АКАДЕМИЯ НАУК УЗБЕКСКОЙ ССР
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. В. И. РОМАНОВСКОГО
Г. П. МАТВИЕВСКАЯ
РАЗВИТИЕ
УЧЕНИЯ
О ЧИСЛЕ
В ЕВРОПЕ
ДО XVII ВЕКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ФАН» УЗБЕКСКОЙ ССР
ТАШКЕНТ-1971

51
МЗЗ
УДК 51 (09)
В книге, которая является продолжением работы того же автора
сУчение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке»,
рассматривается развитие арифметики, алгебры, теории квадратичных ирра-
циональностей и теории отношений в Европе до XVI в. включительно.
Основное внимание уделено формированию понятия действительного
числа в трудах европейских математиков; отмечается влияние на них
сочинений ученых Ближнего и Среднего Востока.
Работа написана, главным образом, на основе изучения
оригинальных изданий XV—XVI вв. с использованием существующей историко-
математической литературы.
Книга рассчитана на' специалистов по истории математики и
студентов математических факультетов вузов; может представить интерес и для
широкого круга читателей.
Ответственный редактор
академик АН УзССР
С. X. СИРЛЖДИНОВ
2 2-1

ПРЕДИСЛОВИЕ
Средневековый период истории европейской математики
привлекает внимание многих исследователей, прежде всего
ввиду недостаточной его изученности и обилия вопросов как
общего, так и частного порядка, ждущих своего решения. Этот
период интересен, с одной стороны, тем, что именно тогда
сложились все предпосылки бурного расцвета научной
мысли, который начался с XVI в. и привел к созданию в XVII в.
математики переменных величин. С другой стороны,
математика средневековой Европы, рассматриваемая и сама по
себе, представляется сейчас намного более богатой по
идейному содержанию, чем это казалось сравнительно недавно.
Теперь ясно, что при изучении истории возникновения и
развития той или иной математической идеи следует со
вниманием обращаться к средневековью — и восточному, и
европейскому, — ожидая получить новые данные, касающиеся
этой истории.
В числе наиболее важных историко-научных проблем в
литературе часто отмечается проблема взаимного влияния
культур различных народов. Особый интерес она
приобретает в применении к математике средневековья, хотя и
обладавшей, как теперь выяснено, общностью закономерностей
развития, но отличавшейся специфическими особенностями в
разных странах Востока и Запада [62, 126].
С точки зрения истории математики эпохи Возрождения
и Нового времени существенен вопрос о передаче в XI—
XIII вв. научных познаний, накопленных на Ближнем и
Среднем Востоке, в Европу, о ходе их усвоения и начале
самостоятельного творчества европейских ученых.
В предлагаемой работе этот вопрос рассматривается в
рамках учения о числе, точнее, тех наук, развитие которых
вело постепенно к расширению понятия числа. Автор видит
в ней продолжение своей книги «Учение о числе на средне-
з

вековом Ближнем и Среднем Востоке», выводы которой
послужили отправной точкой настоящего исследования.
Выделены два периода истории развития понятия числа
в средневековой Европе. Первый условно завершается XV в.
и может быть в общих чертах охарактеризован как период
усвоения восточного учения о числе. Второй охватывает
XVI в., эпоху Высокого Возрождения [38], когда, как и в
других областях науки, в математике был достигнут
значительных прогресс и заложена база для выдающихся открытий
XVII в.
Автор не ставит своей целью дать систематический обзор
арифметики и алгебры рассматриваемого периода и
коснуться всех многочисленных вопросов, возникающих в этой связи.
Внимание будет обращено на некоторые основные моменты
истории учения о числе. Это относится в особенности к XVI в.
которому отведена глава III: в ней рассматривается
несколько наиболее характерных и не всегда достаточно известных
сочинений, содержащих изложение учения о числе, как его
понимали в то время. Поэтому при составлении списка
литературы имелось в виду указать читателю, в каких
источниках можно получить более подробные сведения по вопросам,
в данной книге затронутым только мимоходом. Естественно,
что в этом отношении более полезным оказался бы
аннотированный библиографический указатель, но, по мнению
автора, такой указатель, касающийся истории математики
Европы в средние века и в эпоху Возрождения, должен стать
предметом самостоятельной работы.
Материалом, на котором построено исследование,
послужили, главным образом, оригинальные математические
сочинения, изданные в XV—XVI вв. Автор зачастую пользовался
экземплярами из фондов Библиотеки АН СССР в
Ленинграде и искренне благодарен сотрудникам Отдела редкой
книги, прежде всего Е. И. Гольцман.
Автор крайне признателен академику АН УзССР проф.
С. X. Сираждинову за постоянные внимание и поддержку, а
также профессорам И. Г. Башмаковой, Б. А. Розенфельду,
А. П. Юшкевичу и академику АН УзССР проф. В. П.
Щеглову, ознакомившимся с рукописью в первом ее варианте и
сделавшим замечания, которые по возможности были
учтены при написании книги. За ценные советы, полученные в
процессе работы, автор приносит глубокую благодарность
профессору И. Н. Веселовскому.
4

Глава I
СРЕДНЕВЕКОВАЯ ЕВРОПЕЙСКАЯ МАТЕМАТИКА
И ВЛИЯНИЕ НА НЕЕ НАУКИ СТРАН ВОСТОКА
§1. О культуре и науке Европы
в средние века
Характер развития европейской науки и, в частности,
математики в средние века определялся
социально-экономическими условиями, свойственными этой исторической эпохе. Она
характеризуется как «эпоха возникновения, развития и
упадка феодального способа производства, феодальных
общественных отношений во всемирном масштабе» [38, т. III, стр. 7]
и подразделяется на три периода: раннего, развитого и
позднего феодализма. В Западной Европе, где феодальные
отношения начали складываться с V в. первый период
закончился в XI в., второй — в XV, третий — в середине XVII в.
Европейские государства раннего периода феодализма
отличались предельно низким уровнем развития экономики и
культуры и замедленным темпом роста производства.
Состояние науки этого времени, соответствовавшее уровню
производительных сил, можно назвать состоянием глубокого упадка.
В конце XI в. началось оживление в культурной жизни,
вызванное некоторым прогрессом в сфере производства.
Постепенное развитие экономики, разделение сельского
хозяйства и ремесел, рост и усиление городов, укрепление
торговых связей непосредственно сказывались на уровне культуры.
Начали, хотя и медленно, развизаться также естественные
науки, возник интерес к эксперименту как методу
исследования и зародилось понимание сковывающей роли схоластики
в научном прогрессе.
Однако существенные изменения как в
социально-экономических условиях, так и в культурной жизни произошли
только начиная с XV в., в последний период развития
феодализма, когда в его недрах стал зарождаться новый
общественный строй. Параллельно с ростом буржуазии, по словам
Ф. Энгельса, «происходило гигантское развитие науки.
Стали вновь изучаться астрономия, механика, физика,
анатомия, физиология. Буржуазии для развития ее промышлен-
5

ности нужна была наука, которая исследовала бы свойства
физических тел и формы проявления сил природы»1).
Наряду с другими естественными науками в этот
период — в эпоху Возрождения — начала интенсивно
развиваться математика. Именно в XVI в. был заложен фундамент
исчисления бесконечно малых и аналитической геометрии,
которые сформировались в следующем столетии. Мы видим
здесь убедительное свидетельство влияния практических
потребностей на развитие математики и зависимости степени
этого влияния от состояния техники и производительных сил.
Если раньше «застой техники, общественных отношений
приводил к застою мысли», то «достаточно было
производительным силам и производственным отношениям получить
возможности нового развития, и мы видим в Европе значительное
оживление математической мысли, особенно с эпохи
Возрождения» [46, стр. 86].
Изучение истории математики средневековья долго
ограничивалось поздним периодом, в научном отношении,
естественно, наиболее интересным. Впоследствии, однако, стало
выясняться, что к ранние этапы заслуживают пристального
внимания. Исследования, которые были начаты во второй
половине XIX в., доказали неправильность взгляда на этот
период как на мертвый период в истории науки. Несмотря на
засилие схоластики, в позднее средневековье не только
накопился богатый фактический материал из разных областей
знания, но возникли новые идеи, начали формироваться
новые методы, развитие и применение которых обеспечило
важнейшие достижения в будущем.
В настоящей главе дан общий обзор европейской
математики до XII в. и отмечено влияние на нее математики
стран Ближнего и Среднего Востока, а также Византии. Среди
сочинений, переведенных в XII в. с арабского языка,
специально рассматриваются ранние латинские версии «Начал»
Евклида, сыгравшие важнейшую роль в истории
математической науки в Европе. Сообщаются также сведения о
наиболее видных ученых XIII—XV вв. и об их трудах по
арифметике и алгебре.
§2. Европейская математика до XII в.
В результате социально-экономических потрясений,
перенесенных в первые века нашей эры, из всего огромного богатства
античной математики Европа получила в наследство лишь
то немногое, что сохранили поздние римляне с их
относительно низким уровнем научных познаний. Оригинальные
1) К. Маркс и Ф. Энгельс Соч., изд 2-е, . 22, стр. 307.
6

труды римских авторов, где находила применение
математика, касались, главным образом, решения прикладных задач из
области архитектуры и геодезии [189]. Математические
теории греческих классиков были полностью забыты [68, 192, 207,
300, 303].
Чрезвычайно скудный по содержанию научный материал
подразделялся в средневековой Европе по римской традиции
на «тривиум» (грамматика, риторика, диалектика) и «квадри-
виум» (арифметика, геохметрия, астрономия, музыка).
Европейской математике, базировавшейся на столь бедной
основе, предстояло пройти долгий путь, прежде чем было
восстановлено утраченное понимание проблемы научного
исследования и вновь освоены наивысшие достижения
античной науки. На первых же порах было необходимо объединить
в целостную систему и приспособить к требованиям новой
эпохи обрывки древних теорий, которые оказались
доступными в то время ученым Европы. Эту задачу призваны
были решить компилятивные сочинения энциклопедического
характера, составлявшие основную часть европейской
научной литературы до XII в. К наиболее ранним из них
относились труды римских ученых V—VI вв. Марциана Капеллы,
Макробия, Боэция, Кассиодора.
Наиболее значительным из названных авторов был Аниций
Манлий Северин Боэций (480—525 гг.), римский философ,
государственный деятель и ученый, находившийся на службе
у Теодориха (ок. 454—526 гг.) — короля остготов,
владычеству которых была в то время подчинена Италия. В числе
нескольких сенаторов Боэций был обвинен в тайных связях с
Византией и по приказу короля казнен.
Своими многочисленными трудами Боэций оказал
огромное влияние на интеллектуальную жизнь средневековой
Европы и в течение почти тысячелетия считался одним из
крупнейших научных авторитетов древности. Получивший
образование в Афинах и хорошо знакомый с греческими
сочинениями, он перевел некоторые из них — в том числе труды
Аристотеля, Евклида, Никомаха, Порфирия — на латинский
язык и составил комментарии к ним. Он написал также
несколько трактатов по философии, теологии, музыке и
астрономии.
Важную роль в истории европейской математики
сыграло сочинение Боэция «О введении в арифметику» («De insti-
tutione arithmetica»), которое в течение долгих веков было
чрезвычайно популярным и служило основой школьного и
университетского математического образования. Фактически
до XVII в. оно воспроизводилось со ссылкой на автора в
книгах по математике — з разделах, излагающих
теоретическую арифметику. Оно попало в число первых математиче-
7

Аниций Манлий Северин Боэций (из средневековой
рукописи).
ских сочинений, изданных типографским способом [151], и
позднее многократно переиздавалось, выдержав только в
XVI в. по крайней мере, четыре издания.
По содержанию арифметический труд Боэция
совершенно не оригинален; он является свободным переводом
«Введения в арифметику» Никомаха. Подробнее па этом вопросе
мы остановимся ниже (см. гл. II)
Боэцию приписывали в средние века также несколько
трактатов геометрического содержания. Один из них —
«Геометрическая наука», содержащий, между прочим, описание
абака, оказался научным подлогом XI в., имеющим целью
показать, что это средневековое вычислительное устройство
происходило от Пифагора [24, 25, 312, 437, 465].
По свидетельству Кассиодора, Боэций дал также полный
латинский перевод «Начал», который, однако, не сохранился
[217,312].
8

«Книга о музыке» Боэция, которая излагает
древнегреческую пифагорейскую музыкальную теорию и содержит
интересные данные об истории античной математики, также
была широко распространена и переиздавалась впоследствии
несколько раз типографским способом. В 1872 г. вышел ее
немецкий перевод [376].
Полностью математические труды Боэция были изданы на
языке оригинала в 1867 г. [286].
О славе Боэция-математика в средние века
свидетельствует одна из скульптур знаменитого Шартрского собора
(построен в XII—XIII вв.), представляющая «семь свободных
искусств»; статуя Боэция олицетворяет арифметику, тогда
как статуи Евклида и Пифагора — соответственно геометрию
и музыку.
Хотя творчество Боэция в целом лишено оригинальности,
значение его нельзя, как это часто случается, сводить на нет,
ибо его труды явились первым звеном, связавшим
средневековую европейскую науку с античной, и определили уровень
математического мышления целой эпохи. Именно как одна из
основ самостоятельного творчества математиков Европы они
привлекают сейчас внимание исследователей.
К более ранним римским сочинениям, оказавшим влияние
на науку Европы, относится «Естественная история» («Histo-
ria naturalis») Плиния (23—79 гг.), в которой была собрана
богатая коллекция естественнонаучных фактов из
астрономии, географии, антропологии, медицины, зоологии,
ботаники, изящных искусств и т. д.
Живший в начале V в. Марциан Капелла из Карфагена
дал описание наук тривиума и квадривиума в энциклопедии
«Бракосочетание Филологии и Меркурия» («Nuptia Philolo-
giae et Mercurii»); в ней аллегорические персонажи,
олицетворяющие семь свободных искусств, приносят по случаю
обручения Филологии (т. е. науки вообще) и Меркурия
(олицетворение торговли) в виде подарков символы своих наук и дают
им разъяснение. Арифметика ограничивается здесь кратким
извлечением из сочинения Никомаха и рассуждением в
пифагорейском духе о мистическом значении чисел; раздел
геометрии содержит толкование основных греческих
математических терминов, а в большей части посвящен географии
[411].
Видный писатель и политик Кассиодор (ок. 490 — ок.
575 гг.), занимавший высокие служебные посты при короле
Теодорихе и его преемниках, а затем ушедший от светских
дел в монастырь, написал ряд научных сочинений, в том
числе «О семи дисциплинах» («De septem disciplinas») [198]r
в котором, в частности, излагал основы теоретической
арифметики по Боэцию. Кассиодор считал необходимым повыше-
9

ние уровня монастырского образования и ставил перед папой
вопрос об основании в Риме теологического учебного
заведения по образцу школы в Нисибине [469, стр. 29].
Энциклопедический обзор всех научных познаний своего
времени дал епископ Исидор Севильский (570—636 гг.) в
сочинении, состоящем из двадцати книг и озаглавленном
«Этимологии» или «Начала» («Origines»), в котором были
затронуты, хотя и поверхностно, математические вопросы. Этот
ученый пользовался славой самого образованного человека
своего времени и служил во многом образцом для Беды
Достопочтенного (ок. 673—735 гг.), оставившего заметный
след в европейской математике раннего средневековья [123,
137, 469].
Беда жил в Ирландии, обучался и провел всю жизнь в
монастыре. Его научные интересы отличались разнообразием
и охватывали, наряду с историей и риторикой, астрономию и
математику. Он написал, в частности, энциклопедию «О
природе вещей» («De natura rerum») по образцу «Естественной
истории» Плиния и «Этимологии» Исидора Севильского.
В течение долгого времени это сочинение служило в Европе
источником астрономических знаний.
Много внимания Беда уделил хронологии и календарю,
главным образом, вычислению первого дня пасхи. Эти
вопросы рассматриваются в его труде «О счете времени» («De
temporum ratione»), в котором он изложил также правила
лальцевого счета, широко распространенного в средние века
как в странах Востока, так и в Европе [123, 300].
Для Беды Достопочтенного уже характерно стремление
не только обобщать знания древних, но и применять их в
целях просвещения. Еще ярче оно проявилось в творчестве
Алькуина (ок. 735—804 гг.), который работал при дворе
императора Карла Великого (768—814 гг.) и сыграл видную
роль в совершенствовании школьного образования и
распространении математических знаний. Ему приписывают
сочинение «Задачи для изощрения юношества» («Propositiones ad
acuendos juvenos») [129], содержащее многочисленные
упражнения на смекалку, например известную задачу о волке,
козе и капусте, и задачи, которые сводятся к целочисленному
решению линейных уравнений и их систем. Алькуин
организовал несколько начальных школ, где преподавались предметы
«тривиума» и «квадривиума», а также школу в монастыре
около города Тура, программа обучения в которой была
более сложной.
Монастыри в период раннего европейского средневековья
были центрами научной жизни, и поэтому деятельность
монастырских школ имела важное значение для развития
математики. Хотя ее преподавание ограничивалось сугубо при-
ю

I I I I l\l
кладными вопросами и ученикам
сообщались, главным образом, знания,
необходимые для вычисления дат церковных
праздников, для нужд
строительства и т. д., но уже в то время
отмечался интерес к чисто научным проблемам
1299, 300].
Традицию основанной Алькуином
школы в Туре продолжала в X в. школа Пояснительный
в Реймсе, одним из преподавателей ко- чертеж из письма
торой был знаменитый Герберт (ок. 940— Герберта к Адаль-
1003 гг.), видная политическая фигура больду из Утрехта,
своего времени, в последние годы
жизни—папа Сильвестр II [19, 24, 123, 282—285, 290, 316, 344].
Он родился в Оверни, образование получил на севере
Франции а затем совершил поездку в Испанию, где постиг
«премудрость арабов и приобрел те математические и
астрономические познания, которые так поражали современников»
[316, стр. 62].
Труды Герберта, по которым обучались арифметике,
геометрии и астрономии долгое время спустя после их
написания, свидетельствуют о пробуждении в Европе в конце X в.
внимания к научному исследованию. Хотя принадлежность
Герберту некоторых приписываемых ему сочинений
сомнительна, деятельность этого ученого, безусловно, оказала
огромное влияние на развитие математики.
Сохранившаяся переписка Герберта [290, 345]
свидетельствует о широте его научных интересов. Несколько писем
носят характер небольших математических трактатов. Так,
в двух письмах к своему ученику Константину из Флери
[345, стр. 39—42] Герберт разъясняет некоторые места из
сочинений Боэция об арифметике и музыке, касающиеся
свойств избыточных чисел и числовых отношений.
Константину же адресован трактат о способах арифметических
операций на абаке [24, 285, 290], где дано первое в
литературе подробное описание метода деления на этом счетном
инструменте.
Письмо Герберта к Адальбольду, епископу Утрехта, [345,
стр. 299—301], по словам Г Ганкеля, есть «первое
математическое сочинение, заслуживающее этого названия» [300,
стр. 314]. В нем поясняется различие между площадью
равностороннего треугольника, имеющего сторону 7, и седьмым
треугольным числом.
Таким образом, можно утверждать, что к концу X —
началу XI вв. работа математиков, следовавших римской
традиции, ознаменовалась некоторыми успехами, главным обра-
11

зом, в области просвещения. Однако темпы развития мате*
матики и его направление существенно изменились только
веком позже, с появлением в Европе переводов научных
сочинений с арабского языка на латинский.
§3. Ранние латинские переводы
с арабского и греческого языков
Решающее значение для развития математики в Европе
имела широко развернувшаяся с XI—XII вв. деятельность
переводчиков научной литературы с арабского и греческого
языков на латинский. После долгого периода умственной
изоляции европейские ученые получили, благодаря их переводам,
доступ к классическим античным сочинениям, сохранившимся
в греческом оригинале или в арабских версиях, а также к
трудам математиков и астрономов Ближнего и Среднего
Востока. Помимо греческой и восточной медицины и
философии, они познакомились с астрономией Птолемея и
«индийской» арифметикой, с алгеброй, тригонометрией и оптикой.
Изучение переводной литературы развивало навыки
научного исследования и давало новые стимулы для развития
точных наук, что обусловило появление в скором времени
первых оригинальных трудов европейских ученых.
Восточная наука начала проникать в Европу с X в.
различными путями, в частности, через Испанию и Сицилию.
Главный пункт этого проникновения находился на Пириней-
ском полуострове [123, 287, 303, 399—401, 405].
Испанские города Толедо, Кордова, Севилья, Гренада и
другие со времени захвата страны арабами (IX в.) стали
крупными центрами науки и образования с
многочисленными библиотеками, обсерваториями, высшими учебными
заведениями. В них из разных государств Европы стекались
те, кто стремился приобщиться к восточной учености. В XII
и XIII вв. здесь шла активная работа по переводу
математических и астрономических сочинений на латинский язык.
Несколько позднее школы переводчиков появились и на юге
Франции [303, 405, 416, 487].
К числу первых и наиболее выдающихся переводчиков
математической литературы с арабского языка принадлежит
английский монах, член бенедиктинского ордена Аделард из
Бата — «пионер изучения арабской науки и философии в
XII в. и самое значительное имя в английской науке до
Роберта Гроссетеста и Роджера Бэкона» [302, стр. 491].
Известно [302, 303, 307, 399, 416, 487], что Аделард учился во
Франции, там же преподавал, а затем предпринял длительное
путешествие по Италии, Малой Азии, Северной Африке и
Испании с целью изучения арабской науки. Расцвет его
деятельности приходится на 1120—ИЗО гг.
12

Интересы Аделарда были направлены, главным образом,
на философию, астрономию и математику. В его основном
философском сочинении «Естественные вопросы» («Questiones
naturalis») [303], написанном в форме диалога между ним и
его племянником, остававшимся во время его путешествий
во французском городе Лаоне и придерживавшимся
традиционного схоластического взгляда на науку, содержатся
новые для того времени мысли о необходимости познания
природы. К ранним математическим сочинениям Аделарда
относится трактат «Правила абака» («Regola abaci») [158, 303],
составленный под влиянием Боэция и Герберта. Позднее он
написал сочинение об астролябии и ряд других произведений.
Наибольшей заслугой Аделарда из Бата является
перевод с арабского на латинский язык нескольких трудов по
математике и астрономии [303, 416, 487]. Среди них особое
место занимают «Начала» Евклида в арабской версии Исха-
ка ибн Хунайна, исправленной Сабитом ибн Коррой. Этот
перевод получил широкое распространение и сохранился до
настоящего времени в многочисленных рукописях.
Сыгравший не менее серьезную роль в истории европейской
математики и астрономии перевод астрономических таблиц ал-
Хорезми в обработке испанского ученого X в. Ахмада
ал-Маджрити был выполнен Аделардом в 1126 г.,
по-видимому, во время его пребывания в Испании.
Есть основания полагать, что Аделард является также
автором двух трактатов, в большой мере способствовавших
распространению в Европе десятичной позиционной системы
счисления с применением нуля: «Книги введения Алхоризма
в астрономическое искусство, составленной магистром А.»
(«Liber ysagogarum Alchorismi in artem astronomicam a ma-
gistro A. compositum») [220, 329, 361] и перевода трактата
ал-Хорезми об «индийской арифметике» («Algorithmi de nu-
mero indorum») [220, 329].
Большую славу завоевал многочисленными переводами
Герардо Кремонский (1114—1187 гг.), долго работавший в
Испании, куда его привлекло желание ближе познакомиться
с арабскими версиями греческих сочинений и, в частности,
с «Альмагестом» Птолемея [143, 146, 154, 287, 303, 399, 416,
487]. В Толедо он изучил арабский язык и слушал лекции по
астрономии у англичанина Даниила из Морли.
Опубликованный Б. Бонкомпаньи в 1851 г. список
переводов Герардо Кремонского [154] насчитывал 71 название,
но впоследствии он значительно обогатился [399, 416]. Среди
сочинений, ставших известными европейским ученым
благодаря этому неутомимому переводчику,— труды Аристотеля
и ал-Фараби по философии, медицинские произведения Га-
лена, Гиппократа, Ибн Сины и ар-Рази. Но особенно вели-
13

ка его заслуга в распространении математических и
астрономических знаний: он перевел на латынь «Начала» и
«Данные» Евклида, «Альмагест» Птолемея, «Конические сечения»
Аполлония, «Оптику» Ибн ал-Хайсама, «Книгу о карастуне»
Сабита ибн Корры, знаменитый алгебраический трактат
ал-Хорезми и астрономический труд ал-Фаргани, сочинения
Ахмада ибн Юсуфа ал-Мисри «Об отношении и пропорции»
и «О подобных дугах», а также много других.
Видными переводчиками XII в. были Роберт из Честера
и Герман из Каринтии, работавшие в Испании и на юге
Франции и поддерживавшие тесную связь друг с другом.
Роберт из Честера известен как автор одного из наиболее
ранних латинских переводов сочинений по алхимии, а также
как переводчик корана; наиболее важным для истории
европейской науки является перевод «Алгебры» ал-Хорезми,
выполненный им в 1145 г. [287, 303, 333, 336, 399, 416, 487].
Герман из Каринтии [144, 165, 182, 183, 239, 303, 399, 416,
487], упоминаемый в средневековых источниках также под
именем Германа Далматского, Славянина или Германа
Второго (в отличие от более раннего переводчика с тем же
именем), учился в Шартре или Париже, был знатоком
философии. Он перевел с арабского несколько сочинений по
астрономии и астрологии, в том числе «Планисферий» Птолемея,
труды Абу Маш'ара ал-Балхи и Сахла ибн Бишра; он
упоминает также о сделанных им переводах «Альмагеста»
Птолемея, астрономических таблиц ал-Хорезми и ряда
других сочинений, рукописи которых не сохранились. Герману
из Каринтии принадлежит также перевод 12 книг «Начал»
Евклида (см. ниже).
Среди плодотворно работавших переводчиков XII в.
нужно упомянуть также Иоанна Севильского из Толедо — автора
перевода арифметического трактата «Книга Алгорисма о
практике арифметики («Liber algorismi de practica arismet-
rice»), а также астрономических сочинений ал-Фаргани
(издано в 1493 г.) и Абд-ал-Азиза ал-Кабиси (в латинской
транскрипции Алкабиция). Первый из названных трактатов
представляет собой, вероятно, позднюю арабскую обработку
арифметического сочинения ал-Хорезми; он был опубликован
в 1857 г. Б. Бонкомпаньи [155] (см. также [250]).
Среди трудов работавшего в то же время Гуго из Сантал-
лы, очевидно, уроженца Северной Испании, — перевод
комментария ал-Бируни к астрономическим таблицам
ал-Хорезми [303, 428].
Итальянец Платон из Тиволи, творчество которого
(1134—1145 гг.) связано с Барселоной [123, 153, 223, 303],
является автором переводов введения к знаменитым
астрономическим таблицам ал-Баттани, ряда астрономических

сочинений и «Книги об измерениях» («Liber embadorum»)
работавшего вместе с ним Абраама бар Хийа, известного
под именем Савасорды (ок. 1070 — ок. 1136 гг.).
Важнейшим фактором развития культурных и научных
контактов между европейскими государствами и странами
Востока была торговля, которая осуществлялась, главным
образом, через освобожденную от арабов в XI в. Сицилию,
через итальянские города Геную, Пизу и Венецию, а также
через Византию. Значительно меньшую, хотя иногда и
преувеличиваемую, роль в отношении передачи научных знаний
с Востока на Запад сыграли крестовые походы [38, 56, 371].
Один из крупных центров соприкосновения греческой,
восточной и латинской науки находился в Сицилии, что
объясняется и ее географическим положением, и ее историей
[5, 123, 303—305, 426, 432]. Уже в XI в. при норманнском
короле Роджере, а особенно столетие спустя — при его внуке
Фридрихе II ко двору в Палермо привлекались талантливые
ученые как из Европы, так и из арабских стран. Здесь,
например, в 1154 г. был составлен знаменитый географический
трактат ал-Идриси.
Около 1150 г. переводчик Евгений из Палермо перевел с
арабского языка «Оптику» Птолемея [365]. Работавший при
Фридрихе II известный ученый уроженец Шотландии
Михаил Скотт (ум. ок. 1236 г.) сделал перевод астрономического
трактата ал-Битруджи (XII в.), сочинений Ибн Сины и Ибн
Рушда (Аверроэса).
В то же время Сицилия, где греческий язык был столь же
распространен, как арабский и латинский, стала родиной
первых переводов античных сочинений непосредственно с
текста оригиналов, без использования арабских версий. Так,
еще в XII в. здесь были переведены с греческого на
латинский язык «Альмагест» Птолемея, «Данные», «Оптика»
Евклида и приписываемая ему же «Катоптрика», некоторые
труды Аристотеля, Герона Александрийского и др. [147, 301, 303,
399]. В дальнейшем интерес к переводам греческих
сочинений продолжал возрастать и приобрел наиболее широкий
размах в XVI в.
Постепенно стали появляться переводы не только на
латынь, но и на народные языки. Так, по свидетельству
флорентийского алгебраиста XIV в. Каначчи [348, стр. 45], Гильемо
де Лунис (XIII в.) перевел с арабского на итальянский язык
трактат «Правила алгебры».
Говоря о ранних переводах с арабского языка,
необходимо заметить, что несогласованность специальной
терминологии, а иногда недостаточность познаний переводчика в
математике и астрономии приводили к появлению латинских
текстов, содержавших много неясных мест и с трудом восприни-
15

маемых читателем; это, между прочим, послужило причиной
распространившегося впоследствии неверного мнения об
ошибочности арабских переводов с греческого. Часто
переводчики дублировали друг друга, причем не всегда лучший
или ранний перевод становился более популярным. Наконец,
переводились лишь доступные переводчику сочинения, а из
них чаще выбирались более короткие и легкие; в результате
многие фундаментальные труды ученых Ближнего и
Среднего Востока остались неизвестными средневековой Европе.
Однако это не может умалить исторического значения
деятельности первых переводчиков — людей, фактически
возродивших науку в странах Европы. Их творчество в
настоящее время освещено в обширной литературе, и тем не
менее, оно настоятельно требует дальнейшего изучения.
§ 4. Византийская математика
На развитие науки в средневековой Европе несомненное
влияние оказала Византия. Благодаря своему географическому
положению она явилась средоточием различных культурных
течений и промежуточньш звеном в отношениях между
Ближним и Средним Востоком с одной стороны и Европой —
с другой. Поэтому с точки зрения истории науки Византию
рассматривают как «большой резервуар материала, из
которого менее цивилизованный Запад черпал на протяжении
всего средневекового периода» [303].
Византийская наука, не пережившая столь глубокого
упадка, какой наблюдался в эпоху раннего средневековья в
западноевропейской науке, до XV в. в значительной степени
сохраняла античные традиции. Греческий язык был
национальным языком Византии, и, несмотря на борьбу против
«языческой» науки, основу образования составляла
классическая греческая литература [186, стр. 765]. Сочинения Гомера,
Аристофана, Демосфена, Платона и Аристотеля хранились в
богатых византийских библиотеках и пользовались широкой
известностью.
Интерес к византийской математике пробудился в конце
прошлого века. Особенно важный вклад в ее изучение
внесли П. Таннери [439] и И. Л. Гейберг [313], поставившие
вопрос о необходимости внимательного исследования
документальных источников и в первую очередь сохранившихся
математических рукописей. Это позволило бы объективно
воспроизвести историю византийской математики IV—XV вв.
а также выяснить некоторые важные моменты развития
науки в средневековой Европе.
Сформулированная задача не потеряла своей
актуальности и в настоящее время. Сейчас история византийской ма-
16

тематики является предметом исследования ряда историков
науки и прежде всего К. Фогеля, обзорная статья которого
[457] существенно использована в данном параграфе.
По характеру византийская математика была скорее
прикладной, чем теоретической наукой и продолжала то
направление в античной математике позднего периода, которое
было представлено трудами Герона по оптике и механике и
Птолемея по астрономии. Развитие получили логистика,
геодезия и другие дисциплины, связанные с жизненной
практикой, большое внимание привлекала также числовая мистика.
В то же время идеи Архимеда, Аполлония и других
классиков оказались в основном забытыми.
В первый период истории византийской математики (V—
VI вв.), когда были еще сильны античные традиции, точные
науки процветали в Александрии, Афинах и в высшей школе
Константинополя. Хотя интересы ученых, работавших в этих
центрах, не совсем совпадали, их научная деятельность
протекала в тесном контакте. В названных школах работали
выдающиеся комментаторы сочинений классиков Серен
Антинойский (IV в.), Теон Александрийский и его дочь Ги-
патия (ум. в 415 г.), философы и математики Прокл Диадох
(410—485 гг.), Домнин из Лариссы (V в.), Аммоний
Александрийский (V в.), Симпликий (V—VI вв.), Евтокий Аска-
лонский (конец V в.). Последний, например, оставил
комментарии к трудам Аполлония и Архимеда и сохранил в своем
сочинении чрезвычайно важные отрывки из утерянной
впоследствии истории греческой математики Евдема (ок. 320 г.
до н. э.).
Непосредственно в Византии в V—VI вв. работали над
строительством знаменитого Софийского собора в
Константинополе Антемий Тралесский и Исидор Милетский, оба
незаурядные математики. Первый написал сочинение о
зажигательных зеркалах, внеся кое-что новое в теорию конических
сечений Аполлония; второй составил комментарий к
утерянному труду Герона, а также издал трактаты «Измерение
круга» и «О шаре и цилиндре» Архимеда с комментариями
Евтокия; один из его учеников является автором книги XV
«Начал», приписываемой Евклиду.
В более поздний период, ознаменованный
государственными потрясениями и войнами, античные традиции, особенно
в естественных науках, предельно ослабли. В VII в.
закрылись университеты, в частности Константинопольский,
игравший ведущую роль после прекращения существования
академии в Афинах (529 г.). Единственным научным центром в
последующее столетие оставалась школа патриарха в
Константинополе, однако с началом иконоборчества (VIII в.)
закрылась и она.
17

На этом фоне существенно понизился и уровень
преподавания математики в общеобразовательных школах.
Внимание привлекали только вычислительное искусство и теория
измерений.
Тем не менее, современные историки показывают [73, 123г
132, 455, 457], что рассматриваемый период нельзя назвать
временем полной деградации научной мысли. Об этом
свидетельствует, например, творчество ученого IX в. Льва
Математика, о котором сохранились некоторые сведения [73, 311,
457]. Он получил образование в Константинополе, а затем у
некоего монаха на острове Андрос, изучал литературу в
библиотеках различных монастырей и в дальнейшем преподавал,
светские науки, главным образом математику. Около 840 г.
Лев был назначен митрополитом Фессалоник, но как
иконоборец был смещен с этого поста после восстановления иконо-
почитания. Когда в 863 г. возобновил свою деятельность
Константинопольский университет, Лев стал его ректором
и преподавателем философии.
Льву Математику византийские историки приписывали
глубокие познания в точных науках. Он создал, по их
свидетельству, любопытные автоматические устройства в
императорском дворце — золотые «диковины», например поющих
птиц или рычащего льва, которые поражали воображение
иностранных послов, а также систему световой сигнализации.
Этот, несомненно, значительный ученый был учителем
нескольких математиков. С одним из них связана легенда,,
согласно которой он попал в плен к арабам и был доставлен
ко двору халифа ал-Ма' муна (ум. в 833 г.), где участвовал в.
математических диспутах. При этом он проявил не только
знание греческой геометрии, но и творческий подход к решению
задач, в чем превзошел багдадских ученых. Узнав имя его
учителя, халиф пригласил Льва Математика в Багдад,,
но это приглашение было отклонено по воле византийского
императора. Легенда говорит также о научной переписке
между Львом и ал-Ма'муном, касавшейся различных вопросов*
геометрии, на которые византийский математик дал
блестящие ответы.
К кругу учеников Льва Математика принадлежал
Кирилл — выдающийся просветитель, один из создателей
славянской письменности. Из лекций другого ученика — Арета
видно, что Лев применял буквенные обозначения для
выражения арифметических соотношений в общем виде, подобные
тем, которые позднее, в XIII в., встречаются в Европе у
Леонардо Пизанского и Иордана Неморария [457],
Неоценимы заслуги Льва Математика в собирании
рукописей и переписке сочинений классиков греческой науки. При
нем были составлены рукописи «Начал». Евклида, трудов1
18

Аполлония, Архимеда и Птолемея, утерянная вниследсизии
рукопись «Арифметики» Диофанта, лежащая в основе самой
древней из существующих сейчас рукописей этого сочинения,
которая относится к XIII в,; появились также многие схолии
к Евклиду, комментарии к Архимеду и т. д.
В X в. в Византии работал ученый, известный под именем
Герона Младшего, автор трактата об измерении Земли по
методу Герона Александрийского; этот трактат был написан
в 938 г., а в 1572 г. издан на латинском языке в Европе, где
пользовался популярностью.
В тот же период (X в.) составлены многие дошедшие до
нас рукописи сочинений Евклида, Евтокия, Птолемея, не
забытых, следовательно, по крайней мере отдельными
математиками.
К XI в. относится деятельность разностороннего
ученого, много занимавшегося математикой, Михаила Пселла
(ок. 1018—после 1078 г.), который возглавил обновленный
в это время университет в Константинополе. Помимо
сочинений о философских вопросах математики, он написал схолии
к V—VII книгам арифметического трактата Ямблиха (111—
IV вв.), греческий текст которых существует сейчас в
публикации П. Таннери [439, стр. 269—274], и трактат об
арифметической терминологии Диофанта [436]. Пселлу
приписывают — правда, без достаточных оснований — обзор наук
«квадривиума», широко известный в Европе в XVI в. и
изданный на греческом языке в 1533 г., а с латинским
переводом— в 1556 г. В этом сочинении, в частности, сообщались
сведения о свойствах чисел по Никомаху и излагался способ
определения площади круга как среднего геометрического
между площадями вписанного и описанного квадратов (при
этом * = ]/¥= 2,828).
Еще большую популярность у европейских ученых
заслужили сочинения Максима Плануда (1260—1310 гг.),
который в 1296 г. был послом византийского императора в
Венеции. Поборник тесного общения с Западом, он перевел с
латинского на греческий язык сочинения Овидия, Макробия,
Боэция. Ему принадлежат комментарии к двум первым
книгам «Арифметики» Диофанта и трактат по практической
арифметике, в котором разъясняются правила действий в
десятичной позиционной системе с нулем (обозначается
арабским термином «цифра»). Плануд специально отметил, что
эта система имеет индийское происхождение [123, 192, 291,
457]. Об индийской системе счисления писал и живший
несколько ранее Плануда монах Неофит [439, стр. 20—26].
Ученик Плануда Мануил Мосхопул (XIII—нач. XIV в.)
написал сочинение о «магических квадратах», где, в
1Q

противоположность другим авторам, рассматривает вопрос
не с мистической, а с математической точки зрения [439,
стр. 27—60].
В XIV в. в Византии работали также ученый и государсл
венный деятель Феодор Метохит (ум. в 1332 г.), написавший
«Основные начала астрономической науки», и его ученик
Никифор Григор (1295—1360 гг.), который занимался
астрономией и оставил после себя трактат о квадратных числах.
Его современником был калабрийский монах Барлаам (ум.
ок. 1348 г.), сочинение которого о практической арифметике
было позднее опубликовано в Европе на греческом и
латинском языках. Помимо этого сочинения, где излагалась
теория обыкновенных и 60-ричных дробей и теория отношений,
а также трактата о солнечных затмениях, он написал
комментарий ко второй книге «Начал» Евклида.
Другой современник Никифора Григора — ученый
армянского происхождения Николай Артавазд Рабдас (ок. 1341 г.)
[55, 91, 123, 439] дал обработку задачника хМаксима Плануда
и оставил несколько писем математического содержания,
где изложены правила арифметических действий над целыми и
дробными числами [439, стр. 1 —19, 61 —198]. В частности,
разъясняется метод приближенного извлечения квадратного
корня, рассматриваются прямое и обратное тройные правила
в их приложении к хозяйственным задачам, решаются
задачи, сводящиеся к линейным уравнениям. Из текста следует,
что Рабдас был знаком с «Арифметикой» Диофанта.
Ученик Никифора Григора Исаак Аргир (ок.
1310—после 1371 г.) является автором нескольких трактатов по
астрономии, тригонометрии, геометрии, геодезии, а также схолий
к шести первым книгам «Начал» Евклида и к задачнику
Максима Плануда в редакции Николая Артавазда. Кроме
того, ему принадлежит новое издание комментариев Прокла к
«Введению в арифметику» Никомаха.
К числу значительных математиков и астрономов XIV в.
принадлежал Феодор Мелитениот. Он написал ок. 1361 г.
«Астрономию в трех книгах», явившуюся результатом
изучения трудов Птолемея и Теона, а также астрономических
сочинений, привезенных из Персии.
Кроме названных ученых XIV в. можно упомянуть
занимавшегося астрономией Николая Кабасиллу (ок. 1290—
1371 гг.), его родственника Иоанна, оставившего схолии к
Евклиду, как и Деметрий Кидон, один из первых
переводчиков с латинского языка на греческий [457].
Имеющиеся данные со всей определенностью указывают
на непосредственные контакты византийской науки с наукой
Ближнего и Среднего Востока. В IX в. из Византии в
Багдад была доставлена значительная часть рукописей греческих
20

сочинений, которые багдадские ученые переводили на
арабский язык. Известно, что специальную экспедицию по
покупке рукописей возглавлял знаменитый переводчик, знаток
греческого, сирийского и арабского языков Исхак ибн
Хунайн.
Отражением существовавших научных связей являются и
легенды, подобные приведенному выше рассказу о Льве
Математике.
Факт тесного взаимодействия византийской и так
называемой «арабской» науки особенно ясно подтверждается
анализом греческих сочинений математического и астрономического
содержания, например, исследованной в 1876 г Г Узенером
[449] рукописи XV в. из Ватиканской библиотеки. В нее
входит несколько астрономических трактатов, несущих на себе
следы восточного влияния. Здесь имеются ссылки на
выдающихся астрономов ал-Баттани (ок. 850—929 гг.), Абд-ар-
Рахмана ас-Суфи (903—986 гг ) и аз-Заркали (903—986 гг.),
из которых первый работал в Багдаде, второй — в Ширазе,
а третий — в испанском городе Толедо. Упоминаются
астрономические таблицы «Зидж ас-Санджари» Абд-ар-Рахмана
ал-Хазини (XII в.)—ученика великого математика и поэта
Омара Хайяма и «Зидж ал-алай» ученого XIII в. Асир ад-
Дина ал-Абхари. Встречаются имена основателя знаменитой
обсерватории в Марате Насир ад-Дина ат-Туси (1201 —
1274 гг.) и его ученика Мухи ад-Дина ал-Магриби.
Два имени вызвали сомнение у автора исследования.
Первое, которое он оставил без определения,— в греческом
написании %ovc,a^ir] gcdap—совершенно очевидно, должно быть
расшифровано, как Хусам ад-Дин Салар. Этот астроном и
математик работал при Хулугу-хане и занимал до ат-Туси
должность придворного астролога.
Второе имя (2a|u\|) \xnovxapr]l) Узенер прочел как Шамс
(ад-Дин) ал-Бухари и идентифицировал эту личность с
работавшим также в XIII в. Шамс ад-Дином ас-Самарканди —
автором таблицы неподвижных звезд (составлена в 1276—
1277 г.), трактата «Обоснованные предложения» (ашка.'
ат-та'сис) и ряда других сочинений [4].
О. Нейгебауэр, исследовавший недавно византийскую
астрономическую терминологию [370], обнаружил трактаты,
продолжающие греческую традицию (например,
астрономические таблицы, основанные на таблицах Птолемея и Теона),
но наряду с ними и другие, написанные под прямым
воздействием ученых стран ислама. Среди астрономических
терминов имеются слова как чисто греческого происхождения, так
и транскрибированные арабские.
Относительно Шамс ад-Дина ал-Бухари, на зидж
которого встречается ссылка, Нейгебауэр, в противоположность
21

Узенеру, считает, что имеется в виду Шамс ад-Дин Мирак
ал-Бухари [427, стр. 161], проводивший наблюдения в Бухаре
в 1254 г.
К XIII в. в Византии получила распространение
«индийская арифметика», о чем свидетельствует, например,
упоминавшийся трактат Максима Плануда.
Познания византийцев XV в. в области арифметики ярко
характеризуются недавним исследованием Хунгера и Фогеля
[321], которые опубликовали с немецким переводом и
комментариями анонимный рукописный греческий задачник этого
времени, хранящийся в Вене. Он содержит сто задач,
главным образом, практического содержания, многие из которых
известны из древневавилонских, китайских, арабских и
римских математических текстов. Наряду с задачами,
непосредственно связанными с жизненной практикой (например,
вычисление цен, задачи об обмене товаров и денег и т. д.),
встречаются и вопросы, для решения которых нужны
определенные теоретические познания (например, задача, сводящаяся
к системе уравнений х + у = а, x + z = b, y + z = c, где по
существу дан способ нахождения чисел вида An, 4m + 1, 4п,+ 2,
4д-ьЗ).
Любопытно, что автор трактата не перенял индийских
цифр, а применял для обозначения чисел от 1 до 9 буквы
греческого алфавита, добавив знак для нуля. Отсюда
можно заключить, что новое обозначение чисел распространялось
медленно и к XV в. еще не стало господствующим.
Пожалуй, наиболее примечательно, что в рукописи
встречаются вычисления с десятичными дробями, которые, как
утверждает автор трактата, «турки принесли с собой в страну»
[321, стр. 33]. Несомненно, при этом имеются в виду
сотрудники самаркандской школы Улугбека (и прежде всего Али
Кушчи, умерший в Константинополе в 1474 г.), явившиеся,
следовательно, передатчиками в Византию открытия Джам-
шида Гияс ад-Дина ал-Каши. Авторы исследования [321]
видят значение рассмотренной рукописи в том, что она
доказывает проникновение методов «индийской» арифметики в
Европу не только через Испанию и Италию, но и через
Византию. Прослеживается также взаимное влияние
византийской и западноевропейской математики, сказывающееся,
в частности, в терминологии: помимо чисто греческих,
арабских и турецких слов, встречаются и итальянские.
§5. Европейские ученые XIII—XV вв.
и их труды по арифметике и алгебре
С XIII в. в Европе начинается подъем математического
творчества, появляются сочинения, знаменующие собой начало
22

нового этапа истории точных наук. Приведем общие сведения
о математиках XIII—XV вв. и об их трудах, которые
упоминаются в последующих главах.
Первым выдающимся европейским ученым, сочинения
которого в течение двух-трех столетий оказывали
непосредственное воздействие на ход развития математики, является
живший в XIII в. Леонардо Фибоначчи (т. е. сын Боначчи),
чаще фигурирующий под именем Леонардо Пизанского. Его
сочинения, изданные по рукописям в середине прошлого века
Б. Бонкомпаньи [346], исследованы многими историками
математики [19, 31, 107, 123, 192, 244, 245, 247, 300, 348,399 и др.].
Леонардо Пизанский, биографические сведения о
котором весьма скудны, был, по-видимому, близок к купеческим
кругам и путешествовал по Египту, Сирии, Греции, Сицилии
и Южной Франции. Основательно изучив методы «индийской»
арифметики и отдав им предпочтение перед другими
вычислительными методами, он изложил их в законченной около
1202 г. «Книге абака» («Liber abaci»), представляющей собой
энциклопедию математических знаний его времени. Второй
вариант этого труда был завершен, вероятно, в 1228 г., и
именно этот текст дошел до нашего времени.
Во введении автор говорит, что к «индийским» методам он
«добавил собственное, а также кое-что из тонкостей
геометрического метода Евклида и создал, таким образом, труд,
который теперь публикует в пятнадцати разделах, чтобы род
латинян отныне больше не находился в неведении
относительно этих вещей».
В «Книге абака» явно сказывается близкое знакомство
автора с арабскими арифметическими и алгебраическими
сочинениями. Сама схема построения этого труда, в общем,
повторяет схему изложения материала, ставшую
традиционной у восточных математиков после ал-Хорезми. Вначале речь
идет об изображении любого числа с помощью девяти
«индийских» знаков (наряду с правилами пальцевого счета и
действий на абаке), затем дано описание основных
арифметических операций с целыми числами и дробями, некоторых
методов практической арифметики, правил действий с
квадратными и кубическими корнями и, наконец, решение ряда
геометрических вопросов и «задач алгебры и алмукабалы».
Многие математические понятия Леонардо Пизанский
выражает с помощью транскрибированных арабских терминов.
Значительное число задач прямо заимствовано у восточных
авторов, главным образом, у ал-Караджи и, вероятно, через
него — из «Алгебры» Абу Камила. Конечно, трудно сказать,
пользовался ли Леонардо Пизанский непосредственно
арабскими источниками или получил свои познания от
византийских математиков, влияние которых на него также не подле-
23

жит сомнению. Так, например, в «Книге абака» он ссылается
на некоего «магистра Муска из Константинополя»,
предложившего ему задачи для решения.
О знакомстве Леонардо Пизанского с греческими
источниками, а возможно, с неизвестным нам латинским
переводом «Начал» Евклида не с арабского языка, а
непосредственно с греческого, свидетельствует, в частности, применение
термина «рити» или «ритон» (греческое рг]тг|) для обозначения
рациональной величины. Высказывалось, однако,
предположение, что сведения о некоторых разделах «Начал» Евклида
были сообщены Леонардо Пизанскому устно каким-то
византийцем [244].
Помимо «Книги абака», Леонардо Пизанский является
автором геометрического трактата («Practica geometriae»,
1220 г.), а также двух сочинений — «Книга квадратов» (Liber
quadratorum», 1225 г.) и «Цветок» («Flop»),— сыгравших
важную роль в истории учения о числе в Европе [346]. Они
написаны после того, как их автор был представлен в Пизе
императору Фридриху II и участвовал в математическом
диспуте с философом и придворным юристом Иоанном из
Палермо1).
Труды Леонардо свидетельствуют не только о его
глубоких познаниях в различных областях математики и
знакомстве с трудами предшественников, но и о выдающихся
творческих способностях.
Важное место в истории европейской математики
занимают труды Иордана Неморария (Jordanus Nemorarius),
вероятно, современника Леонардо. Имеются более или менее
достоверные сведения о том, что он был генералом
основанного в 1170 г. монашеского ордена доминиканцев [192, т. II,
стр. 49—54]. Неморарий написал несколько замечательных
для своего времени сочинений по математике, астрономии и
механике, в которых встречаются новые важные научные идеи.
Подробному исследованию его математических трудов
посвящены многочисленные работы историков науки — Г Эне-
стрёма, М. Курце и других.
Огромной популярностью пользовались трактаты
Неморария по арифметике: теоретической — «Арифметика,
разъясненная в десяти книгах» («Arithmetica decern libros demon-
strata» [257])—и практической — «Разъяснение магистра-
Иордана об алгорисме» («Demonstratio magistri Jordani de
algorismo» [192, 253—255]). He менее известными были
алгебраическое сочинение Неморария «О данных числах» («De
numeris datis» [63, 112, 123, 192, 211, 213, 444, 471] и геомет-
О Г. Энестрём [237, т. IX, стр. 72—73] показал, что в данных о
пребывании Леонардо при дворе Фридриха II противоречий нет.
24

рический трактат «О треугольниках» («De triangulis» [212]).
Подробно на некоторых разделах трудов Неморария мы ос-
тановимся ниже. Здесь заметим лишь, что в них ясно
прослеживается влияние восточной математической литературы; так,
по мнению Г Энестрёма [257], второй из названных трактатов
Иордана Неморария «представляет собой попытку обобщить
учение Евклида при учете арабской арифметики». То же
можно сказать о его алгебраическом и геометрическом
трактатах.
Период XIII—XIV вв. обычно характеризуется как время
усвоения знаний, приобретенных на Востоке. Как говорит
Ф. Рудио, «создается впечатление, что пароды были угнетены
массой сообщенного им научного материала и могли
переработать его лишь постепенно» [394]. Однако в это время уже
начинают формироваться новые направления
физико-математических наук. Одной из особенностей европейской науки,
в отличие от науки стран ислама, становится стремление к
математизации естествознания1).
Математические знания в XIII—XIV вв. распространялись
в Европе прежде всего благодаря монастырским школам, в
учебную программу которых, хотя и в предельно
ограниченном объеме, входила математика. Немалое значение имела
деятельность многочисленных преподавателей, обучавших
методам практической арифметики, необходимость знания
которых остро ощущалась в купеческой среде.
Важнейшим событием в культурной жизни Европы была
создание, чаще всего — на базе монастырских школ, первых
университетов [123, 225, 299, 303—305, 387, 424]. Среди
старейших, возникших еще в XII в.,— университеты Болоньи,
Парижа и Оксфорда. Вслед за ними, в XIII—XIV вв. были-
основаны многочисленные университеты в Италии, Франции,
Англии, Испании, Германии.
Математике в различных университетах уделялось
неодинаковое внимание. Основу программы обучения составляла,
теология, преподавание которой шло под сильным
влиянием сочинений Аристотеля, зачастую — по их арабским
версиям. В некоторых университетах наиболее важное
значение придавалось юриспруденции (например, в Болонье)
и медицине (Салерно). Однако учащиеся получали и
математические знания, по крайней мере, в объеме «квад-
ривиума».
0 Науке европейского средневековья и, в частности, различным ма-
тематико-философским проблемам того времени (учение о «широте форм»
и «интенсификации и ремиссии качеств», проблема континуума и
бесконечности и др.) сейчас уделяется все большее внимание, однако многие-
вопросы еще остаются неосвещенными [49, 57, 58, 202, 203, 208, 209, 360,.
490, 493—495].
25,

Список книг, которые требовалось изучить, был
достаточно обширен. Например [387], в Болонском университете XIV в.
астрономия изучалась вместе с математикой, причем
предполагалось знание «Начал» Евклида в обработке Кампано (см.
ниже), свободного перевода «Альмагеста» Птолемея,
принадлежащего Герардо Кремонскому, «Четырехкнижия»
Птолемея, трактата по практической арифметике «Algorismi de mi-
nutis et integris», ряда переведенных с арабского
астрономических таблиц и правил их применения, астрологического
трактата Алкабиция (ал-Кабиси) в переводе Герардо Кре-
монского и других источников.
В университетах Италии, где было живо влияние
Леонардо Пизанского, в преподавании математики преобладали
вопросы более или менее прикладного характера. Иные
традиции сложились в Парижском университете, основанном в
1253 г. Сорбоном: математические знания были восприняты
здесь, главным образом, из арабских комментариев к трудам
Аристотеля, Евклида, Птолемея, и основное внимание
уделялось не фактам, а методам рассуждения. В трудах
парижских математиков XIII—XIV вв. рассматривались, например,
математическое понятие бесконечности и другие
теоретические вопросы, важность которых была понятна лишь в
XVII в. [408].
Как самостоятельный предмет математику, долго
относимую к подсобным дисциплинам, стали преподавать только в
начале XV в., очевидно, впервые — в Вене [102, 299, 446]. В
Венском университете, открытом в 1365 г. и в значительной
мере следовавшем традициям Парижского, уже в XIV в.
преимущественное внимание уделялось изучению математики,
физики, астрономии и медицины.
В университетах математика носила, как правило,
отвлеченный характер, в торговых же кругах изучались главным
образом практические приемы вычислений. Это дало М.
Кантору [192] основание утверждать, что в XIII—XIV вв. в
Европе существовали две математические школы: духовная
школа университетов, основателем которой он считал
Иордана Неморария, и светская купеческая школа, ведущая начало
от Леонардо Пизанского. Как показал Г Энестрём [253],
такая схема слишком примитивна и не отражает
действительного положения дела.
В XIII в. наряду с Леонардо Пизанским и Иорданом Не-
морприем работали и другие ученые, сочинения которых
сыграли немалую роль в распространении математических знаний.
Среди них следует назвать Иоанна Сакробоско (иначе,
Джона Голливуда или Джона Галифакса), учившегося сначала
в Оксфордском, а затем в Парижском университетах и
преподававшего в Париже астрономию и математику [331]. Ему
.26

^принадлежат написанное по образцу «Альмагеста» сочинение
«De spherae mundi» и чрезвычайно популярный в свое время
трактат по арифметике «Tractatus de arte numerandi» (т. е.
«Трактат об искусстве счета»).
Огромное влияние на развитие естествознания в средние
века оказали философы XIII в. Роберт Гроссетест (1175—
1253 гг.) и Роджер Бэкон (ок. 1210 — ок. 1295 гг.) [207].
Роберт Гроссетест, выдающийся английский ученый,
занимался не только философией, но и математикой,
астрономией, физикой. Он переводил на латинский язык греческие
сочинения и комментировал их, в частности, «Вторые
аналитики» и «Физику» Аристотеля. Выдвинутое им требование—
основывать натурфилософскую теорию на математике и
опыте — было затем повторено и развито его знаменитым
учеником Роджером Бэконом.
Среди математических дисциплин, наряду с арифметикой,
алгеброй и геометрией, большое внимание привлекало в
XIII в. учение о перспективе, которое позднее заинтересовало
художников не в меньшей мере, чем математиков. Теория
перспективы излагалась в трудах по оптике Роджера Бэкона,
Иоанна Пекхама (Joannes Pekham, ок. 1242—1282 гг.), Ви-
тело (Witello, XIII в.), которые основывались на латинских
переводах «Оптики» выдающегося арабского математика и
физика Ибн ал-Хайсама (965—1039 гг.).
Важную роль в развитии математики в Европе сыграли
ранние латинские переводы «Начал» Евклида. К числу
наиболее популярных из них (см. § 6) относится обработка этого
сочинения, выполненная Джованни Кампапо (Joannes Campa-
nus). Этот ученый, которого Роджер Бэкон называл
выдающимся математиком своего времени, происходил из
итальянского города Новара (близ Милана) и был капелланом папы
Урбана IV, время правления которого приходится на годы
1261 —1281; позднее Кампано занимал пост каноника в
Париже [145, 192, 259, 399]. Сильное влияние на него оказали
взгляды Роберта Гроссетеста.
Перу Кампано принадлежат несколько сочинений по
математике, астрономии и, возможно, комментарий к трактату
о музыке Птолемея. Он комментировал также «Арифметику»
Иордана Неморария. К его математическим трудам
относятся трактаты «О квадратуре круга» и «Об отношении». Второй
из них, как и версия «Начал» Кампано, подробнее будут
рассмотрены ниже.
Среди астрономических сочинений Кампано некоторые
носят общетеоретический характер, другие содержат описание
инструментов, усовершенствованием которых он занимался
.сам [207у стр. 67J. Од.ид из широко применявшихся парижски-
'11

ми учеными астрономический инструмент,
модернизированный Кампано, долго был известен под ею именем.
В XIII в. работал датский математик Петер Ингварссён
(Petrus Philomeni de Dacia), доминиканский монах,
обучавшийся в Париже, а затем живший в монастыре около
Копенгагена. Помимо календаря, составленного на 1292 г и
таблиц умножения шестидесятиричных чисел, ему принадлежит
комментарий к арифметическому трактату Сакробоско,
имеющий значение самостоятельного труда [218].
В XIV в., конец которого относят уже к эпохе
Возрождения, наблюдается значительный подъем в развитии пауки,
в том числе и математики. С этим временем связана
деятельность нескольких выдающихся ученых в Англии, Франции и
Германии.
Томас Брадвардин (Bradwardinus, ок. 1290—1349 гг.),
долго работавший в Оксфордском университете, славился среди
современников прежде всего как философ; однако
наибольшую известность ему принесли труды по математике и
астрономии [123, 209, 318]. Математические сочинения Брадвар-
дина — «Теоретическая геометрия» («Geometria speculati-
va»), «О квадратуре круга» («De quadratura circuli»),
«Теоретическая арифметика» («Arithmetica speculativa»),
«Трактат о континууме» («Tractatus de continuo»), «Об отношениях»
(«De proportionibus») были изданы типографским способом
после изобретения книгопечатания, некоторые —
многократно.
Особое внимание историков математики привлекает
трактат «Об отношениях»; в 1955 г. текст его вместе с английским
переводом и исследованием опубликовал Г Кросби [209]. Не
меньший интерес вызывает и «Трактат о континууме» [58г
123, 414].
Жан де Мер (Jean de Meurs, латинизированная форма
Joannes de Muris, ок. 1310 — ок. 1360 гг.) родился в
Нормандии, был в Париже каноником и доктором Сорбонны.
Большая часть его сочинений по математике, музыке и
астрономии, широко известных в XIV—XV вв., осталась в
рукописях.
Наиболее важен математический труд Жана де Мер —
«Четырехчастие чисел» («Quadripartitum numerorum»), на
который ссылались выдающиеся немецкие математики XV в.
Адам Ризе и Региомонтан (см. ниже); последний
намеревался издать его типографским способом. Две главы из второй
книги этого сочинения, в которых идег речь о практической
арифметике, были опубликованы и исследованы А. Наглем в
1880 г. [362], а третью книгу рассматривал в 1912—1913 гг
Л. Карпинский [334]. Трактат Жана де Мер по теоретической
28

арифметике, написанный на основе труда Боэция, был
напечатан в Вене в 1515 г.
Одним из крупнейших деятелей средневековой науки
является Николай Орем (Nicole Orem, или Oresme, Horem, Но
ren, ок. 1323—1382 гг.), творчество которого знаменовало
апогей математики в XIV в. Труды Орема, первым из своих
соотечественников писавшего не на лагинском, а на
французском языке, сейчас хорошо изученные исследователями [57,
59—61, 90, 123, 180, 192, 202, 210, 297, 423, 473—475, 477, 493,
494], были посвящены астрономии, механике и математике. В
«Трактате о широтах форм» (Tractatus de latitudinibus for-
marum) он высказал некоторые идеи математики переменных
величин, в частности, графического представления функции,
и может с полным правом считаться предшественником
Галилея и Декарта [123, стр. 395—403]. В другом сочинении —
«Алгорисм пропорций» («Algorismus proportionum»),
особенно важном для развития понятия числа, он
систематически применяет дробные показатели степени и распространяет
на них правила действий с целыми показателями.
Известный немецкий ученый XIV в. Альберт Саксонский
(Albertus de Saxonia), работавший в Парижском
университете, а затем ставший первым ректором университета в Вене,
относился к тем деятелям науки, чьими трудами были
достигнуты первые значительные успехи в развитии механики и
космологии [57, 192, 408]. Ему принадлежат исследования о
центре тяжести, о фигуре Земли и т. д.; занимался он и
проблемой математической бесконечности. Среди его сочинений
по математике — «Квадратура круга» («Quadratura circuli»)
и «Трактат об отношениях» («Tractatus proportionum»);
последний был напечатан в Венеции в 1496 г. [130].
В Италии в XIV в. не затухала алгебраическая традиция
Леонардо Пизанского. Еще в XIII в. Гильемо де Лунис
(Guglielmo de Lunis) написал латинский трактат по алгебре
[258]. В XIV в. вышло «Рассуждение об алгебре» (Ragiona-
menti d'Algebra) Рафаэля Каначчи (Raffaeli Canacci) на
итальянском языке (как и предыдущее, никогда не
издававшееся типографским способом); эта рукопись хранится в
Национальной библиотеке Флоренции [383].
В XV в. первенство в математическом творчестве перешло
из Франции в Италию, а затем в Германию.
Событием огромной важности для всей культурной жизни
Европы и прежде всего для развития науки явилось
открытие (1471 г.) Иоганном Гуттенбергом (ок. 1400—1468 гг.)
книгопечатания, намного облегчившего обмен знаний, в
частности, математических [77, 192].
Одним из первых издателей сочинений по математике был
Эрхард Ратдолът (Erhard Ratdolt, ок. 1443 — ок. 1528 гг.),
29

уроженец Аугсбурга. В течение 11 лет он жил в Венеции, где-
основал ставшую знаменитой типографию и, вернувшись в
1486 г на родину, продолжал издательскую деятельность. В
издании Ратдольта вышли многочисленные математические-
книги, в том числе «Введение в арифметику» Боэция (1488),
астрономическое сочинение Абу Маш'ара в латинском
переводе Иоанна Севильского (1488 г.) и другие.
Особенно важное значение имело первое печатное
издание «Начал» Евклида, вышедшее из типографии Ратдольта
25 мая 1482 г [267]. В этой книге, значение которой для
популяризации математики трудно переоценить, были впервые-
типографским способом воспроизведены геометрические
чертежи; в предисловии издателя это отмечалось как большой*
успех, упростивший дальнейшую публикацию математических
сочинений.
Среди итальянских математиков XV в. самое видное место>
занимает Лука Пачоли (Luca Paciualo, 1445—1514 гг.) [89,
123, 128, 185, 192, 339, 412]. Он родился в селении Сан-Се-
полькро, жил в Перудже, Милане, Неаполе, Риме, Венеции^
и Флоренции, возможно, путешествовал по Востоку; был
членом францисканского монашеского ордена.
Пачоли преподавал математику частным лицам и в
учебных заведениях, в том числе в Римском университете.
Близкие отношения связывали его с выдающимися деятелями
итальянского Возрождения — Альберти (1404—1472 гг.),
Пьеро делла Фракческо (ок. 1420—1492 гг.) и Леонардо да
Винчи (1452—1519). Второго из них — художника и
теоретика живописи, автора трактатов о перспективе и правильных
телах — Пачоли называл своим учителем.
Главный труд Пачоли — «Сумма по арифметике,
геометрии, отношениям и пропорциональности» («Summa de arith-
metica, geometria, proportioni et proportionalita») издано в
1494 г. в Венеции; позднее, в 1523 г. появилось и. второе
издание.
В другом сочинении Пачоли «Божественная пропорция»
(«Divina proportione», Венеция, 1509 г.) изложена теория-
«золотого сечения» применительно к теории правильных
многогранников, архитектуре и т.д.; как приложение к этому
труду была издана «Книга о пяти правильных телах» Пьеро
делла Франческо.
Трактат Пачоли «О силах количеств» («De viribus quan-
titatis»), написанный между 1496 и 1508 гг. и оставшийся
неопубликованным, представляет собой собрание
математических игр и развлечений. Труд Баше де Мезириака (1587—
1638 гг.), которого часто считают основоположником этого-
раздела математики, появился лишь век спустя, в 1612 г.
Единственная сохранившаяся и находящаяся- в Болонском
30

Лука Пачоли (портрет работы Якопо де Барбари, XV—XVI вв*).
университете рукопись трактата Пачоли была исследован, в
1924 г. А. Агостини [128].
В 1509 г. Пачоли переиздал также «Начала» Евклида [307].
Живший раньше Пачоли итальянский математик и
астроном Проздочимо де Бельдоманди (Prosdocimo de Beldomandi,
ок. 1380—1428 гг.) из Падуи написал около 1410 г. «Весьма
полезный и нужный трактат по алгоритму» («Algorismi trac-
tatus perutilis et necessarius»), посвященный практической
арифметике и изданный впоследствии дважды — в 1483 и
1540 гг. [343].
Другой итальянский математик Пьетро Борги (Pietro Вог-
ghi), о котором известно лишь, что он был венецианцем и
умер после 1494 г., является автором капитального труда по
коммерческой арифметике, впервые изданного в 1484 г.
Э. Ратдольтом, ставшего чрезвычайно популярным и
переиздававшегося в XV—XVI вв. не менее пятнадцати раз [343].
Во второй половине XV в. работал также Франческо Пел-
лос, или Пеллиццати (Francesco Pell'izzati), итальянец или
выходец из Прованса, автор трактата по практической
арифметике («Art de arithmetica»), изданного в 1484. г: в Турине>
сейчас весьма редкого и малоизученного [89]!

В числе ученых XV в., представлявших математику в
Германии, следует, прежде всего, назвать Иоганна из Гмудена
(Johann von Gmuden, ок. 1380—1442 гг.), который
прославился лекциями по астрономии и математике в Венском
университете [123, 192, 299, 359, 446].
Яркими фигурами европейской математики являются
Пейрбах и Региомонтан, оказавшие, в частности, огромное
влияние на развитие тригонометрии [176—178, 491, 492].
Георг Пейрбах, или Пурбах (Georg Peurbach, 1423—
1461 гг.), был профессором Венского университета. Он
написал ставший знаменитым учебник по теории планет.
Кроме того, ему принадлежит трактат «Начала арифметики»
(«Elementa arithmetices»), изданный в XVI в. ( см. о нем
в гл. II, §9).
Иоганн Мюллер, известный под именем Региомонтана
(Regiomontanus, 1436—1476 гг.), учился в Венском
университете у Пейрбаха. Отношения между учителем и учеником
стали настолько дружескими, что когда в 1460 г. Пейрбах
был приглашен на работу в Рим, он поставил условие, чтобы
его сопровождал Региомонтан. Планы Пейрбаха были
прерваны смертью. Региомонтан последовал этому приглашению
один и провел семь лет в Италии, где изучал труды античных
математиков по греческим рукописям, коллекционированию
которых он уделял много внимания. Вернувшись в Германию,
он поселился в Нюрнберге, однако в 1475 г. был снова
приглашен в Рим для участия в реформе календаря и по
прибытии туда неожиданно умер.
Не касаясь чрезвычайно важных сочинений Региомонтана
по астрономии и тригонометрии [123, 149, 197, 219, 224, 389,
492], отметим, что он может быть назван автором первой в
Европе работы по истории математики: обзора развития
математической науки с древности и до его времени во
введении к лекциям об астрономии ал-Фаргани.
Интересные сведения об алгебре и арифметике в
Германии XV в. сообщает мюнхенская рукопись (Cod. lat. Monac.
14908), написанная частично на немецком, частично на
латинском языках: переписана она в 1461 г регенсбургским
монахом-бенедиктинцем Фридрихом (Frater Fridericus),
возможно, автором сочинения [214—216, 293, 454].
Иоганн Видман (Johann Widmann)—один из
зачинателей немецкой алгебры — был уроженцем богемского города
Эгера. Сведения о нем крайне скудны; известно, что в 1480 г.
он числился студентом Лейпцигского университета, где
получил степень баккалавра, а затем магистра искусств. В
1480 г. в Лейпциге впервые была напечатана его книга
«Быстрый и красивый счет для всего купечества» («Behende
und hubsche Rechnung auff alien Kauffmannschaft»), сыграв-
32

шая важную роль в истории алгебры; следующие ее издания
вышли в 1508, 1519, 1526 гг. [157, 192, 293, 299].
Во Франции в середине XV в. жил и творил замечательный
ученый, лионский медик и математик Никола Шюке
(Nicolas Chuquet) [192, 352, 435, 470]. В 1484 г. он закончил свой
труд «Наука о числах в трех частях» («Le Triparty en le
science de nombres»), который, хотя и оставался до XIX в.
неопубликованным, получил широкое распространение в
рукописях и оказал значительное влияние на математиков
XVI в. В частности, он был почти полностью воспроизведен
в «Арифметике» Этьенна де ля-Рош (Estienne de la Roche),
вышедшей первым изданием в 1520, а вторым — в 1538 г.
Публикация в 1880 г. трактата Шюке [352] имела важнейшее
значение для истории науки, так как позволила
исследователям сделать ряд новых выводов относительно средневековой
европейской математики.
При сравнении сочинений Пачоли и Шюке, написанных
одновременно и, по всей вероятности, независимо друг от
друга, М. Кантор [192] отметил более высокий теоретический
уровень второго из них и на этом основании подчеркнул
большее его значение для истории математики. Г. Энестрём
[237, т. XIII, стр. 339] не согласен с этим выводом и
подчеркивает различие целей обоих авторов: «Summa» была
задумана как пособие для практиков, «Triparty» — как
теоретическое сочинение.
К концу XV в. в Европе, таким образом, были усвоены
результаты, полученные восточными математиками, и
созданы все условия для того, чтобы в следующем столетии,
оказавшемся переломным в истории науки, европейские ученые
обогатили математику первыми важнейшими результатами
своего оригинального творчества.
§6. Переводы «Начал» Евклида
«Начала» Евклида, написанные в IV—III вв. до н. э.,— одно
из самых замечательных математических сочинений,
известных истории науки.
Велико было его значение и в средние века: его
справедливо рассматривали как ключ к пониманию античной
математики, на базе которой развивалась математика этого
периода на Ближнем и Среднем Востоке и в Европе. Именно
поэтому в IX в., на заре расцвета науки стран ислама,
«Начала» попали в число первых переведенных на арабский язык
трудов греческих ученых (подробнее см. [82, стр. 99—103]).
На латинский язык впервые «Начала» были переведены,
вероятно, еще в I в. до н. э.; во всяком случае, Евклида
упоминает Цицерон, сетовавший на то, что его современники ин-
33

тересуются математикой лишь из чисто практических
соображений [308, стр. 206]. Однако только к VI в. относится
упоминание о конкретном латинском переводе «Начал»; Кассио-
дор приписывал его Боэцию (Euclydem translatum in Roma-
num linguam idem vir magnificus Boethius dedit [198, стр.
434]). Точных сведений об этом переводе нет. Известно
средневековое сочинение по геометрии, автором которого назван
Боэций и которое содержит определения книги I «Начал»,
пять постулатов, три аксиомы, ряд определений из книг II,
III и IV, несколько предложений из книг I—IV (без
доказательств), а также вычисление площадей некоторых плоских
фигур на частных примерах. Однако написано оно, по
мнению исследователей, значительно позднее и получило в исто-
рико-математической литературе название «Псевдобоэций»
[25, 192, 214, 286, 300, 307, 437, 465]. В конце этого сочинения'
рассматриваются три первые задачи из книги I «Начал» и
приводится систематическое доказательство — самый ранний
пример такого рода в европейской литературе.
Свидетельство существования перевода «Начал» с
греческого на латинский язык до XII в., т. е. до появления
переводов арабских версий этого сочинения, дают обнаруженные
М. Курце отрывки из некоторых рукописей X в. Фрагменты,
воспроизведенные им в предисловии к изданию латинского
перевода комментария ан-Найризи к «Началам» [221],
содержат два предложения (37 и 38) из книги I и одно (8)
из книги II; эти отрывки представляют собой дословный
перевод с греческого текста, выполненный, судя по некоторым
терминам, итальянцем, мало знакомым как с греческим
языком, так и с математикой. В другом отрывке [217] дается
латинский текст определений из книги V «Начал» (см. гл. II,
§6).
Были найдены и другие доказательства существования
раннего перевода «Начал» непосредственно с греческого
языка. Однако, например, довод Т. Хиса [307], ссылающегося на
старинные английские стихи, из которых будто бы явствует,
что Евклид был известен в Англии уже в X в., как позже
установлено [489], ошибочен.
В Европе с первыми признаками возрождения
математической науки в XII в. возник особый интерес к «Началам»
как к сокровищнице мудрости ученых прежних поколений.
Первый перевод «Начал» с арабского, по которому
европейские математики могли познакомиться с полным текстом
сочинения Евклида, выполнил ок. 1120 г. Аделард из Бата.
Этот перевод получил широкое распространение и
сохранился до настоящего времени в многочисленных рукописях. В
конце прошлого века его изучал Г Вейсенборн [466], а
недавно — М. Кладжетт [201], который сравнил рукописи с
34

арабским источником и установил, что существуют три версии
перевода Аделарда, имеющие значительные различия. В том
же XII в. появились и два других перевода «Начал»,
принадлежащих Герардо Кремонскому и Герману из Каринтии.
Перевод Герардо Кремонского упоминался в
средневековом списке его сочинений, опубликованном Б. Бонкомпаньи
[154], и долгое время считался утерянным; однако в 1901 г.
А. Бьёрнбо обнаружил в Риме рукопись книг X—XV из этого
перевода, а в 1904 г. и полный текст в нескольких вариантах
[143, 146]. Герардо Кремонский дал точный перевод арабской
версии «Начал» в обработке Сабита ибн Корры, но, судя по
отдельным греческим терминам, пользовался также и
неизвестным более ранним латинским переводом с греческого.
Недавно Г Бусард изучил рукопись XIII в.,
находящуюся в Парижской национальной библиотеке (Lat. 166646) и
содержащую, по всей вероятности, перевод «Начал»,
выполненный Германом из Каринтии [182, 183]. Текст первых шести
книг этого перевода позволил прийти к выводу, что в его
основе лежала та же арабская версия «Начал», которой
пользовался и Аделард.
В XII в. был осуществлен перевод арабского комментария
ан-Найризи (в латинизированной форме — Анариция) к
сочинению Евклида; выполнил его также Герардо Кремонский.
Рукопись вместе с рукописью комментария к книге X
«Начал», приписываемого Абд-ал-Баки ал-Багдади (XI в.), была
обнаружена в Кракове и в 1899 г. опубликована М. Курце
[221], вызвав большой интерес [139, 140, 141, 350, 430]1).
Таким образом, в XII в. Европа получила возможность
познакомиться с «арабским Евклидом», т. е. с
интерпретацией «Начал», данной восточными авторами [82, 310]. Именно
из нее и исходили европейские математики XIII—XV вв., так
как первый «греческий» Евклид появился в Европе только в
XVI в., а существовавший, по-видимому, ранее латинский
перевод с греческого оказался забытым после ознакомления с
арабским текстом.
В XIII в. была составлена еще одна версия «Начал»,
принадлежащая Кампано из Новары [145, 192, 260, 267, 399]. Она
сыграла особую роль в популяризации сочинения Евклида, а
позднее попала в число первых печатных математических
книг. Кампано внес в текст дополнения, часть которых,
возможно, заимствована из арабских источников [260], а другие
принадлежат ему самому. К последним относится, например,
теорема о существовании четвертой пропорциональной, кото-
') Подробнее этот вопрос мы рассмотрели в [82, стр. 271]. Полный
обзор ранних латинских версий «Начал» дал Дж. Мэрдок в «Bio-
graphickal dicionary», т. IV, N. J., 1971 г.
35

рую Кампано приводит среди аксиом, а также рассуждения
о роговидных углах (кн. III и X) и первое в Европе
исследование звездчатых многоугольников [123, 192, 260].
Сходство между версиями «Начал» Кампано и Аделарда
вызвало значительные разногласия1) между историками науки
по вопросу взаимной зависимости этих текстов [192, 211, 217,
221, 307, 309, 348, 466, 467, 487]. Наибольшую ясность в него
вносят новые исследования М. Кладжетта и Дж. Мэрдока
(см., например, [201, 360]).
«Арабский Евклид» неоднократно комментировался
математиками XIV—XV вв. и служил отправным моментом для
исследований в новых направлениях, интересовавших
европейских ученых. Такой комментарий к некоторым разделам
«Начал» содержится в недавно исследованном и
опубликованном Г. Бусардом трактате Орема «Вопросы о геометрии
Евклида» («Questiones super geometriam Euclidis» [180]; см.
также [61]). Орем отходит от стиля изложения, принятого в
«Началах», и прибегает к распространенной в его время
форме вопросов и ответов, когда учитываются все доводы в
пользу данной гипотезы и против нее. Обсуждение отдельных
положений Евклида приводит Орема, в частности, к
проблемам делимости, континуума и суммирования бесконечного
множества долей величины; в связи с этим он сделал
замечательное для своего времени открытие о расходимости
гармонического ряда (факт, позднее забытый, переоткрывался
заново и доказывался несколько раз).
Несмотря на интерес математиков к «Началам» Евклида,
нельзя сказать, что глубокое знание их до XVI в. было
широко распространенным явлением: университетские
программы требовали лишь поверхностного ознакомления с первыми
книгами этого сочинения.
Положение резко изменилось с изобретением
книгопечатания. Одной из первых математических книг, изданных
типографским способом, оказались «Начала» в версии
Кампано; книга вышла в первый раз в 1482 г. в Венеции в
типографии Ратдольта [267]. Во введении Ратдольт говорит, что
трудности, связанные с воспроизведением чертежей, задерживали
обычно выпуск математических сочинений и что ему удалось
найти метод, который позволяет печатать фигуры с той же
легкостью, что и буквы. В том же 1482 г. Ратдольт выпустил
второе издание «Начал», отличающееся от предыдущего
первой страницей [451], а также тем, что книга напечатана не
готическим, а латинским шрифтом. Затем издание
повторялось в 1489 г. в Базеле и в 1491 г. в Виченце2.
1) Подробнее см. [82, стр. 267—270].
2) Указание Сартона [399, т. II, стр. 986] на издание 1486 г. в Ульме
ошибочно, что было отмечено им самим [400, стр, 213].
36

Остановимся вкратце на дальнейшей истории публикаций
«Начал» Евклида.
Среди математиков долго бытовало убеждение, что
Евклид-геометр и современник Платона философ Евклид из Ме-
гары (ок. 400 г. до н. э.) — одно и то же лицо. Это отразилось
и во многих изданиях «Начал» XVI в., и в предисловиях к
ним. Указанное недоразумение было впервые устранено
Хр. Клавием (1537—1612 гг.) [274]. Другая ошибка состояла
в том, что Евклиду приписывали только формулировки
теорем, доказательства же их считали принадлежащими Теону
Александрийскому, так как пользовались греческими
рукописями комментариев Теона к «Началам». Исправил эту ошибку
Иоганн Бутео (1492—1572 гг.) в 1959 г. в примечаниях к
сочинению «О квадратуре круга» [192, т. II, стр. 519].
Первый перевод «Начал» с греческого текста был
опубликован в Венеции в 1505, а затем в 1510 г. Его выполнил
Бартоломео Замберти или Дзамберти (Bartolomeo Zamber-
ti, Zambertus), секретарь сената в Венеции [237, т. X,
стр. 82], отдавший, по его словам, этому труду семь лет
[307, 467].
Замберти подверг резкой критике перевод Кампано; он
упрекал последнего в многочисленных неточностях и
«варваризмах», имея в виду, что Кампано в арифметических
иллюстрациях к теоремам Евклида, даваемых по арабской
традиции, искажает его идеи.
Со своего рода реабилитацией Кампано счел необходимым
выступить Лука Пачоли, переиздав в 1509 г. текст его версии
«Начал» и исправив ошибки переписчиков. Это издание
сейчас чрезвычайно редко [307].
В 1516 г. в Париже Ж. Лефевром было осуществлено
совместное издание переводов Кампано и Замберти,
воспроизводившееся впоследствии несколько раз1).
Греческий текст «Начал» вместе с текстом комментария
Прокла к книге I издал впервые в 1533 г. в Базеле Симон
Гринэй (Symon Grynaeus). Отрывки опубликовал ранее, в
1498 и 1501 гг., Георг Валла (Valla, 1430—1499). В 1564 г. в
Страсбурге появилось издание Дасиподия (Cunradum Dasy-
podium) [272]. В нем содержится греческий и латинский текст
книги I «Начал» вместе с подробными комментариями
издателя, где дано общее рассуждение о математике, о геометрии
и ее началах, о видах теорем и т. д. Затем приводится
«арифметическое доказательство того, что во второй книге «Начал»
доказано с помощью линий и фигур»; ему предшествует
греческий текст и латинский перевод этой книги. Далее следуют
1) В нашем распоряжении имеется издание 1537 г. [268], на которое
в дальнейшем мы и ссылаемся.
37

восемь предложений стереометрии и, наконец, даются
формулировки (греческие и латинские) книг III—XIII «Начал».
Второе издание «Начал» Дасиподия вышло в 1571 г.,
также в Страсбурге [273]; оно содержит только текст
предложений (без доказательств и чертежей), причем не только
«Начал», но и других сочинений Евклида.
Греческий текст и латинский перевод предложений (с
чертежами, но без доказательств) первых шести книг «Начал»
опубликовал в Лейпциге в 1549 г. Камерарий (Joachimus Ca-
merarius) [269].
К самым популярным и влиятельным изданиям «Начал»
XVI в. относится комментированный перевод Хр. Клавия
[274], вышедший впервые в 1574 г. в Риме и переиздававшийся
впоследствии в 1589, 1591, 1603, 1607, 1612, 1654 гг. и позднее.
Клавий подверг критике предыдущие издания «Начал»,
упрекая Кампано в слишком.строгом следовании арабам, которые,
по его мнению, многое извратили, а издателей переводов с
греческого—в том, что они не исправляли многочисленных ошибок
переписчиков. В связи с этим трудно точно установить, что
именно принадлежит Евклиду, и потому Клавий не повторяет
текста предыдущих изданий, а стремится сделать содержание
теорем возможно более ясным. Главную цель он видит в
устранении ошибок, встречающихся у его предшественников
(например, как уже говорилось, он показал, что Евклид —
автор «Начал» не идентичен с Евклидом из Мегары).
Не менее важную роль сыграл и другой перевод «Начал»
вышедший двумя годами ранее и выполненный Ф. Комман-
дино (Federico Commandino, 1509—1575 гг.). Этот ученый,
посвятивший свою жизнь переводу и комментированию
греческих классиков, перевел не только «Начала», но также
труды Архимеда и Аполлония вместе с древними схолиями
к ним.
В середине XVI в. начали появляться переводы «Начал»
на европейские языки. Первый итальянский текст,
опубликованный в 1543 г., принадлежал выдающемуся математику
Николо Тарталье, в 1565 г. он вышел вторым изданием [271].
Другой итальянский перевод с греческого оригинала,
напечатанный в Риме в 1545 г., был выполнен Анжело Кайяни
(Angelo Cajani [237, т. IX, стр. 76]) и содержал текст
предложений без доказательств.
Самое старое немецкое издание «Начал» принадлежало
Вильгельму Гольцману, известному под именем Ксиландер
(Xylander), и было издано в 1562 г. в Базеле [270]. Оно
содержит только текст шести первых книг без доказательств,
но с подробными разъяснениями «на понятных примерах»
и «основательных чертежах». Автор ставит себе в заслугу
большой труд, затраченный для того, чтобы осуществить

Зто издание «на радость и пользу любящим искусства
немцам».
В 1564—1565 гг. появилось первое французкское издание
«Начал», в 1570 г.— английское, в 1576 г.— испанское.
Однако, несмотря на широкое распространение в конце
XVI в. переводов с греческого текста, авторитет «арабского
Евклида» по-прежнему оставался высоким. Об этом
свидетельствует издание в 1594 г. в Риме арабского текста
«Изложения Евклида» [275], автором которого в рукописи назван
Насир ад-Дин ат-Туси. В 1657 г. вышел его латинский
перевод [366], широко использовавшийся математиками XVII в.
В частности, Дж. Валлис (1616—1703 гг.) посвятил
сделанной ат-Туси попытке доказательства пятого постулата
Евклида специальное сочинение [458].
В переводах XVI в., почти всегда комментированных,
«Начала» разъяснялись с помощью алгебры, иногда дополнялись
новыми определениями, аксиомами или предложениями.
Позже, в XVII в., когда математика вступила в новую фазу
развития, «Начала», по-прежнему считавшиеся основой
математического образования, стали подвергаться «исправлению».
По словам Д. Д. Мордухая-Болтовского, «комментаторы
Евклида XVI в. не критикуют, а разъясняют Евклида,
высказываемое ими мнение выдается или за мнение Евклида, или за
мнение, согласное с его взглядами. В XVII в. выступает Euc-
lides restitutus. Евклида не только комментируют, его
исправляют. Пополняют систему аксиом, исправляют определения,
меняют части всей логической постройки и делают попытки
полной ее перестройки» [85, стр. 261—262].
Впоследствии «Начала» Евклида выдержали в Европе
огромное число печатных изданий [40, 52, 64, 99, 118, 123, 125,
192, 307, 308]. Греческая версия Теона считалась
канонической вплоть до XIX в., когда Ф. Пейрар обнаружил рукопись
IX в. содержащую более раннюю версию «Начал». После
этого были предприняты сравнительные исследования с целью
выделить подлинный текст [309]. Результаты этой работы
легли в основу издания «Opera omnia» Евклида под
редакцией Гейберга и Менге [277].

Глава II
УЧЕНИЕ О ЧИСЛЕ В ЕВРОПЕ ДО XVI в.
§ 7. Предпосылки развития понятия числа в Европе
При всей абстрактности математических понятий их
происхождение и развитие неразрывно связано с производственной
деятельностью человека. Ярким примером этому служит
история одного из основных понятий математики — понятия
числа.
Начальные представления о числе возникли в глубокой
древности и были связаны с пересчитыванием реальных
предметов. Отвлеченное понятие числа и операций с числами
явилось результатом обобщения многовекового практического
опыта [1, 29, 67]. Практика ставила перед человеком задачи,
решение которых с необходимостью привело к исследованию
свойств чисел и зависимостей между ними.
Первые факты, касающиеся свойств целых, дробных и
иррациональных чисел, были установлены в Древнем Вавилоне
и Египте, где математика носила прикладной характер и
призвана была решать проблемы, возникающие
непосредственно из хозяйственной жизни. Вавилонские и египетские
вычислители разработали, в частности, методы операций с
дробями и способы приближенного извлечения квадратного
корня, решали задачи на квадратные уравнения [28, 32, 33, 39,
86, 87, 93]. Они исходили при этом из того «наивного»,
«прагматического» понятия действительного числа, которое — по
словам Н. Бурбаки — предполагает, что «число
рассматривается как определенное благодаря возможности получать
его приближенные значения и вводить их в вычисления» [27,
стр. 146].
Следующий этап в истории понятия числа связан с
древнегреческой математикой, унаследовавшей познания народов
Древнего Востока.
Формирование, а затем экономический и политический
расцвет рабовладельческих городов-государств Древней
Греции, развитие мореплавания, торговли, ремесел отразились
40

на общем подъеме культуры и науки этого периода.
Потребности практики стимулировали быстрое развитие астрономии
и математики. Значительный интерес вызывало
совершенствование вычислительных приемов, применявшихся в
различных областях науки и техники [8, 39]. Совокупность этих
приемов составляла содержание особой дисциплины — логистики.
Однако для греческой науки характерно было
преимущественное внимание к теоретическим вопросам, к логическому
изложению всякого научного знания, з том числе и
математики. Именно в Греции математика из суммы прикладных
методов превратилась в логически построенную дедуктивную
теорию со строго определенными основными понятиями.
Строгой теорией, в частности, стало в Древней Греции и
учение о числе.
В школе Пифагора была создана теория натуральных
чисел, носившая не только математический, но и философский
характер [8, 10, 28, 29, 42, 135]. Под числом понималось
собрание единиц; сама единица, которая рассматривалась как
«начало», «причина» чисел, числом не считалась и
предполагалась неделимой; дробь среди математических понятий не
фигурировала. Числа изображались с помощью
геометрических образов, так что пифагорейское учение о числе
представляло собой геометрическую арифметику. Пифагорейцы
разработали теорию четных и нечетных чисел, рассматривали
свойства совершенных, дружественных и фигурных чисел.
Основные достижения теоретической арифметики в
античности были изложены в «Началах» Евклида. Здесь (книги
VII—IX) получила вполне строгое обоснование теория
делимости целых чисел, в основе которой лежал так называемый
алгоритм Евклида, дающий способ нахождения наибольшего
общего делителя двух целых чисел. Были доказаны
фундаментальные теоремы о единственности разложения всякого
целого числа на простые сомножители, о существовании
бесконечного множества простых чисел, получен способ
последовательного выделения простых чисел из натурального
ряда и установлены первые факты теории простых чисел [6, 8,
28,136).
В понятие числа пифагорейцы вкладывали символический
смысл: числа рассматривались как прототипы объектов
реального мира, а эти объекты — как отражения чисел. Считалось
возможным всякое взаимоотношение между вещами
выразить отношением целых чисел.
Понятие количественного отношения, являвшееся
одновременно и математическим и философским, играло в
пифагорейской теории ведущую роль. На нем основывалась теория
отношений целых чисел, составлявшая важнейшую часть
учения о мировой гармонии; считалось, что с помощью этой тео-
41

рии могут быть описаны все взаимоотношения в природе.
Математически она эквивалентна теории дробей, но построена
при учете предпосылки о неделимости единицы. Исходным ее
моментом является утверждение о соизмеримости всех
геометрических объектов. Теория отношений целых чисел дала
прочную основу для доказательств теорем арифметики,
геометрии и музыки. Поэтому открытие существования
несоизмеримых прямолинейных отрезков (V в. до н. э.) привело к
кризису начал пифагорейской науки. Это событие полностью
изменило направление развития математической мысли и
поставило ряд задач, для решения которых потребовались
усилия многих поколений ученых [8, 28].
Вследствие открытия несоизмеримости отрезков были
строго разграничены понятия дискретного (числа) и
непрерывного (геометрической величины), исследованием
принципиального различия между которыми призвана была
заниматься философия. Резкая грань пролегла также между
науками о числе (арифметика) и о величине (геометрия) [2, 8,
28, ИЗ, 136].
Понятие отношения приобрело двоякий смысл в
зависимости от того, идет ли речь о числах или о величинах.
Оказалось, что отношение величин может быть выражено
отношением целых чисел только в случае соизмеримости. Таким
образом, выяснилось, что построенная пифагорейцами
теория целочисленных отношений применима лишь к
арифметике. Предстояло создать столь же строгую, но более
общую теорию, относящуюся и к величинам, т. е.
охватывающую не только рациональные, но и иррациональные
отношения.
Потерпев неудачу с попыткой унифицировать математику
на основе арифметики, обратились к геометрии. Возникшие
задачи были решены, во-первых, созданием геометрической
алгебры, которая дала аналог операций, ранее установленных
в арифметике, а во-вторых, разработкой общей теории
отношений, одинаково пригодной для чисел и величин.
Первой по времени появления была так называемая «ан-
тифайретическая» теория отношений величин, главную роль
в которой играл алгоритм Евклида [134]. В ее основе лежало
определение равенства двух отношений, согласно которому
отношения равны тогда и только тогда, когда при
разложении их в непрерывные дроби все неполные частные
соответственно равны между собой (по терминологии древних, они
имеют один и тот же «антифайрезис»). Эта теория позволила
обосновать предложения, ранее установленные с помощью
теории числовых отношений. Однако ее применение было
связано с рядом трудностей: помимо сложности определения
операций над отношениями и выяснения их свойств, возникла
42

необходимость доказывать каждую теорему отдельно для ве*
личин различных видов.
Замечательным достижением античной науки явилась
общая теория отношений, разработанная Евдоксом и
изложенная впоследствии в книге V «Начал» Евклида. Она выполняла
в древнегреческой математике ту же роль, какую сегодня
играет теория действительных чисел [2, 8].
С вычислительной точки зрения эта теория страдала
существенным ограничением, касающимся операций над
отношениями: для них была определена лишь операция
«составления», соответствующая умножению. Вообще, потребности
практики новая теория могла удовлетворять в значительно
меньшей степени, чем «антифайретическая», но в
классический период истории греческой математики прикладные
вопросы решались логистикой, стоявшей вне теоретической науки
и не требовавшей строгого обоснования.
Важнейшую проблему с момента открытия существования
иррациональных отношений составило рассмотрение их с
теоретической точки зрения. Классификация квадратичных и
биквадратичных иррациональностей, которые могут быть
построены геометрически с помощью циркуля и линейки,
принадлежала, вероятнее всего, Теэтету. Она изложена в
книге X «Начал» — самой большой и наиболее сложной по
содержанию из книг этого сочинения [8, 28, 30, 76, 92, 93, 200,
307, 308, 390].
Таким образом, античные математики фактически
построили и широко применяли теорию действительных чисел, но,
придерживаясь взгляда на число и величину как на
существенно различные объекты, понятия действительного числа
не ввели. Отношение чисел для них не стало еще обобщением
понятия числа. Поэтому все вопросы, связанные с
иррациональностью, рассматривались в области геометрии
присущими ей методами.
Положение изменилось в первые века нашей эры, когда
в развитии точных наук наметились существенно новые
тенденции [И, 12]. Под воздействием требований практики
началась усиленная разработка вычислительных методов и общая
арифметизация и алгебраизация математики. Новое
направление проявилось прежде всего в учении о числе и о новом
содержании, которое приобретало само понятие числа.
Об этом свидетельствует выдающееся творение античной
математики — «Арифметика» Диофанта [12, 13, 231, 306, 308],
где изложена теория неопределенных уравнений в
рациональных числах. Диофант строит новую алгебру на чисто
арифметической основе, вводит элементы буквенной
символики и оперирует расширенным понятием числа как решения
неопределенного уравнения, которое может быть не только
43

целым но и дробным; ийогда оно мыслится и
иррациональным. Идеи Диофанта, вне всякого сомнения, наложили
отпечаток на развитие арифметико-алгебраического направления
в математике, и прежде всего в странах ислама.
Решение многих прикладных задач требовало разработки
арифметической теории иррациональных величин. В связи
с этим началась арифметизация теории отношений, что
выразилось, например, в появлении понятия «количества
отношения».
Тем не менее, понятие числа и в это время не было со
всей определенностью распространено на отношение. По-
прежнему под наукой о числе понималась пифагорейская
теоретическая арифметика. Оперировавшая же числовыми ир-
рациональностями логистика, хотя и завоевала постепенно
более равноправное положение в математике, строгой
теоретической базы, как и раньше, не имела.
Греческое наследие составило основную часть
фундамента, на котором в IX в. начали строить математическую теорию
средневековые ученые стран Ближнего и Среднего Востока.
С другой стороны, они базировались на достижениях
древней индийской математики, среди которых наивысшим
является десятичная позиционная система счисления с
применением нуля. Характерной чертой математиков Индии был
интерес к разработке различных вычислительных приемов.
В противоположность грекам, они свободно производили
арифметические операции над числовыми иррациональностя-
ми, не давая, однако, никакого теоретического обоснования
этим действиям [123].
Внимание к точным наукам в странах ислама было
обусловлено, прежде всего, необходимостью решения
многочисленных задач практического характера. Поэтому центр
тяжести в математике этого времени приходился на разработку
вычислительных алгоритмов, в чем можно видеть не только
индийское влияние, но и развитие тенденций, проявившихся
в греческой науке позднеэллинистического периода.
Однако нередко высказываемое мнение о том, что
математика стран Ближнего и Среднего Востока в средние века
носила сугубо прикладной характер и не дала ничего
существенного в области теории, как теперь выяснено, ошибочно.
Об этом свидетельствует, в частности, содержание учения о
числе в трудах математиков стран ислама1). Они
подразделяли это учение на теоретическое (теоретическая
арифметика) и практическое (практическая арифметика, алгебра).
Такая классификация показывает, насколько серьезные
изменения по сравнению с античным периодом произошли в
О Подробно см. [82].
44

трактовке основных математических понятий:
противопоставление понятия числа понятию величины фактически
перестало существовать, вследствие чего исчезло резкое
разграничение между предметом учения о числе и предметом учения о
величине. Теоретическая арифметика продолжала излагаться
как основной раздел учения о числе, но на равных правах с
ней сюда были отнесены алгебра (ранее трактовавшаяся
геометрически) и вычислительная арифметика (логистика).
Другими словами, числовая иррациональность стала
рассматриваться как число. То же самое ранее наблюдалось и
в индийской математике, а с другой стороны, стирание грани
между арифметическими и геометрическими понятиями явно
наметилось в греческой математике позднеэллинистического
периода. Мы выяснили, однако, [81—83], что точка зрения
математиков стран ислама на проблему иррационального числа
отличалась от точек зрения их предшественников прежде
всего постановкой проблемы логического обоснования действий
с числовыми иррациональностями. «Наивный» подход
вычислителя, не задумывавшегося над сущностью производимых
операций, уже перестал удовлетворять, и это послужило
причиной значительного расширения понятия числа в
средневековой восточной математике.
Анализ арабских сочинений, касающихся основных
разделов учения о числе, позволил установить, в частности, что
теоретическая арифметика по содержанию и основным
понятиям не отличалась от пифагорейского учения о числе, если
не считать, что были получены некоторые новые результаты
(например, правило нахождения дружественных чисел).
Существенным, с точки зрения истории понятия числа, является
часто встречающееся отождествление числового отношения
с дробью; иногда дробь прямо относили к числам. Таким
образом, расширение понятия числа происходило даже
в рамках этого, наиболее скованного традицией, раздела
учения о числе.
Внимание к теоретической арифметике показывает, что
математика этого времени не носила исключительно
прикладного характера, однако, безусловно, основной интерес был
направлен на решение вопросов, связанных с практикой.
Успехи, достигнутые в области практической арифметики,
сыграли важнейшую роль в развитии понятия числа.
Особенно существенным было внедрение десятичной позиционной
системы счисления с применением нуля, а также
усовершенствование шестидесятиричной системы счисления и, позднее,
открытие десятичных дробей. Разработанные в этот период
вычислительные методы позволили с большой степенью
точности находить рациональные приближения значений
иррациональных корней (квадратных, кубических и т. д.). Слово
45

вычислителей, убежденных в числовой природе
иррациональности, звучало теперь в математике не менее веско, чем
слово теоретиков, заставляя последних искать компромиссное
решение вопросов обоснования математических понятий.
Алгебра в странах ислама впервые выделилась в
самостоятельную науку и избавилась от сковывающей
геометрической формы, в которую она была облечена в античности.
Здесь нашли развитие арифметико-алгебраические тенденции,
характерные для древневосточной науки и проявившиеся
также в греческой математике позднего периода.
В алгебраическом исчислении в качестве чисел особого
вида фигурировали степени неизвестной («простые числа»,
«корни», «квадраты» и т. д.). Поскольку решение уравнения
могло оказаться дробным или иррациональным
(отрицательное и нулевое не рассматривалось), то дроби и
иррациональные корни из чисел приобрели в вычислениях равные права
с целыми числами. Разделу об уравнениях обычно
предшествовало изложение правил действий над иррациональными
выражениями (сначала второй, а затем третьей степени и
выше). Иррациональности стали встречаться не только как
решения, но и как коэффициенты уравнений. Численные
алгебраические методы были применены и в геометрии:
вычисление длин и площадей часто заменяло построение с помощью
циркуля и линейки.
Осуществив арифметизацию алгебры, ученые стран
ислама стремились, однако, обосновать алгебраические действия
с помощью геометрии — в духе греческой математики. Хотя
главное внимание было направлено на нахождение
численного решения уравнения, в случае, когда получить его не
удавалось, умели с пользой применить методы геометрической
алгебры. Затушевывание различий между понятиями числа и
величины привело, в частности, к тому, что в геометрических
рассуждениях стало иногда встречаться недопустимое с
античной точки зрения отступление от принципа однородности
величин и очень часто смешивались геометрическая и
арифметическая терминологии («умножение линий» и др.).
Однако математики рассматриваемого периода,
усвоившие античные представления о логическом обосновании
теории, стремились к глубокому анализу понятия
иррациональности. Это показывают рассмотренные нами [81—83]
арабские комментарии к книге X «Начал», в которых решались
многие теоретические вопросы учения о числе.
Теории квадратичных и биквадратичных иррационально-
стей, изложенной в книге X, восточные математики
придавали, как оказывается, огромное значение и последовательно
перевели ее на арифметический язык; в этой форме она
вошла в трактат по алгебре как собрание правил действии дад
46

числовыми иррациональностями и правил решения
соответствующих квадратных уравнений. Однако из рассмотренных
комментариев видно, что одновременно ставился вопрос о
правомерности такого перехода от геометрического учения
Евклида на арифметические позиции «вычислителей». Этот
переход пытались обосновать, примирив обе точки зрения.
Поскольку за исходную предпосылку, как и у греков,
принималось противопоставление понятий числа и величины, то
главную роль продолжала играть идея соизмеримости и
несоизмеримости величин, и все теоретические вопросы
решались с помощью учения об отношениях. В то же время был
выдвинут ряд принципиально новых положений. Одно из них
лежало в основе «исчисления отрезков, площадей, объемов»,
развитого Ибн ал-Багдади (X—XI вв.). Оно базируется на
понятии «умножения» величин и на противоречащем
геометрической алгебре утверждении, что произведение двух
однородных величин есть величина, однородная с ними.
Например, произведение двух отрезков а и Ь следует изображать не
прямоугольником, как это делали античные математики, а
таким отрезком с, что — ~—,где е — единичный отрезок.
К одному роду с данной величиной должен принадлежать и
квадратный корень из нее, существующий, по мнению Ибн
ал-Багдади, для любой величины. Так, под корнем из
отрезка понимался построенный циркулем и линейкой отрезок —
среднее геометрическое между данным рациональным и
единичным отрезками. В случае плоских фигур под корнем
понималась фигура (того же вида, что и данная), плошадь
которой является средним геометрическим между площадям?!
данной и единичной фигур. Таким образом, оказывалось
возможным повторное извлечение квадратного корня из величин.
Нетрудно заметить, что рассуждения Ибн ал-Багдади
основаны на идеях, которые впоследствии привели Декарта к
его аналитической геометрии. Однако восточный математик
рассматривает лишь корни с показателем 2П, нужные ему при
изложении книги X «Начал» Евклида.
Определив корень квадратный из числа как среднее
геометрическое между этим числом и единицей. Ибн ал-Багдади
утверждает, что между указанными геометрическими и
арифметическими объектами существует взаимнооднозначное
соответствие. Другими словами, рациональные отрезки
«изображаются» числами, а иррациональные — корнями из чисел. Ту
же мысль выражал раньше выдающийся восточный ученый ал-
Фараби (IX в.), утверждая, что «определенные рациональные
отрезки соответствуют рациональным величинам, а
определенные иррациональные числа — иррациональным величинам.
Отсюда вытекало, что теоремы, доказанные для геометриче-
47

ских величин, верны и для их арифметических образов; и
обратно, действия с числовыми квадратичными иррационально-
стями можно обосновать, опираясь на строгую теорию
Евклида. Таким образом, в частности, обосновывали арифметиза-
цию книги X «Начал». В связи с этим становится также
понятным частое смешение арифметической и геометрической
терминологии.
Сложнее обстояло дело с обоснованием арифметических
действий над кубическими иррациональностями, которыми
восточные математики занимались не столь систематически.
Однако и в этом направлении были сделаны определенные
шаги, о чем свидетельствует рассмотренный нами
комментарий ал-Махани (IX в.) к книге X «Начал»: он дал
классификацию кубических («телесных») иррациональностей, следуя
идеям Евклида, и, возможно, пытался каким-то образом
распространить на них предложения книги X «Начал»; к
сожалению, этот интересный трактат известен лишь в отрывке.
Те же идеи встречаются и в комментарии ан-Найризи (X в.),
о латинском переводе которого речь пойдет ниже.
Для истории понятия числа чрезвычайно велико значение
трудов ученых стран ислама по теории отношений. Эта
теория, в полном ее объеме воспринятая из греческой науки и
составлявшая основу всех теоретических исследований,
подверглась, однако, критике. Возражения вызывали, прежде
всего, евдоксовы определения отношения и равенства двух
отношений, не удовлетворявшие теперь математиков с
вычислительной точки зрения. Поэтому была возрождена и
последовательно изложена «антифайретическая» теория,
которая позволяла строить рациональные приближения
иррациональных отношений с любой точностью.
Наиболее существенным моментом явилась попытка
строгого обоснования теории составных отношений, которая
привела восточных математиков к важнейшему в истории учения
о числе результату — к теоретическому распространению
понятия числа на отношения величин. Определение этого
расширенного понятия числа дали Омар Хайям (XII в.), а затем
Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.).
Таким образом, в процессе формирования понятия
действительного (положительного) числа ученые
средневекового Ближнего и Среднего Востока сделали важный шаг
вперед.
Математика европейского средневековья базировалась на
двух основах: на познаниях, сохранившихся от
греко-римской науки, и на сведениях, полученных позднее из арабской
литературы. Благодаря этому второму источнику Еьропа
познакомилась как с трудами античных математикой, так и с
сочинениями восточных авторов. Поэтому неудивительно, что
48

влияние науки стран ислама на учение о числе в Европе
долгое время определяло ее развитие.
В средневековой Европе наблюдается продолжение и
постепенное углубление процесса арифметизации и алгебраиза-
ции математической науки, начавшегося в первые века нашей
эры в греческой математике и продолженное в странах
Ближнего и Среднего Востока.
Переходим к характеристике различных разделов учения
о числе в европейской математике до XVI в.
§ 8. Теоретическая арифметика
Теоретическая арифметика, содержание которой
исчерпывалось учением Никомаха Геразского (I—II вв. н. э.),
составляла основную часть античного математического наследия,
перешедшего в Европу непосредственно из греко-римских
источников.
«Введение в арифметику» Никомаха [232, 368],
построенное в пифагорейском духе, долгое время привлекало
внимание не только математиков, но и философов Востока и
Запада. Первый латинский перевод «Введения в арифметику»,
выполненный Апулеем из Мадавры1) во второй половине II в.,
был широко распространен в свое время, но сейчас известен
только по упоминаниям о нем. В IV в. обработку этого труда
дал Ямблих2), в VI в. его комментировал Асклепий Трал-
лиан3), а затем ученик последнего Иоанн Грамматик,
свидетель захвата Александрии арабами (640 г.).
Наиболее популярная латинская версия «Введения в
арифметику» Никомаха принадлежит Боэцию, очень точно
передавшему его содержание в своем арифметическом трактате,
речь о котором пойдет ниже.
На арабский язык сочинение Никомаха было переведено
дважды в IX в.: выдающийся восточный математик Сабит
ибн Корра ал-Харрани (ок. 830—901 гг.) перевел его с
греческого, а несторианец Хабиб ибн Бахриз — с сирийского
языка. В странах ислама в средние века оно считалось
основополагающим трудом по арифметике, так же как «Начала»
Евклида — по геометрии. Изложением теории Никомаха
1) Римский философ, ученый и писатель, родился ок. 125 г. в Мадав-
ре (Африка), путешествовал в Грецию и Италию, работал, главным
образом, в Карфагене. Автор энциклопедических трудов и известного
сочинения «Метаморфозы» (или «Золотой осел»).
2) Неоплатоник, родился во второй половине III в. в Сирии, умер
между 307 и 337 гг. Для его книг по арифметике (например «Theologume-
na arithmetica») характерен крайний числовой мистицизм.
3) Греческий философ и математик, современник Симпликия (ум. ок.
560—570 гг.). Помимо комментария к «Введению в арифметику»
Никомаха, составил комментарий к «Метафизике» Аристотеля.
49

начинались математические разделы энциклопедий, она
составляла сущность многочисленных трактатов по
теоретической арифметике (раздел математики, носивший
название «ал-арисматики»), т. е. греческое apift|j/r)TixT) в араби-
зированной форме), включалась во все книги учебного
характера1).
Другое замечательное античное произведение,
заложившее основу современной теории чисел,— «Арифметика»
Диофанта (III в.) получило в средние века значительно меньшее
распространение, чем труд Никомаха. На арабский язык
«Арифметика» была переведена в IX в., однако этот перевод
вскоре оказался утерянным. Влияние ее на восточных
математиков сказывается в тех разделах арабских
арифметических и алгебраических трактатов, где рассматриваются
вопросы диофантова анализа (например, в трактате ал-Карад-
жи), а также в сочинениях, правда, немногочисленных,
специально им посвященных.
В Европе с текстом «Арифметики» Диофанта
познакомились только в XV в., а с некоторыми моментами его теории —
в XII—XIII вв. по арабским сочинениям.
Следует отметить, что в трудах восточных ученых IX—
XIII вв. теоретическая арифметика получила некоторое
развитие (правило нахождения дружественных чисел,
суммирование числовых рядов, решение некоторых задач диофантова
анализа), тогда как в Европе она излагалась до XIII в. в
объеме труда Никомаха.
Полное изложение теоретической арифметики, ставшее
стандартным для европейской математики вплоть до XVI в.,
дано в трактате «О введении в арифметику» Боэция. Это
сочинение написано на основе «Введения в арифметику»
Никомаха и по существу представляет собой его перевод. Во
вступительном разделе Боэций говорит, что он вносит в труд
Никомаха изменения, расширяя одни разделы, сокращая другие
и разъясняя с помощью примеров и таблиц наиболее важные,
по его мнению, вопросы.
Многие историки математики обвиняют Боэция в
отсутствии оригинальности, однако этот упрек, если принять во
внимание цель, которую Боэций преследовал, а также
атмосферу умственной жизни его времени, представляется не
совсем справедливым. Значение его сочинения прежде всего
в том, что оно служило, вероятно, главным каналом передачи
математического наследия античности в средневековую
Европу [406]. М. Кантор [192] утверждал, что Боэций дал плохую
обработку Никомаха, опустив наиболее тонкие моменты, но
1) Подробнее о теоретической арифметике на средневековом Ближнем
и Среднем Востоке см. [82].
50

Г Энестрём [237, т. VII, стр. 283] показал несостоятельность
такого обвинения.
Труд Боэция был в течение более чем тысячелетие одним
из основных учебных пособий в школах и университетах Ев*
ропы, попал в число первых математических книг, изданных
типографским способом [151], и переиздавался несколько раз.
Влияние его явно сказывается в арифметических раздела^
сочинений ученых XVI и даже XVII вв. Поэтому, не зная
сочинения Боэция, иногда трудно понять направление научных
интересов многих выдающихся математиков того времени,
постановку некоторых вопросов в их трудах, а также
происхождение тех или иных терминов и понятий. Знакомство с
сочинением Боэция особенно необходимо при изучении
развития теории чисел в Европе: оказывается, что выражение
«мертвый период», часто применяемое к истории этой науки
от Диофанта до XVII в., не следует воспринимать буквально,
так как интерес к теоретико-числовым проблемам никогда не
исчезал, но был направлен, главным образом, на вопросы,
затронутые Боэцием.
Хотя в дальнейшем развитие теории чисел пошло по
совершенно иному пути, период ее истории до XVII в. тоже
требует изучения, и этим соображением объясняется внимание,
уделенное в данной главе арифметическому сочинению
Боэция (по изданию 1488 г. [151]).
Первая (32 главы) из двух книг, составляющих трактат
Боэция, содержит классификацию чисел, которая восходит к
Никомаху. Рассматриваются также общие свойства целых
чисел и их отношений. Книга начинается с рассуждения о
величине (magnitude) и множестве (multitude). Свойствами
величины обладают однородные и непрерывные вещи, например
дерево или камень; дискретным же вещам, например стаду
или хору, присуще качество множества. Множества изучают
две математические дисциплины — арифметика и музыка;
первая занимается абсолютным множеством, вторая —
относительным. Величины являются предметом геометрии,
которая изучает размеры, и астрономии, занимающейся
размерами и движениями.
Арифметика является полной и совершенной наукой и
первенствует среди математических дисциплин. Предмет
арифметики — число — определяется в пифагорейской традиции,
как совокупность единиц.
Числа подразделяются прежде всего на четные и
нечетные. Различные определения их даются в третьей—шестой
главах. Одно из них: «Четное есть то, которое можно
разделить на два равных, не имеющих между собой единицы;
нечетное же то, которое никакое число не делит на равныеш
между которыми не было бы единицы».
51

Второе определение дано «согласно Пифагору»: «четное
число то, которое одним и тем же делением может быть
разделено на самое большее и на самое меньшее: наибольшее
по размеру (spacio) и наименьшее по величине (quantitate)...
Нечетное же число то, с которым так произойти не может и
которое естественно делится на две неравные части».
Разъясняя это определение, Боэций говорит, что, например, четное
число 8 разбивается на 4 и 4, причем нет никакого другого
деления, при котором получились бы большие и меньшие
части.
Согласно третьему определению, «нечетное число есть то,
которое отличается единицей от четного, и наоборот».
В седьмой главе утверждается, что каждое число есть
полусумма соседних чисел, одинаково удаленных от него по обе
стороны. Исключением является единица, не имеющая двух
соседних чисел и равная половине единственного соседнего с
ней числа — двух.
Следующие пять глав содержат классификацию четных
чисел и свойства каждого их вида. Вслед за Никомахом
Боэций рассматривает четно-четные, четно-нечетные и нечетно-
четные числа.
Четно-четное число определяется как то, которое можно
разделить на две части, и эти две части четные; и так будет
столько раз, пока деление частей не достигнет естественно
неделимой единицы. Например, число 64 имеет половину 32
и так далее до единицы. Таким образом, к этому классу
относятся числа вида 2п.
Четно-нечетное число является противоположным четно-
четному: «оно допускает деление на две равные части, части
же эти далее останутся неделимыми и не могут быть
разбиты; таковы 6, 10, 14, 18, 22 и им подобные». Общий вид этих
чисел 2 (2т + 1).
Нечетно-четное число, занимающее среднее положение
между предыдущими, делится на две равные части, которые,
в свою очередь, могут быть разделены пополам, но такое
деление не доходит до единицы: к этому классу, следовательно,
относятся числа вида 2*(2т+1), где к>\. Эта
классификация Никомаха отличается от предложенной Евклидом
(«Начала», книга VII, определения 8—11), который рассматривал
только четно-четные и четно-нечетные числа. В предложении
34 книги IX он говорит, что если четное число не является
степенью 2 и не имеет нечетной половины, то оно относится
одновременно к обоим указанным классам. Никомах выделил
эти числа, назвав их нечетно-четными, и устранил тем самым
неточность, допущенную Евклидом.
Числа первого класса образуют геометрическую
прогрессию, а второго — арифметическую («в натуральном
52

ряду четно-нечетные числа стоят друг от друга на
четвертом месте»).
В ряду четно-четных чисел произведение двух внешних
членов равно произведению двух внутренних, если
количество чисел между ними четно, и квадрату среднего, если это
количество нечетно. Например, 2, 4, 8, 16, где 2- 16=4-8 или
2, 4, 8, где 2«8=42. Четно-четные числа имеют то свойство,
что сумма крайних равна удвоенному среднему, если
количество чисел в ряду между ними нечетно, и равна сумме двух
средних, если это количество четное; например, 2, 6, 10, где
2+10 = 2-6, или 2, 6, 10, 14, где 2+14 = 6+10.
Числа третьего класса получаются умножением ряда
нечетных чисел (3, 5, 7, 9,...) последовательно на числа
первого класса (т. е. на 4, 8, 16, 32, ). Если получающиеся при
этом ряды чисел подписать друг под другом, то
обнаруживается следующее: горизонтальные ряды имеют указанные
свойства четно-нечетных чисел (например, 36+20 = 2-28 и
12 + 36 = 20 + 28), вертикальные — четно-четных чисел
(например, 12-48 = 242 = 576 и 12-96 = 24-48=1152).
Следует отметить, что в этом разделе Боэций
пользуется термином «знаменование» (denominatio), который
впоследствии получил широкое распространение в
европейской математике, выражая числовое значение
рационального, а позднее — иррационального отношения (см.
ниже).
Нечетные числа, рассматриваемые в главах 13—18, также
подразделяются на три класса: 1) первые и несоставные (т. е.
простые); 2) вторые и составные; 3) те, которые сами по себе
являются составными, но по отношению к другим —
простыми. Это подразделение, данное Никомахом, не отличается
логичностью, которая свойственна его классификации четных
чисел.
Простому числу Боэций дает следующее определение:
«Первое и несоставное есть то, которое не имеет никакой
другой части, кроме той, которая знаменуется величиной всего
числа».
В главе 17 излагается метод выбора простых чисел и*
натурального ряда — «решето Эратосфена», в следующей
дан способ нахождения общего наибольшего делителя на
примерах пар чисел: 9 и 29, 9 и 21.
Далее (главы 19—21) вводится иная классификация
четных чисел: 1) совершенные, 2) избыточные, 3)
недостаточные. Совершенное (perfectus) — это число, равное сумме
своих делителей, т. е. п = о(п)\ избыточное (superfluus) —
меньшее суммы делителей п<а(п), например 12 или 24;
недостаточное (deminutus) — большее суммы делителей:
п>о(п) — например 8 и 14.
53

Совершенные числа уподобляются совершенным людям и
помещаются между избыточными и недостаточными, которые
сравниваются с людьми, имеющими врожденные физические
уродства (например, сторукий или одноглазый).
Боэций приводит четыре первых совершенных числа,
известных еще Никомаху: 6, 28, 496, 8128,— и высказывает
неверное утверждение, долго повторявшееся европейскими
учеными: совершенные числа оканчиваются попеременно цифрой
6 или 8. Говоря далее о происхождении этих чисел, Боэций
формулирует доказанную Евклидом («Начала», книга IX,
предложение 36) теорему о том, что число вида 2n~l (l +
+ 2 + 22 + + 2"-1) = 2""1 (2* - 1), где Т - 1 - простое,
есть совершенное число. Разъясняется это утверждение на
примерах 28 и 496. Далее следует рассуждение о том, что
совершенным числом следует назвать также единицу.
Следующий раздел (главы 21—32) первой книги
посвящен «величине, отнесенной к другой». Если раньше величина
рассматривалась сама по себе, то здесь она дается в
отношении к другим величинам. Это отношение бывает двоякого
рода: отношение равенства и отношение неравенства.
Последнее может быть большим и меньшим.
Вслед за Никомахом Боэций рассматривает пять видов
большего неравенства:
1) кратное (multiplex)—если большее из двух чисел
содержит в себе меньшее более одного раза;
2) превышающее на долю (superparticularis) — если
большее число содержит в себе меньшее один раз целиком и
еще одну его долю, т. е. отношение их можно выразить
п Л- 1 1
как —-— = 1 + — Некоторым отношениям даны особые
названия: например,— — sexquialter,-|—sexquitertiusHT^.;
3) превышающее на доли (superpartiens) — если большее
число содержит меньшее один раз целиком и еще несколь-
m 9 4
ко его долей, т. е. 1+ — , например, 1 + -j-, 1 + ~4-
4) кратное, превышающее на долю (multiplex
superparticularis) — если большее число содержит меньшее более
одного раза целиком и еще одну его долю, т. е. тп-\
например, 2 + -L, 2 + -±-;
54

о) кратное, превышающее на доли (multiplex superparti-
ens), если большее число содержит меньшее более одного
раза целиком и еще несколько его долей, т. е. & + —.
Соответственно вводятся и виды меньшего неравенства.
Боэций разъясняет свои определения с помощью примеров и
числовых таблиц.
В заключительной главе первой книги доказано, что все
виды неравенств возникают из равенства. Это доказательство
проводится по следующей схеме:
1 1 1...
1 2 4...
1 3 9...
1 4 16...
В первом ряду — три равных числа; во втором и др.
последовательно — первое число предыдущего ряда, сумма первого
и второго, сумма первого, удвоенного второго и третьего и
т. д. Полученные числа находятся в последовательных
кратных отношениях.
Если затем взять ряд удвоений 4, 2, 1, то, применяя тот
же закон, получаем ряд чисел 4, 6, 9, члены которого
находятся между собой в отношении l-^-; из ряда утроений 9,
3, 1 получается ряд чисел 9, 12, 16, находящихся в
отношении 1у И Т. Д.
Вторая книга состоит из 54 глав. Она начинается с
аналогичного предыдущему рассуждения о том, что все
неравенства могут быть сведены, как к первоначальному, к
отношению равенства, а затем, исходя из рядов кратных, находятся
числа, стоящие в одноименном отношении. Например,
таблица
12 4 8 16 32
3 6 12 24 48
9 18 36 72
27 54 108
81 162
243,
каждый член которой ап m=anm__l + an_h m_v где п -
номер столбца, т — номер строки, содержит числа, нахо
CL 1
дящиеся между собой в отношении ——— = 1-тт- .
55

Страница из арифметического трактата Боэция (изд. 1488 г.).
Главы 4—39 посвящены теории многоугольных чисел. В
современных обозначениях т-е /t-угольное число р™ есть
сумма т членов арифметической прогрессии с первым чле-
1 о т (п — 2) та — (п — А)т
ном 1 и разностью п—-2, т. е. рп =-^ —^— —
Боэций вслед за Никомахом дает определение различных
многоугольных чисел и устанавливает взаимоотношения
между ними. Если расположить ряды этих чисел последовательно
друг под другом, т. е. составить таблицу:
56

p3 1 3 б 10 15 21 28 26 45 55
pk 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
ръ 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145
Ръ 1 б 15 28 45 66 91 120 153 190
p-t l 7 18 34 55 81 112 148 189 235,
то оказывается, что каждое многоугольное число
равно сумме предыдущего с тем же номером и треугольного
числа с номером, на единицу меньшим; другими
словами,
Рп -Pn-i +Рг
Например, 35 = 25 + 10, 34 = 28 + 6.
Далее оказывается, что каждый вертикальный ряд этой
таблицы образует арифметическую профессию с разностью,
равной предыдущему треугольному числу, т. е.р^—р™'1
= р™~1 например, 28-22 = 6, 22 — 16 = 6 и т. д.
Начиная с главы 20, Боэций рассматривает телесные
числа. Простейшим телом он считает пирамиду, и поэтому
прежде всего определяет пирамидальные числа: как
многоугольные числа получаются из суммирования простых
арифметических рядов, так пирамидальные возникают из
суммирования последовательных многоугольных чисел.
При сложении треугольных чисел возникает пирамида с
треугольным основанием и с единицей в вершине, при
сложении квадратных чисел — пирамида с квадратным основанием
и т. д. Другими словами, т-е п-уголъное пирамидальное
число
Рт — п1 _i_ r,2 _i_ _±_ „т
Ип "Рп +Рп+ +Рп'
Если складывать члены ряда, начиная с большего, и не
дойти при этом до р\ — 1, то получается усеченная
пирамида.
Кроме пирамидальных, вводятся и другие телесные числа,
отличающиеся друг от друга в зависимости от того, равны
или не равны три «измерения», т. е. сомножителя данного
числа.
Возможно несколько случаев:
I. если три измерения числа равны, то это — кубическое
число тъ;
II. если все три измерения не равны, то это — косое или
клинообразное число;
III. если из трех измерений числа к = а-Ь-с два равны,
т. е. а = Ь = т, то:
57

1. если третье измерение меньше, т. е. с = т—п, м>0, то
это число «кирпичеобразное», имеющее вид т2(т—м),
2. если третье измерение больше, т. е. с = т + п, м>0, то
это число «балкообразное», имеющее вид т2(т + п).
Боэций, как и Никомах, выделяет еще «прямоугольные»
числа (altera parte longior), длина и ширина которых
отличаются на 1, т. е. имеющие вид m(m+l), и «продолговатые»
(numeri ablongi), длина и ширина которых отличаются
больше, чем на 1, т. е. имеющие вид т(т + п), где п>1. Как
квадратным числам соответствуют кубические, так
прямоугольным — параллелепипедовидные m2(m+l).
Числа, оканчивающиеся цифрами 1, 5 или 6 и имеющие
то свойство, что все их степени всегда оканчиваются теми же
цифрами, названы «круговыми» или «шарообразными».
Следуя Никомаху, Боэций уделяет много внимания
сравнению квадратных, прямоугольных и продолговатых чисел,
между которыми существуют определенные соотношения.
Так, из таблицы, в верхнем £яду которой стоят
квадратные, а в нижнем — прямоугольные числа
п* 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
n(n-fl) l 6 12 20 30 42 56 72 90 110,
следует:
1) нижние члены находятся к верхним в отношении,
«превосходящем на долю»;
2) разность между нижними и верхними членами
постоянна и равна п;
3) каждый член нижнего ряда есть среднее
геометрическое между соответствующим ему и следующим членами
верхнего ряда;
4) разности квадратных чисел дают ряд нечетных, а
разности прямоугольных — ряд четных чисел;
5) сумма двух последовательных членов верхнего ряда
вместе с удвоенным членом нижнего, стоящим под первым из
них, есть квадратное число; сумма двух последовательных
членов нижнего ряда вместе с удвоенным членом верхнего,
стоящим над первым из них, есть также квадратное число, т. е.
п2 + (п + I)2 + 2п(п + 1) = (2/i + I)2, п(п+1) + (п+\)(п +
T2) + 2(/i+l)2 = 4(/i+ 1)2;
6) если суммировать попарно члены обоих рядов: первый
член верхнего с первым членом нижнего, затем первый член
нижнего со вторым членом верхнего и т. д., то получится ряд
треугольных чисел: 1+2 = 3, 2+4 = 6, 4 + 6=10,
7) каждое квадратное число, будучи увеличено или
уменьшено на его корень, дает прямоугольное число — т. е. п2±п =
= п(п± 1),— и обратно.
В конце этого раздела утверждается, что в каждой
геометрической прогрессии, начинающейся с 1, члены, стоящие
58

на нечетных местах,— квадраты. Если написать ряд
нечетных чисел, начиная с 1, то первый член есть куб, сумма двух
следующих — второй куб, сумма трех следующих — третий
и т. д.
В последнем разделе (главы 40—54) сочинения Боэция
речь идет о десяти видах пропорций. Отношение определяется
по Никомаху как взаимное положение или зависимость двух
выражений. Помимо трех основных пропорций —
арифметической, геометрической и гармонической, рассматривается
еще семь видов, описанных Никомахом:
арифметическая
геометрическая
гармоническая
четвертая
пятая
шестая
седьмая
восьмая
девятая
десятая
а -
а
а
а
Ь
а
а
а
Ь
Ь
-b=c-d
b = с d
с=(а- b): (b
с = (b — с): (а -
С = (Ь — С) : (Я -
b = (b — c):{a-
с = (а - с):(Ь -
с= (я — с):(а-
с = (a — c)i(b -
с = (a-c)i(a -
-с)
-Ь)
-Ь)
-Ь)
-с)
-Ь)
-с)
-Ь).
Подробно обсуждаются свойства трех первых пропорций,
особенно для случаев их непрерывности. Так, для членов
непрерывной арифметической пропорции а—Ь = Ь—с справедливо
соотношение Ь2—ас=(а—b)2=(b—с)2, для членов
непрерывной геометрической пропорции а Ь = Ь с соотношение
(а—b) (Ь—с)=а b = b с. Последнее верно и в общем
случае, т. е. если a b = c d, то (а—Ь) : (с—d)=a : c = b : с.
Формулируется теорема, доказанная Евклидом в книге VIII
«Начал» (предложения 11 и 12)* между двумя квадратными
числами имеется только одно, а между двумя кубическими —
только два средних геометрических.
Гармоническая пропорция привлекает особое внимание,
ибо применяется в музыке. Ей свойственно соотношение
(а + с) Ь = 2 ас. Гармоническое среднее проявляется в кубе:
он имеет 12 сторон, 8 углов и 6 боковых поверхностей; числа
же 12, 8, 6 находятся в гармонической пропорции.
Если записать числа а, Ь, с в порядке уменьшения, то для
арифметической пропорции справедливо a:b<b с, для
гармонической а: b>b с, для геометрической, находящейся
между ними,— a:b = b с.
Утверждается, что между двумя числами, четными или
нечетными, всегда могут быть найдены три числа так, что
каждое из них составляет с двумя данными одну из трех первых
пропорций.
В заключение (глава 54) рассматривается
«совершеннейшая средняя»: если для двух данных чисел найти две средние
так, что одна из них образует с двумя крайними
арифметическую, а другая — гармоническую пропорцию, тогда все
59

четыре числа образуют геометрическую пропорцию,
например, числа 12, 9, 8, 6. В общем виде: если даны числа а и Ь,
a + b . 2ab
—~ средняя арифметическая, т—средняя
гармоническая, то числа а,
а+ b 2ab
находятся в геометрической
' a-Yb
пропорции. Аналогично рассматриваются два других случая.
Иными словами, если имеют место два указанных условия, то
всегда есть и третье.
Кассиодор в трактате «О семи науках» (De septem disci-
plinas)1), подразделяя науки на «тривиум» и «квадривиум»,
определяет математику [198, стр. 424] как «науку, которая
рассматривает абстрактную величину», т. е. величину, «которая
мысленно отделяется от материи или от другого случайного».
Математика включает в себя арифметику, музыку, геометрию
и астрономию, причем арифметика является первым
разделом, потому что другие науки «нуждаются в арифметике,
чтобы иметь возможность разъяснить свои преимущества»,
тогда как арифметика не нуждается ни в одной из них [198,
стр. 425]. Цель арифметики Кассиодор видит в «изучении
природы абстрактных чисел и того, что им присуще, например,
четности, нечетности и т. д.» (там же).
Число, определяемое как «соединение монад», вслед за
Никомахом рассматривается с четырех точек зрения.
Приводим классификацию чисел Кассиодора в виде схемы, которая
впоследствии дается почти во всех сочинениях
арифметического содержания вплоть до XVI в.
Первое подразделение чисел:
число
четное
нечетное
четно-четное;
четно-нечетное;
нечетно-четное;
первое, или простое;
второе, или составное;
третье — среднее,
которое с одной стороны
является простым, а с
другой — составнымЗ)
Второе подразделение:
число
четное
нечетное
избыточное;
недостаточное;
совершенное
1) Ссылки даны по изданию 1589 г. [198].
2) Т. е. взаимно простые числа.
60

Третье подразделение:
кратное число;
превышающее на долю;
превышающее на
„доли";
кратное, превышающее
на долю;
кратное, превышающее
на „доли" (аналогично
для соотношения
„меньше")
Четвертое подразделение:
{дискретное
Г линейное;
непрерывное < плоское;
I телесное.
В последнем подразделении фигурируют «дискретные» и
«непрерывные» числа, которые определяются как
«составленные из дискретных или непрерывных монад»; к непрерывным
относятся, например, треугольные числа [198, стр. 428].
Таким образом, первоначальные сведения по
теоретической арифметике, которыми располагала Европа до XII в., не
выходили за рамки, установленные Никомахом.
В некоторых арабских сочинениях, переведенных в XII в.
на латинский язык, излагались результаты, полученные
математиками Ближнего и Среднего Востока в области
теоретической арифметики. Как мы показали ранее [82, стр. 110—
127], в главном восточные авторы следовали за Никомахом,
а поэтому суть их учения была знакома европейцам по
Боэцию.
Однако в трактовке основных понятий у восточных
математиков наблюдался некоторый сдвиг под влиянием
практической арифметики. Прежде всего это касается понятия
дроби, которое у Евклида и Никомаха не фигурировало, а
было заменено понятиями «части» («доли») и «частей»
1 m
(„долейа), соответствующих дробям вида— и— В
арабской литературе произошло сближение этих понятий [82,296].
Тенденция эта отразилась, например, в переведенном
Герардо Кремонским анонимном алгебраическом трактате
(отрывок опубликован Б. Бонкомпаньи в 1851 г. [154], т. е.
в одном из ранних математических сочинений, получивших
распространение в Европе. Трактат начинается следующими
определениями: «Единица есть начало чисел и не есть число.
Число же — собрание единиц. Как всякое число есть кратное
единицы, так и она есть кратное своей доли, знаменующейся
им (т. е. этим кратным —Г. М.). Например, как тройка есть
( рассматриваемое
I само по себе;
| рассматриваемое
1 по отношению к
I другому
не равное другому;]
равное другому |
61

трехкратное единицы, так единица — трехкратное своей
третьей части, знаменующейся тройкой. Отсюда необходимо
следует, что так же, как единица порождает бесконечно много
кратных, так же она порождает бесконечно много долей...»
[154, стр. 28].
Здесь мы снова встречаемся с понятием «знаменования»
(denominatio): число т является «знаменующим» для доли
—. По-видимому, Герардо Кремонский воспользовался здесь
термином, введенным Боэцием и ставшим к этому времени
вполне обычным.
Наиболее существенно круг рассматривавшихся
теоретико-числовых вопросов расширился после знакомства с
восточными сочинениями, содержащими решение задач
неопределенного анализа. Свидетельство этому мы находим в
сочинениях Леонардо Пизанского и Иордана Неморария,
сыгравших видную роль в истории теории чисел.
В четвертой главе «Книги абака» Леонардо коротко
разъясняет основные понятия арифметики Никомаха и указывает
три первых совершенных числа (6, 28, 496). Простые числа он
называет «числами без правил» (numeros sine regulis) и
утверждает, что у арабов они назывались hasam. Это
указание неверно, так как термин «аоам» ( ^.с — глухой)
в арабской математике обозначал иррациональную величину»
простое же число называлось «первым» ( J^Vf — ал-ав-
вал), как у Никомаха («numerus primus»). Здесь же на
полях приведен список двадцати одного простого числа от 11
до 97
Далее дается таблица разложения составных чисел от
12 до 100 на простые множители и разъясняется способ
нахождения множителей произвольного большого числа.
Сформулированы признаки делимости на 2, 3, 5, 9 исходя из
конечных цифр числа и суммы значений его цифр. Делимость
чисел на 7, И, 13 и т. д. устанавливается путем проб.
Правильность разложения на множители проверяется с помощью
правила 9 или И, широко применявшегося в восточной
математике.
Двенадцатая глава «Книги абака» включает словесную
формулировку правил суммирования числовых рядов, в
частности, арифметической и геометрической прогрессий, ряда
квадратов и возвратного ряда. Суммирование геометрической
прогрессии показано на примере задачи о шахматах, ранее
хорошо известной восточным ученым. Сделана ссылка на
«Книгу квадратов», где эти вопросы Леонардо
рассматривает более подробно.
В «Книге абака» много внимания уделено и решению
неопределенных уравнений. Группа задач такого рода довольно
62

многочисленна [123, стр. 368—371]. Некоторые из них сходны
с задачами из «Арифметики» Диофанта; их Леонардо мог
заимствовать либо у византийских математиков, либо из
арабских сочинений (например, из «Ал-Фахри» ал-Карад-
жи [481]).
Рассматривая некоторые «невозможные» задачи,
связанные с решением линейных уравнений, Леонардо впервые в
европейской математике трактует отрицательные числа как
«долг» (ср. [84]).
К области теоретической арифметики может быть
отнесена также задача об определении числа, кратного 7,
которое, будучи разделено на 2, 3, 4, 5, 6, дает в остатке 1; она
встречалась ранее у Ибн ал-Хайсама. Решением задачи
является число 301; другие решения получаются прибавлением
кратного 420.
Здесь же решается знаменитая задача о кроликах,
приводящая к рекуррентному ряду. Сколько пар кроликов
получится от одной пары в течение года, если природа кроликов
такова, что начиная со второго месяца жизни, через каждый
месяц пара кроликов производит на свет другую пару?
Решение дается суммой ряда 1 + 2 + 3 + ... + 377, каждый член
которого, начиная с третьего, находится по правилу:
un+l=nn + un_v Числа этой последовательности, известные
сейчас под названием «числа Фибоначчи», обладают многими
интересными свойствами, исследование которых породило
обширную литературу [37].
Древнюю историю имеет и широко известная задача о
7 женщинах, идущих в Рим, у каждой из которых по 7 мулов,
каждый несет 7 мешков, в каждом мешке — 7 хлебов, в
каждом хлебе 7 ножей, каждый из них в 7 ножнах; требуется
определить общее число предметов. Эта задача впервые
встречается в древнеегипетском папирусе Ахмеса [28].
Кроме названных, можно отметить также содержащееся
в пятнадцатой главе решение в целых числах
неопределенного уравнения x2 + y2 = z2. В отличие от Диофанта,
Леонардо исходит из тройки чисел Ь, с, d, удовлетворяющих условию
*• + «■-*, откуда (-L)' + (-5-)*->» (тУ+(т)!="'-
Свойства квадратных чисел рассмотрены в другом
сочинении Леонардо Пизанского — «Книге квадратов», написанном
в 1225 г. и долго считавшемся утерянным, но открытом и
опубликованном в 1862 г. Б. Бонкомпаньи [346, 347]. Здесь,
в частности, содержится решение задачи, поставленной перед
автором во время публичного диспута с Иоанном Палерм-
ским—нотариусом императора Фридриха II: найти
квадратное число, которое, будучи увеличено и уменьшено на 5, дает
6Э

квадратное число. Леонардо не излагает систематически всех
свойств квадратных чисел, а описывает лишь те, которые
необходимы для решения этой задачи. В частности, доказано,
что
1 + 3 + 5 + 7 4- + (2я - 1) = п\
п(п + \)[п(п + \)] = 6 [12 + 22 +
+ 32+ +{n-\f + n?\,
(2/г - 1)(2/г + 1)[(2/г - 1) + (2/г + 1)] =
=» 12 [I2 + З2 + 52 + + (2/г - З)2 + (2/г - I)2]
и т. п.
Решение задачи, данное Леонардо Пизанским, следую-
/ 5 \2 97
щее: 3-^1 = 11щ; оно удовлетворяет поставленному
условию, так как
11 144 ^-bT44~ [Zl2f
После «Книги квадратов» Леонардо Пизанского в
теоретическую арифметику в числе важных ее разделов вошли
вопросы диофантова анализа. Сам Леонардо познакомился
с ними, видимо, через труды восточных математиков, так
как латинская версия «Арифметики» Диофанта получила
распространение в Европе только в конце XV в. [231]
(впервые латинский перевод был опубликован в 1575 г. [230], а
греческий текст—в 1621 г. Баше де Мезириаком).
Важную роль в развитии теоретической арифметики в
Европе сыграл трактат Иордана Неморария «Арифметика»
(впервые издан в Париже в 1496 г.1) [324], также представля-
щий собой исследование свойств целых чисел. Эта работа во
многом отличается от сочинений Леонардо и от служившей
автору образцом «Арифметики» Боэция. Хотя Иордан
ссылается на «божественного Аниция», как на авторитет, уже
]) Это издание, которым мы пользуемся, как и следующее (1514 г),
осуществил Жак Лефевр (J. Lefevre, латинизированная форма Faber
Stapulentis 1445—1537 гг.), который добавил при этом некоторые новые
предложения с доказательствами [192]. Г. Энестрём [257] писал о
необходимости определить по рукописям, какие доказательства принадлежат
самому Иордану и о желательности исследования комментария Кампано
к этому сочинению. Насколько нам известно, решением поставленного
вопроса не занимался никто.
64

оглавление его. труда говорит о некотором отходе
(безусловно, под влиянием восточных сочинений по теоретической
арифметике) от традиции Никомаха.
Изложению предшествует ряд определений (числа,
натурального ряда, разности, произведения, доли, частного и т. д.),
двадцать аксиом 1) («Доля всякого числа меньше целого»,
«Равные одному и тому же равны между собой» и т. д.) и
шесть постулатов2) (например: «Ряд чисел может быть
продолжен до бесконечности»). В книге I, содержащей 31
предложение, доказываются некоторые общие теоремы, например:
«Всякое число является либо долей, либо долями другого»3).
В отличие от Боэция, Иордан Неморарий чрезвычайно
подробно рассматривает теорию числовых отношений, на
которой основывает все дальнейшее изложение. Особое
внимание (книги II, IV, и V) уделяется составным отношениям,
что свидетельствует о непосредственном восточном влиянии,
испытанном автором.
В книге III речь идет о простых и составных числах и,
наконец, в книгах VI—XI — о традиционной классификации
чисел на четные, нечетные, четно-четные, многоугольные,
телесные и т. д., а также о видах отношений неравенства
между числами и о различных средних. Интересно, что
квадратные и кубические числа (книга VI) Иордан Неморарий
определяет с помощью непрерывных пропорций. Он пытается
также доказать ошибочное утверждение (книга VII,
предложения 55—56), что все избыточные числа четны.
Неморарий рассматривает и задачи неопределенного
анализа, например (книга VI, предложение 12), об отыскании
трех квадратов, последовательные разности которых равны
между собой, о построении пифагорейских треугольников по
данным катетам и т. д.
М. Кантор [192, т. II, стр. 56] (как и М. Курце [213])
считал, что главной заслугой Иордана Неморария является
систематическое употребление букв вместо чисел. Правда, он
оговаривал, что отсутствие общности (применение в
отдельных операциях различных букв, так что конечный результат
не выражается с помощью букв, выбранных вначале) и знаков
для обозначения арифметических действий не позволяет
видеть в Неморарий отца буквенного исчисления. Очевидно,
следует согласиться с Г. Эиестрёмом, который показал [237, т. VII,
стр. 85—86], что в том же значении буквы применялись и в
арифметических книгах Евклида, а потому вывод об особой
1) Неморарий называет их термином «dignitas», тогда как у Боэция
они именуются «communes concep«tiones».
2) У Неморария — «petitiones».
3) См. «Начала» Евклида, кн. VII.
55

исторической значимости буквенного обозначения НеМорйрИй
неправомерен. Г Энестрём полагает, что Неморарий
применял евклидово обозначение чисел, но очень часто опускал
изображения линий; по его мнению, можно говорить лишь о
«неудавшейся попытке проложить новый путь».
В XIV в. было написано несколько сочинений по
теоретической арифметике в стиле Боэция. В их числе
«Теоретическая арифметика» Томаса Брадвардина, напечатанная в
Париже в 1495 г. [192, 209, 399], и трактат Жана де Мер (издан
в Вене в 1515 г.), получивший широкое распространение и
долгое время служивший учебником [299, 362].
Диофантов анализ излагался в разделе «Рассуждения об
алгебре» Рафаэль Каначчи [383]. Раздел этот, как и все
сочинение, написан под прямым влиянием Леонардо Пизанско-
го и в особенности его «Книги квадратов», откуда
заимствованы многие задачи.
Математики XV в. уделяли теоретической арифметике не
меньшее внимание, чем их предшественники.
Лука Пачоли в первом разделе своей «Суммы»,
посвященной, главным образом, практической арифметике и
алгебре, рассматривает и ряд вопросов, связанных со свойствами
целых чисел [339]. Прежде всего разъясняется сущность чисел
в пифагорейском философско-мистическом духе; число 5,
например, символизирует пять стихий (землю, огонь, воду,
воздух, эфир). Далее следует подразделение чисел «согласно
геометрическим названиям» на треугольные, кубические и
т. д., а затем «согласно их сущности» — на дружественные
и совершенные.
Как и Боэций, Пачоли сравнивает совершенное число со
здоровым человеком, а несовершенное — с имеющим
врожденный физический недостаток. Он описывает способ
нахождения совершенных чисел и приводит четырнадцать первых,
тогда как у Боэция фигурировали лишь четыре, указанные
ранее Никомахом. Последнее, четырнадцатое совершенное
число (9007199187632128) дано ошибочно [237, т. XIII,
стр. 154—155], так как оно равно (227—1)226, а 227—1 не
является простым числом (его делитель 29—1=7-73).
Вообще, Пачоли исходит из неверного утверждения, что всякое
число вида 1+2+ +22л=22л+1 — 1 является простым. Он
повторяет ошибку Боэция, утверждая, что совершенные числа
оканчиваются попеременно либо на 6, либо на 8.
В разделе II «Суммы» рассматриваются свойства
квадратных чисел со ссылкой на Леонардо Пизанского. Отмечено, что
[а2 + (а + 1)2]2±4а(а+1)(2а+ 1) = [2а± 1 ± 2а(а+1)]2и
более обще (а2 + б2)2 ± \аЬ (а2 - Ь*) = (а2 - V1 ± 2ab).
Как один из основных разделов своей обобщенной науки о
числах рассматривает теоретическую арифметику и Никола
66

Шюке [352, ctp 619—629]. Он дает по образцу Боэция два
подразделения чисел: на четные, нечетные, четно-четные и т.д.
и на совершенные и несовершенные. Разъяснив метод
нахождения совершенных чисел, Шюке приводит семь первых из
них (два — неверно) и отмечает ошибочность утверждения,
что всякое совершенное число оканчивается попеременно либо
на 6, либо на 8.
Среди несовершенных он выделяет дружественные числа
(которых нет ни у Боэция, ни у Неморария), указывая пару
220 и 284.
Большое внимание Шюке, как и Неморарий, уделяет
теории числовых отношений и непрерывных пропорций. Впервые в
истории математики у него встречается оказавшееся столь
плодотворным и приведшее впоследствии к открытию
исчисления логарифмом сопоставление арифметического и
геометрического рядов
1, 2, 3,... п,
а, а2, а3, ап.
Шюке отмечает, что произведение каких-либо двух чисел
нижнего ряда дает член этого же ряда и что сумма их
порядковых номеров, определяющихся членами верхнего ряда, есть
порядковый номер произведения.
О более широкой постановке задач, связанных с
исследованием свойств чисел, свидетельствует и упомянутая выше
мюнхенская рукопись XV в., переписанная монахом
Фридрихом [215]. В ней, наряду с другими арифметическими
предложениями, сформулированы, например, следующие (в
современной терминологии): «Квадрат четного числа всегда
делится на 4»; «Никакой квадрат не может иметь вида 10/г + 2,
10/г + З, 10/г-!-7, 10/г + 8»; «Всякое четное кубическое число
имеет вид 8/г3»; «Всякий квадрат должен иметь вид 7/г+1,
7п+2, 7/г + 4, 7/г или 9/1+1, 9/г + 4, 9/г + 7, 9/2» и т. д.
В этой же рукописи содержится немецкое сочинение о
четных, нечетных, совершенных, избыточных и недостаточных
числах, где приведены правильные значения пяти первых
совершенных чисел: 6, 28, 496, 8128, 33550336. Рассматриваются
также некоторые задачи на геометрические прогрессии и
неопределенные уравнения, например 43 х + 41 =39 # + 33 =
= 35г + 25 = 31 /1+17 [215, стр. 64—67]. Такие задачи,
состоящие в решении системы уравнений по различному модулю,
относятся к наиболее древним задачам и встречаются
впервые в китайском трактате Сунь-цзы [15; 123, стр. 91—93].
Подобных вопросов касались и Леонардо Пизанский и Ре-
гиомонтан.
Вопрос о сущности понятия числа большинством авторов
до XVI в. сводился к формулировке пифагорейского опреде-
67

лепия числа как совокупности единиц. Это определение
фигурирует и в сочинениях по практической арифметике,
например, в «Началах арифметики» Пейрбаха (впервые
опубликовано в 1536 г. [379]), где говорится: «Единица
не есть число, по начало числа. Поэтому она
относится в арифметике к числам, как точка в геометрии — к
величинам».
§ 9. Практическая арифметика
В период раннего средневековья преподавание
практической арифметики в Европе велось по римской традиции и
основными пособиями служили сочинения Беды и Алкуина.
Главное внимание уделялось имеющему древнее
происхождение пальцевому счету, который основан на различном
числовом значении разных загибов пальцев рук [53, 123, 192, 351];
этот вид счета прочно вошел в обиход торговых кругов и
впоследствии разъяснялся в трактатах по практической
арифметике вплоть до XVII в. (Леонардо Пизанский, Лука
Пачоли, Роберт Рекорд и др.).
Правила счета на пальцах изложил Герберт в трактате
хронологического содержания, где впервые встречаются
вошедшие в средневековую математическую терминологию
названия: digiti — пальцевые числа (единицы), articuli —
суставные числа (десятки), compositi — числа, составленные из
десятков и единиц. Например, в изданной во Франкфурте на
Одере в 1557 г. «Арифметике» Лоссия (Luca Lossius) [349],
построенной в форме вопросов и ответов, мы встречаем
следующие определения: «Каким образом подразделяется
число? На пальцевое, суставное и составленное. Что есть палец?
Это число, меньшее десяти, как 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Что
есть сустав? Это число, которое можно разделить на десять
равных частей, как 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Что есть
составленное число? Это то, которое происходит из сустава и
пальца».
С пальцевым счетом связана и ведущая начало от
римской математики популярная формула умножения чисел, не
превышающих 10, встречавшаяся и на Востоке [84]:
afe=10[a— (10 — fc)]+(10 — а) (10 — b).
Обычно в ранних европейских сочинениях числа
изображались римскими цифрами, вычисления с которыми были очень
трудны. Со времени Герберта получил распространение счет
с помощью «абака с колоннами». Средневековый европейский
абак (правила вычисления на нем излагаются в
многочисленных дошедших до нас рукописях [24—26, 35, 123, 192, 283—285,
407]), по сравнению с древним, был значительно
усовершенствован. Вместо камешков, изображавших единицу соответ-
6Я

Страница из сочинения о практической арифметике Луки Лоссия (из.

ствующего разряда и помещавшихся на столбцах счетной
доски, применяли жетоны с записанными на них знаками
(«апексы»), сходными с западно-арабскими цифрами («го-
бар»). Сейчас признано, что апексы послужили первыми
проводниками «индийской» нумерации в Европу.
Введение так называемых арабских цифр, начавших с
конца X в. постепенно вытеснять римскую нумерацию, имело
громадное значение для развития математики в Европе.
История современных цифр порождает многочисленные
вопросы, на которые различные авторы дают зачастую
противоречивые ответы. Это касается прежде всего вопроса о том,
в какой зависимости находится форма наших цифр от формы
индийских, восточно- и западноарабских цифр. Не
останавливаясь ни на этой, ни на других такого рода проблемах,
чрезвычайно подробно освещенных в литературе [7, 19—24,
53, 72, 123, 192, 300, 354, 409, 485], отметим лишь, что новая
нумерация и основанная на ней арифметика достаточно
быстро распространилась в европейских государствах [43, 64,
125, 293, 299, 488].
Однако римская нумерация укоренилась весьма прочно,
так что и после введения арабских цифр операции с числами,
записанными в новой системе, долго разъяснялись с помощью
римского обозначения [300J; так, в Германии даже в начале
XVII столетия числа в учебниках часто записывали словами
или римскими цифрами, а вычисления производили, применяя
арабские цифры [339].
С новой арифметикой в Европе познакомились
благодаря переводам арабских сочинений, которые, начиная с XII в
основательно изучались и постепенно приобретали
популярность не только в ученых, но и в торговых кругах. Наиболее
важную роль в пропаганде восточных методов счета сыграли
латинские переводы и обработки трактата ал-Хорезми
«Об индийском счете» [106], впервые появившиеся в Европе
еще в середине XII в. Новую арифметику стали называть
именем ал-Хорезми в латинизированной форме: «алгоритм»,
или «алгорисм»1); внедрение ее проходило в борьбе между
се сторонниками, так называемыми «алгорисмиками», и
приверженцами старых вычислительных приемов «абаци-
стами».
Серьезным препятствием распространению индийской
арифметики была необходимость производить вычисления на
1) Для обозначения искусства вычислений в ранний средневековый
период применялось, слово «computus»; со времен Герберта в том же
смысле употребляли термин «abacus». Долго считалось, что
происхождение слова «алгормем» вскоре было забыто, однако, как показал К. Хун-
пат [322], в одном из сочинений XVI в. говорилось, что «искусство
счисления» названо по имени «философа Алгорисма».
70

бумаге, что предполагало большую или меньшую степень
грамотности вычислителя. Грамотность же была явлением
относительно редким: искусством письма владело, главным
образом, духовенство.
Сейчас известно несколько рукописей XII в., в которых
излагаются правила «алгорисма». К ним относится прежде
всего рукопись латинского трактата «Книга Алгорисма о
практике арифметики» («Liber Algorismi de pratica arismet-
rice», принадлежащего, очевидно, Иоанну Севильскому;
она была опубликована Б. Бонкомпаньи [155, ч. II].
Возможно, Аделардом из Бата написано сочинение «Книга введения
Алхоризма в астрономическое искусство, составленная
магистром А.», существующая в настоящее время в трех
рукописях XIII в. [220, 329, 361]. К XII в. относится перевод
арифметического трактата ал-Хорезми «Algorithmi de numero
indorum», выполненный также Аделардом из Бата;
сохранилась единственная рукопись этого перевода, относящаяся к
XIII в. которая находится в библиотеке Кембриджского
университета [105; 155, ч. I: 3291. Примерно в 1200 г. написан
трактат (подробно см. [121, 123, 3291), начинающийся
словами «Incipit liber al^orismi», который был опубликован М.
Кантором в 1865 г. [190].
Помимо этих переводов и обработок арабских сочинений,
в XII в. появились и трактаты по «алгорисму», написанные
европейскими учеными: среди них — трактат Окреата
(N. O'Creat), известный сейчас в отрывках [314].
Из сочинений XIII в. наиболее широкое распространение
(особенно в Италии и Франции) получил «Tractatus de arte
numerorum» Сакробоско [192, 218]. В нем разъясняются
правила действий с целыми числами, но без доказательств и
примеров. Рассматривается шесть арифметических операций:
нумерация (numeratio), сложение (additio), вычитание
(subtracts), раздвоение (mediatio), удвоение (duplatio),
умножение (multiplicatio), деление fdivisio), суммирование чисел
натурального ряда и рядов четных и нечетных чисел (prog-
ressi), извлечение квадратного корня (extractio). Такое
подразделение стало традиционным в арифметических
сочинениях вплоть до XVI в.
Большой популярностью пользовался латинский трактат в
стихах Александра де Вилелье «Песнь об алгорисме»
(«Carmen de algorismo») [123. 1921. который уже в XIII в. был
переведен на французский язык [357]. Известен также ряд
анонимных сочинений [192, 315).
Однако наиболее важное место в истории европейской
арифметики занимают сочинения Леонардо Пизанского,
Иордана Неморария и трактат «Разъясненный алгорисм»,
существующий в многочисленных списках.
71

«Книга абака» Леонардо Пизанского явилась первым
сочинением, в котором последовательно и с исчерпывающей
полнотой излагалась «индийская» арифметика целых и
дробных чисел. Мы отметим лишь основные вопросы, затронутые
в этом широко известном сейчас и исследованном многими
историками математики труде (в частности, оно подробно
рассматривается в курсе истории математики М. Кантора
[192, стр. 10—40] и в книге А. П. Юшкевича [123, стр. 363—
376]) Особое внимание «Книге абака» уделяется потому, что
она оказала прямое воздействие на более поздние
европейские сочинения по практической арифметике.
В первой из 15 глав «Книги абака» речь идет о «числовых
знакак индийцев». Цифры у Леонардо при разъяснении
записи чисел в десятичной позиционной системе счисления с
нулем располагаются по арабскому образцу — справа налево:
«Девять индийских знаков суть: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С
помощью этих знаков и знака 0, который по-арабски
называется цефир (zephirum)1), можно написать любое число».
В этой же главе разъясняются приемы пальцевого счета,
приводятся таблицы сложения и умножения.
Следующие четыре главы содержат описание операций с
целыми числами и способа записи дробей и смешанных чисел.
В случае смешанных чисел, как и в арабском написании,
целое число ставится справа, а дробь — слева, но
произносятся вначале целые, а затем дроби.
Подробно разъясняется правило проверки результата
арифметических действий с помощью 9; оно доказано в
общем виде на линиях, обозначенных буквами.
В главах 6 и 7 рассмотрены действия с дробями,
сопровождаемые многочисленными примерами. Смешанные числа
при перемножении обращаются в дроби, числители которых
перемножаются, и произведение делится последовательно на
их знаменатели. Излагается метод нахождения общего
наибольшего делителя со ссылкой на Евклида.
Особенного внимания заслуживает предложенный
Леонардо Пизанским способ приведения дробей к общему
знаменателю: впервые было разъяснено, что этим общим
знаменателем должно быть не произведение данных
знаменателей, а их общее наименьшее кратное. Вообще у Леонардо
Пизанского, как и у его восточных предшественников,
дробные и смешанные числа при арифметических действиях
(включая деление) сначала приводятся к дробям с равными
знаменателями, а дальнейшие операции производятся
только над числителями; так,
]) Ноль по-арабски обозначается словом ас-снфр (^..LoJf) ,т. е.
пустой. В Европе термин «цифра» долго применялся в этом значении.
72

например,
ас аа be , ,
b d bd bd '
r9o^i 171_17 149 1581 _ 47 149
°^ 90 [/ JO ~~ 90 90 " 1581
При изложении учения о дробях особенно сказывается
арабское влияние; это касается прежде всего раздела главы
7, в котором идет речь о разложении данной дроби на
сумму основных дробей (ср. [84, 123]) Леонардо приводит
таблицу, содержащую разложение дробей с знаменателями 6,
8, 12, 20, 24, 60, 100. Далее даны общие правила, которые
можно выразить в современных обозначениях так: —— =
1 , 1 .а+1 1 , 1 , 1
п ' п(па — 1)' па+ 1 па- I ' п ' п(па — 1)
2а+ 3 1 1 1
(2/i+l)(2a+l)-l ~~" 2/1+1 г (2/1 +1)в+л ^ (2/i + 1)[(2/i+ 1)(2а+1)-1 j
а
Следующее правило касается разложения дроби -^-,где
b > а и ma<b <(m+l)a; тогда — > — > yyj, -|-
1 . a(m + l) — b
= ^ГП + ~Л (ir+if" и лалее - аналогично.
Последний и, по мнению М. Кантора [192, т. II, стр. 12],
практически наилучший способ разложения дроби — на
сумму основных дробей заключается в нахождении числа с,
имеющего достаточно много делителей, для которого -j- <
< с < 26. Рассматривается дробь — = -с' — ( так как а>2,
^ Ь . , \ а е , ас— be ^ 1
с>-2-У то ас>Ь\; тогда -у = — Н ^—,гдее>1.
При помощи приводимой Леонардо таблицы и на основе
того, что у сесть делители, е представляется в виде
требуемой суммы единичных дробей. Аналогично предыдущему
поступают со вторым слагаемым.
В следующих шести главах (8—13) излагаются
основанные на применении пропорций правила решения задач, встре-
73

чающихся в практической жизни, главным образом, в
торговле. Прежде всего на многочисленных примерах с весами и
длинами в различных единицах измерения, видами монет и
т. д. разъясняется так называемое «простое тройное
правило», основанное на применении пропорций: даются два
числа — количество товара и его стоимость, а также третье,
которое может означать как количество товара, так и
денежную сумму; ищется четвертое число. Это правило, как и
другие из «Книги абака», неизменно излагалось позднее в
учебниках коммерческой арифметики под названием
«цепного». Леонардо применяет название «figura cata» или «chata»,
представляющее собой транскрипцию арабского термина
«шакл ал-катта» (подробнее см. ниже).
Далее рассматриваются задачи на правила трех, пяти,
девяти и больше величии, также имеющие восточное
происхождение (они рассматривались, например, в трактате
ял-Бируни «об индийских рашиках» [17, 123]) и основанные,
как и предыдущие, на теории составных отношений.
В главе 10 изложено «правило товарищества» (если
известны денежные суммы, внесенные отдельными
вкладчиками, требуется разделить прибыль пропорционально доле
каждого), а в главе 11 решаются задачи на смешение монет;
эти вопросы близки к предыдущим.
Наибольшая по объему и наиболее важная с точки зрения
Леонардо Пизанского глава 12, помимо суммирования
числовых рядов, содержит большое число задач на «правило
одного ложного положения», или «простое фальшивое правило»,
также сводящееся к вычислению с помощью пропорции. Оно,
как и многие другие практические правила, имеет древнее
происхождение, встречается в вавилонской и египетской
математике и с полной ясностью описано в индийской, а затем
в арабской математической литературе [123, стр. 131—134}.
Его разъясняет, например, Коста ибн Лука (X в.), указывая
случаи, когда решение возможно [431]. С помощью этого
правила решаются задачи, которые сводятся к уравнению
охЛ-с = Ь или чаще ах = Ь\ если в качестве «ложного
положения» принять х = хи то ахх-\-с = Ь\ и решение дается формулой
, Ъ—Ъх I Ь \
х = х1+-т±-^ или х = хх-^у
Правило «ложного положения» применено у Леонардо
Пизанского, например, при решении следующей задачи:
«Требуется найти высоту дерева, у которого под землей находятся
"з" и -j- эт°й высоты, в сумме дающие 21 пядь" В
качестве „ложного положения" берется общий знаменатель дан-
74

12 12
ных дробей 12. Тогда -д—|—^- = 7, а по условию должно
7 1?
быть 21. Составив пропорцию "оТ = Ж ' П0ЛУЧИМ> что
искомая высота есть 36 пядей.
Другая задача, решенная с помощью этого же правила,
касается представления данного числа в виде суммы трех,
четырех или пяти слагаемых, находящихся между собой
в постоянном отношении. Например, если число 10
требуется представить в виде суммы четырех частей такого рода, то
ч*
Чертеж к задаче из „Liber abaci"
Леонардо Пизанского.
вначале берутся числа 1, 2, 4, 8, находящиеся в постоянном
отношении, хотя для них 1+2 + 4 + 8=15 вместо 10. Посколь-
10 2 2 4 8 16
ку "is" ~ "з~' искомые числа суть -у , -3-, -^-, -j-.
Более сложна задача, предложенная Леонардо, по его
словам, неким учителем (магистром) в Константинополе и
известная раньше арабским авторам: если один человек
получит от другого 7 динариев, то он окажется владельцем
суммы, в 5 раз большей; если же второй возьмет у первого
5 динариев, то у него окажется сумма, в 7 раз большая, чем
у первого.
Леонардо решает задачу, иллюстрируя ее приводимым
на этой странице чертежом. Пусть прямые ag и gb
изображают соответственно капиталы первого и второго, a ab — их
общий капитал. Пусть также прямая gd изображает 7, а
прямая eg — 5 динариев. Тогда, по условию, ad = 5db, eb = 7ae,
откуда видно, что db составляет шестую, а ае—восьмую часть
от общей суммы. Поэтому dbA-ae — -^- + -g- от общей
суммы, a ab — {db + ае) — eg -\- gd = 5 + 7 12. Далее
применяется правило „ложного положения": если
предположить, что сумма равна общему наибольшему делителю
знаменателей, т. е. 24, тогда —+— от нее есть 7, что,
будучи отнято от нее, дает 17 вместо 12; исходя из этого,
75

12 14 12 2
нужно положить <tfft = -j^-x4 = 2-p=- , ae = ^r=- X 3 = 2-у=-
откудаа£ = 2-^ + 5 = 7^,^ = 2-£ + 7 = 9Ji .
Дается и другое решение рассматриваемой задачи с
помощью «правила, которое называется прямым и которое
применяли арабы»; оно состоит в решении уравнения 1-й
степени, где за неизвестную принята db. В современных
обозначениях: если db = x, то, так как eg + gd=\2 и, по условию,
eb = 7 ae, ae = ad—ed, оказывается, что х+12 = 7(5*—12),
14
откуда 34 х = 96, х = 2 -yf
Леонардо называет неизвестную термином res (вещь),
который является переводом арабского слова аш-шай (,Ajf)
применявшегося в том же смысле.
Далее в главе 12 рассматриваются неопределенные
уравнения 1-й степени, о которых шла речь выше.
В главе 13 излагается правило «двойного ложного
положения», которое было известно еще в Древнем Китае [14, 41]
и фигурировало в арабской математической литературе
[82, 123, 431] как „правило двух ошибок" (ал-хата4ин—uUcJI);
арабское название этого правила в латинизированной
форме („Regula elchatayn") применяет Леонардо Пизанский,
хотя было известно и другое название: „способ избытка и
недостатка" Правило служит для решения уравнения вида
ах + с = Ь. Неизвестной даются два „ложных" значения xt
и х2% откуда ахх + с = b + еи ах2 + с = b + е2, где et и
е2 — возникающие при этом ошибки. Отсюда**~* = -^- , а
следовательно, х =
Х<2, — X €<%
ххе» — x^i
e<2-ei
Глава 14 содержит описание способов приближенного
извлечения квадратного и кубического корня, которые также
ранее применялись в арабских сочинениях. Эти правила
разъясняются только на числовых примерах. В общем виде
извлечение квадратного корня
У А где а2 <А <С(а + I)2, проводится по следующей схе-
ме: первое приближение есть а, второе а-\—^—, третье
, ч . Л — а2 (А — а2)2
(дальше которого автор не идет) а -\ ^ 4дМ + д2) "ап"
ример, /92 7435 ~ 963+ ^ - ( ggj )* [2 (963+^jj
76

Второй метод извлечения квадратного корня основан на
предварительном умножении и делении числа, стоящего под
корнем, на четную степень 10; например, |^7234 =
= щ X /72340000"— щ -8505 4"
Далее излагается в общих чертах теория квадратичных
иррациональностей Евклида по книге X «Начал»; подробнее
на этом разделе мы остановимся ниже (см. §11).
Относительно извлечения кубических корней Леонардо
говорит: «Куб линии, состоящей из двух частей,
составляется из кубов отдельных частей и утроенных произведений
квадрата каждой части на другую часть. Когда я долго
подумал над этим, я изобрел способ извлечения корня».
Следовательно, ему остались неизвестными арабские сочинения,
например трактаты ан-Насави, в которых излагается тот же
способ.
Если ищется у А, где а3 < Л < (а + I)3, илиО < А — а3<
< За (а + 1) -f- 1, то в качестве первого приближения берет-
ся а, а второго а+ 3a(f+?) + 1
Например, ^2345 — 13+ 2Ш^т ~13-j--
В главе 15 «Книги абака» содержится решение
геометрических задач, главным образом, с применением теоремы
Пифагора, а также неопределенных уравнений (см. гл. II, §7)
и задач «алгебры и алмукабалы», которые мы рассмотрим
ниже.
Помимо «Книги абака» Леонардо Пизанского, в XIII в.
были написаны и другие сочинения по практической
арифметике.
Большой интерес исследователей вызвал средневековый
арифметический трактат, озаглавленный «Разъясненный
алгорисм» («Algorithmus demonstratus») и известный во
многих рукописях. Вопрос о его авторе долго оставался
невыясненным. Впервые трактат был опубликован в 1534 г. И. Шо-
нером, который пользовался рукописью, переписанной в свое
время Региомонтаном. Последнее обстоятельство дало
основание М. Шалю [110] назвать Региомонтаиа автором сочинения,
в чем, однако, позднее справедливо усомнился С. Гюнтер [299].
Вскоре «Algorithmus demonstratus» стали связывать с именем
Иордана Неморария [444], и этот взляд укоренился довольно
прочно [192, 212, 213], пока Г. Энестрём не показал его безос-
77

пователыюсть и не поставил вопрос о более серьезном
изучении трактата [243]. Такое исследование провел П. Дюгем [233],
установивший, что автором сочинения является Magister Ger-
nardus, живший, по всей вероятности, в XIII в.
В трактате после разъяснения десятичной позиционной
системы счисления излагаются правила действий с целыми
числами и дробями, обыкновенными— (minutae vulgaris)
и 60-ричными (minutae philosophicae). Как особые действия
рассматриваются удвоение и раздвоение. Кроме того,
приводятся правила пальцевого счета.
Иордану Неморарию, несомненно, принадлежит другой
трактат, носящий название «Разъяснение Иордана об алго-
рисме»; он был исследован и опубликован Г Энестрёмом [254].
После описания способа записи чисел с помощью девяти
знаков и определения основных понятий и операций арифметики
(например: «Вычесть — это значит найти избыток большего
над меньшим», «Умножить числа — значит получить число,
которое содержит в себе одно из данных чисел столько раз,
сколько другое содержит единицу» и т. д.) приводится
34 предложения. Среди них (в современных обозначениях)
1. если ах = а- 10, а2 = а- 100, аг = а- 1000, то ai = 10a,
а2=10аь а3=10а2,... ;
2. если ai = a-10, а2 = а-100, аг = а* 1000,... то а:ах =
= ах : а2 = а2 а3= ;
7. а + 6 • 10 + с-100 + будет четным или нечетным в
зависимости от а;
12. Ы0л+9-10л = Ы0л+1
13. 9 + 9-10 + 9- 102+ +9-10"-1 < 10";
14. если А = а + Ь- 10 + с- 100+ то а, Ьу с,...
определяются однозначно;
15. а- Юп = а + а (9 + 9-10+ +9-10"-1);
19. а-10" +fc-10"=(a + fc).10";
27 если a:b = c:dy то (а • 100 + 6) {с- Ю + rf) = (а • 10 +
+ b) (cl00 + d);
32. если ах = а 10, а2 = а 100, az = a 1000, то
аах а{ а2 _ а2 я3
и т. д.
Эти предложения являются подготовительными для
предложений 21—24, 28, 31, 34, в которых даны правила
сложения, вычитания, удвоения, раздвоения, умножения и
извлечения квадратного корня. Цель трактата состоит в
доказательстве правильности применяемых арифметических операций
с целыми числами. Уже отмечалось, что Г Энестрём
охарактеризовал это сочинение Иордана Неморария, в котором
79

сказывается Мйяйие ан-Насайй, как Попытку обобщить
учение Евклида при учете арабской арифметики [254].
Помимо названного трактата, Неморарию приписываются
два других сочинения по «алгорисму» (также исследованных
Г Энестрёмом [255, 265]), в которых разъясняются правила
действий с дробями.
В XIV—XV вв. индийская арифметика получила
повсеместное распространение среди купцов и вычислителей
(прежде всего в Италии, а затем в Германии и Франции).
Как отметил М. Кантор [192, т. II, гл. 53], учебники по
практической арифметике того времени были двух типов, один
из которых определялся сочинением Иордана Неморария.
В трактатах этого типа описывались действия удвоения и
раздвоения как специальный вид арифметических операций.
Учебники другого типа строились по образцу «Книги абака»
Леонардо Пизанского.
Изложение практической арифметики, как и у восточных
математиков, обычно начиналось разъяснением способа
записи чисел с помощью индийских цифр. Далее рассматривались
правила действий с целыми числами. Сложение и вычитание
производилось обычно справа налево, но иногда и в
обратном порядке. Описывалось несколько способов умножения;
некоторые из них непосредственно заимствованы из
восточных сочинений. Различными приемами производилось и
действие деления, которое считалось весьма трудной операцией.
Предлагалась проверка деления и умножения, чаще всего
с помощью девятки. Для извлечения иррациональных
квадратных и кубических корней применялись приближенные
методы, описанные раннее восточными математиками.
В следующем разделе рассматривались действия с
обыкновенными и 60-ричными дробями [123, 258, 264]. Десятичные
дроби, открытые в XV в. Джамшидом Гияс ад-Дином ал-Ка-
ши, Европы не достигли, и европейские математики пришли
позднее к этому открытию самостоятельно [258, 288, 398, 421].
Далее в учебниках по арифметике, как правило,
рассматривались различные задачи коммерческого характера.
В главах из второй книги «Четырехчастия чисел» Жана де
Мер, посвященных практической арифметике (опубликованы
в 1890 г. А. Наглем [362]) приводятся, в частности, правила
умножения в уме с помощью разложения сомножителей на
меньшие множители по специальной таблице.
Практическая арифметика составляет предмет
значительной части труда Луки Пачоли «Сумма». Среди
арифметических операций Пачоли не выделяет удвоения и раздвоения,
мотивируя это тем, что они содержатся в действиях
умножения и деления. Пачоли приводит восемь различных способов
умножения, распространенных в разных районах Италии.
79

Среди них — умножение с помощью «решетки», широко
применявшееся в странах Ближнего и Среднего Востока,
«перекрестное» умножение, известное еще в Индии, и т. д.
(подробнее см., например, [72, 407]).
Из четырех приведенных способов деления один (a ta-
voletta) применяется в случае, когда делитель — однозначное
или небольшое двузначное число, другой состоит в
последовательном делении на простые множители делителя, третий
практически совпадает с современным, а последний
называется «галерой» (позднее — «деление сверху»), так как
цифры при этом располагаются в фигуру, напоминающую судно.
Пачоли описывает также правила «счета на пальцах»,
бывшего очень популярным в то время.
Рассматривается приближенное извлечение квадратных и
кубических корней. Для квадратного корня У^Л, где А
отлично от квадрата, ищутся последовательные приближения.
А — а2 А — а2
at=a-\ ^—» а2 — ах-\ ^— и т. д. Например, для
V§ получается ах = 2-^ , а2 = 2-^ , аз = 2 jg^o • Для
кубического корня отмечен лишь случай, когда подкоренное
число есть точный куб.
Изложив правила действий с целыми числами и дробями,
Пачоли подробно разъясняет приемы разного рода торговых
вычислений, обмена, бухгалтерского учета и т. д., причем
применяет иногда арабские термины. Правило двух «ложных
положений» называется у него либо по-итальянски «regola
della doi false positioni», либо, вслед за Леонардо, по-арабски
в итальянизированной форме «el Catayno».
Среди сочинений на итальянском языке, появившихся к
концу XV в., следует назвать «Тревизскую арифметику»,
написанную в 1478 г. [192, 410], арифметические трактаты Ка-
ландри, Талиепте и другие. В предисловии к «Книге абака»
(«Libro d'Abaco») Талиенте, опубликованной впервые
в 1491 г., говорится: «Так как мы теперь знаем, что теория
является частью философии, то мы предоставим размышлять
о ней тем, кто занимается философией» (цитировано по
[89, т. I, стр. 109]); основное внимание уделено правилам
практических вычислений.
Шюке в первой главе «Науки о числах, изложенной в трех
частях» [352], рассматривая действия с целыми числами,
опускает, как и Пачоли, удвоение и раздвоение. Во второй главе
приводятся правила действий с дробями, в четвертой —
практические правила, в том числе тройное правило, правило
одного «ложного положения», а также «правило средних чисел»
(rigle des nombres moyens), которое, очевидно, принадлежит
автору.
80

Последнее правило основано на утверждении (не
доказанном), что ^—~d всегда находится между -у- и -^-,
позволяющем вставлять среднее значение между указанными
пределами. Этот принцип, связанный с разложением в
цепные дроби, применяется при решении задач способом двух
„ложных положений", а также для приближенного
извлечения квадратного корня, которое иллюстрируется
примером ]/б Так как 2<]/1Г<3, то сначала взято приближе-
1 / 1 \2 1
ние 2-g- которое оказывается избыточным: (2-2-1 = 6-у
1 / 1 \2 4
Второе приближение 2 ~3 недостаточное: (2 у) = 5-у
Следующее значение, взятое между 2у и 2у, а имен-
но 2-у-=2^—2, также оказывается недостаточным. Далее
Шюке берет 2-g-< 2-J-< 2-L, где 2-|-= 2^ и про-
должает таким образом до значения 2^. Описанный метод
заимствовал без ссылки на Шюке Этьенн де ла Рош (1520 г.),
а затем испанский ученый Жуан Перес де Мойя (1590 г.)
[351].
При извлечении квадратного корня Шюке рекомендует
запомнить, что точный квадрат не может оканчиваться
цифрами 2, 3, 7, 8, 9; аналогично, для четвертой степени
невозможно окончание на 2, 3, 4, 7, 8, 9. Он дает также метод
извлечения кубического корня [266].
В Германии [293, 299, 300, 445] с развитием городов,
расширением торговли и ремесел в широких деловых кругах
также возросла потребность в освоении методов счета. Уже
в XIII в. возникли специальные школы, в которых обучались
будущие вычислители (Rechenmeister), много сделавшие для
внедрения индийско-арабской арифметики. В
противоположность монастырским (латинским) школам, школы
вычислителей предназначались для простых граждан и преподавание
в них велось на родном языке. Постепенно вырабатывалась
немецкая математическая терминология [358, 391] и вскоре,
наряду с латинскими, появились многочисленные немецкие
учебники по «алгорисму» [192, 448]. Однако грамотность все
еще была неодинаково распространена среди слоев населения,
поэтому в Германии, как и в других странах, продолжал
развиваться и инструментальный счет; в частности, широко
применялся в XV в., особенно немецкими вычислителями, так
называемый «счет на линиях» [123, 192].
81

Древнейшая известная сейчас немецкая рукописная книга
по практической арифметике была составлена в 1445 г.
Ее текст и перевод со старонемецкого на современный
немецкий язык по экземпляру, хранящемуся в библиотеке Ба-
зельского университета, опубликован Ф. Унгером в
1888 г. [448]. Книга представляет собой учебник, по которому
преподавали математику в латинских школах. В ней
имеются следы влияния римской традиции (например, правило
умножения ab = 10—а(10—ft), где а, £<10), но в основном
она построена по образцу других европейских сочинений об
«алгорисме». Излагаются правила арифметических действий,
включая удвоение, раздвоение и приближенное извлечение
квадратного и кубического корня. Обращает на себя
внимание отсутствие проверки девяткой, которое обычно
приводилось в такого рода сочинениях.
Большой арифметический раздел содержится и в
упоминавшейся рукописи монаха Фридриха (составлена в 1457—
1461 гг.). Описан этот раздел был в 1912—1913 гг. Э. Ра-
том [388], а опубликован К. Фогелем в 1594 г. [454]. Он
представляет собой обширное собрание задач коммерческой
арифметики, а также теории чисел (см. выше) и геометрии.
Среди первых и наиболее значительных сочинений по
практической арифметике, напечатанных в XV—XVI вв.,
следует назвать учебники Ульриха Вагнера и Иоганна Видмана.
Изданная в 1482 г. книга Ульриха Вагнера, которая сейчас
известна под названием «Бамбергской арифметики»
(Bamberger Rechenbuch), была первым печатным немецким
сочинением по «алгорисму» [192, 454]. Она носит явные следы
влияния итальянской математической литературы,
распространенной в торговых кругах. Помимо правил арифметических
действий с целыми числами и дробями, в ней подробно
излагаются практические правила: тройное или «золотое» правило
(Die gulden Regel), правило товарищества, правила сведения
долей денежных единиц к целым меньшим денежным
единицам и т. д.
Упоминавшееся выше сочинение по практической
арифметике Георга Пейрбаха «Начала арифметики»,
опубликованное только в 1536 г. с предисловием Филиппа Меланхто-
на [379], содержит описание действий с целыми числами и
дробями, различные правила практических вычислений и
главные теоремы теории отношений (см. ниже), на которой
основываются эти правила.
Прежде всего Пейрбах по традиции подразделяет числа
на вальцевые, суставные и составленные, а затем говорит о
записи любого числа с помощью десяти знаков, ссылаясь при
этом на арабов. Ноль обозначен термином «cilra».
Рассматриваются действия удвоения и раздвоения, даются правила
82

Титульный л.1ст ,Hi4n А}лрл?тл<л* Георга Пейрбаха (изд. 1536 г
Филиппа Меланхтона).

извлечения квадратного и кубического корней из целых и
дробных чисел [266]. Все операции сопровождаются
проверкой. В специальном разделе рассматриваются прогрессии,
как указывает автор, по Иордану Неморарию. Большое
внимание уделено пропорциям.
В книге Иоганна Видмана (1489 г.) «Быстрый и красивый
счет для всего купечества» [157, 192, 293, 446] практическая
арифметика рассматривается в одном разделе из трех,
составляющих это сочинение. Здесь также подробно
приводятся правила вычислений с целыми и дробными числами
(причем удвоение и раздвоение выделяются специально), даются
формулы суммы арифметической и геометрической
прогрессии и правила приближенного извлечения квадратного и
кубического корня с точностью до целых.
§ 10. Алгебра
К числу первых переведенных на латинский язык арабских
сочинений относится алгебраический трактат Мухаммада ибн
Мусы ал-Хорезми [106], который впоследствии неоднократно
комментировался европейскими учеными; например, автором
одного из наиболее поздних комментариев был выдающийся
нидерландский математик Адриан ван Роумен (1561—
1615 гг) [167,395].
Известны два перевода «Алгебры» ал-Хорезми,
относящиеся к XII в. Один из них, впервые опубликованный Г Либ-
ри [348, т. I, стр. 253—297], принадлежит, как установил
А. Бьёрнбо [146], Герардо Кремонскому. По мнению Дж. Сар-
тона [399, т. II, стр. 176], «можно сказать, что он означает
начало европейской алгебры». Второй был сделан Робертом
Честерским; его исследовал и опубликовал в 1911 г. Л.
Карпинский [333].
В XII в. были переведены и другие алгебраические
сочинения, иногда анонимные [192, 256]; в их числе трактат [154],
переведенный Герардо Кремонским. Характерны первые слова
этого сочинения: «Начинается книга, которая, согласно
арабам, именуется алгеброй и алмукабалой, а у нас названа
книгой восстановления (restaurations), и которая была
переведена магистром Герардо Кремонским в Толедо с арабского
на латынь» [154, стр. 28].
Как и у ал-Хорезми, вначале определяются понятия
неизвестной (radix), ее квадрата (census) и свободного члена
уравнения (numerus simplex), далее даются правила
арифметических действий с корнями и рассматриваются
канонические виды квадратных уравнений. Приведены многочисленные
примеры. Правила решения уравнений сформулированы
в стихах.
84

Очень интересна символика, которая применена в этом
переводе. Неизвестная и ее квадрат обозначены начальными
буквами указанных выше терминов, т. е. г и с\ свободный член
обозначен буквой d от слова denaruus (динарий), которое
также употреблялось в этом смысле по арабскому образцу.
Эти знаки ставились под значениями коэффициентов. Так, за-
2 з 3 3
пись с означала 2л:2, а г и 4 — соответственно 3>; и -т-х.
Особого внимания заслуживают знаки для действия
сложения и вычитания: под вычитаемым членом ставилась точка,
под прибавляемым — черта; например, запись
2 2 5 5
с с г г
ТГ ' ~4~ Т Т
г d с d
обозначала соответственно выражения 2х2 — Зху 2х2 — 4,
Ъх — 2х2, 5х — 4.
Таким образом, в XII в. европейские ученые
познакомились не только с методами восточной алгебры, но и
зачатками алгебраической символики, которую начали применять
арабские математики, не дав ей, однако, полного развития.
Наиболее полное изложение алгебраических методов мы
находим у Леонардо Пизанского и Иордана Неморария.
Леонардо Пизанский, излагая правила «алгебры и алму-
кабалы», которые систематически разъясняются в главе 15
«Книги абака», брал за образец трактат ал-Хорезми, о чем
свидетельствует пометка «Mahumet» на полях рукописи.
Однако большое влияние на него сказали также Абу Камил,
ал-Караджи и другие восточные авторы. Леонардо говорит
о решении «различных вопросов согласно способу алгебры
и алмукабалы, то есть противопоставления (oppositio) и
восстановления (restauratio)». Как и его предшественники, он
рассматривает только положительные коэффициенты
уравнений; отрицательный же член приходится «восстанавливать»,
т. е. переносить в другую часть уравнения.
Следуя схеме, данной в арабских алгебраических
сочинениях, Леонардо рассматривает шесть канонических видов
квадратных уравнений и предлагает геометрическое
доказательство правил их решения. Среди многочисленных
примеров одни принадлежат ему самому, другие уже встречались
у его восточных предшественников. Так, решается уравнение
х2+10а: = 39, которое впервые рассмотрел ал-Хорезми [106,
стр. 27—28], а позднее со ссылкой на него—Абу Камил
[127, стр. 32] и затем ал-Караджи [481].
Особенно много примеров заимствовано из «Алгебры»
Абу Камила [127, стр. 217—220]. Среди них, например, зада-
85

чи, которые сводятся к системам (в современной записи):
( х fy= 10,
у ' х г '
л- + у = 10, [ х + у = 10,
|-^(х-у) = 24, |у*-х/8 = 40,
х + у= 10,
ю (ю с 1
— о —
.v ' у 4
Последняя задача (стр. 204 английского перевода трактата
Абу Камила [127], стр. 454—455 издания текста «Книги
абака» [345, т. I]) вызывает особое внимание исследователей, так
как решена по-разному у обоих авторов.
Абу Камил, на основе того, что — = — + 1 и — =
х i 1 10 , 10 v , х , ~
= —+1, находит — + — = ^- + —+2 и, исходя из
второго уравнения системы, получает уравнение —+-^- =
у х
л 1 X
= 4 -тр , квадратное относительно z = — .
Леонардо полагает х = 2 — z, откуда у = 8 + г, = 1-
+ 8+^ = -4~> 16== (2~z)(8+z)i z(z + 6) = 0; опуская
корень z = — 6, он получает г = 0, а следовательно, л: = 2,
у = 8. Это — первый известный случай, когда применяется
нулевое решение уравнения.
Термины, употребляемые Леонардо Пизанским,
представляют собой перевод арабских слов, обозначающих те же понятия.
Так, неизвестная названа «radix» или «res», т. е. «корень»,
или „вещь44, по арабски соответственно „джизр* (,4р0 и
„шай44 ((-!/). Квадрат неизвестной, который в арабской
алгебре фигурирует под названием „имущество44 (ма^-Д*),
у Леонардо обозначен имеющим то же значение словом
„census44 Постоянная в уравнении — „число41 или „динарий44,
пб-арабски „адад44 (злх) или „динар" (jULo), названа „nu-
meriis44 или „denarius44
Алгебраический трактат Иордана Неморария «О данных
числах» [63, 112, 123, 192, 213, 444] частично повторяет
содержание труда Леонардо, однако имеет и много нового.
Впервые это сочинение опубликовал (по рукописи,
хранящейся в Базеле) П. Трейтлейн в 1879 г. [444], а в 1891 г.
М. Курце издал исправленный текст (по мюнхенской'
рукописи) с комментариями [213]. Позднее было произведено
86

сравнение опубликованных текстов с венской рукописью [112].
Русский комментированный перевод С. Н. Шрейдера издан
под редакцией И. Н. Веселовского [63, 112].
Трактат состоит из четырех книг. В первой книге
рассматривается 29 задач о подразделении числа на две части
так, чтобы удовлетворялось некоторое условие; они сводятся
к системам двух уравнений с двумя неизвестными, которые
Неморарий, в отличие от других авторов, решает, не приводя
к квадратному уравнению. Так (задача №3), если х+у = а,
ху — Ь, то х — у — У а2 — 46, а отсюда по значению
суммы и разности определяются л: и у.
Во второй (27 задач) и третьей (23 задачи) книгах при
решении задач, сводящихся к линейным уравнениям и их
системам, широко применяются пропорции. Ряд примеров
встречался ранее у ал-Караджи [481]. Здесь Неморарий
ссылается на «арабский метод», чего он не делает в других
сочинениях.
Среди задач, рассматриваемых в четвертой книге,
некоторые сводятся к квадратному уравнению.
Никаких обозначений для алгебраических действий
Неморарий не применяет; однако при сложении он сокращает
запись, располагая слагаемые непосредственно друг за другом.
Для квадратного уравнения Неморарий указывает два
ттоложительных корня; отрицательный корень опускается.
Операции с иррациональными выражениями не производятся.
В единственном примере, где получаются иррациональные
решения (книга первая, задача 16), эти решения названы
«худшими» и не рассматриваются.
Таким образом, круг вопросов, затрагивавшихся в
европейских алгебраических сочинениях XIII в., ограничивался,
как в трактатах ал-Хорезми и его последователей, задачами,
которые сводятся к решению квадратных уравнений шести
канонических типов. Что касается формы изложения
алгебры, то в большинстве случаев до XV в. европейские авторы
также придерживались восточной традиции, ссылаясь на
арабское происхождение этой науки.
Алгебру называли «большим искусством» (ars major), в
противоположность «малому» (ars minor), т. е. практической
арифметике. Часто вплоть до XVI в. за ней сохраняли
арабское название «Algebra et almuchabala», а иногда ее
именовали «Ars rei et census», что означает дословно «искусство
вещи и имущества» и также соответствует арабской
терминологии.
С XIV в. алгебра получила значительное распространение
у практиков. Начали появляться сочинения не только на
латинском, но и на народных языках. Раньше всего
алгебраические методы вошли в итальянскую математику, чему в
87

большой степени способствовали сочинения Леонардо Пизан-
ского. Его прямыми последователями были в XIII в. Дн Лу-
ьис — автор латинской алгебры [237, т. IX, стр. 73—74].
и в XIV в. Р Каначчи, написавший трактат по алгебре на
итальянском языке [256, 332, 348, 383].
Рукописи Каначчи, содержащие две редакции его трактата
и представляющие немалый исторический интерес, были
исследованы лишь в 1953 г. [383]. Во введении упоминаются
Ди Лунис и Леонардо Пизанский. Относительно первого1
сказано, что его сочинение — это версия трактата ал-Хорез-
ми. Каначчи впервые применил термин «алгебра» отдельно
для обозначения науки об уравнениях. Обсуждая
происхождение слова «алгебра», автор связывает его с именем
легендарного арабского математика Гебера (впоследствии такое
заблуждение стало весьма распространенным).
В трактате много транскрибированных арабских слов,
так как итальянские термины представляют собой перевод
соответствующих латинских. Например, слово cosa (вещь)„
которое обозначает неизвестную,— перевод латинского
термина res, происходящего в свою очередь от арабского «шай»
(fJb)- То же относится к термину censo,
означающему квадрат неизвестной: он соответствует латинскому
census и арабскому „мал41 (Jl©, имущество"). Свободный член
dramma — название денежной единицы — соответствует
арабскому „дирхам44 (AajzX часто применявшемуся в том же
значении.
Далее автор рассматривает канонические типы
квадратных уравнений. Он называет уравнения ах2 = Ьх\ ах2 = су.
Ьх = с простыми видами (casi semplici), a ax2 + bx = c,
ax2 + c = bx, ax2 = bx + c составными (casi compositi). Особого
внимания заслуживает вторая редакция сочинения Каначчи,
где рассматривается уже 60 различных видов уравнений вто^
рой степени и выше с положительными коэффициентами.
Среди них не только уравнения, сводящиеся к квадратным
каноническим, но и такие как a*3 = d, axz = cx+d, ax3 = d+bx2,,
ахг = bx2 + cx + d, cx + bx2 + ax3 = d\ dx+cx2 + bx3 + ex4 = er
ax6 = bx4 + cx3, bx9 + axl0 = cx4, bx9 + cx4 = ax6, bx9 = ax*+bx4.
Каначчи делает попытку дать общее решение кубического-
уравнения ахг = bx2 + сх + dy однако пользуется неверной
формулой •* = "2J + l/ (2j) + СЛ~а ' Не Учитывая ПРИ этом*
что, как показал Леонардо Пизанский (см. ниже),
неприводимое уравнение 3-й степени неразрешимо в квадратичных
иррациональностях.
Таким образом, в XIV в. в итальянской математике уже
был поставлен вопрос о решении уравнения степени выше
88

второй и тем самым намечен выход за пределы,
установленные ал-Хорезми. Это подтверждает другая итальянская
рукопись XIV в. [108, стр. 95], где дано решение уравнения ах? +
+ Ьх2 + сх — k по формуле х= 1/ (4~) Н г- i
верное, когда Ь2 = Зас.
Классификация кубических уравнений, данная Омаром
Хайямом [96, 105, 119], и их геометрическое решение
остались в Европе неизвестными. Во всяком случае, нет никаких
свидетельств о знакомстве европейских математиков с
идеями Хайяма.
Из сочинений, написанных в XIV в. во Франции, обращает
на себя внимание алгебраическая часть рассматривавшегося
выше трактата Жана де Мер [334], где также сказалось
влияние Леонардо Пизанского.
Унаследованное от восточных математиков учение о
линейных и квадратных уравнениях стало базой начавшегося
в XV в. заметного движения вперед. В Италии в XV в.
продолжали появляться руководства по алгебре, написанные по
образцу сочинений XVI в. (например, рукопись,
исследованная Л. Карпинским [332].
Первым печатным сочинением, заложившим основы новой
алгебры, была «Сумма» Луки Пачоли [89, 123, 185, 192, 339].
Алгебру он называет «arte maggiora» («большое искусство»),
«regola della cosa» («правило неизвестной») или «Algebra
е Almucabala» и отводит ей восьмой раздел своего труда.
Здесь мы сталкиваемся с явлением, роль которого в
истории математики невозможно переоценить, — с зарождением
символической алгебры. Для обозначения операций сложения
и вычитания Пачоли систематически применяет знаки р
(от слова plus или piu) и m (от minus или meno).
Неизвестную и ее степени он также обозначает сокращенно. Приводим
эти обозначения в виде таблицы, где слева дана современная
запись, в центре—полное название, применяемое Пачолиг
справа — применяемое им сокращение:
д:°
*i
X2
дгз
X*
ДГ5
д:б
X?
X*
ДГ9
д;10
X"
numero
cosa
censo
cubo
censocenso
primo relato
censo de cubo,
secundo relato
censo de censo
cubo de cubo
censo de prlmo
tertio relato
cubo de censo
de censo
relato
л*
CO
ce
cu
ce-ce
p°r°
ce. cu.
2°r°
ce. ce. ce.
cu. cu
ce-p°r°
3°r°
89

Таким образом, Пачоли, в противоположность
математикам стран ислама и их последователю Леонардо Пизанско-
ву, применяет мультипликативную систему обозначения
степеней неизвестной (в «Книге абака» х6 обозначено термином
«census census census», х8 — census census census census
и т. д.)
Обращают на себя внимание названия 5-й степени — «primo
relato», 7-й степени — secundo relato» и т. д., ставшие
общеупотребительными в XVI в. Возможно [393], что они
представляют собой итальянский перевод греческих терминов,
применявшихся Пселлом (алоуод дротод, аЛоуод беутерос; и т. д.
[246, 248, 436].
Знак R, перечеркнутый внизу косой чертой (от слова
radix—корень), введен для обозначения квадратного корня.
Если под корнем стоит сложное выражение, то после
упомянутого знака Пачоли ставит букву V (от слова universalis)
Например, выражение 1^40-1/320 он записывал в виде
RV40mR320.
Пачоли формулирует правило знаков, хотя еще не
рассматривает вычитаемый член как отрицательное число. В этом
он следует за арабскими авторами, которые, в свою очередь,
повторяли Диофанта [8, 13, 82].
Теорию уравнений Пачоли излагает в пятом «трактате»
восьмого раздела «Суммы». Исследуя шесть канонических
видов квадратных уравнений, он дает правила их решения
в латинских стихах, которые называет «изящными» [339], хотя
согласиться с этим трудно. Далее, он приводит восемь
уравнений четвертой степени, из которых два (ax4 + cx2 = dxf axA +
+ dx = cx2), сводящиеся к кубическим, он определяет как
«невозможные» (impossibile), уподобляя их решение квадратуре
круга.
Можно заключить, что сочинение Луки Пачоли подвело
итог результатам, полученным до XV в. итальянскими
алгебраистами. На него опирались в своем творчестве выдающиеся
математики XVI в. Ферро, Тарталья, Кардано и другие,
нашедшие решение кубического уравнения в радикалах — задачи,
которая оказалась непосильной для греков и математиков
средневекового Востока.
Алгебраические методы в XV в. глубоко внедрились и во
французскую математику. Об этом свидетельствует
упоминавшееся сочинение Никола Шюке «Наука о числах,
изложенная в трех частях», последняя часть которого содержит
изложение алгебры [352]. Шюке рассматривает четыре вида
уравнений:
ахт = Ъхт*п ахт + Ьхт+п = схт"2п
ахт = Ьхт+п + схт+2\ ахт + схт+2п = ЪхтА-\
90

Повторяя своих предшественников, он обычно опускает
.нулевое решение и иногда называет его «невозможным»
(«impossible», «irreperible»). Однако, как отметил Г. Энестрём
1237, т. VIII, стр. 203], утверждение М. Кантора [192, т. II,
стр. 358] о том, что для Шюке не существовало решения x = Q,
неточно, ибо в отдельных случаях (например [352, стр. 641])
не говорится о его невозможности.
Г Энестрём обратил также внимание на пример Зх2 ч-
+ 12= 12х(где х = 2 ± J/4 - 4), решая который, Шюке
рассматривает подкоренную величину, равную нулю, как
число: из него извлекают корень, его прибавляют й
отнимают. Можно напомнить, что тот же пример в виде х2—
— Ах + 4 = 0 ранее встречался у Леонардо 11изанского.
Шюке вводит шовае обозначение для степеней
неизвестной: над коэффициентом справа ставится показатель
степени (например, 83 равносильно современному 8х3). Интересно,
что при этом он :не избегает ни нулевого, ни даже
отрицательного показателя; так, 71'т' означает у него 7х~1
Важную роль в развитии европейской алгебры сыграли
математики Германии [241, 293, 299, 446, 462—464], где
алгебраические методы распространились уже в середине XV в.
[215]. Они попали сюда из Италии, о чем говорит немецкое
название, применявшееся к алгебре в то время: «правило
косее» или «искусство косее» (от итальянского cosa). Вначале
вычислители, постигшие это искусство и прославившиеся
умением решать с его помощью трудные практические
задачи, старались держать алгебраические методы в секрете, но
затем появились и печатные труды по алгебре.
Заслугой немецких «коссистов» в истории математики
является разработка алгебраической символики и прежде
всего введение специальных знаков для обозначения
алгебраических операций.
В упоминавшейся выше мюнхенской рукописи,
составленной в 1461 г. монахом-бенедиктинцем Фридрихом, наряду с
другими интересными трактатами, содержится и алгебра,
написанная частью на немецком, частью на латинском языке.
Рукопись была исследована Герхардтом (1870 г.) [292], а
затем— более глубоко — М. Курце (1895 г.), который
опубликовал ее текст [215, стр. 41—57]. Рукопись прямо
свидетельствует об итальянском происхождении немецкой алгебры.
Об этом говорит название одного из отрывков («Regule
(delacose secundum 6 capitula») и применяемые в ней
термины: «numerus», «cosa», «censo», «censo di censo», «cubo di cu-
bo». Неизвестную автор обозначает немецким словом «Ding»
(вещь), причем везде уточняет: «то есть cosa». Для
неизвестной иногда вводится сокращенное обозначение — первая
91

буква ее немецкого названия. Встречается также знак для
действия умножения
Немецкий отрывок рукописи начинается ссылкой на ал-Хо-
резми и на его «Книгу алгебры и алмолкобулы» («Machmet
in dem peuch algebra und almalcobula...»), а далее следует
описание шести канонических видов квадратного уравнения,
причем четвертый сопровождается примером из трактата ал-
Хорезми, почти неизменно фигурировавшим в средневековых
алгебраических сочинениях как на Востоке, так и на Западе:
х2+10х = 39.
Кроме того, автор приводит пример уравнения, которое
„не является одним из шести правил": х 4- Vх'2 — х — 2 и
предлагает следующее решение: "J/V2 — х = 2 — х, х2 —
-х = 4 + х2-4х, х2 + 3х = х1 + 4, Зх «= 4, х = 1 -^-
Шесть канонических видов квадратного уравнения,
которые названы „Cosa gleich numero" „Censo gleich den nu-
mcro", „Cosa gleich censo" и т. д.
Далее под заголовком «Заметь, что такое квадрат,
неизвестная и куб» даются названия степеней неизвестной (до х6
включительно). Обращает на себя внимание, что принцип
их образования не мультипликативный, как у Пачоли, а
аддитивный; так, х5 названа «duplex cubo», а х6— «cubo di cubo»
Здесь, как и в следующих отрывках (большей частью
латинских), содержатся новые примеры к приведенным выше
правилам, которые в одном месте названы «правилами
арабской алгебры» [215, стр. 62]. Особенно примечателен пример
jc2-h 25= 15а:, где автор определенно указывает на существо-
15 , 1/125 15
вание двух решении уравнения: х=-^-+ у -j- и *=-2
125 ~ 15
j-. Он говорит: „Если я вычитаю, остается -у- минус
125 * 15
корень из -j-; если прибавляю, получается -у и корень из
125
-j- А поскольку здесь не может быть достигнут успех
согласно способу вычитания, необходимо поступать
согласно способу сложения" [215, стр. 63]. Таким образом, автор'
отказывается от второго решения.
Многие примеры (их мы рассмотрим в § И)
свидетельствуют о знакомстве автора с книгой X «Начал» Евклида.
Среди первых немецких математиков, знавших алгебру,,
были Пейрбах, Региомонтан и Видман.
Региомонтан в историко-математическом введении к
лекциям об Альфраганусе упоминает об «Арифметике»
Диофанта, в которой, по его мнению, содержится весь цвет ариф-
v
92

метики, в том числе «искусство неизвестной и ее квадрата»,
названное по-арабски алгеброй [179, 446].
О Видмане известно, что он читал лекции по алгебре в
Лейпцигском университете и написал учебник [123, 157, 241,
464]. Обнаружена немецкая рукопись алгебраического
содержания (переписанная в 1481 г.), которая принадлежала в
свое время Видману. Он перевел одну из задач на латинский
язык, дал ей свое решение и добавил новые задачи. Текст их
был опубликован Э. Вапплером в 1899 г. [464].
В сочинении «Быстрый и красивый счег для всего
купечества» [157, 446] Видмана также затрагиваются
алгебраические вопросы. В главе о коммерческой арифметике он решает
задачу с помощью «правила, называемого алгобре или
косее» («Regel Algobre oder Cosse gennant») .Особенно важно,
что здесь впервые применяются современные знаки «плюс»
и «минус» для обозначения действий сложения и вычитания
(хотя еще не систематически [237, т. VIII, стр. 195—198; т. IX,
стр. 155-157]).
Видман пользовался латинскими сочинениями, ведущими
начало от Иордана Неморария. Но с другой стороны, то
обстоятельство, что он называет алгебраическое искусство
«Regula cosse», а также сходство многих разделов с
сочинением Леонардо Пизансксго, указывает на итальянское
влияние. Поэтому М. Кантор [192, т. II, стр. 229] сделал вывод,
что алгебра ученого происхождения, имеющая источником
латинские труды, была известна в Германии в середине
XV в., а в конце столетия она соединилась с итальянской
алгеброй, распространенной среди купцов. Однако из
проведенного М. Курце (см. выше) анализа рукописи монаха
Фридриха ясно, что итальянское влияние сказалось в
немецком «коссическом искусстве» значительно раньше.
§11. Теория квадратичных иррациональностей
Теоретическую основу операций над иррациональными
корнями в средние века как на Востоке, так и в Европе
составляло геометрическое учение древних об иррациональных
величинах, изложенное в книгах V и X «Начал» Евклида. Книга X
содержит частный раздел общей теории отношений,
рассматриваемой в книге V, и касается теории квадратичных и
биквадратичных иррациональностей. Однако на практике
математик прежде всего сталкивался именно с этими
простейшими видами иррациональных выражений, и поэтому
правила их преобразований приводились обычно раньше,
чем излагалась общая теория. В связи с этим впервые был
поставлен и вопрос о числовой природе иррационального
корня (как правило., имелся в виду квадратный корень и
93

лишь изредка — кубический). В общем виде такая проблема
рассматривалась в рамках теории отношений.
Напомним кратко содержание книги X «Начал» Евклида.
Исходное понятие книги X — соизмеримость величин, т. е.
наличие у них общей меры. Вводится некоторый
прямолинейный отрезок, и все остальные отрезки подразделяются
прежде всего на соизмеримые и несоизмеримые с ним. Данный
отрезок и соизмеримые с ним называются, «рациональными в
длине» или «линейно рациональными» Рассматриваются
также отрезки, которые сами несоизмеримы с данным, но
квадраты, построенные на них, соизмеримы с квадратом,
построенным на этом отрезке. Обе эти группы величин
объединяются названием «рациональные», причем относящиеся ко>
второй группе определены как «рациональные в степени».
Прибегая к алгебраической терминологии, можно изобразить
рассмотренные Евклидом рациональные в длине и в степени,
величины соответственно как а и Уа- Остальные отрезки
Евклид определяет как иррациональные и приступает к
классификации тех из них, которые могут быть построены с
помощью циркуля и линейки.
Первая иррациональность (медиаль) строится как
сторона квадрата, равновеликого прямоугольнику, образованному
соизмеримыми только в степени отрезками, или, другими
словами, как среднее геометрическое между этими отрезками
[в современной записи у Уа-\ b или Vе) Остальные
иррациональности являются составными: они возникают при
сложении или вычитании двух отрезков., удовлетворяющих
определенным условиям. Так, „биномиаль" (и
соответственно „вычет") получается при сложении (вычитании) двух
рациональных, соизмеримых только в степени отрезков
(т. е. |/"/1 +УВ и У А —У В) При сложении и
вычитании двух соизмеримых только в степени медиалей [у А ±
± у В) возникают следующие четыре иррациональности:
если площадь, заключенная между этими медиалями
(у -А- у В), рациональна, получается, „первая бимедиаль"
(соответственно „первый медиальный вычет"), если же она
медиальна, то получается „вторая бимедиаль*
(соответственно „второй медиальный вычет*). Следующие шесть ир-
рациональностей возникают при сложении и вычитании двух
отрезков а и Ь, несоизмеримых ни в длине, ни в степени;
они различаются в зависимости от того, будут; ли сумма
квадратов, построенных на них, и заключенная между
ними площадь рациональными или медиальными. Привлекая
алгебраическую символику и упрощая изложение,, это мож-
94

но разъяснить следующим образом. Так как (а ± Ь)2 =^
— а2-{-b2 2aby то возможны три случая:
a2 -f- b- рационально, 2 ab меииалыю;
а2 + Ь- медиально, 2 ab рационально;
а2 -г Ь2 медиально, 2 ab медиально.
В первом случае получается «ббльшая> (соответственно
«меньшая») иррациональность, зо втором — «рационально и
медиально квадрирующая» (соответственно «образующая с
рациональным целое медиальное»), а в третьем — «бимедн-
ально квадрирующая» (соответственно «образующая с
медиальным целое медиальное»). Указанные отрезки
являются иррациональностями соответственно первой и третьей
гексад.
Далее Евклид рассматривает шесть видов биномиалей и
шесть вычетов (или «апотом»), образующих вторую и
четвертую гексады иррационалыюстей. Эти иррациональные
отрезки классифицируются в первую очередь в зависимости от
того, будет ли для биномиали (вычета) У А ± УВ выра..
жение у А—В линейно соизмеримо с\А, или же ohhi
линейно несоизмеримы, в геометрической
формулировке это условие предполагает, что биномиаль
разделена на два рациональных (в смысле Евклида)
отрезка — „рационали44, из которых квадрат большего
превосходит квадрат меньшего на квадрат, достроенный на
отрезке, либо соизмеримом с большей из рационален, либо
несоизмеримом с ней. В том и другом случае возникают по.
три вида иррациональностей:
L У А—В соизмерим линейно с У А.
1) отрезок У А рациомален в длине, У В рационален в.
степени, получается „первая биномиаль" (соответственно
„первый_вьтчети);
2) У А рационален в степени, У В рационален в
длине, получается „вторая биномиаль44 („второй вычет44);
3) ]/Л рационален только в степени* У В—также,
получается „третья биномиаль44 (третий выЧет4*)^
Н. У А^В несоизмерим с У А линейно.
1) ]/ ~А рационален в длине, У В рационален в степени
„четвертая биномиаль14 („четвертый вычет14);
2) УХ рационален в степени, У В рационален в, длине
„пятая биномиаль" („пятый вычет44); _ а
3) У А рационален только в степени, У В — также,. *ше^
стая биномиаль44 („шестой вычет44).
Определив каждую из приведенных, выше
иррациональностей, Евклид доказывает, что, во-первых, она действитель*
95,

но иррациональна, а, во-вторых, все соизмеримые с ней
величины относятся к тому же классу иррациональностей.
Наконец, устанавливается зависимость между
иррациональностями первой и второй (соответственно третьей и
четвертой) гексад, которая в алгебраической форме может быть
выражена следующим образом:
УУлТУв = уг^л + \л~в ± |/ZZEp^.
Иррациональности, которые классифицировал Евклид,
являются корнями некоторых типов квадратных и биквадратных
уравнений.
Как уже отмечалось, в вычислительной математике стран
ислама фактически стерлось античное противопоставление
числа и величины: над числовыми иррациональностями стали
производить операции по правилам действий над числами.
Однако понятие иррационального числа введено не было.
Рассматривая вопрос теоретически, восточные математики
по существу возвращались на геометрические позиции греков
и обосновывали действия над иррациональностями теорией
Евклида, изложенной в книгах V и X «Начал».
Существенно новым оказалось стремление примирить
точки зрения вычислителей и теоретиков. Был четко
сформулирован принцип взаимно однозначного соответствия между
объектами арифметики и геометрии: числовыми
иррациональностями, с одной стороны, и иррациональными величинами,
изображаемыми прямолинейными отрезками, — с другой.
Указанный принцип послужил логическим основанием
арифметизации теории квадратичных иррациональностей,
а правила действий над числовыми иррациональностями,
таким образом, были теоретически узаконены «Началами»
Евклида [82].
В настоящем параграфе пойдет речь о трактовке теории
квадратичных иррациональностей в сочинениях европейских
математиков XII—XV вв.
Ни у Боэция, ни у других ученых, работавших в римской
традиции, теория иррациональных величин не
рассматривается1); средневековые математики Европы столкнулись с нею
при освоении восточней науки.
^Имеется, правда, предположение, что она излагалась в утерянном
сейчас латинском переводе „Начал", выполненном до XII в. с
греческого оригинала. Об этом, в- частности, свидетельствует применявшийся
Леонардо Пизанским термин „riti", обозначающий понятие
рациональности и являющийся транскрипцией греческого рт^т]. Однако не
исключено, что все сведения о книге X „Начал", которыми располагал
Леонардо, были получены им в. Византии.
96

Определение иррациональной величины впервые в латий-
ской литературе, насколько сейчас известно, дал Герардо
Кремонский в переводах комментариев ан-Найризи и Ибн
Абд-ал-Баки ал-Багдади в книге X «Начал» Евклида [221]; он
обозначил понятие иррациональности словом «surdus»
(глухой), представляющим собой буквальный перевод
соответствующего арабского термина „асам" (~*!). „Глухая
величина, — повторяет Герардо Кремонский знакомое нам по
арабским трактатам определение,—это та, которую нельзя
выразить словом, как, например, корни из чисел, не являющихся
квадратными» [221, стр. 253]. Это определение фигурирует и в
более поздних европейских трудах.
Как и у восточных математиков, теория квадратичных
иррациональностей излагалась в Европе с геометрической
точки зрения — в комментариях к «Началам», либо с
арифметической — в специальных разделах алгебры.
Комментарии к книге X с Начал» Евклида
Поскольку европейские математики познакомились с
теорией квадратичных иррациональностей по арабским версиям
«Начал», то, естественно, сразу была воспринята и данная в
них арифметическая интерпретация этой теории. Когда в
XVI в. получил распространение «греческий Евклид», без
следов арифметизации, это уже не внесло никаких изменений
в сложившиеся взгляды. Более того, понимание книги X
«Начал» в античной геометрической трактовке встретило в
XVI—XVII вв. значительные трудности, о чем
свидетельствуют многочисленные высказывания ученых этого времени.
Не случайно числовые примеры, разъясняющие
предложения книги X, мы встречаем не только в первом издании
«Начал» в обработке Кампано, но и в переводе Замберти,
который ставил целью строго следовать идеям греков, а
поэтому не должен был пользоваться арифметической
интерпретацией понятий. Этим объясняется, почему европейские
ученые более смело шли по пути арифметизации теории
иррациональных величин и выработки понятия иррационального
числа, чем их восточные предшественники, в большей мере
скованные античной геометрической традицией.
Чтобы дать ясное представление о той арифметизирован-
ной форме, в какой теория квадратичных иррациональностей
Евклида вошла в европейскую математику, приведем
выдержки из упомянутого комментария Ибн Абд-ал-Баки ал-
Багдади к книге X «Начал» в переводе Герардо Кремон-
ского[221].
Трактат начинается с основных определений. «Поскольку
величины сравниваются между собой, одни из них оказыва-
97

ются соизмеримыми, другие — несоизмеримыми.
Соизмеримые— это те, для которых существует одна величина,
являющаяся их общей частью и измеряющая их все, что очевидно
для величин, которые считаются числами. Рациональные
величины — это те, которые измеряются одной заданной
величиной. Следовательно, они соизмеримы. Поэтому любые две
соизмеримые величины являются либо рациональными, либо
глухими, и не может случиться, что одна из них глухая, а
другая рациональная, поскольку между глухой и рациональной
нет линейной соизмеримости».
Далее следует рассуждение, характерное и для других
арабских комментариев: как иллюстрация иррациональных
величин приводятся корни из неквадратных чисел.
Примечательно, что в этом трактате вводится «телесная»
иррациональность, или «глухая кубическая величина» ,т. е. у'я, где
а не равно кубу. Среди арабских комментаторов Евклида до
Ибн Абд-ал-Баки ал-Багдади кубические иррациональности
рассматривал только ал-Махаии (IX в.), который называл их
«ребрами тел» и дал их классификацию [82, стр. 196—199].
Затем автор пишет: «Несоизмеримые величины — те, для
которых не находится одной общей величины, пересчитывающей
их все, например корни чисел, не являющихся квадратами,
когда они сравниваются с числами. Для всякой величины,
которая полагается числом, между какими-либо двумя
последовательными числами существует корень,
несоизмеримый с ней, например три и корень из трех. Потому что три и
корень из трех линейно несоизмеримы, поскольку одна
рациональная, а вторая глухая: таким образом, три
несоизмеримо с корнем из трех. Три же, будучи умножено на корень
из трех, становится глухой, потому что получается глухая
кубическая величина.
Из этого следует, что всякая величина, которая
полагается числом, рациональна, откуда все величины,
соизмеримые с ней, рациональны, а все величины, несоизмеримые с
ней, иррациональны. Поэтому говорят, что величины
первоначально делятся на два вида, из которых один —
рациональные, т. е. те, которые выражаются словами, например,
когда мы говорим: десять, двадцать, тридцать и т. п.; другой
же — глухие, которые словами выразить невозможно, как
корни чисел, не являющихся квадратами, например десять,
двадцать, тридцать, сорок, и ребра тел, являющихся не
кубами, а телами с различными ребрами, например тело,
полученное от умножения двух на три, а затем — на четыре, что
есть двадцать четыре; сторона его глухая, не выражается
словами».
98

Таким образом, „глухие*4 числа —это, например, У\0,
—- ——« —— 3 ——
]/20, 1^30, У 40 или у 24. Позднее дается более четкое
определение: „Всем этим числам и им подобным, не
имеющим корня, который выражается словами, дано название
глухих".
Обращает на себя внимание, что автор применяет в
одном значении термины «глухое число», «глухая величина»,
«глухая линия», что свидетельствует о стирании
противоположности между понятиями числа и величины.
Дальше приводится классификация «глухих» величин,
которая в схематическом виде выглядит так:
I. Простые «глухие величины»
1) рациональные в степени, или первые^ медиали до
(например, У 6, УЪ, 10),
2) вторые медиали (например, ]/]/б) и т. д.
II. Составные „глухие величины"
1) непрерывные: __
менее сложные (например, У 8 ± У10, У45 ± 5);
более сложные (например, yli0+ j/V^O, У^УЪ2 +
+ УТ);
2) дискретные Щ£>, _£_ £Ш^#
Вид «дискретных» составных иррациональностей другими
арабскими авторами не вводился, хотя частные от деления
иррациональных величин рассматривали многие.
Затем перечисляется 12 видов иррациональностей,
описанных Евклидом. Хотя автор трактата, как следует из
сказанного им, не чувствует резкого различия между понятиями
числа и величины, теория Евклида требует подчеркнуть это
различие. Оно состоит прежде всего в возможности делить
геометрическую величину до бесконечности, откуда следует,
что для величин не существует такой общей меры, как
единица для чисел. Естественно, что, рассматривая числовые
иррациональности, разъяснить это нелегко, и автор
обращается к прямолинейным отрезкам.
«Два соизмеримых числа либо рациональные, либо
глухие. Не может случиться так, чтобы одно было
рациональным, а другое — глухим. Несоизмеримые числа либо оба
являются глухими, либо одно из них глухое, а другое
рациональное, так как глухой корень несоизмерим с рациональным,
т. е. это — совокупность глухих и рациональных корней,
соизмеримых и несоизмеримых.
Длины же, т. е. величины, не таковы. Потому что в
первом предложении десятой книги сказано, что если от
большей из двух различных величин отнимается больше ее поло-

вины, из остатка — больше его половины и так далее, то
невозможно, чтобы не осталась величина, меньшая данной
величины. Следовательно, деление не приведет к другой
известной величине, относительно которой установлено, что с ее
помощью соизмеримые отделяются от несоизмеримых, так
как при делении величин не достигается минимальная
величина. А если так, то не получится познаваемая величина,
которая является частью двух величин, пересчитывающей их».
Далее приводятся формулировки и доказательства
предложений книги X, которые сопровождаются числовыми
примерами. Этот раздел трактата Абд-ал-Баки ал-Багдади
подробно проанализировал Г Зутер [430], внесший также
многочисленные поправки в латинский текст, изданный М. Курце.
Среди примеров, иллюстрирующих геометрическое
предложение Евклида, приведены следующие:
1^4 (6 ± 1/20 =1^24 + /320 =/20 ±2, К4(/Т2±3)"=
У"/192±12 = /Л/Т08~ ± VVTi2 K4(/20±/8")
= V\ 320 ± /128 V /80" + /48" ± "|/"/80 - /48"
Таким образом, основное соотношение из книги X «Начал»
Евклида стадо известно, в Европе почти в то же время, что и
в Индии (Бхаскара) [123, стр. 142]. Между прочим, Г Энест-
рём упрекал М. Кантора за то, что он в своем курсе истории
математики не отметил этого обстоятельства и не упомянул,
что арабы знали арифметическую формулировку соотношения
задолго до Бхаскары; тем самым было создано впечатление,
что последний является ее автором [273, т. III, стр. 238].
Остановимся также на некоторых других латинских
переводах книги X «Начал» и прежде всего на сравнении ее в
версиях Кампано (изд. 1482 и 1537 гг. [267, 268]) и Замберти
(изд. 1537 г. [268]).
Замберти в критике издания Кампано пересматривает
введенную последним терминологию, часто заменяя ее
другой, более соответствующей, по его мнению, греческой
терминологии Евклида. Так, соизмеримые величины Кампано
называет «communicantes quantitates», Замберти — «commen-
surabiles magnitudines». Определяя соизмеримые величины,
первый говорит о величине, которая их «пересчитывает»
(numerat), второй — о том, что они «измеряются одной и
той же мерой» (eadem mensura dimetitur). Кампано говорит
о «квадратных поверхностях» (superficies quadratas), которые
«пересчитываются» одной общей поверхностью: у Замберти
речь идет об одной и той же «площади» (area), которой
измеряются эти квадраты. Иррациональные линии Замберти обо-
100

Страница из „Начал" Евклида в обработке Кампано (изд. 1482 г.).
значает термином «irraiionales», Кампано же добавляет: «sivo
surdae» (или глухие), т. е. применяет термин, введенный для
этих линий Герардо Кремонским. Слово «отношение» у
Кампано переводится как «proportio», у Замберти «ratio»; c\
во «величина» — соответственно как «quanlitas» и «mag-
nitudo».
101

При сравнении книги X в обоих изданиях «Начал»
обращает на себя внимание различие в доказательстве 1-го
предложения. Замберти приводит два доказательства: одно из
них совпадает с тем, которое И. Гейберг считает подлинным,
другое — с приписываемым схолиасту [54, т. II, стр. 363].
Кампано дает только второе из упомянутых доказательств,
как все арабские переводчики и комментаторы Евклида
(см. [82, стр. 195]).
Кроме того, Кампано дополняет это предложение
рассуждением об углах — прямолинейных и роговидных (angulus
contingentiae), разрешая кажущееся противоречие между
1-м предложением книги X и 16-м книги III (в издании
Кампано— 15-м книги III). Эти углы, заключенные между
кривой и касательной к ней или между двумя кривыми, дают
пример величин, не удовлетворяющих так называемому
принципу непрерывности (если даны величины а и Ь, то найдутся
такие числа тип, что am>b, bn>a).
Кампано говорит: «Необходимо заметить, что 16-е
предложение книги III, которое утверждает, что угол касания
меньше, чем любой угол, заключенный между двумя
прямыми линиями, как кажется, противоречит этому предложению.
Так как, если дан любой прямолинейный угол, то если из него
вычесть больше половины, от остатка снова больше полови-
вины, то кажется, что можно повторить это достаточное
число раз так, что с необходимостью останется прямолинейный
угол, меньший угла касания, противоречие с чем следует из
15-го предложения книги III. Но они не являются
созвучными углами, так как криволинейное и прямолинейное, взятые
абсолютно, не относятся к одному и тому же роду. Неверно
также, что угол касания может быть взят столько раз, что
может превзойти любой прямолинейный угол Поэтому
ясно, что любой прямолинейный угол больше, чем
бесконечное число углов касания». Более подробно Кампано
рассматривает этот вопрос, комментируя 16-е предложение
книги III.
В дополнение к 7-му предложению (X. 9 в издании Гей-
берга) Кампано приводит доказательство несоизмеримости
стороны квадрата с его диагональю. Замберти дает это
предложение под номером 118, причем доказывает его двумя
различными способами (оба рассмотрены Гейбергом); в
заключение, однако, как и у Кампано, дается «более очевидное
разъяснение» с помощью чисел, против которого на полях
сделана отметка: «в греческом отсутствует» («graecus поп
habet»).
Кампано вводит также дополнения, разъясняющие идею
построения книги X. Так, в дополнении к 18-му предложению
(X. 30 в. издании Гейберга) он, забегая вперед, говорит о
102

цели построения двух соизмеримых, рациональных только в
степени прямых, из которых большая в квадратах превышает
меньшую на квадрат на прямой, несоизмеримой с большей.
Замберти заключает книгу X следующим не
встречающимся у Евклида рассуждением, с помощью которого понятия
соизмеримости и несоизмеримости распространяются на
площади и тела. Если мы допустим, что средним
пропорциональным двух линейно несоизмеримых прямых аир является у,
то отношение акр будет двойным отношением а к у; но с
помощью двойного отношения изображается отношение
площадей квадратов, построенных на аиу, или кругов с
диаметрами а и у- Таким образом, найдены «плоские площади»
(areolae planae), несоизмеримые между собой.
Аналогично вводится понятие несоизмеримых тел: «Если
на квадратах со сторонами аир или на равных этим
квадратам прямолинейных фигурах мы построим телесные
параллелепипеды, пирамиды или призмы с равными высотами, то
они относятся между собой как основания. Если основания
соизмеримы, то соизмеримы и тела; если же несоизмеримы,
то и тела несоизмеримы. Так же, если на двух данных кругах
построим конусы или цилиндры равной высоты, то они будут
относиться друг к другу как основания, т. е. как сами круги.
Если круги соизмеримы, то и конусы и цилиндры соизмеримы,
если же несоизмеримы, то конусы и цилиндры также
несоизмеримы. Таким образом, ясно, что соизмеримые и
несоизмеримые бывают не только среди линий и поверхностей, но
также и среди телесных фигур».
Из предложений книги X европейских комментаторов
Евклида особенно привлекало доказательство несоизмеримости
диагонали квадрата с его стороной. Как пример
существования иррациональных величин, этот факт приводит Альберт
Саксонский [130]. Обращает на него внимание и Орем в
трактате «Вопросы о геометрии Евклида», построенном в форме
вопросов и ответов; предполагая сначала, что диагональ
соизмерима со стороной, он доказывает затем противное [61].
Книга X «Начал» в алгебраических сочинениях
Первое известное изложение книги X «Начал» на языке
арифметики находится в главе 14 «Книги абака» Леонардо
Пизанского. Оно полностью выдержано в восточной
традиции.
Глава начинается следующим, знакомым нам по арабским
сочинениям, рассуждением: «Так как теперь нужно
обратиться к корням, следует сказать сначала, что такое корень. Ко-
103

рень из какого-либо числа — это такое число, которое,
будучи умножено на себя, производит само число, например 3,
являющееся корнем из 9, и 6, являющееся корнем из 36, так
как утроенное 3 даст 9, а ушестеренное 6 даст 36. Некоторые
числа имеют корни и называются квадратными, а некоторые
не имеют [корней]. Их корни называются глухими (surde),
так как их нельзя найти в числах» [346 ,т. I, стр. 353].
Кроме того, по арабскому образцу (например, у Ибн ал-
Багдади [82, стр. 217—220]) Леонардо дает понятию корня
также и геометрическое истолкование, рассматривая его как
среднее геометрическое между двумя отрезками,
построенное циркулем и линейкой. Далее предлагается описанный
выше (см. § 9) способ приближенного извлечения квадратного
корня.
Во второй части главы 14 изложены «с помощью чисел»
некоторые предложения книги X «Начал» Евклида.
Сначала определяются две рациональные (в длине и в
степени) линии: «Первая линия называется рациональной
(riti), т. е. рациональная (ratiotinata) в длине и степени, под
которой понимаются рациональные числа, например 1, 2, 3 и
т. д. У тех, которые суть корни, степень также рациональна,
поскольку от умножения какого-либо числа на себя
необходимо получается число. Вторые называются рациональными
только в степени (riti potentia solum). Под этим понимается
корень из квадратного числа. Этот корень называется глухим,
так как не может быть выражен числом, но его степень
выражается числом» [346, т. I, стр. 356]. То, что для
обозначения рациональной величины Леонардо применяет слово
«riti», непосредственно происшедшее от греческого термина,
заставляет, как уже упомянуто, предположить [247], что он
имел перед собой либо греческий текст «Начал», либо
неизвестный сейчас латинский перевод этого сочинения с
греческого, а не с арабского языка.
Далее следуют определения тринадцати иррационально-
стей с характерным для арабских сочинений на ту же тему
смешением арифметической и геометрической терминологии.
Медиаль определяется следующим образом: «Из
тринадцати иррациональных (inratiocinatis) линий первая является
простой, называемой медиалыо (media), степень которой
есть иррациональная, называемая медиальной площадью
(superficies media). Так как она средняя в отношении между
двумя соизмеримыми только в степени площадями, то под
этой линией понимается корень корня из числа, степень
которого есть корень из неквадратного числа: ведь и все корни
из неквадратных чисел являются средними между двумя
неравными числами, т. е. теми, которые не имеют между
собой отношения как квадратное число к квадратному числу.
104

Например, если одно из чисел есть 10, а другое 12, то
средним между ними является корень из 120, поскольку 10
относится к корню из 120, как корень из 120 к 12» [346, т. I,
стр. 356].
Остальные двенадцать «линий» Леонардо определяет как
«корни из чисел, состоящих из двух имен», т. е. корни из
шести биномиалей. Первая биномиаль есть «совокупность числа
и корня, причем степень числа превосходит степень корня на
какой-либо квадрат»; аналогично определяются и остальные
биномиали. Определения Леонардо иллюстрирует,
соответственно, следующими числовыми примерами биномиалей:
4+J/T, ]/ТТ2 + 7 1/ГГ2" + 1/84" 4 + VTO", У20 + 3,
1^20 + 1/8 Далее формулируются теоремы об извлечении
корня из биномиалей и вычетов по формуле У У А ± УВ=
= у^Ул^УХ^_±уГУ^-УА^-в~\и> таким обра.
зом, определяются иррациональности второй и четвертой
гексад (Леонардо идет здесь путем, обратным евклидову)#
Например: «Корень из третьей биномиали есть линия,
которая называется бимедиалыо (bimedialis), или из двух
медиальных вторая; под этим понимается сумма двух
корней, соизмеримых только в степени, из которых один, будучи
умножен на другой, производит медиальное, т. е. корень из
неквадратного числа» [346, т. I, стр. 357]. Приведены
примеры для первой бимедиали „большей4*
рационально и медиально
квадрирующей (VV20 + V2 + VV20 - 1/2 ) и бимеди-
ально квадрирующей (Kl/24 +VT + VV'2J - УГ ).
Аналогично определяются вычеты (recisi) и формулируются
теоремы об извлечении корней из них.
В следующих разделах главы 14 рассматриваются правила
умножения корней на корни и числа [346, т. I, стр. 357], на
корни из корней [там же, стр. 359], находятся два корня
из корня, которые, будучи перемножены, производят
рациональное (riton), дается правило a +yrft= к а2 + Ь -\-2УаЬ
и т. д.
Однако Леонардо выходит за пределы тех вопросов,
которые рассматриваются в книге X «Начал»: он вводит
трехчленные квадратичные иррациональности и кубические
корни.
105

В главе „О делении чисел и корней** [346, т. I, стр.
374—376] идет речь об уничтожении иррациональности в
знаменателях дробей не только вида т-^ и —=—г^г"
a + yfb уа+ -fb
(для которых это осуществлялось с помощью предложений
112 и 113 книги X „Начал"), но и дробей, имеющих в
знаменателе трехчленные выражения а + Vb + Ус и У~а +
+ Vb + Vе В частности, произведя преобразование
Ю = ю(2 + /з"-/5") = 10 (2 +/Г- ут)
2 +/3"+/5" "" (2 +/3~)2 - 5 ~~ 2 + УШ
он сводит вопрос к уже известной задаче.
Г Энестрём [237, т. XIII, стр. 66—77] указывает на ошибку
И. Тропфке [447, т. I ,стр. 231], считавшего, что первый случай
приведения дробей к рациональному знаменателю методом,
отличным от данного Евклидом, встречается только позднее
у Кардано. В то же время он полагает, что это расширение
области евклидовых иррациональностей за счет трехчленных
выражений, возможно, через арабов восходит к учению
Аполлония о «неупорядоченных» иррациональных величинах
(см. [82, стр. 66; 325; 483]). Однако ни один из рассмотренных
нами арабских трактатов не дает доказательства этого
предположения. Поэтому приходится считать, что Леонардо Пи-
занский исследовал трехчленные иррациональности впервые
и самостоятельно.
Кубический корень, как и у большинства восточных
математиков, с теоретической точки зрения у Леонардо не
рассматривается.
Вопрос об источнике знакомства Леонардо с книгой X
«Начал» обсуждался в литературе [244, 245], причем, как уже
отмечено, был сделан вывод, что знания в этой области
Леонардо получил в Византии. В то же время сравнение с
рассмотренными нами [82] арабскими комментариями к книге X
показывает, что Леонардо продолжал восточную традицию,
излагая предложения Евклида на языке арифметики.
Чрезвычайно интересный результат, знаменовавший
важный шаг вперед в изучении иррациональных величин, был
получен Леонардо Пизанским в его трактате «Flop»1) при
решении кубического уравнения хъ + 2х2 + 10х = 20, которое
предложил ему на диспуте Иоанн Палермский. Впервые
«Flop» стал известен историкам математики благодаря
публикации Б. Бонкомпаньи в 1857—1862 гг. сочинений Леонар-
!) Буквально «цветок». Такого рода названия (в смысле
«избранное») были широко распространены в научной литературе того времени
[237, т. VIII, стр. 81].
106

до Пизанского [346, т. II, стр. 227—252]; подробно исследовал
этот трактат Ф. Вёпке [482].
Леонардо ставит вопрос: возможно ли вообще решение
указанного уравнения в иррациональностях книги X, — и
доказывает, что это невозможно, т. е. решение не может иметь
вид
Уп, tyn, т± Уп, Ут ± Уп, V т ±Уп, УУт±Уп
Значения неизвестной Леонардо считает положительными,
доказательства проводит геометрически.
Сначала показано, что х не является целым числом.
Действительно, х — 2 ~~— , следовательно, х < 2;
отсюда х=19 но тогда xs + 2jc2 + 10 = 13 < 20.
В то же время х не может быть дробью. Пусть л: =
тогда если 10л: дробно, то и 2хг также дробно: 2
ь
& ~
- + -г» где т<ь* тг= -%г + -sr +пг» где р > Ь'Ч < ь-
как 10
Тогда -р- + 1-р— Н jf- ¥=20. Если 10-у-целое,то
у + 2-^5" =20— 10-у- также целое, что невозможно.
Решение не может иметь вид У п\ действительно, так
= 2 — [ x + -ij-Кто в таком случае [рациональная
величина равнялась бы иррациональной.
Не может решение иметь и вид У п. Так каклг + т^-^
2 jg-, то первая бимедиаль у/г Н— ю Должна
равняться вычету 2 То"""» чт0' как Доказано Евклидом,
невозможно. Решзние не может также иметь вид т + Уп,
ибо при подстановке оказывается, что биномиаль равна
рациональному числу.
Аналогичные рассуждения проводятся и в остальных
случаях.
Получив, таким образом, доказательство своего
утверждения, Леонардо удовлетворяется приближенным значением
107

корня jc = 1.221 7u42m30IV4v40VI, степень точности
которого очень высока1).
Влияние Леонардо Пизанского сказывается в трактовке
теории иррациональных величин Жаном де Мер [334]. В
третьей книге его «Четырехчастия чисел», где
рассматриваются вопросы алгебры, находится рассуждение (проведенное
как с помощью линий, так и аналитическим методом) о би-
номиалях и вычетах.
В «Рассуждениях об алгебре» Р. Каначчи один раздел
содержит вычисления с квадратными и кубическими корнями.
Числа автор подразделяет на «имеющие корпи» и на «глухие»
(numeri surdi), которые корней не имеют. Примеры,
сопровождающие правила, многочисленны и разнообразны. Среди
них 40: ("1/25*-1/9"), 10: "^256 - 2,(60~^200):3,^320+
+ У"20 , ^54-^Ж 1^112+1/7" V~V20 + V8~ и. т.д.
Следующим известным сочинением, где излагается теория
квадратичных иррациональностей в арифметической форме,
является «Сумма» Луки Пачоли. В вопросах истолкования
понятия числа иррационального корня этот автор стоит на
той же позиции, что и его предшественники.
Обзор содержания книги X «Начал» Пачоли дает в
разделе «Практические операции алгебры и алмукабалы», где
приводит правила действия с корнями, а затем переходит к
«иррациональным линиям из книги X Евклида» и к
арифметической интерпретации содержащихся в ней предложений2).
В тех случаях, когда Пачоли выходит за пределы книги X, он
иногда допускает ошибки, которые позднее рассмотрел Кар-
дано в специальном разделе своего сочинения (см. ниже).
Как и Леонардо Пизанский, Пачоли производит операции
с трехчленными выражениями3), например, уничтожает
иррациональность в знаменателе в следующем примере:
_ У\д УТд (У^+ /7"- /8") __
УбГ+УТ+yjT ~ {У&Ь-УТ)2— 8 ~~
_ уто(УР-\- УТ- уТ) У\о (Уъ + УТ- уй)(Ут - 5)
/168-5 "~ ИЗ
1) Значение полученное Ф. Вёпке: jc = 1.221 7!I42T1I331V 4V38V1,5.
По всей очевидности, в описке 301V повинен переписчик.
-) Не имея в своем распоряжении сочинения Пачоли, мы пользуемся
в данном случае подробными описаниями А. Кестнера [339], М. Кантора
[192] и Л. Ольшкм [891 -
3) Кантор [192, т. II, стр. 320] утверждает, что все такого рода
рассуждения Пачоли ошибочны; Г. Энестрём [237, т. XII, стр. 244] показал
несправедливость этого обвинения.
108

Книгу X «Начал» в Европе, как и раньше на Востоке,
считали одной из важнейших глав алгебры, и алгебраисты, по-
видимому, были основательно с ней знакомы. Об этом
свидетельствует, например, упоминавшаяся выше мюнхенская
рукопись XV в., написанная частично на немецком, частично на
латинском языке. В ней со ссылкой на ал-Хорезми
разъясняются понятия квадрата, корня и числа и даются примеры
применения правил алгебры. При решении одного из них [215,
стр. 60] возникает необходимость разделить числа на «бино-
миали" 71 АШТ" ' ™ Т^ШГ* ° которых сказано,
14 ^ ]/ 196 14 + |/ 196
что они представляют собой „иррациональные и
невыразимые44 линии.
Несколько ниже [215, стр. 62] вводится со ссылкой на
Евклида понятие вычета на примере КбОО — 20.
Автор мюнхенской рукописи отсылает читателя к
«десятой книге Евклида, в которой идет речь об этих
иррациональных линиях». По его словам, практические задачи,
сводящиеся к действиям с иррациональными корнями, иногда нельзя
решить точно, что объясняется различием между числом и
величиной: «Никто не продаст тебе ничего за корень из
десяти, так как это не число; и если разложить в дроби, никогда
не получишь корня из этого числа» [215, стр. 60]. Для
точного решения таких задач необходимо знакомство с «глухими»
корнями, но это — дело ученых, а не купцов («pro doctis et
поп pro mercatoris»), так как последние «измеряют все свои
доходы единицами, а не иррациональными корнями». Автор
добавляет, что «мы, у которых нет флоринов и которые
богатства не расходуем, постигаем нашим разумом также то, что
для купца невозможно» [215, стр. 61]. Здесь же
подчеркивается, что «глухое число» не является числом («surdus numerus
поп est numerus»), «потому что число — это то, что
измеряется единицей».
Необходимость изучения теории иррациональных величин
обоснована тем, что при решении вопросов алгебры
встречаются такие, «которые никогда не могут быть решены с
помощью числа, а только с помощью глухих (in surdo), и тот,
кто не знает о глухих, а также о полученных сложением и
вычитанием, о биномиалях и вычетах и о других
иррациональных, ничего хорошего в арифметике не придумает» [215,
стр. 64].
Свидетельства знакомства алгебраистов XV в. с античной
теорией квадратичных иррациональностеи мы находим и в
других сочинениях.
109

Примерь*, служащие иллюстрациями к предложениям
книги X „Начал", в частности, V 14 + V 180= 3 ± ]/5~при-
водятся в трактате Никола Шюке [352, стр.709]. На эту
книгу „Начал" ссылается также Иоганн Видман, указывая, что
в ней Евклид „ясно и достаточно" (klerlich und genugsam)
разъяснил вопросы, связанные с несоизмеримыми
величинами [157, стр. 208].
§ 12. Теория отношений
Античная теория отношений, игравшая столь важную роль в
математике стран ислама, заняла не менее значительное
место в трудах средневековых европейских ученых. Сфера ее
приложения расширялась за счет естественных наук и,
прежде всего, механики и физики, которые с течением времени
начали привлекать все большее внимание. Когда в XIV в. были
сделаны первые попытки количественно выразить физические
процессы, аппаратом для этого служила теория отношений
[57—59, 123, 209, 360].
Напомним, что античные математики, исходившие из
принципиального различия между понятиями числа и величины,
создали две теории отношений — для целых чисел и для
непрерывных величин. Теория числовых отношений была
изложена в книге VII «Начал» Евклида, а позднее — в
несколько ином плане — во «Введении в арифметику» Нико-
маха.
Общая теория отношений непрерывных величин является
предметом книги V «Начал», сыгравшей особую роль в
истории математики. Отношение здесь определяется как
«некоторая зависимость двух однородных величин по количеству.
«Центральное место в системе определений книги V
занимают четвертое, часто называемое «принципом
непрерывности», и знаменитое пятое определение равенства отношений.
«Принцип непрерывности» состоит в утверждении, что в
отношении между собой могут находиться не всякие две
величины, а те, которые, «взятые кратно, могут превзойти друг
друга»; примером величин, не удовлетворяющих этому
условию, являются так называемые роговидные углы (см. выше).
Формулировка пятого определения, согласно Евклиду,
следующая: «Говорят, что величины находятся в том же
отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равно-
кратные первой и третьей одновременно больше, или
одновременно равны, или одновременно меньше равнократных
второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было
кратности, если взять их в соответственном порядке» [54, т. I,
стр. 142]. Пли другими словами, величины а и b находятся меж-
110

ду собой в том же отношений, что и величины cud, если для
произвольных целых чисел тип либо ma>nby mc>ndt
либо та = nb, тс = #d, либо /па < #й, тс < /и/.
Выше мы отмечали, что уже в античной математике — в
поздний период ее истории — на отношение начинали
смотреть, как на некоторое обобщение понятия числа, о чем
свидетельствует появление понятия «количества отношения»,
вставленное и в «Начала» (книга VI, определение 5)
комментаторами труда Евклида.
Вся дальнейшая история книги V Евклида, выражаясь
словами Д. Д. Мордухай-Болтовского, «это — история ариф-
метизации геометрии, история эволюции идеи числа» [85,
стр. 255].
Последовательной арифметизации общая теория
отношений подверглась в математике стран ислама, где была
осознана необходимость рассматривать отношения с
вычислительной точки зрения. Определение Евклида было заменено
другим, которое возрождало раннее греческое («атифайретиче-
ское») определение, основанное на алгоритме Евклида.
Кроме того, восточные математики обогатили античное
учение теорией составных отношений, что означало
важнейший шаг в развитии понятия числа. «Составное отношение»,
соответствующее современному понятию произведения
отношений, фигурировало и в книге V «Начал» (определения 9 и
10); однако речь здесь шла только о случаях «двойного» и
«тройного» отношения, т. е., с нашей точки зрения, о
возведении отношения в квадрат или куб. В книге VI используется
понятие составного отношения для общего случая, но без
всякого обоснования.
Арабские авторы дали систематическое изложение теории
составных отношений, что привело их з XII в. (Омар Хайям)
к теоретическому распространению понятия числа на
отношения величин. Наиболее ранними сочинениями об отношениях
были трактаты Ахмада ибн Юсуфа ал-Мисри (IX—X вв.)
[148, 427], Сабита ибн Корры ал-Харрани (ум. ок. 901 г.) [98,
148, 380, 427] и Абу Юсуфа Якуба ал-Кинди (ум. ок. 873 г.)
[355, 427].
В Европе учение об отношении стало известно задолго до
появления первых переводов арабских сочинений по
греческим источникам — «Началам» Евклида и «Введению в
арифметику» Никомаха.
Применение учения об отношениях в теоретической
арифметике по Никомаху воспроизвел в своем трактате Боэций
(см. выше): он дал определение отношения («Взаимная
зависимость двух выражений») и пропорции («Равенство двух
отношений»), а затем подробно рассмотрел непрерывную
пропорцию.
Ш

Ё дальнейшем при изложении теории числовых отношений
часто объединялось почерпнутое из «Начал» Евклида и
трактата Боэция.
О том, что европейские математики обратили на общую
теорию отношений особое внимание, свидетельствует,
например, отрывок из мюнхенской рукописи X в., опубликованный
М. Курце [217], где содержится латинский перевод 18
определений из книги V «Начал». Евклидова теория отношений
излагалась также в ранней средневековой версии «Начал»,
приписываемой иногда Боэцию (см. также [360]).
В XII в. ученые Европы познакомились с теорией
отношений в арабской интерпретации. Источниками служили,
во-первых, арабские версии «Начал», во-вторых, специальные
сочинения о рассматриваемой теории.
Несомненно, огромное влияние на развитие теории
отношений в Европе оказал трактат Ахмада ибн Юсуфа ал-Мис-
ри, переведенный Герардо Кремонским под названием «Epi-
stola de proportione et proportionalitate» (имя автора в
транскрипции переводчика — Ametus iilius Josephi). Этот
трактат имеется сейчас в многочисленных рукописях [145, 148,
192, 193, 209, 360, 415, 416]; в 1960 г. было осуществлено его
критическое издание (см. [360]). Ссылки на него встречаются
у Леонардо Пизанского, Кампано, Брадвардина и других
авторов. Именно из этого сочинения в Европе стала известна
теория составных отношений, прочно вошедшая затем в
математику.
Получил распространение перевод трактата об
отношениях ал-Кинди, озаглавленный в одних рукописях «Tractatus
de proportione et proportionalitate» [145], а в других «De sex
quantitatibus» [415].
Герардо Кремонский перевел также сочинение Сабита ибн
Корры о составных отношениях; латинский текст и его
немецкий перевод были опубликованы А. Бьёрнбо [148].
Однако в Европе теория отношений претерпела
значительные изменения в сравнении как с античным, так и с восточным
ее вариантами. К такому выводу пришли Дж. Мэрдок в
основательном исследовании «языка отношений» европейской
средневековой математики [360], а затем А. Молланд,
обративший внимание на применение этого языка в геометрии
[356]. Оказывается, что в латинских сочинениях изменились
формулировки основных определений теории отношений, в
чем можно видеть отражение некоторых особенностей
математики этого периода, в частности, стремление к арифметиза-
ции античных геометрических теорий.
Основные моменты теории Евдокса, по-видимому, поняты
не были. Вместо «принципа непрерывности» обычно
фигурировало определение непрерывной пропорциональности.
Например, в изданном Г. Бусардом переводе «Начал», принадле-
112

Жащем Герману из Каринтии, сказано: «Величины, о Kofo-
рых говорится, что они имеют непрерывную
пропорциональность, суть те, равнократные которых либо равны, либо
равно без перерыва увеличиваются или уменьшаются» [183,
стр. 96]; т. е. а, Ъ, с непрерывно пропорциональны, если и та,
mb, тс непрерывно пропорциональны, т. е. та : mb = mb : тс.
По-иному определялось и равенство отношений. Как
определение Евдокса, так и «антифайретическое» определение
восточных математиков, известное на Западе по переводу
комментария Ан-Найризи [221], воспринято не было: обычно
утверждалось, что a:b = c d тогда и только тогда, когда
та : nb=mc: nd.
Дж. Мэрдок приходит к выводу, что «в результате
неудачи с попыткой понять евдоксову загадку пятой книги
латинский Запад потерял два вполне общих критерия равенства
отношений, которыми он владел» [360, стр. 261].
Взамен этих критериев был выдвинут новый, который
способствовал дальнейшему развитию понятия числа: равенство
отношений стало определяться равенством их «знаменова-
ний». «Знаменование» (denominatio) отношения
представлялось как число, целое или дробное, которое выражает это
отношение.
Такой подход облегчил дальнейшую арифметизацию
теории отношений. Особенно важную роль при этом сыграла
теория составных отношений, появившаяся уже в ранних
версиях «Начал». Составное отношение рассматривалось, как
произведение чисел, «знаменующих» исходные отношения.
По мнению Дж. Мэрдока, «можно сказать, что средние
века, как арабские, так и латинские, находились в некотором
роде на полпути между строгим греческим отделением
величины от дискретных количеств (т. е. чисел) и, с другой
стороны, утверждением Джона Валлиса, что вся пятая книга
«Начал» Евклида есть арифметика» [360, стр. 271].
Необходимо, однако, отметить, что понятие «знаменова-
ния», как и основанный на нем критерий равенства
отношений, применялось вплоть до XVI в. только к числовым, т. е.
рациональным отношениям.
Термин «знаменование», обозначавший в первоначальном
философском его применении определение вещи с помощью
атрибута, причины или, в общем смысле, аналогии
встречался и в раннесредневековых математических сочинениях;
например, у Сакробоско число 20 «знаменуется» пальцевым
числом 2 [356, стр. 167—168]. В теории отношений оно служило
некиим арифметическим аналогом понятия отношения двух
величин. Применение его в этом смысле встречало, однако,
затруднения в связи с иррациональностью «знаменования» в
случае несоизмеримости рассматриваемых величин; оно мог-
ИЗ

ло быть устранено введением Понятия иррационального
числа, но такой шаг и явился самым трудным в истории учения
о числе. Как будет показано, европейские средневековые
математики ощущали незавершенность своей теории и
стремились каким-то образом уйти от возникших при этом
логических несоответствий.
Наиболее ранний пример применения понятия
«зиаменование» в математике, не замеченный исследователями,
встречается во «Введении в арифметику» Боэция.
Рассматривая четно-нечетные числа [151, гл. 10], Боэций
относит к ним те, «все части которых имеют
противоположные знаменования», вводя также понятие «величин частей,
которые знаменуются». При этом он утверждает, что «если
зиаменование четное, величина части будет нечетной, а если
зиаменование нечетное, величина будет четной».
Разъяснение дано на примере четно-нечетного числа 18: половина его,
т. е. вторая часть, имеющая четное «зиаменование» 2, есть 9
и представляет собой нечетную «величину»; третья часть с
нечетным «знаменованием» 3 есть четная «величина» 6, а
шестая часть («зиаменование», т. е. 6, четно) имеет нечетную
«величину» 3, т. е. 18 = 9 + 9 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3, Число
слагаемых в каждом разбиении или, другими словами,
показатель «доли» называется «знаменованием». Этот же термин
применяется и позднее в главе 11 сочинения Боэция.
В более узком смысле, как «зиаменование отношения»,
рассматриваемый термин применен Герардо Кремонским в
переводе комментариев ан-Найризи к книге V «Начал»
Евклида.
После формулировки 9 определения книги V («когда три
величины пропорциональны, говорят, что первая к третьей
имеет двойное отношение первой ко второй») дается его
подробное разъяснение. Рассматривается число, «которым
первая величина измеряет вторую», и утверждается, что оно,
«будучи умножено на себя, производит число, которое
является отношением первой к третьей»; то же справедливо и
для четырех, пяти и т. д. величин, находящихся в
непрерывной пропорции [221, стр. 164]. В следующем за этим примере
приводятся конкретные «числа, знаменующие (denominans)
отношения».
Однако у нас все же нет достаточно веских оснований для
утверждения, что термин «зиаменование отношения» —
арабского происхождения. Герардо Кремонский, знакомый, по-
видимому, с терминологией Боэция, применил этот термин,
возможно, по примеру последнего.
Несомненное влияние восточной теории составных
отношений мы наблюдаем в «Книге абака» Леонардо Пизан-
ского. Упомянутое выше «цепное правило» для отыскания ве-
114

Лй^йн, связанных несколькими пропорциями, названо «figura
cata» или «figura chata» (транскрипция арабского «шакл ал-
катта» — фигура секущих) и при его объяснении сделана
ссылка на Птолемея и Ахмада ибн Юсуфа ал-Мисри (Ametus
filius).
Теория составных отношений применяется, например, в
следующей задаче: сколько дней можно кормить 10 лошадей
16-ю единицами веса ячменя, если 5 лошадей съедают за
д.15*5
9 дней 6 таких единиц; решение: -§-ттг = 12.
Кроме конкретных чисел, для такого рода задач
применяются и буквенные обозначения: а лошадей съедают b
ячменя за с дней, d лошадей съедят е ячменя за / дней; тогда
произведения аес и dbf равны. Это можно выразить и
по-иному: каждый сомножитель первого произведения находится к
какому-либо сомножителю второго произведения в отношении,
е db
составленном из двух других отношении; например , у = —•
Таких комбинаций для первых трех чисел может быть 18;
именно о них идет речь в сочинении Ахмада ибн Юсуфа, на
которое ссылается автор «Книги абака»: «Ахмад сын
рассмотрел восемнадцать комбинаций из них в книге, которую
он составил об отношениях».
Важнейшее значение для развития теории отношений и, в
частности, для широкого распространения понятия «знамено-
вания» имела, как нам кажется, «Арифметика» Иордана Не-
морария [324]. Из десяти составляющих ее книг в четырех
(книги II—V) излагается теория отношений; на доказанных
в них теоремах основывается все дальнейшее изложение.
Неморарий рассматривает определения и предложения из
книг VII—IX «Начал» Евклида и из «Введения в
арифметику» Никомаха (или сходные с ними), но вводит также новое
понятие «знаменования» отношения и излагает с его помощью
теории составных отношений целых чисел.
Во введении, определив понятия числа («величина,
являющаяся собранием дискретностей»), натурального ряда
чисел, разности, произведения чисел и т. д., Неморарий дает
определение «соизмеримости» чисел: «Говорят, что число
пересчитывает другое, если оно производит его, будучи
умножено на некоторое число». Повторив евклидово определение
«доли» («части»), он говорит: «Знаменующим (denominans)
является число, согласно которому берется доля от целого;
«доли» («части») определяются, как «знаменующиеся тем же
числом». Этими же понятиями Неморарий пользуется и в
постулатах: «Доля всякого числа меньше целого», «Меньшей
является всякая доля с большим знаменующим», «Единица
есть доля всякого числа, знаменующаяся этим числом» и т. д.
115

Таким образом, в первой книге термин «знаменование»
по существу применяется, как и у Боэция, для обозначения
знаменателя данной дроби.
Вторая книга начинается с основных определений теории
числовых отношений:
«Отношение есть зависимость двух однородных величин,
одной к другой, по количеству»;
«Говорят, что числа находятся в отношении к числам,
когда меньшее составляет от большего долю или доли; большее
же к меньшему — когда оно содержит его и его долю и доли»;
«Непрерывная пропорциональность имеет место, когда
средние члены не отличаются друг от друга: она может
состоять самое меньшее из трех членов, средний из которых
является общим. Ненепрерывная пропорция — это такая, в
которой существует разрыв между средними. Поэтому
требуется, чтобы по меньшей мере второй и третий из четырех
членов были взяты как средние. Если имеются три непрерывно
пропорциональных числа, то говорят, что первое к третьему
имеет двойное отношение первого ко второму, а в случае
четырех отношение первого к четвертому — тройное».
В следующем определении Неморарий впервые
пользуется понятием «знаменования отношения»: «Когда же эти или
обратные отношения будут продолжены, то говорят, что
отношение первого к последнему составлено из остальных.
Говорят, что знаменование отношения меньшего к большему
есть доля или доли, которые оно составляет; знаменование же
отношения большего к меньшему есть число, определяющее,
сколько раз меньшее содержится в большем и составляет от
него долю или доли. Равными называются отношения,
имеющие одно и то же знаменование; большим — которое имеет
большее знаменование, меньшим — меньшее».
Таким образом, от числа /г, „знаменующего44 долю — и
доли —, Неморарий переходит к понятию „знаменования
отношения44, под которым по существу понимает дробь -
или -, выражающую рассматриваемое отношение.
В третьей книге, содержащей учение о простых числах,
повторяются, главным образом, рассуждения из книги VII
«Начал», в четвертой излагается теория непрерывных
пропорций из книги VIII «Начал», в пятой — теория составных
отношений. Здесь Неморарий дает правила составления и
выделения отношений, называя эти операции «сложением» и
«вычитанием» и определяя их следующим образом: «Говорят,
что всякое отношение сложено с каким-либо другим, если они
составляются вместе. Разностью двух отношений называется
116

такое отношение, о котором говорят, что оно является
избытком одного над другим».
Далее следуют предложения относительно отношений и
операций над ними; например, в первом утверждается: «То,
что является избытком отношения первого члена ко второму
над отношением третьего к четвертому есть отношение между
произведением первого члена на четвертый и произведением
/ ас ad\
второго на третий» (т. е. -т—-т- означает т-1.
Теорию числовых отношений Неморарий широко
использует в книгах II—IV трактата «О данных числах» [63].
Формулируя и решая задачи, он обращается с отношениями, как
с дробями, на основании введенного им понятия о целом и
дробном «знаменовании» отношения.
Приведем, например, решение второй задачи из книги II
этого сочинения: «Если дано отношение заданного числа к
какому-нибудь другому, то отсюда следует, что будет
данным и это последнее. Если отношение выражается целым
числом, то неизвестное число определяется легко. Если
отношение выражается дробью или смешанным числом, то задача
решается легко, если данное число является последующим
членом отношения; в этом случае для нахождения
предыдущего члена надо данный последующий член умножить на
целую часть отношения, взять его части, соответствующие
дробным частям отношения, и затем сложить все полученные
члены I например, 16 (3 + ^ —^) = 48 -f 8 -\- 4 = 60 1. Если
же является данным предыдущий член, то его надо
разделить на знаменатель отношения; таким образом определится
последующий" [63, стр. 579].
Предложенное Иорданом Неморарием построение теории
целочисленных отношений с применением понятия «знамено-
вания отношения» стало вскоре традиционным.
Большую популярность получил также комментарий Кам-
пано к книге V «Начал», в котором видели образец
изложения общей теории отношений. Кампано был, по-видимому,
также автором специального сочинения об этой теории «De
proportione et proportionalitate», где он, судя по всему,
комментировал трактат Ахмада ибп Юсуфа; это сочинение
Кампано имеется в нескольких рукописях [145, стр. 240], но,
насколько известно, до сих пор остается неисследованным.
В определении 3 книги V «Начал»1) Кампано разъясняет
сущность отношения: «Отношение есть определенная зависи-
]) Страницы и издании «Начал» 1482 г [267], которым мы пользуемся.
не нумерованы; поэтому вводим условную нумерацию для каждой книги
этого сочинения,
117

мость (состояние, habitudo) двух каких-либо однородных
величин одной к другой». Он отмечает, что отношение может
иметь место не только между геометрическими величинами,
но и между весами, силами и звуками; отношения весов и сил
описаны в сочинении Платона «Тимей», а отношения
звуков — у Боэция. Со ссылкой на Аристотеля Кампано
говорит, что наиболее простым случаем является отношение
геометрических величин, свойства которого рассмотрел Евклид.
В отношении могут находиться равные и неравные, но
обязательно однородные величины.
Далее рассматривается различие между отношением
чисел, всегда рациональным, и отношением геометрических
величин, которое может быть как рациональным (в случае
соизмеримости составляющих его величин), так и
иррациональным (если эти величины несоизмеримы). Отсюда следует, что
«геометрическое отношение более абстрактно, чем
арифметическое».
Пропорциональностью Кампано называет подобие (simili-
tudo) отношений (определение 4) и различает непрерывную
(continua) и ненепрерывную (incontinua)
пропорциональность.
Между величинами существует непрерывная
пропорциональность, если их «равнократные либо равны, либо равно
увеличиваются или уменьшаются» (определение 5).
Разъясняя это определение, Кампано рассматривает три
однородные величины а, Ь, с и их равнократные d, e, f (на полях
даются числовые значения а=4, 6 = 2, с=1, d=12, e = 6, /=3);
между а, Ь, с существует непрерывная пропорциональность,
если d:e = e:f. Другими словами, «непрерывно
пропорциональные суть те, все равнократные которых непрерывно
пропорциональны» (книга V, стр. 3).
Ненепрерывная пропорциональность отличается от
непрерывной тем, что она может быть установлена и между
разнородными величинами: две первые из четырех данных
величин могут относиться к одному роду, две следующие — к
другому.
Далее вводится понятие равенства отношений
(определение 6), согласно которому a:b = c:d тогда и только тогда,
когда та : nb = mc : nd. Это определение, в корне
отличающееся от данного Евдоксом, как уже отмечалось, стало
обычным в европейской математике.
После определения пропорциональных величин, т. е.
величин, находящихся в одном и том же отношении
(определение 7), и подробного разъяснения случая, когда отношение
двух величин не равно отношению двух других (определение
8), Кампано формулирует по Евклиду определения двойного
118

И тройного, а затем — «переставленного», «перевернутого»,
«присоединенного» и других видов отношения, а также
«перемешанной» пропорции.
В конце этого раздела дается общая сводка приведенных
определений и отмечено, что принципы книги V «Начал»
многим кажутся чрезвычайно трудными, а следующие из них
выводы — весьма непонятными.
Особого внимания заслуживает рассуждение Кампано о
различии между рациональным и иррациональным
отношением: «Если бы всякое отношение было познаваемым, или
рациональным, тогда было бы легко постигнуть разумом, что
такое отношения, одинаковые или различные. Те, которые
имели бы одно знаменование, были бы одинаковыми,
которые же разные — разными. Эта легкость обнаруживается в
арифметике, поскольку отношение любых чисел является
познаваемым и рациональным. Поэтому Иордан в шестой книге
своей «Арифметики» определил, какие отношения являются
одинаковыми и какие различными. Он сказал, что
одинаковые — это те, которые имеют одно и то же знаменование;
большее же — которое имеет большее знаменование,
меньшее — меньшее. Однако существует бесконечно много
иррациональных отношений, знаменования которых
непознаваемы, а потому Евклид рассматривал в этой своей книге
отношения вообще, не уточняя, рациональные они или
иррациональные» [267, книга V, стр. 11].
Таким образом, Кампано совершенно ясно говорит, что
критерий равенства «знаменований» может быть применен
лишь к числовым отношениям. Для произвольных же величин
«нельзя определить равенство (idemptitas) отношений через
равенство знаменований, как в арифметике, ибо, как
сказано, знаменования многих отношений просто неизвестны» [267,
книга V, стр. 11]; поэтому к ним применимо только указанное
определение равенства с помощью равнократных, которое
Кампано приписывает Евклиду.
Несколько ранее, однако, рассматривая двойные и
тройные отношения [267, книга V, стр. 7], он дает более широкое
толкование понятия «знаменования»: «Знаменование
отношения двух величин, между которыми не вставлена никакая
средняя, имеет природу линии. У тех же, между которыми
попадает одно среднее в непрерывной пропорции,
знаменование имеет природу поверхности, так как происходит от
умножения знаменований двух первых Знаменование
отношения величин, между которыми в непрерывной пропорции
находятся две средние, имеет телесную природу, так как
возникает от умножения двух первых знаменований; все же,
что получается от умножения линии на поверхность,
приобретает значение тела». Другими словами, если а:Ь = Ь:с, то
119

a l л \ a
T ^ \T/ и» следовательно, — имеет природу квадрата или,
как сказано в другом месте, „знаменуется квадратом*4.
Если a:b = b\c = c:d, то -j = (у) и „знаменуется кубом".
В заключение Кампано утверждает, что данные
определения не следует пытаться доказать; доказательству подлежат
только выводы, вытекающие из них. Он подвергает критике
попытку доказательства определений Евклида, сделанную
Ахмадом ибн Юсуфом, которая основана на порочном круге
рассуждения; так, доказывая определение равенства
отношений, Ахмад ибн Юсуф использовал принципы, уже
предполагающие, что понятие равенства отношений известно [267,
книга V, стр. 12]; (см. [360, стр. 253]).
В книге V Кампано дал также доказательства
иррациональности «золотого сечения» [192; 237, т. VII, стр. 380, т. IX,
стр. 153].
В XIV в. теория отношений используется не только в
теоретической арифметике и в алгебре, но и при рассмотрении
гораздо более широкого круга вопросов и прежде всего для
математического выражения законов физики. Новый подход
ярко отразился в трактате Томаса Брадвардина «Об
отношениях», который был исследован Кросби в 1955 г. и
опубликован им вместе с английским переводом [209].
В трактате изучаются движения и скорости. В первой
главе Брадвардин, исходя из утверждения Аристотеля о
существовании пропорциональной зависимости между движением и
скоростью, рассматривает теорию отношений, как основу
исследования. Опирается он на Боэция, Кампано и Ахмада ибн
Юсуфа. В противоположность Неморарию, он упоминает не
только рациональные, но и иррациональные отношения [209,
стр. 66]. Рациональным названо отношение, которое
«непосредственно выражается каким-нибудь числом, например,
двойное отношение, тройное и т. д.». Иррациональное
отношение — это такое, «которое не непосредственно знаменуется
каким-либо числом, а лишь с помощью взятия половины
(medietas)».
Таким образом, под «выразимостью» отношения
Брадвардин понимает нахождение показателя двойного, тройного и
вообще кратного рационального отношения; для
иррационального отношения он вводит понятие «половинного» пока-
зателя, т. е. l-r-j Как пример приводится отношение
стороны и диагонали квадрата, которое знаменуется
„половиной двойного отношения".
120

По словам Брадвардина, рациональные отношения
рассматриваются, главным образом, в арифметике и
классифицируются в соответствии с учением Никомаха.
Иррациональные отношения рассматриваются в других естественных
науках.
Основное внимание Брадвардин уделяет теории
целочисленных отношений и непрерывных пропорций и видит в
различии между видами пропорций отражение аристотелевского
различия между непрерывным и дискретным; ссылаясь на
Ахмада ибн Юсуфа, он утверждает [209, стр. 74], что если
непрерывная пропорция существует только между однородными
членами, то дискретная может состоять из членов разного
рода, например из сил и скоростей.
В последнем разделе первой главы своего трактата
Брадвардин приводит ряд аксиом (совпадающих с определениями
книги V Кампано) и предложений теории отношений.
Равными он называет отношения, имеющие равные «знаменования».
Столь же важное место занимает теория отношений и в
другом сочинении Брадвардина — «Теоретическая
геометрия», впервые изданном в 1495 г. [192, 209]. Ей отведен третий
раздел этого трактата (в первых двух рассматривается
учение о звездчатых многоугольниках и изопериметрических
фигурах, а в четвертом — некоторые теоремы о
пространственных фигурах). Здесь рассуждения Брадвардина во многом
совпадают с рассуждениями Неморария. Так, он говорит о
«знаменовании» отношения, имея в виду, что «как одна
величина относится к другой, так знаменуется отношение между
ними». Равны те отношения, «у которых равные
знаменования». Так как «всякая величина пропорциональна всякой
величине, но не всякая соизмерима со всякой»,
рассматриваются не только рациональные, но и иррациональные
отношения, имеющие место соответственно между
соизмеримыми и несоизмеримыми величинами.
Важный шаг в развитии теории отношений сделал
Николай Орем, видевший в ней, как и Брадвардин, аппарат для
исследования физических явлений. Эти вопросы он
рассмотрел в сочинениях «Traclatus de proportionum» и «Algorismus
proportionum» (иначе «Tractatus de proportionibus
proportionum»).
В первом из них [59, 123, 192] теория отношений
излагается в стиле Неморария. Особое внимание уделено отношениям
движений, в частности, движений небесных тел, а также
соизмеримости и несоизмеримости этих движений.
Второе из названных сочинений осталось неизданным в
средние века, но было распространено в рукописях. Впервые
его опубликовал М. Курце в 1868 г. [210]; недавно оно было
издано вновь [375] (см. также [297]).
191

Во введении по аналогии с двойным, тройным и т. д.
отношениями Орем определяет половинное отношение,
отношение одной трети, четвертное отношение и т. д. и вводит для
них специальные обозначения. Так, двойное отношение он
обозначает через 2[а, тройное через 3[а,
половинное—через 1. у и т. д. Согласно определению Орема, если а—Ьг
с — YЬ, то — = b 2 т. е. это отношение является
полуторным. Таким образом, здесь впервые были применены
степени с дробным показателем.
Под отношением (proportio) Орем всегда подразумевает
отношение большего члена к меньшему; и противном случае
речь идет о дроби (fractio).
Рациональное отношение всегда «выражается через свои
члены, или наименьшие числа»; иррациональным Орем
называет отношение с дробным показателем.
Далее рассматривается девять правил составления
отношений (вместо термина «составление» применяется, как и у
Иордана Неморария, слово «сложение»).
I. правило „сложения" рациональных отношений
-^—-j — ^ равносильно современному умножению дробей;
4 5 20 ~ 2 (а\2 а* (а\3 а*
например, т -т = у = 6у; в частности, ^yj=-p, (yj =y3
и т. д. Сделана ссылка на 6-е предложение книги V
„Арифметики" Неморария;
II. правило „вычитания" рациональных отношений:
-г- —^ = т~ равносильно делению дробей; например, если
3 4 3-3 9
от г^- „отнять" -у, будет ^о — "§"• Остальные правила могут
быть выражены в современных обозначениях следующим
образом:
Ш. ап~={am)n ат = {а"1)Р [apJ = am
IV
р / тр\*—— р J_
(атУ =(а~Г {amY ={атр)"
V. abn =(ап-Ь)п
.1 -L
Life" (b\n a _ ( а" У" а^_ ( а_
Ьп Ьп
VI.
а \а
122

VII—VIII. am =amp, ae -bf
IX. an -bn = (ab)n
Во втором разделе трактата излагаются дальнейшие
правила действий с отношениями, а в третьем даны приложения.
Например, показано, что правильный вписанный 2л-угольник
есть среднее пропорциональное между вписанным и
описанным правильными ^-угольниками.
Как на источники, помимо Неморария, Орем указывает
на Евклида и Боэция.
С той же точки зрения рассматривал в XIV в. теорию
отношений и Альберт Саксонский, который изложил ее в
начале своего сочинения («Tractatus proportionum» [130]) о
движении и скоростях. Он повторяет определения отношения,
соизмеримых и несоизмеримых величин и вводит понятие
рационального отношения для двух соизмеримых величин,
непосредственно выражающегося каким-либо числом.
Примером иррационального отношения служит отношение
диагонали квадрата к его стороне; оно обозначается термином Оре-
ма «половинное отношение».
Разницу между рациональным и иррациональным
отношениями Альберт Саксонский, как и Брадвардин, видит в
том, что первое справедливо для дискретных и непрерывных
величин, тогда как второе — лишь для непрерывных и
поэтому рассматривается только в геометрии. Подробно
излагается теория числовых отношений.
Идеи Брадвардина и Орема нашли применение в
математике последующего столетия. В частности, с*то относится
к понятию дробного показателя степени. Вот отрывок из
рукописи 1458 г., опубликованный М. Курце [216, стр. 7]:
«Требуется доказать, что диагональ квадрата имеет к стороне
половинное отношение. Пусть имеется квадрат adef, диагональ
которого ей; она делится пополам в точке Ь. Чертится другой
квадрат bdca, диаметром которого необходимо будет сторона
первого квадрата ad. Следовательно, как диагональ
большого квадрата ed относится к стороне того же квадрата ad, так
ad'—диаметр меньшего квадрата — относится к стороне этого
меньшего квадрата bd. Но [отношение] первого, т. е. ed,
к последнему, т. е. bd, есть двойное отношение, по условию;
отношение крайних составляется (componitur) из отношений
средних, как утверждает Евклид в определении 19 седьмой
w-ьг *±-UY
1 •
123

книги и как основательно доказывается во второй книге
о 36 видах отношений1). Так как средние находятся в
непрерывном отношении, то необходимо следует, что ed к ad
находится в половинном отношении, ad к аЬ — в таком же
отношении».
Большое внимание уделено теории отношений и в «Науке
о числах, изложенной в трех частях» Никола Шюке. В
главе 3 первой части после определения отношения [352, стр 621]
он рассматривает различные виды числовых отношений и
повторяет классификацию Никомаха. Далее излагается теория
непрерывных пропорций, а в главе 4 — тройное правило
в качестве примера применения теории отношений. В связи
с непрерывными пропорциями Шюке проводит, как
упоминалось выше, рассуждение о соответствии арифметического и
геометрического рядов, делая тем самым следующий после
Орема шаг в развитии понятия логарифма.
Учение о пропорции изложено в главе 6 «Суммы» Луки
Пачоли [89, 192, 339]. Для него эта теория — не только
математический аппарат, но и выражение принципов гармонии,
которым подчиняется природа. Поэтому конечная цель
всякого исследования, с его точки зрения, состоит в
установлении отношений между различными вещами и явлениями, и
отсюда же вытекает важнейшая роль теории пропорций в
самых разных науках, а также в искусстве, для которого
пропорция— «мать и царица». Среди трудов, содержащих
учение о пропорции, Пачоли называет сочинения Платона,
Аристотеля, Евклида, Архимеда, Боэция, Сабита ибн Корры,
Брадвардина, Неморария и Альберта Саксонского.
Пачоли вводит ряд вспомогательных предложений,
необходимых при изучении пропорциональности величин и
непрерывных пропорций. Среди них, например, задача об отыскании
четырех величин, находящихся в непрерывной пропорции
х у = у ;z = z:u, если известны х + и = ту y + z = n.
Приложение теории пропорций к изобразительному
искусству Пачоли дал в сочинении «Божественная пропорция» [192].
Иоганн Видман [157, стр. 207], определяя отношение,
ссылается на Кампано, а далее особо выделяет иррациональные
отношения и отсылает читателя к книге X «Начал»
Евклида [157, стр. 208]. Он рассматривает также возможность
удвоения, утроения и т. д. отношений, их сложения и вычитания.
При этом упоминается шестой раздел «Арифметики»
Неморария, а также трактат римского геометра Юлия Фронтина;
последняя ссылка не совсем ясна. (Г Энестрём считает это
опечаткой и полагает, что имелся в виду Боэций [237, т. VIII,
стр. 195]).
1) Имеется в виду, очевидно, сочинение Ахмада ибн Юсуфа.
124

Понятием «зйаменования отношения» Видман пользуется,
например, в одной из задач рукописи «дрезденской
алгебры» [463, стр. 552]: требуется найти стороны двух квадратов
из условия, что больший в 9 раз превышает сторону
меньшего, а меньший составляет2—стороны большего, т. е. л;а=9у,
2
у2=--2уХ. При этом величины у2 и х находятся между со-
9
бой в отношении, которое имеет „знаменование" 2 -^.
Последовательное изложение «алгоритма отношений» мы
находим также в «Арифметике» Георга Пейрбаха [379]. Оно
начинается с определения отношений величин: «Отношение
есть определенная зависимость двух величин одного рода, как
разъяснил Евклид в пятой книге «Начал». Это достаточно
показано комментатором Евклида Кампано в разделе,
предшествующем доказательству. В его комментарии отношение
определено таким же образом. Но, будучи отнесено к числам,
как в «Арифметике» Иордана, оно может быть определено
так: отношение есть определенная зависимость двух чисел —
первого ко второму».
Разграничив нечисловые и числовые отношения, Пейрбах
в дальнейшем занимается только последними. Он дает их
классификацию по Никомаху и применяет термин
«знаменование» к целому числу, «знаменующему» долю или доли,
т. е. в значении знаменателя дроби. Правила «сложения и
вычитания» отношений Пейрбах излагает по Неморарию и
видит в них теоретическое обоснование умножения и деления
дробей.
В издании 1536 г. к этому сочинению присоединен
небольшой трактат «Об отношениях из «Начал» Евклида»,
также на латинском языке, автором которого назван Иоанн
Фогелин (Ioann Vogelin). Здесь дается краткое изложение
теории отношений как основы действий с дробями. Вначале
четко сформулировано различие между рациональным и
иррациональным отношениями.
«Знаменование» рационального отношения
рассматривается как дробь. Поставив задачу: найти знаменование
какого-либо данного отношения, автор останавливается отдельно
на случаях «большего» и «меньшего» неравенств, т. е.
неправильной и правильной дроби. В первом он предлагает:
«Раздели большее число на меньшее, и число, которое
получается, есть знаменование данного отношения». Во втором:
«Поставь меньшее над большим, отделенным палочкой, как
у обыкновенных дробей (minutiarum vulgarium), и будешь
иметь знаменование».
125

Таким образом, Мы видим, что теорий числовых
отношений в конце XV в. фактически сливалась с теорией дробей,
и это являлось значительным шагом в арифметизации
понятия отношения. Однако вопрос об иррациональном
отношении обычно оставлялся в стороне, ибо для создания его
арифметического аналога требовалось введение понятия
иррационального числа, что было делом будущего.
Результаты Омара Хайяма и Насир ад-Дина ат-Туси,
распространивших понятие числа на отношение двух
произвольных величин, очевидно, остались совершенно
неизвестными европейским математикам, по крайней мере до XVI в.
* *
*
Подведем в нескольких словах итог сказанному выше.
В XII—XV вв. учение о числе занимало в европейской
математике то же место, что и в математике стран Ближнего
и Среднего Востока, и достаточно четко подразделялось на
арифметику — теоретическую и практическую, алгебру,
теорию квадратичных иррациоиальностей и теорию отношений.
В каждом из этих разделов продолжало ощущаться сильное
восточное влияние, однако в XIV—XV вв. были получены и
новые результаты, указывающие на то, что европейская
математическая наука начала самостоятельное развитие.
Теоретическая арифметика в период раннего
средневековья существовала параллельно и независимо в науке стран
ислама и в Европе; она явилась предметом первых
математических трудов европейских ученых (например, Боэция).
Если первоначальные сведения, которыми они располагали,
не выходили за рамки пифагорейской арифметики, то
знакомство с арабскими сочинениями расширило круг
рассматриваемых вопросов, главным образом, за счет
неопределенного анализа. Как и на Востоке, в теоретической
арифметике вплоть до XVI в. видели один из основных разделов учения
о числе.
В области практической арифметики восточное влияние
на Европу было особенно заметным. Уже с конца X в.
вместе с индо-арабскими цифрами начали усваиваться
вычислительные приемы, разработанные в странах ислама.
Важнейшую роль в пропаганде этих методов счета сыграли
латинские переводы и обработки арифметического трактата
ал-Хорезми. В XII в. появились первые европейские
сочинения по практической арифметике. Наиболее сильное
воздействие на дальнейшее развитие математики оказали труды
Леонардо Пизанского, Иордана Неморария, а позднее —Луки
Пачоли.
126

Сведения о восточной алгебре европейцы получили
впервые в XII в. из алгебраического трактата ал-Хорезми, и до
XVI в. он служил образцом изложения этой науки. Однако
уже в XIV в. итальянские алгебраисты сделали попытку
решить уравнение 3-й степени в общем виде, что означало
выход за пределы, установленные ал-Хорезми. К концу XV в.
алгебраические методы прочно вошли в европейскую
математику, и, что особенно важно, были созданы некоторые
элементы буквенной алгебры.
Преемственность математических идей особенно
наглядно выступает на примере трактовки иррациональной величины
в Европе до XVI в. Из восточных сочинений был усвоен не
только термин «глухое число» для обозначения
иррационального корня, но также его определение и подход к
обоснованию действий с числовыми иррациональностями. По-
прежнему основное значение здесь имели теория
квадратичных иррациональностеи и теория отношений (книги V и
X «Начал»),
Поскольку теория квадратичных иррациональностеи стала
известна европейцам по арабским версиям «Начал», была
сразу воспринята и ее арифметическая интерпретация, на
основе которой европейские ученые шли по пути арифмети-
зации теории величин смелее, чем их восточные
предшественники.
Значительный шаг вперед в изучении иррациональных
величин сделал Леонардо Пизанский, показавший, что
решение предложенного ему кубического уравнения не может быть
дано с помощью иррациональностеи книги X «Начал».
В алгебраических сочинениях, как и раньше у арабских
авторов, книга X выступала в виде специального раздела о
действиях над числовыми иррациональностями.
Античная теория отношений играла в средневековой
европейской математике не менее важную роль, чем в восточной,
причем сфера ее приложения здесь расширилась за счет
естественных наук. Вначале с ней познакомились по греческим
источникам, а позднее широкую популярность приобрели
переводы арабских сочинений о теории отношений. Однако в
Европе не было воспринято ни обычное на Востоке «антифай-
ретическое» определение равенства отношений, ни
определение Евдокса. Характерным стало определение равенства
целочисленных отношений с помощью «знаменований» —
некоторых целых и дробных чисел, выражающих эти отношения.
Важное значение придавалось теории составных отношений.
Составное числовое отношение стало определяться как
произведение знаменований» исходных отношений. Такой
подход значительно облегчил дальнейшую арифметизацию
общей теории отношений. Результаты же, полученные в
127

Зтом направлении Омаром Хайямом и Масир ад-Дином ат-
Туси, очевидно, оставались неизвестными европейским
математикам.
Итак, до конца XV в. в науке о числе, в ее содержании и
форме изложения не наблюдалось принципиальных
изменений. Хотя европейские математики достигли определенного
прогресса, старый подход к трактовке понятия числа
продолжал сохранять свою силу: теоретическое обоснование этогс
понятия по-прежнему искали в «Началах» Евклида с их
противопоставлением числа и величины как существенно
различных объектов математики. Решающие перемены во
взглядах наступили в XVI в. — в переломном периоде истории
науки.

Глава III
УЧЕНИЕ О ЧИСЛЕ В XVI в.
§13. Вводные замечания
В эпоху Возрождения в экономике Европы произошли
важные преобразования, вызванные разложением феодального
уклада и зарождением нового социально-экономического
строя. Они повлекли за собой столь же серьезные изменения
в культурной жизни общества. По словам Энгельса, «это был
величайший прогрессивный переворот из всех
пережитых до того времени человечеством, эпоха, которая нуждалась
в титанах и которая породила титанов по силе мысли,
страсти и характеру, по многосторонности и учености»1).
Эта эпоха характеризовалась небывалым ранее подъемом
научной мысли и началом решительной борьбы со
сковывающими ее средневековыми схоластическими методами. Все
большее значение приобретал эксперимент как основное
средство познания природы, возрастал интерес к естественным
наукам. Требования развивающейся промышленности
обусловили повышенное внимание к машино- и приборостроению
и вообще к механике. Путешествия и географические
открытия вызвали к жизни новые отрасли естествознания,
стимулировали обновление древних научных дисциплин, в первую
очередь астрономии. Революцией в науке о вселенной
явилось создание в трудах Коперника (1473—1543 гг.), Тихо
Браге (1546—1601 гг.), Галилея (1564—1642 гг.), Кеплера
(1571—1630 гг.) новой гелиоцентрической системы мира.
Эти достижения прямо и косвенно сказывались на
развитии математики, от которой не только требовали
разработки новых вычислительных методов, но ожидали также
глубоких теоретических обобщений, которые позволили бы
осмыслить полученные факты. XVI в. явился важным этапом в
истории математики, когда ученые Европы, освоив античное
и восточное наследие, внесли в науку оригинальные
результаты своего творчества. Решающее воздействие на уче-
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., изд. 2-е, т. 20, стр. 346.
129

ние о числе оказал их вклад в алгебру. В этой области
европейские математики XVI в. впервые перешли рубежи,
оставшиеся недоступными их греческим и восточным
предшественникам, получив алгебраическое решение уравнения
третьей степени. Этим открытием кубические
иррациональности были широко введены в вычислительную математику,,
причем еще более укрепился взгляд на иррациональный
корень как на число.
Важнейшую роль сыграла разработка более совершенных
вычислительных методов, применявшихся, в частности, при
составлении тригонометрических таблиц. Создание и внедре^
ние в практику теории десятичных дробей дало возможность
получать неограниченное приближение всякого иррациональ-
ного числа.
Если уже математики XV в. видели в арифметике и
алгебре единую науку о числе, то в XVI в. эта точка зрения
стала господствующей. Появились многочисленные
сочинения, в которых излагалась «обобщенная арифметика»,
включающая теоретическую и практическую арифметику,
теорию иррациональных величин и алгебру. Авторы их
рассматривали предмет с новых, более широких позиций,
обобщая в первую очередь достижения вычислительной
математики.
Однако для XVI в. был характерен, с другой стороны,
возросший интерес к древнегреческим математическим
сочинениям, рукописи которых в большом количестве попали в
это время в Европу из Византии. Труды классиков
переводились на латынь и изучались значительно глубже, чем
раньше.
Европейские ученые вновь столкнулись с логической
строгостью античных теорий, что побудило их обратить
внимание на обоснование понятий, которыми пользовалась
современная им математика. В частности, в сочинениях этого
времени со всей четкостью был поставлен вопрос о
содержании понятия числа. Логическую базу для его обоснования,
как и раньше, видели в «Началах» Евклида, а поэтому в
попытках построить единое учение о числе математики XVI в.
продолжали исходить из античного противопоставления
числа и величины. Это чрезвычайно затрудняло развитие теории,
и выход европейские ученые, как раньше восточные, видели
в выявлении аналогии между объектами и методами
геометрии и арифметики. Другими словами, продолжая по
традиции считать, что между понятиями числа и геометрической
величины лежит пропасть, делали попытки перекинусь через
нее мост. В этой связи необходимо еще раз отметить неуга-
сающий интерес математиков XVI в. к «Началам» Евклида,
появление многочисленных изданий этого сочинения и ком-
130

ментариев к нему. Особенно много внимания уделялось и
теперь книге X «Начал».
К концу XVI в. уже не только производились операции
над дробными, иррациональными, отрицательными числами,
но и возникли предпосылки для теоретического расширения
понятия числа, т. е. для введения в математику понятия
действительного числа.
Ниже мы дадим обзор сочинений XVI в., где выясняется
свойственный юму времени подход к понятию числа. Эти
труды, многие из которых не привлекали вниманья
исследователей, заслуживают изучения, ибо не только являются
историко-научными документами, содержащими
установленные в XVI в. и впервые зафиксированные в печатном издании
факты, но дают яркое представление о характере
математического мышления эпохи. Они наглядно показывают, что
к новой трактовке основных понятий учения о числе
математики подходили чрезвычайно медленно, с трудом
преодолевая традиции.
Изучение различных сочинений, в которых трактуются
одни и те же вопросы, дает представление о том, как менялось
со временем толкование основных понятий данной теории и
ее изложение. Еще раз подтверждается, что великие
открытия в математике не возникают на пустом месте и что, по
словам Б. В. Гнеденко, «успех науки в не меньшей степени
зависит от того, как подготавливаются эти открытия,
составляющие эпоху, повседневным трудом многих сотен ученых
не столь крупного ранга, как постепенно отдельные задачи
приводят к постановке общих проблем и к созданию общих
методов исследования и формированию общих научных
концепций» [48, стр. 11].
§ 14. Итальянские математики XVI в.
Решение кубического уравнения. Стимулом для
действительного возрождения европейской математики, начавшегося в
первой половине XVI в., послужило найденное итальянскими
учеными общее решение кубического уравнения.
Одновременно это открытие существенно изменило взгляд и на науку о
числе. Так как обстоятельства его достаточно подробно
освещены в литературе [31, 72, 100, 107, 111, 162, 192, 251, 300, 477,
479],- мы коснемся их только вкратце, отметив общие выводы
итальянских математиков, касающиеся учения о числе.
Впервые решение кубического уравнения для случая
х3+px=q, где р, ?>0, нашел болонский профессор Сципион
дель Ферро (Scipione del Ferro, ум. в 1526 г.) [280], не
опубликовавший, однако, своего открытия. Его метод стал
известен математику по имени Фиоре (Fiore), который после этого
131

неизменно одерживал победу на публичных диспутах, решая
задачи, сводящиеся к уравнению указанного вида.
В одном из таких состязаний его победил Николо Тар-
талья (Nicolo Tartaglia, 1500—1557 гг.), выдающийся
итальянский математик XVI в., который не только самостоятельно
переоткрыл правило Сципиона дель Ферро, но и решил
уравнение вида x3 = px + q (/?, q>0) Тарталья показал, что если
дано уравнение x:i+px = q (/?, <7>0), то х = \ и — j/'v, где
U — v = qJ uv — [^\ если дано уравнение л*3 = рх -f <7, то
х = yf и + Vv, где u + v = q, uv = (у) Другими словами,
была найдена формула (известная теперь как „формула
Кардано"), которая в случае уравнения х* -f рх = q имеет
вид
3 Г~Т7—^>. г=тГ: 3
-v/Ш [$+*WY$U
Р_\ __Я_
Тарталья все же не сумел преодолеть трудностей,
возникающих в так называемом неприводимом случае, т. е. при
(у) -Ну) < 0, когда уравнение имеет три действительных
корня, получающихся, однако, как сумма или разность
мнимых чисел.
О своем решении Тарталья сообщил известному
миланскому ученому, врачу, философу и математику Джироламо
Кардано (Girolamo — или по-латыни Hieronimo—Cardano,
1501 —1576 гг.) по его просьбе. Кардано обещал хранить
правило в тайне, но в 1545 г. нарушил обещание, опубликовав
подробный анализ решения кубических уравнений в сочинении
«Великое искусство алгебраических правил» («Ars magna
de rebus algebraicis» [195]) Это вызвало возмущение Тар-
тальи и долгий спор о приоритете, в котором принял участие
ученик Кардано Луиджи Феррари (Luigi Ferrari, 1522—
1565 гг.), решивший уравнение четвертой степени, сведя его
к кубическому [372]; решение Феррари также изложено в
упомянутом трактате его учителя. Кроме того, Кардано дал
доказательство правила решения кубического уравнения [479]
и нашел зависимость между корнями и коэффициентами
квадратного уравнения, известную под названием «правила Вие-
та» [476].
Наука о числе у Н. Тартальи. Основное произведение
Н. Тартальи «Общий трактат о числе и мере» («General trat-
tato di numeri et misure» [441]), первые два тома которого вы-
132

Титульный лист „Ars magna" Джироламо Картано (изл. 1545 г.).
шли в 1556 г., а третий—в 1560 г., представляет собой
превосходный, по словам М. Кантора, учебник арифметики, в
котором можно видеть характерную для XVI в. попытку изложить
учение о числе с самой общей точки зрения. Сочинение
написано в той же традиции, которой веком ранее придерживались
Шюке и Пачоли, и предполагает аналогичную классификацию
133

Титульный лист сочинения „General trattato di nunieri et misure" Николо
Тартальи с nopTj етом автора (изд. 1556 г.)

разделов науки о числе. Однако, сравнивая его с «Суммой»
Пачоли, Кантор отмечает большую ясность и даже известное
изящество изложения Тартальи [192, т. II, стр. 472].
В предисловии автор трактата выражает намерение
написать книгу, в которой рассматривались бы не только
вопросы арифметики, геометрии, учения об отношении
(как рациональном так и иррациональном) и
пропорциональности, но и великого искусства, называемого
по-арабски «алгеброй и алмукабалой», а по-итальянски —
«regola delle cosa».
Сочинение начинается с определения величин, которые
делятся по традиции на непрерывные и дискретные, и с
разъяснения различий между ними. Тарталья продолжает
придерживаться античной установки о противоположности
непрерывной величины и дискретного количества. Он, как и все
математики его времени, свободно перемножает величины,
что противоречит духу учения Евклида, но требует различать
термины, обозначающие умножение абстрактных чисел (mul-
tiplicare) и геометрических величин (ducere), критикуя Кам-
пано за смешение этцх понятий.
Изучающая числа арифметика является первой из
математических дисциплин и подразделяется на две части:
теоретическую и практическую. Первая рассматривает свойства
чисел отвлеченно, и цели ее показаны Евклидом в
книгах VII—IX «Начал». Предметом второй являются
вычисления (calculatione), встречающиеся в торговом искусстве.
Практическая арифметика изложена в первой части
сочинения, состоящей из 17 глав, где числа рассматриваются
«в аспекте чистой торговой практики».
Говоря о способе записи чисел, Тарталья приводит
различные итальянские термины, применявшиеся для
обозначения нуля: «teccha», «circolo», «cifra», «zerro», «nulla». Далее
он излагает правила действий с целыми числами и
дробями (гл. 7), дает представление о различных денежных,
весовых и т. п. единицах и их взаимной зависимости, подробно
разъясняет приемы практических вычислений, в том числе
тройное правило и разные его виды: правила товарищества,
смешения и т. д. В двух последних главах изложено правило
«двойного ложного положения», или, как его называет
Тарталья, применяя искаженный арабский термин, «regole Hel-
cataym».
Тарталья упоминает многих ранних авторов сочинений по
практической арифметике, в частности, Леонардо Пизанско-
го, Пьетро Борги и Луку Пачоли, особенно часто отмечая
ошибки последнего.
Вторая часть сочинения, где исследуются теоретические
вопросы, начинается с классификации «абстрактных» чисел
135

по Никомаху и правил суммирования арифметических и
геометрических прогрессий. Далее разъясняются действия с
иррациональными «глухими» корнями (radici sordi), способы
приближенного извлечения корней и правила преобразования
иррациональных выражений. С помощью чисел и корней
сформулированы все определения и предложения книги X «Начал»
Евклида и показан их «полезный и необходимый смысл для
общего искусства числа и меры». Рассматриваются правила
сложения, вычитания, умножения и деления биономиалей и
вычетов, сопровождающиеся примерами. Излагается теория4
отношений со ссылкой на книги V и VII «Начал» Евклида,
а также на Кампано и Луку Пачоли.
Понятие числа у И. Кардано. Человек сложной биографии,
типичный представитель своей эпохи [65, 187, 374], И. Кардано
является автором многочисленных сочинений по философии,
медицине и математике. Последние сыграли, в частности,
важную роль в развитии науки о числе. Остановимся на
некоторых моментах теории Кардано.
В трактате «Practica arithmeticae et mensurandi singula-
ris» [194], опубликованном в 1539 г., Кардано дает
классификацию чисел, включая в понятие числа не только целое и
дробь, но и квадратичную иррациональность. Как
специальный вид чисел он выделяет степени неизвестной,
фигурирующие в алгебре.
Числа, согласно Кардано, бывают четырех видов:
I. Целые числа — те, «которые составлены из единиц и
от единицы берут свое начало; они увеличиваются до
бесконечности, но когда достигают единицы, то далее
уменьшаться не могут; нет никакого числа, меньшего единицы»1).
Единицу, таким образом, Кардано считает числом.
II. Дробные числа «суть те, которые обозначаются двумя
буквами (binas litheras) и имеют обратное отношение к
целым. Так, половиной называется половина единицы и т. д.».
III. Иррациональными («глухими», surdi) числами
«называются те, относительно которых само по себе нельзя понять,
что они собой представляют. Называются же глухими
потому, что не могут быть услышаны. Их нельзя ни услышать,
ни представить. Таким является квадратный корень из 7,
обозначающий число, которое будучи умножено на себя,
даст 7». Таким образом, обосновать понятие
иррационального числа строже, чем это было сделано до него, Кардано
не может. Иррациональные числа, в свою очередь,
подразделяются на четыре вида:
1) абсолютное иррациональное число, например 7;
В издании 1539 г., которым мы пользуемся, листы не нумерованы.
136

Портрет Джироламо Кардано с титульного листа
сочинения „Piactica arithmeticae" (изд. 1539 г.).
2) соединенный корень (radix Hgata), например
]/9 + 1/16 = 7, обозначается через LR. 9. pR. 16;
3) универсальный корень (radix universalis), под которым
понимается корень из суммы числа и корня, например
У7 + V4 =3; обозначение: R.V.7 pR.4;
4) раздельный корень (radix distincta), например
1/9 + V4 =3 + 2, где слагаемые следует не суммировать,
а воспринимать как два различных числа. Обозначение:
R.d 9p R4
137

IV. Именованные (denominati) числа, т. е. степени
неизвестной, — те, «которые являются числами только при
сравнении, например корень, квадрат, куб и т. д.». Кардано
приводит названия первых одиннадцати степеней неизвестной,
причем отмечает, что названия седьмой (т. е. я6) cubus
census и восьмой (т. е. х7) relatum secundum были даны
древними.
Назвав иррациональные величины числами («по аналогии
с целыми»), Кардано, тем не менее, в главе 44 рассматривает
их чисто геометрически на основе книги X «Начал». Он
предполагает, что читатель знаком с теорией, изложенной в этой
книге, а «практику» приводит в виде примеров («умному
достаточно одного примера»). Как и у Евклида, вводятся понятия
рациональных и иррациональных линий, но трактуются они
как числа и корни из чисел. Заметив, что, «поскольку число
такого вида является линией, оно имеет те же свойства»,
Кардано, например, делит числа в среднем и крайнем
отношении: «Если какое-либо число умножить на себя, прибавить
квадрат половины, извлечь из полученного квадратный корень
и отнять от него половину числа, то оставшееся есть большая
часть числа, разделенного в среднем и крайнем отношении».
Далее с помощью числовых иррациональностей
разъясняются предложения книги X, а затем на примерах
отыскиваются стороны правильных многогранников. Например, «Если дан
диаметр сферы 10, умножь это на себя — будет 100; раздели
пополам — будет 50, а его корень есть сторона
октаэдра» и т. д.
Книга X «Начал» обсуждается и в последней главе этого
сочинения, озаглавленной «Об ошибках брата Луки». Кардано
указывает, что Пачоли «ошибался, рассматривая
иррациональные величины сверх десятой [книги] Евклида, так как был
уверен, что всякая иррациональная величина есть медиаль».
Так, «он хотеЛ, чтобы бииомиаль R. 40. р. 3. или подобная
ей была медиальной площадью, что совершенно
противоречит Евклиду, так как Евклид говорил, что медиальной яв-
лется только такая площадь, которую можно обозначить
корнем простого иррационального числа, например R. 5 или
R. 15». Кардано утверждает, что разъяснил все это в
отдельной книге, являющейся «завершением всего искусства»,
которую не сумел напечатать ввиду ее слишком большого
объема.
Среди других ошибок Пачоли Кардано указывает на
выражение I^VeO —|/48, которого „не может быть в
действительности, потому что RR. 80 есть приблизительно 3,
a R. 48 — приблизительно 7 Поэтому если возьмем
RR. 80 m. R. 48, то, как сказано, будет 3 т7; если же
138

понять это в смысле RR. 80 m. R. 48, тогда оно плохо
расположено" Другими словами, Пачоли пришел к значению—4
которое, по мнению Кардано, невозможно.
Что касается теории отношений (глава 37), то Кардано
стоит на точке зрения, типичной для XVI в. «Отношение,—
пишет он, — есть некоторая зависимость между двумя
однородными величинами, как сказал Евклид. Оно бывает
двояким: отношением равенства и неравенства. Пример первого:
5 к 5 или диагональ к диагонали. Отношения неравенства
бывают двух видов: рациональное и иррациональное. Говорят,
что отношение рациональное, если оно может быть
обозначено числом, например 7 к 5. Иррациональное же то, которое
не может быть выражено числом, например диагональ к
стороне. Иррациональные отношения бывают двух видов:
большие и меньшие; большее—это, например, диаметр к стороне,
«а меньшее.— наоборот».
Таким образом, для иррациональных отношений Кардано
вводит понятия «больше» и «меньше», но трактует их затем
чисто геометрически в соответствии с книгой X «Начал»
Евклида. Рациональные отношения, выражаемые «числом», он
классифицирует по Никомаху.
Теория отношений подрёбно рассматривается и
применяется к решению различных физических задач в трактате
Кардано «Новое сочинение об отношениях» («Opus novum de pro-
portionibus») [196], представляющем, по словам Энестрё-
ма [237, т. IX, стр. 163—164], характерное для Кардано
пестрое собрание старого и нового, полезных и бесполезных
методов. Здесь иррациональное отношение выделено с
помощью следующего определения, у других авторов не
встречавшегося: «Если при Делении знаменателя на
числитель получается иррациональная величина (quantitas
aloga), отношение называется иррациональным; если же
целое число или определенная доля числа, то
рациональным («rhete»)
Далее последовательно разъясняются правила
арифметических действий над рациональными отношениями, которые в
значительной мере отождествляются с дробями. Затем дается
описание пяти способов приближенного извлечения корней
второй, третьей и п-\\ степени.
В названном выше трактате «Великое искусство» Кардано
не только излагает известные в его время методы решения
кубического уравнения, но и доказывает правильность общей
формулы на примере х3Н-6х = 20. Доказательство проведено
по существу чисто алгебраически, несмотря на
геометрическую" иллюстрацию. По ходу рассуждения Кардано приводит
уравнение к нулю в правой части.
139

В этом же сочинении Кардано сталкивается с
отрицательными, «ложными» числами, отмечая [195, л. 39 об.], что
прибавление отрицательного равносильно вычитанию
положительного числа. Кроме того, он впервые рассматривает случай
извлечения квадратного корня из отрицательного числа,
придя, таким образом, к понятию мнимой величины [36, стр. 37].
§ 15. Немецкие коссисты
В Германии в XVI в. продолжало развиваться уже
сложившееся направление «коссической» алгебры. Коссисты — Аы-
дреас Александр, Христоф Рудольф, Михаэль Штифель, Адам
Ризе, Иоганн Шейбель — занимают видное место в истории
европейской математики. Им принадлежат большие заслуги
в развитии алгебраической символики и в дальнейшей ариф-
метизации учения о величине.
Андреас Александр. Сведений об этом ученом, жившем
в самом начале XVI в., сохранилось мало. Известно [242, 461],
что родом он был из Регенсбурга, учился у
математика-монаха по имени Аквинус Дакус [192, т. II, стр. 238], в 1502—1504 гг.
преподавал математику в Лейпцигском университете1).
Андреас Александр — автор опубликованных в 1504 г. сочинений
«Mathemalogium... super novam et veterem logicam Aristote-
lis» [461] и «Perspectiva Joannis Pisani» [339, т. 2, стр. 271—
273]. Младший современник Андреаса Александра Адам Ризе
особо отмечает его заслуги в изучении и
усовершенствовании «коссического» искусства, называя его автором двух
сочинений на эту тему — одного на латинском, а другого на
немецком языке.
О латинской алгебре ничего неизвестно; долгое время не
было сведений и о немецкой, но в 1902 г. М. Курце
опубликовал [222] анонимную рукопись под заглавием «Die Algebra
des Initius Algebras ad Ylem geometram magistrum suum»,
которая, как предположил Г Энестрём [240], содержит
немецкую алгебру Андреаса Александра.
Предположение основано на словах Адама Ризе [138,.
стр. 33], который пишет, что книга об алгебре («das Buch vom
dem ding») была переведена с арабского языка на греческий'
(krichisch) Архимедом, затем с греческого на латинский —
Апулеем и, наконец, частично на немецкий (eins teils ver-
deutst) «ученым математиком магистром Андреасом
Александром». То же повторяется и во введении к рукописи,
опубликованной Курце [240, стр. 449].
1 Валлнер [461] сообщил, что с 1504 г. Андреас Александр был
профессором в Кёльне, но Энестрём [237, т. X, стр. 345] считает эти сведения,
недостоверными.
140

По словам Ризе, кроме того, Андреас Александр перевел
лишь часть латинского сочинения на немецкий язык; и
действительно, в рукописи содержатся только три книги из
восьми, названных в оглавлении.
Наконец, Ризе говорит о восьми уравнениях,
рассмотренных Андреасом Александром; в рукописи также речь идет о
восьми видах уравнений, причем последнее, приведенное Ризе,
совпадает с восьмым уравнением рукописи, тогда как его
нет ни в одном из других цитированных Ризе сочинений. На
наш взгляд, нет оснований сомневаться в правильности
выводов Г Энестрёма, хотя сам он и не считал их
окончательными.
Упомянутое сочинение представляет немалый интерес.
Судя по оглавлению, латинский текст состоял из восьми книг;
в немецком переводе пять опущено (в том числе четвертая
книга «О рациональных и иррациональных отношениях» и
пятая— «О биномиалях»). Главы каждой книги начинаются с
латинского текста, после чего идет немецкий перевод и
комментарий. В тексте постоянно фигурируют имена греческих
ученых и мыслителей, причем в самых странных сочетаниях.
Как показал М. Курце [240, стр. 441—443], под именем Yles
понимается Евклид1), которому адресует данный трактат его
ученик по имени Initius Algebra. Последний разъясняет
учителю, как из геометрических предложений «Начал» можно
получить шесть канонических уравнений алгебры (алгебра в
тексте называется «Gebra und Almuchabola»).
Названия степеней неизвестной2), применяемые автором,—
обычные для немецких сочинений XVI в.: х°—dragma,
хх — res, radix, x2 — zensus, x3 — cubus, x* — zensus de zensu,
x5 — sursolidum, x6 — zensicubus, x7 — bissursolidum, x8 —
zensus zensui de zense, x9 — cubus de cubo3).
1) Имеются средневековые рукописи, где говорится, что «Euclides» —
это название сочинения, автором которого был математик Elias.
2) Относительно коссических обозначений степеней см. [36, стр. 31—34].
3) Интерес исследователей вызвало происхождение некоторых из этих
наименований и прежде всего термина «sursolidum» или «surdesolidum»
(у Штифеля, см. ниже), который применяется для обозначения пятой
степени наряду с итальянским «primo relato» [246, 248]. Имеется толкование
этого термина (П. Таннери) тсак «телесной величины невыразимого вида»,
связанное со словом «surde», т. €. «глухой», что является переводом араб-
сого слова «асамм», применявшегося в восточной математике для
обозначения понятия иррациональности. Возникает вопрос о взаимной
зависимости форм «sursolidum» и «surdesolidum». Г Энестрём видел во второй из
них искажение первой и поэтому был не согласен с трактовкой Таннери
(см. также [393]).
Указанные термины .применялись не только в XVI в. (Штифель, Рамус,
Клавий, Рекорд, Пелетье), но и в XVII в. (например, Декарт). Иногда
они видоизменялись: «solidus» (Рамус), «supersolidus» (Пелетье).
141

Знаки сложения и вычитания ( + у —) применяются, в-
противополжность Видману, систематически.
В следующих за введением шести главах первой книги
дается алгебраическая интерпретация 1—б-го предложений
книги II «Начал» Евклида, а затем излагается" собственно
наука Gebra und Almuchabola, написанная якобы «арабом
Алгеброй». Прежде всего разъясняются понятия степеней
неизвестной и коссические знаки (гл. 8—16). Затем автор
рассматривает восемь типов уравнений, имеющих, в современных^
обозначениях вид:
I.
11.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIH.
ах" = Ьхп+\ п = 0,
ахп *= Ьхп+2, л —0,
ахп = Ьхп+\ п-0,
ах" = Ьхя+\ л«0, ..
ах" = bxn+l + схп+2,
Ьхп+1 = ахл + схя+2,
cxn+2~axn + bxn+\
axn = b.xn+2 + <:xn+4
bxn+2 = axn + cxn+4
CXtt+4 = axn + bxn+2
■axn^bxn+z + cxn+6-
■bxn+3 = ax" + cxn+6
•схл+6 = ax" + bxn+3
axn~bxn+4 + cxn+*-
bxn+4 = axn + cx"+8
cxn+i = axn + bxn+A .
8;
7;
6;
.5;
я = 0,
л = 0,
л = 0,
•/i = 0,
•л = 0, ...
« = 0,1.
Г;:
7;
Ь
5;
3;
Хотя каждый раз рассматривается лишь несколько
конкретных значений /г, рассуждения носят общий характер.
Среди сочинений восточных авторов сходные случаи
встречались в трактате «ал-Фахри» ал-Караджи [481].
В следующих главах (18—25) даются решения указанных
уравнений:
т и
I. х = т,
142

m.*=j/f vi. « = £± ]/(£)'-;
iv.*-j/f vn., = A+|/(4)'+«
В случае VIII степени х2, х3, xA полагаются искомыми
неизвестными и уравнения сводятся к одному из рассмотренных
видов.
Во второй книге, озаглавленной «О прибавляемых и
вычитаемых величинах», разъясняются правила действий с
положительными и отрицательными числами. Существенно, что
хотя в заглавии и иногда в тексте по традиции, ведущей
начало от Диофанта, говорится о «прибавляемых» (additae)
и «вычитаемых» (diminutae) величинах, автор рассматривает
их как числа и зачастую называет «положительными и
отрицательными числами» (affirmativen und negativen Zahlen)
В связи с применением знаков «плюс» и «минус» ставится
также вопрос [240, стр. 499] о сущности биномиалей и
вычетов и утверждается, что они, являясь «абсолютными
иррациональными числами» (absoluti numeri surdi), находятся,
однако, в потенции (in schwengender mutter), и для того,
чтобы они проявились, их следует рассматривать в уравнении.
Приводятся правила сложения и вычитания
положительных и отрицательных величин (так, при сложении вычетов
5 л:2 — 6х3, 9х2— 4х3 нужно складывать отдельно
положительные и отрицательные члены, и тогда общий результат
есть 14 х2 — 10х3).
Рассматриваются различные случаи умножения
двучленных выражений, например (2х —2х3) (2 — 5х) =4х-Ь Юх4 —
— 4х3 — Юх2.
В общем виде приводится правило знаков при умножении,
выраженное в таблице [240, стр. 509], причем учитываются все
возможные комбинации. Здесь мы встречаем отдельно взятое
отрицательное число, имеющее специальное обозначение.
Действие деления одного многочленного выражения на
другое автор считает невозможным.
Третья книга, озглавленная «О соизмеримых
рациональных числах, а также об иррациональных», подразделена на
три «трактата». В первом дано правило извлечения корней,
которое рассматривается как обратное по отношению к
правилу возведения в степень бинома (х+у)п\ подробно
говорится о случаях /г= 1,... 9, причем рассуждения сопровождаются
числовыми примерами. Для этих случаев приводится табли-
143

ца биномиальных коэффициентов [240, стр. 542]. Указано,
однако, что для больших показателей извлечения корня
удобнее производить с помощью последовательных извлечений
корней второй и третьей степени.
Второй трактат содержит учение о целых числах. В
главе 1 излагается правило нахождения простых сомножителей
данного числа, на которое обратил внимание Г Энестрём
[237, т. VIII, стр. 212]. Пусть N = n2 + a, где а<2п+1. Нужно
исследовать, являются ли числа -—— (где т = I, 2, 3)
целыми; в этом случае п — т есть сомножитель N. Действи-
N п2 + а гР — т? + т* + а . . т? + а
тельно, = —— = — — = п + т А —.
' /г — т п — т п — т ' ' п — т
В главе 2 разъясняется различие между величинами,
рациональными в длине и в степени. Дается правило
нахождения общего наибольшего делителя чисел. Решается задача,
имеющая китайское происхождение: «Найти число, которое,
будучи разделено на 7, 8, 9, И, дает в остатке соответственно
5, 7, 6, 0» (глава 4). Далее изучаются совершенные, четно-
четные, четно-нечетные, нечетно-четные, избыточные и
недостаточные числа (главы 5—6); излагается тройное правило,
в основе которого лежит учение о пропорции (главы 7—9),
а также другое популярное практическое правило (глава 10),
носившее название regula virginum или rtegula coecis [53, 429].
В третьем трактате описаны действия с иррациональными
числами. Следует снова подчеркнуть, что иррациональное
число (numerus surdus, die irrationalische zal) рассматривается
как объект арифметики и определяется как «число, которое не
может быть выражено отношением двух рациональных чи-
сел> (VVelcher zal khein proportzist gegen der anderum als
do mag sein ein rationalische zal gegen der andern) [240,
стр. 574]. В дальнейшем постоянно говорится не об
«иррациональной величине», а об «иррациональном числе». В
соответствии с книгой X «Начал» исследуются «числа,
иррациональные в длине, но рациональные в степени», и «числа,
иррациональные и в длине, и в степени» (или «медиальные
числа») Далее предлагаются правила действий с
иррациональными корнями и прежде всего правило «сложения
несоизмеримых в длине чисел», которое в современной записи
выглядит так:
п /-— п г—
\пЛя-2,2
у (а + Ь) + У ( kx)na'-lb + У (k2)nan"b< +
144

где kv k2, kn_x — биномиальные коэффициенты (аналогич-
но для случая у а — V Ь). Например,
Формулируются и разъясняются примерами правила:
у а-у Ь — у ab\ у V ab = у у ab ;
т Гп г^ n Гт г,
Приближенное извлечение корня производится либо по
формуле
либо, что чрезвычайно примечательно, по формуле
У ап+ b = a +
ъ
k\ a"~l + k2 аЛ~2 + *3 ^ + + kn-la + 1
которую ранее мы встречали лишь в арабских источниках.
На этом кончается часть сочинения, переведенная и
прокомментированная немецким математиком. К сожалению,
сохранился только отрывок латинского текста четвертой
книги «О биномиалях и вычетах, а также обо всех
иррациональных числах, которых существует тринадцать» [240, стр. 607—
609]. Книга представляла собой, очевидно, систематическое
изложение книги X «Начал» с помощью алгебраических
понятий. Отрывок содержит лишь начало, где воспроизведена
евклидова классификация иррациональностей.
Поскольку многое свидетельствует о том, что сочинение
написано не под итальянским влиянием, можно думать о его
арабском происхождении. Возможно, что, действительно, как
указывает автор, трактат был переведен на латинский язык
с греческого в конце XV в. и имеет своим оригиналом
неизвестный арабский трактат, получивший распространение в
Византии — Турции (прообразом его, однако, служила не
«Алгебра» ал-Хорезми [105] и не «Ал-Мухаммадия» ал-Куш-
чи, следовавшего традиции ал-Хорезми [82]). В пользу
такого предположения свидетельствует упомянутое правило
приближенного извлечния корня л-й степени, ранее в
Европе не встречающееся.
145

Вопрос этот заслуживает дальнейшего исследования на
материале византийских источников.
Генрих Грамматеус. Генрих Шрейбер (Schreiber) из Эр-
фурта, известный под именем Грамматеуса (Grammateus)
[293, 299, 446], является одним из первых немецких
алгебраистов. По отзывам современников [138, стр. 10], он был
образованным математиком и астрономом, хорошо знакомым
с «Началами» Евклида.
В вышедшем в 1518 г. учебнике «Eyn kunstlich behend und
gewiss Rechenbtichlin vff alle Kauffmanschafft. Nach Gemey-
nen Regeln de tre. Welschen practic. Regeln falsi, Etlichen Re-
geln Coss... Buchhalten... Visier Ruthen zu machen», он наряду
с другими вопросами практической арифметики кратко
изложил правила решения уравнений. Грамматеус собирался
написать большое сочинение по алгебре, но осуществить это
намерение, по словам Ризе, помешали его усиленные занятия
астрономией [138, стр. 10].
Грамматеус оказал немалое влияние не только на
немецких математиков. Об этом свидетельствует опубликованное в
Антверпене в 1537 и переиздававшееся в 1544, 1545, 1548 гг.
сочинение по арифметике и алгебре голландского коссиста
Жиля ван дер Хеке (Giels van der Hoecke [237, т. VII.стр. 211]).
Адам Ризе. Знаменитый «вычислитель» (Rechenmeister)
Адам Ризе (Riese, или Ries) родился в 1492 г. в Штасель-
штейне, около Бамберга, получил образование, очевидно, в
Эрфуртском университете и большую часть жизни прожил
в Аннаберге, преподавая математику; умер он в 1559 г. Славу
Ризе принесли три учебника арифметики (изданы в 1518,
1525, 1550, 1579 гг.), в которых излагались правила «счета на
линиях», доступного и для людей, не умеющих писать, а
также разъяснялись различные приемы практической
арифметики [392].
Около 1524 г. Ризе закончил сочинение по алгебре («Die
Coss») оставшееся неопубликованным; рукопись обнаружил
в 1855 г. в Мариенбурге Б. Берлет и опубликовал ее текст
вместе с исследованием о творчестве Ризе [138]. Жизнь и
труды Ризе изучались и другими историками математики, в том
числе П. Трейтлейном [446], Ф. Дейбнером [226] и К.
Фогелем [456].
Во введении к «Алгебре» Ризе называет среди своих
предшественников, помимо Генриха Грамматеуса и Андреаса
Александра, Ганса Бернекера (Hans Bernecker) из Лейпцига
и Ганса Конрада (Hans Conrad) из Эйслебена и Аннаберга,
как первых, кто серьезно занялся изучением алгебры. Ганс
Бернекер предложил ряд примеров, которые Ризе
воспроизводит в своем сочинении. Относительно Ганса Конрада ему
известна сумма, которую уплатил этот математик названное
146

Прижизненный портрет Адама Ризе (из книги В. Вег-
let „Adam Riese", Leipzig, 1892).
му выше монаху Аквинусу Дакусу за решение алгебраической
задачи («eynem schwartzen munich prediger ordens, welcher
aquinas genant wartt 1 fl gebenn» [138, стр. 30]).
Ризе старается сформулировать правила алгебраических
действий понятными словами, упрекая других авторов в
неясности изложения и в пристрастии к латинскому языку,
б связи с чем «редкий мог у них что-нибудь понять». Он
ограничивается решением уравнений первой и второй степени, для
которых приводит многочисленные примеры, взятые, главным
образом, из практической жизни.
«Алгебра» показывает, что ее автор был не только
практиком-вычислителем, но и образованным математиком.
По словам П. Трейтлейна, Ризе «задолго до Штифеля и Кар-
дано и не зная Рудольфа, выполнил свою задачу,
предполагавшую не совсем обычный объем математических знаний»
[446, стр. 14].
Причиной, по которой сочинение Ризе не увидело света,
был, по всей видимости, недостаток в средствах для его
опубликования [226]. Около 1550 г. Ризе переработал «Алгебру»,
сославшись и на сочинения, написанные с 1524 г. другими
авторами. Однако и вторая редакция осталась
неопубликованной.
147

Христоф Рудольф и Михаэль Штифель. О Рудольфе
(Christof Rudolff), авторе сочинения, сыгравшего важную
роль в истории алгебры, сведений не сохранилось. Имеются
указания на то, что родом он был из Явора в Силезии,
работал в Вене, умер до 1544 г. [237, т. VIII, стр. 204—205].
Алгебра Рудольфа была издана в 1525 г. в Страсбурге
под заглавием «Behend und Hubsch Rechnung durch die kun-
streichen regeln Algebre so gemeiklich die Coss genennt wer-
den... В посвящении Рудольф обещает издать свое сочинение
и на латинском языке; этого намерения, однако, он не
осуществил (правда, Г Энестрём [237, т. VIII, стр. 204—205]
упоминает неисследованные рукописи латинской алгебры,
возможно, принадлежащей Рудольфу).
Очень скоро книга, получившая всеобщее признание,
стала редкостью, что побудило Михаэля Штифеля предпринять
новое издание. Сочинение Рудольфа было опубликовано во
второй раз с комментариями Штифеля в 1553 г. в
Кенигсберге и носило теперь название: «Die Coss Christoffs Rudolffs mit
schonen Exempeln der Koss durch Michael Stifel gebessert und
sehr gemehrt» [419].
Михаэль Штифель (Mich. Stifel) [104, 187, 192, 294, 319,
320] — один из крупнейших математиков XVI в.— родился
в 1486 г. в Эслинге. В ранней молодости он вступил в авгу-
стинский монашеский орден, но после появления учения
Лютера стал его ярым приверженцем и вынужден был около
1521 г. бежать из монастыря. С этого времени Штифель вел
проповедь нового вероучения, занимая духовные должности
в различных районах Германии. Умер он в 1567 г. в Иене.
Интерес к математике, особенно к числовой мистике,
проявился у Штифеля еще в монастыре. Позже он занялся
серьезным изучением «Начал» Евклида в обработках Кампано
и Замберти, а также трудов Рудольфа, Ризе, Кардано и
других европейских авторов.
В 1544 г. было опубликовано сочинение Штифеля
«Обобщенная арифметика» («Arithmetica Integra»), в 1545 г.—
«Немецкая арифметика» («Deutsche arithmetica»), излагающая
практические вычислительные правила, в 1546 г. —
«Вычислительная книга по вельской и немецкой практике» («Rechen-
buch von der welschen und deutschen Practik»), а в 1553 г.
вышла в свет его обработка «Алгебры» Рудольфа.
Остановимся прежде всего на последнем сочинении [419].
Благодаря тому, что Рудольф так ясно и точно изложил по-
немецки «удивительное и совершенно философское искусство
вычисления, названное Coss», сам Штифель, по его словам,
постиг это искусство без затруднений; теперь же, ввиду
редкости сочинения Рудольфа, многие просили его взяться за
новое издание. После подробного оглавления дан совет начи-
148

fillip
©сгйп5>«$г^ ли Ы| ^igettt ^et CofVr< em-
fit fotj&erbqrt dp|t||it Щ»ф MWdHtlf
|cf)5iic» ^empcln.
Qf Г ftftt С^1Щ^^0/Ш1«
ч"' wt&ate? Utm Ф«Щ Щ$Ш* iDa© off i#»$
gtmeynem ТИдопфто bet §щт pta» imp
fltTummwn.
|>еп&с rnb.fccu AcK »♦ fblUgeiwnt/bft*utalkitt
Страница из книги Христофа Рудольфа .Косе" в
обработке Михаэля Штифеля (изд. 1553 г.).
нающему, в каком порядке следует читать книгу: поскольку
наибольшую трудность представляют «глухие и
биномиальные числа» (Surdischen und Binomischen zalen), то
трактующие их разделы нужно изучать в самом конце.
Изложив правила арифметических действий (лл. 1—5 об.),
Рудольф пишет, что он не продолжает объяснений, так как
«об этих вещах можно узнать в любом обычном учебнике
149

арифметики», и переходит к арифметической и геометрической
прогрессиям, рассматривая их на числовых примерах.
В добавлении Штифеля говорится, что Рудольф положил
учение о прогрессиях в основу своей алгебры и поступил
правильно, ибо «коссическое искусство настолько целиком и
полностью основывается на прогрессиях, что по справедливости
может быть описано как исчисление с помощью
геометрической прогрессии». Далее указаны области, где находят
применение прогрессии,, и, в частности, теория фигурных чисел
(со ссылкой на Боэция и Иордана Неморария).
При объяснении происхождения названия «геометрическая
прогрессия» сделано интересное замечание, в котором
можно видеть первую попытку ввести понятие многомерного
пространства. Поскольку геометрически можно интерпретировать
только четыре первых члена прогрессии, то каждую
геометрическую прогрессию можно считать соответствующей
арифметической, единицу — точке, первое число — линии,
второе число — четырехугольной плоской фигуре, третье число —
кубическому телу. Далее, «поскольку, однако, мы находимся
в области арифметики, где нам позволено придумывать
много вещей, которые иначе не имеют совсем никакого
образа, то позволено и то, что недопустимо в геометрии. А
именно, что мы предполагаем телесные линии и. поверхности
(corperliche liniee und superficies) и выходим, за пределы
куба, как если бы существовало больше трех измерений, что,
однако, противно природе» (л. 9).
Подход Штифеля к понятию дроби выясняется из его
дополнения к главе 2: «Как -^ гульдена есть третья часть
одного гульдена, так и 3~ есть часть одной единственной
единицы. Поэтому справедливо спрашивают и обсуждают,
почему единица подразделяется, тогда как древние и новые
мастера... говорят, что единица неделима, и на этой основе...
строят всю теоретическую арифметику. Здесь следует дать
короткий простой ответ. Такое подразделение единицы
должно быть разрешено вычислителями ввиду большой пользы,
которую из этого имеют» (л. 22). Тогда, — разъясняет Шти-
фель, — можно получить алгоритм всех дробных чисел,
возникающий благодаря «таким придуманным долям единицы»
и являющийся «прекрасной основой» для построения «всех
алгоритмов всех дробных чисел, безразлично, являются они
глухими или биномиальными, или являются вычтенными
(Residuisch) или иррациональными, как их можно назвать
по-иному» (л. 22).
Таким образом, не считая дробь истинным числом, Шти-
фель, тем не менее, полагает полезным и необходимым
пользоваться ею и в теоретических рассуждениях.
150

Далее излагаются «тройное правило», правила
извлечения корней, вводятся понятие «коссических чисел» и их
обозначения, формулируется правило знаков и т. д. Затем
обсуждаются иррациональные числа и правила действий
с ними.
Согласно определению Рудольфа, «глухим числом (nume-
rus surdus) называется число, из которого нельзя извлечь
корень и, тем более, нельзя такой корень выразить»
(л. 85 об.). Вводятся обозначения для корней, объясняются
правила действий с ними и с выражениями, содержащими
иррациональность в знаменателе.
В главах о биномиалях и вычетах приведены
определения Рудольфа (л. 112): биномиаль — это „двуименное число
(zwinahmig ^al), которое имеет такой знак: „ + ", например,
5 + V7, К8 + 1/6", УТ2 + 3 и т.д. Аналогично
определяется вычет как „число двойного наименования, связанное
знаком „ —u Далее приводится несколько примеров для
объяснения правил сложения и вычитания этих „чисел"
Штифель, желая «показать, как Евклид рассуждал о
биномиалях и вычетах и какой вывод делал из этого»,
рассматривает вопрос подробнее, «чтобы и немецкий читатель
имел представление об этом вопросе, который в прежние
времена считался самым трудным во всем Евклиде» (л. 118).
Прежде всего он определяет шесть видов биномиалей,
понимая под биномиалью «число, одна часть которого есть обычное
число (например, 3, 4, 5 и т. д.), а другая часть — глухое
число, обозначенное V» (л. 118 об.). У первой биномиали
«большая часть рациональная, а меньшая глухая»,
(например, 12+}/~б); у второй „большая часть глухая, а меньшая
рациональная" (например, 1/120 +б); у третьей „обе части
являются глухими числами" (например, "|/12 + ~)/б ).
«Итак, — заключает Штифель, — каждый простой
вычислитель тоже может легко понять, что у Евклида является
биномиалью или не биномиалью, вычетом или не вычетом»
(л. .119).
В дополнении к главе, содержащей правило извлечения
корня из биномиалей, Штифель замечает, что «эта глава
короткая, но очень важная, так как если не умеешь извлекать
квадратный корень из биномиалей и вычетов, то невозможно
понять десятую книгу Евклида». Он подробно разъясняет
евклидову классификацию, пользуясь арифметическими
терминами: «Евклид вводит тринадцать линий. Ты йонимаешь,
таким образом, что это — тринадцать глухих чисел, которые,
будучи причислены к линиям, дают линиям названия. Мы
будем здесь (по праву) называть их не линиями, а глухими
числами, но согласно тем видам, о которых учит Евклид»
(л. 121 об.).
151

В последующей главе речь идет о «пяти видах
отношений»; Штифель добавляет рассуждение об «общем алгоритме
отношения» и учит «сложению, вычитанию, умножению и
делению отношений», называя это «удивительным делом»
(wunderbarlich ding).
Второй раздел сочинения Рудольфа представляет собой
руководство к решению уравнений, снабженное
многочисленными примерами.
Таким образом, подход Рудольфа и особенно Штифеля к
понятию числа оказывается значительно более общим, чем у
ранних авторов: дробь и иррациональное число они (хотя и
со значительными оговорками) прямо называют «числами»,
причем делают попытку дать теоретическое обоснование
такой точки зрения.
Еще более четко Штифель излагает свои взгляды в
знаменитой «Обобщенной арифметике» («Arithmetica integra»).
Сочинение1) состоит из трех книг: I — «О рациональных
числах», II — «Об иррациональных числах», III — «Об алгебре».
Такое подразделение обусловлено подходом Штифеля к
трактовке понятия числа. Исходя из представления о неделимости
единицы, он рассматривал два основных вида чисел —
«истинные» (numeri veri) и «ложные» (numeri ficti). К «истинным»
он относил рациональные числа, подразделяя их па
абстрактные (abstracti) и именованные (contracti или denominati).
К «ложным» были отнесены иррациональные числа, которые
он называл также «подобием чисел» (imagines numerorum);
они подразделялись на абсолютные (absoluti) и коссические
(cossici). Это был принципиально важный шаг в истории
учения о числе, окончательно разрушивший античное
противопоставление числа величине.
Книга I содержит учение о рациональных числах; она
подразделяется на практическую (главы 1 и 10) и теоретическую
(главы 2—9) арифметику.
Практической арифметике, которая позднее стала
предметом отдельного сочинения Штифеля, здесь отведено
сравнительно мало места: изложены способы изображения чисел,
разъясняются арифметические действия с целыми числами
и дробями (включая удвоение, раздвоение и прогрессии), и
несколько практических правил. Штифель приводит способ
деления, который у Луки Пачоли назван «галерой» из-за
фигуры, в которую располагаются цифры при вычислении.
Из практических правил дается, в частности, тройное
правило (Regel de Iri).
Значительно больше внимания уделено теоретической
арифметике, которая рассматривает «сущность и виды абст-
Ссылки даны по изданию 1594 г. [420J.
152

рактных чисел». Они подразделяются на четНо-нечеТные,
четно-четные и четно-нечетно-четные; каждый из этих видов
иллюстрируется, соответственно, прогрессией:
1) арифметической 6, 10, 14, 18,
2) геометрической 4, 8, 16, 32,
3) 12, 20, 24, 28, 36,..., три первых члена которой образуют
обратную гармоническую.
К четно-нечетно-четным числам относятся, в частности,
совершенные числа, относительно которых Штифель
утверждает, что все они, за исключением 6, являются кратными 4.
В книге II рассматриваются иррациональные числа.
Вначале Штифель сообщает, что между математиками
происходит спор о том, являются ли эти числа истинными
или ложными, и, ссылаясь на геометрическое доказательство,
утверждает, что если рациональные числа мы считаем
«реальными, точными», то, рассматривая иррациональные,
приходим к противоположному утверждению и «отрицаем,
что иррациональные числа являются числами» (л. 103). Он
утверждает, что нельзя назвать истинным число, не
имеющее определенного отношения ни к одному истинному
числу, и говорит: «Отношение иррационального числа к
рациональному не менее неточно, чем отношение бесконечного к
конечному» (л. 103).
Далее Штифель доказывает свое утверждение: если бы
иррациональное число было истинным числом, то оно было бы
либо целым, либо дробным. Легко видеть, что целым оно быть
не может. Действительно, «любое иррациональное число
попадает между какими-нибудь ближайшими целыми числами. Так,
Уб_ попадает между 2 и 3, а 1/10, ]/ТТ, 1/12, "j/ТЗ, V~U ,
]/15 попадают между 3 и 4 и т. д. Но достаточно известно,
что между двумя ближайшими целыми числами не
попадает никакое целое число" (л. 103 об.).
В то же время иррациональное число не может быть
дробным, ибо «невозможно, чтобы при умножении дробного числа
на себя получилось целое число, а при умножении
иррационального числа на себя может получиться ЦеЛое число: так
У§ на себя в квадрате производит 6, Уь на себя в кубе
производит бит. д.» (л. 103 об.) Предложение о том, что дробь
при умножении на себя не может дать целого числа, доказано
следующим образом: «Если знаменатель не делится на
числитель, то тем более квадрат знаменателя не делится на
квадрат числителя. Таким же образом и тем более куб
знаменателя не делится на куб числителя, чтобы получилось целое
число. Отсюда, как никакое целое число при умножении на
себя не может произвести дробного числа, так и никакое
дробное число при умножении на себя не может произвести
целого числа» (л. 103 об.). Кроме того, «любое дроб-
153

ное число имеет определенное отношение к любому
целому числу, а никакое иррациональное число не имеет
определенного отношения ни к какому числу — ни к целому, ни
к дробному» (л. 103 об.).
Таким образом, иррациональное число не может быть ни
целым, ни дробным. В то же время между двумя
ближайшими целыми числами находится бесконечно много как дробей,
так и иррациональных чисел.
Глава 2, названная: «Что думал Евклид об
иррациональных числах», начинается с утверждения, что «Евклид в пятом
предложении своей десятой книги совершенно отрицал, что
иррациональные числа являются числами» (л. 103 об.).
Сформулировав это предложение («Две соизмеримые
величины относятся, как число к числу. Следовательно, две
несоизмеримые величины относятся не как число к числу»), Шти-
фель иллюстрирует его примерами (|/24:|/б =4:2, но
"|/24:1/8 = 1^12:2) и говорит: „Поэтому Кампано, который
разбирался в Евклиде, утверждал, что одиннадцатое
предложение второй книги Евклида не может быть доказано с
помощью чисел" (л. 104 об.). В то же время он видит, что
Евклид широко применял эти „образы чисел", особенно в
книге X.
Определения книги X «Начал» Евклида, которая, по словам
Штифеля, касается «общей трактовки иррациональных
чисел», разъясняются в следующей главе. Если при делении
одного из данных иррациональных чисел на другое получится
рациональное число, они соизмеримы. Здесь, в частности,
рассматриваются числовые примеры соизмеримых ("[/216
1/60(7, 1/24) и несоизмеримых (l/l8, ^162) величин и
приводится геометрическая иллюстрация последнего
примера (см. рисунок на стр. 156): даны отрезки АВ и BD, на
которых строятся квадраты GFDB и ABNM; пусть эти
квадраты измеряются одним квадратом Е, причем GFDB =
= 18£\ ABNM = 9Е. Из чертежа понятно, что квадраты
GFDB и BDHI и их стороны ("J/18 и >/162)
несоизмеримы.
Далее дана классификация иррациональных чисел,
которая существенно отлична от классификации Евклида. Шти-
фель различает прежде всего главные (principales) и
второстепенные (minus principales) виды абстрактных
иррациональных чисел.
Главные виды:
1) простые иррациональные числа — «медиали», которые
Штифель определяет как «глухие корни из рациональных
.чисел», относя к ним не только корни с показателем 2Л,
154

как у Евклида, но иррациональные корни произвольной
степени; этот вид подразделяется на бесконечно много
видов: квадратные медиали, т. е. квадратные корни
из рациональных чисел; кубические медиали, т. е.
кубические корни из рациональных чисел;
квадратно-квадратные медиали; медиали пятой степени, медиали шестой
степени и т. д.;
2) составные иррациональные числа: бимедиали — числа,
полученные от сложения двух медиальных чисел одного вида
(например, У 12 + /8, >/~!2 + Уб , ^28 + ^/12"); биномиа-
ли — числа, полученные от сложения медиального числа
с рациональным или двух медиальных чисел различного
вида (например, /12 + >Л~2, У'ТЗ + уП^);
3) иррациональные числа, являющиеся корнями из
составных (species radicalium componitorum), например,
К/12 + /18
4) составные иррациональные числа, полученные
вычитанием, относительно которых «Евклид доказал, что они во всем
подобны полученным сложением»: «бимедиальные вычеты —
числа, полученные при вычитании медиалей одного вида
(например, /12 — /6 , -/"24 — /18J; биномиальные вычеты —
числа, полученные при вычитании медиального и
рационального числа или двух медиальных чисел различного
вида (12 - /НО , /2~00 - 12, /12 - y/W, ^И — У8 );
5) радикальные числа от полученных при вычитании
(например, VV^2 -/8, Уб - /6, //12 - 2
Veo - Vw у
Второстепенные виды, широко применяемые в алгебре:
1) иррациональные числа, полученные при сложении:
тримедиали (например, J/24 + /12 + /8 ), квадримедиали
например, Y24 + у/ 8 +i/5 + i'2), триномиали [ например,
квадриномиали (например, /200 +
4-5/iooo + V"To + 7/2);
2) иррациональные числа, полученные _при вычитании:
тримедиальные вычеты (например,
квадримедиальные вычеты [например, /20-/17-/8-
— /2), триномиальные вычеты (например, V 20 — 1^20 —
155

Страница из „Arithmetlca Integra" Михаэля Штифеля (изд.
1594 г.).
— уЛ20], квадриномиальные вычеты (например, 16— \/ 18—
-VT-V2);
3) иррациональные числа, полученные с помощью как
сложения, так и вычитания (например, ]/60 + V^20 — 8,
6+ 1/28-^/10- 1/14-5);
4) иррациональные числа, полученные при извлечении
какого-либо корня из числа, относящегося к одно-
156

му из указанных видов (например, У У20 + 4 + V&
5) всякое другое иррациональное число будет относиться
к одному из четырех предыдущих видов.
Таким образом, Штифель значительно расширил
классификацию Евклида, охватив радикальные выражения любого
вида, но, естественно, потерял при этом то глубокое
внутреннее содержание, которое отличает книгу X «Начал».
В этом разделе он разъяснил также применение знаков
«плюс» и «минус»: «Когда складываются два несоизмеримых
или два других, отношение которых неизвестно (как это
бывает с коссическими числами), тогда между слагаемыми мы
ставим знак « + » и говорим, что составленное таким образом
есть сложенное. Таким образом, знак « + » называется
знаком сложения (signum additorum). Подобным образом мы
называем знак «—» знаком вычитания (signum subtractorum),
потому что если хотим отнять какое-либо число от
несоизмеримого с ним или от такого, отношение которого к
вычитаемому неизвестно, тогда применяется этот знак» (л. ПО).
В главе 5 Штифель рассматривает классификацию
иррациональных величин, данную Евклидом в книге X «Начал»,
и сравнивает ее со своей классификацией.
В следующих (6—7) главах разъяснены правила
действий с медиальными иррациональными числами,
описанными выше, и особенно — с теми медиалями, «которых не
касался Евклид», т. е. корней произвольной степени.
Иоганн Шейбель. Иоганн Шейбель (Johann Scheybel,
Scheybl, или Joannes Schevbelius), видный математик XVI в.
родился в 1494 г. в Кирхгейме, близ Штутгарта; учился в
Вене, Лейпциге и Тюбингене, где получил степень магистра и
затем преподавал в течение долгих лет геометрию,
арифметику и «Евклида». Умер там же в 1570 г., завещав рукописи
и астрономические инструменты университету.
Шейбель написал несколько сочинений по математике,
главным образом, учебников. Обзор некоторых из них дал в
1796 г. А. Кестнер [339], но основательно творчество Шейбеля
было изучено лишь в конце XIX в. Г Штайгмюллером [413]
и отчасти П. Трейтлейном [446].
В 1545 г. в Лейпциге вышло арифметическое сочинение
Шейбеля «De numeris et diversis rationibus seu regulis
computationum opusculum».
В отличие от других авторов учебников арифметики,
Шейбель не просто сообщает правила действий, но излагает
предмет, который является для него «искусством и наукой», как
в научном трактате, и пытается дать представление о его об-
157

щих методах. Как сочинение научного содержания, оно
написано Шейбелем на латинском языке, однако, существовало и
в немецком переводе [339, т. I, стр. 104]. Мы остановимся
несколько подробнее на другой книге Шейбеля, которая
называется «Euclidis Megarensis, Philosophi et Mathematici,
sex libri priores, de Geometricis principijs» и представляет
собой характерное для XVI в. издание I—VI книг «Начал»,
где геометрическая теория разъясняется с помощью алгебры.
Напечатана она в 1550 г. в Базеле [403]. Чтобы получить
возможность последовательно применять этот метод, Шейбель
предпосылает «Началам» раздел с «кратким описанием
правил алгебры». Изобретение алгебры он приписывает
Диофанту.
Ряд степеней неизвесткой, или «именованных чисел»,
сопоставляется с рядом натуральных чисел; вводятся «косси-
ческие» обозначения, разъясняются действия сложения,
вычитания, умножения и деления целых и дробных выражений;
дается правило знаков, причем Шейбель применяет термины
«положительный» (affirmativus) и «отрицательный» (negati-
vus) для знаков «плюс» и «минус». Рассматриваются
уравнения и задачи, приводящиеся к ним.
Далее следует раздел о «глухих» числах, бинсмиалях и
вычетах, в котором можно наблюдать еще более
последовательную арифметизацию учения о величинах, чем у Штифеля.
«Глухие» или «иррациональные» числа определяются, как
числа, «корни которых нельзя выразить точным числом»
[403, стр. 35]. Другими словами, он говорит не о «глухом»
корне, а о «глухом» подкоренном выражении и этим
нарушает традицию. «Глухими считаются числа 3, 17, 21, 346*
и т. д.». _
Правило сложения двух иррациональных чисел У а +
+ УН = у а + b + 2 Yob основано, как говорит автор, на
4-м предложении книги II „Начал44.
В разделе «Алгоритм биномиалей и вычетов» (стр. 45—55)
даются определения такого типа: «Биномиаль, или линия из
двух имен, как ее определил Евклид в 36-м предложении
десятой книги, есть иррациональная линия, составленная из
двух рациональных, соизмеримых только_в степени, взятых
в одном направлении; например, 4 -+- ]/7, 1/12 + 3, 1/27+
+ 1/15, 4 +"1/8, 1/Т2 + 2, 1/27 + 1/18. Шейбель, таким
образом, говорит о „линиях44, имея в виду иррациональные
корни. Он утверждает, что „рассмотрение биномиалей и
вычетов не представляет трудностей, так как все правила
операций с ними описаны выше44.
Формулируются правила сложения, вычитания,
умножения и деления биномиалей и вычетов, сопровождающиеся чис-
158

ловыми примерами. Дается классификация биномиалей,
представленная в таблице [403, стр. 50]. Словесно выражено
основное правило («canon generalis») извлечения
квадратного корня из биномиалей и вычетов: если Л>В, то
Проверка, как ранее у арабских авторов [82, стр. 199 —
213], производится последовательным возведением
результата'в квадрат. Кроме того, Шейбель указывает и
другой—алгебраический путь (ср., например, с трактатом ал-
Ахвази [82, стр. 205-208]): \/УЛ± VB = */х-^Уу рав-
носильно системе х + у = ]/Л, ху = —у решение которой
получается из пропорции х:^-у = L-.: [уа — х).
Многочисленные задачи иллюстрируют описанные
правила (например, ищутся гипотенуза и катет треугольника,
другой катет которого 8 — |/32, а сумма гипотенузы и
искомого катета 16- /128).
Затем Шейбель переходит к изложению «Начал»,
сопровождая каждое предложение примерами с рациональными и
иррациональными числами. Иногда приводится греческий
текст. По словам Шейбеля, перевод сделан им самим.
Во введении к книге V [403, стр. 225] разъясняются
основные понятия общей теории отношений и дается никомахова
классификация числовых отношений.
Шейбель говорит о «знаменовании» отношения, имея
в виду при этом выражение рационального отношения дробью.
Так, рассматривая три числа: 9, 24, 64, он называет «знаме-
нованием, или отношением первого ко второму» дробь
— а „знаменованием, или отношением первого к третьему"
8' 9 п 9 24 9 /3\2
дробь g;. При этом, так как _ = -, то й = ^ , т.е. яв~
ляется двойным отношением.
Во введении к книге VI [403, стр. 267] изложено учение
о составном отношении. Даны следующие определения:
«Говорится, что отношение составляется из отношений, когда
величины отношений, то есть знаменования, будучи
перемножены, образуют отношение. Говорят, что то отношение
составлено из отношений, которое получено из знаменований
этих отношений. Величинами же, то есть знаменованиями
отношений называется то, чем знаменуются или именуются
отношения». В качестве примера приводятся отношения 8:4
и 4:2, имеющие «знаменование» 2. Отношение 8:2 имеет
159-

Титульный лист „Алгебры" Иоганна Шейбеля (изд.
1552 г.).
«знаменование» 4 и составлено из отношений 8:4 и 4:2.
Таким образом, Шейбель выражает «количество»
отношения (рационального) числом и операцию составления
отношений сводит к перемножению соответствующих чисел.
Этот важный результат остался не отмеченным
исследователями творчества Шейбеля.
Алгебраический раздел рассмотренной книги Шейбеля был
издан отдельно в 1552 г. в Париже [404].
Третье сочинение Шейбеля [339, т. I, стр. 104—108],
представляющее интерес для истории учения о числе, вышло в
1558 г. на немецком языке («Das sibend acht und neurit buch,
i60

des hochberumbten Mathematici Euclidis Megarensis...»).
В нем излагаются книги VII—IX «Начал» Евклида, которые,
по словам автора, содержат «причину, основу и фундамент
операций и правил всякого обычного счета». Шейбель говорит
в заглавии, что он перевел эти книги с латинского (вероятно,
с текста Кампано) и сопроводил их примерами, имея в виду,
чтобы они «каждому обыкновенному вычислителю стали
легко понятны и могли принести пользу».
Все предложения сопровождаются числовыми примерами,
но доказаны не всегда (хотя отмечено, что многие
вычислители не удовлетворяются простыми словами, а требуют
доказательства). Обычно применявшиеся практические правила
Шейбель выводит как следствия из предложений «Начал».
Так, «тройного правила» у Евклида нет, но ввиду его
большой пользы оно приводится и обосновывается 23-м
предложением книги VI.
В заключение Шейбель обещает вычислителям изложить
и книгу X «Начал», в которой, как и в других книгах
Евклида, следует видеть обоснование «коссического правила, как
его называют, или алгебры».
Гемма Фризий. Среди ученых, на которых оказал
влияние Штифель, следует назвать голландского математика
Гемму Фризия (Gemma Frisius, 1508—1555 гг.), известного
трудами по картографии, космографии и об астрономических
инструментах [382]. На полях экземпляра «Обобщенной
арифметики» Штифеля он написал комментарии к этому
сочинению [166, 170], где пытался доказать правило знаков
при умножении и уделил много внимания теории
уравнений. Поняв важность сопоставления арифметической и
геометрической прогрессий, он заметил: «Интересное
рассуждение».
Гемма Фризий составил также учебник по
практической арифметике «Легкий метод арифметической практики»
(«Arithmeticae practicae methodus facilis»), опубликованный
в Париже с комментариями Пелетье (см. ниже) в 1551 г
и переизданный в 1553 и 1556 гг.1). Он представляет собой
типичный пример сочинений такого рода.
Трактат состоит из четырех частей. В первой излагаются
правила операций с целыми числами, в том числе четыре
способа деления; при этом особенно подчеркивается значение
прогрессий. Относительно действий удвоения и раздвоения
автор говорит, что их не следует рассматривать как
отдельные арифметические операции, ибо в таком случае нужно
выделить и действия умножения и деления на 3, 4 и т. д.
х) В использованном нами экземпляре из Библиотеки АН СССР
строки с указанием года издания оторваны [289].
161

Во второй части излагается теория дробей — приведение
дробей к общему знаменателю, сложение, вычитание,
умножение и деление. Отдельно формулируются прямое и
обратное тройное правило для дробей.
Третья часть содержит практические вычислительные
правила, а также способы приближенного извлечения
квадратных и кубических корней. В конце [289, лл. 54 об. — 47 об.)
кратко сообщаются «правила кос, или алгебры». Таким
образом, алгебра рассматривается здесь как раздел практической
арифметики.
В четвертой части трактата изложена теория числовых
отношений, а в приложении — правила действий над 60-ричными
или, как их называли, астрономическими или физическими
дробями [289, лл. 64—76].
§16. Французские математики
Сочинения по алгебре французских ученых XVI в. в
противоположность трудам их итальянских и немецких
современников, долго не вызывали особого интереса историков
математики. А Босман [168, 171], Г. Энестрём [237, т. VI, стр.409—
410], Г Вертгейм [472] впервые показали, что эти сочинения,
несомненно, заслуживают внимания и что великий математик
Ф. Виет (см. ниже) имел среди соотечественников не одного
предшественника.
Ниже дается обзор работ ученых XVI в., стремившихся
выработать общие принципы науки о числе, включающей как
арифметику, так и алгебру.
Рамус и Шонер. Пьер де ла-Раме (Pierre de la Ramee),
известный под латинизированным именем Рамуса (Petrus
Ramus), стоит в ряду наиболее замечательных личностей
XVI в. [187, 188, 192, 400, 402]. Он родился в 1515 г. близ
Суассона в обедневшей аристократической семье. Поступив
в услужение к богатому студенту, Рамус по его записям
лекций изучил латинский и греческий языки и философию.
Впоследствии он получил также глубокие познания в
математике. В течение долгих лет Рамус — «блестящий оратор,
глубокий философ, остроумный математик» [187] — занимался
преподавательской деятельностью, принимая в то же время
активное участие в научных и религиозных спорах. Он
требовал освободить науку от гнетущего авторитета
Аристотеля, выдвинув лозунг: «Все, что сказал Аристотель, ошибочно»,
и тем самым приобрел многочисленных врагов в ученой среде.
Вынужденный уехать за границу после начала гражданской
войны во Франции, Рамус побывал в Базеле, Гейдельберге
[188], Франкфурте-на-Майне, Нюрнберге и других городах.
162

Прижизненный портрет Питера Рамуса (из книги G. Sarton
„Six wings", Bloomington, 1957).
В 1570 г. он вернулся в Париж и, будучи гугенотом, погиб в
Варфоломеевскую ночь.
Наряду с трудами по философии, грамматике и логике, Ра-
мус написал несколько сочинений по математике. Среди
них «Тридцать одна книга математических бесед» («Scholarum
rnathematicarum libri unus et triginta», Базель, 1959 г.) [385].
В математических науках, как и в философии, Рамус
стремился к низвержению древних авторитетов, препятствующих,
по его мнению движению вперед. Так, в названном сочинении
он приветствует Коперника и высказывает пожелание, чтобы
в астрономии отказались от старых гипотез и старались
основываться на фактах и вычислениях [385, стр. 47]. Здесь же
он обрушивается с резкой критикой на Евклида: выражая
точку зрения практиков, он считает* что не следует давать
163

определения прежде, чем в них появится нужда, что неверно
предпосылать геометрию арифметике и что десятая книга
«Начал» не может сравниться ни с одним сочинением по
неясности и ненужности [385, стр. 152].
Эти идеи он положил и в основу другого сочинения:
«Арифметики две книги, геометрии — двадцать семь» («Arith-
meticae libri duo: geometriae septem et viginti», Базель,
1569 г. [384]. Рамус начинает с предложений теоретической
арифметики, затем излагает теорию дробей и уделяет особое
внимание учению об отношениях и пропорциях. Геометрия
носит у него чисто прикладной характер, основные
предложения иллюстрируются числовыми примерами: большой раздел
отведен практическим измерениям. Общие теоремы о
величинах приводятся во вводной главе геометрической части
книги. Геометрию Рамус определяет как «искусство хорошо
измерять» и дает краткий исторический очерк ее развития. Далее,
ссылаясь на определения Аристотеля, он рассматривает
непрерывные величины, являющиеся предметом геометрии, их
соизмеримость, несоизмеримость, рациональность,
иррациональность. Рациональными Рамус называет такие величины,
«отношение которых выразимо числом данной меры».
Излагая предложения Евклида, Рамус опускает книгу X
«Начал» и не касается теории квадратичных иррациональ-
ностей даже в разделе о правильных многогранниках, где
все доказательства основаны на этой теории. Тем самым
он еще раз проявляет отрицательное отношение к отвлеченным
рассуждениям в математике.
Третье сочинение Рамуса «Арифметики две книги и
алгебры — столько же» («Arithmetices libri duo, et Algebrae toti-
dem») впервые появилось в 1586 г.1) в обработке его
ученика Л. Шонера (Lasarus Schonerus) В первой книге (о
«простой» арифметике) рассматривается способ обозначения
чисел, разъясняются арифметические действия с целыми
числами, определяются четные, нечетные, взаимно простые
числа; даются правила нахождения общего наибольшего
делителя и общего наименьшего кратного. В комментариях
к каждой теореме сделаны ссылки на соответствующие
предложения Евклида. Излагая теорию дробей, Рамус определяет
евклидовы понятия «доли» и «долей», а затем говорит, что
«при делении меньшего на большее частное будет меньше
единицы, и оно называется дробью или долей, величина
которой находится этим делением». Таким образом, понятия
дроби и доли сливаются у него в одно понятие.
!) Мы пользовались изданием 1592 г. [386]. У М. Кантора это издание
названо первым [192, т. II, стр. 562—563] ошибочно, на что указал
Г Энестрём [237, т. XIII, стр. 71].
164

Титульный лист „Арифметики" Питера Рамуса в обработке
Л. Шонера (изд. 1о92 г.).

Интерес для истории европейской математики
представляет заметка о происхождении алгебры. Г Энестрём
считает [261], что, если узнать, откуда почерпнуты эти данные,
можно было бы уточнить вопрос об источниках алгебры
XVI в. Он предполагает, что Рамус пользовался либо
рассмотренным выше сочинением Андреаса Александра, либо
лежащим в его основе неизвестным нам трактатом, о котором
говорилось выше.
Вторая часть сочинения (о «сравнительной
арифметике») — это изложение теории величин и, в частности, теории
отношений, которая предполагается основой всех правил
практической арифметики.
С точки зрения истории учения о числе небезынтересно
дополнение Шонера к этому сочинению Рамуса; М. Кантор
[192, т. II, стр. 562—563], на наш взгляд, пренебрегает им
не совсем заслуженно (ем. также [237, т. VII, стр. 91—92]).
В трактате Шонера можно видеть одну из сделанных
в XVI в. попыток объединить различные разделы
арифметики и алгебры и построить на некоторой строгой
основе единое учение о рациональном и иррациональном
числе.
В первом разделе дополнения рассматриваются
«фигурные» числа. При этом, однако, понимаются не пифагорейские
фигурные числа, а числа, состоящие из нескольких равных
сомножителей, т. е. степени целых и дробных чисел;
сомножители называются «сторонами» фигурного числа.
Отношение двух таких чисел оказывается «составленным» из
отношений их сторон. Исходя из этого геометрического
определения, Шонер обосновывает понятие иррационального корня
как «невыразимой» стороны числа, а затем излагает правила
вычислений с ними*
Формулируется несколько общих поедложений
относительно фигурных чисел, например: «При делении плоского
числа на одну его сторону получается другая сторона».
Число, имеющее две равные стороны, называется квадратным,
а его стороны — корнями, которые обозначаются буквой /.
Сторона может быть либо «выразимой» (explicabile), либо
«невыразимой» (inexplicabile) в зависимости от того, можно
выразить числом ее отношение к единице или нет. Шонер
замечает, что по-арабски квадратное число называется
«zensus» и разъясняет методы приближенного извлечения
квадратного корня.
Относительно иррационального корня, т. е.
«невыразимой» стороны неквадратного числа вида тп автор говорит,
что она может быть найдена как среднее геометрическое
между тип. Например, «поскольку нельзя выразить
сторону квадрата 40, которая обозначается / 40, то она опреде-
166

ляется из_непрерывной пропорции 4. /40. 10» [386, стр. 247],
т. е. 4: 1/40 = 1/40:10.
Далее исследуются «кубические» числа и дается правило
приближенного извлечения кубического корня.
Затем Шонер переходит к «остальным фигурным числам»,
т. е. составленным больше, чем из трех равных сомножителей,
и пользуется при этом, как ранее Штифель, представлением
о многомерных телесных фигурах. Он говорит, что если в
геометрии нельзя говорить о четырех или более измерениях,
то в арифметике с успехом применяются такие понятия,
представляющие собой «скорее ложные, чем истинные,
видоизменения геометрических объектов» [386, стр. 271]. Так, пятая
степень определяется как «телесное, второе из следующих
после куба». Этим он объясняет смысл названия «surdesoli-
dum» для пятой степени неизвестной, которое, по его словам,
«ведет происхождение от арабов» [386, стр. 273].
Вторая часть сочинения Шонера посвящена 60-ричным
дробям.
Интересно отметить, что при изложении теоремы о
составных отношениях Шонер ссылается на латинский перевод
трактата Сабита ибн Корры «De figura sectore».
Ж. Пелетье. Жак Пелетье или, в латинской транскрипции,
Пелетариус (Peletier, Peletarius, 1517—1582 гг.)—математик
и врач, широко образованный представитель французских
гуманистов XVI в., литератор-лингвист, сделавший попытку
преобразовать грамматику родного языка, весьма известный
в свое время поэт, автор переводов творений Гомера, Вир-
гилия, Петрарки; его собственные стихотворные
произведения, вышедшие в 1547 г. и переизданные в 1904 г. [378], дают
прекрасный образец французской поэзии эпохи Возрождения.
Пелетье изучал математику, философию, право, а позднее
медицину, работал в Ле Мане, Париже, Пуатье, Лионе,
Бордо. Этот разносторонний ученый, жизнь которого была полна
случайностей и приключений, оставался прежде всего
математиком. Об этом говорит и одно из его лирических
стихотворений, озаглавленное: «Тем, кто порицает математику»
[378, стр. 104—105].
Среди его трудов — комментированное издание шести
первых книг «Начал» Евклида (Лион, 1557 г.), сочинение о
практической арифметике (1563 г.), несколько геометрических
трактатов: «О равенстве прямоугольных и криволинейных
углов» (1559 г.), «О касании линий и о двух линиях, лежащих
в одной плоскости, не параллельных и не пересекающихся»
(1563 г.) и другие.
Мы остановимся на его алгебраическом трактате, который
в 1554 г. был издан в Лионе на французском языке («I/A1-
gebre, departie en deux livres»), а в 1560 г.— в Париже на ла-
167

тинском («Iacobi Peletarii Cenomani, de occulta parte nume-
rorum, quam Algebram vocant, libri duo»); впоследствии
сочинение многократно переиздавалось (1604, 1609у
1622 гг. и т.д.)').
«Алгебра» Пелетье привлекла внимание историков
математики только в конце XIX в. Ее упоминал Трейтлейн [446]
и исследовали А. Босман [171] и Г Энестрём [237, т. VII,
стр. 389; 249].
Книга написана под сильным влиянием Кардано, Шти-
феля и Шейбеля, на которых автор неоднократно ссылается.
Он упоминает Пачоли и Рудольфа, а из древних —
Диофанта, ал-Хорезми («Machometi Mosis Arabis filius), а также
легендарного арабского ученого Гебра, которого в XVI в.
часто считали, наряду с двумя предыдущими,
основоположником науки алгебры, названной, якобы, его именем.
Сочинение состоит из двух книг. В первой даются
правила алгебраического исчисления и излагается теория
уравнений с одной и многими неизвестными. Вначале (гл. 1)
определяются «созданные числа» (numeri creati),
применяемые в алгебре, т. е. степени неизвестной. Обозначаются они
так же, как у Штифеля. Исходя из того, что виды этих чисел
«правильно выражаются» всякой геометрической
прогрессией, начинающейся с единицы, автор, как и Штифель,
сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии
(гл. 2), а затем вводит обозначения чисел, применяемые в ал
гебре, и дает их классификацию (гл. 3—4). Помимо
«абсолютных чисел», которые рассматриваются «сами по себе без
знака» и применяются в арифметике, он выделяет: 1)
«знаменованные» (denominatos) или «коссические» числа,
т. е. степени неизвестной, 2) «иррациональные», обычно
называемые «глухими», 3) «знаменованные иррациональные»,
в которых «абсолютное число является средним между
двумя знаками, например квадратный корень из 8 кубов».
Приводятся операции с числами этих видов.
Во второй книге рассматриваются «иррациональные»
числа. Она начинается общим определением: «Иррациональные
числа — это корни из рациональных чисел, которые не име-
з,—
ют истинного корня, например, Vq2 (т. е. у 2 ).
Иррациональными называются такие, которые к абсолютным не имеют
никакого отношения». Обычно их название surdi Пелетье
объясняет тем, что «нельзя понять, каковы они ни по величине,
ни по качеству».
Далее (гл. 2) подробно обсуждается, являются ли
иррациональные числа числами. Повторяя, что они не имеют ни-
1) В нашем распоряжении имеется только первое латинское издание
[377]. Французское издание 1554 г. подробно описал Босман [171].
168

Страница из „De occulta parte numerorum" Жака
Пелетье (изд. 1560 г.).
чего общего с абсолютными числами, автор говорит, что «мы,
однако, не считаем их просто ничем», и отмечает
«необходимость их применения». Он приходит к выводу, что сущность
этих «невыразимых» чисел в том, «что они не имеют
природы дискретных величин, но являются только их тенью», и, не
находясь среди чисел, объединены условным названием
«иррациональных чисел». Пелетье дает классификацию (гл. 3)
этих чисел, сжато повторяя соответствующий раздел
сочинения Штифеля. и рассматривает правила действий над ними,
169

иллюстрируемые многочисленными примерами. Наиболее
интересно изложение преобразования триномиалей (гл. 23).
Пелетье, очевидно, независимо от Пачоли, сочинения
которого он не знал [237, т. VI, стр. 402J, предложил правило
уничтожения иррациональности в знаменателе для
выражений вида --= = т="-
Рассматриваются также некоторые задачи диофантова
анализа.
Заслуживает внимания рассуждение о том, что если в
уравнении а0хп = а1хп-1 + а2хп-2+ +ап (где а0, аь..., ол
положительны) удовлетворяется условие а0>а1 + а2 + + ял, то
положительный корень х<1. Хотя речь идет о частном случае
х3 = ах2 + Ьу рассуждение является общим [237, т. VII, стр. 389].
У Пелетье впервые встречается доказанное впоследствии
Виетом утверждение о том, что произведение корней
уравнения равно его свободному члену (хотя только для частного
случая [249]). Вслед за Штифелем он дает примеры
извлечения корня из алгебраического полинома. Нужно также
отметить, что у него встречаются примеры (лл. 10 и 58), где в
одной стороне уравнения стоит «0 или ничто».
В заключительном разделе латинской «Алгебры» Пелетье
высказывается по поводу установленного Бутео (см. ниже)
авторства Евклида в доказательствах предложений «Начал».
Соглашаясь, что эти доказательства не принадлежат Теону,
он отмечает, что, по словам Прокла, многое было доказано до
Евклида Теэтетом и Евдоксом. Поэтому неизвестно точно, что
принадлежит Евклиду, и можно с уверенностью приписать
ему лишь упорядочение материала.
И. Бутео. Французский математик Жан Борель Бутеон
(Jean Bonrel Buteon, 1492—1572 гг.), имя которого более
известно в латинской форме—Бутео (Johannes Buteo) написал
ряд геометрических сочинений, в том числе «О квадратуре
круга» («De quadratura circuli», 1559 г.), где впервые
показано, что Евклид, а не Теон был автором доказательств
предложений «Начал» [192, т. II, стр. 519].
Бутео принадлежит также трактат по арифметике и
алгебре «Логистика, которая также обычно называется
арифметикой, подразделенная на пять книг» («Logistica quae
et Arithmetica vulgo dicitur in libros quinque digesta»),
изданный в 1559 г. в Лионе. Подробно это сочинение исследовал
Г Вертгейм в 1901 г. [472], и на его статье основан
нижеследующий обзор.
Сочинение состоит из пяти книг. В первой автор указывает
на различие между арифметикой теоретической и
практической (логистикой) и приводит сведения по истории последней,
упоминая Архимеда — в связи с его трактатом об исчислении
170

песчинок — и арабов, стараниями которых это искусство не
постигла судьба других сочинений древних авторов.
Переходя к изложению предмета, Бутео разъясняет
вначале правила пальцевого счета, а затем — способ
изображения чисел с помощью девяти знаков и правила
арифметических действий. Умножение и деление проверяются девяткой,
правило же проверки семеркой из-за его большей сложности
только упомянуто. Здесь же суммируются ряды четных и
нечетных чисел, а также геометрическая прогрессия со
знаменателем 2.
Во второй книге описаны действия с дробями, правила
бинома и два способа приближенного извлечения квадратного
корня. Первый состоит в применении формулы
У а? + г оо а + J
второй повторяет метод Шюке (см. выше), но заимствован
из обработки его сочинения Этьенном де ля-Рош. С
помощью этого метода Бутео получил ряд последовательных
приближений для ]/ 13:
з1<1/Тз<з|, з|<-КТз<з|, з|<1/Гз<з|.
Кубический корень извлекается по формуле
Бутео определяет первую цифру корня, а следующие из-за
трудоемкости процесса советует находить с помощью таблиц.
Далее речь идет о теории составных отношений, на
которой основывается разъяснение правил одного и двух
ложных положений.
Третья книга посвящена алгебре. О нахождении
неизвестной Бутео говорит как об определении стороны квадрата,
прямоугольника, куба, называет степени неизвестной
соответственно терминами «линия», «квадрат», «куб» и
изображает их не с помощью знаков, применявшихся немецкими
коссистами, а вводя собственные обозначения (знаки для х2
и х3 представляют собой графическое изображение квадрата
и куба). Применяет он также знаки Р и М для действий
сложения и вычитания.
Бутео излагает теорию уравнений первой и второй
степени. Чтобы облегчить усвоение, правила решения он дает,
171

подобно Пачоли, в стихотворной форме. При рассмотрении
уравнения х2 + Ь = ах указаны два корня.
В четвертой книге решаются разнообразные задачи без
помощи алгебры, с применением тройного правила, правила
«ложного положения» и т. д.
Пятая книга содержит примеры решения уравнений
первой и второй степеней.
Следует отметить, что Бутео осуждал отход от античных
позиций в вопросе о числе и величине, упрекая Штифеля за
изложение теории иррациональных чисел в отдельной книге.
Г. Госселен. Сочинение Госселена (Guillaum Gosselin)
по алгебре «О великом искусстве или о скрытом разделе чисел,
которое обычно называется алгеброй и алму^абалой («De
arte magna seu de occulte parte numerorum, quae et Algebra,
et Almucabala vulgo disitur, libri quatuor»), было
опубликовано в Париже в 1577 г.; здесь в последний раз арабский
термин «almucabala» встречается в заглавии европейской
книги [368, стр. 53]. Сведений об авторе не сохранилось.
В 1578 г. в Париже была издана «Арифметика» Тартальи
в обработке Госселена (подробное описание дано А. Кестне-
ром [339, стр. 197—200]).
Названный трактат был исследован в 1906 г. А. Босма-
ном [168].
Сочинение состоит из четырех книг и написано под
влиянием Кардано, Штифеля и Пелетье. Вместо знаков «плюс» и
«минус» применяются буквы Р и М; последовательные
степени неизвестной обозначаются буквами L, Q, С, QQ и т. д.
Например, уравнение \2х — х2+48= 144 — 24x + 2x2 у него
записано как 12LM1QP48 aequalia 144M24LP2Q.
Первая книга, состоящая из 17 глав, содержит
определения главных понятий учения о числе и теоретические
положения, на которых оно основано. Так, определяются понятия
величины, числового и нечислового отношений, излагаются
правила действий над числовыми отношениями, дается
определение алгебры, как науки, имеющей целью нахождение
неизвестной величины с помощью уравнений.
Во второй книге изложены правила действий с
иррациональными величинами, а далее рассматривается теория
уравнений.
§ 17. Английская математика. Роберт Рекорд
Роберт Рекорд (Recorde, 1510—1558 гг.), придворный врач,
был, по словам Кэджори, «утренней звездой английской
математической литературы» [184] и первым ученым Англии —
сторонником теорий Коперника [204].
172

Наибольшей популярностью пользовались два учебника
Рекорда по математике, написанные по-английски в форме
беседы учителя с учеником. Первое —«The Ground of Ar-
tes» — посвящено арифметике. Изданное впервые около
1540 г., оно выдержало в XVI в. более десяти изданий и в
течение 150 лет служило школьным учебником.
Второе сочинение «Whetstone of Witte» было
опубликовано в 1558 г. Очевидно, оно не переиздавалось и является
сейчас библиографической редкостью. В 1901 г. Г Энестрём
указал на необходимость подробного изучения этого
трактата [238], ив 1912 г. Л. Карпинский дал его обзор [335J. В
сочинении излагаются основы алгебры по образцу Кардано,
Шейбеля и Штифеля, на которых Рекорд ссылается.
Первый раздел содержит теоретическую арифметику —
теорию числовых пропорций (по Боэцию) и фигурных чисел,
причем наибольшее внимание уделено вопросам, которые
рассматривал Штифель.
Изложение алгебры на английском языке потребовало
разработки новой терминологии, которая у Рекорда носит следы
явного влияния немецкой. Так, степени неизвестной он
называет cossike nombres. От слова «coss», по всей вероятности,
произошло и название трактата: оно звучит сходно с
латинским «cos» — точильный камень (по-английски whetstone).
Как и Штифель, пятую степень неизвестной Рекорд
называет «surdesolides» и замечает: «Я не могу сообщить
правильную этимологию этого названия, за исключением того,
что оно названо, как если бы было телесным над телесным»
[335, стр. 225]. Высказывание интересно в связи с
обсуждавшейся выше трактовкой этого термина как одного из
первых понятий многомерного пространства.
В следующих разделах Рекорд приводит правила
приближенного извлечения квадратных и кубических корней и
излагает теорию уравнений, следуя Штифелю.
Большое значение для дальнейшей истории алгебраической
символики имел введенный Рекордом знак равенства « = ».
§ 18. Учение о числе в конце XVI в.
Остановимся на трудах математиков, работавших на рубеже
XVI и XVII вв. В их сочинениях был подведен итог развития
учения о числе в XVI в.
Христофор Клавий. Христофор Клавий (Christophor Clavi-
us, 1537—1612 гг.), первоначально Шлюссель,—уроженец Бам-
берга, работал в Риме, где преподавал математику в
коллегии ордена иезуитов, членом которого состоял [192, 400]. Друг
Галилея [228], разносторонний ученый, сделавший заметный
вклад в тригонометрию, геометрию, алгебру и астрономию
173

XVI в., он известен также участием в реформе календаря,
предпринятой папой Григорием XIII. К сожалению, историки
математики не уделили Клавию той доли внимания, которую
он заслужил, если учесть значение его трудов как учебников,
широко распространенных в XVI—XVII вв. О популярности
Клавия среди современников говорит издание полного
собрания его математических трудов, начатое еще при жизни
автора.
Наиболее важное сочинение Клавия — обработка «Начал»
Евклида, впервые опубликованное в 1574 г. и выдержавшее
много изданий1).
Клавий говорит во введении, что предыдущие издания
«Начал» страдают многими недостатками. Так, Кампано
слишком просто повторял арабов; текст Теона был искажен
переписчиками, новые же издатели Евклида либо
ограничивались первыми шестью книгами, либо опускали старые
доказательства и заменяли их своими, не столь точными.
Клавий старался дать исчерпывающее разъяснение
«Начал» и поэтому не стремился дословно повторять
доказательства, которые, как он считает, либо слишком коротки,
а потому непонятны, либо слишком растянуты. Он
использовал все комментарии предшественников, подверг их критике
и, по словам М. Кантора, не обошел в своих разъяснениях
ни одной трудности, сделав много удачных замечаний [192,
т. II, стр. 512].
Очень часто Клавий ссылается на арабских
комментаторов Евклида, однако точно неизвестно, изучал ли он кого-
нибудь из них [339, т. II, стр. 255]. Г Зутер полагает [425],
что он широко использовал рукопись «Изложения Евклида»
ат-Туси. изданного в Риме на арабском языке в 1594 г. [275].
Особенно интересно сочинение Клавия с точки зрения
истории учения о числе: им была систематически изложена
теория числовых отношений с помощью введенного ранее
понятия «знаменования» отношения и тем самым сделан
следующий шаг в формировании понятия действительного числа.
Разъясняя предмет книги V «Начал», Клавий говорит, что
она «учит об отношениях непрерывных величин вообще, не
касаясь какого-либо конкретного вида величин, например,
линии, поверхности, тела». Даются определения «аликвотных»
и «аликвантных» долей; первое понятие совпадает с
евклидовой «долей», второе —с «долями». Разъясняются понятия
отношения и пропорции и подчеркивается значение
последней в науке. Выделены непрерывные пропорции, а затем
дана никомахова классификация числовых отношений.
*) Мы пользуемся изданием 1591 г. [274].
174

Страница из .Начал" Евклида в обработке Христофора Клавия (изд.
1591 г.)

Отношения Клавий подразделяет на рациональные,
которые могут быть выражены в числах, и иррациональные, для
которых это невозможно и которые рассматриваются в
книге X «Начал». Для рациональных отношений он определяет
понятие «знаменователя» (denominator): «знаменователь
какого-либо отношения есть число, которое точно и ясно
выражает отношение одной величины к другой» [274, стр. 206].
Знаменователи подразделяются на виды согласно
классификации Никомаха. Клавий говорит [274, стр; 210], что если
известен знаменователь, то известно и отношение, и поэтому
считает более удобным выражать отношения через
знаменователи, а не через наименьшие числа, как обычно делают
математики (например, отношение 1700 к 400 можно
выразить как отношение 17 к 4, но удобнее — как
знаменователь 4^-). Знаменователь отношения находится посредством
деления предыдущего члена на последующий.
Понятие «знаменователь» позволяет Клавию, как и Шей-
белю, применять к числовым отношениям арифметические
действия. Так, рассматривая двойное отношение, он говорит,
что при этом «произведение знаменователя данного отношения
на себя дает знаменователь того отношения, которое
является двойным относительно данного» [274, стр. 256].
Следует также отметить, что Клавий формулирует
аксиому о существовании четвертой пропорциональной, которая, по
словам Д. Д. Мордухай-Болтовского, «должна была оказать
большой толчок в направлении арифметизации геометрии»
[54, т. II, 398].
Таким образом, рациональное отношение Клавий
фактически отождествляет с числом. В вопросе же об
иррациональном отношении он остается на старых позициях и при
изложении книги X «Начал» строго следует Евклиду. «Я не могу
согласиться,— пишет он, — с мнением тех, которые полагают,
что для ее [книги X] понимания необходим раздел
арифметики, в котором идет речь о корнях из рациональных чисел и,
как их называют, иррациональных. Напротив, я решительно
утверждаю, что о полном понимании этих разделов
арифметики судят по этой десятой книге».
Клавий считает, что «те, кто размышляют об алгебре,
могут сами, когда захотят, легко приложить сущность
доказательства этой книги к числам, тем более, что не очень давно
это добросовестно осуществил прославленный арифметик
Мих. Штифель во второй книге сочинения, озаглавленного
<Arithmetica integra» [274, стр. 99].
Однако Клавий не всегда придерживается этой точки
зрения; например, при разъяснении понятий рациональных и
иррациональных линий он применяет числовые
иррациональности: «Корни квадратные из чисел 20, или 1000 и т. д., т. е., что
176

то же, прямая линия, квадрат которой есть 20, или 1000 и т. д.,
называются рациональными, так как соизмеримы в степени
с рациональной линией» [274, ч. II, стр. 101].
Книге X Клавий придает большое значение, так как
считает, что, не зная рассмотренных в ней линий, «нельзя в
совершенстве понять многочисленные плоские и телесные
величины». Изложение его выдержано в стиле Евклида, на
чертежах нет чисел, разъясняющих предложения. Однако он
дополняет эту книгу постулатом («Любую величину можно
столько раз брать кратной, что она превысит любую величину
этого рода») и тремя аксиомами:
1) величина, измеряющая какие-либо величины, измеряет
также составленную из них;
2) велична, измеряющая какую-либо величину, измеряет
также всякую величину, которую она измеряет;
3) величина, измеряющая целую величину и отнимаемую
от нее, измерит также и оставшуюся.
Таким образом, при всем стремлении строго
воспроизвести теорию Евклида Клавий не смог противостоять
проявившейся в его время тенденции к «улучшению» этой теории,
что было вызвано новыми требованиями относительно
строгости математических определений.
Другое сочинение Клавия — «Алгебра», — вышедшее в
1608 г. и переиздававшееся впоследствии1), построено по
образцу «Обобщенной арифметики» Штифеля.
В главе I речь идет об истории и названии алгебры.
Замечая, что многие приписывают ее открытие «арабскому
астроному Гебру», Клавий соглашается с Региомонтаном,
видевшим основоположника алгебры в Диофанте. Подробно
разъясняются различные названия этой науки: латинское —
«правило корня и квадрата» (regula census et rei),
итальянское— «правило косее» (regula delle cosa), от которого
произошел термин «коссическое правило» (regula cossica), а
также арабское «Algebra et Almuchabala» При этом Клавий
правильно толкует эти арабские термины как обозначения
действий «восстановления» и «противопоставления».
Рассуждая о цели сочинения, Клавий говорит, что
рассматриваемый им алгоритм (т. е. «рассуждение,
охватывающее сложение, вычитание и другие операции над числами»),
отличается от применяемого в «обычной арифметике» тем,
что здесь фигурируют «числа трех видов»: коссические, или
«знаменованные» (denominata), полученные с помощью
геометрической прогрессии», т. е. степени неизвестной;
«радикальные» (numeri radicales), т. е. корни любой степени из чи-
*) Мы пользуемся изданием 1609 г. [205].
177

Титульный лист „Алгебры" Христофора Клавия (изд. 1609 г.)-

сел, «которые либо имеют этот корень, либо нет»; полученные
сложением или вычитанием радикальных.
Таким образом, здесь Клавий вслед за Штифелем
последовательно проводит идею арифметизации теории
иррациональных величин.
Согласно указанному подразделению чисел строится
изложение. В главах 1—5 объясняются правила действий с «кос-
сическими» числами. Вводятся обозначения степеней
неизвестной (по Штифелю), даются как латинские, так и
итальянские названия.
Глава 6 повествует об отрицательных числах —
«фиктивных, или меньших, чем ничто». Поясняя это понятие
отрицательного числа, Клавий пишет: «Как придуманы корни из
чисел, которые их не имеют, например корень квадратный,
или кубический, или биквадратный, или пятой степени
(surdesolide) из числа 20, причем такая фикция полезна
и удобна тем, кто занимается математикой, таким же образом
пишущими об алгебре неспроста придуманы числа, меньшие,
чем ничто, например 0—4, т. е. от ничего отнятое 4»
[205, стр. 28].
После изложения теории уравнений (гл. 8—15) Клавий
рассматривает «иррациональные числа», которые определяет,
как и Штифель: «Иррациональные, или глухие числа суть
корни из чисел, которые нельзя выразить числами, а потому
услышать» [205, стр. 76]. Подробно излагаются правила
действий с иррациональными числами.
Далее Клавий переходит к числам третьего вида и,
помимо биномиалей и вычетов, рассматривает триномиали и
квадриномиали.
Глава 18-я [205, стр. 147—162] названа «Об извлечении
корней из биномиалей и вычетов, и одновременно о других
иррациональных линиях, которые обсуждает Евклид б
книге X».
В заключение решаются многочисленные задачи
помощью алгебры и без нее.
В 1583 г. в Риме было опубликовано сочинение Клавия по
практической арифметике, в котором очень полно излагались
правила действий с целыми числами и дробями [339].
Франческо Мавролико. Франческо Мавролико (Franciscus
Maurolycus, 1994—1575 гг.), родившийся и проживший
большую часть жизни в Мессине, был широко образованным
ученым и автором многочисленных трудов по математике,
астрономии, оптике, истории. Он относится к группе итальянских
математиков XVI в., ставивших основной целью глубокое
овладение греческим научным наследием на основании
оригинальных текстов и усовершенствование античных
математических методов. Популяризации этих методов в Европе
179

в XVI—XVI1 вв. в большой мере способствовали
выполненные Мавролико переводы с греческого языка трудов
Архимеда, Евклида, Аполлония, Автолика, Менелая, Теодосия [108,
192, 206, 402]. Он составил также обзоры сочинений Боэция,
Иордана Неморария, Роджера Бэкона, Джона Пекхама и
других более ранних европейских математиков.
В то же время Мавролико написал ряд оригинальных
сочинений, сыгравших существенную роль в развитии
отдельных математических дисциплин. Так, его трактат «De lineis
horariis» (1575 г.) содействовал пробуждению интереса к
теории конических сечений, которая приобретала в это время
большое прикладное значение в связи с определением
планетных орбит, данным Кеплером [108, 131, 400]. Сочинение
Мавролико «Photismi de lumine» [206], опубликованное
впервые в 1575 г., занимает важное место в истории оптики.
Для развития тригонометрии серьезное значение имели
некоторые сокращения в обозначении функций, примененные
Мавролико в вышедшем в 1558 г. издании «Сферик»
Менелая; это был первый шаг в развитии языка
тригонометрических формул [177, 178, 491].
Многие труды Мавролико, в том числе трактаты по
алгебре и геометрии, остались в рукописях [348, т. III, стр. 241—
255; 364]. Некоторые были опубликованы благодаря
содействию его друзей; например, упомянутый трактат по оптике
появился в печати в результате стараний Клавия и с его
добавлениями.
Одно из наиболее оригинальных и значительных
сочинений Мавролико — «Две книги арифметики» («Arithmetico-
rum libri duo») [353], вышедшее из печати в 1575 г. в
Венеции. Г Вакка [450] увидел в нем первый в истории пример
применения метода полной индукции; по мнению Г Фрей-
денталя [281], здесь мы встречаем лишь неполную индукцию,
которую применяли и до Мавролико. В то же время оно
содержит интересную попытку изложить учение о числе в
общем виде, включая в понятие числа иррациональные
выражения, примирить числовые теории классиков с требованиями
современной ему математики.
В первой части трактата [353, стр. 1—82J рассмотрены
целые числа и, главным образом, свойства плоских и
телесных чисел различного вида. В сочинениях Евклида,
Пифагора, Ямблиха, Никомаха, Боэция и Иордана Неморария, по
мнению автора, этот вопрос обсужден недостаточно
всесторонне. Изложению предшествует таблица фигурных чисел
и ее разъяснение, а также рассуждение о совершенных
числах. Определения даются в пифагорейском стиле и изложение
ведется по традиционному плану. Единица рассматривается
как начало чисел, соответствующее точке в геометрии. Мав-
180

Титульный лист „Aritlinieticorum lib-i duo" Франч

ролико вводит новые ряды чисел, состоящих из двух и трех
сомножителей, и дает выражение их общих членов и суммы.
Помимо никомаховых линейных, поверхностных,
пирамидальных и других чисел, он рассматривает цилиндрические,
биквадратные числа, правильные числовые многогранники
(например, ряд тетраэдров: 1, 9, 34, 91, 189, ) и т. д. Между
числами разных рядов устанавливается зависимость; так, он
показывает, что всякое совершенное число одновременно
является шестиугольным, а следовательно, треугольным.
Интересна вторая часть трактата, в которой
рассматривается учение о величинах, подробно излагается теория
отношений и теория квадратичных иррациональностей, включая ее
приложение к правильным телам. Мавролико сделал здесь
чрезвычайно важный шаг в сторону окончательного
сближения понятий числа и величины, стремясь в то же время
придерживаться античной строгости. Его точка зрения
выражена в первых словах введения: «Так как арифметика есть
инструмент всякого исчисления, а числа суть термины,
которыми обозначается любая величина, то несомненно, что с
помощью чисел можно осуществить исчисление всяких величин
[353, стр. 83].
Далее он говорит о вычислительной стороне геометрии и
о применении чисел для «все более близкого нахождения
предела (limit) иррациональной величины», например для
измерения «с помощью частей, в которых представляется
диаметр», стороны вписанного в круг равностороннего
треугольника или квадрата.
Для каждого рода величин вводится единичная величина,
«которая выбирается произвольно как общая мера величин
этого рода и которая знаменуется единицей, подобно тому как
единица — общее мерило чисел» [353, стр. 85]. Если имеется
величина, кратная данной, то она «будет обозначаться тем
числом, согласно которому определено кратное»; если же
величина содержит долю или доли данной, она «будет
обозначаться двумя числами, а именно знаменателем и
числителем доли или долей» [353, стр. 86]. Далее доказано
(предложение 1), что все «установленное нами для чисел, линий и
тел с помощью отношения, пропорции, соизмеримости, а
также подобия, можно доказать и заключить относительно
величин любого рода» [353, стр. 86].
Таким образом, сначала устанавливается соответствие
между числами и рациональными величинами, а затем
формулируются и доказываются правила арифметических
действий над этими величинами, т. е. фактически излагается
арифметика дробей.
После этого Мавролико рассматривает иррациональные
величины, причем подчеркивает, что «нелегко распространить
182

на них вычислительную практику», переходя от линий и
поверхностей, исследованных Евклидом, к более общему
случаю, и обещает разъяснить многое из содержащегося в
книге X «Начал».
Прежде всего (кн. II, часть 1) Мавролико формулирует
и доказывает правила действий над одночленными и
многочленными иррациональностями, которые называет
соответственно величинами «одного имени» или «многих имен». Во
второй части книги II рассматриваются иррациональные
величины с точки зрения их соизмеримости и несоизмеримости:
вводятся основные определения квадратичных иррациональ-
ностей по Евклиду и предлагается в схематическом виде их
классификация. Все предложения книги X «Начал» сначала
излагаются на языке арифметики в общем виде, а затем
разъясняются на примерах.
В заключение даны правила вычисления сторон
равносторонних многоугольников и ребер правильных многогранников.
Рафаэль Бомбелли. Сведений о жизни выдающегося
математика, последнего представителя школы итальянских
алгебраистов XVI в. Рафаэля Бомбелли (Rafael Bombelli) почти
не сохранилось. Судя по титульному листу его основного
труда— «Алгебры», опубликованной при жизни автора в 1572 г.
и переизданной в 1579 г. [152, 278], он был гражданином
Болоньи. Ему принадлежит также сочинение по
гидравлике [160].
«Алгебру» Бомбелли высоко оценивали математики XVII в,,
видевшие в ней наиболее фундаментальное изложение науки
об уравнениях. По ней изучали алгебру Стевин (см. ниже)
и Лейбниц; Гюйгенс, стремясь выразить Лейбницу
наивысшую похвалу, писал, что он сделал больше, чем
Бомбелли [163].
Творчество Бомбелли долго не вызывало должного
интереса историков математики, хотя в общих чертах содержание
«Алгебры» излагалось неоднократно [192, 348]. На
необходимость более детального изучения его наследия указывал
Г Энестрём [237, т. VIII, стр. 87; т. IX, стр. 77], обративший
внимание, в частности, на слова Бомбелли о том, что по_мимо
«Алгебры», он написал также «Геометрию», которая в 1572 г.
была почти готова и которую он собирался вскоре
опубликовать [152, стр. 648—649]. Сожалея об утере этого сочинения,
Г Энестрём имел в виду содержащееся в нем указание на
непосредственную связь неприводимого случая кубического
уравнения с трисекцией угла, хотя обычно считалось, что
впервые эту связь заметил Виет (см., например, [177, стр.
171]).
Действительный вклад Бомбелли в развитие алгебры
выяснился после того, как в 1923 г, Э. Бортолотти обнаружил
183

Титульный , ,Алгебры" Рафаэля Бомбелли (из. 15~9 г.\

в библиотеке Болонского университета его
неопубликованные рукописи, в том числе упомянутую «Геометрию», частично
издал их в 1929 г. [163] и провел глубокое исследование
трудов этого замечательного ученого [160—163]. Работа над
архивом Бомбелли продолжается [323] и, по-видимому,
может дать новые интересные результаты.
Значение «Алгебры» — не только в логически завершенном
изложении теории уравнений первых четырех степеней.
Руководящая идея всего сочинения, расположение материала,
методы построения и, как показал Э. Бортолотти,
доказательства, аналитические по своей сущности, указывают на
значительный шаг, сделанный Бомбелли в направлении
дальнейшей арифметизации математической пауки.
В книге 1 дано, по существу впервые, последовательное
расширение понятия числа от рационального до
комплексного. Прежде всего рассматривается «исчисление простых
корней» и, в частности, приближенное извлечение
квадратного корня. Арифметическое рассуждение дополняется
геометрическим: представляя подкоренное выражение в виде
прямолинейного отрезка, Бомбелли строит квадратный корень
как среднее пропорциональное между данным отрезком и
введенным заранее единичным; нахождение кубического
корня соответствует построению двух средних
пропорциональных.
Сформулировав правила умножения и деления «простых
корней», Бомбелли переходит к сложению и вычитанию
корней квадратных, т. е. к рассмотрению биномиалей и
вычетов (Binomi e Recisi) Евклида. Вначале он выясняет, какие
суммы и разности корней могут быть сведены к «простым
корням», а затем подробно излагает книгу X «Начал» в
аналитической форме, исследовав, таким образом, свойства
биномиалей и вычетов, корни из которых ]/ у а ±^Ь
обобщенно названы „Radici Legate" Последние являются
элементами новой, более широкой числовое области. Для них
также решается вопрос, в каких случаях они могут быть,
сведены к предыдущему виду, т. е. к биномиалям и
вычетам; другими словами, дается способ извлечения квадратных*
корней из биномиалей и вычетов, когда это оказывается
возможным.
Далее Бомбелли переходит к числам, возникающим при
решении уравнений третьей степени. Сначала
рассматриваются арифметические операции над выражениями -\^а-\- Vb
(binomi cubici), y/~a — i^b (recisi cubici), у a+^ab
для которых дается, например, правило уничтожения
иррациональности в знаменателе дроби, содержащем такого ро-
18S-

да выражение; это правило Бомбелли приписывает Сципиону
дель Ферро.
Для более сложных выражений (Radici Legate Cube)
разъясняется, в частности, способ преобразования
„кубической стороны" (lato cubo) биномиали в биномиаль, т. е.
приведения уУп±]/т к виду Yv ± Уи- Эта задача, как
показывает Бомбелли, сводится к решению уравнения
х3 4- Зл: Уп — т2 - 2т, для которого 2и = )/~Уп+т —
— у Уп — т.
Следующее расширение рассматриваемой Бомбелли
числовой области состоит во введении мнимых чисел (numen
immaginari), вызванном необходимостью решать кубическое
уравнение в неприводимом случае. Хотя с мнимыми
выражениями алгебраисты сталкивались и раньше, они (например,
Кардано) считали эти выражения бесполезными. Бомбелли
впервые понял их значение для математики. Мнимые числа,
которые у него выступают как квадратные корни из
отрицательных чисел и обозначаются R (0. т. 1), т. е. J/0—1,
Бомбелли считает полноправными арифметическими объектами
и подробно излагает правила их исчисления.
Наконец, вводится понятие комплексного числа (numeri
complessi); такие числа, по словам Бомбелли, всегда
встречаются при решении уравнений третьей степени с
кубическими коэффициентами. Для них также даны правила
арифметических действий, сопровождающиеся многочисленными
примерами.
Кубические корни из комплексных выражений
ym±iy7l Бомбелли приводит к виду u+iYv, решая
-систему
и2 + v2 = Ут2 + /г, и2 — 3uv = т.
Например (в современных обозначениях), для
3|/52 Т^0~2209 = Y52 + lV2Bfe
имеем:
V~m2 + n = |Л2704 + 2209 = 3/49l3 = 17,
и2 + ^2 = 17, u3 — 3uv = 52, откуда и = 4, v = 1;
тогда Y52 + V0 — 2209 = 4 + "КоГ^Т.
Книга II содержит теорию алгебраических полиномов и
уравнения первых четырех степеней. Начинается она с
определений неизвестной и ее степеней и введения системы
символов показательного типа: х обозначается знаком-, х2
знаком i и т. д. Даются правила действия над многочленами
186

(polinomi algebraici), в том числе способ деления полинома
на сумму или разность неизвестной и данного числа.
При изложении теории уравнений Бомбелли для каждого
отдельного случая приводит чисто аналитическое
доказательство, а затем — геометрическое. Он уточняет
высказывание Кардано о том, что хотя в неприводимом случае
уравнение x? = px-\-q не может быть решено по общей формуле,
данной дель Ферро, иногда его можно свести к уравнению
второй степени путем прибавления или вычитания числа а,
удовлетворяющего условию а = -, тогда обе стороны
уравнения делятся на х -f- а или х — а. Бомбелли показал,
что число а, определенное так, что все уравнение делится
на х — а, должно быть корнем этого уравнения.
Однако наиболее важный вклад Бомбелли в теорию
кубических уравнений состоит в применении правила действий
с мнимыми числами для решения неприводимого случая
кубического уравнения x3 = px + q и в распространении на него
формулы у \ + Ут ~ § + У ^ " f/? ~ 5 он пока"
зал, что эта формула может дать рациональное значение
корня, если входящие в нее кубические корни дают
сопряженные комплексные числа. Например, для уравнения х3 =
= 15л: + 4 оказывается: ^ = 125, ^- = 4, откуда
х = У2 + УТГ^Ш" + У2 - VТГ^ЛПгТ"
;но
Y<1 ± ]''(Ь=Т2Т = 2 ± ]/0"^~Г
и, следовательно, х = 4.
Исследование завершается указанием на связь решения
неприводимого случая кубического уравнения с решением
геометрической задачи трисекции угла. (Более подробно об
этой задаче говорится в рукописи, обнаруженной Э. Борто-
лотти [163]).
Перейдя к уравнениям четвертой степени, Бомбелли
рассматривает 42 возможных случая и, таким образом, дает
.полное изложение теории биквадратных уравнений.
Третья книга содержит собрание задач, среди которых
наиболее интересны заимствованные непосредственно из
сочинения Диофанта. Во введении Бомбелли замечает, что, в
противоположность своим предшественникам, он рассматривает
чисто арифметические задачи, где речь идет о числах, а не о
товарах, деньгах и т. д. С этой точки зрения книга Бомбелли
является началом возрождения теории чисел в Европе [161].
!87

Среди рукописей Бомбелли, обнаруженных Э. Бортолот-
ти [163], находится книга IV «Алгебры», озаглавленная
«Линейная алгебра» («Algebra linearia) Она содержит
чрезвычайно важный для истории учения о числе результат,
состоящий, по словам Н. Бурбаки, в том, что, выразив числа
посредством длин, Бомбелли получил геометрическое
определение поля действительных чисел... и тем самым дал своей
«Алгебре» прочную геометрическую основу» [27, стр. 151].
Бомбелли последовательно излагает исчисление отрезков,
т. е. по существу выполняет то, что в XVII в. было еще раз
осуществлено Декартом в его знаменитой «Геометрии». Это
дает основание Н. Бурбаки считать, что «Алгебра» Бомбелли
поразительно опередила свою эпоху. Однако при
исследовании арабских рукописей, комментирующих книгу X «Начал»
Е'вклида, мы встретились и с восточным предшественником
Декарта —Ибн ал-Багдади (см. [82, стр. 217—223])
Первая глава книги IV «Алгебры» Бомбелли начинается
с определения понятия прямолинейного отрезка и с описания
основных операций над отрезками. Методами, известными из
«Начал» Евклида, решаются задачи: разделить отрезок на две
равные части (§1), опустить перпендикуляр из данной точки
вне прямой (§2) и возвести его из точки на прямой (§3),
провести прямую, параллельную данной (§4), разделить
отрезок на три равные части (§5), построить квадрат на данном
отрезке (§ 6) и т. д. Вслед за этими предварительными
предложениями даются определения действий сложения и
вычитания отрезков (§ 15—16), умножения их, понимаемого как
построения прямоугольников с данными сторонами (§ 17)
н деления, которое производится согласно предложению 12
книги VI «Начал» (§ 18). При этом вводится фиксированный
единичный отрезок — «общая мера» (una comune misura),
что позволяет установить взаимно однозначное соответствие
между длинами отрезков и отношениями величин.
Существенно, что Бомбелли рассматривает также
отрицательные и нулевые отрезки и площади, которые отсутствуют
у Декарта.
Извлечение квадратного корня (§ 19) осуществляется
построением отрезка, среднего пропорционального между
единичным и данным отрезками. Соответственно, извлечение
кубического корня (§20) есть построение двух средних
пропорциональных. В «линейной алгебре», говорит Бомбелли, эти
операции не вызывают тех трудностей, с которыми они
связаны при рассмотрении чисел.
С помощью своей «линейной алгебры» Бомбелли излагает
далее теорию уравнений первой—четвертой степеней.
Во второй главе книги IV дается «геометрическое
представление иррациональных». Здесь Бомбелли рассматривает
1««

евклидову теорию квадратичных иррациональностей,
расширенную за счет кубических иррациональностей. С помощью
«линейной алгебры» он доказывает результаты, изложенные
им ранее аналитически («Алгебра», кн. I).
Третья глава содержит «геометрическое построение
алгебраических задач». Здесь решаются разнообразные задачи,
сходные с рассмотренными в книге III «Алгебры» (например:
разделить отрезок на три части пропорционально трем
данным отрезкам) Геометрические построения у Бомбелли
призваны подтвердить законность результатов, полученных
аналитическим путем.
В книге V «Алгебры» рассмотрены проблемы плоской
геометрии и теория правильных многогранников. В
предложении о вписанном в круг правильном девятиуголышке задача
трисекции угла сводится к решению кубического уравнения
в неприводимом случае.
Франсуа Влет. Замечательный французский математик,
сочетавший занятия математикой с деятельностью юриста,
Франсуа Виет (Frangois Viete или Vieta, 1540—1603 гг.)
занимает особое место в истории учения о числе как создатель
первого алгебраического исчисления [100, 108, 120, 181, 192].
Оно изложено в его главном математическом труде «Введение
в искусство анализа» («In artem analyticam isagoge»,
1591 г.) [453].
Приверженец античных традиций, Виет строго различал
число и величину и, соответственно, обычный «числовой счет»
(logistica numeralis) от разработанного им «видового счета»
(logistica speciosa), который носит характер геометрической
теории. Впервые при изложении было введено буквенное
обозначение для числовых коэффициентов уравнения, что в
сочетании другими сокращениями и знаками знаменовало
важнейший шаг вперед в создании алгебраической символики.
Каждый из рассматриваемых Виетом «видов» величин
обозначается прописной буквой: неизвестная — гласной, а
данная — согласной. Размерность величин определяется
соответствующим термином; так, третья степень названа
телом и обозначается A cubus для неизвестной или В solidus
для известной величины, а далее следуют
«гипергеометрические» названия (например, девятая степень известной
величины у Виета — это A cubo-cubo-cubus, а неизвестной —
В solido-solido-solidum).
Действия сложения и вычитания над величинами
подчинены античному принципу однородности и допускаются
только в пределах одного вида. При перемножении двух величин
возникает новая, размерность которой складывается из
размерностей исходных. Деление связано с вычитанием
размерностей.
189'

Под числами Виет подразумевал только рациональные и
не включал в это понятие ни отрицательных, ни мнимых
количеств; буквы обозначали у него только рациональные
положительные числа. Если неизвестная в уравнении
принимала иррациональное значение, он переходил к
«геометрическому» решению задачи, основанному на теории
отношений Евклида.
Таким образом, Виет пытался построить строгое учение,
удовлетворяющее потребностям современной ему науки, но
в то же время основанное на античном разделении понятий
числа и величины.
С точки зрения формирования взглядов Виета на
иррациональные величины интересен один из трактатов, недавно
обнаруженный среди его рукописей и опубликованный Г Бу-
сардом [181].
Виет различает два вида иррациональностей:
относящиеся к абсолютным числам, например ]/8,у32 и т. д., и к ал-
гебраическим, например V3N, V~AN и т. д. Прежде всего
утверждается, что между двумя последовательными
числами находится бесконечно много иррациональностей. Так,.
между 3 и 4 попадают ]/5 , ]/6 , YT ]/8 , 1 / 5
&Ш, ^83,
Аналогичное наблюдение было сделано Штифелем (см.
выше), а еще раньше — Ибн ал-Багдади [82, стр. 221—222].
Далее Виет отмечает, что из составных иррациональностей,
количество видов которых бесконечно, применение находят
лишь немногие: бимедиали, биномиали, вычеты, триномиали
и квадрйншиали.
Примерами абсолютных составных иррациональностей
служат 1/3+^7,1/3 + 1/5,1/7 + V2 +1, 3 + 1/П + /3
Свойства некоторых из них рассмотрены, по словам Виета,.
Евклидом в книге X „Начал".
Затем Виет излагает правила действий с абсолютными:
иррацйоналъностями и, в частности, превращения
разноименных корней в одноименные, определения соизмеримости и
несоизмеримости корней, определения большего из двух
несоизмеримых корней, умножения, деления и т. д. Далее
разъясняются аналогичные правила для составных
иррациональностей.
Во второй части сочинения рассмотрены операции над
«алгебраическими» числами.
Симон Стевин. Симон Стевин (Simon Stevin, 1548—1620
гг.), один из выдающихся математиков конца*. XV— начала
/*■••
190

XVII вв., родился в Брюгге в купеческой среде, работал воен--
ным инженером ,[173, 396, 398, 421]. Важное место среди его
сочинений по математике и механике занимают работы, по
практической—коммерческой арифметике, например «Таблицы
процентов» («Tables cTInteret», 1582 г) и знаменитое сочинение
«Десятая» («La Disme», 1585 г.), в котором быда. сделана
попытка ввести в практику десятичную систему мер, весов
и денежных единиц, а также впервые излагались правила,
арифметических операций с десятичными дробями.
Стевину принадлежит огромная заслуга и в развитии
понятия числа с теоретической точки зрения: следуя; идеям Шти-
феля и Бомбелли, он окончательно порвал с традиционным
разделением понятий числа и величины. Взгляды. Стевина на.
сущность этих вопросов выражены в трактату
«Геометрические проблемы» («Problemata geometrica») и особенно
четко — в сочинении «Арифметика» («L/Arithmetique», 1585 г.).
Оба они недавно переизданы Д. Стройком в числе основных
математических трудов Стевина [418] и сопровождены англий--
ским переводом.
При написании «Геометрических проблем» [418, т. Па,,
стр. 121—369] Стевин опирался на «Начала» Евкдида в обра:
ботке Клавия, труды Архимеда, опубликованные в
латинском переводе в 1558 г., и геометрический трактат Альбрех:
та Дюрера (см. [104]).
Сочинение состоит из пяти книг. В первой излагается
теория отношений Евклида с приложением ее к задачам
деления многоугольных фигур в заданном отношении. Стевин.
утверждает, что «геометрическое отношение, которое другие-
ограничивают двумя членами, допускает любое число
членов» [418, т. И, стр. 140], и дает определения двойного,
тройного и т. д. отношений. Он подразделяет отношения на
рациональные, для которых воспроизводит традиционную ни-
комахову классификацию, и на иррациональные.. При этом
он говорит о своей поддержке «мнения тех, кто называет
иррациональные корни числами» [там же, стр, 148] и обещает
разъяснить этот вопрос в алгебраическом трактате.
Вторая книга содержит применение правил, одного и двух
«ложных положений» к геометрическим построениям, причем
автор последовательно проводит высказанную Бомбелли идею,
о тесной внутренней связи между геометрией и арифметикой
и, в частности, между учениями о геометрическом и
арифметическом отношении. В остальных трех книгах трактата
описываются правильные и полуправильные многогранники.
«Арифметика» Стевина, написанная на голландском
языке, впервые вышла из печати во французском переводе
в 1585 г. Она включает теоретический раздел, содержащий
собственно арифметику и диофантов анализ, и практический,
19Ь

куда входят французский перевод «Таблиц процентов» и
«Десятой», а также чрезвычайно важные для истории понятия
числа «Трактат о несоизмеримых величинах» и комментарий
к книге X «Начал» Евклида. Впоследствии сочинение Сте-
вина было переиздано его учеником А. Жираром (Albert
Girard, 1595—1633 гг.) с дополнениями, сыгравшими
самостоятельную роль в развитии алгебры [295]. В них, в
частности, было доказано, что число корней уравнения равно его
степени, и тем самым устанавливалось равноправие
положительных, отрицательных и мнимых корней.
Определив арифметику как науку о числах, Стевин
пишет: «Число есть то, чем определяется любая величина»
[418, т. На, стр. 495J, имея при этом в виду целые, дробные
и иррациональные числа. Несколько ниже он утверждает, что
«нет никаких абсурдных, иррациональных, неправильных,
невыразимых или глухих чисел» [там же, стр. 532] и что
«любой корень есть число» [там же, стр. 738]. Поскольку число
любого вида_является корнем (как 2 есть корень квадратный
из 4, так У2 есть корень из 2), то различия между ними
^ет и можно говорить только об их соизмеримости или
несоизмеримости.
Таким образом, впервые был дан положительный ответ
на вопрос, поставленный Штифелем: «Является ли числом
иррациональное число?» Стевин сумел сделать решающий шаг,
который оказался не под силу его предшественникам,
еще скованным античной традицией и отказавшимся поэтому
признать иррациональные корни «настоящими» числами.
Более того, он отождествляет число с непрерывной
величиной («как непрерывная вода соответствует непрерывной
влажности, так непрерывная величина соответствует
непрерывному числу»).
Причиной, побудившей Стевина предпринять переоценку
понятия числа, несомненно, явились его занятия
вычислительной математикой и, в частности, операции с введенными им
десятичными дробями. По словам Н. Бурбаки, он «ясно
сознавал, что эти дроби дают алгоритм неограниченного
приближения всякого действительного числа [27, стр. 151}.
Второе положение Стевина, разрушавшее сложившиеся
взгляды, состоит в безусловном утверждении, что «единица
есть число». Оно сформулировано среди основных
определений [418, т. На, стр. 425] и сопровождается доказательством,
в котором отвергается пифагорейская аналогия между
единицей и точкой. Стевин замечает, что если две единицы в
сумме дают число, отличное от единицы, то две точки
образуют только точку; поэтому более целесообразно
считать образом точки нуль, ибо множество нулей снова
образует нуль.
19?

Сам нуль Стевин числом все же не считает и нулевое
решение уравнения не рассматривает Отрицательные числа
включаются в его определение. Что касается мнимых,
известных ему из «Алгебры» Бомбелли, то в них он не видит
пользы [418, т. Па, стр. 309].
Все числа Стевин подразделяет на «арифметические»
(целые, дробные), «геометрические» (квадраты, кубы и т. д.) и
«алгебраические» (полиномы). При этом он отказывается от
коссических обозначений и вводит символику, заимствованную
у Бомбелли.
Во второй книге «Арифметики» рассматриваются правила
действий с целыми числами, дробями и радикалами, правило
«ложного положения», а также операции с полиномами и
теория уравнений.
Относительно роли, которую сыграл Стевин в развитии
теории уравнений, среди исследователей существовали
разногласия. А. Босман, написавший ряд работ о творчестве Сте-
вина [173], считал, что он первый дал единое решение для
квадратных уравнений различного вида, предложил
алгебраическое доказательство формулы решения и интерпретировал
отрицательный корень уравнения. Г Вилейтнер [478] показал
неправомерность такого вывода: это сделали ранее Тарталья,
Кардано, Штифель и Бомбелли, трудами которых Стевин
пользовался. Несомненная заслуга его состоит в четком и
ясном изложении полученных ими результатов.
«Трактат о несоизмеримых величинах», который
составляет вместе с дополняющим его комментарием к
книге X «Начал» Евклида раздел «Арифметики» Стевина,
содержит подробное изложение теории иррациональных
чисел.
Вначале автор пишет, что некоторые видят в книге X
«наиболее глубокий и непонятный раздел математики»,
другие считают «ее предложения чрезвычайно неясными» и
рассматривают их как «крест математика» [418 т. II а, стр 713].
Как ранее Штифель и его последователи, Стевин полагает,
что трудности, связанные с пониманием этой книги, можно
легко устранить, если разъяснить ее с помощью
иррациональных чисел. Основываясь на своем утверждении о
равноправии иррационального числа, он рассматривает двенадцать
видов «несоизмеримых» чисел Евклида. Стевин называет
иррациональные числа «одной из великих тайн природы» [418,
т. II а, стр. 718] и замечает, что они помогают описывать
не только двенадцать биномиалей Евклида, но и «тысячено-
миали», а также их корни и корни их корней до
бесконечности.
Несоизмеримые величины определяются как «величины,
у которых числа, выражающие их, несоизмеримы» [418, т. Па,
193

стр. 723]; вводится понятие «многочленных величин»,
выражаемых «многочленными числами».
«Корень квадратный из линии, — говорит далее Стевин,—
это линия, средняя пропорциональная между линией,
выраженной данным числом, и линией, соответствующей данной
единице» [418, т. На, стр. 724]. В этом определении
непосредственно сказывается влияние Бомбелли.
Сформулировав определения, Стевин переходит к
разъяснению некоторых предложений книги X с помощью чисел.
В первом предложении требуется, имея заданные отрезок и два
числа, найти отрезок, который относится к данному, как
число к числу. Задача решена для случаев, когда отношения
данных чисел суть /Г: yT,j/T _уТ, (]/ЗГ+ j/fT): (]/б +
4-vT+vT) У*+У* V2±VL_
yVe +V5 + V2 (1/з + vT).
Условие второй задачи является обобщением
предложения 9 книги VI «Начал» и требует отсечь от данного отрезка
заданную его часть. Она решается для случаев, когда эта
часть выражена числами
/:
\^ у2 4-/3 УУЪ -+ УЗ
3 ' ут+ ув + уь ' Ууь + уз+у2
Третье предложение дает правило извлечения корня из
любого числа, выражающего данный отрезок. Построение
сопровождается примером: V8 + /15+У 255 - 4 - /80 .
Далее Стевин говорит, что все эти рассуждения можно
распространить и на другие случаи (для кубического корня
построение проводится с помощью двух средних
пропорциональных и т. д.) и, наконец, разъясняет правило извлечения
корня из биномиали на примере VVT2 + 12 = VV3 + V2 +
+ У УЗ — У2 , заметив, что так же могут быть
интерпретированы и остальные предложения книги X.
Приведенный обзор сочинений XVI в. имеет целью
показать на конкретных примерах состояние учения о числе в
этот важный период истории науки, когда завершалось в
основных чертах формирование элементарной математики, име-
194

ющей дело с постоянными величинами, ы возникали
предпосылки создания математики переменных зеличин.
Сделаем некоторые выводы из сказанного выше.
Существеннейшим достижением математики XVI в. было>
оформление алгебры в науку дающую методы решения
уравнений первых четырех степеней. Разработка этих
методов вызвала усиленный интерес к вопросу о
сущности понятия числа и к уточнению с новых позиций его
содержания.
В учении о числе в это время продолжали сохранять
свою силу античные концепции. Противопоставление числа и
величины все еще признавалось одним из основных принципов,
математики. Однако развитие алгебры, в которой свободна
производились операции над иррациональными количествами
и иррациональный корень выступал в качестве решения или,
коэффициента уравнения, заставляло все глубже
задумываться над тем, не является ли природа корня числовой. В XVI в.
впервые с полной отчетливостью был сформулирован
вопрос: «Является числом иррациональное число или нет?».
Он возникал и ранее, но никогда еще не требовалось столь
конкретного ответа на него, как теперь.
Восточные математики, фактически стершие грань между
понятиями числа и геометрической величины, при
обосновании своих взглядов становились на своеобразную арифме-
тико-геометрическую точку зрения, базирующуюся на идее
соответствия между объектами арифметики и геометрии.
Эта же идея стала руководящей в сочинениях европейских
математиков. Наиболее последовательно ее развил Бомбелли,
который дал геометрическое определение поля
действительных чисел, предвосхитив мысль Декарта.
Поскольку почву для строгого обоснования теории ирра-
циональностей по-прежнему находили в геометрии, то не
менее важное место, чем раньше, в математике XVI в.
продолжали занимать книги V и X «Начал» Евклида,
преимущественно их арифметическая интерпретация. В то же
время происходило сближение понятий дроби и числового
отношения. Была систематически построена (Шейбель,
Клавий) теория «знаменователен» рациональных
отношений, которые теперь стали определенно рассматриваться
как числа.
Наряду с попыткой логически обосновать расширенное
понятие числа исходя из античной геометрической теории,,
постепенно завоевывала права гражданства и чисто
арифметическая точка зрения: дроби и числовые иррациональности
выделялись как самостоятельные виды чисел (Кардано, Шти-
фель, Шейбель, Клавий). Правда, разрушая традиционную
установку, но не имея другой столь же прочной логической
1Q5

базы рассуждения, ученые XVI в. еще не решались признать
этого открыто. Уйти от прямого ответа помогали разного рода
представления об иррациональных числах как о
«ненастоящих», «фиктивных» числах, «тенях» истинных чисел, которые,
хотя и не удовлетворяют классическому определению числа,
но обладают свойствами настоящих чисел, и применение их
в математике оправдано получаемой от этого пользой.
Выделение иррациональных чисел в специальный класс
чисел и расширение рассматриваемой области
иррациональности по сравнению с евклидовой явилось важным шагом на
пути к созданию понятия действительного числа.
Однако учение о числе было освобождено от оков
геометрии далеко не сразу, поскольку для строгого обоснования
операций над иррациональностями приходилось возвращаться
к античному разделению понятий числа и величины.
Поэтому, естественно, сделать следующий шаг в обобщении
понятия числа проще всего оказалось тем математикам, которые
наиболее тесно соприкасались с вычислительной практикой,
где числовая иррациональность всегда выступала как число.
Именно Стевин, развивший и применявший теорию
десятичных дробей, смог без колебания заявить, что любой
корень является числом и что «нет никаких абсурдных,
иррациональных, неправильных, невыразимых или глухих чисел».
Он также базировался при этом на идее об аналогии,
существующей между геометрическими и арифметическими
объектами.
Несмотря на большие изменения в подходе к основным
понятиям учения о числе, многие разделы этого учения
сохранили в XVI в. прежний облик. Как видно из сочинений
даже наиболее революционно мысливших математиков —
Тартальи, Кардано, Штифеля, Рамуса, не говоря уже о
таких верных последователях древних, как Мавролико,
прежним авторитетом пользовалась никомахова теоретическая
арифметика, входившая самостоятельным разделом в эти
сочинения. Впрочем, следы ее влияния заметны и два
столетия спустя, например, в знаменитом «Трактате об учении
о числах» Л. Эйлера, представляющем собой, несмотря на
многие существенно новые результаты, образец
традиционного изложения этого учения.
В XVI в. обычно повторялось освященное веками
определение числа как совокупности единиц. Лишь Стевин
утверждал, что «число есть то, чем определяется любая величина»,
и высказал мысль о непрерывности числа, нарушая
пифагорейский подход к этому понятию как к дискретному
количеству.
Единица, как правило, числом по-прежнему не считалась,
хотя многие (например, Рамус и Стевин) уже придержива-
196

лись и противоположной точки зрения, видя в ней не только
«начало чисел» но и число. Следует отметить, что и в XVII в.
в этом были убеждены далеко не все.
Арифметические операции с нулем формально
производились задолго до XVI в. и случаи, когда нуль выступал в роли
решения уравнения, были известны (Леонардо Пизанский,
Шюке), однако представление о равноправии нуля с
другими числами начало складываться только в XVII в.
В XVI в. в математику вошли отрицательные числа (Ан-
дреас Александр, Кардано, Штифель, Шейбель, Пелетье,
Клавий). Фактически это произошло намного раньше, если
вспомнить правило знаков в «Арифметике» Диофанта и в
арабской алгебре, отрицательные числа, фигурировавшие под
названием «долг» в китайской математике и у Абу-л-Вафы
Однако теперь их стали рассматривать как самостоятельные
арифметические объекты — «фиктивные числа» особого рода.
Отрицательные числа фигурировали уже в сочинении Андрее
аса Александра, а Штифель, Клавий и Пелетье говорят о
них, как о «придуманных» числах, меньших нуля, которые
столь же удобны, как и иррациональные. Окончательно
понятие отрицательного числа было узаконено в XVII в.
Декартом.
Важнейшее значение имели мнимые числа, введенные
в связи с неприводимым случаем кубического уравнения
(Кардано, Бомбелли). Хотя многие математики как в XVI,
так и в XVII вв., например Стевин и Декарт, не видя в
мнимых числах пользы, не включают их в понятие числа, «мало-
помалу, однако, рождается доверие к исчислению с этими
«невозможными» числами, так же как и с отрицательными,
и это несмотря на то, что в течение более чем двухсот лет
не было придумано для них никакого «представления» [27,
стр. 67].
Достижения алгебры сделали естественной попытку
создания «общей математической науки», изучающей свойства
как чисел, так и геометрических величин [117, 120J. Это
вызвало, в свою очередь, понимание необходимости вкладывать
более общий смысл в понятие числа. Однако и в XVII в. по
этому поводу высказывались самые различные взгляды и
только во второй половине столетня было четко сформулировано
определение, показывающее, что решительный шаг в
направлении создания понятия действительного числа, наконец,
сделан.
Представление об отношении как об основном объекте
этой универсальной математики в XVII в. продолжало
укрепляться. Об этом свидетельствует внимание, которым
неизменно пользовалась евклидова теория отношений, все чаще
подвергавшаяся критике. Такую критику мы находим в «Книге
197

чоб отношениях» («De proportionibus liber») выдающегося
математика и физика Эвангелисты Торричелли (Evangelista
Torricelli, 1608—1647 гг.), которая была опубликована лишь
недавно по рукописи [381, 443]. Торричелли видит в теории
отношений фундамент универсальной геометрии и поэтому
считает необходимым уточнить и исправить все неясные
места в книге V «Начал» Евклида. Он дает последовательное
изложение этой теории на геометрической основе, но само
понятие отношения приобретает у него арифметический смысл.
Так, равенство отношений величин определяется с помощью
выражающего их числового отношения.
Особенно существенную роль в формировании взгляда на
число как на обобщение понятия отношения сыграло
сочинение «Геометрический труд» («Opus geometricum», 1647 г.
[298]) Григория из Санкт-Винцента (Gregorius a St. Vincentio,
1584—1667 гг.). Он развил идеи своего учителя Клавия,
распространив его теорию «знаменователей» на иррациональные
отношения [109, 172, 192, 317]. «Знаменователь, или
количество отношения», который, будучи «умножен на последующий
член отношения, производит предыдущий», фактически
является числом — рациональным или иррациональным, —
выражающим данное отношение. Григорий изображает «знаме-
нователи» прямолинейными отрезками и излагает правила
арифметических действий над ними, последовательно
обосновывая их на базе геометрической алгебры.
Ревизию античной теории отношений с позиций, близких
к Григорию из Санкт-Винцента, предпринял математик из
Антверпена Андрэ Таке (Andreas Tacquet, 1612—1660 гг.),
автор нескольких сочинений, в том числе трактата о
практической и теоретической арифметике [174], вышедшего в 1656 г.
и выдержавшего несколько изданий, а также сокращенного
изложения «Начал» Евклида [434] (о русском переводе
см. [118]).
Таке отмечает важное значение теории отношений в
геометрии и утверждает, что тот не математик, кто не знает ее
[i74, стр. 114]. Он излагает теорию «знаменователей»
рациональных и иррациональных отношений со ссылкой на
сочинение Григория из Санкт-Винцента, который, по его мнению,
создал «новую науку об отношениях» [174, стр. 146].
«Знаменователь» рационального отношения Таке определяет как
результат деления большего члена па меньший; для
иррационального отношения непосредственное выражение
числом невозможно. Приведены правила арифметических
действий над отношениями, которые фактически
рассматриваются как числа особого рода. Для Таке «составление
отношений есть не что иное, как умножение отношений»
1174, стр. 150].
198

В 1637 г. была опубликована знаменитая «Геометрия»
Декарта, знаменовавшая собой начало нового периода в
развитии математики. По словам Ф. Энгельса, «поворотным
пунктом в математике была Декартова переменная величина.
Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым
диалектика и благодаря этому же стало немедленно
необходимым дифференциальное и интегральное исчисление,
которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом
завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем»1).
Важнейшую роль сыграло сочинение Декарта и в истории
учения о числе. Изложенная в нем буквенная алгебра сделала
возможным применение арифметических операций к
геометрическим объектам, а это, в частности, означало, что
предполагаемое со времени античности принципиальное различие
между понятиями числа и величины окончательно стерто.
Переменная Декарта — это, с одной стороны, отрезок
переменной длины, с другой,— его числовое выражение, т. е. она
выступает в «двуликом геометрическом и числовом образе»
[120, стр. 526], что предполагает существенное расширение
понятия числа.
Как было показано, уже математики XVI в. осознали
необходимость построения теории, которая объединяла бы в
себе рассматриваемые ранее раздельно учение о числе и
учение о величине. В XVII в. эта идея стала господствующей и
нашла четкое выражение в «Геометрии» Декарта и в других
его произведениях.
Декарту ясно внутреннее единство всех математических
наук, о чем он говорит, например, в «Рассуждении о
методе»: «Хотя их предметы различны, тем не менее все они
согласуются между собой в том, что исследуют только
различные встречающиеся в них отношения или пропорции»
[51, стр. 23]. Поэтому он не стремится изучать «все отдельные
науки, которые составляют то, что называют математикой»,
считая более правильным обратить внимание на выяснение
общих свойств отношений и пропорций каждого вида. Он
пишет по этому поводу: «Я решил, что лучше исследовать
только эти отношения вообще и искать их только в предметах,
которые облегчили бы мне их познание, нисколько, однако,
не связывая их этими предметами, чтобы иметь возможность
применять их потом ко всем другим подходящим к ним
предметам» [51, стр. 23].
Для облегчения исследования отношений различных видов
Декарт предлагает «представлять их в виде линий», не найдя
ничего более простого и наглядного «для воображения и
чувств».
1) К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч.. изд. 2-е, т. 20. стр. 573.
199

В основе общей математической науки должна, по
Декарту, лежать символическая алгебра. Чтобы удерживать в
памяти исследуемые отношения и рассматривать одновременно
несколько, он стремится выражать их «возможно наименьшим
числом знаков». «Таким путем — пишет он, — я заимствовал
бы все лучшее из геометрического анализа и из алгебры и
исправлял бы недостатки одного с помощью другой» [51, стр.24].
Математика, как считает Декарт, дает универсальный
метод познания закономерностей природы, применение которого
в других естественных науках и прежде всего в физике
позволяет найти истину. В математике и, в частности, в учении
о числе этот метод сыграл особую роль, предоставив
«средства общим образом решать любые вопросы относительно
как дискретных, так и непрерывных величин» [120, стр. 542].
«Геометрия» Декарта начинается утверждением, что «все
задачи геометрии можно легко привести к таким терминам,
что для их построения нужно будет затем знать лишь длину
некоторых прямых линий» [51, стр. 301]. Далее
устанавливается существование параллелизма между «исчислением
арифметики» и «построениями геометрии». Этот параллелизм
выявляется благодаря разработанному Декартом исчислению
отрезков, которое по существу повторяет теорию Бомбелли,
изложенную в неопубликованных разделах его «Алгебры».
Как и Бомбелли, Декарт определяет арифметические
операции над геометрическими величинами, изображая величину
прямолинейным отрезком. При этом, «дабы удобнее
установить более тесную связь с числами», он вводит
фиксированный отрезок, который называет единицей и который
обыкновенно может быть выбран произвольно.
Основное отличие этого исчисления от античной
геометрической алгебры состоит, как и у Бомбелли, в полном отказе
от принципа однородности. Так, относительно произведения
двух отрезков Декарт пишет: «Найти четвертую линию, так
относящуюся к одной из этих двух, как другая к единице, —
это то же самое, что умножение». Другими словами,
произведение изображается не построенным на данных отрезках
прямоугольником, а отрезком, который строится как
четвертая пропорциональная, т. е. определяется из пропорции
х а = Ь е, где е — единичный отрезок. К построению
четвертой пропорциональной сводится и действие деления.
Квадратный корень рассматривается как средняя
пропорциональная между данными и единичными отрезками, т. е. х = У а
находится из пропорции а х=х :е.
Исходя из такого определения арифметических действий
над геометрическими величинами, Декарт строит теорию
уравнений, с помощью которой, по его мнению, можно решить
любую математическую задачу. Уравнение решается геомет-
200

рическим путем: его корень строится как ордината точки
ресечения определенных плоских кривых.
Хотя Декарт фактически распространил понятие числа на
любое вещественное число, явной формулировки этого
понятия он не дал. Как и его предшественники, он называет
иррациональные числа «глухими», считая их равноправными с
рациональными. Мнимые же числа для него —
воображаемые, а отрицательные — ложные. Последние он
истолковывает как отрезки ординат, которые расположены от оси в
сторону, противоположную направлению отрезков,
изображающих положительные числа.
Пример изложения науки о числе, как она понималась
в XVII в., дает Дж. Валлис (John Wallis, 1616—1703 гг.)
[69—71, 108] в «Универсальной математике» («Mathesis
Universalis»), которая была издана впервые в 1657 г. [459}
и вошла затем в первый том опубликованного в 1693—1699 гг.
полного собрания сочинений автора [460]. Определив
математику как науку о непрерывных или дискретных величинах
и подразделив ее на чистую (арифметика и геометрия) и
смешанную (астрономия, хронология, гномоника, геодезия,
механика, перспектива, музыка и т. д.), Валлис
рассматривает объекты геометрии и арифметики и принципы, лежащие
в основе этих наук. Геометрию и арифметику он
называет науками о том, как хорошо измерять и как хорошо
считать, повторяя определение, встречавшееся, например,
у Рамуса.
Объект арифметики — число — Валлис определяет по
традиции как совокупность единиц, единицу же считает
«наименьшим числом» [460, стр. 24—25]. Со ссылкой на Декарта
Валлис отмечает связь между арифметикой и геометрией
и устанавливает, как и Стевин, соответствие между
единицей и отрезком единичной длины, а не точкой. Относительно
же нуля, который также рассматривается как «начало чисел»,
Валлис утверждает, что он не является числом [460,
стр. 25—26]. Более того, дроби, находящиеся между
наименьшим числом — единицей — и нулем, не являются
«истинными числами» (veri numeri), а должны рассматриваться как
отношения чисел [460, стр. 27]. В другом месте [460, стр. 211]
Валлис отмечает «тождественность (Identitas) или тесную
связь (affinitas)» между дробями и отношениями.
Отношения Валлис подразделяет на рациональные,
«которые можно выразить истинными числами», и
иррациональные, для которых это невозможно [460, стр. 149]. Он
подробно излагает (гл. 35) книгу V «Начал» Евклида, в которой
видит «учение об отношениях, как арифметических, так и
геометрических», т. е. выражаемых «не только целыми
числами, но также дробными и глухими» [460, стр. 183].
201

В самой арифметике, по мнению Валлиса, «вряд ли можно
усмотреть что-то иное, чем учение об отношениях»: целые
числа являются «знаками отношений», у которых
последующий член есть 1, а остальные числа (либо дробные, либо
также глухие) суть знаки или показатели для описания всех
других отношений [460, стр. 183]. Объясняя, почему древние
не создали «универсального» учения об отношениях линий
и чисел, Валлис указывает, что ввиду отсутствия символики
у них не было способа выражать любое отношение.
Таким образом, Валлис чрезвычайно близок к
отождествлению понятий отношения и числа, хотя и не решается
сделать этот вывод. Подобно математикам XVI в., он
оправдывает свой отход от традиционного толкования этих
понятий тем, что рассматриваемые им числа не являются
настоящими: «Как из несовершенного или даже невозможного
вычитания появляются отрицательные числа (1—2, 2 — 3
и т. д.), а из несовершенного или даже невозможного деле-
/234 v
ния — дробные числа j, j,y ит, д. , так из
несовершенного или невозможного извлечения корней
появляются глухие числа ("j/3 , "J/4 , УЪ и т. д.)„ [460,стр.211].
Окончательно сформулировал новый взгляд на число
Исаак Ньютон (Isaac Newton, 1642—1727 гг.) во «Всеобщей
арифметике» («Arithmetica universalis»), написанной на
основе прочитанного им в 1673—1683 гг. курса лекций по
алгебре и опубликованной в 1707 г. Подводя итог всему
предшествующему развитию понятия числа, он заявил: «Под числом
мы понимаем не столько множество единиц, сколько
отвлеченное отношение какой-либо величины к другой величине
того же рода, дробное и иррациональное. Целое число есть
то, что измеряется единицей, дробное — кратной долей
единицы; иррациональное число несоизмеримо с единицей» [88,
стр. 8].
Однако основная работа по логически строгому
обоснованию понятия действительного числа в это время только
начиналась, и завершилась она лишь в XIX столетии.

ЛИТЕРАТУРА
1. Александров А. Д. Общий взгляд на математику, В сб.
«Математика, ее содержание, методы и значение», т. I, M., 1956,
5-78.
2. Алимов Н. Г Величина и отношение у Евклида, В сб. «Истори-
ко-математические исследования», вып. VIII, М., 1955, 573—619.
3. Архимед. Сочинения, Пер. вступит, ст. и коммент. И. Н. Весе-
ловского, М., 1962.
4. Ахмедов А. Геометрический трактат Шамсиддина Самарканди,
«Изв. АН УзССР», серия физ.-мат. наук, 1969, № 3, 5—7.
5. Б а р т о л ь д В. В. История изучения Востока в Европе и России,
изд. 2-е, Л., 1925.
6. Башмакова И. Г Арифметические книги «Начал» Евклида,
В сб. «Историко-математические исследования», вып. I, M.—Л.,
1949, 296—328.
Башмакова И. Г., Юшкевич А. П. Происхождение систем
счисления, Энциклопедия элементарной математики, т. I, M.—Л.,
1951.
8. Башмакова И. Г Лекции по истории математики в Древней
Греции, В сб. «Историко-математические исследования», вып. XI,
М., 1958, 225—440.
9. Башмакова И. Г Об античной математике первых веков
нашей эры, В сб. «Историко-математические исследования», вып. XIV,
М., 1961, 473—490.
10. Башмакова И. Г Цикл работ по истории античной математики,
Автореф. дисс. на соиск. уч. степени д-ра физ.-мат. наук, М., 1961.
Башмакова И. Г., Маркушевич А. И. «Начала» Эвклида,
БСЭ, изд. 2-е, 309—311.
12. Башмакова И. Г О некоторых проблемах античной математики,
В сб. «Историко-математические исследования», вып, XV, М.,
1963, 37—50.
13. Башмакова И. Г Диофант и Ферма, В сб.
«Историко-математические исследования», вып. XVII, М., 1966, 185—204.
14. Березкина Э. И. Древнекитайский трактат «Математика в
девяти книгах», В сб. «Историко-математические исследования»,
вып. X, М. 1957, 427—584.
15. Березкина Э. И. О математическом трактате Сунь-цзы, В сб.
«Историко-математические исследования», вып. XIII, М., 1960,
219—230.
16. Виру ни. Индия, Пер. и прим. Ю. Н. Завадовского и А. Б. Хали-
дова, Избранные произведения, т. II, Ташкент, 1963.
203

17. Б и р у и и. Кнша об индийских рашиках, Пер. и прим. Б. А. Розен-
фельда, В сб. «Из истории науки и техники в странах Востока»,
вып. Ill, M., 1963, 148—163.
18. Бобынин В. В. Периоды, направления школы в развитии наук
математических, М., 1887
19. Бобынин В. В. Очерки истории развития математических наук
на Западе, М., 1896.
20. Бобынин В. В. Отзыв о сочинениях Н. И. Бубнова, Спб., 1911.
21. Боев Г. П. О происхождении и эволюции наших цифр, Уч. зап.
Саратовского госуниверситета, вып. мех.-мат. наук, т. 70, 1961.
5-9.
22. Бубнов Н. М. Происхождение и история наших цифр,
палеографическая попытка, Киев. 1908
23. Б у б н о в Н. М. Арифметическая самостоятельность европейской
культуры, Киев, 1908.
24. Бубнов Н. М. Подлинное сочинение Герберта об абаке или
система элементарной арифметики классической древности, Киев, 1911.
25. Б у б н о в Н. М. Абак и Боэций. Лотарингский научный подлог XI в.,
Петроград, 1915.
26. Бубнов Н. М. Забытая арифметика классической древности.
Древний абак — колыбель современной арифметики. Исследования по
истории науки в Европе, т. 5, вып. 2, Киев, 1916.
27. Б у р б а к и Н. Очерки по истории математики, Пер. с франц.
И. Г Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова, М., 1963.
28. Ван дер ВарденБ. Л. Пробуждающаяся наука. Математика
Древнего Египта, Вавилона и Греции, Пер. И. Н. Веселовского,
М., 1959.
29. В а с и л ь е в А. В. Целое число, Петроград, 1922.
30. В а щ е н к о-З ахарченко М. Е. Начала Евклида с
пояснительным введением и толкованием, Киев, 1880.
31. Ващенк о-З ахарченко М. Е. История математики, Киев, 1883.
32. В е с е л о в с к и й И. Н. Египетская наука и Греция, Тр. Ин-та
истории естеств., т. II, 1948, 426—498.
33. В е се л о веки й И. Н. Вавилонская математика, Тр. Ин-та
истории естеств. и техники АН СССР, т. 5, 1955.
34. В е с е л о в с к и й И. Н. Архимед, М., 1957.
35. В е с ел о в с к и й И. Н. Способы записи чисел и вычислений в
древнегреческой математике, В кн. «Архимед, Сочинения», М., 1962,
625—628.
36. Вилейтнер Г Хрестоматия по истории математики, М.—Л., 1935.
37 Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи, М., 1964.
38. Всеобщая история, т. Ill, M., 1957; т. IV, М., 1958.
39. Выгодский М. Я. Алгебра и арифметика в древнем мире,
2-е изд., iM., 1967
40. Выгодский М. Я. «Начала» Евклида, В сб. «Историко-матема-
тические исследования», вып. I, M.—Л. 1949, 217—295.
41. Вы го деки й М. Я. Происхождение «правила двух ложных
положений», В сб. «Историко-математические исследования», вып. XIII,
М., 1960, 231—253.
42. Г е и б е р г И. Л. Естествознание и математика в классической
древности, Пер. С. П. Кондратьева под ред. и с предисл. А. П.
Юшкевича, М.—Л., 1936.
43. Г н е д е н к о Б. В. Очерки по истории математики в России, М.—Л.,
1946.
44. Гнеденко Б. В. П огреб ы сек и й И. Б. Об истории
математики и ее значении для математики и других наук.В сб.
«Историко-математические исследования», вып. XI, М., 1У58, 441—460.
204

45. Гнеденко Б. В. О некоторых задачах истории математики, В сб.
«Историко-математические исследования», вып. XI, М., 1958, 47—62.
46. Гнеденко Б. В., П о г р е б ы с с к и й И. Б., Штокало И. 3.,
Юшкевич А. П. О проблемах истории математики в России и в
СССР и о работах в этой области за 1956—1961 гг., В сб.
«Историко-математические исследования», вып. XV, М, 1963, 11—36.
47. Г н еден ко Б. В., Рыбников К. А., С и м о н о в Н. И.
Проблемы истории математики Нового времени, В сб.
«Историко-математические исследования», вып. XV, М., 1963, 73—98.
48. Гнеденко Б. В. Роль истории физико-математических наук в
развитии современной науки, В сб. «История и методология
естественных наук», вып. V, М., 1966, 5—14,
49. Г р и г о р ь я н А. Т., Зубов В. П. Очерки развития основных
понятий механики, М., 1962.
50. Д е к а р т Р. Геометрия, Со вступит, ст. А. П. Юшкевича «Декарт
и математика», М.—Л., 1938.
51. Дек ар, т Р. Рассуждение о методе с приложениями: Диоптрика,
Метеоры, Геометрия; Ред., пер. ст. и коммент. Г Г Слюсарева
и А. П. Юшкевича, М., 1953.
52. Депман И. Я. Георг Петр Домкино (О первом издании «Начал»
Евклида на русском языке), Тр. Ин-та истории естеств. т. II.,
1948, 573—574.
53. Д е п м а н И. Я. История арифметики, М., 1959.
54. Евклид. Начала, Пер. и коммент. Д. Д. Мордухай-Болтовского,
пр(и ред. участии М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского, М.—Л.,
т. I, кн. I—VI, 1948; т. II, кн. VII—X, 1949; т. III, кн. XI—XV,
1950.
55. Е г а н я н А. М. Математика в Армении с V по VII века, В сб.
науч. трудов Арм. гос. заочного пед. ин-та, №6, ч. II, Ереван, 1967
56. Заборов М. А. Крестовые походы, М., 1956.
57. 3 у б о в В. П. Трактат Николая Орема «О конфигурации качеств»,
В сб. «Историко-математические исследования», вып. XI, М., 1958,
601—635.
58. Зубов В. П. Трактат Брадвардина «О континууме», В сб.
«Историко-математические исследования», вып. XIII, М., 1960, 385—440.
59. 3 у б о в В. П. Николай Орем и его математико-астрюномический
трактат «О соизмеримости или несоизмеримости движений неба»,
В сб. «Историко-астрономические исследования», вып. VI, М., 1960,
301—400.
60. 3 у б о в В. П. О некоторых математических трудах Николая
Орема, Тр. Ин-та истории естеств. и техники, АН СССР., т. 34, 1960,
343—349.
61. Зубов В. П., Юшкевич А. П. Рецензия на книгу «Н. Орем.
Вопросы о геометрии Евклида», «Вопросы истории естеств., и
техники», вып. 13, 1962, 160—162.
62. 3 у б о в В. П., Р о з е н ф е л ь д Б. А., Юшкевич А. П. Об
исследованиях по истории математики средних веков, В сб.
«Историко-математические исследования», вып. XV, М., 1963, 51—72.
63. И о р д а н Неморарий. О данных числах, Пер. С. Н. Шрейдера,
под ред. И. Н. Веселовского, В сб. «Историко-математические
исследования», вып. XII, М., 1959, 559—588.
64. История отечественной математики, т. I, Ред. Штокало И. 3.,
Боголюбов А. Н., Юшкевич А. П. и др. Киев, 1966.
65. КарданоДж. О моей жизни, М., 1938.
66. Кар ы-Н и я з о в Т. Н. Астрономическая школа Улугбека, М., 1950.
•67. Колмогоров А. Н. История математики, Большая Советская
энциклопедия, т. XXVI, изд. 2, 1954.
68. Кольман Э. История математики в древности, М., 1961.
205

69. К р а м a pi Ф. Д. Интеграционные методы Джона Валлиса, В сб.
«Историко-математические исследования», вып. XIV, М., 1961,
11—100.
70. К р а м а р Ф. Д. Развитие геометрических исчислений, Автореф.
дисс. на соиск. уч. степени д-ра физ.-мат. наук, Алма-Ата, 1966.
71. Крамар Ф. Д. От универсальной арифметики Ньютона к алгебре
кватернионов Гамильтона, В сб. «Историко-математические
исследования», вып. XVII, М. 1966, 309—316.
72. Кэджори Ф. История элементарной математики с указанием на
методы преподавания, Пер. с англ. под ред., с прим. и добавл.
И. Ю. Тимченко, Одесса, 1910; 2-е изд. Одесса, 1917.
73. Л и п ш и ц Е. Э. Византийский ученый Лев Математик (Из истории
византийской культуры IX в.) «Византийский временник», т. II (27),
1949, 106—149.
74. Ма м ед бе й л и Г Д. Мухаммед Насирэддин Туей о теории
параллельных и теории отношений, Баку, 1959.
75. М а м е д б е й л и Г. Д. Основатель Марагинской обсерватории
Насирэддин Туей, Баку, 1961.
76. М а р к у ш е в и ч А. И. О классификации иррациональностей в
книге X «Начал» Евклида, В сб. «Историко-математические
исследования», вып. I, M., 1948.
77. М а р к у ш е в и ч А. И. Эволюция научной книги в Западной
Европе, В сб. «Пятьсот лет после Гутенберга, 1468—1968», М., 1968,
239—286.
78. Матвиевская Г П. Заметки о совершенных числах в
записных книжках Эйлера, Тр. Ин-та истории естеств. и техники
АН СССР, т. 34, стр. 416—427.
79. М а т в и е в с к а я Г. П. О неопубликованных рукописях Леонарда
Эйлера по диофантову анализу, В сб. «Историко-математические
исследования», вып. XIII, М., 1960, 107—186.
80. Матвиевская Г П. К истории математики Средней Азии,
Ташкент, 1961.
81. Матвиевская Г П. К истории учения о числе на
средневековом Ближнем и Среднем Востоке, В сб.
«Историко-математические исследования», вып. XVII, М., 1966, 273—280.
82. Матвиевская Г П. Учение о числе на средневековом Ближнем
и Среднем Востоке, Ташкент, 1967.
83. М а т в и е в с к а я Г П. Учение о числе в средние века, Автореф.
дисс. на соиск. уч. степени д-ра физ.-мат. наук, Ташкент, 1968.
84. М е д о в о й М. И. Об арифметическом трактате Абу-л-Вафы, В сб.
«Историко-математические исследования», вып. XIII, 1960, 253—324.
85. М о р д у х а й-Б о л т о в с к о й Д. Д. Из прошлого пятой книги
«Начал» Евклида, «Математическое образование», 1916, №5—8,
255—263, 277—289.
86. Не й г е б а у е р О. Лекции по истории античных математических
наук, Пер. с прим. и предисл. С. Я. Лурье, М.—Л., 1937.
87. Нейгебауер О. Точные науки в древности, Пер. с англ. Е. В. Гох-
ман, под ред. и с предисл. А. П. Юшкевича, М., 1968.
88. Ньютон И. Всеобщая арифметика или книга об арифметических
синтезе и анализе, Пер., ст. и коммент. А. П. Юшкевича, М., 1948.
89. Ольшки Л. История научной литературы на новых языках,
тт. I—II, М.—Л., 1933—1934.
90. Орем Николай, Трактат о конфигурации качеств, Пер.
В. П. Зубова, В сб. «Историко-математические исследования», вып.
XI, М., 1958, 636—731.
91. Петросян Г Б. Математика в Армении в древних и средних
веках, Ереван, 1959 (на арм. яз., резюме на рус. и англ.).
206

92. Р а и к А. Е. Десятая книга «Начал» Евклида, В сб. «Историко-
математические исследования», вып. I, 1948, 343—384.
93. Р а и к А. Е. Очерки по истории математики в древности, Саранск,
1967.
94. Ро з енф е л ь д Б. А., Юшкевич А. П. Комментарии к
трактатам Гиясэддина ал-Каши, В кн. ал-Каши «Ключ арифметики,
Трактат об окружности», М., 1956, 324—380.
95. Розенфельд Б. А. Юшкевич А. П. Математика стран
Ближнего и Среднего Востока в средние века, «Советское
востоковедение», 1958, № 3; № 6.
96. Розенфельд Б. А. Юшкевич А. П. Омар Хайям, М., 1965.
97. Розенфельд Б. А., К у б е с о в А. К., СобировГ С. Кто
был автором римского издания «Изложения Евклида Насир
ад-Дина ат-Туси»? В сб. «Вопросы истории естеств. и техники», вып. 20,
М., 1966, 51—53.
98. Р о з е н ф е л ь д Б. А., Карпова Л. М. Книга Абу-л-Хасана
Сабита ибн Корры ас-Саби о составлении отношений (пер., ком-
мент, и вступит, ст.), В сб. «История физико-математических наук
в странах Востока», вып. I, 1966, 5—41.
99. Р ы б н и к о в К. А. Русские издания «Начал» Евклида, «Успехи
математических наук», вып. 9, 1941, 318—321.
100. Рыбников К. А. История математики, т. I, М., 1960; т. II, М.,
1963.
101. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики, 2-е изд., Пер.
с нем. изд. и доп. И. Б. Погребысского, М., 1969.
102. Феттер Г. Краткий обзор развития математики в чешских
землях до Белогорской битвы, В сб. «Историко-математические
исследования», вып. XI, М., 1958, 461—514.
103. Феттер Г Краткий обзор развития математики в чешских землях
от Белогорской битвы до конца XVII в., В сб.
«Историко-математические исследования», вып. XIV, М., 1961, 491—516.
104. Ф р и б у с Е. А. Развитие математики в Германии XVI в. в трудах
геометра А. Дюрера и алгебраиста М. Штифеля, Автореф. дисс.
на соиск. уч. степени канд. физ.-мат. наук, М., 1969.
105. Хаййам Омар. Математические трактаты, Пер. Б. А. Розен-
фельда с прим. Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича, В сб.
«Историко-математические исследования», М., 1953, вып. VI, 11—72.
106. А л ь-Х орезми Мухаммад. Математические трактаты, Пер.
Ю. X. Копелевич и Б. А. Розенфельда, коммент. Б. А.
Розенфельда, Ташкент, 1964.
107. Цейтен Г История математики в древности и в средние века,
Пер. с франц. изд. П. С. Юшкевича, предисл. М. Я. Выгодского,
М.—Л., 1932.
108. Цейтен Г. История математики в XVI и XVII веках, Пер. с нем.
П. Новикова, обработка, прим. и предисл. М. Я. Выгодского, М.—Л,.
1936; 2-е изд. М.—Л., 1938.
109. Черкалова Л. И. Формирование понятия действительного
положительного числа в XVI—XVII вв., Автореф. дисс. на соиск. уч.
степени канд. физ.-мат. наук, М., 1965.
ПО. Шаль М. Исторический обзор происхождения и развития
геометрических методов, т. 1—2 (Пер. с франц.), М. 1883.
111. Шереметьевский В. П. Очерки по истории математики, М.,
1940.
112. Ш рей дер С. Н. Начала западноевропейской алгебры в сочинении
Иордана Неморария «О данных числах», В сб.
«Историко-математические исследования», вып. XII, М., 1959, 679—688.
113. Штольц О. Величины и числа, Пер. с нем., «Математическое
образование», 1914, №1. 43—48, №2, 98—102; №3, 136—146.
207

114. Щеглов В. П. Самаркандская обсерватории Улугбека, «Земля
и Вселенная», 1967, №4, 62—68.
115. Щ еглов В. П. Ян Гевелий, Атлас звездного неба, Вступ. статья,
Ташкент, 1968.
116. Юшкевич А. П. Декарт и математика, В кн. «Декарт.
Геометрия», М., 1938.
117 Юшкевич А. П. О «Всеобщей арифметике» И. Ньютона, В кн.
«Ньютон, Всеобщая арифметика», М., 1948, 347—391.
118. Юшкевич А. П. О первом русском издании трудов Эвклида и
Архимеда, Тр. Ин-та истории естеств. АН СССР, т. II, 1948, 566—
572.
119. Юшкевич А. П. Омар Хайям и его «алгебра», Тр. Ин-та истории
естеств. АН СССР, т. II, 1948, 499—534.
120. Юшкевич А. П., О «Геометрии» Декарта, В кн. «Декарт,
Рассуждение о методе», М. 1953, 524—559.
121. Юшкевич А. П. Арифметический трактат Мухаммеда бен Муса
ал-Хорезми, Тр. Ин-та истории естеств. и техники АН СССР, т. 1,
М., 1954, 85—127.
122. Юшкевич А. П., Р о з е н ф е л ь д Б. А. Математика в странах
Востока в средние века, В сб. «Из истории науки и техники в странах
Востока», вып. 1, 1960, 349—421.
123. Юшкевич А. П. История математики в средние века, М., 1961.
124. Юшкевич А. П. О развитии понятия функции, В сб. «Историко-
математические исследования», вып. XVII, М., 1966, 123—150.
125. Юшкевич А. П. История математики в России, М., 1968.
126. Юшкевич А. П. Исследования по истории математики в странах
Востока в средние века. Итоги и перспективы, В сб.
«Физико-математические науки в странах Востока», вып. II (V), М., 1969,
5—17.
127 Abu К a mil. The «Algebra» of Abu Kamil, kitab fi al-jabr wa'l-mu-
qUbala in a commentary by Mordecai Finzi, Hebrew text, translation,
and commentary with special reference to the Arabic text Martin
Levey, Madison, Milvaukee and London, 1966.
128. Agostini A. II «De viribus quantitatis» di Luca Pacioli, Bologna,
1924.
129. Alcuini opera omnia, ed. J F Migne, Paris, 1851.
130. Albert us de Saxonia. Tractatus proportionum, Venetia, 1496.
131. Amodeo F И trattato delle coniche di Francesco Maurolico, Bibl.
math., F. 3, Bd IX, 1908/1909, 123—138.
132. Anastos M. V The history of Byzantine science. Report on the
Dumbarton Oaks Symposium of 1961, Dumbarton Oaks Papers, 1962,
409—411.
133. Arrighi G. La matematica in Italia durante il medio-evo, Actes du
XI Congr. Intern. d'Hist. des sci., t. Ill, Ossolineum, 1968. 185—188
134. Becker O. Eudoxos-Studien, I. Eine voreudoxische Proportionenlehre
und ihre Spuren bei Aristoteles und Euklid, Quellen u. Stud, zur
Gesch. d. Math., Astron. u. Phys., Abt. B, Bd II, Berlin, 1932.
135. Becker O. Eudoxos-Studien, III. Die Lehre voni Geraden und Unge-
raden im neunten Buch der Euklidischen Elemente, Quellen u. Stud,
zur Gesch. d. Math., Astron. u. Phys., Bd III, Berlin, 1936.
136. Becker O. Das mathematische Denken der Antike, Freiburg—Mun-
chen, 1954.
137. Bedae Venerabilis opera omnia, ed. J. A. Gilles, London,
1843—1844.
138. Be r let B. Adam Riese, sein Leben, seine Rechenbucher und seine
Art zu rechnen, Die Coss von Adam Riese, Leipzig, 1892.
139. Besthorn R. O. Ueber den Commentar des Simplicius zu den Ele-
menta, Bibl. math., F. 2, Bd 6, 1892, 65—66.
208

\4b. Besthorn R. 0., Heibefg J- L. Codex Leidensis $9$, J, Eucli-
dis elementa interprefatione al-Hadschdsehadschii cum commen-
tariis al-Nairizii, Arabice et latine ed., I—III, Havniae, 1893—1910.
141. Bjornbo A. A. Recension: M. Curtze, Anaritii in decern libros prio-
res Elementorum Euclidis, Bibl math., F. 3, Bd. II, 1901, 363—366.
142. Bjornbo A. A. Studien uber Menelaos Spharik, Abhandl. zur Gesch.
d. math. Wiss., H. XIV, 1902.
143. Bjornbo A. A. Ober zwei mathematische Handschriften aus dem
vierzehnten Jahrhundert, Bibl. math., F. 3, Bd III, 1902.
144. Bjornbo A. A. Herniannus Dalmata als Obersetzer astronomischer
Arbeiten, Bibl. math., F. 3, Bd IV, 1903, 130—133.
145. Bjornbo A. A. Die mathematischen S. Marcohandschriften in Flo-
renz, Bibl. math., F 3, Bd IV, 1903, 238—245.
146. Bjornbo A. A. Gerhard von Cremonas Obersetzung von Alkwarizmis
Algebra und von Euklids Elementen, Bibl. math., F 3, Bd VI, 1905,
239—248.
147 Bjornbo A. A. Die mittelalterlichen lateinischen Obersetzungen aus
dem Griechischen auf dem Gebiete der mathematischen Wissenschaf-
ten, Archiv fur d. Gesch. d. Naturwiss. u. d. Technik, Bd I, 1909,
385—394.
148. Bjornbo A. A. Thabits Werk iiber den Transversalensatz (liber de
figura sectore), mit Bemerkungen von H. Suter, hrsg. und erganzt
von H. Burger und K. Kohl, Abhandl. zur Gesch. d. Naturwiss. u. d.
Med., H. 7. Erlangen, 1924.
149. Blaschke W., Schoppe G. Regiomontanus: Commensurator,
Abhandl. math.-naturwiss. Kl. Ak. Wiss. u. Literatur, 1956, Nr. 7.
150. Bliemetzrieder F. Adelard von Bath, Miinchen, 1935.
151. Boethius. De institutione arithmetica, Augsburg, ed. E. Ratdolt,
1488.
152. В о m b e 11 i R. L'Algebra, Bologna, 1579.
153. Boncompagni B. Delle versioni fatte da Platone Tiburino tradut-
tore del secolo duodecimo, Atti dell' Accad. Pontif. dei Lincei, t IV,
1851,249—286.
154. Boncompagni B. Delia vita e delle opere di Gherardo Cremone-
se, Roma, 1851.
155. Boncompagni B. Trattati d'aritmetica publicati de Baldassare
Boncompagni I. Algorithmi de numero indororh, II Joanni Hispalen-
sis liber algorismi de pratica arismetrice, Roma, 1857.
156. Boncompagni B. Intorno al comento di Procli sul primo libro
degli elementi di Euclide, Bull, di bibl. e di storia delle sci. mat. e fis.,
t. VII, Roma, 1874, 152—165.
157 Boncompagni B. Intorno ad un trattato d'aritmetica di Giovanni
Widmann di Eger, Bull, di bibl. e di storia delle sci. mat. e fis., t. XIV,
Roma, 1876, 188—210.
158. Boncompagni B. Intorno ad uno scritto inedito di Adelardo di
Bath intitolato «Regule Abaci», Bull, di bibl. e di storia delle sci.
mat. e. fis., t. XIV, Roma, 1881, 1—134.
159. [Borelli A.]. Euclidis restitutus a Jo. Alphon. Borellio neapolitano
Editio tertia denuo limata, Roma, 1679.
160. В ortol о 11 i E. La trisezione dell'angolo ed il caso irreducibile
della equazione cubica nell' «Algebra» di Rafael Bombelli, Rendicon-
to delle Sessioni della R. Accad delle Sci. dell'Instituto di Bologna,
1922—1923.
161. Bortolotti E. L'Algebra, Opera di Rafael Bombelli, Cittadino Bo-
lognese, Archiv fur d. Gesch. d. Math., d. Naturwiss. u d. Technik,
Bd 11, 1929, H. 4,407—422.
162. Bortolotti E. L'algebra nella storia e nella preistoria della scien-
ze, Osiris, vol. I, 1936, 184—230.
209

163. В or to lot ti E. L'Algebra, Opera di Rafael Bombelli da Bologna.
Libri IV e V comprenentti «La Parte Geometrica» inedita tratta dai
manoscritto B. 1569 della Biblioteca dell' Archiginnasio di Bologna,
Collezione per la storia e la filosofia delle matematiche, № 7,
Bologna, 1929.
164. Bortolotti E. Le storia della matematica nella Universita di
Bologna, Bologna, 1947.
165. В о s m a n s H. Hermann le Dalmate, traducteur des traites arabes.
Revue des questions sci. publiee par la Soc. Sci. de Bruxelles, 63,
1904, 669—672.
166. В о s m a n s H. Le commentaire de Gemma Frisius sur I'Arithmetica
integra de Stifel, Ann. de la Soc. Sci. de Bruxelles, 30 1, 1905,
165—168.
167. Bosmans H. Le fragment du commentaire d'Adrien Romain sur
l'Algebre de Mahumed ben Musa el-Chowarezmt, Ann. de la Soc. Sci.
de Bruxelles, 30 : 2, 1906, 267-287.
168. Bosmans H. Le «De arte magna» de Guillaum Gosselin, Bibl. math.,
F. 3, Bd 7, 1906, 44—56.
169. Bosmans H. Kleine Bemerkungen zur 2. Auflage von Cantors
«Vorlesungen», Bibl. math., F 3, Bd VII, 1906/1907, 214.
170. Bosmans H. Analyse des notes que Gemma Frisius a ecrits sur les
marges de son exemplaire de I'Arithmetica integra de Stifel, Ann. de
la Soc. Sci. de Bruxelles, 30 1, 1906.
171. Bosmans H. L'Algebre de Jaques Peletier du Mans departie en
deux livres, Revue des questions sci. publiee par la Soc. Sci. de
Bruxelles, 113, 1907, 117—173.
172. Bosmans H. Particulates de la vie de Gregoire de St. Vincent,
Ann. de la Soc. Sci. de Bruxelles, 34:1, 1909/1910, 174.
173. Bosmans H. Notes sur l'Arithmetique de Simon Stevin, Ann. de la
Soc. Sci. de Bruxelles, 35, 1910/1911, 293—304.
174. Bosmans H. Andre Tacquet (S. J.) et son traite d'«Arithmetique
theoretique et pratique», Isis, IX, 1927, No. 1, 66—82.
175. Воуег С. В. Proportion, equation, function: three steps in the
development of a concept, Scripta math., vol. 12, 1946, No. 1, 5—13.
176. Braunmiihl A. Nassir Eddin Tusi und Regiomontan, Abhandl. d.
Leop.-Carol. Akad. d. Naturwiss., Bd 71, 1898, 33—67.
177. Braunmuhl A. Vorlesungen uber die Geschichte der Trigonometrie,
Bd 1—2, Leipzig, 1900.
178. Braunmuhl A. Die Entwickelung der Zeichen- und Formelsprache
in der Trigonometrie, Bibl. math., F. 3, Bd I, 1900, 64—74.
179. В rets chn eider С G. (ed.). Corpus Reformatorum, XI, 1840,
531—544.
180. Busard H. L. L. (ed.). N. Oresme, Questiones super geometriam
Euclidis, Leiden, 1961.
181. Busard H. L. L. Ober einige Papiere aus Vietas Nachlaf* in der
Pariser Bibliotheque Nationale, Centaurus, vol. 10, 1964, No. 2,
65—126.
182. Busard H. L. L. Die Ohersetzung der Elemente Euclids durch
Hermann von Karnten, Sympos. «Die Mathematik in den Landern des
Ostens im Mittelalter»» Abstracts, Moskau, 1966, 5.
183. Busard H. L. L. The translation of the Elements of Euclid from
tbe Arabic into Latin by H€rmann of Carinthia, Leiden, 1968.
184. Cajori F. Robert Record, The math. Teacher, vol. 15, 1922, No. 4—5,
294—302.
185. Cajori F. Notes on Luca Pacioli's «Summa», Arch, di storia d. sci-
enza, t. 5, 1924, 125—130.
186. The Cambridge medieval history, vol. IV (The Eastern Roman
Empire, 717—1453), Cambridge, 1923.
210

187. Cantor M. Petrus Ramus, Michael Stifel, Hieronymus Cardanus,
drei mathematische Charakterbilder aus dem 16. Jahrhundert, Zeitschr.
fur Math. u. Phys., Bd 2, 1857, 353—376.
188. Cantor M. Ramus im Heidelberg, Zeitschr. fur Math. u. Phys., Bd 3,
1858, 133—143.
189. Cantor M. Die romischen Agrimensoren und ihre Stellung in der
Geschichte der Feldmessenkunst, 1875.
190. Cantor M. Ober einen Codex des Klosters Salem, Zeitschr. fur Math.
u. Phys., Bd 10, 1865.
191. Cantor M. Rezension: H. Weissenborn, Die Obersetzungen des
Euklid durch Campano und Zamberti, Zeitschr. fur Math. u. Phys.
Bd 27, 1882, hist.-lit. Abt., 110—ill.
192. Cantor M. Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, Bd I—II,
Aufl. 3, Leipzig, 1900—190?.
193. Cantor M. Ahmed und sein Buch uber die Proportioned Bibl. math.,
F 2, Bd 2, 1888, 7—9.
194. [C a r d a no.]. Hieronimi С Cardani medici mediolanensis practica
Arithmeticae, et Mensurandi singularis, 1539.
195. [Card a no.]. Hieronimy Cardani Artis Magnae sive de Regulis algeb-
raicis, lib. unus..., 1545.
196. [Cardan o.]. Hieronimi Cardani opus novum de proportionibus, Ba-
sileae, 1545.
197 Carmody T. J. Regiomontanus' notes on al-Bitruji's, Isis, vol. 42,
part 2, 1951.
198. [C a s s i о d о r u s]. Magni Aurelii Cassiodori senatoris, v. c. variarum
libri XII, Parisiis, 1589.
199. Chasles M. Rapport sur un Memoire de M. F. Woepcke, intitule:
Essai d'une restitution des travaux perdus d'Apollonius sur les quan-
tites irrationnelles, Comptes rendus de 1'Acad. de Sci., t. 37, Paris,
1853, 533—568.
200. Christensen S. A. Ueber Gleichungen vierten Grades im zehnten
Buch der Elemente Euclid's, Zeitschr. fur Math. u. Phys., Bd 34,
1889, hist.-lit. AM., 201—217.
201. CI agett M. The medieval latin translations from the arabic of the
Elements of Euclid with special emphasis on the versions of Adelard
of Bath, Isis, vol. 44, 1953, 16—42.
202. С 1 a g e 11 M. Nicole Oresme and medieval scientific thought, Proc.
Amer. philos. Soc, vol. 108, 1964, No. 4, 298—309.
203. CI agett M. The scince of mechanics in the Middle Ages, Madison,
Wisconsin, London, 1959.
204. Clarke F. M. New light on Robert Recorde, Isis, vol. VIII, 1926,
50—70.
205. [C 1 a v i u s]. Algebra Christophori Clavii Bambergensis e Societate
Jesu, Aurelianae Allobrogum, 1609.
206. Crew H. The photismi de lumine of Maurolycus, N. Y., 1940.
207. Crombie A. C. Augustine to Galileo. The history of science a. D.
400—1650, London, 1952.
208. Crombie A. C. (ed.). Scientific change, London, 1963.
209. Crosby H. L. Thomas of Bradwardine. His Tractatus de
proportionibus. Its significance for the development of mathematical physics,
Madison, 1955.
210. Curt ze M. Der Algorismus Proportionum des Nicolaus Oresme zum
ersten Male nach der Lesart der Handschrift R. 4° 2 der Gymnas.-
Bibliothek zu Thorn hefausgegeben, Berlin, 1868.
211. Curt ze M. Uber eine Handschrift der Konigl. Bibliothek zu
Dresden, Zeitshr. fur Math, und Phys. Bd 28, 1883, hist-lit. Abt.,
1 — 13.
212. С u г t z e M. Jordani Nemorarii Geometria vel de Triangulis Libri 4,
Mitteil. des Coppernicus-Vereins., Thorn, 6, 1887.
?ll

213. Curtze M. Commentar zu dem «Tractatus de nunieris datis» des Jor-
danus Nemorarius, Zeitschr. fur Math. u. Phys., Bd 36, 1891.
214. Curtze M. Mathematisch-Geschichtliches aus dem Codex latinus
Monacensis No. 14908, Archiv d. Math. u. Phys., Bd 13, H. 4,
1894/1895, 388—406.
215. Curtze M. Ein Beitrag zur Geschichte der Algebra in Deutschland
irn XV Jhr., Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss. H. 7, 1895,
31—74.
216. Curtze M. Miscellen zur Geschichte der Mathematik in 14. und 15.
Jahrhundert, Bibl. math., F. 2, Bd 9, 1895, 1—8.
217. Curtze M. Zur Geschichte der Ubersetzungen der Elementa im
Mittelalter, Bibl. math., F. 2, Bd 10, 1896, 1—3.
218. Curtze M. Petri Philomeni de Dacja in Algorismus vulgarem Joan-
nis de Sacrobosco commentarius, Havniae, 1897.
219. Curtze M. Die Quadratwurzelformel des Heron bei den Arabern und
bei Regiomontan und damit Zusammenhangendes, Zeitschr. fur Math,
u. Phys., Bd 42, 1897, hist.-lit. Abt., 145—152.
220. Curtze M. Uber eine Algorismus-Schrift des XII. Jahrhunderts,
Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss., H. VIII, 1898, 17—27.
221. Curtze M. Anaritii in decern libros priores commentarii ex interpre-
tatione Gherardi Cremonensis in codice Cracoviensi 1569 servata
(Euclides opera omnia, ed. Heiberg J. L., Supplementum), Lipsiae,
1899.
222. Curtze M. Die Algebra des Initius Algebras ad Hem Geometram
magistrum suum, Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss., Leipzig, H. XI,
437—609.
223. Curtze M. Der «Liber embadorum» des Savasorda in der Uberset-
zung des Plato von Tivoli, Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss., H. XII,
Leipzig, 1902.
224. Curtze M. Der Briefwechsel Regiomontan's mit Giovanni Bianchini,
Jacob von Speir und Christian Roder, Abhandl. zur Gesch. d. math.
Wiss., H. XII, Leipzig, 1902, 185—336.
225. D e n i f 1 e H. Die Entstehung der Universitaten des Mittelalters bis
1400, Berlin, 1885; 2, Aufi., Graz, 1956.
226. Deubner F. ...Nach Adam Ries. Leben und Wirken des gropen
Rechenmeisters, Leipzig—Jena, 1959.
227. D e p a u R. Simon Stevin, Bruxelles, 1942.
228. D'Elia P. M. Galileo in China, Cambridge, Massachusetts, 1960.
229. D i e г с к s S. Die Araber in Mittelalter und ihr Einf luss auf die Kul-
tur Europas, Leipzig, 1882.
230. Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticorum libri sex.
A Guil. Xylandro Augustano incredibili labore latine redditum, Bas-
lae, 1575.
231. Diophante d'Alexandrie. Les six livres arithmetiques et la
livre des nombres polygones, ed. P. Ver Eecke, Bruges, 1928.
232. D'Ooge M. L. Nicomachus of Gerasa, Introduction to arithmetic.
Transl. into english, with studies in Greek arithmetic by E. S. Rob-
bins and L. C. Karpinski, Ann. Arbor, 1938.
233. Duhem P. Sur TAlgorithmus demonstrate, Bibl. math., F. 3, Bd VI,
1905 9 15
234. Enestrom G. Anfrage 47, Bibl. math., F. 2, Bd 8, 1894, 96.
235.. E n e s t r 6 m G. Sur l'origine du terme «Surdus» (incommensurable),
Bibl. math., F. 3, Bd I, 1900, 516.
236. Enestrom G. Uber den Verfasser einer von Cur.tze (1898) heraus-
gegebenen Algorismus-Schrift aus dem 12. Jahrhundert, Bibl. math.,
F 3, Bd II, 1901,312.
237 Enestrom G Kleine Bemerkungen zur 2. Auflage von Cantors
«Vorlesungen»,' Bibl. math., F. 3, Bd I—XIV, 1900—1914.
m

238. Enestrom G. Sur Talgebre de Robert Recorde, Bibl. math. F 3,
Bd II, 1901, 152.
239. E n e s t r 6 m G. Hermannus secundus (Dalmata), Bibl. math. F
Bd III, 1902,410—411.
240. Enestrom G. Ein versehollener deutscher Cossist aus dem Anfange
des sechzehnten Jahrhunderts, Bibl. math., F 3, Bd III, 1902, 355—360.
241. Enestrom G. 1st Johannes Widman Verfasser der «Dresdener
Algebra?», Bibl. math., F 3, Bd IV, 1903, 90.
242. Enestrom G. Uber den deutschen Mathematiker Andreas
Alexander, Bibl. math., F. 3, Bd IV, 1903, 290—291.
243. Enestrom G. 1st Jordanus Nemorarius Verfasser der Schrift «Al-
gorithmus demonstratUs»?, Bibl. math., F 3, Bd V, 1904, 9—14.
244. Enestrom G. Woher hat Leonardo Pisano seine Kenntnisse der
Elementa des Euklides entnommen?, Bibl. math. F 3, Bd V, 1904,
414—415.
245. Enestrom G. Ein neues litcrarisehes Hilfsmittel zur Verbreitung
mathematisch-historischer Kenntnisse, Bibl. math., F 3, Bd V, 1904.
404—405.
246. Enestrom G. Uber zwei altere Benennungen der funften Potenz
einer Grosse, Bibl. math., F. 3, Bd VI, 1905, 324—325.
247. Enestrom G. Woher haben Leonardo Pisano und Jordanus
Nemorarius ihre Losungen des Problems der Wiirfelverdoppelung
entnommen?, Bibl. math., F 3, Bd VI, 1905, 214—215.
248. Enestrom G. Bemerkung uber zwei altere Benennungen der
funften Potenz einer Grosse, Bibl. math., F. 3, Bd VI, 1905, 410.
249. Enestrom G. Uber die Entdeckung des Zusammenhanges zwischen
den Wurzeln einer Gleichung und der Gleichungskonstante, Bibl.
math., F. 3, Bd VI, 1905, 409—410.
250. Enestrom G. Uber den Bearbeiter oder Ubersetzer des von Bon-
compagni herausgegebene Liber algorismi de practica arismetrice,
Bibl. math., F. 3, Bd VI, 1905, 114.
251. Enestrom G. Hat Tartaglia seine Losung der kubischen Gleichung
von Del Ferro entlehnt?, Bibl. math. F 3, Bd VII, 1906/1907,
38—43.
252. Enestrom G. Uber die Anfange der Benutzung von Null als eine
wirkliche Grosse, Bibl. math., F 3, Bd VII, 1906/1907, 309.
253. Enestrom G. Uber zwei angebliche mathematisehe Schulen im
christlichen Mittelalter, Bibl. math., F. 3, Bd VII, 1906/1907, 252—262.
254. Enestrom G. Uber die «Demonstratio Jordani de algorismc»,
Bibl. math., F. 3, Bd VII, 1906/1907, 24—37
255. Enestrom G. Uber eine dem Jordanus Nemorarius zugeschriebene
kurze Algorismusschrift, Bibl. math., F 3, Bd VIII, 1907/1908,
135—153.
256. Enestrom G. Uber eine im Mittelalter ubersetzte arabische Schrift
algebraischen Inhalts, Bibl. math., F. 3, Bd VIII, 1907/1908, 416.
257. Enestrom G. Uber die «Arithmetica» des Jordanus Nemorarius,
Bibl. math., F. 3, Bd IX, 1909, 175.
258. Enestrom G. Uber das angebliche Dezimalbruchzeichen einiger der
altesten gedruckten Rechenbucher, Bibl. math. F 3, Bd X, 1909/1910,
238—243.
259. Enestrom G. Uber die Geschichte der Sternvielecke im Mittelalter,
Bibl. math., F. 3, Bd X, 1909/1910, 277
260. Enestrom G. Uber die Geschichte der ersten algebraischen Losung
der allgemeinen Gleichung vicrten Grades, Bibl. math., F 3, Bd 11,
1910/1911, 182—183.
261. Enestrom G. Uber Ursprung einer Notiz aus dem 16. Jahrhundert,
betreffend die Erfindung der Algebra, Bibl, math. F 3, Bd XII,
1911/1912, 181—182.
213

262. Enestrom G. Ober den «Algorismus de integris des Meisters Ger-
nardus», Bibl. math., F. 3, Bd XIII, 1912/1913, 289—332.
263. Enestrom G. Uber den ursprunglichen Titel der geometrischen
Schrift des Jordanus Nemorarius, Bibl. math., F. 3, Bd XIII,
1912/1913, 83—84.
264. Enestrom G. Uber den Algorismus de minutiis, Bibl. math., F. 3,
Bd XIV, 1914/1915.
265. Enestrom G. Das Bruchrechnung des Jordanus Nemorarius, Bibl.
math., F. 3, Bd XIV, 1914/1915, 41—54.
266. Enestrom G. Ober die Gesehiehte der Kubikwurzelausziehung im
Mittelalter, Bibl. math., F. 3, Bd XIV, 1914/1915, 83—4.
267. Euclidis Elementa geometriae comment. Johannus Campanus, Er-
hard Ratdolt, Venezia, 1482.
268. Euclidis Megarensis Mathematici clarissimi Elementorum
Geometricorum Libri XV. Cum expositione Theonis in priores XII a
Bartholmaeo Veneto latinitate donata, Campani in omnes, et Hypsic-
les Alexandrini in duos postremos, Basileae, 1537.
269. Euclidis elementorum geometricorum libri sex, conversi in lati-
num sermonem a Joach. Camerario, Lipsiae, 1549.
270. [E u с 1 i d e s]. Die Sechs Erste Bucher Euclides von anf ang oder grund
der Geometrj... Alles zu lieb und gebrauch den Kunstliebenden Teiit-
sche so sich der Geometrj und Rechenkunst anmassen mit vilfaltiger
miihe und arbait zum trevlichsten erarnet und in Truckh gegeben.
Durch Wilhelm Holtzman genant Xylander von Augsburg, Basel,
1562.
271. Euclidis Megarense philosopho, solo introductore delle scien-
cie mathematice Diligentemente Rassetato, et alia integrita ridotto,
per il degno professore di tal scientie Nicolo Tartalea Brisciano, Ve-
netia, 1565.
272. Euclidis quindecim Elementorum Geometriae primum: ex Theonis
Commentariis Grece, et Latine cui accesserunt Scholia, in quibus quae
ad percepienda Geometiae Elementa spectant, breviter et dilucide
explicantur, auctore Cunrado Dasypodio, Scholae Argentinensis
professore, 1554.
273. Euclidis omnes omnium librorum propositiones, graece et latine:
edite per M. Cunradum Dasypodium, Argentinae, 1571.
274. Euclidis Elementorum Libri XV, Accesit XVI de Solidum Regula-
rium cuiuslibet intraquodlibet comparatione... Auctore Christophoro
Clavio Baptistae Ciotti, 1591.
275. Euclidis elementorum geometricorum Libri Tredecim ex traductio-
ne doctissimi Nasiridini Tusini, Nunc primum arabice impressi, Ro-
mae, 1594.
276. Euclides restitutus, sive prisca geometriae elementa, brevius et
facilius contexta. Alphonso Borellio in Messanensi pridem, nunc vero
in Pisana Academia Matheseos Professore. Pisis, 1658.
277. Euclides. Opera omnia, ed. J. L. Heiberg, A. H. Menge, Lipsiae,
1888, vol. I—V.
278. Favaro A. Intorno ad una pretesa seconda edizione dell'Algebra di
Rafael Bombelli, Bibl. math. F. 2, Bd 7, 1893, 15—16.
279. Favaro A. Di Niccolo Tartaglia e della stampa di alcune delle sun
opere con particolare riguardo alia «Travagliata inventione», Isis,
vol. 1, 1913, 329—340.
280. Frati L. Scipione del Fero, Boll, di bibliogr. e. storia d. sci. mat., 12,
1910, 1—5.
2S1. F r e u d e n t h a 1 II. Zur Gesehiehte der vollstandigen Induction,
Arch. Intern. d'Hist. des Sci., t. 32, 1953, No. 22, 17—37.
282. F r i d 1 e i n G. Gerbert, die Geometrie des Boethius und die indischen
Ziffern, Erlangen, 1861.
214

283. P r i e d I e i n G. 2ur Geschichte uriserer Zahlzeichen und utlseres 2if-
fersystems, Zeitschr. fur Math. u. Phys., Bd 9, 1864, 73—95.
284. Fried lei n G. Das Rechnen mit Columnen vor dem 10. Jahrhundert,
Zeitschr. fur Math. u. Phys., Bd 9, 1864, 297—330; Bd 10, 1865,
241—282.
285. F r i e d 1 e i n G. Gerberts Regeln der Division, Zeitschr. fur Math.
Phys., Bd 9, 1864, 145—171.
286. F r i e d 1 e i n G. Anicii Manlii Torquati Severini Boetii De institutione
arithmetica libri duo, De institutione musica libri quinque, Accedit
geometria quae fertur Boetii, Ex librie manuscriptis ed., Lipsiae, 1867
287» Fuck J. Die arabischen Studien in Europa bis in den Anfang des 20.
Jahrhunderts, Leipzig, 1955.
288. G a n d z S. The invention of the decimal fraction and the application
of the exponential calculus by Immanuel Bonfils of Tarascon, Isis,
vol. 25, 1936.
289. [Gemma F r i s i u s]. Arithmeticae practicae Methodus f acilis... per
Gemmam Frisium, Lipsiae, 1592.
290. Gerberti postea Silvestri papae Opera mathematica, ed. N. Bub-
nov, Berlin, 1899.
291. Gerhardt G. J. Das Rechenbuch des Maximus Planudes. Nach den
Handschr. d. Kgl. Bibl. zu Paris, Halle, 1865.
292. Gerhardt G. J. Zur Geschichte der Algebra in Deutschland, Monat-
sber. d. Berl. Akad., 1870, 141—153.
293. Gerhardt G. J. Geschichte der Mathematik in Deutschland, Miin-
chen, 1877.
294. G i e s i n g J. Stifels Arithmetica integra, Dobeln, 1879.
295. Girard A. Invention nouvelle en l'algebre, Amsterdam, 1629.
296. Goldstein B. R. A treatise on number theory from a tenth century
arabic source, Centaurus, vol. 10, No. 3, 1964, 129—160.
297. Grant E. Nicole Oresme and his «De proportionibus proportionum»,
Isis, vol. 51, 1960.
298. Gregorius a Sancto Vincent o, Opus Geometricorum
quadrature circuli et sectioni coni, Antverpiae, 1647.
299. Gunther S. Geschichte des mathematischen Unterrichts im deutschen
Mittelalter bis zum Jahre 1525, Berlin, 1887.
300. Hankel H. Zur Geschichte der Mathematik im Altertum und
Mittelalter, Leipzig, 1874.
301. Haskins Ch. H. The Sicilian Translators of the twelfth century a;
the first latin wersion of Ptolemy's Almagest, Harvard Stud. Clas
Phil, 21, 1910, 75—102.
302. Haskins Ch. H. Adelard of Bath, The english hist, review, vol. 26,
1911,491—498.
303. Haskins Ch. H. Studies the historv of mediaeval science,
Cambridge, 1924.
304. Haskins Ch. H. Arabic science Western Europe, Isis, vol. 7,
No. 23, 1925, 478—488.
305. Haskins Ch. H. Studies in mediaeval culture, N. Y 1958.
306. Heath Th. L. Diophantus of Alexandria. A study in the history of
Greek algebra, Cambridge, 1885; 2 ed. 1910.
307. Heath Th. L. The thirteen books of Euclid's Elements, translated
from the text of Heiberg, with introduction and commentary,
vol. I—III, Cambridge, 1908; 2 ed. 1926.
308. Heath Th. L. A manual of Greek mathematics, Oxford, 1931.
309. H e i b e r g J. L. Litterargeschichtliche Studien iiber Euklid, LeipzJg,
1882.
310. Heiberg J. L. Die arabische Tradition der Elemente Euklid's,
Zeitschr. fur Math. u. Phys., Bd 29, 1884, hist.-lit. Abt., 1—22.
311. Heiberg J. L. Der byzantinische Mathematiker Leon, Bibl. math.,
F. 2, Bd 1, 1887, 33—36.
215

312. Heiberg J. L. Beitrage zur Geschichte der Mathematik im Mittelal-
ter, Zeitschr. fur Math. u. Phys. Bd 35, hist.-lit. Abt., 1890, 41—58,
81 — 100.
313. Heiberg J. L. Byzantinische Analekten, Abhandl. zur Gesch. d.
AAath. Wiss., H. IX, 1899, 161 — 174.
314. Henry Ch., Prologus Ocreati in Helceph ad Adelardum Batensem
magistrum suum, Fragment sur la multiplication et la division,
Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss., H. Ill, 1880.
315. Henry Ch. Sur les deux plus anciens traites francais d'algorisme et
de geoinetrie, Bull, di bibl. e di stor. d. sci. mat. e fis. t. XV, 1882,
49—70.
316. Hock С F Gerbert oder Pabst Sylvester II, Wien, 1837.
317. Hoffmann J. E. Das Opus geometricorum des Gregorius a S. Vin-
centio und seine Einwirkung auf Leibniz, Berlin, 1941.
318. Hoffmann J. E. Zum Gedenken an Thomas Bradwardine, Centau-
rus, vol. I, 1951, No. 4, 293—308.
319. Hoffmann J. E. Michael Stifel, 1487?—1567. Leben, Wirken und
Bedeutung fur die Mathematik seiner Zeit, Wiesbaden, 1968.
320. H о p p e E. Michael Stifels handschriftliche Nachlass, Mitteil. d. Math.
Ges. in Hamburg, Bd HI, H. 10, Leipzig, 1900, 411—423.
321. Hunger H., Vogel K. Ein Byzantinisches Rechenbuch des 15.
Jahrhunderts, 100 Aufgaben aus clem Codex Vindobonensis Phil,
gr. 65. Text, Obers. u. Komment., Wien, 1963.
322. H u n r a t h K. Zum Verstandnis des Wortes Algonsmus, Bibl. math.,
F 2, Bd 1, 1887, 70.
323. Jayawardene S. A. Recent researches on Rafael Bombelli,
mathematician and engineer of Bologna, Sommaires XI Congr. Intern.
d'Hist. des Sci., sect. 1, 2, 3, Varsovie—Cracovie, 1965, 150.
324. Jord anus Nemorarius. Arithmetica, Parisiis, 1496.
325. J u n g e G., Thomson W. The commentary of Pappus on book X
of Euclid's Elements, Cambridge, 1930.
326. J u n g e G. Zwei wenig bekannte mittelalterliche Aufgaben, Zeitschr.
fur math. u. naturwiss. Unterricrrt, Jg 66, 1935, 117—119.
327. Junge G. Das Fragment der lateinischen Obersetzung des Pappus-
Kommentars zum 10. Buche Euklids (Nr. 7377 A, Fol. 68—70 der
Bibl. Nat. zu Paris), Quellen u. Stud, zur Gesch. der Math. Astr. u.
Phys., Abt. В., Bd 3, H. 1, 1936, 1—17.
328. Juschkewitsch A. P., Rosenfeld B. A. Das Mathematik der
Lander des Ostens im Mittelalter, Sc>wjetische Beitrage zur Gesch. d.
Naturwiss., hrsg. G. Harig, Berlin, 1960.
329. Juschkewitsch A. ^P. Ober ein Werk des AbTT 'Abdallah Muhammad
ibn MQsa al-Huwarizmi al-Magusi zur Arithmetik der Inder, Schrif-
v
tenreihe Gesch. der Naturwiss., Techn. und Med., Beih. 1964 (zum 60.
Geburtstag von G. Harig), 21—63.
330. Juschkewitsch A. P. Geschichte der Mathematik im Mittelalter,
Leipzig, 1964.
331. Karpinski L. С Jordanus Nemorarius and John of Halifax, Amer.
math, monthly, vol. 17, 1910, 108—113.
332. Karpinski L. С An Italian algebra of the fifteenth century, Bibl.
math., F. 3, Bd XI, 1910/1911, 209—219.
333. Karpinski L. C. Robert of Chester's translation of Algebra of Al-
Khowarizmi, Bibl. math., F. 3, Bd XI, 1910/1911, 125—131.
334. Karpinski L. С The «Quadripartitum numerorum» of John of
Meurs, Bibl. math., F. 3, Bd XIII, 1912/1913, 99—114.
335. Karpinski L. C. The Whetstone of witte (1557), Bibl. math., F 3,
Bd XIII, 1912/1913, 223—228.
336. Karpinski L. С Robert of Chester's latin translation of the
Algebra of Al-Khowarismi, N. Y., 1915.
216

•337 К а г p i n s к i L. C. Origines et developpement de Tatgebre, Scientia,
t. 26, № LXXXVIII—8, 1919.
338. Karpinski L. C. The Italian arithmetic of Master Jacob of
Florence, 1307, Archeion, t. 11, 1929, 170—177.
339. Kastn.er A. G. Geschichte der Mathematik, seit der Wiederherstel*
lung der Wissenschaften bis an das Ende des achtzehnten Jahrhun-
derts, Bd I—IV, GSttifigen, 1796.
340. Katzenellenbogen A. The representation of the seven liberal
arts, In: «Twelfth-century Europe and the foundations of modern
Society», ed. M. Clagett, 19$1, 39—55.
341. Kennedy E. S. A survey of Islamic Astronomical tables, Trans.
Amer. Phylos. Soc, vol. 46, chap. 2, 1956.
342. Klamroth M. Ueber den arabischen Euklid, Zeitschr. d. deutsch.
Morgenland. Ges., Bd 35, 1881, 270—326.
343. К1 e b s A. C. Incunabula scientifica et medica, Osiris, vol. 4. 1938,
1—359.
344. Kushyar ibn Labban. Principles of hindu reckoning. A
translation with introduction and notes by M. Levey and M. Petruck of the
Kitab fi usul hisab al-hind, The University of Wisconsin Press,
Madison a. Milwaukee, 1965.
345. Lattin H. P. The letters of Gerbert, N. Y., 1961.
346. [Leonardo Pisano]. Scritti di Leonardo Pisano matematico del
secolo decimoterzo, publicati da Baldassare Boncompagni, vol. I (Li-
r _ ber Abbaci), 1857; vol. II (Practica geometriae), 1862.
347 Leonard de Pise. Le livre de nombres carres, ed. P. Ver Eecke,
, Bruges, 1952.
34$. L i b г i G. Histoire des sciences mathematiques en Italie, t. I—IV,
Paris, 1838.
349. [Los'sius L.]. Arithmetices errotemata puerilia. In quibus sex species
huius utilismae artis, et Regula, quam vocant Detri, breuiter et pers-
picue traduntur. In Gratiam et usum scholarum puerilium Latinarum
collecta et in lucem iam recens edita a Luca Lossio Luneburgensi,
Francofordiae March., 1557.
350. Mansion P. Sur le commentaire d'Anaritius relatif aux elements
d'Euclide, Ann. de la Soc. Sci. de Bruxeles, t. 24, 1900, 47—49.
351. Marre A. Maniere de computer des anciens avec les doigts des
mains, d'apres un petit poeme inedit arabe de Chems-Eddin el Maus-
sol e le Tratado de Mathematicas de Juan Perez de Moya, Bull, di
bibl. e di stor. d. sci. mat. e. fis., t. 1, 1876.
352. Marre A. Notice sur Nicolas Chuquet et son Triparty en la science
des nombres, Bull, di bibl. e di storia d. sci. mat. e. fis., t. XIII, 1880,
555—659, 693—814.
353. [Maurolycus DJ. Francisci Maurolyci Abbatis Messanensis,
Mathematici celleberrimi, Arithmeticorum libri duo. Nunc primum in
Lucem Editi... Venetiis, 1575.
354. Menninger K- Zahlwort und Ziffer, 2. Aufl., GCttingen, 1958.
355. M i e 1 i A. La science arabe et son role dans revolution scientifique
mondial, Leyden, 1938.
356. M о 1 1 a n d A. G. The denomination of proportions in the Middle Ages,
Actes du XI Congr. Intern. d'Hist. des Sci., Ossolineum, t. Ill, 1968.
167—170.
357. Mortet V. Le plus ancien traite francais d'algorisme, Bibl. math.,
F. 3, Bd IX, 1908/1909, 55—64.
358. M u 11 e г F. Zur Terminologie der altesten mathematischen Schriften
in deutscher Sprache, Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss. H. IX,
1899, 303—333.
359. M u n d i J. John of Gmuden, Isis, vol. 34, 1942.
360. Murdoch J. E. The medieval language of proportions: elements of
the interaction with greek foundations and the development of new
217

mathematical techniques, In: «Scientific change» (ed. by A. C. Crom-
bie), London, 1963, 237—271.
361. Nagl A. Uber eine Algorismus-Schrift des XII. Jahrhunderts und
uber die Verbreitung der indisch-arabischen Rechenkunst und Zahl-
zeichen im Christlichen Abendlande, Zeitschr. fur Math. u. Phys.,
Bd 24, 1889, hist.-lit. AM., 129—146, 161—170.
362. Nagl A. Das quadripartitum des Joannes de Muris und das praktische
Rechnen im vierzehnten Jahrhundert, Abhandl. zur Gesch. d. math.
Wiss., H. V, 1890, 137—146.
363. Nagl A. Der arithmetische Tractat von Radulph von Laon, Abhandl.
zur Gesch. d. math. Wiss., H. V, 1890, 85—146.
364. N a p о 1 i F. Intorno alia vita ed ai lavori di Francesco Maurolica,
Bull, di bibl. e di storia d. sci. mat. e fis.. t. IX, Roma, 1876.
365. N а г d u с с i H. Sur l'optique de Claude Ptolemee, Bibl. math., F. 2r
Bd 2, 1888, 97—102.
366. [N a s s e г e d i n u s]. Euclidis Elementorum libri tredecim, Romae,
1657.
367. Natucci A. Origine e sviluppo del concetto di numero irrazionale,.
Scientia, vol. 38, 1925, 293—302.
368. Nesselmann G. H. F. Algebra der Griechen, Berlin, 1842.
369. Neugebauer O. The exact sciences in Antiquity, 2 ed., Brown
University Press, Providence, Rhode Island, 1957.
370. Neugebauer O. Studies in byzantine astronomical terminologies
Trans, of the Amer. Philos. Soc, vol. 50, pt. 2, 1960.
371. Newhall A. The crusades, N. Y., 1927.
372. N о t а г i V. L'equazione di quarto grado. Rizoluzione di Lodovico
Ferrari e sua interpretazione geometrica, Periodico di mat. Bologna,
4, 1924. 327—334.
373. Ore O. Number theory and his history, N. Y.—Toronto—London, 1948.
374. О г е О. Cardano, the gambling scholar, Princeton, 1953.
375. [О г e s m e N i с о 1 e]. De proportionibus proportionum and Ad pauca
respicientis, ed. and transl. E. Grant, Madison, Wisconsin, 1966.
376. Paul O. Boetius und die Griechische Harmonik. Des Anicius Manlius
Severinus Boetius funf Bucher uber die Musik, Leipzig, 1872.
377. [P e 1 e t а г i u s]. Jacobi Peletarii Cenomani, de occulta parte numero-
rum, quam Algebram vocant, libri duo, Parisiis, 1560.
378. P e 1 e t i e г J. Oevres poetiques, publ. d'apres l'edition originale de
1547 par L. Seche, avec une notice biographique, un comment, et des
notes par P. Laumonier, Paris, 1904.
379. [Peurbach G.j. Elementa Arithmetices. Algorithmus de numeris
integris, fractis, regulis communibus, et de proportionibus. Auctore
Georgio Peurbachio, Vitaeberge, 1536.
380. P 1 о о i j N. B. Euclid's conception of ratio and his definition of
proportional magnitudes as criticized by arabian commentators,
Rotterdam, 1950.
381. Podetti F. La teoria delle proportioni in un manoscritto inedito di
Evangelista Torricelli, Boll, di bibl. e storia d. sci. mat., 1914.
382. P о g о G. Gemma Frisius, his method of determining differences of
longitude by transporting timepieces (1530), and his treatise on trian-
gulation (1533), Isis, vol. 22, 1934, 469—505.
383. Procissi A. Stri «Ragionamenti d'Atgebra» di Raffaello Canacci,
Atti della Accad. Ligure di sci. e lettere, vol. IX, Genova, 1953, 55—76.
384. [Ramus P.]. Petri Rami Arithmeticae libri duo: geometriae septem
et viginti, Basel, 1569.
385. [Ramus P.]. Petri Rami scholarum mathematicarum libri unus et
triginta, Basel, 1569.
386. [Ramus P.J. Petri Rami Arithmetices libri duo et Algebrae totidem
a Lazaro Schonero emend ati et explicati. Eiusdem Schoneri libri
218

duo: alter, De Numeris figiiratis; alter, De Logistica. sexagenaria,
Francofurti, 1592.
387. Rashdall H. The Universities of Europe the Middle Ages,
vol. 1—3, Oxford, 1895.
388. Rath E. Uber ein deutsches Rechenbuch aus dem 15. Jahrhundert,
Bibl. math., F. 3, Bd XIII, 1912/1913. 17-22.
389. Regiomontanus. On triangles, ed. and transl. B. Hughes, Madl*
son—Milvaukee—London, 1967.
390. R e i d e m e i s t e г К Die Arithmetik der Griechen, Hamburger math.
Einzelschriften, H. 26, Leipzig—Berlin, 1940.
391. Reiner K. Die Terminologie der altesten mathematischen Werke in
deutscher Sprache, Munchen, 1960.
392. [R i e s e A.]. Rechnung auff der Linien und Federn Auff allerley Hand-
thirung Gemacht durch Adam Riesen, Frankfurt an der Oder, 1579.
у
393. Rosenfeld B. A., Cernova M. L. Algebraic exponents and their
geometric interpretation, Organon, 4, 1967, 109—112.
394. R u d i о F Ueber dem Antheil der mathematischen Wissenschaften an
der Kultur der Renaissance, Hamburg, 1892.
395. S а г t о n G. Adrian van Roomen's commentary on Al-Khwarizmi
(c. 1598), Isis, vol. 21, 1934,209.
396. Sarton G. Simon Stevin of Bruges (1548—1620), Isis, vol. 21. 1934,
241—303.
397. Sarton G. Jean Trenchant, french mathematician of the second half
of the sixteenth century, Isis, vol. 21, 1934, 207—209.
398. Sarton G. The first explanation of decimal fractions and measures
(1585), Isis, vol. 23, 1935, 153—244.
399. Sarton G. Introduction to the history of science, vol. I—III,
Baltimore, 1927—1948.
400. Sarton G. Appreciation of ancient and medieval science during the
Renaissance (1450—1600), Philadelphia, 1953.
401. Sarton G. Ancient science and modern civilization, Univers. of Neb-
rasca, 1954.
402. Sarton G. Six vings. Men of science in the Renaissance, Blooming-
ton, 1957.
403. [S с h e u b e 1 i us]. Euclidis Megarensis, Philosophi et Mathematici
excellentissimi, sex libri priores... Algebrae porro regulae, propter nu-
merorum exempla, passim propositionibus adiecta, his libris, praemis-
sae sunt, eaedemque demonstratae. Authore Joanne Schevbelio in in-
clyta Academia Tubingensi Euclidis professore ordinario, Basiliaee,
per Iohannem Hervagium, 1550.
404. [S с h e u b e 1 i u s]. Algebrae compendiosa f acilisque descriptio, qua
depromuntur magna Arithmetices miracula. Authore Ioanne Scheube-
lio Mathematicarum professore in academia Tubingensi, Parisiis, 1552.
405. Schipperges H. Assimilations-Zentren arabischer Wissenschaft
im 12. Jahrhundert, Centaurus, vol. 4, 1956, Nr 4, 325—350.
406. S с h г a d e г D. V. De arithmetica, book I, of Boethius, Math, teacher,
vol. 61, 1968, No. 6, 615—628.
407. S с г i b a C. J. The concept of number, Mannheim—Zurich, 1968.
408. Sergescu P. Les mathematiques a Paris an moyen age, Bull. Soc.
math. France, 1939 (1967), Suppl., 27—42.
409. Smith D. E., К а г p i n s к i L. C. The Hindu-Arabic numerals,
Boston—London, 1911.
410. Smith D. E. The first great commercial arithmetic, Isis, vol. VIII,
1926, 41—49.
411. St ah 1 W. H. Dominant traditions iti early medieval Latin science,
Isis, vol. 50, 1959,95—124.
412. Staigmuller H. Lacas Paciulo, Eine biographische Skizze, Zeitschr.
fur Math. u. Phys., Bd 34, hist.-lit. Abt, 1889, 81—102, 121—128.
21ft

413. Staigmuller H. Johannes Scheubel, ein deutscher Algebraiker des
XVI. Jahrhunderts, Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss. H. IX, 1899,
430—469.
414. Stamm E. Tractatus de continuo von Thomas Bradwardina. Eine
Handschrift aus dem XIV. Jahrhundert, Isis, vol. 36, 1936, 13—32.
415. Steinschneider M. Jusuf ben Ibrahim und Ahmed ben Jusuf,
Bibl. math., F. 2, Bd 2, 1888, 49—52, 111—117.
416. Steinschneider M. Die europaischen Obersetzungen aus dem
Arabischen bis Mitte des 17. Jahrhunderts, Sitzungsber. d. Wiener
Akad.. phil.-hist. Kl., Bd 149, 1904; Bd 151, 1905.
417 Stevin S. L'arithmetique, Reneue corrigee et augmentee de plusiers
traictez et annotation par Albert Girard, Leide, 1625.
418. [Stevin SJ. The principal works of Simon Stevin, vol. II,
Mathematics, ed. by D. J. Struik, Amsterdam, 1958.
419. [S t i f e 1 MJ. Die Coss Christoffs Rudolffs mit schonen Exempeln der
Koss gebessert und sehr gemehrt. Zu Konigsperg in Preussen ged-
ruckt, 1553.
420. S t i f e 1 M. Arithmetica Integra, Norimbergae, 1594.
421. Struik D. J. Simon Stevin and the decimal fractions, Math, teacher,
1959, No. 6, 474—478.
422. Sullivan J. W. W. The history of mathematics in Europe, London,
1925.
423. S u t e г H. Eine bis jetzt unbekannte Schrift des Nic. Oresme, Zeitschr.
fur Math. u. Phys., Bd 27, hist.-lit. Abt., 1882, 122—125.
424. S u t e г H. Die Mathematiker auf den Universitaten des Mittelalters,
Zurich, 1887.
425. S u t e г Н. Einiges aus Nassir ed-Dins Euklidausgabe, Bibl. math., F. 2,
Bd 6, 1892, 3—6.
426. S u t e г Н. Die Araber als Vermittler der Wissenschaften in deren
Obergang vom Orient an den Okzident, Aarau, 1897.
427. S u t e г H. Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre
Werke, Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss., H. X, Leipzig, 1900.
428. S u t e г H. Der Verfasser des Buches «Grtinde der Tafeln des Chowa'-
rezmi», Bibl. math., F. 3, Bd IV, 1903, 127.
429. S u t e г Н. Ober die Bedeutung des Ausdruckes «Regula coeci», Bibl.
math., F. 3. Bd VI, 1905, 112.
430. S u t e r H. Ober den Kommentar des Muhammed ben 'Abdelbaqt zum
zehnten Buche des Euclides, Bibl. math., F. 3, Bd VII, 1906/1907,
234—251.
431. Suter H. Die Abhandlung Qosta ben Luqa's und zwei andere Ano-
nyme uber die Rechnung mit zwei Fehlern, Bibl. math., F. 3, Bd IX,
1908/1909, 111—112.
432. Suter H. Beitrage zu den Beziehungen Keiser Friedrichs II. zu
Zeitgenossischen Gelehrten des Ostens und Westens, insbesondere zu
dem arabischen Enzyclopadisten Kemal ed-din ibn Iunis, Abhandl. zur
Gesch. d. Naturwiss. u. d. Med., H. IV, Erlangen. 1922, 1-—8.
433. Suter H. Der Kommentar des Pappus zum X. Buche des Euklides
aus der Abu Othman al-Dimashki ins Deutsche ubertragen, Abhandl.
zur Desch. d. Naturwiss. u. d. Med., H. IV, Erlangen, 1922, 9—78.
434. Tacquet A. Elementa Euclidea Geometriae planae ac solidae, Vene-
tiis, 1737.
435. Tannery P. L'extraction der racines carres d'apres Nicolas Chuquet,
Bibl. math., F. 2, Bd 1, 1887, 17—21.
436. Tannery P. Psellus sur Diophante, Zeitschr. fur Math. u. Phys.,
Bd 37, hist.-lit. Abt., 1892, 41—49.
437. Tannery P. Notes sur la Pseudo-Geometrie de Boece, Bibl. math.,
F. 3, Bd I, 1900, 39—50.
438. Tannery P. Reponse a la question 119. Sur 1'auteur d'un texte al-
220

gorithmique du 12 siecle publiee par Curtze, Bibl. math. F. 3, Bd П»
1901, 416.
439. Tannery P. Sciences exactes chez les Byzantines, Memoires
scientifiques, t. IV, Toulouse—Paris, 1920.
440. Tannery P. Memoires scientifiques, pubL par. J. L. Heiberg et
H. G. Zeuthen, t. I—III, Paris, 1912/1913.
441. Tartaglia N. General trattato di numeri et misure, Vinegii, 1556.
442. Та ton R. (ed.). La science antique et medievale, t. I—II, Paris, 1957
443. Torricelli E. Opere, ed. G. Loria e. G. Vassura, vol. I, pt. I, Faen-
za, 1919.
444. Treutlein P. Der Tractat des Jordanus Nemorarius «De numeris
datis», Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss., H. II, 1879.
445. Treutlein P Das Rechnen im 16. Jahrhundert, Zeitschr. fur Math.
u. Phys., Bd 22, 1877.
446. Treutlein P Die deutsche Coss, Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss..,
H. II, 1879, 1—124.
447. Tropfke J. Geschichte der elementaren Mathematik, Bd 1—7,
Berlin—Leipzig; Aufl. 2, 1921—134; Aufl. 3, Bd 1—4, 1930—1940.
448. U n g e г F. Das alteste deutsche Rechenbuch, Zeitschr. fur Math. u.
Phys., Bd 33, hist.-lit. AM., 1888, 125—145.
449. Usener H. Ad historiam astronomiae symbola, Bonn, 1876.
450. V а с с a G. Maurolycus, the first discoverer of the principle of
mathematical induction, Bull, of the Amer. math. Soc, vol. I62, 1909, 70—73.
451. Valentin G. Die beiden Euclid-Ausgaben des Jahres 1482, Bibl.
math., F. 2, Bd 7, 1893, 33—38.
452. Van der Waerden B. L. Die Arithmetik der Pythagoreer, I,
Math, ann., Bd 120 (1947—1949), 127—153, 676—700.
453. Viet a F. Opera mathematica, ed. Van Schooten, Leiden, 1646.
454. Vogel K. Die practica des Algorismus Ratisbonensis. Ein Rechenbuch
der Benediktinerabtei St. Emmeran aus der Mitte des 15. Jahrhunderts,
Munchen, 1954.
455. Vogel K. La cultura della matematica in Bisanzio, Actes du VIII
Congr. Intern. d'Hist. des Sci., Florence—Milan, t. I, 1956, 68—69.
456. Vogel K. Adam Ries(e), der deutsche Rechenmeister, Abhandl. u.
Ber. d. deutsch. Museums, Jg 27, H. 3, 1959.
457 Vogel K. Der Anteil von Bizanz an Erhaltung und Weiterbildung
der griechischen Mathematik, Miscellanea Mediaevalia, Bd I, 1962,
112—128.
458. W a 1 1 i s J. De postulato quinto et definitione quinta libri 6 Euclidis
Opera mathematica, t. II, Oxoniae, 1693, 669—673.
459. W a 1 1 i s J. Mathesis universalis, sive Arithmeticum Opus integrum,
turn philologice, turn mathematice traditum, Oxonii, 1657.
460. W a 11 i s J. Opera mathematica, vol. I, Oxoniae, 1695.
461. Wa liner С R. Antwort auf die Anfrage 112 tiber den deutschen
Mathematiker Andreas Alexander, Bibl. math., F. 3, Bd IV, 1903, 403.
462. Wappler E. Beitrag zur Geschichte der Mathematik, Abhandl zur
Gesch. d. math. Wiss., H. V, 1889, 147—168.
463. Wappler E. Zur Geschichte der deutschen Algebra, Abh zur
Gesch. d. math. Wiss., H. IX, 1899, 539—554.
464. Wappler E. Zur Geschichte der Mathematik im 15. Jahrhundert,
Zeitschr. fur Math. u. Phys., Bd 45, hist.-lit. Abt, 1900, 47—56.
465. Weissenborn H. Zur Boetius-Frage, Abhandl. zur Gesch. d. math.
Wiss., H. II, 1879, 185.
466. Weissenborn H. Die Ubersetzung des Euklid aus dem Arabischen
in das Lateinische durch Adelard von Bath nach zwei Handschriften
der Kgl. Bibliothek in Erfurt, Abhandl zur Gesch. d. math. Wiss.,
H. Ill, 1880, 141—166.
467. Weissenborn H. Die Ubersetzung des Euklid durch Campano und
221

Zamberti. Eine mathematisch-historische Studie, Halle, 1882 (Rez.:
M. Cantor, Zeitschr. fur Math. u. Phys., hist.-lit. Abt., Bd 27, 1882,
110—111).
468. Weissenborn H. Zur Geschichte der Einfuhrung der jetzigen Zif-
fern in Europa durch Gerbert, Berlin, 1892.
469. Werner K, Beda der Ehrwurdige und seine Zeit, Wien, 1875.
470. W e г t h e i m G. Die Berechnung der irrationalen Quadratwurzeln und
die Erfindung der Kettenbrueche, Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.,
H. VIII, 1898, 148—160.
471. Wert heim G. Ober die Losung einiger Aufgaben im «Tractatus de
numeris datis» des Jordanus Nemorarius, Bibl. math., F. 3, Bd I,
1900, 417—422.
472. Wertheim G. Die Logistik des Johannes Buteo, Bibl. math., F. Ill,
Bd II, 1901, 213—219.
473. W i e 1 e i t n e г Н. Der «Tractatus de latitudinibus formarum» des
Oresme, Bibl. math., F. 3, Bd XIII, 1912/1913, 145.
474. Wie 1 eit n er H. Ober dem Funktionsbegriff und die graphische
Darstellung bei Oresme, Bibl. math. F. 3, Bd XIV, 1914/1915,
193—243.
475. Wieleitner H. Zur Fruhgeschichte der Raume von mehr als drei
Dimensionen, Isis, vol. 7, 1925, 486—489.
476. Wieleitner H. Ober die Wurzelrelationen der quadratischen Glei-
chung, besonders bei Cardano, Arch, di Stor. della sci. vol. VI, 1925,
201—205.
477 Wieleitner H. Zur Geschichte der gebrochenen Exponenten, Isis,
vol. 6, 1924, 509—520.
478. Wieleitner H. Ober die Fortschritte, die Simon Stevin in der
Losung der quadratischen Gleichungen erzielte, Sitz. d. Phys.-med. Soz.
in Erlangen, Bd 58/59, 1926/1927, 177—180.
479. Wieleitner H. Ober Cardanos Beweis fur die L5sung der kubi-
schen Gleichung, Sitz. d. Phys.-Med. Soz. zu Erlangen, Bd 58/59,
1926/1927, 173—176.
480. Wieleitner H. Der Begriff der Zahl in seiner logischen und histo-
rischen Entwicklung, 3. Aufl., Leipzig—Berlin, 1927.
481. Woepcke F. Extrait du Fakhri precede d'un memoire sur l'algebre
indeterminee chez les arabes, Paris, 1853.
482. Woepcke F. Sur un essai de determiner la nature de la racine d'une
equation du troisieme degre, contenu dans un ouvrage de Leonard
de Pise decouvert par M. le prince B. Boncompagni, Journ. de math,
pures et appl., t. XIX, 1854, 401—406.
483. Woepcke F. Essai d'une restitution de travaux perdus d'Apollonius,
sur les quantites irrationnelles, Mem. pres. par divers savants a
Г Acad, de Sci., t. 14, Paris, 1856, 658—720.
484. Woepcke F Traduction d'un fragment anonyme sur la formation
des triangles rectangles en nombres entiers et d'un autre traite sur le
meme sujet par Abou Dja'far Mohammed Ben Alho^ain, Atti dell'
Accad. Pontif. de Nuovi Lincei, t. XIV, Roma, 1861.
485. Woepcke F. Memoire sur l'introduction de l'arithmetique indienne en
Occident, Journ. as., ser. 5, t. 13, 1863, 69—79, 514—529.
486. W u s s i n g H. Mathematik in der Antike, Leipzig, 1962.
487. Wustenfeld. Die Ubersetzungen arabischer Werke in das Lateini-
sche seit dem XI. Jahrhundert, Abhandl. d. Ges. d. Wiss. zu Gottingen,
Bd 22, 1877, 1—53.
488. Yeldh am F. A. The story of reckoning in the Middle Ages, London,
1926.
489. Yeldham F A. The alleged early english version of Euclid, Isis,
vol. 9. 1927, 234—238.

490. Yushkevich A. P. The original contributions of medieval
mathematicians, In: Crombie (ed.) «Scientifical change», Oxford, 1963.
491. Zeller M. С The development of trigonometry from Regiomontanus
to Pitiscus, Ann Arbor, 1944.
492. Z i n n e г Е. Leben und Wirken des Johannes Miiller von Konigsberg
genannt Regiomontanus, Munchen, 1938.
493. Z о u b о v V. P. Sur un ecrit f aussement attribue a Nicolas Oresme,
Arch. Intern, d'hist. des sci., 1958, № 45, 377—378.
494. Z о u b о v V. P. Quelques observations sur I'auteur du traite anonyme
«Utrum dyameter alicuis quadrati sit commensurabilis costae eiusdem»,
Isis, vol. 50, 1959, 130—134.
495. Z о u b о v V. P. Jean Buridan et les concepts du point au quatorzieme
siecle, Mediaeval and Renaissance stud., vol. 5, 1961, 43—95.

УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Абу-л-Вафа ал-Бузджани 197,206
Абу Камил ибн Шуджа ал-Мисри
23, 85, 86, 208
Абу Маш'ар ал-Балхи 14, 30
Ал-Абхари, Асир ад-Дин 21
Агостини A. (Agostini A) 31, 208
Автолик 180
Адальболд из Утрехта (Adalbold)
11
Аделард из Бата (Adelard of
Bath) 12, 13, 34—36, 71, 209,
211, 215, 216, 221.
Аквинус Дакус (Aquinus Dacus)
140, 147
Александр де Виледье (de Ville-
dieu, Alexandre) 71
Александров А. Д. 203
Алимов Н. Г. 203
Альберт Саксонский (Albertus de
Saxonia) 29, 103, 123, 124,
208
Альберти, Леон Баттиста (Alber-
ti, Leone Battista) 30
Алькуин (Alcuin) 10, 11, 68, 208
Аммоний Александрийский 17
Амодео Ф. (Amodeo F.) 208
Анастос М. (Anastos M. V.) 208
Андреас Александр (Andreas Ale-
xandr) 140, 141, 146, 166,
197 213 221
Анри Ш.'(Henry Ch.) 216
Антемий Тралесский 17
Аполлоний 14, 17, 19, 38, 106, 180,
211, 222
Апулей из Мадавры 49
Артир Исаак 20
Арет 18
Аристотель 7, 13, 15, 16, 25—27,
49, 118, 120, 124, 162, 164,
208
Аристофан 16
224
Арриги Дж. (Arrighi G.) 208
Архимед 17, 19, 38, 124, 140, 170,
180, 191, 203, 204, 208
Асклепий Траллиан 49
ал-Ахвази, Ахмад ибн ал-Хусайн
159
Ахмад ибн Юсуф ал-Мисри (Ате-
tus filius Josephi) 14, 111,
112, 115, 117, 120, 121, 124,
211,220
Ахмедов А. 203
Ахмес 63
ал-Багдади, Мухаммад ибн Абд
ал-Баки 35, 97, 98, 100, 220
Барлаам 20
Бартольд В. В. 203
ал-Баттани 14, 21
Баше де Мезириак (Bachet de
Meziriac С. G.) 30, 64
Башмакова И. Г 4, 203, 204
Беда Достопочтенный (Beda Ve-
nerabilis) 10, 68, 208, 222
де Бельдоманди, Проздочимо (de
Beldomandi, Prosdocimo) 31
Беккер О. (Becker О.) 208
Березкина Э. И. 203
Берлет Б. (Berlet В.) 146, 147,208
Бернекер, Ганс (Bernecker, Hans)
146
Бестгорн P. (Besthorn R. О.) 208
ал-Бируни, Абу Райхан 14, 74,
203, 204
ал-Битруджи 15, 211
Блашке В. (Blaschke W.) 209
Блимецридер Ф. (Bliemetzrieder
F.) 209
Бобынин В. В. 204
Боголюбов А. Н. 205
Боев Г. П. 204
Бойер К. (Воуег С. В.) 210

Бомбелли, Рафаэль (Bombelli,
Raffael) 183—189, 191, 193—
195, 197, 200, 209, 214, 216,
223
Бонкомпаньи Б. (Boncompagni В.)
13, 14, 23, 35, 61, 63, 71, 106,
209, 217
Борги, Пьетро (Borghi, Pietro) 31,
135
Борелли, Альфонсо (Borelli A.)
209, 214
Бортолотти Э. (Bortolotti E.)
183—185, 187, 188, 209, 210
Босман A. (Bosnians H.) 162, 168,
172, 193, 210
Боэций (Boethius, Anitius Manli-
us Torquatus Severinus)
7-9, 13, 19, 29, 30, 34, 49—
59, 61, 62, 64—67, 96, 111,
112, 114, 116, 118, 120, 123,
124, 126, 150, 173, 180, 204,
209, 211, 214, 215, 218—221
Браге, Тихо (Brahe, Tycho) 129
Брадвардин, Томас (Bradwardi-
nus, Thomas) 28, 66, 112,
120, 121, 123, 124, 205, 211,
216, 220
Браунмюль A. (Braunmuhl A.)
210
Бретшнейдер К (Bretschneider
С. G ) 210
Бубнов H.M. 2J4
Бурбаки Н. (Bourbaki N.) 40, 188,
192, 204
Бусард Г (Busard H. L. L.) 35, 36,
112, 190, 210
Бутео=Бутеои, Жан Боррель (Ви-
teon, Jean Borrel) 37, 170—
172, 222
ал-Бухари, Шамс ад-Дин 21, 22
Бхаскара 100
Бьёрнбо A. (Bjornbo A.) 35, 84,
112, 209
Бэкон, Роджер (Bacon, Roger) 12,
27, 180
Вагнер, Ульрих (Wagner, Ulrich)
82
Вакка (Vacca G.) 180, 221
Валентэн Г. (Valentin G.) 221
Валла, Георг (Valla, Georgius) 37
Валлис, Джон (Wallis, John) 39,
ИЗ, 201, 202, 206, 221
Валнер (Wallner С. R.) 221
Ваплер Э. (Wappler E.) 221
Ван дер Варден Б. Л. (van der
Waerden В. L.) 204, 221
Васильев А. В. 204
Ващенко-Захарченко М. Е. 204
Вейсенборн Г. (Weissenborn H.)
34 221 222
Вернер К. (Werner К.) 222
Вертгейм Г. (Wertheim G.) 162,
170, 222
Веселовский И. Н. 4, 87, 203, 204,
205
Вёпке Ф. (Woepcke F.) 107, 108,
211, 222
Видман, Иоганн (Widman, Johann)
32, 82, 84, 92, 93, ПО, 124,
125, 142, 209, 213
Виет, Франсуа (Viete, Francois)
132, 162, 170, 183, 189, 190,
210, 221
Вилейтнер Г. (Wieleitner H.) 193,
204, 222
да Винчи, см. Леонардо да Винчи
Виргилий 167
Витело (Witello) 27
Воробьев Н. Н. 204
Вуссинг Г (Wussing H.) 222
Вюстенфельд Ф. (Wustenfeld F.)
222
Выгодский М. Я. 204, 205, 207
Гален 13
Галилей, Галилео (Galilei, Galileo)
29, 129, 173, 211, 212
Ганди С. (Gandz S ) 215
Ганкель Г (Hankel H.) 11, 215
Гебер 88
Гейберг И. Л. (Heiberg J. L.) 16,
39, 102, 204, 208, 212, 214—
216
Герардо Кремонский (Gherardo
Cremonese) 13, 26, 35, 61,
62, 84, 97, 101, 112, 114, 209,
212, 222
Герберт = Сильвестр II (Gerbert)
11, 13, 68, 70, 204, 214—217
Герман из Каринтии (Hermannus)
14, 35, 113, 209, 210, 213
Герон Александрийский 15, 17, 19,
212
Герон Младший 19
Герхард Г. (Gerhardt G. J.) 91,
215
Гизинг (Giesing J.) 215
Гипатия 17
Гиппократ 13
Гнеденко Б. В. 131, 204, 205
Гольдстейн Б. (Goldstein B. R.)
215
Гольцман Е. И. 4
Гомер 16, 167
Госселен Г. (Gosselin G.) 172, 210
Гофман И. (Hoffmann J. E.) 216
15-113
22S

Гохман Е. В. 206
Грамматеус, Генрих (Grammate-
us, Heinrich) 146
Грант Э. (Grant E.) 215, 218
Григор, Никифор 20
Григорий XIII 174
Григорий из Санкт-Винцента
(Gregorius a Sancto Vincen-
tio) 198, 210, 215, 216
Григорьян А. Т. 205
Гринэй, Симон (Grynaeus, Symon)
37
Гроссетест, Роберт (Grosseteste,
Robert) 12, 27
Гуго из Санталлы 14
Гуттенберг, Иоганн (Guttenberg,
Johann) 29, 206
Гюйтенс, Христиан (Huygens,
Christian) 183
Гюнтер С. (Gunther S.) 77, 215
Даниил из Морли 13
Дасиподий (Dasypodium, Cunra-
dum) 37, 38, 214
Дейбнер Ф. (Deubner F.) 146, 212
Декарт, Рене (Descartes, Rene)
29, 47, 141, 188, 195, 197,
199—201, 205, 208
Деметрий Кидон 20
Демосфен 16
Денифль (Denifle H.) 212
Депман И. Я. 205
Депо P. (Depau R.) 212
Диркс (Diercks S.) 212
Диофант 19, 20, 43, 44, 50, 51, 63,
64, 90, 92, 143, 158, 168, 177,
187, 197, 203, 212, 215, 220
Домнин из Лариссы 17
Д'Оодж (D'Ooge M. L.) 212
Дюрер, Альбрехт (Durer, Alb-
recht) 191, 207
Дюэм П. (Duhem P.) 78, 212
Д'Элиа (D'Elia P M.) 212
Евгений из Палермо 15
Евдем 17
Евдокс Книдский 43, 112, ИЗ, 118,
127, 170, 208
Евклид (Euclides) 7, 9, 13—20, 23,
24, 26, 27, 30, 31, 33—39,
41—43, 47—49, 52, 54, 59,
61, 65, 72, 77, 79, 92—100,
102—104, 106—115, 118—120,
123—125, 128, 130, 135, 136,
138, 139, 141, 142, 146, 148,
151, 154, 155, 157, 158, 161,
163, 164, 167, 170, 174—177,
179, 180, 183—185, 188,
190—193, 195, 198, 201,
203—210, 212—220
Евклид из Мегары 37, 38
Евтокий Аскалонский 17, 19
Еганян А. М. 205
Елдгам Ф. (Yeldham F. А.) 222
Жирар, Альбер (Girard, Albert)
192,215, 220
Заборов М. А. 205
Замберти = Дзамберти, Бартоломео
(Zamberti, Bartolomeo) 37,
97, 100—102, 148, 211, 214,
221
аз-Заркали 21
Зубов В. П. (Zoubov V. P.) 205,
206, 223
Зутер Г. (Suter H.) 100, 174, 209,
220
Ибн ал-Багдади, Хасан ибн Му-
хаммад 47, 104, 188, 190
Ибн Рушд (Аверроэс) 15
Ибн Сина (Авиценна) 13, 15
Ибн ал-Хайсам (Альгазен) 14, 27,
63
ал-Идриси 15
Ингварссён (Ingwarsson = Petrus
Philomeni de Dacia) 28,
212
Иоанн Грамматик 49
Иоанн из Палермо 24, 63, 106
Иоанн Севильский 14, 30, 71
Иоганн из Гмудена (Johann von
Gmuden) 32, 217
Иордан Неморарий (Jordanus Ne-
morarius) 18,24—27,62,64—
67, 71, 77—79, 84, 85, 87, 93,
115—117, 119—126, 150, 180,
207, 211—214, 216, 221, 222
Исидор Милетский 17
Исидор Севильский 10
Исхак ибн Хунайн 13, 21
Кабасилла, Николай 20
ал-Кабиси (Alcabitius) 14, 26
Кайяни, Анжело (Cajani, Angelo)
38
Каландри (Calandri) 80
Камерарий (Camerarius, Joahi-
mus) 38, 214
Камиано, Джованни (Campano,
Giovanni = Campanus,
Johannes) 26—28, 35—38, 64, 97,
100—102, 112, 117—121, 124,
125, 135, 136, 148, 154, 161,
174, 211, 214, 221
226

Каначчи, Рафаэль (Canacci, Raf-
faello) 15, 29, 66, 88, 108,
218
Кантор М. (Cantor M.) 26, 33, 50,
65, 71—73, 91, 93, 100, 108,
133, 135, 164, 166, 174,
210—212
Капелла, Марциан 7, 9
.ал-Караджи 23, 50, 63, 85, 87, 142
Кардано, Джироламо=Иероним
(Cardano, Girolamo) 90,
106, 108, 132, 133, 136—140,
147, 148, 168, 172, 173, 186,
187, 193, 195—197, 205, 210,
211, 218, 222
Карл Великий 10
Кармоди Г. (Carmody T. J.) 211
Карпинский Л. (Karpinski L. С.)
28, 84, 89, 173, 212, 216, 217,
219
Карпова Л. А. 207
Кары-Ниязов Т. Н. 205
Кассиодор 7, 8, 9, 34, 60, 211
ал-Каши, Джамшид Гияс ад-Дин
22, 79, 207
Кеннеди'Э. С. (Kennedy E. S.) 217
Кеплер, Иоганн (Kepler, Johannes)
129, 180
Кестнер A. (Kastner A. G.) 157,
172, 217
ал-Кинди, Абу Юсуф Якуб 111,
112
Кирилл 18
Клавий, Христофор (Clavius, Chris-
tophor),37, 38, 141, 173—180,
191, 195, 197, 198, 211, 214
Кладжет М. (Clagett M.) 34, 36,
211, 217
Кламрот М. (Klamroth M.) 217
Кларк Ф. (Clarke F. М.) 211
Клебс A. (Klebs А. С.) 217
Колмогоров А. Н. 205
Коль К. (Kohl К.) 209
Кольман Э. 205
Коммандино, Федерико (Comman-
dino, Federico) 38
Конрад, Ганс (Conrad, Hans) 146
Константин из Флери 11
Коперник, Николай (Copernicus,
Nicolaus) 129, 163, 172
Коста ибн Лука 74, 220
Крамар Ф. Д. 206
Кромби A. (Crombie А. С.) 211
Кросби Г. (Crosby H. L.) 28, 120,
211
Ксиландер = Вильгельм Гольцман
(Xylander W.) 38, 212, 214
Курце М. (Curtze M.) 24, 34, 35,
65, 85, 91, 93, 100, 121, 123,
140, 141, 209, 211, 212, 221
Кушиар ибн Лаббан (Kushyar ibn
Labban) 217
ал-Кушчи, Али 22, 145
Кэджори Ф. (Cajory F.) 172, 206,
210
Лев Математик 18, 21, 206, 215
Лейбниц, Готфрид Вильгельм
(Leibniz, Gottfried Willhelm)
183, 199
Леонардо да Винчи (Leonardo da
Vinci) 30
Леонардо Пизанский-Фибоначчи
(Leonardo Fibonacci) 18, 23,
24, 26, 29, 62—64, 66—68,
71—80, 85, 86, 88—91, 93,
96, 103—108, 112, 114, 115,
126, 127, 135, 197, 204, 213,
217, 222
Лефевр, Жак (Lefevre J.=Faber
Stapulensis) 37, 64
Либри Дж. (Libri G.) 84, 217
Липшиц Е. Э. 206
Лоссий, Лука (Lossius, Luca) 68,
69, 217
де Лунис (de Lunis, Guglielmo)
15, 29, 88
Лютер, Мартин 148
Мавролико, Франческо (Mauroly-
cus F.) 179—183, 196, 208,
211, 217, 218, 221
ал-Матриби, Мухи ад-Дин 21
ал-Маджрити, Ахмад 13
Макробий 7, 19
Мамедбейли Г Д. 206
ал-Ма'мун 18
Мансьон П. (Mansion P.) 217
Марр А. (Магге А.) 217
Маркс, Карл, 6, 129, 199
Маркушевич А. И. 203, 206
Матвиевская Г. П. 206
ал-Махани 48, 98
Медовой М. И. 206
Меланхтон, Филипп 82, 83
Мелитениот, Феодор 20
Менге A. (Menge А. К) 39, 214
Менелай 180
Меннингер К. (Menninger К.) 217
де Мер, Жан (de Meur,
Jean-Joannes de Muris) 28, 66, 79, 89,
108, 218
Метохит, Феодор 20
Миели A. (Mieli A.) 217
Михаил Скотт 15
227

де Мойя, Жуан Перес (de Моуа,
Juan Perez) 81, 217
Молланд A. (Molland A. G.) 112,
217
Мордухай-Болтовской Д. Д. 39,
"111, 176, 205, 206
Морте (Mortet V.) 217
Мосхопул, Мануил 19
Мунди (Mundi J.) 217
Муск 24
Мюллер Ф. (Miiller F.) 217
Мэр док Дж. (Murdoch J. E.) 36,
112, 113,217
Нагль A. (Nagl A.) 28, 79, 218
ан-Найризи (Anaritius) 34, 35,
48, 97, 113, 114, 209, 212,217
Наполи Ф. (Napoli F.) 218
Нардуччи (Narducci H.) 218
ан-Насави 77, 79
Натуччи A. (Natucci A.) 218
Нейгебауэр О. (Neugebauer О.)
21, 206, 218
Неморарий, см. Иордан Неморарий
Нессельман Г. (Nesselmann G.
Н. F.) 218
Неофит 19
Никомах Геразский 7, 8, 9, 19, 20,
49—54, 56, 58—62, 65, 66,
ПО, 111, 115, 121, 124, 125,
136, 139, 176, 212
Нотари (Notari V.) 219
Ньютон, Исаак (Newton, Isaac)
199, 202, 206, 208
Ньюхелл A. (Newhall A.) 218
Овидий 19
Окреат (O'Creat N.) 71, 216
Ольшки Л. 206
ОреО. (Ore О.) 218
Орем, Николай (Oresme, Nicole)
29, 36, 103, 121—124, 205,
206, 210, 211, 215, 218, 222,
223
Папп Александрийский 216, 220
Пауль О. (Paul О.) 218
Пачоли, Лука (Paciuolo, Luca)
30, 31, 33, 37, 66, 68, 79, 80,
89, 90, 92, 108, 124, 126, 133,
135, 136, 138, 139, 152, 168,
170, 172, 210, 219, 222
Пейрар Ф. (Peyrard F.) 39
Пейрбах, Георг (Peurbach, Georg)
32, 68, 82, 83, 92, 125, 218
Пекхам, Иоанн (Peckham,
Joannes) 27, 180
Пелетье, Жак (Peletier, Jacques)
141, 161, 167—170, 172, 197,.
210, 218
Пеллос=Пеллиццати, Франческо
(Pellizzati, Francesco) 31
Петрарка 167
Петросян Г Б. 206
Пифагор 8, 9, 41, 52, 77, 180
Плануд, Максим 19, 20, 22, 215
Платон 16,37, 118, 124
Платон из Тиволи 14, 209, 212
Плиний 9, 10
Плуэй Э. (Plooij E. В.) 218
Пого (Pogo G.) 218
Погребысский И. Б. 204, 207
Подетти Ф. (Podetti F.) 218
Порфирий 7
Прокл 20, 37, 170, 209
Прочизи A. (Procissi A ) 218
Пселл, Михаил 19, 20, 220
Птолемей, Клавдий 12, 13—15, 17,
19—21, 26, 27, 115, 215, 218
Пьеро делла Франческо (della
Franceschi, Piero) 30
ар-Рази 13
Раик А. Е. 207
Рамус, Питер (Ramus, Petrus = de
la Ramee, Pierre) 141, 162—
166, 196, 201, 210, 211, 218
Рат Э. (Rath E.) 82, 219
Ратдольт, Эрхард (Ratdolt H.)
29—31, 36, 209
Рашдал (Rashdall H.) 219
Региомонтан-Мюллер, Иоганн
(Regiomontanus, Joannes)
28, 32, 67, 77, 92, 177, 209—
212, 219, 223
Рейдемейстер К. (Reidemeister К)
219
Рейнер К. (Reiner К.) 219
Рекорд, Роберт (Recorde, Robert)
68, 141, 172, 173, 210, 211,
213
Ризе, Адам (Riese, Adam) 28, 140,
141, 146—148, 208, 212, 219,
221
Роберт из Честера 14, 84, 216
Роджер, норманнский король 15
Розенфельд Б. А. 4, 204, 205, 207,
208, 216, 219
ван Роумен, Адриан (van Roumen)
84, 210, 219
де ля Рош, Этьенн (de la Roche,
Estienne) 33, 81, 171
Рудио Ф. (Rudio F.) 25, 219
Рудольф, Христоф (Rudolff,
Christof) 140, 147—152, 168,
220
228

«Сабит ибн Корра ал-Харрани 13,
14, 35, 49, 111, 112, 124, 167,
207, 209
Савасорда (Savasorda) 15, 212
Сакробоско=Голивуд = Галифакс
(Sacrobosco, Ioannes-John
of Halifax) 26, 28, 71, 113,
212, 216
ас-Салар, Хусам ад-Дин 21
ас-Самарканди, Шамс ад-Дин 21,
203
Сартон Дж. (Sarton G.) 38, 84,
163, 219
Сахл ибн Бишр 14
Сергеску П. (Sergescu P.) 219
Серен Антинойский 17
Сильвестр II, см. Герберт
Симонов Н. И. 205
Симпликий 17, 49
Сираждинов С. X. 4
Скриба (Scriba С. J.) 219
Смит Д. (Smith D. Е.) 219
Стевин, Симон (Stevin, Simon)
183, 190—194, 196, 197, 201,
210, 212, 219, 220, 222
Стройк Д. (Struik D. J.) 191, 207,
220
Сулливан (Sullivan J. W. W.) 220
ас-Суфи, Абд ар-Рахман 21
Таке, Андрэ (Tacquet, Andre) 198,
210, 220
Талиенте 80
Таннери П. (Tannery P.) 16, 19,
141, 220, 221
Тарталья, Николо (Tartaglia, Nic-
colo) 38, 90, 132, 134, 135,
172, 193, 196, 213, 214, 221
Татон P. (Taton R.) 221
Теодорих 7
Теодосий 180
Теон Александрийский 17, 20, 21,
37, 39, 170, 174
Течтет 43, 170
Тимченко И. Ю. 206
Томсон (Thomson W.) 216
Торричелли, Эвангелиста (Torricel-
li, Evangelista) 198, 218,
221
Трейтлейн П. (Treutlein P.) 86,
146, 147, 157, 168, 221
Тропфке Й. (Tropfke J.) 106, 221
ат-Гуси, Насир ад-Дин (Nassere-
dinus) 21, 39, 48, 126 128,
174, 206, 207, 210, 214, 218,
220
Узене^ Н. (Usener H.) 21, 22, 221
Улугбек 22, 205, 208
Унгер Ф (Unger F.) 82, 221
Урбан IV 27
Фаваро A. (Favaro A.) 214
ал-Фараби 13, 47
ал-Фаргани (Альфраганус) 14, 32,
92
Ферма, Пьер (Fermat, Pierre) 203
Феррари, Луиджи (Ferrari, Luigi)
132, 218
дель Ферро, Сципион (del Ferro,
Scipione) 90, 131, 132, 186,
187,213,214
Феттер Г. 207
Фиоре (Fiore) 131
Фогелин, Иоанн (Vogelin, Joann)
125
Фогель (Vogel К.) 17, 22, 82, 146,
216, 221
Фрати Л. (Frati L.) 214
Фрейденталь Г. (Freudenthal H.)
180, 214
Фрибус Е. А. 207
Фридлейн Г (Friedlein G.) 214,
215
Фридрих II 15, 24, 63, 220
Фридрих, монах из Регенсбурга
(Frater Fridericus) 32, 67,
82, 91,93
Фризий, Гемма (Frisius, Gemma)
161, 210, 215, 218
Фюк Н. (Fuck J.) 215
Хабиб ибн Бахриз 49
ал-Хазини, Абд ар-Рахман 21
Хайям, Омар 21, 48, 89, 111, 126,
128, 207, 208
Хаскинс Ч. (Haskins С. Н.) 215
Ван дер Хеке (van der Hoecke,
Giels) 146
Хис Т. Л. (Heath Th. L.) 34, 215
Хок (Hock С. F.) 216
Хоппе Э. (Норре Е.) 216
ал-Хореэми, Мухаммад ибн Муса
(Algorismus) 13, 14, 23, 70,
71, 84, 85, 87—89, 92, 109,
126, 127, 145, 168, 207—210,
216, 220
Христенсен (Christensen S. А.)
211
Хулагу-хан 21
Хунгер (Hunger H.) 22, 216
Хунрат К. (Hunrath К.) 70, 216
Целлер М. (Zeller M. С.) 223
Цейтен Г. (Zeuthen G.) 207, 221
229

Циннер Э. (Zinner E.) 223
Цицерон 33
Черкалова Л. И. 207
Шаль М. (Chasles M.) 77, 207,
211
Шейбель, Иоганн (Scheybel,
Johann) 140, 157—161, 168,
173, 176, 195, 197, 219, 220
Шереметевский В. П. 207
Шиппергес (Schipperges H.) 219
Шонер И. (Schonerus, Joannes) 77
Шонер Л. (Schonerus, Lasarus)
162, 164—167, 218
Шрадер Д. (Schrader D. V.) 219
Шрейдер С. Н. 87, 205, 207
Штайгмюллер (Staigmuller H.)
157, 219, 220
Штамм Э. (Stamm E.) 220
Штейншнейдер М. (Steinschnei-
der M.) 220
Штифель, Михаэль (Stifel,
Michael) 140, 141, 147, 148,
150—154, 156—159, 161,
167—170, 172—174, 177, 179,
190—193, 195—197, 207, 210r
215, 216, 220
Штокало И. 3. 205
Штольц О. 207
Шюке, Никола (Chuquet, Nicolas)
33, 67, 80, 81, 90, 91, ПО,
124, 133, 171, 197, 217, 220
Щеглов В. П. 4, 208
Эйлер, Леонард (Euler, Leonhard)
196, 206
Энгельс, Фридрих 5, 6, 129, 199
Энестрём Г. (Enestrdm G.) 24—
26, 33, 50, 64—66, 77—79,
91, 100, 106, 108, 124, 139—
141, 144, 148, 162, 164, 166,.
168, 173, 183, 212—214
Эратосфен 53
Юнге Г (Junge G.) 216
Юшкевич А. П. 4, 72, 203—208„
216, 223
Юшкевич П. С. 207
Якопо де Барбари 31
Ямблих 19, 49, 180

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I. Средневековая европейская математика и влияние на нее
науки стран Востока 5
§ 1. О культуре и науке Европы в средние века 5
§ 2. Европейская математика до XII в. 6
§ 3. Ранние латинские переводы с арабского и греческого
языков 12
§ 4. Византийская математика 16
§ 5. Европейские ученые XIII—XV вв. и их труды по
арифметике и алгебре 22
§ 6. Переводы «Начал» Евклида 33
Глава II. Учение о числе в Европе до XVI в. 40
§ 7. Предпосылки развития понятия числа в Европе 40
§ 8. Теоретическая арифметика 49
§ 9. Практическая арифметика 68
§ 10. Алгебра 84
§11. Теория квадратичных иррациональностей 93
Комментарии к книге X «Начал» Евклида 97
Книга X «Начал» в алгебраических сочинениях 103
§ 12. Теория отношений ПО
Глава III. Учение о числе в XVI в. 129
§ 13. Вводные замечания 129
§ 14. Итальянские математики XVI в. 131
§ 15. Немецкие коссисты 140
§ 16. Французские математики 162
§ 17. Английская математика. Роберт Рекорд 172
§ 18. Учение о числе в конце XVI в. 173
Литература 203
Указатель имен 224

Матвиевская Галина Павловна.
Развитие учения о числе в Европе до
XVII века. Т., «Фан», 1971.
231 с. (Акад. наук УзССР Ин-т
математики им. В. И. Романовского).
Библиогр.: с.
51с09)
Галина Павловна
Матвиевская
РАЗВИТИЕ УЧЕНИЯ О ЧИСЛЕ
В ЕВРОПЕ ДО XVII ВЕКА
Утверждено к печати Ученым советом
Института математики им. В. И. Романовского,
Отделением физико-математических наук
АН УзССР
Редактор С. С. Бассина
Художник Н. N. Каленыпъев
Технический редактор X. У. Караваева
Корректор Л. А. Гурьянова
Р05867. Сдано в набор 15/VI-197Ir. Подписано к печати 30/VIII-71 г. Формат 60Х9011й—
7,25 бум. л.-14,5 печ. л. Уч.-изд. л. 15,1. Изд. № 768. Тираж 1200. Цена 1 р. 75 к.
Типография издательства .Фан* УзССР, Ташкент, ул. Черданцева, 21. Заказ 113.
Адрес издательства: Ташкент, ул. Гоголя, 70.

к
%