/
Author: Хинчин А.Я.
Tags: математика теория вероятностей математический анализ естественные науки
Year: 1936
Text
МАТЕМАТИКА в МОНОГРАФИЯХ
А. Я. ХИНЧИН
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ
ЗАКОНЫ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
OHT3I • НКТП • СССР -19 3 6
Цена 1 р. 50 к. П. 1
МАТЕМАТИКА В МОНОГРАФИЯХ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
акад. И. М. ВИНОГРАДОВА, проф. А. Н. КОЛМОГОРОВА,
проф. Л. А. ЛЮСТЕРНИКА, проф. А. И. ПЛЕСНЕРД
СЕРИЯ ОБЗОРОВ
КНИГА III
А. Я. ХИНЧИН
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ОБЪЕДИНЕННОЕ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО НКТП СССР
А. Я- ХИНЧИН
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ
ЗАКОНЫ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
К
ПЕРЕВОД С НЕМЕЦКОГО
Н. С. ПИСКУНОВА И Л. Н, ЭРАСТОВОЙ
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ОБЩЕТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И НОМОГРАФИЙ
МОСКВА 1936 ЛЕНИНГРАД
Т 26-5-4
ТКК № 109
Редактор Д. А. Райков. Техн, редактор Э. М- Бейлина
Изд. № 80. Тираж 4 000. Заказ поступил с матриц 13/VI 1936 г. Подп-
в печ. 1/VII 1936 г. Формат бумаги 62 X 91 Уч.-авт. л. 5.5. Бум. лист. 3*
Печ. зн. в бум. листе 101 000. Заказ № 989. Уполном. Главл. № Б-2961Ь
Выход в свет июль 1936 г.
3-я тип. ОНТИ им. Бухарина. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В предметном отношении основной целью теории вероятно-
стей является математический анализ массовых явлений. В фор-
мальном отношении этим определяется круг задач, гносеологи-
чески довольно точно очерченный: теоретическое изучение тех
закономерностей явлений и процессов, которые в своих основных
чертах обусловливаются именно массовым характером этих яв-
лений или процессов (т. е. наличием в них большого числа в той
или иной мере равноправных событий, величин и т. п.), так что
индивидуальные свойства отдельных ингредиентов до некоторой
степени оттесняются на задний план. Наконец, в чисто мате-
матическом отношении это приводит к инфинитезимальным ис-
следованиям особого рода, в которых систематически изучаются
и обосновываются предельные законы, имеющие место при без-
граничном возрастании числа ингредиентов. В этой связи так
называемые «предельные теоремы» теории вероятностей отнюдь
не являются какой-либо обособленной ветвью этой науки, но,
напротив, составляют собою наиболее существенную часть ее
проблематики.
Эта «асимптотическая» теория вероятностей в качестве мате-
матической дисциплины далеко еще не представляет собою еди-
ного целого. Совсем недавно совокупность ее результатов состо-
яла еще из нескольких особняком стоящих, не связанных никакой
общей точкой зрения предельных теорем. Лишь в самое послед-
нее время ей удалось добиться некоторых новых установок,
позволяющих надеяться, что в не слишком далеком будущем мы
будем иметь для этой области, основоположной по своему теоре-
тическому значению и чрезвычайно важной по своим практи-
ческим приложениям, единую и цельную теорию. Здесь необходимо
упомянуть, с одной стороны, исследования, возникшие в физи-
ческой статистике в связи с так называемым диференциальным урав-
нением Фоккера-Планка, с другой стороны — ряд чисто математи-
ческих изысканий, посвященных непрерывным стохастическим про-
цессам (Башелье, Адамар, Гостинский, Колмогоров, Финеттии др.).
Учитывая все вышесказанное, я счел наиболее целесообраз-
ным собрать в этой небольшой книжке, которая должна слу-
жить введением в современные методы асимптотической теории
вероятностей, в первую очередь все то, что наиболее содей-
ствует единству теории. Приняв эту основную установку, я
6 ПРЕДИСЛОВИЕ
был вынужден отказаться от изложения многих важных и изящных
исследований, среди которых в первую очередь необходимо отме-
тить прекрасные результаты С. Н. Бернштейна, Леви, Фреше, Ми-
зеса и Полиа. Я старался, насколько это оказалось возможным,
охватить все части строящегося здания единым методом; наиболее
удобным для этой цели мне представлялся метод «верхних»
и «нижних» функций, который, как известно, с успехом приме-
нялся Перроном к разным вопросам анализа и значение которого
для проблем теории вероятностей было недавно открыто и систе-
матически использовано И. Г. Петровским.
Выражаю искреннюю благодарность А. Н. Колмогорову и
И. Г. Петровскому, ценными советами которых я все время
пользовался при составлении настоящей книги и которые предо-
ставили в мое распоряжение ряд своих еще неопубликованных
исследований.
Л. Хинмин
Москва, 14 февраля 1933 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие................................ 5
Глава I
Предельная теорема Лапласа-Ляпунова
§ 1. Сумма независимых случайных величин . . . ♦............ 9
§ 2. Непрерывный стохастический процесс.................... 17
§ 3. Двумерный случай...................................... 20
Глава II
Предельная теорема Пуассона и ее обобщение
§ 1. Предельная формула Пуассона.............................. 27
§ 2. Элементарный прерывный стохастический процесс .... 30
§ 3. Обобщенная предельная теорема Пуассона................. 31
§ 4. Общий прерывный стохастический процесс................. 34
Глава III
Проблемы диффузий
§ 1. Первая проблема диффузии........................ 36
§ 2. Вторая проблема диффузии. Одномерный случай .... 43
§ 3. Двумерный случай.............................. 52
Глава IV
Одностороннее блуждание и обобщение постановки задачи
Лапласа-Чебышева
§ 1. Двумерная проблема одностороннего блуждания...... 61
§ 2. Обобщение постановки задачи Лапласа-Чебышева .... 69
Глава V
Теорема о повторном логарифме
§ 1. Суммы случайных величин.......................... 75
§ 2. Непрерывный стохастический процесс............. 85
§ 3. Локальная теорема о повторном логарифме........ 91
Библиография, 9 . г . . ? ? 5 . . . . ............... 95
$
Глава I
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА-ЛЯПУНОВА
1. СУММА НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1. Наиболее давно и хорошо известный асимптотический закон
теории вероятностей — предельный закон Лапласа-Ляпунова~и
в наши дни остается одним из основных положений этой науки.
Это происходит не только в силу его огромного значения для
все возрастающего числа областей применения, но, главным об-
разом, потому, что современные установки и методы теории вероят-
ностей все больше и больше выявляют его центральное положе-
ние в исследованиях почти всех направлений. Поэтому будет целесо-
образным начать наше изложение именно с этого закона. На-
шей ближайшей задачей при этом будет установить возможно
тесную связь как его содержания, так и методов его доказатель-
ства с общими установками современной теории вероятностей.
Пусть случайная величина х подчинена закону распределения
U (х), который мы будем считать нормированным условиями1):
( х du (х) = 0, ( x*dU(x) = 1 •
Пусть известно, что х есть сумма п независимых друг от друга
случайных величин Xt, Х2, . . ., л\, которые соответственно под-
чинены известным законам распределения: Fx (х), (х), . . ., Лп(х).
Сущность предельного закона Лапласа-Ляпунова состоит в том,
что в случае большого числа п слагаемых при очень общих
условиях U(x) приближается к функции Гаусса-Лапласа:
х 1
ф(х) ------ \ е 2 du
равномерно относительно х, совершенно независимо от специаль*
ных свойств законов распределения слагаемых. Необходимые для
этого условия касаются исключительно веса отдельных слагаемых
в образовании суммы X и выражают тем или иным образом, что
1) Здесь, как и в дальнейшем, не выписан явно нижний (соответственно
верхний) предел интегрирования, равный — оо (соответственно +оо).
10 I. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА-ЛЯПУНОВА
вероятные значения этих слагаемых должны быть малы в срав- -г
нении се всей суммой. Так, например, при выбранной нормировке
вполне достаточно предположить, что третьи абсолютные моменты
величин хк равномерно малы в сравнении с их дисперсиями.
Метод доказательства Ляпунова [27, 28]х) требует несколько мень-
шего, потому что в нем рассматриваются только абсолютные
моменты порядка 2-д-§(5>0 как угодно мало) и соответственно
этому даже не предполагается конечность третьих абсолютных
моментов. Еще более общи приобретающие в последнее время
все большее распространение условия Линдеберга [26], в кото-
рых вообще не встречается никаких моментов высших порядков;
но зато эти условия требуют известной равномерности сходимости
интегралов, представляющих вторые моменты. Нужно, однако,
заметить, что все эти различные формы условий выражают,
в сущности, одни и те же свойства рассматриваемых случайных
величин. Их формальное различие обусловлено, главным образом,
стремлением сделать их более удобными для применения выбран-
ного метода доказательства. Соответственно этому мы примем
условия, которые представляют незначительное изменение условий
Линдеберга и которые особенно удобны для выбранного нами
метода доказательства.
Что касается этого метода доказательства, то он является
в изложенной здесь форме новым, хотя об использованных в нем
соотношениях говорили уже многие авторы, например, желая
установить эвристическую точку зрения или провести аналогию
с другими математическими методами(см., например, [31], стр. 499).
Идея этого доказательства ведет начало от Петровского и при-
менена впервые Колмогоровым [23] к рассматриваемому нами
сейчас вопросу. Кроме простоты и ясности, она имеет еще то
преимущество, что обнаруживает связь изучаемых проблем тео-
рии вероятностей с некоторыми диференциальными уравнениями
в частных производных, чем достигается большая общность. Этот
метод применяется почти без всяких изменений не только к много-
мерному случаю, как читатель увидит еще в этой главе, но даже
к более сложным и глубоким проблемам диффузии, как это бу-
дет видно в следующих главах; теория непрерывных стохастиче-
ских процессоз находит в нем (см. § 2 этой главы) также очень
удобный метод исследования.
2. Условия, при которых функция распределения U(x) всюду
мало отличается от функции Гаусса-Лапласа Ф(х), мы сфор-
мулируем так: при очень малых т^>0 все интегралы
xldFk (х) (k - 1,2, . . ., п)
\> -
1) Числа в квадратных скобках относятся к литературе, указанной
к конце книги.
1. СУММА НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 11
должны быть очень малы в сравнении с соответствующими дис-
персиями
( x'ldFk(x) = bk (k = 1,2, . . п)-
при этом предположено (только для сокращения записи), что
математические ожидания всех хк (6=1,2, . . и) равны нулю.
Тогда теорему можно сформулировать следующим образом: для
каждого г^>0 существуют два таких положительных числа
т и а, что каждый раз, как только выполнены условия
x*dFk(x)<\bk (£ = 1,2, (L)
' X > ~
для всех х
\U(x)—-Ф(х)!<2е.
Для лучшей ориентировки мы дадим сначала краткий обзор
всего хода доказательства. Если (7й(х) (6 = 1,2, . ..,и) обозна-
чь
чает функцию распределения суммы xt, то, очевидно,
i=i
ЦДх) =£/(*)
и при 6> 1
(1)
Функция ф(Д=) в полуплоскости z>0 есть решение уравне-
ния теплопроводности
дФ 1 д2Ф
dz ~~ 2 дх2 *
Основная идея доказательства Петровского-Колмогорова состоит
во введении «верхней» функции 1)
V (х, z) = Ф (~~=^ 4-
(s > О произвольная постоянная), которая, очевидно,
ряет уравнению:
dV __ .
dz ~~ 2 дх2 4' £‘
удовлетво-
(2)
9 Для эллиптических уравнений это понятие введено О. Реггоп’ом [32],
для параболических — использовано Sternberg’oM [36].
12
Т. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА-ЛЯПУНОВА
Можно показать, что для каждого 5>0 и достаточно малых
т и к во всей полуплоскости z^>5
V (x,z + b^)>\V(x — Z,z)dFk(l) (£=1,2, . . .,п). (3)
Это составит содержание основной для дальнейшего леммы 1.
Рекуррентным способом из уравнения (1) и неравенства (3) мы
легко придем к заключению, что величина Un (х) — U(х) будет
п
не намного больше, чем v(x, J? V(*, 1) = Ф(х) + г, и, сле-
7с = 1
довательно, только немного больше, чем Ф (х), так как s может
быть выбрано как угодно малым. Так как совершенно таким же
образом доказывается обратное неравенство (с — г вместо + е),
то этим теорема доказывается полностью.
3. Лемма 1. Для каждого ё>0 при достаточно малых ~
и \ из неравенств (L) следует неравенство (3) во всей полу-
плоскости с >5.
Доказательство. Заметим сначала, что все частные про-
изводные функции V(x, z) в области z> 8 равномерно ограничены
и равномерно непрерывны. Далее
V (х - z) = V (х, z) - + у г + Р (*, ;*),
где невыписанными явно аргументами всюду служат х и z. По-
этому в силу условий {dFk(^)~- 1 и [%dFk (;) = О получаем:
$ V(z-t,z)dFk®=V (x,z) + ±bk~ + J, (4)
где
J= j р(хЛ z)dFk®.
Если обозначить теперь через М($) верхнюю грань абсолют-
ных значений частных производных второго порядка от V(x,z)
в области z>S, то везде в этой области
! р(х, 5,
если т>0 достаточно мало, то мы имеем, кроме того, в силу
d2V
равномерной непрерывности в этой же области
|Р(Х,’,2) <|;3 при
1. СУММА НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 13
Если воспользоваться условием (L) Линдеберга, то отсюда
получится:
\J\<\\?(x,^z)\dFk^ + \ ;р(х,=,г):^(;)<
— “ I с.>~
м(5)\ьк.
Если выбрать ). <о~лЛ*\-> то
Зм (о)
7 2г к .
J < 3 Ь»
если же еще принять во внимание., что V(x, z) удовлетворяет урав-
нению (2), то из (4) следует:
(5)
Однако, с другой стороны, в силу (L)
bk^\^dFk(-) + ( +
— t I 5 | > т
Ьк < ргд > (6)
и, следовательно, в силу того^ что
V(x, г + Sl) » V(X, г) + Ь„+ 1 й[d^].
будем иметь:
V(x, г + Ьк}> V (х, г) + Ьк ^-1Ь1М(8)>
Т7/ . , . dV 1 (S) .
> V (х, z) т bk Tz - у -у-^- Ьк.
При достаточно малых тиа отсюда получается:
V(x,z + bk)> V(X>z) + bk~—±bk. (Г)
Из (5) и (7) следует неравенство (3), что и требовалось
доказать.
Для того чтобы закончить доказательство основной теоремьь
остается доказать еще следующую элементарную лемму:
Лемма 2. Пусть две случайные величины имеют матема^
тические ожидания нуль и дисперсии < если Gt (х) и, "
14
I. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА-ЛЯГТУНОВА
соответственно, (х) — их функции распределения, то для всех
х и всех а 0 имеет место неравенство:
О1(х)-О2(х + 2а)<1.
Доказательство. 1) В случае — а из неравенства
Чебышева следует:
GJxXGJ-axl
и a fortiori
Gj (х) — О2(х4-2а)<
2) В случае х>- а из того же неравенства вытекает:
G2 (x + 2a)>G2(a)>l—1
м а fortiori
G, (х) - О, (х + 2a)< 1 - О8 (х 4-2a)< 1.
к к
4. Сумма 2е** имеет дисперсию и закон распре-
?=1 t=i
деления Uk(x). Если фиксировать выбранную в лемме 1 постоян-
ную 8, то можно в силу (6) утверждать, что при достаточно
-малых Хит выполняются неравенства
Ьк<% (& — 1,2, ..., л).
Тогда в ряде величин BVB^ ...,ВЛ будем иметь:
и Вп = 1 > 8 (требование 8 < 1, разумеется, не вносит ограничения).
Пусть Bs — первый член этого ряда, который больше, чем
8(1 < s < л); очевидно, тогда
Закон распределения Us(x) имеет, следовательно, среднее зна-
чение 0 и дисперсию В8<2$. Но Ф есть также заксн рас-
пределения с такими же точно свойствами и, следовательно, по
лемме 2 для всех х и всех а>0:
вд-фХ!
v 7 \ V в, J “г
и а fortiori
Ц(х)-V(x + 2a,B,)-G,(x)-‘>(^)-£S,<^. (8)
\ у Da /
СУММА НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 15
Но в силу того, что по лемме 1 для £>$ получается:
V (X 4- 2а, Вк) > р(х + 2а - Вк^ dFk (3); (9)
поэтому, если положить вообще
Г4(х) = Ц(х)-У(х + 2а,ВД
то, вычитая из равенства (1) неравенство (9), получаем:
^4(х)< $ Wk^x-\)dFk&.
Если обозначить теперь через верхнюю грань Wk(x\ то
отсюда, в силу того, что 1, получается соотношение
$)• А отсюда рекуррентным способом получается
и, следовательно, в силу (8)
£7„ (х) — V (х + 2а, В„) = £/(х)-Ф(х + 2а)-8<>х,<5
или
аг 4-2а
t/(x)<0(x) + -l= ( e~^"'du + е + <ф(х)+ +е+
и при соответствующем выборе а и S
(7(х)<Ф(х) + 2е.
Совершенно аналогично [введением «нижней» функции ФЛД.-)—
L \ V z J
— можно для достаточно малых кит доказать неравенство:
L7(x)> Ф(х) —2г.
Этим, очевидно, полностью заканчивается доказательство.
5. В этом доказательстве явно совершенно не встречается тре-
бование большого числа п слагаемых. Но оно неявно содержится
в вытекающем из условия (L) неравенстве (6), которое требует,
чтобы дисперсии слагаемых были малыми, в то время как общая
дисперсия предполагается равной единице. Эта введенная Лин-
дебергом [26] нормировка, хотя несколько и необычна, но очень
удобна в большинстве приложений (в теории ошибок, в проблемах
диффузии), потому что, как правило, там всегда идет дело о ма-
леньких случайных изменениях, которые только в сумме дают
заметный эффект. Теорему можно рассматривать как решение
простейшей линейной проблемы диффузии: частица, выходя из
нулевой точки, следующими один за другим шагами движется
16
I. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА-ЛЯПУНОВА
вдоль прямой; хк обозначает приращение ее абсциссы за 6-й
п
шаг, а —ее абсциссу после л шагов. Отдельные шаги
к = Л |
происходят в очень маленькие промежутки времени. Зак^р распре-
деления изменения абсциссы, вообще говоря, для различных ша-
гов различен [Вк(х) зависит от k]. Требуется найти асимптоти-
ческое выражение закона распределения абсциссы х конечного
положения, если интервалы времени, в которые совершаются от-
дельные шаги, неограниченно уменьшаются.
Обычная нормировка, которая связана с первоначальным
специальным случаем Лапласа, несколько отличается от только
-что рассмотренной. Там количество п слагаемых возрастает до
бесконечности, в то время как их законы распределения остают-
ся неизменными; Ьк остаются при этом конечными, в то время как Вп
вместе с п бесконечно возрастает; соответственно этому отыскивает-
х
Ж
ся распределение
величины
; условие Линдеберга при этом
изменяется так, что при любом т>0 интегралы
1 $ jA/ВД
М > т Увп
(6=1,2,
стремятся к нулю равномерно относительно 6<я, когда п—*оо.
Конечно, как сам результат, так и все детали доказательства
остаются в силе и в этом случае. В этой форме условия Лин-
деберга его истинный смысл особенно ясен. Действительно, как бы
ни было мало т, для каждого фиксированного k написанный
здесь интеграл стремится к нулю, если Вп бесконечно возрастает;
единственно новое, чего требует условие Линдеберга от этой
сходимости, это ее равномерность относительно 6, которая,
конечно, a priori может не иметь места.
Как известно, в классическом случае Лапласа все функции
распределения Вк (х) одинаковы и возрастают только при х = О
и х=1. Тогда говорят о ряде случайных назависимых друг от
друга событий, которые имеют одинаковую вероятность /г, если
т есть число тех из п первых событий, которые случайным образом
действительно наступили, то пр есть математическое ожидание
величины т и пр(\—р)— ее дисперсия. Вероятность неравенства
'/п — пр<х\/пр(1 —р)
для больших п близка к
Ф(.г)
^Ле-^du.
V2* <•
2. НЕПРЕРЫВНЫЙ СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС 17
2. НЕПРЕРЫВНЫЙ СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
6. Если рассматривать разобранную в § 1 проблему как про-
блему линейной диффузии, как это точнее было описано в п. 5,
то естественно возникает желание предположить весь процесс
изменения с самого начала непрерывным. Сейчас мы будем рас-
сматривать непрерывно меняющуюся случайную величину х (абс-
циссу движущейся частицы), считая уже, что вместо дискрет-
ной последовательности отдельных шагов имеет место непрерыв-
ный стохастический процесс, когда происшедшее изменение
положения учитывается в каждый момент, а не только в конце
определенных интервалов времени.
Естественно ожидать, что распределение вероятностей для х
в каждый определенный момент при очень общих условиях под-
чиняется закону Гаусса-Лапласа. Эта новая постановка вопроса,
которая отличается от прежней тем, что ищется сама функция
распределения непрерывного процесса (а не только ее асимптоти-
ческое выражение, как раньше), была впервые рассмотрена Ва-
chelier [1, 2], однако неудовлетворительными с математической
точки зрения средствами. Но в самое последнее время благодаря
работам Колмогорова [19, 21] и Finetti [6, 7] она получила боль-
шое развитие и обобщение и сделалась одной из прекраснейших
глав теории вероятностей, для которой настоящий параграф
является только первым элементарным примером.
Из исследований Колмогорова видно, что форма Гаусса-Ла-
пласа непрерывного стохастического процесса есть единственно
возможная форма при очень общих условиях. Здесь мы не на-
мерены, однако, исследовать необходимые для этого условия во
всей их общности. Скорее мы стремимся к другой цели: ценою
введения некоторых ограничительных предположений благодаря
получающимся отсюда некоторым формальным упрощениям воз-
можно отчетливее выявить идею доказательства.
Соответственно этому мы предположим, что функция распре-
деления для изменений, которые получает х в любом промежутке
времени, имеет непрерывную производную (плотность) и что эта
производная удовлетворяет известным условиям диференцируемости,
которые позднее будут определены точнее.
Обозначим через f(z,tvt^dz вероятность того, что за про-
межуток времени (tv Z2) изменение х лежит между z и z-\-dz.
Математическое ожидание этого изменения
J г / (2, tv Q dz
мы будем считать равным 0 тождественно для tx и /2, а дис-
персию
\z4{z,tvQdz
2 Хинчин, Асимптотические законы
18
I. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА-ЛЯПУНОВА
обозначим через Изменения х за неперекрывающиеся
промежутки времени пусть будут взаимно независимы, вслед-
ствие чего
В (^1> ^2) + М — G1' Q G1 < ^2 < ^з)’
Теперь мы сделаем необходимое для непрерывной картины про-
цесса предположение, что t2) диференцируемо по *), и
положим для сокращения
В (О, t) = B(t), B'(t)^£(t\
Очевидно,
-f(z,/ + Д/) = ^ + (10)
Введем еще следующие ограничительные предположения относи-
тельно искомого закона распределения. Мы предположим, что^-
и ~~ для всех t > 0 и всех z существуют и что для каж-
дого фиксированного £>0 равномерно непрерывна и ограничена.
Далее пусть выполняется вполне аналогичное условию Линде-
берга соотношение:
(L)
при Д/—*0 и любом, сколь угодно малом, постоянном т.
Если теперь Д/ бесконечно мало, то, с одной стороны,
<?(2,/ + Д0 = 'Р(г,0 + -|т^ + о(Л0' (И)
i) Нужно, однако, заметить, что при сделанном предположении уже
невозможно непрерывный стохастический процесс считать истинной
картиной случайного блуждания материальной частицы, так как пред-
положение, что квадрат изменения абсциссы для маленьких интерва-
лов времени имеет порядок Ы (а не Дтi) 2), требует, очевидно, бесконеч-
но большой скорости. Однако ясно, что уже предположение взаимной
независимости изменения положения для двух соседних достаточно ма-
лых промежутков времени не может выполняться, так что вся схема
непрерывного процесса для действительных процессов диффузии яв-
ляется «непрерывной идеализацией», однако, обычного в физической
статистике вида.
Функциональное уравнение (10) очень часто используется в теорети-
ческой физике; его называют иногда уравнением Смолуховского. В ма-
тематическом отношении это уравнение в последние годы в ряде работ
довольно подробно исследовано Гостинским.
2. НЕПРЕРЫВНЫЙ СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС 19
С другой стороны, однако,
4=’(ISU,-S} <»<’<»,
где невыписанными явно аргументами всюду служат z и t. Сле-
довательно:
$<?(*- + Д0 < = Ч (^> t) + i В (t,t + ДО g + J, (12)
где
'Ч5;,{[®LK.-ЗИ>,‘+w-
Если разбить теперь в последнем интеграле интервал интегри-
рования на две части | С | < т и | С | > т, то в первой части раз-
ность, стоящая в фигурных скобках, для достаточно малых т
как угодно мала в силу предположенной равномерной непрерыв-
ности так что абсолютное значение этой части интеграла
как угодно мало в сравнении с ДЛ Вторая часть в силу усло-
дЧ
вия (L) и равномерной ограниченности также как угодно
мала в сравнении с Д/, так что в целом можно считать
J=o (ДО-
Поэтому из (10) в силу (11) и (12) получается:
|;-д/=1в(/,/+Д0^+о(Д0=
= |^[В(*+Д0-В(0] + <>00~
=|5чод^+чдо>
что в пределе при М —♦ 0 приводит к
A?=_Lr(7)
dt 2 ?w dzr
Замена переменных
B(t)= ( ^u)du=»f
о
*
20
I. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА-ЛЯПУНОВА
переводит это диференциальное уравнение в каноническое урав-
нение теплопроводности
д? __ 1 д2Ф
^7 - 2"а?2‘
Его решение, удовлетворяющее условию
\ <р (z, t') dz — 1
дается, как известно, формулой
Таким образом функция
f (z, 0, f) = ..==•. в
при поставленных условиях есть единственно возможное распре-
деление для случайной величины, находящейся в непрерывном
стохастическом процессе.
3. ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
7. Вернемся теперь к первоначальной проблеме и перенесем из-
ложенный в § 1 метод на многомерный случай. Так как число
измерений несущественно, для сокращения записи ограничимся
двумерным случаем. Пусть , Хп и ,.Уп"“два
ряда случайных величин; пара величин х„ ук (& —1, 2,..., и),
вообще говоря, может быть взаимно зависима, но все другим
способом составленные группы взаимно независимы. Мы опять
предположим, что математические ожидания всех величин равны
нулю; через Ь'л и, соответственно, Ь" и ск обозначим математи-
ческие ожидания Xki и, соответственно, у% и Хкук> так что
означает коэфициент корреляции пары величин хк> ук.
Положим далее: ш
п п k к к
^хк=х, Sw=^, 2^'=5",
1 k=zl ?—1 I—1 i=l
и через U (х,у) обозначим функцию распределения для пары
сумм Х,у.
3. ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
21
Обобщенная предельная теорема Лапласа-Ляпунова * утвер-
ждает, что при известных общих условиях функция U(х, у) при
большом п равномерно относительно х и у близка к двумерной
функции Гаусса:
Ф (%> У> i Вп , б?п) —
" « У-----—1-----(в"& + в' v* — 2(7Лw)
=______ 1 * * * _ С С е АВЛ сп) du dv
независимо от законов распределения отдельных пар слагаемых.
Доказательство этого утверждения требует очень мало прин-
ципиально нового в сравнении с одномерным случаем. Вся-
кий метод, который приводит к решению одномерной проблемы,
можно в принципе перенести на многомерный случай. И дей-
ствительно, в литературе известно уже много таких перенесений х),
хотя эти вопросы относятся к кругу новейших проблем теории
вероятностей. Здесь будет намечен ход рассуждений, который
является непосредственным обобщением использованной в § 1
идеи доказательства Петровского.
Перечислим теперь точно те условия, при которых будет до-
казана теорема. Эти условия разбиваются на две группы: пер-
вая группа состоит в том, что выполняются условия Линдеберга
отдельно для каждого из двух рядов величин. Если обозначить
через /\(х, у) функцию распределения пары переменных ук,
то для очень малого т>0 все интегралы
У J J Ч), рг $ 71) (А= 1, 2, ..., п)
к iei>T * гч|>т
всегда должны быть очень малы (конечно, Crt рассма-
триваются при этом как постоянные, соответственно первому
виду нормировки в § 1).
Вторую группу составляют условия, которые происходят от
повышения числа измерений и поэтому не имеют аналогий
в одномерной проблеме; они должны как-то выразить невозмож-
к
ность вырождения; иначе, эллипсы корреляции сумм 2 и
к
2 Уг лля всех k < п должны иметь эксцентриситет, который
г—1
остается меньше некоторого постоянного р<1; этим предусма-
1) Так, известно, например, доказательство С. Н. Бернштейна [3] по-
средством характеристических функций, которое можно рассматривать
как первое решение проблемы. Далее см. Casteinuovo [5] (метод моментов)
и Хинчин [15] (метод Линдеберга).
32
I, ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА-ЛЯПУНОВА
тривается исключительно то, чтобы распределение было суще-
ственно двумерным. Для этого необходимо и достаточно, чтобы,
в;
во-первых, отношения —„ (k = 1,2,.. ., п) были заключены ме-
жду двумя положительными числами /t и /2 и, во-вторых, чтобы
С k
все коэфициенты корреляции /?.=—, пар сумм и
В"
2^ оставались меньше фиксированной границы /?<1; оба
I— 1
эти предположения в дальнейшем мы будем всегда считать вы-
полненными.
8. Двумерная функция распределения Гаусса:
, , ,1 ГС _ 1
= 2»r'T'JJ Ё dUdVy
где положено для сокращения A = — удовлетворяет при
zt>0, <г2>0, Д>0 системе уравнений с частными производными:
дФ _ 1 д-Ф
dzi ~~ 2 дх2 ’
дФ __ 1 д2Ф
дг2 2 ду2 9
ОФ __ д2ф
dz3 дхду*
Если теперь s —малое положительное число и
И(х, у, zt, zv z3) = Ф (х, у, zv zit z3) + г (z, + Дг),
то, очевидно, при zt > 0, > 0 и Д > О функция V(х, у, zt, zv z3)
удовлетворяет системе уравнений:
__ 1
dzt ~ 2 дх2 + 6
dV _ 1 dW
dz3 ~ 2 Эу2 + 8
dV _ д2У
дхОу *
(13)
н легко видеть, что для каждого малого положительного числа 5
все частные производные функции V в области
<4<(1 —8) равномерно ограничены и равномерно непрерывны
относительно у.
3. ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
23
Теперь можно для этой области вывести неравенство
ИУ> + bi, z* + bk, z3 + ск)>
ГС.., * ч
> ? Г “4’У ~ Г| ’ diF,: Т|)
вполне аналогичное неравенству леммы 1 в § 1<
В самом деле, с одной стороны,
Л , ^3 + С&) “ + &'к fa +
++0 fa ь>*) ’
где, как и во всем дальнейшем, невыписанными явно аргумен-
тами всюду служат х, у, zv г2, г3, а с другой стороны,
V(x — $, у — т(, z(, z2, z9) =
_ ,dV dV 1 .dW . dW \
_ y_S_ _Г( __ + _ . + Г) __ + 2,r( +
+ (s2 + ’i‘2) P(X, y, q, rh zv Z„ 23),
где p(x, y, q, 7j, zu za, представляет функцию, которая при
достаточно малых £ и Tj равномерно относительно всех других
аргументов как угодно мала и, кроме того, остается абсолютно
ограниченной. Поэтому получается:
^V(x —q,j —г,, zu z2, 23) d2F4($,T|) =
, 1 ,, dW , 1 dW . д’-V . , (16)
~V+ 2 bk dx‘i + 2 b* dyi + Ckdx dy + J’
где
J=Z J J(^ + r|2)P(X>-^> «> ГЬ 21> 22’
Для того чтобы оценить этот последний интеграл, разобьем об-
ласть интегрирования на следующие четыре части:
Л)
Г>2)
Ds)
Dt)
1*ю,
1*11<т;
Ы>т;
hl>^;
Ы<т,
где т — как угодно малое фиксированное положительное число;
если обозначить теперь получающиеся четыре интеграла соот-
ветственно через Jp /2, /3, то приобретает желаемую фор-
му J 1 = о (bi + b^) в силу того, что р как угодно мало в рас-
24
I. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА Л АПЛ АС А-ЛЯПУНОВА
сматриваемой области; для /2, очевидно, получается то же самое
из условия Линдеберга; для J3 и оценка будет в силу сим-
метрии производиться одинаково, так что мы займемся только
оценкой Л:
*
I Jt 1 = И $ (^ + <2) Р d.F. (=, т() | < М И 2г(ЧFk (;, U
К
ho-
me Л4 есть верхняя грань |р[. Таким образом согласно усло-
виям Линдеберга J3 и имеют также вид o(bi + Ь”), так что
мы можем окончательно написать:
= о(&£ + ^).
(17)
Как и в одномерном случае, здесь можно также легко заклю-
чить из условий Линдеберга, что дисперсии Ь^Ь'ь можно счи-
тать как угодно малыми, так что bC + Ь"1~ о (ЬЬ + Ь”)> Если
принять во внимание уравнения (13), то (15) может быть запи-
сано следующим образом:
V(х,у, zx + b'k, z* -^-b", zz + сА) == V + ~ bi 4- ~ bk +
+ ek dx~dy + e (^ + + о(Z?fc + bk),
в то время как уравнение (16) в силу (17) приводится к виду:
И V(x—^y—rhzi,zi,zt)diFt(^, tj) = v+y bk +
+ Jbi ~dyF + c* д^ + 0(-Ьк + Ь^-
Из обоих последних соотношений, очевидно, следует неравенство
(14), что и требовалось доказать.
9. Остальная часть доказательства отличается еще меньше от
соответствующих рассуждений в одномерном случае. Вместо
леммы 2 здесь имеет место следующая двумерная лемма, дока-
зательство которой точно так же просто, и потому мы остав-
ляем его читателю: пусть две пары величин с функциями рас-
пределения Gx(x,y) и, соответственно, G2 (х, у) имеют математи-
ческие ожидания, равные нулю, и все их моменты второго по-
рядка не превосходят положительного числа [J; тогда для каждого
а > 0 и всех х и у:
<?1 (х, у) — G2 (X + 2а, у + 2а) < .
Выберем теперь постоянное малое число . S > 0 и предполо-
жим, что все Ьк и Ь'к меньше, чем 5, и пусть опять s есть наи-
3. ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
25
меньший номер, для которого хотя бы одна из дисперсий
Bg больше, чем 5. Вейлу того, что B'g _ х < 5, Bfs,^i < 5, b’s <5,
b'g <5, заключаем, что Bfs <23, В” <25; если поэтому обозна-
чить вообще через Ц(х, у) функцию распределения пары сумм
к к
X то по вышесформулированной лемме для всех х, у
i — 1 г = 1
и всех а > О
Us{x, _у)~Ф(х + 2а, _у + 2а, В’, B's', С,)<^-
и a fortiori
U,(x,y)-V(x + 2a, y + 2a, В', %, C,)<^-. (18)
По определению номера 5 большая из величин В*, Б" больше,
чем 5. Однако, так как мы приняли, что отношение этих величин
заключено между двумя фиксированными положительными числами,
то отсюда мы можем заключить, что обе дисперсии непременно
превосходят некоторую фиксированную положительную границу.
Наконец, по нашему предположению
что имеет следствием:
Таким образом выполнены все предположения, использованные
при доказательстве неравенства (14) с zt = Bk_,v z^ = Bk^,
и и мы можем заключить, что при s<k<^n
и для всех х,у, а
У(х + 2а, у + 2а, Bl, В%, Ск)>
>^х + 2а-£, у + 2а<, В'к^ В''_ t Ck^)d^k&rfr °9)
Но так I гк с другой стороны, очевидно,
Uk(.x, У) — Ц — Z,y — (1 <£<»), (20)
то, если положить
(*> JO — V(x + 2a, у + 2a, Bl, В”, Q) = Wk (x, у),
в результате вычитания (19) из (20) получается:
W^x-^y-r^d.^,^ (s<k<n).
26 I. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА-ЛЯПУНОВА
Если обозначить теперь через верхнюю грань 1Г*(х, у), то
рекуррентным способом из этого неравенства получается цп<рч
43
и, так как по (18) то для всех х,у:
1 wn(х,у) = ил (х, у)- Ф (х + 2а, у + 2а, В", Сп) -
и, следовательно:
ип(х,У)<Ф(х,у, вп, в'п> вп) + О(а) + s (В' + Вп) + ~.
Здесь В'п, В" и Сп согласно установленной нормировке рас-
сматриваются как постоянные. Подходящим выбором е, а и 3
сумма трех последних членов, стоящих в правой части, может
быть сделана как угодно малой. Этим половина теоремы дока-
зана; вторая половина здесь, как и в одномерном случае, дока-
зывается вполне аналогично: вместо «верхней» функции
ф -f- е (zt + z%) вводится «нижняя» Ф — е (z} Ч- г2) и все неравен-
ства обращаются.
Ясно, что обобщение на чисто измерений больше двух не тре-
бует никаких дополнительных пояснении*
Глава II
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ПУАССОНА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ
1. ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМУЛА ПУАССОНА
- 1. Первоначальная лапласова форма изложенной в первой
главе основной предельной теоремы теории вероятностей отно-
силась, как об этом уже было упомянуто в конце § 1, к так
называемой схеме Бернулли, которую нужно рассматривать исто-
рически как исходный пункт всех инфинитезимальных теоретико-
вероятностных рассмотрений. Если имеется неограниченный ряд
независимых между собою событий х):
р Р р
^2» • • • > Ьп> • • * >
каждое из которых имеет вероятность р, то вероятность того,
что среди п первых из этих событий появится точно т, дается
формулой Ньютона:
рА^^т)ртО-Р'Г~т- (1)
Если при этом п увеличивается до бесконечности, то здесь воз-
никает целый ряд предельных проблем, из которых самой важ-
ной является проблема Лапласа: определить предельную зависи-
мость от х вероятности неравенства * 2)
т — пр<х\/пр(1 —р).
Но с давних пор известна еще одна связанная с этой же схе-
мой более элементарная предельная проблема: дать приближенную
оценку Pn(pi) в предположении, что п очень велико, а р очень
мало, так что математическое ожидание а~пр величины т
остается конечным. Если в (1) положить р = и при постоян-
9 Вместо этого часто говорят о бесконечном ряде испытаний, отно-
сящихся к появлению одного определенного события.
2) т есть случайная величина: количество фактически появившихся
Событий Ек среди первых п, л
28 П. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ПУАССОНА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ
ном а неограниченно увеличивать л, то получится, как это видно
из простых вычислений:
н™ Ра^) = а-~-. (2)
п -> ОО
Это есть так называемое предельное распределение Пуассона 1).
ОО
— = *> формула (2) дает
т=0
вполне определенный закон распределения, который зависит от
одного параметра а\ практически эта формула применяется
' в статистике «редких» явлений (малое р). В старых учебниках
область ее применения ограничивалась только совершенно необы-
чайными событиями (как, например, самоубийства детей), в связи
с этим она получила также не совсем подходящее название:
«Закон малых чисел» (L. v. Bortkiewicz).
В последнее же время этот предельный закон, ввиду его много-
численных применений в физике и технике (явления различного
рода колебаний, радиоактивный распад атомов, телефония и
многие другие), получил огромное значение, которое в настоящее
время все возрастает, так что теперь на предельное распределе-
ние Пуассона надо смотреть как на одно из важнейших мате-
матических орудий исследования в естествознании и технике. Но
и в теоретическом отношении он связан с важным кругом идей,
значение которого все возрастает, как это будет подробно из-
ложено ниже. Точно так же, как распределение Гаусса-Лапласа
господствует в непрерывных стохастических процессах (ср. гл. I,
§ 2), распределение Пуассона оказывается краеугольным кам-
нем теории общих прерывных (происходящих скачкообразно)
стохастических' процессов, и этим, конечно, объясняется его
огромная применимость.
2. Первая схема применения пуассонова распределения отно-
сится к проблеме вариации числа частиц. Пусть большое число
п частиц случайно распределено по области /?. Разобьем R на
большое число $ маленьких ячеек. Предположим, что для каждой
частицы вероятность находиться в одной определенной ячейке
одинакова для всех ячеек ^следовательно, равна и поло-
жение остальных частиц на эту вероятность не влияет (взаимная
независимость событий). Вероятность того, что в наперед за-
данной ячейке будет находиться точно тп частиц, дается тогда
1) Мизес [30] показал, что та же предельная теорема справедлива и в
случае, когда вероятности рассматриваемых п событий различны, но
только их сумма (т. е. математическое ожидание величины tri) остается
равной а. Ср. также исследования Н. Pollaczek-Geiringer’a [34].
1. ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМУЛА ПУАССОНА
29
Если рассматривать п и s как бесконечно большие величины оди-
накового порядка (чего можно всегда достичь подбором величины
ячейки), так что отношение = cl может считаться постоянным,
то в пределе, очевидно, получается распределение Пуассона (2),
которое, таким образом, в этом случае может быть использовано
как практически пригодная формула для вычисления Рп(т).
3. Вторая, несколько отличная, схема применения, которая
более удобна для решения вопросов, относящихся к событиям,
протекающим во времени (телефония, радиоактивный распад
атома), много раз подробно разбиралась Борелем. Представим
себе п точек, которые распределены случайным образом в ин-
тервале (а, Ь) длины b — a = nl. Пусть вероятность того, что одна
из этих точек попадает в определенный частичный интервал §
данного отрезка (a, Ь), будет пропорциональна длине этого
8 ттт
интервала и, следовательно, равна • Шансы отдельных то-
чек предполагаются взаимно независимыми. Пусть теперь имеется
интервал фиксированной длины 1; отыскивается вероятность того,
что в этот интервал попадет точно т точек. Ответ, очевидно,
дается формулой:
Если количество точек бесконечно возрастает, а вместе с этим
пропорционально ему возрастает и длина всего отрезка (а, #),
в то время как I и X остаются постоянными, то получается
lim Рп(т)
n->oo
т\
(3)
Если представить себе данную прямую как ось времени, а слу-
чайным образом расположенные на ней точки как моменты по-
явления некоторых п событий, то предыдущий результат можно
сформулировать следующим образом: если в промежуток времени
длины nl появляются п взаимно независимых событий, для
которых одинаковы вероятности произойти в любые два оди-
наковых по длине промежутка времени, то распределение для
числа т событий, которые появятся за промежуток времени
длины ), при неограниченном возрастании п неограниченно
приближается к пуассоновскому распределению (3).
Во многих математических исследованиях по телефонии этот
результат является исходным. Но часто встречается также и
другая постановка задачи, при которой распределение Пуассона
является точным решением соответственно измененной задачи
(рассматриваемой как стохастический процесс). Такая постановка
будет изложена в следующих параграфах.
30 П. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ПУАССОЙА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ
2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ПРЕРЫВНЫЙ СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
4. Для теоретического исследования случайных явлений, которые
состоят из последовательности происходящих время от времени
моментальных изменений, существует очень подходящий способ, ко-
торый представляет некоторую аналогию с исследованием непре-
рывных стохастических процессов, рассмотренным в § 2 первой
главы. Здесь также пуассоновский закон распределения появляется
не в качестве только асимптотической формулы для некоторой
конечной проблемы теории вероятностей, но как точное решение
задачи, в самой формулировке которой в некотором смысле уже
сделан предельный переход.
Элементарный прерывный стохастический процесс состоит,
по определению, из последовательности появляющихся друг за
другом событий вполне определенного вида (распад атома, теле-
фонный вызов и т. д.). Вероятность того, что по крайней мере
одно событие рассматриваемого вида появится за определенный
промежуток времени .длины предполагается независимой как
от начального момента этого интервала, так и от всего того,
что произошло до него. Обозначив эту вероятность через ф(£).
О вероятности для малого промежутка времени сделаем следую-
щие предположения:
1) (/) = X/о (/), 1 > 0 — постоянно;
2) вероятность ф(0 того, что в интервале времени длины t
появится больше, чем одно событие рассматриваемого вида,
есть о (/).
Если обозначить теперь через /(/) вероятность того, что
в интервале времени длины t не появится ни одного события рас-
сматриваемого вида, так что/(^) = 1—<f(/), то, очевидно,
f(t + до =/(0/(Д0 =/(0 [1 - Ч> (ДО] =/(0 [1 - Ш + о (ДО]
и, следовательно,
/'(0=-)/(0, /(0 = Се-«
или, так как /(0) = 1,
f(f)=.eu, if (0= 1 —
Если обозначим через wfc(Z) вероятность того, что внутри
промежутка времени длины t появится точно k событий рассма-
триваемого вида, то .
(0^/(0
и при k > 0 по условию 2
(< + ДО = (0 к'о (ДО Д- (0 «’1 (ДО + о (ДО —
' = (0/00+(О (г (ДО - ф (ДО] + о (ДО=
«=^(0(1— ио+(0 ш+о (До,
3. ОБОБЩЕННАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ПУАССОНА
31
и, следовательно,
' wdt + ДО - wk (/) = _ (/) + . +
и в пределе при Д/ —> О
(t) = wk _ ! (/) - wk (0 (к > 0).
Решение этого разностно-диференциального уравнения получится
проще всего, если положить
W/c Ф ~ e~U 11 к (£ > 0),
что приводит к
«;(0=Х«»-1(0 (*>о).
Так как при &>0 будем иметь и4(0) =w4(0) = 0, то, следова-
тельно,
/
= (4)
Но
(0=/ (0=е~и, "о (0 ”(/)=1.
Поэтому при помощи индукции из (4) получаем;
и, следовательно,
в интервале времени t получается, таким образом, пуассоновское
распределение с математическим ожиданием К/.
3. ОБОБЩЕННАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ПУАССОНА
5. Проблема Бернулли есть самый элементарный частный слу-
чай общей постановки вопроса Чебышева о законе распределения
сумм большого количества случайных величин. В первой главе
мы занимались лапласовской предельной теорехмой непосредственно
как общей проблемой и только потом выделили классический
случай Бернулли-Лапласа. Для предельной теоремы Пуассона
мы выбрали как раз обратный пут£, так как эти вещи матема-
тически хотя и гораздо проще, но менее известны. Теперь
.перейдем к общей постановке вопроса.
32
П. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ПУАССОНА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ
Рассмотрим большое количество п независимых друг от друга
случайных величин xv . ., хп, которые все подчинены од-
ному и тому же закону распределения Л(х); пусть последний
таков, что
F( + 0) — F( — 0) = 1 — (а > 0 постоянно),
а в остальном совершенно произволен. Этим мы предполагаем
а
только, что каждая отдельная величина с вероятностью — от-
лична от нуля.
Если определить закон распределения е(х) следующим образом:
г(х)~— 0 для х<0,
е (х) = 1 для х > 0
и положить
?(х) =(1 - £)е (х) + £ Ф (х),
то Ф(х), как это легко видеть, есть опять закон распределения;
именно, Ф(х) есть вероятность того, что соответствующая слу-
чайная величина принимает значение, меньшее, чем х, в пред-
положении, что уже известно, что ее значение отлично от
нуля.
Если положить теперь Ф0(х) —е(х) и вообще для А>0
Ф* (х) = J Ф*_ i (х — £) (УФ (;),
то, очевидно, ФА,(х) есть закон распределения суммы k взаимно
независимых случайных величин рассматриваемого вида в предпо-
ложении, что все эти величины, отличны от нуля. Но отсюда
п
тотчас же следует, что закон распределения 2 пРеДставляется
формулой:
<5>
ft = 0
потому что предположение, что среди п слагаемых k определенно
выбранных отличны от нуля, в то время как остальные обращаются
„ . а y»—ft
в нуль, обладает вероятностью (— j (1 — ; если же это пред-
ft
положение выполнено, то ФДх) есть закон распределения 2Л\-
t = i
III. ОБОБЩЕННАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ПУАССОНА
33
6. При п—*<х) функция равномерно относительно х при-
ближается к функции
00 л
(6)
л=о
Доказательство. Пусть е>0 — любое, наперед заданное
число. Запишем F^ (х) в виде:
F* (*)=(i -" 2 i ф* Ф <7)
к=0
где
Если выбрать Л/=Д/(е) настолько большим, что
и для rr^N выполняется неравенство:
то при N<k<*n
4(«,
и, следовательно,
w » °° k
*)-П+ 2
к = 0 = &+1
k(X)
к к
211ф*(хИ'Ии’*>-1} +<2e“-1) 2 li+
ОЭ N k
+ 2 “й <27Йiф<" ‘)-ч+Ь
fc=n4-l & = о
3 Хинчин, Асимптотические законы
34 II. ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ПУАССОНА И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ
при фиксированном N и &</V, очевидно, каждая ф (я, k\ при
п —♦ оо стремится к единице, так что сумма справа при доста-
точно большом п становится меньше, чем > у, и мы получаем:
Далее уменьшаемое в разности слева отличается от Fn (х) только '
множителем (1 — — } , который при п —> оо приближается к е~а\
этим же множителем отличается как раз вычитаемое от •
следовательно, утверждение доказано.
7. Ясно, что распределение, даваемое первоначальной предель-
ной формулой (2) Пуассона, является частным случаем распре-
деления (6). Для того чтобы в этом убедиться, заметим, что
в первоначально рассмотренном случае
Ф(х)~ е(х~ 1);
это дает
ФДх)=е(х- k),
что, впрочем, ясно непосредственно ввиду значения ФА(х). По-
этому функция (6) в этом случае имеет вид:
00 и
к = 0
а это в точности совпадает с распределением, определенным
первоначальной предельной формулой (2) Пуассона.
Этим же методом можно исследовать распределение сумм
случайных величин, подчиненных различным законам, но так как
мы стремимся, главным образом, изложить только основные со-
отношения, то на этом дальше мы не будем останавливаться.
Напротив, очень важно и для общего пуассоновского предель-
ного распределения дать обоснование, свободное от всякого пре-
дельного перехода, благодаря чему и это распределение будет
являться точным решением некоторой задачи, охватывающей
обширную область стохастических процессов.
4. ОБЩИЙ ПРЕРЫВНЫЙ СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
Представим себе величину, которая время от времени подвер-
гается скачкообразному изменению. Пусть моменты скачков раз-
бросаны случайно и Т(0 есть вероятность того, что в проме-
жутке времени длины t произошел, по крайней мере, один скачок.
Эта вероятность опять мыслится независимой от всего, что происхо-
IV. ОБЩИЙ ПРЕРЫВНЫЙ СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
35
дилодо начала рассматриваемого промежутка времени; наконец, мы
опять примем относительно ? (7) оба предположения, 1) и 2), из § 2,
причем ’9 (/) обозначает вероятность того, что переменная внутри
интервала t сделает больше, чем один скачок. Величина скачков,
со своей стороны, пусть будет случайной с неизменным законом
распределения Ф(х). Требуется найти закон распределения F(x, t)
для суммарного изменения данной величины, происшедшего за
определенный промежуток времени /.
Ответ дается очень быстро. Вероятность того, что за выбран-
ный промежуток времени произойдет точно k скачков, по § 2 есть:
а 7 k\
Но в этом случае функция распределения, суммарного изменения
есть функция распределения суммы k независимых случайных
величин, каждая цз которых подчинена закону распределения Ф (х).
Поэтому, если положить еще
Ф0(х) = г(х),
то
оо
F(x, =
к —О
Это есть общее распределение Пуассона, как оно было дано
формулой (6).
Развитая теория прерывных стохастических процессов была
недавно дана Finetti [7]; вскоре затем Колмогоровым [21] была
найдена самая общая форма однородных *) стохастических про-
цессов с конечными дисперсиями. Но от изложения этих столь
же важных, как и изящных, результатов мы должны отказаться,
так как их обоснование опирается на теорию характеристических
функций, которая выходит из рамок методов, применяемых
в этой книге.
1) Стохастический процесс называется однородным, если распределе-
ние изменений, которые претерпевает случайная величина в некотором
промежутке времени, зависит только от длины этого промежутка, но
не зависит ни от его начала, ни от значения случайной величины в на-
чальный момент этого промежутка.
3*
Глава III
ПРОБЛЕМЫ ДИФФУЗИЙ
1. ПЕРВАЯ ПРОБЛЕМА ДИФФУЗИИ
1. В этой главе будут изложены некоторые общие вопросы,
которые в математической теории вероятностей встречаются,
главным образом, под именем «проблем блуждания» («Irrfahrtpro-
blemen»). Главной целью их является создание теории таких
явлений, как диффузия, броуновское движение и другие. Рас-
сматриваемые как асимптотические проблемы теории вероятно-
стей, такие вопросы совсем не занимают обособленного по-
ложения. Напротив, они являются логическим обобщением
первоначального круга проблем Лапласа-Чебышева, которыми
мы занимались в первых двух главах. И так как они могут
быть решены, как будет дальше показано, теми же методами,
то этим самым они превращают существенную часть современ-
ной. теории вероятностей— науки, которая еще несколько лет
назад казалась очень незрелой и находящейся в самой на-
чальной стадии своего развития ветвью математики,—в нечто
весьма цельное.
Все здание далеко еще от своего завершения, но его главные
черты и определяющие формы можно уже теперь видеть с доста-
точной ясностью.
2. Пусть положение частицы в пространстве подвергается
случайным изменениям и регистрируется через короткие проме-
жутки времени. Пусть даны начальная точка движения и законы
распределения изменения положения частицы для отдельных интер-
валов времени. Требуется найти вероятность того, что по истечении
конечного интервала времени, а следовательно, после большого
числа регистраций, частица будет находиться в некоторой про-
извольно наперед заданной части пространства.
Если мгновенные положения движущейся частицы определять
декартовыми координатами, то разности этих координат в два
последующих момента времени являются случайными величинами,
и в только что сформулированной задаче легко увидеть задачу
о распределении суммы, о которой говорилось в первой главе.
Но физическая обстановка требует, по большей части, некою-
I. ПЕРВАЯ ПРОБЛЕМА ДИФФУЗИИ 37
рого изменения и обобщения нашей прежней постановки задачи,
потому что до сих пор речь была только о сумме взаимно не-
зависимых, однако, стохастически различных (подчиненных раз-
личным законам распределения) случайных величин, что, напри-
мер, вполне согласуется с обычными положениями теории ошибок;
но в теории диффузии это означало бы, что закон распределе-
ния изменения положения частицы за некоторый промежуток
времени хотя будет зависеть от времени (начала промежутка),
но совсем не будет зависеть от положения частицы в начале
этого промежутка времени. Однако уже a priori ясно, что мы
будем фактически иметь, по большей части, как раз обратное,
так как хотя в простейших случаях и можно принять, что диф-
фузионные соотношения не изменяются во времени, но они могут
изменяться от ^очки к точке; стохастическое распределение
изменений положения, характер диффузионной направленности,
кроме самых простых однородных случаев, могут оказаться созсем
различными в различных частях пространства.
На языке теории вероятностей это означает, очевидно, что
складываемые случайные величины, вообще говоря, будут взаимно
зависимыми; и эта зависимость имеет вполне определенный ха-
рактер: закон распределения каждой величины вполне опреде-
ляется значением суммы всех предыдущих величин, так что
изменение значений * этих предыдущих величин не оказывает
влияния на рассматриваемый закон, если только их сумма
остается неизменной (независимость от предистории); также
номер каждой величины не имеет значения для формы ее закона
распределения (независимость диффузионных соотношений от
времени). Этот род стохастических зависимостей, которые играют
значительную роль в различных приложениях, в некоторых спе-
циальных случаях был подробно исследован Polya [35], который
называл его «влиянием в целом» или «заражением» («influence
globale» или «contagion»). Его можно было бы характеризо-
вать также тем, что последовательные суммы образуют «про-
стую цепь Маркова». Этим именем обозначают ряд случайных
величин, в котором закон распределения любого члена однозначно
определяется значением соседнего предшествующего, так что
на него не оказывают никакого влияния известные значения
других величин. Так как все исследование очень похоже на
исследования первой главы, то мы ограничимся одномерным
случаем и проведем доказательства возможно короче.
3. Пусть все время наблюдения разбито на очень маленькие
интервалы (/)., /л+1) (7г—0, 1, 2, ..., л —1); fk суть «моменты
регистраций». Для упрощения положим и tn=T, где Т
рассматривается как постоянное. ,
Если абсцисса блуждающей точки в момент tk имела значение х,
то пусть /\(х, у) обозначает вероятность того, что ее значе*
ние в момент будет меньше у.
38
III. ПРОБЛЕМЫ ДИФФУЗИЙ
Положим:
[^ — x)dFk(x, £) = аДх),
\(t-XydFk(x, § = Ьк(х\
причем здесь и в дальнейшем диференциал от Fk взят по
второму аргументу. Если = становится малым, то мы
предположим, что ак(х) и Ьк(х) становятся малыми и притом
того же порядка, точнее, что равномерно относительно х *)
М*)=Д^С*) + <>(ДД О)
При этом функции а(х) и к3(х) должны удовлетворять некоторым
определенным требованиям, которые точнее б^дут сформулиро-
ваны позже. Далее пусть также здесь выполняется «условие
Линдеберга»:
J (i-x)MFi(x,S) = o(Ai) (L)
1I — £ I > т
для каждого т>0 равномерно относительно х и k<Zn.
Если теперь Uk(x, у) обозначает вероятность того, что абс-
цисса блуждающей точки, которая в момент tk имела значение х,
в конце процесса (т. е. при = Г) будет меньше у, то, очевидно:
= y~)dF^ ;) (А^О, 1, 1); (2)
при этом С7м(х,у) равна единице при х <у и нулю при х>у, так
что уравнение (2) рекуррентно определяет Uk (х, у) для всех рассма-
триваемых значений k. Интересующий нас вопрос формулируется
так: какой вид в пределе получает функция UQ(x,y\ если
интервалы &к равномерно становятся бесконечно малыми
и их число п бесконечно возрастает, в то время как tn~7
остается неизменным'? От рассмотренной в первой главе про-
блемы Лапласа-Чебышева эта новая математическая задача отли-
чается прежде всего тем, что здесь функции /\.(х, £) могут за-
висеть существенно различно от обоих аргументов, в то время
как раньше они были функциями только от разности $ — х.
Ответ получается такой: в рассматриваемом процессе £70(х, у)
неограниченно приближается равномерно относительно обоих
аргументов к тому решению V (х, Т) диференциального урав-
нения в частных производных (3);
dV z . dV , 1 , z zn.
дГ ~ dx + 2 '' (x^ dv! '
*) См, сноску i) на стр, 18.
I. ПЕРВАЯ ПРОБЛЕМА ДИФФУЗИИ
39
которое удовлетворяет краевым условиям*.
V(x, 0) =
1 при х<у,
О при х>_у,
если только функции а(х) и р(х) выбраны так, что это уравне-
ние обладает некоторыми простыми свойствами1).
4. Прежде чем это доказать, мы должны несколько изменить
краевые условия для уравнения (3) для того, чтобы соответ-
ствующее решение сделать достаточно гладким во всей полуплос-
кости Г>0. Пусть £>0 как угодно мало, но фиксировано,
17(х, 0)~1 при х <у и Vs(x, 0) = 0 при х>у + е; при
>y<x<^ + s пусть У8(х, 0) положительна, монотонно убывает
и имеет непрерывные производные до второго порядка включи-
тельно. Определенное этим краевьГм условием решение уравне-
ния (3) назовем Vs (х, Т)* предположим, что производные
д\\ д\\ д'-У.
дТ ’ дх дх*
для равномерно ограничены и равномерно непрерывны.
Тогда это же справедливо и для функции
И:(х,П--К(х, T) + sT,
которая удовлетворяет, очевидно, уравнению:
dV* dV* „ Э2И
~дТ~адх') (4)
и тем же краевым условиям, что и Vs(x, Т).
Сначала нужно будет показать, что при достаточно малых
и для всех х, всех /(0<Z<7) и всех k<n имеет место
неравенство:
vpx,t+ ЬО> J V^,t)dFk(x, I). (5)
!) В дальнейшем все эти свойства, которым должно удовлетворять
уравнение (3), точно будут перечислены в соответствующих местах до-
казательства. Прежде всего должно быть ₽(х)>0; далее придется сде-
лать некоторые допущения о существовании и гладкости решения, о его
непрерывности относительно некоторого' параметра, который позднее
будет введен; для простейших типов уравнений (как, например, уравнения
теплопроводности) эти свойства уже известны или легко доказываются;
для общего типа, однако, до сих пор отсутствуют еще многие из упо-
мянутых теорем (см., впрочем, Gevrey [9]). Нужно заметить, что дока-
зываемые в тексте теоремы имеют тесную связь с обычным обоснова-
нием так называемого днференциального уравнения Fokker’a-Planck’a
(см., напр., Mises [3], стр. 499). Однако первоначальный вывод этого
уравнения, к которому примыкают многие из современных изложений, свя-
зан с рассмотрением непрерывного стохастического процесса (с^. п. 5)
40 HL ПРОБЛЕМЫ ДИФФУЗИЙ
Для этого заметим, что, с одной стороны,
v; = + ~ + (6)
а с другой стороны,
v:<;, t)=V*(x, 0 + (^-х)^ + 1(;-х)2^+р(х,‘,О j,
, . л Jd2Vt\ &V*. ,n ,1А
?(x> -, ) fix2 dx% ( )’
где во всех случаях невыписанными аргументами у Vt являются
х и t. Это дает:
J V* (S, 0 dFk (х, 5) = Vt(x,f) + ak (х) + ±bk (х) + J,
где
j (i —х^рСх, $, t)dFk(x, 5).
Оценка J=o(Sk) получается здесь совсем так же, как в первой
главе; для этого разбивают интервал интегрирования на две
части |£ —х| <т и |$ —х|>т, где т — любое как угодно малое
положительное постоянное число. В первой части оценка следует
из малости |£ — х| и предположенной равномерной непрерывности
d2Vt
; во второй части она вытекает из равномерной ограничен-
ности и условия Линдеберга (L). Если примем еще во вни-
мание соотношение (1) и уравнение (4) для IZJ, то получим:
Jг:& t)dFk(x, $)« VT(X, t) + Д^а(х)^ + 4?(x)J +
+ о (\k) ~ V* (x, 0 + &k d-£ - г Д4 + о Oky,
в силу (6) отсюда получается:
vt (X, t + Д4) = J V* (;, f)dFk (X, *) + г Д* + о (\),
чем и доказывается неравенство (5) для достаточно малых &к.
Если положить теперь
к; (х, Q - ик (х, у) = Wk (х, у),
то для достаточно малых в силу (2) и (5) [полагая в (5)
t = T—tk+l] получаем:
(6-0,1, (7)
I. ПЕРВАЯ ПРОБЛЕМА ДИФФУЗИИ 41
В силу выбранных краевых условий для Ив
Wn (X,у) = VI(х, 0) -ия(х,у)> 0;
отсюда путем индукции из неравенства (7) получается:
Wt(x,y)>0 (k = 0, 1, 2,
для k ~ 0 это значит
Vt(x, Л + гТ.
Сделаем теперь относительно основного уравнения (3) даль-
нейшее предположение, что для каждого фиксированного Т>0
решение ]/6 (х, Т) при е, стремящемся к нулю, стремится
равномерно относительно х к решению l/(x, Т), определен-
ному первоначальными краевыми условиями. Если это требо-
вание выполнено, то, само собой разумеется,
lira VI (x,T)—V(x,T)
»->о
и, следовательно, если к—как угодно малое положительное число,
то для достаточно малых Д4
Ц(х^)<^(х,Л + Х;
так как, очевидно, таким же путем получается обратное нера-
венство
У)> V(x,T)~K
то этим теорема доказывается полностью.
5. Решение V(x, Т) диференциального уравнения (3) является
в этих рассмотрениях асимптотическим выражением для истинного
закона распределения. Но совершенно так же, как в § 2 первой
главы, настоящую проблему можно трактовать и как проблему
исследования непрерывного стохастического процесса. Есте-
ственно ожидать, что та же самая функция l/(x, Т) должна
быть точным решением поставленной таким образом проблемы.
Если х обозначает абсциссу блуждающей частицы в какой-
нибудь момент /0, то пусть f (х, t,y) dy есть вероятность того,
что ее абсцисса к моменту лежит между у и y + dy.
Очевидно,
/(х, / + Д^,у)= f(z> t,y)f(x, Д', z)dz. (8)
О функции /(х, /, у) сделаем следующие предположения: пусть
fv и 3^ равномерно непрерывны и ограничены
42
III. ПРОБЛЕМЫ ДИФФУЗИЙ
(/0 обозначает любое как угодно малое положительное число)]
пусть \^f(x,t,y)dy—\\ если положить для t> О
$ (У — x)f(x, t, y)dy = a (х, f),
С 1
\ (у — x)'2f(xi ty у) dy
то при t —> 0 равномерно относительно х
~ а(хЛ)—*а (х), ~ b (х, t) —> j (х)
и для каждого г > 0 (условие Линдеберга)
•у (У~x)%f(x, t,y)dy-^О. (L)
I У — ж j > т
Если эти требования выполнены, то, с одной стороны, для
бесконечно малого AZ
f(x, i + ^t,y)=f(x,t,y)+^^ + o(M), (9)
а с другой стороны,
/ (2, t,y) = f(x, t, у) + (г — х) ~ ~ (z — х)« дд^ + р (х, z, f,y),
р(х, z, t, _у)=(й У —^2 (О<0<1),
\дх2 )х + §{3у дх2
где всюду невыписанными явно аргументами служат х, /, у.
Отсюда получается:
/(z, t.y)f(x, ht,z) dz—f(x, t, y) + a(x, +
1 дЧ (1°)
+ ib (* ">» + '
где
J= p (x, zt /, y) f(x, z) dz.
Здесь опять J — о (Л/), как это можно легко показать, если разбить
интервал интегрирования на две части \z — х|<т и \z — х [ > т,
где т — любое, как угодно малое постоянное положительное число.
Поэтому из (8), (9) и (10) следует:
f(x, t, у) + Ц+ о (ДО =/(х, t, у) + а (х, Д/) +
+ |^’(х! Д0 §+р(А0
I. ВТОРАЯ ПРОБЛЕМА ДИФФУЗИИ
43
или в пределе
g==a(x)^4-l;5(x)f(-. (11)
dt к 7 дх 2 1 к 7 dx2 v 7
Функция /(х, t, у) для всех значений у удовлетворяет поэтому
диференциальному уравнению (11) во всей полуплоскости />01).
у
Следовательно, F(x, /, у) = J /(х, /, z}dz есть также решение
этого уравнения. Краевые условия, которые соответствуют этому
решению, суть:
( 1 при Х<У,
F(x, O,j)-J
( 0 при х >_у;
таким образом функция F(x, /, у) тождественна с рассмотрен-
ной в п. 4 функцией V(x, /), если только уравнение (И) для указан-
ных краевых условий решается однозначно.
Обобщение методов и результатов этого параграфа на много-
мерный случай очень просто и поэтому предоставляется читателю.
Всегда искомая функция распределения в предельном случае
получается как решение некоторого диференциального уравне-
ния в частных производных второго порядка параболического
типа; краевые условия дают ее значение при t~~0.
2. ВТОРАЯ ПРОБЛЕМА ДИФФУЗИИ. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
6. Пусть опять случайно меняющееся положение диффундирую-
щей вдоль прямой частицы характеризуется ее абсциссой. Пред-
ставим себе, что эта абсцисса регистрируется через равные про-
межутки времени; последовательные результаты измерений пусть
будут xv Хп,... Обозначим через ^(х,у) вероятность
того, что хй+1<у, в предположении xft = x; эта вероятность
должна зависеть поэтому только от х и у и не зависит от k
(значит, от момента времени). Пусть на числовой прямой выде-
лен интервал (я, Ь) {а < Ь). Постановка вопроса, которым мы
будем заниматься в этом параграфе, такова: как велика ве-
роятность v (х0) того, что блуждающая частица, выйдя из
положения х0 (а < х0 < Ь\ хоть один раз достигнет об-
ласти х^Ь, не заходя прежде в область х<а?
Как всегда, наша главная цель при этом состоит в том, чтобы
получить предельную теорему о функции распределения в пред-
*) Можно было бы показать, что / (х, у), рассматриваемая как функ-
ция у, удовлетворяет другому диференциальному уравнению; это второе
уравнение и есть собственно диференцнальное уравнение Fokker’a-
Planck’a; уравнение (11) становится сопряженным с уравнением Fckker’a-
Planck’a, если написать — вместо ~ (т. е. диференцировать / по на-
чальной точке, а не по конечной точке интервала2/). См. Колмогоров [19]*
44
III. ПРОБЛЕМЫ ДИФФУЗИЙ
положении, что вероятные изменения положения становятся беско-
нечно малыми. Соответственно этому мы предположим, что по-
следовательные измерения положения происходят через равные,
очень короткие, интервалы времени длины к, и вместо F(x, у)
напишем теперь /\(х, у) для того, чтобы явно указать зависи-
мость распределения от выбранной системы интервалов.
Как в § 1, сделаем предположения
\ (i-x)^(x,4) = ).a(x) + o0.), (12)
\ (5-x)MFx(x,$) = k?(x)-to().), (13)
(*-x)MFx(x,£) = o(X); (L)
>Т
при этом во всех случаях диференциал берется по второму аргу-
менту; оценки должны .выполняться равномерно относительно х\
а(х) и (х)—некоторые непрерывные на (а, Ь) функции, и$ (х) > 0;
наконец, т — произвольная положительная постоянная [разумеется,
(L) есть известное условие Линдеберга].
Пусть теперь ть(х) есть вероятность того, что блуждающая
точка, выйдя из положения х, хоть один раз достигает об-
ласти х>&, не попадая прежде в область х< я. При некоторых
дальнейших довольно общих предположениях относительно функ-
ции распределения 1\(х, у) мы докажем, что при \ —>0 функ-
ция (х) равномерно в (а, Ь) сходится к тому решению
диференциального уравнения
а(х)^ + Й(х)^ = 0, (14)
v 7 dx 2 r v 7 dx* ’ v 7
которое соответствует начальным условиям
vo(a) = 0, р,(4)=1.
7. Если v(*^ (х) означает вероятность того, что блуждающая
точка, выйдя из положения х, самое большее через п шагов
достигает области х>£, не заходя прежде в область х<я,
то, очевидно,
( 0 при х<Ь,
т/хг(х)= . ’
( 1 при х >
и для п > 0
' 0 при х< а,
(х) =
1 при х > Ь,
C^dF^x^-) при а <х<£.
II. ВТОРАЯ ПРОБЛЕМА ДИФФУЗИИ
45
Этими соотношениями последовательность функций фф (х)
(п = 0, 1,2,. ..), очевидно, вполне определяется; г\(х) определится
как lim фф (х); в силу того, что ф($ (х) > !) (х), этот предел,
«~>ОО
очевидно, существует и удовлетворяет условиям:
[ 0 при х < а,
vx(x)~ J 1 п₽и Х>Ь>
( 5 v^dF^x, £)
при а <х < Ь.
Для используемых в этом параграфе методов важно сейчас
же дать некоторое обобщение проблемы. Пусть и(х) прих^Ь
и х С а определена как “ любая ограниченная и измеримая
в смысле Бореля функция*, требуется определить се значение
при a<Zx<Zb так, чтобы она оставалась там тоже ограни-
ченной и удовлетворяла уравнению
и(х) = \ u(-)df\(x, $).
Что эта проблема, которую для краткости мы назовем проблемой Р,
имеет определенное решение, доказывается так же, как это
только что было сделано для рассмотренного выше специаль-
ного случая. А именно: если р есть нижняя грань и(х) вне (а, Ь)
и если положить
( и (х) при х < а и х > Ь,
«»(*)={ / /А
| р при а <х < Ь,
и вообще для лг> 0:
и (х) при х < а и х > Ь,
\ (;) dFK(x, £) при а<х<Ь,
то путем индукции получается:
«„(%)>«„ 4(х) (п~1, 2, . .
А так как все ип(х) остаются, очевидно, равномерно ограни-
ченными, то существует lim ип (х) = и (х), и этот предел удовле-
??-> СО
творяет всем поставленным условиям.
Для того чтобы обеспечить однозначность решения, что важно
для дальнейших приложений, нужно распределение Р\(х,У) под-
чинить дальнейшим условиям, сущность которых состоит в том,
чтобы обеспечить возможность блуждающей точке хоть один
46
III. ПРОБЛЕМЫ ДИФФУЗИЙ
раз действительно покинуть интервал я<х<£. В противном
случае решение становится вообще многозначным. Действительно,
тогда, например, каждая функция и (х), постоянная внутри (л, Ь)
и принимающая вне (я, Ь) заданные значения, служит решением
задачи.
8. Сделаем следующее предположение, которое мы коротко
назовем условием А: существуют два таких положительных
числа гх и та, что для всех х (a<Zx<Jo)
F\(x, x + т1Х.
Тогда с вероятностью, большей rjx, можно ожидать, что абсцисса
блуждающей точки за один шаг увеличится больше, чем на sx,
каково бы ни было ее начальное положение в интервале
a <Lx < b.
Для того чтобы доказать, что проблема Р при этом предпо-
ложении имеет действительно единственное решение, мы рассмот-
рим сначала некоторую специальную относящуюся к распреде-
лению Fy (х, у) проблему Р, а именно:
1 при а^х и x>Z>,
v* (х) = ($) <<FX (х, $) при а < х < Ь.
Если положить
(1 при х < а и х > Ь.
v* (х) =
( 0 при а < х < b
и вообще для /г > О
{1 при х<^ и х>&,
С * /*\ Г Г / *\ 1
\^n-l(;)a/\(x,;) при #<Х<&,
то, как уже известно, существует lim v„ (х) = v* (х), и он есть
п->ОО
решение рассматриваемой проблемы Р, Если теперь условие А
выполненоу то г>*(х) = I тождественно. Это можно проще всего
усмотреть из теоретико-вероятностных соображений. Очевидно,
v'n (х) есть вероятность того, что частица, выйдя из положения х,
не более чем через п скачков покинет интервал (я, Ь). Если
. b — а
теперь k—целое число, которое превосходит——, то, в силу усло-
вия Д, для всех х в (я, Ъ}
(*)>•/;*, 1 — v*k(x)< 1 — т(*.
По теореме умножения вероятностей, вероятность 1—цД. (х)
гэго, что частица после sk скачков все еще остается в (а, Ь),
бужт меньше, чем (1—и при стремится поэтому
II. ВТОРАЯ ПРОБЛЕМА ДИФФУЗИИ
47
к нулю. Следовательно, при этом v*k (х) —> 1, а так как (х)
монотонна относительно п, то lim г^*(х) = 1, что и требовалось
«~>оо
доказать. Если положить теперь
w*(x)^ 1 ™^(х),
U'' (х)=. 1—v* (х),
то
( 0 при х^а и х>Ь,
U* (х) ~ <
( 1 при а < х < b
и вообще для я>0
!0 при х^а и х>&,
с
\u^£)dFx(x, ;) при а<х<Ь\
далее при всех х
и* (х) = lim и*п (х) ~ 0.
H-+QO
(15)
9. Перейдем теперь к общей проблеме Р, когда значение и (х)
вне (а, Ь) есть любая ограниченная и измеримая по Борелю
функция. Прежде мы доказали методом последовательных при-
ближений, выбирая за начальную функцию а0(х), существова-
ние решения. Теперь мы можем доказать, что если условие А
выполнено, то за начальную функцию иь(х) внутри {а, Ь)
можно выбрать любую ограниченную и измеримую по Борелю
функцию и эта функция не будет влиять на полученное из
нее методом последовательных приближений решение.
В самом деле, пусть и{} (х)—выбранная начальная функция;
положим для п > 0 при а < х < b
««(*)=$ ия-1(;)^х(*, 5);
вне ((?, Ь") пусть ип(х) =и (х) для всех я>0. Далее пусть
®Д*)==«« СО-«»(*);
тогда вне (а, Ь)
Vfl (х) ~ 0 (п > 0)
и для п > 0
Ч. (О = 'W,,-! (;) dFy (х,;) (а < х < &)•
48
Ш. ПРОБЛЕМЫ ДИФФУЗИЙ
Если М есть верхняя грань | vQ (х) |, то, очевидно, везде
l”o(x)l<^«o(x)
и поэтому из определяющей рекуррентной формулы, справедливой
как для ип(х), так и для vn(x), получится:
к»«:<•*) • (n=o,i,...),
что в силу (15) приводит к
lim фп(х)~0 или lim ип(х) = lim ип(х) = и(х),
и->ОО - п->ОО я->СО
что и требовалось доказать.
Отсюда теперь непосредственно следует однозначность реше-
ния рассматриваемой проблемы Р. В самом деле, если имеется
второе решение, то оно по доказанному при неограниченном
применении рекуррентных интегральных преобразований сходится к
«(х), в то время как, с другой стороны, оно должно оставаться
инвариантным относительно этого преобразования.
Итак, при распределении f\(x, у), удовлетворяющем усло-
вию А, проблема Р всегда имеет единственное решение, кото-
рое может быть получено методом последовательных при-
ближений, если выбрать за начальную функцию любую огра-
ниченную при а<х<Ь и измеримую по Борелю функцию.
10. Мы вернемся теперь к доказательству предельной теоремы,
сформулированной в п. 6. Если мы хотим сравнить между собой
определенные там функции v^x) и v^(x\ то уравнение ,(14)
нужно заменить другим, а именно:
, , , 1 о z ч d-v л
(16)
где е>0 —сколь угодно малое, но фиксированное число.
Пусть фк(х) внутри (а, Ь) есть решение уравнения (16), опре-
деленное краевыми условиями 176(а)==0, ^8(&)=1. Выберем
положительное число 8, которое в дальнейшем будет определено
Ь — а
точнее, меньшее, чем ——, и положим
= а + ап ~а — №,
Ь' = Ь — Ъ, Ь" = Ь + Ъ3,
очевидно, тогда а" <а<а' <b’ <b <b,t. Каждой точке х от-
резка (р, Ь) поставим теперь во взаимно однозначное соответ-
ствие точку х’ расширенного отрезка (а", Ь") по следующему
правилу:
х'~х при а <х<&',
х' = х + (х —/>')3 при £>'<х<£,
х'=х—-(а'—х)3 при а<х<а'.
2. ВТОРАЯ ПРОБЛЕМА ДИФФУЗИИ
49
Если положить
V,>8(x') = V,(x),
то функция t’Si5(x) будет определена для а" < х < Ь", и так как
выбранное преобразование обладает непрерывными производными
второго порядка, то то ж? самое имеет место для 8 (х) в (a", &");
далее на том же основании можно 6 выбрать настолько малым,
чтобы при а < х < b выполнялось неравенство
(17)
Наконец, пусть т~т(е,8) —верхняя грань |^х(х)~ vt>5(x) | на
обоих отрезках а"^х<^а и b<^x^b"; положим
§(х)-|-тпри я"<х<£",
при х>&",
при х<а”.
Мы хотим доказать, что для достаточно
малых 8 и 1
^*з(*)> £) (а<х<6)- (18)
V
Если положить при а < х < b
#+ 53
Л = $ <s(i)rfFx(x,5)
х — 83 1 £ —~х | > о3
и через М обозначить верхнюю грань | ^,8 (х) | на всей числовой
прямой, то прежде всего по условию (L) будет:
\^\<М $ dF^x,Z)<^ J (^-х)МЛ(х^) = 0(к). (19)
| х | > 83 < х I > 8’
Но в Jv ввиду того, что а" <£<&", ^*6© имеет непрерыв-
ную производную второго порядка и, следовательно,
(5)=<5 (X) + (Z-x)^ + l (5-X? + Р (X, £)] ,
р(^)Ч-^ги9и_ж)---(0<»<1).
где всюду невыписанным явно аргументом служит х.
4 Хинчин, Асимптотические законы
50
1П. ПРОЙЛЕМЫ ДИФФУЗИЙ
Поэтому
ж+83 х + 5*
^ = <Ь(Х) ( dFK(x,t) + d-~ $ &-x-)dFi(x,t) +
х— 53 х— о3
jr+S3 (20)
! ^-*)жм+л
X —о3
где
®+ 53
Г=12 5 G-*)8?(x,f)rfFx(x,^).
х—S’
Но при достаточно малом 8 и х — 53<3<х + 83, очевидно,
|р(*> s) I <^>
где jS —верхняя грань р(х) на (а, Ь). Следовательно, в силу (13)
получаем:
Г< j ^(S-x)’rfFx(x,^<iJ(i-x)’rfFx(x,$) =
X—О3
= ^)Х + о(Х)<±). + о(Х).
Далее три первых интеграла в (20) .в силу условия (L) от-
личаются от соответствующих интегралов, взятых по всей пря-
мой, только на величины порядка о (К); для третьего из них это
видно непосредственно; для первого мы доказали это уже при
оценке J2, а для второго это следует в силу (L) из
| J ($-x)dFx(x,S)l<i J (t-x)*dFx(x,Z).
|£ — ж*| >53 I £-i' ! > 53
В силу (20), (12) и (13) мы получаем поэтому:
А<гм(х) +* I а.(х)-^- + ^(х) -^2-+ 4} +°0),
и так как на (я", />") отличается от v8>§(x) только на
постоянную, то отсюда в силу (17) следует:
Ji<^{x') — |k + o(k).
Отсюда в силу (19):
J ф (М\ (х,«) < (х)—1 к+о (к),
2. ВТОРАЯ ПРбВЛЁМА ДИФФУЗИЙ 51
И, следовательно, для достаточно малых S и к и а<х<&
получаем:
$ К 8 (s) dfi (х, S) < vt's (х),
что и требовалось доказать.
11. Теперь уже можно легко довести до конца доказательство
предельной теоремы в предположении А. Прежде всего мы уста-
новим, что для достаточно малых S и к всюду
М*)<<а(х). (21)
Вне (а, Ь) это неравенство следует непосредственно из опреде-
ления Рассмотрим теперь проблему Р, определяемую
значениями ^*з(х) вне (а, Ь), и обозначим на один момент
через w(x) ее единственное, в силу предположения Л, решение;
тогда всюду w(x)>^x(x). Действительно, вне (а, Ь) это неравен-
ство следует из определения w(x); если же решать проблемы Р,
определенные вне (я, Ь) значениями w(x), соответственно V\{x\
методом последовательных приближений, то можно, как известно,
начальные функции (х) и, соответственно, ^(х) выбрать так,
что будет везде (х) > (х). Тогда рекуррентные соотноше-
ния дадут для всех я>0 и а<х <b, w(w) (х) > г/? (х), и, следо-
вательно, в пределе, при п—>оо, получится
w(x)>^x(x). (22)
Но, с другой стороны, всюду ^6*б(х)> w(x), так как прежде
всего (х) можно выбрать так, что всюду (х) < 8 (х),
и тогда рекуррентные соотношения дают в силу неравенства (18)
для всех л>0 ^(x)<^j(x) и, следовательно, в пределе
w(x)o;,s(x), (23)
что и утверждалось. Из (22) и (23) следует доказываемое не-
равенство (21).
Но вспомним, что на (а", а) и, соответственно, (b, b") z/x(x) = 0
и, соответственно, vx (х) = 1. С другой стороны, v6 (а)=0, г>6 (Z>)=1
и tfe(x) на (a, b) непрерывна; из определения $(х) получается
поэтому, что при достаточно малом 8 разность | z\(x)—- vs>8(x)|
на отрезках (а", а) и (&, Ь") и, следовательно, определенное в
п. 10 число т становятся как угодно малыми. Но отсюда следует,
что внутри (а, Ь) |^8*§(х) — *>8(х)| как угодно мала; и так как
для достаточно малого е функция t>s(x) в свою очередь очень
мало отличается от *и0(х), то в силу (21) сколь бы ни было
выбрано малым з>0 при достаточно малом к
(х) < vu (х) + э (а<х< Ь).
52
III. ПРОБЛЕМЫ ДИФФУЗИЙ
Очевидно, тем же способом можно доказать неравенство
(а<х<а),
чем и заканчивается^ доказательство предельной теоремы.
12. Давно известным элементарным частным случаем рассмот-
ренной проблемы диффузии является так называемая проблема
разорения игрока. Два игрока, имеющие начальные состояния,
соответственно, аир, играют ряд партий. В каждой партии
каждый. выигрывает или проигрывает определенную денежную
сумму р, причем каждая из обеих возможностей имеет вероят-
ность Требуется найти вероятность того, что, например, пер-
вый игрок разорится. Если обозначить через хп состояние вто-
рого игрока после окончания п партий, то первый разорится,
если будет хп > а + Проигрыш второго, напротив, соответ-
ствует хп<0. Распределение 7\(х, ~) в этом случае, очевидно,
будет:
( 0 при х — р,
/\(х, при х —
I 1 при £ > X + р.
Таким образом
J(?-x)rfFx(x,S) = 0,
( (5 — xfdFk (х, $) = g2.
Если положить —р2, то выполняются формулы (12) и (13)
с а(х) = 0 и р(л)~ 1, и, очевидно, выполняется также условие
Линдеберга (L). При р —* 0 искомая вероятность, следовательно,
сходится к решению v (х) уравнения:
определенному краевыми условиями ^(0) — 0, v (а + р)~ 1.. Таким
образом,
г’<Х) = а-Т₽
и, в частности,
а I р
3. ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
13. Пусть на плоскости ху задана конечная односвязчая об-
ласть G, ограниченная замкнутой кривой С с непрерывной кри-
визной. Пусть частица, принимаемая за точку, движется шагами
случайным образом, выйдя из определенной точки (х, у) об-
ласти G. Внешность G пусть разделена на две части U’ и U\
3. ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
53
Пусть С и, соответственно, С" — взаимно дополнительные части С,
принадлежащие Uf и, соответственно, U". Мы предположим,
что С1 и С11 состоят из конечного числа дуг. Далее, допустим,
что общая граница областей U' и U” состоит из конечного
числа непрерывных кривых, которые не имеют общих кусков
с С. Пусть задано распределение вероятностей изменения положений
блуждающей частицы; вероятности, соответствующие отдельному
шагу, вэобще говоря, зависят от положения частицы в начале
этого шага. Требуется найти вероятность того, что частица
хоть один раз попадет в область U' и притом не заходя прежде
в область U". В основном здесь нас опять интересует предельное
значение этой вероятности при условии, что вероятные шаги
становятся бесконечно малыми.
Пусть /\(я, 6; а\ У) означает вероятность (зависимость ее от
параметра X будет определена позже) того, что диффундирую-
щая частица, имевшая в начале шага положение (а, Ь\ после
его совершения будет находиться в области х < а', у < Ь'.
Под Ь\ а',Ь') всюду в дальнейшем понимается второй
диференциал Стилтьеса этой функции относительно второй
пары аргументов. Параметр X должен опять указывать «вели-
чину шага»; точнее сделаем следующие предположения:
Ц(; — х) rf2fjx, у, = +«().)> 1
•J
JJ(’i-y) dj\(x, у, 5, r() = ka2(x,^) + o(k),
~X^F^X> У' г|) = ^11(*> .У) + оО), . (24)
J J (ri —(*, у\ Ь ri) = (*, У) + о (>.),
Ц (5 - х) (Г| —у) dj\ (X, у, S, Kj)~ k?12 (х, у) н- о (к),
«/ «
$$ [(; — x)2+(Tt— #] (^, у; £, (L)
&— %ху
Здесь все оценки имеют место равномерно в G, at (х, у),
аз(х,У), Рц(*>.У)» ₽1-2 (х,у), Ра2 (х, у) — некоторые непрерывные
вместе со своими первыми и вторыми производными функции
на G + С; КХу обозначает круг с центром в точке (х, у), радиус
которого как угодно мал, но должен быть выбран независимо
от х, у и X. По неравенству Шварца
Pit Р-22 Pi 2
Но мы предположим, что везде в G 4- С
Рц?«»-?|г>0. (25)
" 54
Ill ПРОБЛЕМЫ ДИФФУЗИЙ
Это очень важное ограничение означает, что в настоящей главе
мы будем говорить об «эллиптическом» блуждании; в следующей
же главе мы будем говорить подробно о специальном случае
«параболической» диффузии; мы увидим, что результаты в обоих
случаях получаются существенно различные; эта терминология
найдет свое оправдание в той тесной связи, которую имеет дан-
ная постановка вопроса с диференциальными уравнениями в част-
ных производных; к этому мы сейчас и переходим.
Ясно, что (L) есть условие Линдеберга в форме, приспособ-
ленной для данной постановки вопроса.
Если обозначим теперь через г\(х, у) искомую вероятность
того, что блуждающая частица, выйдя из положения (х, у),
хоть один раз достигает области U' и притом не заходя прежде
в область 67", то мы докажем, при некоторых дальнейших пред-
положениях относительно распределения что vx (х, у/) внутри G
при X—>0 неограниченно приближается к тому решению
г/0 (х> у) диференциального уравнения
1 о d2v n d2v i п „ dv dv _ n (
2 Ри dx2+ dx dy + 2 «« dy*+ ^ldx + dy ~ °’
которое определяется краевыми условиями:
И на С',
0 на С".
Доказательство протекает вполне аналогично тому, которое
было дано для одномерного случая (§ 2 этой главы); различия
касаются только некоторых вновь возникающих трудностей,
которые не имеют принципиального значения, так что будет
вполне уместно дать доказательство в самом сжатом виде.
Только что сформулированная теорема, после того как Люне-
бургом были рассмотрены некоторые ее частные случаи [29],
в этой ее общности (и даже несколько большей) была впервые
доказана Петровским [33] изложенным здесь методом.
14. Искомая функция 77х(х,у), очевидно, удовлетворяет
условиям:
1 на
ъ(х,у)= г
0 на L",
П у-
Z,ri)
на G.
Она может быть получена последовательными приближениями,
как lim (х, у), где v\\x> у) определяем рекуррентным спо-
п->СО
собом, полагая
М U" ина О,
3. ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
55
и для п > О
( 1 на U',
v[n)(x,y) = { 0 на
[ rOrfj.Fx (х,у, е, Т() на G.
Очевидно, ^п)(х, у) означает вероятность того, что блуждающая
точка, выйдя из положения (х, у), достигнет области U' не более
чем через п шагов, не заходя прежде в U".
Как обобщение, здесь появляется двумерная проблема Р.
Пусть на U1 + U" задана любая ограниченная и измеримая
по Бдрелю функция и (х, у)\ требуется Определить ее значение
на G так, чтобы она там оставалась огра чиненной и удо-
влетворяла интегральному уравнению',
«(х, у) = \ jj и ($, Т|) dj\ (X, у, Tj).
Что эта проблема имеет решение во всех случаях, доказы-
вается, как и прежде, методом последовательных приближений,
если выбрать за начальную функцию и^ (х, у) постоянную р—
нижнюю грань значений и (х, у) на U' + U". Для однозначности
решения требуется здесь так же, как и в одномерном случае,
дальнейшее условие, которое опять назовем условием А. Фор-
мулировка его такова: имеются два таких положительных
Числа и rJk, что для каждой точки (х, у) на G *)
Г\(Х>У> * х + ^ ОО)<1— 7]х.
Совершенно так же, как в § 2, показывается, что при этом
предположении вероятность того, что частица хоть один раз
действительно покинет область G, равна 1, и это влечет за
собой то, что соответствующая проблема Р может иметь только
одно единственное решение, как бы ни было задано значе-
ние и(х,у) вне G. Доказательство этого вполне аналогично
доказательству для одномерного случая (п. 9) и поэтому может
быть предоставлено самому читателю.
15. Обозначим для краткости через Q(^) левую часть урав-
нения (26) и рассмотрим наряду с ним другое уравнение:
Q(u)+s^0, (27)
где е — как угодно малое фиксированное положительное число.
Пусть и(х, у) — определенная вне G непрерывная и ограниченная
1) Конечно, можно было бы вместо выбранного направления по оси
х взять любое другое; в силу предположенной ограниченности Q все
направления в этом смысле равноправны.
56 III. ПРОБЛЕМЫ ДИФФУЗИЙ
функция, a z/s(x, у) есть то решение уравнения (27), которое
на С совпадает с и (х, у).
Проведем через каждую точку С нормаль к этой кривой и
отложим на ней внутрь G постоянный отрезок 8; в силу пред-
положенной непрерывности кривизны С отложенные отрезки при
достаточно малом § друг с другом не пересекаются, так что их
концы образуют непрерывную замкнутую кривую, которая цели-
ком лежит внутри Q и ограничивает некоторую, подобласть G'
области G. Каждой точке (х, у) в G поставим в соответствие
точку (х',у') посредством следующего правила: если (х, у) с G',
то пусть х'=х, у’ = у\ если же (х, у) (Z G — G' и г есть ее. рас-
стояние до G', считаемое по нормали к С, проходящей через эту
точку, то (х’, у') должна лежать на той же нормали на рас-
стоянии г+г3 от G1. Очевидно, точки (х', у') образуют об-
ласть G", которая содержит внутри себя область G, и описанное
отображение G на G" при достаточно малом § однооднозначно.
Если положить
У) =='?. (•*>.?),
то функция v„t(x, у) определена во всех точках G", имеет не-
прерывные производные до второго порядка включительно и при
достаточно малых 8 в G, очевидно:
lQ(^) + e|<|. (28)
У
Наконец, пусть т = т(е, 8)—верхняя грань |я(х, у) —г\,8(х, у)|
на G"— G; положим:
* / ч / на G”,
\ u(xf у) вне G . *
16. Теперь нужно показать, что при достаточно малых 8 и X
в G + С имеет место неравенство:
6(х,у) > <8 (£, Г() dj\ (х, у’, 5, г ). (29)
Если обозначим через К круг
(! — х)2 + (и]— .у)2 = 5®
и положим
Л — и ri)d.J\(x, у, 5, о,
Л = S v<’6 (-х> у'
В — Кху
3. ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
57
то прежде всего, если М есть верхняя грань | 5 (х, у) | во всей
плоскости Е, в силу (L) при к—* 0 имеем:
IЛI < м \ d%F\ (х, у, £, т() <
в-Ку
< 1И S [('—х>* + ft — ?)']dЛ (х, у> = ° ft)-
В—
(30)
Что касается то тут прежде всего область интегрирования
содержится в области G", поэтому функция б($, *j) имеет
всюду в этой области непрерывную производную второго порядка
и, следовательно:
К г (;, Г|) -= < 5 (х, у) + (- — х)^~ + (Г( —у) 4
. 1 / d~V?,8 . л к d2t>e,6 , , VQ 32V*, 5 1 ,
+ 2] -a# + 2 ft+ ft~У> ~d^f +
+ {(s-x)2 + (Tj -y)2} p (x, y; 5, r(),
где | p (x, у; $, т() | при достаточно малом 8 как угодно мало
равномерно в К . Поэтому при достаточно малом 5
Л = < 5 (х, у) (х, у; 5, Т|) +
Ку
+5 $ £ ~х)d-^ (х’ У' +
кху
+ \ \ ft ~У') dtF* (*> У’ г<) +
1 d2v* * Г С ' (31)
+ г- ~д^"° П “ x'fdf-, (х, у; г.) +
кху
+ dSjr $ $ ('- *) ft -У) diK (х, у; с, Т() 4-
^ху
+1 У J Gi - Wx (х, у, TJ + Г,
^ху ,
7*= И х)2+ft р (х> У’ d-^ ft’ У’
58 III. ПРОБЛЕМЫ ДИФФУЗИЙ
для достаточно малых 5 согласно только что сделанному
замечанию о поведении р(х, у; S, rj и в силу (24)
|^|<|
Так же, как и в п. 10, здесь можно легко показать, что
в силу (L) шесть интегралов правой части (31) отличаются от
соответствующих интегралов по всей плоскости Е только на
величины порядка о(Х); следовательно, получаем:
4 < < 4 (х, j) + [ Q (vt>i) +• j] X + о (X);
в силу (28) отсюда получается:
А < V», s (х, у) — X + о (X). (32;
(30) и (32) показывают, что при достаточно малых J и 1 везде
в Q + С:
Л -Г 4 = J J vt, 5(£, 7j) (х, у; $, г() < < 8 (х, у),
что и требовалось доказать.
17. Определенная в п. 15 непрерывная вне О функция и(х,у)
определяет проблему Р; ее однозначное, в силу условия Д,
решение во всей плоскости ху обозначим через (х, у). При
достаточно малых 5 и К теперь всюду
y)<.v*,t(xt у)\
это можно показать, точно так же как аналогичное неравен-
ство (21) доказывается в п. 11, тем, что рассматривают решение
w (х, у) проблемы Р, которое вне G определяется значе-
нием а (я, у), и тогда доказывают, что, с одной стороны,
Ч(х,у)<^(х, у\
а с другой
W (X,_у)< 1^,5 (X, _у)
для всех х, у.
Если теперь S достаточно мало, то s(x, у) в G, как не-
посредственно видно, отличается как угодно мало от функ-
ции Ул(х,у), определенной в п. 15. Из общих свойств диферен-
циальных уравнений с частными производными эллиптического
типа следует, однако, с другой стороны J), что при достаточно
*) Для полного доказательства сошлемся на работу Петровского (33J.
3. ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
59
малом е эта функция v6(x, у) в G как угодно мало отличается
от решения уравнения Q (v) = 0, определенного краевыми усло-
виями:
и^(х, У)~ и(х> У) на С- (33)
Следовательно, если з есть как угодно малое положительное
число, то внутри G
(х,у)<и,(х,у)+з,
если только к достаточно мало; так как, очевидно, можно также
доказать, что
^(x,y)>uQ (хзУ) — ^
при достаточно малом к, то этим доказывается следующая об-
щая теорема: если распределение Fx(x,y\ $, 7j) удовлетворяет
условиям (24), (L) и предположению А и если ик (х, у) есть
решение [вне G заданное некоторой непрерывной функ-
цией и(х, у)] соответствующей проблемы Р9 то внутри G
при к—*О
где и0 (х, у) есть решение уравнения Q (v) = 0, определенное
краевыми условиями (33).
18. Если мы хотим распространить этот результат на пре-
дельную теорему п. 13, то нужно только освободиться от пред-
положения непрерывности и{х^у\ потому что заданная там
вне G функция принимает только два значения 0 и 1 и, следо-
вательно, за исключением тривиальных случаев разрывна. Было
предположено, что области U’ и U' разделены друг от друга
конечным числом непрерывных кривых, которые не имеют общих
кусков с кривой С. Пусть £s обозначает совокупность точек Е,
расстояние которых от одной из этих граничных кривых не
превосходит положительного числа е. Выбираем две непрерывные
функции т/(х, у) и т?(х, у), которые отличаются1) от х\(х, у)
вне G только на и там удовлетворяют неравенствам:
(х, у) < vk (х, у) < V (х, У),
а внутри G удовлетворяют уравнению Q(-y) = 0. Пусть t\(x, у)
[соответственно vx (х, у)] есть решение проблемы Р для (х, у)
[соответственно v (х, у)] при распределении Е\ (х, у; ;,г(). Тогда
методом последовательных приближений получим тотчас же для
всех х и у:
О, У) < vk (х, У) < V. (х,у\ (347
J) Заметим, что v\(xty) вне G не зависит ох л.
60 III. ПРОБЛЕМЫ ДИФФУЗИЙ
Но по доказанной в п. 17 теореме внутри G
lim vk (х, у) = v (х, у),
lim v} (х, у)= v (х, у).
1-ю
Следовательно, из (34) получается:
lim sup vk (х, у) < z/(x, у),
Х->0
lim inf vk (х, у) > (х, у).
X —>0
Если теперь е становится бесконечно малым, то ^(х, у) и
t/(x, у) приближаются в каждой точке G к решению v„(x, у)
уравнения Q(u) = 0, определенному краевыми условиями х):
(1 на С',
’•(*’Л = Ь иа С".
Отсюда получается:
limvjx,y) = vo(x, у)
Х->0
на G. Этим и доказывается высказанная теорема.
См. сноску 1) на стр. 58.
Глава IV
ОДНОСТОРОННЕЕ БЛУЖДАНИЕ И ОБОБЩЕНИЕ
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА
1. ДВУМЕРНАЯ ПРОБЛЕМА ОДНОСТОРОННЕГО БЛУЖДАНИЯ
1. Рассмотрим на плоскости ху область О, которая ограни-
чивается прямыми х = 0, х~Аг>0 и двумя кривыми у — (х)
и у—А(х)> причем функции /t(x) и /2 (х) на отрезке 0<х<^¥
должны иметь непрерывные производные; кроме того, пусть на
этом отрезке
А (•*) < о < А (•*,)•
Пусть опять мыслимая в виде точки частица движется шагами
случайным образом, выходя из какой-нибудь точки области G.
Через (а, Ь', а', Ь') опять обозначим вероятность того, что
если частица в начале шага находилась в точке (а, Ь), то после
него она будет находиться в области х<я', y<Z>'. На этот
раз мы, однако, предположим, что блуждание относительно х
происходит всегда в/определенном направлении, которое мы,
не уменьшая общности, будем считать положительным; следова-
тельно,
(а, Ь\ а!,Ь’)~0 при а! ^а.
Оказывается, при этом требовании сформулированная проблема
не может быть рассматриваема как специальный случай проблемы
диффузии, рассмотренной в предыдущей главе, и потому нуждается
в специальном исследовании.
Распределение 1\(а, а', Ь*) в его зависимости от пара-
метра К мы подчиним некоторым требованиям, которые анало-
гичны условиям (24) и (L) предыдущей главы; но для дальнейших
приложений мы несколько изменим положение вещей: вместо
независимого параметра X, который входил в (24) и (L), мы
введем бесконечно малую величину ф = ф (х, у, X), которая,
кроме X, может еще произвольно зависеть от х и у и удовле-
творяет только требованию, что для всех х,у в Q и всех поло*
жительных X она равномерно в G стремится к нулю вместе с Х«
62
!V. ОДНОСТОРОННЕЕ ВЛУЖДАННЙ
Поэтому пусть равномерно в О
(5—x)dj\(x,y, $,ч) = фа1(^»^) + о(ф),
И (ri-y)d.iFl(x,y, 5,7]) = фаа(х,у)+о(ф),
И ^,Tl)=:^hi(x,y) + o^)>
J J ^—x)(ri—y)d.2Fl(x,y; ;,Г|)±=ф?1/х,_у)+ о(ф),
(п-уУаъ1\(х, У, ^П) = ФЗа2(^, ^) + »(Ф)>
!> О)
5 $ КВ - X)* + (ч -y}']d^ (х, у, S, ч) = о (ф), (L)
Е-Кху
где Кху — опять описанный около точки (х9у) круг как угодно
малого, нО фиксированного радиуса; функции же av а2, {5Н,
внутри G и на ее границе непрерывны вместе со своими
первыми и вторыми производными 1).
До сих пор все согласуется с предположениями предыдущего
параграфа. Но теперь легко видеть, что в нашем случае требо-
вание —Р?2 > 0 не может выполняться; именно в силу
«односторонности» блуждания этот дискриминант тождественно в G
равен нулю. В самом деле, в силу сделанных предположений относи-
тельно распределения /\(х, jr, S,7j), если т —радиус Кху, получим:
ф$-х)Ч/Ш.у; М)=
= И (5—*)Ч (х, у, s, ч) + J J (а—х)«</2 Fx (х, у, ч) <
&ху Е—Кху
< Т J J (5 - x)daFx (х, у, 5, ч) +.о(ф) = Т[фа, (х, у) + о(ф)] + о (ф);
в силу ограниченности у) отсюда получается
Ц (5—х)Ч2 Ъ (х, у, е, ч) = о (ф)
и, следовательно, в силу (1) тождественно в G (аг, j/) = 0.
1) Введение функции ф дает обобщение предположений, совсем не
связанное с «односторонностью» диффузии, которой мы занимаемся в на-
стоящей главе. Читатель легко может убедиться, что его можно было
бы сделать еще в рамках предыдущей главы без того, чтобы утяжелить
доказательство и никоим образом не влияя на результат (ср. работу
Петровского [33]). Только для лучшей наглядности в первоначальном
изложении вместо ф мы писали просто > и вместе с этим отказались от
происходящего отсюда обобщения.
1. Двумерная проблема одностороннего блуждания 63
Таким же путем легко показывается, что в G также тожде-
ственно
Мх>.у)=о-
Поэтому уравнение (26) предыдущего параграфа в нашем случае
получает вид:
Q(^) — + а2 + У ?22 fyZ — °’ ( )
оно есть уравнение параболического типа, и это влечет за
собою существенное отличие настоящей постановки вопроса от
той, которой мы занимались в предыдущей главе.
Обозначим теперь через V\(x9y) вероятность того, что блу-
ждающая частица, выйдя из точки (х,у) области G, хоть один
раз достигает области U1 (х>Л’), не заходя прежде в об-
ласть J'C/iC*) или у >/2(х)). Далее пусть С есть
отрезок х = Х границы G, и С" — совокупность обеих кри-
вых у—/±(х), j = (0<x<JV). Наконец, пусть распреде-
ление f\(x, у, f, Tj) удовлетворяет условию А предыдущей главы,
формулировка которого для нового случая не нуждается в
изменении.
Наша цель доказать, что v^(x,y) при к—» О равномерно
в G сходится к решению v^{x,y) диференциального уравне-
ния (2), определяемому краевыми условиями
по крайней мере, в том случае, если коэфициенты ар а2 и
придают этому уравнению некоторые, в простейших случаях
известные или легко доказываемые свойства.
2. Если положить у)=1 в U, ^\{х, у)~Ъ в U",
то, очевидно, внутри G (х, у) удовлетворяет интегральному
уравнению
Ъ (*, у) = ( J Ъ. & ъ) (*> У. ’!)• (3)
Мы обобщим проблему, предполагая, что в U= U'+ Uf задана
любая ограниченная и измеримая в смысле Бореля функция и(х,у)
и требуется определить ее значение внутри G так, чтобы она
там тоже оставалась ограниченной и удовлетворяла уравнению
ч(х, y)=<\<\u^,ri)diFx{x,y, 5,7]). (4)
Эту общую постановку мы опять назовем проблемой Р. Что
эта проблема при условии А имеет всегда единственное решение,
не требует здесь никакого доказательства, потому что обосно-
вание этого факта, которое мы дали в третьей главе, совсем
64 IV. ОДНОСТОРОННЕЕ БЛУЖДАНИЕ
не зависело не только от знака дискриминанта соответствующего
диференциального уравнения, но даже от выполнимости условий
(1) и (L). То обстоятельство, что в данном случае при х<0
функция и(хьу) вообще не определена, не вызывает ввиду осо-
бых свойств теперешнего распределения никаких сомнений;
можно, если угодно, значения zz(x,у) для х<0 задать совер-
шенно произвольно, так как для настоящей проблемы эти зна-
чения совершенно безразличны, потому что блуждающая точка,
по предположению, не может заходить в область х<0.
Предполагая сначала заданную в U функцию и (х,у) непре-
рывной^ попытаемся доказать, что решение их(х,у) проблемы Р
при к—» 0 сходится в G к тому решению и^(х,у) диференци-
ального уравнения (2), которое на С = С + С"совпадает с и (х,у);
конечно, при этом предполагается, что уравнение (2) при этих
краевых условиях решается однозначно. Отсюда можно сейчас
же заключить, что уравнение
Q(v) +-€ = 0, (5)
где е — произвольная положительная постоянная, при тех же крае-
вых условиях также решается однозначно [потому что, если у (х,у)
есть решение уравнения (2) с краевой функцией и (х, у) + ех, то
? (х>У) — гх есть решение уравнения (5) с краевой функцией и (х,у)
и обратно].
Преобразованием х'= (1 + 81)х, У = (1 + 82)у при подходящем
выборе произвольно малых чисел 8, и 82 (достаточно выбрать
любым и 8t затем достаточно малым) область G расширяется
в большую область (j*d G. Обозначим через vs(x,y) решение
уравнения (5), которое соответствует краевой функции и (х, у),
и положим
v^«y') = v& (х, у)
для каждой точки (х, у) в G (8 здесь поставлено вместо пары
чисел 84 и 82). Этим функция ^е>5(х,у) определяется на расши-
ренной области G*; если v6 (х, у) в G имеет непрерывные
первые и вторые производные, что мы предположим, то, оче-
видно, то же самое имеет место и для v8>8(x', у1) в G*, и по-
тому при достаточно малых и 82
!<Ж,8)+ *!<!• (6)
Наконец, пусть t = 8t, 8.2) — верхняя грань значений
। а (х, у) — s (х, у) | в G* — G. В силу предположенной непре-
рывности и(х,у), очевидно, т при достаточно малых 8* и
как угодно мало. Положим
( ф.,8 У) + ? в G*,
у)=<
I и (х, у) в U вне
1. ДВУМЕРНАЯ ПРОБЛЕМА ОДНОСТОРОННЕГО БЛУЖДАНИЯ 65
в G* эта функция, очевидно, удовлетворяет неравенству (6), так
как она там отличается от (х, у) только на постоянную.
3. Теперь нужно показать, что при достаточно малых 8Р и к
внутри G и на С
У)> \ т() <М\ (х, у- £,т]). (7)
Преобразование, которое переводит область G в (?♦, перево-
дит С в некоторую кривую, которую назовем С*. Обозначим че-
рез pi положительное число, меньшее, чем минимальное расстояние
между С и С*, и через Кху круг с центром в (х, у/) радиуса g.
Положим еще
Л = j j v*t (', т() d2Fy (х, у; $, 7J),
Л = 5 $ &Г|)d*F>-
Я-Хху
Тогда в силу (L), если М есть верхняя грань | $ (х, у) | во
всей полуплоскости х>0, при (xj)cG
|У2|<Л1 JJ dj\(x,y, т()<,
—Кху
И [(£-*)2+(ч-у)’ил 5,Т|)=О(Ф).
Н~~Кху
Область интегрирования в Jx для каждого положения точки
(х, у) в G содержится в G* в силу сделанного выбора ц1); сле-
довательно, ^,б(х, j/) там имеет непрерывные производные пер-
вого и второго порядка, и мы можем положить
dt** я dv*»
<г (&, *i) = ^*,6 (х, У) + (5 — X) + ft — у) +
If. s d2v* *
+ ‘2‘{(i — x) ~^г+2(£ —x)ft~ +
&V*
+ ft -У)* } +1 (5 - x)a + ft - У)2] P (X, y; g, 7j),
где p (x, y, 5, *)) становится бесконечно малым в когда ц
стремится к 0.
*) Часть области интегрирования, лежащая в полуплоскости х < 3,
конечно, не принимается в расчет, так как там тождественно
Н»д)=о.
5 Хинчин, Асимптотические законы
66 IV. ОДНОСТОРОННЕЕ БЛУЖДАНИЕ
Следовательно,
Л = <0 (х, у) \ \ оГ-Л (х, у\ $,»!) +
к
/» /»
+ -£г J J (£—х) d<J\ (х, у; £, г,) +
&ху
+ (Г| -у) df'(х> -у; Г|) +
ЧУ < v
Кху
+у 5 5~а^к (х’у; ’’г,)+
*Кху /
д2??* s (* г
. +д^у}}^~Х^А~У^^(Х'У’ ’’г') +
&ху
1 d%v~ s г г* 1
+1 "а/ П Ci ~У? Сх, У\ % г.) + J*,
Z ЧУ v v
кху
/*=5 5 -х)2+(Г| р (х’у’ri) d*Fi- (-х’у’’ ’’ri)'
*Аху
Очевидно, в силу (1) и по только что упомянутому свойству
функции р —при достаточно-малых у. и X имеем:
как и в случае «эллиптического» блуждания, здесь легко полу-
чается из условия Линдеберга, что другие стоящие справа ин-
тегралы отличаются от соответствующих интегралов, взятых по
всей плоскости, только на величины вида о(ф). Отсюда
Л < <0 (X, у) + [Q «г) + -J-] Ф + о (ф),
а так как выше уже было замечено, что удовлетворяет
неравенству (6), то отсюда следует:
(х, j) — ~ ф + о (ф).
Принимая во внимание найденную выше оценку для отсюда
получаем, наконец, для достаточно малого >
Л + л = У 5 <5 (;, т<) (X, У, rt) < (х, у),
что и требовалось доказать-.
1. ДВУМЕРНАЯ ПРОБЛЕМА ОДНОСТОРОННЕГО БЛУЖДАНИЯ 67
4в Ограниченной и непрерывной в U функцией и (х, у) опре-
деляется проблема Р; ее единственное в силу условия А ре-
шение, соответствующее распределению Рх, мы обозначим на
всей полуплоскости х>0 через их(х,у). Подобным же обра-
зом значения функции т?^§(х, у) на U определяют проблему Р,
решение которой назовем w(x, у). Неравенство (7), которое мы
доказали для функции ^(х, у), и соответствующее интегральное
уравнение, которому удовлетворяет w(x,y) как решение про-
блемы Р, позволяют так же легко, как и в предыдущих пара-
графах, вывести, что везде в полуплоскости х>0
w(x, у)<ХДх, у).
Но, с другой стороны, так же доказывается, что там
(x,y)<w(x, у),
потому что на U это неравенство выполняется по определению
г/* 8 у). Поэтому получаем во всей полуплоскости х > О
Если теперь 8t и становятся бесконечно малыми, то также
и т (ср. п. 3) становится бесконечно малым, и, следовательно,
z4,o(x, у) в G приближается к функции -ив(х, у); если t/s(x, у),
как мы теперь еще предположим, зависит непрерывно от е, то
для достаточно малого к, каким бы малым ни было выбрано
положительное число а,
«х(*, У)<и0 (•*> J) + e.
где (х, у) есть решение уравнения (2), соответствующее за-
данной на границе функции и(х. у). И так как, очевидно, со-
вершенно тем же способом можно вывести и другое неравенство
у)>и9(х,у) — а,
то этим доказывается следующая теорема: если одностороннее
относительно х распределение ^удовлетворяет условиям (1),
(L) и А и если иу (х, у) есть решение проблемы Р, со-
ответствующее заданным значениям и(х,у) на U, которые
там образуют непрерывную и ограниченную функцию, то
для каждой точки в G при \ -> О
их(х, У) ^0(х, у),
где и9 (х,у) означает то решение уравнения (2), которое
на С совпадает с и(х>у). При этом уравнение (2) должно
б*
68 IV. ОДНОСТОРОННЕЕ БЛУЖДАНИЕ
удовлетворять некоторым общим предположениям, о которых
была речь выше.
5. Наша первоначальная постановка вопроса отличается от
только что рассмотренной только тем, что заданная функция
ц(х, у) на U была разрывна (а именно равна 1 на £7' и 0 на £7").
Если мы хотим найденный результат распространить на этот слу-
чай, то нам надо, как и в предыдущих параграфах, аппрокси-
мировать разрывную функцию и (х, у) непрерывными v (х, у)
и т?(х, у), которые вне G отличаются от и(х>у) только на
двух определенных неравенствами у (х) + е и, соответственно,
У>Д(х) —е кусках полоски г<х<-¥+8 и удовлетворяют
там неравенствамх):
? (х, У) < (*, y)<v (х,у);
внутри G эти обе j функции v (х, у) и v (х, у) определяются
условием, что они удовлетворяют там уравнению (2). Значениями
функций v(x, у) и, соответственно, t/(x, у) вне G определяется
проблема Р; ее единственное, в силу условия А, решение, соответ-
ствующее распределению назовем т\(х, у) и, соответственно,
<7х(х,у). Обычным рекуррентным способом получаем тогда для
всех точек (х, у) полуплоскости х > 0 неравенство:
Ъ (х, у) < (X, у) <\ (X, у). (&)
По доказанной в п. 4 теореме в силу предположенной непрерыв-
ности функций т? и г» мы имеем внутри О:
lim 77х (х, у) ==v (х, у),
к—>0 ~~
lim vx (х, у) = v (•£, у);
следовательно, неравенства (8) дают:
lim sup (х,_у)<v(х, у), )
х ? (&)
lim inf vx (х, у) > v (х, у).
х-»о -- 7
Сделаем теперь е бесконечно малым; тогда v (х, у) и v (х, у)
во всех точках С, за исключением двух угловых точек [^^(А)]
и [X, /2 (А)], стремятся к первоначально заданной на границе
функции, которая равна единице на С и нулю на С". Мы предполо-
жим, что при этом соответствующие реиь ния v (х9 у) и
1) Заметим, что вне G vx (х, у) = и (х,у) не зависит от к
2. ОБОБЩЕНИЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА. 69
v(x, у) также приближаются к решению &0{х, у) дшферен-
циального уравнения (2), соответствующему этой краевой
функции. Тогда из (9) получается непосредственно
lim vx(x, y) = v6(x, у).
к—->0
Этим доказывается и теорема, соответствующая нашей поста-
новке задачи.
Перечислим еще раз те предположения, которым должно
удовлетворять уравнение (2) и которые мы всегда вводили ad hoc.
Для каждой заданной на С непрерывной функции и (х, у)
уравнение (2) внутри G должно иметь одно единственное
решение, которое обладает там непрерывными производными
первого и второго порядков, и на С совпадает с и(х,у). При
непрерывном изменении функции, заданной на границе, это
решение должно также меняться непрерывным образом* Если,
наконец, и (х, у) приближается к функции v9 (х, у), опреде-
ленной условиями
то упомянутое решение должно сходиться к однозначно
определенному решению того же уравнения, совпадающему
на С с v9(x,y).
6. Ясно, что рассматриваемая в этом параграфе проблема
есть (конечно, не самый общий) «параболический» аналог «эллип-
тической» постановки задачи третьей главы. В обоих случаях
теоретико-вероятностным постановкам вопросов совершенно есте-
ственным образом соответствуют обычные краевые условия.
Если мы, однако, «параболическим» случаем одностороннего
блуждания занимались довольно подробно и при этом неизбежно
допустили отдельные повторения, то это произошло в силу
совершенно особого значения этой проблемы. Именно, она, как
это будет показано в ближайших параграфах, является обобщением
одной постановки вопроса, являющейся в свою очередь обобще-
нием первой одномерной проблемы диффузииДср. главу III, § 1),
и принадлежит к кругу проблем, которые в последние годы
возбуждают особый интерес в теории вероятностей. Этому кругу
проблем посвящена также вся последняя глава.
2. ОБОБЩЕНИЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА
7. Как ив§ 1 первой главы, будем рассматривать случайную
величину х, которую можно представить как сумму п взаимно
независимых случайных величин хх, х,2,.. ., Хп, математические
ожидания которых равны нулю и соответствующие законы рас-
пределения которых суть Fx(x), F3(x),.. .,F*(x), Как и там, мы
70 IV. ОДНОСТОРОННЕЕ БЛУЖДАНИЕ
предположим выполненными условия Линдеберга, так что для
каждого т>0 интегралы
J x*dFk(x) (1<£<л)
I* 1>т
мыслятся как угодно малыми по сравнению с соответствующими
дисперсиями:
Ьк=\ X*dFk(x).
Пусть опять дисперсия величины х
п
fc-l
равна единице и функцию распределения для х обозначим че-
рез U (х).
Вопрос, которым мы будем заниматься в этом параграфе,
является обобщением классической проблемы Лапласа-Чебышева
первой главы. Пусть Д (/) и f^(t) — две определенные в интер-
вале функции, имеющие непрерывные первые произ-
водные и удовлетворяющие неравенству /t (0 < 0 < (7). В пер-
вой главе мы% ста вили себе задачу установить приближенно
п
закон распределения окончательной суммы х = т* е* ве’
^1
роятность того, что значение этой суммы заключено между
двумя определенными числами а и Ь. Новая постановка вопроса,
напротив, охватывает не только окончательный результат, но
и весь процесс суммирования. Именно требуется найти вероят-
к
ность того, что для всех k (1 <&<л) суммы $к~^Х^ удовле-
творяют неравенствам:
fi (&к) < < A (&kf
Как обычно, здесь в основном нас интересует предельное зна-
чение искомой вероятности в предположении, что количество п
слагаемых при выполнении условия Линдеберга бесконечно воз-
растает, в то время как общая дисперсия остается постоянной
, и обе функции Д (Z) и (f) также остаются неизменными.
В силу произвольности этих обеих функций проблема, очевидно,
получается в высшей степени общей.
Решение этой проблемы дается следующей теоремой, доказа-
тельство которой и составляет содержание этого параграфа.
2. ОБОБЩЕНИЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА 71
Для каждого г > 0 имеются два таких положительных чи-
сла 7j и pi, что как только выполнены условия
i \ x2dFk(x)<p. (k=l, 2,... ,п),
!«:>*)
искомая вероятность отличается от ф9 (0, 0) меньше чем
на е, где v0 (х, t) есть то решение уравнения
dv 1 д-у_______~
(Ю)
которое при /=1, А (0 <х</2 (/) принимает значение 1,
а при 0</<1, х=А(0 и 0<£<1, Х-~принимает
значение 0.
Ясно, что аналогичная теорема остается в силе и в том
случае, если вместо (0, 0) выбрать за исходную точку любую
другую точку области д, ограниченной прямыми / = 0,
и кривыми x=f{(t),
Если каждому возможному значению sk суммы sk поставить
в соответствие точку плоскости xt с координатами (sk,B^ то
описанный процесс суммирования можно рассматривать как
двумерное блуждание с исходной точкой (0, 0). Обозначим че-
рез U' область
/> 1, х любое,
А(0<*<А(0,
и через U" область
f 0</< 1,
*<А(0,
*>А W-
Тогда наша постановка вопроса звучит так: как велика вероят-
ность того, что блуждающая точка, выйдя из (0, 0), достигнет
области U', не заходя прежде в область Lf"?
Эта диффузионная точка зрения яснее всего обнаруживает
связь новой постановки вопроса с проблемой Лапласа-Чебышева
первой главы. Именно, если мы, закрепив концы [1,^(1)] и
[1>А(1)], обе кривые (0 и х— f%(t) станем деформировать
так, чтобы они в пределе слились с отрезками [ — oo<x</t(l)],
соответственно, [А (1)< X < оо] прямой t— 1, то рассматриваемая
проблема блуждания будет изменяться так, что в пределе получится
в точности первоначальная постановка задачи Лапласа-Чебышева.
Эта связь, которая ясно и наглядно обнаруживается в формули-
72
IV. ОДНОСТОРОННЕЕ БЛУЖДАНИЕ
ровхах обеих проблем, находит также свое полное выражение
и в их решениях, потому что интеграл Гаусса-Л апл аса
есть ведь не что иное, как вычисленное при x~Z~0 значение
решения
Ъ—х
Гр/
г’°(х’vW \ е 2 du
а—х
уравнения (10) для /<1, которое при £=1, а<х<Ь равно 1,
а при £==1, х<я и £=1, х>Ь становится равным 0.
8. Если мы хотим к выше сформулированной проблеме блуж-
дания применить метод решения, изложенный в § 1, то мы
должны принять во внимание, что рассматриваемая там вероят-
ность 'перехода /\(х, /; xf, t') здесь определена пока только
для конечного множества значений Z, а именно для t = 0,B1,
В*,..., Bn_v Этот недостаток, однако, легко устраним. Обозна-
чим через г (и) элементарную функцию распределения, опреде-
ленную следующим образом:
(0 при я<0,
8 1
( 1 при zz> 0,
и положим по определению
% к', /)= fM(x' — x)s(t' — t —
для
< Д+1 (0 < & < л).
Это определение имеет, очевидно, следующий простой смысл:
если блуждающая точка в определенный момент имеет коорди-
наты (х, Z) и если 0<&<я, то с достоверностью
можно утверждать, что после одного скачка будет t' = t + bk+i-,
распределение же для координаты х после этого скачка опре-
деляется так, что разность х'— х подчиняется закону распре-
деления FM. Если обозначим через г/к(х, f) вероятность того,
что блуждающая точка, выйдя из положения (х, /), попадет
в область If, не заходя прежде в U", то, очевидно, г\(0, 0)
есть в точности наша искомая вероятнЪсть.
Ясно, что определенный таким образом двумерный процесс
блуждания такого же рода, как и рассмотренный в § 1, потому
что блуждание происходит с достоверностью в положительном
2. ОБОБЩЕНИЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА 73
направлении оси t. То обстоятельство, что при этом изменение t
за каждый отдельный скачок должно с достоверностью иметь
точное значение, составляет специальное предположение настоящей
постановки вопроса, которое, очевидно, в общем случае совсем
не обязано выполняться; однако это предположение ни в коем
случае не противоречит предположениям общей проблемы. Если
мы хотим применить результаты § 1 к настоящему случаю, то
нам надо сначала убедиться, что выполнены все поставленные
там условия.
Для этой цели выберем ф = ф(х, /, Х) = &А+1 при ВА<^<ВА+1,
0</г<« [параметр к здесь, так же как и в § 1, явно совсем
не входит; можно было бы для восстановления обычной картины про-
цесса обозначить через X наибольшую из дисперсий 6А(1 <&<л)].
Очевидно, выбранная так величина ф удовлетворяет всем необ-
ходимым требованиям, потому что равномерно в Q
/, X)—*0 при X—*0.
Условия (1) § 1 при этом запишутся так:
а1(х> 04~<>(А+1),
^А+1 а2 (Х» 0 + 0
&*+! ~ ?11 (Х> 0 + 0
® “ ^/с+1 ^12 (Х> О 4" 0
&к+1 &к+1 0 4“ 0 (^Л+1)»
где k определено неравенствами ВА</<ВА+1. Если дисперсии bk
равномерно становятся бесконечно малыми, что, как мы знаем
из первой главы, является непосредственным следствием условия
Линдеберга, то эти уравнения, очевидно, выполняются при
ai = P12=^22 = 0, а2 = ^11 = 1. Уравнение (2) § 1 получает по-
этому здесь простой вид
dv 1 &v _____
+ ~2~дх* —
Это есть диференциальное уравнение, сопряженное с обыкновен-
ным уравнением теплопроводности; его однозначная разрешимость
для краевых условий, соответствующих нашему случаю, принад-
лежит к классическим результатам анализа; точно так же и другие
поставленные в § 1 требования для данного уравнения или из-
вестны или легко доказываются, так что в этом отношении все
необходимые условия несомненно выполнены.
Нам надо еще убедиться, что в нашем случае выполняются
также условия Линдеберга в форме, использованной в § 1. Если
74
IV. ОДНОСТОРОННЕЕ БЛУЖДАНИЕ
р означает радиус круга, описанного около точки (х, /), и k
определено неравенствами Bk<^t <Bk+v то
\ $ [($ - х)* + (Т - о2] dj\ (X, t- X, t) =
= Ц [('- X)2 + (T- t)*\dFM£~ x)rf£(T-1-
E-Kxi
< П x)2 + (5— 0s] dFk+i(- — x)di-(t — t — ^+l) +
+ И [(i-x)2 + (T-02]^,+1(^-x)^(--/-^.+1)<
< C--x/dFM^-^\(y-t^dz{--t-b^,
*J и
потому что интеграл, взятый для |т —очевидно, об-
ращается в нуль, если
что можно предполагать для
достаточно малого X. Если для величин хк выполняется условие
Линдеберга, как мы предполагали, то первый из полученных про-
стых интегралов есть о(#А+1); второй равен так что все вы-
ражение получает вид: о (Ьм) = о(ф), что и требовалось доказать.
Наконец, что касается условия А в § 1, то в настоящем, спе-
циальном, случае оно, несомненно, выполняется, потому что
если обозначить через г самую маленькую из дисперсий &й(1<
то координата t блуждающей точки обязательно за
каждый отдельный шаг увеличивается по крайней мере на г.
Следовательно, выполнены все предпосылки доказанной в § 1
теоремы. Если мы применим эту теорему, то получим, что
при X —О [следовательно, если г, и р в (L) становятся беско-
нечно малыми] функция их(х, у) во всей области G стремится
к тому решению уравнения (И), которое удовлетворяет краевым
условиям, поставленным на стр. 71. В частности, при x = t = 0
отсюда получается наше утверждение. Эта теорема вначале была
доказана Колмогоровым [22] более прямым методом; несколько
позднее Колмогоров [23] дал другое доказательство, основанное
на методе Петровского, которое, однако, отлично по существу
от изложенного здесь и в котором, в частности, не использована
связь с двумерной проблематикой.
Глава V
ТЕОРЕМА О ПОВТОРНОМ ЛОГАРИФМЕ
1. СУММЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1. Постановка вопроса, который разбирается в этой главе, имеет
в известном отношении более элементарный характер, чем все
предыдущие рассмотрения, так как здесь исследуется не закон
распределения, а только оценка изучаемых случайных величин.
Ре^ь идет, следовательно, о задаче, которая относится к кругу
проблем, примыкающих к закону больших чисел. Но, с другой
стороны, эта проблема касается не мгновенного состояния не-
которой случайной величины, а всего процесса, ее изменения и
потому стоит в теснейшей связи с вопросом, которым мы только
что занимались в четвертой главе. Для более точной ориенти-
ровки можно было бы с некоторым правом высказать следующую
формулу: теорема о повторном логарифме, обоснование которой
составляет содержание этой главы, имеет такое же отношение
к теореме Колмогорова, которую мы доказывали в § 2 четвертой
главы, как теорема Бернулли к предельной теореме Лапласа или
как закон больших чисел в форме Чебышева к общей предельной
теореме Ляпунова.
Если обозначить через xv Х^. . ., хпУ. . • ряд взаимно независи-
мых случайных величин, все средние значения которых равны
нулю и дисперсии которых пусть будут br, />2,..., . . ., и если
п п
положить = т0 закон больших чисел, по
к~1 к~1
существу, говорит, что при известных ограничениях, касающихся
роста Вп, граница |snI для больших п с,.подавляющей вероят-
ностью должна быть мала в сравнении с п. Во многих важней-
ших случаях это утверждение можно обобщить в том направле-
нии, что даже вероятность появления хоть одного из неравенств
|S«+J>£(« + ^) (Лг==О, 1,...),
где е — произвольно малое положительное число, также становится
как угодно малой при больших п. Во многих приложениях
(в физической статистике, в частности, в эргодической проблеме)
76
V. ТЕОРЕМА О ПОВТОРНОМ ЛОГАРИФМЕ
как раз это уточнение («усиленный закон больших чисел») и
играет главную роль;' его важное значение было впервые обна-
ружено Cantelli [4], который также его обосновал и детально
изучил. Необходимые для его справедливости условия (в частно-
сти, также и для случая взаимно зависимых переменных) были
исследованы Хинчиным [16, 17]. Содержащееся в этом уточнении
закона больших чисел утверждение можно, очевидно, выразить
так: с вероятностью 1 можно ожидать, что при п—+оо будет
5я=о(л). (4)
К давно известным фактам относится также и то, что оценка
(1) во многих простейших случаях (и прежде всего в классиче-
ской схеме Бернулли) может быть существенно уточнена. Не-
смотря на то, что относящиеся к этому утверждению теоремы
доказываются и формулируются по большей части в терминах
теории чисел, они могут, несомненно, служить и в качестве тео-
ретико-вероятностных утверждений, так как необходимые для
этого рассуждения не нуждаются ни в каких новых средствах
доказательств и сводятся только к переводу с одной термино-
логии на другую. Уже в 1913 г. HausdofH [11] заменил для
случая Бернулли оценку (1) оценкой sn~o(n2* ) (е>0 про-
извольно мало), а в 1914 г. Hardy и Littlewood [10] доказали,
что sn= C>(j/nln я). В 1923 г. Хинчин [12] дал оценку sn =
= O(]/nlnlnn) и в 1924 г. он показал [13], что эта оценка
не может быть дальше уточнена. Точнее, при этом получается
(сначала для схемы Бернулли), что вероятность предельного со-
отношения
Пт sup —— 1 (2)
V2Bn In In Bn w
равна единице, так что функция }/2Z?rtln In Вп в этом именно
смысле является «точной верхней границей» случайной суммы | sn |.
В 1926 г. Хинчин [14] обобщил эту теорему на некоторые слу-
чаи так называемой схемы Пуассона. В 1929 г. появилась работа
Колмогорова [18], в которой это утверждение доказывалось при
очень общих предположениях, и проведение доказательства было
существенно упрощено. Наконец, в 1931 г. Р. Levy [24] опубли-
ковал новое доказательство для случая Бернулли и провел также
относящиеся сюда более тонкие исследования для простейших схем.
2. Как и во многих местах этой книги, мы здесь также не
будем стремиться к наибольшей возможной общности; нашей
целью скорее будет выявить возможно яснее методы доказа-
тельства. Соответственно этому мы предположим, что все слу-
чайные величины хк имеют одинаковую дисперсию 1, так
что будет и что возможные значения всгх случайных
1. суммы случайных величин 77
величин по абсолютной величине лежат ниже некоторой положи-
тельной границы р. При этих предположениях теорема имеет место.
Таким образом надо доказать следующее утверждение. Для
как угодно малых § > О и е > О и произвольно большого N
можно выбрать целое положительное число nQ> N так, что
1) вероятность того, что хотя бы для одного n^nQ выпол-
нится равенство _______
1| > (1 + 8) |/2л1п1а л,
меньше е, и
2) вероятность того, что хотя бы для одного п^п9 вы-
полнится неравенство
I sn (> (1 — 5)j/2^ In in п,
больше 1 —в. Доказательству надо предпослать некоторые оценки,
которые мы заимствуем в существенных чертах из вышеупомя-
нутой работы Колмогорова [18].
Лемма 1. 1) W{sn>x}<e 2?rV 2м71), еслиО<х<-~;
2) W{Sn>x}<e 4%еслих>-~.
Доказательство. Пусть а — любое число, удовлетворяю-
щее неравенствам 0<лр<1; так как |х4|<р, Е(хк)=^0 2),
Е(Х2)~1, то
Zl = o t=2
оо
= 1 2 + |!{!+21пта}<
2' -т.'+ ’' (3)
и в силу взаимной независимости величин хк
* а1 л /
£(***) = JJ Е (еаХк) < +
Ь=1
1) IF | А | обозначает вероятность события А.
2) Е(х) обозначает математическое ожидание случайной величины х.
78 V. ТЕОРЕМА О ПОВТОРНОМ ЛОГАРИФМЕ
Поэтому неравенство Чебышева дает
VT{sn>x} <е-в®£'(е“,л)<е-о‘’+~'' +’2',
Если 0 < х < — , то выберем а = — : это дает
}1 и
ТГ {$„>*} <е inX 2"7;
этим заканчивается рассмотрение первого случая леммы 1. Если,
напротив, , то выберем это дает
х Зп х
чем доказывается и второе утверждение леммы 1.
Лемма 2. Пусть функция у(п) удовлетворяет условиям
> 4- ос при п —> ос ; (4)
л Гл F k 7
тогда для как угодно малого г>0 при достаточно большом п
е 2я < {sn>/.(«)} <е 2я
Доказательство. Второе из этих неравенств легко по-
лучается из леммы 1, потому что в силу (4) при достаточно
большом п
X(«Xf и 4^<е,
и, следовательно, по первому утверждению леммы 1
х*(*)Д хООр\ жхЧ«>п .
№{$„>х(я)} <е 2я v 2" ' <е 2я .
Доказательство первого неравенства значительно сложнее. Сна-
чала цепь заключений, аналогичная (3), показывает, что при
достаточно малом а
Е(еаХк)>\+^ (1
так как, однако, для каждого а>0 имеет место оценка
1+а>е“(1"а),
1. СУММЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 79
то отсюда следует при достаточно малоаГ а
ар. а1 2 \ а2
Е(еа*к)> 2
где х — фиксированное, выбранное как угодно малым число; по-
этому ч
' (5)
Но, с другой стороны, положив W(sn> х)— F(x), имеем:
E(eaSn) = — \’ eaxdF(x) = a jj eaxF(x)dx,
как это легко получается интегрированием по частям *). Ра-
зобьем теперь путь интегрирования на пять частей: ( — Ъо, 0),
[0, ап (1 — 5)], [ап (1 — 3), ап (1 + 8)], [ап (1 + 8), 8ап\, (8ап, + оо),
где 8 — (малое) положительное число, точнее определяемое позже;
соответствующие интегралы обозначим через Jt, J3,
так что
Е (eaSn) - а (А + J, + J3 + J4 + /.).
Здесь
о о
aJr ~ а \ eaxF (х) dx <а \ еах dx~l. (6)
Далее, для достаточно < малого а и х>8ал по лемме 1 в слу-
п
чае х> —
н
F(x) < Г < ё~ 2ах,
и в случае х< —
х- / _ «и\ ж2
F(x) < 2w' ~ < е~^ < е~2ах.
Это дает
aj^ ~ а \ exF{x) dx <а \ ах dx < 1. (7)
8ап 8ап
На обоих отрезках [0, ап (1 — 8)] и [ап(1 +6), 8ап], при доста-
точно малом а,
и, следовательно, по первому утверждению леммы 1,
_ *71
F(x)<e 2п'.
1) Вопрос о сходимости здесь не возникает в силу предположенной
ограниченности распределения.
80
V. ТЕОРЕМА О ПОВТОРНОМ ЛОГАРИФМЕ
Поэтому подинтегральное выражение становится там меньше, чем
ж8/ ижЧ ®8
Г ~ 2п V - 2п^ < ™ ~ 2п 11 - 4С1Л) е^\
Но парабола у = ф (х) имеет вершину в х —
па w
1 — 4ца ’
при до-
статочно малом а эта точка попадает в интервал
[па (1 —8), па(1 +8)];
следовательно,
ап (1 — 8) ап (1—8)
a =а eaxF(x) dx<a <х) dx < а*п (1 — S) (а*(1 ~8))>
о о
или в силу справедливой при достаточно малом а оценки
ф (ап (1 - 5))=а*п (1 - 8) -~^(1 - 8)2(1 - 4р.а) =
= (1 - 8) [ 1 + 8 + 4ga - 4ца8] < (1 - 18»),
д2п/ 1 \
а/2<а»«^(1"28); (8)
аналогичным способом получается:
Зап Зап ч
aJ4 = а еахР(х) dX<Za dx < I
ап (1 + 8) ап (1 + 8) \ (9)
(ап <1+5)) — (1—-8*) I
<8а пе < 8а2пе 2 V 2 \ )
Из (8) и (9) следует:
А 15Л
а(^ + ^)<9а2пе2 k 2°< (10)
Если положим теперь а 227)> то а ПРИ Д°с'гаточно боль-
шом п действительно становится как угодно малым; и если вы-
брать далее 8 —2]/х, то из (10) в силу (5) следует:
а8н8* а*п а*пЪп-
a(J2 +J4)<9a2ne 8 е2’ * <8 Е(е№пУ,
и так как в силу (4) множитель
9а2пе 8 8я<1-5>*
л (1 — 8)2
1. СУММЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
I
8Г
при п —-> оо становится бесконечно малым, то при достаточно
большом п
а(Л + ЛХ~Е(е^). (11)
Из (5) видно, что Е(еа~п) при п —> оо бесконечно велико; нера-
венства (6) и (7) для всех достаточно больших п дают поэтому
(12)
наконец, из (И) и (12) в силу (5), очевидно, следует:
««(1+8) ain
aJ3 = a e™F(x)dx>±E(^”)>±e^tl~'\
an (1 — 3)
и a fortiori при достаточно большом п
а*п
~ё* ’ ” <аеа’я(1+S)F(an (1 —д)) 2ап$,
F(an (1 - 8)) = F(t (я)) = 1F{SW >!(«)}>
1 -^(l + x+28) —^*(1 + 2х + 2!) '
так как при п—>оо в силу (4)
1 Я2ПХ
lim—s-п2 — оо.
4а2лЗ
Поэтому всегда при достаточно большом п
Х*(л) 1 + 2х+28
W {««>!(«)} >е~~^ "~^г
и так как при подходящем выборе х, в силу того, что
J = 2l/x, дробь -Ц^2х "h2- становится меньше 1 + е, то, сле-
F (1 —о)2
довательно,
2я ,
чем доказывается также и первое из утверждаемых неравенств.
Лемма 3 х). Положим Sw— шах {st, sj . Тогда для
всех х
{«*»> х} < 21F {s„> х-уГп}.
Эта элементарная лемма составляет ядро доказательства Колмого-
рова.
6 Хиачнв, Асимптотические законы
82
V. ТЕОРЕМА О ПОВТОРНОМ ЛОГАРИФМЕ
Доказательство. Обозначим через Ак = 2,..., п)
событие, которое характеризуется неравенствами:
S^X (1<4<&),
X.
Очевидно, Av Д2,..., Ап исключают друг друга, и одно из
этих событий должно появиться, если 5п>х. Если вообще обо-
значить через Еа (z) математическое ожидание случайной
величины z в предположении события Л, то в силу взаимной
независимости величин Хк
ЕАк l(S№ ~ Л = Е [(sn - sJ’J = п - k < п (1 < k < п)
и, следовательно, по неравенству Чебышева
WM{\sn-Sk\>№}<±
и поэтому a fortiori
WAlt {sn-x< -]/Тп} < WAk {«, -s4< — |/2л} <1
^л{5я>х-1/2^}>| (*=1,2, .
Следовательно,
W{s,>x-^n}>^W{At} WAk{sn>x-^n}>
k~l
k=l
что и требовалось доказать.
3. Обратимся теперь к доказательству основной теоремы. Пусть
т—положительное (малое) число, которое в дальнейшем будет
определено точнее, и пк— наименьшее целое число, превосходящее
(1 +?)*; положим далее y(n)~ j/2nlnlnn, в силу чего, Очевидно,
выполняется условие (4) леммы 2. Тогда, если ему обозначают
любые малые положительные числа, то при достаточно больших k
ж{$я4>(1 +Т)Х(^)—1/2«J < W {sni>(l +^)х<А)} <
1. СУММЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
83
где 1==(1 —-е)^1 + — 1 при достаточно малом s положи-
тельно и Ct — Ct (т, s, у) означает f некоторую положительную
величину, не зависящую от k. Если обозначить теперь через
максимум sk при пк_х + 1 < п ^пк, то, очевидно, S„k, и, сле-
довательно, по лемме 3,
W К> (1 + Y) I Ы < W{S„k > (1 + Y) X (пк)} <
< 2 W {s„k > (1 + 7)Х(пк) - /2^} <
Если далее 8 есть любое положительное число и Vk означает
вероятность того, что выполняется по крайней мере одно из *
неравенств
то, очевидно,
и так как
SnX1 +5) /.(«) («>«*),
/=Л+ 1
(14)
v(n) ---------—
lim 3 . = у 1 + -
/->оо X
то при достаточно большом J
t(»>)
fr+2r'
(15)
Если выбрать поэтому
нялось неравенство
Y <3 и т настолько малым, чтобы
выпол-
1 + Y,
то из (14) и (15), при достаточно большом следует
ОО оо 1
2 ^{^>(1 + Y)Z(«j)}<2C12 >1+' >
у—j=k+l
что показывает, что
lim
Л->оо
1 + 3
чем доказывается первое утверждение теоремы.
Для того чтобы доказать теперь второе утверждение, выберем
некоторое (большое) целое положительное число Л, которое
6*
(16)
(18)
84 V. ТЕОРЕМА О ПОВТОРНОМ ЛОГАРИФМЕ
опять точнее будет определено позже. Если обозначить через ик
вероятность того, что выполняются все неравенства
и через Uk вероятность того, что выполняется, по крайней мере,
одно из неравенств
IsAi |>(1 -§)х(А0 (1 <«<*),
то, очевидно, для всех /п > 1
k-l
Далее по лемме 2 при 0 <у < 1, s>0 и достаточно большом k
vt= W'{sa*~Sa4-.>(! — ?)x(A4—A4'1)} > 1
_ (1+e) (1_T)» = 1 _C2
> {in (А4 — A4-*)}1-4'*1*4’
J
где ). = 1 —(1 — у)2 (1 + e) при достаточно малом г положительно
и —С2(Д, г, у) не зависит от k. Но последнее из неравенств
3)Х(Дг) (Г<«<А!), 1
SA>> — — А4'1) /
обозначает событие, которое не зависит от остальных; следо-
вательно, г^(1—^k-i) есть вероятность того, что выполняются
все неравенства (19). Если теперь у <5 и А достаточно велико,
то из (19) следует (16), потому что, если система (19) удовле-
творяется, то г
SAk > (1 — Y) X (А4 — А4-1) + Sa*-' > (1 — Y) I <Ак — А4"1) —
~(1 - а)х(А4-*) = (1 — Y) |/ 2А4(1 - 1) In In A4(l -1) -
_ 1 —8 у/ 2д*1п1п4.- =
VA А
= {(1 - Т) [1+ £1 (А)] - [1 + е4 (А)]} у (А4),
где lim (Д) — lim g2 (Д) = 0. Поэтому вследствие того, что
Л->оо Л—► эо
у <§, при достаточно большом А
$лл>(1-5)Х(А4),
2. НЕПРЕРЫВНЫЙ СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС 85
а этим и доказывается наше утверждение; поэтому, если поло-
жить еще Ц = 0, то
— Щ Ujc-i (&—1,2,...)
или
l-^<(l-_f7^)(l~^) (£=1, 2,...)
и, следовательно,
2>--->- (2°)
/=1
со
В силу оценки (18) vk расходится и вследствие этого (20)
Л=1
дает
lim Uk=\,
k->ZX)
Поэтому можно ожидать с вероятностью >1—е, что по
крайней мере одно из неравенств
!М>(1
W)
(1 </<п)
должно выполняться, если только п достаточно велико. Так как
число А может быть выбрано при этом как угодно большим,
то этим самым и вторая половина теоремы доказана.
2 НЕПРЕРЫВНЫЙ СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
4. В первой главе (§ 2) мы видели, что однородный стоха-
стический процесс, в предположении некоторой непрерывности,
всегда должен принимать форму Гаусса-Лапласа, Вот почему
естественно попытаться обосновать аналогичные теоремы о по-
вторном логарифме и для этого случая, который можно рас-
сматривать как непрерывный предельный случай проблемы Ла-
пласа-Чебышева, тем более, что все доказательство, изложенное
в предыдущем параграфе, исходило из приближенного пред-
ставления соответствующего распределения вероятностей функ-
цией Гаусса (см. лемму 2). Действительно, мы сейчас увидим,
что доказательство для непрерывного случая даже существенно
проще, так как достигнутые в предыдущем параграфе с неко-
торым трудом асимптотические оценки здесь с самого начала
даются в виде точных неравенств.
Однако при исследовании непрерывного процесса возникает
своеобразная трудность принципиального характера, которую мы
с самого же начала должны преодолеть. В самом простом,
случае, который мы здесь рассмотрим, дело обстоит так:
86 V. ТЕОРЕМА О ПОВТОРНОМ ЛОГАРИФМЕ
движущаяся точка, которая в момент имеет абсциссу х~ О,
подвергается таким случайным изменениям положения, что для
любого более позднего момента времени t ее абсцисса имеет
распределение вероятностей с плотностью
Если у(/) обозначает любую положительную функцию времени,
то интересующая нас здесь постановка вопроса гласит так:
как велика вероятность того, что внутри определенного
интервала времени 7\ < / по крайней мере один раз вы-
полнится неравенство | X | > у (/)?
Но ясно, что искомая вероятность образует понятие, которое
никаким образом не определяется предыдущей постановкой
проблемы, потому чт<? дело идет о континуальном (следова-
тельно, несчетном) множестве событий, из которых одно, по
крайней мере, должно выполниться. Общие принципы теории
вероятностей, даже в их современной форме, не дают никаких
оснований для общего определения подобного рода вероятно-
стей; в сущности, здесь дело идет о некотором пространстве
«случайных функций» (возможных течений процесса), в котором
должно быть установлено распределение вероятностей (опреде-
ления меры), что, как известно, наталкивается на различные
принципиальные трудности.
Для непосредственно интересующего нас случая можно,
однако, удовлетвориться таким определением искомой вероятно-
сти, которое, несмотря на его необыкновенную простоту, ока-
зывается удовлетворяющим всем требованиям и которое может
быть обосновано в случае надобности и более глубоко иду-
щими исследованиями. Пусть S — любое конечное множество
моментов, которые расположены на интервале ^<^<7^, и
пусть Ws есть вероятность того, что неравенство
И>Х(0 (22)
выполняется хотя бы в один из этих моментов. Вероятность того,
что неравенство (22) хотя бы один раз выполнится в интервале
мы определим как верхнюю границу W величин
при всевозможных выборах систем S. Если, с другой стороны,
через Ws мы обозначим вероятность того, что ни в какой
момент из множества S неравенство (22) не имеет места, и ниж-
нюю границу W всех Ws примем за вероятность того, что на
всем интервале Тх < t < выполняется обратное неравенство
|х|<х(/), то этим, очевидно, будет удовлетворено необходимое
соотношение __
W + ^-=1.
2. НЕПРЕРЫВНЫЙ СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС 87
Предметная возможность этого простого определения в нашем
случае, очевидно, основывается на непрерывном характере рас-
сматриваемого процесса; его целесообразность обнаруживается
в том, что с его помощью легко может быть доказан конти-
нуальный аналог лемме 3 Колмогорова из предыдущего пара-
графа. Именно справедлива следующая
Лемма 4. Если х(0—абсцисса в момент t точки, находя-
щейся в непрерывном стохастическом процессе, протекающем
согласно (21), и Х(Т) обозначает верхнюю грань величин х(0
при 0 < t < Т, то для каждого х
W {X(T)>x}<2W{x(T)>x — j/2T}- (23)
Доказательство* Если выбрать на отрезке (О, Г) совер-
шенно произвольный конечный ряд точек
<tn-i<tn=zT
и положить
= —х (4-1) (6 = 1, 2,.
то хк образуют конечный ряд взаимно независимых случайных
величин; если положить еще
хя (D = max х (^),..., х (Q},
то по лемме 3
W {Хп ( Т) > х) < 2 W { х ( Г) > х — \/ 2Т},
и так как по определению W [X(7)> х) есть верхняя грань
величин W{Xn(T)>x} при всевозможном выборе точек
4-1, то отсюда следует, что неравенство (23) дей-
ствительно выполняется.
5. Пусть теперь х (0 — случайная величина, которая находится
в стохастическом процессе, протекающем согласно (21). До-
кажем, что вероятность предельного соотношения
lim sup_। __ J
(->co |/ In In t
равна единице. Точнее, это означает следующие два утверждения:
1) Для каждой пары чисел е>0, 5>0 можно указать
такое Т>0, что для всех Т'>0
W.[ max —> 1 <?,
I KKT+T'V 2/In mt J
88
V. ТЕОРЕМА О ПОВТОРНОМ ЛОГАРИФМЕ
2) Для каждой пары чисел г>0, 5>0 и каждого доста-
точно большого числа Т> 0 можно указать такое число
7\>Т^ что
wl max L <1 — < g.
2flnln( f
Доказательство. Пусть т —(малое) положительное число,
которое позже будет определено точнее, и положим
^-(1 + тГ (т^О, 1, 2,...).
По лемме 4 для каждого ?>0, если положить •/(/) —
= У 2/lnlnf,
И*(и>(1 + тШ<
< 2Г { X(Q > (1 + Т) V 2/mlnln^- /2^}
и a fortiori для достаточно большого т1)
+ T)I(U) <2w{x(tm)>(l +g x(q}-
—Г e 2tm du =
К 2к/т j
(1+T2) IM
424)
— r2
dz < e
где Ct>0 и A>0 не зависят qt m. Но если выбрать у <5,
то при достаточно малом т для большого т
(1 + Y) 1 (U = (1 + Т) / 1 + т \/ 2 (1 + In In (1 + тГ <
<(1 + J))/2(1+т)и-1 lnln (1 + ^ = (1 +«)Х(^-1У.
следовательно, (24) дает a fortiori:
lT{X(Q>(l+8)x(fM_1)}<-^.
т
(25)
4) Как известно, при а > О
\ de < е'а\
2. НЕПРЕРЫВНЫЙ СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
89
Но теперь, очевидно,
max x(t) max * (Q X (tm) .
tm-L y
вследствие этого x) при достаточно больших ml9 zn2 (m1 </п,2)
*я, т2
1Г{ max i^>l+J}< 2 V-<C- 2 да; <26>
так как правая часть при достаточно большом mL равномерно
относительно т2 становится как угодно малой и так как, очевидно,
аналогичное неравенство может быть обосновано тем же способом
и для отрицательных значений х (0, то этим доказывается утвер-
ждение 1 нашей теоремы.
Для того же чтобы доказать утверждение 2, обозначим
через вероятность того, что выполняются все неравенства
|х(Г)|<(1 -§)Х(Р) (1<»<т),
|*(Гя)|>(1-а)Х(7'ет)
(27)
(7 обозначает число, содержащееся в утверждении 2 * 2)); тогда,
очевидно, Um~ есть вероятность того, что выполняется,
по крайней мере, одно из неравенств:
|Х(Г)|>(1 -8)Х(П (f-1, 2,...,т). (28)
Если теперь у — любое положительное число, меньшее 1, то
при & > 1
W {х(Т*)- х (Л-1) > (1 - у) х (Тк - Т^)} =
= --=- 1—= [ du>
У 2-(7* — Z*-1) J
(l-Y)y(Tfc-. Г*-*)
i- -р х(г*-г*-<)
>—=L== f e-2(zi_7*-<) du >
^(Тк-Т^) J
(1 —
i) Непосредственно видно, что новое определение вероятности это
заключение допускает.
2) При этом, не уменьшая общности, можно принять Т > 1.
90 V. ТЕОРЕМА О ПОВТОРНОМ ЛОГАРИФМЕ
У 1 JL у Г 7* — Д ~ 3(2*-Г*-1) —
1/2л: (Г* — Г*-1) 2
_ _7_ /1п1п(Г4-Г^
2 V* А_ L)*
|1п (Г4 — 7*-1)) *'
и, следовательно, при достаточно большом Т и всех £>1
Vt=W{x(T^-x (T^Xl - Y)x(7*- X1)) > , (29)
k
где С2>0 и ji>0 не зависят от Л.
После того как эта оценка доказана, можно закончить дока-
зательство совершенно так же, как в п. 3. В системе
|<(1 -8)х(Г) z (1</<ю), )
х(Тм)-^(Г“1)>(1-у)1^”‘-^“1) / ( 0)
последнее неравенство стохастически независимо от остальных,
так что вероятность системы (30) есть Vm(l — Но, с дру-
гой стороны, при у <8 и достаточно большом Т (27) есть
следствие (30), как читатель без труда может проверить по
примеру аналогичных заключений в п,3. Следовательно, полагая
Z70 —0, при /п> 1
или
m
>=1
со
и так как в силу (29) ряд Vm расходится, то отсюда сле-
1
дует
lim Un~l.
т~>О0
Поэтому с вероятностью >1 — е можно ожидать при достаточно
больших Т и /п, что будет выполнено, по крайней мере, одно
из неравенств (28). Но отсюда следует
max > l—o,
V2t In In t
а так как T в утверждении 2 может быть выбрано как угодно
большим, то и само это утверждение доказано.
3. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА О ПОВТОРНОМ ЛОГАРИФМЕ
91
3. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА О ПОВТОРНОМ ЛОГАРИФМЕ
6. Содержание этого параграфа опять относится к простей-
шему случаю непрерывного стохастического процесса. Пусть
блуждание начинается, как и прежде, с x~t = 0 и для каж-
дого более позднего момента времени t пусть закон распреде-
ления абсциссы дается плотностью
1
1 р 21
Vint
В предыдущих параграфах мы интересовались вероятным пове-
дением х для большого интервала времени; здесь же мы рас-
смотрим, напротив, течение процесса, так сказать, в момент его
возникновения, т. е. в ближайшей окрестности £ = 0 (ясно, что
ввиду однородности процесса каждое утверждение локального
характера, полученное для момента / = 0, будет справедливо в
том же виде и для всякого другого момента времени). Мы уви-
дим, что между этими обоими постановками вопроса имеется
далеко идущая аналогия.
Если ср(/) есть некоторая определенная для достаточно малых
/>0 положительная и непрерывная функция и если т — (малое)
положительное число, то мы ищем вероятность того, что внутри
интервала по крайней мере один раз будет выполняться
неравенство |х(0|>?(0, причем искомая вероятность опреде-
ляется, как и в п. 2. В особенности нас будет интересовать пре-
дельное значение этой вероятности при т—>0. В результате мы
получим также и в этой «локальной» постановке вопроса, что
аналогичная функция ср (0 — у 2t Inin у играет роль «точной
верхней границы». Именно имеет место следующая теорема:
Теорема. Пусть 8— любое положительное число, мень-
шее 1; если обозначить через w+(t) [соответственно w_(/)] веро-
ятность того, что внутри интервала по крайней
мере один раз будет
—> 1+8 [соотв. >1—8],
In In -у
то
lim w+(t) = 0 [соотв. w_(t)~1 для всех т> 0].
Доказательство. Пусть X — (малое) положительное число,
меньшее I, которое в дальнейшем будет определено точнее; по-
ложим
;,. = (!-КГ (/п-0,1,2,...);
92 V. ТЕОРЕМА О ПОВТОРНОМ ЛОГАРИФМЕ
далее пусть ^(/) — 2t In In у. Тогда по лемме 4 при доста-
точно большом т
Г { max х (0> (1 + 5) i (/w+1)} < W {X(tj > (1 + 8) у (/w+1)} <
< 2W {*(tm)> (1 + 8) i (tn+i)- \/2tm} <
< 2VT {x (Q> (1 + A) Z (Zm+1)} =
2 f
J
(i +y)'Z (*m+i)
e 2i™ du
-(1+
2 ' zm+i C<
V it (m + 1)1
где £ — + ™У (1 —).) — 1 при достаточно малом к положительно
и Ct не зависит ни от В, ни от т. Так как
®Ж=ТГ{ шах ^>1+8}<
<U7{ max Х(0>(1 +S)X(U1)}>
ТО и
Следовательно,
«>м< ---—--ГГ£-.
(т +1)1?
wl max —>
СО
1+Ч<2
к—тп
СО
< С1^ Гн- i?+e ’
k=zm
и так как по симметрии, очевидно,
'w ( min —(1+ §)) <С V---------
Kzzm
ТО
=w Us. ТК > 1+8}<2С-
и, следовательно,
lim w+(t)=: lim w+(/m)~0,
--*0 m~>OO
чем и доказывается первое утверждение теоремы.
3. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА О ПОВТОРНОМ ЛОГАРИФМЕ
93
Пусть теперь pi — (малое) положительное число, которое опять
точнее будет определено позже; при фиксированном у (0 <у < 1)
и достаточно большом т
Vm = W {х (|1«) - X (р”«) > (1 - Y) z (gffl - Г+1)} =
=------------- I е 2(И’»-1д«+')du>
F2n (it”1 — [im+‘) J
(1-7) 7 Н"4-*)
(1 +-р X (Яю-|1т+1)
?> 1 ------ С е~ 2^-^) du>
У'2к(1хи*-[1’”И) J
(1—у) X (р.т—р.’г'+>)
v v — (1 + T-Y In In-------
2L HP p ) o vr 2 / p.*«—p. »»+>
2
(31)
где С2 > 0 и Т| > 0 не зависят от т. Если обозначить теперь
через ит вероятность того, что выполняются все неравенства
|X(gf)l <(1 —S)x(g‘) (i = m + l, т+2,...),
(32)
|х(ря*)|>(1-§)х(Г),
и через UM вероятность неравенства
max > 1________§
<>И1 Х([1‘)
то, очевидно,
^т+1 ^т*
С другой стороны, однако, в системе
|х(}?) |<(1-8)х(р<) (/>«), )
*(um)—*(^‘)>(1 — т)х(йт—Цте+1) / (
последнее неравенство стохастически не зависит от остальных,
так что вероятность системы (33) равна
^0-0
Но при достаточно малом р, у <5 и достаточно большом т
94 V. ТЕОРЕМА О ПОВТОРНОМ ЛОГАРИФМЕ
(32) следует из (33), в чем легко можно убедиться тем же приемом,
который был применен в п. 3. Поэтому
и, следовательно,
Это дает, однако, в силу (31)
т т
1 - и, < (1 - Um+i) JJ (1 - Vk) < П (1 - А)
к-\
и, следовательно, так как т может быть выбрано как угодно
большим,
Но
®'_(Н)= ! max 1 — § | >
XW J
( I х (|?) | 1
> W max - > 1 — 5 == U. = 1-
I «>1 х(н‘) I 1
и так как ц здесь может быть выбрано как угодно малым, то
этим доказывается и второе утверждение теоремы.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Bache'ier P.f Th£orie4de la speculation, Ann. Ecole norm., 1.17(1900),
стр. 21.
2. Bachelier P., Calcul des probabilites, 1912.
3. Bernstein S., Sur 1’extension du theor£me limite du calcul des proba-
bilites aux sommes de quantites dependantes, Math. Ann., Bd. 97
(1927), стр. 1.
4. Cantelli F. P., Sulla probability come limite della frequenza, Rend,
d. R. Accad. Naz. dei Lincei (5), v. 26 (1917), стр. 39.
5. Castelnuovo G., Calcolo delle probability, v. II, 1928.
6. Ftnetti B. de, Sulle funzioni a incremento aleatorio, Rend. d. R. Accad.
Naz. dei Lincei (6), v. 10 (1929), стр. 163.
7. Finetti B. de, Sulla possibility di valori eccezionali per una legge di
incrementi aleatori, Rend. d. R. Accad. Naz. dei Lincei (6), v. 10
(1929), стр. 325.
8, Finetti B. de, Le funzioni caratteristiche di legge istantanea, Rend. d.
R. Accad. Naz. dei Lincei, v. 12 (1930), стр. 278.
9. Gevrey M„ Sur les 6quations aux derivees partielles du type parabo-
lique, J. Math. pures appl. (6), t. 9 (1913), стр. 305.
10. Hardy G. H. and Littlewood J. E., Some problems of diophantine
approximation, Acta math., t. 37 (1914), стр. 155.
11. Hausdorff F., Grundziige der Mengenlehre (1914), стр. 421.
12. Khintchine A., Ober dyadische Briiche, Math. Z., Bd. 18 (1923), стр. 109.
13. Khintchine A., Ober einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung,
Fundam. Math., t. 6 (1924), стр. 9.
14. Khintchine A., Ober das Gesetz der grossen Zahlen, Math. Ann.,
Bd. 96 (1926), стр. 152.
15. Khintchine A., Begriindung der Normalkorrelation nach der Linde-
berg’schen Methode, Изв. Асе. н.-иссл. инет, при физ.-мат. фак.
I МГУ, т. I (1928), стр. 37.
16. Khintchine A., Sur laAoi forte des grands nombres, C. R. Acad. Sci.,
Paris, 1.186 (1928), стр. 285.
17. Khintchine A., Remarques sur les suites d’ev£r*ements obSissant У la'
loi des grands nombres, Мат. сборник, т. 39 (1932), стр. 115.
18. Kolmogoroff A., Ober das Gesetz des iterierten Logarithmus, Math.
Ann., Bd. 101 (1929), стр. 126.
19. Kolmogoroff A., Ober die anaiytischen Methoden in der Wahrschein-
lichkeitsrechnung, Math. Ann., Bd. 104 (1931), стр. 415.
20. Kolmogoroff A., Zur Theorie der stetigen zufalligen Prozesse, Math.
Ann., Bd. 108 (1933), стр. 149.
21. Kolmogoroff A., Sulla forma generate di un process© stocastico omo-
geneo, Rend. d. R. Accad. Naz. dei Lincei (6), v. 15 (1932), стр. 805
и 866.
22. Kolmogoroff A., Eine Verallgemeinerung des Laplace-Ljapounoffs.'hen
Satzes, Изв. Ак. наук СССР, отд. матем. и ест. наук (1931), стр. 959.
23. Kolmogoroff A., Ober die Grenzwertsatze der Wahrscheinlichkeits-
rechnung, Изв. Ак. наук СССР, отд. матем. и ест. наук (1933),
стр. 363.
I
1
96 БИБЛИОГРАФИЯ
24. Uvy P., Sulla legge forte del grand! named, Gtom. 1st Ital. Attuari
(II), v. 1 (1931), стр. 3. 5
25. Levy P., Sur un th£oreme de M. Khintchine, Bull des Sci. math., t 55
(1931), стр. 145-160.
26. Lindeberg J. W., Eine neue Herleitung des Exponential gesetzes in der
Wahrscheinlichkeitsrechnung, Math. Z., Bd. 15 (1922), стр. 211.
27. Ljapounoff A., Sur une proposition de la theorie des probabilites,
Bull. Acad. Sci. St.-Pet. (5), t. 13 (1900), стр. 359. '
28. Ljapounoff A., Nouvelle forme du theoreme sur la limite de probabi-
lit£s; Мёш. Acad. Sci. St.-Pet. (8), t. 12 (1901), № 5.
29. Liineburg R., Das Problem der Irrfahrt ohne RichtungsbeschrMnkung und
die Randwertaufgabe der Potentialtheorie, Math. Ann., Bd. 104 (1931),
стр. 700.
30. Mises R. v., Ober die Wahrscheinlichkeit seltener Ereignisse, Z. angew.
Math. Meeh., Bd. 1 (1921), стр. 121.
31. Mises R. v.t Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendungen in
der Statistik und theoretischen Physik, 1931. ?
32. Perron O.t Eine neue Behandlung des ersten Randwertproblems fur
Дп = 0, Math. Z., Bd. 18 (1923), стр. 42.
33. Petrowsky J., Uber das Irrfahrtproblem, Math. Ann., Bd. 109, стр. 425. j
34. Pollaczek-Geiringer H.t Ober die Poissonsche Verteilung und die *
Entwicklung willkiirlicher Verteilungen, Z. angew. Math. Meeh.,
Bd. 8 (1928), стр. 292.
35. P6lya G., Sur quejques points de la theorie des probabilites, Ann. !
Inst H. Poincare, t. 1 (1930), стр. 117.
36. Sternberg W., Ober die Gleichung der Warmeleitung, Math. Ann., >
Bd. 101 (1929), стр. 394. 1
1
ОПЕЧАТКИ
Стр. Строка
Напечатано
Должно быть
25 11 снизу
41 1 »
52 2 сверху
77 3 снизу
83 6 и
91 9 V
^2 = &k -1
/>/
Е
1
/14-х
0</<т
a<^x<^b
Е (е™п)
7^
0< £
Хинчин, „Асимптотические законы теории вероятностей44. Заказ 989.