КЛАССИКИ
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

КЛАССИКИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
-S'1 &•
МАТЕМАТИКА
МЕХАНИКА
Ф И 3 И КА
АС ТР О Н ОМИЯ
"V
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
технихотеоретигеской литературы
МОСКВА 2950 ЛЕНИНГРАД

ЯНОШ БОЛЬАИ
APPENDIX.
ПРИЛ О Ж Е Н ИЕ
СОДЕРЖАЩЕЕ
НАУКУ О ПРОСТРАНСТВЕ
АБСОЛЮТНО ИСТИННУЮ,
НЕ ЗАВИСЯЩУЮ
ОТ ИСТИННОСТИ
или
ЛОЖНОСТИ
XI АКСИОМЫ ЕВКЛИДА,
что a priori
-никогда решено быть не может
С ПРИБАВЛЕНИЕМ,
К СЛУЧАЮ ЛОЖНОСТИ,
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
КВАДРАТУРЫ
КРУГА
МеревоЪ с латинского,
вступительные статьи
и примехания
В.Ф. КАГАНА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
технико-теоретигеской литературы
МОСКВА- 1950 ЛЕНИНГРАД

11-5-4
IOANNIS BOLYAI DE BOLYA
APPENDIX
SCIENTIAM SPATH ABSOLUTE
VERAM EXHIBENS: A VERITATE AUT FALSITATE
AXIOMATIS XI. EUCLIDEI, A PRIORI HAUD UNQAM
DECIDENDA, INDEPENDENTEM: ADJECTA AD CASUM
FALSITATIS QUADRATURA CIRCULI GEOMETRICA
EDITIO NOVA
OBLATA AB ACADEM1ASCIENTIARUMHUNGARICAADDIEM
NATALEM CENTESIMUM AUCTORIS CONCELEBRANDUM
EDIDERUNT
JOSEPHUS KURSCHAK, MAURITIUS RETHY,
BELA TOTOSSY DE ZEPETHNEK
ACADEMIAE SCIENTIARUM HUNGARICAEj SODALES
BUDAPESTINI
SUMPTIBUS ACADEMIAE SCIENTIARUM HUNGARICAE
MDCCCCII

Титульный лист оригинального издания «Аппендикса».

ПРЕДИСЛОВИЕ
Работа венгерского математика Яноша Больаи,
опубликованная в виде приложения к большому сочинению его отца и
потому сохранившая в математической литературе название
«Аппендикс», содержит изложение основ неевклидовой
геометрии. Особенно важно значение этого произведения для
истории неевклидовой геометрии.
Первым математиком в мире, бессмертной заслугой
которого является провозглашение новых идей неевклидовой
геометрии, был Н. И. Лобачевский. Ему бесспорно принадлежит
приоритет в открытии неевклидовой геометрии. 23 февраля
1826 г. Н. И. Лобачевский доложил о своих идеях в
заседании физико-математического факультета Казанского
университета, а в 1829 г. вышел в свет «Казанский Вестник» с
работой Лобачевского «О началах геометрии», в которой было
впервые опубликовано замечательное открытие великого
русского ученого. Через три года появился в свет «Аппендикс».
В 1832 г., когда было опубликовано это произведение, имя
его автора не было известно даже у него на родине. Однако
оригинальные и замечательные идеи, изложенные в этом
сочинении, поставили «Аппендикс» в один ряд с
замечательнейшими памятниками математической литературы.
Работы Лобачевского по неевклидовой геометрии и
«Аппендикс» Больаи постигла при жизни их авторов примерно одна
и та же участь. Они вышли в свет в то время, когда во всей
математике безраздельно господствовала евклидова геометрия,
и никому не приходило в голову усомниться в ее
незыблемости. Новые идеи не встретили поддержки математиков.

6
ПРЕДИСЛОВИЕ
У К. Ф. Гаусса, который разделял эти идеи, нехватило
смелости выступить открыто в их защиту. Будучи знаком с
работами Лобачевского и Больаи, он не поддержал их в печати,
опасаясь остаться непонятым, быть осмеянным, боясь, что
его авторитет будет поколеблен. Нежелание Гаусса поддержать
«Аппендикс» своим авторитетным словом имело тяжелое
последствие на жизнь Яноша Больаи, который пришел в
отчаяние и кончил свою жизнь в состоянии психического
расстройства.
Лобачевский всю жизнь мужественно боролся за свои идеи.
Его приоритет в открытии неевклидовой геометрии состоит не
только в том, что он впервые и с наибольшей полнотой
опубликовал свое открытие, но и в том, что он, почти никем не
понятый, осмеянный рутинерами в науке, продолжал
развивать свою геометрию до последних дней своей жизни; он довел
ее до такого состояния, что к основам геометрии Лобачевского
после него ничего существенного не оставалось прибавить.
Янош Больаи узнал об открытии Лобачевского только через
16 лет после выхода «Аппендикса». Он написал подробные
«Замечания» к работе Лобачевского, которые помещены в этой
книге в виде дополнения.
Для понимания «Аппендикса» не требуется никаких
специальных знаний, но он изложен настолько сжато, почти
в зашифрованном виде, со множеством специальных обозначений,
что читается с большим трудом. Потребовались обширные
комментарии для того, чтобы это сочинение стало совершенно
доступным; читатель найдет их в настоящем издании.
<*%ЩО&*

янош
БОЛЬАИ
t§3#* —
БИОГРАФИЧЕСКИЙ
ОЧЕРК

Вся жизнь и творчество Яноша Больаи в такой мере
связаны с деятельностью и влиянием его отца Фаркаша Больаи,
что дать очерк жизни Яноша, не посвятив несколько страниц
его отцу, вряд ли возможно *).
Первая статья, посвященная отцу и сыну Больаи, была
написана Францем Шмидтом, венским архитектором, в 1868 г. 2).
Сведения об этих математиках Шмидт имел главным образом
от своего отца Антона Шмидта, также архитектора, работавшего
в городе Марош-Вашаргель, где протекала большая часть жизни
обоих Больаи. В то время о неевклидовой геометрии имели
понятие лишь очень немногие европейские математики;
архитектор Шмидт, конечно, не имел о ней представления: статья
Шмидта не касалась творчества отца и сына Больаи и
отражала только то уважение к памяти двух замечательных
математиков, которое сохранилось в академических сферах
Венгрии. Когда в 70-х годах прошлого века возродился интерес
*) Авторы, писавшие о Больаи, вместо мадьярского имени Больаи-
отца Фаркаш употребляют латинизированное имя Вольфганг,
а вместо имени Я н о ш — имя Иоанн. Эти имена утвердились в
европейской, в том числе и в нашей литературе. Правильнее, однако,
сохранить за обоими Больаи их настоящие мадьярские имена.
В мадьярском языке ударение всегда падает на первый слог
(Фаркаш, Янош, Больаи). О произношении фамилии Больаи см. ниже,
стр. 11.
2) Fr. Schmidt, Aus dem Leben zweier ungarischen Mathematiker
Johann und Wolfgang Bolyai von Bolya, Archiv der Mathematiker unci
Physiker, Bd. 48, 1868.

10
ЯНОШ БОЛЬАИ
к работам Больаи, Шмидт задался целью тщательно изучить
их жизнь и деятельность и написать обстоятельную их
биографию. Но это ему не удалось, и через 30 лет, в 1898 г., он
опубликовал о них лишь краткие биографические сведения *).
Почти в то же время И. Бедёгаци, профессор коллегии в
Марош-Вашаргеле, в которой в свое время работал Фаркаш
Больаи, опубликовал обширную биографию обоих Больаи2).
Однако она напечатана на мадьярском языке и мало кому
доступна. В позднейших работах Штекеля приведены многие
выдержки из нее, но сколько-нибудь ясного представления
об идеях не только Яноша, но даже его отца Бедёгаци не
имел.
На юбилейном торжестве по случаю столетия со дня
рождения «Яноша Больаи германский математик Л. Шлезингер,
уже глубоко изучивший неевклидову геометрию, произнес
речь, которую опубликовал в 1903 г.3); она содержит уже
не только краткие биографические сведения главным
образом о Яноше Больаи, но и научную характеристику его
творчества.
С начала 90-х годов прошлого столетия два германских
математика Ф. Энгель и П. Штекель предприняли совместно
издание обстоятельного труда, посвященного предистории и
возникновению неевклидовой геометрии. Первый выпуск этого
издания, составленный, главным образом, Энгелем, появился
в 1895 г.4). После этого они разделились: Энгель посвятил
*) Fr. Schmidt, Lebensgesehichte des ungarischen Mathematikers
Johann Bolyai. Abhandlungen zur Geschiehte der Mathematik, Heft 8,
1898.
2) J. Bedehazi, A ket Bolyai (Два Больаи). Maros-Vasarhely, 1897.
[Апострофы над гласными буквами означают в мадьярском языке не
ударение, а долготу слога].
3) L. Schlesinger, Johann Bolyai, Festrede gehalten bei der von
der ungarischen Universitat veranstalteten Bolyai-Feier am 15. Januar 1903.
Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Bd. 12, 1903.
4) P. Stackel, Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf
Gauss. Eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der nichteuklidischen
Geometrie, herausgegeben in Gemeinschaft mit F. Engel. Leipzig, 1895.

ЯНОШ БОЛЬАИ
11
следующую работу Н. И. Лобачевскому1), а Штекель занялся
изучением жизни отца и сына Больаи.
Задача, которую поставил себе Штекель, оказалась
исключительно трудной: работы Лобачевского, которые изучал Энгель,
были напечатаны; между тем Янош Больаи опубликовал
только «Аппендикс» и оставил около 1500 листов рукописей—
статей и заметок, написанных на различных языках — на
мадьярском, латинском и немецком. Штекель тщательно изучил
мадьярский язык и в течение свыше десяти лет изучал всё
литературное наследие Яноша, а также всевозможные
материалы и документы, относящиеся к жизни и деятельности
обоих Больаи. В результате он в 1913 г. выпустил в свет
последнюю часть труда, состоявшую из двух томов и
посвященную жизни и творчеству отца и сына Больаи2). Первый
том посвящен жизнеописанию обоих Больаи и характеристике
их трудов, второй содержит обширные выдержки из их
сочинений. Весь этот материал разработан с такой исчерпывающей
полнотой, что вряд ли нуждается в дальнейшем в каких-либо
дополнениях. В книгу включены также обширные извлечения
из переписки Гаусса с Шумахером и со старшим Больаи.
Таковы материалы, на основании которых составлен
настоящий очерк.
В юго-восточной части Венгрии, в так называемой Тран-
сильвании, было местечко, называвшееся Больа3). В этом
местечке большой земельный участок принадлежал семье
!) F. En gel, Nikolay Ivanovitsch Lobatschefsky. Zwei geometrische
Abhandlungen aus dem russischen ubersetzt mit Anmerkungen und mit
einer Biographie des Yerfassers. Leipzig, 1898.
2) P. Stackel, Wolfgang und Johann Bolyai. Geometrische Unter-
suchungen. I. Leben und Schriften der beiden Bolyai. П. Stucke aus den
Schriften der beiden Bolyai. Leipzig und Berlin, 1913.
3) В мадьярском языке сочетание 1у после гласной буквы
произносится, как «й». Поэтому название Bolya и фамилия Bolyai произносятся,
как Б 6 й а и Б 6 й а и. Однако в русской научной литературе
укоренилось написание и произношение Больа и Больаи. Сохраняем эту
традицию.

12
ЯНОШ БОЛЬАИ
Больаи; она и называла себя «Больаи из Больа» (Bolyai de
Bolya). Когда-то это была богатая и знатная семья — крупные
землевладельцы. Штекель имел возможность проследить ее
родословную до XVI столетия. С течением времени семья
Больаи обеднела и лишилась большей части своих владений.
Правда, отец Фаркаша получил в приданое небольшое имение t
называвшееся Домальд (Domald).
Фаркаш Больаи родился в 1775 г. в Больа. В 1781 г.
родители перевезли мальчика в главный город Семиградского
княжества — Надженьед1) и поместили в реформатско-еван-
гелистскую коллегию, которая представляла собой среднее
учебное заведение. В нем имелись, однако, два старших класса,
преподавание в которых носило уже характер начал
высшего образования, подготовляло учащихся в университет.
Чрезвычайно одаренный мальчик поражал своей памятью и
способностью производить в уме сложные математические
вычисления. Это и вызвало впервые его интерес к математике. Но
когда он стал требовать и в других предметах точных
доказательств, то его учитель, профессор теологии, убедил его
не заниматься математикой, «так как ее стремления всё
доказывать, проникавшие и в вопросы богословия, исходят от
дьявола». Фаркаш поддался увещаниям и сначала отказался от
занятий математикой. Его воззрения скоро изменились'; одно
время он был даже склонен к атеизму, но и эти настроения
продолжались недолго. Вообще неустойчивость интересов как в
юности, так и в зрелые годы была характерной его чертой.
Подходило время думать о выборе специальности; Фаркаш
очень колебался. Одно время учитель рисования склонял его
к занятиям живописью. Но заболевание глаз, вызванное
взрывом пороха собственного изготовления, лишило его
возможности пойти по этому пути. Средства его отца к этому
времени были ограничены, и вряд ли он мог бы получить
серьезное образование, если бы не благоприятные обстоятельства,
оказавшие решающее влияние на всю его жизнь: Фаркаш был
*) Nadyenyed, ныне Айуд (Aiud) в Румынии.

ЯНОШ БОЛЬАИ
13
приглашен бароном Кемень (К. Кетёпу) в его семью для
совместных занятий с его сыном Симоном; Фаркаш и Симон
стали большими друзьями. К концу средних классов школы
Фаркаш склонялся к поступлению в артиллерийскую
академию; но Симон Кемень его отговорил и убедил поехать вместе
с ним в Германию — в университет. Они поехали сначала
в Иену, а потом в Гёттинген, где научные интересы Фаркаша
окончательно склонились к математике. В этом большую роль
сыграло его сближение с Гауссом, с которым он познакомился
в доме профессора астрономии Зейфера (С. Seyffer). Юный
Гаусс был на два года * моложе Фаркаша Больаи; они очень
подружились и даже принесли друг другу клятву в вечной
дружбе. В беседах с Гауссом окрепли интересы Фаркаша
к основаниям геометрии, в частности к вопросу о
доказательстве XI аксиомы (пятого постулата) Евклида. Кафедру
геометрии в Гёттингенском университете занимал Кестнер
(A. Gr. Kastner). Кестнер не был очень крупным геометром,
но он очень хорошо знал Евклида и обширную литературу,
с ним связанную. По инициативе Кестнера его ученик Клю-
гель (S. Kltigel) написал диссертацию, содержавшую обзор
важнейших попыток доказать постулат о параллельных линиях,
и показал, что ни одно из этих доказательств не выдерживает
критики. В этой обстановке, в общении с Кестнером и Гауссом
Фаркаш Больаи, естественно, заинтересовался основаниями
геометрии, в частности доказательством пятого постулата.
С Гауссом они об этих вещах часто беседовали, и Гаусс с
восторгом отзывался о высказанных Фаркашем мыслях. В это
время Фаркаш уже задумал доказательство, которое он
позднее много раз перерабатывал,—в литературе оно известно
под именем «гёттингенской теории параллельных линий» и
изложено Штекелем в указанном выше (стр. 11, сноска2)
мемуаре. Гаусс уехал из Гёттингена раньше, а потом перед
отъездом Больаи они снова встретились в Гарце и
подтвердили принятую клятву дружбы на всю жизнь.
Больаи к тому времени был в такой мере стеснен в
средствах, что был вынужден вернуться на родину пешком. Однако,

14
ЯН01П БОЛЬАИ
когда он дошел до границы Трансильвании, Симон Кемень, узнав
о его затруднениях, прислал за ним экипаж, который довез Фар-
каша до Клаузенбурга 1)—главного культурного центра
Трансильвании. Тут он остался, заинтересованный общением с
венгерской интеллигенцией. По его воспоминаниям, проведенные
здесь три года были лучшими годами его жизни. В 1800 г.
он познакомился на балу с молодой девушкой Сусанной Аркос,
дочерью местного хирурга, и вскоре женился на ней. Со
свойственной ему экзальтацией Фаркаш пишет Гауссу
восторженные письма о своем счастье. Однако счастье это длилось
недолго: молодая жена Фаркаша была очень больна, страдала
тяжелой истерией. От этого брака-—от талантливого,
экзальтированного и непостоянного в своих стремлениях отца и
матери-истерички — в декабре 1802 г. родился сын Янсцп; он
превзошел отца в своих дарованиях и унаследовал от матери
ее болезнь, позже еще усилившуюся вследствие тяжелых
переживаний. Семья переехала в Домальд, в имение,
принадлежащее Фаркашу, но здесь она оставалась недолго.
В Трансильвании было четыре евангелистско-реформатских
коллегии, в одной из которых Фаркаш начал свое
образование. В городе Марош-Вашаргель2) функционировала
другая такая же коллегия. В 1803 г. скончался профессор
Чернатон (V. Csernaton), занимавший там кафедру
философии и математики. Коллегия сочла нужным разделить
эти две специальности, организовав отдельную профессуру
по математике, физике и химии. На эту кафедру в 1804 г.
был приглашен Фаркаш Больаи. Не без колебаний принял
Больаи это приглашение. В апреле 1804 г. он переехал в
Марош-Вашаргель, где оставался на своем посту около 50 лет.
Со свойственной ему добросовестностью Фаркаш Больаи
занялся глубоким изучением предметов, входящих в его
кафедру, и подготовкой курсов. Был ли он на высоте своей
задачи? «Из трех качеств ответственного преподавателя,—го-
*) В настоящее время этот город носит румынское название Клуж.
2) Название означает «рынок на реке Марош». В настоящее время
этот город носит румынское название Т ы р г у-М у р е ш.

ЯНОШ БОЛЬАИ
15
ворит Штекель,— он обладал двумя и притом в высокой
степени»: он был энтузиастом своей науки и горячо любил
молодежь. Но он не обладал способностями излагать свои
мысли в доступной форме, выбирать материал для своей
аудитории. Он сознавал этот свой недостаток и тяжело это
переживал.
В то же время Фаркаш вновь занялся исследованиями
в области математики и, конечно, прежде всего — своей гёт-
тингенской теорией параллельных линий; он отдал этой задаче
много сил и в тщательно обработанном виде прислал свое
доказательство Гауссу. Но в его рассуждениях была
элементарная ошибка, на которую Гаусс ему указал. Фаркашу это
причинило много огорчений. Позднее, в 1821 г., к этому
присоединилось большое семейное несчастье — умерла его жена.
•Чтобы найти утешение, которого он не нашел в
математике, Фаркаш обратился к литературному творчеству. В
Венгрии возник театр; одно время Фаркаш предполагал даже
принять в нем участие в качестве артиста; однако от этого
он отказался. С большим рвением он занялся писанием пьес
и написал пять трагедий; но ни одна из них не была
поставлена на сцене. Его произведения, как и всё, что он делал,
носили экзальтированный характер, содержали длинные беседы
о морали при отсутствии действия.
Потерпев неудачу в театре, Больаи направил свои силы
в другую сторону — весьма неожиданную. Специальной
комиссии в Вене было поручено сконструировать экономическую
печь; но комиссия эта не справилась со своей задачей. Больаи,
узнав об этом, в качестве химика занялся этим делом и не
без успеха. Его печь получила в Венгрии распространение.
Но главным его занятием была подготовка к печати курса
математики. Он работал над этим курсом около 20 лет,
постоянно возвращаясь то к одним, то к другим его частям.
Тем временем подрастал его сын Янош. Отец лично
руководил занятиями сына, и успехи мальчика были
единственным утешением в безрадостной жизни Фаркаша. В 13 лет

16
ЯНОШ БОЛЬАИ
Янош уже владел дифференциальным и даже интегральным
исчислением. В 1816 г., когда Яношу минуло 14 лет, отец
написал об его успехах Гауссу, но на это письмо не получил
ответа. Это было первым нарушением клятвы, данной друзьями
в студенческие годы.
Между тем разносторонняя одаренность мальчика
сказывалась не только в математике. Семи лет Янош начал учиться
игре на скрипке, а в 10 лет он уже имел свои собственные
композиции. На протяжении всей жизни страстный интерес
как к математике, так и к музыке в нем не угасал. В 1817 г.,
15 лет от роду, Янош выдержал экзамен на аттестат
зрелости. Надо было думать о высшем образовании.
Отец и сын — оба мечтали о том, чтобы Янош продолжал
свое образование под руководством Гаусса в Гёттингене. Еще
до окончания Яношем коллегии, 10 апреля 1816 г., Фаркаш
написал об этом Гауссу. Он не решался предоставить
15-летнего юношу самому себе, да и не был в состоянии
расходовать значительные суммы на содержание сына в
большом городе. Он просил Гаусса взять юношу в свою семью
с тем, что он, конечно, оплатит связанные с этим расходы.
Фаркаш уверял Гаусса, что он найдет в Яноше достойного
ученика.
В течение многих месяцев и отец и сын с волнением ожидали
ответа на это письмо. Но ответа не было. «Насколько горячей
была дружба вначале, настолько она успела остыть за годы»,
пишет биограф Больаи Бедёгаци. Однако Шлезингер, который
не в состоянии принять никакого упрека Гауссу и готов
оправдать любой его поступок, говорит по этому поводу: «Нужно
удивляться не столько молчанию Гаусса, сколько
соображениям, высказанным в письме Больаи за и против этого плана».
Действительно, Фаркаш спрашивал Гаусса, нет ли у него
дочери, в интересах которой пребывание юноши в их доме
было бы нецелесообразно; он спрашивал, все ли в семье Гаусса
здоровы, живут ли они безбедно, представляет ли его супруга
«исключение из всего женского пола», «не меняется ли
подобно флюгеру ее настроение». Конечно, эти вопросы лишены

ЯНОШ БОЛЬАИ
17
такта; но их можно было при желании легко отзести,
простить старому другу неудачные фразы. Во всяком случае,
со стороны Гаусса было жестоко прекратить по этому поводу
переписку, продолжавшуюся столько лет.
Так пли иначе, от этого плана Фаркашу Больаи пришлось
отказаться и надо было искать другие пути' для дальнейшего
образования Яноша. После продолжительных колебаний отец
решил поместить сына в военно-инженерную академию в Вене —
закрытое учебное заведение, не требовавшее значительных
расходов. К тому же программа обучения в этой академии
предусматривала значительный курс математики. В конце жизни
Янош горько жаловался на это решение отца. Он считал, что
отец поступил бы лучше, если бы оставил его у себя и
продолжал сам руководить его занятиями.
В августе 1818 г. Янош отправился в Вену. С особенно
тяжелым чувством отпускала его мать, не рассчитывавшая
его больше увидеть; и действительно, как уже сказано, в
сентябре 1821 г. она скончалась.
С августа 1818 г. Янош в течение четырех лет состоял
студентом военно-инженерной академии. Он работал успешно,
все время занимая второе место в своем классе.
Преподавателем математики состоял Вольтер Эквер (Wolter v. Eckwer);
это был военный, повидимому, хорошо владевший'теми
разделами математики, которые преподавал; но от научных задач
современной ему математики он, конечно, стоял далеко. Янош
получил солидные, но не углубленные познания. Из академии
он вышел дисциплинированным человеком с серьезными
знаниями как в области военного дела, так и в области
математики. Одного, однако, академия не достигла — она не могла
сделать из матеАматика офицера.
Во время пребывания в Вене Янош познакомился с
Карлом Сасом (К. Szasz) — математиком, который позже заменил
его отца на кафедре в Марош-Вашаргеле. Уже в Вене Янош
некоторое время работал совместно с Сасом над
доказательством постулата о параллельных линиях; оба были
чрезвычайно увлечены этой проблемой и даже дали друг другу
2 Зак. 1430 Я. Больаи

is
ЯНОШ БОЛЬАИ
обещание только сообща публиковать о своих дальнейших
достижениях.
Отношения Яноша с отцом во время пребывания в
академии были нормальны: отец был вполне доволен успехами
Яноша и возлагал большие надежды на его будущее. Здесь
будет уместно рассказать о новом увлечении Фаркаша,
относящемся к этому периоду. Венгерским правительством был
объявлен конкурс на пост заведующего лесничеством. Эта
должность оплачивалась много выше, нежели профессура. Фар-
каш со свойственным ему увлечением занялся тщательным
изучением лесного дела; он имел уже некоторые познания
по лесоводству с того времени, когда занимался хозяйством
в своем имении в Домальд. В связи с конкурсом он изучил
около сорока сочинений по лесоводству и просил сына
поддержать в Вене его кандидатуру. Однако должность эта Фар-
кашу не была предоставлена.
Первого сентября 1823 г. Янош был произведен в офицеры
и в чине младшего лейтенанта командирован в небольшую
крепость Темешвар1). Здесь в одиночестве, располагая
значительным досугом, Янош со свойственным ему увлечением
всецело ушел в занятия математикой и был поглощен, главным
образом, теорией параллельных линий. Вначале он шел по
пути, который они наметили совместно с Сасом, но позже его
мысли приняли другое направление. С 1823 г. Янош
сообщает в письмах к отцу, что достиг в своих исследованиях
значительных результатов. Правда, пишет он, я не достиг еще
цели, но получил очень замечательные результаты — из ничего
я создал целый новый мир!
Когда отец узнал об увлечении сына теорией параллельных
линий, он пришел в глубокое отчаяние. Он умолял Яноша
оставить эти занятия. Он пишет ему: «Ты не должен пытаться
одолеть теорию параллельных линий на этом пути; я знаю
этот путь, я проделал его до конца, я пережил эту
беспросветную ночь, и всякий светоч, всякую радость моей жизни
!) Temesvar. В настоящее время этот город называется Тими-
ш о а р а.

Наброски Яноша Больаи, относящиеся к «Аппендиксу»
Зак. 1430.

ЯНОШ БОЛЬАЙ
19
я в ней похоронил. Молю тебя, оставь в покое учение о
параллельных линиях; ты должен его страшиться, как
чувственных увлечений; оно лишит тебя здоровья, досуга, покоя—оно
тебе погубит всю радость жизни. Эта беспросветная мгла может
поглотить тысячу ньютоновых башен, и никогда на земле
не прояснится; никогда несчастный род человеческий не
достигнет совершенной истины,—даже в геометрии! Да хранит тебя
бог от этого увлечения, которое тобой овладело. Оно лишит
тебя радости не только в геометрии, но и во всей земной
жизни. Я был готов сделаться мучеником этой истины, чтобы
только очистить геометрию от этого пятна, чтобы передать роду
человеческому безукоризненную науку. Я проделал ужасную,
гигантскую работу; я достиг много лучшего, нежели то, что
было получено до меня; но совершенного удовлетворения я
не получил!».
Это письмо на Яноша не подействовало. Янош продолжал
работать над проблемой о параллельных линиях еще около
десяти лет, пока привел свои исследования в полный порядок.
Он посылал отцу выдержки из своей работы, но тот не сумел
уяснить себе его идей и продолжал настаивать на том, чтобы
Янош оставил эти занятия.
Однако служба в Темешваре была Яношу в тягость. К тому
же и здоровье его пошатнулось; вместе с тем
раздражительность и несдержанность, унаследованные им от матери, стали
всё больше проявляться. Происходили стычки с товарищами,
кончавшиеся поединками. Доходило даже до того, что в один
день он был вызван двенадцатью офицерами. Он принял все
вызовы с тем условием, чтобы после каждого поединка ему
была предоставлена передышка — поиграть на скрипке. Во
всю его трудную жизнь музыка была его единственным
утешением. Из всех поединков он вышел победителем.
В 1833 г., после 10 лет военной службы, которая, стала для
него невыносимой, Янош возбудил ходатайство об отставке,
которая была ему предоставлена с небольшой пенсией в 280
гульденов в год.
2*

20
ЯНОШ БОЛЬАИ
Как уже сказано выше, Янош с 1823 г. начал заниматься
проблемой о параллельных линиях. Несмотря на расхождения
во взглядах на этот вопрос, отец склонился к тому, чтобы
помочь Яношу опубликовать свою работу.
Около 1830 г. Фаркаш составил свой курс математики и
решил его опубликовать в двух томах. Задача была нелегкая:
объявленная подписка дала только 175 подписчиков; тем не
менее Фаркаш решил довести издание до конца. Янош убедил
его поместить в качестве приложения («Appendix») к первому
тому его собственную работу. Отец согласился с тем условием,
чтобы все расходы по напечатанию этого приложения Янош
взял на себя. Под этим названием «Аппендикс» это
замечательное произведение геометрической мысли известно в
литературе до сих пор; в настоящей книге публикуется его
перевод на русский язык.
Сочинение отца известно в литературе под названием «Тен-
тамен» (Tentamen). Полное латинское название читатель
найдет на прилагаемой фотографии титульного листа этого
издания; в русском переводе оно гласит: «Опыт введения учащегося
юношества в начала чистой математики, элементарной и
высшей, приспособленным для этого наглядным методом.
Публичного ординарного профессора математики, физики и химии
[Ф. Больаи]. Том I. Марош-Вашаргель, 1832».
Первый том этого сочинения появился в 1832 г. Но
отдельный оттиск «Аппендикса» вышел из печати несколько раньше,
в 1831 г., и экземпляр его тотчас послан был Гауссу. Однако
в Австрии в это время была холера, и посылка до Гаусса не
дошла. Через несколько месяцев отец и сын послали книгу
оказией с письмом, в котором Фаркаш просил Гаусса сообщить
свое мнение о работе сына; «мой сын ставит на твой отзыв
больше, чем на мнение всей Европы» — пишет он.
Получив это письмо и «Аппендикс», Гаусс сейчас sice на-
писал своему другу Герлингу, что он получил от Больаи
замечательную работу и считает ее автора «гением первого ранга».
Однако Фаркашу Больаи он ответил значительно позже —
только через месяц, 6 марта 1832 г. и в гораздо более

Титульный лист оригинального издания «Тентамена».

ЯНОШ БОЛЬАИ
21
сдержанном тоне. После приветствия «своему старому
незабвенному другу» и кратких сведений о своей жизни за время
15-летнего молчания Гаусс обращается к работе Яноша. Эта
часть письма настолько характерна и интересна, что мы при-
водим начало ее текстуально:
«Теперь кое-что о работе твоего сына. Если я начну с
того, что я ее не должен хвалить1), то на мгновение ты
поразишься, но я не могу поступить иначе: хвалить ее — значило
бы хвалить самого себя, ибо всё содержание этой работы,
путь, по которому твой сын пошел, и результаты, которые он
получил — почти сплошь совпадают с моими, которые я
частично получил уже 30—35 лет тому назад. Я действительно
этим крайне поражен.
Я имел намерение о своей собственной работе, кое-что из
которой я теперь нанес на бумагу, при жизни ничего не
публиковать. Большинство людей совершенно не имеют
правильного понятия о том, о чем здесь идет речь; я встретил только
очень немногих людей, которые с особенным интересом
восприняли то, что я им об этом сообщал. Чтобы быть в
состоянии это понять, надо сначала живо ощутить то, чего
собственно здесь недостает, а это большинству людей совершенно
неясно. Но я имел намерение со временем нанести на бумагу
всё, чтобы эти мысли, по крайней мере, не погибли со мной.
Я поэтому очень поражен тем, что я освобожден от этой
необходимости, и меня очень радует, что именно сын моего
старого друга таким удивительным образом меня
предвосхитил!.
Затем следуют различные соображения относительно текста
«Аппендикса», о задачах, которыми, следуя замыслам
«Аппендикса», было бы интересно заняться. Некоторые из этих
соображений указаны в этой книге (в примечаниях к
«Аппендиксу»).
Ответ Гаусса, конечно, не только не удовлетворил Яноша,
но вызвал в нем естественное возмущение. Первоначально
*) Подчеркнуто Гауссом,

22
ЯНОШ БОЛЬАИ
Янош даже не поверил тому, что Гаусс независимо от него
пришел к основным идеям неевклидовой геометрии.
К сожалению, в это время Янош еще не знал, что
приоритет открытия неевклидовой геометрии принадлежал уже
русскому математику Н. И. Лобачевскому, опубликовавшему свои
результаты в 1829 году в Казани. Между тем, Янош
предполагал, что «жадный колосс Гаусс» хочет похитить приоритет
этого открытия, присвоив эти идеи себе. Более того, он даже
пришел к нелепой мысли, что отец выдал его идеи Гауссу. Но и
позже, когда Янош убедился в том, что эти его предположения
лишены основания, он оставался в убеждении, что поведение
Гаусса по отношению к нему очень неправильно и
несправедливо. И это его убеждение, конечно, имело полное основание.
Вместо того, чтобы поддержать замечательные идеи молодого
математика, он больше останавливается на своих собственных
заслугах, а в печати не проронил ни единого слова в
поддержку этого «гения первого ранга». В наследии Яноша
Больаи сохранилось много заметок по этому поводу. Мы
приведем одну из них, которую сообщает Штекель.
Янош Больаи пишет:
«По моему мнению и, как я глубоко убежден, по мнению
каждого непредубежденного человека, все доводы, которые
Гаусс приводит в объяснение того, почему он вовсе не хотел
опубликовать при жизни ничего из собственных работ [по этому
вопросу] — бессильны и ничтожны. Ведь в науке, как в
действительной жизни, дело заключается в том, чтобы всемерно
выяснить необходимые общеполезные, хотя еще неясные вещи,
и вместе с тем пробудить еще дремлющее сознание истины,
укрепить и развернуть его. Понимание математики, к
сожалению, пробудилось еще у немногих людей. И на этом
основании, под таким предлогом Гаусс мог бы совершенно
последовательно скрыть значительную часть своих прекрасных работ.
И то обстоятельство, что, к сожалению, даже между
математиками, в том числе и знаменитыми математиками, имеется
много поверхностных, — это обстоятельство отнюдь не может
служить для разумного человека основанием и впредь зани-

ЯНОШ БОЛЬАИ
23
маться только поверхностным и посредственным, держать
науку в летаргии, в унаследованном ее состоянии. Такого
рода умонастроение справедливо можно было бы назвать
противоестественным и чистым безрассудством; поэтому
производит весьма неприятное впечатление, что Гаусс вместо прямого,
честного, искреннего признания высокого- значения
„Аппендикса" и всего „Тентамена", вместо того, чтоб с радостью и
участием проложить путь новому учению и подумать о том,
как бы искуснее изложить эти идеи, дать хорошим мыслям
надлежащий путь, — Гаусс, напротив, старается этого
избежать и изливается в благочестивых пожеланиях и
сожалениях по поводу недостатка у читателей достаточного
образования. Не в этом, конечно, состоит жизнь, деятельность и
заслуга ученого!».
Штекель отмечает, к&к много правды в этих ^.словах. Но
Шлезингер, для которого характерно филистерское
благоговение перед всем, что было высказано гениальным ученым,
думает иначе. «Может быть, — говорит он в своей речи, — Гаусс
поступил правильно, когда он молчал, как бы не желая
предвосхищать развития истории; может быть, его сдержанность,
которую мы, не будучи в состоянии проследить путей его
великого ума, находим непонятной, оберегла Яноша от того,
чтобы „беотийцы" J) охаяли его как дурня и еретика, —
обеспечила ему по крайней мере мир и уединение, хотя он, как
и большинство основоположников науки, и не мог при жизни
увидеть плоды из посеянных им семян».
Шлезингер, конечно, совершенно не прав. В своем слепом
подчинении авторитету Гаусса он готов оправдать любой, даже
1) Выражение Гаусса. «Бояться крика беотийцев» означало — бояться
упреков невежд. Гаусс в своем письме Бесселю писал о своих работах
по неевклидовой геометрии:
«Вероятно, я еще не скоро смогу обработать свои пространные
исследования- по этому вопросу, чтобы их можно было опубликовать.
Возможно даже, что я не решусь на это во всю свою жизнь, потому
что я боюсь крика беотийцев, который поднимется, когда я выскажу
свои воззрения целиком»,

24
ЯНОШ БОЛЬАИ
неправильный его шаг. Ведь именно отзыв Гаусса,
прозвучавший, к сожалению, уже после его смерти в его письмах,
в значительной мере способствовал возрождению и признанию
замечательных идей Лобачевского и Вольаи! И не подлежит
сомнению, что на Гауссе лежит тяжелая ответственность за те
переживания, которые омрачили жизнь Яноша и довели его
до состояния, граничившего с психическим расстройством.
Было бы уместно хотя бы вкратце изложить содержание
самого «Тентамена». Но это трудно сделать. Тентамен —
сочинение, которое нелегко прочитать, труднее понять, еще много
труднее изложить. «О нем многие говорили, — замечает Ште-
кель, — но очень немногие читали!». При всем стремлении
к точности оно несет печать той экзальтации, которая так
свойственна всему, что Фаркаш делал, говорил и писал. Свое
вступление автор начинает с двух основных понятий,
которыми он руководится, — «Истины» (Veritas) и «Любви» (Amor).
«Истина» — это то, что объективно неоспоримо, «любовь»—это
то, что субъективно освещает истину в связанных с нею
представлениях. Имея в виду выяснить «истину», автор оснащает
ее таким количеством «любви», что нередко истина в этой
любви растворяется.
«Тентамен» состоит из двух частей. Первая содержит
общий обзор арифметики, вторая — общий обзор геометрии, И
в той и в другой частях автор стремится построить «истину»
соответствующей науки из неоспоримых ясных понятий и
начал; но эти попытки тонут в большом количестве отступлений.
Но всё же его рассуждения во многих своих частях
представляют интерес как оригинальные попытки построить строго
выдержанную систему арифметики и геометрии. Эта
тенденция, имевшая вековую давность, с середины XIX столетия
принимает новые формы и становится насущной задачей в ходе
обоснования математики; Фаркаш пытается итти по этому пути;
он старается определить понятие о непрерывном линейном
множестве и континууме, привлекая для этого время не
только в качестве примера, но и как средство исследования*

ЯНОШ БОЛЬАИ
В геометрии Фаркаш впервые выдвинул требование
независимости досылок. Он первый строго доказал, что равновеликие
многоугольники всегда равносоставлены, т. е. могут быть
составлены из соответственно конгруентных частей. В нем нельзя
не видеть предшественника Фреге, Пеано и др. Но почти
всегда его мысли растворяются в пространных и рискованных
рассуждениях.
В противоположность ему Янош излагает свои мысли
чрезвычайно сжато, не допуская не только лишнего слова, но даже
лишней буквы. Эта сжатость изложения делает чтение
«Аппендикса» очень затруднительным; об этом мы еще будем
обстоятельно говорить в следующей статье, посвященной обзору
«Аппендикса». К тому же, стараясь уменьшить расходы, Янош
пользуется одним и тем же чертежом для различных целей.
Несмотря на эти расхождения с отцом в научном стиле, Янош
высоко ценил «Тентам^н»; по крайней мере он не раз
отзывался о «Тентамене» с полным признанием и похвалой; однако
недостаточно строгие и пространные рассуждения отца его
раздражали. В свою очередь, Фаркаш, постепенно уясняя себе
идеи «Аппендикса», не овладел ими до конца и многое в них
оспаривал.
Вследствие этих расхождений между отцом и сыном
возникали разногласия, которые скоро перешли в острые споры,
а при нараставшей раздражительности Яноша перешли в
раздоры. Повидимому, отношения отца с сыном еще обострялись
материальными и семейными разногласиями. Отец женился
вторично; ко времени приезда Яноша его вторая жена уже
умерла. При Фаркаше оставался его сын от этого брака,
маленький Грегор, которого Янош долго совершенно чуждался,
и это раздражало отца. Еще более осложнились отношения
когда Янош в 1834 г. сошелся с девицей Розалией Орбаи и
хотел на ней жениться. Однако и в отставке он все же
оставался в подчинении военному начальству, которое давало
согласие на этот брак только при условии материального
обеспечения семьи. Янош такового предоставить не мог, а отец
отказался выделить сыну некоторую долю своего имущества.

26
ЯНОШ БОЛЬАИ
Условия жизни становились все труднее, Янош становился
все раздражительнее, его возбуждение принимало
болезненный характер; отцу было трудно это понять.
Неприязненные отношения все более углублялись; дело
дошло до того, что Янош вызвал отца на дуэль. Вмешался
брат Фаркаша, который их примирил; но Янош должен был
оставить родительский дом. Он переехал сначала в Домальд, а
потом, когда у него появились дети, вернулся в Марош-Ва-
шаргель. Однако, живя в одном городе с отцом, Янош не
встречался с ним и только время от времени вступал с Фар-
кашем в своеобразную научную переписку.
Янош был поглощен, главным образом, развитием
геометрических идей, изложенных в «Аппендиксе». Он хотел
развернуть на новых началах всю геометрию и о своих достижениях
сообщал отцу; но они действительно вызывали возражения
и отца не удовлетворяли. Это еще больше увеличило вражду
между ними, которая и достигла наибольшего напряжения
в 1838 году.
Около этого времени был объявлен конкурс на премию
Лейпцигского ученого общества им. Яблоновского. В качестве
темы было предложено усовершенствовать геометрическую
теорию мнимых чисел. Отец и сын оба приняли участие в
конкурсе. Фаркаш представил переработанное извлечение из
«Тентамена»; Янош написал на эту тему новую работу. Между
ними разгорелся жестокий спор о преимуществе той или иной
работы, который еще осложнился личными столкновениями,
возникшими на этой почве. Ни один из них не получил
премии; не получил ее и третий претендент профессор Керекеш
(F. Kerekes)1). Жюри дало о работах обоих Больаи отзывы,
которые, несомненно, не были справедливы.
1) Имена претендентов Обществу не были известны; как это издавна
делалось, работа помечалась девизом (условной надписью). Работа Яноша
носила надпись: «Fructus nonnisi maturi decerpendi» («Срывать надлежит
только спелые плоды»).

ЯНОЩ БОЛЬАИ
27
Особенно несправедлив был отзыв о работе Яноша. Между
тем, эта работа, позже опубликованная Штекелем, по замыслу и
построению мало отличалась от теории комплексных чисел,
которая на несколько лет позже (1853 г.) была изложена
Гамильтоном в его «Лекциях о кватернионах»1) и по существу
сохранила свое значение до настоящего времени. Но, как и все
работы Яноша, она была написана чрезвычайно сжато, Так,
§ 8 содержал начало общей теории логарифмической функции,
позже вошедшей в теорию функций комплексного
переменного; однако у Яноша эта теория была скорее намечена, чем
построена. Два параграфа опирались на неевклидову
геометрию, изложенную в «Аппендиксе»; непосвященному читателю
они были совершенно недоступны. Были и другие недоделки.
На оценке сказались, вероятно, и высказанные Яношем упреки
теории Гаусса, хотя и выраженные в самой почтительной форме.
Может быть, «Обществу» действительно трудно поставить
в упрек его неблагоприятный отзыв. До некоторой степени
это признавал и сам Янош; но он сознавал высокое
достоинство своей работы, и новая неудача была для него очень
тяжелым ударом. К сохранившемуся экземпляру этой работы
приложена следующая его заметка.
«Жаль, что этот большой клад попал в недостойные руки.
В меру своих сил „Общество" выполнило свой долг и свою
обязанность; но теперь очередь за мной судить „ Обществои.
Защищать здесь нечего, поскольку противник ничего
определенно не критикует, не приводит оснований, по которым он
то или другое считает неважным или для него непонятным,
а между тем своим властным словом он объявляет всё в
целом ничего не стоящим и непонятным. Такого рода
осуждение было бы уместно относительно работы, в которой нельзя
было бы найти ничего хорошего или понятного; но утверждать
что-либо такое обо мне, который имел случай в вопросах,
гораздо более трудных и глубже сокрытых, получить высокое
признание Гаусса (колосса, по сравнению с которым вы только
1) W, R, Hamilton, Lectures on quaternions. Dublin, 1853.

28
ЯНОШ БОЛЪАИ
карлики!) — это дерзко, и я не могу надивиться, как
„Общество" себе позволило вынести такого рода приговор вместо
того, чтобы снова и снова изучать работу».
И Янош, несомненно, был прав. «Теория мнимых чисел,
построенная Яношем,— замечает по этому поводу Штекель,—
несомненно была кладом, который, однако, нужно еще было
вычеканить прежде, чем его можно было бы использовать.
Она действительно представляла существенный шаг вперед
после той точки зрения, которую занял Гаусс относительно
направления нового учения о комплексных числах. Однако то,
что нам теперь совершенно ясно, оставалось для Яноша еще
туманным. Гениальной интуицией он предугадал решение
проблемы; но он еще не был в состоянии дать проработанное,
всем доступное изложение предмета».
Все это, несомненно, справедливо; но гениальный мыслитель,
который и в этом сложном вопросе стоял впереди своего века,
потерпел новое испытание, которое он очень тяжело перенес.
В последующие годы—почти десять лет — Янош работал
над различными вопросами, относившимися главным образом
к развитию неевклидовой геометрии. Больше всего его
интересовало строгое доказательство того, что она не содержит
в себе внутреннего противоречия. По отношению к геометрии
плоскости это вытекало из известного соотношения между
неевклидовой и сферической тригонометрией; но, как доказать,
что к такому противоречию не может привести и стереометрия,
к этому не видно было путей. В посмертных записках Вольаи
Штекель не нашел никаких результатов этого исследования.
Так прошло десять лет. В 1848 г. произошло событие,
которое для Яноша было новым тяжелым ударом.
В 1840 г. появилась на немецком языке небольшая книжка
Н. И. Лобачевского «Geometrische Untersuchungen zur Theorie
der Parallellinien» («Геометрические исследования по теории
параллельных линий»). Брошюра эта была в свое время
прислана Гауссу, который ее очень высоко оценил. В августе

ЯНОШ БОЛЬАИ
29
1843 г. Гаусса посетил Ф. Ментович (Fr. Mentovich). Это был
тогда еще молодой венгерский математик (после Саса он занял
кафедру математики в Марош-Вашаргеле). Приблизительно
через год после этого посещения Ментович опубликовал в
венгерской газете содержание своей беседы с Гауссом. В этой
беседе Гаусс расспрашивал его о «своем старом друге» Больаи
и о его сыне. Вместе с тем'Гаусс показал Ментовичу брошюру
Лобачевского, в которой содержатся те же идеи, что и в
работе Яноша Больаи. «Эта работа, —сказал Гаусс, —должна для
венгерского математика иметь двоякий интерес, — во-первых,
по удивительному сходству его взглядов с идеями молодого
Больаи, а во-вторых, потому, что и другие работы
Лобачевского, написанные на русском языке, должны быть венгру
доступны». Гаусс, очевидно, ошибался, считая, что мадьярский
язык близок к славянским языкам.
Эта заметка сначала, повидимому, ускользнула от внимания
Больаи; только в январе 1848 г. Фаркаш осведомился у Гаусса
о названии этого сочинения. Гаусс сообщил ему название?
Фаркаш выписал эту книгу и препроводил ее Яношу. День
17 октября 1848 г., когда Янош получил «Геометрические
исследования» Лобачевского, он считал началом новой эпохи
своей жизни.
Сначала Янош вовсе не хотел верить в существование
«какого-то Лобачевского»; он высказал мнение, что брошюру
эту написал Гаусс, который всё еще претендует на приоритет
открытия неевклидовой геометрии. Эти предположения
сменялись другими. Приводим отрывок из «Замечаний» Яноша 2),
опубликованный Штекелем.
«Дух и результат этого сочинения в такой мере совпадает
с „Приложением" (Appendix) к сочинению „Тентамен",
опубликованному в 1832 г., что этому нельзя не удивляться.
Уже Гаусс, по его словам, был в высшей степени поражен
замечательным совпадением работ мадьярского и московитского
математика. Воистину, я этим поражен не меньше!
*) Об этих «Замечаниях» см. ниже (стр. 31).

30
ЯНОШ ВОЛЬАЙ
Конечно, сущность чистой истины как в Марош-Вашаргеле,
так и на Камчатке и даже на Луне, короче говоря,—на всем
свете должна быть одна и та же. Что открывает одно
разумное существо, то может открыть и другое — это не
лишено возможности. К тому же, произведения ума, как и
продукты природы — по ходу развития человечества,—имеют
свое время, когда они появляются; так иногда на суше и на
море изучается один и тот же предмет, и появляются
родственные идеи, как это имело, например, место в случае
дифференциального и интегрального исчисления. Наконец, и
самый предмет этот не особенно труден и не так скрыт. Но
если всё же подумать, как мало было глубокомысленных
математиков, даже среди лучших из них, которые пришли к
осознанию этого пробела в геометрии и стремились к его
восполнению, — что со времен Евклида и даже со времени
существования человечества, несмотря на многие прекрасные
глубокие исследования (между ними в отношении строгости,
ясности и глубины рассуждения „Тентамен", непосредственно
предшествующий „Аппендиксу", бесспорно, занимает первое
место) в этой области, по крайней мере, в печатиг) ничего
значительного не появлялось, если принять во внимание, что
столь серьезный Эттингаузен2) не был в состоянии понять
„Аппендикс", — если всё это принять во внимание, то вряд
ли можно считать вероятным, что два или даже три человека,
ничего друг о друге не зная, почти в одно и то же время,
хотя и различными путями, почти полностью исчерпали вопрос.
После этих соображений я не считаю лишенным основания
подозрение — хотя я здесь очень неохотно его высказываю —
не предназначая его для опубликования, что Литтров3), как
*) Явный намек на Гаусса.
2) Эттингаузен (Ettinhausen) — один из преподавателей математики,
которого Янош слушал в Вене; Янош послал ему экземпляр
«Аппендикса».
3) И. И. Литтров состоял профессором астрономии с 1810 по 1816 г.
в Казанском университете. Он, таким образом, оставил Казань задолго
до того, как Лобачевский занялся теорией параллельных линий.

ЯЙОШ БОЛЬАИ 31
почетный член Казанского университета, может быть в
прошлом профессор математики, находился в переписке с
Лобачевским и послал ему экземпляр „Тентамена", который мой отец
переслал ему в Вену; Лобачевский же, как человек бесспорно
талантливый, уяснил себе цель и значение этой работы и
старался достигнуть той же цели другим путем. Но еще
вероятнее то, что Гаусс — колосс, и без того владевший такими
сокровищами—не мог примириться с тем, что кто-то в этом
вопросе его предвосхитил; и так как он уже не был в
состоянии этому воспрепятствовать, то он сам обработал теорию и
выпустил в свет под именем Лобачевского».
«Геометрические исследования» появились в свет только
в 1840 г., но во вступлении к этому сочинению Лобачевский
указал, что первую свою работу, содержащую эти результаты,
он опубликовал в «Казанском Вестнике» в 1829 г., т. е. за
три года до выхода в свет «Тентамена». Больаи не мог, таким
образом, претендовать на приоритет, который, бесспорно,
принадлежал Лобачевскому.
Янош чрезвычайно тщательно изучил книгу Лобачевского
и продумал каждое его слово. Он написал на мадьярском
языке обширные «Замечания», которые сохранились в его
наследии. Штекель и Кюршак опубликовали их в 1902 г.
в оригинале, а в следующем году — в немецком переводе1).
Они почти полностью помещены в настоящем издании в виде
дополнения (стр. 193—228). Эти «Замечания» частью посвящены
пояснению мыслей Лобачевского, частью представляют собой
любопытные, но несущественные, можно сказать, придирчивые
упреки; только одно замечание, относящееся к § 36,
действительно содержит указание на недоделку. Однако в сочинении
«Новые Начала геометрии» у Лобачевского этого дефекта
нет, а в «Пангеометрии» он отмечен и исправлен (см. стр. 216).
г) P. Stackel imd J. Kurschak, Johann Bolyas Bemerkungen
tiber Nicolaus Lobatschefskijs Geometrische Untersuchungen zur Theorie
der Parallellinien. Mathem. und naturwiss. Berichte aus Ungarn, Bd. 18, 1903*
«Замечания» включены также в работу Штекеля, приведенную на стр. 11
[сноска 2)].

32
ЯНОШ БОЛЬАИ
Во всяком случае, Янош Больаи отдает Лобачевскому
справедливость, называя некоторые из его выводов «гениальными».
Посвятив много времени изучению «Геометрических
исследований», Янош занялся развитием своей «абсолютно
истинной» геометрии, выполнил ряд вычислений, в том числе
вычисление объема тетраэдра в неевклидовой геометрии и,
наконец, вернулся к «Общим основаниям» геометрии. И тут он
неожиданно усомнился в правильности своей новой геометрии.
Его привело к этому следующее обстоятельство.
Противоречие, как уже указано выше, можно было искать только
в стереометрии. Имея это в виду, Янош рассматривает
тетраэдр и вычисляет его двугранные углы (их косинусы) через
шесть ребер тетраэдра. Вычисление каждого угла оказалось
возможным провести двумя способами. Полученные в том и
другом случаях выражения содержат гиперболическую
постоянную, которую Янош обозначает через г. Приравняв два
полученных выражения, он получает уравнение, из которого должно
получиться значение г. Основной вывод «Аппендикса» — что г
может иметь произвольное значение—таким образом, отпадает.
Стараясь, однако, это значение г действительно получить, Янош
убеждается, что полученное им равенство представляет собой
тождество. Тогда он обращается к пентаэдру (к
многограннику, имеющему пять вершин и десять ребер). Вычислив
и здесь двугранные углы, каждый двумя способами, и вновь
приравняв полученные два выражения, Янош пришел к
заключению, что получаемое равенство действительно представляет
собой уравнение относительно г. Стало быть, система 8
(неевклидова) ложна, а вместе с тем доказан постулат
о параллельных линиях.
Больаи приступает к составлению работы, заголовок
которой гласит: «Доказательство XI евклидовой аксиомы, которая
до сих пор на земле оставалась сомнительной, действительно
в высшей степени важное, так как она служит основанием
всего учения о пространстве и движении». Введение
содержит важные биографические сведения об авторе и его отце.
Однако дальше Янош не пошел, так как убедился, что в с лож-

ЯНОШ БОЛЬАИ
33
нов вычисление вкралась ошибка — уравнение действительно
оказалось тождеством.
«Развертывая эту идею, — замечает Янош,—следовало бы
перейти к системе шести точек; однако трудоемкие
вычисления, которые здесь возникают, способны остановить
самого настойчивого вычислителя»'. Янош ' их не
продолжает и, таким образом, как бы остается в сомнении, не
возникает ли в стереометрии неевклидова пространства
противоречия. Решение этого вопроса выпало на долю геометров
более позднего времени. Янош же был отвлечен другого рода
задачами.
В начале пятидесятых годов Гаусса посетило еще одно, по
выражению Яноша, «достойное доверия лицо»; кто это был —
так и не удалось выяснить. Когда в беседе речь зашла
о параллельных линиях, Гаусс в восторженных выражениях
отозвался о работах Лобачевского, но вовсе не упомянул
о Больаи. Это, повидимому, объясняется тем, что Гаусс за
это время познакомился с мемуаром Лобачевского в XIV томе
журнала Крелля; он заинтересовался работами Лобачевского
и даже занялся русским языком, чтобы ознакомиться с
остальными его мемуарами. Это пренебрежение Яноша очень
обидело; в его бумагах Штекель обнаружил весьма резкое
выражение по этому поводу.
Под влиянием этой обиды, нанесенной Гауссом, Янош
Больаи решил вернуться к математическим исследованиям и
превзойти .как Лобачевского, так и Гаусса. Но здесь сказалось
его недостаточно глубокое математическое образование: он
ставил себе явно неосуществимые задачи. Он хотел доказать, что
каждое алгебраическое уравнение допускает решение в
радикалах; очевидно, он не знал уже опубликованной работы
Абеля. Он пытался доказать, что каждая элементарная
функция допускает интегрирование в элементарных же функциях.
Он пытался установить выражения, с помощью которых
можно выразить все простые, даже алгебраические числа.
Выше уже было сказано, что Фаркаш первый доказал
возможность разложения равновеликих многоугольников на кон-
3 Зак. 1430. Я. Больаи

34:
ЯНОШ БОЛЬАИ
груентные части. Теперь Янош старался доказать ту же
теорему для равновеликих многогранников. Из сохранившихся
набросков видно, что он затратил много усилий для решения
этой задачи. В настоящее время хорошо известно, что такое
разложение неосуществимо1). Любопытно, что над этой
задачей некоторое время бесплодно трудился и Гаусс.
Наброски Яноша, сообщает Штекель, заполняли много
листов. Они всегда начинаются торжественным возвещением
о великих открытиях; читая, однако, дальнейшее, находишь
только пространные рассуждения, в которых автор
запутывается и ничего нового, существенного не дает; в них нет и
следа того глубокого мастерства, которое так характерно для
«Аппендикса».
Годы творчества прошли. Неудачи, обиды, тяжелая жизнь
обессилили Яноша Больаи. Человек большого проникновения,
Больаи не мог выдать за достижение то, что действительного
достижения не представляло. А совершенное одиночество
делало его жизнь чрезвычайно тягостной. Реальные задачи
заменяются фантастическими и приносят ему новые
разочарования.
В числе этих фантазий нельзя не упомянуть об одном
замысле, к которому он много раз возвращался в течение
своей жизни. Он стремился создать науку наук, которую он
назвал по-немецки «Allheillehre» — учение о всеобщем благе.
В сохранившихся набросках Штекель нашел свыше
двенадцати обширных заголовков этого учения. Насколько можно
судить, это учение должно было содержать систему правил
жизни и государственного устройства, которая принесла бы
благо всему человеческому роду. И эта система должна была,
по замыслу Яноша, быть построена строго на математической
основе. Это, как замечает Штекель,—не наука, а скорее
религия, не апеллирующая к божеству; она содержит следы
утопического коммунизма.
*) См. брошюру В. Ф. Кагана, О преобразовании многогранников,
2-е изд., М.--Л., 1933.

ЯНОШ БОЛЬАИ
35
Шли годы. Фаркашу было уже свыше 80 лет, и в этом
преклонном возрасте он тяжело болел. Свои книги он
завещал коллегии, где раньше преподавал. Это распоряжение
вызвало новую, последнюю ссору между отцом и сыном,
который хотел книги отца сохранить для себя.
В своем завещании Фаркаш выразил настойчивое
требование, чтобы его похороны происходили без священника, без
торжественности, чтобы на могиле его не ставили памятника.
Он скончался в 1856 году.
Янош пережил отца только на три года. Он скончался
27 января 1860 г. В последние годы тяжелые переживания
и неудачи его жизни сломили не только физические, но д
душевные его силы. И ответственность за горькую судьбу
этого гениального страдальца нельзя снять с «гёттингенскога
колосса».
Прошло сорок лет. За эти годы была установлена
логическая правильность неевклидовой геометрии. Она широка
развернулась и принесла бессмертную славу ее творцам,.
В 1903 г. Венгерская академия наук организовала
торжественное чествование памяти Яноша Больаи по случаю столетнего
юбилея со дня его рождения. Установили международную
премию его имени, «Аппендикс» переведен на различные
европейские языки. Гордость венгерскогознарода — Янош Больаи —
справедливо может быть причислен [к классикам мировой;
науки.
3*

краткий обзор
сочинения
-АППЕНДИКС-

«Аппендикс» Яноша Больаи содержит элементарное
изложение начал неевклидовой геометрии. По существу, таким
образом, это сочинение преследует ту же задачу и содержит
тот же основной материал, что и «Геометрические
исследования» Н. И. Лобачевского1). При всем том как установка
сочинения, так и его изложение коренным образом отличаются
от основного замысла и структуры «Геометрических
исследований».
Начнем с изложения. Как было уже сказано в статье,
посвященной Яношу Больаи, изложение «Аппендикса» отличается
чрезвычайной сжатостью и схематичностью. Оно производит
впечатление, что автор не только не желает сказать липшего
слова, которое облегчило бы читателю понимание этих свое-
*) Желательно (хотя и не является обязательным), чтобы, приступая
к чтению «Аппендикса», читатель был знаком с «Геометрическими
исследованиями» Н. Й. Лобачевского. Это сочинение (в русском переводе
и с примечаниями В. Ф. Кагана) помещено в I томе «Полного собрания
сочинений Лобачевского» (Гостехиздат, М. — Л., 1946) и вышло
отдельным изданием (Издательство АН СССР, М., 1944). В дальнейшем ссылки
на это сочинение будут обозначаться коротко: «Г. и.»; страницы будут
указываться по обоим изданиям — на первом месте по I тому Полн.
собр. соч., на втором — по отдельному изданию. Так, например,
указание: «Г. и.», стр. 142/97, примечание f22]/!23] означает: стр. 142,
примечание [22] в I томе или стр. 97, примечание [23] в отдельном издании.
Специальное обозначение принято также для книги В. Ф. Кагана
«Основания геометрии», ч. I (Гостехиздат, М. — Л., 1949), на которую
неоднократно делаются ссылки. Эта книга в дальнейшем будет
обозначаться: «О. г.».

40 КРАТКИЙ ОБЗОР СОЧИНЕНИЯ «АППЕНДИКС»
образных и новых идей, — он избегает каждой лишней буквы.
Чтобы этого достигнуть, он вводит своеобразную символику,
которая способствует сокращенному изложению; у него почти
нет терминов — они заменены символами. Но всякая символика
требует для усвоения сосредоточенного внимания, и обилие
ее, конечно, затрудняет чтение текста. На эти особенности
сочинения обратил внимание уже Гаусс. В своем письме
к Герлингу он пишет по поводу «Аппендикса»: «Человеку,
которому этот предмет чужд, следить за изложением будет
трудно вследствие концентрированного его характера». Еще
определеннее Гаусс высказывается об этом в ответном письме
к Фаркашу Больаи !): «было бы хорошо для некоторых
основных понятий установить не только знаки или буквы, но и
определенные названия». Но тут же Гаусс заключает:
«Это — только небольшие замечания второстепенного
значения: главное составляет материал, а не его форма».
Конечно, дело, действительно, главным образом в
содержании; но сжатое, схематическое изложение делало это
сочинение недоступным даже тем, кто искренне желал его понять;
на это указывает и сам Больаи в своих замечаниях к
«Геометрическим исследованиям» Лобачевского.
Чем же вызывалась такая манера изложения? Главной
причиной здесь, несомненно, служил свойственный Яношу
индивидуальный стиль, соответствовавший складу его ума. В этом
стиле написаны и другие его сочинения («Raumlehre», «Abhand-
lung tiber imaginare Grossen»), предназначавшиеся Яношем
к печати. Янош годами обрабатывал «Аппендикс»,
постоянно стараясь устранить всякое лишнее слово. Как известно,
такая манера изложения, ведущая свое начало еще из глубины
средних веков, была свойственна многим выдающимся
математикам. Риман тоже не получил премии французской
академии потому, что сжато изложенная его работа не была
понята.
*) См. отрывок из этого письма, помещенный в примечании р] на
стр. 139.

КРАТКИЙ ОБЗОР СОЧИНЕНИЯ «АППЕНДИКС» 41
Но в данном случав была еще и другая причина этого
сжатого стиля: желание довести размер сочинения до
возможного минимума и тем уменьшить расход на его издание. Это
особенно видно на чертежах. Янош систематически пользуется
одним и тем же чертежом несколько раз для доказательства
различных предложений. Это делает чертеж -очень громоздким,
становится трудно следить за изложением. Поэтому мы в
настоящем издании «Аппендикса» поместили ряд
дополнительных чертежей (каждый раз оговаривая это).
Лобачевскому совершенно чужд схематический стиль Больаи.
Он всюду вводит термины, где Больаи ограничивается
символами; и замечательно, что его термины довольно близки к тем,
которые предлагал Гаусс1).
Обращаясь теперь к содержанию «Аппендикса», заметим,
что вся установка Больаи коренным образом отличается от
того плана, по которому построены «Геометрические
исследования» Лобачевского. Эта своеобразная установка получила уже
выражение в самом заглавии сочинения. Больаи хочет построить
геометрию' «абсолютно истинную, не зависящую от истинности
или ложности XI аксиомы Евклида». Это — основная его
установка; приведем два примера.
Своеобразная точка зрения Больаи проявляется уже в
первом параграфе, при определении параллели (по Больаи —
асимптоты). Б словах это а
определение может быть
формулировано следующим
образом: луч йа' называется
параллельным лучу ЬЬ\ если он
последнего не встречает, сколько Ь b
бы мы его ни продолжали, но
всякий луч ас, проходягаий внутри угла Ьйй', встречает луч ЪЬ'.
Это определение параллели пригодно как в евклидовой, так
и неевклидовой геометрии, т. е. как при допущении
евклидова постулата, так и при его отрицании. Разница заклю-
*) См. примечание [г] на стр. 139.

42 КРАТКИЙ ОБЗОР СОЧИНЕНИЯ «АППЕНДИКС*
чается в том, что в евклидовой геометрии параллель является
единственным лучом, проходящим в плоскости и не
встречающим луча ЬЬ', в неевклидовой же геометрии таких не-
встречающих лучей имеется бесчисленное множество. Но
самое определение параллели носит абсолютный характер: оно
пригодно независимо от того, принимаем ли мы постулат
о параллельных линиях или отвергаем его.
Другой пример. В прямолинейном треугольнике аЬс (с
углами А, В, С) в евклидовой геометрии имеет место так
называемая «теорема синусов», выражаемая равенствами
а Ь с
sin A sin В sin С "
Эти соотношения в неевклидовой геометрии, т. е. при
отрицании пятого постулата Евклида, не имеют места. Однако
те же соотношения можно написать в несколько ином виде.
Именно, если помножим предыдущие члены всех трех
отношений на 2т: и через Qr> как это делает Больаи, обозначим
длину окружности радиуса г, то теорему синусов можно будет
выразить следующим образом:
sinJ. sin В sin С ^ '
И вот в этой своеобразной форме теорема оказывается
справедливой и в неевклидовой геометрии: здесь длина
окружности выражается в зависимости от радиуса иначе, чем
в евклидовой геометрии, но соотношения (1) остаются в силе;
они носят, по терминологии Больаи, «абсолютный» характер
(«Аппендикс», § 25). Больаи ставит себе задачу — построить
всю геометрию таким образом, чтобы она носила абсолютный
характер, т. е. не зависела от истинности или ложности
постулата о параллельных линиях. Особенно любопытны
абсолютные формулировки предложений §§ 9, 25, 27.
Тенденции абсолютных формулировок не чужд и
Лобачевский. В «Геометрических исследованиях» после предложений
1—15 в предложении 16 в сущности также дается
абсолютное определение параллели; и в том же абсолютном характере

КРАТКИЙ ОБЗОР СОЧИНЕНИЯ «АППЕНДИКС»
43
выдержаны предложения 17 и 18 *). Но вслед за этим в
предложении 22 Лобачевский делает дизъюнкцию между
«обыкновенной» и «воображаемой» геометрией и в дальнейшем
переходит исключительно к «воображаемой», т. е. неевклидовой,
геометрии.
С другой стороны, и Больаи не в состоянии вполне
выдержать свою «абсолютную» систему. В § 15 он тоже делает
дизъюнкцию между системами 2 (евклидовой геометрии) и S
(неевклидовой геометрии) и в отдельных предложениях,
особенно при установлении метрических соотношений, он бывает
вынужден раздельно формулировать предложения в системе £
или S; но доминирующая его тенденция, несомненно,
проникающая весь его замысел, заключается в объединении обеих
систем — в построении геометрии «абсолютно истинной».
Лобачевский себе такой задачи не ставит.
Несмотря на это различие установок, основные моменты
построения новой геометрии у обоих геометров, в сущности,
одни и те же. Оба начинают с абсолютной теории
параллельных линий; относящиеся сюда предложения у одного и
другого в словесном выражении по существу тождественны.
Затем следует установление понятий о предельной линии
(1/-ЛИНИИ у Больаи) и предельной поверхности (поверхности F
у Больаи). Оба геометра устанавливают, что геометрия
предельной поверхности совпадает с евклидовой планиметрией.
Лобачевский доказывает это, опираясь на вспомогательное
предложение 27, а Больаи—на «абсолютную теорему» в § 9.
Из этого основного предложения выведены метрические
соотношения гиперболической геометрии. Основное уравнение
этой метрики выражено у обоих авторов совершенно
тождественно— в конце предложения 36 у Лобачевского и в конце
§ 29 у Больаи. Всякий читатель, который сопоставит эти
результаты, будет этим совпадением поражен не менее, чем
Больаи (см. высказывания Больаи, приведенные в предыдущей
1) См. Н. И. Лобачевский, Геометрические исследования,
см. «Г, и.», стр. 84—86/41—42 (на стр. 39 этой книги объяснены условные
обозначения библиографии).

44 КРАТКИЙ ОБЗОР СОЧИНЕНИЯ «АППЕНДИКС»
статье на стр. 29—30). Выводы этого общего результата
у Лобачевского и у Больаи существенно различны. Трудно
отдать предпочтение одному из них, —оба несут на себе печать
гениальности. Отметим только два обстоятельства. Во-первых,
Больаи с большим искусством пользуется поверхностью
равных расстояний, которой у Лобачевского нет. Далее,
установление метрических соотношений неизбежно должно быть
основано на разыскании некоторой специфической функции.
У Лобачевского этой функцией служит зависимость между
отрезком х и соответствующим ему углом параллельности П (х);
у Больаи этой функцией служит зависимость между радиусом
окружности и ее длиной Qx. Эти две функции связаны между
собой простой зависимостью
Ох — 2izk ctglL (х).
При всем том предпочтение, которое Больаи отдает
функции Ох» не случайно: она больше соответствует абсолютному
характеру его геометрии.
Свои метрические вычисления Больаи заканчивает первыми
формулами дифференциальной геометрии, которых в
«Геометрических исследованиях» нет: Лобачевский очень подробно
развертывает их в других своих сочинениях,
предшествовавших «Геометрическим исследованиям». Нужно сказать, что
дифференциальное и интегральное вычисления проведены
у Лобачевского несравненно глубже, нежели это сделано
у Больаи.
Наконец, §§ 34—43 «Аппендикса» содержат замечательное
учение о геометрических построениях в гиперболическом
пространстве, в частности о квадратуре круга. Этим вопросом
Лобачевский в своих сочинениях вовсе не занимается.
Результаты Больаи чрезвычайно любопытны, но его построения
принципиально отличаются от обычных построений евклидовой
геометрии, как это ниже выяснено в примечаниях к этим параграфам.
Входить здесь в более подробное сопоставление этих
сочинений вряд ли целесообразно; это сделано в примечаниях
к «Аппендиксу».

КРАТКИЙ ОБЗОР СОЧИНЕНИЯ «АППЕНДИКС- 45
Комментарии к «Аппендиксу» сделаны в виде постраничных
сносок и примечаний после текста. Сноски имеют целью
облегчить чтение текста; вследствие сжатости изложения Больаи
они часто занимают много места; чтобы формулировать словами
предложения, выраженные у Больаи схематически в
символах, приходится пользоваться терминами, которых у Больаи
нет. Примечания, помещенные после текста, посвящены
сопоставлению «Аппендикса» и «Геометрических исследований»
Н. И. Лобачевского, соображениям литературно-критического
характера, а также некоторым более пространным
комментариям к «Аппендиксу».
Мы полагаем, что читателю, который прерывал чтение
текста, обращаясь к сноскам и примечаниям, следует в
заключение прочитать без перерыва весь оригинальный текст Больаи;
только этим путем он составит себе полное представление об
этом замечательном произведении, которое, как и
«Геометрические исследования» Н. И. Лобачевского, несомненно,
представляет собой один из лучших перлов математической
литературы.
*^щО&*

№Э ■ " От
ЯНОШ БОЛЬАИ
АППЕНДИКС
?- *Д

IUMf«tl»UMIIfltHfHUISl1l1flllll»1ttlIfl|fI|i«lltHl1l4lltflWllll»IIHI«IIIUIIflllftlll1IIIIIIlMltllllttllltllCIHmifllIfltllllllllIflllHll«lflllllV
ОБЪЯСНЕНИЕ ОБОЗНАЧЕНИИ *
Пусть ctb— совокупность всех точек, расположенных на
одной прямой с точками а, Ь.
» аЬ — та половина прямой vtb, разделенной в точке а
пополам, которая содержит точку Ь*.
» ctbc — совокупность всех точек, которые расположены
в одной плоскости с точками а, Ь, с (не
лежащими на одной прямой).
* Обозначения Больаи очень выразительны, но они вносят в
изложение схематизм, несомненно затрудняющий изложение. Очень
характерны замечания к ним Гаусса в письме к Фаркашу Больаи от б марта
1832 года (см. примечание [*]).
* Таким образом, символом ctb Больаи обозначает всю прямую ctb,
символом же аЬ — луч ctb, т. е. полупрямую, идущую от точки а к Ь.
В современной литературе обыкновенно отличают термины «прямая ctb»
и «луч ctb». Больаи всегда употребляет термин «прямая»; но, говоря
«прямая ctb», он разумеет всю прямую ctb; говоря же «прямая ctb», он
разумеет полупрямую или луч, идущий от а к Ь. Часто (но отнюдь не
всегда) он слово «прямая» вовсе опускает и пишет просто ctb или ctb;
но при установленных обозначениях недоразумения никогда произойти
не может. Заметим, что символом ctb без надстрочных знаков Больаи
обыкновенно обозначает отрезок ctb (если не сделано иных
специальных указаний).
4 Зак. 1430. Я. Больаи

50
АППЕНДИКС
Пусть abc— та половина плоскости abc, разделенной прямой
ctb пополам, которая содержит точку с *.
» abc — меньшая из двух частей, на которые плоскость
abc разделяется совокупностью прямых ba, be;
либо угол, сторонами которого служат ba и be*.
» abeb (в предположении, что точка b лежит в abc, а
ba и cb взаимно не пересекаются) — та часть
abc, которая содержится между ba, be, cb; bacb
же обозначает часть плоскости abc,
содержащуюся между прямыми аЬ и cb0.
* Иначе: прямая аЬ делит плоскость abc на две полуплоскости; ту
из этих полуплоскостей, которая содержит точку с, Больаи обозначает
символом аЪс.
* Иначе говоря, символом abc Больаи обозначает то, что обыкновенно
называют «углом abc»; при этом в дальнейшем Больаи понимает угол
то как геометрическую величину (например, в выражении a6c>bef, т. е.
угол abc больше угла bef), то как совокупность точек, содержащихся
«между» лучами ba и be (как часто говорят, внутри угла abc) и на
самих этих лучах (на периферии угла); это и есть меньшая из тех двух
частей плоскости abc, на которые она подразделяется совокупностью
лучей ba и be. Знака Z. при обозначении угла Больаи, таким образом,
не ставит.
0 Необходимо вполне усвоить этот текст, составленный с
выдержанной точностью и уже учитывающий обозначения, установленные ранее.
В расшифрованном виде он
гласит: точка Ь лежит внутри угла
abc (Больаи, основываясь на
предыдущем соглашении, говорит
k й просто «в абс»); луч cb не
встречает луча Ьа; символом abeb
обозначается полоса, ограниченная
а б -г Г
лучами ba, cb и отрезком be
(заштрихованная на чертеже а). Буквы расставлены в обозначении abeb
в таком порядке, что, проходя в этом порядке через точки a, Ь, с, Ь, мы
как бы обходим полосу. В порядке bacb такого обхода сделать нельзя;
символом bacb Больаи обозначает всю полосу, содержащуюся между
прямыми Ьа и cb (черт. б); предполагается, конечно, что они не пересекаются.

АППЕНДИКС
51
Пусть Е обозначает прямой угол.
» аЬ —cb » чтосаЬ = асЬ*
» == » конгруентно *.
» х-^а » х стремится к пределу а.
» Ог » окружность круга радиуса г.
» 0г » площадь круга радиуса г.
* В словах: «отрезок ас образует с лучами аЪ и сЬ равные
внутренние односторонние углы cab и acb»; иначе говоря, ас есть «линия
равного наклона» лучей аЬ и сЬ (см. чертеж).
* Хотя величайший геометр Гаусс обозначил
этим знаком конгруентпые числа, им можно
обозначать также геометрическую конгруентность; нет
основания опасаться из-за этого какого-либо
недоразумения. [Примечание Яноша Больаи.]
Гаусс в «Disquisitiones arithmeticae» обозначает символом а = Ь (то&р)
соотношение, заключающееся в том, что целые числа а и Ь «конгруентны»
(в русской терминологии, принадлежащей П. Л. Чебышеву, — «сравнимы»)
по модулю р, т. е. что разность а — Ь делится на р. Это обозначение
в теории чисел сохранилось по настоящее время; к какому бы то ни
было недоразумению дублирование обозначения действительно привести
не может.
Л
4*

Si.
Если прямую am (черт. 1) не пересекает прямая Ьп
той же плоскости, но ее пересекает всякая прямая Ьр
(в afm), то будем это обозначать
так:
Ьп ||| am*.
Ясно, что такая [прямая] Ьп
сугцествует и при любой точке Ъ
(вне am) только одна, причем
6am -f abrt не > 2Д,
ибо, если вращать be вокруг Ъ до
тех пор, пока станет
tarn -f- <*Ьс = 2^,
то в какой-либо момент be впер-
* В словах: «Ьп есть асимптота am»
[Примечание Яноша Больаи в
составленном им немецком тексте «Аппендикса»].
Уже в этом определении проявляется
Черт. 1. основная установка Больаи строить
геометрию, как он говорит, «абсолютно
истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы
Евклида». Об этом см. примечание [2].

Страница из оригинального издания «Аппендикса».
Зак. 1430

§ 1
АППЕНДИКС
53
вые не пересечет am, и тогда
к ||| am *.
Вместе с тем ясно, что Ьп \\\ em, где бы ни находилась е на
am (предполагая, что во всех этих случаях am > ae) *.
И если точка с уходит по am в бесконечность и при этом
постоянно cb = cb, то всегда будет
cbb=(cbb<nk)0;
но nk-^О; вследствие этого и abb-^(^.
* Точное доказательство должно быть основано на непрерывности
пучка прямых; см. примечание [3].
* Под am Больаи разумеет луч, идущий от точки а в сторону,
обращенную к точке ш. Утверждение, здесь высказанное, заключается в
следующем: если луч ЬпЩаш, то также Ьп\\\ еш, коль скоро луч em лежит на
той же прямой am и обращен в ту же сторону.
Таким образом, если луч Ьп параллелен лучу am, то это свойство
не зависит от положения точки а на прямой am, а только от положения
и направления самой этой прямой.
Здесь могут быть два случая: когда точка е лежит относительно ш
за точкой а, как на черт. 1, и когда она лежит между а и nt,
например, занимает положение с. Доказательство этого утверждения для
обоих случаев проведено в примечании [4].
0 Почему правая часть взята в скобки, остается неясным;
существенно то, что ebb = ebb, ebb <С tibc, а потому ebb < nbc.
Я Когда точка с неограниченно удаляется, то угол cbtt стремится
к нулю, ибо луч be встречает am, как бы мал ни был угол cbn. Это
приводит к следующей теореме: если точка с неограниченно удаляется по
лучу am, а точка b лежит вне прямой am, то угол acb неограниченно
убывает. Лобачевский доказывает ту же теорему, не прибегая к параллели.
(См. «Г. и.», предложение 21, стр. 89/45). [Условное обозначение этой
библиографической ссылки см. в статье «Краткий обзор сочинения
„Аппендикс"», стр. 39 этой книги].

54 АППЕНДИКС § 2
§ 2.
Если tm HI am, то и си ||| am [черт. 2]*[Б].
Ибо пусть Ь будет где угодно в tnacn*. Если с лежит
на Ьп, то ЬЬ пересекает am (потому
что Ьп ||| am); вместе с тем и cb
пересекает am0; если бы же [точка]с
оказалась на Ьр, то пусть Ъ<\ \\\ cb; тогда
bq падает в abn ^ (§ 1) и пересе-
* Предполагается, конечно, что точка
лежит на прямой Ьп.
Введенное в § 1 определение асимптоты
или (по Лобачевскому) параллели и ее
обозначение Ьп ||| am связывает луч Ьп с точкой
Ь, из которой он выходит: луч Ьп параллелен
лучу am (черт. 1), если он не встречает am и
в точке Ь отделяет лучи, пересекающие am,
от непересекающих. Будет ли этот луч Ьп
производить такое же отделение
пересекающих лучей от непересекающих в другой своей
точке, скажем, в точке с? Этот именно вопрос
и получает разрешение в настоящем
параграфе.
* То-есть в полосе maш, так что cb есть
произвольный луч, проходящий внутри угла
acn.
0 Если ЬЬ пересекает am в точке г (на чертеже не нанесенной), то
образуется треугольник abl; луч cb входит внутрь этого треугольника
а потому должен из него выйти, т. е. должен пересечь еще одну
сторону треугольника. Но сторону аЬ он встретить не может, так как
она не лежит в полосе macn; поэтому он встретит сторону at, а вместе
с тем и луч am.
Я Здесь не мотивировано, почему луч bq падает внутрь угла abn.
Чтобы это установить, заметим, что луч Ьп, конечно, не встретит луча cb,
ибо его встречает противоположный луч be. Но внутри угла abn
проходят еще лучи, которые не встречают cb. В самом деле, abn > acb > ben
(внешний угол треугольника больше внутреннего, с ним не смеяс-
Ф
Черт. 2.

§ з
АППЕНДИКС
55
кает am; вместе с тем и cb пересекает am*. Таким образом,
в том и в другом случае каждая [прямая] сЬ (в аси)
пересекает am, между тем как си не пере- Ш|
секает am. Следовательно, всегда
си ||| am.
§ 8.
Если пап br, man и с$ ||| am [черт. 2х] *
и с не лежит па br, то br и ей друг
друга не пересекают.
В самом деле, если бы br, с§ имели
общую точку Ь, то (в силу § 2) br и
Ь$ были бы одновременно ||| am,
[прямая] Ь$ совпала бы с br0 (§ 1) и точка с
лежала бы на Ьх (что противно
условию).
Ь9^
ного). Поэтому (см. приводимый здесь
чертеж) внутри угла аЬхх можно построить
луч bqf таким образом, чтобы он
составил с btt угол q'bn = ben; этот луч не пере- Черт. 2'.
сечет cb. Следовательно, первый луч bq, не
встречающий сЬ, во всяком случае проходит внутри угла аЬп. В своем
доказательстве этой теоремы Лобачевский именно
и строит луч bq' вместо луча bq, которым
пользуется Больаи.
* Если через ( обозначим точку, в которой bq
пересекает am (на чертеже не нанесенную), то
получим треугольник аЫ, внутрь которого входит
луч сЬ; он должен из него выйти. Не встречая
стороны Ы, лежащей на параллельной прямой, он
неизбежно встретит сторону al, а вместе с тем и
луч am.
* Больаи, будучи очень скуп на чертежи, пользуется для
доказательства теоремы, помещенной в § 3, чертежом 2; мы выделили из него то,
что необходимо для § 3, и поместили отдельный черт. 2'.
Ф Ибо из одной точки Ь выходит только один луч, параллельный am.

56
АППЕНДИКС § 4
Если man > nub [черт. 3], то для каждой точки Ь па ob
сугцествует такая [точка] с на ant, что km = nam*.
Ибо (в силу § 1) существует ЬЬт > nam, а вместе с тем
и mbp = man, так что Ь падает в nabp *. Если теперь будем
передвигать nam вдоль am до
тех пор, пока an совместится
—— * Здесь нужно себе, прежде
всего, уяснить содержание теоремы
и причину, почему Больаи считает
нужным проводить особое ее
доказательство. Условие man > ntab озна-
— чает, что луч ab проходит внутри
угла man. Итак, луч аЪ проходит
внутри угла man; на нем взята про-
п извольная точка Б. Требуется
доказать, что через точку b
можно провести прямую Бс таким об-
Черт. 3 разом, чтобы а) она пересекала
вторую сторону угла am в некоторой
точке с и Ь) чтобы угол тсБ был равен соответственному углу man.
В евклидовой геометрии дается непосредственное построение точки с.
Именно, при точке Б и луче Ба строится луч Бс, образующий с Ъа угол
сБа = Бап. Так как при этом абс + Баш = man < 2d, то непосредственно
в силу V постулата Евклида лучи am и Бс встретятся в некоторой точке с,
и углы man и шсБ будут равны в силу того же постулата. Как бы мы
ни варьировали то же построение, оно всегда опирается на постулат
Евклида. Больаи доказывает существование точки с, удовлетворяющей
требованию, не опираясь на постулат.
* Это значит: на луче am существует такая точка Ь, в которой
угол БЬт больше угла nam. Существование этой точки Больаи
основывает на § 1. Действительно, заключительный вывод этого параграфа
(см. сноску 9 на стр. 53) устанавливает, что на луче am всегда можно
найти такую точку Ь, что угол аЬБ будет меньше угла, смежного с тац,
и тоща БЬт > nam,

§ 5
АППЕНДИКС
57
с Ьр, то в некоторый момент an необходимо пройдет
через b * и потому некоторый [угол] ban == nam * [6],
§ 5.
Если bn ||| am [черт. 1'®], то па am существует такая
точка f, что fni —bi^.
Ибо (в силу § 1) существует bcm >
> cbn Т и если ее = eb, т. е. ее — be, то,
очевидно, ban < ebn. Пусть [точка] р
передвигается вдоль се; при этом угол
bpm будем постоянно обозначать через
щ а угол pbn — через v. Ясно, что и
будет сначала меньше соответствующего
значения v, а затем станет больше
него. Но и возрастает от bem до mcb
непрерывно, так как (в силу § 4) нет такого
Черт. 1'.
* Если при точке Ь и луче Ь\и построим
угол mhp = man, то в силу предшествующего
луч Ьр пройдет внутри угла bbm или, иначе,
луч ЬЬ проходит внутри угла abp. А так как,
с другой стороны, луч аЬ по условию
проходит внутри угла nam, то точка Ь лежит
внутри полосы nabp.
* В составленном Больаи немецком тексте «Аппендикса» § 4 вовсе
опущен. Штекель в своем издании этого текста его восстановил.
0 Следить за доказательством по чертежу 1 довольно трудно, между
прочим, потому, что буква D на этом чертеже не соответствует ее
значению в настоящем предложении. Мы выделили поэтому на чертеже 1
то, что необходимо для этого предложения, и несколько его
приспособили к тексту (черт. 1/).
9 Содержание этой теоремы и ее обобщение даны в примечании [?].
1 Согласно заключительному выводу § 1 (см. сноску Я на стр. 53),
когда точка с неограниченно удаляется по лучу am, то угол acb
становится сколь угодно малым, а потому смежный с ним угол mcb
стремится к 2й; угол же фп при этом убывает,

58
АППЕНДИКС
§6-7
угла между > bcm и < bcm, которому не сделался бы
равным и в некоторый момент; равным образом и v убывает от
m n cbn до cbn непрерывно. Следовательно,
на ее существует такая [точка] f, что
bfm = fbn.
§ 6.
Если bit ||| am [черт. 1"] и с леоюит
где-либо па ant, а $—где-либо на bit, то
gn HI em и em ||| дн.
Ибо (в силу § 1) bn HI em, а потому
(в силу § 2) gn HI em.
Пусть, далее, fm=£bbn (§ 5); тогда
mfbn = nbfm, а вместе с тем (так как
bit ||| fm) fm HI bit и (в силу
предыдущего) em HI gn*.
§ 7.
Если как bit, так и ср ||| am и с не
леоюит на bn, то и bn ||| ср [черт. 4] *.
Ибо bn, ср взаимно не пересекаются (§ 3); при этом am,
bn, ср либо расположены в одной плоскости, либо нет; и
в первом случае либо am расположена в bncp, либо нет0.
Черт. 1'
* Это предложение эквивалентно совокупности предложений 17
и 18 «Геометрических исследований» Лобачевского: «Прямая линия
сохраняет признак параллельности во всех своих точках» и «Две прямые
всегда взаимно параллельны» (см. «Г. и.», стр. 84—86/41—42). Но
доказательство Болъаи проще. См. примечание [8].
* В словах: если два луча параллельны третьему, то они параллельны
между собой. Оговорка, что точка с не лежит на Бп, исключает
возможный случай, что лучи Ьп и Ctf совпадают. Ср. «Геометрические
исследования», предложение 25 («Г. и.», стр. 94/49).
0 Здесь, согласно установленным обозначениям (см. «Объяснение
обозначений», стр. 50, сноска ®) bncp означает всю полосу, содержащуюся

§ 7
АППЕНДИКС
59
Если am, bn и ср расположены в одной плоскости и am
лежит в bncp, то любая [прямая] bq (в nbc) пересекает am в
некоторой точке Ь (потому что bn ||| am); так как, далее, bm ||| ср
(§ 6), то ясно, что bq пересекает ср, а вместе с тем
bnfflcp*.
Если же bit и ср расположены по одну сторону am, то
одна из них, например ср, лежит меоюду двумя другими
Черт. 4.
п и aut*; любая же [прямая] bq (в nba) пересекает am, а
вместе с тем0 и самое ср. Следовательно, ЬпЩср.
между прямыми Ьп и ср; поэтому в словах два возможных случая
выражаются так: либо ant лежит между прямыми Ъп и ср, либо — по одну
сторону их.
* На черт. 4 прямая ср нанесена дважды; рассматриваемому случаю
соответствует внешнее положение прямой ср.
* Этому соответствует на черт. 4 прямая ср, занимающая внутреннее
положение. Заметим здесь же, что самое это утверждение нуждается
в обосновании. См. примечание [9].
® Переходя с одной стороны ср на другую.

60
АППЕНДИКС
§ 7
Если [плоскости] mab, шас образуют угол [черт. 4'] *,
то сЬи и abn, помимо bn, не имеют ничего общего и таким
же образом [ничего общего не имеют] am (в [плоскости] abn)
с bn, а также nbc с am *. Тогда
[плоскость] ЬсЬ, проведенная
через произвольную [прямую]
ЬЬ (в nba), пересекает am,
потому что ее пересекает ЬЬ (так
как bn HI am). Если поэтому
будем вращать [плоскость] ЬсЬ
вокруг be до тех пор, пока она
в первый раз не покинет am,
то ЬсЬ упадет на ben. Но по
той же причине она упадет
также на Ьср; следовательно,
bn оказывается в Ьср0.
* То-есть три прямые am, Ьп
и ср не лежат в одной плоскости:
этот случай изображен на черт. 4/. В оригинале рассуждение
проводится по тому же чертежу 4.
* В этой мало удачной форме Больаи выражает ту мысль, что
в рассматриваемом случае bn есть прямая пересечения плоскостей abn
и сбп, которые больше общих точек не имеют. В самом деле, если бы
эти плоскости имели еще общую точку, не лежащую на Ьп, то они бы
совпадали; в той же плоскости nbc лежала бы точка а, а с ней и
прямая ant, параллельная Ьп, равно как и прямая ср, параллельная am;
все три прямые были бы расположены в одной плоскости, т. е. мы
находились бы в условиях случая, уже исчерпанного. Вследствие этого,
как Больаи замечает дальше, прямая cmt не может встретить плоскости
cbn, ибо точка пересечения, если бы таковая существовала, была бы
общей точкой плоскостей abn и сЬп; так как она не могла бы лежать
на Ьп (поскольку ЬпЩаш), то плоскости бы совпали, что не может
иметь места.
0 Плоскость ЬсЬ покинет в первый раз прямую ant в тот же момент,
когда ее покинет луч ЬЬ; но в этот момент ЬЬ совпадет с лучом bn,

§ 8
АППЕНДИКС
61
— * Положим теперь, что Ьх \\\ ср *; в таком случае по той
же причине (так как и ant ||| ср) Ьх падает как в bam, так и в bcp
(так какЬг ||| ср)0. Итак, Ьг есть общая [прямая плоскостей] mab,
pcb, но этой линией пересечения служит Ьи; а потому bn ||| ср.
Если же ср ||| am и b лежит вне can^, Ьп также есть
пересечение [плоскостей] bam, bcp, а вместе с тем bn ||| как am,
так и ср Т.
§ 8.
Если bn HI и z^z ср [черт. 5] (или, короче, bn ||| £Ь ср), а
вместе с пьем am (в nbcp) делит прямую be пополам и
перпендикулярна к ней, то bn ||| am **.
параллельным ant, а потому плоскость ЬсЬ совместится с Ъсп. Но в тот
же момент и луч cb покинет am и сольется с ср. Плоскость БсЬ
одновременно совпадет с Бсп и bcp, т. е. прямые bn и ср лежат в одной
плоскости.
До сих пор доказано, таким образом, следующее предложение: две
прямые, параллельные третьей, всегда леоюат в одной плоскости,
* Здесь и далее тире, поставленное в начале абзаца, указывает на
то, что этот абзац сделан редактором для удобства чтения; у Больаи
текст напечатан в подбор.
* Теперь, не зная, какой луч, выходящий из Ь, будет параллелен ср,
Больаи предполагает, что это будет некоторый луч Ьг; последний будет
поэтому лежать с ср в одной плоскости.
® То-есть в силу доказанного выше предложения лучи ant и Ьг оба
параллельны ср, а следовательно, лежат в одной плоскости; кроме того
луч Ьг лежит в плоскости bcp, поскольку он параллелен ср.
Я Рассуждение проводилось в предположении, что лучи ср и Ьп
параллельны am, причем точка а не лежит в плоскости cbn; совершенно
так же обстоит дело, если известно, что точка Ъ не лежит в cam.
1 Содержащееся в § 7 предложение и его доказательство изложены
тяжело. Больаи, очевидно, и сам это чувствовал; все это выяснено в
примечании [9].
** В словах: «если Бс есть секущая равного наклона параллелей bn
и ср, то перпендикуляр, восставленный к ней из ее середины а в ту
сторону, в которую обращены лучи Ьп и ср, параллелен как btt, так и Ср».

62
АППЕНДИКС
§ 9
В самом деле, если бы Ьп пересекала am, то и ср
пересекала бы am в той же точке (так как mabn = macp); и это
была бы также общая точка самих [прямых] Ьп и ср, между
тем как Ьп ||| ср. Любая же [прямая] Ь<\ (в cbn) пересекает cjT;
вместе с тем bq пересекает также am. Следовательно,
Ьп ||| am *.
§9.
Если Ьп ||| am [черт. 6], map_L_mab, а угол, поморий nbb
образует с nba (с той стороны от mabn, где map), < R, то
map и nbb взаимно пересекаются*.
* С особой простотой это предложение вытекает из теоремы 1,
приведенной в примечании [9] на стр. 147. В самом деле, перпендикуляр am,
как указано в тексте, не может встретить ни одной из параллелей, так
как через точку пересечения, если бы таковая существовала, проходила
бы и другая параллель. В силу упомянутой теоремы доказываемое
предложение вытекает отсюда непосредственно.
* Это предложение имеет основное значение: очень важно
сопоставить его с соответствующим предложением евклидовой геометрии, кото-

§ 9
АППЕНДИКС
63
Ибо пусть
bam = Л, ac J_bn
(при этом с либо совпадает с Ь, либо нет) и
ее _|_ Ьп (в nbb);
тогда (по предположению) ace < R и af(J_ce) падает в асе.
Пусть ар будет пересечение
[полуплоскостей] abf и amp
(имеющих общую точку а);
тогда
bap = bam = R
(ибо bam _L map). Если,
наконец, совместим abf с abut
(сохраняя а и b), то ар упадет
на am, а так как
ac J_bn и af < ас,
то af, очевидно, оканчивается
внутри Ьп; а вместе с тем bf
падает в abn. Но в этом поло-
Черт. 6.
рое в этом выражении носит абсолютный характер. Подробнее об этом
см. в примечании ро].
Доказательство изложено в тексте еще более схематично, чем другие
рассуждения Вольаи; чтобы не испестрить его сносками, мы изложили
его в примечании [Щ подробно на более четких чертежах (стр. 153—154).
При этом, однако, полностью сохранены система и последовательность
рассуждения Больаи. По прочтении этого примечания читатель уже без
труда усвоит подлинный текст Больаи.
Углубленное развитие неевклидовой геометрии всегда (прямо или
косвенно) начинается с предложения, которое относится к параллельным
прямым (или плоскостям) и остается справедливым независимо от того,
понимается ли параллелизм в евклидовом его значении или в смысле
Лобачевского-Больаи. Такую именно роль играет предложение, которое
Вольаи устанавливает в § 9. Аналогичное предложение у Лобачевского
в его «Геометрических исследованиях» — это предложение 28 (см. «Г. и.»,
стр. 101/54); нужно сказать, что оно доказывается несравненно проще,
чем теорема Больаи. См» «О. г.», § 49, теорема 7 (стр. 415).

64 АППЕНДИКС § 10
жении bf пересекает ар (ибо ЬпЩаш); поэтому и в
первоначальном положении ар и bf взаимно пересекаются; точка же
пересечения принадлежит также [плоскостям] шар и nbb;
следовательно, тар и nbb взаимно пересекаются [п].
Отсюда легко вытекает, что тар и nbb взаимно
пересекаются, если сумма внутренних углов, которые они
образуют с mabu, <2Д[12].
§ Ю.
Если пак bn, man и cp|||zfbam, то и bn ||| =Ch ср [черт. 7]*.
Ибо [плоскости] mab и mac либо образуют угол, либо
расположены в одной плоскости.
В первом случае пусть [плоскость] qbf делит прямую ab
пополам и перпендикулярна к ней; тогда bqj_ab, а вместе
с тем bq ||| am (§ 8); равным образом, если [плоскость] ег§
делит прямую ас пополам и перпендикулярна к ней, то
ег ||| am, а потому bq ||| ег (§ 7). Отсюда легко вытекает
(в силу § 9), что qbf и егЗ взаимно пересекаются * [13] и се-
* В словах: «лучи Ьп и ср параллельны am; из произвольной точки а
луча am проведены к параллелям Ьп и ср «секущие равного наклона* (см.
сноску* на стр. 51) аЬ и ас; в таком случае be есть секущая равного
наклона к параллелям Ьп и ср. Ср. «Геометрические исследования»
Лобачевского, предложения 29 и 30 и примечания редакции к ним (см.
«Г. и.», стр. 103—106/56—58, а также «О. г.», § 50, теорема 4, стр. 417)
[Условное обозначение этих библиографических ссылок см. в статье
«Краткий обзор сочинения „Аппендикс"», стр. 39 этой книги].
При доказательстве Больаи рассматривает два случая: когда три
параллели am, on и ср лежат в одной плоскости и когда они лежат
в различных плоскостях; он начинает именно с последнего случая,
которому и соответствует черт. 7.
* Пересечение плоскостей qbf и ег£ составляет основной момент
доказательства; существование пересечения действительно вытекает из
предложения предыдущего параграфа, но доказательство требует все-таки
несложных предварительных соображений. Все это подробно изложено
в примечании [13].

10
АППЕНДИКС
65
чение f$ будет ||| bq (§ 7), а (вследствие того, что Ы\ \\\ bq)
также
Далее (для любой точки прямой f$)
и f$* падает в плоскость t^f, пересекающую прямую be под
Черт. 7.
прямым углом в ее середине. Вместе с тем (в силу § 7)
* Как прямая, каждая точка которой одинаково удалена от
концов Ъ и с отрезка Ьс.
5 Зак. 1430. Я. Больаи

66
АППЕНДИКС
I li
(так как [8 ||| bit), также
gtUlbu*.
Таким же образом доказывается, что gt|||cp. Между тем,
gt делит прямую be пополам и перпендикулярна к ней;
вместе с тем tgbn = t$cp (§ 1) и
Ьп||| —ср*.
Если bit, ant, ср расположены в одной плоскости, то
пусть будет (лежащая вне этой плоскости) прямая f3|||z^zam;
тогда (в силу предыдущего) j$ ||| — как к Ьи, так и к ср, а
вместе с тем и bit ||| d±z ср 0 [14].
§ П.
Совокупность точки а и всех тех точек, каждая из
которых b такова, что при Ьп ||| am будет также Ьп —am, мы
* Луч gt лежит в пересечении плоскостей, проходящих через
параллельные лучи Ьп и f£.
* Если наложим полосу tgbn на tgcp, то течка Ъ упадет в с, а луч Ьп,
параллельный gt, сольется с ср, т. е. углы gbn и дер равны, что и
требовалось доказать.
® Тот же чертеж. Предполагается, однако, что параллельные лучи
am, Бп, Ср теперь расположены в одной плоскости; из точки а проведены
секупгде равного наклона аЪ и ас, так что am ||| =£Ь Ьп, am || г£Ь ср. Через
произвольную точку f, лежащую вне плоскости параллелей, проводится
параллельный им луч f£ и секущая равного наклона bf, так что Ьп ||| zCbfe;
а так как по условию Ьп ||| z£b am, то в силу доказанного af есть
секущая равного наклона для параллелей am и f£, т. е. am zCb fg.
Теперь из точки а выходят секущие равного наклона af и ас к
параллелям am, f£ и ср (am ||| £h f§, ant z2z ср). Так как при этом параллели
am, f3 и ср не лежат в одной плоскости, то в силу доказанного fc есть
секущая равного наклона параллелей f§ и ср (f£ ||| — ср).
Наконец, рассматриваем параллели Ьп, ср и f£; так как они не лежат
в одной плоскости и Ьп ||| — f£, ср HI d2z\$, то согласно доказанному
Ьп ||| zfhep.

§ 12 АППЕНДИКС .67
будем называть F; сечение же F любой плоскостью,
содержащей am, будем называть L*.
На каждой прямой, которая ||| am, F обладает точкой и
притом только одной; ясно также, что L делится
[прямой] am на две конгруентные части; будем называть am осью Z;
ясно также, что в каждой плоскости, содержащей пря*
мую am, оси am соответствует только одна L. Таким образом,
каждую L будем называть L оси am (разумеется, в
плоскости, о которой идет речь). Ясно, что вращением L
вокруг am образуется F\ будем называть am осью Fy а
последнюю будем, обратно, называть F оси am*.
§ 13.
Если Ь лсоюит где-либо па L [оси] ant и Ьп ||| — am (§ 11),
то L [оси] am и L [оси] Ьп совпадают®.
Будем L [оси] Ьп для отличия обозначать через 1\ пусть
с будет где-либо на I и пусть cp|||=^bn (§ 11); тогда
cp|||=2zam (§ Ю) (ибо и bn||| —am); вместе с тем и с падает
* Эти важнейшие понятия разъяснены в примечании [15]; читателю
полезно прочесть это примечание до чтения дальнейшего текста
«Аппендикса»»
* Больаи хочет сказать, что пересечение F одной плоскостью,
проходящей через ось ant, имеет относительно этой оси такое же
расположение, как пересечение F любой другой плоскостью, проходящей через
ту же ось. Поэтому F получается в результате вращения меридиана L
вокрур оси ant. Нужно сказать, что это рассуждение страдает
недостаточной четкостью; в примечании [16] эта нечеткость устраняется.
® Иными словами: если L образована, исходя из некоторого пучка
параллелей (см. примечание [15]) с осью ant и «начальной точкой» а на
ней, то любая прямая этого пучка может быть принята в качестве оси
этой L> а точка Ъ на ней, для которой Ьп ||| z£b ant, может быть принята
в качестве начальной точки на ней.
Подробнее об этом см. примечание редакции к «Геометрическим
исследованиям» («Г. и.», стр. 136—139/91—93, примечание [18]/[19], а также
«О. г.», § 32, стр. 248).
5*

68 АППЕНДИКС § 13
на if*. И если с находится где-либо на i и ср ||| — am, то
и ср|||—bn (§ 10); вместе с тем с падает на I (§ 11). Итак,
L и I совпадают, и каждая bit есть ось той же i, и все
оси L между собой :£Ь .
Все это, очевидно, таким же образом справедливо
относительно i1*.
§ И.
Если bit HI ant, ср HI b<| и bant -f- ftbit = 27?, то и Ьср + cbq = 2jR
[черт. в]0.
В самом деле, пусть ea = eb и cfm = Ьср (§ 4)9. Тогда
будет
cbvj == eaf
'••' Приводим чертеж, поясняющий этот текст.
* Аналогично тому, как и для L, каждая
ъ. точка F может быть принята за ее «начальную
/ >v точку», а прямая связки параллелей (см. приме-
// >v чание [15]), образующей F, может быть принята
0// \п за ее ось. Подробнее см. примечание редакции
//^^^^ к «Геометрическим исследованиям> (см. «Г. и.»,
|/ ^^-т стр. 142-144/97—99, примечание R/123]).
V ® Все рассуждения, содержащиеся в первых
( ^ 12 параграфах, проведены так, что они
справедливы независимо от истинности или ложности
постулата о параллельных линиях. Как самое определение параллельных
лучей, так и все дальнейшие выводы одинаково справедливы как в том
случае, когда принимается пятый постулат (XI аксиома) Евклида, так и
в том случае, когда он отвергается. Настоящее предложение подготовляет
эту дизъюнкцию» Пояснения такого значения настоящего предложения
читатель найдет в примечании [17].
Я Подробнее в словах: отрезок ab делим пополам в точке е и через
эту точку проводим прямую ef до пересечения с am в точке f так, чтобы она
составляла с лучом fm угол efut=bcj). Возможность такого построения Больаи
основывает на предложении § 4; здесь нужно, однако, иметь в виду и
развитие этого предложения, указанное в примечании [6]. Если Ьср < earn, то
точка f окажется на продолжении луча am; дальнейшее рассуждение, однако,
от этого мало изменится.

§ 13 АППЕНДИКС 69
(ибо
bam -\- abn = 2R = abn -\- abg);
вместе с тем, если [отложим] bg = af, то
A ebg = Д eaf, beg = aef,
и g падает на fe. Далее, gfm -J- fgn = 2R (так как egb = c(a).
Вместе с тем gn|||fm (§ 6); таким образом, если mfr§==pcbq,
п||||\1
Черт. 8.
то г§ ||| gn * (§ 7), и г находится либо на [отрезке] fg, либо
вне его (если только cb не = fg, в каком случае дело ясно).
* Болъаи налагает полосу pebej на угол rufg так, чтобы угол £cb
совместился с равным ему утлом mfg; при этом точка Ь упадет в
некоторую точку г, а луч Ьс\ займет положение гЗ; в таком случае луч г|
будет параллелен как am, так и Ьх\.

70
АППЕНДИКС
§ 14
I. В первом случае fr$ не > (2R — rfttt = fgn), потому что
r8|||fm*; но так как и г$ ||| дп, то fr$ не < fgn; следовательно,
fr$ = fgn и
rfm + fr* = efm -f fgn = 2B.
Итак, и bcp + cbq = 2i?.
П. Если г падает вне [отрезка] fg*, то ngr = mfr; пусть
вместе с тем будет mfgn =sщЦ ==вЩо и т. д. до тех пор,
пока ft не станет = или в первый раз > fr0. Тогда
to I ^1 HI fm (§ 7). Если t падает в г, то to совмещается с г$
(§ 1): следовательно,
rfm + fr§ == ff m -J- ff о = f fm + fgn = 22?;
если же г падает внутрь р, то (в силу [уже
рассмотренного] случая I)
хЩ -f $r« = 2R = rfm + fr« = Ьср + cbq.
§ 14.
Если Ьп HI am, cp ||| bq и bam + abn < 2Й, mo м bcp -j- cbq < 2Д.
В самом деле, если бы [сумма] Ьср —|— cbq не была < 2R,
то она была бы = 2R (в силу § 1); но тогда (в силу § 13)
было бы также bam -\- abn = 2R (что противно предположению).
* Если два луча параллельны, то сумма внутренних односторонних
углов, которые они образуют с секущей, не может превысить 2R. В самом
деле, если am ||| Ьп и 5am + abn > 2й и мы проведем
m/ f|/M луч Ы так, что сумма и\аЬ-\- аЫ=2Е, то он пройдет
/ I/ внутри угла abn, но не встретит луча am; следова-
I If тельно, Ьп не параллелен лучу am.
I / * На черт. 8 — второе положение точки г
(расположенное правее точки д).
0 Угол ngr равен углу mfg, так как оба они дополняют до 2В
угол ngf. Если мы поэтому сдвинем полосу mfgn вдоль fg так, чтобы
точка f совместилась с д, то луч fm совместится с дп, а параллельный
ему луч дп займет положение §1; такое передвижение полосы mfgn мы
можем продолжать, пока не перешагнем через точку ^

§ 15—16
АППЕНДИКС
71
ы
а
§ 15.
В соответствии с § 13 и 14, Систему Геометрии,
признающую справедливой гипотезу XI аксиомы Евклида, будем
называть £— построенную же па противоположной гипотезе
[будем называть] S. Все то, о чем не
будет отчетливо оговорено,
относится ли оно % £ или к S,
надлежит признать абсолютным, т. е.
считать справедливым как в
[системе] £, так и в 8*.
§ 16.
Если ат есть ось какой-либо L,
то в £ L есть прямая J_ ат
[черт. 5'] *. Черт. 5'.
Ибо, пусть Ьн будет ось той же X, [проведенная] из
какой-либо точки Ь; тогда в £ будет
bant + abn = 2 bam = 2Л,
а, следовательно, bam = /?0. И если с есть какая-либо точка
* Итак, в §§ 13 и 14 Больаи отчетливо обнаружил, что возможны
только две гипотезы: либо для любых двух параллельных лучей
пересеченных третьей прямой, сумма внутренних односторонних углов
равна 2Е (по Евклиду), либо она меньше 2R (противно Евклиду). Теперь
он утверждает, что геометрию можно строить как в одном, так и в
другом предположении, и отмечает соответствующие две геометрические
системы обозначениями £ и 8. Однако и в дальнейшем его внимание
сосредоточено главным образом на такой формулировке предложений,
которая носит «абсолютный» характер в том смысле, как он этот термин
понимает.
* Больаи ссылается на черт. 5 (стр. 62); мы приводим только ту его
часть, которая нужна здесь.
0 Текст нуждается только в более ясном выражении. Больаи
принимает, что Ъ есть произвольная точка на L, определяемой осью am и
точкой о. (началом) на ней. Если тогда (m || am, то, по определению L, мы имее

72
АППЕНДИКС
§ 17
на ab и ср ||| am, то (в силу § 13) ср — am, а потому с лежит
на L (§ 11).
В [системе] оюе S никакие три точки а, Ь, с одной и той
же L или F не леоюат на одной прямой.
Ибо одна из трех осей am, bit, ср лежит между двумя
другими: пусть это будет, например, am; тогда (в силу § 14)
как bam, так и cam < R *.
§ П.
В [системе] S L также есть линия, a F поверхность
[черт. 7] *•
Ибо (в силу § 11) каждая плоскость, проходящая через
какую-либо точку на F перпендикулярно к ее оси am,
пересекает F по окружности круга, плоскость которого (в си-
abtt=baut. А так как в системе JJ сумма внутренних односторонних углов
параллелей ant и bit составляет 2ВУ то каждый из них равен^Е, т. е. всякая
точка на L принадлежит перпендикуляру ab, восставленному из точки а к
прямой am. Аналогично он затем доказывает, что и обратно, каждая точка
этой прямой принадлежит L.
* Если речь идет о X, то оси am, bit, Ср трех ее точек лежат в одной
плоскости; так как речь теперь идет о системе S, то
(§ 14) сумма углов ruab + nba < 2В, а вследствие их
равенства каждый есть острый угол; хорды аЪ и ас
образуют угол, три точки а, Ъ, С не лежат на одной
прямой.
Если три точки a, Ь, С на F расположены так,
что три оси am, bit, Ср не лежат в одной
плоскости, то плоскости aiu6 и aiuc образуют угол, и эти
три точки также не лежат на одной
прямой.
* Экономя количество рисунков, Больаи
ссылается на чертеж 7. Однако удобнее будет
следить по приводимому здесь
дополнительному чертежу.
п, m I

§ 18
АППЕНДИКС
73
лу § 14) не перпендикулярна ни к какой другой оси Ьп*.
Пусть F вращается вокруг Ьп; каждая точка на F (в силу
§ 12) останется на F, и сечение F плоскостью, не
перпендикулярной к Ьп, опишет поверхность; и каковы бы ни
были на ней точки а и 6, поверхность F можно будет так
совместить с самой собой, чтобы а совпала с Ь; следовательно,
F есть однородная поверхность*.
Отсюда ясно (в силу § 11 и 12), что L есть однородная
линия ®.
§ 18.
Сечение [поверхности] F любой плоскостью, проведенной
через точку а этой поверхности наклонно к оси am,
представляет собою в системе S окруоюность круга.
В самом деле, пусть a, Ь, с будут три точки этого
сечения, а Ьп и ср° — оси [черт. 7]; ambn и antcp образуют угол,
* В конце §11, на который Больаи здесь ссылается, было указано,
ьто поверхность F может быть получена вращением L вокруг своей оси;
поэтому сечение F плоскостью, перпендикулярной к оси, есть
окружность круга. Другая ось к этой плоскости перпендикулярной быть не
может, потому что в системе S два луча, перпендикулярные к одной и
той же плоскости, не могут быть параллельны (§ 14).
* Рассуждения этого параграфа ни в какой его части нельзя назвать
достаточно четкими. Под однородной поверхностью Больаи, судя по
тексту, разумеет такую поверхность, которая может двигаться сама
в себе так, как это происходит на плоскости и на сфере (каждая точка
может быть приведена в совмещение с любой другой точкой; вокруг
каждой точки может быть произведено вращение на любой угол).
Доказательство того, что F (предельная поверхность) действительно допускает
такие движения, изложено в примечании [Щ.
См. также примечания редакции к «Геометрическим исследованиям»
(«Г. и.», стр. 144/99, примечание Р8]/!24]).
° См. там же, стр. 135/90, примечание [17]/[18], теорема 2.
Я Оси линии L и поверхности F было бы правильнее обозначать
через am, bn,cp. Называя их осями, Больаи, повидимому, считает уже
отмеченным, что речь идет о лучах, и потому не обозначает этого своим
специальным символом.

74
АППЕНДИКС
§ 18
ибо иначе секущая плоскость, которая (согласно § 16)
определяется точками а, Ь, с *, содержала бы самое сш (что
противно условию). Поэтому плоскости, делящие прямые ab
Черт. 7.
и ас пополам и перпендикулярные к ним, взаимно
пересекаются (как показано в § 10) по некоторой оси [8 ([поверх-
* Согласно § 16, эти три точки в системе S не лежат на одной
прямой, а потому определяют плоскость,

§ 18
АППЕНДИКС
75
ности] F) и fb = fa = fc*. Пусть al) J_f8 и пусть fal)
вращается вокруг f$*; а опишет окружность радиуса ^а, про-
ходящую через 6 и си располооюенную как в F, так и в abc;
кроме же 0^а> -^ и а&с не имеют ничего общего (§16)®.
Ясно также, что конечная точка части fa линии L (также
служащей радиусом) при вращении вокруг f опишет на F
ту же 0$а$.
* Эти равенства установлены при доказательстве предложения § 10
для всякой точки f прямой f3.
* Точка § лежит в плоскости треугольника abc. (Мы присоединили
здесь более наглядный чертеж.) В самом деле, плоскость qbf,
перпендикулярная к прямой аЬ, перпендикулярна также
к плоскости abc; точно так же и плоскость ^***\
ref перпендикулярна к abc. Если же две У<С^^ : \
плоскости, перпендикулярные к третьей, ^lil^bL-^-r^1
пересекаются, то прямая их пересечения ^(^b^Sv '\
встречает третью плоскость и перпендику- \ ^j11^^^:^^^
лярна к ней; обычное в настоящее время \ II/ Г/**
доказательство этого предложения (Л е- \ II///
жандр, Начала, кн. V, предложение XXVHI) \ II///
не зависит от постулата о параллельных и \ \ \ I I /
вполне применимо в гиперболическом про- \ \ т//
странстве. Именно в точке § и происходит п\ ' г/
пересечение прямой f§ с плоскостью abc; это
есть центр окружности, описанной около
треугольника abc. Больаи об этом не упоминает, чертеж его этому также
не соответствует.
° Обычная для Больаи форма выражения (см. § 7). Если бы поверх-
ность F имела с плоскостью еще общую точку, не лежащую на этой
окружности, то мы могли бы провести в плоскости abc через эту точку
прямую, которая встречала бы эту окружность в двух точках, а
следовательно, поверхность в трех точках; между тем в системе #, как было
показано в § 16, прямая не может иметь с поверхностью F более двух
общих точек.
§ В качестве f здесь принята та точка луча f<3, в которой он
встречает (предельную) поверхность F; сечение представляет собой
окружность как на плоскости с центром в точке § и радиусом §а = tyb = §С, так и
на поверхности F с криволинейным («геодезическим») радиусом fa=fb=f£
(понимая здесь, под fa, f£, fc соответствующие «предельные* дуги),

76 АППЕНДИКС § 19
§ 19.
Перпендикуляр Ы к оса Ьп [линии] L (расположенный
в плоскости этой линии L) представляет собой в системе 8
касательную к L [черт. 5] *.
Ибо L на 6t помимо Ь ни одной точки не имеет (§ 14) *;
между тем, если Ц лежит внутри Йж, то центр сечения
Черт. 5.
[поверхности] F той же [оси] Ьп плоскостью, проходящей
через Ц перпендикулярно к Йж (§ 18), очевидно, лежит
* Формулированное предложение Больаи доказывает в двух словах,
но вслед за этим он доказывает дополнительно, что всякий луч bq, обра-
зующай с Ъп в точке Ъ острый угол, встречает
линию L еще в одной точке. Приводим чертеж, на
котором доказательство легче проследить.
* Если бы на ftt существовала еще одна
точка t, принадлежащая линии L оси Ьп, то,
согласно определению линии £, Ы была бы секущей
равного наклона параллелей Ьп и t£; обе параллели были бы
перпендикулярны к секущей Ы, что противоречит §§ 14 и 15; в системе S две
параллели не могут быть перпендикулярны к одной и той же прямой,

§ 20
АШ1ЕНДИКС
77
на bq; и если bq есть диаметр [этого сечения], то bq, очевидно,
пересекает линию L той лее [оси] bn в q*.
§ 20.
Любыми двумя точками на F определяется линия L (§§ 11
и 18)*; вместе с тем (поскольку, в силу- §§ 16 и 19, L
перпендикулярна ко всем своим осям), каоюдый угол L-линий
па F равен углу между плоскостями, проходящими через его
стороны перпендикулярно п F®.
* Представляем себе поверхность F, проходящую через точку Ь и
имеющую ту же ось bn. Плоскость nbt сечет ее по той же линии L и,
как всякая меридиональная плоскость поверхности вращения,
представляет собой плоскость симметрии поверхности. Плоскость, проходящая
через bq перпендикулярно к tbu, согласно § 18, пересекает поверхность F
по окружности круга. Плоскость xibq есть плоскость симметрии, a bq — ось
симметрии этого круга, поэтому bq есть диаметр этого крута, и второй
конец его лежит на поверхности F и на линии L.
Нужно, однако, опять отметить, что привлечение стереометрических
соображений к доказательству планиметрического предложения, особенно
столь простого, нецелесообразно. Между тем Лобачевский доказывает это
предложение в двух словах: на bq откладываем отрезок Бс, для
которого nbc = П ((?С), и на продолжении be откладываем отрезок cq = Ьс.
Точка q лежит на той же линии L. См. «Геометрические исследования»,
предложение 31 («Г. и.», стр. 106/58—59).
* Больаи ссылается на §§ 11 и 18. Первый из этих параграфов
содержит определение поверхности F и линии L как сечения
поверхности F плоскостью, проходящей черзз ось. Если на поверхности F
через точки а и Б проходит линия Ь, то плоскость этой линии должна
содержать оси поверхности am и Бп, ибо в противном случае, согласно
§ 18, сечение поверхности этой плоскостью представляло бы собой не
линию L, а окружность. Итак, через точки а и Б на поверхности F
проходит та и только та линия L, которая представляет
собой сечение этой поверхности плоскостью, проходящей
через оси ant и bit.
0 Положим, что через точку а поверхности F
проходят две 1/-лияии аЪ и ас; плоскости их согласно
доказанному содержат ось am и пересекают F ортогонально. Угол
между этими L-линиями измеряется углом между
касательными к ним ар и aq. Согласно § 19, эти касательные
перпендикулярны к оси am и образуют линейный угол двугранного угла paniq.

id
АППЕНДИКС
§ 21
§ 21.
Две L-образные линии ар и ЬЬ [черт. 6] на одной и той
о/се F, образующие с третьей L-образной ab [на той оюе F]
внутренние односторонние углы, сумма которых < 2R, взаимно
пересекаются (под ар на F
надлежит понимать
[линию] Z, проведенную
через аир; под ар —ту ее
половину, которая, выходя
из а, содержит р).
Ибо, если am и Ъп суть
оси этой F, то amp и ЬпЬ
взаимно пересекаются (§ 9);
вместе с тем F пересекает
(в силу §§7 и 11) прямую
их пересечения; следова-
тельно, ар и ЪЪ также
Черт. 6.
взаимно пересекаются *.
Отсюда ясно, что XI аксиома и всё, что утверждается
в Геометрии и (плоской) Тригонометрии, абсолютно сохра-
*. Обычная тенденция Больаи пользоваться (в интересах экономии)
несколько раз одним и тем же чертежом и здесь затрудняет понимание
текста. По приводимому здесь чертежу будет легче
проследить за текстом.
Две L-линии ар и ЪЬ на поверхности F образуют
с третьей .L-линией аЪ внутренние односторонние
углы аЪЬ и bap, сумма которых меньше 2R. Но эти
же углы измеряют двугранные углы, которые
полуплоскости amp и ЪпЬ образуют с плоскостью mabn.
Так как сумма этих углов меньше 2R, то в силу § 9
(его последний абзац, стр. 64) эти полуплоскости пересекаются по лучу
eg*, который параллелен как am, так и Ъп (см. примечание [9], теорема 4).
Как на всякой оси поверхности, на луче eg имеется точка поверхности е,
и эта последняя необходимо лежит на L-линиях ар и ЪЬ,

§ 22
АППЕНДИКС
?§
няет свою силу на F, если прямые линии заменить линиями
L * [19]. В соответствии с этим впредь мы будем понимать
тригонометрические функции в том же смысле, в каком они
появляются в 2; окружность круга, коего Х-образный
радиус на F есть г, равна 2iw; и равным образом 0г
(на F) = itr2 (разумея под it, как обыкновенно, у О 1 * Ha.F,
т. е. 3,1415926 . .. ).
§ 22.
Если ab есть L [оси] ant и с леоюит на ant [черт. 9] и
будем передвигать угол cab (составленный прямой ant и£-рбраз-
ной линией ab) сначала по ab, а затем по Ьа всё далее до
бесконечности, то путь cb точки с составит линию L той о/се
[оси] cm0.
Ибо пусть Ь будет произвольная точка на линии cb
(которую будем называть в последующем [линией] ?), пусть
bn ||| cm и b — точка [линии] L, лежащая на bit; тогда будет
* Это подробно пояснено в примечании [19], а также в примечаниях
редакции к «Геометрическим исследованиям» (см. «Г. и.», стр. 144/99,
примечание [23]/[24]; см. также «О. г.», § 52, рубр. 1, стр. 434).
* То-есть половину окружности радиуса, равного единице (см.
«Объяснение обозначений», стр. 51).
® Иначе говоря: если L-линия аЪг будет скользить по самой себе
в одну и в другую сторону, увлекая за собой ось am, то каждая точка
этой оси также будет описывать L-линию.
При всей простоте этого предложения его доказательство изложено
недостаточно ясно. Больаи здесь обозначает путь, описываемый точкой с
при указанном движении, символом cb (хотя это, собственно, расходится
с принятым ранее обозначением этого символа); буквой же I он
обозначает L-линию, проходящую через точку с и имеющую ось cut. Его
задача— показать, что cb и I совпадают. Доказательство разбивается на
две части: сначала он доказывает, что каждая точка Ь линии cb
принадлежит Ц потом он показывает, что и обратно — каждая точка линии I
принадлежит также линии cb.

80
АППЕНДИКС
23
bn^ant и ac = bb, поэтому bittern; следовательно, b лежит
на I*. Если же b лежит на I и Ьп ||[ cm, а b есть точка
[линии] L в ее пересечении с Ьп, то am^bn и cm —Ьп;
поэтому, очевидно, bb = ac, b
лежит на пути точки с, так что I
и cb совпадают. Такую I
будем обозначать через 11| L *.
§ 23.
Если i-образная [линия]
cbf || abe (§ 22) и ab = be [черт. 9],
а am, bn, ер суть оси, то,
очевидно, cb = bf; и если a, Ь, с
суть какие-либо три точки на
ab0, причем аЬ=?г-сЬ, то
будет также ac = п • cf; вместе
с тем (очевидно, также и для
несоизмеримых ab, ae, be)
Черт. 9. ab : cb = ac:c(S;
* Когда L-линия ae продвинется по самой себе так, что точка a
совместится с Б, луч аш совместится с Ьп, а точка с совместится с Ь,
потому что последняя лежит на cb; следовательно, ас = БЬ. В
прямолинейном четырехугольнике асЬБ, в котором равны боковые стороны ас
и ЬЬ и углы при нижнем основании, углы при верхнем основании также
равны, т. е. cut z£h Ьп-
* Больаи устанавливает, таким образом, понятие о параллельности
двух [предельных] L-линий и этот параллелизм обозначает знаком ||.
Подробнее об этом см. «О. г.», § 32, рубр. 5, стр. 255.
® Здесь, как и в предыдущем параграфе, Больаи разумеет под ab
предельную линию (L-линию) abe.
2 Это предложение формулировано Лобачевским в «Геометрических
исследованиях» почти в тех же словах (предложение 33); доказательство
изложено у Лобачевского подробнее (см. «Г. и.», стр. 107—108/60).

§ 24
АППЕНДИКС
81
[отношение] а6 : cb, таким образом, не зависит от ab, а вполне
определяется [расстоянием] ас. Это отношение, именно ab : cb,
будем обозначать большой буквой (например X), а
[расстояние] ас — малой буквой того же наименования
(соответственно #)*.
§ 24.
у
Каковы бы ни были х и у, всегда Y=XX (§ 23).
Ибо либо одна (из х и у) будет кратной другой
(например, у кратно #), либо это не будет [иметь места].
Если у = пх, то пусть х = ас = eg = $ и т. д. [черт. 9],
пока ой) не станет,= ?/*; пусть, далее, будет cb||gf||^t; тогда
(в силу § 23)
X=ab:cb = cb : gf= gJ :^Т;
а потому
т. е.
у
Y = rh = X^®.
Если х, у — кратные одного и того же г, скажем,
х = тг и у = пг,
то (в силу предыдущего)
следовательно,
Л JL
* Отношение аБ: сЬ представляет собой, таким образом, функцию
расстояния ас; обозначая это расстояние строчной буквой (например х),
Больаи обозначает соответствующее значение этой функции через X;
таким образом, при ас = х имеем аЪ = X* сЬ.
* Этих равных отрезков, как и членов следующей пропорции, будет,
стало быть, п.
0 Здесь ас = х, аЬ : сЬ — X; а§ = у, аЪ :\)l= Y; у:х = п.
6 Зак. 1430. Я. Больаи

82
АППЕНДИКС
§ 25
То же легко распространяется и на случай
несоизмеримых # и у. Если, следовательно, q_ = y— #, то, очевидно,
Q= F:X*. И ясно также, что в £ для каждого х должно
быть Х= 1, а в 8 всегда Х> 1 *; и для любых аЬ, аЬе
существует такое cbf||abc, что cbf = ab; вследствие этого шЪп = атгр,
хотя первое кратно
второму. Это, конечно,
обстоятельство
странное, но абсурдности
системы 8 оно,
разумеется, не
доказывает [20].
§ 25.
В каоюдом
прямолинейном
треугольнике окружности кругов,
имеющих радиусами его
стороны, относятся
между собой, как
синусы противолежащих
им углов [черт. 10]0.
R и amj_buc; пусть также
Черт. 10.
В самом деле, пусть abc =
bit, ср HI am; тогда cabj_ambn, а вместе с тем (так как
* Если q = y — х, то согласно доказанному
у—х у_
Q:X=X х =Х* :Х=Г:Х
* В системе S, т. е. в евклидовой геометрии, 1глинии суть прямые;
четырехугольник abbe всегда представляет собой прямолинейный
прямоугольник, и каково бы ни было х = ас, отношение Х"= аЬ: сЬ = 1. В
гиперболической плоскости параллели сближаются, аЬ>сЬ, а потому д>1.
® Это предложение представляет собой один из наиболее ярких
примеров абсолютного выражения теоремы, которую, на первый взгляд,

§ 26
АППЕНДИКС
S3
cb J_ Ьа) и cbj_ambn; следовательно, cpbn _L ambn. Пусть F
оси cp пересекает прямые bn и am (соответственно) в b и e,
а полосы cpbit, tpam и bnam — по L-образным [линиям] cb,
се, be; тогда (§ 20) сЬе = углу между nbc и ttbe, а
следовательно = i2; и по той же причине ceb —cab.
Но (в силу § 21) в Z-линейном треугольнике ceb
(предполагая радиус всегда = 1) *
ее : be = 1 : sin bee = 1 : sin cab.
Вместе с тем (в силу § 21)
ее: be = О ы : О Ьс (на F)
==Оас:ОЬс (§ 18),
а потому также
О ас :0&с = 1 : sin cab,
из чего утверждение вытекает для всякого треугольника.
§ 26.
Во всяком сферическом треугольнике синусы сторон
относятся между собой% как синусы противолеоюащих им углов
[черт. 11]*.
естественно отнести к чисто евклидовой геометрии. В примечании [21]
выяснено как содержание настоящего предложения, так и абсолютный
его характер; это примечание полезно прочесть до чтения текста Больаи.
* Больаи хочет сказать, что под синусом угла или дуги он, как
обыкновенно, понимает длину линии синуса при радиусе, равном
единице.
* Если теорема синусов прямолинейной евклидовой тригонометрии
получает абсолютный характер после некоторой модификации, то теорема
синусов сферической тригонометрии сохраняет абсолютный характер
в чистом своем виде; доказательство этого составляет содержание § 26;
оно и здесь проводится только для прямоугольного сферического тре*
угольника.
6*

84
АППЕНДИКС
§ «
В самом деле, пусть abc = -B*, а [плоскость] сеЪ пусть
будет перпендикулярна к радиусу сферы оа; тогда ceb_|_aob *
и (так как, сверх того, bocJ_boa)cb_Lob.
В треугольниках же сео и cbo (в силу
§25)
Qtc :Qoc : О be = sin сое: 1 : sin cob =
= sin ac : 1 : sin be;
между тем (§ 25), также
Oec: О be = sin cbe: sin ceb;
и потому
sin ac: sin be = sin cbe : sin ceb;
но cbe = R = cba, а также ceb = cab.
Следовательно,
Черт. п. sin ac : sin be = 1 : sin a.
Отсюда явствует, что Сферическая Тригонометрия
установлена независимо от XI аксиомы.
§27.
Если ac, bbj_ab [черт. 12] и cab передвигается вдоль ab
{и cb обозначает путь точки с), то
cb : ab = sin и : sin v ®.
Ибо пусть bej_ca; тогда в треугольниках abe, abb (в силу
§ 25)
О еЬ : О a^ : О a^ = sin гг: 1 : sin v.
Если будем вращать bacb вокруг ас, то [точка] b опишет
* Здесь abc — прямоугольный сферический треугольник (угол Ъ = i?).
* Плоскость ceb, будучи перпендикулярна к прямой оа, лежащей на
плоскости aob, перпендикулярна и к самой плоскости аоЬ.
0 Самое содержание теоремы нуждается в пояснениях; см. Р2]

§ 27
АППЕНДИКС
85
Oab, [точка] b — Oeb; путь упомянутой [линии] cb
обозначим здесь через © cb *. Пусть, далее, в 0 об будет вписан
какой-нибудь многоугольник bf$ ..., тогда плоскости,
восставленные через все
стороны bf, fg и т. д.
перпендикулярно к
0 ab, также образуют
в 0сЬ многоугольник
со стольким же числом
сторон, и можно
доказать (наподобие § 23)'
что
cb : ab = b$ :bf =
— ^« = fa *,
а потому
Щ + у+... :
:bf+fg+...=cb:ab.
Если каждая из сторон bf, fij, .
то, очевидно,
bf+ffl+---
Поэтому также
О cb : О ab = cb : ab.
Но уже было [показано, что]
О cb : О ab = sin и : sin v.
Следовательно,
cb : ab = sin и : sin v ®.
Черт. 12.
стремится к пределу О,
Oab и b$ + #+.
.Qeb.
* Иначе говоря, 0сЬ есть площадь, которую опишет дуга cb] это но
точно совпадает с тем значением, которое приписано символу © сЬ в
«Объяснении обозначений».
* Как ив § 23, нужно начать с того случая, когда дуги cb и Ьф
соизмеримы, отложить на них общую меру, спроектировать каждый
отрезок на базу; эти проекции также будут равны.
0 Теорема уже доказана; но Больаи показывает далее, что это
отношение (сЬ: аЪ) не зависит от длины дуги cb и ее б? зы, и устанавливает
значение этого постоянного отношения.

86
АППЕНДИКС
§ 27
Если будем ас удалять от bb в бесконечность, то
[отношение]
cb: ab,
а вместе с тем и
sin и: sin v
будет оставаться постоянным*: но u-^R (§ 1), и если
bm HI bn, то v -*-* г *; отсюда получаем
cb: ab = 1: sin г [23].
Путь, который мы назвали cb, обозначим через сЬЦаЬ0.
* Если cb и ЬЬГ суть дуги одной и той же эквидистанты или равных
эквидистант (т. е. имеющих равные расстояния от базы), то они
относятся между собой, как их базы
СЬ : ЬЬГ: cb' = ab : W : аЪ\ (1)
Этим предложением Больаи уже воспользовался, собственно, выше,
при доказательстве первой части теоремы. Оно основано на том, что
равным дугам одной и той же или равных эквиди-
^ i , r-4-$L ь' стант соответствуют равные базы. За этим следует
I 1 ! ' * I !*Т доказательство обычного типа, намеченное на чер-
I \ ! I ! I ! i теже.
I • ! ! ! I • ! Из этого предложения и вытекает, что отноше-
о ' ' ь ' Ь' ние с^ : а^ остается постоянным; это есть лишь иное
выражение пропорции (1).
* Заключительную теорему § 1 (см. сноску 9 к нему на стр. 53) можно
формулировать так: если в прямоугольном треугольнике один катет
остается постоянным, а другой неограниченно возрастает, то угол,
противолежащий постоянному катету, стремится к нулю.
В данном случае, когда точка с неограниченно удаляется по эквиди-
станте, в прямоугольном треугольнике ЬаЬ катет ЪЬ остается постоянным,
поэтому угол ЬаЬ стремится к нулю, a u-^R.
С другой стороны, если через Ь проведем луч bm (черт. 12),
параллельный Ьп, то угол z = bbnt остается постоянным [по терминологии
Лобачевского это есть угол параллельности, соответствующий постоянному
расстоянию ЬЬ, т. е. П(ЬЬ)]. Когда точка с неограниченно удаляется по
эквидистанте, то луч Ьа стремится стать параллельным Ьа; поэтому v
стремится к углу параллельности, соответствующему отрезку ЬЬ, т. е. v -*-ч z.
® Таким образом, символ || появляется здесь у Больаи в новом
значении; в словах это выражается так: эквидистанта параллельна своему
основанию. Нужно это обозначение отличать от $Ъ ||| аЬ, означающего,

§ 28
АППЕНДИКС
87
§ 28.
Если Ы [И — am [черт. 13], а с леоюит па am и положим
ас = ж, то (§ 23) X будет равно
sin и: sin г> *. &gc^ *^>6
Ибо, если сЬ и ас J_bn и
bf J_ am, то (как в § 27) будет
Oi>f: О °Ь = sin w: sin v *.
что луч cb (по Лобачевскому)
параллелен ab. Чтобы это не
приводило к смешению понятий, Больаи
не называет лучей сЬ ||| оЪ
параллельными. Вместе с тем термин
«параллельный» и знак || Больаи
употребляет в двух случаях:
а) в применении к L-линиям,
когда они имеют общие оси (§ 22),
и Ь) в применении к эквиди- Черт. 13.
станте и ее базе.
* В предыдущем параграфе был рассмотрен своеобразный прямо*
угольник саЪЬ, в котором основаниями служат прямолинейная база и
параллельная ей эквидистанта, а боковыми сторонами — ортогональные
к ним прямые. В этом прямоугольнике была проведена диагональ,
и внутренние накрест лежащие при диагонали углы
обозначены через и и v. Теорема заключалась в том, что
отношение «верхнего основания» сЬ к «нижнему» (к базе)
аЬ равно sin и : sin v.
В настоящем параграфе рассматривается другого рода
прямоугольник abgc; его основаниями служат
параллельные L-дуги (§ 22), а боковыми сторонами — отрезки
нормальных к ним осей. И здесь приведены диагональ сЬ и прилежащие
к ней внутренние накрест лежащие углы обозначены через и и v.
То обстоятельство, что аЪ и eg суть предельные дуги с общими осями
ас и Ьд, характеризуется тем, что Ьп ||| ant, а сд || аЪ (в этом именно случае
отношение аЬ: сд в § 23 обозначено через X при ас = х).
* В прямоугольном треугольнике bef (согласно § 25)
О bf: О сЬ = sin и : 1,
в прямоугольном треугольнике ЪсЬ
О сЬ : О сЬ = 1: sin v;
отсюда и вытекает пропорция, приведенная в тексте,

88
АППЕНДИКС
§ 29
Но, очевидно, bf = ае; поэтому
О е&' О Ьс = sin и: sin v.
О другой стороны, на i^-образных [поверхностях осей] ant
и cm * (пересекающих ainbn по ab и eg) будет (согласно § 21)
О са: О Ьс = ab: eg = X.
А поэтому также
Х= sin гг. sin г;.
§ 29.
Если bant = В [черт. 14], ab = у и Ь\\ ||| am, то в [системе] S
У= coty гг*.
Ибо, если ab = ас и ср ||| am (а вместе с тем bn ||| — ср),
а также peb = qcb, то (в силу § 19) существует такая
[прямая] b$J_cb, что Ь$|||ср, а вместе с тем (§ 1) bt|||cq0. Если,
* То-есть на поверхностях F, которые получаются вращением
L-линий аЬ и eg вокруг am (или bn). Те же окружности будут иметь
на этих поверхностях соответственно радиусы аЪ и eg; а потому
О bf = О еа = 2тиаЬ, О сЬ = 2*сд (§ 21).
* Как установлено в § 23, Y-— отношение двух параллельных L-дуг,
отстоящих одна от другой на расстоянии у, есть функция от у. Этой
функции теперь дается другое геометрическое толкование; в
терминологии Лобачевского это выражается так: Y = ctg -^ и, где и есть угол
параллельности, соответствующий расстоянию у. В символике
Лобачевского: Т = ctg yll («/).
® Построение и связанные здесь с ним заключения сводятся к сле-
дующему. На луче aq, составляющем продолжение сш, откладьгоается
отрезок ас = аЬ, и через с проводится луч ср ||| am. Он параллелен Ьп и
образует с са тот же угол щ что Ьп с Ьа; таким образом, Ьс есть
секущая равного наклона параллелей Ьп и ср. Проводится биссектриса cb
угла pcq и на ней откладывается отрезок сЬ, для которого угол peb
служит утлом параллельности [рсЬ = П(сЬ)]. Тогда прямая,
перпендикулярная к cb в точке Ь, будет в одну сторону (Ь£) параллельна ср,
а в другую сторону (Ы) параллельна ccj. Относительно существования
такого отрезка cb и ссылки Больаи на § 19 см. примечание [Щ.

§ 29
АППЕНДИКС
89
далее, Ьс _|_ Ь$, то (§ 7) Ь$ Щ Ьп, а вместе с тем (§ 6) Ьп ||| с$
и (так как bt|||cq) bq ||| et, следовательно (§ 1), ebn = ebq *.
Черт. 14.
Пусть bcf представляет часть [линии] L [с осью] Ьп, и fcj,
Щ, d и el — части ^-образных линий [осей] ft, bt, cq и ct;
тогда, очевидно, будет (§ 22)
$e = bf-M=$c,
а потому
cg = 2cl)==2v*.
* Из 5 опускается перпендикуляр Бе на §t; так как луч г§>
оказывается при этом параллельным Ьп, а луч et — параллельным bq, то Ье
есть биссектриса угла nbq.
* Через точку Ь проведена предельная линия оси Ьп; так как Ьс
есть секущая равного наклона параллелей Ьп и ср, то эта предельная
линия пройдет через точку с и при продолжении встретит ось t§ в
некоторой точке f. Теперь через точки f, Ь, С и е проводим параллельные
(§ 22) предельные линии с общими осями £t и aq. Тогда bf = §Й и
bf = bf, потому что предельные линии cf и cf симметричны относительно cb.
Обозначая clj через v, Больаи, таким образом, устанавливает равенство,
приведенное в тексте,

90
АППЕНДИКС
§ 29
Таким же образом, очевидно,
bg = 2bi = 2^*.
bc = bg — eg;
y = z — v,
Y = Z:V.
Ho
а потому
и (§ 24)
Наконец (§ 28),
Z=l:sm-gUK 7"= 1 :sin ГК— -o"^)*>
и, следовательно,
r=cotyw®
* Проведем полное рассуждение, устанавливающее эту аналогию и
связанное с ним новое равенство. Через точку Ъ проводим еще
предельную линию Ы оси bq (см. приводимый здесь
чертеж); она встретит ось fe в точке I. Тогда
1В = ef = I е = Ы.
Обозначая поэтому 51 через г, получим
равенство, приведенное в тексте.
* По определению Z есть отношение
предельных дуг Ы: 1е (см. чертеж к сноске).
Согласно § 28, это отношение равно sin а : sin р,
но в данном случае а = Б, р = — и и, стало
быть, Z = 1: sin ?т-и. Точно так же v = cl:l)b (см. черт. 14 на стр. 89),
а
поэтому (§ 28) V = sin cb£ : sin beq = 1: sin (В — -^ u\.
0 В тексте, в формулировке предложения, сказано, что это равенство
имеет место в системе 8. В действительности оно справедливо также
в системе 2 (в евклидовой геометрии); только здесь оно претворяется
в тривиальное тождество: Y постоянно равно единице, и = 90°, и
правая часть равна единице.
Вывод несколько сложен, но на нем, несомненно, лежит печать
гениальности.
Заключительное равенство этого параграфа часто называют основным
уравнением гиперболической геометрии. Действительно, вся метрика,
развертываемая в последующих параграфах, основана на этом соотношении,

§ 30
АППЕНДИКС
91
§ 30.
Теперь уже легко видеть (из § 25), что для решения
проблемы Плоской Тригонометрии в [системе] 8 нужно
располагать выражением [длины] окружности через ее радиус *;
этого можно достичь путем спрямления [линии] L.
Пусть будут ab, cm, c'm' J_ ас [черт. 15] и Ь где-либо на
ub; тогда (§ 25)
sin и: sin v = QP : Qy и sin и': sin v' = Qp: Qy';
* Это необходимо потому, что в соотношения, связывавшие стороны
и углы прямолинейного треугольника, входят не самые стороны а, 6, с,
а функции их Оа} Ob, Ос. Связь между задачами о разыскании этих
функций и о вычислении длины предельной дуги выяснится низке,

92
АППЕНДИКС
§ 30
отсюда
sin и ~^ sm w x-v r
-— Qy = -—Cjy .
О другой стороны (согласно § 27),
sin г;: sin v' = cos и: cos м'
следовательно,
или же
sin м ^ sm w ^ ,
O^: О?/' = tang w': tang u = tang w: tang м/ *.
Пусть будет, далее, си ||| aft, cV ||| aft, а cb и с'Ь'— L-образ-
ные линии, перпендикулярные к aft0; тогда будем иметь
* Предыдущие равенства представляют собой непосредственное
следствие установленных в § 25 соотношений между сторонами и углами
прямолинейного треугольника. Настоящее
го ->—' ■— ^ соотношение вытекает из предложения
§ 27 на основании следующих
соображений.
Через точку ft (черт. 15, который
здесь дополнен) проводим эквидистанту,
имеющую базой прямую ас; пусть m и
т' будут точки, в которых она встречает перпендикуляры cm и c'nt',
так что c'tu' = cm = aft.
Как было показано в § 27 (см. также сноску * на стр. 86), с одной
стороны,
ftm7: ас7 = ftm : ас,
а с другой стороны (роль угла и, рассмотренного в § 27, играет теперь
угол mcft = В — и),
ftm : ас = cos и : sin v,
ftm': ас7 = cos ur: sin vr\
следовательно.
cos и : sin v '= cos \
:sm tr,
что и совпадает с соотношением, приведенным в тексте.
* Как видно из обозначений на черт. 15, w и wr суть углы,
дополняющие и и и' до В.
Q То-есть имеющие параллели с'п', сп и aft своими осями.

§ 30
АППЕНДИКС
93
также (§ 21)
Оу:Оу' = г:г'*>
а вместе с тем
г : г' = tang го: tang to'.
Будем теперь увеличивать р, отсчитывая его от а до
бесконечности; тогда w-^z и w'-^>z'*\ поэтому также
г: rr = tang z : tang z'.
Постоянное [отношение] г: tang z (не зависящее от г) ®
обозначим через ц когда у~^0, то
гг_ _ г tang г \ _^ 1 9
а вместе с тем
tang,?
Из § 29 следует
tangs = l(r—Y-1)*;
* Через у п у' Больаи обозначает соответственно расстояния ас и ас',
через г и гг — предельные дуги сЬ и с'Ь'; окружности Qy и Qyf имеют
г ж г' своими геодезическими радиусами на предельных поверхностях
(черт. 15); отсюда в силу § 21 и вытекает эта пропорция.
* Когда точка Ь неограниченно удаляется по лучу аЬ, луч сЬ
стремится стать параллельным аЬ, т. е. неограниченно приближается
к лучу сп; вместе с тем угол bent = w стремится к углу ncm = z. По той
же причине угол wr стремится к zr.
0 Как это видно из предыдущей пропорции,
если в ней переставить средние члены.
Я Если удвоим отрезок са = у и дугу сЬ = г,
то дуга сЬе = 2сЬ имеет хорду се == 2у. Поэтому
отношение г: у стремится к единице, когда дуга
и стягивающая ее хорда стремятся к нулю.
Т В заключительной формуле § 29 Y = ctg -^ ад, и есть угол
параллельности, соответствующий отрезку у; в нашем случае этот угол
параллельности равен В — z. Таким образом,
1 V2 I!
ctg±(R-z)=Yt ctg(E-*) = tg.z = -2jF-=T(F-F-i).

94
АПЙЁНДЙЙС
g 30
поэтому
22/
или же (§ 24)*
Y— Г-1
X
2уГ
22/
I* -1
С другой стороны, известно, что пределом этого
выражения (когда у -**-* 0) служит -г -у ; следовательно,
г
= 1
log nat I
И
/= в = 2,7182818 ...;
отсюда явствует, что эта величина и здесь имеет очень
большое значение. Если впредь будем обозначать через г
ту прямую, для которой J=e, то будет ?• = г tang # 0. Но
Л
* Заменяя согласно § 24 F через Ii (I есть та же функция от г,
что Y от г/).
* Раскрываем неопределенность по правилу Лопиталя; производная
JL
21*
от числителя по у есть —:— (i-\-y log nat I) и производная от знамена-
2 Т
теля равна — / log nat I. Их отношение
j~~T* + У log nat J
log nat I
стремится к —, когда у стремится к нулю,
° До сих пор i означало число, выражающее постоянное отноше-
т
ние г—. В дальнейшем Больаи ассоциирует с числом г постоянный от-
tg z
резок, именно тот отрезок, который в принятой единице меры выражается
установленным числом i; для этого отрезка, как было показано выше,
соответствующая функция I имеет значение е.

§ 31
АШЁЙДЙКС
95
мы уже имели (§21) Qy = 2-r\ следовательно (в силу §24),
Oy = 27uitang* = iw(r— Г-х) = *
' log nat Y
= ш(е*-е *)в_а.-(Г-Г-1)*.
§ 81.
Для решения всех прямолинейных прямоугольных
треугольников (из которого уже немедленно вытекает
решение всех треугольников) в системе S достаточно
располагать тремя уравнениями, а именно (если а и Ъ обозначают
катеты, с гипотенузу, аир противолежащие катетам углы)
уравнения, выражающие, во-первых, соотношение между а,
с, а, во-вторых, между а, а, (3, в-третьих, между а, &, с;
остальные три уравнения отсюда уже получаются путем
исключения [26].
у_ у
* Согласно § 24, Y = Iг; но 7 теперь равно е, следовательно, F = е г ;
это есть аналитическое выражение Y в функции от у. Этим объясняется
переход от третьей части равенства к четвертой.
С другой стороны, то же соотношение Y== ег можно написать в виде
у = г log nat Y или ъ = - * .
* log nat F
Подставляя это выражение вместо г в четвертую часть равенства,
получим последнюю его часть.
* Рассуждение, проведенное в настоящем параграфе, является
наиболее сложным во всем сочинении. В предыдущих сносках выяснены
отдельные его этапы. В примечании [Щ дан сводный обзор этого
параграфа и сделаны сопоставления с соответствующими результатами
Лобачевского. Здесь же подчеркнем еще один вывод. Как указано в тексте,
Оу = 2кг; с другой же стороны Qy = Ki(Y—F"1); следовательно,
r = -=-(Y— Y-i). Так как 2г есть длина предельной дуги, а 2у — длина
ее хорды, то этим соотношением установлена зависимость между длиной
предельной дуги 2г и ее хордой 2г/. Этим соотношением Больаи
пользуется в § 32, VI.

96
АППЕНДИКС
§ 31
I. Из § 25 и 30 следует [черт. 16]
с _с_ а __ а
l:sinoc = (C— C-i):(A — А"1) = (ет — е *):(ет— е <)*
(уравнение для ос, а, с).
Черт. 16.
II. Из § 27 вытекает (если предположим pm|||iftt):
cos а : sin (3 = 1 : sin w *;
из § 29 же получаем
l:sinw = y(A + A-1)0;
а потому
1 1 - --
cosa: sin(3=: у(4 + А-1) =-^(е1 + е *)
(уравнение для а, р, а).
* Ос : Оя — 1: sin а, а последнее равенство § 30 дает:
Oc:Oa = (C-C-i):(A-A-i).
* См. сноску * на стр. 86; в этом случае z = м.
0 Из предложения § 29 следует, что tg-^ и = At а это приводит
и
к соотношению, приведенному в тексте.

§ 31
АППЕНДИКС
97
III. Если аа'_]_ра^ а (3(3' и rr'llaa' (§ 27)* и, наконец,
Р'я'т' J_ aa'> то ясно (как в § 27), что
77 sinw 2 ч l п
а вместе с тем
следовательно,
2
^ = 1(^+0-);
i(C+C-i) = i(JL + A-i).i(5 + -5-1)
или же
е* _[-е *=~(е*+е * )(е*+е~т)
2
(уравнение для а, &, с)* [27].
Если положим -^ocS = R и (3S J_ а8, то будет
Q с: О а = 1: sin а
и
OcrO(d=p8) = l:cosa.
* См. сноску ® на стр. 86.
* Так как мы теперь знаем, что
а а
oin« = I (4 + А-1) = -| (еТ + е~Т),
то результат, полученный в § 27 (сноска* на стр. 86), можно
формулировать следующим образом: отношение длины дуги эквидистанты
а а
к длине ее базы равно — {А-\-А~1) — -$ (е % + е г ), где а —
расстояние эквидистанты от базы. Дуга $$' представляет собой эквидистанту
по отношению к базе ас/ и отстоит от нее на расстоянии с; дуга yy'
есть эквидистанта по отношению к той же базе ас/ уже при
расстоянии Ъ, но и дугу рР' можно также рассматривать как эквидистанту по
отношению к криволинейной базе yy' при расстоянии а; разбивая ее на
элементы, легко обнаружить, что отношение ее длины к длине базы
сохраняет то же выражение через расстояние а; отсюда три соотношения,
которые и приводят к уравнению, связывающему катеты и гипотенузу
прямоугольного треугольника.
7 Зак. 1430. Я. Больаи.

98
АШГЕНДШСС
§ 31
Вместе с тем (обозначая для любого х через О^2
произведение Qx'Ox) ясно, что
С другой стороны (согласно § 27 и II),
и, следовательно,
(е*—е *)2 = i(e*+e <)*(е*—е Tyj^(eT_e if [28].
это — другое уравнение для а, &, с {второй член которого
легко приводится к симметрической или неизменяемой форме).
Наконец, из
й
em а 2 v l '
* В евклидовой геометрии а2 -\- Ь2 = с2\ умножая обе части равенства
на 4ti2, можно его представить в виде
(0)2+(о&)2 = (о<о*. (1)
Так как в евклидовой геометрии b = d, то то же равенство можно
написать в виде
(0)2 + (0<*)2 = (0)2. (2)
В гиперболическом пространстве теорема Пифагора не имеет места;
не имеет места и соотношение (1); сторона Ъ не равна d. Но
соотношение (2) тем не менее остается в силе; это есть предложение абсолютной
геометрии.
* Согласно предложению § 25 (которое повторяется в § 27)
О d : О с — cos а : 1; О d = О с: cos а*
Таким же образом,
О Ь =зв О с • sin р.
Поэтому
О^ _ соза
Qb ~~ sin р
или, в силу соотношения II,
Qd = Qb-j(A + A-%

§ 32
АППЕНДИКС
99
(в силу III) получаем
1 — --
cot a cot р = y (е * + е *)
(уравнение для a, (J, с) [29].
§32*в
Остается вкратце показать способ решения задач в
[системе] S; выполнив это (на возможно более ясных примерах),
мы скажем отчетливо, какое значение имеет эта теория.
I. Пусть аЪ будет линия * на плоскости [черт. 17] и
y = f(x) ее уравнение (в перпендикулярных координатах);
какое-либо приращение z0 будем обозначать через dz и
* § 32 содержит очень много материала. В сжатом виде (как и всё
в этом сочинении) этот параграф содержит основы дифференциальной
геометрии гиперболического пространства. В рубрике I делается
указание относительно того, как в гиперболической плоскости решается
классическая задача об определении касательной в данной точке кривой,
заданной своим уравнением. В II выводится выражение элемента
(основной метрической формы) длины и применяется к вычислению длины
предельной дуги по ее высоте. В III вычисляется площадь
координатного ' четырехугольника, ограниченного сверху дугой эквидистанты,
и даются указания для вычисления объемов; далее приведены очень
краткие указания о возможности развернуть исследования по типу
евклидовой дифференциальной геометрии. В IV вычисляется поверхность шара;
в V показывается, что полоса, ограниченная двумя параллельными
линиями и предельной дугой, для которой эти параллели служат осями,
имеет конечную площадь. В VI вычисляется поверхность шара и
устанавливается любопытная теорема абсолютной геометрии, что
поверхности двух сфер относятся между собой, как квадраты окружностей
соответствующих больших кругов. Наконец, в VII показывается, что все
эти результаты совпадают с соответствуюпщми выражениями евклидовой
геометрии, когда объекты вычисления становятся бесконечно малыми [30].
* Больаи здесь отступает от значения символа аЬ, установленного
в «Объяснении обозначений», и разумеет под аЪ какую угодно линию
на плоскости.
® Как автор понимает координаты х и «/, видно из чертежа (эти
координаты теперь обычно называют декартовыми координатами
гиперболической плоскости); под z Больаи разумеет длину дуги аЬ, так что
dz ** Бд»
7*

100
АППЕНДИКС
§ 32
пусть также будет bf)(|cf *
Ь
приращения х и у и площади и, соответствующие этому
же dz^ будем обозначать соответственно через dx, dy, du\
выразим (согласно § 31 и 27) -j-
через у и разыщем предел
[отношения] -р-, когда 6fo стремится
к нулю (что всегда будем
предполагать, когда будем разыски-
яать этого рода предел); отсюда
выяснится также предел
отношения -г-—, а вместе с тем tang t)bg;
таким образом будет также
определена касательная к bg
в [точке] b (ибо f)bc явно не
может быть ни > , ни < [22], а
следовательно = В) *.
II. Можно доказать, что
№
с1у* + Щ2
Л.
* dx = cf; Ы) есть дуга эквндистанты относительно базы cf; поэтому
dy = Ы-
у_ у.
* Отношение -~- = — (F+ F-1) = - - (е * -f- е * ); производную ~
находим из заданного уравнения y = f(x). Деля эту л
производную на отношение -р- , найдем предел отноше- - \
К>
ния -р^-, который представляет собой tg tybfr Если про»
должим эквидистанту §Б в другую сторону, то углы §Бс
и ybc по симметрии должны быть равны, а потому оба
они прямые. Таким образом определен угол, который с
касательная к Ьд в точке Ъ образует с ординатой Ьс, т. е. найдена
касательная.

§ 32
АППЕНДИКС
101
Так получается предел отношения-^—, а отсюда
интегрированием (по х) можно будет найти и я*.
Можно также найти уравнение в [системе] S любой
конкретно заданной * линии, например L0.
В самом деле, если am есть ось этой [линии] L, то
любая cb из ant пересекает L (ибо в силу § 19 каждая
прямая из а кроме am пересекает L$; но (если Ьп есть ось),
* В самом деле,
у_ У_
b\p = dx^^-(ei —е i )«;
поэтому
или
Аг „ /V+ ***»(£)- ^+_^_ •
8 этом последнем виде дает дифференциал дуги (или основную
метрическую форму гиперболической плоскости) и Лобачевский.
[«О началах геометрии», уравнение (34) (см. Н. И. Лобачевский,
Поли. собр. соч., т. I, стр„ 217)].
* Что собственно Больаи разумеет под «конкретным заданием»
(подчеркнутые в оригинале слова), остается не вполне ясным. В немецком
тексте «Аппендикса», принадлежащем самому Больаи, эти слова опущены.
0 В соответствии с этим, в остальной части этой рубрики Больаи
принимает, что на черт. 17 aog есть предельная линия
(£), имеющая луч аш своей осью.
9 То-есть любой перпендикуляр сЬ, восставленный
из точки с оси ant, встречает линию L. Это утверждение
Больаи обосновывает ссылкой на § 19. В самом деле,
возьмем на этом перпендикуляре произвольную точку J). Если
отрезок ср встречает линию Ъ, то вопрос исчерпан.
Предположим поэтому, что этот отрезок линии L не ветре- m с~в
чает. Тогда луч сф, согласно § 19, должен встретить
линию L в некоторой точке q. Образуется замкнутый контур аБсфа, входя
внутрь которого луч ср должен из него выйти, т. е. должен встретить
линию If в некоторой точке Ьп

102
АППЕНДИКС
§ 32
то
X=l rsincbn (§28)*
и
Г=соЦсЬп (§ 29),
откуда
или же
у х_ Г 2х
oj — вi 4- У ет — 1;
ег =е1 -j-
это и есть искомое уравнение. Отсюда
dy - sX(X2 — 1)~т*,
dx
* Сличая черт. 13 на стр. 87, к которому приноровлено выражение
теоремы § 28, с черт. 17, мы видим, что точки а, Ь, С соответствуют друг
другу с той лишь разницей, что здесь со J_ ас. Поэтому в рассматриваемом
случае и = R, a v = eft п. Вместе с тем доказанное в § 28 предложение
принимает теперь вид
X = 1: sin cbtt.
* Как указано в начале этого параграфа, Больаи разумеет под dx,
dy, dz не дифференциалы, а приращения соответствующих
переменных: ~ означает у него не производную, а отношение dy :dx (т. е. -— \.
Поэтому там, где мы писали бы -—- = <р (ж), Больаи пишет -Д-^'f (#)
*---- «V
с
-р имеет пределом ср (
Дифференцируя предыдущее равенство (и обозначая в этом приме-
аУ \
чании через ~т- производную ], получаем (по сокращении на г)
2Х х_ | X -ж Г 2Х \
dx
'АХ
J -
ydy _Х{Х + VX2_i)
dx /x*—1
Принимая во внимание найденное выше выражение для F, находим
dy _ X
dx YX2— I '
как указано в тексте,

§ 32
АППЕНДИКС
103
а потому
вместе с тем
и, наконец,
Ц=1: sin cbn = X*;
ц-^(Х -1)
i+I^xm^-i)-1,
dx
Отсюда интегрированием находим
1
^ = i(X2 — l)2 = tcotcbt^
(как [это уже было найдено] в § 30).
III. Ясно, что
du frfcbfr .
djc dx '
* См. заключение § 27. На черт. 12, к которому отнесено
предложение § 27, аЪ заменяет отрезок сБ ( = у) чертежа 17, а и = cbn.
* См. сноску * на предыдущей странице.
0 На основании первого соотношения рубрики II настоящего
параграфа.
Я Предыдущее равенство пишем в виде
2х
, ei dx
dz = •
откуда
/ 2х
0 У ««-1
х 2х
/ 2Ж |
1™ ъ / — I
= г /Х2— 1.
Последнюю часть равенства получаем из выражения X через угол
параллельности cbn. См. также примечание [31].

104
АППЕНДИКС
§ 32
это нужно выразить через у (ибо только от у зависит),
откуда интегрированием получим и.
Пусть [черт. 12'*] ab=^, ac = q и сЬ = ^*; пусть также
cabbc = s; можно показать (как в II), что
с, г
а это
ds
1 ^ —<L
интегрируя же, получаем
s = Tpi(ei
')■
Это можно также получить и без инте-
Черт. 12'. грирования [32].
Выразив, например, уравнение окружности (из § 31, III),
прямой (из § 31, П), конического сечения, можно вычислить
площади, ограниченные этими линиями.
Ясно также, что поверхность £, параллельная плоской
фигуре р 9 (на расстоянии q), относится к J9, как вторые
* Больаи ссылается на использованный черт. 12; вместо этого мы
ограничиваемся простым дополнительным черт. 12'.
* Автор имеет в виду применить общие соображения к вычислению
криволинейного прямоугольника abb С, верхним основанием которого
служит дуга эквидистанты сЬ. Если высоте q дадим
приращение dq, то площадь s получит приращение,
представляющее собой площадь криволинейного прямоугольника,
основаниями которого служат дуги эквидистанты, а
высотой dq. Этот прямоугольник разбивается на
элементарные прямоугольники; площадь каждого такого элемента
прямоугольника может быть выражена произведением
срцшшят
основания на высоту; поэтому всё приращение
бесконечно малую высшего порядка, — = г.
0 См. сноску * на стр. 97 к § 31.
отличается от г dq на
9 ТР-есть площадь t эквидистантной поверхности с базой р.

§ 32
АППЕНДИКС
105
степени соответствующих линий, т. е. как
Далее легко видеть, что вычисление объема,
производимое тем же способом, потребует двух интегрирований
(так как в этом случае и самый дифференциал уже
находится только интегрированием); и прежде всего нужно
найти объем тела, которое ограничено [поверхностями] р и t
и совокупностью прямых, перпендикулярных к р и
соединяющих концы р и t. Этот объем (который можно найти
как интегрированием, так и без интегрирования)
оказывается равным
-^рг{ег—е О + х^*'
В [системе] S можно также вычислять поверхности тел,
равно как кривизны, эволюты и эвольвенты каких угодно
линий и т. д. Что касается кривизны, то она в 8
определяется либо для L, либо для окружности по ее радиусу,
либо для линии || прямой по ее расстоянию от этой прямой;
из предыдущего легко показать, что, кроме Д окружностей
* Речь идет о вычислении объема v прямого цилиндра, площадь
нижнего (плоского) основания которого равна р, а верхним основанием
служит эквидистантная поверхность. Если t есть площадь верхнего
основания, то, как выше для площади, докажем, что
|(е* +е ' +2)dq,
2q 2(7
PI , i i \ i 1
V = -g- (e — e ) + jpq.
dv __
dq ~~
dv =

106
АППЕНДИКС
§ 32
dQx
dx
и линий ||-ых прямым, в плоскости не существует никаких
однородных линий *.
IV. Для круга (как в III) находим
откуда интегрированием (по § 30) получаем
п? п на, _j?L
Q х = тиг2 (е * — 2 + е i) 0.
V. Для площади cabbc = и [черт. 9' ^]
(ограниченной Zz-образной линией аЬ = г,
||-ой ей линией сЬ = г/ и прямыми
ас, ЬЬ = х):
du
-Л У
Y
Черт. 9'.
* То-есть не существует никаких других
линий постоянной кривизны; доказательство этого
предложения, а также вывод кривизны каждой
из перечисленных линий можно найти в статье В. Ф. Кагана,
Элементы аналитической геометрии на поверхностях постоянной
отрицательной кривизны, «Известия Казанского физико-математического
общества», (2), т. 5, 1895. См. также «О. г.», стр. 266—268.
* В словах: производная плогцади круга по радиусу равна длине
окружности того же радиуса. Геометрическое доказательство этого
предложения проводится совершенно так же, как в евклидовой геометрии.
0 Последняя формула § 30 устанавливает, что
поэтому
вместе с тем
Q х = т (е * — е г );
dQx
dx
X X
■ т(е — е );
Qx = m \(е* — е *) dx = i& (ei + е i — 2)
или, иначе,
X X
Q х = к* (е 2i — е 2i )2 = 4iri2ctg2 П (^Л.
Я Больаи снова ссылается на черт. 9; для удобства приводим вместо
него более простой дополнительный черт. 9'т

§ 32
АППЕНДИКС
107
а также (§ 24)
у = те *;
поэтому (интегрируя), получаем
х
u = ri(l—е *).
Когда х возрастает до бесконечности, то в 8 е *~^0,
а вместе с тем u^^ri. В последующем под величиной ntabn
мы будем разуметь именно этот предел.
Аналогичным образом находим, что если р есть фигура
на F, то объем пространства, ограниченного [поверхностью]
р и совокупностью осей, проведенных из границ [фигуры] р,
равен -^рг *.
VI. Если угол при центре [черт. 10] сферического
сегмента г равен 2гг, длина окружности большого круга есть ру
а дуга [с (угла и) = х*> то (§ 25)
1 : sinu=p : О^с 0,
* Речь идет о вычисления объема цилиндрического столба, кото
рый имеет основанием площадку р тюдельной поверхности F, а
образующими — оси поверхности, окаймляющие эту площадку,
и простирается в бесконечность. Если: объем конечного
цилиндрического столба, который ограничен площадкой р х I
и параллельной ей площадкой q, отстоящей от нее (по оси)
на расстояние ху обозначим через v, то
2а? 2а? со 2х
JL = 2, q=pe г, dv=pe г dx, v=p^e * dx = 2L.
о
* Больаи по обыкновению старается обойтись без нового чертежа
и пользуется поэтому вновь черт. 10, на котором много лишних линий.
По существу дело заключается в следующем. Больаи
ставит себе задачу вычислить поверхность шарового
сегмента по данной длине окружности большого круга
и углу раствора 2и. Длину дуги большого круга,
соответствующую углу и, Больаи обозначает через х.
® В прямоугольном треугольнике abc, согласно
предложению § 25, О аС : О &С = 1: sin и; но О аС есть
окружность большого круга сферы; поэтому О ас = Р, и мы получаем
пропорцию, приведенную в тексте,

108
АППЕНДИКС
§ 32
откуда
Между тем
Q)bc=psmu.
ри , pdu
х ==v- и dx=-7T-.
Далее,
а потому
Черт. 10.
dz
dx
-Обе*,
dz pt .
* В словах: производная поверхности сегмента z по х равна длине
окружности круга О Ьс, служащего основанием сегмента. Это
доказывается так же, как в евклидовой геометрии: если х получит
приращение Д#, то поверхность сегмента z получит приращение Az = О Ьс • Ах
(во всяком случае отличающееся от этого произведения на Оесконечно
малую высшего порядка).

§ 32
АППЕНДИКС
109
откуда (интегрируя), получаем
sin vers и
2 *
Представим себе [поверхность] F, на которую падает р
(проходя через среднюю точку (сегмента)*; проведем
плоскости fem, cent через af, ас перпендикулярно к
[поверхности] Fk пересекающие ее по feg и се; проведем также i-образ-
ную [линию] сЬ (из с перпендикулярно к feg) и Z-образную же
линию cf; тогда (§ 20)
и (§ 21)
поэтому
Но (§ 21)
ccf — и ®
\Ь sin vers и Я
jp = те . ffcg I,
р2 р2 С р2
* dz.= -£— shiudu, z = £— | sin и du = -?r- (1 — cos и)
2л 2тс J 2тс v 4 '
о
[разность 1 — cos и в прежнее время назьюали sinus versus и].
* Необходимые пояснения и более четкий чертеж даны в
примечании [33].
0 Угол между линиями ее и ef на поверхности F по численному
своему значению совпадает с двугранным углом между плоскостями сеш
и fern, каковой измеряется линейным углом и.
Я Прямоугольный треугольник есЬ на поверхности F составлен из
предельных линий, а потому в нем имеют место соотношения
евклидовой геометрии (§ 21, на который Больаи ссылается). Поэтому, если
обозначим через q обитую длину линий ее и ef, то
eb = q cos щ Ь\ = q — q cos и = q • sin vers и.
С другой стороны, на поверхности F ее = fе = q есть геодезический
радиус окружности р\ в силу этого (§ 21) р = 2гсд, откуда и получается
соотношение, приведенное в тексте.
Т Так как fbg = 2#, то это равенство совпадает с приведенным в
предыдущей сноске соотношением р = 2щ.

lio
АППЕНДИКС
§ 32
так что
* = «-fb-fbe.
С другой стороны (§ 21),
fb.fbg = fc.fc*;
следовательно,
г = тг • fс • fc = © fc на F.
Пусть, далее, будет [черт. 14*] bj[ = cj[ = r; тогда (§ 30)
2r = i(Y— Г"1)0;
вместе с тем (§ 21)
© 2г (на F) = т2 (Т— Г-1)2 9.'
Имеем также (IV)
02у = ш2(Т> — 2+Г"2);
следовательно ©2г(на F) = Q2y\ поэтому поверхность 2
сферического сегмента равна кругу, описанному хордой fc, как
* Под fc здесь нужно разуметь предельную дугу (см. черт, на
стр. 179). Эта формула соответствует теореме евклидовой геометрии:
катет cf прямоугольного треугольника gcf есть средняя
пропорциональная между гипотенузой fbg и ее отрезком fb.
* Не приводим излишнего черт. 14 (стр. 89), на который Больаи снова
ссылается. Достаточно указать лишь, что точка ) — середина дуги Бс
предельной линии.
0 Здесь вклинивается лемма, которую Больаи по существу уже
установил в § 30; она формулирована в сноске * на стр. 95. h Поверхность z
выражена через предельную дугу fc. Но если обозначим эту дугу через 2г,
а ее хорду через 2у, то 2г = г (F— F-1) = г (е г — е *), как было ука*
зано в упомянутой сноске. Это соотношение Больаи здесь и выводит,
ссылаясь на черт. 14.
9 На предельной поверхности площадь круга геодезического
радиуса 2г равна 4тсг2, что в силу предыдущего соотношения составляет
nfl(Y—F-1)2. Но в пункте IV настоящего параграфа установлено, что
то же выражение имеет 02г/, т. е. площадь плоского круга радиуса 2г/.
Это приводит к лемме, устанавливаемой: Больаи: площадь круга на пре*
дельной поверхности, имеющего радиусом предельную дугу 2г, равна площади
плоского круга, имеющего радиусом уорду %Ц той же дуги.

§32
АППЕНДИКС
111
радиусом. Отсюда поверхность всей сферы
вместе с тем поверхности сфер относятся, кап вторые степени
опруоюностей их больших кругов *.
VII. Подобным же образом находим, что в [системе] S
объем сферы радиуса х
поверхность, получающаяся
при вращении линии сЬ
[черт. 12"] 9 вокруг ab
а тело, описанное
[фигурой] саЬЬс,
Черт. 12".
* Изложение Больаи нуждается в пояснениях; см. примечание [Щ.
* Эта теорема имеет для Больаи то значение, что она носит
абсолютный характер. Поверхность сферы как в евклидовой, так и в гипер-
болической геометрии выражается формулой —. Но длина большого
тс
круга р выражается через радиус г в евклидовой геометрии форму*
г г
лой 2тсг, а в гиперболической —формулой тег (в г —е i ).
® Вычисление производится совершенно так же, как выше была
найдена площадь круга. Если v (х) есть объем шара радиуса х) то j-
(XX
есть поверхность шара того же радиуса; поэтому
хх чх 2х
^ = га2 (е 7 — е~ Tf\ dv = wi» (еТ + е~~Т — 2) dx\
v = гсг2
2а?
2ж
2а?
(е*+е * — 2)cta = -£-(е* — е г) — 2тцЪх.
$ Вместо черт, 12 даем простой чертеж 12",

112
АППЕНДИКС
§ 32
Капам образом все здесь излоэюенное, начиная с (IV), моэюет
быть выполнено и без интегрирования, это мы для краткости
опускаем*.
Можно доказать, что предел всякого выражения,
содержащего букву г (и, следовательно, связанного с той гипотезой,
при которой г существует), при возрастании г до бесконечности,
точно выражает [то оюе] количество в системе £ (т. е. при
гипотезе, что никакого г нет), если только соответствующие
равенства не обращаются в тооюдества. Надо, однако,
остерегаться думать, что может изменяться самая система (которая
сама по себе вполне определена)] изменить можно только
самую гипотезу, что можно делать последовательно*, пока
мы не будем приведены к абсурду. Если поэтому примем,
что имеет место S, то в выражениях этого рода буква г
должна означать ту единственную величину, при которой
/==е; если же в действительности имеет место 2, нужно
вместо [каждого] выражения взять вышеуказанный предел*,
очевидно, таким образом, что все выражения,
проистекающие из реальности [системы] 8(в этом смысле), имеют место
абсолютно, хотя наперед и остается неизвестным, справедлива
ли [система] £ или нет®.
* Интегрирования по существу избежать нельзя; его можно
выполнить элементарными средствами, что, однако, вряд ли представляет
преимущество.
* В оригинале — successive (т. е. без опасения впасть в ошибку).
0 Этот абзац состоит из двух частей. В первой части Вольаи
утверждает, что формулы евклидовой геометрии получаются из формул
построенной им геометрии, если перейти к пределу, к которому они
стремятся, когда г стремятся к бесконечности. Это он подтверждает ниже
на ряде примеров. Во второй части Больаи пытается точно установить,
что система 8 справедлива абсолютно, независимо от того, имеет ли
место в действительности (в реальном пространстве) система S или £•
Эти рассуждения не убедительны; довести эти доводы до конца еще не
удалось ни Больаи, ни Лобачевскому. Это было установлено значительно
позже (см. стр. 183, конец примечания [36]).

§ 32
АППЕНДИКС
113
Так, например, из выражения, полученного в § 30,
легко (и притом как щи помощи дифференцирования, так
и без него) проистекает известное значение, имеющее место
в [системе] £,
Q х — 2пх *;
из [соотношения] I (§ 31) указанным путем получаем
1 : sin а = с : а,
из [соотношения] же II получаем
cos а л I л -п *
_г_=1) а следовательно, a-]-j3 = i?*.
В III первое равенство обращается в тождество и потому
имеет место и в [системе] £, хотя оно ничего в ней не
устанавливает®-, из второго же вытекает
с2==а2 + &2.
* В системе S
X х
Qx = т (е i —е i ).
X X
Разлагая е ъ и е г по степеням ~ и опуская в разности члены,
содержащие — в степенях выше второй (это соответствует
предположению, что х чрезвычайно мало по сравнению с г), получаем евклидово
выражение длины окружности: Qx = 2тс#.
* Оба эти результата получаем, разлагая показательные функции по
а с
степеням -г, — и опуская члены, которые содержат эти отношения
в степенях выше первой.
0 Это не совсем справедливо. Формула
со а а Ь b
е1 + е~~Т = i-(еТ + е~Т) 'еТ + е~Т)
действительно обращается в тождество, если сохранить только члены
первого порядка. В этом случае нужно взять также члены второго
порядка, которые в формуле (1) сноски- на стр. 98 исчезают, т. е. положить
х х
1 —г г 1 г2
-L(e*+e *) = l+i.|-
Опуская в правой части получающиеся после умножения члены
четвертой степени, получаем:
е- = а2 -f- Ь2.
8 Зак. 1430. Я. Больаи.

114 АПЙЕНДЙЙО § 33
Это— известные основные уравнения плоской тригонометрии
в [системе] £.
Далее, из III (§ 32) находим для [системы] £ выражения
площади и объема, которые в том и в другом случаях
=pq;
из IV
Qx = nx2;
из VII [объем] сферы радиуса х равен
и т. д.
Точно так же предложения, приведенные в конце VI,
очевидно, безусловно справедливы*.
§ 33.
Остается изложить (как это обещано в § 32), что эта
теория имеет в виду.
I. Имеет ли в действительности® место [система] £ или S,
остается нерешенным.
* В формуле
2х 2а?
JLm*2(eT —е T)_2™*2#
и
X
разлагаем показательные функции по степеням -г , сохраняя члены до
третьего порядка включительно; это дает
Подставляя это в предыдущую формулу, получаем для объема шара
3
* Безусловно в том смысле, в котором Больаи обычно называет
предложение «абсолютно истинным», т. е. независимо от того, справедлив ли
постулат о параллельных линиях или нет.
® «В действительности» Лобачевский и Больаи понимают
одинаково— ев реальном пространстве».
евклидово выражение -г-тсж3,

33
АППЕНДИКС
115
II. Всё, проистекающее из предположения лоэюности XI
аксиомы (понимая это всегда в том смысле, как это
установлено в § 32), справедливо абсолютно и в этом смысле
не опирается ни на какую гипотезу *. Таким образом,
существует априорная плоская тригонометрия, для которой,
однако, остается неизвестной единственная истинная система, и
потому абсолютные величины выражений остаются
неизвестными; по заданию одного случая, очевидно, устанавливается вся
система *. Сферическая же тригонометрия в § 26 установлена
абсолютно (и существует геометрия, вполне аналогичная
плоской геометрии системы 2, именно на [поверхности] F).
III. Если бы было установлено, что имеет место
[система] S, то в этом отношении уже ничего больше не
оставалось бы неизвестным; если же было установлено, что £
не имеет места, то (§ 31) (например) по сторонам х и у и
прямолинейному углу, между ними содержащемуся,
конкретно заданным, очевидно, непосредственно невозможно
абсолютно решить треугольник, (т. е.) a priori определить
* Система S справедлива «абсолютно» в том смысле, что она
охватывает и систему Е, если допустить и бесконечное значение
константы г.
* Система была бы установлена однозначно (в терминологии Больаи
была бы известная единственная система «solum systema»), если бы
было известно значение ц поскольку это не имеет места, такая
единственная система остается неизвестной. Тригонометрические уравнения,
скажем по заданным углам, определяют только отношения сторон к
i (!L !L £Л но абсолютные значения длин а, 6, с остаются неизвест-
V г ' i ' г )'
ными. Если бы, однако, хотя бы для одного прямоугольного
треугольника с заданными углами А и В была известна абсолютная величина
катета а, то из соответствующего тригонометрического уравнения
было бы установлено и отношение -г , а вместе с тем было бы
установлено и значение константы г; геометрия была бы однозначно
зафиксирована.
8*

116
АППЕНДИКС
§ 34
прочие углы и отношение третьей стороны к двум данным,
по крайней мере до тех пор, пока не будут установлены
значения X и Y\ для этого необходимо конкретно
располагать каким-либо а, для которого известно соответствующее
значение А *; а тогда г была бы натуральной единицей длин
(поскольку е есть основание натуральных логарифмов). Как
это г возможно точнее построить в том случае, когда будет
обнаружено ее существование,—это будет показано [ниже].
IV. Совершенно ясно, что всё, относящееся к
пространству, можно исследовать в том смысле, как это было
установлено в [рубриках] I и II, аналитическим методом новых
[исследователей] *, (заслуживающим в надлежащих пределах
большого одобрения).
V. Наконец, благожелательным читателям не безынтересно
будет, что в случае, если в действительности имеет место 8,
а не 2, можно построить прямолинейный отрезок, равный
длине окружности0 [36].
§ 34.
Из Ь приводится Ъпг ||| an следующим образом ^.
Из b [черт. 12'" ?] проводим
bb_l_cm;
а
* Если бы мы знали значение А = е i , соответствующее
некоторому заданному значению а, то из этого уравнения можно было бы
определить г и зафиксировать систему.
* Аналитические методы Больаи рассматривает еще как методы
«новых исследователей» («recentiorum»), противопоставляя их
синтетическому методу, в котором построена его система в §§ 1—31. Очень
любопытна оговорка «в надлежащих пределах» («intra justos fines»).
© См. ниже, § 43.
9 В §§ 34—43 Вольаи дает ряд геометрических построений в
системе S] впрочем, большинство построений изложено так, что указано
как оно осуществляется в системе £ и как — в системе S. Он начинает
с проведения из точки Ь луча Ьт, параллельного данному лучу an.
Т Приводим на дополнительном черт. 12"' только необходимую часть
черт. 12.

§ 35
АППЕНДИКС
117
тогда (§ 27)
из какой-либо точки а прямой аЬ восставляем
acj_cm (в bba)
и затем опускаем
be_|_ac;
ОЬ : Obb = 1 : sin ^ * '
в предположении, что bm ||| Ьп.
Между тем, sin,? не > 1, а потому ab не > be. Если
поэтому из а опишем в бас дугу
квадранта радиусом, равным be, то
он будет иметь с ЬЬ общую точку
[и именно] либо Ь, либо о*. В
первом (злучае, очевидно, z = J?; во
втором же случае (согласно § 25) будет
(О ао = ОеЬ): О at = ! : sin a*>6;
а потому
* = а^- Черт. 12"'.
Если поэтому построим0 г = aob, то будет bm ||| bn [37].
§ 35.
Если справедлива [система] S, то прямая,
перпендикулярная к одной стороне острого угла и \\\ другой его стороне,
строится следующим образом 9.
* В § 27 сначала установлено, что
ОеЬ : ОаЬ = sin и : sin v9
а затем обнаружено, что sin и : sin v = 1 : sin 2.
* В системе 2 eb = аб; окружность пройдет через точку Ь и в ней
коснется перпендикуляра ЬЬ. В системе S tb^>ob] дуга окружности
пересечет луч ЬЬ в точке о, отличной от Б.
, ® При точке Ь.
5 Задачу можно формулировать так: по данному острому углу
построить отрезок, для которого этот угол служит углом параллельностиt

118 АППЕНДИКС § 35
Пусть am _L be [черт. 18]; возьмем ab = ас настолько малым
(в силу § 19), чтобы, если проведем bit ||| am (§ 34), получился
[угол] abn> данного угла*. Далее, проведем ср ||| am (§ 34)
с
Черт. 18.
* Смысл ссылки на § 19 заключается в следующем. Больаи выбирает
отрезок aft настолько малым, чтобы соответствующий ему угол
параллельности aftn был больше заданного острого угла. Требуется показать,
что это всегда возможно. Больаи основывает это на пред-
л\ ложении § 19. Согласно этому предложению луч ftt, пер-
У^*т пендикулярный к оси ftn предельной линии, предста-
Ъ^^\^ вляет собой касательную к кривой. Если возьмем на кри-
У\> \ вой точку ш, то при приближении последней к ft секу-
\ \ щая ftm будет приближаться к касательной ftt; хорда mft
\ * I будет неограниченно убывать, а вместе с тем угол mfttt
будет неограниченно приближаться к прямому углу.
С другой стороны, перпендикуляр cl из середины хорды параллелен оси
ftn; поэтому угол mfttt можно рассматривать как угол параллельности,
соответствующий отрезку ftc. Построение требует, чтобы достаточно
малый отрезок был найден, так сказать, «ощупью». Это — несомненный
недостаток. Построение Энгеля свободно от этого дефекта (см. «О. г.», стр.226),
но оно опирается на цикл или группу Лобачевского — Энгеля, которая
Больаи была не известна.

§ 35
АППЕНДИКС
119
и построим [углы] nbq, pcb, равные данному углу; тогда bq и
cb взаимно пересекутся*.
— В самом деле, [луч] bq (который, по построению, падает
внутрь nbc) пересекает [прямую] ср в е; тогда (вследствие
того, что bit —ср) ebc < ecb, а потому ее < cb. Пусть
ef = ее, efr = есЪ и f$|||ep;
тогда f$ упадет в bfr. Ибо, так как Ьи|||ср, а потому ЬиЩер,
то и Ьп ||| f$; вместе с тем (§ 14) будет
fbn + bf^ < 222 = fbn + bfr;
следовательно, bf$<bfr. Поэтому ft пересечет ер, а вместе
с тем cb пересечет eq в некоторой точке b *.
Пусть теперь bg = be и bgt = bep = gbn; тогда (поскольку
cb —gb) будет
bn^gt^cp0.
Если L-образная линия [оси] Ьп встречает bq в точке t
(§ 19) и Я есть ось, то
Ьп=^Я,
* Доказательству этого утверждения посвящен. следующий абзац.
У Болъаи здесь абзаца не сделано; это, как и в других аналогичных
случаях, отмечено знаком «—».
* Если точку пересечения лучей fr и ер (на чертеже не нанесенную)
обозначим через i и перегнем треугольник ife так, чтобы стороны ef и ei
угла fei совместились соответственно со сторонами ее и еЬ угла сеЬ, то
по равенству отрезков ее и ef точка f упадет в с; вследствие равенства
углов efr и ecb луч fr пойдет по cb; луч ei пойдет по eq; точка t
совместится с точкой Ь, в которой луч сЬ пересекает eq или bq.
® Установив существование точки пересечения Ь, Больаи
откладывает на bq отрезок bg = be и проводит gt под углом bgt = ttbg; ему нужно
теперь доказать, что gt ||| Бп. С этой целью он представляет себе
предельную линию L, проходящую через точки Б и с и имеюпгую параллели
am, Ьп и ср своими осями; существование такой линии устанавливается
предложением § 20. Эта предельная линия должна пересечь луч eq в
некоторой точке I, Бодьаи доказывает, что эта точка должна совпадать с g

120
АППЕНДИКС
§ 36
а потому
bf[ = bgt = bc)>*;
но вместе с тем
f(=£hcp*,
поэтому f, очевидно, совпадает с д, а [следовательно] gt|||bn.
Если же f)o разделит [прямую] bg перпендикуляром
пополам, то этим будет построена [прямая] ^оЩЬп0.
§ 36 9.
Пусть будут даны прямая ср и плоскость mab [черт. 10] ?;
проведем cbj_mab, bnj_bc (в bcp) и cqfflbn (§ 34); тогда мы
* В самом деле, Щ = Нэп, так как оси предельной линии,
проведенные через две ее точки Ъ и !, образуют равные углы с хордой Ы (§ 11).
* Потому что tt есть хорда той же предельной линии. Отсюда
следует eft = fcp, Ы1 = Ibn = Ьсе; следовательно, Ьс! = Ь!с, Ь! = Ьс = bg; точка |
совпадает eg, а так как Ш> = tgb, луч !(, параллельный brt, совпадает с gt.
® Итак, требуемое построение выполняется следующим образом. Взяв
отрезок аЬ настолько малым, чтобы при Ьп ||| am угол аЬп превышал
заданный угол, строим этот последний (nbq) при луче Ьп; из точки с (са = аЬ)
проводим ср ||| ant и при этом луче строим угол рсЬ, также равный
данному. Вторая сторона этого угла сЬ пересечет луч bej в точке Ь. От этой
точки откладываем отрезок Ьд = Ьс; делим отрезок bg в точке ^ пополам.
Теперь Щ и ^д суть требуемые отрезки.
Следует признать, что это построение Больаи очень сложное.
9 Настоящий параграф состоит из двух частей, каждая из которых
посвящена решению отдельной конструктивной задачи. Первая
заключается в том, чтобы построить точку пересечения данной прямой
(заданного луча) с заданной плоскостью; вторая заключается в построении
прямой, по которой пересекаются данные две плоскости. Самое задание
нужно понимать в том смысле, что эти стереометрические построения
должны быть сведены к планиметрическим. Нужно сказать, однако, что
предлагаемые Больаи построения предполагают умение опустить из
данной точки вне плоскости на эту плоскость перпендикуляр и восставить
перпендикуляр к плоскости из данной точки на ней.
I Обычная скупость на чертежи заставляет Больаи вновь
воспользоваться черт. 10, Мы даем на следующей странице два чертежа {q, и (5),

§ 37
АППЕНДИКС
121
найдем пересечение ср (если эта прямая лежит в bcq) с bit
(в cbn), а следовательно, и ее пересечение с mob.
— И если даны две плоскости рц и mab и cb^mab, crjj>cq,
а также (в bcr) bnJLbc, c§J_cr, то bn упадет в mab, а с§ в pccj;
найдем точку пересечения bn и с$(если тацовая существует),
из этой точки в pcq проведем перпендикуляр к с$; он,
очевидно, будет пересечением [плоскостей] mab и рсс\ *.
§ 37.
На am ||| bn найдем такую [точку] а [черт. 7'], чтобы было
ат=^Ьп*;вне nbm (как [показано] в § 34) построим gt|||bn;
на которых будет легче проследить оба построения. К первому
построению (найти точку пересечения прямой с точностью) относится чертеж а.
* Остановимся подробнее на втором построении (черт. б).
Плоскость mab обозначена цифрой I, плоскость pcq — цифрой П. Прямые сг,
btt, cb, С§ по построению лежат в одной плоскости, которая обозначена
цифрой Ш. Проходя через cb, плоскость Ш _]_ I; проходя через сг, Ш J_ П.
Поэтому прямая пересечения плоскостей I и П (если таковая существует)
перпендикулярна к плоскости Ш. Эта прямая должна проходить через
пересечение f прямых с£ и Бп; если поэтому через f проведем в
плоскости П прямую fl, перпендикулярную к cf, то это и будет прямая
пересечения плоскостей I и II,
* Задание заключается, таким образом, в следующем. Даны два
параллельных луча btt ||| am; на первом дана точка Б. Требуется на втором
луче найти ту точку а, при которой Ва будет секущей равного наклона
обеих параллелей, или, в обозначениях Больаи, btt d^z. am. Мы
приводим только часть чертежа 7.

122
АППЕНДИКС
§ 38
проведем bjjJLgt, [отложим] gc = ф и ср ||| gt; построим, далее,
[плоскость] tgb так, чтобы она составила с ЦЬ угол, равный
тому, который рса образует с pcb; затем разыщем (по § 36)
пересечение ^[плоскостей] tgb и nba; наконец, проведем
baj_bq. Вследствие подобия L-линейных треугольников,
образующихся на
[поверхности] F [оси]
Ьп [§ 21], будет,
очевидно, bb = ba и
am =£h Ьп *.
Отсюда легко ви*
деть (так как £-ли-
нии вполне
определяются своими
концами), что можно
построить четвертый
или средний член
пропорции; и
вообще все построения, которые в £ выполняются на
плоскости, можно на [поверхности] F выполнить таким же путем
без XI аксиомы. Так, например, 4Д можно геометрически
разделить на любое число равных частей, если такое
деление можно выполнить в [системе] Е *.
Черт. V\
§ 38.
Если, например, построим (согласно § 37) nbq = — В
[черт. 14]0 и, предполагая систему S, проведем (как указано
* Более подробное изложение помещено в примечании [Щ.
* О характере этих построений см. примечание [39].
® Опять Больаи из экономии пользуется мало подходящим черт. 14;
в следующей сноске мы комментируем текст на дополнительном чертеже.

§ 38
АППЕНДИКС
123
в § 35) к bq перпендикуляр am ||| Ьи, а затем (как указано
в § 37) построим jm — bit и положим ja = х, то (§ 28)
X=l:sinyJ? = 2,
и отрезок х будет геометрически построец *.
Можно также рассчитать ttbq таким образом, чтобы[отрезок]
ja отличался от г менее, чем на заданную величину, в
предположении, однако, что sin nbq должно быть отлично от — *.
е
* Из точки Ь на луче Ьп проводим луч bq под углом v = — Л. На
луче bq строим точку а так, чтобы v был углом параллельности,
соответствующим отрезку аЬ (§35). Теперь на
прямой ma (J_ bq) строим точку j таким образом,
чтобы было jut d2z Ьп, т. е. чтобы Ъ\ была секущая
равного наклона к параллелям Вп и ant (§ 37)
Предельная линия (L), проходящая через точку Ъ
г-»
и имеющая осью луч Ьп, пройдет поэтому и
через точку j. Обозначая через х отрезок ja, мы
находимся теперь в условиях теоремы § 28 (X = sin и; sin v)y причем
и = R, а v = -^ Л, поэтому X = 2.
Значит, нами построен такой отрезок х, для которого X = 2 или,
иначе, в гиперболической плоскости может быть построен отрезок х,
определяемый уравнением
х
ei =2.
* Угол v мы можем выбрать как угодно; построение даст
соответствующий отрезок х, для которого
X
Sin U
Когда v стремится к arcsin —, то х стремится к г и, следовательно,
е
можно выбрать v настолько близким к arcsin —, чтобы х отличалось
от г менее, нежели на любую заданную величину. Если бы v было
случайно взято так, что sin v = —, то х было бы в точности равно и

124
АППЕНДИКС
§ 39
§ 39*.
Если (в плоскости) рс\ и at || прямой mtt (§ 27) [черт. 19],
а аб и cb суть равные между собой перпендикуляры к mn*,
то, очевидно,
ДЬес =5 /\Ыа]
вследствие этого углы (может быть, смешанно-линейные 0)
ecp и cat конгруентны, а
вместе с тем
ее = еа.
Если, далее, cf = ад, то
Д асГ=Дсад,
и каждый из них
составляет половину
четырехугольника fagc. Если fagc, Ijagf
суть два четырехугольника
этого рода на ag,
[содержащихся] между pq и St, то
их равенство 5 (как у
ЕВКЛИДА), равно как и ра-
Черт. 19.
венство треугольников age
и aglj, прилежащих к одной и той же [стороне] ag и имею-
* В этом параграфе Больаи переходит к подготовке учения об
измерении площадей прямолинейных фигур.
* Линии J)q и 3t представляют собой эквидистанты, имеющие общей
базой прямую nm и отстоящие от нее по обе стороны на одно и то же
расстояние аЬ = сЬ. В евклидовой плоскости эти линии суть прямые,
в гиперболической — кривые; Больаи предусматривает и тот и другой
случаи.
® То-есть прямолинейные — в системе S и смешанно-линейные, т. е.
имеющие одну прямолинейную и одну криволинейную сторону, — в
системе S.
9 Больаи во всем изложении учения о площадях под «равенством»
разумеет равповеликость (в отличие от конгруентности).

§ 40
АППЕНДИКС
125
щих вершины на pq, совершенно очевидно. Далее
acf = cag, gcq = cga
и
acf+ac8 + gcq = 2B
(§ 32), а потому также
cag + acg + cga = 2E;
следовательно, в каждом треугольнике acg этого рода * сумма
трех углов =2В.
Прямая ag либо совпадает с [линией] ag (которая ||tmt),
либо нет; но равенство прямолинейных треугольников age и
aglj пак по плогцади, man и по сумме углов в том и в другом
случае совершенно очевидно *.
§ 40.
Равные треугольники обе, abb (здесь и впредь
прямолинейные), имеющие общую сторону, имеют также одинаковые суммы
углов.
В самом деле, пусть ntn [черт. 20] делит пополам как ас,
так и Ьс, и пусть pq (проходя через с)[|тп; в таком случае b
ляжет на pq. Ибо, если ЪЬ пересекает тп в точке е, то
линию pq она встретит [в f] на расстоянии cf = cb (§ 39)0;
* То-есть в треугольнике типа acg с прямолинейным основанием ag
в евклидовой плоскости и криволинейным (эквидистантным) в
гиперболической плоскости.
* Эти прямолинейные треугольники на чертеже не нанесены. Но оба
они получаются из треугольников того же наименования с (возможно)
криволинейным основанием ag отбрасыванием сегмента, ограниченного
хордой и дугой a д.
® Отложим ef = гЬ и из точек Ъ и f опустим на прямую run
перпендикуляры ЬЬГ и ff7 (на чертеже не нанесенные); тогдз
треугольники ЬЬ'е и ff'e будут равны, а потому будут равны расстояния ЪЬГ
и ff7; на таком же расстоянии ее' от прямой отстоит и точка с (§ 39).
Поэтому f лежит на pq.

126
АПЙЕНДЙЙС
§ 41
поэтому
Д абс = Д abf,
а потому
АаЪЬ = МЬЪ
и, следовательно, Ь падает в f. Если бы [луч] ЬЬ не
пересекал nm, то пусть с будет точка, в которой перпендикуляр,
делящий прямую аЬ пополам, пересекает pq\ Затем
отложим g£ = fy таким образом,
чтобы £t пересекла продолжение
ЬЬ в какой-либо точке t (что
это возможно, обнаруживается
таким же способом, как в § 4).
Пусть, далее, St = 8a, lo||$t,
где о — пересечение линий Ы
и to *; тогда (§ 39)
д аМ = Дабо,
а потому
черт. 20. Д<*с > ДаМ>
(что противно сделанному предположению).
Равные треугольники abc, bef имеют равные оюе суммы
углов.
* Когда точка с передвигается по эквидистанте pq, то площадь
треугольника abc, как было показано в § 39, не изменяется. Больаи
помещает ез поэтому в точке пересечения pq с перпендикуляром,
восставленным к отрезку аЪ из его середины.
* Откладываем §>\ = §><х; через ( проводим эквидистанту по отношению
к базе 3t. Из соображений, совершенно аналогичных тем, которые были
изложены в сноске ® на предыдущей странице, вытекает, что луч Ы
пересекает эту эквидистанту в точке о, отстоящей от ! на расстояние lo = bf.

§ 4i АЙПЕНДЙКб Ш
Ибо [черт. 21] пусть mn делит пополам как ас, так и be,
a pq таким же образом делит пополам как bf, так и fe, и
пусть rft || mn и to||pq; тогда перпендикуляр ад к т$ * либо
равен перпендикуляру bf) к to, либо один из них,
например Ь$, будет больше другого; в том д в другом слу-
Черт. 21.
/~*
чае O^f с центром а имеет с дЗ какую-либо общую точку f *,
и (§ 39)
ДаЫ= ДаЬс = ДЬс[.
Но тогда Дай> (в силу § 40) имеет с треугольником bfe
и (в силу § 39) с треугольником ак одинаковую сумму углов ®.
А потому и треугольники аЬс и bef имеют одинаковые суммы
углов.
* То-есть перпендикуляр, опущенный из точки а к прямой nttt до
пересечения с эквидистантой г£ в точке д. Он будет также служить
нормалью (перпендикуляром) к г£.
* То-есть окружность, описанная из точки а, как из центра,
радиусом bf (при bf > ад), пересекает г£ в некоторой точке I.
0 Треугольники alb и асЬ равновелики и имеют общую сторону аВ;
треугольники апЗ и bfe равновелики и имеют общую сторону а! = bf.

126
АППЕНДИКС
42
В [системе] 8 эта теорема может быть также обращена.
В самом деле, положим, что треугольники dbc и bef имеют
одинаковые суммы углов и Д6а1 = Abef; тогда (в силу
предыдущего) они имеют одинаковые суммы углов, а вместе
с тем Дабе и /\аЫ имеют одинаковую сумму углов;
поэтому, очевидно,
Ьс1 + Мс + сМ = 2В.
А так как (согласно § 31) в [системе] 8 сумма углов всякого
треугольника < 2В, то точка I совпадает с с [40].
§ 42.
Если дополнение суммы углов в треугольнике abc до 2R есть
и,
а в треугольнике bef [это дополнение есть]
v,
то
Д abc: Д bef = и : v [черт. 22].
Ибо, если каждый из треугольников acg, get), fycb, bff,
t\t = p и вместе с тем
Д аЬе = тр, Д bef = пр *,
a s есть сумма углов каждого треугольника, который = р,
то, очевидно,
2R — u = ms — (m — l)2R = 2R — m(2R — s)*
и
u = m(2R — s);
равным же образом
v = n(2R — s).
* Волъаи, таким образом, начинает с того случая, когда площади
данных треугольников соизмеримы и р есть общая мера их.
* Если первый треугольник разбивается на т треугольников, в
каждом из которых сумма углов равна s, то сумма углов всех составляющих
треугольников равна ms. Чтобы получить сумму углов треугольника abc,
нужно отсюда отбросить сумму углов при (т — 1) точках д, I), ..., т. е.
(w — 1).2Й.

§ 42
АППЕНДИКС
129
Следовательно,
Д abc:Д bef = т: п = и: v.
Ясно, что это легко может быть также распространено
и на случай несоизмеримости треугольников abc и bef.
Таким же образом доказывается, что, треугольники на
сферической поверхности относятся между собой, как
избытки сумм их углов над 2JS. Если два угла прямые, то
третий угол будет этим избытком; треугольник же этот,
очевидно, равен
(где р есть окружность большого круга); следовательно,
всякий треугольник, угловой избыток которого =z, равен
4*2 *
* Если в сферическом треугольнике аЪс углы Ъ
и с прямые, то вершина а находится в полюсе
большого круга аБ; его площадь составляет такую часть
площади полусферы, какую z составляет от 2 тт.
Принимая во внимание выражение, указанное в § 32
(стр. 111) для площади всей сферы, получаем
приведенное в тексте соотношение.
9 Зак. 1430. Я- Больаи.

130 АППЕНДИКС §43
§43.
Теперь уже выразим площадь всякого прямолинейного
треугольника в [системе] S через сумму его углов.
Е<2ли ab [черт. 15] неограниченно возрастает, то (§ 42)
[отношение]
Д abc:(R — и—v)
будет оставаться постоянным*. Но
ДаЬс-чЬасп (§ 32, V),
и
R — и — v-^z (§ 1),
а потому
Ьасп: z = Д аЬс: (R — и — v) = bacV: z' *
Далее ясно, что
ЬЬсп :ЬЬ W = г : г' = tang z: tang zf ® (§ 30).
Но при t/'-^0
бЬ'с'п' lQ
bacV "*"4 '
* Если точка b переместится в точку Ь' (на чертеже не
обозначенную), то согласно § 42
Д аЬс: (2В — в) = Д ab'C : (2Л — §'),
где
s = i2— и — v, sr — R — u' — г/, г/= b'ca и i/ = cb'a.
* Ибо то же отношение будет оставаться постоянным и в том
случае, когда точка b остается неподвижной, а с перемещается по лучу be.
® Под ЬЬСП и bb'c'tt' Больаи разумеет площади полос, ограниченных
предельными дугами сЬ и с'Ь7 и осями (ЬЬ, сп, b'b, С'п')» проходящими
через конечные точки дуг. Такие полосы относятся, как дуги сЬ и c'fc/,
составляющие их основания. В самом деле, если основания соизмеримы,
то обе полосы делятся на полосы с равными основаниями, которые
между собой равны. С другой стороны, как показано в § 30,
СЬ : с'Ь7 (= г: rF) = tg z: tgz'.
9 Так как ЬЬ'с'п' = bac'tt' -f- c'b'a, а при yr ^-ч 0 второе слагаемое
стремится к нулю, то Больаи отсюда заключает, что bb'cn' гЬас'п'-^-Л.
Это действительно имеет место, но нуждается в несколько более
строгом обосновании.

§ 43
АППЕНДИКС)
13i
а также
tang£ *
г' '
Следовательно,
ЬЬсп: Ьлси = tang г: 2 *.
Черт. 15.
* Ибо г'.-^О.
* Из установленных выше соотношений
ЬЬсп _ tgz Ьасп z
ЬЬ'с'п'"" tgz' И bctcW ~~ z*
вытекает
ЬЬсп . ЬЬУп' _ tg z . tgjg/
bacn * bac'n' z % г! '
Когда г//*л-чО, то второй и четвертый члены этой пропорций:, как
было указано в тексте, стремятся к единице; отсюда вытекает
пропорция, приведенная в тексте.
9*

132
АППЕНДИКС
§ 43
С другой стороны (§f 32) *,
bbcn = гг = i2 tang z *
и, следовательно,
bacn = ^i2.
Поэтому во всяком треугольнике, у которого дополнение
суммы углов до 2R есть z, площадь — в дальнейшем будем
обозначать ее через Д — есть
Д = 2г2(2>.
Отсюда легко вытекает [черт. 14' 9], что если
or III am и го ||| аб,
то площадь, содержащаяся между or, $t, be (которая, оче-
m
a
Черт. 14'.
видно, есть абсолютный предел площадей прямоугольных
треугольников, неограниченно возрастающих, либо пре-
* См. § 32, V (стр. 107). Здесь bbCtt и есть предельное значение и.
* Ибо r = itgz (см. конец § 30).
® Пропорция может быть написана в виде
Д abc _ __ Еасп
~~ z
Но
Ьасп
В— и — v
— г2; следовательно, Д abc = (В — и — v) г2. Если теперь
обозначить В— и — v через z (новое), то получается формула, данная в
тексте,
Я Вместо черт. 14, на который из экономии ссылается Больаи,
помещаем дополнительный черт. 14', повторяющий часть черт. 14.

§ 43
АППЕНДИКС
133
дел Д при z-*^2R), равна
яг2 = ©г на F*.
Если этот предел обозначим через □, то будем иметь
далее (согласно § 30)
тиг2 = tang *2 □ = ©г на F (§ 21)
= Qs (вследствие § 32, VI)*,
где s есть хорда be [черт. 150] [41]. Если теперь данный
радиус s плоского круга (или L-образный радиус круга на F)
разделим перпендикуляром пополам, построим (согласно
§ 34) ЬЬ ||| — ctt, затем опустим перпендикуляр са на ЬЬ и,
наконец, восставим перпендикуляр cm к са, то получим г\
отсюда (на основании § 37), приняв произвольный i-образ-
ный радиус за единицу, можно будет определить tang г2
геометрически двумя однородными линиями одинаковой кривизны
(каковые, коль скоро даны их концы, по построении осей,
очевидно, могут измеряться одна другой как прямые линии
и в этом смысле могут считаться эквивалентными прямым
линиям).
* Площадь, содержащаяся между этими тремя параллелями, может
быть рассматриваема как площадь треугольника, все вершины которого
находятся на бесконечности, а все углы равны нулю. Ее значение
получается поэтому, если в формуле Д = гг2 положить z = те. На7поверх-
ности F это есть площадь круга (геодезического) радиуса г.
* Согласно § 21, на черт. 15 r = itgz; поэтому
тгг2 = тег2 tg2 z = □ tg2 z.
С другой стороны, s есть хорда предельной дуги г. Как указано
в § 30 (сноска* на стр. 95),
S S S
r==i(e2*"_-e~2i); т:г2 = тег2(еТ+е"'* — 2).
Последнее же выражение согласно заключительной формуле § 32, IV
(стр. 106) есть не что иное, как площадь круга радиуса s (в системе S),
т. е. 0 s. Это и приводит к установленному в тексте равенству лг? = 0 s.
0 Черт. 15, на который снова ссылается Больаи, приведен на стр. 131.

134
АЙПЕНДИКС
§ 43
Далее строится четырехугольник, равный □, например
правильный [черт. 23 ], следующим образом. Пусть
abc = R, Ьас = -2Д» acb=^R и Ьс = ж.
Тогда X (согласно § 31, II) можно будет выразить в
квадратных корнях и (согласно § 37) построить; имея же X, можно
будет (по § 38, либо также 29
и 35) определить и самое х [42].
Вместе с тем 8-кратная
площадь ДаЬс, очевидно, равна
□; а потому плоский круг
радиуса s геометрически квадри-
руется прямолинейной фигурой
или однородными линиями того
же типа (которые в смысле
сравнения их между собой
эквивалентны прямым); F-обратый
же круг таким же образом планируется. Итак, либо имеет
место XI аксиома Евклида, либо оюе возможна геометрическая
квадратура круга; однако, остается нерешенным, что из
двух имеет место [43].
— Далее, если tang,?2 представляет собой целое число
или рациональную дробь, знаменатель которой либо есть
простое число вида 2w-f-l (включая сюда и 2 = 2°-[~1),
либо же произведение произвольного количества простых
чисел этого вида, причем каждое из них входит только раз
(за исключением 2, которое может входить произвольное
число раз), то при этом и только при этом условии,
благодаря учению о многоугольниках знаменитого ГАУССА
(этому самому блестящему открытию нашего времени или
даже всех времен), можно также построить прямолинейную

§ 43
АППЕНДИКС
135
фигуру, которая равна tang z1 □ = ©s. Ибо деление
четырехугольника □ , очевидно, требует (поскольку
предложение § 42 легко распространяется на любые многоугольники)
делении 2i?, которое исключительно при этих условиях
выполнимо. Во всех же таких случаях" изложенное всегда
приводит к цели. И всякая прямолинейная фигура о п
сторонах, если только п есть число ГАУССова вида, может
быть преобразована в правильный треугольник*.
Наконец, оставалось бы еще только (чтобы совершенно
исчерпать этот предмет) показать, что невозможно (без
какого-либо допущения) решить, имеет ли место £ или какое-
либо S (и притом какое именно). Это мы, однако, отложим
до более подходящего случая.
* Основным источником осуществимости всех построений, о которых
х
Больаи здесь говорит, служит возможность построить число X = в *
по данному х\ это дает построение трансцендентного числа, каковое
циркулем и линейкой в евклидовой геометрии выполнено быть не может.
Однако, как было указано в примечании [39], построение Больаи носит
иной характер, нежели планиметрические построения циркулем и
линейкой. Поэтому вопрос о том, в каком смысле можно считать правильным
утверждение Больаи, еще подлежит исследованию.
&%ЩО&*

Таблица чертежей в оригинальном издании «Аппендикса».
Заказ 1430.

-ffb-
Жри мег а ни я
•<v

р] Приводим выдержку из письма Гаусса Фаркашу Больаи
от 6 марта 1832 г.1), в которой он говорит об обозначениях
Яноша Больаи:
«Очень выразительными и полезными для сокращения
я нахожу обозначения; при всем том я считаю, что было бы
хорошо для некоторых основных понятий установить не только
знаки или буквы, но и определенные названия; я уже давно
размышлял над некоторыми такими названиями. Пока мы
продумываем предмет непосредственно только в своем
представлении, мы не нуждаемся ни в именах, ни в знаках. Они
становятся необходимыми только тогда, когда мы хотим
объяснить его другим. Так, например, поверхность, которую
твой сын называет F, можно было бы назвать парасферой,
линию L — парациклом: по существу это — шаровая
поверхность или соответственно окружность бесконечного радиуса.
Гиперциклом можно было бы назвать совокупность всех точек,
отстоящих от прямой, с которой они лежат в одной плоскости,
на одном и том же расстоянии; можно определить так же
гиперсферу. Но все это только небольшие замечания
второстепенного значения: главное составляет материал, а не его
форма».
Названия, предлагаемые Гауссом, очень мало отличаются
от терминологии Лобачевского; он называет поверхность F
х) Об этом письме см. стр. 21.

140
ПРИМЕЧАНИЯ
[2]
предельной поверхностью или орициклом, а линию L —
предельной сферой или орисферой.
[2] Если b есть произвольная точка, лежащая вне луча am
(черт. 1 текста Больаи), то среди лучей, которые в
плоскости amb выходят из точки Ь, всегда существует один и только
один луч Ьп, удовлетворяющий двум требованиям: а) этот
луч не встречает луча am, b) всякий луч Ьр, проходящий
внутри угла abn, встречает am. Что такой луч существует,
Больаи вслед за тем выясняет (см. примечание [3]). И
существует он во всяком случае: если справедлив евклидов
постулат о параллельных линиях, т. е. если через точку b
проходит только одна прямая, параллельная am, то требованию
удовлетворяет луч, который лежит на этой параллели; если
же постулат несправедлив, т. е. если через b проходят
различные прямые, не встречающие прямой am, то требованию
удовлетворяет граничный луч, отделяющий встречающие лучи
от невстречающих. Это тот луч, который Лобачевский называет
параллельным лучу am 1). Больаи называет этот луч
асимптотическим относительно am; но этот термин он дает только в
примечании к немецкому тексту «Аппендикса». В самом
сочинении он им не пользуется, ограничиваясь всегда
символическим обозначением bn ||| am. В наших примечаниях мы
будем часто пользоваться ныне утвердившимся термином
Лобачевского: луч Ьп параллелен лучу am.
Что касается самого обозначения Ьп ||| am, то казалось бы
более целесообразным писать bn ||| am, так как речь идет именно
о параллельных лучах, а не о прямых. Но особенность
изложения Больаи во всех работах, которые были им приготовлены
к печати, заключается в том, что он тщательно избегает ка-
г) См. «Геометрические исследования» Лобачевского, предложение 16
(«Г. и.», 82/39), а также «О. г.», § 18, рубр. 1 (стр. 163). [Условное
обозначение этих библиографических ссылок см. в статье «Краткий» обзор
сочинения „Аппендикс"», стр. 39 этой книги.]

rt
ПРИМЕЧАНИЯ
141
ждого слова и каждого знака, без которого можно обойтись.
Он устанавливает соглашение, что обозначение bn ||| am всегда
нужно понимать в том смысле, что bit есть луч,
асимптотический относительно am; надстрочные знаки формально
становятся излишними. Но зато делается необходимым держать
в памяти значительное число обозначений, и это, несомненно,
затрудняет чтение «Аппендикса». Есть, впрочем, еще одно
основание, в силу которого Больаи отдал предпочтение этому
обозначению (см. примечание [8]).
[3] Строгое доказательство существования такого граничного
луча основано на непрерывности пучка лучей, проходящих
внутри угла abn через его вершину а (см. приводимый здесь
чертеж, где bam + abn = 2R\ Больаи
поворачивает луч bn до такого
положения). При допущении, что постулат b|s
Евклида несправедлив и что, кроме bn,
есть еще лучи, не встречающие am,
лучи этого пучка распадаются на две
категории: лучи первой категории
(например, be, bb) встречают луч am, лучи
второй категории (например, bf, Ы) его
не встречают. При этом все лучи
первой категории неизбежно расположены
по одну сторону лучей второй
категории и обратно. В самом деле, если
лучи be и bb принадлежат первой
категории, то никакой луч be второй
категории не может лежать между ними, ибо он, войдя внутрь
треугольника сЬЬ через вершину Ь, неизбежно1) должен был
бы из него выйти, пересекая сторону eb, и тем самым
принадлежал бы второй категории.
Таким образом, если принять, что евклидов постулат
несправедлив и из точки b внутри угла abn можно провести,
1) Это — так называемая аксиома Паша.

Ш ИРИМЕЧАЙИЯ t4l
кроме крайнего луча bn, еще хоть один и вследствие этого —
бесконечное множество лучей, не встречающих am, то это
приводит к образованию дедекиндова сечения в пучке лучей,
проходящих в угле abn через его вершину. Вследствие этого,
по принципу Дедекинда, в этом пучке необходимо существует
граничный луч, представляющий собой либо последний луч
первой категории (последний луч, встречающий am), либо
первый луч второй категории (первый луч, не встречающий am).
Но последнего встречающего луча существовать не может;
в самом деле, если be есть встречающий луч, то, взяв на am
точку b за точкой с, мы получим дальнейший луч,
встречающий am. Следовательно, существует первый луч второй
категории, т. е. первый (граничный) луч, не встречающий am.
Этот луч Больаи и называет асимптотическим относительно am
(на черт. 1 текста Больаи — это луч bn) и обозначает
bn ||| am.
[4] Согласно определению, bn ||| cm, если луч Ьп не
встречает луча cm, а всякий луч Ьр, проходящий внутри угла ebn,
встречает ст. Так как по условию bn ||| am, то луч bn не может
встретить не только луча am, но и луча ст. Лучи же,
содержащиеся внутри угла cbn (черт. 1 текста
'Г ? Больаи), распадаются на лучи, лежащие
\ внутри угла abn, и на лучи, проходящие
I \ в угле abc; лучи первой категории встре-
Г4^ \ чают луч am, а следовательно, и cm; лучи
N. \ второй категории, проходя внутрь треуголь-
>v \ ника cba, должны из него выйти, а потому
сг ^\b Должны встретить отрезок са, а вместе с тем
I \ и луч ст.
I \ Если же точка с будет взята по другую
сторону точки а, т. е. на луче am (см.
приводимый здесь чертеж), то справедливость предложения
очевидна. Чтобы самое предложение сохранило свое формальное

[б]-[*1
ПРЙМЁЧАЙИЯ
143
выражение, нужно только букву m для обозначения луча взять
за точкой е, т. е. отрезок vim должен быть больше ае, как
это в тексте Больаи указано в скобках. В немецком тексте это
замечание опущено.
[5] Ср. «Геометрические исследования», § 17 («Г. и.»,
стр. 84/41). Как и Лобачевский, Больаи рассматривает два
случая: а) когда точка с лежит на луче Ьп и Ь) когда она
лежит на продолжении этого луча. Для первого случая оба
геометра дают совершенно одинаковое доказательство; во
втором случае доказательство Больаи кажется несколько
более простым; в действительности же его доказательство
оставляет невыясненным момент, который рассуждением
Лобачевского исчерпан до конца.
Оба доказательства по существу основаны на аксиоме
Паша (см. стр. 141).
[6] Из доказанного предложения вытекает следующая,
более общая теорема, которой Больаи
пользуется ниже, в § 13.
Теорема. Если точка b лежит вне
прямой am, то на последней всегда
существует одна и только одна такая точка f,
что угол bfm равен данному углу а.
Зафиксируем точку а на прямой.
Доказательство, приведенное в тексте,
исчерпывает тот случай, когда a (=man)>mab;
точка f лежит в этом случае на луче am.
При a = bam точка f совпадает с а. Если
а < bam, то такая точка найдется на
продолжении ар луча am; в самом
деле, при движении точки а по лучу ар
угол bfm, как показано в заключительном
абзаце § 1, будет неограниченно убывать:
вследствие непрерывности прямой этот угол при некотором
положении f точки f станет равным данному углу а.

144
ПРЙМЕ11АНИЯ
Г)-!8!
Двух точек, удовлетворяющих требованию, быть не может,
ибо при движении точки f по прямой am в одну сторону угол
bfm постоянно убывает, а в другую сторону — возрастает.
[7] Штекель в своем примечании к немецкому тексту
«Аппендикса» предлагает следующее словесное выражение
этого предложения: «Луч fm стоит на той же высоте, что
и bn (fm gleich hoch Ьп)». Термин, несомненно, неудачный.
Выражение «линия равного наклона» представляется более
подходящим; предложение § 5 в этой терминологии гласит:
Если am HI Ьи, то каждой точке Ь прямой Ьп соответствует
одна и только одна точка f прямой am таким образом, что fb
будет секущей равного наклона обеих пря-
/\ мых,
л. Это предложение может быть
\ обобщено на какие угодно прямые,
\ лежащие в одной плоскости, следую-
\ щим образом:
Y Как бы ни были расположены две
прямые на плоскости, через каждую
точку одной из них можно провести одну и только одну
секущую равного наклона обеих прямых [т. е. образующую
с обеими прямыми равные внутренние односторонние углы;
см. приводимый здесь чертеж1)].
[8] Как было видно в § 1, соотношение Ьп ||| fan остается
в силе, где бы точка а ни была взята на том же луче am; ее
можно заменить любой точкой с того же луча. В § 2
установлено, что это соотношение остается также в силе, если мы
точку b заменим любой точкой д той же прямой Ьп. Таким
образом, в §§ 1 и 2 уже установлено, что соотношение am ||| Ьп
влечет за собой дп ||| ст. Существенно новое утверждение
заключается в том, что при этих условиях и, обратно, em (И дп.
*) Доказательство этого см., например, в примечаниях к
«Геометрическим исследованиям» Лобачевского (см. «Г. и.», стр. 136/91, лемма 1).

n
ПРИМЕЧАНИЯ
145
Для доказательства этого Больаи пользуется предыдущим
предложением: он проводит секущую равного наклона fb;
относительно нее оба луча расположены симметрично, и из этой
симметрии вытекает обратимость параллелизма.
Содержание этого параграфа можно еще интерпретировать
следующим образом. Если луч am параллелен лучу bn, то можно
сказать, что вся ориентированная прямая am, т. е.
ориентированная прямая, которой присвоена сторона, обращенная от a
к ш, параллельна ориентированной же прямой Вт, и обратно.
Очень вероятно, что именно это обстоятельство побудило
Больаи писать am ||| Ьп, а не ant || Ьн; в настоящее время лу*
чом am часто называют, именно, ориентированную прямую am.
Сообразно этому мы в настоящих примечаниях в дальнейшем
под лучом am будем разуметь всю ориентированную прямую,
а под лучом am — ориентированную полупрямую.
[9] Как уже было указано в сноске (*) на стр. 57, Больаи,
повидимому, и сам не был доволен изложением этого
параграфа. К оригинальному изданию «Аппендикса» приложены
«errata» (погрешности, опечатки). В этих «errata», в
примечании к § 7, сказано, что если предпослать третий случай, как
это, например, сделано в § 10, то первые два могут быть
обработаны короче и проще. В своем немецком тексте «Аппендикса»
Больаи эту перестановку действительно выполнил. Некоторая
неточность изложения обусловливается еще тем, что общее
учение о расположении прямых на плоскости еще не было
построено. Здесь мы изложим теорему § 7 в расчлененном
виде, в современном построении доказательства. Этому
предпосланы общие определения и предложения, относящиеся
к учению о расположении прямых на плоскости; без них вполне
уточнить доказательство невозможно. Чтобы не было
диссонанса, сохраняем обозначения Больаи.
1°. Каждая прямая am делит плоскость, на которой она
лежит, на две полуплоскости; отрезок, соединяющий две точки
одной и той же полуплоскости, не встречает этой прямой;
Ю Зак. 1430. Я. Больаи.

146
ПРИМЕЧАНИЯ
[§]
отрезок же, который соединяет две точки, принадлежащие
различным полуплоскостям, пересекает прямую am.
Относительно точек, лежащих в одной из этих полуплоскостей,
говорят, что они расположены по одну сторону прямой am;
относительно двух точек, принадлежащих различным полуплоскостям,
говорят, что они располоэюены по разные стороны прямой am.
Таким образом, отрезок, соединяющий две точки, лежащие
по одну сторону прямой am, этой прямой не встречает;
отрезок же, который соединяет две точки, расположенные по
разные стороны прямой am, встречает эту прямую.
2°. Если прямая am расположена в одной плоскости с
прямой Ьп, но последней не встречает, то все ее точки лежат по
одну сторону прямой Ьп; в этом случае говорят, что прямая am
расположена по одну сторону прямой Ьп.
Если в одной плоскости с прямой ср лежат прямые am и
Ьп, ее не встречающие, и если обе расположены относительно bit
в одной и той же полуплоскости, то говорят, что обе прямые
располоэюены по одну сторону прямой ср; если же одна из этих
прямых лежит в одной полуплоскости, а вторая — в другой,
то говорят, что они лежат по разные стороны прямой ср. В этом
последнем случае говорят также, что прямая ср лежит между
прямыми am и Ьп.
3°. Если прямая ср лежит в одной плоскости с прямыми
am и Ьп между ними, то каждый отрезок, соединяющий любую
точку прямой am с любой точкой прямой Ьи, встречает
прямую ср. Это непосредственно вытекает из предыдущих
определений.
4Э. Обратно, если три прямые am, Ьп и ср, не имеющие
общих точек, расположены в одной плоскости, и отрезок ab,
соединяющий точку а первой прямой с точкой Ь второй
прямой, встречает третью прямую в некоторой точке с, то
прямая ср находится между прямыми am и Ьп.

[91
ПРИМЕЧАНИЯ
14?
Все эти определения и предложения принадлежат той части
геометрии плоскости, которая от постулата о параллельных
не зависит. Заметим еще, что все эти положения остаются,
конечно, в силе, если считать прямые ориентированными и
соответственно этому называть их лучами. В соответствии с этим
под лучом ab мы будем разуметь прямую аЬ,
обращенную в сторону от точки а к точке Ь. В отличие от этого
остается в силе обозначение Больаи, который под ab разумеет
полупрямую, выходящую из точки а и содержащую точку b *).
Теперь перейдем к тем предложениям, из которых
составляется § 7.
Теорема 1. Если луч ср расположен в плоскости двух
параллельных лучей am и bit между ними, то он параллелен обоим
этим лучам.
Отрезок ah, соединяющий точку а прямой am с точкой b
прямой Ьп, встречает прямую ср в некоторой точке с (см. 3°).
Любой луч йц, проходящий внутри m р п
угла cam (он же bam), встречает луч Ъ\х
в некоторой точке f (потому что am ||| Ьп).
Отрезок же af встречает луч ср.
(согласно 3°) в некоторой точке Ь. Это
значит, что любой луч aq, проходящий
внутри угла cam, встречает луч ср,
а потому am ||| Ср. Совершенно таким же
образом обнаружим, что и Ьп ||| ср.
Эта теорема имеет очень общий характер и находит себе
применение как для доказательства предложений § 7, так и во
многих других случаях. Однако справедливо также
предложение, которое в некотором смысле можно рассматривать как
обратную теорвхму.
Теорема 2. Если луч ср проходит между лучами am и Ьп и
параллелен им (ср ||| am и ср ||| Ьп), то и лучи am и Ьп параллельны.
*) В этих обозначениях предложение § б можно формулировать так:
если луч ant параллелен лучу Ьп, то и весь луч am (вся ориентированная
прямая am) параллелен всему лучу Ьп (всей ориентированной прямой Ьп),
10*

148
ПРИМЕЧАНИЯ
I9]
В самом деле, так как луч ср проходит между лучами am
и Ьп, то отрезок ab встречает луч ср в некоторой точке с. Луч
щ, проходящий внутри угла bam (он же cam), встречает луч
ср в некоторой точке Ь, потому что am ||| Ср (§ 6).
Продолжение bq отрезка ab войдет внутрь угла bbp и встретит луч Ьп
в некоторой точке f, потому что Ьр ||| Ьп. Таким образом, всякий
луч щ, проходящий внутри угла bam, пересекает луч Ьп и
am HI Ьп. Это рассуждение в несколько ином контексте
воспроизводит первую часть доказательства Больаи.
Теорема 3. Если лучи am и Ьп, расположенные в одной
плоскости с лучом ср, параллельны последнему (am ||| Ср, Ьп ||| Ср),
то am|||bn.
Лучи am и Ьп не могут встретить луча ср, потому что они
параллельны ему; но они и сами не могут иметь общей точки,
ибо из точки их пересечения, если бы таковая существовала,
выходили бы два луча, параллельные ср. Поэтому каждый из
этих лучей расположен по одну сторону луча ср. При этом
могут иметь место два случая: а) оба луча am и Ьп
расположены с одной и той же стороны
луча ср; Ь) лучи am и Ьп
расположены по разные стороны ср.
а) Положим, что лучи am и Ьп
расположены по одну сторону луча ср,
причем am HI Ср и Ьп ||| Ср. Согласно § б,
луч ср, в свою очередь, параллелен
лучам am и Ьп. Если поэтому
соединим точку с с любой точкой b
прямой Ьп, то всякий луч cq, проходя-
щий внутри угла Ьср, встретит луч Ьп
в некоторой точке f. По тем же
соображениям всякий луч cq, проходящий внутри угла аср, ветре-
тит луч am в некоторой точке Ь. Если поэтому луч cq
проведен внутри меньшего из углов аср и Ьср, то он встретит как
луч am, так и луч Ьп соответственно в точках b и f. Так как

I9]
ПРИМЕЧАНИЯ
149
лучи am и Ьп расположены по одну сторону ср, то точки f
и Ь расположены по одну сторону точки с. Одна из них
должна поэтому лежать между с и другой из них; пусть [лежит
между с и Ь.
В таком случае весь луч Ьп лежит между лучами am и
Ср (см. выше, 4°), и так как am ||| Ср, то в силу теоремы 1 луч
Ьп параллелен как лучу ср (что уже содержится в условии),
так и лучу am (что и требовалось доказать).
Ь) Если лучи am и Ьп расположены по разные стороны ср,
иначе говоря, луч ср расположен между лучами am и Ьп, то
мы находимся в условиях теоремы 2.
Теорема 4. Если через точку с, лежащую вне плоскости
двух параллельных лучей am и Ьп (am ||| Ьп), проведем плоскости,
содержащие эти лучи, то они пересекутся по прямой ср, которая,
будучи ориентирована в надлежащую сторону, будет параллельна
обоим лучам (ср HI am и ср ||| Ьп).
В самом деле, прямая ср не может встретить ни am, ни Ьп,
ибо через точку пересечения, если бы таковая существовала,
должен был бы пройти и
третий луч. Через точку с и /^"^^^^
точки а и Ь, произвольно взя- // \ ^^^*-^^^
тые на лучах am и Ьп, про- / ,' \ ^^^Р
ведем плоскость abc; будем / ^- \ /(
считать луч ср направлен- / / ч^ \" *---.. / (
ным от плоскости abc в ту // ' "*ч / п
же сторону, в какую обра- /' е'''ч\ /
щены параллельные лучи ° — 1:\ J
am и Ьп. Чтобы доказать, что '
Ср ||| am, достаточно обнаружить, что каждый луч сЬ,
проходящий внутри угла аср, встречает луч am. С этой целью
проведем через прямые сЬ и cb плоскость; она пересечет
плоскость abn по лучу Ье, проходящему внутри угла abn. Так
как Ьп ||| am, то луч Ье встретит am в некоторой точке f; через
эту точку пройдет также и луч сЬ. Таким же образом
покажем, что ср ||| Ьп,

150
ПРИМЕЧАНИЯ
t9l
Теорема доказана. Заметим, однако, что через точку с
проходит только один луч, параллельный, скажем, am; это и есть,
следовательно, луч ср, построение которого было сейчас
указано. Вследствие этого ту же теорему можно формулировать
следующим образом:
Теорема 4а. Если точка с лежит вне плоскости
параллельных лучей am и Ьп, то луч ср, параллельный одному из этих
лучей, параллелен также и другому.
Теорема 5. Если три луча am, Ьп и ср не расположены
в одной плоскости и два из них параллельны третьему (скажем}
СШ ||| Ср и Ьп ||| Ср), то они параллельны между собой (am ||| Ьп).
По существу — это лишь иная формулировка предыдущей
теоремы. В самом деле, по условию am|||cp; поэтому луч Ьп,
параллельный ср, должен быть также параллелен am.
Теоремы 3 и 5 устанавливают, таким образом, общее
предложение :
Если лучи am и Ьп параллельны одному и тому оюе лучу ср,
то они параллельны друг другу, независимо от того, лежат ли
эти три луча в одной плоскости или в различных плоскостях.
Заметим, однако, что доказательство теоремы 5,
относящейся к тому случаю, когда три луча лежат в различных
плоскостях, проводится
совершенно независимо от теоремы 3, т. е.
от того случая, когда прямые
расположены в одной плоскости.
Это дает Больаи повод
использовать стереометрическую теорему 5
для доказательства
планиметрической теоремы 3.
В самом деле, положим, что
лучи am и Ьп параллельны лучу ср,
расположенному с ними в одной
плоскости. Из точки Ь, лежащей
вне этой плоскости, проведем луч bv], параллельный ср.
Согласно теореме 5, am ||| bq и Ьп ||| Ьс\, а вследствие этого в силу
той же теоремы 5 am ||| Ьп. Не подлежит сомдению, что это —

[10]
ПРИМЕЧАНИЯ
151
простое и изящное доказательство теоремы 3. Нужно, однако,
сказать, что применение стереометрических предложений к
доказательству теоремы плоской геометрии вряд ли можно считать
целесообразным.
[10] В евклидовой геометрии две плоскости, из которых
одна перпендикулярна к третьей, а другая к ней наклонена
под острым углом, всегда пересекаются со стороны острого
двугранного угла. На приводимом
здесь чертеже изображены эти две
плоскости amp и bnb; mabit есть
полоса секущей плоскости, с которой
полуплоскость amp образует прямой,
а полуплоскость bnb— острый угол;
эти две полуплоскости в евклидовом
пространстве по достаточном
продолжении неизбежно пересекаются. Остановимся подробно на
том, как это предложение доказывается в евклидовой
геометрии.
Заметим прежде всего, что предложение это совершенно
тривиально, когда прямые am и Ьп пересекаются: точка их
пересечения есть общая точка плоскостей map и nbb (и,
в частности, полуплоскостей map и nbb) — эти плоскости
пересекаются. Таким образом, интерес представляет лишь тот
случай, когда прямые am и Ьп параллельны. В этом случае
доказательство проводится следующим образом.
Положим, что прямая ab выбрана секущей на плоскости
так, что она перпендикулярна к обеим параллелям am и Ьп;
в качестве ар взят перпендикуляр к прямой am в
полуплоскости тар, а в качестве ЪЬ — перпендикуляр к прямой Ьп
в полуплоскости bnb. Условие теоремы сводится тогда к тому,
что bap есть прямой, а abb — острый угол. Прямые ар и bb,
очевидно, лежат при этих условиях в одной плоскости; в этой
плоскости луч ар перпендикулярен к секущей ab, луч ЬЬ
образует с ним острый угол; в силу постулата о параллельны^

152
ПРИМЕЧАНИЯ
I11]
линиях лучи ар и bb пересекутся, а вместе с тем
пересекутся и полуплоскости amp и bub. Эти элементарные
соображения приведены для того, чтобы отчетливо обнаружить, что
доказательство целиком основано на постулате о
параллельных линиях.
Как обстоит дело в неевклидовом (гиперболическом) про-
fj
странстве? Попрежнему предполагаем, что плоскость amp
сечет третью плоскость abn под прямым углом, а
полуплоскость bnb сечет ее под острым углом. Если прямые am и bit
пересекаются, то мы имеем тот же тривиальный случай:
плоскости пересекаются. Но если прямые am и Ьп не
пересекаются, то в гиперболическом пространстве они либо
расходятся, либо параллельны. В случае расходящихся прямых
теорема в гиперболическом пространстве места не имеет;
плоскости могут пересекаться, могут и не пересекаться в
зависимости от расстояния между прямыми am и Ьп и от величины
двугранного угла при Ьп. Но если прямые am и Ьп
параллельны, то теорема остается в силе и в гиперболическом
пространстве. Мы, таким образом, приходим к следующему
предложению, которое, по выражению Больаи, «абсолютно истинно,
независимо от истинности или ложности XI аксиомы Евклида»:
«Если две плоскости пересекают третью плоскость по двум
параллельным прямым am и Ьи и одна из этих плоскостей amp
перпендикулярна к секугцей плоскости, а другая ЪпЬ образует с
последней (с одной стороны) острый двугранный угол, то плоскости
эти пересекаются со стороны острого двугранного угла».
Это предложение и составляет содержание § 9.
[п] Условие предложения § 9 заключается в том, что две
плоскости amp и bub пересекают плоскость mab по
параллельным лучам am и Ьп (т. е. am ||| Ьп); при этом плоскость amp
перпендикулярна к секущей плоскости, а плоскость ЬпЬ
образует с последней со стороны am острый угол. Заметим,
что прямад ар, служащая для обозначения плоскости amp, мо-

fnI
ПРИМЕЧАНИЯ
153
жет быть заменена любой другой прямой, проходящей в той же
плоскости через точку а. Точно так же прямая ЪЬ может быть
заменена любой другой прямой, про- е
ходящей через точку b в той же
плоскости ЬпЬ. Самые точки а и m
на прямых am и Ьп, конечно, также
могут быть выбраны произвольно.
Выбрав произвольную точку Ь
на Ьп, опустим из нее
перпендикуляр на прямую am и за a a b
возьмем его основание, В таком случае прямая vlb, вследствие
перпендикулярности плоскостей amp и abtl, будет
перпендикулярна к плоскости amp; углы bam и Ьар будут прямые.
Теперь из точки а опустим на Ьп перпендикуляр ас.
Больаи не исключает и такой возможности, что точка с
совпадает с точкой b; ab будет тогда общим перпендикуляром
к двум параллельным прямым am и Ьп. Это может иметь
место только в случае евклидовой геометрии, возможности
которой Больаи не исключает. В случае же неевклидовой
геометрии Ьп составляет с ab острый угол abn и,
следовательно, точка с падает внутрь луча Ьп. Точка с, таким образом,
во всяком случае падает на луч Ьп, в точку b или за ней.
Теперь из точки с восставляем перпендикуляр се к прямой
Ьп в полуплоскости ЬпЬ; асе есть линейный угол того
двугранного угла, который по условию должен быть острым; таким
образом, асе < В. Если поэтому из а опустим перпендикуляр
на прямую се, то его основание f упадет на сторону се этого
острого угла. Плоскость линейного угла асе перпендикулярна
к грани Ьп этого угла; поэтому перпендикуляр af к се
перпендикулярен к плоскости Ьпе и к прямой bf; треугольник
afb имеет при f прямой угол; поэтому угол baf острый.
Как было указано, за ЬЬ могла бы быть выбрана любая
прямая в плоскости ЬпЬ, выходящая из Ь; Больаи ее
отождествляет с bf. По тем же основаниям он за ар принимает пря-

154
ПРИМЕЧАНИЯ
[13]
мую, по которой плоскость abf пересекает плоскость amp; таким
образом, ар лежит в плоскости abf, и, в частности, через
ар обозначается луч, лежащий в полуплоскости abf.
Теперь Больаи поворачивает
полуплоскость abf вокруг ab до тех
пор, пока она не упадет на abm. На
чертеже изображено, как
расположатся прямые, лежащие в плооко-
сти abp, после падения на abm.
Луч ар, перпендикулярный к оси
вращения, совместится с am. Так
как baf, как показано, есть острый
угол, то луч af расположится
внутри угла bam. Так как am ||| Ьп, то
луч af при достаточном продолжении
встретит Ьп в некоторой, точке д. С
другой стороны, как видно из предыдущего чертежа, af < ас;
а так как ag^> ас, то точка f упадет внутрь отрезка ag. Поэтому
луч bf пройдет внутри угла abn. А так как Ьп ||| am, то
луч bf пересечет ant и совпавший с ним луч ар в некоторой
точке Ь Следовательно, луч bf и в первоначальном своем
положении пересекал ар. ^
Точка пересечения при- q
надлежит полуплоскостям
map и nbb, которые,
следовательно, пересекаются.
[12] Если, сохраняя
прежние обозначения, мы
заменим одну из
параллелей, скажем am, проекцией ес| другой параллели Ьп на
плоскость amp (см. приводимый здесь чертеж), то мы придем
к случаю, уже разобранному выше, так как луч Ьп, пароле

[13,
ПРИМЕЧАНИЯ
155
лельный плоскости amp, параллелен своей проекции eq на эту
плоскость (см. следующее примечание [13], теорема 2).
[13] Нижеследующие соображения представляют собой
развитие примечаний 10 и 11.
Теорема 1. Если две плоскости, перпендикулярные к третьей,
пересекают последнюю по параллельным лучам, то они не пересекаются.
Плоскости amp и Ъщ (черт, а) перпендикулярны к
плоскости шаЬ а пересекают ее по параллельным лучам am и Ьп.
Секущая плоскость есть
плоскость симметрии пары
плоскостей amp и Ъщ; если бы
поэтому две плоскости имели
общую точку b по одну сторону
плоскости mab, то они имели
бы также общую точку Ь' по
другую ее сторону. Прямая
пересечения обеих плоскостей
встретила бы поэтому плоскость симметрии в некоторой точке п,
которая должна была бы принадлежать обеим прямым am и Ьп,
что противно условию, ибо
эти прямые (лучи)
параллельны.
Для сокращения
дальнейших формулировок будем
называть луч ab параллельным
плоскости pqr, если он
параллелен какому-либо лучу а'Ь',
лежащему на этой плоско-
0 сти. Ясно, что луч ab в этом
случае параллелен любому лучу ь"Ъ" на плоскости pqr,
параллельному a'b' (§ 7).
Теорема 2. Луч, параллельный плоскости, параллелен своей
проещии на эту плоскость.
В самом деле, положим, что луч аЬ параллелен лучу й'Ъ',
лежащему в плоскости pqr (черт. tf). Проекция a"b" луча ab

156
ПРИМЕЧАНИЯ
[18j
на плоскость pqr представляет собой пересечение двух
плоскостей, из которых одна (проектирующая) проходит через аЬ,
другая (плоскость проекций) — через а'Ь''. Она поэтому
параллельна как аЬ, так и а'Ь' (см. § 7 и к нему примечание [9],
теорему 4 на стр. 149). Это свойство обычно принимается за
определение прямой, параллельной плоскости (см. «О. г.», § 49,
рубр. 4, стр. 409).
Теорема 3. Через луч ab, параллельный плоскости pqr,
проходит одна и только одна плоскость, не встречающая плоскости pqr.
Пусть а'Ь' будет проекция луча аЪ на плоскость pqr (черт. в).
Через аЬ проведем плоскость cabb, перпендикулярную к
проектирующей плоскости abb'а'.
Так как лучи ab и а'Ь'
параллельны, то эта плоскость не
встречает плоскости pqr
(теорема 1). Всякая же другая
плоскость, проходящая через
ab, в силу теоремы § 9,
пересечет данную плоскость.
в Теорема 4. Две
плоскости, пересекаюгцие грани
двугранного угла по параллельным лучам под прямыми углами, сами
также пересекаются.
В гранях cab и tab двугранного угла (аЬ) проходят
параллельные лучи cb и ef (черт. г). Согласно § 7 (примечание [9],
теорема 4 на стр. 149), ребро ab двугранного угла при этих
условиях параллельно лучам cb и ef. Через эти лучи
проходят плоскости fcb и lef, перпендикулярные к граням угла.
Требуется доказать, что эти две плоскости пересекаются.
Если двугранный угол (ab) также прямой, то плоскости
cab и lef, пересекающие плоскость грани eab по параллельным
лучам под прямыми углами, не пересекаются. Но луч cb
параллелен плоскости lef; через этот луч поэтому может
проходить только одна плоскость, не встречающая плоскости lef;
это есть плоскость cab. Поэтому плоскость fcb неизбежно
встречает плоскость lef.

[14]
ПРЙМЕЧАЙЙЯ
15?
Если двугранный угол (ab) не прямой, то плоскости fcb и
еаЬ, из которых одна перпендикулярна к грани bab, а
другая образует с ней с той или с другой стороны острый угол,
пересекаются (§ 9) по лучу gf), параллельному лучам аб и cb»
Двугранный угол при д{) не может быть прямым: будь он
прямым, плоскости egt) и acj), перпендикулярные' к плоскости bcgfj,
по параллельным лучам сЬ и gf) не пересеклись бы; между тем
о
N
Ч
Ч
ь
они пересекаются по ab. Но в таком случае плоскости lef и
cgl) должны пересекаться в силу предложения § 9.
С этим именно случаем мы и встречаемся в § 10 (черт. 7
в тексте Вольаи). В гранях bam и cam двугранного угла (am)
проходят параллельные лучи bq и ег. Через них проходят
плоскости, перпендикулярные к граням угла; эти плоскости
поэтому пересекаются по лучу f$, параллельному лучам Ьс\ и ег,
а потому и лучам Ъп и ср.
[и] В отличие от Вольаи Лобачевский рассматривает
сначала случай, когда все три параллели лежат в одной
плоскости («Геометрические исследования», предложение 30) (см.
«Г. и.», стр. 103—106/55^-58); доказательства
планиметрических предложений, не основанные на стереометрических
соображениях, как уже было замечено выше, всегда имеют то
существенное преимущество, что дают возможность
развертывать геометрию плоскости средствами самой плоскости (дву-

ы
ЙРИМЕЧАЯИЙ
t16)
мерная геометрия). Ту роль «абсолютно истинной» леммы,
которую у Больаи играет предложение § 7, у Лобачевского
играет предложение 28.
[1б] Больаи рассматривает так называемую связку
параллелей— совокупность всех прямых в пространстве,
параллельных прямой am в направлении am (включая в эту связку и
самую прямую am) и потому попарно параллельных между
собой. На прямой am фиксируется некоторая точка а. Тогда,
согласно § 5, на каждой прямой 6п, принадлежащей этой связке,
существует такая точка Ь, что fm — am, т. е. йЬ есть
секущая равного наклона по отношению к параллелям am и {ж.
Совокупность всех таких точек Ъ (включая и исходную точку а)
Больаи обозначает символом F.
Если ограничиться только теми прямыми, параллельными
am в направлении am, которые лежат в одной плоскости,
проходящей через am, то связка прямых Ьи заменяется плоским
пучком параллелей, который можно считать сечением
рассмотренной связки этой плоскостью. Аналогичная совокупность
точек b на прямых этого пучка (удовлетворяющих тому же
свойству btt — am) является, таким образом, «плоским
сечением» совокупности F] это сечение Больаи обозначает
символом L х).
Ниже (в § 17) Больаи доказывает, что F есть поверхность,
а L — линия; он избегает поэтому до § 17 говорить «линия L»,
«поверхность F»; самые буквы L и F происходят,
очевидно, от «Linie», «Flache». Вряд ли эти доказательства
нужны, тем более, что вполне убедительными соображения
Больаи назвать нельзя.
Очевидно, F есть предельная поверхность, a L — предельная
линия Лобачевского; см. «Геометрические исследования»,
предложения 31 и 34 («Г. и.», стр. 106/58—59 и 109/61). Однако
определения Больаи гораздо ближе к определениям, принад-
*) При этом Больаи считает очевидным, что сечения F различными
шгоскостями, проходящими через out, дают одно и то же L; это
обосновано в следующем примечании.

[16]
ПРИМЕЧАНИЯ
159
лежащим Гауссу,—по существу они совпадают с ними (Gauss,
Werke, т. X).
[16] В отличие от Больаи Лобачевский в предложении 34
«Геометрических исследований» определяет предельную
поверхность как поверхность вращения предельной линии
вокруг ее оси. Покажем, что оба определения по существу
совпадают: докажем следующее предложение, высказанное
Больаи в конце § 11:
Если в некоторой плоскости bam имеется L с осью am (Ь — одна
из точек, принадлежащих L), то, вращая L вокруг оси am,
получим F.
Обозначим через Fx совокупность точек, полученных в
результате вращения L, и докажем, что 1° каждая точка Fx
принадлежит F и 2° каждая точка F
принадлежит Fv
1°. Каждая точка Fv
например Ь'', получена в результате
вращения некоторой точки b на L; при
этом вращении прямая Ъп займет
положение b'n'. Ясно, что из
Ьи ||| — am следует bV ||| =fb am,
а поскольку F— совокупность всех
точек, для которых b V ||| =2z am,
то V принадлежит F.
2°. Каждая точка F,
например с', лежит в некоторой
плоскости с осью am; проведем в этой
плоскости прямую сТ ||| am; по определению F сТ — am.
Повернем плоскость а тс' до совмещения с исходной плоскостью ami.
Тогда точка с' займет положение с на L, так как из c'f ||| — am
следует cf ||| — am, а по определению L есть совокупность всех
точек, для которых cf ||| — am. Вращая L с точкой с на
ней в обратном направлении, совмещаем с снова с с'; при
этом вращении L описывает Fx\ следовательно, С7 лежит
на 2*\.
»• С
m

160
ПРИМЕЧАНИЯ
ГИ]-[18]
[п] Постулат о параллельных линиях допускает следующую
формулировку, весьма близкую к евклидовой:
Если два луча am и bit параллельны, то внутренние
односторонние угли bam и abtt составляют в сумме 2R (bam + abtt = 2R).
При анализе того, истинно ли это положение или ложно,
прежде всего возникает вопрос о перманентности его; это
значит— не может ли оказаться, что в одних случаях это
положение справедливо, в других — ложно. В настоящем параграфе
Вольаы доказывает, что такая возможность исключена. В
словах доказываемое предложение выражается следующим об
разом:
Если при пересечении двух параллельных лучей am и Ьп
секущей ab сумма внутренних односторонних углов abtt и bam равна 2R,
то и при пересечении любых других двух параллельных лучей Ср и
Ь(\ секущей cb сумма внутренних односторонних углов bcp-\-cbq=2R1).
Итак, дано: bit ||| am, ip ||| bq и abtt + bam = 2Д; требуется
доказать, что Ьср -\- cbq = 2R.
[18] Докажем, что F есть «однородная» поверхность (см.
сноску*на стр. 73). Что в F можно произвести вращение на
любой угол, вокруг любой ее точки а, следует из возможности,
получить .F вращением L вокруг оси (см. § 12 и примечание [16]);
каждую же точку а на F можно принять за начальную, а
прямую am пучка параллелей (см. [15]) — за ось F. Остается
показать, что в F можно осуществить такое движение, что каждая
ее точка а может быть приведена в совмещение с любой
другой ее точкой Ь.
Проведем через обе точки а и b оси am и Ьп. В плоскости
mabn проведем к отрезку ab в его середине с
перпендикуляр ср; согласно § 8 этот перпендикуляр ср ||| am; он
принадлежит связке параллелей, которая лежит в основе образования F,
1) Заметим, что предложение § 13 совершенно эквивалентно теореме
Лежандра: если сумма углов в одном треугольнике равна 2Е, то она
равна 2R и во всяком другом треугольнике. (См. «О. г.», стр. 141, «вторая
основная теорема Лежандра».)

[19]
ПРИМЕЧАНИЯ
161
и на нем существует такая точка Ь, что
следовательно, точка b лежит на рассматриваемой F, а также—
на L, являющейся сечением F плоскостью mabn.
Повернем теперь полосу таср на 2R до ее совмещения
с полуплоскостью с))Ь. Точка а попадет в точку b, L
совместится с самой собой, а вся F
также совместится с самой собой.
Мы осуществили такое
движение F по самой 'себе (вращение
вокруг Ь), что точка а
совместилась с точкой Ь.
[19j Это предложение,
устанавливающее, что в
гиперболическом пространстве на предельной
поверхности остается в силе планиметрия Евклида, имеет для
дальнейшего развития неевклидовой геометрии решающее
значение. Очень замечательно, что как Лобачевский, так и
Больаи и Гаусс — все трое сделали ее точкой
отправления дальнейших рассуждений, главным образом при
построении гиперболической тригонометрии. Доказательства
Лобачевского и Больаи по существу отличаются только
последним своим моментом. Как Лобачевский, так и Больаи
устанавливают, прежде всего, что на предельной поверхности
имеют место те же движения, какие возможны в евклидовой
геометрии,—что абсолютная геометрия (т. е. не зависящая от
постулата о параллельных линиях) остается на предельной
поверхности справедливой, если заменить прямые предельными
линиями. Остается решить вопрос, как обстоит дело с
постулатом о параллельных линиях. Вопрос решается, конечно,
в пользу евклидова постулата, но авторы приходят к этому
различными путями. Лобачевский непосредственно доказывает,
что в треугольнике, составленном на предельной поверхности
из предельных линий, сумма внутренних углов равна 2d. Больаи
11 Зак. 1430 Я. Больаи

162
ПРИМЕЧАНИЯ
,20,
опирается на предложение § 9, абсолютный характер которого
обстоятельно выяснен в примечании [10]. Опираясь на это
предложение, легко обнаружить, что на предельной
поверхности (F-поверхности у Больаи) две предельные линии (Zz-ли-
нии), из которых одна перпендикулярна к секущей
предельной линии, а другая образует с нею острый и тупой углы,
пересекаются со стороны острого угла; это и есть постулат
о параллельных линиях, который Больаи устанавливает,
впрочем, непосредственно в формулировке Евклида; для этого
сделаны предварительные указания в конце § 9.
Как пришел Гаусс к этому основному предложению, не
выяснено.
[20] Для уяснения этого нужно, прежде всего, иметь в виду,
что под ambit Больаи разумеет не полосу, ограниченную
лучами am, bit и дугой ab, а всю полосу, содержащуюся между
полными прямыми am и bit; эта полоса заштрихована на черт. 6
в сноске 0 на стр. 4G. Для
/ ясности предположим, что
г -___^^^ / be=ab, так что ae = 2be. По-
[ """""" р m лосы ambit и bitep равны, и
lb ш Р £ этом смысле Больаи считает
^Ж~~~~-~Ъ полосу amep «кратной» полосе
1е^——^-— \ aiI*u (ашеР === 2<НпЬп). Поло-
\ жим, далее, для простоты, что
точка с выбрана на луче am
в таком удалении от а. что дуга cb составляет половину ab.
В таком случае дуга cf—ab. Если мы поэтому сместим полосу
ambn так, чтобы дуга ab совместилась с равной ей дугой cf,
то лучи am и Ьп совместятся соответственно с cm и fp;
совместятся и их продолжения, а вместе с тем полоса ambit
совместится с полосой cmfp, т. е. со всей полосой amep, которая
как будто вдвое больше ее.
Парадоксальность этого результата коренится в том, что
к бесконечным полосам нельзя применять арифметических дей-

t*l]
ПРИМЕЧАНИЯ
163
ствий — нельзя говорить, что одна полоса вдвое, втрое больше
другой, так как эти понятия установлены для конечных
величин.
Еще иначе: нельзя установить критерия равенства полос,
ограничиваемых параллельными прямыми таким образом, чтобы
считать две такие полосы равными, когда они могут быть
приведены в совмещение, и одну полосу больше другой, если
последнюю можно поместить внутри первой.
Это совершенно аналогично тому, как
в евклидовой геометрии нельзя считать
один угол больше другого, если второй
может быть помещен внутри первого, ибо
равные углы могут быть помещены один
внутри другого. В заключение заметим, что этот парадокс не
отличается по существу от доказательства постулата о
параллельных линиях, данного Бертраном 1).
[21] Чтобы вполне уяснить содержание этой теоремы,
заметим следующее. Если а, Ъ, с суть стороны прямолинейного
треугольника, А, В, С — противолежащие углы, то в
евклидовой геометрии (в системе Е)
а : b:c = sin А : sin В : sin С.
Если умножим все три члена левой части равенства на 2 тс,
то то же равенство примет вид
Q а : Q b : Q с = sin А : sin В: sin С, (1)
где Оа» О ^> Ос СУТЬ длины окружностей радиусов а, Ъ, с
в евклидовой геометрии. Замечательное обстоятельство
заключается, однако, в том, что в форме (1) это предложение
оказывается справедливым и в гиперболическом пространстве
(в системе S); это есть предложение абсолютной геометрии. Это
утверждение и составляет содержание теоремы в § 25.
Чертеж Больаи недостаточно четок; не соблюдена
перспектива, вследствие чего не видно ясно, что прямая am перпен-
1) См. «О. г.», стр. 128—130.
/
11*

164
ПРИМЕЧАНИЯ
I21]
дикулярна к плоскости треугольника abc (к плоскости
чертежа): это вызывает неотчетливость в других частях чертежа.
Мы здесь приводим- иной чертеж и подробнее, чем в тексте,
проведем всё рассуждение; по прочте-
m п \ нии этого примечания будет легче
\ \ проследить текст Больаи.
\ \ На нашем чертеже abc есть прямо-
\ \ угольный треугольник с прямым углом
\ \ при вершине Ь, изображенный в пер-
I \ \ спективе на горизонтальной плоскости.
|Чч-\^яД_^^*у\ Из вершины а проведен перпендику-
jS\ / ЛЯР uttt к плоскости треугольника abc и
^*~"~ \У через две другие вершины Ь и с про-
Г ведены лучи Ьп и ер, параллельные ant.
Через точку с проведена предельная поверхность, имеющая
осью луч ср. Эта поверхность пересечет прямые Ьп и am в
точках b и е. На предельной поверхности образуется, таким
образом, геодезический треугольник, составленный из предельных
дуг cb, be, ее.
Теперь отметим, прежде всего, что в предельном
треугольнике еЪс угол при вершине b прямой. Согласно § 20 (см.
сноску0 на стр. 77), этот угол измеряется двугранным углом,
образуемым плоскостями nba и ttbc при ребре nbb. Но этот
двугранный угол — прямой; в самом деле, плоскость bam
перпендикулярна к плоскости треугольника abc и пересекает ее по
прямой ab. Далее, прямая be перпендикулярна к ab, а вместе
с тем и к плоскости bam; вследствие этого и проходящая
через нее плоскость cbn перпендикулярна к плоскости abn;
следовательно, двугранный угол при ребре Ьи — прямой.
В предельном прямоугольном треугольнике, согласно § 21,
имеют место соотношения евклидовой геометрии. Поэтому
ее : be = 1 : sin ceb, где ее и be — предельные дуги, а ceb — угол
между предельными линиями eb и ее. Этот угол измеряется
двугранным углом при ребре am или его линейным углом cab.
Так как, с другой стороны, на предельной поверхности, как

I21]
ПРИМЕЧАНИЯ
165
на евклидовой плоскости, длины окружностей относятся, как
их (геодезические) радиусы, то предыдущее равенство можно
написать в виде
О ее :(ЭЬс = 1 : sin cab;
здесь О ес и О ^с СУТЬ Длины окружностей, проведенных на
предельной поверхности радиусами се и cb.
Чтобы сделать последний переход, не усложняя чертежа,
приведем следующие вспомогательные соображения. Пусть ab
будет предельная дуга, содержащаяся между осями am и bn;
из одного конца дуги, скажем Ь,
опустим перпендикуляр на ось am, в ^^^
проходящую через другой конец ^С^]_ q! -Т^->^ ^
дуги; этот перпендикуляр bg будем
называть высотой предельной дуги ab.
Если предельная линия ab будет
вращаться вокруг оси am, то она
опишет предельную поверхность;
при этом точка b опишет параллель, которую можно будет
рассматривать либо как окружность радиуса ab на предельной
поверхности, либо как плоскую окружность радиуса gb. Мы
можем, следовательно, формулировать следующую теорему:
всякая предельная окружность может быть рассматриваема
также как плоская окружность, прямолинейный радиус которой
равен высоте предельной дуги, служащей ее радиусом на предельной
поверхности.
Но высоты предельных дуг cb и се суть cb и са; поэтому
О сЬ и О се на предельной поверхности могут быть
рассматриваемы как окружности Q cb и О с^ в плоскости
треугольника. Предыдущее соотношение, таким образом, принимает
вид:
О са : О сЬ = 1: sin cab.
Теорема доказана для* прямоугольного треугольника.
Обобщение ее на косоугольный треугольник производится, как
обыкновенно, разбиением его на два прямоугольных
треугольника.

166
ПРИМЕЧАНИЯ
[29I
[22] Отрезок ас, перпендикулярный к прямой ап, движется
в плоскости асп, оставаясь перпендикулярным к ап; путь,
описываемый при этом точкой с, очевидно, представляет собой
геометрическое место точек, отстоящих от прямой an по одну
сторону от нее на одно и то же расстояние ас = h. В
евклидовой плоскости это есть прямая линия. В системе S (в
гиперболической плоскости) никакие три точки этой линии не
лежат на одной прямой. В самом деле, пусть с' будет
другая точка этого геометрического места, с которой совмещается
точка с, когда точка а приходит в а'; таким образом, а'с'_|_а'и,
aV = ас. Соединив точки с
^0^^^^. ■ | —-£1 и с' ПРЯМ0И ll'i получим че-
"T^*^fa г | тырехугольник caaV с двумя
прямыми углами а и а',
в котором «боковые
стороны» ас и aV
перпендикулярны к «основанию» aa' и
a р а' р' а" равны между собой (так
называемый «четырехугольник
Саккери»); его «средняя линия» pq, т. е. прямая,
соединяющая середины р и q обоих оснований, перпендикулярна
к обоим основаниям1). Если с" есть третья точка того же
геометрического места, то средняя линия p'q' четырехугольника
aVc'V также перпендикулярна к обоим основаниям aV и
с'с". Поэтому если бы три точки с, с', с" лежали на одной
прямой, то мы получили бы четырехугольник pp'q'4 с четырьмя
прямыми углами, что в гиперболической плоскости не может
иметь места.
Итак, геометрическое место точек, отстоящих от данной
прямой (по одну сторону от нее) на данное расстояние, в
гиперболической плоскости есть выпуклая кривая линия cb; ее
обыкновенно в настоящее время называют эквидисшантой;
прямую же an называют базой этой эквидистанты, в частности,
каждый отрезок аа' называют базой эквидистантной дуги ее7.
1) См. «О. г.», стр. 145,

[»]_[*]
ПРИМЕЧАНИЯ
167
В евклидовой геометрии эквидистантой, как уже сказано,
служит прямая, и всякий отрезок ее cb равен своей базе ab.
Четырехугольник абЬс есть прямоугольник, и углы при
диагонали и и v (см. черт. 12 на стр. 85) равны между собой.
Поэтому равенству cb = ab можно придать своеобразную форму:
cb : ab = sin и : sin v. (1)
В гиперболической плоскости cb перестает быть прямой
линией, дуга cb не равна своей базе и углы и и v не равны
между собой. Но пропорция (1) остается в силе; она
выражает теорему «абсолютной» геометрии. Доказательство этого
и составляет содержание § 27.
[23] тот же результат допускает еще следующее
выражение. Отношение cb : ab не зависит от длины отрезка ab; оно
всегда равно 1 : sin z. Так как, с другой стороны, это
отношение, как выше было показано, равно sin и: sin v, то и это
последнее отношение остается постоянным, когда точка а
удаляется от b по лучу ba:
sin и : sin v = 1 : sin z.
Если обозначим через а и р острые углы при вершинах a
и b прямоугольного треугольника abb на черт. 12 (стр. 85),
то sin и = cos a, sin v = sin p, и предыдущая пропорция может
быть написана в виде:
cos a : sin {3=1: sin z.
В этом виде Больаи ею и пользуется ниже, в § 31, II.
[24] В системе S каждому острому углу а соответствует
такой отрезок р, что а = П (р). У Лобачевского это
предложение непосредственно в этом виде и формулировано
[«Геометрические исследования», предложение 2b1)]. Больаи нигде не
приводит этого предложения, но оно вытекает из теоремы § 19,
на которое он в тексте и ссылается. В самом деле, через
точку с луча ср проведем L-линию, имеющую этот луч своей
1) См. «Г. и.», стр. 91/47,

168
ПРИМЕЧАНИЯ
[96]
осью. К нему под углом pcb = а проводим наклонную cb.
Согласно § 19, эта секущая встретит L-линию еще в одной
точке с'. Перпендикуляр Ьх к середине этой хорды
параллелен ср; cb и есть требуемый
отрезок. Любопытно, что Лобачевский
идет в обратном порядке и на основе
этого предложения строит
предельную линию по точкам1).
[25] Основная задача как у
Лобачевского, так и у Больаи —
установить соотношения между сторонами
и углами прямолинейного треугольника и, прежде всего,
прямоугольного треугольника. Пользуясь функцией П (х) —
углом параллельности, соответствующим отрезку
х,—Лобачевский выражает соотношения между катетами а и &,
гипотенузой с и острыми углами А и В при помощи
тригонометрических величин от углов П(а), П(&), П(с) [«Геометрические
исследования», предложение 35 2)]. Чтобы эти соотношения
были эффективны, необходимо поэтому найт-и аналитическое
выражение функции ПО); Лобачевский дает его в форме
tg~n(a?) = e-®
и
[«Геометрические исследования», предложение 36 3)],
предполагающей, однако, что единица меры определенным образом
зафиксирована.
Больаи пользуется для той же цели другой основной
функцией О^-ДЛИН0Й окружности радиуса х. Соотношения между
сторонами и углами прямоугольного треугольника (по крайней
мере два из них) он выражает с помощью значений О ау
О &, О с Функции О х ПРИ х = а> ь> с (§ 26)' Чтобы эти соот'
1) См. сноску * на стр. 77; см. также «Г. и.», предложение 31
(стр. 106/58—59).
2) См. «Г. и.», стр. 112/64.
3) См. «Г. и.», стр. 117/68.

[25]
ПРИМЕЧАНИЯ
169
ношения были эффективными, нужно найти аналитическое
выражение функции Q)x. §§ 27 — 29 подготовляют эти
вычисления; в § 30 они выполнены. Здесь уместно произвести обзор
всей концепции, приводящей к решению этой задачи.
Для разыскания функции Q х Больаи прибегает к
нескольким вспомогательным функциям. Первая из них введена
уже в § 23. Это есть X—функция от х, которая выражает
отношение длин двух параллельных предельных дуг,
содержащихся между теми же осями и отстоящих одна от другой
на расстоянии х. В следующем § 24 эта функция по существу
разыскана. Если примем некоторое значение х независимой
переменной за начальное и если этому начальному значению
соответствует значение функции X, то каждому другому
значению у независимой переменной соответствует значение
функции Y, определяемое соотношением
Ё.
Y=XX. (1)
Остается, таким образом, только установить значение X для
некоторого «начального» значения *).
Второй вспомогательной функцией, которой Больаи также
систематически пользуется, хотя и в неявном виде, служит та
же функция Лобачевского — угол Л (у) или дополнительный
угол R — Л(у). Как это делает и Больаи, мы в дальнейшем
обозначаем независимую переменную через у, сохраняя
обозначение х для начального ее значения. В конце § 29
установлена связь между этими двумя функциями Y и Л (у)]
именно,
r=ctgill(y) или otgn(y) = i(r— Г-1). (2)
Функцию Л (у) Больаи обозначает через и [следовало бы писать
и{у)\\ соотношение (2), таким образом, выражается последним
равенством § 29.
!) Лобачевский тоже разыскивает эту функцию в § 33
«Геометрических исследований». (См. «Г. и.», стр. 107/60.)

170
ПРИМЕЧАНИЯ
Г26]
Но Больаи вводит еще третью вспомогательную функцию.
Под высотой предельной дуги йЬ ==> г, как мы условились в
примечании [21], будем разуметь перпендикуляр у, опущенный из
одного ее конца а на ось bit, проходящую через другой ее
конец. Здесь для нас существенно важно то, что 'длина дуги г
вполне определяется своей
высотой у. В самом деле, взяв
отрезок ас длины у, восставляем к нему
из одного его конца с
перпендикуляр сп; через другой его конец а
проводим am HI СП. Если теперь
проведем предельную линию оси ant
через точку а до ее пересечения
с сп в точке Ь, то однозначно
получим дугу ab, соответствующую
высоте у. Таким образом, г есть функция от у; это есть третья
вспомогательная функция Больаи. Связь между функциями
О 2/ и г (у) установлена уже в § 25 (см. также
примечание [21] к нему):
О 0 = 2* г (у). (3)
В § 30 Больаи находит зависимость между функциями О У
и Y. Это приводит к аналитическому выражению функции Qy.
Угол IL(y) Больаи, как уже указано, обозначает через и,
а дополнительный угол В — П (у) — через г; функцию г (у) он
обозначает просто через г.
Рассуждения § 30 распадаются на три части. В первой
части Больаи устанавливает зависимость между Q(r) и Z) она
заключается в том, что отношение r:tgz есть постоянная;
обозначая эту постоянную через г, Больаи пишет эту
зависимость в форме
г = г tg z. (4)
Было бы существенно разыскать это значение г; это, однако,
не удается и, как будет выяснено ниже, это не случайно.
Но Больаи разыскивает значение /, соответствующее
постоянной г. Это составляет вторую часть рассуждения, Больаи

[25,
ПРИМЕЧАНИЯ
171
составляет отношение —- и из простых геометрических
соображений заключает, что оно стремится к единице, когда у
стремится к нулю. Но в силу соотношения (4) то же отношение
можно выразить через itgz:y. Но
tgz = ctgП {у) = -£ (Г— Y~*) [см. уравнение (2)],
a Y можно выразить через I и у; отношение itgziy получает
явное выражение в функции от у, и предельное его значение
при у -*-ч 0 можно разыскать непосредственно по правилу Лопи-
таля; оно оказывается равным In I. Приравнивая это
предельное значение единице, находим I (Больаи проводит
вычисления несколько иначе: он ищет предельное значение для
другого выражения, равного не J, а г, и получает —- = г, что
сводится к тому же).
В третьей части рассуждения Больаи принимает г за
начальное значение (х) независимой переменной и на основании
общего соотношения (1) находит окончательное выражение
функции Y:
у
Г=в*. (5)
Теперь формула (2) дает
ctgIn(fO=eX ctgri(s/) = I(V— e~t). (6)
Остается разыскать функцию Qy\ но это уже очень легко
сделать: формула (4) дает
г (у) =zitgz (у) = г ctg П (?/) = -g. (еi — е <);
соотношение же (3) дает
L L
Qy =2кг(у) = т(е* — в").
Все эти формулы содержат константу г. Ее в настоящее
время называют «гиперболической постоянной»—параметр, от
которого зависит гиперболическая геометрия *),
I) См, «О, г», стр. 280 и 437,

172
ПРИМЕЧАНИЯ
[И]
Отрезок, длина которого выражается числом г, Лобачевский
принимает за единицу меры длины. Поэтому у него основные
формулы принимают более простой вид:
Г=е*; ctgn(y) = i(e" —в"»),
но наличие произвольной константы здесь скрывается за
выбором единицы меры длины. Это вызвало не лишенные
основания возражения Больап (см. «Замечания Яноша Больаи к
„Геометрическим исследованиям"», помещенные в виде
приложения к этой книге, стр. 209).
[26] Строго говоря, полная система уравнений, дающая
возможность непосредственно определить любой из пяти
элементов прямоугольного треугольника по любым двум
заданным элементам, должна содержать 10 уравнений по числу
сочетаний из 5 элементов по 3. Эти уравнения должны
устанавливать связь между следующими элементами:
1) а, с, а
2) а, а, р
3) а, 6, с
4) а, &, 7
5) с, 6, ос
6) с, а, р.
10 Ъ, с, р;
20 Ьу а, р;
40 а, 6, р;
50 с, а. р;
Однако из них четыре, написанные справа, получаются из
соответствующих уравнений, написанных слева, путем
транспозиции катетов; Больаи их поэтому не считает, а числит
только шесть уравнений, написанных слева. Из них он
принимает за независимые первые три, которые и приводит ниже1).
1) Вывод из них остальных уравнений читатель может найти в
примечаниях редакции к «Геометрическим исследованиям» Лобачевского.
(См. «Г. и.», 153/108, примечание Р]/[40].)

Г27]-[28]
ПРИМЕЧАНИЯ
173
[27] В гиперболических функциях уравнения I—Ш
выражаются следующим образом:
Л(т) = Л(т)81па' W
ch (•?- J sin j3 = cos а, (II)
ch(f)=,c„(i).h(i). (Ш)
Как указано в примечании [25] (стр. 172), Лобачевский
принимает постоянный отрезок г за единицу меры. В его
обозначениях
Поэтому
\г / sin И (у)
Предыдущие уравнения можно поэтому написать в виде
cos П (а) = ctg П (с) sin а,
sin U (а) cos а = sin (3,
sin П (с) = sin П (а) sin П (Ь).
В этом именно виде уравнения приведены у Лобачевского
в предложении 37 «Геометрических исследований» *) [у
Лобачевского углы обозначены через II (а) и II (J3)]; второе
уравнение заменено аналогичным, которое получается заменой а, а, р
через &, (3, а.
j-28j -g гиперболических функциях это соотношение можно
написать в виде
аналогично этому
!) См. «Г. и.», стр. 120/71.

ш
ПРИМЕЧАНИЯ
t29]-!30!
Складывая эти равенства и заменяя ch2( —) и ch2(-r],
соответственно, через l-J-sli2(-r) и l-|-sh2(-rj, получим
Л,(7)-*'(7)*'(т) + *,(т) + -"(т).
или, иначе,
Т'6' Л. •_*.(•)*.(»), oh(|)=„b(i).h(i
[29] В обозначениях Лобачевского последнее уравнение
записывается так:
tgatgp = sinll(c).
В этом виде оно в «Геометрических исследованиях» не
приведено. Мы находим его в «Новых началах» [первое в группе
уравнений (81)г)] и еще раньше в мемуаре «О началах
геометрии» [четвертое уравнение в группе 142)].
[30] Если у Больаи дифференциальной геометрии посвящен
только один параграф, то у Лобачевского на развитии
дифференциальной геометрии и связанных с ней интегральных
вычислениях сосредоточено главное внимание. В «Геометрических
исследованиях» Лобачевский не выходит за пределы
элементарной геометрии; но зато все остальные его работы посвящены
почти исключительно сложным вопросам, связанным с
дифференциальными и интегральными вычислениями. Причина этого
заключается в том, что в результатах этих вычислений
Лобачевский видел наиболее надежное подтверждение правильности
гиперболической геометрии.
1) См. Н. Й. Лобачевский, Поли. собр. соч., т. П, стр. 332.
2) Там же, т. I, стр. 205.

I31]-!*2]
ПРИМЕЧАНИЯ
175
[31] Последнее соотношение рубрики II устанавливает
соотношение между длиной предельной дуги (черт. 17 на стр. 100)
и ее высотой у (см. примечания [21] и [2б]). Угол сЬп есть не
что иное, как 11(2/); последнее равенство можно поэтому
написать также в форме
z = ictgR(y). (1)
Но это же соотношение было найдено и в § 30 [см.
формулу (4) к примечанию [2б] на стр. 170] в форме
г = itgz,
где z (на черт. 15, стр. 91) означает угол, дополняющий асп,
т. е. П(«/), до It.
Последнее равенство может быть поэтому написано в
следующей форме:
r = ictgU(y)1).
Оно отличается от соотношения (1) только тем, что z
обозначено через г. Поэтому Больаи в заключительной фразе
и отмечает, что этот результат в сущности уже получен
в § 30.
[32] Приводим вывод последней формулы, не требующий
интегрирования. Он основывается на следующем
тригонометрическом соотношении, выраженном в символах Лобачевского.
Если в четырехугольнике ABCD с тремя
прямыми углами обозначим через А острый
угол, а через Ь и с — стороны, его
образующие, то
cos А = cos П (b) cos II (с). (1)
Наиболее изящно это соотношение дока*
зывается следующим образом. Расположим
наш четырехугольник, скажем, в
горизонтальной плоскости и из вершины D
восставим к этой плоскости перпендикуляр DD', а из остальных
вершин проведем к нему параллели АА'> СС\ ВВГ. Плоскости
А
1) См. «О. г.», стр. 300, формула (ХХЧШ^.

176
ПРИМЕЧАНИЯ
I82]
(AA\BBr), {BB\ DD'), (DD\ GC% (CC, А А') образуют
четырехгранную поверхность с прямыми углами при ребрах ВВ'\ DD\
СС'\ если рассечем эту четырехгранную
поверхность какой-либо предельной
поверхностью, имеющей лучи ААг, ВВ\ ...
своими осями, то получим
предельный четырехугольник abbe, в
котором сумма углов будет равна 4d. Так
как в этом четырехугольнике углы при
вершинах Ь, Ь, С — прямые, то угол
при вершине а—тоже прямой, т. е.
четырехгранная поверхность имеет
прямой угол при ребре ААГ. Если поэтому
из вершины А, как из центра,
опишем сферу, то грани трехгранного угла
при вершине А вырежут на ней
сферический треугольник а|3^ с прямым углом
при вершине а, с катетами а$ = П(&),
а^ = П(с) и с гипотенузой $^ = А. Известное соотношение
между гипотенузой и катетами сферического треугольника
выражается поэтому
соотношением (I)1).
Положим теперь, что
нам нужно вычислить
площадь
криволинейного четырехугольника,
ограниченного сверху
дугой эквидистанты cb.
Разделим основание
йЬ на п равных частей
и перпендикулярами
разобьем площади четырехугольника на п равных
четырехугольников, первым из которых пусть будет accV. Это есть
*) Прямой вывод равенства (1) см, в книге «О. г.», стр. 305,
формула (ХХХП3).

[32]
ПРИМЕ^ЙЙЯ
177
четырехугольник Саккери1); соединив середины его
оснований прямой ее7, получим общий к ним перпендикуляр, и
четырехугольник аее'с имеет три прямых угла и острый угол асе7.
Ниже, в § 42, Больаи доказывает при помощи самых
элементарных соображений, что площадь треугольника
пропорциональна его угловому дефекту (т. е. разности между 2тг и
суммой углов треугольника); то же относится ко всякому
многоугольнику, а потому площадь четырехугольника
пропорциональна разности между 2 я и суммой его углов, т. е.
выражается произведением h{2iz — s), где s — сумма углов
четырехугольника. Что касается постоянной Д, то она зависит от выбора
единицы меры площади; к наиболее целесообразному выбору
этой единицы мы сейчас естественно придем. Если в точке с
проведем перпендикуляр clj к ас, то угол e'cl), который обозначим
через е, будет служить угловым дефектом четырехугольника
аее7с, а следовательно, площадь этого четырехугольника
8 = he.
Основание (базу) аЬ всего четырехугольника, всей дуги
эквидистанты, обозначим, как у Больаи, через р, а высоту ас —
через #, тогда длина I отрезка ае равна -£--.
Длину верхнего основания того же четырехугольника Се7
обозначим через V. Тогда, согласно установленному выше
соотношению (1),
cos е7са = cos П (q) cos П (Г) или sin е = cos П (q) cos П (У).
Когда п неограниченно возрастает, то е и V неограниченно
убывают: sins можно заменить через е, совЩТ) — через -г.:
s = cosll (q) -i% 8 =* Л-j'cos П (q). (2)
Если q также становится весьма малым, то
четырехугольник имеет бесконечно малое основание и бесконечно малую
высоту; в этом случае cosU(q) можно заменить через --.;
последняя формула принимает вид:
х) См. «О. г.», стр. 145.
12 Зак. ИЗО. Я. Больаи,

178
ПРИМЕЧАНИЯ
[38]
Наш бесконечно малый четырехугольник можно
рассматривать как прямоугольник в евклидовой плоскости. Если мы
желаем, чтобы его площадь имела обычное выражение, то
единицу для измерения площади нужно выбрать так, чтобы
h = г2. Тогда формула (2) примет вид
8 = iV cos II (q).
Умножая обе части этого равенства на 2п и принимая во
внимание, что 2пЬ есть площадь А вписанного в эквидистанту
многоугольника, a 2nV — длина I вписанной в нее ломаной,
получим
Д = Ц cos П (q).
Когда п неограниченно возрастает, то А стремится к
площади а четырехугольника, ограниченного эквидистантой, а I —
к длине еквидистанты, обозначенной у Больаи через г;
следовательно,
о = ir cos П (q)y
но (§ 31> r= dnn(g)' П0ЭТ0МУ
(а ^а
ei — е г' .
Это и есть формула, полученная Больаи интегрированием.
Вряд ли, однако, этот вывод, который, повидимому, сокращению
не поддается, можно предпочесть простому интегрированию.
[33] Последняя полученная формула выражает поверхность z
сферического сегмента через длину р окружности большого
круга и угол его раствора, обозначенный через 2и.
Больаи имеет в виду дальше дать выражение той же
поверхности через р и хорду Cf, соответствующую на сфере (или, что
то же, на большом круге) дуге и. (Эта хорда cf на черт. 10
не нанесена.) Больаи по обыкновению старается использовать
тот же чертеж. Здесь приведен другой чертеж,
соответствующий новому заданию; буквы на нем согласованы с буквами
на черт. 10. Очень полезно, уяснив себе рассуждение на этом
чертеже, прочитать текст снова, следя за ним по
оригинальному чертежу Больаи.

м
ПРИМЕЧАНИЯ
179
Вертикальный круг оригинального чертежа fcg здесь
изображен в горизонтальной плоскости. Больаи строит
предельную поверхность F, на которой лежит этот круг; это значит,
проведя из центра а круга луч am, перпендикулярный к его
плоскости, Больаи проводит поверхность F, имеющую am
своей осью и проходящую через одну из точек круга, скажем,
через точку f; эта точка при вращении меридиана (i-линии)
ef вокруг am опишет весь круг. Из точки с на периферии
круга Больаи проводит i-линию (предельную линию) eb,
перпендикулярную к ef, а также меридиан ее; наконец, через
точки е и f он проводит также L-линию.
[34] Теперь следует обратиться к чертежу Больаи (черт. 10
на стр. 108) или к дополнительному чертежу на этой странице.
Больаи вычислил поверхность z шарового сегмента с углом
раствора 2и\ он нашел для нее два выражения:
sin yers и о
и 2 = rc.fe-fe.
(1)
В последней формуле fc есть длина предельной дуги, про*
ходящей между точками [и с на вспомогательной
поверхности F\ это Больаи выражает положением z =* 0 fe на F.
Если поэтому теперь будем под 2у разуметь диаметр шара f#,
то по формуле, установленной в рубрике IV (стр. 106),
Q2</:
(JL -1Л2
..Ы*\е* —е i ) = тег2 (Г—Г"1)2
С другой стороны, длина окружности большого круга р
При радиусе сферы 2г/, по формуле § 30, равна m(Y—У"1)»
12*

180
ПРИМЕЧАНИЙ
,36]
Следовательно, поверхность всей сферы
2 = 7гг2(Г — Г-1)2 = ^.
Это и есть заключительная формула Больаи. Выражение
для z можно представить и в таком виде:
z = т (у — Y"1) • г (Г— Y'1). (2)
Первый множитель выражает длину р окружности
большого круга; второй множитель выражает, как мы видели,
длину предельной дуги, хорда которой равна 2у, т. е. в
данном случае диаметру сферы. Это есть линия fjDg (как на
оригинальном чертеже Больаи, так и на нашем дополнительном
чертеже). Отсюда z = fbg • p.
Нельзя не сказать, что весь этот вывод очень сложен.
И трудно понять, что заставляет Больаи итти таким сложным
путем: заключительная формула (2) получается непосредственно,
если в первой формуле для поверхности z сферического
сегмента (1) положить и = 1С.
[Зб] Речь идет об определении поверхности, которую
опишет дуга эквидистанты г при вращении около базы ab = р,
от которой она отстоит на расстояние ЬЬ = q (черт. 12" на
стр. 111). Если разделим
базу на п равных частей
и через точки деления
проведем плоскости,
перпендикулярные к аЬ, то
они разделят поверхность
на равные полосы; одна
из этих полос изображена
отдельно на прилагаемом
чертеже. Площадь
бесконечно малой полосы, с
точностью до бесконечно малых высшего порядка, равна длине
окружности 0#> умноженной на элемент эквидистанты dr,
т. е. Qqdr. Так как, однако, все эти полосы имеют ту же

[35,
ПРИМЕЧАНИЯ
181
площадь, то поверхность всего тела вращения равна Qq-r.
Но О Я. ==3 ni(Q—Q-1) (см- § 30); что же касается длины дуги г,
то г:р = сЬ: <хЬ = 1: sin s. Как показано в § 29, ctg-^ = (?,
а потому
1: sin z=±(Q +Q-1),
Поэтому поверхность вращения равна
i(02-<?-2).
Задача заключается, далее, в вычислении объема тела,
которое получается при вращении той же дуги эквидистанты
вокруг своей базы р. Плоскости, которые мы сейчас строили,
делят тело вращения на равные пластинки; но вычисление
объема такой пластинки несколько сложнее, так как толщина
ее не постоянна, а растет от центра к периферии. Мы рисуем
эту пластинку отдельно для большей отчетливости —
горизонтально. Основание пластинки разобьем на кольца
концентрическими окружностями; если у есть внутренний радиус такого
кольца, а у -f- dy — внешний его
радиус, то площадь кольца
равна
Qy.dy = Tzi(Y— Y-*)dy.
Если вслед за этим разобьем
всю пластинку на
цилиндрические кольцеобразные элементы,
имеющие основаниями кольца
между концентрическими
окружностями, то высотой такого
элемента будет служить эквидистантная дуга с'Ь' относительно
базы ab, от которой она отстоит на расстояние у (здесь мы
через об обозначаем не всю базу, равную _р, а ее малую—для
определенности п-ю часть). Следовательно,
c'b' = i-ob(r+r-i).

182
ПРИМЕЧАНИЯ
[36]
Объем кольцеобразного элемента равен произведению
площади основания, вычисленной выше, на высоту, т. е. он равен
ЛабтегСУ2— Y-*)dy = ^<lbTd{ei — е *)dy.
Поэтому объем всей пластинки, внешний радиус которой
есть q, равен
у (lb т ] \еi — е i J dy = - ctb ттг2 Ve i + в * — 2/'=
о
==1аЬ™2(Г — Г"1)2.
Так как все кольцеообразные пластинки, как уже сказано,
имеют одинаковый объем, то объем всего тела равен
jnabm\Y~ Г'1)2 ==1ртгг2(Г— Г'1)2.
[36] Настоящий параграф по существу заканчивает
сочинение. Следующие за ним параграфы уже того же
принципиального значения не имеют: они содержат только интересные
дополнения и ничего больше. Естественно поэтому, что в
настоящем параграфе Больаи старается подвести итог тому, что
содержит всё его творение — труд его жизни.
Он утверждает, прежде всего, что построенная им
дисциплина, как указано в самом заглавии, представляет собой абсо.
лютную истину, не зависящую ни от какой гипотезы о теории
параллельных линий. Это, однако, не так. Больаи
действительно установил ряд замечательных предложений, имеющих
абсолютный характер, т. е. не зависящий вовсе от постулата
о параллельных. Таковы предложения §§ 9, 25, 32 (VI). Если
бы в том же стиле была проведена вся геометрия, то Больаи
был бы вправе называть свое творение «абсолютно истинным»,
не зависящим от истинности или ложности XI аксиомы
Евклида; но этого он не осуществил и осуществить не мог. Ему
пришлось ввести и четко проводить различие между
системой Е и системой S. И 9TQ неизбежно, ибо тригонометричэ-

Г37]-Г38]
ПРИМЕЧАНИЯ
183
ские уравнения нельзя написать в таком виде, чтобы они
в точности имели место как в системе S (при некотором
значении параметра г), так и в системе £. Поэтому возникает
вопрос, какая система имеет место в действительности ? Больаи
не предусматривает возможности когда-либо разрешить этот
вопрос. Это, конечно,—необоснованный пессимизм.
Другой вопрос заключается в том, можно ли утверждать,
что ни система Е, ни система S не содержат в себе
внутреннего логического противоречия. Не подлежит сомнению, что
этот вопрос продолжал занимать внимание Яноша и после
опубликования «Аппендикса». Он возвращается к нему в
отделе своих замечаний к «Геометрическим исследованиям»
Лобачевского и утверждает, что он его разрешит (см. стр. 221 этой
книги). Не может, однако, подлежать сомнению, что это была
иллюзия. Разрешить этот вопрос выпало на долю более
поздних ученых. Это было выполнено почти через 50 лет после
опубликования неевклидовой геометрии Бельтрами, Клейном
и Софусом Ли. У Больаи в конце жизни возникли даже
сомнения в логической правильности системы S. См. об этом во
вступительной статье (стр. 32).
[37] Очень изящное построение луча, параллельного
данному лучу в гиперболической плоскости, дано Энгелем1). С этим
построением можно ознакомиться в книге «О. г.», стр. 226.
[38] Иллюстрируем это построение на более четком чертеже
(на следующей странице).
На луче Ьп точка b задана. Луч am ему параллелен; точка a
на нем не дана, а разыскивается таким образом, чтобы она
удовлетворяла поставленному требованию Ьп—СШ.
Вне плоскости nbm проводим произвольно луч gt ||| Ьп. Из
точки b опускаем на gt перпендикуляр и принимаем за g
основание этого перпендикуляра. Отрезок bg продолжим за точку g
на расстояние gc = bg. Через точку с проводим ср |||Ьп; луч ср
*) Ф. Э н г е л ь, Построение параллельной линии в геометрии Лоба,-
чевского? Изв. Казанского физ.-матем. общества (2) 7, 1897.

184
ПРИМЕЧАНИЯ
[39,
будет также параллелен ant, а потому лежит с последним
в одной плоскости. Теперь через луч gt проведем полупло-
£ ^ с скость tgb, образующую с tgb
двугранный угол, равный тому, кото-
рый pea образует с рсЪ. Больап
утверждает, что полуплоскость gtb
пересекает bnm по некоторой
прямой bq, и если из b опустить на bq
перпендикуляр ЬЬ, то он
пересечет am в требуемой точке а.
Все доказательство Больаи
основывает на свойствах
предельной поверхности (.F), проходящей
через точку Ь и имеющей луч bit
своей осью. Так как Ьп^Ьср (по
построению gt_J_be, bg = gc, cp'|||btt), то эта поверхность F
пройдет через точку с, и плоскость, содержащая параллели bit и ер,
пересечет ее по L-линии be. Поверхность F пересечет луч ant
в некоторой точке а (отрешимся на время от первоначального
построения точки а), а плоскости bna и ера — по L-линиям Ьа
и са; вместе с тем bn —am. Плоскость tgb пересечет
поверхность F по L-линии |)f, которая встретит L-линию ba в точке f,
а плоскость nba — по лучу fq, который также представляет
собой ось поверхности. Так как, с другой стороны, дуга f)f на
поверхности F параллельна са в евклидовом значении этого
слова, то треугольник bf)f подобен треугольнику bca (как это
указывает Больаи), и потому f есть середина дуги ba. Но по
свойству L-линии ось, проходящая через середину f дуги Ъа}
проходит также через середину Ь хорды Ьа и перпендикулярна
к ней. Точки b и а могут быть поэтому получены тем
построением, которое указано в тексте.
[39] Смысл этого утверждения заключается в следующем.
Поскольку на предельной поверхности (F) остается в силе

n
ПРИМЕЧАНИЯ
185
геометрия Евклида, на ней, конечно, можно производить те
же построения, которые осуществляются в евклидовой
плоскости циркулем и линейкой. Но так как прямые линии на
поверхности F заменяют предельные линии (Ь-линии), то для
осуществления этих построений была бы нужна L-линейка,
т. е. линейка, дающая возможность проводить на предельной
поверхности предельные линии. Больаи показывает, однакоу
что эти построения всегда можно заменять построением
циркулем и линейкой, проводимым в плоскости (теперь, конечно,
гиперболической). Так, последнее построение показывает, каким
образом построить точку а, располагая только обыкновенной
линейкой и обыкновенным циркулем. Однако эти построения
Больаи существенно отличаются от наших обычных
планиметрических построений: они требуют построений
стереометрических и именно — приведения к пересечению прямых с
плоскостями и плоскостей между собой. Таким образом,
результат, к которому Больаи приходит, можно было бы точно
формулировать следующим образом:
Всякое построение, которое может быть выполнено в
евклидовой плоскости циркулем и линейкой, т. е. приведением к
пересечению прямых и окруоюностей, может быть выполнено и на
предельной поверхности путем приведения к пересечению в гиперболическом
пространстве прямых, плоскостей и окружностей.
Однако эти построения можно выполнить в
гиперболической плоскости, не прибегая к стереометрическим средствам.
(Об этом см. «О. г.», §§ 47 и 48, рубр. 4).
[40] Приводим более обстоятельное изложение этого
рассуждения Больаи. Он доказывает, что в системе S предыдущее
предложение допускает обращение; иначе говоря, он
доказывает, что в системе S два треугольника, имеющие одну и ту
же сумму внутренних углов, равновелики. Его доказательство
заключается в следующем. Положим, что треугольники аЬс и
bef (черт. 21 на стр. 127) имеют одну и ту же сумму углов.
Чтобы доказать, что они в системе S равновелики, допустим
противное. Примем, что площадь треугольника abc меньше

186
ПРИМЕЧАНИЯ
[41,
площади треугольника bef. Тогда одну из сторон
треугольника abc, скажем ас, можно продолжить на расстояние ct
таким образом, чтобы треугольник абс стал равновелик
треугольнику bef. Тогда, согласно уже доказанному предложению,
сумма углов треугольника ctbt будет равна сумме углов
треугольника bef, а следовательно, и сумме
углов треугольника обе. Если обозначим
углы так, как это размечено на
чертеже, то
т. е.
Т —8 + *]-
Но так как f = 7г — е, то отсюда
следует, что 8 -j- е -\- у\ = 7и, т. е. сумма углов
треугольника bet равна тт. Это возможно
только в системе £, в системе же S сделанное допущение
невозможно, или, как эту мысль выражает Больаи, точка I
совпадает с с.
Рассуждение Больаи содержит некоторую недоделку: не
доказано, что сторону ас действительно возможно продолжить
на такое расстояние cl, чтобы треугольник аМ оказался
равновеликим треугольнику bef. Если бы то же построение сделать
в предположении, что треугольник bef меньше треугольника абс,
то точка t упала бы внутрь стороны ас, m ^
и возражению не было бы места.
[41] Длина отрезка s зависит от угла z.
Если г = -21>Т0©5 = П= ш2.
Легко выполнить предыдущее
построение соответственно этому случаю
z = —). С этой целью строим угол
асп = — и на его стороне с а
откладываем отрезок Сй, которому отвечает угол параллельности —
(§ 35). Прямая CtbJ_ca параллельна СП. Если теперь проведем

п—н
ПРИМЕЧАНИЯ
187
линию равного наклона cb прямых сп и ab, то сЬ и будет
отрезок 5, для которого 0 s = □ = тгг2. Иными словами,
в геометрии S можно циркулем и линейкой построить круг,
площадь которого равна тгг2. Больаи обосновывает это в
следующем абзаце более сложными соображениями.
Заметим, что в § 4 доказано только существование секущей
равного наклона двух параллельных линий, выходящей из
данной точки (с) на одной из них.
Оно основано на непрерывности
прямой. Самое построение этой
секущей выполняется следующим
образом.
Из точки с проводим
произвольную секущую cf параллелей cm
и fb; проводим биссектрисы eg и flj
углов mcf и bfc. Вследствие
параллельности прямых cm и fb, эти
биссектрисы пересекутся в некоторой
точке 1. Перпендикуляры tp и lq,
опущенные из 1 на эти параллели,
равны между собою. Биссектриса 1$
угла plq параллельна как cm, так и fb (fe ||| cm, ($ ||| fb), это —
ось симметрии обеих параллелей. Опустив из с
перпендикуляр сг на 1$, мы и получим секущую равного наклона ct:
cm —tb.
[42] Речь идет о построении прямоугольного треугольника
о острыми углами — (-^в)и. ~ (-г- R). В настоящее время,
пользуясь циклом (группой) Лобачевского — Энгеля, можно
непосредственно построить прямоугольный треугольник по его
острым углам, сумма которых меньше -к (Щ *).
[43] Заключение Больаи совершенно правильно; но его нужно
надлежащим образом понимать. В гиперболической геометрии
1) См. «О. г.», стр. 231,

188
ПРИМЕЧАНИЯ
Г481
действительно бывает иногда возможно квадрировать круг, но
только в том смысле, что в некоторых случаях возможно
построить круг и равновеликий ему квадрат. В следующем
абзаце Больаи указывает, в каких случаях это возможно. Об
этом см. работу Н. М. Несторовича *).
х) Н. М. Несторович, О квадратуре круга и циркулятуре квадрата
в пространстве Лобачевского.
*^ф2^

Замегйнил
ЯНОШАБОЛЬАИ
^ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ
ИССЛЕДОВАНИЯМ»
ЛОБАЧЕВСКОГО
"ал5^

ОТ РЕДАКЦИИ
Как было сказано во вступительной статье1), ЯношБольаи
познакомился с «Геометрическими исследованиями» Н. И.
Лобачевского в 1848 году. Он тщательно изучил это сочинение и
проанализировал каждую его строчку, даже каждое его слово
с той же тщательностью, с какой он обрабатывал свой
«Аппендикс». Это сочинение вызвало целую бурю в его душе, и он
дал выражение своих переживаний в обширных заметках,
посвященных «Геометрическим исследованиям».-В отличие от
всех остальных работ Яноша, эти заметки были составлены
на мадьярском языке, вероятно, потому, что Янош, как он сам
об этом упоминает, не предназначал их для печати. Мало
того, они написаны особым латинизированным алфавитом,
который составили отец и сын с широким замыслом создать
интернациональный язык. Заслуга расшифрования этих
посмертных материалов принадлежит Кюршаку, а тщательную их
обработку произвел Штекель.
Замечания к «Геометрическим исследованиям» не
представляют собой только критический анализ этого сочинения.
Это — изложение мыслей и переживаний Яноша, вызванных
изучением этого сочинения. Они содержат сетования Яноша на
то, что он обойден, его подозрения о том, что никакого
Лобачевского в действительности не существует и что всё это —- злобные
козни Гаусса. Это — трагический вопль души гениального
геометра, сознававшего величие своего творения и не
получившего поддержки того единственного человека, который был
1) Стр# 29.

192 ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЁОМЕТРИ^СКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ»
в состоянии его заслуги оценить. Заметки содержат попутные
соображения о том, как было бы лучше всего излагать те или
иные части неевклидовой геометрии. Но основное их
содержание всё же составляют обширные критические замечания,
составленные в чрезвычайно придирчивом тоне: Янош не
прощает своему сопернику ни малейшей неосторожности в
выражении, и он имеет на это основание, так как сам он
никакой неосторожности в своей работе не допускал. Больаи
обрабатывал свое сочинение в течение десяти лет; оно составило
главное творение его жизни. Лобачевский же выпустил в свет
свои «Геометрические исследования» только после того, как
его обстоятельные геометрические сочинения, в том числе
наиболее обстоятельное из них «Новые начала геометрии с полной
теорией параллельных» г) были опубликованы. Многие из тех
замечаний, на которых Янош подробно останавливается, были
бы совершенно излишни, если бы Янош был знаком с
другими сочинениями Лобачевского.
С другой стороны, при всем душевном возбуждений,
в котором Янош писал свои замечания, он сохраняет
достаточно объективности, чтобы очень высоко оценить творение
своего соперника. В примечаниях к предложению S5 он
говорит, что вывод сферической тригонометрии, принадлежащий
Лобачевскому, несет на себе печать гения, что его работу
нужно признать мастерским произведением*
Не предназначая своих замечаний для печати, Больаи
давал полную волю своему перу. Весь текст этих замечаний
очень обширен. Штекель не считал целесообразным
воспроизвести эти замечания целиком и опубликовал из них только
обстоятельные извлечения, опуская многое иа того, что не
носило математического характера. В первый раз эти
«Замечания Яноша Больаи к „Геометрическим исследованиям"
Лобачевского» были опубликованы Штекелем и Кюршаком в
венгерском журнале математики и естествознания сначала на
1) Оно воспроизведено во II томе Полного собрания сочинений
Н. И. Лобачевского, Москва, 1949.

ЗАМЕЧАНИЯ «К ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ» 193
немецком, а затем и на венгерском языке 1). Замечания Больаи
сопровождаются в самом тексте примечаниями Штекеля. Весь
этот материал с самыми незначительными изменениями
перепечатан Штекелем в первой части его монографии2).
Обращаясь теперь к математическому содержанию
«Замечаний», нужно сказать, что многие из них любопытны для
характеристики воззрений Больаи на различные
принципиальные вопросы, поднимаемые одним и другим авторами; они
ярко освещают работу мысли автора, заставляют читателя,
который внимательно их читает, тщательно проследить за
тонкими деталями вопроса; но каких-либо действительно слабых
мест или погрешностей Янощ не вскрыл — их нет. Наиболее
серьезны замечания Яноша к предложению 36. Нужно сказать,
что здесь действительно имеется существенная
недоговоренность; она заключается в том, что Лобачевский, дважды
употребляя букву е для обозначения оснований показательных
функций, к которым его приводит исследование, не доказывает,
что эти основания в обоих случаях имеют одно и то же
значение. Если оставаться только при тексте «Геометрических
исследований», то это — несомненный пробел. Однако этот
пробел совершенно восполнен в других сочинениях Лобачевского
и даже до появления «Геометрических исследований», что Ште*
кель и обнаруживает надлежащими сопоставлениями.
Большой интерес представляют принципиальные
соображения Больаи по вопросу о том, насколько можно
считать установленным, что неевклидова геометрия не
содержит в себе внутренних противоречий. Этот чрезвычайно
трудный вопрос занимал Лобачевского в течение всей его жиэни;
его обширные интегральные вычисления имеют главной своей
1) P. Stackel und J. Kurschak, Iohann Bolyai's Bemerkungen
liber Nicolaus Lobatschewskiy's Geometrische Untersuchungen zur Theorie
der Parallellinien. «Mathematische und naturwissenschaftliche Berichte aus
Ungarn», Bd. 18, 250—279, Budapest, 1902. Мадьярский текст воспроизведен
в т. 20 того же журнала.
2) P. Stackel, W. und J. Bolyai (библиографические данные
см. на стр. 11), ч. I, стр. 140—160.
13 Зак. 1430. Я- Больаи.

Ш ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЕМ»
целью обнаружить постоянное совпадение результатов и тем
подтвердить незыблемость новой геометрии. Относящиеся сюда
краткие соображения, которые мы находим в «Геометрических
исследованиях», Яноша не удовлетворяют и, конечно, не без
основания. Янош утверждает при этом, что им найдено
безукоризненное доказательство, как теперь говорят,
«непротиворечивости» гиперболической геометрии. Однако никаких
следов такого доказательства он не оставил; соверщенно не видно,
как он к этой задаче подходил 2). Вряд ли может быть сомнение
в том, что это была иллюзия.
Решение вопроса о логической правильности
геометрической системы требовало глубоких новых идей, которыми творцы
неевклидовой геометрии еще не владели; они создали для
этого главные математические средства, но довести задачу до
конца было уже уделом их последователей.
«Замечания» Больаи здесь воспроизводятся в переводе
вместе с относящимися к ним соображениями Штекеля, и именно
поэтому мы, со своей стороны, ограничились лишь весьма
немногими примечаниями, служащими, главным образом, для
пояснения мысли автора. Наши примечания даны в виде
сносок и в некоторых местах в тексте. В последнем случае они
взяты в прямоугольные скобки и сделано указание:
Примечания редактора.
При чтении «Замечаний» необходимо быть знакомым как
с «Геометрическими исследованиями», так и с «Аппендиксом».
*) Напротив, к концу жизни у Яноша возникли даже сомнения
в правильности его новой геометрии (см. стр. 32).

iMiHiiiiiuTiiiiiiH)iCHHtHiH)niii)iiiHiim»№iumiiiuiiiuiuiniimiiMiiiiniiHiiiiiiiniiuiiMin(HtHtitiuiiiiiiuiMifiui4iuiiiiiii
1.
«Если в этом замечательном сочинении автор следует и
другими путями,—так начинает Янош свои замечания к
„Геометрическим исследованиям" Лобачевского,—то дух и результат
сочинения в такой мере схожи с приложением к сочинению
„Tentamen", выпущенным в Марош-Вашаргеле в 1832 г., что
к этому нельзя отнестись без удивления. Если Гаусс, по
собственному его выражению, был. чрезвычайно поражен сначала
„Аппендиксом", а теперь замечательным совпадением
открытий мадьярского математика и русского, то я этим поражен
не менее».
[После этого следует текст, который воспроизведен во
вступительной статье (стр. 29 — 31). Он заканчивается
предположением, что либо Литтров препроводил «Аппендикс»
Лобачевскому, который только переработал его построение новой
геометрии, либо никакого Лобачевского не существует, а
«Геометрические исследования» написал Гаусс под именем Лооа-
чевского, присвоив себе труд Яноша. Во вступительной статье
(стр. 31) мы уже указали на всю необоснованность первого
предположения Яноша.
Далее следует текст в изложении Штекеля. Примечание
редактора.]
Резко раскритиковав отношение к нему Гаусса, Янош
замечает, что «Аппендиксу» всё-таки принадлежит приоритет, если
только Лобачевский уже в 1829 г. в своей статье в «Казанском
13*

196 ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ»
вестнике» не излагал того же учениях). Янош указывает,
однако, что он сам уже в 1823 г. открыл существенную часть
этого предмета, именно теорему § 29 «Аппендикса», а в 1826 г.
он представил своему начальнику и бывшему учителю в
Инженерной академии, капитану Вольтеру, набросок со своего
учения о пространстве2). Здесь Янош указывает, что влияние на
развитие его идей имело общение с Карлом Сасом3) во время
его обучения в академии, что многим он обязан своему отцу,
который с непоколебимой преданностью дал его жизни
выдержанное направление, соответствовавшее его средствам.
2.
После этого подробного введения Янош обращается к
обзору «Геометрических исследований»; начиная с § 16, он
передает содержание дальнейших параграфов либо дословно,
либо с незначительными изменениями и присоединяет к ним
собственные замечания.
После § 224) сказано:
«заметим, что название „вообраэюаемая геометрия" столь же
мало подходяще и целесообразно, как и название „мнимые
величины", ибо обе геометрии одинаково доступны воображению,
и навсегда останется неразрешимым, какая из них является
действительной 5)».
1) Как мы знаем, Лобачевский действительно это учение опубликовал
в 1829 году. Таким образом, сомнения Яноша никакой реальной почвы под
собой не имели. Нельзя не пожалеть, что Штекель не нашел здесь
нужным передать подлинный текст Яноша. Вряд ли можно сомневаться
в том, что Штекеля останавливал в этом резкий тон Яноша по
отношению к Гауссу.
2) Янош не знал, что и в этом он не опередил Лобачевского, который,
как известно, сообщил о своей «воображаемой геометрии» в докладе
Физико-математическому факультету Казанского университета в феврале
1826 г.
3) См. вступительную статью, стр. 17.
4) См. «Г. и.», стр. 91/46.
5) В какой мере Больаи прав в своем утверждении, что название
«воображаемая геометрия» нельзя считать целесообразным, видно из

ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ» 197
За § 25, которым заканчивается учение о параллельных
линиях (Янош называет их асимптотами), Янош излагает, как
он предполагает в своей «Полной системе учения о пространстве»
изложить этот предмет1).
«Прежде всего будет помещен § 1 „Аппендикса",
разделенный на три части, первая из которых будет содержать
определение асимптот.
того, что в настоящее время это название оставлено. Мы говорим теперь
о «геометрии Лобачевского», о «неевклидовой геометрии», в частности
о «гиперболической геометрии», а не о «воображаемой геометрии». Нужно
сказать, что и термин «мнимое число» уступает место названию
«комплексное число». Больаи принадлежал к числу первых математиков,
стоявших на той точке зрения, что комплексные числа нельзя
противопоставлять действительным в качестве «мнимых». Его работа, посланная
на соискание премии им. Яблоновского (см. стр. 26), собственно, и была
посвящена выяснению этого.
Что касается вопроса о том, какая геометрия имеет место в природе
при определенном физическом понимании терминов геометрии, то решение
его действительно представляет большие трудности как
принципиального, так и экспериментального характера. Но считать возможность этого
решения исключенной нет основания; во всяком случае, именно в
настоящее время этот вопрос многообразно дискутируется физиками. См.
об этом в книге Л. Ландау и Е. Лифшиц, Теория поля, М. — Л.,
1947, §§ 102—103.
!) Янош, подобно Лобачевскому, считал необходимым написать
сочинение, которое охватывало бы всю геометрию, содержало бы строгое
обоснование ее начал, на почве которого можно было бы строить и новую
геометрию. Лобачевский посвятил этой задаче обширное сочинение
«Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (1835—1838).
Больаи приступил к составлению такого сочинения, начальные главы
которого сохранились в его наследии. Оно носит название «Учение
о пространстве» («Raumlehre») и относится к 1885 г. Первые три отдела
этого сочинения составлены довольно систематически и содержат учение
об основных понятиях и образах геометрии, о геометрических
построениях и учение об углах и многоугольниках. Хотя Больаи ставит здесь
очень трудные и серьезные вопросы, которыми позже много занимались
в ходе развития учения об основаниях геометрии и топологии, но в
разрешении этих вопросов он далеко не ушел. Четвертый отдел сочинения
должен был содержать учение о параллельных линиях, но сохранились
только отдельные наброски относящегося сюда материала, по которым
трудно сулить, остался ли Янош при намеченном здесь плане.

198 ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ»
§ 1. Если bit ||| am и [точка] с лежит где-либо на ma, то
bit HI СП. Доказано самым строгим образом.
За этим может следовать в § 2:
Если btt HI am и с леэюит где-либо на bit, то СИ ||| am.
Либо же следующее:
Если Ьп ||| am, [точки] с [и] Ь лежат на am, сЪ = cb и ас-^ со
то отсюда следует, что acb-^O1).
Далее:
§ 3. Если Ьн ||| am, то и am ||| Ьп».
Янош хочет воспользоваться для этого предложения
доказательством Лобачевского2) и затем объединить полученные
результаты в предложении § 6 «Аппендикса». За этим могло
бы следовать:
«Если Ьп ||| am и ср ||| am, то Ьп ||| ср.
Или же можно предпослать предложение:
Если Ьп ||| am, а с не леэюит в [плоскости] bam, то пересечение
[плоскостей] mac и nbc также ||| am и Ьп.
И только за этим следуют [два случая упомянутого
предложения]:
I случай, если [точка] с не лежит в [плоскости] bam;
II случай, если с лежит в ней3).
Далее:
§. Если bit HI — am, с есть середина ab и в [плоскости] bam
ср | ab, то am ||| ср |||Ьп4).
Каоюдому [лучу] ant всегда соответствует такой [луч] Ьп,
который HI =£b am.
1) Очевидно, здесь описка: должно быть abb -^ 0; см. § 1 «Аппендикса».
2) См. «Геометрические исследования», предложение 18 («Г. и.»,
стр. 86/42). Доказательство Лобачевского несколько более
непосредственное; он ле прибегает к секущей равного наклона. Нужно, однако, сказать,
что и доказательство Больаи имеет большие достоинства; оно отчетливо
обнаруживает симметрию относительного положения двух параллелей.
3) Иначе говоря, названное предложение (два луча, параллельные
третьему, параллельны между собой) Вольаи предлагает доказывать,
начиная со стереометрического случая. Об этом см. стр. 58.
4) Это совпадает с содержанием § 8 «Аппендикса» (стр. 61).

ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ» 199
Вкратце это доказывается следующим образом:
Если ср L Ьс и на be cb = се, а Ь<\ ||| ср ||| ег, то, очевидно^
bqffl^et1). __ _
§. Если Ъп ||| ant, map L luC*b и [точка] с лежит в Ьатр, т. е.
[точки] сир лежат по одну и ту owe сторону bam, плоскости же
ben и nba образуют двугранный угол cbtta, который <2?, то
[плоскости] map % nbe2) пересекаются»3).
3.
Суровой критике Янош подвергает § 27 «Геометрических
исследований»4). Мы, прежде всего, передаем изложение
Яноша, но присоединяем к нему некоторые замечания. Янош
идет дальше своей цели; его утверждение, что «Лобачевский
сделал грубую ошибку», не обосновано.
«В начале § 27 [Лобачевский] сравнивает стороны
сферического треугольника с ir и говорит, что они <ти5). Отсюда
видно, что он разумеет под тг величину, однородную со
сторонами, следовательно, либо длину, либо просто отношение,
абстрактную величину; я не говорю число, так как это слово
!) Больаи, повидимому, имеет в виду доказать предложение,
обратное предыдущему: доказательство можно проследить непосредственно по
прилагаемому чертежу. ^ с е
2) Точнее, полуплоскости шар и nbc.
3) См. «Аппендикс», § 9 (стр. 62). Вообще этот
план не содержит сколько-нибудь значительной
перестройки §§ 1—9 «Аппендикса». Существенно лишь то,
что Больаи отдает предпочтение доказательству
теоремы § б, данному Лобачевским, и готов им воспользоваться при новом
изложении своей системы геометрии.
4) См. «Г. и.», стр. 97/52.
5) Лобачевский выражает, как это обыкновенно делают, стороны
сферического треугольника в угловой мере и ограничивается такими
треугольниками, стороны которых меньше 2В; символ тс служит у него
только для обозначения двух прямых углов. О его своеобразном
выражении меры телесного угла и связанной с этим необычной формулировке
теоремы о площади сферического треугольника будет сказано дальше,

200 ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ»»
не применимо к иррациональным [величинам]; оно
представляется нецелесообразным даже в применении к дробям, и
лучше всего им пользоваться только для целых величин. Что
он пользуется тс только в последнем смысле, это видно на
середине стр. 28, где он о сферических треугольниках утверждает,
что они вместе составляют тг1); он явно имеет в виду именно
только отношения, так как только в этом смысле длины и
площади могут быть равны.
— Да! Но коль скоро мы трактуем конкретную величину
как отношение, то мы должны установить для нее единицу
меры, которой ее надлежит измерять. Тогда, конечно, можно
даже сравнивать площади с объемами.
Но чтобы, например, площадь параллелограмма2) на
[поверхности] F была равна произведению сторон, нужно принять за
единицу площади такой квадрат, сторона которого равна
единице длины. Так как автор не нашел нужным обо всем этом
сказать, то он смешивает тс с 2R и не дает ни о том, ни
о другом ясного понятия. Из его соображений, однако,
вытекает только следующее: если под двувершинным углом,
образованным двумя большими полукругами, разуметь меньший
из двух секторов шаровой поверхности, которые они
ограничивают, то площадь сферического треугольника равна половине
суммы его углов, без площади полушария. О числах или
отношениях здесь еще нет речи» 3).
Но Янош думает, что под углом, образованным двумя
прямыми или несколькими плоскостями, проходящими через
одну точку, «проще и единственно правильно» разуметь
ограничиваемую или часть плоскости или пространства,
*) Все ссылки Яноша на страницы относятся, конечно, к
оригинальному изданию «Геометрических исследований» («Geometrische Untersu-
chungen») 1840 года. Странице 28 оригинального издания соответствуют
Г. и. стр. 98/52.
2) Конечно, прямоугольника.
8) Все эти соображения Больаи не имеют никакого значения.
Следующие за этим текстом комментарии Штекеля и наши вполне это
выясняют,

ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ» 201
«Тогда можно доказать, что на сфере или на плоскости,
вообще на каждой поверхности, однородной вокруг и
относительно любой ее точки, площадь треугольника, ограниченного
тремя главными линиями, равна разности z между суммой углов
и 2i?, умноженной на вторую степень радиуса этой однородной
поверхности1). Таким образом, на сфере, описанной L-образ-
ными радиусами, площадь треугольника просто равна г,
площадь же плоского треугольника (так как здесь z имеет
отрицательное значение и радиус равен г=|/"—1) также равна
абсолютному значению z2).
1)-Это — весьма замечательное место. Больаи говорит о поверхности
«однородной вокруг и относительно любой своей точки». Он, очевидно,
не в состоянии точно определить, что разумеется под этими словами.
Совершенно ясно, что речь идет о поверхностях постоянной кривизны,
под «главными линиями» надлежит разуметь геодезические линии
поверхности. В таком понимании утверждение Больаи содержит точное
выражение так называемой теоремы Гаусса — Бонне. Ее в настоящее время
формулируют обыкновенно так: если f есть площадь геодезического
треугольника на поверхности, имеющей постоянную кривизну К, а углы
этого треугольника выражаются числами а, (3, y» то
Я/^а + Р + Т —*•
1 тг
«Радиус» поверхности г определяется соотношением — = К; вместе
с тем мы получаем формулу Больаи
/==г2(а + р+Т — *)■
При этом Больаи понимает, что г2 может иметь как положительное, так
и отрицательное значение.
2) Здесь вычисление ведется еще более тонко, потому что Больаи
относит теорему не только к евклидову, но и к гиперболическому
пространству. В гиперболическом пространстве кривизна сферы
прямолинейного радиуса р есть - . Если кривизна этого пространства
равна К= — №, то «L-образный» (предельный) радиус I, т. е. длина
предельной дуги, высота которой равна р, равен k ctg П (р) (см.
примечание [21] к «Аппендиксу», стр. 165).
Следовательно, в гиперболическом пространстве кривизна сферы,
А:2
имеющей предельный радиус I, равна —. Площадь геодезического тре-

202 ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ»
Лобачевский уже в § 16 сравнивает углы с те, а так как
под углом можно понимать только бесконечную часть
плоскости, содержащуюся между его сторонами1), то отсюда в связи
со всем остальным следует, что он под углом всегда разумеет
отношение. И он может при этом за единицу мери угла принять
угол, при котором отношение описанной между его сторонами
дуги круга к полуокружности того же радиуса составляет
1: тс, где число тг определено независимо от геометрии. Но когда
он при этом утверждает, что на сфере в этом смысле шаровой
сектор или двувершинний угол равен двугранному углу при
вершинах и, следовательно, половика полной сферы равна тс, то
это утверждение частью не обосновано и не определено, частью
же даже неправильно. В самом деле, в указанном смысле
слова угол не зависит от радиуса. Но так как сектор меняется
с радиусом шара, то здесь, очевидно, недостает кое-чего
важного; именно, нет указания радиуса того шара, на котором
нужно взять сектор. Относительно этого радиуса только позоюе
будет возможность показать, как его нужно выбрать, и, именно,
что проще всего взять его равным перпендикулярной ординате
угольника f= -Tg (а + ,3 + y — *)• При I = 1 и к = 1, как это принимает
Больаи, получаем f = а-\- ф-\-f — я.
Еще проще получаем второй результат. В гиперболическом про-
1 1
странстве при К = — -у кривизна плоскости также равна — -г •
поэтому по общей формуле площадь прямоугольного треугольника
если к принято за 1, то / = п — а — (3 —-у-
Эти вычисления очень характерны для геометрической интуиции
Больаи, но к делу они совершенно не относятся, потому что Лобачевский
определяет не площадь сферического треугольника, а трехгранный
объемный угол (см. ниже, указание Штекеля).
*) Из всех определений угла, предлагавшихся разными геометрами
в различное время, это — самое неудачное; именно оно ведет к парадоксам,
которые содержатся в доказательстве постулата о параллельных линиях,
предложенном Бертраном (см. «О. г.», стр. 128). Совершенно непонятно,
почему Янош на нем остановился.

ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ» 203
L-дуги, равной г1). Но тогда можно доказать, что не весь сектор,
а его половина равна названному углу. Таким образом,
Лобачевский сделал здесь грубую ошибку или же, чему вряд
ли можно верить, он принял за радиус шара ортогональную
ординату Ь-дуги, равной 2 г».
Ниже Янош возвращается к измерению углов в пространном
примечании:
«Угол можно определить наиболее прямым путем,
сравнивая его, — хотя он представляет сам по себе бесконечную
величину, — с другим углом, приводя к совпадению их
вершины. В этом случае его рассматривают как относительную
величину и сравнивают его с 472; угол В, который обыкновенно
называют прямым углом, можно по праву называть главным,
основным или четвертным углом. Этот первый синтетический
способ есть простейший.
Второй, более сложной точкой зрения, требующей более
глубокого рассуждения:, является следующая. Так как
поверхность F существует во всяком случае, и на этой поверхности
дуга, заключающаяся между сторонами угла, имеет постоянное
отношение к своему радиусу, то следует задать это отношение
и этим путем определить отношение угла к 472, так как только
оно дает ясное представление о величине угла.
В [системе] S определение угла, естественно, может быть
сделано и так, чтобы задать как радиус, так и дугу,
содержащуюся между прямолинейными сторонами, посредством чисел.
Но это связано еще с более сложными соображениями, а
потому единственно естественным, прямым и практическим
способом [определения угла] является только первый»2).
[Дальше идет текст Штекеля. Примечание редактора.]
Что ответил бы Лобачевский на эти рассуждения?
Попытаемся в интересах справедливости повести его защиту! Конечно,
!) То-есть отрезок, который мы назвали высотой предельной дуги
(см. стр. 165).
2) По существу — это совершенно правильная точка зрения, которую
можно считать в настоящее время общепринятой. См. «О, г,», стр, 311,

204 ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ»
он должен был бы признать, что в «Геометрических
исследованиях», которые он хотел изложить возможно короче, отчетливо
не сказано, что он разумеет под тт. Однако на стр. 9 *) ясно
видно, что у него тс представляет собой только символ для 2R.
Но в § 27 речь идет о том, чтобы показать, что трехгранный
телесный угол равен полусумме двугранных его углов,
уменьшенной на прямой угол; для этого совершенно нет надобности
указывать радиус сферы; полусфера здесь означает не что
иное, как двугранный угол в два прямых (2R). Это
подтверждается подробным изложением, которое мы находим в
сочинении Лобачевского от 1829 г.; там сказано2):
«Подобным образом определяется и величина дуги круга
по сравнению ее с окружностью, которой дуга будет часть.
Это содержание не зависит от величины полу поперечника, во
от взаимного положения тех двух полупоперечников, которые
проходят чрез концы дуги. Чтобы оставить на произвол,
какая дуга принимается за единицу, мы будем означать 2т:
окружность. Так выраженная дуга называется линейным углом
или углом тех двух линий, которые, идя чрез концы дуги,
встречаются в центре круга.
Так же будем означать 2тг и сферу, определяя с нею^сравни-
тельно ее вырезки. Когда вырезок происходит от двух
плоскостей, проведенных чрез центр, тогда величина его будет
плоскостной [двугранный] угол; других же вырезков — телесным углом.
Плоскостной и телесный углы не зависят от
полупоперечника сферы, но от взаимного положения плоскостей, которые
идут от центра сферы. Плоскостной угол также не зависит от
места, где будет центр сферы на линии пересечения двух
плоскостей».
В «Новых началах»3) (1836) Лобачевский даже говорит:
*) Оригинального издания, предложение 16 (см. «Г. и.», стр. 83/40).
2) «О началах Геометрии», Поли. собр. соч. Н. И. Лобачевского,
т. I, стр. 191-192.
3) «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных»,
ст. 39. Полн. собр. соч. Н. И. Лобачевского (стр. 203—204). К этому
следует прибавить, что еще в «Геометрии» (1823), в главе об углах

ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ» 205
«Чтобы оставить этот выбор произвольным, будем означать тс
половину круга в измерении дуг и половину сферы в
измерении частей ее. Число т: принимают иногда 200, но чаще 180,
следуя новому десятичному, либо старому шестидесятичному
делению».
[Примечание редактора. Этот отдел, посвященный
недоразумениям, которые вызваны главным образом неотчетливым
определением как прямолинейного, так и двугранного и телесного
углов, содержит рассуждения, различные по своему характеру,
и читателю нелегко разобраться, в чем собственно заключается
критика Больаи. Поэтому в дополнение к указаниям Штекеля
полезно еще раз сделать краткий обзор, выясняющий сущность
этой критики.
Как в предложении 27 «Геометрических исследований», так
и в разных других своих сочинениях Лобачевский обозначает
выпрямленный угол (т. е. угол, составленный из двух прямых
углов) через ти. При этом Лобачевский не разумеет под ти так
называемого «лудольфова числа»: это есть только символ для
обозначения выпрямленного угла. Так как двугранный угол
определяется своим линейным углом, то Лобачевский
обозначает также через те и выпрямленный двугранный угол. Можно,
однако, перейти и к измерению; тогда тс выразится числом,
зависящим от того, какой угол выбран за единицу меры: если
за единицу выбран градус, т. е. одна сотая или одна девяностая
часть прямого угла, то ти выразится соответственно числом 200
или 180. Можно выбрать единицу меры угла и так, чтобы тс
выражалось лудольфовым числом; в евклидовой геометрии это
делается довольно просто: для этого за единицу нужно принять угол
при центре круга, в котором длина дуги равна радиусу;
численное значение угла выражается в этом случае отношением
длины / любой его дуги (т. е. дуги, описанной из вершины
угла, как из центра, между его сторонами) к радиусу (—}; это
Лобачевский дает следующее определение угла (там же, стр. 47):
«Углом называется выраженная в градусах дуга между двух сходящихся
линий прямых, описанная из точки их пересечения»»

206 ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ»
отношение не зависит от радиуса, которым описана дуга, и
пропорционально величине угла; для выпрямленного угла это
отношение обращается в лудольфово число 7г. В
гиперболической геометрии постоянным остается отношение £:ictgll(r),
где г — гиперболическая постоянная, I — длина любой дуги
этого угла, а г — ее радиус; это отношение пропорционально
величине угла и для выпрямленного угла также обращается
в tz. Здесь ictgU(r) есть длина предельного радиуса дуги
(т. е. ее радиуса на предельной поверхности). Больаи и
указывает поэтому, что для установления этой меры угла полезно
прибегнуть к предельной поверхности.
Итак, независимо от того, имеет ли место постулат о
параллельных или нет (т. е. в порядке абсолютной геометрии), можно
на основе простых синтетических соображений установить такое
измерение углов, при котором выпрямленный угол тс выра-
зкается лудольфовым числом тт; это есть так называемая
линейная мера угла.
Двугранный угол определяется своим линейным углом;
выпрямленный двугранный угол обозначается через тг; при
радианной мере линейных углов выпрямленный двугранный
угол iz также выражается лудольфовым числом.
Обращаясь к телесным углам, Лобачевский обозначает
через тг выпрямленный телесный угол, т. е. такой телесный
угол, оболочка которого вырождается в плоскость. Это — угол,
составленный из четырех октантов — из четырех трижды
ортогональных трехгранных углов. Это имеет то обоснование,
что такой телесный угол как бы совпадает с выпрямленным
двухгранным углом (ребро которого лежит на плоскости
оболочки телесного угла и проходит через его вершину); как
выпрямленный двугранный угол, так и выпрямленный
телесный угол вырезывают на сфере ее половину — полусферу, и
следовательно, оба угла равны между собой.
Измерение телесных углов приводится в связь с
измерением линейных и двугранных углов; именно, мера телесного
угла устанавливается таким образом, чтобы выпрямленный
телесный угол тг выражался тем же числом, каким выражается

ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ» 20?
выпрямленный прямолинейный угол и выпрямленный
двугранный угол. Таким образом, при радианном измерении
прямолинейных углов выпрямленный телесный угол тс также
выражается лудольфовым числом тс.
При этом соглашении относительно согласования при
измерении прямолинейных двугранных и телесных углов между
числами, измеряющими трехгранный угол (Р), и числами,
измеряющими его двугранные углы А, В, С, имеет место
соотношение
P=i(A+J3+C-«). (1)
Это соотношение и составляет содержание предложения 27
«Геометрических исследований»; оно остается в силе, каким
бы числом мы ни выражали выпрямленный угол тс; в
частности, конечно, и в том случае, когда тс есть лудольфово.
При кратком стиле «Геометрических исследований»
Лобачевский во все эти детали не входит. Это, конечно, может
вызвать у неискушенного читателя недоумение, которое может
еще усиливаться тем, что обыкновенно выпрямленный
двугранный угол выражается (при радианной мере линейных
углов) не числом тс, а числом 2тс. Вследствие этого
множитель ^ в равенстве (1) отпадает.
Больаи, конечно, отдает себе во всем этом полный отчет,
но недостаточная четкость определений Лобачевского при
раздраженном настроении Яноша дает ему повод обвинять
Лобачевского в грубых ошибках. В действительности же никаких
ошибок нет; есть недосказанность, которая, как указано в
замечаниях Штекеля, совершенно восполнена в других сочинениях
Лобачевского.]
4.
К заключительному предложению § 32 Янош делает
следующее замечание:
«Замечания, что F есть шар, a L — круг бесконечного
радиуса, несправедливы в том смысле, что шар и круг имеют
центр; но можно понятие о шаре и круге обобщить таким

208 ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ»
образом, что в нем будут содержаться не только F и L, но
также гиперсферы и гиперциклы1).
В отношении к F и L это можно даже провести чисто
геометрически, если установить следующее определение: be
лежит к etc, если все точки [отрезка] ас
расположены по одну сторону be, но всякая
прямая Ьр, которая проходит через Ь внутри
угла Д abc, рассекает ас на две части2)».
Здесь, как замечает Янош, ас и be могут
быть как конечными, так и бесконечными
прямыми.
«Но для гиперсфер и гиперциклов такое
b обобщение можно выполнить только
аналитически и именно так, что для всюду
однородных поверхностей назвать радиусом такую
длину, на которую надлежит делить3)
стороны треугольника, расположенного на такой поверхности,
чтобы можно было непосредственно применять формулы
сферической тригонометрии 4); это применимо также к
поверхности F и линии L.
*) Гаусс в письме к Фаркашу Больаи от 6 марта 1832 г. предлагает
назвать геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от
данной прямой («эквидистанту»), гиперциклом, а геометрическое место
точек, равноудаленных от данной плоскости («эквидистантную
поверхность»), гиперсферой. Янош здесь сохраняет эту терминологию.
2) Очень трудно себе уяснить как самое определение, так и его
применение для такого геометрического определения предельной
поверхности, при котором ее можно было бы рассматривать как частный
случай сферы. Не лишено возможности, что эта неясность обусловливается
нечеткостью перевода мадьярского текста на немецкий язык.
3) Этим делителем является У К, где К—кривизна пространства
(положительная или отрицательная).
4) Янош ошибается, утверждая, что выполнить такое обобщение для
«гиперциклов» и «гиперсфер» можно только аналитически: этого можно
достигнуть и чисто геометрическими средствами, например следующим
образом. Совокупность лучей образует связку, если каждые два луча
этой совокупности лежат в одной плоскости. Если на каком-либо луче
связки возьмем точку А и из нее проведем к каждому другому лучу

ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ» 209
Название предельных треугольников, которое Лобачевский дает
треугольникам на поверхности F, я бы считал более
целесообразным применять к асимптотическим плоским
треугольникам с конечным или
бесконечным основанием».
5.
Относительно
доказательства, которое Лобачевский дает
в предложении 33 г) для
установления равенства
/ —а?
s' = se ,
Янош справедливо замечает, что оно «не настолько отчетливо,
как это должно было бы иметь место». Гуэль в своем
французском переводе «Геометрических исследований» считал здесь
уместным пояснительное подстрочное замечание. Однако вывод,
который Лобачевский дал в 1837 г. в § 117 «Новых начал»2),
в отношении ясности не оставляет ничего желать; только
стремления к краткости изложения неблагоприятно отразились на
тексте предложения 33. Этими стремлениями объясняются
также разные другие недостатки «Геометрических
исследований» , которые в отношении искусства сжатого и в то же время
отчетливого изложения уступают «Аппендиксу».
Однако Янош делает еще и другие возражения против
соображений Лобачевского:
«Лобачевский выражается неудачно, когда он говорит: е
(как он обозначает I) есть неизвестное число, следовательно,
не величина, которая подчинена единственному условию, что
связки секущую равного наклона АВ, то геометрическое место точек В
образует некоторую поверхность. В гиперболическом пространстве
возможны связки трех типов: а) все лучи связки сходятся в одной точке;
поверхность представляет собой сферу; Ь) все лучи связки параллельны —
предельная поверхность (F); с) все лучи связки перпендикулярны
к одной плоскости — эквидистантная поверхность (гиперсфера).
1) См. «Г. и.», стр. 107/60.
2) См. Н. И. Л о б а ч е в с к и й, Поли. собр. соч., т. П, стр. 294—295.
14 Зак. 1430 Я. Больаи.

210 ЗАМЁЧАЙИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ»
она должна быть больше единицы1); он слишком быстро и
без предварительной подготовки высказывает мысль, хотя и
правильную, что проще всего принять за е = 1 основание
натуральных логарифмов, так что тогда
х = log [nat] X
Неправильно также утверждение в духе Ньютона, что s's=Q
при х = оо. В самом понятии бесконечного или безграничного
содержится, что оно не имеет конца, т. е. конечное состояние
невозможно. Но сказать о невозможном больше того, что оно
невозможно, — это злоупотребление словом, и над таким
употреблением слов каждый разумный, даже необразованный
человек посмеялся бы, показав этим, что такую речь он
считает только шуткой или насмешкой»2).
6.
Особенный интерес представляют замечания Яноша к § 35э
в котором Лобачевский показывает, к&к можно притти к
формулам сферической тригонометрии, не прибегая к XI аксиоме.
«Как в „Аппендиксе", в котором § 29, несомненно,
составляет один из наиболее существенных пунктов, так и здесь
проявляется наибольшая оригинальность Лобачевского, а
также наиболее важное его отклонение от „Аппендикса". И нужно
признать, что его сочинение, особенно начиная с этого места,
обнаруживает творческую гениальность и что путь, которому
он следует, в особенности начиная отсюда, а также
результат, к которому он приходит, несомненно, его сразу поднимают
на ступень математиков первого ранга.
1) Мысль Яноша заключается в том, что е здесь не «неизвестное»,
а произвольное число, превышающее единицу. Однако в ст. 117 «Новых
начал», четко сказано: «можно почитать е каким угодно числом, лишь
бы е> 1».
2) Это замечание, конечно, отнюдь не имеет того существенного
значения, которое Янош ему придает. Как в то время, так и теперь принято
говорить, что f(x) обращается в а при ж = оо, если f{x) стремится
к пределу а, когда х неограниченно возрастает.

Замечания к «геометрическим исследовайиям» 211
Его основная идея — классическая. С тонким тактом он
ищет и в надлежащем месте, в сокрытом уголке находит
истину; и если в некоторых местах он идет запутанными
соображениями и отстает от того совершенства, которое
желательно и которого я достиг, то его работу все же нужно
признать мастерским произведением.
Он принадлежит к числу немногих, которые усматривают
важность этого предмета, бывшего совершенно сокрытым. Ему
делает большую честь, что он стремился вывести этот
предмет на свет дня и обогатил его область новыми воззрениями:
при глубоко сокрытых вещах многостороннее освещение их
всегда очень полезно, подобно тому как политическая или
социальная истина тоже выигрывает благодаря различным ее
доказательствам и многообразному контролю.
Чтобы не блуждать в потемках, будет полезно отметить
сущность той цели, к которой мы стремимся. Дело
заключается в том, чтобы найти совершенное изложение
сферической и плоской тригонометрии и, именно, прежде всего
вывести наиболее простые формулы, из которых остальные уже
вытекают.
Известно, что за исключением отдельных случаев, в
которых тригонометрические задачи имеют двузначное решение,
тремя элементами (сторонами и углами) вполне определяется
сферический треугольник; в частности, прямоугольный
треугольник, помимо прямого угла, определяется двумя
элементами.
Сообразно этому, в каждую формулу, служащую для
решения треугольника, должно входить 3 —J— 1 = 4 элемента.
Вследствие этого для всех задач этого рода достаточно иметь
формулы четырех типов, а именно те, которые выражают
соотношения:
1) между тремя сторонами и одним углом [а, Ъ, с, А],
2) между двумя сторонами и двумя углами, прилежащими
к одной из этих сторон [by с, А, В],
3) между двумя сторонами и противолежащими им углами
К Ь, А, В],
14*

212 ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ЙССЛЁДОВАЙЙЯМ*
4) между тремя углами и одной стороной [а, А, Б, С].
Соотношения между элементами треугольника выражаются
при помощи тригонометрических функций, но получаются
окольным путем. Двузначность при решении треугольника
возникает исключительно от того, что искомый элемент
определяется только своим синусом.
Мы пойдем дальше. Что между числом, выражающим
произвольную дугу, и ее тригонометрическими функциями не
может иметь места никакое общее алгебраическое соотношение,
я в другом месте — насколько мне известно, и, как я
предполагаю, первый на Земле, — обнаружил со всею строгостью,
равно как и следующие учения аналогичного характера:
в каком случае можно составить круг из квадрата и вообще
из фигур, т. е. доказать их равносоставленность; [я показал],
что и рациональности 3-й и более высоких степеней нельзя
выразить квадратными корнями, а следовательно, их нельзя
геометрически построить; [я построил] алгебраическое учение
о радикалах в связи с основательной теорией алгебраических
уравнений, при помощи совершенного дополнения
глубокомысленной десятой книги Евклида. Такое [же] учение
составляет также строгое доказательство того, что невозможно решить
вопрос о справедливости XI аксиомы. Сказанным я не хочу
утверждать, что в отдельных особенных дугах, скажем, для
дуги |/"2, не может иметь места алгебраическое соотношение
с его синусом; я даже не утверждаю, что тг нельзя выразить
алгебраически, так как не решено, представляет ли тс
рациональное число или нет. Но я утверждаю, что упомянутые
выше 4 тригонометрических уравнения нельзя выразить
алгебраическими соотношениями».
Позже Янош в этом месте прибавил карандашом: «Но и
это остается вопросом» («Adhuc sub iudice lis est»). Отсюда
можно заключить, что помещенное выше утверждение надлежит
рассматривать только как предположение !).
J) В научном наследии Больаи не сохранилось материалов, по кото*
рым можно было бы судить, как он подходил к решению этих основных

ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ» 213
«Теперь исследуем еще раньше, чем мы знаем эти 4
уравнения, их содержание, а также выясним, в какой мере одно из
них содержится в других. При этом мы ограничимся
сферическим треугольником, так как тригонометрия
последнего в антиевклидовом пространстве не только совпадает
с плоской тригонометрией, но приводит также к
тригонометрии на поверхности F, если радиус сферы неограниченно
возрастает1).
Из первого уравнения [т. е. из аЪсА] заменой аи1на&и5и
обратно получается аналогичное уравнение ЪасВ или аЪсВ. Если
же мы переставим a is. А о си. С, то мы, напротив, получим аЪсС.
Посмотрим теперь, что вытекает из двух таких уравнений.
Если мы из аЪсА и аЪсВ исключим один раз а, другой раз с,
то мы получим соотношения между ЪсАВ и аЪАВ. Эти
соотношения должны совпадать со вторым и соответственно с третьим
уравнением, ибо в противном случае можно было бы
исключить одну величину, и мы получили бы уравнение между
тремя элементами, что невозможно, так как три элемента
в известных пределах могут быть выбраны совершенно
произвольно. Из ЪсАВ вытекает совершенно аналогичное
уравнение ЬсАС; если мы исключим из них с или Ь, то получим
четвертое соотношение [ЬАВС или] с ABC, Таким образом,
первое уравнение содержит в себе все остальные.
проблем. Штекель, конечно, прав, считая, что утверждения Больаи
относятся к области предположений. Но самая постановка этих
вопросов свидетельствует о чрезвычайно глубоком математическом уме
Заметим, что некоторые из этих вопросов уже были решены, когда
Больаи писал эти строки. Так, иррациональность числа тс была
доказана Ламбертом в 1768 г. Невозможность выражения иррационального
кубического корня в квадратных радикалах была доказана Ванцелем
(L. Wantzel) в 1829 г.
*) Уравнения сферической тригонометрии совпадают с уравнениями
плоской тригонометрии, а также с уравнениями тригонометрии
предельной поверхности, когда стороны сферического треугольника а, Ь, с
так малы по сравнению с радиусом сферы, что третьими степенями
^ а & о .
отношений —, —, — можно пренебречь,

214: ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ»
Из второго уравнения, как уже сказано, вытекает сАВС.
Это четвертое уравнение отличается от первого [abcC] только
тем, что там, где стояли прописные буквы, во втором
соотношении стоят строчные. Таким образом, из четвертого
уравнения, а также из второго вытекают все остальные.
Из аЪАВ вытекает ас АС и ЪсВС; эти три уравнения 3-й
группы обладают тем свойством, что два из них всегда влекут
за собой третье; таким образом, этим путем мы никогда ничего
нового не получаем».
В различных набросках Янош пытался из теоремы синусов
аЪАВ получить первое уравнение и, таким образом, все
остальные; он делит для этого треугольник трансверсалью на два
треугольника и применяет теорему синуса к каждому из
составляющих треугольников. Однако действительное
выполнение вычислений обнаруживает, что этим путем мы всегда
возвращаемся только к теореме синуса для первоначального
треугольника.
Янош рассматривает, далее, прямоугольный треугольник,
в котором имеют место только 6 существенно различных
уравнений, а именно, если С есть прямой угол: abc, аЬА, асА,
асВ, аАВ, сАВ (к ним присоединяются те, которые из них
получаются перестановкой букв: аЪВ, ЬсВ, ЬсА, ЪАВ), и
исследует их взаимную зависимость. Так как, однако, он не
предусмотрел того обстоятельства, что в соотношениях, которые
получаются путем исключения, один из четырех элементов
сможет выпасть сам по себе, то его заключения не вполне
правильны; их не стоит поэтому приводить.
Воспроизводя после этого с незначительными изменениями
вывод Лобачевского уравнений, связывающих стороны и углы
прямоугольного сферического треугольника, Янош замечает:
«Балансируя так по дугам и углам, Лобачевский с
удивительным искусством, как величайшие артисты пляски по
канату, устанавливает самостоятельность сферической
тригонометрии.
Но эта часть предмета может быть исчерпана и без этих
подготовительных рассуждений следующим путем. Кох1 да радиус

ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ* 215
шара -^0, то соотношения на сфере те же, что и в системе £,
или, выражаясь коротко, они стремятся к этим соотношениям.
С другой стороны, эти соотношения остаются при любом
радиусе неизменными, следовательно [может иметь место только
первый случай]»1),
7.
В § 36 Лобачевский определяет функцию П(а?) и находит
уравнение
tgjll(x) = e'xy
«где е может быть произвольным числом, большим 1, ибо
П(о?) = 0 при #=оо»2). Считая, что здесь он нашел у своего
соперника слабое место, Янош ведет против этих двух строк
«Геометрических исследований» решительное нападение. И
действительно, нельзя отрицать, что здесь сделан некоторый
промах, но отнюдь не столь большой, как Янош это
утверждает. Так как его изложение в отношении ясности оставляет
многого желать, причем именно основной пункт не получил
в его словах достаточно отчетливого освещения, то мы позволим
1) Несколько подробнее. Как вся геометрия гиперболического
пространства, так и уравнения сферической тригонометрии в бесконечно
малом остаются те же, что и в евклидовом пространстве. Можно поэтому
считать, что в весьма малом сферическом треугольнике гиперболического
пространства имеют место соотношения
евклидовой сферической тригонометрии. Но в эти
уравнения входят только угловые значения сторон.
Если возьмем весьма малый треугольник аЬе и О
треугольник конечных размеров ЛВС,
вырезываемые из сферы одним и тем же трехгранным
углом, то у них не только те же углы (измеряемые двугранными углами
трехгранного угла), но и те же стороны (измеряемые плоскими углами
того же трехгранного угла). Поэтому в большом треугольнике сохраняются
те же соотношения, что и в малом. Эти соображения в целом не имеют,
конечно, строго доказательной силы, но как руководящие указания qhh,
очень убедительны.
2) «Г. и.», стр. 120/71,

216 ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ»
себе опустить соответствующие наброски Яноша и вкратце
изложим сущность дела.
В § 33 было показано, что для двух предельных дуг s и s',
содержащихся между теми же осями, имеет место соотношение
в е '
где «е — неизвестное число, которое подчинено только условию
£>1». В § 36 Лобачевский доказывает, что выражение
(cotin(x))a'
также представляет собой постоянную; какое значение имеет
эта постоянная, остается нерешенным. Против этого
доказательства, которое «Янош справедливо называет глубоко сокрытым,
трудно поддающимся обнаружению, великолепным и
блестящим, ничего нельзя возразить; но промах заключается в том,
что эту постоянную Лобачевский вновь обозначает через е,
хотя он четко оговаривает, что «е может быть любым числом,
превышающим единицу». Но то же самое имеет место и
относительно числа е, появляющегося в § 33 г). Что русский
геометр и сам это сознавал, обнаруживает его «Пангеометрия»,
появившаяся в 1855 г.; он пишет даже сначала (стр. 621) 2)
- = £-*
s
и затем (стр. 633)
tg-^n(a?) = e-®,
а ниже (стр. 645) он доказывает, что Е = е. Правда, это
равенство он получает как побочный результат вычислений,
*) Таким образом, остается недоказанным, что е имеет в обоих
случаях одно и то же значение.
2) Штекель указывает страницы «Пангеометрии» по Казанскому
изданию Полного собрания сочинений по геометрии Н. И. Лобачевского
(Казань, 1883). «Пангеометрия» будет помещена в Ш томе Полного собран
нця сочинений Лобачевского, который выйдет в свет в 195.0 .г.

ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ» 217
которые предназначены для вывода общего уравнения прямой
линии.
Ошибка имела бы у Лобачевского место только в том
случае, если бы он без доказательства утверждал, что обе константы
имеют одно и то же значение, или одновременно писал бы оба
уравнения:
s7 1
- = *"*, tgjIL(x)=e-*,
с общим значением константы е, если бы он, например, разумел
в том и другом случаях под е основание неперовых
логарифмов. Между тем, как легко убедиться, это вовсе не имеет
места; напротив того, в § 36 появляется только второе
уравнение (стр. 55, а в неявной форме на стр. 60—61) х);
рассматривая же это место само по себе, совершенно безразлично,
какое значение присвоить константе е\ можно поэтому выбрать
то значение, при котором вычисление выполняется с
наибольшей простотой.
В этом коренится и причина того, почему Лобачевский не
остановился на соотношении между двумя константами,
которые появляются в §§ 33 и 36; он ведь писал в вводном
абзаце: «размер этой работы, быть может, мешает моим
соотечественникам следить за предметом, который после Лежандра
утратил интерес». Но, с одной стороны, суъцествование этого
равенства было ему хорошо известно; с другой стороны, этот
вопрос не имеет значения при выводе уравнений,
связывающих стороны и углы треугольника; между тем, установление
этих уравнений составляет заключительную задачу
«Геометрических исследований». Что Лобачевский действительно вполне
сознавал равенство обеих констант, обнаруживает сочинение
«О началах геометрии», относящееся к 1829 г. В этом
сочинении 2) Лобачевский сначала выводит уравнение для П {х) и
лишь позже доказывает, что s'\s = e~x—«уравнение, которое
1) Штекель указывает страницы оригинального издания «Geometrische
Untersuchungen». См. «Г. и.», стр. 120/71.
2) Н. И. Лобачевский, Поли. собр. соч., т. I, М. — Л., 1946,

218 ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ»
можно найти и прямо, основываясь на свойствах предельной
круга». Здесь, очевидно, Лобачевский имеет в виду вывод,
который он в 1836 г. дал в § 117 «Новых начал», а отсюда
в 1840 г. перенес в «Геометрические исследования». Этим
опровергается также предположение Больаи, что автор этого
сочинения должен был быть знаком с «Аппендиксом», в
котором равенство обеих констант доказано; вместе с этим
падает и заключение, которое он отсюда делает, что «здесь,
повидимому, как с моральной, так и с научной точки
зрения не все ясно». Очевидно, столь же несправедливо, что
Лобачевский пришел к общему обозначению обеих констант
«случайно» или же «по заблуждению» под влиянием
«Аппендикса».
Вследствие всего изложенного, из замечаний Яноша к § 36
достаточно будет привести доказательство равенства обеих
констант.
«Пусть am L аЬ, Ьп ||| am, далее, в д bam Ьр |_ <й>, Л аЬп = Щ
Д pbn = z, ас = ab = с, cb L Ь)>; пусть cb
пересекает Ьп в е. Тогда
ctg±u = ctg(±R — 1*) =
1+*2"*
i-(*-a*
— =l-\-2tg^z-^w$
где w [даже его отношение к г] -чО, когда с-^0.
С другой стороны (согласно § 23 «Аппендикса»),
т. е.
1 аЪ л
тг — ■*-* 1».
С се
Знак = означает, ч*о левая часть стремится к правой
при t-^0»t

замечания к «геометрическим исследованиям» 219
«Но со ===== cb — eb, и, согласно § 27 „Аппендикса",
db ' sin и ' ЬЬ
Но согласно соотношению, которое вводится независимо от
доказываемого равенства, в Д btb, стороны которого -*-4 О,
а также в любой фигуре, которая -^О, соотношения между
элементами постепенно приближаются к тем, которые имеют
место на поверхности F или в [системе] £. Следовательно,
и потому
Ьс .
Ьг . be 1
с tg 2 ' с<2г
Отсюда следует, если только слегка намечать основные
моменты доказательства,
cb=-A-, bt = cz, сс = -т^ cz,
sinw' sm и
с sin и 0 ~
1 — 2 sin w
sinw
cos г 2
' 1 — z cos 2 1 — z + ...
= l+*+l** +
Отсюда получим полагая tg -^- П (с) = (£
ф lognatC
= 1'
>ф* log nat (£

220 ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ»
и, следовательно, равенство
tg(ln(c)) = 0
завоевано в действительности, а не во сне или в
воображении» х).
8.
К заключительному предложению § 37 «Геометрических
исследований2) Янош также выдвигает ряд возражений. Он
порицает, что переход от воображаемой геометрии к
обыкновенной сделан «легкомысленно и поверхностно», он не
находит у Лобачевского важных указаний, что «соотношения плоской
тригонометрии системы S стремятся к соотношениям
геометрии £, когда г-^оо»; далее, что «система S содержит
в себе 2 как предельный случай, соответствующий i-^oo,
а потому, будучи построена на беспочвенном и произвольном
допущении, она все же самостоятельно и независимо
справедлива», и, наконец, если «в S сравним треугольник, стороны
которого стремятся к нулю, с конечным треугольником на
*) Доказательство только намечено; отдельные моменты его остаются
не только необоснованными, но и неясными; оно, несомненно, уступает
более четким рассуждениям Лобачевского, которые, однако, оставались
Яношу неизвестными.
Суть дела заключается в том, что основное уравнение
гиперболической геометрии
tg-g IL(x) = e-x
можно вывести, не опираясь на соотношение sr = se~x, установленное
в § 33 (см. В. К a g a n, Demonstration nouvelle des equations f ondamen-
tales de la geometrie de l'espace de courbure constante negative. «Nouyelles
Annales des Mathematiques». Paris, 1895 (3), 14, стр. 20—30). Располагая
же этим уравнением, можно вывести соотношение sf = se~x
непосредственно, и вопрос, останавливающий внимание Больаи, вовсе не возникает.
Это и выполнено в «Пангеометрии» в тексте, цитируемом Щтекелем.
2) См. «Г. и.», стр. 120/71.

ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ» 221
поверхности F, то при помощи предельного перехода можно
из плоской тригонометрии получить тригонометрию
поверхности F». Действительно, существенным преимуществом
«Аппендикса» является то, что тригонометрические формулы
содержат постоянную г, так что возможно, выражаясь в
современной терминологии, менять кривизну пространства; между тем,
формулы Лобачевского выведены таким образом, что вперед
положено г= 1.
Большее значение, чем все эти возражения, имеет критика
утверждения Лобачевского, что полученные формулы плоской
тригонометрии «уже сами по себе дают достаточное основание
для того, чтобы рассматривать предположение воображаемой
геометрии как возможное». «Для того, чтобы это утверждать, —
замечает Ялзош, — было бы необходимо строгое доказательство,
которое я, чтобы и в этой направлении исчерпать вопрос, для
устранения всякого сомнения и всякой неправильности
проведу в строго математическом духе». Если Янош под этим
разумел, что отсутствие противоречия в формулах плоской
тригонометрии еще не устанавливает недоказуемости XI
аксиомы при помощи каких-либо пространственных представлений, то
это возражение, несомненно, справедливо. Наследив Яноша
действительно обнаружило, что он в этом вопросе ушел дальше
Лобачевского, хотя действительно провести «строгое
доказательство» ему не удалось *).
Далее Лобачевский заявляет, что сообразно этому для
суждения о точности, присущей обыкновенной геометрии, нет
иных средств, как воспользоваться астрономическими
наблюдениями. Из этих же наблюдений, как он показал в одной
!) И здесь нужно сказать, что Лобачевский всю жизнь искал
доказательство, которое строго устанавливало бы отсутствие противоречия
в его геометрической системе. Не находя к этому прямых путей,
Лобачевский старался подтвердить это применением воображаемой геометри
к определенным интегралам. И в этом аналитическом направлении он
конечно, ушел неизмеримо дальше Больаи. Но строго установить это
положение не удалось ни ему, ни Больаи. К этому привели только
позднейшие работы Бельтрами, Римана и Клейна.

222 ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЕМ»
из своих работ, следует, что в треугольниках, стороны
которых доступны нашим наблюдениям, сумма трех углов не
отличается от двух прямых даже на сотую долю секунды1). В
действительности это вычисление, в котором Лобачевский
допустил ошибку2), показывает, что отклонение составляет
даже меньше стотысячной доли секунды.
Относительно такого практического решения вопроса Янош
высказывается следующим образом:
«Глаз является самым тонким, благородным, самым острым
органом наших чувств. Однако наблюдатель, вследствие
преломления света в атмосфере, уже сделал бы ошибку, если бы
он не стремился ее исправить дальнейшими исследованиями.
Как бы ни были совершенны наши инструменты, служащие
для измерения длины углов, с какой бы тщательностью мы"
ни производили измерения, постоянно переходя от большого
к малому,—никто не может утверждать, что два предмета,
природные или искусственно изготовленные, сохраняют свое
взаимное положение в такой мере, что мы не в состоянии
даже обнаружить в нем никакого изменения. Ведь
землетрясение может сдвинуть со своего места даже гранитную
скалу. Только путем контрольных измерений мы можем
успокоиться на достаточной точности их результатов. Аберрация
света наступает только для света небесных тел.
При переходе от меньших величин к большим ошибка,
сделанная при измерении меньшей, пропорционально
увеличивается; напротив, при переходе от бблыпих величин к
меньшим ошибка становится менее заметной. Возьмем поэтому
возможно большой, но всё-таки нам еще доступный (для этого
необходимо будет выполнить центрирование) треугольник, вер-
*) См. сО началах геометрии», Поли. собр. соч. Н. И. Лобачевского
т. I, стр. 207—209.
2) Эта погрешность, насколько нам известно, была впервые
обнаружена Энгелем. См. F. Engel, N. I. Lobatschefskij, Zwei geo-
metrische Abhandlungen, стр. 250, а также примечание к сочинению
«О началах геометрии» (стр. 286 первого тома Полного собрания
сочинений Лобачевского).

ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ» 2^3
шины которого лежали бы на возможно более высоких горах
с широким горизонтом, и измерим три его угла лучшими,
в то же время, конечно, наиболее дорогими и сложными
аппаратами, скажем, мультипликационным теодолитом или
даже мультипликационным кругом Рейхенбаха. Какова
наибольшая точность, на которую мы можем при этом
рассчитывать? Мы можем приближенно считать Землю шаром, радиус
которого составляет 1000 географических миль; самая высокая
гора Двалягири1) имеет в высоту примерно 1 милю.
Касательная, проведенная из ее вершины к земному шару, составляет
j/10012— 10002 = У2001 = 44,7 мили.
Таким образом, самое большое расстояние на Земле, из одной
точки которого можно действительно произвести измерение до
другой точки, едва достигает 45 миль. Но вследствие
локальных преград это расстояние едва может достигнуть 30 миль;
при геодезических измерениях в Австрии наибольшая сторона
треугольника едва достигает бх/2 миль. Не следует также
забывать, что при большем расстоянии условия для
атмосферного преломления лучей становятся более благоприятными.
Таким образом, если на больших расстояниях мы кое-что и
выигрываем, то на них всё же возникнут погрешности и
сомнения, не поддающиеся учету.
Теперь допустим, что длины и разности длин измеряемых
отрезков, как при австрийской съемке, могут быть определены
с точностью до одной стотысячной парижской сажени2).
При помощи гершелева телескопа можно наблюдать части
Луны, отстоящей от Земли примерно на 51 тысячу миль так,
как будто бы она отстояла только на 17 миль, т. е. с
увеличением в 3 тысячи раз. По сравнению с этим конский волос,
который мы невооруженным глазом видим на расстоянии
10 саженей, мог бы быть наблюдаем еще на расстоянии 30 тысяч
саженей, т. е. на расстоянии 1г/2 миль. Так как окружность
1) Dhvalagiri или Dhwalagiri— одна из вершин Гималаев.
2) Повидимому, Больаи разумеет под этим метр.

224 ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ»
такого радиуса имеет длину
~Х 30 ОООХЮО 000 jp = у тысяч миллионов р,
т. е. 10 тысяч миллионов jp, где
Р = 1Жобо сажени>
и так как окружность содержит 360Х602 = 1296 000 секунд,
то точность, которая при этом может быть достигнута,
составляет приблизительно -»- секунды; если вместо 7х/2 миль
возьмем 30 миль, то точность дойдет до ^- секунды. Допустим,
однако, что со временем благодаря усовершенствованию
инструментов удастся достигнуть точности в 0,001 секунды. Но
если мы даже измерим углы, а вместе с тем и их сумму с самой
большой точностью и получим ровно 2R, кто может нас заверить,
что атмосферное лучепреломление и влияние других, не
поддающихся учету обстоятельств не вызывает ошибки, даже
нам доступной; и наоборот, если бы сумма углов оказалась
бы меньше, скажем, на 16 минут,—разница, которую может
на расстоянии 30 миль обнаружить отклонение на 1 сажень, —
кто решится утверждать, что такой результат заставляет
считать, что имеет место некоторая [система] Sy а не Ц? Более
того, при измерениях мог бы обнаружиться и такой совершенно
противоестественный результат, что сумма углов треугольника
превысит два прямых.
Таким образом, никакое измерение на Земле не в
состоянии обнаружить, имеет ли место геометрия £ или какая-либо
система S» *).
Янош полагает, что для той же цели можно было бы
воспользоваться также разностью, которая обнаруживается при
двояком вычислении положения небесных светил: в первый
*) В настоящее время измерения могут быть произведены с
несравненно большей точностью. См. сноску 5) на стр. 196—197,

ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ» 225
раз в предположении, что сумма углов треугольника равна 2i?,
а притяжение масс всегда происходит в обратном отношении
поверхностей сфер, радиусами которых служат расстояния
между этими двумя телами; во второй же раз — при всё
возрастающем отклонении углов от 2R.
«Если, таким образом, — повторяя прекрасные слова моего
отца — время приходит на помощь своему извечному родичу —
пространству, то можно успокоиться на том, что во всей области
наших практических исследований можно принять систему £
с достаточной точностью, но, конечно, никогда и нигде
с теоретической точностью. Только на этом пути
Лобачевский мог притти к своей цели; если поэтому в наибольшем
треугольнике на Земле примем сумму углов = 2R— ^qq сек*
и после этого наблюдавшееся ранее согласие
действительного и вычисленного движения небесных тел нарушится и
если расхождение будет возрастать при малейшем увеличении
разности суммы углов от 2R, то это даст право заключить,
что сумма углов отличается от 2R менее чем на у^ сек.
Во всяком случае такой вывод нужно считать
обоснованным до тех пор, пока полученные результаты не изменятся
благодаря улучшению оптических и измерительных
инструментов».
9.
«Геометрические исследования» заканчиваются замечанием,
что уравнения плоской тригонометрии переходят в уравнения,
имеющие место для сферических треугольников, если стороны
а, Ь, с заменить через а У — 1, ЪУ — 1, с У — 1 ; ибо тогда
нужно заменить sin П (а) через , cos П (а) через |/ — 1 tg а,
< cos а
tgEI(a) через -—т^ и такие же замены нужно, конечно,
у — 1 sin а
сделать по отношению к сторонам Ь и с.
Выполнить это до конца Лобачевский предоставляет
читателю; быть может, ему вследствие этого можно поставить
в упрек чрезмерную сжатость изложения; однако Янош
15 Зак. ИЗО Я. Больаи.

226 ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ»
утверждает, что Лобачевский сделал здесь ошибку; это ие
имеет места х).
Некоторое значение всё же имеет указание Яногла, что
Лобачевский заметил только одну сторону дела; именно, он
заметил, что уравнения плоской тригонометрии переходят
в уравнения сферической тригонометрии, если в них заменить
sin П (а) через —, «более глубокого же проникновения
ему, повидимому, нехватает». И действительно, Янош подошел
к нему ближе. Свое собственное более глубокое
проникновение он выразил следующими словами:
«Подобно тому, как в случае сферического треугольника
стороны нужно делить на ту [предельную] L-дугу,
ортогональная ордината которой2) равна прямолинейному радиусу сферы,
так и в плоскости, чтобы применять на ней такие же формулы,
нужно вставить в уравнение длины сторон, разделенные на-
* V — 1 3)- Если поэтому радиус сферы равен ординате L-дуги,
г) См. «Г. и.», примечания I37]/!38] на стр. 159/112.
2) То-есть высота соответствующей предельной дуги.
3) Чтобы вполне выяснить эту мысль, остановимся на каком-либо
определенном уравнении сферической тригонометрии, скажем, на
уравнении, связывающем катеты а, Ь и гипотенузу с прямоугольного
сферического треугольника:
cos а = cos b cos с.
Под а, Ь и с нужно здесь разуметь угловые значения сторон
треугольника, выраженные в радианной мере. Если же а, Ь и с суть длины
в сферическом треугольнике, сфера взята в евклидовом пространстве,
то для получения их радианных значений нужно вместо а, Ь, с
а Ь с
взять ~ > 7"' Т' если Же с*ера лежит в гиперболическом
пространстве, то вместо а, /;, с можно взять
а b с
г ctg П (г)' i ctg П (У)' г ctg П (г)'
где г есть гиперболическая постоянная (Янош ее и обозначает через г).
Геометрическое значение делителя г ctg П (г) заключается в том, что
он выражает длину предельпой дуги, высота которой равна радиусу

ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕ0МЕТРИ*1ЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ» 227
которая равна произвольно выбранной единице, то можно вести
вычисление самими сторонами. В этом смысле можно
сказать, что плоскость представляет собой гиперсферу h-образного
радиуса i У — 1, или, что то же, — прямолинейного радиуса
а = -утсг]/ — 1 -{- 2ттл,
где m — произвольное целое число. Что оба выражения
означают то же самое, явствует из уравнения
z = ictgw,
которое содержится в § 30 „Аппендикса", ко может быть
выведено также при помощи интегрального исчисления пз
формулы
z =г I/ —1 sin —т== >
%У — 1
которая, в свою очередь, вытекает из соотношения
, 1
T^i
sin
г Y — 1
Так как мнимые L-образные и мнимые прямолинейные
радиусы до сих пор нигде не были определены, то значение
этих выражений не может вызывать никаких сомнений».
Сказанное «можно также легко распространить на
гиперсферы, эквидистантные относительно плоскости, и мы получаем,
таким образом, один из наиболее изящных, наиболее важных
и интересных результатов во всей геометрии и вообще во всей
области нашего мышления».
шара г.Для получения из уравнений сферической тригонометрии соответ*
ствующих уравнений плоского треугольника нужно стороны аг 6, с заменить
а Ь с
через rr=s=r , _-■, ■ , —■ , . ото эквивалентно тому, чтобы.
гY — 1 iV — 1 %Y — \
считать плоскость сферой, имеющей предельным радиусом У — 1; соответ-
ствуюпщй прямолинейный радиус г (Ьольаи его обозначает через а)
получается из уравнения
ctgn(r)=V —1 или ±(е* — е i ) = У~,
что и дает значение, приведенное в тексте Болъаи4
15*

228 ЗАМЕЧАНИЯ К «ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ИССЛЕДОВАНИЯМ»
Точка зрения, что в абсолютной плоскости гиперциклы
принадлежат к системе окружностей, предельных окружностей
и прямых, а в пространстве гиперсферы принадлежат к системе
сфер, предельных сфер и плоскостей, а также, что геометрия
на гиперсферах в системе 8 при определенном г совпадает
с абсолютной геометрией плоскости при любом г, повидимому,
составляет достояние Больаи; у Лобачевского линия равных
расстояний от прямой (гиперцикл) упоминается только один
раз в сочинении «О началах геометрии» (1829).
*^ф^8^

Историкобиблиографигеские
СВЕДЕНИЯ О СОЧИНЕНИИ
«АППЕНДИКС»

Как уже было указано в статье, посвященной Йношу Больаи^
«Аппендикс» появился в свет в 1832 г. на латинском языке
в виде приложения к сочинению его отца «Тентамен*;
отдельные оттиски «Аппендикса» появились в небольшом количестве
экземпляров в июле 1831 г. Полное название сочинения гла^
сит: «Приложение, содержащее науку о пространстве,
абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности
XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не
может); с прибавлением к случаю ложности геометрической
квадратуры круга» *). Первое издание «Аппендикса» сод ер*
жит 26 страниц текста формата 20 X 12 см; к ним приложены
две страницы замеченных опечаток и, в конце тома, сводный
лист всех чертежей. Факсимиле титульного листа этого
издания помещено перед страницей 5, факсимиле первой страницы
текста (после «объяснения обозначений») — перед страницей 51,
таблица чертежей — перед страницей 137. Экземпляр ©того
издания «Тентамена» с «Аппендиксом» имеется в
геометрическом кабинете Казанского Университета.
В отличие от настоящего издания (воспроизводящего
венгерское издание «Аппендикса» 1902 года), буквы,
обозначающие точки, в первом издании не готические, а лйтинскйе;
выделения курсивом также не вполне соответствуют первому
1) Appendix stientiam spatii absolute veram exhibens: a veritate aut
falsitate Axiomatis XI Euclidei (a priori baud unquam decidenda) inde-
pendentem; adjecta ad casum falsitatis quadratura circuli geometrica. Aug-
tore Johanne Bolyai de eadem, Geometrarum in Exercitu Caesareo Regio
Auetriaco Castrensium Capitaneo. Слова «de eadem» означают «оттуда зкв»
т, е. «из Больа».

232 ИСТОРШЮ-БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
изданию. Эти изменения сделал Янош в своем переводе
«Аппендикс» на немецкий язык, сделанном в том же 1832 году.
В этом переводе заголовка слово «Аппендикс» заменено
выражением «Учение о пространстве» *). Этот перевод
сохранился в бумагах Я. Больаи. §§ от 1 до 31 представляют
собой точный перевод параграфов латинского текста с
незначительными изменениями в нескольких местах. §§ 32 и 33
содержат значительные отступления от «Аппендикса»; §§ с 34
по 43, представляющие самостоятельный отдел (учение о
геометрических построениях в неевклидовом пространстве, а также
учение об измерении площадей), вовсе опущены. Этот немец,
кий текст «Аппендикса» воспроизведен Штекелем во второй
части его монографии, посвященной обоим Больаи 2); к нему
Штекель присоединил свой перевод §§ 32—43. Таким образом,
£io сочинение Штекеля содержит полный перевод
«Аппендикса» на немецкий язык.
В 1902 г. Венгерская академия наук в ознаменование
столетия со дня рождения Больаи выпустила в свет новое издание
«Аппендикса» 3); с этого издания и сделан настоящий перевод.
В 1867 г. Гуэль опубликовал в Известиях Общества
физических и естественных наук города Бордо французский
перевод «Аппендикса». В следующем 1868 г., этот перевод был
выпущен в свет отдельным изданием4). В 1895 г, это
издание было повторено.
*) Raumlehre, Unabhangig von der (a priori nie entschieden werdenden)
Wahr- oder Falschheit des bertichtigten XI Euklid'schen Axioms; fur den
Fall einer Falschheit desselben geometrische Quadratur des Kreises.
2) См. стр. 11.
8) Ioannis Bolyai de Bolya, Appendix... Editio nova oblata
ab Academia scientiarum Hungarica ad diem natalem centesimum auctoris
concelebrandum. Ediderunt Iosephus Kurschak, Mauritius Rethy, Bela
Totossy de Zepethnek, Academiae scientiarum Hungaricae sodales. Buda-
pestini. Sumptibus Academiae Scientiarum Hungaricae. MDCCCCII.
4) J. В о 1 у a i, La science absolue de l'espace... Traduit par G. J. Houel.
«Memoires de la Societe des sciences physiques et naturelles de Bordeaux», 5
Bordeaux, 1867. Отдельное издание того же сочинения: Paris, Gauthier^
Villars, 1868; 2-е изд., 1895,

кСГОРИКО-БИБЛИОГ^АФИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ £ЗЙ
В 1868 г. в Италии был опубликован итальянский перевод
«Аппендикса»; перевод сделан Баттальини и опубликован
в «Математическом журнале»1).
В 1872 г. австрийский математик Фришауф издал
сочинение «Абсолютная геометрия па Яношу Больаи», которое
воспроизводит «Аппендикс» в расширенном виде с некоторыми
собственными дополнениями автора2). Эти дополнения
получили значительное развитие во втором издании того же
сочинения, выпущенном в 1876 г.
В 1891 г. Гальстед издал перевод «Аппендикса» на
английский язык; перевод снабжен обстоятельной вводной статьей3).
В следующем 1892 г. книга была переиздана, ав1894и1896гг.
были выпущены третье и четвертое издания этого сочинения.
Наконец, в 1892 —1894 гг. тот же перевод был отпечатан
в Японии.
В 1897 г. Радош опубликовал «Аппендикс» в переводе
на венгерский язык в венгерском физико-математическом
журнале4). Но гораздо большее значение имеет выпущенное
в том же году Сутаком и Шмидтом издание «Аппендикса»
(оригинальный текст) с переводом на венгерский язык с
комментариями и жизнеописанием автора5).
Наконец, в 1907 г. было выпущено в свет факсимиле орй>
гинального издания «Аппендикса».
В 1928 г. появился перевод «Аппендикса» на сербский
язык, сделанный Б. Нетрониевичем; он сопровождается
обстоятельными примечаниями 6).
*) J. В о 1 у a i, Sulla scienza dello spazio assolutamente vera... Versione
dal latino per G. Battaglini. «Giornale di Matematica», 6, Napoli, 1868.
2) J. Frischauf, Absolute Geometrie nach Joliann Bolyai. Leipzig,
1872. 2-е изд., 1876.
3) J. Bolyai, The Science Absolute of Space... Translated from the
latin (1832) by G. B. Halsted. Austin (Texas), 1891; 1892; 1894; 1896.
4) J. Bolyai, A ternek abszolut igaz tudomanya (Rados). «Math.
Phys. Lit.», 6, Bndapest, 1897.
5) J. Bolyai, Scientia spatii absolute vera. A ter abszolut igaz
tudomanya. (J. Sutak, F. Schmidt). Budapest, 1897.
6) «сАпендикс» од JaHoma Bojibaia, Белград, 1928.

234 ИСТОРИКО-БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
На русском языке «Аппендикс» появляется в первый раз.
При переводе мы старались, по возможности, сохранить
своеобразный характер изложения Вольаи. В отдельных местах по
конструкции русскбй фразы приходилось вставлять при
символе термин там, где Больаи его опускает. Так, иногда
приходится говорить «плоскость аЬс» там, где Больаи пишет
просто «обе». Вставленное слово мы всегда заключали в%
прямоугольные скобки. Перевод представлял значительные
трудности; нередко приходилось предпочитать точную передачу
текста полной гладкости стиля.
*^Q^2S*

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 5
Янош Больаи (биографический очерк) . • 9
Краткий обзор сочинения «Аппендикс» 39
«Аппендикс» 49
Примечания 139
Замечания Яноша Больаи к «Геометрическим исследованиям»
Н. И. Лобачевского 191
Историко-библиографические сведения об «Аппендиксе» ..... 231

Редактор И, И. Бронштейн.
Техн. редактор С. Н. Ахгамоа
Отв. корректор И. В. Казанская
Переплет и графическая орнаментация книги
художника А. П. Радищева
*
Подписано к печати 26/V 1950 г.
Бумага 60X92/16. 7,75 бум. л. 14,75 печ. л. -Ь
-Ь 5 вклеек. 12,11 уч.-изд. л. Тип. зн.
в печ. л. 32 000. Цена книги 7 р. 20 к. Переплет 2 р.
Тираж 4000 экз. Зак. „\° 1430. Т-00293.
4-я типография имени Евгении Соколовой
Главполиграфиздата
при Совете Министров СССР
Ленинград, Измайловский пр., 29