ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
И. П. НАТАНСОН
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
НА МАКСИМУМ
И МИНИМУМ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19 5 0 ЛЕНИНГРАД

ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой книжке излагаются некоторые элементарные (т. е.
не требующие знания дифференциального исчисления) спо-
способы решения задач на максимум и минимум.
Книжка рассчитана на учеников старших классов сред-
средней школы, желающих получить хотя бы общее пред-
представление о характере задач, рассматриваемых в высшей
математике. Излагаемый материал может быть использо-
использован и в работе школьного матзматического кружка.
Однако я думаю, что и студенту втуза, педагогического
института или университета, даже и «посвященному» в тай-
тайны математического анализа, будет полезно прочесть такую
книжку. Дело в том, что мощный аппарат дифференциаль-
дифференциального исчисления даёт общие и однотипные приёмы, позво-
позволяющие решать задачи самого разнообразного характера,
лишь быв них требовалось найти экстремум конечной ком-
комбинации элементарных функций. Используя эти приёмы,
вовсе нет надобности обращать внимание на индивидуаль-
индивидуальное своеобразие той или иной задачи. А использование
этого своеобразия часто как раз и позволяет решить задачу
проще, быстрее и красивее, чем с помощью общих приёмов.
Положение дел здесь таково же, как и с арифметическими
задачами: применение мощного аппарата алгебраических
уравнений позволяет игнорировать индивидуальные осо-
особенности таких задач, но чисто арифметическое решение
часто бывает проще, быстрое и красивее алгебраического.
1* 3

Ассортимент алгебраических 'средств, применяемых в
этой книжке, очень ограничен: использованы лишь про-
простейшие свойства квадратного трёхчлена и неравенство,
относящееся к арифметическому и геометрическому сред-
средним. Это сделано в интересах наибольшей простоты из-
изложения. Читателю, желающему ознакомиться с более
сильными, но всё ещё элементарными приёмами решения
задач на максимум и минимум, можно рекомендовать
книги: И. Б. А бель сон, Максимум и минимум,
ОНТИ, 1935 и С. И. Зетель, Задачи на максимум
и минимум, Гостехиздат, 1948.
И. Натансон
17/ХП 1949 г.

ВВЕДЕНИЕ
В технике и естествознании, на производстве и в
быту встречается особый тип математических задач. Это—
так называемые «задачи на максимум и минимум». Вот
примеры таких задач:
1) Из круглого бревна выпилить прямоугольную балку
так, чтобы получилось наименьшее количество отходов.
2) Из имеющихся досок можно построить забор длиной
в 200 метров. Требуется огородить им прямоугольный
участок земли, имеющий наибольшую площадь.
3) На стене виспт картина. На каком расстоянии от
стены она видна под наибольшим углом?
4) На какой высоте надо повесить лампу, чтобы по-
получить наибольшую освещённость?
Во всех этих задачах, несмотря на их различие, мы на-
находим общие черты: всюду речь идёт о том, как при
разнообразных возможностях использования наличных
средств добиться наилучшего эффекта. Нет надобности
говорить о том, насколько важно умение решать такие
вопросы. В математике созданы очень сильные и общие
способы для решения подобных задач; изучаются они в
дифференциальном исчислении.
Однако во многих случаях удаётся решить такую
задачу и без привлечения сложного аппарата дифферен-
дифференциального исчисления, а пользуясь лишь простыми сред-
средствами элементарной алгебры. В этой книжке как раз
и излагается несколько способов решения задач на ма-
максимум и минимум без помощи высшей математики *).
Конечно, такие способы применимы лишь в отдельных
случаях, но их полезно знать даже и тем, кто знаком
и с дифференциальным исчислением.
*) В частности, решаются и вышеприведённые четыре задачи,

I. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О КВАДРАТНЫХ
ТРЁХЧЛЕНАХ
§ 1. Рассмотрим две величины х и у, связанные равенством
у = 2x4 7. (•)
Если мы положим, что х — 3, то увидим, что у — 25.
Если мы дадим х другое значение, например х = 10, то
получим у — 207. Вообще мы можем дать величине х
любое значение, какое только нам захочется, по когда х
уже примет это выбранное нами значение, то у примет
своё значение, так сказать, «автоматически», ибо оно
будет определяться равенством (*•) и уже не будет зависеть
от нашего произвола. Такое положенно вещей математики
характеризуют, говоря, что у является функцией от х. Сама
величина х называется при этом независимой переменной.
Поставим вопрос о io\f, есть ли среди значении,
которые принимает функция у [определяемая равенст-
равенством (*)], самое большое'} Легко видеть, что такого самою
большого из значений у не существует. В самом деле,
если независимая переменная х будет принимать значения
ж4 = 1000, . ..,
то соответствующие значения функции у будут
г/1 = 9, г/2 = 207, Уз = 20007, у, = 2000007, ....
откуда видно, что наибольшего значения у у нет.'
Совсем другой ответ мы получил», если спросим себя,
имеется ли среди значений фуньцпи у самое меньшее.
В самом деле, как показывает равенство (*), функ-
функция у является суммой двух слагаемых: 2х2 и 7. Второе
иа них, т. е. 7, есть некоторое постоянное число, не

зависящее от значения х. Что же касается первого сла-
слагаемого 2хг, то оно, очевидно, ни при каком значении х
не может оказаться*) отрицательным, т. е. меньшим
нуля. Однако равным нулю это первое слагаемое 2х2
может быть сделано, а именно при ж = 0. Таким образом,
первое слагаемое 2х2, а с ним и вся сумма 2х2 + V, при-
принимает своё самое меньшее значение при х0 = 0. Это
наименьшее, или, как говорят, минимальное, значение,
очевидно, есть 7, что записывают так:
Угтн = 7.
С помощью таких же соображений легко показать,
что каждая из функций
обладает сходными свойствами: наибольшего значения
она не имеет, а наименьшее имеет, причём для всех
четырёх функций это наименьшее значение достигается
при х0 — 0 и равно соответственно
2/мин = 3, Умин = 4, Уувт=г 5, 2/мин— — 11-
§ 2. Рассмотренные только что примеры очень просты.
Источником этой простоты служит то обстоятельство,
что функция у представлялась в форме суммы двух сла-
слагаемых, из которых одно было постоянным, а другое,
будучи квадратом (с некоторым положительным коэф-
коэффициентом), не могло оказаться отрицательным.
Сложнее обстоит дело в примере
Чтобы иметь возможность применить ту же идею, что
и раньше, перепишем у в другой форме:
у = 2(х2-6х) + Ш.
Теперь добавим в скобку такое число, чтобы в скобке
оказался полный квадрат:
у = 2(х? — 6ж+9) + 93 —18
или
2/ = 2(х-3)а + 75.
Теперь мы можем применить те же соображения, что.
и выше. В самом деле, функция у представлена в форме
*) Мы не рассматриваем мнимых чисел.

суммы двух слагаемых, из которых одно (а именно 75)
не зависит вовсе от х, а другое 2(х—ЗJ никогда не
делается отрицательным, но становится равным нулю,
когда х=3. Поэтому наша функция имеет наименьшее
значение г/Мин = 75, достигающееся ею при х = 3.
Что касается наибольшего значения нашей функции,
то его не существует, в чём легко убедиться, полагая,
например,
в! = 13, »2 = 103, ж3 = 1003
Соответствующие значения функции у будут
Ух = 275, г/2 = 20 075, г/3 = 2 000 075, ...
Аналогично решается пример
Опуская пояснения, которые понятны сами собой, имеем:
у = 3{х2 + 8х) + 50,
у = 3(х2 + 8х + 16) + 50- 48,
Стало быть, функция у примет наименьшее значение при
х0 = — 4, причём это наименьшее значение есть
У мин ~ *••
Вот ещё один пример:
у = 5хг — 50х+39.
Здесь
хо = 5> Умап = — 86
(через х0 мы постоянно будем обозначать то значение
независимой переменной, которому отвечает наименьшее
значение функции).
§ 3. Не следует думать, что всякий квадратный трёх-
трёхчлен (так называется рассматриваемый вид функции)
имеет наименьшее и не имеет наибольшего значения.
Например, у функции
очевидным образом имеется именно наибольшее, или, как
говорят, максимальное, значение
Умякс == о,
принимаемое ею при xo — Q. Напротив, наименьшего зна-
значения у неё нет.
8

Точно так же у функции
у= _ ix2 + i0x— 73
нет наименьшего, но есть наибольшее значение, в чём
мы убеждаемся с помощью следующих преобразований:
у = _ 4 (х2 — Юж) - 73,
у= _4(;г2_ 1(Ы-25)-73 + 100(
г,= _4(х-5J+27,
откуда при ж0 = 5 получается
У макс — ^'•
§ 4. Итак, некоторые квадратные трёхчлены имеют
наименьшее, но не имеют наибольшего значения, другие же,
наоборот, имеют наибольшее и не имеют наименьшего
значения. Внимательный читатель, вероятно, уже заме-
заметил, что характер трёхчлрна определяется знаком его
старшего коэффициента. Чтобы установить это с полной
строгостью, рассмотрим вопрос в общем виде.
Пусть имеем квадратный трёхчлен
у = ах2 + Ьх + с.
Здесь коэффициенты могут быть любыми вещественными
числами: положительными и отрицательными и даже обра-
обращаться в нуль. Однако старший коэффициент а во вся-
всяком случае должен быть отличен от нуля, ибо иначе у
не содержал бы вовсе члена с ж2 и не был бы квадрат-
квадратным трёхчленом.
Преобразуем у следующим образом:
-?-*¦
Полагая для краткости
получим окончательно:
Важно заметить, что М есть некоторое постоянное
число, полностью определяемое коэффициентами а, 6 и с
и совершенно не зависящее от значений независимой
переменной х.
9

Различим два случая.
1) Если а > 0, то первое слагаемое а (х + ^-\ никогда
не делается отрицательным, но при
Ъ
х° "" ~ 2^
обращается в нуль. Поэтому функция у имеет наимень-
наименьшее значение, равное М:
г/мин =¦ М,
и не имеет значения наибольшего.
2) Если а < О, то по тем же соображениям оказываотся,
что
причём это значение достигается при
Ь
х°=-2~а>
а г/мин не существует.
Заметим, что как наименьшее, так и наибольшее значе-
значение функции называется её экстремальным («крайним»)
значением. Поэтому всё сказанное можно резюмировать
в виде следующей теоремы, являющейся для нас основной.
Теорема. Квадратный трехчлен
у = ах2 + Ьх + с
имеет экстремальное значение, принимаемое им при
х° - " 2а
Это значение оказывается наименьшим, если а > 0, и
наибольшим, если а < 0. Если существует г/макс, тпо г/мин
не существует, и наоборот.
Заметим ещё, что, как мы видели выше, это экстре-
экстремальное значение всегда равно
Ужетр == •"' i
или, подробнее,
У»кстр — С — 4а '
10

Однако этого последнего равенства запоминать не нужно,
потому что ведь ото есть значение нашего трёхчлена при
_ _ Ъ
х — х0 — — — .
Значит, достаточно подставить в трёхчлен число
_ V
х°- ~Ya
вместо х, чтобы получить величину уЭКстР.
Примеры.
у = 3х2 — 12ж + 8, яо = 2, | г/мин = —4;
У= — 2я2 + 8а; — 3, хо = 2, г/макс = 5;
у = 2х2-\-20х + 17, хо= — 5, г/миН= — 33.
II. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНОЙ
ТЕОРЕМЫ
§ 5. Покажем, что доказанная в § 4 теорема позво-
позволяет решить большое число самых разнообразных кон-
конкретных задач.
Задача 1. Разложить данное положительное число
А на два слагаемых так, чтобы их произведение оказа-
оказалось наибольшим.
Решение. Обозначим одно из искомых слагаемых
через х. Тогда второе слагаемое будет равно А — х, а их
произведение
у = х(А-х),
или
у = — х2 + Ах.
Таким образом, вопрос привелся к нахождению такого
значения х, при котором этот квадратный трёхчлен по-
получит наибольшее значение. По теореме § 4 такое значе-
значение заведомо существует (ибо здесь старший коэффициент
равен — 1, т.е. отрицателен) и равно
В таком случав
л -А
А — Хо — у
и, стало быть, оба слагаемых должны быть равны друг другу.
11

Например, число 30 допускает такие разложения:
30= 5 + 25, 5-25 = 125,
30= 7 + 23, 7-23 = 161,
30 = 13 + 17, 13-17 = 221,
30 = 20 + 10, 20-10 = 200,
30 = 29+ 1, 29- 1= 29,
30 = 30+ 0, 30- 0= 0.
Все полученные произведения меньше, чем 15-15 = 225.
§6. Задача 2. Имеется проволока длины I. Тре-
Требуется согнуть её так, чтобы получился прямоугольник,
ограничивающий по возможности
наибольшую площадь.
Решение. Обозначим (черт. 1)
одну из сторон прямоугольника че-
через х. Тогда, очевидно, другая его
сторона будет — — х, а площадь
или
Черт. 1. с _ 2 I — х
Эта функция принимает своё наибольшее значение при
_ l
что и будет искомым значением одной из сторон прямо-
прямоугольника. Тогда другая его сторона будет
J. __j_
т. е. наш прямоугольник оказывается квадратом. Полу-
Полученное решение задачи можно резюмировать в форме сле-
следующей теоремы.
Теорема. Из всех прямоугольников, имеющих один и
тот оке периметр, наибольшую площадь имеет квадрат.
Замечание. Нашу задачу легко решить также
с помощью результата, полученного при решении за-
задачи 1. В самом деле, мы видим, что площадь интере-
интересующего нас прямоугольника есть
12

Иначе говоря, ? есть произведение двух сомножителей х
I тт
и — —х. Но сумма этих сомножителей есть
т. е. число, не зависящее от выбора х. Значит, дело сводит-
сводится к разложению числа т на два слагаемых так, чтобы
их произведение было наибольшим. Как мы знаем, это
произведение будет наибольшим при равенстве обоих слага-
слагаемых, т. е. при х= - .
§ 7. Задача 3. Из имеющихся досок можно по-
стр'оитъ забор длиною в 200 м. Требуется огородить
этим забором прямоугольный двор наибольшей площади,
используя для одной стороны двора заводскую стену.
шжжжттшжшжш.
-200-2Х-
Черт. 2.
Решение. Обозначим (черт. 2) одну из сторон двора
через х. Тогда другая его сторона будет равна 200 — 2х,
а его площадь будет
S = xB00-2x),
или
Согласно теореме § 4 наибольшее значение этой функции
достигается ею при
жо = 5О.
Итак, сторона двора, перпендикулярная к заводской
стене, должна равняться 50 м, откуда для стороны, па-
параллельной стене, получается значение 100 м, т. е. двор
должен иметь форму половины квадрата.
Замечание. Если бы мы и здесь захотели исполь-
использовать результат решения задачи 1, то непосредственно
это нам бы не удалось, ибо
«У=х,B00-2х)
19

есть произведение двух сомножителей, сумма которых равна
200 — х, т. е. зависит от х. Иначе говоря, мы не нахо-
находимся в условиях задачи 1. Однако с помощью небольшого
ухищрения можно всё же свести дело к задаче 1. В са-
самом деле, рассмотрим вместо S величину z = 2S. Так как
z = 2xB00-2x),
то эта функция есть произведение двух сомножителей, сумма
которых уже не зависит от х и, стало быть, zMaKC дости-
достигается при
2х = 200-2х,
откуда х — 50. Остаётся заметить, что функции S vt z = 2S
достигают своих наибольших значений при одном и том же
значении х.
§8. Задача 4. Дан квадрат ABCD (черт. 3). От его
вершины отложены равные от-
отрезки Аа, Bb, Cc, Dd и точки
а, Ь, с, d соединены прямыми.
При каком значении Аа площадь
квадрата abed окажется наи-
наименьшей!
Решение. Если положить
Аа = х,
то, очевидно, окажется
аВ = 1— х
и, стало быть, по теореме Пифагора будет
ab2 = х2 + (I - хJ =--2х2 — 21х + I2.
Но площадь S квадрата abed как раз и равна ab2. Значит,
S = 2х2 - 2!х + 1\
Поэтому наименьшее значение для ? получится при
' I
Z
Таким образом, точки а, Ь, с и d пужпо поместить в середи-
серединах сторон основного квадрата ABCD.
§ 9. Задача 5. Из точек А и В (черт. 4) по указан-
указанным стрелками направлениям выходят одновременно паро-

ход и яхта. Их скорости соответственно равны
ип = 40 км\час, ия = 1б км/час.
Через сколько времени расстояние между ними окажется
наименьшим, если
ЛЯ = 145 км?
Решение. Отметим буквами П и Я положение парохода
и яхты через t часов после выхода из точек An В. Тогда
AU = 40* км, ВП = 16* км,
и поэтому на основании теоремы Пифагора
ПЯ = \/BW + ВН2 = 1/A45 - 4002 + A602.
откуда
ПЯ = 1/1856*2 -11 600* + 21 025.
Наименьшее своё значение этот корень примет при том же
В, ^— 'А
Черт. 4.
самом t, при котором будет иметь наименьшее значение под-
подкоренное выражение
z = 1856г2— 11 600* + 21025,
т. е. при
г3
Итак, пароход и яхта окажутся на кратчайшем расстоянии
друг от друга через 3 часа 7 минут 30 секунд после
выхода из точек А и В.
§ 10. Задача 6. В данный круг вписать прямоуголь-
прямоугольник наибольшей площади.
Решение. Обозначим через R радиус круга, а через х
сторону АВ искомого прямоугольника (черт. 5). По теореме
Пифагора окажется

откуда для интересующей нас площади S получается выра-
выражение
Эта функция достигает своего наибольшего значения при том
же самом х, что и функция y=S2. Но
у = х2 D R 2 — х2).
Полагая x2 = z, получим:
у = z DЯ2 — z) = - z2 + 4Д2г.
Значит, г/Макс достигается при z = 2R2, т. е. при х = Л]/2.
Это значение х можно было бы найти и не вводя величины z,
Черт. 5.
а опираясь на то, что у есть произведение двух сомножи-
сомножителей с постоянной суммой 4Л2, откуда в силу результата,
полученного при решении задачи 1,
я2 = 2Л2 и ж = Я1/2.
Замечая, что при АВ = x = R~\f2 будет
мы видим, что искомый прямоугольник должен быть ква-
квадратом. Таким образом, нами доказана следующая теорема:
Теорема. Из всех прямоугольников, вписанных в один
и mom же круг, наибольшую площадь имеет квадрат.
§11. Задача 7. В данный шар вписать цилиндр
с наибольшей боковой поверхностью.
16

Решение. Обозначим через R радиус шара, а через г
и h соответственно радиус и высоту искомого цилиндра
Черт. 6.
(черт. 6). Тогда боковая поверхность цилиндра будет
С другой стороны, как видно из черт. 6, отрезки R,
г и y h связаны соотношением
Отсюда
и, стало быть,
Полагая, как и в предыдущей задаче, y = S2, получаем
г/ = 16*2г2(Д2 — г2).
Если ввести новую независимую переменную х = г2, то у
будет выражаться через неё так:
откуда
Д2
достигается при жо = —, т. е. при
R л V2
П. П..Натансон

Зная г, легко находим и h — R j/2. Замечая ещё, что для
искомого цилиндра оказывается h — 2г, мы видим, что
осевое сечение этого цилиндра есть квадрат.
§ 12. Задача 8. В данный конус вписать цилиндр
с наибольшей боковой поверхностью.
Решение. Обозначим через R и Н данные нам радиус
основания и высоту конуса, а через г и h радиус и высоту
Черт. 7.
искомого цилиндра. Тогда боковая поверхность цилиндра
будет
S
Но из подобия треугольников ОАВ и ОХАЛВ (черт. 7) вы-
вытекает пропорция
откуда
h __ Д-г
Я " R '
Эта функция принимает своё наибольшее значение при
r0 = ^ R. Отсюда высота искомого цилиндра
л0 =4 (Д-/•<>) = {#.
§ 13. Задача 9. В треугольнике ABC (черт. 8) про-
провести прямую ab, параллельную основанию АВ, так, чтобы
площадь прямоугольника abed оказалась наибольшей.
Решение. Положим
АВ = L, аЬ = /, be = Л
18

и обозначим через Н высоту CD треугольника ABC, опущен-
опущенную на сторону АВ. Из подобия треугольников ABC и аЬС
вытекает пропорция
JL — E~!l
l н •
откуда
Так как площадь интересующего нас прямоугольпика abed
есть
S = hi,
то
откуда ^„акс достигается при ho — — H.
III. ДРУГИЕ ТЕОРЕМЫ, ПОЗВОЛЯЮЩИЕ НАХОДИТЬ
НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ
ФУНКЦИЙ
§ 14. Вернёмся к задаче 1, решённой нами в § 5. Полу-
Полученное там решение этой задачи приводит к следующей
теореме:
Теорема. Среднее геометрическое двух положитель-
положительных чисел не больше их среднего арифметического
/^ <-!+». (*)
В самом деле, пусть х и у — два положительных числа.
Обозначим их сумму через А. Числа — Aw — А имеют ту
же сумму. По так как эти последние два числа равны друг
другу, то (как было показано в § 5) их произведение больше,
чем произведение любых других двух чисел с той же сум-
суммой, в частности, чисел х и у, т. е.
(знак равенства приходится поставить потому, что ведь не
иофючено, что х = у = -j А). Вспоминая, что А = х + у,

видим, что
а это равносильно неравенству (*). Проведённое доказа-
доказательство показывает также, что знак равенства в соотно-
соотношении (*) стоит тогда и только тогда, когда х = у.
Эту теорему можно доказать ещё по-другому, без ссылки
на результат § 5. Действительно, неравенство (*) можно за-
записать в равносильной форме
а в этой форме оно очевидно, ибо
Это доказательство также устанавливает, что в (*) имеет
место равенство тогда и только тогда, когда х - у.
§ 15. Задача 10. Данное положительное число Р раз-
разложить на два положительных сомножителя так, чтобы
их сумма оказалась наименьшей.
Решение. Пусть Р каким-нибудь способом представ-
представлено в форме произведения двух положительных сомно-
сомножителей х и у:
Р = ху (х>0, у>0).
Тогда в силу неравенства (*) окажется
Итак, при любом выборе сомножителей их сумма не может
оказаться меньшей, чем 2 \/ Р. Но, выбирая их равными, т. е.
полагая х — \/Р, у=]/ Р, мы очевидным образом прихо-
приходим к сумме, равной 2 \f Р. Таким образом, 2 УР есть наи-
наименьшее значение интересующей нас суммы, достигаю-
достигающееся ею тогда и только тогда, когда оба сомножителя
равны друг другу.
Если обратить внимание на то, что у = — , то полученное
30
решение задачи можно высказать в форме следующей
теоремы:
Теорема. Функция
z^x + 4 (P>0)

(в которой независимая переменная X принимает только
положительные значения) достигает своего наименьшего
значения zMHH при х0 = ]/Р и только при этом значении х.
§ 16. Задача 11. На вертикальной стене висит пла-
плакат АВ. На каком расстоянии от стены должен стать
наблюдатель, чтобы угол О, под которым он видит плакат,
оказался наибольшим?
Решение. Обозначим через К точку пересечения стены
с горизонтальной прямой, проходящей через глаз О наблюда-
Черт. 9.
теля (черт. 9). Тогда искомое расстояние есть ОК. Обозна-
Обозначим его через х и положим
К А = а, КВ = Ъ.
Если углы КО А и КОВ обозначить через я и [3, то оче-
очевидно, что
в = р—а.
Отсюда
Но
Стало быть,
tg a tg jj
Ъ-а
ab
Так как наибольшее значение угла 6 будет достигаться
при наибольшем значении его тангенса, то наша задача

сводится к нахождению такого значения х, при котором
дробь
Ь-а
будет наибольшей. Но её числитель постоянен. Значит,
нужно сделать наименьшим её знаменатель
. аЪ
*+* '
По теореме предыдущего параграфа искомое значение х
есть
х0 — уab.
§ 17. Теорема § 14 допускает значительное обобщение,
которое представляет большой теоретический интерес. Сего
помощью нам удастся решить ещё целый ряд задач на
максимум и минимум. Это обобщение можно сформули-
сформулировать в виде следующей теоремы:
Теорема. Среднее геометрическое любого количе-
количества положительных чисел не больше их среднего ариф-
арифметического
у XiX% .
•
Xi+ ... +Xn
n
Доказательство. Приведём остроумное, хотя и
не очень простое, доказательство этой теоремы, предста-
представляющее собою весьма необычный вариант метода мате-
математической индукции.
Если п — 2, то интересующая нас теорема совпадает
с уже доказанной теоремой из § 14. Пусть п = 4. Тогда
по доказанному
у
т. е.
Таким образом, теорема доказана для п = 4.
23

Пусть теперь л = 8. Тогда по доказанному
V
и, стало быть, .
.*/- ¦ ^ 4 +"
2
что доказывает теорему для м = 8.
Аналогично, мы докажем эту теорему для п=16,
п = 32, м = 64 и вообще для п — 2т. Это делается обыч-
обычной индукцией по т.
Допустим теперь, что п не есть число вида 2'". Тогда
мы сами выберем столь большое т, чтобы оказалось
2m>n.
Положим
... +Хп .
Л
и присоединим к нашим числам xlt %2, . . . , хп ещё
2т — п чисел
xn+i--=A, хп+2 — А,...,
Тогда по доказанному
у/ Xi . . . ХпХпЛ 1 . . . Х^т <
Отсюда
Но так как
Хг-\-Хг+ ... +
то
жд + х.г + ... + х t + Bт - п) А
Поэтому предыдущее неравенство принимает вид
откуда после возведения в степень 2т:
23

и, стало быть,
xtxz ... хп<Ап,
т. е.
1Г <Г А —
Теорема доказана.
§ 18. Из доказанной теоремы вытекает возможность ре-
решения двух задач, рассматриваемых в настоящем параграфе.
Задача 12. Данное положительное число А разло-
разложить на п положительных слагаемых так, чтобы их
произведение оказалось наибольшим.
Решение. Допустим, что числа xlt х2, ... , хп по-
положительны и
«1 + ^2+ • • • +Хп — А.
Тогда по теореме § 17
С А\п
. . . Хп ^ I — ) •
Итак, никакой выбор слагаемых не приводит к произ-
— J . С другой стороны, при
А
Xi = х2 = ... = хп = — , очевидно, получается произведение,
/А \п
равное ( ) • Таким образом, все искомые слагаемые
должны быть равны друг другу.
Задача 13. Данное положительное число Р разложить
на п положительных сомножителей так, чтобы сумма
их оказалась наименьшей.
Решение аналогично решению задачи 12. Именно,
если
XiXz ... Хп = Р,
то по теореме из § 17 будет
... +xn>nj/ Р.
Значит, никакой выбор сомножителей не приводит к сум-
сумме, меньшей чем п \f P, а так как при
получается сумма, равная nf/P, то все искомые сомно-
сомножители должны быть равны друг другу.

§ 19. Пользуясь результатами § 18, можно решить
ещё целый ряд конкретных задач. Приведём несколько
примеров.
Задача 14. В данный шар вписать цилиндр наи~
большего объёма.
Решение. Сохраняя обозначения § 11, имеем выра-
выражение интересующего нас объёма в виде
Но, как мы видели в § 11,
А = 2 yW^r*.
Значит,
Полагая г = т-2 F2, получаем:
причём z принимает своё наибольшее значение при том
же самом г, что и V. Так как
1 ..
то -т- z есть произведение трех сомножителей, сумма ко-
которых равна Я2. Значит, наибольшим будет значение z,
отвечающее такому г, что
Отсюда
§ 20. Задача 15. В данный конус вписать цилиндр
наибольшего объема.
Решение. Сохраняя обозначения § 12, имеем вы-
выражение интересующего нас объёма в виде
Но, как мы видели в § 12,
Значит,

Наибольшее значение V достигается при том же г, что
и наибольшее значение функции
являющейся произведением трёх сомножителей, сумма
которых постоянна. Значит, 2макс достигается при
т. е. при г= -^ R.
§ 21. Задача 16. В данный шар вписать конус наш
большего объёма.
Решение. Обозначим через R радиус шара и через г
и h соответственно радиус основания и высоту конуса. Из
D
черт. 10 ясно, что r—АВ есть средняя пропорциональная
между отрезками BD и ВС. Но
BD=h, BC = 2R — h.
Значит,
г» = АBД-А).
А так как интересующий нас объём есть
F = —
то

Вводя вместо V функцию
h
z =
\ BД -А),
принимающую одновременно с V своё наибольшее значение,
видим, что гмакс достигается ори
h h о r> i
т. е. при
А = 4-Д.
о
§ 22. Задача 17. //а<9 центром круглого стола на
блоке висит лампа. На какой высоте следует поместить
эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую
освещённость'?
Решение. Введём обозначения черт. 11. Из курса
физики известно, что сила света /
в точке А выражается формулой
/=&
sin у
где к — некоторый постоянный ко-
коэффициент пропорциональности. За-
Замечая, что
coscp = у ,
получаем, что
/ = —sin cp • cos2'f.
Рассмотрим вместо / величину
Черт. 11.
Ясно, что
откуда
и /макс достигаются одновременно. Но
z = sin-' <р • cos
1 /у| о
Tz = (i — cos2 <p

и наибольшее значение z достигается при
cos2
. о cos2 v cos
1 - COS2 t? = ~2-!: = -у
т. е. при
COScp
При таком ср будет
=j/§.
/2
а так как
то искомая высота есть
§ 23. Задача 18. Дан прямоугольный лист жести
размерами 80 см х 50 си. Требуется вырезать около всех
его углов одинаковые квадратики так, чтобы после загиба-
загибания остающихся кромок получилась открытая сверху
коробка наибольшей вместимости.
Черт. 12.
Решение. Обозначим через х сторону вырезаемого
квадратика (черт. 12). Нетрудно видеть, что объём V полу-
получаемой коробки будет
F = a;(80 — 2я)E0 — 2х).
Ясно, что попытка отыскания Умакс заменой V на
* = 4ж(80-2а:)E0-2а;)
28

6 последующим приравниванием всех трех сомножителей
друг другу обречена на неудачу, ибо уравнение
80 -2х = 50- 2а-
неразрешимо.
Мы поступим иначе, введя в последний сомножитель
некоторый постоянный множитель ft, выбор которого
уточним позже. Таким образом, мы будем вместо V рас-
рассматривать величину
kV = х (80 - 2х) E0ft — 2кх).
Здесь сумма сомножителей не будет величиной посто-
постоянной, поэтому мы ещё дополнительно умножим первый
сомножитель на 2ft -\- 2. Итак, вместо V мы будем изучать
функцию
z = [Bft + 2) х] [80 - 2х] [50ft - 2ft«].
При любом выборе к сумма сомножителей здесь постоянна
и равна 80+ 50ft. Значит, наибольшее значение функция z
(а с ней и V) примет тогда, когда
Bft + 2) х = 80 - 2х = 50ft - 2fta;.
Таким образом, для отыскания х мы имеем два урав-
уравнения:
Bft+ 2) а; = 80-2а;,
2)a; = 50ft-2fta;.
Эти уравнения имеют следующие решения:
40 25ft
X = 5.-—S , X = ,
ft + 2 ' 2ft + 1 *
Для того чтобы задача была разрешима, нужно, чтобы эти
значения х совпадали, т. е. чтобы было
40 25ft „
ft + 2 2ft + 1 '
Здесь и приходит на помощь то обстоятельство, что мы
можем распорядиться выбором числа ft по своему желанию.
Именно, подберём ft таким, чтобы выполнялось условие (*),
для чего нужно на (*) взглянуть как на уравнение, опре-
определяющее ft. Решая это уравнение, находим для ft два
значения:
ft 2 ft
29

Однако отрицательное значение для к непригодно. Дей-
Действительно, по смыслу задачи множитель 50 — 2х, входящий
в состав V, должен быть положителен. С другой стороны,
чтобы можно было применить для нахождения Zmokc «способ
приравнивания сомножителей», нужно быть уверенным,
что все сомножители положительны. В частности, должен
быть положителен сомножитель
50Л-2Лж=АE0-2а;).
Но выражения
к E0 — 2х) и E0 — 2х)
могут быть одновременно положительны лишь тогда,
когда к положительно.
Итак, для к необходимо выбрать значение
к:=2.
При таком выборе к для х получается значение
х =10.
Таково решение задачи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Как мы видели выше, можно с помощью элементарных
алгебраических средств решить любую задачу, приводящую
к отысканию экстремального значения квадратного трёх-
трёхчлена
у = ах2 + Ьх-\- с.
В тех же случаях, когда вопрос приводится к нахо-
нахождению наибольшего или наименьшего значения функции
более сложной природы, нам удавалось довести решение
до конца лишь с помощью того или иного искусственного
приёма, специально выбираемого для каждой отдельной
задачи.
Естественно спросить, существуют ли общие способы для
отыскания экстремальных значений функций любой при-
природы, а не только квадратных трёхчленов. Оказывается,
что такие способы есть, но, как уже было сказано во
«Введении», для их изучения необходимо привлечь аппа-
аппарат высшей математики.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
I. Основная теорема о квадратных трёхчленах .... 6
II. Некоторые применения основной теоремы 11
III. Другие теоремы, позволяющие находить наибольшие
и наименьшие значения функций 19
Заключение 31
Редактор А. 3. Рывкин. Техн- редактор М. Д. Кислиновская.
Подписано к печати 31/VII 1950 г. Бумага 84х108/82- 0,5 бум. л., 1,64 печ.л.
1,Ы уч.-изд. л. 37 000 тип. зн. в печ. листе. Т-05954. Тираж 10 000 экз.
Цена книги 50 к. Заказ № 47 3.
16-н типография Союзполиграфпрома Главполиграфиздата при Совете
Министров СССР. Москва, Трёхпрудный пер., 9.