БИБЛИОТЕКА
\w,;w,;;\w,w,;\
К D JS П m^m I—I IЛ J^k
XvXvX-Xw "^
• • • • • •••••••••••
. . • . • . . . . . . . . . .••••••••••
••••••••••
теорию
llllllllll возмущений
lllllllli гамильтоновых
систем

БИБЛИОТЕКА СТУДЕНТА-МАТЕМАТИКА
Вы1Шо(3
Ф

Редакционный совет
серии
«БИБЛИОТЕКА СТУДЕНТА-МАТЕМАТИКА»
АРНОЛЬД
Владимир Игоревич
(председатель)
АНОСОВ
Дмитрий Викторович
БУХШТАБЕР
Виктор Матвеевич
ВАСИЛЬЕВ
Виктор Анатольевич
ВЕРШИК
Анатолий Моисеевич
КОЗЛОВ
Валерий Васильевич
ИЛЬИН
Арлен Михайлович
ИЛЬЯШЕНКО
Юлий Сергеевич
МАТИЯСЕВИЧ
Юрий Владимирович
ПРАСОЛОВ
Виктор Васильевич
СОЛОВЬЕВ
Юрий Петрович
ТИХОМИРОВ
Владимир Михайлович
ФАДДЕЕВ
Людвиг Дмитриевич
ХОВАНСКИЙ
Аскольд Георгиевич
ШИРЯЕВ
Альберт Николаевич

Д.В.Трещев
Введение
в теорию возмущений
гамильтоновых систем
Ф
ФАЗИС
Москва 1998

F»CTT>P1
УДК 517.93 [Г Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 97-01-14139
Т р е щ е в Д. В.
Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем.
М.: ФАЗИС, 1998. VIII+184 с.
(Библиотека студента-математика. Вып.6)
ISBN 5-7036-0045-6
Издательство ФАЗИС (ЛР № 064705 от 09.08.96)
123557 Москва, Пресненский вал, 42-44.
E-mail: phasis@aha.ru
ППП Типография «Наука» Академиздатцентр РАН
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6
Заказ №4130
ISBN 5-7036-0045-6
©ФАЗИС, 1998

Оглавление
Введение 1
Глава 1. Уравнения Гамильтона 5
1. Некоторые факты из общей теории гамильтоновых систем 5
2. Симплектические отображения 14
3. Проблема вложения диффеоморфизма в поток 18
4. Классическая схема теории возмущений 24
Глава 2. Введение в теорию КАМ 31
1. Теорема Колмогорова 31
2. Сведение теорем 2.2-2.4 к стандартной формулировке ... 36
3. Инвариантные торы меньшей размерности 38
4. Следствия из теории КАМ 47
5. Возмущение квазипериодического потока на торе 52
6. Доказательство теоремы о приведении потока на торе ... 56
Глава 3. Динамика в окрестности сепаратрис 63
1. Нормальные координаты 63
2. Сходимость нормализующей процедуры 69
3. Метод Пуанкаре-Мельникова 74
4. Сепаратрисное отображение 84
5. Сепаратрисное отображение и интеграл
Пуанкаре-Мельникова 89
6. Сепаратрисное отображение для маятника 95
Глава 4. Размер стохастического слоя 97
1. Определения и результаты 97
2. Сепаратрисное отображение в общей ситуации 100
3. Теоремы о величине стохастического слоя 101
4. Стохастический слой в маятнике с колеблющейся
точкой подвеса 107
5. Теория КАМ и теорема Биркгофа 109
6. Случай малого 1п/х(б) 115

viii Оглавление
Глава 5. Метод непрерывного усреднения 117
1. Описание метода 117
2. Мажоранты и их свойства 121
3. Вложение симплектического отображения
в гамильтонов поток 123
4. Случай произвольной алгебры х 128
5. Усреднение быстрой фазы 131
6. Аналитические свойства усредняющей процедуры 137
Глава 6. Антиинтегрируемыи предел 145
1. Возмущение стандартного отображения 145
2. Общая конструкция 147
3. Антиинтегрируемыи предел и эргодичность 152
4. Антиинтегрируемыи предел в конкретных системах .... 154
Добавление А. Диофантовы частоты 157
Добавление Б. Замыкание асимптотических кривых
в двумерных отображениях,
сохраняющих площадь 165
Литература 175

Введение
Настоящая книга написана на основе специального курса,
прочитанного автором в 1995-1996 гг. на механико-математическом факультете
Московского государственного университета. Книга была задумана
как учебное пособие по методам теории возмущений гамильтоновых
систем и их дискретных аналогов.
Гамильтонова теория возмущений имеет дело с системой
обыкновенных дифференциальных уравнений
х = дН/ду, у = -дН/дх, (1)
Н(х,у,е) = Н0{у) +еНг(х,у) + е2Н2(х,у) + ... (2)
Здесь у лежит в некоторой области пространства Мт, аж = ято<127г —
точка т-мерного тора Mm/(27rZm). Параметр е предполагается малым.
Иногда в число аргументов функции Гамильтона Н мы включаем
время £, причем зависимость от £, как правило, периодическая.
Гамильтониан Н считается бесконечно гладким по всем переменным. Далее
системы вида (1)-(2) называются близкими к интегрируемым.
Часто оказывается удобнее рассматривать вместо гамильтоновых
систем их дискретный аналог — симплектические отображения, т.е.
отображения фазового пространства в себя, сохраняющие симплекти-
ческую структуру (в классической ситуации — форму dy A dx).
Симплектические отображения, близкие к интегрируемым, имеют вид
(^b(rwav)+0(e)' (з>
где f = f(y) — гладкая функция. Теория возмущений таких
отображений параллельна соответствующей теории для гамильтоновых систем
вида (1)-(2).
Основные проблемы, рассматриваемые в книге, — интегрируемость
систем (1)-(2) и (3), существование в них инвариантных торов, а также
описание хаоса при малых значениях параметра е. Особое место
занимает глава 6, где рассматриваются системы не близкие, а напротив,
очень далекие от интегрируемых.

2
Введение
Естественно, в книге удалось осветить далеко не все методы и
проблемы теории возмущений. В частности, совсем без внимания
остались гамильтоновы системы с бесконечным числом степеней свободы,
системы с вырожденной скобкой Пуассона, теория нормальных форм,
а также теория сингулярных возмущений, имеющая дело с системами,
содержащими малый параметр при старшей производной.
Первая глава носит характер введения, и читатель, знакомый с
понятиями симплектической структуры, скобки Пуассона, гамильтонова
векторного поля, отображения Пуанкаре, а также интегрируемости по
Лиувиллю, может опустить первые два параграфа. В параграфе 1.3
обсуждается проблема представления данного диффеоморфизма в
качестве отображения Пуанкаре для некоторой неавтономной системы
дифференциальных уравнений. В параграфе 1.4 приводится
классическая схема теории возмущений и вытекающая из нее теорема Пуанкаре
о неинтегрируемости.
В главе 2 представлены основные идеи и результаты теории
Колмогорова-Арнольд а-Моз ера. Применение метода ускоренной сходимости
иллюстрируется на одном из простейших модельных примеров, в
котором приходится иметь дело с проблемой малых знаменателей.
В главе 3 строятся нормальные координаты и сепаратрисное
отображение для двумерного симплектического диффеоморфизма или га-
мильтоновой системы с полутора степенями свободы. Также
обсуждаются вопросы, связанные с понятием интеграла Пуанкаре-Мельникова.
Глава 4 посвящена анализу стохастического слоя, возникающего
в окрестности гиперболической неподвижной точки двумерного
симплектического диффеоморфизма. Доказывается ряд формул,
устанавливающих асимптотику величины стохастического слоя для систем,
близких к интегрируемым.
В главе 5 описывается специальная процедура усреднения,
первоначально придуманная для анализа экспоненциально малых эффектов
в гамильтоновых системах, близких к интегрируемым, и оказавшаяся
также эффективной в ряде других задач. Процедура применяется для
доказательства теоремы о вложении диффеоморфизма в поток и для
анализа одночастотных быстро-медленных систем.
В главе 6 рассматриваются системы, аномально далекие от
интегрируемых. Обсуждается теорема Обри об антиинтегрируемом пределе и
ее обобщения.

Введение
3
Мы также сочли полезным привести ряд фактов
теоретико-числовой природы, касающихся диофантовых свойств векторов частот.
Соответствующие результаты собраны в добавлении А.
В добавлении Б доказываются две теоремы о совпадении
замыканий устойчивой и неустойчивой сепаратрис в двумерном отображении,
сохраняющем площадь.
Главы 2-6 книги можно считать независимыми, имея в виду
следующие два исключения:
— методы, используемые в главе 4, опираются на результаты
предыдущей главы;
— теоремы, сформулированные в параграфе 3 главы 1,
доказываются в главе 5.
Материал в основном доступен студентам университетов,
обучающимся на третьем курсе математических специальностей. Читателю
может помочь знакомство с книгой [5].
Несколько слов об обозначениях, принятых в книге. Символами
С, R, Q, Z, N, Т, как обычно, обозначаются соответственно
множества комплексных, вещественных, рациональных, целых, натуральных
чисел и одномерный тор R/(2ttZ) (иногда удобнее будет считать, что
Т — R/Z). В некоторых случаях мы будем явно указывать
координату, используемую на данном числовом множестве, например, Шу —
вещественная прямая с координатой у.
Встречающиеся ниже векторы предполагаются
векторами-столбцами. Для получения вектора-строки используется операция матричного
транспонирования Т: например, v — вектор-столбец, а/ — вектор-
строка.
Скобками (•, •) обозначается стандартное евклидово
скалярное произведение: для любых двух векторов и — (txi,... , txm),
v = (vu ... , vm) имеем (и, v) = YJjLi ujvj-
Символом Оп(у) обозначаются функции, имеющие порядок п
относительно переменных у при малых значениях у. Операция
дифференцирования по времени t обозначается точкой, например, у = dy/dt.
Букву % мы используем для обозначения мнимой единицы, а
символ ■ — для обозначения конца доказательства.
При ссылках параграф п главы т называется параграфом т.п.
Нумерация теорем и других утверждений двойная: первая цифра означает
номер главы, вторая — номер утверждения. Нумерация формул —
также двойная: первая цифра означает номер параграфа текущей главы,

4
Введение
вторая — номер формулы. При необходимости ссылки на формулу,
расположенную вне текущей главы, пишем: «уравнение (l.m) главы п».
В заключение считаю своим приятным долгом выразить
благодарность Валерию Васильевичу Козлову, несомненно, оказавшему главное
влияние на формирование моих научных интересов, чья помощь и
поддержка всегда были для меня очень важными. Я также благодарен
Сергею Владимировичу Болотину и Анатолию Исеровичу Нейштадту
за ценные советы и доброжелательную критику.

Глава 1
Уравнения Гамильтона
1. Некоторые факты из общей теории
гамильтоновых систем
Хорошо известно, что уравнения Гамильтона
q = dH/dp, p=-dH/dq (1.1)
сохраняют свой вид лишь при канонических (симплектических) заменах
переменных. С другой стороны, ясно, что отличия гамильтоновых
систем от произвольных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений должны выражаться в терминах, не апеллирующих к локальным
координатам на фазовом пространстве. К сожалению, обсуждение
инвариантной природы уравнений Гамильтона зачастую отсутствует в
университетских курсах классической механики. По этой причине мы
сочли необходимым начать с этих вопросов.
Настоящий параграф является сокращенным вариантом
соответствующего раздела книги [5]. Здесь мы не пытались дать полные
доказательства всех сформулированных утверждений. В частности,
некоторые факты, содержащиеся в стандартных учебниках по
дифференциальной геометрии, приводятся без доказательства.
Отметим, что в литературе не сформировалось однозначной
традиции относительно определения симплектической структуры и скобки
Пуассона в симплектических координатах: в различных учебниках эти
объекты совпадают с точностью до знака. По сравнению с
обозначениями, принятыми в книге [5], мы используем другие знаки в
определениях коммутатора векторных полей и скобки Пуассона двух
функций, а также предпочитаем при записи точки фазового пространства

6
Глава 1. Уравнения Гамильтона
в симплектических координатах ставить импульс на второе место
после соответствующей обобщенной координаты.
Гамильтоновы векторные поля- Напомним, что симплектическим
многообразием (М,а>) называется гладкое (в дальнейшем часто —
вещественно-аналитическое) многообразие М, dimM = 2m,
наделенное невырожденной замкнутой дифференциальной 2-формой ш — сим-
плектической структурой. В локальных координатах форма имеет вид
ш = 22 cijk(z)dzj A dzk, ajk = -akj.
\<j<k<2m
В силу определения симплектической структуры матрица А = {ajk)
является невырожденной и кососимметрическои. Условие замкнутости
формы в координатах следующее:
dcijk daki daij _
dzi dzj dzk
для любых трех индексов 1 < j < к < I < 2т.
Классическая теорема Дарбу (см., например, [7]) утверждает, что в
окрестности любой точки симплектического многообразия существуют
локальные координаты (д,р), в которых ш = YlT=i d>Pj A dqj. При этом
л л (о -j "\ г
матрица А принимает вид А = I Т I, где 1 — единичная матрица
размера m x m. Такие координаты называются каноническими или
симплектическими.
Диффеоморфизм / : М\ —> М^ двух симплектических многообразий
(М\,ш\) и (М2,о;2) называется симплектическим или симплектоморфиз-
мом, если он переводит одну симплектическую структуру в другую:
f*u>2 = ш\. Теорема Дарбу, таким образом, утверждает, что любые
два симплектических многообразия одинаковой размерности локально
симплектоморфны.
Стандартным примером симплектического многообразия
является кокасательное расслоение T*N к m-мерному
многообразию N. В локальных координатах симплектическая структура
имеет вид ш = dp Л dq, где q = (gi,... , gm) — координаты на iV,
а Р = (Ръ • • • iPm) — координаты на слое T*N, двойственные к
координатам dq\,... ,dqm на слое TqN касательного расслоения к N.

1. Некоторые факты из общей теории гамильтоповых систем 7
Симплектические многообразия такого типа играют важную роль в
классической механике. Достаточно напомнить, что преобразование
Лежандра переводит лагранжеву систему с выпуклым по скорости
лагранжианом и конфигурационным пространством N к гамильтонову
виду, причем фазовым пространством полученной гамильтоновой
системы оказывается T*N с указанной выше симплектической
структурой.
Подмногообразия в симплектическом многообразии устроены по-
разному с точки зрения ограничения на них формы ш. В частности,
если ограничение симплектической структуры на подмногообразие L
невырождено, то L называется симплектическим, а если ш\ь = 0, то L
называется изотропным. Изотропное подмногообразие размерности т
называется лагранжевым. Например, лагранжевым подмногообразием
является нулевое сечение {(q,p) E T*N : р = 0} кокасательного
расслоения T*N. Далее нам понадобится следующее обобщение теоремы
Дарбу (см., например, [7]).
Теорема 1.1. Малая окрестность лагранжева подмногообразия L в
симплектическом многообразии (М,а>) симплектоморфна
окрестности нулевого сечения в кокасателъном расслоении T*L.
Для любой точки z Е М форма ш является билинейной кососимме-
тричной функцией на касательном пространстве TZM, т.е. для любых
двух векторов u,v G TZM
2m
U)(u,v) = 2_] ajkujvk = UTAv.
j,k=l
Здесь символ Т обозначает операцию транспонирования, а векторы
и = (tx1,... , txm)T, v = (v1,... , vm)T считаются столбцами.
Форме uj можно сопоставить линейный оператор, действующий из
касательного пространства TZM в произвольной точке z G М в кока-
сательное пространство Т*М по формуле
ui->cj(-,u), ueTzM,
где ковектор o;(-,tx), примененный к вектору v, дает ш(у,и). Так
как матрица А невырождена, указанный оператор является линейным

8
Глава 1. Уравнения Гамильтона
изоморфизмом пространств TZM и Т*М. Пусть J — обратный
изоморфизм:
(/, v) = cj(u, Jf) для любых v е TZM, f G T*M,
где скобкой (/, v) обозначена операция действия ковектора / на
вектор V.
Пусть Н — функция на многообразии М. Тогда 1-форма dH
определяет векторное поле vh — JdH, которое называется гамильтоновым
с гамильтонианом Н. Таким образом, гамильтонова система задается
тройкой (М, а>, Н). Несложно проверить, что в канонических
координатах (q,p) уравнения Гамильтона z — vh{z) имеют привычный вид (1.1).
В дальнейшем мы часто будем рассматривать неавтономные
системы, гамильтонианы которых явно зависят от времени. Фазовым
пространством такой системы обычно считают прямое произведение
многообразия М на вещественную ось времени R (или на окружность Т,
если зависимость от времени периодическая).
С помощью следующего стандартного приема неавтономный
случай сводится к автономному. Введем новую фазовую переменную Е —
импульс, канонически сопряженный времени £, и новую независимую
переменную т — t + const, d/dr — (•)'. Значение постоянной const
никакой роли не играет. Легко проверить, что система (М, а>, Н) является
следствием системы (М х Rt x Ше,ш + dE A eft, H + Е) в том смысле,
что траектории последней, спроецированные на пространство МхМ^,
дают решения исходной системы.
Несмотря на указанную возможность рассматривать лишь
автономный случай, мы часто будем иметь дело с неавтономными системами,
т. к. некоторые формулы и утверждения в неавтономном случае
выглядят проще.
Теорема 1.2. Для любой пары вещественных чисел т\, т^
отображение сдвига S^ вдоль решений (вообще говоря, неавтономной) гамилъ-
тоновой системы за время от t — т\ до t — т^ сохраняет, на фазовом
пространстве форму ш.
Доказательство. Достаточно показать, что для любого тЕК
производная d/dr формы (S^+r)*u; равна нулю при г = 0. Пусть (д,р) —
канонические координаты на М и {q{t),p(t)) — решение уравнений Га-

1. Некоторые факты из общей теории гамильтоновых систем 9
мильтона с начальными условиями (q(r)^p(r)) — (g,p). Выполняются
следующие равенства:
о at\t=T *—'
к=0
dr
\dn^?mdPi+^^y (L2)
Пользуясь уравнениями Гамильтона
Р*(<) = -^— (0,Р,*)> %(<) = Q—iQiP,*),
преобразуем форму (1.2):
^ ( д2н J J <э2я J J
+ г, г, dpj Л dpk + ^—^-dQj А Фа: •
Эта сумма равна нулю вследствие кососимметричности операции
внешнего умножения Л. ■
Следствие 1.1. Фазовый поток д1н автономной гамилътоновой
системы сохраняет симплектическую структуру: (д1н)*ш = ш.
Следствие 1.2. Сдвиги S% сохраняют формы Л ... Л uj.
к раз
В частности, отображения S?% сохраняют каноническую форму
объема dpi Л ... Л dpm Л dqi Л ... Л dgm, так как последняя пропорциональна
форме u/m).
На многообразиях с нетривиальной первой группой когомологий
не все замкнутые 1-формы точны. Первообразные от таких форм
являются многозначными функциями, однако если такую функцию взять
в качестве гамильтониана, то соответствующее гамильтоново
векторное поле, очевидно, определено однозначно. Векторные поля такого
вида называются локально гамилътоновыми. Несложно заметить, что

10
Глава 1. Уравнения Гамильтона
теорема 1.2 остается верной, если заменить условие гамильтоновости
системы на условие локальной гамильтоновости. С учетом этого
наблюдения обратной к теореме 1.2 является следующая
Теорема 1.3. Предположим, что для любого конечного промежутка
времени соответствующее отображение сдвига вдоль решений
системы уравнений z — v(z,t), z G M, сохраняет симплектическую
структуру. Тогда векторное поле v является локально гамильтоновым.
Доказательство. Пусть в канонических координатах (д, р)
векторное поле имеет компоненты (u(q,p,t),w(q,p,t)). Опять рассмотрим
соотношение (1.2). Учитывая равенства
Pk{t) = u*(g,P,<)> Ы*) =wk{q,P,t),
получаем
Elдик duk dwk dwk \
-^—dpj A dqk + -— dqj A dqk + ~^—dpk A dpj + ~^—dpk A dqj = 0.
jik=AdPj d^ dPj dQj J
Из этого равенства вытекают следующие соотношения:
duk _ duj dwk _ dwj duk dwj
dqj dqk' dpj dpk' dpj dqk '
Следовательно, дифференциальная форма v — w dp—и dq замкнута, т. е.
локально v — dH для некоторой функции #(д,р, £), что эквивалентно
локальной гамильтоновости векторного поля v. ш
Скобка Пуассона. Напомним, что алгеброй Ли называется линейное
пространство L вместе с билинейной кососимметрическои операцией
(коммутатором) [•,•]: L x L —> L, удовлетворяющей тождеству Якоби
[[А,В],С] + [[В,С],А] + [[С,А],В] = 0, А,В,Се L.
Простейшим примером алгебры Ли является пространство
квадратных матриц фиксированного порядка, где [А, В] — АВ — В А.
Более важным примером для нас является алгебра Ли гладких
векторных полей на М. Здесь коммутатор вводится следующим образом.
Как известно, любое векторное поле v определяет на многообразии М
дифференциальный оператор <9V, в координатах задаваемый формулой
Vjd/dzj, и наоборот, по любому дифференциальному оператору первого
порядка на М однозначно восстанавливается соответствующее
векторное поле.

1. Некоторые факты из общей теории гамилътоновых систем 11
Предложение 1.1. Для любых двух гладких векторных полей и, v
дифференциальный оператор [du,dv] = dudv — dvdu имеет первый
порядок и, следовательно, задает векторное поле.
Указанное векторное поле называется коммутатором полей и и v.
Доказательство предложения 1.1 проводится прямым вычислением
в локальных координатах. Выполнение тождества Якоби для
построенного таким образом коммутатора также проверяется непосредственно.
Стандартным геометрическим фактом является следующая
Теорема 1.4. Пусть и, v — гладкие векторные поля на М, а glu, glv —
их фазовые потоки. Тогда glu и д\ коммутируют1 если и только если
[u,v] = 0.
Замечание 1.1. Если векторные поля и и v коммутируют, то поле v
называется полем симметрии для системы дифференциальных
уравнений z = u(z) и наоборот.
В качестве следствия из теоремы 1.4 получаем, что фазовый поток
поля симметрии переводит решения системы дифференциальных
уравнений в решения той же системы.
Для любой гладкой функции Н на симплектическом
многообразии М положим <9# = dVfJ, где vjj — гамильтоново векторное поле с
гамильтонианом Н.
Пусть F и Н — две гладкие функции на М. Скобка Пуассона этих
функций определяется следующим образом:
{H,F}=dHF = (dFtvH).
Следующие свойства скобки Пуассона сразу вытекают из
определения.
1. Гладкая функция F — первый интеграл системы с
гамильтонианом Н в том и только в том случае, когда {if, F} = 0 2 .
2. Выполняется следующее равенство: {Н, F} = uj(vh,vf).
Действительно, из определения векторного поля vh имеем
{dF,vH) =u)(vH,vF).
3. Операция { •, • } билинейна и кососимметрична (это утверждение
сразу следует из пункта 2).
1 Т. е. для любого вещественного t выполняется равенство glu о glv = glv о glu.
2 Напомним, что функции Н и F, удовлетворяющие равенству {if, F} = 0,
называются коммутирующими, или находящимися в инволюции.

12
Глава 1. Уравнения Гамильтона
4. В канонических координатах имеем дн = Щщ ~ Щщч откуда
сразу вытекает хорошо известная формула
dFdH dFdH
5. Прямым вычислением в канонических координатах проверяется,
что скобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби
{{F, G}H} + {{G, H}F} + {{Я, F}G} = 0.
Таким образом, пространство (С°°(М), {•,•}) является алгеброй Ли.
Теорема 1.5. Для любых двух гладких функций F и G на М
выполняется равенство
[vF,vG] =v{FiG}.
Доказательство. Пусть (р — произвольная функция на М. Тогда
d{F,G}<P = {{F,G}ip} = -{{G^}F} - {{<p,F}G} =
= {F{G, <p}} - {G{F, <p}} = dFdG<p - dGdF<p = [dF, dG]ip. m
Теорема Лиувилля об интегрируемых системах. Пусть имеется
система (М,а>, if), обладающая полным набором первых интегралов в
инволюции:
Fu... ,Fm, {Fj,Fk} = 0, l<j,k<m.
Обычно полагают F\ = Н. Рассмотрим многообразие уровня
Mf = {z е М : Fj(z) = fj = const, j = 1,... ,m}. (1.3)
Теорема 1.6 (Лиувилля-Арнольда). Предположим, что на Mf
функции Fj независимы. Тогда
1) Mf — гладкое многообразие, инвариантное относительно
системы Z = Vh\
2) каждая компактная компонента связности Mf диффеоморфна
т-мерному тору Т71;
3) в некоторых координатах (<^i,... ,<^m) mod27r на Т71 уравнения
Гамильтона имеют вид ф = v — ^(/).
Системы, удовлетворяющие условиям теоремы 1.6, называются
интегрируемыми по Лиувиллю.

1. Некоторые факты из общей теории гамилътоновых систем 13
Замечание 1.2. Можно также утверждать, что интегрируемая по
Лиувиллю система интегрируется в квадратурах в окрестности
инвариантного многообразия Mf. Отметим, что первоначально именно этот
факт назывался теоремой Лиувилля. Арнольд обнаружил, что
интегрируемые по Лиувиллю системы обладают замечательной геометрической
структурой, описанной в теореме 1.6.
Мы представим лишь идею доказательства теоремы.
Утверждение 1 очевидно следует из теоремы о неявной функции. Далее,
рассмотрим гамильтоновы векторные поля Vj = ур,, j = 1,... ,ттг. Они
касаются многообразия My, так как для любых j, k Е {1,... , т} имеем
dViFk = {Fi,Fk} = 0.
Более того, эти векторные поля линейно независимы в каждой
точке Mf и коммутируют. Независимость следует из независимости ко-
векторов dFj и того, что оператор J, переводящий dFj в Vj, —
изоморфизм. Коммутаторы полей v\,... ,^m удовлетворяют равенствам
[vj,vk] =v{FjyFk} = 0.
Замечание 1.3. Ограничение формы ш на Mf равно нулю, т.е.
многообразие Mf лагранжево. Действительно, векторные поля vi,... ,um
попарно косоортогональны (uj(vj,Vk) = {Fj,Fk} — 0) и образуют базис
в касательных пространствах к Mf.
Доказательство теоремы 1.6 завершается применением следующей
геометрической леммы (см., например, [5]).
Лемма 1.1. Компактное связное т-мерное многообразие, на
котором существуют т всюду линейно независимых коммутирующих
векторных полей, диффеоморфно т-мерному тору Т771. Более того, на
таком многообразии существуют угловые координаты (</?i,... ,</?m)
mod27r, в которых все т указанных векторных полей являются
постоянными (т.е. имеют вид (uj^d/дф), где Vj Е Шт — постоянные
векторы, зависящие от тора).
Инвариантные торы интегрируемых по Лиувиллю систем
называются лиувиллевыми. В окрестности лиувиллева тора на фазовом
пространстве можно ввести замечательные канонические координаты —
переменные действие-угол (/, (р). Координаты <^ те же, что и в
лемме 1.1, а / — (7i,... ,/m) являются функциями первых интегралов

14
Глава 1. Уравнения Гамильтона
i*i,... , Fm (подробности см., например, в [5]). В новых переменных
функция Гамильтона не зависит от углов <^, в результате чего
уравнения Гамильтона легко решаются в явном виде. Координаты действие-
угол играют первостепенную роль в теории возмущений. В дальнейшем
мы обычно обозначаем углы переменными я, а действия —
переменными у.
2. Симплектические отображения
Кроме непрерывных3 динамических систем (задаваемых системами
дифференциальных уравнений), часто рассматривают дискретные
системы. Последние порождаются отображениями (в дальнейшем —
диффеоморфизмами, гладкими или аналитическими) фазового
пространства в (в дальнейшем — на) себя. При этом гамильтоновым системам
соответствуют симплектические отображения.
Напомним, что симплектическим называется гладкое отображение
симплектического многообразия в себя, сохраняющее форму ш.
Одним из простейших примеров симплектического отображения
является стандартное отображение Чирикова SM (далее — просто
стандартное отображение) 4 :
/ х mod 27г \ sm ( X mod 27г \ _ / х + Y \ ( .
V У )*~*\ У )-\y + esmx)- (2Л)
В данном случае (М, ш) — (Тх х Ry^dy A dx), a e — параметр (обычно
малый).
Согласно теореме 1.2 симплектическим отображением является
сдвиг вдоль траекторий гамильтоновои системы за фиксированное
время, например отображение за период в неавтономной системе с
гамильтонианом, периодически зависящим от времени.
Другой важный класс симплектических отображений составляют
отображения Пуанкаре, соответствующие автономным
гамильтоновым системам. Конструкция состоит в следующем. Пусть
(М, ш,Н) — автономная гамильтонова система, дь — ее
фазовый поток, Мд — {z G M : H(z) — h} — ее уровень энергии и
3 Здесь термин «непрерывный» употребляется не в смысле «класса С0», а как
альтернатива термину «дискретный».
4 В западной литературе это отбражение иногда называется моделью Френкеля-
Конторовой (Frenkel-Kontorova model).

2. Симплектические отображения
15
S С Мд — (2т — 2)-мерная
поверхность, трансверсальная векторному
полю vh- Отображение Пуанкаре Р
действует на поверхности S
следующим образом: точке z G S
отображение Р сопоставляет точку gt(z) G S
с минимальным положительным t.
Иными словами, Р сопоставляет
точке z £ S точку, в которой
положительная полутраектория системы
с начальным условием z в первый раз
пересекает S (см. рис. 1.1).
Отметим, что отображение Р
довольно редко бывает определено
на всей поверхности S. Поэтому оно
обычно рассматривается в
окрестности каких-нибудь инвариантных Рис. 1.1. Отображение Пуанкаре
множеств (неподвижных точек,
инвариантных торов и т. п.).
Теорема 1.7. Верны следующие утверждения:
1. Векторное поле vh является аннулятором формы ш\мн, т.е.
для любого вектора и G ТМ^ выполняется равенство uj(u,vh) — 0.
2. Форма u>\s невырождена.
3. Отображение Р сохраняет симплектическую структуру uj\s-
Доказательство. Утверждение 1 следует из равенств
u(u,vH) = диН = 0
рля любого и G TMfr.
2. Пусть вектор w G TZS — аннулятор формы ш\з (т.е. рля
любого вектора и G TZS имеем lj(u,w) — 0). Пусть L(vh) С TzMh —
прямая, натянутая на вектор vh{z). Тогда касательное пространство TZM^,
является прямой суммой TZS © L(vh) и, следовательно, w — аннулятор
формы u;Ia^-
Форма uj невырождена на М. Значит, для некоторого a G TZM
величина а>(а,vh) отлична от нуля. Так как а 0 TZM^ то
TZM = TzMh ф L(a), где L(a) — прямая, натянутая на вектор а.
Положим
u(a,w)
P = w -vH.
uj(a,vH)

16
Глава 1. Уравнения Гамильтона
Вектор /3 — аннулятор ш\мН1 так как он является линейной
комбинацией w и vh- Кроме того, ы(а, /?) = 0, следовательно, /? — аннулятор
формы ш. Вследствие невырожденности симплектическои структуры
/3 — 0, откуда вытекает, что векторы w и vh параллельны. Из-за
трансверсальности S к полю vh получаем w — 0.
3. Пусть #^ — фазовый поток системы (М, а>, if). Тогда для любой
точки 2ES имеем P(z) = 5# (2), где т — некоторая гладкая функция.
Нам надо показать, что
(P*Lj)(u,w) =Lj(u,w)
для любой пары векторов u,w £ T^S и любой точки £ Е S. По
определению формы Р*и>
(P*^)(u,w)=u;(dPn,dPw)=u(d(g]iz\z))\z^u,d(g]iz)(z))\z^w).
Используя равенства
d(9HZ%^ = U + (dr(z)\z=iu)vH(P(0),
d{9T)\z=^ = W + (dr(z)\z=iw)vH(P(0),
U = d{gf\z))\z=(u, W = d{gf\z))\z^w
и свойство 1, получаем
(P*u)(u, w) = u{U, W) = <j(u, v),
так как фазовый поток д1н сохраняет форму ш. ш
Заметим, что отображение за период в неавтономной гамильто-
новой системе (М, а>, Н) с гамильтонианом, периодически зависящим
от времени, можно считать отображением Пуанкаре для
соответствующей автономной системы (М х Т* х К^,а; + dE Л dt,H + Е)
(см. параграф 1.1). Действительно, рассмотрим уровень
энергии Мо = {Н + Е — 0} и трансверсаль к гамильтонову потоку
S — Mq П {t — const}. В этом случае симплектическое многообразие
(S,(uj + dE A dt)\s) изоморфно (симплектоморфно) многообразию
(М, а>), а отображение Пуанкаре, соответствующее поверхности 5,
сопряжено отображению за период в исходной неавтономной системе.
Если симплектическая структура ш является точной формой:
ш — da;1, то для любого симплектического диффеоморфизма 1-форма

2. Симплектические отображения
17
Со — со1 — Т*ио1 замкнута, так как дифференциал от нее равен
duo — ио — Т*ио — 0. Если форма Со точна, то Т называется точным
симплектическим отображением.
Предложение 1.2. Предположим, что форма ио точна и Т —
отображение Пуанкаре, соответствующее некоторой гамилътоновой
системе (М, cj,if). Тогда Т — точное симплектическое отображение.
Следствие 1.3. Отображение за период в системе с периодическим
по времени гамильтонианом и точной симплектической структурой
является точным симплектическим.
Доказательство предложения 1.2. Пусть отображение Т
определено на поверхности S С М. Пусть / — произвольный
замкнутый контур на S. Тогда согласно определению отображения Пуанкаре
и формуле Стокса
/W- Li= [ ш1- Li= (ш\
Ji Ji Jt(i) Ji Ja
где Л — двумерная поверхность, образованная отрезками траекторий
гамильтоновой системы, начинающимися в точках кривой I и
заканчивающимися на Т(1). Поверхность Л расположена на одном уровне
энергии Мь С М. Так как касательные векторы к траекториям являются
аннуляторами формы u>\Mh, имеем J^uo — 0. Следовательно, f Со = 0
для любого замкнутого контура /, что и требовалось. ■
Симплектические отображения, как и гамильтоновы системы,
можно рассматривать с точки зрения интегрируемости. В частности,
имеет место следующая дискретная теорема об интегрируемости по Лиу-
виллю. Пусть Т — симплектическое отображение 2т-мерного
многообразия М, обладающее набором из m первых интегралов i*\,... , Fm в
инволюции 5.
Теорема 1.8. Предположим, что на совместном уровне Mf,
{см. (1.3)) функции Fj независимы. Тогда верны следующие
утверждения:
1. Mf — гладкое многообразие, инвариантное относительно
отображения Т.
5 Функция F : М —> R. называется первым интегралом для Т, если она сохраняется
отображением: F о Т = F.

18
Глава 1. Уравнения Гамильтона
2. Если Mf компактно, то каждая его связная компонента диф-
феоморфна т-мерному тору Т771.
3. В некоторых канонических координатах (/, (р) в окрестности
тора Т771 С Mf имеют место равенства
T(I, ip) = (/,¥> + HI)), НП = дФ(1)/д1, (2.2)
где Ф — некоторая гладкая функция.
Теорема 1.8 является следствием обычной теоремы Лиувилля и
теоремы о существовании координат действие-угол в интегрируемой по
Лиувиллю гамильтоновои системе. Действительно, утверждение 1
теоремы 1.8 очевидно, утверждение 2 доказывается точно так же, как в
теореме 1.6. Заметим, что переменные действие-угол строятся не по
гамильтоновои системе, а по полному инволютивному набору
независимых интегралов, [5]. Таким образом, их можно определить и в нашей
ситуации. Остается доказать формулы (2.2).
По построению координаты (/, (р) канонические. Переменные / —
функции первых интегралов i*\,... , Fm и, следовательно, сами
являются первыми интегралами. Пусть T(I,(p) = (J,гр). Тогда J — I и
выполняется равенство
dl A dip = dJ A dip — dl A dip(I, ф).
Положим ф(1,(р) = (р + v(I,(p). Тогда 2-форма dl A dv равна нулю,
откуда следует, что функции v не зависят от углов (р и 1-форма v(I) dl
замкнута. Функция Ф является ее (локальной) первообразной. ■
3. Проблема вложения диффеоморфизма в поток
В предыдущем параграфе мы отмечали, что отображение за период
в неавтономной гамильтоновои системе с периодическим по времени
гамильтонианом является симплектическим. Естественно возникает
обратная задача — представить данное симплектическое отображение
многообразия в себя как отображение Пуанкаре в некоторой
гамильтоновои системе с функцией Гамильтона, периодически зависящей от
времени.
Эта проблема называется проблемой вложения отображения в
поток в симплектическои постановке. Отметим, что задача может быть
сформулирована для других классов отображений и соответствующих

3. Проблема вложения диффеоморфизма в поток
19
векторных полей. Например, можно рассматривать общие
отображения и векторные поля, обратимые относительно какой-нибудь
инволюции, сохраняющие объем и т.д. Также следует различать гладкую и
аналитическую постановки задачи 6 .
Для вложения отображений в поток существуют очевидные
препятствия чисто топологической природы. Рассмотрим, например,
диффеоморфизм Т тора Т2 = {((^1,(^2) mod27r}, определенный соотношением
(¥>ъ¥>2) •-> (—¥>2>¥>i)- Это отображение симплектическое относительно
стандартной симплектическои структуры dtpi A d<p2. Впрочем, это не
имеет никакого значения, потому что Т не может быть включено ни в
какой поток (не говоря уже о гамильтоновом). Это следует, например,
из того, что Т переводит цикл {<pi = 0} в {(р2 — 0}. Указанные циклы
не гомотопны (т. е. не могут быть перетянуты друг в друга с
помощью непрерывной деформации), тогда как отображения сдвига вдоль
решений дифференциальных уравнений переводят любой цикл в
гомотопный ему. Обобщая это простое наблюдение, мы видим, что любое
отображение, не являющееся изотопным тождественному 7, не может
быть вложено в поток.
Задачу о вложении диффеоморфизма в поток в гладкой
симплектическои постановке рассматривал Дуади. Он доказал [56], что
любое гладкое симплектическое отображение, близкое к интегрируемому,
вкладывается в гладкий гамильтонов поток. Конли и Цендер в
знаменитой работе [54], содержащей доказательство гипотезы Арнольда
о числе неподвижных точек симплектического диффеоморфизма тора,
решили проблему для гладких симплектических диффеоморфизмов
тора, оставляющих на месте центр масс. Случай гладких общих
отображений почти тривиален.
Аналитический вариант проблемы оказался значительно более
сложным. Соответствующая задача рассматривалась Дуади [57], а затем
Куксиным и Пешелем [71-72]. Было показано, что аналитическое
симплектическое отображение, близкое к интегрируемому, можно
вложить в аналитический гамильтонов поток. Доказательства в работах
6 Здесь имеется в виду, что для гладкого отображения естественно искать вложение
в гладкий поток, а для аналитического — в аналитический.
7 Два гладких отображения Т, : М' —>• М", j = 0,1, многообразий М' и М"
называются изотопными, если существует семейство отображений Ts : М' —> М" того
же класса гладкости, непрерывное по параметру s Е [0,1], такое, что То = То и
Т\ = Ti, иными словами, если То может быть перетянуто в Т\ путем непрерывной
деформации.

20
Глава 1. Уравнения Гамильтона
[57, 71-72] в той или иной степени используют теорему Грауэрта о
возможности вложения вещественно-аналитического многообразия в
конечномерное евклидово пространство.
Трифонов [36], также используя теорему Грауэрта, установил,
что (общее) аналитическое отображение, изотопное
тождественному, можно включить в аналитический поток, соответствующий
27г-периодическому аналитическому векторному полю.
Сформулированная ниже теорема (см. [88]) решает проблему
вложения диффеоморфизма в поток в аналитической постановке 8 . При этом
вместо теоремы Грауэрта основным инструментом выступает
специальный метод непрерывного усреднения, описываемый в главе 5. Там
же содержится доказательство теорем 1.9-1.10.
Начнем с нескольких определений. Пусть М — m-мерное
вещественно-аналитическое многообразие. Ниже предполагается, что М
компактно (иначе следует рассматривать компактную область в М). Пусть
X — подалгебра в алгебре Ли (£, [ •, • ]) всех аналитических векторных
полей на М, где [•, •] — коммутатор. В качестве примеров можно
привести:
а) X = А
б) М — симплектическое многообразие их — алгебра гамильтоно-
вых (или локально гамильтоновых) векторных полей,
в) х — алгебра векторных полей, сохраняющих объем.
Обратимые векторные поля не образуют подалгебру в С. Поэтому
обратимый случал должен быть рассмотрен отдельно. Сначала
напомним определение. Пусть I : М -> М — вещественно-аналитическая
инволюция (I о I = id — тождественное отображение). Векторное поле
u(z, t) на М называется обратимым относительно / (или /-обратимым),
если
u(z,t) = -dlu(lz,-t). (3.1)
В частности, в автономном случае инволюция / переводит векторное
поле и в — и9 .
8 М. Эрман сообщил автору, что аналогичный результат можно получить с
помощью теоремы Грауэрта.
9 Стандартным примером обратимой системы в классической механике является
гамильтонова система с гамильтонианом H(q,p), четным по импульсам р.
Соответствующая инволюция имеет вид (q,p) —> (g, —p).

3. Проблема вложения диффеоморфизма в поток
21
Обозначим через X подмножество всех аналитических
диффеоморфизмов М, полученных в результате сдвига на 27г вдоль решений
системы
z = u{z,t), гх(-,«)€х, ге[0,2тт], z £ М.
(3.2)
Мы предполагаем, что векторное поле и является С2-гладким по
времени. Это условие гладкости чисто техническое. Например, оно
может быть существенно ослаблено в гамильтоновом случае (см. ниже)
и (еще легче) в случае общих систем.
Далее будет удобно продолжить векторные поля и по 27г-перио-
дичности на всю вещественную ось времени. К сожалению,
полученные векторные поля в общем случае разрывны по t при t — 2тгп,
п Е Ъ. Однако мы можем добиться С2-гладкости путем замены
времени. Действительно, можно сделать
замену t н» t' (см. рис. 1.2). Функция t(t')
гладкая, нечетная, строго монотонная,
Щ = 0, t(t' + 2тг) = t{t') + 2тг, и
производные dlt/(dt')1, I = 1,2,3, равны
нулю в точках t' — 2тгк, к Е Ъ. Положим
u(z,tf) — ^n(z,t(t')). Очевидно,
векторное поле и является С2-гладким по
времени на всей числовой оси и, более того,
замена t н» t' сохраняет свойство
обратимости. Ниже мы будем иметь дело
только с функцией и и опускать штрих
у t' для краткости.
Определим множество Х\ как подмножество X, образованное
/-обратимыми векторными полями и. Очевидно, что все диффеоморфизмы
из X (Xj) изотопны тождественному отображению внутри X (Xj).
Теорема 1.9. Пусть отображение Т принадлежит X
(соответственно Xj). Тогда существует векторное поле (соответственно
I-обратимое векторное поле)
и = u(z, t), u(-,t) e x, teR, zeM,
Рис. 1.2
аналитическое, 2п-периодическое по t и такое, что сдвиг на 27г по
времени вдоль решений соответствующей системы совпадает с Т.

22
Глава 1. Уравнения Гамильтона
В качестве следствия мы получаем возможность вложения
аналитических отображений в аналитические потоки в следующих четырех
ситуациях: в случае общих систем, гамильтоновых систем, при
наличии обратимости и при сохранении объема.
Замечание 1.4. Векторное поле U определено неоднозначно.
Замечание 1.5. В симплектическом случае векторное поле С/, вообще
говоря, локально гамильтоново, т.е. функция Гамильтона
многозначна на М. Система может быть сделана глобально гамильтоновой в
том случае, если векторное поле и, определяющее Т, глобально
гамильтоново.
Замечание 1.6. Предположим, что Т близко к некоторому
отображению То (dist(T, То) ~ е в комплексной окрестности М)10 , где То уже
вложено в поток, образованный периодическим аналитическим
векторным полем Uq. Тогда векторное поле U может быть выбрано близким
к Uo (\U — Uq\ ~ е в меньшей комплексной окрестности М).
В частности, в симплектическом случае если Т близко к
интегрируемому отображению, то гамильтонова система, связанная с Т, может
быть также выбрана близкой к интегрируемой, причем порядки
близости будут совпадать.
В главе 5 мы покажем, что теорема 1.9 вытекает из своего частного
случая — теоремы о возможности вложения симплектического
отображения в гамильтонов поток. По этой причине, а также в силу особой
роли, которую играют гамильтоновы системы в этой книге, мы
сформулируем результат в гамильтоновом случае отдельно.
Пусть (Л4,ш) — вещественно-аналитическое 2т-мерное сим-
плектическое многообразие и пусть Т : Л4 —> Л4 — вещественно-
аналитическое симплектическое отображение.
Предположим, что Т непрерывно изотопно тождественному
отображению. Точнее, существует кривая gl, t Е [0,27г], в пространстве
аналитических симплектических диффеоморфизмов Л4 такая, что
выполняются следующие условия:
10 Расстояние dist можно, например, определить следующим образом:
dist(T,T0)= sup p(T(z),To(z)),
где М' — некоторая комплексная окрестность М, а р — какая-нибудь метрика.
Выбор окрестности и метрики роли не играет в силу компактности многообразия М.

3. Проблема вложения диффеоморфизма в поток
23
1) д° — тождественное отображение, д2п = Т;
2) д1 непрерывна по t.
Теорема 1.10. Пусть Л4 компактно. Тогда существует
вещественно-аналитическая по z и t, 2-к-периодическая по t функция H*(z,t),
z Е Л4, t G К, такая, что сдвиг z(Q) —> z(2ir) вдоль решений гамилъ-
тоновой системы (.M,cj,ii*) совпадает с Т.
Замечание 1.7. В общем случае функция Гамильтона if*
многозначна. Другими словами, соответствующая система локально гамильтоно-
ва. Однако if* может считаться однозначной функцией, если 1-форма
Lo(-,dgl/dt) точна для любого 0 < t < 2-к.
Замечание 1.8. Если отображение Т — возмущение (порядка е)
отображения, уже вложенного в поток с гамильтонианом Но, то можно
считать, что if* = Hq + 0(e).
В процессе доказательства теоремы 1.10 (см. гл. 5) нам
потребуется С3-гладкость изотопии gl по времени. Указанная гладкость может
быть достигнута с помощью следующего вспомогательного
утверждения.
Лемма 1.2. Если Т непрерывно изотопно тождественному
отображению, то изотопия gl может быть выбрана Съ-гладкой по времени
и такой, что производные Sgjdt1, I — 1,2,3, обращаются в нуль в
точках t = 0 и t = 2-к.
Несложно сообразить, что лемма 1.2 вытекает из следующего
утверждения.
Предложение 1.3. Лемма 1.2 верна для диффеоморфизмов Т, близких
к тождественному.
Действительно, предположим, что предложение 1.3 верно. Возьмем
исходную (непрерывную) изотопию gl. Разделим интервал (0,2-к)
точками 0 = to < t} < ... < tx — 2-к на большое число малых интервалов
(tk-iitk), 1 < к < К. Имеем равенство
T = QKo...oQu Qk=gtko (gtk-i)-\ 1 < к < К.
Все отображения Qk близки к тождественному. Следовательно,
существуют гладкие изотопии gjj., соединяющие Qk с тождественным
отображением. Изотопия Tt = qlK о ... о q\ имеет нужный класс гладкости.

24
Глава 1. Уравнения Гамильтона
Доказательство предложения 1.3. Рассмотрим график Q
отображения Т в прямом произведении М х М. Множество Q состоит
из пар (z,T(z)) Е М х Л4. Так как М компактно, а Т близко к
тождественному, то Q лежит в малой окрестности N диагонали V С М х М
(напомним, что V — {(^1,^2) Е Л4 х М. : zi = ^2}).
На многообразии .М х .М имеется естественная симплектическая
структура Q = ш\ — а>2, где ш\ (соответственно а>2) — 2-форма,
совпадающая сына первом (соответственно втором) сомножителе и
тождественно равная нулю на втором (соответственно первом).
Многообразия Q и V лагранжевы относительно fi, т. к. тождественное
отображение и Т симплектические.
Согласно теореме 1.1 окрестность N симплектоморфна
окрестности нулевого сечения Мо кокасательного расслоения (T*M,dp Л dz).
Более того, можно считать, что симплектоморфизм отображает V
на Мо С Т*М. Пусть / : (Af,Sl) -> (T*M,dp Л dz) — указанный
симплектоморфизм и Л = f(Q) С Т*М. Многообразие Л
проецируется взаимно-однозначно на .Мо с помощью естественной проекции
(р, z) —> (0,z). Следовательно, Л может быть определено соотношением
Р — p(z)- Так как многообразие Л лагранжево, то функция p(z) имеет
вид dS(z)/dz, где S — (вообще говоря, многозначная) вещественная
функция на М.
Рассмотрим семейство Л^, t Е [0,1], лагранжевых многообразий
в Т*М, определяемых уравнением р — (27r)~1tdS(z)/dz. Очевидно,
Ло = Л^о5Л2тг = Л. Лагранжевы многообразия Qt — f~l(At) С N
могут быть представлены в виде Qt = {(zuz2) : z2 = Tt(zi)}, где Tt —
некоторые симплектические отображения. Очевидно, Tt гладкие по t и
Go = £>, б2п = б, Т0 = id, Т27Г = Т.
Следовательно, Tt — искомая изотопия. Выполнение условий на
производные в точках 0 и 27г достигается заменой времени. ■
4. Классическая схема теории возмущений
Напомним, что гамильтоновыми системами, близкими к
интегрируемым, мы называем системы вида (1)-(2), где у лежит в некоторой
области пространства К771; х — х mod27r — точка m-мерного тора Т771,
а параметр е предполагается малым.

4. Классическая схема теории возмущений
25
Невозмущенные (е — 0) уравнения выглядят следующим образом:
х = и(у) = дН0/ду, у = 0.
Они легко решаются:
Таким образом, фазовое пространство невозмущенной системы
расслаивается на инвариантные m-мерные торы TJJ1 = {(ж,у) : у = const}.
Движение по тору Т™ происходит с частотами и (у) и в значительной
степени зависит от арифметических свойств вектора частот v. Вектор
v Е Шт (а также соответствующий тор ТГ™) называется нерезонансным,
если для любого ненулевого вектора k Е Zm выражение (fc, i/) отлично
от нуля. В противном случае набор частот (и соответствующий
инвариантный тор) называется резонансным. Если вектор и(у)
нерезонансен, то любая траектория, расположенная на торе Т^, заполняет его
всюду плотно. Если частоты резонансны, то траектории, лежащие на
инвариантном торе, всюду плотно заполняют торы меньшей
размерности, лежащие на исходном. В частности, если вектор и (у) коллинеарен
целочисленному, то все траектории на TJJ1 периодические.
Ниже нам понадобится следующее простое, но важное
Утверждение 1.1. Предположим, что невозмущенная система
невырождена, т. е. det(d2Ho/dy2) Ф 0 почти везде в D. Тогда
нерезонансные торы всюду плотны в фазовом пространстве невозмущенной
системы.
Доказательство. Очевидно, достаточно проверить, что
множество
{у Е D : и (у) — нерезонансный вектор}
всюду плотно в D. Этот факт проверяется следующим образом. В
силу предположения о невырожденности отображение у н» и (у) является
локальным диффеоморфизмом почти всюду на D. Так как множество
нерезонансных частот v плотно в пространстве R™, его прообраз в
области D также всюду плотен. ■
Основная идея классической теории возмущений — используя
малость параметра б, попытаться уничтожить зависимость
гамильтониана от угловых переменных с помощью канонической замены
(х mod27r,y) i-> (X mod27r,Y).

26
Глава 1. Уравнения Гамильтона
В новых переменных систему легко проинтегрировать. Замена
строится с помощью производящей функции
S(x,Y) = (x,Y)+eSi(x,Y) + ... ,
X = dS/dY, у = dS/dx.
Пусть Н — l-Lo(Y) + еН\(У) + ... — функция Гамильтона в новых
переменных. Тогда выполняется равенство
H(Y, е) = Н0(У + edSi/dx + ...)+ еЩ(ж, Y + ...) + ...
В нулевом приближении по малому параметру имеем Но — Но- Первое
приближение выглядит следующим образом:
(v,dS1/dx) + Hl{x,Y)=Hi{Y). (4.1)
Чтобы решить это уравнение, разложим функции S\ и Н\ в ряд
Фурье:
Si(x,Y)= ]Г Sf(Y)e^'x\ Hi(x,Y)= ]£ #f (Y)e*(*'x>.
Приравнивая коэффициенты рядов Фурье для левой и правой частей
уравнения (4.1), получаем
Функция S® произвольна. Обычно считают, что S® — 0.
Второе и следующие приближения по сути аналогичны. Функции
Sj и Hj удовлетворяют уравнениям вида
(u,dSj/dx)-nj(Y) = Фj(x,Y),
где функция Ф^ известна к данному шагу процедуры. Следовательно,
Sj и T-Lj находятся однозначно при условии, что среднее по х от любой
функции Sj равно нулю.
Итак, на формальном уровне замена переменных построена. В
действительности ряды классической схемы теории возмущений, как
правило, расходятся. Причина этого явления состоит в том, что системы

4. Классическая схема теории возмущений
27
вида (1)-(2) в общем случае интегрируемыми не являются. Формально-
аналитической причиной расходимости рядов для функций S и W,
является наличие малых знаменателей. Имеется в виду следующее.
Функции Sj представляются в виде дробей, в знаменателях которых стоят
произведения выражений вида (/с, v{Y)) с целочисленными векторами к.
Каждое из этих выражений обращается в нуль на некоторой
гиперповерхности в пространстве переменных У. На таких гиперповерхностях
функция S не определена даже формально (если, конечно, числители
дробей, представляющих функции Sj, не равны нулю на тех же
поверхностях, что случается довольно редко). Остается заметить, что в
совокупности эти поверхности, как правило, образуют всюду плотное
множество.
Чтобы придать этим рассуждениям формальный характер, введем
следующее
Определение. Вековым множеством11 В называется множество
импульсов у Е £), удовлетворяющих следующим условиям. Для некоторого
ненулевого вектора k Е Ъш
1) выполняется равенство (к, v(y)) — 0;
2) величина Н±(у) отлична от нуля.
Пуанкаре доказал [84], что если вековое множество плотно в
области Z), то возмущенная система неинтегрируема. Точнее, имеет место
следующая
Теорема 1.11. Предположим, что выполнены следующие предполо-
tstueи ил»
1) гамильтониан Н — аналитическая функция;
2) невозмущенная система невырождена;
3) множество В таково, что любая вещественно-аналитическая
функция, равная нулю на В, обращается в нуль всюду на D12 .
Тогда возмущенная система не имеет полного набора первых
интегралов F^l\x,y,e),... ,F(m\x,y,e) вида
F® = FiJ\x,y) + eF?\x,y) + e2F?\x,y) + ... , j = 1,... ,m,
(4.2)
независимых при е — 0, где коэффициенты F^ — аналитические
функции.
11 Или иногда вековым множеством первого порядка.
12 Например, В всюду плотно в D.

28
Глава 1. Уравнения Гамильтона
Замечание 1.9. Ряды (4.2) не предполагаются сходящимися, т.е. при
выполнении условий теоремы не существует полного набора первых
интегралов даже в виде формальных рядов вида (4.2).
Замечание 1.10. Если ряды (4.2) сходятся, то более естественным
было бы потребовать, чтобы интегралы были независимыми при малых
с ф 0. Это более слабое требование. Теорему с таким
предположением о свойствах интегралов F^ удается доказать лишь при т — 2 (см.
[84, 20]).
Замечание 1.11. Заметим, что в теореме 1.11 не предполагается ин-
волютивность набора первых интегралов. Тем не менее можно показать
[34], что если невырожденная система вида (1)-(2) имеет т первых
интегралов (4.2), независимых при е — 0, то они обязательно находятся в
инволюции.
Доказательство теоремы 1.11 опирается на следующее
вспомогательное утверждение.
Лемма 1.3. Предположим, что условия теоремы 1.11 выполнены.
Тогда
1) функции Fq не зависят от х\
2) для любого у Е В имеем
det^-»,...,fr') = 0
0(Уи... ,Ут)
(i)
Доказательство леммы. 1. Функции Fq являются первыми
интегралами невозмущенной системы. Пусть тор ТГ7^ нерезонансен.
Тогда любая траектория заполняет этот тор всюду плотно. Функции
^с) \У°1Х) не зависят от я, так как интеграл постоянен на
траекториях. В соответствии с утверждением 1.1 нерезонансные торы плотны
(i)
в фазовом пространстве, следовательно, F0V } не зависят от х.
2. Функции F^' удовлетворяют равенствам
{H,F^} = {H0,F^}+e({HuF^} + {tf0,if}}) + ... = 0.
Следовательно, {Hq,F[[j'} — {Fq,H\}. Разложим это равенство в ряд
Фурье. Пусть
F^(x,y)= £ *?'>*(уИ**>.
kez™

4. Классическая схема теории возмущений
29
Имеем семейство соотношений:
(k, v)F[j)k = (к, dF^/dy)Hl к е Ъш. (4.3)
Пусть у £ В. Тогда для некоторого вектора к имеем (/с, и) — 0 и
Н^ ф 0. Следовательно, в силу (4.3)
(k,dF^/dy)=0, j = l,...,m.
Так как га векторов 8Fq /ду перпендикулярны ненулевому вектору /с,
они линейно зависимы. ■
Итак, в силу условия 3 теоремы 1.11 якобиан det(5F0 /<9у)
тождественно равен нулю на области D. Теорема доказана.
Впервые теорема 1.11 была применена Пуанкаре для
доказательства неинтегрируемости ограниченной задачи трех тел. В дальнейшем
она оказалась одним из самых удобных средств доказательства
неинтегрируемости гамильтоновых систем. Отметим, что в ряде случаев
множество В недостаточно велико для применения теоремы 1.11. Тогда
препятствия к интегрируемости можно искать, рассматривая вековые
множества, появляющиеся на дальнейших шагах теории возмущений
(подробности см. в [21-23]).
К сожалению, утверждение о неинтегрируемости, представленное в
теореме 1.11, носит довольно формальный характер, т. е. не дает почти
никакой информации о динамике13 . Больший интерес представляют
доказательства неинтегрируемости, основанные на сложном поведении
решений возмущенной системы. Основные идеи здесь также восходят к
Пуанкаре. В качестве динамических препятствий к интегрируемости
можно упомянуть существование достаточно большого множества
невырожденных периодических решений (или инвариантных торов малой
размерности), а также расщепление сепаратрис (или в общей ситуации
инвариантных поверхностей, асимптотических к гиперболическим
торам). Проблема интегрируемости в гамильтоновой динамике детально
обсуждается в книге [21] (см. также [20]).
Можно лишь утверждать, что резонансные торы невозмущенной системы с
частотами v 6 В разрушаются при возмущении.

Глава 2
Введение в теорию КАМ
Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ), продемонстрировав
типичность квазипериодических движений, произвела переворот в
представлениях о динамике гамильтоновых систем, близких к
интегрируемым. Достаточно напомнить популярную в свое время гипотезу
физиков об эргодичности таких систем в общей ситуации на типичных
уровнях энергии1. Даже Пуанкаре, заложивший основы современной
теории гамильтоновых систем, считал, что при возмущении
интегрируемых систем квазипериодические движения, как правило, исчезают.
В настоящей главе мы представим основные сведения и идеи теории
КАМ, а также докажем одну из простейших теорем этого типа.
1. Теорема Колмогорова
Пусть имеется гамильтонова система с гамильтонианом
Н(х,у,е) = Н0{у) +£tfi(z,y,£), (1.1)
аналитически зависящая от канонически сопряженных переменных я, у,
где переменные х = (х\^... ,ят) mod27r принадлежат m-мерному
тору ТГ771, а у — (yi,... , ут) лежат в открытой области пространства W71.
Зависимость гамильтониана (1.1) от малого параметра е не обязана
быть аналитичной. Обычно достаточно иметь конечную гладкость
по е.
Предположим, что невозмущенная система невырождена в точке у0:
Динамическая система с компактным фазовым пространством, сохраняющая
вероятностную меру на нем, называется эргодической, если любое инвариантное
подмножество фазового пространства имеет меру, равную либо нулю, либо единице.

32
Глава 2. Введение в теорию КАМ
Предположим также, что частоты v — v(xp) — дНо/ду(у°) на
инвариантном торе {у — у0} невозмущенной системы диофантовы2 , т.е.
существуют положительные постоянные с, 7 такие, что для любого
ненулевого вектора к Е Ъш выполняется неравенство
Норма || • || здесь не имеет большого значения. Обычно берут
||г>|| = maxj|?;j|. Классическая теорема Колмогорова может быть
сформулирована следующим образом.
Теорема 2.1. Инвариантный нерезонансный тор {у = у0}
невозмущенной системы не разрушится при возмущении, а лишь слегка
деформируется и по-прежнему будет нести квазипериодические движения
с частотами v.
Теорема 2.1 была сформулирована Колмогоровым [19].
Колмогорову также принадлежит идея, что успех в борьбе с малыми
знаменателями, возникающими в процессе построения рядов, задающих
возмущенные торы, должен обеспечить квадратично сходящийся метод
типа метода Ньютона. Впервые полное доказательство теоремы 2.1
дано Арнольдом [2]. Мозер [81] доказал теорему о сохранении
квазипериодических движений для обратимых систем, а также показал, что
теорема 2.1 остается верной также в случае достаточно гладкой
зависимости гамильтониана от фазовых переменных 3 .
В приведенных ниже замечаниях мы сформулируем некоторые
уточнения и обобщения теоремы Колмогорова.
1. Деформация индивидуального невозмущенного тора при
возмущении имеет порядок е. В действительности для аналитического по е
гамильтониана (1.1) инвариантные торы аналитичны по малому
параметру. Это замечание принадлежит Мозеру [81]. В последнее время
появились работы, в которых разложения возмущенных
квазипериодических решений по малому параметру строятся явно [59, 52, 62].
Основная трудность состоит в доказательстве сходимости получаемых рядов.
2 Свойство диофантовости подробно обсуждается в добавлении А.
3 Такенс [96] привел пример семейства симплектических двумерных отображений
класса С1, близких к интегрируемому, не имеющих инвариантных торов.
Следовательно, для теории КАМ требование достаточно высокой гладкости необходимо. В
настоящее время доказано, что при аналитическом невозмущенном гамильтониане
достаточной является гладкость возмущения класса С2т, см. [85].

1. Теорема Колмогорова
33
Как известно, обычный метод мажорант не приводит к успеху из-за
наличия малых знаменателей. Однако, как заметил Эллиассон [59], самые
опасные слагаемые в этих рядах компенсируют друг друга, что и
обеспечивает сходимость.
2. Нейштадт доказал следующую теорему [29] (см. также [86]).
Пусть невозмущенная система невырождена в компактной
области D С Ш™. Тогда мера тех у Е D, которые соответствуют
разрушившимся торам для данного е, имеет порядок у/\ё\.
В частности, в общем случае точки, не лежащие на инвариантных
торах возмущенной системы, занимают меру порядка у/\е\ в любой
компактной области фазового пространства.
3. Колмогоровские торы образуют гладкое семейство (см. [24, 35,
86]). Это утверждение, в частности, означает, что в случае
аналитической невырожденной системы торы с частотами, удовлетворяющими
диофантовым условиям (1.2) с фиксированным 7, выживают для
некоторого с ~ 1/\/ё. Обозначим это множество частот символом £1(с), и
пусть Q — Sly — множество всех невозмущенных частот. Тогда
существует диффеоморфизм4
Ф:^ хтз ->м£ хт;,
ограничение которого на канторово множество диофантовых торов
£1(с) х Тп отображает его во множество колмогоровских инвариантных
торов. В переменных i/, •в при v Е il(c) уравнения движения
записываются в виде
i, = О, Ь = v.
Для аналитического гамильтониана (1.1) диффеоморфизм Ф аналити-
чен по •д и бесконечно дифференцируем по и. Аналитичности по всем
переменным препятствует неинтегрируемость возмущенной системы.
4. Условие невырожденности можно сильно ослабить, если следить
не за индивидуальным тором, а за всем семейством нерезонансных
торов. В частности, Рюссманом сформулирована следующая теорема [90].
Пусть система аналитична и образ отображения у н» и(у) не
лежит ни в какой гиперплоскости пространства R™. Тогда при
малых е в возмущенной системе имеются инвариантные торы, причем
в любой компактной области фазового пространства мера точек, не
лежащих на этих торах, стремится к нулю при е —* 0.
4 Для простоты мы предполагаем, что отображение у •->• и(у) — (глобальный)
диффеоморфизм.

34
Глава 2. Введение в теорию К AM
Доказательство указанной теоремы было впервые получено (хотя и
не опубликовано) Эрманом. Независимо теорема доказана Севрюком
[95, 33].
5. Условие диофантовости также можно значительно ослабить.
Непрерывную функцию ft : [1,оо) —> R назовем приближающей, если
выполнены следующие условия:
1) функция ft неубывающая иИ(1) = 1;
2) f™t-2\nn{t)dt<oo.
Рюссман [91] доказал, что в теореме Колмогорова условие
диофантовости вектора v можно заменить на следующее.
Для некоторой приближающей функции ft
|(fc, v)\ > l/ft(\k\) при всех ненулевых к Е Z. (1.3)
В частности, приближающими функциями являются ft(t) — t1 для
любого неотрицательного 7- В этом случае условия (1.3) совпадают с
обычными условиями диофантовости. Если же взять приближающую
функцию в виде ft(t) — ехр(£Л — 1), 0 < А < 1, то условия (1.3)
значительно слабее обычных.
Теорема 2.1 допускает несколько различных формулировок. Ниже
мы приведем ее неавтономный, изоэнергетический, а также
дискретный варианты.
Неавтономный вариант. Рассмотрим неавтономную гамильто-
нову систему с вещественно-аналитическим гамильтонианом
#(ж, у, t, е) = Н0{у) + еЩ (я, у, t, e) (1.4)
в канонических координатах х — {х\,... , хт) mod27r, у — (yi,... ,ym).
Зависимость функции (1.4) от времени t предполагается
27г-периодической. Рассмотрим невозмущенный тор {у = у0}. Время в данном
случае является угловой (быстрой) переменной, и, следовательно,
соответствующую частоту естественно учитывать при определении частот
на рассматриваемом торе. Так что вектором частот на торе {у — у0}
в неавтономном случае назовем вектор
Теорема 2.2. Пусть невозмущенная система невырождена в
точке у0 и вектор частот V Е Rm+1 диофантов. Тогда инвариантный

1. Теорема Колмогорова
35
тор {у — у0} невозмущенной системы не разрушится при возмущении,
а лишь слегка деформируется и по-прежнему будет нести
квазипериодические движения с частотами V.
Изоэнергетический вариант. Рассмотрим снова систему с
гамильтонианом (1.1) при старых предположениях аналитичности и
периодичности.
Теорема 2.3. Предположим, что инвариантный тор {у — у0}
невозмущенной системы лежит на уровне энергии {Щ — К), причем
невозмущенная система изоэнергетически невырождена на этом торе:
( д>Но/дуНу°) Ну0) \ . 0
V ^т(у°) о /
и частоты ^(у°) диофантовы. Тогда на уровне энергии {Н — К}
возмущенной системы лежит инвариантный тор, близкий к исходному,
частоты на котором \v{y°) пропорциональны исходным и А — 1+0(е).
Дискретный вариант. Сейчас мы сформулируем аналог теоремы
Колмогорова для симплектических отображений, близких к
интегрируемым. Пусть имеется аналитическое симплектическое отображение
(x,y)^(X,Y)=T(x,y),
х — (х\,... ,хт) mod27r, X — (Х\,... ,Xm) mod27r,
с производящей функцией
S(x,Y) = (x,Y) + f(Y) + eg(x,Y,e).
Вектором частот на инвариантном торе {у — у0} невозмущенной
системы назовем вектор
"• = (£)'
—(у0)-
dYyy '
Теорема 2.4. Предположим, что невозмущенное (интегрируемое)
отображение невырождено в точке у0:
det{d2f/dy2(y°))^0,
и вектор частот v* Е Mm+1 диофантов. Тогда возмущенная
система имеет инвариантный тор с теми же частотами, близкий к
исходному.

36
Глава 2. Введение в теорию К AM
2. Сведение теорем 2.2-2.4 к стандартной формулировке
В этой книге мы не доказываем теорему 2.1. Заинтересованному
читателю рекомендуем обратиться, например, к статье [81]. Мы собираемся
познакомить читателя с техникой теории К AM в параграфе 2.5 на
примере значительно более простой задачи. В настоящем параграфе мы
покажем, как теоремы 2.2-2.4 следуют из теоремы 2.1. План состоит в
следующем:
1. Теорема 2.1 => Теорема 2.2.
2. Теорема 2.2 => Теорема 2.3.
3. Теорема 2.2 => Теорема 2.4.
1. Проверим сначала первую импликацию. Для этого
предположим, что выполняются условия теоремы 2.2, а теорема 2.1 верна.
Рассмотрим автономную систему с гамильтонианом H{x^y^t1e) + Е, где
функция Н имеет вид (1.4), а переменная Е канонически сопряжена
времени t. Напомним, что проекции (я, у, £, Е) н» (х, у, t) решений этой
системы совпадают с решениями неавтономной системы с
гамильтонианом Н (см. параграф 1.1 первой главы). Невозмущенный
гамильтониан равен Но(у) + Е. Частота, соответствующая тору {у — у°,Е = 0},
имеет вид V.
Единственным препятствием к применению теоремы 2.1 является
вырожденность невозмущенной системы. Вырождение снимается
путем перехода к системе с гамильтонианом ен+Е. Действительно,
траектории систем с гамильтонианами Н + Е и ен+Е одинаковые5 , так
как переход от одного гамильтониана к другому равносилен замене
времени6 . Новый невозмущенный гамильтониан имеет вид
ен»+Е = ехр(я0(у°) + <i/, (у - у0)) +
+ (Щ(у°)(у - у0), (у - у°))/2 + 03(у - у0) + Е) =
= e"o(2,°) (i + (1Л (у _ у0}) + Е + (Щ(у°)(у - у% (у - у°)>/2 +
+ 1-(Е + (и,(у-у0)))2 + О3(у-у°,Е)),
Хотя скорость движения по ним, вообще говоря, различна.
Впервые такой трюк для устранения вырождения применил Пуанкаре при
исследовании ограниченной задачи трех тел.

2. Сведение теорем 2.2-2.4 к стандартной формулировке
37
где Щ — д2Но/ду2. Таким образом, имеем
Итак, вырождение действительно исчезло.
В силу теоремы 2.1 система с гамильтонианом ен+Е имеет
инвариантный тор с частотами ен°(у ^EV. Следовательно, система с
гамильтонианом Я + Е имеет инвариантный тор с частотами z>,
пропорциональными указанным. Так как частота по времени всегда равна
единице, имеем v — 9. ш
2. Теперь предположим, что выполнены условия теоремы 2.3.
Возьмем га-ю компоненту вектора v — ^(у°). В силу диофантовых условий
она отлична от нуля. Произведем понижение порядка по Уиттекеру на
уровне энергии {Я — h}. Для этого разрешим уравнение Н(х,у,е) — h
относительно ут. Так как
— (х,у0,б) = ^т(у°) + О(б)^0,
ОУт
то по теореме о неявной функции это можно сделать. В результате
получим
Ут = -F(x,y,xm,e,h), у = (yi,... ,ym-i)T, х = (жь-.. ,xm_i)T.
Так как хт — дН/дут Ф 0, то можно произвести замену времени
t —> г — хш. Обозначив штрихом производную по ят, получаем, что
решения (х(т)^у(т)) удовлетворяют уравнениям
х' = dF/dy, у1 = -dF/dx.
Найдем новый гамильтониан F. Для простоты положим у0 — 0.
Разложение Тейлора гамильтониана Я имеет вид
Я (ж, жт, у, ут, е) = Я0(0) + (£, у) + vmym + (Пу, у)/2 + 03(у) + 0(e),
где v — [у\,... ,z/m_i)T иП = д2Н/ду2(0). Напомним, что h — Я0(0)
по условию теоремы 2.3. Следовательно,
Ут = -(*, у)/»т + 02(у) + 0(e). (2.1)
Пусть
V р nmm )

38 Глава 2. Введение в теорию КАМ
Тогда равенство (2.1) можно уточнить следующим образом:
». - - - (<*,*> + i<fl».»> - (р.й1^ + in- ( Щ*) +
%\ 2 vm 2 \ vm J )
+ 03(y) + 0(s).
Итак,
Несложным упражнением по линейной алгебре является доказательство
следующего равенства:
";>+mde,(ift-4(ppT+^,+^T)=-det(" о)-
Таким образом, мы проверили, что условия теоремы 2.2
выполняются для системы с гамильтонианом F и невозмущенного тора у — 0.
Инвариантному тору возмущенной системы с гамильтонианом F
соответствует в исходной системе искомый инвариантный тор на уровне
энергии {Н — К}, ш
3. Теорема 2.4 сводится к неавтономному варианту теоремы
Колмогорова с помощью вложения отображения в поток. Действительно,
согласно теореме 1.10 и замечанию 1.8 отображение Т можно считать
отображением за период в системе с аналитическим гамильтонианом
Н — f(y)/(2ir) + O(e). Остается лишь применить теорему 2.2.
3. Инвариантные торы меньшей размерности
В этом параграфе мы обсудим проблему существования в автономных
гамильтоновых системах, близких к интегрируемым, инвариантных
торов, размерность которых меньше числа степеней свободы. Используя
методы предыдущего параграфа, легко построить изоэнергетические,
неавтономные и дискретные варианты теорем, приведенных ниже.
Мы рассмотрим лишь случай гиперболических торов. Результаты,
касающиеся общего случая, можно найти, например, в [60, 87, 50].
Начнем с определения.
Определение. Инвариантный n-мерный тор N
вещественно-аналитической гамильтоновой системы (М, а>, if), 0 < п < т = dimM/2,
называется гиперболическим, если в окрестности тора N на М существуют
координаты я, у, z+, z_, обладающие следующими свойствами:

3. Инвариантные торы меньшей размерности
39
1) х = {хи... ,хп) mod27r, у = (уь... ,yn), z± = (zf,... ,zf),
п + I = т\
2) координаты канонические, т. е. ш — dy Л dx + dz- Л dz+\
3) N = {(z,y,z+,z_) : у = О, *± = 0};
4) гамильтониан системы имеет вид
Н = (i/,y> + (Лу,у)/2 + (z.,n(x)z+) + 03(y,z), (3.1)
где вектор z/ Е Mn диофантов, матрица А постоянна и
невырождена, вещественные части собственных значений матрицы Q(x)
положительны7 при всех вещественных х.
Указанные координаты будем называть каноническими для
гиперболического тора N. В случае п — 0 тор N является (гиперболическим)
положением равновесия, а в случае п — 1 — гиперболическим
периодическим решением.
Получить представление о динамике в окрестности
гиперболического тора можно, рассмотрев уравнения Гамильтона, линеаризованные
относительно переменных у, z:
х — v + Ay, у — 0, i+ = QT(x) z+, i_ = —Q(x) z_.
Переменные у в линейном приближении являются первыми
интегралами, а я можно считать вращающимися фазами. Из уравнений для z±
вытекают соотношения
— (z+,z+) = -{z+,nT(x)z+) > x(z+,z+),
—(z_,z_) = --(z-,Sl(x)z-) < -x(z_,z_),
где x — некоторая положительная постоянная.
Следовательно, в линейном приближении
lim zT(t) — 0, lim |z±(i)| = оо при условии z± ф 0.
t->±00 t->±00
7 Эквивалентное условие: Q 4- ГГ положительно определена, где линейный
оператор Г2* сопряжен оператору Q относительно некоторой метрики с постоянными (не
зависящими от х) коэффициентами. Далее для простоты считаем эту метрику
стандартной, так что Г2* = Q .

40
Глава 2. Введение в теорию К AM
Итак, в линейном приближении система имеет две асимптотические
лагранжевы поверхности
Wu = {y = 0,z- = 0}, W' = {y = 0,z+ = 0}.
Траектории, расположенные на первой (соответственно на второй) из
них, экспоненциально приближаются к гиперболическому тору при
t —> — оо (соответственно при t —> +00). Поверхности с
аналогичными свойствами существуют и в точной системе. А именно, Граффом
доказано [67], что в системе с гамильтонианом (3.1) имеются
инвариантные лагранжевы асимптотические многообразия Г5,и, задаваемые
параметрически формулами
Г" = {х = £ + и+(£,С), у = «+(£, О, *+ = С, *- = ™+(£,С)},
Г* = {х = £ + и-(£,0, У = «"(£,О, z+ = w-(Z,0, *- = <},
где функции ir*1, v^, w± аналитичны и выполняются равенства
п±(е,0) = 0, «±Й,0) = 0> w±(^>0) = 0,
и± (£, 0) = 0, tf (£, 0) = 0, wf (£, 0) = 0.
Уравнения Гамильтона, ограниченные на Г5'и, имеют вид
i = ", < = <И£,С)С на Г",
£ = „, С = -^(е,СК на Г*,
где собственные значения матриц 9S,U при малых |£| имеют
положительные вещественные части.
Граффу [67] (см. также [105]) принадлежит следующая
Теорема 2.5. При возмущении системы гиперболический тор не
разрушается, а лишь немного деформируется и по-преэюнему остается
гиперболическим.
Появления гиперболических торов можно ожидать в следующих
ситуациях.
А. Рассмотрим окрестность положения равновесия автономной га-
мильтоновой системы с т степенями свободы. Предположим, что все

3. Инвариантные торы меньшей размерности
41
характеристические показатели положения равновесия различны.
Тогда гамильтониан системы можно привести к следующей нормальной
форме (см., например, [5]):
j=l k=l
L
+ Yl\ll^U2l'lV21-1 + U2lV21) ~ bl(u2l-lV2l ~ U2lV2l-l)j +
+ 03(a,/?,p,g,u,v), (3.2)
где положение равновесия задается равенствами
а — (3 — 0, р — q — О, и = v = О,
величины ±iz/j, ±Ajt, ±а/ ± г*Ь/ являются характеристическими
показателями положения равновесия и J + К + 2L = т. Пары переменных
/3 и a, q и р, v и и канонически сопряжены.
Пренебрегая слагаемым Оз, получаем гамильтониан
линеаризованной системы. Последняя имеет инвариантные J-мерные торы
Тс = {(/?,a,g,p,w,ii) :a*+Pj=Cj>0, p = q = 0, u = v = 0}.
Инвариантные торы Тс линеаризованной системы гиперболическими
не являются, однако, вообще говоря, часть условий из определения
гиперболичности выполняется. Действительно, можно считать, что
величины Afc и сц положительны. Рассмотрим переменные (ж,у, z+,z_),
полученные следующим образом:
otj = yjyj/2 cos xj, fa = yjyj/2s'mxj, z_ = (p,ti), z+ = (q,v).
Тогда квадратичная часть гамильтониана (3.2) принимает вид
J
3 = 1

42
Глава 2. Введение в теорию К AM
где квадратная матрица fi размера (К + 2L) х (К + 2L) следующая:
diag(Ab... ,АК),
О О \
О О
-&L ^L /
Вещественные части собственных значений матрицы Q положительны.
Поэтому гиперболичности тора Тс препятствует лишь вырожденность
матрицы А (см. формулу (3.1)) 8 и требование диофантовости частот v.
Указанная проблема разрешается следующим образом. Слагаемые
Оз(а,/?,р, q,u,v) в гамильтониане (3.2) в новых переменных имеют
вид 03(y/\y~lz)-
Предложение 2.1. Предполоэюим, что для любого целочисленного
вектора к Е Ъп такого, что \к\\ + ... + \кп\ < 4, выполняются
соотношения нерезонансности (к, v) ф 0.
Тогда с помощью канонической замены переменных (x,y,z) н»
н> (х^у'^г') функцию Гамильтона можно привести к виду
H(y',z') + (у',Лу')/2 + Оь (vM) + О (vM) 02(z') + 03(z'). (3.3)
Предложение 2.1 легко следует из результатов Граффа (см. [67,
лемма 4]).
Предположим, что det Л Ф 0. Тогда большинство инвариантных
торов Тс системы с гамильтонианом (3.3), в котором мы пренебрегаем
слагаемыми Об(\/|?7[), 0(yJ\yr\)02{z') и Оз(^'), имеют диофантовы
частоты v + Ас и, следовательно, являются гиперболическими.
Возмущение путем учета членов Оъ{у/\^\)^ 0(y/\yr\)02{z') и Оз(г') не разрушит
эти торы, а лишь слегка деформирует их. Это утверждение доказано
Граффом [67] и является несложным обобщением теоремы 2.5.
Б. Предположим, что имеется гамильтонова система, обладающая
некоторым набором первых интегралов в инволюции, с помощью кото-
8 Действительно, в данном случае А = 0.
п =
Oi 0
о п2
( ai
Oi
f>2 =
frl
-&1 ai
0
V 0
о
о

3. Инвариантные торы меньшей размерности
43
рых можно понизить порядок системы. Точнее, будем считать, что в
некоторых канонических координатах я, у, д, р,
х = (хи... ,zn)mod27r, у = (уь... ,уп),
q = (gi,.-- ,«), р = (pi,--- 1й), n + / = m,
гамильтониан системы имеет вид Н — if(y,g,p). Зафиксируем у,
например, у = 0. Пусть точка (q,p) — (q°,P°) критическая для функции
H(0,q,p). Очевидно, можно считать, что q° — р° — 0. Тогда
разложение гамильтониана Н в ряд Тейлора следующее:
то
Н = const + (l/,y) + -([4),G[4))+ 02(y) + 03(q,p) + 0(y)0(q,p)
Top N — {у — 0, q — р — 0} инвариантный, его размерность равна п.
Рассмотрим линейную систему с I степенями свободы, симплектическои
структурой dp Adq и гамильтонианом
ИСК)
(3.4)
Предположим, что ее нулевое положение равновесия гиперболично.
Тогда тор 7V, как правило, гиперболический. Действительно,
существует каноническая замена переменных (q,p) •—> {qf,pf) такая, что
функция (3.4) принимает вид (p'jfig'), где собственные значения (I х /)-
матрицы ft имеют положительные вещественные части. Этот факт
может быть, например, получен путем анализа нормальных форм
квадратичных гамильтонианов [5]. В переменных {x,y,qf,pf)
гамильтониан Н принимает вид
Я - const + (i/,y) + (p',£V) + 02(у) + 03(</V) + 0(y)0(q',p').
Канонической заменой {x,y,q',p') "-> (xfi\yh\qh\p") слагаемые
0(y)0(q'ip') можно привести к виду 0(y")02{qn\p")- Действительно,
пусть в гамильтониане Н
0(y)0(q',p') = <p', GlV) + (</, G2y) + 0(y)02(q',p') + 02(y)0(q',p'),
где Gi,G2 — постоянные матрицы размера / х п. Тогда в результате
замены с производящей функцией
S = (х,у") + (д'У) + tf'^Gn/') + (q', -(ПГ)~ W>

44
Глава 2. Введение в теорию К AM
получаем следующее выражение для гамильтониана Н:
Н = const + (и, у") + (у", Ау")/2 + <р", Пд") + 03(у", q",p").
Здесь мы положили 02(у") = (у", Ау")/2+Оз(у"^q",рп). Таким образом,
условием гиперболичности тора N является невырожденность
матрицы А и диофантовость вектора частот v.
В. Как известно, любой резонансный лиувиллев тор интегрируемой
гамильтоновой системы расслоен на нерезонансные торы меньшей
размерности. Оказывается, при возмущении общего положения некоторое
(конечное) число этих торов не разрушится и часть из них станет
гиперболическими. Чтобы сформулировать строгий результат,
рассмотрим гамильтонову систему с т степенями свободы в канонических
координатах (х mod27r, у) с вещественно-аналитическим
гамильтонианом
Я (я, у, е) = Н0{у) + еНг{х, у, е). (3.5)
Параметр б, как обычно, считается малым.
Фазовое пространство невозмущенной системы расслоено на
инвариантные m-мерные торы T^J = {(у, х) : у — у0}, движение по которым
происходит с частотами v(y) — дНо/ду.
Положим Vj — z/j(y°), j = 1,... , m; v = (z^i,... , vm)T. Рассмотрим
подгруппу gv группы (Zm, +) такую, что для любого вектора к Е gv
имеем (i/, г) — 0.
Предложение 2.2. Пусть rank^ = /; п — т — I. Тогда любая
траектория невозмущенной системы, расположенная на торе Т7^, всюду
плотно заполняет некоторый n-мерный тор, леэюащий в Т™, причем
тор Т™ оказывается гладко расслоенным на такие нерезонансные п-
мерные торы.
Действительно, из теории абелевых групп (см. [12]) известно, что
существует набор &*,... , &*, fci,... , ki векторов из Zm такой, что
матрица Ко размера т х т, столбцами которой являются векторы этого
набора, унимодулярна (т.е. detKo = 1) и векторы fci,... , fc/
порождают gv. Пусть К и К* — соответственно матрицы размера mxl итхп
такие, что векторы fci,... , k[ и &*,... , /с* соответственно являются их
столбцами. Очевидно, что rank/f — /, rank/f* = n, KTv — 0.
Произведем замену переменных q — К^х. В силу унимодулярно-
сти матрицы К^ переменные q mod 27г являются координатами на ТГЪ.

3. Инвариантные торы меньшей размерности
45
Уравнение движения х = v на торе Т™^ в новых координатах имеет вид
q — K§v. Последние I компонент вектора K§v равны нулю, а первые
п компонент образуют вектор
I/* = К* v. (3.6)
Группа дкту содержит подгруппу ZlQ = {j G Zm : jx = ... = jn = 0}.
Так как группы gv и дкти изоморфны, то хьм\адкти — I и дкту — Zl0.
Следовательно, частоты и* — (у\,... , v^) рационально независимы.
Итак, любая траектория 7 невозмущенной системы, расположенная
на торе Тт0, всюду плотно заполняет тор
V} = {q mod 2тг : (gn+1,... ,qm) = const}
и любая точка q G T^J лежит на одном из торов ТГ^. ■
В координатах (я, у) тор Т™, проходящий через точку х°, имеет вид
Тпхо^уо = {(х,у) : КТ(х - х°) = 0mod2<ir, у = у0}. (3.7)
Опишем условия, при которых Т™0 о не разрушится, а лишь немного
деформируется при возмущении системы. Введем для этого операцию
усреднения (• )9l/, соответствующую подгруппе gv, следующим образом.
Для любой непрерывной функции / : Т771 —>• R определим функцию (f)9u
с помощью равенства
(ЛдЛ*)= Ит i / f{x + vt)dt.
Предложение 2.3. Пусть разложение Фурье функции f имет вид
/(*) = 5^ /,-е'О». (3.8)
Тогда
</U*) = £ №<*"*> = £ /^0>>- (3-9)
Доказательство. Положим <p(g) = f((Kj) lq). Имеем
гТ 1 гт
Т
^1 f(x + vt)dt = ^J <р(К%х + К%Л)<Н.

46
Глава 2. Введение в теорию КАМ
Так как K^v — (^ ), причем вектор частот и* Е W1 нерезонансен, то по
теореме Вейля о равенстве временного и пространственного средних [5]
получаем
^(^(^Л^Со))^ (310)
?'еГ, ( ^ \ е Vй.
Так как разложение Фурье функции (р имеет вид
то интеграл (3.10) равен сумме
Е w^*^ = Е /*^<*^>.
Первое равенство (3.9) доказано. Второе равенство (3.9) сразу следует
из определения матрицы К. ш
В теории КАМ, как правило, от частот требуется свойство диофан-
товости. В нашем случае естественно потребовать, чтобы свойством
диофантовости обладал вектор i/*, см. (3.6). Условие диофантовости
вектора и* можно выразить в терминах свойств исходного вектора
частот v. А именно, назовем вектор v обобщенно диофантовым,
если существуют положительные постоянные с, 7 такие, что для любого
k Е Ъш \ gv выполнены условия
\(к,»)\>1/(с\кП
Понятие обобщенной диофантовости обсуждается в добавлении А.
Теорема 2.6 ([37]). Пусть выполнены следующие условия.
1. Невозмущенная система невырождена, т. е. определитель
матрицы
д2Н0 о
отличен от нуля.
2. Вектор частот v обобщенно диофантов и rank^ — I.

4. Следствия из теории К AM
47
3. Точка х° является критической для функции h(x) —
= (Hi(y°,x,0))9u, причем матрица Гессе W = d2h/dx2 (х°) такова,
что матрица WU имеет I собственных значений, ни одно из которых
не является положительным вещественным числом или нулем.
Тогда при малых е > 0 существует аналитичное по е при е > О,
гладкое по /ё при е > О семейство n-мерных гиперболических
торов Т™0(е) исходной гамилътоновой системы, сплошь
заполненных условно-периодическими решениями с частотами и*, причем
ТпуО(0)=ТпхОуО,см.(3.7).
В координатах (X,Y,Z), канонических для тора Тп0(б),
гамильтониан равен
(*ЛУ) + y/i(Y,A(y/i)Y)/2 + y/i(Z-,n(X, ^)z+) +
+ yfeG(X, У, Z, у/ё) + eG(X, У, Z, >/£),
где матрицы A, ft имеют вид А(у/ё) = Ao + О (у/ё), 0,(Х^у/ё) =
= fio + О (у/ё), причем det Aq ф О, матрица fio постоянна и ее
собственные значения имеют положительные вещественные части.
Инвариантные асимптотические многообразия Г±(б)
гиперболического тора Т™0(е) близки друг к другу: их локальные куски,
расположенные в окрестности тора Т™0(е), могут быть получены один из
другого деформацией порядка у/ё.
Болотин доказал [10, 48], что если матрица П положительно
определена, то многообразия Ts,u(e) пересекаются вне Т™0 (е) вдоль нескольких
двоякоасимптотических траекторий. Отметим, что в окрестности
тора Т™0(е) система экспоненциально (по е) близка к интегрируемой. В
частности, величина расщепления многообразий Ts>u(e)
экспоненциально мала.
4. Следствия из теории КАМ
1. Одним из главных следствий теоремы Колмогорова и ее обобщений
является наличие у гамильтоновых систем, близких к интегрируемым,
довольно богатого множества Qe квазипериодических движений.
Положительность меры множества Q£ указывает на то, что такие системы
не могут быть эргодичными. Интересным является вопрос об
асимптотике при е —> 0 меры множества М£ точек фазового пространства,

48
Глава 2. Введение в теорию К AM
не лежащих на инвариантных торах. Пусть D — открытая область в
фазовом пространстве такая, что ее замыкание D компактно и любая
точка множества D лежит на некотором инвариантном торе
невозмущенной системы. Предположим, что невозмущенная система
невырождена в точках области D. Тогда согласно теореме Нейштадта [29]
мера множества D Г\М£ не превосходит величины const у/ё.
Если в М£ не включать лишь точки, лежащие на торах,
существующих в силу обычной теоремы Колмогорова, то в общем случае мера
множества D П Ме действительно имеет порядок у/ё. Это замечание
следует из того, что на месте резонансных торов невозмущенной
системы появляются «дыры» площади ~ у/ё (см. рис. 2.1, где показано
около 180 траекторий стандартного отображения Чирикова (2.1), гл. 1
при е — 2-к • 0.1 и при е — 2-к • 0.14; как обычно, у — вертикальная
координата, ах — горизонтальная).
Однако легко заметить, что эти «дыры» сами, в свою очередь,
довольно густо заполнены инвариантными торами. С учетом этого
явления можно достаточно уверенно утверждать, что мера множества
DnM£ экспоненциально мала по е. Впрочем, этот факт пока не доказан.
Наиболее быстро хаос развивается в окрестности сепаратрис
невозмущенной системы. В частности, если область D имеет непустое
пересечение с асимптотическими многообразиями невозмущенной
системы, то мера множества D П М£ в общем случае имеет порядок у/ё
(см. гл. 4).
2. Теория К AM позволила доказать устойчивость по Ляпунову
типичных эллиптических периодических решений в автономных гамиль-
тоновых системах с двумя степенями свободы9 . Действительно,
произведя понижение порядка такой системы по Уиттекеру в окрестности
эллиптической периодической траектории 7 на уровне энергии Мд и
перейдя к (линейной) нормальной форме, получим неавтономную систему
с гамильтонианом
Н(х, у, t) = »(х2 + у2)/2 + 03(х, у), (4.1)
где х и у — вещественные канонически сопряженные переменные,
изменяющиеся в окрестности нуля, зависимость функции (4.1) от
времени t является 27г-периодической, постоянная \х положительна и не
Напомним, что периодическое решение гамильтоновой системы называется
эллиптическим, если его мультипликаторы не лежат на вещественной прямой.

4. Следствия из теории К AM
49
Рис. 2.1. Фазовые портреты стандартного отображения Чирикова
при е = 27г • 0.1 и при е = 2тт • 0.14

50
Глава 2. Введение в теорию К AM
равна 2пк для любого целого /с, а траектория 7 имеет вид {(x,y,t
mod27r) : x = у — 0}.
В окрестности кривой 7 слагаемое Оз в гамильтониане Н можно
трактовать как малое возмущение. Вырожденность невозмущенной
интегрируемой линейной системы с гамильтонианом /л(х2 + у2)/2
устраняется путем нормализации в гамильтониане Н членов третьего и
четвертого порядков. Точнее, предположим, что выполнены условия
/i ф 2тгп/3, /i ф тг/с/2, n.keZ. (4.2)
Тогда с помощью преобразования Биркгофа гамильтониан (4.1) можно
привести к виду
Я(ж, у, *) - /л(х2 + у2)/2 + ^(х2 + у2)2 + 05(х, у). (4.3)
Здесь /i* — некоторая постоянная и новые канонические переменные
мы опять обозначили буквами я, у. Теперь в качестве невозмущенной
интегрируемой системы можно рассматривать систему с
гамильтонианом ц(х2 + у2)/2 + fj,*(x2 + y2)2. В случае /i* ф 0 имеем невырожденность
при малых значениях я2 + у2.
Отметим, что существование большого количества инвариантных
торов в системе с гамильтонианом (4.3) не следует прямо из теорем,
сформулированных в предыдущих параграфах. Однако обычные
методы теории КАМ позволяют установить, что для как угодно малых
г > 0 в системе существуют (двумерные) инвариантные торы вида
Т2 - {(ж,у,* mod27r) : х2 + у2 + Оъ{х,у) = г2}.
Вернемся к исходной системе с двумя степенями свободы. Торы Т2,
как и периодическое решение 7> расположены на уровне энергии М^.
Являясь двумерной поверхностью, каждый из них делит трехмерное
многообразие Мд на два инвариантных множества: внутренность
полнотория (содержащую, в частности, кривую 7) и точки, лежащие вне
полнотория (см. рис. 2.2). Так как при г -> 0 торы Т2 неограниченно
приближаются к 7, периодическое решение 7 орбитально устойчиво по
Ляпунову на уровне энергии Мд.
В силу невырожденности решения 7 на соседних уровнях
энергии Mh' картина аналогичная: периодические решения 7/1', близкие к 7,
«окружены» инвариантными торами. Отсюда вытекает орбитальная
устойчивость решения 7 Для полной системы.

4. Следствия из теории К AM
51
Рис. 2.2 7
Отметим, что если условия нерезонансности (4.2) не выполнены или
//* — 0, то решение 7 может оказаться неустойчивым (см. [27]).
Аналогичную идею можно использовать для доказательства
устойчивости по Ляпунову эллиптических положений равновесия гамильто-
новых систем с двумя степенями свободы10 [3].
3. Рассмотрим вопрос об эволюции переменных «действие» в га-
мильтоновых системах, близких к интегрируемым. Предположим, что
невозмущенная система не слишком вырождена (например,
гамильтониан Щ — выпуклая функция). Тогда в случае двух степеней свободы
действие у на решениях меняется слабо: \y(t) — у(0)| < Су/ё. Причина
состоит в том, что инвариантные КАМ-торы делят трехмерные уровни
энергии.
Согласно гипотезе Арнольда [4] в системах с числом степеней
свободы большим двух действия могут измениться ощутимо: существует
постоянная С > 0 такая, что для как угодно близких к нулю значений
параметра е существует решение, на котором \у(Т)—у(0)\ > С при
некотором Т. Дрейф переменных «действие» принято называть диффузией,
так как его скорость при малых е очень мала и в численных
экспериментах он напоминает случайное блуждание. Как показано Нехороше-
вым [31-32], для аналитических систем, в которых гамильтониан Но
удовлетворяет довольно слабому условию крутизны, диффузия
является экспоненциально медленной: переменная у может получить
приращение порядка единицы лишь в течение экспоненциально большого
времени Т > аехр(—Ье~с) для некоторых положительных постоянных
а, Ь, с. В примере Арнольда [4] условие крутизны выполнено. Однако,
как и в примере Пуанкаре [84], гамильтониан в [4] выбран зависящим
от двух параметров е и //, где \х > 0 экспоненциально мал по сравнению
10 Конечно, в этом случае вопрос об устойчивости нетривиален, лишь если
гамильтониан не является функцией Ляпунова.

52
Глава 2. Введение в теорию К AM
с е. Таким образом, в этом примере гамильтониан формально не имеет
вида (1.1).
Для систем класса гладкости С°° существование диффузии
Арнольда было доказано Дуади [58]. Скорость диффузии в гладких
системах может не быть экспоненциально малой, но ее порядок
остается меньшим любой степени малого параметра. Отметим, что с точки
зрения доказательства существования диффузии гладкий случай
значительно проще аналитического.
Насколько нам известно, в настоящее время не найдено примеров
аналитических гамильтонианов (1.1) более или менее общего вида с
невырожденным гамильтонианом Но таких, что в соответствующих
системах удается установить наличие диффузии. Причина состоит в том,
что методы исследования экспоненциально малых эффектов в гамиль-
тоновых системах развиты пока недостаточно.
Недавно диффузия была получена в ряде задач с вырожденным
невозмущенным гамильтонианом [53]. В статье [89] диффузия
установлена в системе с выпуклым невозмущенным гамильтонианом, но
возмущение фактически зависит от дополнительного малого параметра
(в качестве которого, впрочем, можно взять е в достаточно высокой
степени). Проблема диффузии также исследовалась с помощью
вариационных методов в статье [46].
5. Возмущение квазипериодического потока на торе
В этом и следующем параграфах мы собираемся дать читателю
представление о методах теории К AM. Рассматриваемая ниже задача о
приведении потока на торе взята из статьи [1]. Надеемся, что читателя не
смутит ее явно модельный характер. Основная цель, которую мы
ставили перед собой, — по возможности избавить процедуру квадратичной
сходимости, составляющую ядро метода теории К AM, от технических
деталей. Мы рассчитываем на то, что читатель, разобравшийся в
доказательстве теоремы 2.7, будет уверенно себя чувствовать при анализе
доказательства любой теоремы типа К AM, проведенного методом
квадратичной сходимости.
Итак, рассмотрим дифференциальное уравнение
х = v + e{f{x,e) + Л),
(5.1)

5. Возмущение квазипериодического потока на торе
53
где х — (xi,... ,xm) mod27r — точка m-мерного тора Т771, функция /
периодична по х, векторы i/, Л Е Mm постоянные, а б — как обычно,
малый параметр. Задача состоит в приведении системы (5.1) к виду
i = v (5.2)
с помощью замены переменных
x = t + eQ(t,e) (5.3)
с периодической по £ функцией Q.
Прежде всего обсудим роль параметров Л. Несложно заметить,
что при отсутствии таких параметров сформулированная выше
задача, как правило, не имеет решения. Действительно, положим Л = 0 и
/ — const ф 0. Тогда при всех малых е системы (5.1) и (5.2) не
могут быть переведены друг в друга непрерывной заменой переменных
по причине разного топологического устройства решений11. Поэтому
для положительного решения поставленной задачи нам придется
искать наряду с заменой (5.3) функцию А(б), при которой эта замена
существует 12 .
Для успешной борьбы с малыми знаменателями нам потребуются
условия диофантовости для частот и:
|(fc,i/)| > а||А;|Г7 для всех 0/fcGZm (5.4)
Теорема 2.7. Пусть частоты v диофантовы и функция f аналитич-
на по х и е. Тогда существуют аналитические функции Л(б), Q{(,,e)
такие, что при малых значениях параметра е система (5.1)|д=л(е) пе~
реводится в (5.2) заменой (5.3).
Замена переменных (5.3) строится как композиция бесконечного
количества замен. Каждая из этих замен приближает систему к
виду (5.2), при этом постоянно приходится иметь дело с малыми
знаменателями. Для обеспечения сходимости композиции процедура строится
так, чтобы на каждом шаге величина возмущения (аналога функции /,
11 Например, если векторы и и / не параллельны, то для как угодно малых е
множества резонансов для наборов частот v и v + ef имеют разные размерности.
12 Обычно в теоремах типа К AM аналоги параметров Л удается найти среди
внутренних параметров системы, например, в обычной теореме Колмогорова Л
возникают при использовании возможности сдвигаться вдоль переменных «действие»
у »-+ у + еХ.

54
Глава 2. Введение в теорию К AM
получающейся после очередной замены переменных), грубо говоря,
возводилась в квадрат.
Такая квадратичная сходимость обычно ассоциируется с методом
Ньютона решения уравнения F(y) = 0, где F : D —>> W71 — гладкая
функция, D С W71. Напомним, что метод Ньютона состоит в
следующем. Пусть у* — искомое решение, причем матрица Якоби dF/dy
невырождена в точке у*. Предположим также, что решение у*
приближенно известно, т. е. для некоторого данного у — уо выполняется
приближенное равенство уо ~ У*- Тогда рассмотрим
последовательность
Уо,Уь--- (5.5)
такую, что для любого неотрицательного j Е Ъ
-1
Несложные оценки показывают, что последовательность (5.5) сходится
к у* и, более того, для некоторой постоянной С выполняются
неравенства
IVj+i ~ 0*1 < с\Уз ~ У*|2> J = 0,1,...
Скорость сходимости этой процедуры квадратичная и значительно
превышает (экспоненциальную) скорость сходимости метода
сжимающих отображений.
Сейчас мы покажем, как организовать квадратичную сходимость
в задаче о приведении потока на торе. Как уже отмечалось, замена
переменных (5.3) х »-> £ строится как предел композиции замен
X = Хо »—> Х\ I—> Х2 »—> • • • , £ = Xqq
В дальнейшем удобно представлять функцию \(е) в виде суммы
оо
j=0
Можно считать, что Xj — это тот кусок функции Л(б), который мы
используем при j-й замене переменных. Положим
оо
/ = /о, А0 = Л, Ап = ]Г Aj> n E N.
j=n

5. Возмущение квазипериодического потока на торе
55
Пусть после п замен система (5.1) имеет вид
у = v + е\п + efn{y, б, Лп), (5.6)
где у = хп — новые переменные. Замена с номером п + 1 определяется
равенством
у = r) + eqn{r),e,\n). (5.7)
Функцию qn определим чуть позже. Замена (5.7) преобразует
уравнение (5.6) следующим образом:
т
). (5.8)
j=i
Здесь символами {qn)r)j обозначены частные производные dqn/drjj.
Чтобы уравнение (5.8) имело вид r] — v^ следует взять qn и Ап
удовлетворяющими равенству
ОуЧп — An + fn(V + ), (5.9)
где дифференциальный оператор ду следующий:
т
ду = (i/, ctycfy) = ^^j0/0%.
J=l
Уравнение (5.9) нелинейное и сразу его не решить13 . Поэтому
рассмотрим вместо него более простое:
диЧп = К + /п(г?, е, Ап). (5.10)
Это уравнение называется гомологическим. Однако прежде чем
решать его и переходить к строгим оценкам, покажем на физическом
уровне строгости, что построенная последовательность замен
переменных действительно дает квадратичную сходимость.
На самом деле задача решения уравнения (5.9) эквивалентна исходной задаче о
приведении потока на торе.

56
Глава 2. Введение в теорию К AM
Действительно, так как Лп = An+i -f An, то в результате замены
(5.7), (5.10) система (5.8) принимает вид
т) = {I + e{qn)n)~ (v + еХп + efniv + eqn,e^n)) =
= [I + z{qn)ri)~ {{I + e{qn)-n){v + e^n+i) + eAn -edyqn-
- £2{qn)nK+i + efniv + eQn, e, An)) =
= 1/ + бЛп+1 4-6/n-fi(r/,6,An.fi),
где / — единичная матрица размера т х т и
/п+1 (г/, б, Vh ) = (I + e{qn)n) ~ х
)-/п(г?,£,Лп))- (5.11)
Оценим (грубо) функцию /n+i- Так как qn и Хп решения
линейного уравнения (5.10), то можно ожидать, что величины gn, An и fn
имеют один порядок малости: qn ~ /п, Лп ~ /п. Так как функции /п
ограничены (и даже начиная с п = 1 малы), то {I + s(qn)rt)~l « /.
Величина An+i окажется порядка An+i <^С Лп, следовательно, {qn)n^n+i ~ /п-
Далее, имеем
fn(v + eqn, 6, An) - /n(r/, 6, An) ~ e{fn)nqn + {fn)\K+i ~ fn-
Итак, /n+i ~ /^, что и означает квадратичную сходимость 14 .
6. Доказательство теоремы о приведении потока на торе
В этом параграфе мы установим сходимость построенной
композиции замен переменных, осуществляющей приведение системы (5.1) к
виду (5.2). Для этого мы покажем, что определенные индуктивным
образом последовательности {fn{Vi ei 0)}> {Qn} и {Ап} быстро сходятся к
нулю. На самом р,еле сходимость этих последовательностей не является
квадратичной, как это было обещано ранее, но очень близка к
квадратичной в том смысле, что в каждой из этих последовательностей норма
последующего члена не превосходит постоянной, умноженной на норму
1 Автор надеется, что читатели не будут его судить слишком строго за несколько
странную аргументацию, приведенную в этом абзаце. Мы лишь стремились хотя бы
на наивном уровне показать, что квадратичную сходимость, получающуюся ниже в
результате строгих оценок, можно предвидеть заранее.

6. Доказательство теоремы о приведении потока на торе
57
предыдущего члена в степени к, где величина к Е (1,2) произвольная.
Ниже мы берем к = 3/2.
Доказательство существенно использует аналитичность исходной
системы. Для проведения оценок нам потребуются некоторые
обозначения. Пусть Dp С Сш — область следующего вида:
Dp = {r]eCm : |Iniffo| <р, j = l,... ,m}.
Символом | • | в этом параграфе мы будем обозначать, как обычно,
модуль скалярной величины. В случае векторного аргумента v =
= (г>1,... , vm) вместо евклидовой нормы \v\ будет означать ^ • |vj|.
Если под знаком | • | стоит матрица А = (а^), то будем считать, что
\А\ = maxj,& \ajk\- Указанные соглашения, конечно, не являются
принципиальными и приняты лишь из соображений удобства. Заметим, что
для любого вектора v Е Шт и любой квадратной матрицы А порядка т
выполняется неравенство
\Av\ < т\А\ \v\.
Для каждой скалярной, векторной или матричной функции (р(г]),
аналитической и 27г-периодической в области Dp по всем переменным,
положим
|М|р = тахМ.
Up
Ниже нам несколько раз придется оценивать норму || • ||р
производной аналитической функции через норму самой функции. Основным
инструментом для этого является следующая
Лемма 2.1 (оценка Коши). Пусть функция g(z) апалитичпа в шаре
Bs С С радиуса s > 0:
g:Bs^C, Bs = {zeC: \z\ < s},
и пусть \g\ < G в шаре Bs. Тогда для любого положительпого и < s и
любого I Е N производная g^ = dlg/dzl удовлетворяет оценке
Iff (z)\ < l\G/u для любого z Е Bs-U.
Следствие 2.1. Для любого z$ Е Bs-U рассмотрим разложение
Тейлора функции g в точке z§\ g[z) — Y^o9l(z ~ zo)1 - Тогда коэффициен-
77гы gi удовлетворяют неравенству \gi\ < G/ul.

58
Глава 2. Введение в теорию К AM
Доказательство леммы основано на интегральной формуле Коши.
Пусть точка z лежит в шаре Bs-U. Выполняется равенство
9
{i)(~\- ll I 9(0 d<
'«■я/
(С-*)
Й-1'
где у = dlg/dzl, а интегрирование ведется, например, по
окружности 7 с центром в точке z и радиусом и. Имеем следующую оценку:
\9«Ч*)\<-[^<-
Заметим, что лемма 2.1 и ее доказательство остаются
справедливыми также в случае векторно- и матричнозначных функций д.
Следующее утверждение позволяет оценивать коэффициенты Фурье
аналитической функции через норму функции в области Dp.
Лемма 2.2. Предположим, что функция (р(г)) апалитичпа и 2-к-пери-
одичпа по переменным т\ на Dp и \\<р\\р = М. Пусть ее разложение
Фурье имеет вид (р = ^2ке1т(Р^е • Тогда выполняются следующие
оценки:
Ы<е-1*1'М, |*| = Х>,-|.
3
Доказательство. Положим
а = (аь... ,crm)T, <jj = signkj, j = 1,... ,га.
Имеем равенства
г»2тг /»2тг /»2тг
Л PZTV PZ7V PZ7V
Ш = /о \т / dxi... dXm-\ \ е~г^х\{х) dxm =
(2тг)ш У0 У0 У0
1 /»27Г /»27Г /»27Г
= 7^Г^ I dxi... dxm-i / e-i{k>x-iap)(p(x - гор) dxb
\ЩШ Jo Jo Jo
Так как функция (р по модулю не превосходит М, получаем оценку
Л r2lf /»27Г /»27Г
Ы < 777^ / ЛС1 • • • / Лст-1 / e-^Mdxm = e-W0M. ш
(2тг)т Уо Уо Уо
Перейдем к анализу последовательности замен (5.7). Прежде всего
заметим, что функции fn линейны по Ап. Этот факт легко
проверяется путем индукции. Действительно, функция /о = / не зависит от

6. Доказательство теоремы о приведении потока на торе
59
Ао = А. Предположим, что fn зависит от А^ линейно. Величина Атх не
входит в уравнение (5.10)15 . Поэтому функция qn не зависит ни от Ап,
ни от An_|_i. Согласно предположению индукции уравнение (5.11)
дает линейный тип зависимости /n+i от An+i. Отметим, что линейный
характер зависимости функций fn от Ап не имеет принципиального
значения и лишь слегка облегчает оценки.
Свойства решения гомологического уравнения описываются в
следующей лемме.
Лемма 2.3. Пусть /п(г7,£,А) = ff(r],e) + /"(т7,£)А, причем \\f'\\p = S',
\\f"\\p — $" < а> г^е а — малая положительная постоянная16 . Тогда
существует решение уравнения (5.10), удовлетворяющее оценкам
cSf
\Хп\ < 2т6\ Ъп\\р-а < a(j7+m '
где постоянная с зависит только от размерности т.
Доказательство. Опустим для краткости индексы п у qn и Ап.
Положим
/'= £/(V(fc,7?>- /"=£/(V<fc,7?>'
kez™ кеъш
Я= J2 <?(*)е*<М>> 9(0) =0.
k€Zm
Тогда из уравнения (5.10) находим А - (J + /(о))_1/(о) = 0- ^ак как п0~
стоянная а мала, можно считать, что |(/ + fm))~l\ < 2. Следовательно,
|A| = |(/ + /('y-1/(0)|<2m(J'.
Коэффициенты Фурье функции q вычисляются следующим образом:
/(*) + /(V
Я(к) =
t(i/,fc)
В нем присутствует лишь Лп — часть функции Ап(е), отщепляющаяся на п-м
шаге.
16 Не превосходящая 1/(2т2) и такая, что для любой квадратной матрицы А
размера т х т с нормой \А\ < а выполнено неравенство |(/ + А)-1| < 2.

60
Глава 2. Введение в теорию К AM
Напомним, что выражения i(v,k) называются малыми знаменателями.
В силу малости постоянной а выполняется неравенство 2т8" < 1.
Используя лемму 2.2 и условия диофантовости (5.4) для вектора частот i/,
получаем оценку
■ - 1<с-щр6' + 2т5"5> №„MW
l9(fc)|- \(u,k)\ " a '
Пусть г} € Dp-a. Тогда
1Ф,е)1 <
2Щ1Р-|*|Р/*Л>
yv f£_K41e-|fc|pe(fc,4) < V- *« 1*1 ' с-а\к\
а
26'\к\
7
Последнюю сумму можно оценить с помощью интеграла. А именно,
она не превосходит
"■•■v-MdK cS'
f >
jRrn a
ааЧ+т
В построенной процедуре замен переменных переход от шага с
номером п к шагу с номером п + 1 описывает
Лемма 2.4 (индуктивная лемма). Пусть
fn(x,eX) = /£(*,£) + fn(x,e)Xn, \\fX = 6', \\fX = S" < a.
Кроме того, предположим, что для некоторой малой
постоянной Ъ < 1, зависящей только от т, выполняется неравенство
ес5'
< 6. Тогда функция
/n+i(*?,e,An+i) = fn+iiVi6) + /n+i(r7>£)Vn
удовлетворяет оценкам
, ^ 2т2с е(6')2 „ ^х„ , 2(1 +а)т2с eS'
ll/n+lllp-2<r S —— a7+m+i> \\Jn+l\\p-2a Ъ 0 + - al+m+l ■
Доказательство. Функции /^+1, /^'+1 находятся из
равенства (5.11):
f'n+l = (I + e<h,)-l{U{Ti + eq,e) - ^fa.e)),
/n+i = i1 + Щ)~Ч-Щ + fn(v + eq,e))-
. ,„, . „ (6-1)

6. Доказательство теоремы о приведении потока на торе
61
Здесь опять для краткости мы пишем q вместо qn. В частности,
fn+i(v,e)-f^r] + eq,e) = -(I + e^)"1 • eqn{I + ft(v + eg,e)). (6.2)
В силу леммы 2.3 и условий индуктивной леммы имеем оценку
Ы\Р-а < -^^ <Ьа<а.
Следовательно, г) + eq Е Dp при r\ Е Dp-a.
С помощью оценки Коши получаем неравенство
II II ^ ЕС^' 1 L
Ыр-2.<—^"<Ь-
Таким образом, при достаточно малом Ъ верны следующие оценки:
IKJ + eg,,)-1 -/||p-2or < 1,
WfniV + £Q,£) ~ fn(V,£)\\p-2a < Шп)т,\\р-с\Ы\/>-2а <
^ 6' есб'
< m ;—.
~ о aai+m
Из этих неравенств и уравнения (6.1) вытекает соотношение
l/n+ilp-20- < 2m a(jl+m+1 •
Используя (6.2) для функции /^'+1, получаем оценку
II/^iIIp-2. - ll/^llp-2. < 2ш2-^тг(1 + а). .
Итак, последовательности {5'п}, {5%} удовлетворяет неравенствам
С1<^ + ^-ЙтГ, (6-4)
где постоянные с' и с/; зависят только от га,
<% = Л = ||/||ро, Sq = О, pn+i = рп- ап
и {сгп} — некоторая последовательность, которую мы можем выбрать
по своему усмотрению.

62
Глава 2. Введение в теорию К AM
Лемма 2.5. Пусть
тг2ро
On =
" 12(п + 1)2'
Тогда выполнены следующие неравенства:
Рп > Ро/2, (6.5)
8'n<AsW-\ (6.6)
Си " 6п < 2-1_n«- (6-7)
Из оценок (6.5)-(6.7) вытекает возможность проведения и
сходимость предлагаемой бесконечной последовательности замен
переменных. Поэтому теорема 2.7 будет доказана, как только мы докажем
лемму 2.5. При п —> оо имеем
sn -* °> Sn -> С < а> Рп -> Роо > Ро/2.
В частности, итоговая замена £ = гг^ -> жо определена и вещественно-
аналитична в области {| Im£| < ро/2}.
Доказательство леммы 2.5. Неравенство (6.5) следует из
определения ап и равенства pn+i — Рп — &п-
Проверка оценок (6.6)-(6.7) проводится индукцией по п. При п = О
неравенства, очевидно, выполняются. Предположим, что они верны для
п — 1. Используя (6.3) и предположение индукции, получаем
i,+lSa£ £ Vl2(/ + l)V
При малых е это выражение не превосходит Ае^3^ _1.
Используя (6.4), получаем следующую оценку:
*»-*^*Р"(щ&?)
—7—т— 1
Последнее выражение не превосходит 2 1 1а при малых £. Лемма
доказана. ■

Глава 3
Динамика в окрестности сепаратрис
Многие хаотические явления в динамических системах определяются
поведением многообразий, асимптотических к положениям равновесия,
к периодическим решениям или к гиперболическим торам. В этой главе
мы изучаем асимптотические многообразия (сепаратрисы) в гамильто-
новых системах с полутора степенями свободы и в двумерных симплек-
тических отображениях.
1. Нормальные координаты
Рассмотрим систему с гамильтонианом Н(ж, у, £), где (ж, у) Е D С Ш2 —
канонически сопряженные переменные и функция Н периодична по
времени: Н(х, у, t) = H{x, y,t + то). Пусть решение с начальными
условиями (ж,у,0) в момент времени то имеет вид (Т(ж,у),то). Напомним,
что Т называется отображением за период, или отображением
Пуанкаре. Оно является симплектическим, т. е. сохраняет 2-форму площади
dy Л dx на области D.
Пусть z(t) = (x(t),y(t)) — то-периодическое решение. Точка z(0)
неподвижная для Т. Ее свойства устойчивости в значительной степени
определяются матрицей монодромии М = dT/dz\z=z(0^ так как в
линейном приближении отображение Т есть умножение на М.
Собственные значения матрицы монодромии называются мультипликаторами
решения z(t). Так как Т сохраняет площадь, определитель матрицы М
равен единице. Следовательно, характеристический полином для М
представляется в виде /i2 — /i tr M + 1.
Имеются четыре возможности.
• |trM| > 2. Мультипликаторы вещественны и различны.
Периодическое решение называется гиперболическим.

64
Глава 3. Динамика в окрестности сепаратрис
• |trM| < 2. Мультипликаторы равны по модулю единице и
различны. Решение называется эллиптическим.
• trM = —2. Мультипликаторы равны —1. Решение называется
параболическим.
• trM = 2. Мультипликаторы равны 1. Решение называется
вырожденным.
Здесь уместно упомянуть следующее простое
Предложение 3.1. При малом возмущении системы (в классе систем
с TQ-периодическими по t гамильтонианами) невырожденные
периодические решения не исчезают, а лишь слегка деформируются.
По форме это утверждение напоминает теорему типа КАМ. Однако
его доказательство значительно проще из-за отсутствия малых
знаменателей. Действительно, предположим, что рассматриваемая система
зависит от параметра с, причем невозмущенной системе соответствует
значение с = 0. Отображение Пуанкаре также зависит от параметра:
Т = Tc(z). Начальное условие z = zc для то-периодического решения
должно удовлетворять уравнению z — Tc(z) = 0. Это уравнение имеет
решение (z, с) = (z(0),0). Матрица Якоби
d(z - Tc(z))/dz\{Z:C)={z{0):0) =I-M
невырождена в силу невырожденности периодического решения z(t).
Следовательно, по теореме о неявной функции функция zc определена
при малых с. ■
Далее в этой главе мы рассматриваем лишь гиперболические
периодические решения. Будем считать, что соответствующие
мультипликаторы положительны (случай отрицательных мультипликаторов
сводится к указанному путем рассмотрения z(t) как 2то-периодического
решения, в результате чего мультипликаторы возводятся в квадрат).
Одним из замечательных свойств гамильтоновой системы в
окрестности такого решения является существование так называемых
нормальных координат. А именно, верна следующая
Теорема 3.1. Пусть гамильтониан системы вещественно-аналити-
чен и 7 — гиперболическое периодическое решение. Тогда на
расширенном фазовом пространстве DxR/(tqZ) в окрестности кривой 7
существуют аналитические локальные координаты (g,p, t) такие, что

1. Нормальные координаты
65
1) время t совпадает с исходным,
2) координаты (<7,р) канонические: dp Adq = dy Л dx,
3) решение у имеет вид {q = р = О, t = t mod 27г},
4) в новых координатах функция Н зависит только от
произведения qp.
Замечание 3.1. Существование преобразования к нормальным
координатам на формальном уровне установлено Биркгофом [8].
Сходимость преобразования доказана Мозером [80].
Заметим, что основанное на методе мажорант доказательство Мо-
зера требует изощренной техники. Ниже мы приводим доказательство,
основанное на методе квадратичной сходимости. Идею применения
метода квадратичной сходимости для доказательства теорем такого типа
мы заимствовали из работы [53].
Замечание 3.2. В нормальных координатах уравнения Гамильтона
имеют вид
q = H'(qp)q, p = -H'(qp)p, H'(z) = dH (z) / dz. (1.1)
В частности, функция qp является первым интегралом, а величины
е±т°Л, А = i?'(0), являются мультипликаторами периодического
решения 7- Можно считать, что А > 0. Действительно, А ф 0 в силу
невырожденности 7, а в случае А < 0 произведем замену q -> р, р -> —q,
А-+-А.
Замечание 3.3. Поверхности Vs = {{q,p,t mod то) : q = 0} и
Ги = {(<7,р, t mod то) : р = 0} являются инвариантными для
системы (1.1). Любое решение, расположенное на Г* (соответственно на Ги)
экспоненциально стремится к 7 ПРИ * ~+ +°° (соответственно при
t —> — оо). Поверхности Ts'u называются асимптотическими к 7 или
сепаратрисами.
Отметим, что утверждение о существовании нормальных
координат является значительно более тонким результатом по сравнению с
утверждением о существовании поверхностей, асимптотических к
гиперболическому периодическому решению. Сепаратрисы Ts'u могут
быть легко построены без помощи нормальных координат, например
методом сжимающих отображений.

66
Глава 3. Динамика в окрестности сепаратрис
Замечание 3.4. Нормальные координаты (q,p) определены
неоднозначно. Например, координаты {qf,pf) = (—p,g) нормальные.
Более того, для любой вещественно-аналитической в нуле функции r(z)
(г(0) ф 0) координаты q' = q/r(qp), p' = pr(qp) также являются
нормальными.
Замечание 3.5. Если отображение Т зависит (гладко или
аналитически) от параметра е, то пока неподвижная точка ? = ?(е) остается
гиперболической, нормальные координаты также могут считаться
зависящими (соответственно гладко или аналитически) от е.
Нормальные координаты с аналогичными свойствами можно
построить также в окрестности гиперболической неподвижной точки
двумерного симплектического диффеоморфизма.
Теорема 3.2. Пусть z — гиперболическая неподвижная точка
вещественно-аналитического симплектического отображенияТ. Тогда
в окрестности точки z существуют аналитические канонические
локальные координаты (q,p) такие, что z = (0,0), ив новых
координатах отображение Т имеет вид
Шр) = (qM(pq),p/M(pq)).
Функция Л4 вещественно-аналитична в точке 0 Е С и Л4(0) > 1.
Действительно, в окрестности неподвижной точки Т изотопно
тождественному отображению. Следовательно, согласно теореме 1.10
в окрестности точки z отображение Т является отображением за
период в некоторой гамильтоновой системе с аналитическим 27г-
периодическим по времени гамильтонианом. Гиперболической точке z
соответствует гиперболическое 27г-периодическое решение
гамильтоновой системы. Нормальные координаты для этого решения при
t = 0 mod 27T являются координатами, о которых идет речь в
теореме 3.2.
Доказательство теоремы 3.1. Заменой времени всегда можно
сделать период то равным 27Г, так что функцию Н можно считать 27г-пе-
риодической по времени.
Перенесем периодическое решение в начало координат с помощью
замены х = х — x(t), у = у — y(t). Новый гамильтониан Н имеет вид
H{x,y,t) = f(t) + a(t)x2 + 2b(t)xy + c(t)y2 + 03(x,y).

1. Нормальные координаты
67
Функцию f(t) можно считать равной нулю.
Замена переменных (ж, у) -* (£, у), приводящая квадратичную часть
гамильтониана Н к виду А£у, строится с помощью теории Ляпунова-
Флоке (см., например, [11]). Мультипликаторы периодического
решения равны е±2?гЛ, так что в силу гиперболичности имеем А ф 0.
Очевидно, можно считать, что А > 0. Далее для краткости новые переменные
опять обозначаем ж, у, а функцию Гамильтона — Н.
Введем операцию [•], сопоставляющую любой функции вида
f(x,y,t)= J2 fafh^VPJ*
ее «нормальную часть»
[/] = £/««0sV-
а
Гамильтониан Н может быть представлен в виде
Я = h(xy) + а(х, у, *), а = ^ аар7хаурег1\ ааа0 = 0. (1.2)
a+/?>3,7ez
Тогда, очевидно, h = [Н] и а = Н — [Н].
Путем формального введения малого параметра х —> ех, у -+ еу
функция h в гамильтониане Н принимает вид \ху + 0(е2), а функция а
становится порядка 0(e). Имея в виду возможность такой
перенормировки, в дальнейшем будем считать функцию h близкой к Ажу, а
функцию а малой.
Процесс нормализации состоит в проведении бесконечной
последовательности (неавтономных) замен
(ж,у) = (ж0,уо) -» (zi,yi) -+...-+ (хп,уп) -» ...
таких, что в координатах (яп,уп) гамильтониан имеет вид
причем ап —> 0 при п —)► оо.
Чтобы описать один шаг процедуры, положим для краткости
(хтУп) = (я,у) и (zn+i,yn+i) = (х*,у*)- Соответствующую замену
переменных определим с помощью производящей функции
S = xy. + 6(x)y„t)) Ь= J2 ba0{t)xay№\ [6] = 0.
a+/3>3,7eZ

68
Глава 3. Динамика в окрестности сепаратрис
Замена переменных может быть записана в виде
х = x*-by.(x*,y*,t)+R(x\x*,y*,t), у = y*+bx.(x*,y*,t)+R(y\x*,y*,t),
где нижние индексы х* и у* обозначают частные производные и
R(x)(x*,y*,t) = by.(x*,y*,t) - by.(x,y*,t), (1.3)
R(y)(x*,y*,t) = bx{x,y*,t) -bx,(x*,y*,t). (1.4)
Положим h'(z) = dh(z)/dz. Тогда новый гамильтониан if(:r*,y*,£)
записывается следующим образом:
Я* = h(xy) +a(x,y,t) +bt(x,y*,t) =
= h(x*y*) + ti(x*y*){x*bx.{x*,y*,t) -у*ЬУЛ^*5У*^)) +
+ bt(x*,y*,t) + a(z*,y*,£) + Д(я*,у*,г),
R = R\ + i?2 + Rs>
Ri = h(xy) -h(x*y*) - ti(x*y*)(x*bx.{x^y*,t) - y*by.(x*,y*,t)),
R2 = a(x,y,t) -a(z*,y*,i),
#з = Mz,y*,i) -bt(x*,y*,t).
Далее считаем, что функция 6 удовлетворяет уравнению
ti(xy)(xbx(x,y,t) -yby{x,y,t)) +bt{x,y,t) + a(x,y,t) = 0. (1.5)
Уравнение (1.5) естественно назвать гомологическим. В новых
переменных
K(x*,y*,t) = h(x*y+) + R(x*,y*,t) = К(х*у*) + a*(z*, у*, £),
здесь /г* = Л+[Д] ио* = R—[R]. Таким образом, переход (я, у) —> (я*, у*)
описан.
Простые грубые оценки позволяют надеяться, что построенная
процедура быстро сходится. Действительно, естественно ожидать, что
функция b как решение линейного уравнения имеет тот же порядок
малости, что и а, т.е., неформально говоря, b ~ а. Так как разности
х — я*, у — у* порядка 6, а остатки i?(x), R^ порядка б2, то из
определения функции R находим R ~ б2 + аб ~ а2. Следовательно, a* ~ а2,
/г* — /г ~ а2 и процедура квадратично сходится. Строгим оценкам
посвящен следующий параграф.

2. Сходимость нормализующей процедуры
69
2. Сходимость нормализующей процедуры
Как всегда при анализе процедуры квадратичной сходимости,
существенно используется свойство аналитичности участвующих в ней
функций. В частности, важную роль играют оценки Коши (лемма 2.1)
и оценки для коэффициентов Фурье (лемма 2.2).
Функции, с которыми мы имеем дело, определены в следующих
областях:
Za,P = {(x,V,t) е С3 : \х\ < а, \у\ < а, |Imt| < р}.
Положим также
Ba = {zeC: \z\ <а}.
Для аналитических функций / : Ва —>> С и g : Z<t,p —>• С определим их
нормы
|/|, = max |/|, |^iP = max|^|.
Следующее утверждение позволяет оценивать норму функции а* в
терминах нормы функции а.
Лемма 3.1 (индуктивная лемма). Предположим, что |а|о-,р = S и
функция Ы удовлетворяет условиям
h'(0) = h'0>0, \ti{z)-ti(0)\a2=X, 2X<h'0.
Тогда для любого О < s < min{cr/5,p/2} и такого, что
ciSa2s~3 < a -2s, ciSa2s~4 < s/a < 1, (2.1)
величины
\a*\(r-5s,p-2s = <**, ^'*(°)> \K(z) ~ K(°)\((T-5s)2 = X*
оцениваются следующим образом:
6* < 2A, h'M = Л'(0), X* < X + a2A5"2, А = (1 + <jx)c252<j5s-9,
здесь с\ и С2 — некоторые постоянные.
Доказательство теоремы 3.1 проводится путем индуктивного
применения леммы 3.1. Действительно, рассмотрим гамильтониан (1.2) в

70
Глава 3. Динамика в окрестности сепаратрис
качестве начального. Как отмечалось в предыдущем параграфе,
функцию h можно считать близкой к \ху, а функцию а малой. Пусть
функции h и а определены в областях Ва2 и Za0yP0, соответственно, причем
laL,po = al£> \h ~ ^хУ\<г1 = а2£2,
где ai и а2 — постоянные, а величина е мала. Условия леммы 3.1
выполняются при
S = а\е, х — а2£25 ° = его, р = ро, s = sq = 67Г-2 min{a/10, р/4}.
Произведя один шаг процедуры нормализации, получим новые
значения параметров
8 = 8*1 Х = Х*> сг = сг0 - 550, p = po-2s0.
При этом если е достаточно мало, то условия индуктивной леммы
оказываются справедливыми с s = sq/A. Полагая на n-м шаге процедуры
s = sn = son-2, легко заметить, что условия индуктивной леммы
удовлетворяются. При этом величины ап и рп стремятся к сг^ > сто /2 и
Poo > Ро/2, соответственно, а норма \ап\(Тп^п быстро стремится к
нулю. В пределе получаем нормальные координаты и нормализованный
гамильтониан.
Оставшаяся часть параграфа посвящена доказательству
индуктивной леммы.
Ниже нам понадобится следующий вариант теоремы об обратной
функции.
Лемма 3.2. Рассмотрим уравнение
х* =x + f(x), (2.2)
где функция f(z) аналитична в В& и выполняются неравенства
1/1* < г, |/'|*<г'.
Здесь г, г' — положительные постоянные, f = df/dz и г < о, г' < 1.
Тогда существует аналитическая функция (р : В^-т —► С такая,
что решение уравнения (2.2) имеет вид
X = X* + ^(ж*),
причем \(р\а-г < т.

2. Сходимость нормализующей процедуры
71
Доказательство. Для фиксированного х* Е В&-г положим F(x) =
— х* — f(x). Покажем, что отображение F : В& —t B& сжимающее в
стандартной метрике С. Действительно, для любых х\,Х2 € В& имеем
|F(xi) - F(x2)\ = |/(xi) - f(x2)\ < r'|xi - x2|.
Таким образом, отображение F(x) имеет единственную неподвижную
точку х Е B«j, являющуюся решением уравнения (2.2). Функция <р
аналитична, так как / аналитична. Остается воспользоваться равенством
х* - х = f(x) = -<р(ж*). ■
Ключевую роль в доказательстве сходимости нормализующей
процедуры играет анализ решения гомологического уравнения (1.5).
Лемма 3.3. Пусть \а\^р = S, а функция h! такова, что
ti{0) >ti0>0 и \ti(z) - h'{0)\a2 = x-
Предположим также, что выполняется неравенство
2Х < h'0. (2.3)
Тогда для любого s < min{a, p) решение уравнения (1.5)
удовлетворяет оценке
\b\as,P-s<ci6a2s-\ (2.4)
где с\ > О — постоянная.
Доказательство. Любая функция
f(x,y,t)= £ 1а(ЬхауРе**
может быть представлена в виде
A,7€Z
где функции /д?7 выглядят следующим образом:
/Д,7 = 5Z !<*Р1Х"УР-
а-0=А

72
Глава 3. Динамика в окрестности сепаратрис
Легко заметить, что (1.5) равносильно следующей системе
независимых уравнений:
ti{xy)AbAn{x,y) + гтЬд|7(я,у) + ад,7(я,у) = О,
где А и 7 пробегают всевозможные целые значения. При А = 7 — О
имеем Ьо,о = [Ь] = 0. При А2 + у2 ф 0 выполняется равенство
Ь^ ~ 'i1 + Ah'{xyY [2'b)
Используя леммы 2.1, 2.2, получаем неравенства
\ааМ\ <5<j-Q-Pe-pM.
С помощью этих неравенств можно оценить функции адл:
|2д>7и-.< £ ^_а-/?е-"Ы(а-5Г^<
а-0=А
5а (о - 5\Н
_ да /а — 5\ I
5 V а /
е-рЫ.
5 \ а
Знаменатели в выражениях (2.5) оцениваются следующим образом:
|гТ + Ah'(z)\a2 > yV + (АЛ'о)2 - Д* > 2/сь
где согласно (2.3) можно взять ci = 2/mm{l,h'0/2}.
Теперь мы можем написать оценку для функций 6д)7:
|Ьд,7|ог-5 < -тг-[——)
|Д|
-Pl7l
Суммируя эти неравенства, получаем
Д2+72^0
что и требовалось. ■
iw.< £ ^(2^)|4|.-м<^

2. Сходимость нормализующей процедуры
73
Доказательство индуктивной леммы состоит из несколько
громоздкого набора совершенно стандартных прямых оценок. Сначала
заметим, что равенство h'(0) = /i'*(0) следует из того, что оба указанных
числа равны (27г)-1 ln/i, где /i — старший мультипликатор
периодического решения.
Так как условия леммы 3.3 выполняются, функция b удовлетворяет
неравенству (2.4). Теперь получим оценки для функций
Переменные х* и х связаны равенством (2.2), где f(x) = — 6^(2;, у*, t).
В силу неравенств (2.1) условия леммы 3.2 выполняются с а = а — 2s и
г = 5. Следовательно, функция х = х(х+, у*, t) определена и аналитична.
Пользуясь соотношениями (1.3), (1.4), получаем
|** \сг—5s,p—s S |fy/*x* \сг—4s,p—s \%* ХуХщ у*, t)\cr—5s,p—s>
I-ft |<т—5s,p—s S |^x*x* |<т—4s,p—s \%* ~ x{x*^y*^*)\cr—5s,p—s-
Применение оценки Коши дает следующие неравенства:
\R{x)\a-5s,P-s < ci<foV5 • dSah-* = c?52aV9,
\R(y)\*-5s,p-s < 2ClSa2s-5 • ClSa2s-4 = 2c^2aV9.
Функцию R\ оцениваем следующим образом. Согласно определению
Ri(x*,y*,t) = Rn + R12 + Ru + Ru,
где
Rn = h{xy) - Л(ж*у*) - ti(x*y*){xy - z*y*),
Rn = by. (ж, у*, *)Ьж(ж, у*, *),
Д13 =-у* Д(х) (**,</*,*),
д14 = -^д(г/)(^,^).
Заметим, что при (ж*, у*) Е Za-ss,p-s в силу (2.1) справедливы
соотношения
|жу - я*у*| < |ж| |у - у*| + |у*| |ж - ж*| < 2ci5cr35~4 < 5.

74
Глава 3. Динамика в окрестности сепаратрис
Выполняются неравенства
\Rn\<T-4s,p-s < 2"1|/l//|flr_3Sjp-s ' \ху - Z*j/*£_3ejp_e <
< 2-1Х8-1(2с16<т38-4)2 = 2Хс2162а6з-9,
\R\2\cr-3s,p-s < с1$ G s 5
|^i3U-55)p-5<c^2a55-9,
\Ru\a-bs,p-s<2c\82abs-\
Таким образом,
\Ri\a-4s,P-s < (2Xcr2 + s + 3a)c^Vs"9.
Величины i?2 и Лз оцениваются следующим образом:
\-^2\a—4s,p—s Si \ax+ \cr—3s,p—s \% ~ %*\cr—3s,p—s "b
+ \a>y*\cr-3s,p-s \У - V*\(T-3s,p-s <
< Ss~l • 2ciSa2s-4 = 2ciS2a2s-5,
|#3|cr-4s,p-2s < |^|cr-3s,p-2s |z ~ £*|cr-3s,p-2s <
< (cifcrV4)2.
Итогом проведенных вычислений является неравенство
\R\a-5s,p-2s < (1+ X°)c2&2°bS-\ (2.6)
где С2 — некоторая постоянная.
Заметим, что
|[#]|cr-5s,p-2s < \R\cr-5s,p-2s- (2.7)
Это неравенство следует из того, что функция [R] может быть
получена из R в результате двух усреднений: первого — по времени и
второго — по углу 1?, где х = у/хуе1^, у = у/ху е_г1?. Лемма 3.1 следует из
оценок (2.6), (2.7). ■
3. Метод Пуанкаре-Мельникова
Пусть опять имеется неавтономная система с гладким гамильтонианом
Н = if(x,y,t), где пара канонически сопряженных координат (ж, у)
задает точку некоторой двумерной области D, а зависимость функции Н

3. Метод Пуанкаре-Мельникова
75
от времени t считается 27г-периодической. Область D можно считать
подмножеством плоскости. В ряде случаев переменная х оказывается
угловой: х — х mod 27г. Тогда D является подмножеством цилиндра
Rxl
Предположим, что гамильтониан Н также зависит от параметра
е Е (—£о>£о): Н = Н(х,у, t,£). Систему, соответствующую нулевому
значению параметра, будем считать интегрируемой и назовем
невозмущенной. Интегрируемость понимается в смысле наличия гладкого
локально непостоянного первого интеграла. Для простоты
предположим, что невозмущенный гамильтониан Но = if(x,y,t,0) не зависит
явно от времени. Тогда можно взять в качестве первого интеграла
функцию Щ.
Пусть zq = (хо,уо) — гиперболическое положение равновесия
невозмущенной системы. Матрица, задающая линеаризацию системы
в окрестности точки zo, имеет ненулевые вещественные
собственные значения ±А, А > 0. В расширенном фазовом пространстве
DxT = {ж, у, t} положению равновесия zq соответствует
гиперболическое 27г-периодическое решение 7о — {Х->У^} — {#o>2/(h* mod27r}. Его
мультипликаторы имеют вид е±2пХ.
Как было показано в параграфах 3.1-3.2 (см. замечание 3.3), всякое
гиперболическое периодическое решение системы с полутора
степенями свободы порождает двумерные асимптотические поверхности —
сепаратрисы Vs>и. В случае решения 70 имеем
г,и = г.,« с {{ху) . щ{ху) = я0(хо,уо)} х Т.
Если уровень энергии {Щ — Но(хо,уо)} компактен, то устойчивая и
неустойчивая сепаратрисы, как правило, совпадают: Г§ = Гд.
Согласно предложению 3.1 при малых £ ф 0 возмущенная система
имеет гиперболическое периодическое решение 7е, близкое к 7о-
Однако соответствующие асимптотические поверхности Гри, вообще
говоря, перестают совпадать1 .
1 Явление расщепления сепаратрис обнаружил Пуанкаре. История этого
чрезвычайно важного открытия вкратце следующая. На конкурс в честь 60-летия
Оскара — короля Швеции и Норвегии — Пуанкаре подал свой мемуар о задаче трех
тел. Мемуар выиграл приз и был представлен к публикации в престижном журнале
Acta Mathematica. Неожиданно оказалось, что работа содержит серьезную ошибку:
асимптотические поверхности в задаче предполагались сдвоенными. Исправление
этой ошибки привело Пуанкаре к открытию явления, легшего в основу современной
концепции хаоса в детерминированных динамических системах. Подробности этих
событии изложены в книге [45].

76
Глава 3. Динамика в окрестности сепаратрис
В настоящем параграфе мы вводим основной инструмент
исследования расщепления сепаратрис в системах, близких к интегрируемым, —
интеграл Пуанкаре-Мельникова [84, 28]. Пусть множество (Г^ ПГ§)\7о
непусто. Пусть Го — одна из его компонент связности. Тогда
множество Го является двумерной поверхностью, диффеоморфной цилиндру.
Поверхность Го расслоена на гомоклинические 2 решения вида
(x(t + г), y(t + г), t mod2тг),
где t — время на решении, г — параметр, нумерующий решения, а
(x(t),y(t)) — решение автономной системы с гамильтонианом Hq, го-
моклиническое к положению равновесия z$.
Возмущенные сепаратрисы 3 расслаиваются на решения вида
(xpu(t + t,t),yl>u(t + r,r),t mod2тг),
xl'u(t,r)=x(t), Го'и(',т)=у(*), [-}
где t — по-прежнему время на решении, а г — параметр.
Решения (3.1), соответствующие индексу «и» (соответственно «5»)
являются асимптотическими к j£ при t —> — оо (соответственно при
t -> +oo).
Рассмотрим на невозмущенной сепаратрисе Го следующие
дифференциальные операторы:
0s>u ~ \де \е=оХе )дх + \де \е=оУе ) ду-
Операторы dSjU соответствуют дифференцированию вдоль векторных
полей, преобразующих в первом приближении по е поверхность Го
в Гри.
Положим Н£ = Но(х,у) + eHi(x,y,t) + 0(e2) и определим функцию
/оо
{Я0, Ях }(£(* +т), у (* + т),*)<Й, (3.2)
-ОО
называемую в дальнейшем интегралом Пуанкаре-Мельникова.
Интеграл быстро сходится вследствие гиперболичности периодического
решения 7о- Функция I 27г-периодична по т, что легко проверяется путем
замены переменной интегрирования t = i — т.
2 Т.е. двоякоасимптотические к 70 •
3 Точнее, их куски, являющиеся возмущениями поверхности Го-

3. Метод Пуанкаре-Мельникова
77
Теорема 3.3. Для любых вещественных гиг выполняется равенство
(dsH0 - диН0)(Цт + т),у(г + т),г) = /(г). (3.3)
Величину, стоящую в левой части равенства (3.3), естественно
считать поделенным на е первым приближением расстояния между
возмущенными сепаратрисами в окрестности точки (х(г + т),у(г + г),
г mod27r), где расстояние измеряется функцией if0- На рис. 3.1
изображена часть сечения расширенного фазового пространства
D х Т = {x,y,t} плоскостью t — г — const. Жирные кривые
соответствуют сепаратрисам Го и Гри. Тонкие горизонтальные линии
являются линиями уровня функции if о- Координаты изображенных
точек следующие:
А = (х(т + т),у(г + т)), Л^ = (£Г(г+ т,т),уГ (г+ т,т)).
Таким образом, имеем
-e{H0(As£) - Н0(Аие)) = (dsH0 - диН0)(А,т) + 0(e) = 1(т) + 0(e).
Здесь первое равенство следует из определения дифференциальных
операторов d5jU, а второе вытекает из (3.3).
Рис. 3.1
Го
Следствие 3.1. Если 1(т) ф 0, то сепаратрисы Гри расщепляются в
первом порядке по е.
Доказательство теоремы 3.3. Пусть d/dt — производная
вдоль решений возмущенной системы. Тогда
—H0{x,y,t) = {H,H0}{x,y,t).
(3.4)

78
Глава 3. Динамика в окрестности сепаратрис
Возьмем в качестве аргументов функций (3.4) (x^(t+T, т), у^(£+т, т), t)
и продифференцируем равенство (3.4) поев точке е = 0:
dtde
H0(x?(t + T,T),y?(t + T,T),t) = {HuH0}(x(t + T),y(t + T),t).
е=0
(3.5)
Левая часть равенства (3.5) равна
-(duH0)(x(t + T),y(t + T),t).
Интегрируя (3.5) по времени, получаем
/г
{Ho,Hx}{x(t + T),y{t + T),t)dt.
-ОО
(3.6)
Здесь мы воспользовались соотношением
lim duH0(x(t + T),y(t + T),t)=0,
t-+—oo
которое выполняется для любого т, так как
lim (ж(* + т),у(* + т)) = (ж0,уо) и dH0(x0,y0) = 0.
£—>• — оо
Аналогично имеем
/+оо
{H0,Hi}(x(t + T),y(t + T),t)dt.
(3.7)
Сложив равенства (3.6) и (3.7), получаем соотношение (3.3). ■
Простые нули функции / соответствуют гомоклиническим
решениям возмущенной системы. Точнее, справедливо следующее
Предложение 3.2. Пусть выполнены соотношения
1Ы = о, §Ы*о.

3. Метод Пуанкаре-Мельникова
79
Тогда при малых е Ф О система имеет двоякоасимптотическое к j£
решение вида
%7*{t) = {x{t + r0),y{t + r0),tmod27r) + 0{e).
При этом поверхности Г^ и Г* пересекаются вдоль j£,r0 трансверсаль-
но, а угол между ними в точках кривой у£,т0 имеет порядок4 е.
Доказательство. Для того чтобы построить решение j£,t0> найдем
постоянные rs'u = ts>u(s) такие, что решения возмущенной системы
(x£'tt(t + rs'u,rs'u),ypu{t + rs'u,rs'u), t mod2тг)
совпадают. Положив t = О, получаем векторное равенство
(*?(tV"),S?(tV)) = (х*£(т*,т°Шт°,т°)). (3.8)
Рассмотрим эти векторы в удобной локальной системе координат (р, К)
на D в окрестности сепаратрисы IV
В качестве h возьмем функцию Но, а координату р будем считать
канонически сопряженной с /i, т. е. dp Л dh = dx Л dy. Указанное
условие не определяет р однозначно, но произвол в выборе этой
переменной существенной роли не играет. Координату р построим следующим
образом. Пусть С Е D — кривая, содержащая точку Aq = (ж(г),у(г))
и трансверсальная линиям уровня функции if о- Значение параметра г
никакой роли не играет. Пусть В Е D — любая точка, лежащая
достаточно близко к Aq. Рассмотрим решение системы с
гамильтонианом if о, имеющее начальное условие в точке В. Некоторый отрезок
этого решения, целиком лежащий в малой окрестности точки Aq,
пересекает кривую С. Обозначим эту точку пересечения символом В' и
положим
р(В) = г + время движения вдоль решения от В' до В.
В частности, получаем равенства
p\c = r, p(x(t),y(t))=t. (3.9)
4 Для определения угла между сепаратрисами необходимо зафиксировать метрику.
В фазовом пространстве DxT1 нет естественной метрики. Поэтому угол между
сепаратрисами — далеко не лучшая характеристика их расщепления. С другой
стороны, утверждение «угол имеет порядок £» не зависит от выбора метрики. Отметим
также, что величина (угол между Г£ и Г*) / е не является равномерно ограниченной
на всей кривой 7с, т0 при е -> 0.

80
Глава 3. Динамика в окрестности сепаратрис
Векторное уравнение (3.8) эквивалентно паре скалярных:
Ф!(ЛЛв) = о, ф2(ЛЛ£) = о, (з.ю)
Ф1 = р(х°£(т°,т>Шт>,Xs)) - р(х?(т\т"), £(Лт")),
Ф2 = в"1 (h(xs£(Лт°),ШтзУ)) - h(x*(r\т"),у?(т\т"))).
Заметим, что функция Ф2, доопределенная по непрерывности в точку
е = 0, является гладкой по е.
Согласно определению координаты р и равенствам (3.1), (3.9) имеем
Фх = р(я(т'),у(т»)) - р(х(т"),у(т")) + О(е) = т* - ти + 0(e).
Функцию Ф2 можно представить в виде
Ф2 = 1(Яо(^(г5,г5),у|(г5,г5)) - Я0(£(т5),у(т5))) -
- \(Но(^ЛЛт^тЛтП) -Н0(х(ти),у(ти))) =
= д5#0(£(т5),у(т5),0) - диН0(х(ти),у(ти),0)+О(е) =
= 1(ти) + 0(т8-ти) + 0(е).
Итак, система (3.10) принимает вид
т8 -ти + 0(e) = 0, 1(ти) + 0(rs - ти) + 0(e) = 0. (3.11)
При е = 0 система (3.11) имеет решение ти = rs = то. Более того,
<Э(ФьФ2)
д(ти,т8)
Таким образом, существование гомоклинического решения 7е,т0 следует
из теоремы о неявной функции.
Несмотря на то что при е = 0 поверхности Vs и Ги совпадают, в
координатах (р, e~lh) сепаратрисы пересекаются трансверсально даже
при е = 0. В любой не зависящей от е метрике на D получаем, что
расщепление сепаратрис (например, угол между ними в точках
кривой 7е,То) имеет порядок е. ш
(ти.т8.£) = (тп.тп.О)
-%ы*о.

3. Метод Пуанкаре-Мельникова
81
Расщепление асимптотических поверхностей Ts'u удобно измерять
каким-нибудь симплектическим инвариантом, не требующим для
своего определения введения дополнительных структур типа метрики.
Такие инварианты можно вводить разными способами (см., например,
[64, 38]). Одна из простейших возможностей состоит в следующем.
Рассмотрим сечение Ег расширенного фазового пространства D хТ
плоскостью Пг = {(x,y,t) : t = г mod27r}. Пусть A(Q — ориентированная
площадь области Т>г(() С Ег, заключенной между отрезками кривых
Гри = Ts'u П Пг, идущими из гомоклинической точки (GSrB
соседнюю гомоклиническую точку £' (см. рис. 3.2). Площадь определяется
интегралом
/ dx Л dy = — / ш.
JDr(0 JDr(0
Направление движения по кривым Гри от £ к £; считаем
положительным в смысле естественной ориентации этих кривых. Величина A(Q
положительна, если обход границы области Vr(Q в положительном
направлении вдоль кривой rjf и в отрицательном направлении вдоль Г£
согласован с ориентацией области D. В противном случае A(Q < 0.
Рис. 3.2
Предложение 3.3. Величина A(Q не зависит от г и определяется
лишь гомоклиническим решением, на котором лежит точка Q.
Доказательство. Пусть точки (j Е SSl и £2 € SS2 лежат на одном
гомоклиническом решении. Тогда соответствующие им точки £{ Е SSl
и ^ € ^s2 также лежат на одном гомоклиническом решении. Таким
образом, область V\ = PSl(Ci) может быть получена из Т>2 = £>s2(C2)
сдвигом gS2~Sl : D х Т —> D х Т вдоль решений системы на время
t = 52 - 5ь

82
Глава 3. Динамика в окрестности сепаратрис
Симплектическая структура и = dy Adx продолжается с области D
до замкнутой 2-формы и = dy Л dx на всем расширенном фазовом
пространстве5. Отображение gS2~Sl сохраняет форму ш. Следовательно,
выполняется равенство
/ ш= [ (9°>-°>Уй= [ й= Г й,
что и требовалось. ■
Пусть Тг : £г —> Ег — отображение за период в рассматриваемой
гамильтоновой системе.
Предложение 3.4. Предположим, что симплектическая структура
является точной формой. Пусть гомоклинические точки £ = £о>
Сь С2> •••) Ск — ^г(С) получены в результате пересечения отрезков
устойчивой и неустойчивой сепаратрис, расположенных на Гри
между £ и Tr(Q. Предположим, что к < оо. Тогда Xlj=o ^(Cj) — О-
Следствие 3.2. Выполняется неравенство к > 1.
Доказательство. Согласно предложению 1.2 отображение ТГ
является точным симплектическим. Это означает, что первообразная v
симплектической структуры шг = w\zr преобразуется следующим
образом: T*v = v + z/, где 1-форма z/ точна на £г.
Точка zr = (7e(r)>r) € ^г является неподвижной для Тт.
Рассмотрим замкнутую кривую Ло, состоящую из куска неустойчивой
сепаратрисы T}f от точки zT до £ и куска кривой Г£ от £ до zT (см. рис. 3.2).
Образом кривой Ло при отображении Тт является кривая Л, состоящая
из куска неустойчивой сепаратрисы TJf от точки zr до Тг(£) и куска
кривой Г£ от Тг(£) до zr.
Справедливы равенства
Г *= [ (* + */) = / т;и= [ и= f
JAo «/Ло JAo JTr(Ao) J A
V.
л
Следовательно, /Л и — /л v — 0. Согласно формуле Стокса эта разность
равна (возможно, с точностью до знака) сумме X)j=o ^(Cj)- ■
Форма и имеет вид и = рг*ы, где рг : D х Т -> D — проекция на первый
сомножитель.

3. Метод Пуанкаре-Мельникова 83
Заметим, что если углы между кривыми Гри в точках £ и £' на Ег
имеют порядок е, то согласно предложению 3.2 координаты точек С и С
на £г можно представить в виде
C = (x(r),y(r)) + 0(s), <;' = (х(т'),у(т')) + 0(е), (3.12)
где т < т' — два соседних решения уравнения I = 0, в которых
производная dl/dr отлична от нуля.
Предложение 3.5. При малых значениях параметра е выполняется
равенство
ГТ'
Л(0 = е / l{t)dt + 0{e2).
Доказательство. Воспользуемся обозначениями, введенными при
доказательстве теоремы 3.3. Кривые Гри имеют вид
xs£'u(r + r,r), у1>и(г + т,т) (3.13)
(см. (3.1)). Определим постоянные rSjU, r'su согласно равенствам
S = \хе V + rs,U5 Ts,u)4 Ve v "+" Ts,w> Ts,u))->
С = (^'*(r+ <„,<„), й'«(г + <„,<„)).
В координатах (р, К) уравнения кривых Гри оказываются
следующими:
(М) =
= (г+т+0(е),Но(х(г+т),у(г+т))+ед31иНо{х(г+т),у{г+т),г)+0(е2)).
Согласно (3.12) величины r+rSjU, r+r's и равны соответственно т+0(е),
т' + 0(e). Таким образом,
Л(0 = ejT {ds - ди)Н0(х(г + \),y(r + A),r)d(r + А) + 0(е2) =
Г'
= е l{t)dt + 0{e2),
что и требовалось. ■

84
Глава 3. Динамика в окрестности сепаратрис
4. Сепаратрисное отображение
Сепаратрисное отображение введено в работах физиков (см.,
например, [51, 61, 17]) для изучения динамики в окрестности сепаратрис
двумерного симплектического отображения или гамильтоновой
системы с полутора степенями свободы. В этом параграфе мы получим
явные формулы для таких отображений, используемые далее для
исследования стохастического слоя. Особенно
простой и универсальный вид сепаратрисное
отображение имеет в системах, близких к
интегрируемым.
Пусть симплектическое отображение Т
определено на двумерной области jD,
имеет гиперболическую неподвижную точку £ и
(<7, р) — соответствующие нормальные
координаты, определенные в теореме 3.2. Пусть
сепаратрисы, выходящие из точки z,
пересекаются, образуя фигуру типа восьмерки,
см. рис. 3.3. Одну из петель восьмерки
будем условно называть верхней, а другую —
нижней.
Замечание 3.6. Далее мы считаем, что нормальные координаты
выбраны таким образом, что внутри верхней петли восьмерки q > О и
р > О, см. рис. 3.3.
Нормальные координаты, первоначально определенные лишь в
малой окрестности гиперболической точки, можно продолжить вдоль
сепаратрис с помощью следующей индуктивной процедуры. Пусть
координаты точки z Е D известны и равны (<7,р). Тогда координаты точек
T(z) и T~l(z) определим как L(q,p) и L_1(g,p), соответственно, где
L(q,p) = (qM(pq),p/M(pq))
— отображение Т в нормальных координатах, а функция ЛЛ
определена в теореме 3.2. Как уже отмечалось ранее, можно считать, что
fi = M{0) > 1.
Вдали от гиперболической точки 7 получаем по крайней мере два
различных продолжения нормальных координат (итерациями Т и ите-

4. Сепаратрисное отображение
85
рациями Т 1). Таким образом, имеем следующие отображения склейки
(см. рис. 3.4):
U+ : {(<7,р) : Р мало, q > О, q ~ 1} -
£^~ '• {(<7>Р) : Р мало, q < О, g ~ 1} -
Отображение С/"1" соответствует
верхней петле восьмерки, a J7~ —
нижней петле. Отображения L и С/^,
очевидно, коммутируют:
{(q,p) :р>0, р~ 1, дмало},
{(q,p) :р < О, р~ 1, q мало}.
(4.1)
С/± о L - L о f/d
(4.2)
Рис. 3.4
Имея явные формулы для и±,
динамику отображения Т в
окрестности сепаратрис можно изучать в
нормальных координатах.
Действительно, нормальные координаты
осуществляют
вещественно-аналитическое отображение
крестообразной области С, изображенной на
рис. 3.4, на окрестность сепаратрис
симплектоморфизма Т. Пусть
начальные условия заданы в нормальных координатах. Для построения
траектории системы можно сначала применить несколько раз
гиперболический поворот L. При этом итерации точки начнут удаляться
вдоль «северо-восточного» или «юго-западного» рукава креста и в
конце концов попадут в область определения одного из отображений
склейки. После применения отображения С/"1" или U~ опять можно
применять отображение L и т. д. При этом ясно, что почти вся
информация о динамике содержится в отображениях склейки, так как
формулы для гиперболического поворота рля различных систем имеют
несущественные различия.
Отображения склейки, соответствующие интегрируемым системам,
выглядят довольно просто. А именно, справедливо следующее
Предложение 3.6. Предположим, что отображение Т имеет
аналитический первый интеграл: F : D —> Ж (т. е. F = F о Т). Тогда в
нормальных координатах F = F(qp). Более того, если критическая

86
Глава 3. Динамика в окрестности сепаратрис
точка q = р = 0 функции F невырождена, то отображения склейки
сохраняют произведение qp и имеют вид
^(q.p) = (qp(a±/q + pK±(qp))~\a2±/q + pn±{qp)).
Здесь а± — положительные постоянные и функции k±(z) аналитичны
в точке z = О.
Замечание 3.7. Наблюдение о виде первого интеграла в нормальных
координатах принадлежит Мозеру [80]. Зиглин [18] использовал это
наблюдение для исследования проблемы интегрируемости.
Доказательство предложения 3.6. Соотношение F = F(qp)
следует из разложения Тейлора равенства F = F о Т в точке q = р = 0.
Невырожденность критической точки q = р = 0, в частности,
означает, что существует обратная функция qp = qp(F). Следовательно, qp —
первый интеграл. Полагая U+(q,p) = (Q,P), получаем
qp = QP, dqAdp = dQA dP.
Из этих равенств вытекает следующее дифференциальное уравнение в
частных производных:
рдР/др - qdP/dq = Р.
Решения, аналитические при р = 0, имеют вид Р = q~la(qp).
Остается показать, что а(0) > 0. Это равенство следует из принятого в
замечании 3.6 соглашения о выборе нормальных координат (см.
также (4.1)). ■
Предположим, что отображение Т = Т£ является гладким по е
возмущением интегрируемого отображения То. Будем считать, что То
удовлетворяет следующим условиям:
1. То имеет гиперболическую неподвижную точку ?о-
2. ?о является невырожденной критической точкой первого
интеграла.
3. Сепаратрисы гиперболической точки ?о попарно сдвоены.
Рассмотрим гладкое семейство % гиперболических точек
отображений Т£ и соответствующие сепаратрисы. Функция М. становится
зависящей от е, а отображения склейки имеют вид
U^iq.p.e) = {qp{o%.{e)/q+pK±(qp,e))~ ,a2±(e)/q + pK±{qp,e)) +
+ £{?±{q,p,£),g±{q,p,£))- (4.3)

4. Сепаратрисное отображение
87
Функции а±, к±, /± и 5± являются гладкими по е. Согласно
равенствам (4.2)
Т±(яМ,р/М,е) = M?±(qtpte), g±(qM,p/M,e) - M~lg±{q,p,e).
(4.4)
Предложение 3.7. Предположим, что отображения U±
аналитичны по q up в областях
{q0 <±q< Q0, \p\ < Р0} (4.5)
для некоторых положительных постоянных qo, Qq и Pq. Тогда
выполняются следующие равенства:
Т±(я,Р,е) = я1±(я,Р,е), 9±(q,P,e) = Р9±(я,Р,е)- (4.6)
Функции f±, g± аналитичны в областях (4.5), причем
1±(яМ,р/М,е) = /±(g,p,e), g±(qM,p/M,e) = g±(q,p,e). (4.7)
Простое доказательство предложения 3.7 получается с
использованием (4.4), если разложить функции /±, д± в ряды Тейлора по р.
Положим
/±(£,0,0) =«i2^±(ln|e|/ln/z), p = M(0,0).
Функции v± аналитичны и согласно (4.7) периодичны с периодом 1. В
силу равенств (4.3) и (4.6)-(4.7)
U?{q,p) = {otl2q{qp + ev±{\n\q\l\nix)),a\lq) +
+ (0(\р\+е)2,0(\р\+е)). (4.8)
Полагая формально е = 0{р) = 0, получаем интегрируемое
отображение (функция qp — аналитический первый интеграл).
Для того чтобы определить сепаратрисное отображение, мы
отождествляем пары точек z\ и z<i на области С (см. рис. 3.4), координаты
которых (<7i,pi) и (q2,P2) связаны соотношением
^2 = Mn(qipi,e)qi, р2 = M~n(qiPi,e)pu neZ (4.9)
(параметр е считается фиксированным). После такого отождествления
динамика в окрестности сепаратрис определяется только
отображениями склейки. Мы считаем, что аргумент р в отображениях склейки
имеет порядок е, a q порядка единицы.

Глава 3. Динамика в окрестности сепаратрис
Введем переменные действие-угол. Для этого положим
/ = ЫМ • e~lqp, (р = 1п|9|/1пЛ4. (4.10)
Легко проверить, что dl Л dip = е~1(1 + 0(qp)) dp Л dq. В переменных
(J, ip) отождествление (4.9) принимает вид (р = (р mod 1.
Чтобы восстановить информацию о знаке переменной q (утерянную
в (4.10)), добавим знак + или — к системе координат (J, ср) в
соответствии со значением sign(g). В переменных (J, <р, a), a Е {+, —},
динамика задается отображением S£, которое и называется сепаратрисным.
Отображение S£ получается из формул (4.8) и имеет вид
S£(I,<p,a) = (J,</>,p),
J = I + ]пц • i/a((p) + 0(e),
1_
In /i Lx" a£ In /i
p = asign(J).
Отметим, что похожие формулы содержатся в [14].
Удивительным свойством сепаратрисного отображения является то,
что в главном приближении его зависимость от \пе оказывается
периодической. Действительно, пренебрегая малыми слагаемыми 0(e),
получаем
J = / + ln/i- va((p),
ф = (р +
In -j-— + ]n\J\ + 0(e)
(4.11)
где мы положили
^ = у, + г + Щ, (4.12)
In/л
p = asign(J),
1 1 £
г = In
In /i a£ In /i'
Это отображение, очевидно, не меняется при замене е на ец4 для
любого целого п. Ранее это свойство сепаратрисного отображения было
отмечено в работе [104].
По нашему мнению, система (4.12) представляет собой наиболее
простую и адекватную модель для изучения динамики в окрестности
сепаратрис двумерного отображения.
В симметричном случае z/+ = z/_, a+ = a_ первые два
уравнения (4.12) не зависят от а и при желании могут рассматриваться
отдельно от третьего.

5. Сепаратрисное отображение и интеграл Пуанкаре-Мельникова 89
При J = I -\-\nfji • иа((р) = О сепаратрисное отображение (4.12) не
определено (а обратное к нему не определено при I = 0).
Отметим также, что при больших значениях переменной «действие»
сепаратрисное отображение близко к интегрируемому. Действительно,
полагая I = /о(1 + ^)5 J — ^о(1 + ^)5 где |/о| — большой параметр, а
переменные и и v малы, переписываем равенства (4.11):
v = u + O(\I0\~1 + \e\),
ln|l + v|
ln/i
p = asign(J0).
При е = Iq1 = 0 полученное отображение имеет первый интеграл и.
С помощью сепаратрисного отображения легко получить
утверждение о неинтегрируемости возмущенной системы. Действительно, как
было отмечено выше (предложение 3.6), любой аналитический первый
интеграл в нормальных координатах является функцией от qp или в
других обозначениях — от действия I. Следовательно, любое
интегрируемое отображение S£ должно сохранять функцию I. Таким образом,
согласно (4.11) необходимыми условиями интегрируемости
возмущенного отображения Т£ являются равенства v± = 0 (ср. с [18]).
5. Сепаратрисное отображение и интеграл
Пуанкаре-Мельникова
Рассмотрим гладкое по е, |е| < £q, семейство симплектических
отображений Т£. Пусть То интегрируемо и удовлетворяет свойствам 1-3 из
предыдущего параграфа. В настоящем параграфе мы покажем, как
найти в явном виде сепаратрисное отображение в главном
приближении. Точнее, мы получим формулы рля параметров а± и функций и±.
Пусть F — первый интеграл отображения То, F(z(0)) = 0и
критическая точка ?(0) функции F невырождена. Пусть Г* : R —> {z Е D :
F(z) = 0} — верхняя и нижняя петли невозмущенной сепаратрисы,
параметризованные естественным образом:
Г0оГ±(0 = Г±(* + 1). (5.1)
Указанные параметризации не единственные. Ниже мы используем
естественные параметризации, определенные в замечании 3.8.

90
Глава 3. Динамика в окрестности сепаратрис
Во многих примерах функции Г^ удается выписать в явном виде.
В окрестности точки £(0) можно ввести канонические координаты
(ж, у) такие, что кривые Г±(<) удовлетворяют соотношениям
(ж, у) = (cifi1 + 0(fi2t), 0(fi2t)) при t -> -(X),
(X, У) = (0(1А-2%С*1А-1 + 0(fl-2t))uPH t -> +00,
где c+u > 0 и с^и < 0. Эти координаты можно получить линейной
заменой из любых канонических координат, определенных в окрестности
неподвижной точки ?(0). Постоянные cfu определены неоднозначно, но
только одна из них может быть выбрана произвольным образом.
Предложение 3.8. А. Величины cfc£, cjc~, cf/cj не зависят от
выбора переменных (х,у).
Б. Величины cfc£, c~c~ сохраняются при заменах параметризаций
t —> t + с^ на кривых Г*.
В. а2± = cfc±.
Следствие 3.3. Величины а± вычисляются, если известна
естественная параметризация невозмущенной сепаратрисы.
Доказательство предложения 3.8. Пусть (я7, у7) — другие
канонические координаты, удовлетворяющие соотношениям (5.2)
(вообще говоря, с другими постоянными cfu). Легко показать, что
х' = xcf + 0{х2 + у2), у' = у jd + 0(х2 + у2)
для некоторой положительной постоянной с7. Из этих равенств
вытекает утверждение А.
Меняя естественную параметризацию на Г+ (или Г"), мы
умножаем cf (соответственно cj) на положительную постоянную и делим на
эту же постоянную величину с+ (соответственно с~). Таким образом,
получаем утверждение Б.
Чтобы доказать утверждение В, заметим, что нормальные
координаты {q,p) также удовлетворяют соотношениям (5.2). Более того, в
нормальных координатах кривые Г^ имеют параметризации
(i) ^ = (^,0),
(ii) Г± = (0, cf/*"').

5. Сепаратрисное отображение и интеграл Пуанкаре-Мельников а 91
Отображения склейки U0 из (4.3)|е=о преобразуют параметризации (i)
в (и):
(0,с^-г) = и±(с±ц\0) = (0,с4/(с±^)).
Из этих равенств следует утверждение В. ■
Замечание 3.8. Пусть даны нормальные координаты (<7,р). Тогда
на Г^ существует единственная параметризация такая, что
выполняются соотношения
(i) ^ = (±«±^,0),
(ii) r± = (0,±a±/i-f).
± - in j. -^ (5-3)
Указанная параметризация естественна, т.е. выполняется
равенство (5.1).
Функции v± можно получить из дискретного аналога интеграла
Пуанкаре-Мельникова. Положим
w(T0(z)) = -\ Te(z), v*±(t) = Y, dF-wiT^t + n)),
de
e=0
где выражение dF • w(A) обозначает применение ковектора dF к
вектору w в точке A Е D.
Так как критическая точка ?(0) невырождена, выполняется
равенство
F(x, у) = F0xy + 03(ж, у), F0 ф 0.
Предложение 3.9. Справедливы следующие соотношения:
v±(t) = Fol"±{t ~ lna±/ln/i).
Доказательство. Пусть А£ — гладкая кривая на D. Тогда
выполняется следующее полезное равенство:
d
1е=0
de
T?(A£)-dF
е=о de
A£ = signn.Y,dF.w(T*(Ao)), (5.4)
где k G {0,1,... , n — 1}, если n > 0, и k G { — 1, —2,... , n}, если п < 0.
Эта формула получается в результате прямого вычисления с
использованием соотношения
dF • {dT^v) =dF-v, (5.5)

92
Глава 3. Динамика в окрестности сепаратрис
v — векторное поле на D. Равенство (5.5) получается в результате
дифференцирования вдоль векторного поля v тождества F о Т™ = F.
Теперь предположим, что при всех |е| < во точка As£+
(соответственно А™+) лежит на верхней устойчивой сепаратрисе Г£+ (соответственно
« \* \j тли-\-\ aS,U-\-
на верхней неустойчивой сепаратрисе 1 " ), точки Ае" гладко зависят
от е и А%+ = As0+ = Ао. Заметим, что Г£+ = Г^+ = Г+. Используя
соотношения (5.4), рля любого натурального п получаем
71-1
de
,п d
dF
de
е-
Ase+ = dF ■
=0
d
de
е=0 d£
Следовательно,
Hi
i
е
Aue+ - —
e=0 e d£
e=C
e=0
e=0
T?(Al+)-'EdF-w{'lt{Ao)),
k=0
-1
ТГ(Аи£+)+ £ dF-w(T0k(A0)).
k=—n
)+oo
= £ dF.w(T*(A0)). (5.6)
U— —
Здесь мы использовали соотношение
lim —
п—юо de
е=0
Т?(А*£+) = lim —
n-юо de
ТГ{Аие+).
е=0
Теперь вычислим левую часть (5.6) другим способом. В нормальных
координатах (g,p) = (q(e),p(e)) кривые А£+ и А^ выглядят следующим
образом:
A»+ = (ju{e),0),
А? = (0,Ш),
Зи(е) > 0,
js(e) > 0.
Кривая А%+ может быть представлена в другом виде. Используя явный
вид отображений U+ (см. (4.3), (4.6)), получаем
А"+ = и+(Ш,0) = (cju(0)/+(ju(0),0,0) + O(e2),o?+/ju(0) + 0(е)).
Так как As0+ = А%+, имеем ju(0)je(0) = a\.
Нормальные координаты (<7,р) зависят от е. Этот факт
необходимо учитывать при вычислении в этих координатах любого из векторов

5. Сепаратрисное отображение и интеграл Пуанкаре-Мельникова 93
cL4e's /de. Тем не менее об этом можно забыть при вычислении
разности
d_
de
Эта разность равна
^1 _ (ej«(0)/+(j'«(0),0,0) + O(e2),a2+/ju(0) + 0(e) - ja(ej) =
= (b(0)/+(ju(0),0,0)J), (5.7)
где j — некоторая постоянная.
В координатах (q,p) = (g(e),p(e)) первый интеграл F удовлетворяет
соотношению
F(q,p)=F0qp + O(e)+O(q2P2).
Таким образом, согласно (5.7)
ASA =F0-(js(0), 0)-(iu(0)/+ 0u(0), 0,0) J) =
e=0 /
= F0js(0)ju(0)f+tiu(0),0,0) =
= F0i/+(lnjtt(0)/ln/i). (5.8)
Положим Aq = T+(t). Тогда
T0m(A0) = Г+(* + m), me Z. (5.9)
Из уравнений (5.3) следуют равенства
jtt(0) = а+/Д js(0) = а+ц-К (5.10)
Используя соотношения (5.6)—(5.10), получаем
F0i/+(lna+/ln|i + t)= ^ dF-w(r+(* + /c)) = i/|(t).
A;=—oo
Аналогично i*o i/_ (In a_ / In /i + t) = v*_ (t). ■
В приложениях Т£ часто оказываются отображениями Пуанкаре
для некоторой гамильтоновои системы с полутора степенями
свободы. Точнее, пусть функция Гамильтона Н : D х Ш х (—£о5£о) —> К
периодична по t:
H(z,t + T0,e) =H{z,t,e)
\£=Q
Ле de
As+.
e=0
dF
d_
de
e-0
Au+ d\
Ae dl\

94
Глава 3. Динамика в окрестности сепаратрис
для некоторого то > 0. Предположим, что Т£ — сдвиг на время то
вдоль решений соответствующей гамильтоновой системы, где
начальные условия берутся в момент времени t = 0. Предположим также, что
функция Hq(z) = H(z,t,0) не зависит от времени. Тогда, очевидно,
функции Г±(^/то) являются сепаратрисными решениями
невозмущенной системы (системы с гамильтонианом Но).
Предложение 3.10. Функции v*± можно представить в виде
интеграла Пуанкаре-Мельникова:
/+оо
{F,H'}(T±(t + s/To),s)ds, (5.11)
-оо
Я(ж,у,*,е).
где
H'(x,y,t)= —
е=0
Замечание 3.9. Если взять F = i?o5 то интеграл (5.11) совпадет
с 7(т0*) (см. (3.2)).
Доказательство. Пусть z£(t) = z0(t) + ezf(t) + 0(е2) — решение
системы с гамильтонианом Н и начальными условиями z£(0) = (ж,у).
Тогда, очевидно,
Т£(х,у) = z£(t0). (5.12)
Ниже будем считать, что точка (ж, у) не зависит от е.
Дифференцируя (5.12) по е в точке е = 0, получаем
w(T0(x,y)) = z,(r0). (5.13)
Первый интеграл F находится в инволюции с функцией if о-
Дифференцируя тождество -fjjF(z£(t)) = {H,F}(z£(t),t,e) по е и полагая е = 0,
получаем следующее равенство:
±(dF(z0(t))-z'(t)) = {H',F}(z0(t)). (5.14)
Положим Zo{t) = Г+(£о + t/то). Интегрируя (5.14), находим
dF(T+(t0 + 1)) • z'(to) - dF(T+(t0)) ■ z'(0) =
"T°{H',F}(T+(to + t/T0),t)dt.
-f
Jo

6. Сепаратрисное отображение для маятника 95
Пользуясь равенством (5.13) и тем, что z'(0) = О, получаем
dF • w(r+(t0 + 1)) = [T°{H',F}(r+(to + s/T0),s)ds.
Jo
Соответствующее равенство для Г~ находится аналогично. Из этих
равенств и определения функции z/J. следует предложение 3.10. ■
6. Сепаратрисное отображение для маятника
Рассмотрим в качестве примера маятник, точка подвеса которого
периодически колеблется вдоль вертикали. Гамильтониан системы
имеет вид
Н(х, у, t, е) = у2/2 + О2 cos х + e0(ut) cos x. (6.1)
Здесь х = х mod27r — угол между маятником и вертикалью, у —
соответствующий импульс, fi > 0 — «внутренняя частота» системы (fi2
равна ускорению силы тяжести, деленному на длину маятника), ш —
частота колебаний точки подвеса и параметр е пропорционален
амплитуде колебаний, умноженной на ш2. Закон колебаний точки подвеса
определяется 27г-периодической функцией в. Предположим, что
параметр е мал, а другие параметры в системе порядка единицы.
Отображение Пуанкаре в этой системе имеет гиперболическую
неподвижную точку q' = р' = 0. Несложно вычислить соответствующий
мультипликатор: fx(e) = е27гП/" + 0(e). Сепаратрисы Г± имеют вид
(ж, у) = (4arctge±2^m/tJ,±2fi/ch(27rm/o;)).
Переменные (ж, у) (см. (5.2)) следующие:
х = хуЩ2 + у/л/2П, у = -хуЩ2 + у/у/Ж.
Получаем cf = с+ = Ау/Ж и с~ = с~ = — Ау/^Ш. Следовательно,
согласно предложению 3.8 а± = 32fi.
Первый интеграл F имеет вид
F = Н0 = y2/2 + ft2cosx = Пху + 03(ж,у).
Имеем Fq = fi. С помощью предложения 3.10 получаем
/+оо
e{us)(ysmx)\r±{t+u)s/2n)ds.
-ОО

96
Глава 3. Динамика в окрестности сепаратрис
Прямые вычисления приводят к равенству
кш2 т'
fi2_sh(7rma)/(2fi))
„*(*\ V" 2ttw2 т2вт ^-2nimt (R 0ч
m6Z\{0}
где разложение Фурье функции 0 имеет вид
в(з) = J2 emeims.
meZ
Функции v+ = i/_ вычисляются с помощью предложения 3.9. В
частности, v± ф const при в ф const и, следовательно, при в ф const
возмущенная система не имеет аналитического первого интеграла для
любого малого е Ф 0.

Глава 4
Размер стохастического слоя
В настоящей главе мы собираемся использовать сепаратрисное
отображение для изучения стохастического слоя, возникающего в окрестности
сепаратрис системы, близкой к интегрируемой. Класс
рассматриваемых систем несколько шире, чем в предыдущей главе. В частности,
мы охватываем также случай экспоненциально малого расщепления
сепаратрис. По этой причине формулы для сепаратрисного отображения,
используемые в этой главе, более общие по сравнению с полученными
ранее.
1. Определения и результаты
Этот параграф имеет характер неформального введения. В нем мы
приводим определение стохастического слоя и основные результаты о
его измерении, не стремясь к полной строгости, а полагаясь в основном
на интуицию читателя.
Пусть Т — аналитическое
точное симплектическое отображение
двумерной области D на себя.
Предположим, что отображение Т
близко к интегрируемому (точный
смысл этому утверждению будет
придан в следующем параграфе).
Мы предположим также, что Т
имеет гиперболическую
неподвижную точку ?, сепаратрисы которой
ведут себя так, как показано на
рис. 4.1. Три инвариантные кривые
7± и 7о> ближайшие к сепаратрисам,
образуют границу стохастического
Рис. 4.1. Окрестность сепаратрис
гиперболической точки z

98
Глава 4. Размер стохастического слоя
слоя SC. Ширина w стохастического слоя — одна из важных величин,
характеризующих хаотические свойства Те в окрестности сепаратрис.
Ниже в этой главе мы покажем, что при некоторых естественных
предположениях выполняется следующая формула:
w/d~ 1/ln/i. (1.1)
Здесь d — ширина области D, ограниченной отрезками сепаратрис,
и /i > 1 — больший мультипликатор гиперболической неподвижной
точки ?. Символ ~ означает, что для гладкого семейства Те, 0 < е < £о5
аналитических симплектических отображений, где То интегрируемо,
Ci/ln/i(e) < w(e)/d(e) < C2/ln/i(e)
для достаточно малых е.
Если ln/i ~ 1, мы видим, что величины w и d имеют одинаковый
порядок. В то же время бывают ситуации, когда при малых е
мультипликатор /i близок к единице.
Рассмотрим, например, разрушение резонансной инвариантной
окружности интегрируемого отображения
Т0(а;,у) = (x + i/(y),y)
цилиндра Z = {rrmod 27Г, у} на себя при возмушении. Пусть для
простоты резонанс простейший, т. е. исходная окружность задается условием
у = уо, ^(уо) = 0. Возмущенное отображение выглядит следующим
образом:
Т£(х, у) = (х + i/(y) + ef(x, y),y + ед{х, у)) + 0{е2).
В перенормированных переменных (х mod27r,r/), у = уо + у/ет]
отображение Т£ имеет вид
(х,т?) -» (ж + yfev^r]- VIv(x)) + 0(e), (1.2)
где z/q — dv/dy| _0 и г; = —д(х, уо). Из условия точной симплектичности
вытекает равенство нулю среднего функции v по угловой переменной я,
следовательно, для некоторой периодической функции V(x)
выполняется равенство v(x) = dV(x)/dx. Отображение (1.2) отличается лишь в
порядке 0(e) от сдвига на время >/ё вдоль решений гамильтоновой
системы с гамильтонианом v'^rj1/2 + V(x).

1. Определения и результаты
99
Пусть хо — невырожденный локальный максимум потенциала V.
Тогда несложно показать, что отображение (1.2) имеет
гиперболическую неподвижную точку (х,г]) = (жо,0) + 0(у/е). Мультипликатор
/i > 1 в этой точке следующий:
/i = ехр (У-i/oVV) + О(е), V0" = d2V/dx\=xo < 0.
Таким образом, в указанной ситуации ln/i ~ у/ё и величина w
значительно больше, чем d.
Оказывается, в случае мультипликаторов, близких к единице,
постоянные С\ и Съ могут быть оценены в результате решения
некоторых задач, не содержащих малого параметра. В частности, если Т
удовлетворяет некоторому условию симметрии и выполняется одна
хорошо известная гипотеза о свойствах стандартного отображения, то
справедливо следующее равенство:
е-+о d(e) k0
где
ко = inf{A/ : для любого к > к' стандартное отображение
не имеет инвариантной кривой, гомотопной окружности I = 0}.
Постоянная ко = 0.971635... численно найдена в работах [68, 77, 83].
Соотношение (1.1) имеет инвариантный аналог. Пусть Л — сим-
плектическая площадь стохастического слоя и Av — площадь
области V. Тогда имеем1
Л Л2 ' (L4)
In /i
Соответствующий аналог формулы (1.3) (при тех же
предположениях) следующий:
Л In2 /i _ 8тг2
^"оЛрЬЛ^1 к0
lim -7—;—£т = —• (!-5)
1 Ниже мы считаем величины А и Av положительными, т.е. А = \JSC^\ и
Av = |/х>^|> гДе ш — симплектическая структура.

100
Глава 4. Размер стохастического слоя
В общем (несимметричном) случае дроби
w(e) In ц(е) Л(е) In2 /i(e)
ф) ' 2тгЛр(е)1п^1(е)
не имеют пределов при £ —>> 0, а осциллируют между двумя
постоянными.
Далее в этой главе мы сформулируем условия, при которых верны
оценки (1.1)—(1.5). Соотношения (1.1) и (1.4) следуют из теоремы 4.1.
Соотношения (1.3) и (1.5) вытекают из замечаний 4.3-4.4 при условии
справедливости гипотезы 4.2.
Частные случаи соотношения (1.1) были найдены физиками с
помощью некоторых неформальных рассуждений в терминах критерия
Чирикова [17, 61, 51], а также путем анализа сепаратрисного
отображения. Довбыш [13] доказал оценку w/d < const при условии ln/i ~ 1.
В статье [42] при том же условии получена оценка w/d > const.
Лазуткин [26] получил оценку (1.1) для сепаратрис стандартного
отображения.
2. Сепаратрисное отображение в общей ситуации
Предположим, что отображение Т принадлежит гладкому семейству
Те, 0 < е < ео 5 аналитических симплектоморфизмов. При е —> 0
отображение стремится к интегрируемому. Отметим, что предельное
отображение То не включается в семейство. Причина состоит в том, что
в некоторых важных случаях То оказывается тождественным, т. е. оно
может вообще не иметь сепаратрис. Далее считается, что семейство Т£
удовлетворяет следующим свойствам.
А. Каждое из отображений Т£ имеет гиперболическую
неподвижную точку Ъ{е), гладко зависящую от е. Сепаратрисы точки 2(e)
имеют вид восьмерки, см. рис. 4.1.
Из условия А следует, что функция M(qp,e), задающая
гиперболический поворот в нормальных координатах, положительна при
0 < е < £q и малых вещественных значениях переменной qp.
Б. Отображения склейки Uf- выглядят следующим образом:
Uf{q,p) = (qp{a±/q + pK±{qp,£))~l ,ot±/q + pK±(qp,e)) +
+ S(e)(qf±{q,p,e),pg±{q,p,e)), (2.1)

3. Теоремы о величине стохастического слоя
101
где к±, f± и д± апалитичпы по q,p и являются гладкими по 0 < е < во-
Функция 5(e), 0 < е < е$, — гладкая, положительная и lime_+o 5(e) = 0.
Напомним, что отображения Up коммутируют с гиперболическим
поворотом Le, так что выполняются равенства (4.7) из главы 3.
Положим
/±(е,0,е) =ai2P±(ln|e|/lnX(0,e),e). (2.2)
Функции Р±, очевидно, аналитические. В силу равенств (4.7) (глава 3)
v± периодичны по первому аргументу с периодом единица. Введем еще
одно предположение.
В. Функции V± имеют вид
"±(Ье)="±{$ + о{1) при е-» 0, (2.3)
где функции v± не обращаются тождественно в нуль.
Ниже нам иногда потребуется дополнительное условие симметрии.
Г. Отображения склейки Up совпадают, т. е. Up(q,p) =
= -U-(-q,-p).
Как следует из результатов параграфа 3.4, условия А, Б и
соотношение (2.3) выполняются для любого гладкого возмущения Т£
интегрируемого отображения То, где последнее удовлетворяет условиям 1-3 из
параграфа 3.4. В этом случае можно считать, что 6 = е, параметр е
может принимать также неположительные значения, а неравенство и± ф 0
является условием общего положения.
Как и в предыдущей главе, вводя переменные действие-угол
I = ln/i • S~lqp, <p = ln|g|/ln/i, (2.4)
получаем сепаратрисное отображение
S£(I,<p,a) = (J,V>,p),
J = I + ln/i • Va((p,e) + Slnfi • 0(1 + \I\/ln/i)2,
ф = v+ -±- fln-^— + ln|J| +60 (l + ^-)] , (2>5)
p = a sign J.
3. Теоремы о величине стохастического слоя
Теоремы 4.1-4.3 и другие утверждения, сформулированные в
настоящем параграфе, будут доказаны в параграфах 4.5-4.6.

102
Глава 4. Размер стохастического слоя
Стохастическим слоем назовем область SC(e) С Р, ограниченную
непрерывными инвариантными кривыми у± и 7о (см. рис. 4.1),
ближайшими к гиперболической точке Ъ(е). Ширина области SC{e) будет
измеряться в терминах произведения qp. Точнее, определим следующие
величины:
w_* = min |gp|, w* = max |gp|,
(g,P)€7* (9,P)€7*
где звездочка * обозначает любой из символов +, — или 0. Естественно
считать, что ширина w стохастического слоя изменяется внутри
интервала (yim + Щ>^# + й>о), гДе
w9 = тт{;ш+, w_}, w9 = тах{гй+,гй_}.
Ширина области V (см. рис. 4.1) определяется равенством
d = max до — min qp. (3.1)
v v
Так как функция qp не зависит от выбора нормальных координат,
величины w_^ гй* и d корректно определены.
Лемма 4.1. Верпы следующие соотношения.
1. d ~ 6j Л-р ~ Ай.
2. .Бслгл область V расположена на верхней (нижней) петле и
i/+(£) = asin(27r(£ — £+)) (соответственно v~(£) = asin(27r(£ — £-))),
где а и £± — постоянные, то
d = 5(а + о(1)) и Av = Х6(а/п + о(1)) при е —> 0.
3. А < А < "А, где
А = 2\w0 \пщ1 + O(w0)\ + ^2 \ш* 1п^ + °Ы*)1
А = 2\Щ \пщ1 + O(w0)\ + ^2 \w* 1гШ^ + °(w*)\-
Доказательство леммы содержится в параграфе 4.5.
Замечание 4.1. Утверждение 2 легко обобщается на случай
произвольных 1-периодических функций и±. Предположим рля определенно-

3. Теоремы о величине стохастического слоя
103
сти, что область V лежит в верхней петле. Область V задается двумя
последовательными нулями £i < £2 функции v+. Тогда
d = S[ max |i/+(0| + o(l)),
Av = S\nfi[ I i/+(£)d£ +o(l) ) при£->0.
(|V(0<£+ *(!))
Теорема 4.1. Предположим, что семейство отображений Т£
удовлетворяет предположениям А-В, е < 0 достаточно мало, 1 < ц(е) < /io
и \im£-+o 5(e)/ \п2 fi(e) = 0. Тогда верны следующие оценки:
ciS(e)/\nfji(e) < w_± < w± < с25(е)/\п ц(е),
Wjq < w0 < c2S(e)/\nfi(e),
с некоторыми постоянными с\ и с2.
Более того, если семейство Т£ удовлетворяет условию Т, то
Wq >с16(е)/\пц(е). (3.2)
Замечание 4.2. Согласно теореме 4.1 при выполнении условий А-В
ширина стохастического слоя меняется в интервале [с\8/ In/i, 2c2S/ In /i].
Так как согласно лемме 4.1 ширина d области 2), измеренная
функцией qp, имеет тот же порядок малости, что и £, получаем оценку (1.1).
Гипотеза 4.1. Оценка (3.2) остается верной и без условия Г.
Замечание 4.3. Величина стохастического слоя может быть измерена
по-другому. А именно, можно оценить площадь Л области SC(e).
Площадь Л является симплектическим инвариантом. Согласно лемме 4.1 и
теореме 4.1 для некоторых положительных постоянных с\ и с2
ciSje) ln/i(e) c2S(e) ln/i(e)
lnjx(e) *(e) " In/iH 6(e) '
Теперь рассмотрим подробнее случай \im£-+o fi(e) = 1. Это
равенство имеет место при экспоненциально малом по е расщеплении
сепаратрис. Анализ сепаратрисного отображения в указанной ситуации
оказывается более простым в силу следующих двух причин. Во-первых,
появляется новый малый параметр — ln/i. Во-вторых, изучение
явления экспоненциально малого расщепления сепаратрис в конкретных
задачах (в стандартном отображении, в маятнике с быстро колеблющейся

104
Глава 4. Размер стохастического слоя
точкой подвеса и в некоторых других [25, 63-65, 70, 73, 55, 100-102])
показывает, что в главном приближении 1-периодические функции и±
содержат лишь младшие гармоники, т.е.
Ш,е) = МО + о(1), i/±(£) = а±8ш(2тг(£ - £±)), (3.3)
где а± > 0 и £± Е K/Z — постоянные2.
Теорема 4.2. Предположим, что выполнены условия А-В и
справедливы равенства
lim /i(e) = 1, lim 5(e)/ In2 ц(е) = 0.
Тогда
w*-w* = 0(5), *G {+,-}.
Более того, если выполняется условие Т, то гйо — Wq = 0(6).
Следствие 4.1. Если все условия (включая и условие Г) теоремы 4.2
выполнены, то согласно теореме 4.1 гй*,;ш+ ~ 0(5/In/x) и,
следовательно, справедливы равенства w*/w_+ = 1 + 0(ln/i), * G {+, — ,0}.
Ниже нам потребуются несколько определений. Пусть Са,ш,х — сле~
дующее симплектическое отображение циллиндра (<pmodl, J) на себя:
CavAvJ) = (<М) = (<£ + ^ + J, I+A^asin^Tr^)).
Отображение C10,e-i совпадает со стандартным (см. параграф 1.2).
Назовем замкнутую кривую на цилиндре топологически
горизонтальной (ТГ-кривой), если она гомотопна окружности {/ = О}3 .
Замкнутую кривую 75 инвариантную относительно симплектического
отображения Q цилиндра в себя, назовем жесткой, если любое близкое
к Q аналитическое симплектическое отображение имеет инвариантную
кривую, близкую к 7- Определим три функции
Ш(а,ш), гп(а,ш), ^(а',/,^,^)
2 Есть большие основания ожидать, что равенства (3.3) выполняются для систем
общего положения с экспоненциально малым расщеплением сепаратрис.
3 Слово «горизонтальный» здесь выбрано по той причине, что цилиндр можно
представлять себе вложенным в пространство R3 так, что его образующие —
вертикальные прямые. Тогда окружность {/ = 0} лежит в горизонтальной плоскости.

3. Теоремы о величине стохастического слоя
105
следующим образом:
га = inf{Ao > 0 : для любого А > Ао отображение Са,и,\
имеет инвариантную жесткую ТГ-кривую},
га = sup{Ao > 0 : для любого 0 < А < Ао отображение Са,ш,х
не имеет инвариантной ТГ-кривой},
гао — inf{Ao > 0 : для любого А > Ао отображение Са^и',\ ° Са",и/',л
имеет инвариантную жесткую ТГ-кривую}.
Опишем простейшие свойства этих функций. Начнем с га и га. Так
как ш легко исключается из Са,ш,\ с помощью замены переменной
«действие», функции га и га не зависят от и. Более того, очевидно,
га = са, га = са
для некоторых постоянных 0 < с < с.
Значение постоянной с вычислялось в ряде работ (см., например,
[44, 68, 76-77, 79, 83]). Наиболее точные оценки получены численно в
[68, 76, 83]. В наших обозначениях результат следующий:
с = 2тг/0.971635 ...
Хорошо известна
Гипотеза 4.2. Постоянные сие совпадают.
Гипотеза 4.2 подтверждается численными экспериментами.
Функция гао также зависит от своих аргументов специальным
образом.
Предложение 4.1. Справедливы следующие утверждения.
1. Выполняются неравенства 0 < гао < °°-
2. Для любых а и uj имеем гао(а,а,о;,а;) = са.
3. Функция гао может быть представлена в виде
гао(а',а",о/,а/') = af{r],J -о/'),
о! = acos(27T77), a" = asin(27rr/),
где функция f 1-периодична по обоим аргументам и удовлетворяет
тождествам
7{т},и) = 7{-т},и) = 7(1/2 -ri,u>)= 7(1/4 - г?, -w), г,,ш е R/Z.

106
Глава 4. Размер стохастического слоя
Теорема 4.3. Предположим, что выполнены условия А-В,
lim ц(е) = 1, lim 5(e)/ In2 /i(e) = 0
и верны равенства (3.3). Тогда справедливы следующие оценки:
а) величины w_± и w± удовлетворяют неравенствам
а± с(1 + о(1)) < ln/i • w±/6 < ln/i • гй±/<* < а± с(1 + о(1)); (3.4)
б) в случае а+ т^ <*-
ln/i • г^/й < ln/i • гйо/£ < sup rao(a+,a_,u/,u/')(l + o(l));
в) если a_|_ = a_, то
ln/i -Шо/Л < ln/i -Wo/6 < m0(a+,a_, 2£+,2£_)(l + o(l));
r) если условие Г выполнено, то w$ и wq могут быть оценены
аналогично величинам w_± и w±:
а+ с(1 + о(1)) < ln/i • w0/5 < ln/i • гй0/<* < а+ с(1 + o(l)). (3.5)
Следствие 4.2. .Бслгл все условия (включая Г) теоремы 4.2
выполнены, то верхняя w и нижняя w_ оценки ширины стохастического слоя
w = тах{гй+ + wq,w- + гйо}, w_ = min{w_|_ + ;ш0, w__ + w0}
удовлетворяют неравенствам
2a+Sc(l + o(l)) < w\n/jL < Шп/i < 2a+5c{l + o(l)). (3.6)
Следствие 4.З. Предположим, что все предположения (включая Г)
теоремы 4.3 выполнены и верна гипотеза 4.2. Тогда из соотношений
(3.4) и (3.5) следуют равенства
lim (ln/i • w*/6) = а+с = а+с, * Е {+, —, 0}. (3.7)
Из оценок (3.6)-(3.7) вытекает формула (1.3). Действительно,
величины w(e) и d(e), измеренные в терминах до, имеют следующий вид:
w(e) « ;ш « гй, d(e) = £а+ = £a_.
Последние два равенства следуют из леммы 4.1. С помощью леммы 4.1
легко получаются также оценки, содержащиеся в следующем
утверждении.

4. Стохастический слой в маятнике с колеблющейся точкой подвеса 107
Следствие 4.4. Предположим, что все предположения (включая Г)
теоремы 4.3 выполнены и верна гипотеза 4.2. Тогда площадь
стохастического слоя удовлетворяет соотношению
л=^г1пГ1(£)(1+о(1))- (3-8)
Площадь области V, ограниченной сепаратрисами (см. рис. 4.1), равна
Av = a+6(e)ln„(e)il + o{l))
7Г
Оценка (1.5) следует из равенств (3.8)-(3.9).
В случае а+ Ф а_ величины ln/i -Wq/S и ln/i • г^о/5, по-видимому, не
имеют предела при е —>• 0, а осциллируют между двумя
положительными постоянными.
4. Стохастический слой в маятнике
с колеблющейся точкой подвеса
Рассмотрим еще раз отображение Пуанкаре для маятника с
периодически колеблющейся точкой подвеса. Величины а± и и± вычислены
в параграфе 3.6. Заметим, что рассматриваемое сепаратрисное
отображение удовлетворяет условию симметрии Г, так как инволюция
(q,p) •"->• (—(f, — р) сохраняет гамильтониан (6.1) главы 3. Согласно
теореме 4.1 ширина стохастического слоя в окрестности сепаратрисной
восьмерки с центром в точке х = у = 0 имеет порядок е при условии,
что 0, fi, ш ~ 1 и в не постоянна. При тех же предположениях площадь Л
стохастического слоя имеет порядок е\пе~1.
Равенство (6.2) главы 3 справедливо в случае умеренного
отношения частот и/О.. В случае ш/О, ~ е~1 стандартная теория Пуанкаре-
Мельникова перестает работать и приходится применять другие
методы, годящиеся рля исследования экспоненциально малых эффектов 4 .
Первые нетривиальные строгие результаты, количественно
описывающие экспоненциально малое расщепление сепаратрис, появились не
так давно (см. [70, 25], а также [55]). К настоящему времени
имеются по крайней мере две параллельные теории, эффективно работающие
4 Заметим, что при u/Q ~ е'1 равенство (6.2) дает лишь правильный порядок
функции и±.

108
Глава 4. Размер стохастического слоя
при анализе широкого круга задач такого типа . Первая из них
создана Лазуткиным с соавторами [25, 64-66] и основана на подробном
анализе поведения сепаратрис в комплексной области. Вторая берет
начало в статьях [100-102]. Основная идея работ [100-102] состоит в том,
чтобы существенно ослабить зависимость гамильтониана от времени
подходящей заменой координат. Замена строится с помощью метода
непрерывного усреднения. Оказывается, что в некоторых
канонических координатах гамильтониан системы является автономным с
точностью до экспоненциально малого по и/О, слагаемого, играющего роль
возмущения.
Точнее, рассмотрим систему с гамильтонианом (6.1) главы 3 при
следующих предположениях 6 :
П = 1, ш = 1/е, 9{s) = 2e~lB cos s. (4.1)
Старший мультипликатор гиперболической неподвижной точки
х = у = 0 соответствующего отображения Пуанкаре имеет вид
Сепаратрисное отображение удовлетворяет условию Г. Из
теоремы 5.1 главы 5 (см. также [102, 100]) следует, что существует симплек-
тическая замена координат ж, у ь-> £,у, которая
i) близка к тождественной,
ii) периодична по времени,
iii) вещественно-аналитична в комплексной окрестности
сепаратрис Г* системы с гамильтонианом Hq = у2/2 + cosrr,
iv) такая, что новая функция Гамильтона принимает вид
Я(£,у,*,е) = Щ(х,у) +eHi(x,y,e) + exp(-c/e)H2(x,y,t,e).
Здесь Я0 = у2/2 + cos 5, постоянная с G [0,7г/2) произвольна, функции
Ях, Н.2 вещественно-аналитичны по ж, у в окрестности Г1*1, гладкие по
£>0и функция В.2 27г-периодична по t.
При любом положительном с < 7г/2 обычные методы теории
Пуанкаре-Мельникова, примененные к этой системе, дают
правильную асимптотику расщепления сепаратрис7. В частности, удается
получить
4(*) = -27re-2e-n£'1/2Bf(B2)sm(27rt),
5 Возможно, в ближайшем будущем конкуренцию им составит применение методов
ресургентного анализа (см. [94]).
6 Равенства (4.1), в частности, означают, что амплитуда колебаний точки подвеса
имеет порядок и~2.
7 На самом деле в работах [102, 100] этот факт доказывается лишь для с > 7г/4.

5. Теория К AM и теорема Биркгофа
109
где / — целая вещественно-аналитическая функция, /(0) = 2. В
работах [100-102] эта функция исследовалась численно. Оказалось, что
/(*) = ES%^n, где /о = 2,
/i = 0.65856738... , /5 = 1.6620... • 1СГ6,
/2 = 6.651741... • Ю-2, /6 = 2.1534... • 1(Г8,
/з = 3.21010... • Ю-3, /7 = 2.070... • Ю-10,
U = 9.03367... • Ю-5, /8 = 1.53... • 10~12.
Согласно теореме 4.3 ширина стохастического слоя возле
сепаратрис Г* удовлетворяет оценке (3.6) с
а+6 = 2тге-2е-*£~1/2В/(В2), \пц = 2тге.
Площадь стохастического слоя оценивается следующим образом:
Н^е-«-l'2Bf{B2){\ + о(1)) < Л < ^е-«~^2Bf(B2)(l + o(l)).
(Напомним, что гипотеза 4.2 утверждает, что с = с.)
5. Теория КАМ и теорема Биркгофа
В настоящем параграфе мы доказываем теорему 4.1 и лемму 4.1.
Доказательство леммы 4.1. Согласно системе (2.5)
неустойчивая сепаратриса задается уравнением I = 0, а устойчивая —
уравнением J = J(I, (p) = 0. Если 6 мало, то последнее равенство приводится к
виду
I = -1пц(иа((р,е) +0(6)) = -lnfi(ua((p) +о(1)) при е -* 0.
Таким образом, гомоклинические точки 8 соответствуют нулям
функций v± ((p). Область V определяется двумя соседними нулями </?i, ф2
функции иа.
Пусть (pi и (f2 определяют область V. Функция va сохраняет знак
на интервале {<р\,<Р2)- Согласно (3.1) и (2.4) получаем формулу для
ширины области V:
d = 6 ( max fa(<p) + о(1) ) при е —У 0. (5.1)
Т. е. точки, лежащие в пересечении устойчивой и неустойчивой сепаратрис.

по
Глава 4. Размер стохастического слоя
Площадь Av определяется как абсолютная величина интеграла
/ dy Adx = 5 dl Л d(p.
Jv Jv
Следовательно, имеем
Av = <Ип /i
I ГЧ>2
{<p)d<p + o{l)
(5.2)
Из равенств (5.1)-(5.2) вытекают утверждения 1-2 леммы.
Докажем утверждение 3. В нормальных координатах (q,p)
стохастический слой занимает область SC такую, что V_ С SC С 2>, где
Т>= <
V= <
(q,p) :q2+p2 < г2, \qp\ <
(q,P) '-Q2+P2 <r2}, \qp\ <
w+, если q > О и р > 0,
w.-, если q < 0 и p < 0,
щ, если gp < 0
UJ+, если g > 0 и р > 0, ")
гй_, если q < 0 и р < 0,
й7о, если др < 0
и 0 < г < f — постоянные. Требуемая оценка для Л вытекает из
неравенств
площадь (Р) > Л, площадь(V) < А.
Лемма 4.1 доказана. ■
С учетом равенств (2.4) теорема 4.1 вытекает из следующей
теоремы.
Теорема 4.4. Предположим, что параметр е > 0 достаточно мал,
1 < /i < /io и
Y\m8(e)l\n2 ц(е) = 0.
Тогда существуют две постоянные 0 < Jmin < /max (зависящие
только от функций v±) такие, что при малых е справедливы следующие
утверждения.
1. На инвариантных кривых j±, 70 выполняется неравенство
И I ^ -'max-
2. Кривые 7+ ^ 7- we имеют общих точек с областью \1\ < 1т\п.
3. Выполняется оценка Jmax — 1т-ш < 2Jmjn/i2ln/i.
4. .Бслг/ условие Г выполнено, то кривая 7о также не имеет общих
точек с областью \1\ < 1т\п-

5. Теория К AM и теорема Биркгофа
111
Замечание 4.4. С помощью равенств (2.4) оценки, представленные в
теореме 4.4, можно переписать в терминах функции pq (вместо J). Из
полученных оценок следуют теоремы 4.1 и 4.2.
Доказательство теоремы 4.4. Кривые 7+ > 7- и 7о
расположены соответственно в областях I > 0, сг > 0; 7 > 0, а < 0 и J < 0.
Анализ удобнее проводить в новых переменных и, г>, определенных
формулами
I = /о(1 + u ln/i), J = J0(l + vliifi), Iq = const.
Сепаратрисное отображение (2.5) переписывается в виде
v = и + 1о19*(<р, е) + Iq16 • 0(1 + |/|/ ln/i)2,
ф = <р + ша + -—(In |1 + v ln/i| + 60(1 + \I\/ ln/i)), (5.3)
ln/i
p = a -signJo • sign(l + г;ln/i),
где величины ша имеют вид
1 In W
Ш„ = : In
ln/i a2 In /i'
Основными параметрами в системе (5.3) являются 6 и Iq1.
Первый из них мал. Параметр Iq («невозмущенное» действие) ответствен
за тип динамики (регулярный или хаотический). Положив формально
Iq1 = 60(1 + //ln/i) = 0, получаем интегрируемое отображение
v = и,
ф = (р + ша + 1 In II +vln/i|,
ln/i
р = a sign J0.
Это отображение невырождено, так как дф(и, ф)/ди = (1+uln/i)"1 ф 0.
Предположим, что справедливы следующие неравенства:
?„-<|/„-4<i, tsK's^+bw *»'•
Эти соотношения означают, что в отображении (5.3) можно
пренебречь членами, пропорциональными 60(1 + |J|/ln/i)2 и 60(1 + |J|/ln/i).
Если параметр |/^~ | достаточно мал (но не меньше, чем Cq_1), to

112
Глава 4. Размер стохастического слоя
отображение близко к интегрируемому. Согласно теории К AM
сепаратрисное отображение (5.3) имеет инвариантную кривую
и = и((р) = uq + 0(Iq ), где значение щ таково, что
«невозмущенная» частота ша + (ln/i)_1ln|l + uln/i| диофантова (очевидно,
можно взять \щ\ < 1/(2 In /i)). Напомним, что при /о > О инвариантная
кривая гомотопна уа, а ПРИ /о < 0 инвариантная кривая
гомотопна 7о- Утверждение 1 теоремы 4.4 доказано, так как можно положить
/max = maXy, |Jo|(l + и((р) ln/i).
Мы докажем утверждение 2 лишь для кривой 7+- Случай кривой 7-
аналогичен. Во-первых, заметим, что при малых значениях е > О
отображение (5.3) закручивающее. Это означает, что дф(1,ф)/д1 > 0.
Следуя идее Лазуткина [26], мы используем один результат Биркго-
фа [47] (см. также [69]):
Лемма 4.2. Пусть у — непрерывная инвариантная кривая
закручивающего симплектического отображения. Если у гомотопна кривой
{I = const}, то 7 является графиком липшицевой9 функции I = r(tp).
Липшицева константа функции г(ф) может быть оценена
следующим образом. Пусть Q = d(J,i/>)/d(I,(p) — матрица Якоби
отображения Т£. Так как Т£ — закручивающее отображение, существуют
постоянные 771,772 > 0 такие, что рля любой точки (J, <р) на кривой
выполняются неравенства
(o,i)Q^\^>o, (o,i)Q-l^^<o.
Следующая лемма фактически содержится в [69].
Лемма 4.3. Для любых двух точек <pi, ср2 таких, что 0 < (f2 — <р\ <
< 1/2, функция г((р) удовлетворяет неравенствам
-т(<Р2 - Ч>\) < г((Р2) - r(<pi) < 772(^2 - (pi)- (5.4)
Замечание 4.5. Неравенства типа 0 < (р2 — (р\ < 1/2, (р\,<р2 G R/Z,
следует понимать в том смысле, что можно найти две точки ф\, (f>2
на универсальной накрывающей К окружности IR/Z такие, что при
естественной проекции они отображаются в </?i, </?2, соответственно,
и 0 < (р2 — Ф\ < 1/2. Ниже мы не будем упоминать об универсальной
накрывающей.
9 Напомним, что непрерывная функция / : R -> R называется липшицевой, если
найдется постоянная С > 0 такая, что для любой пары х\,Х2 Е R справедливо
неравенство |/(xi) — /(#2)! < С\х\ — хг|.

5. Теория К AM и теорема Биркгофа
113
Лемма 4.3 является следствием леммы 4.2. Действительно,
предположив, что по крайней мере одно из неравенств (5.4) не выполняется
для некоторой пары ip\ < (f2, где (р\ и ср2 взаимно близки, получаем,
что рля образов (r(V>i), V>i), (^(^2)^2) точек (r(</?i),</?i), (г(</?2),<£2) при
отображении Т£ (или Т~1) справедливо неравенство ^2 < Фг, что
противоречит лемме 4.2.
Пусть кривая 7+ задается параметризацией (/,<£) = (г + (</?),<£).
Ниже мы покажем, что
Гтм = maxr+((p).
ч>
оценивается снизу положительной постоянной (предложение 4.2), а
затем — что r+(<p) > rmaxe_21n/x (предложение 4.3).
Из предложений 4.2-4.3 следует утверждение 2 теоремы 4.4 рля
кривой 7+-
Утверждение 3 также вытекает из предложения 4.3. Действительно,
имеем неравенство /тах < IminU2- Пользуясь простым соотношением
/i2 < 1 + 2/i2ln/i, /i > 1,
получаем требуемую оценку.
Функция г_|_ положительная, 1-периодичная и липшицева. Оценим
липшицеву константу рля малых значений параметра е с помощью
леммы 4.3. Сначала положим е = О (при этом автоматически получим
6 = 0). Матрица Якоби Q принимает вид
/ 1 lnjiV+fo») \
V(jinM)-1 l + j-v+M/'
где J = r+((p) + ln/i • ^+(<^) = г+(ф) и и'+ = dv+/d(p. В результате
прямых вычислений получаем следующую оценку рля постоянной 7]2'.
m > Г max hi/i.
При малых ненулевых значениях 6 оценка несколько слабее. Можно
положить
772 = 2rmaxln/i. (5.5)
Определим постоянную i/min следующим образом:
*4in = mindi/+/'dtp.
Так как согласно предположению В (см. параграф 4.2) функция v+ ана-
литична, периодична и непостоянна, имеем v'min < 0.

114
Глава 4. Размер стохастического слоя
Предложение 4.2. Предположим, что параметр е > О достаточно
мал. Тогда
Плах > -*4in/7- (5-6)
Доказательство. Для простоты опять положим е = 0. Пусть
отображение (5.3) преобразует точки (r+(<£j),<£j), j = 1, 2, в (r+(V>j), V'j)-
Предположим, что точки <pi, </?2 близки и <£i < с/?2- Тогда точки
ф\, гр2 также близки друг к другу и ф\ < ф2. Используя равенства (5.3),
имеем
A» = Ay + Ti-ln(l+ ^ + М-А^ у
где
Аф = ф2- Фи A<p = <p2-<pi> 0,
Дг+ = г+(у>2) - r+(^i), Д1/+ = i/+(v2) - МЫ-
Возьмем (/?i таким, что v+{(pi) = vfm\n- Для малых
положительных А(р имеем оценки
Дг+ < т&<р < 2rmax ln/i • Д</>, Д1/+ < vfminA<p/2 < 0.
Здесь мы использовали соотношения (5.4), (5.5). Теперь предположим,
что rmax < —^mjn/6. Тогда из равенства (5.7) следует оценка
Д^ < А(р+ 1 Ь Л + 2г«п« + ^шП/2 \ <
Ьм \ rmax /
^ А^ , (2rmax + ^in/2)Ay = (3rmax + «^„/2) Ay ^ Q
rmax rmax
Это соотношение противоречит неравенству Аф > 0. При малых
значениях е оценки сохраняются (возможно, со слегка измененными
постоянными). Поэтому мы взяли в (5.6) ^mjn/7 вместо v'min/6.
Предложение 4.2 доказано. ■
Предложение 4.3. Для любого (р Е R/Z выполняется неравенство
' max
Доказательство. Положим е = 0 и допустим, что существует
точка ф Е R/Z такая, что rmax > r+((p)ii. Можно считать, что

6. Случай малого ln/i(£)
115
О < (р — (ро < 1, где точка (ро удовлетворяет равенству r+((po) = rmax.
Возьмем пару точек Оо,в Е R/Z такую, что (5.3)|е=о отображает точки
(r+(0o),0o), (r+(0),j?) соответственно в (г+(<^0),Ы> (г+(£),£).
Покажем, что 0 — #о > 1 в том смысле, что образ отрезка
{(/,¥>) :/ = ф), <p = s, в<з<в0}
накрывает всю окружность при естественной проекции на R/Z:
(/,(/?) -> </?. Доказав этот факт, мы получим противоречие с
леммой 4.2, а следовательно, и доказательство предложения 4.3.
Величина в — во оценивается с помощью равенств (2.5)|е-о-
£-Vo = £-0o + ri-ln-r+((?)
ln/i r+(<po)
Таким образом, согласно нашему предположению имеем
^ 1 г+{(р)
0-в0 = (р-(ро- :— In "t"vy/ ><р - <р0 + 1 > 1.
m/i rmax
В случае малых ненулевых е оценки несколько слабее. Из-за этого в
предложении 4.3 мы предполагаем, что rm3lX/r+((p) < /i2.
Предложение 4.3 доказано. ■
Условие Г позволяет аналогично доказать утверждение 4
теоремы 4.4. ■
6. Случай малого 1п/х(е)
1. Доказательство предложения 4.1. 1. Неравенство то > 0
следует из КАМ-теории. Ограниченность функции то также является
стандартным фактом (см., например, гл. 6).
2. Это утверждение следует из равенств rao(a,a,u;,u;) = т(а,ш).
3. Для любых вещественных /3 > О, а', а", а/, а/', и выполняются
следующие неравенства:
ra0(a',a",u/,u/') = ra0(a',a",u/ + и,и" + a;), (6.1)
m0(/3a',/3a^u/,u/') = /3m0(a',a",u/,u/'), (6.2)
то(-а',а",и + 1/2,a/' - 1/2) = m0(a',a",u/,u/') =
= m0(a', -a", J - 1/2,u;" + 1/2), (6.3)
rao(a",a',u/',u/) = mg (a7, a", a/, a/7)'. (6.4)

116
Глава 4. Размер стохастического слоя
Действительно, отображение Са>,и',ц, ° Са",ш",ц имеет вид
(щ<р) ■-> (и;,0), где
( w = v + fi~la' sin27n/>, ( v = и + fji~la" sin27r<£,
| 0 = V + о/ + гу, | V = V + a/' + v.
Так как Ca/y+u^oCa"y+U)/i можно получить из Cai^^oCa"^"^
заменой u,v,w »->> и + о;,?; + а;,гу + а;, получаем (6.1). Тождество (6.2) следует
из равенства
Так как С-а>'+1/2,д о Ca//^//_1/2j/x можно получить из Ca/ja/jM о Са"^"^
путем замены (р,ЙИ </?- 1/2,0 — 1/2, получаем (6.3). Равенство (6.4)
следует из того, что отображения Са',и',ц. ° Са",и",ц. и Са»^^ ° Ca/jtJ/jAl
сопряжены.
Из тождеств (6.1)—(6.4), очевидно, следует утверждение 3
предложения 4.1. ■
2. Теорема 4.2 является следствием утверждения 3 теоремы 4.4.
3. Доказательство теоремы 4.3. Согласно равенствам (3.3)
отображение (5.3) приобретает вид
v = и + 1й1аа sin(27r<£) + /0-1<Ю(1 + S/X)2 + о(1),
ф = ф + и)а + £а-£р + ь + IolSO(l + S/X)2 + o(l), (6.5)
р = a-signJo, Ф = Ч>-£а, Ф = Ф-£<т-
Свойства сепаратрисного отображения, приведенные в теореме 4.3,
могут быть легко получены с использованием равенств (6.5).
Утверждения «а» и «б» следуют из определения функций га, га, то-
Доказательство утверждения «в» основано на предложении 4.1 и равенстве
cj+ = cj_ при условии оц_ = а_. Действительно, в этом случае
слагаемые и о- могут быть исключены из (6.5) с помощью замены и = и — о;+,
v — v — о;_|_. Утверждение «г» сводится к «а» благодаря условию
симметрии Г. ■

Глава 5
Метод непрерывного усреднения
1. Описание метода
В ряде задач, так или иначе связанных с теорией возмущений, с
помощью стандартных методов не удается добиться удовлетворительных
результатов. Такова задача о вложении диффеоморфизма в поток в
аналитической постановке, а также проблема описания
экспоненциально малых эффектов в динамических системах. В этих случаях одним из
возможных подходов является применение метода непрерывного
усреднения. Впервые метод был использован в работах [98-99] в задаче
приводимости для линейной системы с квазипериодическими
коэффициентами. Он является развитием идеи Нейштадта [30], предложившего
процедуру усреднения, эффективно работающую при наличии
экспоненциально малых эффектов. Перейдем к описанию метода.
Пусть система обыкновенных дифференциальных уравнений
z = a{z) (1.1)
преобразуется с помощью замены переменных
z4 Z(z,A). (1.2)
Здесь z — точка многообразия М, а — гладкое векторное поле на М,
А — неотрицательный параметр. Замена (1.2) определяется как сдвиг
вдоль решений уравнения1
Zf = f{Z, 5), Z{z, 0) = z, 0 < S < A, (1.3)
где штрих обозначает производную по S.
1 Такой метод построения замены переменных называется методом Ли.
Соответствующая гамильтонова версия называется методом Депри-Хори.

118
Глава 5. Метод непрерывного усреднения
Пусть замена zhZ преобразует (1.1) в следующую систему:
Z = a(Z,6). (1.4)
Дифференцируя равенство (1.4) по £, имеем
/(Z, 6) = as(Z, 6) + dfa(Z, S), или as = [а, /].
Здесь df — дифференциальный оператор на М, соответствующий
векторному полю /, нижний индекс S обозначает частную производную,
а [•, •] — векторный коммутатор: [ui,U2] = dUlU2 — dU2u\. Полагая
/ = £а, где £ — некоторый фиксированный линейный оператор,
получаем задачу Коши
а6 = -[fa, a], a\s=o = а. (1.5)
Выбор оператора £ зависит от того, к какому виду мы желаем привести
исходные уравнения. Систему (1.5) назовем усредняющей2.
Если система (1.1) гамильтонова с гамильтонианом Н = Н(z) и сим-
плектической структурой а;, то замену (1.2) естественно искать среди
симплектических, а уравнение (1.3) считать гамильтоновым с
некоторым гамильтонианом F(z,5). При этих предположениях системы (1.4)
также гамильтоновы. Их гамильтонианы Н удовлетворяют равенствам
H{Z,8) =H(z).
Дифференцируя это уравнение по £, получаем
HS(Z, 6) + df{ZiS)H(Z, S) = О, или Н5 = -{F, Я},
так как df Н равняется обычной скобке Пуассона функций Н и F.
Положив F = £Н для некоторого линейного оператора £, получаем
уравнение
Н6 = -{£Н,Н}, Н\5=0 = Н. (1.6)
В дальнейшем нам понадобится неавтономный аналог
уравнения (1.6). Для его получения предположим, что функции Н и F явно
зависят от времени. Тогда гамильтониан Н также явно зависит
2 Равенство / = £а является характерной чертой нашего метода. Обычно векторное
поле / строится в виде ряда по малому параметру, а не как результат применения
к а заранее выбранного оператора £.

1. Описание метода
119
от t. Уравнение, которому удовлетворяет функция Я, легче всего
получить сведением к автономному случаю. Введем новую
переменную Е, канонически сопряженную времени t. Рассмотрим автономную
систему с гамильтонианом Я + Е и симплектической структурой,
равной и + dE A dt. Пусть {•,•}* — новая скобка Пуассона и F = £Я.
Уравнение (1.6) оказывается следующим:
(H + E)S = -{£H,H + E},.
Оно легко преобразуется к виду
Щ = {£H)t - {£Я, Я}, H\s=o = H(z, t). (1.7)
Это и есть неавтономный аналог системы (1.6).
Аналогично строится неавтономный аналог системы (1.5):
а>5 = (£а)г ~ [fa, а], а\б=о = a(z,t). (1.8)
Свойства усредняющей системы можно продемонстрировать на
следующем примере. Рассмотрим гамильтонову систему с полутора
степенями свободы
у = -едН/дх, х = едН/ду, Н = Н{х, у, t). (1.9)
Здесь у G К, х G Т; функция Я вещественно-аналитическая по ж, у и
27г-периодическая по t. Попытаемся ослабить зависимость функции Я
от t при помощи канонической замены
(ж, у) »-> (Х(х, у, 4, А), У (ж, у, 4, А)), А > О,
где
У = -dF/dX, X' = dF/dY, F = F{X, У, i, 5) = £Я. (1.10)
Положим
£Я(*,у,М) = ^г81ёпА;Я*(ж,у,£)еш, (1.11)
fcez
где Я* — коэффициенты Фурье в разложении
H(x,y,t,6) = Y,Hk(x,y,5)eikt.

120
Глава 5. Метод непрерывного усреднения
Уравнение (1.7) принимает вид
Нк5 = -\к\Нк - е{£Н, Я}*, кеЪ. (1.12)
Символом { •, -}к обозначается коэффициент Фурье, соответствующий
номеру к. Более подробно систему (1.12) можно записать следующим
образом:
Г Я,° = -2ге£{Яг,Я-'},
I Щ = -nHn + ie{H°,Hn} - 2г£^{Яп+/, Я"'},
1 />о
Hjn = -пН'71 - ie{H°,H-n} - 2ге^{Н\Я"""'},
нк\в=о = нк, кеъ,
где числа п предполагаются натуральными.
Слагаемые е{£Н,Н}к в системе (1.12) пропорциональны малому
параметру. Поэтому в нулевом приближении ими можно пренебречь.
Положив е = 0, получаем уравнения
Нк5 = -\к\Нк. (1.13)
При к ф 0 их решения быстро стремятся к нулю при S —» оо.
Более точное приближение для системы (1.12) получается, если
учесть слагаемые ±г£{Я°,Яп}. Имеем следующую систему:
Н$ = -\к\Нк + i£signk{H°,Hk}.
Решение этих уравнений имеет вид
Я0 = Я0, Н±п = е-п6Н±п о 9±i£\ n e N, (1.14)
где gs — сдвиг (x,y)\t=o ^ {x,y)\t=s вдоль решений гамильтоновой
системы
х = дН°/ду, у = -дН°/дх.
Комплексные особенности функций Нк о gs комплексной
переменной s препятствуют неограниченному продолжению решений (1.14) на
все множество положительных S. Тем не менее функции (1.14) могут
быть сделаны экспоненциально малыми по е, так как величину S можно
выбрать порядка 1/е.
Как легко заметить, приведенные выше рассуждения нельзя
считать доказательством того, что системы типа (1.12) годятся для целей
усреднения. Строгие оценки будут получены далее в этой главе.

2. Мажоранты и их свойства
121
2. Мажоранты и их свойства
Уравнения типа (1.5)—(1.8) не являются простыми для исследования.
Даже факт существования решения для них не является тривиальным.
Основной аппарат, используемый при анализе этих уравнений, —
мажорантные оценки. Настоящий параграф носит вспомогательный
характер и содержит некоторые простые свойства мажорант.
Напомним, что для двух функций /(z), g(z), z = (zi,... ,zm),
аналитических в точке z = 0:
/(*) = £>**, *(*) = £>**,
0 0
/3=(A,...,/?m), Pj>0, z* = z?l---zfr,
говорят, что д — мажоранта рля f (/ <S g), если для любого мульти-
индекса /3 имеем др > \fp\- В случае, когда / и д — векторнозначные
функции, скажем, что / <S g, если любая компонента вектора д
мажорирует соответствующую компоненту вектора /.
Лемма 5.1. Отношение <S обладает следующими свойствами.
1. Если /i < gi и /2 < 52, rno /i + /2 < #i + g2 и /i/2 < gig2.
2. Ясли / <?С g, то для любого j верна оценка df/dzj <S dg/dzj.
3. Если /(z, A) <S 3(2, А) для любого значения параметра A Е [а, 6],
то
/ /(z,A)dA« / 5(2, A) dA.
Уа ./а
fa J a
4. Пусть переменная z одномерна. Тогда для любых
положительных b < а верны оценки
Ъ 1 1
1<^1 , 7 77= Г<
Ъ — г' (а —г)(Ь —г) (а —6)(Ь —z)
5. Пусть \f{z)\ < с в области
{z = {zi,... ,zm) : \zj\ < 6, j = 1,... ,m}.
Тогда /(z) < c/w, где w = b~m{b - zx)... (6 - zm).
Утверждения 1-3 леммы 5.1 очевидны. Утверждение 4 следует из
формулы
1 1 1
+
(а — z)(b — z) (a — b)(a — z) (a — b)(b — z)

122
Глава 5. Метод непрерывного усреднения
Утверждение 5 следует из формулы Коши
/(C)rfCm
s{x)=-^rf^-h^iiw=
^l)--- (Cm - *тУ
где интегрирование ведется по окружностям {\zj\ = ft}. Действительно,
выполняется оценка
g01+...+0mf
dz*...dzfri0)
hri*i'''f*n-ii^
№...№■№<%„
(2ni)m J T J <^i+1 £Jfr+l
<
<(з1\...рт\с a*+-+A»
- ftft+...+A» дз£...д%
A»
2=0
с
го
Лемма 5.2. Пусть функции fug определены на
вещественно-аналитическом т-мерном симплектическом многообразии, причем в
локальных координатах z = (z\,... ,zm) выполняются оценки / -С w~k и
g <£. w~l, где
w = b-m{b-zl)...{b-zn).
Тогда при достаточно малых ft справедливо соотношение
{f,g}<^Tklw-1-k-1,
где Т = Т(га, ft) — некоторая постоянная.
Доказательство. Пусть в координатах z скобка Пуассона
выглядит следующим образом:
j,S = l J
w* = ft~m(ft* -zi)... (ft* - zm).
Малость ft в условиях леммы означает, что 0 < ft < ft*. Тогда
Sf х V* с ^ m2ckl bm~2m2ckl
U>5> < 2^ ^wk+Hb-Zj){b-z8) ^ Pw*wk+l+l ^ (ft* - b)mwk+l+l'
При получении этих оценок мы воспользовались утверждением 4
леммы 5.1. ■
В заключение докажем следующее техническое утверждение.

3. Вложение симплектического отобраоюенил в гамильтонов поток 123
Лемма 5.3. Пусть a, b, k — целые неотрицательные числа. Тогда
для некоторой положительной постоянной В выполняется оценка
(2а + 1)(26+1) В
. . (а + 1
а+ь=к(а + 1)ЧЬ+1)*-(к + 2Г
Доказательство следует из соотношений
v (2а + 1)(2Ь+1) у. 1
а^(а + 1)з(Ь+1)з- а^(а + 1)2(6+1)2-
, # (a + l)2(A;/2 + l/2)2
0<a<fc/2+l/2 V ' v ' ' '
<
< 32
oo j
l)2^(a + l)2 =
32тг2 64тг2
6(A; + l)2 " 3(A; + 2)2*
3. Вложение симплектического отображения
в гамильтонов поток
В этом параграфе мы приводим доказательство теоремы 1.10 из
главы 1 о вложении аналитического симплектического отображения в
аналитический гамильтонов поток. Основная идея состоит в сглаживании
зависимости исходной изотопии gl от времени с помощью метода
непрерывного усреднения.
Напомним, что согласно лемме 1.2 семейство отображений дь можно
считать определенным при всех t Е R, С3-гладким по времени,
аналитичным по фазовым переменным и удовлетворяющим условию
я9 -{я9)09 ■
Лемма 5.4. Любое отображение дь, t Е [0,27г], является
сдвигом на время t вдоль траекторий {локально) гамильтоновой системы
z = Vft(z, t) с аналитичным по z и С2-гладким по t гамильтонианом Н.
Доказательство леммы тривиально. Оно основано на том, что
векторное поле dg1 /dt является локально гамильтоновым, аналитичным
по z и С2-гладким по t.

124
Глава 5. Метод непрерывного усреднения
Мы будем иметь дело с функцией, полученной продолжением Я по
27г-периодичности на всю ось t. Будем также обозначать эту функцию
через Я. Очевидно, функция Я принадлежит классу С2 по t.
Система, порожденная гамильтонианом Я*(г*,£) (см.
формулировку теоремы 1.10), представляет собой результат применения
процедуры усреднения к системе, порожденной H(1z,t). Таким образом, новый
гамильтониан имеет вид
#,(*,t)= #(*,t,*o),
где функция Я есть решение задачи Коши (1.7), a So > 0 — малая
величина. Выберем оператор £ следующим образом:
(H = i(H+-H~),
H = J2 Hn{z, S)eint = H° + H+ + H~,
nez
Я±= ^ Hn(z,5)eint.
±п>0
(3.1)
Уравнение (1.7) принимает вид бесконечной системы
оо
Я,° = -2|£{Я*,Я-*},
к=\
оо
Щ = -пНп + г{Я°, Нп} - 2г ^{Яп+/с, Я"*}, (3.2)
к=\
оо
HJn = -пН-п - г{Я°, Н~п} - 2г ^{Я*, Я"""*},
к=\
я'(г,о) = я'(г), jez, (з.з)
где п Е N и HJ(z) — коэффициенты Фурье функции H(z,t).
Доказательство того факта, что система (3.2) производит
сглаживание по £, дает метод мажорантных оценок. Так как многообразие М
предполагается компактным, достаточно произвести лишь локальный
анализ процедуры усреднения. Мы докажем, что усредняющая
система (3.2)-(3.3) имеет решение на интервале [0, «ЭД, <?о > 0, в окрестности
любой точки z° Е М. Величина 5$ зависит от точки z°. Вследствие
компактности М можно выбрать положительное <£о, годящееся для
любой точки.

3. Вложение симплектического отображения в гамильтонов поток 125
Пусть z° G М. Можно считать, что координаты точки z° равны
нулю: z° = 0.
Лемма 5.5. Начальные условия (3.3) удовлетворяют оценкам
ЙП{*] < (|n| + l)^' W = Ь~т{Ь -^■■■(b- z^ (3-4)
для некоторых постоянных а и Ь.
Доказательство. Так как функция
Qj2 --1^П H We
n€Z
непрерывна по t, то имеем оценку |#n(z)| < ci/(|n| + I)2 для z G M,
n G Z, где c\ — некоторая постоянная. Более того, можно считать, что
это неравенство остается верным и в том случае, когда z принадлежит
некоторой комплексной окрестности М. Таким образом, лемма 5.5
следует из пункта 5 леммы 5.1. ■
Введем новые функции Gk(z,6) = Hk(z,6)e^6. Система (3.2)-(3.3)
принимает следующий вид (п G N):
G°s = -2%^2{Gk,G-k}e-2kSi
k=l
оо
Gn5 = i{G°, G71} - 2i Y,{Gn+k, G~k}e-2k6, (3.5)
k=l
oo
G~n = -i{G°, G~n} - 2i ^{G*, G-n-k}e~2ks.
k=l
Будем искать решения уравнений (3.5) в виде рядов
Gk(z,6)=Y^Gk(z,6). (3.6)
1=0
Предположим, что
?к\ п пЬ(„ n\ _ Tiki
(Gk0)s = 0, G^z,0)=Hk{z), ne

126
Глава 5. Метод непрерывного усреднения
где функции Gf, I > О, удовлетворяют следующим индуктивным
соотношениям (п Е N):
u+u=J—1 /с=1
2А;<5
\ U+V=l-1 ^ * = 1 '
(Grnh = i E (-{G2.^"} + 2f;{6y*lG-B-*}e-2M).
tH-v=I—1 ^ к=1 '
[с?(*,0)=0, fcGZ.
Уравнения для функций Gf могут быть получены следующим
образом. Умножим в рядах (3.6) каждую функцию G\ на А*, где А —
формальный параметр. Затем подставим получившиеся ряды в
систему (3.5) и приравняем члены при одинаковых степенях параметра А. В
заключение положим А = 1. Очевидно, если ряды (3.6) сходятся, то они
дают решение уравнений (3.5).
Функции Gf, I > О, легко находятся индуктивно (п Е N):
G°(z,6) = -2i E Е{^а)'С^а)}е_2ЬТЛт>
| Jo u+u=Z-lfc=l
Gt(z,6)=ifS E ({G°u(z,a),Gnv(z,a)} +
JO „+„=,_! \
00 v
+ 2^{Gu-fc(z,<T),G^(z,<r)}e-2bUT,
G^(z,6)=i[S £ (-{G°u(z,a),G-n(z,a)} +
Jo и+„=и\
OO ч
+ 2E{G£(*, <x), G^"*(z,<7)}e"2^ da.
Лемма 5.6. Для любых целых п и I > О верна следующая оценка:
ас1 б1
СГ(2' '> <К (И + 1)2(1 + 1)3«^+1' (3J)
где с — положительная константа, a w то же, что и в лемме 5.5.

3. Влооюение симплектического отображения в гамильтонов поток 127
Из леммы 5.6 следует теорема 1.10, так как легко проверить, что
функция H+(z,t) = H(z,t,5) оказывается аналитической по z и t для
любого малого S > 0. Докажем лемму индукцией по I.
База индукции следует из леммы 5.5:
(H + i)2™'
Предположим, что оценка (3.7) верна для любого целого I Е [0,j].
Индуктивные формулы для функций Gj+l позволяют получить
следующие оценки:
ro „9 [S( V- V T(2u+l)(2t; + l)oW \
j+1 Jo V Z-t.t^vJ2u+2«+3(k + l)4(u + l)3(v + l)3)
_ ac>6J+1 2Ta_ y> (2ti +l)(2u +1) ^ 1
1) ^ . (u+l)3(v + l)3 ^
w2j+3 (j + 1\ Z^ . (u+ 1)3(„ + 1)3 Z^(fc+l)4-
Применяя лемму 5.3, мы видим, что
о acJ+iy+i 2BTa
Gi+i ^ у + 2)3^2^+5 с ■
Аналогично оцениваем функции G^+l:
rS aWT(2« + l)(2t; + l)
^«..?if
-+l)3(u+l)3^+5
X
(<»+y+£'
x|^^^r+> (jt + 1)2(n2+fc+1)2lfo =
<A>>*>+1 ST / ^ (n+l)!
<
(j + 2)2(n + 1)2^+5 i + 1 ^ £^ (* + l)2(n + A; + l)2y
ac3+1(P+1 4£Ta
^ (j + 2)3(n + l)W+5 с '
Следовательно, если с > 4ВТа, то оценки (3.7) справедливы. ■

128
Глава 5. Метод непрерывного усреднения
4. Случай произвольной алгебры х
Теорема 1.9 сводится к теореме 1.10 с помощью следующего приема.
Как известно, любая система дифференциальных уравнений
z = v(z,t), zeM,
в локальных координатах может рассматриваться как часть гамильто-
новой системы
z = дН/др, р = -дН/dz, H(p,z,t) = J^PjVj(*,t),
определенной на кокасательном расслоении (Т*М, dp A dz).
Пусть Т € X (или Т Е X/), a u(z,t) — соответствующее векторное
поле (см. параграф 1.3). Функция Гамильтона
Я(р,г,*) = 5^р^(г,«) (4.1)
з
является линейной по импульсам, аналитичной по z и С2-гладкой по t.
Применяя к этому гамильтониану процедуру непрерывного усреднения,
получим систему
Щ = (£H)t - {£Я, Я}, Н(р, z, t, 0) = Н(р, z, t), (4.2)
£Н(р,z,t,S) = i(H+(p,z,t,S) - И'(p,z,t,S)). (4.3)
Система (4.1)-(4.3) полностью аналогична (3.1)-(3.3). Существование
решения Я(р, z, £, S) системы (4.1)-(4.3) следует из мажорантных оценок
предыдущего параграфа. Теперь теорема 1.9 непосредственно
вытекает из следующего наблюдения:
Предложение 5.1. Функция H(p,z,t,5) имеет вид
H{p,z,t,6) = ]PpjtXj(*,t,*), и(*,М) €*■ (4-4)
з
Более того, если и I-обратимо, то и тоже 1-обратимо.
Предложение 5.1 может быть получено как следствие следующего
факта:

4. Случай произвольной алгебры \
129
Предложение 5.2. Для линейной по р функции Н вида (4.4) правая
часть уравнения (4.2) также линейна по р и имеет вид
^2pjWj(z,t,6), w(z,t,6) G х- (4.5)
з
Более того, если и I-обратимо, то и векторное поле w также
1-обратимо.
Сначала предположим, что Т G X, т. е. обратимость не
предполагается. В этом случае предложение 5.2 доказывается с помощью
следующих двух соображений:
а) если функция Н имеет вид (4.4), то и функции £// и (£H)t тоже
имеют указанный вид;
б) для любых двух векторных полей v1, v11 на М имеет место
тождество
^ 3 3 J 3
Рассмотрим более подробно обратимый случай (Т G Xj). Назовем
векторное поле v(z,t) на М симметричным относительно инволюции /
(или /-симметричным), если
v(z,t) =dlv{lz,-t) (4.6)
(ср. с (3.1), гл. 1). Пусть 5 — множество /-симметричных векторных
полей на М. (Напомним, что множество /-обратимых векторных полей
мы обозначаем через R.)
Для любого векторного поля v(z,t) на М положим £v = i(v+ — и~),
где индексы + и — имеют тот же смысл, что и в (3.1). Тогда, очевидно,
t^Pjvi = YlPj(tv)j-
3 3
Предложение 5.3. Для любых двух векторных полей v G R и w G 5
имеют место следующие соотношения:
£v G 5, wte Я, (4.7)
[v,w] eR. (4.8)

130
Глава 5. Метод непрерывного усреднения
Из этого утверждения вытекает предложение 5.2 для обратимого
случая. Для доказательства предложения 5.3 заметим, что для любого
/-обратимого векторного поля
«см) = J>n(*)e<nt
nez
и любого /-симметричного векторного поля
w{z,t) = ^2wn{z)eint
коэффициенты Фурье vn и wl удовлетворяют равенствам
vn(z) = -dlv~n{lz), wl(z) = dlw-l(lz). (4.9)
Эти равенства могут быть получены из разложения в ряды Фурье
уравнений (4.6) главы 1 и (4.6) настоящей главы. Соотношения (4.7) легко
следуют из равенств (4.9).
Очевидно, что достаточно доказать соотношение (4.8) для случая
v = vn(z)eint + v-n(z)e-in\ w = wl(z)eilt + w-l(z)e-ilt.
Имеем
[v,w] = КУК(п+0* + [и-п,иГ']е-*<п+/>* +
+ K>~V(n~°' + [v-n,wl)e-i{n-l)t.
Используя равенства (4.9), получаем
dl[vn,wl](z) = [dlvn{z),dlwl(z)] =
= [-v-n(Iz),w-l(Iz)] = -[v-n,w-l](Iz).
Равенство dl[vn,w~l](z) = -[v~n,wl](Iz) проверяется аналогично.
Предложение 5.3 доказано.
В заключение несколько слов по поводу доказательства
замечания 1.8 к теореме 1.10 главы 1.
Пусть отображение Т является возмущением порядка е
отображения То. Тогда симплектическое отображение А = Т о Т0-1 таково, что
1) в некоторой римановой метрике dist(A(z),z) < const • е,
2) Т = А о Т0.

5. Усреднение быстрой фазы
131
Отметим, что согласно предложению 1.3 А гладко изотопно
тождественному отображению. Пусть изотопии д$ и #д, t Е [0,27г], связывают
тождественное отображение с То и А, соответственно. Можно считать,
что векторные поля ^#q и ^#д 27г-периодичные и С2-гладкие по £,
аналитичные по z и второе из них имеет порядок е на М.. Изотопия
дь = дьА о gbQ связывает тождественное отображение с Т. Локальный
гамильтониан Н потока дь является гладким и 0(б)-близким к
гамильтониану Но, соответствующему д$:
H(z,t) = H0(z,t) + efi*{z,t,e).
Положим
H(z,t,6) = H0(z,t)+eH.(z,t,6), H\S=Q = H, H.\s=0 = Я».
Мы предполагаем, что Н удовлетворяет усредняющей системе (3.4) с
оператором £ вида
tH = ei(H?-H;),
где Н^ обозначают то же, что и в (3.1). С помощью мажорантных
оценок можно проверить, что усредненная система имеет решение для
малых значений S > 0. Для любого малого положительного S функция Н
аналитична как по z, так и по t. Более того, соотношение Н = Н$+0(е)
сохраняется.
5. Усреднение быстрой фазы
Математические модели ряда физических процессов приводят к
системам дифференциальных уравнений, содержащих угловую переменную
(фазу), скорость изменения которой значительно превосходит скорости
изменения остальных переменных в системе. Выбрав быструю фазу в
качестве нового времени, уравнения можно переписать в виде
z = ev(z, t,е), z e M, (5.1)
где М — m-мерное фазовое пространство системы, а е — малый
параметр, равный отношению характерной скорости изменения медленных
переменных к характерной скорости вращения фазы. Векторное поле v
предполагается гладким 3 и зависящим от времени 27г-периодически.
3 На самом деле в задаче усреднения важна лишь гладкость по z и в несколько
меньшей степени — по е. По времени t достаточно непрерывности, а иногда даже
это требование можно ослабить.

132
Глава 5. Метод непрерывного усреднения
Хорошо известно, что путем замены переменных можно
существенно ослабить зависимость правой части системы (5.1) от времени.
В частности, используя стандартный метод усреднения (см.,
например, [9]), легко построить 27г-периодическую по t замену переменных
2 4г* такую, что уравнения (5.1) примут вид
i* = ev°(z*) +e2v*(z*,e) +еб(г*,«,е), (5.2)
где явная зависимость правой части системы от времени сосредоточена
в слагаемом ev = 0(ек). Натуральное К произвольное, а
/•2тг
^0
1 Гж
— среднее от £T(z, £, 0) по времени.
Предположим теперь, что зависимость функций v от фазовых
переменных аналитическая. Как заметил Пуанкаре, в этом случае
степенные ряды по малому параметру, задающие замену переменных,
исключающую время из уравнений, существуют, но расходятся, причем
множители при ек в этих рядах имеют порядок к\. В общей ситуации
это утверждение доказано в работе [93].
Нейштадт [30, 6] заметил, что в случае аналитической зависимости
функций и от фазовых переменных в уравнениях (5.2) можно получить
v = 0(е"а/е), (5.3)
где а > 0 — некоторая постоянная, а параметр е предполагается
неотрицательным. Таким образом, явную зависимость правой части
уравнений движения от времени можно сделать экспоненциально малой.
Метод, использованный Нейштадтом при доказательстве этого
утверждения, основан на проведении большого (порядка 1/е) количества
последовательных замен переменных, постепенно ослабляющих явную
зависимость уравнений от времени 4 .
Известно также, что, вообще говоря, существует постоянная А > а
такая, что нельзя построить 27г-периодическую по t замену
переменных z \-> z*, для которой v = 0(е~А1е). Это утверждение, например,
следует из оценки величины расщепления сепаратрис в гамильтоновых
системах типа (5.1) с полутора степенями свободы (см. [70, 55]).
4 Аналогичные результаты получили Рамис и Шафке [92], анализируя
(расходящуюся) последовательность замен обычного метода усреднения.

5. Усреднение быстрой фазы
133
В настоящем параграфе, следуя работе [39], мы покажем, как
вычислить максимальную величину а, для которой возможна оценка (5.3),
или хотя бы получить реалистические оценки для а.
Предположим, что многообразие М вещественно-аналитическое.
Зафиксируем его комплексную окрестность Mq. Фазовый поток
системы
z = v°(z), (5.4)
являющейся первым приближением метода теории усреднения,
обозначим символом gl.
Пусть Q — компактное подмножество в М, Vq — его (малая)
окрестность в Me и
Zp = {teC: \Imt\ <р}.
Предположим, что для любого вещественного s такого, что |s| < a,
и любой точки z G Vq отображение gts аналитично в точке z и, более
того, gls(z) G М<с- Тогда определим множество
—a<s<a
Теорема 5.1. Пусть выполняются следующие утверждения.
1. Векторное поле v° не имеет в Q особых точек.
Положительные постоянные а, р, во таковы, что:
2. Множество Uq^ определено.
3. Векторное поле v аналитично на множестве Uq^ х Ер х [0,£о]-
Тогда если во достаточно мало, то существует 2тг-периодическое
по t вещественно-аналитическое отображение
F : V£ х £р х (0, го) -> Мс, Q С V'Q С Vq,
отличающееся от проекции на первый сомноэюителъ лишь в членах
порядка 0(e) и переводящее векторное поле ev в ev+,
v*(z,t,e) = v°{z) + ev+(z,e) +v(z,t,e). (5.5)
При этом выполняется оценка
\v{z,t,e)\<Ce-a'e, zeV^, t G Ep, еб[0,ео). (5.6)

134
Глава 5. Метод непрерывного усреднения
Замечание 5.1. На самом деле функция v аналитична по t в полосе
£р_1_а/е, однако оценка (5.6) выполняется лишь в £Const5 где постоянная
const не зависит от е. В теореме 5.1 мы взяли для определенности
const = р.
Теорема 5.1, в частности, означает, что в случае, когда
компоненты поля v — целые функции переменных z, величина а в
соотношении (5.6) может быть любым положительным числом таким, что для
всех 5 G [—а, а] отображения z »-> gls(z) голоморфны в точке z°.
Ниже теорема 5.1 будет получена как следствие ее локального
варианта — теоремы 5.2. Для формулировки последней рассмотрим вместо
компакта Q точку z° G М. Пусть V С Me — ее окрестность.
Предположим, что для любого вещественного 5 такого, что \s\ < a,
и любой точки z G V отображение gls аналитично в точке z и, более
того, gts(z) G Мс- Определим множество Ua С Мс с помощью равенства
иа= U sT(V)-
—a<s<a
Теорема 5.2. Предположим, выполняются следующие утверждения.
1. Точка z° - неособая для векторного поля v°.
Положительные постоянные а, р, sq таковы, что:
2. Множество Ua определено.
3. Векторное поле v аналитично на множестве Ua x Ep x [0,во].
Тогда если во достаточно мало, то существует 2тг-периодическое
по t вещественно-аналитическое отображение f : V хЕрх(0, во) —> V,
где V С V — окрестность, содержащая точку z°, и выполнены
следующие условия:
а) отображение f гладкое по е и отличается от проекции на
первый сомножитель лишь в членах порядка 0(e);
б) векторное поле ev переводится отображением f в ev*
(см. (5.5)), причем для некоторой постоянной Со выполняется
оценка
\v(z,t,e)\<CQe-«le, zeV, t G Ep, еб[0,е0). (5.7)
Отображение / можно считать заменой координат в системе (5.1),
сводящей явную зависимость уравнений от времени к экспоненциально
малым членам.

5. Усреднение быстрой фазы
135
Замечание 5.2. Предположение о том, что точка z неособая для гг,
имеет чисто технический характер. Аналогичная теорема верна
также в случае особой точки z°. Более того, усредняющая система в этом
случае может быть выбрана той же самой. Доказательство того факта,
что процедура усреднения приводит к желаемому результату,
отличается от доказательства теоремы 5.2 лишь в технической части.
Теорема 5.1 выводится из теоремы 5.2 с учетом того
обстоятельства, что усредняющая процедура, используемая при доказательстве
теоремы 5.2, определена независимо от окрестности Киот точки z°.
Таким образом, отображения /, построенные в теореме 5.2, склеиваются
в вещественно-аналитическое отображение F. При этом Q' = \JZ V'(z),
где z Е Q и окрестности V'(z) удовлетворяют условиям теоремы 5.2.
В силу компактности Q можно считать, что объединение берется по
конечному набору множеств. В качестве постоянной С в (5.6)
можно взять максимум из постоянных Со, соответствующих множествам
V'(z) из этого набора.
Доказательство теоремы 5.2 проводится с помощью метода
непрерывного усреднения. А именно, мы решаем задачу Коши (1.8),
где вместо а на пишем ev и ev:
Щ = (fy)t - e[£v, v], v\s=o = v(z, t, e). (5.8)
Оператор £ определен следующим образом. Пусть
v(z,t,e,6)=Y,vk(z,e,5)eikt.
kez
Тогда положим
£v{z,t,e,5) = ]Tisign/c^(z,£,<J)ei/c' (5.9)
kez
(ср. с (1.11)). Неформальные аргументы, аналогичные приведенным в
параграфе 5.1, позволяют надеяться, что система (5.8)-(5.9) с
указанным оператором £ действительно осуществляет усреднение по
времени t. Искомая замена переменных соответствует значению S = а/е.
Анализ решения системы (5.8) на отрезке 6 Е [0, а/е] приведен в
следующем параграфе.
Заметим, что согласно определению процедура усреднения
обладает следующим важным свойством. Предположим, что векторное поле v

136
Глава 5. Метод непрерывного усреднения
при любых фиксированных t и е принадлежит некоторой подалгебре х
в алгебре Ли векторных полей на М. Тогда при фиксированных £, е
и S векторное поле v(z, £, e, S) также лежит в х- Следовательно,
диффеоморфизм / принадлежит соответствующей группе Ли. Более того, если
v обратимо относительно некоторой инволюции / : М —> М, то
векторное поле v(z,£,£, 5) также является /-обратимым. В частности, если
исходное векторное поле v было гамильтоновым, то v* = v(z,t,e,a/£)
также гамильтоново, а соответствующая замена переменных F сим-
плектическая.
В качестве примера рассмотрим маятник с периодически
вертикально колеблющейся точкой подвеса. Гамильтониан системы выписан
в параграфе 3.6. Если период колебаний точки подвеса мал (точнее,
выполняются равенства (4.1) гл. 4), то функция Гамильтона оказывается
следующей:
Н = у2/2 + cos х + 2В cos(t/e) cos x. (5.10)
Произведя замену t = ет, Н = £_1/Н, получаем
7^ = £г(7^0 + Ki), П0 =y2/2 + cosx, Hi = 2Б cos x cos т.
Система с гамильтонианом И, очевидно, имеет вид (5.1), где точку
следует понимать как производную по новому времени т.
Соответствующая усредненная система первого приближения (5.4) также гамильто-
нова. Ее гамильтониан равен Но-
Решения усредненной системы являются эллиптическими
функциями времени т, и расстояния до их комплексных особенностей
выражаются через эллиптические интегралы. Рассмотрим уровень энергии
L\ — {(х,у) Е К2 : Hoix^y) = 1}, соответствующий сепаратрисе
невозмущенного маятника. Расстояние от вещественной оси Re r до
особенности решения с начальными условиями, лежащими на Li, может быть
вычислено явно и равно 7г/2. Таким образом, согласно теореме 5.1 если
Q лежит в малой окрестности сепаратрис, то постоянная а в
экспоненциальной оценке возмущения v может быть выбрана близкой к 7г/2.
На этих соображениях основано решение задачи о расщеплении
сепаратрис в системе с гамильтонианом (5.10) (см. [100, 102]).
Впрочем, отметим, что в указанных работах строится асимптотика
возмущения й, что, естественно, требует использования утверждений
существенно более тонких, чем теорема 5.1.

6. Аналитические свойства усредняющей процедуры
137
6. Аналитические свойства усредняющей процедуры
Далее для краткости не будем писать е среди аргументов изучаемых
функций.
Анализ усредняющей системы удобно производить в некоторых
специальных координатах (т, 0), 0 = (0i,... , 0m-i)5 удовлетворяющих
следующим свойствам:
1) точка z° имеет нулевые координаты;
2) отображения z —> r(z) и z —> 6(z) вещественно-аналитичны;
3) фазовый поток дь системы (5.4) в координатах (т, 0) действует
следующим образом: (т,0) —> (г + £,0).
Иными словами, функции 0 — вещественно-аналитические первые
интегралы системы (5.4), а г — время на решениях этой системы.
Указанные координаты строятся следующим образом. По
теореме о выпрямлении траекторий в окрестности неособой точки z° на М
существуют вещественно-аналитические координаты (г, 0) такие, что
система (5.4) имеет вид
f = 1, в1 = ... = вт-1=0.
Можно считать, что координаты точки z° нулевые. Согласно условиям
теоремы 5.2 переменные т, 0 можно считать определенными в области
WK = {(т,0) : |Imr| <а + к, |Rer| < я, |0j| < к, j = 1,... ,m - 1}
для достаточно малой постоянной п. Более того, векторное поле
гГ(т, 0, i) аналитично в области Wk x Ер.
Лемма 5.7. Для любого вещественного s Е [—а, а] коэффициенты
Фурье и*, к ф О, в координатах (г, 0) удовлетворяют мажорантным
оценкам
vr{r-is,e,e) <£ м1, iu*(*)
ги*(к) ^
где 1 = (1,...,1)ТЕ Km и /3 — некоторая постоянная.
Доказательство. Пусть /3 = тгх\укхЕр \v\- Тогда согласно
лемме 2.2 имеем max\vk |w*| < /?e~pl*L В силу утверждения 5 леммы 5.1 для
любого 5 Е [—а, а] получаем оценку
ги(к) кш

138
Глава 5. Метод непрерывного усреднения
Остается воспользоваться простым неравенством 1/w <S 1/m*, которое
легко проверяется явным дифференцированием. ■
Система (5.8), (5.9) переписывается в следующем виде (п Е N):
v°s = -2ieJ2{vk,v-k],
к>0
„J = -nvn + ie[v°,vn]-2ieYlK+k,v~%
v7n
к>0
-nv~n - гф°, у~п] - 2ie >T[v*, tTn"*].
k>0
Положим
Лт,М) = (1,0,...,0)+и°(т,М),
(6.1)
v1{t,0,6) = ul(r + i£<Jsign/,M)e~(p+(5)l'1, / ф 0.
Функции и1 удовлетворяют уравнениям
и°6(т,в,6) = -2te^[u*(r + te*,0,*),u-*(r-te*,0,*)]e-2^+^,
fc>0
u£(r + ш*, 0,5) = te[u°(r, 0,5), un(r + ге<*, 0, 6)] -
- 2ieYyi+k{r + ш*,0,5),u-*(r - ie5,0,6)]е~2^^к,
k>0
ujn{r - ieS, 0, S) = -ie[u°{r, 9,6), u"n(r - ieS, 9,6)] -
- 2ie ^2[ик(т + ieS, 9,6), и-п~к{т - ieS, 9, *)]e"2^+^*,
k>0
u°(r, 9,0) = 0, ul(r, 9,0) = #(т, 0), / € Z.
Здесь следует подчеркнуть, что в левых частях этих
дифференциальных уравнений производная по S частная, т. е. дифференцирование по 5,
входящему в выражения вида г ± ieS, не производится.
Для любых двух векторных полей W'(z) = (W[(z),... , W^(z)),
W"{z) = (W[f(z),... , VC(z)), где z = (zu... , zm) — набор координат
(г, 0), положим
m
[w", w"j = Y, {w's dw"/dzs + w's' dw'/dzs).
s=l

б. Аналитические свойства усредняющей процедуры
139
Билинейная операция [ •, • ] не определена инвариантно: она зависит
от координат. Зато она мажорирует коммутатор в следующем смысле.
Предположим, что выполняются оценки W\ <?C W\ W2 <S W". Тогда
[WuW2]<lW',W"l
Рассмотрим так называемую мажорантную систему (п Е N)
С/о = 2e^[Uk,U-k]e-2(p+Vk,
k>0
Щ = e{U\Un\ + 2eYAUn+k,U-k\e-4p^k,
k>0
U~n = 4C/°, U'n] + 2e ]T[tf*, U-n-k\e-^p^k,
k>0
C/°(t,0,O) = 0, U1{t,9,0) = f3w-l(n)l, l ф 0.
Ключевую роль в доказательстве теоремы 5.2 играет следующее
Предложение 5.4. Пусть решение U1 мажорантной системы
определено при 0 < 6 < А, еД < а. Тогда решение задачи Коши для
функций и1 определено при 0 < S < А и для любого вещественного s
такогоj что \s\ <a — e8, выполняются оценки
ul(r + ie6signl + is,в,5) <S Ul(r,9,5),
где мажорантное неравенство рассматривается относительно
переменных г и в.
Доказательство предложения очевидно. В самом деле, правые
части уравнений для функций U1 мажорируют правые части уравнений
для функций и1. Согласно лемме 5.7 в аналогичном соотношении
находятся начальные условия соответствующих задач Коши, откуда и
вытекает требуемое утверждение.
Решение мажорантной системы можно искать в виде U1 = С/, I Ф 0,
где вектор-функция U не зависит от I. Функции U0 и U можно
считать зависящими от переменных (г, в) только через комбинацию
х = т + в\ + ... + вт-\. Более того, можно считать, что
векторы U0 и U параллельны вектору 1. Обозначим компоненты векторов

140
Глава 5. Метод непрерывного усреднения
U0 и U символами у0 и у, соответственно, где у0 = у°(х, 6) и у = у (ж, 6).
Мажорантная система дает следующую задачу Коши:
0_ Атее-^Р+У
у& " 1 _ е-2(Р+<5) УУ*>
У* = те(у у)х + t _ е_2(р+д) УУ*, ^
01/4 1 /^
У U=0 = 0, у|<5=0 = •
к — х
Полученные уравнения можно упростить, слегка увеличив их
правые части. Действительно, пользуясь неравенством
4те-2р Л 2те~2р
< 2а, а —
1_е-2(Р+5) - ' 1-е"2''
получаем следующую задачу Коши, решения которой при 5 > 0
мажорируют решения задачи (6.2):
у°6=аее-26(у2)х,
Уб = ™Ф°у)х + аее~26(у2)х, ^ 3)
У U=o = 0, у\з=о =
к — х
Анализ решения системы (6.3) производим в два этапа. Первый этап
соответствует значениям S Е [0,1пе-1], а на втором S Е [1пе_1,а/е).
Лемма 5.8. При S Е [0,1пе-1] решение системы (6.3) удовлетворяет
следующим оценкам:
у0 (ж, *) «С у(х, 6) < У (к, /3, х, 2(m + a)e*),
2/Зк
У(*,/3,х,А) =
к — х + ^/(я — х)2 — 4/ЗкА
Доказательство. Прежде всего заметим, что решение
системы (6.3) удовлетворяет мажорантному неравенству у°(х,5) <S y(x,5)
при всех значениях 5 > 0, при которых обе функции определены.
Причина состоит в том, что указанная оценка верна при 6 = 0 и
правая часть дифференциального уравнения (6.3) для у мажорирует
правую часть уравнения (6.3) для у0. Из этого замечания вытекает,
что решение <р(я, 5) задачи Коши
2ч .1 Р*
<Р6 = (m + a)e(<p )x, <р\6=о
к — х

б. Аналитические свойства усредняющей процедуры
141
мажорирует функцию у(х, S) для любого S > О такого, что ср(х, 6)
определена.
Функция (р вычисляется явно: (р(х, д) = Y(к, /3, х, 2(га + а)£(5). Таким
образом, лемма доказана. ■
К сожалению, функция (р определена на отрезке S Е [0, а/е] лишь при
достаточно малых а. У нас нет оснований считать а малым. Поэтому
при 6 > In е-1 мы используем более тонкие оценки. На самом деле верна
следующая
Лемма 5.9. При малых е > О и S Е [1пе_1,а/е] решение системы (6.3)
удовлетворяет следующим оценкам:
у°(х,6) « у(х,6) « У(к/2,Р*,х,4те2]пе-1 5),
/3* = max{4/3,256/32а/к}. (6.4)
Заметим, что из лемм 5.8-5.9 вытекает теорема 5.2. Действительно,
функции у0, у оказываются аналитичными в нуле при всех 6 Е [0, а/е].
Тогда решение мажорантной системы удовлетворяет оценкам
Ul(r, 0, 5) «С у(ж, *), О < 5 < а/е.
Согласно предложению 5.4 имеем
ul(r + ie6 signed,а/е) < Ul(r,6,a/e).
Следовательно, в силу равенств (6.1)
у\т,в,а/е)-{\,Ъ,... ,0)«у(х,а/£),
vl{г, в, а/е) « у(х,а/е)е-^а1£^\, I ф О,
откуда вытекает оценка (5.7).
Оставшаяся часть параграфа посвящена доказательству леммы 5.9.
Нам потребуется более точная, чем в лемме 5.8, оценка для
функции у0:
Апе-1
у°{х,]пе'1) = / аее-2»(у2(х,ц))х(1ц «
Jo
rlue-1
« / a£(y2(K,/3,x,2(m + a)£/i))xd/i<
Jo
< ae Inе~1(У2(к, /3, x, 2(m + a)e Ine"1))*.

142
Глава 5. Метод непрерывного усреднения
Предложение 5.5. При малых е > О выполняются следующие
соотношения:
YU,(3,x,2(m + a)e\ne-1) <g ^f* , (6.5)
к)2 — x
(Y2U,(3,x,2(m + a)elne-1)) « ^ . (6.6)
V /x ft/Z — X
Доказательство предложения 5.5 основано на прямых оценках.
Действительно,
2вк
y^&x^m + a^lne-1) = ?——,
¥\i X ~г С^
Q= х/(^ - х)2 - 8(3к{т + а)е\пе-1.
Так как О <?С (к — х + Q)~l <S <3_1, то для доказательства
соотношения (6.5) достаточно проверить, что 1/Q <S 1/(^/2 — х). На самом деле
верна более сильная оценка:
— <S , к* = к — л/А*, А* = 8/fo(m + a)£ln£-1.
Q к* — х
Действительно, справедливы соотношения
1 1
«
Q \/(^* - V^ - х)(к* + \/Х7 - х) ~{к*-у/К-х)
Соотношение (6.5) доказано, так как к* > к/2 при малых е > О (ниже
мы воспользуемся неравенством к* > Зк/4).
Теперь проверим оценку (6.6). Имеем
(Y4K,P,x^rn + a)elne-*))x={K_ffQ)2Q «
8/?V 8/3V
Q3 (к,-а;)3'
Следовательно, нам достаточно показать, что
8/32к2 128/32
(к, — я)3 к/2 — х'
Используя утверждение 4 леммы 5.1, получаем
128/32 32/32к 8/32к2 8/?V
к/2 -ж (к/2-х){Зк/4-х) (к/2-х)(Зк/4-х)2 (k»-z)3'
Предложение доказано. ■

6. Аналитические свойства усредняющей процедуры
143
Согласно предложению 5.5 имеют место следующие оценки:
0 _! 12S/32ae]ne'1 _ъ _ 2(3к
уи(х,1пО « '-— , у(х,1пе-1) «
к/2 — х ' к/2 — х
Следовательно, при 6 > 1п£-1 функции у0, у соответственно
мажорируются функциями ф°, ф, являющимися решением системы
ф°6=ае3(ф2)х,
ф6 = те(ф°ф)х + ае3{ф2)х, (6.7)
^°l*=ine-i = elne-1 f(x), Фи=\пе-1 = f(x),
где величина /3* определена равенством (6.4). Система (6.7) получена
из (6.3) путем замены e~2S на большую величину е2. Чтобы оценить
решение этой системы, положим
ф° = elne-lf(x) + eV^jP,
где ф° — новая неизвестная функция. Система (6.7) принимает вид
$ = у/^е2(ф2)х,
ф6 = те2 \пе~1{/ф)х + у/^ше2{ф°ф)х + ае3{ф2)х,
При S > \пе~1 выполняются очевидные оценки ф 3> ф°, ф 3> /.
Следовательно, имеет место соотношение
ф{х,6) <х(М), S>\ne~\
где х — решение следующей задачи Коши:
Хб = (mine"1 + y/ma + ae)e2{x2)x,
Х\б=]пе-* = f(x)-
Функция х находится явно:
х{х,6) =Y(K/2,P^x,2(mlne~l + у/та + ае)е25) «С
«С У(к/2,Р*,х,4т\пе-1е26).
Лемма 5.9 доказана. ■

Глава 6
Антиинтегрируемый предел
1. Возмущение стандартного отображения
В предыдущих главах мы установили, что динамика в гамильтоновых
системах и в симплектических отображениях, близких к
интегрируемым, остается довольно регулярной. Естественно ожидать, что при
удалении от множества интегрируемых систем хаотические явления
становятся все более существенными. Рассмотрим в качестве примера
стандартное отображение Чирикова (2.1) из главы 1, где параметр е не
мал, а наоборот, очень велик. Предел е —> оо в системах такого типа
был назван антиинтегрируемым [43].
Перепишем отображение SM в «лагранжевой форме». Для этого
предположим, что выполнены соотношения
/ х_ \ sm / х \ sm / х+ \
чу-/1-Чу/1- \у+/
Тогда величины х_, х, х+ удовлетворяют равенству
e~l(x+ — 2x + X-) = sinx. (1.1)
Стандартное отображение, записанное в этой форме, определено на
цилиндре Z = R? _ х\/~, где отношение эквивалентности ~ имеет вид
(х'^х^) ~ (x'lix'i) тогда и только тогда, когда х[ —х'[ = х'2 —х'2' Е 2-кЪ.
Иначе говоря, цилиндр Z получен в результате факторизации
плоскости ШЗ ч по действию группы сдвигов
(х_,х) »-> {х- + 2тг/,х + 2тг/), I Е Z.
При этом образом точки (х_,х) Е Z при отображении SM является
точка (х,х+) Е Z, где х_, х, х_|_ связаны соотношением (1.1).

146
Глава 6. Антиинтегрируемый предел
Траекториями стандартного отображения, записанного в ла-
гранжевой форме, естественно называть бесконечные
последовательности ... ,x_i,xo,xi,... такие, что для любого целого I тройка
(х_,х,х+) = (xi-\,xi,xi+i) удовлетворяет равенству (1.1).
Отметим, что лагранжева форма стандартного отображения
допускает вариационную формулировку. А именно, траектории системы
являются экстремалями формальной суммы
оо 1
^ L(s«,s«+i), L{x\x") = -Or' - х")2 - cosx". (1.2)
l=—оо
Экстремальность понимается в том смысле, что для любой траектории
... , х°_г, x(j, х?,... и любого целого п выполняется равенство
я °°
-— У2 L(xhxi+i) = ° ПРИ ... ,x_i,x0,xi,... = ... ,x5_i,Xo,x?,...
1=—оо
В пределе при е —> оо стандартное отображение теряет смысл, так
как из уравнения (l.l)|e-i_0 невозможно выразить х+ через х и х_.
Тем не менее соответствующая вариационная задача определена. Ее
решения — всевозможные последовательности вида
... ,7гА;_1,7гА;о,7гА;1,... , kj e Z. (1.3)
При больших значениях параметра е стандартное отображение имеет
траектории, близкие к траекториям (1.3).
Точнее, имеет место следующая теорема [43]. Пусть Sk —
множество всех последовательностей вида (1.3) таких, что для любого целого I
выполняется неравенство \к\ — &j+i| — К- Введем на множестве
бесконечных числовых последовательностей метрику р, соответствующую
норме равномерной сходимости, т. е. для любых двух
последовательностей
X = ... ,x_l5Xq,x19 ... , X = ... ,x_l5Xo,xl5...
положим
p(X',X") = sup\x'l-x'l'\.
(Для некоторых пар X', X" последнее выражение может равняться
бесконечности.)

2. Общая конструкция
147
Теорема 6.1. Для любого К > О и любого а > О существует
(достаточно большое) во > О такое, что для любого X' Е Sk и любого е > ео
стандартное отображение имеет единственную траекторию X"
такую, что р(Х',Х") < а.
Теорема 6.1 означает, что при больших значениях параметра е часть
траекторий стандартного отображения оказывается во взаимно
однозначном соответствии с элементами множества Sk-
Последовательности из множества Sk можно считать кодами соответствующих
траекторий. Возможность кодирования траекторий элементами достаточно
большого множества в духе теоремы 6.1 является характерным
признаком хаотической динамики в системе1.
В работе Маккея и Мейсса [75] теорема 6.1 была обобщена на
многомерные симплектические отображения с конфигурационным
пространством Т771. Ниже мы приводим доказательство теоремы о свойствах
антиинтегрируемого предела в еще более общей ситуации.
В статье [49] получено обобщение антиинтегрируемого предела на
случай лагранжевых систем. Отметим, что в этом случае требуется
более изощренная техника.
2. Общая конструкция
Излагаемая ниже конструкция дискретной лагранжевой системы и
антиинтегрируемого предела может показаться слишком абстрактной, но
она охватывает более широкий класс примеров по сравнению с [75].
Для лучшего восприятия рекомендуем читателю постоянно
ориентироваться на основной пример — стандартное отображение, описанный в
предыдущем параграфе.
Пусть на m-мерном гладком многообразии М (не обязательно сим-
плектическом) действует дискретная группа2 . Ниже мы считаем, что
любая точка х Е М имеет окрестность U такую, что множества g(U),
g Е G, попарно не пересекаются. В частности, фактор-пространство
1 Отметим, что в работе Лазуткина [74] утверждается, что при увеличении е
метрическая энтропия стандартного отображения растет. Однако, насколько известно
автору, полного доказательства этого утверждения к настоящему времени нет.
2 Т. е. имеется гомоморфизм группы G в группу диффеоморфизмов
многообразия М. Диффеоморфизмы, соответствующие элементам группы (7, в дальнейшем
обозначаются теми же буквами. В случае стандартного отображения М = R, a G —
группа сдвигов на 27г/, Z £ Z.

148
Глава 6. Антиинтегрируемый предел
M/G является гладким многообразием. Действие G на М порождает
«диагональное» действие G на прямом произведении М х М: для любой
пары х,у G М и g G G имеем
9(х,у) = (g{x),g(y)).
Пусть гладкая функция L : М х М —> R инвариантна относительно
действия группы G:
L(x,y) = L(g(x),g(y)), x,y G M, geG.
Предположим также, что функция L удовлетворяет
следующему свойству невырожденности: для любого х G М отображение
6Х : М -> Т*М,
г) Т
вх(у) = ^(Х'2/)'
является диффеоморфизмом. Функции L, удовлетворяющие описанным
свойствам, будем называть дискретными лагранжианами.
В ряде случаев предположение о том, что отображения Qx —
глобальные диффеоморфизмы, можно ослабить и считать, что обратные
отображения в"1 существуют не всюду на Т*М. В этой ситуации
динамика в описываемой системе, вообще говоря, не определена глобально,
но это еще не значит, что такие системы не следует рассматривать.
Достаточно напомнить, что отображение Пуанкаре в автономной системе
почти никогда не определено глобально.
Конфигурационным и фазовым пространствами системы назовем
соответственно фактор-пространства3 M/G и (М х M)/G.
Динамика в системе с лагранжианом L определяется следующим
образом: (х_,х) »->> (я,я+), где х-,х,х+ G М связаны равенством
^{L(x-,x) + L(x,x+))=0. (2.1)
Траектории дискретной лагранжевой системы являются экстремалями
формальной суммы (1.2) в том же смысле, в котором это понималось в
предыдущем параграфе для стандартного отображения.
Отметим также, что дискретный лагранжиан определен с
точностью до постоянного множителя, т.е. лагранжианы L(x',х") и
3 В случае стандартного отображения эти пространства являются окружностью
(одномерным тором) и циллиндром Z.

2. Общая конструкция
149
cL(x',xn), где с — ненулевая постоянная, задают одинаковые
динамические системы. Динамика также сохраняется при добавлении к
лагранжиану слагаемого вида /(#') — /(#")•
В качестве примера предположим, что многообразие М римано-
во и группа G действует на М изометриями. Тогда лагранжиан
L(x',x") = dist2(x/,x//), где расстояние dist индуцировано римано-
вой метрикой, является гладкой функцией для любой пары
достаточно близких точек #', х" и, очевидно, инвариантен относительно
действия G. Соответствующие функции 0Х обратимы в окрестности нуля
пространства Т*М. Таким образом, любая пара достаточно близких
точек х_, х определяет единственную точку #+, удовлетворяющую
равенству (2.1).
Функция х+ = х+(х-,х) имеет простой геометрический смысл. Так
как точки ж_, х близки, существует единственная кратчайшая
геодезическая, соединяющая х- с х. Тогда ж+ расположена на этой же
геодезической таким образом, что х лежит (локально) между х- и #+ и
выполняется равенство dist(x_,x) = dist(x,£+).
Пусть L : М х М х U -+ Ш, где U С К — окрестность нуля, —
гладкая функция, инвариантная относительно диагонального действия
G на М х М:
Ь(х,у,1л) = Ь(дх,ду,ц), x,yGM, \i G С/, д G G.
Предположим, что отображения 0Х, соответствующие функции
L(x,y,0), обратимы (везде или в достаточно больших областях), и
пусть / : М —> R — гладкая функция, инвариантная относительно
действия G на М:
f(x) = f{gx) для любых х G M, g G G.
Тогда функции
Сх = Сх{х',х") = L{x\x\ 1/Л) + А/(х"), Л G М,
также задают некоторые дискретные лагранжевы системы. Антиинте-
грируемый предел в системах описанного класса определим как предел
Л -> сх).
Предположим, что конфигурационное пространство M/G
компактно и все критические точки функции / изолированы. Пусть Сг —
множество невырожденных критических точек функции /. Очевидно,

150
Глава 6. Антиинтегрируемый предел
Сг переходит в себя при действии группы G и распадается на конечное
число непересекающихся орбит 0\ действия G:
Oi=(j g(yi), yi G Ст.
geG
Пусть К — положительное число и Sk — множество всех
последовательностей вида
... ,ж_1,жо,жь... , XjECr, p(xj,Xj+\) <K, j G Z,
где p — расстояние в какой-нибудь римановой метрике на М. Ниже
будем считать, что действие группы G сохраняет р. Как и в
предыдущем параграфе, введем на множестве бесконечных
последовательностей вида
... ,я_1,яо,#ъ • • • 5 Xj G М,
метрику р следующим образом. Для любых двух последовательностей
положим
p(X,,X") = supp(x,hx,l,)<oc.
lez
Теорема 6.2. Для любого К > 0 и любого а > 0 существует
(достаточно большое) Ло > 0 такое, что для любого X1 G Sk и любого
Л > Ло дискретная лагранжева система с лагранжианом С\ имеет
единственную траекторию X11 такую, что ^(Х,^ХП) < о.
Доказательство теоремы 6.2 проводится методом сжимающих
отображений. Введем в окрестностях точек у G Сг локальные
координаты таким образом, чтобы координаты любых двух точек я/, х"
таких, что х' = g{x"), g G G, совпадали. Для этого достаточно
для каждой орбиты 0\ ввести произвольным образом координаты
в окрестности одной из ее точек, а координаты в окрестностях
других точек множества Сг получаются в результате переноса уже
имеющихся систем координат отображениями д G G.
В окрестности любой точки у G С'г отображение у »->• df /dy
обратимо. Этот факт следует из невырожденности критической точки у
и теоремы о неявной функции. Так как имеются локальные
координаты, можно считать, что соответствующее обратное отображение

2. Общая конструкция
151
Фу : В —> Vy действует из окрестности В нуля пространства Шт в
окрестность Vy точки у. Можно считать, что множество В не зависит
от у. Тогда из-за инвариантности построенных координат
относительно действия группы G для любых двух точек у', у", принадлежащих
одной орбите О/, имеем Vy/ = д(УУ") для некоторого д Е G.
Пусть Q,a(X') — окрестность последовательности X' Е Sk во
множестве всех последовательностей на М:
П(Т(Х,) = {Х:р(Х,Х')<а}.
Рассмотрим отображение Т метрического пространства Па(Х') в
пространство всех последовательностей на М такое, что
последовательность X = Т(Х) определяется следующим образом:
xj = $Xj (--^(L(xj_bXj,l/A) +L(xj,Xj+ul/\))j . (2.2)
Неподвижные точки отображения Т являются траекториями
системы с лагранжианом £д, лежащими в сг-окрестности
последовательности X'. Действительно, для X = X из соотношения (2.2) вытекают
равенства
-Q— {£\(xj-i,Xj) + C\(xj,Xj+\)) = 0.
Таким образом, для доказательства теоремы 6.2 достаточно проверить,
что при больших Л выполняются следующие два утверждения:
а) Г(П*(Х')) С П*№,
б) отображение Т сжимающее.
Пусть Ва(у) CVy — шар с центром в точке у Е Сг и радиусом а:
ВАу) = {х G Ку :р(ж,у) <сг}.
В силу инвариантности относительно действия группы G метрики /9,
функции / и используемых локальных координат множество
Г) §£(Д,Ы) с R™ (2.3)
уеСг
открыто и непусто. Действительно, так как для любых yi,y2 Е Сг
таких, что у\ = д(у2), pEG, выполняется равенство

152
Глава 6. Антиинтегрируемый предел
то множество (2.3) является пересечением конечного числа непустых
открытых множеств. В частности, множество (2.3) содержит
открытый шар ВТ С Шт с центром в нуле и радиусом г > 0. Так как радиус г
можно выбрать достаточно малым, то можно считать, что Вг С В. По
определению имеем Ф~1(ВГ) С Ва(у).
Так как X' G Sk, К < сю, то для достаточно малого до > 0
sup
хеп<г(х'), |1/л|</х0
(L(xj-UXj, 1/Л) + L(xj,xj+i, 1/Л))
dxj
= С <оо.
Пусть Л > max{C/r, 1/до}- Тогда для любого X G £1а(Х') аргумент
функции $Xj в (2.2) лежит в ВТ и, следовательно, X G tta(X).
Чтобы проверить, что отображение Т сжимающее, положим
__р(Фу(Ь1)1Фу(Ь2))
Cl = sup ib-ы '
где точная верхняя грань берется по всем у G CV и bi, 62 £ Д-, а | • | —
стандартная норма в Шт. Постоянная сх, очевидно, конечна.
Для любых двух последовательностей X, X G fi^-X7) и |1/Л| < дх
(дх < до — достаточно малая положительная постоянная) имеем
—-(L(xj-i,Xj, 1/Л) + L(xj,Xj+i, 1/Л)) -
<9£j
(L(x;_i, xj, 1/Л) + L(xj, xj+u 1/Л))
9Jj
<
<c2p(X,X),
где С2 — некоторая постоянная. Таким образом, полагая X* = F{X),
X* = ^"(-Х"), получаем оценку
Следовательно, отображение Т сжимающее при Л > max{2cxC2, l//xi}.
3. Антиинтегрируемый предел и эргодичность
Отсутствие аналитического интеграла в системах, близких к антиин-
тегрируемому пределу, — интуитивно очевидный факт. Тем не
менее формальное доказательство этого утверждения, по-видимому, не

3. Антиинтегрируемый предел и эргодичность
153
является простым4. С другой стороны, не следует думать, что
неограниченное нарастание хаоса в антиинтегрируемом пределе ведет к
эргодичности системы. В частности, имеет место следующий хорошо
известный факт.
Утверждение 6.1. При как угодно больших значениях возмущающего
параметра стандартное отображение имеет эллиптические
периодические траектории.
Следствие 6.1. Так как в общей ситуации эллиптические
периодические траектории окружены островками устойчивости, стандартное
отображение не становится эргодичным в антиинтегрируемом
пределе6 .
Для доказательства утверждения 6.1 мы построим
эллиптические периодические решения периода два. Вычисления удобно вести в
лагранжевой форме. Пусть пара (х_, х) = (х°_, х°) — начальное условие
для периодического решения периода 2. Тогда согласно равенству (1.1)
имеем
е-1(х°_ - 2х° + х°_) = sinx0, e-l(x° - 2х°_ + х°) = sina£.
Эта система, в частности, имеет решения вида
х° = х°_ +7г + 2тг/с, sinx° = -sinx0 = £_1(2тг + 4тг/с), k G Z.
(3.1)
Свойства устойчивости найденных траекторий могут быть
определены путем анализа матрицы монодромии:
м= д{х,х+)
д(х-,х)
д(х,х+)
(х-,х)=(х°_,х°)
(х-,х)=(х°,х°_) д(Х-,х)\
J 0 1 \( 0 1 \
\ -1 2 + ecosx°_ J \ -1 2 + ecosx°J'
4 Исключением является лишь случаи двумерного фазового пространства, где
неинтегрируемость можно вывести из существования трансверсальных гомоклиник к
периодическим решениям (на эту возможность нам указал СВ. Болотин).
5 Заметим, что в принципе не исключено, что стандартное отображение эргодично
на торе (х,у) mod27r для некоторых больших значений е.

154
Глава 6. Антиинтегрируемый предел
Условие эллиптичности имеет вид
|tr.M| = | -2 + (2 + £Cosx^)(2 + £COsx°)| < 2. (3.2)
Положим с = £COsx° = — scosx^_. Неравенство (3.2) принимает вид
О < \с\ < 2. Доказательство утверждения 6.1 завершается очевидным
замечанием, что существуют пары (£, к) с как угодно большими е и
целыми к такие, что выполняются неравенства
|бг-1(2?г + 4тгЛ;)| < 1, 0 < ey/l - (е-^тг + 4тг/с))2 < 2
(здесь первое неравенство дает существование периодического решения
вида (3.1), а второе — условие устойчивости 0 < \с\ < 2). ■
4. Антиинтегрируемый предел в конкретных системах
1. Пусть частица с малой массой \х движется в пространстве Шт под
действием поля сил с потенциалом V(x,t). Предположим, что
потенциал 27г-периодичен по переменным #i,... ,xm и t. Более того, мы
считаем, что
V(x,t) = ±v(x)6(t), (4.1)
где 6(t) — периодическая <5-функция:
t G 2ttZ, Г2жк+°
S(t)
f oo, t€2nZ, Г т\М
для любых к Е Z, a Е (0,27г).
С механической точки зрения частица получает импульсы
величиной — (2тг)~1 dv/dx в моменты времени 27г/, I G Z, а остальное время
движется свободно.
Гамильтониан системы имеет вид
где р = (pi,... ,pm) — импульс, канонически сопряженный
координатам х. Уравнения Гамильтона выглядят следующим образом:
1 dv . ч р/ ч . .

4. Антиинтегрируемый предел в конкретных системах
155
Отображение за период пишется путем решения уравнений
движения. Для любого целого I положим x(2nl — 0) = xi, р(2ж1 — 0) = р\.
Тогда
xi \ ( х(2п1 + 0) \ _ / xt
П )^{p(2nl + 0) ) \Р1-£%{Х1) ]^
( Xl+l \ = ( Xl + 2жР1+^1^ \
Ui ) Vw-sf6(*i) )
Легко видеть, что величины £j_i, xi, xi+\ связаны соотношением
xi+i - 2xi + xi-i = - — (xi).
fjLOX
Дискретный лагранжиан этой системы имеет вид
В данном случае М = Km, G = Ъш и для любых х G Mm, k G Zm имеем
к(х) = х + 2тгк. Лагранжиан L инвариантен относительно указанного
действия группы Zm. Предел \х —> 0 является антиинтегрируемым.
Отметим, что при малом \i система останется близкой к антиинте-
грируемому пределу, если потенциал V сделать обычной периодической
функцией, близкой (в обобщенном смысле) к (4.1).
2. В качестве второго примера рассмотрим плоский бильярд в полосе,
ограниченной графиками двух периодических функций. Пусть частица
движется в области
D = {(х,у) в Ш2 : /i(x) < у < f2{x) + d},
где /i,2 — 27Г-периодические функции, параметр d в дальнейшем
считается большим. Движение внутри области предполагается равномерным
и прямолинейным, а отражение от границы упругое.
Рассматриваемую систему можно считать дискретной лагранже-
вой, где функция L — длина отрезка между двумя последовательными
точками соударения с границей. Будем рассматривать движения, при
которых частица попеременно соударяется с верхней и нижней
стенками. Иначе говоря, мы интересуемся траекториями, звенья которых не
очень сильно отклоняются от вертикалей х = const.

156
Глава 6. Антиинтегрируемый предел
Пусть х\ — координата, задающая точку на нижней границе, а х2 —
на верхней. Тогда длина соответствующего отрезка имеет вид
Цхих2) = ч/(х2 - хх)2 + {d + f2(x2) - /i(xi))2. (4.2)
В этом случае М = R, G = Z, группа Z действует на R сдвигами на
27Г&, А; Е Z. Лагранжиан (4.2) инвариантен относительно указанных
сдвигов, и при больших d
L(xux2) =d- fi(xi) + f2(x2) + 2j(x2 - xi)2 + 0(d~2).
Таким образом, предел d —> сю является антиинтегрируемым, если
функции /i и f2 различны.
Несложно построить также многомерный аналог этой системы.
3. В заключение приведем пример системы, конфигурационное
пространство которой не является тором. Пусть на плоскости
Лобачевского С действует дискретная группа движений G такая, что C/G —
компактное многообразие. Напомним, что в этом случае C/G диффео-
морфно сфере с п > 1 ручками. Метрика Лобачевского индуцирует
на многообразии C/G метрику постоянной отрицательной кривизны.
Для любой функции / : С —> R, инвариантной относительно действия
группы G, функция L : С х С —> R,
Цх',х") = distV,x") + А/(ж")
— дискретный лагранжиан. Здесь расстояние dist берется в метрике
Лобачевского. Предел А —> сю является антиинтегрируемым.
Отметим, что система, соответствующая значению А = 0, имеет
первый интеграл dist(x',x") = const > 0. На ненулевых уровнях этого
интеграла система эргодична. С другой стороны, при больших А, по-
видимому, нет ни интегралов, ни эргодичности.

Добавление А
Диофантовы частоты
В этом добавлении мы рассмотрим некоторые теоретико-числовые
вопросы, связанные с понятиями резонансности, нерезонансности, дио-
фантовости и других арифметических свойств наборов частот.
Основной объект исследования — выражения вида (&, */), где к G Zm —
целочисленный вектор, a v G Шт — постоянный набор частот. В теории
колебаний эти выражения называются малыми знаменателями.
1. В дальнейшем для любого вектора v = (г>1,... , vm)T мы положим
|Ы| = max \vj\.
l<j<m J
Как легко заметить, далеко не все малые знаменатели и в самом деле
малы. Большая часть из них имеет порядок ||А;||. Тем не менее среди
них всегда есть бесконечное множество довольно малых по абсолютной
величине. Действительно, имеет место следующая
Теорема АЛ (Дирихле). Пусть v G Шт. Тогда для любого К G N
найдется ненулевой вектор k G Zm, ||А;|| < 2К такой, что
К*,")\ < m\\v\\2-mK-m+l. (A.I)
Следствие АЛ. Существует бесконечно много векторов k G Ът
таких, что |(&,i/)| <m||i/||||/c||-m+1.
Доказательство теоремы. Для любого натурального К > 0
положим В к = {k G Zm : О ф || А; || < К}. Множество Вк содержит
(2К + 1)ш — 1 элементов. Для любого k G Вк имеем
|<А,1/)| <m||fc||||i/|| <mK\\v\\,

158
Добавление А. Диофантовы частоты
следовательно, существуют два вектора kf,kff Е В к таких, что
(2tf + l)m - 1 " 2(2^)^-!'
Положим k = kf — k". Очевидно, вектор к лежит в B2K и удовлетворяет
неравенству (АЛ). ■
2. Определим множества
An(c,7)cRm, О 0, 7>0,
следующим образом: и Е An (с,7), если для любого ненулевого fc G Z
имеем
Векторы, лежащие хотя бы в одном множестве Dm(c,7), называются
диофантовыми, а остальные векторы называются лагранжевыми.
Очевидно, при с' < с, 7' < 7 выполняется включение
£>ш(с',7') С А*(с,7).
Из теоремы Дирихле (см. следствие АЛ) вытекает, что при j < т — 1
множества An (с, 7) пустые.
Покажем, что множества D(c, m — 1) непусты при достаточно
больших с > 0. Для этого нам придется вспомнить некоторые сведения
из алгебры многочленов. Напомним, что символом Q[x] обозначается
пространство многочленов вида
р(х) = а\х1 + ... + а\х + ао, I € N,
с рациональными коэффициентами. Если р не равен нулю
тождественно, то предполагают, что а\ ф 0. Величина I называется степенью
многочлена I = degp. Многочлен со старшим коэффициентом, равным
единице, называется унитарным. Многочлен р(х) Е Q[x] называется
неприводимым, если он не делится ни на какой многочлен q Е Q[#],
0 < degq < degp. Неприводимым является, например, любой
многочлен второй или третьей степени, лежащий в Q[x] и не имеющий
рациональных корней.

Добавление А. Диофантовы частоты
159
Предложение АЛ. Пусть а — корень неприводимого многочлена
р G Q[#], degp = га. Тогда любой многочлен q G Q[x] такой, что
q(a) = 0, либо делится на р, либо равен нулю тождественно.
Доказательство этого стандартного факта очень простое.
Действительно, предположим, что q не делится нар и q ф 0. Тогда
наибольший общий делитель d многочленов р и q лежит в Q[x] и имеет степень
degd G {1,... , degp — 1}, что противоречит неприводимости р. ш
Теорема А.2 (Лагранжа). Пусть c*i,... , ат — корни унитарного
неприводимого многочлена р степени т с целыми коэффициентами.
Положим
i/j = (l,Gy,aJ,... ,a™_1)T, j = 1,... ,ra.
Тогда для любого j G {1,... , га}
vj G Dm(c,m- 1), c = mm~1||i/i||...||i/m||/||i/<7-||.
Доказательство. Зафиксируем ненулевой вектор к G Zm.
Лемма АЛ. Многочлен Д(х) = n^i(x ~~ (^^s)) является
унитарным, имеет ненулевой свободный член и целые коэффициенты.
Доказательство леммы. Унитарность многочлена Д очевидна.
В силу предложения АЛ величины (A;, vs) отличны от нуля,
следовательно, Д имеет ненулевой свободный член.
Так как Д зависит от ai,... , ат полиномиально, можно записать
Д = Fk(x;au... ,am),
где Fk — многочлен с целыми коэффициентами от га + 1 переменной.
Легко заметить, что F — симметрический по ai,... ,am. Значит, по
теореме о симметрических многочленах его можно представить в виде
Fk(x;ai,... ,am) = Gk(x-ai,... ,crm),
где Gk — многочлен от га + 1 переменной с целыми коэффициентами и
сг3 = 2^ aSlaS2aS3, ..., ат = а\... ат.
51^52^53^51

160
Добавление А. Диофантовы частоты
Напомним, что по теореме Виета
р(х) = хт- aixm-1 + а2хт-2 - ... + (-l)m<Jm,
следовательно, величины ai,... , ат целые. Таким образом,
Gk(x;ai,... ,ат) eQ[x]
— многочлен с целыми коэффициентами. Лемма доказана. ■
В результате применения теоремы Виета к многочлену Д получаем
следующее
Замечание АЛ. Выполняется неравенство
KMl}...(Mm}| = km|>l. (A.3)
Теперь вернемся к доказательству теоремы А.2.
Так как для любого 5 Е {l,...,m} выполняется неравенство
K^j^s)! < т ||Л|| ||vs ||, то в силу (А.З) имеем
KMi)l>l/L„vl 1ии„ Х|>
|(/с, i^>|... |(&, i/m)| m Ц14Ц • • • m ||i/m||
m—1 ;
что и требовалось доказать. В случае j ^ 1 доказательство
аналогично. ■
Рассмотрим в качестве примера положительный корень ад
многочлена х2 + х — 1. Число ад = (л/5 — 1)/2 называется золотым сечением.
Так как ад = (1 + а^)"1, то выполняется равенство
°Ь =
1 +
1 + '".
Из теоремы Лагранжа следует, что ид = (1, ад) Е £>2(с, 1)-для
некоторого положительного с. Более того, в теории непрерывных дробей (см.,
например, [40]) доказывается, что при fcGZ2\ {0}
I <М*>1>
у/Е\\к\\*
т.е. vg Е ^(л/б, 1). Постоянная с = л/б неулучшаема в том смысле,
что для любого с < л/5 множества ^(с, 1) пусты. Таким образом,
золотое сечение — лучшее иррациональное число с точки зрения теории
рациональных приближений.

Добавление А. Диофаптовы частоты
161
3. Меру множества диофантовых частот оценивает, например,
следующая
Теорема А.З (см., например, [41]). Пусть \х — мера Лебега на
пространстве Шт; -у > т - 1; С = {и е Шт : ||i/|| < 1} и S — (т - 1)-
мерная площадь наибольшего сечения куба С гиперплоскостью. Тогда
выполняется следующая оценка:
„(C\DTn(c,j))<^^^(l + *
с \ j — т +1
Следствие А.2. Для любого 7 > т — \ мера множества
С \ Uc>o An(c,7) равна нулю.
Доказательство теоремы. Для каждого ненулевого вектора
k Е Ъш определим множество Щ следующим образом:
Щ = {„6 «Г: |(,,*>| <-^}.
Тогда выполняется неравенство
fi(C\Dm(c^))< Y, МСПЩ).
fcGZ™\{0}
Каждое множество Щ представляет собой «полосу», заключенную
между двумя гиперплоскостями (*/,к) = ± i|jL7. Расстояние р между
этими плоскостями равно расстоянию между точками ±(с||А;||7|А;|2)~1А;.
Следовательно,
р = 2/(с||*|П*|).
Таким образом,
,» тт ч 25 25
1л(СГ)Пк)< „,,.,,. <
С||*||7|*|-С||*||7+1!
так как \к\ > \\к\\. В итоге получаем
^\Dm(c,7))< £ "_ = £)£ 2S
СЦШ+1 ^ ^ cli+l
fc<EZ™\{0} M M /=1 \\к\\=1
00 25
= 2_] , t • (количество точек множества Zm,
г=1 лежащих на поверхности {||fc|| = /}) <
оо
<
25(2Z + l)m'l2m ^ 45m3r

162
Добавление А. Диофантовы частоты
Последняя сумма оценивается с помощью интеграла:
у, 1 Г00 dl = 1
21, /7-m+2 - + / ;7-m+2 + „ _ п
1=1 JL '
откуда и следует требуемая оценка. ■
4. Понятие диофантовости можно обобщить на резонансные наборы
частот. Пусть gv С Zm — множество резонансов, соответствующих
вектору v Е Шт:
a, = {fceZm:(i/,fc)=0}.
Очевидно, множество р^ является подгруппой абелевой группы (Zm, +)
(и даже подмодулем Z-модуля (Zm, +)). Положим
Dmj(c, у) = {v G Шт : rank g„ = I и для любого A; Е Zm \ gy
выполнены условия (А.2)}.
Векторы, лежащие во множествах 1?шДс,7), 0 < Z < m; с, 7 > 0,
назовем обобщенно диофантовыми.
Пусть Kq — целочисленная унимодулярная (deti^o = 1)
квадратная матрица размера га х га, столбцы которой к\,... ,&*,&!,... ,fcj,
/+n = га, таковы, что векторы fci,... , /^ порождают р^. Существование
такой матрицы следует из теории абелевых групп (см. [12])1.
Последние I компонент вектора К^г/ равны нулю. Так как группы gv и дкту
изоморфны, то вектор i/* G Rn, образованный первыми п
компонентами вектора K^v, нерезонансен.
Предложение А.2. Вектор и* диофантов тогда и только тогда,
когда исходный вектор v обобщенно диофантов.
Доказательство. 1. Пусть вектор и* диофантов. Положим
и' = K^v = ( UQ J. Имеем 9l/ = Zl0 = {j Е Zm : jx = ... = jn = 0}.
1 Для т = 2 матрицу Ко легко построить непосредственно. Действительно, в случае
/ = 0 или / = 2 можно взять в качестве Ко единичную матрицу. В случае / = 1 все
векторы из gv параллельны друг другу. Выберем среди элементов группы ди вектор
(b,d)T 6 д», компоненты которого — взаимно простые числа (этого сделать нельзя
лишь в двух случаях: (1,0)т £ д„ и (0,1)т е д„. Тогда возьмем в качестве (b,d)T
тот из этих векторов, что лежит в^). Существуют целые числа а, с такие, что
ad — be = 1. Матрица Go = [ ,1 искомая.

Добавление А. Диофаптовы частоты
163
Покажем, что для любого j G Zm \ Zq выполняется неравенство
\{y\i)\ > Ф1Г7- в самом деле, пусть j* = (ju ... , jn)T. Тогда
К^Л1 = К^Л1>Ф1Г7>Ф1Г7-
Для любого j G Zm \ gv имеем Kq1j G Zm \ Zq, следовательно,
\(u,j)\ = \(v',K^j)\ > c\\K^j\r > с'ЫГ
для некоторой постоянной с'.
2. Пусть для любого j G Zm \ gv выполняется неравенство
\(u,j)\ > c'llill-7- Тогда для любого ненулевого j* G Zn
1<*ЛЛ1 =
Щ",
>с'
К0
так как
Ч'о)
G Zm\gl/. Величина
*(<)
-7
оценивается следу-
#о
О
< c"||j*||, откуда следует диофантовость
ющим образом:
вектора и*, ш
Для обобщенно диофантовых векторов выполняется аналог
теоремы А.З. В частности, пусть С/ = \у G Шт : \\и\\ < 1, rank^ = I = т—п}.
Тогда п-мерная мера множества С\ \ Uc>o ^W(c> 7) равна нулю для
любого 7 > гс — 1-

Добавление Б
Замыкание асимптотических кривых
в двумерных отображениях,
сохраняющих площадь
1. Теоремы о замыкании асимптотических кривых. Пусть Т —
сохраняющий площадь С^-гладкий диффеоморфизм двумерного
многообразия М и ? Е М — его гиперболическая неподвижная точка.
Точка ? порождает четыре асимптотические кривые (ниже они
называются ветвями или сепаратрисными ветвями). Обозначим устойчивые
ветви символами Г\ 2, а неустойчивые — Г^2. Точку *z считаем не
принадлежащей кривым Г^.
Пуанкаре заметил [84], что в общей ситуации сепаратрисы,
пересекаясь, образуют запутанную сеть. Динамика в окрестности такой
сети чрезвычайно неустойчива, нерегулярна и представляет собой
типичный пример хаоса в том смысле, который вкладывают в это слово
физики. По этой причине окрестность сепаратрис принято называть
стохастическим слоем.
Известно, что в стохастическом слое существует инвариантное
гиперболическое множество, на котором Т изоморфно подкове Смейла.
Однако мера этого множества равна нулю, и вопрос о том, как
описать поведение типичной траектории в стохастическом слое, остается
открытым.
Мы упомянем здесь два вопроса, хорошо известных в
математическом фольклоре и тесно связанных с задачей, рассматриваемой ниже.
Предположим, что устойчивая и неустойчивая сепаратрисы не совпа-
дают:Г?иГ§^Г?иГ2. _,_„_,_„
— Положительна ли мера замыкания сепаратрис 1\ U Гх U Г2 U Г2 ?
— Если ответ на предыдущий вопрос положителен, эргодично ли
ограничение отображения Т на это множество?
В настоящем добавлении мы докажем две теоремы (см. [103]).

166
Добавление Б. Замыкание асимптотических кривых
Теорема Б.1. Предположим, что выполнены следующие условия.
1. Множество Г\ П Г^ непусто.
2. Кривые Г\ и Г^ лежат в инвариантной области D С М.
Замыкание D компактно.
Тогда замыкание неустойчивой ветви Гх содержит Т\.
Следствие Б.1. Так как условия теоремы симметричны
относительно Т\ и Т\, имеет место включение Г" С Гх. Таким образом,
множества Гг и Гх совпадают.
Следствие Б.2. Если условия теоремы выполнены для трех пар
Г? и 17, ме{1,2}, (Б.1)
то множества Г1? Г2, Г1? Г2 совпадают.
Пусть р и q — гиперболические периодические точки
отображения Т с периодами i и j, соответственно. Так как р и q —
гиперболические неподвижные точки отображений.Тг и Т-7, то можно определить
ветви Г\^(р) и r\^(q). Положим
W${p) = U Тк(Г$(р)), Wg(q) = [J Г*(1-5Ы).
к=0 к=0
Теорема Б.2. Пусть выполнены следующие условия.
1'. Множество W((p) П W^(q) непусто.
2\ Множество Wf(q) П Wi(p) непусто.
3'. Асимптотические многообразия Wf(p), W^(p), W*(q) и W^(q)
лежат в инвариантной области D С М. Замыкание D компактно.
Тогда выполняются следующие включения:
Wtip)cWu1(q)uWS1(q), (Б.2)
Wt(P)cWu1(q)uWu1(p). (Б.З)
Замечание Б.1. В случае p — q условия 1' и 2' совпадают.
Следствие Б.З. Поменяв в теореме Б.2 точки р и q местами и (или)
Т наТ~1, вместо (Б.2) получаем следующие включения:
W((q)cWU1{p)uWS1{p),
W^{p)CW^(q)uW'l(g),
W?{q)cWl(p)UWHp).

Добавление Б. Замыкание асимптотических кривых
167
В частности, из условий l'-З' следует равенство Wl(p) U Wx(p) =
= WU1(q)uWS1(q).
Следствие Б.4. Если р — q и условия 1'—3' выполнены, то
согласно (Б.З) и соответствующему симметричному включению имеем
ws1(p) = wu1(p).
Напомним, что точки множеств
(WUp)UWl(p))n{W?{q)UW?(q)), {W;(q)UWj(q))Cl{W?(p)UW?{p))
называются гомоклиническими, если р и q лежат на одной и той же
периодической траектории, и гетероклиническими в противном случае.
Такенс доказал [97], что если М компактно, то существует
подмножество R второй категории Бэра во множестве сохраняющих площадь
С^-гладких диффеоморфизмов М такое, что для любого Т Е R и
любой его гиперболической периодической точки р множество гомокли-
нических точек плотно на W*%(p). Отметим, что неясно, можно ли
результаты работы [97] обобщить на случай С^-топологии, где к > 1.
Следующую гипотезу фактически сформулировал (в более слабой
форме) Пуанкаре.
Гипотеза Б.1. Если р — q и условия теоремы Б.2 выполняются, то
множество гомоклинических точек плотно на W({p) и W^{p).
Мезер [78] доказал, что если М компактно, то для Сг-типичного
(г > 4) отображения, сохраняющего площадь, любые две сепаратрис-
ные ветви гиперболической периодической точки имеют одинаковое
замыкание. Типичность понимается в смысле категорий Бэра.
Оливейра [82] получил следующие результаты в рассматриваемом
круге задач. Пусть Т — сохраняющий площадь диффеоморфизм
класса С1 компактной ориентируемой поверхности. Предположим, что
L и К — сепаратрисные ветви его гиперболической неподвижной
точки, причем L — К или L П К — 0. Если К П ш(Ь) ф 0, то К С ш(Ь)
(здесь, как обычно, ш(Ь) — cj-предельное множество для L).
Из этого результата вытекает следующее утверждение [82]. Пусть
М — компактная ориентируемая поверхность и 1 < г < оо. Тогда
L С oj(L) для любой ветви L С7"-типичного отображения,
сохраняющего площадь.
Отметим, что многообразие М в теоремах Б.1-Б.2 может быть
некомпактным, неориентируемым и даже может иметь край.
Дальнейшие конструкции зависят от некоторого целочисленного параметра г.

168
Добавление Б. Замыкание асимптотических кривых
Читатель, которого удовлетворит случай, когда М — сфера или
плоскость, может положить г = 0 и не обращать внимание на появляющиеся
ниже геометрические объекты типа групп гомологии, индексов
пересечения и т. п. Основной геометрический факт, используемый в случае
г = 0, состоит в том, что две замкнутые кривые на плоскости или
сфере не могут иметь ровно одну общую точку, в которой они к тому же
пересекаются трансверсально.
В общей ситуации рассмотрим группу гомологии Н\ (М, дМ)
многообразия М относительно края дМ с коэффициентами из Z2. Пусть
G — подгруппа в iJi(M, <9M), порожденная кривыми, расположенными
в D. Положим г = rank#i(M, Z2). Так как согласно условию 2 или 3'
замыкание D компактно, имеем 0 < г < оо.
Ниже можно считать, что в случае теоремы Б.1 отображение Т
сохраняет каждую из ветвей, а в случае теоремы Б.2 Т сохраняет
каждое из восьми многообразий W^iv), W^io)- Действительно, если Т
не удовлетворяет этому условию, достаточно заменить Т на Т2.
2. Случай г = 0. Пусть U С D — любое открытое множество такое,
что U П Г| ф 0. Предположим, что
U П Г? = 0. (Б.4)
Тогда теорема Б.1 будет доказана, если мы сможем получить
противоречие с ее условиями. Рассмотрев при необходимости вместо U
меньшую область (которую для краткости также обозначим !7), можно
считать, что U = U+ U U0 U С/~, где С/± открыты, связны, a U0 С Г{ —
связный интервал (см. рис. Б.1). Пусть I — минимальный связный
кусок Г\ с началом в точке z,
содержащий U0.
тать, что
ипт(Т)
ипт~г-1(1)
Можно счи-
= 0, (Б.5)
= U0. (Б.6)
Эти равенства означают, что
^ис- Б-*- и0 и U± достаточно малы.
Лемма Б.1. Существует натуральное I > г + 1 такое, что
U+nTl{U+) ф 0, U- nTl{U~) ф 0.

Добавление Б. Замыкание асимптотических кривых
169
Доказательство. Рассмотрим отображение
ТхТ:МхМ-+МхМ, Тх T(zuz2) = (T(zi),T(z2)).
Это отображение сохраняет меру а х а, где а — площадь на М.
Множество !7+ х U~ лежит в компактном инвариантном множестве D x D.
Следовательно, согласно теореме Пуанкаре о возвращении, для
бесконечного количества натуральных I
(Т х T)l{U+ х U~) П ([/+ х С/") ф 0.
Лемма доказана. ■
Существует гладкая замкнутая кривая 7;> удовлетворяющая
следующим свойствам:
а) Vet/', U' = U U Tl(U);
б) множество 7/ПТ*([/°) состоит из единственной точки z', и кривые
7;, Tl(U°) пересекаются в z' трансверсально.
Кривая у' идет вдоль множества Tl(U+) от точки z' ко
множеству [/+. Затем у' проходит через интервал U0 во множество С/~,
попадает во множество Tl(U~) и возвращается в точку z' (см. рис. Б.2).
Рис. Б.2
В силу свойства «а» и равенства (Б.4) имеем
У П Г? = 0. (Б.7)
Лемма Б.2. Существует интервал I С Г|, удовлетворяющий
следующим двум свойствам:
I) концами I являются £ и zo, где точка zo гомоклиническая;
II) InU' = T~r{I) nU' = Tl(U°).

170
Добавление Б. Замыкание асимптотических кривых
Доказательство. Интервал /' = Tl~l(I) \Т1 (I) содержит гомокли-
ническую точку. Действительно, иначе получаем противоречие с
условием 1 теоремы Б.1 из-за соотношения Г\ = UkezTk(I'). Обозначим эту
гомоклиническую точку zq. Таким образом, I определен условием I.
Теперь лемма Б.2 следует из трех включений
Tl(U°) с (J П U') С {Т~г{1) П U') С Tl{U°).
Доказательство первых двух очевидно. Проверим третье. Так как
j с т1'-^/), имеем Т~г(1) С Tl~T~l(I). Из этого соотношения, а также
неравенства I > г + 1 вытекают включения
(т~г{1) пи) с (т1~г-1(Т)пи) с (т(Т)пи) = <Ь
согласно (Б.5). Аналогично
(т-г(1)пт1(и)) с (т1-г-1(Т)пт1(и)) ст1(т-г-1(Т)пи) =т1(и°).
Здесь мы использовали условие (Б.6). Лемма Б.2 доказана. ■
Вследствие свойства I точки £ и zq могут быть соединены
интервалом Iй неустойчивой ветви Г^. Кривая ао = IUlu замкнута. Согласно
определению j' и свойству II кривые I и j' имеют ровно одну общую
точку (точку z') и пересекаются в z' трансверсально. Кривые Iй и у' не
пересекаются в силу (Б.7). Таким образом, индекс пересечения (по
модулю 2)
ind2(a0,7') = l- (Б.8)
Предложение Б.1. При г = 0 индекс пересечения любых двух замкну-
гпых кривых на D равен нулю.
Так как формула (Б.8) противоречит предложению Б.1, теорема Б.1
доказана в случае г = 0. ■
Предложение Б.1 является простым следствием следующей леммы.
Для любой замкнутой кривой а С М пусть {а} — соответствующий
элемент группы Н\(М,дМ).
Лемма Б.З. Для любых двух замкнутых кривых a\,(i2 С М их индекс
пересечения определяется элементами {а\}, {а>2}:
ind2(ai,a2) = a({ai},{a2}), a : НХ{М,ЭМ) х Нх{М,дМ) -> Z2.
Функция а билинейная.

Добавление Б. Замыкание асимптотических кривых
171
Лемма Б.З является стандартным геометрическим фактом. Ее
доказательство можно найти, например, в [16] (некомпактный случай
разобран, например, в [15]).
3. Случай г > 0. Отображение Т определено на инвариантной
области D С М. Следовательно, автоморфизм Т* группы гомологии
Н\ (М, дМ) является также автоморфизмом инвариантной подгруппы
G С Н\{М,дМ) (напомним, что подгруппа G порождена кривыми,
лежащими в D).
Для любых кривых и,исМ выполняется равенство
a(W,W)=a(T»W)r»M). (Б.9)
Лемма Б.4. Для любого О < к < г кривая о^ — Т~к(ао)
удовлетворяет равенству а({о>}, {7'}) — 1-
Доказательство. Любая кривая о^ является объединением af.Uа%,
где ask С Г\ и о% С Ц.
Пусть 0 < к < г. Тогда I С ask С Т г(1). Следовательно, по
лемме Б.2 ask П 7' = z' и пересечение трансверсально. Согласно (Б.7)
имеем а% П 7' = 0- Лемма Б.4 доказана. ■
Для любой гомоклинической
точки z Е Г\ П Г^ назовем L-петлей #(z)
замкнутую кривую, образованную /^^\
отрезками ветвей Г\ и Г^ с концами в \т-1(г) / \z
точках z и T_1(z) (см. рис. Б.З). По- ~~Т J V "ff
ложим $о = 0(*о) и дк = Т~к{до). Для \ /
любого натурального q выполнено \^/М
следующее равенство:
9-1 Рис. Б.З
Ы = {"о}+ ]£{**}. (БЛО)
fc=0
Лемма Б.5. Для любой L-петли $&, к Е Z, выполняется равенство
Доказательство. Согласно лемме Б.4 и равенствам (Б.10) имеем
<*({<>*} .{У}) = 0, 0<*<г-1.

172
Добавление Б. Замыкание асимптотических кривых
Рассмотрим максимальное га такое, что векторы
{ЫЛМ.-.Мбб (Б.11)
линейно независимы. Очевидно, т < г — 1.
Пусть С - линейная оболочка векторов (Б.11). Тогда {$&} Е С при
всех k Е Z. Для любого вектора {г>} из линейного пространства С
имеем а({г;}, {У}) = 0. Лемма Б.5 доказана. ■
Согласно тождеству (Б.9) имеем
a(ri{ao},ri{7})=a({a0},{7'}) = l.
Так как разность Т[{оъ} — {ао} равна сумме L-петель {#&}, то
«(Ti({a0}),{7'}) = l,
откуда получаем
a(Tl{ao},{l'} + TlW}) = 0. (Б.12)
Кривые 7' и Tl(^f') проходят через открытое связное множество Tl(U).
Следовательно, внутри множества U" = U UTl(U) UT2l(U) существует
замкнутая кривая у" из гомотопического класса {7'} +TJ;{7'},
отличающаяся от 7' U Tl(j') лишь внутри Tl(U). Так как С/" П Г^ = 0, имеем
У;ПГУ = 0. (Б.13)
Выполнены следующие соотношения:
Tl(a0) = Tl(Iu) U Tl(I), Tl(Iu) С Г?, Т1(1) С П.
Согласно лемме Б.2 и очевидному равенству U П Т1(1) = 0, имеем
Т\1) П С/" = Т2'([/°). Следовательно, Т'(7) П7" = Т'(г') и пересечение
трансверсально. С другой стороны, Т1(1и)С\у" = 0 согласно (Б.13).
Таким образом, ind2(T*(ao),7") = 1> что противоречит равенству (Б.12).
Теорема Б.1 доказана. ■
4. Сепаратрисы периодических точек. Пусть U С D — открытое
множество такое, что UnW((p) ф 0. Предположим, что выполнено хотя
бы одно из равенств:
Un(W?(q)UW{(q))=<b, (Б.14)
U П (W?(q) U W?(p)) = 0. (Б.15)

Добавление Б. Замыкание асимптотических кривых
173
Тогда теорема Б.2 будет доказана, если мы получим противоречие с ее
условиями.
Рассматривая отображение Тг вместо Т, определим множества
U±, U0 и интервал I. В частности, по-прежнему считаем, что U
удовлетворяет равенствам (Б.5)-(Б.6) с Тг вместо Т.
Очевидно, можно считать, что U П Г\ (р) ф 0 (иначе вместо U
возьмем Tk(U) с надлежащим k Е {1,... , г — 1}). Замкнутая кривая 7' С U'
определяется так же, как и выше. Можно считать, что 7' не проходит
через точки вида Тк(р) nTk(q), к е Ъ.
Из условия 1' получаем Г\(р) П W^(q) ф 0. Следовательно,
лемма Б.2 остается верной, если в ее формулировке считать, что
z0eri(P)nw?(q).
Для некоторых ju,js Е {0,... ,j — 1} имеем
zo G тГ(Г}(д)) П П(р), ГУ(р) ПТ'"'(Г!(9)) ф 0.
Пусть Л' — кривая, идущая из T^u(q) ври состоящая из отрезка
ветви Tiu(Ti(q)) от точки Т-7"(q) до точки zq и отрезка ветви Т\(р) от
точки zo до р. Аналогично пусть Л" — кривая, идущая от р до Тэ (q)
и состоящая из отрезка ветви Г\(р) от точки р до некоторой
точки z Е Гу(р) ПТ^(Г|(д)) и отрезка ветви Tja(T\(q)) от z до T^(q)
(см. рис. Б.4).
Л'
Рис. Б.4 /
Tj"(q) TJ\q)-^
Пусть v — наименьшее общее кратное чисел j и А = js — ju. Если
А = О, положим v — 0. Кривая
Л,UЛ"UTA(Л,)UTA(Л")UT2A(Л,)UT2A(Л")U...UTI/-A(Л,)UTI/-A(Л,,)
замкнута. То же самое верно и для кривой
а0 = а0(к',к") = A' UTijfc"(A") иТ^ЧА(Л') иТ^'ЧА(Л") U ...
у j.ijfc'+i'-A/д'\ у /руЛЧ^-Д/д")

174
Добавление Б. Замыкание асимптотических кривых
где к', к" — произвольные целые числа. Очевидно,
сто £ W{(p) U W?(p) U W{(q) U W?(q).
Выберем к' > О настолько большим, что
У П <70 П W{(p) = у п / = г' (Б.16)
(это можно сделать, так как множество {сг{к', к") П И^(р)) \ I при
больших А/ > 0 расположено в малой окрестности траектории точки р, а
кривая у' не содержит точек этой траектории).
Предположим, что выполнено соотношение (Б. 14). Тогда выберем
к" < О настолько большим по абсолютной величине, что
УПаоПИТ(р) = 0- (Б.17)
(В случае (Б. 15) берем к" > О таким, что у' П &о П W^s(g) = 0, и
дальнейшие рассуждения аналогичны.)
Согласно (Б.14), (Б.16) и (Б.17) имеем а$ П у' = z', причем
пересечение трансверсально. Следовательно, incfe^OjT') = 1. В случае г = О
указанный индекс должен равняться нулю, откуда получаем искомое
противоречие. В случае г > О рассуждения те же, что и в пункте 3:
противоречие получается в результате вычисления индекса пересечения
кривых Ти(а0) и У, где {7"} = {У} + 3?{У}.

Литература
[1] Арнольд В. И. Малые знаменатели. I. Об отображениях окружности
на себя. Изв. АН СССР. Сер. машем., 1961, 25(1), 21-86.
[2] Арнольд В. И. Доказательство теоремы А.Н.Колмогорова о
сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции
Гамильтона. Успехи машем, паук., 1963, 18(5), 13-40.
[3] Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости
движения в классической и небесной механике. Успехи машем, паук., 1963,
18(6), 91-192.
[4] Арнольд В. И. О неустойчивости динамических систем со многими
степенями свободы. Докл. АН СССР, 1964, 156(1), 9-12.
[5] Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.:
Наука, 1974.
[6] Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические
аспекты классической и небесной механики. В кн.: Итоги науки и
техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные
направления. Т. 3: Динамические системы - 3. М.: ВИНИТИ, 1985.
[7] Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. В
кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.
Фундаментальные направления. Т. 4: Динамические системы - 4. М.:
ВИНИТИ, 1985, 5-139.
[8] Биркгоф Г. Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат. 1941.
[9] Боголюбов Н. Н, Митропольский Ю. А. Асимптотические
методы в теории нелинейных колебаний. Изд. 4-е, испр. и доп. М.: Наука,
1974.
[10] Болотин СВ. Двоякоасимптотические к инвариантным торам
движения в теории возмущений гамильтоновых систем. Журп. прикл.
машем, и мех., 1990, 54(3), 497-501.
[11] Брюно А. Д. Нормализация системы Гамильтона вблизи
инвариантного цикла или тора. Успехи машем, паук, 1989, 44(2), 49-78.
[12] Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы. М.: Наука, 1966.
[13] Довбыш С. А. Структура Колмогоровского множества возле
сепаратрис плоского отображения. Машем, замешки, 1989, 46(4), 112-114.

176
Литература
[14] Довбыш С. А. Пересечение асимптотических поверхностей в
возмущенной задаче Эйлера-Пуансо. Жури, прикл. матем. и мех., 1987, 51(3),
363-370.
[15] Д оль д А. Лекции по алгебраической топологии. М.: Мир, 1976.
[16] Дубровин Б. А., Новиков СП., Фоменко А. Т. Современная
геометрия. Методы теории гомологии. М.: Наука, 1984.
[17] Заславский Г. М., Филоненко Н. Н. Стохастическая
неустойчивость захваченных частиц и условия применимости квазилинейного
приближения. Жури, эксперим. и теор. физики, 1968, 54, 1590-1602.
[18] Зиглин С. Л. Ветвление решений и несуществование первых
интегралов в гамильтоновой механике. I, II. Функц. анализ и его прилож., 1982,
16(3), 30-41; 1983, 17(1), 8-23.
[19] Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений
при малом изменении функции Гамильтона. Докл. АН СССР, 1954,
98(4), 527-530.
[20] Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого
тела. М.: Изд-во МГУ, 1980.
[21] Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой
механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 1995.
[22] Козлов В.В., Трещев Д.В. Об интегрируемости гамильтоновых
систем с торическим пространством положений. Матем. сб., 1988,
135(1), 119-138.
[23] Козлов В.В., Трещев Д.В. Полиномиальные интегралы
гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием. Изв. АН СССР.
Сер. матем., 1989, 51(3), 537-556.
[24] Лазуткин В.Ф. К теореме Мозера об инвариантных кривых. В кн.:
Вопросы динамичечкой теории распространения сейсмических волн:
Сборник. Вып 14. Л.: Наука, 1974, 109-120.
[25] Лазуткин В.Ф. Расщепление сепаратрис стандартного отображения
Чирикова. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 24 сент. 1984 г., № 6372-84 Деп.)
[26] Лазуткин В.Ф. О ширине зоны устойчивости возле сепаратрис
стандартного отображения. Докл. АН СССР, 1990, 313(2), 268-272.
[27] Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинами-
ке. М.: Наука, 1978, 312 с.
[28] Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических по
времени возмущениях. Тр. Моск. Матем. общества, 1963, 12, 3-52.
[29] Нейштадт А.И. Оценки в теореме Колмогорова о сохранении
условно-периодических движений. Жури, прикл. матем. и мех., 1981,
45(6), 1016-1025.

Литература
177
[30] Нейштадт А.И. О разделении движений в системах с быстро
вращающейся фазой. Жури, прикл. матем. и мех., 1984, 48(2), 197-204.
[31] Нехорошев Н. Н. Экспоненциальная оценка времени устойчивости
гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. Успехи матем. наук,
1977, 32(6), 5-66.
[32] Нехорошев Н. Н. Экспоненциальная оценка времени устойчивости
гамильтоновых систем близких к интегрируемым. П. Труды семинара
им. И. Г. Петровского, 1979, 5, 5-50.
[33] Севрюк М. Б. Инвариантные торы гамильтоновых систем
невырожденных в смысле Рюссмана. Докл. АН СССР, 1996, 346(5), 590-593.
[34] С те пин A.M. Интегрируемые гамильтоновы системы. Ч. 1. В кн.:
Качественные методы исследования нелинейных дифференциальных
уравнений и нелинейных колебаний. Киев: Ин-т математики АН УССР,
1981, 116-142.
[35] Сванидзе Н.В. Малые возмущения интегрируемой динамической
системы с интегральным инвариантом. Тр. Матем. ин-та АН СССР,
1980, 147, 124-146.
[36] Трифонов СИ. Аналитические диффеоморфизмы как
преобразования монодромии аналитических дифференциальных уравнений. Вестн.
Моск. ун-та, матем. мех., 1986, 5, 70-72.
[37] Трещев Д. В. Механизм разрушения резонансных торов
гамильтоновых систем. Матем. сб., 1989, 180(10), 1325-1346.
[38] Трещев Д. В. Расщепление сепаратрис с точки зрения симплектиче-
ской геометрии. Матем. заметки, 1997, 61(6), 890-906.
[39] Трещев Д. В. Метод непрерывного усреднения в задаче о разделении
быстрых и медленных движений. Регулярная и хаотическая динамика,
1997, 2(3/4), 9-20.
[40] Хинчин А. Я. Цепные дроби. Изд. 4-е, стереотипное. М.: Наука, 1978.
[41] Шмидт В.М. Диофантовы приближения. М.: Мир, 1983.
[42] Ahn Т., Kim G., Kim S. Analysis of the separatrix map in Hamiltonian
systems. Phys. D, 1996, 89(3-4), 315-328.
[43] Aubry S., Abramovici G. Chaotic trajectories in the standard map.
The concept of anti-integrability. Phys. D, 1990, 43(2-3), 199-219.
[44] Aubry S. The twist map, the extended Frenkel-Kontorova model and the
devil's staircase. In: Order in chaos (Los Alamos, NM, 1982). Phys. D, 1983,
7(1-3), 240-258.
[45] Barrow-Green J. Poincare and the Three Body Problem. Providence,
RI: Amer. Math. Soc; London: Math. Soc, 1997. (History of
Mathematics, 11).

178
Литература
[46] В е s s i U. An approach to Arnold's diffusion through the calculus of
variations. Nonlinear Anal, 1996, 26(6), 1115-1135.
[47] В i г к h о f f G. D. Surface transformations and their dynamical applications.
Acta Math., 1922, 43, 119 S.
[48] Bolotin S. V. Homoclinic orbits to invariant tori of Hamiltonian systems.
In: Dynamical systems in classical mechanics. Providence, RI: Amer. Math.
Soc, 1995, 21-89. (Amer. Math. Soc. Trans. Ser. 2, 168).
[49] Bolotin S.V., MacKay R. Multibump orbits near the anti-integrable
limit for Lagrangian systems. Nonlinearity, 1997, 10, 1015-1029.
[50] Broer H. W., Huitema B.G., Sevryuk M. B. Quasi-periodic
motions in families of dynamical systems: order amidst chaos. Berlin: Springer-
Verlag, 1996. (Lecture Notes in Math., 1645)
[51] Cirikov B.V. A universal instability of many-dimensional oscillator
systems. Phys. Rep., 1979, 52(5), 264-379.
[52] Chierchia L., Falcolini C. A direct proof of a theorem by Kol-
mogorov in Hamiltonian systems. Ann.y Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4),
1994, 21(4), 541-593.
[53] Chierchia L., Gallavotti G. Drift and diffusion in phase space. Ann.
Inst. H. Poincare Phys. Theor., 1994, 60(1), 1-144.
[54] Conley C.C., Zehnder E. The Birkhoff-Lewisfixed point theorem and
a conjecture by V. I. Arnold. Invent. Math., 1983, 73, 33-49.
[55] Delshams A., Seara T.M. An asymptotic expressions for the splitting
of separatrices of the rapidly forced pendulum. Comm. Math. Phys., 1992,
150(3), 433-463.
[56] Douady R. Une demonstration directe de l'ecvivalence des theoremes de
tores invariants pour diffeomorphismes et champs de vecteures. C.R. Acad
Sci. Paris Ser. I Math., 1982, 295(2), 201-204.
[57] Douady R. Applications du theoreme des tores invariantes, Thesis. Uni-
versite Paris VII, 1982.
[58] Douady R. Stabilite ou instabilite des points fixes elliptiques. Ann. Sci.
Ecole Norm. Sup. (4), 1988, 21(1), 1-46.
[59] Elliasson L.H. Absolutely convergent series expansions for quasi-
periodic motions. Univ. of Stockholm, 1988, 2, 1-31.
[60] Elliasson L.H. Perturbations of stable invariant tori. Ann. Scuola Norm.
Sup. Pisa. CI. Sci. (4), 1988, 15, 115-147.
[61] Filonenko N.N., Sagdeev R. Z., Zaslavsky G.M. Destruction of
magnetic surfaces by magnetic field irregularities. Nuclear Fusion, 1967, 7,
253-266.
[62] Gallavotti G. Twistless KAM tori. Comm. Math. Phys., 1994, 164(1),
145-156.

Литература
179
[63] Gelfreich V. Separatrices for splitting for the rapidly forced pendulum.
In: Seminar on dynamical Sysems (St. Petersburg, 1991). Basel: Birkhauser,
1994, 47-67. (Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 12).
[64] Gelfreich V.G., Lazutkin V.F., Svanidze N.V. A refined
formula for the separatrix for the standard map. Phys. D, 1994, 71(1-2), 82-101.
[65] Gelfreich V.G., Lazutkin V.F., Tabanov M.B. Exponentially
small splittings in Hamiltonian systems. Chaos, 1991, 1(2), 137-142.
[66] Gelfreich V. G. Reference systems for splittings of separatrices. Nonlin-
earity, 1997, 10(1), 175-193.
[67] Graff S.M. On the conservation of hyperbolic invariant tori for
Hamiltonian systems. J. Diff. Equat, 1974, 15(1), 1-69.
[68] Greene J.M. A method for determining a stochastic transition.
J. Math. Phys., 1979, 20, 1183-1201.
[69] Hermann M. R. Sur les courbes invariantes par les diffeomorphismes de
l'anneau. Vol. 1. Paris: Societe Mathematique de France, 1983. (Asterisque,
103-104).
[70] Holmes P. J., Marsden J.E., Scheurle J. Exponentially small
splittings of separatrices with applications to KAM theory and degenerate
bifurcations. In: Hamiltonian dynamical systems (Boulder, CO, 1987).
Providence, RI: Amer. Math. Soc, 1988, 213-244. (Contemp. Math., 81).
[71] Kuksin S. B. On the inclusion of an almost integrable analytic symplec-
tomorphism into a Hamiltonian flow. Russian J. Math. Phys., 1993, 1(2),
191-207.
[72] Kuksin S.B., Poschel J. On the inclusion of analytic symplectic maps
in analytic Hamiltonian flows and its applications. In: Seminar on Dynamical
Systems (St. Petersburg, 1991). Basel: Birkhauser, 1994, 96-116. (Progr.
Nonlinear Differential Equations Appl., 12)
[73] Lazutkin V.F., Schachmannski I. G., Tabanov M.B. Splitting
of separatrices for standard and semistandard mappings. Phys. D, 1989, 40,
235-248.
[74] Lazutkin V. F. Positive entropy for the standard map. I. Preprint 94-47,
Universite de Paris-Sud, Mathematiques.
[75] MacKay R. S., Meiss J.D. Cantori for symplectic maps near the anti-
integrable limit. Nonlinearity, 1992, 5(1), 149-160.
[76] MacKay R. S. A renormalization approach to invariant circles in area-
preserving maps order in chaos (Los Alamons, NM, 1982). Phys. D, 1983,
7(1-3), 283-300.
[77] MacKay R. S., Percival I. C. Converse KAM: theory and practice.
Comm. Math. Phys., 1985, 98(4), 469-512.

180
Литература
[78] Mather J.N. Invariant subsets for area-preserving homeomorphisms of
surfaces. Mathematical Analysis and Applications, Part B. Advances in
Mathematics. Supplementary Studies, Vol. 7B, Leopoldo Nachbin, ed.
[79] Mather J.N. Nonexistence of invariant circles. Ergodic Theory Dynam.
Syst, 1984, 4(2), 301-309.
[80] Moser J. The analytical invariants of an area-preserving mapping near a
hyperbolic fixed point. Comm. Pure Appl. Math., 1956, 9(4), 673-692.
[81] Moser J. Convergent series expansions for quasi-periodic motions. Math.
Ann., 1967, 169, 136-176. (На русском языке: Мозер Ю. О разложении
условно-периодических решений в сходящиеся степенные ряды. Успехи
матем. наук, 1969, 24(2), 165-211).
[82] 01 i v e i г a F. On the generic existence of homoclinic points. Ergodic Theory
Dynam. Syst, 1987, 7(4), 567-595.
[83] Olvera A., Si mo С An obstruction method for the destruction of
invariant curves. Phys. D, 1987, 26(1-3), 181-192.
[84] Poincare H. Les metodes nouvelles de la mecanique celeste. V. 1-3. Paris:
Gauthier-Villars, 1892, 1893, 1899. (На русском языке: Пуанкаре А.
Новые методы небесной механики. Т. 1-3. В кн.: Пуанкаре А. Избр. труды.
Т. 1-2. М.: Наука, 1971, 1972).
[85] Poschel J. Uber invariante Tori in differenzierbaren Hamiltonschen sys-
temen. Dissertation. Bonn: Reinische Fridrich-Wilhelms-Universitat, 1980.
(Bonner Mathematische Schriften, 120).
[86] Poschel J. Integrability of Hamiltonian systems on Cantor sets. Comm.
Pure Appl. Math., 1982, 35(5), 653-696.
[87] Poschel J. On elliptic lower-dimensional tori in Hamiltonian systems.
Math. Z., 202(4), 1989, 559-608.
[88] Pronin A., Treschev D. On the inclusion of analytic maps into
analytic flows. Регулярная и хаотическая динамика, 1997, 2(2), 14-24.
[89] Rudnev M., Wiggins S. Existence of exponentially small separatrix
splitting and homoclinic and heteroclinic connections between whiskered tori
in Weakly hyperbolic near-integrable Hamiltonian systems. Preprint.
[90] Riissmann H. On twist-Hamiltonians, talk held on the Colloque
international. In: Mecanique celeste et systemes hamiltoniens (Marseille, 1990).
[91] Riissmann H. On the frequencies of quasi-periodic solutions of analytic
nearly integrable Hamiltonian systems. In: Seminar on Dynamical Systems
(St. Petersburg, 1991). Basel: Birkhauser, 1994, 160-183. (Progress in
Nonlinear Differential Equations and Their Applications, 12).
[92] Ramis J. P., Schafke R. Gevrey separation of fast and slow variables.
Nonlinearity, 1996, 9(2), 353-384.

Литература
181
[93] Sauzin D. Caractere Gevrey des solutions formelles d'un probleme de
moyennisation. CR. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 1992, 315(9), 991-995.
[94] Sauzin D. Resurgence parametrique et exponentielle petitesse de l'ecart
des separatrices du pendule rapidement force. Ann. Inst. Fourier (Grenoble),
1995, 45(2), 453-511.
[95] Sevryuk M. B. KAM-stableHamiltonians. J. Dynam. ControlSyst., 1995,
1(3), 351-366.
[96] Takens F. AC1 counterexample to Moser's twist theorem. Indag. Math.,
1971, 33(4), 378-386.
[97] Takens F. Homoclinic points in conservative systems. Invent Math., 1972,
18, 267-292.
[98] Treschev D.V. An estimate of irremovable nonconstant terms in the
reducibility problem. In: Dynamical systems in classical mechanics.
Providence, RI: Amer. Math. Soc, 1995, 91-128. (Amer. Math. Soc. Trans. Ser. 2,
168).
[99] Treschev D.V. On the reducibility of the one-dimensional Schrodinger
equation with quasi-periodic potential. In: Dynamical systems in classical
mechanics. Providence, RI: Amer. Math. Soc, 1995, 129-140. (Amer. Math.
Soc. Transl. Ser. 2, 168).
[100] Treschev D.V. Separatrix splitting for a pendulum with rapidly
oscillating suspension point. Preprint no. 273. Barcelona: Centre de Recerca
Matematica, Institute D'Estudis Catalans, 1994.
[101] Treschev D.V. An averaging method for Hamiltonian systems,
exponentially close to integrable ones. Chaos, 1996, 6(1), 6-14.
[102] Treschev D.V. Separatrix Splitting for a Pendulum with Rapidly
Oscillating Suspension Point. Russian J. Math. Phys., 1997, 5(1), 63-98.
[103] Treschev D.V. Closures of asymptotic curves in a two-dimensional sym-
plectic map. J. Dynam. Contr. Systs., 1998, 4(2), 217-226.
[104] Zaslavsky G.M., Abdullaev S. S. Scaling properties and anomalous
transport of particles inside the stochastic layer. Phys. Rev. E (3), 1995,
51(5), Part A, 3901-3910.
[105] Zehnder E. Generalized implicit function theorems with applications to
some small divisor problems. I, II. Comm. Pure Appl. Math., 1975, 28(1),
91-140; 1976, 29(1), 49-111.

Издательство ФАЗИС Wj^ E-mail: phasis@aha.ru
СЕРИЯ
«Библиотека студента-математика»
ВЫШЛИ В СВЕТ:
1. Я. Г. Синай «Введение в эргодическую теорию»
2. В. И. Арнольд «Лекции об уравнениях с частными производными»
3. В. А. Васильев «Введение в топологию»
4. П. Сарнак «Модулярные формы и их приложения», перев. с англ.
под ред. А. М. Вершика
5. Э. Кэссон, С. Блейлер «Теория автоморфизмов поверхностей
по Нильсену и Тёрстону», перев. с англ. под ред. Д. В. Аносова
6. Д. В. Трещев «Введение в теорию возмущений гамильтоновых
систем»
ГОТОВЯТСЯ К ПЕЧАТИ:
□ В. В. Прасолов, О. В. Шварцман «Азбука римановых поверхностей»
□ Т. Боннезен, В. Фенхель «Теория выпуклых тел», перев. с нем.
под ред. В. А. Залгаллера
□ Р. Фелпс «Выпуклые функции, монотонные операторы
и дифференцируемое™», перев. с англ. В. Л. Левина

ф
Издательство ФАЗИС **F^ E-mail: phasis@aha.ru
СЕРИЯ
«Библиотека математика»
ВЫШЛИ В СВЕТ:
1. В. И. Арнольд «Особенности каустик и волновых фронтов»
2. А.Г.Хованский «Малочлены»
3. В. А. Васильев «Топология дополнений к дискриминантам»
ГОТОВЯТСЯ К ПЕЧАТИ:
□ Д. Мак-Дафф, Д. Саламон «Введение в симплектическую
топологию», перев. с англ. под ред. В. М. Закалюкина
□ С. Дональдсон, П. Кронхаймер «Геометрия четырехмерных
многообразий», перев. с англ. под ред. А. Н. Тюрина
□ Ю. С. Ильяшенко «Теоремы конечности для предельных циклов»
□ К. Кассель «Квантовые группы», перев. с англ.
под ред. В. М. Бухштабера

Дмитрий Валерьевич ТРЕЩЕВ
Родился в г. Оленегорске
Мурманской обл. (1964)
Окончил мех-мат МГУ (1986)
Кандидат физ-мат наук (1988)
Доктор физ-мат наук (1992)
Лауреат государственной
премии России для молодых
ученых (1996)
Автор 24 научных публикаций,
в том числе одной монографии
(совместно с В.В.Козловым)
Новая монография молодого
российского математика
посвящена классическим и
современным аспектам динамики
гамильтоновых систем, близких к
интегрируемым, и их дискретных
аналогов. Основные вопросы,
рассмотренные в книге: теория
Колмогорова-Арнольда-Мозера,
хаос в гамильтоновых системах,
стохастический слой, метод
непрерывного усреднения,
антиинтегрируемый предел.
В книге изложен традиционный
и совершенно новый материал;
его большая часть впервые
излагается в монографической
литературе; значительная часть
результатов принадлежит автору.
Книга адресована широкому
кругу математиков и физиков,
интересующихся современной
теорией динамических систем;
уровень изложения доступен
студентам старших курсов
физико-математических
специальностей.
^WAO>AO>A»>.*>.»>.*a»>A«>>A«
•-•»-•»-*-•»>-•
»».•>.*.•»»