Под редакцией

Ф.Ф. Лысенко,
С.Ю. Кулабухова

ЕГЭ

МАТЕМАТИКА

СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ

ЛЕГИОН

ПРОФИЛЬНЫЙ

УРОВЕНЬ
Учебно-методический комплекс
«Математика. Подготовка к ЕГЭ»

Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова

МАТЕМАТИКА

ЕГЭ

СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ

ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Учебно-методическое пособие

тм

ЛЕГИОН
Ростов-на-Дону
2016
ББК22.1

Р34

Рецензент:

С.Ю. Кулабухов — кандидат физико-математических наук.

Резникова Н.М., Фридман Е.М.

Р34 Математика. ЕГЭ. Профильный уровень. Сечения многогранников:
учебно-методическое пособие / Н.М. Резникова, Е.М. Фридман; под ре-
дакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. — Ростов-на-Дону: Легион,
2016. —64 с.—(ЕГЭ).

18ВЫ 978-5-9966-0922-2

Задачи, связанные с сечениями многогранников, занимают важное место
в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ по математике. При этом в учебных
программах школьного курса по геометрии отводится крайне мало часов на изуче-
ние этой темы, в связи с чем учебники содержат недостаточное количество задач.
Предлагаемое пособие призвано разрешить это противоречие.

В начале пособия приведены краткие теоретические сведения. В первых двух
разделах содержатся подготовительные задачи: в заданиях первого раздела необ-
ходимо в многограннике построить точку пересечения прямой и плоскости, про-
вести отрезок, по которому плоскость сечения пересекает грань многогранника,
и т.д. Во втором разделе представлены задания на построение сечений много-
гранника (призмы, пирамиды). В третьем — задачи, соответствующие заданию 14
профильного уровня ЕГЭ по математике.

Предлагаемое пособие будет полезно учащимся, самостоятельно осваиваю-
щим тему «Построение сечений многогранников», а также учителям математики,
которые найдут в нём большое количество заданий, что послужит хорошим под-
спорьем в процессе изучения данной темы по действующим учебникам.

ББК22.1

18ВЫ 978-5-9966-0922-2	© ООО «Легион», 2016
Оглавление

От авторов................................................ 4

Краткие теоретические сведения............................ 5

Раздел 1. Подготовительные задачи......................... 7

Раздел 11. Построение сечений многогранников.... ........ 20

Раздел III. Задачи уровня ЕГЭ ........................... 45

Ответы к подготовительным задачам........................ 61
От авторов

Пособие является частью комплекса «Математика. Подготовка
к ЕГЭ» и предназначено для помощи в подготовке к государственной ито-
говой аттестации в форме ЕГЭ по математике. Книга содержит краткие
теоретические сведения, которые помогут учащимся восстановить в па-
мяти необходимый материал для решения всех задач данного пособия.
В процессе решения заданий первого раздела пособия в различных видах
многогранников учащиеся научатся строить точку пересечения прямой
и плоскости, проводить отрезок, по которому плоскость сечения пересе-
кает грань многогранника, и т.д.

Задания второго раздела — это задачи на построение сечений мно-
гогранников по трём заданным точкам или по точке (прямой) и допол-
нительному условию. Здесь представлены как задачи с полным, так и с
частичным решением, а также задачи для самостоятельного решения.

Задания третьего раздела соответствуют уровню задания 14 ЕГЭ
по математике.

Все предложенные в книге задания снабжены ответами, прилагаемы-
ми в конце пособия.

Замечания и предложения, касающиеся данной книги, можно при-
слать почтой или на электронный адрес 1еропгиз@1е^юпгиз.сот. Пред-
лагаем также обсудить пособие на форуме издательства М(р://Г1едюпг.ги.
Краткие теоретические сведения

Сечение многогранника — некоторый многоугольник. Вершины это-
го многоугольника находятся как точки пересечения рёбер многогранника
с секущей плоскостью, а стороны многоугольника строятся как линии пе-
ресечения граней многогранника с секущей плоскостью.

Таким образом, сечение многогранника — это многоугольник,
вершины которого принадлежат рёбрам, а стороны — граням
многогранника, при этом две соседние вершины принадлежат од-
ной грани.

Так, МК а К^Т — стороны многоугольника, который является се-
чением прямоугольного параллелепипеда АВСВА\В\С\В 1 плоскостью
МКК (см. рис.1). Действительно, точки М и К лежат и в грани АА1В1В,
и в плоскости сечения МИК, поэтому МК является линией пересечения
этих плоскостей, — линией пересечения плоскости сечения КМК
с граньюА1В1С11>1 параллелепипеда.

Рис. 1.
Отрезок не является стороной многоугольника, являющегося се-
чением прямоугольного параллелепипеда АВСРА1В1С1Р1 плоскостью
МИК, так как отрезок МИ не принадлежит ни одной грани параллеле-
пипеда.

Построение сечений многогранника основано на нескольких утвер-
ждениях.

I.	Аксиомы стереометрии.

А 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит
плоскость, и притом только одна.

А 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки данной
прямой лежат в этой плоскости.

А 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую пря-
мую, которой принадлежат все общие точки этих плоскостей.

Аксиомы планиметрии.

А 4. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы пла-
ниметрии.

II.	Теоремы.

Т1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии
их пересечения параллельны.

Т2. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой
плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой пря-
мой.

В формулировках задач сечение может быть задано по-разному: тремя
точками, не лежащими на одной прямой; точкой и прямой или иначе.
Раздел I

Подготовительные задачи

Задача Кг 1. В кубе АВСВА\В\С\В\ М € ВС, IV € СС1.

Выполните задания:

а)	Укажите грань куба, в которой лежит отрезок М1У.

Ответ:___________________________

б)	Укажите грань куба, параллельную отрезку М1У.

Ответ:___________________________

Задача Кг 2. В кубе АВСВА^В^С^Вх на ребрах ВС, СС\, ВВ\
взяты соответственно точки М, IV, К так, что М и IV — середины ребер
ВСиСС1,В1К:КВ=1:2.
а)	Укажите грань, параллельную грани ВВ^С^С.

Ответ:____________________________

б)	Через точку К проведите прямую КТ, параллельную отрезку МТУ.
Укажите грань, в плоскости которой лежит эта прямая.

Ответ:____________________________

в)	Укажите ребро куба (отличное от ребра ВВ\), которое пересекает
прямая КТ

Ответ:____________________________

Задача № 3. Внутри грани 8ВС треугольной пирамиды 8АВС взята
точка В.

Через точку В проведите:

а) отрезок с концами на рёбрах пирамиды, параллельный ребру ВС\
б) отрезок с концами на рёбрах пирамиды, параллельный ребру 8С\
в) отрезок с концами на рёбрах пирамиды, параллельный ребру 8В.
Задача № 4. Через точку Р, лежащую на ребре А8 тетраэдра 8АВС,

постройте:

а)	сечение, параллельное основанию АВС;

б)	сечение, параллельное грани 8ВС;

в)	сечение, перпендикулярное основанию АВС.

Задача № 5. Постройте линию пересечения грани АЗС пирамиды
8АВС плоскостью, проходящей через точки В, М и IV, где точки М и IV
принадлежат, соответственно, граням АВ8 и ВС8 (М и IV не лежат на
рёбрах пирамиды) (см. рис. 6).

2. Зак. № 38
Задача № 6. Сечение пирамиды 8АВС проходит через точки Л/,
ЛГ, К (см. рис. 7).

Выполните задания, вставив на подчёркнутые места в представленном
решении нужные точки, линии или плоскости. Постройте:

а)	линию пересечения плоскости А8В и плоскости М1УК;

б)	точку пересечения прямой М К и плоскости АВС\

в)	линию пересечения грани АВС с плоскостью ММ К ;

г)	линию пересечения грани АЗС с плоскостью МИК.

Решение.

а)	Точки и лежат в каждой из плоскостей АЗ В и ММК,

следовательно,— линия пересечения плоскости АЗ В и плоскости
ММ К (см. рис. 8).
б)	Прямые МК и ВС лежат в плоскости В8С и не параллельны, сле-
довательно, точка пересечения этих прямых — точка Т — принадлежит
прямой ВС, а значит, и плоскости(см. рис. 9).

в)	Точка Т принадлежит плоскости сечения М1УК, т. к

Точки и лежат одновременно в плоскости АВС и плоскости

сечения, следовательно, прямая —— линия пересечения плоско-
сти АВС с плоскостью МИК (см. рис. 10).

Рис. 10.
Прямая пересекает ребро АВ в точке Р, поэтому

линия пересечения грани АВС с плоскостью М1УК (см. рис. 11).

г)	Точки и лежат в плоскости сечения и в грани

______, следовательно, отрезок является линией пересечения грани
АЗС с плоскостью ММК (см. рис. 12).

Задача № 7. 8АВС — пирамида, точка М лежит в грани А8В, К —
в грани ВВС, И е 5\Е>, как показано на рисунке 13. Постройте линию
пересечения плоскости ММК с плоскостью АВС.
Решение.

Шаг 1. С помощью центрального проектирования с центром в точке
найдём проекции точек М, ТУ и АГ на плоскость АВС (см. рис. 13).

Рис. 13.

Проекция точки М — точка пересечения и______________, обозначим

её буквой Ь, проекция точки К лежит на ребре____, обозначим её бук-

вой Р,— проекция точки ТУ.

Шаг 2. Построим точки пересечения прямых ТИТУ и ТУ АГ с плоскостью
АВС (см. рис. 14).
Для этого построим сначала точку Т пересечения прямой ММ и её
проекции, затем — точку Р — точку пересечения прямой IVК и
её проекции

Шаг 3. Проведём прямую__________, эта прямая лежит и в плоскости

АВС и в плоскости М1УК, следовательно, является их линией пересе-
чения (см. рис. 15).

Решите задачи

Задача № 8. Является ли треугольник МЫК сечением призмы
АВСОА\В\С\О\ плоскостью МИК (см. рис. 16)?

Рис. 16.
Задача № 9. В правильной треугольной призме АВСА\В\С\ сто-
роны основания равны 6, а боковые рёбра равны 4. Постройте отрезок,
по которому пересекаются грань А\В\С\ и плоскость, проходящая через
вершины Л, В и середину ребра А\С\. Найдите длину этого отрезка.

Задача № 10. Через середины рёбер АВ и ВС тетраэдра 8АВС
проведена плоскость, параллельная ребру 8В. Выберите (и обоснуйте)
верное утверждение:

1)	линии пересечения граней ЗАВ и 8ВС этой плоскостью парал-
лельны;

2)	линии пересечения граней ЗАВ и 8ВС этой плоскостью не парал-
лельны.

Задача №11. АВСА\В\С\ — треугольная призма, точка М лежит
на луче АВ ( АВ < АМ\ М € АС (см. рис. 17).

Рис. 17.

Постройте:

а)	линию пересечения грани ААгВ^В и плоскости А1ЛЛУ;

б)	линию пересечения грани ВВ^СгС и плоскости А^ММ.
Задача Яв 12. Постройте линию пересечения плоскости М1УК
с плоскостью АВС (см. рис. 18).

Задача Яг 13. Постройте линию пересечения плоскости М1УК
с плоскостью АВС (см. рис. 19).

Задача Я» 14. Ребро куба АВСРА1В1С1Р1 равно 4. На ребре АА1
взята точка М так, что АМ : МА\ = 1:3.

а)	Постройте точку пересечения прямой В\М и плоскости АВС и вы-
числите расстояние от этой точки до точки А;

б)	Найдите расстояние между точками пересечения прямых В1Л/ и
И1М с плоскостью АВС.
Задача Яг 15. ТочкиМи^ — середины рёбер АВ и АИ куба
ЛВСРА1В1С1Р1.

а)	Постройте сечение куба, перпендикулярное плоскости АВС и про-
ходящее через прямую М^;

б)	Постройте сечение куба, перпендикулярное отрезку ММ и прохо-
дящее через его середину.

Задача № 16. В правильной четырёхугольной призме
АВСРА1В1С1Р1 сторона основания равна 11, а боковое ребро АА1 = 6.
Точка К принадлежит ребру В1С1 и делит его в отношении 8 : 3, счи-
тая от вершины В1. Постройте отрезок, по которому пересекаются грань
СС\В\О и плоскость ВИК. Найдите длину этого отрезка.

Задача Яг 17. В прямоугольном параллелепипеде
АВСРА1В1С1Р1 известны рёбра: АВ = 4, АВ = 2, АА1 = 5. Точка О
принадлежит ребруВ2?1 и делит его в отношении 3 : 2, считая от верши-
ны В.

а)	Постройте отрезок, по которому пересекаются грань ССхВ^В па-
раллелепипеда и плоскость АОС\. Найдите длину этого отрезка.

б)	Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда
АВСВА\В\С\О\ плоскостью АОС.

в)	Выберите верное утверждение и обоснуйте его:

1)	построенное сечение — прямоугольник;

2)	построенное сечение — ромб;

3)	построенное сечение — параллелограмм;

4)	построенное сечение — треугольник.

3. Зак. № 38
Задача № 18. В кубе АВС ВА\В\С\В\ постройте сечение АВ\С
и определите его вид (см. рис. 20).

Задача № 19. В прямоугольном параллелепипеде

АВСПА^В 1С1Р1 известно, что АА1 = 8, АБ = 6, АВ = 3, точки М
и — соответственно середины рёбер АА\ и АР, К € В1С1,
ВХК : КСХ = 2 : 1 (см. рис. 21).

а)	Проведите отрезок МТУ и укажите грань, в которой лежит отрезок
МЫ.

б)	Назовите линию пересечения грани АА1Р1Р параллелепипеда
АВСРА1В1С'1Р1 и секущей плоскости МЫК.
в)	Назовите грань параллелепипеда, параллельную грани АА1Р1Р.

г)	Проведите через точку К прямую /, параллельную отрезку МК, ука-
жите ребро куба (отличное от ребра В1С1), которое пересекает эта пря-
мая.

д)	Постройте точку Ь пересечения прямой I и ребра СС\. Укажите,
в каком отношении точка Ьцелт ребро СС1, считая от вершины С.

е)	Назовите грань параллелепипеда, в которой лежит КЬ.

ж)	Назовите линию пересечения грани ВВ\С\С параллелепипеда
АВСВА\В\С\О\ и секущей плоскости МКК.

з)	Найдите длину отрезка КЬ.

и)	Постройте точку Е — пересечения прямых МК и А1Р1. Найдите
длину отрезка ЕА1;

к)	Назовите грани параллелепипеда, в плоскостях которых лежит точ-
ка Е.

л)	Постройте точку Т пересечения отрезка ЕК и ребра А\В\\

м) Назовите линию пересечения грани А1В1С1Р1 параллелепипеда
АВСРА1В1С1Р1 и секущей плоскости МКК.

н) Проведите отрезок МТ. Назовите грань параллелепипеда, в кото-
рой лежит отрезок МТ.

о)	Назовите грань параллелепипеда, параллельную грани РР1С1С.

п) Постройте отрезок ЬР, параллельный отрезку МТ.

р)	Постройте отрезок РК. Назовите грань параллелепипеда, в кото-
рой лежит отрезок РК.

с) Назовите сечение параллелепипеда плоскостью МКК.

Задача Яв 20. В кубе АВ(7РА1В1С1Р1 постройте сечение, прохо-
дящее через рёбра АА1 и СС\.
Раздел II

Построение сечений многогранников

Задача № 1. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда
АВСРА1В1С1О1 плоскостью М1УК (см. рис. 22).

Решение.

Шаг 1. Точки Ми^ лежат в плоскости передней грани АА\О\О и
в плоскости сечения М1>1К, поэтому прямая М^ — линия пересечения
этих плоскостей (см. рис. 23).

Шаг 2. Прямые М^ и А\О\ лежат в плоскости АА^О^О и пересека-
ются в точке Т, значит, точка Т лежит в плоскости сечения.
Шаг 3. Точки ТиК лежат и в плоскости сечения МЫК, и в плоскости
верхней грани А1В1С1Р1. Отсюда следует, что ТК — линия их пересече-
ния, а Р — точка пересечения прямых ТК и А\В^ (см. рис. 23).

Шаг 4. МР — линия пересечения плоскости сечения и грани АА\В\В
(см. рис. 24).
Шаг 5. В плоскости АВС через точку К проведём прямую, параллель-
ную ГК (см. Т1). Эта прямая пересекает прямую ВС в точке Р, СР —
в точке Ь (см. рис. 25).

Рис. 25.

Шаг 6. Прямая КР — линия пересечения плоскости грани ВВ\С\С
и плоскости сечения МКК (см. рис. 26). С — точка пересечения КР и
С1С.
Шаг 7. Отрезок СЬ — линия пересечения грани ОО\С\С и плоскости
сечения М1УК (см. рис. 27).

Рис. 27.

ЫМРКСЬ — сечение прямоугольного параллелепипеда
ЛВСРЛ1В1С1Р1 плоскостью МЫК (см. рис. 28).

Рис. 28.
Задача Кв 2. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда
АВСРЛ1В1С1Р1 плоскостью М1УК (см. рис. 29).

Решение.

Шаг 1. Точки лежат в плоскости грани	и

в плоскости сечения, значит, прямая— линия пересечения этих
плоскостей (см. рис. 30). Аналогично прямая КМ — линия пересечения
плоскости и плоскости
Шаг 2. По теореме (см. Т1) через точку М в плоскости------

 проведём прямую МТ, прямой МК.

Т — точка пересечения МТ и (см. рис. 31). Аналогично через точку
М в плоскости проведём прямую МР,

КМ. Р — точка пересечения прямой МР и ребра

ШагЗ. РТ— линия пересечения плоскости грани и плос-

кости сечения (см. рис. 32).
искомое сечение.

4. Зак. № 38
Задача № 3. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда
ЛВСТ>А1В1С1Р1 плоскостью МКК (см. рис. 33).

Решение.

Шаг 1. Ь и С — проекции точек К и М на плоскость АВСВ
(см. рис. 34). Г — точка пересечения прямых КМ и ЬС (КЬ || МС).
Точка К лежит в плоскости сечения и в плоскости грани АВС В,

Шаг 2. ВУ — линия пересечения плоскости сечения МКК и плос-
кости АВС В (см. рис. 35). ГК пересекает ребро СВ в точке Е.
Шаг 3. МЕ — линия пересечения грани РР1С1С и плоскости сече-
ния (см. рис. 35).

Шаг 4. Прямая Р^ пересекает прямую АВ в точке С (см. рис. 36).
Шаг 5. Точки СнК лежат в плоскости АА1В1В

(см. рис. 37). СК пересекает ребро АА1 в точке Я, ребро

ВВ\ — в точке 5. НК — линия пересечения грани АА\В\В и плоскости
сечения.

Рис. 37.

Шаг 6. ЯМ — линия пересечения плоскости ВВ^С^ и плоскости се-
чения (см. рис. 38). X — точка пересечения 8М и В1С1.
Шаг 7. КХ — линия пересечения плоскости А\В\С\Е\ и плоскости
рис. 39).

Итак, КВКХМЕ — искомое сечение (см. рис. 40).
Задача № 4. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда
АВСОА\В\СгО1 плоскостьюМ1ЧК (см. рис. 41).

Решение.

Шаг 1. 

(см. рис. 42).

— проекции точек К и М на плоскость АВСВ
Шаг 2. 8 — точка пересечения прямых и ГИ — лежит в плоско-
сти грани--------------и в плоскости---------------(см. рис. 43).

Шаг 3. Прямая 8М лежит в плоскостй и пересекает АВ в точке

Р, ВС — в точке Ь (см. рис. 44).
Шаг 4. Точки и лежат в плоскости грани ВВ^С^С и

плоскости сечения, значит,— линия их пересечения (см. рис. 45).
Прямая пересекает ребро ВВ\ в точке V.

Шаг 5— линия пересечения грани АА1В]В и плоскости се-
чения ММ К,— линия пересечения грани АА\В\Б и плоскости
сечения ММК (см. рис. 46).
Шаг 6. В грани А1В1С1Р1 проведём через точку К отрезок КС
отрезку МР (см. Т1).

Шаг 7. Отрезок— линия пересечения грани	и плос-

кости сечения (см. рис. 47).

Итак,искомое сечение (см. рис. 48).
Задача № 5. Постройте сечение пирамиды ЗАВСБ плоскостью
ЛГУ# (см. рис. 49).

Решение.

Шаг 1. ЛГУ — линия пересечения плоскости ММ К и грани ЗАБ,
МК — линия пересечения плоскости ММК и грани АВСБ (см. рис. 50).
Шаг 2. Прямая МК пересекает прямые АВ и СБ в точках Г и Ь со-
ответственно (см. рис. 51).

Шаг 3. Р# — линия пересечения плоскости сечения и плоскости гра-
ни А8В (см. рис. 52). пересекает ребро 8В в точке С. СЬ — линия
пересечения плоскости сечения и плоскости грани 8ВС. СЬ пересекает
ребро 8С в точке Я.
Шаг 4. КК — линия пересечения плоскости М1>1К и плоскости СЗИ
(см. рис. 53).

Итак, МИСКК — искомое сечение (см. рис. 54).
Задача № 6. Постройте сечение пирамиды 8 АВС В плоскостью
М1ЧК (см. рис. 55).

Рис. 55.

Решение.

Шаг 1.— линия пересечения плоскости грани 8ВС и плоско-
сти сечения М^К (см. рис. 56). Построим точку Р пересечения прямых
МКиВС.
Шаг 2. Точки лежат в плоскости основания АВС и в плоско-
сти сечения_____, поэтому Р^ — линия пересечения плоскостей АВС

и М1>1К (см. рис. 57).

Рис. 57.

Построим точку Ь пересечения прямых Р^ и ВС и точку Р пересече-
ния прямых РЛГ и АВ.

Шаг 3. Точки Ь и М лежат в плоскости грани и в плоско-
сти сечения, следовательно,— линия пересечения грани и

плоскости М1УК (см. рис. 58). ЬМ пересекает ребро пирамиды

8 АВС В в точке Т.
Шаг 4— линия пересечения грани А8В и плоскости сече-
ния ММК,— линия пересечения грани АЗО и плоскости сечения
МИК (см. рис. 59).

Рис. 59.

Итак,— искомое сечение (см. рис. 60).
Задача № 7. Постройте сечение прямой шестиугольной призмы
АВСВЕГА1В1С1О1Е1Р1 плоскостью МКК (см. рис. 61).

Решение.

Шаг 1. Т—точка пересечения прямой КМ и её проекции РА на плос-
кость нижнего основания АВСВЕГ (см. рис. 62).
Шаг 2. ТМ — линия пересечения плоскости сечения и плоскости ниж-
него основания. Ь — точка пересечения ребра АВ и (см. рис. 63).

Шаг 3. КЬ — линия пересечения грани ЛЛ1В1В и плоскости ММ К.

Шаг 4. Проведём КМ || ЬМ, МУ || КЬ (см. Т1). КМ — ли-
ния пересечения плоскости сечения и плоскости верхнего основания
А1В1СгО1Е1Р1, МУ — линия пересечения плоскости сечения и плос-
кости ЕЕ^В^О (см. рис. 64).
Шаг 5. Н — точка пересечения прямых Т7У и СВ. НУ — линия пе-
ресечения плоскости сечения и плоскости грани СС\В\В. О — точка
пересечения ребра СС± и НУ (см. рис. 65).

Шаг 6. ОТУ — линия пересечения грани ВВ^С^С и плоскости МИК
(см. рис. 65). В8 || ТУ О (см. Т1).

Шаг 7. Проводим отрезок К8 (см. рис. 66).
Итак, КВВМУСЖЬ — искомое сечение (см. рис. 67).

Рис. 67.

Задачи для самостоятельного решения

1.	Постройте сечение параллелепипеда АВСВА^В^СхВ^ содержа-
щее АВ1И параллельное ребру А^В^.

2.	Постройте сечение параллелепипеда АВСВА^В^СхВ^ содержа-
щее А1В1 и параллельное АС.

3.	Через точку пересечения медиан грани АВС пирамиды 8 АВС по-
стройте сечение, параллельное грани А8В.

4.	Постройте сечение пирамиды 8АВСВ, содержащее высоту 80 пи-
рамиды и параллельное ребру АВ.

5.	Постройте сечение пирамиды 8 АВС В, содержащее высоту 80 и
перпендикулярное грани 8АВ.

6.	Постройте сечение куба АВСВА\В\С\В1у проходящее через сере-
дину ребра АВ параллельно плоскости ВС\В.

7.	В кубе АВСВА\В1С\В\ найдите линию пересечения плоскостей
АВ\С и ВС1В.

8.	В правильной треугольной призме АВСА1В1Сг постройте линию
пересечения плоскостей АВС1 нА^В^С.

9.	В кубе АВСВА1В1С1В1 найдите линию пересечения плоскостей
АВ1С1В и СВ1А1В.
10.	В правильной шестиугольной призме АВСВЕЕА^В^С1В1Е1Е1
постройте сечение, проходящее через ребро ВВ1 и перпендикулярное
диагонали основания АВ,

11.	Постройте сечение правильной четырёхугольной пирамиды
ЗАВОВ плоскостью, параллельной высоте 80 и проходящей через
середину ребра АВ и точку С,

12.	Постройте сечение параллелепипеда АВСВА^В\С\В\ плоско-
стью, проходящей через точку О пересечения его диагоналей параллельно
грани а) 4А1В1В; б) А^В^С^В^, в) АА^В^В,

13.	Постройте сечение четырёхугольной пирамиды 8АВСВ плоско-
стью ММ К (см. рис. 68).

Рис. 68.

14.	Постройте сечение параллелепипеда АВСВАгВ^С^В^ плоско-
стью АВС1.

15.	Постройте сечение куба АВСВА1В1С1В1 плоскостью ММ К
(см. рис. 69).
Раздел III

Задачи уровня ЕГЭ

Задача № 1. В правильной четырёхугольной призме

АВСПА\В\сторона основания равна 10, а боковое ребро — 17.
Точка К принадлежит ребру 41 В\ и делит его в отношении 2 : 3, считая
от вершины 41. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, про-
ходящей через точки К. А и С (см. рис. 70).

Решение.

Точки 4 и С принадлежат плоскости, следовательно, от-
резок лежит в этой плоскости (см. рис. 71).
Так как плоскости верхнего и нижнего оснований, то че-
рез точку К в плоскости проведём отрезок КЬ

АС, где е(см. рис. 72).

Рис. 72.

Соединим точки А и__________, лежащие в грани, а так-
же точки С и_________________, лежащие в грани сечение призмы

АВС Б Ах	плоскостью, проходящей через точки_______,______,

(см. рис. 73).
Рассмотрим грань Л1В1С1.01. По условию АхВх = 10,
Ах К : КВх = 2:3, поэтому Ах К =, КВх =
ДКВхЬ ~ △Л1В1С1, так как КБ АхСх (см. рис. 74).

Тогда ВхЬ==ЬСх ==________________, КБ =

ААКАх , следовательно, АК = , значит, че-
тырёхугольник АКБС является_________________

(см. рис. 74).

Площадь равнобедренной трапеции АКБС найдём по формуле
Закьс = КЬ + АС  КМ.

КБ =_________, АС =________, КМ выразим из прямоугольного тре-

угольника по теореме Пифагора.
АК является гипотенузой прямоугольного треугольника_, кате-
ты которого-----------------------------=-,-=

АК ===

АМ = \_______________

2

Подставляем найденные значения в выражение

КМ = у/АК2 - АМ2, получим КМ =

Закьс = |(-----+---------) •------

А

Ответ

Задача Кв 2. Через точку Ь, принадлежащую высоте 80 правильной
четырёхугольной пирамиды 8АВСВ, постройте сечение, параллельное
грани 8ВС (см. рис. 75).

Решение.

Обозначим плоскость сечения буквой а. По условию а || ЗВС
и Ь е а. Это означает, что любая прямая плоскости а, проходящая че-
рез точку Ь, параллельна плоскости 8ОС (в противном случае плоскости
8ОС и а будут пересекаться).
Значит, нужно через точку Ь провести прямую, параллельную плоско-
сти 8ЭС. Можно через точку Ь провести любую прямую, параллельную
плоскости 8ИСу в частности, это может быть прямая, параллельная 19(7,
или 5(7, или 80 (см. рис. 76).

Проведём через точку Ь прямую, параллельную 5(7. Для этого
во вспомогательной плоскости 8АС проведём через точку Ь отрезок
МК II 8С (К еАС,Ме А8). Так как МК || 519С, то М1У е а.

Точка М принадлежит ребру А8 пирамиды, следовательно, М — вер-
шина многоугольника, являющегося искомым сечением.

Линия пересечения а и плоскости боковой грани А8В проходит через
точку М параллельно АВ. Действительно, плоскость А8В проходит че-
рез прямую АВ, параллельную ОС (АВ || ОС, так как АВСО — квадрат,
а || ОС), и пересекает а по прямой, параллельной АВ (см. Т2). Проведём
в грани А8В отрезок МК || АВ (К е В8).

МК — линия пересечения плоскостей А8В и а, МК е а.

К — вершина многоугольника, являющегося искомым сечением.
МК — сторона многоугольника, являющегося искомым сечением, так
как точки МиК лежат в грани А8В пирамиды (см. рис. 77).

Рассуждая аналогично по отношению к грани АЗО. проведём отрезок
МР || 80 (Р е АО). МР — сторона многоугольника, являющегося ис-
комым сечением (см. рис. 78).

Рис. 78.
Точки Л" и Р лежат в плоскости айв плоскости нижнего основа-
ния АВСО, значит, прямая Р-У — линия пересечения этих плоскостей
(см. рис. 79).

Р^ пересекает ребро ВС в точке Т, поэтому точка Т — вершина
многоугольника, являющегося искомым сечением, а РТ — сторона это-
го многоугольника (см. рис. 80).
Наконец, соединяя точки К и Г, которые лежат в грани ВВС пирами-
ды, получим искомое сечение МКТР (см. рис. 81).

8

Рис. 81.

Задача № 3. В прямоугольном параллелепипеде АВСРЛ1В1С1Р1
через точку В постройте сечение, перпендикулярное диагонали ВР1
(см. рис. 82).
Решение.

В диагональном сечении ВВ^В^В проведём ВК перпендикулярно
ВГ>1 (см. рис. 83).

Через точку В в плоскости АВС проведём прямую I, перпендикуляр-
ную ВВ (см. рис. 84).

I ± ВВ1, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости
I ± ВВ1Р1, поэтому I ± ВВ^.
Итак, ВО1 ± КО, ВИ1 ± I, откуда следует, что ВВ1 перпенди-
куляна плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые КВ и I
(см. рис. 85).

Построим точки пересечения прямой I с прямыми АВ и ВС

(см. рис. 86).

Рис. 86.
КЬ — линия пересечения левой боковой грани АА\В\В и плоскости,
проходящей через прямые ВК и /, КЕ — линия пересечения задней грани
ВВ1С1С и плоскости, проходящей через прямые ВК и I (см. рис. 87).

Т — точка пересечения ребра АА1 и прямой КЬ, Р — точка пересе-
чения ребра СС\ и прямой КЕ.

Проводим отрезки ТВ в передней грани и ВР в правой боковой грани
(см. рис. 88).

Рис. 88.
КРОТ — искомое сечение (см. рис. 89).

Задачи для самостоятельного решения

Задача Яг 1. Точки М и АГ — середины боковых рёбер 8 А и ЗВ
правильной треугольной пирамиды 8АВС с основанием АВС.

1)	Постройте сечение пирамиды плоскостью, перпендикулярной плос-
кости АВС и содержащей прямую МК.

2)	На каком расстоянии от вершины С находится линия пересечения
плоскости сечения и плоскости АВС, если АВ = 30, А8 = 28?

Задача Яа 2. АВСА\В\С\ — правильная треугольная призма,
АВ = АА1 = 1, О — точка пересечения диагоналей грани ВВ\С\. Най-
дите угол между плоскостью АВС и плоскостью, проходящей через точки
А и О и параллельной ВС. Ответ дайте в градусах.

Задача № 3. М — точка пересечения медиан грани ЗАВ правильной
четырёхугольной пирамиды 8 АВС О с основанием АВС О.

1)	Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точ-
ку М, перпендикулярной плоскости АВС и параллельной ребру АВ.

2)	Найдите расстояние от ребра АВ до плоскости сечения, если
АВ = 5ч/2, АЗ = 13?
Задача № 4. АВС ВЕЕ АхВ^С^ВхЕ^Ех — правильная шестиуголь-
ная призма, сторона основания которой равна 4, а высота — 3. Постройте
сечение призмы плоскостью АС^Е^ и найдите площадь этого сечения.

Задача Кг 5. В кубе АВСВА^ВхС^Вх найдите угол между плоско-
стями ЛВ1Г>1 и ЛСРь Ответ дайте в градусах.

Задача Кз 6. В правильной четырёхугольной пирамиде 8 АВС В по-
стройте сечение, параллельное ВР, проходящее через точку С и середину
ребра ЗА. Найдите площадь построенного сечения, если сторона основа-
ния пирамиды равна 8, а боковое ребро 16.

Задача № 7 (ЕГЭ 2015). Основанием прямой четырёхугольной приз-
мы

ЛВСРЛ1В1С1Р1 является квадрат АВС В со стороной 5т/2, высота
призмы равна 2\/14. Точка К — середина ребра ВВ^. Через точки К и
С1 проведена плоскость а, параллельная прямой ВВ±.

а)	Докажите, что сечение призмы плоскостью а является равнобед-
ренным треугольником.

б)	Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы
плоскостью а.

Задача № 8. Основанием прямой четырехугольной призмы
ЛВСВЛ1В1С1Р1 является квадрат АВС В со стороной 2т/2, высота
призмы равна 8. Точка' М — середина ребра ЛЛ1.

а)	Постройте сечение призмы плоскостью, содержащей точки М9 В и
точку пересечения диагоналей квадрата АВС В.

б)	Найдите площадь построенного сечения.

Задача № 9. В кубе АВСВА^ВхС^Вх со стороной, равной 3, через
середину бокового ребра СС\ и точку пересечения диагоналей основания
АВСВ проведена плоскость, параллельная диагонали В^В. Через точки
К и С1 проведена плоскость а, параллельная прямой ВВ±.

а)	Докажите, что построенное сечение является прямоугольником.

б)	Найдите периметр построенного сечения.

Задача № 10. В правильной четырёхугольной пирамиде 8 АВС В
постройте сечение, проходящее через высоту 80 пирамиды и перпендику-
лярное грани А8В. Установите вид сечения и найдите его площадь, если
сторона основания равна 2л/87, а боковое ребро — 16.
Задача Кв 11 (ЕГЭ—2015). В правильной четырёхугольной пирамиде
8 АВС В все рёбра равны 5. На рёбрах ЗА, АВ, ВС взяты точки Р, С2, В
соответственно так, что РА = АС} = ВС = 2.

а)	Докажите, что плоскость РС}В перпендикулярна ребру ЗВ.

б)	Найдите расстояние от вершины В до плоскости Р(^В.

Решение.

а)	Стороны треугольника 8ВВ равны 5, 5 и 5\/2, поэтому он прямо-
угольный, то есть прямая В8 перпендикулярна прямой ЗВ (см. рис. 90).

Поскольку прямые ЗВ и Р<Э параллельны, прямая В8 перпендику-
лярна прямой РС^. Прямая АС перпендикулярна прямой ВВ, и по тео-
реме о трёх перпендикулярах прямая АС перпендикулярна прямой ЗВ, а
значит, прямая С^В перпендикулярна прямой ЗВ. Таким образом, плос-
кость РС}В перпендикулярна ребру ЗВ.

б)	Пусть плоскость Р(^В пересекает ребро ЗВ в точке Е. Из до-
казанного следует, что прямая РЕ перпендикулярна прямой ЗВ, откуда

ЗЕ = 5Рсо8б0° =

2

Значит, БЕ = ЗБ — ЗЕ =

2

Поскольку плоскость РС}В перпендикулярна ребру ЗВ, искомое рас-
стояние равно ВЕ.

Ответ: б) -.

2
Задача № 12 (ЕГЭ—2015). В правильной треугольной пирамиде
ЗАВС сторона основания АВ равна 30, а боковое ребро ЗА равно
28. Точки М и К — середины рёбер ЗА и ЗВ соответственно. Плос-
кость а содержит прямую МК и перпендикулярна плоскости основания
пирамиды.

а)	Докажите, что плоскость а делит медиану СЕ основания в отноше-
нии 5 : 1, считая от точки С.

б)	Найдите расстояние от вершины А до плоскости а.

Решение.

а)	Прямая ММ параллельна плоскости АВС, поэтому сечение пере-
секает плоскость АВС по прямой РС}, параллельной МК.

Рассмотрим плоскость ЗСЕ. Пусть К — точка пересечения этой
плоскости и прямой ЛГУ, Ь — точка пересечения этой плоскости и пря-
мой Р<2, О — центр основания пирамиды (см. рис. 91).

Плоскости ЗСЕ и МКС} перпендикулярны плоскости АВС, поэто-
му прямая КЬ перпендикулярна плоскости АВС, а значит, параллельна
прямой 50. Поскольку МК — средняя линия треугольника А8В, точка
К является серединой ЕЗ. Следовательно, Ь — середина ЕС. Медиа-
на СЕ треугольника АВС делится точкой О в отношении 2:1. Значит,
СЬ:ЬЕ = 5: 1:

б)	Прямая СЕ перпендикулярна КЬ и Р<2, поэтому прямая СЕ пер-
пендикулярна плоскости МКС}. Прямые АВ и РС} параллельны, значит,
расстояние от вершины А до плоскости сечения равно расстоянию от точ-
тр	у-,г СЕ 5\/3

ки Е до плоскости сечения, то есть ЕЬ =	= —т—.

6	2

Ответ: б)
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ

Раздел I

Ответы к подготовительным задачам

1. а) СадСь б) ЛВВМг. 2. а) АА1В1В\ б) АА^В, в) АВ.
8. Нет. 9. 3. 10. 1. 14. а) в) 16. 3\/2. 17. а) 5; б) 3.
18. Треугольник ЛВ1<7. 19. а) ААМУ, б) в) ВВХ(\С\
г) С1С; д) 2 : 1; е) ВВ&С; ж) КЬ; з) у/2; и) 3; к) АА1Л1П
и АгВуСгОг; л) Т; м) ТК; н) АА^В; о) ААгВ^В- п) ЬР;
р)АВСО;с)МТКЬР1>1.

Раздел III

Задачи для самостоятельного решения

1. 24л/66. 2.	3. 30. 4. |. 5. бУН. 6. 120. 7. 1^87 8

13 + \/39. 9.4^/5. 10.3 + 3%/2. 11.2V/3567.
ЕГЭ

Учебное издание

Резникова Нина Михайловна
Фридман Елена Михайловна

МАТЕМАТИКА. ЕГЭ
СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ
Профильный уровень

Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

Налоговая льгота: издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)

Обложка И. Раевская
Компьютерная верстка О. Сапожников
Корректор Л. Андрецова

Подписано в печать с оригинал-макета 13.09.2016.

Формат 60х84716. Бумага типографская.

Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Усл. печ. л. 25,11.

Тираж 4000 экз. Заказ № 38.

ООО «ЛЕГИОН»

Для писем: 344000, г. Ростов-на-Дону, а/я 550.
Адрес редакции: 344082, г. Ростов-на-Дону, ул. Согласия, 7.

\уулу.1ей1опг.ги е-таП: 1е8юпги8@1еЕ1опги$.сот

Огпечатано в соответствии с качеством предоставленных
диапозитивов в ООО «Полиграфобъединение»
347900, г. Таганрог, ул. Лесная биржа, 6В.
ЗДАТЕЛЬСТВО

Рекомендует

МАТЕМАТИКА. 10-11 классы.
ТРЕНАЖЁР ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ.
Алгебра, геометрия, стереометрия

Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, СЮ. Кулабухова

Пособие предназначено для подготовки
десяти- и одиннадцатиклассников к итоговой
аттестации (ЕГЭ) по математике и может ис-
пользоваться для обобщающего или темати-
ческого повторения курса математики. С по-
мощью этой книги можно в спокойном режиме
сформировать все необходимые компетенции,
научиться решать задачи разных типов, систе-
матизировать содержание курса школьной
программы. Материал, представленный в этой
книге, служит для формирования устойчивых
навыков при выполнении заданий базового и
профильного уровня первой части экзамена.

Пособие содержит 4 модуля ("Арифметика

и алгебра", "Алгебра и начала анализа", "Планиметрия", "Стереометрия"),
состоящих, в свою очередь, из нескольких параграфов. Параграфы вклю-
чают себя: задачи, подобные тем, которые предстоит выполнять учащимся
на экзамене, а также подготовительные задания к этим задачам (задания
для формирования необходимых в каждом случае способов учебных дей-
ствий); варианты для самостоятельного решения.
Издательство "Легион" предлагает
обучающимся и учителям следующие пособия
для подготовки к ЕГЭ по математике:

•	Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень.

40 тренировочных вариантов по демоверсии 2017 года.

Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

•	Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Базовый уровень.

40 тренировочных вариантов по демоверсии 2017 года.

Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.О. Иванова

•	Математика. ЕГЭ-2017. Тематический тренинг.

Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.О. Иванова

•	Математика. ЕГЭ. Алгебра: задания с развёрнутым ответом.

Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

•	Математика. Тренажер для подготовки к ЕГЭ. 10-11 классы.

Алгебра, геометрия, стереометрия.

Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

•	Математика. Большой справочник для подготовки к ЕГЭ.

Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

•	Математика. 7-11 классы. Карманный справочник.

Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухов

Методика, секреты подготовки, особенности учебных пособий -
на авторских вебинарах для учителей и школьников на адиш.1ед!опг.ги

МАТЕМАТИКА

КАРМАННЫЙ 
1ПР4ВОЧ1ШК^

ЛЕГИОН