РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

М.Ю. Афанасьев, К.А. Багриновский,
В.М. Матюшок

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
ИССЛЕДОВАНИЯ
ОПЕРАЦИЙ

Учебное пособие

Допущено

Учебно-методическим объединением по классическому
университетскому образованию в качестве учебного пособия
по дисциплине национально-регионального компонента
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению 080100 «Экономика»

МОСКВА
ИНФРА-М
2006
УДК 330.115(075.8)

ББК 22.1я73

А94

Афанасьев М.Ю., Багриновский К.А., Матюшок В.М.

А94 Прикладные задачи исследования операций: Учеб, посо-
бие. - М.: ИНФРА-М, 2006. - 352 с. - (Учебники РУДН).

ISBN 5-16-002397-6

Учебное пособие содержит теоретическое описание основных за-
дач курса «Прикладные задачи исследования операций»: разработка
оптимального плана производства, задачи оптимального смешения и
раскроя, оптимальное планирование финансов, транспортная зада-
ча, динамическое и нелинейное программирование, сетевой анализ
проектов, основы теории игр, модели массового обслуживания, ими-
тационное моделирование, принятие решений в условиях риска и
некоторые другие. Пособие снабжено многочисленными примерами,
решенными задачами и комментариями к ним, а также задачами для
самостоятельной работы.

Предназначено для студентов и преподавателей экономических
вузов и практических рвботников.

Подготовлено при содействии НФПК - Национального фонда
подготовки кадров в рамках Программы «Совершенствование
преподавания социально-экономических дисциплин в вузах»
Инновационного проекта развития образования.

ББК 22.1я73

© Экономический факультет РУДН, 2006
ISBN 5-16-002397-6	©Оформление. ИНФРА-М, 2006

Корректор Н.Д. Фадеева
Компьютерная верстка В.Г. Курочкин
Художественное оформление К.В. Пономарев

ЛР№ 070824 от 21.01.93.

Сдано в набор 22.07.2005. Подписано в печать 14.10.2005.

Формат 60*90/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Newton».

Печать офсетная. Усл. печ. л. 22,0. Уч.-изд. л. 16,63.
Тираж 3000 экз. Цена свободная. Заказ №8784.

Издательский Дом «ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31 в
Тел.: (095) 380-05-40, 380-05-43. Факс: (095) 363-92-12
E-mail: books@infra-m.ru
http://www.infra-m.ru

Отдел «Книга—почтой»:
тел.: (095) 363-42-60, доб. 246, 247

ОАО "Тверской полиграфический комбинат"

170024, г. Тверь, пр-т Ленина, 5. Телсфон:(0822) 44-42-15

Иитерпет/Ноте page - www.tverpk.ru Электронная почта (E-mail) - sales@tverpk.ru
Введение

1. ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

В настоящее время наука уделяет вопросам организации и управ-
ления все больше внимания; это обусловлено совокупностью боль-
шого числа различных причин. Быстрое развитие новых видов тех-
ники и их постоянное усложнение, увеличение масштабов и стоимо-
сти проводимых мероприятий, широкое внедрение новых методов
и автоматических устройств в практику управления — все это при-
водит к необходимости разработки способов научного анализа струк-
туры и организации сложных процессов. От науки требуются реко-
мендации по наилучшему (оптимальному) управлению такими про-
цессами.

Потребности практики вызвали к жизни специальные научные
методы, которые объединяются под общим названием «Исследова-
ние операций». Под этим подразумевается применение математи-
ческих, количественных методов для обоснования оптимальных
решений в различных областях человеческой деятельности.

Сложно принимать решения, когда речь идет о крупномасштаб-
ных мероприятиях типа разработки перспективного плана развития
отрасли промышленности или экономического региона. При этом
обычно предполагается, что будут использованы новые технологии,
связанные с производством прогрессивных изделий. При планиро-
вании приходится опираться на большое количество данных, отно-
сящихся как к прошлому опыту, так и к планируемому будущему.
Выбранное решение должно по возможности гарантировать от оши-
бок, связанных с неточным прогнозированием, и быть достаточно
эффективным для широкого круга условий. Для обоснования такого
решения используется сложная система математических расчетов,
которая позволяет обеспечить правильное решение, позволяющее из-
бежать ненужных затрат и потерь при планировании.

В настоящее время исследование операций — одна из быстро
развивающихся отраслей науки, проникающая во все более широ-
кие области применения: промышленность, сельское хозяйство,
торговля, транспорт, финансовые операции и т.п. Задачи исследо-
вания операций во всех областях, где они возникают, имеют общие
черты, и при их решении используются сходные методологические
приемы. Например, методика количественного исследования, вы-
работанная для анализа процессов образования очередей в системах
массового обслуживания (ремонтных мастерских, автозаправочных
станциях и т.д.), может быть использована для организации рабо-
ты сетей электронно-вычислительных машин и строительных орга-
низаций.

Для того чтобы ближе познакомиться с особенностями задач
исследования операций, рассмотрим некоторые примеры таких
задач.

1.	Организуется снабжение сырьем группы промышленных пред-
приятий. Возможные поставщики сырья расположены в раз-
личных географических пунктах страны и связаны с предпри-
ятиями группы различными путями сообщения с различны-
ми тарифами. Требуется разместить заказы на сырье таким
образом, чтобы все потребности предприятий были удовлет-
ворены в заданные сроки, а затраты на перевозки были ми-
нимальными.

2.	Для реализации определенного количества сезонных товаров
создается сеть временных торговых точек. Требуется
определить основные параметры этой сети: число точек, их раз-
мещение, численность персонала, продажные цены товаров
и т.д. таким образом, чтобы обеспечить максимальную эко-
номическую эффективность распродажи.

3.	Предприятие производит определенного типа изделия. Для
обеспечения высокого качества этих изделий создается систе-
ма выборочного контроля. Требуется организовать такой конт-
роль наиболее рациональным образом, для чего нужны следу-
ющие параметры: размер контрольной партии, последователь-
ность контрольных операций, правила выбраковки изделий
и т.п. При этом следует сделать эти расчеты таким образом,
чтобы обеспечить заданный уровень качества при минималь-
ных расходах.

4.	Имеется сложное техническое устройство, которое при неко-
торых условиях может выходить из строя. Для того, чтобы ис-
править повреждение, необходимо его локализовать и обна-
ружить его причину. Требуется разработать систему тестов,
позволяющую с достаточно большой вероятностью ликвиди-
ровать неисправность за минимальное время.

В каждом приведенном примере речь идет о некотором меро-
приятии, направленном на достижение определенной цели. Заданы
условия, характеризующие обстановку мероприятия, которые не
подлежат изменению (например, сроки поставки сырья в приме-
ре 1). В рамках принятой системы условий требуется найти такое
решение, которое позволит провести намеченное мероприятие с наи-
большей выгодой или за минимальное время.

В соответствии с этими общими чертами конструируются и об-
щие приемы решения описанных и подобных им задач, которые в
совокупности составляют методологическую основу исследования
операций.

Для решения конкретных практических задач исследование
операций располагает большим набором разнообразных математиче-
ских средств. Сюда относятся математические методы оптимизации,
начиная от способов нахождения экстремальных значений функций
(максимумов и минимумов), известных из курса высшей математи-
ки, и включая такие современные методы, как линейное и нелинейное
(выпуклое) программирование, динамическое программирование и
многие другие. В этот набор входит также теория вероятности с ее
новейшими разделами теория случайных процессов, теория инфор-
мации, теория массового обслуживания и др.).

В данном учебном пособии освещаются по преимуществу те
методы, которые реально используются в процессе решения и ана-
лиза актуальных экономических задач.

2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИССЛЕДОВАНИЯ
ОПЕРАЦИЙ

Операция — это любое мероприятие (действие или система дей-
ствий), подчиняющиеся определенному замыслу и направленное на
достижение конкретной цели.

Операция всегда является управляемым мероприятием, т.е. выбор
того или иного способа ее организации зависит от лица, принима-
ющего решения (ДПР). Здесь термин «организация» понимается в
смысле выбора значений параметров, от которых зависит успех пла-
нируемого мероприятия.

Любой набор всех необходимых параметров называется решени-
ем. Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и
неразумными. Решения, которые согласно последующей оценке
оказываются предпочтительнее других возможных вариантов, назы-
ваются оптимальными.

Основное назначение исследования операций состоит в предва-
рительном количественном обосновании оптимальных решений. Дело
в том, что процесс принятия реального решения выходит за рамки
теории исследования операций и относится к компетенции ответ-
ственного лица (или группы лиц), которым предоставлено право
окончательного выбора способа действий. Может оказаться, что
наряду с рекомендациями, следующими из математических расче-
тов, необходимо принимать во внимание ряд факторов формального
и неформального характера, которые не были учтены в расчетах.

Таким образом, исследование операций не ставит перед собой за-
дачу полной автоматизации процессов принятия решений,
а проводит тщательную подготовку количественных данных и реко-
мендаций, облегчающих Л ПР принятие оптимального решения.

Помимо основной задачи — обоснования оптимальных
решений — к области исследования операций относятся следующие
задачи:

•	сравнительная оценка вариантов организации операции (реше-
ний);

•	оценка влияния на результат операции параметров (заданных
условий и определяемых параметров);

•	исследование так называемых «узких мест», т.е. таких элемен-
тов управляемой системы, нарушение действий которых особенно
существенно повлияет на успешность операции.

Эти задачи исследования операций становятся особенно важны-
ми, когда предлагаемая операция рассматривается не изолирован-
но, а как составная часть некоторой системы операций. В этом случае
системный подход к задаче требует учета взаимной зависимости и
обусловленности всего комплекса операций в целом.

Пусть рассматривается некоторая операция Q. Естественным
требованием к принимаемому решению является эффективность
операции, понимаемая как степень ее готовности к выполнению
своего предназначения.

Для того чтобы судить об эффективности операции и сравни-
вать между собой различные варианты решений, разрабатывается
некоторый численный критерий оценки или показатель эффектив-
ности, который часто также называется «целевой функцией».

Конкретный вид показателя эффективности W. которым следует
пользоваться при численной оценке эффективности, зависит от осо-
бенностей изучаемой операции, от ее целевой направленности,
а также от постановки самой задачи исследования, которая может
быть выражена в той и иной форме.

Многие операции выполняются в условиях, содержащих опре-
деленные элементы случайности. Особенно это относится к рыноч-
ным операциям, связанным с колебаниями спроса и предложения,
курсов акций, валют и т.п. В этих ситуациях исход операции, если
даже она была организована строго определенным образом, не мо-
жет быть точно предсказан, а остается случайным. В таких случа-
ях, в качестве показателя эффективности Wвыбирается не отдель-
ная величина исхода операции, а ее среднее значение (математи-
ческое ожидание). В частности, если целью операции является
получение максимальной прибыли, то в качестве показателя эффек-
тивности используется средняя прибыль.

Правильный выбор показателя эффективности следует признать
необходимым условием полезности исследования, выполняемого для
обоснования выбора оптимального решения.

Приведем несколько примеров, в каждом из которых показатель
эффективности выбран в соответствии с целевой направленностью
операции.

1.	Исследуется рентабельность промышленного предприятия,
причем предлагается осуществить ряд мер с целью повыше-
ния эффективности его работы. В качестве показателя эф-
фективности предлагается прибыль (или средняя прибыль),
полученная предприятием за хозяйственный год.

2.	На некотором предприятии организуется комплекс мероприя-
тий по экономии сырья при производстве определенной группы
изделий. Здесь показатель эффективности — это количество
(или среднее количество) сэкономленных средств за опреде-
ленный промежуток времени.

3.	Мастерская занимается ремонтом автомобилей; ее доходность
определяется числом машин, обслуженных в течение дня.
Показатель эффективности — среднее число машин задень.
Здесь среднее число существенно, так как фактическое чис-
ло есть случайная величина.

4.	Предпринимается ряд мер по повышению надежности сети
компьютеров. Цель операции состоит в том, чтобы уменьшить
частоту появления неисправностей («сбоев») сети, или, что рав-
носильно, увеличить средний промежуток времени между сбоя-
ми (так называемую «наработку на отказ»). В качестве пока-
зателя эффективности выбирается среднее время безотказной
работы сети или среднее относительное время исправной ра-
боты.

В этих примерах показатель эффективности требуется максими-
зировать, т.е. найти такое решение, которое дает наибольшее его
значение. Аналогично существуют задачи, где требуется миними-
зировать значение целевой функции, т.е. определить наименьшее
значение параметров. В примере 1 в качестве показателя эффектив-
ности можно выбрать объем производственных затрат при выпол-
нении данного комплекса работ, который требуется сделать как
можно меньше. Любую задачу нахождения минимума можно пре-
вратить в задачу максимизации, для чего достаточно изменить знак
величины Wна обратный.

3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПЕРАЦИИ

Для применения количественных методов исследования необ-
ходимо построить математическую модель исследуемого объекта или
процесса. При построении математической модели изучаемая опе-
рация упрощается, схематизируется (среди факторов, влияющих на
данное явление, выделяется некоторое число наиболее важных, по-
лученная схема их взаимодействия описывается с помощью адекват-
ного математического аппарата). В результате устанавливаются ко-
личественные связи между условиями операции, параметрами ре-
шения и выходным результатом — показателем эффективности
решения.

Чем лучше данная математическая модель отражает характер-
ные черты и особенности операции, тем успешнее будет планируе-
мое исследование и тем полезнее будут полученные рекомендации.

Необходимо иметь в виду, что общих способов построения ма-
тематических моделей не существует. В каждом конкретном случае
модель строится, исходя из целевой направленности операции и
формулировки проблемы научного исследования. При этом обяза-
тельно учитывается требуемая точность решения, а также точность,
с которой получены исходные данные.

Требования, предъявляемые к модели, обычно довольно проти-
воречивы. С одной стороны, она должна быть достаточно полной
для того, чтобы в ней были учтены все факторы, от которых зави-
сит исход операции. С другой стороны, модель должна быть прос-
той, чтобы можно было установить зависимости (по возможности
аналитические) между входящими в нее переменными и парамет-
рами. Модель не должна содержать множества мелких, второстепен-
ных факторов, это усложняет ее анализ и нахождение оптимально-
го решения, а также теряется наглядность полученных результатов
исследования.

В исследовании операций часто встречаются ситуации, когда при
анализе особо сложных задач модель многократно совершенствуется:
после выполнения определенного цикла расчетов анализируют не-
достатки полученного решения, в модель вносят необходимые из-
менения и дополнения, и процесс повторяется с уточненными дан-
ными.
Построение математической модели — это наиболее важная и
ответственная часть исследования, она требует глубокого понима-
ния сути моделируемого явления и возможности привлечения адек-
ватного и надежного математического аппарата. Математические
модели, применяемые в исследовании операций, можно условно
разделить на два основных класса: аналитические и статистические.

Для аналитических моделей характерно установление формуль-
ных, аналитических зависимостей между переменными и парамет-
рами задачи. Они записываются в виде алгебраических, интеграль-
ных, дифференциальных, разностных и т.п. уравнений или систем
уравнений. Опыт показывает, для того чтобы такое описание стало
возможным, необходимо принять значительные упрощения и допу-
щения, а это может отразиться на точности получаемого решения.
Поэтому с помощью аналитических моделей удается описать с хо-
рошей точностью лишь сравнительно несложные операции, где число
взаимодействующих элементов не очень велико.

В сложных операциях, в которых взаимодействуют большое число
важных факторов, в том числе и случайных, наиболее часто приме-
няется метод статистического моделирования. Он состоит в том, что
выполнение операции «повторяется» на компьютере, по возможности
вместе со всеми сопровождающими его случайностями. В результа-
те многократного проведения этой процедуры удается получить
нужные выходные характеристики операции с высокой степенью
точности.

Статистические модели имеют перед аналитическими преиму-
щество в том, что дают возможность учесть взаимодействие боль-
шого числа факторов и не требуют дополнительных упрощений и
допущений. Однако результаты статистического моделирования
обычно представляются в виде таблиц и графиков, не простых для
анализа и осмысления. Аналитические модели, как правило, более
грубые, описывают явление очень приближенно и позволяют полу-
чить представление результатов скорее, на качественном уровне.
Но зато аналитическая форма представления наиболее полно отра-
жает присущие явлению основные закономерности. Опыт показы-
вает, что наилучшие результаты достигаются при совместном исполь-
зовании аналитических и статистических моделей. В этом случае с
помощью сравнительно простой аналитической модели описыва-
ют основные взаимосвязи между параметрами и переменными опе-
рации, а дальнейшие уточнения результатов осуществляют при по-
мощи статистических моделей.

Пусть Q — некоторая операция (управляемое мероприятие),
на исход которой можно повлиять, выбирая те или иные значения
управляющих параметров. Эффективность операции характеризу-
ется показателем эффективности ^(прибыли, чистого дохода и т.п.),
который заранее известен. Требуется максимизировать эффектив-
ность операции при определенных ограничивающих условиях.

Допустим, что построенная некоторым способом математическая
модель операции дает возможность вычислить значение показате-
ля эффективности при любом возможном управленческом решении
для той совокупности условий, в которых выполняется операция.

Рассмотрим простейший случай, когда факторы, от которых
зависит успешность выполнения операции, можно разбить на две
группы:

1)	заданные, известные факторы (параметры) а{, а2,они пред-
ставляют собой числовые характеристики неизменяемых
условий проведения операции;

2)	факторы (элементы решения) хь х2, ... , которые подлежат
определению в процессе выбора решения.

Случай, когда факторы, влияющие на исход операции, либо за-
ранее известны, либо могут быть определены лицом, принимающим
решение, называется детерминированным.

Следует заметить, что в общем случае под параметрами (задан-
ными условиями) операции могут пониматься не только обычные
числа, но и некоторые функции, выражающие ограничения, нало-
женные на элементы решения. Элементы решения также могут быть
и числами, и функциями.

Показатель эффективности является функцией, зависящей от
обеих групп факторов — и от параметров, и от элементов реше-
ния. Эту зависимость можно представить в виде формулы общего
вида:

IV= И^(а,, а2, ...; хь х2, ...).

Так как согласно условиям задачи, математическая модель по-
строена, следовательно указанная зависимость лицу, принимающему
решение, известна и для любых значениях а}, а2, ...; х,, х2, ... мож-
но вычислить значение ГС.

Теперь задачу исследования операций математически мож-
но сформулировать следующим образом: при заданных условиях
at, а2, ... найти элементы решения х(, х2, ..., которые максимизи-
руют показатель Ж

С точки зрения математики — это задача, относящаяся к так
называемым вариационным проблемам. Методы решения отдельных
классов таких задач хорошо исследованы. Наиболее простые спосо-
бы направлены на решение экстремальных задач (задач на нахож-
дение максимума или минимума) при помощи средств высшей ма-
тематики. Для нахождения экстремума функции нужно найти ее
первые производные по всем аргументам, приравнять их нулю и
решить полученную систему уравнений. В результате будут полу-
чены так называемые критические точки функции. Дополнительный
анализ позволяет определить среди них те, которые являются точ-
ками экстремума.

Однако этот простой метод в задачах исследования операций
имеет очень ограниченное применение, чему имеется несколько
различных причин.

1.	В задачах исследования операций обычно имеется большое
количество элементов решения (аргументов функций) и по-
этому совместное решение системы уравнений, полученных
дифференцированием имеющихся зависимостей, как прави-
ло, оказывается очень сложным, иногда даже более сложным,
чем прямой, непосредственный поиск экстремальной точки.

2.	Если на аргументы функции накладываются дополнительные
ограничения, которые ограничивают область их изменения,
то во многих случаях экстремум достигается не в той точке,
где производные обращаются в нуль, а на границе области воз-
можных решений. В этом случае характерная для исследова-
ния операций математическая задача нахождения экстрему-
ма при наличии ограничений не вписывается в классические
схемы решения вариационных задач.

3.	На практике часто встречаются ситуации, когда из-за
некоторых особенностей исследуемых функций или из-за дис-
кретного, а не непрерывного изменения аргумента производ-
ные не существуют.

Следует иметь в виду, что общих математических методов отыс-
кания экстремумов функций произвольного вида при наличии
любых ограничений не существует. Однако для случаев, когда фун-
кции и ограничения обладают некоторыми дополнительными свой-
ствами, разработано большое количество специальных способов
решения задач. В частности, если показатель эффективности линейно
зависит от аргументов (элементов решения) и имеющиеся ограни-
чения задачи, наложенные на аргументы, также имеют вид линей-
ных равенств или неравенств, то экстремум функции можно отыс-
кать с помощью методов линейного программирования.

Если показатель эффективности является выпуклой или квад-
ратичной функцией своих аргументов, то методы выпуклого или
квадратичного программирования дают возможность получить ис-
комое решение достаточно быстро и точно, несмотря на то, что эти
методы являются более сложными по сравнению с методами линей-
ного программирования.
Если исследуемая операция естественным образом разделяет-
ся на ряд этапов или шагов (например, операция планирования про-
должительностью в несколько лет), а показатель эффективности
может быть выражен в виде суммы частных показателей, достигну-
тых за отдельные этапы, то решение, дающее максимальную эффек-
тивность, позволяет получить метод динамического программиро-
вания.

Если ход операции описывается дифференциальными уравнени-
ями, а управление, меняющееся со временем, представляет собой
некоторую функцию с известными свойствами, то в этом случае
применяют методы, основанные на так называемом принципе мак-
симума.

Таким образом, в рассмотренном детерминированном случае
проблема нахождения оптимального решения управления операцией
может быть сформулирована как математическая задача отыскания
экстремума показателя эффективности. При большом количестве
аргументов эта задача может оказаться сложной, но здесь сложность
связана с обработкой больших массивов чисел, и при помощи ком-
пьютерной техники ее обычно удается решить тем или иным спо-
собом с удовлетворительной точностью. Трудности, как правило,
связанны с проведением вычислений и не имеют принципиального
значения.

4.	ОПТИМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Иногда имеет место ситуация, когда не все условия выполнения
операций, известны до ее начала, т.е. некоторые условия содержат
элементы неопределенности. Например, успех экономической опе-
рации зависит от трудно предсказуемых колебаний спроса и пред-
ложения или от поведения конкурентов. В подобных случаях эффек-
тивность операции складывается уже не из двух, как в детерминиро-
ванном случае, а их трех групп факторов:

•	условия выполнения операции о,, а2, ..., которые известны Л ПР
заранее и изменены быть не могут;

•	неизвестные заранее условия и факторы yt, у2, •••'<

•	элементы решения х,, х2, ..., которые надлежит определить.

Предположим, что эффективность операции характеризуется не-
которым показателем W, зависящим от трех групп факторов:

а2, ...; yh у2, ...; хн х2, ...).
Если бы условия У|, у2, ... были известны, то можно было бы
заранее рассчитать область значений показателя эффективности и
выбрать такое решение, при котором он достигает максимального
значения, так как мы имели бы дело с детерминированным случаем.
Но так как указанные параметры неизвестны, то, следовательно,
неизвестна и связь между предлагаемым решением и значением
показателя эффективности.

Тем не менее задача выбора оптимального решения по-прежне-
му остается актуальной и ее можно сформулировать следующим об-
разом: при заданных условиях я(, а2, ... с учетом неизвестных факторов

у2, ... найти такие элементы решения х(, х2, ..., которые по воз-
можности бы максимизировали показатель эффективности W.

Таким образом, возникает уже не чисто математическая задача,
поскольку в ее формулировке присутствует выражение «по возмож-
ности». Дело в том, что наличие неизвестных факторов переводит
поставленную задачу в другую категорию — она превращается в за-
дачу о выборе решения в условиях неопределенности.

Поскольку условия операции неизвестны, то нет возможности
организовать ее так же успешно, как это можно было бы сделать,
если бы руководитель операции располагал большей информацией.
Поэтому любое решение, принятое в условиях неопределенности,
хуже решения, принятого в полностью определенной обстановке. Для
того чтобы выбрать решение в условиях неопределенности, руко-
водитель операции может воспользоваться математическим расче-
том. Обоснованное таким образом решение будет лучше решения,
выбранного произвольным образом.

Задачи о выборе решения в условиях неопределенности очень
часто встречаются в практической деятельности людей и организа-
ций. Простым примером может служить организация выезда груп-
пы сотрудников в экспедицию. Вес вещей и приборов, которые можно
взять с собой, не может превышать определенного предела (усло-
вия <7,, а2, ...). Погода в районе дислокации экспедиции заранее не-
известна (условия у,, у2, ...). Требуется определить, какие предме-
ты одежды (Х|, х2, ...) следует взять с собой.

Обычно такую задачу решают без использования какого-либо
математического аппарата, хотя без опоры на такие данные, как
вероятность дождливой или морозной погоды в районе экспедиции
в данное время года, обойтись нельзя.

Однако если нужно принять более ответственное и серьезное
решение (например, о характеристиках проектируемой плотины в
районе возможных паводков), то выбор решения обязательно дол-
жен быть обоснован математическими расчетами, которые делают
его аргументированным.
Выбор методов существенно зависит от природы неизвестных
факторов у2, ... и от того, какими хотя бы приблизительными,
ориентировочными сведениями о них располагает руководитель опе-
рации.

Наиболее простой для расчетов является ситуация, когда неиз-
вестные факторы представляют собой случайные величины, о которых
имеются статистические данные, характеризующие распределение их
вероятностей.

Рассмотрим работу железнодорожной сортировочной станции,
где руководитель операции стремится оптимизировать процесс
обслуживания прибывающих на станцию грузовых поездов. Заранее
неизвестны ни точное время прибытия поездов, ни число вагонов в
поезде, ни адреса, по которым направляются вагоны. Эти характе-
ристики представляют собой случайные величины, закон распреде-
ления каждой из них может быть определен на основе предшеству-
ющего опыта, по имеющимся данным обычными методами матема-
тической статистики.

В случае, когда неизвестные факторы, выступающие в операции,
являются обычными случайными величинами или случайными функ-
циями, распределение которых известно (хотя бы приблизительно),
то для оптимизации решения может быть использован или способ
искусственного сведения к детерминированной схеме, или способ
«оптимизации в среднем».

При способе искусственного сведения к детерминированной схеме
вероятностная обстановка, в которой происходит явление, прибли-
женно заменяется полностью детерминированной. С этой целью все
участвующие в данной операции случайные факторы yh у2, ... при-
ближенно заменяются неслучайными величинами. Обычно для та-
кой замены используются математические ожидания случайных
факторов.

Этот способ применяется, как правило, при проведении ориен-
тировочных расчетов, направленных не столько на оценку количе-
ственной стороны операции, сколько на выявление качественного
результата (например, получится или нет задуманная операция).
Следует заметить, что этот способ оказывается эффективным, ког-
да диапазон случайных изменений (дисперсия) случайных величин
достаточно мал, тогда эти величины без большой погрешности мо-
гут рассматриваться как неслучайные. Замену случайных величин их
математическими ожиданиями можно использовать в ситуациях, когда
величины yh у2, ... имеют большой разброс, но показатель эффек-
тивности РИ линейно или почти линейно зависит от их значений.

Способ «оптимизации в среднем» является более сложным и при-
меняется, когда замена случайных величин у}, у2, ... на их математи-
14
ческое ожидание приводит к значительным погрешностям результа-
тов. Реализация этого способа состоит из нескольких этапов.

На первом этапе рассматривается плотность распределения слу-
чайных факторов — функция /(у,, у2, ...) — и с ее помощью опреде-
ляется математическое ожидание показателя эффективности —
величина

= М[1Г],
которая зависит от элементов решения.

На втором этапе выбирается решение xj, х2, ..., при котором
величина Wm будет иметь максимальное значение.

Обоснование эффективности применения этого способа состо-
ит в том, что хотя успешность каждой отдельной операции, осуще-
ствляемой при случайных, заранее неизвестных значениях факторов,
может заметно отличаться от ожидаемого среднего значения как в
большую, так и в меньшую сторону, но при многократном осущест-
влении данной операции эти различия сглаживаются и результат
получается вполне удовлетворительным.

Как видно из описания приведенного способа, для уверенной
работы в условиях неопределенности и оценки величины возмож-
ной погрешности полезно кроме математического ожидания пока-
зателя эффективности определить разброс его значений (дисперсию
или среднее квадратическое отклонение).

Наиболее трудным для исследования операции представ-
ляется случай неопределенности, когда случайные факторы yt, у2, ...
не могут быть описаны и изучены при помощи статистических ме-
тодов. Такая ситуация возникает, если отсутствуют необходимые
статистические данные о законах распределения этих величин или
когда законов распределения просто не существует. Как правило, это
ситуации, когда исследуемое явление не обладает свойством стати-
стической устойчивости. Например, ожидаемый доход от некоторой
внешнеторговой операции зависит от наличия и качества аналогич-
ного товара у предполагаемого конкурента в момент начала продаж
на рынке. Очевидно, что здесь нет никакой возможности вычислить
вероятности каких-либо гипотез, их приходится назначать произ-
вольно или путем экспертных оценок, что может заметно испортить
объективность исследования и оценок оптимального решения.

В подобных случаях, вместо произвольного и субъективного
назначения вероятностей с последующей «оптимизацией в среднем»,
можно рассмотреть весь диапазон возможных вариантов случайных
условий или наиболее вероятное его подмножество и получить данные
о том, какова эффективность исследуемой операции в этом диапа-
зоне и как на нее влияют неизвестные условия.
Описанный подход позволяет получить решение, оптимальное
для некоторой выбранной совокупности неизвестных условий,
такое решение называется локально-оптимальным. Совокупность
локально-оптимальных решений для всего диапазона случайных
условий дает представление о том, как руководитель операции дол-
жен поступать в том случае, когда неизвестные ранее условия у,, у2,...
становятся ему известны. Поэтому в случае неопределенности
локально-оптимальное решение, на нахождение которого обычно
тратится много времени и средств, имеет весьма ограниченную цен-
ность. В большинстве случаев становится ясным, что необходимо
выбрать не строго оптимальное для каких-то определенных усло-
вий решение, а некоторое компромиссное решение, которое, не яв-
ляясь строго оптимальным ни для каких условий, оказывается при-
емлемым в некотором диапазоне условий.

Обычно окончательный выбор компромиссного решения осуще-
ствляется человеком (лицом, принимающим решения). Опираясь на
расчеты, он может оценить и сопоставить сильные и слабые сторо-
ны каждого варианта решения в различных условиях и на основе этого
сделать окончательный выбор. При этом необязательно (хотя зача-
стую и очень полезно) знать точный локальный оптимум для каж-
дой совокупности условий у,, у2, ... Это означает, что классические
вариационные и новейшие оптимизационные методы математики в
данной ситуации не имеют определяющего значения и отступают на
второй план.

Далее рассмотрим случай, который проявляется в так называе-
мых конфликтных ситуациях, когда неизвестные параметры у,, у2, ...
зависят не от объективных обстоятельств, а от действий активно
противостоящего руководству операции конкурента. Такие ситуа-
ции являются весьма характерными для действий предприятия в
сложной экономической обстановке, в особенности в условиях внеш-
ней торговли, когда идет спор за рынки сбыта. Здесь при выборе
оптимальных решений оказывается полезным аппарат математиче-
ской теории конфликтных ситуаций — теории игр. Модели кон-
фликтных ситуаций, изучающиеся теорией игр, основаны на предпо-
ложении, что руководитель операции имеет дело с разумным и дально-
видным противником, который выбирает свое решение (поведение)
наилучшим для себя (и наихудшим для «нашей» операции) спосо-
бом. Такой взгляд на конфликтную ситуацию в значительном чис-
ле случаев позволяет руководству операции найти наименее рис-
кованное, решение, которое необязательно должно быть принято,
но которое полезно иметь в виду.

Полезным может оказаться следующий подход. Если при обо-
сновании оптимального решения в условиях неопределенности при
любых действиях руководства операции влияние неопределеннос-
ти остается весьма значительным, то совершенно необязательно про-
водить большое количество расчетов для получения высокоточно-
го результата. Вместо этого предлагается определить некоторую
область (множество) допустимых и подходящих решений, которые
при любом способе оценки оказываются лишь незначительно хуже
решений, полученных с высокой точностью. Затем руководители
операции легко могут сделать окончательный выбор оптимального
решения среди элементов этого множества.

5.	ОЦЕНКА ОПЕРАЦИИ ПО НЕСКОЛЬКИМ
ПОКАЗАТЕЛЯМ

До этого момента мы рассматривали задачи исследования опе-
раций, в которых требовалось выбрать оптимальное решение таким
образом, чтобы определить максимальное (или минимальное) зна-
чение одного единственного показателя эффективности W. Одна-
ко на практике часто встречаются случаи, когда эффективность
операции приходится оценивать сразу по нескольким показателям

W2, Wk, причем некоторые показатели (например показа-
тели объема выпуска) желательно сделать как можно больше, а другие
(например, затратные показатели) как можно меньше.

Как правило, эффективность больших по объему, сложных опе-
раций не может быть охарактеризована с помощью одного показа-
теля, поэтому приходится привлекать дополнительные оценочные
критерии. Например, при оценке деятельности промышленного
предприятия нужно учитывать такие показатели, как объем произ-
веденной продукции, себестоимость единицы продукции, прибыль-
ность (рентабельность) производства, трудовые затраты и др.

Следует заметить, что во многих случаях выдвигаемые требования
максимизации и минимизации показателей эффективности оказыва-
ются просто несовместимыми. Например, требование «достижение
максимального эффекта при минимальных затратах» не является
корректным для научного анализа. Правильной постановкой зада-
чи может быть стремление достичь «максимального эффекта при
заданном уровне затрат» или «определенного эффекта при минималь-
ных затратах».

В общем случае не существует такого решения, которое обра-
щало бы в максимум один показатель и одновременно в максимум
(или минимум) другой показатель; тем более, такого решения не
существует для нескольких показателей. Однако количественный
анализ эффективности позволяет отбросить явно нерациональные
варианты решений, уступающие лучшим вариантам по всем по-
казателям. Процедура предварительной отбраковки неконкуренто-
способных вариантов решения всегда должна предшествовать реше-
нию задачи исследования операций с несколькими показателями.
Ее проведение, хотя и не снимает необходимости компромисса,
но значительно уменьшает размер множества возможных решений,
в пределах которого выполняется выбор оптимального решения.

Поскольку комплексная оценка решения сразу по нескольким
показателям является весьма трудоемкой и требует дополнительных
размышлений, на практике стараются объединить несколько пока-
зателей в один обобщенный показатель (или критерий). Наиболее
распространенный способ формирования такого «составного кри-
терия» состоит в образовании «взвешенной суммы» различных по-
казателей эффективности:

t/= Й,И/, +	+ ... + anWn,

где коэффициенты аъ ..., ап положительные или отрицательные
натуральные числа. Положительные коэффициенты ставятся при
показателях, которые требуется максимизировать, а отрицатель-
ные — при показателях, подлежащих минимизации. Абсолютные зна-
чения коэффициентов, называемые «весами», соответствуют степени
относительной важности показателей, которая определяется путем
неформального анализа.

В ряде случаев задачу с несколькими показателями эффектив-
ности можно свести к задаче с одним показателем. Например, если
выделить только один (главный) показатель и стремиться получить
его максимальное значение, а на остальные, вспомогательные по-
казатели наложить специальные ограничения (на максимизируемые
показатели ограничения типа «больше или равно», а на минизиру-
емые — «меньше или равно»). Все эти ограничения добавляются в
комплекс исходных условий задачи.

При такой постановке задачи все показатели эффективности, кроме
главного, переходят в совокупность заданных условий проведения
операции. Варианты решений, не удовлетворяющих специальным
ограничениям, сразу же отбрасываются, как недопустимые. Очевидно,
что в этой обстановке разработанные рекомендации будут существенно
зависеть от того, как были выбраны ограничения для вспомогатель-
ных показателей. Для определения влияния выбора на получение
оптимального решения, следует варьировать параметры специаль-
ных ограничений в некоторых подходящих пределах.

Такой подход может быть использован при поиске оптимально-
го режима работы промышленного предприятия по трем критериям:
максимизация прибыли, выполнение определенного заказа и мини-
мизация себестоимости. Главным критерием считается прибыль;
ограничение по заказу записывается в виде равенства, а ограничение
по себестоимости выглядит в виде требования «не выше заданной ве-
личины»; после чего задача решается как задача с одним критерием на
достижение максимума прибыли.

Существует способ построения компромиссного решения «ме-
тодом последовательных уступок», который состоит из нескольких
этапов.

На первом — показатели эффективности располагаются в порядке
убывания важности: сначала идет главный показатель, а затем вспо-
могательные. Для простоты изложения можно считать, что все пока-
затели нужно максимизировать. Процесс построения компромиссно-
го решения выглядит следующим образом. Сначала находится ре-
шение, максимизирующее главный показатель, затем исходя из
практических соображений, назначается некоторая «уступка» (умень-
шение значения главного показателя) и решается задача нахожде-
ния максимума второго по важности показателя при соответству-
ющем специальном ограничении на значение главного и т.д. В ре-
зультате получается решение, в значительной мере удовлетворяющее
требованию одновременной максимизации всех показателей.

Следует иметь в виду, что при любом способе формализации,
задача количественного обоснования решения по нескольким пока-
зателям остается не до конца определенной, и окончательный вы-
бор решения определяется действиями руководителя операции (лица
или коллектива, принимающего решение).

6.	СТРУКТУРА УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ

Для облегчения восприятия во всех главах учебного пособия
выдержана единая структура изложения материала. Каждая глава
содержит следующие разделы.

Цели. Дается краткая характеристика целей главы. Перечисля-
ются основные понятия, которые должны быть изучены, и навы-
ки, которые должны быть приобретены после изучения материала
главы.

Модели. Приводится описание экономико-математических мо-
делей, необходимых для выполнения заданий поданной теме. Фор-
мулируются утверждения, обеспечивающие теоретическую основу для
применения этих моделей. Материал этого раздела можно рассмат-
ривать как краткий конспект лекции по теме.
Примеры. Демонстрируется, как данные модели могут исполь-
зоваться для решения экономических задач. Приводятся формули-
ровка задачи, описание модели, необходимой для анализа задачи,
результаты расчетов по модели и анализ этих результатов.

Контрольные вопросы. Предлагаю несколько вопросов множест-
венного выбора. Это — наиболее простая для обучаемого форма
контроля знаний.

Задачи. Данный раздел является основной формой контроля
результатов обучения по программе подготовки бакалавров. Он со-
стоит из задач для самостоятельного решения. Решение любой за-
дачи предполагает построение соответствующей модели, проведение
необходимых расчетов и получение ответов на поставленные в за-
даче вопросы.

Ситуации. Данный раздел является основной формой контро-
ля результатов обучения по программе подготовки магистров. Анализ
ситуаций позволяет научиться решать задачи, возникающие при
исследовании сложных экономических проблем. Заметим, что не
может быть однозначных ответов на все вопросы, содержащиеся в
описании любой ситуации. В этом ее принципиальное отличие от
задачи. Как правило, в описании конкретной ситуации не дается вся
необходимая информация. Обучаемым приходится делать предпо-
ложения и вносить необходимые добавления. Поэтому в процессе
анализа ситуации могут быть получены разные результаты, и каж-
дый из них будет верен. Цель анализа ситуации не сводится к по-
лучению ответа — важен не столько результат, сколько процесс ана-
лиза.
Глава 1

РАЗРАБОТКА ОПТИМАЛЬНОГО
ПЛАНА ПРОИЗВОДСТВА

ЦЕЛИ

В данной главе показаны возможности использования мо-
дели линейного программирования (ЛП) для определения пла-
на производства. Рассмотрен случай, когда закупка готовой про-
дукции для последующей реализации может оказаться для про-
изводителя предпочтительнее, чем использование собственных
мощностей. Рассматривается задача производственного плани-
рования, учитывающая динамику спроса, производства и хра-
нения продукции. Наиболее часто такого рода задачи возника-
ют на уровне агрегированного планирования и оперативного
управления микроэкономическими объектами.

После того, как вы выполните задания, предлагаемые в этой
главе, вы будете уметь составлять и применять для экономиче-
ского анализа:

•	целевую функцию;

•	ограничения;

•	допустимый план;

•	множество допустимых планов;

•	модель линейного программирования;

•	оптимальный план;

•	двойственные оценки;

•	границы устойчивости.

Общая постановка задачи планирования производства:
определить план производства одного или нескольких видов про-
дукции, обеспечивающий наиболее рациональное использование име-
ющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой
план должен быть оптимальным с точки зрения выбранного кри-
терия — максимум прибыли, минимум затрат на производство
и т.д.

МОДЕЛИ

Формально задача оптимизации производственной программы
может быть описана с помощью следующей модели линейного
программирования'.

п

У C;X:	max;  j j	’			(1)
y-i			
n			
I anxj	i = 1, ..	m;	(2)
3 = 1			
Xj >0, J = 1,	..., n.		(3)

где п —число выпускаемых продуктов;

т —количество используемых производственных ресурсов
(например, производственные мощности, сырье, рабо-
чая сила);

й;у —объем затрат ресурса i на выпуск единицы продукта/;

Cj — прибыль от выпуска и реализации единицы продукта /;

Ь, — количество имеющегося ресурса z;

Xj —переменная (variable) — объем выпуска продукта/;

(1)	— целевая функция (максимум прибыли);

(2)	— система специальных ограничений (constraint) на объем
фактически имеющихся ресурсов;

(3)	— система общих ограничений (условие неотрицательно-
сти переменных).

Задача (1)—(3) называется задачей линейного программирова-
ния в стандартной форме на максимум.

Задача линейного программирования в стандартной форме
на минимум имеет вид

У С:Х: -> min;

ш ./ J	1

/ = 1

п

ILajXj^bi, i = nr,
j = i

X: >0, j = 1, ..., П.

(4)

(5)

(6)
Вектор х= (xh х„), компоненты ху- которого удовлетворя-
ют ограничениям (2) и (3) [(5) и (6) в задаче на минимум], на-
зывается допустимым решением или допустимым планом задачи
линейного программирования. Совокупность всех допустимых
планов называется множеством допустимых планов.

Допустимое решение задачи линейного программирования,
на котором целевая функция (1) [(3) в задаче на минимум] до-
стигает максимального (минимального) значения, называется
оптимальным решением задачи ЛП.

С каждой задачей ЛП связывают другую задачу ЛП, которая
записывается по определенным правилам и которая называет-
ся двойственной задачей ЛП.

Двойственной к задаче ЛП (1)—(3) является задача:

XV/ -> min;  i = 1		(7)
т		
i = 1		(8)
у, >0, i - 1, m.		(9)

Соответственно, двойственной к задаче (7)—(9) является за-
дача (1)—(3). Каждой переменной (специальному ограничению)
исходной задачи соответствует специальное ограничение (пере-
менная) двойственной задачи. Если исходная задача ЛП имеет
решение, то имеет решение и двойственная к ней задача, при
этом значения целевых функций для соответствующих оптималь-
ных решений равны.

Компонента у,- оптимального решения двойственной зада-
чи (7)—(9) называется двойственной оценкой {Dual Value) огра-
п

ничения	< Ь, исходной задачи ЛП.

/ = |
п

Пусть <р = тах(^СуХу), где ху — компонента допустимого

решения задачи (1)-(3). Тогда при выполнении условий невы-
рожденности оптимального решения имеют место следующие
неравенства:

5<р	*	.	-

—~ = у,-, i = 1, т.

дЬ; '
Изменим значение одного основного ограничения bi в пра-
вой части исходной задачи ЛП. Пусть /> — минимальное значе-
ние правой части основного ограничения, при котором реше-
ние у* двойственной задачи не изменится. Тогда величину Ь', на-
зывают нижней границей (Lower Bound) устойчивости по правой
части ограничения.

Пусть Ь" — максимальное значение правой части Ь, основ-
ного ограничения задачи, при котором решение двойственной
задачи у* не изменится. Тогда величину Ь” называют верхней
границей (Upper Bound) устойчивости по правой части ограни-
чения.

Изменим значение одного коэффициента с- целевой функ-
ции исходной задачи ЛП.

Пусть c'j — минимальное значение коэффициента целевой
функции, при котором оптимальное решение х* исходной зада-
чи остается прежним. Тогда величину cj называют нижней гра-
ницей устойчивости по коэффициенту целевой функции.

Пусть с” — максимальное значение коэффициента целевой
функции, при котором оптимальное решение ./исходной зада-
чи не изменится. Тогда величину с” называют верхней грани-
цей устойчивости по коэффициенту целевой функции.

ПРИМЕРЫ

Пример 1. Графическое решение задачи
линейного програллллирования

Рассмотрим задачу планирования производства.

Кооператив по производству строительных материалов вы-
пускает два вида стройматериалов: жидкое стекло и пенопласт.
Трудозатраты на производство 1 т стекла — 20 ч, пеноплас-
та — 10 ч. В кооперативе работают 10 рабочих по 40 ч в не-
делю. Оборудование Позволяет производить не более 15 т стек-
ла и 30 т пенопласта в неделю. Прибыль от реализации
1 т жидкого стекла — 50 руб.; 1 т пенопласта — 40 руб. Сколько
стройматериалов каждого вида следует выпускать коопера-
тиву для получения максимальной прибыли?

Решение

Данная задача может быть сведена к задаче линейного
программирования. Формальная математическая модель имеет
вид:
50 х х, + 40 х х2 -> шах;	(Ю)
20 х х, + 10 х х2 < 400;	(Н)
х, <15;	(12)
х2 < 30;	(13)
х, >0, х2 > 0.	(14)

Обозначения:

%, (т) — объем производства жидкого стекла в неделю;

х2 (т) — объем производства пенопласта в неделю.

Это переменные модели, значения которых нужно опреде-
лить так, чтобы прибыль была максимальной. Прибыль выра-
жается целевой функцией (10).

При определении плана выпуска стройматериалов необходи-
мо учитывать, что в процессе производства нельзя затратить ре-
сурсов больше, чем имеется в наличии, т.е. должны выполняться
ограничения модели (11)—(14). В правой части ограничений ука-
зывается объем затрат соответствующего ресурса на производ-
ство х, (т) жидкого стекла и х2 (т) пенопласта. В правой части
ограничений (12), (13) стоят объемы соответствующих ресурсов,
которыми располагает кооператив.

Ограничение (II) представляет собой ограничение на фонд
рабочего времени. Коэффициенты при переменных определя-
ют трудозатраты на производство 1 т жидкого стекла и пенопласта,
соответственно. В правой части стоит недельный фонд рабочего
времени — 400 ч (40 х 10 = 400).

Ограничение (12) — это ограничение на мощность оборудо-
вания по производству жидкого стекла. Имеющееся оборудова-
ние позволяет производить не более 15 т жидкого стекла в не-
делю.

Ограничение (13) — это ограничение на мощность оборудо-
вания по производству пенопласта. Имеющееся оборудование
позволяет производить не более 30 т пенопласта в неделю.

Группа ограничений (14) — это условие на неотрицательность
переменных.

Данная модель является задачей линейной оптимизации.
Целевая функция (10) и ограничения (11)—(14) являются ли-
нейными. Прибыль и величины затраченных ресурсов можно
представить как сумму прибыли и затрат на производство каж-
дого вида стройматериалов. Они, в свою очередь, пропорциональ-
ны объему выпуска. Например, общие трудозатраты складыва-
ются из рабочего времени, затраченного на производство жид-
кого стекла — 20Х| ч, затрат рабочего времени на производство
пенопласта — 20х2 ч.

Допустимыми решениями задачи являются пары (х(, х2), ко-
торые удовлетворяют всей системе ограничений модели.

Каждому решению задачи соответствует определенное зна-
чение целевой функции (10). Допустимое решение, обеспечива-
ющее получение максимального значения целевой функции
(прибыли), является оптимальным.

Геометрическая интерпретация. На рис. 1.1 показано множе-
ство допустимых решений рассматриваемой задачи. Оно по-
лучено как совокупность точек, удовлетворяющих каждому
ограничению. Так, ограничению (11) удовлетворяют все точки
координатной плоскости, которые лежат ниже прямой 20 х х, +
+ 10 х х2 = 400. Ограничению (12) — все точки координат-
ной плоскости, которые лежат левее прямой Х| = 15, а ограниче-
нию (13) — точки, лежащие ниже прямой х2 = 30.Ограничения
на неотрицательность переменных (14) отсекает все точки, ле-
жащие в I, III, IV квадрантах координатной плоскости (множество
допустимых решений в задачи линейного программирования
всегда лежит в I квадранте координатной плоскости).
Допустимое решение х, = 5, х2 =5, которому соответствует
значение целевой функции, равное 450 руб., является точкой на
прямой 50 х %] + 40 х х2= 450 (рис. 1.2).

Каждая точка данной прямой соответствует решению зада-
чи, при котором прибыль равна 450 руб. Поэтому с точки зре-
ния максимизации прибыли для кооператива безразлично,
какое из этих допустимых решений будет выбрано. Например,
решение о производстве 6 т жидкого стекла и 3,75 т пенопласта
[точка (6; 3,75)] или производство 4 т жидкого стекла и 6,25 т
пенопласта [точка (4; 6,25)] дают одинаковую прибыль 450 руб.

Любые точки области допустимых решений, лежащие выше
линии уровня 50 х х, + 40 х х2 = 450, обеспечивают большее
значение целевой функции. Например, в точке (10; 10) значе-
ние целевой функции равно 900. Эта точка лежит на прямой
50 х X] + 40 х х2 = 900, параллельной прямой 50 х х, + 40 х х2 = 450.
Любое параллельное смещение линии уровня целевой функции
увеличивает ее значение. Смещение производится до тех пор, пока
данная линия имеет общие точки с областью допустимых реше-
ний. Точка (5; 30) является наиболее удаленной точкой облас-
ти допустимых решений, принадлежащей линии уровня целе-
вой функции, соответствующей значению 1450. Следовательно,
производство 5 т жидкого стекла и 30 т пенопласта в неделю, обес-
печивает кооперативу максимальную прибыль, равную 1450 руб.
В нашем примере многогранник OABCD, определяющий
область допустимых значений, имеет пять вершин: (0; 0), (4; 30),
(5; 30), (15; 10), (15; 0).

Если оптимальное решение существует и единственно, то оно
лежит в вершине области допустимых значений (если существует
множество оптимальных решений, то оно содержит по крайней
мере одну угловую точку). Вершина многогранника, в которой
целевая функция принимает максимальное значение, является
оптимальным решением. Чтобы получить оптимальное решение
задачи, необходимо осуществить перебор вершин и выбрать ту,
в которой целевая функция принимает максимальное значение.
В нашем примере оптимальным решение является вершина с
координатами (5; 30).

Это положение лежит в основе симплекс-метода, позволя-
ющего получить численное решение в задачах линейной опти-
мизации. Программа, реализующая процедуру симплекс-мето-
да, будет использоваться нами для решения и анализа различ-
ных задач.

Оптимальное решение может быть не единственным. Так,
например, если целевая функция в рассматриваемой задаче име-
ет вид 50 х х, + 25 х х2 -> max, то оптимальным решением зада-
чи будет являться любая точка, лежащая на отрезке ВС (рис. 1.3).
Двойственные оценки. Рассмотрим двойственную задачу к
сформулированной выше задаче планирования производства
стройматериалов.

Формальная математическая модель записывается следующим
образом:

400 х у, + 15 х у2 + 30 х у3 min;	(15)
20 х у, + у2 > 50;	(16)
Ю х у, + уз > 40;	(17)
у, >0, у2 > 0, Уз > 0.	(18)

Переменные модели у,, у2, у3 называются двойственными
переменными. Каждая двойственная переменная соответствует
одному ограничению в прямой задаче. Оптимальные значения
двойственных переменных характеризуют скорость изменения
целевой функции (10) прямой задачи при изменении правой части
соответствующего ограничения.

В нашем примере двойственные оценки показывают, на ка-
кую величину возрастает прибыль, если объем соответствующего
ресурса увеличится на единицу. Их значения: у, = 2,5; у2 = 0;
у3 = 15. Это означает, что дополнительный час рабочего време-
ни приносит 2,5 руб. прибыли; а увеличение производственной
мощности по пенопласту на 1 т приводит к повышению при-
были на 15 руб. Равенство нулю двойственной оценки у2 огра-
ничения (12) прямой задачи показывает, что производственные
мощности для изготовления жидкого стекла не являются ли-
митирующими. Их расширение не приведет к росту прибыли в
оптимальном плане.

Величины двойственных оценок характеризуют предельный
уровень цен, по которым кооперативу имеет смысл покупать
производственные ресурсы, чтобы выпуск продукции (в соответ-
ствии с оптимальным планом) оставался выгодным. Так, напри-
мер, двойственная оценка ограничения (13) на производствен-
ную мощность по выпуску пенопласта, равная 15 руб., опреде-
ляет верхнюю границу затрат на увеличение мощностей на одну
тонну. Если дополнительная единица производственной мощ-
ности (1 т) будет обходиться дороже 15 руб., то расширение
мощностей невыгодно.

Двойственную задачу можно интерпретировать следующим
образом. Известна прибыльность и удельный расход ресурсов
(труда и производственных мощностей) по каждому виду строй-
материалов, а также общий объем имеющихся в наличии ресурсов.
Необходимо рассчитать цены ресурсов так, чтобы суммарные
издержки на производство, исчисленные в этих ценах, были
минимальными. Такая Задача может оказаться весьма актуаль-
ной, например, при расчете арендной платы за использование
оборудования и заработной платы рабочих.

Целевая функция (15) определяет суммарные издержки на
выпуск стройматериалов. Согласно ограничениям (16), (17) цены
на ресурсы нужно выбирать так, чтобы удельные затраты ресурсов,
исчисленные в этих ценах (левые части ограничений), были бы
не ниже удельной прибыли от выпуска соответствующего строй-
материала (правые части ограничений).

Пример 2. Сколько производить?

Предприятие располагает ресурсами сырья и рабочей силы,
необходимыми для производства 2-х видов продукции. Ниже
указаны затраты ресурсов на изготовление одной тонны каж-
дого продукта, прибыль, получаемая предприятием от реа-
лизации тонны продукта, а также запасы ресурсов.

Ресурс	Расход ресурса		Запас ресурса
	продукт 1	продукт 2	
Сырье, т	3	5	120
Трудозатраты,ч	14	12	400
Прибыль на единицу продукта, тыс. руб./ т	30	35	

Ответьте на следующие вопросы.

1.	Сколько единиц продукта 1 следует производить для того,
чтобы предприятие могло получить максимальную при-
быль?

2.	Сколько единиц продукта 2 следует производить для того,
чтобы предприятие могло получить максимальную при-
быль?

3.	Чему равна максимальная прибыль?

4.	На сколько возрастет максимальная прибыль, если запа-
сы сырья увеличатся на 1 т?

5.	На сколько возрастет максимальная прибыль, если допу-
стимый объем трудозатрат увеличится с 400 ч до 500 ч?
Решение

Пусть л, — объем выпуска продукта 1 (в тоннах), х2 — объем
выпуска продукта 2 (в тоннах). Тогда задача может быть описа-
на в виде следующей модели линейного программирования:

ЗОх, + 35х2 -> max;

Зх, + 5х2 120;
14х। + 12х2 400;
х, >0; х2 > 0.

Для решения задачи здесЬ и далее используем пакет «РОМfor
WINDOWS» (далее — POMW1N). Исходную информацию для ре-
шения этой задачи можно представить слежующим образом.

	Продукт 1	Продукт 2	Знак ограничения	Запас ресурса (RHS)
Maximize	30	35		
Сырье	3	5	<=	120
Т рудозатраты	14	12	<~	400

Результат решения этой задачи представлен в следующей таб-
лице. В нижней строке указаны объемы выпуска каждого про-
дукта, удовлетворяющие ограничениям на ресурсы и обеспечи-
вающие максимальную прибыль.

	Продукт 1	Продукт 2	Знак ограничения	Запас ресурса (RHS)	Двойствен- ная оценка (Dual)
Maximize	30	35			
Сырье	3	5	<=	120	3,82
Т рудозатраты	14	12	<=	400	1,32
Solution	16,47	14,12		988,24	

Ответы на вопросы примера

Ответ на вопрос 1

Чтобы обеспечить максимальную прибыль, следует произво-
дить 16,47 т продукта 1.

Ответ на вопрос 2

Чтобы обеспечить максимальную прибыль, следует произво-
дить 14,12 т продукта 2.
Ответ на вопрос 3

Максимальная прибыль равна 988,24 тыс. руб.

В правом столбце таблицы указаны двойственные оценки
для каждого ограничения. Так, величина 3,82 показывает, что
при увеличении запаса сырья на 1 т (до 121) максимальное
значение целевой функции для нового оптимального плана
увеличится по сравнению с 988,24 на 3,82 тыс. руб. Анало-
гично можно интерпретировать значение двойственной оцен-
ки 1,32 для второго ресурса.

Ответ на вопрос 4

Если запасы сырья увеличатся на 1 т, то максимальная при-
быль возрастет на 3,82 тыс. руб.

Ниже в таблице содержится дополнительная информация,
предоставляемая пакетом «POMWIN». Два правых столбца таб-
лицы указывают на границы устойчивости по значениям ко-
• эффициентов целевой функции и правых частей ограничений.
Так, если прибыль, получаемая от реализации 1 т продукта 1
изменится, но останется в пределах от 21 до 40,83 тыс. руб.,
количество продукта 1 в оптимальном плане не изменится.
Если запас сырья изменится, но останется в пределах от 85,71
до 166,66 т, двойственная оценка этого ресурса не изменится.

Variable	Value	Reduced Cost	Original Value	Lower Bound	Upper Bound
Продукт 1	16,47	0	30	21	40,83
Продукт 2	14,11	0	35	25,71	50

Constraint	Dual Value	Slack / Surplus	Original Value	Lower Bound	Upper Bound
Сырье	3,82	0	120	85,71	166,66
T рудозатраты	1,32	0	400	288	560

Аналогично, если допустимый объем трудозатрат изменит-
ся в пределах от 288 до 560 ч, двойственная оценка этого ре-
сурса не изменится.

Ответ на вопрос 5

Если допустимый объем трудозатрат увеличится с 400 до 500 ч,
то максимальная прибыль увеличится на 132 тыс. руб.
Пример 3. Производить или покупать?

Фирма «А. Nirsha & Со» производит два типа химикатов.
На предстоящий месяц фирма заключила контракт на постав-
ку следующего количества этих химикатов.

Тип химикатов	Продажи по контракту, т
1	100
2	120

Производство фирмы ограничено ресурсом времени работы
двух химических реакторов. Каждый тип химикатов должен
быть обработан сначала в реакторе 1, а затем в реакторе 2.
Ниже указан фонд рабочего времени, имеющийся у каждо-
го реактора в следующем месяце, а также время на обработ-
ку одной тонны каждого химиката в каждом реакторе (ч/т).

Реактор	Время на обработку 1 т химикатов, ч		Фонд времени, ч
	тип 1	тип 2	
1	4	2	300
2	3	6	400

Из-за ограниченных возможностей, связанных с существу-
ющим фондом времени на обработку химикатов в реакторах,
фирма «А. Nirsha & Со» не имеет достаточных мощностей,
чтобы выполнить обязательства по контракту. Но если она
купит какое-то количество этих химикатов у других произ-
водителей, то сможет выполнить взятые на себя обязатель-
ства. Далее приведены затраты на производство химикатов
самой фирмой «А. Nirsha & Со» и на покупку их у других фирм.

Тип химикатов	Затраты на производство, тыс. руб./т	Затраты на закупку, тыс. руб./т
1	35	45
2	56	66

Цель фирмы «А. Nirsha & Со» состоит в том, чтобы обес-
печить выполнение контракта с минимальными издержка-
ми. Это позволит ей максимизировать прибыль, так как цены
на химикаты уже оговорены контрактом. Другими словами,
фирма должна принять решение: сколько химикатов каждого
типа производить у себя, а сколько купить у других фирм для
того, чтобы выполнить контракт с минимальными издерж-
ками.
Ответьте на следующие вопросы'.

1.	Сколько химикатов типа I следует производить фирме
«А. Nirsha & Со»?

2.	Сколько химикатов типа 2 следует производить?

3.	Сколько химикатов типа 1 следует закупать у других фирм?

4.	Сколько химикатов типа 2 следует закупать у других фирм?

5.	Каковы минимальные издержки на выполнение контракта?

6.	Следует ли изменить объем закупок химикатов типа 2 у
других фирм, если их цена возрастет до 75 тыс. руб. за тонну?

7.	На сколько увеличатся минимальные издержки, если фонд
времени работы реактора 2 сократится с 400 до 300 ч?

Решение

Модель линейного программирования. Опишем переменные
модели:

х, — количество продукта 1, производимого компанией;

Z\ — количество продукта 1, закупаемого компанией;

х2 — количество продукта 2, производимого компанией;

z2 — количество продукта 2, закупаемого компанией.

Исходные данные задачи можно представить в виде следу-
ющей таблицы.

Целевая функция	35х, + 56х2 + 45zi + 66 z2 -> min
Ресурсные ограничения реактор 1 реактор 2	4Xi + 2%2 — 300  Зхт + 6x2 < 400
Ограничения на спрос: продукт 1 продукт 2	x, + z, = 100 x2 + z2 = 120

Условия неотрицательности переменных х, > 0; х2 > 0; Z\ > 0;
> 0.

В следующей таблице приведена исходная информация, под-
готовленная для расчетов в «POMW1N».

Переменные	х,	х2	zf	^2	Знак ограничения	RHS
Minimize	35	56	45	66		
Реактор 1	4	2	0	0	<=	300
Реактор 2	3	6	0	0	<=	400
Химикат 1	1	0	1	0		100
Химикат 2	0	1	0	1	=	120
Далее приведены результаты расчетов.

Переменные	Xi	х2	Zi	z2	Знак ограничения	RHS	Dual
Minimize	35	56	45	66			
Реактор 1	4	2	0	0	<=	300	1,66
Реактор 2	3	6	0	0	<=	400	1,11
Химикат 1	1	0	1	0	=	100	-45
Химикат 2	0	1	0	1	-	120	-66
Solution —>	55,55	38,89	44,44	81,11		11 475,56	

Ответы на вопросы примера

Ответ на вопрос 1

Фирме следует производить 55,55 т химикатов типа 1.

Ответ на вопрос 2

Фирме следует производить 38,89 т химикатов типа 2.

Ответ на вопрос 3

Фирме следует закупать 44,44 т химикатов типа 1.

Ответ на вопрос 4

Фирме следует закупать 81,11 т химикатов типа 2.

Ответ на вопрос 5

Минимальные издержки на выполнение контракта равны
11 475,56 тыс. руб.

Далее приводятся двойственные оценки и границы устой-
чивости. Согласно полученным результатам, оптимальный
план не изменится, если изменение закупочной цены на хи-
микат типа 2 останется в пределах от 61 до 76 тыс. руб. (ее
фактическое значение 66 тыс. руб.).

Variable	Value	Reduced Cost	Original Value	Lower  Bound	Upper Bound
Х1	55,55	0	35	25	40
X2	38,88	0	56	46	61
Zi	44,44	0	45	40	55
z2	81,11	0	66	61	76

Constraint	Dual Value	Slack/ Surplus	Original Value	Lower  Bound	Upper Bound
Реактор 1	1,66	0	300	133,33	433,33
Реактор 2	1,11	0	400	225	765
Химикат 1	-45	0	100	55,55	Infinity
Химикат 2	-66	0	120	38,88	Infinity
Ответ на вопрос 6

Если закупочная цена химиката 2 возрастет до 75 тыс. руб.
за тонну, то изменять объем его закупок не следует.

Данные из результирующей таблицы показывают, что
изменение ресурса времени работы реактора 2 в пределах от
225 до 765 не приведет к изменению двойственной оценки
соответствующего ограничения.

Ответ на вопрос 7

Если фонд времени работы реактора 2 сократится с 400 до
300 ч, то минимальные издержки фирмы увеличатся на
111 тыс. руб.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вопрос 1

Задача линейного программирования имеет вид:

Юх, + 15х2 -> min;

4%| + Зх2 > 480;

2х, + Зх2 > 360;

%, >0, х2 > 0.

Оптимальное значение целевой функции в этой задаче равно'.

1) 1600; 2) 1200; 3) 1440; 4) 1800; 5) 1520.

Вопрос 2

Рассмотрим задачу линейного программирования:

12х + 10_у -> max;

4х + Зу < 480;

2х + Зу < 360;

х > 0, у > 0.

Какая из следующих точек с координатами (х, у) не явля-
ется допустимой'.

1) (0,100); 2) (100, 10); 3) (70, 70); 4) (20, 90); 5) ни одна
из указанных выше.
Вопрос 3

Рассматривается задача оптимизации плана производства двух
видов изделий х, и х2, проходящих обработку в двух цехах.
Критерий — максимум прибыли (прибыль измеряется в руб-
лях). Ресурсным ограничением является фонд рабочего
времени. Задача дана в стандартной форме. После расчетов
по программе «POMWIN» были получены следующие резуль-
таты.

Variable	Value	Reduced Cost	Original Value	Lower Bound	Upper Bound
Xi	70	0	1500	1333,333	2000
*2	20	0	2000	1500	2250

Constraint	Dual Value	Slack! Surplus	Original Value	Lower Bound	Upper Bound
Цех 1	833,3	0	120	108	162
Цех 2	500	0	90	66,6	100

Анализ полученной информации позволил сделать заключе-
ние о том, что'.

1)	мощности первого цеха недогружены;

2)	при увеличении прибыли от изделия х, на 120 руб. план
выпуска данного изделия следует изменить на 108 единиц;

3)	увеличение фонда рабочего времени во втором цехе на 3 ч
приведет к увеличению прибыли на 60 руб.;

4)	уменьшение прибыли от изделия х2 на 100 руб. не изме-
нит план выпуска данного изделия;

5)	для изменения плана выпуска изделия х, прибыль долж-
на возрасти на 162 руб.

Вопрос 4

Рассматривается задача оптимизации плана производства неф-
тепродуктов. Объем производства измеряется в тоннах.
Решается задача минимизации издержек. Учитывается огра-
ничение на время использования оборудования. В каких еди-
ницах измеряется значение коэффициентов матрицы для этого
ограничения?

Возможные ответы:

1) т/ч; 2) ч/т; 3) руб./т; 4) т/руб.; 5) руб./ч.
Вопрос 5

Рассматривается задача оптимизации плана производства двух
видов изделий х, и х2, проходящих обработку в двух цехах.
Критерий — максимум прибыли (прибыль измеряется в руб-
лях). Ресурсным ограничением является фонд рабочего вре-
мени. Задача дана в стандартной форме. После расчетов по
программе «P0MW1N» были получены следующие результаты.

Variable	Value	Reduced Cost	Original Value	Lower Bound	Upper Bound
Х1	3000	0	10	2,7	Infinity
*2	0	11	4	-Infinity	15

Constraint	Dual Value	Slack! Surplus	Original Value	Lower Bound	Upper Bound
Цех 1	500	0	60	0	70
Цех 2	0	10	70	60	Infinity

Анализ полученной информации, позволил сделать заключение
о том, что'.

1)	с увеличением фонда рабочего времени во втором цехе на

3 ч прибыль останется без изменений;

2)	мощности первого цеха недогружены;

3)	при увеличении прибыли от изделия х, на 5 руб. план
выпуска данного изделия следует изменить на 10 единиц;

4)	при увеличении прибыли от изделия х2 на 2 руб. следует
изменить план выпуска данного изделия;

5)	для изменения плана выпуска изделия х, прибыль долж-
на возрасти на 10 руб.

Вопрос 6

Задача линейного программирования имеет вид:

1 Ох, + 20х2 -> min;

4Х| + Зх2 > 480;

4х, + 5х2 > 360;

X, >0, х2 > 0.

Выберите, чему равно оптимальное значение целевой функ-
ции в этой задаче:

1) 1600; 2) 1200; 3) 1440; 4) 1800; 5) 1520.
Вопрос 7

Рассматривается задача оптимизации производственной про-
граммы. Критерий — максимум прибыли. Оптимальное зна-
чение критерия — 100. Двойственная оценка ограничения по
трудозатратам равна 0,5; по объему производства — 1,5. Чему
будет равна максимальная прибыль, если общий объем тру-
дозатрат сократится на 30 единиц?

Возможные ответы:

1)85; 2)90; 3)95; 4)100; 5)110.

Вопрос 8

Для всякого ли многогранника существует задача линейно-
го программирования, допустимым множеством которой он
является?

Возможные ответы:

1)	да, для всякого;

2)	нет, только для многогранника, имеющего более трех вер-
шин;

3)	нет, только для многогранника с положительными коор-
динатами вершин;

4)	нет, только для выпуклого многогранника с неотрицатель-
ными координатами вершин;

5)	нет, только для выпуклого многогранника.

Вопрос 9

Какое из следующих утверждений истинно?

Допустимое решение задачи линейного программирова-
ния:

1)	должно одновременно удовлетворять всем ограничениям
задачи;

2)	должно удовлетворять некоторым, не обязательно всем,
ограничениям задачи;

3)	должно быть вершиной множества допустимых решений;

4)	должно обеспечивать наилучшее значение целевой функ-
ции;

5)	не удовлетворяет указанным выше условиям.
ЗАДАЧИ

Задача 1

Василий Иванов — владелец небольшого мебельного цеха.
Цех производит столы трех моделей: А, Б и В. Каждая
модель требует определенных затрат времени на выполнение
трех операций: производство заготовок, сбор заготовок и по-
краска.

Василий имеет возможность продать всю произведенную
продукцию. Больше того, модель В может быть продана и без
покраски. При этом прибыль уменьшается на 200 руб. за шту-
ку. Василий нанимает необходимое число рабочих, которые
работают у него по совместительству, поэтому трудозатраты
на каждый вид работ меняется от месяца к месяцу.

Постройте модель линейного программирования, кото-
рая помогла бы Иванову найти программу выпуска продук-
ции, способную максимизировать прибыль от производства
столов в следующем месяце. Предполагается, что по каждо-
му виду работ возможны трудозатраты до 100 чел. х ч. В таб-
лице указано время, необходимое для выполнения операций
по производству столов каждого вида и прибыль, которая
может быть получена от реализации каждого изделия.

Заготовка, ч	Сборка, ч	Покраска, ч	Прибыль, руб.
5	2	5	450
1	2	5	400
4	5	6	500

Ответьте на следующие вопросы:

1.	Какую максимальную прибыль может получить Василий
в течение месяца (в руб.)?

2.	Сколько столов модели А следует производить?

3.	Следует ли продавать неокрашенные столы типа В (да —
1, нет — 0)?

4.	На сколько увеличится максимальная прибыль (в руб.),
если допустимый объем трудозатрат на этапе сборки воз-
растет на 10%?

5.	На какую минимальную величину должна возрасти при-
быль (в руб.) от производства и продажи окрашенного стола
модели В, чтобы стало выгодно их производить?
Задача 2

После предпринятой рекламной кампании фирма «Давидко»
испытывает необыкновенный рост спроса на два типа ман-
галов для приготовления шашлыков на открытом воздухе —
газовые и угольные. Фирма заключила контракт на ежеме-
сячную поставку в магазины 300 угольных и 300 газовых ман-
галов.

Производство мангалов ограничивается мощностью участ-
ка производства деталей, участка сборки и участка упаковки.
В таблице приведены данные показывающие, какие трудо-
затраты возникают на каждом участке на каждую единицу про-
дукции, а также допустимый ежемесячный объем трудозатрат.

Участок	Трудозатраты		Фонд времени, чел. х ч
	на угольный мангал	на газовый мангал	
Производство	5	8	2600
Сборка	0,8	1,2	400
Упаковка	0,5	0,5	200

Фирма «Давидко» не может обеспечить выполнение кон-
тракта своими силами. Поэтому она провела переговоры с
другим производителем, который в настоящее время распо-
лагает избыточными мощностями. Этот производитель согла-
сился поставлять фирме «Давидко» в любом количестве уголь-
ные мангалы по 3 тыс. руб. за штуку и газовые мангалы по
5 тыс. руб. за штуку. Эти цены превышают себестоимость ман-
галов на заводе фирмы «Давидко» на 1,5 тыс. руб. за каж-
дый угольный мангал и на 2 тыс. руб. за каждый газовый ман-
гал. Задача фирмы «Давидко» состоит в том, чтобы найти
такое соотношение закупаемых и производимых мангалов,
которое обеспечило бы выполнение контракта с минималь-
ными общими затратами.

Ответьте на следующие вопросы.

1.	Каковы минимальные издержки на выполнение контракта
(в тыс. руб.)?

2.	Сколько угольных мангалов следует ежемесячно произво-
дить фирме «Давидко»?

3.	Сколько газовых мангалов следует ежемесячно произво-
дить фирме «Давидко»?

4.	Сколько газовых мангалов следует приобретать?
5.	Следует ли сохранить объемы производства и закупок га-
зовых мангалов, если компания, выполняющая заказы для
фирмы «Давидко», поднимет цену на газовые мангалы до
5,5 тыс. руб., (да — 1, нет — 0)?

Задача 3

Компания «Видео», производитель видеомагнитофонов, пла-
нирует производство и запасы продукции на первое полуго-
дие следующего года. Прогноз спроса на соответствующие
шесть месяцев отражен в таблице. Компания «Видео» хоте-
ла бы иметь такой план, который не предусматривал бы
отсрочки поставок.

Из-за колебаний затрат на сырье и энергию себестоимость
продукции (затраты на единицу продукции) изменяется от
месяца к месяцу. Максимальный уровень производства ком-
пании «Видео» также колеблется из месяца в месяц из-за не-
равномерного ремонта оборудования и числа рабочих дней
в месяце.

Компания не проводит политику частого изменения числа
рабочих. Поэтому, чтобы предотвратить простои, она уста-
навливает минимальный уровень производства, составля-
ющий 50% максимального уровня. В таблице представлены
также максимальный и минимальный уровни запасов на
каждый месяц.

Месяц	Прогноз спроса	Себестои- мость 1 ед. продукции, РУб-	Максималь- ный объем производ- ства	Максималь- ный уровень запасов	Минималь- ный уровень запасов
Январь	1000	460	7000	7000	2500
Февраль	4000	470	5000	7000	2500
Март	6000	480	4000	7000	2500
Апрель	5000	' 500	8000	7000	2500
Май	3000	500	6000	7000	2500
Июнь	2000	500	3000	7000	2500

Предполагаемый запас видеомагнитофонов на 1 января со-
ставил 3500 штук. Страховой уровень запасов, который ком-
пания старается регулярно поддерживать, —'2500 штук; это
означает, что в конце каждого месяца 2500 штук видеомаг-
нитофонов должно храниться на складе как минимально до-
пустимое. Однако площади складов позволяют хранить
7000 магнитофонов (это отражено в предпоследнем столбце
таблицы).

Бухгалтерия компании «Видео» подсчитала, что хранение
одного видеомагнитофона на складе обходится в 8 руб. в месяц.
Чтобы подсчитать затраты на хранение всех магнитофонов,
нужно их количество определять как среднемесячное, т.е. сред-
нее между запасами на начало и конец месяца, и умножить
это значение на 8.

Задача состоит в том, чтобы определить объемы произ-
водства и запасов на каждый месяц, при которых суммарные
затраты (затраты на производство плюс затраты на хранение)
минимальны при условии удовлетворении спроса на продук-
цию без отсрочки поставок.

Ответьте на следующие вопросы.

I.	Сколько магнитофонов следует произвести в феврале?

2.	Каков запас на складе на конец апреля?

3.	Каковы минимальные издержки на выполнение контракта
(в тыс. руб.)?

СИТУАЦИИ

Ситуация 1. Производство обмоточной проволоки

Ярослав Алексеев работает в фирме «Электрокабель» в каче-
стве стажера-менеджера. Поработав неделю на заводе и встре-
чаясь по службе со многими людьми, ему удалось получить
общее представление о процессе производства.

Один из основных видов продукции, выпускаемой фир-
мой «Электрокабель», — обмоточная проволока. Она исполь-
зуется в производстве электрических трансформаторов. Эдуард
Третьяков, менеджер, отвечающий за контроль производства,
описал Алексееву стандартную процедуру обмотки. Последо-
вательность производства проволоки следующая: чертеж,
протяжка, наматывание, осмотр и упаковка. После прохож-
дения технического контроля хороший товар упаковывает-
ся и отсылается на склад готовой продукции, а дефектная
продукция хранится отдельно до тех пор, пока не будет от-
дана на переработку.

В понедельник Борис Лагутин, первый вице-президент
фирмы «Электрокабель» попросил персонал собраться в его
кабинете в 13 часов.
«Ну что ж, давайте начнем», — сказал Лагутин, открывая
собрание. «Вы уже знакомы с Ярославом Алексеевым, нашим
новым менеджером-стажером. Ярослав закончил магистра-
туру экономического факультета РУДН, поэтому я думаю, что
он достаточно компетентен, чтобы помочь нам разобраться
с проблемой, которую мы не можем решить уже длительное
время. Я уверен, что каждый из вас согласится помочь Яро-
славу разобраться в ситуации».

Лагутин обратился к Эдуарду Третьякову, менеджеру, от-
вечающему за производственный контроль. «Эдуард, почему
бы тебе не описать вкратце проблему, с которой мы столкну-
лись». «Ну, дела сейчас идут хорошо, — начал Третьяков, —
мы получаем больше заказов, чем можем выполнить. В те-
чение нескольких месяцев нам еще удастся решать пробле-
мы за счет использования нового оборудования, но уже в
апреле это нам не поможет. Я связался с несколькими ра-
ботниками из чертежного отдела, которых мы сократили в
прошлом году, и собираюсь снова пригласить их на работу
по совместительству, чтобы повысить на этом участке объем
производства. Так как планируется рефинансировать нашу
долгосрочную задолженность по предоставленным нам кре-
дитам, то необходимо оценить величину апрельской прибыли.

Я нахожусь в затруднительном положении, подсчитывая
и оценивая, какие заказы осуществлять, а какие отложить,
поэтому надо сформировать настолько хороший план про-
изводства, насколько это возможно. Надеюсь, Ярослав Алек-
сеев сможет мне помочь?»

Ярослав был удивлен и несколько озадачен, получив та-
кое важное поручение в самом начале своей карьеры. Сдер-
жав свое волнение, он сказал: «Дайте мне данные и через
один-два дня я дам вам ответ». Ему были предоставлены сле-
дующие данные.

Продукт	Объем заказов на апрель, ед.
NW0075C	1400
MV0033C	250
А/И/0005Х	1510
NW0007X	1116

Примечание. Борис Лагутин дал слово основному поставщику,
что фирма произведет для него в апреле 600 ед. (катушек) продукта
yVJCOOOVX и 150 ед. продукта NJCOOVSC.
	Продукт	Мате- риал	Труд (производ- ство)	Труд (контроль)	Цена продажи
Средние издержки, руб./ед.	NW0075C	330	99,0	231,0	1000
	NW0033C	250	75,0	175,0	800
	NW 0005Х	350	105,0	245,0	1300
	Л/И/0007Х	750	112,5	637,5	1750
Процесс	Продукт	Чертеж	Протяжка	Наматыва- ние	Упаковка
Трудоемкость, ч/ед.	NW0075C	1	1	1	1
	NW0033C	2	1	3	0
	NW 0005Х	0	4	0	3
	NW 0007X	1	1	0	2

Примечание. Объем работы по контролю качества не является про-
блемой, так как коллектив может работать сверхурочно, чтобы при-
способиться к любому графику.

Средняя производственная выработка в месяц — 2400 ед.

Среднее использование машинного времени — 63%.

Средний процент посланной на переработку продукции —
5% (большей частью из намоточного отдела).

Средний отказ, число единиц брака, которые могут быть
направлены на переработку, — 850 (большей частью из на-
моточного отдела).

Используя пакет «POMWIN» проведите детальный ана-
лиз проблемы.

Ответьте на следующие вопросы.

1.	Какие рекомендации должен дать Ярослав Алексеев? Пре-
доставьте необходимые таблицы и графики для обоснования
решения.

2.	Есть ли необходимость в использовании временных работ-
ников в чертежном отделе?

3.	Есть ли необходимость в использовании временных работ-
ников в отделе упаковки?

4.	Следует ли расширять парк машин?

Ситуация 2. Западно-сибирская корпорация
«Химикаты и удобрения»

В Декабре 2004 г. Василий Маслов, генеральный директор
западно-сибирского отделения корпорации «Химикаты и удоб-
рения», получил письмо от Юрия Черноусова из компании
«Сибирьгаз» — поставщика природного газа для корпорации.
В письме находилось уведомление о новом порядке подачи
природного газа. «Сибирьгаз» сокращала поставки газа на 40%
в течение зимних месяцев. Одобрение Федеральной комис-
сии по энергетике было уже получено.

Сокращение подачи газа подчинялось следующим при-
оритетам (от самого нежелательного до более приемлемого):
1) отопление жилья и рабочих мест;

2)	коммерческие пользователи, использующие природный газ
в качестве сырья;

3)	коммерческие пользователи, использующие природный газ
в качестве промышленного топлива.

Практически все производство корпорации подпадало под
приоритеты 2 и 3, следовательно, сокращение поставок было
неминуемым.

Причины происходящего сокращения поставок природ-
ного газа были следующими.

Во-первых, «Сибирьгаз» является частью системы га-
зопроводов, по которым газ поставляется для отопления
жилья и рабочих мест на Дальний Восток и в Казахстан. Сле-
довательно, зимой ожидается рост потребления газа. Во-вто-
рых, спрос на природный газ постоянно увеличивался, по-
тому что газ — самое экологически чистое и наиболее эффек-
тивное топливо. При его использовании исчезают проблемы
с загрязнением окружающей среды, камеры сгорания загряз-
няются меньше, а компьютеризированный контроль за сжи-
ганием газа проще, чем при других видах топлива. В-треть-
их, добыча газа уменьшилась — традиционно низкая цена на
газ не стимулировала разработку новых месторождений.

Руководство корпорации «Химикаты и удобрения» знало
о возможных сокращениях подачи газа и разрабатывало спо-
собы замены газа нефтью и углем. Однако их исследования
все еще находились в стадии разработки, поэтому незамедли-
тельно требовался план для минимизации негативных послед-
ствий сокращения поставок газа для заводов корпорации.
Федеральная комиссия по энергетике и компания «Сибирьгаз»
предоставили самой корпорации решать, как ей перераспре-
делить поставки между заводами, а Юрий Черноусов из ком-
пании «Сибирьгаз» добавил: «Это ваш пирог, и нам все равно,
как вы его разделите, если он станет меньше».
Этим пирогом стал газ для шести западно-сибирских за-
водов корпорации «Химикаты и удобрения». Заводы выпус-
кали следующую продукцию, которая требовала значительных
затрат газа: фосфорную кислоту, мочевину, фосфат аммония,
нитрат аммония, хлор, каустическую соду, мономер винил-
хлорида, гидрофосфорную кислоту.

Корпорация провела совет технического персонала для того,
чтобы обсудить возможные варианты перераспределения газа
между производствами в случае сокращения подачи газа.
Целью была минимизация потерь прибыли. После деталь-
ного обсуждения принятие решения было отложено.

Двумя неделями позже совет возобновил работу. На этот
совет были представлены данные в виде таблицы. Согласно
контракту с компанией «Сибирьгаз» корпорация потребляла
36 х I06 м3 природного газа в неделю для всех шести заво-
дов. Технологически допустимый минимум производства
каждого продукта составляет 30% проектной мощности.

Совет предложил новую модель потребления газа, кото-
рая установила изменения объемов производства при сокра-
щении поставок природного газа.

Продукты	Цена за 1 т, руб.	Проектная мощность производ- ства, т в неделю	Эффективная (максимально возможная) норма производства, % проектной мощности	Потребление газа, 1000 м3 на т
Фосфорная кислота	600	400	80	5,5
Мочевина	800	250	80	7,0
Фосфат аммония	900	300	90	8,0
Нитрат аммония	1000	300	100	10,0
Хлор	500	800	60	15,0
Каустическая сода	500	1000	60	16,0
Мономер винилхлорида	650	500	60	12,0
Г идрофосфорная кислота	700	400	80	11,0

Ответьте на следующие вопросы:

1.	Постройте модель и найдите объемы производства при
сокращении поставок газа:

а) на 20 %; б) на 40 %.
2.	Постройте график функции, характеризующей зависимость
величины дохода от объема поставок газа.

3.	Объясните, какой продукт требует наибольшего внимания
с точки зрения энергосбережения.

4.	Какие проблемы можно предвидеть, если производство не
будет сокращено запланированным образом?

5.	Какое влияние окажет сокращение поставок газа на при-
быль компании?

ОТВЕТЫ

Ответы на контрольные вопросы
1—4, 2-3, 3-4, 4-3, 5-1, 6-2, 7-1, 8-4,
9-1.

Ответы на задачи

Задача 1

1.	12 000 руб.

2.	8.

3.	Следует.

4.	На 500 руб.

5.	Не менее чем на 182,5 руб.

Задача 2

1.	1700 тыс. руб.

2.	200.

3.	200.

4.	100.

5.	Нет, объемы производства и закупок следует изменить.
Задача 3
1. 4000.

2.	2500.

3.	9840 тыс. руб.
Глава 2

ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО СМЕШЕНИЯ

ЦЕЛИ

В данной главе показаны возможности использования
модели линейного программирования для решения задач опти-
мального смешения. Наряду с рассмотренной в главе 1 задачей
планирования производства это одна из наиболее известных об-
ластей приложения модели линейного программирования. Мо-
дели оптимального смешения имеют много общего с моделями
оптимального планирования производства, но в то же время име-
ют и свои характерные особенности.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой
главе, вы будете уметь формулировать и использовать для эко-
номического анализа следующие понятия:

•	смесь;

•	ингредиент смеси;

•	компонента смеси;

•	рецепт смешения.

МОДЕЛИ

Важный класс прикладных оптимизационных задач образу-
ют задачи о смесях. Такие задачи возникают при выборе наи-
лучшего способа смешения исходных ингредиентов для получения
смеси с заданными свойствами. Смесь должна иметь определен-
ные свойства, которые определяются свойствами исходных ин-
гредиентов. Как правило, известны стоимостные характеристики
ингредиентов и искомую смесь требуется получить с наимень-
шими затратами. Задачи оптимального смешения встречаются
во многих отраслях промышленности (металлургия, парфюме-
рия, пищевая промышленность, фармакология, сельское хозяй-
ство и др.). Например, необходимо составить кормовой рацио-
на скота на животноводческих фермах или разработать рецеп-
туру шихты на металлургическом производстве.

Однопродуктовые модели оптимального
смешения

Модель А

п

£cyxy^min:	(I)

./ = 1				
n				
Xayxj	bi,	z = 1, .	.., m;	(2)
7 = 1				
xy > 0,	7 = 1	, n,		(3)

гдеп —число исходных ингредиентов;

т —число компонент в смеси;

Xj —количество ингредиента J, входящего в смесь;

—доля компоненты i в ингредиенте J;

с — стоимость единицы ингредиента J;

Ь: — минимально допустимое количество компоненты / в
смеси;

(1)	— целевая функция (минимум затрат на получение смеси);

(2)	— группа ограничений, определяющих содержание ком-

понент в смеси;

(3)	— ограничения на неотрицательность переменных.

Также в задаче могут присутствовать ограничения на общий
объем смеси и ограничения на число используемых ингредиен-
тов. Эти группы ограничений и ограничения вида (2) характерны
для задачи планирования производства, рассмотренной в главе 1.

Модель В

£cyxy^min;	(4)

7 = 1

£ (ау - Ь})х} > О, i = 1, m;	(5)

7 = 1

Y drjXj >0, r = 1, ..., w;	(6)

7 = 1
i = >;

7 = 1

х,- >0, у = 1, .... n,
J	J	111

где n —число исходных ингредиентов;

m —число компонент в смеси;

w — число условий, отражающих содержание ингредиентов
в смеси;

—количество ингредиента j, входящего в смесь;

—доля компоненты / в ингредиенте у;

bj —минимально допустимая доля компоненты / в смеси;

с7 —стоимость единицы ингредиента у;

drj —коэффициент, отражающий условие г на содержание
ингредиента у в смеси;

(4)	— целевая функция (минимум затрат на получение смеси);

(5)	— группа ограничений, определяющих содержание ком-
понент в смеси;

(6)—группа ограничений на содержание ингредиентов в
смеси.

Ограничения вида (5) и (6) отличают задачу смешения от
задачи оптимального планирования производства. Заметим, что
значения правых частей в этих ограничениях равны нулю. Вектор
х = (х,, х2, ... , х„), являющийся решением этой оптимизаци-
онной задачи, называют рецептом приготовления смеси, или
рецептом смешения.

Многопродуктовые модели оптимального
смешения

В многопродуктовых задачах ингредиенты используются для
приготовления не одной, а нескольких смесей. При этом в
качестве переменной х^ рассматривается количество ингредиен-
та у, используемое для приготовления смеси к. Критерии задачи —
максимизация прибыли.

Модель С

Ц(Рк - cj)xkj -> max;

к = I j = I

-bik)xkj > 0,	/ = 1, ..., m,

/ = i

(7)

(8)

к = 1, ..., 5;
£ drkjxkj >0, г = 1, w, к = 1, s;

п

E xkj ur k = h •••>

7 = 1

(9)

xkj >0, j = 1, n, к = 1, s,

где n — число исходных ингредиентов;

m —число компонент в смеси;

w — число условий, отражающих содержание ингредиентов
в смеси;

5 —число смесей;

xkj —количество ингредиента j, входящего в смесь Л;

о,У —доля компоненты i в ингредиенте J;

bik — минимально допустимая доля компонента i в смеси к;

Cj —стоимость единицы ингредиента у;

рк — стоимость единицы смеси Л;

drkj — коэффициент, отражающий условие г на содержание
ингредиента j в смеси Л;

Uj —количество ингредиента у;

(7)	— целевая функция (максимум прибыли);

(8)	— группа ограничений, определяющих содержание ком-
понент в смеси;

(9)	— группа ограничений на содержание ингредиентов в
смеси.

ПРИМЕР

Сочинский винный завод производит две марки сухого вина:
«Черный лекарь» и «Букет роз». Оптовые цены за 1 литр, по
которым реализуется-готовая продукция, равны 68 и 57 руб.,
соответственно. Для приготовления этих вин используются
белое, розовое и красное сухие вина, закупаемые в Красно-
даре. Эти вина стоят соответственно 70, 50 и 40 руб. за 1 литр.
В среднем сочинский винзавод получает ежедневно 2000 л бе-
лого, 2500 л розового и 1200 л красного вина.

В вине «Черный лекарь» должно содержаться не менее
60% белого вина и не более 20% красного. В вине «Букет роз»
красного вина должно быть не более 60%, а белого — не ме-
нее 15%.
Определите рецепты смешения ингредиентов для произ-
водства вин «Черный лекарь» и «Букет роз», обеспечивающие
заводу максимальную прибыль.

Ответьте на следующие вопросы'.

1.	Какую максимальную прибыль можно получить за 1 день?

2.	Сколько вина «Черный лекарь» следует производить еже-
дневно?

3.	Сколько процентов белого вина должен содержать «Чер-
ный лекарь»?

4.	Сколько вина «Букет роз» следует производить ежедневно?

5.	Сколько процентов розового вина должен содержать «Букет
роз»?

6.	На сколько возрастет прибыль винзавода, если поставки
красного вина удастся увеличить до 1300 л в день?

7.	На сколько уменьшится прибыль винзавода, если поставки
белого вина сократятся до 1800 л?

Решение

Пусть xkj- — количество ингредиента j (j = 1, 2, 3), входяще-
го в смесь к {к = 1,2). Например, х23 — количество красного вина,
ежедневно используемого для приготовления вина «Букет роз».
Тогда модель оптимального смешения имеет следующий вид.

Критерий максимизации прибыли:

(68 - 70)х, । + (68 - 50)х|2 + (68 - 40)х13 + (57 - 70)х2, +

+ (57 - 50)х22 + (57 - 40)х23 -> max.

Ограничения на поставки ингредиентов:

X, । + х21 < 2000;

Х|2 + х22 < 2500;

Х|3 + х23 < 1200.

Ограничения, отражающие условия на содержание ингреди-
ентов в смеси:

хи > 0,6(Хц + х12 + х|3);

х,3 < 0,2(хц + х|2 + х|3);

х23 < 0,6(х2| + х22 + х23);

х2| > 0,15(х2| + х22 + х23).
Эти ограничения можно записать в виде:

-	0,4*| । + 0,6Х|2 + 0,6Х|3 < 0;

-	0,2Х| । - 0,2х,2 + 0,8х,з < 0;

-	0,6х2| - 0,6х22 + ОЛ*23 - 0;

-	О, 85х2| + 0,1 5х22 + 0, 15х2з - О-

Кроме того, к модели следует добавить ограничения на не-
отрицательность переменных.

Используя пакет «POMWIN», исходную информацию для
решения этой задачи можно представить в виде следующей таб-
лицы.

	X11	X,2	X,3	X21	X22	X23	Знак огра- ниче- ния	RHS
Maximize	-2	18	28	-13	7	17		
Constraint 1	1	0	0	1	0	0	<=	2000
Constraint 2	0	1	0	0	1	0	<=	2500
Constraint 3	0	0	1	0	0	1	<=	1200
Constraint 4	-0,4	0,6	0,6	0	0	0	<=	0
Constraint 5	-0,2	-0,2	0,8	0	0	0	<-	0
Constraint 6	0	0	0	-0,6	-0,6	0,4	<=	0
Constraint 7	0	0	0	-0,85	0,15	0,15	<=	0

Решая эту задачу, получаем следующий результат.

Maximize	-2	18	28	-13	7	17	Знак огра- ниче- ния		
Constraint 1	1	0	0	1	0	0	<-	2000	7,8
Constraint 2	0	1	0	0	1	0	<=	2500	3,3
Constraint 3	0	0	1	0	0	1	<=	1200	13,3
Constraint 4	-0,4	0,6	0,6	0	0	0	<=	0	24,4
Constraint 5	-0,2	-0,2	0,8	0	0	0	<•-	0	0
Constraint 6	0	0	0	-0,6	-0,6	0,4	<=	0	0
Constraint 7	0	0	0	-0,85	0,15	0,15	<=	0	24,4
Solution ->	1526,7	1017,8	0	473,3	1482,2	1200		39 888,9	
Дополнительная информация о границах устойчивости реше-
ния по правым частям ограничений содержится в следующей
таблице.

Constraint	Dual Value	Slack/Surplus	Original Value	Lower Bound	Upper Bound
Constraint 1	7,8	0	2000	652,9	3300
Constraint 2	3,3	0	2500	1633,3	10 133,3
Constraint 3	13,3	0	1200	0	4666,7
Constraint 4	24,4	0	0	-538,8	520,0001
Constraint 5	0	508,9	0	- 508,9	Infinity
Constraint 6	0	693,3	0	-693,3	Infinity
Constraint 7	24,4	0	0	-1145	4

Таким образом, максимальная ежедневная прибыль вин-
ного завода достигает 39 888,9 руб. При этом производится
1526,7 + 1017,8 = 2544,5 л вина «Черный лекарь» и 473,3 + 1482,2 +
+ 1200 = 3155,5 л вина «Букет роз». Поставляемые ингредиенты
используются полностью.

Процент белого вина в вине «Черный лекарь» составляет
1526,7 : 2544,5 = 0,6.

Процент розового вина в вине «Букет роз» 1482,2 : 3155,5 = 0,47.

Если поставки красного вина удастся увеличить до 1300 л
в день, то с учетом значения двойственной оценки 13,3, опре-
деляем, что прибыль увеличится на 13,3 х 100 = 1330 руб. Заме-
тим, что объем поставок красного вина при этом остается в гра-
ницах устойчивости решения.

Если закупки белого вина будут сокращены до 1800 л в день,
прибыль уменьшится на 7,8 х 200 = 1560 руб. Заметим, что объем
поставок белого вина остается в границах устойчивости решения.

Ответы на вопросы примера

Ответ на вопрос 1

Максимальная прибыль составляет 39 889,9 руб.

Ответ на вопрос 2

Ежедневно следует производить 2544,5 л вина «Черный
лекарь».

Ответ на вопрос 3

Вино «Черный лекарь» должно содержать 60% белого вина.

Ответ на вопрос 4

Ежедневно следует производить 3155,5 л вина «Букет роз».

Ответ на вопрос 5

Вино «Букет роз» должно содержать 47% розового вина.
Ответ на вопрос 6

Если поставки красного вина удастся увеличить до 1300 л
в день, то прибыль винного завода увеличится на 1330 руб.

Ответ на вопрос 7

Если поставки белого вина сократятся до 1800 л в день, то
прибыль завода уменьшится на 1560 руб.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вопрос 1

Определить объемы производства четырех видов лакокрасоч-
ных изделий, в состав которых входят три ингредиента: олифа,
краситель и белила. Объемы поставок ингредиентов ограни-
чены. Спрос на готовую продукцию не ограничен. Требует-
ся максимизировать прибыль от реализации выпускаемой
продукции. Какое минимальное число переменных и огра-
ничений содержит задача оптимального смешения?

Возможные ответы'.

1)	четыре переменных и три ограничения;

2)	три переменных и четыре ограничения;

3)	три переменных и двенадцать ограничений;

4)	двенадцать переменных и три ограничения;

5)	двенадцать переменных и четыре ограничения.

Вопрос 2

Для приготовления вина «Букет роз» используется смесь из
белого и красного сухих вин. Белого вина в готовой смеси
должно быть не более 30%. Пусть х — количество белого вина,
которое следует использовать для приготовления смеси, у —
количество красного вина. Тогда условие на содержание
ингредиентов в готовой смеси может быть формализовано
следующим образом.

Возможные ответы:

1)	х < 30;

2)	0,Зх < 0,7у;

3)	0,7х + 0,Зу < 0;

4)	— 0,7х + 0,Зу > 0;

5)	0,7х > 0,Зу.
Вопрос 3

Какая из следующих фраз правильно отражает результаты
решения задачи оптимального смешения?

Возможные ответы:

1.	Использованные для получения смеси компоненты не со-
держат необходимых ингредиентов.

2.	Рецепт смешения предполагает использование четырех
ингредиентов.

3.	Для получения смеси надо использовать три компоненты.

4.	Рецепт смешения предполагает использование трех ком-
понент.

5.	Рецепт смешения не предполагает использования этой
компоненты для приготовления смеси.

Вопрос 4

В задаче смешения исходными ингредиентами являются бен-
зины марок А, В и С, октановые числа которых 76, 93 и 98,
соответственно. Октановое число смеси должно быть не ме-
нее 93.

Какое из неравенств правильно формализует это условие,
если х(, х2 и х3 — это количества бензина марок А, В и С, до-
ступные для смешения?

Возможные ответы:

1)	76х, + 93х2 + 98х3 > 93;

2)	76х| + 93х2 + 98х3 < 93;

3)	5х3 - 17Х| > 0;

4)	17х| - 5х3 < 0;

5)	76Х| + 98х3 < 93.

Вопрос 5

Ингредиенты j, j = 1, ..., и, используются для приготовле-
ния смесей к, к = 1, ..., т. Пусть Xjk — количество ингреди-
ента у, входящего в смесь Л; ск — цена, по которой произво-
дитель продает готовую смесь к; pj — цена, по которой заку-
пается ингредиенту. Тогда критерий максимизации прибыли
в задаче оптимального смешения будет иметь следующий вид.

Возможные ответы:

о ->max;

к
2)	YPjxjk ->max;
j

3)	Yck*jk +YP/xjk ->max;
к	j

4)	HPjxjk -Иск^к -> max;

j	к

5)	ЪСкХ)к ~^PjXjk maX'
к	j

ЗАДАЧИ

Задача 1

На кондитерской фабрике изготавливают два продукта, для
которых используют орехи: миндаль, фундук и арахис. Мин-
даль покупается фабрикой по цене 75 руб. за кг, фундук —-
60 руб., арахис — 45 руб. Продукт 1 должен содержать не менее
12% миндаля и не более 18% фундука, продукт 2 — не менее
25% миндаля.

Цены готовых продуктов соответственно 70 и 65 руб. за 1 кг.
Ежедневно фабрика получает следующее количество орехов:
миндаля — 33 кг, фундука — 80 кг, арахиса — 60 кг.

Ответьте на следующие вопросы.

1.	Какое количество (кг) фундука следует использовать при
производстве продукта 1?

2.	Какое количество (кг) продукта 2 следует производить еже-
дневно, чтобы фабрика получала максимальную прибыль?

3.	Каков общий объем (кг) ежедневно производимой продукции?

4.	Какова максимальная прибыль (руб.)?

5.	На сколько увеличится прибыль, если увеличить закупки
миндаля на 5 кг?

Задача 2

Сочинский винный завод производит три марки сухого вина:
«Черный лекарь», «Букет роз» и «Белые ночи». Оптовые цены,
по которым реализуется готовая продукция, соответственно
68, 57 и 60 руб. за 1 л. Ингредиентами для приготовления
этих вин являются белое, розовое и красное сухие вина,
закупаемые в Краснодаре. Эти вина стоят соответственно 70,
50 и 40 руб. за 1 л. В среднем на сочинский винный за-
вод поставляется ежедневно 2000 л белого, 2500 л розового и
1200 л красного вина.
В вине «Черный лекарь» должно содержаться не менее
60% белого вина и не более 20% красного. Вино «Букет роз»
должно содержать не больше 60% красного вина и не мень-
ше 15% белого. Суммарное содержание красного и розового
вина в вине «Белые ночи» не должно превышать 90%.

Определите рецепты смешения ингредиентов для произ-
водства вин «Черный лекарь», «Букет роз» и «Белые ночи»,
обеспечивающие заводу максимальную прибыль.

Ответьте на следующие вопросы.

1.	Какую максимальную прибыль (в руб.) можно получить
за 1 день?

2.	Сколько литров вина «Черный лекарь» следует произво-
дить ежедневно?

3.	Сколько процентов белого вина должен содержать «Чер-
ный лекарь»?

4.	Сколько литров вина «Букет роз» следует производить
ежедневно?

5.	Сколько литров вина «Белые ночи» следует производить
ежедневно?

6.	Сколько процентов розового вина должны содержать «Бе-
лые ночи»?

7.	На сколько возрастет прибыль завода, если поставки крас-
ного вина удастся увеличить до 1300 л в день?

8.	На сколько уменьшится прибыль завода, если поставки
белого вина сократятся до 1800 л?

СИТУАЦИЯ

Компания «Синьор Помидор»

2 сентября 2002 г. Михаил Горский — вице-президент ком-
пании «Синьор Помидор», пригласил начальника отдела
сбыта, начальника отдела технического контроля и началь-
ника производственного отдела, чтобы обсудить объемы за-
готовок консервов из помидоров. Закупленный на корню
урожай томатов начал поступать на консервный завод,
и операции по заготовке консервов должны были начаться
в следующий понедельник. «Синьор Помидор» — средних
размеров компания, занимающаяся производством и реали-
зацйей различной продукции высшего качества из овощей
и фруктов.
Владимир Панкратов, начальник ОТК, и Павел Лукин,
отвечающий за сбыт, первыми пришли в офис вице-прези-
дента Горского. Несколькими минутами позже подошел
начальник производственного отдела Василий Пузиков и зая-
вил, что он захватил с собой последние результаты оценки ка-
чества поступающих томатов. Ожидаемый урожай — 3 млн кг.
Согласно полученным данным, около 20% урожая имеет
высшее качество «А», а оставшаяся часть — качество «В».

Горский поинтересовался у Лукина о спросе на продук-
цию из томатов на следующий год. Лукин заявил, что ком-
пания может продать столько томатов в собственном соку,
сколько сможет произвести. В то же время ожидается, что
спрос на томатный сок и томатную пасту будет ограничен.
Начальник отдела сбыта предоставил последний прогноз спро-
са на продукцию фирмы. Он напомнил собравшимся, что цены
на продукты, производимые компанией, были установлены,
исходя из долгосрочной рыночной стратегии, и что прогноз
будущих продаж основывается на этих ценах.

Прогноз спроса на продукцию компании

Продукт	Цена за 1 упаковку, руб.	Величина спроса, число упаковок
Томаты в собственном соку	40	800 000
Джем из персиков	54	10 000
Персиковый сок	46	5000
Томатный сок	45	50 000
Яблочный полуфабрикат	49	15 000
Томатная паста	38	80 000

После того, как Панкратов ознакомился с оценками спроса,
сделанными Лукиным, он отметил: «Похоже, в следующем году
у компании не будет-проблем с реализацией продуктов из то-
матов». Причем вычисления, проведенные с помощью недавно
внедренной системы финансовых расчетов, показали, что
удельная прибыль от производства томатов в собственном соку
выше, чем от других продуктов из томатов. Ниже в таблице
приведены полученные Лукиным результаты расчетов удель-
ной прибыли для всех продуктов, производимых компани-
ей. Эти расчеты были выполнены в мае 2002 г. сразу после
того, как компания подписала контракт на закупку урожая
томатов по цене в среднем 0,6 руб. за 1 кг.
Расчет удельной прибыли от продажи одной
упаковки продукта, руб.

	Томаты в собст- венном соку	Джем из перси- ков	Перси- ковый ' сок	Томат- ный сок	Яблоч- ный полу- фабри- кат	Томат- ная паста
Цена продажи	40	54	46	45	49	38
Переменные издержки:						
прямые трудо- затраты	11,8	14,0	12,7	13,2	7,0	5,4
накладные расходы	2,4	3,2	2,3	3,6	2,2	2,6
расходы по реализации	4,0	3,0	4,0	8,5	2,8	3,8
упаковочный материал	7,0	5,6	6,0	6,5	7,0	7,7
сырье	10,8	18,0	17,0	12,0	9,0	15,0
Итого перемен- ные издержки:	36,0	43,8	42,0	43,8	28,0	34,5
Прибыль	4,0	10,2	4,0	1,2	11,0	3,5
Последующие накладные расходы	2,8	7,0	5,2	2,1	7,5	2,3
Чистая прибыль	1,2	3,2	-1,2	-0,9	3,5	1,2

Данные о количестве сырья (свежих томатов), необходи-
мого для производства одной упаковки продукции, приведены
ниже в таблице.

Количество сырья для производства 1 единицы
продукта

Продукт	Количество свежего сырья,'необходимого для производства 1 упаковки продукта, кг
Томаты в собственном соку	18
Томатный сок	20
Томатная паста	25

Василий Пузиков обратил внимание вице-президента на
то, что, несмотря на имеющиеся резервы мощностей, нельзя
производить только томаты в собственном соку, так как лишь
небольшая часть урожая имеет качество «А». Компания ис-
пользует шкалу количественных оценок качества как сырья,
так и готовой продукции. Это шкала от 1 до 10, причем чем
выше номер, тем выше качество продукта. По этой шкале
каждый килограмм томатов качества «А» оценивается в де-
вять баллов, а томатов качества «В» — в пять баллов. Пузи-
ков напомнил, что минимально допустимый уровень ка-
чества готовой продукциии — восемь баллов на 1 кг томатов
в собственном соку и шесть баллов на 1 кг томатного сока.
Томатная паста может производиться целиком из томатов
качества «В». Это означает, что томатов в собственном соку
может быть произведено не более 800 000 кг.

Вице-президент заявил, что не считает это реальным ог-
раничением. Недавно он потерпел неудачу в попытке приоб-
рести 80 000 кг томатов качества «А» по цене 0,85 руб. за 1 кг.
Однако он считает, что томаты качества «А» еще можно ку-
пить. Лукин, проделавший в это время некоторые расчеты,
сказал, что согласен с тем, что компанию ожидает благопо-
лучие, однако достичь его удастся не за счет продажи кон-
сервированных помидоров в собственном соку. Ему представ-
ляется, что издержки на закупку должны быть распределе-
ны не только с учетом количества, но и качества томатов.
Результаты проведенных им расчетов предельной прибыли
приведены далее в таблице. Из этих результатов следует, что
компания должна использовать 2 млн кг томатов качества «В»
для производства томатной пасты. Оставшиеся 400 000 кг
томатов качества «В» и все томаты качества «А» следует ис-
пользовать для производства томатного сока. Если прогноз
спроса на продукцию компании оправдается, то переработ-
ка урожая томатов принесет компании 480 000 руб.

Предельная прибыль одной упаковки продукта, руб.

	Томаты в собственном соку	Томатный сок	Томатная паста
Цена продажи	40	45	38
Переменные издержки (без учета стои- мости сырья)	25,2	31,8	19,5
Прибыль	14,8	13,2 .	18,5
Стоимость сырья (томатов)	14,9	12,4	13,0
Предельная прибыль	-0,1	0,8	5,5
Пояснения. Пусть z — стоимость закупки 1 кг томатов качества «А»,
у — стоимость закупки 1 кг томатов качества «В». Решая систему
двух линейных уравнений:

600 000г + 24 000 ОООу = 3 000 000 х 0,6

‘ z = у
9 5

получаем z = 0,932 руб., у = 0,518 руб.

Задания:

1.	Структурируйте задачу. Постройте модель.

2.	Определите наилучшую производственную стратегию ком-
пании.

3.	Проанализируйте вариант, который предусматривает воз-
можность приобретения фирмой дополнительно 80 000 кг
томатов качества «А».

ОТВЕТЫ

Ответы на контрольные вопросы

1 -4, 2-4, 3-2, 4-3, 5-4.

Ответы на задачи

Задача 1

1.	15,4 кг.

2.	86,1 кг.

3.	171,8 кг.

4.	1710,5 руб.

5.	Прибыль не увеличится.

Задача 2

1.51 880 руб.

2.	2860 л.

3.	60 %.

4.	Вино «Букет роз» производить не следует.

5.	2840 л.

6.	47,7 %.

7.	На 1840 руб.

8.	На 880 руб.
Глава 3

ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАСКРОЯ

ЦЕЛИ

В данной главе показаны возможности использования мо-
дели линейного программирования для решения задач раскроя.
Эта область приложения модели линейного программирования
хорошо изучена. Благодаря работам в области оптимального
раскроя основоположника теории линейного программирования
лауреата Нобелевской премии академика Л.В. Канторовича, за-
дачу оптимального раскроя можно назвать классической приклад-
ной оптимизационной задачей.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой
главе, вы будете уметь формулировать и использовать для эко-
номического анализа следующие понятия:

•	материал;

•	заготовка;

•	отходы;

•	способ раскроя;

•	рациональный способ раскроя;

• оптимальный способ раскроя.

МОДЕЛИ

Большинство материалов, используемых в промышленности,
поступает на производство в виде стандартных форм, нужда-
ющихся в дополнительных преобразованиях для участия в про-
цессе производства. Задачи такого типа возникают в металлургии,
машиностроении, лесной и лесообрабатывающей, легкой про-
мышленности. Например на швейное производство, выпуска-
ющее изделия различных ассортиментных групп, ткань посту-
пает в виде больших рулонов, из которых затем выкраиваются
детали, необходимые для пошива одежды. Это можно сделать,
используя различные способы раскроя материала. Задача опти-
мального раскроя состоит в том, чтобы выбрать один или не-
сколько способов раскроя материала и определить, какое коли-
чество материала следует раскраивать и при каком способе кон-
цевые остатки минимальны.

Решение задачи оптимального раскроя проводится в два этапа.
На первом этапе определяются рациональные способы раскроя
материала. На втором — решается задача линейного программи-
рования для определения интенсивности использования раци-
ональных способов раскроя.

Определение рациональных способов раскроя
материала

В задачах этого типа рассматриваются так называемые рацио-
нальные (парето-оптимальные) способы раскроя. Предположим,
что из единицы материала можно изготовить заготовки несколь-
ких видов. Способ раскроя единицы материала называется ра-
циональным (парето-оптимальным), если увеличение числа за-
готовок одного вида возможно только за счет сокращения чис-
ла заготовок другого вида.

Пусть к — индекс вида заготовки, к = I, ..., </; / — индекс
способа раскроя единицы материала, i = 1, ..., р; aik — количе-
ство (целое число) заготовок вида к, полученных при раскрое
единицы материала способом /.

Приведенное выше определение рационального способа рас-
кроя может быть формализовано следующим образом.

Способ раскроя у называется рациональным (парето-опти-
мальным), если для любого другого способа раскроя / из соот-
ношений а1к > avk, к = 1, ..., q, следуют соотношения aik = avk,
к = 1, ..., q.

Определение интенсивности использования
рациональных способов раскроя

Введем следующие обозначения:

j — индекс материала, j = 1...п\

к —индекс вида заготовки, к = 1, ..., </;

/ — индекс способа раскроя единицы материала, / = 1, ..., р;
ajlk — количество заготовок вида к (целое число), полученных
при раскрое единицы материала J способом /;
bk —число заготовок вида к в комплекте, поставляемом за-
казчику;

dj — количество материала вида у;

Xjj — количество единиц материала j, раскраиваемых по спо-
собу i (интенсивность использования способа раскроя);

су, —величина отхода, полученного при раскрое единицы
материала j по способу /;

у —число комплектов заготовок различного типа, постав-
ляемых заказчику.

Модель А раскроя с минимальным расходом
материалов

X Yxj< min;
j=। '=।

k = \,...,q\

Xji 0, j = 1, n, i = 1, ..., p,

(1)

(2)

(3)

где (1) — целевая функция — минимизация числа используемых
материалов;

(2)	— система ограничений, определяющая количество заго-
товок, необходимое для выполнения заказа;

(3)	— условия неотрицательности переменных.

Специфическими для данной области приложения модели
линейного программирования являются ограничения вида (2).

Модель В раскроя с минимальными отходами

п Р

Z Хслхл min; /=i<=i		(4)
л р  YYajikxji bk, к =	q		(5)
j = । i = 1  X :: >0, j = 1, ..., П, 1 = 1, .	P,	(6)

где (4) — целевая функция — минимизация отходов при раскрое
материалов;

(5) — система ограничений, определяющая количество заго-
товок, необходимое для выполнения заказа;

(6)—условия неотрицательности переменных.
Модель С раскроя с

учетом комплектации

у -> max;	(7)

j = 1, S'	(8)

7 = 1

i Халкхл bky, k = \,...,q;	(9)

y = l/=l

y>0, Xji >0,	/ =	i = 1, ..., p, (10)

где (7) — целевая функция — максимальное количество получае-
мых комплектов (с учетом заготовок различных видов);
(8) — ограничения по количеству материалов;

(9)	— система ограничений, определяющая число заготовок,
необходимое для формирования комплектов;

(10)	—условия неотрицательности переменных.

Специфическими для данной области приложения модели

линейного программирования являются ограничения вида (9).

ПРИМЕРЫ

Пример 1

Требуется определить все рациональные способы раскроя
металлического стержня длиной 100 см на заготовки трех ти-
пов: длиной 50, 30 и 20 см, а также указать величину отхо-
дов для каждого способа.

Все рациональные способы раскроя приведены в следу-
ющей таблице.

Способы раскроя	Заготовка длиной 50 см	Заготовка длиной 30 см	Заготовка длиной 20 см	Величина отходов, см
1	2	0	0	0
2	1	1	1	0
3	1	0	2	10
4	0	3	0	10
5	0	2	2	0
6	0	1	3	10
7	0	0	5	0

Для данного материала и указанных заготовок существует
семь различных рациональных способов раскроя.
Пример 2

Требуется определить все рациональные способы раскроя
прямоугольника кожи размером 100 х 60 см на квадратные
заготовки со сторонами 50, 40 и 20 см и указать величину от-
ходов для каждого способа.

Все рациональные способы раскроя приведены в следу-
ющей таблице.

Способы раскроя	Заготовка со стороной 50 см	Заготовка со стороной 40 см	Заготовка со стороной 20 см	Величина отходов, см2
1	2	0	0	1000
2	1	1	2	1100
3	1	0	6	1100
4	0	2	7	0
5	0	1	11	0
6	0	0	15	0

Для данного материала и указанных заготовок существует
шесть различных рациональных способов раскроя.

Пример 3

При изготовлении парников используется материал в виде
металлических стержней длиной 200 см. Этот материал раз-
резается на стержни длиной 120 см, 100 см и 70 см. Для вы-
полнения заказа требуется изготовить 80 стержней длиной
120 см, 120 стержней длиной 100 см и 102 стержня длиной
70 см.

Ответьте на следующие вопросы:

1.	Сколько существует рациональных способов раскроя?

2.	Какое минимальное количество материала следует разре-
зать, чтобы выполнить заказ?

3.	Сколько способов раскроя следует использовать при вы-
полнении заказа?

Решение

Определяем все рациональные способы раскроя материала на
заготовки. Таких способов оказывается пять.
Способы раскроя	Заготовка длиной 120 см	Заготовка длиной 100 см	Заготовка длиной 70 см	Величина отходов, см
1	1	1	0	0
2	1	0	1	30
3	0	2	0	20
4	0	1	1	50
5	0	0	3	10

Эта задача относится к задачам раскроя с минимальным рас-
ходом материалов (модель/1). Перед нами случай раскроя одного
вида материала. Тогда х- — число единиц материала, раскраива-
емых по способу /. Получаем следующую модель линейного про-
граммирования с критерием — минимизация общего количества
используемого материала.

	Xi	х2	Хз	х4	х5	Знак	RHS
Minimize	1	1	1	1	1		
Заготовка 120 см	1	1	0	0	0	>=	80
Заготовка 100 см	1	0	2	1	0	>=.	120
Заготовка 80 см	0	1	0	1	3	> —	102

Решая задачу, получаем следующий результат:

	Xt	Хз	Хз	Х4	х5	Знак	RHS	Dual
Minimize	1	1	1	1	1			
Заготовка 120 см	1	1	0	0	0	>=	80	-0.5
Заготовка 100 см	1	0	2	1	0	>=	120	-0,5
Заготовка 80 см	0	1	0	1	3	>=	102	-0,33
Solution	80	0	20	0	34		134	

Тогда на вопросы поставленные в условии задачи можно отве-
тить следующим образом'.

1.	Существует пять рациональных способов раскроя.

2.	Следует разрезать 134 единицы материала.

3.	При выполнении заказа следует использовать три из пяти
рациональных способа раскроя.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вопрос 1

Способ раскроя называется рациональным, если'.

1)	он является безотходным;

2)	он обеспечивает минимум отходов;

3)	отходы меньше любой из заготовок;

4)	он позволяет получить наибольшее число заготовок;

5)	нет другого способа, дающего не меньше заготовок каж-
дого типа.

Вопрос 2

Рассматривается задача оптимального раскроя деревянных
брусьев на заготовки для строительства дома. Длина брусьев
измеряется в сантиметрах. В модели линейного программи-
рования неизвестными являются интенсивности рациональ-
ных способов раскроя материала, значения которых измеря-
ется в штуках. В качестве критерия рассматривается мини-
мизация отходов. В каких единицах измеряется значение
коэффициента целевой функции?

Возможные ответы:

I) шт.; 2) см; 3) шт./см; 4) см/шт.; 5) безразмерная величина.

Вопрос 3

Рассматривается задача оптимального раскроя кожи для по-
шива перчаток. Данная модель линейного программирова-
ния учитывает ограничение на количество материала. Пра-
вая часть ограничения измеряется в штуках кожи. Целевая
функция — максимизировать число пар пошитых перчаток.
В каких единицах измеряется двойственная оценка ресурс-
ного ограничения? '

Возможные ответы:

1) шт.; 2) пара; 3) пара/шт.; 4) шт./пара; 5) безразмерная
величина.

Вопрос 4

Сколько существует рациональных способов раскроя метал-
лического стержня длиной 100 см на стержни длиной 50,
20 и 10 см?
Возможные ответы:

1) более десяти; 2) десять; 3) девять; 4) восемь; 5) менее восьми.

Вопрос 5

Какое из следующих утверждений является верным!

1.	Безотходный способ раскроя является рациональным.

2.	Безотходный способ раскроя может быть рациональным.

3.	Безотходный способ раскроя не является рациональным.
4. Рациональный способ раскроя является безотходным.

5. Рациональный способ раскроя не является безотходным.

ЗАДАЧИ

Задача 1

На производство поступила партия стержней длиной 250 и
190 см. Нужно получить 470 заготовок длиной 120 см и 450 за-
готовок длиной 80 см. Отходы должны быть минимальны.

Ответьте на следующие вопросы:

1. Какое количество стержней длиной 250 см надо разрезать?
2. Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать?
3. Какова величина отходов (в см)?

Если количество стержней длиной 250 см ограничено и
равно 200 шт.:

5.	Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать
в этом случае?

6.	На сколько увеличится количество отходов в см?

Задача 2

Завод заключил договор на поставку комплектов отрезков
стержней длиной по 18, 23 и 32 см. Причем число отрезков
разной длины в комплекте должны быть в соотношении
1:5:3. На сегодняшний день имеется 80 стержней длиной
по 89 см. Как их следует разрезать, чтобы число комплектов
было максимальным?

Ответьте на следующие вопросы:

1.	Сколько существует рациональных способов раскроя?

2.	Сколько комплектов стержней будет выпущено?

3.	Какова при этом величина отходов (в см)?
ОТВЕТЫ

Ответы на контрольные вопросы
1—5,2 — 4, 3 — 3,4 — 2,5 — 1.

Ответы на задачи

Задача 1

1.	385.

2.	0.

3.	3850 см.

4.	295.

5.	На 5300 см.

Задача 2

1.9.

2.	30.

3.	250 см.
Глава 4

ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
ФИНАНСОВ

ЦЕЛИ

В данной главе показаны возможности использования
модели линейного программирования для решения некоторых
задач планирования финансов. При определенных предположе-
ниях становится возможным выбрать такие способы вложения
денег под проценты, совокупность которых позволяет миними-
зировать первоначальный вклад, необходимый для выплаты
займа, или максимизировать доход. При решении задач финан-
сового планирования можно учитывать риск и другие факторы,
влияющие на выбор способов вложения денег.

После выполнения заданий, предлагаемых в этой главе, вы
будете уметь формулировать и использовать для экономического
анализа следующие понятия:

•	вклад;

•	целевой фон;

•	балансовое ограничение;

• индекс риска по вкладу.

МОДЕЛИ

Модель А. Минимизация целевого фонда

Предположим, что в определенные моменты времени необ-
ходимо выплачивать известные суммы денег по сделанному
ранее займу. Чтобы накопить эти суммы, можно заранее создать
целевой фонд, а средства из этого фонда использовать для срочных
вкладов. Каждый срочный вклад характеризуется моментом вре-
мени вложения, сроком погашения и доходностью. Задача со-
стоит в том, чтобы определить минимальный размер целевого
фонда и выбрать те виды срочных вкладов, которые следует ис-
пользовать, чтобы сделать выплату по займу.

Введем следующие обозначения:

у —размер целевого фонда, создаваемого в момент време-
ни 0;

t —текущий момент времени, t = 0, 1, ..., Г;

dt — размер выплаты по займу, которую надо произвести в
момент времени /= 1, ..., Г;

j —индекс срочного вклада, j = 1, ..., п;

Vj —момент времени вложения по срочному вкладу у;

Wj —срок выплаты по срочному вкладу у;

г- —доходность срочного вклада у (процент по вкладу);

Xj —объем вложений по срочному вкладу у.

Предполагается, что для любого срочного вклада момент
времени вложения фиксирован. Если по срочному вкладу у
сделаны вложения в размере Xj, то через w единиц времени вклад-
чику выплачивается сумма (1 + г) Xj. Без ограничения общ-
ности можно считать, что для любого момента времени сущест-
вует такой вклад, выплата по которому производится в следу-
ющий момент времени. При этом доходность такого вклада может
быть нулевая. Использование вклада с нулевой доходностью
означает, что деньги остаются на руках у владельца.

Пусть Gt — множество индексов у таких, что / = гу, т.е. по вкладу
у сделано вложение в момент времени Z;

Q, — множество индексов у таких, что / = v- + w-, т.е. по вкла-
ду j получена выплата в момент времени /.

Заметим, что для любого t множества Gt и Qt известны. Тогда
модель имеет следующий вид:

У min;	(1)

У - Z = 0, t = 0;	(2)

У е G,

L 0 + rj^xj - X xj = dr / = 1,	Т-1;	(3)

У е G,	j ев,

£ (1 + fj)x = dT t;	(4)

j e G,

у > 0, Xj >0, j = 1, ..., n,	(5)
где (1)—целевая функция — минимальный размер целевого
вклада;

(2)	— условие, характеризующее распределение целевого фонда
по вкладам в нулевой момент времени;

(3)	— соотношения, устанавливающие баланс между выпла-
тами и вложениями;

(4)	— условие, обеспечивающее выплату по займу;

(5)	— условия неотрицательности переменных.

Модель Б. Максимизация дохода

Предположим, что инвестор собирается делать вклады для
того, чтобы через определенный период времени получить мак-
симальный доход. Задача состоит в том, чтобы определить ве-
личину максимального дохода при фиксированном размере це-
левого фонда и выбрать те виды срочных вкладов, которые сле-
дует использовать.

Сохраним принятые выше обозначения и введем новые:

Z — размер дохода, который может получить вкладчик в мо-
мент времени Г;

ut —размер вклада в момент времени t, t = 0, 1, ..., Т —

Тогда модель имеет следующий вид:

Z max;

Е xj =и'> f = °; j е G,		(7)
^Xj- £ (1 + ry)x; = u„ t = 1, .. j eG,	j ₽ Q,	., T-\;	(8)
E о + r^xj -z = °’ f = T’  J <^Q,		(9)

Z > 0, х} > О, j = 1, ..., п,

(Ю)

где (6) — целевая функция — максимизация размеров дохода;

(7)	— условие, характеризующее распределение вклада в ну-
левой момент времени;

(8)	— соотношения, устанавливающие баланс между выпла-
тами и вложениями;

(9)	— условие, определяющее величину дохода;

(10)—условия неотрицательности переменных.
ПРИМЕР

Петр Перфилов — управляющий компанией, которая толь-
ко что заключила контракт на покупку нового оборудования
для консервирования овощей. В соответствии с договором,
компания должна выплатить поставщику в обшей сложно-
сти 750 тыс. руб. Причем 150 тыс. руб. необходимо уплатить
через 2 месяца, а остальные 600 тыс. руб. — через 6 месяцев
после того, как оборудование будет поставлено и испытано.
Петр считает, что сразу после подписания договора следует
образовать целевой фонд и использовать эти средства для
вложения денег под проценты. Поскольку такие инвестиции
породят дополнительную наличность к тому времени, когда
придется вносить деньги за оборудование, Петр понимает,
что целевой фонд должен быть меньше, чем 750 тыс. руб.
А вот сколько именно — зависит от имеющихся возможно-
стей инвестирования.

Проанализировав имеющиеся варианты, Петр решил со-
средоточиться на 12 возможных способах вложения денег под
проценты. Виды вкладов, их продолжительность, возможные
сроки вложения и проценты по вкладу приведены в следу-
ющей таблице.

Вид вклада	Срок вклада данного вида, мес.	Возможные моменты вложения данного вида (начало месяца)	Процент по вкладу
А	1	1, 2, 3, 4, 5, 6	1,5
В	2	1, 3, 5	3,5
С	3	1, 4	6,0
D	6	1	11,0

С учетом этих возможностей необходимо минимизиро-
вать размер целевого фонда, обеспечивающего возможность
оплатить закупленное' оборудование.

Ответьте на следующие вопросы.

1.	Каков минимальный размер целевого фонда, позволя-
ющий сделать необходимые выплаты?

2.	Какова стоимость в начальный момент времени одного
рубля, который надо выплатить в начале седьмого меся-
ца (через 6 месяцев)?

3.	Какова стоимость в начальный момент времени одного
рубля, который надо выплатить в начале пятого месяца
(через 4 месяца)?
Данные о возможностях вложений и возврата денег (в руб.)
представлены в следующей таблице.

Вклады	Начало месяца						
	1	2	3	4	5	б	7
А в месяце 1	1,00 ->	1,015					
А в месяце 2		1,00 ->	1,015				
А в месяце 3			1,00 ->	1,015			
А в месяце 4				1,00	1,015		
А в месяце 5					1,00 ->	1,015	
А в месяце 6						1,00 ->	1,015
В в месяце 1	1,00 ->	->	1,035				
В в месяце 3			1,00 ->	—>	1,035		
В в месяце 5					1,00 ->	->	1,035
С в месяце 1	1,00 ->	->	->	1,06			
С в месяце 4				1,00 ->	—>	->	1,06
D в месяце 1	1,00	->	->	->	->	->	1,11

Решение

Пусть:

у — размер целевого фонда;

А,- —размер вклада типа А в месяце /;

В, —размер вклада типа В в месяце /;

С( —размер вклада типа С в месяце /;

Z), —размер вклада типа D в месяце I.

Так как в любой момент времени можно сделать вклад на один
месяц, то предприятию не выгодно хранить деньги на руках.
С учетом этого условия, задача может быть описана следующей
моделью:

у -> min;

(И)

У — А\ — В\ — С| — Д| — 0;

1,015/1, - Д2 = 0;

1,015Л2 + 1,035 5, - А3 - В3 = 150;

1,015Л3 + 1,060 С, - Л4 -С4 = 0;

1,015Л4 + 1,035 В3 - А5 - В5 = 0;

1,015Л5 - Л6 = 0;

1,015Л6 + 1,035 В5 + 1,060 С4 + 1,1 ЮД, = 600.
Здесь уравнение (11) — это уравнение целевой функции,
а остальные уравнения описывают ограничения модель. Запи-
шем модель в виде табл. 1.

Проведя вычисления, получаем следующие результаты
(табл. 2 и 3).

Таблица 3

Variable	Value	Reduced Cost	Original Value	Lower  Bound	Upper Bound
У	678,9	0	1	0	Infinity
А	0	0	0	-4.6E-03	Infinity
В,	144,9	0	0	-4.3E-03	4.6E-03
С, .	534,0	0	0	-1	4.3E-03
D,	0	1.2Е-02	0	-1.2E-02	Infinity
А	0	4.5Е-03	0	-4.5E-03	Infinity
А	0	8.6Е-03	0	-8.6E-03	Infinity
Вз	0	4.2Е-03	0	-4.1E-03	Infinity
а4	0	0	0	-8.4E-03	4.1E-03
с4	566,0	0	0	- Infinity	8.5E-03
Дб	0	0	0	-1.2E-02	Infinity
В5	0	8,ЗЕ-ОЗ	0	-8.3E-03	Infinity
А	0	1.2Е-02	0	-1.2E-02	Infinity

Constraint	Dual Value	Slack / Surplus	Original Value	Lower  Bound	Upper Bound
Начало месяца 1	-1	0	0	-678,9	Infinity
Начало месяца 2	-0,9852217	0	0	0	Infinity
Начало месяца 3	-0,9661836	0	150	0	Infinity
Начало месяца 4	-0,9433963	0	0	-566,0	Infinity
Начало месяца 5	-0,9294544	0	0	0	Infinity
Начало месяца 6	-0,9157187	0	0	0	Infinity
Начало месяца 7	-0,8899965	0	600	0	Infinity

В этом примере особый интерес представляет интерпретация
двойственных оценок. Например, двойственная оценка после-
днего ограничения равна —0,89. Это означает, что для выплаты
через полгода одного дополнительного рубля необходимо увели-
чить размер целевого фонда на 0,89 руб. Таким образом, вели-
чина двойственной оценки есть стоимость одного рубля, вы-
плачиваемого через полгода, приведенная к начальному моменту
времени.
Таблица 1

	У	А,	в,	С,	о,	Аг	Аз	Вз	Аг	С4	а5	в£	Дб	Знак	RHS
Minimize	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0		
Начало месяца 1	1	-1	-1	-1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0		0
Начало месяца 2	- 0	1,015	0	0	0	-1	0	0	0	0	0	0	0	=	0
Начало месяца 3	0	0	1,035	0	0	1,015	-1	-1	0	0	0	0	0	=	150
Начало месяца 4	0	0	0	1,06	0	0	1,015	0	-1	-1	0	0	0	=	0
Начало месяца 5	0	0	0	0	0	0	0	1,035	1,015	0	-1	-1	0	=	0
Начало месяца 6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1,015	0	-1	=	0
Начало месяца 7	0	0	0	0	1,11	0	0	0	0	1,06	0	1,035	1,015	=	600

Таблица 2

	У	А,	в,	С,	О,	Аг	Аз	Вз	Д4	С4	Аз	в5	Де	Знак	RHS	Dual
Minimize	У	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0			
Начало месяца 1	1	-1	-1	-1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	-	0	-1
Начало месяца 2	0	1,015	0	0	0	-1	0	0	0	0	0	0	0	=	0	-0,985
Начало месяца 3	0	0	1,035	0	0	1,015	-1	-1	0	0	0	0	0	=	150	-0,966
Начало месяца 4	0	0	0	1,06	0	0	1,015	0	-1	-1	0	0	0	=	0	-0,943
Начало месяца 5	0	0	0	0	0	0	0	1,035	1,015	0	-1	-1	0	=	0	-0,929
Начало месяца 6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1,015	0	-1	=	0	-0,916
Начало месяца 7	0	0	0	0	1,11	0	0	0	0	1,06	0	1,035	1,015	=	600	-0,889
Solution ->	678,93	0	144,927	533,998	0	0	0	0	0	566,038	0	0	0		678,93	
Ответы на вопросы.

1.	Минимальный размер целевого фонда, позволяющий сде-
лать необходимые выплаты, составляет 678 925,5 руб.

2.	Один рубль, который надо выплатить в начале седьмого ме-
сяца (через 6 месяцев), в начальный момент времени стоит
0,89 руб.

3.	Один рубль, который надо выплатить в начале пятого ме-
сяца (через 4 месяца), в начальный момент времени стоит
0,93 руб.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вопрос 1

Срочный вклад характеризуется'.

1)	суммой вклада и процентом по вкладу;

2)	моментом вложения, сроком погашения, прибылью и про-
центом по вкладу;

3)	размером вклада, моментом вложения, сроком погашения
и процентом по вкладу;

4)	размером вклада, моментом вложения, сроком погашения,
прибылью и процентом по вкладу.

Вопрос 2

Целью модели минимизации целевого фонда является'.

1)	минимизация целевого фонда, необходимого для накоп-
ления определенной суммы;

2)	максимизация целевого фонда, необходимого для накоп-
ления определенной суммы;

3)	минимизация размера срочного вклада, необходимого для
накопления определенной суммы;

4)	максимизация размера срочного вклада, необходимого для
накопления определенной суммы;

5)	минимизация целевого фонда, необходимого для получе-
ния максимального дохода.

Вопрос 3

Целью модели максимизации дохода является:

I)	максимизация целевого фонда, необходимого для получе-
ния максимального дохода;

2)	минимизация целевого фонда, необходимого для получе-
ния максимального дохода;
3)	выбор срочного вклада с максимальной доходностью;

4)	максимизация прибыли при фиксированной величине це-
левого фонда;

5)	максимизация дохода при фиксированной величине целе-
вого фонда.

ЗАДАЧИ

Задача 1

Константин Иванов — управляющий компанией «Золотой
колос», специализирующейся на выпуске пива. Компания за-
купила оборудование для выпуска популярного сорта пива
«Двойное золотое». Стоимость оборудования — 900 тыс. руб.
В соответствии с условиями контракта 200 тыс. руб. необ-
ходимо выплатить через два месяца, когда оборудование
будет поставлено, а оставшиеся 700 тыс. руб. — через шесть
месяцев, когда оборудование будет смонтировано.

Чтобы расплатиться полностью, Константин предполагает
тотчас же образовать целевой фонд, который можно использо-
вать для инвестиций. Поскольку такие инвестиции породят
дополнительную наличность к тому времени, когда придется
вносить деньги за оборудование, Константин знает, что ему сле-
дует отложить меньше, чем 900 тыс. руб. А вот сколько имен-
но — зависит от имеющихся возможностей инвестирования.

Константин решил сосредоточиться на 12 возможностях
инвестирования. Для каждого вида вкладов известна эксперт-
ная оценка риска задержки выплаты по вкладу. Данные для
задачи финансового планирования представлены в следу-
ющей таблице.

Вид вклада	Срок вклада данного вида, мес.	Возможные моменты вложения данного вида (начало месяца)	Процент по вкладу	Индекс риска
А	1	1, 2, 3, 4, 5, 6	1,7	3
В	2	1, 3, 5	3,5	10
С	3	1,4	5,5	7
D	6	1	10,5	9

Составьте модель линейного программирования для опре-
деления минимального размера целевого фонда, позволяющего
сделать необходимые выплаты.
Ответьте на следующие вопросы'.

1.	Каков минимальный размер целевого фонда в руб., позво-
ляющий сделать необходимые выплаты без учета риска?

2.	Какова стоимость в начальный момент времени одного
рубля, который надо выплатить в начале седьмого меся-
ца (через 6 месяцев)?

3.	Каков минимальный размер целевого фонда в руб., позво-
ляющий сделать необходимые выплаты, если средний риск
в каждый момент времени не должен превышать 6?

4.	Какова «плата» за снижение риска (в руб.)?

Задача 2

У Василия Иванова есть 50 тыс. руб., которые можно инвес-
тировать. Необходимо максимизировать денежную наличность
к концу шестимесячного периода. Возможные виды инвес-
тиций представлены в таблице. Для каждого вида вкла-
дов известна экспертная оценка риска задержки выплаты по
вкладу.

Вид вклада	Срок вклада данного вида, мес.	Возможные моменты вложения данного вида (начало месяца)	Процент по вкладу	Индекс риска
А	1	1,2, 3,4, 5,6	1,7	3
В	2	1, 2	3,5	9
С	3	3,4	6,5	8
D	6	1	11,5	5

Составьте модель линейного программирования для оп-
ределения максимального размера дохода, который может по-
лучить Василий Иванов через полгода, использовав имею-
щиеся у него возможность для вложения 50 тыс. руб.

Ответьте на следующие вопросы:

1.	Каков максимальный размер дохода через полгода (в руб.)?

2.	Какой максимальный доход (в руб.) можно получить
через полгода от вложения одного рубля в начальный мо-
мент времени?

3.	Каков максимальный размер дохода можно получить че-
рез полгода (в руб.), если средний риск в каждый момент
времени не должен превышать 6?

4.	Какова «плата» за снижение риска (в руб.)?

5.	Если в начале четвертого месяца Василий предполагает
вложить еще 20 тыс. руб., то на сколько возрастет его до-
ход через пол года с учетом риска?
Задача 3

Пять проектов конкурируют за получение инвестиционных
фондов компании:

Проект 1 предполагает в 2003 г. вложить деньги, в 2004 г.
получить по вкладу 30% и возвратить вложенные средства (без
процентов) в 2005 г.

Проект 2 предполагает в 2004 г. вложить деньги, в 2005 г.
получить по вкладу 30% и возвратить вложенные средства (без
процентов) в 2006 г.

Проект 3 предполагает в 2003 г. вложить деньги, в 2006 г.
получить по вкладу 1,75 руб. на каждый вложенный рубль.

Проект 4 предполагает в 2005 г. вложить деньги, в 2006 г.
получить по вкладу 1,4 руб. на каждый вложенный рубль.

Проект 5 предполагает в 2003 г. вложить деньги, в 2005 г.
получить по вкладу 1,2 руб. на каждый вложенный рубль.

Максимальная сумма, которая может быть вложена в лю-
бой проект, не должна превышать 10 млн руб. Деньги, по-
лученные в результате инвестиций в один проект, можно ре-
инвестировать в другие проекты. Компания также может
получать 6% годовых по краткосрочному (на 1 год) банков-
скому вкладу. К началу 2003 г. инвестиционный фонд ком-
пании составит 20 млн руб. Целью компании является мак-
симизация дохода от инвестиций к 2006 г.

Ответьте на следующие вопросы:

1.	Какова максимальная сумма денег, которую можно полу-
чить в 2006 г. (в млн руб.)?

2.	Какую сумму следует вложить во второй проект (млн руб.)?

3.	В каком году следует вложить деньги в банк?

4.	Какой максимальный доход можно получить в 2006 г.,
вложив 1 руб. в 2003 г.?

ОТВЕТЫ

Ответы на контрольные вопросы
1 -4, 2- 1,3-5.
Ответы на вопросы задач

Задача 1

I.	822 150 руб.

2.	0,9 руб.

3.	8 231 519 руб.

4.	1002 руб.

Задача 2

1.	56 050 руб.

2.	1,12 руб.

3.	55 850 руб.

4.	200 руб.

. 5. 77 070 руб.

Задача 3

1.	35,45 млн руб.

2.	3 млн руб.

3.	В 2005 году.

5.	1,45 руб.
Глава 5

ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

ЦЕЛИ

В данной главе рассматривается задача доставки продукта,
который в определенных количествах предлагается различными
производителями. Известно какой объем продукта нужен потре-
бителям. Требуется определить, от каких производителей и в
каких объемах потребителям выгоднее получать продукт. Постав-
ки должны осуществляться таким образом, чтобы совокупные
издержки на транспортировку продукта были наименьшими.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой
главе, вы будете уметь формулировать и использовать для эко-
номического анализа:

•	замкнутую транспортную задачу;

•	открытую транспортную задачу;

•	транспортную задачу с запретами;

•	транспортную задачу с фиксированными перевозками;

•	транспортную задачу с ограничениями на пропускные спо-
собности;

•	транспортную таблицу;

•	потенциалы.

МОДЕЛИ

Введем следующие переменные:

о, —величина предложения продукта в пункте /, /= 1, ..., я;

bi —величина спроса на продукт в пункте j, j = 1, ..., т;

Су — затраты на транспортировку единицы продукта из пунк-
та / в пункт у;

х,у — количество продукта, перевозимого из пункта / в пункт j.
В сделанных обозначениях транспортную задачу можно запи-
сать следующим образом:

т п

Е	min’	(•)

j=11=i

Ёх</=а/’	/ =	(2)

y = i

Exv=^’	J = 1,	w;	(3)

i = i

Xy >0; i = 1, n, j = 1, m.	(4)

Существует несколько вариантов транспортной задачи.

1.	Замкнутая транспортная задача

Общий спрос равен общему предложению.

п	т

/ = I J = I

Это равенство является необходимым и достаточным усло-
вием существования допустимого плана задачи (1)—(4).

2.	Открытая транспортная задача

А. Пусть существует излишек продукта, т.е.

п	т

IX > IX-

/=।	j=।

Такую задачу можно свести к замкнутой задаче.

Способ сведения к замкнутой задаче

Пусть.	П w

bm+i —величина избытка продукции, Ьт + 1 = 1>-1>;

/ = 1	7 = 1

с, т+, —штраф за единицу не реализованного продукта в
пункте i;

yt — объем продукта, не реализованного в пункте /.

Замкнутая транспортная задача имеет вид

т п	п

ХХсихи + Ес.,и + |У/ min;

j = । i = i	i = i
Yxij + y^Oi, i = n;

J = i

Yx^bj, j =

/ = i

±у,=ьт+1-,
i = i

x.-: > 0;	y,	>0;	z = I, n,	j	= 1, ...,	m.

IJ	>	J J	7	’	’	’	J	1	'

Б. Пусть существует дефицит продукта, т.е.

Такую задачу можно свести к замкнутой задаче.
Способ сведения к замкнутой задаче
Пусть:

ап+ ] — величина дефицита продукции — штраф за единицу
продукта, недопоставленного в пункт J;
т	т

аП + \ = Ybj " Е ФС« + 1.7-
J=।	7 = 1

yj — объем продукта, недопоставленного в пункт j.
Замкнутая транспортная задача имеет вид:
т п	т

Z Xcijxij +	min;

j = 1' = ।	7 = 1

X xu = ai, 1 = ь ’n<

7 = 1

^Xjj + yi = bj, j = \,...,m-
/ = 1
m
Xyj
7 = 1

x„ > 0;	y,	>0;	i = 1, ..., n,	j	= 1, ..., m.

•J	S J	7	1 J 1	J
3.	Транспортная задача с фиксированными перевозками

Если объем перевозок между пунктами 7 и j задан, то в за-
даче (I)—(4) вводится дополнительное ограничение х,у = vZ/, где
Vjj — заданный объем перевозок.

4.	Задача с ограничениями на пропускные способности

Если объем перевозок из пункта i в пункт J ограничен вели-
чиной w^j, то в задаче (1)—(4) вводится дополнительное ограни-
чение Х,у < Wjj.

5.	Транспортная задача с фиксированными доплатами

Предположим, что в открытой транспортной задаче имеет место
дефицит продукта и для его устранения в пунктах 7 = п + 1, ..., к,
возможно создание новых мощностей c/z. Пусть г, = I, если в
пункте /',/ = д + 1,..., к, вводятся мощности <7,; = 0. если в пункте
7 мощности не вводятся. Издержки на ввод мощностей d, в пункте
7, 7 = п + 1, ..., к, составляют ur С учетом возможности создания
новых мощностей транспортная задача может быть записана в
следующем виде:

ZZC(/X//+ Z w,Z, ->min;	(5)

j = I i = I	l' = n + I

s xii = ai, ' = *’	(6)

7-1

m

X xa - diZi- i = « + L •••,	(7)

7-1

J = 1, w;	(8)

/ = i

x,, > 0;	7 = 1, ..., k, j = 1, ..., m.	(9)

u >	J 1

Помимо непрерывных переменных x;/ в модель включены
булевы переменные г,- Задача (5)—-(9) является задачей линей-
ного программирования со «смешанными» переменными.

6.	Модель агрегированного планирования производства

Обозначим:

Т — продолжительность периода планирования;
t= I,	T— число интервалов времени в периоде планиро-

вания;

п —число видов мощностей, которые могут быть исполь-
зованы для производства продукта;

/' — вид мощности, который может быть использован для
производства продукта, / = 1, п;

а,, —максимальный объем производства продукта в момент
времени I на мощности вида /';

Ьт —количество продукта, которое следует отгрузить в мо-
мент времени т, т = 1, ..., Т;

cit —издержки производства единицы продукта на мощно-
сти вида /' в момент времени Г;

и —издержки хранения единицы продукта в течение еди-
ницы времени;

v —издержки дефицита единицы продукта в единицу вре-
мени;

х„т — количество продукта, которое следует произвести на
мощности вида / в момент времени t для отгрузки в
момент т.

В принятых обозначениях модель агрегированного плани-
рования производства может быть описана следующим образом:

п Т  i = 11 = 1	' Т	X  Z +  \т = 1	)	11 Т  i - 11 = 1	т  Z х/п«(т-0  _г = / + 1	+
п Т  + XZ	Т  Z X//rV		-> min;	
/ = 1 т = 1	_Г=Т+ 1			

Z = 1, ..., п, t = 1,

т

Т = 1

т = 1. ..., Г;

(Ю)

(И)

(12)

xjlx >0;	/ = 1, ..., я, t = 1, ..., Г, т = 1, ..., Т.

Первое слагаемое целевой функции (10) — совокупные из-
держки на производство продукта за весь период планирования;
второе слагаемое — совокупные издержки на хранение продук-
та; третье слагаемое — совокупные издержки дефицита.

Левая часть неравенства (11) характеризует фактический объем
производства продукта на мощности вида / в момент времени /,
правая часть — максимально возможный объем производства.
Левая часть равенства (12) характеризует фактический объем
продукта, отгруженный в момент т; правая часть — потребность
в продукте.

Оптимальный план |х,7т|этой задачи показывает, на каких
мощностях следует производить продукт для удовлетворения спро-
са. При этом продукт можно производить: а) непосредственно
в момент отгрузки (хранения не требуется); б) заранее (требу-
ется хранение); в) позднее момента отгрузки (задержка поста-
вок и, как следствие, — дефицит продукта).

Эта модель представляет особый интерес, так как позволяет
формировать план производства, позволяющий обеспечить удов-
летворение спроса с минимальными совокупными затратами,
учитывающими как издержки хранения, так и издержки дефи-
цита.

Все приведенные выше модели описывают транспортную
задачу в виде задачи линейного программирования. В такой форме
она может быть решена стандартными средствами линейного
программирования, например, с помощью симплекс-метода.
Но для решения транспортной задачи могут быть использова-
ны более быстрые (по объему вычислений) алгоритмы. Напри-
мер, метод потенциалов. Большинство специальных алгоритмов
решения транспортной задачи используют исходную информа-
цию в форме транспортной таблицы:

Пункты производства	Пункты потребления						Предложение
	1	2		/		т	
1	Си	С12		С1,		Cim	ai
2	С21	С22		С2;		^2т	Зг
							
/	с,1	Ci2		с,		Ctm	а,
							
п	Сп1	Cn2		Сп/		Спт	а„
Спрос	ь.	Ьг		Ь,			

ПРИМЕРЫ

Пример 1. Определение плана перевозок

Компания, занимающаяся добычей железной руды, имеет
четыре карьера Ct, С2, С3, С4. Производительность карьеров
соответственно 170, 130, 190 и 200 тыс. т ежемесячно. Желез-
ная руда направляется на три принадлежащие этой компа-
нии обогатительные фабрики S}, S2 , S3, мощности которых
соответственно 250, 150 и 270 тыс. т в месяц. Транспортные
затраты на перевозку 1 тыс. т руды с карьеров на фабрики
указаны в следующей таблице.

Транспортные затраты, тыс. руб.			
	3	8	С,
5	4	6	с2
4	5	9	Сз
6	2	5	с4
S,	з2	s2	

Определите план перевозок железной руды на обогатитель-
ные фабрики, который обеспечивает минимальные совокуп-
ные транспортные издержки.

Ответьте на следующие вопросы.

1.	Сколько руды (тыс. т) следует перевозить с карьера С, на
обогатительную фабрику 52?

2.	Сколько тыс. т руды следует перевозить с карьера С4 на
обогатительную фабрику 5,?

3.	Какой объем мощностей (тыс. т) по добыче руды окажет-
ся неиспользованным?

4.	Каковы минимальные совокупные транспортные из-
держки?

Решение

Запишем условия этой задачи в табличном виде.

Транспортная таблица

	Фабрика 1	Фабрика 2	Фабрика 3	Предложение
Карьер 1	7	3	5	170
Карьер 2	5	4	6	130
Карьер 3	4	5	6	190
Карьер 4	3	2	5	200
Спрос	250	150	270	

Объемы перевозок и остаток невывезенной руды приведены
в следующей таблице.
	Фабрика 1	Фабрика 2	Фабрика 3	Предпожение
Карьер 1		10	160	
Карьер 2			110	20
Карьер 3	190			
Карьер 4	60	140		

В следующей таблице указаны объемы перевозок, а в скоб-
ках — соответствующие издержки.

	Фабрика 1	Фабрика 2	Фабрика 3
Карьер 1		10(30)	160 (800)
Карьер 2			110 (660)
Карьер 3	190 (760)		
Карьер 4	60(180)	140 (280)	

Минимальные совокупные издержки составляют 2710 тыс. руб.

Ответы на вопросы примера

Ответ на вопрос 1

С карьера С, на обогатительную фабрику S2 следует перевозить
10 тыс. т руды.

Ответ на вопрос 2

С карьера С4 на обогатительную фабрику S, следует перево-
зить 60 тыс. т руды.

Ответ на вопрос 3

Мощности третьего карьера в объеме 20 тыс. т окажутся не-
использованными.

Ответ на вопрос 4

Минимальные совокупные транспортные издержки составят
2710 тыс. руб.

Пример 2. Задача агрегированного планирования

Компания «Родник» производит и реализует в России кон-
центрат для приготовления фруктового напитка «Солныш-
ко». Производство осуществляется на заводе в г. Самаре. Отдел
сбыта компании «Родник» заключил договора на поставку
концентрата в объемах: апрель — 55 т, май — 70 т, июнь —
75 т. При работе в две смены на собственном оборудовании
компания может производить в месяц до 50 т концентрата.
Если использовать сверхурочное время, можно увеличить объем
производства на 5 т в месяц. В апреле начальный запас
концентрата на складе составит Ют. Но несмотря на запасы
концентрата и использование сверхурочного времени, про-
изводственных мощностей не хватает для выполнения дого-
вора. Поэтому для выполнения договорных обязательств было
принято решение арендовать оборудование у акционерного
общества «Волжанка». За счет аренды появляется возможность
увеличить производство концентрата на 12 т в апреле, на 12 т
в мае и на 10 т в июне.

Отделу планирования компании «Родник» предложено
разработать план использования собственных и арендуемых
мощностей с целью выполнения договоров во втором квар-
тале с минимальными издержками. Известно, что производ-
ство 1 т концентрата в регулярном режиме двухсменной ра-
боты оборудования обходится в 60 тыс. руб. При использо-
вании сверхурочного времени издержки увеличиваются на
20 тыс. руб. за тонну. Производство 1 т концентрата на арен-
дованном оборудовании обходится в 90 тыс. руб. Издерж-
ки хранения 1 т концентрата в течение месяца — 1 тыс. руб.
Заключенные договора предусматривают штрафные санкции
в случае несвоевременной поставки концентрата. При задерж-
ке поставок на один месяц штрафные санкции составляют
3 тыс. руб. за тонну.

Составьте план использования собственных и арендуемых
мощностей для компании «Родник» на каждый месяц вто-
рого квартала.

Ответьте на следующие вопросы.

1.	Чему равно значение коэффициента транспортной табли-
цы, соответствующего регулярному использованию соб-
ственных мощностей в апреле для удовлетворения спроса
на май? (61 тыс. руб./т).

2.	Чему равно значение коэффициента транспортной табли-
цы, соответствующего регулярному использованию соб-
ственных мощностей в мае для удовлетворения спроса на
апрель? (63 тыс. руб./т).

3.	При каких минимальных издержках можно выполнить за-
ключенные на второй квартал договора?

4.	Какое количество концентрата следует производить в ап-
реле на арендуемом оборудовании?

5.	Какой размер штрафных санкций за несвоевременную по-
ставку концентрата предусмотрен планом?

6.	Какая величина запаса концентрата на начало июня пре-
дусмотрена планом?

7.	Чему равны издержки выполнения договоров на июнь?
Решение

Для составления плана используем модель транспортной за-
дачи. Транспортная таблица в этом случае имеет вид:

	Апрель	Май	Июнь	Резерв мощности	Мощность
Начальный запас	0	1	2	0	10
Регулярное время (апрель)	60	61	62	0	50
Сверхурочное время (апрель)	80	81	82	0	5
Арендное время (апрель)	90	91	92	0	12
Регулярное время (май)	63	60	61	0	50
Сверхурочное время (май)	83	80	81	0	5
Арендное время (май)	93	90	91	0	12
Регулярное время (июнь)	66	63	60	0	50
Сверхурочное время (июнь)	86	83	80	0	5
Арендное время (июнь)	96	93	90	0	10
Спрос	55	70	75	9	

Дадим пояснения к таблице. Значение «1» в строке «Началь-
ный запас» для удовлетворения спроса в мае означает, что из-
держки хранения 1 т концентрата в течение месяца (апрель)
составят 1 тыс. руб., а для июня они составят 2 тыс. руб. (коэф-
фициент «2», так как хранение концентрата происходит в тече-
ние двух месяцев [апрель, май]).

Значение «60» в строке «Регулярное время» означает, что
использование собственных мощностей в апреле для удовлетворе-
ния спроса в этом месяце связано с производственными издерж-
ками, равными 60 тыс. руб./ т., а аналогичный коэффициент для
июня равен «66» (производственные издержки 60 тыс. руб./т плюс
штрафные санкции 6 тыс. руб./т за опоздание на 2 месяца).

Решая транспортную задачу, получаем следующую таблицу.

	Апрель	Май	Июнь	Резерв мощности
1	2	3	4	5
Начальный запас	10			
Регулярное время (апрель)	45	5		
Сверхурочное время (апрель)		5		
Арендное время (апрель)		3		9
Регулярное время (май)		50		
Сверхурочное время (май)		5		
1	2	3	4	5
Арендное время (май)		2	10	
Регулярное время (июнь)			50	
Сверхурочное время (июнь)			5	
Арендное время (июнь)			10	

В соответствии.с этим решением из 50 т концентрата, про-
изведенного на регулярных мощностях в апреле, 45 т следует ис-
пользовать при выполнении договоров, заключенных на апрель,
5т — при выполнении договоров, заключенных на май.

В апреле на арендуемых мощностях следует произвести
3 т концентрата. При этом резерв мощности составит 9 т.

В мае арендуемые мощности следует использовать пол-
ностью (12 т). При этом 2 т следует использовать для выполне-
ния договоров, заключенных на май, а 10 т — для договоров,
заключенных на июнь.

Минимальные совокупные издержки, соответствующие опти-
мальному плану использования мощностей, равны 12 473 тыс. руб.
В нижеследующих таблицах приведена их спецификация по раз-
личным статьям расходов.

	Апрель	Май	Июнь	Резерв мощности
Начальный запас	10/0			
Регулярное время (апрель)	45/2700	5/305		
Сверхурочное время (апрель)		5/405		
Арендное время (апрель)		3/273		9/0
Регулярное время (май)		50/3000		
Сверхурочное время (май)		5/400		
Арендное время (май)		2/180	10/910	
Регулярное время (июнь)			50/3000	
Сверхурочное время (июнь)			5/400	
Арендное время (июнь)			10/900	

Источники обеспечения спроса	Месяц	Объем про- изводства	Удельные издержки	Совокупные издержки
1	2	3	4	5
Начальный запас	Апрель	10	0	0
Регулярное время (апрель)	Апрель	45	60	2700
Регулярное время (апрель)	Май	5	61	305
Сверхурочное время (апрель)	Май	5	81	405
Арендное время (апрель)	Май	3	91	273
1	2	3	4	5
Арендное время (апрель)	Резервная мощность	9	0	0
Регулярное время (май)	Май	50	60	3000
Сверхурочное время (май)	Май	5	80	400
Арендное время (май)	Май	2	90	180
Арендное время (май)	Июнь	10	91	910
Регулярное время (июнь)	Июнь	50	60	3000
Сверхурочное время (июнь)	Июнь	5	80	400
Арендное время (июнь)	Июнь	10	90	900
ИТОГО:				12 473

Ответы на вопросы примера

Ответ на вопрос 1

При использовании регулярных мощностей удельные про-
изводственные издержки составляют 60 тыс. руб./т. В слу-
чае регулярного использования собственных мощностей
в апреле для выполнения договоров, заключенных на май,
значение коэффициента транспортной таблицы превышает
производственные издержки (60 тыс. руб./т) на величину
удельных транспортных затрат на хранение концентрата
(1 тыс. руб./т). Значение коэффициента равно 61 тыс. руб./т.

Ответ на вопрос 2

При использовании регулярных мощностей удельные про-
изводственные издержки составляют 60 тыс. руб./т. В слу-
чае регулярного использования собственных мощностей в
апреле для выполнения договоров, заключенных на май,
значение коэффициента транспортной таблицы превышает
производственные издержки (60 тыс. руб./т) на величину
штрафных санкций (3 тыс. руб./т) за несвоевременную
(с опозданием на 1 месяц) поставку каждой тонны концен-
трата. Значение коэффициента равно 63 тыс. руб./т.

Ответ на вопрос 3

Минимальные издержки выполнения заключенных на вто-
рой квартал договоров составляют 12 473 тыс. руб.

Ответ на вопрос 4

В апреле на арендуемом оборудовании следует производить
3 т концентрата.
Ответ на вопрос 5

Планом не предусматриваются штрафные санкции за несвое-
временную поставку концентрата. Штраф — 0 руб.

Ответ на вопрос 6

Запас концентрата на начало июня предусмотрен в объеме 10 т.

Ответ на вопрос 7

Издержки выполнения договоров на июнь должны составить
5210 тыс. руб.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вопрос 1

Транспортная задача является частным случаем задачи, из-
вестной как:

1)	задача линейного программирования;

2)	регрессионная задача;

3)	статистическая задача;

4)	имитационная задача;

5)	ни одна из вышеперечисленных задач.

Вопрос 2

Рассматривается открытая транспортная задача, в которой
суммарные запасы М поставщиков больше, чем суммарные
потребности N потребителей. На сколько увеличится число
переменных задачи после приведения ее к замкнутому виду?

Возможные ответы:

1) на N: 2) на Л/; 3) на N + Л/; 4) на N х М; 5) останется без
изменения.

Вопрос 3

Рассматривается транспортная задача, сформулированная как
задача линейного программирования. Объемы перевозок из-
меряются в тоннах, значение целевой функции — в рублях.
В каких единицах измеряется значение коэффициента целевой
функции?

Возможные ответы:

1) руб.; 2) руб./т; 3) т/руб.; 4) т; 5) безразмерная величина.

Вопрос 4

Рассматривается открытая транспортная задача, в которой
суммарные запасы М поставщиков меньше, чем суммарные
потребности Л потребителей. На сколько увеличится число
переменных задачи после приведения ее к замкнутому виду?
Возможные ответы:

1) на /V; 2) на М; 3) на (V + М; 4) на Лх Л/; 5) останется без
изменения.

Вопрос 5

В открытой транспортной задаче:

1)	величина совокупного предложения больше величины
совокупного спроса;

2)	величина совокупного предложения меньше величины
совокупного спроса;

3)	величина совокупного предложения равна величине сово-
купного спроса;

4)	величина совокупного предложения не равна величине
совокупного спроса;

5)	ограничения сформулированы в виде неравенств.

ЗАДАЧИ

Задача 1

Компания, занимающаяся добычей железной руды (см. при-
мер 1), имеет четыре карьера С,, С2, С3, С4. Производитель-
ность карьеров соответственно 170, 150, 190 и 200 тыс. т
ежемесячно. Железная руда направляется на три принадле-
жащие этой компании обогатительные фабрики: 5(, S2, S2,

7	3	8	С,
5	4	6	с2
4	5	9	С3
6	2	5	с4
S,	s2	s2	

мощности которых соответственно 250, 150 и 270 тыс. т в ме-
сяц. Транспортные затраты (в тыс. руб.) на перевозку 1 тыс. т
руды с карьеров на фабрики указаны в следующей таблице.

Определите план перевозок железной руды на обогатитель-
ные фабрики, который обеспечивает минимальные совокуп-
ные транспортные издержки.

Ответьте на следующие вопросы:

1.	Сколько руды (тыс. т) следует перевозить с карьера С, на
обогатительную фабрику 52?

2.	Сколько руды (тыс. т) следует перевозить с карьера С4 на
обогатительную фабрику 53?
3.	Какова общая минимальная стоимость перевозок (тыс.
руб.)?

Позже стало известно, что поставки с карьера С, на обога-
тительную фабрику S2 нужно ограничить объемом 50 тыс. т.
К тому же из-за плохого состояния дороги перевозки с карье-
ра С4 на обогатительную фабрику 53 невозможны. Определите
новый план перевозок, учитывающий эти условия.

4.	На сколько возрастет стоимость перевозок (в тыс. руб.)?

5.	Сколько тыс. т руды следует перевозить с карьера С4 на
обогатительную фабрику 52‘?

Задача 2

Фирма «Мой-до-дыр» оценила спрос на производимый ею
лосьон для каждого из четырех следующих месяцев: 100 ящиков
в июне, 140 ящиков в июле, 170 ящиков в августе и 90 ящиков
в сентябре. Без использования сверхурочного времени фирма
может производить до 125 ящиков лосьона в месяц. В сверхурочное
время может быть произведено еще 25 ящиков в месяц, но про-
изводство каждого ящика обходится при этом на 1 тыс. руб. до-
роже. Хранение одного ящика в течение месяца стоит 100 руб.
Используя модель транспортной задачи, определите, сколько
ящиков лосьона следует производить ежемесячно, чтобы удов-
летворить спрос с минимальными совокупными затратами?

Ответьте на следующие вопросы'.

1.	Сколько ящиков лосьона следует произвести в июне?

2.	Сколько часов сверхурочного времени следует использо-
вать в сентябре?

Задача 3

Фирма «Время-вперед» хочет разработать план сборки ком-
пьютеров. Прогноз спроса на компьютеры для каждого квар-
тала следующего года показан в таблице.

Квартал	Величина спроса
1	1000
II	700
III	3100
IV	2500

При работе в одну смену фирма может каждый квартал
собирать 1200 компьютеров. Издержки по сборке одного ком-
пьютера составляют 10 тыс. руб. Если ввести вторую смену,
то ежеквартально можно собирать еще 800 компьютеров. Но
сборка каждого компьютера во вторую смену обходится до-
роже — 11 тыс. руб. Компьютер может быть произведен в од-
ном квартале, а реализован в любом последующем квартале.
Хранение каждого компьютера обходится в 500 руб. за квартал.

Используя модель транспортной задачи, ответьте на сле-
дующие вопросы.

1.	Сколько компьютеров следует собрать в первом квартале,
чтобы удовлетворить спрос с минимальными совокупны-
ми затратами?

2.	Насколько процентов следует использовать мощности вто-
рой смены в первом квартале?

3.	Сколько компьютеров следует собрать во втором квартале?

4.	Сколько компьютеров следует собрать во втором кварта-
ле во вторую смену для сбыта в третьем квартале?

5.	Каковы минимальные издержки (руб.)?

СИТУАЦИИ

Ситуация 1. «Фургоны под жилье»

Фирма «Фургоны под жилье» занимается переделкой стан-
дартных фургонов в передвижные домики для жилья. В за-
висимости от объема работы, такая переделка обходится
заказчику от 1000 до 5000 долл. За последние четыре года Ни-
колай Дмитриев расширил свое небольшое дело в Ульянов-
ске и открыл филиалы в Самаре, Москве и Ростове-на-Дону.

Нововведения — основной фактор, позволивший добиться
успеха в превращении маленькой фирмы в процветающее
предприятие. Николаю удалось придумать и создать множест-
во приспособлений, Пользующихся повышенным спросом у
покупателей, например, душевую кабину, сконструирован-
ную им через шесть месяцев после того, как была создана
фирма. Эта кабина занимает вдвое меньше места, чем обычная
и может быть размещена не только в фургонах любого типа,
но и в других местах рядом с фургоном. Душевая кабина
сделана из фибергласса и снабжена вешалкой для полотенец,
встроенным душем и держателем для шампуня. На произ-
водство каждой душевой кабины уходит двадцать килограм-
мов фибергласса и три часа рабочего времени.
Большинство душевых кабин производилось в Ульянов-
ске, где была основана фирма. Фабрика в Ульяновске может
производить до 300 душевых кабин в месяц, но этого коли-
чества всегда было недостаточно. Фирма владеет четырьмя
магазинами, где продает свою продукцию. Все магазины
выражали недовольство недостаточным объемом поставок
душевых кабин. Три магазина имели преимущество в снаб-
жении по сравнению с четвертым в Ростове-на-Дону, кото-
рый находился дальше всех от Ульяновска. Это приводило в
бешенство менеджера фирмы в Ростове-на-Дону и после
длительных дискуссий Николай решил открыть еще одну
фабрику по производству душевых кабин в Новгороде. Эта
фабрика способна производить 150 душевых кабин в месяц.
Но она все же не смогла полностью обеспечить спрос на ду-
шевые кабины. Николай знал, что в ближайшие годы спрос
на них может только увеличиваться. После консультаций Ни-
колай принял решение как можно скорее открыть еще две
фабрики. Каждая фабрика должна иметь такую же произво-
дительность, как фабрика в Новгороде. Был проведен пред-
варительный анализ возможных мест расположения новых
фабрик, и Николай решил, что фабрики могут быть разме-
щены в Смоленске, Воронеже или Туле. Николай знал, что
выбрать место для расположения новых фабрик непросто.
Важно учесть транспортные издержки для каждого возмож-
ного варианта размещения.

Магазин в Самаре управлялся Сергеем Крапивиным. Этот
фирменный магазин был первым филиалом, открытым
Николаем, и его возможности продаж превосходили возмож-
ности других магазинов. Фабрика в Ульяновске поставляла
туда 200 душевых кабин в месяц, в то время как Сергей знал,
что может продать 300 кабин. Издержки на транспортиров-
ку одной душевой кабины из Ульяновска в Самару состав-
ляют 10 долл. Несмотря на то, что удельные транспортные
издержки от Новгорода вдвое выше, Сергей хотел добиться
поставки из Новгорода как минимум еще 50 кабин. А откры-
тие двух новых фабрик могло обеспечить Сергею поставку
100 кабин. Транспортные издержки, разумеется, будут зави-
сеть от того, где Николай откроет фабрики. Для Смоленска
удельные транспортные издержки составят 30 долл., для Во-
ронежа — 5 и для Тулы — 10 долл.

Ирина Бородина, менеджер фирменного магазина в Мос-
кве, также была недовольна объемом поставок душевых
кабин. В настоящее время спрос составлял 100 кабин и лишь
наполовину удовлетворялся поставками с фабрики в Новго-
роде. Она не могла понять, почему Николай не присылает
ей необходимое количество кабин из Ульяновска. Удельные
транспортные издержки для Ульяновска составляют 20 долл.,
в то время как для Новгорода — 30 долл. Ирина надеялась,
что одним из мест размещения новой фабрики станет Тула.
Тогда она сможет получать необходимое количество душевых
кабин при транспортных издержках всего 5 долл. Если мес-
том размещения новых фабрик будет не Тула, то новая фаб-
рика в Воронеже тоже может удовлетворять потребности ее
магазина. Правда, транспортные издержки в этом случае вдвое
выше, чем для Тулы. Ирина не питает надежды иметь по-
ставки из Смоленска. Если новую фабрику откроют там, то
транспортные издержки составят 40 долл.

Управляющим фирменным магазином в Ростове-на-Дону
был Вадим Кузнецов. Он получал 100 душевых кабин с фаб-
рики из Ульяновска. Спрос составлял 150 штук. Вадим имел
наибольшие удельные транспортные издержки. Для Ульянов-
ска они составляли 40 долл. Если бы душевые кабины транс-
портировались из Новгорода, удельные транспортные издер-
жки были бы на 10 долл, больше. Вадим надеялся, что в
Смоленске новой фабрики не будет, так как в этом случае
транспортные издержки составили бы 60 долл, за одну ка-
бину. Для Воронежа и Тулы они будут 30 и 35 долл, соот-
ветственно.

Положение магазина в Смоленске было таким же, как в
Москве, только спрос удовлетворялся всего наполовину. Все
100 душевых кабин, которые получал Смоленск, поступают
из Новгорода. Для Новгорода транспортные издержки состав-
ляли 15 долл, за штуку, а для Ульяновска — 25 долл. Андрей
Попов, менеджер магазина в Смоленске, высоко оценивал
шансы строительства новой фабрики именно в этом городе.
Она размещалась бы в пригороде, и удельные транспортные
издержки составили бы всего 2 долл. Он мог бы получать
150 душевых кабин с новой фабрики в Смоленске, а остав-
шиеся 50 кабин — из Новгорода. Два других места размеще-
ния фабрик представлялись Андрею неудачными. Воронеж
имел удельные транспортные издержки 35, а Тула — 40 долл.

Перед тем как созвать на совещание менеджеров магази-
нов, Николай несколько недель размышлял над проблемой
размещения новых фабрик. Проблема была комплексной,
но цель ясна — минимизация общих издержек. Совещание,
на котором были представлены все менеджеры, кроме Ири-
ны, состоялось в Ульяновске.

Николай: Благодарю за то, что приехали. Как вам известно,
я решил открыть две новых фабрики. Они могут быть раз-
мещены в Воронеже, Туле или Смоленске. Это, разумеется,
изменит положение, и вы сможете получить недостающее
количество душевых кабин. Я знаю, что вы могли бы про-
давать больше, чем сейчас, и чувствую себя ответственным
за то, что не могу полностью удовлетворить спрос на мою
продукцию.

Андрей: Николай, я много размышлял над этой проблемой и
считаю, что местом размещения одной из новых фабрик дол-
жен стать Смоленск. Как вы знаете, сейчас я получаю лишь
половину того количества кабин, которые могу продать. Мой
брат Петр мог бы помочь в организации производства.
Я думаю, он хорошо справился бы с этой работой.

Вадим: Андрей, я убежден, что Петр прекрасно справился бы с
этой работой. Однако нам следует принимать во внимание
издержки, а не персоналии. Я убежден, что новые фабрики
надо открыть в Воронеже и Туле. Мой магазин слишком
удален от других фабрик, и такое размещение позволит су-
щественно снизить транспортные издержки.

Андрей: Может быть, это и верно, но надо учитывать другие
факторы. Смоленск — один из основных потребителей фи-
бергласса, и я интересовался ценами на него. Новая фабри-
ка в Смоленске сможет получать фибергласс, необходимый
для производства одной кабины, по цене на 2 долл, ниже, чем
в любом другом месте.

Вадим: В Туле прекрасная рабочая сила и большая потребность
в новых рабочих местах. Там рабочие согласятся получать на
1 долл, в час меньше.

Сергей: Хватит спорить. Ясно, что так мы не договоримся о ме-
сте размещения новых фабрик. Давайте проголосуем и вы-
берем два города.

Николай: Не думаю, что голосование — лучший способ выбора.
К тому же Ирина не смогла приехать. Нам следовало бы учесть
все эти факторы формальным образом.
Ответьте на следующие вопросы.

1.	Оцените избранную Николаем стратегию поставок при двух
действующих фабриках в предположении, что существу-
ющий объем поставок душевых кабин в магазины фирмы
не может быть уменьшен. Обеспечивает ли она минималь-
ные транспортные издержки?

2.	Разработайте модель математического программирования,
учитывающую все факторы, влияющие на принятие ре-
шения.

3.	Проведите расчеты и определите наилучшие пункты для
размещения новых фабрик. Обоснуйте ваши выводы ре-
зультатами расчетов.

Ситуация 2. «Мечта автомобилиста»

Фирма «Мечта автомобилиста» изготовляет сменные стекла
для всех типов российских автомобилей. Фирма разработа-
ла и внедрила сложную систему прогнозирования спроса, ис-
пользующую данные за последние годы для определения
фактора сезонности и долгосрочных трендов. В таблице пред-
ставлен агрегированный (для всех видов стекол) понедель-
ный прогноз спроса на текущий год (в кг).

Неделя		Спрос	Неделя		Спрос
Апрель	15	1,829	Август	5	2,317
	22	1,820		12	2,222
	29	1,887		19	2,134
Май	6	1,958		26	2,065
	13	2,011	Сентябрь	2	1,973
	20	2,063		9	1,912
	27	2,104		16	1,854
Июнь	3	2,161		23	1,763
	10	'2,258		30	1,699
	17	2,307	Октябрь	7	1,620
	24	2,389		14	1,689
Июль	1	2,434		21	1,754
	8	2,402		28	1,800
	15	2,385	Ноябрь	4 .	1,865
	22	2,330		11	1,989
	29	2,323		18	2,098
				25	2,244
Окончание таблицы

Неделя		Спрос	Неделя		Спрос
Декабрь	2	2,357	Февраль	3	2,168
	9	2,368		10	2,086
	16	2,387		17	1,954
	23	2,402		24	1,877
	30	2,418	Март	3	1,822
Январь	6	2,417		10	1,803
	13	2,324		17	1,777
	20	2,204		24	1,799
	27	2,188		31	1,803
			Апрель	7	1,805

Фирма использует прогнозы спроса для планирования
объемов производства. При составлении плана производства
она учитывает издержки найма или увольнения рабочих;
оплаты сверхурочных, субподряда; издержки хранения готовой
продукции.

Издержки хранения составляют 0,12 руб. за 1 кг в неде-
лю. Согласно смете, производственные издержки в настоя-
щее время — 20 руб. за 1 кг. в неделю. Сумма затрат на каж-
дого нанимаемого рабочего составляет 5,63 руб. на 1 кг вы-
пускаемой продукции (данные издержки рассчитываются на
основе затрат на обучение и средней производительности труда
одного рабочего). Сумма затрат на каждого увольняемого
составляет 15,73 руб. на 1 кг продукции (рассчитывается исхо-
дя из размера компенсационных выплат при увольнении и
уменьшения престижа фирмы). При нормальном режиме ра-
боты (без сверхурочных) фирма может производить до 1900 кг
стекла в неделю. Кроме того, может быть произведено до
100 кг при использовании субподряда и еще 250 кг стекла в
неделю «Мечта автомобилиста» может произвести на своих
мощностях сверхурочно. Издержки для стекла, производи-
мого сверхурочно на 8 руб. за 1 кг больше, чем для произво-
димого в обычное время. Издержки производства по субпод-
ряду больше на 2 руб. за 1 кг, чем при производстве сверху-
рочно (то есть на 10 руб. за I кг выше, чем при производстве
в обычном режиме).

В настоящее время запасы стекла на складе составля-
ют 73 кг. Производство работает на полную мощность, вы-
пуская 1900 кг продукции в неделю. Составьте агрегирован-
ный план производства для фирмы с целью минимизации со-
вокупных издержек. Примите во внимание различные пред-
положения и варианты реализации производственной поли-
тики и продемонстрируйте, как эти различия отразятся на
вариантах планов.

ОТВЕТЫ

Ответы на контрольные вопросы

1	- 1, 2 - 2, 3 - 2, 4 - 1, 5 - 4.

Ответы на задачи

Задача 1

1.	130 тыс. т.

2.	180 тыс. т.

3.	2930 тыс. руб.

4.	На 360 тыс. руб.

5.	140 тыс. т.

Задача 2

1.	125.

2.	0 ч.

Задача 3

1.	1300.

2.	На 12,5 %.

3.	2000.

4.	800.
Приложение к главе 5

ЦЕЛИ

В процессе управления производством зачастую возникают
задачи назначения исполнителей на различные виды работ. На-
пример, подбор кадров и назначение кандидатов на вакантные
должности, распределение источников капитальных вложений
между различными проектами научно-технического развития,
распределение экипажей самолетов между авиалиниями.

Задачу о назначениях можно сформулировать следующим
образом. Необходимо выполнить М различных работ. Для их
выполнения можно привлечь Л/рабочих. Каждый из рабочих за
определенную плату готов выполнить любую работу. Выполне-
ние любой работы следует поручить одному рабочему. Требуется
так распределить работы между рабочими, чтобы общие затра-
ты на выполнение всех работ были минимальными.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой
главе, вы будете уметь формулировать и использовать для эко-
номического анализа:

•	задачу о назначениях в стандартной форме;

•	открытую задачу о назначениях;

•	таблицу задачи о назначениях;

•	матрицу назначений;

•	эффективность назначений.

МОДЕЛИ

1.	Задача о назначениях в стандартной форме

При рассмотрении задачи о назначениях в стандартной форме
предполагается, что количество рабочих равно количеству работ.

Обозначения:

т —число работ;

сГ1 —показатель эффективности назначения рабочего i на
работе у, например, издержки выполнения рабочим
/ работы у;
x-j —переменная модели, х--= 1, если рабочий / использует-
ся на работе у, х,-- = 0 в противном случае.

Модель задачи о назначениях:

т т

X Хсиха min;

j = I i -1

m

E = 1, j = 1, m;

m

X xa =	' = ’ •••’ nr-

7-1

x„ >0,	/ = 1, m, j = 1, m,

(1)

(2)

(3)

(4)

где(1) — целевая функция (минимум издержек на выполнение
всех работ);

(2), (3)—система ограничений, отражающая следующие
условия:

(2)	— каждая работа должна быть выполнена одним рабочим;

(3)	— каждый рабочий может использоваться на одной работе;

(4)	— условия неотрицательности переменных.

Для решения задачи о назначениях представим исходную
информацию в табличном виде. Для задачи о назначениях,
записанной в стандартной форме, количество строк этой табли-
цы совпадает с количеством столбцов.

	Работа 1		Работа j		Работа т
Рабочий 1	Ci 1		с1;		С 1m
					
Рабочий/	Си		сч		Сип
					
Рабочий т	Сщ1		С ГП]		Сщт

Результатом решения задачи (1)—(4) является вектор х* = |х*|,
компоненты которого являются целыми числами.

Оптимальный план задачи о назначениях (1)—(4) можно пред-
ставить в виде квадратной матрицы назначений, в каждой стро-
ке и в каждом столбце которой находится ровно одна единица.
Такую матрицу иногда называют матрицей перестановок. Зна-
чение целевой функции (I), соответствующее оптимальному
плану, называют эффективностью назначений.
2. Задача о назначениях в открытой форме

Когда в задаче о назначениях число рабочих не равно числу
работ, то возникает задача о назначениях в открытой форме. Такая
задача может быть сведена к задаче, сформулированной в стан-
дартной форме.

Пусть, число рабочих равно п , а число работ т, причем
п > т. Тогда для решения задачи введем дополнительные фик-
тивные работы с индексами j = т + 1, ..., п. Для этих работ ко-
эффициенты таблицы назначений с/у, / = 1, ..., п; j = т + 1, ..., л,
положим равными нулю. Это позволяет нам свести задачу в от-
крытой форме к задаче в стандартной форме.

Если в оптимальном плане задачи исполнитель / назначается
на выполнение фиктивной работы — это означает, что он остается
без работы. Заметим, что оптимальное значение целевой функции
исходной задачи совпадает с оптимальным значением задачи, при-
веденной к стандартной форме. Таким образом эффективность
назначений в результате такого преобразования не меняется.

Следует особо отметить тот факт, что задача о назначениях
является частным случаем транспортной задачи, в которой ко-
личество пунктов производства совпадает с количеством пунк-
тов потребления, а все величины спроса и величины предложе-
ния равны.

ПРИМЕРЫ

Пример 1

Фирма получила заказы на разработку пяти программных
продуктов. Для выполнения этих заказов решено привлечь пя-
терых наиболее опытных программистов. Каждый из них дол-
жен написать одну программу. В следующей таблице приве-
дены оценки времени (в днях), необходимого программис-
там для написания каждой программы. Оценки даны самими
программистами, и у фирмы нет основания им не доверять.

	Программа 1	Программа 2	Программа 3	Программа 4	Программа 5
Галкин	46	59	24	62	67
Палкин	47	56	32	55	70
Малкин	44	52	19	61	60
Чалкин	47	59	17	64	73
Залкинд	43	65	20	60	75
Как распределить работы между программистами, чтобы
общее количество человеко-дней, затраченное на выполне-
ния всех пяти заказов, было минимальным?

Ответьте на следующие вопросы.

1.	Какое минимальное количество человеко-дней необходимо
для выполнения всех пяти заказов?

2.	Какую программу следует поручить Малкину?

3.	Какую программу следует поручить Залкинду?

Решение

Таблица задачи о назначениях имеет вид:

	Программа 1	Программа 2	Программа 3	Программа 4	Программа 5
Галкин	46	59	24	62	67
Палкин	47	56	32	55	70
Малкин	44	52	19	61	60
Чал кин	47	59	17	64	73
Залкинд	43	65	20	60	75

Решая поставленную задачу, получаем следующий резуль-
тат:

	Программа 1	Программа 2	Программа 3	Программа 4	Программа 5
Галкин	0	0	0	0	1
Палкин	0	0	0	1	0
Малкин	0	1	0	0	0
Чалкин	0	0	1	0	0
Залкинд	1	0	0	0	0

Матрица назначений имеет вид:

Галкин	Программа 5	67
Палкин	Программа 4	55
Малкин	Программа 2	52
Чалкин	Программа 3	17
Залкинд	Программа 1	43
Итого:		234

Ответы на вопросы примера

Ответ на вопрос 1

1.	Минимальное количество человеко-дней, необходимое для
выполнения всех пяти заказов, равно 234.
Ответ на вопрос 2

2.	Малкину следует поручить программу 2.

Ответ на вопрос 3

3.	Залкинду следует поручить программу 1.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вопрос 1

Задача о назначениях относится к классу задач:

1)	линейного программирования;

2)	эконометрических;

3)	статистических;

4)	имитационных;

5)	ни к одному из указанных классов.

Вопрос 2

Имеются две работы г,, г2 и двое рабочих /н /2. Каждый
рабочий может выполнить любую работу. Элемент а^ матри-
цы А показывает время, необходимое рабочему / для выпол-
нения работы j. Решите задачу о назначениях. Чему равно ми-
нимальное время выполнения всех работ?

Матрица А имеет вид:

	Г1	Г2
/1	4	5
4	6	6

Возможные ответы:

1) 9; 2) 10; 3) 11; 4) 12; 5) 13.

Вопрос 3

Как известно, задача о назначениях является частным слу-
чаем транспортной задачи. Укажите наиболее правильную, из
приведенных ниже, характеристику транспортной таблицы,
построенной для задачи о назначениях.

Возможные ответы:

1)	объемы потребления равны единице, объемы поставок
отличны от единицы;

2)	объемы поставок равны единице, объемы потребления
отличны от единиц;
3)	матрица транспортных затрат квадратная, объемы поста-
вок отличны от единиц;

4)	матрица транспортных затрат квадратная, объемы потреб-
ления отличны от единиц;

5)	матрица транспортных затрат прямоугольная, объемы по-
ставок равны единице.

Вопрос 4

Оптимальный план задачи о назначениях можно представить
в виде:

1)	квадратной матрицы, в каждой строке которой находится
одна единица;

2)	квадратной матрицы, в каждом столбце которой находится
одна единица;

3)	квадратной матрицы, в каждой строке и в каждом столб-
це которой находится одна единица;

4)	квадратной матрицы, в каждой строке которой находится
хотя бы одна единица;

5)	квадратной матрицы, в каждом столбце которой находится
хотя бы одна единица.

Вопрос 5

Имеются две работы г,, г2 и тРое рабочих lt, /2, /3. Каждый
рабочий может выполнить любую работу. Элемент a,j мат-
рицы А показывает время, необходимое рабочему i для вы-
полнения работы J. Решите задачу о назначениях. Чему рав-
но минимальное время выполнения двух работ?

Матрица А имеет вид:

	Г,	Г2
		
/1	5	6
/г	2	3
1з	4	7

Возможные ответы:

1) 5; 2) 6; 3) 7; 4) 8; 5) 9.

ЗАДАЧИ

Задача 1

Фирма получила заказы на разработку пяти программных
продуктов.
На фирме работают шесть квалифицированных програм-
мистов, которым можно поручить выполнение этих заказов.
Каждый программист дал оценку времени, требующегося ему
для разработки программ. Эти оценки приведены в следую-
щей таблице.

	Программа 1	Программа 2	Программа 3	Программа 4	Программа 5
Галкин	46	59	24	62	67
Палкин	47	56	32	55	70
Малкин	44	52	19	61	60
Чал кин	47	59	17	64	73
Залкинд	43	65	20	60	75
Кузьмин	41	53	28	54	68

Выполнение каждого заказа фирма решила поручить
одному программисту. Ясно, что один из программистов не
получит заказа.

Программист, занятый выполнением заказа, будет полу-
чать 1 тыс. руб. в день. Как фирме следует распределить работу
между программистами, чтобы минимизировать общие из-
держки на разработку программ?

Ответьте на следующие вопросы'.

1.	Каковы минимальные предполагаемые издержки фирмы
на выполнения всех пяти заказов?

2.	Какую программу следует поручить Малкину?

3.	Какую программу следует поручить Залкинду?

4.	Кто из программистов не получит заказа?

Стало известно, что не все программисты согласились с
условиями оплаты, обосновывая это тем, что имеют разную
квалификацию. В результате была достигнута договоренность
о следующих размерах оплаты в случае, если программист
получит заказ.

Программист	Оплата, тыс. руб. в день
Галкин	1
Палкин	2
Малкин	1,5
Чалкин	2
Залкинд	1,5
Кузьмин	2
Изменится ли распределение работ между программиста-
ми при новых условиях оплаты труда?

5.	Каковы будут в этом случае общие минимальные из-
держки?

6.	Кто из программистов в этом случае не получит заказа?

Задача 2

Пять учебных групп экономического факультета РУДН со-
бираются посетить во время производственной практики 10
предприятий и НИИ. Каждая учебная группа может посетить
две организации. В результате опроса студентов выявлены
предпочтения каждой группы («1» означает «наибольшее пред-
почтение», а «10» — «наименьшее предпочтение). Предпоч-
тения каждой группы показаны в таблице.

	Гоуппа 1	Гоуппа 2	Гоуппа3	Гоуппа4	Гоуппа 5
Предприятие 1	3	2	1	4	2
Предприятие 2	2	5	3	3	5
Предприятие 3	1	1 .	2	1	1
Предприятие 4	4	3	5	2	3
Предприятие 5	6	7	4	6	6
НИИ-1	7	4	8	7	4
НИИ-2	10	8	6	10	9
НИИ-3	5	6	7	5	10
НИИ-4	9	9	10	9	8
НИИ-5	8	10	9	8	7

Требуется определить, какие две организации должна по-
сетить каждая группа так, чтобы в максимальной степени
учесть предпочтения всех студентов?

Ответьте на следующие вопросы:

1.	Чему равна сумма баллов, соответствующая наилучшему
распределению групп по организациям?

2.	Укажите номер группы, которая должна посетить НИИ-2?

3.	Какую еще организацию должна посетить эта группа?

Деканат внес предложение, чтобы каждая группа посетила
одно предприятие и одно НИИ. Укажите вариант распреде-
ления посещений для этого случая

4.	Чему равна сумма оценочных баллов в этом случае?

5.	Укажите номер группы, которая должна посетить НИИ-5?

6.	Какую еще организацию должна посетить эта группа?
Задача 3

Самолеты компании «Аэрофлот» летают между Москвой и Сочи.
Полеты беспосадочные. График движения показан в таблице.

Рейсы из Москвы в Сочи		Рейсы из Сочи в Москву			
Номер рейса	Время отправ- ления	Время прибытия	Номер рейса	Время отправ- ления	Время прибытия
110	6:00	9:00	210	7:00	10:00
120	8:00	11:00	220	10:00	13:00
130	12:00	15:00	230	13:00	16:00
140	15:00	17:00	240	16:00	19:00
150	19:00	22:00	250	21:00	24:00
160	23:00	2:00	260	0:00	3:00

Рейсы могут обслуживаться экипажами из московского или
сочинского отрядов. Экипаж выполняет пару рейсов — «туда
и обратно». Время, необходимое для подготовки самолета к
очередному рейсу — один час. Требуется определить, какую
пару рейсов следует выполнять каждому экипажу и из како-
го отряда, московского или сочинского, должен быть соот-
ветствующий экипаж. Распределение рейсов необходимо осу-
ществить таким образом, чтобы суммарное время ожидания
вылета в «чужом» городе было минимальным. Время ожи-
дания не включает тот час, который уходит на подготовку
самолета к очередному рейсу.

Ответьте на следующие вопросы.

1.	Верно ли, что рейс 210 должен выполняться московским
экипажем?

2.	Верно ли, что рейсы 240 и 160 должны выполняться од-
ним экипажем?

3.	Верно ли, что рейс 160 должен обслуживаться сочинским
экипажем?

4.	Каково минимальное общее время пребывания экипажей
в «чужих» городах?

5.	Какое количество рейсов должны выполнять московские
экипажи?

ОТВЕТЫ

Ответы на контрольные вопросы

1 - 1, 2 - 2, 3 - 5, 4 - 3, 5 - 3.
Ответы на задачи

Задача 1

1.	228 тыс. руб.

2.	Программу 5.

3.	Программу 1.

4.	Заказа не получит Галкин.

5.	351 тыс. руб.

6.	Заказа не получит Палкин.

Задача 2

1.41.

2.	Группа 3.

3.	Предприятие 5.

4.	42.

5.	Группа 5.

6.	Предприятие 1.

Задача 3

1.	Нет, рейс 210 должен выполняться сочинским экипажем.

2.	Да.

3.	Да.

4.	9 часов.

5.	8 рейсов.
Глава 6

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЦЕЛИ

В данной главе показаны возможности использования
метода динамического программирования для решения нелиней-
ных оптимизационных задач путем их декомпозиции и много-
этапного решения. На каждом этапе решается упрощенная
задача. Результаты решения этих задач сохраняются и использу-
ются для решения исходной задачи.

Метод динамического программирования достаточно универ-
сален. Он с успехом используется при решении задач распреде-
ления ресурсов, загрузки и замены оборудования, выбора опти-
мального управления предприятием.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой
главе, вы будете уметь формулировать и использовать для эко-
номического анализа следующие понятия:

•	оптимальное управление;

•	метод динамического программирования;

•	распределение ресурсов в динамике.

МОДЕЛИ

1. Постановка задачи динамического программирования

Динамическое программирование представляет собой специ-
альный метод оптимизации решений, приспособленный к мно-
гошаговым или многоэтапным операциям.

Предположим, что исследуемая операция представляет собой
процесс, развивающийся во времени и состоящий из серии этапов
(или шагов). Существуют операции, которые распадаются на ряд
шагов совершенно естественным образом (например, при раз-
работке плана хозяйственной деятельности фирмы (предприя-
тия) на долгосрочный период естественно принять год за один
шаг). В других операциях такое деление можно выполнить
искусственно, выбирая некоторую длину, интервал времени,
в качестве продолжительности шага. Так как изучаемый процесс
является управляемым, то на каждом шаге должно принимать-
ся решение, от которого зависит успешное выполнение данного
шага и операции в целом. Таким образом, управление всей опе-
рацией складывается из ряда элементарных, «пошаговых» управ-
лений.

Рассмотрим пример многошаговой операции планирования
хозяйственной деятельности объединения (группы) промыш-
ленных предприятий П,, П2, ..., ПА на некоторый период вре-
мени Т, состоящий из m хозяйственных лет.

Предположим, что в начале периода планирования на раз-
витие группы предприятий выделены капитальные средства в
размере Ко, которые предназначены для расходования в процессе
функционирования системы. Эти средства определенным образом
должны быть распределены между предприятиями рассматри-
ваемой группы. Считается, что предприятие за год прино-
сит доход, величина которого зависит от вложенных средств.
В начале каждого хозяйственного года сумма имеющихся средств
должна быть перераспределена между предприятиями — каждому
предприятию выделяется определенная доля средств.

При разработке операции планирования возникает вопрос:
как в начале года нужно распределять имеющиеся средства между
предприятиями, чтобы суммарный доход от всей группы пред-
приятий за весь период Т был максимальным?

Приведенный пример является типичной задачей динами-
ческого программирования, поскольку здесь рассматривается
управляемый процесс. Управление состоит в распределении и
перераспределении средств в ходе процесса. Шагом управления
является выделение определенных средств каждому предприя-
тию в начале хозяйственного года. Математическая формулировка
задачи выглядит следующим образом.

Предположим, что в начале некоторого года / предпри-
ятиям П|, П2, ..., ПА выделяются соответственно средства
У,1, Л,2, ..., Xjk. Совокупность этих значений представляет собой
не что иное, как управление на шаге /:

х1к).
А управление операцией в целом выражается как совокупность
всех шаговых управлений:

U = «/,, ^2,

Управление может удовлетворительным и неудовлетворитель-
ным, оно может быть эффективным или неэффективным. Как
правило, эффективность управления оценивается при помощи
того же самого показателя W, что и эффективность самой опе-
рации в целом. В рассматриваемом нами примере показатель
эффективности операции (целевая функция задачи) выражает-
ся как суммарный доход от всего комплекса предприятий за
определенное количество (т) лет. Величина этого показателя
зависит от качества управления за весь период времени U,
т.е. от всей совокупности пошаговых управлений:

= w/) = W/,, и2,..., ит).

Возникает вопрос: как выбрать пошаговые управления
(/,, U2,	U,„, чтобы величина показателя эффективности была

наибольшей (максимальной) из всех возможных?

Поставленная таким образом проблема называется задачей
оптимизации управления, а управление, при котором показатель
становится максимальным, носит название оптимального управ-
ления. В дальнейшем мы будем обозначать оптимальное управ-
ление (в отличие от управления в общем случае U) буквой и.
Таким образом, оптимальное управление и многошаговым про-
цессом состоит из совокупности оптимальных шаговых управ-
лений:

W = (W|, w2, •••’ М-

Задача оптимизации управления выглядит следующим
образом: определить оптимальное управление на каждом шаге
процесса м, (/ = 1, 2, ..., т) и, следовательно, оптимальное
управление всей операцией и.

Заметим, что в рассматриваемом нами примере (управление
распределением финансовых средств группы предприятий) по-
казатель эффективности представляет собой сумму доходов за все
отдельные годы исследуемого периода времени:

W - IT, + w2 + ... + wm,

где wi — доход от всей системы за год /.
Показатель, обладающий таким свойством, называется
аддитивным. Далее будут обсуждаться свойства задач оптимизации
управления только с аддитивными показателями эффективности.

Рассмотрим задачу динамического программирования в
общем виде. Предположим, что исследуется операция с аддитив-
ным показателем эффективности, состоящая из некоторого
количества (т) шагов. Пусть на каждом шаге используется
некоторое управление U-l и требуется определить оптимальное
управление

и = (и,, и2, ...,

при котором показатель эффективности W = w, + w2 + ... + wm
становится максимальным.

Поставленную задачу можно решать разными способами:

1)	сразу искать оптимальное управление для всего периода;

2)	строить его постепенно, шаг за шагом, таким образом, что
на каждом этапе расчета оптимизируется только один шаг
процесса.

Обычно второй способ оптимизации оказывается существен-
но проще, чем первый, особенно при большом числе шагов про-
цесса. Реализация такого подхода составляет основное содержа-
ние метода динамического программирования. При этом управ-
ление на каждом шаге не является изолированным (независимым
от других шагов); а определяется с учетом возможных послед-
ствий в будущем. Оно должно быть дальновидным, с учетом
перспективы. Управление, при котором эффективность данно-
го шага максимальна, но при этом расходуется слишком много
ресурсов, вследствие чего на следующих шагах нельзя получить
хорошие результаты, является неправильным, ошибочным.

Возьмем следующий пример: пусть требуется составить план
работы группы промышленных предприятий, часть которых
занята выпуском тканей, а остальные производят ткацкие станки
для предприятий первой подгруппы. Задача состоит в получе-
нии за планируемый период максимально возможного объема
выпуска тканей. Рассмотрим планирование распределения средств
(капитальных вложений) на первый год. Если исходить из ло-
кальных интересов первого года (шага), то нужно было бы все
имеющиеся средства вложить в производство тканей, пустить все
имеющиеся станки на полную мощность и добиться к концу года
максимального выпуска потребительской продукции. Однако при
таком режиме работы некоторые станки выйдут из строя, и мы
не сможем их отремонтировать или заменить, поскольку на это
не выделено средств. Следовательно, необходимо выделить
определенную долю средств для группы предприятий, которые
выпускают новые машины и ремонтируют старые.

Планируя многошаговую операцию нужно выбирать управ-
ление на каждом шаге с учетом его последствий для будущих
периодов времени. Но из этого правила есть одно исключение:
есть шаг, который можно планировать без учета будущих послед-
ствий, а именно последний шаг планируемого периода. Действи-
тельно, его план можно рассчитывать так, чтобы он принес наи-
больший локальный эффект. Рассчитав оптимальный план для
последнего периода, подобные рассуждения можно повторить,
считая последним этапом — предыдущий. Подобную процедуру
можно произвести для всей цепочки шагов.

Таким образом, процесс динамического программирования
осуществляется от конца к началу: сначала находится оптималь-
ный план для последнего шага т. На этом шаге делаются пред-
положения (гипотезы) относительно плана предпоследнего шага
(т - 1), и для каждой гипотезы ищется управление, при кото-
ром эффект на последнем шаге будет максимальным. Решив эту
задачу, получим так называемое условное оптимальное управ-
ление шага т, т.е. такое управление, которое нужно применить,
если шаг (т - I) получил данный вариант плана.

Предположим, что вышеописанная процедура выполнена и
для каждого варианта плана на шаге (т - 1) известно условное
оптимальное управление на шаге т и соответствующий ему
условный оптимальный выигрыш. Далее происходит переход к
оптимизации управления на предпоследнем шаге (т - 1). Для
этого делаются все возможные предположения о тех вариантах
плана, которые могут быть выполнены для шага (т - 2), и для
каждого из них находится управление шаге (т - 1), чтобы
эффект за последние два шага (из которых последний уже
оптимизирован) был максимален. После чего оптимизируется
управление на шаге (т - 2) и т.д. То есть на каждом шаге про-
цесса ищется такое управление, которое обеспечивает оптималь-
ное продолжение процесса относительно достигнутого (или за-
планированного) в данный момент состояния. Этот принцип вы-
бора управления называется принципом оптимальности. Само
управление, обеспечивающее оптимальное продолжение в
указанном выше смысле, называется условным оптимальным
управлением на данном шаге.

Далее будем исходить из того, что условное оптимальное
управление известно на каждом шаге, тем самым нам 'извест-
но, что делать дальше (или как планировать) при любом состоя-
нии операции к началу каждого шага. Тогда можно определить
уже не «условное», а истинное оптимальное управление на каждом
шаге.

В самом деле, предположим, что нам известно начальное
состояние процесса (операции), обозначим его 50. Мы знаем, что
делать на первом шаге — нужно использовать то условное оп-
тимальное управление, которое выработано для первого шага при
условии, что в начале было состояние 5(). В результате выпол-
нения этого управляющего воздействия оптимизируемая система
перейдет после первого шага в некоторое состояние 5,, но для
этого состояния уже известно условное оптимальное управление
на втором шаге и т.д. Таким образом, будет найдено оптималь-
ное управление процессом

и = (и,, и2, ..., ит),

приводящее к максимально возможному эффекту

Приведенное описание показывает, что в процессе оптими-
зации управления методом динамического программирования
многошаговый процесс выполняется дважды:

•	первый раз он идет от конца к началу, в результате чего на-
ходятся условные оптимальные управления на всех шагах и
условный оптимальный выигрыш на каждом шаге, начиная
от первого и до конца процесса;

•	второй раз он проходит от начала к концу, при этом опреде-
ляются истинные (не условные) управления на всех шагах
операции и тем самым находится оптимальное управление
всей операцией в целом.

На практике очень часто встречаются многоэтапные опера-
ции, связанные с необходимостью найти эффективное распре-
деление некоторых видов и запасов ресурсов (сырья, рабочей
силы, денежных средств и т.п.) между предприятиями одной
отрасли или региона, а также между различными отраслями
промышленности. Важное место занимают задачи распределения
капитальных средств во времени, в формулировку которых вклю-
чается требование получение максимального дохода за фикси-
рованный период времени.

2. Моделирование многошаговых процессов

Многошаговый процесс принятия решения часто применя-
ется при решении задачи распределения определенного количе-
ства ресурса (/?) во времени (по годам) или между предприяти-
ями одной фирмы с целью получения наибольшего полезного
эффекта.
При этом целевая функция задачи является нелинейной,
обычно заданной в виде таблицы, а возможные варианты пла-
нов оказываются дискретными величинами.

В обшей форме задача динамического программирования
трактуется как проблема управления экономической системой
на некотором промежутке времени (в несколько лет). Путем
осуществления некоторого управления система (например, фир-
ма) переходит из некоторого начального состояния в заданное
конечное состояние.

Например, выполнен некоторый инвестиционный проект,
построен новый производственный объект. Этот переход может
быть реализован различными способами. Задача состоит в том,
чтобы из множества возможных уравнений выбрать то, которое
дает максимальное значение полезного эффекта (дополнитель-
ного дохода, прибыли и т.п.).

Применительно к проблеме распределения ресурсов задача
динамического программирования может быть представлена в
следующей форме.

Фирма выделяет капитальные средства в размере R рублей для
использования их для строительства крупного промышленного
объекта в течение п лет (/), ..., /я). Этот объект вводится в эксплу-
атацию по частям и, таким образом, фирма получает дополни-
тельный доход по мере готовности той или иной части объекта.

Обозначим объем средств, выделяемых для стройки в году tj
через х-, а ожидаемый дополнительный доход (локальную целе-
вую функцию) — через fj(Xj).

Требуется найти распределение капиталовложений по годам,
обеспечивающее максимальное увеличение дополнительного
дохода фирмы.

Математическая постановка задачи состоит в определении
наибольшего значения нелинейной функции

£/Д)-этах	(1)

7 = 1

при условиях

=	(2)

7 = 1

Xj > 0; j = 1, ..., п.	(3)

План распределения капиталовложений являющийся реше-
нием поставленной задачи, называется оптимальным планом
распределения.
3.	Принцип оптимальности

При решении математической задачи (1)—(3) исходят из того,
что максимальный доход за п лет может быть представлен как
максимум суммы максимального дохода за (и - 1) первых лет и
дохода года п. Максимум определяется по всем возможным
вариантам капиталовложений хп в течение года п. Таким обра-
зом,

F,4” = 0™а</Д(Х")+ F"-^R~X^'	(4)

где Fn \ — функция максимального дохода за (п - I) лет, кото-
рая строится по формуле аналогичной (4). Здесь существенным
является то, что в формуле (4) фигурирует не максимальный до-
ход за (п - I) лет, а значение функции максимального дохода
(интервальной целевой функции), зависящее от решения на по-
следнем шаге (величины х„).

Это замечание распространяется на любой шаг j процесса
принятия решений (определение величины х7) и формулирует-
ся обычно в виде принципа оптимальности Р. Беллмана.

Каково бы ни было состояние системы перед очередным
шагом у, надо выбрать уравнение (ху) на этом шаге так, чтобы
полезный эффект на данном шаге плюс оптимальный полезный
эффект на всех предыдущих шагах был максимальным.

Исходя из принципа оптимальности можно построить сле-
дующие рекуррентные соотношения:

F\(x) = max {/(Aj)};  0 < л, < ,v	(5)
F2(x) = max {fj(x - x2) +/2(х2)}; 0 < x-> < x	(6)
б(х) = ()™Уг7-|(х - +	(7)
F„(x) = max {Ля |(х - x„) + f„(xn)}, 0<.Г„<Л-	(8)

которые определяют функции максимального дохода для каж-
дого шага (года периода).
4.	Решение задачи распределения инвестиций
между предприятиями фирмы

Рассмотрим производственную фирму, в составе которой
находятся п предприятий. Руководство фирмы принимает реше-
ние о выделении средств в размере R, которые предназначены
для осуществления инновационных мероприятий на всех пред-
приятиях фирмы в течение года. В результате проведенных
исследований для каждого предприятия известна зависимость
между объемом инвестиций (х) и ожидаемой величиной при-
роста дохода Зависимость задана в табличной форме.

Требуется найти такое распределение инвестиций между
предприятиями, которое позволило бы получить максимум ожи-
даемого прироста дохода.

Математическая модель задачи имеет вид:

п

F = £/у (ху)-> max	(9)

7 = 1
при условиях:

£>, = *;	(Ю)

7 = 1
ху > 0.

Данная задача является задачей динамического программи-
рования.

Рассмотрим следующую задачу.

Имеется производственная фирма, в состав которой входят
3 предприятия. Руководство фирмы принимает решение о вы-
делении 500 млн руб. для осуществления инновационных ме-
роприятий на всех предприятиях фирмы в течение года. Функ-
ции дохода fj заданы для каждого объема инвестиций х в таблич-
ной форме.

Объем инвестиций х (млн руб.)	Прирост дохода		
	fi	f2	h
0	0	0	0
10	3	6	4
20	5	8	5
30	9	9	11
40 '	11	15	12
50	17	19	18
Для решения этой задачи составляются рекуррентное соот-
ношение Беллмана. В данном случае оно состоит из трех урав-
нений:

Г|(х) = о<тЛ\^(Л|)^;  U S Л| S Я	(11)
+ Fdx~ *2)};	(12)
ВД = ,, 5Пуа^{/з(^з) + F2^x - *з)}-  U S л ] S Л	(13)

Для расчета функций ожидаемого максимального дохода
используем значения функции дохода fj(xj).

X	0	10	20	30	40	50
	0	3	5	9	11	17

В силу монотонности значения функции F|(x,) совпадают со
значениями /|(Х|).

I.	f2(0) = 0.

2.	F2(10) = max{/2(0) + F,(10); /2(10) + F,(0)} = max{3; 5;} = 5.

3.	F2(20) = max{/2(0)+ F,(20);/2(10) + F,(l0);/2(20) + F,(0)} =
= max {5; 9; 8} = 9.

4.	F2(30) = max {/2(0) + Fl(30);/2(10) + F,(20); /2(20) + Z7, (10);
/2(30) + F}(0)} = max{9; 10; И; 9} = 11.

5.	F2(40) = max {/2(0) + F,(40); /2(10) + F,(30);/2(20) + (20);
/2(30)+F,(10);/2(40) +F,(0)} = max{ll; 14; 13; 12; 15} = 15.

6.	F2(50) = max {/2(0) + F,(50);/2(10) + F,(40);/2(20) + F,(30);
/2(30) + Fj(20);/2(40) + F,(10);/2(50) + F,(0)} =

= max{17; 16; 17; 14; 18; 19} = 19.

Значения функции F2(x) можно представить в виде таб-
лицы.

X	0	10	20	30	40	50
F?	0	5	9	11	15	19
Для того чтобы получить оптимальный план распределения
достаточно найти значение F3(/?), в данном случае F3(50), по-
скольку все выделенные средства должны быть освоены.

F3(50) = max {/3(0) + F2(50); /3(10) + F,(40);/3(20) + F2(3O);
/3(ЗО) + F2(20); /3(40) + F2(10); /3(50) + F2(0)} =
= max{19; 19; 16; 20; 17; 18} = 20.

Отсюда следует, что оптимальный план распределения средств
выглядит следующим образом:

х, = 10; х2 = 10; х3 = 30 (млн руб.).

При этом ожидаемый годовой прирост дохода Fopl = 20 млн руб.

ПРИМЕРЫ

Пример 1

Имеется производственная фирма, в состав которой входят
2 предприятия. Руководство фирмы принимает решение о
выделении 300 млн руб. для осуществления инновационных
мероприятий на предприятиях фирмы в течение года. Функ-
ции дохода У} заданы для каждого объема инвестиций хв таб-
личной форме.

/1, х2	0	100	200	300
б	0	30	50	90
^2	0	50	80	90

Определить функции максимального дохода.

Решение

Запишем модель задачи:

F = J\(x{) + f2(x2) -> max

при условиях

х, + х2 = 300;

%, >0; х2 > 0.

(14)

(15)

(16)

Вычислим функции максимального дохода. В данном при-
мере F, совпадает с /,(х,). Согласно принципу оптимально-
сти можно записать следующие соотношения [см. (6)]:
1)	f2(0) = 0.

2)	F2(100) = max {F, (100) + /2(0); F,(0) + /2(100)} =

= max {30 + 0; 0 + 50) = 80.

3)	F2(200) = max {F((200) + /2(0); F,(100) + /2(100);

F, (0) + /2(200)} = max{50; 30 + 50; 80} = 80.

4)	F2(300) = max {F, (300) + /2(0); F,(200) + /2(100);

F,(100) + /2(200); F,(0) + /2(300)} =

= max {90; 50 + 50; 80 + 30; 90} = 110.

Таким образом, оптимальный план задачи (14)—(16) сле-
дующий:

X, = 100; х2 = 200; Fopl = 110 (млн руб.).

Пример 2

Нефтедобывающая компания выделила 3 млрд руб. на раз-
работку новых месторождений. Проект будет осуществляться
в течение двух лет. Данные о затратах и ожидаемом чистом
доходе (в млрд руб.) для первого и второго года представле-
ны в таблице.

X1, X2	0	1	2	3
6(Xl)	0	0,3	0,5	0,9
f2(X2)	0	0,5	0,8	0,9

Требуется определить оптимальный план распределения
имеющихся средств по суммам и по годам, который обеспе-
чивает наибольшее значение чистого дохода в течение двух
лет.

Решение

Подставим исходные данные в формулу для вычисления ин-
тервальной функции дохода для первого года:

F,(x) = max /(%,),
0 < А') < Л'

получаем:

F,(0) = 0;	F,(l) = 0,3;	F,(2) = 0,5;	F,(3) = 0,9.
Затем построим интервальную характеристику дохода для
всего периода времени (первый и второй годы):

С2(х, х2) = /2(х2) + Fi(x-x2).

Интервальная функция дохода для всего периода рассчи-
тывается по формуле:

F2(x) = max G(x, х2),
О < Л'2 < -V

тогда имеем

F2(0) = 0;

F2(l) = (ШахДО + ОД 0,5 + 0} = 0,5;

F2(2) = omaxJO + 0,5; 0,5 + 0,3; 0,8 + 0} = 0,8;

F2(3) = Qmax JO + 0,9; 0,5 + 0,5; 0,8+ 0,3; 0,9 + 0} = 1,1.

Из последнего соотношения вытекает, что наибольший чи-
стый доход за два года будет получен при использовании всех
выделенных средств (3 млрд руб.) и составит 1,1 млрд руб.

При этом оптимальный план распределения имеет вид:

%, =1; х2 = 2.

Это означает, что в течение первого года следует освоить
вложения в сумме 1 млрд руб., а на второй год 2 млрд руб.

Ответы на вопросы примера

Ответ на вопрос 1

План распределения имеет вид х, = 1; х2 = 2.

Ответ на вопрос 2

Чистый доход составит 1,1 млрд рублей.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вопрос 1

Требуется определить точку максимума локальной функции
дохода. Предполагается, что эта функция непрерывная и диф-
ференцируемая на всем отрезке изменения аргумента — объема
производства продукции. Каковы необходимые и достаточ-
ные условия того, что некоторая точка является точкой ло-
кального максимума данной функции?

Возможные ответы'.

1)	равенство нулю первой производной от функции в данной
точке;

2)	первая производная в точке равна нулю, а вторая произ-
водная отрицательна;

3)	первая производная равна нулю, а вторая производная
положительна;

4)	точка является правой границей отрезка изменения аргу-
мента и первая производная неотрицательна.

Вопрос 2

Требуется построить интервальную функцию дохода по за-
данным локальным функциям дохода для всех шагов процесса.
При каких условиях эти функции совпадают (имеют одина-
ковые выражения)?

Возможные ответы.

1)	всегда для первого шага процесса;

2)	для первого шага процесса, если локальная функция до-
хода на первом шаге монотонно возрастающая;

3)	предполагаемое совпадение невозможно, так как аргументы
функций различные.

Вопрос 3

Предположим, что локальная функция дохода задана в дис-
кретной форме и определена в четырех точках отрезка изме-
нения аргумента. Требуется найти представление этой функ-
ции в непрерывном виде. Какую из формул интерполирования
следует применить в этом случае?

Возможные ответы:

1)	формулу линейной интерполяции;

2)	формулу квадратичной интерполяции;

3)	формулу кубичной интерполяции (многочлен третьей сте-
пени).

Вопрос 4

Пусть требуется найти оптимальный план дискретной зада-
чи распределения ограниченного количества ресурса между
предприятиями. Для решения этой задачи строится интер-
вальная функция дохода. Для каких значений аргумента
достаточно провести расчет ее значений, чтобы получить
оптимальный план распределения ресурса?

Возможные ответы:

1)	для всех значений аргумента, представленных в таблице
определения локальных функций;

2)	только для двух последних табличных значений аргумента;

3)	только для последнего значения аргумента.

Вопрос 5

Предположим, что некоторая функция является монотонно
возрастающей на всем отрезке своего определения. В какой
точке достигается максимальное значение такой функции?

Возможные ответы:

1)	в начальной точке отрезка (на левом конце отрезка);

2)	в некоторой внутренней точке отрезка;

3)	в конечной точке отрезка (на правом конце отрезка).

ЗАДАЧИ

Задача 1

Используя исходные данные-задачи 1, построить при помо-
щи кубической интерполяции непрерывные функции поша-
гового дохода (локальные целевые функции) /|(х,) и f2(x2)
для 2 лет рассматриваемого периода.

Задача 2

Используя исходные данные задачи 1 и результаты решения
задачи 2, разработать постановку и выполнить нахождение
непрерывного варианта оптимального плана распределения
средств нефтедобывающей компании по годам периода.

Задача 3

Погрузить в самолет грузоподъемностью 8,3 т груз, состоя-
щий из предметов 4 типов таким образом, чтобы стоимость
всего груза была максимальной.

Данные по каждому типу груза приведены в таблице.

Тип груза	1	2	3	4
Количество, т	2,4	2,2	1,6	1,0
Стоимость, тыс. руб.	960	850	500	200
Задача 4

Требуется распределить между тремя предприятиями фирмы
капитальные вложения в сумме 50 млн руб. так, чтобы ве-
личина прироста чистого дохода была бы максимальной.

Данные по приросту дохода в зависимости от суммы ин-
вестиций приведены в таблице.

Инвестиции, млн руб.	Прирост дохода, млн руб.		
	Объект 1	Объект 2	Объект 3
0	0	0	0
10	3	6	4
20	5	8	5
30	9	9	11
40	11	15	12
50	17	19	18

ОТВЕТЫ

Ответы на контрольные вопросы

1 - 2, 2 - 2, 2 - 3, 4 - 3, 5 - 3.

Ответы на вопросы задач

Задача 1

/2(х2) = -0,1x1 + 0,6х2.

Задача 2

%! = 1; х2 = 2, результат совпадает с решением поставленной
задачи 1 в дискретном варианте.

Задача 3

Х| = 3; х2 = х3 = 0; х4 = 1. Оптимальная стоимость груза 3080
тыс. руб.

Задача 4

%1 = 10; х2 = 10; х3 = 30 млн руб. Оптимальный суммарный
прирост чистого дохода — 20 млн руб.
Глава 7

СЕТЕВОЙ АНАЛИЗ ПРОЕКТОВ.
МЕТОД СРМ

ЦЕЛИ

В данной главе показаны возможности использования мето-
да СРМ (Critical Path Method — метод критического пути) для
контроля сроков выполнения проекта. Таким проектом может
быть разработка нового продукта или производственного про-
цесса; строительство предприятия, здания или сооружения;
ремонт сложного оборудования и т.д. При реализации проекта
составляется график выполнения работ. Для того чтобы проект
был завершен вовремя, необходимо контролировать сроки вы-
полнения этих работ. Взаимосвязанность работ (операций)
является усложняющим фактором. Некоторые операции зави-
сят от выполнения других работ и не могут начаться, пока пред-
шествующие работы не будут завершены.

Важной предпосылкой применения метода СРМ является
предположение о том, что время выполнения каждой работы
точно известно. В результате использования метода СРМ удает-
ся получить ответы на следующие вопросы.

1.	За какое минимальное время можно выполнить проект?

2.	В какое время должны начаться и окончиться отдельные
работы?

3.	Какие работы являются «критическими» и должны быть
выполнены точно в установленное время, чтобы не сорвать
срок выполнения проекта?

4.	На какое время можно отложить срок выполнения «не-
критической» работы, чтобы она не повлияла на срок
выполнения проекта?
После того, как вы выполните задания, предлагаемые в этой
главе, вы будете уметь определять и использовать для экономи-
ческого анализа:

•	наиболее раннее время начала работы;

•	наиболее раннее время окончания работы;

•	наиболее позднее время начала работы;

•	наиболее позднее время окончания работы;

•	критический путь;

•	длину критического пути;

•	запас времени на выполнение работы.

МОДЕЛИ

Исходным шагом для применения метода СРМ является опи-
сание проекта в виде перечня выполняемых работ с указанием
их взаимосвязи. Существует два способа описания проекта: таб-
личный и графический.

Рассмотрим следующую таблицу, содержащую описание про-
екта.

Работа	Непосредственно предшествующая работа	Время выполнения
А	-	
В	-	te
С	в	tc
D	А, С	to

В первом столбце таблицы указаны наименования всех ра-
бот проекта. Их четыре: А, В, С, D. Во втором столбце указаны
работы предшествующие данной. У работ А и В нет предшеству-
ющих. Работе С предшествует работа В. Это означает, что рабо-
та С может быть начата только после завершения работы В. Ра-
боте D предшествуют две работы: А и С. Это означает, что рабо-
та D может быть начата только после завершения работ А и С.
В третьем столбце для каждой работы указано время, необходи-
мое для ее выполнения.

По этим данным можно построить графическое описание
проекта (рис. 7.1).

Здесь проект представлен в виде графа с вершинами 1, 2, 3,
4 и дугами А, В, С, D. Каждая вершина графа отображает опре-
деленное событие. Событие 1 означает начало выполнения про-
екта [иногда такое событие обозначают буквой s (star/)]. Собы-
тие 4 означает завершение проекта [обозначается буквой f (finish)].
Любая работа проекта — это упорядоченная пара двух событий.
Например, работа А есть упорядоченная пара событий (1, 3).
Работа D — упорядоченная пара событий (3, 4). Событие про-
екта состоит в том, что завершены все работы, «входящие» в
соответствующую вершину. Например, событие 3 состоит в том,
что завершены работы А и С.

Рассмотрим другой проект, представленный далее в виде таб-
лицы.

Работа	Непосредственно предшествующая работа	Время выполнения
А	-	
В	-	te
С	в	tc
D	А, С	to
Е	С	tE
F	С	tF
G	D, Е, F	tc

Графическое описание проекта, построенное по этой табли-
це, имеет следующий вид (рис. 7.2).

В этом графическом описании проекта, кроме тех работ, ко-
торые указаны в таблице, использованы две «фиктивные» рабо-
ты (3, 4) и (5, 6) (на рисунке они показаны пунктиром). Эти
работы не требуют времени на их выполнение и используются
в графическом представлении проекта лишь для того, чтобы
правильно отобразить взаимосвязь между работами.

Получив графическое представление проекта, мы обеспечи-
ли возможность проведения расчетов по методу СРМ. Дадим
некоторые определения.

Путь — последовательность взаимосвязанных работ, ведущая
из одной вершины проекта в другую вершину. Например (см.
рис. 7.2), {A, D, 6} и {С, F} — два различных пути.

Длина пути — суммарная продолжительность выполнения всех
работ пути.

Критический путь — путь, суммарная продолжительность
выполнения всех работ которого является наибольшей.

Минимальное время, необходимое для выполнения любого
проекта равно длине критического пути. Именно на работы,
принадлежащие критическому пути, следует обращать особое
внимание. Если такая работа будет отложена на некоторое вре-
мя, то время окончания проекта будет отложено на такое же
время. Если необходимо сократить время выполнения проекта,
то в первую очередь нужно сократить время выполнения хотя
бы одной работы на критическом пути.

Для того чтобы найти критический путь, достаточно пере-
брать все пути и выбрать тот или те из них, которые имеют наи-
большую суммарную продолжительность выполнения работ.
Однако для больших проектов реализация такого подхода свя-
зана с вычислительными трудностями. Метод СРМ позволяет
получить критический путь намного проще.

Пусть z и j —- события проекта (вершины графа), (/, j) — ра-
бота проекта, 5 — событие «начало проекта» (start), f— событие
«окончание проекта» (finish), Т — длина критического пути.

Введем следующие обозначения:

Г(/ j —время выполнения работы (z, у);

— наиболее раннее время начала работы (i,J)',

EF(j jy —наиболее раннее время окончания работы (z, у);

LS(/ у — наиболее позднее время начала работы(/, у);

LF(i j} — наиболее позднее время окончания работы (i,j)',

Е, —наиболее раннее время наступления события i;

Lj —наиболее позднее время наступления события z;

—полный резерв времени на выполнение работы
(z, у) (время, на которое может быть отложена ра-
бота (z,y) без увеличения продолжительности выпол-
нения всего проекта);

r(jjy — свободный резерв времени на выполнение работы
(z, у) (время, на которое может быть отложена ра-
бота (/, j) без увеличения наиболее раннего време-
ни Ej наступления последующего события j).

Если (/,у) — работа проекта, то имеют место следующие со-
отношения:

•	для любого j справедливо ES(i •> = £,•;

•	для любого i справедливо LF(l= Lj.

Для того чтобы использовать метод СРМ для нахождения
критического пути, необходимо для каждой работы (/, j) опре-
делить величины:

•	наиболее раннее время начала работы — £S(, >;

•	наиболее раннее время окончания работы — ££(/ у);

•	наиболее позднее время начала работы — L5(z •>;

•	наиболее позднее время окончания работы — ££(, у).

Метод СРМ описывается следующими соотношениями.

I-	•) = 0 для любой работы (5, у), выходящей из стартовой
вершины s проекта.

2.	EF(j = ES{! } + Г(/ /( = Е, + Z(, у), наиболее раннее время
окончания любой работы (/, у) превышает наиболее ран-
нее время начала этой работы (время наступления пред-
шествующего события /) на время ее выполнения.

3.	ES(q = max££(/ q) = Eq, наиболее раннее время начала
работы (<?, /) равно наибольшему значению наиболее ран-
него времени окончания непосредственно предшеству-
ющих ей работ.

4.	Т = Е^ = max££(, длина критического пути равна наи-
более раннему времени завершения проекта.

5.	££(, у) = Т, наиболее позднее время окончания любой рабо-
ты, завершающей проект, равно длине критического пути.

6.	LS(j = LF(j jy - t(j = Lj - t(j ft, наиболее позднее время
начала любой работы меньше наиболее позднего времени
окончания этой работы (времени наступления последу-
ющего события) на время ее выполнения.

7.	LF(j q} = min LS(q = L наиболее позднее время оконча-
ния работы (/, q) равно наименьшему из значений наибо-
лее позднего времени начала непосредственно следующих
за ней работ.

8-	=	~ ^(/J)= LFtij) ~ EF(ij)= Lj~ {<ij) ~ Lj, полный

резерв времени выполнения любой работы равен разности
между наиболее поздним и наиболее ранним временем ее
начала или разности между наиболее поздним и наиболее
ранним временем ее окончания.
9-	га.л = 1Г ES(i.n - hid) = LJ-= LrEi - f(i.JY свобод-
ный резерв времени выполнения любой работы равен
разности между наиболее поздним временем наступления
последующего события и наиболее ранним временем окон-
чания работы.

Из приведенных соотношений следует:

1)	длина критического пути равна Г;

2)	если R(j = 0, то работа (/, у) лежит на критическом пути;
если /?(/ ) > 0, то работа (/,у) не лежит на критическом пути;

3)	если время начала работы (/, у), не лежащей на критиче-
ском пути, отложить на срок меньший, чем Гц-у то наи-
более раннее время наступления последующего события не
изменится;

4)	если время начала работы (/, у), не лежащей на критиче-
ском пути, отложить на срок меньший, чем то время,
необходимое на выполнение всего проекта, не увеличится.

ПРИМЕР

Департамент Юго-Западного округа Москвы рассматривает
возможность реконструкции торгового центра у станции метро
«Юго-Западная». После сноса старых палаток проектом
предусматривается строительство павильонов с последующей
сдачей их в аренду торговым фирмам. Работы, которые
необходимо выполнить при реализации проекта, а также
взаимосвязь работ и время их выполнения указаны в таб-
лице.

Работа	Содержание работы	Предшест- вующая работа	Время выполнения, недели
А	Подготовить архитектурный проект	-	5
В	Определить будущих арендаторов	-	6
С	Подготовить проспект для аренда- торов	А	4
D	Выбрать подрядчика	А	3
Е	Подготовить документы для получения разрешения	А	1
F	Получить разрешение на строи- тельство	Е	4
G	Осуществить строительство	D, F	14
Н	Заключить контракты с арендаторами	В, С	12
1	Вселить арендаторов в павильоны	G, Н	2
Ответьте на следующие вопросы:

1.	Сколько работ на критическом пути?

2.	Какова длина критического пути?

3.	На сколько можно отложить начало выполнения работы Е,
чтобы это не повлияло на срок выполнения проекта?

4.	На сколько можно отложить начало выполнения работы В,
чтобы это не повлияло на срок выполнения проекта (пол-
ный резерв времени)?

5.	На сколько можно отложить начало выполнения работы В,
чтобы это не изменило наиболее ранний срок наступле-
ния последующего события (свободный резерв времени)?

Решение

Для того чтобы определить срок выполнения проекта, доста-
точно найти длину критического пути. Для этого построим гра-
фическое представление проекта.

Критический путь для этого проекта может быть найден с
помощью прямых расчетов по методу СРМ, описанному в раз-
деле «Модели». Те же результаты можно получить, воспользо-
вавшись программой «POMWIN». Для этого достаточно ввести
в программу исходную информацию, описывающую проект в виде
следующей таблицы с указанием предшествующих работ.

Работа	Время выполнения	Предшествующие работы
1	2	3
А	5	-
В	6	-
С	4	А
 D	3	А
Е	1	А
Окончание таблицы

1	2	3
F	4	Е
G	14	D, F
Н	12	В, С
1	2	G, Н

Результаты расчетов будут представлены в виде следующей
таблицы.

Project	26					
Работа	Время выполнения	ES	EF	LS	LF	R
А	5	0	5	0	5	0
В	6	0	6	6	12	6
С	4	5	9	8	12	3
D	3	5	8	7	10	2
Е	1	5	6	5	6	0
F	4	6	10	6	10	0
G	14	10	24	10	24	0
Н	12	9	21	12	24	3
1	2	24	26	24	26	0

Эта таблица содержит информацию, позволяющую ответить
на все вопросы задачи. Строка «Project» указывает на то, что длина
критического пути равна 26. На критическом пути лежат все
работы, значения резерва времени которых, указанные в по-
следнем столбце, равны нулю. Это работы А, Е, F, G, I.

Таким образом, если отложить начало работы £, то срок вы-
полнения проекта увеличится. В то же время работу В можно
начать не в нулевой момент времени, а в момент 6, т.е. начало
выполнения работы В можно отложить на 6 недель. Критический
путь для этого проекта показан на рисунке жирной линией.
Возможен другой способ введения исходной информации в
программу «P0MW1N». Этот способ использует графическое
представление проекта и, как следствие, описывает дуги в виде
вары вершин. Соответствующее описание проекта приведено в
следующей таблице.

Работа	Вершина-начало	Вершина-конец	Время выполнения
А	1	2	5
В	1	3	6
С	2	3	4
D	2	5	3
Е	2	4	1
F	4	5	4
G	5	6	14
Н	3	6	12
1	6	7	2

Результаты расчетов будут представлены в виде таблицы.

Project	26							
Работа	Вершина- начало	Вершина- конец	Время выполнения	ES	EF	LS	LF	R
А	1	2	3	0	5	0	5	0
В	1	3	3	0	6	6	12	6
С	2	3	3	5	9	8	12	3
D	2	5	3	5	8	7	10	2
Е	2	4	1	5	6	5	6	0
F	4	5	4	6	10	6	10	0
G	5	6	14	10	24	10	24	0
Н	3	6	12	9	21	12	24	3
1	6	7	2	24	26	24	26	0

Ответы на вопросы примера

Ответ на вопрос 1

На критическом пути 5 работ.

Ответ на вопрос 2

Длина критического пути 26.

Ответ на вопрос 3

Начало выполнения работы Е отложить нельзя. Ответ — 0.

Ответ на вопрос 4

Полный резерв времени работы В составляет 6 недель.
Ответ на вопрос 5

Свободный резерв времени работы В составляет 3 недели.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вопрос 1

Метод СРМ разработан для'.

1)	описания проектов путем указания всех работ, предшеству-
ющих данной работе;

2)	описания проектов путем представления каждой работы
в виде пары узлов сети;

3)	минимизации издержек на сокращение продолжительно-
сти проекта;

4)	нахождения критического пути проектов с заданным вре-
менем выполнения каждой работы;

5)	нахождения критического пути проектов с неопределен-
ным временем выполнения работ.

Вопрос 2

Узел-событие сетевого графика выражает результат'.

1)	начаты все работы, выходящие из узла;

2)	закончены все работы, входящие в узел;

3)	начата хотя бы одна работа, выходящая из узла;

4)	закончена хотя бы одна работа, входящая в узел;

5)	закончены все работы, входящие в узел, и начата хотя бы
одна работа, выходящая из узла.

Вопрос 3

Наиболее раннее время наступления события равно'.

1)	минимальной длине пути из данного узла в конечный;

2)	максимальной длине пути из данного узла в конечный;

3)	максимальной длине пути из начального узла в данный;

4)	максимальному времени наиболее раннего окончания
работ, входящих в данный узел;

5)	минимальному времени наиболее позднего начала работ,
выходящих из данного узла.

Вопрос 4

Наиболее позднее время наступления события равно'.

1)	минимальной длине пути из данного узла в конечный;

2)	максимальной длине пути из данного узла в конечный;

3)	максимальной длине пути из начального узла в данный;
4)	максимальному времени наиболее раннего начала работ,
выходящих из данного узла;

5)	минимальному времени наиболее позднего начала работ,
выходящих из данного узла.

Вопрос 5

Для того чтобы сократить время выполнения проекта необ-
ходимо:

1)	сократить время выполнения каждой работы на критиче-
ском пути;

2)	сократить время выполнения одной работы на критиче-
ском пути;

3)	сократить время выполнения каждой работы проекта;

4)	сократить время выполнения одной работы проекта;

5)	увеличить длину критического пути.

Вопрос б

Полный резерв времени выполнения работы равен разности
между:

1)	наиболее поздним и наиболее ранним временем ее начала;

2)	наиболее поздним временем ее начала и наиболее ранним
временем ее окончания;

3)	наиболее ранним временем ее начала и наиболее позд-
ним;

4)	временем ее окончания;

5)	наиболее ранним временем ее окончания и наиболее по-
здним временем ее начала;

6)	наиболее поздним временем ее окончания и наиболее ран-
ним временем ее начала.

ЗАДАЧИ

Задача 1

Рассмотрите следующую сеть проекта (продолжительность ра-
бот показана в неделях).

Работа	Предшествующая работа	Время выполнения
1	2	3
А	-	5
В	-	3
С	А	7
1	2	3
D	А	6
Е	В	7
F	D, Е	3
G	D, Е	10
Н	С, F	8

Найдите критический путь и ответьте на следующие во-
просы'.

1.	За какое минимальное время может быть выполнен проект?

2.	Сколько работ находится на критическом пути?

3.	На сколько недель можно отложить выполнение работы D
без отсрочки завершения проекта в целом?

4.	На сколько недель можно отложить выполнение работы С
без отсрочки завершения проекта в целом?

Задача 2

Проект пуско-наладки компьютерной системы состоит из
восьми работ. Непосредственно предшествующие работы и
продолжительность выполнения работ показаны ниже.

Работа	Предшествующая работа	Время выполнения, дни
А	-	3
В	-	6
С	А	2
D	В, С	5
Е	D	4
F	Е	3
G	В, С	9
Н	F, G	3

Найдите критический путь и ответьте на следующие воп-
росы:

1.	Сколько времени потребуется для выполнения проекта?

2.	Сколько работ на критическом пути?

3.	Чему равно наиболее раннее время начала работы С?

4.	На сколько можно отложить выполнение работы С без
отсрочки завершения проекта в целом?

5.	Чему равно наиболее позднее время окончания работы F?

6.	На сколько можно отложить выполнение работы F без
отсрочки завершения проекта?
Задача 3

Ректорат РУДН рассматривает предложение о строительстве
новой библиотеки. Работы, которые следует выполнить пе-
ред началом строительства, представлены ниже. Продолжи-
тельность работ показана в неделях.

Работа	Содержание работы	Предшест- вующая работа	Время выполнения, недели
А	Определить место строительства	-	6
В	Разработать первоначальный проект	-	8
С	Получить разрешение на строительство	А, В	12
D	Выбрать архитектурную мастерскую	С	4
Е	Разработать смету затрат на строи- тельство	С	6
F	Разработать проект строительства	D, Е	15
G	Получить финансирование	Е	12
Н	Нанять подрядчика	F, G	8

Найдите критический путь и ответьте на следующие во-
просы'.

1.	Сколько работ находится на критическом пути (фиктив-
ные работы не учитываются)?

2.	Через какое минимальное время после принятия решения
о реализации проекта можно начать работу по строитель-
ству библиотеки?

3.	На сколько недель можно отложить выбор архитектурной
мастерской?

4.	Чему равно наиболее позднее время завершения работы по
обеспечению финансирования?

СИТУАЦИЯ

Программа «Здоровье пригородной зоны»

Программа «Здоровье пригородной зоны» основана более года
назад как коммерческий проект, который должен стать
основой организации здравоохранения открытого типа ОЗОТ.
Целью ОЗОТ является обеспечение абонентов из пригород-
ной зоны услугами платной медицинской помощи.

В соответствии с постановлением правительства работы
по планированию и организации ОЗОТ обеспечиваются
федеральными грантами. Три обязательные фазы органи-за-
ционных работ включают фазу основания (6 месяцев),
фазу планирования (12 месяцев) и фазу начального разви-
тия (12 месяцев). Правительственные гранты выделяются на
каждую фазу и автоматически не продлеваются.

В соответствии с постановлением предусмотрено два типа
корпораций ОЗОТ — закрытый и открытый. Закрытый тип
ОЗОТ организуется на базе медицинского центра, обеспечи-
вающего амбулаторное обслуживание. Как правило, врачи
работают в ОЗОТ закрытого типа на постоянной основе и
получают заработную плату.

ОЗОТ открытого типа не имеет своего медицинского цент-
ра. В этом случае ОЗОТ заключает контракт с Независимой
ассоциацией практикующих врачей (НАПВ). С целью обес-
печения своих абонентов медицинским сервисом медицин-
ское обслуживание осуществляется на производстве и в
домашних условиях. Обычно работа по контракту с ОЗОТ от-
крытого типа составляет лишь небольшую долю практики
врачей из независимой ассоциации.

Для контроля издержек и выполнения налоговых обяза-
тельств новые ОЗОТ создают отдел маркетинга, который
возглавляет директор по маркетингу. Задачей этого отдела
является привлечение новых абонентов, как индивидуаль-
ных, так и коллективных. Причем не только частных лиц и
персонала фирм, работающих в сфере действия ОЗОТ, но и
предпринимателей. Сотрудник любой фирмы может восполь-
зоваться либо услугами ОЗОТ, либо услугами альтернатив-
ной медицинской помощи, которую предоставляет нанима-
тель. Поэтому для ОЗОТ важно заключить контракт с пред-
принимателем прежде, чем предложить свои услуги персоналу
фирмы.

Программа «Здоровье пригородной зоны» ориентирована
на создание ОЗОТ открытого типа и поэтому предполагает
сотрудничество с НАПВ. Услуги, связанные с госпитализа-
цией, предоставляются по контракту с окружным госпита-
лем.

В текущем году Федеральный грант был представлен Про-
грамме для выполнения работ по планированию. Этот грант
предоставлен на 12 месяцев. Следующая фаза начального раз-
вития должна начаться после этапа планирования и также
должна быть выполнена за 12 месяцев. Таким образом, ра-
бота ОЗОТ может начаться после завершения обоих этапов,
общая продолжительность которых составляет два года.
В настоящее время руководство Программы готовит заявку
на грант для выполнения работ на этапе начального разви-
тия.

Дмитрий Тимофеев, исполнительный директор Програм-
мы, весьма озадачен разработкой перечня мероприятий, ко-
торые необходимо провести на этапе начального развития
компании с тем, чтобы этот этап действительно мог быть
завершен в 12-месячный срок. На предыдущем этапе плани-
рования деятельность Дмитрия Тимофеева была связана в
основном с организацией и координацией работы врачей.
Пришлось потратить значительные усилия для создания
НАПВ. На этапе планирования он использовал сети СРМ/
PERT для координации работ и собирался вновь применить
их на этапе начального развития, который должен был на-
чаться через месяц. Он был убежден, что на этапе началь-
ного развития можно и нужно разработать сети СРМ/ PERT
для анализа работ в области маркетинга и финансов. Одна-
ко несмотря на то, что эти виды деятельности связаны друг
с другом, он сомневался в том, что удастся провести их ком-
плексный анализ. Поэтому он попросил директора по мар-
кетингу и директора по финансам независимо друг от друга
разработать сети СРМ/ PERT для контроля мероприятий в со-
ответствующей сфере деятельности.

Планирование. В следующей таблице описана сеть СРМ для
мероприятий, проводимых независимой ассоциацией врачей
на этапе планирования. В ней указано время выполнения работ
в неделях. Это время заранее известно, так как существует опыт
проведения подобных работ. Определив критический путь для
данной сети, Дмитрий Тимофеев пришел к выводу, что дан-
ный этап проекта — этап планирования — действительно мо-
жет быть завершен за год (52 недели). Он установил также,
какие работы могут быть отложены и на какой срок без уве-
личения срока выполнения данного этапа проекта.

Дмитрий Тимофеев попросил директоров по маркетин-
гу и финансам определить все работы, которые должны быть
выполнены на этапе начального развития, оценить время,
необходимое для их выполнения, и установить взаимозави-
симость этих работ.
Мероприятия на этапе планирования

Работа (в виде пары вершин сети)	Время выпол- нения работы	Предшест- вующая работа	Наименование работы
1-2	6	-	Установление связи с организацией врачей
2-3	10	1-2	Утверждение нормативов оплаты медицинских услуг
2-4	8	1-2	Учреждение руководящего комите- та НАПВ
3-5	4	2-3	Утверждение набора услуг меди- цинской помощи
3-6	7	2-3	Подготовка и печатание брошюр НАПВ
4-7	9	3-5	Регистрация НАПВ
5-8	9	3-5	Разработка контрактов для врачей- членов НАПВ
5-9	5	3-5	Утверждение порядка оплаты труда врачей
6-9	13	3-6	Привлечение практикующих врачей в НАПВ
7-10	6	4-7	Подготовка контракта ОЗОТ — НАПВ
8-9	0	5-8	Фиктивная работа
9-11	8	8-9  5-9  6-9	Сбор заявок врачей на вступление в НАПВ
10-11	9	7-10  9-11	Создание арбитражного комитета НАПВ
11-12	4	10-11	Создание формы и знаков отличия для врачей НАПВ
12-13	4	11-12	Подготовка персонала для офиса врачей

Маркетинг. Борце Хитров, директор по маркетингу, ре-
шил составить список всех работ и затем предоставить их в
виде сети. Первая из намеченных работ — работа А — нанять
и обучить новый персонал, занимающийся маркетингом. На
выполнение этой работы требуется 5 недель.

После завершения этой работы, вместе с подготовленным
персоналом, планируется провести одновременно четыре ра-
боты:

В —сформировать набор медицинского оборудования для
предоставления медицинской помощи (3 недели);
С — организовать информирование местного населения и
формирование общественного мнения (10 недель);

D —связаться с предпринимателями в сфере действия ОЗОТ
(6 недель);

Е — разработать рекламный проспект для предпринимателей
(3 недели).

Разработка планов ежемесячной регистрации абонентов
(работа F, продолжительность — 4 недели) может быть на-
чата после завершения работ В и D.

После того как будет разработан рекламный проект для
предпринимателей, он должен быть распространен (работа G,
продолжительность — 4 недели). После того как будет рас-
пространен рекламный проект и разработаны планы ежеме-
сячной регистрации абонентов, могут одновременно выпол-
няться две работы:

Н — провести переговоры о заключении контрактов с пред-
принимателями на обслуживание персонала фирм
(8 недель);

/ — подготовить рекламные материалы для персонала фирм
(6 недель).

После выполнения работы Н могут быть заключены кон-
тракты с предпринимателями (работа J, продолжитель-
ность — 6 недель). После выполнения работы / следует на-
печатать рекламные материалы для персонала фирм (работа К,
продолжительность — 3 недели).

После работы «заключение контрактов с предпринима-
телями и печатание рекламных материалов» для персона-
ла фирм можно начать работу L по привлечению частных
лиц. Эта работа может проводиться до конца этапа началь-
ного развития, но требует не менее 16 недель на ее выпол-
нение. Остается предусмотреть выполнение двух работ.
Это организация симпозиума ОЗОТ (работа М, продолжи-
тельность — 16 недель) и проведение этого симпозиума
(работа N, продолжительность — 2 недели). Организация сим-
позиума не может начаться до того, как будет завершена
работа С.

Финансы. Василий Дружинин, финансовый директор Про-
граммы, составил перечень из 12 работ, которые должны быть
выполнены на этапе начального развития. Перечень этих
работ, предшествующие работы и их продолжительность
указаны в таблице ниже.
Список проводимых работ

Работа	Предшест- вующая работа	Ожидаемое время выполнения работы	Наименование работы
А	-	11	Оценка административных расходов
В	-	7	Сбор статистики занятости
С	-	9	Сбор статистики заболеваний
D	в, с	8	Проведение актуарных расчетов
Е	D	4	Расчет месячных потоков доходов
F	D	3	Расчет месячных потоков расходов
G	А, Е, F	5	Подготовка месячного отчета о доходах
Н	А, Е, F	6	Расчет месячных потоков наличности
1	G	3	Подготовка годового отчета о доходах
J	Н	2	Подготовка годовой балансовой таблицы
К	/, J	3	Определение ставки процента
L	G	5	Анализ неблагоприятных факторов

Вы приглашены в качестве помощника Дмитрия Тимо-
феева, исполнительного директора, чтобы помочь провести
расчеты времени выполнения комплекса работ по маркетингу
и по финансам на начальной стадии развития центра.

Нарисуйте сеть работ на этапе планирования, приведен-
ную в таблице. Определите критический путь и резерв времени
для каждой работы. Верен ли вывод Дмитрия Тимофеева о том,
что этап планирования можно выполнить за год (52 недели)?

Нарисуйте сеть работ по маркетингу. Подсчитайте кри-
тический путь для этой сети. Могут ли работы по маркетингу
быть выполнены в течение года (52 недели)?

Нарисуйте сеть работ по финансам. Подсчитайте крити-
ческий путь для этой сети. Могут ли работы по финансам быть
выполнены в течение года?

После координационного совещания Тимофеева, Хитрова
и Дружинина выяснилось, что работы по маркетингу и
финансам взаимосвязаны: работа D финансового отдела мо-
жет проводиться только после того, как завершена работа / от-
делом маркетинга. Определите критический путь для всех работ
на этапе начального развития центра. Можно ли утверждать,
что весь комплекс работ может быть выполнен за год (52 не-
дели)? Если нет, то какова вероятность этого события?
ОТВЕТЫ

Ответы на вопросы

1— 4, 2 — 2,3 — 4, 4 — 5,5 — 2,6 — 1.

Ответы на задачи

1. За 22 недели.	Задача 1

2. 4.

3. Работу D нельзя отложить без отсрочки завершения про-
екта в целом.

4. На 2 недели.

1.21 день.  2.	5.  3.	3.	Задача 2

4. На 1 день.

5. 18.

6. Выполнение работы F откладывать нельзя.

1.5.  2.	Через 49 недель.  3.	На 2 недели.	Задача 3

4. Не позднее, чем на 41-й неделе.
Глава 8

СЕТЕВОЙ АНАЛИЗ ПРОЕКТОВ.
МЕТОД PERT

ЦЕЛИ

В данной главе показаны возможности использования мето-
да PERT {Program Evaluation and Review Technique — метод оцен-
ки и обзора программы) для контроля сроков выполнения про-
екта. Метод PERT ориентирован на анализ проектов, для кото-
рых продолжительность выполнения всех или некоторых работ
не удается определить точно. Он применяется при проектиро-
вании и внедрении новых систем. В таких проектах многие ра-
боты не имеют аналогов. В результате возникает неопределен-
ность в сроках выполнения проекта в целом.

Применение метода PERT позволяет получить ответы на
следующие вопросы.

1.	Чему равно ожидаемое время выполнения работы?

2.	Чему равно ожидаемое время выполнения проекта?

3.	С какой вероятностью проект может быть выполнен за
указанное время?

После выполнения заданий, предлагаемых в этой главе, вы
будете уметь формулировать и использовать для экономическо-
го анализа следующие понятия:

•	оптимистическое время выполнения работы;

•	пессимистическое время выполнения работы;

•	наиболее вероятное время выполнений работы;

•	ожидаемое время выполнения работы;

•	вариацию времени выполнения работы;

•	вариацию времени выполнения проекта.
МОДЕЛИ

Для того чтобы использовать метод PERT, для каждой рабо-
ты /, время выполнения которой является случайной величиной,
необходимо определить три оценки:

1)	оптимистическое время а, — время выполнения работы i
в наиболее благоприятных условиях;

2)	наиболее вероятное время т, — время выполнения рабо-
ты i в нормальных условиях;

3)	пессимистическое время bt — время выполнения работы i
в неблагоприятных условиях.

Учитывая, что время выполнения работы хорошо описыва-
ется p-распределением, среднее или ожидаемое время выпол-
нения работы i может быть приближенно оценено по формуле

о, + 4т. + Ь;

fi ~	6	'

Если время выполнения работы i известно точно и равно
то tj = а, = /и, = bi = dj.

Располагая указанными оценками времени выполнения
работы, мы можем также рассчитать общепринятую статисти-
2

ческую меру неопределенности — дисперсию о, времени выпол-
нения работы i:

/,	X2

«? = М-

X о 7

Если время выполнения работы i известно точно, то о,2 = 0.

Пусть Т— время, необходимое для выполнения проекта. Если
в проекте есть работы с неопределенным временем выполнения,
то Тявляется случайной величиной. Математическое ожидание
(ожидаемое значение) времени выполнения проекта Е(Т) рав-
но сумме ожидаемых значений времени выполнения работ,
лежащих на критическом пути. Для определения критического
пути проекта может быть использован метод СРМ. На этом этапе
анализа проекта время выполнения работы полагается равным
ожидаемому времени Г,. Дисперсия общего времени, необходи-
мого для завершения проекта, в предположении о независимо-
сти времен выполнения работ равна сумме дисперсий времен
выполнения работ критического пути. Если же две или более
работы взаимозависимы, то указанная сумма дает приближен-
ное представление о дисперсии времени выполнения проекта.
Распределение времени Т завершения проекта является асим-
птотически нормальным со средним Е(Т) и дисперсией о2(Г).
С учетом этого можно рассчитать вероятность завершения про-
екта в установленный срок То. Для определения вероятности того,
что Т < То, следует использовать таблицу распределения вели-
чины

То - Е(Т)
о(Г)

которая имеет стандартное нормальное распределение.

ПРИМЕР

Новый продукт Московского часового завода

Конструкторское бюро Московского часового завода (МЧЗ)
разработало новый настольный радиобудильник. По мнению
проектировщиков, запуск в серию нового продукта позволит
расширить рынок сбыта и получить дополнительную прибыль.

Руководство МЧЗ приняло решение провести работу по
изучению возможности реализации нового продукта. Конеч-
ным результатом этого исследования должен стать доклад с
рекомендациями относительно действий, которые должны
быть предприняты для организации производства и сбыта
нового продукта. Перечень работ и характеристики време-
ни их выполнения (в неделях) указаны в следующей таб-
лице.

Ра- бота	Содержание работы	Непосред- ственно предшест- вующая работа	Опти- мисти- ческое время (at)	Наиболее вероят- ное время (т,)	Песси- мисти- ческое время (Ь,)
1	2	3	4	5	6
А	Подготовить конструк- торский проект	-	4	5	12
В	Разработать маркетин- говый план	-	1	1,5	5
С	Подготовить маршрут- ные карты	А	2	3	4
D	Построить прототип	А	3	4	11
Окончание таблицы

1	2	3	4	5	6
Е	Подготовить рекламную брошюру	А	2	3	4
F	Подготовить оценки затрат	С	1.5	2	2,5
G	Провести предвари- тельное тестирование	D	1.5	3	4,5
Н	Выполнить исследова- ние рынка	В, Е	2,5	3,5	7,5
1	Подготовить доклад о ценах	Н	1.5	2	2,5
J	Подготовить заключи- тельный доклад	F, G, 1	1	2	3

Определите критический путь для данного проекта и от-
ветьте на вопросы:

1.	Чему равно ожидаемое время выполнения проекта?

2.	С какой вероятностью проект может быть выполнен за
20 недель?

Решение

На рисунке показано графическое представление этого про-
екта.

Первый способ решения

Используя информацию, указанную в таблице, определим
ожидаемое время и вариацию времени выполнения каждой ра-
боты проекта. Например, для работы А:

аА + 4 т А + ЬА 4 + 4x5 + 12 ,
12 - 4>2

6 J

1,78.

Проводя аналогичные расчеты для других работ, получаем
таблицу.

Работа	Ожидаемое время ti	Дисперсия
А	6	1,78
В	2	0,44
С	3	0,11
D	5	1,78
Е	3	0,11
F	2	0,03
G	3	0,25
Н	4	0,69
1	2	0,03
J	2	0,11

Полагая время выполнения работы равным ожидаемому вре-
мени ее выполнения находим критический путь, используя
метод СРМ в виде следующей таблицы с указанием предшеству-
ющих работ.

Работа	Время выполнения	Предшествующие работы
А	6	-
В	2	-
С	3	А
D	5	А
Е	3	А
F	2	С
G	3	D
Н	4	В, Е
1	2	Н
J	2	F, G, 1

Результаты расчетов представлены в таблице.
Project	17					
Работа	Время выполнения	ES	EF	LS	LF	R
А	6	0	6	0	6	0
В	2	0	2	7	9	7
С	3	6	9	10	13	4
D	5	6	11	7	12	1
Е	3	6	9	6	9	0
F	2	9	11	13	15	4
G	3	11	14	12	15	1
Н	4	9	13	9	13	0
1	2	13	15	13	15	0
J	2	15	17	15	17	0

Критический путь для данного проекта включает работы А, Е,
Н, 1, J. Длина критического пути равна 6 + 3+ 4 + 2 + 2= 17.
Это означает, что ожидаемое время выполнения проекта состав-
ляет 17 недель.

Предполагая, что распределение времени выполнения про-
екта является нормальным, мы можем определить вероятность
того, что проект будет выполнен за 20 недель. Определим дис-
персию времени выполнения проекта. Ее значение равно сум-
ме значений дисперсий времен выполнения работ на критическом
пути:

о2(Г) = 1,78 + 0,11 + 0,69 + 0,03 + 0,11 = 2,72.

Учитывая, что о(Т') = vo2(r) = v х 2,72 = 1,65, находим зна-
чение z для нормального распределения при То = 20:

Ту ~ Е(Т)	20-17 lg2

о(Т) 1,65

По таблице нормального распределения (см. с. 150) находим
вероятность того, что время Т- выполнения проекта находится
в интервале Е('Г) < Т< То. Она стоит на пересечении столбца
«1,8» и строки «0,02», и равна 0,4656.

Следовательно, искомая вероятность того, что время выпол-
нения проекта не превышает Го, т.е. вероятность того, что про-
ект будет выполнен за 20 недель при ожидаемом времени его вы-
полнения 17 недель, равна 0,5 + 0,4656 = 0,9656.
Таблица нормального распределения

Z	0.00	0.01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0.07	0,08	0,09
0,0	0,0000	0,0040	0,0080	0,0120	0,0160	0,0199	0,0239	0,0279	0,0319	0,0359
0,1	0,0398	0,0438	0,0478	0,0517	0,0557	0,0596	0,0636	0,0675	0,0714	0,0753
0,2	0,0793	0,0832	0,0871	0,0910	0,0948	0,0987	0,1026	0,1064	0,1103	0,1141
0,3	0,1179	0,1217	0,1255	0,1293	0,1331	0,1368	0,1406	0,1443	0,1480	0,1517
0,4	0,1554	0,1591	0,1628	0,1664	0,1700	0,1736	0,1772	0,1808	0,1844	0,1879
0,5	0,1915	0,1950	0,1985	0,2019	0,2054	0,2088	0,2123	0,2157	0,2190	0,2224
0,6	0,2257	0,2291	0,2324	0,2357	0,2389	0,2422	0,2454	0,2486	0,2518	0,2549
0,7	0,2580	0,2612	0,2642	0,2673	0,2704	0,2734	0,2764	0,2794	0,2823	0,2852
0,8	0,2881	0,2910	0,2939	0,2967	0,2995	0,3023	0,3051	0,3078	0,3106	0,3133
0,9	0,3159	0,3186	0,3212	0,3238	0,3264	0,3289	0,3315	0,3340	0,3365	0,3389
1,0	0,3413	0,3438	0,3461	0,3485	0,3508	0,3531	0,3554	0,3577	0,3599	0,3621
1,1	0,3643	0,3665	0,3686	0,3708	0,3729	0,3749	0,3770	0,3790	0,3810	0,3830
1,2	0,3849	0,3869	0,3888	0,3907	0,3925	0,3944	0,3962	0,3980	0,3997	0,4015
1,3	0,4032	0,4049	0,4066	0,4082	0,4099	0,4115	0,4131	0,4147	0,4162	0,4177
1,4	0,4192	0,4207	0,4222	0,4236	0,4251	0,4265	0,4279	0,4292	0,4306	0,4319
1,5	0,4332	0,4345	0,4357	0,4370	0,4382	0,4394	0,4406	0,4418	0,4429	0,4441
1,6	0,4452	0,4463	0,4474	0,4484	0,4495	0,4505	0,4515	0,4525	0,4535	0,4545
1,7	0,4554	0,4564	0,4573	0,4582	0,4591	0,4599	0,4608	0,4616	0,4625	0,4633
1,8	0,4641	0,4649	0,4656	0,4664	0,4671	0,4678	0,4686	0,4693	0,4699	0,4706
1,9	0,4713	0,4719	0,4726	0,4732	0,4738	0,4744	0,4750	0,4756	0,4761	0,4767
2,0	0,4772	0,4778	0,4783	0,4788	0,4793	0,4798	0,4803	0,4808	0,4812	0,4817
2,1	0,4821	0,4826	0,4830	0,4834	0,4838	0,4842	0,4846	0,4850	0,4854	0,4857
2,2	0,4861	0,4864	0,4868	0,4871	0,4875	0,4878	0,4881	0,4884	0,4887	0,4890
2,3	0,4893	0,4896	0,4898	0,4901	0,4904	0,4906	0,4909	0,4911	0,4913	0,4916
2,4	0,4918	0,4920	0,4922	0'4925	0,4927	0,4929	0,4931	0,4932	0,4934	0,4936
2,5	0,4938	0,4940.	0,4941	0,4943	0,4945	0,4946	0,4948	0,4949	0,4951	0,4952
2,6	0,4953	0,4955	0,4956	0,4957	0,4959	0,4960	0,4961	0,4962	0,4963	0,4964
2,7	0,4965	0,4966	0,4967	0,4968	0,4969	0,4970	0,4971	0,4972	0,4973	0,4974
2,8	0,4974	0,4975	0,4976	0,4977	0,4977	0,4978	0,4979	0,4979	0,4980	0,4981
2,9	0,4981	0,4982	0,4982	0,4983	0,4984	0,4984	0,4985	0,4985	0,4986	0,4986
3,0	0,4986	0,4987	0,4987	0,4988	0,4988	0,4989	0,4989	0,4989	0,4990	0,4990
Второй способ решения

Перепишем исходные данные в виде:

Работа	Оптимисти- ческое время	Нормальное время	Пессимистическое время	Предшествующие работы
А	4	5	12	-
В	1	1,5	5	-
С	2	3	4	А
D	3	4	11	А
Е	2	3	4	А
F	1,5	2	2,5	С
G	1.5	3	4,5	D
Н	2,5	3,5	7,5	В, Е
1	1,5	2.	2,5	Н
J	1	2	3	F, G, /

Проведя расчеты, получаем следующие результаты:

Project	17						
Работа	Время выполнения	ES	EF	LS	LF	R	О'
							1,649916
А	6	0	6	0	6	0	1,333333
В	2	0	2	7	9	7	0,6666667
С	3	6	9	10	13	4	0,3333333
D	5	6	11	7	12	1	1,333333
Е	3	6	9	6	9	0	0,3333333
F	2	9	11	13	15	4	0,1666667
G	3	11	14	12	15	1	0,5
Н	4	9	13	9	13	0	0,8333333
1	2	13	15	13	15	0	0,1666667
J	2	15	17	15	17	0	0,3333333

Последний столбец таблицы содержит значения стандартных
ошибок времени выполнения проекта (первое значение а(Т) =
= 1,6499) и всех работ проекта.

Также как в первом способе, находим значение z для нор-
мального распределения при Т() = 20:

г Т0-Е(Т)	20-17

о(Г) 1,65	’ ‘
Используя таблицу нормального распределения, находим
вероятность того, что время Т выполнения проекта находится
в интервале Е(Т)<Т< Го На пересечении столбца «1,6» и строки
«0,02» таблицы нормального распределения находим значение
0,4656.

Следовательно, искомая вероятность того, что проект будет
выполнен за 20 недель при ожидаемом времени его выполнения
17 недель, равна 0,5 + 0,4656 = 0,9656.

Критический путь составляют работы А, Е, Н, I, J.

Ответы на вопросы примера

Ответ на вопрос 1

Ожидаемое время выполнения проекта составляет 17 недель.

Ответ на вопрос 2

Вероятность выполнения проекта за 20 недель равна 0,9656.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вопрос 1

Метод PERT разработан для'.

1)	описания проектов, путем указания всех работ, предше-
ствующих данной работе;

2)	описания проектов, путем представления каждой работы
в виде пары узлов сети;

3)	минимизации издержек на сокращение продолжительно-
сти проекта;

4)	нахождения критического пути для проектов с заданным
временем выполнения каждой работы;

5)	нахождения критического пути для проектов с неопреде-
ленным временем выполнения работ.

Вопрос 2

В сетевом графике с неопределенным временем выполнения
работ пессимистическое время выполнения работы А рав-
но 12, оптимистическое время 6. Ожидаемое время выпол-
нения работы равно 10.

Чему равно наиболее вероятное время t выполнения ра-
боты А‘>
Возможные ответы'.

1)	t= 6; 2) / = 10; 3) t= 10,5; 4) t= 12; 5) t= 12,5.

Вопрос 3

В сетевом графике с неопределенным временем выполнения
работ пессимистическое время выполнения работы А рав-
но 8, оптимистическое время 2. Величина запаса времени
(полный резерв времени) работы А оказалась равной 3. Наи-
более раннее время ее начала 2, а наиболее позднее время
окончания 8.

Чему равно наиболее вероятное время t выполнения ра-
боты А?

Возможные ответы:

1) / = 2; 2) / = 4; 3) / = 5; 4) / = 6; 5) / = 8.

Вопрос 4

В сетевом графике с неопределенным временем выполнения
работ пессимистическое время выполнения работы А рав-
но 16, оптимистическое время 4.

Чему равна дисперсия (вариация) времени выполнения
работы А?

Возможные ответы:

1) о2(Л) = I; 2) <т2(Л) = 2; 3) <т2(Л) = 4; 4) <т2(Л) = 12;

5) <т2(Л) = 16.

Вопрос 5

Ожидаемое время выполнения проекта равно 14 неделям.
Дисперсия времени выполнения проекта равна 4. Проекти-
ровщиков интересует вероятность, с которой проект может
быть завершен за 16 недель.

Определите соответствующее пороговое значение z слу-
чайной величины, имеющей стандартной нормальное рас-
пределение.

Возможные ответы:

1) z = 5; 2) z = 1: 3) z= 2; 4) z = A\ 5) z = 16.
ЗАДАЧИ

Задача 1

Рассмотрите следующий проект (оценки времени выполне-
ния работ указаны в неделях).

Работа	Непосредственно предшествующая работа	Опти- мисти- ческое время (а,)	Наиболее вероят- ное время (т,)	Песси- мисти- ческое время (Ь,)
А	-	4	5	6
В	-	2,5	3	3,5
С	А	6	7	8
D	А	5	5,5	9
Е	В	5	7	9
F	D, Е	2	3	4
G	D, Е	8	10	12
Н	С, F	6	7	14

Ответьте на следующие вопросы.

1.	Какова ожидаемая продолжительность проекта?

2.	Какова вероятность того, что проект будет завершен за
21 неделю?

3.	Какова вероятность того, что проект будет завершен за
25 недель?

Задача 2

Деканат экономического факультета РУДН предполагает
провести летние курсы переподготовки преподавателей эконо-
мической теории в одном из загородных домов отдыха. Для под-
готовки курсов необходимо выполнить следующие работы (оценки
времени указаны в неделях).

Работа	Содержание работы	Непосред- ственно предшест- вующая работа	Опти- мисти- ческое время (а,)	Наиболее вероят- ное время (т,)	Песси- мисти- ческое время (Ь<)
1	2	3	4	5	6
А	Определить темы занятий	-	1,5	2	2,5
В	Договориться с лекторами	А	2	2,5	6
1	2	3	4	5	б
с	Определить возможные места проведения курсов	-	1	2	3
D	Выбрать место проведения курсов	с	1,5	2	2,5
Е	Разработать график работы лекторов	в, D	0,5	1	1,5
F	Получить оконча- тельное согласие лекторов	Е	1	2	3
G	Подготовить и разо- слать приглашения	В, D	3	3,5	7
Н	Зарезервировать места для участников	G	3	4	5
1	Выполнить последние приготовления	F, Н	1,5	2	2,5

Ответьте на следующие вопросы:

1.	Каково ожидаемое время завершения проекта?

2.	Сколько работ на критическом пути?

3.	Если деканат хочет добиться того, что к заезду препода-
вателей все подготовительные мероприятия будут выпол-
нены с вероятностью 0,975, то в какие сроки следует ожи-
дать их завершение?

Задача 3

Менеджер плавательного бассейна РУДН разрабатывает план
подготовки к первой тренировке команды пловцов. Трени-
ровку предполагается провести 1 сентября. Данные о подго-
товительных мероприятиях приведены в таблице.

Работа	Содержание работы	Непосред- ственно предшест- вующая работа	Опти- мисти- ческое время (а,)	Наиболее вероят- ное время (т,)	Песси- мисти- ческое время (ь,)
1	2	3	4	5	б
А	Согласовать вопрос с зав. кафедрой физи- ческого воспитания	-	1	1	2
1	2	3	4	5	б
в	Нанять тренеров	А	4	6	8
с	Зарезервировать пла- вательный бассейн	А	2	4	6
D	Объявить программу тренировки	В, С	1	2	3
Е	Встретиться с трене- рами	В	2	3	4
F	Заказать костюмы для пловцов	А	1	2	3
G	Зарегистрировать пловцов	D	1	2	3
Н	Собрать взносы	G	1	2	4
1	Подготовить план проведения первой тренировки	Е, Н, F	1	1	1

Ответьте на следующие вопросы.

1.	Какова ожидаемая продолжительность проекта?

2.	Сколько работ на критическом пути?

3.	Если менеджер планирует начать проект 11 августа, то
какова вероятность того, что программа тренировки плов-
цов будет завершена к 1 сентября за 16 рабочих дней?

ОТВЕТЫ

Ответы на контрольные вопросы

1 - 5, 2 - 3, 3 - 1,4 - 3, 5 - 1.

Ответы на вопросы задач

1) 22 недели.

2)0,2611.

3)0,9726.

1)15 недель.

2)5.

3) За 17,02 недели.

1) 14,33 дня.

2)6.

3)0,9573.

Задача 1

Задача 2

Задача 3
Глава 9

АНАЛИЗ ЗАТРАТ НА РЕАЛИЗАЦИЮ
ПРОЕКТА

ЦЕЛИ

Предположим, что ожидаемое время выполнения проекта нас
не устраивает, и мы хотели бы его уменьшить. Сокращение вре-
мени выполнения проекта, как правило, связано с использова-
нием дополнительных ресурсов, таких, как увеличение количе-
ства рабочих или работа во внеурочное время. Следовательно,
сокращение срока выполнения проекта приводит к увеличению
затрат на его реализацию. В результате требуется искать ком-
промисс между сокращением времени выполнения той или иной
работы и экономией дополнительных затрат на проект. Для рас-
чета минимальных затрат, необходимых для сокращения времени
реализации проекта, может быть использована модель линейного
программирования.

Для планирования затрат, составления графика расходова-
ния средств и осуществления контроля за этим расходованием
может быть использован метод анализа затрат PERT/COST.
Конечная цель применения метода PERT/COSTсостоит в том,
чтобы затраты на реализуемый проект соответствовали приня-
той смете. Составление сметы расходов на реализацию проекта
обычно предполагает выявление всех затрат на проект, а затем
распределение этих затрат во времени. На этапах выполнения
проекта фактические затраты могут быть сравнены с планируе-
мыми или сметными. Если фактические затраты превышают пла-
нируемые, то могут быть предприняты необходимые действия,
направленные на то, чтобы привести фактическую сумму за-
трат на проект в соответствие с планом.
Применение метода минимизации затрат и метода PERT/COST
позволяет получить ответы на следующие вопросы.

1.	При каких минимальных затратах можно уменьшить время
выполнения проекта до заданной величины?

2.	На сколько следует сократить продолжительность време-
ни выполнения каждой работы проекта?

3.	Соответствуют ли фактические затраты на выполнение
проекта сметным затратам?

4.	Соответствуют ли фактические затраты запланированно-
му сроку реализации проекта?

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой
главе, вы будете уметь определять и использовать для экономи-
ческого анализа:

•	затраты на выполнение работы в условиях нормального ее
выполнения;

•	затраты на выполнение работы в условиях максимального
сокращения ее продолжительности;

•	нормальную продолжительность работы;

•	продолжительность работы при максимально возможном ее
сокращении;

•	сокращение времени выполнения работы;

•	сокращение времени выполнения проекта;

•	затраты на сокращение времени выполнения проекта.

МОДЕЛИ

Минимизация затрат, необходимых для сокращения
времени реализации проекта

Пусть:

(/’, у) — работа проекта в соответствии с определениями, дан-
ными в главе 7 «Анализ проектов. Метод СРМ»',

Xjj — нормальная'продолжительность работы (/, j) (про-
должительность работы при детерминированном под-
ходе — метод СРМ, или ожидаемое время выполне-
ния работы при стохастическом подходе — метод
PERT);

x'ij — продолжительность работы (/, У) при максимально воз-
можном ее сокращении;

М —величина максимально возможного сокращения про-
должительности работы (/, У) за счет дополнительных
ресурсов; М =
Cjj — расчетные затраты на выполнение работы (/, J) в ус-
ловиях нормального или ожидаемого времени;

С-j —расчетные затраты на выполнение работы (/, у) в усло-
виях максимального сокращения ее продолжительно-
сти за счет дополнительных ресурсов;

K,j — удельные затраты на сокращение продолжительности
работы (/, у) (на единицу времени);

С - С

Му

Введем предположение о пропорциональности: любая допол-
нительная доля сокращаемого времени на выполнение работы
потребует постоянной (неизменной во времени) доли дополни-
тельных затрат. При таком предположении для решения про-
блемы минимизации затрат на сокращение времени реализации
проекта можно использовать модель линейного программиро-
вания.

Для формулировки модели дополнительно введем следующие
обозначения:

х,- —время наступления события / (событие-узел отражает
факт завершения всех работ, входящих в данный узел);

у,У —величина сокращения времени работы (/, у);

То —желательное время выполнения проекта;

/ = 1 — номер начального события для сети, описывающей
проект;

i = п — номер конечного события для сети, описывающей
проект.

При данных обозначениях модель линейного программиро-
вания имеет вид:

^КуУу^тш;	(1)

v

> X,. +	Ту	- Уу-;	(2)

y,j	< Му',	(3)

Л>;	(4)

х,	> 0,	Уу	>	0;	(5)

/, у = 1, ..., л, / * у.

Если m — число работ, п — число событий, то описанная мо-
дель имеет п + m переменных, m ограничений вида (2), m огра-
ничений вида (3), п + т ограничений вида (5) и одно ограниче-
ние вида (4). Итого п + т переменных и 3/и + п + 1 ограниче-
ния.

Если {.х*, оптимальный план, полученный для модели
(1)—(5), то yj — время, на которое следует сократить продолжи-
тельность выполнения работы (/', у); ^КдУу — минимальная

_	и

сумма издержек, необходимая для сокращения времени выпол-
нения проекта до Тп.

Метод анализа затрат PERT/ COST

Метод основан на построении области допустимых затрат, при
которых проект может быть реализован за определенное время.
В результате применения метода СРМ или метода PERT можно
рассчитать наиболее раннее и наиболее позднее время начала
каждой работы. Далее строятся два графика: график совокупных
затрат при наиболее раннем времени начала работ и график со-
вокупных затрат при наиболее позднем времени начала работ.
Если фактические затраты на выполнение проекта будут нахо-
диться внутри области, очерченной этими графиками, то про-
ект может быть выполнен за время, соответствующее длине кри-
тического пути. Если фактические затраты окажутся за преде-
лами очерченной области, то продолжительность проекта
увеличится.

ПРИМЕРЫ

Пример 1. Минимизация затрат на сокращение времени
реализации проекта

Проект пуско-наладки компьютерной системы состоит из
восьми работ. В следующей таблице указана взаимосвязь ра-
бот, нормальное время их выполнения и данные, характери-
зующие возможность сокращения продолжительности работ.

Работа	Непосредст- венно предшеству- ющие работы	Нормаль- ное время, неделя	Минималь- ное время	Затраты при нор- мальном времени, руб.	Затраты при мини- мальном времени, руб.
1	2	3	4	5	6
А	-	3	1	900	1700
В	-	6	2	2000	4000
1	2	3	4	5	6
с	А	2	1	500	1000
D	В, С	5	3	1800	2400
Е	D	4	3	1500	1850
F	Е	3	1	3000	3900
G	В, С	9	4	8000	9800
Н	F, G	3	2	1000	2000

Определите минимальную продолжительность проекта при
нормальном времени выполнения работ. Можно ли умень-
шить продолжительность проекта при дополнительных за-
тратах?

Ответьте на следующие вопросы.

1.	Какова продолжительность проекта при нормальном вре-
мени выполнения работ?

2.	Сколько работ в этом случае являются критическими?

3.	Каковы затраты на выполнение проекта при нормальном
времени выполнения работ?

4.	С какими минимальными дополнительными затратами
можно выполнить этот проект за 16 недель?

Решение

Найдем критический путь при нормальном времени выпол-
нения работ. Используем для этого метод СРМ. Вводим в про-
грамму «РОМ WIN» исходную информацию, описывающую проект
в виде последовательности работ.

Работа	Время выполнения	Предшествующие работы
А	3	-
В	6	
С	2	А
D	5	В, С
Е	4	D
F	3	Е
G	9	в, С
Н	3	F, G

Выполнив расчеты, получаем следующие результаты.
Project	21					
Работа	Время выпопнения	ES	ЕР	LS	LF	R
А	3	0	3	1	4	1
В	6	0	6	0	6	0
С	2	3	5	4	6	1
D	5	6	11	6	11	0
Е	4	11	15	11	15	0
F	3	15	18	15	18	0
G	9	6	15	9	18	3
Н	3	18	21	18	21	0

Отсюда видно, что при нормальной продолжительности ра-
бот длина критического пути составляет 21 неделю. На крити-
ческом пути находятся работы В, D, Е, F, Н. Для того чтобы
определить затраты на выполнение проекта при нормальном
времени выполнения работ, достаточно просуммировать затра-
ты, указанные в пятом столбце таблицы исходных данных.
В результате получаем, что затраты равны 18 700 руб.

Для определения минимальных дополнительных издержек,
необходимых для снижения продолжительности проекта до 16 не-
дель, построим модель линейного программирования. Для это-
го на основании исходных данных нарисуем граф проекта.

Теперь мы можем определить удельные затраты /Q, на сокра-
щение продолжительности работ. Получаем следующие резуль-
таты .
Работа	Нормаль- ное время, недели	Мини- мальное время	Затраты при нормальном времени, руб.	Затраты при минимальном времени, руб.	Удельные затраты, руб./недели
А	3	1	900	1700	400
В	6	2	2000	4000	500
С	2	1	500	1000	500
D	5	3	1800	2400	300
Е	4	3	1500	1850	350
F	3	1	3000	3900	450
G	9	4	8000	9800	360
Н	3	2	1000	2000	1000

Обозначим: х,- — время наступления события i (событие-узел
отражает факт завершения всех работ, входящих в данный узел);
Уд — величина сокращение времени работы (/, j). Тогда модель
линейного программирования для определения минимальных из-
держек, необходимых для сокращения продолжительности про-
екта с 21 недель до 16 недель, имеет вид:

400у|2 + 500у|3 + 500у23 + 300у34 + 350у45 + 450у% +

+ 360у36 + 1000j£7 -> min;

х2 > %| + 3 - у|2,
%4 > х3 + 5 - у34,
х6 > х3 + 9 - у36,

Х3 > X, + 6 - У|3,
х5 > х4 + 4 - у45,
х7 - %б+ з - Тб?;

х3 > х2 + 2 - у23;

хь - х5 + з - у5&;

Т12 - 2, Т1з - 4,	Тгз -

Тз4 2, у45 < 1,	у36 < 2;

Тб7 - 5,	J7|2 < 1;

х7 <16;

xi ^0, уд > 0;

i, j = 1, п, i * j.

Для решения этой задачи линейного программирования ис-
пользуем программу «POMWIN». Запишем модель в формате про-
граммы «POMW1N».
	*1	хг	*3	х4	*5	Хб	X?	У12	У13	У23	У34	У45	У56	Узе	Уб7	RHS	
Min	0	0	0	0	0	0	0	400	500	500	300	350	450	360	100		
С,	-1	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	>-	3
Сг	-1	0	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	>=	6
Сз	0	-1	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	>=	2
С4	0	0	-1	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	>=	5
с5	0	0	0	-1	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	>=	4
с6	0	0	0	0	-1	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	>=	3
с7	0	0	-1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	1	0	>-	9
с8	0	0	0	0	0	-1	1	0	0	0	0	0	0	0	1	>=	3
Сд	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	<=	2
Сю	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	<=	4
С,1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	<=	1
Сю	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	<=	2
Сю	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	<=	1
С14	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	<=	2
С15	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	<-	5
Сю	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	<=	1
Cv	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	<=	16

Выполнив расчеты, получаем следующие результаты.

Project	2260				
Variable	Value	Reduced Cost	Original Value	Lower Bound	Upper Bound
Xi	0	810	0	810	Infinity
х2	3	0	0	-310	90
х3	5	0	0	-310	90
х4	8	0	0	-150	90
х5	11	0	0	-100	90
Хб	13	0	0	-190	810
Ху	16	0 '	0	-Infinity	810
У12	0	90	400	310	Infinity
Учз	1	0	500	410	810
Угз	0	190	500	310	Infinity
У34	2	0	300	-Infinity	450
У45	1	0	350	 -Infinity	450
У56	1	0	450	350	540
Узе	1	0	360	50	450
Уб?	0	190	1000	810	Infinity
Итак, минимальные затраты, необходимые для сокращения
продолжительности проекта с 21 недель до 16 недель, составля-
ют 2260 руб. Продолжительность каждой из работ (1, 3), (4, 5),
(5, 6) и (3, 6) сокращается на 1 неделю. Продолжительность
работы (3, 4) сокращается на 2 единицы.

Ответы на вопросы примера

Ответ на вопрос 1

Продолжительность проекта при нормальном времени вы-
полнения работ равна 21 неделе.

Ответ на вопрос 2

Критическими являются 5 работ.

Ответ на вопрос 3

При нормальном времени выполнения работ затраты на
выполнение проекта составляют 18 700 руб.

Ответ на вопрос 4

За 16 недель проект может быть реализован с дополнитель-
ными затратами 2260 руб.

Пример 2. Контроль затрат на выполнение проекта

Перечень работ проекта, время их выполнения и оценки за-
трат на выполнение работ отражены в следующей таблице.

Работа	Ожидаемое время выполнения, месяц	Непосредственно предшествующие работы	Сметные затраты, тыс. руб.	Удельные затраты, тыс. руб. в месяц
А	2	-	10	5
В	3	-	30	10
С	1	А	3	3
D	3	В	6	2
Е	2	В	20	10
F .	2	С, D	10	5
G	1	Е	8	8

Удельные затраты определены в предположении о том, что
они производятся равномерно в течение срока выполнения
работы.

Требуется определить, в каком диапазоне могут менять-
ся фактические затраты на выполнение проекта при условии,
что проект будет выполнен за минимальное время.
Ответьте на следующие вопросы:

1.	За какое минимальное время может быть выполнен про-
ект?

2.	При каком максимальном значении совокупных затрат,
сделанных за первые 3 месяца реализации проекта, про-
ект может быть выполнен за минимальное время?

3.	При каком минимальном значении совокупных затрат,
сделанных за первые 3 недели реализации проекта, про-
ект может быть выполнен за минимальное время?

4.	При каком максимальном значении совокупных затрат,
сделанных за 6 месяцев реализации проекта, проект мо-
жет быть выполнен за минимальное время?

5.	При каком минимальном значении совокупных затрат,
сделанных за 6 месяцев реализации проекта, проект мо-
жет быть выполнен за минимальное время?

Решение

Определим минимальное время выполнения проекта. Най-
дем критический путь, воспользовавшись методом СРМ. Для этого
используем программу «P0MW1N». Вводим в программу инфор-
мацию о предшествующих работах и времени их выполнения.

Работа	Время выполнения	Предшествующие работы
А	2	-
В	3	-
С	1	А
D	3	В
Е	2	В
F	2	С, D
G	1	Е

Результаты расчетов представлены в следующей таблице:

Project	8					
Работа	Время выполнения	ES	EF	LS	LF	R
А	2	0	2	3	5	3
В	3	0	3	0	3	0
С	1	2	3	5	6	3
D	3	3	6	3	6	0
Е	2	3	5	5	7	2
F	2	6	8	6	8	0
G	1	5	6	7	8	2
Ожидаемое время выполнения проекта равно 8 месяцам.

Определим динамику совокупных затрат для графика выпол-
нения проекта с наиболее ранним началом всех работ.

Месяц  Работа	1	2	3	4	5	6	7	8
А	5	5						
В	10	10	10					
С			3					
D				2	2	2		
Е				10	10			
F							5	5
G						8		
Затраты в месяц	15	15	13	12	12	10	5	5
Затраты общие	15	30	43	55	67	77	82	87

Определим динамику совокупных затрат для графика выпол-
нения проекта с наиболее поздним началом всех работ.

Месяц  Работа	1	2	3	4	5	6	7	8
А				5	5			
В	10	10	10					
С						3		
D				2	2	2		
Е						10	10	
F							5	5
G								8
Затраты в месяц	10	10	10	7	7	15	15	13
Затраты общие	10	20	30	37	44	59	74	87

На рис. 9.1 показано два графика. Выше проходит график
совокупных затрат при наиболее раннем времени начала работ.
Ниже — график совокупных затрат при наиболее позднем вре-
мени начала работ. Если фактические затраты на выполнение
проекта будут находиться внутри очерченной области, то про-
ект может быть выполнен за 8 недель. Если фактические затра-
ты окажутся за пределами очерченной области, то продолжитель-
ность проекта увеличится.

Таким образом, менеджер может контролировать фактиче-
ские затраты по проекту. Если сметные затраты не выполнены
или допущен перерасход, необходимо осуществлять корректи-
руюшие воздействия, сдвигая время начала выполнения отдель-
ных работ и/или сокращая их продолжительность путем привле-
чения дополнительных ресурсов.

Ответы на вопросы примера

Ответ на вопрос 1

Минимальное время выполнения проекта равно 8 месяцам.

Ответ на вопрос 2

Максимальное значение совокупных затрат, сделанных за
первые 3 месяца реализации проекта, при котором проект мо-
жет быть выполнен за 8 месяцев, равно 43 тыс. руб.

Ответ на вопрос 3

Минимальное значение совокупных затрат, сделанных за
первые 3 месяца реализации проекта, при котором проект мо-
жет быть выполнен за 8 месяцев, равно 43 тыс. руб.

Ответ на вопрос 4

Максимальное значение совокупных затрат, сделанных за
первые 6 месяцев реализации проекта, при котором проект
может быть выполнен за 8 месяцев, равно 77 тыс. руб.

Ответ на вопрос 5

Минимальное значение совокупных затрат, сделанных за
первые 3 месяца реализации проекта, при котором проект мо-
жет быть выполнен за 8 месяцев, равно 59 тыс. руб.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вопрос 1

Для определения минимальных затрат, необходимых для выпол-
нения проекта за фиксированное время, следует использовать:
1) метод СРМ:

2)	метод PERT:

3)	модель линейного программирования;

4)	модель транспортного типа;

5)	все вышеперечисленное.

Вопрос 2

Пусть в графе, описывающем проект, т работ и п событий
число переменных в модели линейного программирования для
определения минимальных затрат, необходимых для выполне-
ния проекта за фиксированное время, равно:

1)	т:

2)	п:

3)	т + п:

4)	т - п:

5)	т х п.

Вопрос 3

Пусть:

(/', у) — работа проекта;

—нормальное время выполнения работы (/, У);

Су —минимально возможное время выполнения работы;

Су —затраты на выполнение работы (/, У) при нормальном
времени;

Су —затраты на выполнение работы (/, У) при минимальном
времени.

Тогда величина удельных затрат Ку на сокращение продолжи-
тельности работы (/, у) определяется по формуле:

Су - Су

1) К = -----,J-:

С - с

3)	K =

С; - Т,7

т
С -С

4)	К =

т(/ -4

с, _ Q

5)	К =

Ti/ - т</

С - С

6)	к = ЬЕ-Ье

Вопрос 4

Какое из указанных далее соотношений является верным?
Возможные ответы.

1.	Совокупные затраты при наиболее позднем времени на-
чала работ превышают совокупные затраты при наиболее
раннем времени начала работ.

2.	Совокупные затраты при наиболее раннем времени начала
работ превышают совокупные затраты при наиболее по-
зднем времени начала работ.

3.	Совокупные затраты при наиболее раннем времени начала
работ равны совокупным затратам при наиболее позднем
времени начала работ.

4.	Совокупные затраты при наиболее раннем времени начала
работ превышают совокупные затраты при наиболее по-
зднем времени начала работ на величину сметной стоимо-
сти проекта.

5.	Совокупные затраты при наиболее раннем времени начала
работ и совокупные затраты при наиболее позднем времени
начала работ постоянны.

Вопрос 5

Для осуществления контроля за расходованием средств на вы-
полнение проекта используется:

1)	метод СРМ\

2)	метод PERE,

3)	модель линейного программирования;

4)	все вышеперечисленное;

5)	метод PERT/COST.

ЗАДАЧИ

Задача 1

В следующей таблице представлена информация о продол-
жительности работ проекта и затратах на их выполнение.
Работа	Предшест- вующая работа	Нормаль- ное время выполнения, месяц	Минималь- ное время выполнения, месяц	Затраты при нор- мальном времени, тыс. руб.	Затраты при мини- мальном времени, тыс. руб.
А	-	4	2	50	70
В	-	6	3	40	55
С	А	2	1	20	24
D •	А	6	4	100	130
Е	С, В	3	2	50	60
F	С, В	3	3	25	25
G	D, Е	5	3	60	76

Найдите критический путь и продолжительность проек-
та при нормальном времени выполнения работ. Можно ли
выполнить проект за год? Можно ли выполнить проект за
10 месяцев?

Ответьте на следующие вопросы:

1.	Какова продолжительность проекта (мес.) при нормаль-
ном времени выполнения работ?

2.	Каковы затраты на выполнение проекта (тыс. руб.) при
нормальном времени выполнения работ?

3.	Каковы минимальные затраты (тыс. руб.) на выполнение
проекта за один год?

4.	За какое минимальное время может быть выполнен проект?

Задача 2

Отдел «ЭВМ» экономического факультета РУДН разработал
предложения по внедрению новой компьютерной системы для
нужд администрации факультета. В предложения включен
перечень работ, которые необходимо выполнить, чтобы ввести
систему в действие. Соответствующая информация представле-
на в следующей таблице. Время в неделях, затраты — в тыс. руб.

Ра- бота	Содержание работы	Пред- шест- вующая работа	Нормаль- ное вре- мя выпол- нения, неделя	Мини- мальное время вы- полнения, неделя	Затраты при нор- мальном времени, тыс. руб.	Затраты при мини- мальном времени, тыс. руб.
1	2	3	4	5	6	7
А	Определить потребности	-	10	8	30	70
В	’Заказать оборудование	А	8	6	120	150
1	2	3	4	5	б	7
с	Установить оборудование	в	10	7	100	160
D	Создать компьютер- ный класс	А	7	6	40	50
Е	Провести курс обучения	D	10	8	50	74
F	Опробовать систему	С, Е	3	3	60	60

Ответьте на следующие вопросы:

1.	Какова продолжительность проекта (в неделях) при нор-
мальном времени выполнения работ?

2.	Каковы затраты на выполнение проекта (тыс. руб.) при
нормальном времени выполнения работ?

3.	Каковы минимальные затраты (тыс. руб.) на выполнение
проекта за 24 недели?

4.	За какое минимальное время может быть выполнен проект?

Задача 3

Ниже представлена сеть, отражающая проект реконструкции
склада, в также данные о времени (в неделях) и затратах
(в тыс. руб.).

Работа	Предшествующая работа	Время выполнения работы	Затраты на выполнение работы
А	-	1	6
В	А	2	4
С	-	3	15
D	с	3	18
Е	в, D	2	30
F	С	2	20
G	Е, F	1	2
Н	Е, F	3	6
1	G	2	12
J	G	1	2
К	Н, 1	3	9

Определите критический путь для данного проекта, наи-
более раннее и наиболее позднее время начала каждой рабо-
ты. Определите динамику роста общих затрат на проект,
основанную на данных о наиболее раннем и наиболее позднем
времени начала работ. Используйте полученные оценки смет-
ных расходов для контроля за фактическим расходованием
средств. Установите, были ли перерасходованы или сэконом-
лены средства в указанные моменты времени:

а)	в конце 4-й недели фактические затраты составили 35 тыс.
руб.;

б)	в конце 8-й недели фактические затраты составили 90 тыс.
руб.

Предположим, что финансирование всех работ осуществ-
ляется пропорционально времени их выполнения.

Ответьте на следующие вопросы.

1.	За какое минимальное время может быть выполнен проект?

2.	Чему равно максимальное значение совокупных затрат
на конец 4-й недели, при котором проект может быть вы-
полнен за время, соответствующее длине критического
пути?

3.	Чему равно минимальное значение совокупных затрат
на конец 4-й недели, при котором проект может быть вы-
полнен за время, соответствующее длине критического
пути?

4.	Какова величина недостатка или перерасхода средств в
конце 4-й недели?

5.	Какова величина недостатка средств в конце 8-й не-
дели?

СИТУАЦИИ

Ситуация 1. Компания «Космо»

В рамках подготовки старта космического корабля по про-
грамме совместных исследований с Национальным бюро
аэронавтики (НБА) США, российская компания «Космо»
готовит к подписанию проект модернизации ракетного стар-
тового комплекса на космодроме Байконур. Этот контракт
предусматривает строительство Центрального здания теле-
управления (ЦЗТ). Финансирует проект американская сто-
рона.

Первоначальный граф проекта строительства ЦЗТ вы-
глядит следующим образом (на схеме работы, лежащие на кри-
тическом пути, отмечены жирной линией):
Руководитель проекта, менеджер компании «Космо» Вла-
димир Алексеев определил время выполнения и сметные
затраты для каждой работы проекта. Оказалось, что крити-
ческий путь для данного проекта составляют работы A, D
и G. При нормальном времени выполнения всех работ про-
ект может быть реализован за 12 недель. Сметная стоимость
проекта в этом случае составляет 61 тыс. долл.

Работа	Нормальное время выполнения работы	Затраты при нормальном времени выполнения работы
А	3	5
В	6	14
С	2	2,5
D	5	10
Е	 2	8
F	7	11,5
G	4	10
Итого:		61

Заказчика не устраивает срок работ, предлагаемый компа-
нией «Космо». Все работы необходимо завершить за 9 недель.
При этом бюджет проекта не должен превысить 80 тыс. долл.
Проведя дополнительные расчеты, Владимир Алексеев оце-
нил минимальное время на выполнение каждой работы и
затраты на выполнение работы при минимальном времени
выполнения. Результаты его расчетов приведены в таблице.

Затраты на проект строительства ЦЗТ, тыс. долл.

Работа	Нормаль- ное время выполнения работы	Минималь- ное время выполнения работы	Затраты	
			при нормальном времени выполнения	при минимальном времени выполнения
А	3	2	5	10
В	6	4	14	26
С	2	1	2,5	5
D	5	3	10	18
Е	2	2	8	8
F	7	5	11,5	17,5
G	4	2	10	24
Итого:			61	108,5

Используйте метод PERT/COST для анализа продолжи-
тельности проекта и затрат на его реализацию.

Вопросы для обсуждения:

1.	Можно ли выполнить проект за 9 недель?

2.	Если «да», то с какими минимальными затратами?

3.	Сколько критических путей будет в этом случае и какие
работы будут критическими?

4.	Можно ли выполнить проект за 7 недель?

5.	Если «да», то с какими минимальными затратами?

Ситуация 2. Строительная компания «КАМЕЛОТ»

Строительная компания «КАМЕЛОТ» активно занимается
подготовкой нового проекта строительства фабрики для кор-
порации «СУП РЕМ». Пару лет назад президенту корпорации
«СУПРЕМ» Эрику Клячкину понравился предварительный
план проектирования и строительства фабрики, подготовлен-
ный президентом «КАМЕЛОТ» Казимиром Хвостовым, и он
решил отдать предпочтение его строительной компании.

Хвостов поручил начальнику проектного отдела Дмитрию
Виноградову провести сетевой анализ работ в рамках проекта
с учетом предполагаемых издержек. Виноградов дал указание
своим сотрудникам разделить проект строительства фабри-
ки на отдельные работы и установить их взаимосвязь. Для
каждой работы следовало определить нормальное время ее
выполнения и затраты, соответствующие этому времени.
Требовалось также оценить кратчайшее время выполнения
работы и соответствующие этому времени затраты. Резуль-
таты, представленные сотрудниками отдела, приведены в
таблице.

Ра- бота	Содержание работы	Нормаль- ное время, недели	Нормаль- ные затраты, тыс. долл.	Крат- чайшее время, недели	Макси- мальные затраты, тыс. долл.
А	Проектирование фабрики	12	125 000	10	141 000
В	Подготовка специфика- ции машин и оборудо- вания для строитель- ных работ	8	56 000	8	56 000
С	Организация бригады строителей	5	12 000	2	15 000
D	Закупка стандартных фрагментов заводских конструкций	13	180 000	10	210 000
Е	Подготовка места для строительства здания фабрики	4	37 000	4	37 000
F	Закупка фабричного оборудования	10	62 000	8	70 000
G	Строительство фундамента фабрики	6	18 000	4	19 000
Н	Подготовка зоны парковки	10	80 000	6	180 000
1	Возведение здания фабрики	18	450 000	13	585 000
J	Проведение испытания всех систем	3	20 000	2	35 000
К	Уборка и передача фабрики корпорации «СУПРЕМ»	4	8000	4	8000

Взаимосвязь работ выглядит следующим образом. Началь-
ная работа (/1) — спроектировать фабрику. После выполне-
ния проектных изысканий следует (В) — подготовить специ-
фикацию машин и оборудования для строительных работ,
(С) — организовать бригаду строителей и (Z)) — закупить стан-
дартные фрагменты заводских конструкций. После заверше-
ния работ (В) и (С) строительной бригаде необходимо под-
готовить место для строительства здания фабрики (Е). В то
же время, когда ведется подготовка места для строительства,
можно приступить к работам: (Е) — закупка фабричного обо-
рудования и (G) — строительство фундамента фабрики. После
подготовки места для строительства необходимо подготовить
зону парковки (И). Работу по возведению здания фабрики (/)
можно выполнить после того, как закуплены стандартные
фрагменты заводских конструкций, подготовлено место
для строительства, закуплено фабричное оборудование и по-
строен фундамент фабрики. После завершения строитель-
ства здания фабрики и подготовки зоны парковки компания
«КАМЕЛОТ» (J) — проводит испытания всех систем. Затем
проводится уборка (Е), и фабрика передается корпорации
«СУПРЕМ».

Корпорация «СУПРЕМ» крайне заинтересована в том,
чтобы строительство фабрики было завершено как можно
быстрее. По предложению Эрика Клячкина в контракт вклю-
чен пункт, предусматривающий премию в 25 000 тыс. долл, за
каждую неделю сокращения срока выполнения проекта. В то
же время, контрактом предусмотрен штраф в 25 000 тыс. долл,
за каждую неделю превышения этого срока.

После подписания контракта Хвостов озабочен тем, чтобы
завершить проект как можно раньше. По его указанию рас-
четный отдел провел калькуляцию накладных расходов. Пер-
вый тип накладных расходов — обычные накладные расхо-
ды в размере 22,5% от прямых затрат на выполнение работ.
Второй тип накладных расходов зависит от продолжительно-
сти проекта в целом. Эти накладные расходы увеличиваются
на 1500 тыс. долл, каждую неделю. Например, сокращение
продолжительности проекта на 10 недель означает сокраще-
ние накладных расходов второго типа на 15 000 тыс. долл.

Прибыль строительной компании оценивается в разме-
ре 10% стоимости контракта. В стоимость контракта вклю-
чаются прямые затраты на выполнение работ, премиальные
и штрафные санкции и накладные расходы двух типов.

Выполните следующие задания:

1.	Нарисуйте сетевой график проекта и найдите критический
путь, время на критическом пути и общую стоимость кон-
тракта при нормальной продолжительности работ.

2.	Определите продолжительность выполнения проекта, при
которой прибыль строительной компании оказывается мак-
симальной. Сроки выполнения каких работ следует мак-
симально или частично сократить по сравнению с нормаль-
ными?

3.	Как изменятся ответы на вопросы предыдущего пункта,
если при определении стоимости контракта не будут учи-
тываться накладные расходы второго типа.

4.	За какое минимальное время можно выполнить проект?

ОТВЕТЫ

Ответы на контрольные вопросы

I - 3, 2 - 3, 3 - 1,4 - 2, 5 - 5.

Ответы на задачи

Задача 1

1.	15 месяцев.

2.	345 тыс. руб.

3.	319 тыс. руб.

4.	За 9 месяцев.

Задача 2

1.31 неделя.

2.	400 тыс. руб.

3.	288 тыс. руб.

4.	За 25 недель.

Задача 3

1.	14 недель.

2.	41 тыс. руб.

3.	27 тыс. руб.

4.	Недостатка или-перерасхода средств в конце четвертой
недели нет.

5.	3 тыс. руб.
Глава 10

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР

ЦЕЛИ

В данной главе показаны возможности использования одного
из классов игровых моделей — так называемых стратегических
игр — для решения задач принятия решений преимущественно
экономического характера в условиях неопределенности. Дает-
ся общее описание стратегической игры и ее место в классифи-
кации игр. Подробно рассматриваются класс стратегических игр
двух лиц с нулевой, а также с постоянной ненулевой суммой.
Определяется понятие равновесия в игре в чистых и смешанных
стратегиях. Представлен общий подход к решению игры указан-
ного выше типа — сведение ее к задаче линейного программи-
рования. Описание проводится на примерах принятия решений
в экономической и военной областях.

После того, как вы выполните предлагаемые в этой главе
задания, вы будете уметь строить для определенных ситуаций
принятия экономических решений соответствующую игровую
модель, определяя:

•	игроков;

•	стратегии игроков;

•	матрицу выигрышей;

•	наличие или отсутствие седловых точек в чистых стратегиях;

•	доминирующие стратегии;

•	эквивалентную модель линейного программирования;

•	оптимальные стратегии игроков;

•	цену игры.
МОДЕЛИ

Методы, основывающиеся на теории игр, используются для
принятия решений в условиях неопределенности. Игра — это
математическая модель конфликтной ситуации, которая пред-
полагает наличие следующих компонент:

а)	заинтересованных сторон;

б)	возможных действий каждой стороны;

в)	интересов сторон.

В игре заинтересованные стороны называются игроками,
каждый из которых может предпринимать не менее двух дей-
ствий (если игрок имеет в своем распоряжении только одно дей-
ствие, то он фактически не участвует в игре, поскольку заранее
известно, что он предпримет). Само слово «игра» применяется
для обозначения некоторого набора правил и соглашений, со-
ставляющих данный вид игры, например: футбол, карточная игра,
шахматы. В экономике модель поведения лиц в виде игры воз-
никает, например, при попытке нескольких фирм завоевать
наиболее выгодное место на конкурентном рынке, или, напри-
мер, при желании нескольких лиц (кампаний) разделить неко-
торое количество продукта (ресурса, финансовых средств) меж-
ду собой так, чтобы каждому досталось как можно больше.
Игроками в конфликтных экономических ситуациях, модели-
руемых в виде игры, являются производственные и непроизвод-
ственные фирмы, банки, отдельные люди и другие экономические
агенты. В военных приложениях модель игры используется,
например, для наилучшего выбора средств (из имеющихся или
потенциально возможных) поражения военных целей против-
ника или защиты от его нападения.

Для игр характерна неопределенность результата (исхода).
Причины или источники неопределенности относятся к трем
группам:

•	комбинаторные источники (шахматы);

•	влияние случайных факторов (игра в орлянку, кости, карточ-
ные игры, где расклад является случайным);

•	стратегическое происхождение неопределенности: игрок не
знает, какого образа действий придерживается его против-
ник; здесь неопределенность исходит от другого лица; соот-
ветствующие игры называются стратегическими.

Таким образом, в стратегической игре действия предприни-
мают две или более стороны, в отличие от нестратегической игры,
в которой действия предпринимает одна сторона, а остальные
являются заинтересованными сторонами.
Классификации стратегических игр

Игры различают по:

1)	числу игроков (игра 2-х лиц, игра и лиц [л > 2]);

2)	количеству игроков и их стратегиям (конечные, бесконечные);

3)	количеству информации, имеющейся у игроков относительно
прошлых ходов (игры с полной, игры с неполной инфор-
мацией); шахматы — пример игры с полной информацией;

4)	принципу деления выигрыша (коалиционные, бескоали-
ционные).

Ниже рассматривается модель конечной стратегической игры
с полной информацией, в которой участвуют две стороны, име-
ющие противоположные интересы. Такую игру принято назы-
вать конечной игрой двух лиц с нулевой суммой.

Конечная игра двух лиц с нулевой суммой

В игре двух лиц с нулевой суммой (такую игру называют так-
же антагонистической) принимают участие два игрока: игрок 1
и игрок 2. В распоряжении каждого игрока имеется множество
стратегий. Под стратегией понимают совокупность правил
(принципов), определяющих выбор варианта действий при каж-
дом личном ходе игрока в зависимости от сложившейся ситуа-
ции. Пусть А = {<?), ..., ат} и В = {/>,, ..., Ьп} — множества страте-
гий игрока 1 и 2, соответственно. Множество А содержит т эле-
ментов, множество В — п элементов. Условия игры представлены
так называемой функцией выигрыша игрока 1:	Ьф, где

г?, е А — стратегия i игрока 1, Ь.• е В — стратегия J игрока 2.
В игре с нулевой суммой выигрыш игрока 2 равносилен проиг-
рышу игрока 1 и равен bj). Предполагается, что функция
выигрыша обоим игрокам известна. Поскольку игроков двое и
игра антагонистическая, коалиции невозможны. Игра, в которой
множества стратегий игроков конечны, т.е. |Л|.< оо, |Z?| < х,
называется матричной. В этом случае функция выигрышей иг-
рока 1 имеет вид матрицы, называемой матрицей игры (матри-
ца выигрышей, платежная матрица) Н = {и,}}тп, i = 1, ..., m;
j = 1, ..., п. Строки этой матрицы соответствуют стратегиям
а}, ..., ат игрока 1, столбцы — стратегиям />,, ..., Ьп игрока 2.
Элемент матрицы и^= bj) — это выигрыш игрока 1 в слу-
чае, когда он применит стратегию а,, а его противник — стра-
тегию bj, /=1, ..., m; j = 1.п. Элементы матрицы могут быть

положительными, отрицательными или равными нулю. Случай,
когда элемент матрицы положителен, означает, что игрок 2
в определенной ситуации должен уплатить игроку 1 сумму, рав-
ную значению этого элемента. Если элемент отрицателен,
игрок 1 уплачивает игроку 2 сумму, равную абсолютному зна-
чению этого элемента. И, наконец, если этот элемент равен нулю,
выплаты не производится. Таким образом, в игре двух лиц с
нулевой суммой один игрок выигрывает столько же, сколько
проигрывает другой (все выплаты производятся из «карманов»
противников). Это и объясняет название — игра с нулевой сум-
мой. Игрок 1 стремится к максимальному выигрышу, игрок 2 —
к минимальному проигрышу. Решить игру — значит найти
оптимальные стратегии игроков и их выигрыши.

В игре двух лиц с нулевой суммой, как и в любой другой
стратегической игре, исход зависит от поведения обоих игроков,
которое основывается на так называемых правилах игры. Допу-
стим, что согласно правилам игры, игрок 1 может выбрать про-
извольную строку матрицы и, следовательно, может выбрать одно
из чисел I, ..., т. Аналогично, игрок 2 имеет возможность вы-
бора произвольного столбца матрицы выигрышей и, следователь-
но, одно из чисел 1, ..., п. Исход (результат) игры и, следова-
тельно, сумму, которую игрок 2 должен уплатить игроку 1,
определяет элемент матрицы выигрышей, находящийся на пе-
ресечении строки, выбранной игроком 1, и столбца, выбранного
игроком 2. Существенно, что ни один из партнеров не знает,
какую стратегию применит его противник. Таким образом, имеет
место ситуация полной неопределенности, при которой теория
вероятности не может помочь игрокам в выборе решения.

Рассмотрим процесс принятия решений обеими сторонами,
предполагая, что игроки действуют рационально. Если игрок 1
не знает, как поступит его противник, то, действуя наиболее
целесообразно, не желая рисковать и считая, что противник также
будет действовать целесообразно, он выберет такую стратегию,
которая гарантирует ему наибольший из наименьших выигры-
шей при любой стратегии противника. Принято говорить, что
при таком образе действий игрок 1 руководствуется принципом
максиминного выигрыша. Этот выигрыш определяется формулой
а = maxminWy . Величина а называется нижней ценой игры, мак-
симинным' выигрышем, или сокращенно максимином.

В свою очередь игрок 2, действуя рационально, выберет та-
кую стратегию, которая гарантирует ему наименьший из возмож-
ных проигрышей при любых действиях противника. Принято
говорить, игрок 2 руководствуется принципом минимаксного проиг-
рыша. Этот проигрыш определяется выражением р = minmaxWy.
Величина р называется верхней ценой игры или минимаксом.
Принцип осторожности, который определяет выбор партне-
рами стратегий, соответствующих максиминному выигрышу или
минимаксному проигрышу, часто называют принципом мини-
макса, а стратегии, вытекающие из этого принципа, — минимакс-
ными стратегиями.

Для любой игры с нулевой суммой а < р чем и объясняются
названия «нижняя цена» и «верхняя цена». В случае, когда ниж-
няя цена игры равняется ее верхней цене, их общее значение
называется ценой игры. При этом результат стратегической игры
двух лиц с нулевой суммой можно определить, не приступая к
фактической игре: вполне реален сценарий, когда партнеры,
взглянув на матрицу, рассчитываются, пожимают друг другу руки
и расходятся. Очевидно, что исход такой игры не изменится, если
она будет повторена многократно, поскольку ни одному из иг-
роков не выгодно отклоняться от своих минимаксных страте-
гий. Ситуация, в которой нижняя и верхняя цены игры совпа-
дают, называется седловой точкой.

Определение. Кортеж стратегий или ситуация (а*, Ь*) & А* В
называется седловой точкой, если

H(a*j, b*) = max {//(я, , />*); i = 1, ..., m j =

=	bj)\ j = 1, ...,

В седловой точке элемент матрицы и*. = Н(а], Ь*) является
одновременно наименьшим в строке и наибольшим в столбце
и, следовательно, соответствует цене игры.

Однако существуют матрицы игры двух лиц с нулевой сум-
мой (и таких игр большинство), для которых а * р, т.е. опреде-
ленная выше седловая точка отсутствует. Исход такой игры
определить труднее, поскольку какой-либо одной, так называе-
мой чистой оптимальной стратегии ни для одного игрока не су-
ществует. В таких случаях говорят, что решение игры в чистых
стратегиях отсутствует, и рассматривают так называемое смешан-
ное расширение игры, решение которой ищут в смешанных стра-
тегиях. Смешанная стратегия игрока — это случайная величи-
на, значениями которой являются его чистые стратегии. Зада-
ние смешанной стратегии игрока состоит в указании вероятностей
(частот), с которыми выбираются его первоначальные (чистые)
стратегий. При этом предполагается, что игра повторяется мно-
гократно.
Для матричной игры т /п обозначим через Р = (/?,, рт)
смешанную стратегию игрока 1, где р, > 0, рт > 0, Pi =

i = ।

через Q = (q}, ..., q„) — смешанную стратегию игрока 2, где
q} >0,	q„>0, Yqj = 1.

7 = 1

Здесь/?।, pm — вероятности использования игроком 1 в сме-
шанной стратегии своих чистых стратегий ah ..., qh ..., qn —
вероятности использования игроком 2 в смешанной стратегии
своих чистых стратегий Ь}, bn.

Математическое ожидание выигрыша игрока 1: М(Р, Q) =
и т

= zzajPiclj- Смешанная стратегия, которая гарантирует иг-
./ = 11 = 1

року 1 наибольший возможный средний выигрыш (или наимень-
ший возможный средний проигрыш), называется его оптимальной
смешанной стратегией, а стратегии, из которых складывается
оптимальная смешанная стратегия, определяются как выгодные
стратегии. Пусть Р — смешанная стратегия игрока l,Q — сме-
шанная стратегия игрока 2. Ситуацию (Р , Q ), при которой
М(Р, Q*) < М(Р', Q*) < М(Р , Q), называют седловой точкой
смешанного расширения игры, а математическое ожидание выигры-
ша v = М(Р , Q} — ценой игры, причем всегда а < v < р.

Доминирование стратегий

Если платежная матрица такова, что каждый элемент неко-
торой строки / не меньше соответствующего элемента строки к
и по меньшей мере один ее элемент строго больше соответству-
ющего элемента строки к, то говорят, что стратегия й, игрока 1
доминирует его стратегию ак. Доминируемая стратегия ак не может
быть оптимальной чистой стратегией игрока 1, или войти в его
оптимальную смешанную стратегию с ненулевой вероятностью,
поэтому ее можно исключить из рассмотрения, вычеркнув из
матрицы строку к. Аналогично, если каждый элемент некото-
рого столбца j не больше соответствующего элемента столбца г
и по меньшей мере один его элемент строго меньше соответству-
ющего элемента столбца г, то говорят, что стратегия bj игрока 2
доминирует его стратегию Ьг Поэтому столбец г матрицы мож-
но вычеркнуть.
Сведение игры двух лиц с нулевой суммой
к задаче линейного программирования

При отсутствии седловой точки общим методом нахождения
решения игры любой (конечной) размерности является сведе-
ние игры двух лиц с нулевой суммой к задаче линейного про-
граммирования. Из основного положения теории стратегических
игр следует, что при использовании смешанных стратегий су-
ществует, по меньшей мере, одно оптимальное решение с це-
ной игры v, причем а < v < р, т.е. цена игры находится между
верхним и нижним значениями игры. Величина v неизвестна,
но всегда можно предположить, что v > 0. Это условие выпол-
няется, поскольку всегда можно путем соответствующего пре-
образования матрицы сделать все ее элементы положительны-
ми. Таким образом, если в исходной платежной матрице име-
ется хотя бы один неположительный элемент, то первым шагом
в процедуре сведения игры к задаче линейного программиро-
вания должно быть ее преобразование к матрице, все элемен-
ты которой строго положительны. Для этого достаточно уве-
личить все элементы исходной матрицы на одно и то же число
d > maxmax|a,7 |, где а^< 0. При таком преобразовании матри-
цы оптимальные стратегии игроков не изменяются.

Допустим, что смешанная стратегия игрока 1 складывается из
стратегий о,, ..., ат с вероятностями, соответственно, />,, ..., рт
т

р, = 1, Pj > 0). Оптимальная смешанная стратегия игрока 2
Z = I
складывается из стратегий />,, ..., Ьп с вероятностями q}, ..., qn,
C^q, = 1, q, > 0). Условия игры определяются платежной мат-
j,
рицей	>0, i = I, ..., /и; j = 1, ..., п.

Если игрок I применяет оптимальную смешанную стра-
тегию, а игрок 2 — чистую стратегию Ьр то средний выиг-
рыш игрока 1 (математическое ожидание выигрыша) составит
Р\ a\j +•• + Рт а7 = 1,	«

Игрок 1 стремится к тому, чтобы при любой стратегии иг-
рока 2 его выигрыш был не менее чем цена игры v, и сама цена
игры была максимальной. Такое поведение игрока 1 описыва-
ется следующей моделью линейного программирования:

v -> max;

Р\а\\ +••• + Ртат\ >
Р\ а,2 + ... + р,„ ат2 v;

Р\ «11 + •• + Pm атп ~

Р\ +••+ Р т =!;

Pi >0, i = 1, т

или, обозначив х, - —, задачу можно переписать в виде:

X, + ... + хт -> min;

«и + ... + ат1 хт >1;

(1)
+ ... + атпхт > 1;

х,- >0, i = 1, ..., т,

1
причем v =--------------.

Х| + ... + хт

Поведению игрока 2 соответствует двойственная задача:
у, + ... + ут -» max,
«пЛ +... + а]пу„ < 1,

(2)
«т 1 -У 1 + • • • + «т п Уп —

у, >0, / = п,

Qi	л.

где у, = —, а целевая функция второго игрока эквивалентна
v

v -> min, т.е. игрок 2 стремится минимизировать свой средний
проигрыш).

Задача (1) всегда имеет решение. Получив ее оптимальное
решение х\, ..., х*т, можно найти цену игры v =—-----------—,

,	*	x,+...+ xm

оптимальные значения р,, ..., рт и, следовательно, оптималь-
ную стратегию игрока I. Если исходная матрица увеличивалась
на d, то для получения цены первоначальной игры значение v
нужно уменьшить на d.
Матричная игра двух лиц с ненулевой постоянной суммой

Конечная игра, в которой сумма выигрышей обоих игроков
не равна нулю и постоянна для всех сочетаний их чистых страте-
гий, называется матричной игрой двух лиц с ненулевой посто-
янной суммой. Пусть	— матрица выигрышей игрока 1 и

{х	I J ' т, п

А. >	— матрица выигрышей игрока 2. Причем а.. + А„ = с для

!/ )т> п	У У

всех i = 1, ..., т; j = 1, ..., п.

Такого рода игра сводится к игре двух лиц с нулевой сум-
мой следующим образом:

1)	каждому игроку выплачивается сумма —;

2)	решается игра с нулевой суммой с матрицей выигрышей
игрока 1 й,7 >	, где а,у = аи - -.

I J ) т, п	J J 2

Действительно, в игре с преобразованной таким образом
~	с

матрицей выигрыша игрок 2 получает сумму — а- для всех
2	7

/ = 1, ..., т; J = 1, ..., п, т.е. новая игра является игрой с нулевой
суммой. При этом каждый игрок ничего не теряет, так как каж-
с	с

дыи игрок получает на - меньше, поскольку по — они полу-
чили перед игрой.

ПРИМЕРЫ

Пример 1

Пусть матрица некоторой игры имеет вид:

е  Д	bi	Ьг	Ьз	bi	Минимальный выигрыш игрока 1
Э,	10	40	12	9	9
31	17	16	13	14	13
Эз	23	8	10	25	8
Максимальный проигрыш игрока 2	23	40	13	25	

В этой игре партнер 1 имеет три возможные стратегии:
а(, й2, а3, а партнер 2 — четыре возможные стратегии Ьх, Ь2, Ь3,
Ь4. Рассмотрим процесс принятия игроками решения (пред-
полагается, что они принимают в данной ситуации рацио-
нальные решения). Взглянув на матрицу игры, можно заме-
тить, что если игрок 1 не знает, как поступит его против-
ник, то действуя наиболее целесообразно и, считая, что про-
тивник будет действовать подобным же образом, он выберет
стратегию а2, которая гарантирует ему наибольший из трех
возможных наименьших выигрышей: 9, 13, 8. Другими сло-
вами, игрок I руководствуется принципом максиминного
выигрыша. Этот выигрыш а = maxmin<7/; есть нижняя цена
игры. Для нашего примера он равен 13.

Игрок 2 рассуждает аналогично: если он выберет страте-
гию Ь\ то потеряет самое большее 23, если стратегию Ь2, то —
40 и т.д. В результате он выберет стратегию Ь3, которая гаран-
тирует ему наименьший из четырех возможных проигрышей:
23, 40, 13, 25. Принято говорить, что игрок 2 руководству-
ется принципом минимаксного проигрыша. Этот проигрыш
Р = minmaxq . Для нашей матрицы р = 13.

J i J

Ситуация (й2, Ь2) есть седловая точка, и а = р = 13 есть
цена игры.

При наличии седловой точки ни одному из участников
игры невыгодно отклоняться от своей минимаксной страте-
гии: он будет наказан противником, тем, что получит мень-
ший выигрыш.

Пример 2. Где строить?

Две конкурирующие крупные торговые фирмы Ф1 и Ф2,
планируют построить в одном из четырех небольших горо-
дов Г1, Г2, ГЗ, и Г4, лежащих вдоль автомагистрали, по од-
ному универсаму. Взаимное расположение городов, рассто-
яние между ними и численность населения показаны на сле-
дующей схеме.

30 тыс.	50 тыс.

человек < человек

40 тыс.	30 тыс.

человек	человек

Распределение оборота, получаемого каждой фирмой, оп-
ределяется численностью населения городов, а также степенью
удаленности универсамов от места жительства потенциальных
покупателей. Специально проведенное исследование показало,
что торговый оборот в универсамах будет распределяться меж-
ду фирмами так, как это показано в следующей таблице.
Условия	Распределение оборота между фирмами, %	
	Ф1	Ф2
Универсам фирмы Ф1 расположен к городу ближе универсама фирмы Ф2	75	25
Универсамы обеих фирм расположены на одинаковом расстоянии от города	60	40
Универсам фирмы Ф1 расположен от города дальше универсама фирмы Ф2	45	55

Например, если универсам фирмы Ф1 расположен к го-
роду П ближе универсама фирмы Ф2, то оборот фирм от
покупок, сделанных жителями данного города, распределится
следующим образом: 75% получит Ф1, остальное — Ф2.

Представьте описанную ситуацию, как игру двух лиц и
определите, в каких городах целесообразно фирмам постро-
ить свои универсамы.

Решение

Составим платежную матрицу игры, в которой игроком 1
будет фирма Ф1, а игроком 2 фирма Ф2. Стратегии обоих игро-
ков: строить свой универсам в городе П, строить в городе Г2 и т.д.
Элементы матрицы — объемы оборотов фирмы Ф1 (в тыс. руб.),
которые, как предполагается, пропорциональны (причем с од-
ним и тем же коэффициентом) числу покупателей. Величина
указанного коэффициента пропорциональности, с точки зрения
выбора оптимального места размещения универсамов, значения
не имеет, поэтому примем его равным единице.

Платежная матрица имеет вид:

	Г1	Г2	ГЗ	Г4
И	90	76,5	91,5	91,5
Г2	103,5	90	91,5	103,5
ГЗ	88,5	88,5	90	103,5
Г4	88,5	76,5	76,5	90

Рассмотрим примеры расчета значений элементов (Г1, Г2)
и (ГЗ, Г4) платежной матрицы.

Ситуация (П, Г2) означает, что фирма Ф1 строит универ-
сам в городе П, а фирма Ф2 — в городе Г2. Число покупателей
фирмы Ф1 складывается из покупателей четырех городов. Для
ситуации (Г1, Г2) число покупателей из П равно 0,75 x 30;
из Г2: 0,45x50; из ГЗ: 0,45x40; из Г4: 0,45x30, т.е. число поку-
пателей из четырех городов равно 76,5. Для ситуации (ГЗ, Г4) чис-
ло покупателей из П: 0,75x30; из Г2: 0,75x50; из ГЗ: 0,75x40;
из Г4: 0,45x30, т.е. число покупателей из четырех городов рав-
но 103,5. Элементы матрицы выигрышей фирмы Ф2 — допол-
нения до числа 150 (общее число жителей в четырех городах).
Таким образом, имеет место игра двух лиц с ненулевой посто-
янной суммой, оптимальные стратегии которой те же, что и для
соответствующей игры с нулевой суммой. Полученная платеж-
ная матрица имеет седловую точку (Г2, Г2). Соответствующий
элемент матрицы равен 90.

Таким образом, обеим фирмам следует строить свои универ-
самы в одном и том же городе Г2, при этом, число покупателей
(оборот) Ф1 составит 90 тыс., а у фирмы Ф2 — 60 тыс.

Пример 3. Двухпалъцевая игра мора

Каждый игрок показывает один или два пальца и называет
число пальцев, которое, по его мнению, показал его против-
ник (ни один из игроков не видит, какое число пальцев на
самом деле показывает его противник). Если один из игро-
ков угадывает правильно, он выигрывает сумму, равную сумме
числа пальцев, показанных им и его противником. В про-
тивном случае (если никто не угадывает), — ничья. Если оба
угадали, то оба платят друг другу одинаковую сумму, в ре-
зультате также ничья.

Ответьте на следующие вопросы.

1.	Существует ли в данной игре седловая точка в чистых стра-
тегиях?

2.	Кто из игроков в среднем выигрывает и сколько?

3.	Как часто игрок 1 должен говорить, что его противник
показал два пальца?

4.	Как часто игрок 2 должен показывать 1 палец?

Решение

Прежде всего, определим стратегии игроков и построим пла-
тежную матрицу.

Стратегиями игрока 1 (строки таблицы) являются четыре пары
чисел. Первое число каждой пары — это число пальцев, показан-
ное им, второе — число пальцев, которое, как он предполагает,
показал его противник. Такие же стратегии имеет игрок 2.
Платежная матрица размером 4x4 и другая информация пред-
ставлена в нижеследующей таблице:

д	(1, 1)	(1,2)	(2, 1)	(2, 2)	Минимальный выигрыш игрока 1
(1,1)	0	2	-3	0	-3
(1,2)	-2	0	0	3	-2
(2,1)	3	0	0	-4	-4
(2,2)	0	-3	4	0	-3
Максимальный проигрыш игрока 2	3	2	4	3	

Нижняя цена игры а = -2, верхняя цена игры р = 2. Так как
а ф р, поэтому седловой точки не существует и решение в чис-
тых стратегиях отсутствует. Для решения данной игры постро-
им соответствующую задачу линейного программирования. Для
этого сначала преобразуем платежную матрицу так, чтобы все
ее элементы были положительными. Максимальная по абсолют-
ной величине величина неположительного элемента платежной
матрицы равна 4, поэтому к матрице надо прибавить число 5,
чтобы все элементы ее стали положительными:

	В  А	(1, 1)	(1,2)	(2, 1)	(2, 2)	Минимальный выигрыш игрока 1
(1,1)	5	7	2	5	2
(1,2)	3	5	5	8	3
(2,1)	8	5	5	1	1
(2, 2)	5	2	9	5	2
Максимальный проигрыш игрока 2	8	10	9	13	

Оптимальная стратегия игрока 1 находится решением сле-
дующей задачи линейного программирования (см. [1]):

х, + х2 + л'з + х4 -э- min;
5Х| + Зх2 И- 8х^ 4- 5х4 _ I,
7х, + 5х2 + 5х3 + 2*4 > 1;
2Х| + 5х2 + 5х3 + 9х4 > 1;
5Х| + 8х2 4- IX3 4" 5х4 _ 1,
xi >0, i = 1, ..., 4.
Исходную информацию для решения этой задачи можно пред-
ставить в виде следующей таблицы.

Стратегии игрока 1	Стратегии игрока 2					
	1	2	3	4	Знак	
Minimize	1	1	1	1		
1	5	3	8	5	>=	1
2	7	5	5	2	>=	1
3	2	5	5	9	>=	1
4	5	8	1	5	>=	1

Используя пакет «POMWIN», получаем:

Minimize	1	1	1	1	Знак		Двойственная оценка
1	5	3	8	5	>=	1	0
2	7	5	5	2	>=	1	-0,1142857
3	2	5	5	9	>=	1	-0,0857143
4	5	8	1	5	>=	1	2,611694Е-09
Решение	0	0,1143	0	0,0857		0,2	

Решение задачи (в нижней строке таблицы): х, = 0; х2 = 0,1143;
х3 = 0; х4 = 0,0857; оптимальное значение целевой функции рав-
но 0,2.

Переходя к переменным исходной задачи и учитывая, что
v ---------!------= 5 и /?, = x,v, получаем: р} = 0, р2 = 0,5715,

X1 + X 2 + X з +

р3 = 0, /?4 = 0,4285. Это означает, что при многократном повто-
рении игры первая стратегия (1, 1) и третья стратегия (2, 1)
игроком 1 не должны использоваться; вторая стратегия (1, 2) —
использоваться с частотой 0,5715; четвертая стратегия — с час-
тотой 0,4285.

Аналогично определяем оптимальную стратегию игрока 2:
= 0; q2 = 0,5715 (5 х0,1143); q3 = 0,4285 (5x0,0857); q3 = 0,
т.е. игрок 2 должен использовать лишь свою вторую страте-
гию (1, 2) с частотой 0,5715 и третью стратегию (2, 1) с часто-
той 0,4285.

Так как исходная матрица была увеличена на 5 единиц, цена
первоначальной игры равна 0. Таким образом, исход игры —
ничья.
Ответы на вопросы примера

Ответ на вопрос 1

Седловой точки в чистых стратегиях в данной игре не суще-
ствует.

Ответ на вопрос 2

Ничья.

Ответ на вопрос 3

Всегда.

Ответ на вопрос 4

0,572.

Пример 4. Доминирование стратегий

Пусть платежная матрица для двух игроков имеет вид:

Стратегии игрока 2	Стратегии игрока 2				
	1	2	3	4	5
1	3	4	-8	0	5
2	4	3	1	2	0
3	5	4	-8	0	5
4	4	3	0	0	-1
5	-2	3	0	2	0
6	0	0	1	1	0

Для игрока I: вторая стратегия (строка 2 матрицы) до-
минирует четвертую и шестую стратегии, поэтому четвертую
и шестую строки можно вычеркнуть. Для игрока 2: третья
стратегия (столбец 3) доминирует четвертую стратегию, по-

Стратегии игрока 1	Стратегии игрока 2	
	1	2
1	1	0
2	-8	5

этому столбец 4 можно вычеркнуть и т.д. Результирующая
матрица имеет вид:

Пример 5. Как завоевать рынок?

Два конкурирующих друг с другом предприятия, выпуска-
ющие стиральные машины, имеют следующие доли общего
сбыта своей продукции на местном рынке: предприятие 1 —
53% и предприятие 2 — 47%. Оба предприятия пытаются
увеличить объем своих продаж. Для этого у них есть следу-
ющие альтернативы: й, (/>,) — расширить сеть сбыта; а2 (Ь2) —
реклама; а2 (Ь3) — увеличить ассортимент (число моделей
стиральных машин); о4 (/>4) — ничего не предпринимать.
Анализ показал, что изменения доли (в %) предприятия 1
на рынке стиральных машин в случае осуществления обо-
ими предприятиями указанных мероприятий, могут быть
следующими:

Стратегии предприятия 1	Стратегии предприятия 2			
	bi	Ь?	Ьз	Ь4
а.	-4	-1	-3	6
Э2	-5	0	1	5
а3	-1	-3	-5	5
Эд	-8	-7	-6	0

Сформулируйте данную ситуацию в виде игры и ответьте
на вопросы.

1.	Какое мероприятие предприятия 1 наиболее эффективно?

2.	Как изменится доля предприятия 1 на рынке?

3.	Какое мероприятие предприятия 2 наиболее эффективно?

4.	С какой частотой следует предприятию 2 использовать стра-
тегию «реклама»?

Решение

Приведенную выше таблицу можно рассматривать как
платежную матрицу игры двух лиц с нулевой суммой. Альтер-
нативы, имеющиеся в распоряжении предприятий, — стратегии
игроков. Прежде всего, следует исключить доминируемые стра-
тегии игроков: й4 игрока'1 и />4 игрока 2.

Стратегии игрока 1	Стратегии игрока 2		
	bi	Ьг	Ьз
$1	-4	1	-3
Эг	-5	0	1
а3	-1	-3	-5

Увеличив все элементы матрицы на 6, решим следующую
задачу линейного программирования:
%! + х2 + х3 -> min;

2х} + 5х2 + Зх7 > 1;

%, + бх2 + 7*3 -1;

5х, + Зх2 + х3 > 1;

%! > О, i = 1, 2, 3.

Используя пакет «POMW1N», получаем следующий резуль-
тат:

Minimize	1	1	1	Знак		Двойственная оценка
Constraint 1	2	5	3	>=	1	-0,1052631
Constraint 2	1	6	7	>=	1	0
Constraint 3	5	3	1	>=	1	-0,1578947
Solution ->	0,105	0,158	0		0,26	

Переходя к переменным исходной задачи и учитывая, что
v =-----5-----= 3,85 и Pi = x(v, получаем р} = 0,4; р2 = 0,6; р3 = 0;

*1 +*2 +*з

р4 = 0. Цена игры, соответствующая первоначальной матрице,
равна -2,15 (3,85 - 6). Таким образом, предприятие 1 при мно-
гократном повторении игры должно использовать с частотой 0,4
стратегию (расширить сеть сбыта), с частотой 0,6 — стра-
тегию а2 (реклама), а стратегии а2 (увеличить ассортимент)
и о4 (ничего не предпринимать) — не использовать вовсе. При
этом доля сбыта предприятия на рынке уменьшится на 2,15%.
Оптимальная смешанная стратегия предприятия 2: с час-
тотой 0,4 использовать стратегию />,(расширить сеть сбыта) и с
частотой 0,6 — стратегию Ь2 (увеличить ассортимент). Страте-
гии а2 (реклама) и а4 (ничего не делать) не применять вовсе. Доля
предприятия 2 на рынке увеличится на 2,15%. Казалось бы, по-
скольку в результате осуществления своих мероприятий пред-
приятие 1 «теряет рынок», ему не следует ничего предпринимать,
однако в этом случае оно потеряет еще больше (в соответствии
со стратегией о4) из-за действий предприятия 2, которому они
выгодны.

Ответы на вопросы примера

Ответ на вопрос 1

Наиболее эффективным мероприятием для предприятия 1 яв-
ляется «реклама».
Ответ на вопрос 2

Доля предприятия 1 на рынке уменьшится на 2,15%.

Ответ на вопрос 3

Наиболее эффективным мероприятием для предприятия 2
является увеличение ассортимента.

Ответ на вопрос 4

С нулевой частотой, т.е. мероприятие «реклама» предприя-
тием 2 вообще не должно применяться.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вопрос 1

Пусть d — нижняя цена матричной игры Nay Nmn. Значе-
ние d определяется следующей формулой:

1)	minoy;

2)	min о,у;

3)	min mint?,у;

4)	max min а,у;

5)	max min о,у.

Вопрос 2

Пусть и — верхняя цена матричной игры NdyNmn. Значе-
ние и определяется следующей формулой:

1)	тахо,-,;

2)	max Оу;

3)	max mint?

4)	max max о,у;

5)	min max «у.

j '
Вопрос 3

Найти верхнюю цену следующей игры:

Ситуации игрока 1	Ситуации игрока 2		
	1	2	3
,1	1	4	3
2	-4	4	6
3	3	-6	5

Возможные ответы:

1) 1; 2) 3; 3) 4; 4) 5; 5) 6.

Вопрос 4

Указать нижнюю и верхнюю цены игры для матрицы:

Ситуации игрока 1	Ситуации игрока 2				
	1	2	3	4	5
1	4	2	-3	-1	0
2	8	3	5	2	-2
3	7	4	2	-4	8
4	3	5	4	10	5

Возможные ответы:

1) (-4, 10); 2) (0, 5); 3) (2, 4); 4) (3, 5); 5) (2, 8).

Вопрос 5

Указать значение элемента матрицы игры в седловой точке:

Ситуации игрока 2	Ситуации игрока 1			
	1	2	3	4
1	40	40	8	15
2	1	-5	6	25
3	50	55	3	1

Возможные ответы:

1) 6; 2) 8; 3) 15; 4) 25; 5) седловая точка отсутствует.
Вопрос 6

Используя свойство доминирования стратегий игроков, мак-
симально редуцировать следующую матрицу игры:

Ситуации игрока 1	Ситуации игрока 2				
	1	2	3	4	5
1	4	7	2	3	4
2	3	5	6	8	9
3	4	4	2	2	8
4	3	6	1	2	4
5	3	5	6	8	9

Какова размерность результирующей матрицы?

Возможные ответы:

1) 1 х 2; 2) 2 х 1; 3) 2 х 2; 4) 3 х 2; 5) 3 х 3.

Вопрос 7

Найти цену следующей игры (без использования пакета
«POMWIN»):

Ситуации игрока 1	Ситуации игрока 2		
	1	2	3
1	1	2	3
2	2	3	1
3	3	1	2

Возможные ответы:

1) 1; 2) 1,5; 3) 2; 4) 2,5; 5) 3.

Вопрос 8

Два игрока одновременно и независимо показывают 0, 1, 2
или 3 пальца. Игрок, доказавший большее число пальцев, пла-
тит другому игроку сумму, равную разности чисел пальцев,
показанных им и его соперником. Какова цена такой игры?

Возможные ответы:

1) 3; 2) 2; 3) 1; 4) 0; 5) -1.

Вопрос 9

Два игрока одновременно и независимо показывают 1, 2 или
3 пальца. Пусть 5— сумма чисел пальцев, показанных
обоими противниками. Если 5— нечетное, то игрок 1 пла-
тит другому игроку сумму s, если же 5 — четное, эту сумму
выплачивает игрок 2.

Чему равна цена такой игры?

Возможные ответы:

1) -1; 2) 0; 3) 1; 4) 1,3; 5) 1,7.

Вопрос 10

Построить следующую игру: игрок 2 прячет в одном из п мест
предмет стоимостью с,-, 7=1, ..., л; игрок 1 ищет этот пред-
мет и если находит, то получает с-, в противном случае
получает 0. Пусть и = 4 и вектор стоимости предметов
с = (5, 7, 3, 12). Чему равна цена игры?

Возможные ответы:

1) 1,75; 2) 1,57; 3) 1,32; 4) 1,23; 5) 1,12.

ЗАДАЧИ

Задача 1

Известный актер обдумывает, где бы ему провести в теку-
щем году отпуск. Он рассматривает 6 возможных вариантов:
Монте-Карло (МК), Гавайские острова (Г), Багамские ост-
рова (Б), Канарские острова (К), Сочи (С), озеро Байкал (ОБ).
Единственный критерий для выбора места отдыха — это стрем-
ление избежать журналистов, которые могут испортить ему
отдых. Если они его «выследят», отдых будет испорчен (по-
лезность равна 0). В противном случае, все будет, как за-
планировано (полезность равна 1). Вследствие различных
географических условий, актера можно обнаружить на тер-
ритории, где находятся и актер и журналисты, с определен-
ной (известной) вероятностью: в Монте-Карло с вероят-
ностью 0,34; на Гавайских островах с вероятностью 0,12;
на Багамских островах с вероятностью 0,16; на Канарских
островах с вероятностью 0,4; в Сочи с вероятностью 0,5;
на озере Байкал с вероятностью 0,2.

Опишите данную ситуацию, как игру двух лиц с нуле-
вой,суммой (актер — это игрок 1). Вычислите цену игры и
определите минимаксные стратегии обоих игроков.
Ответьте на вопросы:

1.	Чему равна максимальная ожидаемая полезность отпуска
актера?

2.	С какой вероятностью актер поедет в отпуск на Байкал?
3. Чему равна верхняя цена игры?

4.	В каком из мест наиболее вероятно будет отдыхать актер?
(Считать, что 1 соответствует М К, 2 — Г, 3 — Б, 4 — К,
5- С, 6- ОБ).

Задача 2

На «Диком Западе» имела место следующая ситуация. Группа
из пяти индейцев осадила лагерь, охраняемый четырьмя
белыми. У лагеря два входа Е1 и Е2. Белый разведчик уста-
новил, что перед входом Е1 находится как минимум один ин-
деец, а перед входом Е2 как минимум два индейца. Осталь-
ное распределение неизвестно. Командир осажденных может
распределить своих людей около Е1 и Е2, причем у каждого
входа должен быть как минимум один человек. Предпола-
гается, что численно превосходящая (у каждого входа) группа
берет в плен всю группу противника без собственных потерь,
в то время как при равенстве сил перед каким-либо входом
потерь с обеих сторон нет. В качестве платежа (выигрыша)
выступает разность числа пленных.

А) Определите все чистые стратегии обоих противников.

Б) Постройте платежную матрицу, считая игроком 1 оборо-
няющуюся сторону.

В) Редуцируйте матрицу насколько это возможно и найдите
оптимальные стратегии сторон.

Ответьте на следующие вопросы:

1.	С какой частотой следует белым использовать стратегию:
расположить по два человека у каждого входа?

2.	Кто больше в среднем захватит пленных белые или ин-
дейцы? (1 — белые, 2 — индейцы)?

3.	Какова абсолютная величина разности числа захваченных
обеими сторонами пленных?

4.	С какой частотой следует белым использовать стратегию:
расположить у первого входа одного человека, а у второ-
го — трех человек?

5.	С какой частотой следует индейцам использовать страте-
гию: расположить у первого входа трех, а у второго двух
воинов?
Задача 3. Военная игра

Сторона В засылает подводную лодку в один из п регионов.
Сторона А, располагая т противолодочными кораблями, стре-
мится обнаружить лодку противника. Сторона В стремится
этого избежать. Вероятность обнаружения подводной лодки
в регионе j одним противолодочным кораблем равна pj,
7=1, ..., п.

Предполагается, что обнаружение лодки каждым кораб-
лем является независимым событием. Сторона А может
посылать в различные регионы разное количество кораблей
(распределение т кораблей по регионам и есть ее стратегия).

Пусть т = 3; п = 2; р{ = 0,4; р2 = 0,6.

Считая сторону А игроком 1, построить игру и найти
оптимальное распределение противолодочных кораблей по ре-
гионам.

Ответьте на следующие вопросы.

1.	Каков средний выигрыш стороны А?

2.	С какой частотой стороне А следует посылать в регион 2
три противолодочных корабля?

3.	С какой частотой стороне А следует посылать в регион 1
один противолодочный корабль?

4.	С какой частотой стороне В следует посылать подлодку в
регион 2?

ОТВЕТЫ

Ответы на контрольные вопросы

1 - 4, 2 - 5, 3 - 3, 4 - 4, 5 - 2, 6 - 3, 7 - 3, 8 - 4, 9 - 2,
10-2.

Ответы на задачи

Задача 1

1.	Максимальная ожидаемая полезность отпуска актера равна
цене игры, т.е. 0,96.

2.	0,19.

3.	1.

4.	На Гавайских островах.
Задача 2

1.	0.

2.	Индейцы.

3.	1.

4.	0,2.

5.	0,6.

Задача 3

1.	Средний выигрыш стороны А равен 0,61, т.е. цене игры.

2.	Стороне А не следует посылать в регион 2 три противо-
лодочных корабля.

3.	Стороне А следует посылать в регион 1 один противоло-
дочный корабль с частотой 0,92.

4.	Стороне В следует посылать подлодку в оба региона с рав-
ной (0,5) вероятностью.
Глава 11

НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЦЕЛИ

В данной главе описываются оптимизационные задачи не-
линейного программирования (НЛП), математические модели
которых содержат нелинейные зависимости от переменных.
Источники нелинейностей относятся в основном к одной из двух
категорий:

•	реально существующие и эмпирически наблюдаемые нели-
нейные соотношения, такие, например, как непропорцио-
нальные зависимости между объемом производства и за-
тратами; между количеством используемого в производстве
компонента и некоторыми показателями качества готовой
продукции; между затратами сырья и физическими парамет-
рами (давление, температура и т.п.) соответствующего про-
изводственного процесса; между выручкой и объемом реали-
зации и др.;

•	установленные (постулируемые) руководством правила по-
ведения или задаваемые зависимости, такие, например, как
формулы или правила расчета с потребителями энергии или
других видов услуг; эвристические правила определения стра-
ховых уровней запаса продукции; гипотезы о характере ве-
роятностного распределения рассматриваемых в модели
случайных величин; различного рода договорные условия
взаимодействия между партнерами по бизнесу и др.

Решать линейные задачи значительно проще и, если линейная
модель обеспечивает адекватность реальным ситуациям, то ее и
следует использовать. В практике экономического управления
имеется большой опыт успешного применения моделей линей-
ного программирования даже в условиях нелинейности. В не-
которых случаях нелинейности были несущественными и ими
можно было пренебречь, в других — производилась линеариза-
ция нелинейных соотношений или применялись специальные
приемы, например, строились так называемые линейные ап-
проксимационные модели, благодаря чему достигалась указан-
ная выше адекватность. Тем не менее имеется большое число си-
туаций, где нелинейность является существенной и ее нужно
учитывать в явном виде.

Ниже даются общая модель задачи нелинейного программи-
рования и классы задач НЛП, описываются условия оптималь-
ности решения, рассматриваются примеры, предлагаются фор-
мулировки вопросов и задач для самостоятельного решения.

После того, как вы выполните задания, предлагаемые в этой
главе, вы будете уметь формулировать и использовать для эко-
номического анализа;

•	целевую функцию;

•	ограничения;

•	допустимый план;

•	множество допустимых планов;

•	модель нелинейного программирования;

•	оптимальный план;

•	двойственные переменные;

а также:

•	определять выпуклость функции;

•	строить функцию Лагранжа задачи нелинейного программи-
рования;

•	проверять оптимальность полученных решений.

МОДЕЛЬ

В общем виде задача нелинейного программирования опи-
сывается с помощью следующей модели нелинейного програм-
мирования:

F(x) -> max;

<?(*) Ь,, х > 0,	/ = 1, ..., т;	(2)  (3)

где х = (л,, ..., х„) — вектор переменных задачи.

Задача (1)—(3) называется задачей нелинейного программиро-
вания в стандартной форме на максимум.
Аналогично может быть сформулирована задача НЛП на
минимум.

Вектор х = (xj, х„), компоненты х; которого удовлетво-
ряют ограничениям (2)—(3), называется допустимым решением
или допустимым планом задачи нелинейного программирования.

Совокупность всех допустимых планов называется множе-
ством допустимых планов.

Допустимое решение задачи нелинейного программирования,
на котором целевая функция (1) достигает максимального зна-
чения, называется оптимальным решением задачи НЛП.

Возможные местонахождения максимального значения функ-
ции F(x) при наличии ограничений (2) и (3) определяются сле-
дующим общим принципом. Максимальное значение F(x), если
оно существует, может достигаться в одной или более точках,
которые могут принадлежать:

5, —множеству внутренних точек области допустимых ре-
шений, в которых все первые частные производные
функции F равны нулю;

S2 —множеству точек границы допустимой области;

S3 — множеству точек допустимой области, в которой функ-
ция не дифференцируема.

В отличие от задач линейного программирования, любая из
которых может быть решена с помощью симплекс-метода,
не существует одного или нескольких алгоритмов, эффективных
для решения любых нелинейных задач. Некоторый алгоритм мо-
жет оказаться эффективным для решения задач одного типа и
неудачным для задач другого типа. Эффективность алгоритма мо-
жет даже существенно зависеть от постановки задачи, например,
от изменения масштабов измерения тех или иных переменных.
Поэтому алгоритмы разрабатываются для каждого класса (типа)
задач. При этом программы, ориентированные на решение
определенного класса задач, как правило, не гарантируют пра-
вильность решения любых задач данного класса, и оптимальность
решения рекомендуется проверять в каждом конкретном случае.

В экономических приложениях рассматриваются следующие
классы задач нелинейного программирования.

Оптимизация нелинейной функции с ограничениями
на неотрицательность значений переменных

F(x) -> max;

х > О,
где х = (xh ..., х„) — вектор переменных задачи.
Пусть F(x) — дифференцируемая функция. Необходимые
условия того, что в точке х° достигается максимум функции F(x)
имеют вид:

dF
дх,

.о 9F
‘ дх.

п.

/ = 1

гч	„К	О	О Л °"	„

Это означает, что — < 0 для х = х в случае х, = 0, — = О
дх,	dx-t

для х = х° в случае х° > 0.

Если F(x) вогнутая функция (в случае задачи минимиза-
ции — если выпуклая), то эти условия являются также достаточ-
ными.

Функция F с числовыми значениями, определенная на
выпуклом множестве точек К, называется вогнутой, если для лю-
бой пары точек х1, х2 и для всех чисел Л., 0 < Л. < 1, выполняет-
ся неравенство F(A.x' + [1 - ТДх2) > \F(x}) + (1 - X)F(x2).

Если F(kx} + [I - А.]х2) > ZF(x') + (1 - k)F(x2), то функция F
называется выпуклой. Если имеют место строгие неравенства, то
говорят, что функция строго вогнутая или строго выпуклая.

Данное определение вогнутости (выпуклости) функции го-
дится для любого типа функции. Однако на практике его труд-
но применить. Для дважды дифференцируемой функции Лимеет
место следующий критерий.

Дифференцируемая функция F(x) строго вогнутая в некоторой
окрестности точки х° = (х®, ..., х°), если выполняются следу-
ющие условия:

^1(х°)<0;	
F22(x°) < 0;	
Л1,(х°) Г12(х°)	> 0;
F2I(x°) F22(x°)	
FH(x°) F12(x°)	Лз(*°)
F21(x°) F22(x°)	6з(*°)
F3I(x°) F32(x°)	

(4)

и так далее, т.е. если знаки этих определителей чередуются ука-
занным образом. Здесь F,(x°) — частная производная второго
7 о

порядка, вычисленная в точке х .
Матрица размерности п х п , составленная из элементов /^(х0),
называется матрицей Хессе. По значениям ее главных миноров
можно судить о выпуклости или вогнутости функции. Функция
£(х) строго выпуклая в малой окрестности точки х°, если все
главные миноры ее матрицы Хессе строго положительны. Если
имеют место нестрогие неравенства (> или <), то функция в
окрестности точки х° выпуклая. Если при этом главные мино-
ры матрицы Хессе от х не зависят, то функция всюду (строго)
выпуклая.

Оптимизация нелинейной функции
с линейными ограничениями

К данному типу, относятся модели квадратичного програм-
мирования, в которых целевая функция £(х) является квадра-
тичной функцией переменных х,, ..., хп. Существует большое
число алгоритмов решения такого типа задач, в которых функ-
ция £(х) вогнутая (для задач минимизации — выпуклая).

Модели выпуклого программирования

К таким моделям относятся задачи НЛП, в которых Т(х) —
вогнутая (выпуклая) функция; g,(x) — выпуклые функции. При
данных условиях локальный максимум (минимум) является и
глобальным.

Пусть £(х) и gz(x), / = 1, ..., т — дифференцируемые функ-
ции. Необходимые и достаточные условия оптимальности реше-
ния — выполнение условий Куна—Таккера.

Рассмотрим задачу нелинейного программирования (1)-(3)
т

и функцию Лагранжа L(x, А) = F(x) + £	- g, W]. Усло-

вия Куна—Таккера оптимальности решения х°для задачи мак-
симизации F(x) имеют вид:

£ху(х°, А0) > 0, х?£ху(х°,	А0)	= 0,	j = 1, ..., я; (5)

g,.(x°) -b,< 0, A°[g,.(x°) -/>,] =	0	/	=	(6)

х° >0, j = 1, ..., п;	(7)

А^ >0, i = 1, ..., т,	(8)

где £х,(х°, А0) — частная производная функции Лагранжа по пе-
ременной Xj , при х = х и А = А .
Пусть максимальное значение F(x) равно Fix') = F{\ Числа
А,*’ связаны с F° следующими соотношениями:

,о SF" . .

X; = ---,	/ = 1, т.

‘ дЬ,

Из этих соотношений видно, что числа Х(- характеризуют реак-
цию значения С() на изменение значения соответствующего />,.
Например, если X, < 0, то при уменьшении й, (в пределах устой-
чивости А®) значение F° увеличится, а Х(- = 0 указывает на не-
существенность соответствующего ограничения g,(x) < />, , ко-
торое может быть без ущерба для оптимального решения из си-
стемы ограничений исключено.

ПРИМЕРЫ

Пример 1.

Предприятие располагает двумя видами сырья и рабочей
силой, необходимыми для производства двух видов продук-
ции. Затраты ресурсов на изготовление одной тонны каждого
продукта, прибыль, получаемая предприятием от реализации
тонны продукта, а также запасы ресурсов указаны в таблице.

Ресурс	Расход ресурса на продукт 1	Расход ресурса на продукт 2	Запас ресурса
Сырье 1, т	3	5	120
Сырье 2, т	6	4	150
Трудозатраты,ч	14	12	400
Цена единицы продукта, тыс. руб./т	25	30	

Стоимость (тыс. руб.) одной тонны сырья 1 по формуле
(9 — 0,02г,), а сырья 2 — (5 — 0,01 г2), где г, и г2 — затраты
сырья на производство продукции.

Ответьте на следующие вопросы'.

I.	Сколько продукта I следует производить для того, чтобы
обеспечить максимальную прибыль?

2.	Сколько продукта 2 следует производить для того, чтобы
обеспечить максимальную прибыль?

3.	Какова максимальная прибыль?

4.	На какую величину возрастет максимальная прибыль, если
запасы сырья 2 увеличатся на 1 тонну?
5.	На какую величину возрастет максимальная прибыль, если
допустимый объем трудозатрат увеличится с 400 до 500 ч?

Решение

Пусть х, — объем выпуска продукта 1 (в тоннах); х2 — объем
выпуска продукта 2 (в тоннах). Тогда задача может быть описа-
на в виде следующей модели нелинейного программирования.

I lx, + 16х2 + 0,1 Х|Х, + 0,12х2х2 + 0,22х,х, -> max;

3 х, + 5х2 < 120;

4 х, + 6х2 < 150;

14 х, + 12х2 < 400;

X], х2 > 0.

Для решения задачи воспользуемся программой «G/NO», пред-
назначенной для решения задач нелинейного программирова-
ния. Исходную информацию для решения этой задачи следует
представить в следующем виде:

MODEL:

1)	МАХ(11 х, +16х2 +0.1Х|Х, + 0.12х2х2 + 0.22х1х1У,

2)	3 Х| + 5х2 < 120;

3)	4 х, + 6х2 < 150;

4)	14 х, + 12х2 < 400;

5)	х, >0;

6)	х2 > 0;

END

LEAVE

Получаем следующий результат:

• значение целевой функции 507,407;

• значения переменных приведены в таблице:

Variable	Value
Xi	16,667
*2	13,889
Ответы на вопросы примера

Ответ на вопрос 1

Чтобы обеспечить максимальную прибыль, следует произво-
дить 16,67 т продукта 1.

Ответ на вопрос 2

Чтобы обеспечить максимальную прибыль, следует произво-
дить 13,89 т продукта 2.

Ответ на вопрос 3

Максимальная прибыль равна 507,407 тыс. руб.

Ответ на вопрос 4

Если запасы сырья 2 увеличатся на 1 т, то максимальная
прибыль возрастет на 3,148 тыс. руб.

Ответ на вопрос 5

Если допустимый объем трудозатрат увеличится с 400 ч до
500 ч, то максимальная прибыль увеличится на 136,11 тыс. руб.

Пример 2. Формирование портфеля ценных бумаг

Некий клиент поручил брокерской конторе купить для него
на 1 млн руб. акций трех известных ему компаний. Сделка
заключается на год. Клиент заинтересован, чтобы, с одной
стороны, получить максимальную среднюю прибыль на вло-
женный капитал, а с другой — минимизировать риск, посколь-
ку величина прибыли, получаемая в конце года от акции
каждой компании, является случайной величиной. Извест-
но, что чем прибыльнее акция, тем выше связанный с ней
риск, поэтому оба критерия противоречат друг другу. Кли-
енту это обстоятельство разъяснили и попросили его указать
относительную значимость («вес») критериев. Клиент, будучи
человеком осторожным, высказал пожелание, чтобы риск
учитывался с весом в три раза большим, чем прибыль. По-
лучив такие указания, в брокерской конторе была сформу-
лирована следующая модель нелинейного программирования:

3	3

X ^jxj -3 X -> тах;

7 = 1	М = 1

3

£ Xj = 1000;

7 = 1

х, >0, j = 1, 2, 3,
J 1 J ’ ’ ’
где ху —объем средств, затраченных на покупку акций ти-
па j (тыс. руб.);

—математическое ожидание процента прибыли от вло-
жения одной тыс. руб. в акции типа у;

оуу —дисперсия указанного выше процента прибыли;

о,у — ковариация между процентами прибыли от вложения
одной тыс. руб. в акции типа i и j (j * j).

Первая сумма в целевой функции — ожидаемое значение
прибыли, обеспечиваемой пакетом акций, вторая — диспер-
сия прибыли пакета акций, взятая с «весом» 3. Дисперсия
прибыли пакета акций служит мерой риска.

Пусть средние значения процентов годовой прибыли от
акций компаний составляют соответственно 8, 10 и 13%. Дис-
персии ои = 0,1; о22 = 0,15; 033 = 0,19. Ковариации О|2 = 0,01;
0)3 = 0,02; о23 = 0,03.

Ответьте на следующие вопросы:

1.	Является ли целевая функция строго вогнутой?

2.	Каково оптимальное значение критерия?

3.	Какую сумму следует вложить в акции типа 1?

4.	Какую сумму следует вложить в акции типа 3?

5.	Как изменится значение целевой функции, если инвести-
руемая сумма увеличится на 0,2%?

Решение

Модель нелинейного (в данном случае — квадратичного) про-
граммирования имеет вид:

F(xi, х2, х3) = 0,08Х) + 0,1х2 + О,13х3 - 0,ЗХ|Х| - 0,45х2х2 -

- 0,57х3х3 - 0,06Х)Х2 - О,12Х)Х3 - 0,18х2х3 -> max;

X) + х2 + х3 = 1000;

X], х2, х3 > 0.

Найдем все частные производные второго порядка целевой
функции F: F” = -0,6; F” =-0,9; F" = -1,14; F" =-0,06;
F”X} = -0,12; F”X} = -0,18.

Рассчитав значения соответствующих определителей (глав-
ных миноров матрицы Хессе), можно убедиться, что выполня-
ются условия (4), откуда следует, что целевая функция строго
выпукла для любых значений х(, х2, х3 (значения определителей
не зависят от значений переменных).
Используя программу «G/NO», исходную информацию для
решения этой задачи представляем в следующем виде:

MODEL:

1)	МАХ(0.08х, + 0.1 х2 + О.13х3 - г, - г2);

2)	г( = 0.3х,Х| + 0.45х2х2 + 0.57х3х3;

3)	г2 = 0.06х,х2 + 0.12Х|Х3 + 0.18х2х3;

4)	х, + х2 + *3 = 1000;

5)	х, > 0;

6)	х2 > 0;

7)	х3 > о;

END

LEAVE

Получаем следующий результат:

• значение целевой функции — 169 988,211;

• значения переменных приведены в таблице:

Variable	Value
Х1	496,808739
х2	305,263160
х3	197,928101
О	138 309,250999
Г2	31 774,961878

Непосредственной подстановкой полученного решения в
условия (5)—(8) можно убедиться, что условия Куна—Таккера
выполняются, причем решение обеспечивает глобальный мак-
симум целевой функции, поскольку Л строго вогнута.

Ответы на вопросы примера

Ответ на вопрос 1

Целевая функция является строго вогнутой при любых зна-
чениях переменных.

Ответ на вопрос 2

Оптимальное (в данном случае максимальное) значение кри-
терия равно —169 988.
Ответ на вопрос 3

В акции типа 1 следует вложить 496,8 тыс. руб.

Ответ на вопрос 4

В акции типа 3 следует вложить 197,93 тыс. руб.

Ответ на вопрос 5

Двойственная оценка ограничения 4 равна —340,1, поэтому
при увеличении инвестируемой суммы на 2 тыс. руб. значе-
ние целевой функции уменьшится приблизительно на 680.

Пример 3

Молокозавод производит для местного рынка три вида про-
дуктов: сметану, творог и сыр. Молоко поступает ежеднев-
но из двух ферм. Технологические и экономические данные
о производимых продуктах приведены в таблице.

Продукт	Коэффициенты выхода продуктов из 1 кг молока, в кг/кг		Максимальный объем суточного производства продуктов, кг	Цена продукта, руб,/кг
	ферма 1	ферма 2		
Сметана	0,1	0,2	75	40
Т ворог	0,25	0,1	100	30
Сыр	0,1	0,08	50	100

Затраты, связанные с приобретением сырья (молока), яв-
ляются кусочно-линейной функцией закупаемого количества.
Пусть у, ..., у5 и z, Z], ..., Zs — возможные объемы закуп-
ки молока на ферме 1 и 2, соответственно.

Затраты для фермы 1

У	У1	У2	Уз	У4	У5
Количество, кг	0	200	300	500	600
Затраты, руб.	0	2000	2700	3900	4400

Затраты для фермы 2

Z		z?		
Количество, кг	0	200	300	600
Затраты, руб.	0	1600	2200	3400

Ответьте на следующие вопросы:

1.	Чему равна максимальная ежедневная прибыль молоко-
завода?
2.	Сколько молока следует закупать на ферме 1?

3.	Сколько молока следует закупать на ферме 2?

4.	Как изменится максимальная прибыль, если максималь-
ное суточное производство творога увеличить на 1 кг?

5.	Как изменится максимальная прибыль, если максималь-
ное суточное производство сыра уменьшить на 2 кг?

Решение

Задача описывается моделью сепарабельного программирова-
ния, которая сводится к модели линейного программирования
следующим образом. Пусть х, — количество молока, закупаемого
на ферме 1, х2 — количество молока, закупаемого на ферме 2:

%! = И, + И2 + И3 + М4>

где 0 < и,- < у/+| - у, .

Согласно исходным данным имеем:

О < w, < 200, 0 < и2 < 100, 0 < и3 < 200, 0 < и4 < 100;

х2 = V| + v2 + v3,

где 0 < v, < z/+| - z,;

0 < У| < 200, 0 < v2 < 100, 0 < v3 < 300.

Тогда стоимость молока, закупаемого на ферме 1, описыва-
ется функцией

С,(Х]) = Юи, + 7и2 + 6и3 + 5и4,
а стоимость молока, закупаемого на ферме 2:

С2 (х 2) — 8 v । + 6 v 2 + 4 у3.

Окончательно модель линейного программирования имеет вид:

21,5х( + 19х2 - (5и, + 6и2 + 7и3 + 10и4) -

- (4V| + 6v2 + 8v3) -> шах;

%, - И] - и2 - и3 - и4 = 0;

х2 - V| - v2 - v3 = 0;

0,1X, + 0,2х2 <75;	-

0,25%| + 0,1х2 < 100;

0,1 х, +0,08х2 < 50;
w, < 200;

и2 < ЮО;

w3 < 200;

и4 < 100;

V] < 200; '

v2 < 100;

v3 < 300.

Используя для решения этой задачи программу «P0MWIN»,
получаем следующие ответы.

Ответы на вопросы примера

Ответ на вопрос 1

Максимальная прибыль составляет 8512,5 руб.

Ответ на вопрос 2

На ферме 1 следует закупать 312,5 кг молока.

Ответ на вопрос 3

На ферме 2 следует закупать 218,75 кг молока.

Ответ на вопрос 4

При увеличении значения максимального производства тво-
рога на 1 кг оптимальный размер прибыли увеличится на
45 руб.

Ответ на вопрос 5

При уменьшении значения максимального производства сыра
на 2 кг оптимальный размер прибыли уменьшится на 80 руб.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вопрос 1

Задана действительная функция /(х), определенная на отрезке
действительных чисел S = [0, 100]. Пусть х, и х2 — точки этого
отрезка и 0 < X < 1. Какое из нижеприведенных условий яв-
ляется условием выпуклости функции?

Возможные ответы:

1)	/(Хх, + [1 - Х]х2) > Х/(х,) + (1 - Х)/(х2);

2)	Х/(х,) + (1 - Х)/(х2) > Z(Xx, + [1 - Х]х2);
3)	+ [1 - X]x2) <Xf(x2) + (1 - X)/(x,).

4)	Xf(xl) + (I - X)f(x2) > f(kx] + [1 - Ti]x2).

5)	\f(x{) + (1 - X)f(x2) < f(Xx} + fl - X]x2).

Вопрос 2

При сформулированных в вопросе 1 условиях, какой из ни-
жеприведенных ответов является условием строгой вогнутости
функции?

1.	Х/(х,) + (1 - X)f(x2) < /(Хх, + [1 - XJx2).

2.	Х/(х() + (1 - Х)/(х2) > /(Хх, + [1 - Х]х2).

3.	/(Хх2 +[1 -Х]х,) < Х/(х,) + (1 -k)f(x2).

4.	Х/(х,) + (1 - Х)/(х2) < Ж*, + [1 - Х]х2).

5.	/(Хх, + [I - Х]х2) > Х/(х() + (1 - Х)/(х2).

Вопрос 3

Если функция имеет вид:

/(х,, х2) = 4х, + 8х2 + 5х,х2 - Зх,Х| - Зх2х2,

то она:

1)	выпуклая;

2)	строго выпуклая;

3)	вогнутая;

4)	строго вогнутая;

5)	выпуклая и вогнутая.

Вопрос 4

Если функция имеет вид:

/(Х|, х2) = 3 - 6Х| + 1 Зх2

то она:

1)	выпуклая;

2)	и выпуклая и ни вогнутая;

3)	вогнутая;

4)	строго вогнутая;

5)	выпуклая и вогнутая.
Вопрос 5

Функция /(xt, х2) = Юх, + Зх2- 5Х3 всюду:

1)	выпуклая;

2)	и выпуклая и ни вогнутая;

3)	вогнутая;

4)	строго вогнутая;

5)	выпуклая и вогнутая.

Вопрос 6

Новая модель скоростного мотоцикла «Комета» продается
предприятием по цене (30 — 2х) тыс. долл, за штуку, где х —
количество проданных мотоциклов. Переменные производ-
ственные затраты составляют 6 тыс. долл, за штуку, фик-
сированные затраты составляют 30 тыс. долл. Необходимо
максимизировать прибыль предприятия за неделю. Предпо-
ложим, что в результате изменения ставки налогов с продаж,
налог составил дополнительно 4 тыс. долл, на каждый про-
данный мотоцикл. Как изменится оптимальный выпуск
мотоциклов по сравнению с начальной ситуацией? Решить,
используя функцию Лагранжа.

Возможные ответы:

1)	увеличится на 2;

2)	уменьшится на 2;

3)	не изменится;

4)	увеличится на 1;

5)	уменьшится на 1.

Вопрос 7

Предположим, что у вас есть 2 недели (14 дней) отпуска,
которые вы можете провести на Канарских островах и в Ниц-
це. Пусть функция полезности вашего отдыха имеет вид:
2KN - 3 К2 - 4 /V2, где А7и /V- число дней, которое вы про-
водите на Канарских островах и в Ницце, соответственно.
Сколько дней вы должны провести в Ницце, чтобы макси-
мизировать свою функцию полезности? (Для решения исполь-
зовать функцию Лагранжа. Результат округлить до ближай-
шего целого. Проверить, выполняются ли условия оптималь-
ности Куна—Таккера.)

Возможные ответы:

1) 3; 2) 4; 3) 5; 4) 6; 5) 7.
Вопрос 8

Для условий, сформулированных в вопросе 7, найти значе-
ние двойственной оценки ограничения. Результат округлить
до ближайшего целого.

Возможные ответы:

1) 41; 2) 34; 3) 29; 4) 39; 5) 44.

Вопрос 9

Монополист планирует программу производства и реализа-
ции продукции на некоторый период. Цены на продукт 1:
Р\ = 14 - 0,25хн на продукт 2: р2 = 14 - 0,5х2, где х, и х2 —
объемы реализации продуктов. Предположим, что вся про-
изведенная продукция реализуется. Максимальный суммар-
ный объем сбыта — 57.

Каков оптимальный выпуск продукта 2? Использовать
программу «GINO».

Возможные ответы:

1) 36,4; 2) 30,7; 3) 26,3; 4) 20,6; 5) 41,8.

Вопрос 10

Владелец небольшого предприятия располагает на ближай-
ший месяц 100 тыс. руб., которые может потратить на уве-
личение основных фондов (закупки оборудования) Кпо цене
1 тыс. за единицу либо для покупки дополнительной рабо-
чей силы L по цене 50 руб./ч. Увеличение готовой продук-
ции, которая может быть продана по 10 тыс. за единицу,
определяется производственной функцией F(K, L) = L2^ К2^.

Как потратить деньги оптимальным образом?

Сколько средств необходимо потратить на увеличение
основных фондов?

Для решения использовать программу «GINO».

Возможные ответы:

1) 74,36; 2) 58,33; 3) 63,44; 4) 45,66; 5) 39,77.

ЗАДАЧИ

Задача 1

На кондитерской фабрике «Десерт», вследствие уменьшения
спроса на ряд ее изделий, освободилась часть производствен-
ных мощностей. Чтобы избежать сокращения численности
рабочих, специалисты фабрики разработали технологию про-
изводства двух новых видов шоколадных конфет: шоколад-
ных бочонков с коньяком, получивших название «Братец
Иванушка» (БИ), и шоколадных шариков с вишней, назван-
ных «Сестрица Аленушка» (СА). Новые виды конфет про-
изводятся на трех производственных линиях: 1) производ-
ство шоколада, 2) изготовление конфет, 3) упаковка и кон-
троль. Первая и третья линии — общие для конфет обоих
наименований. Доля шоколада в общем весе одной конфе-
ты БИ составляет 70%, а в конфете СА — 80%. Максималь-
но доступная для производства новой продукции мощность
линии по изготовлению шоколада составляет 250 кг в сут-
ки. Производительность линии по изготовлению конфет
БИ — 170 кг в сутки, конфет СА — также 170 кг. Удельные пе-
ременные затраты составляют: для конфет БИ — 180 руб./ кг,
для конфет СА — 150 руб./ кг. Предполагается, что все из-
готовленные в течение суток конфеты будут проданы. Ввиду
исключительности новых изделий, внешней конкуренции для
них нет, однако они конкурируют друг с другом. В резуль-
тате проведенного исследования были получены следующие
зависимости объемов сбыта от цен:

%, = 500 - /?, + 0,2/?2, х2 = 500 + ОД/?, - р2,
гдеХ| — произведенное (проданное) в течение суток количе-
ство конфет БИ (кг);

х2 — произведенное (проданное) в течение суток количе-
ство конфет СА (кг);

/?1 — цена конфет БИ (руб./кг);

р2 — цена конфет СА (руб./кг).

Определить производственную программу, при которой
суточная прибыль фабрики от производства новой продук-
ции максимальна.

Ответьте на вопросы:

1.	Какова максимальная прибыль фабрики (тыс.руб.)?

2.	Каков оптимальный выпуск конфет БИ (кг)?

3.	Каков оптимальный выпуск конфет СА (кг)?

4.	Какова оптимальная цена конфет БИ (руб.)?

5.	Какова оптимальная цена конфет СА (руб.)?

Задача 2

На молочном комбинате помимо других продуктов произ-
водится сырковая масса трех наименований: «Изюминка»,
«Ваниль» и «Орешек» жирности соответственно 6, 5 и 3%.
В качестве основных исходных продуктов используются творог
жирности 8, 7 и 2%, объемы суточных поставок которого
составляют по 200 кг каждого вида, и сахар, имеющийся
в количестве 70 кг в сутки. По технологии для получения
1 кг сырковой массы «Изюминка» требуется сахара 30 г, для
«Ваниль» — 40 г и для «Орешек» — 60 г. Цена сырковой массы
«Изюминка» равна 36 руб./ кг, «Ваниль» — 35 руб./кг и «Оре-
шек» — 33 руб./кг. Закупочная цена творога жирности 8%
определяется зависимостью (29 - 0,003.x) руб./кг, где х — объем
закупки (кг). Аналогичные зависимости для творога жирности
7%: (27 - 0,008х); для творога жирности 2%: (26 - 0,005х).
Минимальный выпуск сырковой массы «Изюминка» — 100 кг,
«Ваниль» — 50 кг, «Орешек» — 50 кг.

Постройте производственную программу, максимизиру-
ющую общую суточную прибыль.

Ответьте на вопросы'.

1.	Какова максимальная прибыль (руб.)?

2.	Каков оптимальный объем производства сырковой массы
«Орешек» (кг)?

3.	Каков оптимальный объем производства сырковой массы
«Ваниль» (кг)?

4.	Каковы размеры оптимальных затрат (руб.)?

5.	На сколько рублей уменьшится прибыль, если ресурс тво-
рога жирности 8% уменьшится на 3%?

Задача 3

Завод производит два вида высококачественного паркета из
дуба, отличающиеся формой и толщиной деталей. Дефицит-
ными ресурсами служат дубовая доска и специальная жид-
кость, которой детали пропитываются. Для производства
1 м2 паркета вида 1 требуется 0,01 м3дубовой доски и 0,05 кг
жидкости для пропитки. Для производства 1 м2 паркета вида 2
потребности в ресурсах составляют соответственно 0,02 м3
и 0,15 кг. Максимальное количество ресурсов за месяц:
20 м3 дубовой доски и 150 кг жидкости для пропитки. Затраты
на закупку 1 м3 дубовой доски составляют (1000 - Зг() руб., где
г, — объем дубовых досок, использованных в производстве
паркета. Затраты на закупку 1 кг жидкости для пропитки со-
ставляют (500 - 0,5г2) руб., где г2 — количество использован-
ной в производстве паркета жидкости для пропитки. Пред-
полагается, что других затрат нет. Оба вида паркета могут
частично заменять друг друга, поэтому величины спроса на
них взаимозависимы. Цена 1 м2 паркета (руб./м2) вида 1 опре-
деляется зависимостью р{ = 100 - 0,04%, - 0,01х2, а цена 1 м2
паркета вида 2 зависимостью р2 = 210 - 0,008х, - О,ОЗх2, где
л,, х2 — объемы производства (м2) паркета вида 1 и 2, соот-
ветственно.

В предположении, что весь паркет может быть продан,
определите производственную программу завода, обеспе-
чивающую максимум прибыли.

Ответьте на следующие вопросы'.

1.	Какова максимальная прибыль предприятия (тыс. руб.)?

2.	По какой цене следует продавать паркет первого вида
(руб./м2)?

3.	По какой цене следует продавать паркет второго вида
(руб./м2)?

4.	Какое количество жидкости для пропитки используется в
производстве (кг)?

5.	Каков оптимальный выпуск паркета второго вида (м2)?

Задача 4

Данная задача является одним из вариантов рассмотренной
выше задачи формирования портфеля ценных бумаг.

Некий клиент поручил брокерской конторе купить для
него на 3 млн руб. акции четырех известных ему компаний.
Сделка заключается на год. Клиент заинтересован в мини-
мальном риске при условии, что средний процент прибыли,
обеспечиваемый портфелем акций к концу года, был бы не
менее 9%. Известно, что средние значения процентов годо-
вой прибыли от акций компаний составляют соответствен-
но 8, 5, 13, 9 и 10%.

Дисперсии процентов прибыли: ан = 0,1, о22 = 0,19,
ст33 = 0,13, а44 = 0,14.

Ковариации: о12= 0,05, а,3 = 0,02, о14= 0,03, о23 = 0,04,
о24 = 0,03, а34 = 0,01.

Ответьте на следующие вопросы.

1.	Какова величина средней годовой прибыли (тыс. руб.)?

2.	На какую сумму следует купить акции компании 1 (тыс.
руб.)?

3.	На какую сумму следует купить акции компании 2 (тыс.
руб.)?

4.	Какова минимальная дисперсия портфеля акций?
ОТВЕТЫ

Ответы на вопросы

1 — 4, 2 — 1, 3 — 4, 4 — 5, 5 — 2, 6 — 5, 7 — 4, 8 — 2, 9 — 4,
10-2.

Ответы на задачи

Задача 1

1.	Максимальная прибыль фабрики составляет 93 тыс. руб.

2.	Оптимальный выпуск конфет БИ равен 163 кг.

3.	Оптимальный выпуск конфет СА 170 кг.

4.	Оптимальная цена конфет БИ 429 руб.

5.	Оптимальная цена конфет СА 459 руб.

Задача 2

1.	Максимальная прибыль равна 6175 руб.

2.	Оптимальный объем производства сырковой массы «Оре-
шек» составляет 50 кг.

3.	Оптимальный объем производства сырковой массы «Ва-
ниль» составляет 61,5 кг.

4.	Оптимальный объем затрат 15 960 руб.

5.	При уменьшении на 3% ресурса творога жирностью 8%
прибыль уменьшится на 58 руб.

Задача 3

1.	Максимальная прибыль предприятия — 99,074 тыс. руб.

2.	По какой цене следует продавать паркет первого вида
82,78 руб./м2.

3.	Паркет первого вида следует продавать по цене 181,44 руб./м2.

4.	В производстве используется 144,84 кг жидкости для про-
питки.

5.	Оптимальный выпуск паркета второго вида 897 м2.

Задача 4

1.	Величина средней годовой прибыли составляет 282 тыс. руб.

2.	Акции компании 1 следует купить на 1043 тыс. руб.

3.	Акции компании 2 следует купить на 240 тыс. руб.

4.	Минимальная дисперсия портфеля акций 475 780.
Глава 12

СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

ЦЕЛИ

Возникновение теории управления запасами можно связать
с работами Ф. Эджуорта и Ф. Харриса, появившихся в конце
XIX — начале XX в., в которых исследовалась простая оптими-
зационная модель для определения экономичного размера партии
поставки для складской системы с постоянным равномерным
расходом и периодическим поступлением хранимого продукта.

Запасом называется любой материальный ресурс, который
хранится на предприятии для удовлетворения будущих потреб-
ностей. Например, полуфабрикаты, готовые изделия, материа-
лы, запчасти для ремонта оборудования.

Существуют причины, побуждающие фирмы создавать запасы:

1)	дискретность поставок при непрерывном потреблении;

2)	упущенная прибыль в случае отсутствия запаса;

3)	случайные колебания:

а)	спроса за период между поставками;

б)	объема поставок;

в)	длительности интервала между поставками;

4)	предполагаемые изменения конъюнктуры:

а)	сезонность спроса;

б)	сезонность производства.

Существуют также причины, побуждающие предприятия
стремиться к минимизации запасов на складах:

1)	плата за хранение запаса;

2)	физический износ запаса;

3)	моральный износ продукта.
После того, как вы выполните задания, предлагаемые в этой
главе, вы будете уметь формулировать и использовать для эко-
номического анализа следующие понятия:

•	запас;

•	заказ;

•	издержки выполнения заказа (издержки заказа);

•	издержки хранения;

•	упущенная прибыль (издержки дефицита);

•	срок выполнения заказа;

•	точка восстановления.

МОДЕЛИ

Существует проблема классификации имеющихся в наличии
запасов. Для решения этой задачи используется методика адми-
нистративного наблюдения. Цель ее заключается в определении
той части запасов фирмы, которая требует наибольшего внимания
со стороны отдела снабжения. Для этого каждый компонент
запасов рассматривается по двум параметрам — его доля в об-
щем количестве запасов фирмы и в общей стоимости запасов
предприятия.

Методика 20/80

В соответствии с этой методикой компоненты запаса, состав-
ляющие 20% его общего количества и 80% его общей стоимо-
сти, должны отслеживаться отделом снабжения более внима-
тельно.

Методика АВС

В рамках этой методики запасы, имеющиеся в распоряже-
нии предприятия, разделяются на три группы:

•	группа А: 10% общего количества запасов и 65% его стоимо-
сти;

•	группа В: 25% общего количества запасов и 25% его стоимо-
сти;

•	группа С: 65% общего количества запасов и около 10% его
стоимости.

Именно наименьшая по объему и наиболее ценная часть
запасов может стать предметом особого контроля и математи-
ческого моделирования.
Необходимо отметить, что классификация запасов может быть
основана не только на показателях доли в общей стоимости и в
общем количестве. Некоторые виды запасов могут быть причис-
лены к более высокому классу на основании таких характерис-
тик, как специфика поставок, проблемы качества и т.д. Преиму-
щества методики деления видов запасов на классы заключается
в возможности выбора порядка контроля и управления для каж-
дого из них. Если в ходе классификации мы основывались на
методе АВС анализа, имеет смысл обратить внимание на следу-
ющие моменты политики управления запасами.

1.	Виды запасов группы А требуют более внимательного и
частого проведения инвентаризации состояния запасов,
правильность учета запасов этой группы должна подтверж-
даться чаще.

2.	Планирование и прогнозирование, касающееся запасов
группы А, должно характеризоваться большей степенью
точности, нежели относящееся к запасам группы В и С.

3.	Для группы А нужно стараться создать страховой запас,
чтобы избежать больших расходов, связанных с отсутствием
запасов этой группы.

4.	Методы и приемы управления запасами, рассматрива-
ющиеся далее, должны прежде всего применяться к запа-
сам групп А и В. Что касается запасов группы С, обычно
момент возобновления заказа по ним определяют исходя
из конкретных условий, а не на основе количественного
метода, чтобы свести до минимума расходы на их конт-
роль.

Рассмотрим определяющие понятия теории управления за-
пасами.

Издержки выполнения заказа (издержки заказа) — накладные
расходы, связанные с оформлением заказа. В промышленном
производстве такими издержками являются затраты на перена-
ладку оборудования и подготовительные операции.

Издержки хранения — расходы, связанные с физическим со-
держанием товаров на складе, плюс возможные проценты на
капитал, вложенный в запасы. Обычно они выражаются или в
абсолютных единицах, или в процентах от закупочной цены и
связываются с определенным промежутком времени.

Упущенная прибыль (издержки дефицита) — издержки, свя-
занные с неудовлетворенным спросом, возникающем в резуль-
тате отсутствия продукта на складе.
Совокупные издержки за период представляют собой сумму
издержек заказа, издержек хранения и упущенной прибыли.
Иногда к ним прибавляются издержки на закупку товара.

Срок выполнения заказа — время с момента заказа до момен-
та его выполнения.

Точка восстановления — уровень запаса, при котором дела-
ется новый заказ.

Детерминированные модели

Простейшая модель Ml оптимального размера заказа

Предпосылки', темп спроса на товар известен и постоянен;
получение заказа мгновенно; закупочная цена не зависит от
размера заказа; не допускается дефицит.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа и хранения.

Результат: оптимальный размер заказа, время между зака-
зами, количество заказов за фиксированный период времени, со-
вокупные издержки.

Размер заказа является постоянным. Заказ выполняется мгно-
венно. Уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью,
пока не достигает нулевого значения. В этот момент времени
делается и мгновенно выполняется заказ. Уровень запаса вос-
станавливается до максимального значения. При этом оптималь-
ным будет тот размер заказа, при котором минимизируются общие
издержки за период, равные сумме издержек хранения и издер-
жек заказа.

Динамика изменения количества продукта на складе пока-
зана на рис. 12.1.
Пусть:

Q — размер заказа;

Т — протяженность периода планирования;

D — величина спроса за период планирования;

d — величина спроса в единицу времени;

К — издержки заказа;

Н — удельные издержки хранения за период;

h — удельные издержки хранения в единицу времени.
Тогда:

„	D IZ

С| = — А — издержки заказа;

издержки хранения;

С = С, + С-)

D v Q

= — А + — Н — совокупные издержки.

Кривые издержек заказа, издержек хранения и совокупных
издержек приведены на рис. 12.2.

Определив минимум функции совокупных издержек, получаем:
12dK 12DK

(J = J —— = J  — оптимальный размер заказа;

N =	— оптимальное число заказов за период;

2* т

t = — =------время цикла (оптимальное время между зака-

“ N зами).

Следует обратить внимание на то, что оптимальный размер
заказа не зависит от цены продукта.
Модель М2 оптимального размера заказа
С ФИКСИРОВАННЫМ ВРЕМЕНЕМ ЕГО ВЫПОЛНЕНИЯ

Предпосылки', темп спроса на товар известен и постоянен;
время выполнения заказа известно и постоянно; закупочная цена
не зависит от размера заказа; не допускается дефицит.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа и хранения,
время выполнения заказа.

Результат: оптимальный размер заказа, время между зака-
зами, точка восстановления запаса, количество заказов за фик-
сированный период времени, совокупные издержки.

Размер заказа и время выполнения заказа являются постоян-
ными. Уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью,
пока не достигает точки восстановления R.

Точка восстановления — запас продукта, при котором нуж-
но сделать очередной заказ. В этот момент времени делается заказ,
который выполняется за время L. К моменту поступления за-
каза размер запаса на складе равен нулю. Оптимальным реше-
нием задачи будет такой размер заказа Q*. при котором мини-
мизируются общие издержки за период, равные сумме издержек
хранения и издержек заказа.

Динамика изменения количества продукта на складе пока-
зана на рисунке. Горизонтальной линией отмечено количество
продукта, равное точке восстановления (рис. 12.3).

Пусть:

Q — размер заказа;

Т — протяженность периода планирования;

D — величина спроса за период планирования;
d — величина спроса в единицу времени;

К — издержки заказа;

Н — удельные издержки хранения за период;

h — удельные издержки хранения в единицу времени;

L — время выполнения заказа.

Тогда:

D „

— К — издержки заказа;

-2Н

— издержки хранения;

г D v Qu

С = — л + —п — совокупные издержки.

l2dK I2DK

(2 = J —;— = J —— — оптимальный размер заказа;
V П N Н

R = dL — точка восстановления;

N = — — оптимальное число заказов за период;

/ = — = — — время цикла (оптимальное время между зака-
d N

зами).

Модель Л/З с производством

Предпосылки', темп спроса на товар известен и постоянен; темп
производства товара известен и постоянен; время выполнения
заказа известно и постоянно; закупочная цена не зависит от раз-
мера заказа; дефицит не допускается.

Исходные данные: темп спроса, темп производства, издерж-
ки заказа, издержки хранения, время выполнения заказа.

Результат: оптимальный размер заказа, время между зака-
зами, точка восстановления запаса.

Фирма производит продукт самостоятельно, хранит его на
складе и расходует в постоянном темпе. Если темп производства
выше темпа спроса, то излишки продукта накапливаются на
складе. Когда количество продукта на складе достигает макси-
мального значения, производство прекращается и продукт рас-
ходуется со склада. Когда запас на складе достигает точки вос-
становления, производство возобновляется. При этом оптималь-
ным решением задачи будет тот размер заказа Q , при котором
минимизируются общие издержки за период, равные сумме из-
держек хранения и издержек на возобновление производства.

Динамика изменения количества продукта на складе пока-
зана на рис. 12.4.

Пусть:

Q — размер заказа;

Р — темп производства;

Т — протяженность периода планирования;

D — величина спроса за период планирования;

d — величина спроса в единицу времени;

К — фиксированные издержки на запуск производства;

Н — удельные издержки хранения за период;

h — удельные издержки хранения в единицу времени;

L — время, необходимое для запуска производства.

Тогда:

D „

— К — издержки на запуск производства;

Ж d\

—— 1-----— издержки хранения;

2d К

2D К

— оптимальный размер заказа;

S* = Q* |---_ максимальный уровень запасов;

I Р)

R = dL — точка восстановления;
лг О

/V = — — оптимальное число заказов за период;

2* Т

t = — =------время цикла ( оптимальное время между зака-

d N ,

зами).

В этой модели оптимальный размер заказа также не зависит
от цены продукта.

Модель Л/4 оптимального размера заказа с дефицитом

Предпосылки', темп спроса на товар известен и постоянен;
время выполнения заказа известно и постоянно; закупочная цена
не зависит от размера заказа.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа, издержки
хранения, издержки дефицита.

Результат: оптимальный размер заказа, время между зака-
зами, точка восстановления запаса, количество заказов за фикси-
рованный период времени, совокупные издержки.

Размер заказа является постоянным. Уровень запасов убы-
вает с постоянной интенсивностью. Допускается дефицит про-
дукта. После получения заказа фирма компенсирует дефицит и
восстанавливает запас продукта на складе. Заказ делается тогда,
когда дефицит продукта на складе достигает оптимального разме-
ра. Оптимальным решением задачи будет такой размер заказа Q*,
при котором минимизируются общие издержки за период, рав-
ные сумме издержек хранения и издержек заказа.

Динамика изменения количества продукта на складе пока-
зана на рис. 12.5.
Пусть:

Q — размер заказа;

Т — протяженность периода планирования;

D — величина спроса за период планирования;

d — величина спроса в единицу времени;

К — издержки заказа;

,Н — удельные издержки хранения за период;

’ h — удельные издержки хранения в единицу времени;

В — упущенная прибыль за период, возникающая в резуль-
тате дефицита одной единицы продукта;

5 — запас за единицу времени;

b — упущенная прибыль в единицу времени, возникающая
в результате дефицита одной единицы продукта.

Тогда:

D „

— К — издержки заказа;

S2

— издержки хранения;

^2^	~ издержки дефицита;

D S2 (О - S)2

С = — К + — Н + "—~ совокУпные издержки.

\2dK b + h I 2DK B + H

У = J —----т— = J ——-------— — оптимальный размер за-

V	h Ь \ П В

каза;

[2dK Г~ I2DK В~

о = J —;—-—г = J	——— — максимальный размер

V	h b + h N И B+H

запаса;

/?* = Q*- S* — максимальный дефицит.

R = dL — точка восстановления запаса.

Модель М5 с количественными скидками

Предпосылки', темп спроса на товар известен и постоянен;
время выполнения заказа известно и постоянно.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа, издержки
хранения, цена товара, количественные скидки в случае закуп-
ки крупных партий товара.
Результат-, оптимальный размер заказа, время между зака-
зами, точка восстановления запаса, количество заказов за фик-
сированный период времени, совокупные издержки.

Пусть:

Q — размер заказа;

Т — протяженность периода планирования;

D — величина спроса за период планирования;

d — величина спроса в единицу времени;

К — издержки заказа;

Н — удельные издержки хранения за период;

h — удельные издержки хранения в единицу времени.

Предположим, что известны числа с,, a,, i = 1, ..., п, где с, —
цена продукта при размере заказа Q в интервале а, _ ( < Q < а,.
Будем считать, что а0 = 0 и а„ = +».

Тогда:

D „

— К — издержки заказа;

Q

— издержки хранения;

c,Z) — издержки на закупку товара.

Оптимальный размер заказа определяется в результате реше-
ния и задач. Каждая из этих задач сводится к определению та-
кого размера заказа Qh i = 1, ..., п, при котором функция сово-
г D r Q „ п

купных издержек С, = —К + —Н + c,D достигает минимума при

ограничениях а, ., < Q < а,. Решение исходной задачи опреде-
ляется из условия Q* = arg max {С, ((?, )}.

На рис. 12.6 изображены функции совокупных издержек для
трех значений цен продукта.

C,(Q)
c2(Q)
C3(Q)

Q

Qi ai	a2

Рис. 12.6
Значение цены:

с, определено на интервале 0 < Q < а};

с2 определено на интервале я, < Q < а2,
с3 определено на интервале а2 < Q < +°о.
Соответственно, функция общих издержек:
С|((2) определена при значении цены с, на интервале 0 < Q < о,;
C2(Q) определена при значении цены с2 на интервале < Q< а2;
C3(Q) определена при значении цены с3 на интервале а2 < Q< +оо.
Минимальное значение функции:

С,(0 в области ее допустимых значений достигается в точке а};
C2(Q) в области ее допустимых значений достигается в точке Q2,
C3(Q) в области ее допустимых значений достигается в точке а2.
Оптимальный размер заказа следует выбирать из величин (?,,
а} а2 по формуле:

Q* = arg max {С, (Q), С^), С3(а2)}.

Стохастическая модель

Дискретная стохастическая модель Л/6

В данном случае мы отказываемся от предположения о по-
стоянстве и детерминированности величины спроса на товар и
предполагаем известным распределение величины спроса.

Пусть:

5	— размер запаса;

Т	— протяженность периода планирования;

D — величина спроса за период планирования (целое
число);

И — удельные издержки хранения за период;

В — удельные издержки дефицита за период;

p(D) — вероятность того, что величина спроса за период пла-
нирования -составит Z);

F(x) — функция распределения величины спроса:

F(x) = p(D <х)= Y

D = 0

В случае, когда величина спроса за период планирования
превышает размер запаса, возникает дефицит и соответствую-
щие издержки дефицита. Если заказ больше, чем величина спроса,
то возникают издержки хранения. Для величины запаса 5 ма-
тематическое ожидание издержек хранения за период планиро-
вания определяется по формуле:

Q

С, (5) = Н Y - D)p(DY,

D = 0
математическое ожидание издержек дефицита за период плани-
рования:

C2(S) = B X (D-S)p(Dy,

D = S + \

математическое ожидание совокупных издержек:

С(5) = С,(5) + С2(5).

В стохастической модели оптимальным является такой раз-
мер заказа 5 , при котором математическое ожидание совокуп-
ных издержек C(S ) имеет минимальное значение.

Оптимальным является такой размер заказа S*, который удов-
летворяет условию:

F{S ) < ТГГв < F(S*+ °'

Если

В

И + В’

то С(5*) = С(5*+ 1) и оптимальными

F(5*) =

являются как размер заказа 5*, так и размер заказа 5*+ 1.

ПРИМЕРЫ

Пример 1

Андрей Удачливый является торговым агентом компании
«VOLVO» и занимается продажей последней модели этой
марки автомобиля. Годовой спрос оценивается в 4000 еди-
ниц. Цена каждого автомобиля равна 90 тыс. руб., а го-
довые издержки хранения составляют 10% цены самого ав-
томобиля. Андрей произвел анализ издержек заказа и по-
нял, что средние издержки заказа составляют 25 тыс. руб.
на заказ. Время выполнения заказа равно 8 дням. В те-
чение этого времени ежедневный спрос на автомобили ра-
вен 20 шт.
Ответьте на вопросы:

1)	Чему равен оптимальный размер заказа?

2)	Чему равна точка восстановления?

3)	Каковы совокупные издержки?

4)	Каково оптимальное количество заказов в год?

5)	Каково оптимальное время между двумя заказами, если
предположить, что количество рабочих дней в году равно
200?

Решение

Исходные данные	Решение
Издержки заказа К = 25	Точка восстановления R = 91,4
Издержки хранения = 9/200	Число заказов за год N = 26,83
Цена за единицу с = 90	Совокупные издержки С = 1341
Время выполнения заказа L = 8	Стоимость продаж = 360 000
Ежедневный спрос d = 20	Число дней между заказами t = 7,45
Число рабочих дней Т = 200	

Пример 2

Магазин «Лада» закупает духи «Ландыш» на одной из пар-
фюмерных фабрик города. Годовой спрос на этот продукт со-
ставляет примерно 600 шт. Издержки на заказ равны 850 руб.,
издержки на хранение — 510 руб. на 1 упаковку (20 шт.) в
год. Магазин заключил договор на поставку с фиксирован-
ным интервалом времени. Количество рабочих дней в го-
ду — 300. Время поставки товара — 6 дней. Стоимость одно-
го флакона 135 руб. Чему равно оптимальное число заказов
в течение года, точка восстановления заказа и минимальные
совокупные издержки?

Решение

Оптимальный размер заказа составит

2* =

2D К
И

2 х 600 х 850

25,5

= 200 шт.

Число заказов в течение года равно

N =

D
Q*

600
n	“	600 _

Поскольку среднесуточный спрос равен = 2 шт., за время
поставки товара спрос составит 12 шт. Минимальные издерж-
ки на заказ и на хранение равны:

с = — К + — И = 3 X 850 + 100 X 25,5 = 5100 руб.

Q 2

Пример 3

На некотором станке производятся детали в количестве
12 000 единиц в год. Эти детали используются для произ-
водства продукции на другом станке производительностью
3600 единиц в год. Оставшиеся детали образуют запас.
Издержки хранения составляют 0,5 руб. за одну деталь в год.
Стоимость производственного цикла на первом станке рав-
на 800 руб. Рассчитайте оптимальный размер партии на пер-
вом станке.

Решение

Оптимальный размер партии

2D К

2 х 3600 х 800

0,5 х

3600 А

12 000 J

= 4056,7 шт.

Пример 4

Используя условия примера 2, рассмотрим вариант плани-
рования дефицита. Допустим, по оценке менеджера упущен-
ная прибыль, связанная с отсутствием товара и утратой
доверия клиентов, составляет 20 руб. в год за один флакон
духов «Ландыш». Издержки на заказ и на хранение товара
не меняются. Определить оптимальный размер заказа при пла-
новом дефиците. Нужно ли вводить менеджеру систему с
плановым дефицитом?

Решение

Оптимальный размер партии равен

о* I В + Н _пп . . -пп

О = .----------= 200 х 1,5 = 300 шт.

N Н В
Максимальный размер запаса за один цикл равен:

* j 2DK В ->(хс\ л се. 1 эл

5 = J-------------= 200 х 0,66 = 132 шт.

V Н В+ Н

Совокупные издержки составят

D У2 (О - У12

С = — К + — Н +	’ В = 1700 + 740,5 + 940,8 = 3381,3 руб.

Q IQ 2Q	У

Совокупные издержки при плановом дефиците меньше издер-
жек без дефицита на 1718,7 руб.

Пример 5

Рассмотрим пример, объясняющий принцип принятия ре-
шения в условиях скидки. Магазин «Медвежонок» продает
игрушечные гоночные машинки. В зависимости от объема
заказа фирма имеет скидки, приведенные в таблице.

Варианты скидок	1	2	3
Количество, при котором дается скидка	0:1000	1000 ;2000	выше 2000
Размер скидки, %	0	4	5
Цена со скидкой, руб.	5,00	4,80	4,75

Издержки заказа составляют 49 руб. Годовой спрос на ма-
шинки равен 5000 шт. Годовые издержки хранения в про-
центном отношении к цене составляют 20% или 0,2. Необ-
ходимо найти размер заказа, минимизирующий общие
издержки.

Решение

Рассчитаем 0*для каждого вида скидок: Q*t = 700, 0*2 = 714,
Q3 =718. Так как Q\ находится в интервале между 0 и 1000, то
его необходимо взять равным 700. Оптимальный объем со скидкой
Q2 меньше количества, необходимого для получения скидки,
следовательно, его необходимо принять равным 1000 единиц.
Аналогично, Q3 берем равным 2000 единиц. Тогда получим:
0, = 700, 02 = 1000, 03 = 2000.

Рассчитаем общие издержки для каждого размера заказа и вида
скидок, а затем выберем наименьшее значение. Расчеты приве-
дены в таблице.
Варианты скидок	1	2	3
Цена со скидкой, руб.	5,00	4,80	4,75
Размер заказа	700	1000	2000
Стоимость товара за год	25 000	24 000	23 750
Годовые издержки заказа, руб.	350,0	245,0	122,5
Годовые издержки хранения, руб.	350	480	950
Общие годовые издержки, руб.	25 700,0	24 725,0	24 822,5

Выберем тот размер заказа, который минимизирует об-
щие годовые издержки. Из таблицы видно, что заказ в размере
1000 игрушечных гоночных машинок будет минимизировать
совокупные издержки.

Пример 6

Небольшой салон специализируется на продаже видеомагни-
тофонов стоимостью 2000 руб. Затраты на хранение едини-
цы продукции составляют 500 руб. Изучение спроса, прове-
денное в течение месяца, дало распределение числа покупа-
емых видеомагнитофонов.

Спрос, шт.	3	4	5	6	7
Вероятность	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Найти оптимальный размер запаса.

Решение

Суммарные затраты вычисляются по формуле:

C(S) = H^(S-D)p(D)+B £ (D-S)p(D).
[)-()	0-5-1

Доказано, что при дискретном случайном спросе С(5) ми-
нимальны при S , удовлетворяющем неравенству

F(5’) < ——
Н + В

F(S* + 1),

g

где р =----- — плотность убытков, F(S) = p(D < S) — функ-

Н + В

ция распределения спроса. Вычислим плотность убытков

В, 2000 OQ и ~	Ж

р = ——— = 25QQ = 0,8. Найдем значения функции распределе-

ния спроса:
Запас, шт.	3	4	5	6	7	>7
Спрос, шт.	3	4	5	6	7	> 7
F(S)	0,0	0,1	0,3	0,6	0,9	1,0

Оптимальный размер заказа удовлетворяет неравенству
F(6) < 0,8 < F(7). Следовательно, размеры запасов в 6 единиц и
в 7 единиц, будут оптимальными.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вопрос 1

В детерминированной модели управления запасами оптималь-
ный размер заказа:

1)	прямо пропорционален величине спроса на продукт за
период и обратно пропорционален удельным издержкам
хранения за период и стоимости заказа;

2)	прямо пропорционален величине спроса на продукт за
период и стоимости заказа и обратно пропорционален
удельным издержкам хранения за период;

3)	прямо пропорционален величине спроса на продукт за
период и удельным издержкам хранения за период и об-
ратно пропорционален стоимости заказа;

4)	прямо пропорционален стоимости заказа и удельным из-
держкам хранения за период и обратно пропорционален
величине спроса на продукт за период;

5)	прямо пропорционален удельным издержкам хранения за
период и обратно пропорционален величине спроса на
продукт за период и стоимости заказа.

Вопрос 2

Для определения оптимального размера заказа в модели с
производством необходимо знать:

1)	величину спроса, издержки заказа и темп производства;

2)	издержки дефицита, величину спроса и издержки хране-
ния;

3)	издержки заказа, темп производства и упущенную при-
быль;

4)	время выполнения заказа, издержки дефицита и издерж-
ки заказа;

5)	издержки хранения и размеры скидок.
Вопрос 3

Для определения оптимального размера заказа в модели с
дефицитом необходимо знать:

1)	время выполнения заказа;

2)	темп производства;

3)	цену продукта;

4)	размеры скидок;

5)	издержки заказа.

Вопрос 4

Уменьшение размера заказа в модели управления запасами
приведет к:

1)	увеличению числа упущенных продаж и увеличению за-
трат на хранение;

2)	уменьшению числа упущенных продаж и увеличению за-
трат на хранение;

3)	уменьшению затрат на хранение и росту издержек на офор-
мление заказов;

4)	уменьшению затрат на хранение и снижению издержек на
оформление заказов;

5)	увеличению затрат на хранение и снижению издержек на
оформление заказов.

Вопрос 5

Для определения оптимального размера заказа в модели с
ценовыми скидками необходимо знать:

1)	величину спроса, издержки заказа и темп производства;

2)	издержки дефицита, величину спроса и издержки хране-
ния;

3)	издержки заказа, величину спроса и упущенную прибыль;

4)	издержки хранения, издержки заказа и цену продукта;

5)	издержки хранения и размеры скидок.

Вопрос 6

Модель называется стохастической, если:

1)	функции пополнения запасов и расхода не являются слу-
чайными величинами;

2)	функция пополнения запасов изменяется во времени;
3)	хотя бы одна из функций пополнения запасов и расхода
является случайной величиной;

4)	функция расхода изменяется во времени;

5)	функция пополнения запасов линейно возрастает.

ЗАДАЧИ

Задача 1

Анна Васильева из компании «Сюрприз» продает 400 водяных
кроватей в год, причем издержки хранения равны 1 тыс. руб.
за кровать в день, а издержки заказа — 40 тыс. руб. Количе-
ство рабочих дней равно 250, время выполнения заказа —
6 дней. Каков оптимальный размер заказа? Чему равна точ-
ка восстановления запаса? Каков оптимальный размер заказа,
если издержки хранения равны 1,5 тыс. руб.?

Задача 2

Мекки Мессер является владельцем маленькой компании,
которая выпускает электрические ножи. В среднем Мекки мо-
жет производить 150 ножей в день. Дневной спрос на ножи
примерно равен 40 штук. Фиксированные издержки произ-
водства равны 100 тыс. руб., издержки хранения — 8 тыс. руб.
за нож в год. В году 250 рабочих дней. Каков оптимальный
размер заказа? Чему равны издержки хранения? Чему рав-
ны совокупные издержки за год?

Задача 3

Годовой объем продаж тостера «Слава» для магазина Марии
равен 3000 единиц или — 10 единиц в день. Издержки зака-
за равны 25 тыс. руб., издержки хранения — 0,4 тыс. руб. в
день. Так как тостер «Слава» является очень популярной
моделью, то в случае отсутствия товара в магазине покупа-
тели обычно согласны подождать, пока не подойдет следу-
ющий заказ. Однако издержки от дефицита равны 0,75 тыс. руб.
за тостер в день. Каков оптимальный размер заказа для
Марии? Каков максимальный дефицит? Чему равны сово-
купные издержки?
Задача 4

Мебельный салон «Антика» продает в год около 1000 спаль-
ных гарнитуров по цене 50 млн руб. Размещение одного зака-
за на поставку гарнитуров обходится в 40 млн руб. Годовая стои-
мость хранения гарнитура составляет 25% его цены. Салон может
получить у поставщика скидку в 3%, если размер заказа со-
ставит не менее 200 гарнитуров. Следует ли салону восполь-
зоваться этой скидкой? Каков оптимальный размер заказа?

СИТУАЦИИ

Ситуация 1. Профессиональные видеосистемы

С тех пор, как появились первые видеомагнитофоны, Вла-
димир Алексеев начал мечтать о собственном производстве
видеосистем для профессионалов. Владимир планировал про-
изводство видеосистемы, потенциальными потребителями
которой являлись бы телевизионные станции, рекламные
агентства и другие группы профессионалов, использующие
технику самого высокого качества.

Базовая модель новой видеосистемы состоит из блока ком-
плексного контроля, видеодиска, двух отдельных видеомаг-
нитофонов и профессиональной телевизионной установки.
Кроме того, к базовой модели прилагается усовершенствован-
ное устройство дистанционного управления. Это устройство
управляет всей системой, посылая инфракрасные сигналы
блоку комплексного контроля, который, в свою очередь,
управляет всеми остальными устройствами. Для этой видео-
системы Владимир самостоятельно разработал блок комплекс-
ного управления, который представляет собой микропроцессор,
способный координировать функционирование и использо-
вание подсоединенных элементов системы.

Модель Владимира обладает рядом преимуществ над ана-
логичными системами. Образы с видеодиска, телевизионной
установки или одной видеосистемы можно легко переместить
на вторую видеосистему. Кроме того, к блоку контроля можно
подключить компьютер фирм «Macintosh», «IBM PC», «Radio
Shack Model 3000» или «Zenith computer system», что позволя-
ет использовать графические редакторы для создания видео-
продуктов. Для улучшения качества звука имеется возмож-
ность подключения стереосистемы. Две видеосистемы обеспе-
чивают значительное увеличение возможностей при монтаже
видеопродуктов. Розничная цена предлагаемой базовой модели
профессиональной видеосистемы составляет 1950 у.е.

Владимир Алексеев нашел в США производителей теле-
визионных установок, панели управления, видеодиска и за-
ключил с ними договора о поставках. Что касается выбора
видеосистемы, то возникла проблема выбора поставщика.
После тщательного исследования рынка предложений Вла-
димир остановил свой выбор на двух японских компаниях —
«Toshiki» и «Копу».

«Toshiki» — это новая компания, расположенная в Япо-
нии недалеко от Токио. Как и другие поставщики, «Toshiki»
предлагает скидки оптовым покупателям:

Объем заказа, шт.	от 0 до 2000	от 7000 до 8000	от 8000 до 20 000	более 70 000
Цена, долл./шт.	250	230	220	210

Другим японским поставщиком может стать компания
«Копу». Хотя эта компания также создавалась в Японии, се-
годня она имеет сеть филиалов по всему миру, один из ко-
торых расположен в России. «Копу» также предлагает скид-
ки оптовикам:

Объем заказа, шт.	от 0 до 1000	от 1000 до 5000	более 5000
Цена, долл./шт.	230	240	220

Поскольку «Копу» имеет производственные мощности в
России, то издержки на размещение заказа и время его вы-
полнения более предпочтительны, чем в компании «Toshiki»'.

Компания	Издержки заказа, долл.	Срок выполнения заказа, месяц
Toshiki	90	3
Колу	40	2

Владимир оценивает издержки хранения в 30% закупоч-
ной цены. Эта величина учитывает хранение, уход за обо-
рудованием, а также включает потенциальные издержки от
морального износа видеосистем.

В первый год Владимир начал продавать.базовую модель
(блок контроля, видеодиск, телевизионную установку и две
видеосистемы) и в течение первых шести месяцев спрос на
нее был примерно постоянным (в июне было продано 7970.
в июле — 8070, в августе — 7950, а в сентябре — 8010 шт.).
Предполагается, что такая тенденция сохранится в течение
нескольких следующих месяцев.

Ответьте на следующие вопросы.

1.	Найдите точки восстановления запаса для закупки видео-
систем у обеих компаний.

2.	Если бы Вы были на месте Владимира, то какую компа-
нию, производящую видеосистемы, Вы бы выбрали?

3.	Владимир рассматривает несколько альтернативных страте-
гий. Первая предполагает продажу всех составляющих по
отдельности. Вторая стратегия предусматривает модифика-
цию блока контроля, что позволит использовать видеосисте-
мы разных фирм. Какое влияние повлечет за собой реали-
зация этих стратегий на точки восстановления запаса (воз-
можно, выбор стратегии повлияет на величину спроса)?

4.	Предположим, что компания «Toshiki» открыла филиал на
Украине, что позволило сократить издержки одного заказа
до 50 долл. Как это может повлиять на выбор поставщи-
ка видеосистем?

ОТВЕТЫ

Ответы на контрольные вопросы

1	- 2, 2 - 1, 3 - 5, 4 - 3, 5 - 4, 6 - 3.

Ответы на задачи

Задача 1

1)11,3 шт.

2)	9,6 шт.

3)9,2 шт.

Задача 2

1)583,9 шт.

2)	1 712,8 шт.

3)	3 425,4 тыс. руб.

Задача 3

1)43,8 шт.

2)	15,3 шт.

3)	3 426 тыс. руб.

Задача 4

Стоит воспользоваться скидкой на товар.

Оптимальный размер заказа 200.
Глава 13

СИСТЕМЫ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ

ЦЕЛИ

Основы знаний об очередях, иногда называемые теорией
очередей иди теорией массового обслуживания, составляют важ-
ную часть теории управления производством. Очереди — обычное
явление. Они могут носить форму ожидания ремонта автомо-
биля в центре автосервиса или ожидания студентами консуль-
тации у профессора. В таблице перечислены примеры возник-
новения очередей в системах массового обслуживания.

Ситуация	Ожидающие в очереди	Процесс обслуживания
Супермаркет	Покупатели	Прием кассиром оплаты за покупки
Приемная врача	Пациенты	Прием доктором и медсестрой
Компьютер	Компьютерные про- граммы	Выполнение программ процес- сором
Телефонная компания	Абоненты	Выполнение заказов на между- городние переговоры

Модели очередей нашли свое применение в управлении
материальным производством, сфере обслуживания, вычисли-
тельной технике и т.д. Анализ очередей в терминах длины оче-
реди, среднего времени ожидания, среднего времени обслужи-
вания и других факторов, помогает нам лучше понять принци-
пы организации системы обслуживания. Ожидание пациента в
приемной врача и ожидание починки сломанной дрели в ремонт-
ной мастерской имеют много общего с точки зрения управления
процессом обслуживания. Оба эти процесса используют человечес-
кие ресурсы и ресурсы оборудования для удовлетворения потреб-
ностей клиентов.

Профессиональный менеджер, принимая решение о совер-
шенствовании системы массового обслуживания, оценивает
изменения, возникающие в затратах на функционирование си-
стемы и в издержках, связанных с ожиданием клиентов. Одним
из способов уменьшения времени ожидания является увеличе-
ние числа сотрудников, которые обслуживают клиентов. Напри-
мер, для того чтобы уменьшить очереди в кассы, администра-
тор супермаркета может увеличить количество продавцов и кас-
сиров в часы пик. Но эта мера влечет за собой увеличение
издержек на создание и оснащение рабочих мест и оплату труда
дополнительного персонала и эти издержки могут быть весьма
значительны.

Конечно, можно сэкономить на трудозатратах. Но тогда кли-
ент будет вынужден стоять в огромной очереди, ожидая обслу-
живания. Он может потерять терпение, покинуть магазин и
больше не возвращаться в этот супермаркет. В этом случае сис-
тема массового обслуживания будет нести потери, которые можно
назвать издержками ожидания. В некоторых системах обслужи-
вания (например, в скорой помощи) затраты, связанные с дли-
тельным обслуживанием, могут оказаться чрезвычайно высоки.
Основной экономический принцип совершенствования систем
массового обслуживания основывается на оценке общих ожида-
емых затрат, включающих затраты на обслуживание и потери,
которые несет система в результате ожидания клиента.

После того, как вы выполните задания, предлагаемые в этой
главе, вы будете уметь формулировать и использовать для эко-
номического анализа следующие понятия:

•	система массового обслуживания;

•	заявка;

•	очередь;

•	темп поступления заявок;

•	темп обслуживания;

•	среднее время, которое заявка проводит в очереди;

•	средняя длина очереди;

•	среднее время, которое заявка проводит в системе обслужи-
вания;

•	среднее число клиентов в системе обслуживания;

•	издержки функционирования системы обслуживания;

•	издержки ожидания.
МОДЕЛИ

В системах массового обслуживания различают три основ-
ных этапа, которые проходит каждая заявка:

•	появление заявки на входе в систему;

•	прохождение очереди;

•	процесс обслуживания, после которого заявка покидает си-
стему.

На каждом этапе используются определенные характеристики,
которые следует обсудить прежде, чем строить математические
модели.

Характеристики входа

Вход в любую систему массового обслуживания имеет три
основные характеристики:

•	число заявок на входе (размер популяции);

•	режим поступления заявок в систему обслуживания;

•	поведение клиентов.

Число потенциально возможных заявок (размер популяции)
может считаться либо бесконечным (неограниченная популяция),
либо конечным (ограниченная популяция). Если число заявок,
поступивших на вход системы с момента начала процесса обслу-
живания до любого заданного момента времени является лишь
малой частью потенциально возможного числа клиентов, попу-
ляция на входе рассматривается как неограниченная. Примерами
неограниченных популяций могут служить автомобили, прохо-
дящие через пропускные пункты на скоростных дорогах, поку-
патели в супермаркете. В большинстве моделей очередей на входе
рассматриваются именно неограниченные популяции.

Если число заявок, которое может поступить в систему, срав-
нимо с числом заявок, уже находящимся в системе массового
обслуживания, популяция считается ограниченной. Примером
ограниченной популяции могут служить компьютеры, принад-
лежащие конкретной организации и поступающие на обслужи-
вание в ремонтную мастерскую.

Режим поступления в систему

Заявки могут поступать в систему обслуживания в соответ-
ствии с определенным графиком (один пациент на прием к сто-
матологу каждые пятнадцать минут, один автомобиль на кон-
вейере каждые двадцать минут), или они появляются случайным
образом. Появления клиентов считаются случайными, если они
независимы друг от друга и точно не предсказуемы. Часто в за-
дачах массового обслуживания число появлений в единицу вре-
мени может быть оценено с помощью распределения вероятно-
стей, известного, как пуассоновское распределение. При задан-
ном темпе поступления (например, два клиента в час, или четыре
грузовика в минуту), дискретное распределение Пуассона опи-
сывается следующей формулой:

. е Л V	„ .

р(х) =------ для х = 0, 1, ...,

%!

где р(х) — вероятность поступления х заявок в единицу времени;

х —число заявок в единицу времени;

X — среднее число заявок в единицу времени (темп поступ-
ления заявок);

е = 2,7183 (основание натурального логарифма).

Соответствующие значения вероятностей р(х) нетрудно оп-
ределить с помощью таблицы пуассоновского распределения.
Например, если средний темп поступления заявок равен двум
клиентам в час, то вероятность не поступления в систему в те-
чение часа ни одной заявки равна 0,13; вероятность появления
одной заявки «0,27; двух — также около 0,27; три заявки могут
появиться с вероятностью 0,18; четыре — с вероятностью около
0,9 и т.д. Вероятность того, что за час в систему поступят 9 и
более заявок близка нулю.

На практике вероятности появления заявок не всегда под-
чиняются пуассоновскому распределению. Поэтому, сначала
следует провести предварительные исследования будет ли пуас-
соновское распределение давать хорошую аппроксимацию для
данного процесса.

Поведение клиентов

Большинство моделей очередей основывается на предполо-
жении, что каждая поступающая в систему заявка встает в оче-
редь, дожидается обслуживания и не покидает систему до тех пор,
пока не будет обслужена. Это означает, что клиент (человек или
машина), вставший в очередь, ждет до тех пор, пока не будет
обслужен, не покидает очередь и не переходит из одной очере-
ди в другую. На практике клиенты могут покинуть очередь по-
тому, что она показалась им слишком длинной. Может возник-
нуть и другая ситуация: клиенты дожидаются своей очереди,
но по каким-то причинам уходят не обслуженными. Эти случаи
также являются предметом исследования теории массового обслу-
живания, однако, в данном пособии рассматриваться не будут.

Характеристики очереди

Основными характеристиками очереди являются:

•	длина;

•	правило обслуживания.

Длина очереди может быть ограничена либо не ограничена.
Длина очереди (очередь) ограничена, если она по каким-либо
причинам (например, из-за физических ограничений), не мо-
жет увеличиваться до бесконечности. Если очередь достигает
своего максимального размера, то следующая заявка в систему
не допускается и заявке отказывается в допуске. В данном по-
собии рассматриваются модели с отказами, когда очередь имеет
нулевую длину. Длина очереди не ограничена, если в очереди
может находиться любое число заявок. Например, очередь ав-
томобилей на бензозаправке.

Вторая характеристика очереди — правило обслуживания.
Большинство реальных систем использует правило FIFO («пер-
вым пришел — первым ушел»), В некоторых случаях к этому
правилу добавляются приоритеты в обслуживании. Например,
в приемном покое больницы, пациент с инфарктом, по-види-
мому, будет обслужен раньше, чем пациент, сломавший палец.
Порядок запуска компьютерных программ — другой пример
установления приоритетов в обслуживании.

Характеристики процесса обслуживания

Основными характеристиками процесса обслуживания явля-
ются:

•	конфигурация системы обслуживания;

•	режим обслуживания.

Конфигурация системы обслуживания. Системы обслужива-
ния различаются по числу каналов обслуживания. Обычно ко-
личество каналов можно определить как число клиентов, обслу-
живание которых может быть начато одновременно. Например,
число мастеров в парикмахерской. Другая характеристика си-
стемы — число фаз обслуживания или последовательных этапов
обслуживания одного клиента.

Примером одноканальной однофазной системы (рис. 13.1)
обслуживания может служить банк, в котором открыто единствен-
ное окошко для обслуживания клиентов. Если же в банке от-
крыто несколько окошек для обслуживания, и клиент, ожидая в
общей очереди, подходит к первому освободившемуся окну, то
мы имеем дело с многоканальной однофазной системой обслу-
живания (рис. 13.2). Большинство банков, также как почтовые
отделения и авиакассы, сейчас являются многоканальными си-
стемами обслуживания.

Однофазными являются системы, в которых клиент обслу-
живается в одном пункте (на одном рабочем месте) и затем по-
кидает систему. Ресторан для обслуживания автомобилистов,
в котором официант получает деньги и приносит заказ в авто-
мобиль, является примером однофазной системы. Если же в
ресторане нужно сделать заказ в одном месте, оплатить его в дру-
гом и получить пищу в третьем, то мы имеем дело с многофаз-
ной системой обслуживания (рис. 13.3, 13.4).

Рис. 13.2. Двухканальная
однофазная система

Рис. 13.1. Одноканальная
однофазная система

Рис. 13.3. Одноканальная
двухфазная система

Рис. 13.4. Двухканальная
двухфазная система
Режим обслуживания, так же как режим поступления зая-
вок, может характеризоваться постоянным или случайным вре-
менем обслуживания. При постоянном времени на обслужива-
ние любого клиента затрачивается одинаковое время. Такая си-
туация может наблюдаться на автоматической мойке автомобилей.
На практике часто встречаются ситуации, когда время обслужи-
вания имеет случайное распределение. Во многих случаях можно
предположить, что время обслуживания подчиняется экспонен-
циальному распределению с функцией распределения:

F(t) = p(t < т) = 1 - е“тр,

где: p(J < т) — вероятность того, что фактическое время /обслужи-
вания заявки не превысит заданной величины т;

ц —среднее число заявок, обслуживаемых в единицу вре-
мени;

е = 2,7183 (основание натурального логарифма).

Параметры моделей очередей

При анализе систем массового обслуживания наиболее час-
то используются следующие технические и экономические ха-
рактеристики:

1)	среднее время, которое клиент проводит в очереди',

2)	средняя длина очереди;

3)	среднее время, которое клиент проводит в системе обслу-
живания (время ожидания плюс время обслуживания);

4)	среднее число клиентов в системе обслуживания;

5)	вероятность того, что система обслуживания окажется
незанятой',

6)	вероятность определенного числа клиентов в системе.

Среди экономических характеристик наибольший интерес
представляют:

1)	издержки ожидания в очереди;

2)	издержки ожидания в системе;

3)	издержки обслуживания.

В зависимости от сочетания приведенных выше характери-
стик, могут рассматриваться различные модели систем массового
обслуживания. Здесь мы познакомимся с несколькими наибо-
лее известными моделями. Все они имеют следующие общие
характеристики:

•	пуассоновское распределение вероятностей поступления за-
явок;
•	стандартное поведение заявок;

•	правило обслуживания FIFO,

•	единственная фаза обслуживания.

Модели систем массового обслуживания
Модель А

Модель одноканальной системы массового обслуживания с
пуассоновским входным потоком заявок и экспоненциальным
временем обслуживания.

Наиболее часто встречаются задачи массового обслуживания
с единственным каналом. В этом случае клиенты формируют един-
ственную очередь, которая обслуживается одним сотрудником.

Предположим, что для систем этого типа выполняются сле-

дующие условия:

1)	заявки обрабатываются по принципу «первым пришел —
первым обслужен», причем каждый клиент ожидает своей
очереди до тех пор пока не будет обслужен, независимо от
длины очереди;

2)	появление заявки является независимым событием, однако,

среднее число заявок, поступающих в единицу времени,
неизменно;

3)	процесс поступления заявок описывается пуассоновским
распределением, причем заявки поступают из неограни-
ченного множества;

4)	время обслуживания описывается экспоненциальным рас-
пределением вероятностей;

5)	темп обслуживания выше темпа поступления заявок.

Если эти условия выполняются, то модель А описывается
следующими уравнениями:

М/М/\ — простая система;

А — число заявок в единицу времени;

m — число клиентов, обслуживаемых в единицу времени;

, А

Ls =----- — среднее число клиентов в системе;

ц А

1

ц - А

^8

— среднее время обслуживания одного клиента в
системе (включает время ожидания и время об-

служивания);

А2

L =--------- — среднее число клиентов в очереди;

ц(ц - А)
w
ч

—----— — среднее время ожидания клиента в очереди;

- Л)

г = — — параметр утилизации (загруженности системы);
И

Рй = I - — — вероятность отсутствия заявок в системе;
Р

р

Рп >к. = | — I — вероятность более чем к заявок в системе;

п — число заявок в системе.

Модель В

МНОГОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ (M/M/S)

В многоканальной системе для обслуживания с двумя и бо-
лее каналами. Предполагается, что клиенты ожидают в обшей
очереди и обращаются в первый освободившийся канал обслу-

живания.

Пример такой многоканальной однофазной системы можно
увидеть во многих банках. Из обшей очереди клиенты обраща-
ются в первое освободившееся окошко для обслуживания.

В многоканальной системе поток заявок подчиняется пуас-
соновскому закону, а время обслуживания —экспоненциально-
му. Приходящий первым обслуживается первым, и все каналы
обслуживания работают в одинаковом темпе. Для многоканаль-
г _ 1
нои системы из п каналов должно выполняться условие - < 1,
п
где г— параметр загрузки системы, п — минимальное количе-
ство каналов, при котором очередь не будет расти до бесконеч-
ности. В противоположном случае предельные вероятности су-

ществовать не могут.

Формулы для описания системы:

„	(, г г1 г гп^ \

0 I 1! 2! п\ nl(n-r))

вероятность того,
что система сво-

бодна;

вероятность того, что в системе находится п
заявок;

о —

ч

п'.(п - г)

вероятность того, заявка окажется в оче-
реди;
к = — = г — среднее число занятых каналов:

И

у ” + 1 р

t	'	‘ О

Ln =-------—т — среднее число заявок в очереди;

< г Г

пп\\ 1 --

п)

L,= Lq + г — среднее число заявок в системе;

Wq = r-Lq — время нахождения заявки в очереди;

= — к, — время нахождения заявки в системе.

Модель С

Модель с постоянным временем обслуживания (М/D/Г)

Некоторые системы имеют постоянное, а не экспоненциально
распределенное время обслуживания. В таких системах клиен-
ты обслуживаются в течение фиксированного периода времени,
как, например, на автоматической мойке автомобилей. Для
модели С с постоянным темпом обслуживания значения вели-
чин Lq, W L, и меньше, чем соответствующие значения в
модели А, имеющей переменный темп обслуживания.

Формулы, описывающие модель С:

, >-2

Lq = -— ---7- — средняя длина очереди;

2ц(ц - л)

W = -— --------среднее время ожидания в очереди;

2ц(ц-Х)

Ls = L + — — среднее число клиентов в системе:
Р

= ИС + — — среднее время ожидания в системе.

Ц

Модель D

Модель с ограниченной популяцией

Сюда относятся модели с ограниченным числом потенциаль-
ных клиентов системы обслуживания. Примером может служить
определение оптимального обслуживания оборудования фабрики,
имеющей пять станков.

Особенность этой модели, по сравнению с тремя рассмот-
ренными ранее, заключается в том, что существует взаимоза-
висимость между длиной очереди и темпом поступления зая-
вок.

Модель Е

Модель с ограниченной очередью

Модель отличается от предыдущих тем, что число мест в
очереди ограничено.В этом случае заявка, прибывшая в систе-
му, когда все каналы обслуживания заняты, покидает систему
не обслуженной, т.е. получает отказ. Как частный случай моде-
ли с ограниченной очередью можно рассматривать модель с от-
казами, если количество мест в очереди сократить до нуля.

Сравнительная характеристика различных моделей систем
массового обслуживания приведена в табл. 1.

ПРИМЕРЫ

Пример 1

Иванов, механик магазина, может заменить масло в среднем
в трех автомобилях в течение часа (т.е. в среднем на одном
автомобиле за 20 мин). Время обслуживания подчиняется
экспоненциальному закону. Клиенты, нуждающиеся в этой
услуге, приезжают в среднем по два в час, в соответствии с
пуассоновским распределением. Клиенты обслуживаются в
порядке прибытия и их число не ограничено.

На основе этих данных мы можем получить основные ха-
рактеристики этой системы обслуживания:

А = 2 — число машин, поступающих в час;'
р = 3 — число машин, обслуживаемых за час;

А 2

Ls = —— =------'= 2 — среднее число машин, находящихся

ц - А 3-2	в системе-

„Z I	1

lvs =------=----- = 1 — среднее время ожидания в системе;

ц- А 3-2

А2 22

Lq = —------- = ——---- = 1,33 — среднее число машин, ожи-

~ ) 3( - ) дающих в очереди;

А 2

W =--------= ——— = 40 (мин) — среднее время ожида-

3(3-2)	ния в очереди;
Таблица 1

Модель	Название (обозначение)	Пример	Число каналов	Число фаз	Темп поступления заявок	Темп обслуживания	Число клиентов	Порядок прохождения очереди
А	Простая система (M//W/1)	Справочное бюро в магазине	Один	Одна	Пуассоновское распределение	Экспоненциальное	Неограни- ченное	FIFO
В	Многоканаль- ная (MIMIS)	Кассы Аэрофлота	Несколько	Одна	Пуассоновское распределение	Экспоненциальное	Неограни- ченное	FIFO
С	Равномерное обслуживание  (M/D/1)	Автоматиче- ская мойка	Один	Одна	Пуассоновское распределение	Постоянный	Неограни- ченное	FIFO
D	Ограниченная популяция	Самолеты небольшой авиакомпании	Один	Одна	Пуассоновское распределение	Экспоненциальное	Ограни- ченное	FIFO
Е	Ограниченная длина очереди	Количество посадочных мест в парик- махерской	Несколько	Одна	Пуассоновское распределение	Экспоненциальное	Ограни- ченное	FIFO
A 7

г ~	~ ~ 66,6% — время, в течение которого механик занят;

и 3

/	2

Ро = 1 - — = 1 — = 0.33 — вероятность того, что в системе нет
ц	3

ни одного клиента.

Ниже в таблице приведены значения вероятностей, что
в системе находится более чем к машин, к = 1...7.

Число машин	СМ | со 11  * сС	Комментарии
0	0.667	Обратите внимание, что это значение равно  1 -Ро
1	0,444	
2	0,296	
3	0,198	Существует 19,8% шансов на то, что в системе находится более трех машин
4	0,132	
5	0,088	-
6	0,058	
7	0,039	

После того, как мы получили основные характеристи-
ки системы обслуживания, часто бывает полезным провес-
ти ее экономический анализ. Как уже отмечено выше, за-
дачей менеджера является сопоставление возрастающих за-
трат на улучшение обслуживания и снижающихся затрат,
связанных с ожиданием. Рассмотрим чему равны затраты
в данном случае.

Владелец автосервиса установил, что затраты, связанные
с временем ожидания выражаются в снижении спроса в связи
с неудовлетворенностью клиентов и равны 100 руб. за час ожи-
дания в очереди. Так как в среднем каждая машина ожидает
в очереди 2/зчаса (И^) и вдень обслуживается приблизительно
2x8= 16 машин (две машины в час в течение 8-часового
рабочего дня), то суммарное число часов, которое проводят
2	32	2

в очереди все клиенты, равно ух 16 = — = Юу (ч). Следова-
тельно, затраты, связанные с ожиданием, составляют 1066 руб.
в день.

Другая важная составляющая затрат владельца автосер-
виса —заработная плата механика. Он получает 70 руб. в час
или 560 руб. в день. Следовательно, обшие затраты состав-
ляют 1066 + 560 = 1626 руб. в день.

Пример 2

Компания «Утиль» собирает и утилизирует в Мытищах алю-
миниевые отходы и стеклянные бутылки. Водители автомо-
билей, доставляющие сырье для вторичной переработки, ожи-
дают в очереди на разгрузку в среднем 15 мин. Время про-
стоя водителя и автомобиля оценивается в 6 тыс. руб. в час.
Новый автоматический компактор может обслуживать кон-
тейнеровозы с постоянным темпом равным 12 машин в час
(5 минут на одну машину). Время прибытия контейнеро-
возов подчиняется пуассоновскому закону с параметром
к = 8 машин в час. Если новый компактор будет использо-
ваться, то амортизацонные затраты составят 0,3 тыс. руб. на
один контейнеровоз. Фирма пригласила студента, который
провел следующий анализ для оценки целесообразности
использования компактора.

Затраты на простой одного автомобиля в очереди за одну
ездку в системе без компактора составляют:

ИС х 6 = - х 6 = 1,5
q 4

(тыс. руб).

В системе с компактором время ожидания в очереди при
к = 8 автомобилей/час и ц = 12 автомобилей/час будет равно:

4 2ц(ц - к) 2 х 12 х (12-8)	12

Затраты на простой автомобиля в очереди в этом случае
составят:

(V х 6 = — х6 = 0,5 (тыс. руб).

Сокращение времени простоя привело к сокращению за-
трат от простоя одного автомобиля за одну ездку на сумму в
1,5 - 0,5 = 1 (тыс. руб.).

При условии, что затраты по эксплуатации компактора
на один контейнеровоз составляют 0,3 тыс. руб., обшие за-
траты составят 0,5 + 0,3 = 0,8 (тыс. руб.).

Система с компактором дает экономию в 1,5 - 0,8 =
= 0,7 (тыс. руб.).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вопрос 1

Одна работница обслуживает тридцать ткацких машин, обес-
печивая их запуск после разрыва нити. Модель такой систе-
мы массового обслуживания можно характеризовать как:
1) многоканальную, однофазную с ограниченной популя-
цией;

2) одноканальную, однофазную с неограниченной популяцией;
3) одноканальную, многофазную с ограниченной популяцией;

4)	одноканальную, однофазную с ограниченной популяцией;

5)	многоканальную, однофазную с неограниченной популя-
цией.

Вопрос 2

В теории массового обслуживания для описания простейшего
потока заявок, поступающих на вход системы, используется
распределение вероятностей:

1)	нормальное;

2)	экспоненциальное;

3)	пуассоновское;

4)	биномиальное;

5)	ни одно из приведенных выше утверждений не является
верным.

Вопрос 3

В теории массового обслуживания предполагается, что ко-
личество заявок в популяции является:
^фиксированным или переменным;

2)	ограниченным или неограниченным;

3)	известным или неизвестным;

4)	случайным или детерминированным;

5)	ни одно из приведенных выше утверждений не является
верным.

Вопрос 4

Двумя основными параметрами, которые определяют кон-
фигурацию системы массового обслуживания, являются:
1)темп поступления и темп обслуживания;

2)	длина очереди и дисциплина обслуживания;
3)	распределение времени между заявками и распределение
времени обслуживания;

4)	число каналов и число фаз обслуживания;

5)	ни одно из приведенных выше утверждений не является
верным.

Вопрос 5

В теории массового обслуживания для описания времени,
затрачиваемого на обслуживание заявок, обычно использу-
ется распределение вероятностей:

1)	нормальное;

2)	экспоненциальное;

3)	пуассоновское;

4)	биномиальное;

5)	ни одно из приведенных выше утверждений не является
верным.

Вопрос 6

Ремонт вышедших из строя компьютеров на экономическом
факультете осуществляют три специалиста, работающие
независимо друг от друга. Модель такой системы массового
обслуживания можно характеризовать как:

1)	многоканальную с ограниченной популяцией;

2)	одноканальную с неограниченной популяцией;

3)	одноканальную с ограниченной популяцией;

4)	одноканальную с ограниченной очередью;

5)	многоканальную с неограниченной популяцией.

ЗАДАЧИ

Задача 1

Справочная университетской библиотеки получает запросы,
поступающие по пуассоновскому закону со скоростью в сред-
нем 10 запросов в час. Время обслуживания распределено
экспоненциально, скорость обслуживания — 12 запросов в час.

Определите'.

1)	вероятность того, что в системе нет запросов;

2)	среднее число запросов в очереди;

3)	среднее время ожидания;

4)	среднее время, которое запрос проводит в системе;

5)	вероятность того, что запросу придется ждать обслуживания.
Задача 2

Контора принимает заказы, прибывающие по закону Пуас-
сона со средней скоростью 6 заказов в день. Заказы обраба-
тываются одним клерком. Время на их обработку распреде-
лено экспоненциально со средним уровнем обслуживания 8
заказов в день.

Определите:

1)	среднее число заказов в системе;

2)	среднее время ожидания начала обработки заказа клер-
ком;

3)	среднее время, которое заказ проводит в системе.

Задача 3

Автосервис решил нанять нового механика для того, чтобы
он менял старые покрышки на новые. На это место есть
2 кандидата. Один из них имеет ограниченный опыт рабо-
ты и может быть нанят за 7 долл, в час. Ожидается, что этот
механик сможет обслуживать 3 клиента в час. Другой меха-
ник более опытен, он в состоянии обслужить 4 клиента в час,
но его можно нанять на работу за 10 долл, в час. Клиенты
прибывают со скоростью 2 человека в час. Компания оцени-
вает издержки по ожиданию клиентами своей очереди в
15 долл, в час. Предполагая пуассоновское распределение при-
бытия и экспоненциальное — времени обслуживания, определите:
• среднее время, которое клиент проводит в очереди;

•	среднюю длину очереди;

•	среднее время, которое клиент проводит в системе обслу-
живания;

•	среднее число клиентов в системе обслуживания;

•	вероятность того, что система обслуживания окажется
свободной, при условии найма одного или другого меха-
ника.

Какого механика следует нанять, чтобы обеспечить мень-
шие совокупные издержки? Каковы минимальные совокуп-
ные издержки?

Задача 4

«У Петра» —маленький магазин с одним прилавком. Пред-
положим, что покупатели прибывают в магазин по закону
Пуассона со средней скоростью 15 покупателей в час. Время
обслуживания распределено экспоненциально, средняя ско-
рость обслуживания — 20 покупателей в час. Рассчитайте'.
• среднее время, которое покупатель проводит в очереди;
• среднюю длину очереди;

•	среднее время, которое покупатель проводит в магазине;
• среднее число покупателей в магазине;

•	вероятность того, что в магазине не окажется покупа-
телей.

Владелец магазина установил, что затраты, связанные с
ожиданием, выражаются в снижении спроса и равны 2 долл,
за один час ожидания. Он решил ограничить среднее время
ожидания обслуживания пятью минутами. Этого можно до-
стигнуть с помощью реализации одной из следующих аль-
тернатив;

1.	Нанять продавца, который бы выполнял заказ, в то вре-
мя как кассир рассчитывается с покупателем (часовая
оплата каждого — 3 долл.). Это позволит увеличить сред-
нюю скорость обслуживания до 30 покупателей в час.
Будет ли в данном случае достигнута искомая цель?

2.	Нанять второго кассира (часовая заработная плата —
3 долл.), тем самым создав в магазине двухканальную оче-
редь (средняя скорость обслуживания — 20 клиентов в час
для каждого из работников). Какое решение следует при-
нять?

Задача 5

А) В верхнем течении Волги построена новая станция по
обслуживанию речных судов. Судно может остановиться
в новом доке для заправки и ремонта. Суда прибывают по
закону Пуассона со средней скоростью 5 судов в час. Вре-
мя обслуживания распределено экспоненциально со сред-
ней скоростью обслуживания 10 судов в час.

Какова вероятность того, что док будет пуст?

Каково среднее число судов в очереди?

Каково среднее время ожидания обслуживания?

Каково среднее время пребывания в доке?

Б) Администрация станции рассматривает возможность вве-
дения в строй еще одного дока с той же скоростью обслу-
живания. Есть ли в этом необходимость, если в сред-
нем издержки по простою речного судна составляют
100 долл./ч, а издержки по обслуживанию дока — 75 долл./ч.
Задача 6

А) Рассмотрим двухканальную очередь с пуассоновским по-
током требований и экспоненциальным распределением
времени обслуживания. Скорость прибытия 14 единиц в
час, скорость обслуживания 10 единиц в час для каждого
канала.

Определите'.

•	вероятность того, что в системе нет требований;

•	среднее число требований в очереди;

•	среднее время ожидания;

•	среднее время, которое требование проводит в системе;

•	вероятность того, что прибывающему требованию придется
ждать обслуживания;

•	процент ожидающих.

Б) Пусть цель обслуживания состоит в том, чтобы обеспечить
состояние, при котором в среднем не более 25% требова-
ний вынуждены ждать. Предположим, что система расши-
рилась до трехканальной. Выполняется ли в данном слу-
чае это условие?

Задача 7

Крупная страховая компания имеет в своем распоряжении
центральную расчетную систему, содержащую разнообразную
информацию, необходимую клиентам. Страховые агенты, на-
ходящиеся на территории шести различных штатов, исполь-
зуют телефонные линии для доступа к базе данных. В насто-
ящий момент центральная система обеспечивает возможность
одновременного доступа к ней до 3-х пользователей. Если
агенту не удается сразу получить доступ к системе, то он
вынужден повторить запрос, так как ожидание ответа не
предусмотрено. Компания предполагает, что ее бизнес рас-
ширится, и данная техническая реализация центральной
системы не будет соответствовать масштабам деятельности.
Запросы распределены по закону Пуассона со средним —
42 звонка в час. Средняя скорость обслуживания — 20 звон-
ков в час для каждой линии.

1.	Какова вероятность того, что 0, 1, 2, 3 линии будут за-
няты?

2.	Какова вероятность того, что агент не получит доступа к
системе?
3.	Ожидается, что скорость поступления звонков возрастет
до 50 в час. Сколько линий должна иметь система для того,
чтобы вероятность того, что все линии заняты, не увели-
чилась?

Задача 8

Издательство «Наука» публикует учебные материалы. Потен-
циально 800 агентов по продаже книг могут интересоваться
будущими публикациями, запрашивать копии работ, разме-
шать свои заказы. Используется 2 телефонные линии. Если
обе линии заняты, то доступ в издательство закрыт. Каждый
сотрудник способен обработать в среднем 12 звонков в час.
Средняя скорость поступления звонков — 20 в час.

1.	Какой процент звонящих услышит сигнал «занято»?

2.	Сколько необходимо дополнительных линий для обеспе-
чения немедленного ответа по крайней мере на 90 % звон-
ков?

Задача 9

Компания «Жалюзи на дом» решила довести число машин,
обслуживающих доставку товаров, до 8. Президент компании
интересуется, стоит ли в этом случае нанимать на работу вто-
рого механика. Средняя скорость прибытия на ремонт рав-
на 0,05 раз в час для каждой машины, средняя скорость
обслуживания — 0,5 машин в час.

Рассчитайте следующие операционные характеристики, если
компания оставляет единственного механика'.

•	вероятность того, что все машины работают, и механик
простаивает;

•	среднее число ожидающих ремонта машин;

•	среднее число машин в системе (машины в очереди и на
обслуживании);

•	среднее время ожидания начала ремонта;

•	среднее время нахождения в системе (ожидание и ремонт).

Используя компьютерную программу, рассчитайте те же
характеристики для случая с двумя механиками.

Каждый механик получает 20 долл, в час, а стоимость про-
стоя машины составляет 80 долл, в час. Сколько механиков
следует нанять с экономической точки зрения?
ОТВЕТЫ

Ответы на контрольные вопросы

1 - 4, 2 - 3, 3 - 2. 4 - 4. 5 - 2. 6 - 1.

Ответы на задачи

Задача 1

1.	Вероятность того, что в системе нет запросов Л, = 0.167.

2.	Среднее число запросов в очереди Lq = 4,167.

3.	Среднее время ожидания W = 0.417 ч.

4.	Среднее время, которое запрос проводит в системе W3 = 0,5 ч.

5.	Вероятность того, что запросу придется ждать обслужива-
ния г = 0,833.

Задача 2

1.	Среднее число заказов в системе Ls = 3.

2.	Среднее время ожидания начала обработки заказа клерком
И; = 0,375 дня.

3.	Среднее время, которое заказ проводит в системе W5 = 0,5 дня.

Задача 3

Первый механик'.

X = 2, ц = 3, Смех = 7 долл./ч, Сож = 15 долл./ч.

1)Среднее время, которое клиент проводит в очереди
Wq = 0.667 ч:

2)	средняя длина очереди Lq = 1.333;

3)	среднее время, которое клиент проводит в системе обслу-
живания И/ = 1 ч:

4)	среднее число клиентов в системе обслуживания А, = 2:

5)	вероятность того, что система обслуживания окажется сво-
бодной. равна: 1 - r = 1 - 0.667 = 6,333;

6)	совокупные издержки по ожиданию в очереди и оплате
механику равны’27 долл./ч.

Второй механик'.

X = 2, ц = 4. Смех = 10 долл./ч. Сож = 15 долл./ч.

1)Среднее время, которое клиент проводит в очереди
Wq = 0.25 ч;

2)	средняя длина очереди L = 0.5;

3)	среднее время, которое клиент проводит в системе обслу-
живания W3 = 0.5 ч;

4)	среднее число клиентов в системе обслуживания L, = 1;
5)	вероятность того, что система обслуживания окажется
незанятой, равна: 1 - г = 1 - 0,5 = 0,5.

По результатам расчетов можно сделать вывод, что сле-
дует нанять второго механика.

Задача 4

1)	Среднее время, которое покупатель проводит в очереди
И^= 0,15 ч = 9 мин;

2)	средняя длина очереди Lq = 2,25;

3)	среднее время, которое покупатель проводит в магазине
Ws = 0,2 ч;

4)	среднее число покупателей в магазине Ls = 3;

5)	вероятность того, что в магазине не окажется покупате-
лей Ро = 0,25.

Если нанять продавца, который бы выполнял заказ, в то
время как кассир рассчитывается с покупателем, получим,
что среднее время, которое покупатель проводит в очереди,
в этом случае Wq = 2 мин, издержки по ожиданию в очереди
и обслуживанию канала составят 7 долл.

Если нанять второго работника, то среднее время, кото-
рое покупатель проводит в очереди составит W = 0,49 мин,
издержки — 6,24 долл.

Следовательно, имеет смысл нанять второго работкика.

Задача 5

Для одноканальной системы.

1)	вероятность того, что док будет пуст, Ро = 1 - 0,5 = 0,5;

2)	среднее число судов в очереди Lq = 0,5;

3)	среднее время ожидания обслуживания Wq = 6 мин;

4)	среднее время пребывания в доке Ws = 12 мин.

Для двухканальной системы совокупные издержки увеличились
на 28 долл./ч.

Задача 6

Для двухканальной системы.

1)	вероятность того, что в системе нет требований Ро = О,176;

2)	среднее число требований в очереди Lq = 1,34;

3)	среднее время ожидания Wq = 5,765 мин;

4)	среднее время, которое требование проводит в системе
Ws = 11,765 мин;

5)	вероятность того, что прибывающему требованию придется
ждать обслуживания, равна 0,7;

6)	процент ожидающих составляет 49%.

В трехканальной системе процент ожидающих сократился до 11 %.
Задача 7

1)	Вероятность того, что к линий будут заняты:
к = 0: вероятность — 0,146;

к= 1: вероятность — 0,307;

к = 2: вероятность — 0,322;

к = 3: вероятность — 0,225.

2)	Вероятность того, что агент не получит доступа к систе-
ме-0,225.

3)	Ожидается, что скорость поступления звонков возрастет
до 50 в час. Для того чтобы вероятность загруженности всех
линий не увеличилась, необходимо иметь 4 линии. В этом
случае вероятность равна 0,1499.

Задача 8

1)	34% звонящих услышит сигнал «занято».

2)	Для того чтобы по крайней мере 90% звонков получили
немедленный ответ, необходимо иметь две дополнитель-
ные линии, т.е. должно быть 4 канала. Вероятность того,
что система занята, в этом случае равна 0,06.

Задача 9

А) Если нанять одного механика'.

1)	вероятность того, что все машины работают, и механик
простаивает — 0,33;

2)	среднее число ожидающих ремонта машин — 0,721;

3)	среднее число машин в системе — 1,383;

4)	среднее время ожидания начала ремонта — 2,18 ч;

5)	среднее время нахождения в системе (ожидание и ре-
монт) — 4,18 ч.

Б) Если нанять второго механика'.

1)	вероятность того, что все машины работают, и механик
простаивает — 0,45;

2)	среднее число ожидающих ремонта машин — 0,064;

3)	среднее число машин в системе — 0,786;

4)	среднее время ожидания начала ремонта — 0,179 ч;

5)	среднее время нахождения в системе (ожидание и ремонт) —
2,179 ч.

С экономической точки зрения выгоднее иметь двух ме-
хаников.
Глава 14

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ЦЕЛИ

Имитация — это попытка дублировать особенности, внешний
вид и характеристики реальной системы. Идея имитации реа-
лизуется в:

1)	математическом описании реальной ситуации;

2)	изучении ее свойств и особенностей;

3)	формировании выводов и принятии решений, связанных
с воздействием на эту ситуацию и основанных на резуль-
татах имитации.

Важно, что реальная система не подвергается воздействию
до тех пор, пока преимущества или недостатки тех или иных
управленческих решений не будут оценены с помощью модели
этой системы.

После того, как вы выполните задания, предлагаемые в этой
главе, вы будете уметь формулировать и использовать для эко-
номического анализа следующие понятия:

•	имитация;

•	интервал случайных чисел;

•	метод Монте-Карло;

•	таблица случайных чисел.

МОДЕЛИ

Имитация с помощью метода Монте-Карло
(метода статистических испытаний)

Метод состоит из четырех этапов.

1.	Построение математической модели системы, описываю-
щей зависимость моделируемых характеристик от значе-
ний стохастических переменных.
2.	Установление распределения вероятностей пя стохасти-
ческих переменных.

3.	Установление интервала случайных чисел пя каждой сто-
хастической переменной, генерация случайных чисел, ими-
тация поведения системы путем многих попыток и полу-
чение опенки моделируемой характеристики системы.

4.	Оценка точности результата.

Дадим развернутое описание этих этапов.

1 ЭТАП

Стохастическая имитационная модель (ИМ) некоторой ре-
альной системы может быть представлена как динамическая
система, которая под воздействием внешних случайных входных
сигналов (входные переменные) изменяет свое состояние (слу-
чайные переменные состояния), что, в свою очередь, приводит
к изменению выходных сигналов (выходные переменные):

S,.. =F(S„ !,_,).

V, = R(S,),

где F. R— вектор-функции:

I,.	U(, S,•— векторы соответственно входных, выходных пе-
ременных и переменных состояния системы в тактовый момент
моделирования /.

ИМ — это экспериментальная модель системы, в которой ис-
кусственно воспроизводятся случайности, имеющие место в ре-
альной системе. Она представляет собой совокупность матема-
тических соотношений, между входными, выходными перемен-
ными и переменными состояния в сочетании с алгоритмической
реализацией некоторых зависимостей.

В имитационном моделировании динамических процессов
существует два основных подхода. Первый заключается в том,
что весь период моделирования разбивается на равные проме-
жутки времени (такты моделирования), анализ состояния си-
стемы, а также значений выходных переменных производится
через одинаковые промежутки времени. При этом возникает
проблема выбора «правильной» продолжйтельности такта. Кроме
того, не исключается появление тактов, в которых состояние
системы по сравнению с предыдущим не изменилось. При вто-
ром подходе продолжительность такта моделирования не фиксиру-
ется, а определяется моментом наступления одного из «сущест-
венных» событий. Например, при моделировании производствен-
ного процесса на предприятии такими событиями могут быть
освобождение или начало загрузки станка, поступление на об-
работку детали, невыход на работу станочника, исчерпание за-
паса необходимых комплектующих деталей на складе и др. Имен-
но второй подход чаше всего используется на практике и под-
держивается современными языками моделирования.

2 ЭТАП

Случайные величины, используемые в ИМ, могут быть дис-
кретными или непрерывными. В первом случае необходимо знать
их распределения, во втором — плотности распределений. Эти
зависимости могут быть определены в результате специальных
исследований или заданы в качестве гипотезы. Точность моде-
ли, при прочих равных условиях, зависит от того, насколько точно
заданы указанные распределения (плотности распределений).

3 ЭТАП

Моделирование случайных величин при компьютерных ими-
тационных экспериментах производится с помощью датчика
псевдослучайных чисел, предоставляемого любым современным
языком программирования. Обычно это датчик случайных чи-
сел с равномерным распределением на интервале [0,1]. Если
известны вероятности наступления событий, то, используя та-
кой датчик, можно отвечать на вопросы типа «Какое из воз-
можных событий произошло?» или «Какое значение приняла
случайная величина?».

Предположим, что в ИМ используется случайная перемен-
ная X, принимающая дискретные значения ..., x/V с вероят-
N

ностями соответственно р,, ..., pN ( £ Рк = 0- Получение неко-
к = I

торой реализации этой переменной в модели производится
следующим образом. Строится функция распределения случай-
ной величины X. Указанная функция определяется по форму-
N

ле F(x) = ^2 в которой суммирование проводится по всем
к = I

индексам, для которых хк < х. С помощью датчика случайных
чисел получают случайное число и из отрезка [0,1]. Из равно-
мерности распределения получаемых случайных чисел следует,
что вероятность получения случайного числа из произвольного
интервала, включенного в [0,1], равна длине этого интервала.
Поэтому вероятность реализации X = хк равна вероятности по-
падания полученного отдатчика случайного числа и в произволь-
ный интервал в [0,1] длиной рк. Таким образом, можно утверж-
дать, что если очередное число z/датчика удовлетворяет неравен-
ствам 0 < и < Р|, то имеет место реализация X = х,; в случае
р, < и < р\ + рг — реализация X = х2 и т.д. В общем случае для
к - I	к

к = 2, ..., N, если Z Pi < “ Z Pj, то Х= хк.
i=1	7=1

Заметим, что границы указанных неравенств совпадают со
значениями построенной выше функцией распределения F(x).
Однако удобнее иметь дело не с дробными значениями границ
интервалов, в которые попадают случайные значения и, а с их
целочисленными значениями, тем более, что с помощью датчиков
случайных чисел можно генерировать числа из любого диа-
пазона. Чтобы получить целые значения границ интервалов,
достаточно умножить все рк на Ю^, где d— целое, минимальное
значение которого равно максимальной точности (максимально-
му числу знаков после десятичной точки) чисел рк, к = 1, ..., N.
Например, если {рД = {0,3; 0,153; 0,5; 0,047], то минимальное
значение d равно 3 (все рк нужно умножить на 1000). Таким
образом, 10(/ определяет длину интервала значений рассматри-
ваемой случайной переменной в ИМ.

4 ЭТАП

Точность статистических оценок параметров реальной си-
стемы зависит от числа наблюдений (объема выборки). Погреш-
ности в оценках обусловлены как статистическим характером
самой модели, так и влиянием начальных данных (начального
состояния имитационной системы), возможной автокорреляцией
последовательных значений некоторого параметра в процессе
моделирования. Очевйдно, что с увеличением числа испытаний
точность моделирования должна увеличиваться. Ввиду того, что
увеличение объема выборки связано с ростом затрат на модели-
рование, важно уметь определять минимальное число испыта-
ний, необходимое для достижения заданной точности оценки с
заданной вероятностью.

Широкое распространение получили два метода статистиче-
ских испытаний. Один из них предполагает проведение доста-
точно большого числа Т последовательных наблюдений в тече-
ние одного прогона модели (одного сеанса имитирования). Другой
метод заключается в реализации т независимых прогонов мо-
дели, т.е. в от-кратном повторении одного и того же цикла ими-
тирования. При этом если мы хотим получить в сумме Тнаблюде-

Т ,

нии, в течение каждого прогона можно делать по — (допустим,
m

что полученное число — целое) наблюдений. Оба подхода при-
водят примерно к одинаковым результатам.

Пусть значения у„ t- 1,..., Т представляют собой результа-
ты Т последовательных измерений значений случайной величины
у во время одного и того же сеанса имитирования. Среднее по
времени значение Ет(у) определяется выражением:

т

Обозначим через ц математическое ожидание случайной ве-
личины у. Тогда для достаточно большого Т получаем Ет(у) » ц.

Если известна дисперсия D(y) случайной величины у, то
дисперсия Z>(Er[y]) среднего значения Ег[у] может быть оце-
нена по формуле:

D(ET[y]) = ^.

Оценка точности математического ожидания случайной ве-
личины, полученного методом Монте-Карло, определяется на
основе следующего общего подхода.

Предположим, что z — характеристика, которая должна быть
определена (вероятность события, математическое ожидание,
дисперсия и т.п.), а С, — ее значение, уточняемое по мере накоп-
ления данных, остающееся случайным вследствие ограниченности
числа Т проведенных наблюдений. В этих условиях можно го-
ворить о вероятности р (|г-	< е) по отношению к интересу-

ющей нас характеристике. Здесь |г- представляет собой по-
грешность в оценке z, а е — некоторый допустимый ее предел.
Из неравенства Чебышева следует

£

Из этого неравенства следует Z>T(Q < (1 - р)е2, откуда при за-
данных р и е и при известной зависимости £>Т(О можно найти
предельно необходимое Т.
Известно, что истинная дисперсия выборочного распределе-
ния для расчетного среднего обратно пропорциональна суммар-

ному числу наблюдений Т, т.е. DT(Q = гДе не зависит от Т.

Обычно в начале имитационного процесса необходимое число
наблюдений определить не удается, поскольку d неизвестно.
Поэтому, как правило, эксперимент проводят в два этапа.
На первом этапе выбирается относительно небольшое число ис-
пытаний; в результате моделирования определяется величина d.
Затем можно рассчитать какое число дополнительных наблюде-
ний нужно провести, чтобы достигнуть необходимой точности.
Предельное число наблюдений То определяется формулой

т -

° (1 - ^)е2

ПРИМЕРЫ

Пример 1. Моделирование объема спроса на автомашины

Наблюдения за объемом продаж автомобилей в салоне
«Логоваз» в течение 200 дней показало, что величина спроса
изменяется от 0 до 5 автомобилей в день. Частота реализа-
ции значений стохастической переменной приведена во вто-
ром столбце таблицы. Требуется построить модель, позволя-
ющую имитировать значение величины спроса.

Стохастическая переменная (величина спроса)	Частота реализации значений	Вероятность реализации	Значение функции распределения	Интервалы случайных чисел
0	10	10/200 = 0,05	0,50	01—05
1	-20	20/200 = 0,1	0,15	06—15
2	40	40/200 = 0,2	0,35	16—35
3	60	60/200 =0,3	0,65	36—65
4	40	40/200 = 0,2	0,85	66—85
5	30	30/200 = 0,15	1,00	86—00

Построим функцию распределения величины спроса и ин-
тервалы случайных чисел для значений стохастической перемен-
ной. Соответствующие значения указаны в четвертом и пятом
столбцах таблицы.
Решение

Построим функцию распределения величины спроса и ин-
тервалы случайных чисел для значений стохастической перемен-
ной. Соответствующие значения указаны в четвертом и пятом
столбцах вышеприведенной таблицы. Сымитируем спрос на ав-
томашины в салоне «Логоваз» в течение 10 последующих дней.
Случайные числа из таблицы случайных чисел мы выби-
раем. начиная из верхнего левого угла и двигаясь вниз в пер-
вом столбце.

Номер дня	Случайное число	Имитированный дневной спрос
1	52	3
2	37	3
3	82	4
4	69	4
5	98	5
6	96	5
7	33	2
8	50	3
9	88	5
10	90	5

Получаем:

39 — спрос за 10 дней:

39

— = 3,9 — средний ежедневный спрос.

Оценка 3.9 средней величины спроса, полученная в резуль-
тате имитационного эксперимента, существенно отличается от
значения 2,95 (математического ожидания этой случайной ве-
личины). Но эта разница уменьшается с ростом числа испыта-
ний.

Пример 2

Груженые баржи, отправляемые вниз по Волге из индустри-
альных центров, достигают Астрахани. Число барж, ежедневно
входящих в док. колеблется от 0 до 5. Вероятность прихода
барж в док показана в таблице. Там же указаны интеграль-
ные вероятности и соответствующие интервалы случайных
чисел для каждого возможного значения.
Число ежедневно прибывающих барж
и интервалы случайных чисел

Число барж	Вероятность	Интегральная вероятность	Интервал слу- чайных чисел
0	0,13	0,13	От 01 до 13
1	0,17	0,30	От 14 до 30
2	0,15	0,45	От 31 до 45
3	0,25	0,70	От 46 до 70
4	0,20	0,90	От 71 до 90
5	0,10	1,00	От 91 до 100

Аналогичная информация дана о числе разгружаемых барж.

Ежедневный темп разгрузки	Вероятность	Интегральная вероятность	Интервал слу- чайных чисел
1	0,05	0,05	От 01 до 05
2	0,15	0,20	От 06 до 20
3	0,50	0,70	От 21 до 70
4	0,20	0,90	От 71 до 90
5	0,10	1,00	От 91 до 100

Проведем эксперимент, имитирующий очередь на разгруз-
ку барж в порту Астрахани.

День	Число барж, простаива- ющих с предыдущего дня	Случай- ное число	Число прибыв- ших за день барж	Число барж, ожида- ющих разгрузку	Случай- ное число	Число разгру- женных барж
1	-	52	3	3	37	3
2	0	6	0	0	63	0
3	0	50	3	3	28	3
4	0	88	4	4	2	1
5	3	53	3	6	74	4
6	2	30	1	3	35	3
7	0	10	0	0	24	0
8	0	47	3	3	3	1
9	2	' 99	5	7	29	3
10	4	37	2	6	60	3
11	3	66	3	6	74	4
12	2	91	5	7	85	4
13	3	35	2	5	90	4
14	1	32	2	. 3	73	3
15	0	0	5	5	59	3
	20 — общий простой		41 — всего прибыло			39 — всего раз- гружено
В результате эксперимента получены:

•	оценка среднего числа барж, простаивающих в течение
суток, равная 20/i5’

•	оценка среднего числа барж, прибывающих в течение
•41/

суток, равная /15;

•	оценка среднего числа барж, разгруженных в течение
суток, равная 39/,5.

Пример 3

Магазин электрооборудования Проводкова продает электри-
ческие дрели. В течение 300 дней в магазине регистрирова-
ли дневной спрос на дрели. Распределение вероятностей
величины спроса показано в таблице.

Спрос на дрели	Частота, дни	Вероятность	Интегральная вероятность	Интервалы случайных чисел
0	15	0,05	0,05	от 1 до 5
1	30	0,10	0,15	от 6 до 15
2	60	0,20	0,35	от 16 до 35
3	120	0,40	0,75	от 36 до 75
4	45	0,15	0,90	от 76 до 90
5	30	0,10	1,00	от 91 до 100
	300	1,00		

Когда Проводков делает заказ, чтобы возобновить запа-
сы электрических дрелей, его выполнение происходит с ла-
гом в 1, 2 или 3 дня. Это означает, что время восстановле-
ния запаса подчиняется вероятностному распределению.
В следующей таблице показаны данные, позволяющие
определить вероятности сроков выполнения заказов и интер-
валы случайных чисел на основе информации о 50 заказах.

Срок выполнения заказа	Частота, заказы	Вероятность	Интервальная вероятность	Интервал случайных чисел
1	10	0,20	0,20	от 1 до 20
2	25	0,50	0,70	от 21 до 70
3	15	0,30	10,00	от 71 до 100
	50	1,00		

Стратегия резервирования, которую хочет имитировать

Проводков — делать заказ в объеме 10 дрелей при запасе на
складе 5 штук. Проводков оценил, что каждый заказ на дре-
ли обходится ему в 10 руб., хранение каждой дрели обходится
в 5 руб. в день, одна упущенная продажа обходится в 80 руб.
Целью эксперихгента является оценка величины средних
ежедневных затрат для этой стратегии управления запасами.

Процесс имитации реализуется в четыре этапа.

1.	Каждый имитируемый день начинается с проверки, по-
ступил ли сделанный ранее заказ. Если заказ выполнен,
то текущий запас увеличивается на величину заказа
(в данном случае на 10 единиц).

2.	Путем выбора случайного числа генерируется дневной
спрос для соответствующего распределения вероятностей.

3.	Рассчитывается итоговый запас, равный исходному запа-
су за вычетом величины спроса. Если запас недостаточен
для удовлетворения дневного спроса, спрос удовлетворя-
ется насколько это возможно. Фиксируется число нереа-
лизованных продаж.

4.	Определяется, снизился ли запас до точки восстановления
(в примере — 5 единиц). Если «да», и при этом не ожида-
ется поступления заказа, сделанного ранее, то делается но-
вый заказ.

Первый эксперимент Проводкова.

Объем заказа — 10 штук, точка восстановления запаса —
5 штук.

День	Поступление	Начальный запас	Случайное число	Спрос	Конечный запас	Потери продаж	Делать заказ?	Случайное число	Срок выполнения
1	0	10	6	1	9	0	Нет		
2	0	9	- 63	3	6	0	Нет		
3	0	6	57	3	3	0	Да	02	1
4	0	3	94	5	0	2	Нет		
5	10	10	52	3	7	0	Нет		
6	0	7	69	3	4	0	Да	33	2
7	0	4	32	2	2	0	Нет		
8	0	2	30	2	0	0.	Нет		
9	10	10	48	3	7	0	Нет		
10	0	7	88	4	3	0	Да	14	1
Всего					41	2			
Результат имитационного эксперимента:

1)	Конечный суммарный запас — 41 единица.

2)	Средний конечный запас — 4!/10 = 4,1 единица.

3)	Число упущенных продаж — 2.

4)	Среднее число упущенных продаж 2/ю = 0,2 штук/день.

5)	Среднее число заказов — 0,3 заказа/день.

6)	Определим составляющие затрат:

а)	ежедневные затраты на заказы равны произведению за-
трат на один заказ на среднее число заказов в день,
т.е. 10 х 0,3 = 3 руб.;

б)	ежедневные затраты на хранение равны затратам на хра-
нение одной единицы в течение дня умноженным на сред-
нюю величину конечного запаса, т.е. 5 х 4,1 = 20,5 руб.;

в)	ежедневные упущенные возможности равны прибыли
от упущенной продажи умноженной на среднее число
упущенных продаж в день. т.е. 80 х 0,2 = 16 руб.;

г)	общие ежедневные затраты равны затратам на заказы
плюс затраты на хранение, плюс упущенные продажи,
т.е. 39,5 руб.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вопрос 1

Для моделирования случайной величины X в имитационной
модели используется метод Монте-Карло. Случайная вели-
чина Xможет принимать значения 2. 3 и 4. При 200 наблю-
дениях эти значения реализуются с частотами 42, 88 и 70,
соответственно. Определите интервал случайных чисел для
значения X = 3.

Возможные ответы'.

1)	от 1 до 42;

2)	от 43 до 88;

3)	от 22 до 65;

4)	от 43 до 65;

5)	от 66 до 100.

Вопрос 2

Метод имитации называется методом Монте-Карло, если'.
1)для проведения вычисления используется компьютер;

2)	метод позволяет сэкономить деньги;
3)	метод использует значения вероятностей;

4)	все вышеуказанное является верным;

5)	ни одно из вышеуказанных утверждений не является вер-
ным.

Вопрос 3

Модель принятия решении в условиях риска относится к классу
моделей'.

1) имитационных;

2)статистических;

3)алгебраических;

4)	управления запасами;

5)	математического программирования.

Вопрос 4

Для моделирования случайной величины X в имитационной
модели используется метод Монте-Карло. Случайная вели-
чина X может принимать значения 6, 7 и 8. При 200 наблю-
дениях эти значения реализуются с частотами 28, 72 и 100
соответственно. Определите интервал случайных чисел для
значения X = 7.

1)	От 1 до 28;

2)	От 29 до 72;

3)	От 15 до 50;

4)	От 51 до 100;

5)	От 1 до 72.

Вопрос 5

Параметрами управления в имитационной системе управления
запасами являются'.

1)темп обслуживания и время выполнения заказа;

2)	размер запаса'и темп производства;

3)	величина спроса и время выполнения заказа;

4)	размер запаса и время выполнения заказа;

5)	издержки хранения и время выполнения заказа.

ЗАДАЧИ

Задача 1

Компания Шустрова обслуживает и сдает в наем квартиры
в большом жилом комплексе. Иван Шустров хотел бы оце-
нить предполагаемые затраты на замену компрессоров для
кондиционирования воздуха. Он хотел бы определить число
компрессоров, выходящих из строя ежегодно в течение 20 лет.
Используя данные по аналогичному жилому комплексу, кото-
рым его компания владеет в другом городе, Шустров полу-
чил относительные частоты выхода компрессоров из строя.

Число компрессоров, вышедших из строя	Вероятность (относительная частота)
0	0,06
1	0,13
2	0,25
3	0,28
4	0,20
5	0,07
6	0,01

Он решил провести имитационный эксперимент, исполь-
зуя двузначные случайные числа, начиная с числа 37 второй
строки таблицы случайных чисел (см. таблицу случайных
чисел).

Ответьте на следующие вопросы'.

1.	Найдутся ли последовательно три года, в каждом из
которых из строя выйдет один компрессор?

2.	Найдутся ли последовательно три года, в каждом из ко-
торых из строя выйдет два компрессора?

Задача 2

Число машин, приезжающих на автомойку Марка Беззабот-
ного в течение последних 200 часов ее работы, приведено в
следующей таблице.

Число машин, прибывающих каждый час	Частота
3 и менее	0
4	20
5	30
6	50
7	60
8	40
9 и более	0
Итого	200
1)	Постройте распределение вероятностей и интегральное
распределение вероятностей для числа прибывающих ма-
шин.

2)	Определите для этой переменной интервалы случайных
чисел.

3)	Проимитируйте прибытие машин в течение 15 часов ра-
боты мойки и определите среднее число машин в час.

Выберите необходимые для имитации случайные числа
из четвертой строки таблицы случайных чисел, начиная со
значения 69.

1)	Сколько машин приедет в первый час?

2)	Сколько машин в среднем прибывает в час?

Задача 3

Груженые баржи, отправляемые вниз по Волге из индустри-
альных центров к вечеру достигают Астрахани. Число барж,
ежедневно входящих в док, колеблется от 0 до 5. Вероятность
прихода барж в док показана в таблице.

Число барж	Вероятность
0	0,13
1	0,17
2	0,15
3	0,25
4	0,20
5	0,10

Количество разгружаемых барж и соответствующие ве-
роятности указаны в таблице.

Ежедневный темп разгрузки	Вероятность
1	0,03
2	0,12
3	0,40
4	0,28
5	0,12
6	0,05

Проимитируйте 15 дней работы порта и определите:

•	среднее число простаивающих барж;

•	среднее число барж, приходящих ежедневно;

•	среднее число барж, разгружаемых ежедневно.
Таблица случайных чисел

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
1	52	06	50	88	53	30	10	47	99	37	66	91	35	32	00	84	57	07
2	37	63	28	02	74	35	24	03	29	60	74	85	90	73	59	55	17	60
3	82	57	68	28	05	94	03	11	27	79	90	87	92	41	09	25	36	77
4	69	02	36	49	71	99	32	10	75	21	95	90	94	38	97	71	72	49
5	98	94	90	36	06	78	23	67	89	85	29	21	25	73	69	34	85	76
6	96	52	62	87	49	56	59	23	78	71	72	90	57	01	98	57	31	95
7	33	69	27	21	11	60	95	89	68	48	17	89	34	09	93	50	44	51
8	50	33	60	95	13	44	34	62	64	39	55	29	30	64	49	44	30	16
9	88	32	18	50	62	57	34	56	62	31	15	40	90	34	51	95	26	14
10	90	30	36	24	69	82	51	74	30	35	36	85	01	55	92	64	09	85
11	48	61	18	85	23	08	54	17	12	80	69	24	84	92	16	49	59	50
12	88	21	62	69	64	48	31	12	73	02	68	00	16	16	46	13	85	27
13	14	46	32	13	49	66	62	74	41	86	98	92	98	84	54	33	40	45
14	02	01	78	82	74	97	37	45	31	94	99	42	49	27	64	89	42	81
15	83	14	74	27	76	03	33	11	97	59	81	72	00	64	61	13	52	66
16	74	05	81	82	93	09	96	33	52	78	13	06	28	30	94	23	37	39
17	30	34	87	01	74	11	46	82	59	94	25	34	32	23	17	01	58	73
18	59	55	72	33	62	13	74	68	22	44	42	09	32	46	71	79	45	89
19	67	09	80	98	99	25	77	50	03	32	36	63	65	75	94	19	95	88
20	60	77	46	63	71	69	44	22	03	85	14	48	69	13	30	50	33	24
21	60	08	19	29	36	72	30	27	50	64	85	72	75	29	87	05	75	01
22	80	45	86	99	02	34	87	08	86	84	49	76	24	08	01	86	29	11
23	53	84	49	63	26	65	72	84	85	63	26	02	75	26	92	62	40	67
24	69	84	12	94	51	36	17	02	15	29	16	52	56	43	26	22	08	62
25	37	77	13	10	02	18	31	19	32	85	31	94	81	43	31	58	33	51
Используйте для генерирования числа прибывающих барж
случайные числа с начала первой строки таблицы случайных
чисел, а для генерирования числа разгруженных барж — с на-
чала второй строки этой таблицы.

1)	Сколько в среднем барж простаивает в день?

2)	Сколько в среднем барж приходит ежедневно?

3)	Сколько в среднем барж разгружается ежедневно?

Задача 4

Центральный травматологический пункт в Москве имеет
шесть отделений:

1)	приемное отделение, в котором может быть оказана не-
отложная помощь и ставится диагноз;

2)	рентгеновское отделение;

3)	операционное отделение;

4)	отделение протезирования;

5)	диагностическое отделение (где проводятся обследования
для уточнения диагноза);

6)	отделение выписки (оформление больничных документов
и оплаты).

Вероятности перехода пациента из одного отделения в дру-
гое указаны в таблице:

Из отделения	8 отделение	Вероятность
Приемное	Рентген	0,45
	Операционное	0,15
	Диагностическое	0,10
	Выписка	0,30
Рентгеновское	Операционное	0,10
	Протезирования	0,25
	Диагностика	0,35
	Выписка	0,30
Протезирование	Диагностическое	0,55
	Рентгеновское	0,05
	Выписка	0,4
Диагностическое	Операционное	0,15
	Рентгеновское	0,15
	Выписка	0,70
Операционное	Протезирование	0,25
	Диагностическое	0,70
	Выписка	0,05
Проимитируйте передвижение в травматологическом пунк-
те для 10 пациентов. Рассматривайте одного пациента в те-
чение всего времени пребывания в больнице (с момента,
когда он поступает в приемное отделение и до момента, ког-
да он выписывается). Вам следует учесть, что пациент мо-
жет попадать в одно и то же отделение более чем один раз.
Используйте для генерирования переходов случайные числа
из пятой строки таблицы случайных чисел.

1)	Сколько раз (максимум) один пациент посетит рентгено-
вское отделение?

2)	Сколько раз в среднем один пациент посетит отделение
протезирования?

Задача 5

Штаб военно-воздушной дивизии использует большое чис-
ло компьютерных графопостроителей. Графопостроитель на-
носит на лист бумаги линии в различных направлениях до
тех пор, пока не будет сделан весь рисунок. В графопостро-
ителе используется четыре пера различных цветов. Любое перо
может выйти из строя, в этом случае выходит из строя весь
графопостроитель и требуется замена соответствующего пера.
Инженер, обслуживающий графопостроители, предложил при
выходе из строя одного пера проводить замену сразу всех че-
тырех перьев. Это должно уменьшить число выходов из строя
графопостроителей. Требуется один час на замену одного пера
и два часа на замену всех четырех перьев. Стоимость простоя
графопостроителя в течение часа 50 000 тыс. руб. Каждое перо
стоит 8000 тыс. руб. Если производится замена только одно-
го пера, то время, проходящее между выходами графопостро-
ителя из строя, распределяется следующим образом:

Время между двумя выходами из строя при замене одного пера, ч	Вероятность
10	0,05
20	0,15
30	0,15
40	0,20
50	0,20
60	0,15
70	0,10

Если проводить замену всех четырех перьев, то время меж-
ду двумя поломками распределяется следующим образом:
Время между двумя поломками	Вероятность
100	0,15
110	0,25
120	0,35
130	0,20
140	0,05

Проимитируйте две различные стратегии и определите
лучшую. Используйте для генерирования поломок случайные
числа с начала четвертой строки таблицы случайных чисел.
Проведите десять испытаний.

1)	Следует ли заменять сразу все четыре пера?

2)	Какую экономию обеспечивает лучшая стратегия по срав-
нению с альтернативной в течение месяца непрерывной
работы графопостроителя (в тыс. руб.)?

Задача 6

Доктор Елена Бодрова имеет зубоврачебную практику в Москве.
Елена составляет расписание своего приема так, чтобы паци-
ентам не пришлось долго ожидать в очереди. В таблице при-
ведено расписание на 20 мая.

Пациент	Время, назначенное пациентами	Предполагаемое время обслуживания
Иванов	9:30	15
Новиков	9:45	20
Грачев	10:15	15
Васильева	10:30	10
Сычев	10:45	30
Галеев	11:15	15
Гринев	11:30	20
Лапин	11:45	15

К сожалению, не все пациенты приходят точно к назна-
ченному времени. К тому же время обслуживания тоже нельзя
указать точно. Опыт Елены указывает на то, что:
а) 20% пациентов придут на 20 мин раньше;

б)	10% придут на 10 мин раньше;

в)	40% придут вовремя;

г)	25% придут на 10 мин позже;

д)	5% придут на 20 мин позже.
Кроме того:

а)	в 15% случаях на обслуживание понадобится на 20% мень-
ше времени, чем указано;

б)	в 50% случаях — столько, сколько указано;

в)	в 25% понадобится на 20% больше времени;

г)	в 10% понадобится на 40% больше времени.

Доктор хотела бы закончить прием 20 мая в 12:15 для то-
го, чтобы вылететь в Минск на конференцию стоматологов.
20 мая Елена готова начать прием в 9:30. Пациенты обслу-
живаются в порядке, указанном в расписании. (Даже если
один пациент приходит раньше, чем назначенный на прием
перед ним.)

Используйте для генерирования времени прихода и об-
служивания пациентов случайные числа с начала первой
строки таблицы случайных чисел.

1)	На сколько позже желательного срока закончится прием
(в мин)?

2)	Скольким пациентам, пришедшим вовремя, придется
ожидать приема?

Задача 7

Магазин Петушкова поддерживает на складе запас 30-ведер-
ных водонагревателей для владельцев индивидуальных домов.
Хозяин магазина хотел бы иметь под рукой максимальный
запас водонагревателей, чтобы удовлетворить любой спрос.
Однако он понимает, что это невыгодно из-за высокой стои-
мости их хранения. Он проследил за объемами продаж во-
донагревателей за последние 50 недель и отметил следующее:

Объем продаж водонагревателей	Число недель, в которые был реализован этот объем продаж
4	6
5	5
6	9
7	12
8	8
9	7
10	3
Итого:	50

Используйте для имитации случайные числа из седьмой
строки таблицы случайных чисел, начиная со значения 10.
1)	Если Петушков будет иметь еженедельный запас в 8 на-
гревателей, то сколько раз за 20 недель ему не хватит это-
го запаса для удовлетворения спроса?

2)	Каков средний объем продаж за 20 недель?

Задача 8

Петушков уточнил данные о продаже электронагревателей,
проведя учет за 100 недель, и построил следующее распреде-
ление объема продаж в неделю:

Число электронагревателей, проданных за неделю	Число недель, в которые наблюдался объем продаж
3	2
4	5
5	10
6	15
7	25
8	21
9	12
10	10
Итого:	100

Используйте для имитации случайные числа из шестой
строки таблицы случайных чисел.

1)	Чему равен объем упущенных реализаций за 20 недель, если
еженедельный запас электронагревателей равен 8?

2)	Чему равно среднее число продаж в неделю?

Задача 9

Маша Кондратьева, аспирантка экономического факульте-
та РУДН, предполагает, что у нее могут возникнуть финан-
совые проблемы. Ее доход складывается из стипендии и го-
нораров за реферативные статьи. Распределение уровня ее
доходов показано в таблице:

Месячный доход, руб.	Вероятность
350 000	0,4
400 000	0,2
450 000	0,3
500 000	0,1
Предполагается, что доход поступает на ее счет и учиты-
вается в начале следующего месяца. Расходы Маши также ме-
няются от месяца к месяцу и подчиняются следующему рас-
пределению вероятностей:

Расходы	Вероятность
300 000	0,10
400 000	0,45
500 000	0,30
6 000 000	0,15

В начале текущего года обучения на ее счету было 600 000 руб.
Проимитируйте текущий год (12 месяцев) и оцените финан-
совое положение Маши. Предполагается, что реальные рас-
ходы Маши не могут превышать суммы на счете. Исполь-
зуйте для имитации случайные числа с начала шестой стро-
ки таблицы случайных чисел.

1)	Сколько месяцев из 12 Маша будет испытывать дефицит
бюджета?

2)	Какая сумма денег останется на счету у Маши в конце
текущего года?

Задача 10

Даша Василькова — менеджер салона фирмы «Мерседес-Бенц»
в Москве. В последние 100 месяцев объем продаж колеблет-
ся от 6 до 12 новых автомобилей. Частоты различных объ-
емов продаж показаны в таблице.

Объем продаж в месяц	Частота, месяц
6	8
7	11
8	17
9	33
10	25
11	3
12	3
Итого:	100

Даша считает, что продажа будет идти в тех же объемах
еще 24 месяца. Время выполнения заказа на поставки рас-
пределяется следующим образом:
Время поставок, месяцы	Вероятность
1	0,44
2	0,33
3	0,16
4	0,07
Итого:	1,00

Даша Василькова каждый раз заказывает 21 автомобилей
(3 трейлера по 7 автомобилей в каждом) и делает новый за-
каз, когда запас в магазине снижается до 12 автомоби-
лей. Новый заказ можно сделать только после выполнения
предыдущего. Проимитируйте эту стратегию в течение 24 ме-
сяцев. Используйте для имитации случайные числа с нача-
ла второй строки таблицы случайных чисел. Считайте, что:
а) начальный запас составляет 28 автомобилей;

б)	затраты на хранение одной автомашины составляют в месяц
600 000 руб.;

в)	одна упущенная продажа приносит убыток в среднем
4 350 000 руб.;

г)	один заказ обходится в 570 000 руб.

1)	Сколько заказов придется сделать за два года?

2)	С какими издержками связана данная стратегия (в тыс. руб.)?

Задача 11

Фирма «Веста» — производитель промышленных моечных
машин. Одной из комплектующих деталей в производствен-
ном процессе является стальной лист размером 8 х 10 дм. Сталь
поставляется на контрактной основе компанией «Урал-сталь»,
причем еженедельный объем поставок может составлять 8000
или 11 000 дм2: 45% шансов на то, что объем поставок соста-
вит 8000 дм2, и 55% шансов на то, что 11 000. Затраты стали
у «Весты» изменяются во времени. Распределение величины
потребности в стали указано в следующей таблице.

Недельный спрос, дм2	Вероятность
6000	0,05
7000	0,15
8000	0,20
9000	0,30
10 000	0,20
11 000	0,10
Фирма «Веста» может хранить на складе не более 25 000 дм2
стали единовременно.

Проимитируйте заказы на сталь и ее использование в те-
чение 20 недель. Начните первую неделю с нулевого запаса
на складе. Если запас на конец недели окажется отрицатель-
ным, то восполните необходимую разницу из следующего
заказа. Используйте для имитации случайные числа из тре-
тьей строки таблицы случайных чисел.

1)	Требуются ли фирме «Веста» дополнительные складские
помещения?

2)	Какое количество стали (в тыс. дм2) будет на складе в конце
20-й недели?

СИТУАЦИИ

Ситуация 1. Деятельность фирмы, занимающейся
вывозом радиоактивных отходов

Компания «БАЙЛС — удаление отходов» со штаб-квартирой
в Дюссельдорфе, Германия, распоряжается семью специально
оборудованными трейлерами для коммерческой транспорти-
ровки на большие расстояния радиоактивных отходов. Каж-
дый грузовик совершает в среднем одну поездку в неделю,
собирая радиоактивные отходы у химических компаний и
других производителей в Центральной Европе. Эти грузы
аккуратно доставляются в правительственное хранилище,
расположенное недалеко от Дрездена, который до воссоеди-
нения был индустриальным центром Восточной Европы.
В настоящее время сбор отходов происходит в восьми стра-
нах: Италия, Германия, Австрия, Франция, Бельгия, Нидер-
ланды, Дания и Польша.

Компания имеет офис в столице каждой страны, которую
она обслуживает. Персонал офиса включает не только ме-
неджера и секретаря, но и адвоката, по совместительству
оказывающего содействие в разрешении политических,
обшекультурных, пограничных и юридических конфликтов,
возникающих в индустрии удаления ядерных отходов.

Сибби Байлс, хозяйка компании, намерена исключить
Италию из сферы своего бизнеса. В прошлом году туда было
сделано только 25 рейсов за отходами. Хотя текстильное про-
изводство в Северной Италии является хорошим полем
деятельности для фирмы Байлс, решение о целесообразности
сохранить офис и вести деловые операции в этой стране следу-
ет принимать с учетом объема работы и получаемого дохода.

Чтобы проанализировать рынок Италии, Байлс собрала
данные об объеме перевозок и доходов за прошедший год.
Каждый из 25 грузовиков, загруженных в Италии в прошлом
году, собрал от 26 до 50 баррелей отходов. Доход, получае-
мый за баррель отходов (изменяется от 50 до 80 DM), зави-
сит от типа радиоактивных материалов и количества выво-
зимых отходов.

Собранное количество отходов, баррель	Число поездок за год, в которых было собрано такое количество отходов	Доход за баррель, DM	Число поездок с таким доходом
26—30	3	50	5
31—35	4	60	11
36—40	6	70	7
41—45	9	80	2
46—50	3	-	-
Итого:	25		25

Байлс решила, что имитация 25 грузовых поездок из Ита-
лии позволит оценить рентабельность работы в этой стране
в следующем году. Она определила, что каждая поездка к дрез-
денскому хранилищу обходится в 900 DM, включая оплату
водителя, топлива и амортизацию грузовика. Прочие наклад-
ные расходы составляют 120 DM на поездку. К тому же,
содержание офиса в Италии обходится в 41 000 DM в год.
Эта сумма включает заработную плату и косвенные наклад-
ные расходы, которые несет штаб-квартира в Дюссельдорфе.
I) Позволят ли доходы от поездок в Италию покрыть расхо-
ды на содержание офиса в этой стране?

2)	Предложите стратегию проведения имитационного экспе-
римента.

3)	Проведите имитационный эксперимент для оценки годовых
доходов компании Байлс в Италии.

4)	Проведите аналитические расчеты для оценки ожидаемо-
го годового дохода и сравните результаты с результатами
имитационного эксперимента.

Переработано из Heizer J., Render В.

Production and Operations Management. Allyen and Bacon, 1993.
Ситуация 2. Деятельность транспортной компании,
занимающейся вывозом грузов из порта

После завершения высшего образования в США Самир Каль-
дон вернулся в Джеддах, Саудовскую Аравию, где его семья
имела собственное дело. Его ближайшей целью было рекон-
струировать и стабилизировать принадлежащую его семье
транспортную компанию «Перевозки Кальдона».

Самир столкнулся с проблемой определения числа гру-
зовиков, необходимых для перевозки предполагаемого коли-
чества грузов. До сих пор грузовики приобретались по мере
необходимости без всестороннего планирования объема пе-
ревозок. Следствием такого подхода были проблемы с най-
мом водителей, обслуживанием грузовиков и неустойками за
несвоевременный вывоз грузов из порта и возврат контей-
неров.

Штрафы за простой грузов в порту Джеддаха очень ве-
лики. Они рассчитываются по следующему правилу:

1)	Десятидневный, «не облагаемый штрафом период» отво-
дится для вывоза груза из порта.

2)	После этого за каждые 24 часа простоя в порту одной тонны
груза взимается штраф размером в один реал (приблизи-
тельно равен одному американскому доллару). За следу-
ющие 24 часа взимается штраф два реала, за следующие
24 часа — три реала и т.д.

По прогнозу Самира объем перевозимого компанией груза
составляет в среднем 160 000 т в месяц со стандартным от-
клонением 30 000 т. Темп поступления груза в течение ме-
сяца является постоянным. В соответствии с предыдущим
опытом, количество грузов, перевозимых компанией в течение
месяца, имеет нормальное распределение.

После длительных исследований Самир пришел к заклю-
чению, что автопарк должен быть укомплектован 40-футо-
выми грузовиками «Мерседес 2624» с грузовыми платформа-
ми, каждый из которых может перевозить два 20-футовых
контейнера, или один тридцатифутовый контейнер, или один
сорокафутовый контейнер. Максимальная грузоподъемность
одного грузовика 60 т. Стоимость одного грузовика 240 000 ре-
алов. К тому же такой грузовик должен быть адаптирован для
использования в Саудовской Аравии, иметь двойную систе-
му охлаждения, радиатор повышенного объема и специаль-
ные высокотемпературные шины. Практика показывает,
что такой грузовик может непрерывно работать 96% вре-
мени.

Приблизительно 25% поступающих грузов упакованы в
контейнеры длиной 20, 30 или 40 футов. Остальные 75% груза
не упакованы в контейнеры. Двадцатифутовый контейнер
вмещает приблизительно 20 т груза, тридцатифутовый контей-
нер — 45 т и сорокафутовый контейнер — 60 т. Приблизительно
60% контейнеризированных грузов находятся в 40-футовых
контейнерах; 20% — в 30-футовых; 20% — в 20-футовых.
Использование контейнеров связано со следующими штраф-
ными санкциями:

1)	Пятидневный «не облагаемый штрафом период» отводится
для того, чтобы вернуть контейнер в порт.

2)	За каждые 24 часа задержки контейнера сверх этого сро-
ка взимается штраф 1000 реалов. За следующие 24 часа —
2000 реалов, следующие — 3000 реалов и т.д. Компания «Пе-
ревозки Кальдона» забирает груз в порту и доставляет его
либо непосредственно потребителю, либо на склад для по-
следующей транспортировки.

Основываясь на этих данных, Самир пришел к выводу,
что каждый грузовик должен брать груз в порту три раза в
день.

Финансовый анализ показывает, что прибыль от доставки
1 т груза составляет в среднем 2,25 реала. Альтернативные
издержки капитала, инвестированного семьей Кальдон, со-
ставляет 20%.

1)	Разработайте имитационную модель, учитывающую все
факторы, влияющие на принятие решения.

2)	Проведите расчеты и определите, сколько грузовиков сле-
дует иметь компании. Обоснуйте ваши выводы результа-
тами расчетов.

Переработано из Render В., Stair R.M., Greenberg I.

Cases and Readings in Management. Boston, Allyn & Bacon, 1988.

ОТВЕТЫ

Ответы на контрольные вопросы

1 -3,2-3, 3-2, 4-3, 5-4.
Ответы на задачи

Задача 1

1)	Согласно данным эксперимента выхода из строя одного
компрессора в течение трех последовательных лет не на-
блюдается.

2)	Выхода из строя двух компрессоров в течение трех после-
довательных лет не наблюдается.

Задача 2

1)	В первый час приедет 7 машин.

2)	В среднем прибывает 6,5 машин в час.

Задача 3

1)	В среднем простаивает 15:15=1 баржа в день.

2)	Ежедневно приходит в среднем 41 : 15 = 2,73 баржи в день.

3)	Ежедневно разгружается 40 : 15 = 2,67 баржи в день.

Задача 4

I)	Один пациент посетит максимум два раза рентгеновское
отделение.

2)	Один пациент в среднем посетит отделение протезирова-
ния 0,1 раза.

Задача 5

1)	Следует заменять сразу четыре пера.

2)	Экономия при использовании лучшей стратегии составит

1	073 000 - 83 100 = 241 400 тыс. руб.

Задача 6

1)	Прием закончится на 19 мин. позже.

2)	Двум клиентам, пришедшим вовремя, придется ожидать
приема.

Задача 7

1)	Четыре раза не хватит водонагревателей.

2)	Объем продаж за 20 недель составит 132 водонагревателя.

Задача 8

1)	Объем упущенных реализаций за 20 недель составит 8 элек-
тронагревателей.

2)	Среднее число продаж за неделю равно 7,25.
Задача 9

1)	В течение шести месяцев Маша будет испытывать дефи-
цит бюджета.

2)	На счету у Маши в конце года останется сумма
в 100 тыс. руб.

Задача 10

1)	За два года придется сделать семь заказов.

2)	Сумма затрат за два года составит:

7 х 570 + 139 х 600 + 53 х 4350 = 317 940 тыс. руб.

Задача 11

1)	Дополнительные складские помещения в течение 20 не-
дель не требуются.

2)	В конце 20 недели на складе будет 20 000 дм2.
Глава 15

ЗАДАЧИ ДИСКРЕТНОЙ
ОПТИМИЗАЦИИ

ЦЕЛИ

Нередко приходится рассматривать задачи, в которых неиз-
вестные величины могут принимать только целочисленные зна-
чения. Например, задачи, связанные с определением необходи-
мого числа рабочих мест или задачи нахождения оптимального
числа дорогостоящих станков. При решении таких задач с це-
лочисленными переменными методы линейного (выпуклого)
программирования неприменимы.

Другая сфера применения целочисленных моделей — выбор
вариантов. В соответствующих задачах все или некоторые пере-
менные могут принимать только значения 0 или 1. Такие пе-
ременные носят названия булевы переменные.

Наиболее известные методы решения целочисленных задач —
метод отсечений и метод ветвей и границ. Они разработаны в
начале 1960-х гг. и затем неоднократно усовершенствовались и
модифицировались. Решения примеров и задач, приводимых в
этой главе, получены с помощью метода ветвей и границ и яв-
ляются точными.

Ознакомившись с материалами главы, Вы будете уметь ис-
пользовать в экономическом анализе следующие понятия:

•	неделимость;

•	целочисленная задача;

•	целочисленная переменная;

•	булева переменная;

•	взаимоисключение;

•	взаимообусловленность.
МОДЕЛИ

Дискретные (целочисленные) задачи математического про-
граммирования отражают дискретную природу моделируемого
объекта. Существуют задачи линейного программирования,
которые формально к целочисленным не относятся (требование
целочисленности переменных в них в явном виде не наклады-
вается), но которые при целочисленных исходных данных все-
гда обладают целочисленным планом. Этим свойством облада-
ет транспортная задача и различные ее варианты (задача о
назначениях).

Первоначальным стимулом к изучению целочисленных и
дискретных задач послужила необходимость рассмотрения задач
линейного программирования, в которых переменные величи-
ны модели являлись физически неделимыми величинами, на-
пример, количество единиц продукции. Для характеристики этого
класса моделей используется термин задачи с неделимостями.

Свое дальнейшее развитие теория дискретного программи-
рования получила с появлением экстремальных комбинаторных
задач, для решения которых приходилось вводить булевы пере-
менные, носящие логический характер и принимающие значе-
ния ноль или единица.

К целочисленным (точнее, частично целочисленным) зада-
чам линейного программирования удается свести ряд задач,
в которых явное требование целочисленности отсутствует, но зато
имеются некоторые особенности, выводящие их из рамок линей-
ного программирования. Эти особенности могут относиться к:

а)	целевой функции;

б)	области допустимых решений.

Итак, можно выделить следующие основные классы задач
дискретного программирования:

1)	транспортная задача и ее варианты;

2)	задачи с неделимостями;

3)	экстремальные комбинаторные задачи;

4)	задачи с неоднородной разрывной целевой функцией;

5)	задачи на неклассических областях.

Целочисленная задача линейного программирования
(задача с неделимостями)

К данному классу принадлежат задачи распределения капи-
таловложений и задачи планирования производства. Целочис-
ленная задача линейного программирования имеет вид:
с।х। + c2x2 + ... + cnxtl -> max;	(1)

при условиях:

«11*1 + «12*2 + -+ «!»*« bh

«21*1 + «22*2 +	+ a2nXn - ЬЪ

(2)

«„,]*] + O,„2*2 + ••• + amnxn - Ьпг>

x, >0, x2 > 0, ..., x„ > 0;	(3)

X: — целые числа, j e J,	(4)

где J — некоторое подмножество множества индексов Л = {I, ..., п}.

Если J= ЛЦт.е. требование целочисленности наложено на все
переменные), то задачу называют полностью целочисленной; если
же J * N, она называется частично целочисленной.

Модель (1)—(4) естественно интерпретировать, например,
в следующих терминах. Обозначим:

/ = 1, ..., т — производственные факторы;

j = I, ..., п — виды конечной продукции;

Оу — количество факторов /, необходимое для производства
единицы продукта у;

bj — наличные ресурсы фактора /;

с, — прибыль, получаемая от единицы продукта j.

Пусть продукты j, j е J, являются неделимыми, т.е. физи-
ческий смысл имеют лишь их целые неотрицательные количе-
ства. Необходимо так составить производственную программу,
чтобы обеспечить максимум суммарной прибыли и не выйти за
пределы имеющихся ресурсов. Обозначая через Xj искомые объемы
выпуска продукции, мы сводим эту задачу к модели (1)—(4).

Задача с булевыми переменными.
Логическая взаимосвязь

1.	Взаимоисключение

Запись Aj v Ак обозначает, что в план может быть включен либо
проект Aj, либо проект Ак. Вместе они включены быть не могут.

С помощью этой записи выражается отношение взаимоис-
ключения между проектами, направленными на решение одной
задачи.

Пусть Xj = 1, если проект Aj реализуется, и = 0 в против-
ном случае. В этих обозначениях взаимозаключение Ак v Ат
выражается неравенством хк + хт < 1.
2.	Взаимообусловленность

Запись Ак -» Aj — «проект Ак влечет за собой проект А^
означает, что проект Ак может быть включен в план только в том
случае, если в план включен и проект Aj. С помощью этой запи-
си выражается отношение между обусловливающими друг дру-
га проектами, например, когда проект Ак является тиражирова-
нием проекта Aj на другом объекте или когда Ак базируется на
результатах реализации проекта Aj.

В принятых обозначениях взаимообусловленность Ак Aj
выражается неравенством хк < Xj.

3.	Экстремальные комбинаторные задачи

Задачи данного класса, называемые также задачами выбора,
состоят в отыскании среди конечного множества альтернатив
одной, которой отвечает экстремальное значение принятой це-
левой функции.

4.	Задача о коммивояжере

Данная задача представляет собой классический пример за-
дачи выбора. Коммивояжер должен выехать из определенного
города и вернуться в него, побывав в каждом городе лишь один
раз и при этом проехав минимальное расстояние.

Пусть Xjj = 1, если коммивояжер переезжает из города i в го-
род j, и Ху = 0, в противном случае; с(у— расстояние между го-
родами i и j (чтобы избежать бессмысленных значений х/7 = 1,
w = Е i cnxij min;

i=i j=।

E xij = ь ' = ь

E4 = 1, / =

предполагается, что c,7 равны достаточно большому числу). В этих
обозначениях модель имеет вид:

К приведенным ограничениям необходимо добавить условия
на недопустимость подциклов, т.е. повторного посещения городов
(за исключением исходного). Это ограничения вида:

Z, - Zj + nXjj < п - 1,	/ = 2, ..., п, J = 1, ..., п (i * j),

где на переменные Zj не наложено никаких ограничений.
5.	Задача календарного планирования

Имеется п станков (машин), на которых требуется обрабо-
тать т деталей. Заданы маршруты (в общем случае различные)
и продолжительности операций обработки деталей на каждом
станке или группе станков. Предполагается, что одновременно
на станке может обрабатываться не более одной детали. Требу-
ется определить оптимальную последовательность обработки.
В качестве критерия оптимальности могут выступать продолжи-
тельность обработки всех деталей, суммарные затраты на обра-
ботку, общее время простоя станков и др. Существует огромное
число постановок данной задачи, учитывающих конкретные
условия производства.

6.	Задача о ранце

Имеется п предметов. Предмет j (j = 1,..., и) имеет вес w} и
обладает полезностью су. Пусть b — общий максимально допус-
тимый вес предметов, которые можно положить в ранец. Тре-
буется выбрать предметы таким образом, чтобы их общий вес
не превышал максимально допустимый, и при этом суммарная
полезность (ценность) содержимого ранца была максимальной.
Пусть Xj = 1, если предмет положен в ранец, и х} = 0 в против-
ном случае. Математическая формулировка задачи имеет вид:

п

F(x) = с7 Xj -» max;
j = i

п

^WjXj <ь-
j = i

Xj e {0, 1}, j = 1, ..., n.

К классу экстремальных комбинаторных задач принадлежит
также линейный и нелинейный варианты задач о назначении
(линейный вариант такой задачи рассмотрен в приложении) к гла-
ве 5 настоящего учебника.

Большинство целочисленных и комбинаторных типов задач,
таких как задача с неделимостями, задача коммивояжера, зада-
ча календарного планирования принадлежат к разряду так на-
зываемых трудно решаемых. Это означает, что вычислительная
сложность алгоритма их точного решения, т.е. зависимость числа
элементарных операций (операций сложения или сравнения),
необходимых для получения точного решения, от размерности
задачи п, является экспоненциальной (порядка 2"), т.е. сравнимой
с трудоемкостью полного перебора вариантов. В качестве п,
например, для задачи с неделимостями служит число целочис-
ленных переменных и число ограничений, для задачи коммиво-
яжера — число городов или узлов графа маршрутов, для задачи
календарного планирования — число деталей и число станков.
Такие задачи называют еще ^-трудными или ^-полными.
Получение их точного решения не может быть гарантировано,
хотя для некоторых задач данного типа существуют эффектив-
ные методы, позволяющие получить точное решение даже при
больших размерностях. Примером таких задач служит задача о
ранце с двоичными переменными.

Задачи с вычислительной сложностью, определяемой поли-
номиальной зависимостью от п, называются «эффективно реша-
емыми задачами». К таким задачам относятся задачи транспор-
тного типа и линейные задачи о назначении.

Для решения целочисленных задач используются:

•	симплекс-метод (для транспортных задач, задач о назначении);

•	методы отсечения (например, метод Гомори);

•	метод «ветвей и границ» (в общем случае получение точно-
го решения не гарантируется);

•	эвристические методы.

Последняя группа методов не обеспечивает получение точ-
ного решения и может использоваться в случаях, когда приме-
нение предыдущих методов невозможно или не приводит к ус-
пеху. К тому же, эти методы можно использовать для решения
задач любой сложности.

ПРИМЕРЫ

Пример 1. Оптимизация капиталовложений

Имеется 10 работ, каждая из которых характеризуется тре-
мя технико-экономическими показателями:

«У — объем работы;

— размер необходимых капиталовложений;
с — ожидаемый годовой экономический эффект.

Общий объем работ не должен превышать 20. Общий
объем капиталовложений не должен превышать 20. Требу-
ется определить, какие из 10 работ следует выполнить, что-
бы максимизировать ожидаемый годовой экономический
эффект, учитывая следующие условия взаимообусловленности
и взаимоисключения.
Показатели	Работы									
	А,	Ар	Аз	Д4	^5	^6	А7	Ав	Ад	Аю
а.	3	3	3	4	4	2	4	3	6	5
bt	4	3	2	4	6	4	3	5	3	4
с.	3	7	5	6	8	4	7	4	7	6

a) A{ -> J7 v J4	6) A3

г

Лю v Ay

г

Ay v A# v A9 —A^

Решение

Помимо целевой функции и двух ограничений по общему
объему работ и капиталовложений данную задачу характеризу-
ет следующая система неравенств.

х, < х7; х3 < х8; х7 < х)0; х9 < х6;

х|0 + Ху = 1; х5 + х8 = 1; х7 + х4 = I; х8 + х9 = 1.

В результате расчетов получаем оптимальное решение

х* = (0, 1, 0, 1, I, I, 0, 0, 1, 0).

Пример 2. Оптимизация производственной программы

Автомобилестроительный завод выпускает 3 модели автомо-
билей, изготовление которых производится последователь-
но в трех цехах. Мощности цехов составляют 300, 250 и
200 чел. х дней в декаду. В первом цехе для сборки одного ав-
томобиля первой модели требуется 6 чел. хдней, второй мо-
дели — 4, третей модели — 2 чел. хдня в декаду. Во втором
цехе эти трудоемкости равны 3, 4 и 5 чел. хдней, соответствен-
но, а в третьем цехе — по 3 чел. хдня на каждую модель.
Прибыль, получаемая заводом от продажи одного автомобиля
каждой модели, составляет соответственно 15, 13 и 10 тыс. руб.

Известно, что все выпущенные автомобили будут проданы.
Каким должен быть их оптимальный выпуск?

Решение

Пусть х, — количество выпускаемых автомобилей модели 7 в
течение декады (7 = I, ..., п). В принятых обозначениях модель
имеет вид:
15Х| + I3x2 + 10х3 шах;

бХ] + 4х2 + 2х3 < 300;

Вл, + 4х2 + 5х3 < 250;

3(Х| + х2 + х3) < 200;
л,, х2, х3 — целые числа.

Дальше задача решается по стандартной процедуре, как
это было описано в предыдущих главах.

Пример 3. Двумерная задача раскроя

Из минимального количества листов стекла размера 8x6 м2
требуется вырезать 10 оконных стекол размера 4x4 м2,
20 оконных стекол размера 4 х 5 м2 и 30 оконных стекол раз-
мера 3 х 3 м2. Множество вариантов раскроя показано в сле-
дующей таблице.

4x4	4x5	3x3	
2	-	-	X,
1	1	-	х2
1	-	2	Хз
-	2	-	х4
-	-	4	х5
-	1	2	х6

Постройте модель для определения плана раскроя, тре-
бующего минимального количества материала.

Решение

Пусть Xj — число экземпляров раскроя по варианту /. Тогда
модель имеет вид:

п

F(x) = X ху m’n’

/= ।

lx, + х2 + х3 > 10;

х2 + 2х4 + х6 > 20;

2х3 + 4х5 + 2х6 > 30;

Х|, ...,х6 — целые числа.

Дальше задача решается по стандартной процедуре, как это
было описано в предыдущих главах.
Пример 4. Задача о ранце

Некоторая торговая компания имеет свои универсамы в горо-
дах: Москва, Санкт-Петербург, Нижний Новгород, Екатерин-
бург, Самара и Казань. В результате ошибок менеджмен-
та экономическое положение компании стало ухудшаться,
ей пришлось взять кредит в размере 13 млн руб. и, в конеч-
ном счете, чтобы вовремя его погасить, компании пришлось
срочно продать некоторые свои универсамы. Средства,
которые компания могла бы получить от продажи универ-
самов в городах: Москве, Санкт-Петербурге, Нижнем Нов-
городе, Екатеринбурге, Самаре или Казани составляют, со-
ответственно, 5,2; 4,9; 4,5; 3,6; 3,4; 3,2 и 3,1 млн руб. Однако
возникает проблема: продажа универсамов сопряжена с не-
обходимостью увольнения персонала. Его численность состав-
ляет, соответственно, 200, 190, 180, 170, 150, 130 и 110 чело-
век. По требованию объединенного профсоюза работников
торговли компания должна минимизировать численность
увольняемого персонала. Каким должно быть оптимальное
решение?

Решение

Перенумеруем города в соответствии с порядком их перечис-
ления, и пусть х, = 1, если универсам, расположенный в горо-
де, продается, и х, = 0 в противном случае. Тогда оптимизаци-
онная модель имеет вид:

200х| + 190х2 + 180х3 + 170х4 + 150х5+ 130х6+ 110х7 —> min;
5,2Х| + 4,9х2+ 4,5х3+ 3,6х4+ 3,4х5+ 3,2х6+ 3,1х7> 13;

х,. е {0, !},/=!, ..., 7.

Дальше задача решается по стандартной процедуре, как это
было описано в предыдущих главах.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вопрос 1

В задаче оптимального выбора вариантов проектов разви-
тия предприятия сформулировано дополнительное условие:
реализация первого варианта возможна только в случае
реализации хотя бы одного из двух вариантов: второго или
третьего. Пусть х,- = 1, если вариант i реализуется и х,- = 0 в
противном случае. Тогда дополнительное условие может быть
формализовано в виде:

I)	Х| < х2, X] < х3, х2 + х3 < 1;

2)	х2 + х3 - Х| < 0, х2 + х3 < 1;

3)	X, - х2 - х3 > 0;

4)	х2 + х3 - Х| > 0;

5)	Х| + х2 + х3 < 1.

Вопрос 2

В задаче оптимального выбора проектов развития предпри-
ятия сформулировано дополнительное условие: реализация пер-
вого проекта возможна в случае реализации хотя бы одного из
двух проектов — второго или третьего. Пусть х,-= 1, если вари-
ант i реализуется, и х, = 0 в противном случае. Тогда дополни-
тельное условие может быть формализовано в виде:

I)	х,	>	х2	+ х3, х2 + х3 < 1;

2)	Х|	>	х2	+ х3, х2 + х3 > 1;

3)	х2	+	х3	- х1 > 0, х2 + х3	<	1;

4)	х2	+	х3	- X] > 0, х2 + х3	>	1;

5)	Xj = I, х2 + х3 > 1.

Вопрос 3

Задача какого типа из указанных ниже не обязательно содер-
жит хотя бы одну целочисленную переменную:

1)	в задаче с неоднородной разрывной целевой функцией;

2)	в комбинаторной задаче;

3)	в задаче с неделимостями;

4)	в производственно-транспортной задаче.

Вопрос 4

Задача целочисленного линейного программирования

х, + х2 —> max;

4х, + 2х2 < 20;

Х| < 8, х2 < 3, X, > 0, х2 > 0, хи х2 — целые числа,
заменой переменных сведена к задаче линейного программиро-
вания с булевыми переменными. В новой задаче минимальное
число переменных равно:

1)	2;

2)	3;

3)	5;

4)	6;

5)	7.

ЗАДАЧИ

Задача 1

Руководство завода предполагает провести комплекс орга-
низационно-технических мероприятий с целью модерниза-
ции производства. Мероприятия предполагают следующие
затраты производственных площадей, трудовых и финан-
совых ресурсов.

Мероприятие	Трудовые ресурсы, чел. х день	Финансовые ресурсы, млн руб.	Производ- ственные площади, м7	Экономиче- ский эффект, млн руб.
Закупка станков с ЧПУ	350	400	130	13 000
Текущий ремонт	250	90	-	3000
Монтаж транспорт- ного конвейера	100	60	300	8000
Установка рельсового крана	200	300	150	12 000
Ввод системы контроля качества	130	-	150	2500
Разработка АСУП	800	500	100	15 000

На реализацию всех мероприятий завод может выде-
лить трудовых ресурсов 1300 чел. х дней, финансовых —
10 млрд руб., производственных площадей — 700 м2.

1)	Какие мероприятия следует провести, располагая этими
ресурсами, чтобы общий экономический эффект был мак-
симальным?

2)	Каков максимальный экономический эффект от проведе-
ния мероприятий (в млн руб.)?

3)	Какое количество мероприятий следует провести?
Задача 2

В текущем году заводу необходимо:

1)	закупить два универсальных станка с ЧПУ общей стои-
мостью 200 млн руб. Для этого требуются трудовые ресур-
сы в объеме 250 чел. х дней и производственные площади
100 м2;

2)	смонтировать транспортный конвейер стоимостью 100 млн руб.
Необходимы трудовые ресурсы 190 чел. хдней и производ-
ственные площади 200 м2.

Для проведения этих мероприятий завод располагает
финансовыми ресурсами — 250 млн руб., трудовыми —
200 чел. хдней и производственными площадями — 200 м2.
Недостаток средств и ресурсов можно компенсировать, про-
ведя некоторые из следующих мероприятий:

1)	внедрить новые резцы для обработки металла (экономия
трудозатрат — 130 чел. х дней, затраты — 50 млн руб.);

2)	провести профилактический ремонт станочного парка (тру-
дозатраты — 10 чел. хдней, прибыль — 20 млн руб.);

3)	внедрить систему контроля качества продукции (экономия
трудозатрат — 190 чел. хдней, затраты производственных
площадей — 50 м2, прибыль — 5 млн руб.);

4)	реализовать устаревшее оборудование (трудозатраты —
60 чел. хдней, высвобождение производственных площа-
дей — 200 м2, прибыль — 300 млн руб.);

5)	провести инвентаризацию запасов материальных ресурсов
(трудозатраты — 20 чел. хдней, высвобождение производ-
ственных площадей — 150 м2).

1)	Какое минимальное количество мероприятий следует про-
вести, чтобы закупить станки с ЧПУ и смонтировать транс-
портный конвейер?

2)	Какую максимальную прибыль можно получить (в млн
РУб.)?

Задача 3

В Южно-Уральском регионе работают четыре химических
завода. Им предложено принять участие в конкурсе на раз-
мещение государственного заказа по производству изделий
пяти наименований в объемах.

Изделие	1	2	3	4	5
Объем, шт.	350	250	400	150	150
Каждый завод представил несколько вариантов годовой
производственной программы по выполнению госзаказа и со-
ответствующие финансовые условия контракта.

Изделие	Варианты									
	Завод 1			Завод 2		Завод 3			Завод 4	
	1	2	3	1	2	1	2	3	1	2
1	100	200	200	50	80	-	-	100	100	50
2	200	100	150	-	-	200	250	100	40	60
3	300	250	250	120	100	100	50	50	60	100
4	100	50	100	100	50	-	-	-	50	-
5	50	100	80	-	-	100	100	80	150	100
Объем финансиро- вания, млрд руб.	12	16	14	7	9	16	15	17	5	8

1)	Каковы минимальные затраты на выполнение заказа?

2)	Следует ли реализовать вариант 2 завода 1 (да — 1, нет — 2)?

Задача 4

Нефтеперерабатывающее предприятие использует в производ-
стве нефть трех сортов. Резервные запасы нефти каждого сорта
должны быть не меньше 20, 40 и 60 тыс. т, соответственно.
Для хранения нефти могут быть использованы 4 резервуара
емкостью 25, 30, 35, 40 тыс. т. Затраты на хранение 1 т не-
фти сорта 2 на 10% выше, чем сорта 1, а сорта 3 на 20% выше,
чем сорта 1. Смешение нефти разных сортов при хранении
не допускается.

1)	Сколько резервуаров следует использовать?

2)	Укажите сорт нефти, который следует хранить в резерву-
аре емкостью 30 тыс. т?

Задача 5

В «Объединение кабельной промышленности» входит три
завода. Номенклатура выпускаемых изделий включает три
позиции: 1 — кабель силовой; 2 — провод для осветитель-
ных установок; 3 — провод обмоточный. На период плани-
рования в разрезе трех лет разработаны три варианта раз-
вития завода 1, два варианта развития завода 2 и один —
завода 3.
Варианты		Производство кабельных изделий, годы									Затраты за три года, млн руб.
		Кабель			Провод силовой			Провод обмоточный			
		1	2	3	1	2	3	1	2	3	
Завод 1	1	6,9	8,0	10,0	37	44	53	2,8	3,0	4,0	1557
	2	7,0	7,0	8,6	25	-	-	3,0	18,0	20,2	1399
	3	7,0	7,8	8,7	30	-	-	6,0	18,0	20,0	1034
Завод 2	4	19,2	23,0	28,0	-	-	-	12,8	15,0	18,0	2822
	5	15,8	18,0	22,2	-	-	-	16,0	18,5	20,8	3044
Завод 3	6			-	-	864	950	-	-	-	364
Потреб- ность, тыс. м		15	17	25	20	300	450	10	15	10	

Требуется определить план выпуска продукции на заво-
дах объединения, обеспечивающий удовлетворение заданной
потребности в кабельных изделиях с минимальными затра-
тами.

1)	Каковы минимальные затраты?

2)	Следует ли использовать третий вариант для первого за-
вода?

Задача 6

Согласно планам развития отрасли в ближайшие два года
добыча угля К2 должна возрасти на 180 тыс. т и 234 тыс. т
соответственно, а угля СС на 150 тыс. т и 195 тыс. т. Для обес-
печения роста добычи могут быть введены в действие три
шахты. Для каждой шахты разработаны два варианта добы-
чи угля. Для первого года с момента ввода шахты данные по
объемам добычи приводятся в таблице.

Уголь	Шахта 1		Шахта 2		Шахта 3	
	Вари- ант 1	Вари- ант 2	Вари- ант 1	Вари- ант 2	Вари- ант 1	Вари- ант 2
К2, тыс. т	80	120	30	50	60	40
СС, тыс. т	130	70	90	40	90	60
Затраты, млн руб.	100	120	50	40	70	50

Во втором году с момента ввода: на шахте 1 добыча угля
К2 и СС увеличивается по сравнению с первым годом для
каждого варианта на 10% при росте затрат на 10%; на шах-
те 2 по первому варианту добыча К2 должна возрасти на 10%,
a CC — уменьшиться на 10% при неизменных затратах,
по второму варианту добыча К2 должна уменьшиться на 10%,
а СС — увеличиться на 10% при неизменных затратах;
на шахте 3 по обоим вариантам объем добычи и затрат дол-
жен остаться прежним. Любая шахта может быть введена как
в первый, так и во второй год планового периода. Введен-
ные мощности продолжают использоваться в последующие
периоды времени. Требуется составить план ввода мощно-
стей по добыче угля, обеспечивающий выполнение плано-
вых заданий с минимальными затратами.

1)	Каковы минимальные затраты?

2)	Следует ли использовать первый вариант развития второй
шахты?

Задача 7

Для реконструкции машиностроительного предприятия было
представлено 10 проектов, каждый из которых характеризу-
ется четырьмя агрегированными показателями: затрата-
ми труда (нормохч), энергии (тыс. кВтхч), материалов
(млн руб.), денежных средств (млн руб.), а также ежегодной
прибылью в случае реализации проекта (млн руб.). Соответ-
ствующие данные и объем имеющихся ресурсов приведены
в таблице.

Показатели	Проекты										Ресурсы
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	
Tруд, нормо х Ч	50	60	30	40	80	70	50	20	40	50	300
Энергия, тыс. кВт	4	4	2	5	5	2	3	6	6	3	24
Материалы, млн руб.	3	2	4	5	3	2	4	2	2	3	20
Денежные сред- ства, млн руб.	7	5	9	6	4	3	7	2	4	5	30
Прибыль, млн руб.	9	8	8,5	8,8	9	8	9	8,7	8,9	8	

При выборе проектов необходимо учесть ряд ограниче-
ний технологического характера:

I)	одновременно может быть реализовано не более 7 проек-
тов;

2)	проекты 5 и 8 взаимно исключают друг друга;

3)	проект I может быть реализован лишь при условии реа-
лизации проекта 2;
4)	проект 4 может быть реализован лишь при условии реа-
лизации хотя бы одного из двух проектов: либо проек-
та 3, либо проекта 10.

I)	Каков размер максимальной прибыли (в млн руб.)?

2)	Следует ли реализовывать третий проект?

Задача 8

Имеются одинаковые заготовки, которые могут быть раскрое-
ны тремя способами, и из которых могут быть получены не менее
10 деталей первого типоразмера, не менее 8 деталей второго ти-
поразмера и не менее 10 деталей третьего типоразмера.

Способы раскроя представлены в следующей матрице:

2 1 3

И=221

I 3 0

где а^ — количество деталей типоразмера /', получаемое из
одной заготовки путем ее раскроя способом J.

Количество заготовок, раскраиваемых каждым способом,
должно быть целым и не превышать 4. Отходы от одной за-
готовки для каждого из способов раскроя составляют 4, 5 и
5 см, соответственно.

Выполнить раскрой с минимальными суммарными от-
ходами.

1)	Сколько заготовок должно быть раскроено вторым спо-
собом?

2)	Каковы минимальные суммарные отходы (в см)?

ОТВЕТЫ

Ответы на контрольные вопросы

1 -3,2-4, 3-4, 4-4.

Ответы на вопросы задач

Задача 1

1)	Максимальный экономический эффект от проведения
мероприятий — 37 500 млн руб.

2)	Следует провести 4 мероприятия.
Задача 2

1)	Следует провести три дополнительных мероприятия.

2)	Максимальная прибыль составит 225 млн руб. с учетом
собственных средств.

Задача 3

1)	Минимальные затраты на выполнение заказа равны
27 млн руб.

2)	Вариант 2 завода 1 реализовать не следует.

Задача 4

1)	Следует использовать четыре резервуара.

2)	В резервуаре емкостью 30 тыс. т следует хранить первый
сорт нефти.

Задача 5

1)	Минимальные затраты равны 4220 млн руб.

2)	Для первого завода следует использовать вариант 3.

Задача 6

1)	Минимальные затраты равны 432 тыс. руб.

2)	Первый вариант развития второй шахты использовать не
следует.

Задача 7

1)	Максимальная прибыль равна 51,1 млн руб.

2)	Следует реализовать третий проект.

Задача 8

1)	Вторым способом должно быть раскроено 2 заготовки.

2)	Минимальные суммарные отходы равны 26 см.
Глава 16

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ
РЕШЕНИЙ

ЦЕЛИ

Нам часто приходится принимать решения. Например,
утром перед тем, как выйти из дому, мы задумываемся: «А не
взять ди с собой зонт?». Конечно, не хотелось бы носить его с
собой в хорошую погоду. Но если день будет дождливым, то зонт
будет весьма кстати. Неприятно ходить в мокрой одежде, да еще
платить за ее чистку. Ответить на подобный вопрос не сложно,
если вам известен прогноз погоды. В случае пасмурной погоды,
мы, скорее всего, возьмем зонт. А может и не возьмем, предпо-
читая ходить в намокшей одежде, нежели понапрасну весь день
носить с собой зонт. Последствия отсутствия зонта в плохую
погоду оцениваются людьми по-разному. Эти оценки влияют на
принятие решения.

Сложнее принимать решения в условиях отсутствия досто-
верной информации о возможных последствиях. Этими вопро-
сами занимается теория риска. Эта теория имеет широкую
сферу приложений й экономике. Одно из наиболее важных —
выбор инвестиционных проектов.

После того, как вы выполните задания, предлагаемые в этой
главе, вы будете уметь формулировать и использовать для эко-
номического анализа следующие понятия:

•	альтернатива;

•	состояние среды;

•	таблица решений;

•	дерево решений;

•	критерии безразличия;
•	критерий оптимизма;

•	критерий пессимизма;

•	ожидаемая стоимостная оценка альтернативы;

•	ожидаемая ценность достоверной информации;

•	принятие решений в условиях неопределенности;

•	принятие решений в условиях определенности;

•	принятие решений в условиях риска.

МОДЕЛИ

Теория принятия решений — это аналитический подход к вы-
бору наилучшей альтернативы или последовательности действий.
В зависимости от степени определенности возможных исходов
или последствий, с которыми сталкивается лицо, принимающее
решения (ЛПР) используют один из трех методов теории принятия
решений:

1)	в условиях определенности;

2)	в условиях неопределенности;

3)	в условиях риска.

Принятие решений в условиях определенности

В случае определенности известно, какое из возможных
состояний среды наступит. Если известно, что наступит состоя-
ние к, то в качестве наилучшей — следует выбрать альтернати-
ву Л5, для которой:

ask = max ik.

i

Принятие решений в условиях неопределенности

Если имеет место полная неопределенность в отношении
вероятности реализации состояний среды (т.е. не возможно даже
приблизительно указать вероятности наступления каждого воз-
можного исхода), то обстоятельства, с которыми мы имеем дело
при выборе решения можно представить как вид стратегичес-
кой игры, в которой одним игроком является ЛПР, а вторым —
некая объективная действительность, называемая природой.

Условия такой игры обычно представляются в виде табли-
цы, в которой строки Л|, ... , Ат соответствуют стратегиям ЛПР,
а столбцы N\,..., Nn — стратегиям природы. На пересечении строк
и столбцов — элемент atJ— стоит выигрыш ЛПР, соответству-
ющий данной паре Л;, Nj.
	N,	N2		N„
А,	Зи	в-12		3ln
А2	Э21	322		^2n
				
Ат	3m1	&т2		&mn

При выборе наилучшего решения из множества решений
{Л|, Ат} обычно используют следующие критерии.

1.	Максимаксный критерий или критерий крайнего оптимиз-
ма — определяет альтернативу, которая максимизирует
наилучший результат для каждой альтернативы, т.е. ЛПР
выбирает стратегию с номером /0, которой соответствует
max max а,,.

' j

2.	Максиминный критерий Вальда или критерий крайнего
пессимизма — определяет альтернативу, которая максими-
зирует минимальный результат для каждой альтернативы,
т.е. ЛПР выбирает стратегию с номером /0, которой соот-
ветствует max min оу.

' j

3.	Критерий минимаксного риска Сэвиджа — выбирается
стратегия, при которой величина риска г,у в наихудших
условиях минимальна, т.е. равна max min г,у, где риск
/•,у = max а^ - Ofj.	' J

4.	Критерий оптимизма-пессимизма Гурвица — рекомендует
при выборе решения не руководствоваться ни крайним пес-
симизмом, ни крайним оптимизмом. Согласно этому кри-
терию стратегия выбирается из условия:

Н = max -ж min а, + (1 - A) max а

' ( i	J J

5.

Значение коэффициента пессимизма к выбирается
между нулем и единицей. При к = 1 критерий Гурвица пре-
вращается в критерий Вальда.

Критерий безразличия. В условиях полной неопределен-
ности предполагается что все возможные состояния сре-
ды (природы) равновероятны. Этот критерий выявля-
ет альтернативу с максимальным средним результатом,
" 1

т.е. max У — а„.
Принятие решений в условиях риска

Говорят, что решение принимается в условиях риска, если
определена таблица решений и для каждого состояния среды
известна вероятность его наступления. Один из наиболее рас-
пространенных критериев выбора альтернативы в условиях
риска — максимизация ожидаемой стоимостной оценки альтер-
нативы ЕМУ. Для альтернативы Д ожидаемая стоимостная оценка
ЕМУ(А) рассчитывается по формуле:

ЕМУ(А;) = ЕМУ, = £ aijPj,

j = 1

где a:j —выигрыш ЛПР при выборе альтернативы i в условиях
реализации состояния среды J, J= 1, ..., л;

Pj —вероятность наступления состояния среды j.

Ожидаемая ценность достоверной информации

Под ожидаемой ценностью достоверной информации (EVP1)
понимается разность между выигрышем в условиях определен-
ности и выигрышем в условиях риска.

Для расчета ожидаемой ценности достоверной информации
может быть использована следующая формула:

EVP1 = (maxo/y)^ - max £ ауру.

Оценка риска

Наряду с критерием максимизации ожидаемой стоимостной
оценки используется критерий минимизации риска. Для альтер-
нативы А, риск R(A,) может быть определен по формуле:

н	2

=	Pj-

,/=|

Таким образом, в качестве оценки риска может рассматри-
ваться величина дисперсии эффекта, получаемого в результате
выбора альтернативы. По критерию минимизации риска выби-
рается альтернатива, имеющая минимальную величину диспер-
сии. Таким образом, задача выбора наилучшей альтернативы
может рассматриваться как двухкритериальная.
Дерево решений

Таблицу решений удобно использовать при анализе задач,
имеющих единственное множество альтернативных решений и
единственное множество состояний среды. Однако многие за-
дачи предполагают необходимость принятия нескольких после-
довательных решений, для каждого из которых определено мно-
жество состояний среды. Если имеется два или более последо-
вательных решения, то более предпочтительным является подход,
основанный на построении дерева решений. Дерево решений —
это графическое изображение процесса решений, в котором от-
ражены альтернативные решения, состояния среды, соответству-
ющие вероятности и выигрыши для любых комбинаций альтер-
натив и состояний среды.

Анализ задач с помощью дерева решений включает пять эта-
пов:

1)	формулировка задачи;

2)	построение или изображение дерева решений;

3)	оценка вероятностей состояний среды;

4)	установление выигрышей для каждой возможной Комби-
нации альтернатив и состояний среды;

5)	решение задачи путем расчета ожидаемой стоимостной
ценности (ЕМУ) для каждой вершины состояния среды.

ПРИМЕРЫ

Пример 1. Принятие решений в условиях определенности

Компания «Буренка» изучает возможность производства и
сбыта навесов для хранения кормов. Этот проект может быть
реализован на большой или малой производственной базе.
Рынок для реализации продукта навесов может быть благо-
приятным или неблагоприятным.

Василий Бычков — менеджер компании, — учитывает
возможность, что компании вообще не выгодно производить
эти навесы. При благоприятной рыночной ситуации боль-
шое производство позволило бы компании получить чистую
прибыль 200 тыс. руб. Если рынок окажется неблагоприят-
ным, то при большом производстве она понесет убытки в раз-
мере 180 тыс. руб. Малое производство дает 100 тыс. руб. при-
были при благоприятной рыночной ситуации и 20 тыс. руб.
убытков — при неблагоприятной.
Нужно помочь Бычкову решить, какое из трех возмож-
ных решений следует принять: создать большую или малую
производственную базу или не заниматься производством
навесов.

Решение

Применим перечисленные выше критерии к решению этой
задачи. Составим таблицу решений {к = 0,75).

Альтер- нативы	Состояние среды		Maxi- max	Maxi- min	Критерии		
	Благо- прият- ный рынок	Небла- гопри- ятный рынок			Сэвиджа	Гурвица	Безраз- личия
Создать большое производство	200	-180	200	-180	180	-85	10
Создать малое производство	100	-20	100	-20	100	10	40
Не создавать нового производства	0	0	0	0	200	50	0

1.	По максимаксному критерию следует создать большое
производство.

2.	По максиминному критерию и критерию Гурвица (при
к = 0,75) не следует открывать нового производства.

3.	По критерию минимума максимального риска (критерий
Сэвиджа) и критерию безразличия следует создать малое
производство.

Пример 2. Принятие решений в условиях неопределенности

Добавим к условиям примера 1 предположение, что вероят-
ности наступлений состояний среды принимают значения со-
ответственно 0,7 и 0,3. Необходимо определить альтернати-
ву, для которой значение ожидаемой стоимостной оценки мак-
симально при этих вероятностях.

Решение

Получаем следующие оценки ЕМУ.

1.	ЕМУ(АХ) = (0,7)(200) + (0,3)(-180) = 86.

2.	ЕМУ(А2) = (0,7)(100) + (О,3)(-2О) = 64.

3.	ЕМУ(А3) = (0,7)(0) + (0,3)(0) = 0.
При таких вероятностях наступлений состояний среды наи-
лучшей является альтернатива Л|.

Пример 3. Принятие решений в условиях риска

Предположим, что в условиях примера 2 менеджер компа-
нии «Буренка» связался с фирмой, занимающейся исследо-
ванием рынка. Фирма предложила ему помочь принять ре-
шение о целесообразности создания производства навесов для
хранения кормов. Если согласиться с предложением фирмы,
то после исследования рынка принятие решения о создании
производства для компании «Буренка» будет приниматься в
условиях определенности. Полученная информация может
предостеречь Бычкова от очень дорогостоящей ошибки.
Фирма, занимающаяся исследованием рынка, хотела бы по-
лучить за эту информацию 65 тыс. руб.

Что бы Вы порекомендовали Бычкову? Следует ли зака-
зать проведение исследования рынка? Даже если результаты
этого исследования являются совершенно точными, оправ-
дана ли плата 65 тыс. руб.?

Решение

Для определения EVP1 необходимо рассчитать математиче-
ское ожидание в условиях определенности. Оно равно ожидае-
мому, или среднему доходу в случае, когда для принятия реше-
ния имеется достоверная информация.

Лучший исход для состояния среды «благоприятный рынок» —
«создать большое производство» с выигрышем 200 тыс. руб.
Лучший исход для состояния среды «неблагоприятный рынок» —
«не открывать новое производство» с выигрышем 0.

Ожидаемая ценность в условиях определенности = 200 х 0,7 +
+ 0x0,3 = 140.

Итак, если бы мы располагали достоверной информацией,
то ожидали бы получить в среднем 140 тыс. руб.

Значение ожидаемой стоимостной оценки, полученное для
лучшей альтернативы в примере 2, равно 86 тыс. руб.

EVPI = 140 - 86 = 54 тыс. руб. Итак, в среднем, использова-
ние достоверной информации может дать дополнительный эф-
фект в 54 тыс. руб. В этих условиях платить за достоверную
информацию 65 тыс. руб. не имеет смысла.
Пример 4

Предположим, что в условиях примера 1 Бычкову последо-
вательно надо принять два решения, причем второе реше-
ние зависит от исхода первого. Прежде чем создать новое про-
изводство, Бычков рассматривает возможность заказать ис-
следование рынка и заплатить за него 10 тыс. руб. Результаты
этого исследования могли бы помочь решить вопрос о том,
следует ли создавать большое или малое производство или не
создавать нового производства. Бычков понимает, что такое
обследование рынка не может дать достоверную информацию,
но тем не менее может оказаться полезным.

На рис. 16.1 (с. 330) показаны возможные состояния среды
и соответствующие им решения, а также вероятности различ-
ных результатов обследования и вероятности наступления раз-
личных состояний среды.

Дерево решений Бычкова с рассчитанными ЕЛ/Ипредставле-
но на рис. 16.2 (с. 331). Короткими параллельными линиями
отсекается та ветвь, которая показывается менее благоприят-
ной по сравнению с другими и может быть отброшена.

Ожидаемая ценность наилучшего решения в случае, если
будет заказано обследование рынка, составляет 49,2 тыс. руб.
Ожидаемая ценность наилучшего решения без обследования
составляет 40 тыс. руб.

Ответы на вопросы примера

Следует заказать обследование рынка. Если результат обсле-
дования будет благоприятным, следует создать большое про-
изводство. Если результат будет неблагоприятным, следует
создать малое производство.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Вопрос 1

В теории принятия решений ситуация, которую не может
контролировать лицо, принимающее решение, называется:

1)	деревом решений;

2)	состоянием среды;

3)	решением в условиях неопределенности;

4)	альтернативой;

5)	таблицей решений.
Первая точка
принятия решений

Вторая точка
принятия решений

Малое
производство

Малое
производство

Нет
производства

Малое
производство

Благоприятный рынок (0,78)

-(2)\ Неблагоприятный рынок (0,22)

Благоприятный рынок (0,78)

^3)уНеблагоприятный рынок (0,22)

Благоприятный рынок (0,27)

Неблагоприятный рынок (0,73)

Благоприятный рынок (0,27)
5Х Неблагоприятный рынок (0,73)

Благоприятный рынок (0,50)

-(б)\ Неблагоприятный рынок (0,50)

Благоприятный рынок (0,50)

-(т)(^Неблагоприятный рынок (0,50)

Выигрыш
190

-190

90

-30

-10

190

-190

90

-30

-10

200

-180

100

-20

0
Первая точка
принятия решений

Вторая точка
принятия решений

Выигрыш

190

Результат
обследования	106,4

благоприятный (0,45) г-

49,2

49,2

Не проводить
обследование
рынка

Результат
обследования
неблагоприятный (0,55)

Проводить
обследование
рынка

-190

2,4

40,0

Большое 106 4 Благоприятный рынок (0,78)
производство	___

--------—------(2К Неблагоприятный рынок (0,22)

/ Малое	63.6 Благоприятный рынок (0,78)	90
у производство	Неблагоприятный рынок (0,22)	-30
\ Нет		
\ производства		-10
Большое	//  -87,4 Благоприятный рынок (0,27)	190
производство	Неблагоприятный рынок (0,73)	-190
/ Малое	2 4 Благоприятный рынок (0,27)	90
производство		Неблагоприятный рынок (0,73)	-30
\ Нет		
\ производства		-10
Большое	ff  10.4 Благоприятный рынок (0,50)	200
производство	-т^М^бдНеблагоприятный рынок (0,50)	-180
/ Мелое	40 0 Благоприятный рынок (0,50)	100
у/ производство		(?)\ Неблагоприятный рынок (0,50)	-20
\ Нет		
\ производства	_и		0
Вопрос 2

Укажите правильное соответствие названий критериев при-
нятия решений в условиях неопределенности:

1)	minmax <-> «критерий оптимизма»;

2)	maxmin <-> «критерий пессимизма»;

3)	minmin <-> «критерий пессимизма»;

4)	maxmin <-> «критерий безразличия»;

5)	maxmax <-> «критерий безразличия».

Вопрос 3

В задаче принятия решений рассматривается одно множество
состояний среды и одно множество решений. Если вероят-
ность наступления одного из состояний среды равна едини-
це, то решение принимается в условиях:

1)частичной неопределенности;

2)	неопределенности;

3)	определенности;

4)	безразличия;

5)	риска.

Вопрос 4

Можно сделать одно из следующих приобретений: купить
квартиру, земельный участок, речной катер, авторемонтную
мастерскую или небольшое кафе. В случае, если обстоятель-
ства сложатся благоприятно, прибыль составит 22 тыс. руб.,
12 тыс. руб., 17 тыс. руб., 25 тыс. руб. или 30 тыс. руб., со-
ответственно. В случае неблагоприятного стечения обстоя-
тельств покупка квартиры или земельного участка принесет
прибыль 7 тыс. руб. или 9 тыс. руб., соответственно, а по-
купка катера, авторемонтной мастерской или кафе принесут
убытки 5 тыс. руб,, 11 тыс. руб. или 13 тыс. руб., соответ-
ственно.

Благоприятное и неблагоприятное стечение обстоятельств
равновероятны. В этом случае достоверная информация о со-
стоянии среды оценивается величиной:

1)	15,5 тыс. руб.;

2)	10 тыс. руб.;

3)	8 тыс. руб.;

4)	5 тыс. руб.;

5)	2 тыс. руб.
Вопрос 5

Модель принятия решений в условиях риска относится к
классу моделей:

1)	имитационных;

2)	статистических;

3)	алгебраических;

4)	управления запасами;

5)	математического программирования.

Вопрос 6

Пусть в качестве критерия принятия решения в условиях
риска используется ожидаемая стоимостная оценка альтер-
нативы ЕМУ. Вероятность того, что фактический выигрыш
будет равен значению ЕМУ:
1) высока (1);

2)	зависит от числа альтернатив;

3)	мала (0);

4)	зависит от числа состояний среды;

5)	ничто из вышеуказанного не является верным.

ЗАДАЧИ

Задача 1

Лукерия Скальпель — администратор больницы в Почаеве.
Она решает, следует ли сделать к больнице большую или ма-
ленькую пристройку или не делать пристройки вообще. Если
население Почаева будет продолжать расти, то большая при-
стройка могла бы принести ежегодно прибыль в 150 тыс. руб.
Если будет сделана маленькая пристройка, то она может
приносить больнице ежегодную прибыль в 60 тыс. руб. при
условии, что население будет увеличиваться. Если население
Почаева не будет увеличиваться, то сооружение большой
пристройки принесет больнице убыток в 85 тыс. руб., малень-
кой — в 45 тыс. руб. К сожалению, у администратора нет
информации о том, как будет изменяться численность на-
селения Почаева. Постройте дерево решений. Определите
наилучшую альтернативу, используя критерий безразличия.
I) Чему равно значение ЕМУ иля наилучшей альтернативы?
2) Пусть была получена дополнительная информация: веро-
ятность роста населения равна 0,6, а вероятность того, что
его численность останется неизменной 0,4- Определите
наилучшее решение, используя критерий максимизации
ожидаемой стоимостной ценности. Чему равно значение
„£Л/Идля наилучшей альтернативы при наличии дополни-
тельной информации?

3) Какова ожидаемая ценность дополнительной информации?

Задача 2

Тамара Пончик предполагает построить ресторан недалеко
от университетского общежития. Один из возможных вари-
антов — предусмотреть в нем пивной бар. Другой вариант не
связан с продажей пива. В обоих случаях Тамара оценивает
свои шансы на успех как 0,6 и на неудачу как 0,4. Предва-
рительные обсуждения показывают, что план, связанный с
продажей пива, может принести 325 тыс. руб. Без продажи
пива можно заработать 250 тыс. руб. Потери в случае открытия
ресторана с баром составят 70 тыс. руб., в случае ресторана
без бара — 20 тыс. руб. Выберите альтернативу для Тамары
Пончик на основе средней стоимостной ценности в качестве
критерия.

1)	Следует ли реализовать план, предусматривающий про-
дажу пива?

2)	Чему равно значение £Л/Идля наилучшей альтернативы?

Задача 3

«Фото КОЛОР» — небольшой производитель химических
реактивов и оборудования, которые используются некоторыми
фотостудиями при изготовлении 35-мм фильмов. Один из про-
дуктов, который предлагает «Фото КОЛОР» — фиксаж ВС-6.
Адам Полутонов — президент «Фото КОЛОР», продает в тече-
ние недели 11 — 13 ящиков ВС-6. От продажи каждого ящи-
ка фирма получает 35 тыс. руб. прибыли. ВС-6, как и мно-
гие другие фотографические реактивы, имеет малый срок год-
ности. Поэтому, если ящик не продан к концу недели, Адам
должен его уничтожить. Так как каждый ящик обходится
фирме в 56 тыс. руб., то Полутонов теряет эти деньги, если
ящик не продан к концу недели. Вероятности продать 11,12
или 13 ящиков в течении недели равны 0,45, 0,35 и 0,2 со-
ответственно.

1)	Сколько ящиков производить фирме для продажи ежене-
дельно?
2)	Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения?
3) Сколько ящиков следовало бы производить, если бы Адам
мог выпускать ВС-6 с добавкой, которая значительно про-
длила бы срок его годности?

Задача 4

Компания «Молодой Сыр» — небольшой производитель раз-
личных продуктов из сыра. Один из дорогостоящих изыскан-
ных продуктов с небольшим сроком хранения — сырная па-
ста. Вадим Ароматов, менеджер компании, должен решить,
сколько ящиков сырной пасты следует производить в тече-
ние месяца. Вероятности того, что спрос на сырную пасту в
течение месяца будет 6, 7, 8 или 9 ящиков равны 0,1; 0,3;
0,5; 0,1 соответственно. Затраты на производство одного
ящика — 45 тыс. руб. Ароматов продает каждый ящик по цене
95 тыс. руб. Если ящик с сырной пастой не продается в те-
чение месяца, то она портится и компания не получает до-
хода.

1) Сколько ящиков следует производить в течение месяца?
2) Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения?

Задача 5

Дмитрий Мухин, владелец аптеки, не знает, что ему пред-
принять. Ему хотелось бы открыть в аптеке секцию проката
видеокассет. И он не знает какого размер секция — большая
или маленькая — будет для него выгодна. Он может получить
дополнительную информацию о том, будет рынок видеопро-
ката благоприятным или нет. Эта информация обойдется ему
в 3 тыс. руб. Дмитрий считает, что эта информация окажет-
ся благоприятной с вероятностью 0,5. Если рынок будет бла-
гоприятным, то большая секция проката принесет прибыль
15 тыс. руб., а маленькая — 5 тыс. руб. В случае неблаго-
приятного рынка Мухин потеряет 20 тыс. руб. в случае, если
он откроет большую секцию, и 10 тыс. руб. в случае, если —
маленькую. Не имея дополнительной информации, Дмит-
рий оценивает вероятность благоприятного рынка как 0,7.
Положительный результат обследования гарантирует благо-
приятный рынок с вероятностью 0,9. При отрицательном
результате рынок может оказаться благоприятным с вероят-
ностью 0,4.
I)	Следует ли получать дополнительную информацию?

2)	Следует ли открывать большую секцию?

3)	Какова ожидаемая стоимостная ценность наилучшего ре-
шения (в тыс. руб.)?

Задача 6

Павел Спицын провел анализ, связанный с открытием ма-
газина велосипедов. Если он откроет большой магазин, то при
благоприятном рынке получит 60 тыс. долл., при неблаго-
приятном рынке понесет убытки 40 тыс. долл. Маленький
магазин принесет ему 30 тыс. долл, прибыли при благопри-
ятном рынке и 10 тыс. долл, убытков — при неблагоприят-
ном. Возможность благоприятного и неблагоприятного рынка
он оценивает одинаково. Исследование рынка обойдется
Спицыну в 5 тыс. долл. Профессор, которому Павел может
заказать обследование рынка, считает, что с вероятностью 0,6
рынок окажется благоприятным. В случае, если профессор
даст прогноз о том, что рынок будет благоприятным, рынок
фактически окажется благоприятным с вероятностью 0,9. Если
прогноз покажет, что рынок будет неблагоприятным, то ры-
нок фактически окажется благоприятным с вероятностью 0,12.
Помогите Павлу принять правильное решение.

1)	Следует ли заказать проведение обследования рынка?

2)	Следует ли открыть большой магазин?

3)	Какова ожидаемая стоимостная ценность наилучшего ре-
шения?

Задача 7

Компания «МРАК» получает переключатели у двух постав-
щиков. Качество переключателей приведено в следующей таб-
лице.

Процент брака	Вероятность для поставщика А	Вероятность для поставщика В
1	0,7	0,3
2	0,2	0,4
3	0,1	0,3

Так, 1% всех переключателей, поставляемых поставщи-
ком А с вероятностью 0,7 окажутся бракованными. Так как
каждый заказ компании составляет 10 тыс. переключателей,
это означает, что с вероятностью 0,7 они получат от постав-
щика А 100 бракованных переключателей. Бракованный пе-
реключатель можно отремонтировать за 0,5 тыс. руб. Так как
качество у поставщика В ниже, он уступает партию в 10 тыс.
переключателей на 37 тыс. руб. дешевле, чем поставщик А.
1) Какого поставщика следует выбрать компании?

2)	Какова ожидаемая стоимостная ценность наилучшего ре-
шения?

Задача 8

Леониду Хлоркину, главному инженеру компании «Белый
каучук», надо решить монтировать или нет новую производ-
ственную линию, используя последние технологии. Если но-
вая линия будет безотказно работать, компания получит
200 млн руб. прибыли. Если она откажет, то компания мо-
жет потерять 150 млн руб. По оценкам Хлоркина, существует
60% шансов, что новая производственная линия откажет.
Можно создать экспериментальную установку, а затем уже
решать монтировать или нет производственную линию.
Эксперимент обойдется в 10 млн руб. Леонид считает, что
существует 50% шансов, что экспериментальная установка
будет работать. Если экспериментальная установка будет ра-
ботать, то 90% шансов за то, что производственная линия,
если ее смонтировать, также будет работать. Если экспери-
ментальная установка не будет работать, т.е. только 20%
шансов за то, что производственная линия будет работать.
1) Следует ли строить экспериментальную установку?

2)	Следует ли монтировать производственную линию?

3)	Какова ожидаемая стоимостная ценность наилучшего ре-
шения?

СИТУАЦИИ

Ситуация 1. Фирма «Напитки для дома»

(Создание фирмой нового безалкогольного
напитка в условиях конкуренции)

Фирма «Напитки для дома» разрабатывает, производит и
продает смеси для безалкогольных коктейлей и приготовля-
ет напитки для домашнего потребления. Елена Федотова,
руководитель отдела развития фирмы, сообщила президенту,
Арнольду Малышеву, что эксперименты в отделе развития
указывают на возможность создания напитка «PINA-cola» на
основе нового метода переработки кокосов. Елена порекомен-
довала начать программу по производству «PINA-cola». Она
оценила в 100 тыс. долл, стоимость исследовательских работ
по созданию этого напитка и отметила, что на эту работу
потребуется один год. В беседе с Малышевым она оценила
вероятность успешного завершения работы величиной 0,9.
В то же время, Елена считает, что с вероятностью 0,8 кон-
курирующая фирма способна за 12 месяцев разработать ана-
логичный напиток.

Арнольд Малышев — человек основательный, интересу-
ющийся возможными объемами продаж нового напитка —
немедленно переговорил с Николаем Хомяковым, менеджером
по продажам, занимающимся внедрением новых продуктов
на рынок. Тот сообщил, что продавать «PINA-cola» можно,
но объем продаж зависит от того, как его примут бакалей-
ные и винные магазины. Судя по отчетам о продажах, дру-
гие фирмы также работают над созданием напитков из тро-
пических фруктов. Если другая фирма создаст конкуриру-
ющий напиток, рынок, разумеется, будет поделен между двумя
фирмами. Малышев попросил Хомякова провести оценки
будущих продаж и ожидаемой прибыли при различных ва-
риантах рыночной конъюнктуры.

Николай Хомяков представил следующие данные.

Потенциал	Вероятность продаж	Приведенная прибыль, тыс. долл.
Высокий	0,1	800
Средний	0,6	600
Низкий	0,3	500

В данных Хомякова не были учтены:

1)	издержки на разработку;

2)	издержки на новое оборудование;

3)	издержки на внедрение «PINA-cola» на рынок.

Ожидается, что издержки на оборудование составят
100 тыс. долл., так как кокосы требуют специальной обработ-
ки. Издержки, связанные с выходом на рынок составят
150 тыс. долл., так как потребуется телевизионная реклама.

Елена Федотова отметила, что кроме альтернатив — ни-
чего не предпринимать и проводить полномасштабную про-
грамму исследований, она может предложить еще два вари-
анта действий.

1.	Неспешно проводить исследования в течение восьми ме-
сяцев, чтобы посмотреть, выйдет ли какая-нибудь другая
фирма на рынок с аналогичным продуктом, а если нет, то
форсировать скорость работ. Замедленная программа иссле-
дований на следующие 8 месяцев обойдется в 10 тыс. долл,
в месяц, т.е. в 80 тыс. долл. Вероятность успешного завер-
шения этой программы та же, что при полномасштабных
исследованиях. Вероятность того, что конкуренты в течение
8 месяцев создадут аналогичный продукт — 0,6. Интенсив-
ные исследования могут быть проведены в течение четы-
рех месяцев (с 9 по 12) и обойдутся еще в 60 тыс. долл. Они
будут проводиться только в том случае, если результаты
исследований первых 8 месяцев окажутся успешными.
Вероятность успеха в целом равна 0,9. Эта программа по-
лучила название восьмимесячной.

2.	Шесть месяцев проводить исследования, требующие затрат
10 тыс. долл, в месяц, и предпринять разведку действий
конкурентов, чтобы определить, ведутся ли разработки ана-
логичного продукта. Если кто-то разработает продукт че-
рез шесть месяцев, потребуется лишь 30 тыс. долл, для того,
чтобы провести его анализ и скопировать продукт. Если
конкурирующий продукт не будет создан, то при об-
щих затратах в 120 тыс. долл, он будет разработан фирмой
«Напитки для дома» с вероятностью 0,9. Вероятность того,
что за 6 месяцев будет разработан конкурирующий про-
дукт, равна 0,5. Эта программа получила название шес-
тимесячной.

Арнольду Малышеву, разумеется, не хотелось бы «выходить»
на рынок после представления конкурентом нового продукта.
Ему известно, что первый продукт обычно завоевывает боль-
шую часть рынка, а потерянных покупателей вернуть очень
трудно. Если на рынок выйдет конкурирующая фирма, то мож-
но получить только 50% прибыли, указанной в таблице.

Какой вариант действий из четырех возможных вы по-
рекомендуете, рассматривая критерий максимизации ожида-
емой стоимостной оценки альтернатив:

1)	полномасштабные исследования;

2)	восьмимесячная программа замедленных исследований с
последующим их ускорением;
3)	шестимесячная программа замедленных исследований и
изучение поведения конкурентов;

4)	не выпускать новый продукт.

Обоснуйте вывод, нарисовав дерево решений и проведя
соответствующие расчеты.

Ситуация 2. Компания «Cail»

(Выбор оборудования для производства
нового продукта)

Компания «Cail» создала оригинальное новое изделие из кожи
и сейчас занимается разработкой пятилетнего плана произ-
водства и продажи этого продукта. Госпожа Хедрич, прези-
дент компании, поручила разработку этого проекта своему
ассистенту, Каролине Гарсия. Она должна скоординировать
работу директора компании по продажам Барбары Гвирола
и управляющего производством Карен Хоуп.

Компания «Cail» — небольшая фирма, которая уже более
ЗОлет занимается производством изделий из кожи. Она при-
обретает выделанные шкуры «tanner» и производит такие ак-
сессуары одежды, как кошельки, ремни и сумочки. Новый
продукт представляет собой комбинацию кошелька, портмоне
для ключей и бумажника для кредитных карточек. Как за-
метила госпожа Хедрич, это «прекрасное вместилище для
всяких мелочей».

Производственники разработали набор материалов для из-
готовления универсального портмоне. Они подсчитали, что
в течение пятилетнего периода стоимость материалов и на-
кладные расходы составят 1,5 долл, на одно изделие при пяти-
дневной рабочей неделе без сверхурочных.

Удельные затраты на труд и оборудование будут зависеть
оттого, какая машина будет использована для производства.

Аналитики свели проблему выбора оптимального реше-
ния к выбору между двумя типами специализированного обо-
рудования. Первый тип — полуавтоматическая машина, ко-
торая не производит раскрой материала, но может сшивать
его, вшивать молнии, ставить заклепки и выпускать два типа
дизайна продукта. Стоимость машины 450 тыс. долл. Сред-
ние переменные издержки на труд и прочие издержки,
связанные с использованием этого оборудования составля-
ют 2,5 долл. Этот тип оборудования имеет производительность
640 штук в день. При этом затраты времени на постройку и
ремонт оборудования составляют 12,5% (% общего времени).
Вторая машина является автоматом. Она позволяет кро-
ить и сшивать материал, вшивать молнии, ставить заклепки
и позволяет выпускать три типа дизайна продукта. Эта машина
стоит 850 тыс. долл. Средние переменные издержки при ее ис-
пользовании составляют 1,75 долл. Этот тип оборудования
имеет более высокую производительность — 800 штук в день.
Затраты времени на постройку и ремонт машины ввиду ее
сложности более высоки — 25% (*/4 времени).

Оценка объема продаж в течение пяти лет приведена ниже.

Объем продаж, тыс. шт.	Вероятность
120	0,15
130	0,25
140	0,40
150	0,15
160	0,05

Анализ продаж не позволил получить точные результа-
ты. Объем продаж на ближайшие пять лет в значительной
степени зависит от оценок производственных издержек и про-
изводительности. Однако госпожа Гвирола при поддержке
госпожи Хедрич определила наиболее вероятную цену нового
портмоне в 6,0 долл. Такая цена позволяет новому изделию
конкурировать с другими подобными продуктами на рын-
ке. Постепенно новое изделие может вытеснить конкурен-
тов с рынка, так как оно имеет лучшие потребительские свой-
ства. Оценка среднего объема продаж нового портмоне — около
140 тыс. штук в год. Анализ объема продаж этого изделия —
сложная задача, так как новый продукт значительно отли-
чается от других, предлагаемых на рынке в настоящее вре-
мя. Оценки годового объема продаж продукта по цене 6,0 долл,
с указанием соответствующих вероятностей, приведены в
таблице. Эти оценки и значения вероятностей верны для
каждого года пятилетнего периода планирования.

Используя эти оценки продаж и данные о мощностях обо-
рудования, компания должна решить, как поступить в слу-
чае, если спрос превысит производительность оборудования.
В этом случае можно модифицировать оборудование и уве-
личить его производительность. Другой путь — использовать
сверхурочное время. Оплата сверхурочного времени приве-
дет к увеличению средних издержек на 1,2 долл, для полу-
автоматической машины и на 0,9 долл, для автоматической
машины. Модификацию оборудования можно провести в
конце нового года. В этом случае использование сверхуроч-
ного времени может потребоваться только в первом году.

Затраты на модификацию полуавтоматической машины до
производительности, обеспечивающей максимальный объем
продаж, составляют 60 тыс. долл. Затраты по модификации ав-
томата составляют 70 тыс. долл. Госпожа Хедрич дала указание
использовать в расчетах величину процента на капитал 15% и
50 — недельную продолжительность производственного года.

Вопросы для обсуждения:

1)	Используя дерево принятия решений и, основываясь на
критерии максимизации NPV, определите, какую машину сле-
дует выбрать компании. Следует ли проводить модификацию
оборудования или использовать сверхурочное время?

2)	Изменится ли ваше решение в пункте 1 в случае, если
известно, что остаточная стоимость машины 1 в конце
пятилетнего периода составляет 90 тыс. долл., а маши-
ны 2—170 тыс. долл.?

3)	Постройте платежную матрицу для указанных объемов
продаж (предположите, что модификация машин невозмож-
на и может быть использовано только сверхурочное время).
Предположите, что вероятности соответствующих объемов
продаж неизвестны. Какую машину следует выбрать ком-
пании (учитывайте стоимость оборудования, но не рассмат-
ривайте остаточную стоимость) по следующим критериям:
a) maximax;

б)	maximin;

в)	критерий безразличия.

Переработано из J.C. Latona, J. Nathan. Cases and readings
in Production and Operations Management. Allyn and Bacon. 1993.

Ситуация 3. Компания «St.Thomas Salvage»

(Поиски и подъем затонувшего судна с кладом)

Часть 1

Компания занимается спасением затонувших судов в Кариб-
ском море. Останки старинного кораблекрушения были
обнаружены в неглубоком месте вблизи г. Шарлотт Амали.
Местоположение крушения указывает на то, что это был
«Йорк-Таун»— британский торговый корабль, затонувший в
начале прошлого столетия. Если бы это был действительно
«Йорк-Таун», то операция по его подъему сулила бы большие
выгоды. На его борту было огромное количество вооружения
и некоторое количество золота. То, что он лежал на дне моря,
официально не было известно никому. Руководство компании
должно было решить — поднимать или нет его останки.

Основываясь на данных звуковой локации и местополо-
жении кораблекрушения, руководство полагало, что имеет-
ся 1 шанс из 4, что останки корабля действительно принад-
лежат «Йорк-Тауну». Если это действительно «Йорк-Таун»,
руководство полагало, что с вероятностью 50% кто-то другой
уже мог обнаружить останки и забрать золото без официаль-
ного уведомления об этом, например, враждебные государ-
ства или люди, избегающие уплаты налогов.

Операция по подъему должна была стоить 60 тыс. долл.
Руководство компании было уверено, что операция по подъему
будет успешной (что бы ни было найдено, оно будет подня-
то на поверхность). Однако рентабельность операции зави-
сит и от правильной идентификации останков корабля, и,
если бы это оказался «Йорк-Таун», оттого, успел ли кто-либо
еще забрать золото.

Если бы поднятый корабль оказался «Йорк-Тауном» и зо-
лото было бы найдено на его борту, руководство предпола-
гало продать свои трофеи (включая золото) за 460 тыс. долл.,
что дало бы прибыль в 400 тыс. долл. Если поднятый на по-
верхность корабль оказался бы «Йорк-Тауном», но без золо-
та, руководство предполагало бы продать вооружение и все
прочее за 60 тыс. долл, (только лишь затем, чтобы компен-
сировать затраты на операцию). На тот случай, если подня-
тый корабль оказался бы не «Йорк-Тауном», руководство
договорилось с местным коллекционером о продаже ему
останков корабля за 20 тыс. долл.

Так как операция по подъему могла привести к убыткам,
руководство компании искало пути повышения вероятнос-
ти получения прибыли.

Выяснилось, что глубоководное оборудование, которое
использовалось для идентификации затопленных останков
«Титаника», может быть арендовано за 3 тыс. долл. Используя
столь мощное оборудование до начала подъема, руководство
может сэкономить много денег.

Технология эксплуатации зонда предусматривает его од-
норазовое погружение. Зонд делает телевизионные съемки
судна с различных углов и передает снимки для компьютер-
ного анализа. В 3 тыс. долл, арендной платы включается также
оплата специалистов по компьютерному программированию,
которые автоматизируют процесс обработки снимков, пере-
даваемых зондом.

Руководство компании до настоящего времени не обща-
лось с людьми, которые уже брали зонд в аренду и использо-
вали прилагающееся к нему компьютерное обеспечение и
которые могли бы сказать, насколько надежной является его
работа. Таким образом, компьютер не может оценить вероят-
ность того, что идентификация при помощи зонда обязательно
увеличила надежность операции. Однако руководство знало,
что анализ при помощи зонда ни в коей мере не может дать
информацию о том, находится ли на судне золото. Аналогич-
но, если бы это оказался не «Йорк-Таун», руководство не
представляло себе, как оценить вероятность того, что зонди-
рование дает достаточно надежную идентификацию.

С другой стороны, руководство знало о том, что надежности
обеих идентификаций численно равны, т.е. вероятность того,
что идентификация при помощи зонда оказывается верной при
условии, что судно является «Йорк-Тауном», численно рав-
няется вероятности того, что идентификация является верной
при условии, что судно не является «Йорк-Тауном».

Ответьте на следующие вопросы.

1)	Опишите каждое решение в виде набора логически воз-
можных альтернативных исходов (действий руководства,
связанных с этим решением).

2)	В чем состоит цель руководства? Выразите цель в терми-
нах некоторой величины, которая должна максимизиро-
ваться или минимизироваться, и назовите точно, в каких
единицах она должна измеряться.

3)	Какое главное неконтролируемое событие(я) может встре-
титься при выполнении операции? Опишите их в виде
набора логически .возможных способов, за счет которых это
событие может осуществляться.

4)	Составьте дерево решений для руководства. При выстра-
ивании дерева используйте прямоугольник для обозначе-
ния решений (узел или вершина выбора) и круг для обо-
значения неконтролируемых событий (узлы шанса).

5)	Вычислите на дереве решений распределение условных
вероятностей для всех узлов событий на ветвях, где не ис-
пользуется зонд.

6)	Какова максимальная цена, которую руководство запла-
тит за точную идентификацию судна (точность — 100%).
Поясните свой ответ и приведите все деревья, таблицы и
вычисления, использованные Вами.

7)	Руководство переговорило по телефону с людьми, которые
арендовали ранее зонд и прилагаемое компьютерное обес-
печение. Эти люди подсчитали, что вероятность того, что
анализ при помощи зонда покажет, что судно есть «Йорк-
Таун», составляет 43%. Эта цифра есть предельная (без-
условная) вероятность, вычисление которой было основано
на равенстве численных значений надежности идентифи-
кации и предварительном предположении руководства,
что останки принадлежат «Йорк-Тауну» с вероятностью '/4.
Воспроизведите их вычисления и затем подставьте необ-
ходимые значения условий вероятности во все узлы собы-
тий на тех ветвях дерева, где используется зонд. (Подсказка:
может оказаться удобным составить вероятностное дере-
во или таблицу, в которых Вы соберете все возможные со-
бытия. Положите R численно равным надежностям иден-
тификации и затем вычислите те величины, которые не-
обходимы для построения вашего дерева.)

8)	Пометьте крестом все исключенные ветви. Убедитесь, что
Вы ввели все ожидаемые затраты и прибыли в каждом из
узлов событий и исходов.

9)	Опишите все логически возможные стратегии, предусмат-
риваемые деревом. Укажите также оптимальную стратегию:

а)	не посылать зонд и не производить подъема;

б)	не посылать зонд и произвести подъем;

в)	послать зонд и, если затонувший корабль будет иден-
тифицирован как «Йорк-Таун», произвести подъем, если
нет — не производить;

г)	послать зонд и произвести подъем вне зависимости от
результатов его анализа;

д)	послать зонд, но не производить подъем при любых ре-
зультатах анализа;

е)	послать зонд и, если затонувший корабль будет иден-
тифицирован как «Йорк-Таун», не производить подъем,
если — не «Йорк-Таун», — производить.

10)	Составьте таблицу для стратегий, полученных выше. Таб-
лица должна включать возможные конечные исходы, свя-
занные с каждой стратегией, величины прибыли, а также
вероятность того, что данный исход наступит.

11)	Существует ли преимущественная по доходам стратегия?
Если да, то поясните и продемонстрируйте соотношение
преимуществ (достаточно одного примера). Если нет,
то объясните почему.

Часть 2

Руководство «St. Thomas Salvage» выразило некоторую неуве-
ренность в надежности идентификации при помощи зонда.
Они спросили у людей, арендовавших его ранее, не существует
ли какого-либо способа улучшить прогноз. Ответ был поло-
жительным. За определенную плату обе надежности могли
быть повышены до 90%. Этого можно было достичь много-
кратным погружением и взятием проб с останков судна с
последующим химическим анализом и анализом на содержа-
ние радиоактивного углерода-12. Плата за повышение надеж-
ности составляла: 100 долл, за первый процент, 200 — за сле-
дующий, 300 — за следующий и т.д., до 90%. Повышение
надежности измерялось только целыми цифрами. Таким
образом, чтобы увеличить надежность, например, на 5%,
нужно затратить 100 + 200 + 300 + 400 + 500 = 1500 (долл.).

Ответьте на следующие вопросы (при ответах на вопро-
сы обозначьте через Счисленную величину надежности, вне
зависимости от того, является ли она переменной или не-
известной величиной).

1)	Не проводя детального анализа, скажите, кажется ли Вам
обоснованным рассматривать вопрос о плате за увеличе-
ние надежности? Поясните Ваш ответ.

2)	Пусть зонд был закуплен до того, как было принято ре-
шение поднимать или нет останки судна. Анализ резуль-
татов зондирования показал, что судно является «Йорк-
Тауном». При какой величине R произведение подъема
будет оптимальным действием руководства компании?
Поясните ответ и приведите свои вычисления.

3)	Пусть зонд был запущен до того как было принято реше-
ние о том, поднимать или нет судно. Анализ показал, что
судно не является «Йорк-Тауном». При каком значении
R оптимальным решением будет не производить подъем?
Поясните ответ и приведите свои вычисления.

Составьте алгебраическое выражение для ожидаемой сто-
имости запуска зонда, вне зависимости от того, что он по-
кажет (EVST). Выразите EKS/как функцию от R и не забудьте
исключить арендную плату 3 тыс. долл.

Переработано из Render В., Stair R.M., Greenberg I. Cases and Readings
in Management Science. 2nd ed. Boston: Allen & Bacon, 1990.
ОТВЕТЫ

Ответы на контрольные вопросы
1—2,2 — 2,3 — 3,4 — 4, 5 — 2,6 — 3.

ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ

Задача 1

1)	ЕМVдля наилучшей альтернативы равно 32,5.

2)	ЕМVдля наилучшей альтернативы при дополнительной
информации равно 56.

3)	Ожидаемая ценность дополнительной информации равна 23,5.

Задача 2

1)	Следует реализовать план, предусматривающий продажу пива.

2)	Значение ЕМУ для наилучшей альтернативы равно 167.

Задача 3

1)	Фирме следует производить 12 ящиков.

2)	Ожидаемая стоимостная ценность этого решения 379,05.

3)	С добавкой следует производить 13 ящиков.

Задача 4

1)	Следует производить 8 ящиков.

2)	Ожидаемая стоимостная ценность этого решения 352,5.

Задача 5

1)	Дополнительную информацию получать не нужно.

2)	Следует открыть большую секцию.

3)	Ожидаемая стоимостная ценность наилучшего решения
равна 4,5 тыс. руб.

Задача 6

1)	Следует заказать обследование рынка.

2)	При положительном результате обследования следует за-
казать большой магазин.

3)	Ожидаемая стоимостная ценность наилучшего решения
равна 22,92 тыс. руб.

Задача 7

1)	Следует выбрать поставщика В.

2)	Ожидаемая стоимостная ценность наилучшего решения
63 тыс. руб.

Задача 8

1)	Следует строить экспериментальную установку.

2)	Если экспериментальная установка будет работать, то сле-
дует монтировать производственную линию.

3)	Ожидаемая стоимостная ценность наилучшего решения
равна 72,5 млн руб.
Литература

ГЛАВЫ 1-6

1.	Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах
и задачах. — М.: Высшая школа, 1986.

2.	Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Сборник задач
по исследованию операций. — М.: Изд-во МГУ, 1997.

3.	Баумоль У. Экономическая теория и исследование операций. —
М.: Прогресс, 1965.

4.	Вентцель Е.С. Исследование операций. — М: Советское ра-
дио, 1972. Гл. 5.

5.	Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. — М.: Банки
и биржи, 1997.

6.	Линейное программирование: Учебно-методическое посо-
бие. — М.: Изд-во МГУ, 1992.

7.	Исследование операций / Под ред. Моудер Дж., Элмагра-
би С. — М.: Мир, 1981. Т. 1. Гл. 3.

8.	Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов опти-
мизации. — М.: Наука, 1987.

9.	Gass S.I. Linear Programming: Methods and Applications. — N.Y.:
McGraw-Hill, 1985.

10.	Hadley G. Linear Programming. Reading, Mass: Addison-Wesley
Pub. Co, 1962.

11.	Williams P.A. Linear Programming Approach to Production
Scheduling // Production and Inventory Management, 1970. Vol. 11.
№ 3.

ГЛАВЫ 7-9

1.	Голенко Д.И. Статистические методы сетевого планирования
и управления. — М.: Наука, 1968.

2.	Заиденман И.А., Маргулис А. Я. Математика в сетевом пла-
нировании. — М.: Знание, 1967.

3.	Зуховицкий С.И., Радчик А.И. Математические методы сете-
вого планирования. — М.: Наука, 1965.
4.	Hendrickson C., Tung A. Project Management for Construction.
Englewood Cliffs: Prentice-Hall, N.J., 1989.

5.	Kelley J. E. Critical-Path Planning and Scheduling: Mathematical
Basis // Operations Research, 1961. Vol. 9. № 3 (May—June).
PP. 296-320.

6.	Moder J.J., Phillips C.R., Davis E.W. Project Management with
CPM, PERT, and Precedence Diagramming. — N.Y.: Van Nost-
rand Reinhold Co., 1983.

7.	Wiest J.D., Levy E.K. A Management Guide to PERT/CPM.
Englewood Cliffs: Prentice-Hall Co., N.J., 1969.

ГЛАВА 10

1.	Воробьев И.И. Теория игр для экономистов-кибернетиков. —
М.: Наука, 1985.

2.	Гермеиер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. — М.:
Наука, 1976.

3.	Исследование операций / Под ред. Моудер Дж., Элмагра-
би С. - М.: Мир, 1981. Т. 1. С. 513-548.

4.	Льюс Р.Д., Райфа X. Игры и решения. — М.: Иностранная
литература, 1961.

5.	Оуэн Г. Теория игр. М.: — Мир, 1971.

6.	Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономи-
ческое поведение. — М.: Наука, 1970.

7.	McKinsey J.C. Introduction to the Theory of Games. — N.Y.:
McGraw-Hill, 1952.

8.	Von Neumann J., Morgenstern O. Theory of Games and Economic
Behavior. — N.Y.: Wiley, 1953.

ГЛАВА 11

1.	Багриновскии K.A., Бусыгин В.П. Математика плановых реше-
ний. — М.: Наука, 1980.

2.	Исследование операций / Под ред. Моудер Дж., Элмагра-
би С. — М.: Мир, 1981. Т. 1. Гл. 2—6.

3.	Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. — М.: Бан-
ки и биржи, 1997.

4.	Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов опти-
мизации. — М.: Наука, 1987.

5.	Hadley G. Nonlinear and Dynamic Programming. Reading, Mass:
Addison-Wesley Pub. Co, 1964.
ГЛАВА 12

1.	Бункан Д., Кенигсберг Э. Научное управление запасами. —
М.: Наука, 1967.

2.	Кофман А., Анри-Лабордер А. Методы и модели исследования
операций. М.: Мир, 1977.

3.	Hadley G., Whitin Т.М. A Review of Alternative Approaches to
Inventory Theory. Santa Monica: Rand, 1964.

4.	Hanssmann F. Operations Research in Production and Inventory
Control. - N.Y.: Wiley, 1962.

ГЛАВА 13

1.	Вешпцель E.C. Исследование операций. — M: Советское радио,
1972. Гл. 5.

2.	Исследование операций. / Под ред. Моудер Дж., Элмагра-
би С. — М.: Мир, 1981. Т. 1. Гл. 2—3.

3.	Saaty T.L. Elements of Queuing Theory, with Applications. —
N.Y.: Dover Pubns, 1983.

4.	Takacs L. Introduction to the Theory of Queues. Westport:
Greenwood Press, 1982.

ГЛАВА 14

1.	Багриновский К.А. и др. Имитационные системы в плани-
ровании экономических объектов. — М.: Наука, 1980.

2.	Гультяев А.К. MATLAB 5.2. Имитационное моделирование
в среде Windows: Практическое пособие. — СПб, 1999.

3.	Романовский И.В. Исследование операций и статистическое
моделирование. — СПб: СПб гос. ун-т, 1994.

4.	Харин Ю., Малюгин В.И., Кирлица В.П. и др. Основы ими-
тационного и статистического моделирования: Учеб, посо-
бие для вузов. — Минск: Дизайн ПРО, 1997.

5.	Шебеко Ю. Имитационное моделирование и ситуационный
анализ бизнес-процессов принятия управленческих реше-
ний. — М.: ТОРА — ИнфоЦентр, 2000.

6.	Emshoff J.R., Sisson R.L. Design and Use of Computer Simulation
Models. — N.Y.: Macmillan, 1970.

ГЛАВА 15

1.	Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программи-
рование. — M.: Наука, 1969.
2.	Lawler E.E., Wood D.E. Branch-and-Bound Methods: A Sur-
vey // Operations Research, 1966. Vol. 14. № 4 (July-August).

ГЛАВА 16

1.	Кини Р.Л., Райфа Г.Л. Принятие решений при многих кри-
териях предпочтения и запрещения. — М.: Радио и связь,
1977.

2.	Орловский А. Проблемы принятия решений при нечеткой ис-
ходной информации. — М.: Наука, 1982.

3.	Kahneman D., Slavic Р., Tversky A. Judgments under Uncer-
tainty. — Cambridge: Cambridge University Press, 1982.
СОДЕРЖАНИЕ

Введение..........................................3

Глава 1. Разработка оптимального плана
производства.....................................21

Глава 2. Задачи оптимального смешения............49

Глава 3. Задачи оптимального раскроя.............64

Глава 4. Оптимальное планирование финансов.......73

Глава 5. Транспортная задача.....................85

Глава 6. Динамическое программирование......... 117

Глава 7. Сетевой анализ проектов. Метод СРМ.... 133

Глава 8. Сетевой анализ проектов. Метод PERT... 152

Глава 9. Анализ затрат на реализацию проекта... 165

Глава 10. Основы теории игр.................... 187

Глава 11. Нелинейное программирование...........211

Глава 12. Системы управления запасами...........231

Глава 13. Системы массового обслуживания........254

Глава 14. Имитационное моделирование........... 277

Глава 15. Задачи дискретной оптимизации ........305

Глава 16. Основы теории принятия	решений........322

Литература..........................:............ 348