) (В1ПВ2H = В°1-В°2; д) (B1B2f = B^r\Bl 72.18. Пусть Ф — гомоморфизм группы G в GLn(C). Доказать, что: а) отображение Ф*: g \-> (Ф(д~1)I также является представлением группы G;
§ 72. Характеры представлений 321 б) ХфЫ = Хф* Ы Для всякого g G G; в) представления Ф и Ф* эквивалентны тогда и только тогда, когда значения характера % вещественны. 72.19. Пусть Ф — неприводимое комплексное представление группы Sn и Ф'(сг) = Ф(а)щпа (a Е Sn). Доказать, что Ф' — представление группы Sn и следующие ут- утверждения эквивалентны: а) Ф - Ф'; б) ограничение представления Ф на Ап приводимо; в) Хф(сг) = О Для любой нечётной подстановки a Е Sn. 72.20. В задаче 58.11 задана группа матриц из М2(С), изоморф- изоморфная группе кватернионов Qg. Доказать неприводимость этого дву- двумерного представления группы Qg и найти его характер. 72.21. Найти характер представления группы Sn в пространстве с базисом (ei,..., еп), задаваемого формулой Ф(сг)е; = е^) для а е Sn. 72.22. Найти характер двумерного представления группы Dn, определяющегося изоморфизмом группы Dn с группой симметрии фиксированного правильного п-угольника. 72.23. Найти характер трехмерного представления группы S4, определяющегося изоморфизмом группы S4 с группой симметрии фиксированного правильного тетраэдра. 72.24. Найти характер представления группы S4, определяюще- определяющегося изоморфизмом группы S4 с группой вращений куба. 72.25. Составить таблицу неприводимых характеров групп: а) (аJ; б) (аK; в) (аL; г) (аJ х (ЬJ; д) (аJ х (b}2 x (сJ. 72.26. Составить таблицу характеров одномерных представле- представлений и вычислить группу одномерных характеров (задача 72.14) для групп: a) S3; б) А4; в) Q8; г) Sn; д) Т>п. 21 А.И. Кострикин
322 Гл. XV. Элементы теории представлений 72.27. Найти модуль определителя матрицы, строки которой совпадают со строками таблицы неприводимых характеров абелевой группы порядка п. 72.28. Составить таблицу неприводимых характеров групп: a) S3; б) S4; в) Q8; г) D4; д) D5; e) А4. 72.29. Может ли характер представления некоторой группы по- порядка 8 принимать значения A, —1, 2, 0, 0, —2, 0, 0)? 72.30. Разложить центральную функцию A, -1, г, -г, j, -j, /с, -к) ^ E, -3,0,0, -1, -1,0,0) на Qg по базису неприводимых характеров. Является ли она харак- характером какого-либо представления? 72.31. Определить, какая из центральных функций на S3 /i: (е, A2), A3), B3), A23), A32)) ^ F, -4, -4, -4,0,0), /2: (е, A2), A3), B3), A23), A32)) ^ F, -4, -4, -4,3,3) является характером, и указать это представление. 72.32. Пусть А — аддитивная группа конечномерного векторно- векторного пространства V над полем ?р и Ф — нетривиальный неприводимый (комплексный) характер аддитивной группы поля ?р. а) Доказать, что всякий неприводимый характер % группы А имеет вид Х(а) = для некоторой линейной функции I G V*. б) Установить изоморфизм двойственной группы А (см. задачу 72.14) и аддитивной группы пространства У*. в) Построить изоморфизм А и А. 72.33. Пусть в условиях предыдущей задачи / — комплекснознач- ная функция на А. Определим функцию / на А, полагая для \ ? А аеА
§ 72. Характеры представлений 323 а) Доказать, что / б) Доказать, что в) Сравнить функции / на А и / на А, используя изоморфизм из задачи 72.32, в). 72.34. Пусть А — аддитивная группа поля Fp. Рассмотрим функ- функцию / на А, полагая О, если а = О, /(а) = ^ 1, если а = х2 для некоторого х е F*, — 1, в остальных случаях Доказать, что если х — неприводимый комплексный характер группы А, то |(/,х)л| =Р~1/2. 72.35. Пусть G — конечная группа, Н — её подгруппа. Доказать, что центральная функция на Н, получающаяся ограничением на Н характера группы G, является характером группы Н. 72.36. Пусть Ф — матричное n-мерное представление группы G. Построим представление Ф группы G на пространстве квадратных матриц порядка п, полагая для Л G ~М.п(К) Выразить хф через хф- 72.37. Найти неприводимые слагаемые представления Ф зада- задачи 72.36 и их кратности, если: а) Ф — двумерное неприводимое представление группы S3; б) Ф — представление из задачи 72.23; в) Ф — двумерное представление группы Q$ из задачи 72.20. 72.38. Пусть Ф — матричное n-мерное представление группы G. Построим представление Ф группы G на пространстве квадратных матриц Mn(if), полагая 21*
324 Гл. XV. Элементы теории представлений Выразить хф через хф- 72.39. Пусть р : G —>¦ GL(V) — регулярное комплексное представ- представление группы (а)п. Найти кратность единичного представления груп- группы Zn в разложении представления р®т (см. задачу 69.19) на непри- неприводимые представления. 72.40. Пусть р — двумерное неприводимое комплексное пред- представление группы S3. Разложить на неприводимые представления р®2ир®3. 72.41. Пусть р : (а)п н-» GL(V) — комплексное регулярное пред- представление группы (а)п. Найти кратность единичного представления группы в разложении на неприводимые компоненты представления, возникающего на пространстве кососимметрических т-контравари- антных тензоров на V (см. задачу 69.19). 72.42. Пусть х — характер группы G, / — центральная функция на G, Доказать, что / — характер группы G. 72.43. Пусть Ф — представление группы G = S3 в пространстве C(G) всех комплекснозначных функций на G: ($af)(x)=f(a-1x), f€QG), x&G, a&G, /0 G C(G) и Vo — линейная оболочка множества элементов вида Ф^/о, где a G G. Найти характер ограничения Ф на Vo для: а) /о(сг) = sgncr; б)/ои = {1' если °^ 10 в противном случае; / 1, если <те{е,A23),A32)}, 10 в противном случае; Г 1, если (те{е,A3),B3)}, ' 1о[> 1-1, если a G {A2), A23), A32)}.
IS. Представления непрерывных групп 325 72.44. Пусть Ф — комплексное представление конечной группы G на пространстве V, Ф — представление группы G на пространстве W. Обозначим через Т(Ф, Ф) пространство таких линейных отображений S из V в W, что 5 о Фр = Фр о S для всех g ? G. Доказать, что § 73. Первоначальные сведения о представлениях непрерывных групп Если не указывается противное, то все рассматриваемые в этом параграфе представления предполагаются конечномерными. 73.1. Пусть F есть поле Ж или С. Доказать, что: а) для любой матрицы A Е Mn(F) отображение Pa'- t н-» etA (t G F) является дифференцируемым матричным представлением аддитив- аддитивной группы поля F; б) всякое дифференцируемое матричное представление Р адди- аддитивной группы поля F имеет вид Рд, где А = Р;@); в) представления Ра и Рв эквивалентны тогда и только тогда, когда матрицы А и В подобны. 73.2. Доказать, что Р является матричным представлением ад- аддитивной группы поля М, и найти такую матрицу А, что Р = Рд, если: 73.3. Какие из матричных представлений группы Ж из зада- задачи 73.2 эквивалентны?
326 Гл. XV. Элементы теории представлений 73.4. В каком случае представления Ра и Р-а эквивалентны для F = С? 73.5. Найти все дифференцируемые комплексные матричные представления групп: a) W+; б) М* ; в) С* ; г) U (предполагается дифференцируемость представления по ар- аргументу комплексного числа z). 73.6. Всякое ли комплексное линейное представление группы Ъ получается ограничением на Z некоторого представления группы С ? 73.7. Найти в пространстве Сп все подпространства, инвариант- инвариантные относительно матричного представления Ра (см. задачу 73.1) в случае, когда характеристический многочлен матрицы А не имеет кратных корней. 73.8. Доказать, что матричное представление Рд, (см. зада- задачу 73.1) вполне приводимо тогда и только тогда, когда матрица А диагонализируема. 73.9. Пусть Rn — пространство однородных многочленов степе- степени п от ж, у с комплексными коэффициентами. Для и / G Rn положим (Фп(А)/)(х,у) = f(ax + cy,bx + dy). Доказать, что ограничение представления Фп на подгруп- подгруппу SU2(C) неприводимо. 73.10. Пусть G = GL2(C). Комплексную функцию на G назовем полиномиальной, если она есть многочлен от матричных элементов. а) Пусть t(A) = tr A, d(A) = det А. Доказать, что t и d — централь- центральные полиномиальные функции на G. б) Доказать, что любая центральная полиномиальная функция на G является многочленом от t и d.
§ 73. Представления непрерывных групп 327 в) Пусть А = (dij) Е G и R = С[ж,?/]. Обозначим через Ф(-А) гомо- гомоморфизм R ^ R, для которого Доказать, что Ф — представление группы G в пространстве R и подпространства однородных многочленов степени п инвариантны относительно представления Ф. г) Доказать, что для A Е SL2(C) ограничение Ф(-А) на под- подпространство Rn совпадает с оператором Фп(А) из задачи 73.9. д) Пусть Хп — характер ограничения Ф|дта. Доказать, что Хп =tXn-l -dXn-2- 73.11. Пусть 1Ы — пространство комплексных матриц вида х=( 1 w_ у —w z со структурой четырехмерного евклидова пространства (X, X) = = det X и Ео = {X е Щ tr X = 0}. Доказать, что: а) отображение Р: SU2 —> GL(Hq), определенное формулой Р(А): X ^ АХА~\ является (вещественным) линейным представлением группы SU2, Кег Р = =Ь.Е, а Im P состоит из всех собственных ортогональных пре- преобразований пространства Hq; б) отображение R : SU2 x SU2 —> GL(H), определенное формулой R(A, В): X н->- АХВ~Х, является (вещественным) линейным представ- представлением группы SU2 х SU2, Ker R = {(Е, Е), (-Е, -Е)}, а Im R состо- состоит из всех собственных ортогональных преобразований пространст- пространства Но; в) комплексификация линейного представления Р изоморфна ограничению представления Ф2 группы SL2 из задачи 73.9 на под- подгруппу SU2.
328 Гл. XV. Элементы теории представлений 73.12. Пусть G — топологическая связная разрешимая группа и р — непрерывный гомоморфизм G в группу невырожденных ли- линейных операторов в конечномерном комплексном пространстве V. Доказать, что: а) в У существует ненулевой вектор, являющийся собственным для всех операторов p(g), д G G; б) в У существует такой базис ei,... ,еп, что все матрицы р(д), д Е G, в этом базисе верхнетреугольные. 73.13. Пусть F — алгебраически замкнутое поле и G — разреши- разрешимая группа невырожденных линейных операторов в конечномерном векторном пространстве V над F. Доказать, что существуют такие базис е\,..., еп в V и нормальная подгруппа N в G конечного индек- индекса (зависящего только от п), что N состоит из верхнетреугольных матриц.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 1.3. Использовать индукцию для (J г = 1 1.4. Провести индукцию по п. 1.5. 22 . Пусть Xi,...,Xn — данные подмножества и Xf обознача- обозначает Х{ или Х^. Тогда всякое образованное из {Х{} подмножество может быть записано в виде (ег,...,еп)ее где е — некоторое подмножество во множестве всех последовательностей (si,..., еп). Во множестве X всех подмножеств из п элементов постро- построить п подмножеств Х{ таких, что любой элемент из X можно записать в виде XI1 П...П Х?пп. 2.2. Представить X в виде (У U A) U (X \ (У U А)), где А счётно и AC\Y = 0, X \Y в виде A U (X \ (У U А)) и использовать существование биекции У U i Ч i. 2.4. 2П. 2.5. а)|Ух|=пт. б) n(n-l)...(n-m + l). в) п! при т = п, 0 при т ф п. г)„"-п(п-1Г + ... + (-1)'^(п-0" + ... + (-1)-1(п:1 Использовать задачу 1.3. 2.6. n(n-l)...(n-m + l)/m!. 2.7. 2П. 2.9. n!/(mi!... т&!). 2.11. з), и), к) Индукция по п. 2.12. ИНДУКЦИЯ ПО 777-.
330 Ответы и указания 2.13. [ '" ). Установить биекцию между множеством указан- к — 1 ных разбиений и множеством подмножеств из ?; —1 элементов во множестве из п + к — 1 элементов. Использовать задачу 1.3. <\ 2 3 4 5\ /12 3 4 4 5/ И VI 2 5 4 3; 3.1. a) '12 3 4 5 ^65321 '12 3 4 5 ^54312 3.2. а) A53)B47). 1 2 3 1 3 5 2 3 4 1 6 5 б) A362)D7). в) A362745). A472365). д) A2)C4) ... Bп - 1, 2п). е) A п + 1)B п + 2)... (п 2п). 3.3. а) 2 3 3 4 6 2 3 4. 4 5 6. 3.4. а) A642573). 3.5. а) 5. б) 8. 4 5 6 7 5 1 . 2п - 1 2п 1 2 б) B6537). б) 4 5 2 4 13. г) 14. д) п(п — 1) е) п(п+ ж) (п - к + l)(fc - 1). з) (к - 1)(п - fc) + ^- 3.6. а) Нечётная. б) Чётная. в) Чётная. г) Нечётная. тЛ ( Л\[(п+2)/2} (Л ( 1\[(п+1)/4] w\ / i\[ti/2] ^^ / 1 \[гг/2][(гг + 1)/2] 3.7. а), б) Чётная при А; нечётном. в) Чётная. г) Чётная при к чётном. д) Чётная при р + q + г + s чётном. 3.8. [ '• | - к. 3.9. а) к — 1. в) п — ?;. 2 ... п — 1 ... 3.10. Если пара чисел отлична от пар (q, q +1) и (g + l, образует инверсию в обоих последовательностях одновременно. 3.11. Воспользоваться задачей 3.10. 3.12. Показать, что если а = (ii,..., г&), то то она 3.13. Если г, j входят в разные циклы, то эти циклы сливаются в один; если г, j входят в один цикл, то он распадается на два цикла, остальные циклы не изменяются; декремент увеличивается или уменьшается на 1.
Ответы и указания 331 3.17. Если д — другой многочлен того же типа (при другом выборе двучленов), то <Jf/ag = f/g; затем использовать Yli> \хз ~ ж0- 3.18. а) Если граф связный, то в виде указанных произведений пред- представляются транспозиции A2),..., (In), а если несвязный, то только циклы, которые содержатся в одной из компонент связности. б) Воспользоваться утверждением а). 3.19. Рассмотрим ряд последовательностей, начинающийся с 1,2,... ..., п, полученный следующим образом: сначала 1 переводим последова- последовательно на 1-е, 2-е, ..., n-е место; затем 2 переводим последовательно на все места до (п — 1)-го и т.д. На каждом шаге число инверсий увеличивается на 1 и достигает числа I 1 в последней последовательности п, п — 1,..., 1. п! /п I п! /п\ 3.20. — I I. Воспользоваться задачей 3.8. 2 \zj 3.21. a) sgn? = (sgncr)n(sgnr)m. Лексикографически упорядочить X х Y и подсчитать число инверсий. б) Длины циклов равны HOK(fc,/j), каждый входит НОД(&г,(г) раз (г = 1,..., s; j = 1,..., t); рассмотреть сначала случай, когда сами а, г являются циклами. Заметить, что в этом случае чётность ? совпадает с чётностью |Х| + \Y\. 3.22. в) Воспользоваться задачей 3.12. 3.23. Разложить а в произведение независимых циклов. Интерпрети- Интерпретируя каждый цикл длины не меньше трех как поворот правильного n-угольника, представить поворот как произведение двух симметрии. 4.2. а) и(п) = 3 • Т - 5. б) и(п) = (-1)пBп - 1). 4.3. Индукция по п. Л.п + 1 _ 1 4.4. а) п-1. б)-п2 + 1. в) 2п+2(п-2) + 6. о 4.5. и(п) = —= 4.6 — 4.10. Индукция по п. 4.11. а)—д) Индукция по п. е) Вытекает из д). ж) Вытекает из д), е) и алгоритма Евклида. 4.12. Индукция по п. 4.13. Если m — такое целое число, что rm E Z, то [/mBcosr7r) = О по 4.12, б). По 4.12, б) и 28.1 число 2cosr7r целое. Так как |cosr7r| ^ 1, то 2cosr7r = 0,±1,±2. п(п -\- \\ 4.14. — + 1. Добавление n-й прямой увеличивает число облас- областей на п.
332 Ответы и указания 5.1. а) п(п + 1)Bп + 1)/6; рассмотреть сумму (О + IK + A + IK + ... + ((п - 1) + IK. б) п2(п + 1J/4. 5.2. См. указание к 5.1. 5.3. Пусть Т — множество, состоящее из пар (а, г), где а Е S a(i) = г; тогда ^iv(,7r+i= y, N(°r = it E № + ir- a?Sn (сг,г)еТ г = 1 cr'eSn_i 5.4. Использовать задачу 2.7 и 2.12, а). 5.5. Использовать задачу 5.4, предварительно представив в виде сум- суммы выражение одной функции через другую. 5.6. Использовать задачу 5.5. 6.1. A,4,-7,7). 6.2. а) @,1,2,-2). б) A,2,3,4). 6.3. а) Да. б) Нет. в) Да. г) Нет. д) Нет. е) Да. 6.7. а) Нет. б) Нет. в) Нет. г) Нет. д) Да при чётном к. е) Да. 6.8. Нет. 6.9. а)Л = 15. б) Л — любое число. в) Л — любое число. г) Л ф 12. д) Такого Л не существует. 6.10. a) (ai,a2), (а2,аз). б) (ai,a3), (A2,A4), (ai,a4), (а2,аз). в) Любые два вектора образуют базис. г) @1,02,04), @2,03,04). д) (ai5a2,a4), (ai,02,05), @2,03,04), @2,03,05). 6.11. Если система линейно независима или получается из линейно независимой добавлением нулевых векторов. 6.12. а) (oi, 02,04,05), 03 = 01 — 02. б) @1,02,03), O4 = 17О1 + 12О2 — 26Оз- в) (oi, 02, 03), 04 = 5oi + 2o2 — 2оз, Об = —oi + 02 + 03. г) (oi, 02), 03=01+ З02, 04 = 2oi — 02. д) (oi,o2,o3). е) (oi, 02), 03 = 2oi — 02. ж) (oi, 02), 03 = —01 + 02, 04 = —5oi + 4o2. з) @1, 02, 03), 04 = 01 + 02 — 03. и) (oi, 02, 04), 03 = 2oi — 02. к) (oi, 02), 03 = З01 — 02, 04 = oi — 02. л) (oi, 02, 03), 04 = oi — 02 — 03.
Ответы и указания 333 6.13. Любые к — 1 различных векторов образуют базис. 6.18. а), б) р = 3. 7.1. а) 2. б), в), д) 3. г), е), к) 4. ж), з), и) 5. л) п при нечётном п; п — 1 при чётном п. 7.2. а) 1 при Л = 1, 2 при Л = -1 и 3 при Л ф ±1. б) 2 при Л = 1, 3 при А = 2 и А = 3, 4в остальных случаях. в) 2 при Л = 0, 3 при Л ф 0. г) 2 при Л = 3, 3 при Л ф 3. д) 3 при Л = ±1 или ±2, 4 при Л / =Ы или ±2. е) 3, если Л = 0, —2, —4 и 4 в остальных случаях. ж) п при Л = 1,2,...,п, ип+1 при остальных значениях Л. з) п при Л = 1/2 ип + 1 при Л / 1/2. 7.4. Система строк произведения матриц линейно выражается через систему строк второй матрицы. 7.6. Система строк суммы матриц линейно выражается через объеди- объединение систем строк этих матриц. 7.7. Если, например, система строк матрицы ранга 2 есть (а, 6, аа + /36, jo, + 6Ь), то А есть сумма матриц со строками (а, 0, аа, ja) и @,6,0, /3b,Sb); далее использовать 7.6. 7.9. 0 при г ^ п — 2; 1 при г = п — 1; п при г = п. 7.10. Воспользоваться элементарными преобразованиями. 7.15. Использовать приведение к ступенчатому виду с помощью эле- элементарных преобразований II типа со строками. 7.16. Индукция по числу столбцов. 7.19. Индукция по числу строк. Для доказательства единственности рассмотреть базис системы столбцов с наименьшими возможными номе- номерами. 8.1. а) хз = Oi - 9ж2 - 2)/11, х4 = (-5ал + х2 + 10)/11; @,1, -1, 0). б) х3 = --^-ж4, xi = -Х2 + ттж4 - -; ( - -,0,0,О). в) Система несовместна. г) хз = 1 - 4ж1 - Зж2, ж4 = 1, A, -1, 0,1). д) хз = 6 + 10ж1 - 15ж2; ж4 = -7 - 12ал + 18ж2, A,1,1, -1). е) Ж1 = 3, Х2 = 0, жз = —5, Х4 = 11. ж) XI = 3, Ж2 = 2, Жз = 1. з) жз = 13, х5 = -34, ж4 = 19 - Зж1 - 2ж2. 8.2. а) При Л = 0 система несовместна; при Л ф 0 1 9Л-16 8 4-А 3
334 Ответы и указания б) При А / О система несовместна; при Л = О xi = --G + 19ж3 + 7ж4), х2 = --C + 13Ж1 + 5ж4). в) При Л = 1 система несовместна, при А ф 1 43-8Л 9 5 ж3 5 Ж Ж Ж + Ж 3 - оЖ3, Ж2 = — + —, Ж4 = 1 8-8Л 8 °' ' 4-4А 4 ' * А-Г г) При А = 8 Ж2 = 4+2ж1 — 2ж4, жз = 3 —2ж4; при А ф 8 решение Ж2 = 4—2ж4, 3 д) При А = 8ж3 = -1, ж4 = 2-Ж1--ж2; при А / 8 ж2 = 4-2/Зал, ж3 = -1, у 2 ' Ж4 =0. е) При А ф 1, —2 х\ = Ж2 = жз = 1/(А + 2); при А=1ж1 = 1— Ж2— жз; при А = —2 система несовместна. ж) При А ф 1, —3 xi = Ж2 = жз = Ж4 = 1/(А + 3); при А = 1ж1 = 1 — Ж2 — — жз — Ж4; при А = —3 система несовместна. з) При А ф 0, -3 2 - А2 2А - 1 А3 + ЗА2 - А - 1 Ж1~А(А + 3)' Ж2~А(А + 3)' Жз~ А(А + 3) ; при А = 0 и А = —3 система несовместна. и) При А /0,-3 xi = 2-А2, ж2 = 2А-1, ж3 = А3 + 2А2-А-1; при А = 0 Х\ = —Ж2 — Жз; При А = —3 Х\ = Ж2 = Жз- 8.3. а) ?B,3,1I. б) Множество векторов вида ?@, 0,2,-1) + а?A3, 0, 9,-1) + /3?@, 13,-27,3). в) Множество векторов вида *B,1, —1, 0,1) + а*A, 0, 4, 0, — 1) + + /3?@,1,-8,0,2). г) Множество векторов вида ?B, -2, 3, -1)+а?(-13, 8, -6, 7). д) 0- е) Множество векторов вида *A, 2, 22/5, 8/5) + а?E, 0, -17, -8) + + /3^@,5,34,16). ж) Множество векторов вида ?(-3,1, 3/2,-1/2,-5/2) + а?A, 0,-2, -4,-4)+^@,1,-1,-2,-2). з) ?C,0,-5,11). 8.4. a) xi = 8ж3 - 7ж4, ж2 = -6ж3 + 5ж4; (?(8, -6,1, 0), ?(-7, 5, 0,1)). б) Система имеет только нулевое решение. 1В ответах символ tu обозначает вектор-столбец, полученный транспонирова- транспонированием строки и.
Ответы и указания 335 В) Х1=Х4= Х5, Х2=Х4~ Хб, Х3 = ХА] (*A, 1, 1, 1, 0, 0), *(-1, О, О, О, 1, О), *(О,-1,0,0,0,1)). г) Если п = 3fe или п = 3fe + l, то система имеет только нулевое решение; если п = 3k + 2, то общее решение Хзг = 0, ЖЗг+1 = —Ж„, ЖЗг+2 = In (i = l,...,fe); (*(-1,1,0,-1,1,0,. ...0,-1,1)). 8.5. а) ('G,-5,0,2),'(-7,5,1,0)). б) («(-9,3,4,0,0), '(-3,1,0,2,0), '(-2,1,0,0,1)). в) Ядро состоит из нулевого вектора. г) (*(-9,-3,11, 0,0), *C,1,0,11,0), Ч-Ю,4,0,0,11)). д) (*@,1,3,0,0),*@,0,2,0,1)). е) (*(-3, 2,1,0,0), ?(-5,3,0,0,1)). 8.6. а) Х1 =х2 = 1. б) хз = 3, х2 = -1. в) xi = cos(a + /3), х2 = sin(a + /3). г) ?(т,~т, т). д) х\ = 3, Ж2 = 2, жз = 1. е) Ж1 = 3, Х2 = —2, жз = 2. 8.7. ж2 + Зж + 4. 8.8. ж3 + Зж2+4ж + 5. 8.9. -ж4-ж + 1. 8.10. а) ?B,4,2). б) ?A5,2,4). 8.11. Получить формулы Крамера Axi = A^ и обе части умножить на число и такое, что Аи + mv = 1. 8.12. Если с/ = aij и ajfc = dq + г @ < г < |с?|), то элементарным пре- преобразованием можно перейти к матрице с элементом г < |с?|; поэтому все элементы строки г и столбца j делятся на с/, и матрицу можно привести к виду 5, где 6ц = с/, feii = bfci = 0; если b2 = dq -\- s @ ^ s < \d\), то, вычтя из первой строки вторую, а затем прибавив ко второму столбцу первый, умноженный на д, получим матрицу с элементом — s, т.е. s = 0. 8.13. Использовать задачу 8.12 и её решение. 8.14. Использовать теорему Крамера. Обратное утверждение неверно: система из одного уравнения 2х = 2 является определенной над кольцом целых чисел и неопределённой по модулю 2. 8.15. Неверно: система из одного уравнения 4ж = 2 не имеет целых решений, но совместна по модулю любого простого числа р. 8.16. а) Единственное решение по модулю р ф 3; х\ = —1 + Ж2 +жз при р = 3. б) Единственное решение по модулю р фЪ\ по модулю 3 система несов- несовместна.
336 Ответы и указания в) Единственное решение по модулю р ф 2; по модулю р = 2 система несовместна. 8.19. Использовать результат предыдущей задачи. 8.23. Воспользоваться результатами задач 8.20-8.22. 8.24. а) {?A-3/с-2/,2/М)| k,leZ}. б) {*(&, 0, llBJfe - 1), -8Bfc -l))\ke Z}. 8.25. Использовать задачу 8.19. 8.26. Для столбца X через \\X\\ обозначим максимум модулей коор- координат. Доказать, что для любых натуральных чисел n, m справедливо не- неравенство \\Хп — Хт\\ < q\\Xn-i — Xm_i|| где 0 < q < 1. Отсюда следует сходимость последовательности Хп к решению уравнения АХ = Ъ. 9.1. а) -16. б) 0. в) 1. г) sin(a-/3). д) 0. е) 0. ж) a2+62+c2+d2. 9.2. а) -8. б) -50. в) 16. г) 0. д) ЗаЬс -as -bs - с3. е) 0. ж) sin(/3 - 7) + sinG - а) + sin(a - /3). з) -2. и) 0. к) Згл/3. 10.1. а) Входит со знаком плюс, б) Входит со знаком минус, в) Не входит. 10.2. г = 2, j = 3, к = 2. 10.3. 2ж4-5ж3 + ... 10.4. а) аца22 ... апп. б) (-I)n(n)/2aina2,n-i ... апь в) abed. r) afrcd. д) 0. 10.6. 1. 11.1. Умножится на (-1)п. б) Не изменится. в) Не изменится; преобразование можно заменить двумя симметриями относительно горизонтальной и вертикальной средних линий и симметрией относительно главной диагонали. г) Не изменится. д) Умножится на (-l)"^)/2. 11.2. а) Умножится на (-lO1. б) Умножится на (-i)^(^-1)/2. 11.3. а), б) Не изменится. в) Обратится в нуль. г) Определи- Определитель чётного порядка обратится в 0; нечётного порядка удвоится. 11.4. Транспонировать определитель и из каждой строки вынести —1 за знак определителя. 11.5. Использовать, что, например, 20604 = 2 • 104 + 6 • 102 + 4. 11.6. 0, так как одна строка равна полусумме двух других. 11.7. 0.
Ответы и указания 337 11.10. а) а\а2 ... ап + (а\а2 • • • a>n-i разложить определитель на сумму двух слагаемых, пользуясь последней строкой. б) хп + (ai + ...+an) xxn-\ в) Dn =0 при п > 2, Di = 1 + xiyi, D2 = (xi - x2)(yi - 2/2). г) 0 при п > 1; разложить на сумму определителей, используя каждый из столбцов. д) l + Er=i(a^ + ^) + Ei<i<fc<n(a^ ~a*0 x (bk ~ь&, представить в виде суммы двух определителей, пользуясь первой строкой; е) 1 + xiyi + ... + хпуп. 12.1. 8а + 156 + 12с - 19с/. 12.2. 2a-8b + c + bd. 12.3. а) жп + (—1)п+1уп] разложить по первому столбцу. б) a0xix2X3 • • .Xn+aiyix2X3 .. .xn+a2yiy2X3 ...хп + .. . + апу1У2Уз •• -Уп] разложить по первой строке и использовать теорему об определителе с уг- углом нулей или разложить по последнему столбцу и составить рекуррентное соотношение. в) аохп + а\хп~1 + ... + ап\ разложить по первому столбцу. г) п\(аохп + сцх71'1 + ... + ап). Д) ж'м± (х- пхп -1 1J хп п X - + - 1 1 1 ж) а\а2 .. .ап—а\а2 ... ап-\ +а\а2 ... an_2 — ... + (—l)n~1ai + (—l)n; раз- разложить по первому столбцу или разложить по последнему столбцу, в пер- первом слагаемом перенести последнюю строку на первое место и составить рекуррентное соотношение. з) YYi = i(aia2n + l-i —bib2n + i-i). /11 1 и) а\а2 .. .ап[ ао ... 12.4. Доказать, что Dn = Dn-i + Dn-2. 13.1. а) 301. б) -153. в) 1932. г) -336. д) —7497; получить угол из нулей. е) 10. ж) —18016. з) 1. и) -2639. к) |f. л) 1. м)-21. н) 60. 81 о) 78. п) -924. р) 800. с) 301. 13.2. а) п\. б) (—1)п~1п\; последнюю строчку (или последний столбец) вычесть из всех остальных. в) (-1)«(™-1)/2Ь1Ь2...б„. 22 А.И. Кострикин
338 Ответы и указания г) х\{х2 — «12) • (хз — «2з) • • • (хп — Cin-i,n)] из каждой строки, начиная с последней, вычесть предыдущую. д) (—1)п^п~1>2щ из каждого столбца, начиная с последнего, вычесть предыдущий. ж) (—1)п(уП+1^2(п + 1)п х; прибавить все столбцы к первому. з) [(а + (п - Щ(а - h)*1'1. и) Ь\ ...Ьте. _ г (п_ 1) ] 13.3. (—nh)n а + -h\; из каждой строки от 1-й до (п — 1)-й вычесть следующую и полученные п — 1 строки сложить. 14.1. а)п+1. бJп+1-1. в)9-2п+1. г) 5 •2п~1 -4-3n~1. д) 2n+1 -1. е) при а ф /3; и (п + l)an при а = /3; а — р К) ni<i<fc<n + l(a^fc — CLkbi). л) (Еж«1Жа2--^ап_5Пп^>^1(ж* — ж/е), где сумма берется по всем сочетаниям п — s чисел ai,..., an-s из чисел 1, 2,..., п; приписать строку 1, z,z2,... ,zs~1,zs,zs+1,... ,zn и столбец b(zs ,х{,... ,ж^), полученный опре- определитель вычислить двумя способами: разложением по приписанной строке и как определитель Вандермонда и сравнить коэффициенты при zs. м) \2X\X2 • • • Жп — (Ж1 — 1)(Ж2~ 1) • • • (жте —1) Пгг>г>/г>1(Ж^~Ж/г)' пРиПИСатЬ первую строку 1,0,0,..., О и первый столбец из единиц, первый столбец вычесть из остальных, единицу в левом верхнем углу представить в виде 2 — 1 и представить определитель в виде разности двух определителей, пользуясь первой строкой. н) (—1)п~1(п — 1)хп~2 х -у 15.1. (a + b + с -\- d ) ; умножить данную матрицу на транспони- транспонированную. Найти коэффициент при а4 в развернутом выражении данного определителя. 15.2. а) 0, если п > 2, sin(ai — аг) sin(/3i — /32) при п = 2. б) Пп?г>^(а*-а*)(Ь*-М- в) (м •••(:;) п^г>^о(^-а0(^-м- Г) Un>i>k>l(Xi-XkJ- 15.3. Умножить на определитель Вандермонда. 15.4. а) (а + Ъ + с + d)(a — Ъ + с — d)(a + Ы — с — di)(a — Ы — с + di) = = аА -ЪА+сА -dA - 2а2 с2 + 262d2 - 4a2bd + 462ac - 4с2Ы + 4d2ac; см. зада-
Ответы и указания 339 чу 15.3. б) A — ап)п~1; см. задачу 15.3 и равенство A —ае)A —аег) • • • A — аеп) = = 1-ап. 16.1. а) 2; показать, что все три члена определителя, входящие в ра- развернутое выражение со знаком плюс, не могут равняться 1, и рассмотреть определитель с нулем на главной диагонали и остальными единицами. б) 4; в развернутом выражении определителя рассмотреть произведе- произведение членов со знаком плюс и членов со знаком минус и вычислить опреде- определитель с элементами главной диагонали —1 и остальными единицами. 16.2. Воспользоваться развернутым выражением. 16.4. Применить теорему об умножении определителей к произведе- произведению АА. 16.5. Разложить det С в сумму пт определителей, пользуясь столб- столбцами. В каждом слагаемом из j-ro столбца вынести bjkr Показать, что det С = Sfc1,...,fcm=i ^lfci • • •^rnkmAk1...km- Заметить, что при т> п среди чисел ki,...,km всегда есть равные и Аи-^...km = 0. Второй способ: при т > п матрицы А и В дополнить до квадратных при помощи т — п столб- столбцов, состоящих из 0, и применить теорему об умножении определителей. 16.6. 16.7. Использовать задачу 16.5. 16.8. Разложить по последней строке. 16.9. Сначала доказать, что ац + х ... а\п + ~"А ¦U 5 затем в левой части равенства и в первом слагаемом правой части вычесть первую строку из всех остальных и положить х = 1. 16.11. Выполнить над каждой из к групп по п строк определите- определителя D преобразования, приводящие определитель А к треугольному виду, и разложить полученный определитель по строкам с номерами п, 2п,... ,кп по теореме Лапласа. 16.12. а) Сумма всевозможных произведений ai,..., ап, одно из кото- которых содержит все элементы, а другие получаются из него выбрасыванием одной или нескольких сомножителей с соседними номерами (если выброше- выброшены все сомножители, считаем член равным 1); использовать рекуррентное соотношение {а\ ... ап) = ап(а\ ... an-i) + (ai • • • а>п-2)- б) (ai<32 ... ап) = в) Применить метод математической индукции. 16.13. В случае линейной зависимости строк матрицы (C\D) элемен- элементарными преобразованиями строк перевести её к матрице с нулевой стро- строкой и эти же элементарные преобразования применить к столбцам мат- 22*
340 Ответы и указания риц lD и ЬС\ это даст матрицу, отличающуюся от AlD — В1 С невырож- невырожденным множителем; в случае, когда Cni ¦пгг П31 /0, = n, is (A B\ ( рассмотреть произведение \ „ п 1 • I tn tT ]-> гДе (K\L) = /0 ... c'lh ... c'lik ... 0 ... d'l31 ... 0 ... d'ln ... \0 0 ... d' 0 ... d' 0> di lii • • • Cnii \ /С1Н I — матрица, обратная к I ijt • • • dnjl) \cnii • • • d 16.14. Рассмотреть произведение ( ~ n ) ' ' л ^ ' или соот" ?> 0 0 -С С Dl Л-С D ветственно 16.15. (с-а)п- Воспользоваться тем, что сЕ А А сЕ п-2 (c-a)n 4 + ... x n-2 2 С2Е-А2\ = \сЕ - А\\сЕ + А\. 16.16. В определителе Dn+2 матрицы, полученной из исходной припи- приписыванием снизу строки 1, ж,..., жп+1, вычесть из каждого столбца преды- предыдущий, показать, что Dn+2 = (х — l)Dn_i, и разложить Dn+2 по последней строке. 16.17. Разложив D2k+i по последнему столбцу, показать, что чис- числа —Di,D2,—Ds,D4,... удовлетворяют той же системе уравнений, что и коэффициенты разложения х ех - 1 (использовать тождество = 1 + bix + b2x2 + Ъзх3 + ...
Ответы и указания 341 , 1 х заметить, что и\ = и что — 1 Н—х — чётная функция. 16.18. Каждый из определителей возвести в квадрат. 16.19. а), б) Рп =Qn = 1; показать, что Qn = Р%. 16.20. Пользуясь формулой Гаусса п = ^2d\n <p(d), показать, что где pij = 1, если i делит j, и pij = 0, если г не делит j; разложить опреде- определитель на сумму пп слагаемых. 16.21. Проверить, что А = det ( — является целочисленным многочленом от xi,..., хп, г/i,..., уп, кососиммет- ричным по Ж1,..., хп и по г/i,..., г/те. Поэтому А = 6A(xi,..., жп)А(гу1,..., уп), где 6 — многочлен от xi,..., уп. Сравнивая степень А и показать, что 6 = 1. 17.1. п + ш б) cos(a + /3) sin(a ж) 6 14 -2 10 -19 17 3 3 0 0 3 3 0 0 0 0-2 2 0 0 2-2 /-1 -4 -1 17.2. a) 2 9-7 V 13 -9 15 /9 0 0\ 17.3. a) I 0 9 0 I . \0 0 9/ 2 4 0 0 3 7 0 0 0 0 0 7 0 0-23
342 Ответы и указания применить метод математической в) ; заметить, что первая и третья матрицы взаимно обратные, и записать степени в виде п сомножителей. /1 4 0\ /18 18 18\ 17.5. а) 0 1 0 . б) 18 18 18 . \1 4 О/ V18 18 18/ ^0 ?Л 17.7. Я* = о о , где Е — единичная матрица размера п — к, ес- если к ^ п — 1, и Нк = 0 при к ^ п. 17.8. Представить /(ж) в виде и / в виде I = ХЕ + Я, где 17.10. а) 17.11. а) б) /О О о 3 -4 2 -4 -1/2 1 О 1 -1 1 -2 1/3 -1/2 1 к=о из задачи 17.7. Воспользоваться задачей 17.7. I1 l б) О -1/4 1/3 -1/2 0 0 0 0 0 ... 1 \о о о о о ... о / 17.14. T,kaJkEik. 17.15. Y,kakiEkj. 17.16. 17.17. Воспользоваться задачами 17.14 и 17.15. 17.18. Показать, что перестановочность матрицы А с Е -\- Eij, г ф j, эквивалентна перестановочности А с Eij. Воспользоваться задачей 17.16. 17.19. А = 0; после умножения А на матричную единицу Eji получится матрица, у которой на главной диагонали стоит элемент ац, а остальные
Ответы и указания 343 элементы — нули. 17.21. Использовать задачу 17.20. 17.22. При Л = 0; использовать задачу 17.20. 17.24. ti[A, В] =0. Вычислить квадрат матрицы с нулевым следом. 17 25 I \ у 17.26. Найти элементы главной диагонали матриц А1 А ж 1А А. 17.27. Пусть В = (Ьц), где bij = 0 при i > j. По условию bij = 0 при г > j, Ьгг / 0 Для всех г и bubij + ... + ЬцЬц = 0 при j ^ i + к. Ин- Индукцией по г показать, что Ьц = 0. 17.28. Заметить, что Ец = [?^ij, Ejj] при г / j, а матрица diag(ai,... ..., ап) с нулевым следом равна Х^Г=2 аг(^и — Ец) = 2Г=2 a4-^*i5 ^i«]- 17.29. A = dia,g(hi,...,hn), В = /о о о hi hi 0\ 0 0 0 О о; где X — произвольная матрица порядка 2. где hk = (п - 2А; + 1)/2.
344 Ответы и указания 1 7 5 7 -5 1  \ 1 I 7 / I о) \ ' 1 4 , -6 1 -2 2 -2 4 3 18.4. Воспользоваться теоремой Кронекера-Капелли. 18.5. Элементарными преобразованиями строк расширенной матри- матрицы (А|5) привести А к ступенчатому виду. 18.6. Указать матрицу В, считая А ступенчатой. 18.8. а) 0 0 10 0 0 0 1/3 0 1/2 0 0 -10 0 0 1-1 1 -38 41 -34 27 -29 24 и) -7/3 2 -1/3 5/3 -1 -1/3 -2 1 1
Ответы и указания 345 -6 -26 17 5 20 -13 0 2-1 18.10. 18.11. а) 1 -1 18.13. а), б) ±1. 18.14. ±1. 18.15. Использовать присоединенную матрицу А. t3 -1-Л /-1 + * о 1-Л 2 • б) 0 2t2 -2t . ' \-\ + t -It 1 + t/ 18.16. б) Заметить, что если det A = 0, то система уравнений EJ=i aijxj = 0 имеет ненулевое решение. 18.17. Положив С = (Е+АВУ1, доказать, что (Е-ВСА)(Е-\-ВА) = Е. 18.18. Сравнить ранги матриц АВ и В А с рангами матриц А и В. 18.19. Использовать 18.4. 18.20. Использовать связь между умножением на элементарные мат- матрицы и элементарными преобразованиями. 18.22. Пусть А = (dij), В = (bij) — матрицы порядка п с коэффици- коэффициентами — многочленами от 2п неизвестных aij, bij, 1 ^ г, j ^ п. Тогда АА = (det A)A~1. Воспользоваться задачей 18.21 для доказательства пер- первого равенства. Вместо неизвестных a%j, b%j можно подставить любые зна- значения. Аналогично доказывать остальные равенства. 18.23. Воспользоваться задачей 11.10, е). 18.24. Пусть В{ — строка длины п— 1, получающаяся из В выбрасыва- выбрасыванием г-координаты. Доказать, что С% В{ф — 1 для некоторого г. Пользуясь задачей 18.22 указать минор порядка п — 1, отличной от нуля. 0\ / 1 0 \ /1 19-2- а) \ л 1 / \ о _3 / \ о б) (E- х(Е + Eis)(E + 2?^2з); использовать задачу 17.13. 14 9 16 \ /123 , 1 6 15 28 2 6 10 19.3. а) | г 4 12 32 . б) з 6 12 1234/ \444
346 Ответы и указания -5 -10 -15 0 2 3 2 1 3 5 4 1 4 7 8 1 1 2 3 -2 2 5 6 -5 3 8 10 -8 4 11 16 11 в) 19.6. Воспользоваться задачей 19.4. 19.8. Если матрицы перестановочны. 19.9. Для построения матрицы Y использовать матрицы U, V такие, что UXV = Ец + ... + Err- 19.12. Верно при п ^ 3. 19.14. {а#1,п-1 | а <Е К}. 19.15. Воспользоваться формулой бинома из задачи17.6; неверно. 19.17. Если Ап = 0, то det A = 0; далее использовать задачу 18.2. 19.19. Воспользоваться формулой суммы бесконечной геометричес- геометрической прогрессии. 19.20. Использовать задачу 19.19. 19.22. См. задачи 19.17 и 19.19. 19.23. Неверно. 19.27. Использовать вычисление обратной матрицы с помощью эле- элементарных преобразований. 19.28. Если det(C?>) ф 0, то В связи с этой задачей см.: Т.Н. Lehagan // Commun. Algebra. — 1981. — V. 9, № 3. — P. 267-269. 20.1. аI + 18г. б) 4г. в) 7 + 17г. г) 10 - 11г. д) 14 - 5г. еM + г. ж)у--г. з) - - -г. и) 4. к) 52г. л) 2. м) 1. н) -1. 20.2. %п = 1 при п = 4к, %п = г при п = 4к + 1, гп = -1 при n = 4A; + 2, гп = —г при n = 4A; + 3, где А; — целое число; г77 = г; г98 = —1, г~57 = —г. 20.4. a) ^i = г, ^2 = 1 + г. б) zi = 2, z2 = 1 - г. в) 0. г) zi = B + г)^2 - г. д) ж = з - Цг, у = —3 — 9г, 2? = 1 — 7г. 20.5. а) ж = 2, у = -3. б) ж = 3, у = -5. 1 /3 20.8. а) 0, 1, -- ± г^-. б) 0, ±1, ±г. 20.9. Применить индукцию по числу операций.
Ответы и указания 347 20.10. Применить предыдущую задачу. /2 20.11. а)± —A+г). б) ±B-г). в) ±C - 2г). r) zi = 1-2г, z2 = 3г. д) zi = 5-2г, z2 = 2г. е) 2i = 5-Зг, ?2 = 2 + 21.1. a) 5(cosO + zsinO). б) cos ^ +zsin ^. в) 2 (cos тг + г sin тт). г) 3 ( cos ( J + г sin ( J J. д) л/2 fcos -+zsin-V e) л/2 (cos (--J +isin (--)). ч л / тг . . тт\ . ^ f 2тг ..2тг\ ж) 2 ( cos h г sin — J. з) 2 I cos \- г sm — ). и) 2 (cos (-f) +-in (-f)). к) 2 (cos (-f) +.-rin (-§))• л) 2 cos - + г sm - ). м) 2 cos — + г sm -— . p) 2л/2 + л/3 x (^cos ^ + г sin ^ J или (л/б + л/2) (^cos ^ + г sin ^ J ; для получения второго выражения для модуля применить формулу 2 V 2 с) 2(л/2 + л/3)х (cos ( --^ ) +zsin ( --? ) ). т) cos(-a)+zsin(-a). у) cos (IT ~~ а) ~*~ * s^n ( о ~~ а) • Ф) cos 2« + «sin 2a. х) 2 cos -^ fcos ^ + г sin ^-J. ц) cos(^ — ф) + zsin(<^ — ^). 21.2. а) 250. б) 2150. в) -230. г)B + л/3I2. д) -212B - л/3N. е) -26. ж) 215г. з)-64. 21.3. а) 3 + 4г. б) 5 - 12г. 21.5. Использовать задачу 21.4. 21.6. Равенство получится, если либо arg^i = arg^2, либо хотя бы одно из данных чисел равно нулю; выяснить геометрический смысл числа min(|2i|,|22|)|arg2i - arg2i|. 21.7. Свести задачи к теореме о сумме квадратов длин диагоналей параллелограмма. 21.10. Доказать, что z = cos cp ± i sin ср.
348 Ответы и указания 21.11. а) 4 cos3 ж sin ж — 4 cos ж sin3 ж; вычислить (cos ж+ г sin жL по фор- формулам Муавра и бинома Ньютона. б) cos4 ж — 6 cos2 ж sin2 ж + sin4 ж. в) 5 cos4 ж sin ж — 10 cos2 ж sin3 ж + sin5 ж. г) cos5 ж — 10 cos3 ж sin2 ж + 5 cos ж sin4 ж. 21.13. а) -(со8 4ж—4со8 2ж+3); если z = С08ж+г8тж, то sin ж = 2г ' б) -(со8 4ж + 4сов2ж + 3). в) —(втбж — бвтЗж + 10 sin ж). 8 16 г) — (cos 5ж + 5 cos Зж + 10 cos ж). 16 21.14. а) Применить указание к задаче 21.13. 22.6. Неверно: эти множества состоят из разного числа элементов. 22.7. а) cos (** + D* + г sin ^*±^ @ < fc< 5). , /1 1,.л/3\ w,-, ,-,! ч /, -, , l + n/3 , l-n/3 Г) l1'-^ ±l^\- Д) {±1±1} 6) i^1 ¦¦ 1' =¦=2 з) {1 ± г, -1 ± г}, и) 2лД. к) {±л/2, ±л/2г, ±A + г), ±A - г)}, л) м) {л/3 + г,-1+ гл/3,-л/3-г, 1-гл/3}. н) {З + гл/3, л/З-Зг, -3 - гл/3, -л + л/3 - гл/2 - л/3), -^л/2(л/2 - л/3 - гл/2 + л/3), 1 - z у) \/2 cos——— +ism——— , k = 0,1,2,3. \ 1Z 1/ /
Ответы и указания 349 22.8. a) i(x/5 - 1). б) i 22.10. {±1}; |l, \±^\, {±1, ±1, ±|A + жл/5) ± ^A - гл/3)|; ±1, ±i,±^(i + o, ±^(i- ¦rtv* ' - v -/ — о v v ~ ' 9 v f • 22.11. (—l)n~ ; все сомножители, отличные от 1 и —1, разбить на пары взаимно обратных. 22.13. Наибольший общий делитель чисел г и s может быть представ- представлен в виде г и + sv. в) Если а е Ur, /3 е Uз, то (a/3)rs = 1, т.е. а/3 <Е Urs и UrUs С Urs; если ai / OL2 — элементы Ur, /3i ф /З2 — элементы Us, то ai/3i ф 0:2/^2, в противном случае aia^1 = /5i/5^~1 G Ur DU5, хотя aia^1 / 1? Ur DUS = {1} (см. б)); поэтому |UrUs| = rs = |Urs|, так что Urs = UrUs. 22.15. s и s имеют одинаковые порядки. 22.16. См. задачу 22.12. 22.17. а) -пA - г), если г / 1, и п(п + 1)/2, если z = 1. б) 2A - ^)~1. в) Число z является корнем 6-й степени из 1, и пара (п,т) совпада- совпадает с одной из пар B + 67V, 1 + 6М), A + 6М, 2 + 67V), E + 67V, 4 + 6М), D + 6М, 5 + 6М), B + 67V, 4 + 6М), D + 6М, 2 + 67V), A + 67V, 5 + 6М), E + 6М, 1 + 6ЛГ), где TV, M — любые неотрицательные целые числа. 22.18. а) См. задачу 22.14. б) См. задачу 22.16. 22.19. См. задачу 22.16. 22.20. б) Каждый корень является первообразным ровно для одной степени, и поэтому данная сумма есть сумма всех корней степени п. в), г) следует из б). д) См. задачу 22.16. е) Рассмотреть разложение п на простые множители. 22.22. Представить z в тригонометрической форме. 22.23. а) ж —1. б) х + 1. в) х2+х + 1. г) ж2 + 1. д)ж2— х + 1. е) х4 - х2 + 1. ж) хр~х + хр~2 + ... + 1. з) (хрк - 1)/(хрк~г - 1). 22.24. а) См. указание к задаче 22.20, б). б) См. задачу 22.19, а), б); е — первообразный корень степени п тогда и только тогда, когда — е — первообразный корень степени 2п (п нечётно). в) Вытекает из а) и формулы обращения 5.5, б).
350 Ответы и указания г) Если {si} — все первообразные корни степени d из 1, и {sik | 1 ^ к ^ ^ с/} — все значения корней степени d из ei, то {е^ | г = 1,..., </>(&)> к = 1,... ..., с/} — первообразные корни степени п. д) См. задачу 22.19; для любого делителя d числа т = п/р имеем E) Мр) = "м E) > и все делители п получаются, если ко всем делителям т добавить их про- произведения на р\ поэтому Фт(х) = ]J(xd - iyWV = Y[(xd - i)^(-/d) Y[(xpd - lyt™/^ = d\n d\n d\n ]\ y[ ^ d\m d\n 22.25. а) Фю(х) = Фб(-ж) = х4 - x3 + x2 - x + 1. б) Ф14(ж) = ж6 - ж5 + x4 - x3 + ж2 - x + 1. В Ф15 (Ж) = *\ ; = —2- -Г" = Ж8 - X7 + Ж5 - Ж4 + X3 - X + 1. ФзО) ж2 +ж + 1 г) ФзоО) = Ф1б(-ж) = ж8 + ж7 - ж5 - ж4 - х3 - х + 1. е) Ф100(ж) = Фю(ж10) = ж40 - ж30 + ж20 - ж10 + 1. ж) Ф216(ж) = Ф6(ж36) = ж72 - ж36 + 1. з) Ф288(Ж) = Ф6(Ж48) = Ж96 - Ж48 + 1. и) Фюоо(ж) = Фю(ж100) = ж400 - ж300 + ж200 - ж100 + 1. 22.26. а), б) Следует из задачи 22.24, в); в Фте@) есть произведение всех первообразных корней степени п на — 1. 22.27. Ф1A) = 0, Фрк A) =р, р — простое число, ФпA) = 1 для осталь- остальных п; по задаче 22.24, г),д) далее см. задачу 22.23, з). 23.1. a) 2n/2 cos и по формуле Муавра. 23.1. a) 2n/2 cos —. Вычислить A + i)n по формуле бинома Ньютона 4 ) -B11-1 +2"/2cos^); использовать а) и равенства Y2=o il) = 2"'
Ответы и указания 351 \ п i л п(п-\- 1) д) — при ? f 1; при е = 1. При ? f 1 умножить данную сумму на 1 — е. 23.2. Левая и правая части равенств а) и б) равны вещественной и ?п — 1 мнимой частям суммы z + ... + zn = 2 , где z = cos ж + г sin ж. в), г) Аналогично а) и б). е) разложить левую часть в произведение (ж — ?\)... (ж — ?2п) и объеди- объединить множители х — е% и х — еп-% = x — Si. з) Равенства в задачах е), ж) сократить соответственно на х2 — 1 и на х — 1 и в полученных равенствах положить х = 1. 23.3. xk = - sinv ' ' ^ sinv ' '" у ,fc = O, 1,..., n — 1. Если г = cos cp + г sin (p, t = cos a + г sin a, to 2 cos 9? = 2 + 2 x; 2cos(<^ + to) = ^fc +?~1?~fc, и поэтому ?A + zx)n +^-1A + ^~^)n = 0. 23.4. г) Использовать задачу 4.12. 23.5. а) Т cosn - cos ^-^ж. } 2 2 п в) - - г Д) 2 4 sin 2x ' (п + 1) sin пх — п cos(n + 1)х — 1 4 sin2 (ж/2) ' (п + 1) sin пх — п sin(m + 1)х 4 sin2 (ж/2) ' 23.7. Как в задачах 4.12 и 23.4, г) —: многочлен степени ' sin ж 2 от sin2 ж со старшим коэффициентом (—4)(^т~1^2, корнями которого явля- 2 /~ • / ч • - - 771-1 ются sin Bтг//т), где j = 1, 2,..., 2 ' 24.2. a)±i±it. б) -1, ^±г^. в) 4 + гл/3, 3 + 2гл/3, 1 + 2гл/3, гл/3, 1, 3. 24.3. Расстояние между точками, соответствующее данным числам. 24.4. а) Вершины правильного треугольника с центром 0. б) Вершины ромба с центром 0. 24.6. а) Окружность радиуса 1 с центром в начале координат. б) Луч, выходящий из начала координат и образующий угол тг/3 с по- положительной вещественной полуосью. в) Круг радиуса 2 с центром в начале координат, включая границу. г) Внутренность круга радиуса 1 с центром в точке 1 + г.
352 Ответы и указания д) Круг радиуса 5 с центом в точке —3 — 4г, включая границу. е) Внутренность кольца, заключенного между окружностями радиу- радиусов 2 и 3 и с центром в начале координат. ж) Кольцо, заключенное между окружностями радиусов 1 и 2 с цент- центром в точке 2г, причём окружность радиуса 1 включается, а радиуса 2 не включается. з) Внутренность угла, содержащего положительную вещественную по- полуось и образованного лучами, выходящими из начала координат под угла- углами — 7г/6 И 7г/6 К ЭТОЙ ПОЛуОСИ. и) Полоса, заключенная между прямыми х = ±1, включая эти прямые. к) Внутренность полосы, заключённой между у = 1 и вещественной осью. л) Две прямых у = ±1. м) Внутренность полосы, заключённой между прямыми х + у = ±1. 4ж2 W н) Эллипс ——I — = 1. У О л 2 л 2 4lX 4lV о) Гипербола — ^— = 1. у i п) Парабола у2 = 8х. р) Внутренность угла с вершиной zo, стороны которого образуют с положительным направлением вещественной оси углы а и /3. 24.7. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Положить z\ = х\ + yii, Z2 = Х2 + y2i или истолко- истолковать квадрат модуля комплексного числа как скалярный квадрат вектора, соответствующего этому числу. 24.8. ^4 = z\ — Z2 + zs. 24.9. i±^±,^. 24.10. zk = c+(z0 -с) ( cos-^— +zsin-^— ] (& = 0,1, 2,..., n - 1), где \ n n J 1, \ , 1 • я / \ с = -f^o + 21) ± -zctg —B1 — zo) — центр многоугольника. 2 2 n 24.11. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат, исключая точку 2 = — 1; положить t = tg(<?>/2), —тг < 9? < тг. 24.12. а) При доказательстве необходимости убедиться, что векторы ?з — 2 и ?з — ?2 коллинеарны; для доказательства достаточности из дан- данного равенства вычесть равенство (Ai + A2 + Аз)^1 = 0. б) Использовать предыдущую задачу. 24.13. При А ф 1 — окружность с концами диаметра в точках А Z\ - \Z2 л -, и — —; при А = 1 — прямая, проходящая через середину отрезка с 1 — А
Ответы и указания 353 концами 2i, 22 и перпендикулярная этому отрезку. 24.14. л/ТЗ-1. 24.15. 1 + Зл/5. 24.16. Искомая кривая состоит из точек, для каждой из которых про- произведение расстояний этой точки от точек z = ±1 равно Л. Эти кривые называются лемнискатами. При Л = 1 получим лемнискату Бернуллщ име- имеющую в полярных координатах уравнение г = 2 cos 2(р; при Л < 1 показать, что кривая не имеет точек на мнимой оси. 24.24, 24.25. Картан А. Элементарная теория аналитических функ- функций одного и нескольких комплексных переменных. — М.: ИЛ, 1961. — Гл. VI, § 3, п. 5 и 6. 24.26. а = 0. Рассмотрим образ U при отображении z —»¦ 1 + az. 25.1. а) 2ж2+Зж + 11, 25ж - 5. б) (Зж - 7)/9, -B6ж + 2)/9. 25.2. а)ж + 1. б)ж3-ж + 1. в)ж3 + ж2 + 2. г) 1. д)ж2 + 1. е)ж3 + 1. ж)ж2-2ж + 2. з)ж + 3. и)ж2+ж + 1. к) ж2 - 2л/2ж - 1. л) 1. 25.3. a) d = x2 -2 = -(ж + 1)/+ (ж + 2)#. б) d=l=xf- (Зж2 + ж - 1)д. 25.4. а) Переходя от / и g к /с/ и gd~x, можно считать, что d = 1. Пусть 1 = /гу + gh, в качестве гб взять остаток от деления w на д. б) Сравнить степени gv и. d — fu. в) Использовать взаимную простоту и и г>. 25.5. а) гл(ж) = (-16ж2 + 37ж + 26)/3, v(x) = A6ж3 - 53ж2 - 37ж + 23)/3. б) и(х) = 4 - Зж, г;(ж) = 1 + 2ж + Зж2. в) и(х) = 35 - 84ж + 70ж2 - 20ж3, v(x) = 1 + 4ж + Юж2 + 20ж3. 25.6. Пусть РгАх) = 1 + ^+1^)^ + . • .+ r(r + 1)--g!(r + g~1}^. Тогда и(х) = Pm,n-i(l - ж), г;(ж) = Pn,m-i(x). 25.7. а) ж2+ж + 1 = (ж + 1)/ + ж2#. б) ж + 1 = xf + (ж2 + 1)д. в) 1 = (ж + 1)/ + ж2^. г) 1 = (ж3 + ж)/ + (ж4 + ж + 1)д. 25.8. а) (ж - 1K(ж + 3K(ж - 3).б) (ж - 2)(ж2 - 2ж + 2J. в) (ж + 1L(ж - 4). г) (ж + 1L(ж-2J. д) (ж3-ж2-ж-2J. е) (ж2 + 1J(ж - IK. ж) (ж4 + ж3 + 2ж2 + ж + IJ. 26.1. а) /(ж) = (ж - 1)(ж3 - ж2 + Зж - 3) + 5, /(ж0) = 5. б) /(ж) = (ж + 3)Bж4 - 6ж3 + 13ж2 - 39ж + 109) - 327, /(ж0) = -327. в) /(ж) = (ж - 2)Cж4 + 7ж3 + 14ж2 + 9ж + 5), /(ж0) = 0. г) /(ж) = (ж + 2)(ж3 - 5ж2 + 2) + 1, /(ж0) = 1, /(ж0) = 1. д) f(x) = (х- IM + 5(ж - IL + 10(ж - IK + 10(ж - IJ + 5(ж - 1) + 1, /Ы = 1. 23 А.И. Кострикин
354 Ответы и указания е) /(ж) = (ж + 1L-2(ж + 1K-3(ж + 1K-3(ж + 1J+4(ж + 1) + 1, /(ж0) = 1. ж) /(ж) = (ж - 2L - 18(ж - 2) + 38, /(ж0) = 38. и) /(ж) = (ж + 1 - 2гL - (ж + 1 - 2гK + 2(ж + 1 - 2г) + 1, /(ж0) = 1. 26.2. а) /B) = 18, /'B) = 48, /"B) = 124, /"''B) = 216, /IVB) = 240, /vB) = 120. б) /A + 2г) = -12 - 2г, /'A + 2г) = -16 + 8г, /"A + 2г) = -8 + ЗОг, /'"A + 2г) = 24 + ЗОг, /IVA + 2г) = 24. в)/(-2) =8, /'(-2) = 2, ///(-2) = 12, /ш(-2) = -24, /IV(-2) = 24. 26.3. а) 3. б) 4. в) 2. г) 3. 26.4. -5. 26.5. а = п, Ь=-(п+1). 26.6. 312562 + 108а5 =0, а / 0. 26.8. Вычислить производную. 26.9. Индукция по к. 26.10. Если к — кратность а как корня /'"(ж), то кратность равна /с + 3. 26.11. Индукция по степени многочлена. 26.12. Показать, что если жо — корень кратности ?;, то /(жо) /Ои жо — корень кратности к + 1 полинома /(ж)//(жо) — /(жо)/'(ж) степени не выше п. 26.13. Индукция по г. Рассмотреть многочлен ж/7(ж). 26.14. а) Использовать 26.13. б) Доказать, что для любых чисел 6о, • • • , bfc-i существуют такие мно- многочлены gi(n) степени не выше si — 1, что т г = 1 27.1. а) (ж-1)(ж-2)(ж-3). б) (ж - 1 - г)(ж - 1 + г)(ж + 1 - г)(ж + 1 + г). в) (ж-г'л/3)(ж + г'л/3)х 5 _ У^.Л (х-1 У^-Л (х 5 _ У^-Л (х - —г т-г , 2ттА; . . 2тг?Л [[ I ж — cos г sin 1. OTl OTl I 27.2. а) (ж2 + 3)(ж2 + ж + 3)(ж2-3ж
Ответы и указания 355 л/2-2( (ж2 - жл/а + 2 + 1)(ж2 + жл/а + 2 + 1). C/с + 1Jтг д) (ж2 - 2xcos- + 1)(ж х(ж2 - жл/2 + л/2 + 1)(ж2 + жл/2 - л/2 + 1)(ж2 - жл 27.3. а) (ж-1J(ж-2)(ж-3)(ж-1-г), б) (ж — г) (ж + 1 + г). 27.4. а) (ж - 1J(ж - 2)(ж - 3)(ж2 - 2ж + 2). б) (ж2 + 1J(ж2 + 2ж + 2). 27.5. Корни многочлена ж2 +ж +1, т.е. корни из 1 степени 3, отличные от 1, являются корнями многочлена ж3т + ж3гг+1 + ж3р+2. 27.6. Числа т, n, p должны иметь одинаковую чётность. 27.7. При т = 6к + 1; записать условие того, чтобы корни много- многочлена ж2 + ж + 1 были не менее чем двукратными корнями многочлена 27.8. а) (ж-1J(ж + 2). б) (ж + 1J(ж2 + 1). в) ж(т'п) - 1. г) х случае. 'n^ + l, если (т,п) (т,п) 27.9. Доказать, что /A) = 0. — нечетные числа, и 1 — в противном 27.10. Индукция по степени /(ж). Рассмотреть —f(xn). 27.11. Разделить fi(xs) и /2(ж7) с остатком на х2 + ж + 1. 27.12. Заметить, что /(ж) = д(ж) /г(ж), где /г(ж) не имеет вещественных корней. Показать, что [гб(жJ +?;(жJ](ж2 +px + q) — сумма квадратов, если ж2 + рх + q не имеет вещественных корней. 27.13. 27.14. См. Lang S. // Bull. Amer. Math. Soc. — 1990. — V. 23, № 1. — С. 38-39. 28.1. в) Сделав замену ж = у — т, свести к утверждению б). 28.2. а) 2. б) -3. в) -3, 1/2. г) 5/2, -3/4. д) 1/2, —2/3, 3/4. е) Рациональных корней нет. ж) —1/2 кратности два. з) 1/2. 28.3. Пусть т — целый корень /(ж). Тогда /(ж) = (х-т)д(х). Отсюда /@) = — mg@), т.е. т нечётно. Аналогично /A) = A — m)g(l), т.е. 1 — т нечётно, что неверно. 23*
356 Ответы и указания 28.4. Если многочлен / ? Q [ж] неприводим над Q, то (/,/') = 1. 28.7. Заметим, что многочлен /(ж) примитивен. Если /(ж) имеет ра- рациональный корень г, то по задаче 28.6 в Ъ\х\ получаем /(ж) = (ах — Ь)д(х), где а, Ъ G Z, (а, 6) = 1, г = а-16, и д(ж) ? Z[x]. По условию ах\ — 6, ах2 — Ь = ±1 и а(ж1 — жг) = ±2. Следовательно, либо а = ±2, Ж1 — Ж2 = ±1 либо а = ±1, х\ — Х2 = ±2. Во всех случях Жг — а~1Ъ = dza. 28.8. Предположив, что коэффициенты произведения делятся на прос- простое число р, сделать редукцию по модулю р. 28.9. а), б) Воспользоваться задачей 28.8. в) Пусть ж105 - 9 = f(x)g(x), где f(x),g(x) G Q[x] и а = 10^9; тогда /(ж) = (ж - аю)... (ж - afca) (аг105 = 1), |/@)| = ак\оц ... ак\ = ак G Q ; при к < п получаем противоречие. г) Сделать замену г/ = ж — 1. д) Если / = g/i, где g,/i G Z[x], то при любом г = 1,...,п имеем g{ai)h{ai) = —1; отсюда д(сч) + /г(а^) = 0, и если степени многочленов д и h меньше п, то д + /г = 0, так что / = — д2. е) Пусть f(x) = g(x)h(x), где g(x),h(x) G Z[x]. Можно считать, что р(ж), /г(ж) принимают положительные значения. Тогда д(сч) = h(ai) = 1 для всех г. Поэтому можно предполагать, что степени д{х) и /г(ж) рав- равны п, т.е. р(ж) = 1 + Ъ(х — а\)... (ж — ап), h(x) = 1 + с(х — а\)... (ж — ап), где Ь = с = ±1. Но тогда g(x)h(x) / /(ж). 28.10. 28.11. См.: SWmer E.S. // Math. Scand. — 1956. — V. 4. — P. 287-302. 28.12. См.: Tverberg H. // Math. Scand. — 1960. — V. 8. — P. 121-126. 28.13. См.: Ljunggren W. // Math. Scand. — 1960. — V. 8. — P. 65-70. 28.14. Если множество таких чисел р конечно, то ао ф 0, и пусть с — число, делящееся на все эти простые числа. Тогда f(aoc) = аог, где г = 1 (mod с) и (при надлежащем выборе с) г ф ±1; поэтому /(ж) имеет корень в поле вычетов по модулю любого простого делителя г, что проти- противоречит выбору с. 28.15. Заметить, что все элементы поля F являются корнями много- многочлена xq — ж. 28.16. Рассмотреть сначала случай отображения /г, принимающего значения 1 в одной точке из Fn, а в остальных точках — значение 0. 28.17. См. статьи из задач 28.12 и 28.13. 28.18-28.20. См. статью из задачи 28.10. 28.21. См.: Perron O.L. // J. reine angew Math. — 1907. — V. 132. — P. 288-307.
Ответы и указания 357 28.22. а) ж, ж + 1, ж2+ж + 1, ж3+ж2 + 1, ж3 + ж + 1, ж4+ж3 + 1, ж4 ж4 + ж3 + ж2 + ж + 1. б) ж2 + 1, ж2 + ж + 2, ж2 + 2ж + 2. Многочлен степени 4 неприводим тогда и только тогда, когда он не имеет корней в данном поле и не является произведением двух неприводимых многочленов второй степени. в) 6. г) 8 и 18. 28.23. gCiZ^)Hg(g-D(g-2). q 3 28.24. Группа Z* является циклической порядка р — 1. Поэтому в Z* имеется подгруппа порядка d. Все образующие этой группы являются кор- корнями Ф^(ж). 28.25. Пусть /(ж) = /(ж + к) для некоторого 1 ^ к ^ р — 1. Тогда /(ж) = /(ж + &/) для всех / G Z. Но элементы ?;/ пробегают все поле Zp. 28.26. Пусть Я(ж) = хр - ж - а = /(ж)р(ж), где /(ж) G Zp[aj] неприво- неприводим. Заметим, что if (ж) = if (ж + к) для всех fc G Zp. Поэтому f(x)g(x) = = f(x+k)g(x+k). Воспользоваться задачей 28.25 и факториальностью коль- кольца Zp[x]. 28.27. См.: Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1965. — С. 245. 28.28. х = Ъ(а-1)~1. 28.29. 28.30. См.: Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Т. 1. — М.: Мир, 1988. — Гл. 3, § 5. 28.31. а = 0 и 36. Разложить по степеням ж — а. 28.32 — 28.34. См.: Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирова- кодирования. — М.: Мир, 1971. — Гл. 3, п. 3. 1 4 + 29.1. а) 2(ж-1) 3(ж + 2) 4(ж + 3)' 1+г 1 -г . -1 + г . -1 + г + 16 \ж — 1 — г ж — 1 + г ж + 1 — г ж + 1+г 1 1 4(ж-1J 4(ж + 1J' 3 4 11 J (ж-1K (ж-1J ж-1 (ж + 1J ж + 1 ж-2' 1111 Д) ~Z7 е -: 2(ж-2) 2(ж-3) 6(ж-4)' -2 +г 2 + г 2(ж-г) 2(ж- 1 _1_ 4(ж + 1) 4(ж-г) 4(ж + г)' ч 1 / 1 е е2 \ 1 гл/3 3) 3(-(^T)+^7 + ^^J' s =  + —•
358 Ответы и указания П / -i \ ттЛ > /-^ ж fc = —n 1 ^ 4(ж + 1) те—1 п *-^ х — ?\}.?. а; о бI Г * б) 8 V *2 + J 4(х + 1) ; 16(ж-1J п k — 1 п г=1 ' ^Хг)[ О/ 1\ и) X + 7 И) я; + х + 1 К) 16(ж - IJ ^ " COS¦ 29.3. -^2 а=0 \к) -к ' 1 4(ж - 1) ' 1 (ж - 2) 8( + 2 ж-1 1 4(ж2 + 1) 3 16(ж-1) . 2к 1 4(х-1) 27Tfe 1 2 4(ж + 1J' . 2тгА; п п 1 ж + 2) ж-2 жЧ 1 2(ж2- 1 1 16(ж + -1 k-i 2nz х — cos - г) Ж + 2 3(ж2 + жЧ 1 Зж + 3 ж2 , 3 1 ' (х + 1) 3 16(ж-1) Bк - 1)штг п 1 ж — а 2п Л 1,...,ЖП 1 -Зж + 3 6ж 2 Ж2 + , 3 16(ж + 1 2(ж2+4)' >)' -1 i 3 i l i x IJ 16(ж + 1) 4(ж2 + 1) 4(ж2 + 1J' — корни /(ж)). 2 ) + 2 Зж + 2 ж + 1 (ж2 + ж + IJ ' 1 1 1 1) ' 4(ж2 + 1) ' 4(ж2 + 1J ' 16(ж + 1J' BА;-1)Bш + 1) ^_ Bк - COkJ 2n 29.5. Использовать задачу 29.4. 30.1. а) -ж 30.5. /@) = 4 + 4*3 - х2 -- -(yi + ... п -7ж + 5 + Уп)- 2п • 1) б) ж3-9ж2 + 21ж-8. 30.6. Путем замены переменной свести задачу к случаю, когда Ж].,... ..., хп — корни степени п из 1, а жо = 0; затем воспользоваться задачей 30.5.
Ответы и указания 359 30.7. а) Свести к задаче 30.5 для многочлена xs+1. б) Свести к задаче 30.5 для многочлена хп — /(ж). 30.8. /(Ж) = 1-^ 30.9. f(x)=xp~2. 30.11, 30.12. Лид л Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Т. 2 — М.: Мир, 1988. — Гл. 7, § 3. 31.1. а) х4 + 4ж3 - 7х2 - 22ж + 24. б) х4 + C - г)ж3 + C - Зг)ж2 + A - Зг)ж - г. в) ж4 - Зж3 + 2ж2 + 2ж - 4. г) х4 - 19ж2 - 6ж + 72. 31.2. а) 2/3 и -2/3. б) а2 и (-1)П6. 31.3. а) 0. б) -1. 31.4. сп = 0 при г < п и crn = (-l)n+1. 31.5. Л = ±6. 31.6. Л = -3. 31.7. qs +pq + q = O. 31.8. Вычислить по формуле Виета произведение корней многочле- многочлена хр~1 — 1 над полем вычетов по модулю р. 31.9. a) g\G2 — Зсгз- б) а\ — 4сг2сг2 + 8а±аз. в) (Т2G4 + Сг| — 4СГ2СГ4. г) (jf — ^О\О2 + 8(Тз. Д) СГ1СГ2 — СГЗ + СГ2 + СГ2 + 2бТ1 + 1. е) Сг| + СГ2СГЗ — 2СГ2СГЗ + Сг| — 2СГ1СГЗ + СГЗ- ж) Зет3 — 9ctict2 + 27сгз. з) aiders — (J2(J4 — о\- и) <Ticr| — 2а4as — Зс^сг3. + 6сг2сг2сгз + Зсг|сгз — 7<Ticr|. к) сг3 — 4ctict2 + 8сгз. л) сг2 — 2сг2. м) af — ЗСГ1СГ2 + Зсгз. н) а±аг — 4сг4. о) а\ — 2(Ti(T2, + 2сг4. п) сг2сгз — 2сг2сгз — G\&4 + 5сг5. р) СГ1Сг| — 2СГ2СГЗ — СГ2СГ3 + ЬG\G4 ~ Ь&Ь- 31.10. а) -35. б) 16. в) а\а\ - 4а? - 4а| + 18aia2a3 - 27а|. г) 25/27. д) 35/27. е) -1679/625. 31.12. Воспользоваться тем, что аы = &k — x%0k-i,i- 31.14. ^ f^ 31.15. —(InA*) = — = — — ¦ — . Отсюда по зада- dt \t I + ait + ... + antn че 31.14 A + ait + ... + antn)(si -82t + ...)=ai+ 2a2t + ... + псг^Г. Сравнить коэффициенты при одинаковых степенях t.
360 Ответы и указания 31.16. Воспользоваться задачей 31.15. 31.18. -VM fn\ d=( у 31.19. Si = -1, S2 = • • • = Sn = 0. 31.20. si = ... = sn-i = 0, sn = n. 31.21. a) xi = 2, Ж2 = — 1 + гл/3, жз = —1 — гл/3 с точностью до пере- перестановки. б) х\ = 1, ж 2 = 1, жз = —2 с точностью до перестановки. 31.24. Представить /(ж) в виде произведения линейных множителей и воспользоваться задачей 31.23. Qi ок j>3 Зж^ -Ь 2х 1 Qi ofi д*^ 4ж^ Ч- 10ж^ х I 9 31.27. а) Проверить, что /(ж1,..., хп) делится на х% — Xj для всех 1 ^ г < j ^ п. б) вытекает из а) 31.28. б) Рассмотреть произведение . A + xnt) и использовать а). в) Использовать б). 31.31. См.: Макдоналъд И. Симметрические функции и многочлены Холла. — М.: Мир, 1985. — Гл. I, § 3. 31.32. Там же, гл. I, § 4. 31.33. Там же, гл. I, § 5. 32.1. а) -7. б) 243. в) 0. г) -59. д) 4854. 32.2. а) 3 и -1. б) ±гл/2 и ±2гл/3. в) 1 и ±л/2. 32.3. а) у6-4у4+3у2-12у + 12 = 0. б) Бу5 - 7у4 + 6у3 - 2у2 - у - 1 = 0. в) xi = 1, х2 = 2, жз = 0, ж4 = -2; ух = 2, у2 = 3, ?/3 = -1, 2/4 = 1. г) Ж1 = 0, ж2 = 3, жз = 2, ж4 = 2; ^ = 1,2/2= 0, 2/з = 2, у4 = -1. д) Ж1 = ж2 = 1, жз = -1, ж4 = 2; 2/1 = 2/2 = -1, 2/з = 1,2/4 = 2. 32.4. Если / = ао(х — xi)... (ж — хп) и pi, g2 имеют степени т и ?;, то 32.5. Рассмотреть случай п > 2 и m не делится на п. Тогда если ni = п/с/ = рх. В остальных случаях результат равен 1.
Ответы и указания 361 32.6. Я(Фт,Фп) = 0 при т = п; Я(Фт,Фп) = р^(гг) при т = прх и Д(Фт, Фп) = 1 в остальных случаях, если т ^ п. 32.7. а) б2 - 4ас. б) -27д2 - 4р3. в) -27al + 18aia2a3 - 4afa3 - 4а| + г) 2777. д) 725. 32.8. а) ±2. б) в) Ai = О, Л2 = -3, Аз = 125. 32.9. Воспользоваться разложением f = ао(х — xi)... (х — хп