[шипираСЬютлсвд

ЧЕРНЫЕ ЛЫРЫ

БЕЛЫЕ К491ИКИ И
НЕЙТРОННЫЕ ЗВЕЗДЫ

1
Black Holes,
White Dwarfs,
and Neutron Stars

The Physics of

Compact Objects

Stuart L. Shapiro
Saul A. Teukolsky
Cornell University, Ithaca, New Yor
A Wiley-Interscience Publication
John Wiley & Sons
New York • Chichester • Brisbane •
C.LUanupo, С.Тьюколски

ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ

БЕИЫЕ КЯВ1ИКИ И
НЕЙТРОННЫЕ ЗВЕЗДЫ

ФИЗИКА

КОМПАКТНЫХ ОБЪЕКТОВ

1 В двух частях

Перевод с английского
д-ра физ.-мат. наук
А. Д. Долгова
под редакцией
д-ра физ.-мат. наук
ЧЯ. А. Смородинского

Москва «Мир» 1985
БЙК 22.632

Ш24

УДК 52 + 53

Шапиро С. Л., Тькжолски С. А.

Ш24 Черные дыры, белые карлики и нейтронные звезды: В
2-х ч. Ч. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1985, 256 с., ил.

В книге, написанной известными американскими астрофизиками, изложены основы физики ком-
пактных космических объектов, представляющих собой конечные продукты звездной эволюции, — уже
открытых белых карликов и нейтронных звезд, а также предсказанных теоретиками «черных дыр». Из-
ложение дополняется многочисленными упражнениями. В русском переводе книга разделена на две ча-
сти. В части 1 последовательно обсуждаются уравнения состояния и модели сверхплотных объектов, в
том числе с учетом эффектов обшей теории относительности, остывания, вращения и магнитных по-
лей.

Для астрофизиков и физиков, как специалистов, так и студентов. Может служить учебным посо-
бием по релятивистской астрофизике.

1704020000—317
Ш----------------60—85, ч. 1

041(01)—85

ББК 22.632

524

Редакция литературы по космическим исследованиям,
астрономии и геофизике

© 1983 by John Wiley & Sons, Inc.

All Rights Reserved. Authorized trans-
lation from English language edition
published, by John Wiley & Sons, Inc.

© Перевод на русский язык, «Мир»,
1985
От редактора перевода

Название предлагаемой вниманию читателя книги — «Черные дыры, бе-
лые карлики и нейтронные звезды» — как бы открывает нам мир неведо-
мой восточной сказки. И в самом деле, компактные объекты, физике кото-
рых посвящена книга профессоров Корнеллского университета (США) Стю-
арта Шапиро и Саула Тьюколски — мир поистине сказочный, в котором
все представляется иначе, чем в наших лабораториях. Фундаментальное
отличие этого сказочного мира от привычного нам земного состоит в
том, что главный герой книги — вещество, находящееся в сверхплотном
состоянии, недостижимом (пока?) в земных условиях.

Первые указания на существование в космосе вещества, находящегося в
экстремальном состоянии, было получено еще в 1914 г. Именно тогда аме-
риканский астроном Адамс, анализируя спектр Сириуса В, слабого спутни-
ка (с абсолютной величиной всего П^) самой яркой звезды нашего неба,
пришел к заключению, что Сириус В имеет высокую температуру, близкую
к температуре самого Сириуса, и, следовательно, должен иметь малый ра-
диус (меньше радиуса Земли) при массе, почти равной солнечной. До того
времени Сириус В относили к красным звездам и малую светимость связы-
вали с низкой температурой. Поверить в существование «белых карликов»
в то время было трудно; но с их реальностью пришлось примириться.

Первым слово «черная дыра» произнес Джон Уилер в 1968 г., но исто-
рия идеи об абсолютно неустойчивом небесном теле — сингулярности в
космосе — уходит в давние времена. О ней впервые заговорил даже не
Лаплас в конце XVIII в., как это было общепринято считать, а еще рань-
ше, в 1776 г., ученик Кавендиша Майкл, который размышлял о том, что
скорость света должна уменьшаться, когда свет совершает работу против
сил поля тяготения. Он считал, что, измеряя скорость света от далекой
звезды, можно оценить ее массу. В записках Кавендиша, изданных Макс-
веллом, имеется также краткое замечание о возможности существования
небесных тел, «запирающих» в своих недрах свет. Но все эти идеи были
прочно забыты и возродились лишь в наши дни.

Открытие нейтронных звезд — в виде пульсаров — относится к 1967 г.,
но их существование предсказывалось теоретиками еще в начале ЗО-х годов
нашего века. Так что лишь в случае белых карликов наблюдения поставили
теорию в тупик — Эддингтон писал, что современники должны были счи-
тать соображения о белых карликах абсурдными; в двух же остальных слу-
чаях компактных объектов теория намного опередила наблюдения.
История открытий всегда интересна, и, нарушая порядок страниц, по-
лезно начать читать книгу, которую сейчас открыл читатель, с историче-
ских введений — первых параграфов глав 3, 9, 10, 12; они окрашивают из-
ложение драматизмом развития новых идей в науке.

Приведенные выше слова Эддингтона взяты из его книги «Внутреннее
строение звезд»1), изданной в 1926 г. и переизданной с некоторыми допо-
лнениями в 1930 г. С появлением этой книги теория звезд превратилась в
физическую науку. Новым в книге Эддингтона было признание ядерной
энергии (субатомной, как тогда говорили) источником, определяющим эво-
люцию звезды. Эта гипотеза (тогда еще только гипотеза) унесла в небытие
критику Нернстом и Джинсом ранних попыток объяснить излучение звезд.

Следует напомнить и о предшественниках Эддингтона, которым он от-
дает должное. Первым из них был Лейн, опубликовавший в 1870 г. работу
с длинным названием: «О теоретической температуре Солнца на основе ги-
потезы о массе газа, объем которого поддерживается его внутренним теп-
лом, и описываемого газовыми законами, известными по земным экспери-
ментам»2).

Ньютон в свое время перенес закон всемирного тяготения из космоса на
Землю; физики прошлого века перенесли в космос земную термодинамику.

Второй важной работой, развивающей теорию звезд, стала книга Эмде-
на, вышедшая в 1907 г.3)

Около 1913 г. произошло важное событие — Герцшпрунг и Рессел вы-
сказали смелую гипотезу о том, что звезды, которые мы видим, находятся
на разных ступенях эволюции. На диаграмме спектральный
класс — абсолютная звездная величина (носящей теперь их имя) звезды вы-
строились по своему «возрасту» от гигантов до карликов.

К этим работам, ставшим классическими, полезно добавить еще работу
К. Шварцшильда4) о радиационном равновесии солнечной атмосферы.

Заканчивая свою книгу, Эддингтон писал, что одна из туч,закрывающих
путь развития теории, — это непонимание законов высвобождения ядерной
энергии. Тем не менее Эддингтон был полон надежд: «... недалеко то буду-
щее, когда мы будем достаточно знать, чтобы понять такую простую
вещь, как звезда».

Сейчас это время пришло, хотя объект нашего познания оказался со-
всем не таким уж простым.

Теория компактных небесных тел возникла только потому, что придир-
чивые естествоиспытатели не прошли мимо парадоксального явления, а на-

11 Eddington A. S. The Internal Constitution of Stars. Dover Publ., N. Y., 1959 (reprin-
ted).

2) American Journal of Science and Arts, Ser. 2, 4, 57, 1870.

Emden K. Gaskugeln: Anwendungen der mechanischen Warmetheorie. Leipzig iind
Berlin, 1907.

4) Schwarzschild K. Ueber des Gleichgewicht der Sonnenatmosphare. Gottingen Nach.,
No. 41, 1906.
стойчиво искали его объяснения. Раскрытие загадок Сириуса В и импульс-
ных радиоисточников уже кажется сейчас далекими событиями, описание
которых занимает всего несколько строк. Но недаром говорят, что озаре-
ние в начале пути стоит больше многих идей в середине. Полезно пони-
мать, какие преграды стояли на пути исследователей и как рассеялись тучи,
закрывавшие горизонты науки. Это помогает увидеть красоту и оценить
скрытую сложность путей познания.

Теория компактных объектов замечательна еще и тем, что такое состо-
яние вещества неизвестно на Земле. Когда-то в конце прошлого века уче*
ный мир был взволнован открытием «солнечного вещества»1) — линий не
известного тогда гелия в спектре Солнца. Однако вскоре гелий был полу-
чен в лаборатории.

Со звездным веществом дело обстоит не столь просто. Есть популяр-
ный рассказ об изобретателе, придумавшем универсальный растворитель,
который растворяет любое вещество. Но этот растворитель, к несчастью,
не в чем было хранить.

Природа хитроумно обошла это препятствие. Сосудом для сверхплот-
ного вещества служит собственное гравитационное поле звезды, которое
удерживает ее от разлета. В земной лаборатории аналогом служат совре-
менные токамаки, в которых физики рассчитывают реализовать термо-
ядерные процессы. В токамаках горячая плазма удерживается магнитным
полем. Внутренность токамака — первая, хотя еще очень приближенная
модель звезды.

В земных лабораториях физики стремятся создать условия, при кото-
рых возникли хотя бы ничтожные количества сверхплотного вещества. За-
дача состоит в том, чтобы сжать каким-то способом ядро атома и узнать,
нет ли у ядерной материи более плотной устойчивой фазы? Пока единст-
венный способ для достижения такой цели — это столкновение тяжелых
ионов друг с другом. Однако во всех известных опытах сталкивающиеся
ядра — от легких до ядер урана — разбивались на части, и ббльшая часть
их энергии расходовалась на кинетическую энергию осколков. Но хотя
звездное вещество пока нельзя изучать в лаборатории, физики уже знают,
что при малых расстояниях между частицами, при больших плотностях, в
сотни и тысячи раз превышающих плотности, характерные для ядер, в
игру должны вступить кварки и глюоны; за пределами расстояний порядка
миллиферми (10-16 см) начинается, как мы сейчас уверены, новая физика.
В ее изучении ускорители и телескопы будут помогать друг другу, физики
и астрофизики пойдут рука об руку.

И для тех, кто захочет пойти по этой дороге или хотя бы познакомить-
ся с теми удивительными перспективами, которые открываются по пути,
предназначена эта книга.

11 Так назвал свою научно-популярную книгу, опубликованную в конце ЗО-х годов,
советский физик-теоретик М. П. Бронштейн. В 1960 г. книга «Солнечное вещество»
была переиздана издательством «Детская литература».
Книге предпослано авторское предисловие, где рассмотрены цели, кото-
рые преследовали авторы, принципы отбора материала и характер изложе-
ния, а также раздел «Рекомендации к использованию книги». Все это несо-
мненно окажет помощь читателю — как специалисту и преподавателю, так
и студенту или начинающему исследователю. Ввиду этого здесь можно
ограничиться лишь несколькими замечаниями.

Новая физика развивается очень быстро, поскольку здесь действительно
проходит «линия фронта» развития науки. Поэтому читателю, желающему
быть в курсе последних известий с поля этой незримой битвы, мы реко-
мендуем регулярно следить за новой литературой. В частности, хорошим
дополнением к книге Шапиро и Тьюколски будет выпускаемая издательст-
вом «Мир» в 1986 г. монография С. Чандрасекара «Математическая теория
черных дыр», в которой читатель найдет богатый теоретический матери-
ал, в том числе по методам исследования сингулярностей в пространстве-
времени.

Далее, к настоящему времени получен новый богатый материал по
вспышкам сверхновых звезд, которым посвящены заключительные главы
книги. Большой вклад здесь внесен советскими астрофизиками. Информа-
цию об этих гигантских катастрофах содержат данные о распространенно-
сти химических элементов, которые можно попытаться расшифровать на
основе теоретических представлений о процессах нуклеосинтеза.

Наконец, в гл. 8 приводится вывод уравнения состояния плотного ве-
щества на основе теории ядерных сил. Этой цели вполне удовлетворяют
методы и формулы, использованные в книге. Читателю, пожелавшему рас-
ширить применение описанных приемов для иного круга задач, мы реко-
мендуем обратиться к последним обзорам по физике ядра.

Следует указать, что с любезного разрешения издательства «Джон Уай-
ли энд Санз» в русском переводе книга по техническим причинам разбита
на две части. В первую часть вошли гл. 1—8 оригинального издания, во
вторую — гл. 9—16 и приложения.

И завершая наше изложение, отметим, что авторы книги написали ее
на основе курса лекций, который они читают в Корнеллском университете.
Тем самым они выполнили долг ученого — передавать новому научному
поколению последние достижения бурно развивающейся науки нашего вре-
мени. Читатель должен узнать из книги, которая у него перед глазами, не
только об успехах науки, но и попытаться распознать на горизонте те но-
вые тучи, которые не позволяют завершить счастливым концом рассказ о
необычайных явлениях природы.

Я. Смородинский
Предисловие

В основу этого учебного пособия был положен курс физики компактных
объектов, который преподавался авторами в Корнеллском университете
начиная с 1975 г. Компактные объекты включают белые карлики, нейт-
ронные звезды и черные дыры. Они представляют собой конечные стадии
эволюции звезд и являются, таким образом, одной из основных составляю-
щих физической Вселенной.

Данная книга, как и предшествовавший ей курс лекций, появилась в ре-
зультате резкого подъема научных исследований компактных объектов, на-
чавшегося в 60-х годах. В течение этого периода в нашей Галактике были
открыты пульсары и двойные рентгеновские источники, и эти открытия
стали важными вехами в развитии астрофизики. Существование нейтрон-
ных звезд, которые прежде существовали лишь в умах нескольких теорети-
ков, было с определенностью доказано. Стала вполне реальной возмож-
ность существования черных дыр, и даже обнаружилось несколько канди-
датов на эту роль на звездном небе. Однако еще более важно, пожалуй, то,
что эти открытия послужили толчком к новым теоретическим исследова-
ниям и программам наблюдений, направленным на изучение физической
природы компактных звезд. Выросло целое поколение физиков, как экспе-
риментаторов, так и теоретиков, а также астрономов, принимающих уча-
стие в этой увлекательной исследовательской работе, которая продолжает-
ся по сей день.

Изучение компактных объектов, ставшее предметом большого внима-
ния со стороны общественности, еще очень далеко от своего завершения.
Далеко не все вопросы, относящиеся к структуре и эволюции компактных
объектов, разрешены полностью, и тем не менее ответы на эти вопросы
вовсе не кажутся недосягаемыми. В настоящее время наука о компактных
объектах вполне сформировалась как отрасль физики, в которой проводят-
ся как наблюдения, так и строгие теоретические исследования. Новые дан-
ные и новые идеи возникают здесь постоянно. Более того, некоторые из
этих идей должны оказывать большое влияние на другие отрасли физики,
поскольку в компактных объектах происходят взаимодействия всех четырех
типов. Кто, например, мог предвидеть, что вопрос о том, претерпевает ли
ядерная материя фазовый переход в кварковое состояние при высокой
плотности, будет решаться путем наблюдений с рентгеновского спутника!

Настоящая книга предназначена для аспирантов первого года или сту-
дентов старших курсов, изучающих физику и астрономию. Для ее чтения
не требуется никаких предварительных знаний в астрофизике или в общей
теории относительности. Все необходимые понятия и математические ме-
тоды вводятся по мере надобности. Предполагается, однако, что читатель
знаком с теорией электромагнетизма, статистической физикой и термоди-
намикой, классической и квантовой механикой и специальной теорией отно-
сительности в пределах университетского курса.

Поскольку здесь даны лишь элементы общей теории относительности,
необходимые для нашего изложения, подготовленные читатели могут об-
ратиться к одному из прекрасных курсов общей теории относительности,
вышедших в последние годы, чтобы углубить и расширить свои знания.
Мы рекомендуем для этой цели «Гравитацию» Мизнера, Торна и Уилера
[411] или «Гравитацию и космологию» Вейнберга [606]. Читатели, у кото-
рых возникнет желание изучить физику «обычных» звезд, горение в кото-
рых поддерживается ядерными реакциями и которые еще не сжаты силами
тяготения до состояния компактных объектов, могут воспользоваться мо-
нографиями Клейтона [135] или Кокса и Джули [152]. Подчеркнем, однако,
что мы пытались сделать нашу книгу полностью независимой от других
источников.

Изложенный в ней материал располагается в естественном порядке.
Для компактных объектов каждого типа (белых карликов, нейтронных
звезд или черных дыр) вначале анализируются физические свойства в «ос-
новном» состоянии. Например, прежде всего рассматривается сферически-
симметричная неврашаюшаяся конфигурация при нулевой температуре. За-
тем анализируется действие на эти объекты различных «возмущений», на-
пример вращения, магнитных полей, тепловых потоков, аккреции и т.п.
Как и для большинства физических систем, структура компактных звезд
лучше всего проявляется в том случае, когда они подвергаются воздейст-
вию каких-либо возмущающих факторов. (В самом деле, невозмущенные
компактные звезды в космосе просто ненаблюдаемы!) Где это возможно,
мы привлекаем данные наблюдений, чтобы обосновать и пояснить теоре-
тическое обсуждение.

Авторы попытались предложить простые (например, «одномерные»)
модели аналитических вычислений вместо слишком сложных выводов или
не всегда доступных численных расчетов. Такие аналитические модели слу-
жат для выявления основных физических принципов, хотя, может быть, и
не обеспечивают высокой точности. В случаях когда такого рода оценки
предлагаются вместо более точных вычислений, результаты последних
всегда четко сформулированы, разумеется, если они существуют вообще.

Чтобы удержать объем книги в разумных пределах, авторам пришлось
придирчиво отбирать материал. Кое в чем этот выбор произволен и осно-
ван на субъективных симпатиях. В других случаях при отборе материала
авторы руководствовались стремлением, чтобы книга не слишком скоро
устарела. Например, политропные модели звезд или уравнение состояния
идеального ферми-газа, по-видимому, никогда не утратят своей ценности.
Другой пример: хотя точная теория остывания нейтронной звезды еще не
построена, уже теперь ясно, каковы ее основные физические принципы и
как будет проведен расчет. Поэтому мы предлагаем подробный «типич-
ный» расчет; в нем можно изменить числа, но идеи останутся неизменны-
ми. С другой стороны, мы еще не знаем детального механизма излучения
пульсара. До сих пор остается неясным, какие физические концепции, лежа-
щие в основе современных моделей, окажутся правильными. Исходя из
этого, авторы ограничились в указанном случае более коротким обсужде-
нием. Лет через десять читатель сможет увидеть, насколько оправданным
оказался подход, избранный авторами.

Чтобы сделать книгу полезной в качестве учебника, авторы включили в
нее свыше 250 упражнений, предназначенных для проработки студентами.
Эти упражнения разбросаны по всему тексту. В некоторых из них предла-
гается довести до конца выводы, начатые или намеченные в тексте; другие
представляют собой несколько более сложные задачи. Ко многим упражне-
ниям даны ответы. Поскольку большинство результатов, содержащихся в
упражнениях, является неотъемлемой частью изложения и используется в
дальнейшем, студенту рекомендуется по крайней мере прочитать упражне-
ние, даже если он не собирается его, решать. Разумеется, как и в любом
разделе физики, по-настоящему овладеть предметом можно, только осно-
вательно поработав с ним, а в данном случае работа — это решение задач.
Чтобы придать этому делу больший интерес, в книгу включен ряд «вычис-
лительных упражнений». Это несколько более длинные числовые приме-
ры, которые можно решить на настольном программируемом калькуля-
торе или на любой малой ЭВМ. Такие упражнения полезны не только для
пояснения физических аспектов, но и для обучения численным методам.

Имеется немало прекрасных книг и обзорных статей, в которых обсуж-
дается целый ряд вопросов, затронутых в настоящей книге. Мы часто ссы-
лаемся на эти источники. Наряду с другими книгами, упомянутыми в дан-
ном предисловии, для изучающих предмет исключительно полезна книга
Я. Б. Зельдовича и И. Д. Новикова «Релятивистская астрофизика», т. 1
[636].

Не удивительно, что в подготовку этой книги внесли вклад многие лю-
ди, работающие в самых различных учреждениях. Мы просто не в состоя-
нии перечислить все случаи, когда студенты и наши коллеги оказывали нам
неоценимую помощь своими критическими замечаниями, советами и указа-
ниями. Однако мы особенно благодарны некоторым из своих коллег за
внимательное чтение отдельных разделов предварительного варианта этой
книги и за столь важные для нас отзывы. Благодарим за внимание, беско-
рыстную трату времени и многочисленные советы К. Олкока, Дж. Аронса,
Дж. Бакала, Дж. Бардина, Г. Бете, Р. Бландфорда, С. Чандрасекара,
Дж. Кордеса, Т. Голда, К. Готтфрида, П. Джосса, Д. Лэмба, Ф. Лэмба,
А. Лайтмана, Ч. Мизнера, Дж. Острайкера, Ф. Пачини, Д. Пайнса, С. Рап-
папорта, Э. Солпитера, С. Сталера, Дж. Тейлора, И. Терзиана, К. Торна,
X. Ван Хорна, Р. Вагонера и И. Вассермана. Кроме того, многие коллеги
помогали нам во время работы над книгой своим ободрением и поддерж-
кой. Среди прочих нам хотелось бы выразить свою признательность
У. Арнетту, Дж. Бейму, Дж. Кларку, Д. Эрдли, У. Фаулеру, Р. Джиакко-
ни, Дж. Хартлу, С. Хокингу, М. Милгрому, К. Петику, У. Прессу,
Р. Прайсу, М. Рису, М. Рудерману, Д. Шрамму, Б. Шутцу, Д. Шаме,
П. Шапиро, Л. Смарру, С. Вейнбергу и Дж. Уилеру. Мы благодарим
Р. Дункана, П. Шиндера, X. Скотта и Дж. Уонга за тщательную проверку
окончательного варианта рукописи, включая упражнения. Наконец, мы бе-
сконечно признательны Д. Стюарт и Дж. Уитакр за перепечатку рукописи
и внесение бесчисленных исправлений, предшествовавших окончательному
тексту.

Благодарим Национальный научный фонд за помощь в проведении ис-
следовательских работ, которые представлены в этой книге, и за финансо-
вую поддержку Корнеллского университета. Авторы выражают призна-
тельность за предоставление им стипендий от Фонда А. П. Слоана
(С.Л.Ш) и Фонда Дж. С. Гуггенгейма (С. А. Т.).

Стюарт Л. Шапиро
Саул А. Тьюколски

Итака, шт. Нью-Йорк
Январь 1983 г.
Рекомендации по использованию книги

Стараясь сделать книгу достаточно полной и независимой от других источ-
ников, авторы включили в нее больше материала, чем можно изложить в
обзорном курсе в течение одного семестра. Поэтому ниже приводится таб-
лица, которая поможет преподавателям в отборе разумного количества на-
иболее существенного материала, доступного для изложения в таком кур-
се. Разумеется, любой читатель, время которого ограниченно, может так-
же воспользоваться этой таблицей как примерным указанием для самосто-
ятельного изучения предмета.

Материал, знание которого необходимо для понимания данной главы,
указан во втором столбце таблицы. В третьем столбце приводятся разде-
лы, наиболее важные в данной главе и доступные для изложения на лекци-
ях. Указания по дополнительному чтению для студентов содержатся в чет-
вертом столбце. Вообще говоря, для понимания данной главы необходим
только тот материал, который отобран для изложения на лекциях и допо-
лнительного чтения в главах, указанных во втором столбце.

Порядок изложения может быть изменен, однако мы рекомендуем тот,
который дается в таблице, чтобы не утрачивались не всегда ясные «нити
повествования», которые проходят через всю книгу.

Преподаватель может счесть необходимым уменьшить объем предлага-
емого материала еще на 10—20%, чтобы изучить его более глубоко. С дру-
гой стороны, некоторые из читателей, возможно, захотят ознакомиться с
теми разделами, которые не рекомендованы в нашей таблице, но представ-
ляют для них особый интерес. Например, опущенные разделы из гл. 3 и 4
могут быть интересны студентам, изучающим физику твердого тела, а из
гл. 8 и 11 — студентам, изучающим физику ядра и элементарных частиц, и
т.д. В таких случаях, как правило, достаточно взглянуть на название разде-
ла или быстро просмотреть несколько первых абзацев, чтобы составить
представление о его содержании и понять, насколько он интересен.

Разделы книги, опущенные согласно таблице, а также приложения мо-
гут быть полностью изложены в курсе, рассчитанном на два семестра. При
этом преподаватель вполне может дополнить приведенное здесь общее об-
суждение каким-либо дополнительным и более конкретным материалом,
который можно позаимствовать из цитированной литературы.
ТАБЛИЦА К РЕКОМЕНДАЦИЯМ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ КНИГИ
(КУРС, РАССЧИТАННЫЙ НА ОДИН СЕМЕСТР)

Глава	Необходимые сведения	Лекции	Дополнительное чтение
1	—	Целиком	Приложение А
2	—	2.1—2.6, резюме 2.1	2.7
3	2	3.2—3.6	3.1
4	2,3	4.1, 4.2, 4.5, 4.6	4.3, 4.4
5	—	Целиком	
6	—	6.1, резюме 6.1, 6.10	
7	6	7.1, 7.4°	7.3
8	2	8.1, 8.5, 8.6, резюме 8.1	8.2, 8.4, 8.10, 8.12, 8.14
9	8	9.2—9.4	9.1
10	—	10.2, 10.3, 10.5, 10.8	10.1, 10.7, 10.9—10.11
11	—	11.1—11.4, 11.8—11.9	11.5—11.7
12	5	12.1, 12.3, 12.4, 12.6	12.2, 12.5, 12.7, 12.8
13	—	13.2, 13.3, 13.5, 13.7, резюме 13.1	13.1, 13.4, 13.6
14	13	14.3°	14.1, 14.51}, приложе- ние
15	13	15.1, рис. 15.1	15.2
16	5	16.3, 16.5, резюме 16.1	16.1, 16.2, 16.4, 16.7
17	5, 6	Опустить	Опустить
18	2, 8, 11	18.1, 18.5, 18.7	18.2, 18.4, 18.6

Только краткое содержание.
Гибель звезд
и образование компактных объектов

1.1.	ЧТО ТАКОЕ КОМПАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ?

Рассказ о компактных объектах логично начать с того места, где заканчи-
вается история нормальной звездной эволюции. Компактные
объекты — белые карлики, нейтронные звезды и черные дыры — «рожда-
ются», когда «гибнут» нормальные звезды, т.е. когда оказывается израс-
ходованной ббльшая часть ядерного горючего звезды.

Все три типа компактных объектов отличаются от нормальных звезд
двумя фундаментальными признаками. Во-первых, израсходовав ядерное
горючее, они перестают сопротивляться гравитационному коллапсу за счет
термодинамического давления. Белые карлики удерживает от коллапса дав-
ление вырожденных электронов, а нейтронные звезды — главным образом
давление вырожденных нейтронов. Черные же дыры — звезды полностью
сколлапсированные, т.е. это звезды, которые уже не могут противостоять
собственной силе тяготения и, следовательно, сжимаются вплоть до сингу-
лярности. Исключая спонтанно излучающие черные «мини»-дыры с масса-
ми менее 1015 г и радиусом не более 1 ферми, все три типа компактных
объектов являются по существу статическими в течение периода порядка
времени жизни Вселенной. Они представляют собой конечную стадию
звездной эволюпии.

Вторая характерная черта компактных объектов, отличающая их от
нормальных звезд, — чрезвычайно малый размер. Компактные объекты
имеют намного меньший радиус, чем нормальные звезды сравнимой мас-
сы. Этот факт наглядно иллюстрируется табл. 1.1. и рис. 1.1.

Из-за громадного диапазона, в котором может меняться плотность
компактных объектов, их изучение требует глубокого физического понима-
ния структуры материи и природы сил, действующих между частицами, в
чрезвычайно широкой области изменения параметров. Все четыре типа
фундаментальных взаимодействий (сильные и слабые ядерные силы, элек-
тромагнетизм и гравитация) играют роль в компактных объектах. Особен-
но примечательна большая величина гравитационного потенциала на по-
верхности компактных объектов, которая приводит к тому, что при опре-
делении их внутреннего строения существенными оказываются эффекты
общей теории относительности. Даже для белых карликов, для которых
ньютоновская теория тяготения адекватно описывает равновесное состоя
ние, общая теория относительности оказывается необходимой при изуче-
нии вопроса об их устойчивости.

Из-за малой величины радиуса светящиеся белые карлики, которые из-
лучают остатки своей тепловой энергии, характеризуются существенно бо-
лее высокой эффективной температурой, чем нормальные звезды, хотя при
'BgiifOHHWt
';; ? 3se3i«

r feibre
Ш||ЖИ

ЗвеэЭьгз.^^^

□и»»

noсле 8 о e arn ел ьмо oil

ю’°	10м

R, см

Рис. 1.1. Компактные объекты во Вселенной. Приведены также средние плотности и
радиусы других небесных тел. (7 — Земля, 2 — Юпитер, 3 — Солнце, 4 — Солнеч-
ная система, 5 — карликовые эллиптические галактики, 6 — шаровые скопления,
7 — гигантские эллиптические галактики, 8 — спиральные галактики, 9 — большие
скопления галактик, 10 — Местное сверхскопление.)

этом имеют более низкую светимость. (Напомним, что для черного тела с
температурой Т и радиусом R поток пропорционален Г4, так что свети-
мость ведет себя как R2T*Л Другими словами, белые карлики намного «бе-
лее» нормальных звезд-карликов, с чем и связано их название.
Таблица 1.1

ХАРАКТЕРНЫЕ ЧЕРТЫ КОМПАКТНЫХ ОБЪЕКТОВ

Объект

Масса, М Радиус, R

Средняя
плотность,
г/см3

Поверхнос-
тный по-
тенциал,
GM/Rc2

Солнце0

Белый карлик
Нейтронная звезда
Черная дыра

~(1-3)М0
Произвольна

Я® 2
~10~2 R

~10~5 R

IGM/c1

1

<107

<1015

-M/R3

10“6
~10~4
-кг1
~1

= 1,989-Ю33 г, R® = 6,9599-1010 см.

Черную дыру вообще никакой свет (и ничто другое) покинуть не может.
Поэтому изолированная черная дыра будет выглядеть «черной» для любо-
го наблюдателя. (Это утверждение нуждается в некоторых оговорках, если
принимать во внимание квантовомеханические эффекты, которые мы обсу-
дим в гл. 12.)

Нейтронные звезды получили свое название из-за того что они состо-
ят в основном из нейтронов, образовавшихся вследствие взаимного уничто-
жения электронов и протонов в процессе обратного бета-распада. Так как
плотность нейтронных звезд сравнима с ядерной, то фактически они пред-
ставляют собой «гигантские ядра» (1057 барионов), удерживаемые соб-
ственным тяготением.

Белые карлики можно наблюдать непосредственно в оптические теле-
скопы в течение длительного периода их охлаждения. Нейтронные звезды
можно наблюдать как импульсные радиоисточники (пульсары) и косвенно
как периодические источники рентгеновского излучения, возникающего в
результате аккреции газа на нейтронную звезду (рентгеновские пульсары).
иррные дыры можно наблюдать только косвенно, благодаря тому влия-
нию, которое они оказывают на свое окружение. Например, в некоторых
условиях они могут проявлять себя как апериодические источники рентге-
новского излучения, возникающего вследствие аккреции газа. В последую-
щих главах мы обсудим как эти, так и другие наблюдаемые явления, свя-
занные с компактными звездами.

1.2. ОБРАЗОВАНИЕ КОМПАКТНЫХ ОБЪЕКТОВ

Компактные объекты представляют собой конечные продукты звездной
эволюции. Считается, что основным фактором, определяющим, закончит
ли звезда свою жизнь как белый карлик, нейтронная звезда или черная ды-
Ра, является ее масса.

2-353
Полагают, что белые карлики образуются из легких звезд с массами
М <	Как мы увидим в гл. 3, для белых карликов существует

максимальное значение массы, которое составляет около 1,4A/q.
Звезды — предшественники белых карликов, — по всей видимости, выбра-
сывают некоторую часть своей массы в конце эволюции, образуя при этом
планетарные туманности.

Нейтронные звезды и черные дыры, как полагают, происходят от более
массивных звезд. Однако линия раздела между звездами, которые превра-
щаются в нейтронные звезды и черные дыры, весьма неопределенна, так
как конечные стадии эволюции массивных звезд мы понимаем довольно
плохо. Для нейтронных звезд также существует максимальное значение
массы (в диапазоне 1,4—ЗЛ/q), но численные расчеты, в которых делаются
попытки описать медленную стационарную потерю массы звездой или ка-
тастрофический выброс массы со взрывом сверхновой, находятся на весьма
примитивном уровне. Таким образом, судьба звезды с массой М 4Mq в
настоящее время нам неясна.

Табл. 1.2 отражает современный уровень нашего неведения относитель-
но судьбы звезд в конце их эволюции. Некоторая дополнительная неопре-
деленность вносится тем, что при вычислениях, лежащих в основе табл.
1.2, обычно предполагают, что для судьбы звезды другие факторы (напри-
мер, магнитные поля, вращение, эффекты в двойных звездах) менее су-
щественны, чем масса.

Полный гравитационный коллапс, ведущий к черной дыре, в принципе
может произойти иначе, чем прямой коллапс далеко проэволюционировав-
шей массивной звезды. Например, поскольку существует определенное мак-
симальное значение массы, выше которого белый карлик или нейтронная

Таблица 1.2

РЕЗУЛЬТАТ ЗВЕЗДНОЙ ЭВОЛЮЦИИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ МАССЫ [19]

Диапазон масс	Ожидаемый результат
1 < М/М@ < (3-6)	Время жизни превышает возраст Вселенной  Белый карлик + планетарная туманность.  Потеря массы
(3-6) < М/М& < (5-8)	а)	Возгорание углерода 12С + 12С  1)	«кипение» — сжатие ядра, либо  2)	взрыв и распыление ядра, либо  3)	быстрое ядерное горение и (??)  б)	Пульсационная потеря массы и переход к бе- лому карлику
(5-8) < M/MQ < (60-100)	Сжатие ядра + сверхновая -* нейтронная звезда, иногда — черная дыра (?)
(60-100) < M/MQ	Неустойчивость
звезда не могут противостоять коллапсу, аккреция газа на любой из этих
объектов (например, в двойной системе) может привести к образованию
черной дыры.

По крайней мере еще два процесса образования черных дыр. были пред-
ложены теоретиками (хотя и не подтверждены пока наблюдателями!).
Первый представляет собой коллапс «сверхмассивной звезды», который
приводит к образованию «сверхмассивной черной дыры». Мы более под-
робно обсудим этот процесс в гл. 17, а пока просто отметим, что такие
сверхмассивные звезды оказываются неустойчивыми, когда их плотность
достигает определенного критического значения, зависящего от величины
массы. Соответственно когда сверхмассивная звезда в своем развитии до-
ходит до этой плотности, испытывая лучистое охлаждение и сжатие, она
может катастрофическим путем перейти в черную дыру. Таким может
быть происхождение сверхмассивных черных дыр с массами М/М® ~
~ 106 — 109, которые предлагаются для объяснения сильнейшей актив-
ности, наблюдаемой в квазарах и активных галактических ядрах.

Второй механизм представляет собой образование первичных черных
дыр в ранней Вселенной вследствие возмущений в однородном поле фоно-
вой плотности [265, 635]. Так как все черные «мини-дыры» с М 1015 г
должны были излучить свою массу вследствие процесса Хокинга (см.
разд. 12.8) за время меньшее, чем возраст Вселенной, то в настоящее вре-
мя могут существовать только черные дыры с М > 1015 г.

В принципе астрономические наблюдения могли бы подтвердить идею,
что компактные объекты являются конечными продуктами эволюции
звезд. Подсчитав число «погибших» звезд в нашей Галактике с момента на-
чала звездообразования, мы можем оценить с той или иной степенью до-
стоверности количество (и плотность) компактных объектов, имеющихся в
Галактике в настоящее время. Затем мы можем сравнить это число с наб-
людениями.

Такие вычисления наиболее надежны в случае белых карликов. По бе-
лым карликам и планетарным туманностям имеются богатые данные наб-
людений, поэтому могут быть проверены любые оценки их пространствен-
ной плотности, основанные на скорости гибели звезд.

Подобные же оценки для нейтронных звезд или черных дыр являются
гораздо менее уверенными. Помимо большей неопределенности в диапазо-
не масс звезд — предшественников, имеется дополнительная сложность,
связанная с тем, что нейтронные звезды и черные дыры можно наблюдать
лишь в течение весьма короткого по астрономическим масштабам «актив-
ного» периода их существования, когда они проявляются в виде пульсаров
или компактных рентгеновских источников.

Несмотря на эти неопределенности, имеющиеся данные уже позволяют
сделать некоторые интересные заключения. Как мы увидим, компактные
объекты так же широко распространены в Галактике, как и другие звезды.
Наблюдаемая доля распределенной плотности общей массы, приходящаяся
на белые карлики, составляет заметную часть плотности массы, заключен-
ной в обычных звездах. Множество белых карликов и нейтронных звезд
(т.е.пульсаров) уже обнаружено, и имеется по крайней мере один хороший
кандидат на роль черной дыры (Лебедь Х-1)1) .

В оставшейся части этой главы мы обсудим, как можно оценить часто-
ту встречаемости компактных объектов в окрестности Солнца на основа-
нии статистики рождения и гибели звезд. Значения, которые мы приводим,
неточны, однако при лучшем понимании поздних стадий звездной эволю-
ции можно будет получить более надежные оценки. К счастью, большин-
ство свойств компактных объектов не зависит от плохо известной истории
их предшественников. В следующей главе мы приступим к изучению физи-
ческих процессов, определяющих эти свойства2).

1.3.	СТАТИСТИКА РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ ЗВЕЗД

Количественное определение скорости рождения и гибели звезд выполняет-
ся следующим образом [26, 39, 408, 435].

Определим

ф(Му) = функция светимости звезд поля,	(1.3.1)

т.е. число звезд всех типов (не только звезд главной последовательности) с
данной абсолютной визуальной звездной величиной, содержащихся в куби-
ческом парсеке галактического диска исключая звезды скоплений. [См. при-
ложение А, в котором определены применяемые в астрономии единицы
«абсолютная звездная величина» (мощность) и «парсек» (длина), а также
кратко обсуждается эволюция звезд и описана главная после-
довательность.]

Далее определим

</>MS(lg М) = современная функция масс (СФМ) звезд

главной последовательности в окрестности Солнца,

(1.3.2)
т.е. число звезд главной последовательности в единичном логарифмиче-
ском интервале массы на квадратный парсек. Заметим, что все массы в
этом разделе [такие, как М в равенстве (1.3.2)] выражаются в единицах со-
лнечных масс и что все логарифмы — десятичные. Величины 0MS и Ф(Му)
связаны соотношением:

4>ms( 1g М) = Ф(Ч>)

dMv
d lg M



(1.3.3)

*) Другой объект — кандидат в черные дыры — открыт в Большом Магеллано-
вом облаке. — Прим. ред.

2) Возможно, при первом чтении многие читатели захотят пропустить относящие-
ся к астрономии технические детали в оставшейся части этой главы. Тем не менее,
прежде чем двигаться дальше, им следует взглянуть на табл. 1.4 , имея, однако, в
виду, что приведенные там данные содержат большие неопределенности.
Здесь множитель с производной переводит функцию светимости в функцию
масс. Множитель 2H(MV) возникает от интегрирования функции светимо-
сти по расстоянию z, измеряемому перпендикулярно к плоскости Галакти-
ки в предположении, что звезды распределены по закону ехр(- \z\/H), где
H(MV) — характерная высота. Множитель /MS(A/V) дает долю звезд данной
величины, находящихся на главной последовательности.

Основная получаемая из наблюдений величина в равенстве (1.3.3) — это
Результаты многочисленных определений этой функции находятся в
прекрасном согласии между собой [39, 398, 408]. В табл. 1.3 приведены
значения, принятые в работе [39]. В этой таблице также указано соотноше-

Таблица 1.3

ВЕЛИЧИНЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СОВРЕМЕННУЮ ФУНКЦИЮ МАСС (СФМ)

	-МЛ/,)”		2H,3}	1g 7  Ig 1 MS		0Msdg W),
/  /		звезд/(пс3  зв.вел.)	1g м/м 2) * 4 - —v— w	dlgM	ПС	лет	f 5) 7MS	звезд/(пс2  1g M)

-6	l,49(-8)	2,07	3,7	180	6,42	0,40	3,97( - 6)
-5	7,67(-8)	1,80	3,7	180	6,50	0,40	2,04( - 5)
-4	3,82(-7)	1,53	3,7	180	6,58	0,41	I,04(-4)
-3	l,80(-6)	1,26	3,7	180	6,84	0,42	5,03(-4)
-2	7,86(-6)	0,99	3,7	180	7,19	0,43	2,25(-3)
- 1	3,07(- 5)	0,72	3,7	180	7,68	0,46	9,41( - 3)
0	l,04( - 4)	0,45	10,8	180	8,36	0,50	i.oi(-i)
1	2,95(-4)	0,36	10,8	180	8,62	0,56	3,21(- 1)
2	6,94(-4)	0,26	10,8	180	8,93	0,64	8,63(- 1)
3	l,36(-3)	0,17	10,8	300	9,24	0,78	3,44(4-0)
4	2,26(-3)	0,08	10,8	465	9,60	0,98	1,U(+l)
5	3,31(-3)	-0,02	10,8	630	9,83	1,00	2,25(4-1)
6	4,4l(-3)	-0,11	10,8	650	10,28	1,00	3,10(+l)
7	5,48(-3)	-0,20	10,8	650	—	1,00	3,85(4 I)
8	6;52(~3)	-0,29	10,8	650	—	1,00	4,58(4 1)
9	7,53(-3)	-0,39	10,8	650	—	1,00	5,29(4 1)
10	8,52(-3)	-0,48	10,8	650	—	1,00	5,98(4 I)
11	9,54(-3)	-0,57	10,8	650	—	1,00	6,70(4 1)
12	l,06(-2)	-0,67	10,8	650	—	1,00	7,44(4 1)
13	l,I7(-2)	-0,76	10,8	650	—	1,00	8,21(4 1)
14	l,29(-2)	-0,85	10,8	650	—	1,00	9,06(4 1)
15	l,41(-2)	-0,94	10,8	650	—	1,00	9,90(4 1)
16	l,41(-2)	-1,04	10,8	650	—	1,00	9,90(4 1)

По работе Бакала и Сонейры [39], равенство (1).

По работе Бакала и Сонейры [39], равенство (17).

По работе Бакала и Сонейры [39], рис. 2.

4) По работе Миллера и Скало [408]. Мы интерполировали их результаты таким образом,
чтобы они согласовывались с результатами Бакала и Сонейры при совпадающих значениях М, но
не Л/у> так как в теоретических расчетах 7~MS обычно выражают как функцию М.

5) По работе Бакала и Сонейры [40], равенство (1).
ние масса— светимость, т.е. Mv в зависимости от 1g М, для главной после-
довательности, которое довольно хорошо определено как в результате наб-
людений, так и теоретически. Изменение характерной высоты Н в зависи-
мости от Mv (и, следовательно, от М) определено не столь хорошо, кроме
случая самых ярких звезд. Однако из табл. 1.3 ясно, что звезды с большой
массой и большой светимостью сильнее сконцентрированы в плоскости
диска, чем звезды малой массы. Поправочный множитель /MS обусловлен
присутствием звезд, эволюция которых зашла достаточно далеко, так что
горение происходит в них не только за счет водорода. Как правило, /MS —
~ 1 для слабых звезд с М1; > 3 (М 1,4 Af$), а для ярких звезд с Му О
(М > 3,5 М®) /MS падает примерно до 1/2. Поправочный множитель/MS
для ярких звезд известен не очень хорошо. Полученная в результате сог-
ласно равенству (1.3.3) СФМ также приведена в табл. 1.3. Для звезд малой
массы неопределенность в этом выражении в основном связана с Н(М)\ для
звезд большой массы она обусловлена главным образом соотношением
между М и Mv, а также Ф(Му).

Теперь определим начальную функцию масс (НФМ) для звезд поля:

£(lgA/) s полное число звезд,
которые когда-либо образовались на единице площади
в единичном логарифмическом интервале масс.	(1.3.4)

В предположении о постоянстве темпа рождения1! скорость образова-
ния звезд поля в единичном интервале 1g М равна просто £(lg M)/TQ. Здесь
То — возраст Галактики (фактически равный возрасту Вселенной), который
мы примем равным 12 • 109 лет.

Теперь мы можем связать <AMS с £, введя время пребывания звезды на
главной последовательности TMS. Большинство массивных звезд, появив-
шихся после начала звездообразования, уже давно ушли с главной последо-
вательности (TMS < То) и, следовательно, не вносят вклада в 4>MS.
Поэтому

Wig M) = <(lg	TMS<r0.	(1.3.5)

Менее массивные звезды все еще находятся на главной последовательно-
сти, и потому

Wig^WOgM TMS>r0.	(1.3.6)

Величина TMS в зависимости от М приведена в табл. 1.3; эту зависи-
мость можно представить в приближенной аналитической форме:

?MS ~

L

(1-3-7)

!) Миллер и Скало [408] приводят данные в пользу приемлемости этого приближе-
ния.
где AA^s — доля массы водорода, сожженного, пока звезда находилась на
главной последовательности, AXMS « 0,13, а Е* — энерговыделение на 1 г
массы при реакции ядерного слияния Н в Не, т.е. Е* » 0,007 с2 » 6,4 х
X Ю18 эрг/г. Из теории внутреннего строения известна грубая оценка

L

Г

м \3,5

М < 10Мо

(1.3.8)

(соотношение «масса — светимость» для главной последовательности). Ра-
венства (1.3.7) и (1.3.8) теперь дают

/ М \ 2,5

Tms 13 х 10Д лет’

М < 10Мо.

(1.3.9)

Упражнение 1.1. Определите степень надежности приближенных равенств (1.3.8) и
(1.3.9), сравнивая их с более точной зависимостью L и 7MS от (A//A/q), получен-
ной с помощью табл. 1.3 и выражения (А.6).

Используя равенства (1.3.5) и (1.3.6) и значения </>MS, приведенные в
табл. 1.3, мы вычислим £(lgAf). Результаты можно представить аналитиче-
ски с помощью следующей подгоночной функции:

lg «1g М) = Ао + A, lg М + А2( 1g м)2,

A0=l,41, At = -0,90, А2 = -0,28, lgM>-l.

(1.3.10)

Здесь М измеряется в единицах М& . Наклон начальной функции масс приб-
лиженно равен

= - (0,9 + 0,6 lg М).	(1.3.11)

d lg М

Эти значения не слишком отличаются от приведенных Миллером и Скало
[408], если принять во внимание существующие неопределенности.

Современные определения £ обычно сравнивают с функцией скорости
рождения Звезд, введенной Солпитером [495]. В своей пионерской работе,
посвященной этой проблеме, Солпитер рассматривал концентрацию звезд в
галактическом диске, пренебрегая множителем H(MV) и используя «ста-
рые» значения rMS. Введенная Солпитером функция скорости звездообра-
зования равна

tsdl "ГТ" ) = 2 X 10“12(	’ГТ'] звезд/(пс3 • год) (1.3.12)

\ мо /	\мо ) \ма I

в Диапазоне 0,4 < М/М^ 10.
Упражнение 1.2. Покажите, что НФМ £5, соответствующая определяется
выражением



(1.3.13)

Из равенств (1.3.12) и (1.3.13) в пренебрежении зависимостью Н от М
получим

a ‘g

d 1g M

1,35,

(1.3.14)

В диапазоне масс 2 4-10 такая зависимость вполне согласуется с более
поздним результатом (1.3.11). Выше 10 М® наклон НФМ более крутой,
чем показывает это равенство, в то время как ниже 2 Л/q — более поло-
гий. Эти различия связаны с пренебрежением Н(М) и устаревшими значени-
ями rMS.

Проверкой согласованности СФМ служит сравнение с пределом Оорта.
Изучая динамику движения звезд нашей Галактики в окрестности Солнца,
Оорт [424] нашел полное количество вещества, ответственного за наблюда-
емые ускорения. Недавнее определение предела Оорта приводит к плотно-
сти (0,14 ± 0,003)A/q • пс"3 * * * * * [319]. Используя СФМ, можно подсчитать по-
лную массу звезд главной последовательности в окрестности Солнца. Ба-
кал и Сонейра [39] получили оценку 0,040 М® • пс"3. В какой форме нахо-
дится остальное вещество? Межзвездный газ дает 0,045 Mq • пс"3 [549].
Наблюдаемые белые карлики ответственны еще за 0,005 М® • пс"3 В
итоге остается примерно 0,05 М® • пс"3 «недостающей массы» в окрест-
ности Солнца. Существует немало предположений относительно природы
этой недостающей массы (астероиды, планеты, «медленные» карлики клас-
са М, черные карлики, черные дыры и т.п.). В настоящее время мы не зна-
ем ответа на этот вопрос.

Используя предел Оорта, можно прийти к выводу, что примерно поло-
вина массы 1 алактики уже заключена в звездах, закончивших свою эволю-
цию. Для М > 0,9 A/q время жизни звезды на главной последовательно-
сти, TMS, короче возраста Галактики Го = 12 • 109 лет. (Это значение по-
лучено интерполяцией данных, приведенных в табл. 1.3.) Используя функ-

Мы привели значение, данное Бакалом и Сонейрой [39]. Они предположили, что

резкое падение количества очень слабых белых карликов, отмеченное Либертом и

др. [361], является реально существующим эффектом, и таким образом определили,

что концентрация белых карликов в окрестности Солнца равна 0,008 пс"3. Умноже-

ние на среднюю массу «наблюдаемого» белого карлика 0,65 (см. сноску на

стр. 115 в гл. 4) дает значение 0,005 А/$-пс~3. Это в 4 раза меньше, чем оценка,

приведенная в [605].
цию скорости звездообразования по Солпитеру в качестве приближенного
выражения, найдем

г00	/ М \

— I = 5 X 10-MG • ПС-3 • год-3. (1.3.15)

Умножение на То дает полную массу, прошедшую через яркие звезды. Та-
ким образом, мы получим 0,06 М® пс-3, т.е. примерно половину предела
Оорта.

Теперь можно подсчитать скорость гибели массивных звезд и, следова-
тельно, скорость рождения компактных объектов. Для звезд с массами
;> 0,9 A/q имеем TMS < 7^, и потому естественно предположить, что
звездное население стационарно — средний темп гибели находится в при-
мерном равновесии с темпом рождения. При упрощенном рассмотрении
можно использовать аналитическую функцию скорости звездообразования,
введенную Солпитером, которая не приводит к большим ошибкам в том
диапазоне масс, который нас интересует.

Примем с иллюстративной целью, что массы звезд—предшественников
белых карликов составляет 1—4 A/q (см. табл. 1.2). Диапазон масс
звезд—предшественников нейтронных звезд известен еще хуже, однако при-
мем его равным 4—10 М® и будем считать, что все звезды с массой боль-
ше 10 A/q заканчивают свою жизнь как черные дыры.

Функция скорости звездообразования по Солпитеру не учитывает зави-
симости от высоты Н над плоскостью Галактики. Преобразуем скорость
образования звезд в единице объема в полную скорость, умножая на эффек-
тивный объем Галактики:

^disk = ят2(2Я) = 1,3 X 1011 пс3,

(1.3.16)

где мы приняли 2 Н — 180 пс, что справедливо для звезд с массами боль-
ше 2 A/q (см. табл. 1.3), и характерный радиус галактического диска взяли
равным г = 15 кпс1^.

Скорость образования ( = скорости гибели) для звезд с массами в диа-
пазоне от до М2 равна

М,/М©
год

м2/м0

(1.3.17)

1) Эта оценка является весьма грубой, так как мы приняли, что темп рождения
звезд во всей Галактике такой же, как в окрестности Солнца. Кроме того, «харак-
терный» радиус диска — вовсе не четко определенная величина. (Солнце находится
на расстоянии примерно 10 кпс от центра Галактики.)
Концентрация п компактных объектов, образовавшихся из звезд-
предшественников с массами в диапазоне от до Л/2, составляет

п

I
м,/мо

мх/мо

ПС 3

M2/MQ

(1.3.18)

Для определения массовой концентрации р этих компактных объектов1)
нельзя просто проинтегрировать произведение Интегрирование было
бы возможным, если бы не существовало потери массы и вся масса
звезды-предшественника оставалась в компактном объекте. Мы знаем, что
для белых карликов и нейтронных звезд, которые имеют максимальные
массы порядка 1,4 Л/q и 2—3 М® соответственно, это вовсе не так. Пото-
му определим р, умножая п на среднюю массу < М >, причем для белых
карликов и нейтронных звезд соответственно примем <Л/> wd = 0,65 Л/q и
(M)ns = 1,4 Mq. О черных дырах мы знаем еще меньше и в этом случае
просто пренебрежем потерей массы. Рассматривая отношение р к полной
плотности массы рт = 0,14 М® пс-3 (предел Оорта), получим для белых
карликов или нейтронных звезд

(1.3.19,
Рт Рт

в то время как для черных дыр

_	/ . , \	/ , , \ -0,35 Мх/Мо

А = Ь (М2/М°М^<1 Ь£М = 0,49 ^-1	.	(1.3.20)

Рт Рт MX/MQ \ Мэ /	\	/	M2/MQ

Среднее расстояние между компактными объектами данного типа в
окрестности Солнца равно

(4тги/3)

(1.3.21)

Используя вышеприведенные формулы, мы можем заполнить табл. 1.4.

Некоторые из результатов, приведенных в таблице, можно сравнить с
наблюдениями. Бакал и Сонейра определили, что местная концентрация
белых карликов равна 0,008 пс-3 (см. сноску на стр. 24), что с точностью
до множителя 2 совпадает с нашей теоретической оценкой. Разделив эту
величину на 7”0, получим оценку для скорости рождения белых карликов:
10“11 12 пс-3 • год-1.

11 Массовая концентрация объектов — это величина массы, «размазанной» по по-

лному объему и отнесенной затем к единице объема. — Прим. ред.
Таблица 1.4

КОМПАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ В СОЛНЕЧНОЙ ОКРЕСТНОСТИ °

Объект	Диапазон значений мае сы звезды- предшествен- ника, Mq	Интегральная галактическая скорость рож- дения, год-1	Концентрация, пс~$	р  РТ	{d}, пс
Белые карлики	1—4	0,16	1,5-10“2	0,070	2,5
Нейтронные звезды	4—10	0,021	2,0-10“3	0,020	4,9
Черные дыры	>10	0,0085	8,0-10~4 * * * *	0,22	6,7

О Эти значения получены с помощью равенств (1.3.17)—(1.3.21).

Примечание. Ближайший известный белый карлик, Сириус В, находится на расстоянии 2,7 пс,
ближайшая известная нейтронная звезда, PSR 1929 + 10, удалена на 50 пс, ближайший кандидат
в черные дыры, Лебедь Х-1, — около 2 кпс.

Неопределенности в шкале расстояний до планетарных туманностей за-
трудняют определение их скорости рождения, но большинство оценок [9,
99, 428] согласуются со скоростью рождения белых карликов.

Эти результаты, по-видимому, подтверждают гипотезу, что звезды с
массами 1—4 М® в конце своей жизни проходят через стадию планетарной
туманности и что все белые карлики образовались в ходе такого процесса.

Данные но нейтронным звездам более неопределенные. По оценкам Ар-
нетта [19] скорость образования пульсаров в Галактике составляет

/?PSR----------—;— год-1 ,	(1.3.22)

PSR 35X10±!

aPSR ~ 4 X 10-1|±| пс-2 • год’1.	(1.3.23)

Тейлор и Манчестер [561] приводят оценку

<jpsR (3-10) X 10"11 пс'2 • год-1,	(1.3.24)

в то время как первоначальное значение, данное Ганном и Острайкером
[252], составляет

^psr == 5 X 10 нпс-2  год-1.	(1.3.25)

Эти оценки чувствительны к шкале расстояний до пульсаров; определяемой
по их мере дисперсии (см. разд. 10.4).

Приведенные выше данные о пульсарах можно грубо сравнить с табл.
1*4, если разделить соотношение (1.3.24) на 2Н = 180 пс и умножить на
Л) = 12 • 109 лет. В результате получим

"psr ~ (2-6) X 10"? пс ~3,	(1.3.26)
что свидетельствует о хорошем согласии данных. Более аккуратный анализ
выполнен Шипманом и Грином [537].

Интересно сравнить скорости рождения пульсаров и сверхновых.» Тео-
ретики считают, что большинство пульсаров, если не все, возникают при
вспышках сверхновых. (Сверхновая 1054 г., остаток которой отождест-
вляется с Крабовидной туманностью, несомненно привела к рождению
пульсара.) Тамманн [556] на основании исторических источников оценил
скорость рождения сверхновых в Галактике как

^SN.hist = уд; = 1/(28 лет),	(1.3.27)

где число зарегистрированных в истории сверхновых N = 6 за время Д/ =
= 103 лет. Величина ./ = 60°/360° — часть галактического диска, в кото-
рой наблюдались сверхновые: по всей видимости, в других направлениях
от Солнца сверхновые невидимы из-за поглощения света в Галактике. При-
веденное значение скорости при делении на площадь галактического
диска тг  (15 кпс)2 дает

aSN ~ 5 X 10“11 пс-2 • год'1.	(Г.3.28)

Типичная скорость образования сверхновых в других галактиках [556] равна

7?sn ~ 1/(300 лет) на 1 галактику.	(1.3.29)

Если установленный на основе исторических хроник темп рождения
сверхновых в нашей Галактике является типичным, то, по всей видимости,
большинство внегалактических сверхновых не видно наблюдателям. Там-
манн считает, что выражение (1.3.27) является хорошей оценкой для истин-
ной скорости образования сверхновых в нашей Галактике, в то время как
Ван ден Берг [582] получил оценку

7?sn ~ 1/(60 лет) для нашей Галактики,	(1.3.30)

что вдвое ниже оценки Тамманна. Заметим, что aSN ~ apsR, что подтверж-
дает наши теоретические идеи.

Сравнение вычисленной теоретической скорости рождения различных
компактных объектов со статистикой галактических источников рентгенов-
ского излучения было бы в принципе весьма показательным. Однако, по-
скольку эти источники, по всей видимости, являются компактными объек-
тами в двойных системах (см. гл. 13), фундаментальные трудности в изуче-
нии их эволюции (касающиеся, например, потери массы и момента коли-
чества движения) в настоящее время затрудняют сколько-нибудь надежное
сравнение.

Упражнение 1.3. Используя функцию скорости рождения по Солпитеру и предпола-
гая, что все звезды с массами > 10 Mq образуют черные дыры, оцените среднюю
массу черной дыры, образовавшейся в результате звездного коллапса. Потерей мас-
сы пренебречь.
Упражнение 1.4. Как изменятся числовые результаты в табл. 1.4 для нейтронных
звезд и черных дыр, если То = 18 • 109 лет? То - 9 • 109 лет?

Упражнение 1.5. Главная последовательность для скопления Плеяды представле-
на звездами с М < 6 Л/q ; более массивные звезды уже сошли с главной последова-
тельности (см. приложение А.2). Открытие, что это скопление может содержать
какой-нибудь белый карлик, вынуждает сделать вывод, что в конце концов белые
карлики образуются из звезд с массами вплоть до 6 (почему?), а не только с
массой, не превосходящей 4 Mq , как предполагалось при составлении табл. 1.4. Ис-
пользуя функцию скорости рождения по Солпитеру, переопределите данные, содер-
жащиеся в табл. 1.4, с учетом этого результата. Сравните ваши теоретические
предсказания с наблюдаемой звездной статистикой для белых карликов, планетар-
ных туманностей, сверхновых и пульсаров. (Замещение: Романишин и Ангел [485]
изучили четыре других звездных скопления, содержащие белые карлики, и в порядке
рабочей гипотезы предположили, что звезды с массами вплоть до 7 Mq образуют
белые карлики.)

Упражнение 1.6 (основанное на работе [435]). Предположим, что звезды большой
массы (М > 8	) создают пульсары, в то время как звезды промежуточной массы

(4—8 М.) взрываются полностью [22], причем при каждом взрыве из ядра выбра-
сывается масса, равная примерно 1,4 М$, в виде элементов, близких по атомному
номеру к железу.

а)	Используя функцию скорости рождения по Солпитеру и Го = 12  109 лет,
вычислите полную плотность железа, выброшенного в межзвездную среду такими
взрывами.

Ответ: 2 • 10“3 Mq пс-3.

б)	Используйте предел Оорта, чтобы предсказать обилие железа (долю по массе)
д галактическом диске, предполагая, что большая часть железа возникла в результа-
те таких взрывов. Сравните с наблюдаемым обилием 1,4 • 10~3 [621].

Ответ: Предсказывается 1,7 • 10~2.

Упражнение 1.7. Пересчитайте числа, приведенные в упр. 1.4, используя функцию ско-
роди рождения, основанную на СФМ Бакала и Сонейры. Заметьте, что интегралы,
возникающие при использовании равенств (1.3.10), выражаются через функцию оши-
бок. В качестве альтернативы можно использовать приближенное аналитическое вы-
ражение:

К 1g М) = D0MD',

= 33,	Dx = -0,5,	0,1 < М 1
По = 35,	D} = - 1,5,	1 < М < 10,
По = 163,	D, = -1,9,	10 < м,

где М выражается в единицах Mq . Заметьте, что в этом случае rflgM =
= </Л//(Л71п10).
На этом этапе следует сделать предостерегающее замечание. Помимо
неопределенностей в наблюдениях, мы сделали еще ряд теоретических
предположений, которые могут оказаться несправедливыми. В дополнение
к тем, что упоминалось выше, мы пренебрегли эффектами медленной ста-
ционарной потери массы на поздних стадиях эволюции массивных звезд.
Так, например, в сверхгигантах типа Р Лебедя скорость потери массы
близка к М ~ 10"5 б) * * * Mq  год-1; для вращающихся эмиссионных В-звезд
М ~ 10-6 — 10-10A/q • год-1. Никто не знает в настоящее время, какие
звезды проходят фазу потери массы и сколько такая фаза длится. Извест-
ны три двойные системы, содержащие белые карлики, обращающиеся во-
круг нормальных звезд, для которых возможно точное определение массы
(см. разд. 3.6). Во всех трех случаях масса белого карлика меньше массы
главного компонента, хотя белый карлик эволюционировал быстрее [ср. с
равенством (1.3.9)]. Поскольку белый карлик достиг конечного пункта сво-
ей термоядерной эволюции, звезда-предшественник должна была потерять
существенную часть своей массы. Так как расстояние между звездами в
этих системах довольно велико, кажется правдоподобным, что потеря мас-
сы не зависит от того, что эти системы являются двойными.

Упражнение 1.8. Грубую оценку числа внегалактических случаев звездного коллапса
в заданном объеме с центром на Земле можно сделать следующим образом [19].
Светимость нашей Галактики равна LG = IO10’5 L®. Предположим, что темп этих
событий в нашей Галактике равен темпу образования сверхновых, установленному
по историческим хроникам, RG = (30 лет)-1.

а) Используя эти числовые значения и предположение, что R ос L в любой боль-
шой области вокруг Земли, определите темп внегалактических событий как
функцию объемной светимости L. Дайте обоснование предположению о линейной
зависимости.

б) Оцените «космическую излучательную способность» е в единицах Lq Мпс-3
по величине LG и средней концентрации галактик nG ~ 0,02 Мпс-3. Определите
/?(£>), где D — радиус рассматриваемой области (в Мпс). Вычислите R для скопле-
ния Девы (D - 10 Мпс).

в) Найдите типичное значение Dobs, 601111 типичная видимая звездная величина
наблюдавшихся сверхновых равна 14w, а абсолютная величина — 18w (вблизи макси-
мума). Вычислите R(Dobs) и сравните с наблюдаемым темпом образования внегалак-
тических сверхновых 7?obs - (300 лет)-1 в спиральной галактике.

Упражнение 1.9. (основанное на работах [34, 36]).

а) При типичной вспышке сверхновой должна излучиться энергия ~ 0,1 Mq с2 в
форме нейтрино со средней энергией Е ~ 10 МэВ (см. гл. 18). Если бы сверхновая
возникла на расстоянии R от Земли, она могла бы генерировать ядерные переходы в
эксперименте Дэвиса по поискам солнечных нейтрино (на 37С1). Интервал времени
между последовательными сбоями продуктов захвата нейтрино в установке Дэвиса
составляет около одного месяца. Чему равен эффективный поток нейтрино в те-
чение этого периода как функция 7? (в с-1 • см-2)?

б) Примите условие </>eff а(£) > 3<</xj> в качестве критерия регистрации нейтрино.
Здесь а(Е) — сечение захвата ( = 2,7 • 10-42 см2 на атом 37С1 при 10 МэВ), а
{фо) — средняя скорость захвата солнечных нейтрино, для обнаружения которых
предназначен эксперимент. Для этой величины можно использовать измеренное зна-
чение {фо), которое равно ~ 2 SNU (1 SNU = 10“36 захватов на один атом в секун-
ду). До каких значений R установка способна обнаруживать сверхновую?

Ответ: R ~ 4 кпс.

Замечание: До сегодняшнего дня из всех промеров в эксперименте Дэвиса только
в одном была обнаружена скорость захвата, достигавшая 6 SNU. Отсюда мы делаем
вывод, что за последние 10 лет в ближайших областях нашей Галактики, составляю-
щих ~ 30% ее объема, произошло не более одного звездного коллапса.
Уравнение состояния холодного вещества
ниже точки образования
нейтронных капель

В основе теории компактных объектов лежат физические категории двух
различных типов. Эти категории в широком смысле можно охарактеризо-
вать как «глобальные» и «локальные». Глобальные свойства описывают
крупномасштабный динамический отклик материи на воздействие гравита-
ции, электромагнитных полей, вращения и т.д. Эти глобальные свойства
определяются уравнениями движения материи. В дополнение к членам,
описывающим гравитацию, электромагнитные поля и т.п., уравнения дви-
жения включают эффекты внутренних натяжений, таких, как, например,
градиент давления и потери энергии из-за вязкости или излучения. Величи-
ны, подобные давлению, вязкости или излучательной способности, обычно
выражают локальные свойства вещества, которые определяются локаль-
ным термодинамическим состоянием отдельного элемента вещества.

В последующих главах мы рассмотрим как локальные, так и глобаль-
ные свойства компактных объектов. Начнем с микрофизики, которая необ-
ходима для изучения белых карликов, а именно с уравнения состояния (со-
отношения между плотностью и давлением) до режима образования нейт-
ронных капель (плотность меньше — 4 • 1011 г/см3). При подходящей мо-
дификации часть этого рассмотрения может быть перенесена на случай
нейтронной звезды.

Прежде всего мы сделаем обзор основных термодинамических соотно-
шений, которые будут широко использованы в последующем изложении.

2.1.	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕРМОДИНАМИКИ

Обычно термодинамические величины относят к некоторому определенно-
му числу частиц N в объеме V. Релятивистская инвариантность термодина-
мики выглядит более прозрачной, если все величины описывают измере-
ния, сделанные в локально сопутствующей инерциональной системе, движу-
щейся вместе с веществом. Таким образом, мы представим себе локальную
лоренцеву систему, движущуюся с той же скоростью, что и данный эле-
мент среды. Пусть п — концентрация барионов, измеренная в этой систе-
ме, ас — полная плотность энергии (включающая энергию покоя). Тогда
е/п — энергия, приходящаяся на один барион. Различные величины удобно
определять в расчете на один барион, так как барионное число
сохраняется1). Первый закон термодинамики имеет следующую общую
форму:

dQ =	+	(2.1.1)

где dQ — количество теплоты, полученное в пересчете на один барион,
р — давление, а \/п — объем, приходящийся на один барион. Черточка в
(fQ напоминает, что эта величина не есть полный дифференциал.

Если в элементе среды, который все время находится в равновесии, про-
текает какой-либо процесс, то

dQ = Tds,	(2.1.2)

где s — энтропия на один барион, а Т — температура. Объединяя уравне-
ния (2.1.1) и (2.1.2), получим в равновесии

= -pd(^ + Tds-	(2-1-3)

При написании уравнения (2.1.3) молчаливо предполагалось, что е/п явля-
ется функцией только п ns, т.е. £ = е(п, s). Вообще говоря, плотность
энергии системы, содержащей различные типы частиц, зависит от относи-
тельности количества этих частиц, а также от объема \/п и значения 5. Ес-
ли определить относительную концентрацию частиц f-го сорта как

п>

(2.1.4)

где — концентрация частиц сорта /, то

е = е(п,з, YJ).	(2.1.5)

Следовательно, в общем случае следует написать

+ Tds + ^dY,,	(2.1.6)

где

P =	= n2g(£/")	(2 1 7)

a(i/n) dn ’	v ‘ ’

г =	(2.1.8)

ds

> Мы пренебрежем реакциями с несохранением барионов и лептонов, которые мо-
гли бы происходить при сверхвысоких энергиях (> 1015 ГэВ) в некоторых теориях
«великого объединения» (см., например, [607]). В этом случае было бы необходимо
явно ввести объем данного элемента жидкости.

3-353
3(е/п) _ Зе

3y( ~~з^'

(2-1.9)

Величина называется химическим потенциалом частиц сорта /. Ее
можно интерпретировать как изменение плотности энергии при изменении
на единицу концентрации частиц сорта / при постоянных давлении, энтро-
пии и концентрации частиц остальных типов. Заметим, что поскольку £ по
определению включает в себя энергию покоя, то же самое справедливо и
ДЛЯ Ду,

В равновесии реакции между частицами приводят к состоянию с деталь-
ным равновесием, когда каждая реакция уравновешивается ей обратной и
относительная концентрация частиц каждого сорта остается постоянной.
Таким образом, в равновесии не все относительные концентрации Yi неза-
висимы от других термодинамических величин. Равновесные соотношения
можно определить следующим образом.

Рассмотрим сначала специальный случай, когда система бесконечно
близка к равновесию. Разрешены реакции, которые приводят систему к
равновесию, но система теплоизолирована (</Q = 0) и объем ее фиксиро-
ван, так что над ней не производится никакой работы. В этом случае урав-
нение (2.1.1) дает d(z/ri) = 0, т.е. энергия системы остается постоянной.
Реакции порождают энтропию, но так как в равновесии энтропия макси-
мальна (согласно второму закону термодинамики), то в первом приближе-
нии ds = 0. Таким образом, в равновесии уравнение (2.1.6) дает

Ем, dYt = 0.

(2.1.10)

Допустим, например, что рассматривается равновесие относительно ре-
акции

(2.1.11)

Тогда dYe = dYp = -dYn = —dYVe и, следовательно,

Me + Up = M„ + Me/

(2.1.12)

Подобные же соотношения между химическими потенциалами справедли-
вы для любой реакции, которая приводит к равновесию. Если химические
потенциалы известны (например, из статистической механики) как функции
состава при соответствующих значениях п и s или п и £, тогда уравнение
(2.1.10) определяет равновесные относительные концентрации.

Даже когда начальное состояние очень далеко от равновесия, но систе-
ма приближается к равновесию с (to = 0 и dn = 0, то ее энергия по-
прежнему остается постоянной. В конце концов она будет бесконечно близ-
ка к равновесию и приведенные выше соображения станут применимы. Та-
ким образом, можно снова определить состав, если известны химические
потенциалы при фиксированных значениях п и £.
Теперь рассмотрим общий случай, когда система не обязательно тепло-
изолирована и над ней может производиться работа. Если система дости-
гает равновесия за счет квазистатических реакций, то Tds = ctQ. Однако в
общем случае второй закон термодинамики требует

dQ^Tds.	(2.1.13)

В силу сохранения энергии уравнение (2.1.1) приводит к результату:

d(-] + Pd{-\ ^Tds.	(2.1.14)

\п ! \п I

Если равновесие достигается при постоянных п и 5, то уравнение (2.1.14)
дает

(2.1.15)

Равновесное состояние соответствует отсутствию какого-либо изменения 8
(т.е. de = 0), и, очевидно, в равновесии значение 8 минимально при фикси-
рованных п и 5. Используя уравнение (2.1.6), с помощью этого принципа
можно восстановить уравнение (2.1.10).

Аналогично, если Т и п сохраняются постоянными, уравнение (2.1.14)
дает

(2.1.16)

где

£

fs~~Ts	(2-1.17)

есть свободная энергия в расчете на один барион.

Если Т и Р постоянны (это наиболее частая ситуация, встречающаяся на
практике), то

(2.1.18)
где

р + р

g^-^-Ts	(2.1.19)

" термодинамический потенциал Гиббса в расчете на один барион. Рав-
новесие соответствует минимуму g при постоянных Т и Р. Последнее выра-
жение для условия равновесия особенно удобно, когда происходят фазовые
переходы, сопровождаемые скачком в п при непрерывных Т и Р (см. разд.
2-7).

Используя уравнение (2.1.6), из (2.1.19) найдем

dg = ^dP - sdT + ^g,dY,.	(2.1.20)
Таким образом, требование, чтобы g было минимальным при постоянных
Т и Р, снова приводит к уравнению (2.1.10).

Величины, подобные энергии, объему, энтропии и числу частиц, называ-
ются экстенсивными величинами: при делении некоторого объема пополам
энергия, энтропия и число частиц в каждой части равны половине своего
значения для целого объема. Величины типа давления и температуры, ко-
торые при этом не меняются, называются интенсивными величинами.
Требование, чтобы все экстенсивные величины данной системы изменялись
при изменении объема одинаково, приводит к соотношению1*

Я =	(2.1.21)

I

Теперь уточним количество независимых термодинамических величин,
необходимых для описания равновесного состояния. Рассмотрим для на-
глядности взаимодействующую смесь барионов (включающих, например,
нейтроны и протоны) и лептонов (включающих электроны, мюоны и соот-
ветствующие нейтрино). Все реакции в заданном объеме сохраняют плот-
ность барионного числа п, электронного лептонного числа 2*лЬе и мюонно-
го лептонного числа а также плотность электрического заряда Hq.
Выберем четыре основных химических потенциала, соответствующие этим
четырем сохраняющимся величинам, например, следующим образом: g
(связанный с л), цп (связанный с яЬе), (связанный с nLfjL) и це (связанный
с Hq). Тогда в равновесии все остальные химические потенциалы будут ли-
нейными комбинациями этих четырех. Так, например, уравнение. (2.1.12)
определяет из реакции (2.1.11).

Получаем, что все термодинамические величины, связанные с частицами
сорта i, в равновесии являются функциями только Т и (В следующем
разделе это будет показано явно для случая идеальных газов.) Итак, в об-
щем случае для полного описания равновесного состояния необходимо за-
дать Т и четыре величины Эквивалентно можно задать любые пять не-
зависимых термодинамических величин. Обычно Hq = 0, так что требуют-
ся только четыре величины.

Ниже в этой главе мы рассмотрим идеальный газ при Т = 0 и условии,
что нейтрино могут уходить из системы. Это эквивалентно такому выбору
/?1е и что химические потенциалы всех нейтрино равны нулю. По-
скольку Т, Пр, nLen nL^ заданы, все термодинамические величины этой си-

Вывод (с использованием иных обозначений) см., например, в книге [479,
с. 314].

2) Здесь и далее по всей книге предполагается, что нейтрино — это безмассовые
фермионы со спином 1/2 и определенной спиральностью, причем соответствующие
антинейтрино имеют противоположную спиральность. Если нейтрино не являются
безмассовыми частицами, то возможны в принципе нейтринные осцилляции,
вследствие чего физические нейтрино будут смесью электронного, мюонного и тау-
нейтрино. В этом случае электронное, мюонное и тау лептонные числа по отдельно-
сти не сохраняются.
стемы зависят только от одного параметра, например от плотности бари-
онного числа.

В ряде случаев можно использовать понятие ограниченного равновесия.
Это означает, что некоторые реакции, необходимые для достижения по-
лного равновесия, являются слишком медленными в представляющем ин-
терес временном масштабе. Это приводит к тому, что возникает более че-
тырех сохраняющихся величин и нужно задать большее количество ni для
описания системы. Например, характерное динамическое время для звезды
обычно много меньше, чем время, которое необходимо для изменения со-
става звезды вследствие ядерных реакций. Чтобы определить давление,
внутреннюю энергию и т.п. в звезде, необходимо явно задать относитель-
ные концентрации Н, Не и т.д., а не только просто барионную концент-
рацию п. Подобная ситуация, как правило, возникает и при исследовании
химических реакций в земных лабораториях.

2.2.	СВЕДЕНИЯ ИЗ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

В кинетической теории плотности распределения частиц каждого типа в
фазовом пространстве d^fi/d^x d* 3p полностью описывают систему. Эквива-
лентно можно задать безразмерную функцию распределения в фазовом
пространстве /(х, р, г), определенную согласно равенству

d(x =_g_f
d3xd3p Л3

(2-2.1)

Здесь Л3 —объем ячейки в фазовом пространстве (Л — постоянная Планка),
a g — статистический вес, т.е. число состояний частицы с заданной величи-
ной импульса р. Для массивных частиц g = 2 5 4- 1 (S — спин), для фото-
нов g = 2, для нейтрино g = 1. Функция f определяет среднее число запо-
лнения ячейки в фазовом пространстве^.

Упражнение 2.1. Покажите, что d^xd^p есть лоренц-инвариант (т.е. скаляр относи
тельно преобразований Лоренца) и, следовательно, f также лоренц-инвариант.

Концентрация частиц каждого типа задается выражением

d 91



” J d3xd3

(2.2.2)

гДе интеграл берется по всем импульсам. Плотность энергии равна

е

dX j3

——^Td Р'
d3xd3p

(2.2.3)

'* Из контекста нетрудно понять, когда символы f или g используются для обо-

Значения свободной энергии, как в разд. 2.1.
где

Е —	+ w2c4)1, 2, т — масса покоя частицы. (2.2.4)

Заметим, что с включает в себя энергию покоя частиц. Давление в системе
с изотропным распределением по импульсам равно

1 г	z

(2-2-5>

где скорость v равна v = рс2/Е. Это соотношение отражает просто тот
факт, что давление представляет собой поток импульса, а множитель 1/3
появляется вследствие изотропии.

Для равновесного идеального газа функция f имеет простой вид:

= ехр[(£ - д)/АТ] + 1 ’	(2’2'6)

где верхний знак относится к фермионам (статистика Ферми — Дирака), а
нижний — к бозонам (статистика Бозе — Эйнштейна). Здесь к — постоян-
ная Больцмана, ад — химический потенциал.

При достаточно низкой концентрации частиц и высокой температуре
f(E) сводится к распределению Максвелла—Больцмана:

/(£) = ехр(^Д).	^2.2.7)

В этом случае f(E) < 1.

Для полностью вырожденных фермионов (Т -* 0, т.е. ^/кТ -* оо) д на-
зывается энергией Ферми ЕР и



Е> Ef.

(2.2.8)

2.3.	УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛНОСТЬЮ ВЫРОЖДЕННОГО
ИДЕАЛЬНОГО ФЕРМИ—ГАЗА

Изолированный белый карлик или нейтронная звезда в конце концов
охлаждаются до нулевой температуры, и только давление, присущее мате-
рии при Т = 0, удерживает их от гравитационного коллапса. Простейшее
уравнение состояния холодного вырожденного вещества — это уравнение
состояния отдельных типов идеальных (невзаимодействующих) фермионов.
Ниже мы продолжим обзор этого случая1). В следующих разделах будут
рассмотрены более реалистичные, но и более сложные уравнения состоя-
ния, описывающие вырожденное вещество в компактных звездах.

11 Более подробное обсуждение см. в книгах [114] или [135].
Если определить импульс Ферми pF согласно равенству

Ер = (р2рс2 + те2с4)'А,	(2.3.1)

то уравнения (2.2.2) и (2.2.8) дадут

"е = Л	dp = ~Pf.	(2-3-2)

h Jo	ЗЛ3

Удобно ввести безразмерный импульс Ферми или «релятивистский пара-
метр» х выражением

х =	(2.3'3)

Тогда

1

<2-3-4)

Зтг Хе

где Хе = h/mec — комптоновская длина волны электрона.

Давление определяется равенством (2.2.5Т

р = 1A fF-----------р^-------dP = Г х^х— =

е	(р^ + тУ)'7	Ы3 Л(1+х2)1/2

= ^“Ф(х) = 1,42180 X 1025ф(х) дин/см2,	(2.3.5)

е

где

ф(х) == ~Ц{х(1 + х2)1/2(2х2/3 - 1) + ln[x + (1 + х2)1/2]}. (2.3.6)

Аналогично равенство (2.2.3) дает

ее = ~ fP\p2c2 + my)'/24irp2dp=	(2.3.7)

/г Jo

где

=	+ х2)'/2(1 + 2*2) - 1п[х + 0 + л-2)1/2]}_ (2.3.8)

077	J 3

Даже в ситуации, когда вырожденные электроны вносят основной вклад
в давление, в плотности обычно преобладает масса покоя ионов. Эта
плотность равна
где mi — масса ионов сорта /. Если мы определим среднюю массу бариона
как

1

D п 1 1 L^iA'

(2.3.10)

где Ai — барионное число (целая часть атомного веса) ионов /-го сорта, то

(2.3.11)

1 е

Здесь Ye — среднее число электронов на один барион, как в равенстве
(2.1.4). Например, для полностью ионизованного чистого 12С див = ти =
= 1,66057 • 10“ 24 г (атомная единица массы) и Ye = Z/A = 0,5. Поэтому

р0 = 1,9479 X 106х3 г/см3.	(2.3.12)

Иногда используют величину

=	(2-3.13)

Ле

(средний молекулярный вес на один электрон), так что

Ро = ^етипе = 0,97395 X 106рех3 г/см3.	(2.3.14)

или

/ \ 1/3
х= 1,0088 X 10-2

(2.3.15)

где р0 выражается в г/см3. Часто в равенстве (2.3.13) можно пренебречь
различием между д?в и ти. Например, для полностью ионизованного эле-
мента с атомным весом А и номером Z можно записать = A/Z с точ-
ностью примерно 10-4.

Аналогично для определения плотности иногда используется средний
молекулярный вес pt. Тогда выражение для плотности выглядит так:

Ро = (и. + Ип^ти-	(2.3.16)

Отсюда с помощью равенства (2.3.11) получим

(2.3.17)

Здесь снова можно положить т„/ти = 1. Отличие этого отношения от 1
и О

существенно только в случае очень точных вычислений. Понятие среднего
молекулярного веса оказывается особенно полезным при отсутствии вы-
рождения, когда давление определяется выражение^, справедливым для
классического идеального газа:

Р =

пе + Цп\кТ = -^-кТ.
е '/ цти

(2.3.18)

Выражения (2.3.5) и (2.3.14) определяют параметрически через х урав-
нение состояния идеального вырожденного газа Р = Р(р0). (Заметим, что
р = рц + е/с2 — полная плотность энергии и обычно член е/с2 пренебре-
жимо мал.)

Упражнение 2.2. Покажите, что в пределе х < 1 (нерелятивистские электроны) спра-
ведливы разложения

ф(-х)	1	( 5	5 7	5 о	\  * 15w2 v	14Х + 24х “J’	•
х(*)	
в то время как для х >	1 (релятивистские электроны)
ф(х) -	" пЫх4~х2+2 1п2х"')’
х(*) -	4^2(х4 + х2-|1п2х’”)'	(2.3.20)

Уравнение состояния можно записать в форме политропы

р = КРГ0,	(2.3.21)

где К и Г являются постоянными в двух предельных случаях:

1. Нерелятивистские электроны, р0 < 106 г/см3, х < 1, ф(х) х5/15тг2,

г 5 v 32Лт4/3 Й2 1,0036 ХЮ13

3 ’	5 т т5/3и5/3	и,5''3 СГС‘ <2-3-22)

rn’ernu ге	Р'е

1. Ультрарелятивистские электроны, р > 106 г/см3, х > 1, ф(х) —

- х4/12тг2,

г4

З'/у/з йс 1,2435 X 1015

4 ™4/У/3

м4/3

СГС. (2.3.23)

Вышеприведенные результаты можно легко перенести на случай частиц с
Массой mi и статистическим весом gz, получив в результате уравнение со-
стояния идеальных фермионов произвольного сорта i. Например, для чи-
стых нейтронов уравнения (2.3.7), (2.3.14) и (2.3.21)—(2.3.23) превращаются
соответственно в
2	,	.

е„ = ^х(х„) = 1,6250 X Ю38х(х„) эрг/см3 ,	=	(2-3.24)

Ро = тпП„ =	= 6,1067 X 10'5х3 г/им3, (2.3.25)

Лл 377

р =	(2.3.26)

где два предельных режима, указанные выше, суть

1.	Нерелятивистские нейтроны, р0 < 6 • 1015 г/см3,
5	о2/3 4/3 ь2

Г = 4,	К = —----------4-= 5,3802 X 109 СГС. (2.3.27)

2.	Ультрарелятивистские нейтроны, р0 > 5 • 1015 г/см3,
4	31/3ТГ2/3 he

Г = 4,	к =-------Л----— = 1,2293 X 1015СГС. (2.3.28)

3	4	т/

В этом случае плотность массы р = £п/с* 2 целиком обусловлена нейтрона-
ми и сильно превосходит р0, если нейтроны являются ультрарелятивист -
скими (р0 > 6 • 1015 г/см3).

Упражнение 2.3. В равновесии можно вычислить давление по известной плотности
энергии с помощью соотношения (2.1.7). Предполагая, что имеются только электро-
ны (т.е. £ - £е, п - пе), покажите, что равенство (2.3.5) может быть выведено из
равенств (2.3.4) и (2.3.7).

Упражнение 2.4. Покажите, что

+ Ре
"г



(2.3.29)

и сравните с равенством (2.1.21).

Упражнение 2.5. Рассмотрите полностью ионизированное вещество, состоящее из
водорода, гелия и более тяжелых атомных ядер, i > 2. Пусть /и У обозначают до-
лю по массе соответственно водорода и гелия. Покажите, что

2

= 1 + X

(2.3.30)

Подставьте приближенно = А1ти для всех i и возьмите ZzM, ® 1/2 при / > 2.

Упражнение 2.6. Покажите, что средняя кинетическая энергия электронов в вырож-
денном газе равна 3/5 в нерелятивистском пределе и 3/4 EF в релятивистском
пределе. Здесь EF.' = EF - тес2 — р^/2те.
Упражнение 2.7.

а)	Покажите с помощью равенства (2.2.7), что для нерелятивистского газа
Максвелла—Больцмана

/г — тс2 \
kT J

Р = пкТ,

е = пшс2 + ^пкТ.

(2.3.31)

(2.3.32)

(2.3.33)

б)	Используя равенство (2.1.21) (для одного сорта частиц), покажите, что

5

~к

= -| + 1п

(2.3.34)

Упражнение 2.8. Предположим, что частицы газа в упр. 2.7 имеют внутренние сте-
пени свободы (например, отвечающие возбуждению атома или ядра). Тогда для их
энергии можно написать Е - Ес m -I- Еу, где энергия центра масс Ес т. определяется
равенством (2.2.4), а относительно Ej предположим, что она не зависит от Р и равна
нулю в основном состоянии. Покажите, что равенство (2.3.31) следует изменить,
сделав подстановку

g - 'LgJe'[:,/kT,	(2.3.35)

j

где gj — степень вырождения j-го возбужденного состояния. Как изменятся выраже-
ния для Р, с и s?

Упражнение 2.9. Покажите с помощью интегрирования по частям равенства (2.2.2),
что выражение Р — пкТ справедливо для газа Максвелла—Больцмана в общем слу-
чае независимо от того, является ли он релятивистским или нет.

2.4. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЮ СОСТОЯНИЯ

Рассмотренное в предыдущем разделе уравнение состояния идеального вы-
рожденного ферми-газа было использовано Чандрасекаром в его пионер-
ских работах [111, 112] по изучению равновесия белых карликов (см. гл. 3).
На практике к этому уравнению состояния имеются две существенные по-
правки. Одна из них, обратный fi-распад, обсуждается в разд. 2.5—2.7.
Предметом этого раздела являются поправки, связанные с электростати-
ческим взаимодействием между электронами и ионами.

Основная часть электростатических поправок возникает из-за того, что
положительные заряды не распределены однородно по газу, а сосредоточе-
ны в отдельных ядрах с зарядом Z. Это приводит к уменьшению энергии и
Давления окружающих их электронов, так как расстояние между отталки-
вающимися друг от друга электронами в среднем больше расстояния меж-
ду ядрами и электронами, и потому отталкивание оказывается слабее, чем
притяжение.
В невырожденном газе роль кулоновских эффектов возрастает с увели-
чением плотности. Действительно, отношение кулоновской энергии к теп-
ловой приближенно равно

Ес _ Ze2/(r) _ Ze2n\/3
кТ ~ кТ ~ кТ~

62.4.1)

Это отношение растет с ростом пе. Здесь <г> ~ пе 1/3 — характерное рас-
стояние между электронами и ионами. Напротив, для вырожденного гдз а
имеем

Ес = Ze2/<r> .

Г р%/2те

(2.4.2)

Используя выражение (2.3.2) для pF, преобразуем это равенство следую-
щим образом:

Ес = / 1 \2/3 Z 1

Ер \ Зэт2 / ао п1/3

пе Г1/3

Z3 X 6 X 1022 см-3 I

(2.4.3)

где а0 =	— боровский радиус. Таким образом, Ес « Ev для боль-

шинства рассматриваемых в астрофизике вырожденных газов.

Можно вывести приближенное выражение для поправки к уравнению
состояния идеального вырожденного газа, используя условие [подразумева-
емое в уравнении (2.4.3)], что концентрация пе в первом приближении одно-
родна.

При Т — 0 ионы образуют решетку, максимизирующую расстояние
между ионами. Рассмотрим «сферическую» ячейку этой решетки с объемом
4тгг^/3 = l/nN, где nN — концентрация ядер. В этом приближении, называ-
емом приближением Вигнера — Зейтцах\ газ можно представить себе раз-
деленным на нейтральные сферы радиусом г0 вокруг каждого ядра, причем
каждая сфера содержит Z электронов, ближайших к ядру.

Полная электростатическая энергия любой такой сфеоы равна сумме по-
тенциальных энергий электрон-электронного (е — е) и электрон-ионного
(е — 0 взаимодействий. Чтобы собрать однородную сферу из Z электро-
нов, необходимо затратить энергию

(2-4.4)

•'о г

Приближение Вигнера — Зейтца гораздо лучше применимо для белых карликов,
чем для обычных (земных) твердых тел, для которых концентрация пе заметно бо-
лее неоднородна.
где

„з

q - -Ze—	(2.4.5)

Го

представляет собой мряд внутри сферы радиусом г. Выполнив интегриро-
вание, получим

3 Z2e2

5 г0

(2.4.6)

Наличие электронной сферы вокруг центрального ядра с зарядом Ze
приводит к уменьшению энергии на

Ee.t = Ze = - 2	.	(2.4.7)

4 г 2 r0

Таким образом, полная кулоновская энергия такой ячейки равна

Ес = Ее.е + Ee.t =

9 Z2e2

Ю rn •

(2.4.8)

В силу того что ячейки нейтральны, можно пренебречь взаимодействи-
ем между электронами и ядрами, находящимися в различных ячейках.

Электростатическая энергия, приходящаяся на один электрон, равна

т—ЖГ2’/,Л'/’'	<2-4-9)

здесь было использовано выражение

Z

4тгг03/3 ‘

(2.4.10)

Численный коэффициент в равенстве (2.4.9) равен 1,45079, что очень близко
к точному значению 1,44423 для объемноцентрированной кубической ре-
шетки [140]. Соответствующее давление отрицательно и определяется урав-
нением (2.1.7):

Р = 2d(Ec/Z) _ _3J4w\1/3 2/324/3
' е dne 10 ( 3 /	е

(2.4.11)

Сначала рассмотрим это выражение в ультрарелятивистском пределе. В
этом случае результат Чандрасекара для идеального газа имеет вид

„4/3

p^hc^f3^-

(2.4.12)
[ср. с равенствами (2.3.5), (2.3.20) и (2.3.4)], и потому

Р

Ро + Рс

(2.4.13)

= 1 -

о

где а = e2/hc = 1/137 — постоянная тонкой структуры. Следующий член в
этом разложении по степеням aZ2/3 возникает из-за неоднородности рас-
пределения электронной концентрации (поправки Томаса—Ферми; ср. с из-
лагаемым ниже и работой Солпитера [496]).

Хотя вышеприведенные кулоновские поправки относительно малы, они
все же существенны для белых карликов с высокой плотностью вещества и
нейтронных звезд малой плотности.

В нерелятивистском пределе

>	>	2\2/3 п/

о А ) 5пг

(2.4.14)

[ср. с равенствами (2.3.5), (2.3.19) и (2.3.4)], и потому

Р_ =	Z2^3

Л)	21/377ДоИ1/3

Отсюда следует, что Р = 0, когда

Z2

Пе = -----П

2тг3а1

(2.4.15)

(2.4.16)

Это, согласно равенству (2.3.11) при А ~ 2Z, отвечает плотности

р0 = 0,4Z2 г/см3.

(2.4.17)

Равенство (2.4.17) дает для железа р0 ~ 250 г/см3 вместо лабораторного
значения 7,86 г/см3. Причина этого расхождения состоит в том, что при
малой плотности приближение однородного газа уже неприменимо.

Точное уравнение состояния, справедливое при лабораторных плотно-
стях, получить весьма трудно, так как эффекты, связанные с существовани-
ем электронных оболочек, маскируют более простые статистические эф-
фекты. Однако статистический подход к уравнению состояния хорошо ра-
ботает уже при плотностях, в несколько раз превышающих лабораторные,
и оказывается вполне адекватным при рассмотрении белых карликов с ма-
лыми массами (и даже при рассмотрении глобальной структуры больших
планет).

Простейшим статистическим подходом к исследованию атомной
структуры является метод Томаса—Ферми. Предполагается, что внутри
каждой ячейки Вигнеоа—Зейтца электроны движутся в поле медленно ме-
няющегося сферически-симметричного потенциала И(г). Так как в любой
точке этот потенциал является примерно постоянным, то для электронов
можно использовать статистику Ферми—Дирака свободных частиц. Это
означает, что энергия взаимодействия между электронами принимается ма-
лой по сравнению с кинетической или потенциальной энергией отдельного
электрона. В силу этого при любом г все состояния вплоть до Е — EF ока-
зываются занятыми. Энергия EF не зависит от г, в противном случае элек-
троны перемещались бы в области с меньшим значением EF. Таким обра-
зом,

£f = -еУ(г) + -	) = const,	(2.4.18)

где pF — максимальное значение импульса электронов в точке г. Выбирая
подходящим образом произвольную постоянную в И(г), можно придать
Ef любое удобное значение. Однако здесь мы не будем использовать эту
возможность.

Упражнение 2.10. Покажите, что утверждение о постоянстве Е можно получить из
условия, что электронное облако удерживается в гидростатическом равновесии за
счет давления идеального ферми-газа.

Аналогично равенству (2.3.2) получим

Пе = ЗН*Р* =	+ еГ(гШ3/2-	(2.4.19)

Потенциал К(г) определяется уравнением Пуассона:

V2^ =	+ вклад ядра.	(2.4.20)

Вклад ядра представляет собой 6-функцию в начале координат, так что при
г > 0 его можно опустить, налагая граничные условия

limrK(r) = Ze.	(2.4.21)

На границе ячейки г0 электрическое поле должно исчезать (ячейка электро-
нейтральна):

dV

(2-4-22)

Из соотношений (2.4.19) и (2.4.20) следует уравнение

77Т(гК) =	+ ^)]3/2,	(2-4.23)

r dr£	ЗгЕ
решение которого должно удовлетворять граничным условиям (2.4.21) и
(2.4.22).

Удобно перейти к безразмерным величинам, положив

Г = ДЛ,

(2.4.24)

Ef + eF(r) = g.e2|(x) ,

где

/ 9тг2 \1/3

М [ 128Z ) а°’

(2.4.26)

После некоторого упрощения уравнение (2.4.23) превращается в уравнение
Томаса—Ферми

с граничными условиями

с/2ф
dx2

ф3/2

У1/2

ф(0)= 1,

Ф(*о)

(2.4.27)

(2.4.28)

(2.4.29)

х0

Упражнение 2.11. Убедитесь, что уравнение (2.4.29) также можно получить, если по-
требовать выполнения условия электронейтральности в форме

/*Г°	7

Z = / 4ттг2пес1г.

Jo

(2.4.30)

Уравнение (2.4.27) нелинейно, и потому его приходится решать числен-
но; такое численное интегрирование было проведено в работе [196]. Если в
качестве исходного взять значение ф(0) = 1 в начале координат, то сущест-
вует выделенное значение [316] ф' (0) ( = -1,5880710), для которого решение
асимптотически прижимается к оси х при больших х, а соотношение
(2.4.29) удовлетворяется при Ф' (х§) — 0, Ф(х0) — оо, когда х0 — оо (рис. 2.1).
Как мы увидим ниже, это случай нулевого давления, соответствуюшего ну-
левой плотности и бесконечному радиусу (х0 — оо). Указанный недостаток
модели Томаса—Ферми, а именно, тот результат, что свободные атомы
имеют бесконечный радиус, устраняется, если учесть обменные эффекты
(модель Томаса—Ферми—Дирака).
ф

При ф'(0) > —1,5880710 ф(х) нигде не обращается в нуль и стремится к
бесконечности при х — оо. Условие (2.4.29) удовлетворяется при некотором
конечном значении х0, которое определяет радиус ячейки. Этот случай со-
ответствует нейтральным атомам, подвергающимся внешнему давлению.
Мы не будем здесь рассматривать случай ф' (0) < - 1,5880710, соответству-
ющий свободным положительным ионам, для которого ф(х) =0
при конечном х0.

Теперь вычислим давление на границе ячейки, пользуясь формулами, по-
лученными для случая свободных частиц:

2 1 [Рг р1 .	2 J	8т7	5 / \

Р=Т^	dp =	(2.4.31)

h з те	15Л те	х 7

Заметим, что поскольку dV/dr = 0 на границе, то соседние ячейки друг на
друга не действуют. Используя равенства (2.4.19) и (2.4.24)—(2.4.26), мож-
но привести выражение (2.4.31) к виду

1 Z2e2

Ф(^о) 15/2

(2.4.32)

Плотность определяется просто полной массой внутри ячейки:

_ Атн

Ро Л з з
4ттр. х^/З

(2.4.33)

Соотношения (2.4.32) и (2.4.33) параметрически определяют уравнение со-
стояния Р = (через параметр х0). Хотя локально давление всюду
внутри ячейки задается формулой для идеального ферми-газа нереляти-
вистских электронов, отклонения пе(г) от однородности приводят к отли-
чию от идеального случая для «усредненного по ячейке» уравнения состоя-
Ни* /’(Ро)-
При малой плотности х0 оо. Асимптотика решения уравнения (2.4.27)
в этом случае имеет вид

, / А 144
ф(х)-----7,

V J

ОО.

(2.4.34)

Упражнение 2.12. Покажите, что выражение (2.4.34) удовлетворяет уравнению
(2.4.27), однако нарушает условие (2.4.28).

Таким образом,

Р ~ Хо 10 ~ Роо/3-	(2.4.35)

Это соотношение демонстрирует характерное увеличение «жесткости»1)
уравнения состояния с показателем адиабаты ~3,3 при уменьшении
плотности2). Следствия этого результата для белых карликов малой массы
обсуждаются в гл. 3.

В пределе высоких плотностей результат (2.4.32), полученный в модели
Томаса—Ферми, как и следовало ожидать, сводится к равенству (2.4.15)
(ср. с упр. 2.18).

Более полное исследование поправок к уравнению состояния в обсуж-
даемом здесь режиме было проведено в работах [496, 500]. В большинстве
приложений результаты работы [196] для модели Томаса—Ферми—Дирака
являются адекватными при малых плотностях вплоть до значений
104г/см3. При больших плотностях обычно используется результат Чан-
драсекара для идеального газа с кулоновскими поправками (2.4.11).

Упражнение 2.13.

а)	Покажите, что кинетическая энергия электронов в модели Томаса-Ферми равна
2 г»

= 2 fX°^x-’/2 dx.	(2.4.36)

5 М 7о

б)	Покажите, что потенциальная энергия электронов в поле ядра равна

Ее „ = - Ze2 Г°4тгг2 dr— *= -	[Х°ф3/2х~ 1/2 dx. (2.4.37)

Jq	r М •'о

J) «Жесткость» (и «мягкость») — качественная характеристика уравнения состоя-
ния. Для заданной плотности более жесткому уравнению состояния соответствует
большее давление. — Прим, перев.

2) Зельдович и Новиков [636] привели простой, но не вполне строгий вывод значе-

ния показателя степени 10/3 в соотношении (2.4.35).
в)	Покажите, что потенциальная энергия взаимодействия электронов в сферичес-
кой ячейке равна

Ее_е = |e2jfj3rwe(r)jTrf3r'иДИк - г'| 1

(2.4.38)

=	°dx<t>3/2(x)xl/2 х - Г</х'ф3/2(%')(%')1/2 +

Р' •'О	*4)

+ У °dx' ф3/2(х')(х') 1/2

(2.4.39)

Упражнение 2.14. Выведите уравнение Томаса—Ферми (2.4.27), минимизируя по-
лную энергию Е при ограничении (2.4.30). Величину ф следует варьировать при фик-
сированной граничной точке х0.

Указания. 1) Это ограничение соблюдается, если варьировать функцию

Е + X Г°ф3/2х1/2 dx,
Jo

где X = const — множитель Лагранжа.

2) Из-за симметрии выражения (2.4.38) вариация Ее _ е равна удвоенному значе-
нию, полученному при вариации по ф первого подынтегрального выражения в ра-
венстве (2.4.39).

Упражнение 2.15.

а)	Покажите, что

= (2440)

dxt 5	4/2 М •	7

Заметим, что из-за граничного условия (2.4.29) функция ф(х) неявно зависит отх0, и,
следовательно, ее следует дифференцировать по х0 под знаком интеграла. Полезное
соотношение можно получить с помощью дифференцирования условия (2.4.30) по
*0-

б)	Выведите равенство (2.4.32), повторно исходя из первого закона термодинами-
ки.

Упражнение 2.16.

а)	Исходя из равенства (2.4.36), покажите, что

3 Z2p2 г

' г
хо

Указание^. Интеграл I = j ф5/2х~ шс/х можно оценить, записав ф5/2 = ф3/2ф,
о

подставив для ф3/2 выражение из уравнения (2.4.27), дважды проинтегрировав по ча-
стям, повторив подстановку для ф3/2 и снова проинтегрировав по частям.

б)	Оцените внутренний интеграл в выражении (2.4.39) для Ее _ е, подставляя ф3/2
из уравнения (2.4.27). На основании этого покажите, что

Ер е Ее.„ + Ее.е = - | ГГ [|4/2ф(хо)5/2 - ф'(0)].	(2.4.42)

Упражнение 2.17. Проверьте, что в приближении Томаса—Ферми справедливо вири-
альное соотношение:

^К.Е.“*" 2^Р.Е.= 2?^ '

где V = 4/з 7irJ.

Упражнение 2.18 (основанное на работе [500]).

Решите уравнение Томаса—Ферми в пределе высокой плотности (х0 — 0) следую-
щим образом. Положите у = х/х0 и

ф(у) =	+ Гу) + хо/1(у) + ••• •

% 0

Покажите, что граничному условию (2.4.29) можно удовлетворить при

/о(1)=/о(-Ц.	/;(1)"/|(1),ит.д„

а граничному условию (2.4.28) — при

Л(0)=1,	/2(0)=/з(0)=	—о.

Покажите, что таким образом можно воспроизвести полученный ранее результат
(2.4.15), т.е.

Р ='Е0 + Рс.

(Почему для того, чтобы найти Р(р$) при высокой плотности, нельзя просто поло-
жить х = х0 = 0 и воспользоваться выражениями (2.4.32) и (2.4.33), подставив в
первое из них равенство (2.4.28)?)

п Описанная здесь процедура впервые приведена Милном [409], которому было
известно аналогичное вычисление Эмденом [183] гравитационной потенциальной
энергии политропы; см. гл. 3.
2.5. ОБРАТНЫЙ /3-РАСПАД: ХОЛОДНЫЙ ИДЕАЛЬНЫЙ п—р—е-ГАЗ

При высоких плотностях наиболее существенная поправка к уравнению со-
стояния обусловлена обратным 3-распадом1).-

е + р п + v.

(2.5.1)

Обычно протоны и нейтроны связаны в ядрах. Однако в этом разделе мы
обсудим эффекты обратного 3-распада, рассматривая случай газа свобод-
ных электронов, протонов и нейтронов. При этом будем полагать, что
нейтрино, образованные в реакции (2.5.1), свободно покидают систему.
В разд. 2.6 и 2.7 рассмотрен более интересный случай связанных нуклонов.

Реакция (2.5.1) может идти только в том случае, если энергия электрона
достаточно высока, чтобы скомпенсировать разность масс протона и нейт-
рона; (тп — тр) • с2 = 1,29 МэВ. Этот процесс эффективно перерабатыва
ет протоны в нейтроны, если не происходит 3-распад:

п р + е + v .	(2.5.2)

Реакция (2.5.2) запрещена, если плотность вещества настолько высока, что
все уровни энергии электронов заняты, вплоть до того, который должен
был бы занять испускаемый в этой реакции электрон. Таким образом, су-
ществует критическое значение плотности, ниже которой начинается реак-
ция (2.5.2).

Можно рассчитать свойства такой смеси электронов, протонов и нейт-
ронов, полагая, что они находятся в равновесии. В этом случае равенство
(2.1.12) дает

+ ftp = 1*п-.	(2.5.3)

Химический потенциал нейтрино здесь положен равным нулю; иными сло-
вами, предполагается, что концентрация нейтрино равна нулю. Введем по
аналогии с равенством (2.3.3) следующие величины:

хе = -^, хп = ^~, хр = ^-	(2.5.4)

тес	тпс р трс

Тогда в силу того что ре = [(РрС)2 -I- ля2с4]1/2 и т.д., уравнение (2.5.3) при-
нимает вид

"U1 + Хе)'/2 + ^(1 + ^)'/2 = "U1 + Хп)1/2-	(2-5-5)

!) Там, где из контекста ясно, что речь идет только об электронных нейтрино, мы
будем вместо р. использовать обозначение v.
Условие зарядовой нейтральности пе
равенством (2.3.4)]:

пр приводит к соотношению [ср. с

1	3	1	з

------х = ---------X

Зтг2Ч е	3^2Х3р р

или, иначе,

теХе = трхр-

(2.5.6)

(2.5.7)

Теперь уравнение состояния можно записать параметрически, например
через параметр хе: при заданном хе уравнение (2.5.7) определяет хр, а урав-
нение (2.5.5) — хп. В результате получим

Р = ^Ф(Хе) +	Ф(*,) + ^Ф(Л„),	(2.5.8)

ч	ч	ч

е - ^Х(хе) + ^х(хР) + ^х(х„),	(2-5.9)

ч	ч	ч

Упражнение 2.19. Выведите соотношение (2.5.5), минимизируя s при фиксированном
п и используя условие электронейтральности.

Минимальную плотность, при которой появляются нейтроны, можно
найти, положив = 0 в равенстве (2.5.5). Поскольку оказывается, что при
этой плотности протоны будут нерелятивистскими, то хр < 1, и потому из
(2.5.6) следует

те(1 + х2)'/2 = <2,	(2.5.11)

где Q = тп — тр. Разрешая это уравнение относительно хе, из выражений
(2.5.6) и (2.5.10) получим

1

” ” з^Ч

- 1

3/2

= 7,37 X 10зосм-3,

(2.5.12)

и, следовательно,

р0 » птр « 1,2 X 107 г/см3.

(2.5.13)
Упражнение 2.20. Удовлетворяется ли уравнение (2.5.5) при р0 < 1,2 • 107 г/см3?

При плотности выше указанной равновесная смесь содержит все возрас-
тающую долю нейтронов. Ее состав можно определить, подставив равен-
ство (2.5.7) в соотношение (2.5.5):

(т2е + mjxp2)'/2 +	+ х2)'/2 = zn„(l + х2)'/2.	(2.5.14)

Дважды возводя равенство (2.5.14) в квадрат и упрощая, получим

4т2„т2рх2(} + х2) = (Q2 - т2)[(т„ + тр)2 - т2] +

+ 2т2х2(т2 - т2 - т2) + т4х4.	(2.5.15)

Таким образом,
Пр = 1трхр\3

I 2(т2 - т2- т2)	(Q2 - т2)[(т„ + тр)2 - т2] j 7

= I____________т2х2____________________тпх4_____________

(2.5.16)

Теперь, поскольку и Q, и те много меньше, чем тп,

пр 1 [ 1 + Ш/т"хп + 4(g2 ~ т2)/т2х4„

Пп 8 (	1 + 1 /х2

(2.5.17)

Следовательно, протон-нейтронное отношение сначала убывает с ростом
хп, т.е. с ростом плотности. Оно достигает своего минимального значения,
равного

Q , (С2-^)1/2
тп т

(2.5.18)

при

23/2 / Q2 — т2 1 3/4

3w2X3„ \ т2 /

р0 ~ т„пп » 7,8 X 10" г/см3, (2.5.19)
а затем монотонно растет, стремясь к !4 при хп — оо, или рп — оо.

Заметим, что найденное здесь равновесное состояние является устойчи-
вым, так как соответствует минимуму £.

Упражнение 2.21. Проверьте равенства (2.5.18) и (2.5.19).

Упражнение 2.22. Покажите, что результат пе : пр : пп = 1 : 1 : 8 в пределе очень
большой плотности является тривиальным следствием электронейтральности, /3-
равновесия и ультрарелятивистского вырождения.

Упражнение 2.23. Вычислите максимальный импульс электрона, испускаемого в ре-
акции (2.5.2). Покажите, что peF больше этой величины при всех плотностях, превы-
шающих значение (2.5.12). Отсюда следует, что равновесное состояние является
устойчивым.

Результаты этого раздела, строго говоря, неприменимы к случаю гравита-
ционного коллапса с испусканием нейтрино, даже если коллапс происходит
квазистатически и при нулевой температуре. В открытой системе термоди-
намическое равновесие не достигается и состав п—р—е-смеси приходится
определять, решая соответствующие кинетические уравнения для разных
реакций.

Приведенные выше уравнения точно описывают равновесную систему с
фиксированными зарядом (нулевым), барионным числом и лептонным чис-
лом. При этом для лептонного числа выбрано минимально возможное зна-
чение, т.е. рассмотрен предел nv — 0 (/zp — 0) при сохранении условия де-
тального равновесия.

2.6. БЕТА-РАВНОВЕСИЕ МЕЖДУ РЕЛЯТИВИСТСКИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
И ЯДРАМИ. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ГАРРИСОНА-УИЛЕРА

Перейдем теперь к количественному рассмотрению обратного бет^-распада
и попытаемся получить более точное уравнение состояния в диапазоне
плотности 107 В * * < р < 4 • 1011 г/см3. Мы хотим найти низшее энергетиче-
ское состояние системы А - 1057 барионов (масса ~1Mq), состоящей из
отдельных ядер, которые находятся в бета-равновесии с релятивистским
электронным газом. Нужно будет определить: 1) какие ядра находятся в
этой системе, т.е. какие значения А и Z минимизируют энергию; 2) соот-
ветствующее давление.

В этом разделе мы предположим, что по прошествии достаточного вре-

мени после ядерного горения образовавшееся холодное вещество достигает

полного термодинамического равновесия. Тогда наинизшее по энергии со-
стояние определяет как состав, так и уравнение состояния материи. Воз-
можность того, что вырожденное вещество звезд-карликов в природе
действительно достигает минимальной энергии, обсуждается в гл. 3.

Как хорошо известно, для системы барионов с А < 90 состояние с наи-
низшей энергией представляет собой единственное ядро; при этом наибо-
лее сильно связанным ядром является |*Fe. При А г 90 состоянию с наи-
низшей энергией соответствует система, состоящая из двух и более ядер;
наиболее сильная связь имеет место для значений А, являющихся целыми
кратными 56. Таким образом, по мере увеличения А появляется все больше
оснований рассматривать состояние вещества с минимальной энергией как
чистое 2б^е- Однако положение меняется, когда А начинает превосходить
Ю57 и становятся существенными эффекты самогравитации. Для барионов в
гидростатическом равновесии величина плотности превосходит р ~
- 107 г/см3. Следовательно, электроны являются релятивистскими; они
соединяются со связанными в ядрах протонами, образуя нейтроны (обрат-
ный /3-распад), что постепенно изменяет равновесный ядерный состав от
5|Fe в сторону вещества, все более богатого нейтронами.

Физическая картина в общем выглядит следующим образом. Если бы
равновесная структура ядра определялась только ядерными силами, нукло-
ны собирались бы в ядра неограниченного размера. Однако силы кулонов-
ского отталкивания при этом стали бы настолько значительными, что при-
вели бы к делению таких больших ядер. При низких плотностях эти два
противоположных эффекта взаимно уравновешиваются при А = 56. Од-
нако, когда в игру входят релятивистские электроны, баланс смещается.
Доля нейтронов по отношению к протонам в ядре увеличивается (из-за об-
ратного /3-распада), и кулоновские силы начинают играть менее заметную
роль. Отсюда возникает тенденция к образованию больших ядер. Когда
плотность возрастает до ~4  1011 г/см3, отношение п/р достигает крити-
ческой величины. Любое дальнейшее увеличение плотности ведет к образо-
ванию нейтронных капель, т.е. к появлению двухфазной системы, где сосу-
ществуют электроны, ядра и свободные нейтроны, которые совместно
определяют состояние с наинизшей энергией. Повышение плотности сверх
4		1011 г/см3 ведет к увеличению отношения нейтроны —

протоны и появлению все большего количества свободных нейтронов.
Наконец, когда плотность превышает примерно 4 • 1012 г/см3, нейт-
роны создают большее давление, чем электроны. Таким образом, нейтро-
ны начинают играть главную роль, и среду можно рассматривать как одно
громадное ядро с плотностью несколько ниже нормальной ядерной.

Количественное рассмотрение начнем, выписав выражение для плотно-
сти энергии смеси ядер, свободных электронов и свободных нейтронов в
Форме

е = nNM(A, Z) + е'е(пе) + е„(и„).	(2.6.1)

Здесь М(А, Z) — энергия ядра (A, Z), включающая в себя массу покоя ну-
Клонов. В ядерной физике принято также включать в М(А, Z) массу покоя
электронов. Следовательно, из выражения (2.3.7) для Ее нужно вычесть
петес2 и обозначить остаток, входящий в равенство (2.6.1), через Е'е. Вели-
чина nN -— концентрация атомных ядер, а пп — концентрация свободных
Нейтронов. Концентрации барионов и электронов определяются выражени-
ями
\ = AYN + Yn, Ye=Y,.Z.

(2.6.3)

Таким образом, вместо того чтобы рассматривать £ при Т = 0 как функ-
цию (п, YN, Yе, Yn), равным образом в качестве независимых переменных
можно выбрать (п, A, Z, Yn). Равновесные относительные концентрации и
уравнение состояния определяются минимизированием £ по A, Z и Yn при
фиксированном п.

Заметим, что, хотя в этой главе мы номинально интересуемся лишь
уравнением состояния до процесса образования нейтронных капель, в урав-
нении (2.6.1) следует предусмотреть наличие свободных нейтронов, чтобы
можно было определить начало этого процесса. Оказывается, что уравне-
ние состояния Гаррисона—Уилера можно легко продолжить за точку об-
разования нейтронных капель, что и будет сделано в данном разделе.

Величина М(А, Z) для очень богатых нейтронами ядер, рождающихся
при плотностях выше 1О10 г/см3, экспериментально не определена, и поэ-
тому ее приходится выводить теоретически. По крайней мере вплоть до
образования нейтронных капель это обычно делается с помощью полуэм-
пирической массовой формулы.

Весьма простой вариант уравнения состояния был получен Гаррисоном
и Уилером в 1958 г.1) Они использовали полуэмпирическую массовую фор-
мулу Грина [236]:

Af(Z, А) = [(Л - Z)/n„c2 + Z(mp + me)c2 - AEbj =

2

== muc

b}A + b2A2/3 - b3Z + />4Л1 —

b5Z2
л1/3

(2.6.4)

где Eb — средняя энергия связи, приходящаяся на один барион2\

Ьх = 0,991749, Ь3 = 0,000840, Ь5 = 0,000763,

Ь2 = 0,01911, Ь4 = 0,10175.

(2.6.5)

Это выражение основано на капельной модели ядра, причем его члены ин-
терпретируются следующим образом. Основной вклад в Еь пропорциона-
лен объему ядра, как в случае капли жидкости. Отличие Ьх от единицы

Гаррисон и Уилер [259]. См. также Гаррисон и др. [261], гл. 10, где приведено
более подробное обсуждение и даны удобные приближенные выражения для уравне-
ния состояния.

2) Мы умножили все величины Ь}. . .Ь5, использованные Грином, на 0,999682, что-
бы перейти от нормировки на 16О к современной нормировке на 12С.
обусловлено главным образом энергией связи этого объема (радиусы ядер
приближенно пропорциональны Л1/3). Слагаемое, пропорциональное Ь2,
представляет собой поверхностную энергию, a Z?4 — симметричный член
(ядра с равным числом протонов и нейтронов имеют меньшую энергию), в
то время как Ь5 дает кулоновскую энергию. Величина Ь3 равна просто
(тп —	— теУти- Оболочечными эффектами и эффектами спаривания

мы пренебрегаем^.

Упражнение 2.24. Предположим, что ядро состоит из смеси двух идеальных нереля-
тивистских ферми-газов; в одном находится Z протонов, а в другом N = А - Z
нейтронов. Покажите, что энергия ядра (за вычетом энергии покоя) равна

У +

2Z\
А )

2/3

Z

Здесь Ер — энергия Ферми за вычетом энергии покоя, определенная для Л нуклонов,
находящихся в объеме К, так что в каждом состоянии с данным импульсом находят-
ся четыре нуклона. Найдите Ер по известной концентрации ядер п — 1,72  1038 ча-
стиц/см3. Рассматривая отклонения от случая N = Z (минимум Е), определите сим-
метричный член и покажите, что примерно половина величины Ь4 может быть объ-
яснена в этой простой модели, использующей принцип Паули.

Упражнение 2.25. В модели ферми-газа вычислите поверхностную энергию ядра
следующим образом. Плотность состояний в фазовом пространстве без учета спино-
вых эффектов равна

1

—-----— = ~Е < Ef.

d3xd3p h3

Отсюда число состояний с импульсами между р и р + dp в ячейке объемом V равно

h3

Это выражение можно также получить, решая уравнение Шредингера для свободной
частицы внутри кубической ячейки. В этом решении, однако, не следует учитывать
состояния, для которых компоненты рх, ру или pz равны нулю, так как они соот-
ветствуют нулевой волновой функции. Покажите, что такое уточнение приводит к
выражению

d%= ------1 - -7-77- ]dp,

h3 \	4 ур)

Обсуждение этих эффектов можно найти в любом учебнике по ядерной физике.
где S — поверхность ячейки. Используя это выражение, получите среднюю энергию
связи, приходящуюся на одну частицу в форме разложения

Е	S

j - ао + «1-р +  f

где а0 = 3Л£р. Используя выражение rN = r0Ai/3 и п = А /V = 3/iirrj соответствен-
но для радиуса ядра и концентрации частиц в ядре, найдите связь между а\ и Ь2 и
покажите, что рассматриваемая модель близка к реальности.

Упражнение 2.26. Выведите приближенное выражение для кулоновского члена в ра-
венстве (2.6.4), соответствующим образом интерпретируя равенство (2.4.6) и исполь-
зуя значение rN = 1,5 • 10“13А1/3 см.

Упражнение 2.27. Предполагая равное количество нейтронов и протонов в ядре и
используя выражение (2.6.4), изобразите график зависимости ~ЁЬ (МэВ) от А для ста-
бильных ядер при А_ меньше 130. Найдите Лтах, т.е. ядро с максимальной энергией
связи. Чему равно Eb 1тах? Для каких А > Лтах энергетически выгодно деление на
два ядра?

Уравнение (2.6.1) теперь принимает вид

е = и(1 - У„)	+ е'е(пе) + е„(п„),	(2.6.6)

где	«е = «(1 -  «и = nYn.	(2.6.7)

Заметим, что

dne	-	- Er -  ne
de„ dn„	=	= E	(2.6.8)  n„

[Сравните с выражениями (2.1.7) и (2.3.29).] Гаррисон и Уилер приближен-
но рассматривали Z и А как непрерывные переменные, учитывая полуэмпи-
рическую массовую формулу. Таким образом, условие de/dz = 0 приводит
к соотношению

дМ
dz

- (£Fe - ^еС2),

(2.6.9)
которое можно считать непрерывным пределом условия ^-стабильности:
— 1, Л) находится в равновесии с M(Z, Л), причем свободный элек-
трон находится на поверхности моря Ферми.

Аналогичным образом условие де/дА = 0 приводит к равенству



(2.6.10)

Это непрерывный предел условия равновесия (Л - 1) атомов типа (Z, Л) с
А атомами типа (Z, А - 1). Дополнительно должны возникать Z свобод-
ных электронов с энергией на поверхности моря Ферми, когда ядерный за-
ряд увеличивается от (Л - 1) до ЛZ. Комбинируя уравнения (2.6.9) и
(2.6.10), можно получить

дм дм „ л

Z-z— + Л —--М = 0.

dz дА

(2.6.11)

Из условия дг/дУп = 0, пользуясь уравнением (2.6.10), получим

дА

(2.6.12)

что представляет собой непрерывный вариант условия равновесия M(Z, А)
с M(Z, А - 1) и свободным нейтроном.

Уравнение (2.6.9) дает

ь>+ Ч  ¥) “ “’Ч  [°+ %'),/2  '14 (2'613)

где параметр хе определен равенством (2.5.4). Уравнение (2.6.11) приводит
к условию

! h \1/2

Z = vr Я,/2 = 3,54Я1/2,
\ ^^5 /

(2.6.14)

а из уравнения (2.6.12) вытекает

61 +

262Л“'/3

3

Z2

А2

ь5г2

зТ/3

(2.6.15)

, I 1

+ Ь4 д

2 \ V2

гДе также определен равенством (2.5.4). Заметим, что в рассматривае-
мых условиях высоких плотностей хотя Z и возрастает с ростом А, отно-
шение Z/А падает, как Л~1/2.

Чтооы вывести уравнение состояния из полученных выше соотношений,
выберем сначала Л > 56. Тогда равенство (2.6.14) определит Z. Далее про-
верим, достигнута ли при этом точка образования нейтронных капель, т.е.
Рис. 2.2. Различные уравнения состояния ниже точки образования нейтронных ка-
пель. Буквенные индексы у различных кривых поясняются в табл. 2.2. Уравнение со-
стояния Чандрасекара (Ch) приведено для ^ = 56/26. Уравнения состояния
Гаррисона — Уилера (HW) и Бейма — Петика — Сазерленда (BPS) гладко сшивают-
ся с уравнением состояния Фейнмана — Метрополиса — 1 еллера (FMT) при
р-104г/см3. Заметим, что выше точки образования нейтронных капель (pdrip ~
~ 3,2- 10й г/см3 показана вертикальной стрелкой) уравнение состояния
Гаррисона — Уилера гладко переходит в уравнение состояния идеального п—р—е~ -
газа, а уравнение состояния BPS C°drip~4,3'	Г//см3) переходит в уравнение состоя-

ния Бейма — Бете — Петика (ВВР) (см. гл. 8).

приводит ли уравнение (2.6.15) к положительным хп. Если да, то вычислим
еп, Рп и пп из уравнений (2.3.4), (2.3.5) и (2.3.7), заменив в них те на тп. В
противном случае положим эти величины равными нулю. Уравнение
(2.6.13) определяет хе и, следовательно, с'е, Ре и пе. Тогда

г

Р=~2
Р = Ре + Р„,	(2.6.17)

п = пе^ + п„.	(2.6.18)

Полученная в результате зависимость (уравнение состояния) Р = Р(р)
изображена на рис. 2.2. Отклонения от уравнения состояния идеального га-
за электронов и ^Fe становятся заметными при р 107 г/см3. Образование
нейтронных капель начинается при р - 3,18 • 1011 г/см3, где (A, Z) ~ (122;
39,1), т.е. в районе элемента иттрия, при этом EF ~ 23,6 МэВ. При плот-
ностях выше указанного значения свободные нейтроны вносят все больший
вклад в полное давление и плотность. При р — 4,54 • 1012 г/см3, когда
(A, Z) ~ (187; 48,4), нейтроны обеспечивают 60% давления и плотности;
ядра быстро становятся все менее существенными. Выше этой плотности
Гаррисон и Уилер просто использовали уравнение состояния идеального
п—р—е-газа, которое приведено у нас в разд. 2.5; при этом происходит
гладкое сшивание результатов как для Р, так и для dP/dp. К уточнению
этого уравнения состояния при плотностях выше точки образования нейт-
ронных капель мы обратимся в гл. 8. В следующем разделе обсуждаются
уточнения для плотностей от 107 г/см3 до этой точки.

2.7.	УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ БЕЙМА—ПЕТИКА—САЗЕРЛЕНДА

Уравнение состояния Гаррисона—Уилера имеет то преимущество, что
М(Л, Z) представляется довольно простой функцией. Однако для реальных
ядер А и Z принимают дискретные значения, и, кроме того, при определе-
нии связи ядра важную роль играют оболочечные эффекты. Эти эффекты
были учтены Солпитером [496], который определил химический состав и
уравнение состояния при плотностях от 107 до 3,4 • 1011 г/см3, т.е. до об-
разования нейтронных капель.

Бейм, Петик и Сазерленд (BPS) [56] улучшили результаты Солпитера,
используя более точную полуэмпирическую массовую формулу [417]. Кро-
ме того, они заметили, что решеточная энергия, определяемая равенством
(2.4.9), существенна при определении химического состава, хотя дает лишь
небольшую поправку к электронному давлению. Причина состоит в том,
что тип находящегося в равновесии изотопа определяется главным обра-
зом соотношением между поверхностной энергией ядра и кулоновской
энергией. При плотности 1011 г/см3 решеточная энергия уменьшает поло-
жительную кулоновскую энергию ядра примерно на 15%, и это оказывает
заметное влияние на состав.

Чтобы вывести уравнение состояния BPS, добавим энергию решетки к
выражению (2.6.6):

е = и(1 - Г„) Z) + <(ие) + е„(л„) + eL. (2.7.1)
Здесь из равенства (2.4.9) в предположении объемноцентрированной куби-
ческой решетки имеем

eL = -l,444Z2/3e2«y3.	(2.7.2)

Условие de/dYn = 0 теперь дает (при использовании уравнения (2.6.7)

M(A,Z) + z{ef -тес2) + 4ZeL/3ne

EFn =---------------------------------------.	(2.7.3)

Образование нейтронных капель происходит, когда правая часть выраже-
ния (2.7.3) становится равной тпс1. (Строго говоря, нужно учесть еще
энергию взаимодействия высвобожденных нейтронов с ядрами, но этот эф-
фект незначителен.)

При последующем обсуждении будем считать, что плотность ниже точ-
ки образования нейтронных капель, определяемой уравнением (2.7.3), и по-
ложим еп = 0.

Состав равновесной смеси можно определить следующим образом. За-
фиксируем значение п. Далее возьмем пару пробных значений (A, Z). По-
скольку М(А, Z) протабулировано и nN = п/А, пе = Zn/A, то мы можем
вычислить £. Испробуем все возможные значения (A, Z). Те значения, ко-
торые минимизируют £, определяют вид находящихся в равновесии ядер.

Давление определяется равенством

Р = и2	= ре + PL>	(2.7.4)

°П A, Z

где Ре — давление идеального ферми-газа (2.3.5) и

Pl = ^l	(2.7.5)

[ср. с равенством (2.4.11)].

Фазовый переход от одного стабильного изотопа к другому сопрово-
ждается скачком в величинах п и р = е/с2, так как давление внутри звезды
должно быть непрерывной функцией радиуса. Величину скачка можно оце-
нить так. Поскольку PL < Ре, а Ре зависит только от пе, концентрация пе
фактически должна быть непрерывной на границе фаз. Но пр — nZ/A, и
потому

Ае ~	~ _ AL5ZA1	(2 7.6)

р п	Z/A

Например, фазовый переход от 56Fe (Z/A — 0,4643) к 62Ni (Z/A — 0,4516)
приводит к росту плотности на 2,9%.

Из-за этих разрывов для определения давления, при котором в действи-
тельности происходит фазовый переход, приходится использовать извест-
Таблица 2.1

ЯДРА, НАХОДЯЩИЕСЯ В РАВНОВЕСИИ НИЖЕ ТОЧКИ ОБРАЗОВАНИЯ
НЕЙТРОННЫХ КАПЕЛЬ

Ядро	'’max- г/см3			Ядро	'’max- г/см3	
	(a)	BPS	(6) JGK J)		(a) BPS	(6) JGK О
56ре	8,1	X 106	8,1 X 106	78Ni	1,6 X 10"	8,4 X IO10
62Ni	2,7	X 108	2,8 X 108	76Fe	1,8 X 10"	—
64 Ni	1,2	X 10’	1,3 X 10’	126Ru	—	1,2 X 10"
“Ni		—	1,5 X 10’	,24Mo	1,9 X 10"	1,7 X 10"
86 Кг		—	3,1 X 10’	122 Zr	2,7 X 10"	2,5 X 10"
MSe	8,2	X 10’	7,6 X 10’	120Sr	3,7 X 10"	3,6 X 10"
82 Ge	2,2	X 10'°	2,6 X IO10	l22Sr	—	3,8 X 10"
80Zn	4,8	X 10'°	6,0 X 10'°	"8Kr	4,3 X 10"	4,4 X 10"

Массы первых шести ядер известны из эксперимента. Остальные получены на основе мас-
совой формулы Йенеке — Гарви — Кельсона (JGK) (сравните с работой [598]).

ный критерий равенства площадей Максвелла1), что является недостатком
обсуждавшейся выше процедуры. Гораздо удобнее найти минимум термо-
динамического потенциала g при постоянном Р [ср. с уравнением (2.1.18)].

При Т = 0 из уравнения (2.1.19) следует

_Е + Р M{A,Z) + ZEv^^ZeL/ne

g п ~	А	' k }

Теперь зафиксируем значение Р. Выберем пробные величины А и Z и разре-
шим трансцендентное уравнение (2.7.4) относительно пе = х3/Зтг2Х3. За-
тем, пользуясь равенством (2.7.7), вычислим g. Будем повторять эту про-
цедуру, пока не определим значения (A, Z), отвечающие минимуму g. По-
лученная в результате последовательность ядер, согласно BPS, приведена
в табл. 2.1, а уравнение состояния представлено на рис. 2.2.

Теперь видна важность оболочечных эффектов: ядра от 84Se до 76Fe
имеют замкнутые оболочки, содержащие 50 нейтронов, а ядра от 124Мо до
Л8Кт — замкнутые оболочки из 80 нейтронов. Образование нейтронных ка-
пель происходит при р — 4,3  1011 г/см3, когда отношение Z/А для 118Кг
равно 0,3051.

Мы повторили вычисления, сделанные Беймом, Петиком и Сазерлен-
дом, используя экспериментальные данные для М(А, Z), затабулированные
в [599] для условий, доступных при измерениях, а также теоретическую экс-
траполяцию Йенеке, Гарви и Кельсона, приведенную в [598] для нейтроно-
избыточных ядер. Получающаяся в результате последовательность ядер
Приведена в столбце «б» табл. 2.1. Это уравнение состояния не отличается
от уравнения BPS, за исключением точек в непосредственной близости к

См., например, разд. 8.6 книги [479], где обсуждаются эти вопросы.
фазовому переходу, где при заданном р соответствующие значения Р могут
различаться примерно на 5%. Мы приходим к выводу, что уравнение со-
стояния довольно хорошо установлено вплоть до точки образования нейт-
ронных капель.

Вычислительное упражнение 2.28. Повторите процедуру BPS, используя другую
формулу для М(А, Z), например, описанную в работе [598]. Как ваше уравнение
состояния соотносится с уравнением BPS?

Вычислительное упражнение 2.29. Покажите, что в предположении справедливости
уравнения состояния BPS при заданном давлении действительно имеется только
один тип атомных ядер. Перепишите уравнение (2.7.1), допуская, что имеется доля/
ядер Z}) и доля (1 — f) ядер (Л2, Z2). Покажите, что, за исключением
случаев разрывной плотности, / = 0 или / = 1.

Рис. 2.3. Показатель адиабаты Г= (dlnP)/(c71np) как функция р для уравнений состо-
яния, представленных на рис. 2.2.
РЕЗЮМЕ 2.1.

Уравнение состояния холодного вещества
при плотностях ниже точки образования нейтронных капель

1.	Уравнение состояния вещества при нулевой температуре можно счи-
тать хорошо известным для плотностей ниже точки образования нейтрон-
ных капель, pdrip » 4  1011 г/см3. Преобладающий вклад в давление обес-
печивают вырожденные электроны, которые становятся релятивистскими
при плотностях выше ~ 107 г/см3. Положительные заряды сконцентриро-
ваны в отдельных ядрах, которые образуют регулярную решетку с куло-
новским взаимодействием, погруженную в электронный газ.

2.	Если вещество находится в основном состоянии, ю можно предполо-
жить, что между ядрами имеется равновесие, т.е. энергию системы нельзя
понизить, меняя ее состав с помощью сильных, слабых или электромагнит-
ных взаимодействий. Можно найти отвечающий равновесию изотоп в зави-
симости от плотности. При плотностях ниже ~ 107 г/см3 в основном со-
стоянии находятся ядра ^Fe. При больших плотностях равновесию соот-
ветствуют ядра, все более обогащенные нейтронами. Все ядра стабилизи-
рованы относительно 0-распада заполненным ферми-морем электронов.

3.	Уравнение состояния для плотностей ниже точки образования нейт-
ронных капель определяет структуру планет и устойчивых белых карликов.
В белых карликах полное равновесие, по-видимому, не достигается. Сле-
довательно, применимо уравнение состояния Чандрасекара с кулоновскими
поправками [496]. Химический состав зависит от эволюционной истории
звезды и определяет средний молекулярный вес, приходящийся на один
электрон, /хе (ср. с гл. 3). В нейтронных звездах вещество при рассматрива-
емых плотностях находится в полном равновесии, и потому применимо
равновесное уравнение состояния (например, уравнение BPS).

4.	Результаты применения различных моделей для уравнения состояния
холодного вещества при плотностях ниже точки образования нейтронных
капель суммированы на рис. 2.2 и 2.3 и в табл. 2.2.
Таблица 2.2

ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ НИЖЕ ПЛОТНОСТИ ОБРАЗОВАНИЯ
НЕЙТРОННЫХ КАПЕЛЬ

Уравнение	Диапазон значений  состояния	плотности, г/см3		Химический состав	Теория
Чандрасекар [111, 112], идеаль- ный электронный	0	р	ОО	е~ (ядра, определя- емые ре)	Невзаимодей- ствующие элек- троны
газ (Ch)			
Идеальный	0 с Р С 1,2-107	е > Р	Равновесное
я-р-е“-газ	1,2-107 С Р «о	п, р, е	вещество
Фейнман — Метрополис — Теллер [196]	7,9 < р 104	е~, 2®Fe	Атомная модель Томаса — Ферми- Дирака
(FMT)			
Гаррисон —	7,9 « р Ц 104	Так же, как FMT	
Уилер [259] (HW)	104 $ р с ю7	е и *Те	Невзаимодей- ствующие элек- троны
	107 $ р с з ю"	е~ и рав- новесные изотопы	Полуэмпиричес- кая массовая формула; равновес- ное вещество
Выше точ- ки образова- < ния нейтрон-	[ з-1011 < р $ 4-1012	е~, п и равновесные изотопы	
ных капель	и 4,5 • 1012 < р $ оо	Так же, п-р	как в идеальном  -е“-газе
Бейм — Пе-	7,9 р С 104	Так	же, как FMT
тик — Сазерленд [56] (BPS)	104 < р С 8-106	e-, 5266Fe	Идеальные элек- троны с учетом по- правок от куло- новской решетки
	8-106 < р С 4,3-1011	е~ и рав- новесные изотопы	Ядерные потен- циалы, известные из опыта (с экстра- поляцией); кулонов- ская энергия решет- ки; равновесное ве- щество
Белые карлики

3.1.	РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ БЕЛЫХ КАРЛИКОВ

Белые карлики — это звезды, масса которых примерно равна массе Сол-
нца, радиус — порядка 5000 км. а средняя плотность — около 106 г/см3.
Эти звезды уже сожгли свое ядерное горючее и медленно охлаждаются, те-
ряя остатки своей тепловой энергии.

Теперь нам известно, что в белых карликах гравитации противостоит
давление вырожденных электронов. Однако это не всегда было ясно астро-
номам, хотя компактная природа белых карликов была очевидной уже при
самых ранних наблюдениях. Например, масса наиболее хорошо изученного
белого карлика Сириус В в двойной системе Сириуса была определена с по-
мощью третьего закона Кеплера, примененного к орбите двойной звезды.
Ранние оценки его массы давали значения в диапазоне 0,75—0,95 М® . Его
светимость была оценена по наблюдаемому потоку излучения и известному
расстоянию и оказалась равной примерно 1/360 светимости Солнца. В
1914 г. У. С. Адамс [4] сделал поразительное открытие, что Сириус В
представляет собой белую звезду, которая по спектру не очень сильно от-
личается от своего «нормального» компаньона — Сириуса А. Приписывая
Сириусу В на основе этих спектральных измерений эффективную темпера-
туру 8000 К и используя известное выражение для светимости черного те-
ла: L = 47rjR2aT^ff, можно было сделать вывод, что радиус R этой звезды
составляет 18 800 км.

Упоминая о Сириусе В в своей книге «Внутреннее строение звезд», вы-
дающийся астрофизик Артур Эддингтон [179] заключил, что «мы име-
€м звезду с массой, равной массе Солнца и радиусом намного меньше, чем
радиус Урана». Он также сообщил в своей книге о выполненных Адамсом
15} измерениях необычного красного смещения нескольких линий в спектре
излучения Сириуса В. Используя общую теорию относительности, можно
было по измеренному красному смещению сделать вывод о величине отно-
шения М/R. Тем самым определялся радиус Сириуса В, так как масса уже
была известна по измерениям орбиты двойной системы. Красные смеще-
ния, полученные Адамсом (хотя и довольно грубо), подтвердили предшест-
вующие оценки R и компактную природу белых карликов. Эддингтон писал
в своей книге [179], что «профессор Адамс убил двух птиц одним камнем:
он осуществил новую проверку общей теории относительности Эйнштейна
и подтвердил наше подозрение, что вещество в 2000 раз более плотное, чем
платина, не только возможно, но и действительно присутствует во Вселен-
ной»п.

Эддингтон далее утверждал, что белые карлики должны встречаться
весьма часто во Вселенной, ибо хотя в то время было твердо установлено
существование только трех белых карликов, все три находились очень
близко от Солнца. Однако относительно механизма, удерживающего бе-
лые карлики от схлопывания, Эддингтон смог только утверждать: «Ка-
жется вероятным, что при столь высоких плотностях обычные газовые за-
коны нарушаются из-за конечных размеров молекул, и я не думаю, что бе-
лые карлики ведут себя как идеальный газ».

В августе 1926 г. Дирак [165] сформулировал статистику Фер-
ми—Дирака, основываясь на результатах, полученных Ферми лишь не-
сколькими месяцами раньше. В декабре 1926 г. Фаулер в пионерской работе
[202], посвященной компактным звездам, применил статистику Фер-
ми—Дирака для объяснения загадочной природы белых карликов: он ото-
ждествил давление, которое удерживало эти звезды от гравитационного
коллапса, с давлением вырожденных электронов.

Адекватные модели белых карликов, в которых учитывались эффекты
специальной теории относительности для уравнения состояния вырожден-
ных электронов, были построены в 1930 г. Чандрасекаром [111, 112]. При
этом Чандрасекар сделал важное открытие, что масса белых карликов не
может превышать максимального значения около 1,4 Mq. Точная величи-
на последнего зависит от химического состава звезды. В честь автора от-
крытия этот максимум называется чандрасекаровским пределом. Чандрасе-
кар [ИЗ] сразу же осознал важность своего результата. Он писал в 1934 г.:
«История звезды малой массы должна существенно отличаться от эволю-
ции звезды большой массы. Для звезды малой массы естественная стадия
белого карлика является первым шагом к полному угасанию. Звезда боль-
шой массы не может пройти через стадию белого карлика, и приходится
искать другие возможности».

В 1932 г. Ландау [337] объяснил существование чандрасекаровского
предела. Несколькими месяцами позже, узнав об открытии нейтрона, он
применил свои аргументы к нейтронным звездам (разд. 9.1).

Роль обшей теории относительности в изменении соотношения между
массой и радиусом для белых карликов с массами выше 1 М& впервые об-
суждалась Капланом [303]. Он сделал вывод, что эффекты общей теории
относительности, по-видимому, приводят к динамической неустойчивости,
когда радиус становится меньше 1,1 • 103 км. Общерелятивистская неус-
тойчивость белых карликов была независимо обнаружена также Чандрасе-
каром в 1964 г. [119].

]) Результат Адамса для величины красного смещения, а также независимое зна-
чение, полученное Муром, согласовались с общей теорией относительности, хотя
при этом и было использовано неверное значение радиуса, полученное из наблюде-
ний. Современное положение дел описано в разд. 3.6.
После открытия нейтрона стало ясно [216, 338, 425], что при очень вы-
соких плотностях электроны должны взаимодействовать с протонами, об-
разуя нейтроны вследствие обратного бета-распада. Побудительным сти-
мулом указанных работ послужила идея, что источником энергии нормаль-
ных массивных звезд мог бы быть обратный бета-распад в нейтронном яд-
ре. Много позже Шацман [508—510] и независимо Гаррисон и Уилер [259]
учли обратный бета-распад в уравнении состояния вещества внутри белых
карликов. Шацман, а также Гаррисон, Вакано и Уилер [260] показали, что
обратный бета-распад также вызывает динамическую неустойчивость наи-
более массивных белых карликов с массой выше — 1 М® и радиусом мень-
ше 4 • 103 км. Устойчивость не восстанавливается до тех пор, пока факти-
чески все электроны и протоны не будут тесно сжаты вместе. При таких
высоких плотностях газ должен состоять почти полностью из нейтронов.
В этом состоянии рассматриваемый объект будет иметь массу порядкаWq
и радиус около 10 км. Таким образом, должен существовать новый класс
стабильных компактных звезд — это нейтронные звезды, которые были
предсказаны в ЗО-х годах.

На этом мы заканчиваем обзор раннего этапа разработки теории белых
карликов. Мы вернемся к этому рассказу в разд. 9.1, где проследим за раз-
витием гипотезы нейтронных звезд.

3.2.	НАЧАЛЬНАЯ СТАДИЯ ВЫРОЖДЕНИЯ

В гл. 1 мы представили довольно убедительные данные в пользу того, что
конечным состоянием звезды, которая израсходовала свое ядерное горю-
чее, должен быть белый карлик, при условии что эта звезда не очень мас-
сивна. Если учесть условия гидростатического равновесия, то можно на-
дежнее проследить судьбу звезды, исчерпавшей ядерное горючее.

Для сферически-симметричного распределения вещества масса внутри
сферы радиуса г определяется выражением

т(г) = У p4?rr2Jr, или	= 4тгг2р.	(3.2.1)

Здесь р ~ р0 — плотность массы покоя, так как рассматривается нереляти-
вистское вещество. Если звезда находится в устойчивом состоянии, грави-
тационные силы в каждой точке уравновешиваются силами давления. Что-
бы вывести уравнение, описывающее гидростатическое равновесие, рас-
смотрим бесконечно малый элемент жидкости, лежащий между г и г + dr
и имеющий площадь поверхности, перпендикулярной радиусу, равную dA.
Гравитационное притяжение между т(г) и массой dm = pdAdr такое же,
как если бы т(г) была сосредоточена в центре, наружная же масса не ока-
зывает никакого воздействия на dm. Действующая на dm суммарная сила
давления, направленная наружу, равна - [Р(г 4- dr) - P(r)]dA, так что в
равновесии

dP , Gm(r)

- —drdA =-------T-^dm

dr
или

dP_ = _ Gm(r)p	(3.2.2)

dr	r?-

В общем случае гидростатическое равновесие выражается условием VP =
= — pV<i>, где Ф — гравитационный потенциал (ср. с разд. 6.1).

Следствием уравнения гидростатического равновесия (3.2.2) является
теорема вириала: гравитационная потенциальная энергия звезды равна

rR Gm(r) .	2 j

jy = - / -----±_2_р4<ггг2' dr

Jq г

(RdP д з ,
= / — Airrdr
Jo dr

— —3[RP4irr2dr,	(3.2.3)

•'o

где при переходе от первого равенства ко второму было использовано
уравнение (3.2.2), после чего выполнено интегрирование по частям.

Если газ описывается адиабатическим уравнением состояния

Р = Кро (К, Г — постоянные),	(3.2.4)

то плотность энергии газа (исключая энергию, соответствующую массе по-
коя) равна

(3-2-5)

Этот результат является следствием первого закона термодинамики в
предположении адиабатического изменения:

4—1 = -р4—1-	<з-2-6)

\ Ро /	\ Ро /

Интегрирование этого выражения с использованием уравнения (3.2.4) при-
водит к соотношению

2 Р
£ = Ро^	(3.2.7)

которое и дает желаемый результат для к’ = е — р0с2.

Таким образом, равенство (3.2.3) можно переписать в виде
где

е'4тгг2 dr

(3.2.9)

— полная внутренняя энергия звезды.

Упражнение 3.1. Пусть Ет—кинетическая энергия поступательного движения ча-
стиц, не включающая в себя энергию, связанную с внутренними степенями свободы
(например, вращательными или колебательными). Покажите, что для идеального
газа Максвелла—Больцмана, характеризуемого постоянным показателем адиабаты
Г, величина Ет связана с U соотношением Ет = 3Л (Г - 1)(7. Далее покажите, что
вириальное соотношение (3.2.3) для такого газа может быть записано в виде

Ет = - | W.

Полная энергия звезды Е = W + U равна

Е = -

ЗГ - 4

3(Г - 1)

(3.2.10)

где W----GM2/R.

Упражнение 3.2. Покажите, что если уравнение (3.2.4) справедливо всюду внутри
звезды, то гравитационная потенциальная энергия равна

Указание: перепишите уравнение (3.2.3) в форме

W = -3 [ —dm(r).
Jo Р

Проинтегрируйте это выражение по частям и воспользуйтесь равенством

Проинтегрируйте по частям еще раз.

Без ядерного горючего Е убывает благодаря излучению. Согласно выра-
жениям (3.2.10) и (3.2.11), из условия ДЕ < 0 при Г > 4/3 следует Д7? < 0,
т.е. звезда сжимается. Может ли звезда сжиматься непрерывно, черпая
энергию из бесконечных запасов гравитационной потенциальной энергии до
тех пор, пока R не обратится в нуль (или пока звезда не сколлапсирует в
черную дыру)? Как мы сейчас покажем для звезд с М ~ М®, ответ оказы-
вается отрицательным.

Предположим, что давление во время такого квазистатического коллап-
са определятся законом идеального газа Максвелла—Больцмана.

Р = -^-кТ,

Рти
где, например, для чистого ионизированного углерода /л = 12/7 [ср. с урав-
нением (2.3.17)]. Тогда, согласно вириальному соотношению (3.2.3):

- w = 3 [RP4trr2 dr	(Rp^r2 dr = —кТ, (3.2.13)

•'о	Рти

где Т — средняя температура звезды. Таким образом, Т ос М/R, т.е. Т
возрастает при уменьшении R. Однако р <х M/R\ так что плотность рас-
тет еще быстрее. Мы теперь покажем, что это приводит к нарушению со-
отношения Максвелла—Больцмана (3.2.12); электронный газ становится
вырожденным, что приводит к ненулевому давлению даже при нулевой
температуре.

Типичный (т.е. среднеквадратичный) разброс по импульсам электронов
в газе Максвелла—Больцмана равен

ДЛ - (бтЛЛ'/2 ~ ( 12--е^-^)1/2,	(3.2.14)

где мы положили Г = 5/3 и использовали уравнения (3.2.13) и (3.2.11).

Упражнение 3.3. Проверьте первое соотношение в выражении (3.2.14). Для двух
электронов

Да™ = ((pi - р2)2)1/2 = (2р^)|/2.

Заметим, что в выражениях (3.2.13) и (3.2.14) Т имеет слегка различный
смысл.

Типичное расстояние между электронами равно

(3.2.15)

Таким образом, объем, занимаемый электроном в фазовом пространстве,
равен

(ДЛД^)3 ~	[(GmeR)'/2m5/6M,/6]3

1 X 10~26

У/2
mq] [я©/ г

см2 

- 180Л3

м у/2т3/2

Мэ / \	/

~ 40

с
Поэтому, когда звезда с массой 1 М® сжимается до R - 3 • 10“2 R&, фа-
зовый объем, приходящийся на один электрон, будет порядка Л3. В этих
условиях принцип запрета Паули становится существенным и приходится
пользоваться статистикой Ферми—Дирака. Как мы видели в предыдущей
главе, давление в таком газе не исчезает даже при нулевой температуре.
Поэтому теперь надо рассмотреть свойства равновесных систем, а именно
белых карликов, поддерживаемых давлением вырожденных электронов.

3.3.	ПОЛИТРОПЫ

Уравнение состояния идеального ферми-газа сводится к простой политроп-
ной форме (3.2.4) в предельных случаях нерелятивистских (Г = 5/3) и ульт-
рарелятивистских (Г = 4/3) электронов [см. уравнения (2.3.21)—(2.3.23)].

Равновесные системы с таким уравнением состояния называются по-
литропами; их анализ выполняется относительно просто. Сначала мы обсу-
дим свойства белых карликов, рассматривая их как политропы в предель-
ных случаях низкой (Г = 5/3) и высокой (Г = 4/3) плотности. Затем опи-
шем промежуточный режим и поправки к политропной картине.

Условия гидростатического равновесия (3.2.1) и (3.2.2), скомбинирован-
ные вместе, дают

r2dr\p dr

— AirGp.

Подставим сюда уравнение состояния (3.2.4) и запишем

(3.3.1)

(3.3.2)

Г = 1 + —,
п

где п называется индексом политропы. Полученное уравнение можно пере-
писать в безразмерной форме, введя величины

р = рГ,	(3.3.3)
г = ai,	(3.3.4)
_ [(" + 1)^рГ/л"1)]|/2	(3.3.5)
а ~ [	4wG	’	

где рс = р(г =0) — плотность в центре звезды. Тогда
Это уравнение называется уравнением Лейна—Эмдена для системы с ин-
дексом политропы п. Граничные условия в центре звезды, описываемой
политропным уравнением состояния, имеют вид

0(0) = 1,
0'(О) = 0.

(3.3.7)

(3.3.8)

Условие (3.3.7) непосредственно следует из уравнения (3.3.3). Условие
(3.3.8) следует из того факта, что вблизи центра т(г) ® 4тгргг3/3, так что,
согласно уравнению (3.2.2), в центре dP(o}/dr = 0 = dp /dr.

Уравнение (3.3.6) легко проинтегрировать численно, начиная с точки
£ = 0 с граничными условиями (3.3.7) и (3.3.8). Таким образом, найдем,
что при п < 5 (Г > 6/5) решение монотонно убывает и обращается в нуль
при конечном значении £ = £р т.е. 0(£j) = 0. Эта точка отвечает поверх-
ности звезды, где Р = р = 0. Таким образом, радиус звезды равен

R =	=

(п + 1)Х
4ttG

1/2

(3.3.9)

а масса равна

М = [ 4irr2p dr = 4ira3pc [^'^29п dl-
Jo	Jo

[согласно (3.3.6)]

= 4тга3рс^\0'(^ )| = 4тг

(п + 1) АГ

4ttG

3/2

p(3-„)/2„£2|rUi)|.

(3.3.10)

Исключая рс из равенств (3.3.9) и (3.3.10), получим соотношение между
массой и радиусом для политропы:

М = 4яА(3~',,Л1~л)

(п + 1)А

4ttG

пДп- 1)

^',)X,-'1W'(£>)I-

(з.з.п)

Упражнение 3.4. Покажите, что отношение средней плотности к плотности в центре
для политропы равно р/рс = 3l0'(£i)l/£1.
Для нас особый интерес представляют следующие решения1):

r = t	n = i,	$, = 3,65375,	$?|0'U1)I= 2,71406,

Г = |, п = 3,	$, = 6,89685, $2|0'($,)| = 2,01824. (3.3.12)

Таким образом, для белых карликов с малой плотностью (Г = 5/3) полу-
чим

/ О \ ~х/6! и \ -5/6

R = 1,122 X 104	, с ,	км, (3.3.13)

\ 106 г/см3 /	\ 2 /

/ р \1/2/ц \"5/2

М = 0,4964 h Рс - v Мо,	(3.3.14)

’	V106 г/см3 / \ 2 /

= 0,7011(-^—) W)	(3.3.15)

\ 10 км /	\ 2 /

Упражнение 3.5. Выведите результат М ~ R~3 из уравнений (3.2.1), (3.2.2) и (3.2.4)
с помощью анализа размерности.

Для случая высокой плотности (Г = 4/3) получим

R = 3,347 X 104| ——

I 106

I z V
М = 1,457 — Л/д.
\Ре

Рс____

г/см3

(3.3.16)

(3.3.17)

Заметим, что в ультрарелятивистском пределе М не зависит от рс и, следо-
вательно, от R. Отсюда можно заключить, что при рс -* оо электроны в
звезде становятся все более и более релятивистскими, а масса асимптотиче-
ски стремится к значению (3.3.17), когда R — 0.

Предельное значение массы (3.3.17) называется пределом Чандрасекара
(часто обозначается MCh) и представляет собой максимально возможную
массу белого карлика. В случае холодного идеального газа зависимость
A/Ch от химического состава целиком определяется ре.

11 Подробную таблицу параметров политропы можно найти в работе Чандрасека-
ра [114].
Интегрирование уравнений, описывающих внутреннее строение белых
карликов, с использованием точного уравнения состояния ферми-газа было
проделано Чандрасекаром [114] (см. рис. 3.1 и 3.2 ниже). Они, как и следо-
вало ожидать, согласуются с приближением политропы в соответствую-
щих областях.

3.4.	ПРЕДЕЛ ЧАНДРАСЕКАРА

Существование ограничения на массу вырожденной звезды является на-
столько важным результатом, что полезно попытаться получить его
наиболее простым способом. Мы сделаем это, следуя рассуждениям Лан-
дау [337], которые применимы как к белым карликам, так и к нейтронным
звездам.

Предположим, что звезда радиусом R содержит W фермионов, так что
концентрация этих фермионов равна п ~ N/R3. Объем, приходящийся на
один фермион, равен — 1 //? (принцип Паули), поэтому вследствш
шения неопределенности Гейзенберга импульс фермиона имеет
/ш1/3. Отсюда релятивистская энергия Ферми частиц газа равна

£F ~ Й«|/Зс ~	.

Jx

Гравитационная энергия, приходящаяся на один фермион, равна

GMmB
R >

соотно-
порядок

(3.4.1)

(3.4.2)

где М = NmB. (Заметим, что даже если давление создается электронами,
основная часть массы содержится в барионах.) Как будет подробно пока-
зано в гл. 6, равновесие достигается при минимальном значении полной
энергии Е, где

Е = £f + EG =

йс№/3

R

GNmB
R

(3.4.3)

Заметим, что оба слагаемых меняются как UR. Когда величина Е положи-
тельна (т.е. когда N мало), Е убывает при увеличении R. Одновременно
убывает EF, и электроны становятся все менее релятивистскими, причем
EF ~ pF~ UR2. Следовательно, при увеличении R в конце концов EG на-
чинает превосходить по абсолютной величине EF и, значит, полная энергия
Е становится отрицательной, причем при R — <х> величина Е растет, стре-
мясь к нулю. Таким образом, при конечном значении R должно существо-
вать положение устойчивого равновесия.

С другой стороны, если полная энергия Е отрицательна (т.е. если N ве-
лико), то при уменьшении R величина Е может уменьшаться без предела. В
этом случае равновесия нет и происходит гравитационный коллапс.
Следовательно, максимальное количество барионов, при котором еще
возможно равновесие, определяется условием Е — 0 в равенстве (3.4.3).
Отсюда

/ he \3/2

^max ~	~ 2 X 1057,

\ Gml /

(3.4.4)

1,5MO.	(3.4.5)

Таким образом, если отвлечься от числовых множителей, зависящих от хи-
мического состава, то максимальная масса вырожденной звезды определя-
ется только фундаментальными постоянными.

Равновесный радиус, отвечающий массе М, близкой к Л/тах, определя-
ется началом релятивистского вырождения:

£F > тс2,

(3.4.6)

где т — масса либо электрона, либо нейтрона. Применяя соотношения
(3.4.1) и (3.4.4), с помощью этого условия получим

h

~ тс

R

(—Г

\ GmK /

5 X 108 см,

3 X 105 см ,

т = те

т = тп.

(3.4.7)

Таким образом, существуют два различных режима сжатия: один — при
плотностях, превосходящих плотность белого карлика, а другой — при
плотностях выше ядерной. В обоих случаях Mmax ~ М® .

Упражнение 3.6. Допустим, что мы построили последовательность различных со-
стояний белых карликов, состоящих из чистого ^Fe, Для различных значений
центральной плотности. Рассмотрите другой набор белых карликов, состоящих из
чистого !2С.
о

а) Как соотносятся физические параметры Р(г), р(г), т(г) и г в углеродной и же-
лезной последовательностях?

б) Определите отношение Mmax(12C)/Tl/max(56Fe). Воспользуйтесь при этом немо-
дифицированным уравнением состояния Чандрасекара.
3.5.	УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ЧАНДРАСЕКАРОВСКОЙ МОДЕЛИ
БЕЛЫХ КАРЛИКОВ

Полный анализ моделей белых карликов, включающий в себя поправки к
уравнению состояния Чандрасекара, которые обсуждались в гл. 2, был вы-
полнен Хамадой и Солпитером в 1961 г. [255]. Их результаты приведены
на рис. 3.1 и 3.2.

Основной эффект электростатических поправок состоит в том, что при
той же массе они дают меньший радиус и более высокое значение цент-
ральной плотности, чем следует из модели Чандрасекара. Хотя кулонов-
ские поправки малы при тех высоких плотностях, которые возникают в бе-
лых карликах с массой порядка 1 Mq , однако в этой области Г ~ 4/3 и,
следовательно, Е/(GM2/R) < 1 [ср. с выражением (3.2.10)]. Поэтому не-
большие изменения давления или энергии приводят к относительно боль-
шим изменениям радиуса.

Один из важных эффектов, учтенных Хамадой и Солпитером,— это
влияние нейтронизации (обратного /3-распада) на однородный белый кар-
лик. Вполне возможно, что в реальных белых карликах никогда не достига-
ется равновесный химический состав, указанный Солпитером, и уравнение
состояния BPS их не описывает. Во-первых, современные расчеты эволю-
ции звезд — предшественников белых карликов предсказывают, что их
температура никогда не поднимается настолько высоко, чтобы в них про-
исходило сгорание ядер заметно тяжелее углерода. Поэтому массивные бе-
лые карлики, по всей видимости, состоят в основном из углерода и
кислорода1^. Во-вторых, даже если горение идет вплоть до железа при по-
степенном сжатии белого карлика, так что поддерживается гидростатиче-
ское равновесие, время, необходимое для завершения соответствующих
ядерных реакций, может быть слишком велико. В соответствии с BPS при
плотностях выше рс = 8,1  106 г/см3 ядра 56Fe должны превратиться в
62Ni. Это не может быть простым следствием /3-распадов, изменяющих Z
от 26 до 28; необходимы также реакции, изменяющие А от 56 до 62, и та-
кой переход от Fe к Ni, возможно, в действительности никогда не происхо-
дит.

Что происходит, когда плотность становится выше 8,1 • 106 г/см3?
При плотности 1,14  109 г/см3 энергия Ферми для электронов равна
тес2 4- 3,695 МэВ. Это совпадает с порогом реакции обратного /3-
распада.

^Fe + e'->25Mn + v-

Нечетно-четное ядро ^Мп немедленно захватывает еще один электрон:
Мп + е"^24Сг +

11 Обсуждение расчетов звездной эволюции содержится в работе Либерта [360].
Однако эти расчеты не вполне точны, главным образом из-за наличия существенной
потери массы во время эволюции.
Рис. 3.1. Соотношение масса — радиус для звезд, состоящих из 4Не, 12С, 24Mg и
56Fe, при нулевой температуре. Кривая с индексом «eq» относится к равновесному
химическому составу при разных плотностях. Штриховые кривые отвечают модели
Чандрасекара— верхняя для /хе = 2, а нижняя для /хе=2,15. Точки внутри прямо-
угольников размером в одно стандартное отклонение представляют средние массы и
радиусы трех белых карликов, указанных в табл. 3.2 (для звезды Stein 2051 имеются
два решения). По работе Хамады и Солпитера [255] с любезного разрешения авто-
ров.

Четно-четное ядро 5^Cv будет стабильным относительно дальнейшего за-
хвата электрона, пока плотность не станет много выше, т.е. порядка 1,5 х
X Ю10 г/см3. За счет этого фазового перехода уравнение состояния стано-
вится мягче: вместо того, чтобы увеличить при сжатии свою энергию Фер-
ми, а следовательно, и давление, электроны соединяются с ядрами, обра-
зуя Сг. Показатель адиабаты, весьма близкий к 4/3, так как электроны
сильно релятивистские, падает ниже 4/3. Как мы увидим в гл. 6, в функци-
ональной зависимости М от Я появляется максимум, что говорит о появле-
нии неустойчивости пр отношению к гравитационному коллапсу. Последо-
вательность железных белых карликов при рс = 1,14  109 г/см3 прерыва-
ется из-за обратного /3-распада.

В табл. 3.1 приведены пороги нейтронизации для различных ядер, кото-
рые могут присутствовать на очень поздних стадиях термоядерного горе-

6-353
Рис. 3.2. Соотношение между массой и плотностью в центре рс (г/см3) для звезд, со-
стоящих из 12С, 24Mg, 28Si, 32S и 56Fe, и для равновесного химического состава при
нулевой температуре. Штриховая кривая отвечает модели Чандрасекара при ие=2.
По работе Хамады Д Солпитера [255] с любезного разрешения авторов.

Таблица 3.1

ПОРОГИ НЕЙТРОНИЗАЦИИ

Порог нейтро- низации, МэВ 0	Ро» г/см3

]Н -» п	0,782	1,22 X 107
9 Не ->^Н + и - 4п	20,596	1,37 X 10"
|2С-'2В-'2Ве	13,370	3,90 X 10'°
'|О ->'?N — '£С	10,419	1,90 X 10'°
’•°0Ne -“F -»2®О	7,026	6,21 X 10’
	5,513	3,16 X 109
?JSi -?fAl	4,643	1,97 X IO9
32 c 32 p 32 c:  16o -► 15r -»14di	1,710	1,47 X 108
gFe -gMn -4<Cr	3,695	1,14 x 109

На основании работы Вапстры и Боса [599]; здесь вычтена энергия массы покоя электрона
т с1 = 0,511 МэВ.
е
ния звезды. Кроме того, в таблице даны значения плотностей, при кото-
рых происходит соответствующий переход. Порог обратного 0-распада
для 12С, который достигается при р0 = 3,90 • 10ю г/см3, по-видимому,
представляет для нас наибольший интерес, если верны современные расче-
ты звездной эволюции.

Упражнение 3.7. Проверьте значения pQ в табл. 3.1, отвечающие приведенным
там порогам нейтронизапии.

Заметим, что при EF 20 МэВ энергетически более выгодно испустить
свободный нейтрон (нейтронизация), чем захватить электрон. Так, процесс
fHe - fH имеет порог примерно 22,7 МэВ, в то время как порог реакции
^Не — 3Н 4- п составляет 20,6 МэВ.

Прежде чем решить, какова будет судьба белых карликов с большой
плотностью, состоящих из легких элементов, нужно рассмотреть еще один
процесс, а именно пикноядерные реакции (от греческого «пик-
нос» — плотный). При термоядерной реакции кулоновское отталкивание
реагирующих ядер преодолевается за счет их тепловой энергии, благодаря
чему эти реакции и происходят. Однако если плотность достаточно велика,
то даже при нулевой температуре энергия нулевых колебаний ядер в решет-
ке может привести к значительной скорости ядерных реакций. Мы рас-
смотрим эти реакции приближенно в разд. 3.7.

Хамада и Солпитер получили, что за 105 лет пикноядерные реакции пре-
образуют Н в 4Не при плотности выше 5 • 104 г/см3, 4Не в 12С при плот-
ности выше 8 • 108 г/см3 и 12С в 24Mg при плотности выше 6 • 109 г/см3.
Эти оценки основываются на вычислениях скорости пикноядерных реак-
ций, выполненных Камероном [101]. Улучшенные расчеты Солпитера и
Ван Хорна [499] заставляют считать результаты Камерона завышенными.
Критическая плотность для Н оказывается порядка 1 • 106 г/см3, а для
углерода 1 • Ю10 г/см3. Однако эти значения плотности все еще весьма
ненадежны1^. Помимо трудностей, непосредственно связанных с вычисле-
ниями, учет конечной температуры и наличия кристаллических дефектов
может привести к заметному увеличению скорости реакций.

Загиб на М-7?-диаграмме Хамады—Солпитера при малых плотностях
вызван тем, что в этой области уравнение состояния становится более
жестким. Как было показано в разд. 2.4, при малой плотности Г ~ 10/3
(очень грубо), и поэтому, согласно уравнению (3.3.11), М — /?4,5 в противо-
положность соотношению М - R~3 при Г ~ 5/3. Из более точного анали-

При нулевой температуре превращение 4Не в 12С не осуществляется посредст-
вом известного резонансного процесса, а требует редких трехчастичных соударений,
вероятность которых, по-видимому, ничтожно мала.
за Запольского и Солпитера [629] следует, что максимальное значение ра-
диуса белого карлика для холодных углеродных звезд составляет /?та*х =
= 3,9 • 1О~2Я0 при М = 2,2 • 10-3А/о.

3.6.	СРАВНЕНИЕ С НАБЛЮДЕНИЯМИ: МАССЫ И РАДИУСЫ

Как мы увидим в гл. 4, время охлаждения белого карлика достаточно ве-
лико, так что множество вырожденных карликов остаются видимыми в те-
чение значительного времени благодаря излучению с их поверхности. Это
удачное для нас обстоятельство позволяет в «нулевом приближении» про-
верить теорию белых карликов, изучая их расположение на диаграмме
Герцшпрунга—Рессела (Г—Р). Г—P-диаграмма представляет собой зависи-
мость логарифма светимости L от логарифма эффективной температуры
Те, которая определяется равенством

Л = 4т7А2оТе4,	(3.6.1)

где о — постоянная Стефана—Больцмана1^. Белые карлики с определен-
ным значением массы (порядка 1 М®) имеют определенный радиус (около
109 см), и, следовательно, согласно равенству (3.6.1), они занимают опреде-
ленную линию на Г—Р-диаграмме: £ ~ Г*. Поскольку, как мы считаем,
массы карликов составляют около 1 М®, они должны занимать узкую по-
лосу на Г—P-диаграмме заметно левее и ниже главной последовательности
нулевого возраста. Сравнение теоретических оценок с наблюдениями свиде-
тельствует об удовлетворительном согласии (рис. 3.3).

Лучший способ определения радиуса белых карликов состоит в подгонке
параметров модели их атмосферы по наблюдаемому остаточному излуче-
нию. Поток Fv, эрг/(с • см2 • Гц), измеряемый на Земле, равен

Я2^(на поверхности)

F-~ V 

где R — радиус белого карлика, a D - расстояние до Земли. Величина D
для близлежащих белых карликов определяется по измерению их параллак-
са. Далее строится модель атмосферы белого карлика, зависящая от эф-
фективной температуры и поверхностной силы тяжести, таким образом,
чтобы воспроизвести наблюдаемый поток на различных длинах волн. От-
сюда определяется значение R. Обширная сводка данных по этому вопросу
с типичной неопределенностью 5—10% представлена Шипманом [536].

Найти массу белого карлика гораздо труднее, так как для этого нужно,
чтобы звезда входила в двойную или тройную систему, что позволяет
определить массу по ее динамике. В настоящее время известны три белых
карлика, для которых как масса, так и радиус известны с довольно хоро-

См. приложение А, где Г—P-диаграмма обсуждается более подробно.
Рис. 3.3. Положения белых карликов, расстояния до которых известны, на диаграм-
ме Герцшпрунга — Рессела. Наклонные линии отвечают постоянному значению ра-
циуса; приписанное им значение массы получено из уравнения состояния Чандрасека-
ра при /ле-2. (Данные собраны Суини [554].)

шей точностью. Они перечислены в табл. 3.2 и указаны на графиках зави-
симости М от R (рис. 3.1), полученных Хамадой и Солпитером. Для Про-
циона В, который обычно изображают на таких диаграммах, неопределен-
ности в значениях М и R заметно больше.

Весьма обнадеживающим является то обстоятельство, что все три бе-
лых карлика с наиболее хорошо известными значениями М и R лежат точ-
но на кривых Хамады—Солпитера. Действительно, наблюдения свиде-
тельствуют в пользу предположения, что Сириус В и 40 Эридана В вовсе
не состоят из одного чистого железа. Поскольку интервал ошибок отвечает
одному стандартному отклонению (1а), наблюдения не противоречат ут-
верждению, что белые карлики состоят из углерода и кислорода, как и по-
лучается на основании современных расчетов эволюции их предшественни-
ков.

Еще одна проверка соотношения между массами и радиусами белых
карликов может быть выполнена посредством измерения эйнштейновского
гравитационного красного смещения1^:

Мы выведем эту формулу в разд. 5.3.
Таблица 3.2

ЗНАЧЕНИЯ МАСС И РАДИУСОВ БЕЛЫХ КАРЛИКОВ,
ПОЛУЧЕННЫЕ НА ОСНОВАНИИ ОПТИЧЕСКИХ НАБЛЮДЕНИЙ

	Масса 0, м®	Радиус2\ л®	Красное смеще- ние3!, км/с
Сириус В	1,053 ±0,028	0,0074 ± 0,0006	89± 1,6
40 Эридана В	0,48 ±0,02	0,0124± 0,0005	23,9± 1,3
Stein 2051	О,5О±О,О5	0,0115 ± 0,0012	?

или

0,72±0,08

О Масса Сириуса — по [217]; 40 Эридана В — по [270] (см., однако, [603]); Stein 2051 — по
[552].

2! Радиусы — по [536].

3! Красное смещение Сириуса В — по [244]; 40 Эридана В — по [603].

Наблюдаемое гравитационное красное смещение обычно выражают как эк-
вивалентное доплеровское смещение ДХ/Х = v/c, т.е.

v = 0,6362км/с .	(3.6.4)

К/ Aq

Это дает 91 ± 8 км/с для Сириуса В и 22 ± 1,4 км/с для 40 Эридана В в
прекрасном согласии с наблюдениями.

Упражнение 3.8. В литературе приведены следующие данные о красных смещениях:
Ван Маанен 2: 14 ± 18 км/с [273] и 33 ± 16 км/с [218]; EG 64: 131 км/с;
EG 113:52 км/с; последние два результата получены Гринстейном и Тримбл [243],
которые отмечают, что ошибки приведенных значений могут быть велики. Соглас-
но Шипману [536], радиусы этих звезд равны соответственно 0,0138 Rq , 0,0182 Rq
и 0,0094 /?. . Согласуются ли эти значения с соотношением масса—радиус
Хамады и Солпитера?

3.7.	ПИКНОЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ

В плотном веществе ядерные реакции могут идти даже при нулевой темпе-
ратуре. Эти реакции происходят в силу того, что нулевые колебания ионов
с энергией Ео ~ около узла решетки позволяют им преодолевать куло-
новский барьер соседних ионов. В этом разделе мы грубо приближенно
оценим скорость таких реакций. Наша задача будет состоять в том, чтобы
вычислить коэффициент Т, характеризующий проницаемость ионов сквозь
электростатический потенциальный барьер, препятствующий их сближе-
нию. Величина Т зависит от детальной структуры потенциала. Она различ-
на для идеального газа практически свободных ионов и твердого кристал-
лического тела, характеризуемого регулярной ионной решеткой. Первый
случай реализуется внутри нормальных горячих звезд главной последова-
тельности, второй описывает холодное вырожденное вещество в белых
карликах. Когда два иона пройдут сквозь электростатический потенциаль-
ный барьер и соприкоснутся, вероятность дальнейшего взаимодействия
практически не зависит от их начального состояния. Этот эффект будет ис-
пользован в нашем дальнейшем анализе.

Сначала рассмотрим, как вычисляется скорость таких реакций, когда
два иона являются, по существу, свободными и находятся первоначально
на большом расстоянии (как в термоядерных реакциях или в реакциях на
ускорителе)1). Напомним, что при малых энергиях сечение взаимодействия
двух частиц пропорционально тгХ2 ~ \/Е, X = h/p — характерная для
данной реакции длина волны де Бройля, а Е — энергия пары ионов в систе-
ме их центра масс. Напомним далее, что вероятность прохождения куло-
новского барьера для двух ионов с зарядами Zx и Z2, относительная ско-
рость которых на большом расстоянии друг от друга равна г», пропорцио-
нальна проницаемости (гамовскому фактору):

Т= exp(-2wTj), Ч = 'hv 	(3.7.1)

Исходя из этих соображений, запишем сечение в форме

о(Е) = ехр(-2этт;), E = ifiv2,	(3.7.2)

причем мы ожидаем, что величина 5(E), описывающая вклад в сечение чи-
сто ядерного взаимодействия, должна быть медленно меняющейся функци-
ей Е (здесь р — приведенная масса). Для определения S(E) можно исполь-
зовать лабораторные измерения а(Е), а в некоторых случаях S(E) можно
найти чисто теоретически. Например, величина S(E) для реакции

р + р D + р	(3.7.3)

определяется по известной скорости слабого процесса превращения прото-
на в нейтрон в рр-рассеянии с испусканием позитрона и нейтрино и образо-
ванием связанной др-системы (дейтрона).

’) Более детальное обсуждение термоядерных реакций можно найти, например, в
гл. 4 книги Клейтона [135].
Гамовский фактор можно найти из решения уравнения Шредингера вне
ядер. Волновая функция относительного движения зарядов и Z2 при
г > Rn(Rn — сумма радиусов ядер) равна

^/(г,^ф) = 2^У/т(^Ф).	(3.7.4)

Мы предполагаем, что система находится в состоянии с определенным
угловым моментом и пренебрегаем спиновыми эффектами. Функция xz(r)
есть решение радиального уравнения Шредингера

+	Г/(г)]Х, = 0,	(3.7.5)

где — приведенная масса, а

Г/(г) = /(/ +	+ K(r), r>R ,

. ч Z,Zoe2

^(г) = —•	(3.7.6)

При низких энергиях рассеяние в основном идет в сферически-
симметричной s-волне. В соответствии с этим положим / = 0.

Поведение И(г) показано на рис. 3.4, где при г > Rn изображен ИДг), а
при г < Rn схематически представлен короткодействующий притягиваю-
щий ядерный потенциал.

Проницаемость можно определить, не зная детального поведения ядер-
ного потенциала при г < Rn. Для потенциала, изображенного на рис. 3.4,
в одномерном ВКБ-приближении проницаемость, согласно [349, гл. 4],
равна

гр _ lx trans I ^trails _ 4	(3 7 7)

lx,nJ2v... "	+ 1/2»)’'

Здесь Т определяется как отношение потока прошедших (trans) частиц к по-
току падающих (inc), а

в = exp^р\к(х)\ dx j,	(3.7.8)

/О	\ V2

*(^)- В[Е-Их)] •	0.7.9)

\ h	/

При 0 > 1

(3.7.10)
и
Рис. 3.4. Эффективный потенциал, описывающий относительное движение атомных
ядер. При r<Rn ядра фактически находятся в непосредственном контакте и в потен-
циале главную роль играет притяжение, связанное с короткодействующими ядерны-
ми силами. При r>Rn ядерные силы пренебрежимо малы и в потенциале преоблада-
ет кулоновская часть. При г—Ь показана классическая точка поворота, соответству-
ющая движению с энергией Е в системе центра масс.

В нашем примере ап = Rn -* 0, а b определяется выражением

Р Z,Z2e2

Е = —

Таким образом,

(3.7.11)

fb, . ...	(2ju£)'/2 fb(b ,)1/2 ,

Ja\k(x)\dx h	1] dx

_^Z2e2( м V/2_ Jjn

И
Одномерное ВКБ-приближение правильно воспроизводит существенную
экспоненту в гамовском факторе. Однако точное решение уравнения Шре-
дингера в кулоновском потенциале дает

= 2ттт)ехр(-2я-7)), у » 1.	(3.7.13)

|^(оо)|2

Одномерное ВКБ-приближение дает неверный предэкспоненциальный мно-
житель. Мы здесь пренебрегаем этим различием.

Теперь можно найти связь между S(E) и Рп — вероятностью ядерной
реакции, когда частицы проникли на расстояние г = Rn. Пусть
W ~ скорость реакции (вероятность в секунду) падающего иона Zx с ядром
(ионом Z2). Тогда

W = ( прошедший поток приЕл) X 4irR2n X Рп

= (падающий поток) х ехр(-2тгт)) X 4тгАлРл. (3.7.14)

Но по определению о(Е)

W s о ( Е ) X ( падающий поток)

= -	7 ехр(-2777)) X (падающий поток ).	(3.7.15)

Сравнение выражений (3.7.14) и (3.7.15) дает

S{E) = 4тгА2Рп£.	(3.7.16)

Таким образом, неизвестная вероятность Рп выражается через поддающу-
юся измерению (в принципе) величину 5(E).

Перейдем теперь к реакциям в кристаллической решетке. Скорость реак-
ции для одной пары ионов равна

W == (падающий поток) X Т X 4тгАлРл = t)|ipinc| —тг-(3.7.17)

где 10inc 12 и Т при г > Rn теперь нужно вычислять в решеточном потенци-
але, а ядерный фактор 5(E) остается таким же, как и раньше.

Представим приближенно решеточный потенциал, рассматривая1^ одно-
мерное движение иона между двумя фиксированными тождественными ио-
нами, находящимися на расстоянии 2Е0. Более подробно мы изучим эту

11 Изложенные здесь рассуждения представлены согласно Зельдовичу [631].
I

Рис. 3.5. Потенциал, описывающий движение отдельного «падающего» ядра относи-
тельно «закрепленных» ядер в одномерной решетке. Ионы (ядра) находятся на рас-
стоянии Rq. Нулевые колебания с энергией Ео в осцилляторном потенциале вблизи
места нахождения «падающего» иона могут привести к прохождению кулоновского
барьера и ядерным реакциям.

одномерную решетку в следующей главе, а сейчас только заметим, что та-
кой решеточный потенциал можно записать в виде

7-2^2	у 2^,2

+ irh; ~	 м <««-». Р-7-1»)

Kq X	1Xq i X

На рис. 3.5 показан вид этого потенциала, объединенного с короткодейст-
вующим ядерным потенциалом вблизи каждого узла, где находится непод-
вижный ион. Мы предположили, что все ионы имеют заряд Ze и массу тА
и что точка z = 0 отвечает положению равновесия. Для х < Ro получим

У(х)->^Кх2,	(3.7.19)

Ro

Таким образом, при малых отклонениях от положения равновесия движе-
ние оказывается просто гармоническим с энергией нулевых колебаний, рав-
ной

F - * ь _

(3-7-20)
Упражнение 3.9. Покажите, что фактически совпадает с плазменной частотой ио-
нов = (4irZ2e2nA/mA )1/2, где пА — средняя концентрация ионов.

Классическая точка поворота г0 для иона с энергией Е = £0 определяет-
ся уравнением

Ео = Г(г0).

(3.7.21)

Приближенно заменяя У(х) потенциалом гармонического осциллятора
(3.7.19), получим

_/ л \,/2W/4

Г° \2Ze) 1g

(3.7.22)

В рассматриваемом приближении ^inc можно считать волновой функци-
ей основного состояния простого гармонического осциллятора (SHO). В
трехмерном пространстве она равна

I’AshoI2 - -~е

(3.7.23)

где

цК\1/4
h2 /

(3.7.24)

(т.е. ион локализован в объеме ~rl в окрестности каждого узла решетки).
Полагая экспоненциальный множитель в выражении (3.7.23) равным едини-
це, получим

2	2	1

I’Aincl “I’f'SHol ® 3 3/2 •

Г0Р

(3.7.25)

Коэффициент пропускания для падающего иона
можно вычислить в ВКБ-приближении:

Г=ехр -2 f*|fc(x)|Jx ,

и

где к(х) определяется выражением (3.7.9). Полагая и

с энергией £0 снова

(3.7.26)

= x/Rq, получим
где

^0

2Z2e2/«0 ’

(3.7.28)

Безразмерный интеграл в выражении для Т можно записать в виде

		Д	(и - 0)(и + /3) (1 - и)(1 + и)	1/2  du,	(3.7.29)
где		д = -^  р R	L - ( а У/2 = 0	\ 1 + а)	а1/2.	(3.7.30)

Устремляя Rn к нулю, можно взять этот интеграл с помощью таблиц ин-
тегралов [98, равенство (256.18)]:

7 = (1 +/})Е-20К,	(3.7.31)

где Е и К — полные эллиптические интегралы с модулем

i -д

1 + Д'

В пределе & имеем

I 1 \'/2

I* 1 -Д21п(д)

(3.7.32)

(3.7.33)

Комбинируя равенства (3.7.27), (3.7.30) и (3.7.33), получим

«о 0\

— ехр -2— .

0	\ го /

(3.7.34)

Отсюда после некоторых упрощений преобразуем выражение (3.7.17) к ви-

ду

' (Л=Я«Г

ехр

_4Ze(^r

п

(3.7.35)



Т =

Упражнение 3.10. Покажите, что при плотностях < 10ю г/см3 справедливо соотно-
шение Ео < EC0U| ~ Z2e2/RQ, т.е. решетка фактически не существует, несмотря на
наличие нулевых колебаний.
Следуя Солпитеру и Ван Хорну [499], введем безразмерный параметр
длины:

X =

h2
2p.Z2e2

(3.7.36)

h2 /3\
2p.Z2e2\^)

1/3 1

Ro’

(3.7.37)

где концентрация ионов пА оценена в предположении, что в сфере радиу-
сом 7?0/2 находится один ион. Число реакций на кубический сантиметр в
секунду равно

Ро = nAW = (-Jp2Z4S7X5/4exp(-eX-1/2),	(3.7.38)

где мы приняли, что р = АтипА. В этой формуле р выражается в г/см3,
5 — в МэВ • барн (1 барн = 10“24 см2) и

у = 1,1X10*, е = 2,85.

(3.7.39)

Мы умножим 7 на 4, так как каждый ион в объемно центрированной куби-
ческой решетке имеет 8 ближайших соседей, a W — вероятность реакции
при парном соударении.

Наилучшее к настоящему времени вычисление скорости пикноядерных
реакций принадлежит Солпитеру и Ван Хорну [499]. Они использовали бо-
лее реалистическую форму потенциала решетки с учетом анизотропии и эф-
фекта электронной экранировки и получили следующий результат:

ро = ^^Л2745уХ7/4ехр(-еХ_|/2)с_1  см-3,	(3.7.40)

где

ИЛИ

у = 3,90 X 1046,	е = 2,638,

у = 4,76 X 1046,	е = 2,516.

(3.7.41)

(3.7.42)

Эти два набора численных значений отвечают двум различным приближен-
ным потенциалам, которые огрубленно ограничивают истинный потенциал
сверху и снизу. Интересно отметить, насколько грубая формула (3.7.38)
близка к выражению (3.7.40), особенно если учесть, что зависимость от с
появляется в экспоненте. Однако мы еще раз повторим сделанное выше
предостережение, что учет дефектов решетки может привести к существен-
ному увеличению полученных скоростей реакций.
При конечных температурах нельзя более считать, что ядро находится в
основном состоянии решеточного потенциала. При еще более высоких тем-
пературах решетка исчезает и система переходит в термоядерный режим.
Скорости реакций во всех этих режимах обсуждались Солпитером и Ван
Хорном [499].

Упражнение 3.11. Покажите, что выражение (3.7.36) можно переписать в виде

i/i	\1/3

Л-----— ------------------------ .	(3.7.43)

AZ2\A 1,36 X 10" г/см3 )

Упражнение 3.12. Используя равенство (3.7.40), получите пределы концентраций Н и
С , приведенные в разд. 3.5, доказав, что полное ядерное превращение происходит
за характерное время, определяемое условием

Р0‘ = пл-	(3.7.44)

Разрешите уравнение (3.7.44) относительно р, положив t = 105 лет и

Spp = 5,38 X 10-25 МэВ • барн,

Scc = 8,83 X 1016 МэВ • барн.

Значение Scc взято из работы [203], и его неопределенность, по-видимому, определя-
ется множителем не меньше трех.
Остывание белых карликов

В гл. 3 мы обсудили, как проверить наблюдениями соотношение между
массой и радиусом для белых карликов. Другой важный способ проверки
теории белых карликов основан на изучении их остывания. Как будет опи-
сано ниже, эта проверка состоит в сравнении светимости с возрастом бело-
го карлика, т.е. в сопоставлении величин, связь между которыми определя-
ется скоростью остывания. Теория остывания белых карликов представ-
ляет интерес не только с астрофизической точки зрения, но и как красивое
приложение физики твердого тела в весьма необычных условиях.

4.1.	СТРУКТУРА ПОВЕРХНОСТНЫХ СЛОЕВ

Для нахождения скорости остывания нам надо определить, каковы условия
вблизи поверхности белого карлика.

Недра белого карлика являются полностью вырожденными. Поскольку
море Ферми заполнено, электроны имеют большую длину свободного про-
бега, что приводит к высокой теплопроводности и, следовательно, к посто-
янной по объему температуре. Эта изотермическая внутренняя часть по-
крыта невырожденными поверхностными слоями, которые находятся в лу-
чистом равновесии: вещество практически находится в локальном термоди-
намическом равновесии, но при этом существует направленный наружу по-
ток энергии, уносимой диффундирующими фотонами. Уравнение диффузии
фотонов имеет вид

£= -4^г27^^-(а7’4).	(4.1.1)

Зкр агу 7	v

Это уравнение выведено и более подробно обсуждается в приложении И.
Здесь L — светимость (эрг/с), аТ* — плотность энергии черного тела и
к — непрозрачность (см2/г) звездного вещества. Длина свободного пробе-
га фотона оценивается величиной 1/кр. Уравнение (4.1.1) приводит к соот-
ношению

dT _	3 кр L

dr	^ас т3 4тгг2

(4:1.2)

Для определения непрозрачности применимо приближение Крамерса:

к = корТ 3’5,

(4.1.3)
которое получается, если учитывать процессы фотоионизации атомов и об-
ратного тормозного излучения свободных электронов (связанно-свободный
и свободно-связанный переходы)1^ Разделив условие гидростатического
равновесия

dP^ _ _ Gm(r)p
dr	r2

(4-1.4)

на уравнение (4.1.2), получим

dP _ 4ас 4тгОт(г) Т6'5
dT 3 k0L р

(4.1.5)

В поверхностных слоях, которые, как мы увидим ниже, тонки по сравне-
нию с радиусом белого карлика, можно считать, что m(Z) = М. Если ис-
ключить плотность р, используя уравнение состояния (2.3.18) для невырож-
денного вещества в поверхностном слое, то получим

3 k0L рти

(4.1.6)

Уравнение (4.1.6) с граничным условием Р = 0 при Т = 0 легко интегриру-
ется. Теперь, выражая Р через р с помощью уравнения состояния, найдем

/ 2 4 ас 4ttGM рти
\8j~*ic0£ ~

1/2

7 3,25

(4.1.7)

Р =

Для kq можно использовать выражение, приведенное в книге Шварцшильда
[516, с. 237]:

к0 = 4,34 X 1024Z( 1 + X) см2/г.

(4.1.8)

где X — доля водорода по массе, a Z — доля тяжелых элементов (т.е. всех
элементов, кроме водорода и гелия). Теперь с помощью уравнения (4.1.8)
мы можем описывать поведение р в зависимости от Т в наружных слоях
белых карликов.

В некоторой точке под поверхностью, где электроны становятся вы-
рожденными, уравнение (4.1.7) становится неприменимым. Оценим значе-
ния плотности р* и температуры Т*, при которых это происходит, прирав-
нивая давление невырожденных электронов давлению вырожденных. При
этом используем равенства (2.3.22):

р ф кТ ф
Рети

/п \5/3

= 1,0 х 1013 —

\ /

(4.1.9)

См. приложение И.
Отсюда следует

Р* = (2,4 X 10*8 г/см3 4)мЛ*/2,	(4.1.10)

где Т* измеряется в кельвинах. Температуру в этом переходном слое мож-
но выразить через светимость, сопоставляя уравнения (4.1.7) и (4.1.10). Это
дает

LH5.7X10’	(4.1.11)

Таким образом, зная L, химический состав и массу белого карлика, можно
определить его внутреннюю температуру.

Для примера положим X = 0, Y - 0,9 (доля гелия по массе), Z = 0,1
и М = A/q. Отсюда найдем ~ 2,	~ 1,4 и, следовательно,

L = (2 X 106 эрг/с	(4.1.12)

Мо

I

Характерные значения L составляют 10“ 2 — 10“5 Lq, что отвечает 1\ «
« 106 4- Ю7 К и, следовательно, р* 103 г/см3 < рс. Столь низкая плот-
ность в переходном слое подтверждает предположение, что поверхностный
слой является относительно тонким и что он не меняет соотношение меж-
ду массой и радиусом, полученное для холодных звезд. Заметим, также,
что кТ* много меньше энергии Ферми электронов в ядре белого карлика.

Упражнение 4.1. С помощью уравнений (4.1.3) и (4.1.7) исключите р из уравнения

(4.1.2). Затем, проинтегрировав его, получите соотношение

1 pmu GM
*	4,25 к R

(4.1.13)

где г* — значение радиуса, при котором Т = Г.. Покажите, что при Л = 106 4-

4- 107 К отсюда следует

R- г*
R

< Ю’2.

(4.1.14)

4.2.	ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ АНАЛИЗ ОСТЫВАНИЯ БЕЛЫХ КАРЛИКОВ [400, 516]

Когда звезда доходит до стадии белого карлика, единственным источни-
ком излучаемой энергии является остаточная тепловая энергия ионов. При
дальнейшем гравитационном сжатии высвобождается очень мало энергии,
так как звезда уже достигла вырожденного состояния. Энергия, выделяе-
мая при испускании нейтрино, существенна только на очень ранней высоко-
температурной стадии. Высвобождение тепловой энергии электронов за-
труднено, поскольку в вырожденном газе большинство состояний с более
низкой энергией оказываются занятыми. Если удельная теплоемкость ио-
нов в расчете на один ион равна cv, то тепловая энергия, приходящаяся на
один ион (рассматриваемая только как функция температуры), определяет-
ся равенством

Тепловая энергия = ^cvdT.	(4.2.1)

Полагая для невырожденного одноатомного газа, что

Cv = ik	(4.2.2)

получим, что полная тепловая энергия белого карлика равна

т Л/

=	(4.2.3)

2 Arn	v

Здесь Т — однородная температура внутри белого карлика, которая в разд.
4.1 обозначалась Г*. Мы предположили, что в состав белого карлика вхо-
дят только ионы с барионным числом Л; в общем случае \/А следует за-
менить на 1/g — l/ge. Запас энергии, определяемый равенством (4.2.3),
весьма значителен. При Т» ~ 107 К он достигает ~ 1048 эрг, что сравнимо
с энерговыделением сверхновой в видимой части спектра. Скорость охлаж-
дения равна -dU/dt. Приравнивая эту величину выражению (4.1.12) для L,
записанную в форме

L = СМТ,/г,
где CMq ® 2 • 106 эрг/с, получим уравнение

d /3kT/2
dt ( Amu

интегрирование которого дает

(4.2.4)

(4-2.5)

(4.2.6)

|-^-(Т'5/2 - Го-5/2) = C(t - t0),
5 Amu v

где TQ — начальная температура. Полагая, что То > Т, мы можем прене-
бречь зависимостью от То в соотношении (4.2.6) и написать для времени

охлаждения т = t -	tQ выражение  т = 2 к™..	(4.2.7)  5 AmuL

Заметим, что из равенства (4.2.4) следует

т а

(АГ5/7

(4.2.8)
Для L ~ 10“3 £>0 имеем т ~ 109 лет. Получается такой порядок величины,
какого следовало ожидать: с одной стороны, т достаточно велико, так
что белые карлики не успели стать ненаблюдаемыми, а с дру-
гой — достаточно мало, так что типичные светимости белых карликов
стали теперь весьма низкими. Как можно заметить, из уравнения (4.2.6)
следует, что большую часть времени белый карлик имеет температуру,
близкую к современной.

В конце 60-х и начале 70-х годов рассмотренная выше теория остыва-
ния приближенно согласовалась с наблюдениями для горячих и ярких бе-
лых карликов (10~3 L/Lq 10“ Ч Однако для слабых белых карликов
(L 1О“3£,0) теоретические оценки времени остывания казались завы-
шенными более чем на порядок. Это противоречие проявлялось иля слабых
белых карликов в звездных скоплениях, где возраст белого карлика, вычис-
ленный на основе формулы (4.2.7), оказывался выше возраста скопления1^.
Кроме того, поскольку т увеличивается по мере уменьшения L, то должно
наблюдаться большое количество белых карликов с малыми светимостями.
Однако, например, функция светимости Вейдеманна указывает на недоста-
ток белых карликов с L < 10“3Lq.

Как мы теперь знаем, это противоречие было в сущности кажущимся и
появилось из-за недооценки неточностей в наблюдениях скоплений и в
определении их возраста. Интенсивные поиски привели к обнаружению
большого количества не входящих в скопления белых карликов со свети-
мостью вплоть до L < 10“4Lq. Однако упомянутое кажущееся противо-
речие стимулировало попытки теоретиков «сократить» время остывания.

В следующих разделах описаны наиболее важные поправки к элементар-
ной теории остывания. Это сделано по следующим двум причинам. Во-
первых, по мере улучшения данных наблюдений требуется и более точная
теория, с которой эти данные можно было бы сравнить. Во-вторых, новые
наблюдения свидетельствуют о неожиданном отсутствии белых карликов с
очень малой светимостью L < 10“ 4 £,0 [301]. Если этот дефицит действи-
тельно имеет место, то какой физический эффект может быть ответствен-
ным за сокращение времени остывания?

Наиболее важный эффект, которым мы пренебрегли, — это кристалли-
зация ионной решетки [401, 496, 585]. Для достаточно низких температур
(и, следовательно, светимостей) удельная теплоемкость в большей степени
связана с колебаниями ионов решетки, чем со свободным движением. Де-
баевская температура (0D — 107 К) является критической температурой, ни-
же которой cv быстро падает, что ведет к более быстрому остыванию.
Учет этого обстоятельства должен обеспечивать улучшение согласия тео-
рии с наблюдениями. В следующих разделах мы в основных чертах постро-
им теорию кристаллизации и теплоемкости ионной решетки и применим
результаты к белым карликам.

Возраст скопления по существу совпадает со временем жизни на главной после-
довательности наиболее ярких звезд скопления в предположении, что все звезды об-
разовались в одно и то же время; см. приложение А.
4.3.	КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ И ТЕМПЕРАТУРА ПЛАВЛЕНИЯ

Ионная решетка кристаллизуется, когда безразмерный параметр

_ (Ze)2 _ кулоновская энергия г^Т	тепловая энергия	(4.3.1)

становится достаточно большим. Здесь ri определяется уравнением

n^irr? __  3	(4.3.2)

где rij — концентрация ионов. При Г < 1 отклонение плазмы за счет элек-
тростатических поправок от идеальной картины Максвелла—Больцмана не-
значительно. При Г > 1 кулоновские силы преобладают и плазма кристал-
лизуется, образуя периодическую решетку, которая минимизирует кулонов-
скую энергию.

Можно оценить критическое значение Г и соответствующую температу-
ру плавления Тт, пользуясь эмпирическим правилом Линдеманна [369]:
ионная решетка плавится, когда средний квадрат тепловых флуктуаций по-
ложения иона ((6rz)2> удовлетворяет условию

{(Sr.)2) 1  г,2	~ 16 ’	(4.3.3)

Упражнение 4.2. Рассмотрим малое смещение иона от положения равновесия в ре-
шетке Вигнера—Зейтца. Считая, что окружающее ион электронное облако однород-
но распределено в пространстве, покажите, что возвращающая сила, которая возни-
кает от взаимодействия с этим облаком, представляет собой силу трехмерного гар-
монического осциллятора. Вычислите величину коэффициента упругости К и пока-
жите, что частота колебаний равна

_т|/2_3_  “° [ m J	31/2 ’	(4.3.4)
где — плазменная частота ионов:  / 477A7zZ2e2 \ 1/2 р 1 mt 1	(4.3.5)

Заметим, что для одномерной модели решетки, использованной в разделе (3.7), так-
же справедливо соотношение (4.3.4) (ср. с упр. 3.9).

Упражнение 4.3. (основано на работе Солпитера [496]). Пусть геа§ — радиус сферы,
внутри которой в среднем находится один электрон: здесь —
= h/amec — боровский радиус, а = 1/137. Таким образом, г, = Z1/3re#0.
а)	Покажите, что полная кулоновская энергия ячейки решетки Вигнера—Зейтца
[равенство (2.4.8)] может быть записана в виде

9 Z5/3
Е = — -т-------

с 5 ге

а энергия нулевых колебаний — в виде

Т	/ 7	\ 1/2

£о = |^о = з(^) <V2Ry.

Сравните эти величины с аналогичными величинами для объемноцентрированной
кубической (ОЦК) решетки.

Ответ: Для ОЦК решетки коэффициент в выражении Ес вместо 9/5 становится
равным 1,804, а коэффициент 3 в выражении Ео превращается в 2,66.

б)	Покажите, что отношение f = \ЕО/ЕС1 в решетке Вигнера-Зейтца удовлетво-
ряет условию

те х

т{ 1792а

1/2

Z“7/6 - О,33(^-) Z'7/6,

где х — безразмерный параметр, введенный в равенстве (2.3.3), который определя-
ет, насколько релятивистскими являются электроны. Очевидно, чтобы ионы остава-
лись в решетке при нулевой температуре, необходимо условие f < 1 (почему?). Ка-
кой величины достигает f для устойчивых карликов, состоящих из 12 С с плотнос-
тью р < 1 • 1О10 г/см3?

Ответ: f - 0,05.

Согласно классическим представлениям, каждая степень свободы гармо-
нического осциллятора вносит в среднюю энергию вклад кТ/2:

^К{(8гр2) ~ \кТ.

Соотношения (4.3.4) и (4.3.6) теперь дают



ЗкТ
т,й2р

(4.3.6)

(4.3.7)

Более точную оценку числового коэффициента в (4.3.7) можно получить
следующим образом [401]. Каждая нормальная мода колебаний иона в ре-
шетке описывается волновым числом к и состоянием поляризации X. Двум
поперечным состояниям поляризации припишем X = 1, 2, а продольной
моде — X = 3. В области применимости классической теории

/ /д ч2\	K1	__JLf____

V / к,х X) mzt0x(K)
где К (к, X ) — коэффициент упругости для данной моды, а
о>х(к) — соответствующая частота. Чтобы определить <(6rz)2>, нужно про-
суммировать равенство (4.3.8) по нормальным модам колебаний иона.
Вспоминая, что плотность в фазовом пространстве для каждого поляризо-
ванного состояния равна 1/Л3, получим, что число мод в элементе фазово-
го объема cftx d3p равно

сРхсРр .о k2Jk	z

<4-3”

так как р = Ик. Поскольку объем, приходящийся на один ион, равен d3x =
= 1/a2z, то

	kT f*DK2dK Д	1  /	. , Е	2/ х-	(4.3.10)  mini^o 2tr2 x=i W\(K)

Интеграл обрезается на дебаевской моде kd , величину которой можно най-
ти, принимая полное число нормальных мод N ионов в объеме V равным
3N:

3tf= £ fd3x^	(4.3.11)

X»/ 2тт2 бтг2

ИЛИ	KD = (бтт2и,)1/3.	(4.3.12)

Чтобы дальше использовать уравнение (4.3.10), нам понадобится дисперси-
онное соотношение для шх(к). Спектр возбуждения решетки мы обсудим
более подробно в разд. 4.4, а здесь заметим только, что с хорошей точнос-

тью можно принять	к ~  wl,2 -	—  KD  w3 = 0,7fip.	(4.3.13)

Подставляя эти результаты в равенство (4.3.10), получим

((вг,.)2) =

14АТ
что можно сравнить с первоначальным выражением (4.3.7).

Равенство (4.3.14) и правило Линдеманна (4.3.3) в точке плавления дают

Г = 75,	(4.3.15)

что в предположении це =« 2 соответствует температуре плавления

~2 2 / Л	\ 1/3

г-’тт(т^) =	(4.3.16)

Эти значения находятся в разумном согласии с результатами, полученными
при расчетах методом Монте—Карло для однокомпонентной кулоновской
«жидкости» (Г = 126) [91], а также при учете квантовых эффектов для ио-
нов (Г = 160) [331]. Недавно в работе [543] было найдено значение Г =
= 171 ± 3.

Мы определили дебаевскую температуру 0D посредством равенства

k0D = h^p,	(4.3.17)

отсюда

= 4 X 103р1/2 К.	(4.3.18)

Для белых карликов с Z > 2, как правило, Тт > 0D, так что применим
классический вывод <6г;)2>. В противном случае при вычислении <(6rz)2>
следовало бы учесть нулевые колебания. Однако оказывается, что даже для
Не с Тт < 0D выражение (4.3.10) лучше согласуется с экспериментом, чем
результаты некоторых попыток учесть нулевые колебания.

Когда жидкость кристаллизуется при Т ~ Тт, выделяется скрытая теп-
лота, количество которой в пересчете на один ион составляет

~ ЬТт.	(4.3.19)

Скрытую теплоту, выделяющуюся в процессе кристаллизации, следует
включить в полный запас энергии звезды. Как обсуждается в разд. 4.5, это
приводит к увеличению времени остывания.

Третья существенная температурная характеристика — это температура
Т , при которой кинетическая энергия ионов начинает превышать их коле-
бательную энергию. При температурах выше Т кристаллическая решетка
разрушается, образуя плотный неидеальный газ.

Это происходит, когда

{(8г,)2) ~ Г	(4.3.20)

или Т ~ 16 Тт [ср. с выражением (4.3.3)]. Отсюда

Tg ~ 3 X 104pl/3Z5/3 к.	(4.3.21)
Заметим, что для 12С справедливо неравенство 0D < Тт < Tg при условии,
что о < Ю6 г/см.

4.4.	ТЕПЛОЕМКОСТЬ КУЛОНОВСКОЙ РЕШЕТКИ

При Т > Tg ионы можно рассматривать как идеальный газ Макс-
велла—Больцмана и, следовательно, теплоемкость, приходящаяся на один
ион, равна

Cv ~$k, Т» Tg.	(4.4.1)

Это значение было использовано в разд. 4.2 при элементарном обсуждении
остывания белых карликов.

Когда температура опускается ниже Tg, начинается формирование ре-
шетки. При этом теплоемкость увеличивается вдвое из-за дополнительного
вклада потенциальной энергии решетки, равного кТ/2 на каждую моду ко-
лебаний. Таким образом,

с^З/с, 0D«T«T;.	(4.4.2)

При дальнейшем охлаждении до Т < 0D становятся существенными
квантовые эффекты и cv падает много ниже значений (4.4.1) и (4.4.2). Ког-
да Т — 0, то cv - Т3. Поскольку этот режим может играть существенную
роль при сопоставлении данных наблюдений с теоретическими оценками
скорости остывания белых карликов и непосредственно свидетельствовать
об их кристаллизации, мы обсудим его более подробно.

Средняя энергия иона в решетке при температуре Т равна1 )

ё= Ей<ол(к)|------г-— 1	(4.4.3)

к,х ( ехр[/?Йих(к)] - 1 2J

где 0 = \/кТ. Теплоемкость определяется выражением

с=|'2£1	у ехр[/?Л<их(к)][/?Лсох(к)]2

'Т У	кД (ехр[/?Йих(к)] - I)2

С>мму по к можно заменить интегралом, что дает

к f^K2dK у ехр[/?й<ох(к)][/3/шх(к)]2

° «Jo 2тг2 х=)	(ехр[/^х(к)] - 1/

«Обычное» дебаевское приближение, которое здесь неприменимо, со-
стоит в следующем2^:

° Ср., например, с разд. 10.1 книги [479].

2) См., например, [479], разд. 10.2.
1.	Предположим, что нормальные моды колебаний в твердом теле
можно приближенно представить как распространение звуковых волн в не-
прерывной упругой среде. Отсюда получим дисперсионное соотношение в
виде

wx(k) = kco,	(4.4.6)

где скорости поперечных cs 1 — cs 2 и продольных cs 3 звуковых волн
можно выразить через параметры упругости среды.

2.	Определим «среднюю эффективную» скорость звука cs:

3.	Дебаевская граничная частота, отвечающая выражению (4.4.6), до-
лжна быть равна

wd,x =	(4.4.8)

и, следовательно, зависит от поляризации X. Вместо этого пренебрежем за-
висимостью от поляризации и определим общую дебаевскую частоту для
всех X в виде

“d =	= (б^2и,)'/3с5,	(4.4.9)

где было использовано выражение (4.3.12).

Тогда равенство (4.4.5) принимает вид

/0D\

cv = 3VDJyl,	(4.4.10)

где «функция Дебая» fD (у) определяется выражением

(4.4.1!)

/4 (ех - I)2

а «обычная» дебаевская температура 0D определена условием

(4.4.12)

которое отличается от условия (4.3.17).

Поскольку

/оСл')-*	0,

. / \ 4ff4 1
МЛ	, V ос .

5
Рис. 4.1. Спектр возбуждений объемноцентрированной кубической решетки с куло-
новским взаимодействием при учете экранировки согласно вычислениям Кларка
[129] и обзору Пайнса [457]. Штриховая линия отвечает идеализированному случаю
отсутствия экранировки. (По работе [401].)

то для «обычной» дебаевской теплоемкости получим

cv -> 3k, Т » 0D,

1277^ ( Т \3

cv^~i~k — ,	r«0D.	(4.4.14)

\ "d /

К сожалению, «обычное» дебаевское рассмотрение недостаточно для на-
ших целей. Основанное на грубой аналогии между твердыми телами и
упругими средами, оно неправильно описывает кулоновскую природу ион-
ной решетки. Наиболее существенно, что дебаевская граничная частота для
ионной решетки равна (2р, а не wD, так как наивысшая частота в спектре
нормальных мод связана с колебаниями одного иона вокруг своего положе-
ния равновесия.

Правильное вычисление интеграла (4.4.5), определяющего cv, требует
детального анализа спектра нормальных мод (фононов) wx(k) ионной ре-
шетки вблизи Т = 0. Такой анализ был проделан для объемноцентрирован-
ной кубической решетки Кларком [129], Карром [107] и другими. Моды ко-
лебаний такой решетки состоят из двух поперечных фононов и продольно-
го «плазмона». Их типичный спектр представлен на рис. 4.1.

Некоторые особенности колебательного спектра можно понять на осно-
ве анализа нормальных мод одномерной ионной решетки, рассмотренной в
разд. 3.7. Напомним, что мы рассматриваем ионы в виде цепочки из N ча-
стиц с массами mi, которые в положении равновесия находятся на расстоя-
нии 7?0(=2rz) друг от друга. Кулоновские силы действуют как «пружинки»,
связывающие ионы друг с другом, с коэффициентом упругости

К =	(4.4.15)

где ц = mi/2 — приведенная масса. Полная длина решетки равна (N +
+ 1)/?0; предполагается, что крайние ионы закреплены. Мы предположим,
что только ближайшие соседи взаимодействуют друг с другом, игнорируя
таким образом экранировку, связанную с дальнодейстпвующим характером
кулоновского поля1).

Если смещение у'-го иона от положения равновесия равно <?у, то для ма-
лых смещений суммарная сила, возвращающая этот ион к положению рав-
новесия, равна

-qj\	(4.4.16)

Уравнение движения имеет вид

'Му = *(<7,-1 -4 + <7y+t)’	(4.4.17)

Отыскивая нормальные моды, положим

= а/ш',	(4.4.18)

где постоянные	Яу	удовлетворяют уравнению

— Kaj_\ +	(1К-m^aj - Kaj+X = 0,	(4.4.19)

причем граничные условия выполняются, если наложить требования:

а0 = 0,	(4.4.20)

а„+1=0.	(4.4.21)

Уравнение (4.4.19) является линейным разностным уравнением второго по-
рядка с постоянными, т.е. не зависящими от j, коэффициентами. Его мож-
но решить с помощью подстановки

dj = ахе^~8\	(4.4.22)

где подразумевается, что физический смысл имеет действительная часть aj.
Далее найдем

w2 = 4— sin2^-.	(4.4.23)

т, 2

11 Эта экранировка будет учтена ниже в данном разделе.
Граничное условие (4.4.20) требует, чтобы

в = “ >	(4.4.24)

так что действительная часть я0 исчезает, а условие (4.4.21) приводит к со-
отношению

siny(W + 1) = 0,	(4.4.25)

ИЛИ

г 77

7г = УТТ’ r=\,...,N.	(4.4.26)

Здесь г нумерует N независимых решений уравнения (4.4.19). Таким обра-
зом, имеется N независимых собственных частот:

/ ТЛ \ 1/2

J К V . Г1Т
ат = 21 — sin --------------гг .

\ I 2(N + 1)

(4.4.27)

Для соответствующих нормальных мод смещение j-й частицы пропорцио-
нально величине

(4.4.28)

Дисперсионное соотношение (4.4.27) можно переписать через волновое чис-
ло кг, определенное равенством

Г7Г

к г =  ------- .

я0(^+1)

(4.4.29)

Тогда

ajr ~ sin(Krx7),

где = j Rо, а дисперсионное соотношение принимает вид

где

"г = "max sin	(4.4.31)

"max = (i)'/2«p-	(4.4.32)

Вышеприведенное дисперсионное соотношение, полученное для про-
дольных мод одномерной решетки, обладает следующими общими для лю-
бых систем с большим N свойствами:
1.	При низких частотах и больших длинах волн (сол < сотаХ’ кгЯ0 < 1)
линейная акустическая зависимость

а кг	(4.4.33)

такая же, как для упругой среды [ср. с формулой (4.4.6)].

2.	При высоких частотах и малых длинах волн дисперсионное соотно-
шение уже не является линейным. Частота достигает максимума вбли-
зи что отвечает волновому числу кг ~ тг/Я0, т.е. границе «зоны Брил-
люэна» решетки.

3.	Число независимых мод равно N х (размерность решетки).

Мы видим, что спектр поперечных фононов, представленный на рис. 4.1
для объемноцентрированной кубической решетки, который приближенно
выражается равенством (4.3.13), качественно подобен спектру одномерной
решетки, определяемому формулой (4.3.31).

Исходя из результата упражнения 4.2, можно было бы ожидать, что
спектр продольных возбуждений в плазме определяется соотношением
Это справедливо для высоких частот и коротких длин волн. Од-
нако в низкочастотном длинноволновом пределе плазмон ведет себя как
нормальный фонон с ~ к, что связано с кулоновской экранировкой ио-
нов окружающим их вырожденным электронным газом.

Чтобы показать это, предположим, что локальная плотность заряда
ионов представляет собой малое возмущение однородного нейтрального
статического фона. Допустим, что подвижный электронный газ быстро пе-
ремещается, чтобы нейтрализовать это возмущение. Запишем

ni =	+ пх

пе = Z«o + п'е,	(4.4.34)

где пх и пе' — малые отклонения от статических значений л0 и ZnQ. Элек-
тростатический потенциал, порожденный этим возмущением, определяется
уравнением

Х72ф = -4ттп17е + 4тгел'е.	(4.4.35)

Далее в приближении Томаса—Ферми имеем (разд. 2.4)

£f = ^2^ ” еФ(г) = const	(4.4.36)

и

<4-4-з7)

JH ЭП	\	/

Разлагая выражение (4.4.37) до первого порядка по еф/Е? (фон почти одно-
роден), получим
В итоге уравнение (4.4.35) принимает вид

(V2 - к^)ф = -4w«1Ze,	(4.4.39)

где длина экранирования к 1

определена
6тг7е2п0
EF

выражением

(4.4.40)

Упражнение 4.4, Мотивируйте использование термина «длина экранирования» для
к ~1, вычислив электростатический потенциал одиночного иона, покоящегося в нача-
ле координат, который находится в вырожденной нейтральной плазме.

Указание: ф удовлетворяет такому же уравнению, как (4.4.39) с -4тг7е<5(г) в пра-
вой части.

Ответ:	~	ч _

ф(г) = Zeexp(-Kscr)/r],

В длинноволновом пределе ионы можно рассматривать как
«жидкость». Необходимые нам динамические уравнения, описывающие по-
ведение жидкости1^, это, во-первых, уравнение неразрывности:

	+ v • («,v) = 0,	(4.4.41)

и, во-вторых, уравнение движения:

	4? + (v- V)v = - — v<£.	(4.4.42)  at	mi	v	7

Линеаризация этих уравнений вблизи статического однородного фона, в ко-
тором v = ф = 0, дает

	+ /70V • V = 0,	(4.4.43)  at  <44'44>

Рассмотрим один фурье-компонент, пропорциональный ехр(/к • г — zotf).

Для него	-<рпх 4- лок • v = 0,	(4.4.45)  -„,--^4.	(44.46)  (к2 4- к2с)ф = 477-^Ze,	(4.4.47)

11 См. гл. 6.
где последнее уравнение следует из уравнения (4.4.39). Умножим скалярно
уравнение (4.4.46) на к и исключим к • V из уравнения (4.4.45). Далее с по-
мощью уравнения (4.4.47) исключим ф. В результате получим

Я2

w2 =-------з---г (продольная) ,	(4.4.48)

1	+ Ksc/K

где

-	4?rZ2e2«0	/4 4

Я2 =-----------.	(4.4.49)

р т1

Заметим, что это относится только к продольной моде, так как, соглас-
но (4.4.46), векторы V и к параллельны. Из выражения (4.4.48) видно, что
со — к при малых к и со — (2 при больших к.

Экранировка не оказывает значительного влияния на поперечные моды.

Упражнение 4.5. Покажите, что в низкочастотном пределе формула (4.4.48) сводит-
ся к акустическому дисперсионному соотношению: со -* су, где cj = dP/dp, а
Р и р определяются выражениями, отвечающими случаю идеального ферми-газа.

Теперь мы готовы вычислить cv с помощью формулы (4.4.5), используя
спектр возбуждений объемноцентрированной кубической решетки, пред-
ставленный на рис. 4.1. В общем случае вычисления приходится делать
численно. Однако можно легко найти вид cv в двух предельных случаях. В
режиме высокотемпературной решетки имеем

cv-+3k, eD^T<^Tg,	(4.4.50)

независимо от деталей дисперсионного соотношения и в согласии с преды-
дущим рассмотрением.

В низкотемпературном режиме, Т < 0D, главный вклад в интеграл
(4.4.5) дает низкочастотная, длинноволновая область. Приближенно запи-
сав

К

~	—	,	(4.4.51)

KD

где cvx — постоянная (ср. с рис. 4.1), получим

= 2A/D(yt) + A:/D(^),	(4.4.52)

где

al^D	a3^D

УI = Уг = -у- ,	Уз = -у- 
Рис. 4.2. Удельная теплоемкость как функция температуры (рисунок схематический;
учтен лишь вклад ионов). При низких температурах 0D<T< Т, когда газ кристалли-
зуется, колебания решетки увеличивают cv по сравнению со значением Зк /2 для иде-
ального газа Максвелла— Больцмана. При очень низких температурах, T<&D, с'
ведет себя как Г3.

В пределе Т -* 0, у — <х> с помощью выражения (4.4.13) получим

4w4/ Г \3, ( 2	1 \

= -у- -S- к — + — .

•> \ ”d /	\ «1 «з /

На рис. 4.1 видно, что при малых к имеем » 0,8; се3 > 1. Следователь-
но, продольные моды не вносят никакого вклада и

=	T«eD.	(4.4.54)

\“г>!

Ионная теплоемкость

при всех Т показана на рис. 4.2.

4.5.	УТОЧНЕННЫЙ АНАЛИЗ ОСТЫВАНИЯ БЕЛЫХ КАРЛИКОВ

В общем случае уравнение (4.2.5), описывающее остывание белых карли-
ков, принимает вид

	-jJcvdT= САпгиТ1/2,	(4.5.1)
или		с_и		(4.5.2)  dT	CAmJ1/2
Если 0D < Т < ния следует	Tg, то cv « ЗА: и из уравнения (4.5.2) для времени остыва-  6 кТМ	п	„	„	„  "° * T i- <4'5 3>

8-353
Этот результат в два раза выше определяемого уравнением (4.2.7) из-за
учета потенциальной энергии решетки.

При Т < 0D подставим в уравнение (4.5.2) выражение (4.4.54) и в ре-
зультате получим

32w4 / Т \3Г/ Г0\]/2	1 МкТ

5	г)	\AmuL'

т«е^

(4.5.4)

где TQ — начальная температура, с которой началось остывание, TQ < 0D.
Как впервые было указано Местелом и Рудерманом [401], полученное время
остывания короче, чем следует из классического результата (4.5.3), если Т
меньше примерно 0,1 0D. Высказывалась надежда, что этим можно объяс-
нить противоречие между теорией и наблюдениями, о котором шла речь в
разд., 4.2.

Упражнение 4.6. а) Оцените Тс и Lc, при которых происходит переход от «классиче-
ского» режима остывания к дебаевскому для белого карлика с массой 1 Mq с угле-
родным ядром и со следующим составом атмосферы: X = 0, Y = 0,9 и Z = 0,1.
Получите приближенный критерий перехода, приравнивая выражение (4.4.54) Зк.
Определите соответствующую плотность с помощью рис. 3.2.

б)	Оцените тс — время, за которое белый карлик достигнет этого перехода.
Ответы: Тс ~ 4,8 • 106 К, Lc ~ 1,3 • ]0-4£q, тс ~ 5 • 10В 9 * * лет.

Упражнение 4.7. Используя формулу (4.5.3) и аналитические выражения, полученные
в разд. 4.1 и гл. 3, оцените зависимость т и Lc от М для звезд с заданным химиче-
ским составом.

Ответы: т ~ М~2>5, Lc ~ М4>5. В зависимости от сделанных предположений
возможны и другие ответы.

В проведенном выше аналитическом рассмотрении мы опустили в левой
части уравнения (4.5.1) скрытую теплоту кристаллизации — q « кТ. Лэмб
и Ван Хорн [331] учли этот эффект в своем детальном расчете остывания
белого карлика, состоящего из чистого 12С, с массой, равной 1 Л/д . Это
привело к увеличению классического времени остывания на множитель
~1,6 в дополнение к множителю 2, связанному с потенциальной энергией
ионов. Причина этого увеличения состоит в том, что энерговыделение за
счет кристаллизации равно

вскрыт, тепл fl _

ТГ, ~ ЗкТ/2 3’

так что в целом

$треш 3" 8т	5 т

------------1----=>--------

ткласс	3	ткласс

(4.5.5)

(4.5.6)

~ 3.
Однако, поскольку кристаллизация начинается в центре звезды и по мере ее
охлаждения постепенно распространяется к наружным слоям, вклад q в
энерговыделение не приводит к возникновению пика в функции светимости.
Этот вклад не приводит к следствиям, явно свидетельствующим о кристал-
лизации и не объясняет резкого убывания функции светимости.

В правой части уравнения (4.5.1) мы также опустили член, связанный с
излучением нейтрино. Тепловое излучение нейтринопревосходит излуче-
ние фотонов, когда фотонная светимость L > 1О~0,5 £$, а температура
Т Ю7’8 К. Добавление Lp в левую часть уравнения (4.5.1) вызовет умень-
шение времени остывания и соответствующее падение теоретической функ-
ции светимости выше lg(£/£Q) = —0,5 по сравнению с кривой остывания
Местела. Такое падение заметно на кривой Лэмба и Ван Хорна, приведен-
ной на рис. 4.3, которая более подробно обсуждается ниже.

Наконец, конвекция может привести к более эффективному переносу
энергии и уменьшению времени остывания. Однако тщательный анализ,
проделанный Фонтеном и Ван Хорном [199], а также Лэмбом и Ван Хор-
ном [331], указывает, что в первом приближении конвекция, по всей види-
мости, несущественна.

Детальные расчеты охлаждения были выполнены также Суини [554], а
также Шавивом и Ковецем [535]. Результат Шавива и Ковеца для звезды с
массой 0,6 М® часто цитируется, так как существует мнение, что средняя
масса белых карликов, найденная по радиусу, близка к этому значению* 2^.
Результаты упр. 4.7 показывают, что дебаевское охлаждение для звезды с
массой 0,6 Mq начинается при столь низкой светимости, что оно не влияет
на функцию светимости в интересующем нас диапазоне, доступном наб-
людениям, нижняя граница которого в настоящее время опустилась до
~ 10~5 Lq. Таким образом, результаты Шавива и Ковеца гораздо ближе
к первоначальной кривой охлаждения Местела, чем результаты Лэмба
и Ван Хорна.

4.6.	СРАВНЕНИЕ С НАБЛЮДЕНИЯМИ

Детальное сравнение теории с наблюдениями можно делать двумя способа-
ми: либо рассматривая функцию светимости белых карликов, либо оцени-
вая возраст белых карликов в звездных скоплениях. В принципе оба спосо-
ба позволяют выяснить, насколько хорошо мы понимаем твердотельные
свойства самогравитирующих астрономических объектов.

а)	Сравнение с возрастом скоплений

Используя данные о светимости белых карликов в звездных скоплениях,
Лэмб и Ван Хорн [331] теоретически оценили их возраст, полагая, что все

Процессы теплового излучения нейтрино описаны ц. разд. 18.

2) См., например, работу [317].
белые карлики подобны чисто углеродным карликам с массой 1 Mq . Они
сравнили найденный теоретически возраст с возрастом скоплений; очевид-
но, возраст любого скопления должен быть больше, чем возраст любого
находящегося в нем белого карлика, так как мы полагаем, что все звезды в
скоплении образовались одновременно. В результате было обнаружено
удовлетворительное согласие оценок (табл. 4.1). Похожее сравнение было
сделано также Суини [554].

В принципе эта процедура является очень мощным методом наблюда-
тельной проверки теорий, однако в настоящее время ее применение тормо-
зится малым числом хорошо наблюдаемых белых карликов в скоплениях и
неопределенностями в определении возраста скоплений.

б)	Сравнение с функцией светимости

Напомним наше определение функции светимости, данное в гл. 1. перепи-
сав его в виде

ф(Г/Ьф)с1 1g (L/Lq)—пространственная плотность белых карликов

в единичном интервале 1s(L/Lq).	(4.6.1)

Если скорость рождения белых карликов однородна по пространству и
постоянна во времени в течение всей жизни Вселенной, то можно ожидать,
что для белых карликов с определенным возрастом и химическим составом
величина ф удовлетворяет соотношению

, / d (L/Lo)

Это просто означает, что правая часть выражения (4.6.1) пропорциональна
dr — временному интервалу, в течение которого белый карлик смещается
на единичный логарифмический интервал по шкале светимости.

Запишем тосЛ~а, где при L > Lc имеем а = 5/7 из уравнений (4.2.4) и
(4.5.3), а при L < Lc из уравнения (4.5.4) получаем - 1/7 < а < 0. Тогда

1g ф = -a 1g | -у- | + const.	(4.6.3)

\ /

Таблица 4.1

СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОЗРАСТОВ БЕЛЫХ КАРЛИКОВ

С ВОЗРАСТОМ СКОПЛЕНИЙ [31]

Скопление	Диапазон	Теоретический	Возраст скопления,  светимости,	возраст, лет	лет  lg(L/L@)
Гиады Ясли	(—!)_(_ 2,4)	4-Ю7 — 510s	(4— 5)-1О8  (-2,3)- (-2,8)	4108- 9-108	9-108
Рис. 4.3. Сравнение эмпирической функции светимости ф (в единицах пс~3 Л/"1), по-
лученной Либертом [360] на основании данных Сиона [542], с теоретическими функ-
циями светимости. Черные кружки нанесены в предположении, что имеющиеся дан-
ные относительно полны вплоть до предельного значения Mv~ 13,5 (L~ lO-3,5/^);
светлые кружки - до 14,5 (L~ 10-4£q). Наклон данных определен лучше, чем
общая нормировка. Эмпирическая функция светимости Грина [238, 239], которая
имеет более надежную абсолютную шкалу, но определена только до ~10-3£q, по-
казана отрезками, соответствующими одному стандартному отклонению. Сплош-
ной линией представлена теоретическая функция Лэмба и Ван Хорна [331] для звез-
ды с массой 1A/q. Штриховая кривая, представляющая закон остывания Местела
[<х= 5/7 в уравнении (4.6.3)], близка по форме к результатам расчетов Шавива и Ко-
веца [535] для M=0,6MQ. (По статье Либерта [360].)

Эмпирическая функция светимости, найденная Либертом [360] на осно-
вании данных Сиона [542], в диапазоне от L ~ 10“ 2 L& до ~ 10“ 4 Lq при-
ведена на рис. 4.3. Там же изображена эмпирическая функция свети-
мости Турина [238, 239], которая известна в диапазоне от ~ 10“1 L® до
— 10“3 £q. Налицо вполне хорошее по астрофизическим меркам согласие
с предсказаниями Местела, Шавива—Ковеца и Лэмба—Ван Хорна, кото-
рые в этом диапазоне светимости близки друг к другу.

Едва ли удастся накопить достаточно статистики по горячим белым
карликам (L > 10“ 1 £q), чтобы проверить наличие провала, вызванного
нейтринным охлаждением согласно вычислениям Лэмба—Ван Хорна, так
как белые карлики проводят в этом интервале светимости сравнительно
мало времени.

Лэмб и Ван Хорн предсказывают, что дебаевский режим в охлаждении
начинается при L ~ 10“4 Lq и приводит к широкому максимуму с шири-
ной около 2 в единицах \g(L/L^). Как отмечалось выше, согласно Шавиву
и Ковецу, этот эффект должен проявляться при заметно меньших светимо-
стях из-за предположения о более низком значении массы.
Согласно сводке данных, приведенной Либертом и др. [361], белых кар-
ликов с очень низкой светимостью (L s IO-4,5 Lq) действительно оказы-
вается слишком мало. Если ещё более тщательные поиски не изменят это-
го результата, то он будет иметь важные последствия. Существующие тео-
рии остывания по-прежнему предсказывают заметное число белых карли-
ков с такими светимостями, и ни один известный физический эффект не
может вызвать столь резкий излом в функции светимости. В этой связи
Либерт и др. [361] высказали предположение, что звезды в диске Галакти-
ки, которые вносят главный вклад в обсуждаемую выборку, образовались
не так давно по сравнению с принимаемым в настоящее время возрастом
галактического гало (~ Ю10 лет).
Общая теория относительности

Те изменения гравитационного поля, которые вносятся общей теорией от-
носительности, оказываются весьма важными как в задачах об устойчиво-
сти белых карликов, так и в задачах о равновесии и стабильности нейтрон-
ных звезд и черных дыр. Это обстоятельство и вызывает столь большой
теоретический интерес к компактным объектам, наделяя эти объекты уди-
вительными и неповторимыми свойствами. Хотя последовательное деталь-
ное обсуждение общей теории относительности выходит за рамки этой
книги, нам все же нужно остановиться кратко на основных идеях и уравне-
ниях этой теории. Такого краткого изложения будет вполне достаточно
для приложений, обсуждаемых в следующих главах. Но читатель не до-
лжен огорчаться, если ему не удастся сразу усвоить новые для него поня-
тия, которые он может здесь встретить. Недоумения проясняются при рас-
смотрении приложений. Интересующийся же читатель может продолжить
изучение общей теории относительности, выбрав одну или несколько из су-
ществующих прекрасных книг на эту тему1). Для начала будет достаточно,
если читатель познакомится с идеями и основными уравнениями, отличаю-
щими общую теорию относительности от теории Ньютона. Это дает нам
право использовать теорию относительности в следующих главах, когда
это станет необходимым.

5.1.	ЧТО ТАКОЕ ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ?

Общая теория относительности является релятивистской теорией гравита-
ции. Чтобы понять это немного лучше, зададим себе вопрос: какие могут
возникнуть трудности при попытке сделать релятивистской теорию грави-
тации Ньютона?

Ньютоновскую теорию гравитации можно представить как теорию ска-
лярного поля Ф, удовлетворяющего уравнению Пуассона:

v2$ = 4irGpQ.	(5.1.1)

Гравитационное ускорение любого объекта в этом поле равно -\7Ф.

11	Например, по книгам Мизнера, Торна и Уилера [411], Вейнберга [606] или, как
введение, Ландау и Лифшица [341].
Согласно теории относительности, энергия в любой форме эквивалент-
на массе, так что в релятивистской теории гравитации источник гравитаци-
онного поля определяется не только р0, но и плотностью энергии. В част-
ности, плотность энергии гравитационного поля в ньютоновском пределе
сама пропорциональна (7Ф)2. Если внести этот член в левую часть уравне-
ния (5.1.1), то мы должны получить нелинейное дифференциальное уравне-
ние, описывающее гравитационное поле в релятивистской теории. Симво-
лически можно написать

F(g)~GT,	(51-2)

где g представляет собой гравитационное поле или поля, которые сводятся
к Ф в пределе слабого поля; F — нелинейный дифференциальный оператор,
сводящийся к V2 в том же пределе, а Т — некоторая величина, описываю-
щая все негравитационные формы энергии. При этом в нерелятивистском
пределе основным остается вклад от р0.

Великая идея Эйнштейна состояла в том, что он построил общую тео-
рию относительности как геометрическую теорию гравитации. Мы не бу-
дем здесь говорить об основании этой идеи, а начнем с описания геометрии
специальной теории относительности.

В специальной теории относительности пространство-время является
сценой, на которой -разыгрываются физические явления. Пространство-
время состоит из событий, для описания которых необходимо задать че-
тыре числа: из них три числа определяют, пространственное расположение
события относительно некоторой выбранной координатной системы и од-
но-число определяет время. Геометрически пространство-время представ-
ляет собой четырехмерное многообразие. Каждая точка в этом многообра-
зии отвечает событию в пространстве-времени.

Наблюдатель делает измерения в пространстве-времени, т.е. сопостав-
ляет координаты событиям. Таким образом, наблюдателю в пространстве-
времени соответствует некоторый выбор координат на многообразии. В
специальной теории относительности существует выделенное семейство
наблюдателей — это инерциальные наблюдатели, для которых свободная
частица движется с постоянной скоростью. Все инерциальные наблюдатели
связаны преобразованиями Лоренца. Координатная система инерциального
наблюдателя называется инерциальной координатной системой, или ло-
ренцевой системой.

Интервал (расстояние) между двумя близко расположенными события-
ми в пространстве-времени задается выражением

ds2 ~ -с2 dt2 + dx2 + dy2 + dz2,	(5.1.3)

где dt, dx, dy, dz — разности координат событий, вычисленные в любой
лоренцевой системе. Интервал ds не зависит от того, в какой инерциальной
системе он вычисляется, — это лоренц-инвариант. Записав х° = ct, х1 = х,
х = у, х3 - z, можно переписать равенство (5.3.1) в виде

ds2 = Tjapdxa dx^,	(5.1.4)
где — диагональная матрица 4x4:

M = diag(-l,l,l,l).	(5.1.5)

По повторяющимся индексам в выражении (5.1.4) производится суммиро-
вание от 0 до 3. Матрица в специальной теории относительности назы-
вается метрическим тензором пространства-времени; последний описыва-
ет геометрически все свойства пространства-времени. Таким образом,
пространство-время является псевдоевклидовым метрическим пространст-
вом, от евклидова пространства оно отличается знаком минус в равенстве
(5.1.5), и его называют пространством Минковского.

Для описания пространства-времени можно было бы пользоваться не-
лоренцевыми (неинерциальными) координатными системами. Например,
для пространственной части метрики можно было бы взять полярные ко-
ординаты или же использовать координатную систему, связанную с уско-
ренным наблюдателем. Если соотношение между инерциальными коорди-
натами ха и неинерциальными координатами уа имеет вид

ха = xa(^Y),	(5.1.6)

то выражение (5.1.4) переходит в

=	(5Л-7)

где но обычным правилам дифференцирования

Метрика в форме (5.1.7) может выглядеть весьма сложной, так как ее коэф-
фициенты могут быть недиагональными и зависеть от координат. Однако
и в эГом случае пространство все же остается плоским, поскольку сущест-
вует преобразование координат [обратное преобразованию (5.1.6)], приво-
дящее метрику к псевдоевклидовой форме (5.1.5) во всем пространстве.

В общей теории относительности пространство-время по-прежнему яв-
ляется четырехмерным многообразием, но теперь интервал между ближай-
шими событиями определяется выражением

Л2 = ga^(xY) dxadx&.	(5.1.9)

Если никаким выбором координат нельзя свести метрику к форме (5.1.5) во
всех точках, то пространство-время искривлено. Гравитационное поле вы-
ражают через функции иными словами, гравитационное поле опреде-
ляет геометрию. Интервал ds
при переходе от координат ха
тензора ga/3 преобразуются по

Safi

по-прежнему является инвариантом, так что
к координатам ха компоненты метрического
закону

дх} дх

а
Как и в специальной теории относительности, величина ds, вычисленная
вдоль мировой линии частицы, измеряет собственное время dr вдоль этой
линии: ds2 = —с2dr2.

Метрика позволяет определить скалярное произведение векторов. Выра-
жение (5.1.9) можно переписать как

ds2 = dx *dx,

(5.1.11)

где d% — вектор бесконечно малого смещения с компонентами dx&. В об-
щем случае скалярное произведение двух векторов А и В с компонентами

Аа и Ва равно	_	Q

(5.1.12)

Такие векторы с четырьмя компонентами называются 4-векторы; чтобы
отличить их от трехмерных векторов, будем обозначать их буквами со
стрелкой сверху. Иногда мы будем записывать^

Aa^gapA^	(5.1.13)

ИЛИ

X“ = g“%	(5.1.14)

где llga(3ll — матрица, обратная матрице llga/3ll.

Тогда	А • В = АаВа = АаВа = AaBpgafi.	(5.1.15)

В специальной теории относительности координаты всегда отвечают
результатам какого-то физического измерения. Даже для неинерциальных
координат можно найти интерпретацию, определив их соотношение с
инерциальной координатной системой, в которой t, х, у и z обычным об-
разом связаны с измерениями, выполненными с помощью идеальных часов
и стержней. В общей теории относительности, вообще говоря, не сущест-
вует выделенных (предпочтительных) координатных систем; в принципе
здесь приемлем любой набор координат, которые гладко нумеруют все со-
бытия в пространстве-времени. (Разумеется, в одних случаях выбор может
быть более удобным, чем в других.)2) В силу этого нам следует поближе
рассмотреть вопрос о физических измерениях.

Мы не будем использовать геометрическую интерпретацию А а как контравари-
антных компонент вектора (т.е. базисных векторов, касательных к координатным
линиям) иЛ(. как ковариантных компонент (т.е. базисных векторов, ортогональных
координатным поверхностям). Нам также не понадобится явное введение дифферен-
цйальных форм.

2)	Заметим, что общая теория относительности не запрещает существования пред-
почтительных координатных систем, если в задаче имеется какая-то симметрия. На-
пример, в простой космологии «горячей» Вселенной выделена система, в которой
микроволновое фоновое излучение изотропно. Однако, во-первых, гравитационное
п.ше в общем случае не имеет никаких симметрий, во-вторых, даже если симметрии
имеются, глобальных инерциальных систем в присутствии гравитационного поля не
Физическая интерпретация общей теории относительности опирается на
понятие локальной инерциальной системы. Хотя в общем случае ga(3 в фор-
муле (5.1.9) никаким преобразованием координат нельзя привести к ria(3 во
всех точках пространства-времени, однако любое событие в пространстве-
времени можно выбрать за начало координат и затем в этой точке диаго-
нализовать ga$ (в фиксированной точке это просто вещественная симмет-
ричная матрица). Можно продвинуться даже дальше, найдя преобразова-
ние координат, в результате которого первые производные ga@ в начале
координат обращаются в нуль. Другими словами, разложение метрики в
ряд Тейлора вокруг выбранного начала координат приобретает в этом слу-
чае вид

А2 = [м + 0(И2)] dx°dx(>-	(5.1.16)

(Читатель может убедиться в правдоподобности данного утверждения,
подсчитав число степеней свободы при преобразовании координат. Строгое
доказательство его справедливости можно найти в стандартных учебниках
по общей теории относительности.) Любая малая координатная окрест-
ность, в которой метрика имеет форму (5.1.16), называется локально инер-
циальной системой.

Чтобы понять, почему она так называется, рассмотрим в пространстве-
времени локально инерциальную систему какого-нибудь наблюдателя.
Представим наблюдателя мировой линией всех событий, которые он пере-
секает. Выберем какое-либо событие на этой мировой линии в качестве на-
чала координат, используемых в равенстве (5.1.16). Направим единичный
4-вектор по касательной к координатной линии Z. Аналогично построим
и£. Поскольку g*£ = эти векторы образуют ортонормальную
тетраду, т.е. е?  ez- = --1, et •	= 1, е,- • ^ = 0 и т. д. Для обо-

значения ортонормальных тетрад мы используем «крышки». Вплоть до
членов первого порядка по 1x1 геометрия оказывается такой же, как в
специальной теории относительности. Наблюдатель может производить
измерения точно так же, как в специальной теории относительности, при
условии, что протяженность его измерительного устройства как в про-
странстве, так и во времени достаточно мала. Отклонения от специальной
теории относительности определяется масштабом, задаваемым вторыми
производными — чем сильнее гравитационное поле, тем больше ис-
кривлено пространство и тем меньше этот масштаб.

Наблюдатель, связанный с локально ортонормальной тетрадой, как
описано выше, называется локально инерциальным, или локально лоренце-
вым наблюдателем^. Общая теория относительности идет дальше просто-

Любой наблюдатель может построить ортонормальную тетраду, удовлетво-
ряющую условию ^3 = 65’©^ = ^ в произвольной точке пространства-времени. Од-
нако только в специальном случае локально инерциального наблюдателя (свободно
падающий наблюдатель, движущийся с нулевым ускорением и без вращения) метри-
ка удовлетворяет условию (5.1.16) с точностью до ^\х\2, т.е. справедливо равенство
=0.
го условия, что измерения в локально инерциальной системе проводятся
так же, как в специальной теории относительности. Сверх того, она ут-
верждает, что все негравитационные законы физики в локально инерциаль-
ной системе такие же, как в специальной теории относительности. Это ут-
верждение называется принципом эквивалентности, В его основе лежит
идея эквивалентности гравитационной и инертной масс, продемонстриро-
ванная Эйнштейном в его знаменитом мысленном эксперименте с лифтом.
Если рассмотреть наблюдателя, который ставит какие-то опыты в закры-
том помещении, движущемся вверх с постоянным ускорением, его экспери-
ментальные результаты должны быть неотличимы от результатов, полу-
ченных наблюдателем внутри покоящейся лаборатории, находящейся в од-
нородном гравитационном поле. Напротив, в системе, которая свободно
падает в однородном гравитационном поле, не должно наблюдаться эф-
фектов, связанных с этим полем. (Вспомните изображения космонавтов на
спутнике, движущемся по орбите вокруг Земли.)

Последний пример дает физическое описание локально инерциальной
системы — это система, связанная с наблюдателем, который свободно па-
дает в гравитационном поле. Реальные гравитационные поля, разумеется,
не являются однородными, и эта неоднородность нарушает инерциальные
свойства любой системы, потенциально являющейся глобально инерциаль-
ной. Однако чем более «локальной» является система, тем ближе она к
инерциальной.

Упражнение 5.1. Рассмотрим две частицы с равными массами т, находящиеся на
одной вертикальной линии на расстояниях г и г + h (h < г) от центра Земли. В мо-
мент t = 0 эти ранее покоившиеся частицы начинают свободно падать к поверхно-
сти Земли. Покажите, что наблюдатель, падающий вместе с одной из частиц, уви-
дит, что расстояние между частицами постепенно возрастает. Сформулируйте этс
как количественное утверждение относительно локально инерциальной системы, свя-
занной с наблюдателем. В частности, найдите время, по прошествии которого ста-
нут заметными эффекты кривизны пространства-времени, если точность измерений
составляет AAmin.

Принцип эквивалентности является обобщением утверждения, согласно
которому законы механики не позволяют локально обнаруживать гравита-
ционное поле, на утверждение, что никакие законы физики не позволяют
этого сделать. Эффекты гравитации всегда исчезают в свободно падающей
(т. е. локально инерциальной) системе отсчета.

Следует учитывать, что сказанное верно только для локальных законов, таких,
как законы динамики Ньютона. Однако, например, для силы Кориолиса, эффектов,
связанных с электромагнитным излучением, и других подобных эффектов, определя-
емых полями в конечных областях пространства, такое утверждение, очевидно, не
справедливо. — Прим. ред.
Принцип эквивалентности говорит нам, как нужно формулировать не-
гравитационные законы физики в присутствии гравитационного поля.
Начнем с любого закона теории относительности, например с закона сох-
ранения энергии-импульса:

=	(5.1.17)

=	(5.1.18)

Здесь Т°^— тензор энергии-импульса. Как показывает уравнение (5.1.17),
его 4-дивергенция равна нулю. Согласно принципу эквивалентности, равен-
ство (5.1.17) должно быть справедливо в любой локально инерциальной си-
стеме, где метрика имеет вид (5.1.16). Мы хотим теперь переписать выра-
жение (5.1.17) в форме, которая справедлива в произвольной системе коор-
динат с метрикой (5.1.9). Раздел математики, который занимается этими
вопросами, называется тензорным исчислением (или дифференциальной ге-
ометрией). В данной книге нам не понадобится развивать этот формализм.
Достаточно только сказать, что нужно определить более общий, чем
(5.1.18), оператор дифференцирования (ковариантную производную). Как
известно читателю, даже в плоском пространстве в правой части выраже-
ния (5.1.18) при дифференцировании векторов в криволинейных координа-
талгг-появляются дополнительные члены. Например, если в сферической си-
стеме координат вектор имеет компоненты

А = Лгег +	(5.1.19)

его дивергенция не будет просто равна

дгАг + двАв + дфАф.	(5.1.20)

При вычислении дивергенции возникают слагаемые, связанные с произ-
водными от er, ее, еф. Эти базисные векторы не постоянны в простран-
стве, как видно из того обстоятельства, что в указанной координатной
системе компоненты не постоянны.

Аналогично в искривленном пространстве в ковариантной производ-
ной появляются дополнительные члены, связанные с непостоянством
gap. Однако здесь эти члены нельзя устранить сразу во всем пространстве
никаким преобразованием координат, так что производные ga& описывают
эффекты гравитационного поля.

Это математическое выражение принципа эквивалентности иногда на-
зывают принципом общей ковариантности: требуется, чтобы ковариант-
ные уравнения специальной теории относительности оставались ковариант-
ными не только при преобразованиях Лоренца, но и при общих преобразо-
ваниях координат.
В общей теории относительности нет аналога ньютоновскому понятию
«гравитационного ускорения в данной точке». Такое локальное ускорение
устраняется переходом в свободно падающую систему координат. Однако
разность ускорений двух близко расположенных пробных тел устранить,
вообще говоря, не удается (ср. с упр. 5.1). Таким образом, истинное грави-
тационное поле в общей теории относительности аналогично ньютоновско-
му полю приливных сил д2Ф/дх1с№, где Ф — ньютоновский потенциал.
Объясняется это тем, что ньютоновское относительное ускорение двух
пробных тел равно

а отн = «'(* + Ах) - а'(х)

(5.1.21)

До сих пор мы обсуждали, как гравитация влияет на другие физические
явления и как геометрия связана с физическими измерениями в локально
инерциальной системе. Чтобы завершить картину, нужно, пользуясь урав-
нением вида (5.1.2), понять, каким образом распределение массы-энергии
определяет геометрию ga(3, Хотя мы и не будем явно использовать это
уравнение в его общем виде, тем не менее выпишем его, так как оно пред-
ставляет собой вершину эйнштейновской теории:

=	(5.1.22)

с4

Здесь Ga0 — тензор Эйнштейна, т. е. нелинейный дифференциальный опе-
ратор второго порядка, действующий на ga$. В качестве источника в урав-
нении Эйнштейна стоит тензор энергии-импульса материи (без гравитаци-
онной части). Это сложное уравнение сводится к уравнению Пуассона
(5.1.1) в ньютоновском пределе. Оно также гарантирует сохранение
энергии-импульса [ср. с равенством (5.1.17)], так как VaGa(3 = 0.

5.2.	ДВИЖЕНИЕ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ

Пробная частица представляет собой идеализацию материального объекта.
Предполагается, что она мала (не возмущает пространство-время вокруг
себя), не заряжена (не взаимодействует с электромагнитным полем),
сферически-симметрична (отсутствуют моменты сил вращения) и т. п. Она
просто свободно движется в гравитационном поле. В специальной теории
относительности (в отсутствие гравитационного поля) пробные частицы
движутся с постоянной скоростью. Уравнение их движения можно полу-
чить из вариационного принципа, находя экстремум расстояния (интер-
вала) вдоль мировой линии:
Чтобы убедиться в этом, перепишем подынтегральное выражение в форме

ds = (~4а1зхах)*у/2 dX,	(5.2.2)

где

Здесь X — любой параметр вдоль мировой линии. Выражение (5.2.2) для ds
инвариантно при замене параметра X -* Х(Х')- Лагранжиан для выражения
(5.2.1) равен

L =	(5.2.4)

Уравнения движения Эйлера—Лагранжа, получаемые из выражения (5.2.1),
имеют вид

(5 2 5)

dXXasc] Зха	'	1

Правая часть здесь равна нулю, так как L не зависит от У*. Поскольку

(5.2.6)

то получим

= °’ (5-2-7)

Изменяя выбор параметра X -* Х(Х'), можно сделать L постоянным вдоль
траектории1^. В частности, в качестве параметра на мировой линии всегда
можно выбрать длину вдоль кривой, т. е. собственное время частицы, ко-
торое обычно обозначают т. (Фактически s = ст.) В этом случае вдоль кри-
вой X = 5 и L = 1 и, следовательно, уравнение (5.2.7) принимает вид

= 0.	(5.2.8)

Умножая это равенство на матрицу г]уа; обратную к получим

z/ 2 у У

г = о = ^-.	($-2-9)

ат

Это — условие постоянства скорости вдоль прямой линии.

Геометрические кривые, имеющие экстремальную длину, называются
геодезическими. Геодезические в пространстве Минковского (т. е. в специ-

11 Параметр \ в этом случае называется аффинным параметром.
альной теории относительности) представляют собой четырехмерные пря-
мые. Рассмотренный выше случай ds1 < 0 отвечает времениподобным,
геодезическим — мировым линиям массивных частиц. Фотоны или другие
безмассовые частицы движутся со скоростью света, так что для них ds1 =
= 0.По этой причине говорят, что свободные фотоны движутся по нуле-
вым геодезическим. В этом случае нельзя выбирать в качестве параметра X
собственное время. Этот параметр удобно выбрать так, чтобы

dxa

=	(5.2.10)

гдер — 4-импульс фотона. Поскольку для фотона ^а^РаР^ = 0 независимо
от времени, то такой выбор X согласуется с условием ds1 = 0. Аналогич-
ным образом можно было бы выбрать параметр и для частиц с массой т,
т. е. X = т/т. Уравнение (5.2.9) теперь сводится к следующему:

= 0; т.е. = const.	(5.2.11)

ал

Можно также рассмотреть пространственноподобные геодезические,
для которых ds2 > 0. Они соответствуют, например, прямым линиям в
трехмерном евклидовом пространстве в некоторый фиксированный момент
времени х°. [Приведенный выше вывод непосредственно переносится на
этот случай после изменения знака в подкоренном выражении (5.2.4).]

Для нас важно, что вся методика, использованная выше для рассмотре-
ния простой задачи специальной теории относительности, без изменения
переносится и на общую теорию относительности. Согласно принципу эк-
вивалентности, вариационный принцип (5.2.1) должен описывать движение
пробных частиц и в общей теории относительности: свободные частицы
движутся вдоль геодезических пространства-времени. Однако выражение
(5.2.4) теперь принимает вид

L= [-go/)(^)x“^],/2(	(5.2.12)

так что уравнение (5.2.5) превращается в

gafixp +	= 0.	(5.2.13)

Здесь второе слагаемое происходит от выражения

d dgap dxy	z .

dX8a^ ~ ~dX '	(5.2.14)

Как обычно, мы использовали сокращенное обозначение:
Мы примем аффинную параметризацию, такую, что L = const. Далее за-
пишем

= Hgaj8i7 + gaYi/3)i^,	(5.2.16)

так что уравнение (5.2.13) примет вид

+	=	(5.2.17)

гд<

1(&а0,у	8ау,/3 SyP,a^)’	(5.2.18)

Умножая это уравнение на матрицу, обратную метрическому тензору
и обозначаемую gXa, и переобозначая X ~ а, получим

ха +	= 0,	(5.2.19)

где

(5.2.20)

Величины Г называются символами Кристоффеля.

Уравнение (5.2.19) представляет собой окончательную форму уравнения
геодезической в общей теории относительности. Отметим, как выполняет-
ся принцип эквивалентности. В локально инерциальной системе можно вы-
брать координаты таким образом, что у = 0 и, следовательно, симво-
лы Кристоффеля исчезают. Таким образом, в локально инерциальной си-
стеме пробная частица движется по прямой линии с постоянной скорос-
тью. Требование, чтобы это утверждение было справедливым в любой
инерциальной системе и в любой точке пространства-времени приводит к
уравнению (5.2.19), где величины Г описывают действие гравитационного
поля.

Отметим различие между использованным здесь принципом общей ко-
вариантности и принципом лоренцевой ковариантности в специальной тео-
рии относительности. В последнем случае требуется, чтобы переход от од-
ной инерциальной системы координат к другой не изменял форму физиче-
ских законов. Скорость, входящая в закон преобразования, должна вы-
пасть из окончательного результата. Это требование налагает весьма силь-
ные ограничения на возможную форму законов физики. Принцип общей ко-
вариантности не приводит ни к каким ограничениям на физические законы.
Можно в принципе постулировать любой закон в локально инерциальной
системе, преобразовать его к общей системе координат и утверждать, что
возникшие дополнительные члены описывают эффекты гравитационного
поля. Только эксперимент может сказать, справедлив ли закон.

Упражнение 5.2. Покажите, что если X — аффинный параметр, то лагранжиан

L = ig^x13	(5.2.21)
на геодезических эквивалентен лагранжиану (5.2.12), т. е. покажите, что уравнение
Эйлера—Лагранжа для выражения (5.2.21) приводят к таким же уравнениям геодези-
ческих с той лишь разницей, что X более не является произвольным параметром и
условие L = const автоматически учтено в вариационном принципе.

Как обычно, определим импульс, канонически сопряженный координате

ха, условием	„ =—	(5.2.22)  Ра дха ’
Из равенств (5.2.21)	и (5.2.10) следует  Ра = ga/3^ = gafiPP
или	Pa-gal3Pp,	(5.2.23)

где ga® — матрица, обратная ga^. Заметим, что если L не зависит, напри-
мер, от?, то/?! — интеграл движения.

Упражнение 5.3. Метрика двумерного евклидова пространства может быть записана
в форме

ds2 — dr2 + г2 d<l>2,	(5.2.24)

что приводит к лагранжиану *

£==1(Я + г2ф2).	(5.2.25)

Покажите, что уравнения движения пробной частицы имеют вид

г-гф2 = О,	(5.2.26)

г2ф = const.	(5.2.27)

(Полагая X = t, мы увидим, что это обычные уравнения Ньютона в пустом про-
странстве.)

Постоянная в уравнении (5.2.27) представляет собой момент количества
движения, приходящийся на единицу массы, т. е. согласно определению
(5.2.22). Поскольку g^ = l/g^ = 1/г2, то выражение (5.2.23) дает хорошо
известный результат рф = ф. Физически измеряемой величиной ф-
компоненты момента является проекция вектора р на единичный вектор в
направлении ф. С другой стороны, координатные базисные векторы ег и еф
удовлетворяют условиям:

er-er = grr=l, ё,-ёф = %гф = О, ёф • еф = Яфф = г2. (5.2.28)
Рис. 5.1. Координатный базисный вектор в точке А в г2/гх раз длиннее, чем такой
же вектор в точке В. Предполагается, что линии ф = const бесконечно близки друг к
другу.

Смысл последнего, например, равенства можно понять, если вспомнить,
что вектор является касательным к координатной линии ф. Это означа-
ет (рис. 5.1), что он связывает две радиальные линии ф = const. Как видно
из рисунка, длины векторов еф для радиусов гх и г2 относятся как гх/г2,
т. е.	~ г2, где коэффициент пропорциональности зависит от мас-

штаба по координате ф. Всегда можно сделать простой выбор • еф =
~ г2, как в равенстве (5.2.28). В общем случае справедливо равенство

««•eje = g^-	(5.2.29)

Оно следует из выражений (5.1.9) и (5.1.11), если заметить, что di =
= dx* ёа. Специальными случаями равенства (5.2.29) являются:

ez • е; = 8;/ (трехмерные декартовы),

е- •	(четырехмерные ортонормированные). (5.2.30)
Упражнение 5.4. Покажите, что ра = р • еа.

Указание. Разложите р — р3 .

Теперь мы можем выбрать ортонормированный набор базисных векто-
ров в виде

ё; = ёг,	(5.2.31)
1 _ еФА = уеФ’	(5.2.32)
так что из равенств (5.2.28) следует	
е; •е; =	• еф =	= Г и т.д.	(5.2.33)
Тогда	
- - - 1  Р = Рф = Р • е; = -Рф = ГФ-	(5.2.34)

Результат представляет собой знакомое выражение для компоненты им-
пульса, приходящегося на единицу массы (т. е. для скорости), вдоль векто-
Ра %4

Иногда мы будем использовать «крышки» также для обозначения бе-
сконечно малых смещений. Например, смещение в направлении ф при г =
= const равно

= ds(r=const) = г d$.	(5.2.35)

Отсюда длина окружности радиуса г равна пути вдоль таких последова-
тельных смещений

$

* г = const

ds = $)d<$> =$rd<f> =

lirr.

(5.2.36)

5.3.	ГРАВИТАЦИОННОЕ КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ

В простейшем случае гравитационное красное смещение можно рассмот-
реть на примере источника и детектора электромагнитных волн (т. е. фо-
тонов), находящихся в фиксированном положении в статическом гравита-
ционном поле. Частота излучения v в месте расположения источника (ет)
равна величине, обратной интервалу собственного времени между прохож-
дениями двух гребней волны, измеренному в системе, связанной с источни-
ком, т.е.

1

v =---------

em

С
Рис. 5.2. Пространственно-временная диаграмма, изображающая гравитационное
красное смещение. Вертикальные линии представляют собой мировые линии излуча-
теля и приемника. Пунктирные кривые — мировые линии двух световых лучей, ис-
пущенных с запаздыванием dx° по координатному временному интервалу. Обратите
внимание, что координаты неинерциальны (в присутствии гравитационного поля
глобально инерциальной системы не существует).

Очевидно, dx1 = dx2 = dx3 = 0, так как источник находится в покое во
время излучения. Выражение, аналогичное (5.3.1), можно написать и для
приемника (гес), и потому

Ггес = goo) 7
[(-«00)'/2Игес’

(5.3.2)

Координатное время dx®, прошедшее между двумя прохождениями греб-
ней волны, одно и то же как для источника, так и для приемника, в силу
того, что гравитационное поле является статическим, и поэтому от х° ни-
чего не зависит. Какова бы ни была мировая линия одного фотона, прихо-
дящего от источника к приемнику, очередной фотон следует по подобной
же линии, лишь сдвинутой на dx® во всех точках (см. рис. 5.2.). Отсюда

Ргес
^ет

\ Я()0 / ет

(-goo)

1/2 '
rec

(5.3.3)
5.4.	ПРЕДЕЛ СЛАБОГО ПОЛЯ

Один из способов перехода к пределу слабого поля в общей теории относи-
тельности состоит в альтернативном выводе формулы для красного сме-
щения на основе закона сохранения энергии. Фотон с частотой v имеет эф-
фективную массу:

hv
т = ~з-

(5.4.1)

Его полная энергия в ньютоновском гравитационном поле с потенциалом
Ф(х) равна hv + тФ(х). Приравнивая полные энергии фотона в точках рас-
положения источника и приемника, получим

^гес 0 + Ф/б* )ет	Г5 4 21

"ет (1+Ф/с2)гес‘

Поскольку для ньютоновского поля Ф/с2 < 1, это соотношение обычно за-
писывают в виде

(5.4.3)

^ет	С

Сравнивая выражения (5.3.3) и (5.4.2), получим в ньютоновском пределе

/	2Ф \

Soo=- 1+— •	(5.4.4)

\	с J

К равенству (5.4.4) можно прийти и иначе, если рассмотреть движение
медленной (f << с) пробной частицы в слабом гравитационном поле
(Ф < с2). Так как поле является слабым, то можно выбрать систему
координат, которая будет всюду почти лоренцевой:

^ = ча(8 + *а|8,	|*а/?|«1.

(5-4.5)

Поскольку скорость частицы v 7 мала по сравнению с с и к тому же gai3 ~
~ то в главном порядке координатное время t совпадает с собствен-
ным временем т. Поэтому ускорение частицы равно

d2xl d2xl _ dxa dxp
dt2 = dr2 ~ ~

(5.4.6)

где было использовано уравнение геодезической (5.2.19). Главный вклад в
сумму по а и /3 вносит член с а = (3 = 0; остальные меньше по крайней ме-
ре на одну степень отношения и/с:

— Г; оо

= 1(2*о,.о “ *оо.,) ~	2*00.0

(5.4.7)
поскольку ga(3 » и А0( 0 = Ло, jVJ/c. Таким образом,
</2х' с2	,

" ТАоо,,-	(5-4.8)

Но в ньютоновском пределе

^=-Ф;.	(5.4.9)

dt2

Сравнивая уравнения (5.4.8) и (5.4.9), получим, как и выше1);

^00 ~	2 ’

С

/ 2Ф \

goo - - (1 + —).	(5.4.10)

5.5.	ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЕДИНИЦ

В общей теории относительности весьма удобно выбрать такую систему
единиц, в которой с = G = 1. Другими словами, время и масса измеряют-
ся в см, причем 1 с = 3 • Ю10 см и 1 г = 0,7425 • 10“28 см. Последний чис-
ловой множитель представляет собой просто значение отношения G/c2 в
системе СГС. Более удобным для астрономических приложений перевод-
ным коэффициентом является М® = 1,4766 км.

Интересно отметить, что в небесной механике измеряется именно вели-
чина GMq . Величина М® в граммах получается из измерения G в экспери-
менте Кавендиша. Значение GM& известно с точностью порядка 10“8, а
гравитационная постоянная лишь с точностью 10“3. Масса Солнца в кило-
метрах известна более точно, чем в граммах!

5.6.	СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНЫЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ПОЛЯ

Предположим, что сферически-симметричная метрика может зависеть от
времени t и радиальной координаты г. Зависимость от углов должна иметь
вид

t/Я2 = d02 + sin2 в d<f>2.	(5.6.1)

Таким образом, в наиболее общем виде сферически-симметричную метрику
можно записать как

= -A(t, г) dt2 + B(t, г) dr2 + 2C(Z, г) dt dr + D(t, r) dSl2. (5.6.2)

l) Постоянная интегрирования, возникающая при приравнивании выражений
(5.4.8) и (5.4.9) и последующем интегрировании, может быть выбрана равной нулю
в силу требования ga(3 = va^ на0 = О = ф при г=<х-
Введем новую радиальную координату

г' = D^2(t, г).	(5.6.3)

Подставляя это в выражение (5.6.2) и опуская штрих, получим

ds2 = -E(t, г) dt2 + F(t, г) dr2 + 2G{t, r) dt dr + r2 d£l2, (5.6.4)

где E, F и G определенным образом связаны с А, В и С, однако мы не бу-
дем выписывать эту связь явно. Можно обратить в нуль коэффициент пе-
ред dt dr, введя новую временную координату Г . Вид выражения (5.6.4) по-
буждает испробовать подстановку

dt' = E(t, г) dt - G(t, г) dr.	(5.6.5)

Однако в общем случае правая часть равенства (5.6.5) не является полным
дифференциалом. В силу того что независимых переменных всего две (t и
г), должен существовать интегрирующий множитель, т. е. функция H(t, г),
такая, что

dt' = Я(/, г)[Е(/, г) dt - G(z, г) dr\	(5.6.6)

будет полным дифференциалом. Эта подстановка в выражение (5.6.4)
оставляет в метрике всего две произвольные функции: коэффициенты перед
(dt')2 и dr2. Опуская штрих, запишем окончательно

Л2 = _е2Ф dt2 + е2Х dr2 + r2 Jfi2,	(5.6.7)

где Ф и X — функции t и г. Мы используем экспоненциальную форму коэф-
фициентов из соображений удобства в дальнейшем.

Важный результат ньютоновской теории гравитации состоит в том, что
в любой точке вне сферически-симметричного распределения масс гравита-
ционное поле зависит только от внутренней массы. Более того, даже если
масса внутри движется сферически-симметричным образом, поле снаружи
не зависит от времени. Мы просто имеем Ф = —М/г.

Этот результат справедлив и в общей теории относительности, где он
носит название теоремы Биркгофа и формулируется следующим образом:
сферически-симметричное гравитационное поле в вакууме обязательно яв-
ляется статическим. Соответствующая метрика называется метрикой
Шварцшильда'.

dS2 = _ (] _ 2МД dt2 + [j _ 2Л£\ 'dr2 + r2dQ2 (5.6.8)

Слово «вакуум» здесь означает область пространства-времени, где
гравитационные эффекты находящейся там материи пренебрежимо малы.
Постоянная М, появившаяся в выражении (5.6.8), представляет собой массу
источника. В этом можно убедиться, например рассмотрев в этом выраже-
нии предел слабого поля, г > М. Тогда равенство (5.4.4) показывает, что
ньютоновский потенциал равен —М/г, т. е. М — действительно масса.
Определенную таким образом массу можно измерить, скажем, изучая дви-
жение спутников, находящихся на удаленных орбитах, и используя законы
Кеплера, как в обычной небесной механике. Метрика Шварцшильда опреде-
лена всюду вне сферической звезды непосредственно вплоть до ее поверхно-
сти.

Из-за относительно простой формы выражения (5.6.8) координаты име-
ют непосредственную физическую интерпретацию. Для любого радиуса г
существует 2-сфера эквивалентных точек1), а 6 и ф являются полярными
координатами на этой 2-сфере. Величина г определяется таким образом,
чтобы длина соответствующей окружности на этой 2-сфере равнялась 2тгг
или чтобы площадь ее поверхности равнялась 4тгг2. В этом можно убедить-
ся, положив в выражении (5.6.8) t = const и г = const. Тогда метрика на
2-сфере примет вид

(2)б/52 = Г1 бШ2.

(5.6.9)

Вспоминая, что ds2 описывает результаты физических измерений, получим,
что, например, длина большого круга на 2-сфере равна

^ds = ( г d^> = 2тгг,

0 = 77/2	‘'О

(5.6.10)

как и утверждалось. Заметим, что расстояние между двумя точками гх и г2
на радиальной линии равно

f\grr)'/2dr *= г2- г,.

(5.6.11)

Временная координата t была выбрана так, чтобы явно проявлялась
статическая природа решения, т. е. чтобы поле было инвариантно при за-
мене t -* t + ДГ. Нормировка координаты t такова, что она совпадает с
временной координатой пространства Минковского при г > М, где метри-
ка (5.6.8) сводится к метрике специальной теории относительности.

< 7. СФЕРИЧЕСКИЕ ЗВЕЗДЫ

Метрика (5.6.7) описывает также гравитационное поле внутри сферической
звезды. Для звезды, находящейся в гидростатическом равновесии, можно
взять Ф и X не зависящими от t. Предположим, что вещество звезды мож-
но считать идеальной жидкостью, и установим далее вид уравнения состоя-
ния

р = р(п, s).

(5.7.1)

(Так как с = 1, мы не будем проводить различия между плотностью энер-
гии е и плотностью массы р = е/с2.) Давление можно найти, используя

11 Это двумерная сферическая поверхность с центром в точке г = 0.
первый закон термодинамики, согласно соотношению (2.1.7):

Р — Р(п, •$)•

(5.7.2)

Хотя идеальная жидкость ведет себя адиабатически (энтропия 5 элемен-
та жидкости остается постоянной), она не обязательно является изоэнтро-
пийной (5 может и не иметь всюду одно и то же значение). Однако в случае
холодных белых карликов и нейтронных звезд температура фактически
всюду равна нулю (точнее, кТ < Е/ ) и, следовательно, всюду $ = 0. Поз-
же мы обсудим сверхмассивные звезды, в которых s однородна вследствие
конвекции. В силу этого уравнение состояния можно взять в виде

Р = Р(р).	(5-7.3)

Уравнения, описывающие внутреннее строение в общей теории относи-
тельности, выведены в стандартных учебниках. Мы запишем их в форме,
которая подчеркивает сходство с ньютоновской динамикой. Прежде всего
определим новую метрическую функцию m(r) с помощью равенства

(5-7л)

Тогда уравнения Эйнштейна дают

= 4ят2р,	(5.7.5)

аг

(5.7.6)
dr r2 \ р )\ m )\ г )

(5.7.7)
dr Р dr \ р )

Ньютоновский предел достигается при Р < р и m < г.

Уравнение (5.7.6) называется уравнением гидростатического равновесия
Оппенгеймера— Волкова.

Величину ш(г) можно интерпретировать как массу внутри сферы радиу-
сом г. Уравнение (5.7.5) дает для полной массы звезды величину1^

М = f 4rrr2pdr	(5.7.8)

•'о

Заметим, что сюда включены все возможные вклады в массу, включая гра-
витационную потенциальную энергию. Это обстоятельство иногда маски-
руется простым видом равенства (5.7.8), однако напомним, что элемент
объема здесь равен не 4irr2dr, а величине

= (grr)1/2 dr X 4ят2 =	j 47гг2 dr. (5.7.9)

Величина m(R) должна быть равной М, чтобы коэффициент внутренней метри-
ки Шварцшильда (5.7.4) гладко сшивался с внешней метрикой (5.6.8).
Таким образом, равенство (5.7.8) не просто суммирует р d% т. е. локаль-
ные вклады в полную массу-энергию, но и включает глобальный вклад от-
рицательной потенциальной энергии звезды.

Уравнения (5.7.5) — (5.7.7) нетрудно решить численно, построив тем са-
мым общерелятивистскую модель звезды:

1.	Выберем значение плотности в центре звезды рс. Уравнение состоя-
ния позволит найти Рс, Кроме того, имеется граничное условие т(г = 0) =
= 0.

2.	Проинтегрируем уравнения (5.7.5) и (5.7.6), начав с г = 0 и используя
в качестве начальных условий значения, взятые в п. 1. При этом величина
Р устанавливается с помощью уравнения состояния по изменяющейся вели-
чине р.

3.	Значение г = R, для которого Р = 0, представляет собой радиус звез-
ды, a m(R) = М.

4.	Метрическая функция Ф имеет граничное значение

ф(г = 2?) = 2.1п(1	(5.7.10)

так что она гладко сшивается с метрикой Шварцшильда (5.6.8) на поверх-
ности. При численном расчете удобно выбрать произвольное значение
Ф(г = 0) и проинтегрировать уравнение (5.7.7), начав с г = 0, совместно
с уравнениями (5.7.5) и (5.7.6). Поскольку уравнение (5.7.7) линейно по Ф,
к Ф можно прибавить произвольную постоянную, с тем чтобы удовлетво-
рить условию (5.7.10).

Упражнение 5.5. Покажите, что внутри звезды с однородной плотностью справедли-
вы соотношения:

р _ (1 - гмЛ/т?3)'72 ~ (1 ~ 2л//а)'/2
р 3(1 -2М/й)'/2 - (1 - 2Мг7Л3)'/2’
ф 3/	2М\|/2	1(	2Мг2\}/2

Покажите, что условие Рс < оо приводит к ограничению

2М 8

R < 9 '

(5.7.11)

(5.7.12)

(5.7.13)

Предел, выражаемый неравенством (5.7.13), для максимального сжатия равновесной
однородной сферы, справедлив в действительности для произвольного профиля
плотности, если только плотность не растет с увеличением расстояния от центра1).

11 См., например, книгу Вейнберга [606], разд. 11.6.
Равновесие и устойчивость жидких тел

В этой главе мы выведем некоторые основные свойства равновесных и
устойчивых состояний звезд. В разд. 6.1 приводятся фундаментальные
уравнения движения жидкости (сплошной среды); на эти сведения мы бу-
дем неоднократно ссылаться далее в этой книге. В разд. 6.2—6.8 развива-
ется ньютоновская теория равновесия и устойчивости для неврашающихся
звезд, которая включает исследование возмущений жидких тел. Основные
результаты указанных разделов суммированы в резюме 6.1. Эти результа-
ты обобщаются с учетом эффектов общей теории относительности в разд.
6.9, причем сводка результатов приводится в начале этого раздела. Нако-
нец, в разд. 6.10 полученные результаты применяются к белым карликам.
Вычисления, приведенные в этом последнем разделе, являются прототипом
аналогичных вычислений, представленных далее в книге.

6.1.	ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Начнем со сводки уравнений, определяющих движение нерелятивистской
однородной сплошной среды Ч

Сохранение массы описывается уравнением неразрывности, которое
связывает плотность среды р и ее скорость V:

^+V’(pv) = 0.	(6.1.1)

eft

Уравнение, описывающее сохранение импульса (второй закон Ньютона,
a = F/m, в применении к сплошной среде), имеет вид

— = - — vP - V4>,	(6.1.2)

dt р

где Р — давление, Ф — гравитационный потенциал.
Здесь

/ = A + V.v	(б.1.з)

dt dt

— полная производная по времени для индивидуального объема жидкости
(называемая также субстанциональной, или лагранжевой, производной), а
d/dt — обыкновенная частная производная по времени в фиксированной

См., например, книгу Ландау и Лифшица [339].
точке пространства {эйлерова производная). Если включить в правую часть
уравнения (6.1.2) диссипативные члены, описывающие вязкость, то полу-
чим уравнение Навье — Стокса (см. приложение 3).

Гравитационный потенциал определяется уравнением Пуассона

\72Ф = 4vGp.	(6.1.4)

Уравнение, описывающее возрастание энтропии, имеет вид
ds/dt = сумма источников энтропии.	(6.1.5)

Обычно правую часть выражают через функцию температуры и плотнос-
ти; она отвечает возрастанию энтропии, связанному с такими диссипатив-
ными процессами, как теплопроводность, вязкость при сдвигах и расшире-
нии, испускание и поглощение лучистой энергии и т.д. В этой главе мы
ограничимся изучением адиабатических потоков, для которых

5 = °-	(6.1.6)

Иными словами, мы считаем, что для каждого элемента жидкости энтро-
пия сохраняется. Заметим, что в нерелятивистском случае такие термоди-
намические величины, как например энтропию, обычно относят к единице
массы, а не к одному бариону. Эти два определения различаются просто
множителем тв.

В общем (не обязательно адиабатическом) случае соотношения (6.1.1),
(6.1.2) и (6.1.5) представляют сооой пять динамических уравнений, описы-
вающих изменения во времени величин р, V и s от соответствующих на-
чальных значений. В каждый момент времени потенциал Ф определяется по
р из уравнения (6.1.4), а давление Р и температура Т определяются из урав-
нения состояния. Уравнение состояния удобно найти, задав внутреннюю
энергию на единицу массы:

и = и(р, s).	(6.1.7)

Из первого закона термодинамики

du =	+ Tds,	(6.1.8)

и формулы (6.1.7) получаем

Р-Р2^- ,	(6-1.9)

°Р S

Таким образом, заложена основа для полного описания движения сплош-
ной среды.
Использование первого закона термодинамики в виде (6.1.8) при рас-
смотрении неравновесных процессов, которые подразумеваются в уравне-
нии (6.1.5), могло бы вызвать возражения. Ведь обычно предполагается,
что уравнение (6.1.8) справедливо лишь для квазистатических изменений,
которые представляются в виде последовательности равновесных состоя-
ний. На самом деле мы неявно предполагаем, что отклонения от равнове-
сия малы. Так как при равновесии энтропия максимальна, то ее прираще-
ние — эффект второго порядка по отклонениям от равновесия. Таким об-
разом ошибка, связанная с использованием соотношений (6.1.7), (6.1.9) и
(6.1.10), которые справедливы лишь при равновесии, также второго поряд-
ка, и ею можно пренебречь1^.

Упражнение 6.1. Уравнение теплопроводности

q = -к?Т,

(6.1.11)

где q — поток тепла и к — коэффициент теплопроводности, можно рассматривать
как первый член в разложении вблизи равновесного состояния, для которого
VT = 0. Изменение энтропии определяется уравнением

Вывести формулу

Tds	г, „

рГ-= - Vq.

(6.1.12)

(6.1.13)

5	\

Интегрируя по объему жидкости, проверить, что приращение энтропии есть ве-
личина второго порядка по VT. Какова физическая интерпретация члена pvs + q/Г?

Задача существенно упрощается, если 5 не только не меняется со време-
нем в каждом элементе объема жидкости, но и постоянна по объему. Дру-
гими словами, 5 = const всюду; при этом поток называется изоэнтропичес-
ким. В этом случае достаточно задать одно параметрическое уравнение со-
стояния, например:

« = “(р),	(6.1.14)

которое, согласно (6.1.9), эквивалентно условию

Р = Р(р).	(6.1.15)

Заметим, что условие гидростатического равновесия получается из
(6.1.2.), если положить v = 0,

VP + р^ф = 0.	(6.1.16)

11 Для определения поведения сплошной среды вдали от равновесия нужно исполь-
зовать полное уравнение переноса Больцмана (см. [479], разд. 14.5.)
Мощным методом анализа условий равновесия и устойчивости жидких
тел является исследование возмущений. Будет показано, что равновесные
состояния могут быть найдены из вариационного принципа: в равновесии
энергия достигает экстремума. Частоты колебаний вблизи равновесного
состояния могут быть найдены из рассмотрения малых отклонений от рав-
новесия. Синусоидальные колебания соответствуют устойчивому равнове-
сию (минимум энергии), а экспоненциальный рост свидетельствует о не-
устойчивости (максимум энергии). Ниже мы разработаем формализм, не-
обходимый для доказательства и использования этих принципов. Конечной
целью будет определение критериев глобального равновесия и устойчиво-
сти для белых карликов и нейтронных звезд.

6.2.	ЛАГРАНЖЕВЫ И ЭЙЛЕРОВЫ ВОЗМУЩЕНИЯ

Укажем прежде всего различие между двумя возможными описаниями воз-
мущений в сплошной среде. В первом случае мы стоим на «макроскопичес-
кой» точке зрения: рассматриваются просто изменения описывающих
сплошную среду переменных в данной точке пространства. Такие возмуще-
ния мы будем называть эйлеровыми, для них используются обозначения

6Р, dvl.Точнее говоря, если Q(x, t) — некоторая величина, характеризу-
ющая возмущенный поток жидкости, а Q0(x,r) — ее значение для невозму-
щенного потока, то

«2 = е(х,О-2о(х,О-	(б-2-1)

При «микроскопическом» подходе определяется лагранжево смещение
£(х, Z), которое связывает элементы сплошной среды в невозмущенном со-
стоянии с соответствующими элементами в возмущенном состоянии. При
этом лагранжево изменение Д(2 величины Q определяется как

△2 = 2[х + £(х, ')> И - 2о(х, 0-	(6.2.2)

Иными словами, элемент сплошной среды перемещается из точки х в точ-
ку х + £, и мы сравниваем значения Q для данного элемента. Сопоставляя
формулы (6.2.1) и (6.2.2), приходим к операторному соотношению

A = a + £*V,	(6.2.3)

которое применимо для скалярных величин Q. Это же соотношение мы бу-
дем использовать и для векторов. Вероятно, полезным обобщением этого
соотношения является производная ЛиЧ однако это усовершенствование
нам здесь не понадобится.
Лагранжево изменение скорости элемента сплошной среды Av — это
скорость возмущенного потока в точке х + £(х, О относительно скорости
того же элемента в точке х для невозмущенного потока, т.е.

<6-24’

Упражнение 6.2. Доказать следующие коммутационные соотношения, которые бу-
дут использованы далее в этой главе:

а)	= ^8 dt dt	(6.2.5)
б)	х д	д  dx1	dx1	(6.2.6)
в)	. d	d .	dk „  dt	dt^	dt ' V	(6.2.7)
Г)	dx1 dx1	dx1	(6.2.8)
д)	A d d .  *dt dt^	(6.2.9)
е)	§4 = 4д _  dt dt	dt	(6.2.10)

6.3.	ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН

Рассмотрим интеграл

1= fQ0(x,t)d3x.	(6.3.1)

Тот же интеграл, определенный по отношению к возмущенному потоку,
имеет вид

( Q(x,t)d3x,	(6.3.2)

•'и+ди

где И+ДК — объем, возникающий из V при смещении точек границы, со-
ответствующем вектору £. По определению первая вариация интеграла /,
возникающая при возмущении, равна1)

81 s ( Q(x,t)d3x- (б0(х, г) d3x.	(6.3.3)

При замене переменных в первом интеграле, х'^х —^(х, Г), объемы инте-

1} Обозначение 6/ не следует путать с обозначением эйлерова возмущения локаль-
ной величины в жидкости.
грирования в обоих членах совпадают. В низшем порядке по возмущению
якобиан преобразования равен

7 = = = 1 + v' 4 (6J-4)
з(х') а(х)
при бесконечно малом Таким образом,

81= ( 2(х' + t)Jd3x' - ( 0о(х, г) d3x.	(6.3.5)

J v	J у

Заменяя обозначение переменной интегрирования в первом члене, х'-*х,
получим окончательно

81= f (&Q + CV • 5) d3x.	(6.3.6)

Jv

Формулу (6.3.6) можно использовать при выводе выражения для Др.
Масса в произвольном объеме жидкости V сохраняется, поэтому

8fpd3x = 0.	(6.3.7)

•'и

Таким образом,

△p=-pV'4,	(6.3.8)

и, следовательно,
5p=_v.(p^),	(6.3.9)

Упражнение 6.3. Вывести формулу (6.3.8), рассматривая возмущение уравнения не-
разрывности в дифференциальной форме:

^+pVv = 0.	(6.3.10)

dt

Упражнение 6.4. Показать, что

8 [ Qp d3x = f &Qpd3x.	(6.3.11)

J у	J у

Для уравнения состояния вида
Р = Р(р,5)	(6.3.12)

мы ограничимся рассмотрением адиабатических возмущений,
△5 = 0.	(6.3.13)

10-353
Это значит, что

АР =г

Р 1 Р
где

Г = дЬР
1 din р

(6.3.14)

(6.3.15)

— показатель адиабаты для возмущений. Заметим, что в принципе показа-
тель Tj не обязательно должен быть равным показателю Г, определяюще-
му соотношение между давлением и плотностью в равновесном состоянии.
Например, это может быть связано с тем, что некоторые реакции, необхо-
димые для достижения полного термодинамического равновесия, не успева-
ют протекать за времена, характерные для возмущения, или же просто с
тем, что равновесное соотношение между давлением и плотностью моде-
лируется определенным образом (например, в виде политропы с постоян-
ным Г), а локальное значение показателя не совпадает с модельным зна-
чением.

Возмущение внутренней ньютоновской энергии на единицу массы и для
адиабатических возмущений может быть найдено из уравнения состояния
(6.3.12) и первого закона термодинамики (6.1.8):

л $и\ \	>	$u\ л Р л . та Р л

Aw = Н— Др + — △$ = — Ар + T&s = —Др,
\ др s	\ ds )Р	р2	р2

(6.3.16)

Возмущение гравитационного потенциала находится из возмущенной

формы уравнения (6.1.4):

V2S<S> = 4тг(7 8р.

(6.3.17)

Из формул (6.3.17) и (6.3.9) следует

5Ф=	(6Л18)

= Gf^T^d3x'	(6.3.18а)

= -Gjp't'-	(6.3.19)

Чтобы получить последнее равенство, мы проинтегрировали по частям и
отбросили поверхностный член, так как р = 0 на поверхности. (Если на по-
верхности р#=0, например, в случае несжимаемой жидкости, то последнее
равенство справедливо только для возмущений £, касательных к поверхно-
сти.)
Упражнение 6.5. Показать, что для радиальных возмущений сферической звезды из
формулы (6.3.18а) следует

8ф = -4wGp£'.	(6.3.20)

Указание. Можно воспользоваться разложением функции 1х - х'1_| в сфериче-
ских координатах.

6.4.	РАВНОВЕСИЕ КАК УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА ЭНЕРГИИ

В этом разделе мы выведем вариационный принцип для уравнения гидро-
статического равновесия. Будет показано, что равновесие отвечает экстре-
муму энергии данной конфигурации.

Полная энергия имеет вид

Е = Т+ U+ W,	(6.4.1)

где

(6.4.2)

—	кинетическая энергия,

U = Jup d3x	(6.4.3)

—	внутренняя энергия и

W = f^Qpd3x	(6.4.4)

—	гравитационная потенциальная энергия.

Ограничимся случаем статического равновесия (v = 0). При этом дТ=0 в
первом порядке по всем возмущениям, и можно исключить кинетическую
энергию из выражения вариационного принципа. Для внутренней энергии
имеем

8U = fbupd3x = _	^d3x,	(6.4.5)

причем мы использовали формулы (6.3.11), (6.3.16) и (6.3.8). Интегрирова-
ние по частям дает (так как на поверхности Р=0)

8U = fvP‘$,d3x.	(6.4.6)

Вариация W дает
где были использованы равенства (6.3.11) и (6.2.3). Из (6.3.18) следует

f8$pd3x = -Gff JP_Px, d3x'd3x
J	J J |A A J

= f6p$d3x= — J V ‘ (Р^)Ф d3x = Jp(£‘ V)$ d3x.

Таким образом,

8W = f(pv$)-td3x.

(6.4.8)

Окончательно из (6.4.6) и (6.4.8) получаем

8Е = j(yP + pv$)-^3x.

(6.4.9)

Следовательно, условие 6£=0 приводит к уравнению гидростатического
равновесия (6.1.16).

Упражнение 6.6. Показать, что при наличии сферической симметрии

Ф(г) = —	+ Gf 4irprdr,	(6.4.10)

г JQ

где
m(r) = [ 4ттрг2 dr	(6.4.11)

•'О

— масса, заключенная)внутри сферы радиуса г, и Ф(0)=Ф' (0)=0.

Упражнение 6.7. Показать, что при наличии сферической симметрии

W = - f~y~dm 4- const.	(6.4.12)

Указать элементарный способ получения первого члена в этой формуле и найти за-
висимость константы от граничного значения потенциала Ф.

Упражнение 6.8. а) Показать, что условие гидростатического равновесия может
быть получено также из другого вариационного принципа, основанного на эйлеро-
вых вариациях величин, характеризующих жидкость: найти экстремум Е при усло-
вии, что полное число барионов N остается постоянным.

Указания. 1. Следует искать экстремум величины
где множитель Лагранжа X считается постоянным.

2.	Используйте формулу (6.3.3) в виде

81= f 8Qd3.

(6.4.14)

Это вполне оправдано, так как в объеме ДИ величина Qr} равна нулю.

3.	Учтите, что

8п=^-.	(6.4.15)

б)	Каков физический смысл величины X?

в)	Показать, что Е и N достигают экстремальных значений в одной и той же точке
при варьировании вдоль однопараметрической последовательности равновесных мо-
делей.

Замечание. При лагранжевом подходе не было необходимости налагать условие
постоянства N в явном виде. Оно автоматически следует из формулы (6.3.8).

6.5. ВОЗМУЩЕНИЯ ВБЛИЗИ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ

В этом разделе выводятся уравнения, которым удовлетворяют малые воз-
мущения статической равновесной конфигурации. Эти уравнения полезны
по двум причинам: а) они позволяют вычислить частоты и нормальные
моды колебаний вблизи положения равновесия, б) они дают возможность
выяснить вопрос об устойчивости равновесного состояния.

Динамика описывается возмущенным уравнением Эйлера:

Д|^ + -V,P+ Г,Ф| = 0.	(6.5.1)

\ at	р	I

Умножая это уравнение на р и используя формулы (6.2.8), (6.2.9), (6.1.16) и
(6.2.4), получаем

р—------— V.p + V, ДР + pV, Дф = 0.	(6.5.2)

dt2 Р

Так как невозмущенная конфигурация является статической, d/dt можно
заменить на d/dt^d(. Используя формулы (6.3.8), (6.2.3), (6.3.14) и (6.1.16),
приводим это уравнение к виду

рд2? = LJJ,	(6.5.3)

где

= vJr.Pv^)- (v/')v,P + (v,£7)v,p_
Все величины здесь выражены через £' и невозмущенные переменные, так
как можно найти из формул (6.3.19) или (6.3.20).

Уравнение (6.5.3) является уравнением движения для возмущений. Для
£*, зависящих от времени по закону ехр( — iut), получим уравнение

-ь>2р1-1 —	(6.5.5)

Это уравнение, дополненное соответствующими граничными условиями
для представляет собой линейную задачу на собственные значения для
нормальных мод колебаний в звездах.

Упражнение 6.9. Показать, что уравнение на собственные значения для радиальных
колебаний в сферической звезде имеет вид

= (656)

dr \ 1 r2 dr v 7) г dr

где % означает радиальную составляющую вектора %.

Указание. Для исключения производных потенциала Ф используйте формулы
(6.1.4) и (6.1.16).

Граничные условия для уравнения (6.5.6) записываются в виде

£ = О при г = 0,	(6.5.7)

ДР = 0 при г = R.	(6.5.8)

В сферически-симметричном случае условие (6.5.7) очевидно, а формула
(6.5.8) означает, что элемент жидкости у невозмущенной поверхности сме-
щается к возмущенной поверхности. Так как в силу формул (6.3.14) и
(6.3.8) имеем

АР = _Г1Р±4('-2<)’	(6-5-9)

1	dr v 7

причем Р обращается в нуль при г = Р, то в общем случае достаточно по-
требовать выполнения условия

£ конечно при г = 7?.	(6.5.10)

Уравнение (6.5.6) с граничными условиями (6.5.7) и (6.5.10) является за-
дачей Штурма — Лиувилля^ на собственные значения со2. Укажем некото-
рые результаты, следующие из теории таких уравнений.

1.	Все собственные значения со2 вещественны.

!) См., например, книгу [414], разд. 6.3.
2.	Эти собственные значения образуют бесконечную дискретную после-
довательность

2	2	2

W0 < 601 < W2 * ' •

3.	Собственная функция £0, соответствующая минимальному собствен-
ному значению а^, не имеет узлов на интервале 0<г<7?. Вообще говоря,
собственная функция имеет на этом интервале п узлов.

4.	Собственные функции ортогональны с весом рг2

fR^impr2 dr = 0, т^п.	(6.5.11)

•'о

5.	Функции образуют полный базис для разложения любой функции,
удовлетворяющей граничным условиям (6.5.7) и (6.5.10).

Из п.2 вытекает важное следствие: если низшая радиальная мода для
звезды является устойчивой (cjq>0), то устойчивы все радиальные моды. И
наоборот, если звезда радиально неустойчива, то быстрее всего развивает-
ся неустойчивость в низшей моде (среди отрицательных собственных значе-
ний ojq имеет наибольшую абсолютную величину).

Рассмотрим в качестве простого примера, допускающего аналитическое
решение, развитие возмущений в однородной звезде, т.е. при постоянных р
и Гр Для однородной звезды в состоянии равновесия адиабатический пока-
затель Г = оо (несжимаемый газ), а показатель политропы /7 = 0.

Упражнение 6.10. Показать, что для однородной звезды в состоянии равновесия



(6.5.12)

Подставляя формулу (6.5.12) в уравнение (6.5.6) и производя упрощения,
получим

(1 -Х2)Г + И--4х) + (а ~4Ь = 0-	(6.5.13)

\ *	/	\ X /

Здесь x—r/R, штрих означает производную по х, и

Как обычно,	Л=-^- + А_2.	(6.5.14)  2 ttCj р 11	11  ищем решение в виде ряда <=£а„х"+\	(6.5.15)
Рис. 6.1. Амплитуды радиальных колебаний для первых пяти мод в однородной мо-
дели.

Коэффициент при Xs 2 дает нам уравнение для показателя степени:

(5 + 2)(5 - 1) = 0.

(6.5.16)

Естественно, следует выбрать 5=1, чтобы удовлетворить граничному усло-
вию (6.5.7). Далее находим а1 = а3 = а5=. . . = 0, и

а^=п2 + 5п + 4-А^	„ = о,2,4,...,	(6-5.17)

ап п2 + 7и + 10

Ряд расходится, и поэтому он должен обрываться, если £ удовлетворяет
граничному условию (6.5.10). Таким образом, получаем требование

А = п2 + 5п + 4, п = 0,2,4,...	(6.5.18)

и в силу формулы (6.5.14)

<о2 = ^у£[Г1(и2 + 5л + 6)-8],	« = 0,2,4....	(6.5.19)

Заметим, что звезда неустойчива при условии Г2<4/3. Это общий резуль-
тат, и мы будем обсуждать и использовать его в разд. 6.7. Характерные
времена устойчивых колебаний — порядка (Gp)~1/2, как и следовало ожи-
дать из соображений размерности. На рис. 6.1 показаны амплитуды коле-
баний, нормированные на одинаковое значение при r = R. Заметим, что при
Г1==4/3 решение для низшей моды £осг и соответствует со2=О. Как будет
показано в разд. 6.7, этот результат также имеет общий характер.

Упражнение 6.11 (с использованием ЭВМ). Найти частоты нескольких низших
устойчивых пульсаций для политропы с каким-нибудь показателем п при Г}=5/3.

Указания, а) Сделать безразмерным уравнение на собственные значения.

б)	Найти функцию Лейна — Эмдена путем одновременного интегрирования урав-
нения Лейна — Эмдена (3.3.6) или использовать результаты, представленные в ра-
боте Сервиса [519].

в)	Исследовать аналитически поведение решения вблизи г=0 и r=R.

г) Возможный метод вычисления состоит в численном интегрировании уравнения
от г=0 и г=7? к какому-нибудь подходящему значению г внутри звезды с выбран-
ным наугад значением а? и граничными условиями, определенными в п.в). Так как
относительная величина этих двух решений заранее неизвестна, то можно начать
каждое из них с единицы. Если значение ш2 случайно угадано правильно, то вронски-
ан двух решений в точке сшивания г обратится в нуль (почему?). Вообще говоря, он
отличен от нуля. Выберите другое и2, проинтегрируйте от границ к г и вновь найди-
те вронскиан. Теперь надо путем интерполяции или экстраполяции найти значение
а?, при котором вронскиан обратится в нуль. Продолжайте итерацию до тех пор,
пока и2 не будет найдено с заданной точностью.

6.6.	ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Мы покажем в этом разделе, что уравнение (6.5.3), которому удовлетворя-
ет возмущение, может быть выведено из вариационного принципа. Вариа-
ционный принцип полезен для приближенного решения уравнений для воз-
мущений. Однако для нас более важно, что вариационный принцип приво-
дит к критериям устойчивости, которые будут использоваться далее в этой
книге.

Покажем прежде всего, что оператор в уравнении (6.5.4) симметри-
чен, т.е.

d3x,	(6.6.1)

где £' и г]1 — произвольные лагранжевы смещения. Так как

4-V,(r,Pv^) = V,(7jTIPvy$') - Г,р( v,7j'j(v,$'),	(6.6.2)

И

(q'V,£7)v,P =	- (v,4')^^P “ 4'^V,V7P, (6.6.3)

то из (6.5.4) следует

f^L,j^d3x= - y[riP(v,4')(v7^) + (v/7)q'V,/’ +

+ ( V,tf) V7P + ч'£7( V,V7P + pv,v7^) +pi Vt 5ф] d3x. (6Л.4)
Поверхностные члены от первых слагаемых в правых частях формул (6.6.2)
и (6.6.3) обращаются в нуль, так как на поверхности Р=0 и V, Р=0. (Из
формулы (6.1.16) следует, что V- Р=0, если р = 0 на поверхности. Если же
рфО, например, для несжимаемой жидкости, то мы требуем f'Vy Р=0, т.е.
возмущение в радиальном направлении должно быть равно нулю.) Из фор-
мулы (6.6.4) видно, что оператор Lg симметричен. Заметим, что, согласно
(6.3.19), последний член в правой части равен

( ptf V,;ЯФ d3x = ~g[ f pp'tf	V; -—2—7}d3xd3x\	(6.6.5)

J	J J	X X I

и, очевидно, симметричен.

Естественно ожидать, что лагранжиан для уравнений движения возму-
щений имеет вид

Р = Т2-К2,	(6.6.6)

где Т2 — кинетическая энергия, а И2 — потенциальная энергия возмущения.
Индекс 2 означает, что выражение квадратично по £z. Левая часть в уравне-
нии (6.5.3) имеет вид плотности массы, умноженной на ускорение, а правая
часть L^J — плотности силы. Чтобы перейти от плотности силы к потен-
циальной энергии, следует построить скалярное произведение и про-
интегрировать его по объему звезды. При этом получается выражение
(6.6.4) с заменой на £z. Таким образом, мы приходим к следующим опре-
делениям:

=	(6.6.7)

=	(6.6.8)

= |/[riP(v,r)2 + 2(v/>)^V,P +

+ £'£у( ^,VjP + pV,Vy4>) + p£'V, 6ф] d3x. (6.6.9)

Проверим теперь, что функция (6.6.6) действительно является лагран-
жианом для уравнения (6.5.3). Так как оператор Lg симметричен, то вариа-
ция действия равна

8S^6fLdt = 8^j[p(d,^)2 + iiLIJiJ]d3xdt =

= Др(^')(8,8?) +	d3xdt =	+ L^S^xdt.
Чтобы получить последнее равенство, мы проинтегрировали по частям
первый член. Таким образом, условие <55 = 0 для произвольного эквива-
лентно уравнению движения (6.5.3). Отметим, что символ 6 в указанном
вариационном принципе относится к обычной вариации функции между со-
седними траекториями движения, связывающими фиксированные началь-
ную и конечную точки1).

Упражнение 6.12. Показать, что энергия колебаний на фоне первоначально статичес-
кой конфигурации

Е2 “ ^2 + ^2

(6.6.11)

постоянна во времени. Использовать равенство 3/^/3/ = 0.

Замечание. Фридман и Шутц [209] показали непосредственным вычислением, что
Е2^62Е, т.е. энергия колебаний равна вариации второго порядка для функционала
энергии, данного в формуле (6.4.1).

Упражнение 6.13. Используя формулу (6.6.9), показать, что для радиальных возму-
щений сферической звезды

2 +

г dr /

(6.6.12)

Указания. Исключить производные Ф, используя формулы (6.1.4) и (6.1.16). Под-
ставить выражение (6.3.20) для VЛФ и проинтегрировать по частям член с d2P/dr2.

Упражнение 6.14. По определению

Доказать теорему вириала для возмущений, т.е.

6.7.	КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Для малых отклонений от равновесия имеем

Е = Ео + Е2,

(6.6.13)

(6.6.14)

(6.7.1)

где Ео — энергия равновесного состояния, а первая вариация 6Е=ЕХ обра-
щается в нуль, так как в равновесном состоянии энергия экстремальна.
Вторая вариация равна

Е2 = 82Е = Т2 + V2 = 82Т + 62(С/ + 1У),	(6.7.2)

где Т2 и V2 даны в формулах (6.6.7) и (6.6.8).

11 См., например, книгу Голдстейна [232], гл. 2.
Неустойчивость соответствует неограниченному росту малого начально-
го возмущения (£z, д£1). (Заметим, что начальными данными, определяю-
щими эволюцию возмущения, которая описывается дифференциальным
уравнением второго порядка (6.5.3), являются обе величины, £' и д£1.) В ка-
честве другого критерия неустойчивости можно принять также неограни-
ченный рост кинетической энергии Г2.

Поскольку мы рассматриваем динамическую устойчивость (т.е. прене-
брегаем всеми эффектами, обусловленными диссипативными силами), то
Е2 — сохраняющаяся величина (см. упражнение 6.12). Предположим те-
перь, что функция V2(t) положительна для всех возмущений. Так как
£2= Т2+ V2 и Т2 — положительно определенная функция, она не может не-
ограниченно возрастать. Таким образом, устойчивость обеспечена, если
V2(t) — положительно определенная функция для всех $*(х, t).

Обратное утверждение доказано в приложении Б: если для некоторого
£'(х, t) величина V2 отрицательна, то возникает неустойчивость.

Так как в любой момент времени возмущение £'(х, t) определяет на-
чальные данные для последующей эволюции, то критерий устойчивости
можно сформулировать следующим образом. Необходимым и достаточ-
ным условием устойчивости является положительная определенность по-
тенциальной энергии V2 для всех начальных данных.

Критерий устойчивости можно выразить также на языке энергии. Если
величина Е2, которая сохраняется и потому может быть задана, например,
в момент Г = 0, положительна при всех начальных данных (£', dz£z), то она
положительна, в частности, при д£1 = 0 и любых значениях Таким обра-
зом, потенциальная энергия V2 положительна и система устойчива. Обрат-
но, если Е2 при каких-то начальных данных (£*, dz£z) отрицательна, то по-
тенциальная энергия V2 может стать отрицательной и возникает неустойчи-
вость. Таким образом, 62Е> 0 — необходимое и достаточное условие
устойчивости.

Критерий устойчивости можно связать также с разложением по нор-
мальным модам колебаний. Временная зависимость нормальной моды
имеет вид

^(х,/) = ^(х)е'Л	(6.7.3)

и неустойчивость возникает при ш2<0. Уравнение движения для нормаль-
ной моды имеет вид (6.5.5). Умножая это уравнение на £'(х), интегрируя по
всему объему звезды и используя формулы (6.6.8) и (6.6.13), получаем

«2 = -у.	(6.7.4)

Поскольку величина I всегда положительна, то положительность V2 эквива-
лентна условию w2>0 и гарантирует устойчивость. Появление неустойчиво-
сти определяется условием о>2=0 (соответствующая мода называется нейт-
ральной). Это происходит при И2=0, т.е. при обращении в нуль Е2.
Мы получили важный результат: формула (6.7.4) содержит в себе вари-
ационный принцип для нормальных мод:

18<У = 8V-, - ^81 = 6V2 - w2 81
2 I z

= -/8£‘(Ь,^ + <j2p?)d3x.	(6.7.5)

Таким образом, из условия дсЛ=О следует уравнение движения для нор-
мальной моды (6.5.5). Следовательно, мы пришли к новой процедуре опре-
деления нормальных мод колебаний звезды: следует искать смещения £'(х),
которые соответствуют экстремуму функционала в (6.7.5). При этом соб-
ственные частоты находятся из формулы (6.7.4).

Важное приложение полученных результатов относится к радиальным
смещениям в сферической звезде. Используя формулу (6.6.12) для И2, полу-
чаем



~dP\

+ 4r£2— > dr
dr j

(6.7.6)

/0Лр£2г2 dr

Покажем теперь, что звезда устойчива, если усредненное с учетом давления
значение Гр которое мы обозначаем Гр превышает 4/3, и неустойчива, ес-
ли < 4/3. Границе устойчивости отвечает ^ = 4/3, при этом w2=0.

Рассмотрим прежде всего звезду, для которой ^ = 4/3 по всему объему.

Уравнение (6.5.6) имеет решение без узлов (основная мода) следующего ви-
да:

со2 = О, £ = const х г.

(6.7.7)

Упражнение 6.15. Проверить, что формула (6.7.7) дает решение уравнения (6.5.6)
при fj = 4/3.

Другими словами, звезда с Tj = 4/3 находится на границе устойчивости от-
носительно гомологической (т.е. автомодельной) деформации. Предполо-
жим теперь, что Tj несколько отличается от 4/3 в различных точках звез-
ды. Тогда решение уравнения (6.5.6), отвечающее границе устойчивости,
имеет вид

Цг) = г[1 +6(Г, -0].	(6.7.8)

Таким образом, если подставить в (6.7.6) пробную функцию ^{г) — г, то
ошибка в определении cj2 будет иметь порядок величины (Tj-4/З)2. (На-
помним, что функционал в (6.7.6) связан с вариационным принципом, и по-
тому ошибка в собственном значении пропорциональна квадрату ошибки в
собственной функции.) Таким образом, числитель в (6.7.6) дает

а,2 сс 9 [ I\Pr2 dr — 12 [ Pr2 dr,
A)	Jо

где второй член получен интегрированием по частям. Итак,

о?2 а ЗГ! - 4,	(6.7.10)

где

Г = 1Я"‘*	(6.7.11)

1	fePr2 dr

— показатель адиабаты, усредненный с учетом давления. Из формулы
(6.7.10) виден характер перехода от устойчивого к неустойчивому состоя-
нию при падении Г, ниже граничного значения 4/3.

Можно непосредственно убедиться, что для политропы с Г = 4/3 = Г1 го-
мологическое расширение или сжатие звезды не выводит ее из состояния
равновесия. Применим гомологическое преобразование

Р'=АР, р' = Вр, г' = Сг,	(6.7.12)

к уравнению гидростатического равновесия

(6-7лз)

и в качестве дополнительного условия учтем постоянство полной массы т.
При этом мы получим два условия, касающиеся масштабных множителей,

АС = В, ВС3 = 1.

Исключая отсюда С, имеем

А = В*/3,

или, согласно уравнению (6.7.12),

Р'

Р

(6.7.14)

(6.7.15)

(6.7.16)

н4/3
р)

т.е. = 4/3 при Г = 4/3.

Упражнение 6.16.

а)	Показать, что частота радиальных колебаний ш может быть выражена через
момент инерции звезды I и полную гравитационную потенциальную энергию W сле-
дующим образом:



(6.7.17)
где

1 = [Mr2dm,	=~fM^2dm,

•'о	\ П IJO

(i\2_ 1 rw/SVGm	[MGm

I - = 7ПЛ I I “ ---И7 = / ------------dm,

\r) |Иф0 \r) r	Jo r

= _ 1 (v$)2r,	2	_ /(f(v -О2Г,Р4^2^ •

1 1 “ Q ----7	> I V чм 1 и -^—Л	7“-----•

9	(f/r)	f0RP4vr2dr

Указание. Использовать формулу (3.2.3).

б)	Показать, что если близко к 4/3, то определенные выше средние значения
(£/г)2 примерно равны друг другу, и потому

ы2 = Ш(ЗГ1 -4).	(6.7.18)

6.8.	ТОЧКИ ПОВОРОТА И ВОЗНИКНОВЕНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Предположим, что имеется однопараметрическая последовательность рав-
новесных звезд с одним и тем же уравнением состояния, но различными
центральными плотностями. Каков смысл максимума или минимума на
кривой зависимости от рс (т.е. критических точек или точек поворота,
в которых dEQCJ dpс = 0)?

Ясно, что наличие такой критической точки означает, что существуют
близкие равновесные конфигурации, для которых

£eq(pc + Арс) = £eq(Pc)	(6.8.1)

с точностью до членов первого порядка. Соседние конфигурации получают-
ся из первоначальной при некотором лагранжевом смещении £, вызванном
изменением центральной плотности Дрс. В общем случае

£[<] = Ео + £,[£] + Е21£],	(6.8.2)

где £*ЛК] — вклад членов порядка в увеличение энергии при отходе от
EQ=E рс. Так как Ео отвечает равновесному состоянию, то Е’1[^] = 0 (см.,
например, формулу (6.4.9)). Энергия Е(£) также отвечает равновесной кон-
фигурации, если энергия конфигурации стационарна относительно возму-

Заметим, что поскольку смещения переводят одну равновесную конфигурацию
в другую, то в этом случае Г^Г. Выводы этого раздела зависят от указанного ра-
венства. Обсуждение поведения системы вблизи точек поворота при Г^Г см. в ра-
боте Торна [567].
щений второго порядка, т.е. Е2(£)=0 для указанных смещений £. Но как
следует из предыдущего параграфа, это условие означает наличие моды с
нулевой частотой, w2=0, что соответствует границе устойчивости.

Простейший способ использовать этот критерий на практике состоит в
том. чтобы установить устойчивость звезд на одном из концов последова-
тельности (обычно в области малых плотностей). Тогда критическая точка
указывает значение плотности, при котором возникает неустойчивость. Да-
лее в этом разделе будет показано, как обобщается этот метод при нали-
чии нескольких критических точек.

Метод критических точек можно применять также к кривой зависимо-
сти равновесной массы от рс. Один из способов убедиться в этом состоит в
нахождении зависимости М от рс с помощью вариационного принципа,
6Е=0, где

Е= fudm-	(6.8.3)

Обозначая различные произведения числовых множителей через
получаем из соображений размерности

Е = (и)М —	•	(6.8.4)

Полагая Г^Г в адиабатическом уравнении состояния

Р = КрГ,	(6.8.5)

получаем

«=7^4-	(6.8.6)

так что

(и) = а2Кргс~'.	(6.8.7)

Также из соображений размерности

I м \1/3

Я = а31у ,	<6.8.8)

так что

Е = а2КМрТс~х - a4GM5/3px/3.	(6.8.9)

Равновесие определяется условием dE/dpc = 0 при постоянном М\ отсюда
следует

М ОС р(Г-4/3)(3/2),

(6.8.10)
Рис. 6.2. График, показывающий критические точки в зависимости массы звезды от
плотности в ее центре для равновесных конфигураций холодного вещества.

Таким образом,

dM 4

--- СС Г - -

3 •

(6.8.11)

Если в семействе звездных конфигураций есть только одна критическая
точка и конфигурации устойчивы при малых плотностях, то из формул
(6.7.10) и (6.8.11) следует, что при dM/dpc>Q равновесные конфигурации
устойчивы, а конфигурации с dM/dpc<0 — неустойчивы11.

Выбор величины рс в качестве параметра, описывающего последова-
тельность равновесных моделей, в данном случае несуществен; также удоб-
но представлять М как функцию R. При этом мы можем рассмотреть слу-
чай кратных критических точек. Как было указано выше, интерес представ-
ляет прежде всего устойчивость основной радиальной моды, которая не
имеет узлов внутри звезды. В этом случае собственная функция в критичес-
кой точке — это просто лагранжево смещение £, которое переводит равно-
весную конфигурацию при плотности ниже критической в равновесную
^ифигурацию при плотности выше критической. При таком движении рс
возрастает, так что вблизи центра звезды £ отрицательно. Так как величи-
на % не имеет узлов, то она должна быть отрицательна и вблизи поверхно-
сти. Таким образом, R падает при увеличении рс в критической точке, где
основная мода изменяет устойчивость. (Вообще, dR/dpc<Q при изменении
устойчивости моды с четным числом узлов и dR/dpc><d для моды с нечет-
ным числом узлов.)

11 Более строгое доказательство этого результата приводится Тассулем [559], с.

149.

П-353
Рис. 6.3. График, показывающий точки поворота в зависимости массы звезды от ее
радиуса для равновесных конфигураций холодного вещества.

Диаграмма зависимости М от рс с кратными критическими точками по-
казана на рис. 6.2, зависимость М от R показана на рис. 6.3. При малой
плотности (большом радиусе) все моды устойчивы. Первой появляется
критическая точка А, соответствующая максимальной массе белого карли-
ка. Так как R падает с ростом рс, то четная мода изменяет устойчивость.
Поскольку 0J0<W1<W2<... и wo>0 при малой плотности, то единственная
возможность состоит в том, что величина wq становится отрицательной. В
точке В четная мода изменяет устойчивость (dR/dpc<0). Величина W2 не
может стать отрицательной, так как wf не изменила знак. Поэтому величи-
на wq должна опять стать положительной: точка В соответствует мини-
мальной массе нейтронной звезды. Критическая точка С аналогична А, и
Wq вновь становится отрицательной: эта точка соответствует максималь-
ной массе нейтронной звезды. В точке D устойчивость изменяет нечетная
мода. Единственная возможность состоит в том, что w| становится отри-
цательной. В точке Е устойчивость изменяет четная мода. Величина w2 не
2	и 2

может стать положительной, так как wf все еще отрицательна, поэтому
становится отрицательной.

Упражнение 6.17. Используя рассуждение, аналогичное приведенному выше, убеди-
тесь, что для любого вида зависимости MotR при условии, что все моды устойчи-
вы при низкой плотности, справедливо следующее утверждение: изгиб диаграммы в
критической точке против часовой стрелки указывает на появление неустойчивости
при возрастании рс, изгиб диаграммы по часовой стрелке указывает на переход не-
устойчивой моды в устойчивую.
Отметим, что критерий dM/dpc> 0(< 0) для определения устойчивости
(неустойчивости) имеет ограниченную применимость: например, отрезок
D —Е неустойчив, хотя dM /dpc>Q. Однако для типичных уравнений состо-
яния холодного вещества наинизшая плотность, при которой dM/dpc=0 и
d2M/dp2<0, соответствует максимальной массе и плотности устойчивого
белого карлика (например, точка А на рис. 6.2). Следующая точка, в кото-
рой dM/dpc=Q и d2M/dp2<$, соответствует максимальной массе и плот-
ности устойчивой нейтронной звезды (например, точка С на рис. 6.2). Эти
результаты будут часто использоваться в дальнейшем.

РЕЗЮМЕ 6.1

Ньютоновское равновесие и устойчивость невращающихся звезд

1.	Вариационный принцип для гидростатического равновесия: дЕ=0 [см.
формулу (6.4.9)]. Вариация производится при фиксированной массе покоя и
постоянной энтропии.

2.	Поведение малых возмущений относительно равновесного состояния
определяется уравнением (6.5.3) или (6.5.5) (для нормальных мод). Ради-
альные моды колебаний в сферической звезде являются решением задачи
Штурма—Лиувилля на собственные значения (6.5.6).

3.	Динамика возмущений выводится из вариационного принципа с ла-
гранжианом L = T2- V2 [формулы (6.6.7) и (6.6.8)].

4.	Следующие критерии устойчивости эквивалентны:

а)	У2^0 для всех возмущений;

б)	Ь2Е=Е2^д для всех возмущений;

в)	для всех мод колебаний;

г)	Tj>4/3 только для радиальной устойчивости (6.7.11).

5.	Некоторые нормальные моды нарушают устойчивость, если
dEQ^/dpc~Q или dM/dpc—Q (разд. 6.8).

6.9.	АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ С УЧЕТОМ ЭФФЕКТОВ

ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Почти все результаты предыдущих разделов сохраняются и в общей тео-
рии относительности, если заменить Е на Мс2 — полную энергию, заклю-
ченную в массе звезды [261]. В частности:

1.	Среди всех конфигураций с данным полным числом барионов N рав-
новесию отвечает экстремум М (о постоянстве N см. замечание в конце
упражнения 6.8). Можно показать, что в данном однопараметрическом се-
мействе равновесных состояний величины М и N имеют экстремум в одной
и той же точке (см. упражнение 6.8в), поэтому эквивалентная задача сво-
дится к отысканию экстремума величины
2.	Поведение малых радиальных отклонений от равновесия определяет-
ся задачей Штурма—Лиувилля, аналогичной формуле (6.5.6).

3.	Для устойчивости необходима положительность второй вариации М.
Эквивалентное условие: о>о>0.

4.	Состояние устойчивости меняется в критических точках зависимости
Meq от R, или Meq от рс. Анализ проводится так же, как в конце разд. 6.8.

5.	Поскольку уравнение для о?2 отличается от выведенного в случае нью-
тоновской механики, то критерий Tj > 4/3 уже неприменим для установле-
ния устойчивости. Но если релятивистские поправки малы (GM/Rc2< 1), то
новый критерий имеет вид

р 4 GM

Г.-з",—.	(6.9.2)

где к — число порядка единицы, зависящее от внутреннего строения звез-
ды. В целом эффект общей теории относительности сводится к нарушению
устойчивости, так как сила тяготения становится больше, облегчая пере-
ход к коллапсу.

Оставшаяся часть этой главы будет посвящена выводу величины к для
важного случая, когда звездная конфигурация близка к политропе с п — 3,
так что Г — Fj — 4/3. Мы найдем также соответствующую плотность звезд-
ного вещества в критической точке1). Запишем полную энергию в виде

Е ~ ^Newt + A^GTR’	(6.9.3)

где £Newt — ньютоновская энергия звезды, a AEGTR — поправка, обуслов-
ленная общей теорией относительности. Минимум энергии отвечает равно-
весной конфигурации, а вторая производная дает возможность решить во-
прос об устойчивости.

Окончательное выражение для &EGTR дано в (6.9.32); читателе, соглас-
ный принять его на веру, может сразу переходить к этой формуле В этом
разделе мы принимаем c = G=l.

Для сферического распределения материи, находящейся в покое в дан-
ный момент, полная масса имеет вид [см. (5.7.8)]

М = [Rp47rr2 dr.	(6.9.4)

‘'О

Здесь

р = р0(1 + и).	(6.9.5)

Полное число барионов в звезде равно

N = сГЧ,	(6.9.6)

•'О

Наш вывод следует книге Зельдовича и Новикова [636].
где

/	2лп\-1/2

d°4 = (1------I	Air г2 dr

\ г )

(6.9.7)

— элемент собственного объема в геометрии Шварцшильда [см. формулу
(5.7.9)]. Энергия звезды (за вычетом энергии, связанной с массой покоя)
определяется согласно формуле (6.9.1):

Е

2т \1/2
г /

Ро

(6.9.8)



где мы использовали обозначение p0=wBn. Подставляя сюда выражение
(6.9.5) и считая и и т /г малыми, получим с точностью до членов второго
порядка

Отметим, что величина роб7 X инвариантна и расширение на нее не влияет.
Ньютоновская энергия имеет вид

^Newt = fRp0udcV-	(6.9.10)

Jo	Jo r

где

dm' = p0 6?%	(6.9.11)

3^vy/3

4tt /

(6.9.12)

Заметим, что в силу формул (6.9.5) и (6.9.7) функции т' (У) и г' (У) отли-
чаются от соответствующих релятивистских выражений. Попробуем вы-
числить энергию звезды вначале по общей теории относительности, а за-
тем согласно теории Ньютона, а разность этих двух выражений обозначим
AEGTR. Как мы можем удостовериться, учитывая неоднозначность выбора
координат в общей теории относительности, в том, что в обоих случаях
имеем дело с одной и той же величиной? Иными словами, если даны две
совершенно одинаковые звезды и нужно вычислить для одной из них Е, а
для другой — ENewt, то как установить, что эти звезды действительно тож-
дественны?

Ответ состоит в том, что тождественные звезды содержат одинаковые
числа барионов в данном собственном объеме (это утверждение не зависит
от выбора координат). Следовательно, р0( >0 — это одна и та же функция
и в теории относительности и теории Ньютона.

Вычитая формулу (6.9.10) из (6.9.9), получаем

г R

△Дзтв. = / Ро
Упражнение 6.18. Используя формулу (6.9.7), показать, что с точностью до членов
первого порядка

+ 7^mrdr)-

(6.9.14)

Из формул (6.9.12) и (6.9.14) следует

г' - г

( mrdr.
г

(6.9.15)

Также с точностью до членов первого порядка получаем

т'(^) ~ m(V) = Ро - р(1 - —)'/2

A) L \ г /

=	(6.9.16)

Теперь в формуле (6.9.13) можно написать

_ т = т' - т _ т(г' - г)	.

г' г г'	гг'

и подставить сюда выражения (6.9.15) и (6.9.16). Мы последовательно со-
храняли все члены второго порядка, поэтому, вычисляя теперь интегралы с
ньютоновскими выражениями для р0, г, У и т.д., мы получим результат с
погрешностью лишь в членах третьего порядка. Итак,

A^gtr “Л + Л + + Л + Л»	(6.9.18)

где
г л/ т

Л = - / и—dm,	(6.9.19)

•'О г

А=-|Н-)2^,	(6.9.20)

2 JQ \ г /

r [Мdm гт ,
/3 = - / — / и dm,	(6.9.21)

Т см dm гтт .	7

Ц=1 — J —dm,	(6.9.22)

Г Jq г
Эти выражения можно упростить, полагая, что распределение по массе
соответствует политропе с показателем и, т.е.

Р
и = п —

Ро

1 dP т

Ро dr

(6.9.24)

(6.9.25)

Упражнение 6J9.

а) Показать, что при выполнении условий (6.9.24) и (6.9.25)

=	(6-9.26)

Указание. Подставить — mdm /г4 * = MtdP и проинтегрировать по частям.

б) При тех же условиях показать, что

2	3

Z4 = 2Z2--Z,--Z3.	(6.9.27)

Указание. Подставить mdm /г= — ^r3dP, проинтегрировать по частям, чтобы
получить два члена, затем первый член вновь проинтегрировать по частям и исклю-
чить Р, используя формулу (6.9.24).

в) Показать также, что



(6.9.28)

Указание. Проинтегрировать udm по частям, показать, что

du = п dP/[p0(n 4- 1)] = пт d(\/r)/(n 4- 1) ?

и затем проинтегрировать по частям еще раз.

Комбинируя формулы (6.9.26)-^(6.9.28), получаем

= + <6 * *-9-29)

Интегралы Z1 и 12 можно привести к безразмерному виду с помощью соот-
ветствующих подстановок для политропы, как в разд. 3.3. В результате
где

к-----------—

(5 - п)[Й|в'({,)|]7/’

5 + 2п — п2
(« + 1)

di +

+ |(п - ^'i*6'2en di

(6.9.31)

Упражнение 6.20. Проверить формулы (6.9.30) и (6.9.31).

Интегралы в (6.9.31) вычисляются численно, политропные функции при
этом находятся либо путем одновременного решения уравнения Лейна —
Эмдена, либо из результатов Сервиса [519]. Для случая и = 3 имеем

A£GTR = -0,918294 М //3р2/3.

(6.9.32)

6.10.	УСТОЙЧИВОСТЬ БЕЛЫХ КАРЛИКОВ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Чтобы исследовать устойчивость белого карлика с учетом эффектов общей
теории относительности, запишем полную энергию в виде

Е = Eim + £grav + A£int + A£Gtr-	(6.10.1)

В первом приближении присутствуют только два первых члена. Их можно
найти для политропного распределения плотности.

£int = [udm= f — dm= Кр\/пМ-^— f('i2ffn+t di. (6.10.2)

(6.10.3)

Последний интеграл преобразуется к виду

di =	di - ^i2en+'di (6.10.4)

*0	nil •'Q	П ~Г 1 Jq

и может быть вычислен с помощью интегрирования по частям. В сущно-
сти это уже было сделано при выводе формулы (3.2.11), где для политро-
пы было получено

=з GM2

5 - п R
Из результата, приведенного в упражнении 3.4, получаем

М _ 4тгрс|0'|  R3 ~	’		(6.10.6)
следовательно,		
^av= 5lnGM^3Py3	Cl	1/3  (6.10.7)

Сравнивая этот результат с формулами (6.10.3) и (6.10.4), получаем

	(6108)  •'о	э — п
Таким образом,	£int = кхКРУ”М,	(6.10.9)  £grav = ~k2GPy3M^3,	(6.10.10)
где	А:, =	= 1,75579,	(6.10.11)  J п	£1  к2 =	= 0,639001.	(6.10.12)  2	5 - п

Численные значения кх и к2 даны здесь для и = 3.

Член AFint обусловлен отличием уравнения состояния от политропы с
и = 3, которое связано с теЪ1, что электроны не полностью релятивистские.
Внутренняя энергия на единицу массы равна

	2  » = £g треС п?,	(6.10.13)
где	Р = Ро = 1^ети»е-	(6.10.14)

Используя формулу (2.3.20), получаем

	U=4um(x 3 + x + ”’V	(6.10.15)  4 р>ети \	3 X	/

где 1 — релятивистский параметр.
Пропорциональный х член в формуле (6.10.15) равен просто ЗР/р, это
выражение было использовано выше при вычислении Дп(. Следующий
член — постоянный; его можно опустить при использовании вариационно-
го принципа, так что поправка равна

A£int 4n'mufxdm-	(6.10.16)

Согласно формулам (6.10.14) и (2.3.4),

(6.10.17)

Интеграл в (6.10.16) можно вычислить с распределением плотности, отве-
чающим политропе с лг = 3; вносимая при этом ошибка имеет более высо-
кий порядок. Таким образом,

2 3
т с

е ч2/з^~1/3,	(6-Ю.18)

где

*3 = 7-----Цтг -7— (%202 di.	(6.10.19)

4	(3^2)1/3 |^'| 4	V

При п = 3 этот интеграл равен 4,32670, так что

£3= 0,519723.	(6.10.20)

Поправка, обусловленная общей теорией относительности, по формуле
(6.9.32) равна

A^GTR “	- -кУ-М3/3рУ,	(6.10.21)  с2

Л4 = 0,918294.	(6.10.22)

Таким образом, полная энергия, определенная в (6.10.1), имеет вид

Е = {АМ - ВМ5/3)р'/3 + СМр;1/3 - DM1/3p2/3,	(6.10.23)

где

А = к\К, В = k2G, С = к3—т1еС\ D = k^. (6.10.24)
^етиУ	с1
Равновесие достигается при дЕ/дрс = ®. Отсюда следует

(АМ - ВМ5/3)1р;2/3 - ^СМр,7 4/3 - jDM7/3p~,/3 = 0. (6.10.25)

Основное приближение соответствует отбрасыванию членов, пропорцио-
нальных С и D. При этом для массы получается формула Чандрасекара:

/ А \3/2	/ а \~2

м=[в)	='1’457 ( 2/	(6.10.26)

где для К мы воспользовались формулой (2.3.23). Члены с С и D дают за-
висящие от рс малые поправки к М.

Устойчивость нарушается при д2Е/др2, т.е. при

- Н( АМ - ВМ5/3)р75/3 + ^СМр;7/3 + ||Г>М7/3р“4/3 = 0. (6.10.27)

Решим уравнение (6.10.25) относительно АМ—ВМ373 и подставим резуль-
тат в (6.10.27). Поскольку теперь все величины одного порядка малости,
можно заменить М на (А /В )3/2. В результате

_ СВ2	т2ир2

Рс DA2	(3ir2)2/3k4k2 Хегпе

= 2,646 X Ю10(у)2 г/см3 .	(6.10.28)

Это критическая плотность, при которой белый карлик теряет устойчи-
вость из-за эффектов общей теории относительности. Заметим, что для
56Fe (jie= 2,154) получается рс— 3,07-1010 г/см3. Это значение выше порога
обратного /3-распада, 1,14-109 г/см3 (см. табл. 3.1), так что общая теория
относительности не нужна для железных белых карликов. Для 4Не или 12С
плотность рс принимает значение 2,65- 1О10 г/см3, которое ниже порогов
нейтронизации, 1,37-1011 и 3,90- 1О10 г/см3 соответственно. В этих случаях
плотность в центре ограничена именно эффектами общей теории относи-
тельности1^.

Упражнение 6.21. Энергия звезды со значением Г вблизи 4/3 также записывается в
виде [ср. формулу (6.8.9)]

г~,2

Е = аМргс~1 - к^М5^/3 - k^-M^p2/3.	(6.10.29)

с

11 Ядерные реакции при высокой плотности (см. разд. 3.5) ограничивают плот-

ность в углеродных белых карликах, рс<1- Ю10 г/см3, но точное значение этой гра-
ницы неизвестно. (См. разд. 3.7.)
Здесь а — некоторая постоянная. Показать, что критическое значение Г, при кото-
ром нарушается устойчивость, благодаря эффектам общей теории относительности
увеличивается так, что

Г - | = 1,125

(6.10.30)

Указание. Исключить а, используя условие дЕ/дрс—0.

Упражнение 6.22. Какое максимальное гравитационное красное смещение предсказы-
вается для сферического белого карлика, состоящего из 4Не, 12С, 56Fe? Сравните ва-
ши результаты с работой Шапиро и Тьюколски [532].

Упражнение 6.23. Вычислить △M/MCh, относительную разность масс белого карли-
ка и звезды в пределе Чандрасекара при критической плотности (6.10.28).

Результаты, приведенные в формулах (6.7.18) и (6.10.30), можно объеди-
нить, записав приближенную формулу:



(ЗГ, - 4) -	,

(6.10.31)

где /3 — числовой множитель. В случае белых карликов с малой массой
преобладает первый член. Основная частота колебаний возрастает при уве-
личении массы (w2~Gp). Период колебаний падает от значений порядка
20 с при М= 0,4A/q до 6 с при М- IMq.

Упражнение 6.24. Показать, что для ультрарелятивистского вырожденного элек-
тронного газа

4	2

3 ~ Зх2

(6.10.32)

Из этой формулы вытекает, что первый член в скобках в (6.10.31) ведет
себя как р-2/3, т.е. как 7?2, при Л7—AfCh. Однако I W\ /I~R~\ поэтому w2
продолжает расти при	ньютоновские белые карлики устойчивы.

Член, обусловленный общей теорией относительности в (6.10.31), меняется
как 1/7?; из-за него а? проходит через максимум и затем меняет
знак — звезда теряет устойчивость. Соответствующий минимальный пери-
од колебаний составляет около 2 с (см., например, [139]). Это значение
очень важно, ибо позволяет исключить возможность интерпретации пуль-
саров как пульсирующих белых карликов: известны пульсары с весьма ма-
лыми периодами — вплоть до 1,56 мс.
Вращение и магнитные поля

7.1. УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

Мы дадим здесь сводку уравнений магнитной гидродинамики (см., напри-
мер, книгу Джексона [297]).

Если вещество находится под действием электромагнитных сил, то
уравнение Эйлера (6.1.2) принимает вид

✓Уу	1

р-г = - VP - pv$ + -J X В.	(7.1.1)

at	с

Здесь J — плотность тока и В — напряженность магнитного поля. В ас-
трофизике вещество редко обладает ненулевым полным зарядом. Поэтому,
вообще говоря, в уравнение следует добавить член реЕ, где ре — плотность
заряда, которым мы пренебрегли. Если скорость движения вещества V на-
много меньше, чем скорость света (в астрофизике чаще всего так и быва-
ет), то в уравнении Максвелла:

1 ЗЕ 4тг	✓ -

V X В-------т- = —J	(7.1.2)

с dt с

можно пренебречь током смещения. Тогда

-J X В = 2-(v X В) X В.	(7.1.3)

с	4тгх 7

Исполыуя векторное тождество

|v(B-B) = (B - v)B-(v ХВ)ХВ,	(7.1.4)

уравнение (7.1.1) можно переписать в виде

+ v)B. (7.1.5)
at	отг	4тг

Электрическое поле Е обычно связано с током J и магнитным полем В за-
коном Ома:

J = <j|e + ^xb).	(7.1.6)

Здесь о — проводимость, которая считается постоянной. Формула (7.1.6)
обобщает соотношение J = aE, справедливое в покоящейся системе отсчета,
и учитывает член первого порядка по v/с.
Изменение поля В во времени определяется законом Фарадея:

lf=-VXE,	(7.1.7)

который, с учетом формул (7.1.6) и (7.1.2), а также уравнения VB = 0, при-
водится к виду

^-vx(vxB)+J±v’B.	(7.1-8)

Нередко проводимость можно принимать бесконечно большой, так как
времена, характерные для омических потерь, велики по сравнению с време-
нами процессов, которые мы сейчас рассматриваем. Такая среда называет-
ся «идеально проводящей»; в этом случае из (7.1.6) следует

Е + ^ХВ = 0,	(7.1.9)

и формула (7.1.8) приводится к виду

= VX(vXB).	(7.1.10)

Это уравнение интерпретируется следующим образом: магнитный поток
через любой контур, движущийся вместе с идеально проводящей средой, не
меняется со временем — силовые линии «вморожены» в вещество

При рассмотрении эффектов магнитного поля в белых карликах оказа-
лась полезной скалярная теорема вириала. Умножим скалярно уравнение
(7.1.5) на радиус-вектор х и проинтегрируем по всему объему звезды V.
Поскольку M = dx/dt, то

Следовательно, левая часть уравнения (7.1.5) принимает вид

где 1= ^px2d3x — обобщенный момент инерции, а

Т = jpv2 d3x	(7.1.13)

‘Точнее говоря, из (7.1.10) следует, что магнитный поток = через лю-
бую замкнутую поверхность S, движущуюся вместе с веществом, постоянен. При
этом элемент среды, который вначале был нанизан на магнитную силовую линию,
остается на ней навсегда.
— кинетическая энергия. Мы воспользовались здесь тем фактом, что

<7114’

для любой величины Q в сплошной среде.

Член, содержащий давление, приводится к виду

-jx-VPd3x = - fv(*P)d3x + fP4 -xJ3x = 0 + ЗП, (7.1.15)
где

n=fPd3x.	(7.1.16)

Здесь мы учли, что на границе объема V давление Р обращается в нуль.
Гравитационный член записывается в виде

- fpx • d3x = G f f d3x d3x'p(x)x • V . ^^•"7.

J	J J	|x x I

= ~Gffd3xd3x'p(x)p(x')X

J J	|x-x |J

= “	ld3x d3x'p(x)p(x')——X	X )

2 J J	|x - Xу

= ^/>3хр(х)Ф(х) = W.	(7.1.17)

X J

Это гравитационная потенциальная энергия.

Аналогично формуле (7.1.15) можно показать, что член, пропорцио-
нальный VB2, приводится к виду 3 90? , где

9И = ^-£б2^3х	(7.1.18)

077 J

— магнитная энергия. Мы устремили границу объема V к бесконечности,
чтобы оправдать отбрасывание поверхностного члена.

Так как V • В = 0, то

х • (В • v)B= (В • v)(x • В) - В • (В • v)x

= V • [в(х • В)] - В2.	(7.1.19)

При интегрировании по всему пространству содержащий дивергенцию пер-
вый член обращается в нуль, поэтому интеграл от выражения вида (7.1.19)
дает вклад — 2 97? . В итоге получаем

1 d2I

-Z— = 2Т+ W + ЗП + 9L.	(7.1.20)

di

Отметим, что величина П равна 2/3 тепловой энергии нерелятивистских ча-
стиц плюс 1/3 тепловой энергии релятивистских частиц.

Предполагая, что звезда находится в равновесии, мы приходим к ска-
лярной формуле вириала

2Т + W + ЗП + 911 = 0.

(7.1.21)

7.2.	МАГНИТНЫЕ БЕЛЫЕ КАРЛИКИ

Ограничимся вначале невращающимися белыми карликами. В этом случае
кинетическая энергия Т=0, и теорема вириала (7.1.21) принимает вид

W + ЗП + 911 = 0,

/ Р \	/ в2 \ 4

W + ЗМ1 - \	\-TTR3 = 0,

\ р /	\ 077 / 3

(7-2.1)

(7.2.2)

где угловые скобки означают усреднение. В пределе высокой проводимости
магнитный поток

Фм ~ <B)R2

(7.2.3)

сохраняется при изменении радиуса звезды. В случае нерелятивистского
вырождения Р~р5/\ а при ультрарелятивистском вырождении Р=р4/3. Со-
ответственно по соображениям размерности из (7.2.2) в первом случае сле-
дует

п	GM2 о

0 аз/2 R + Д;

М5/3

’3/2 r2

+ Y —

+ ?3/2 R

(7-2.4).

а при ультрарелятивистском вырождении

. GM2 п M4/i
° - -а’-1Г + 1!^Г

ф^

Ъ-R

(7.2.5)

где нижний индекс у безразмерных положительных констант а, 0 иу ука-
зывает показатель политропы, л = 3/2 или и = 3, описывающий каждый из
этих двух режимов.

В обоих случаях эффект магнитного поля состоит в некотором растяже-
нии звезды. Грубо говоря, добавление магнитного потока эквивалентно
«уменьшению» гравитационной постоянной G rq величины

G' = G -

аМ2

= г/, _

\	1^1Л

(7.2.6)

Для белых карликов с нерелятивистским вырождением можно решить
уравнение (7.2.4) относительно радиуса R равновесного состояния:

&/2	= Rp

ai/2G'M'/3

(7.2.7)

где Ro — радиус при В = 0. При малых отношениях

4  й .	(7-2'8*

радиус звезды возрастает незначительно.

Для белых карликов с ультрарелятивистским вырождением следует пре-
жде всего отметить, что при 6 < 1 предельная масса возрастает лишь на не-
большую величину. Решая уравнение (7.2.5) относительно М, находим при

2/3 = _А_ |! + 7зфм j _ _Дз_ /i + 7зфм
a3G\ Д3М4/3/	«3<Ц a3GM2

(7.2.9)

и, следовательно,

мтах = Мо(1 + is);	(7.2.10)

где Л/О=(/З3 /a3G)3/2 — предельная масса Чандрасекара при В = 0 (см. фор-
мулу (3.3.17)).

Однако радиус звезды .в случае ультрарелятивистского вырождения для
масс вблизи А/тах может существенно возрастать даже при малых значени-
ях 6. Причина этого состоит просто в том, что при 1 состояние звезды
весьма близко к политропе сл = 3, так что, согласно формуле (3.2.10), по-
лная энергия имеет вид

Е = -	« |^|.	(7.2.11)

Поэтому даже небольшое изменение Е может оказывать значительное вли-
яние на R :

Д£	ДА	(7.2.12)
Е	А	
Полагая здесь Д£=Д , получаем		
ДА	3 Д91С	= —да.	(7.2.13)
R 3 - п |1£|	3 — /7	

12-353
Рис. 7.1. Радиус белого карлика как функция магнитной энергии и углового момен-
та. Для звезды с массой 1,05 М® (типа Сириуса В) показана зависимость радиуса R
от отношения магнитной и гравитационной энергии, I ЭД/И-П; R — большая из двух
величин, представляющих расстояния от центра до экватора и до полюса. Кривые,
обозначенные цифрами 1, 2, 3, 4, 5, отвечают последовательностям звезд, имеющих
угловые моменты (0, 1, 2, 3, 4)-1,92-1049 г*см2/с соответственно. (По работе [433].)

Интегрируя и считая п постоянным при росте 6, получим

R = #оехр^ 23 j.	(7.2.14)

Таким образом, радиус существенно возрастает даже при малых д.

Численная модель однородно вращающихся белых карликов с магнит-
ным полем была построена в работе Острикера и Хартвика [433]. Было об-
наружено, что для невращающейся звезды с массой 1,05 Mq (типа Сириуса
В) увеличение радиуса может описываться множителем ехр(3,56) (рис. 7.1).
В предельных случаях, когда 6 — 0,1 и радиус возрастает на 40%, поле в
центре достигает 1012,3 Гс, хотя на поверхности звезды поле на несколько
порядков ниже.

Разумно ли говорить о столь сильных полях? Поскольку при сжатии
звезды в ходе эволюции к стадии белого карлика магнитный поток сохра-
няется, то и звезды — предшественники таких белых карликов должны
иметь сильные магнитные поля; из соотношения

Rfr = R\dBwd>	(7.2.15)

где индекс «/» соответствует звезде-предшественнику, «wd» — белому кар-
лику, следует, что в центре звезды-предшественника напряженность поля
должна составлять

I 109 \2

В, ~ 1012 —-	~ 108Гс,	(7.2.16)

' I 10" /	v 7
в предположении, что R^R®. Следовательно,

-^wd	(7 2.17)

1^1	|И^| ’

и величина этого отношения не превосходит нескольких процентов.

Хотя и нет данных, которые бы свидетельствовали в пользу существо-
вания таких полей1), они не исключаются проведенными наблюдениями.
Более того, сжатие «типичного» межзвездного облака с радиусом —0,1 пс,
массой - IMq и вмороженным полем В величиной 3-10~6 Гс при образо-
вании звезды из этого вещества должно приводить к магнитным полям по-
рядка 108 Гс (см. [549], разд. 13.Зе).

Результаты Острикера и Хартвика показывают, что с увеличением поля
радиус возрастает, а рс падает. В принципе магнитные поля умеренной ве-
личины могут существенным образом влиять на зависимость радиуса от
массы, особенно для более массивных белых карликов.

Однако до сих пор наблюдения не давали свидетельств в пользу столь
сильных внутренних магнитных полей. Радиус звезды Сириус В в точности
соответствует кривой Хамады — Солпитера для звезд с нулевым полем
(см. разд. 3.6). Приблизительно 5% из числа наблюдаемых белых карликов
обладают поверхностными магнитными полями в диапазоне 106—108 Гс
(см., например, [13, 343]). Величина соответствующего внутреннего маг-
нитного поля зависит от модели; вероятно, она должна лежать в пределах
108—1О10 Гс. Такие поля слишком слабы, чтобы существенно влиять на ди-
намику при A/<A/q.

7.3.	ВРАЩАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ: СФЕРОИДЫ МАКЛОРЕНА

Наши представления о вращающихся гравитирующих телах основаны глав-
ным образом на изучении эллипсоидов с однородной плотностью, динами-
ка которых анализируется сравнительно просто (подробное изложение
можно найти в книге Чандрасекара [116]). Простейшие однородные эллип-
соиды такого типа — сфероиды Маклорена, вращающиеся с однородной
угловой скоростью.

В произвольной точке (х, у, z) внутри однородного эллипсоида гравита-
ционный потенциал является квадратичной функцией координат:

Ф = -7TGp[A - Atx2 - А2у2 - Л322],	(7.3.1)

где постоянные Л зависят только от формы эллипсоида, и A {+А2+А3= 2.
Это следует из уравнения Пуассона,



(7.3.2)

11 Магнитные A-звезды имеют поля < 104 Гс на поверхности.
где плотность р постоянна. Коэффициенты А можно найти изящным гео-
метрическим методом (см., например, [116]). В случае сфероида потенциал
Ф можно найти также с помощью функции Грина для уравнения (7.3.2):

Ф=-Ср(А^..	(7.3.3)

J |х ~ X '|

Функция Грина разлагается в сферических полярных координатах так:

1	00 г1

— _	= У. Pi(cos 0)Pz(cos в') + [члены, зависящие от ф], (7.3.4)

Iх Х I l = Q Г>

где Pf — полином Лежандра, г< (г>) — меньшая (большая) из величин г и
г'. В силу азимутальной симметрии зависящие от ф члены не дают вклада
в интеграл в (7.3.3). В полярных координатах поверхность сфероида описы-
вается уравнением R = R(0), где

sin2# cos2# _ 1
а2 с2 R2’

(7.3.5)

где а и с — большая и малая полуоси соответственно. Таким образом,

00	л7Г

Ф= -2?rGp £ Pz(cos0) / sin 0'd0'Pz (cos 0') x

/=о

(7.3.6)

Заметим преже всего, что все члены с нечетным / выпадают, так как Pz яв-
ляется здесь нечетной функцией cos#', в то время как Р(#) — четная функ-
ция. Среди интегралов отличны от нуля только те, в которых /=0 или
/=2: для членов с /^4 степени cos#', обусловленные зависимостью Р(#),
никогда не превосходят /-2, так что из-за соотношения ортогональности
эти члены обращаются в нуль при интегрировании. Итак, мы имеем

(	1 2	/*1	dx

(3	4 1/а2 + (1/с2 - 1/а2)х2

- (3cos2# - 1)^7- f'dx(3x2 - 1) 1g -7 -Л-L
4 Jo	a \ c

(7.3.7)

где x = cos#'. Эти интегралы вычисляются в элементарных функциях, и
после некоторых выкладок мы приходим к окончательному ответу:

. л (1-Л1/2	.	1-г2

Л । = Л 2 =------— arcsin е---------,

е3	е2
	Вращение и магнитные поля	181  .	2	2(1 - е2)1/2  Л. 		-	— arcsin е,  3 е2	Я  л 2a2(i-e2)'/2  Л =		-— arcsin е,	(7.3.8)

где эксцентриситет, по определению, равен

	Г2 е2^\-—2.	(7.3.9)

В гидростатическом равновесии для однородно вращающегося сферо-
ида справедливо уравнение

	ch	1  — =__vp_v<K	(7310)
где	v = 2Xr.	(7.3.11)

Левая часть уравнения (7.3.10) преобразуется к виду

~~	£imn^mXn ~~ £jkl® кХ	т

~ ($ki$lm “ $knPli)®kXl®ni =	“ fl2*,-	(7.3.12)

Считая, что угловая скорость направлена по оси z, перепишем эту формулу

в виде	/7 у  = -Й2(хел + уеу) = Й X (Я X г).	(7.3.13)

Легко видеть, что это просто центростремительное ускорение жидкости.
Итак, проекция уравнения (7.3.10) на ось z дает

	0^-1^-^.	(7.3.14)  р dz dz

а проекция на ось х дает

	02	1 дР дФ  -ЯЪс =	Z	7—.	(7.3.15)  р дх	дх

Так как Ф — квадратичная функция координат, Р также должно быть ква-
дратичной функцией. Поскольку Р обращается в нуль на границе сфероида,
получаем

	Р^Р^У+У	(7.3.16)  с	а2	с2 Г
где Рс — давление в центре сфероида. Используя формулу (7.3.1), из урав-
нения (7.3.14) получаем

Рс = 7rGp2c2A3.

Из уравнения (7.3.15) следует

/ Л (7^- \

Я2 = 2irGp Ах--------2—1

\	а2

= 2irGp

е2)1/2,	3(1 — е2)

——(3 - 2e2)arcsin е-------------------

е5	е

(7.3.17)

(7.3.18)

Момент инерции сфероида относительно оси вращения равен

I —	(7.3.19)
где	
М = утга3(1 - е2)1/2р.	(7.3.20)
Соответственно момент количества движения	
J = 72,	(7.3.21)
и кинетическая энергия	
Г= |7Й2.	(7.3.22)

Упражнение 7.1. Показать, что гравитационная потенциальная энергия сфероида Ма-
клорена имеет вид





(7.3.23)

Отметим одно соотношение, полезное для параметризации сфероидов Ма-
клорена:

Т



е(1 - е2)1/2
arcsin е

(7.3.24)

Устойчивость сфероидов Маклорена можно исследовать, вводя нор-
мальные моды или используя метод тензорного вириала [116]. Наиболее ин-
тересное нарушение устойчивости возникает из-за двух нерадиальных «то-
Рис. 7.2. Квадрат угловой скорости (в единицах TrGp) для последовательностей сфе-
роидов Маклорена и эллипсоидов Якоби. По оси абсцисс отложен эксцентриситет,
определенный по формуле (7.3.9). (По книге Чандрасекара [116].)

роидальных» мод, содержащих зависимость от азимутального угла,
ехр(±2/ф). Эта пара мод становится динамически неустойчивой (ш2<0) при
е> 0,952887, что соответствует Т/1 ИЧ >0,2738. Вековая неустойчивость
возникает на последовательности сфероидов Маклорена при меньших экс-
центриситетах, е = 0,812670, Т/1 ИЧ =0,1375. Частота одной из мод обра-
щается в нуль в этой точке, однако по обе стороны от нее ш2 остается по-
ложительным. При ш2=0 наряду со сфероидом Маклорена существует и
другая равновесная конфигурация. В действительности Т/\ WI =0,1375 яв-
ляется точкой бифуркации, в которой от последовательности Маклорена
ответвляется другая последовательность равновесных конфигураций. Эта
новая последовательность состоит из эллипсоидов Якоби, вращающихся
однородных тел с эллипсоидальной поверхностью. Угловые скорости и мо-
менты количества движения сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби
показаны на рис. 7.2 и 7.3.

При заданных моменте количества движения, массе и объеме эллипсоид
Якоби имеет более низкую энергию, чем соответствующий сфероид Макло-
рена (рис. 7.4). Отсюда следует, что выше точки бифуркации сфероиды
Маклорена должны быть неустойчивыми и переходить в эллипсоиды Яко-
би. Однако в системе, описываемой динамическими уравнениями, энергия
Рис. 7.3. Момент количества движения [в единицах (GM За)1/2] для последовательно*
стей сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби [параметр а связан с тремя главны-
ми полуосями, а=(аЬс)х/\ причем для сфероида а = Ь]. В обоих случаях по оси абс-
цисс отложен эксцентриситет, определенный по формуле (7.3.9). (По книге Чандра-
секара [116].)

сохраняется, если только в них не введены диссипативные члены. Неустой-
чивость, для развития которой необходима диссипация энергии, называется
вековой в отличие от динамической неустойчивости. Добавление диссипа-.
тивных членов в динамических уравнениях, описывающих развитие возму-
щений, приводит к тому, что при прохождении точки бифуркации со приоб-
ретает мнимую часть, пропорциональную масштабу диссипации, т.е. коэф-
фициенту вязкости. В противоположность этому время нарастания динами-
ческой неустойчивости целиком определяется динамикой, оно порядка
(Gp)~,/2.

Поскольку на самом деле ш2=0 является кратным корнем при
Т/1 WI = 0,1375, то в той же точке от последовательности Маклорена по-
мимо эллипсоидов Якоби ответвляется еще одна последовательность рав-
новесных конфигураций: эллипсоиды Дедекинда. Они имеют ту же форму,
что и эллипсоиды Якоби, но их форма стационарна: эллиптическая поверх-
ность поддерживается циркуляцией жидкости внутри тела.
Рис. 7.4. Полная энергия E-T+W как функция момента количества движения для
сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби. Величина а связана с тремя главными
полуосями, а=(аЬс)из, причем для сфероида а = Ь. Для некоторых конфигураций
указана величина эксцентриситета, определенного по формуле (7.3.9); показана точка
бифуркации (е=0,81267) и точка возникновения динамической неустойчивости
(е = 0,95289).

Выше точки бифуркации сфероиды Маклорена обладают вековой неу-
стойчивостью и по отношению к эллипсоидам Дедекинда. Однако благода-
ря вязкости дифференциальное вращение затухает, так что эллипсоиды Де-
декинда при наличии вязкости не являются равновесными. Необходимая
для перехода в другое состояние диссипация связана в этом случае с поте-
рями энергии на гравитационное излучение (см. работу Чандра-
секара [117]).

Если существенны и вязкость, и гравитационное излучение, то ситуация
становится более сложной [160]. Мода Якоби, которая деформирует сферо-
ид Маклорена, превращая его в эллипсоид Якоби, и которая неустойчива
при наличии вязкости, стабилизируется гравитационным излучением. Мода
Дедекинда, неустойчивость которой связана с гравитационным излучением,
стабилизируется вязкостью. Можно так подобрать соотношение между
вязкостью и гравитационным излучением, что все состояния на последова-
тельности Маклорена будут устойчивыми вплоть до точки динамической
неустойчивости. Возможно, что в астрофизических приложениях вязкость
недостаточно велика, чтобы быть существенной, но этот вопрос остается
неясным.

Как будет показано в следующем разделе, сжимаемые конфигурации с
твердотельным (однородным) вращением не представляют особого интере-
са. При рассмотрении объектов, плотность которых возрастает к центру,
можно видеть, что допустимая скорость вращения, мерой которой являет-
ся, например, отношение Т/\ W\, строго ограничена условием, чтобы в об-
ласти вблизи экватора не происходило истечения вещества. При твердо-
тельном вращении объекты, конденсированные к центру, начинают терять
массу еще до того, как скорость их вращения достигает величины, при ко-
торой появляются «интересные» неустойчивости.

Однако при рассмотрении объектов, скорость вращения которых неод-
нородна , отношение T/IIVI в равновесном состоянии может существенно
выходить за рамки, определяемые теоремой вириала, 0^Т/1 И7! 1/2 [см.
формулу (7.1.21)]. При этом вновь возникает вопрос о неустойчивых кон-
фигурациях, не обладающих осевой симметрией. Для грубой оценки мы
примем следующие значения: 7/1^1^0,14 для вековой неустойчивости
и Т/1 WI > 0,26 для динамической неустойчивости. Эти значения близки к
полученным для сфероидов Маклорена, и, по-видимому; на них можно
ориентироваться при самых различных распределениях момента количества
движения и уравнениях состояния. Далее этот вопрос обсуждается в
разд. 7.5.

7.4. ВРАЩАЮЩИЕСЯ БЕЛЫЕ КАРЛИКИ

Рассмотрим теперь конфигурации типа белых карликов, в которых нет
магнитного поля, но есть вращение. Кинетическая энергия вращения — по-
рядка

Л2

T~M£l2R2~-------(7.4.1)

MR2

где J — (сохраняющийся) момент количества движения. Уравнение вириала
(7.1.21) для вращающихся звезд принимает теперь вид [ср. формулы (7.2.4)
и (7.2.5)]

n	GM2 t J2 о М5/3	Л эх

0 "	“3/2 R + «3/2 mr2 + Дз/2 r2

для нерелятивистского вырождения и

n GM2 J2 п М4/3	z_ .

для ультрарелятивистского вырождения. То обстоятельство, что энергия
вращения в релятивистском пределе более круто зависит от радиуса, чем вну-
тренняя энергия, весьма существенно. При любой массе всегда может быть
достигнуто равновесие, если уменьшить радиус тела. Таким образом, при
любой массе можно построить равновесную модель, если момент коли-
чества движения отличен от нуля. Разумеется, такие модели могут ока-
заться нефизическими, например если приходится уменьшить радиус до та-
ких размеров, что плотность возрастает до 1015 г/см3 и принятое нами
уравнение состояния неприменимо. Кроме того, такие модели становятся
неустойчивыми относительно обратного /3-распада, слияния ядер, быстрой
эволюции, обусловленной вязким переносом импульса, и других процессов.

Используя численный метод, Джеймс [298] построил модель твердо-
тельно вращающегося белого карлика, в которой удовлетворяется уравне-
ние состояния Чандрасекара. Для таких тел структура моделей в целом не
очень отличается от случаев, когда вращение отсутствует. В частности,
предельная масса может возрасти не более чем на 3,5% при заданном це.
Это вполне естественно, ибо, как будет показано ниже, для тел с повыше-
нием плотности к центру твердотельное вращение возможно лишь при ус-
ловии Т/ \ ИЧ <0,007, а при этом структура тела не претерпевает серьезных
изменений по сравнению со случаем, когда вращения нет. Действительно,
из формул (7.4.3) и (7.1.21) следует

GAP

0= -a'~R-

, м4/3

(7-4.4)

Разрешая это уравнение относительно М, получаем

/8	/ ЗТ \

М = a3G(l - 2T/]W\)	=	+	) = 1/02М°’	(7Л5)

где MQ — предельная масса Чандрасекара при отсутствии вращения. Эта
оценка в целом согласуется с результатами Джеймса.

Рассмотрим теперь вывод ограничения 0^ Т/\ ИЧ ^0,00744 для твердо-
тельного вращения тела, состояние которого описывается политропой с
л = 3. Будем следовать книге Зельдовича и Новикова [636]. Заметим, что
для политропы с п = 3 плотность в центре в 54 раза превосходит среднюю
плотность (упражнение 3.4), так что этот объект действительно сильно
сжат к центру.

Рассмотрим прежде всего сферическую звезду, вращающуюся со скорос-
тью, соответствующей отрыву вещества на экваторе,

г? = й2Я2 = -^.
К

Для политропы с п = 3 (см. формулу (3.2.11)]

|Ж|= -3.. GAP = 3GAP-
11	5-и R 2 R '

(7.4.6)

(7-4.7)
Кинетическая энергия равна

Г=|/й2)	(7.4.8)

где

' -	- IГ =t	<м-”

Значение этого интеграла равно 10,851, так что

	<г2> = 0,11303Я2.	(7.4.10)
Используя формулу звезды	(7.4.6) для О2, получим, что на пределе разрушения  Л. =	=	(7.4. П)  РИ lGM2/R

В противоположность этому для несжимаемой жидкости (д^О) имеем

<r2>=j«2,	=

(7.4.12)

и, следовательно, на пределе разрушения звезды

Т 1

\w\ 3-

(7.4.13)

Сопоставление этих результатов демонстрирует роль повышения плотно-
сти в центре звезды как фактора, понижающего верхний предел скорости
вращения для политропных конфигураций.

В этом выводе мы пренебрегли тем, что в действительности вращаю-
щиеся тела имеют сфероидальную форму, т.е. радиус на экваторе превос-
ходит среднее значение, RX>R. Приближенный анализ равновесной формы
можно провести на основе модели Роша. В этой модели предполагается,
что распределение массы в основном не меняется при вращении; это разум-
ное приближение, так как плотность к центру звезды повышается. Поэто-
му в наружных слоях гравитационный потенциал имеет обычный вид,
Ф^—GM/r. При постоянной угловой скорости вращения вокруг оси z
можно ввести центробежный потенциал:

Фс = — |Й2(х2 + j2) = — ^J22r2sin20.

При этом

<Zv ж

IF =

(7.4.14)

(7.4.15)
Рис. 7.5. Форма потенциала Ф + Фс вдоль радиального направления в экваториальной
плоскости (сплошная линия) и вдоль полярной оси z (штриховая линия). Горизон-
тальные прямые Кх и К2 соответствуют различным значениям константы К в фор-
муле (7.4.17) (Зельдович и Новиков [636].)

[см. формулу (7.3.13)], и уравнение гидростатического равновесия (7.3.10)
принимает вид

или

где К — константа, а

h + Ф + Фс — К,

dP Г Р

Р	Г - 1 р

(7.4.16)

(7.4.17)

(7.4.18)

— удельная энтальпия. Будем предполагать, что константа К в формуле
(7.4.17) та же, что и в отсутствие вращения. Поскольку h(R)=0, то

GM

(7.4.19)

Эффективный потенциал, Фе1у=Ф + Фс, показан на рис. 7.5. В плоскости
экватора ФеЯ имеет максимум при значении радиуса rc— (GM/Q2)173, причем
максимальное значение Фтах = -¥iGM/r .

Уравнение (7.4.17) имеет разумное решение лишь при условии, что h об-
ращается в нуль на некотором расстоянии от центра, r = Rv т.е. на поверх-
ности тела. Поскольку h(r) — расстояние от точки на кривой ФеГГ(г) до ли-
нии Фе{Т=Л^ (см. рис. 7.5), то мы видим, что К должно быть меньше, чем
Ф™,_. Если ЛГ = Ф_,_, то 7?, принимает максимальное значение, равное
П1а.Х	ПШХ7	1 х

R ’
rc=VzR. Таким образом, твердотельно вращающаяся звезда растягивается в
плоскости экватора максимум в полтора раза. Соответствующее макси-
мальное значение угловой скорости равно

lGM\l/2 = m3/2/GM\1/2	(74 20)

г; J \ з /	\ jR3 /	7

и отличается множителем (2/з)3/2= 0,544 от максимального значения для
сферического случая [см. (7.4.6)]. Отсюда следует

(Т/\ W\k,a = f—3/2х (значение для сферы) = 0,00744.	(7.4.21)

V	^jTldX у 3 z

Ситуация здесь существенно отличается от случая сфероидов Маклорена,
которые существуют (хотя и теряя устойчивость) вплоть до T/IFFI =0,5.

Джеймс [298] показал, что для политропы с индексом и >0,808 истече-
ние вещества с экватора для твердотельно вращающихся звезд начинается
ниже точки бифуркации. Однако этот предел на скорость вращения едва ли
имеет физический смысл. По-видимому, реальные звезды вращаются не
как твердое тело, по крайней мере в своих наружных слоях, так что приве-
денный выше анализ просто показывает, что твердотельно вращающиеся
конфигурации не подходят в качестве моделей для быстро вращающихся
звезд.

При потере момента количества движения звезды сжимаются, и отно-
шение T/\W\ должно расти как \/R, поэтому вращение, вероятно, более
существенно для компактных объектов, чем для звезд главной последова-
тельности, от которых они происходят. Детальные модели дифференци-
ально вращающихся белых карликов были построены Острайкером и Боден-
хеймером [430] для звезд с массами в интервале от 0,5 до 4,1 A7q . (Модели
с Т/ \ IKI <0,41 соответствуют массам М< 2,4 М® .) Каждая модель опреде-
ляется средним молекулярным весом /хе(=2), полной массой А/, полным
моментом количества движения J и удельным распределением момента
J(w).

Для рассмотренных моделей разность угловых скоростей разных слоев
не очень велика, во всех случаях Q (на экваторе)/!! (в центре)>0,2. Радиусы
равновесных конфигураций равны 109 см, с точностью до множителя по-
рядка 2, так что в этом рассмотренные модели не отличаются существенно
от моделей невращающихся звезд с массами в интервале (0,4—0,9) М® .
Поскольку плотность в центре намного меньше 109 г/см3, вещество устой-
чиво относительно обратного /3-распада, и принятое нами уравнение состо-
яния Чандрасекара остается справедливым. Для моделей с массами, превы-
шающими 1,4 Mq , поверхностные скорости лежат в интервале 3000 —
7000 км/с. Линии водорода, наблюдаемые в спектрах большинства белых
карликов, имеют узкие ядра, поэтому подобные быстро вращающиеся объ-
екты должны быть весьма редкими.

По-видимому, звезды такого типа (если только они вообще существу-
ют) обладают высокой светимостью. Дюрисен [171] показал, что диссипа-
ция энергии, связанная с вязкостью (характерное время свыше 109 лет), в
массивных моделях приводит к высоким внутренним температурам и све-
тимостям, превышающим 10“ 1 Хотя в спектрах белых карликов типа
DC нет отдельных линий (см. приложение А) и потому они могли бы быть
быстро вращающимися, их светимости лежат существенно ниже этого зна-
чения.

Быстро вращающиеся белые карлики устойчивы относительно схлопы-
вания, вызванного обратным /3-распадом, если рс<3- 109 г/см3 (точное зна-
чение пороговой плотности зависит от состава звезды; см. табл. 3.1). Бу-
дем считать, что они не имеют вековой неустойчивости при 771 ИЧ <0,14 и
динамически устойчивы при 771 ИЧ <0,26 (см. разд. 7.5). Найдем теперь
примерный предел для массы таких звезд.

Вновь воспользуемся вариационным принципом для энергии, который
обобщает выражение (6.10.23) с учетом вращения (см. книгу Зельдовича и
Новикова [636]). Сделаем два упрощающих предположения: а) на подобных
сфероидальных поверхностях плотности постоянны, б) вращение преобра-
зует сферическую поверхность постоянной плотности в сфероидальную по-
верхность, ограничивающую такой же объем. Строго говоря, второе пред-
положение справедливо лишь для несжимаемой жидкости, однако оно неп-
лохо выполняется в центральных областях сжимаемой звезды, где сосредо-
точена большая часть ее массы. Если уравнение состояния имеет вид
Р=Р(р), то предположение (а) также выполняется лишь для несжимаемой
жидкости (см. разд. 4.4 в книге Тассуля [559]). И снова это предположение
приводит, как мы увидим ниже, к разумной числовой оценке, если большая
часть массы звезды заключена в ее ядре.

Из указанных предположений следует, что плотность как функция мас-
сы, заключенной внутри данного слоя сфероидальной звезды, совпадает с
плотностью для сферической звезды, имеющей ту же плотность в центре.
Поэтому, как и в формуле (6.10.9), имеем

£int = fudm

=	(7.4.22)

Гравитационная потенциальная энергия для шара с постоянной плот-
ностью (политропа с п = 0) равна

W =	<7М5/Зр1/3.	(7.4.23)

5 R 5 \ 3 /

Соответствующее выражение для сфероида постоянной плотности (7.3.23)
имеет вид

(Г-	3г4^Г(1

5 а е	5 \ 3 /	н е	'

(7.4.24)
Для сферического тела в состоянии политропы с п = 3 формула (6.10.10)
дает

W= -k2GM^p‘c'\	(7.4.25)

Покажем теперь, что для политропы с п = 3 при наших предположениях
вращение модифицирует W так же, как и для однородной звезды:

W = -k2GM^p'r^^-e (1 - е2)1/6.	(7.4.26)

Этот результат следует из теоремы Ньютона, согласно которой потенциал
внутри эллипсоидальной оболочки с постоянной плотностью постоянен.
[Это можно показать1^, вычитая друг из друга два выражения вида (7.3.1).]

Будем строить сфероидальную звезду, начиная с внешнего сфероидаль-
ного слоя с постоянной плотностью. Внутри этого слоя поместим следую-
щий, с постоянной, но несколько более высокой плотностью, и т.д. Каж-
дый слой помещается в полость, в которой потенциал постоянен. Полная
потенциальная энергия будет меньше, чем потенциальная энергия сферичес-
кой звезды, во столько же раз, во сколько потенциал внутри сфероидаль-
ной полости меньше-потенциала в сферической полости того объема и с
той же внешней массой. Их отношение определяется множителем

_е2)1/6	(7.4.27)

Отсюда следует формула (7.4.26). Удобно ввести параметр, характеризую-
щий сплюснутость: •

X =

(7.4.28)

и обозначить выражение в (7.4.27)

g(X) = Х,/2(1 - XT1/2 arccos (Х3/2).	(7.4.29)

При этом

-fc2GM5/3p'/3g(X).	(7.4.30)

Вычислим теперь энергию вращательного движения:

(7.4.31)

11 Простое геометрическое доказательство приводится в разд. 17 книги Чандрасе-
кара [116].
Для сфероида I^Ma1 отношение моментов инерции сфероида и сферы од-
ного и того же объема равно

~Г~ = —= I •	(7.4.32)

^sphere (<22с)

Из формул (7.4.9) и (7.4.31) получаем

Т= k5XJ2M~5/3p2/3,	(7.4.33)

где

З(47г)2/3£2|0'(£1)|5/3	• х

к5 = -—-/"	= 1.2042.	(7.4.34)

4(W#
Jo

Таким образом,

Е = кхКМр\/3 - k2GM5/3p'/3g(X) + k5XJ2M~s/3p2/3.	(7.4.35)

Членами AEint и AEGTR можно пренебречь, так как они малы и играют
роль только при исследовании радиальной устойчивости.

Равновесие определяется условием дЕ/дрс = О=дЕ/ЭХ при фиксирован-
ных М и J. Из условия дЕ /ЭХ = 0 следует

к5^2р'/3 т g(X)

8	) ~ k2GM}0/3 “	(7.4.36)

Используя формулу (7.4.29), получаем

т _ 1	\ ! зх3	зх3/2	’	(7 4 371
\W\ ~ 2	1 ~	(1 — X3)1/2arccos Х3/2	,	/ .ч-.э / у

Эта формула аналогична соотношению (7.3.24) между эксцентриситетом е
и отношением T/\W\ для сфероида Маклорена.

Из условия дЕ /дрс = 0 следует

U1^W2/3 - U2<7M5/3g(X)pc“2/3 + |£5XJ2M-5/V/3 = о, (7.4.38)

т.е.

У^КМр-2/3 - }k2GMs/3g(X)pc 2/3(1 ~ j^j) = °.	(7.4.39)
Следовательно,

м = [-----------Ml-----------j 7 =__________________________ (7.4.40)

\fc2Gg(X)(l - 2Т’/|И/|) }	[g(X)(l - 2Т/|Ж|)]3/2’

где M0=Mch= 1,457(2/Ме)2М@ .

Максимальная равновесная масса для вращающейся конфигурации, не
подверженной вековой неустойчивости, получается, если подставить в фор-
мулы (7.4.37) и (7.4.40) значение Т/\^1-0,14. В результате

X = 0,693, g(X) = 0,974,

/ 2 \2

М = 1;7(Ш0 = 2,5 — MQ.	(7.4.41)

\ Me /

Эта величина в точности совпадает со значением, полученным в работах
Дюрисена [172] и Дюрисена и Имамуры [173] путем детальных вычислений
для предельной массы, не подверженной вековой неустойчивости. Столь
хорошее согласие, скорее всего, связано с тем, что в моделях Дюрисена
дифференциальное вращение выражено не очень сильно.

Масса, соответствующая пределу динамической устойчивости, находит-
ся подстановкой в формулы (7.4.37) и (7.4.40) отношения Т/\W\ — 0,26. В
результате получаем

X = 0,475, g(X) = 0,902,

I 2 \2

М = 3,51МО = 5,1 — Мо	(7.4.42)

\ Me /

в разумном согласии с полученным Дюрисеном значением Л/=4,6 Mq.

При Т/1 WI >0,14 диссипация происходит путем гравитационного излу-
чения. В этом случае характерные времена порядка 103—107 лет ([208]; см.
упражнение 17.7), в то время как характерные времена для вязкой диссипа-
ции порядка 109 лет [117, 172].

Согласно данным Гринстейна и др. [245], белые карлики типа DA вра-
щаются медленно (линейная скорость вращения не превосходит 40 км/с, а
возможно, даже ниже 10—20 км/с), а быстро вращающиеся массивные бе-
лые карлики не наблюдаются. Очевидно, что момент количества движения
теряется звездой-предшественником, находящейся в стадии красного гиган-
та, еще до образования белого карлика.

Упражнение 7.2. Решить задачу, предложенную в упражнении 6.21, добавив враща-
тельные члены, как в формуле (7.4.35). Показать, что критическое значение Г —4/3
понижается на величину 2(5/з — Г)771 W\. Отсюда следует, что вращение стремится
стабилизировать радиальные моды.
Упражнение 7.3. а) Распределение плотности внутри Солнца приблизительно соот-
ветствует политропе с п = 3. Найти момент инерции Солнца. (Расчеты по детальной
модели Солнца дают 5,7- 1О53 г-см2.)

б)	Угловая скорость вращения поверхности Солнца равна 2,9-10“6 с-1. Считая,
что Солнце вращается как твердое тело, найти его момент количества движения.

в)	Чему равно отношение Т/\ WI для Солнца?

г)	Предположим, что Солнце внезапно сжимается и становится белым карликом,
причем J и М не меняются. Чему в этом случае будет равно отношение T/\W\1

д)	Согласно Аллену [8], типичная звезда спектрального типа В5, принадлежащая
главной последовательности, имеет массу Л/~6Л/$, радиус /?~3,8/?0 и угловую ско-
рость на поверхности — 9- 10~5 с-1. Полагая снова п = 3 в политропном распределе-
нии плотности, повторить выкладки пп. (а)—(г). Показать с учетом указанных пред-
положений, что такая звезда должна при переходе в состояние белого карлика поте-
рять как массу, так и момент количества движения. * В

7.5. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ ЗВЕЗД

В данной книге мы не сможем подробно обсудить этот, в сущности, техни-
ческий вопрос. Мы приведем лишь сводку результатов, уделяя основное
внимание вековой неустойчивости, играющей наиболее важную роль для
компактных объектов.

Важным первым шагом к выработке критерия вековой устойчивости
для сжимаемых вращающихся звезд был вариационный принцип Линден-
Белла и Острайкера [376]. Малые возмущения в звезде описывались векто-
ром лагранжева смещения ( (см. разд. 6.2). Предполагалось, что конфигу-
рация звезды обладает вековой устойчивостью в том и только в том слу-
чае, когда некоторый оператор С (аналогичный оператору И2 в разд. 6.7)
положительно определен. Считалось, что это условие эквивалентно поло-
жительности полной энергии возмущения для всех начальных данных.

Позднее, в период с 1968 по 1973 г., для исследования устойчивости
звезд с дифференциальным вращением использовался метод тензорного ви-
риала [431, 434, 560]. В этом методе рассматриваются моменты уравнений,
по которым развиваются возмущения. Вычисление второго момента экви-
валентно вычислению оператора С для пробного смещения £, линейного по
координатам. В случае сфероидов Маклорена метод тензорного вириала
дает точное решение проблемы устойчивости, так как неустойчивая соб-
ственная функция в этом случае действительно линейно зависит от коорди-
нат. Согласно этому методу, для сжимаемых звезд вековая неустойчивость
также возникает при Т/ \ ИЛ -0,14 в широком диапазоне распределений мо-
мента количества движения и уравнений состояния. Нечувствительность
критического значения T/\W\ к этим условиям — результат, весьма при-
мечательный.

Поскольку метод тензорного вириала эквивалентен выбору определен-
ной пробной функции в вариационном принципе Линден-Белла—Острайке-
ра, то, казалось бы, его можно рассматривать как достаточное условие неу-
стойчивости. К сожалению, это было бы неправильно: причина в том, что
критерий Линден-Белла—Острайкера в его первоначальной формулировке
не вполне верен [46, 209, 210, 289]. Существуют «тривиальные» лагранже-
вы смещения £, не меняющие физической конфигурации звезды. Такие сме-
щения соответствуют переобозначению частиц, в то время как физические
эйлеровы возмущения <5р, 6s и 6v остаются равными нулю. Можно выбрать
такие «тривиальные» £, при которых оператор С принимает отрицатель-
ные значения; разумеется, это не имеет никакого отношения к неустойчиво-
сти.

Исправленный критерий устойчивости был сформулирован в работе
Бардина и др. [46] (см. также [209, 210]). Следует ограничиться смещения-
ми £, которые «ортогональны» тривиальным смещениям в некотором ма-
тематически точном смысле, и рассматривать действие оператора С толь-
ко на такие «разрешенные» смещения. Вообще, значение оператора С ока-
залось равным не полной энергии возмущения, а «канонической» энергии
Ес, т.е. величине гамильтониана возмущения. Если тривиальные смещения
не исключены, то каноническая энергия не равна полной.

Другая проблема, связанная с критерием Линден-Белла—Острайкера,
состояла в том, что диссипативный механизм не был четко отождествлен.
В случае сфероидов Маклорена вековые неустойчивости относительно вяз-
ких и радиационных потерь возникают одновременно. Это совпадение ока-
залось случайным: его нет в аналогичных моделях сжимаемых звезд. Вооб-
ще говоря, природу диссипации можно установить прямо в ходе анализа
устойчивости (ссылки на соответствующую работу Джинса и Литлтона
можно найти в цитированных статьях [46, 208, 209, 289]). Условие положи-
тельной определенности Ес для всех нетривиальных смещений обеспечивает
устойчивость относительно гравитационного излучения, но не относитель-
но вязкой диссипации. Тензорная вириальная пробная функция не ортого-
нальна тривиальным смещениям и потому не позволяет проанализировать
этот случай.

По-видимому, невозможно строго сформулировать критерий вязкой не-
устойчивости для звезд с дифференциальным вращением, поскольку такая
звезда находится в неравновесном состоянии. Время нарастания внесенного
возмущения должно быть того же порядка, что и время установления для
невозмущенной звезды при наличии вязкости. (Вероятно, это не относится
к аккреционным дискам, имеющим малые радиальные скорости, однако
этот вопрос строго не рассматривался.)

Критерий устойчивости относительно вязкости для твердотельно вра-
щающихся звезд формулируется следующим образом. Каноническая энер-
гия во вращающейся системе координат, Е должна быть положительно
определенной. (В этом случае тривиальные смещения несущественны.) Ме-
тод тензорного вириала эквивалентен некоторому утверждению относи-
тельно Ес и потому также неприменим в общем случае.

Фридман и Шутц [210] сделали примечательное открытие: все вращаю-
щиеся звезды обладают вековой неустойчивостью относительно гравитаци-
онного излучения. Однако для медленно вращающихся звезд неустойчи-
вость возникает лишь в моде с очень высоким номером т, в которой ази-
мутальная зависимость £ определяется множителем ехр(/тф). При этом
время нарастания неустойчивости намного больше возраста Вселенной. Не-
устойчивость, существенная с физической точки зрения, развивается в моде
с w = 2.

Дюрисен и Имамура [173] рассмотрели возникновение неустойчивости в
моде с т = 2 для вращающихся белых карликов и вращающихся политроп-
ных конфигураций, используя пробную функцию, ортогональную к триви-
альным смещениям. Было обнаружено, что неустойчивость относительно
гравитационного излучения по-прежнему появляется при 771ИЧ «0,14.
Найденные ими значения всего лишь на 1—7°7о превосходят оценки, полу-
ченные методом тензорного вириала. Была показана возможность сущест-
вования устойчивых быстро вращающихся белых карликов с массами
вплоть до 2,5 М& .

Отметим в заключение, что при грубых оценках величину Т/\WI —0,14
можно использовать в качестве критерия возникновения вековой неустойчи-
вости для широкого многообразия распределений углового момента и
уравнений состояния.
Уравнение состояния холодного вещества
выше точки образования нейтронных капель

8.1.	ВВЕДЕНИЕ

В этой главе мы завершим,начатый в гл. 2 анализ уравнения состояния хо-
лодного плотного вещества. Здесь будут рассмотрены свойства конденси-
рованного вещества при плотностях, превышающих pdrip« 4,3-1011 г/см3,
при которых образуются нейтронные капли1 2). Именно такие высокие плот-
ности, P^Pdrip, существуют в недрах Нейтронных звезд.

Нам придется ограничиться введением в существо вопроса, так как пол-
ное обсуждение потребовало бы привлечения всего аппарата квантовой
теории многих тел. Тем не менее мы сможем обсудить большинство наи-
более важных физических принципов и пояснить их таким же образом, как
это было сделано в гл. 2 при анализе уравнения состояния при более низ-
ких ПЛОТНОСТЯХ, P^Pdrip-

Вывод уравнения состояния при p>pclrip будет состоять из двух частей.
В первой части (разд. 8.2) мы рассмотрим область промежуточных плот-
ностей, от pdrip до ядерной плотности pnuc=2,8-1014 г/см3, при которой яд-
ра начинают распадаться и сливаться. В этой области мы достаточно хо-
рошо понимаем свойства плотного вещества и соответствующее уравнение
состояния. Во второй части нашего изложения мы обращаемся к высоким
плотностям, P>Pnuc, при которых физические свойства материи еще плохо
известны. Основная часть этой главы (разд. 8.3—8.14) будет посвящена об-
суждению этой области высоких плотностей.

С самого начала следует иметь в виду, что, несмотря на значительный
прогресс, достигнутый за последние годы, наши представления о конденси-
рованном веществе (их сводка дана в резюме 8.1) далеко не полны, особен-
но выше pnuc. Правильная форма ядерного потенциала пока неизвестна. Бо-
лее того, даже если оы этот потенциал был установлен, предстояло бы
еще построить достаточно удовлетворительный метод, позволяющий про-
водить вычисления на основе многочастичного уравнения Шредингера.
Кроме того, почти совсем нет лабораторных данных о конденсированном
веществе при плотностях, превышающих ядерную. Поскольку предполагае-
мые свойства нейтронных звезд оказываются чувствительными к принято-
му уравнению состояния21, возможно, что тщательные наблюдения за ней-
тронными звездами позволят выполнить наилучшие, хотя и косвенные из-
мерения свойств материи при сверхвысоких плотностях.

11 См. раздел 2.7.

2) Эти свойства обсуждаются в гл. 9—11.
8.2.	УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ БЕЙМА — БЕТЕ — ПЕТИКА

При плотностях от pdrip до pnuc вещество состоит из ядер, электронов и
свободных нейтронов. По мере приближения к pnuc ядер становится все
меньше, так как энергия связи падает с увеличением плотности. Это отча-
сти можно понять, поскольку действующий между нетождественными ну-
клонами «тензорный» потенциал, который дает сильное притяжение в со-
стоянии 3Sj и играет важную роль в существовании дейтрона (см. разд.
8.3), не действует между нейтронами из-за принципа Паули. В сущности,
система, состоящая из одних нейтронов, не становится связанной ни при
каких плотностях. Поскольку по мере возрастания плотности содержание
нейтронов в ядрах повышается, их стабильность падает, пока нейтронное
число не достигает критического значения, при котором ядра разрушают-
ся, сливаясь воедино.

Мы уделим основное внимание уравнению состояния Бейма, Бете и Пе-
тика [55] (ВВР) в указанном диапазоне значений плотности, а в конце дан-
ного раздела наметим некоторые другие возможные подходы. Этот ме-
тод является существенным улучшением подходов, основанных лишь на
полуэмпирических массовых формулах, таких, как метод Гаррисона — Уи-
лера (см. разд. 2.6). Массовая формула используется и при выводе уравне-
ния ВВР, но в нее включаются и результаты, полученные путем детальных
многочастичных расчетов.

Во-первых, поскольку присутствующие в звезде ядра содержат большое
число нейтронов, ядерное вещество по своим свойствам очень похоже на
газ свободных нейтронов, окружающий ядра. Однако в первоначальных ра-
ботах на эту тему использовались полуэмпирические массовые формулы, в
которых энергия связи нуклонов в ядре вычислялась по формулам, относя-
щимся к ядерному веществу, т.е. к «обычным» ядрам с Z/Л —0,5, в то
время как энергия нейтронного газа находилась с помощью вычислений,
основанных на нейтрон-нейтронном взаимодействии. Не удивительно, что
в предельном случае, когда вещество представляет собой нейтронный газ с
примесью протонов, указанные подходы приводили к разным результатам.

Во-вторых, раньше предполагалось, что поверхностная энергия ядра
определена для ядер, помещенных в пустоту. Однако наличие извне нейт-
ронного газа заметно понижает поверхностную энергию. Этого и следует
ожидать: если состав вещества внутри и вне ядра становится одинаковым,
поверхностная энергия должна исчезать.

В-третьих, уравнение ВВР более аккуратно учитывает эффект кулоновс-
кой энергии ядерной решетки.

Подход ВВР [55] основан на модели ядра в виде «сжимаемой жидкой
капли». Полная плотность энергии записывается следующим образом:

е = е(А, Z, nN, пп, Иу)

= nN(WN + Ж£) + е„(и„)(1 - VNnN) + ее(пе).

(8.2.1)
Здесь nN — концентрация ядер, пп — концентрация нейтронов вне ядер
(«нейтронный газ»). Новым моментом является зависимость от объема яд-
ра VN. Величина VN уменьшается при повышении внешнего давления и по-
тому должна рассматриваться как переменная. Величина WN — это энергия
ядра, включающая его массу покоя; она зависит от A, Z, пп и VN. Энергия
решетки обозначается WL\ еп и ее — плотности энергии нейтронного газа и
электронного газа соответственно. Отметим, что — доля полного
объема, занятая ядрами, а 1— VNnN — доля объема, занятая нейтронным
газом. Условие нейтральности вещества в этих обозначениях имеет вид

Пе = ZnNt

(8.2.2)

а концентрация барионов

« = AnN + (1 - yNnN)n„.

(8.2.3)

Заметим, что величина пп определяется через число свободных нейтронов
Nn в объеме не занятом ядрами,

Nn
п vn J/(l - VNnN) ’

(8.2.4)

где V — объем, содержащий Nn нейтронов и nNV ядер.

Равновесие определяется условием минимума е при фиксированном п.
Поскольку е зависит от пяти переменных, это приводит к четырем незави-
симым условиям.

Первое условие возникает при рассмотрении единичного объема, содер-
жащего фиксированное число протонов nNZ, фиксированное число нейтро-
нов в ядрах nN(A— Z), фиксированное число нейтронов вне ядер
Дл(1— причем доля объема, занятая ядрами, nNVNf также фиксиро-
вана. Каково оптимальное число А для этих ядер? Оно определяется мини-
мизацией £ как функции А при фиксированных nNZ, nNA, nNVN и пп. От-
сюда следует, что £п фиксировано, как и ее (так как пе фиксировано). Вве-
дем обозначение

Х^-Л.	(8.2.5)

Тогда, поскольку при этой вариации fy^constZ/l, формула (8.2.1) дает

9А \	А ) x,nNA,nNVN,nn

(8.2.6)

С физической точки зрения это означает, что энергия на нуклон внутри яд-
ра должна быть минимальна.

Второе условие состоит в том, что ядра должны быть устойчивы отно-
сительно /3-распада, т.е. изменения Z. Иными словами, энергия с должна
иметь минимум по Z при фиксированных Л, nN, VN и пп. Заметим, что
д / х dte дп е ________________________	, х

~dZ£e^n^ ~ dn~e~dZ ~

согласно формулам (2.6.8) и (8.2.2), где ре — химический потенциал элек-
трона. Таким образом, из (8.2.1) следует

Me =	^l) A,nN,VN>nn-	(8.2.8)

Эту формулу можно следующим образом переписать через химические по-
тенциалы ядер. Химический потенциал нейтронов в ядрах — это мини-
мальная энергия, необходимая, чтобы добавить нейтрон к ядру, т.е.

М*?’ =	+ ^)z,	(8.2.9)

(7/1

Аналогично химический потенциал протонов вычисляется при фиксирован-
ном числе нейтронов А — Z:

м<"» = ^(жу + WL)A-Z,„N,^,nn

= -^(WN +	(8.2.10)

поскольку дА /dZ =	Таким образом, условие стабильности относительно

0-распада (8.2.8) можно записать в привычной форме:

(8.2.11)

Согласно третьему условию, газ свободных нейтронов должен быть в рав-
новесии с нейтронами в ядрах. Иными словами, можно перенести нейтрон
из газа в ядро без затраты энергии. Таким образом, е имеет минимум как
функция А при фиксированных Z, nN, VN, п. Дифференцируя формулу
(8.2.3) по А при этих условиях, получаем

При дифференцировании суммы WL в формуле (8.2.1) можно исполь-
зовать равенство

д	=

дА z,nN,vN,n дА

дпп д
дА дп

Z,nN,VN, А

(8.2.13)

Z nN, VN, п

Отметим, что у нас все химические потенциалы включают массы покоя. В рабо-
те Бейма, Бете и Петика массы покоя нуклонов вычитаются из соответствующих
выражений.
так как WL не зависит от пп, то с учетом (8.2.9) получаем

п -

nNr,n

nN

1 — y^N

3n„

+ (1 -

Z, A, nN, VN

Vn”n)-^

= 0 (8-2.14)

ИЛИ



(8.2.15)

где, по определению, химический потенциал свободных нейтронов равен

(G) =	+

1 — VNnN дпп z,A,nN,Vn

(8.2.16)

Член den/dnni как обычно, соответствует изменению объемной энергии
нейтронного газа. Первый член в формуле (8.2.16) соответствует измене-
нию поверхностной энергии ядер, связанному с добавлением в газ одного
нейтрона. Действительно, энергия ядер на единицу объема, занятого нейт-
ронным газом, равна [см. формулу (8.2.4)]

{nNV}WN nN

1 - VNnN N

Производная этого выражения входит в (8.2.16).

Четвертое условие равновесия состоит в том, что давление нейтронного
газа должно быть равно давлению ядер:

р(б) = pWt

(8.2.18)

Это условие следует из минимизации £ как функции VN при фиксированных
Z, А, nN и Nn/K=«„(l-KNnN). Поскольку /7^ — COnSt/( 1 -	то

дп„ = nnnN

dvN i - vNnN 

(8.2.19)

Используем равенство

d	э	дпп	d	
	~ dV  Z, A, nN, nn(\ — VNn N)	UVN	Z,A,n„,n„	dVN	dnn	(8.2.20)  Z, A, nK, VN

Подставляя в (8.2.1) 1- VNnN~nn(1- vNи дифференцируя, получаем

Л	х	°пп dW„

0 =	+ Wt-)z,A,nN.n„ +

+ n„(l

дпп d / e„ \

ЗРу ^Пп\пп) Z A nN yN




Очевидно,

PW= ~^Wn+W^a^'

(8.2.22)

С учетом формул (8.2.16) и (8.2.19) из (8.2.21) следует (8.2.18), где

Р^ = п„№-г„.

(8.2.23)

Заметим, что определение давления в этой формуле следует из (2.1.21) (см.
также упражнение 2.4).

Упражнение 8.1. Показать, что полное давление равно

р(О) + ре + pL

(8.2.24)

где

Л. = 4

OnN ZtA,VN,nt

(8.2.25)

Чтобы найти уравнение состояния, надо теперь задать функциональные
зависимости WN, WL, еп и 8е. В работе Бейма, Бете и Петика для ядерного
вещества использовалась модель сжимаемой жидкой капли. В этой модели

WN = л[(1 - х)тпс2 + хтрс2 + W(k, х)] + Wc +	(8.2.26)

где Wq — кулоновская энергия, JFS — поверхностная энергия, a W(kpc) —
объемная энергия ядерного вещества на один нуклон при концентрации ну-
клонов

(8.2.27)

_ 2k2
П~ Зтг2'

Объемная ядерная энергия W(k,x) включает эффекты нуклон-нуклонных
взаимодействий, но не включает поверхностные эффекты и кулоновское
взаимодействие. Внутри ядра n=A/VN. Для самосогласованного описания
ту же функцию W(k,x) следует использовать и для нейтрального газа, по-
ложив х=0. Таким образом.
где1}

__2^
=---7 •

п Зтт* 2

(8.2.29)

Величина W(ktx) находится путем плавной интерполяции результатов
многочастичных вычислений, сделанных в различных предельных случаях
по к и х. Параметры в функции W(k,x) определяются с помощью подгонки
ядерных данных, как в полуэмпирической массовой формуле2^. Однако в
отличие от такой формулы функция W(k,x) зависит от плотности из-за на-
личия переменной к, в то время как полуэмпирические массовые формулы
неявно предполагают, что плотность ядерного вещества совпадает с плот-
ностью ядер при нормальных условиях. Определение функции W по задан-
ному ядерному потенциалу будет рассмотрено в разд. 8.5—8.11.

Поверхностная энергия WSf используемая в методе ВВР, обращается в
нуль, когда плотность нейтронного газа равна плотности ядер.

Главный член в Wq равен 3Z2e2/5ry; это кулоновская энергия однород-
но заряженной сферы радиуса rN, причем KN= Дтгг^/З. К этому члену до-
бавляются различные небольшие поправки. В результате энергия заряжен-
ной сферы вместе с энергией решетки WL равна

C*L 5 г„

(8.2.30)

где

4 77 З-i
= 1-

(8.2.31)

Упражнение 8.2. Вывести результат (8.2.30) и обсудить предел rc/rN— 1. Рассмотреть
ядерную решетку в приближении ячейки Вигнера — Зейтца, предполагая, что каждое
ядро — однородно заряженная сфера радиуса rN и проницаемость ядра для электро-
нов однородна.

Электроны прекрасно описываются как идеальный вырожденный
ферми-газ. Ведущая поправка к этому описанию уже включена в член JFL,
поэтому для Ее можно принять обычное ультрарелятивистское выражение

£е

Нс 2	\4/3

(8.2.32)

Отметим, что принятое в работе Бейма, Бете и Петика определение величины
кп отличается множителем 21/3 от обычного определения плотности через волновое
число Ферми А-р.

2) Полуэмпирическая массовая формула для ядерного вещества обсуждается в
разд. 2.6.
Рис. 8.1. Уравнение состояния Бейма — Бете — Петика (ВВР). Для сравнения пока-
зано уравнение состояния Гаррисона и Уилера (HW). (По работе [55].)

При известных функциях и	уравнение состояния может быть

построено с помощью условий равновесия (8.2.6), (8.2.11), (8.2.15) и
(8.2.18), причем давление определяется из формулы (8.2.24). Заметим, что
условие образования нейтронных капель (т.е. существования нейтронного
газа) имеет вид ^^тпс2. Получаемое в конечном счете уравнение состоя-
ния ВВР показано на рисунках 2.2, 8.1 и 8.5а, а показатель адиабаты
Г — на рисунках 2.3 и 8.2.

Основные свойства полученных методом ВВР результатов формулиру-
ются следующим образом. Во-первых, относительный вклад свободных
нейтронов в полное давление возрастает с увеличением плотности. При об-
Рис. 8.2. Показатель адиабаты T = d \nP/d 1пр как функция р для уравнения Бейма —
Бете — Петика. (По работе [55].)

разовании нейтронных капель давление почти полностью определяется
электронами, однако при р= 1,5-1012 г/см3 Рп/Р = 0,20, а при р —
= 1,5-1013 г/см3 Р„/Р=0,80.

Во-вторых, вблизи точки образования нейтронных капель Г — 4/3 (уль-
трарелятивистский вырожденный электронный газ). При плотностях не-
сколько выше точки образования нейтронных капель Г резко падает, как
показано на рис. 8.2. В работе ВВР получен закон этого падения:

Г = |[1 — а(р - pdrip)l/2],	(8.2.33)

где а — положительная постоянная. Причина падения Г в том, что при
низкой плотности нейтронный газ вносит заметный вклад в р, но мало ме-
няет давление Р. Показатель адиабаты не поднимается выше 4/3, пока
плотность не станет выше р~7-1012 г/см3. Как мы увидим в гл. 9, этот ре-
зультат приводит к важному следствию: плотности порядка величин, рас-
смотренных в этом разделе, не могут существовать в центральных обла-
стях устойчивых звезд1).

В-третьих, в работе ВВР [55] обнаружено, что ядра сохраняются в ве-
ществе вплоть до плотностей около р~ 2,4-1014 г/см3. Когда плотность до-
стигает этого значения, ядра начинают соприкасаться, а при более высоких
плотностях решетка разрушается и образуется ядерная жидкость.

1) Плотности такого порядка вполне могут существовать в поверхностных слоях:
в критерий устойчивости входит среднее значение Г [см. формулу (6.7.11)].
В-четвертых, при плотностях выше 2,4- 1014 г/см3 химический потенци-
ал электронов удовлетворяет условию /хе> 104 МэВ-w^c2, где — масса
покоя мюона. При этом следует включить в уравнение состояния вклад
мюонов. В работе ВВР вычисления проводятся до плотностей порядка
5-1014 г/см3; при более высоких плотностях обычная теория ядерной мате-
рии неприменима.

Уравнение состояния ВВР подвергалось критике по некоторым пунктам
(обсуждение и обзор можно найти в работе Кануто [104]). В частности,
при этом подходе предсказывается монотонное возрастание Z с увеличени-
ем А, в то время как другие авторы предполагают, что при более аккурат-
ном учете поверхностной энергии Z останется примерно постоянным на
уровне —40. Тогда зависимость Р(р) изменится мало, а Г меняется не-
сколько более заметно.

8.3.	НУКЛОН-НУКЛОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

В одной обзорной статье Бете заметил, что за предшествовавшую четверть
столетия на изучение проблемы нуклон-нуклонного взаимодействия было
затрачено больше рабочих человеко-часов, чем на какую бы то ни было на-
учную задачу в истории человечества. А ведь эта оценка была сделана в
1953 году [62]!

Мы начнем изложение этого вопроса с общего обсуждения зависимости
потенциала от спина и изоспина. В следующем разделе будет дан обзор
некоторых общих свойств, которые должны быть присущи потенциалу,
чтобы он позволил воспроизвести экспериментальные данные. Затем в
разд. 8.5 и 8.6 мы обсудим зависимость потенциала от расстояния между
нуклонами. Мы остановимся на одной частной модели потенциала, по-
тенциале Юкавы, которая может рассматриваться как прототип потенци-
алов, используемых при более детальном анализе. Потенциал Юкавы будет
использоваться как в классическом подходе (в разд. 8.6), так и в квантовом
многочастичном уравнении (в разд. 8.7 и 8.8), чтобы показать, как можно
получить уравнение состояния, исходя из ядерного потенциала. В ходе
этого анализа будет показано, как потенциал используется для вычисления
объемной энергии. Наконец, результаты более детальных исследований
суммированы в разд. 8.9 и 8.10. Некоторые нерешенные проблемы рас-
смотрены в разд. 8.11—8.14. В последующих главах будет показано, как
микрофизические свойства конденсированного вещества влияют на внут-
реннее строение нейтронных звезд, находящихся в равновесном состоянии.

Упражнение 8.3. Используя результаты разд. 2.5, оценить долю нейтронов в ядер-
ной материи при плотности Pnuc=2,8-1014 г/см3.

В нерелятивистском пределе можно считать, как и в электромагнетиз-
ме, что ядерные силы консервативны и не зависят от скорости ядра и по-
тому выводятся из статического потенциала. Однако в отличие от электро-
статических сил ядерные силы не удовлетворяют принципу суперпозиции.
Полное взаимодействие в многочастичной ядерной системе не сводится к
сумме парных взаимодействий. Тем не менее при плотностях порядка pnuc
и более низких трехчастичные силы и другие взаимодействия более высоко-
го порядка менее существенны, чем двухчастичные силы, и для начала ими
можно пренебречь1^.

Потенциальная энергия взаимодействия между двумя нуклонами зави-
сит не только от расстояния между ними г, но также и от их спинов. Вид
спиновой зависимости следует из простых соображений симметрии и соот-
ношений для оператора спина (см., например, книгу Ландау и Лифшица
[342], § 116 и 117). Статический потенциал может зависеть только от трех
векторов: п, единичного вектора, направленного вдоль прямой, соединяю-
щей частицы, и векторов спинов обоих нуклонов, Sj и S2. Мы предполага-
ем, что ядерные силы инвариантны относительно вращений, отражений и
обращения времени. (Наблюдается небольшое несохранение четности, но
оно относится к «слабым» ядерным силам, которые ответственны за /3-
распад и несущественны для предмета нашего обсуждения.) Таким обра-
зом, потенциал должен быть скалярным относительно вращений, но не
псевдоскалярным. Он не может также включать вектора градиента, так как
присутствие градиента эквивалентно зависимости силы от скорости.

Любая функция оператора спина 1/2 сводится к его линейной функции
(см., например, § 55 в книге Ландау и Лифшица [342]). Можно построить
только два скаляра, линейные по Sj и s2 и зависящие от указанных трех
векторов п и s j, s2. Это S j • S2 и (п • S j )(п • s2). (Заметим, что п • s j — псев-
доскаляр.) Если допустить силы, зависящие от скорости, то можно ввести
также члены вида LS и (L-S)2, где L — полный орбитальный момент,
S = Sj4-s2 — полный спин.

Итак, наиболее общий потенциал, зависящий от спина, имеет вид
Kord = ^(г) + Г2(г)(а! • а2) + Т3(г)[3(а( • п)(а2 • п) - О| • о2]. (8.3.1
Здесь мы использовали обозначение S^^/2, где az — спиновые операторы
Паули. Третий член записан в таком виде, что он обращается в нуль при
усреднении по направлениям вектора п; он соответствует так называемым
тензорным силам, и зависимость от п указывает на то, что это нецент-
ральные силы.

Потенциал в (8.3.1) не меняет зарядового состояния нуклона и потому
назван «обычным». На опыте надежно установлено, что если пренебречь
небольшими электромагнитными эффектами и требованиями, связанными
с антисимметрией, то ядерные силы, действующие между двумя протона-
ми, двумя нейтронами или протоном и нейтроном, в сущности, одинако-
вы. Эта зарядовая симметрия называется изотопической инвариантнос-
тью. Формально можно рассматривать протон и нейтрон как пару различ-

11 Впрочем, ниже будет дано обсуждение решающей роли трехчастичных сил в ме-
ханизме насыщения в ядерной материи.
ных состояний одной и той же частицы-нуклона. Эта симметрия относи-
тельно перестановки протонов и нейтронов математически описывается с
помощью формализма, полностью аналогичного используемому для описа-
ния группы вращений. Нуклон изображается двухкомпонентным спинором
в абстрактном групповом пространстве. Свойство, аналогичное обычному
спину, называется изотопическим спином, или изоспином, и обозначается
как вектор t. Проекция изоспина для протона равна 4-1/2, а для нейтрона
— 1/2. Оператор r=2t — та же спиновая матрица Паули, но действующая
на спиноры в изоспиновом пространстве. Полный изоспин системы нукло-
нов равен T = t14-12+ ... , а его проекция на ось z — Т3= (^)34- (Z2)3+ ••• • По-
скольку собственное значение оператора /3 равно 4-1/2 для протона и — 1/2
для нейтрона, то для системы, состоящей из Z протонов и Л — Z нейтро-
нов, T3 = Z—VzA.

Полная волновая функция системы двух фермионов, т.е. произведение
Йр Sp r2, s2)w(tp t2), где cd — изоспиновая часть волновой функции, дол-
жна быть антисимметрична относительно одновременной перестановки пе-
ременных г, s и I. Абсолютная величина полного изоспина, T = t1 + t2, опре-
деляет симметрию функции cd, так же как полный спин S = Sj4-s2 определя-
ет симметрию спиновой части волновой функции. Для двух нуклонов Т
принимает два значения, 0 и 1. Триплетное состояние Т = 1 симметрично,
и Г3 = 1, 0 или — 1, так что оно описывает систему рр, рп или пп. Для син-
глетного состояния Т=0 функция cd антисимметрична и Т3 = 0, что соот-
ветствует только состоянию рп.

Поскольку величина Т определяет симметрию функции cd и в силу анти-
симметрии полной функции также симметрию функции ф, то сохранение
оператора Т эквивалентно определенной симметрии волновой функции ф.
По-видимому, это соответствует строгой симметрии в сильном взаимо-
действии (т.е. в пренебрежении электромагнитными силами). Заметим, что
сохранение оператора Т3 эквивалентно сохранению заряда при фиксирован-
ном числе нуклонов и потому справедливо даже при наличии кулоновских
сил.

Операторы изоспина можно использовать для построения обменного
оператора Р7 (который иногда называется оператором Гейзенберга), пере-
ставляющего переменные (гр и (г2, <т2) в системе двух частиц. Так как
(Рт)2=1, то собственные значения оператора Рт равны ±1 в зависимости
от того, на какую волновую функцию ^(Грар Г2,а2) действует Р7, — сим-
метричную или антисимметричную. Поскольку ^sym соответствует анти-
симметричной функции cd, то в этом состоянии Т=0. Аналогично i^ant отве-
чает состоянию с 7=1. Таким образом, оператор Р7 можно представлять
его действием на изоспиновые переменные волновой функции:

PTw0 = -гцр Рт^1 — _W|,	(8.3.2)

где индекс при cd определяет значение Т. Так как Т2 имеет собственные зна-
чения Т(Т+1), можно написать

/” = 1 - т2 = 1 - (t,-+ t2)2 = — 1 — 2t, • t2,	(8.3.3)
где мы использовали тот факт, что t* и имеют одинаковые значения,
t (г+1)= 3/4. Окончательно запишем

-|(1 + т,-т2).	(8.3.4)

Оператор, переставляющий спины фермионов и не действующий на их
координаты (оператор Бартлетта), также имеет собственные значения,
равные ± 1:

= “'Ps-o’	=	(8.3.5)

Сравнивая эти формулы с (8.3.2), мы видим, что

PB = S2- 1 =1(1 + а1-о2).	(8.3.6)

Оператор, переставляющий только координаты частиц и не затрагива-
ющий их спинов (оператор Майорана), записывается так:

рм = рврг = _ 1(1 + О1 . Ог)(1 + Т| . Тг)	(8.3,7)

Заметим теперь, что потенциал Pord в формуле (8.3.1) в действительно-
сти содержит некий член обменного типа, так как (о^ <г2) можно переписать
через Рв. Обменные взаимодействия, по-видимому, необходимы для объяс-
нения «насыщения» ядерных сил. Более подробно этот вопрос обсуждается
в разд. 8.4. С учетом обменных сил наиболее общий потенциал, не завися-
щий от скорости, имеет вид

У(г) = ^(г) + ^(г),	(8.3.8)

где

^(г) = {F4(r) + И5(г)(О1 • а2) + V6(r)[3(• п)(а2 • п) - О| • о2])Л

Упражнение 8.4. Выражая спиновые части в формуле (8.3.8) через полный спин S,
показать, что с оператором V коммутирует S2, но не S. Поэтому в процессе взаимо-
действия сохраняется лишь величина, но не направление оператора S.

Из результата, полученного в упражнении 8.4, следует, что, хотя опера-
тор J = L4-S сохраняется1^, L, вообще говоря, не сохраняется. Причина это-
го в присутствии тензорных сил.

Разрешенные состояния двухнуклонной системы классифицируются за-
данием величин Т и S. Например, при Т= 1 и S = 1 координатная часть во-
лновой функции должна быть антисимметричной относительно переста-
новки частиц (четность отрицательна), так что L должно быть нечетным.
При £= 1 возможны следующие значения полного момента: J=0, 1, 2. Та-

По этой причине мы считаем, что V. зависят лишь от г.
Таблица 8.1

СОСТОЯНИЯ ДВУХНУКЛОННОЙ СИСТЕМЫ

Т	S	Четность	Возможные состояния	Нуклоны
1	1  1	0	+	% 3р,, (3Р2 + 3F2), 3f}, ... ) '50)'4Ч. -	J пп> РР. пР
0	1	+  0	0-	(3S, + 3DJ, 3dv Cd, + 3G3), ... ]  % lF3, ...	j P

ким образом, возможны состояния1^ 3Р0, 3Р15 3Р2. ЕслиА = 3, то 7=2, 3 или
4; соответствующие состояния будут 3F3, 3F4 и т.д. Как отмечалось,
вообще говоря, сохраняется только J, но не L, поэтому состояния 3Р2 и 3F2
могут смешиваться. Не существует состояний, с которыми могли бы сме-
шиваться 3Р0 и 3Рр и в этих случаях в силу сохранения четности L также
сохраняется. В табл. 8.1 приведено несколько низших состояний двухну-
клонной системы.

Эти результаты используются для описания дейтрона — единственной
связанной двухнуклонной системы (энергия связи 2,225 МэВ). В основном
состоянии 7=1, Т=0, 5=1. Согласно табл. 8.1, при низшем значении L
основное состояние представляет собой смесь состояний 35j и 3Z>r По-
скольку магнитный момент дейтрона близок к сумме магнитных моментов
протона и нейтрона, то 5-состояние в дейтроне должно играть главную
роль. Однако у дейтрона есть электрический квадрупольный момент, кото-
рый указывает на отклонение от сферически-симметричного основного со-
стояния и хорошо объясняется небольшой примесью P-состояния. Это пря-
мое свидетельство существования тензорных сил. (Векторное взаимодейст-
вие, дающее правило отбора Д£ = 0, ±1, не позволяет объяснить смешива-
ние состояний с L = 0 и L = 2.)

Упражнение 8.5. Рассматривая действие оператора ^(r)-^ V2(r)(a}a2) на состояния с
5 = 0 и 5 = 1, показать, что если V2 дает достаточно большое притяжение, то связан-
ное состояние может существовать в триплете, но отсутствовать в синглете. Как
этот вывод соотносится с тем фактом, что в лр-системе связанное состояние есть, а
в ил-системе нет?

Мы пользуемся обычными спектроскопическими обозначениями 2S+1Ly, где
значениям L = 0, 1, 2, 3, 4 и т.д. соответствуют символы 5, Р, D, F, G, ... Четность
двухчастичной системы равна (- 1/ .
8.4.	НАСЫЩЕНИЕ ЯДЕРНЫХ СИЛ

Как следует из экспериментальных данных, за вычетом кулоновских и по-
верхностных эффектов энергия и объем ядер возрастают прямо пропорци-
онально числу нуклонов А. Это свойство ядерных сил,,уже принятое во
внимание в полуэмпирической массовой формуле (2.6.4), называется насы-
щением по причине, которая объяснена в настоящем разделе.

Насыщение налагает жесткие ограничения на характер ядерных сил. На-
пример, сравнительно простой потенциал притяжения вида

Г(г) = Г,(г) + Г3(г)[3(<т1 • п)(а2 • п) - а, • а2]	(8.4.1)

довольно хорошо описывает все данные о нуклон-нуклонных системах в со-
стояниях с L = 0. Однако мы сейчас покажем, что столь простые потенциа-
лы не могут быть положены в основу теории ядерных сил.

Полная энергия ядра имеет вид



Е = Т + W.

где Т — кинетическая энергия, а РИ — потенциальная энергия. Потенциаль-
ную энергию можно считать суммой парных нуклон-нуклонных потенциа-
лов Г(1г.-гу1), т.е. суммой А (А — 1)/2 отрицательных величин. В силу
принципа запрета кинетическая энергия Т определяется в основном стати-
стикой Ферми,

Т ~ AE'f ~ Ап2/3 ~ А

= Ai/3R~_1,

—(8.4.3)

где R — радиус ядра.

Значение R в основном состоянии определяется из условия минимума Е.
При больших А потенциальная энергия много больше кинетической,
РИ~Д2>Т, так что основное состояние определяется, по существу, из усло-
вия минимума W. Следовательно, значение R определяется радиусом дей-
ствия ядерных сил и не должно зависеть от А. (Ниже этот довод обсужда-
ется более детально.) Более того, энергия связи Еь должна быть при этом
пропорциональна А2. Оба предсказания явно противоречат эксперимен-
тальным данным. На самом деле R-A 1/3 (т.е. ядерная плотность посто-
янна, не зависит от А ) и ЕЬ~А.

Ядерные силы должны обладать каким-то свойством, которое приво-
дит к «насыщению», т.е. к закону Еь~А. Это происходит при достаточно
высоких плотностях в атомных ядрах, как и в любых системах, состоящих
из нуклонов. Особенностью ядерных сил должно быть притяжение при не-
большом числе нуклонов и отталкивание, когда нуклонов становится мно-
го. Насыщаются и химические силы: два атома водорода образуют молеку-
лу, но третий атом не может к ним присоединиться. В ядерных силах на-
сыщение возникает в результате влияния нескольких эффектов. Мы имеем
в виду, в частности, принцип Паули, так называемые обменные силы, воз-
никающие от членов, пропорциональных операторам Рв и Рт, и отталки-
вательный кор, потенциал, обеспечивающий сильное отталкивание на ма-
лых расстояниях.

Простое модельное вычисление дает количественную иллюстрацию то-
го, как ядерный потенциал с чистым притяжением приводит к ядерному
коллапсу с ростом А, в то время как наличие отталкивательного кора спо-
собствует насыщению.

Средняя кинетическая энергия системы, состоящей из А нуклонов и рас-
сматриваемой как нерелятивистский газ, равна (см. упражнение 2.6)

Т 3 АГ' ( Зтт2\2/3й2	2/3

Т~ 5АЕр= ю(т) тАп Л	<8А4)

Мы считаем здесь нуклоны тождественными частицами, так что каждому
импульсу соответствует (2/+1)(2?+1) = 4 состояния по спину и изоспину.

Взаимодействие между двумя нуклонами будем аппроксимировать пря-
моугольной ямой шириной b и глубиной Ио. Пусть р — вероятность того,
что расстояние между любыми двумя нуклонами не превышает Ь, тогда
полная потенциальная энергия равна

Ж= - Л-(Я2~	(8.4.5)

Если нуклоны находятся внутри сферического ядра радиусом R с однород-
ным и некоррелированным пространственным распределением, то

Р = Д2 /	~ 'Г| “ Г2^ rfr'dt2’ (8.4.6)

где Н — ступенчатая функция,

О

1,

О,

(8.4.7)

И

й = ^wK3, И = тт.

(8.4.8)

Интеграл (8.4.6) вычислен в приложении В. Очевидно, что при Ь>2г
подынтегральное выражение всюду равно единице, и р= 1. В общем случае

p<j>, =ш

16 А 32 ( R /

b

2’

R >

b

2 ‘

= 1,

(8.4.9)

Упражнение 8.6. Вывести формулу (8.4.9) при R>b из простых соображений.
Упражнение 8.7. Оценить величину И0д2, рассматривая основное состояние дейтро-
на и предполагая, что нуклон-нуклонный потенциал в дейтроне имеет вид трехмер-
ной сферически-симметричной ямы глубиной Уо и радиусом Ь. При г>Ь потенциал
равен нулю. Найти основное состояние в таком потенциале и, предполагая, что это
основное состояние удовлетворяет условию IEI < Ио, показать, что

-2й2

И062 =	= 100 МэВ-Фм2,	(8.4.10)

где /х — приведенная масса. (Здесь ^~1,4Фм, что соответствует комптоновской
длине волны пиона, и это приближение оправдано, поскольку энергия связи дейтро-
на Е= 2,225 МэВ.)

Полная энергия E=T+W изображена на рис. 8.3 как функция R. При
R<b/2 она не имеет минимума, а при R>b/2 можно записать

где

а А5/3

R2

R1 ° 2R

_з/2Н2/3—
10\ 8 / т

МэВ  Фм2.

(8.4.12)

Е =

а =

1 -

Так как квадратная скобка в формуле (8.4.11) множится на величину, кото-
рая много больше Т даже при умеренных значениях А, то энергия Е мини-
мальна при значениях R, лишь не намного больших, чем Ь/2. Действитель-
но, полагая dE/dR = Q, получим при А — 1~Л

ЗИОЬ2Л’/3 ь /	3 b 1 Р \ =

4а А (	4 R + 16 в3 /

(8.4.13)

Это уравнение можно решить численно относительно R. Помимо миниму-
ма вблизи Ь/2 (где выражение в скобках много меньше единицы), энергия
имеет максимум при R=Ri>b, где отношение b/R мало.

Вывод очевиден: если потенциальная энергия имеет вид (8.4.5), то ядра,
сжатые до концентраций свыше п = ЗА /4тг7?3, коллапсируют к стабильному
состоянию с радиусом R-b/2, где b — радиус ядерного взаимодействия. В
этом состоянии энергия связи должна быть Еь= —Е<хА (А — 1)~Л 2, что
противоречит экспериментальным данным.

Предположим теперь, что на малых расстояниях существует отталкива-
ние. Это приводит к появлению «запретной зоны» вокруг каждого нукло-
на, где волновая функция относительного движения должна исчезать. Так
как при данной плотности объем, занимаемый нуклонами, при этом умень-
шается, то импульсы нуклонов и кинетическая энергия ядра возрастают.
При увеличении Т по сравнению с W положение минимума полной энергии
сдвигается к более разумным значениям.
Рис. 8.3. Графики потенциальной энергии W, кинетической энергии Т и полной энер-
гии Е = РИч- Т в зависимости от радиуса ядра R для системы тождественных нейтро-
нов, взаимодействующих при наличии потенциала чистого притяжения. Точка R} —
радиус, при котором энергия Е максимальна. (По книге Блатта и Вайскопфа [75].)

Переходя к формулам, запишем

R = г0А'/3,	(8.4.14)

где 2г0 — среднее расстояние между нуклонами. Вводя параметр гс — ра-
диус отталкивательного кора, выражение для кинетической энергии можно
переписать следующим образом:
Усредненное значение W меняется не очень сильно, если г0>гс. Минимум
модифицированного таким образом выражения (8.4.11) для полной энер-
гии, как функции г0, определяется уравнением

зиоь* 2 ь

4а г0

\	4 М,/3

16

(8.4.16)

Численно решая это уравнение для г0, получим при Ь= 1,8 Фм и гс= 0,4 Фм
(это значение не противоречит данным о рассеянии при высоких энергиях):

0,9 < г0 (Фм) < 1,5 для 4 < А < 216.

(8.4.17)

Эту величину г0 следует сравнить с экспериментальным значением О,
~ 1,2 Фм. Однако более важно то, что слабо зависит от А: из-за оттал-
кивания на малых расстояниях возникает насыщение2^.

Итак, какова бы ни была форма потенциала ядерного взаимодействия,
выбранная для вычисления уравнения состояния, основное требование, вы-
текающее из эксперимента, состоит в том, чтобы этот потенциал приво-
дил к насыщению в ядерной материи. В первую очередь следует воспроиз-
вести следующие четыре параметра:

1	. Концентрация, при которой наступает насыщение,

п0« 0,16 нуклон/Фм3.	(8.4.18)

2	и 3. Энергия и сжимаемость симметричной ядерной материи. Эти ве-
личины выражаются через функцию W(k,x), которая была введена в разд.
8.2 как объемная энергия ядерной материи на один нуклон. В симметрич-
ной ядерной материи (Z = X/2) х= 1/2. При плотности вблизи насыщения
можно написать

1	/ к \2

— wv + 2^1	,

(8.4.19)

где, как можно получить из опыта,

Wv » 16 МэВ ,

К = к2 d2w(kdl я 240 МэВ (8.4.20)

Эк2 к_ко

Как следует из формул (8.2.27) и (8.4.18),	1,33 Фм~\ Отметим, что ве-

личина К, называемая модулем сжатия, была определена из опыта лишь
недавно [68, 374, 627, 628]. Ранее в различных расчетах уравнений состоя-
ния часто использовалась величина 300 МэВ.

См., например, книгу [159] и приведенные там ссылки.

2) Количественное обсуждение роли обменных сил, способствующих возникнове-
нию насыщения в ядерной материи, для этой простой модели дано в книге [75],

гл. 3.
4. Наконец, коэффициент объемной симметрии^ SVi определяющий
«кривизну» функции 1У(к,х), связанную с изменением х:

#* 2W(k0,x)
к 8 дх2

» 30 МэВ .
х-1/2

(8.4.21)

Соответственно, при.£ = £0 и х= 1/2 можно написать

1 / к \2

W(k,x) = -Wv+ zK 1 -

/ 1 \2

+ 4SJx-- . (8.4.22)

Упражнение 8.8. Используя тот факт, что чистый нейтронный газ не образует свя-
занных состояний ни при какой плотности, рассмотреть применимость выражения
(8.4.22) при х— 0. Изобразить возможную кривую зависимости W(k,0) от к.

Указание. К какому пределу должно стремиться W, когда к (и соответственно п)
стремится к нулю?

Используемые в настоящее время ядерные потенциалы обычно приво-
дят к плотности насыщения, примерно вдвое превосходящей наблюдаемое
значение. Отталкивательный кор находится из подгонки данных о фазах
рассеяния при энергиях свыше 300 МэВ: гс» 0,4 Фм, и эту величину нельзя
изменить, чтобы добиться совпадения предсказываемой плотности насы-
щения с наблюдаемой. Помимо упомянутых выше есть еще один эффект,
учет которого мог бы улучшить согласие данных — Д-резонанс в TVtt-
системе при 1236 МэВ. Однако до сих пор не было выполнено надежных
расчетов в этом направлении.

Проведенные недавно вариационные расчеты [207, 351] показали2^, что.
используя только двухнуклонные потенциалы, достаточно хорошо описы-
вающие лабораторные данные по рассеянию, нельзя получить правильные
величины энергии основного состояния РИи, равновесной концентрации п0 и
сжимаемости К для ядерной материи, однако теорию можно хорошо со-
гласовать с экспериментом, если ввести добавочное трехнуклонное взаимо-
действие. Необходимый вклад трехнуклонного взаимодействия феномено-
логически добавляется к энергии ядерной материи, причем вид этого вкла-
да определяется из физических соображений.

° Иногда для описания поверхностной энергии в модели жидкой капли вводят ко-
эффициент поверхностной симметрии Ss, причем Ws=wsA2/3 и вблизи х= 1/2
ws(x)=ms(,/2) — 4$5(х— 'Л)2. Сравнение массовых формул с экспериментальными дан-
ными дает cos(’/2)=2O МэВ, но не позволяет найти 5S с определенностью.

2) В этих вариационных расчетах одни только двухнуклонные взаимодействия с ре-
алистическим потенциалом дают равновесное значение А:0=1,7Фм~1 и —	=

= 17,5 МэВ, что превышает эмпирические оценки. Вклад трехнуклонных взаимо-
действий можно подобрать таким образом, чтобы устранить это противоречие.
8.5.	ЗАВИСИМОСТЬ НУКЛОН-НУКЛОННОГО ПОТЕНЦИАЛА
ОТ РАССТОЯНИЯ

Рассмотрим теперь важный и нерешенный пока вопрос о зависимости основ-
ного члена в нуклон-нуклонном (ТУТУ) потенциале от расстояния между нукло-
нами. Поскольку этот потенциал нельзя вывести из теории, то, исходя из
разумной формы потенциала, подбирают ее так, чтобы описать экспери-
ментальные данные, касающиеся ТУТУ-рассеяния при низких энергиях (от О
до — 350 МэВ), а также известные из опыта свойства ядерной материи
(энергия насыщения, плотность насыщения, энергия и сжимаемость сим-
метричной ядерной материи, свойства дейтрона и т.д.).

К числу потенциалов, наиболее хорошо описывающих данные о фазах
рассеяния, относится потенциал Рейда [478]. Он представляет собой супер-
позицию членов типа потенциала Юкава (см. в следующем разделе) и носит
чисто феноменологический характер. Этот потенциал не записывается в об-
щем виде (8.3.8) и выражается как совокупность независимых частей, соот-
ветствующих различным парциальным волнам. Потенциал Рейда приводит
к сравнительно «мягкому» уравнению состояния, так как при ядерных
плотностях энергия системы в среднем соответствует притяжению.

Более поздний и детальный анализ NN-взаимодействия, выполненный в
ряде работ [64, 444, 445, 595], показал, что уравнение состояния конденси-
рованного вещества при плотностях 1014—1015 г/см3 должно быть гораздо
более «жестким», чем то, которое получается с применением потенциала
Рейда. Такие «жесткие» уравнения состояния получаются с потенциалами,
для которых средняя энергия системы при ядерных плотностях определяет-
ся в основном областью притяжения, а при больших плотностях — облас-
тью отталкивания. Уравнение состояния, выведенное в работах [207, 351] с
учетом двух- и трехнуклонных взаимодействий, соответствует большей
жесткости, чем в теории, основанной на потенциале Рейда, хотя и мягче,
чем в более ранних моделях [444, 445], использующих только двухнуклон-
ное взаимодействие.

Уравнения состояния с более высокой жесткостью приводят к важным
изменениям наших представлений о внутреннем строении и массах тяже-
лых нейтронных звезд. В частности, поскольку энергия взаимодействия при
плотностях, превышающих ядерные, определяется отталкиванием, соот-
ветствующее давление способствует повышению устойчивости звездного
вещества против гравитационного коллапса. В результате при более «жест-
ких» уравнениях состояния максимальные массы звезд получаются больше,
чем при «мягких» уравнениях состояния. Кроме того, при большей жестко-
сти плотность в центре звезды ниже, ее радиус больше, а кора толще. Эти
различия существенны для определения предельной массы нейтронных
звезд, их поверхностных потенциалов, моментов инерции, частот прецес-
сии и других величин, которые могут быть косвенно связаны с данными
наблюдений.

Эти вопросы будут рассмотрены в гл. 9 и 10, но прежде мы дадим про-
стое количественное описание того, как можно выбрать нуклон-нуклонный
потенциал, чтобы использовать его затем в многочастичных вычислениях
и получить уравнение состояния. И выбор потенциала, и метод его исполь-
зования в достаточно точном многочастичном расчете — проблемы пока
еще не решенные. Предлагаемое нами обсуждение, в лучшем случае, мож-
но рассматривать как иллюстративный пример. Мы возьмем простую фор-
му V(r)= {г), пренебрегая взаимодействиями, зависящими от спина и
изоспина. Вместо точного вычисления функции W(k,x) будет предложено
вычисление плотности энергии взаимодействия с = (W+ тс2)п для системы
тождественных нуклонов с массой т и концентрацией п без учета зависи-
мости W от х.

8.6.	ПОТЕНЦИАЛ ЮКАВЫ

В 1935 г. Юкава выдвинул смелую гипотезу, согласно которой ядерные си-
лы могут возникать вследствие обмена виртуальными частицами, назван-
ными мезонами, подобно тому как электромагнитные силы возникают
вследствие обмена виртуальными фотонами. Конечный радиус действия
ядерных сил можно объяснить, если полагать, что мезон имеет ненулевую
массу покоя в отличие от безмассового фотона, который переносит даль-
нодействующие электромагнитные силы.

В приложении Г рассмотрен классический вариант теории массивных
скалярных и векторных полей. Скалярное (однокомпонентное) поле соот-
ветствует квантам со спином 0, а векторное поле (с тремя независимыми
компонентами) — квантам со спином 1. В пределе медленно движущихся
частиц с «зарядом» g, взаимодействующих благодаря скалярным или век-
торным полям, мы показываем, что энергия взаимодействия равна

е~*г

r12=±g2—,	(8.6.1)

где g — обратная комптоновская длина волны квантов поля. Эта энергия
соответствует члену И}(г) в формуле (8.3.8), причем И/(г)=0 при 2^/^6.
Здесь знак плюс (сила отталкивания) отвечает векторному полю, а минус
(притяжение) — скалярному полю. Заметим, что для получения радиуса
действия l//z- 1,4 Фм необходима масса квантов ~ 140 МэВ (если считать,
что радиус действия сил сравним с комптоновской длиной волны мезона).
Эта величина как раз совпадает с массой пиона. Пионы обладают нулевым
спином, и потому пионный обмен обусловливает основную часть силы
ядерного притяжения. Применяя выражение (8.6.1) для описания экспери-
ментальных данных при низких энергиях1), можно показать, что g2/hc~ 10.
Поэтому ядерные взаимодействия называются сильными (в электромагне-
тизме e^/hc- 1/137).

11 Например, данные об упругом рр- и тг/У-рассеянии при низких энергиях
(~ 100 МэВ) можно описать с помощью потенциала однопионного обмена при
g2/hc=z 15 (см., например, книгу Перкинса [454]).
Покажем теперь, как потенциал Юкавы,
е~^г

Ф =	(8.6.2)

можно использовать для вывода уравнения состояния ядерной материи в
различных приближениях. Разумеется, формула (8.6.2) представляется чрез-
мерно упрощенной исходной посылкой, но мы будем использовать ее, по-
казывая, что при заданном потенциале для решения многочастичной задачи
необходимы еще различные приближения.

Начнем с простого классического анализа, основанного на работе Зель-
довича [632]. Классическая энергия системы частиц вычисляется путем сум-
мирования всех парных межчастичных взаимодействий. Чтобы упростить
вычисление, предположим, что макроскопическое распределение однород-
но, пренебрегая, таким образом, влиянием взаимодействия на среднее рас-
стояние между частицами. Иными словами, мы не учитываем «корреля-
ций» между положениями частиц, связанных с их взаимодействием. Кроме
того, мы будем считать, что число частиц достаточно велико, и потому
суммы можно заменить интегралами, а также что размер системы R удов-
летворяет условию Я>*1//л.

При указанных условиях энергия взаимодействия в объеме X равна

<8'6'3)

Вычислим этот интеграл, считая, что частица, расположенная в точке гу,
соответствует началу координат, и интегрируя по сферам радиуса

Так как	с хорошей точностью можно пренебречь поверхнзстными

эффектами и продолжить интеграл до бесконечности:

(8.6.4)

*0 Г	р,2

Интегрируя затем по гу, получаем

Еч= ±^n2g2^^.	(8.6.5)

2 М

Таким образом, полная плотность энергии равна

<8-6.6)
м

Для плотности кинетической энергии можно использовать приближение
идеального ферми-газа в пределе нерелятивистского (первая строка форму-
лы) и ультрарелятивистского вырождения:

«kin = nmcl +

= ^4—А£7?4/3	(8.6.7)
(см. разд. 2.3). Эта модель дает грубую оценку объемной энергии ядерной
материи, W—e/n — mc2, где мы использовали обозначения разд. 8.2 и 8.4.
Уравнение состояния вычисляется по формуле

dn\n)	(8.6.8)

В результате

Р = Р	। 2эт”2£2  где	(8.6.9)
Ain = Кпг	(8.6.10)

причем

Г = | (нерелятивистский)

= I (ультрарелятивистский) (8.6.11)

соответственно в нерелятивистском и ультрарелятивистском случаях [см.
формулу (2.3.26)].

Таким образом, мы видим, что при низких плотностях (p<pnuc), когда
можно ожидать, что ядерная сила дает притяжение, взаимодействие не-
сколько уменьшает давление. Однако при высоких плотностях преобладает
отталкивание, также описываемое потенциалом Юкавы, отвечающим об-
меном векторными частицами, и уравнение состояния в присутствии взаи-
модействия становится более «жестким». В пределе psg/c2-*oo (т.е. при
л —оо) уравнение состояния имеет вид

Р -» рс2.	(8.6.12)

При этом скорость звука стремится к скорости света.

ldP\'/2  С* (dp )	С’	(8.6.13)

в отличие от идеального релятивистского газа, для которого

р	1	2	1  Р -> — рс ,	с -► —С.  5	УЗ  Мы вернемся к обсуждению этих результатов в гл. 9.	(8.6.14)

8.7.	МЕТОД ХАРТРИ

Простейшее квантовое обобщение описанного в предыдущем разделе клас-
сического вычисления в нерелятивистском пределе получается с помощью
уравнений ХартриЧ В этом приближении многонуклонная система описы-
вается с помощью произведения одночастичных волновых функций,

* = «i(r,)u2(r2) ••• «лгСглО,	(8-7.1)

где состояние каждого нуклона полностью определяется его собственной
нормированной волновой функцией wz(rz) (/= 1, 2,... N). В этом выражении
для функции Ф полностью отброшены спиновые эффекты, а также корре-
ляции между частицами, так как волновая функция /-й частицы равна ui не-
зависимо от положения других частиц.

Спиновые эффекты можно включить дополнительно с помощью метода
Хартри — Фока, описанного в следующем разделе. Корреляции учитыва-
ются путем введения в волновую функцию Хартри — Фока Ф «корреляци-
онных функций», причем полученное волновое уравнение решается в рам-
ках некоторой приближенной схемы (см. разд. 8.9).

В приближении Хартри энергия основного состояния системы равна

г	I h2 \

(Н) = <*|Я|*> = Е p%«*(r)[-^V2|u,(r) +

+ Е //vn\u, (Г1 )|2|wy (r2)|2,	(8.7.2)

где Н — полный гамильтониан, и мы будем рассматривать случай, когда
потенциал И12 имеет вид (8.6.1). Заметим, что в методе Хартри

У|и,(г)|2 dc\r= 1,	(8.7.3)

но различные функции ui не обязаны быть ортогональными друг другу.

Уравнение Хартри можно вывести, используя формулу (8.7.2) для фор-
мулировки вариационного принципа и допуская произвольные вариации
функций wz и w/при выполнении условия (8.7.3). Это уравнение имеет вид

-^-v2w, + Ки, = е,^,	/ = 1,2,..., Я, (8.7.4)

2т

где эффективный потенциал z-й частицы равен

г,(Г,) = Е fd% И12(г|2)|и7(г2)|2.	(8.7.5)

У*'

Вместо того чтобы решать уравнение (8.7.4) для функций wz самосогла-
сованным образом (это слишком трудная задача), мы будем искать энер-
гию основного состояния системы методом теории возмущений. Предпо-

Подробное изложение метода Хартри можно найти, например, в книге [63],
гл. 4.
ложим, что в низшем порядке функции соответствуют свободным пло-
ским волнам с импульсом р = Лк,

Волновые функции нормированы здесь на объем X=L3, где	— ли-

нейный размер системы.

В соответствии со статистикой Ферми мы предположим, что низшие
уровни энергии заполнены (каждый — двумя частицами) вплоть до
(или k = kp). Таким образом, сумма по i соответствует интегралу по к до
£F. При этом волновая функция Ф в формуле (8.7.1) описывает вырожден-
ную систему с однородной плотностью, и функции ui можно рассматривать
как некоторую весьма ограниченную систему пробных функций в уравнении
(8.7.2), использование которой имеет смысл только для слабых потенциа-
лов взаимодействия. Это простейший квантовый аналог приближения Зель-
довича.

Используя выражение (8.7.6), представим формулу (8.7.2) в виде

k	v к, к

Присутствующий здесь двойной интеграл вычисляется точно так же, как в
(8.6.3), и в результате



(8.7.8)

Теперь, как обычно, заменим

так что		2f-^~ J (2„)3Z	(8.7.9)
D к	=	'^тгр2 dp =		
Е — ь 2т к	=	(РГу—Аттр2 dp =  h3 Jo 2т	^(3^2)2/3 — и5/3.  10	m	(8.7.10)
В результате	получаем полную плотность энергии,  (Я)	2	2irn2g2  е= V + птс -£kin± * ,		(8.7.11)

точно совпадающую в нерелятивистском пределе с классическим результа-
том [см. формулы (8.6.6) и (8.6.7)].
8.8.	МЕТОД ХАРТРИ — ФОКА

Волновая функция системы, состоящей из N фермионов, должна быть ан-
тисимметричной при перестановке любой пары частиц. Это требование
можно выполнить, записав волновую функцию в виде детерминанта Слэте-
ра:

«1(0	w/2) ... ut(N)

1	«г(0

(#!)|/2 ;

«у(0

(8.8.1)

Функция Ф является суммой членов, каждый из которых — произведение
одночастичных функций вида

«,(>) =

(8.8.2)

где спинор х(<г) равен либо Xi (спин направлен «вверх»), либо х2 (спин на-
правлен «вниз»),

(8.8.3)

Здесь о — аргумент х в спиновом пространстве, принимающий два значе-
ния, 1 или 2. Если х = Х1» то х(1)= 1, х(2)=0; соответственно,если х = Х2’ то
х(1)=0, х(2)= 1. В отличие от метода Хартри здесь требуется ортогональ-
ность волновых функций:

£/Л,«?(1)Ву(1) = «0..

(8.8.4)

Из вариационного принципа

6<^|Я|^> = О

(8.8.5)

следуют обычные уравнения Хартри — Фока, которые мы не станем выпи-
сывать1^. Вместо этого подставим в выражение для энергии основного со-
стояния плоские волны, рассматривая их как пробные функции. При вычис-
лении энергии заметим, что функция Ф нормирована, так что для всякого
оператора вида

f = £Z	(8-8-6)

См. указанную книгу [63], гл. 4; мы используем те же обозначения
(fj — однофермионный оператор) среднее значение равно

<*|W=EOI/IO>	(8-8.7)

i

где \i> =иг Для оператора вида

f=Lg4,	(8-8.8)

где g- — симметричный двухфермионный оператор, имеем

= L[<y|g|y> -	| L[<y|g|y> -	(8.8.9)

i<j	i,j

Для данного гамильтониана
h2

<8'8'1O>

Комбинация членов типа f и первой части суммы в (8.8.9) (так называемый
«прямой» член) равна энергии в методе Хартри, которая была вычислена в
разд. 8.7. Кроме того, имеется еще «обменный» член,

/= -|Е<у181У0
i,j

= “IE Е	w*(r1)w*(r2)Ki2u/(r2) w7(rj) X

x хГ(а1)х)(а2)х,(а2)ху(<’1).	(8.8.11)

Поскольку

Ех*(<’)х7(<’) = msjY	(8.8.12)

а
где ms= ± 1/2 — проекция спина на ось г, то

/ = - | Е$(™„> m^jd^ d%
i, J

= -|2p%^%K12|p(r„r2)|2,	(8.8.13)

где по определению

р(г1>гг) = E м;(г2)«7(Г|).	(8.8.14)

/=|

15-353
и множитель 2 возникает от двух возможных значений msi=msj.

Для плоских волн (8.7.6) получаем

Р(п,г2) = 4£е'к'<Г‘”Г2) ^—^fe,k-r^d3k.	(8.8.15)

v к	(2тг) J

Отметим, что здесь нет множителя 2, обусловленного суммированием по
спиновым состояниям, так как он уже включен в формулу (8.8.13). Записы-
вая к • r12= At-12cos0 и d3k = 2ird(cos0)k2dk) получаем

р(г1>г2) = 7^7-7(sin *FrI2 - fcFr12cosfcFr12). (8.8.16)
2тг r12

Упражнение 8.9. Показать, что p(rp rj) = /7/2, где « = Ар/Зтг2, и объяснить, почему
этот результат представляется разумным.

Подставляя в формулу (8.8.13) выражение (8.6.1) для И12 и обозначая

	К 2 (Г1 + Г2 ) ’  (8.8.17)  r = rl-r2 = r12,	V

получаем	1= +g2fd3Rd3rp2(r)e г .	(8.8.18)

Интеграл no R дает множитель У. Интеграл по г можно записать в безраз-
мерном виде, вводя новые обозначения

	x = kFr,	(8.8.19)
При этом	I = +g2cV^Z(a),	(8.8.20)  77
где	1(a) = [ --(sin x - xcosx)2e”ax.	(8.8.21)  •'o x5
Этот интеграл можно вычислить путем последовательного интегрирования
по частям и сведения к табличным интегралам. В результате

,/ ч 1 а2 а 12\
/(“) = 4 ’ 24 " 3 arCtg(d

Предельные значения равны

Л«)

1

9а2 ’

/а2 а4 \ (	4 \

(т +9бП1 + ^Г {8-8-22)

а 0,	(8.8.23)

а -» оо.	(8.8.24)

Упражнение 8.10. Вывести предел (8.8.24), заменяя функцию sin х-х cos х ее значе-
нием при малых х.

Заметим, что параметр а пропорционален отношению среднего расстоя-
ния между частицами к радиусу взаимодействия, поэтому теория возмуще-
ний, в рамках которой мы работаем, применима, строго говоря, лишь в
пределе а>1. Таким образом, получается

(3.325)

[i	9тт ц

Это выражение противоположно по знаку «прямому» члену в формуле
(8.7.11) и по величине точно равно его половине. Физический смысл этого
соотношения в том, что в силу принципа Паули лишь частицы с противо-
положными спинами могут сблизиться на достаточно малое расстояние и
взаимодействовать, так что учет спиновых эффектов понижает энергию
взаимодействия в два раза.

Обменный член понижает роль взаимодействий между частицами,
уменьшая энергию отталкивания и увеличивая энергию притяжения. Поэто-
му обменный член дает эффективное притяжение (cexch<0) для сил оттал-
кивания и эффективное отталкивание (cexch> 0) для сил притяжения. По-
скольку р~Е/с2, в пределе 1 получаем

Р = пт + тту(Зтг2)2/3—-^и5/3 ± 17П 8 ,	(8.8.26)

ш	тс	[1с

1. 2

Р = К„5/з ± I2UL
Р

(8.8.27)

Итак, мы вывели уравнение состояния для потенциала типа Юкавы в
приближении Хартри — Фока.
Упражнение 8.11. В пределе 1 потенциал Юкавы переходит в кулоновский потен-
циал. Используя результаты, полученные в этом разделе, найдите обменную по-
правку к уравнению состояния холодного нерелятивистского газа электронов (см.
разд. 2.4 и работу Солпитера [496]).

8.9.	КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ

Изложенный в предыдущем разделе метод Хартри — Фока не позволяет
надлежащим образом учесть корреляции между нуклонами. Двухчастичные
корреляции можно включить в многочастичную волновую функцию, запи-
сав ее в виде

'Г = ГФ,	(8.9.1)

где Ф — детерминант Слэтера, построенный из волновых функций, отвеча-
ющих плоским волнам, как в формуле (8.8.1), a F— симметризованное
произведение двухчастичных корреляционных функций:

F = nzy.	(8.9.2)

/<у

Таким образом, волновая функция записывается в виде

Ф(г,,..., гу) = ЯП/7(|Г, - г,|)ПМгт)>	(8.9.3)

z <7	т

где А — оператор антисимметризации, действующий на спины, изоспины
и координаты, а фт — волновые функции плоских волн с учетом спинов и
изоспинов:

Фт(Г) = ^71е'к'"’Гх(<’т)«(тж)	(8-9-4)

Волновая функция вида (8.9.3) называется пробной функцией Джастроу, она
может быть использована для вариационного вычисления энергии основно-
го состояния системы. Множители отражают препятствие сближению
пар частиц на малые расстояния при наличии отталкивательного кора и
потому выбираются таким образом, что равны единице на больших рас-
стояниях и падают почти до нуля, когда величина I г-~ гу1 становится по-
рядка радиуса кора гс. Дополнительные корреляции могут возникнуть от
других компонент силы, действующей между частицами (например, тен-
зорных членов).

Общий метод вариационного расчета состоит в определении минимума
среднего значения гамильтониана при варьировании функций /:

5(Н> = 0, где (Я) =	.	(8.9.5)
Обычно такие вариационные вычисления проводятся путем разложения ве-
личины (Н) по кластерам:

= Е Е„.	(8.9.6)

п — 1

Вклад п-частичного кластера Еп включает в себя Зп-кратные интегралы (по
пространству координат частиц) от матричных элементов, присутствую-
щих в формуле (8.9.5). Если плотность системы не слишком велика и кор-
реляционные длины малы, то среднее значение <//> может быть найдено
через вклады кластеров низкого порядка.

Существует много схем построения, усечения и суммирования кластер-
ного разложения1^. Как правило, определение детального выражения для
энергии основного состояния требует вычисления сложных многократных
интегралов, зависящих от фт и /у. Мы не будем выписывать здесь эти ин-
тегралы, а ограничимся тем, что в следующем разделе приведем сводку ре-
зультатов одного из таких вариационных расчетов (в методе Бете —
Джонсона).

Помимо вариационного метода системы сильно взаимодействующих
фермионов можно анализировать также с помощью другого метода, осно-
ванного на теории ядерной материи Брюкнера, Бете и Голдстоуна (общее
обсуждение этой теории можно найти, например, в книге [159]). В низшем
порядке эта теория использует сумму вкладов от процессов двухчастичного
рассеяния. В этом порядке она дает выражение, получаемое для энергии ос-
новного состояния в методе Хартри — Фока, но «исходный» потенциал
V(г) заменяется «одетым» потенциалом И(г), который включает в себя по-
правки, связанные с многочастичным обменом. В целом этот подход мож-
но рассматривать как разложение по параметру игД где п — концентрация
нуклонов и гс — радиус «твердого кора» (см. разд. 8.4). При малых значе-
ниях этого параметра справедливо приближение независимых пар частиц2),
на котором основана рассматриваемая теория; при больших значениях па-
раметра приближение неприменимо.

Теория Брюкнера, Бете и Голдстоуна считается приемлемой при плот-
ностях ^2pnuc. При более высоких плотностях повышается роль многоча-
стичных кластеров и следует применять вариационный метод. Отметим,
что в хлоследнее время были достигнуты значительные успехи в вариацион-
ных расчетах, учитывающих как двух-, так и трехнуклонные взаимодейст-
вия [207,351]. Эти расчеты позволяют получить результаты, соответствую-
щие теории Брюкнера, Бете и Голдстоуна в низшем порядке для той обла-

11 См. обзоры Кларка [134] и Дэя [158], недавние работы Пандхарипанде, напри-
мер [207] и [351], и приведенные там ссылки.

2) В приближении независимых пар рассматривается движение двух взаимодейст-
вующих фермионов в присутствии других фермионов, играющих роль «наблюдате-
лей» и влияющих на движение эти,х частиц только в силу принципа Паули.
сти, где можно ожидать, что оба подхода применимы. Кроме того, как
уже было сказано, появляется возможность количественно проанализиро-
вать насыщение.

8.10.	УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ БЕТЕ — ДЖОНСОНА

В качестве примера мы приведем результаты Бете и Джонсона [64], кото-
рые использовали «ограниченный вариационный метод» Пандхарипанде
[443] в низшем порядке. Были найдены уравнения состояния как для чистой
ядерной материи, так и для материи, содержащей гипероны с массами, не
превышающими массу Д-резонанса (1236 МэВ). Принятый потенциал ядер-
ного взаимодействия был подобен потенциалу, использованному ранее Рей-
дом [478], т.е. представлялся в виде суммы функций Юкавы с различными
силами и радиусами взаимодействия. Коэффициенты в этом потенциале
подбирались в каждой парциальной волне по отдельности, чтобы описать
экспериментальные данные о нуклон-нуклонном рассеянии.

Как мы видели ранее, обмен векторными мезонами приводит к появле-
нию отталкивания между нуклонами, в то время как обмен скалярными
мезонами приводит к притяжению. Три векторных мезона с наименьшей
массой — это р (769 МэВ), со (783 МэВ) и ф (1019 МэВ). Из них наиболее
сильная связь с нуклонами у со: как следует из экспериментальных данных
при высоких энергиях, ^^/Лс=10=ь2. Поэтому Бете и Джонсон включили
только обмен co-мезонами: радиус действия соответствующих сил
-p~{ = h/т(}с = 0,25 Фм. Поскольку со — изоскаляр, то отталкивательный
кор не зависит от полного изоспина Т нуклон-нуклонной системы. Одно из
основных различий между потенциалами Рейда и Бете — Джонсона обус-
ловлено именно наличием в последнем случае отталкивания, связанного с
обменом co-мезоном.

Таким образом, потенциал Бете — Джонсона берется в виде

rBJ(r) = E<;

(8.10.1)

где

X = иг,

м = ^ = 0,7 Фм’1.
п 7

(8.10.2)

Коэффициенты С- при j Ф 1 выбираются из сравнения с экспериментальны-
ми данными, a Cj и тензорный потенциал (см. разд 8.3) берутся в соот-
ветствии с моделью однопионного обмена [см. [159], гл. 1, формула (3.5)].
Обмен (псевдо)скалярными пионами использован для получения в потенци-
але (8.10.1) дальнодействующего притяжения (радиус действия соответству-
ющих сил равен 1///^, где 1/^^= 5,5//zw, причем наиболее сильное притяже-
ние связано с обменом двумя пионами, т.е. представляется членом су = 2).
Притяжению отвечают отрицательные коэффициенты при функциях Юка-
вы, Cj. Отталкивание связано, в основном, с членом

vu^si—(8.10.3)

где g2//zc=29,6. Поразительно большая величина g^, примерно втрое пре-
вышающая значение, следующее из данных о рассеянии при высоких энер-
гиях, получается в результате подгонки данных о рассеянии при низких
энергиях и фиксированном радиусе потенциала отталкивания, который
брался равным в точности Отметим, что в отличие от потенциала
Рейда не во всех членах j — целое: например, потенциалу отвечает
у = 5,5 в формуле (8.10.1).

Потенциалы Бете — Джонсона воспроизводят следующие из эксперимен-
та фазы рассеяния, энергию связи ядерной материи и квадрупольный мо-
мент дейтрона столь же точно, как потенциал Рейда. Для простейшего
случая чисто нейтронной материи вычисление этим методом (так называе-
мая «Модель I») дает результаты, типичные для общего случая, хотя в
указанной модели радиус потенциала отталкивания такой же, как в потен-
циале Рейда и соответствует j = 7 в (8.10.1). Уравнение состояния записыва-
ется в следующем виде (концентрация п выражена в Фм-3):

= Ж(/:,0) + тпс2,

W(k, 0) — 236па МэВ/частица

р = n2d(e/n} = 364ло+1 МэВ/Фм3
dn

= 5,83 X 1035ла+1 дин/см2,

2 = t/Р	па 2

Cs dp 1,01 + 0,648no<? ’

где

а = 1 54, 0,1 < п < 3 Фм“3 или 1,7 X 10'4 < р < 1,1 X 1016 г/см3

Упражнение 8.12. Использовать потенциал (8.10.3) в методе Хартри — Фока с пло-
скими волнами (разд. 8.8) и получить уравнение состояния для чистой нейтронной
«жидкости». Сравнить полученные таким образом результаты с уравнением состоя-
ния Беге — Джонсона в области 0,1<л<3 Фм-3.

Упражнение 8.13. Использовать выражение (8.10.6) для скорости звука с , чтобы
найти предельную плотность, выше которой уравнение состояния Бете — Джонсона
заведомо неприменимо.

(8.10.4)

(8.10.5)

(8.10.6)
Наиболее важная черта уравнения состояния Бете — Джонсона — это
его сравнительно высокая жесткость, соответствующая адиабатическому
показателю Г = 2,54. При этом жесткость значительно выше, чем для урав-
нений состояния, получаемых с потенциалом Рейда, так как в данном слу-
чае отталкивание на малых расстояниях описывается более реалистически.
Чем больше жесткость, тем выше максимальные массы нейтронных звезд
(см. гл. 9).

Бете и Джонсон использовали свою многочастичную технику также для
исследования гиперонной жидкости, состоящей из п, р, Л, Е и Д-частиц.
Оказалось, что легкие гипероны с массами < 1250 МэВ действительно появ-
ляются при типичных для нейтронных звезд плотностях (п <>2 Фм-3, точ-
ное значение зависит от модели). Однако, как и в более ранних работах,
полученное уравнение состояния не очень отличается от уравнения состоя-
ния для чистой нейтронной материи. Из-за появления новых незанятых
ячеек в фазовом пространстве и соответствующего понижения уровня моря
Ферми — Дирака уравнение состояния становится несколько более мягким.
С другой стороны, в этих расчетах присутствует большая неопределен-
ность. Потенциал взаимодействия между гиперонами почти неизвестен и
обычно считается равным потенциалу взаимодействия между нуклонами.

Чтобы показать, как появление новых частиц включается в уравнение
состояния, рассмотрим прежде всего задачу о появлении мюонов в идеаль-
ном газе, состоящем из нейтронов, протонов и электронов. При нормаль-
ных условиях мюоны распадаются на электроны с испусканием нейтрино:

М~~* е +	+ ve.	(8.10.7)

Если энергия Ферми для электронов становится достаточно высокой, то
переход электронов в мюоны становится энергетически выгодным, так что
возникает равновесие между мюонами и электронами:

е~.	(8.10.8)

Здесь, как обычно, предполагается, что нейтрино излучаются из системы.
Хотя для доказательства того, что за интересующее нас характерное время
в мюон-электронных переходах успевает установиться равновесие, необхо-
дим детальный расчет скоростей реакций, коль скоро мы знаем, что равно-
весие достигнуто, термодинамика не требует от нас знания всех деталей
процесса. Мы просто пишем уравнение химического равновесия

(8.10.9)
и требуем сохранения некоторых величин (в данном случае — заряда). Рав-
новесие между нейтронами, протонами и электронами приводит.к уравне-
нию

= Рр + Me,	(8.10.10)

а из электрической нейтральности следует
При известных выражениях для химических потенциалов и концентраций
частиц через плотность материи формулы (8.10.9)—(8.10.11) вместе с урав-
нением для плотности представляют собой систему уравнений, достаточ-
ную для вычисления всех свойств газа. Например, для идеального газа по-
лучим

шдс2(1 + х2)1/2 = тес2(1 + х2)1/2,	(8.10.12)

w„c2(l + х2)'/2 = mpc2(l + х2)1/2 + wfc2(l + х2)'/2, (8.10.13)

(трхр)3 = (™ехе)3	+	(трхр)3,	(8.10.14)

т	/я „	т	т..

Р = JxM + -fx(xp) + тгх(хг) + -^х(хд),	(8.10.15)

х3„ х;	х3	х;

(ср. разд. 2.3). Здесь величины х — обычные безразмерные импульсы Фер-
ми. Пороговое условие, соответствующее появлению мюонов, имеет вид
и^ = 0, т.е. xLt = 0. Поскольку при этом электроны ультрарелятивистские, то
можно считать, что хе>1. Формулы (8.10.12) — (8.10.14) принимают вид

= техе,

/,	Э\1/2	9 А1/2

+	="1Д1 + хр) +тл>

(8.10.16)

(8.10.17)

(8.10.18)

Таким образом,

трХр = теХе'

\ 1/2

_ 1	= 0,4986

и тогда хр = 0,1126, хе= 206,8 и р = 8,21 • 1014 г/см3.

Упражнение 8.14. Показать, что ниже плотности 8,21- 1014 г/см3 существует область
значений плотности, при которых мюоны, впрыснутые в идеальный газ, состоящий
из нейтронов, протонов и электронов, будут стабильными относительно распада
(8.10.7), даже если газ не находится в равновесном состоянии.

Указание. Рассмотрите законы сохранения энергии и импульса для распада мюона.

Упражнение 8.15. Написать соотношения между химическими потенциалами в рав-
новесном идеальном газе, состоящем из п, р, е, , Л°, Е”, Е° и Е + . Объяснить, по-
чему Е~-гипероны появляются при наиболее низкой плотности, хотя и имеют наи-
большую массу. Чему равна эта плотность? Массы приведены в табл. Д. 1.
Пу Фм'3

Рис, 8.4. Относительные концентрации пк в газе свободных гиперонов в зависимости
от полной концентрации барионов п. (По работе Кануто [105].)

Вычислительное упражнение 8.16. Построить уравнение состояния для газа, описан-
ного в упражнении 8.15, и изобразить график зависимости от п концентраций всех
частиц, содержащихся в газе, в интервале О^л^ЮФм'3. Проверить таким обра-
зом результаты Амбарцумяна и Саакяна [12], представленные на рис. 8.4. Сравнить
полученное уравнение состояния с уравнением для идеального газа, состоящего из
нейтронов, протонов и электронов.
Результат упражнения 8.16, согласно которому нейтроны преобладают
и в недрах нейтронных звезд, объясняет, почему уравнение состояния Бе-
те — Джонсона при наличии гиперонов мало отличается от уравнения со-
стояния для чисто нейтронного вещества.

Как и все многочастичные вычисления уравнения состояния, результаты
Бете и Джонсона вовсе не являются окончательными. Укажем некоторые
недостатки этого метода.

1.	Использованная многочастичная техника не позволяет воспроизвести
полученные методом Монте-Карло «точные» результаты [136] для гипоте-
тического потенциала отталкивания типа Рейда.

2.	Ни один из феноменологических нуклон-нуклонных потенциалов не
дает насыщения даже при использовании улучшенного метода вычислений.

3.	Константа связи для «^-мезонов, которая получается из подгонки дан-
ных об MV-рассеянии, g2//?c>20, противоречит значению, которое получа-
ется из опыта, — 10± 2.

4.	Силы взаимодействия гиперонов описаны простейшим и не совсем
правильным образом; «массовые сдвиги» гиперонов, обусловленные плот-
ной окружающей средой, не учитываются. Указанные массовые сдвиги мо-
гут, например, приводить к тому; что Д-резонансы появляются лишь при
плотностях, превышающих 1016 г/см3.

5.	Нарушение причинности. Р>рс2, при высоких плотностях (ср. упраж-
нение 8.13).

6.	Д-резонансы упрощенно описываются как независимые «голые» ста-
бильные элементарные частицы. Пионная конденсация не принимается во
внимание (см. разд. 8.11 и 8.12).

Несмотря на эти нетривиальные проблемы, уравнение состояния Бе-
те — Джонсона остается одним из лучших, известных до настоящего вре-
мени. Учет отталкивания в ядерных силах на малых расстояниях приводит
к ряду жестких уравнений состояния, которые, по-видимому, несколько
лучше согласуются с существующими в настоящее время данными о наблю-
даемых нейтронных звездах. (См. гл. 9.)

Интересно, что полученное недавно в работах Пандхарипанде и его со-
трудников уравнение состояния, использующее как двух-, так и трехнуклон-
ные взаимодействия и приводящее к хорошему согласию теории с экспери-
ментом, весьма близко к уравнению состояния Бете — Джонсона. Оба этих
уравнения более жесткие, чем то, которое получается с потенциалами типа
Рейда, но менее жесткие, чем в модели с тензорными силами [444, 445] или
в теории «релятивистского среднего поля» [595]. Сравнение различных мо-
делей проводится в резюме 8.1, табл. 8.2, а также на рис. 8.5а и 8.56.
РЕЗЮМЕ 8.1.

Уравнение состояния холодного вещества
выше точки образования нейтронных капель

1.	Уравнение состояния холодного вещества выше точки образования
нейтронных капель (pdrip«4- Ю11 г/см3) удобно рассматривать для двух об-
ластей. Область pdrip<p<pnuc~ 2,8 1014 г/см3 сравнительно хорошо изуче-
на (см., например, работу [55]). Равновесная материя состоит из обогащен-
ных нейтронами ядер, образующих кулоновскую решетку, электронов и
свободных нейтронов. При возрастании плотности свободные нейтроны
обеспечивают все большую долю полного давления. При p~pnuc начинает-
ся деформация и разрушение ядер.

При более высоких плотностях, P>pnuc, ситуация менее ясная. В этой
области давление определяется главным образом нуклонами (преимущест-
венно нейтронами), вступающими в сильные взаимодействия. Помимо ней-
тронов и небольшой примеси протонов и электронов, возможно, появля-
ются другие элементарные частицы и резонансные состояния.

2.	Расчет уравнения состояния в нерелятивистской области от pnuc до
1015 г/см3 связан с двумя трудностями, а) определением ядерного потен-
циала для нуклон-нуклонного взаимодействия, б) построением метода, под-
ходящего для решения многочастичной задачи. Выбор потенциала несколь-
ко ограничен данными о нуклон-нуклонном рассеянии и свойствах ядерной
материи.

3.	При сверхвысоких плотностях, р>1О15г/см3, в материи появляется
заметное количество гиперонов, и взаимодействие между нуклонами дол-
жно рассматриваться с учетом релятивистских эффектов. К сожалению,
техника решения релятивистской многочастичной задачи для сильно взаи-
модействующей материи недостаточно хорошо разработана.

4.	Уравнения состояния ядерной материи, полученные до настоящего
времени, содержат множество неопределенностей. Среди них возможность
нейтронной и протонной сверхтекучести, пионной конденсации, отвердения
нейтронной материи, фазовых переходов в состояние «кварковой мате-
рии», а также эффекты, связанные с образованием Д-резонансов.

5.	Свойства нейтронных звезд чувствительны к разновесному уравне-
нию состояния при плотностях, превышающих pdrip (см. гл. 9).

6.	Типичные модели для уравнения состояния выше точки образования
нейтронных капель приводятся на рис. 8.5а и 8.56 и в табл. 8.2.
Рис. 8.5&. Равновесное уравнение состояния для холодного вырожденного вещества.
Сплошная кривая показывает результат Бейма и др. [56] для области pOdrip ~
-4,3' Ю11 г/см3, плавно переходящий в уравнение Бейма — Бете — Петика в обла-
сти pdrip^p^pnuc~ 2,8-1014 г/см3. Для сравнения штриховой линией изображено
уравнение Оппенгеймера — Волкова [427] для свободного нейтронного газа. Типич-
ные уравнения состояния для области выше pnuc расположены в прямоугольнике в
правом верхнем углу графика и показаны в увеличенном виде на рис. 8.56. (7 — сво-
бодные е“, решетка 2б^е’	— релятивистские е~; 3 — нейтронизапия; 4 — свобод-

ные е“, решетка из ядер, обогащенных нейтронами; 5 — нейтронные капли; 6 —
решетка из ядер, обогащенных нейтронами, свободные нейтроны; 7 — нейтроны,
протоны, е~ \ 8 — гиперонизация.)
lg P (Зин/смг)

Рис. 8.56. Типичные уравнения состояния для холодного вырожденного вещества
при плотностях выше Pnuc = 2,8-1014 г/см3. Обозначения даны в табл. 8.2. (Пс рабо-
те Арнетта и Бауэрса [20].)

8.11.	НЕРЕШЕННЫЕ ВОПРОСЫ.* Д-РЕЗОНАНС

Существует целый ряд неприятных вопросов, требующих для своего отве-
та сложных вычислений, которые следовало бы решить, чтобы понять, ка-
ково уравнение состояния, например, при плотностях около 2pnuc. Некото-
рые из них (например, схемы многочастичных вычислений) уже были упо-
мянуты выше. Хотя в данной книге едва ли уместно входить в детали этой
проблемы, мы хотели бы все же сформулировать некоторые вопросы и
указать, в какую сторону могут изменить уравнение состояния различные
неучтенные эффекты.

Один из нерешенных вопросов относится к Д-резонансу, возбужденному
состоянию нуклона, которое имеет массу 1236 МэВ и квантовые числа
t= 3/2, J=3/2. В результате пионного обмена между двумя нуклонами мо-
гут возникнуть виртуальные промежуточные состояния, такие, как NN, NA
Таблица 8.2

ТИПИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ВЫШЕ ТОЧКИ ОБРАЗОВАНИЯ
НЕЙТРОННЫХ КАПЕЛЬ

Уравнение состояния	Диапазон плотностей, г/см3	Состав	Взаимодействия	Многочастичная теория
Идеальный нейтронный газ; Оппенгей- мер — Волков [427] (OV)	0	р	ОО	п	Отсутствуют	Невзаимодей- ствующие ней- троны
Бейм, Бете	4,3- 10" <	е~, п и рав-	Потенциал	Массовая фор-
и Петик	< р <	новесные	Рейда с мягким	мула для ядер,
[55] (ВВР)	SC 5 х 1014	ядра	кором	построенная по модели сжимае- мой жидкой капли
Рейд [443] (R)	р > 7-1014	п	Потенциал Рейда с мягким кором, приспо- собленный к ядерной мате- рии	Вариацион- ный принцип, применяемый к корреляционным функциям
Бете и	1,7-1014	п, р, Л, Е*'0	Модифициро-	Ограничен-
Джонсон [64] (BJ)	Р <  $ 3,2 х Ю16	Д±10, д+ +	ванный потен- циал Рейда	ный вариацион- ный метод
Тензорное взаимодействие [444] (TI)	р > 8,4-1013	п	Ядерное при- тяжение, связан- ное с тензорны- ми силами от пионного об- мена	Ограничен- ный вариацион- ный метод
Трехнуклон- ное взаимодей- ствие [207] (TNI)	р > 1,7-1014	п	Двух- и трех- нуклонные взаи- модействия	Ограничен- ный вариацион- ный метод
Среднее поле  [445] (MF)	р > 4,4-10"	п	Ядерное при- тяжение, выз- ванное скаляр- ным обменом	Приближение среднего поля, вариационный метод
Релятивист- ское среднее поле [595] (RMF)	р > 1,7-1014	п	Релятивист- ское среднее скалярное поле и векторный обмен, описыва- ющий ядерную материю	Приближение релятивистского среднего поля
или ДД. Как указано в работе [237], процессы, в которых обмен пионами
вызывает притяжение, будут подавляться в плотной ядерной среде из-за
изменения энергии промежуточного состояния, а также вследствие принци-
па Паули (так как многие из этих состояний уже заняты). Соответственно
следует уменьшить некоторые из дающих притяжение составляющих в
обычных двухчастичных феноменологических потенциалах, которые подби-
раются для описания данных о нуклон-нуклонном рассеянии в свободном
пространстве. Поэтому уравнения состояния будут жестче, чем то, которое
получается со свободными потенциалами.

В работе [506] дано иное объяснение этого эффекта. Наличие плотной
окружающей среды меняет собственную энергию Д-резонанса и приводит к
возрастанию этой энергии на величину 200 МэВ. Соответствующий хи-
мический потенциал можно записать в виде

Мд = (^fC2 + w^c4)1/2 + CZ(pF) S (p2Fc2 + mj2c4)1/2,	(8.11.1)

где U(pF) включает поправки к собственной энергии и т£>т^ — эффектив-
ная масса. Возрастание эффективной массы Д-резонанса понижает концент-
рацию и потому делает уравнение состояния при высоких плотностях более
жестким.

В чисто нейтронной материи этот эффект выражен более ярко, чем в
симметричной ядерной материи. Причина состоит в том, что пп-системы
имеют изоспин Т= 1, а лр-системы — изоспин Т= 1 или 0 (см. табл. 8.1).
Однако в преобладающем процессе, в котором рождается система тУД, изо-
спин может принимать только значения 1 или 2 (поскольку изоспин Д равен
3/2), так что этот процесс может происходить только в канале с Т= 1.

Учет Д-резонанса помогает понизить плотность насыщения для симмет-
ричной ядерной материи, так как при этом возникает отталкивание в со-
стоянии с Т=1, если p^pnuc. Увеличение жесткости уравнения состояния
для нейтронных звезд приводит к понижению плотности и увеличению ра-
диуса при данной массе.

8.12.	НЕРЕШЕННЫЕ ВОПРОСЫ.’ ПИОННАЯ КОНДЕНСАЦИЯ

Если пренебречь эффектами сильных взаимодействий между пионами и ну-
клонами, то отрицательно заряженные пионы могут образовываться в
плотной ядерной материи в результате реакции

п -> р + 7г~	(8.12.1)

лишь при условии, что разность —цр = превосходит массу покоя т '-
мезона, т^= 139,6 МэВ. Как было показано, 100 МэВ при p~pnuc, так
что появления тг--мезонов можно ожидать при несколько более высоких
плотностях. Это должно приводить по меньшей мере к двум важным
следствиям: уравнение состояния станет более мягким и скорость остыва-
ния нейтронной звезды, вызванного излучением нейтрино, увеличится11.

Остывание нейтронных звезд рассматривается в гл. 11.
Так как пионы — это адроны, т.е. частицы, которым присуще сильное
взаимодействие, то их свойства существенно меняются внутри ядерной ма-
терии. Хотя взаимодействия пионов с нуклонами ядерной материи в самом
низком порядке (s-волна) приводят к увеличению эффективной массы пио-
на, взаимодействия более высокого порядка (p-волна) имеют противопо-
ложный знак. Вычисления, проведенные до настоящего времени [405], по-
казывают, что тг~-мезоны действительно появляются при р— 2pnuc, однако
эти результаты следует рассматривать как весьма предварительные.

Интересное и важное следствие возможного появления пионов, которые
имеют спин 0, состоит в том, что при достаточно низких температурах
они могут образовывать бозе-эйнштейновский конденсат. Идеальный кон-
денсат состоит из большого числа бозонов в состоянии с нулевой кинети-
ческой энергией. Чтобы найти критическую температуру Тс, вспомним, что
максимальное значение химического потенциала для бозонов с массой т
равно р = тс2. При более высоких значениях числа заполнения для некото-
рых состояний с заданным импульсом стали бы отрицательными. При
данной концентрации частиц п температура Тс определяется условием
р = тс2. Отсюда следует (ср. разд. 2.2)

П = % (----------!-------d3p.	(8.12.2)

h J е(Е-тс2)/кТ. _ I

При низких температурах можно использовать нерелятивистское прибли-
жение

£ _ тс^ = Р

2т

Вводя безразмерную переменную

2ткТс'

получаем

g
/P2'/V

(wA:Tf)3/2

г00 z'/2 dz

Jo Г

(8.12.3)

(8.12.4)

(8.12.5)

п =

1 \n

Интеграл здесь равен тг з(3/г), где f— дзета-функция Римана. Оконча-
тельно



3,31 /п\2/ .2

-2-г- - h
mk\g]

(8.12.6)

При Т< Т частицы с положительной кинетической энергией имеют рас-
пределение, соответствующее формуле вида (8.12.2) (с заменой Тс на Г).

16-353
Согласно формуле (8.12.5), л~Г3/2, так что

(8.12.7)

Все остальные частицы находятся в

низшем состоянии с 2 = 0,

n(z = 0) = п

(8.12.8)

Частицы с 2 = 0 не имеют импульса (конденсация происходит не в физиче-
ском, а в импульсном пространстве) и потому не вносят вклада в давление.
При Т-*0 практически все бозоны оказываются в этом состоянии. Таким
образом, ясно, почему пионная конденсация приводит к смягчению уравне-
ния состояния. Детальный, хотя и весьма предварительный расчет [25]
предсказывает уменьшение полного давления на 75% при p~3pnuc. Отдель-
ные свойства механизма, благодаря которому пионный конденсат делает
уравнение состояния более мягким, весьма сильно зависят от нуклон-
нуклонного взаимодействия в целом. Вполне надежное вычисление уравне-
ния состояния, которое учитывало бы и эффекты изобары, повышающие
давление (см. разд. 8.11), и смягчающий эффект пионного конденсата, еще
не было проведено.

Чтобы разобраться в эффектах пионной конденсации, рассмотрим иде-
альный газ, состоящий из нейтронов, протонов и электронов, при Т=0 и
допустим, что выше порога возможно рождение тг--мезонов. Условие рав-
новесия

- Мр = Ме =	(8.12.9)

дает

+ *л)'/2 - тр{^ + -*р)1/2 = теО + *е)'/2>	(8.12.10)

"1е(1 + Хе)'/2 =	(8.12.11)

В уравнении (8.12.11) использован тот факт, что при Т=0 все пионы в кон-
денсате имеют нулевую кинетическую энергию. Из условия электронейт-
ральности следует

пе + п„ = пр>	(8.12.12)

так что

1	,	,	1	3

е ’ Зтг2^V	(8.12.13)
Концентрация барионов, плотность массы и давление могут быть найдены
по формулам (ср. (2.5.8) — (2.5.10)]:

1	3 1	1	3  п~ з^х\Хр з^х\Хп'	(8.12.14)
Р = ^xU) + ^х(*„) +	+  Ле	(8.12.15)
р=  Ле	Лр	Лп	(8.12.16)

Если, например, задана плотность, то формулы (8.12.10), (8.12.11),
(8.12.13) и (8.12.15) представляют собой четыре уравнения, из которых
можно найти хп, хе и п^, так что все величины будут определены.

Формула (8.12.11) при хе^> 1 показывает, что порог образования тг--
мезонов соответствует

т

хе = -^ = 273,2.	(8-12.17)

е

На пороге /^=0, и из (8.12.13) следует

хр =	= 0,1488.	(8.12.18)

р

При этом формула (8.12.10) дает

х„ = 0,5843,	(8.12.19)

и из (8.12.15) получаем

Р = Р„ = 1,36 X 1015 г/см3 .	(8.12.20)

При р<р7Г уравнение состояния получается точно таким же, как в разд. 2.5.
При р>р7Г величина хе остается постоянной, так что пе и Ре также не меня-
ются с ростом р. Возрастающая доля отрицательного заряда связана с пио-
нами, которые вносят вклад в плотность массы покоя, но не в давление.

Вычислительное упражнение 8.17. Сравните равновесное уравнение состояния для
холодного идеального газа, состоящего из п, р, е и тг, с уравнением для газа, состоя-
щего из /?, р и е без пионной конденсации. Нанесите обе кривые на график зависимо-
сти IgP (дин/см2) от 1g р(г/см3). Кроме того, изобразите график зависимости адиа-
батического показателя Г = d\nP/dlnp от Inp (г/см3) для этих двух случаев (ср.
рис.2.2 и 2.3). Поясните различие в жесткости для этих уравнений состояния выше
порога.
Заметим, что в равновесном состоянии существуют переходы

77++ 7Т~~ 2у ~ 7Г°,	(8.12.21)

так что

М„о = о,	(8.12.22)

= ~Д„- = “Me < 0.	(8.12.23)

Таким образом и для тг°, и для тг+ функция распределения удовлетворяет
условию/= [exp[(£'—g)/Z:7’]—1]“' — О при Т— 0 и всехр^О. (Напомним, что
Е включает энергию, связанную с массой покоя частиц.) Таким образом,
при Т=0 идеальный газ не содержит тг°- и тг +-мезонов. По той же причине
существование тг--мезонов препятствует образованию К~-мезонов и всех
других мезонов, положительных и отрицательных. (Среди всех отрица-
тельно заряженных бозонов тг~-мезон имеет наименьшую массу.) Анало-
гично исключается образование позитронов и антибарионов. Однако, если
принять во внимание взаимодействия между частицами, эти выводы не
вполне справедливы. В частности, рассматривалась возможность конденса-
ции тДмезонов1).

Возможно, что пионная конденсация делает более вероятным отверде-
ние нейтронной материи при достаточно высокой плотности. Не исключе-
но, что отталкивание на малых расстояниях в нуклон-нуклонном потенциа-
ле может быть достаточно сильным, чтобы удерживать нейтроны в узлах
регулярной решетки2\ Отсюда следует, что нейтронные звезды могут
иметь твердые ядра, а также твердые наружные оболочки. Предваряя при-
веденное ниже обсуждение нейтронных звезд, отметим, что подобная
структура должна приводить к некоторым следствиям, доступным непо-
средственным наблюдениям.

1.	Высвобождение упругой энергии в сейсмически активных ядрах нейт-
ронных звезд должно вызывать «звездотрясения», приводящие к времен-
ным ускорениям вращения пульсаров [489]. Явления такого типа наблюда-
лись, например, у пульсара в Парусах.

2.	Гравитационное излучение из когерентно колеблющегося твердого
ядра [179].

3.	Прецессия нейтронной звезды, вызванная сплюснутостью твердой ко-
ры или ядра. Такая прецессия может быть причиной «включения» и «вы-
ключения» рентгеновского излучения от аккрецируемого газа через регуляр-
ные промежутки времени, как это наблюдается в 35-дневном цикле двойно-
го рентгеновского источника Геркулес Х-1 [333].

Теперь ясно, что бесконечный отталкивательный потенциал «твердого
кора» по своей сути должен приводить к образованию твердотельной

См., например, работу Бейма и Петика [52] и приведенные там ссылки.

2) Напомним рассмотренное в разд. 4.3 отвердение белых карликов, обусловленное
кулоновским отталкиванием между ядрами.
структуры, когда расстояния между частицами приближаются к радиусу
кора гс. При соответствующих плотностях бесконечно сильное отталкива-
ние «запирает» каждый нейтрон в отдельном узле кристаллической решет-
ки. Для нас, однако, важнее вопрос: может ли привести к отвердению бо-
лее реалистический потенциал с мягкой отталкивательной сердцевиной ти-
па Юкавы (например, потенциал Бете — Джонсона)? В этом случае еще не
выяснено, не слишком ли «мягок» потенциальный барьер и не могут ли ча-
стицы туннелировать сквозь него. Тогда требуемая для образования кри-
сталлической структуры локализация частиц может оказаться невозмож-
ной, за исключением лишь области крайне высоких плотностей1^.

При решении вопроса об отвердении возникают те же трудности, что и
при построении уравнения состояния для ядерной материи: надо выбрать
форму потенциала и провести многочастичные вычисления. Результаты не-
скольких работ2) указывают, хотя и не вполне определенно, что без пионной
конденсации ядерная материя не может отвердеть. Однако, как показано в
работе [444], механизмом, который обеспечивает отвердение, может ока-
заться 7г°-мезонная конденсация. Нейтральное пионное поле усиливает эф-
фективные тензорные силы в плотной материи, которые приводят к про-
странственному упорядочиванию. К моменту написания этой книги вопрос о
том. является плотная ядерная материя твердой или жидкой, еще не решен.

8.13.	НЕРЕШЕННЫЕ ВОПРОСЫ* СВЕРХВЫСОКИЕ ПЛОТНОСТИ

При плотностях, значительно превосходящих ядерную (например,

!Q°nuc)’ ядерную материю нельзя описывать с помощью нерелятивист-
ского многочасуичного уравнения Шредингера или использовать потенциал
взаимодействия. «Мезонные облака», окружающие нуклоны, перекрывают-
ся, и систему нельзя рассматривать как совокупность отдельных локализо-
ванных частиц, взаимодействующих через двухчастичные силы. Еще до то-
го как теряет смысл само понятие потенциала, различные потенциалы,
одинаково хорошо воспроизводящие данные о фазовых сдвигах в рассеянии
при низких энергиях, приводят к совершенно различным уравнениям состо-
яния. Причина состоит в том, что при 1015 г/см3 становится весьма су-
щественной область действия отталкивания на малых расстояниях, к кото-
рой нечувствительно рассеяние при низких энергиях.

Типичный подход к уравнению состояния в этой области [595] состоит в
том, чтобы построить релятивистский лагранжиан, описывающий взаимо-
действие «голых» нуклонов, причем обмен скалярными мезонами обеспечи-
вает притяжение, а обмен более массивными векторными w-мезонами —
отталкивание. В нерелятивистском пределе и классическая, и квантовая те-
ории приводят к потенциалам типа Юкавы3). С помощью некоторого

Обзор и ссылки можно найти в работе [145].

2)	См., например, обзор [51] и приведенные там ссылки.

3)	См. результаты разд. 8.6 и 8.7.
«приближения среднего поля» было обнаружено [595], что при самых вы-
соких плотностях главную роль играет обмен векторными мезонами и
справедлив результат Зельдовича:

Р -» рс2, cs с.	(8.13.1)

Подобные вычисления кажутся весьма многообещающими, однако пока
это не более чем пробные рейды в область сверхвысоких плотностей. Не из-
вестно, возможно ли вообще создание какой бы то ни было удовлетвори-
тельной теории, основанной на рассмотрении взаимодействующих нукло-
нов и мезонов, или же необходима теория, основанная непосредственно на
анализе взаимодействий между кварками.

Другой подход к построению уравнения состояния при сверхвысоких
плотностях основан на предположении, что в этой области возникает це-
лый сонм барионных резонансов. В ряде работ были построены статисти-
ческие модели адронов [204, 254, 352]. Типичным примером является наи-
более ранняя работа Хагедорна [254]. Предполагается, что спектр масс ба-
рионных резонансов представляется формулой

;V(m) dm — rnaem/mQ dm,

(8.13.2)

где N(jn)dni — число резонансов в интервале масс между т и m + dm. Су-
ществующие данные о барионных резонансах можно описать формулой
(8.13.2) при т0« 160 МэВ и — 7/2<д< —5/2.

В равновесном состоянии резонансы с массой т начинают возникать
при условии тс — так что химический потенциал нейтронов определяет
предельное значение масс резонансов при любой плотности. При асимпто-
тически высоких плотностях из формулы (8.13.3) следует

п = [ N(m) dm ~ торапе^п/пг°.

(8.13.3)

Поскольку количество вновь возникающих резонансов экспоненциально ве-
лико, наиболее массивные состояния являются нерелятивистскими. Таким
образом, асимптотика плотности имеет вид

Давление равно

РР'П , ч	11/

р ~ / mN(m) dm ~ mQpan }еЦп/т°

Р = П2^1РС^\ _ П2с2^п
dn\ п / dn

dn/dp.n ’

(8.13.4)

(8.13.5)

(8.13.6)


Формула (8.13.3) дает в асимптотике

(8.13.7)

и из формулы (8.13.4) следует

In

In р — —

т0

(8.13.8)

Таким образом, используя формулы (8.13.7) и (8.13.8), получаем из (8.13.6)

р-

In р

(8.13.9)

В действительности, согласно Хагедорну,

р=	.

1п(р/Ро)

(8.13.10)

где р0=2,5-1012 г/см3.

Как и следует ожидать для системы, в которой с возрастанием плотно-
сти рождаются все новые частицы, а не расширяется море Ферми для
какого-то одного элемента, уравнение состояния Хагедорна отвечает весь-
ма «мягкому» веществу. Кроме того, в модель не были включены силы от-
талкивания. Скорость звука для такой материи имеет вид

dP
dp

ln(p/Po) [ ln(p/Po)

(8.13.11)

.2 _

Заметим, что при р/р0-*оэ получается с5-*0 в противоположность результа-
ту применения метода среднего поля, где cs—c.

До сих пор не существует определенного теоретического или экспери-
ментального указания на то, какая из этих двух крайних возможностей реа-
лизуется в действительности. Отметим, однако, следующие два обстоя-
тельства. Во-первых, использование данных о «свободно» распадающихся
барионах с целью определения массовой формулы типа (8.13.2) для резо-
нансов почти наверняка недопустимо. В принципе массовый сдвиг, обус-
ловленный наличием плотной среды [ср. (8.11.1)], может стать достаточно
большим, чтобы практически полностью уничтожить высшие барионные
резонансы [105, 506]. В результате уравнение состояния Хагедорна станет
значительно более жестким. Во-вторых, предварительные оценки масс ней-
тронных звезд, основанные на данных наблюдений, по-видимому, исключа-
ют мягкие уравнения состояния типа Хагедорна для плотностей, превыша-
ющих pnuc не более чем в несколько раз. Эти уравнения предсказывают
верхний предел масс нейтронных звезд < 0,7A/q , что гораздо ниже «наб-
людаемых» величин (см. гл. 9). Разумеется, такие наблюдения не дают ни-
какой информации о применимости уравнения состояния Хагедорна при
очень высоких плотностях p>pnuc, которые едва ли существуют в стабиль-
ных нейтронных звездах.

8.14.	НЕРЕШЕННЫЕ ВОПРОСЫ.’

КВАРКОВАЯ МАТЕРИЯ

Появляется все больше указаний на то, что фундаментальными элемента-
ми всех сильно взаимодействующих частиц (например, N, Д, тг, р, ...) явля-
ются кварки. Если это верно, то теория кварков должна быть положена в
основу любого фундаментального описания ядерной материи при высокой
плотности. Нуклоны начинают «соприкасаться» при концентрации барио-
нов порядка (4тгг^/3)~J, что соответствует плотности, которая в несколько
раз превосходит рП11С; здесь rn~ 1 Фм — характерный радиус нуклона. Мож-
но представить себе, что при более высоких плотностях в материи должен
происходить фазовый переход, при котором кварки начинают «выдавли-
ваться» из нуклонов. В результате получится кварковая материя — вырож-
денная ферми-жидкость.

Кварки никогда еще не наблюдались в свободном состоянии, поэтому
полагают, что они постоянно связаны внутри адронов силами, которые
возрастают при удалении кварков друг от друга. Однако современная тео-
рия кварковых взаимодействий («квантовая хромодинамика») указывает,
что при сближении кварков действующие между ними силы становятся
сколь угодно малыми («асимптотическая свобода»). В связи с этим было
высказано предположение [145], что при достаточно высоких плотностях
кварковую материю можно в первом приближении рассматривать как иде-
альный релятивистский ферми-газ. Если это правильно, то какова должна
быть асимптотика уравнения состояния? Этим вопросом мы сейчас и зай-
мемся.

Слабые взаимодействия могут преобразовывать одни кварки в другие,
отличающиеся «ароматом». В нейтронных звездах пороговый уровень, по-
видимому, может быть превышен только для трех наиболее легких кварков
и, d и 5 (см. приложение Д). Распады кварков имеют вид

d —> и + I + г,

и + / + V.

s

(8.14.1)
Здесь / означает е~ или , a v — соответствующее антинейтрино. Пред-
полагая, что вещество находится в равновесии относительно 0-распада и,
как обычно, пренебрегая нейтрино, получаем

=	+	(8.14.2)

/Ъ = Ри + /*/•	(8.14.3)

Для ультрарелятивистского вырожденного ферми-газа имеем

л,«ДО/.	(8.14.4)

где

gz = 6, i = и, d, или

gi = 2, i = l.	(8.14.5)

возникает как произведение двух спиновых со-
состояния для каждого кваркаЧ Таким образом^
дают

Множитель 6 для кварков
стояний на три «цветных»
формулы (8.14.2)—(8.14.4)

= and nd=ns.	(8.14.6)

Равновесие между и е~ приводит к уравнениям

Мм = Me ~ М/>
=	=	(8.14.7)

Условие электронейтральности имеет вид
з«и - зП</ ~ Н -	- пе = 0	(8.14.8)

Краткая сводка сведений о кварках и элементарных частицах дана в приложе-
нии Д.

2) При fie<mfxc* 2' мюонов нет, и формула (8.14.7) заведомо неверна. Однако равно-
весное распределение (8.14.14) при этом не меняется.
и приводится к следующему:

пи~ ns ~ 3п1 = 0-

(8.14.9)

Используя формулы (8.14.3) и (8.14.4), получаем

	(тт	)1/3  1	\ 6 ,	Г1 - (	
Вводя параметры				
		Пе		пи
		х — —,	У =	
		ns		

находим из формул (8.14.9) и (8.14.10)

(8.14.10)

(8.14.11)

у - 1 = Зх,

(8.14.12)

1 =//3 + (Зх)'/3.	(8.14.13)

Единственное вещественное решение этих уравнений: 7=1, х=0. Итак, в
асимптотике имеем

nu = ns = nd^ пе=п11 = 0-	(8.14.14)

Основная черта этой модели состоит в том, что при высокой плотности
применимы результаты, относящиеся к свободным ультрарелятивистским
частицам, т.е.

Р }рс\ Р 00.

(8.14.15)

Это сравнительно мягкое уравнение состояния.

При конечных плотностях следует учитывать взаимодействия между
кварками. При умеренно высоких плотностях можно использовать разло-
жение по константе сильного взаимодействия as, так как кварки асимпто-
тически свободны. Однако при более низких плотностях вступает в силу
удержание кварков. Одной из популярных феноменологических моделей яв-
ляется модель «мешка», предложенная в Массачусетском технологическом
институте [128]. В этой модели составляющие нуклон кварки заключены в
конечной области пространства, «мешке», объем которого поддерживается
некоторым удерживающим давлением В>0, называемым «константой
мешка» (иными словами, В — плотность энергии, необходимая, чтобы
держать мешок «надутым»). Наблюдаемые массы адронов получаются в
этой модели с разумной точностью, если mu = md~Q, В~ 55 МэВ/Фм3,

= /16тгдс«О,55, где gs — константа связи глюона с кварками. Плот-
ность энергии кварковой материи определяется при этом вкладом невзаи-
модействующих фермионов (ос«4/3), который складывается с величиной В.

Вычисления, относящиеся к фазовому переходу, при котором чисто ней-
тронная материя переходит в кварковую, были выполнены в ряде работ
[50, 121, 308]. Для всех рассмотренных уравнений состояния нейтронной
материи этот фазовый переход происходит при плотностях, превышающих
максимальную плотность устойчивой нейтронной звезды11. Однако модель
мешка — всего лишь феноменология, и пока наше понимание сильных вза-
имодействий носит довольно предварительный характер. Вопрос о том, су-
ществуют ли «кварковые звезды», пока не решен.

11 Другая модель дана, например, в работе [192].
Содержание

ЧАСТЬ 1

От редактора перевода.............................................    5

Предисловие ......................................................... 9

Рекомендации по использованию книги...................................13

Глава 1. ГИБЕЛЬ ЗВЕЗД И ОБРАЗОВАНИЕ КОМПАКТНЫХ ОБЪЕК
ТОВ ........................................................ Г5

1. 1. Что такое компактные объекты ........................... 15

1. 2. Образование компактных объектов......................... 17

1. 3. Статистика рождения и гибели звезд..................... 20

Глава 2. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ХОЛОДНОГО ВЕЩЕСТВА НИ-
ЖЕ ТОЧКИ ОБРАЗОВАНИЯ НЕЙТРОННЫХ КАПЕЛЬ..........................	32

2. 1.	Предварительные сведения из термодинамики.............. 32

2. 2.	Сведения из кинетической теории........................ 37

2. 3. Уравнение состояния полностью вырожденного идеального
ферми-газа .................................................. 38

2. 4.	Электростатические поправки к уравнению состояния...... 43

2. 5.	Обратный /3-распад: холодный идеальный п-р-е	— газ..... 53

2. 6. Бета-равновесие между релятивистскими электронами и ядра-
ми. Уравнение состояния Гаррисона — Уилера................... 56

2. 7. Уравнение состояния Бейма — Петика — Сазерленда........ 63

Глава 3. БЕЛЫЕ КАРЛИКИ ............................................. 69

3. 1. Развитие теории белых карликов......................... 69

3. 2. Начальная стадия вырождения............................ 71

3. 3. Политропы ...........................................   75

3. 4. Предел Чандрасекара.................................... 78

3. 5. Усовершенствование чандрасекаровской модели белых карли-
ков ......................................................... 80

3. 6. Сравнение с наблюдениями: массы и радиусы.............. 84

3. 7. Пикноядерные реакции................................... 86
Глава 4. ОСТЫВАНИЕ БЕЛЫХ КАРЛИКОВ ............................... 95

4. 1. Структура поверхностных слоев........................ 95

4. 2. Элементарный анализ остывания белых карликов......... 98

4. 3. Кристаллизация и температура плавления.............. 101

4. 4. Теплоемкость кулоновской решетки.................... 105

4. 5. Уточненный анализ остывания белых карликов........... ИЗ

4. 6. Сравнение с наблюдениями ........................... 115

Глава 5. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ .......................... 119

5. 1. Что такое общая теория относительности? ............ 119

5. 2. Движение пробных частиц............................. 126

5. 3. Гравитационное красное смещение..................... 132

5. 4. Предел слабого поля................................. 134

5. 5. Геометрическая система единиц....................... 135

5. 6. Сферически-симметричные гравитационные поля......... 135

5. 7. Сферические звезды ................................. 137

Глава 6. РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ЖИДКИХ ТЕЛ .................. 140

6. 1. Основные уравнения движения сплошной среды ........  141

6. 2. Лагранжевы и эйлеровы возмущения.................... 143

6. 3. Возмущения интегральных величин .................... 144

6. 4. Равновесие как условие экстремума энергии........... 147

6 5. Возмущения вблизи состояния равновесия............... 149

6 6. Функция Лагранжа для возмущений ..................... 153

6 7. Критерии устойчивости ............................... 155

С Л Точ^ч поворота и возникновение неустойчивости ........	159

б .9. Анализ устойчивости с учетом эффектов общей теории относи-
тельности ................................................. 163

6 10. Устойчивость белых карликов в общей теории относительно-
сти ....................................................... 168

Глава 7. ВРАЩЕНИЕ И МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ ............................. 173

7. 1. Уравнения магнитной гидродинамики .................. 173

7. 2. Магнитные белые карлики ............................ 176

7. 3. Вращающиеся системы: сфероиды Маклорена ............ 179

7. 4. Вращающиеся белые карлики .......................... 186

7. 5. Критерии устойчивости для вращающихся	звезд ........ 195

Глава 8. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ХОЛОДНОГО ВЕЩЕСТВА ВЫ-
ШЕ ТОЧКИ ОБРАЗОВАНИЯ НЕЙТРОННЫХ КАПЕЛЬ ......................... 198

8. 1. Введение ........................................... 198

8. 2. Уравнение состояния Бейма — Бете — Петика .......... 199
8.	3. Нуклон-нуклонное взаимодействие........................ 207

8.	4. Насыщение ядерных сил.................................. 212

8.	5. Зависимость нуклон-нуклонного потенциала от расстояния.	218

8.	6. Потенциал Юкавы ....................................... 219

8.	7. Метод Хартри........................................... 221

8.	8. Метод Хартри — Фока.................................... 224

8.	9. Корреляционные эффекты ................................ 228

8.1	0. Уравнение состояния Бете — Джонсона................... 230

8.1	1. Нерешенные вопросы: Д-резонанс........................ 238

8.1	2. Нерешенные вопросы: пионная конденсация............... 240

8.1	3. Нерешенные вопросы: сверхвысокие плотности ........... 245

8.1	4. Нерешенные вопросы: кварковая материя................. 248
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, ка-
честве перевода и др. просим присылать по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2,
изд-во «Мир» .
Стюарт Л. Шапиро, Саул А. Тьюколски

ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ, БЕЛЫЕ КАРЛИКИ И НЕЙТРОННЫЕ ЗВЕЗДЫ

Физика компактных объектов

В двух частях

1

Научный редактор М. Ф. Путов
Мл. научный редактор В. Н. Соколова
Художник А. М. Драговой
Художественный редактор М. Н. Кузьмина
Технические редакторы: Н.Б.Панфилова и Л.С.Тимофеева
Корректор Р. Л. Вибке

ИБ № 5191

Подписано к печати 15.04.85. Формат 60 х 9O'/i6.

Бумага офсетная № 1. Гарнитура тайме. Печать офсетная.
Объем 8,00 бум. л. Усл. печ. л. 16,00.

Усл. кр.-отт. 16,00. Уч. изд. л. 15,00.

Изд. № 27/3427. Тираж 4000 экз. Зак. 353- Цена 2 р. 60 к.

Набрано в издательстве «Мир»
на фотонаборном комплексе «Компьюграфик»
129820, ГСП Москва, 1-й Рижский пер., 2.

Отпечатано в Тульской типографии Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
г. Тула, проспект им. В. И. Ленина, 109.