Text
ввввввввввававвввввввввввввв
8
а в а a я в 3 ввввввв в 1 Я 0 • 1 Ш X К ь » I I 0 я 3 3 3 I 3 0 в в в в в в в в 8
а О Ч I э ч В
в а л X За Я I W 0 я 1 в в
в г » • 3 V 0 в
в > V а й 3 э ч а
в в в в м 1 V Е X 0 I 3 V о I в в в в
в <1 » 1 ♦ > в
8 4 а х 0 1 1 1 в
В О а h 0 0 в
• «г» * е и I I 0 I 3 п 1 0 a J 0 1 > L 0 • I ввявввв С4-» в ' - ш в
МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ШКОЛ
Куланин Е.Д., Федин С.Н.
ГЕОМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА В ЗАДАЧАХ
ЭКСПЕРИМЫГГАЛЬНОЕ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДОЯ УШ-Х
КЛАССОВ ШКОЛ (КЛАССОВ)
Ф113КО-:ААТЕМАТИЧЕСКОГО НАПРАВЛЕНИЯ
МОСКВА 1990
Рецензент Крысин А.Я.
Евланин Е.Д., Федин С.Н.
Геометрия треугольника в задачах. Экспериментальное
учебное пособие для УШ-1Х классов школ (классов)
физико-математического направления.
© Научно-исследовательский институт школ, 1990 год.
3
Предисловие
Данный сборник задач предназначается учителям и учащимся школ
(классов) физико-математического направления. В нем представлены
задачи по курсу планиметрии УШ-П классов, относящиеся к геомет-
рии треугольника. В сборнике приводятся как классические задачи,
так и задачи, составленные в последнее время, при етом предпочте-
ние отдавалось теоремам и задачам на доказательство, результаты
которых часто используются при решении других задач. При состав-
лении оборника использовались журналы "Квант" и "Математика в шко-
ле" за последние годы, а также задачники и пособия, приведенные в
описке литературы в конце сборника,часть задач составлена автора-
ми. При ссылках на задачи оборника принята двойная нумерация, где
первая цифра обозначает номер параграфа, а вторая - номер задачи
в зтом параграфе (например, 4.II - задача II § 4). Если ссылка
дается на задачу этого же параграфа , то его номер опускается. Не-
которые задачи приведены в разных параграфах, к ним даны различ-
ные решения.
§ Равнобедренный треугольник
I. Докажите, что если
а) две высоты
б) две медианы
треугольника равны, то зтот треугольник равнобедренный.
2. Докажите, что в равнобедренном треугольнике АВС суьыа расстоя-
ний от произвольной точки J), лежащей на основании АС, до
двух боковых сторон постоянна и равна высоте, проведенной к бо-
ковой стороне.
4
3. Найдите углы равнобедренного треугольника, если известно, что
прямая, проходящая через вершину угла при основании, делит его
на два треугольника, каждый из которых также является равнобед-
ренным.
4. Докажите, что из всех треугольников с данным основанием и дан-
ным у I лом при вершине максимальную площадь имеет равнобедрен-
ный треугольник.
5. Положительные числа а, в, с таковы, что для каждого натураль-
пого Я существует треугольник со сторонами а, в, с .
Докажите, что вое эти треугольники - равнобедренные.
6. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника
АВС взяты точки М и Х так, что ВМ=С// . Докажите, что
середина отрезка МУ лежит на средней линии треугольника АВС,
параллельной его основанию.
7. В равнобедренном треугольнике основание равно а, боковая сто-
рона в.
Найдите: Л
а) медиану, проведенную к боковой стороне
б) биссектрису, проведенную к боковой стороне
в) высоту, опущенную на боковую сторону треугольника.
8. Найдите углы равнобедренного треугольника, если основание от-
носится к биссектрисе угла при основании как 5:6.
5
9. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию
треугольника, делится точкой пересечения высот пополам. Найди- '
те углы этого треугольника.
10. Докажите, что если стороны а, в и противолежащие им углы
А, В связаны соотношением ------------—' = —-— ,
то треугольник равнобедренный.
II* Пусть АЕ и СЯ) - биссектрисы треугольника АВС. Докажите,
что если В®Е: EJJ6 “ .«.ВЕЛ?: ^Z>EA, то треугольник АВС
- равнобедренный. / /
12. Боковая сторона равнобедренного треугольника в два раза боль-
ше основания. Найдите радиус вписанной окружности, если радиус
описанной окружности равен R .
13. Радиус окружности, опиоанной около равнобедренного треуголь-
ника равен Х’ , расстояние между центрами вписанной и описан-
ной окружности - . Найдите углы треугольника.
14? Докажите, что для равнобедренного треугольника справедливо
равенство Я* - , где а? - расстояние между
центрами вписанной и описанной окружностей, а г и Х’ -
радиус этих окружностей.
15. Найдите углы равнобедренного треугольника, если известно, что
отношение радиусов вписанной и описанной окружностей -2- = К.
16. Сколько существует неподобных равнобедренных треугольников с
заданным отношением радиусов вписанной и описанной окружно-
стей = К ?
17. Докажи та, что треугольник, в который можно вписать два равных,
но различных по положению, квадрата яв^чется равнобедренным.
6
18. Биссектриса треугольника делит его на два треугольника, в ко-
торце вписаны окружности. Докажите, чтс еоли радиусы этих ок-
ружностей равны, то исходный треугольник равнобедренный.
19. Основание равнобедренного треугольника равно а, боковые ото-
роны - в. Докажите, что биссектриса угла при основании етого
треугольника делится точкой пересечения о высотой, опущенной
на основание в отношении а+в:в, считая ст вершины.
20. Постройте такой равнобедренный треугольник, у которого периметр
всякого вписанного прямоугольника со стороной, лежащей на осно-
вании, является постоянной величиной.
21. Докажите, что среди всех треугольников с данным основанием,
вписанных в окружность данного радиуса, равнобедренный треу-
гольник имеет максимальный радиус вписанной окружности.
22. Докажите, что если две высоты остроугольного треугольника де-
лятся в точке их пересечения в одном и том же отношении, счи-
тая от вершин треугольника, то этот треугольник равнобедрешщй.
23. Докажите, что если две биссектрисы треугольника делятся в точке
их пересечения в одном и том же отношении, считая от вершин
треугольника, то этот треугольник равнобедренный.
24? Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то этот
треугольник равнобедренный (Задача Штейнера-Лемуса).
Равностронний треугольник
25. (Устно). Докажите, что если в равнобедренном треугольнике хотя
бы один из углов равен 60°, то этот треугольник равносторонний.
26. На основании равностороннего треугольника как на диаметре по-
строена окружность. Докажите, что точки пересечения этой окру?,-
7
ности с боковыми сторонами треугольника
совпадают с серединами этих сторон.
27. Докажите, что если в треугольнике центры впиоачной и описанной
окружностей совпадают, то этот треугольник равносторонний.
28. Докажите, что если в равнобедренном треугольнике радиус вписан-
ной окружности вдвое меньше радиуса окружности, описанной около
него, то этот треугольник является равносторонним.
29. Докажите утверждение предыдущей задачи для произвольного треу-
гольника.
30. В правильный треугольник со стороной а вписан другой правиль-
ный треугольник так, что его вершины лежат на сторонах исходно-
го треугольника и делят эти стороны в отно-
шении /П\ /f.
Найдите площадь вписанного треугольника.
31. В правильный треугольник ЛВС вписан правильный треугольник
так’ что его ве1)ШИ}ш ApBj.Cj лежат на сторонах ВС,
СА, АВ треугольник.! ЛВС. Докажите, что ACj=BAj=CAj,
с1в-л1с=в1л.
32. На сторонах правильного треугольника АВС выбраны точки Aj,
Bj. Ср делящие стороны треугольника АВС в равном отношении.
Будет ли треуголышк AjBjCj правильным?
33. В правильней треугольник АВС, сорока которого равна а,
вписан правильный треугольник Aj-Bj-Cj, причем ~ К*
Найдите отрезки, ла которые точки Aj ,Вр Cj делят стороны
ВС, СА, АВ треугольника АВС.
34. Дан правильный треугольник АВС, около которого описана окруж-
ность. Дуга АС этой окружности, на которой не лежит вершина
В, симметрично отражается относительно основания АС треуголь-
ника АВС. На полученной таким образом дуге окружности берется
точка М. Цуоть «£> - точка пересечения прямой АС оо сторо-
ной ВС, а Е - прямой СМ оо стороной АВ. Докажите, что
АЛ = СЕ.
35. На сторонах АВ и ВС правильного треугольника АВС взяты точ-
ки Е и Л соответственно, М - точка пересечения отрезков
АЛ и СЕ. Найдите геометрическое место точек пересечения М,
для которых ^АЕС + АТС = 180°.
36. Из произвольной точки М, ложал;ей внутри правильного треуголь-
ника АВС, опущены перпендикуляры МЛ , ME, MF на его
отороны АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что сумма
МЛ + ME + MF постоянна и равна высоте треугольника.
37. Докажите, что наибольшее из расстояний точки окружности до вер-
шин вписанного в эту окружность правильного треугольника равно
сумме расстояний этой точки до двух оставшихся вершин треуголь-
ника.
38. Докажите, что сумма квадратов расстояний произвольной точки
окружности до вершин вписанного в эту окружность правильного
треугольника постоянна , т.е. не зависит от положения точки на
окружности.
9
39. На сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС построены правиль-
ные треугольники ABCj, BCAj, CABj так, что вершины Ар
Bi» Сг лежат вне треугольника АВС. Окружности, описанные око-
ло построенных правильных треугольников, называются окружностя-
ми Торичелли. Докажите, что окружности Торичелли пересекаются
в одной точке, которая называется точкой Тоодчелли.
40. Исходя из условия предыдущей задачи докажите, что отрезки
AAj, BBj, CCjt
а) пересекаются в точке Торичелли
б) равны между собой.
41. Докажите, что еоли точка Тормчелли М лежит внутри треу-
гольника, то сумма расстояний точки М от вершин треугольни-
ка минимальна, т.е. эта сумма меньше суммы расстояний любой
точки, лежащей внутри треугольника, от его вершин.
42. На сторонах произвольного треугольника АВС как па основа-
ниях построены правильные треугольники АВСр BCAj, CABj-
так, что вершины Aj.Bj, Cj лежат вне треугольника АВС. Пусть
Ор 02, 03 - центры треугольников ВСАр CABj, ABCj соответ-
ственно. Треугольник 11азцвас>тся внешним треугольникам
Наполеона. Докажите, что внешний треугольник Наполеона правиль-
ный (Задача Наполеона).
43. Найдите площадь внешнего треугольника Наполеона треугольника
АВС, если стороны треугольника АВС равны а, в, с.
44. На сторонах треугольника АВС построены правильные треуголь-
ники АВСр ВСАр CABj так, что вершины А и Ат, В и
Bp С и С^ лежат поедну сторону от прямых ВС, АС я АВ
соответственно, центры Ор 02, 03 тро. ’’олышкое ВСАр САЗр
10
ABCj являются вершинами треугольника, который называется
внутренним треугольником Наполеона. Докажите, что внутренний
треугольник Наполеона правильный (Задача Наполеона).
45. Найдите площадь внутреннего треугольника Наполеона треуголь-
ника АВС, если стороны треугольника АВС равны а, в, с.
46. Докажите, что разность площадей внешнего и внутреннего треу-
гольников Наполеона треугольника ЛВС (см. задачи 42-45) рав-
на площади самого треугольника АВС.
47. Дан правильный треугольник. Найти множество точек плоскости,
из которых
а) вое стороны данного треугольника видны под тупыми углами;
б) хотя бы одна сторона данного треугольника видна под тупым
углом.
48. Докажите, что сред» всех треугольников с данным периметром Р
наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.
49. Пусть - высоты треугольника АВС, % -
радиус вписанной окружности. Известно, что --
= 9 г, Докажите, что треугольник АВС правильный.
50, Пусть в треугольнике АВС длины сторон АВ, ВС, СА равны
с, а, в соответственно, а длины высот, проведенных к этим сто-
ронам - Докажите, что если а •»«£ = в +
= с + , то треугольник АВС правильный.
Задачи для самостоятельного решения.
I. Докажите, что если в треугольнике биссектриса является также
медианой, то такой треугольник равнобедренный.
2. Окружность радиуса, равного высоте некоторого рданобсдрешюго
II
треугольника, катится по основанию этого треугольника. Докажите,
что величина дуги, отсекаемой на окружности боковыми сторонами
треугольника, остается при этом постоянной.
3. Докажите, что если высоты остроугольного треугольника делятся в
точке их пересечения в одном и том же отношении, считая от вер-
шин треугольника, то этот треугольник правильный.
4. Докажите, что если биссектрисы треугольника делятся в точке их
пересечения в одном и том же отношении, считая от вершины треу-
гольника, то этот треугольник правильный.
5. Вершины правильного треугольника лежат па трех параллельных пря-
мых так, что па каждой из этих прямых находится по одной из вер-
шин треугольника. Найдите сторону этого треугольника, если рас-
стояние от нижней прямой до сродней равно а, а от средней до
верхней - в.
6. Постройте правильный треугольник, вершины которого лежат на трех
данных параллельных прямых по одной вершине на каждой прямой.
произвольной точки М, лежащей внутри правильного треуголь-
ника АВС, опущены перпендикуляры MCj, МАр MBj на стороны
АВ/ВС/СА соответственно. Докажите, что ACj + BAj + CBj- =
= CjB 4-
Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин правильного
треугольника до прямой, проходящей через его центр, постоянна, т.е.
не зависит от выбора этой прямой.
9. Окружность делит кждую из сторон треугольника на три равные ча-
сти. Докажите, что этот треугольник правильный.
Ю. Может ли быть пршилышм треугольник, р с стояния вершин которо-
го до двух данных взаимно перлоццикулярных прямых выр ды^тся
целым.; числ и..и?
12
Ответы, указания, решения.
2. Решение. Пусть АВС - остроугольный равнобедренный треугольник
(рис. / ), JDK. и - перпендику-
/ \ ляры, опущенные из точки на боковые
у/ \ стороны АВ и ВС соответственно, AM
~ высота,. проведенная к боковой стороне.
\ Проведем через точку .Л*7//ВС. Тог-
. да FMZZ> - прямоугольник и, значит,
ЛМ - ГМ. Прямоугольное AK# И АРД>
равн по гипотенузе и оотрому углу (гипотенуза АЛ> общая,
ВДЛ, так как JDA/// ВС и д АВС равнобед-
ренный), поэтому JDV. = АР. Итак, Z'K+^Z = АР + IM = AM.
Случай тупоугольного треугольника разбирается аналогично.
3. Указание. Рассмотреть два случая, показанных на рис. £
Тогда в случае а) углы треу-
гольника равны
в случае б) - !
5 5 5
а) б)
2
5. Решение. Пуоть а^в^с. Предположим, что вх.с. Для сущест-
/* .♦
вования треугольника со сторонглш а , в , с для каждого
натурального необходимо, чтобы для каждого натурального^
выполнялось неравенство а* + в* сА или
0У + > I , но левая часть этого неравенства ста-
новится сколь угодно малой при достаточно больших , так
как -z I и ® < I. Отсада вытекает, что предположение
В Z с
неверно и, следовательно, в = с.
13
6. Решение. Через точку .4' проведем
АВ (рис. 3 ).
Тогда z. /А о = ВАС и "реуголь-
ник А^С равнобедренный, откуда МВ = ЛС =
= , т.е. МВ = А*' Соединим точки
М \\ F , Полученный четырехугольник
МВ ЛА - параллелограмм, поскольку МВ = А/Г
и МВ // АЖ Так как в параллелограмме
диагонали в точке пересечения делятся пополам
то точка 0 - середина отрезка МА'- является также серединой от-
резка В А и, следовательно, лежит на средней линии КД тре-
угольника АВС.
7. a) i / 2а2 + в2
2 г
х ВАС « <4- Тогда .сВАА = ж^АС =
(рис. 4 ). +
. л т т . ./
* ‘ахг/ . 2 as «АГ/* = 2 ав 2 +
+ \/ъ г<л 2 - /Х*^.(а + в),
2ав ляг . {в. + в)_,
. Осталось найти <^г . Поскольку
то
в)
(ИЗ А. ЛА),
В. 3/4, Я'- 3/4. Указание. Из л ДОС (рис. / )
14
по теореме синусов | . откуда пооле преобра-
зований получим —~ z = £ или 12 к -
ь 2
- 5 саб 2 - 3 = 0. Решив это квадратное уравнение относитель-
но 2 » найдем значение А.
9. У - 2 г 2, Указание. Составьте урав-
нение об = 2 об ) = 2 , откуда
= 2, ^z= ^2.
10. Указание. Воспользуйтесь теоремой косинусов.
II. Указание. Обозначим ВЖ/х-ESC = К. Покажите, что
-^АЕВ -ь 3 К+1
BSE + ж: ВЕ£> 2 К
откуда К=2.
12. Решение. Пусть основание АВ треугольника АВС равно а
(рис. 6" ). Тогда АС = ВС = 2а. Обоз-
начим через 0 центр вписанной окружно-
сти, через Oj - описанной, тогда радиус
вписанной окружности = 0<£> и АО -
биссектриса угла САВ. Известно, что бис-
S' соктриса угла треугольника делит противопо-
ложняоТЙрилежащим сторонам (см. задачи б. ge А Поэ-
тому в AC0 СО _ АС_ _ 2д_ = 4 со= 40^ = 4 г и
OJP AJD а/2
СЯ> - СО + 0<£> = 4z + 7 = 5 а-. П^сть с-0 = X . Из АС-»
по теореме Пифагора = ^4а^ - • ^ак как точка
Or центр описанной окружности, то она лежит на рединном пер-
1 I
пендлкуляре EOj боковой стороны АС д АВС и СЕ = 2 АС = а.
Прямоугольные треугольники CEOj и АС«0 подобны, поскольку
АСлг> у них общий, поэтому СЕ = а = СХ> = t
COj # AC 2а
15
✓ 2а2
откуда Л = ^г- =5z и
7Г*’- 9 2 9 т<;/* Т Q
Окончательно, 11 5 '/ « § * ТБ^" # х
13. Решение . Предположим, что центр описанной окружности Oj
лежит на отрезка СО, где С - вершина
АВС и 0 - центр вписанной окружности
(рис. 6 ). Обозначим АВ=а, АС=Ф. Пуоть
Р - точка касания вписанной окружности оо
стороной АС. Тогда АР=А® = | как отрезки
касательных к данной окружности,проведенных
из одной точки. Найдем площадь прямоугольно-
го треугольника СОР двумя способами. Пусть
^.СВА= <4. Тогда ^СОР= ^САВ= Л.
= 2 Р° ’ ОСРОС = | г (Х’+д'Ы/
?+а/.
= % СР -Р0 = £ (в - |)зг.
= 1 (в - g) си
2 а2
но а2 . &
+ OjO
так как СО = COj
С другой стороны,
Итак, зс ( £ + ^<)
По теореме синусов в = 2 Я£<&.,,& , а = 2£ {9^- 2«6):
= 2 Подставим эти значения в правую часть равенст-
ва (I):
+ =2 2об^ =
= (I- )
/б +/Z = 2/6 - ,
= 1 _ I ,
2 2/? 2
ч&гЛ - --=—
2^
поэтому Л >• 60.
В случае 60° центр описанной окружности 0j лежит на
отрезке Ojp. Этот случай разбирается аналогично рассмотренному
вше и . Окончательно получаем, что углы
равны
Е ateaevs.
Y/V-
16
(при oZ- = 60° треугольник равносторонний, в этом случае 0).
14. Решение. Пусть хб > 60°. Тогда ~
(ом. решение предыдущей задачи). С другой стороны, из ^СОР
= то = тг?#’ = • от«уда
X'*- С^Я= 2^9.
В случае 60° ялгЛ = —
£ - а?
и онова = /€ - 2&
= I-2K. Далее воспользуйтесь результатом задачи 13.
16. Два , при т К J , один (правильный) при
К = £ , ни одного при К 2 ‘ *
17. Указание. Покажите, что (в-а)«{1 - ^-) = 0, а и в - длины
тех сторон треугольника, на которых лежат отороны квадрата,
S - площадь треугольника. Тогда или в = а, или
I _ - о, т.е. и треугольник прямоугольный,
ав
Последний случай отпадает, так как прямоугольный треугольник
не удовлетворяют условию задачи (в него можно i 1Ть только
один квадрат).
18. Указание. Пусть АВ - та сторона треугольника, к которой про-
ведена биссектриса, Oj- и - центры вписанных окружно-
стей, тогда 0j02 II АВ.
19. Решение. Покажем, что биссектриса угла треугольника делит про-
yf тивополсжную сторону на части, о ^оналъ-
ные прилежащим сторонам, т.е.
(рис. X ). Действительно,
—V _ z/Z~
17
где Л =ZCAB. С другой стороны, -$С&Ле
-е ££. e
*“ «Л* в Хг?
(АЕ - высота треугольника АВС).
Обозначим Cf> = х, ^В=у. Тогда = |л
х+У= |у 4 У = у( | + I) = у (3±S) = в, У = gg .
Высота CF равнобедренного треугольника АВС является так-
же биссектрисой, поэтому
биссектрисы
Из дАЯВ
точка 0 является точкой пересечения
АВС и ВО - биссектриса угла В.
_ а____________а + в
ав_ “в *
а+в
20. Решение. Положим
= х, = у, Mj-Zj = = у^
(рио. 8 ). Тогда х+у = Xj+yj
и xj - х = у - ух. Треугольники
и AB# подобны, поэтому
= У - Ух
А35 - П? х—Y =
1 л j X
2(y-yi)
Xj - X -
т.е. В^>= 2АХ> = АС и для реше-
ния задачи достаточно построить рав-
нобедренный треугольник, у которого высота равна основанию.
Решение. Пусть 0 - центр вписанной окружности треугольника
АВС (рис. ). ^.АОВ
= 5^' — А 4- -е В) =
У
, т.е. для всех
2 2
треугольников с основанием АВ,
вписанных в данную окружность, сто-
le
рона AB видна Из центра вписанной в этот треугольник окружно-
сти под постоянным углом равным I х- С. Геометрическим ме-
стом точек, из которых данный отрезок виден под данным углом,
является дута окружности, проходящая через концы этого отрезка.
Понятно, что радиус вписанной окружности “Z = 0«® максимален, к<
точка 0 лежит в середине дуги АВ, откуда следует, что
хЛ = хВ, т.е. АВС - равнобедренный.
22. Решение. Пусть высоты
ются в точке Н (рис.
но тогда из равенства
А Ад и ВВд треугольника АВС пересека-
) и JHj = НВГ' Так п₽я“
моугольные треугольники АЛдВ и ЕВдА
подобны ( AIIBj = xiBIIAj как вер-
тикальные), то АН = = ЕЯ , т.е.
ПН ЛП
(внГ =! . БП = 1 “•
HI- = ВВд СЛ0ДУ0Т« что и
и AAj = ВВд, а если в треугольнике равны две высоты, то этот
треугольникравнобедренный (см. задачу 1а) ).
Второе решение. Соединим точки Вд и Ад отрезком прямой и
рассмотрим треугольники ВдН Ад и
ЛИВ (рис. & ). &ги треугольники по-
добны, так как ВдН Ад = хУй? У ~-~
т> . /гоетг/уг
и ВдАд // АВ, т.е.
ЛВАдВд трапеция. Точка Н является
точкой пересечения
поэтому прямая СП
М трапеции {Днъыт* эт» ям ), то.
Но, .так как высоты треугольника пересе-
Н, то СМ - высотам АВС. Таким образом,
X*' л*
%% Mt,
четырехугольник' ~
диагоналей трапеции,
проходит через ое-
редины -оснований Мд
СМ - медиана А АВС.
каются в одной точке
СМ является высотой и медианой одновременно в л АВС, поэтому
этот треугольник равнобедренный.
и
19
23. Первое решение. Пусть стороны АВ,ВС,СА треугольника АВС
равны с, а, в соответственно, а
биссектрисы AAj и BBj пересекаются
в точке 0 (рис. /Л ). Так как бис-
сектриса делит противоположную оторону
на части, пропорциональные прилежащим
сторонам, то АХВ= • Б1А = aJc"
(см. решение задачи 19).
ВО также является биссектрисой треуголь-
= ....................... , аналогично,
АО _ АВ _ с
OTj “ ас
в+о
Ж • Поскольку по условию $? = gg то
х 1 а+о х 1
2 2
в+q ж а+р , в + вс = а + ас,
а2 - в2 » вс-ао, (а+в)(а-в)=с(в-а),
(а-в)(а+в+с)=О. Так как ачв+с>-0, то
а-в=О, а=в, т.е. треугольник АВС равнобедренный.
Второв решение. .1з второго решения предыдущей задачи следует,
что четырехугольник ABA£Bj - трапеция и третья биссектриса
АВС СО проходит через середины Mj и М ее оснований, •
т.е. биссектриса СМ Д АВС является также его медианой и,
следовательно, треугольник АВС равнобедренный (см. задачу I
для самостоятельного решения).
24. Первое решение. Пусть AAj и BBj
- биссектрисы треуголь-
ника АВС, причем
AAj = BBj -£ (рис. -f3 ). Обозначим
CAB = 2,6 , х. СВА= 2^ и предпо-
ложим, что ^СВА > же С АВ, т.е.
Через точки Aj- и Bj проведем отрез-
ки MAj// АВ и Bj/Z///#.
Тогда xtbtAj-A = л AjAB= ,
<sXBjB= -с. Bj/B= ft , т.е. треу-
гольники AMAj -ii B/Bj равнобедренные.
20
Опустим ив точек Aj и Bj перпендикуляры и BjE на
АВ. Из прямоугольных треугольников AAj-JP и BBjE находим
Aj^ = , BjE = Так как ,
то BjE > Aj^> и точка Bj лежит между точками М и С,
т.е. CBj <. СМ, но треугольники В СУ и MCAj подобны, поэ-
тому т откуда ВТУ <. МАТ (I). 0 другой
MAj ~ СМ ’ х 1
стороны, воли провести высоты в равнобедренных треугольниках
AMAj и Вд^В , то легко найти MAj = ~^сагЛ~ *
В1^ = ' Полгол/ху » то
и Bj Д' > MAj, что противоречит полученному выше нера-
венству (I). Итак, предположение yfi привело нас к про-
тиворечию. Попятно, что случай совершенно аналогичен
уже рассмотренному. Остается единственная возможность об
и АВС равнобедренный. 7
Второе решение. Обозначим АВ=с, ВС=а, СА=в. Тогда
ААт " . ВВТ = (ом. решение задачи
X X QTU
76) ), и так как ААд = ВВд, то
2BC<r<g.-^ = ,2ас^4<
в+с а+с
Предположим, что о/ -с/
и
, тогда
а -с в
(I)
в(аьс) k 1
И
но s£bc Т* что противоре-
чит равенству (I). Случай разбирается аналогично.
Итак, =/g, S
28. Указание. Справедливость данного утверждения следует из задач
14 и 27.
29. Решение. Предположим, что данный треугольник АВС норавонобедриы
ннй. Опишем около него окружность (рис. if Л ). Пусть АВ^С -1
равнобедренный треугольник с тем же основанием АС, вписанный
в ту же окружность. Пусть - радиус окружности, описанной
около треугольников АВС и aBj-C, г - радиус окружности.
21
вписанной в л АВС и
2^. - в a ABjC. Тогда ж «• j ,
%.>£— р- (ом. задачу 21) или 2г>/. но
для равнобедренного A ABjC
of 2Xs^ > о,
откуда X* > 2 гу (ом. задачу
14), что противоречит полученному
неравенству 2 <£, > Получен-
ное противоречие показывает, что
А АВС должен быть равнобед-
ренным, т.е. точка В должна оов-
Поокольку для равнобедренного
- 2Z* и Ж = , то
I, 0, т.е. центры вписанной
и опиоанной окружностей совпадают и
Л АВС равносторонний.
из задачи 27 следует, что
30.
а2 - Гз
(Л£+ <4^ -гЛИ>). Указание. Примените
теорему кооинуоов.
31. Решение. Обозначим углы треугольников AB^Cj.CjBAj-, A^CBj,
не равные 60°, через ,
так’
как пок.зано на рис.
// \ Так как А » В = С = 60°
L______
✓ с то «£ + =
Х*г- /аг „ ая + = I20°J но
*CIAIBI =xAIBlcl = -*В1С1А1 = 60° и» лоэтоМУ -4 4 fa =
= 120°. Из полученных равенств следует,
ЧТО ~ *^-д , *= f!g = t тогда,
учитывая, что Aj-Bj « BjCj- = CjAj, внводчм, что треугольники
ABj-Cj, Cj-ВАт, AjCBj равны по первому признаку равенства
треугольников и ACj = ВЛ^ = CAj, С^В --- AjC = BjA.
32.
Да.
» ка2 « х2 + (а - х)2 -
- х(а - х), или Эх2 - Зах
хт _ „ .за*.а ГЖ71 =
ар ABj = х. Тогда CAj •= BCj =
= ABj = х (см. задачу 31) и
BjC = AjB “ CjA = а - х. По усло-
вию .& = к, но
откуда aj = /к"- а.
Из треугольника ABjCj по теореме
косинусов находим:
2х- (а - х) ЛЧГ 60е = х2 + (а - х)2
+ А2 (I - К) = О,
£ .(I ~ 2 A I2K - 3 J , т.е.
2 ’
ABj «= ^ (1+2 ^I2K-3), В£С « & (I - 2 |^12К - 3)
#3 2
или АВТ - 3 (I _ 2 Xl2K - 3), ВтС > £ (I + 2 fI2K- 3).
1 2 1 2
Так как I2K-3 0, то попутно получаем, что К >1/4.
34. Решение. Обозначим -*АЕС =
жАДС
, ^ДАС =» -4
д ЕСА •=
(рис. ).
Возьмем на дуге АС точку Мр
симметричную точке М относитель-
но АС. Тогда >сАМС = ^cAMj-C =
= 120° и из дЛглС подучаем, что
= 60°. Но из xlAEC
4 = 180° - ВАС - =
= 120° -
240° -
Из дАЕС по теореме синусов СЕ
аналогично, из
ф = 120° - . Таким
) = 240°-60°=180°.
№------ 60° и
23
из z AJDC АД> =
AC
АС • 60°
ЛЙ*(180°
AC • ^>60°
= СЕ, что и требовалось доказать
36. Указание. Используйте то, что = -
- высота треугольника АВС.
С другой стороны, ^ддС
МВ=
где а = АВ
(рис. -78 )
37. Решение. Обозначим ЛМ-
/"рис. )
отрезок МК=
углы, дополняющие угол
Итак, Л ЛИС - А АКБ,
Отложим на отрезке МВ
= АМ = Поскольку .хАМВ = ^.АСВ »
= 60°, то треугольник АМК равносто-
ронний и АК = ЛМ = Рассмотрим
треугольники АМС и АКВ. В этих
треугольниках АС = АВ как стороны
равносторашего треугольника АВС,
ЛМ = ЛК как стороны равностороннего
треугольника AMKzxMAC = х.КЛВ как
САК до углов МАК и СЛВ равных 60°.
поэтому КВ = МС = И «Z= МВ =
о
38. Решение. Из треугольника АМС по теореме косинусов АС
= AM2 t- МС2 - 2-AM «МС-<4-120° (рис. УУ ) или а2 а
поэтому
2
не зависит пт положения точки на окружности.
39. Решение. Пусть М - точка пересечения окружностей, опислп л<
около треугольников BCAj и CABj- (рис. ЕО ). Покажем,
что эта точил ланит и на окружности, описи нН' 3 около треуголь-
ник! ABCj. В самом деле, хсВМС - СМА = 120°, но тогда и
^сЛМВ 120°, . это и означает, что точил М лежит на окруж-
ности, опис лг’ й 'коло треуголышка АВСу, т.е. дг-нкпо три ок-
ружг.сти а р • •! тпя в едисЗ точка М.
24
4.
40.
Решение, а) Соединим точку М о точками Л и Aj и покажем,
что точки Л, М, Aj лежат на одной прямой (рио. 20 ). Спра-
ведливость этого утверждения следует из того, что хЛМВ «= 120°,
^AjMB = ^sAjCB = 60°, откуда жАМВ + ^сА^В - 180°, т.е. угол
АМЛ]- развернутый и точки А, М, Aj лежат на одной прямой.
Аналогично доказывается то, что точка М лежит на прямых BBj
и CCj.
б) Рассмотрим треугольники ABAj и BCCj. Эти треуголыгаки ршми
так как у них АВ =BCj, BAj = ВС как стороны равносторонних
треугольников ABCj и BCAj, ^ABAj « х:ЛВС » ^.CBAj -
= .«ABC + 60°<= xABC t^ABCj = ^.CDCj. Из равенства треугольни-
ков ABAj и BCCj вытекает, что AAj =» CCj. Аналогично дока-
зывается то, что BBj » CCj, поэтому AAj = BBj = ССр
41. Первое решение. Соединим точку М с вериопнми треугольника АВС
и проводом через точки А, В, С
прямые, перпендикулярные прямым
AM, Ж, СМ соответственно
(рис. ). Докажем, что полу-
чений треугольник А.ВгСт пра-
пильный. Рассмотрим четырехуголь-
ник ВАтСГЛ. В этом четырехуголь-
нике у» МСА| « ж: МВАр = 90°.
Сумма внутренних углов четырех- I
угольника равна 360° (как сумма I
внутренних углов двух троуголь- I
25
ников, на которые он разбивается диагональю), поэтому хВА^С=
= 180° - ^ВМС = 180° - 120° = 60°. Аналогично, -cAjBjCj =
= ^B-j-CjAj = 60° и, таким образом, треугольник AjBj-Cj правиль-
ней. Сумма расстояний МА + МВ + МС равна виооте правильного
треугольника AjBj-Cj (см. задачу 36). Возьмем внутри треуголь-
ника АВС точку л/ , соединим ее с вершинами треугольника
ЛВС, а затем опустим из точки перпендикуляры ХА2, ХЙ2,
ХС2 на стороны BjCj, Cj-Aj, Aj-Bj треугольника AjBj-Cj
соответственно. Тогда ХЛ2 + ХВо = МА + МВ + МС, но
ХА +ХВ +ХоХА2 + //Во + //С2 ( ХА, ZB, Хс - гипоте-
нузы прямоугольных треугольников АА2Х, ВВ2Х , СС2Х
соответственно), поэтому //А +ХЬ + ХС >- МА + МВ + МС.
Второе решение. Повернем треугольник АВС на угол 60° против
часовой стрелки вокруг вершины
А. Тогда треугольник АВС при-
мет положение треугольника
С ABjCj, а точка И - точки Mj
\И(рис. 2Z ). Рассмотрим троу-
гольпик Mj-AM. В нем AM-AMj,
X X МтАМ=60°, поэтому треугольник
Mj-AM равносторонний, AM=MMj и
AM + МВ + МС - МВ + М? ь M-j-Cj . Поскольку жАМВ = ^Cj-Mj-A =
= 120°, то точки В, М, Mj, Cj лежат на одной прямой. Для лю-
бой точки X, лежащей внутри треугольника .АВС суша расстоя-
ний стой точки до вершин треугольника равна длине ломаной
BjC4^Cj, которая больше длины отрезка прямой BCj, т.е.
дХ+ ХВ + //С > AM + МВ + МС.
42. Решение. Рассмотрим окружности, описанные околс треугольников
ABCj, БСА-, CABj (рис. РЗ ). Эти окружности пересекаются в
одной точке М, называемой точкой Торичелли (см. задачу 3'3).
Соединим точку М с вершинами треуголь "лка АВС, а тс ткл
Ср» ®2’ °3 “ M5;~V собой. Точки пересече'ния соответствуй:?, г
26
резков обозначим через
•к 23
костей пересекающихся в
мой MjMg (рис. 2 / ).
Ag, В2, С2 to®0, *3 )’• Так «ак
X.AMB ^BMC » ^tCMA -
120°, то для доказательства
правильности треугольника OjOgOy
достаточно показать, что прямые
AM, ВМ, СМ перпендикулярны со-
ответственно прямим OgОу, OyCj,
OjOg» Тогда, рассмотрев четырех-
угольники OjBgMCg, OgCgMAg,
О3А2МВ2, найдем р,,0 0 „
JL о
"^0203°1- -W2’.600’
Перпонди^кулярнооть указанных
прямых оледует из ораведливости
следующего факта: прямая 0j02,
соединяющая центры двух окруж-
Mj и М2 перпендикулярна пря-
точках
В оамом дело, ^0j-Mj02 3
по трем сторонам, поэтому л MjOjOg « х Mg0j02 и C^Z) явля-
ется биссектрисой и, следовательно, высотой равнобедренного
треугольника M^OpMg.
43. Решение. Обозначим .гСАВ -
и рассмотрим треугольник ObOjA
(рис. ). Пуоть АВ=г,
ВС-а, СА=в, Тогда А02=
с в 3 в а
В „
кг
Аналогично, АОо < —------ и
3 3
из треугольника С^ОуА п тс сре-
= “ ♦ 2 - - -
3 3
27
= з'(в2 + о2 - 2во«( j )) =
- 3 (в2 + с2 - вл «?лГи£ + 2 fT*Г >, где J* = ^АААС..
Но из треугольника АВС по теореме косинуоов а2 = в2 + с2 -
-- 2во «savx? . поэтому в2 + о2 - вс ллг.^- =
= j (в^ + с2 + в2 + с2 - 2 вс ) = 2 (а2 + в2 + о2).
Итак, (0203)2 = | (а2 + в2 ь о2 + 4 /3V). Поскольку тре-
угольник 0т0?0о правильный (ом. задачу 42), то л? _ =
. (0^)^ . JT (S2 , в2 t с2) , 1 j. . _£Т (а2 . ,2 „
д Д4 2 24
+ о ) + Р (р-а) (р-в) (р—с), где р= - полупериметр
треугольника ЛВС.
44. Указание. Пусть лСАВ = Л. Покажите, что х.0зА02 = 60° ~
при 0 60 и 0j^^2 в ~ при
60° Л 180°. Тогда (0203)2 ~ j (с2+в2-2во . лдг (60° -/))
= (а2+в2+с2 — J" ) = (0102)2 = (0j03)2, откуда
^O-^lOg^OjOg.
о
45. Решение. Иопользуя значение (0203) , полученное в решении
предыдущей' задачи, находим:
УТ г,.2.„2 „2ч I г
*—2^----- я “Й— (а +в +с ) - =
= (а2+в2+с2) - IАр(р а)(р-в)(р-с)
46. Решение. Пусть ч площади внешнего и внутреннего
треугольников Наполеона соответственно. Тогда
= <а2+в2+с2)+ J z , 4 ’ -2зЗ__(а2+I&C2) -
- 2 » гДв •/* площадь треугольника АВС (см. решения
задач 43и45)и »/< - 'Q. S'.
47. Ответ а)
б)
все точки заштрихованной области (рис. Я 6 )
вое точки принадлежащие объединению кругов, построенных
на сторонах треугольника, как на диаметре (рис. £6
48. Решение
jeg______
Так как J* р(р-а) (p-в)(p-о) и р фиксировано,
максимальна, если максимально произведение (р-а)(р-в)(р-о)
Сумма сомножителей в последнем произведении постоянна
(р-а)»-(р-в)+(р-с)=3р-(а+в+о)«=3р-2р=р, поэтому воспользуемся тем,
что среднее геометрическое трех
сходит среднего арифметического
S-_____, .g.tjf+i*
неотрицательных чисел не прево-
зтих чисел:
причем равенство достигается в
(р-а)(р-в)(р^с) ) -
р (р-а)(р-в)(р-с) < ,
причем равенство достигается при а=в«о.
49,
случае х^у- ж. В нашем случае
т.З
> — или
27
J 3/3
т.е. равносторонний трэу ельник имеет наибольшую площадь сре-
ди всех треугольников данным периметром.
Решение. aj-^£, ®а2 й а3"*^ » 2J* 2рзг «
® 35(aj+ ag+ fig)» откуда ^«= J2L (ар. в^+ а^),
т т т
Итак. Х(ар+ а3>'( a/VV “ 9
и ( 8j+ 8g+ ag) • ( i + I 2 ) = 9. Последнее равенство
Z e*2 3
можно переписать в виде
или, раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые в левой части,
получим:
В каждой из окобок левой части последнего равенства стоит вы-
ражение вида х + у , для которого при х > О выполняется
неравенство х + у ^2 (ето неравенство при х >- О экви-
2 2
валентно следующим: х + I 2х, х - 2х + I :> О,
п
(х - 1Г > О, заметим также что это неравенство полезно
запомнить, так как оно часто используетоя при решении различ-
ных алгебраических задач), причем равенство достигается при
х - I.
Итак, равенство /а1 . а2\ /а1 аз\ /а2 а3 \
(а2 а1/ (а3 aJ \а3 + ' J =
может иметь место только прж а1 = а1 ^2 j
а2 = а3 а3 ’
откуда следует aj = ag = а^ .
50. Указание. Из равенств аь = в + «4у- - о + -4^. ,
= в = о = 2 «Г следует а + =
2/ 2f л
= в + — = с + -^ = ’ , т.е. числа а, в, с являются
хэ L> л
О
корнями квадратного уравнения х -^х ( 2/ = 0.
Покажите, что предположение о том, что не все числа а, в, с
равны между собой, приводит к противоречию.
§ 2. Прямоугольный треугольник
1. Один из катетов прямоугольного треугольника вдвое меньше его
гипотенузы. Определите углы этого треугольника.
2. Зная длины сторон прямоугольного треугольника определите:
а) радиус вписанной окружности;
б) радиус вневписанной окружности, иасакпейся гипотенузы и про-
30
должений катетов;
в) радиуоы вневписанных окружностей, каоаицихоя одного из ка-
тетов и продолжений гипотенузы и другого катета.
3. Определите вид треугольников, каждый из которых можно разрезать
на два подобных ему.
4. а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведен-
ная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы
б) Докажите, что верно и обратное: если медиана, проведенная из
вершины некоторого угла треугольника равна половине противо-
положной ему стороны, то етот угол - прямой.
5. Высота, опущенная из вершины прямого угла прямоухолъног. треу-
гольника равна корню квадрат] му из длин отрезков, на которые она
делит гипотенузу.
6. Найти геометрическое место точек пересечения медиан всевозмож-
ных прямоугольных треугольников, гипотенуза АВ которых зафик-
сирована.
7. Пусть а и в - длины катетов прямоугольного треугольника, а
С - длина его гипотенузы. Докажите, что для всех п>2 выполня-
ется неравенство
ал+ в < с
8. Пусть а и в - катеты прямоугольного треугольника, а
X - высота, опущенная из вершины прямого угла. Докажите, что
9. а) В неравнобедренном прямоугольном треуголгнике из вершины пря-
мого угла проведены медиана, биссектриса и высота. Докажите,
что биссектриса делит угол между медианой и высотой пополам.
б) Покажите, что верно и обратное, т.е. если из вершины С не-
равнобедренного треугольника проведена биссектриса, которая
делит угол между медианой и высотой, проведенными из той же
вершины, пополам, то угол С - прямой.
10. Медиана, биссектриса и высота, щи веденные из вершины одного и
того же угла некоторого треугольника, делят этот угол на четы-
ре равные части. Найдите углы треугольника.
31
II. Постройте прямоугольный треугольник, вписанный в данную окруж-
ность так, чтобы егс катеты проходили соответственно через
две заданные точки внутри окружности.
12. Пусть стороны а, в и с треугольника АВС соответственно про-
тивоположны углам А, В и С. Докажите, чтс треугольник ЛВС -
прямоугольный в том и только том случав, когда имеет место ра-
венство иг 6соз С + £с со л А + ас сол S - с*.
13. Устнох Лестница длины , вертикально приставленная к стене,
починает соскальзывать, вниз. Упадет ли лестница на пол, если ее
середина была привязана к полу веревкой длины j Л ?
14. На гипотенузе прямоугольного треугольника как на стороне во
внешнюю сторону построен квадрат. Докажите, что отрезок, сое-
диняющий вершину прямого угла треугольника о центром квадрата,
делит этот угол пополам.
15. Устно. Докажите, что из всех треугольников с двумя заданным»
сторонами а и i максимальную площадь имеет прямоугольный
треугольник, причем эти стороны являются катетами.
16. Зная катеты айв прямоугольного треугольника, найдите дли-
ну биссектрисы прямого угла.
17. Пусть радиус окружности, вписанной в данный прямЬугольный тре-
угольник с катетами а и в, равен г , а радиус описанной ок-
ружности R. .
Докажите, что а+в=2 ( R. + т ) .
It. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС найдите
такую точку Ы, чтобы отрезок, соединяющий основания перпен-
дикуляров, опущенных из этой точки на катеты, имел наименьшую
длину.
19. Определите углы треугольника, в котором медиана и высота, про-
веданные из вершины одного и того же угла, делят этот угол на
три равные части.
г j. Устно, а) Докажите, что в прямоугольном треугольнике высота
(с «тветгтвлино биссектриса), проведенная из вершины прямого
32
угла равна половине гипотенузы в том и только в том случае, ког-
да треугольник равнобедренный.
б) Определите углы прямоугольного треугольника, если произведе-
ние высот этого треугольника в два раза меньше произведения его
сторон.
21. Докажите, что данный треугольник прямоугольный тогда и только
тогда, когда квадрат синуса одного угла этого треугольника равен
сумме квадратов синусов двух других углов.
22. Найдите углы треугольника, две высоты которого ье меньше соот-
ветствующих сторон, на которые они опущены.
23. а) Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна про-
изведению отрезков, на которые делит гипотенузу точка касания
вписанной окружности
б*) Докажите, что верно и обратное: если площадь треугольник^
равняется произведению отрезков, на которые точка касания вписан-
ной окружности делит одну из его сторон, то угол треугольника,
противолежащий этой стороне, прямой.
24. ) Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и точке, в ко-
торой ее касается вписанная окружность.
25. Постройте прямоугольный треугольник по двум его медианам
т*, проведенным к катетам.
26. Постройте прямоугольный треугольник по:
а) гипотенузе и оумме катетов;
б) гипотенузе и разнбсти катетов;
в) радиусам вписанной и описанной окружностей;
г) катету и разности между гипотенузой и другим катетам;
д) катету и сумме гипотенузы и другого катета.
27. Найдита геометрическое место вершин С неизменяемого прямоуголь-
ного треугольника АВС, гипотенуза АВ которого скользит по
сторонам заданного на плоскости прямого угла 0.
28. а) Докажите, что в любом прямоугольном треугольнике АВС ( zC-90°
сумма катетов меньше суммы гипотенузы и любого отрезка СЕ, где
точка Е принадлежит гипотенузе.
33
б) Докажите, что дня любого прямоугольного треугольника
т * с * £
I * <г~*б ~ , где а и в - катеты, о -гипо-
тенуза, 4. - высота,опущенная на гипотенузу.
29. Докажите, что для любого прямоугольного треугольника имеют ме-
сто двойные неравенства:
а) о* а + в < 1,5с ;
б) 0,4 г < 0,5,
где а и в - катеты, с - гипотенуза,
z - радиус,вписанной окружности, а.
4 - высота, опущенная на гипотенузу.
30. Постройте прямоугольный треугольник АВС по гипотенузе АВ и
медиане AAj , проведенной к катету ВС.
31. £cjho. При каком положении отрезка АВ, скользящего по сторо-
нам прямого угла 0, площадь треугольника АОВ будет наиболь-
шей?
32. Докажите, что разность квадратов отрезков, на которые разбива-
ет гипотенузу перпендикуляр, опущенный из серединыодного кате-
та прямоугольного треугольника, равна квадрату другого катета.
33. Устно. На гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС опу-
щен перпендикуляр EF из произвольной точки Е катета АС. До-
кажите.что ^ECF = -^ЕВГ.
34. Докажите, что площадь прямоугольного треугольника с острым уг-
лом в 15° равна одной восьмой квадрата гипотенузы. / . '
35. В треугольники, на которые разбивает данный прямоугольный тре-
угольник высота, опущенная на гипотенузу, вписаны окружности
радиусов \ и Z 2 . Докажите, что:
I*. = Z* , где г - радиус окружности, вписан-
ной в исходный треугольник.
2. Докажите, что А - высота, опущенная
на гипотенузу .
34
36. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС отмечены
точки Е и F такие, что AF = АС и BE = ВС. Найдите угол
EOF.
37. В прямоугольном треугольнике АВС (• z С => 90 *) проведена ме
диана СМ. В треугольник АСМ вписана окружность, которая
касается отрезка AM в точке Е, делящей его пополам. Най-
дите углы треугольника АВС.
38. Докажите, что для любого прямоугольного треугольника верни
неравенства:
I) 1 < | а
2) 14 2 с < з , где а - катет, о - гипотенуза,
1 - радиус вписанной окружности .
39. Определите углы прямоугольного треугольника, для которого от-
ношение радиуса А описанной окружности к радиусу
вписанной окружности:
к
а) равно 2 •
б) наименьшее.
40. На гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС опущена
высота СН. В треугольнике ЛСН проведена биссектриса СЕ.
Докажите, что БЕ = ВС.
41. (Задача о "луночках Гиппократа").
На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника, как на
диаметрах, построены полуокружности так, как указано на рис.
Докажите, что сумма площадей двух заштрихованных "луночек" рав-
на площади треугольника .
Рис 21
35
42. Докажите, что если стороны прямоугольного треугольника - це-
лые числа, то произведение катетов делится на 12.
43. Ус^нр. Пусть 0 - центр окружности, вписанной в прямоуголь-
ный треугольник АВС ( ZC = 90°). Докажите, что z А0В=135о
44. I) Гипотенуза и катеты прямоугольного треугольника являются
сходственными сторонами построенных на них и подобных между
собой треугольников. Докажите, что площадь треугольника, по-
строенного на гипотенузе, равна сумме площадей треугольников,
построенных на катетах.
2) Докажите, что если площади двух прямоугольных треугольни-
ков относятся как квадраты гипотенуз, то эти треугольники по-
добны.
45. Пусть X - произвольная точка на гипотенузе АВ прямоуголь-
ного треугольника ЛВС, причем АХ = , ВХ = /г , СХ -- cL .
Полагая ЛВ=СГ АС-в, ВС=а, докажите, что
2 л 2 2 2/£
а яг + вл - о « .
46. Из вершины С прямоугольного треугольника АВС опущена вы-
сота СН на гипотенузу АВ. В образовавшиеся треугольники
ЛСН и ВСН вписаны отружности с центрами соответственно в
точках 0j и 02. Пусть прямые COj- и С02 пересекают
АВ соответственно в точках М и К, а прямая 0j02 пере-
секает катеты АС и ВС соответственно в точках Ей/7.
Докажите, что
I) АС=ЛК, ВМ=ВС;
2) прямые 0 Oj и ВС (соответ. 0 02 и АС), где 0 - точка
касания вписанной в треугольник АВС окружности гипотену-
зы /В, параллельны;
3) прямая 0j02 отсекает на катетах АС и ВС отрезки, рав-
ные высоте СН, т.е. CE=CF =СН ;
4) EF= A-V2 , где А. =СН ;
5) точки Е, 11, 02, С (ссотв. F , Н, Oj, С) лежат на одной
окружности;
6) + Oj н 02 = 90°;
7) ОтОо = Z /Т , где Z - радиус вязанной в треугольник
36
АВС окружности;
6) EHF « 135°,
47. Построить прямоугольный треугольник, зная радиусы и
окружностей, вписанных в треугольники, на которые разбивает
исходный треугольник высота, опущенная на гипотенузу .
48 (Обобщенная теорема Пифагора). Высота С£> прямоугольного тре-
угольника АВС опущена на гипотенузу. Пусть и
соответственно сходственные линейные элементы в подобных тре-
угольниках BCZ> , АС.® и АВС. Докажите, что
/у1 s*
49. Внутри прямоугольного треугольника АВС ( z С=90°) выбра-
на точка 0 так, что площади треугольников AQB, ВОС и АОС
равны. Докажите, что
ОА2 + СВ2 •= 5 ОС2
50. Постройте прямоугольный треугольник АВС, зная вершину С
прямого угла и центры 0 и 0 вписанной и описанной окруж-
ностей.
Задачи ДЛЯ самостоятельного решения
I. Докажите, что данный треугольник прямоугольный и равнобедренный
тогда и только тогда, когда у**ьА + с&з А = В +
+ cod В , где А и В - два угла треугольника.
2. Устно. Найдите геометрическое место точек перзсачения медиан все
возможных прямоугольных треугольников, вписанных в данную окруж-
ность.
3. В условиях задачи 2.18 докажите, что площадь четырехугольника
CEMF , где Е и F - основания перпендикуляров, будет наиболь-
шей в точности, когда точка М - середина АВ.
4. В прямоугольном треугольнике АВС -*С=90° , АС=ВС, точки Е и
Л" делят катет АС на три равные части. Докажите, что
37
z ВАС + ^ВИС + Z.J3FC = 90°.
5. Устно._ Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник,
зная сумму гипотенузы и высоты, опущенной из прямого угла.
6. Радиус описанной около данного прямоугольного треугольника окруж-
ности равен А , а его площадь - S. Найдите радиус вписанной в
втот треугольник окружности.
7. Постройте прямоугольный треугольник, зная его площадь и сумцу
катетов.
8. Докажите, что если в треугольнике АЗС Д А=2 z В и
АВ = 2ЛС, то z С=90°, т.е. треугольник - прямоугольный.
9, Докажите, что высота в прямоугольном треугольнике, опущенная
из вершины прямого угла, разбивает гипотенузу на отрезки, от-
ношение которых равно отношению квадратов катетов.
10. Пусть Л -высота, опущенная на гипотенузу с прямоугольно-
го треугольника с катетами а и в. Докажите, что треуголь-
ник со сторонами а+в, X и оь *4 также прямоугольный.
Определите его гипотенузу.
II. Докажите, что в прямоугольном треугольнике площади S
z = /5+ /?Г - Л ,
где 1 и >? - соответственно радиусы вписанной и описанной
окружностей.
12. Пусть S - площадь прямоугольного тр ^угольника, р - его
полупериметр, с - гипотенуза, а и в - катеты. Докажите,
что
5 = р(р-сМр-а)(р-в).
13. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и биссектри-
се прямого угла.
II. Пусть Z, и - соответственно радиусы вписан-
ной и вневписанных для данного треугольника окрунностей. Дока-
жите, что треугольник будет прямоутольным в том и только в том
случае, когда Z 2rft .
15. Докажите, что если один из углов треугольника равен 120°, то
треугольник о вершинами в основаниях биссектрис:.- - прямоуголь-
ный.
Ответы, Указания, Решения,
Глава Ш. 5 2
I. 30° и 60°.
2. а) (а+в-о)«р-с; б) j (а+э+с)=р; в) 1 (а+с-в)=р-в и
2 (в+с-а)=р-а, где а, в и с - соответственно длины катетов
и гипотенузы данного прямоугольного треугольника, ар- полу
периметр.
а) Решение Цусть
), АС=а и ВС=® , 2 -радиуо
вписанной окружности (рис. 2Х)
Е, F и в- - точки касания
вписанной окружности. Тогда
EC«=FC= "Z откуда AB=AG- =а- г .
Аналогично г•
Таким образом, c*AB-AG+B<?=
=(а-т)+(в-г), т.е. 1 « ^(а+в-о)
б), в) Решение аналогично пункту а)
3. Прямоугольные треугольники
Решение. Покажем, что этим свойством обладают только прямоуголь-
ные треугольники. Всякий прямоугольный треугольник высотой, про-
веденной из вершины прямого угла-, разрезается на два подобных
ему треугольника.
Обратно, пусть отрезок СЕ делит л АВС на подобные ему тре-
угольники АСЕ И ВСЕ (рио. 25 ). Боли углы г /
не равны между собой, то в силу подобия соответствующих треу-
гольников они равны разным углам и АВС, что противоречит тому,
что углы и у? - смежные, т.е. +.в = 160 .
39
Таким образом,
ный.
- 90°, откуда Л АВС - црнмоуголь-
с
Лс. 2 9
4, «) 0<евидно силу того, «то центром описанной около прямоуголь
кого цреутолькика окружности является середина его гипотенузы.
б) Обратно, волн медиана делят соответствующую сторону треуголь-
ника на равные ей отрезки, то, очевидно, основание медианы яв-
ляется центром оплоаниой около треугольника окружности. Отсюда
следует, что угол яе вершны которого проведена медиана, опира-
ется на диаметр и, стало быть, является прямым.
Б. Удмшше. Рассмотрите подобные треугольники, на которые высо-
та разбивает данный прямоугольный треугольник.
в. Окружность о центром в середине 0 гипотенузы АВ и радиуса,
равного g АВ, без двух точек той окружности, принадлежащих
отрезку АВ.
Удаяадие» Воспользуйтесь вадачамиз.4 а) я 4.3/'для елносг пи)
а + в
л - а а
в
7. * силу теоремы Пифагора а2 + в2 » о2, откуда
л - г я л -a а п-а г
а - а в • в < с а + <
- а р о я -я р л
о • (а + в ) «с • о^ » о .
b Ия подобия треугольников АСН я ВСН, где Н - основание вн-
оти, опущенной из верошны С прямого угла (рис. 30 ), получим
опорцию:
40
, откуда
о2
а2 в2
Л^с.
а)-
9ЛОбозначим через 0 - центр описанное около треугольника АВС
окружности, а черев Г - точку пересечения биссектрисы СЕ уг-
ла С с этой окружностью (рио. 31
Пусть, кроме того, СН - высота,
а СМ - медиана, проведенная из
вернины 0.
Ейооектриса угла С делит дугу
АВ пополам, поэтому OF ± АВ
ж,следовательно
Отсюда * FCH >
видно, £ OFC
Взссектриоа СЕ
высотой СН и медианой СМ
чае, когда ZMCF « ZFCH.
зом, указанное условие эквивалентно равенству ^VCF
что означает совпадение точек М и О,
треугольника АВС.
OF II СН .
z OFC, но,
z OCF.
делит угол
оче-
между
пополам
Но ZFCH
в том
ж только в том оду-
OCF . Таким обра-
z OCF,
т.е. прямоугольность
10. 22,5° ж 67,5°
Решение; в силу предыдущей задачи угол С (ом. рио. 31 )
равен 90°. Далее, по условию ZACH » z С « 22,5°.
Прямоугольный треугольник АСЯ подобен треугольнику АВС,
откуда - ZACH - 22,5е, ZA - 67,5°
II. Указание. Рассмотрите окружность, построенную на отрезке о
концами в двуг дг.т.-л точках как на диаметре.
12. Решение. В любом треугольнике АВС верно равенство
41
С » л сол в, докавательотво которого видно ж»
рис. 3 2 а) ж рже. 32 б) .
Поатоцу д/’ с*) С + coj Л + ассоа в * о.£са> С * С •
-Л кп&У^£^&СЛ. Т«» обрааом , А Соз С+
& оозА * iLC сеэ & - сл в тем ж только в том одучае.
Когда afc^Oc1 » сл t откуда С * О ,
т.е. С - 90°
13. Да
Удар ада». Используя результат вадачиЗДа), найдите траекторию
середина лестнице, рассматриваемой хак отрезок, цри скольжении
вниз.
14. £аааЩ£. Пусть z С в треугольнике АВС (рис
прямой. Центр 0 квадрата и
точка С жехат на окружности
о диаметром АВ. АО-ОВ. поэтому
углы АСО ж ВСО равны, как опи-
раюциеоя на равные хорды.
Лс. 33
15. Укаваяяе. Иополмуйте формулу дал плодада треугольника
5 : j а Л
!в. -Т&
РедОНИе. Плсцада J - яв прямоугольного треугольника рав-
на суше площадей S, ж St двух треугольников, на которые
<J2
разбивает исходный треугольник биссектриса {. . Углы между ка-
тетами и биссектрисой равны 45°, поетоцу;
~^аь г>, о? + ^,т.е.
17. Указание. Воспользуйтесь решением задачи22а).
18. Точка М является основанием высоты, опущенной из вершины С
на гипотенузу.
Указание. Покажите, что четырехугольник UECF , где Е и F
- основания перпендикуляров, опущенных из точки М на кате-
ты, - прямоугольник.
19. 90°, 60° и 30°.
Обозначим угол между медианой
СМ и высотой СН, проведен-
ными из вершины С треугольни-
ка АВС через х (рис. 3? ).
Тогда по условию z АСВ= zMCB=a.
Высота СН в треугольнике АСМ
является в биссектрисой, а зна-
чит и медианой, откуда
МН=МА= МВ.
Вюоектриса СМ треугольника ВСН
делит основание ВН на
части, пропорциональные прилегающим сторонам, откуда
СН МН I
СВ МВ 2
Значит,катет СН, лежащий напротив угла В, равен половине
гипотенузы, что в силу задачи .2.1 означает: z В=30°. От-
сюда ^ВСН=60°. Следовательно, х=30°, а = Зх = 90° и
ZA = 60°
20. а) Указание. Воспользуйтесь задачей 2А а)
б) 45°, 45°
43
Указание. Используйте пункт а).
21. а) Пусть треугольник АВС прямоугольный, zC=90°, АВ=с,
АС=в, ВС=®. 4 , л а
Тогда О'*-* С » 1 -= хс+ Я
Обратно, пусть в некотором треугольнике АВС
^п.лс tinf/t * ^Jza.
Из формулы для площади треугольника
5 = j а в >»*» С находим
4sa
Аналогично
Тогда по условию
/5
4 S
Производя сокращение и умножая обе части равенства на
а2в2с2, получим с2 « а2 + в2 , т.е.
треугольник АВС прямоугольный.
22. 90°, 45°, 45°
Решение. Пусть а=ВС, в=АС и с=ЛВ отороны треугольника
АВС, а Ла и соответственно высоты в сторонам а
и в такие, что > а , А/ > € .
Пусть, например а £ в. Тогда для площади 5 треугольника
АВС имеем:
J = / а С £ С . Причем равенство дости-
гается в точности, когда а=в и ZC = 90°. *
С другой стороны, по условию $ = 2 в > 2 т"0,
1 2
5=2® и в силу вышесказанного, треугольник АВС - рав-
нобедренный прямоугольный.
23. а) Пусть гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС
(рис. i ) разбивается точкой касания К вписанной окруж-
ности на отрезки АК и КВ длиной хи у. Касательные к
44
окружности
проведенные ие
BF « у, от-
+ т , ВС - а
т - радиус
одной точки, равны.
Поэтому АЕ = х,
дуда АС = в = х
У + 1 , где
вписанной осружнооти. Тогда
2S ав=(у+?)(х+?)«ху+хСх+у+т)»
xy+t-j (а+в+о)-ху+рт=ку+ S ,
где с«а+у - гипотенуза,
р - j (а+в+о) - полупериметр,
а S - площадь треугольника
АВС. Т.о., 2S «осу+ S и значит
б) Пусть S = х1х2' гдв
(рис. ЗС ) f
A f =Xj,
В F =ВЕ =Xg .
Покажем, что^С=90°.
S = - АС- ВС С -
2
S - площадь треугольника АВС
Л
Рис. 36
где СЛ=СЕ » у. Таким
образом, (xj + у)(х2 + y)'f***- С
ки и деля обе части равенства на
Х1Х2 + у <*! + *2 + у) ж г*1*2
А*~С
Но ш 3 • Х1 + х2 * у ' £ > где
1 - радиус вписанной окружности .
г. 2S
Отсюда
или
У *
т.е.
2x^2’ или» раскрывая скоб-
С:
21
у 0®0 + /СЕО = 180°, а значит четырехугольник СРиЕ
Далее,
вписанный. Для площади 3L этого четырехугольника имеем:
45
j' » у s^-C * 2 “* &*** f- gft * у )б*+* C.
с другой стороны, л ^асл> * 4»СЛ> ’*'/ г<? ’ Z^'
Т.о.,
„ *»ЧГ 4?Т
Приравнивая “ try > получим
<7 <7
*2 (у -I) =0 о
Отсвда у Z , т. в. * С * 90
^откуда
ТУ + у" “ т + у~ или
24. Указание. Используя предыдущую задачу, найдите высоту п. ,
опущенную из вершины С прямого угла на гипотенузу. Отсюда
вершина С находится на расстоянии "А ст гипотенузы АВ и,
кроме того, на окружности о диаметром АВ.
Л 8 л-'
26. Указание. Покажите, что *гА -*• С , где
с - гипотенуза .
26. а) Продлим катет ВС«а за вершину С до точки Е так, что-
бы СЕ=АС=® (рис. 37 ). Тогда треугольник ЛЕС - равнобед-
ренный, откуда << АЕВ-450. Теперь, зная АВ=С, ВЕ-а+в и
z АЕВ-450, легко построить треугольник ЛЕВ. Восстановив
перпендикуляр из середины Н
стороны АЕ до пересечения о
отрезком БЕ, найдем точку С.
б) Указание. Пусть даны гипотенуза АВ=<? и разность катетов
ВС и АС, т.е. a-в. На отрезке ВС отложите отрезок
ЕС=АС. Постройте треугольник АЕВ.
в) Указание. Используйте пункт а) и задачу 2.17.
г) Пу ть в прямоугольном треугольнике АВС известны катет
АС*в и разность АВ-ВС=с-а. На продолжении ВС за верши-
ну С отложим точку Е так, чтобы ВЕ«АВ (рис. 3f ). Тог-
46
да в прямоугольном Треугольнике AEG катеты АС=в и СЕ=о-а
известны. Построив треугольник АВС
легко построить и треугольник АВС.
д) Указание. Продлив неизвестный
катот ВС за вершину В, отложите
точку Е так, чтобы отрезок BE
равнялся гипотенузе АВ. Постройте
прямоугольный треугольник АВЕ.
27. Отрезок EF на прямой, составляющей с лучом ОА угол, рав-
ный углу АВС, причем OF = АВ, ОЕ равняется минимальному
из катетов.
Указание» ZC + z0 = 180°, поэтому вокруг четырехугольника
АОВС можно описать окружность (рис. 39 ). Отсюда ZABC =
ZAOC и, значит, угол АОС неизменен.
28. а) Достаточно доказать, что
а + в z Х + с, где а и в - катеты, с - гипотенуза,
а А высота, опущенная из вершины прямого угла. Возводя
обе части неравенства в квадрат, получим:
а2 + 2ав ь в2 z 2 4- с + с2, т.е. 2ав z А. * + 2 ;
но 2ав = 2^с =45 Таким образом, получили верное неравен-
ство, а значит было верно и исходное неравенство.
б) Указание. Неравенство > 1 вытекает из л).
Для доказательства второго неравенства выразите, например,
с, а и через в и Равенство достигается при а=в.
29. I решение. Достаточно показать, что а + в с 1,5 о В оамом
деле, очевидно, 2ав 4 t? + в2, откуда а2 + 2ав + в*" =
= (а + в)2 z 2(а2 + в4) = 2с , т.е.
47
a + в //Г-о ZI,5 о
Д рещэние. В силу задачи£28 a+B^*j.+ o^ijc + oejjo,
где ^пе - медиана, проведенная к гипотенузе .
Ш рещеаир. Цуоть катет а противоположен углу А.
Тогда а = с А, в cf^A, откуда:
а + в » о ( #»»>- А + А) = о iT (А + f с,
причем равенство достигается в точности, когда
ZA + , т.е. -'А - Д
б) 3* - £ а А г (а+в+о), откуда .
** <* п. сигхэти
В силу пункта а) с za + в zl,5 о, т.е. 2о /а t в + о ^2,5 с
им гг > -татг > -ir— • откуда J > > § •
что и требовалось.
30. Указание, Сначала постройте треугольник АОЫ, где 0 - точка
пересечения медиан, а М - сёредана гипотенузы.
31. В олучае, когда * АВО » ВАО « 45°.
Указание: к I способу решения - Рассмотрите площадь прямоуголь-
ника АКВО, где точка К симметрична т.О относительно сере-
дины АВ; ко И способу решения-Рассмотрите аквивалентную за-
дачу: из всах прямоугольных треугольников AQB о заданной ги-
потенузой АВ найти треугольник наибольшей площади.
32. Цусть точка Е - середина катета ВС длины а, а точка О
середина гипотенузы АВ (рио. ^). Обозначим также AC=s,
AFrX, BF =у, где EF1 АВ.
Креме того, очевидно,
CTF -JLF -АО = х -
ОЕ - средняя линия, т.е. 0Е= j .
Далее, треугольник OEF подобен
треугольнику АВС, откуда:
0Ee0F идя *&_=_JpL. ,
АВ АС х+у f
и требовалось .
48
33. Указание. Покажите, что точки E,F, С и В лежат на одной
окружности.
34. Указание. Из вершины угла в 75° проведите прямую под углом
15° к гипотенузе до пересечения с катетом. Примените теорему
Пифагора к образовавшемуся малому прямоугольному треугольнику.
35. I. Пусть центрами окружностей, вписанных соответственно в
треугольники АВС, АНС и ВИС (рио. -^Z ), являются
точки 0, Oj и Og . ZACH =ZB, откуда zACOj = ^АВО. Таким
образом, треугольники ACOj и
АВО подобны по двум углам.
Аналогично подобны треугольники
BCOg и АВО. Радиусы 2^ , ?г я Z
окружностей являются высотами со-
ответственно в треугольниках АСО
BCOg и АВО, поэтому из подобия
этих треугольников имеем
ЗВ и Т = ЗВ
т е 11 -
г' ~
z ?
Осипа получаем — гд~~ =
7 = А/* */’.
АСг
или
Л
= У
2. Обозначим выооту СН (рис. ^Z ) через К. , Affax,
ЕН=с-х, АС=в, ВС=а, АВ=с.
Применим otji^t задачи 2.2 а) к прямоугольным треугольникам
АСН, ВСН^соответственно: Z, га <• г *•
I (х । К-К), \ г * * /fa* £ -, что и
требовалось.
36. 45°
Указание. Выразите углы СЕР и CFE через углы А и В
треугольника АВС.
37. 30°, 60°, 90°
4b
Указание. Используя равенство касательных, проведенный к ок-
ружности из одной точки, покажите, что треугольник АСМ рав-
носторонний.
38. I) Используя результат задачи 2.2 а), имеем
Z « 2 (а+в-с) 2 (а+с-с) = |а
2) В силу результата.доказанного в решении задачи 2.29 а),
а + в t с /У (равенство лишь в случае равнобедренности треу-
гольника), откуда:
7 « 2 (а+в-с) 4 j (о /Т- с) = ~
причем равенство достигается лишь когда острые углы треуголь-
ника равныФ0.
39. а) ап^^. , О/ы>^ £ ; б) 45°, 45°, 90°
Решение, а) Пусть катеты айв противоположны соответст-
венно углам А и В. В силу задачи 2.17:
а + в = 2 (Л + ?) = 2 (*+§«) = .
9 9 2 й
С другой стороны а + в = с = 4 ft , откуда
а2 + ( itj Я - а)2 а 4 Я4.
О . о
Решая это уравнение, находим а о, т.е. А = $
Аналогично АкВ = -
5 &
Таким образом, z А = , z в = ~ .
б) В силу задачи 2.38 2)
Z 4 с , откуда
50
Т.к.
в точности когда треугольник равно-
бедренный, то и наименьшее возможное значение отношения Y >
равное /2~ + I, достигается лишь в этом олучае.
40. В треугольнике СВЕК проведем биссектрису BF. Пусть отрез-
ки В F и СН пересекаются в точке К. Тогда в треугольниках
FC* м КВН два угла попарно равны :
zFCK = ZKBH,
FKC = * ВКН, откуда z CFK
Итак, биссектриса BF в
треугольнике СВЕ являет-
ся и высотой, а значит этот
треугольник равнобедренный,
т.е. ВЕ=ВС.
= ^ВНК = 90°
Рис. &2
41. Пуоть катеты треугольника - а и в, гипотенуза - с.
Сумма S площадей "луночек" получается вычитанием площади
большего полукруга из суммы площадей двух меньших полукругов
и площади треугольника. Таким образом ,
-= 4a.g-4£л= f
О v 4Г о
что и требовалось.
42. Пусть а и в - катеты, с - гипотенуза данного прямоуголь-
ного треугольника. Очевидно, любое целое число в квадрате де-
лится на 3 иди представимо в виде Зя + I. Поэтому, если а
и в не делятся на 3, то с2 = а2 + в2 = (Зл+ I) +
+ (Зк + I) = 3 (к+п) + 2 - противоречие с вышесказанным. Та-
ким образом, ав делится на 3.
Покажем теперь, что ав делится на 4. Если а и в -
четные, то утверждение очевидно. Так как любое нечетное число
в квадрате имеет вид 4*1 + I, то а и в не могут быть не-
четными одновременно (в этом случае с2 = а2 + в = (4к+1) +
+ (4-/+ I) = 4(к +0 + 2 - противоречие). Пусть одно из чисел,
например в, нечетное, т.е. имеет вид 4П± 1, а другое -
51
ооотв. а - четное. Тогда о тоже нечетное и, отало бить,
о « I, откуда одно яз чисел с-в я о+в делится на 4,
а другое - на 2. Таким образом, а2 = о2 - / = (о - в)(в+в)
делится на 8, т.е. а делится по крайней мере на 4, что и
требовалось,
Окончательно, ан делится на 12.
44. I) Цуоть у и - высоты треугольников, опущен-
ные соответственно на катеты а, в и гипотенузу о. Треуголь-
ники подобны, поэтому "х S , в ft в силу теоремы
Пифагора а2 + в2 с2, т.е., яопользуя полученные равенства,
в° • Отовда. после очевидных преобразо-
ваний аХ#+ в » о X t или j а + 2»Кв=«^сК,
т.е. S,+ $л • S, где Sf , и S - соответствующие
площади подобных "’реуголышков, что я требовалось.
2) Указание. Пусть cf, и ct , £ t - гипотенузы и высо-
ты к ним в соответствующих треугольниках С, и Аа В2 С,
По условию /с, X, сг*
= ’ с *
откуда , т.е. с, Г . Но
точно так хо находится высота прямоугольного треугольника
АВС о гипотенузой С^, подобного треугольнику А,ВУ Cf •
Покажите далее, что гипотенузой и высотой к ней, опущенной из
вер ины прямого угла,прямоугольный треугольник определяется од-
нозначно.
45. Так как л « о - »*t , то
а2*™.*' +в2п2 =« е&п2 + в2 (о - т )2 - а2#** + в2с2 - 2вс2^. +
+ в2>п3 е т\а2 -г в2) + в2о2 - 2 в2с*« « *п*с2 + в2о2 - ?в2сад»
• о2 ( т* + в2 - 2 в | ) ,
Но, очевидно, | Л , откуда в силу теоремы косинусов,
примененной к треугольнику ACT,
тпг+ в2 - , что F Доказывает нужное
равенство
52
46. I) xf AKO (рис. ^5 ) - внешни! к углу ВКС треугольника
<9Z
2) Опустим пярневдидуляр
ВКС, откуда х АКС = х в +
+ хвск. Но -f ВСК - ХНСК,
а хАСН з хв и, значит,
хАКС . ХАСН + х ИСК =
« х АСК, т.е. треугольник
АСК равнобедренный и АС=АК.
Аналогично доказывается, что
ВЙ--ВС.
(рио. ) на катет АС.
Пусть /V - точка пересечения
<2Z о отрезком АО, где
О - центр вписанной в треу-
гольник АВС окружности.
Прямоугольные треугольники
ki.A'n АСО' подобны, в
z^v z-y
силу чего
Рассматривая прямоугольный
треугольник АДО , заметим.
что far ° • Кроме того,
вписанной окружности, откуда Z/Их
00 •» t
Z Осо /1
- радиус
Но из подо-
АСН и АВС имеем
бия прямоугольных треугольников
гольник АСН окружности, т.е.
Таким образом, Z Л'' = 2У
лежащая на биссектрисе угла А,
_ радиус вписанной в треу-
Tt ° 2 • хУ .
и, следовательно, точка AS,
совпадает с центром Oj
вписанной в треугольник АСИ окружности. А это и значит, что
прямая 0*0, параллельна прямой ВС. Аналогично доказывается
параллельность прямых АВ и O'Og.
3) На катетах АС и АВ отметим соответственно точки Е и F
так, чтобы СЕ » С F » СН. Для доказательства утверждения до-
отаточно- показать, что центры вписанных в треугольники АСН и
ВСН окружностей лежат на EF • Пусть Oj - точка первое- |
чения биссектрисы угла АСН о отрезком Е F . Тогда треуголь-
53
ника ECO., и НСО, равны, откуда ZEHC в * ZJEC « 45°. Так как
ZAHC - 90°, то значит z ЕНС ° ‘АНЕ = 45°, т.е. НОЧ - биооект
риса угла АНС. А это и значит, что О, - точка пересечения
биссектрисы треугольника АНС, т.е. центр вписанной в него
окружности. Аналогично доказывается, что центр второй окружно-
сти лежит на EF.
4) Легко следует из пункта 3)
5) В силу 3) точки Е,Н и F лежат на окружности о центром
в точке С, откуда z НЕ F = НС F * * ПС02. Итак
углы НЕО2 и НС02, опирающиеся на отрезок Н02, равны, а
это и значит, что вое четыре точки Hj 02, Е и С лежат на
одной окружности.
6) ^О,НС = zQjHC в 45°, т.е. 0^Н02 » 90°
7) Пусть Aj и Bj - соответственно точки касания окружностей
радиусов тг и
очевидно, AjBj 7, + z а .
гипотенузы
АВ (рис. ). Тогда,
Опустим перпендикуляр 0,Л^
на O^Bj. Тогда О^г/ »
- ,VVl<
и по теореме Пифагора
OjOjj -/(0,?Z)2 + (On Д' )2 »
/2 (7/+ ) t В силу
задачи 2.35 1 ж V* 7* + 7* \
откуда 0j02 ж Z /2~.
47. Указание.' Используйте задачи 2.35 и 2.46.
48. Стороны ЗС=а, АС-в, АВ=с являются сходственными в указан-
ных в условии
треугольниках, откуда
Обозначим эти
В = & £ (
а2 < в2 = с2.'
отношения через
с = £ £ с •
т.е. tf1 +
, откуда а = ,
Теперь в силу теоремы Пифагора
= <*.
54
Опустим из точки О (рас. ^6 )
ооответствупцие выооты
OAj «« , OCj« И
QBj= на стороны прямоуголь-
ного треугольника АВС. По-
лежим также АС=®, ВС=а.
Тогда из рассмотрения прямо-
угольных треугольников OBjA
и OAj-B получим1 соответст-
венно
(в-Х,)2 + = ОА2 и
(а -^)2 + Л* =« СВ2,
откуда 0А2+0В2=(а- ^,)2 + (в - А., )2 + А* +
= а2 в2 - 2а X, - 2в X, + 2 ( Л/ + .
НО В ОИДУ УСЛОВИЯ -у- X, а а / А.л В » 3 АвС ° В ав»
т.е. в = 3 r , а «= 3 X, . Таким образом,
ОА2 + ОВ2 = 9 Л* + 9 Л* - 6 /4/ - 6 А, *-
+ 2( Л/ + Kf ) = 5^( 1</+ ).
Но > 5*1, = ОС2, откуда окончательно
ОА2 + С(^ = 50С2
f i
50. Указание. Учитывая, что АСО « *ВСО
= 45°, постройте
сначала прямые АС и ВС.
§ 3. Ьаисадце, описанные и рн^исаннзи ок или ости
I. Устнр. Докажите, что любое из нижеприведенных условий вквива-
лентно равносторонности данного треугольника:
а) центр вписанной окружности совпав дт о центром описанной
окружности;
б) точки касания вписанной окружности делят соответствующие
стороны пополам.
55
2.* а) (Формула Эйлера). Докажите, что для любого треугольника
расстояние сС между центрами описанной и вписанной окруж-
ностей находится по формуле:
Z3 Ав-глт,
где Л - радиус описанной окружности, Z - радиус вписан-
ной окружности .
б) Докажите, что если расстояние ct между центрами двух
данных окружностей радиусов Л и Ъ находится по формуле
Эйлера (см. пункт а)), то найдется бесконечно много различ-
ных треугольников, для которых одна из втих окружностей яв-
ляется описанной, а другая - вписанной.
3. Докажите, что
г * i л ,
причем равенство имеет место лишь для равностороннего треуголь-
ника
4. (Теорема Мансиона). Докажите, что середины трех отрезков, сое-
диняющих центр вписанной в треугольник окружности о центрами
вневписанных окружностей, лежат на описанной окружности.
5. Докажите, что:
а) треугольник OjOgOg, в0Ршинами которого являются центры
вневписанных окружностей данного треугольника АВС, остро-
угольный
б) вершины А, В и С треугольника АВС являются основаниями
высот треугольника OjOgOg ^1’ ^2’ “ П°нтры вневписанных
* окружностей).
6. Постройте треугольник АВС по трем точкам Ор, 0g и Од, яв-
ляющимся соответственно:
а) центрами вписанной, описанной и вневписанной окружностей;
б) центрами описанной и двух вневписанных окружностей;
в) центрами вневписанных окружностей;
г) центрами вписанной и двух вневписанных окружностей.
7. Пусть Ар Bj и Cj - точки касания вписанной в треугольник ЛВС
окружности, лежащие соответственно напротив вершин А,В и С.
56
Докажите, что:
а) Отрезки AAj, BBj и CCj делят утлы треугольника АВС на
острые углы ;
б)* треугольник АВС правильный, если отрезки AAj , BBj и
CCj равны между собой.
8. Докажите, что прямая соединяющая центры вписанной в данный
треугольник АВС окружности и описанной около него окружно- I
ста, прсаодит'врез центр вневписанной окружности, касающейся
стороны ВС, в тем и только в том случае, когда АВ=АС .
9. Пусть Aj,Bj, Cj - точки касания вневписанных окружностей со-
ответственно сторон а=ВС, в=АС, о=АВ треугольника АВС .
Докажите, что:
a) ABj =р-о ;
б) ABj + ACj = о.
10. Устнр. Верно ли, что при неограниченном уменьшении всех сто-
рон треугольника будет неограниченно уменьшаться и радиус:
а) описанной окружности;
б) вписанной окружности?
II. Докажите, что центр описанной около треугольника окружности,
лежит вне этого треугольника в том и только в том случае,
когда треугольник тупоугольный .
12. Докажите, что гентри вневписанных для данного треугольника
окружностей лежат вне описанной окружности .
13. Докажите, что отношение произвольной стороны треугольника к
оинусу противолежащего угла равно диаметру описанной окруж- I
ности.
14. Устно. Пусть Aj, Bj, Cj - точки пересечения продолжений ме-
диан треугольника АВС с описанной окружностью. Верно ли,
что треугольник ApBjCj подобен треугольнику АВС?
15. Пусть а, в и о - стороны произвольного треугольника,
и < - соответствующие им высоты, А - радиус описанной
57
окружности, 5" “ площадь треугольника. Докажите, что:
а) Л . .
б) ав = 2 Л? ;
, У У у ав + ре + са
в) + -( + ^-с = 2 Я ’
✓ . _< + ± _ _г
г) z; * * Ze - г ,
16. Используя обозначения задачи 3.14, докажите, что для произ-
вольного треугольника АВС :
a) S= (р-а)2а , где р - полупериметр;
б) € = , где , г, и гс _
радиусы вневписанных окружностей;
в) S= /ггаг^с ;
у .X
Г) *< 1
2 _L_____С -
д) уГ “ 7, 7С 1 *
. с —
е) «> ~
# * 7^ * гс = * г
17. Постройте треугольник ЛВС по трем точкам Р , Q , Р- ,
являющимся соответственно точками пересечения о описанной
окружностью продолжений:
а) медианы, биссектрисы и высоты, проведенных из одной
вершины треугольника АВС;
б) биссектрис треугольника ЛВС;
в) высот треугольника ЛВС.
18. Постройте треугольник ЛВС, зная: (см. обозначения из зго
чи 3.14):
58
а) Л , 1 z л ;
б) а, £ , ;
в) z a, 't, в ;
г) ЛгА , ^-л t Л (%- медиана к стороне а);
Д) , г С *£. - биссектриса из вершины А) .
19. Найдите утлы треугольника, если центры вписанной и описанной
окружностей симметричны относительно одной из его оторон.
20. Используя обозначения из условия задачи 5.14, докажите, что
треугольники АВС и А В С равны, если у них соответст-
венно равны:
а) радиусы вневписанных окружностей;
т-е. , Zc^ Z‘ ;
6) z = z‘, X гл , Z. = Z4 ;
в)>е= , *л = zi , z< - z‘t
г) Л* г - г s .
21. Докажите, что радиусы вневписанных для данного треугольника
окружностей совпадают тогда и только тогда, когда треуголь-
ник равносторонний, т.е. = zg - гс О а - с.
22. Пусть Za , , Zc - радиусы вневписанных окруж-
ностей данного треугольника, расположенные в порядке неубы-
вания ( ), Z - радиус вписанной в него
окружности. Докажите, что:
? О ,
причем оба равенства достигаются одновременно лишь в случае
равностороннего треугольника .
23. а) Докажите, что для любого треугольника
причем равенства достигаются лишь для равностороннего треу-
гольника.
б) Существует ли такое vi > 0, что для любого треугольника
^-л + * ^-с ± ОС - 7. f
59
24. Докажите, что для произвольного треугольника:
г
б) г
25. Докажите, что радиус описанного около треугольника круга,
проведенный к одной из его вершин, и высота, опущенная из
той же вершины образуют равные углы о боковыми сторонами.
26. (Теорема Лемуана). Пусть М - произвольная точка окружности,
описанной около треугольника АВС. Досадите, что произведе-
ние расстояния от М до любой вершины треугольника (отлич-
ной от М) на расстояние от М до стороны, противоположной
этой вершине, есть величина постоянная.
27. (Теорема Карно). Из центра 0 описанной около треугольника
АВС окружности опущены перпендикуляры OAj, QBj и OCj со-
ответственно на стороны ВС, АС и АВ. Докажите, что:
а) если треугольник АВС остроугольный, то OAj = Л. А,
QBj = Л соз & , 0Сх = Л м С и OAj + OBj * OCj = /г + 1
( ^ и 2 - радиусы описанной и вписанной окружностей);
б) если угол С тупой, то QAj = Л 4 t QBj = zf cos s ,
OCj- = - Я c и OAj + OBj - OCj = /2 + Z .
28. Вписанная в треугольник ABC окружность касается оторон АВ,
АС и ВС соответственно в точках Е, F и G-.
Докажите, что
АЕ = AF = р - а = R- & + S-i'< С - &***. Л ),
ВЕ = В& = р - в = А * С - S) ,
СК=С<? = р - с = zC/i^. Л * В ~ Г"* С) .
29. * Докажите, что для любого треугольника расстояние «Л между
центрами описанной окружности и вневписанной окружности, ка-
сающейся стороны а, находится по форл*ле
50
где Л - радиус описанной >
- радиус вневписанной окружности.
30. Постройте треугольник АВС по трем точкам, симметричным
центру описанной около этого треугольника окружности относи-
тельно его сторон.
31. Пусть Р, Q, R- - точки пересечения биссектрис треуголь-
ника ЛВС со вписанной окружностью, ближайшие к соответству-
ющим вершинам этого треугольника. Построить треугольник АВС,
зная точки Р, 4? , /€ .
32, Устно. Каждая из сторон треугольника ЛВС больше любой сто-
роны треугольника Aj Bj Cj . Пусть /С, Л f и
- соответственно радиусы описанных и вписанных в эти треу-
гольники окружностей. Всегда ли верно, гго:
а) J
б) 7 > 7Г ?
33. Используя стандартные обозначения (ом. задачи 3.14 и 3.15),
докажите следующие соотношения для радиуса вписанной в тре-
угольник АВС окружности:
CL- Sr***- £ &*** _ С ****
I) ~
’f**L ,
2) “ Л. с-с^ 2 2. ~ £ *
34. Докажите, что прямая, соединяющая основания двух высот тре-
угольника АВС, опущенных из вершин А и В, перпендику-
лярна прямой, соединяющей вершину С о центром описанной
окружности.
61
35. В треугольнике АВС ^А > ^В > * С.
I) Устно. Какая из сторон треугольника АВС находится
ближе к центру описанной окружности?
2) Какая из вершин треугольника АВС находится ближе к
центру вписанной окружности?
36. Докажите, что если 0 - цензор вписанной в треугольник АВС
окружности, 1 - ее радиус, а Л - радиус описанной окруж-
ности, то:
ij у т ;
2) ОА- OS ес » гл.
37. Найдите множество точек на плоскости, являющихся центрами
а) вписанных, б) вневписанных окружностей, касающихся стороны
АВ, для всевозможных треугольников АВС о заданным основани-
ем АВ и углом С.
38. Постройте треугольник АВС по отороне АВ, углу С и ради-
усу а) вписанной окружности; б) вневписанной окружности, ка-
сающейся
39. Докажите, что сумма квадратов расстояний от центра 0 описан-
ной около данного треугольника окружности дс центров вписанной
и вневписанных окружностей равно 12 А. (Л - радиус описан-
ной окружности).
40. При каких условиях на числа а, в и Я- существует треуголь-
ник со сторонами а, в и радиусом описанной окружности Л ?
41. Выразить через стороны а, в и с треугольника АВС стороны
треугольника, с вершинами в точках касания вписанной окружно-
сти.
.42. Пусть Н - суолрцентр (точка пересечения высот) треугольника
ЛВС. Докажите, что отрезок, соединяющий середину стороны АВ
с серединой отрезка СН, равен радиусу описанного около треу-
гольника АВС круга.
43. Пусть и - соответствующие медианы
треугольника АВС, Л - радиус описанной окружности. Докажи-
62 .
<* * г ,
те, что Лгл * fnf -fnc £ - f причем
равенство возможно лишь в случае равностороннего треугольника.
44. Пусть а, в и о - отороны треугольника, Z в Я - соответ-
ственно радиусы ВПИоаННОЙ И ОПИСаННОЙ ОКруЖНОСТбй. Докажита,
что
6 /Г 2 а + в + о £2 /ТР Л }
причем равенства достигаются лишь в случае равностороннего
треугольника.
45. Из всех треугольников АВС о заданными основанием ВС и уг-
лом А найдите треугольник с наибольшим радиусом вписанной
окружности
46. Докажите, что радиусы
а) вписанных ;
б) описанных ;
в) соответствующих вневписанных окружностей для подобных тре- ,
угольников пропорциональны сходственным стеронам этих треу-
гольников.
47. На основании АВ треугольника АВС найдите такую точку М,
чтобы окружности, вписанные в треугольники АСМ и ВСМ, каса-
лись отрезка СМ в одной и тей же точке.
48. Всегда ли из радиусов в \ вневписанных ддя дан- I
ного треугольника окружностей можно составить треугольник?
49. Из точки А вне окружности проведены две касательные АВ
и АС к ней. Докажите, что на этой окружности расположен
центр окружности, вписанной в треугольник АВС.
50. Докажите, что:
I) точки, симметричные ортоцентру (точка пересечения высот)
треугольника относительно его стерон, лежат на описанной ок-
ружности;
б) окружность, проходящая через ортоцентр треугольника и лю- ]
бые две его вершины (в олучае прямоугольного треугольника -
две другие вершины) равна описанной около этого треугольника I
окружности.
63
Задачи для самостоятельного решения
I. Используя обозначения из условия задач J.I5 и 3.16, докажите
справедливость следующих равенств для произвольного треуголь-
ника АВС :
a) 4R- I/3 = авс ;
б) /аг = ?с ;
в) К Ъ ре >
г) а2 = Г Чг - * 7< ) ;
д) S - ;
е)" а2 + в2 + с2 + = К* >
х а. , ./. £- \.
*) ( tL гЛ*?г*гс
2. Пусть 0, Oj и 0g соответственно центры описанной и двух вне-
вписанных окружностей для данного треугольника. Докажите, что
если OGj = 00g, то этот треугольник равнободр'””птв
3. Пусть •<- - расстояния между центрами
описанной около треугольника окружности радиуса Л? и центра-
ми вневписанных окружностей, касапцихся соответственно сторон
а, в и о, d - расстояние между центрами вписанной и описан-
ной окружностей. Докажите, что
=
4. Докажите, что для произвольного треугольника АВС верны сле-
дующие соотношения (обозначения см. в задачах 3.15 и 5.16):
а. <-^3 у-
а) 2«. - = ~ ;
г)
д) 2га = f f •
5. Найдите множество точек на плоскости, являющихся центрами
а) вписанных ;
б) описанных;
в) вневписанных окружностей, касающихся стороны АВ для все-
возможных треугольников АВС с заданными основанием АВ и
углом А.
6. Постройте радиус вписашюй в треугольник окружности, зная
площадь этого треугольника и его периметр.
7. Определите углы треугольника о вершинами в точках касания
вписанной в треугольник АВС окружности, зная углы А, В и С.
8. Пусть и - медианы треугольника, вписанного в
окружность радиуса - Докажите, что:
I) •
2) * 4 Я г 0сди треугольник не является
тупоугольным.
9. При каких условиях на числа а, * и "f можно построить треу-
гольник, одна из сторон которого равна а, един из углов равен
'f , а радиус вписанной окружности равен ?
10. Пусть Л и 1 соответственно радиусы описанной и
вписанной в данный треугольник окружностей, А. - его наиболь-
шая высота. Докажите, что если треугольник не является тупо- I
угольным, то 4? * z *
II. Продолжение медианы, проведенной из вершины А треугольника I
АВС, пересекает описанную окружность в точке М, причем
СА = СМ = I. Найдите СВ.
12. * Пусть 0 - центр вписанной в треугольник АВС окружности,
65
a = ВС, в = AC, с - AB. Докажите, что
аСЙ + вОВ + сОС«О.
13. Используя обозначения из условий задач 3.15 и 3.16, докажите
что:
- -г- $ 7р т ;
2)
14. Найдите, радиус вписанной в остроугольный треугольник окруж-
ности, еоли радиус описанной равен I/,5 см, а две стороны
треугольника соответственно равны 20 ом и 23,2 ом.
15. Используя обозначения из условий задач 3.15 я 3.16, докажите,
что j- _ 2^^ Абъ ajF^- С.
Ответы, Указания, Решения
2. а) Пусть Oj - центр вписанной в треугольник АВС окружности,
0 - центр описанной икружмссти (рио. 4 7 ). Продлим биссектри-
су CCj до пересечения с описанной окружностью в точке Е.
Проведены также диаметр ЕЕ и
хорду BE . Еоли теперь опустить
перпендикуляр OjH на сторону
АС треугольника, то треугольники
OjHC и jEF будут подобны по
двум углам ( Z Oj-HC « -*FBE =
с 90°, ZACE - -''ВСЕ - -''ВЕЕ),
откуда ВЕ _
АЕ “ OjC
Но OjHa 7 , ГЕ ж 2R. , Т.е.
ЕЕ • OjH-» 2Л* = BE - OjC.
Но треугольник BEOj равнобедренный, так как BOjE, как внеш-
66
НИЙ к треугольнику BOjC, ц z OjBE, как сумма Oj-BA [
z АВЕ «= 4 АСЕ, равны -г х АСВ + £ 4 СВА. Таким обра-
зом, BE-OjE и, значит, ВЕ-С^С = O^E-OjC . Проведя
через точки 0 я 0- диаметр К 4 , и, используя свойство
пересекающихся хорд окружности, получим:
2 R. 1 - О Е ОрС = OjK • OjL = (£ + <£) (Л - = А* -
откуда ЛЛ = А -<?Аг .
б) Указание, Пусть * А - максимальный в треугольнике АВС,
а А и ъ. - радиусы описанной и вписанной окружностей
соответственно. В силу теоремы синусов а = х-гл . Покажи-
те теперь, что этими данными однозначно определяется положение
центра вписанной окружности (при фиксированной стороне ВС= а.),
а отсюда и всего треугольника.
3. В силу задачи 3.2 = Л ~ 2RI >
т.е. Г/Р'4? отсюда ЛИТ,
т.е. . Очевидно, что 2= у А в том и только
в том случае, когда </= 0, т.е. центры вписанной и описанной
окружностей совпадают, а это в силу задачи 3.1 а) равнооиль-
ви равносторонности данного треугольника .
4. Достаточно доказать утверждение задачи для одной из трех сере- •
дин. Пусть Oj и 02 - центры вписанной и вневписанной окруж-
ностей треугольника АВС (рис. 42 ), а точка М - середина
отрезка 0р02. Рассмотрим сначала случай AC X ВС. Т.к. AOj
и А02 - биссектрисы двух смежных углов при вершине Л, то
ZOjAOjj ® 90° и, стало быть, AM -- / 0р02. Аналогично
ОМ «• / (\0г •
Итак, AM ВМ и, значит, точка М лежит на срединном перпен-
дикуляр? т к стороне АВ, отличном по условию от биссектри-
сы СТА угла С. Таким образом, точка М является единственной
точкой пересечения прямых т и СМ. Но обе эти прямые, доля
дугу ВС описанной около треугольника /ЗС окружности попо-
67
лам, проходят и через ее середину Mj, откуда эти точки совпа-
дают, т.е. точка М принадлежит описанной окружности.
Теперь пусть АС=ВС (рис. 49 ). Вписанная и вневписанная
ОК: /ЖНОСТЯ
в чсотсрой
в этом
точке
д,
где Е и F - точки
случае касаются стороны АВ треугольника
откуда в силу свойств касательных
ВЕ=ВД=ВГ
касания обеих окружностей пря-
мей ВС. Таким образом, от-
резок МВ - средняя линия
прямоугольной трапеции OjER^
т.е. z СВМ = 90°. Аналогично
САМ = 90°, откуда
С + z АМВ = 180° и значит
точки А, С ,В и М лежат
Дс. 49
5. Центры Oj и О2 вневписанных
лежат на биссектрисе двух
вертикальных углов, смежных
с углом В треугольника
АВС. Поэтому точка В лежит
на стороне OjOg треугольни-
ка OjOgOg . Аналогично точка
окружностей (рис. SO )
/Ъс. SO V3
68
А лежит на стороне OjOg, а точка С - на стороне CXgOg.
Т.к. отрезок JO3 является биссектрисой угла В, то угол
°2В03» образованный биссектрисами смежных углов равен 90°.
Отсюда углы 0j и О2 в треугольнике 0j020g - острые. Анало-
гично показывается, что угол 0g тоже острый.
6. а) Середина М отрезка ОрО3 в силу задачи 3.4. принад-
лежит описанной окружнсоти (рис. 5/ ). Таким образом,
окружность радиуса O-jM с центром в точке 0g - описанная
с около треугольника ЛВС. Вто-
»рсй точкой пересечения прямой
0jC>3 с этой окружностью бу-
дет вершина С искомого треу-
гольника. Далее, углы 0-АОд
и 0jB03, образованные биссектри-
сами смежных углов, прямые. От-
сюда - вершины А и В треуголь-
ника АВС получаются пересече-
нием описанной окружности с окруж-
ностью, построенной на отрезке
л °1°3» как на Диаметре.
б) Вершины А, В и С треугольника АВС являются основа-
ниями высот для треугольника 020д04, вершинами которого
являются центры вневписанных окружностей. Таким образом,
окружность с центром Ор описанная около треугольника АВС,
является окружностью 9-ти точек (см. задачу 4, ) для
треугольника 020д04 и, стало быть, проходит через середи-
ны сторон 020д , 020^ и O3O4- Отсюда вытекает метод
построения. Пусть и О3 - заданные центры вневписанных
окружностей, касающихся соответственно сторон ВС и АВ
треугольника АВС (рис. З’с’ ), 0j - центр описанной окруж-
ности. Найдя точку М, середину отрезка С^Од, проведем ок-
ружность с центром в точке 0j радиуса OjM . Вторая
69
окружности с отрезком OgOg определяет
точка пересечения этой
Рис. 52
вершину В треугольника АВС. Так
как в силу вышесказанного углы
OgCOg и OgAOg - прямые, то для
нахождения вершин Л и С треу-
гольника АВС осталось найти точ-
ки пересечения окружности, описан-
ной около треугольника АВС, и окруж-
ности, построенной на отрезке OgOg
как на диаметре.
в) Указание. Проведите высоты треугольника 0j(^03 и
воспользуйтесь решением задачи 3.5.
г) Указание. Опустив высоту из центра Oj вписанной окружно-
сти на отрезок OgOg, найдем одну из вершин (например С )
треугольника АВС. Далее, используя задачу Х.4, постройте
описанную окружность.
Рис. 5" 5
6} Рассмотрим треугольники
z BAAj острый (рис. 3"3 ) .
Так как BCj = BAj, то АВ >AjB.
Напротив большей стороны лежит и
больший угол, откуда ^BAjA >^BAAj
Так как в треугольнике не может
быть больше одного тупого угла, то
угол BAAj острый.
ABBj и ACCj (рис. S4 ).По
условию BBj = CCjf кроме того,
ABj = ACj
Покажем, что 2. ACjC = ^ABjB .
Оба этих угла подучаются одинако-
70
во; из точки М на стороне угла А,.лежащей на расстоянии
ABj «= <\Cj от А, как из центра проводится окружность радиуса
BBj - ССр Возможны только две точки Mj и пересечения
этой окружности с другой стороной угла А (рис. ^-5”), но толь-
ко один из углов AMjM и AMgM - угол AM^-будет острым.
В силу пункта а) углы ABBj и ACCj - острые. Таким обра-
зом, эти углы равны и значит равны и треугольники ABBj и ACCj.
Отсюда АВ=АС. Аналогично АВ=ВС.
8.
Рис. Sf
Все три центра лежат на одной прямой в том и только в том слу-
чае, когда центр 0 описанной окружности лежит на биссектрисе
угла А (рис. 5"€ ) Отсвда ZBAO = z CAO. Треугольники BAO
и CAO - равнобедренные, откуда
ZB0A = *СОА, т.е. треугольники
ВАО И ОАО равны и, значит, АВ=АС.
Рис. S&
9. а) Пусть Е и F - точки касания вневписанной окружности (р**$
продолжений сторон АВ и ВС соответственно. Т.к.
ВЕ=АВ + АЕ = АВ + ABj = с + ABj ,
BF= ВС + CF = ВС + СВТ = а + CBj=
« а + в - ABj и BE = BF , то
о + ABj = а + в - АВ, т.е.
ABj = р - о .
б) Вытекает из а) .
Рис. S7
71
10. Указание. Используйте задачу 9 а) и теорему Чевы (Л 4.59).
а) Нет, т.е. на окружности сколь угодно большого радиуса мож-
но расположить зри сколь угодно близкие точки.
б) Да, т.к. радиус вписанной окружности меньше максимальной
из выоот треугольника, которая в свою очередь меньше макси-
мальной из сторон треугольника.
II. Утверждение очевидно, так как вписанный в окружность угол С,
опирающийся па хорду АВ, - тупой, в том и только в том случае,
когда точки С и 0 лежат по разные стороны от прямой (АВ).
12. I.решение. Пусть вневписанная окружность с центром 0 касает-
ся стороны АВ треугольника АВС (рис. ^*<Г).
Тогда ZAQB •= Х-^ЛВО - -*ВА0 -
и л -
£ g £
Л--с-С
~ г * откуда следует,
что точк 0 лежит вне дуги АВ
описанной 'кружности, измеряемой
углом Л? - -^С.
П решение. Легко следует из задачи 3.4.
13. Цусть Л - радиус описанной около треугольника АВС (рио. 59 )
окружности, а = ВС . Покажем, что
2R. , В самом деле, про-
ведем диаметр СД. Тогда в прямо-
угольном треугольнике СВД имеем
а = СВ в СД » СЩ
ж 2 ft Л , откуда
а.
2 ft , что л требовалось .
14. Нет. Рассмотрим, например, прямоугольный треугольник АВС
( Z с = 90°). Центр описанной окружности будет лежать на
отрезке CCj и, следовательно, находиться внутри треугольвд-
72
ка Cj. Таким образом, треугольник AjBjCj не
является прямоугольным.
15. а) 6' = и. в силу задачи 3.13
с
~ > откуда следует, что
<$ ~ и, следовательно, Л * 4$ .
б) I решение. Положим zC = д’. Тогда, как известно,
а5’х/л/’^<Г= , отаУда
ав = ггТГ ’ ^-с Но в силу задачи 3.13
~ 2Я- , т.е. ав =2^.CR. , что и
требовалось.
П решение. Через вершину С треугольника АВС (рис. б О а))
проведем диаметр СЩ. Прямоугольные треугольники АДО и СНВ
(СН = А.е -высота к стороне АВ=с) будут подобны, так как ост-
рые углы АДО и СВН,
опирающиеся на дугу АС,
равны. Отсада
АС _ СН т<0. _в_ = А
ДС ВС * " * 2ft а
или ав =2 At • Слу-
РиС 60
чай, Е ОДИН из углов
А и ВТ^ЗС^матривается
аналогично (рис. €О б)).
в) Вытекает из пункта б)
г) В силу пункта б)
73
.Zz»
В силу пункта л)
оикуда т
, т.е.
t кроме того 5 =рт ,
4 * £ * £ = i
16. а) Пусть 0g - центр вневписанной окружности, касающейся
стороны ВС треугольника ABC, 0j - центр вписанной окруж-
ности (рио. б"/ ). Опустим перпендикуляры OjE и 02F на
прямую АС. Треугольники AOjE
Л
и AOgF подобны, в оилу чего
°1Е я . Но OjE = т- , а
o2f AF
Og F = 7Л. Кроме того, в силу
задачи 3.9 А) С F = С К = р-в
(К -точка касания вневписанной
окружности стороны ВС), т.е.
A F = АС + С F в + (р-в) = р.
Atf^orUVHt),
Val Тае = (ав - вв) + (ас - се)=
= (с - ВМ) + (в - СМ) = в + о - а,
где А. и м - точки касания вписанной окружности соответ-
ственно сторон АВ и ВС треугольника АВС .Но A L => АЕ,
откуда АЕ = В + д. й = р - а.
Итак, окончательно те = , т.е. ~
аг р Та Р ।
или (p-а) = р г = S > что и требовалось.
/»г ~ _ /°z
б) В силу пункта а) ~ ~ /° j
-гГ. _Z_ -L _
~ ^-'с' > откуда гг *
>₽-л . /> - , >>-с_ л/>
= /Т ~ />г ~
‘ V з
в) В силу а) ^д. ' } J
74
2с “ > откуда / гс
- = *Pv^TT п -
/—т~“Г-------- I / 5*
= s Ил - г><? - cj =
. Но по фс±>муле Героин
требуемое равенство .
г) Выражая высоты из равенств
получим _
✓ Z < -S , С _ Д- _ уО- л.
~ ~ 2S 2S 2S S
x> ~ f
Но в оилу л.) £— = ~га_ • что и требовалось.
д) Складывая равенства (см. г))
Равенство
вытекает
из пункта б).
_ Z К&>АИТ.
е) ВсзвёдяУобе части полученною в пункте в) равенства,полу-
чим s3 - z zc t или i^z = zc >
отедда вытекает нужное равенство .
S'
ж) В оилу а) та
s
** ~~ —
75
Кроме того
Z -
ПОЭТОМУ
для доказательства утверждения нам необходимо убедиться в
справедливости равенства
S S _ Р + S
p-а. у~-с />-с S р
Умножая обе части этого равенства на S и выражая S*, полу-
e)+/’</aa-W>-
Ио формуле Герона 6/> ~ а)С/> ~ ^)С/°~ е)~ ,
поэтому после сокращения на S получим
Р (р-В) (р- С) * -л)^о-с) +/>&> -“)(/>л)(£-
Группируя первые 2 и последние 2 слагаемых в левой части ра-
венства и вынося общие множители, приходим к равенству
/><7>-с)(У°-*+/>-*)/ С/>-«)(/>-£)(/>-/>*с) » }
т.е. /о(/°~<‘)с + (ур-*-)(/>-£) с = л.ъс,
откуда р*с - />с * />3с - а.^> с - fyc -t- a. f>e - а. -^С .
Произведя сокращения, получим после преобразований
2р2с - рс(а + в + о)=0 ,
2 2
или 2р с - 2р с = 0, т.е. верное равенство, что и доказывает
справедливость исходного равенства .
17. а)
из вершины С треугольника
с
Пусть продолжения медианы, биссектрисы и высоты, проведенных
АВС, пересекают описанную около
этого треугольника окружность
Мд ооответ-
в точках Mj, Mg,
ственно (рис. 62 ).Точка
Mg делит дугу АВ окружности
пополам, в оилу чего отрезок
6М2, где 0 - центр окружно-
сти, делит хорду АВ пополам
и перпендикулярен ей.
76
Теперь ясно, как отроить треугольник. По точкам Mj ,Mg и
М3 строим окружность и находим ее центр 0.
Затем через точку М3 проводим прямую, параллельную отрезку
OMg. Точка пересечения этой прямой с окружностью дает верши-
ну С треугольника. Наконец, проведя через точку К пересе-
чения отрезков CMj и ОМ2 прямую, перпендикулярную ОМ2,
найдем вершины А и В .
б) Покажем, что биссектрисы АР, В <2. и СА треугольника АВС
(рис. 63 ) являются высотами
в треугольнике Р<2. Я.
Пусть 5 - течка пересечения
прямых АР и Q.R.. Угол kSQ.
измеряется полусуммой дуг,
на которые он опирается, т.е.
величиной i ( '-'АО. + -PR) =
= ( “АО + -РВ + "'В Я ).
Аналогично z А 5 R. измеряет-
ся величиной g ( ~АЯ + '-'<2Р)=
2 (~AR + СР + ''СО. ). Но по условию '"АО. = ''СО,
~РВ = ''СР, '-ВЯ = '-'ЛЯ , в силу чего ^ASG. =
= zASR. = 90°. Таким образом, АР J. А . Аналогично I
показывается, что ВО. J. Р Л и С Л J Рй.
Теперь понятно, как построить треугольник АВС по точкам
Р , а и А :
воршины А В и С искомого треугольника - точки
пересечения продолжений высот треугольника Р <2 -£ с
описанной окружностью.
в) Указание. Пусть треугольник АВС - остроугольный (рис. 6^ ).
z САР = л С ЯР, CHQ. = лСВЛ . Кроме того, л САР =
= 90°-zC=zCBa .откуда СЛ62 = лСЯР и, значит,
высота С А - биссектриса угла А треугольника РЯ Л .
Аналогично рассмотрите случай тупоугольного треугольника АВС.
77
Рис. 6Ь
23.Оказание. Построив сторону ВС = 2 Я А , найдите
zВОС, где 0 - центр вписанной окружности, и постройте точку
0.
б) Указание. В окружности данного радиуса Я постройте от-
резок ВС=а, после чего по-
стройте прямоугольный треу-
гольник ВЕС (рис. G5 ),
Вде ВН = А £ - высота,
проведенная из вершины В.
в) Указание,
постройте прямоугольный
санной окружности, Л
роны АС -
д) Пусть АК = /^ -
Зафиксировав сторону АС=в треугольника АВС
треугольник АОК, где 0 - центр впи-
- точка касания этой окружности сто-
Лксектриса угла А (рис. 6 6 ),
Проведя прямые из точки Л
ссставляииие углы , рав-
ные у- z А, получил пря-
мые АВ и АС. Центр О
вписанной окружности распо-
ложен на расстоянии 1 от
этих прямых и, стало быть,
легко находится. Осталось
В и С
г с
Рнс. 6G
провести вписанную окружность и найти точки переся
касательной эт^й окружности, проведенной из точки К
прямыми АВ и АС.
78
19. 36° , 36° , 108°
Указание. Пусть 0 - центр, описанной около треугольника
АВС окружности, АВ - указанная в условии сторона. Покажите,
что АС=ВС и что ^ВАО = /ZBAC = ^АСВ.
20. а) Достаточно показать, что величинами 7Л, 0
однозначно определяются стороны а, в и с треугольника. Но,
действительно, в силу задачи 5.16 б), д) значениями ,
Т£ и гс однозначно определяются величины и .
Далее, в силу 3.16 4) S = /7 7Л 7^ 7С ' такхв однознач-
но определено. Наконец, 5* г / а / с Хе t
откуда получаем однозначные значения для а, вис.
б) Из формулы в условии задачи 3.16 б) определяем 7С , по-
сле чего задача сводится к предыдущему пункту.
в) В силу задачи 5.16 *t) находим сначала величину 7- 7С ,
после чего, используя 3.16 в), находим Z-7C . По этим двум
величинам находим значение . Теперь задача сводится к
пункту а).
г) Указание. Воспользуйтесь задачами 3.16 ж) и 5.16 д).
21. Из равенств (ом. 5.16 а))
S = (p-а) 7Л = Ср-в) 7.* = (p-о) Zc
вытекает р-а=р-в=р-с, откуда а=в=с, что и требовалось .
22. В силу задачи 3.16 ж)
"Теперь пусть 7 = ?А = у 7С . Тогда,
очевидно, 7Л = = 7С г что в силу 3.21 означает
Г равносторонность данного треугольника. Нетрудно проверить,
наконец, что для равностороннего треугольника Z = у 7А=
_ _t - ^-гс .
Ъс * *)• Ho
(ом. 3.3) Л. * 2 7 , откуда * г) & ,
т.е. 7 3 у 7e . Далее (см. 3.15 6j) ,
/ -f -f i > Kt.
-t * ъг * ъ * v - >откуда 3 -
Таким образом, - з >
что и требовалось.
79
. а) Из результата задачи 3.16 д)
получим -Z - * cf £с А = ----------------- И
. _ г гЛ г,< « с
X? 2ГЛ + Так как, очевидно,
для любых положительных
X
И у
причем равенство достигается лишь в случае х=у, то
Л X- - ^с) ★
Равенство при этом достигается лишь в олучае ,
что в силу задачи 3.20 означает равносторонность треуголь-
ника, что и требовалось установить.
Докажем теперь, что * Л* & 9 •? .
Действительно, X - с ?/°г - > />,. дГ у. — \
' л. а. -а. ~ < < ' cl. г< /
Складывая полученное выражение для с аналогичными для
И , получим
£-?•'£' f* т)-
тт -t. » О ~ — Ъ 2. Т''*--,
Но, как известно, ?" лГ > с о- ' ' с е ’
причем равенство достигается лишь при а=в=с. Таким обра-
зом, л i- 9 z
б) Нет, не существует. В самом деле, для любого об >б>
построим равнобедренный треугольник АВС с основанием
АВ=1 и высотой АН= оС . Так как радиус вписанной окружности
меньше наименьшей из высот треугольника, а, значит, и наимень-
шей из сторон, то t < I , оттуда
Хл+ + Хс * х«_ = ос > «с 'Z t что и дает отри-
цательный ответ на поставленный воцрсс.
Ml решение.
Из 3.15 г) вытекает, что
’ i - :
Далее, из 5.16 д) имеем
80
* А-с 2 Сг. ~ * г. <Z' £ ' "
Л.
- _£ Л-Г + d- _ jL _ ✓ \
- 2 < t -z ) . Ho
-/ _£ / Z
no 5.16 6) z Ta ~ ze ~ Z > откуда
Окончательно гг = ' Z ' ~z
Ц решение. 2S ~ °- > = 2S , откуда
a. -f- А О.+ А
УГв ~ 2S ~ 2/3 г ~ 1
Поскольку a + в т-о, то а + в + с-^2(а + в)^ 2(a + в + с)
откуда _z ,
2 А + drc 7'
г ? г '
Таким ооразом ух- * А~~ * z~ 410
1 '‘a. 1
и требовалось установить.
б) Как и в первом решении пункта а) имеем
" 2 С г * J , а
с учетом неравенства Z Zc t т.е. ~z~ > ,
окончательно получим v ) = Т-
25. Пусть СН - высота треугольника АВС, 0 - центр описашюй
окружности. Предположим сначала, что углы А и В острие,
т.е. Н « АВ (рис. а)).Проведем диаметр (ЭД. Тогда
треугольники АСЭД и НСВ ~
прямоугольные, причем углы Л
и В равны, как опирающиеся
на одну и ту же дугу АС.
Отецця ^АСД = ^ВСН, что
и требовалось.
81
Пусть теперь один из углов А и В, например В, тупой
(рис. б)). В этом случае точки 0 и Н расположены вне
треугольника АВС. Опять рас-
Лгс. 6 7 <Г)
Таким образом,
смотрим прямоугольные треу-
гольники ЛСД и НСВ.
-^СВН = 180° - <АВС, при-
чем АВС измеряется поло-
виной дуги АДС, откуда СВН
измеряется половиной дуги АВС.
Но на эту же дугу ЛВС опирает-
ся и угол Д, т.е. * АДС =^СВН.
ЛСД - -^ВСН, что и требовалось установить.
В случае, когда А или * В равны 90°, углы АСД
и ВСН оба равны нулю, т.е. опять-таки равны между собой.
(Рис. 6$).
26. Рассмотрим прямоугольные треугольники MBCj и МВрК~<MCBj
Рис. 68
дополнительный к углу АСМ,
опирающемуся на дугу АВМ, и
значит, измеряется половиной
дуги АСМ, откуда следует,
что углы MCBj и MBCj равны.
Таким образом, треугольники
MBCj и MBj-C подобны, т.е.
МВ МСТ
--- = —- , или МВ • МВт =
МС MBj 1
= МС • MCj.
Аналогично из подобия прямоугольных треугольников ACjM и
MAjC (углы MACj и MCAj равны, как опирающиеся на одну и
ту же дугу ВМ) следует:
МСТ МЛ
— = -------- , т.е. МС • МСТ = МА • МА-
MAj МС •*-
Окончательно,
МА MAj = МВ • MBj = МС - MCj-, что и требовалось.
82
В прямоугольном треугольнике BOAj имеем: GB = /2 ,
= /С cvj Лас) - /t CCJ у} .
Аналогично /£= >€ ^<9 , i£3 = /£ слп С. Учитывая еще,
что в силу задачи 3.13 а =2 /€ • «£»'•*- , в = 2АЗ^ А,
с = 2 /€ С > получим окончательно
7^(в+с) + (а+о) + А3 (а+в) = 2Аг^^ ,4 в
+ 2R*c<r)3 ('&* Л с) * ЗА С С\$ъ> Л * =
X- Л A -t^ а+э A С *-
4-А с-^) С С)-3ASf + А) у- ('-4-f-
/• Л***. (^3+ -= 2 P^. c r- G c4) ~ AfiAP^tA^
+ 2 A S-^& -t- A A c J - ('a- -r c)
что и требовалось доказать.
б) Указание. Используйте доказательство из пункта а ‘
учетом равенства
Здлвс ~ ^Лвос
83
28. Касательные, проведанные из одной точки к окружности, равны,
поэтому f>G = BE = АВ - АЕ = с - АЕ, p^=CF = АС - AF =
= АС - АЕ = в АЕ. Отокща а = ВС = BG + CG =
= в + с - 2АЕ, т.е. АЕ = A F = р- а =
2
Используя результат задачи 3.13, получим в итоге требуемое
равенство.
Остальные равенства доказываются аналогично.
29. Пусть Q (рис. УО ) - центр списанной около треугольника
лов А и СВЕ, а углы САД
равны, то
F OjAE = САД = СВД
и OjBE = * CBOj Отсвда
АВС окружности, Oj - центр
вневписанной окружности, каса-
ющейся стороны ВС= а, Д -
точка пересечения биссектрисы
AOj угла А с описанной ок-
ружностью.
Тогда, рассматривая треуголь-
ник ABOj, получим
zAOjB = ^OjBE — ** OjAE
Кроме того, ДВОу = z CBOj -
-Z СВД. Поскольку AOj и BOj
соответственно биссектрисы уг-
и СВД, опирающиеся на дугу СД,
ДВС^ = OjBE -^OjAE = AOjB, т.е. треугольник BOj-Д -
равнобедренный, и, значит, ВД = О-^Д .
Далее, точка Д - середина дуги ВС , в силу чего (Щ 1 ВС .
Опустим перпенл’’чудяр Oj- F на прямую СЩ. Применяя теорему
косинусов к tji ^угольному треугольнику ООдД, получим
По - ~ "г »
84
r.e,„ _ ТА aO^O^2O0J>F.
= O,J>e^ ji-FJOO^ - <£>F т,е° "w. "
T.k. С^Д = ВД и из подобия прямоугольных треугольников
В<?Д и ВВД ( G и Н-соответственно точки пересечения
прямой ОД с описанной окружностью и ВС) имеем
gj = „ т.е. ВД2 = ВД G^> = ВД - 2 R
то = о£>г нл-гд. *= лл^ +
* г/г '-6F = л*+ ал ('*•£> - л3-» ал ол.
Опустив перпендикуляр OjHj = га па ВС и учитывая, что
OF = OjHj, получим окончательно
о л .
= Л + АЛ- ?а. } что и требовалось
30. Пусть 0 - центр описанной около треугольника АВС окруж-
ности (рис. 7/ ), Oj, 0g И 0g — ТОЧКИ, СИММвТрИЧНЫв О
относительно сторон этого треугольника. Обозначим также через
Е > F и G - точки пересечения отрезков 00j, 00g и 00g
со сторонами треугольника. Оче-
видно, что точки Е , F и &
- середины соответствующих сто-
рон треугольника АВС, откуда
Е F - средняя линия, т.е.
Е F II АВ . Точно так же Е F
является и средней линией тре-
угольника OjOOg, а значит
Е F II OjOg. Таким образом,
АВ /I 0j02, в силу чего
003 1
знвается, что 00j 1 QgOg
OjO2. Аналогично пока-
00g -1 OjOg . Из этого следует, что точка 0 является точкой
пересечения высот треугольника OjOgOg.
Теперь понятно, как строить треугольник АВС, зная точки
Oj, Og и Од. Сначала находим ортоцентр треугольника OjOgOj -
85
точку 0. Затем находим середины отрезков 00^, 00g и ООд-
соответственно точки F , Е и <?. Наконец, проведя через точ-
ки Е, F и G прямые параллельные соответственно О^Од,
С^Оо и 0р°2* ПОЛУЧИМ искомый треугольник АВС.
31.
опущенного из 0 на АС:
Ясно, что окружность, проведен-
ная через заданные точки Р,Q
и А (рис. 7 2 ) будет
вписанной в искомый треуголь-
ник АВС. Найдя центр О
этой окружности, проведем пря-
мые РО, <20 и Л 0, содер-
жащие соответственно биссект-
рисы углов Л, В и С. Да-
лее, нетрудно показать, что
Q = £ + f z С,
т.е. £^С = ^Р0« - /.
Отсвда найдем НОС, где
Н - основание перпендикуляра,
нос = f - / г с = л - ро<г.
Таким образом, точку Н найдем, проведя луч Ш под углом,
дополнительным к углу Р0 Q , к лучу ОС»
Построив далее касательную к окружности в точке Н, полу-
чим пряную лС. Аналогично строятся прямые АВ и ВС.
32» а), б) Нет, не всегда. Соответствующие примеры s нятны из
рисунков 73 а) и 73 б)
Аг. 73
86
33. I
/>»С. 74
Из центра 0 вписанной в тре-
угольник АВС (рис. 74 ) ок-
ружности опустим перпендикуляр
ОН = т на ВС. Из прямоу-
гольного тр-. гольника ОНС
имеем 2 - ОС ‘ .
Но из треугольника ВОС по те-
ореме синусов и с учетом того,
что ВОС = л - $ - £ =
= 1F + т получим
ос _ $___
f ^Сл'-g)
откуда окончательно
т.е.
г =
что и требовалось. Остальные равенства доказываются аналогич-
но. . .
J'*’1
2) Покажэм, что 2 - гтгт d ^1. < (остальные
равенства доказываются аналогично).
Для этого в силу пункта I) достаточно показать, что
—-----------г— ~ ---------7—г------*— , или.
2 cvi j-
цроизводя сокращения, что = О £ ~г ~ о^*'*
Но равенство = с х-***. В вытекает из выражения для
площади S треугольника ABC: J’ =
3) Пусть Р точка касания вписанной окружности стороны АВ
(рис. ), 0 - центр зтой окружности. Поскольку в силу
задачи 3.27 АР = p-а, то из прямоугольного треугольника
АОР получим требуемое равенство
Z = ОР = АР 'О*? ’ У •
87
Остальные равенства доказываются
аналогично.
4) По доказанному в пункте 3)
г
Р~в = 7737
P-а =
р-с =
Учитывая, что (р-а)+(р-в)+(р-с)=р.
Ъ Z z
получим ГТ * + ££ =
if 2 if 2. у а
или
приводя к общему знаменателю,
7 </ «у f f * £ f £ f) V .
Для доказательства нужной формулы осталось показать, что
выражение в скобках равно I. Но, действительно, учитывая,
что
2
f)
в
, и обозначая для удс&тва
&
получим требуемое
= at .
88
5) Указание. Используйте пункт 4).
34.
Цусть треугольник АВС остроу-
гольный (рис. 76 ), A F и
ВИ - высоты, 0 - центр описан-
ной около треугольника АВС ок-
ружности.
Проведем диаметр ОД. Тогда,
очевидно £ ВСД = -^ВАД.
Т.к. АД jL АС, то АД II ВН и,
следовательно, /ВАД = ZABH.
Наконец, точки А,В , F и Н
лежат на одной окружности с диа-
метром АВ, в силу чего
ABH = *AFH. Таким образом ,
ZBCS =ZAFH. Отсюда z KFC = 90° - zAFH = 90° - zВСД
(К - точка пересечения прямых СД и FH), т.е. ZCKF = 90°,
что и требовалось установить.
Случай, когда треугольник АВС тупоугольный, рассматри-
вается аналогично.
35. I) Большему углу в треугольнике соответствует и большая сто-
рона, потому ВС >АС>АВ. Так как большая хорда расположена
ближе к центру окружности, то ближайшей к центру описанной ок-
ружности будет наибольшая сторона треугольника АВС, т.е. ВС.
2) Пусть 0 - центр, а т - радиус вписанной окружности.
Тогда, опустив перпендикуляр OBj на АС и рассматривая
•г
прямоугольный треугольник QBjA , получим: ОА -
'Z 2
Аналогично QB = ——, ОС = с . Так как
2 е
£. * д о } то fin. }
откуда OAZQB<OC. Таким - .'разом, ближайшей к центру вписан-
ной окружности оказывается вершина наибольшего угла.
36. I) Поскольку (см. задачу 3.33 I))
89
1 -
„ „ - в ,,. а-
Л- £♦**. 2" 2*
л.
г.
то нам достаточно
1
Л. &*»* s*^
показать, что ______________
т.е. а = 4 ft т £
= & /г £<-*• £ е^п. S. •— *
«?/2 л . Ho
равенство a = 2 ft f-n доказано в задаче 3.13 .
2) Указание. Используйте соотношения ОА = ----г
&*** -g—
А -г
0В ~ с^н <3 > 0С = ЛЧД — И пункт I) .
г 3-
37. Для удобства будем считать, что вершины С рассматриваемых
треугольников АВС расположены по одну сторону от прямой АВ.
а) Пу^ть 0 - центр вписанной окружности в треугольник АВС.
Тогда АО В = Л - ( ^ 0/iB + ± ОВД) = Л? -
_ «г - ^^-'с) - - —
-Л ( J ~ £ £ .
Таким образом, точка 0 находится на дуге окружности, опи-
рающейся на хорду АВ и измеряемой постоянной величиной
U
2 2 . Не орудие показать, что и обратно, вся-
кая точка указанной дуги окружности является центром вписанной
окружности для некотороготреугольника АВС .
б) Ответ. Дуга, окружности, опирающаяся на АВ, расположен-
ная по другую сторону от вершины С и измеряемая величиной
Указание. Воспользуйтесь пунктом л.) •
38. Указание.. Используя задачу Зо370 сначала постройте центр со-
ответствующей окружности, после чего - прямые АС и ВС.
39. Пусть 0 - центр вписанной, a Oj, Qj и О3 - центры вне-
вписанных окружностей, 2,2^, 'zи zc - соответ-
ствующие радиусы. Обозначим также 00 =<^,00j = d, ,
OOg = ^4 и ОС3 с Поскольку (сыо задачи 3.2
Я 3.29) fit* = /Г*- 2Л!Ъ f
90
d.£~ /г£+ гл zz } то
с£* * ч** <<’ - ^4* <Р4? <*, * za г -^ - *).
Но в силу задачи 3.17 2, + "гг + - 2 ~ 4 Л ,
откуда и следует нужный результат.
40. Оувет. Пусть а в. Тогда условием существования треу-
гольника будет выполнение неравенства в £ 2 Л , если
а / в и в * 2 Л , если а = в .
Указание. В любом треугольнике, очевидно, а £. 2 Л , в ± 2л
Покажите, что и обратно: для любых двух чисел а в £ 2/г
(или а =в < 2 А ) найдется треугольник со сторонами айв,
вписанный в окружность радиуса Л .
Осталось выразить через стороны
ABC .
Пусть Р и <2 - точки каса-
ния вписанной в треугольник
АВС окружности соответст-
венно сторон АВ и АС
(рис. 77 ), Л - точка
пересечения отрезка Р<2
с отрезком АО, где
О - центр окружности. Тогда
Р a = 2РК = 2АР •'/’Лл-i
= 2АР^Д, .
Как уже быйо доказа-
но в задаче 3.28 АР = р-а.
а , в и с треугольника
Поскольку
а в силу теоремы косинусов
~е Л »
с то окончательно получим
Л * ТГс
91
Аналогично находятся и другие стороны треугольника.
Пуоть A F и СЕ (рио. 7S )
- высоты в треугольнике АВС.
М и /V - оередины соответст-
венно сторон АВ и ВС, 0 -
центр описанной окружности. Для
доказательства нам достаточно
показать, чтс МК=ОС, где К -
середина отрезка СИ.
Так как средняя линия zV/V па-
раллельна АС и, кроме того,
О Д' II AF , 0 ^7 // СЕ, то тре-
угольники и СНА по-
добны, как треугольники с соот-
ветственно параллельными сторонами. Отсюда
т.е. ОМ = СК . К тому же ОМ j| СК, а значит четырехуголь-
ник ОМКС параллелограмм, откуда МК = ОС, что и требовалось.
43. Пусть 0 - центр описанной около треугольника АВС окружно-
сти, М - точка пересечения медиан. Тогда
АО2 + вб2 + СО2 = (AM + Йб)2 + (ВМ + мб)2 + (СМ + Йб)2 =
«= AM2 + ВМ2 + СМ2 + 2 (АЙ Йб + ВМ - Мб + СЙ • мб) + 35Ю2.
Но АО2 = ВО2 = Сб2 = > АЙ2 = ( f «гЛ )2 ,
ВМ2 = ( □ )2 , ОЙ2 = ( f ъ, )2 Кроме того,
АЙ - МО + ВМ • МО + СЙ МО = (АЙ + ВМ + СЙ, мб) = О,
поскольку AM + ВМ + СМ = "О . Поэтому
ло‘+вб' + сбг = з /гл = Л
’ 9 Л 9 t
+ змо г- г f т.е>
г J -кг г что и Требовалось
92 .
Равенство возможно лишь в случае МО = 0, т<>е. совпадения
точек М и 0, что эквивалентно условию а = в = с .
44. Сначала докажем, что 6 VT 'z £ а + в + с .
Используя свойства среднего арифметического и равенство
Л-
/Z = (см. задачу ЗД5), получим
Поскольку s «= р , а А* 21
(см. задачу 3.3) V'₽ ’ & vfy> * г
где Р± S_±2&_t_2 _ Учитывая, что 6—в 2^,
приходим к неравенству V^8p
/> ‘ а
откуда г 7 * S’ г , или
р £ 3 fT 1 , т.е. а + в + с £ 6 /Т1 .
При этом, т.к. Р- -t-Sjt. Д = у^авсТ и R. = 2»
лишь в случае а = в - о, то и в полученном неравенстве
равенство возможно лишь в случае равносторонности треугольни-
ка.
Далее,перейдем к неравенству а + в +• о £ 3/УR.
1 решенде. В силу задачи 3.43 л
2
и поэтому достаточно доказать, что (а + в + с) -
- С^т-2. ’’ * rrL* ) , а с учетом того» что
(а + в + с) = а^ + в2 + с2 + 2 (ав + вс + ас) £ а2 + в2 +
+ с2 + 2 (а2 + в2 + с2) = 3 (а2 + в2 +• с2)
2 ? 2 2
£ мы использовали неравенства 2ав а + в , 2вс s в +• с
и 2ас £ а2 +• с2 J доказать равенство 3(а2 + в2 + с2) =
93
» 4 ( )
В самом деле, рассмотрим треугольник, образованный сторонами
CCj = mc , ВС = л и BCj = у . По теореме косинусов
а е« * сегй -
Рассматривая соседний треугольник CCjA- > получим аналогично,
чт° „а а са с <
— fnc ~ ' a e*ri •
Складывая, полученные равенства и учитывая, что
* CcrG » - , получим
E2 + B2«2m/<f , откуда
2а +• 2в2 - с2 . Аналогично получаются равенства
2в2 +• 2о2 - а2, 2а2 + 2о2 - в2.
Сложив последние три равенства получим нужный результат.
Равенство в доказанном нестрогом неравенстве возможно лишь
в случае
S а а 37
> гп, + rrt. * 4, SC и
*1. • * »
2ав » а2 + в2 2вс » в2 + с2 и 2ас - а2 + с2, т.е.
когда а = в » о .
П решение. Указание. Зафиксируем сторону АВ и угол С
треугольника АВС (рис, 79 ) и из всех возможных треу-
гольников АВС выберем треугольник наибольшего периметра.
Цуоть В z - точка касания вписанной в треугольник АВС
94
Тогда св’ = р-с
(ом. задачу 3.28) и т = OB' « СВ' • = (p-о) i
Отсюда для площади треугольника АВС получим J = р г =
= Р (Р-с) 3" . По условию С н -константы,
и , значит, максимальному значению периметра будет соответ-
ствовать и максимальное значение площади 5’. Но из всех
треугольников с заданными основанием и углом при вершине
максимальную площадь имеет (т.к. <5 = -^с- )
равнобедренный треуг ник. Далее покажите, что из всех тре-
угольников, вписанных в данную окружность максимальный пери-
метр имеет равносторонний треугольник.
45. Ответ. Равнобедренный треугольник (АВ = АС). Указание.
Воспользуйтесь задачей 3.37 а).
46. Указание. Воспользуйтесь формулой 5 = р z
3.15 б) и 3.16 а).
и задачами
47. Пусть Е и F - соответственно точки касания впиоанных
в треугольники АСМ и ВСМ окружностей (рио. 81 ) сто-
роны СМ (М - произвольна). Тогда (см. задачу 3.28)
СЕ = AC-iCM-AM
2 *
С F = 22+^ЬВМ . точка
М выбрана так, как требует-
ся в условии, то Е « F и»
следовательно, СЕ =С F , т.е.
АС + СМ - AM = ВС + СМ - ВМ .
Отсвда АС - AM = ВС - ВМ . Учитывая, что ВМ «= АВ - AM,
получим окончательно AM = A^AB-BQ =* • чт0
позволяет однозначно определить положение точки М .
48. Нет, не всегда. Рассмотрим, например, равнобедренный прямо-
угольный треугольник с катетами а=в и гипотенузой с.
Поскольку (см. задачу 3.16 а))
то для опровержения гипоте^-зц, сформулированной в условии
задачи, достаточно показать, что
,Zi.*7(f=/TK .т.е. 2(р-о) ср-а . По-
следнее неравенство эквивалентно неравенству С > а.
которое верно, ибо с » /2а.
- середина дуги ВС (рис, ).
Поскольку АВчАС, то АО - бис-
сектриса угла ВАС. Осталось
показать, что СВ - биссектри-
са угла АВС,, т.е. чтс*0ВА
ВС. Для этого используй-
те свойства угла между касатель-
ной и хордой.
53. I) Указание, Пусть треугольник АВС - остроугольный, Н - его
ортоцентр и С - точка, симмет-
ричная Н относительно стороны
АВ (рио. 93 ). Поскольку
АН 1ВС и С*Н 1 АВ, то
'АНО* z В.
С другой стороны, треугольник
НАС * равнобедренный, откуда
«*АНС «•'АС'н . Таким обра-
эом, * АС'н В и, следо-
вательно, точка С * лежит на
описанной около треугольника АВС
окружности. Аналогично рассматри-
вается принадлежность описанной
окружности двух других точек.
Случай тупоугольного треугольника рассмотрите самостоятельно.
96
2) Указание. В силу пункта I) данная окружность будет симмет-
рична описанной окружности относительно одной из сторон тре-
угольника.
§ 4. Замечательные точки и линии треугольников.
I. Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника,
пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром
треугольника.
2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты ЛАр ВВд
CCj-. Докажите, что треугоольники АВдСд, АдВСд, Ад-Вд-С
подобны треугольнику АВС.
3. Треугольник АдВдСд , вершинами которого являются основания
высот ААд, ВВд-, ССд- треугольника АВС, называется орто-
центрическим треугольником треугольника АВС. Найдите углы
ортоцентрического треугольника остроугольного треугольника
АВС, если углы треугольника АВС равны А, В, С.
4. Докажите, что высоты остроугольного треугольника являются
биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника.
5. Найдите углы ортоцентрического треугольника тупоугольного тре-
угольника АВС, еоли углы треугольника АВС равны А, В, С
(угол С - тупой).
6. Найдите углы всех треугольников, которые подобны своим орто-
центрическим треугольникам.
7. Дан остроугольный треугольник АВС. Докажите, что точки, сим-
метричные ортоцентру треугольника АВС относительно его сто-
рон, лежат на окружности, описанной около этого треугольника.
8. Продолжения высот остроугольного треугольника АВС пересека-
ют описанную окружность в точках Ад, Вд, Ср Докажите, что
а) треугольник АдВдСд подобен ортоцентрическому треугольнику
треугольника АВС и коэффициент подобия равен 2;
97
б) высоты треугольника АВС являются биссектрисами треу-
гольника AjBjCj .
9. Пусть Н - ортоцентр треугольника АВС. Докажите, что ра-
диусы окружностей, описанных около треугольников ABH, ВСН и
САН равны между собой и равны радиусу окружности, описанной
около треугольника АВС.
10. Дан треугольник АВС о ортоцентром Н. Докажите, ЧЮ рас-
стояние от вершины треугольника АВС до его ортоцентра равно
расстоянию между центрами описанной окружности треугольника
АВС и окружности, проходящей через другие две вершины и
ортоцентр.
II. Точка Р лежит на окружности, описанной около треугольника
АВС. Докажите, что точки Рр, Р2 ,Р3 , симметричные точке
Р относительно сторон ВС, СА, АВ треугольника АВС лежат
на одной прямой, проходящей через ортоцентр этого треугольника.
12. Докажите, что радиус описанной окружности, проходящей через
вершину треугольника и высота, опущенная из этой же верши-
ны на противоположную сторону, образуют равные углы со стерона-
ми треугольника, проходящими через ту же вершину.
13. Найдите угол между радиусом описанной окружности, проведенном
через вершину С треугольника АВС и высотой, опущенной из
этой же вершины на противоположную сторону, если ^гВАС = А,
х АБС = В.
14. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АНр,
BHg, СН3. Докажите, что радиусы, соединяющие центр описан-
ной окружности треугольника АВС с его вершинами, перпенди-
кулярны сторонам ортоцентрического треугольника
15. Пусть - радиус описанной окружности остроугольного тре-
угольника АВС, - полупериметр его ортоцентрического
треугольника HpHgH3, «Г - площадь треугольника АВС. Дока-
жите, чтл
98
16. Треугольник AjBjCj называется вписанным в треугольник АВС,
если его вершины лежат на сторонах треугольника АВС. Докажи-
те, что если вписанный треугольник AjBj-Cj имеет наименьший
периметр среди всех вписанных в остроугольный треугольник АВС
треугольников, то этот треугольник совпадает с ортоцентрическим
треугольником треугольника АВС.
17. Пусть 0 - центр описанной окружности треугольника АВС.
Найдите углы этого треугольника, если известно, что четырех-
угольник АВСО ромб.
18. В треугольнике АВС .а В - ^А = Si?”. Докажите, что
~ ^гс , где - радиус описанной
окружности, и - высота и медиана, проведенные
из вершины С.
19. Дан остроугольный треугольник АВС, 0 - центр описанной ок-
ружности, Н- ортоцентр этого треугольника. Докажите, что
следующие условия равносильны:
а) АСВ = 60°
б) точка, симметричная точке 0 относительно отороны АВ
треугольника АВС., лежит на окружности, описанной около треу-
гольника АВС
в) точка 0 лежит на окружности, описанной около треу-
угольника АВН
г) -с АСВ = 120°
д) АНВ = 120°
е) центр окружности описанной около треугольника АВН
лежит на окружности описанной около треугольника АВС
ж) треугольник СОН равнобедренный.
20. Назовем треугольник AjBj-Cj, вписанный в треугольник АВС
"бильярдным", если его стороны образуют равные углы со сторо-
нами треугольника АВС.
Докажите, что у остроугольного треугольника существует един-
ственный "бильярдный" треугольник, который совпадает с орто-
ц-энтрическим треугольником этого остроугольного треугольника.
99
21. (Уотно). В треугольнике АВС проведены медианы AAj, BBj,
CCj. Докажите, что треугольник AjBjCj подобен треугольни-
ку АВС, а его площадь равна 1/4 площади треугольника АВС.
22. Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть рав-
новеликих треугольников.
23. Найдите углы, под которыми видны стороны треугольника из
центра вписанной в этот треугольник окружности.
24. Обозначим точки касания вписанной окружности треугольника АВС
с его стеронами АВ, ВС, СА через Cj, Aj, Bj соответствен-
но. Докажите, что
а) треугольники ABjCj, BCjAj, CAjBj равнобедренные
б) биссектрисы треугольника АВС перпендикулярны сторонам
треугольника AjBjCj.
25. Найдите углы треугольника AjBjCj из предыдущей задачи.
26. Докажите, что биссектриса угла треугольника делит противопо-
ложную сторону треугольника на части, пропорциональные приле-
жащим сторонам.
(Если CCj - биссектриса треугольника АВС, то
ACj _ АС 1
CjB ~ СВ ''
27. Дан треугольник АВС, ~ дайна биссектрисы угла С треу-
гольика АВС, а и в - длины оторон ВС и СА АСВ = С.
Докажите, что
28. В остроугольном треугольнике АВС угол С равен 60е, 0 и
I - центры описанной и вписанной окружностей, Н - ортоцентр
треугольника АВС. Докажите, что
а) точка I лежит на окружности, описанной около треугольни-
ка АВН
100
б) прямая ОН является биссектрисой угла АНН^ между высо-
тами AHj и BHg треугольника АВС
в) прямая ОН перпендикулярна биссектрисе угла С.
г) прямая ОН отсекает от треугольника АВС правильный тре-
угольник
29. Биссектриса CCj_ пересекает описанную окружность треуголь-
ника АВС в точке Р. Докажите, что
а) точка Р является серединой дуги АРВ
б) треугольники PIB и PIA равнобедренные, где I - центр
вписанной окружности треугольника АВС
в) Р - центр описанной окружности треугольника AIB
30, Докажите, что если высота и медиана неравнобедренного треу-
гольника, проведенные из одной его вершины, образуют равные
углы со сторонами, проходящими через ту же вершину, то этот
треугольник прямоугольный.
31. В треугольнике АВС 0 - центр описанной окружности, Cj -
середина стороны АВ. Докажите, что если треугольник СОСр
прямоугольный, то |^:В - «лА| = 90?
32. В треугольнике АВС, углы которого равны 40°, 60°, ВО0
(х-СЛВ = 40°, ж; АВС - 80°, ^.ВСА = 60°) проведена высота C/f
Выясните, является ли треугольник ССН прямоугольным, где
О - центр описанной окружности треугольника АВС.
33. В неравнобедреннсм треугольнике из одной и той же вершины
проведены биссектриса, медиана и высота. Докажите, что бис-
сектриса всегда лежит между медианой и высотой.
34. (Устно). Могут ли
а) высота и биссектриса
б) медиана и биссектриса,
проведенные из одной и той же вершины треугольника делить его
углы, на три равные части?
35. Найдите углы треугольника, если известно, что высота й медиа-
на, проведенные из вершины одного из углов треугольника деля’
101
этот угол на три равные части
36» Верно ли следующее утверждение: если ортоцентрический треу-
гольник Hj-HgHg треугольника АВС правильный, то сам треу-
гольник АВС также правильный?
37. Вписанная окружность треугольника АВС с центром I каса-
ется егосТорон ВС, СА, АВ в точкаху Пересечения биссектрис
углов А, В , С треугольника АВС с описанной окружностью
этого треугольника. Докажите, что:
а) точка I является ортоцентром треугольника Aj-Bj-Cj
б) треугольник Aj-BjCj подобен треугольнику AgBgC^.
в) ортоцентрический треугольник треугольника A-^Bj-Cj
гомотетичен треугольнику АВС с центром гомотетии в
точке I и коэффициентом гомотетии равным 1/2.
38. В ортоцентрический треугольник остроугольного треу-
гольника АВС вписана окружность, которая касается сторон
треугольника в точках АрВрСр Докажите, что
треугольник Aj-BjCj подобен треугольнику АВС
39. Иэ точки В, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры
на стороны вписанного в эту окружность треугольника АВС.
Докажите, что
а) основания этих перпендикуляров лежатш одной прямой,
которая называется прямой Симеона
б) прямая Симеона точки В делит пополам отрезок, сое-
диняющий эту точку с ортоцентром треугольника АВС.
В. Точка Р лежит на окружности, описанной около треугольника
ABC Aj, Bj, Cj - основания перпендикуляров, опущенных из
точки Р на стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС. Докажи-
те, что PA*PAj = РВ-РВд = PC-PCj (теорема. Лемуана)
>1. Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолже-
ний двух других его сторон, называется вневписанной окружностью
треугольника. Пусть Oj, 02, Од - центры вневписанных окружно-
102
отеЙ, касающихся сторон ВСЛСАЛАВ треугольника АВС. До-
кажите, что
а) каждая из точек Oj, 02, О3 совпадает о точкой пере-
сечения биссектрисы одного из углов треугольника с бис-
сектрисами внешних углов при двух других его вершинах
б) вершины АуВ,С лежат на сторонах треугольника Ор
Og, О3, причем треугольник АВС является ортоцентри-
ческим для треугольника OjOgOg.
42. Пусть радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника
АВС равны 2? и , а его углы - А, В , С. Докажите,
что .
43. Докажите, что хорда описанной окружности треугольника, один
из концов которой совпадает с вершиной треугольника, а второй
•* с точкой пересечения биссектрисы, проведённой из этой верши-
ны, с описанной окружностью, делится центром вписанной окруж-
ности на отрезки, произведение которых равно 2Ze> , где Z
и » - радиусы описанной и вписанной окружностей треугольни-
ка.
44. Докажите, что расстояние между центрами и вписанной и
описанной окружностей треугольника и радиусы и Z
вписанной и описанной окружностей удовлетворяют соотношению
45. Пусть и - высота и биссектриса, проведенные из од-
ной вершины треугольника, 2" и Z - радиусы его вписан-
ной и описанной окружностей. Докажите, что
46. На одной из сторон данного угла зафиксирована точка А. Рас-
сматриваются всевозможные окружности, касающиеся этой сторо-
ны в точке А и пересекающие другую сторону в двух точках
В и С (каждая окружность - в своей паре точек, обозначае-
мых через В и С ). Докажите, что центры окружностей,
вписанных в треугольники АВС, лежат на одной прямой.
103
47. Внутри треугольника АВС взята точка М такая, что
^.ВМС = 90° + ^ВАС/2 и прямая AM содержит центр окружно-
сти, описанной около треугольника ВМС. Докажите, что М -
центр вписанной окружности треугольника АВС.
48. Дан треугольник АВС ( xiA < z.B < Z.C ), 0 и I -
пвнтры его описанной и вписанной окружностей. Докажите, что
если прямая 01 перпендикулярна биссектрисе угла В, тс
длины сторон треугольника АВС образуют арифметическую прог-
рессию.
49. Пусть А и - высота и биссектриса, проведенные из одной
вершины треугольника, ? и Z - радиусы его вписанной и
описанной окружностей. Докажите, что если . 10
длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию.
БО. В треугольнике АВС угол В - средний по величине
( А < zB < zC), 0 - центр описанной окружности, Н -
ортоцентр. Докажите, что если прямая ОН перпендикулярна бис-
сектрисе угла В, то углы треугольника АВС образуют арифме-
тическую прогрессию.
51. В треугольнике ABC ^xACzB< Z.C) I и 0 -центры
вписанной и описанной окружностей, прямая ОН перпендикулярна
биссектрисе угла В. Может ли течка I лежать на прямой ОН ?
52. В треугольнике АВС из каждой вершины проведены высота и
биссектриса, из длины соответственно равны ,
> 2? я /£ - радиусы вписанной и описанной
окружностей этого треугольника. Докажите, что если
= VF
то треугольник АВС правильный.
53. Докажите, что середина оторсн треугольника АВС, основания
его высот и середины отрезков, соединяющих вершины треуголь-
ника о ортоцентром лежат на одной окружности, которая называ-
ется окружностью Эйлера или окружностью девяти точек, причем
радиус этой окружности равен половине радиуса описанной окруж-
104
ности треугольника АВС
54. Докажите, что центр окружности дь^ади точек треугольника сов-
падает с серединой отрезка, соединяющего центр описанной ок-
ружности с ортоцентром этого треугольника.
55. Пусть 0 - центр описанной окружности, Н -ортоцентр треу-
гольника АВС. Прямая ОН называется прямой Эйлера. Докажи-
те, что точка пересечения медиан лежит на прямой Эйлера и де-
лит отрезок ОН в отношении 1:2 , считая от точки 0.
56. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника, верши-
нами которого служат центры вневписанных окружностей треуголь-
ника ЛВС, в два раза больше радиуса окружности, описанной
около треугольника ЛВС.
5?. Докажите, что расстояния между центром окружности, вписанной
в треугольник и центрами вневписанных окружностей делятся
пополам окружностью,описанной около треугольника (теорема
Мансиона).
58. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольни-
ков, одна из вершин которых совпадает с центром вневписанной
окружности треугольника АВС, а две другие - о вершинами
треугольника АВС, лежат на окружности, описанной около тре-
угольника АВС, а сами эти окружности имеют общую точку, сов-
падающую с центром вписанной в треугольник АВС окружности.
59. Точки Ар Bp Cj лежат на сторонах ВС, СА, АВ треуголь-
ника АВС. Докажите, что отрезки AAj, ВВр CCj паресекаюА
ся в одной точке тогда и только тогда, когда
АСт ВАт СВт .
__L » —£ . —£ в I (теорема Чевы)
CjB AjC В£А
60. Отрезки ААр ВВр ССр соединяющие вершины треугольника
АВС с точками, лежащими на противоположных сторонах, пере-
секаются в точке М. Для какой точки М произведение
ДСр BAj-CBj будет максимальным?
105
61. Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с
точками касания вневписанных окружностей на противоположных
сторонах, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).
62. Прямые ААр ВВр ССр соединяющие вершины треугольника АВС
о точками, лежащими на противоположных сторонах, пересекаются
в точке О
Докажите, что:
а) 0Ах + CEj + я I
AAj ВВ^ CCj-
Д2 + ВО ♦ £2 я 2
б) AAj BBj ссх
(теорема Вергона).
63. В треугольнике АВС 0 - центр описанной окружности, Н -
ортоцентр. Докажите, что если центр I вписанной в треуголь-
ник АВС окружности лежит на отрезке ОН, то этот треугольник
равнобедренный
64. Точка, иэ которой все стороны треугольника видны под углами
в 120°, называется точкой Торичелли этого треугольника (см.
задачу 1.39). Докажите, что точка Торичелли треугольника ле-
жит на окружности, описанной около внутреннего треугольника
Наполеона этого треугольника (см. задачу 1.44).
65. На сторонах треугольника АВС вне его построены правильные
треугольники ABCj, BCAj-, САВр Точки А2, Bg, С2 -
середины сторон ВС, СА, АВ; точки A3, В3, С3 - середи-
ны Bj Cj, Cj Ар Aj- Bj
Докажите, что
а) треугольники А2В2С3, В2С2А3, С2А2В3 являются правиль-
ными
б) А2А3 = = С2С3
в) прямые А2А3, В2В3, С2С3 пересекаются в одной точке.
106
г) перпендикуляры к АВ, ВС, СА, проходящие через точки
С3, A3, В3 соответственно,пересекаются в одной.точке.
Задачи для самостоятельного решения.
I. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной
точке, которая является центром вписанной в этот треугольник
окружности.
2. Докажите, что серединные перпендикуляры сторон треугольника
переоекаютоя в одной точке, совпадающей с центром Описанной
около этого треугольника окружности.
3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке,
которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вер-
шины.
4. При пересечении высот треугольника образуется три пары разных
вертикальных углов. Докажите, что эти углы равны углам треу-
гольника.
5. Докажите, используя результат задачи 4.4, что высоты треуголь-
ника пересекаются в одной точке.
6. Дан треугольник, который подобен своему фтоцентрическому тре-
угольнику. Докажите, что углы этого треугольника либо равны,
либо образуют геометрическую прогрессию.
7. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке,
используя результаты следующих задач данного параграфа:
а) задачи 4.8 б);
б) задачи 4.9
8. Докажите, что биссектрисы внутреннего и внешнего углов при
вершине С треугольника АВС равны тогда и только тогда,
когда / лА - исВ/ 90° #
9. Дан треугольник АВС. Известно, что биссектриса CCj внутрен-
него угла при вершине С равна биссектрисе СС2 внешнего угла
при той хе вершине. Может ли прямая СВ быть биссектрисой уг-
107
ла CjCC2?
10. Докажите, что расстояние от вершины треугольника до его ор-
тоцентра равно удвоенному расстоянию от центра описанной ок-
ружности этого треугольника до противоположной стороны.
II. Три попарно пересекакщиеся окружности одного и того же ра-
диуса проходят через одну общую точку. Докажите, что эта
точка является ортоцентром треугольника с вершинами во вто-
рых точках попарного пересечения данных окружностей.
12, Дан треугольник АВС, Н - его ортоцентр, 0 , Oj- , 02 > 03 -
центры описанных окружи .гой треугольников АВС, БСН, САН,
АВИ. Докажите, что отрезки ОН, АОр В02, СО3 пересека-
ются в одной точке и делятся в ней пополам.
13. Медиана треугольника АВС, проведенная к стороне АВ равна
расстоянию от центра описанной окружности до основания высо-
ты, опущенной из вершины С. Докажите, что
|^В - _^Л| = 90°
14. Докажите, что расстояние от вершины остроугольного треуголь-
ника до егс ортоцентра равно противоположной стороне тогда и
только тогда, когда утол при этой вершине рав^н 45°.
15. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точ-
ке и делятся в ной в отношении 2:1, считая от вершин тре-
угольника.
16. Докажите, что точка М, лежащая внутри треугольника АВС
является течкой пересечения его медиан тогда и только тогда,
когда треугольники ABM, ВСМ, САМ равновелики.
17. Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника явля-
ется центром вписанной в этот треугольник окружности.
18. Дан треугольник АВС, 0 - центр описанной около треугольни-
ка АВС окружности. Докажите, что точки Ат, Вт. Ст. сим-
метричные точке О I* сторон ВС, АС, СЛ треугольника АВС,
являются вершинами треугольника,равного 'треугольнику АВС,
причем стороны треугольника Aj-BjCj параллельны сторонам
108
треугольника ABC.
19. Докалите, что треугольник АОВ, где 0 - центр описанной
около треугольника АВС окружности является прямоугольным
тогда и только тогда, когда ^йАСВ = 45°.
20. Может ли центр описаннойскружности треугольника АВС лежать
на «го:
а) стороне
б) высоте
в) биссектрисе
г) средней линии?
21. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана я высота,
проведенные из вершины прямого угла, образуют равные углы
с катетами.
22. В треугольнике АВС проведены медианы АЧр ВЯ, и высо-
та СНд. Докажите, что если треугольник MjMgWj правильный,
то исходный треугольник АВС также правильный.
23. Вписанная окружность треугольника АВС касается его сторон
ВС, СА, АВ в точках Ар Bp Cj соответственно. Докажите,
что ортоцентрический треугольник треугольника AjBj-Cj по-
добен треугольнику АВС.
24. В треугольнике АВС один из углов равен 60°, -^и - вы-
сота и биссектриса, проведенные из одной вершины этого треу-
гольника, ч и X” - радиусы его вписанной и описанной ок-
ружностей. Может ли выполняться равенстве
Р
25. Может ли выполняться равенство
да*
равнобедренного треугольника? (Обозначения см. в предыдущей
задаче).
26. Докажите, что треугольники АВС, АВН, ВСН, АСН, где Н -
109
ортоцентр треугольника АВС, имеют общую окружность девяти
точек (теорема Гамильтона).
27. В треуголг е ABC I - центр вписанной окружности. Около
треугол он ABI, BCI, CAI списаны окружности. Докажи-
те, что центры этих окружностей лежат на списанной окружно-
сти треугольника АВС, а точки этих окружностей диаметриаль
во противоположные точке I, являются центрами вневписанных
окружностей треугольника АВС.
28, При помощи теоремы Чевы, докажите, что:
а) медианы треугольника пересекаются в одной точке
б) биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаютс
в одной точке
в) высоты треугольника пересекаются в одной точке
г) прямые, соединяющие вершины треугольника о точками
касания вписанной окружности, пересекаются в одной точ-
ке (точка Жаргона).
Ответы. Указания. Решения.
I, Первое решение. Для доказательства утверждения задачи доста-
точно рассмотреть оотроугол!
ннй треугольник АВС, так
как для тупоугольного треу-
гольника АНВ (рйс. )
точка С является точкой
пересечения высот, откуда сле-
дует, что высот»/ тупоугольно-
го треугольника АНВ пересе-
каются в одной точке тогда и
только тогда, когда пересека-
ются в одной точке высоты
остроугольного треугольника АВС. Проведем через вершины тре-
угольника АВС прямые, параллельные стеронам,противоположным
этим вершинам. Точки пересечения этих прямых являются вершина-
ми треугольника AgBgCg Так как точки А, Б, С - середины
сторон В2С2 , С2А2 , AgBg треугольника AgBgCg, то прямые
1.10
AAj, BBj, CCj являются середин-
ными перпендикулярами сторон этого
треугольника и, следовательно, пе-
ресекаются в одной точке.
Второе решение. Пусть точка М лежит на высоте ССр и
Мп - основания перпендикуляров, опущенных из точки М на сто-
ронн АС и ВС. Тогда MMj = СМ - саг/f t ММ2 = CM - лггХ
MMj-
car#
Обратно, если
ш2
где “Z-M^MC , zM^MC, то,
об а А И Z. MjCM = А, откуда
поскольку Л + А + В
следует, что zCC^A «
Таким образом, мы показали, что высота CCj является геометри-
ческим местом точек, отношение расстояний от которых до сторон
АС и ВС постоянно и равно • Аналогичное утверждение
справедливо и для высот AAj И ВВ1. Пусть Н - точка пере-
сечения высот AAj- и I JBj. Тогда
zWX _
т.е. точка
все высота треугольника
Н принадлежит также высоте CCj и
АВС пересекаются в этой точке.
2. Решение. Прямоугольные треугольники
(рис. 86 ) , так как угол BjCAp
Aj-AC и В1ВС подобна
у них общий, поэтому
Ill
АтС AC
~=~ = — , откуда следует,
BjC ВС
что треугольники Bj-CAj и АВС
подобны. Аналогично доказывает-
ся подобие остальных треугольни-
ков.
3. 'fjy- 2А, ^*2В, -/л^-гс.
зультатами предыдущей задачи
Указание. Воспользоваться ре-
4. Решение. Покажем, что высота СС^ является биссектрисой угла
BjCj-Aj (рис. ЛУ )• Так xlBjCjA = >* AjCjB = ^АСВ,
То s CC^Bj е= — BjCjA = AjCj-B = AjCj-C,
т.е. высота CCj- делит пополам угол Bj-CjAj. Аналогично дока-
зывается, что высоты AAj и BBj являются биссектрисами углов
треугольника AjBjCj.
BBj, CCj треугольника АВС пе-
ресекаются в точке Н (рис. <PF )
Тогда треугольник АВН остро-,
угольный. Найдем угол этого тре-
угольника. Поскольку ВАрДААр
BBjXABj, TO^AjHBj- + AjСВj <=
= , s' Aj-HBj- xs —х AjCBp =
= W - С. Обозначим х: НАВ ® Ag
х НВА = В2, х:АНВ = С2 .
Из треугольников AHBj и BHAj
находим xfHABj »=^HBAj = JZ"*_
- ( С) «= С - поэтому А2 С А + С - -37 ,
в2 = В + С -
Используя формулы для углов ортоцентрнческого треугольника
AjBjCi остроугольного треугольника АВН (см. задачу 3), полу-
П2
ЧЯМ Cj = ^r- 2С2 = fT- С) = 2C - >7',
Aj = 5Г - 2B2 = 5Г- 2-(B + C - % ) = 2 ST" - 2'( kT- A) =
= 2A, Bj = kT- 2A2 = 2-(A + C - §=) = 2'B.
Итак, Aj = 2A, Bj = 2B, Cj = 20 - ЯС
6. Решение. Рассмотрим сначала случай остроугольного треугольника.
Тогда Aj = 2А, Bj = 5П 2В, Cj = $7"- 2С. Если
Aj = A, Bj = В, Cj = С, то А = В = С = Предположим
теперь, что Я7"->2А = В, 7"- 23 = С, 2С = А, отдула
^<=В + 2А = С + 2В=А+2С и 2А = В + С, 2В = А + С,
2С = А + В. Вычтем из первого равенства (из последних трех)
второе: 2(Л-В) = В-A, 3(А-В)=О, А=В.
Но из последнего равенства
С = ст - Ы = А.
Итак, А=В=С= Случай ^Г'-2А=С, Я^2В=А, 5^20=3,
очевидно, приводит к такому же результату. Тем самым установле-
но, что среди остроугольных треугольников только правильный
треугольник удовлетворяет условию задачи. В случае тупоуголь-
ного треугольника Aj = 2А, Bj = 2В, Cj = 2С - Я"
(считаем, что угол С тупой), поэтому 2С - к,
2В = С, 2А = В, откуда следует, что С = 2В = 4А, 2С -
= 8к -5Г= к, 7А = Я" , А = и В = 2А =
С = 4Л = Итак, окончательно получаем, что искомый
остроугольный треугольник - правильный, а углы тупоугольного
равны А= , В = С = .
7. Решение. Рассмотрим пряглоугольные треугольники АСН3 и ЛВН2
/>*с. £8
до прямого, то ^ABHj
(рис. £8 ). Так как угол САВ
дополняет углы АСН3 и ABHg
= ^АСН3,
но АСН3 = ^rABCj, как вписан-
ные, опирающиеся на одну и ту же
дугу ACj, поэтому -гЕ^ВА =-sABCj
из
Поскольку СН3 1 АВ, то отсада следует, что НН3 = H3Cj, т.е.
точка Cj_ симметрична Н относительно АВ. Так же доказыва-
ется, что точки Aj и Bj симметричны Н относительно ВС
и АС.
/>#е. S9
8. а) Решение. Из результата предыдущей задачи вытекает, что
Нр Hg, Н3 - середины отрезков
HAj, ПА2, НА3 (рио. /У )
поэтому отрезки Hjlig, HgH3,
Hyll-j- являются средними линиями
треугольников AjBjH, BjCjH,
CIAIH и Н1Н2 Л AIBP
H2Hg J/BjCp НзН/HCj-Ap
откуда оледует подобие треуголь-
ников AjBj-Cj и HjLLgHg с
коэффициентом подобия равным 2.
б) Решение. Так как высоты остроугольного треугольника являют-
ся биссектрисами его ортоцентрического треугольника
(см. закачу 4), а стороны треугольника А^В^С^ соответственно
параллельны сторонам треугольника HjHgHg (рис. $У ), тс
высоты треугольника АВС являются биссектрисами треугольника
А1в1ср
9. Решение. Так каквэчки Н и Cj симметричны относительно сто-
роны АВ треугольника АВС (см. задачу 7, рио. ), то
точка Н лежит на дуге окружности, симметричной дуге ACjB
окружности, описанной около треугольника АВС, поэтому радиу-
сы окружностей, списанных около треугольников АВН и АВС рав-
ны. Аналогично доказывается равенство радиусов окружностей,
описанных около треугольников ВСН, САН и АВС.
10. Решение. Пусть 0 - центр описанной окружности ареуглышка
АВС, Оо - центр окружности, описанной около треугольника
114
°s
/#с.9О
поскольку срединный
ЛВН. Так как радиусы этих ок-
ружностей равны (см. предыдущую
задачу), то четырехугольник
АО3ВО - ромб, поэтому ОО3 ± АВ и
ОМ = МО3. В четырехугольнике
ОО3НС оо3 || СН, О3Н = ОС = /С.
Таким образом, этот четырехуголь-
ник может быть либо параллелограм-
мом, либо равнобочной трапецией.
Последнее предположение отпадает,
перпендикуляр МВ к стороне 003 не
пересекает вторую сторону СН четырехугольника 00 НС
О *
Итак, ОО3НС параллелограмм и СО3 = СН. Треугольник АВС
на рис. 90 - остроугольный. Убедитесь самостоятельно, что
утверждение задачи верно и в случае тупоугольного треугольни-
ка.
II. Решение, Поскольку точки
Р и Р3, Ни Нз? симметричны
относительно АВ, то отрезки P3I1
и РН3 пересекаются в точке 1,
лежащей на АВ (рис. 99 ). Из
равенства треугольников АНТ и
АН3 Т вытекает равенство углов
АНР3 и AH3Z Р, но ^АНР3 =хАСГ
как вписанные,опирающиеся на одну
и ту же дугу. Аналогично,
xiAHP2 =z:AH2 Р = z:ACP = ^АНР3,
т.е. -еАНР =zAHPo и точки
2 °
Pg, Р3, Н лежат на одной прямой.
Точно так же доказывается, что
точки Pj, Р3, Н лежат на одной прямой, откуда следует, что
точкх Рр Р2, Р3 лежат на прямой, проходящей через точку н
П5
J. Решение. Рассмотрим три случая:
а) треугольник АВС остроугольный.
Пусть 0 - Центр описанной окруж-
ности, СД - высота, ОД]-ВАС
(рис. #2 ). Тогда хДСВ = /'-хВ.
Треугольник АОС равнобедренный,
хДрОС = /xlCOA = /(2 х.В) =
= хВ. Поэтому из прямоугольного
треугольника Сд-j-O находим, что
х.Д1С0 = хВ = х ДСВ
прямоугольный ( X АСВ = .
Тогда хАСО = хДСВ (рис. УЗ )
Так как стороны АС и ВС явля-
ются высотами треугольника АВС,
а гипотенуза АВ совпадает с диа-
метром АВ, то рассматриваемые уг-
лы с вершинами в точках А и В
равны нулю.
н) треугольник АВС
тупоугольный ( хг АСВ > ). В этом
случае центр описанной окружности
лежит вне треугольника (рис. У4 )
Угол АОВ центральный, опирающийся
f на дугу АСВ, поэтому хАОВ = хА0С+
+ хСОВ = 2 х АВС + 2хВлС = 2 xlB
2 (
= 2( хС).
нобедренный, то
Так k;ik АОВ рав-
х. «я/х —
£
# у- X
ив
Поскольку z ACO равнобедренный, roxiACO = хсОАС = -£~ -хВ.
Из прямоугольного д ДСВ хиДСВ = В » xs АСО.
Аналогично, если АЛХ ВС, то ж САН “ f — xs. АСН •
к - ( 7" - XL С) и х: С - ж жОАВ,
13. | А - В/. Указание. Ои. решение предыдущей задачи.
14. Решение. Пусть 0 - центр описанной окружности треугольника
АВС (рис. ЛГ ). Обозначим
точку пересечения прямой АО с
отрезком H2Hg через Ар. Рас-
смотрим треугольник AjAHg. В
нем х: AjHgA в xu С (см. зада-
чу 2), xsAjAH3 = - xi С
(см. задачу 12), поэтому
xu. ААрН « — .х 7 А —
- х: AjAHg = - xt С - (Г—С)=
= , т.е. ААр Перпендикулярность ВО и HjHp,
СО и HjHg доказывается аналогично.
15. Решение. Соединим точку О с точками Нр, Hg, Н3 и рас-
смотрим полученные при этом четырехугольники 0Н2АН3, OH-jBHp,
OHjCHg. Диагонали каждого из этих четырехугольников взаимно
перпендикулярны, поэтому площадь каждого из них равна полу-
произведению диагоналей:
'
-ь = z- ₽
16. Решение. Соед!нгм точку 0 с точками Aj, Bj, Cj (рис. )
и обозначим углы между диагоналями полученных четырехуголь-
ников ОВрАСр, ОСрВАр, ОАрСВр через , У соот-
17.
117
SV
ветственно. Тогда
+ 4' ^1^1 *^**^/^ + ^^'AjBj
—
откуда ~^~ Q ,Рл4^£ -у-/44 j/jf— *yfy/f но
и *. 44+44+4$, . т.е. периметр любого треуголь-
ника, вписанного в остроугольный треугольник АВС не меньше
периметра ортоцентрического, откуда и следует, что ортоцентри-
ческий треугольник имеет минимальный периметр.
Решение. Так как четырехугольник АВСО ромб, то АВ=ВС,
т.е. АВС равнобедренный, далее Z = ОА = АВ = ZA&izC,
&& С = 1/2, С= А = 30°, В = 120°.
18.
^.А + , то и АВС тупо-
угольный и центр 0 описанной
окружности лежит вне треуголь-
ника (рис. ).
^ОСД = а1В - А = 5^'
что СД1АД, заключаем, что
прямоугольником, поэтому НИ,
(см.задачу 13). Обозначим че-
рез М середину стороны АВ,
тогда ОМ Д.АВ, так как центр
описанной окружности л АВС ле-
жит на срединном перпендикуляре
к стороне АВ. Учитывая то,
четырехугольник ЦДСО является
= ОС = х> и из прямоугольного
118
треугольника МЦС находим MS2 + СД2 СМ2 или
* л—Я
19. Решение. Предположим, что выполняется условие а).
Тогда АО». OjO = ВО » А
Выведем из него все остальные
условия. Так как Х.АСВ = 60°
(рис. && ), то Xi АСВ с 120° как
центральный угол, опирающийся на
ту же дугу, что и хАСВ (усло-
вие /•)). Рассмотрим четырехуголь-
ник AOjBO, где Oj - точка пе-
ресечения срединного перпендикуля-
ра ОМ к стороне АВ о описан-
ной окружностью треугольника ЛВС
и xAOOj = xOj-QB = 60°, поэтому
треугольники AOOj и OjOB равносторонние и четырехуголь-
ник AOjBO - ромб. Таким образом, точка Oj, лежащая на
описанной окружности треугольника АВС, симметрична точке О
относительно стороны АВ (условие б)). Точка Ор очевидно,
является центром окружности опиоанной около треугольника АВН
(условие е)).
Поскольку дуги AO-j-B и АОВ симметричны относительно сторо-
ны АВ, то точка^лежит на окружности, описанной около треу-
гольника АВН (условие в)), х АНВ xlAQB = 120° как
вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу (условие д$. Ради-
ус окружности, опиоанной около дСАН равен j4 (ом. задачу 9).
Поэтому СН « 2А - С) » гХ’лгг С- в 2Х*<5<яГ 60 «
• 1/2 = Л, т.е. д СОН равнобедренный (условие ж)).
Таким образом, из условия а) следуют все остальные.
Проверьте самостоятельно, что и из каждого из условий б)-ж)
вытекают все остальные условия.
20. Решение. Треугольники AH-jHg, BHjH3, сH^Hj подобны треу-
гольнику АВС (см. задачу 2), поэтому стороны треугольника
HjHgHg Образуют со сторонами треугольника АВС равные углы.
Каждый из равных углов такой пары равен противоположному углу
119
треугольника ЛВС (рио. ).
Цуоть теперь в АВС вписан
А1В1С1» от°Роны которого
образуют со сторонами АВС
равные углы (рио. 400).Обозна-
чим зги углы через , ,
Тогда, рассматривая треугольник»
ACjBj, CjBAj, AjCBj можно
записать:
Сложив эти равенства, получим 2( «/^ + ) »
» ЗЯ- - (А + В + С) ЗЛС" - » 2Я7 откуда
+ Js « JT Вычитая почленно из итого равен-
ства уравнения записанной выше системы, установим, что
Итак, стороны вписанного треугольника AjBjCj соответствен-
но параллельны сторонам ортоцентрического треугольника
поэтому треугольники AjBjCj- я HjHgH3 совпадают.
(Убедитесь в этом самостоятельно).
22. Решение. Цуоть U - точка
пересечения медиан треугольника АВС
(рис. 40f ). Опустим яз точек
U и С перпендикуляры на сто-
рону АВ, тогда
Д CjMMj е-> л CjCH Я
СН СС[ см
— —А = 3, поскольку —=^»
MJj СМ МС
откуда MMj $ сн и
120
Аналогично можно показать, что
‘CiX+i; “ £&//<:.
Так как точки Aj, Bj, Cj - середины соответствующих оторон
треугольника АВС, то
ziZtzj м
<4г4Л? в
^♦25»
23. Решение. Пусть I - центр вписанной окружности треуголь-
ника ЛВС (рис. S&jt ). Тогда
АХ, BI, CI - бисоектриоы. Из
JT . С .
° 2 + 2
Точно так же находим хВХС
= + ^ , -t CIA » g~+ £.
24. а) Указание. Стороны треугольников ABjC^, BCjAj, CAjBj
лежащие на сторонах треугольника АВС, являются отрезками
касательных, проведенных из вершин треугольника АВС к впи-
санной окружности.
б) Указание. Окружность, вписанная в треугольник АВС, явля-
ется описанной окружность треугольника Aj-BjCj.
25. Решение. Соединим центр I
вписанной окружности треугольника
АВС с вершинами этого треуголь-
ника и с точками касания вписан-
ной окружности с его сторонами
(рис. ). Тогда ICjl АВ и
АХ 1 Bj-Cj (см. задачу 24 б)),
поэтому ICjBj = xlIACj как
121
углы с взаимно перпендикулярными сторонами, но xtlACj -
поэтому и ^.ICjBj « Аналогично xi ICjAj « , откуда
^jAj е /*/ -^ -
. у- с . JT-
г У у
Из тех же самых рассуждений выводим, что
CjAjBj « X ж AjBjCj = - g-
26. Первое решение. Обозначим ^.CCjA в , тогда
д/5 x.CCjB » .У-»/(рис. •S04. ). По те-
/ I \ ореме синусов для треугольников
I \ ACCj к BCCj
Z \л AC ACj СВ СВ CjB
Разделив почленно первое иэ этих равенств на второе подучим
АС ж ACj
СВ CjB
Второе решение. Поскольку треугольники ACCj и BCCj
имеют общую высоту СН, то отношение площадей этих треуголь-*
ников равно отношению их оснований ACj и CjB:
С другой стороны
S6
ъаъч^лкз ~z—
Третье решение. Проведем через вершину В паралелльно бис-
сектрисе CCj до пересечения с цродолженлеи стороны АС в
точке Д (рис.-5*22йг*). Тогда АССт <^»ЛАДВ и АС1 АС
О Ср Сд'
122
Так как CCj // ДВ, то
X-CjCB "* Л.СВД, но жАСВ = 2 •
xlCjCB = ^СДВ + ^.СВД, откуда
.л СДВ = CjCB » ^.СВД, т.е»
лВСД равнобедренный и ВС=СД,
поэтому
АС| АС АС
CjB сд св
27. Решение.
С другой стороны,
И* последнего равенства можно найти
28
« 120° (см. задачу IS д)), то иэ всех
точек дуги АНВ окружности, опи-
санной около треугольника АВН
сторона АВ видна под углом 120°.
Поэтому достаточно доказать, что
AIB = 120°, но
AIB “>*/= 90° + =120°
(см. задачу 25).
б) Решение. Из прямоугольного треугольника AHj-C (рис. )
находим = 90° - ж ACS = 90° - 60° = 30°, тогда из
прямоугольного л AHgH ^е. AHHg = 90° - 30° = 60°.
Поскольку х^АНВ = 120°, то угловая мера дуги АНВ равна
60°. Точка 0 - центр описанной окружности л АВС, она лежит
I2j
на срединном перпендикуляре ПЛ к стороне АВ, поэтому
О - середина дуги АНВ и х. ОНА = 30°
в) Решение. Треугольник СОН равнобедренный (см. задачу 19ж)),
а его боковые стороны СО и ОН образуютравные углы со сто-
ронами АС и ВС треугольника АВС (см. задачу 12), поэтому
биссектриса CI угла АСВ является также биссектрисой угла
ОСН, т.е. биссектрисой угла при вершине С равнобедренного
д СОН (СО = СН), откуда следует CI ± ОН.
г' Решение. Обозначим точки пересечения прямых ОН и CI,
СН и АС, ОН и ВС через 1р Ар Bj- соответственно
(ркс. ). Тогда Clj является одновременно биссектри-
сой и высотой треугольника Aj-CBj, поэтому этот треугольник
равнобедренный, а так как ^cAjCBj = 60°, то он является пра-
вильным.
29. а) Указание. Использовать то, что x:ACCj =x.CjCB (рис.
ВСР
с с-/2 как вписанные, опирающиеся
на одну и ту же дугу АР (рис.-Л^)
-tIBA-B/2 и -cIBP = -cLBCj +
+ ^СТВР = , но
-*• <|С
x.CjIB = как внешний угол тре-
угольника BCI.
Итак, треугольник PIB равнобед-
ренный. Аналогично доказывается,
что равнобедренным является и
треугольник PIA.
в) Указание. Данное утверждение следует из пунктов а) и
б) этой задачи.
30. Решение. Поскольку высота треугольника, опущенная из некоторой
вершины треугольника и радиус
описанной окружности, проходящий
через эту вершину, образуют рав-
ные углы оо сторонами треугольни-
ка, выходящими из этой же верши-
/М». от
124
ны (ом. задачу 12), то из условия задачи следует, что центр
опиоанной окружности лежит на медиане СМ. Так как треуголь-
ник АВС по условию неравнобедренный, то этот центр совпада-
ет о серединой М стороны АВ (рис. -fog ), поскольку она яв-
ляется точкой пересечения срединного перпендикуляра к стороне
АВ и медианы СМ, а это и означает, что треугольник АВС
прямоугольный.
dl. Решение. Соединим точки
О и Cj (рис. -^У), тогда OCjlAB
Опуотим из точки С перпендикуляр
СН на продолжение АВ, тогда
СН II OCj и zlOCH = xoCOCj = 90°.
Но Z.0CH = I ^В - хА | (см. за-
дачу 13), поэтому I^clB - ^А| =90?
32. Решение. Пусть М - середина стороны ВС, Cj - точка пересе-
чения прямых СО и АВ, Р - пря-
мых СН и Ш (рис. /W ). Прямая
не может быть параллельна АВ,
так как в этом случае точка О
была бы серединой CCj , что не-
возможно, так как из AOCj имеем:
COj х: АО = Z = СО. Отскда сле-
дует, что середина Pj высоты СН
лежит на отрезке СР. Рассмотрим
треугольник ОРС. В нем -tOCP = = 80° - 40° 40°
(см. задачу 13), .л СОР = 90° -zOCM = 90° - 50° = 40°, так
как АСО = 90° - 80° « 10° (см. задачу 12), а ОСМ =
= aiACB - -S.AC0 = 60° - 10° = 50°. Таким образом, а ОРС
равнобедренный, и ОР=СР. Для того, чтобы установить, является
ли треугольник СОН прямоугольным, достаточно сравнить длины
отрезков CPj и OPj (треугольник СОН прямоугольный тогда
и только тогда, когда CPj = OPj, поскольку Pj - середина СН)
Так кад Pj лежит на отрезке СР, то СР^ СР » ОР, но в
треугольнике ОРРТ ^OPPj >90° внешний угол прямоуголь-
125
него л FMC, поэтому OPj > OP = СР ?• CPj. Итак, CPj^OPj
и точка 0 лежат вне окружности, построенной на СН как
на диаметре, те. -а СОН <90° и дСОН остроугольный.
бедренный, поэтому xtA +
зЗ. Решение. Предположим, что в треугольнике АВС В Л,
С?Л - медиана, CCj - биссектриса,
СН - высота (рис. /// ) Тогда
AC-г АС т . о .
—А =___?! (см. задачу 26)
Cj-B СВ
Поэтому точка Cj принадлежит
отрезку МВ. (zA + ) +
+ (zB + *£-) = А + + -ж-С =
- 180°. Треугольник АВС неравно-
j₽
и А + < 90°, так как xt А < хоВ.
Из дАСС^ получаем ^.ACjC = 180° - ( -г А + ) >. 90°,
т.'. д АССр тупоугольный и основание Н высоты СН лежит
на продолжении стороны ЛСр Таким образом, мы установили,
что точка Cj принадлежи отрезу МН, т.е. находится на
стероне АВ между точками М и Н , что и требовалось до-
казать.
> 5. 30°, 60°, 90°. Указание. Используйте решение задачи 30.
6. Решение. Предположим,
что треугольник АВС является остро-
угольным. Тогда, используя форму-
лы для углов ортоцентрического
треугольника (см. задачу 3)
имеем:
60° = х; Hj- = 180° - 2 -а. А, откуда
дА = -^qO.= goo
Аналогично, xlB = х:С = 60°, т.е.
д АВС праьлльный. Треугольник
W3
является также ортоцентрическлм для равнобедренного
126
тупоугольного треугольника АНВ, угли которого равны 30°,
30°, 120° (рис. ). Итак, если ортоцентрический треуголь-
ник некоторого треугольника правильный, то исходный треуголь-
ник либо правильный, либо равнобедренный с углами 30°, 30°,
120° и, таким образом, утверждение задачи верно лишь для
остроугольных треугольников.
37. Решение, а) Обозначим
лСАВ = А, ^.АВС = В, хиВСА = С.
Тогда -tCCjAj- = ^.CAAj- = А/2
как вписанные, опирающиеся на од-
ну и ту же дугу AjC (рис. /<?).
В+С
Аналогично, CjAjBj = •
Рассмотрим треугольник AjHgCj .
х AjHgCj = 180° — CCjAj —
= 180° -
A+B+C
2
т.е. CCj 1 AjBj.
AAj- / BjCj и BBj X CjAj.
высоты треугольника AjBjCj,
<в
= 180° -
С1А1В1 =
i = 180° -
1802 = 90°,
доказывается, что
AHj, ВН2, СН3 -
Точно так же
Итак,
поэтому
точка I является ортоцентром этого треугольника.
б) Прямая CCj является биссектрисой равнобедренного треу-
гольника AgCBg, поэтому CCj X но в предыдущем
пункте доказано, что CCjX. AjBj, следовательно, AjBj || AjjBg.
Аналогично, BjCj || В2С2, CjAj || С2А2, поэтому углы треу-
гольников AjBjCj и AgBjgCjj равны как углы о соответствен-
но параллельными сторонами и л А2®2^2 •
в) Поскольку I - ортоцентр треугольника AjBjCj то точки
I и С симметричны относительно стороны AjBj (см. задачу
7), т.е. Нд - середина отрезка IC. Аналогично, точки
Hj и Hj> - середины отрезков V- и IB. Отсюда следует,
что треугольник АВС переходи в г <гс.1ътак Hj-Hg.l-j щ
127
гомотетии о центром I и коэффициентом 1/2.
38. Решение. Углы треугольника HjBgHg равны xlHj = I80°-2x:zf
^Hg = 180° - 2 ^В ,
= 180° - 2 л С (ом. задачу
3). Тогда можно найти углы треу-
гольника AjBj-Cj: ^Aj = 90° - -
« 90° - j (180° - 2<cA) = ^A,
XBj = 90° - ф » XB,
^Cj = 90° - = xC (CM> аада_
чу 25). Так как углы треугольников
AjBjCj и ЛВС равны, то эти тре-
угольники подобны.
39. Решение. Из результата задачи II следует, что точки Pj, Pg,
Рд, симметричные точке Р .относительно оторон ВС, СА, АВ
треугольника АВС лежат на прямой, проходящей через ортоцентр
этого треугольника. При гомотетии с центром Р и коэффициен-
том 1/2 точки Pj, Pg, Р3 перейдут в основания перпендикуля-
ров, опущенных из точки Р на стороны треугольника АВС, а
ортоцентр II треугольника АВС - в оередииу отрезка PH.
Так как при гомотетии прямая переходит в прямую, то основа-
ния указанных перпендикуляров и середина отрезка PH лежит
на одной прямой.
40. Решение. Рассмотрим прямоугольные треугольники PCjA и
РАС]- измеряется половиной дуги РСВ,
как вписанный угол, опирающийся
на эту дугу. Проведем через точ-
ку С касательную МУ, Тогда
^PCAj = x-PCr.t + ^MCAj- ° -a PCM +
tcBCX^ , но углы PCM и ВСЛ'
измеряются половинами дуг PC и
СВ соответственно, как углы меж-
128
ду касательной и хордой, поэтому угол РСАд измеряется по-
ловиной дуги РСВ, т.е. .z: РАСд = ,xPCAj и прямоугольные
треугольники РСдА и РАдС подобны. Из подобия этих треу-
пд рл
гольников получаем: I _ или РА • РАд = PC • РСд
РСд РА
Аналогично, из подобия треугольников РАдВ и РВдА выводим:
_ ЕВ ? РА - РАд = РВ-РВд , откуда следует, что
РВд РА
РА РАд = РВ-РВд = РС-РСд
41.
Решение. а) Так как вневписанная окружность с центром в точке
Од касается прямых СА и СВ,
то точка Од лежит на биссектри-
се угла АСВ, Эта же окружность
касается и стороны АВ, поэто-
му ее центр Од лежит на пересе-
чении биссектрис внешних углов
АдАВ и ВдВА треугольника
АВС при вершинах А и В.
Точки Од и 02 также совпада-
ют о течками пересечения бис-
сектрис соответствующих углов,
б)
в Я?' TTes. =« -W
и поэтому точки 03. А, 02 лежат на одной прямой, а биссектри-
са АОд треугольника АВС является высотой ОдА треугольни-
ка 0р020д. Точно так же доказывается, что OgB и О^С яв-
ляются высота1®! треугольника 0д020д и, следовательно, треу-
гольник АВС ортоцентрический для треугольника 0д020д.
129
Тогда из треугольника ABI (I
центр вписанной окружности)
с = АСт + СтВ =
12. Решение. Пусть АВ=с
Ай 44/
(рИС. <75* ). С ДРУГОЙ СТОРОНЫ,
о =
Поэтому — =
<&>'- С- <Я2Г&-
* 2 *
откуда 2г = ,
43. Решение. Пусть I и
О - центры вписанной и описанной окруж-
ностей треугольника АВС, Д -
основание перпендикуляра, опущен-
ного из точки I на сторону ВС
(рис. «f ). Проведем диаметр
ВМ, тогда треугольники СД1 и
и ВРМ подобны (^.РСД = ^ЙЛВ
как вписанные, опирающиеся на дугу
и ту же дугу РВ). Поэтому
CI = CI = 1£ _ *_
МВ 2 РВ РВ
, откуда CI • РВ = 2 Rг . Так как
треугольник BPI равнобедренный (см. задачу 29 б)), то
РВ = PI, откуда CI • РВ = CI-IP = 2Дг-,
130
44. Решение. Проведом диаметр
МЛ' , проходящий через центр
вписанной окружности I (рио. -Х/У )
Тогда MI • IV = CI • IP или
(/+</) (/-//) = ,
поскольку CI • IP = 2Рг(см. предыду-
щую задачу), откуда Л* -
и Z*- 2/;?,
45. Решение. Обозначим угол
=
ZCH через (рио./-#'). Тогда
С другой сторога, из треугольника РКС
, PC И + IP Г CI + IP _
“= КР = 2Л'" =г ’ “ >
j /С1 • IP , откуда используя ре-
зультат задачи 43, получим:
= /Я?7*
46. Решение. Рассмотрим окружность с центром в точке 0, касающукн
центры их описанных
ся одной из оторон угла в точке А и
пересекающую другую его сторону в точ-
ках ВиС (рис. ). Тогда APJ.MA
0 - центр описанной окружности треугольни-
ка АВС, АН - его высота. Так как
^ВАН - -е.РАС (см. задачу 12), то бис-
сектриса AAj угла ВАС является также
биссектрисой угла НАР. На этой биссект-
рисе лежит центр I описанной окружно-
сти треугольника АВС. Поскольку АН
является высотой для всех построенных
таким образом треугольников АВС, а
окружностей лежат на прямой АР, то цент-
ры их вписанных окружностей находятся на прямой AAj
47. Решение. Пусть I - центр вписанной окружности треугольника
АВС. Поскольцу^ВЮ - 90° + . (см. задачу 23), то
^-ВМС =^еВ1С и точка М лежит на дуге BIC окружности,
131
описанной около треугольника BCI
(рис. С другой стороны,
центр описанной около треугольника
BCI окружности лежит на биссектри-
се угла А (см. задачу 29), поэто-
му прямая AM является биссектрисой
угла А и точка М совпадает с
точкой I.
48. Рршенье. Пусть ЛВ--С, ВС=а, АС=в. Если 01 X BL , то I -
середина ВР (рис. ). Поскольку
треугольник PCI равнобедренный
(см. задачу 29), то CP=PI = PI =
= IB. Обозначим через М середину
стороны ВС и соединим точку I с
М. Тогда X.BIM = ^ДРС, так как
IM II PC как средняя линия треу-
гольника РСВ, х АСР = ж АВР =
= жРВС и СР = BI, поэтому
дВ1М=жХРС и CL =ВМ=^.
Аналогично показывается, что AL = -~^
откуда следует АС = AL+ LC = -£- + «= , т.е.
s я JB
в = -----=— , а это и означает, что числа а, в, с образу-
ют арифметическую прогрессию.
4V.
Редсние. Из результата задачи 45 следует, что
причем равенство достигается только в случае BI = IP
(рис. "722 ). Но в этом случае справедливость доказываемого
утверадения вытекает из предыдущей задачи.
ЬО. Решение. Биссектриса угла В является также биссектрисой
угла QBH (см. задачу 12), поэтому если BBjjLOH, то треу-
гольник ОВН равнобедренный (рис. -ZW ), но в этом случае
ж .ВС = 6о° (см. задачу 19). Покажем, что если один из углов
треу Тальника равен 60° , то его углы образуют аршТметочзскую
132
прогрессию. В самом деле, пусть
^ВАС = 60° - у , хАВС = 60°,
тогда АСВ = 180° - (60° - у) -
- 60° = 60° + у , что и требова-
лось доказать.
51. Решение. Поскольку прямая ОН перпендикулярна биссектрисе
угла В, то углы треугольника АВС образуют арифметическую
протрессию и равны 60° - у , 60°, 60° + у (см. предыду-
щую задачу). Если точка I лежит на прямой ОН, то прямая
01 совпадает о прямой ОН и поэтому также перпендикулярна
биссектрисе утла В. В этом случае длины сторон треугольника
АВС образуют арифметическую прогрессию (ом. задачу 48). Итак,
наша задача свелась к следующей: могут ди стороны и углы тре-
угольника одновременно составлять арифметические прогрессии?
Пусть против углов 60° - у, 60°, 60° + у лежат стороны
в - d , в, в+ Тогда по теореме косинусов я
~ откуда 0, т.е.
треугольник АВС равносторонний. Поскольку в случае равно-
стороннего треугольника прямая ОН вырождается в точку и по-
нятие перпендикулярности ОН и биссектрисы утла В теряет
смысл, то точка I не может лежать на прямой ОН.
52. Решение. Так как
шем случае
Но тогда сторо-
АВС образуют арифметическую прогрессию, пря-
(см. задачу 45), то в на-
ны треугольника
чем каждая сторона должна <Ьть средней по величине (см. задачу
49). Это возможно только в том случае, если разность этой прог-
рессии равна нулю, т.е. если треугольник АВС правильный.
53. Решение. Обозначим через М3 и Д3 точки пересечения середин-
ного перпендикуляра к стороне Hj-Hg ортоцентрического треуголь-
ника HjHzjH-j с прямыми АВ и СН3 и покажем, что эти точки
лежат на окружности, описанной около треугольника и сов-
133
падает с серединами отрезков АВ и
СН (рис. -724:). Высота Н3С явля-
ется биссектрисой треугольника
HjHgH3 (см. задачу 4), поэтому
она пересекает описанную окружность
этого треугольника в точке Д3
середине дуги Hj-Hg, но серединный
перпендикуляр Л3Д3 стороны HjHg
пересекает эту окружность также в
середине t/Hj-Hg, откуда следует,
что точка Д3 совпадает с точкой
Д3, т.е. Д3 лежит на описанной
окружности треугольника HjHgH3. Поскольку точка Д3 лежит на
серединном перпендикуляре стороны HjH2 , то она равноудалена
от точек и Hg и поэтому совпадает с серединой отрезка
СН (середина отрезка СН является центром окружности, списан-
ной около четырехугольника CHgHHj, так как углы CHgH и
СН^Н прямые). Поскольку центр описанной окружности треугольни-
ка HjHgH3 лежит на прямой МдД3 и Дэ^У^ = 90°, то точ-
ка М3 также лежит на этой окружности и совпадает о серединой
АВ (точка М равноудалена от точек Hj и Hg и, следова-
тельно, совпадает с центром окружности, описанной около четы-
рехугольника ABHjHg). Аналогично показывается, что точки
Mj, Д1, Mg, ]Ig лежат на окружности -Эйлера Од. Треугольник
MjMgMg подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия
равным 1/2, окружность Од является описанной окружностью
треугольника MpVgM3, поэтому ее радиус равен половине ради-
уса описанной окружности треугольника АВС.
54. Решение. Пусть М-£ - середина AB, Ej - основание высоты СЕ
(рис. '725' ). Тогда точки Mj и Ej лежат на окружности Од,
134
поэтому центр этой окружности ле-
жит на серединном перпендикуляре
отрезка MjEj. Точно так хе точ-
ка Од лежит на серединном пер-
певдикуляре отрезка М2Е2 (М2 -
середина АС, Е2 - основание высо-
ты ВЕ2). Данные оеродинные перпен-
дикуляры являются средними линиями
трапеций OMjEjH и OHEgMg ,
поэтому они пересекаются в середине отрезка ОН.
5э.
Решение. Обозначим точку пересечения медианы СМ о отрезком
ОН через & (рис. ). Тогда
треугольники 0<£М и С£-Н по-
добны. Так как СГЛ = -^СН (см.
задачу Ю и задачу 10 для само-
стоятельного решения), то
- 4 и С Я £ '
откуда следует, что - точка
пересечения медиан треугольника
АВС и 0 & : & Н = 1:2.
56. Решение. Обозначим через X? радиус опиоанной окружности
треугольника АВС, через I* , 1^*- , - центры вне-
вписанных окружностей треугольника АВС. Тогда треугольник
АВС является ортоцентрическнм для треугольника
(ом. запячу 41), поэтому описанная окружность треугольника
АВС является окружностью девяти точек треугольника 1^-
откуда следует, что радиус описанной окружности треугольника
равен 2£ (см. задачу 53).
57. Указаны . Использовать решение предыдущей задачи.
135
58.
В I
Решение. Треугольник АВС
является ортоцентрический для
треугольника
(рио. поэтому центр I
вписанной окружности является
ортоцентром треугольника
(см. задачу 41).
Так как в четырехугольнике
1аВ1С ^1^1= ^1ЛС1 =
- 90°, то около него можно
описать окружность, причем ее
центр совпадает с оерединой
IrfI. Аналогично, центры описан-
ных окружностей четырехугольни-
ков I^CIА и I^AIB совпадают с серединами отрезков 1^1 и
Середины указанных отрезков лежат на описанной окружности
треугольника АВС, которая является окружностью девяти точек
треугольника АВС, и являются центрами описанных окружностей
треугольников I^BC, I/CA, ICAB. Поскольку эти окружности
совпадают с описанными окружностями четырехугольников ^В1С,
I^CIA, I^AIB, то центр I вписанной окружности треугольни-
ка АВС является их общей точкой.
59. Решение. Обозначим точку пересечения прямых ААр ВВ^ и CCj
через Р (рис. 'fSg ), а через
В2 и С2 - основания перпен-
дикуляров, опущенных из вершин
В и С на прямую AAj. Тог-
да a AjCgC AjB^B и
ВВ9 ВАт
__ь ~ А , поэтому
СС2 AjC
Аналогично,
136
= . z =
CjB BjA *5д ЛЬ*
. Перемножив эти равенства,
получим: ACI . BAI , CBI _ ie
CjB BjA
Обратно, пусть _£1 • —i • —1 = I, Покажем, что
CjB AjC BjA
тогда прямые AAj, BBj, CCj пересекаются в одной точке.
Обозначим точку пересечения прямых AAj и BBj через Р.
Пуоть прямая СР пересекает сторону АВ в точке Cj.
АСт ВАт СВт
Тогда по доказанному -т=- • — • — = I,
CjB AjC BIA
АСт ВАт СВт
но так как по условию —£ . —£ . —£ = I, то
CjB AjC BjA
АСт АСт /
—Л = —= , т.е. точки Ст и Ст делят сторону АВ
CjB CjB
в одном и том же отношении и потому совпадают.
, Мд - середины сторон ВС, СА, АВ
(рио. Используя неравен-
ство
/ху (х>0, у>0),
получаем: J/aBj • BjC
yiC _ k
137
Возведем в квадрат каадое из этих неравенств и перемножим их:
ABj • BjC • CAj - AjB • BCj • CjA (AMg • CMj • BM3)2
По теореме Чеви ACj • BAj • CBj = CjB • AjC • BjA (cm.
предыдущую задачу), поэтому (ABj • BCj • CAj)2^e (AMg • CMj* BM3)2
или ABj • BCj • CAj AMg • BM3 * CMj , причем неравенство
обращается в равенство только в случае совпадения точек Bj,
Cj, Aj с точками Mg, м3, Mj, откуда следует, что тогда
точка М будет точкой пересечения медиан треугольника АВС.
61. Решение. Обозначим точки касания вневписанных окружностей со
сторонами треугольника АВС че-
рез Aj, Bj, Cj, а С прОДОЛ-
жениями сторон - через . А^- ,
, В* , С^ , с^
(рис. /Я^).
Покажем сначала, что длина отрез-
ка от вершины треугольника до
точки каоания вневписанной окруж-
ности, лежащей на продолжении
стороны за другую вернину, равна
полупериметру треугольника:
САЛ = СА +• АА^, ж b+ACj
(АА^ = ACj как отрезки касатель-
ных, проведенных из точки А к
вневписанной окружности), точно
так же
СВ- ш СВ + ВВ_ и а+СтВ,
но С4* = СЦр , поэтому СА^ + СВ^ = 2СА^ = в+ а +
+ ACj + CjB = в + а + с « 2р, откуда САЛ = р.
Далее CBj = С^> = ^В - СВ «= р-а.
Аналогично, BjA » р-с, ACj = р-в, CjB = р-а,
BAj « р-с,- AjC = р-в, откуда получим:
138
ACj BAj CBj (р-в)(р-с)(р-а)
CjB AjC BjA (р-а)(р-в)(р-о)
то есть по теореме Чеви прямые AAj, BBj, CCj переоекаются
в одной точке.
62. Решение, а)
0Л JaSse Jas#J ш ^g,
Сложив эти равенства, получим
0AI ,^1 , = = j
AAj BBj CCj
j AO AAj “• OAj — 0Лj
AAj AAj- AAj
поэтому
A0+ £0+ CO
AAj BBj CCj
BO _ J
BBj " BBj
0AT OBt
= 3 - ( + —
AAj BBj
CO 0CT
— = I - —1
CCj CCj
OCt
—-)
CCj
= 3-1-2.
x:BCH, ^CAO = ж BAH (см. задачу
12), то биссектрисы углов А и С
треугольника АВС является бис-
сектрисами треугольников ОАН и
СОН (рис. ). Поэтому
^2 — — »— (см. задачу 26),
АН IH СН
но АО=СО=>е , откуда следует, что
АН=СН. Поскольку радиусы окружно-
стей, описанных около треугольников
АНВ и СНВ равны радиусу Х’ описанной около треугольника АВС
окружности, то АН = 2^* (90° - А А) = 2.в-4Иг А,
£Н = 2{< -лр^^С и из равенства АН=СН вытекает
ллг^-А = 4-лг^С, -с А = Xi С, т.е. треугольник АВС равно-
бедренный.
139
733
64. Решение. Пусть Т - точка Торичелли треугольника ЛВС, А2,
Eg, С2 - середины дуг описанных
округлостей правильных треугольни-
ков AjBC, В^СЛ, С^ЛВ, диа-
метрально противоположные точ-
кам Aj, Bp Cj (рис. 753).
Тогда точки А2, В2, С2 яв-
ляются вершинами внутреннего тре-
угольника Наполеона треугольника
АВС. Так кактреугольник AgBgCg
правильный (см. задачу 1,44), то
✓ С2В2А2 = 60° и для доказа-
тельства того, что около четы-
рехугольника AgBgCgT можно описать окружность, достаточно
показать, что zC2TA2 = 120°. zlC2TA2 = xiATB + x^CgTA -
- ^AgTB = 120° + xiCgTA - ^lA2TB, но поскольку Cg и A2
- оередины дуг ACgB и BA2C, а углы C2TA и AgTB
вписанные, то ziCgTA = /^.ACjB = 30°, ^.AgTB = /^BAjC = 30°,
T.e. XC2TA = x:A2TB — 30° и -cCgTAg = 120°.
65. Решение, а) Обозначим через
<5 У
P середину отрезка AjC (рис. )
Тогда А2Р - средняя линия тре-
угольника ВСЛр поэтому
а2р = /BAj = /вс = в2с2
(треугольник BCAj правильный,
a BgC2 - средняя линия треу-
гольника АВС). Аналогично,
С3р = f ВрС = /АС = А2С2
^CgPAjj = ^.CgPAj -xAgPAj =
= ^BICAi - 120° = -tACB =
= AgCgBg, поскольку
140
xtBjCAj- = Z-BjCA + ^ACB + xBCAj = 60° + ^ACB + 60° =
= xACB + 120?
Итак, ziCgPAg = ziAgCgBg по двум сторонам и углу между ними,
откуда следует, что BgAg = AgC3. Ток же можно показать, что
BgAg = BgC3, т.е. треугольник AgBgC3 правильный. Доказатель-
ство правильности треугольников BgCgA3 и CgAgB3 аналогич-
но пр веденному выше.
б)-в) Так как треугольники AgBgC3, BgCgA3, CgAgB3
правильные, то утверждения этих пунктов вытекают из задачи
1.40.
г) Поскольку прямая AgBg параллельна АВ, то перпендику-
ляр к АВ является одновременно и перпендикуляром к AgBg,
но треугольник AgBgC3 правильный (см. пункт а) данной задачи),
поэтому перпендикуляр к AgBg, опущенный из точки С3 явля-
ется серединным перпендикуляром стороны AgBg треугольника
AgBgCg. Аналогично, перпендикуляры к ВС и СА, проведенные
через точки Л3 и В3, являются серединными перпендикулярами
сторон BgCg и CgAg треугольника AgBgCg и, таким образом,
эти перпендикуляры пересекаются в центре описанной окружности
треугольника AgBgCg.
141
Литература.
I. Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. М., "Наука".
1975.
2. Березин В.Н., Березина Л.Ю., Никольская И.Л. Сборник задач для
факультативных и внеклассных занятий по математике. М., "Просве-
щение", 1965.
3. Васильев Е.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. М., "Наука",
1970.
4. Васильев Н.Б. и др. Заочные математические олимпиады. М., "На-
ука", 1986.
5. Васильев Н.Б. и др. Математические соревнования (геометрия). ГЛ.
"Наука", 1974.
6. Васильев Н.Б., Егоров А.А. Задачи всесоюзных математических
олимпиад. М., "Наука", 1968.
7. Выиенскпй В.А. и др. Сборник задач киевских математических
олимпиад. Киев, "Вища школа”, 1984.
6. Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиа-
ды. М., "Просвещение", 1986.
9. Гетман З.Г., Скопец З.А. Редение геометрических задач аналити-
ческим методом. М., "Просвещение", 1979.
10. Гусев В.А., Литвиненко В.Н., Мордковпч А.Г. Практикум по реше-
нию математических задач. Геометрия. М., "Просвещение", 1985.
II. Делоне Б., Житомирский 0. Задачник по геометрии. М.-Л., Гос-
техпздат, 1949.
12. Динкин Е.Б. и др. Математические задачи. М., "Наука", 1971.
13. Зарубежные математические олимпиада. Под ред. И.Н.Сергеева.
М., "Наука", 1987.
14. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. И., Учпедгиз, 1940.
15. Лидский В.Б. и др. Задачи по элементарной математике. М.,
"Наука", 1970.
16. Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной
математики. М., "Советская наука", 1957.
17. Платонов В. и др. Избранные задачи элементарной математики.
Минск, "Высшая школа", 1964.
18. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Части I, II. М., "Наука",
1986.
142
19. Сборник задач московских математических олимпиад. Составитель
А.А.Леман. М., "Просвещение", 1965.
20. Сивашинский II.X. Пособие по математике для техникумов. М.,
1970.
21. Туманов С.И. Поиски решения задачи. М., "Просвещение", 1969.
22. Фетисов А.И. Геометрия в задачах. М., "Просвещение", 1977.
23. Шарыгпн И.Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. М., "Наука",
1986.
24. Шахно К.У. Сборник задач по элементарной математике повышен-
ной трудности. Минск, "Высшая школа", 1963.
25. Шклярсккй Д.0., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и
теоремы планиметрии. М., "Паука", 1967.
26. Шустеф Ф.М. и ДР- Сборник олимпиадных задач по математике.
Минск, 1962.
27. Яглом И.М. Геометрические преобразования. Часть I. И.,
Гостехиздат, 1955.
143
Содержание.
Предисловие. 3
§1 . Равнобедренный треугольник. 3
Задачи для самостоятельного решения. 10
Ответы. Указания. Решения. 12
§2 . Прямоугольный треугольник. 29
Задачи для самостоятельного решения. 36
Ответы. Указания. Решения. 38
§3 . Вписанные, описанные и вневписанные окружности 54
Задачи для самостоятельного решения. 63
Ответы. Указания. Решения. 65
§4 . Замечательные точки и линки треугольников. 96
Задачи для самостоятельного решения. 106
Ответы. Указания. Решения. 109
Литература. 141
(Л Кулапин Р_Д. Фенин С.Н.
ГЕОМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА В ЗАДАЧАХ
Экспериментальное учебное пособие для VIII X школ физико-математического иапраклеии
Пописано в печать 07.09.90
Объем 9 п.л.
Формат 60x90 ’/i*
Тираж 1000 эка.
Заказ 132k
Бумага газетная
Офсетная леча п>
Цена договорная
Изд. ИОО МО России, Москва, Крутипкии вал, 24.
Типография малого многопрофильного предприятия "КЭНДИ"