Text
                    АМ.Башарое
ФОТОНИКА. САМОПУЛЬСАЦИИ И ХАОС В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Учебное пособие. —М.: МИФИ, 1987. - 60 с.
Режимы работы пассивных оптических устройств, таких, как нелинейные
резонаторы, электро- и акустооптические системы, проанализированы в рамках
понятий теории одномерных отображений, естественно возникающей при
пренебрежении инерционностью устройств. Рассмотрены оптическая
бистабильность, периодические и стохастические пульсации и некоторые их
приложения. Описаны пути возникновения хаотического режима через
последовательность удвоения периода пульсаций (сценарий Фейгенбаума),
перемежаемость периодического и стохастического режимов (сценарий Помо—
Манневиля) и через разрушение квазипериодического движения (сценарий
Рюэля-Таккенса). Дано представление об используемом здесь ренормгрупповом
подходе.
Пособие предназначено для студентов факультетов ЭТФ и СФФ,
специализирующихся в области физики твердого тела и квантовой электроники.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение	3
Оптические бистабильность, самопульсации и хаос	3
Особенности теоретического анализа оптических устройств с задержкой в 7
линии обратной связи
Библиография	14
Глава I. Описание режимов работы оптических устройств	16
1. Основные уравнения для кольцевого резонатора	16
2. Абсорбционная бистабильность	23
3. Самопульсации в нерезонансном кольцевом резонаторе с	27
абсорбционной нелинейностью
4. Оптическая мультистабиаьность и самопульсации в гибридных	30
устройствах и резонаторах с дисперсионной нелинейностью
5. Режим синхронизации частот	34
Библиография	35
Г лава II. Сценарии перехода к хаосу	36
6. Некоторые характеристики хаоса	36
7. Сценарий Фейгенбаума	40
8. Сценарий Помо - Манневиля	49
9. Сценарий Рюэля-Таккенса	51
Библиография	52
Г лава III. Экспериментальные исследования	52
10. Гибридные устройства	52
11. Полностью оптические системы	55
Список использованной литературы	56


ВВЕДЕНИЕ Потребности развития вычислительной техники, средств обработки и передачи информации стимулировали в последнее де¬ сятилетие многочисленные работы в области создания полно¬ стью оптических аналогов электронных схем, различных гибрид¬ ных устройств, а также всевозможных оптических процессоров и других систем. Одними из основных конструкционных элемен¬ тов разрабатываемых систем являются пассивные оптические резонаторы, заполненные нелинейными средами, ряд гибридных (электро— и акустооптических) резонаторных и безрезонаторных устройств с задержкой в линии обратной связи. Взятые сами по себе,они могут служить ячейками памяти, переключателями и ограничителями мощности оптического излучения, оптическими транзисторами и мультивибраторами, генераторами шумов, выпол¬ нять логические операции гиг, "или", гне иг,гне или". Все эти воз¬ можности уже продемонстрированы экспериментально, а ряд уст¬ ройств сделан в интегрально—оптическом исполнении. Ввиду постоянного притока энергии и его рассеяния рас¬ сматриваемые оптические устройства относятся к так называ¬ емым открытым диссипативным системам, которые интенсивно исследуются в настоящее время. Причем в отличие от электрон¬ ных оптические устройства являются системами с распреде¬ ленными параметрами — размеры оптического устройства обыч¬ но значительно превышают длину волны света. Эксперименталь¬ ное и теоретическое изучение различных режимов работы ука¬ занных устройств представляет не только практический, но и общефизический интерес, поскольку они дают нетривиальные при¬ меры динамики диссипативных систем, такие, как потеря устой¬ чивости стационарного режима и возникновение периодических пульсаций, последовательность удвоения периода пульсаций, пе¬ реход к хаотическому режиму и другие. В пособии излагаются элементы теории таких явлений, описываются некоторые экспе¬ рименты и устройства. Остановимся на основных режимах рабо¬ ты оптических устройств и особенностях их теоретического ана¬ лиза. Оптические бистабильность, самопульсации и хаос Отличительной чертой рассматриваемых оптических уст¬ ройств является наличие нелинейной среды и явного механиз¬ ма обратной связи, которая может быть как оптической (в не¬ линейном резонаторе), так и электрической (в гибридных схе- 3
мах). При определенных условиях одна и та же монохроматиче¬ ская волна может проходить через такое оптическое устройство в двух различных стационарных режимах, различающихся друг от друга значением 1Т интенсивности* и другими характе¬ ристиками прошедшей волны, о чем говорят как об оптической бистабильности. Чтобы понять причины возникновения оптичес¬ кой бистабильности рассмотрим резонатор Фабри — Перо (рис.1,а), заполненный керровской средой, показатель преломления п ко¬ торой зависит от интенсивности 1С поля внутри резонатора ли¬ нейным образом: п = пQ +■ Пг_1с . Пусть слабое падающее излу¬ чение интенсивности I^ нерезонансно резонатору, т.е. частота излучения не совпадает с частотой какой-либо собственной мо¬ ды резонатора. С ростом / увеличивается 1С и поэтому из¬ меняются Ь. и собственные моды резонатора. В результате в определенной области параметров резонатора при некотором значении I - If может возникнуть положительная обратная связь, приводящая к резкому увеличению поля внутри резонато¬ ра, — частота одной из мод резонатора становится настолько близкой к частоте падающего излучения, что малые флуктуации падающего излучения, повышающие его интенсивность, увеличи¬ вают также поле внутри резонатора, что еще более сближает а) нглинекввм cpeta 1, 1т Рис. 1. Резонатор Фабри — Перо (а) и его пропускание в слу¬ чае оптической бистабильности (б) и режима дифференциального усиления (в) К Всюду говоря об интенсивности электромагнитной волны с несущей частотой би , имеем ввиду величину, усредненную за период 2ж/со быстрых колебаний
частоты и приводит к дальнейшему росту I вследствие интер¬ ференции волн внутри резонатора. Эта положительная обратная связь до тех пор стимулирует увеличение поля 1С , пока резо¬ натор снова не станет нерезонансным падаюшему излучению, причем здесь флуктуации поля уже не изменят его состояния. Поэтому при уменьшении интенсивности Ij. обратный процесс резкого уменьшения поля внутри резонатора произойдет при дру¬ гом значении Iх= интенсивности падающего излучения, так что будет иметь место явление гистерезиса, а в области 2^ < Ij. < < I f — два устойчивых режима прохождения оптического уст¬ ройства (рис. 1,6). Описанную бистабильность называют дис¬ персионной, так как нелинейность здесь связана только с зави¬ симостью показателя преломления от интенсивности волны. Су¬ ществует также и другая крайняя возможность — абсорбционная бистабильность — определяемая лишь нелинейным поглощением (ее мы обсудим в дальнейшем). Оптические устройства, в кото¬ рых встречается тот или иной тип бистабильности, называют бистабильными оптическими устройствами. Именно они и пред¬ ставляют наибольший интерес для практического использования. В ряде применений достаточным оказывается режим дифферен¬ циального усиления (рис. 1,в), который предшествует биста¬ бильности, если должным образом изменить параметры биста¬ бильного оптического устройства. Функциональные возможности оптических устройств с гистерезисным поведением и с режимом дифференциального усиления показаны на рис. 2. Другим следствием нелинейности и обратной связи яв¬ ляется развитие в некоторых случаях разного рода неустойчиво¬ стей, приводящих к возникновению периодических пульсаций ин¬ тенсивности прошедшей волны. Чтобы подчеркнуть, что такой ре¬ жим не связан с какой-либо модуляцией падающей волны (кото¬ рая может быть строго монохроматичной) или другими внешними воздействиями, говорят о самопульсациях излучения. Поясним образование самопульсаций на примере оптического резонатора с керровской средой. Известно, что достаточно интенсивные световые поля вы¬ зывают в нелинейных средах многофотонные явления - генера¬ цию гармоник, комбинационное рассеяние и другие четырехвол— новые процессы. В частности, монохроматическая волна часто¬ ты со в керровской среде способна породить две волны с час¬ тотами со^со-А и со^=со+Д , расположенными на час¬ тотной шкале симметрично по обе стороны от со (в силу 5
id-Ш Рис. 2. Некоторые функциональные возможности оптических устройств с гистерезисным поведением и режимом дифференци¬ ального усиления: а — оптическая память; б — оптический транзистор; в, г — фо¬ тонная логика свойств симметрии тензора нелинейной восприимчивости треть¬ его порядка). Для того, чтобы генерируемые волны не исчезли вследствие интерференции в резонаторе, они должны совпадать (или быть близкими) с собственными модами резонатора, на¬ пример соседними, тогда Л=Л /г0 , где 2^- время движе¬ ния сигнала по замкнутому пути внутри резонатора. В резуль¬ тате сложения генерируемых волн с проходящей интенсивностью излучения на выходе из резонатора оказывается промодулирован- ной с периодом 2 Тд . Таким образом, при определенных па¬ раметрах стационарный режим прохождения излучения через не¬ линейный резонатор становится неустойчивым - возбуждаются собственные моды и возникают самопульсации. Оптическое уст¬ ройство, работающее в режиме само пульсаций, может служить в качестве мультивибратора в оптических аналогах электронных схем. 6
При возбуждении большого числа мод резонатора картина самопульсаций весьма сложна, и даже в отсутствие каких-либо внешних шумов и внутренних флуктуаций возможна ситуация, когда прошедшее излучение будет представлять собой полно¬ стью шумовой сигнал. Об этом говорят, как о развитии оптиче¬ ской турбулентности или хаотическом (стохастическом) режиме работы оптического устройства. Еще совсем недавно экспери¬ ментатор, обнаружив сложные, нерегулярные пульсации излуче¬ ния, отказывался от их исследования, ссылаясь на неконтроли— руемость параметров, внешние шумы и случайные воздействия и т.п. Сейчас уже многим ясно, что эти сложные пульсации мо¬ гут быть связаны с самим существом дела (например, с воз¬ буждением различных собственных мод резонатора) и их изуче¬ ние важно не только для понимания режимов работы оптиче¬ ского устройства, но и представляет самостоятельный интерес. Особенности теоретического анализа оптических устройств с задержкой в линии обратной связи Наличие задержки в линии обратной связи рассматриваемых устройств определяет своеобразие их теоретического описания. В качестве простого примера рассмотрим гибридное безрезо- наторное электрооптическое устройство (рис. 3). Прошедший Рис. 3. Пример электрооптического устройства с задержкой в линии обратной связи через поляризатор (П), линейно поляризованный свет интен¬ сивности Я подается на электрооптический кристалл - моду¬ лятор (М), который поворачивает плоскость поляризации на угол, пропорциональный приложенному к кристаллу электрическо¬ му напряжению. После анализатора (А) часть прошедшего излу¬ чения с интенсивностью х подается на фотодетектор (Ф),пре¬ образующий свет в электрическое напряжение, пропорциональное JC . Это напряжение, повышенное с помощью усилителя (У),прикла- 7
дывается к кристаллу (М ). С учетом времени % запаздывания света на пути от М до Ф, но в пренебрежении времени X/f установления в цепи обратной связи у обусловленного релаксационными процессами, имеем очевидное соотношение x('r)= JSin2(teff*-x(Z-?0)), (1) где zHq — угол поворота плоскости поляризации, вызванный по¬ стоянным напряжением смещения на модуляторе и взаимным расположением плоскостей поляризации поляризатора П и анали¬ затора А, а Я и х — безразмерные интенсивности 1г и 1Т . Если учесть время 1/ Т установления обратной связи, то вместо (1) получим x-(v)=Jlsin(bJ0 + K>(T)), = - ы(г) +х.(т-Т0). Аналогичные дифференциально-разностные уравнения, кото¬ рые запишем в виде (ы(г)), = У(*(г-г0)), (2) описывают прохождение плоской электромагнитной волны и че¬ рез другие оптические устройства с задержкой в линии обрат¬ ной связи. Здесь функции <р^ и <р зависят от системы, типа нелинейности и интенсивности Я падающего излучения. Их ком¬ позиция о <р определяет некоторую нелинейную функцию, ко¬ торую обозначим через Уравнения типа (2) очень сложны и не поддаются пока исследованию в общем виде. Однако если скорость f установ¬ ления обратной связи достаточно велика f>> j , так что за время TQ обратной связи все релаксационные процессы в системе затухнут, т.е. система станет безынерционной, а все другие изменения во времени будут совершаться в масштабе Xд, то производной в (2) можно пренебречь. Тогда уравнения (2 ) сводятся к своему сингулярному пределу, получаемому зануле— нием коэффициента ( Т ~1) при старшей (в нашем случае-един¬ ственной) производной, причем для величин хп = зс (п Хд), П = = 0, 1, 2, ... возникает следующее рекуррентное соотношение хП+1 (Хп) ■ (3) Математики называют (3) одномерным отображением; f ^ отображает некоторый отрезок действительной оси в себя. Ис¬ пользуется также термин "итерация": все величины , п >1 , являются итерациями начального значения л.^ ; отображение 8
хп+1 =fj2)(/г) ’ где f^)(-x-)sfji(f/j(yc)) представляет двукратную итерацию исходного отображения (3) и т.п. Различные режимы работы оптических устройств оказы¬ ваются тесно связанными с устойчивыми неподвижными точками и циклами отображения (3). Прежде чем обсуждать этот во¬ прос, дадим необходимые определения. Неподвижные точки (или 1-циклы) х- являются решением уравнения £=fjj(*) (4) и наглядно представляются как точки пересечения прямой xnt1=xn и графика X/i+i=fj(xn) (рис. 4). На этом же графике удобно изображать итерации произвольной начальной точки: для получе¬ ния каждой последующей итерации необходимо из точки f^(^cn) провести горизонтальную прямую до пересечения с прямойxnf = а затем вертикальную линию до графика функции . Непод¬ вижная точка называется устойчивой кии аттрактором периода 1, если у нее существует область притяжения — множество точек, итерации которых к ней сходятся (рис. 4,а), у неустойчивой не¬ подвижной точки X - как бы близко к х. ни была расположена на¬ чальная точка, — итерации уходят от ОС (рис. 4,6). Можно весьма просто определить будет ли устойчивой неподвижная точ¬ ка х, отображения (3). Пусть х.п= х + Ахп , где Дхя _ малое отклонение от неподвижной точки. Если точка х устойчивая, то с ростом п величина /Дxnj должна уменьшаться до нуля. Рис. 4. Устойчивая (а) и неустойчивая (б) неподвижные точки отображения (хп). Имеем Хп^х+Лхпн^(хп^(Х^Лхп)^(х)^(х)Лхп:, откуда Llxft . Для того, чтобы , должно выполняться неравенство с
/ fj) <*)/ 7 • (5) Неподвижная точка (4) является также неподвижной точ¬ кой двукратной (и любой другой) итерации отображения . Но возможна ситуация, когда двукратная итерация отображения fj имеет и другие неподвижные точки (2У_ которые ’ ^2=^ '(Х'г') возникают парами, поскольку = = , j (x£)-x^. Они образуют г/ W 2" 1’ 2-цикл отображения / у? отображе- х„ ние fj переводит точку в обратно (рис. 5). Устойчивость 2- цикла / определяется устойчивостью неподвижных точек двукратной итера¬ ции f^ , условием которой служит неравенство Рис. 5. 2-цикл (я-1 ,х2) отображения pcft) //j (6) Устойчивый 2-цикл называется также аттрактором периода 2. Определения Д —цикла и аттрактора периода 1г очевидны. Циклы любого непрерывного отображения (3) появляются во вполне определенной последовательности. Чтобы ее выпи¬ сать введем отношение порядка между целыми числами Ш и Д . Будем говорить, что между т и Я существует отношение порядка /л , если из существования Д7 —цикла следует, что у того же отображения (при том же значении параметра Я ) есть и П —пикл. Указанное отношение упорядочивает циклы следующим образом (теорема Шарковского) 3 ) 5 [■ 7 (■ ,,, f 3-2 ) 5-2 ^ 7-2 j- ... }■ 3-22 }■ 5'22 }- 7*22 } ... 23\ )- 22 f- 2 }■ 1 . В теореме Шарковского ничего не говорится об устойчивости циклов. В разных областях параметра Я число циклов и их ус¬ тойчивость различны. Изменение числа или устойчивости реше¬ ний уравнений принято называть бифуркацией, а значения пара¬ метра при которых они происходят - точками бифуркации. Ока¬ зывается, что для широкого класса функций, обладающих макси¬ мумом, существует бесконечная последовательность < <Л3 < .. .< Aj < ... < Ас < с*0 значений параметра Я , при которых происходят бифуркации удвоения периода: при J=Aj теряет устойчивость 2.1 * — цикл и рождается устойчивый 2} — цикл, причем при больших у >> 7 значения А- сходятся к предельному значению геометрическим образом: (7а) 10 J
А, , j+1 J Это означает, что если, например, для Aj< Я < Ау>/ > отобра¬ жение (3) при п-^00 характеризуется набором , состоя¬ щим из повторяющейся последовательности 2^ значений, то при Я = Л^ в наборе [ не существует ни одной конечной повторяющейся последовательности, а сама последовательность зависит от п немонотонным образом. Более того, вся последо¬ вательность чисел выглядит как случайная и образует на действительной оси весьма нетривиальное множество типа стран¬ ного аттрактора. Таким образом, в полностью детерминированной системе, какой является отображение (3), появляется случай¬ ное или хаотическое поведение, причем как результат все более и более упорядоченного движения, каким является повторяю¬ щийся набор 2 чисел. Строгие определения хаотического по¬ ведения детерминированной системы и его математического об¬ раза — странного аттрактора — будет дано в дальнейшем, а по¬ ка отметим удивительный результат — все системы, переходящие к хаотическому поведению через бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода, описываются единым законом (7) с одной и той же универсальной константой Cf= 4,6692016... (8) Такой универсальный путь хаотизации поведения динамической системы получил название сценария Фейгенбаума. Довольно боль¬ шое по сравнению с единицей значение if обеспечивает выпол¬ нение (7) уже после нескольких первых бифуркаций. Теперь вернемся к обсуждению режимов работы оптиче¬ ских устройств, определяемых свойствами отображения (3). Нетрудно видеть, что устойчивая неподвижная точка отображе¬ ния (3) отвечает стационарному режиму прохождения монохро¬ матической волны через оптическое устройство. В самом деле, стационарный режим означает, что асимптотически при интенсивность поля на выходе из оптического устройства ста¬ новится величиной постоянной х(т) -* х -const. Поскольку тогда одновременно х п + ^ х и —» X при п. —’ со , то стацио¬ нарная интенсивность х, удовлетворяет уравнению (4). т.е. является неподвижной точкой отображения (3), причем устойчи¬ вой. Ясно, что устойчивость необходима для того, чтобы сколь угодно малые флуктуации не разрушили данный режим. Одному и тому же значению Я интенсивности падающего излучения 11
может отвечать несколько устойчивых неподвижных точек ото¬ бражения (3). Они описывают мультистабильный (или биста¬ бильный в случае двух устойчивых неподвижных точек) {-«жим работы оптического устройства. Устойчивый W -цикл отображения (3) характеризует ре¬ жим пульсаций - значения интенсивности, измеренные в момен¬ ты времени пТп,(п + 1Нп , ••• повторяются с периодом mVg (рис. 6). Х(Т) г*. х (Г) —I а) х2 - 5) Г г — — U 5) г (г) jm/m Рис. G. Режимы пульсаций оптического устройства,опи¬ сываемые в пренебрежении инерционностью 2-циклом (а) и 4—циклом (б) соответству¬ ющего отображения; влияние инерционности оптического устройства на режим пуль¬ саций, отвечающий 2-циклу (в) Реализация в определенной области параметров какого-лли- бо сценария хаотизации исходного отображения (3) обусловли¬ вает стохастический режим работы оптического устройства. Здесь уместно спросить: как проявляется инерционность J-— системы, которой мы пренебрегли при переходе от диф- оЕ q ференциальноразностных уравнений (2) к отображению (3)? Оказывается, роль инерционности возрастает по мере усложне¬ ния режимов работы оптического устройства. В стационарном режиме величина интенсивности прошедшего излучения не зави¬ сит от у? , однако скорость установления обратной связи в системе влияет на область устойчивости стационарного режима, которая с ростом ( j'tg) 1 , как правило, уменьшается. В ре¬ жиме пульсаций инерционность системы сглаживает фронты, увеличивает период пульсаций (рис. 6) и может уменьшить об¬ ласть устойчивости режима с данным периодом. Наиболее прин¬ ципиальные последствия конечности инерционности возникают в стохастическом режиме. Здесь переход от (2) к (3) является некорректным при любых значениях /22 , в том числе и для 12
сколь угодно малой инерционности (ТТд) 1 „ Это ска¬ зывается и на путях перехода к хаосу. Так, численные иссле¬ дования (2) при ( !« 1 не обнаружил1'; бесконечной по¬ следовательности бифуркаций удвоения периода - хаотическое по¬ ведение решений (2 ) наступало после нескольких бифуркаций. Однако говорить здесь о новом сценарии перехода к хаосу во многих случаях нецелесообразно, поскольку значения парамет¬ ра у? , при которых происходят бифуркации удвоения периода, приближенно подчиняются закону (7). Конечность последова¬ тельности бифуркаций удвоения периода можно было бы рас¬ сматривать как неустойчивость сценария Фейгенбаума по отно¬ шению к инерционности системы, но этот вопрос до сих пор еще не исследован. Сходное влияние на последовательность удвоения периода оказывает шумовая добавка §я : у отображения^ - = 5п последовательность удвоения периода перед на¬ ступлением хаотического режима также конечна в силу неустой¬ чивости сценария Фейгенбаума по отношению к внешнему шуму. Как в физическом эксперименте, так и численном принято об¬ суждать, как при переходе к хаосу проявляются те или иные сценарии, в том числе и установленные для соответствующего отображения (3). Весьма нетривиальной задачей анализа воз¬ никновения стохастического режима у оптического устройства является отделение эффектов, связанных с инерционностью си¬ стемы, от влияния внешнего шума, который всегда присутст¬ вует в реальном эксперименте. Замечание. На первый взгляд может показаться, что изло¬ женный подход к исследованию режимов работы оптических устройств обладает очень узкой областью применения, посколь¬ ку отображения (3) возникли исключительно благодаря наличию обратной связи с задержкой во времени. Однако это не совсем так. Рассмотрим динамическую задачу, описываемую системой дифференциальных уравнений ~Ш ',xw ’i) ’ В N -мерном фазовом пространстве системы (9) ее решение описывается некоторой траекторией. Выберем поверхность, ко¬ торую решения (9) пересекают под ненулевым углом (т.е. тран¬ сверсально) и поставим в соответствие каждой точке пере¬ сечения выделенной поверхности траекторией следующую точку пересечения Уп + у -В результате получим отображение Пуан— 13
каре + ] - F (Yfr) , являющееся мощным инструментом качест¬ венной теории дифференциальных уравнений (рис. 7). Периоди¬ ческому движению в этом отображении отвечает неподвижная точка, а движению по незамыкающейся обмотке тора - либо окружность, либо тор на единицу меньшей размерности. Отобра¬ жение Пуанкаре эффективно уменьшает размерность системы на единицу. Другое отображение получится при дискретизации урав¬ нений (9). Рис. 7. Примеры отображения Пуанкаре (а) и бифуркации удво¬ ения периода в фазовом пространстве (б) Использование отображений особенно удобно при анализе стохастического поведения динамических систем, поскольку на¬ ряду с понижением размерности системы из рассмотрения ис¬ ключаются регулярные компоненты, не дающие стохастичности, но усложшющие описание. Кроме того, для анализа стохасти¬ ческого поведения на основе отображений в математике разви¬ ты специальные методы - методы символической динамики. Библиография Рассмотренные в пособии пассивные оптические устройст¬ ва характеризуются продольной (по отношению к направлению распространения излучения) распределенностью параметров и наличием зеркал. Между тем явления бистабильности, самопуль- сации и хаоса свойственны и другим нелинейным оптическим си¬ стемам. В обзоре [в] обсуждена роль продольной и поперечной распределенности. Многочисленные бистабильные оптические устройства (в том числе и беззеркальные) и их приложения опи- 14
саны в обзоре £l3j. Дополнить картину обсуждаемых оптиче¬ ских явлений поможет обзор [14]. Подчеркнем, что наряду с развиваемым в пособии подходом, широкий класс бистабильных, периодических и стохастических режимов работы оптических устройств (в основном активных, например, лазеров) может быть с успехом описан [ 9] при помощи так называемых урав¬ нений Лоренца, подробному анализу которых посвящена книга [38]. Существуют и другие общие подходы. Следует отметить, что оптические эффекты не самые про¬ стые процессы для иллюстрации достижений современной тео¬ рии стохастических явлений. Поучительные примеры периоди¬ ческих и стохастических режимов можно найти в гидродинамHKe[7j. Введением в общую теорию автоколебательных процессов может служить книга £ll]. Из математической литературы по теории отображений очень полезна книга [19]. Нелишне будет знакомство с [4 ] . Про методы символической динамики мож¬ но прочитать в [ 1, 3].
Глава 1. ОПИСАНИЕ РЕЖИМОВ РАБОТЫ ОПТИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ ПРИ ПОМОШИ ОТОБРАЖЕНИЙ 1. Основные уравнения для кольцевого резонатора Рассмотрим кольцевой резонатор (рис. 8,а), плечо кото¬ рого между полупрозрачными зеркалами 1 и 2, расположенными в точках Z = О и z - L оси Z , заполнено двухуровневы¬ ми атомами. Квантовый переход между атомными уровнями яв¬ ляется оптически разрешенным с частотой tOg . Коэффициенты отражения зеркал 1 и 2 одинаковы и равны /? , а зеркала 3 и 4 полностью отражают оптическое излучение. а * Рис. 8. Простейшие резонаторные оптические устройства Пусть на зеркало 1 в направлении оси Z падает плоская электромагнитная волна с напряженностью электрического поля Ej. - €j. exp[i(Az -tot)] +H.C-, z*.0, 16 Пелилемлая — epefa—
где £ - медленно меняющаяся по сравнению с е-*р [ i (hz - cot)] амплитуда электрического поля; ш=Ьс - несущая частота. Будем считать, что /ш-сод /c<oj , тогда взаимодействие элек¬ тромагнитной волны с двухуровневыми атомами носит резонан¬ сный характер и описывается при помощи уравнений Максвел— ромагнитной волны внутри резонансной среды 0 4 Z 4 I ; Ег — - £теэср [i(hz п.с. — электрическое поле волны прошедшей через кольцевой резонатор (z ^ L ) ; T=l-R — ко¬ эффициент прохождения зеркал 1 и 2 \ Lg - длина замкнутого пути луча внутри резонатора. Запишем уравнения Максвелла — Блоха и граничные усло¬ вия в следующем обезразмеренном виде: в котором входящие величины связаны с размерными при помо¬ щи соотношений ла - Блоха. Наличие зеркал проявляется в характерном для кольцевого резонатора краевом условии; LJLL), ET(t)^fTE(L,L). Здесь Е- 8 еоср [ i(hz+п.с. - электрическое поле элект- (10а) (Юб) (Юв) (Ha) er(t) = ^T e(l, r), (116) I = L/ctg , tq = L0fcts , tg- ('J.xcoNJd. /г ) > a iz '
где - дипольный момент перехода с нижнего на верхний энергетический уровень; Мд — равновесная разность заселенно¬ стей нижнего и верхнего уровня, причем Ng > О , поскольку среда пассивная (нет инверсной заселенности); г и 1г обезраэ- меренные поляризация среды и разность заселенностей энерге¬ тических уровней; Уд ш у — скорости поперечной и продоль¬ ной релаксации (точнее произведение соответствующих размер¬ ных констант на Ьд ). Для простоты мы пренебрегли неодно¬ родным уширением спектральной линии. Преобразуем исходные уравнения в частных производных к дифференциально—разностным. Для этого запишем уравнение (106) Б интегральном виде т г =/ ierz eocp [('LA- Уд) (£-?’)] dt' и возьмем интеграл по частям ien f r'-nrrefj- iA-Гц ТГ-аг:- В условиях быстрой поперечной релаксации Ту » у или боль¬ ших отстроек от резонанса А >> У интегральным слагаемым можно пренебречь — поляризация среды i еп г - - iA-r0 адиабатически следует за электрическим полем. Подставим по¬ лученное выражение в (10а), после чего представим амплитуду электрического поля в виде е = ос еоср ( i f) и перейдем к новым независимым переменным - £ и т‘- Т-£ , в которых уравнения для л = ос (g т Г ') и г') -2~, Л = - осп _JL = - п г л ? % О легко интегрируются: ос (?', т‘) 7Гп In ^То’т'Т' - W<*’> 18
<p(t', (0,t')=-\e V(c, t'), 0 где ^ / W(i, x')-Jn($", z‘)dc, ". (12) 0 В результате найдем следующую связь между амплитудами электрического поля в разных точках среды двухуровневых ато¬ мов efc'.r 1) = е(0,г,)ехр W (й, г')1. (13) 1 7* + А 1 Недостающее уравнение для следует из выражения (10в) , если его проинтегрировать по (1$ ‘ и учесть формулы (12) и (13): (ip * 0W(£’ Искомые дифференциально-разностные уравнения получаются по¬ сле подстановки (13) в граничное условие (11а) и возвраще¬ нию к исходным независимым переменным £ и Т \ £(Г) = a(r)+R&(r-Tg)eocp[iSn-(1 + i(l)ur( r-T0)J , (14а) Г -■ *4^- -+ ils(v)jZ(j~exp2m))-j■ (146) Мы ввели обозначения £(rC')=^j е(®Р) ’ ?=i’ s=*r- 19
б которых амплитуда &т( г') прошедшей через резонатор вол¬ ны имеет вид ет(Г)= }' С (Я е*р[( 7 + Щ) ъз К) ] . Решение дифференциально—разностных уравнений (14) пол¬ ностью определяются заданием начального значения &}(0) и гра¬ ничным условием для tit) в области - t < 0 ■ Здесь уместно напомнить физический смысл входящих в (14 величин. Разность S~ 2x1 дает нам представление об от¬ стройке падающей волны от собственных мод пустого (без двух¬ уровневых атомов) резонатора, занумерованных целым числом I. Когда s =2x1 электромагнитная волна совпадает с одной из собственных мод пустого резонатора,и говорят, что резонатор находится в резонансе с падающим излучением. Коэффициент пропускания /ет (v)/етакого резонатора, как это легко увидеть из (11), максимален. Если 5 = 2x1 , то частота падающей волны расположена на частотной шкале строго посе¬ редине между некоторыми соседними модами пустого резонато¬ ра. Этому случаю соответствует минимальный коэффициент про¬ пускания. Параметры Р и R характеризуют потери энергии ре¬ зонатором. Величина р описывает линейное поглощение волны в среде двухуровневых атомов, причем р« 7 отвечает оптиче¬ ски тонкой среде. Коэффициент отражения R определяет дис¬ сипацию энергии собственно резонатором: чем меньше R , тем больше пропускание зеркал, тем выше диссипация (ниже доброт¬ ность) резонатора. Формула (14а) может быть несколько упрощена в случае сильной диссипации Rех,р (-р/2 ) « 7 и вещественности Л (t) jS(T)/2=&f?)+2Pa(t)a(r-vo)cos[s ]exp u(t-'C Q) , (15) a (146) допускает дальнейшее преобразование в пределе р «1 оптически тонкой среды: г1 = “ ^ct)(nlsct)lz)-p/2. (16> Во введении уже обсуждались роль и смысл сингулярного предела дифференциально-разностных уравнений, поэтому для случаев, которые будут предметом дальнейшего изучения, сразу выпишем возникающие здесь отображения. 20
Кольцевой резонатор с дисперсионной нелинейностью ^ » 7 оптически тонкой среды двухуровневых атомов при сильной дис¬ сипации энергии описывается отображением вида хп+1 * 1 п{ 1 * 2/?(-^C05^S > (17) где уоп^/£СпГ0)12, Ih= Cl*an+1)r0) } h^-pq/г. Чисто абсорбционной нелинейности С^-0 (без ограни¬ чений на энергетические потери) отвечает отображение ^ п+1 ~а и Л( l£nl‘)elS’ 'fit! (18) где t ц-£( n'tа) , ап= а(С1г+7)Т д) , а функция X (*■) является решением трансцендентного уравнения ы Х(х-)+ f[Лг(=су1] =-р/г (19) и обладает следующими свойствами: а) б) в) о< Х(*)< 1, ах(*) йл = jr X ( л) Р/2 IzJ £*) >0 It X. X'\л) » Х(л)=1- — . при Г) л (л) р/г[ 1+ f ( 1-г 'О/ Р/2 .(20). при О, д) X (л) = 1 It Л при р << 7. Если на кольцевой резонатор подается монохроматическая волна, то в (15) - (18) а (Г) = ап= GL = СОПб/>/л= / =.a2=COnst. Когда падающую волну можно представить как монохрома¬ тическую с малой добавкой С7(£ )= й + 0(г) > вместо (17) и (18) имеем -Ц 11 2 Rcos ( з t YXx~) J ^ (21) 21
£n>7 = a + R£n 'In (22) где $п=г-а11п’ Г1п-$(Сп^)го)- Задача 1. Доказать, что кольцевой резонатор (см. рис. 8,а) и резонатор Фабри-Перо (рис. 1,а), заполненные керровской средой, в случае сильной диссипации R<< / и в пренебрежении инерционностью нелинейности описываются ото¬ бражением xh+1=I{ 1+2RcOS (S (23) где I - интенсивность падающей монохроматической волны;^ - интенсивность поля внутри резонатора, измеренная в моменты времени п т - время движения сигнала по замкнутому О ' О пути внутри резонатора. Все величины безразмерные. Указание: использовать (15) и (16). Задача 2. Рассмотрите прохождение плоской монохро¬ матической волны через двойной кольцевой резонатор (рис. 8,6) и резонатор Фабри-Перо с зазорами между зеркалами и нели¬ нейной средой (рис. 8,в) и покажите, что в случае керровской среды и сильной диссипации энергии резонатором исходные уравнения сводятся к дифференциально—разностным: для двойного кольцевого резонатора нг)= l[n2Rffl0<$s(s'+KCT-zlD))t2RslT0cos($“+v(T- г/))}; .(24) для резонатора Фабри-Перо х.(т) ^ I [ 1 +2Rcas(s +ы(х))} , г -1 dQJ Ю (25) ■Щ. -а^г>хС1--ер txCz-z^). Здесь i — интенсивность падающего излучения; х(г) - ин¬ тенсивность поля внутри резонатора; f - скорость установле¬ ния нелинейности. В случае двойного кольцевого резонатора 5', т'0 и 5" , t“q характеризуют соответственно резонаторы, составленные зеркалами 1, 2, 5, 6 и 1, 3, 4, 6, R 1-ко¬ эффициент отражения зеркал 1-3, /?^ = 7-7^ - зеркала 5. В резонаторе Фабри-Перо 2^, - время движения сигнала по зам¬ кнутому пути внутри резонатора, Тд - время прохождения рас¬ стояния 21-j . Все величины безразмерные. (Решение см.в(32|) 22
Задача 3. На рис. 9 изображен простейший вариант гиб¬ ридного акустооптического устройства. При помощи пьезодатчи— ка (П) генератор возбуждает в акустооптической ячейке (АОЯ) стоячую или бегущую акустическую волну постоянной частоты, но с амплитудой, пропорциональной электрическому напряжению V на пьезодатчике. Луч света, пройдя через АОЯ, испытывает 9 П Ф П Рис. 9. Акустооптическое устройство Лд ' дифракцию. В первом дифракционном максимуме расположен фо¬ тодетектор (Ф), преобразующий оптическое излучение в элект¬ рическое, пропорциональное интенсивности света. После сложе¬ ния с напряжением смещения, усиления и задержки электриче¬ ский сигнал подается в генератор. Покажите, что т'1 = -U(t)tAff -hinzCUcz-T0)-if0], (26) где / - интенсивность падающего излучения, а константы/^ и Uq определяются напряжением смещения и характеристиками использованных устройств. Все величины безразмерные. (Реше¬ ние см. в [18], [39].) 2. Абсорбционная бистабильность Посмотрим, как формализм отображений позволяет проана¬ лизировать установившиеся режимы прохождения плоской моно¬ хроматической волны через оптические устройства. Для опреде¬ ленности будем обсуждать кольцевой резонатор с оптически тон¬ кой нелинейной средой, причем начнем с простейшего случая строгого резонанса падающего излучения как с частотой перехо¬ да в двухуровневых атомах (Ц=0) , так и с одной из собствен¬ ных мод пустого резонатора 5= 2. ЯI . Такая ситуация описы¬ вается одномерным отображением 23
пл (27) где b = а]( l'R) и £п — действительные величины, и мы использовали так называемый параметр кооперативности Бони- фадио и Лужиато С = ^Cl~R) • характеризующий эффективное поглощение электромагнитной волны, многократно проходящей (при /р-* / ) замкнутый путь внутри резонатора. Неподвижные точки £ отображения (27) удовлетворяют уравнению Выражение (28) представляет собой алгебраическое урав¬ нение третьей степени относительно £ с действительными ко¬ эффициентами. Его корни гг , и , среди которых, как минимум, один действительный, связаны между собой соотноше¬ нием z 1 +z^+z3= Ь. Важно подчеркнуть, что только действитель¬ ные корни уравнения (28) являются неподвижными точками ото¬ бражения (27) *. Анализ (2 8) показывает, что важнейшим параметром, ха¬ рактеризующим функциональные возможности оптического резо¬ натора, является параметр кооперативности С • Если С <4 , то 0<щ- < /-ь 2С и только один корень (28) является дей¬ ствительным, причем устойчивым во всей области значений b (кривая 1, рис. 10,а). Это означает, что монохроматическая волна проходит через такой резонатор в стационарном режиме, однозначно определяемом амплитудой волны на входе в резона¬ тор. Основным, но здесь не принципиальным, отличием данного режима от соответствующего для пустого резонатора будет за¬ висимость коэффициента пропускания резонатора от интенсив¬ ности падающего излучения, проявляющаяся при С ~ 1 в виде дифференциального усиления сигнала. Отображение (27) с действительным параметром Ь мож¬ но рассматривать как отображение комплексной плоскости с в себя. Неподвижными точками такого отображения являются все корни (28), однако при этом комплексные корни оказываются неустойчивыми. ab (29) 24
Рис. 10. Зависимость неподвижных точек и точек 2-цикла от амплитуды волны, падающей на резонансный (а) и нерезонан¬ сный (б) кольцевой резонаторы. Пунктиром отмечены неустой¬ чивые точки Другая картина возникает для резонатора с С >1/ (кривая 2, рис. 10,а). В этом случае существует область значений 67<b<b£ параметра b , в которой все три корня (28) действительны. Обозначим их через £^ и £.н в соот¬ ветствии с их величинами £,<<£■.„ г £ Можно легко убе— L М Н ' диться в том, что Й-к£я >*. Ь П н а для одного и того же значения Ь 4&-L . (30а) fck=£L> Ж/£=£/1 Всюду, за исключением узкой ( при С »; ) области параметров Ь вблизи ^ , выполняется также неравенство 4е1&-£м oLeIe=eh 25
Поскольку С У 4 (и вообще С 7 ) для резонатора с оп¬ тически тонкой средой возможно только при условии R 7 , то из (29) сразу следует устойчивость tL и £н и неустойчи¬ вость неподвижной точки £ . Вне рассматриваемой области параметров единственная неподвижная точка отображения (27) устойчива. Таким образом, взаимодействие монохроматической волны с кольцевым резонатором при С>4 в пренебрежении инерци¬ онностью нелинейности всегда стационарно, однако в определен¬ ном диапазоне амплитуд падающего излучения имеет место яв¬ ление бистабильности - прохождение волны возможно в двух различных стационарных режимах с высокой и низкой £ прозрачностью резонатора, реализация которых в каждом кон¬ кретном случае определяется предысторией процесса. При адиа¬ батическом увеличении амплитуды падающего излучения до зна¬ чений 0->Ьг (7-R)и последующем ее уменьшении до а<67( /-/?) в системе наблюдается гистерезис. Вблизи точек (j и би¬ фуркации соответствующего режима область притяжения этого режима становится очень малой, и всегда присутствующие флук¬ туации выбрасывают систему из этой области еще до того, как область притяжения полностью исчезнет. При этом переключение с одного стационарного режима на другой происходит скачком. Иначе говорят, что в точках бифуркации и происходит жесткая потеря устойчивости. Рассмотренную бистабильность принято называть абсорб¬ ционной, т.е. связанной с поглощением. Ее возникновение мож¬ но пояснить следующим образом. Пусть кольцевой резонатор с насыщающим поглотителем, какими являются двухуровневые ато¬ мы, находится в строгом резонансе с падающей волной. При ма¬ лых интенсивностях Ij- падающего излучения интенсивность Lc поля внутри резонатора также мала / j , где 1^ —интенсив¬ ность, необходимая для насыщения поглощения. В этом случае про¬ исходит поглощение излучения внутри резонатора, которое разру¬ шает специфическую интерференцию волн и полупрозрачные зер¬ кала становятся независимыми - каждое из них пропускает лишь долю Т падающего на зеркало изучения. Поэтому интенсивность Iт прошедшего излучения I -»■ Т I^ . С ростом Iх поглощение в резонаторе насыщается, так что при 1С >> /у отсутствует во¬ все. Вследствие интерференции волн внутри резонатора все па¬ дающее излучение проходит через резонатор 1Т- £^ . Поскольку интенсивность поля внутри резонатора связана с прошедшим излучением соотношением / «Г I „ , то приближенно имеем: 26 тс
IC-TII ’ ГС<<75 ’ (31) <32> Если коэффициент T прохождения зеркал мал Г « / , то при Ij =1 монохроматическая волна может проходить через резо¬ натор в двух режимах: с насыщением поглощения (32) и без него (31). Из-за наличия положительной обратной связи пере¬ ключение с одного режима на другой осуществляется скачком - если вблизи критической точки, например режима поглощения, флуктуации увеличили амплитуду поля, то уменьшилось поглоще¬ ние, а это в свою очередь приводит к дальнейшему увеличению амплитуды. 3. Самопульсации в нерезонансном кольцевом резонаторе с абсорбционной нелинейностью Обсудим, как изменится описанный выше режим стацио¬ нарного прохождения монохроматической волны через кольцевой резонатор при несовпадении волны с собственной модой пустого резонатора (зр 2.Л L ). Пусть несущая частота падающей волны лежит строго посередине между частотами двух соседних мод пустого резонатора 3 ~ л + 2.Я-1 , но по-прежнему совпадает с частотой перехода в двухуровневых атомах (ij =0) , образую¬ щих оптически тонкую среду. Такому резонатору отвечает сле¬ дующее отображение вещественной оси в себя: ‘33> отличающееся от (27) знаком перед е п и имеющее единст¬ венную неподвижную точку £ . Естественно ожидать качественных отличий от случая пу¬ стого резонатора лишь при С 1 , т.е. при условии /?—»/. Это условие мы будем предполагать выполненным. Тогда не¬ подвижная точка отображения (33) линейно зависит от <2 : £ = = {2/2. и является неустойчивой, если выполняется неравенство <34) Читатель, проделавший вычисления, предложенные в пре¬ дыдущем параграфе, сразу же обнаружит, что неравенство (34) удовлетворяется только при С >ч и для таких значений £ , 27
которые отвечают неустойчивым неподвижным точкам в области бистабильности резонансного резонатора с тем же самым пара¬ метром С . Этот любопытный факт проиллюстрирован на рис. 10,6. Неустойчивость единственной неподвижной точки отображе¬ ния (3 3) означает, что в этой области CL ? 4 ~*Г ^ &£ амплитуд падающего монохроматического излучения стационарного режима быть не может. Выясним, чему это соответствует. Рассмотрим неподвижные точки двукратной итерации отображения (33): (35) Складывая и вычитая левые и правые части (35), получим (с учетом /? —* 7 ) £,+£г = а, ё,(1 ■ (36) Нетрудно догадаться, что решение этих уравнений совпадает с неподвижными точками отображения (27) в области бистабиль¬ ности при одном и том же значении С , но с вообще говоря другим параметром Ь , определяемым из условия (36). Та¬ ким образом, двукратная итерация отображения (33) обладает нетривиальными неподвижными точками, несовпадающими с не¬ подвижной точкой (3 3) и образующими 2-цикл (£/,£2) исходно¬ го отображения. Возможны следующие варианты 2-циклов: (6L , ). ( . £н ) и ( £м > £ Н )• Чтобы определить об¬ ласти параметра CL , где существует тот или иной 2-цикл, за¬ метим, что если, например, 4 maoc(eL,£M), то в силу непрерывной и монотонной зависимости £ , &м и £ г £ от Ь каждому параметру а из интервала U <7 -Jrmin (eLt £м) 4 а 4-ir mav- (&L отвечает одна и только одна пара (£^,£^) , такая, что £^£^=<3, и поэтому являющаяся искомым 2-циклом • Границы областей существования различных 2—циклов устанавливаются при помощи неравенств (30). В результате получаем следую— 28
щую картину (см. рис. 10,6). При ^ ^ а\ а2 сущест¬ вует только один 2-иикл отображения (33), образованный парой , такой, что £^ +£ц =Q. В точке ^ = д' указан¬ ный 2-цикл непрерывно переходит в 2-цикл, составленный из точек (£l , ): £ = а , который определен в интервале а '7 ^ jr аг = /пал. С£Л ~ • *7 / Одновременно при ^^ О-^ существует 2-цикл из точек (£^, £^ ). Подчеркнем, что значения точки £ н в каждой паре (е , £/у ) и ( ) различны, так как им отвечают разные па¬ раметры Ь . Обратим также внимание на область а7 ^ CL^ существования 2-цикла исходного отображения (33) — она за¬ метно превосходит область С2? 4 -От ^ ^ неустойчивости непод¬ вижной точки (1-цикла) того же отображения. Для извлечения физических выводов из полученных резуль¬ татов не хватает знания устойчивости 2-циклов. Условие ус¬ тойчивости (б) в нашем случае приобретает вид <-щ)^ ■ Принимая во внимание неравенства (30) и R7 t находим,что 2-циклы, составленные из ( , £м ) и ( ,<?а). являются устойчивыми, а 2-цикл ( £м ) - неустойчивым. Таким образом, в отсутствие стационарного режима единственным установившимся режимом прохождения монохро¬ матической волны нерезонансного резонатора будет режим са— мопульсаций амплитуды прошедшего излучения между значени¬ ями £^ и £, период которых равен S.Vg . При адиабатическом увеличении интенсивности падающего излучения в точке CL- 2d стационарный режим теряет устойчивость, однако возникающий режим самопульсаций при малом отличии и. от 2d ^ (или, как говорят, малой закритичности) слабо отличается от стационар¬ ного режима, поскольку амплитуда (£ ~£L )/2 самопульсаций, пропорциональная корню квадратному из закритичности Vfl- 2 af', также мала. Такой вид потери устойчивости стационарного ре¬ жима называется мягкой потерей устойчивости (иногда - би¬ фуркацией Хопфа), а упомянутая зависимость амплитуды само— пульсаций не только непосредственно следует из (35), но и яв¬ ляется весьма общим фактом. При дальнейшем росте интенсив¬ ности падающего излучения амплитуда самопульсаций непрерыв¬ но увеличивается до тех пор, пока в точке CL ~ 2 С. 1 произойдет 29
жесткая потеря устойчивости режима самопульсации, в резуль¬ тате которой вновь установится стационарный режим прохожде¬ ния монохроматической волной резонатора. Если теперь адиаба¬ тически уменьшать интенсивность падающей волны, то при про¬ хождении точки О = 20^ стационарный режим сохранится, и лишь в точке а. -2d^ он потеряет устойчивость (причем жестким об¬ разом) и возникнут установившиеся самопульсации, т.е. в обла¬ сти имеет место своеобразный гистерезис. Физическая причина описанных выше режимов работы со¬ стоит в возбуждении соседних мод резонатора, между частота¬ ми которых расположена частота падающего излучения. Тогда в результате интерференции этих мод резонатора с проходящей волной возникают установившиеся биения с частотой Ло->/2 ,где Асо - частотное расстояние между соседними модами. Посколь¬ ку частотный интервал Асо связан с временем Тд движения сигнала по замкнутому пути внутри резонатора соотношением AoSTg- 2 си,то легко получаем, что период биений равен 2Tq. Дру¬ гие отмеченные особенности режимов прохождения связаны, как и в случае бистабильности, с насыщением поглощения резонан¬ сными атомами. 4. Оптическая мультистабильность и самопульсации в гибридных устройствах и резонаторах с дисперсионной нелинейностью • С математической точки зрения главным отличием гибрид¬ ных устройств и оптических резонаторов с дисперсионной нели¬ нейностью от рассмотренных выше случаев абсорбционной нели¬ нейности является наличие особых точек (максимумов, мини¬ мумов) у соответствующего отображения (см. (1), (17), (23), (26)). Какие при этом возникают особенности обсудим на при¬ мере электрооптического устройства, изображенного на рис. 9 и описываемого отображением (1): =Jsin2( Jc,h t usQ ) . (37) Неподвижным точкам (3 7) графически отвечают точки пересечения синусоиды с прямой. Число их возрастает с ростом интенсивности Я падающего излучения (рис. 11), так что за¬ висимость выходной интенсивности О, от входной имеет S - образный (бистабильность при небольших Я ) или многопетле¬ вой (мультистабильность при высоких J ) характер, который можно получить, наблюдая, как от Я зависят точки пересе- 30
чения синусоиды с прямой согласно неравенству Рис. 12. Неподвиж¬ ные точки отображе¬ ния от j? в режиме мультистабильности. Неустойчивые точки отмечены пунктиром Рис. 11. Появление мультиста— бильности и бистабильности в си¬ стемах, характеризуемых отобра¬ жениями в случаях дисперсионной (а) и абсорбционной (б) нели¬ нейности и учитывая области неустойчивости (5). Ветви с отрицательным наклоном CL5L Jd.A <0 не реализуются, так как отвечают неустойчивым неподвижным точ¬ кам. Неустойчивыми оказываются и участ¬ ки ветвей с положительным наклоном (рис. 12). Тогда при постоянной интен¬ сивности падающего излучения Я-COftbt интенсивность на выходе нестационарна. Оказывается, что нестационарные ре¬ жимы могут быть периодическими с пери¬ одами, кратными Vq или стохастическими. Результат разделения плоскости парамет¬ ров на зоны, отвечающие различным ат¬ тракторам отображения (37), дан на рис. 13. При низких интенсивностях име¬ ются только неподвижные точки (37), от¬ вечающие стационарным режимам (зоны1 заштрихованы). С увеличением интенсив¬ ности при фиксированном , неподвиж— 31
ISS/SYS-SS 2IH. f f / Y f / f s\ -7Г/2 -7Г/4 О 7Г/4 *^/2Ш0 Рис. 13. Разделение плоскости параметров оптического устрой¬ ства на зоны, отвечающие установившимся стационарным, пери¬ одическим и стохастическим режимам ные точки становятся неустойчивыми и сменяются .аттракторами периода 2 (зоны II, помеченные треугольниками), периода 4 и т.д. Последовательное удвоение периода сопровождается су¬ жением (согласно (7)) ширины области устойчивости соответ¬ ствующего режима, ввиду чего ширина области существования периодических режимов любой кратности ограничена. Узкие об¬ ласти вокруг штриховых линий соответствуют трехкратным пе¬ риодическим режимам (периода ЗТд ). Вне этих областей ус¬ танавливаются стохастические режимы [8 ] . Подчеркнем, что стохастический режим сначала появляет¬ ся вслед за бесконечной последовательностью бифуркаций удво¬ ения периода 2 Тд . Далее по шкале J в окрестностях не¬ которых значений J вновь возникают периодические режимы, о чем говорят как об "окнах" периодичности в хаосе. В этих "ок¬ нах" также может иметь место бесконечная последовательность 32
бифуркаций увеличения периода в целое число раз. Кроме того, в области хаотического режима проявляются своеобразные бифуркации, получившие название обратных бифур¬ каций Лоренца. Их суть такова, что стохастические движения при определенных значениях параметра имеют место только внутри некоторых областей, переходы между которыми строго детерминированы. Если рассматривать только регулярные пере¬ ходы, то они при увеличении параметра Я претерпевают из¬ менения, аналогичные последовательности удвоения периода ус¬ тановившихся пульсаций, только в обратном по отношению к ней порядке. Сложный вид (37), связанный с наличием многих экстре¬ мальных точек, обусловливает в некоторых областях j? гисте¬ резис в смене различных режимов при изменении j) . Указанные режимы читатель легко может промоделировать на персональном компьютере. Задача 4, Провести линейный анализ устойчивости ста¬ ционарного режима прохождения оптического излучения через кольцевой резонатор с керровской средой с учетом инерционно¬ сти системы, т.п. в рамках дифференциально разностных урав¬ нений £(т) = а +R& ( ъ-Ъд) e^p[i[$ + ю(ъ-т д)]] , f' = ~ гнет') ■*- /£(Г)/2 Показать, что скорость Г усиления малых отклонений = CJge -t С. от стационарного режима го удовлетворяет следующему характеристическому уравнению / е 2R[-C0S(lilaES )+lilZiin(if+s)(^E 1)]ех-р(-1ггву/}(1хр(-2Гтй)=0. (39) (Решение см. [31]• ) Задача 5. Пусть электрические поля £! exp [i(k,z - cjjt)] ем.С.; Ег^ tL^exp [i(h2Z-<£>gi)]Eh .С. двух соседних мод кольцевого резонатора возбуждаются при прохождении волны Е=&. азср [i(hz - ojE)JeH,C. <частота которой со расположена строго посередине между частотами со j - со-A oj 33
и 0J2 = + 4 о> рассматриваемых мод. Механизмом возбуждения служит четырехволновое взаимодействие в нелинейной среде. Считая амплитуды возбуждаемых мод малыми, показать, что условием стационарного четырехволнового взаимодействия слу¬ жит уравнение (3 9). (Решение см. в [15] .) 5. Режим синхронизации частот Не все режимы оптических устройств с задержкой в линии обратной связи в пренебрежении инерционностью описываются одномерными отображениями (3) и идентичны рассмотренным выше. Среди неохваченных случаев к наиболее важным относит¬ ся прохождение оптического излучения через устройство с дву¬ мя характерными временными параметрами пульсаций, например два времени задержки Уд и Уд в двойном кольцевом резо¬ наторе (см. рис. 8,6 и (14)). Другим примером служит гар¬ моническая модуляция параметров либо излучения, либо оптиче¬ ского устройства. Для определенности обсудим некоторые осо¬ бенности возникающих здесь режимов в случае модуляции ин¬ тенсивности излучения, падающего на электрооптическое уст¬ ройство *1П=Л0( 1 + psinsins(x(T-T0)tbj ). (40) М Здесь р - глубина модуляции с периодом Если период Тм модуляции кратен времени ^ задержки обратной связи, то (40) сводится к одномерному отображению (37). Когда величины Ур и соизмеримы, т.е. их отноше¬ ние равняется рациональному числу, (40) представляется неко¬ торым конечномерным отображением. Для несоизмеримых вре¬ менных интервалов Тд и Тд, ( Ур / У ^ -иррациональному числу), уравнение (40) бесконечно мерно. Принципиальными вопросами здесь являются проявления соизмеримости и несоизмеримости величин и наличие каких-либо периодических режимов при несо¬ измеримости Т д и t ^ . Пусть при р = 0 параметр jt д отвечает режиму пуль¬ саций с периодом 2тд . При р$0 тот же режим сохраниться, если^=2?^.Более того, оказывается, что при некоторых J> взбпизи этой точки существует область значений периода модуляции, в которой также существует режим периодических пульсаций, од¬ нако их период, вообще говоря, не равен ни 2 Уд , ни У м . а линейно зависит от У^ (рис. 14,а). Вне указанной области за— 34
висимость периода пульсаций от V^ может носить чрезвычайно запутанный характер (пунктирный участок кривой), что связано с перескоками соизмеримости и несоизмеримости для величин Т^ и £ ^ . Причем зависимость периода пульсаций от глубины модуляции имеет вид, представленный на рис. 14,6. Видно, что до определенного критического значения р^ период пульсаций сложно зависит от р , но при больших р р глубинах мо¬ дуляции период пульсаций перестает зависеть от р . Описанные закономерности составляют существо так называемого режима синхронизации частот. При этом необходимо сделать следующее замечание. Если в отсутствие модуляции в системе возможна последовательность бифуркаций удвоения периода (например, при увеличении интенсивности падающего излучения), то в режиме синхронизации частот такая последовательность появляется и при увеличении глубины модуляции р . Например, послер ^.р^име¬ ет место удвоение периода и хаос. В фазовом пространстве траектория системы с двумя час¬ тотами (периодами) располагается на поверхности тора, а ре¬ жиму синхронизации частот отвечает наличие на поверхности инвариантной относительно сдвигов во времени замкнутой тра¬ ектории. а) 5) Рис. 14. Зависимость периода ь^ самопульсаций прошедшего излучения в режиме синхронизации частот от периода t^Ш) и глубины р модуляции падающего излучения (б) Библиография Подробное исследование бистабильного режима оптических резонаторов проведено в [ 13, 33 ] . Изложенный подход осно¬ ван на Cl7j. Учет инерционности рассмотренных оптических 35
систем выполнен в работах [lG, 24, 25, 31, 35] в основ¬ ном с привлечением численных методов. Синхронизация частот, эффекты соизмеримости и несоизмеримости и связанные с ними вопросы обсуждаются в [32, Зб]. Необходимые сведения по нелинейно-оптическим явлениям при распространении излучения в прозрачных средах содержатся в [2 J. Глава II. СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА К ХАОСУ § 6. Некоторые характеристики хаоса Что означает хаотическое поведение полностью детермини¬ рованной системы, какой является отображение X Л t 1 JJ f, (*!,), <41) если для любого начального значения а: по заданному алгорит¬ му (41) однозначно определяется "траектория" системы П > 7 , и ее будущее во все моменты "времени" h , в том числе и при н -* с*=> ? Чтобы ответить на эти вопросы, обратим¬ ся к физическому существу дела. Известно, что за конечный промежуток времени состояние системы можно измерять со сколь угодно высокой, но конечной точностью tf , и поэтому оно характеризуется не числом, а некоторым (пусть очень узким) вероятностным распределением. Задача динамики такой системы состоит в предсказании распре¬ деления в произвольный момент времени на основе известного начального распределения. Если со временем начальное распре¬ деление не "расплывается", т.е. не увеличивается его ширина, то поведение системы является полностью детерминированным - в любой момент времени состояние системы можно предсказать с той же точностью, с которой задано начальное состояние. В противном случае, когда со временем ширина распределения уве¬ личивается все больше и больше, поведение системы оказыва¬ ется очень чувствительным к начальным данным. Если при этом фазовый объем системы ограничен, то траектории системы "перепутываются", а состояния системы при больших временах становятся полностью непредсказуемыми. "Нерасплывание" распределения связано с понятием устой¬ чивости траекторий по Ляпунову. Поясним его на примере ото— 36
бражения (41). "Траектория" [xnJ называется устойчивой по Ляпунову, если для произвольного £ > 0 существует Cf > О , такое, что все "траектории" [ л ^ J с начальными значениями эср из области/хв -&д /< d удовлетворяют неравенству/лл- для любого /г . Чувствительность поведения системы к начальным данным определяется показателями Ляпунова. Для отображения (41) по¬ казатель Ляпунова A(fjj') суть предел ж^'г»//'(^)/, (42) 77 Л'-»~ /v h=0 который не зависит от и от обратимой замены переменных. Из формул / ХЛ/ - х ^//= // jN' °(хе) - h*0 -*0 / ' ^ (fj)} видно, что показатель Ляпунова характеризует взаимное распо¬ ложение близких траекторий. Если А (^)> 0 , то соответст¬ вующие близкие (в начальный момент) траектории экспонен¬ циально разбегаются (их называют неустойчивыми траекториями), а поведение системы очень чувствительно к начальным данным. Теперь можно сформулировать математический критерий хаотического поведения детерминированной системы как суще¬ ствование в фазовом пространстве системы* ограниченного зам¬ кнутого множества, состоящего из неустойчивых траекторий, ко¬ торое устойчиво в том смысле, что, раз попав в это множество, траектория уже никогда не покинет его. Эти множества полу¬ чили название странных аттракторов. Таким образом, аналогич¬ но тому, как стационарный режим и режим периодических пуль— * Фазовое пространство одномерного отображения (41) - действительная прямая или часть ее, определяемая конкретным fj ' видом f J Я 37
саций имеют математическими образами устойчивые неподвиж¬ ные точки и циклы (иначе аттракторы периода п , 71 = 1,2,.,. ... ), стохастический режим представляется странным аттрак¬ тором. Странный аттрактор представляет собой поразительно ин¬ тересный и сложный объект. Чтобы его охарактеризовать, как правило, необходимо привлекать целую иерархию разного рода размерностей. Здесь упомянем лишь фрактальную размерность d.^, которая для произвольного множества <5 в N -мерном прост¬ ранстве определяется как предел где М (&) -минимальное число /V-мерных кубов со стороной Фрактальная размерность странного аттрактора почти всегда оказывается дробной, в то время как для точки, линии, области на двумерной поверхности и т.п. фрактальная размерность рав¬ на целому числу О, 1, 2 и т.п. Типичными множествами с дроб¬ ной размерностью являются множества, определяемые масштаб¬ ной инвариантностью - при соответствующем изменении масшта¬ ба любое (сколь угодно малое) подмножество выглядит так же, как исходное множество, т.е. целое подобно сколь угодно малой своей части. Два примера таких множеств показаны на рис. 15. Фрактальная размерность странного аттрактора тесно свя¬ зана с показателями Ляпунова, однако обсуждение этого вопро¬ са выходит за рамки пособия. dr - к™ £ -*0 7 (43) £ , необходимых для покрытия S . При малых £ М(£)~ 38
Ввиду чрезвычайной запутанности траекторий на странном аттракторе можно ввести понятие ансамбля разнообразных от¬ резков траекторий, число которых в определенной области фазового пространства можно количествен¬ но определять при помощи плот¬ ности распределения. Типичная плотность распределения оказы¬ вается ненулевой в конечных об¬ ластях фазового пространства. Особую роль при этом играют инвариантные распределения. Для отображения (41) с одним мак¬ симумом эти понятия означают следующее. Число траекторий (в Рис. 16. Построение инвари¬ антного распределения данном случае точек) Р. при йх' и П-кратной итерации в OLx" вблизи прообразов х' и х со - // n+j(xjdx, при h+1 -кратной итера¬ ции в интервале cLx вблизи точки х равно сумме траекторий Pa(x‘)cLx V Рп1*. ") CLx 11 ответствующих интервалах точки х (рис. 16). Поэтому р /х ) - ) +■ ^ ~ f^ (х1) тут?)' Инвариантное распределение Р(х) не меняется под действием отображения Р(х)= Р^ (^ = Р (х) . Тогда где Это уравнение представляет собой функцио¬ нальное уравнение, аналитическое решение которого удается найти в очень редких случаях (например, в задаче б). Когда справедлива эргодическая гипотеза - предел доли времени, про¬ водимого бесконечно длинным отрезком траектории в любой ячейке рассматриваемой области фазового пространства сущест¬ вует и не зависит от траектории — временное усреднение вели¬ чин на странном аттракторе можно заменить усреднением по ансамблю с инвариантной плотностью распределения. Например, для показателя Ляпунова наравне с (42) будет справедлива фор¬ мула A (fj)=f Р (х) 1л/р^(х-)/с(х. 39
О степени стохастичности движения часто судят по скоро¬ сти спадания автокорреляционной функции, которая для (41) оп¬ ределяется как 7 М-1 ' H*Q Присутствие в h (/) периодической составляющей означает, что в исследуемом движении есть периодические режимы. Развитая стохастичность приводит к быстрому спаданию Ц (]) до нуля с ростом j , что свидетельствует о независимости и 3-n+j ■ Фурье-образ h(j) называют спектральной плотностью (или спектром мощности) h(oS) ; Н(ш)= ft(0) + 2Z_ /1(j)cosjco = /x(u))l2, J-l . . т 1 -icon. где Х(со)= кт - rf £ & е N-*~>42tiN^0 п Именно спектральную плотность чаще всего и определяют экс¬ периментально. Задача 6. Показать, что показатель Ляпунова Л и ин¬ вариантное распределение Р(з2) для отображения x/jfy-М равны соответственно А = Ьг2. , P(x') = L£x(]-jc.)j-1/2 Указание: сделать замену переменных . 7. Сценарий Фейгенбаума Характерная черта сценария Фейгенбаума - универсальные свойства (7) бесконечной последовательности бифуркаций удво¬ ения периода - особенно ярко проявляются в рамках подхода, эквивалентного на формальном уровне современной теории фа¬ зовых переходов. Прежде чем излагать существо этого подхода, проанализируем на примере квадратичного отображения (41) рож¬ дение из неподвижной точки 2-цикла и удвоение его периода при увеличении параметра JI Общий вид квадратичного отображения задается функцией а(Я)+ Ь(Я)х+ ССЯ)ос.г. Для определенности рассмотрим только квадратичные отображе¬ ния с максимумом. Линейным преобразованием их можно свести к следующим равнозначным формам: 40
//л)= 7- jlxf f (х) = -2Лос-осг, (44a) (446) f (x.)= 4Ях,( 1-х.). (44в) В зависимости от обсуждаемого вопроса предпочтение будет от¬ даваться более удобной форме, а соответствующие значения па¬ раметра у? для других форм — находятся из уравнений Л<аК2Л (Ь)(24Ь)-1)=Я1<Г)(/(Г) + 1) , Я((Г)^2ЛШ- I (45) Где это необходимо, индексом CL , & или Ь указывается при¬ надлежность параметра у? той или иной форме. Используя форму (44а), нетрудно установить следующее. Если 04 Я 4 ^ , то (44а) переводит точки отрезка [-1, l] в точки отрезка [ /-у?, /Jc [- 7, /] f поэтому говорят, что / отображает отрезок [~1? 1] в себя. Точка х.^-0 этого от¬ резка является особой точкой (44а). В ней^ достигает мак¬ симума и f^(x.0)= 0 • При 0^ Ж 5/Ц отображение (44а) имеет одну устойчивую неподвижную точку х, (46) Для 2 эта неподвижная точка неустойчива, а при у7 = 2 появляется вторая неустойчивая неподвижная точка а> = - 7 . По¬ нять, что происходит при прохождении параметра у? через кри¬ тическое значение Л,= 3/4 помогает рис. 17. Видно, что в момент когда(л.)--] у двукратной итерации fjx) и при А > Л j появляются две неподвижные точки hi 5с. 2 : &1 = (П'Щж5)/2Л , *г=( 7- \/4>-3)/2у? , (47) S) Рис. 17. Возникновение 2-цикла из неподвижной точки X для квадратичного отображения (44а) 41
причем устойчивые, так как ^2\х7) = ] . При даль- "У? I ./? *'*■ нейшем увеличении Я производные^)'fx ? 2) уменьшаются до -1 для Я - А г • 2-цикл ( х-7 , х2) становится неустойчивым, и аналогично тому, как из неподвижной точки х. у появился 2-цикл, из каждой неподвижной точки и х2 отображения/д рождается 2-цикл, т.е. 4-цикл исходного отображения / . С ростом Я этот процесс продолжается до бесконечности, в ре¬ зультате которого появляется последовательность A j <Л2 <\ .< А • Л значений параметра Я , отвечающих точкам бифурка¬ ции удвоения периода: при Я = A j становится неустойчивый 21 ^ цикл и появляется аттрактор периода 2^ • Предельное значение А ^ оказывается меньшим 2. Чтобы убедиться в этом, обо¬ значим через A]+1,R(Aj) (48) взаимосвязь последовательных точек бифуркации, а через n(Aj)~ период соответствующего аттрактора. Предельное значение А^ является неподвижной точкой отображения (48). Для последо¬ вательности удвоения периода вблизи предельной точки А период п (А ;) должен расхо¬ диться как* П (Aj)~ (Aw A j) , (50) чтобы не нарушилось условие (49). Раскладывая (48) в ряд Л. а /?М~)+ |£/л получаем J+1 ыг in т ’ а переписывая (50) в виде Л со -Aj^tf J\ (51) W о 7/r находим, что 0- 2. или Ф ( dR I НА А, ) ' (52) .-г Более общий вид: п (Aj ) ~(А А ■ ) fClniA^-Aj)), где - произвольная ,гладкая функция. 42
Для вычисления зависимости (48) необходимо привлечь допол¬ нительные соображения. Используем подмеченную закономерность появления аттракторов, состоящую в том, что / pj\ где Р.(Л)- производная. <2; -кратной итерации /J ' отобра- ^ Р. тпикду pj —ттътъгття Ппрпппппжтл итп /■ ^ /I I **• XX X '-'£Л-*-Ц>*Х*Х у ^ жения f в точках -цикла. Предположим, что Для больших j это уравнение будет давать искомую связь (48) тем точнее, чем выше h . Для А = 1 имеет с учетом (4-6) и (47) 1->fiTWj =4 d-лJ + 1). Откуда при помощи (48) и (52) определяем (53) Л1й)^ЦЩ^ 139, fefl+4/\т ъ 5, /2; со 0 ) > оо * 7 A‘*U 0,781, /1^2? 0,89 1. Данный результат неплохо для первого приближения согласуется с точным л‘а}= 1,4015...; AiS)= 0,7849...; ЛШ= 0,8924..., (54) сас-% * лл * ОО * 4,669201... (55) который можно получить, проводя вычисления на микрокалькуля¬ торе. Изложенная процедура представляет собой один из про¬ стейших ренормализационных методов, широко используемых в современной теории критических явлений, восходящий к идеям Каданова о поведении корреляционной длины (аналогом которой является n(Aj)) вблизи точки фазового перехода. Ввиду важ¬ ности обсуждаемых вопросов для понимания точной формули¬ ровки универсальности перехода к стохастическому режиму че¬ рез бесконечную последовательность бифуркаций удвоения пери¬ ода продемонстрируем еще одну приближенную ренормализацион— ную схему определения зависимости (48). Рассмотрим отклонения от неподвижных точек 2-цикла квадратичного отображения в форме (44б). Пусть х п = jc 7 +■ А х-п для четных п 43
x,n=5c2 f/lxn для нечетных П (или наоборот). Тогда = ~ &хп~ ~ (2я+2х2)Азсп + 1 - (^n + 1f Исключая Дгс и удерживая только линейные и квадратич¬ ные слагаемые, получаем Д *Л * 7) d *Л - 7 5 6) Масштабным преобразованием Ax , (57) Л л где oi~-6b +4Ь2 » Ь ^-*r\J(2.A'l)(5+2.A) . (56) сводится к выражению х п+2 =-2Я х-п - X п , (58) по виду совпадающему с исходным (446), но с другим парамет¬ ром л‘^гл2+ гя-г. В силу построения 2.] ^-никл отображения (58) отвечает 2J -циклу отображения (446), поэтому точки бифуркации удво¬ ения периода оказываются связанными соотношением А = = ZAfa+2ALP-2. Отсюда для предельной величины и ско¬ рости сходимости к ней (Г получаем те же (что любопытно) значения (53). Кроме них, в данном подходе появился параметр подобия оС. Для выяснения его смысла обратимся к рис. 18, на котором изображены сверхустойчивые 2- и 4-циклы отображения (446). Свое название они получили из-за принадлежности к ним осо¬ бой точки Ху отображения fj , в сиду чего производная со¬ ответственно двух— и четырехкратной итерации отображения /у , определяющая устойчивость цикла, в точках сверхустойчивого цикла равна нулю. Области внутри квадратов, показывающих че¬ редование элементов сверхустойчивых циклов, оказываются по¬ добными друг другу. Количественной характеристикой этого по¬ добия и служит параметр сс , причем 44
Рис. 18. Сверхустойчивые 2- (а) и 4-циклы (б) отображения (446) псг^1) 7 '(г*), \ U*)> обозначено значение параметра Я (59) при котором где через Я ^ 2Л-цикл является сверхустойчивым. Очевидно А^<-Я2<,..<АС> Вблизи предельной точки Л£/ л ог - 2,2^ . Знак минус здесь отражает переход при каждой бифуркации удвоения периода бли¬ жайшего к Хд элемента аттрактора с одной стороны от Хд на другую. Поскольку изменение масштаба определяется только свойствами композиции (а не самой функцией), то величина из¬ менения масштаба вблизи особой точки при каждой последу¬ ющей бифуркации должна стремиться к универсальной величине. Численный расчет дает для <Х следующее значение л = -2,5029... (60) Итак, асимптотически расстояние, разделяющее соседние элементы аттрактора вблизи особой точки, уменьшается между двумя последовательными бифуркациями удвоения периода в /л/ раз. Поведение других элементов аттрактора демонстрирует рис. 19. 45
ЛЛ Рис. 19. Элементы аттрактора отображения (44в) и соответствие масштабному преобразо¬ ванию (57) Теперь остановимся на некоторых аспектах формальной тео¬ рии. Пусть на отрезке [-1, 1] задано семейство непрерывно¬ дифференцируемых функций j , отображающих £-1, l] в себя и имеющих внутри этого отрезка только одну особую точку jc точку максимума f . Для простоты дополнительно предположим, что хд = 0 ,f(0) = 1, f(-*)= /(х), 0<a<b, a=a(f)~-f(1),6=b(f)=f(a.). 'R1' Тогда / отображает точки од¬ ного интервала [- Q. ц ] в точки не пересекающегося с ним дру¬ гого интервала С Ь,1] и обрат¬ но (рис. 20): £ J0-C~a,a]^ j=[b,j7- I-f(O) ^[-a,f(6)] с [-а,а]. Если изменить ориентацию и рас¬ тянуть интервал, то двукратная итерация / of на fO. ,&] превра¬ тится в отображение рассматри¬ ваемого семейства функций на Рис. 20. Отображение отрезка JQ=[-0-,0-] б Jr [b,l] и обратно под действием f в фор¬ ме (44а), а - -/ ( 7 ) , b -/ (а).
Г-l, lj со свойствами (61). Обозначим его через (Зс): 5T/(x) = -lfof (-ал). (62) При этом 6Г нужно рассматривать как оператор, действу¬ ющий в пространстве функций / . Он называется оператором удвоения периода и обладает следующими свойствами: 1) У дважды дифференцируемо в открытой области D рассматриваемого функционального пространстваJ 2) У имеет неподвижную точку j 3) только одно собственное значение дифференциала У , обозначаемое через 6 , больше единицы. Заметим, что именно при помощи оператора удвоения пе¬ риода получено (58) из (446). Оператор У делит пополам период циклов четного периода аналогично преобразованию Виль— сона-Каданова в теории критических явлений, изменяющего корреляционную длину в S раз. Неподвижная точка У — универсальная функция / - оп¬ ределяется уравнением (63) Л =/(7). (64) Если искать решение (63) в пространстве функций, которые вблизи максимума имеют вид /X_X^/ZФ(х-),где Ф(э~)— гладкая функция с неособой точкой , то oc=oc(z) , (f=d(Z) . Для функций с квадратичным максимумом £ = 2 для ос (2) и 6(2) получим значения (60) и (55). В этом и состоит универсаль¬ ность параметров Л и б . Наглядно положение неподвижной точки / в функциональ¬ ном пространстве можно представить (рис. 21) как пересече¬ ние двух множеств - неустойчивого \J , размерности 1, и Дифференциал jJ оператора J в точке ^ функцио¬ нального пространства определяется линейной относительно функ¬ ции е(х) частью выражения Г{$+е)(*)-Т#(х) . Уравнение на собственные значения (f дифференциала Д имеет обычный вид (D^T)e(ас)~ cfefjz). ° у?
Рис. 21. Структура функциональ¬ ного пространства вблизи непод¬ вижной точки j отображения (62) устойчивого Wj , коразмерности .1 . Вблизи устойчивого мно¬ жества располагается семейство "поверхностей". £7 = {/ ГСП-О}, Zj = r~u~l)Zj, (напомним, что f{0) = ? ), причем если , то / име¬ ет сверхустойчивый цикл периода 2^ . Поверхности 21 .• сгуща- расстояние между ними уменьшается при j— ются к „ . пропорционально <5 . Однопараметрическому семейству ото¬ бражений Jj отвечает кривая, пересекающая • J и W, под 'ненулевым углом" в точках Я j и А& - Л, причем У"1 > п • Универсальные свойства последовательности удвоения пе¬ риода, вытекающие из (62), позволяют проанализировать все важнейшие характеристики сценария перехода к хаосу. Ввиду ог¬ раниченного объема пособия перечислим часть из них. Для спектральной плотности вблизи предельной точки /1Я выполняется универсальный закон подобия (65) где для функций с квадратичным максимумом Т - 4,578... Этот закон означает, что для того, чтобы получить амплитуду новой гармоники, появившейся в результате Ц+1 —бифуркации, Неподвижная точка, принадлежащая пересечению устой¬ чивого и неустойчивого множеств, называется гиперболической. Понятие гиперболичности тесно связано с хаотическим движени¬ ем. Сумма размерности и коразмерности некоторого подмноже¬ ства равна размерности исходного множества. 48
нужно взять уменьшенное в Т раз значение амплитуды гармо¬ ники, обязанной п -й бифуркации. Добавление внешнего гауссового шума йп к отображению (41): Лп+1 (66) приводит к следующему универсальному соотношению для пока¬ зателей Ляпунова Л(Лао-Яп ,(ГЬ(Л^п)Ф7((Л^)^и), (67) где для отображения с квадратичным максимумом U- = 0,37..., t = 0,45 ..., а Ф - некоторая гладкая функция. В спект¬ ральной плотности шум проявляется как фоновая составляющая, которая "поглощает" гармоники, отвечающие высшим порядкам бифуркации. 8. Сценарий Помо - Манневиля Другой путь к хаотическому режиму состоит в постепен¬ ном (при изменении параметра Я ) исчезновении периодических пульсаций за счет прерывания их стохастическими всплесками (рис. 22), т.е. перемежаемости периодического и стохастическо¬ го режимов. Как установили Помо и Манневиль, главную роль здесь играет тангенциальная бифуркация. Поясним суть дела на примере квадратичного отображения (44в). Рассмотрим трехкратную я-п+ ^ - f^(x-n ) итерацию (44в). Оказывается, что существует критическое значение параметра Я, которое обозначим через Яс , когда график fj3^касается бис¬ сектрисы (в точках *£ = 0,160; 0,514; 0,956 для (44в), рис. 23). При Я > Jq график проходит через бис¬ сектрису и возникает 6 неподвижных точек, из которых только 3 устойчивы. Через такую тангенциальную бифуркацию в системе появляются циклы нечетного периода. Если теперь Я < Яс , а Я с~ Я достаточно мало, то вблизи точки, например а: =0,514, возникает узкий канал, после попадания в который необходимы ~ ( Яс ~ Я) ' итераций, чтобы выйти из него (рис. 24). Эту область называют иногда областью ламинарности, по аналогии с гидродинамикой, где впервые такой режим наблюдался. В об¬ ласти ламинарности для системы будет характерен длительный 49
О) f) Рис. 22. Установление периодических пульсаций периода 3 (а) и перемежаемость периодических и стохастических пульсаций (б) на примере отображения (44в) переходной процесс, соответствующий прохождению траекториями точек вблизи только что исчезнувшего периодического движения. После выхода из области ламинарности система движется слу¬ чайно, до тех пор пока блуждания ж-п вновь не окажутся в ок¬ рестности той же (0,514) либо другой (0,160 или 0,956) то¬ чек. 50
рис. 23.Трехкратная итерация Рис. 24. Область ламинар- отображения (44в) при Я ~Яс ности вблизи точки касания трехкратной итерации (44в) биссектрисы при Я < Яг о Строгая теория перехода к хаосу через перемежаемость также базируется на ренорм—групповом подходе и может быть целиком построена при помощи математического аппарата, раз¬ витого при изложении сценария Фейгенбаума, Здесь мы ограни¬ чимся констатацией некоторых результатов. При переходе к хаосу спектральная плотность h (ы) изме¬ няется непрерывно от d -функции к гауссовому пику с шириной (Яс -Я )7^2. При наличии внешнего гауссового шума (66) для отображений с квадратичным максимумом размер I области ламинарности (периодических пульсаций) описывается универ¬ сальной функцией 1=ис-Я)Уг ^(а'Я^Я)'^), (68) где <р - гладкая функция. 9. Сценарий Рюэля - Таккенса Данный сценарий характеризует переход к хаосу через разрушение квазипериодических режимов, которые характеризу¬ ются несколькими несоизмеримыми частотами. В случае двух частот траектория такой системы расположена на двумерном торе в фазовом пространстве. Соответствующим образом выбрав его секущую плоскость, можно получить отображение Пуанкаре в виде отображения окружности в себя. Одной из простейших нелинейных форм такого отображения является такая 51
x^7 =x/z + Q-& sin**’**. (6Q) При И < 1 это отображение не имеет максимума и не может привести к какой-либо стохастичности. Однако бесконечно близ¬ ко к каждому значению 2 , приводящему к несоизмеримому движению для И < 7 , существует область значений 2 , при которых движение стохастично, если И чуть больше единицы, т.е. несоизмеримое движение неустойчиво по отношению к хаосу при h=1 . Спектральная плотность R(oj) в этой области со¬ стоит из бесконечного числа дискретных линий, которые скап¬ ливаются вблизи точки са = 0. Библиография Общими руководствами по стохастической динамике явля¬ ются книги [5, б]. Последовательный ренорм-групповой анализ одномерных отображений отрезка в себя изложен в статьях [ 12, 22, 30], окружности в себя - в работах [36, 37] , причем в [22J установлена связь с ренорм-групповым подходом в коор¬ динатном пространстве к одномерной модели Изинга, а в [37 ] реализована идеология, аналогичная ренорм-группе в импульс¬ ном пространстве. Анализ устойчивости сценариев перехода к хаосу дан в [20 ] . Иерархия размерностей странных аттрак¬ торов, их связь с показателями Ляпунова и вычисления для некоторых отображений описаны в работе [26 J . Глава Ш. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 10. Гибридные устройства Гибридные устройства способны работать в нелинейном ре¬ жиме при низких интенсивностях (^1 МВт/см^) падающего излучения, допускают интегрально-оптическое исполнение и удоб¬ ны в эксперименте. В различных областях спектра предпочте¬ ние может отдаваться тем или иным их видам. Так, в инфракрас¬ ном диапазоне, где хорошие электрооптические материалы от¬ сутствуют, перспективны акустооптические устройства. В других диапазонах бывает более целесообразным использование элект- рооптических устройств. Гибридные устройства позволяют вы¬ полнять детальные экспериментальные исследования возникно¬ вения бистабильности, периодических и хаотических самопульса- иий, проводить сравнение с теорией. Чтобы проверить теорети- 52
ческие положения изложенного в пособии подхода, гибридные устройства должны быть по возможности более безынерционны. Для этого требуются большие времена задержки поскольку обычное время 7/у установления обратной связи в электриче¬ ских цепях порядка микросекунды. Необходимая задержка лег¬ ко создается при помощи ЭВМ и аналого-цифровых преобра¬ зователей, которые и были с успехом использованы уже в пер¬ вом эксперименте/*28 J. В работе [18] на установке, аналогичной изображенной на рис. 9 и описываемой уравнениями (26), изучались зависи¬ мость периода самопульсаций от величины времени задержки , удвоение периода пульсаций и возникновение хаотического ре¬ жима. Для периода 2 самопульсаций получено значение, очень близкое к 2.(т0-)- 1/х). Выходной сигнал, низко и высоко час¬ тотные спектры для различных значений I представлены на рис. 25. Последовательность бифуркаций удвоения периода ока¬ залась конечной - после периода 8 наступал хаотический ре¬ жим. В области хаоса обнаружена симметричная последователь¬ ности удвоения периода последовательность обратных бифуркаций Лоренца. Вычисление констант по (7) для измеренных значений точек бифуркации привело к следующим результатам: (fg/iCn ~ 4,4 + 0,4 для последовательности Фейгенбаума; 3эпсп = 5 + 2 для последовательности обратных бифур¬ каций Лоренца; что неплохо согласуется с теоретическим рас¬ четом, дающим соответственно 4,45 и 4,62. Полученный ре¬ зультат указывает на проявление здесь сценария Фейгенбаума перехода к хаосу. Но шум ли, инерционность ли устройства по¬ влияли отмеченным образом на конечность последовательности бифуркаций удвоения периода в [18, 28J осталось не выяснен¬ ным. В работе [ 21] экспериментально продемонстрирована прин¬ ципиальная возможность исследования хаотического режима по анализу разбегания от средних значений, первоначально близких интенсивностей, измеренных с задержкой во времени несколько (~10) раз. Последовательное применение этой методики по¬ зволило бы, не прибегая к трудно осуществимой в малых вре¬ менах измерениям интенсивности в реальном масштабе времени, отличать проявления хаоса от эффектов, связанных с шумом, но полученных на сегодняшний день результатов пока недоста¬ точно для обстоятельного обсуждения этого вопроса. 53
1-0,63 I = 0,77 I = 0,73 I = 0,77 1-0, I= 0,35 l ВО ЩШ 0) Ю 6) г) f) e] I ' I I [ ' ' I I 1 I I L ,1-1.11,1 I I I I I 0 Z 4 6 О 1/4 1/2 О 4 в r/rp WTD 2ШТ0 Рис. 25. Самопульсации и спектральная плотность в акустооп- тическом бистабильном устройстве: а, б, в - самопульсации с периодом 2, 4 и 8; г, д, е - стохастические режимы в области последовательности обратных бифуркаций. Лоренца для хаоса пе¬ риода 8, 4 и 2 L 18J 54
Следует отметить существующее в настоящее время прин¬ ципиальное расхождение между теорией [16] и экспериментом [29 ] в вопросе определения размерности странного аттракто¬ ра, отвечающего стохастическому режиму. По эксперименталь¬ ным данным размерность аттрактора не превышает 2 неза¬ висимо от инерционности Myt 0 оптической системы, в то вре¬ мя как расчет [16 ] указывает на пропорциональность размер¬ ности аттрактора величине при уТ^ » 7 . По—видимому, в [16] и [29] речь идет о разных размерностях, однако пока этот вопрос до конца не выяснен. 11. Полностью оптические системы Для наблюдения самопупьсаций и хаоса в полностью оп¬ тических системах необходим нелинейный набег фазы волны (при ее однократном прохождении системы) порядка Л . Этого мож¬ но достичь подбирая среды, либо с ярко выраженными нелиней¬ ными свойствами, либо достаточно протяженные. Чтобы нели¬ нейность взаимодействия излучения со средой не приводила к дополнительным физическим эффектам, таким, как самофокусиров¬ ка, самодифракция и др., усложняющими еще более режимы про¬ хождения электромагнитной волны че¬ рез устройства, в работе [34] было предложено использовать в качестве нелинейной среды одномодовое волокно (см. рис. 26). При этом удается не только достичь значительных мощностей .ЛТК излучения в среде, но и в определенной области избежать ряд нежелательных по- „ ~ бочных эффектов. Однако для подавления Рис. 26. Схема полно— вынужденного рассеяния Брюлюэна в стью оптического уст- „ г п и 1 J работе /34 I вместо непрерывного из— ройства со световолок— лучения пришлось использовать цуг 0,14 не импульсов с интервалами ме¬ жду ними 7,6 не и общей длительностью 140 не. Интервал между импульсами строго соответствовал времени движе¬ ния сигнала по замкнутому пути внутри резонатора. Огибающая такого цуга в центральной ее части на выходе из оптического устройства для значений 50, 160 и 300 Вт/см^ интенсивности падающего излучения показана на рис. 27,а. На рис. 27,6 вид¬ ны состояния, отвечающие самопульсациям с периодом 2од¬ нако для наблюдения сложной структуры (рис. 27,в) хаотичес— 55
кого режима оказалось недостаточной разрешающей способности регистрирующей аппаратуры. ^ ДJ^A^ЛлJVлД^AлЛлAлЛлЛ^ЛлД_. / "« - W— ' ' ~|Г>' " ' >yN* />\ 1^л4м«Ал,'^|ЛлЛМАл/^\лАллЛлЛлЛАл\/\лЛл^л^Д^у''И/ц “/ ' I ' 1 I I I I 1 1 1— Рис. 27. Центральная часть огибающей цуга импульсов в от¬ сутствие самопульсаций (а), в случае самопульсаций периода 2 (б) и в хаотической области (в) [34J. Цена деления 20 не В работе [23 ] изучены периодические и стохастические самопульсаций в резонаторах Фабри-Перо и кольцевом с нели¬ нейной средой из газа аммиака. Длина резонатора Фабри-Перо варьировалась от 20 до 150 см, а давление газа от 5 до 40 Тор. Резонатор возбуждался излучением СО£ лазера с дли¬ ной волны 10,3 мкм, диаметром пучка 3 мм и интенсивностью ~10 МВт/см . Длительность импульса составляла несколько десятков наносекунд. Как и в случае гибридных устройств, в пассивных оптиче¬ ских резонаторах экспериментально пока не изучены ни "окна" в хаосе, ни проявления сценариев Помо — Манневиля, Рюэля - Таккенса. Здесь все исследования еще впереди. Список использованной литературы 1. Алексеев В.М. Символическая динамика.-В кн.: XI летняя матема¬ тическая школа.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1976. 2. Башаров А.М., Маймистов А.И., Маныкин Э.А. Фотоника. Нелиней¬ ные когерентные процессы.-М.: МИФИ, 1986, 84 с. 3. Боуэн Р. Методы символической динамики.-М.: Мир, 1979. 56
4. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., «уфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний.-II.: Наука, 1976, 384 с. 5. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем.-М.: Наука, 1984, 271 с. 6. Лихтенберг А., Либермак II. Регулярная и стохастическая динамика, -М.: Мир, 1984, 528 с. 7. Монин А.С. Гидродинамическая неустойчивость.-УФН, 1986, т.150, И, с.61-105. 8. МуринаТ.А., Розанов Н.Н. Режимы гибридных устройств оптичес¬ кой бистабильности.-Квант.Электр.,1981, т.8,Мб, с.1186-92. 9. Ораевский А.Н. Динамическая стохастичность и лазеры.-Труды «ИАН СССР, 1986, т.171, с.3-29. 10. Розанов Н.Н. Гистерезисные и стохастические явления в нели¬ нейных оптических системах.- Изв.АН СССР, сер.физ.1982, т.46, »6, с.1886-97. 11. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.-М.: Наука, 1984, 432с. 12. «ейгенбаум М. Универсальность в поведении динамических систем. - УФН, 1983, т.141, М2, с.343-374. 43. abrabam а. , Sul th S.D. Optioal biatabxiit.y and x'elated devices.-aep.Prog.Phys. 1962, v.45,n.6, p.B15-a5. aoherbalt J.R. , Uilonni P.W. , Shin U.— L. Chaos Id quantum optiob.-Phys.aep.19a9, V.12H, n.4/5, p.205-300. 19. bax'-Joaepb I., Silberberg Y. The mechanism of inatabilitiea io an optioal oavity.-Opt.Comm.1903,v.4S,n.1,p.53-6. 16. he Вегх-е М., Heaaayx-e д., Tallet a. , Gibbs H.U. High-dimen- aion chaotio attx-aotora of a nonlinear ring oavlty.-Phys.Kev.Lett. 1966, v.56, n.4, p.274-7. 17* Garmiohael H.J. Optioal biatability and multimode instability. -Pbys.Rev.Lett. 1984,v.32,n.15,p.1292-5. 57
16. ChrostowsKl J-1 Vallee H., Delisle 0. Self-pulsing and obaos Id aooustooptio bistability.-Can.J.Phys.1965,v.61,n.8,p.1143-8. 19. Collet f., KoKmann J.-f. Iterated maps on the Interval as dynamical systems.- Bostoni BirKbauser 1960, 711+248 pp. 20. Ooullet P. Stability of the soenarlous towards obaos.- In Obaos and statistical methods/id. Kuramoto У. Springer 1964, p.62-71. 21. Derstlne U.W., Gibbs H.M., Hopf P.A. Sanders L.D. Distingui¬ shing obaoa from noise In an optically bistable system.- IKSdl J.Quantum Kleotr.1985, v.QB-21, n.9, p.1419-22. 22. Peigenbaum It. J., Hasslacber B. Irrational deoimations and path Integrals for external noise.- Phys.Bev.Dett. 1962, v.49, n.9» p.605-9» 23» Pirth W.J., Harrison B.G., Al-Saldi I.A. Instabilities and routes to chaos In passive all-optloal resonators containing a molecular gas.- Pbys.Hev.A, 1966, v.53,n.4, p.2449-60. 24. Gao J.Y., Narducci L.U. The effect of modulation In a bistable system with delay.- Opt.Comm.1986, v.58, n.5, p.360-4. 25» Gao J.Y., Narducci L.U., Sadiky H., Squlcolarinl Yuan J.M. Higber-order bifurcations in a bistable system with delay.- Phys.Hev. a, 1984, v.50, n.2, p.901-5- 26. Hentschel H.G.H., Prooacola I. The infinite number of genera¬ lized dimensions of fractals and strange attractors.- Physica D, 19u5, v.6, n. , p.455-44. 27» Hlrsoh J.2. , Huberman B.A. , Scalapino D.J. Theory of intermit- tenoy.- Phys.Rev. A, 1962, v.25» n.1, p.519-32. 28. Hopf P. A., Kaplan D-L., Gibbs H.ll., Shoemaker R.L. Bifurcations to obaos In optioal bistability.-Phys.Rev.A,1982,v.25,n.4,p.2172-82. 29» Hopf P.A., Kaplan D.L., Rose Ы.Н., Banders L.D., Derstlne U.W. Characterization of chaos In a hybrid optioally bistable device.- Pbys.Rev.Lett., 1986, v.57, n.12, p.1394-7. 58
50. Hu В., Rudniok J. Rzaot solutions to the Peigenbaum renormallza- tlon-group equations for lntermlttenoy. -Phys. Rev .Lett. 1962,48, P.16W-8. 51. Ikeda K. Uultiple-valued stationary state and Its Instability of the transmitted light by a ring oavlty system.-Opt.Comm.1979.50.n.2. p.257-61iIkeda K., Daldo H., Aklmoto 0. Cptloal turbulenoeiChatlo be* havlor of transmitted light from a ring oavlty.-Phys.Rev.Lett. 1980, v.45, n.9, p.709-12. 52. Xkeda K., Uizuno It. frustrated instabilities In nonlinear optl- oal resonators. -Phys.Bev.Lett. 1964, v.53» n.14, p.1340-3- 53. buglato L.A. Theory of optioal bistability.- Progress in optiosi 1964, v,21, p.70-216. 34. Hakatsuka H., Asaka S., Itoh H., Xkeda K., Matsuoka U. Observa¬ tion of blfuroation to ohaoa in an oall-optioal bistable system.- Phys.Hev.Lett., 1965, v.50, n.2, p.109-12. 35.Hardone P.,Uandel P.,Kapral R- Analysis of a delay-differential equation in optioal bistability.-Phys.Rev.A,1966,v.33,n.4,p.2465-71* 36.0stlund S., Rand D. , Sethna J., Slggla B. Universal properties of the transition from quasl-periodioity to chaos in dissipative systems.-Physica D, 1983, v.8, n. , p.305-42. 57-Sbralman B.I. Transition from quasi-periodiolty to ohaostA pertur- bative renormalization-group approaoh.-Phys.Rev.A,1984,v.29.p.5464-6. 56.Sparrow C. The Lorenz equations: Bifurcations, ohaos and strange attractors.-Springer-Verlag, N.Y.1962, IX+269 pp. 39. Vallee R., Delisle C. Route to chaos In an aoousto-optlc bistable device.-Phys.Bev.A, 1985: v.31f n.4, p.2390-6.
ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 3 Оптические бистабильность, самопульсации и хаос... 3 Особенности теоретического анализа оптических устройств с задержкой в линии обратной связи 7 Библиография 14 Глава I. Описание режимов работы оптических устройств при помощи отображений 1® 1. Основные уравнения для кольцевого резонатора... 16 2. Абсорбционная бистабильность 23 3. Самопульсации в нерезонансном кольцевом резо¬ наторе с абсорбционной нелинейностью 27 4. Оптическая мультистабиаьность и самопульсации в гибридных устройствах и резонаторах с дис¬ персионной нелинейностью 30 5. Режим синхронизации частот 34 Библиография 35 Глава II. Сценарии перехода к хаосу 36 6. Некоторые характеристики хаоса 36 7. Сценарий Фейгенбаума 40 8. Сценарий Помо - Манневиля 49 9. Сценарий Рюэля - Таккенса 51 Библиография 52 Глава Ш. Экспериментальные исследования 52 10. Гибридные устройства 52 11. Полностью оптические системы 55 Список использованной литературы 56
УДК 531+535 Башаров А.М. Фотоника. Самопульсации и хаос в оптиче¬ ских системах: Учебное пособие. - М.: МИФИ, 1987 . - 60 с. Режимы работы пассивных оптических устройств, таких, как нелинейные резонаторы, электро- и акустооптические си¬ стемы, проанализированы в рамках понятий теории одномерных отображений, естественно возникающей при пренебрежении инер¬ ционностью устройств. Рассмотрены оптическая бистабильность, периодические и стохастические пульсации и некоторые их при¬ ложения. Описаны пути возникновения хаотического режима че¬ рез последовательность удвоения периода пульсаций (сценарий Фейгенбаума), перемежаемость периодического и стохастичес¬ кого режимов (сценарий Помо—Манневиля) и через разруше¬ ние квазипериодического движения (сценарий Рюэля-Таккенса). Дано представление об используемом здесь ренорм—групповом подходе. Пособие предназначено для студентов факультетов ЭТФ и СФФ, специализирующихся в области физики твердого тела и квантовой электроники. Рецензенты: Б.И. Манцыэов, Н.М. Спорник, А.Ю. Иванов Московский инженерно-физический институт, 1987 г.