МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико -технический институт
(государственный университет)
Кафедра общей физики
Е.П. Кузнецов
Оптика на вступительных экзаменах
Сборник задач со справочным материалом и решениями
Рекомендовано Учебно-методическим, объединением Московского физико-технического института (государственного университета) в качестве учебного пособия для слушателей подготовительных отделений
МОСКВА 2006
УДК 371.64/69
БВК 22.3
К 89
Кузнецов Е.П.
К 89 Оптика на вступительных экзаменах. — МФТИ, 2006. — 85 с.
ISBN 5-88835-003-6 .
Перед Вами уникальный в своём разнообразии и полноте задачник по геометрической оптике. В течение долгого времени автор придумывал задачи для вступительных экзаменов МФТИ. А на физтехе сложилась традиция, чтобы одна задача в экзаменационном варианте была оригинальной, требовала свободного владения предметом и её идея не встречалась ранее. Этот нелёгкий творческий труд породил множество чудесных задач, расширяющих круг традиционных школьных задач по физике.
Восхищают фантазия автора и изящество многих созданных им задач. Очень полезны и свежи методические указания к решениям. В сущности, получился краткий, но исчерпывающий учебник по геометрической оптике.
Хочется поздравить юных читателей с выходом полезной, негромоздкой, но столь содержательной книги.
Рецензенты: Д.ф.-м.н. проф. В.П. Смилга, к.ф.-м.н. доц. С.А. Гордюнин.
Общая редакция второго издания: Д.А. Александров,
В.П. Слободянин.
Коррекция: А.В. Чудновский, П.А. Гусихин.
Рисунки: М.В. Имакаев.
На обложке: Лабораторный корпус МФТИ.
ISBN 5-88835-003-6
© Кузнецов Е.П., 1997, 2006
© Московский физико-технический институт (государственный университет), 2006
Предисловие ко второму изданию
В связи с сокращением количества часов, отводимых на физику в основной школе, геометрическая оптика оказалась выхолощенной настолько, что без самостоятельной работы с хорошей книжкой будущий абитуриент, сдающий экзамены по физике, обречён на неудачу. И здесь неоценимую помощь может оказать задачник, который Вы держите в руках.
В процессе подготовке заданий по геометрической оптике для ЗФТШ при МФТИ мне ежегодно приходится просматривать множество задач со вступительных экзаменов разных вузов. Наиболее интересные я отбираю для задания ЗФТШ с тем, чтобы абитуриенты представляли уровень сложности задач в наиболее известных и «сложных» вузах. Так вот, «Оптика на вступительных экзаменах» — одна из наиболее содержательных книг по геометрической оптике, среди тех, что когда-либо попадали ко мне в руки.
Отдельные задачи из этого сборника я включал в задание, не без удовольствия прорешивая их. Со временем у меня накопилось некоторое количество обнаруженных в этом задачнике опечаток. С согласия автора соответствующие правки внесены в текст второго издания.
Первое издание задачника «Оптика на вступительных экзаменах», вышедшее в свет в 1997 году, разошлось буквально за год и стало библиографической редкостью. Его ксерокопии «ходят по рукам». Немногие репетиторы, обладающие задачником, гордятся тем, что в их библиотечке есть эта книжка. Родители абитуриентов и новая поросль репетиторов интересуются у автора и его коллег с кафедры общей физики МФТИ — когда же переиздадут эту замечательную книжку?
Возможно, одной из причин задержки было то, что С.В. Клименко, стимулировавший выход первого издания, ушёл с головой в науку.
Однако, книга вышла и остаётся порадоваться за будущего читателя. Уверен, что работа над задачами из «Оптика на вступительных экзаменах» поможет учащимся освоить этот традиционно сложный раздел курса школьной физики и успешно пройти через «сито» вступительных экзаменов.
Заместитель декана факультета
общей и прикладной физики МФТИ	В.П. Слободянин
3
Предисловие к первому изданию
Эта книга создана на основе задач, предлагавшихся автором дни письменных экзаменов по физике в Московском физико-техническо i институте на протяжении последних 25 лет.
Сборник содержит задачи различной трудности — от почти триии альных до таких задач, для решения которых нужны известная «|>и ш ческая смекалка и математическая изворотливость.
Цель письменного, экзамена — проявить основательность теорсти ческой подготовки и, в основном, наличие навыков самостоятельного решения задач (т. е. умения творческого применения теоретических знаний). Умение же решать задачи может возникнуть только при па стойчивых и регулярных (по возможности самостоятельных) упражш ниях в решении большого объёма разных задач. Здесь, как в музыке, можно наизусть вызубрить самоучитель игры на фортепиано, но, если не тренироваться много и регулярно, общение с инструментом едва ли доставит удовольствие и самому исполнителю, и окружающим.
При написании книги основное внимание уделялось максимально подробному описанию решения задач. Дабы не прибегать к излишне частому обращению к учебникам и справочникам, перед каждым раз делом в решениях приведён достаточно компактный справочный мате риал, которого вполне достаточно (при условии, конечно, что материал школьного учебника вполне добросовестно проработан) для решения предлагаемых задач.
Автор тщит себя светлой надеждой, что этот сборник окажется ш> лезным будущим студентам при подготовке к вступительным вузов ским экзаменам.
Как уже говорилось, практически все приведённые в сборнике за дачи составлены автором. Исключением являются задача 1, которую, видимо, нужно считать фольклорной, а также задача 8, предложенная" В.М. Горбунковым, и задачи 9 и 10, предложенные В.П. Корявовым. Авторы дали благословление на публикацию их задач, за что я им искренне признателен.
Эта книга не появилась бы без стимулирующего содействия Л. А. Клп менко и С.В. Клименко, за что я им бесконечно благодарен. (Хочу напомнить, что стимулом древние называли остроконечную палку, с помощью которой стимулировали ленивого и упрямого осла.)
4
• И» ангоре
Kynu’iiini Евгений Петрович окончил 1н< лип кий Физико-технический институт I I'Mil году ио специальности «Оптика и in । । |1<>< коиия». Значительное время рабо-। i t и obnai i n лазерной физики и квантовой I । ик><|>||тики. Кандидат физико-математи-II них паук. С 1968 года до настоящего вре-1ГПИ регулярно принимает участие в работе н шмепапионной комиссии по проведению in 1 уннгельпых экзаменов в МФТИ. Им бы-ц| in 1 уготовлено большое количество задач । га письменных вступительных экзаменов, пн в составило основу предлагаемой вам । Инги. Сейчас Е.П. Кузнецов работает до-|ц игом па кафедре общей физики МФТИ
и является заместителем
। шедующего кафедрой физики высоких энергий МФТИ.
Как пользоваться этой книгой
Основная цель этого сборника — содействовать тому, чтобы буду-IIIIIH абитуриент «набил руку» на решении оптических задач, вписывающихся в школьный курс физики и предлагаемых на вступительных экзаменах. Задачи расположены, в основном, тематически: плос-мк‘ юркала, законы преломления, линзы, системы линз и т. д. Однако, никаких заголовков нет. Это сделано специально. Ведь на задачах, in гупительных экзаменов нет пометок типа «тема задачи — полное внутреннее отражение». Более того, в череде задач есть и более-менее регулярные тематические возвращения, что также, по мнению автора, полезно при подготовке к экзаменам.
Решая задачи, а делать это стоит всё-таки последовательно, начиная с первого номера, не следует при первых же затруднениях обращаться к решениям. Гораздо полезнее пытаться всё же решить самостоятельно. Если это сразу не получится, нужно хорошенько вникнуть п условие, при необходимости ознакомиться с соответствующим справочным материалом в конце книги и обдумывать задачу на досуге, занимаясь чем-то другим. Постепенно ваш мозг приучится работать автоматически, как бы независимо от вашей воли, и решение может придти в самый неожиданный момент (вас «осенит»), даже во сне. Да-да, пример тому Д.И. Менделеев: свою знаменитую таблицу он увидел по сне. И уже после того, как у вас появится какое-то решение, сравните его с приведённым в сборнике. При этом вы не только проверите’
5
правильность решения, но и сравните подход и путь решения с ;и» ।  «р ским. Всегда нужно стремиться не только получить правильный они но и придти к нему оптимальным и изящным путём (а это Осо(и кн ценится на экзаменах). Автор вместе с вами будет рад, если вы при дете к ответу более рациональным, более красивым, а, может быть и более корректным путём, чем это приведено в сборнике. Старайh i । даже для себя, писать подробнее. Тогда это станет привычкой и не щ дет вызывать затруднений, а, значит, и потерь драгоценного времени на экзаменах. Кроме того, при подробно написанном решении гора 1ю легче заметить собственные ошибки.
Школьные программы и программы вступительных экзаменов ре гулярно (и не всегда удачно) изменяются. В последние годы из >гпн программ исключена тематика, связанная со сферическими зеркалами Но неисповедимы пути господни и чиновников от образования. !•’< чи вы испытываете дефицит времени и точно знаете, что в том году, ь<> гда вам предстоит сдавать экзамены, сферических зеркал в программ! нет, вы можете пропустить задачи 116-137 (кроме, пожалуй, задач I ‘ I 122). Но, если у вас ещё есть время, а любознательность ваша неуёмна, решение этих задач будет совсем не вредно.
В решениях перед каждым разделом приведён компактный сира вочный материал, который может оказаться полезным.
Желаю вам плодотворной и успешной работы и достойной сдачи экзаменов.
6
Ill llll'lkl
I I. null минимальной высоты плоское зеркало нужно повесить на ы|<iiiiiiuii.iiyio стену, чтобы человек мог видеть себя в нём в полный I .« ।
i Гп iMi'pi.i заднего окна одноместного автомобиля 120 х 45 см. Води-и и । и/hi г на расстоянии 2 м от заднего окна. Каковы должны быть .inuuMii/ii.iti.ie размеры плоского зеркала заднего вида, висящего на I < гннини 0,5 м перед водителем, чтобы водитель имел наилучший nip /учюжной обстановки за автомобилем?
I 1 * * * * 6 IriiiiiicK стоит перед стеной, на которой укреплено плоское зеркало, 11 рхнпя грань которого находится на высоте 1,7 м на уровне его глаз. < и и.। отклонена от вертикали на угол 9,74° в направлении к человеку. ।' 1Ч1КОГП максимального расстояния от нижнего края стены он сможет ни у i f. в зеркале хотя бы какую-нибудь часть своего изображения?
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
i. На стене, плоскость которой отклонена от вертикали на угол а =
1,87° (рис. 1), укреплено плоское зеркало. С какого максимального pm стояния от нижнего края стены человек, рост которого 170 см, сможет увидеть в зеркале хотя бы часть своего изображения?
б. Два плоских зеркала высоты L = 5 см поставлены под уг- , ном а = 12° друг к другу (рис. 4) и образуют светопровод. -гФ7| Д I ‘асстояние между верхними краями зеркал d = 2 см. Ниж- Р ине края опираются на светочувствительную цилиндриче-। кую поверхность фотоприёмника. Определите угол зрения
такой системы в плоскости, перпендикулярной зеркалам (то /’ уа есть <дтах к оси светопровода— угол, при котором световой	’
луч попадёт на фотоприёмник).	Рис. 4
6. Два концентрических полушара изготовлены из стекла с различными показателями преломления (рис. 2). Построить ход луча АВ, если отношение радиусов полушарий равно отношению показателей преломления.
7
7.	Для обращения (перевёртывания) изображения часто используют так называемую призму Дове (рис. 3), представляющую собой усечённую прямоугольную равнобедренную призму. Определите длину основания призмы, если её высота h = 2,11 см, а показатель преломления стекла п = 1,41. Призма должна оборачивать пучок максимального сечения и не содержать «неработающего» стекла.
Рис. 7
8.	На половину шара, изготовленного из стекла с показателем преломления п = 1,41, падает параллельный пучок лучей (рис. 5). На расстоянии L = 4,83 см расположен экран Э. Определите размер светлого пятна на экране, если радиус шара г = 2 см.
9.	Параллельный пучок света падает на основание стеклянного конуса (п = 1,5) вдоль его оси. Нормальное сечение пучка совпадает с основанием конуса, радиус которого R. = 1 см. Высота конуса Н = = \/3 см. Определите площадь светлого пятна на экране, перпендикулярном оси конуса и расположенном на расстоянии 1 см от вершины конуса (рис. 6).
10.	На стеклянный клин перпендикулярно его грани падает тонкий луч света (рис. 7). Показатель преломления стекла п = 1,41, а угол а = 10°. Сколько светлых пятен будет видно на экране, поставленное за клином?
11.	Кубический кристалл хлористого калия разрезан по диагонали и половинки раздвинуты на небольшое расстояние (рис. 8). На боковую
8
грань падает тонкий луч света, содержащий излучение двух длин волн Аг и Л2. Из кристалла выходят два пучка света — один, содержащий в основном излучение длины волны Ах и небольшую примесь излучения длины волн А2, и второй, содержащий излучение только длины волны А2. Определите угол между этими двумя пучками. Показатель преломления хлористого калия для длины волны Ai равен 1,425, а для длины волны А2 — 1,403.
12.	На плоскопараллельную пластинку, составленную из двух прямоугольных призм, падает тонкий пучок света (рис. 9). Одна призма изготовлена из кристаллического фтористого натрия, показатель преломления которого Hi = 1,324. Другая призма сделана из кристаллической окиси бария, показатель преломления которой п2 = 1,958. При каких значениях угла а свет не выйдет через противоположную грань пластинки?
13.	В равнобедренной прямоугольной стеклянной	С
призме (рис. 10) основание АВ и боковая грань ВС	/
гладкие, а грань АС — матовая. Призма стоит на га- /
зете. Наблюдатель, смотрящий через грань ВС, ви- z_________\
дит часть текста, находящегося под основанием АВ, А	В
равную а = 0,895 (по площади). Каков показатель Рис. ю преломления стекла?
14.	С помощью тонкой линзы получено изображение BE предмета АС. Построением определите положение линзы и её фокус (рис. 11).
Рис. 13
Рис. 11
Рис. 12
15.	Построением определите местоположение и фокусное расстояние, тонкой линзы, с помощью которой было получено изображение предмета (рис. 12).
16.	С помощью тонкой линзы получено изображение А'В' предмета АВ. Построением определите местоположение линзы и её фокус (рис. 13).
17.	Тонкая линза создаёт изображение B'D' предмета BD (рис. 14). Построением определите местоположение линзы и её фокус.
Рис. 14
9
18.	Экспериментально определяется зависимость величины, обратной поперечному увеличению, от расстояния d между предметом и тонкой линзой. Эта зависимость показана на рис. 15. Определите фокусное расстояние линзы.
Примечание: под встречающимся далее понятием «увеличение» следует понимать поперечное увеличение, то есть отношение высоты h изображения предмета, расположенного в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси, к высоте Н самого предмета.
19.	Опытным путём определяется зависимость поперечного увеличения Г от расстояния f между тонкой линзой и экраном, на котором получаю!’ резкое изображение предмета. Эта зависимость показана на рис. 16. Найдите фокусное расстояние линзы.
Рис. 16
20.	Расстояние между точечным источником S и его изображением, создаваемым тонкой линзой, равно 0,5F, где F — фокусное расстояние линзы. Каким будет это изображение - - действительным или мнимым?
21.	На каком расстоянии от положительной линзы надо поместить точечный источник S, чтобы расстояние между ним и его действительным изображением было минимальным? Фокусное расстояние линзы равно F.
22.	Расстояние вдоль главной оптической оси между стрелкой АВ, перпендикулярной главной оптической оси, и её прямым изображением, создаваемым тонкой линзой, равно 5 см. Поперечное увеличение Г — 0,5 см. Определите фокусное расстояние линзы.
23.	Расстояние между стрелкой АВ, перпендикулярной главной оптической оси, и её прямым изображением, создаваемым тонкой линзой, равно 50 см. Поперечное увеличение Г = 2. Определите фокусное расстояние линзы.
24.	Демонстрация кинофильма происходит в зале длиной 20 м. Экран имеет размеры 3,6 х 4,8 м. Определите фокусное расстояние объектива кинопроектора. Размер кадра на кинопленке 18 х 24 мм.
10
25.	Расстояние между плоским предметом, перпендикулярным главной оптической оси, и его прямым изображением, создаваемым тонкой линзой, равно половине фокусного расстояния линзы. Определите, с каким увеличением изображается предмет.
26.	С помощью тонкой линзы получено изображение канцелярской кнопки. Определите диаметр кнопки, если её изображение лежит в фокальной плоскости линзы и имеет диаметр 2 см.
27.	Тонкая линза создаёт изображение небольшого предмета, находящегося в её фокальной плоскости. Определите высоту предмета, если высота изображения равна 0,7 см.
28.	Бегун был сфотографирован с расстояния 10 м фотоаппаратом, имеющим объектив с фокусным расстоянием 50 мм. Размытость изображения на плёнке оказалась равной 1 мм. Время экспозиции 0,02 с. Определите скорость бегуна.
29.	Предмет и его изображение, создаваемое тонкой линзой, расположены симметрично относительно фокальной плоскости линзы. Расстояние от предмета до фокуса линзы равно 4 см. Найдите фокусное расстояние линзы.
30.	Фокусное расстояние тонкой линзы составляет 9% расстояния между предметом и экраном. Во сколько раз увеличенное изображение предмета, создаваемое линзой на экране, больше уменьшенного?
31.	С помощью тонкой линзы получают полуторократно увеличенное изображение предмета. Затем линзу передвигают вдоль её главной оптической оси на 12 см и получают мнимое изображение такого же размера. Определите фокусное расстояние линзы.
32.	Расстояние от заднего фокуса тонкой линзы до изображения в 9 раз больше расстояния от переднего фокуса до предмета. Найдите линейное увеличение, с которым изображается предмет.
33.	Тонкую линзу, создакицую действительное изображение предмета, передвинули на расстояние, равное её фокусному расстоянию. При этом получилось мнимое изображение того же размера. Найдите величину линейного увеличения.
34.	Расстояние от линзы до предмета на 3 см отличается от расстояния между линзой и действительным изображением этого предмета, создаваемым линзой с двукратным увеличением. Определите фокусное расстояние линзы.
11
35.	Линза с фокусным расстоянием 5 см создаёт прямое изображение предмета с увеличением Г = 5. Найдите расстояние между предметом и изображением.
36.	Линза с фокусным расстоянием 3 см создаёт перевёрнутое изображение предмета. Расстояния от предмета до линзы и от линзы до изображения отличаются на 8 см. С каким увеличением изображается предмет?
37.	Расстояние между предметом и его прямым изображением, создаваемым тонкой линзой с увеличением Г = 0,2, равно 32 см. Определите фокусное расстояние линзы.
38.	Линза с фокусным расстоянием Fi = 12 см создаёт на экране изображение предмета с линейным увеличением Г1 = 9. Другая линза при том же расстоянии между предметом и экраном даёт увеличение Гг — = 3. Найдите фокусное расстояние F? второй линзы.
39.	Имеется положительная линза с оптической силой D\ и отрицательная линза с оптической силой D?, причём |£>11 — ID2I = 4 дптр. При каком расстоянии d от линзы до предмета каждая из линз будет давать изображение этого предмета одной и той же величины?
40.	Положительная линза создаёт изображение предмета, находящегося на расстоянии 2 м от неё. Отрицательная линза при том же расстоянии до того же предмета создаёт изображение такой же величины, что и положительная линза. Насколько отличаются абсолютные значения оптических сил этих линз?
41.	Положительная линза с фокусным расстоянием 6л/2 см создаёт изображение предмета, находящегося на расстоянии d от неё, с увеличением Г1- Отрицательная линза с таким же фокусным расстоянием создаёт изображение предмета, находящегося на таком же расстоянии d, с увеличением Г2 = Г^1. Определите d.
42.	С помощью линзы на экране получено изображение предмета с двукратным увеличением. Каково будет увеличение, если расстояние между предметом и экраном увеличилось в 1,6 раз?
43.	Тонкая линза создаёт действительное изображение точечного источника света. Он находится на главной оптической оси на расстоянии, в три раза большем фокусного расстояния линзы. Если бы формула тонкой линзы была точной, то один из лучей, испущенных источником, преломившись в линзе, пошёл бы под углом 90° к своему первоначальному направлению. Под каким углом к оптической оси был бы испущен этот луч?
12
44.	Предмет АВ стоит перед линзой. Луч АС вы- pi ходит под углом /3 к главной оптической оси ОС.
Если бы формула тонкой линзы была точной, то q	О'
после преломления в линзе он распространялся -------—1--------
бы перпендикулярно к направлению АС. Найдите Рис. 17 отношение размера изображения предмета АВ, создаваемого линзой, к размеру предмета (рис. 17).
45.	На главной оптической оси тонкой положительной линзы диаметром D находится точечный источник света. Из линзы выходит пучок расходящихся лучей. Максимальный угол между этими лучами равен а. Определите угол расхождения /3 лучей, если вместо положительной линзы на то же самое место поставить отрицательную линзу того же диаметра и с тем же фокусным расстоянием. Расстояние между источником и линзой равно d.
46.	Тонкая линза с некоторым (неизвестным!) фокусным расстоянием Fi создаёт прямое изображение предмета с увеличением = 2/3. Каково будет увеличение Гг, если, не меняя расстояния между предметом и линзой, заменить линзу на другую с фокусным расстоянием Ег = —Ei?
47.	Человек для чтения текста надевает очки с оптической силой D = = —4 дптр. На каком расстоянии ему удобно располагать плоское зеркало при рассматривании своего лица (без очков)?
48.	При рассматривании своего лица человеку удобно располагать плоское зеркало на расстоянии 25 см от лица. Какие очки Вы порекомендуете этому человеку для чтения текстов?
49.	Очень близорукий часовщик (он носит очки с линзами, имеющими оптическую силу D = —8 дптр) при работе снимает очки и приставляет к глазу лупу, на которой обозначено 4 х (т. е. она имеет четырёхкратное увеличение). С каким увеличением в действительности часовщик видит изображение деталей часов?
50.	Человек, страдающий близорукостью, при чтении очень мелкого текста снимает очки и использует лупу, на которой написано, что она имеет пятикратное увеличение. На самом деле получается только трёхкратное увеличение букв текста. Какие очки он носит?
51.	При работе с мелкими деталями близорукий ювелир пользуется набором часовых луп, на которых обозначено: 2х, 3х, 4х, 5х, 6х, 7х, 8х, 10х (т. е. имеющих увеличение 2, 3, 4, и т. д.). При работе с лупами он снимает очки. Если он использует лупы с увеличением меньше 5х, то увеличение изображения детали оказывается больше, чем это
13
написано на лупе. Если же он использует лупы с увеличением больше 5х, то увеличение изображения детали оказывается меньше, чем это указано на лупе. Какие очки он носит?
52.	Монтажник микроминиатюрной радиоаппаратуры носит очки с оптической силой линз D — —6 дптр. При работе он снимает очки и приставляет к глазу одну из набора луп, на которых написано А* (Л — увеличение лупы). Оказалось, что из всего набора луп только одна (на которой написано создаёт изображение предмета с тем же увеличением, которое написано на лупе. Найдите Ло-
53.	Широкий пучок параллельных лучей падает перпендикулярно на экран. На пути света параллельно экрану установили отрицательную линзу. Расстояние между линзой и экраном втрое больше фокусного расстояния линзы. Площадь области на экране, где после установки линзы возросла освещённость, оказалась равной 15я см2. Определите диаметр линзы.
54.	Точечный источник света расположен на некотором расстоянии от экрана. Посредине между источником и экраном поместили тонкую отрицательную линзу с фокусным расстоянием, равным половине расстояния между источником и экраном. Во сколько раз площадь области на экране, где увеличилась освещённость, больше площади линзы?
55.	В тонкой положительной линзе, имеющей диаметр 2 см и фокусное расстояние 10 см, просверлили вдоль главной оптической оси отверстие диаметром 1 см и вставили в него тонкую отрицательную линзу с фокусным расстоянием 20 см (рис. 18). На главной оптической оси линз на расстоянии 20 см находится точечный источник света S.
За линзами вдоль оптической оси может передвигаться экран Э. Най
дите наименьший размер освещённого пятна на экране.
56.	При фотографировании на фотоплёнке получаются (из-за конечной разрешающей способности плёнки) резко изображёнными не только те предметы (находящиеся на расстоянии do), на которые наведён объектив фотоаппарата, но также и предметы, находящиеся несколько ближе и несколько дальше этого расстояния. То есть резко получаются предметы, лежащие внутри некоторой области фч-ф, ф < Ф, Ф > ф. Расстояние di называется ближней границей глубины резкости, ф — дальней. Оказалось, что при наведении объектива фотоаппарата на предмет, находящийся на расстоянии do — Ю м, ближняя граница глу
14
бины резкости расположена на расстоянии di = 7,8 м. Найдите дальнюю границу.
57.	В условиях предыдущей задачи при фотографировании некоторого объекта резко получились предметы, находящиеся на расстояниях от 7,5 м до 15 м от фотоаппарата. На каком расстоянии находится фотографируемый объект?
58.	Из-за конечной разрешающей способности фотоплёнки при фотографировании резко получаются предметы, удалённые от фотоаппарата на расстояние от di = 15 м до с?2 = 30 м. Расстояние di называется ближней границей глубины резкости, d? — дальней. Не меняя наводки фотоаппарата, объектив его задиафрагмировали (т. е. уменьшили диаметр открытой части линзы объектива). При этом ближняя граница, глубины резкости стала равна 10 м. Найдите дальнюю границу.
59.	Фотоаппаратом с объективом, имеющим фокусное расстояние 10 см, производится фотографирование предмета, удалённого на расстояние L от фотоаппарата. Из-за конечной разрешающей способности пластинки изображение предмета получается резким, если расстояние; от объектива до фотопластинки лежит в пределах от 101 мм до 103 мм. Определите L.
60.	0 помощью положительной линзы Л с фокусным расстоянием F получено объёмное изображение кубика, рёбра которого, имеющие длину I, сделаны из тонкой проволоки. Изображение ближней к линзе грани кубика находится на расстоянии 2F от линзы. Найдите объём полученного изображения.
61.	С помощью отрицательной линзы Л с фокус-	д''
ным расстоянием F получено изображение парал- г------------
лелепипеда длиной I = F, рёбра которого сделаны ___________
из тонкой проволоки. Основание параллелепипеда —	11
небольшой квадрат со стороной а. Одним из основа-	I
ний параллелепипед прижат к поверхности линзы
(рис. 19). Найдите объём полученного изображения. Рис. 19
62.	С помощью тонкой линзы F получено изоб- д д  ражение очень маленького предмета П. Толщина — изображения h' оказалась вчетверо больше, чем _ ____________
толщина предмета h. Найдите поперечное увеличе-ние. Каким будет изображение — прямым или пе-ревёрнутым (рис. 20)?
В нижеследующих задачах в качестве предмета Рис. 20 будем рассматривать какую-либо плоскую фигуру, плоскость которой
15
перпендикулярна главной оптической оси линзы или системы линз.
63.	На экране с помощью тонкой линзы получено изображение предмета с пятикратным увеличением. Экран передвинули на 30 см вдоль главной оптической оси линзы. При неизменном положении линзы на экране получили изображение того же предмета с трёхкратным увеличением. Определите фокусное расстояние линзы.
64.	Тонкая линза создаёт па экране изображение предмета с увеличением 1/6. Не меняя положения линзы, предмет передвинули на 20 см. На экране получили изображение того же предмета с увеличением 1 /2. Определите фокусное расстояние линзы.
65.	На экране с помощью тонкой линзы получено изображение предмета с увеличением = 2. Предмет передвинули на 1 см. Для того, чтобы получить резкое изображение, пришлось передвинуть экран. При этом увеличение оказалось равным Г2 = 4. На какое расстояние передвинули экран?
66.	На экране получено изображение предмета с трёхкратным увеличением. Предмет передвинули на расстояние = 2 см. Для того, чтобы получить чёткое изображение, экран пришлось передвинуть на расстояние I2 = 24 см. Каково будет увеличение в этом случае?
67.	С помощью тонкой линзы на экране получено изображение предмета с пятикратным увеличением. Не изменяя положения линзы, экран передвинули вдоль главной оптической оси на 30 см. Для того, чтобы получить резкое изображение, пришлось передвинуть предмет. В этом случае изображение оказалось втрое больше предмета. На какое расстояние передвинули предмет?
68.	Тонкая линза создаёт на экране изображение в 20 раз большее^ чем предмет. Экран передвинули вдоль главной оптической оси на 4 м. Чтобы получить резкое изображение, предмет пришлось переместить на 40 см. Каким при этом стало увеличение?
69.	Линза создаёт изображение предмета с увеличением Г! = 3. Вплотную к линзе приставили вторую такую же. С каким увеличением будет изображаться предмет? Расстояние до предмета осталось неизменным.
70.	Тонкая линза создаёт изображение предмета. Если вплотную к этой линзе приставить перпендикулярно главной оптической оси плоское зеркало, то такая система при неизменном расстоянии до предмета создаёт его изображение с тем же увеличением. Определите это увеличение.
16
71.	С помощью топкой линзы получают изображение предмета. К линзе вплотную приставляют другую линзу. При неизменном расстоянии до предмета получают изображение той же величины, что и ранее. Найдите, с каким увеличением изображается предмет. Абсолютные значения фокусных расстояний линз равны.
72.	К тонкой линзе с фокусным расстоянием 9 см вплотную прижато плоское зеркало. Эта система создаёт изображение предмета. Если, не мецяя взаимного расположения линзы и предмета, убрать зеркало, то линза создаёт изображение предмета с тем же увеличением, что и раньше. Определите расстояние от предмета до линзы.
73.	Положительная линза создаёт прямое изображение предмета с двукратным увеличением. При этом же расстоянии до предмета отрицательная линза создаёт изображение предмета с увеличением 0,5. С каким увеличением будет изображаться предмет, если эти две линзы сложить вплотную, а расстояние до предмета оставить неизменным?
74.	Тонкая отрицательная линза создаёт изображение предмета с увеличением 0,2. Если к ней вплотную приставить тонкую положительную линзу, то при том же расстоянии до предмета эта система создаёт прямое изображение с увеличением 1 /3. Определите, с каким увеличением будет изображаться предмет одной положительной линзой при том же расстоянии от линзы до предмета.
75.	Две тонкие положительные линзы с фокусными расстояниями Е) и F-2, расположены так, что их главные оптические оси совпадают. С помощью этой системы линз получают изображение предмета, причём оказалось, что размер изображения не зависит от расстояния от предмета до системы линз. Найдите расстояние между линзами.
76.	В светонепроницаемом кожухе горит лампа (рис. 21). На задней стенке кожуха плоское зеркало 3. В переднюю вставлена линза Л с абсолютным значением фокусного расстояния F. В этой системе наблюдают два прямых увеличенных изображения нити лампы, причём одно изображение вдвое
больше другого. Найдите расстояние от лампы до Рис. 21 зеркала, если расстояние от линзы до лампы равно d.
77.	Положительная линза создаёт изображение Лупы, диаметр которого I. Такого же размера изображение Луны создаёт отрицательная линза. Какого размера получится изображение Лупы, если эти две лип зы соосно доставить друг за другом (впереди отрицательная линза) на расстояний, равном фокусному расстоянию положительной линзы?
17
78.	За тонкой положительной линзой Л перпендикулярно её главной оптической оси расположено плоское зеркало 3. На линзу на расстоянии h от оптической оси падает под углом а луч света (рис. 22). Преломившись в линзе и отразившись от зеркала он выходит из линзы по
Рис. 22
направлению, параллельному первоначальному,
смещённым па расстояние L. Определите фокусное расстояние линзы.
79.	Перпендикулярно главной оптической оси тонкой положительной линзы Л с фокусным расстоянием F расположено плоское зеркало (рис. 23). Эта оптическая система создаёт действительное изображение предмета А, находящегося между линзой и её фокусом с увеличением Г — -j, где d — расстояние между линзой и предметом. Найдите расстояние а между линзой и зеркалом.
80.	В фокальную плоскость тонкой собирающей линзы Л помещено плоское зеркало (рис. 24). Предмет А расположен между фокусом и линзой. Эта система создаёт действительное изображение предмета. Как изменится увеличение, с которым изображается предмет, если расстояние d между линзой и предметом уменьшить вдвое?
Рис. 24
81.	Предмет А находится между линзой Л и плоским зеркалом 3, перпендикулярным главной оптической оси линзы. Зеркало, линза и предмет заключены в светопроницаемый кожух. Такая система (рис. 25) создаёт два изображения предмета, оба изображения предмета имеют
Рис. 25
одинаковые размеры независимо от расстояния до линзы. С каким увеличением изображается отражение линзы?
82.	Перпендикулярно главной оптической оси положительной линзы Л с фокусным расстоянием F = = 10 см расположено плоское зеркало (рис. 26). Эта система создаёт два изображения предмета АВ. Размеры этих изображений одинаковы. На каком расстоянии от линзы находится зеэкало?
Рис. 26
83.	Сложный объектив состоит из двух тонких линз: положительной с фокусным расстоянием /ц = 20 см и отрицательной с фокусным расстоянием F2 = —10 см. Линзы расположены на расстоянии I = 15 см
18
друг от друга (рис. 27). С помощью объектива получают на экране изображение Солнца. Какое фокусное расстояние должна иметь тонкая линза, чтобы изображение Солнца, полученное с её помощью, имело такой же размер?
84.	Оптическая система состоит из двух линз, имеющих фокусные расстояния Fi = —10 см и 7*2 = 4 10 см, раздвинутых вдоль их общей главной оптической оси на расстояние 5 см. При каких положениях предмета эта система будет давать действительное изображение?
85.	Оптическая система состоит из двух тонких линз, имеющих фокусные расстояния Fi =
= +5 см и F-2 — —5 см, раздвинутых на расстояние 5 см. При каких положениях предмета эта система будет давать мнимое изображение?
86.	Оптическая система, показанная на рис. 28, состоит из положительной линзы Лх с фокусным расстоянием Fi = 9 см и отрицательной линзы Л2 с фокусным расстоянием F2 = 5 см. Расстояние между линзами L = 22 см. При каких расстояниях d от положительной линзы до предмета эта система будет давать перевёрнутое мнимое увеличенное изображение предмета?
Рис. 28
87.	Две собирающие тонкие линзы (Лх с фокусным расстоянием Fi — = 5 см и Л2 с фокусным расстоянием Fj = 3 см) расположены соосно на расстоянии L друг от друга. Перед линзой Лх на расстоянии di = = 15 см расположен предмет. Эта система создаёт прямое увеличенное изображение предмета. При каких L это возможно?
88.	За отрицательной линзой с фокусным расстоянием Fi = 6 см расположена на расстоянии L = 3 см положительная линза с фокусным расстоянием F2 = 10 см. Главные оптические оси линз совпадают. При каких расстояниях до отрицательной линзы от предмета эта система будет давать прямое уменьшенное изображение?
89.	Две тонкие положительные линзы расположены так, как это показано на рис. 29. Линза Лх имеет фокусное расстояние Fx = 10 см, линза Л2 соответственно F2 — 20 см. Предмета А удалён от линзы Лх на расстояние Д = 30 см. При каких значениях L эта система даёт мнимое уменьшенное изображение этого предмета?
19
90.	Площадь изображения треугольника АВС (рис. 30) в 32 раза меньше площади самого треугольника. Определите, с каким увеличением изображается катет ВС, если точка А лежит в фокусе рассеивающей линзы Л.
91.	Линза Л создаёт изображение прямоугольного треугольника, катет которого С А лежит на главной оптической оси (рис. 31). Площадь изображения треугольника в 9 раз меньше самого треугольника. Найдите, с каким увеличением изображается катет В А, если точка А лежит на двойном фокусном расстоянии от линзы.
92.	Математический маятник раскачивается с амплитудой А = 1 см в плоскости рисунка (рис. 32). Равновесное положение нити маятника находится на расстоянии L = д/б см от переднего фокуса тонкой положительной линзы Л. Расстояние между изображениями груза ма
Рис. 32
ятника, лежащими на главной оптической оси,
равно Д = 2 см. Найдите фокусное расстояние линзы.
93.	Математический маятник колеблется в плоскости рисунка (рис. 33) с амплитудой А = 1 см. Равновесное состояние нити маятника находится па расстоянии а = 4 см от тонкой отрицательной линзы с фокусным расстоянием 2 см. Найдите расстояние между крайними изображениями груза маятника, лежащими на главной оптической оси линзы.
94.	Трапеция ABCD расположена так, что её параллельные стороны АВ и CD перпендикулярны главной оптической оси топкой линзы. Линза создаёт мнимое изображение трапеции ABCD в виде трапеции с теми же самыми углами. Если повернуть трапецию ABCD (рис. 34) на 180° вокруг стороны
Рис. 34
20
АВ, то линза создаёт изображение трапеции в виде прямоугольника. С каким увеличением изображается сторона АВ?
95.	На главной оптической оси тонкой отрицательной линзы расположена трапеция таким образом, что её параллельные стороны перпендикулярны главной оптической оси. Линза создаёт изображение трапеции, имеющее вид прямоугольника. При этом меньшая из параллельных сторон изображается с увеличением Г = 1/3. Если трапецию передвинуть вдоль главной оптической оси на некоторое расстояние, то получится изображение в виде трапеции с теми же самыми углами. Найдите, с каким увеличением изображается та же самая меньшая сторона в этом случае.
96.	Трапеция ABCD расположена так, что её параллельные стороны перпендикулярны главной оптической оси ОС' тонкой линзы (рис. 34). Линза создаёт действительное изображение трапеции ABCD в виде прямоугольника. Если повернуть трапецию ABCD на 180° вокруг стороны АВ, то линза создаёт изображение трапеции в виде трапеции с теми же самыми углами. С каким увеличением изображается сторона АВ?
97.	Параллельные стороны трапеции пересекают главную оптическую ось линзы под прямым углом. Линза создаёт её изображение в виде трапеции с теми же самыми углами. При этом увеличение меньшей из параллельных сторон трапеции равно 0,8. Если передвинуть трапецию вдоль главной оптической оси на некоторое расстояние, она будет изображаться в виде прямоугольника. Найдите увеличение меньшей из параллельных сторон трапеции в этом случае.
98.	С помощью топкой линзы Л получено изображение трезубца ABCDEG, у которого АВ = ВС. Основание трезубца лежит на главной оптической оси линзы. Отрезок АВ изображается с увеличением = 6, а отрезок ВС — с увеличением /32 = 3 (рис. 35). Определите, с каким увеличением изображается отрезок BD.
Е D G
С В А
99.	У предмета АВС сторона АВ, лежащая на главной оптической оси линзы, может раздвигаться (увеличиваться в размерах). С помощью линзы Л с фокусным расстоянием Е = 12 см получают действительное изображение предмета АВС (рис. 36). Оказалось, что при любой
Рис. 35
С С
В' в
Рис. 36
21
длине стороны АВ она изображается с тем же увеличением, что и сторона ВС. Определите расстояние ОВ. Точка А неподвижна.
100.	С помощью отрицательной линзы получено изображение предмета ABCD, где АВ = ВС (рис. 37). Сторона АС лежит на главной оптической оси линзы. Увеличения отрезков СВ и BD соответственно равны: /3 = 0,3 и Г = л/З/8. Определите, с каким увеличением изображается отрезок АВ.
С В А
D
Рис. 37
101.	Предмет ABCD имеет раздвижную сторону ВС (рис. 38). С помощью линзы Л получают перевёрнутое изображение этого предмета. Оказалось, что при любой длине стороны ВС отношение увеличения, с которым изображается сторона ВС, к увеличению, с которым изображается сторона CD, остаётся постоянным и равным к = 4. Определите фокусное рассто
яние линзы, если сторона АВ остаётся неподвижной на расстоянии ОВ = 20 см от линзы.
Рис. 38
102.	За линзой с фокусным расстоянием D = —5 см расположена линза с фокусным расстоянием F2 = 25 см так, что их главные оптические оси совпадают. Эта оптическая система создаёт изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси. Как изменится величина изображения, если линзы поменять местами? Расстояние между линзами L = 20 см.
103.	Две тонкие положительные линзы расположены друг за другом так, что их главные оптические оси совпадают. Расстояние между линзами 14 см. Фокусное расстояние первой линзы Fi = 10 см, второй -Зг F2 = 4 см. Эта система создаёт изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси. Величина изображения h\ = 4 мм. Какова будет вели' ина изображения /г2, если линзы поменять местами?
104.	За линзой Л па расстоянии L = 4 см (больше фокусного) расположено перпегдикулярно главной оптической оси плоское зеркало 3. Перед линзой, также перпендикулярно главной оптической оси, расположен лист клетчатой бумаги (рис. 39). На этом листе получают изображение его клеток при двух положениях листа относительно линзы. Эти
Рис. 39
22
положения отличаются на I = 9 см. Определите фокусное расстояние линзы.
105.	Параллельно друг другу расположены лист миллиметровой бумаги, тонкая линза и плоское зеркало. Расстояние L между линзой и зеркалом 6 см, фокусное расстояние линзы F = 4 см. Система линза+зеркало создаёт на листе бумаги чёткое изображение его клеток. На сколько нужно передвинуть лист бумаги, чтобы на нём снова получилось чёткое изображение клеток?
106.	Две тонкие линзы находятся на расстоянии L — 25 см друг от друга так, что их главные оптические оси'совпадают. Эта система создаёт прямое действительное изображение предмета в натуральную величину. Если линзы поменять местами, не изменяя положения предмета, то снова получается прямое действительное изображение предмета с увеличением 4. На сколько отличаются оптические силы линз?
107.	Две тонкие положительные линзы, оптические силы которых отличаются на 5/6 дптр, расположены так, что их главные оптические оси совпадают. Эта оптическая система создаёт прямое мнимое изображение предмета с увеличением 3. Если линзы поменять местами, то получается прямое мнимое изображение предмета с двукратным увеличением. Найдите расстояние между линзами.
108.	Две тонкие линзы создают мнимое перевёрнутое изображение предмета с увеличением 0,5. Главные оптические оси линз совпадают. Расстояние между линзами равно L = 50 см. Оптические силы линз отличаются на две диоптрии. Если линзы поменять местами, не изменяя положения предмета, то снова получается мнимое перевёрнутое изображение. Найдите увеличение в этом случае.
109.	Положительная и отрицательная (она ближе к предмету) линзы образуют оптическую систему. Линзы расположены на расстоянии L = 2,5 см друг от друга и их главные оптические оси совпадают. Сумма оптических сил линз равна нулю. Эта оптическая система создаёт мнимое прямое изображение с увеличением 2. Если линзы поменять местами, не изменяя положения предмета, то получается прямое мнимое изображение предмета в натуральную величину. Найдите фо кусное расстояние положительной линзы. Расстояние от предмета до ближней линзы меньше фокусного расстояния положительной линзы.
110.	За тонкой положительной линзой Л1 с фокусным расстоянием F = 2 см расположена топкая отрицательная линза Лг (случай а). Главные оптические оси линз совпадают, расстояние между линзами I. Эта система создаёт действительное изображение предмета. Линзу
23
Л.2 переставили, не меняя положения линзы Л у и предмета, на расстояние I перед линзой Л у (случай Ь). Система снова даёт действительное изображение предмета той же, что и прежде величины. Определите I.
111.	Плосковыпуклая толстая линза (рис. 40) с ра- —•-	----
диусом кривизны выпуклой части R = 3 см изго- * ( товлена из стекла с показателем преломления п = ~
= 1,5. На каком расстоянии от плоской поверхно- >----------
,	6 см
сти линзы фокусируется пучок параллельных лу-	•-*---
чей, падающих на выпуклую поверхность? Углы Рис. 40 преломления считать малыми, так что их тангенсы можно приближённо заменять синусами или радианной мерой угла.
112.	Плосковогнутая толстая линза с радиусом кривизны вогнутой части R = 3 см и толщиной I = 6 см изготовлена из стекла с показателем преломления п = 1,5 (рис. 41). На каком расстоянии от плоской поверхности находится фокус такой линзы? Углы преломления считать малы
Рис. 41
ми.
113.	Две тонкие плосковыпуклые линзы, будучи сложены плоскими сторонами, образуют линзу с фокусным расстоянием Е). Найдите фокусное расстояние F% линзы, которая получится, если сложить эти линзы выпуклыми сторонами, а пространство между ними заполнить водой. Показатель преломления стекла тгс = 1,66, воды — пв = 1,33.
114.	Две топкие плосковогнутые линзы, будучи сложены плоскими сторонами, образуют липзу с фокусным расстоянием F. Найдите фокусное расстояние линзы, которая получится, если сложить эти линзы вогнутыми сторонами, а пространство между ними заполнить водой. Показатель преломления стекла пс — 1,66, воды — пв = 1,33. j 115. Если топкую линзу опустить в воду (пв — 1,33), то её фокусное расстояние FB = 1 м. Если её опустить в сероуглерод (пс = 1,6), то её фокусное расстояние возрастёт до Fc — 10 м. Найдите фокусное расстояние линзы в воздухе.
116.	Решите задачи 114 и 115 (а также их аналоги, о которых говорится в решении этих задач) применительно к сферическим зеркалам.
117.	Крупнейший в мире телескоп Специальной астрофизической обсерватории Академии наук РФ имеет фокусное расстояние F около 300 м. Каков максимально допустимый угол качания главного зеркала, обусловленный тряской фундамента, при котором ещё полностью используется разрешающая способность плёнки при фотографи
24
ровании астрономических объектов? Плёнка расположена в фокальной плоскости зеркала телескопа. Её разрешающая способность 6 = 50 линий/мм.
118.	Предмет и его изображение, создаваемое топкой положительной линзой, находятся по одну сторону от линзы. Расстояние между предметом и изображением 4 см. Точно такое же изображение того же предмета получено с помощью сферического зеркала, имеющего такое же, как у линзы, фокусное расстояние. При этом расстояние между предметом и изображением оказалось равным 8 см. Определите фокусное расстояние линзы.
119.	Расстояние между предметом и его действительным изображением, создаваемым сферическим зеркалом, равно 4 см. Точно такое же изображение того же предмета получено с помощью тонкой линзы, имеющей то же фокусное расстояние, что и зеркало. Расстояние между предметом и изображением в этом случае оказалось равным 10 см. Определите радиус кривизны зеркала.
120.	В тонкостенном стеклянном шарике диаметром 4 см видны два изображения пламени свечки, обусловленные отражением от ближней и дальней стенки шарика. Размеры изображений относятся как 19/21. Определите расстояние между центром шарика и свечкой.
121.	За положительной линзой Л с фокусным рас- , стоянием F = 24 см на расстоянии I = 4 см распо- Л ложено выпуклое сферическое зеркало 3 (рис. 42). Эта система линза-1-зеркало отражает лучи, параллельные главной оптической оси линзы, точно в обратном направлении. Определите радиус кривизны
зеркала.	Рис. 42
122.	За рассеивающей линзой Л с фокусным расстоянием F = 11 см расположено вогнутое сферическое зеркало 3 (рис. 43). Эта система отражает лучи, параллельные главной оптической оси линзы, точно в обратном направлении. Определите радиус кривизны зеркала, если расстояние между линзой
и зеркалом равно d = 6 см.	Рис. 43
123.	За тонкой положительной линзой с фокусным расстоянием 15 см расположено выпуклое зеркало с фокусным расстоянием 5 см. Эта система создаёт прямое изображение предмета в натуральную величину независимо от его удаления от линзы. Определите расстояние между линзой и зеркалом.
25
124.	За тонкой положительной линзой па некотором расстоянии находится вогнутое сферическое зеркало. Система зеркало+линза создает изображение предмета, находящегося в 10 см перед линзой, с увеличением 1. Можно передвинуть зеркало и снова получить изображение предмета с тем же увеличением, при этом величина смещения зеркала не будет зависеть от радиуса кривизны зеркала. В нашем случае это перемещение равно 9 см. Определите фокусное расстояние линзы.
125.	За тонкой отрицательной линзой с фокусным расстоянием 5 см на расстоянии 7 см находится вогнутое сферическое зеркало. Эта система создаёт изображение предмета с увеличением 1 независимо от расстояния от него до линзы. Определите фокусное расстояние зеркала.
126.	На некотором расстоянии за тонкой отрицательной линзой с фокусным расстоянием 10 см находится сферическое вогнутое зеркало. Система линза+зеркало создаёт прямое изображение предмета в натуральную величину. Затем зеркало отодвинули от линзы па Да; = 2 см, при этом вновь получилось изображение предмета в натуральную величину. Определите расстояние от предмета до линзы.
127.	Сферическое зеркало с фокусным расстоянием F создаёт перевёрнутое изображение предмета, находящегося от него па расстоянии <1. Вплотную к зеркалу приставили тонкую линзу. Система линза+зеркало при неизменном расстоянии до предмета даёт его прямое изображение с тем же увеличением. Найдите фокусное расстояние
128.	С помощью системы концентрических зеркал 31 и З2 (рис. 44) на фотопластинке получено изображение Луны. С помощью какой тонкой линзы можно получить изображение Луны такого же размера? щ = = 25 см, Г2 = 20 см.
129.	С помощью системы концентрических зеркал 31 и З2 (рис. 45) получено изображение Солнца. Каково должно быть фокусное расстояние тонкой линзы, чтобы с её помощью получалось изображение Солнца такого же размера? тд = 18 см, = 30 см.
26
130.	На экране находится точечный источник света. Его изображение, создаваемое сферическим зеркалом, лежит в плоскости, находящейся посередине между зеркалом и экраном. Когда вплотную к зеркалу поместили тонкую линзу, изображение источника оказалось на экране. Найдите отношение фокусных расстояний линзы и зеркала.
131.	На дне цилиндрического сосуда и высотой Н = 50 см лежит вогнутое зеркало, имеющее радиус кривизны R = 80 см. Сосуд до половины заполнен водой (и = 1,33). Найдите фокусное расстояние получившейся оптической системы.
132.	Сферическое зеркало лежит на горизонтальной поверхности. При этом изображение звезды, находящейся в зените, создаваемое этим зеркалом, расположено на расстоянии а от зеркала. Зеркало до краев заполнили жидкостью и после этого изображение звезды оказалось па расстоянии 0,7а от зеркала. Определите показатель преломления жидкости. Диаметр зеркала существенно меньше его радиуса кривизны.
133.	Из стекла с показателем преломления п — 1,5 изготовлена линза с фокусным расстоянием F = —10 см. Затем на одну из сторон линзы наносят тонкий полупрозрачный слой серебра. С помощью такой линзы одновременно получают два одинаковых изображения предмета, причём размер изображений не зависит от того, какой стороной к предмету обращена линза. Определите радиусы кривизны поверхностей линзы.
134.	Из стекла с показателем преломления п = 1,5 изготовлена линза с фокусным расстоянием F = 5 см. Затем на одну из сторон линзы наносят тонкий слой серебра, пропускающий половину падающего на него света, а половину отражающий. С помощью такой линзы получают одновременно два одинаковых изображения предмета, причём размер изображений не зависит от того, какой стороной к предмету обращена линза. Определите радиусы кривизны поверхностей линзы.
135.	Одна из поверхностей тонкой линзы посеребрена. На расстоянии 28 см от линзы на её оси находится точечный источник света. Если линза обращена к источнику посеребрённой стороной, то расстояние между источником и его мнимым изображением оказывается равным 56 см. Если линза повернута к источнику другой стороной, то она даёт параллельный пучок света. Определите фокусное расстояние нессреб-рёнпой линзы.
136.	Одна из поверхностей тонкой линзы посеребрена. На расстоянии L — 34 см от линзы на её главной оптической оси расположен точечный источник света. Оказалось, что линза даёт параллельный пучок
27
лучей независимо от того, какой стороной она обращена к источнику. Определите фокусное расстояние линзы до серебрения.
137.	Радиус R кривизны выпуклого сферического зеркала равен 40 см. Какую линзу следует приставить вплотную к зеркалу, чтобы получившаяся система давала прямое мнимое изображение предмета в натуральную величину?
138.	На рис. 46 изображена система из двух сферических зеркал: вогнутого 31 (радиус кривизны Ri = 20 м) и выпуклого З2 (радиус кривизны /?2 = 10 м), расположенных на расстоянии L = 5 м друг от друга. Система предназначена для временнбй задержки короткого светового импульса, падающего на зеркало 31 на расстоянии h = 20 см от оптической оси в виде тонкого луча, параллельного оси. Через какое время после отражения от зеркала 31 этот луч выйдет через отверстие диаметра d = 2 см, расположенное в центре выпуклого зеркала?
Рис. 46
Рис. 47
139.	В оптической системе, предназначенной для задержки во времени короткого светового импульса, используется многократное отражение света от двух вогнутых сферических зеркал 31 (радиус кривизны Ri = = 10 м) и З2 (радиус кривизны R?, = 1 м), расположенных на расстоянии L = 5,5 м друг от друга (рис. 47). В центре зеркала 31 имеется отверстие диаметра d = 2 мм. На это зеркало на высоте h — 15 см о! оси падает короткий световой импульс в виде тонкого луча, параллельного оси. Через какое время этот луч выйдет через отверстие?
28
Справочный материал и решения задач
Законы отражения света
Решения задач 1-5 базируются на законах отражения от плоской границы раздела двух сред. Напомним их: а) луч падающий, луч отражённый и перпендикуляр к границе раздела сред, восстановленный из точки падения, лежат в одной плоскости, б) угол падения (угол между падающим лучом и перпендикуляром) равен углу отра-
жения (углу между отражённым лучом и перпендикуляром). Исходя
из этого можно получить метод построения изображения светящейся
точки в плоском зеркале. Здесь, как и вообще в оптике, нужно твёрдо усвоить основное правило: для построения изображения точки нужно провести как минимум два луча. На их пересечении или на пересечении их продолжений и будет находиться изображение точки. Постро
им изображение точки А в плоском зеркале 3. Для этого проведём (рис. 48) два луча АВ и АС. После отражения от зеркала 3 они пойдут по путям BD и СЕ. Их продолжения пересекутся в точке Ai, которая
и будет изображением точки А. Нам будет казаться, что лучи BD и СЕ исходят из точки Л1-
Принято называть изображение, получаемое как пересечение лучей, действительным, а если пересекаются продолжения лучей, то изображение называется мнимым. Из приведённого построения нетрудно заключить, что изображение Л1 точки лежит симметрично относительно плоскости зеркала 3. (Несложное доказательство этого мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.) Но отсюда нетрудно сделать очень важное заключение, что изображение любого предмета в плоском зеркале расположено симметрично самому предмету относительно плоскости зеркала. Т. е. плоское зеркало создаёт мнимое изображение предмета в натуральную величину, рас
положенное симметрично относительно плоскости зеркала.
1.	При решении задач этого типа наиболее рационально поступать следующим образом: повесим бесконечное плоское зеркало, построим в нём изображение, посмотрим, какие участки зеркала «работают», а остальное «отрежем». На рис. 49 АВ — это наш человек. Тогда А'В' —
его изображение в бесконечном зеркале 3. Оно (это изображение) расположено симметрично относительно плоскости зеркала (ВО = ОВ')
Рис. 49
29
и имеет тот же рост (АВ — А'В'). Но из рисунка видно, что для рассматривания всего изображения человеку хватит обозначенного жирной чертой участка. CD зеркала. Остальное можно убрать. Простейшая геометрия убеждает нас, что CD = 0,5АВ, т. е. следует повесить зеркало в половину роста человека.
2.	Задача решается точно так же, как предыдущая. Решение понятно из рис. 50. Здесь АВ — заднее стекло, А'В' — его изображение в бесконечном зеркале 3. Очевидно, работает выделенный участок зеркала CD. Но тогда из подобия треугольников А'В'О и CDO получаем
А'В' _ Зм CD - 0,5’
120-0,5 п Рис5° CD —----------= 20 см.
О
Аналогично для вертикального размера зеркала
45 _ _3_ h ~ 0,5’
45 • 0,5 3
= 7,5 см.
3.	При решении подобного рода задач нужно проявить некоторую изворотливость при построениях. Пусть ОК — пол, на котором стоит человек АВ (рис. 51). Проще всего изображение и пола и человека построить следующим образом: перегнуть и сложить лист бумаги по прямой ОО' (плоскость зеркала) и на просвет (например, приложив сложенный
лист к оконному стеклу) построить изображение пола ОК' и человека А'В'. Теперь из рисунка видно, что человек может увидеть хотя бы какую-то часть своего изображения (ноги А'), если он будет стоять нс далее точки С. Для расчётов воспользуемся треугольником СОЕ. Очевидно, искомое расстояние ОС = ОС, СЕ = АВ по построению. Но тогда
. С'Е
sin АС'ОЕ"
Из рис. 51 видно, что АСОЕ — 2а, т. е. ОС = Поскольку угол а мал, мы можем заменить sin 2а на 2а в радианном измерении, т. е.
У-.180* = &м.
2а 9,74° • 2 • 3,14
30
Здесь, пожалуй, следует несколько подробнее поговорить о пределах, в которых разумно приближение sin a ss а. Нетрудно убедиться (с помощью таблиц или калькулятора), что приближение достаточно хорошо работает в пределах 0 -=- 30°. Действительно, sin30° = 1/2, а 30° есть 7г/6 = 3,14/6 = 0,52. Существует аналогичное приближение и для тангенсов tga ~ а, но график тангенса идёт вверх более круто, поэтому это приближение работает удовлетворительно в более узкой области 0 -г 10°.
4.	Если вы разобрались в решении предыдущей задачи, то решение этой задачи не составит труда. Как видно из рис. 52 (тем же путём полученного).
АВ	. АВ АВ 1,7 м • 180°
ОА =t8“'	М=1₽‘’Щ 4,87". 3,14
= 20 м.
Рис. 52
5. Это довольно необычная задача, эксплуатирующая обывательское мнение о том, что с помощью такого рода «воронки» можно «сливать» (концентрировать) весь падающий свет на фотоприёмник.
Однако, если применить метод разверток, суть которого ясна из рис. 53, то нетрудно убедиться, что
Рис. 53
тт d 2 см 2 см
Н = -----7-— = -----= -------- — 10 см,
2sin(a/2)	2 sin 6°	2-0,1
т. е. г = Н — L = 5 см. Угол (3 — 30°, так как против него лежит катет, который в 2 раза больше гипотенузы. Откуда </?тах = /3 + f = = 36°. Физически существование предельного угла объяснимо тем, что при каждом последовательном отражении угол падения на противоположное зеркало увеличивается и при достаточно большом начальном угле падения после нескольких отражений угол падения станет больше 90° раньше, чем луч достигнет фотоприёмника и, отражаясь далее луч выйдет из световода через входной его торец.
Законы преломления света
Следующие задачи подвигают нас вспомнить о законах преломления:
а) луч падающий, луч преломлённый и перпендикуляр к границе раздела двух сред в точке падения луча лежат в одной плоскости и б) отношение синуса угла падения а к синусу угла преломления (3 есть величина постоянная для двух данных сред:
sin а
-т—х = л,21 sinp
(1)
31
и называется относительным показателем преломления. Если луч падает из вакуума, то эта величина называется абсолютным показателем преломления среды или просто показателем преломления. Для относительного показателя преломления имеет место соотношение
П2 n2i = —,
где П1 и П2 — абсолютные показатели преломления. Закон преломления удобно (дабы не путаться) записывать в виде nisina = njsin/?, где слева всё относится к среде, из которой падает луч, а справа — к среде, в которую попадает луч. Показатель преломления показывает, во сколько раз скорость света в веществе меньше скорости света в вакууме. Показатель преломления воздуха очень мало отличается от единицы, поэтому если это особо не оговорено, его обычно принимают равным единице (т. е. показателю преломления вакуума).
Весьма важным частным случаем закона пре-
ломления является полное отражение. Пусть свет п2 р / падает на границу раздела двух сред из оптиче- ______
ски более плотной среды на оптически менее плот- / ную (показатель преломления первой среды боль- /а П1 ше, чем показатель преломления второй), как это 7
показано на рис. 54. Согласно закону преломления Рис. 54
sin /3 = sin а. Но если пустить луч под углом а таким, что sin а > , то получим значение sin/З больше единицы, что, разумеется, невозможно. В этом случае, когда для падающего угла sin а > (если вторая среда вакуум или воздух, то sin а > £), свет вообще не попадёт во вторую среду, а полностью отразится от границы раздела. Угол, для которого sin а = (или sin а = i в случае вакуума или воздуха в качестве второй среды), называется критическим углом полного отражения.	s
6.	Луч АВ нацелен в общий центр полушарий, следовательно, он перпендикулярен поверхности малого полушара и, согласно закону преломления, пройдёт её не преломляясь (рис. 55). Далее
sin о п2 R sin/З П1 г ’
г sin а = 2?sin/3.
Отсюда получаем правило построения: из точки В опускаем перпендикуляр на горизонтальную ось и продолжаем его до пересечения с поверхностью шара. Очевидно, ВС = CD = г sin а. Теперь проводим прямую DE, параллельную горизонтальной оси. FE = CD = г sin а = = Л sin/З. Т. е. луч пройдёт через точку Е.
32
7.	Призма будет оборачивать пучок максимального сечения, если верхний луч пойдёт по пути, указанному на рис. 56. По теореме синусов
DC	sin(45° + г')	sin 45° cos г' + cos 45° sin i'
AD	sin(45° — г')	sin 45° cos i' — cos 45° sin i'
cos i' 4- sin i'	\/l — sin2 i! + sin i!
cos i — sin V	y/1 — sin2 i' — sin i'
\Zsnh-1-1’
sin г	sm45 1
Sin! = --- = ----- = --t=.
n n	nv2
DC = h
V2n2-1 + 1 л/2п2 - 1 - 1 ’
ВС = L = DC + BD = DC + h = h	-- = h « 10 см.
л/2п2 - 1 - 1 V5 - 1
Как видим, физика задачи довольно проста. Затруднения могут быть сугубо математическими. Но математика — язык физики и об этом не следует забывать.
8.	Здесь (как и в большинстве задач подобного рода) явление полного отражения подаётся в замаскированном виде, т. е. явно о нём не говорится. Действительно, лучи будут отклоняться тем сильнее, чем больше угол падения а (рис. 57). Но рано или поздно этот угол достигнет величины критического угла полного отражения, и при дальнейшем его увеличении лучи не будут
выходить за сферическую поверхность. Следовательно, размер пятна
33
определяется лучом, соответствующим углу падения о, равному критическому углу полного отражения.
1 sin а = —
п
1
1Д1
Т. е. а = 45°. Но, поскольку луч, падающий под критическим углом полного отражения, преломляется по касательной к границе раздела, то С. АО В — прямоугольный и а = гл/2- Далее очевидно, b = L — а = = 4,82 — 2д/2 = 4,82 — 2,82 = 2. Окончательно R = b — 2 см.
9.	Задача идеологически похожа на предыдущую. Угол падения на грань конуса равен 60° (это следует из условия задачи), tga = R/H = 1/\/3, где а — половина вершинного угла конуса (рис. 58). Т. е. а = 30°. Этот угол больше критического угла полного отражения: sin 60° = \/3/2 = 0,87 > 1/п = — 1/1,5 = 0,67. Следовательно, все лучи отразятся полностью. Но тогда они упадут на противоположную грань под углом 90°, т. е. пройдут её, не преломившись. На экране образуется, как это видно из
рис. 58, светлое пятно в виде кольца. Из геометрии рисунка понятно, ЧТО Г1 = д/З см,
г2 = [АО + (АС - СВ)]\/3 =
1 + д/З—
%/3j
= 2 + \/3.
Тогда площадь кольца S = 7г(г2 —rf) = 4тг(1 + д/3) см2.
10.	Решение задачи понятно из рис. 59. Видно, что после отражения от стенок клина угол падения на противоположную грань увеличивается. Нетрудно получить общую формулу для угла падения на правую грань клина ап = (2п— 1)о; п = 1,2,3.... Рано или поздно этот угол достигнет или превзойдет критический угол полного отражения sinaKp = 1/п = 1/1,41 = 1/д/2; о-кр = 45°. Но уже аз = (6 — 1)10° = 50° > 45°. Следовательно, из клина выйдет всего два луча.
11.	Угол падения на разрез равен 45°, что больше критического угла полного отражения для излучения с длиной волны Ai. Оно полностью
34
отразится и выйдет под углом 90° к первоначальному направлению. Излучение с длиной волны Аг частично пойдёт в прежнем направлении (для него угол падения меньше критического), а частично отразится под углом 90° к первоначальному направлению. Таким образом, из кристалла выйдут два пучка света, расходящиеся под углом 90°.
12.	Задача аналогична предыдущей. Свет не выйдет через противоположную грань, если на границе раздела NaF и ВаО испытает полное отражение. Для этого должно быть
А С 90е — arcsin — = 90° — arcsin0,676 = 90° — 42,5° = 47,5°.
n2
13.	Буква текста испускает (отражённый) свет по всем направлениям в пределах 0° -? 180°. Но, если угол падения света на границе раздела воздух — стекле составляет 90°, то после преломления (рис. 60) он пойдёт под критическим углом полного
отражения окр.
Т. е. весь свет, испущенный буквой, будет в стекле сосредоточен в конусе с углом при вершине 2акр. Вне этого конуса света от буквы не будет. Теперь понятно, как решить задачу (рис. 61). Угол чр — половина вершинного угла того самого конуса. Очевидно, что свет из области AD не попадёт на грань СВ, т. е. эта область через неё не будет видна. Далее математика. sin чр = 1 /п. По теореме синусов
Рис. 61
a	I	I
sin/? 8Н1(90о+^) cos чр'
0 = 45° - чр.
a sin(45° — чр)	sin45° cos чр — cos45° sinчр __ v2
I cos чр
sin
cos чр J '
cos чр
2
или
а у/Ч
7 = У
1 -
sin чр
/2 У
1 -
1
Но I = L/V% и
л/1 - sin2
а 1
y/n2 — 1) '
35
2	(2а —1)а + 1
(2а-1)2 ’
n « 1,5.
Линзы
Теперь мы перейдём к задачам, связанным с линзами. Рассмотрим основные теоретические положения, относящиеся к линзам. (Напомним, что в школьном курсе физики изучаются так называемые тонкие линзы.) Линзой называется оптическая среда, с двух сторон ограниченная сферическими поверхностями (возможно, что одна из поверхностей — плоская; здесь плоскость — предельный случай сферы при R —» оо), с показателем преломления, отличным от показателя преломления окружающей среды. Прямая, проходящая через центры кривизны обеих поверхностей, называется главной оптической осью линзы. Точка пересечения главной оптической оси с линзой (напомним, что мы считаем линзу тонкой, очень тонкой) называется оптическим центром линзы.
Любая прямая, проходящая через оптический центр линзы, называется побочной оптической осью. Если мы пустим на линзу пучок лучей, параллельных главной оптической оси, то после прохождения линзы эти лучи (или их продолжения) соберутся в точке главной оптической оси, называемой фокусом или главным фокусом линзы. Если в фокусе собираются сами лучи, то такая линза называется собирающей или положительной. Если же в фокусе сходятся продолжения лучей, то такая линза называется рассеивающей или отрицательной. Плоскость, перпендикулярная главной оптической оси, и проходящая через фокус линзы, называется фокальной плоскостью. Пучок параллельных лучей, падающих на линзу под углом к главной оптической оси, после прохождения линзы соберется (или соберутся продолжения преломлённых лучей) в точке пересечения соответствующей побочной оси с фокальной плоскостью. Луч, проходящий через оптический центр
линзы, в линзе не преломляется.
Напоминание этих определений достаточно для демонстрации способов построения изображений. Напомним ещё, что расстояние от линзы до фокуса называется фокусным расстоянием.
Итак, рассмотрим способ получения изображения с помощью положительной линзы Л
(рис. 62). Пусть АВ — предмет. Рассмотрим,	Рис. 62
как можно получить изображение точки А. Напоминаем, что для полу-
чения изображения точки в оптике необходимо провести, как минимум,
36
два луча и на их пересечении (после преломления) или на пересечении
их продолжений будет находиться изображение.
При построении изображений, получаемых с помощью линз, чаще всего используют три луча (разумеется, достаточно двух из них). Один из таких лучей, идущих из точки А, это луч, проходящий через оптический центр линзы — он не преломляется. На нашем рисунке это луч АО. Если мы проведём из точки А луч, параллельный главной оптической оси, то после преломления в линзе он должен пройти через фокус линзы (у нас это луч AD).
На пересечений продолжений этих двух лучей и будет находиться изображение А' точки А. Ещё один удобный луч — луч, исходящий из точки А и проходящий через фокус линзы (луч АС). После преломления в линзе оп пойдёт параллельно главной оптической оси. Выбор пары из этих лучей — вопрос удобства.
Рассмотрим ещё два примера. Пусть предмет находится между фокусом и положительной лин-
Рис. 64
зой (рис. 63). Буквы и лучи те же, что и на рис. 62. Мы видим, что в этом случае изображение получается на продолжении пересечений лучей. И, наконец, рассмотрим ход лучей через отрицательную (рассеивающую) линзу. Используя те же самые лучи и буквенные обозначения, мы получаем картину, показанную на рис. 64.
Вернёмся к рис. 62. Посмотрим, чему равно поперечное увеличение Г, которое мы определим как отношение размера изображения к размеру предмета. (Точнее, Г называется поперечным увеличением, так как и изображение и предмет расположены перпендикулярно — «поперёк» — оптической оси.)
Будем, как это принято в школьных учебниках, обозначать расстояние от предмета до линзы через d, от линзы до изображения — а фокусное расстояние — через F. Тогда на наших рисунках OB = d, OB' = f, OF = F. Итак, согласно рис. 62, из подобия треугольников О АВ и О А'В' имеем
А'В' J
АВ d
(2)
Далее CABF COCF, следовательно
ОС А'В' OF F
АВ~ АВ ~ BF ~ d — F’
37
A.ODF - kA'B'F и
_ А'В' _ A'В'	FB' f-F
~ OD ~ AB	~OF ~ F ’	'
Приравнивая (3) и (4), получаем
= или F2 = df-dF-fF + F2-, df = dF + fF.
Разделив обе части на тройное произведение dfF, получаем хорошо вам знакомую формулу линзы
1-1 1
F~ d +7‘
(5)
Совершенно аналогично (проделайте это самостоятельно) мы получаем из рис. 63 (г = 4 =
\ а	г—а	г 1
1-1-1
F ~ d /'
И из рис. 64
F+d F ) -1-1-1 ~F~ d~f
(7)
Здесь уместно вспомнить о мнимых изображениях. Как мы говорили ранее, мнимое изображение получается на пересечении не самих лучей, а на пересечении их продолжений. Следовательно, на рис. 63 и 64 изображения мнимые. Более того, если мы вспомним, что фокус отрицательной линзы это точка пересечения продолжений лучей, то можно сказать, что и фокус отрицательной линзы мнимый. И теперь, если мы посмотрим на формулы (5), (6) и (7), то увидим, что перед мнимыми величинами появляется знак «—». Значит, если мы будем учитывать знаки, то все три формулы (5), (6) и (7) фактически сведутся к одной формуле (5).
Составим теперь очень полезную в применениях таблицу для положительной линзы.
Таблица 1
d	Изображение		
d<F	увеличенное	прямое	мнимое
F <d<2F	увеличенное	перевёрнутое	действительное
d>2F	уменьшенное	перевёрнутое	действительное
38
Если построить аналогичную таблицу для отрицательной линзы (это мы предлагаем сделать читателю самостоятельно), то увидим, что отрицательная линза создаёт всегда мнимое, уменьшенное, прямое изображение действительного предмета. Отсюда можно отметить следующее важное свойство линз: если одиночная линза создаёт прямое изображение действительного предмета, то это изображение мнимое.
Вернёмся теперь к нашим задачам.
14.	Соединим прямой вершины предмета и изображения (рис. 65). Эта прямая соответствует лучу, не преломившемуся в линзе. Следовательно, точка О — оптический центр линзы. Фокус линзы определится, если мы из вершины предмета проведём луч, параллельный главной оптической оси (CD). После прохождения линзы он должен пройти через вершину Е изображения. Точка пересечения этого преломлённого луча (DE) с главной оптической осью и есть фокус линзы.
15.	Построение (рис. 66) аналогично построению предыдущей задачи (и буквенные обозначения те же). Линза, очевидно, рассеивающая. Задачи такого типа весьма популярны на экзаменах, так как разрешимы при любых комбинациях и не требуют от преподавателя излишних уси лий. Можно произвольно задать размеры стрелок, символизирующих предметы и изображения, можно любую из них назвать предметом, а другую — изображением. Задача разрешима при всех вариантах. 1 Fe реберите их.
16,	17. Эти задачи вызывают гораздо большие затруднения, поскольку в предыдущих задачах сразу было ясно, что прямая, соединяющая основание предмета с основанием изображения, — главная оптическая ось. Здесь же это не так. Соединим вершины предмета и изображения и их основания прямыми линиями (рис. 67). Эти прямые соответствуют лучам, проходящим через оптический центр линзы О
39
Если мы теперь как-то найдём ещё какую-либо точку линзы, то сможем определить её положение в пространстве. Для этого пустим луч вдоль предмета. Он проходит через все точки предмета и, следовательно, после преломления в линзе должен проходить через все точки изображения. Но тогда точка С пересечения прямых, идущих вдоль предмета и изображения, есть точка линзы, в которой происходит это преломление. Т. е. линза расположена вдоль прямой ОС. Прямая, перпендикулярная плоскости линзы и проходящая через точку О, есть главная оптическая ось. Теперь нахождение фокуса не должно вызвать затруднений.
18, 19. Решить эти задачи можно разными способами. В частности, можно использовать полученные выше формулы для величины Г увеличения. Но проще всего задачи решаются, если вспомнить, что увеличение, равное единице, получается только тогда, когда предмет находится на расстоянии от положительной линзы, равном двойному фокусному расстоянию. Значит и изображение будет находиться точно на таком же расстоянии. Тогда из графиков на рис. 13 и рис. 14 видно, что для задачи 18 фокусное расстояние F = 2 см, а для задачи 19 фокусное расстояние соответственно F = 5 см.
20. Здесь надо просто порассуждать и вспомнить построения, показанные на рис. 62-64. Если предмет и изображение находятся по разные стороны от линзы, то изображение не может находиться на расстоянии от линзы меньше фокусного. Следовательно, и предмет и изображение находятся по одну сторону от линзы. Но тогда изображение мнимое.
21. Здесь тоже можно обойтись рассуждениями. Но, для наглядности, попробуем решить эту задачу аналитически. Из формулы линзы
1 _ / + d
F fd ’
40
f+d = x, очевидно, есть расстояние между предметом и изображением. Тогда
4; = 7—d2 -dx + Fx = 0.
F (x — d)d
Решение этого уравнения
Лл = 5±
гг2
Разумеется, должно быть
3^	х
----Fx > 0 или — > F.
4	4
Следовательно, минимальное значение х = 4F.
22.	В условии задачи неявно указан тип линзы. Действительно, линза по условию создаёт прямое (а значит мнимое), уменьшенное (Г < 1) изображение. Следовательно, линза отрицательная. Тогда для увеличения имеем
Г- F =.F~f F + d F
Образуем комбинацию
1 F+d F-f „ d-f г+г = “?^+ г =2 +
F ’
Но х = d — / — расстояние между предметом и изображением (проверьте по рис. 64). Тогда
Р+г = 2 + ?;	о^ + о’5 = 2-4
Откуда F — 10 см.
23.	Здесь всё то же самое. Но Г = 2 > 1. Значит линза положительная. Тогда
r =	= F + r = 2 + V = 2 + ?;
24.	Поскольку изображение получают на экране, то оно действительное. Можно считать, что расстояние от объектива до экрана равно длине зала. Фильм демонстрируется с увеличением
„	3,6 м	о	„	4,8 м „9
Г -  -------=— = 2-102 или Г = - —— = 2102.
18-10-3 м	24-10-3 м
41
Но
отсюда
г f + F.
F ’
199F = 20 м;
2-Ю2 =
20 + F F
F — 9,95 см « 10 см.
25.	Как следует из рассуждений решения задачи 20 и Таблицы 1, изображение мнимое. Но линза может быть как положительной, так и отрицательной. Используя решения задач 22 и 23, мы можем написать:
1	х
г+г = 2 + Р
согласно условию
1 т. „	0,5F
г+	+ р >
т. е. Г2 — 2,5Г + 1 = 0; Г1 = 2 (положительная линза) и Гг = 0,5 (отрицательная линза).
26.	Здесь тоже нужно порассуждать и выяснить, с какой линзой возможно выполнение условий задачи. Изображение для отрицательной линзы и действительное изображение для положительной линзы будут лежать в фокальной плоскости только в том случае, если предмет (канцелярская кнопка) лежит в бесконечности. Но тогда увеличение будет стремиться к нулю и едва ли ь этом случае изображение будет иметь Диаметр 2 см. Остаётся единственная возможность — мнимое изображение для положительной линзы. Используем формулу для увеличения Г = Но по условию задачи / = F. Таким образом, Г = 2 и диаметр кнопки 1 см.
27.	Здесь также существует единственная возможность. Но попробуем определить её формально. Пусть d = F.
а)	Положительная линза, действительное изображение

оо.
Явно не подходит.
б)	Положительная линза, мнимое изображение
F
F — d
Г —
—» оо.
То же самое.
42
в) Отрицательная линза
F F _ 1
F + d ~ 2F~ 2'
Значит высота предмета 1,4 см.
28.	Если бегун за время экспозиции переместился на расстояние S (рис. 68), то размытость изображения на плёнке составляет s. По условию d = — 10 м, F = 5 см,
- =Г = ——
S d-F
S = F и 2-10 1 м, Г
Рис. 68
^ = 10^. 210-2 с
29.	Если вы решили предыдущие задачи, то будет уже совсем нетрудно понять, что условие задачи выполнимо только в том случае, когда изображение мнимое. Посмотрите на рис. 69. Он как раз отображает условие задачи. Но что здесь предмет, а что изображение? Как видим, возможны оба варианта. (Вспомним задачи 14, 15 и сказанное после их решений.) Тогда мы можем на-
писать:
х h F — х F ~ Н = F-f-rr’
F = rr(l + с/2) ~ 9,7 см.
30.	Передвигая линзу между предметом и экраном (при неизменном расстоянии между ними) можно два раза получить изображение предмета. Снова используем уже испытанный математический приём
т. F f -d-F F
Образуем комбинацию
1	/ + d — 2F_ L
f ~ F " F “ ’
где L = / + d — расстояние между предметом и экраном. Отсюда
следует
L = (Г + I)2
F Г
V =
F
43
По условию £ = 0,09. Тогда Г2 — 82Г/9 + 1 = 0 и Г1 = 9, Г2 = |.
Следовательно, = 81.
31.	Для действительного изображения имеем
Для мнимого
Г =-----—-----.
F - (d - 12)
(Очевидно, линзу переместили на 12 см к предмету.) Тогда, поскольку увеличение одно и то же, имеем
d-F = F-d+12; d — F = 6.
Таким образом,
F	F
Г = 1,5 = -—— = —,	отсюда F = 9 см.
d — г	6
32.	Снова воспользуемся тем же выражением для увеличения. Здесь, как это нетрудно видеть, линза положительная. (Проверьте, что для отрицательной линзы условия задачи невыполнимы. Правда нужно помнить, что у отрицательной линзы «всё наоборот»: передний фокус сзади, а задний спереди.) Но вот каким будет изображение — действительным или мнимым — неведомо. Рассмотрим оба случая.
а)	Изображение действительное:
г_ F -f~F
d — F F
б)	Изображение мнимое:
£ _ Г?
г2 = 5—~ =9;	Г = 3.
а — г
F
Г =
F — d F ’
но f + F и есть расстояние от заднего фокуса до изображения. А тогда
Г2 = -  -  - 9
F - d ~ У’
и снова Г = 3.
33.	Решение почти повторяет решение задачи 31. Для действительного изображения
44
а для мнимого
г =______.
F - (d - F)
Тогда
F
d — F = F — d + F; d=l,5F и	Г=-——- = 2.
1,ог — г
34.	Так как изображение действительное, то линза положительная.
Снова
Г- F ^f~F-d-F F ’
F =
f-d = F(r-^-,
f — d 3
Г-Г-1	2-0,5
= 2 cm.
35.	Поскольку изображение прямое, то оно мнимое, а так как увели чение больше единицы, то линза положительная (ещё один пример «зашифрованное™» типа линзы в условии задачи). Тогда
г _F + f_ F
F	F — d
Расстояние между изображением и предметом равно f — d (рис. 63). Получаем
/_^+2 = Г+^; f—d = (Г + Г-1 - 2) F = ( 5 + | - 2 ) 5 см = 16 см. -F	1	\ О J
36.	Здесь мы уже не будем разжёвывать решение. Отличие от задачи 35 только в том, что изображение действительное.
f-F F
Г = --=----—;
F d-F'
V=r-r-1;
Г = | при f — d < 0 и Г = 3 при / — d>0.
37.	Методика решения понятна из предыдущих задач. Так как изображение мнимое и уменьшенное, то линза отрицательная (снова «расшифровка»).
„ F-f F
Г =---- —----:
F F + d’
-—- = Г+Г-1 - 2; F = —-—г--= 10 <:м-
F	' Г + Г-!-2
45
38.	Поскольку изображение получается на экране, то оно действительное и линза, положительная. Тогда (см., например, решение задачи 30)
L = (Г + 1)2
F ~ Г ’
где L -- расстояние между предметом и экраном. Так как при F) =12, Г1 = 9, а при неизвестном Р2, Г2 — 3, мы можем написать
к = (Г1 + 1)2.	к = (гз + к
Fi Г1	F2 Г 2
Поделив одно на другое, получаем
Г2 _ (Г1 + 1)2Г2.	(Г1+1)2Г2	12-100-3
- Г1(Г2 + 1р; ^-^(^ + 1)2- 9-16 =25см-
39.	Напомним, что оптической силой называется величина D — у при условии, что F выражено в метрах. Оптическая сила измеряется в диоптриях. Задачу (впрочем как и большинство оптических задач) можно решить различными способами. Опишем одно из решений. Формулы линзы для положительной и отрицательной линз соответственно имеют вид:
= + и -Р2| = ~^.
a Ji	«12
Но, поскольку всегда Г = ^, а по условию Г и d в обоих случаях одни и те же, то и Д = f2. Но тогда, сложив обе формулы линзы, получаем |А| — |D2\ = 2/cZ; d = 0,5 м.
40.	Решение то же самое, что и у предыдущей задачи |.©i| — |Л2| ~ = 2/ci = 1 дптр.
41.	Очевидно Г1 = кк ^2 = а+р- По условию Г1 = Г^1. Тогда d = = Fy/2. = 12 см.
42.	Снова, как и в задаче 38,
£ = (Г + 1)2	Ь1=(Г1+1)2Г2
F~ Г И Т2 ~ Г1(Г2 + 1)2’
Г2 - 5,2Г2 + 1=0;	Г'2 = 5, Г£ = |.
Почему возможны два решения мы уже говорили в решении задачи 30.
46
43.	Поскольку по условию изображение действительное, то линза положительная. Из формулы линзы
± - 1 1
F ~ d+ f
для оговорённого в условии расстояния d = = 3F получаем f = ZF/2. Из рис. 70 очевидно dtga = /tg/З. Но /3 = 90 — а, тогда
dtga = -—;	tg2a=- = -;
tga	d 2
Рис. 70
a rs 35°.
44.	Решение аналогично решению предыдущей задачи. Так как
Г = ~,	а 7=tg2/?’
d	d
то Г - tg2 /3.
45.	Решение иллюстрирует рис. 71, где h = D[2\ D — диаметр линзы;
h d=ter-
h a d tg §	1
7~tg2; 7"^7~г'
Для отрицательной линзы, очевидно, будет
_d = tgf
fl tg7-
Напишем снова формулы для положительной и отрицательной линз (учитывая, что по условию из положительной линзы выходит расходящийся пучок):
_1 - 1 - —
F~d~f И F~d f2
Сложим их:
2_£	d	d _ tg §	tg f
d fi	f2 fi	h	tgT	tgT'
Тогда
/3	a D a
tB2=2tg7-t6- = 7-tB-.
47
46.	Изображение прямое, уменьшенное. Следовательно, линза отрица
тельная:
F
~ F + d
2
3’

Т. е. положительная линза, будучи поставлена на то же место, даст мнимое изображение (см. Таблицу 1):
F
Г -	.. F . 2
2 F - d F — F/2
Очки
Далее идут задачи, связанные с применением очков. К сожалению, в большинстве учебников эта проблема освещается в значительной мере описательно. Между тем, достаточно лишь чётко уяснить себе роль очковых линз, чтобы производить соответствующие расчёты. Человек, носящий очки, рассматривает не сам предмет, а его изображение, создаваемое очковыми линзами. Это изображение должно находиться на таком расстоянии, с которого данному глазу удобно его рассматривать. И ещё, это изображение, само собой разумеется, должно быть прямым, а, следовательно, мнимым (см. Таблицу 1). Этого вполне достаточно, чтобы понять, какие очки и почему должен носить человек. Поясним это двумя примерами.
Человек резко видит без очков предметы, находящиеся от него не дальше 0,5 м (близорукость). Какие очки следует ему прописать, чтобы он мог любоваться звёздами? Мы уже знаем, что линзы очков должны создавать мнимое изображение предметов на расстоянии не более 0,5 м. Тогда, напишем формулу линзы
Как мы договорились, f = 0,5 м, а звёзды бесконечно далеки. Тогда
„111
= — =----— = -2 ддтр.
F оо 0,5
Т. е. очки должны иметь отрицательные линзы с оптической силой D = — 2 дптр.
Другой случай. Человек резко видит предметы, находящиеся не ближе 1 м от него. Какие очки ему необходимы для того, чтобы нормальным образом читать газету? Прежде всего расшифруем, что значит «нормальным образом». Человек чисто физиономически устроен
48
так, что при чтении ему (в среднем) удобно держать книгу или газету на расстоянии ~25 см от глаз (это определяется длиной рук и удобством). В обиходе это расстояние не совсем удачно называется расстоянием наилучшего зрения. Таким образом, в данном случае линзы очков должны создавать прямое (а, стало быть, мнимое) изображение предмета, расположенного на удалении 25 см от глаз, на расстоянии и 1 м. Снова напишем соответствующую формулу линзы
1 _ 1 _ 1 1__________________1
0,75
----= +3 дптр. 0,25
Т. е. этот человек при чтении должен одевать очки с оптической силой +3 дптр.
47.	После приведённых рассуждений задача не должна вызывать затруднений. Действительно, раз человек при чтении носит очки D = = —4 дптр, то без очков ему всего удобнее рассматривать предмет, расположенный на расстоянии, определяемом из формулы
4 = —-—1-4; f = - м = 12,5 см.
0,25 f f 0,25	’ J 8
„11 ,11
D = - - -, или - 4 = —г - -d J	< .
Следовательно, плоское зеркало надо расположить на расстоянии I — = //2 = 6,25 см.
48.	Человеку, очевидно, удобнее всего рассматривать предметы, находящиеся на расстоянии 50 см (напомним, для плоского зеркала рассто яние между предметом и его изображением вдвое больше расстояния между зеркалом и предметом). Тогда
1111 1
D=F'5-7 = o^-o^ = +2№rp-
Лупы
В четырёх последующих (более сложных) задачах используется лупа. Лупа — это положительная линза («увеличительное стекло»). Очень часто на оправах лупы стоит, так называемая, кратность увеличения. Напомним, что это такое. На лупе пишется, так называемое, угловое увеличение. Это есть ни что иное, как отношение тангенса угла, под которым видно
изображение, к тангенсу угла, под которым виден предмет. Но размер
изображения зависит от взаимного расположения предмета и линзы.
49
Поэтому возможно, вообще говоря, любое увеличение. Правильным считается такое использование лупы, когда глаз не утомляется при работе с ней.
) Но наши глаза не утомляются, когда они аккомодированы на бесконечность. Именно поэтому глаза отдыхают, когда мы смотрим на небо. Поэтому наиболее рационально помещать предмет в фокальную плоскость лупы. Тогда он будет изображаться с бесконечным увеличением, но и само изображение будет находиться на бесконечности и рассматривая это изображение глаз не будет утомляться. Договорились за увеличение лупы принимать отношение тангенса угла, под которым видно изображение предмета, помещённого в фокус лупы, к тангенсу угла, под которым виден этот предмет, находящийся на расстоянии наилучшего зрения (25 см). Как видно из рис. 72, тангенс угла, под которым видно изображение равен
h ^a=FJ
где h — высота предмета. Таким образом, угловое увеличение лупы (то, что обозначено на её оправе) есть
h/F _ °>25
“ h/0,25 ~ ~F~'
49.	Очевидно, лупа, используемая часовщиком, имеет фокусное расстояние, определяемое формулой
25 см 7,	25 пг
4 = ———; F = — = 6,25 см.
F	4
Поскольку человек обычно носит очки с линзами D = — 8 дптр, то он р.зко видит без очков предметы, находящиеся не ближе расстояния /’ определяемого из формулы
- 7 = — - 7 = -8;	/ = | м = 12,5 см.
d f оо f	8
Таким образом, когда часовщик приставляет к глазу лупу, последняя должна создавать изображение предмета, находящееся не далее 12,5 см
от глаза. Но
г _ f + F _ 12>5 + 6>25 _ ч
F 6,25
Следовательно, часовщик видит изображение деталей часов с трёхкратным увеличением.
50
50. Снова
„	25 см 25 г
F = -g- = T=5cu-
Далее
f I р	£4-5
или 3=^4—; / = 10 см.
F	5
И линзы его очков имеют оптическую силу
1 1
0,1
— —10 дптр.
51.	Из условия можно понять, что точно пятикратное увеличение ювелир получает с лупой 5х. Эта лупа имеет фокусное расстояние
Г = - или 5 = —р—; f = 20 см. F	5
Таким образом, его очки имеют линзы с оптической силой
^=4=_^=~5дптр-
52.	Задача, обратная предыдущей.
D = -- = -6 дптр, f = - м. / 6
Г = АХ==ЦД = ^; / + F = 0,25
53.	Как это видно из рис. 73, освещённость увеличится в заштрихованной области — туда попадает как излучение прошедшее мимо линзы, так и часть лучей, преломившихся в линзе. Площадь этой области равна S = тг(Д2 - г2), где г — радиус линзы. Из подобия треугольников
- = ^; R = 4r; S’= 7г((4г)2 — г2) = 15тгг2,
51
т. е. 15тг см2 = 15тгг2. Тогда г = 1 см. Диаметр линзы равен 2 см.
54.	Задача решается аналогично предыдущей. Нетрудно сосчитать, что изображение источника будет находиться на расстоянии F/2 от линзы. Тогда освещённость увеличится в указанной на рис. 74 области, в которую приходит свет как от самого источника, так и от его изображения. S = тг(7?2 — F2). Снова из подобия треугольников
Д1
г
2F
F ’
Ri = 2г и
д2
г
1,5F
0,5F
/?2 = Зг;
S = тг(9г2 - 4г2) = 5тгг2 = 55линзы.
55.	Для положительной линзы источник находится на двойном фокусном расстоянии. Следовательно, его изображение также будет находиться на двойном фокусном расстоянии. И крайние лучи пойдут так, как это показано на рис. 75. Для отрицательной линзы источник находится в её фокусе. Следовательно, его изображение находится на расстоянии F<2./2, т. е. попадает в фокус первой линзы. Крайние лучи
52
через отрицательную линзу пройдут так, как это показано на рисунке. Наименьший размер пятна на рисунке выделен. Из очевидного подобия треугольников имеем, обозначив D — диаметр пятна, S — диаметр положительной линзы, s — диаметр отрицательной линзы,
£ - 2F1 ± _ F1 D — о R Е) "Ь о
Откуда, исключив а, найдём D = 1,5 см.
56.	На рис. 76 представлена (разумеется в сильно увеличенном виде) ситуация, описанная в задаче. Пусть лучи сходятся в точку на расстоянии /о- Но из-за конечной разрешающей способности плёнки она (после проявления) почернеет в некоторой области с радиусом г. (Так называемое зерно плёнки.) Это означает, что засветится одна и та же область, будут ли лучи точно сфокусированы на расстоянии /о, или они будут сфокусированы в любую точку в области /14- f2- Здесь R — радиус открытой части линзы. Как нетрудно видеть из рисунка,
г _ /о - /i r_ = h - /о
R ~ fi ’ R ~ f2 ’
Отсюда
2 _ 1	1
/о	/1	/2
Используя формулу линзы, последнее соотношение легко привести к виду
2 do
Из чего следует
42 = 2dTZ =14 “•
57. Если вы разобрались в предыдущей задаче, то решение этой и двух последующих не должно вызвать затруднений.
2 _ J_ do di d2 ’
58.
2 _	J_
“ di + ~dz ~ d{ + d'2 ’
1 1
Ф +dz

do =-------j- = 10 m.
1 + ^ di
1	1	1	1	n ,/
— jл л7 — O’ ^2 ~ °0-
6^2	<*i	$2	f/j
53
59.
2 _ J_ 1 ft ~ 7 + ft;
1-1 1_ - 1 1 (1 1A
L~F~7~F~2\7 + 7j
L = 512 cm.
Рис. 78
60.	Как видно из рис. 77, объёмное изображение кубика имеет вид усечённой пирамиды. Её объём равен
V= —h(a2 + l2 + al)
3
(обозначения понятны из рисунка). По формуле линзы
1 .	1	,1. „ F(2F + l)
F 2F + 1 S' F + l
F	Fl
° = Г ’1 = 2F + Z-F U = F + T
h = 2F—S = -7^-; F + l
V = -I3——______-___+ 1 + -f—
3 F + l [(F + Z)2 F + l
r.e.V< I3.	> .
61.	Решение аналогично решению предыдущей задачи и понятно из рис. 78.
1F
3 2
62.	Здесь речь идёт о так называемом продольном увеличении, т. е. об увеличении предметов (или их частей), расположенных вдоль главной оптической оси. Попробуем вычислить его. Это пригодится нам при решении многих последующих задач. Пусть АВ (рис. 79) — предмет, лежащий вдоль главной оптической оси, А’В1 —
_ d2_£| h
Л в| di. f2 |А' в1
Рис. 79
54
его изображение. Запишем формулу линзы для точек А и В. (Для определённости положим, что линза положительная, а изображение действительное. Остальные варианты предлагается читателю исследовать самостоятельно.)
1-2. 2.	2-2. 1
F~d2 + f2’
1	1 _2. 2.. 2__2_-2_________2.
di	fi d2	/2 ’ di d2	fi ’
d2 — di _ fi — f2	/i — /2 _ /1/2
did2 fif2 ’	d2 — di did2
Ho d2 — di~ длина предмета, a fi — f2 — длина изображения. Если мы обозначим продольное увеличение
« — f1 ~~ fa
Р d2-di
и вспомним, что поперечное увеличение
то получим очень важную формулу
13 = ГА-ГВ.	(8)
Т. е. продольное увеличение равно произведению поперечных увеличений на концах отрезка.
Теперь нетрудно решить и нашу задачу. Здесь ключевыми являются слова «очень маленький». Т. е. толщина предмета весьма незначительна. Следовательно, мы можем положить Л < d и тогда поперечное увеличение левой и правой стороны предмета из-за этого практически одинаково. Тогда Г2 = (3 = h'/h = 4 и Г = 2.
Проделав упражнение, о котором сказано чуть выше, читатель поймёт, что изображение может быть как прямым, так и перевёрнутым.
63.	Разумеется, для того, чтобы изображение стало резким, нужно передвинуть предмет. Поскольку изображение получено на экране, то оно действительное. Тогда
f - F
г = Цт-; / = Г(Г + 1);
Г
А/ = Л - /2 = F(Ti - Г2).
55
Таким образом, F = 15 см.
64.	Задача аналогична предыдущей. Г =
F d-F’
Ad = di — d2 — F
1 \
F = 5 см.
65.	Воспользовавшись введением к решению задачи 62, получаем
/г — /1 = Г1Гг^1 — d2) = 8 см.
66.	Практически то же, что и в решении задачи 65. Г2 = -j-= 4.
4Г1
67.	Zi =	= 2 см.
ГЛ
68.	Г2 = А- = 0,5.
<111
Системы линз
Теперь мы переходим к системам линз. Пока рассмотрим частный случай, когда вплотную друг к другу приставлены две положительные линзы Лг и Л2 (рис. 80). Остальные возможные комбинации предлагается просчитать по аналогии читателю. Пусть фокусное расстояние первой линзы F, второй — F2. Найдём фокусное расстояние такой системы. Для
Рис. 80
этого, как обычно, пустим слева пучок лучей, параллельных главной оптической оси. Если бы не было линзы 2, он бы сошёлся в фокусе Fj первой линзы. Эта точка является источником для второй линзы*' Но источником мнимым! (От действительных источников идут расходящиеся пучки.) Напишем формулу линзы для этого случая:
1 _ 1 1
f2 ~“d + 7
(знак «—» перед первым слагаемым показывает, что источник мнимый). Но d = Fi, a f = F — фокусному расстоянию системы (в этой точке сходятся лучи, падающие на систему параллельно главной оптической оси). Таким образом,
~ =	+ ~ или D = А 4- D2.	(9)
г	Г2
56
Т. е., если две тонкие линзы вплотную прижать друг к другу, то оптическая сила полученной системы равна сумме оптических сил линз. (Ещё раз предлагаем исследовать читателю различные комбинации липз и убедиться в справедливости для них формулы (9).)
69.	Изображение увеличенное, но не сказано какое: действительное или мнимое. Придётся рассмотреть оба случая.
а)	Изображение действительное.
Г!
F d-F'
d = F
= *F. 3
Когда приставили вторую линзу, фокусное расстояние стало Fi = F/2, т. е. di = 8F1/3 > Fi и полученное изображение будет действительным (Таблица 1). Тогда
F
Г —_2__—__£_—______= 06
d-f 2d —F |F — F ’
б)	Изображение мнимое. Тогда
F	2
=	d-3F-
После приставления второй линзы d = 4F1/3 > F\ и изображение становится действительным (Таблица 1). Следовательно,
Г —	2	— Ч
d-£ “	2
70.	Свет проходит через линзу, отражается от зеркала и снова проходит через линзу. Следовательно, приставление к линзе плоского зеркала эквивалентно приставлению вплотную к линзе другой, точно такой же линзы. Расстояние от предмета до одиночной линзы и до системы линза+зеркало неизменно. Увеличение также одно и то же. Но Г = = f/d, следовательно, одинаковы и расстояния до изображения.
Но фокусное расстояние линзы вдвое больше, чем фокусное расстояние системы линза+зеркало. Легко увидеть, что оба изображения не могут быть одновременно действительными или одновременно мнимыми. В самом деле, если изображения оба действительные, то
Г1 =
Fi d-F/
Г2 =
F2 d —F2’
57
<	и при Г1 = Г2 должно быть Fi = F2. Аналогично, если оба изобра-
жения мнимые. Остаётся случай, когда одно изображение мнимое, а другое действительное. Поскольку Fi > F2 = Fi/2, то изображение, создаваемое одиночной линзой мнимое, а изображение, создаваемое системой линзы+зеркало — действительное. (Для мнимого изображения должно быть d < F для действительного d> F (Таблица 1).) Тогда
F	F/2
Г1=г^г Г2=^ Г1=Г’; d=lFi Г = з.
F F/2
F — d ~ d-F/2'
71.	Рассуждения абсолютно те же, что и в предыдущей задаче. Такой же и ответ: Г = 3.
2
72.	То же, что и в решении задачи 70. d = — F — 6 см.
3
73.	Поскольку увеличение, создаваемое отрицательной линзой, равно 0,5, из выражения
нетрудно сосчитать, что d = F2. Для положительной линзы, создающей мнимое изображение
F
F — d'
> F1 d = T
Согласно формуле (9) для системы линз
1 _ _L
F ~ Fi + F2'
FiF2
F2 — Fi
2d2 d— 2d
= -2d.
T. e. система линз эквивалентна отрицательной линзе с фокусным расстоянием 2d. Тогда
F _2d _ 2
~ d-F ~ 2>d ~ 3’
74.	Поскольку система создаёт прямое уменьшенное изображение, она эквивалентна отрицательной линзе. Значит

d
" F=-
58
Для одной отрицательной линзы
0,2 = Гх = 7-^-; Fi = 7.
’ d + F/ 4
Тогда для системы линз имеем (F2 — фокусное расстояние положительной линзы)
— = —----—; d = 2F2.
F F2	Fi
Следовательно, увеличение будет равно 1.
Системы линза + зеркало
Далее мы будем рассматривать системы соосных, но разнесённых в пространстве линз или разнесённые системы линза+зеркало. Здесь трудно дать общие рецепты решения задач. Обычно их решают последовательно: изображение, создаваемое первой линзой, рассматривается как предмет для второй линзы и т. д.
75.	При решении этой задачи многие z дщ Ад абитуриенты шли по пути довольно гро- j— < моздких вычислений. Разумеется, задача !	х^
вполне разрешима аналитически, но го- А'А	х. 7~
раздо нагляднее (а это всегда ценится на	X
экзаменах) идти путём простых рассуж-	,,	, X
дений. Наша система линз изображена на
рис. 81. Пустим из вершины предмета В	Рис. 81
луч ВС, параллельный главной оптической оси системы. Его расстояние от оси не зависит от того, где расположен предмет. Этот луч пройдёт через систему линз и его пересечение с любым другим лучом, испущенным точкой В и также прошедшим через оптическую систему, даст изображение этой точки. Но луч ВС после прохождения системы может пойти, приближаясь к оси (1), удаляясь от неё (3), или параллельно оси (2).
Очевидно, что только в том случае, когда он пойдёт параллельно главной оптической оси, точка пересечения его с любым другим лучом будет удалена от оси системы на расстояние, не зависящее от положения предмета (что и оговорено в условии задачи). Но луч, параллельный оптической оси, после преломления в линзе пройдёт через её фокус. А для того, чтобы он после преломления во второй линзе пошёл параллельно оси, нужно, чтобы он прошёл через фокус и этой линзы. Т. е. фокусы линз должны совпадать. Иначе говоря, расстояние между линзами должно быть L = Fi + F2.
59
Если у вас склонность к аналитическим решениям (а такие простые рассуждения вас не убеждают), приведём кратко одно из них. Обозначения стандартные: Г1 — увеличение первой линзы, Г2 — увеличение второй линзы, di — расстояние от первой линзы до предмета, /1 — расстояние от первой линзы до создаваемого ею изображения, с?2 = L — /1 — расстояние от этого изображения, (которое является предметом для второй линзы, до второй линзы,) L — расстояние между линзами. Общее увеличение системы равно Г = Г1 • Гг, тогда
г = fl~F1. F2 =	Л-^1
Fi dz ~ Fz Fi L — fi — Fz
Легко видеть, что Г = const, если L = Fi + Fz-
76.	Понятно, что линза создаёт изображение самой лампы и изображение её отражения в зеркале. Оба эти изображения мнимые, так как они прямые (см. Табл. 1). А поскольку они увеличенные, то линза положительная. Тогда
F	F
Г1 -------;	Г 9 =----------
d — F 2 2x + d — F'
где х — расстояние от лампы до зеркала. Легко понять, что Г2 > Г1-(Отражение лампы в зеркале находится дальше от линзы и ближе к фокусу, чем сама лампа.) Значит Г2 = 2Гх. Откуда х — (F — d)/4.
77.	Задача достаточно незатейлива. Луна находится очень далеко. Поэтому её изображение в обоих случаях лежит в фокальных плоскостях линз. А из того факта, что размеры изображений одинаковы, следует, что фокусные расстояния линз (по модулю) одинаковы. Теперь поставим обе линзы так, как это сказано в условии. Отрицательная линза создаёт изображение Луны перед собой (!) на расстоянии F. Это изоб* ражение является предметом для положительной линзы. Но оно находится на расстоянии 2F (F от положительной линзы до отрицательной + F от отрицательной линзы до создаваемого ею изображения). Следовательно, положительная линза «изобразит это изображение» с увеличением 1. Т. е. диаметр результирующего изображения будет I.
78.	Нетрудно попять, что зеркало 3 находится в фокальной плоскости линзы Л. Действительно, если мы пустим нижний луч (рис. 22) в обратную сторону, то он пойдёт по своему прежнему пути и встретится на зеркале с верхним лучом. Но параллельные лучи после линзы сходятся в фокальной
Рис. 82
60
плоскости. Как видно из рис. 82,
x = Ft,ga; L = 2(h+x); F =
ь Л
2~h) ctga.
79.	Мнимое изображение предмета, создаваемое линзой, отражается в зеркале (зеркало «видит» предмет через линзу). Это отражение является предметом для линзы. Изображение имеет увеличение Гх = — F/(F — d) и находится на расстоянии
f dF
F-d
от линзы. Расстояние от линзы до отражения в зеркале cZs = 2а+Д. Отражение в зеркале отображается линзой с увеличением Г2 = F/ (d2 F) (по условию получается действительное изображение). Общее увеличение есть
F2
_ F
г - 1 • г2 -	+ Л _F) - 7’
Подставляя сюда значение /х, находим
F а~ 2’
80.	Задача аналогична предыдущей, только а = F. Тогда
F2
Г =------------т?-----= 1
(F-d)(2F+^-F)
и не зависит от d. Т. е. увеличение не изменится.
81.	Рассуждая точно так же, как и в решении задачи 70, мы должны придти к выводу, что одно изображение предмета (в нашем случае изображение самого предмета в линзе) мнимое, а другое (изображение! линзой отражения предмета в зеркале) — действительное. Для мнимого изображения имеем
где d — расстояние от предмета до линзы. Для действительного
2 2a — d — F'
где а — расстояние между линзой и зеркалом. Так как Г] = Г2, то F — d — 2a — d — Fita=F.
61
Линза «видит» своё отражение в зеркале. Это отражение является для неё предметом. Но оно находится на расстоянии L = 2а = 2F от линзы и, следовательно, отображается линзой с увеличением 1.
82.	Если вы разобрались в решении предыдущей задачи, то ответ сможете написать сразу: а = F.
83.	Пусть а — угол, под которым Солнце видно с Земли (угол этот, очевидно, мал). Тогда изображение, Солнца, получаемое в первой линзе (Л1), расположено в её фокальной плоскости и имеет размер Si = aFi. Увеличение, создаваемое второй линзой (Л2), равно S2/S\ = = f/d (рис. 83). По формуле линзы
_1__1 1
F~ d +Г
(знак «—» перед 1/d получился из-за того, что Si — мнимый источник). Тогда так как d = Fi — I,
(-F2^Fi-l\
J F1-F2-I ’
S2 = aFi 3 = a a
Fx(-F2) Fi — F2 — I
Одиночная линза даст изображение Солнца, размер которого S, равен aF. Приравнивая S и S2, получаем
Fi(-F2) = 20(—10) Fi - F2 - I 20-10-15
= 40 см.
84.	Изображение, создаваемое отрицательной линзой, является предметом для положительной линзы. Но положительная линза создаёт действительное изображение предмета тогда, когда расстояние от линзы до предмета d2 > F (см. Табл. 1). Следовательно, изображение, создаваемое отрицательной линзой, должно находиться перед ней на расстоянии не меньшем, чем 5 см. Т. е. (сосчитайте самостоятельно) di должно быть больше F/2 (d\ — расстояние от отрицательной линзы до предмета).
85.	Пусть F = Fi = |F2|. Совершенно ясно, что линза Л2 (рис. 84) будет создавать мнимое изображение, если изображение, создаваемое линзой Л1 (являющееся предметом для линзы Л2), лежит слева от линзы Л2. Но в области между линзами линза Л1 создавать изображение не может. Создаваемое линзой Лх изображение будет лежать слева от линзы Л2, если расстояние от Лх до предмета di < F. Это результат, лежащий на поверхности.
62
Линза Л1 может создавать изображение, которое, не будь линзы Лг, находилось бы за фокусом линзы Ль Это изображение является мнимым (!) источником для линзы Лг- Тогда мы должны записать формулу линзы для случая, когда отрицательная линза создаёт мнимое изображение мнимо
го источника:
111 111
—— —г- — т- ’ или	-Ь —г~ -
F dz fz	F d-z fz
T. e. изображение будет мнимым, когда в последней формуле fz > 0. Итак,
1 =	1	+ 1 f =
F ft-F fz' 12 fi~2F ’
Изображение будет мнимым, когда Д > 2F, что соответствует F < d < 2F. Объединяя оба результата, получаем ответ d < 2F = = 10 см.
86.	Кроме всего прочего, эта задача показывает, что не всякую систему двух линз можно заменить одной эквивалентной. В самом деле, для действительного предмета никакая одиночная линза не может дать перевёрнутое мнимое изображение.
Давайте снова порассуждаем. Отрицательная линза не может создавать перевёрнутое изображение. Следовательно,, перевернуть изображение должна положительная линза, т. е. она должна создать действительное изображение (Табл. 1). Если положительная линза создаёт изображение в пространстве между линзами (а это, как нетрудно сосчитать, возможно при d > 15,23 см, то мы можем записать:
Fi
r+ = T^F;	Д = —^-Fi;	Г_ = —dz = L-fr.
а — .pi	а — ji	az + '2
И по условию должно быть Г = Г+Г_ > 1. Т. е.
________FyFz______
(d-F^fFz + L-^r)
___________F\Fz___________
dFz — dL — Fi Fz — Fi L — Fi d
Откуда d < 16 см. Или, вспоминая, что Д < L, получаем 15,25 < d < 16. Но остаётся ещё один случай, когда первая линза создаёт изображение за второй. Это изображение является мнимым источником для второй
63
линзы. Этот случай рассмотрен в решении предыдущей задачи. И мы можем написать:
Г+ =
Fi d-F/
F>
Тогда
A -- A Ji	С" -
(d-F/^-L-F,)
_____________F1F2_________
dFi — dL + LF\ — dF2 + F\F2
Откуда d > 11. Объединяя оба результата, окончательно получаем: 11 <d< 16.
87.	Поскольку di = 15 см > Ft = 5 см, то первая линза создала прямое изображение, она должна изображение, создаваемое первой линзой (являющееся предметом для второй) перевернуть. Это можно сделать, если d2 = L — fi > F2. Но
/1 =	=7,5 и L > 10,5 см.
а —	10
Но есть и второе условие — изображение должно быть увеличенным. Следовательно,
Fi	Fo
Г1 = д-^; Г2 = --^; L = f1+d2-, Г = Г1Г2>1
<21 — г	«2 _ г
ИЛИ
Fa F?	( Fl	\
----- * 2 -----=-г > i; Ь<^2 Н-4 + 1 +й = 12см. *
(di-Fi)(L-/i-F2)	\di-F	J
Таким образом, 10,5 см < L < 12 см.
88.	Отрицательная линза всегда создаёт прямое изображение. Это изображение (являющееся предметом для положительной линзы) должно лежать между положительной линзой и её передним фокусом (для того, чтобы получить прямое изображение). Тогда
F2
Г — F1  Г — F2 . Л _ Г I f г _ rflF1 " Fi+d’ +	F2—d'	+fl' fl Fi + d'
F1F2
Г = Г Г =
+ F1F2 — FiL 4- d^Fz — d±L — d^F
64
Отсюда di > 18 см.
89.	Поскольку di > 2F первая линза создаёт перевёрнутое, уменьшенное, действительное изображение. Для того, чтобы изображение, создаваемое системой линз, оказалось мнимым, изображение, создаваемое первой линзой (и являющееся предметом для второй линзы), должно лежать на расстоянии меньше фокусного от второй линзы. Т. е. с?2 = — L — fi<F2. Но
di-F
30-10
20
= 15 см.
Т. е. L < 35 см. Второе условие — изображение должно быть уменьшенным. Т. е.
г _ г г = -Pi р2 _______________FiF2_______	,
12	dx-F1'F2-d2 (di-Fi)(F2-L + fi)
Откуда L < 25 см. Казалось бы всё. Но мы ещё не исследовали случай, когда первая линза создаёт изображение за второй. Мы уже встречались с такими задачами. В этом случае для второй линзы формула линзы должна выглядеть следующим образом:
1 _ _J_ _1_
F2 d2 f2 ’
так как и источник и изображение — мнимые. Тогда d2 = Д — L и должно быть f2 > 0 и Г < 1. В этом случае
_ d2F2 _ (fi — L)F2 d2 + F2 fi — L + F2
и
Г =--------------------- < 1.
di — Fi fi — L + F2
Отсюда получаем L > 15 см. Окончательно, 15 см < L < 25 см.
90.	Величина изображения стороны ВС равна
В'С = ВС
F 2F-AC
Величина изображения стороны АС есть
А'С' =
FAC 2(2F - АС)'
65
(Проверьте! Вспомните о продольном увеличении.) Тогда, согласно условию
1	11	F	F
-ВС -АС = 32 • - А'С  В'С = -АС  ВС  32——-—  —-—.
2	2	2	2(2F-AC) (2F - АС)
F 1
°"уда Г = 2TZ7C = J-
91.	Решение очень похоже на решение предыдущей задачи.
Л'В' = СТ В'С'=ВССТ Г=1
92. В сущности, здесь речь идёт о продольном увеличении.
F2
F
Д	F
13 = 2А = 1 = Г1Г2 = L + A ’ Т^А ~ L2 — A2' Тогда F2 = L2 - А2 = 5 - 1 = 4 см2. F = 2 см.
93.	Решение аналогично предыдущему.
л	F	F	F F
13 ~ Г112 - a + A+F ' a-A + F ~ 3F +А. ’ 3F — А ~
F2 4
F
9F2 - Л2 36-1
А = 2Л • (3 — — см. 35
94.	Изображение трапеции будет иметь те же самые углы только в том случае, если лучи, идущие вдоль сторон ВС и AD пересекутся в оптическом центре линзы и, следовательно, не преломятся в ней. Когда же повернём трапецию па 180°, то изображение её будет в виде прямоугольника только тогда, когда лучи, идущие вдоль AD' и ВС, после преломления в линзе пойдут параллельно оптической оси. Но это возможно только
они пересекаются в фокусе F линзы. Таким образом, как это видно из рис. 85, линза должна быть положительной, а сторона АВ лежит на расстоянии F/2 от линзы. Но тогда
Г= F
4 _
35’
JI
О
D'a
Рис. 85 том случае, если
в
F
______. =	= о
F - d	F — F/2
66
95.	Условие задачи (то, что трапеция изображается в виде прямоугольника) выполняется, очевидно, если точка А (рис. 86) совпадает с фокусом F линзы. Чтобы изображение было с теми же углами, нужно передвинуть трапецию от линзы так, чтобы точка А совпала с оптическим центром линзы. Тогда мы
можем написать:
F r F
Г1 = ~d + F' Г2 = d+2F'
Или
96.	Теперь уже понятно, как надо поступать. Новое здесь то, что изображение действительное. Но если всё происходит так, как это показано на рис. 87, то условия задачи выполняются. (Проверьте!) Тогда для стороны АВ d = 1,5F и увеличение
Рис. 86
Рис. 87
F d — F
Г =
= 2.
97.	Если вы разобрались в решении трёх предыдущих задач, то эту решите легко. Новое положение трапеции такое, что лучи, идущие вдоль боковых граней, пересекаются в точке 2F. А во втором случае — в F. Тогда
F	F
Г1 “ (2F + a)-F’ а 2~(F + a)-F’
где а — расстояние от точки 2F до стороны трапеции в первом случае и до точки F — во втором. Тогда
F	_ F 1 а 1 _ а
Г1 = F~+a’	2“7; гГ~ +F;	I\~F;
98.	Решение задачи основано на использовании понятия продольного увеличения. Пусть Го — увеличение, с которым изображается отрезок
67
ВО, Г1 — отрезок AG, Г2 — отрезок СЕ. Тогда Pi = Г^о, fa = Г2Г0. Отрезок АС изображается с увеличением
_ AB-fa+BC-fa
Р АВ + ВС ’
Поскольку АВ = ВС, то р = (/А + /?2)/2. С другой стороны, /3 = Г1Г2. Таким образом, Г§ • Гг • Г2 = Р1Р2 или Tq/3 = Р1Р2]
Г2_&/32_ 202 _ 2.6-3 _
Го"2-
99.	Найдём увеличение стороны АВ: ГдВ — Гд • Гв. Поскольку по условию при любой длине АВ увеличение ГдВ = Гв, то Гд = 1. Т. е. точка А лежит на расстоянии 2F от линзы. Таким образом, О А = 2F = = 24 см.
100.	С точностью до типа линзы решение задачи повторяет решение задачи 98. Поэтому будем кратки.
Г2 ^Рав  Рве	„ п г
го = F,—~ГЪ—’	откуда /3АВ = 0,5.
РАВ+ Рве
101.	А эта задача — аналог задачи 99. р = Гв • Гс; Р = 4ГС; Гв — 4;
_ F	_ dFB __ О В - Г в
В~ d-F’	~Гв + 1 ~ Гв + 1
102.	Как нетрудно понять из условия, фокусы линз совпадают (рис. 88). В первом случае увеличение Г1 = F2/Fj. Если поменять
линзы местами, то это эквивалентно тому, что мы пустим луч справа налево. Но тогда Г2 = Fi/F2. Получаем, что отношение увеличений равно
Г2 = AflV	£
Г1 \f2)	25’
20-4
—-— = 16 см.
5
Рис. 88
В сущности, эта задача описывает рассматривание предметов через бинокль с одной и с другой его стороны.
103.	Решение то же самое, что и в предыдущей задаче (проверьте!).
/г2 = fa
= 2,5 см.
68
104.	Можно попытаться решить эту задачу с помощью изощренных математических выкладок (заранее говорим, что это очень сложно). Но проще (и нагляднее) перебрать основные положения и точки. Условия задачи будут выполнены, если предмет (лист клетчатой бумаги) лежит в фокальной плоскости линзы: dy = F. Тогда лучи от каждой точки листа после прохождения линзы пойдут параллельным пучком, параллельным же пучком отразятся от зеркала и, как положено параллельному пучку, после прохождения линзы соберутся в фокальной плоскости линзы, где и находится лист. Вторая ситуация, когда выполняются условия задачи — изображение листа оказывается лежащим в плоскости зеркала. То есть
f т <hF .	. LF
d2-F'	2 L-F’
По условию
— d\ = Z,
следовательно,
Тогда F2 + IF — IL = 0. Решая это квадратное уравнение, получаем
Так как по условию линза собирающая, выбираем положительный корень:
F = 3 см.
105.	Здесь не что иное, как переиначивание условия предыдущей задачи. Повторив те же самые рассуждения и выкладки, получаем:
F2
' = КЩ? = 8“'
106.	Снова в задаче зашифрованы типы линз. Снова порассуждаем. Если обе линзы отрицательные, всё, что может получиться — прямое мнимое изображение. Если одна линза положительная, а другая отрицательная, то возможны два варианта: либо перевёрнутое действительное изображение, либо прямое мнимое, что не удовлетворяет условию. Остаётся последний вариант — две положительные линзы. Первая создаёт действительное перевёрнутое изображение, вторая переворачивает это изображение и получается прямое действительное изображение.
69
(Если же вы ещё недостаточно уверенно чувствуете себя в этом вопросе, попрактикуйтесь в переборе этих вариантов.) Но тогда мы можем написать последовательно для линз:
Г' = F1 •	Г' = F2
1 di — Fi’ 2 d2 — F2 ’
где di = L — /i- Увеличение системы Г' = Г'х • Г'2. Применим теперь небольшую математическую хитрость. Напишем выражение для обратной величины увеличения системы линз:
J_ = di[L - (Fi + Fi)] L
Г'	Fi Fi	F2
Здесь мы замечаем интересную вещь: если поменять местами линзы, то первое слагаемое останется неизменным (или, говоря по-научному, инвариантным), а изменится только второе. Тогда мы можем написать и выражение для увеличения во втором случае:
1 = di[L - (Fi + F2)] L
Г"	FiF2	Fi '
Теперь понятно, что нужно делать:
1 1 /1 1 \
-------= Ь I-------1 = L(Di - D2);
Г' Г"
„	_	1/1	1\	1 /	1\	13
1 ~	2 “	L VF ~ Г" /	— Д25 V ~ 4) ~	Д25 ’ 4	“ 3 ДПТР’
107. Рассуждения, аналогичные проведённым в предыдущей задаче, приводят к заключению, что обе линзы во всех случаях создают мни-, мое изображение (проведите эти рассуждения самостоятельно). Тогда в тех же обозначениях, что и в решении предыдущей задачи, имеем:
г' — F1	г' — F^
1 Fi-d’ 2	F2 — L — f[’
Для системы линз:
1 dL + FiF2 — dFi — dF2 L
Г'	FiF2	F2’
и
1 dL + Fi F2 — dFi — dF2 L
f"= f\f2 я ’
70
откуда
j_ _ X _ г, (1___L
Г" ~ Г' \F2 -Fl
L = 20 cm.
108.	Обе линзы положительные. Повторив те же выкладки, что и в решении предыдущих задач, получаем:
=	jl=2±2.0,5 = 2±l;
а) Г" = 1/3; б) Г/ = 1. (Здесь ± появляется потому, что нам неизвестно, которая из линз имеет большую оптическую силу.)
109.	Обе линзы создают прямое мнимое изображение (проверьте). Тогда, аналогично решению задачи 107, получаем:
1 1 _ 2L.
Г" ~ Г7 ” ~F’
2L
F = -j-----j- = 10 см.
г" г7
(Здесь использовано то обстоятельство, что сумма оптических сил по условию равна 0: D+ +	— jr- — jk = 0; F+ = |F_| = F.)
110.	В случае (а) отрицательная линза может создать действительное изображение только тогда, когда изображение, создаваемое положительной линзой (и являющееся предметом для линзы отрицательной) находится за отрицательной линзой, т. е. является мнимым источником для отрицательной линзы. Тогда мы можем написать для увеличения системы: Га = Г1Г2, где 1\ — увеличение положительной линзы,
ri= F1
d — Fi'
Для отрицательной линзы (с учётом того, что источник мнимый)
Г : F* 2	F2-d2’
где d2 — расстояние от отрицательной линзы до мнимого источника (т. е. до изображения, создаваемого положительной линзой). Тогда
Fi F2 _ Fi F2 __________________________FiF2
a = d^F\' F2-d2 - d-Fi ’ F2-(/-/) “ (d-Fi)(F2+Z-/)'
С учётом того, что
, dFi
f d — Fi’
71
получим
р __________FlF2______
а (d-Fi)(F2 + Z)-dFi'
В случае (Ь) предмет находится перед отрицательной линзой па расстоянии Zi = d — l, а изображение, создаваемое отрицательной линзой, является предметом для линзы положительной и находится от неё на расстоянии
(d — l)F2
2 l+(d-l) + F2-
В этом случае
р _ F2	Fi _	FiF2
fc’(d-Z) + F2'i+№„fl “ (d-l + F2)(l-Fi) + (d-l)F2-
{a—i)+t<2	x
Поскольку Га = Гь, то должно выполняться равенство:
(d - Fi)(F2 + Z) - dFi = (d - I + F2)(Z - Fi) + (d - Z)F2.
После приведения подобных получим
Z = 2F — 4 см.
Далее будет решено несколько задач на тему «толстые» линзы. Нам необходимо использовать формулу, связывающую показатель преломления материала линзы и радиусы кривизны поверхностей линзы с её фокусным расстоянием:

1) Gr + r)
(10),
причём правила знаков таковы: радиус считается положительным, если поверхность своей выпуклой стороной направлена в сторону с меньшим показателем преломления и наоборот.
111. Мы можем в данном случае представить себе толстую линзу как тонкую линзу, к которой вплотную приставили плоскопараллельную пластину (рис. 89). Тогда для тонкой линзы, в соответствии с формулой (10), имеем:
£
F
у _ Д5
R~ R’’
F = 2R;
Рис. 89
72
F — фокусное расстояние тонкой линзы в воздухе. Когда пристани ли плоскопараллельную пластину, то лучи, параллельные оси, станут сходиться в точке оси на расстоянии х от задней грани. Тогда (рис. 89)
у — Ftga = Ltg/3 + rr tg о « L/3 + ax.
(П)
Поскольку L = 6 cm, a F = 2R = 6 cm, to L = F. По закону Снелла n sin /3 = sin а или
n(3 к. a.	(12)
Из (11) и (12) следует:
у — aF = (3F + ах = naF + ах.
Величина
r,n-l F	2R
х = г —--= — = —
п	3	3
= 2 см.
112. Аналогично решению предыдущей задачи,
1
F
Оф
R ’
F = 6 см.
Рис. 90
Далее всё также (рис. 90): у ~ aF = ах — /3L.
С учётом того, что /3 ~а/п можно записать
х — F (1 + — | = Ftv = 10 см.
\ п)	1,5
113. Пусть Ri — радиус кривизны выпуклой поверхности первой линзы, У?2 — второй. Тогда, если мы сложим эти линзы плоскими сторонами, то получим линзу с оптической силой
1	/ п ( 1	1 А
Fr~^ ^\Rl+R2J
(Обратите внимание, что это совпадает с результатами рассуждений, приведённых после решения задачи 68.) Теперь, если мы приложим линзы друг к другу выпуклыми сторонами, а пространство между ними зальём водой, то это эквивалентно тому, что мы сложим вплотную три линзы: две уже имеющиеся и одну отрицательную, получившуюся
73
в результате залива воздушного промежутка водой. Оптическая сила такой системы есть
i-	= (п - 1)ъ" - (™в “ г) (тг + тА + (п “	=
.±_fn nf 1 , 1 V 1	(пв-1)(п-1)/1	1\
Fi Vb I\RiR2J Fi (n-1) \Ei R2) '
1 Л nB-l\_ 1 Л 0,33 \	1
’ Fi V ” n - 1 J - FiV “ бфб/ ~ 2Fi
Таким образом F2 = 2F\.
114.	Решение полностью совпадает с решением предыдущей задачи. Различие здесь лишь в том, что линзы на этот раз отрицательные, а водяная линза — положительная;
1
—^+(пв-1) Г
1 , n = 1 (п-1)^-1) /J_ , и
Ri R2J	F п-1	\Ri R2J
1
F
Пв — 1\ п — 1 /
1
2F’
Fi = 2F.
115.	Здесь нужно более расширительно понимать формулу (10). Если линза находится не в воздухе, то под п следует понимать относительный показатель преломления. Для линзы в воздухе
1 /	( 1	1 А
Fo ~	1} (.Fi + ~R2) '
В воде
— = Г— - 1V—	1
В сероуглероде
1 _ (п_ _ Л /_1_	_1_\
Fc \nc ) \F?i + R2) ’
Тогда р = ______________________Пс-пв__________ =
^гП^Пс - 1) - jrnctnv - 1)
Сферические зеркала
Идущие далее задачи связаны со сферическими зеркалами. Таковыми являются сегменты сферической поверхности, зеркально отражающие свет. Посмотрим, что происходит с параллельным пучком лучей,
74
падающим на такое зеркало. Обозначим какую-либо точку зеркала Р. Проведём прямую (рис. 91), проходящую через эту точку и центр кривизны О зеркала. Пустим луч АВ, параллельный оси ОР и угол а 1. Как легко видеть из рисунка, после отражения он пересечёт ось ОР на расстоянии OF т В/2 от зеркала (точнее от точки F). В этой точке F пересекутся все лучи пучка, параллельные ОР, и мы можем назвать эту точку фокусом. Но те же рассуждения мы можем провести для любой другой точки Р' зеркала и для любого луча А'В', параллельного ОР'.
«Фокальная поверхность» в нашем случае представляет собой участок концентрической зеркалу сферы с радиусом кривизны R/2. Это, разумеется, неудобно. Хотелось бы в качестве «фокальной поверхности» иметь плоскость. К счастью, природа не так строга, как математика. Давайте договоримся называть точку Р полюсом зер
кала, а прямую ОР главной оптической осью зеркала, если последняя
расположена симметрично относительно краев зеркала.
Теперь, если мы возьмём не слишком большой сегмент сферы не слишком малого радиуса (к сожалению, здесь мы лишены возможности расшифровывать понятия «не слишком» и вынуждены уповать на интуицию читателя), то этот сегмент будет не очень сильно отличаться от плоскости (грубый пример: поверхность озера). Не сильно будет отличаться от плоскости и фокальная поверхность. Проведём через точку F (рис. 91) плоскость, перпендикулярную прямой ОР. На этой плоскости пучки лучей, параллельные побочным оптическим осям, бу
дут после отражения от зеркала создавать некоторые пятнышки, отличие от точек которых будет тем меньше, чем меньше эта плоскость отстоит от «фокальной поверхности».
Но мы знаем (см. решение задач 56-59), что любой прибор, фиксирующий изображение (глаз, фотоплёнка и т. д.), имеет конечную разрешающую способность. И, если то пятнышко по своим размерам не превышает минимально разрешимый размер, то оно воспринимается как точка. Тогда, в этом приближении, мы можем считать нашу плоскость фокальной плос
Рис. 92
75
костью зеркала. Но тогда становятся понятными и правила изображений точек (а, стало быть, и предметов), получаемых с помощью сферических зеркал. Это иллюстрирует рис. 92. Луч АВ, параллельный главной оптической оси, после отражения должен пройти через фокус F зеркала (напоминаем, что фокусное расстояние зеркала равно R/2. Луч AFC, идущий через фокус, после отражения должен пойти параллельно главной оптической оси, луч AOD, идущий через центр кривизны зеркала, отразившись, идёт обратно по тому же самому пути. На пересечении этих лучей и находится изображение А' точки А.
Если вы добросовестно, последовательно и благополучно добрались до этого раздела, то вам будет совсем нетрудно (а, главное, полезно) провести построения — аналоги рис. 63-64 (рис. 92 является аналогом рис. 62), вывести формулы сферического зеркала типа (5), (6), (7) и, наконец, составить аналог Таблицы 1.
Теперь перейдём к задачам.
Рис. 94
116.	Как и в задачах 14, 15 соединим «головы» предмета и изображения прямой. Точка пересечения этой прямой с прямой, соединяющей «подошвы», есть, очевидно, центр кривизны О зеркала. Построим точку А' симметрично точке А относительно оси. Луч В А' пройдёт через А, если он отражается в полюсе зеркала Р. Таким образом, проведя
76
окружность с центром в точке О радиусом ОР мы находим положение зеркала. Фокус находится легко.
117.	При разрешающей способности плёнки 50 линий/мм изображение точки не должно смещаться более, чем на 5 = 0,02 мм. Следовательно для угла качания <р должно быть справедливо соотношение:
5
2-10 2 мм 3-105 мм
» 0,67-Ю-7.
Т. е. <р 0,7-10-7 рад.
Результат объясняет нам, почему обсерватории ставят на крепком скальном основании и вдали от создающих вибрации железных и автомобильных дорог.
118. Поскольку предмет и изображение находятся по одну сторону от положительной линзы, то изображение прямое, мнимое, увеличенное. Точно такое же изображение создаёт зеркало. Но поскольку увеличение (Г = = f /d) одно и то же, то и /л = /3. Тогда (рис. 95) легко увидеть f — d =
изображение в зеркале
предмет
Рис. 95
изображение в линзе
= 4 см; f + d = 8 см; f = 6
см, d = 2 см. И по формуле линзы
1
d
1 £ J -F;
F = 3 см.
119.	Решение аналогично решению предыдущей задачи: d — f = 4; d 4- f = 10; d = 7; f = 3; F = 2,1 cm; R = 2F = 4,2 cm.
120.	Видны два изображения: мнимое, создаваемое передней частью шарика (выпуклое — отрицательное — зеркало) и действительное, создаваемое задней частью шарика (вогнутое — положительное — зеркало). Тогда, если а — искомое расстояние между центром шарика и пламенем свечи, то
_ F Д г _ F _ Д
1 F + (а — R) 2а — R' 2 (а + Я) — F 2а + R ’ где R — радиус шарика. Согласно условию
£1 _ 21
fZ ~ 19’
77
откуда следует:
42а — 217? = 38а + 197?; а = 107? = 20 см.
121.	Эта и следующая задачи достаточно просты. Действительно, для того, чтобы лучи, параллельные главной оптической оси, отразились точно в обратном направлении, нужно чтобы центр кривизны зеркала совпадал с фокусом линзы. Тогда лучи после преломления в линзе будут падать перпендикулярно поверхности зеркала и отражаться точно в обратном направлении. И, как нетрудно теперь видеть из рис. 42, F = I + 7?; R = F - I = 24 - 4 = 20 см.
122.	Идеология решения та же: R = F + d = 17 см.
123.	Для того, чтобы увеличение не зависело от расстояния до предмета, необходимо, чтобы луч, проходящий через вершину предмета и идущий параллельно главной оптической оси, после прохождения системы вышел снова параллельным главной оптической оси (вспомним решение задачи 75). А для того, чтобы увеличение было равно единице, нужно, чтобы этот луч пошёл на том же самом расстоянии от оси. Но с этой ситуацией мы уже встречались в решении задачи 121. И сразу можем написать ответ: I = Рл — R = Рл — 2F3 = 5 см.
124.	Незатейливым перебором можно убедиться, что условию задачи удовлетворяют три положения зеркала за фокусом линзы: 1) положение зеркала совпадает с изображением предмета, создаваемым линзой = /, 2) фокус линзы совпадает с центром кривизны зеркала; в этом случае расстояние между зеркалом и линзой равно х% = F+R,3) изображение, создаваемое линзой, лежит в плоскости, проходящей через центр кривизны зеркала, тд = f + R. Очевидно, всем условиям задачи удовлетворяет перемещение Л/ = х3 — т2 = f — F. По формуле линзы
2г
Или F2 + 9F — 90 = 0; Fi =6 см, F2 = —15 см — не соответствует условию задачи.
125.	Как и в случае задачи 123, решение этой задачи после тех же рас-суждений сводится к решению задачи 122. Радиус кривизны зеркала R — F +1 = 12 см; F3 = R/2 = 6 см.
126.	Условия задачи выполняются, если центр кривизны зеркала совпадает с задним фокусом линзы (напомним, что у отрицательной линзы он впереди), а в другом случае — центр кривизны зеркала совпадает
78
с изображением, создаваемым линзой (т. е. это изображение, являющееся предметом для зеркала, находится на расстоянии R = 2F3 от зеркала). В первом случае расстояние от линзы до зеркала xi = R—F, во втором случае Х2 = R — f. Следовательно, Лт: = Х2 — a?i = F — f. По формуле линзы
1 1 1 1 1 ,
— — =  ----- = — — —-----—:	d = 40 см.
F d f d F — Ax
127.	Поскольку зеркало создаёт перевёрнутое изображение, это означает, что зеркало вогнутое. По формуле сферического зеркала:
Для системы с фокусным расстоянием Fc и мнимым изображением имеем
1 - 1 1 ~Fc~d~fo'
(Поскольку Г1 = Гг и d = const, то и Д — /2 = /) Таким образом
1	1 _ 2
~F3+~Fc~d'
Но свет проходит через линзу, отражается от зеркала и снова проходит через линзу. Т. е. мы должны написать
1 _ 1 1 1
(Вспомните, как мы пришли к аналогичной формуле для линз перед решением задачи 69.) Тогда
1 1 1 2_-£ dF3
F3 + Fn + F3 + Fn ~ d’ л ~ F3 — d'
Поскольку изображение, создаваемое системой, было прямым, то лип за должна быть отрицательной, т. е. d > F3.
128.	Малое (отрицательное) зеркало создаёт действительное (на плёнке) изображение мнимого источника — изображения, создаваемого большим зеркалом. По формуле зеркала (с учётом всех мнимостей)
1_________1	__2_
f	Г1/2-(п-Г2) Г2
79
(проверьте!). Откуда
f = r2(2r2 - Г1)
2(п - г2)
Если а — угловой размер Луны, то размер изображения, создаваемого большим зеркалом, равен aFi = ari/2. Увеличение малого зеркала равно
f = г2
*2 ~ (Г1 — г2) Г1 - г2
Размер изображения Луны, создаваемого системой зеркал, равен
Г1Г2
О'—;------г-
2(п - г2)
Одиночная линза создаёт изображение Луны размером аРл. Тогда
Г1Г2
2(п - г2)
= 50 см.
129.	Задача отличается от предыдущей только числами и ориентацией рисунка.
„	Г1Г2	,п
Ел = -----------г - 10 см.
2(г2 -п)
130.	По формуле зеркала в стандартных обозначениях
1 1 1
По условию f = d/2. Т. е.
Для системы линза+зеркало имеем
2 _ 1 1 J___L 1 _1 1 F ~ Рл + Ё3 + F^ ~ F, + Ё ~ d + Ti
По условию /i = d. Тогда
2	1 _ 2 _ 2
Ё+Ё ~d~3F/
Таким образом
2 _ _2____1_ ___1_ Д, _
F„~3F3	F3~ 3F3'	F3~~ '
80
131.	Если вы, последовательно решая предыдущие задачи, дошли до этой, то её решение будет вам понятно из рис. 96 без развёрнутых комментариев.
Фокусное расстояние зеркала F3 = R/“^y ah и (Зх, где согласно закону Снелла ап = !3. После частичного заполнения сосуда водой фо-
Рис. 96
кусное расстояние системы уменьшится на вели-
чину Д = h — х, где ah ~ [Зх. Из этих формул получается, что
п — 1
Д = h
п
Отсюда
О 33
F' = F - Д = 40 - (40 - 25)-^-- » 36,3 см.
J. jOO
132.	Налитая жидкость есть ни что иное, как плоско-выпуклая линза с фокусным расстоянием, определяемым формулой
1
F
71
Т. е. свет проходит через линзу, отражается от зеркала и снова проходит через линзу. Но такие задачи мы уже решали. До наливания жидкости оптическая сила зеркала была равна D = 2/7?. После того, как налили жидкость, оптическая сила системы стала равной
Л 2	, ч 1 2п
так как
П С‘
D* = оУ’ “
=	„	„=-1 = 1,43.
0,7Л R	0,7
133.	При одном и том же расстоянии до предмета мы будем получать одинаковые изображения предмета только в том случае, если оптические силы зеркала и системы линза+зеркало равны, причём зеркало должно быть выпуклым. Т. е.
2 1 _ 1	J__ £	_2__J_
Ft+F^~~F3'	F3~~F„'	R2~ F3’
81
1
F
R2 = —2Fn = 20 см. С другой стороны, ,	< 1	1 A /	1	1 A
= (« - i) I-Б- + R-) = (n - i) ( Б- -	;
\ Ml	rt2 /	\	J
« + 1	2,5	„ Fa
—-----г = —-— = 2,5;	Ri = — = —4 cm.
2(n — 1)	2-0,5	2,5
Поскольку Fn = F3 = Дг/2, to R2 = 2Fn = 10 см. Поверхность вогнутая.
Ri
134.	Аналогично предыдущему решению:
Fn __ п + 1
Я? “ 2(n — 1)
7?1 = 2 см.
135.	Рассмотрим случай, когда линза обращена к источнику посеребрённой стороной. Поскольку изображение мнимое, то для зеркала предмет и его мнимое изображение лежат по разные стороны от зеркала. По условию d = 28 см, a d + f = 56 см, т. е. f = d = 28 см. Формула зеркала как для вогнутого, так и для выпуклого зеркала (для мнимого изображения) даёт 1/F = 2/7? = 0, т. е. R = оо, что означает, что зеркало (а значит и сторона линзы) плоское. Если перевернуть линзу, то мы получаем параллельный пучок, а это означает, что источник находится в фокусе системы. Тогда
112
+ = д = тт! Ел = 2d = 56 см.
F d Рл
136.	Поскольку в обоих случаях создаётся параллельный пучок, то это означает, что в одном случае источник находится в фокусе вогнутого зеркала, а в другом — в фокусе системы линза+зеркало. В первом случае F3 = R/2 = 34 см. Во втором случае
111	1	1 _ 2	1	21
1FC ~ L ~ JF ~	+~ 1F~~ JF ~	~	л -34 см.
Знак «—» перед 1/F3 появился потому, что посеребрена вогнутая сторона линзы, что эквивалентно тому, что к линзе прижато выпуклое (рассеивающее) зеркало.
137.	Мы уже имели возможность убедиться, что мнимое прямое изображение в натуральную величину даёт плоское зеркало или оптическая система ему эквивалентная (т. е. имеющая оптическую силу D = 0). Но тогда
2	1 _ 2	2
~F + F~F + R'
Откуда Fn = —R = —40 см, т. е. линза должна быть отрицательной.
82
138.	Из условия задачи нетрудно увидеть, что фокусы зеркал совпадают. Такая система называется конфокальной (аналогично, система с совпадающими центрами — концентрической). Значит, луч, идущий к 31 параллельно главной оптической оси (рис. 97), после отражения пойдёт к общему фокусу и, отразившись от З2, снова пойдёт параллельно главной
оптической оси. Нетрудно увидеть (Л, -С L и F2 = L), что после первого отражения от зеркала З2 луч пойдёт на высоте hi = h/2, а после п-го отражения hn = h/2n. Луч выйдет из системы тогда, когда hn < d/2. Отсюда получаем 20 < 2". Следовательно, п > 5, т. е. луч выйдет из системы после пяти отражений. Он пройдёт в системе путь S = 10L, а
время задержки окажется равным
S 10-5 с “ 3-108
= 1,67-Ю-7 с.
139.	Решение аналогично решению предыдущей задачи:
6L	7
— = 1,110“7 с. с
83
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию................... 3
Предисловие к первому изданию.................... 4
Об авторе........................................ 5
Как пользоваться этой книгой..................... 5
Задачи........................................... 7
Справочный материал и решения задач..............29
Законы отражения света.........................29
Законы преломления света...................... 31
Линзы......................................... 36
Очки...........................................48
Лупы...........................................49
Системы линз.................................  56
Системы линза + зеркало........................59
Сферические зеркала............................74
84
ОПТИКА НА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ
Сборник задач со справочным материалом и решениями
Издание второе
КУЗНЕЦОВ Евгений Петрович
Подписано в печать 05.06.2006. Формат 60 х вД1/^. Бумага оф<е гили Печать офсетная. Усл. печ. л. 5,3. Уч.-изд. л. 5,3. Тираж 1500 ж > Заказ № ВП-01.
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико-технический инсти гут (государственный университет)
Отдел автоматизированных издательских < ш тем «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ»
141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Инстн гулкий ч< | 9