ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА ИНЖЕНЕРА
М. А. ЛАВРЕНТЬЕВ
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
С ПРИЛОЖЕНИЯМИ
к некоторый вопросам
МЕХАНИКИ
О ГИ 3
ф ИЗДАТЕЛЬСТВО
О-ТШРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 194 6 ЛЕНИНГРАД

Монография академика УССР М. А. Лаврен-
Лаврентьева «Конформные отображения с приложе-
приложениями к некоторым вопросам механики» является
очередной книгой, входящей в серию «Физико-
математическая библиотека инженера». Теория
конформных отображений представляет раздел
математики, развившийся за последние десяти-
десятилетия и имеющий многочисленные и важные
приложения в технике (аэромеханика, теория
упругости, электротехника). Настоящая моногра-
монография, написанная крупнейшим специалистом в
этой области, заполняет собой абсолютный про-
пробел в научно-технической . литературе. Она
предназначается, в первую очередь, для аспи-
аспирантов втузов, научных сотрудников приклад-
прикладных Институтов, математиков, механиков, фи-
физиков-теоретиков.
Редактор Б. В. Шабат. Техн* редактор Я. А Тумаркшш. Иод-писано
к печати 22/V111 1946 г. 10 иеч. л. 9,25 авт. л. 9,60 уч.-изд. л. 39,000 *ип. зн.
в печ. л. Тираж 8.000 экз. А-05835 Цена книги 6 р. Заказ № 577.|
16-я тип. треста «Полиграфкнига» ОГИЗа при Совете Министров РСФСР.
Москва, Трёхпрудный пер., 9.

ПРЕДИСЛОВИЕ
При составлении данной книги, входящей в состав се-
серии «Физико-математическая библиотека инженера», я рас-
рассчитывал прежде всего на аспирантов технических учебных
заведений и научных сотрудников прикладных Институтов,
разрабатывающих те проблемы техники, которые для своего
разрешения нуждаются в методах теории конформных отоб-
отображений.
Я предполагаю, что читателю знакомы элементы теории
функций комплексного переменного в объёме курсов,читаемых
в авиационных, электротехнических и некоторых других
втузах.
Для того, чтобы облегчить чтение основного текста кни-
книги, в начале книги (Введение) даётся краткое изложение
наиболее существенных понятий и предложений общей тео-
теории функций комплексного переменного.
Основной текст книги содержит три раздела."
В первом разделе излагаются элементы теории конформ-
конформных отображений с большим количеством примеров конкрет-
конкретных отображений, часто встречающихся в приложениях.
Второй раздел содержит «динамику» конформных ото-
отображений—излагаются качественные и количественные пред-
предложения, позволяющие судить о том, как меняется отобра-
отображение с изменением границ отображённых областей.
Третий раздел посвящен приложениям конформных ото-
отображений к ряду технических задач. В каждой из- ipynn
проблем я стремился заострить внимание читателя на наи-
наиболее принцршиальных моментах и познакомить его с
методами приложений теории к конкретным задачам.
Круг читателей и назначение книги в значительной мере
определили характер изложения и подбор материала. В
книгу совершенно не вошли многочисленные исследования
теоретико-функциональною характера; в ряде случаев, в
угоду геометрической на.лядности, я умьлпленно допускал
нестрогости.
М. Лаврентьев

57. Примеры движений ,125
58. Три задачи на обтекание 126
59. Обтекание круга 129
60. Обтекание произвольного профиля 130
61. Примеры профилей крыльев 132
62. Подъемная сила • 132
63. Вариация сксрост\и 134
64. Локальная вариация и вариация подъемной силы .... 136
65. Волны в тяжёлой жидкости ^ 137
66. Ударные задачи 143
67. Решение смешанной задачи • .... 146
68. Формула Келдыша-Седова 147
69. Удар пластинки о воду 149
70. Удар сосуда, частично наполненного жидкостью 150
71. Движение грунтовых вод. . . • 153
72. Качественные замечания, вычислительные приёмы .... 156
73. Метод фрагментов 156
74. Методы пересчёта 159

ВВЕДЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1. Комплексные числа. Комплексным числом z назы-
называется выражение вида
.z = x+iy, A)
где х и у — действительные числа, i — мнимая единица,
?а = —Л. Число х называется действительной частью я,
число у— мнимой частью z:
B)
у = Imz.
Комплексные числа изображаются точками плоскости:
фиксируем в плоскости прямоугольную систему координат
хоу и изображаем число z точкой с координатами х и у.
Длина вектора oz называется модулем числа z и обо-
обозначается через | z |; угол, образованный вектором oz с осью х,
называется аргументом числа z и обозначается через argz.
Имеем
/?? C)
arg z = arctg -|- .
Полагая | z\ = г, argz = <p> получим
z = г (cos 9 + i sin 9). D)
Модуль комплексного числа определяется единственным
образом, аргумент определяется с точностью до дуг, крат-
кратных 2тс; большею частью в качестве аргумента мы берём
дугу, заключённую между —тс и + тс или между 0 и 2тс.
Комплексное число равно нулю, если равен нулю его
модуль, т. е. его действительная и мнимая части. Два
комплексные числа zx и z2 равны (zx = z2), если равны их
действительные и мнимые части.

Комплексные числа zx и z2 называются сопряжёнными
(z — z2), если их действительные части равны, а мнимые
отличаются лишь знаком.
Сложение и вычитание комплексных чисел определяется
по правилу сложения и вычитания векторов; пусть
тогда
Zi ± г. = («1 ± *i) + * B/t ± yt). E)
Произведением двух 1^омплексных чисел z± и z2 назы-
называется число
Деление определяется, как операция, обратная умно-
умножению. Деление всегда возможно, если знаменатель не
обращается в нуль.
Очевидно
Нетрудно показать, что при принятых определениях
операций комплексные ^исла подчиняются всем законам
алгебры, следовательно, к комплексным числам применимы
все алгебраические преобразования.
2. Функции комплексного переменного. Пусть каж-
каждому значению комплексного числа z = x-\-iy, принадлежа-
принадлежащему области D, расположенной в z-плоскости, соответствует
значение комплексного ^исла w = u -{- iv. В этом слу-
случае мы скажем, что w есть функция z, w — f(z); число z
назовём независимым переменным, область D — областью
задания f(z).
Так как, согласно определению функции, каждой паре
чисел ж, у отвечает вполне определённая пара чисел и и v
(действительная п мнимая части w), то задание функции
комплексного переменного эквивалентно заданию двух дей-
действительных функций от двух действительных аргументов:
и = и(х, у), v = v (х, у),
/(z) = w(x, y) + iv (x,y). (8)

Приведём несколько примеров функций комплексного
переменного.
1°. Линейная функция определяется равенством
w = az+bb (9)
где аи 6суть произвольные комплексные числа: а = а1 + ^а2?
ft = Pi + fc'Pa- Отделяя справа действительные и мнимые
части, получим
(9')
2°. Степенная функция
w = zk, A0)
где к-— произвольное действительное число. При к целом
функция zk определяется однозначным образом операцией
умножения, причём, вводя модули и аргументы
z = r (cos 9 + i sin 9)? w = p (cos ф + i sin ф),
получим
w = rft(cos /ccp + isin /C9). A0')
Заметим, что когда точка z описывает замкнутый контур С,
охватывающий точку z = 0, аргумент 9 пглучает прира-
приращение 2тс, если обход совершается против часовой стрелки,
и — 2тс при обратном обходе; при этом, согласно A0'), ар-
аргумент ф получит приращение ± 2Аж — точка cv обойдёт
точку iv = 0 /с раз.
При к произвольном действительном функцию zh опре-
определяем посредством соотношений A0'). При к нецелом функ-
функция zh многозначна1 — точке z(arg z = 9 + 2лтс) по A0') отве-
отвечают следующие точки:
лежащие на окружности | cv | = гь.
3° П
ру | |
3°. Показательная функция
A1)
*) Более подробно па вопросе многозначности мы остановимся
в гл. II.

определяется следующими соотношениями:
w = ex(cos y + isin у).
При таком определении показательной функции мы сохра-
сохраняем свойства этой функции, известные для случая дей-
действительного показателя
Показательная функция определена и однозначна для
всех z. При любом целом п имеем е2"+2пте* = е2, т. е. е2 имеет
мнегмый период 2та. Используя показательную функцию,
мы получаем простое представление комплексного числа z
через его модуль г и аргумент <р
z = re^. A2)
4°. Логарифмическая функция определяется
соотношениями
в = 1пг, v = <p,
==ln \z\ +
Тогда, очевидно, eln z = z — логарифмическая функция обратна
показательной. Так как аргумент числа z бескбнечнозна-
чен, то и In z бесконечнозначен; если (v0 —одно из его'
значений, то все остальные определятся по формуле
wn = ^о + ^пт. Когда точка z обходит начало координат,
мнимая часть In z получает приращение ^ 2тс.
5°. Тригонометрические и гиперболические
функции определяются через показательную:
et* — e~iz eiz + e~iz . sin z
sin z = — , cos z = s , tg z —
2* 2 ' « COS*
На определённые таким образом в комплексной плоскости
тригонометрические и гиперболические функции распро-
распространяются все формальные тригонометрические преобра-
преобразования и соотношения.
3. Дифференцируемость и аналитичность. Пусть функция^
«* = /(*)
определена в области D и z0 точка D. Мы скажем, что
Ю

при z, стремящемся к zo(z —»z0), функция/(z) имеет своим
пределом число Л:
(z) = A, A5)
если для любого е найдётся такое ?), что коль скоро
|Z — 20| < TQ, Z=?Z0, TO
Функция непрерывна в точке z0, если
Функция непрерывна в области Z), если она непрерывна
в каждой точке D.
. Функция /(z) называется дифференцируемой в точке z0
(обладающей производной в точке z0), если существует
конечное число А такое, что
Число А называется производной функции /() 0
обозначается через/'(^0) или Г-~^1 ,или|~| . Функция
f(z) называется аналитической в области 2>, если f{z)
обладает в каждой точке D конечной производной /' (z)
и если эта производная непрерывна в D.
На дифференцируемые функции комплексного перемен-
переменного автоматически распространяются все правила диффе-
дифференциального исчисления:
(f1±f*Y = fx±f» (*/»)' = * 'Л (Л =
f,fi-fJi
' 1\ ¦'
Найдём теперь условия, которым должны удовлетворять
действительная и мнимая части функции
(v = /(z) = u(rc, y) + iv(x, у), A7)
для того, чтобы она была дифференцируемой. Найдём пре-
пределы отношения '(*'"'' W дЛя двух случаев: 1) z = zo
z — z0
11

где А—действительное число, тогда
и 2) z = 70 + ih, тогда
1 im IS3-J1Z^ = iim
ih дУ
При наличии предела A6) оба полученных выражения
должны совпадать, следовательно, для дифферениируемости
функции необходимо выполнение условий:
ди dv да ov
дх ду ' ду дх '
Уравнения A8) называются уравнениями Коши-Римана. Для
того, чтобы функция A7) была аналитической, необходимо,
чтобы её действительная и мнимая части удовлетворяли
системе уравнений в частных производных A8).
Допустим теперь, что условия A8) выполнены и что
ди ди dv dv , / ч
*-,—, — и ~ непрерывны, покажем, что тогда f(z) ана-
дх' ду' dx dy ¦ г Y > > « / v /
литична в D.
В самом деле, положив z— z0 — Az = Asc-f-i'Ai/, имеем
(ж0 + Дж,
или, применяя формулу Тейлора к функциям действитель-
действительных переменных и(х, у) и v (x, у):
где р = | Дг' , а г—>0, при р—>0. Подставляя сюда вместо
~ и -т- их выражения из A8), получим
(g g), A9)
что после деления на Az и предельного перехода даёт су-
существование искомой производной:
/'(z)=^+;-=?--;?- B0)
1 v ' дх ' со; cty o»7
12

Согласно A9) выражение
даёт главную линейную часть приращения функции. Это
выражение будем называть дифференциалом функции:
dw = df (z) = /' (z) bz = /' (z) dz. B1)
Непосредственной проверкой легко убедиться, что все
введённые выше элементарные функции дифференцируемы
[их действительные и мнимые части удовлетворяют си-
системе A8)]. Кроме того, для вычисления их производных
можно пользоваться формулами дифференциального нечи-
нечист 7 ?_-, d sin z
сления: ^~ — kz , —,— = cosz, и т. д.
Допустим, что функции и и v обладают непрерывными
частными производными второго порядка. Дифференцируя
A8) по ж и по 1/, получим
B2)
следовательно
аналогично
д*и
дх2
дЧ д
дх ду ' д
Л ^и JL.
д2и
дЧ
ТТГТг
дЧ
дх ду
= 0,
= 0.
Функции и, и, удовлетворяющие уравнениям B2), B2'),
называются гармоническими. Если гармонические
функции связаны соотношениями A8), то они называются
сопряжёнными. Таким образом, действительная и
мнимая части аналитической функции суть сопряжённые
гармонические функции.
4> Интеграл и теорема Боши. Пусть в односвязной
области/I^ задана аналитическая функция f(z) и глад-
гладкая линия ys По определению принимаем
f(z)dz= [ udx—vdyr\-i[ udy + vdx. B3)
Г Т
*) Область D называется односвязной, если всякий замкнутый
контур, входящий в D, ограничивает область, также входящую в D.
13

Но так как, согласно AН), и dx — с dy и и dy -|- о dx суть пол-
полные дифференциалы, то \ / (z) dz зависит только от коорДи-
т
нат концов у. Если фиксировать один: конец у, а Другой
конец у считать переменным (z), то интеграл B3) будет
функцией z:
F(z)=^f(z)dz. B4)
Нетрудно видеть, кроме того, что
F'(z) = f(z). B4')
Следовательно, интеграл от аналитической функции есть
функция также аналитическая, причём её дифференциал
равен подинтегральному выражению.
Если, в частности, контур у замкнут, мы получаем
важную теорему Кош и:
Пусть "{ — замкнутый контур без кратных точек
и f(z)— функция, аналитическая во всех точках области,
ограниченной у, включая у, тогда
(z)dz = Q. B5)
Г
Теорема Коши допускает простое обобщение, важное для
приложений.
Пусть в области Do, ограниченной замкнутым контуром
у0, расположены п замкнутых контуров у15 у2, ...,у;о кон-
контур уу ограничивает область Dj, Пусть, кроме того, дана
функция f{z), аналитическая во всех точках Do и у0, рас-
расположенных вне областей I)j. При этих условиях имеем
f(z)dz= 5 f(z№ + \ f(z) dz+ . . . + 5 f(z)dz,
B6)
TO Tl Т2 Г,I
где все интегралы берутся в направлении положительных
обходов контуров х).
5. Формула Коши. К числу самых важных формул тео-
теории аналитических функций принадлежит ф о р м у л а К о ш и:
*) Положительным обходом Yj называется тот, при котором
область Dj остается все время слева.
14

В условиях теоремы Коши для произвольной точки z
области D имеем
Эта формула даёт представление аналитической функции
в любой точке области через значения этой функции на
границе области
Приведём краткий вывод этой формулы. Функция
при фиксированном значении z есть функция аналитиче^
екая во всех точках t области Z>, кроме точки t = z. Но
в таком случае в силу B6), не меняя значения интеграла,
контур у можно заменить окружностью с центром в точке z
произвольного радиуса г:
\
Вычислим интеграл
)
\t-z\=r
Для этой цели введём новую переменную <р, полагая
dt = rie
тогда, вынося f(z), как величину, не зависящую от пере-
переменной интеграции, за знак интеграла, получим
Добавляя и вычитая к правой части B7) интеграл /,
найдём:
1 с f(t)dt_ ( , 1 г i{t)-f(z)
t-z
Нам остаётся показать, что интеграл справа равен нулю.
Но в силу дифференцируемое™ функции / выражение
ограничено, пусть константой М', с другой сто-
+ г,
роны, длина контура интеграции равна 2тиг, следовательно,
^ г fMzJMdt\<Mr.
\t-z\-r
15

В силу произвольности г последнее неравенство мож^т
иметь место только при равенстве нулю левой части. >
6. Интеграл Пуассона. Для случая, когда у рсть
окружность
из формулы Коши может быть выведена формула, выража-
выражающая значения аналитической функции f(z) в произволь-
произвольной точке круга \z\ < R через значения её действитель-
действительной части на окружности |z| = R. Если f(z) аналитична
при |z|<B и непрерывна при |z|<i?, то при любом z,
i z | < R имеем
\j? B8)
О tie —z
Полагая z = rel'v и разделяя в B8) слева и справа дей-
действительные и мнимые части, получаем формулы Пуас-
Пуассона:
(г, <р) - v @) = Гя \ -г-——i^_^ + ri в(В, 0) rf», C0)
где и (г, ср) и и (г, ср) суть действительная и мнимая части
/(z), представленные как функции полярных координат
г, <р(* = ге**).
Формула Пуассона B9) даёт для случая круга решение
задачи Дирихле: определить в круге | z \ < R гармони-
гармоническую функцию и (г, ср), принимающую на его окружности
заданные значения и(й, ср).
Можно доказать следующее основное свойст-
свойство интеграла Пуассона: какова бы ни была
функция F (<j>), непрерывная при 0<ср<2т: (FBik) = F @)),
функция
U{r, 9)-? \ -J-
1) Через v @) мы обозначаем v @,

гармонична при г < /?, причём
lim t/(r, <j>) =
r->R
Полагая в форм^е B9) г = 0>чмы получим теорему
Гаусса:
2%
значение гармонической функции в центре круга равно её
среднему значению на окружности этого круга.
Из теоремы Гаусса вытекает следующее важное свойство
гармонических функций: гармоническая функция, заданная
в некоторой области, не может достигать своих наиболь-
наибольших и наименьших значений внутри области.
Покажем, что формула C0) при ограниченности -^^р-
может быть использована не только при г < R, но также
при г = Д. Для этой цели применим формулу C0) к слу-
случаю, когда f(z)= 1; здесь и= 1, v = 07 и мы получим
2ти J Д2 — 2Дг cos (<р — Ь) + г2 а ~~ U*
о
Отсюда заключаем, что формулу C0) можно переписать
в следующем виде:
X [к (R, Ь) - и (В, <р)] db. C0')
При г = й первый множитель под интегралом преобра-
зуется к виду ctg-^— и при ср = О обращается в беско-
бесконечность первого порядка; предполагая ограниченной про-
ди (R, §) ..
изводную —^—'-, мы убедимся в том, что подинтеграль-
ное заражение непрерывно при г<2?. Таким образом,
в формуле C0') можно перейти к пределу при r—>R,
и мы получлм
v (В, 9)-1>@)=. ^ ctg f-^-[u(R, &)~u(R, ?)}db. C1)
Конформные отображе ния 17

Полагая формально
мы будем в дальнейшем формулу 'C1) записывать в упро-
упрощённом виде:
^$ ± C1')
и называть интеграл, входящий в неё, особым. Фактиче-
Фактические вычисления по C1') надо вести или переходя к C1),
или полагая по определению
0 ф-f-s
Отметим ещё важное свойство особого интеграла: если
функция и (t) на интервале О < t <.{2tz удовлетворяет усло-
условиям
е. C2)
то особый интеграл
5
О
удовлетворяет условиям
|/(9)!<Л/е, |/Ч?)|<Ма, C2')
где Л/—некоторая постоянная. Последовательно применяя
формулу конечных приращений и теорему о среднем инте-
интегрального исчисления, получим
о
где в силу неравенств C2) ,Sj<s; так как интеграл
Ч (^ — ср) ctg —^-^ dt абсолютно сходится, то первое из нера-
о
18

поЛуним
(iV2;) докапано. Дифференцированном по параметру
/'(9)=—1С
2 <5
1С " @ - " (?) — ц/(?) sin (t — у)
5
Заменяя sin (*—¦?) = (* — 9) — (* — ?K
ф
гДе
(?) ( 9 ( ? @
непрерывная функция, и применяя формулу конечных при-
приращений, мы представляем числитель подинте! ральной фун-
функции в виде
(а' [? +Ц1- ?I - и' ((?)) (t - 9) + и' (ср) А @ (f -- 9)»,
применяя вторично эту формулу, представим его в виде
и" [? + 6i ('-?)] 6 (* - 9J + W (9) Л (I) (t - 9K;
пользуясь, наконец, теоремой о среднем интегрального
исчисления, получим
5-
sin8
где в силу неравенств C2) I 8± | < е и |82|<е. Интегралы
в последней форхмуле сходятся абсолютно и это полностью
доказывает второе неравенство C2')
7. Высшие производные, ряд Тейлора. Правая часть B7)
допускает последовательное дифференцирование по z.
Отсюда заключаем, что аналитическая в области D функция
обладает в D производными любого порядка и что все эти
производные суть также функции аналитические в D:
т
• 2 С
C3)
)
в этих формулах у означает произвольный замкнутый глад-
гладкий контур, лежащий в D.
19

Установим теперь следующую формулу Тейлора.
Пусть z и z + A — две произвольные точки области D; имеем
/ (* + h) = / (z) + hf (г) + 2{ ft? (z) +
f ...+±h«fW(z) + RM.u C4)
где
7? - Л"+1 С / @ *
Л"+1 ~ 2*j J (( - 2)"*1 («—2 - А) *
т
В самом деле, по формуле, геометрической прогрессии
1 1_ = * li\h I fe2 I
{-z~A ((_2)Л_ АЛ *-*i +«-«^(«-»)t +
"^ ' #' "*" (Г=1)» ^ (г — 2)» (t — z — h) J '
Умножая правую и левую части этого соотношения на / (t), ин-
интегрируя по у и используя формулу Коши B7) и выражения
для производных C3), мы придём к нужной формуле C4).
Заменяя z на z0, a z + h на z, формуле C4) можно
придать вид
Оценим модуль остаточного члена En+i в предположении,
что у есть окружность радиуса Д с центром в точке zt.
Пусть
|z~zo| = r,
а на окружности | z — Zj | = Д, | / (z) | < Л/; тогда
| ^п+1 [ ^ 2ти й^1 (Л — г) "" й -г
Отсюда заключаем, что ряд
^^z9r^... C5)
равномерно сходится к /(z) во всяком круге радиуса,
меньшею Д.
Этот ряд называется рядом Тейлора функции
/ (z) с центром в точке z0.
20

8. Нуль и полюс. Пусть f(z) аналнтична в области D,
Точку z0 области D мы назовём нулем кратности к функции
/(z), если в этой точке обращается в нуль сама функция
и её первые к — 1 производных и если &-я производная
отлична от нуля. Согласно формуле C5), если z0 есть
нуль кратности А, то
В силу C5) функция, не равная тождественно нулю,
не может обладать нулём бесконечной кратности —из обра-
обращения в нуль в точке z0 функции и всех её производных
следует, что функция равна нулю тождественно.
Пусть теперь функция / (z) аналитична в D, кроме точки
z0. Мы скажем, что z0 есть полюс кратности к функции /(z),
если функция
F{z)=j^, F(zo) = O
имеет в точке z0 нуль кратности к. В силу C5') вблизи точ-
точки z0—-полюса кратности к функции /(г) —имеем
>' C5")
р(?) аналитична в точке z0 и её окрестности.
9. Поведение в бесконечности. В ряде случаев бывает
существенно характеризовать поведение функции при
неограниченном возрастании аргумента. Будем рассматри-
рассматривать однозначные функции /(z), аналитические при всех
достаточно больших значениях \z\\
При этих условиях очевидно, что функция
аналнтична во всех точках круга \z\ < R , кроме, быть
может, точки z = 0. Мы скажем, что f(z) аналитична или
регулярна в бесконечности (в точке z=oo), если сущест-
21

вует предел
и если функция F(z), F(O) — A регулярна в точке 2 = 0 х).
Пользуясь этим определением, мы получаем, что для
функций, регулярных в бесконечности, для достаточно
больших значений \z\ имеет место разложение
/(*)=«.+?+3+...+?+... ¦ C6)
Мы скажем, что f(z) имеет в точке оо нуль кратности А,
если функция F (z) имеет в точке z — 0 нуль кратности к.
Из C6) следует, что если /(г) имеет в бесконечности нуль
кратности к, то при|2|>Д она может быть представлена
в виде
f(z) = % + %8+..-+%+-•• (ЧФО). C6')
Функция f(z) имеет в точке z=oo полюс порядка к,
если F (z) имеет в точке 2 = 0 полюс порядка /г; в этом случае
имеем
- akzh + akj^ + ... + axz + ? (z), C6")
где <p(s) регулярна в точке z = co.
10. Принцип максимума и лемма Шварца. Пусть
функция /(z) аналитична в области D\ тогда функция
будет аналитичной во всех точках/), где /&)Ф0. Следова-
Следовательно, гармоническая функция u = ln\f(z)\ будет регулярна
всюду вне нулей /(z), причём в нулях f{z) функция и обра-
обращается в —оо. Но тогда в силу теоремы Гаусса lni/(z)|
не может достигать своего наибольшего значения нив одной
внутренней точке D. Мы получаем следующую теорему:
Модуль функции, аналитической в области D и не рав-
равной постоянной, не может достигать своего максимума
во внутренних точках D.
г) Можно доказать, что из условия , / (z) | < [siv (v<l), при
всех достаточно больших zt следует аналитичность / (z) в точке 2=00.
22

Из этого принципа максимума легко вывести следующую
лемму Шварца:
Пусть f(z) аналитична в круге \z\ < 1 и удовлетворяет
условиям
/@) = 0, |/(*)|<1,
тогда
\f(z)\<\z\,
причём знак равенства достигается только когда f(z) = ei<f-z.
Для доказательства представим функцию f(z) по фор-
формуле Тейлора C4), положив в ней z и 0 вместо z-\-h и z,
и п = О!
/M-/fm-4- z ^ Ht)dt - z С nt)dt
1*1 = 1 И=1
и построим функцию
1*1=1
Функция F(z) аналитична при |г|<1, следовательно, для
!z | <г<1 максимум её модуля достигается при z\~r, сле-
следовательно, при |z|<r
но так как г есть любое число, меньшее единицы, то
Если в некоторой точке z, |z|<l достигается знак
равенства, то в силу принципа максимума F (z) есть постоян-
постоянная с, то-есть
/ 00 = сг9
причём
| с | = 1 и с = е1*.
11. Теорема Лиувялля, Из леммы Шварца легко выте-
вытекает следующая теорема Л и у в и л л я:
Если функция / (z) аналитична при всех конечных зна-
значениях ъ и ограничена, | / (z) \ < М, то f(z) есть постоянная.
В самом деле, функция
¦я

при любом значении 2? > 0 удовлетворяет условиям леммы
Шварца, следовательно,
\f(Rz)-f@)\<2M\z\,
или
так как 2? произвольно, то из последнего неравенства сле-
следует, что при любом z
/(z) = /@) = const.
Теорема Лиувилля допускает различные обобщения,
отметим одно из них:
Пусть f(z) аналитична во всех точках z-илоскости,
кроме конечного числа точек av а2, ..., ап и точки ям+1= со,
в которых f(z) имеет полюсы (в точке а} — полюс по-
порядка kj). При этих условиях f(z) есть рациональная
функция вида
(
kn
(z - an)kn ^ {z - flf|)An-l T Г 2 ^ аи ^
1. C7)
В самом деле, в силу условий теоремы и формул C5")
и C6") коэффициенты А в правой части C7) могут быть
подобраны так, что разность левой и правой частей C7)
будет удовлетворять условиям теоремы Лиувилля, т. е.
будет постоянной. Теорема доказана.
В частности, если / (z) имеет в точках акФ со лишь
простые полюсы, она есть рациональная функция вида
12. Теоремы о вычетах и нулях. Пусть функция f(z)
аналитична во всех точках кру^а |z — z0! < г кроме самой
точки zQ и пусть при 0 < | z — z01 < г, f(z) представима
рядом
/(Z) = <pW + ^ + (^+-.. + -^ + ..-, C8)

гДе <р(z) — функция, аналитическая во всём круге | z — z01 </*,
а ряд сходится равномерно во всяком кольце
О < гх < | z — z0! < г2 < г *\
При этих обозначениях число ах называется вычетом
функции f(z) относительно точки z0.
В частности, если / (z) представима рядом
равномерно сходящимся во всяком кольце Ео < z \ < Rx < оо,
начиная с достаточно большого Ro, где <p(z) регулярна при
| z\ > Ro, то число ах называется вычетом f{z) в бес-
кон е ч н о с т и.
Формулируем основную теорему о вычетах.
Пусть облает ь D ограничена кусочно-гладким конту-
контуром у и f (z)—функция аналитическая на у и в D всюду
кроме конечного числа точек z^ z2,..., zn, не лежащих нау*
При этих условиях интеграл f (z) no у? делённый на
2 ш, равен сумме вычетов f (z) относительно всех точек
%l j ^2 j • • • у Zn.
Обозначая вычет / (z) относительно zf через а^'\ таким
образом, будем иметь
± \ f (г) dz = аМ) + ар +...+ «("). C9)
т
Для доказательства выберем число г настолько малым,
чтобы все кру.и |z—Z/|<r принадлежали D и были по-
попарно без общих точек. В силу теоремы Коши B6) имеем
= 2l \
С другой стороны, представляя f(z) в /-м интеграле по
формуле C8) и интегрируя почленно, получим
\z-zj\=r
Доказанная теорема о вычетах имеет многочисленные при-
приложения при вычислениях определённых интегралов, кроме
х) Опираясь на формулу Коши, приёмом, аналогичным приёму,
использованному при выводе формулы Тейлора, можно доказать, что
И8 аналитичности / (z) при 0 < | z — z01 < г следует её представимость
рядом C8).
25

того, из этой теоремы может быть получена важная формула
для вычисления числа нулей аналитической функции в
данной области.
Пусть f (z) аналитична в односвязной области D, вклю-
включая её границу у, и пусть f(z) отлична от нуля на у.
if / \
При этих условиях сумма вычетов функции ттЧ в °^'
ласти D равна числу нулей f(z) в D, причём каждый нуль
нужно считать столько раз, какова его кратность
Запишем теорему формулой. Пусть f(z) имеет в D п ну-
нулей zx, z2, ..., zn, причём нуль Zj имеет кратность &,-, тогда
...+/cn.
D0)
Для доказательства заметим прежде всего, что в силу
условий теоремы и формулы C5) функция F (z) = 77V УД°"
влетворяет условиям теоремы о вычетах — F (z) аналитична
всюду в D кроме точек z/, в которых она имеет полюсы.
Нам остаётся показать, что вычет F (z) относительно точки
Zj равен kj, но согласно C5') в круге \z — z,| < г достаточно
•малого радиуса имеем
Следовательно,
где <l>(z) аналитична при \z — Zy|<r. Вычет F(z) относи-
относительно точки z\ равен fty, теорема доказана.
13. Аналитическое продолжение,
. ? Пусть нам даны две области D1 йВ2 и
пусть границы этих областей имеют об-
общую хладкую дугу у (см. рисунок).
Пусть, кроме того, в области Dx опре-
определена аналитическая функция Д (z), a
в области D2 аналитическая функция
/2(z). Функцию/2 (z) назовём аналитиче-
аналитическим продолжением функции /х (z) в область
Д, через дугу у, если существует функция / (z), анали-
аналитическая во всех точках области D, состоящей из точек
D2 и у, -D = -
совпадающая сД
с /ав1J.

Приведём один простой критерий, достаточный для того,
чтобы /2 являлась аналитическим продолжением /1#
Если fl{z), аналитическая в Z)x, определена и непре-
непрерывна в />! + у (A + Y есть область Dx, дополненная
точками у), и /2 B)> аналитическая в />2, определена
и непрерывна в D2 + y и если на у fz(z)~fi (z)-> T0
/2 является аналитическим продолжением Д в Z>2
через у.
Для доказательства обозначим через Г границу области
Z), а через Г' гладкий замкнутый контур, входящий в D,
сколь угодно близкий к Г и пересекающий у в двух точках
av a2. Положим
1де ср (^) == /х (^) в точках Г', принадлежащих/^ и ср(t) = /2 (Г)
в точках Г', принадлежащих ZJ, <p(t) = f1(t) = f2(t) в точ-
точках у. Функция / (z) аналити^на в области Z)', ограничен-
ограниченной Г'. Покажем, что / (z) = fx(z) в любой точке 2, входя-
входящей вД1 и D'. Для этой цели образуем контур Г3, состоящий
из дуги Г^ —части Г", входящей в Z)x, п дуги ух — части у,
заключённой между точками а17 а2, образуем также контур
Г2, состоящий из дуги Г2 — части Г', входящей в Z>2,
и дуги ух.
В силу формулы Коши и теоремы Коши Для рассматри-
рассматриваемой точки z области ZI7 соответственно, имеем
складывая почленно, получим
вполне аналогично докажем, что f2{z) = f{z)\ теорема дока-
доказана.
27

ГЛАВА I
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
14. Геометрические понятия. Отметим несколько геоме-
геометрических понятий, с которыми в дальнейшем нам придётся
иметь дело.
Под областью мы будем понимать совокупность D то-
точек плоскости, обладающую следующими двумя свойствами:
1° если точка z принадлежит Z), то и любой достаточно
малый круг с центром в этой точке принадлежит D; 2° две
любые точки zx и z2 из D можно соединить непрерывной
кривой х>, состоящей из точек D.
Очевидно, что всякая замкнутая кривая у без кратных
точек разбивает плоскость на две области; ту из них, кото-
которая содержит бесконечно* удалённую точку, мы будем назы-
называть областью внешней к у, а ту, которая не содержит
бесконечно удалённой точки, мы будем называть областью
внутренней к у.
Область D мы будем называть односвязной, если, ка-
какова бы ни была замкнутая линия у, принадлежа-
принадлежащая D, одна из областей, на которые она делит пло-
плоскость, принадлежит D, Если область D содержит хо-
хотя бы одну область, внешнюю к некоторому замкнуто-
замкнутому контуру у, то D сама содержит бесконечно удалён-
удалённую точку.
Назовём границей D совокупность таких точек плоско-
плоскости, которые не принадлежат D, но в любой своей близости
содержат точки /). Отметим несколько понятий, относящихся
к границе области. Ради простоты изложения мы огра-
ограничимся в дальнейшем областями,
граница которых состоит из конеч-
конечного числа гладких дуг. Такие гра-
границы мы будем называть кусочно-
гладкими. Точки у, в которых суще-
существует касательная, будем называть
правильными.
рис \ Пусть D — односвязная область
с кусочно-гладкой границей у (рис. 1).
Дадим нужную нам для дальнейшего классификацию
точек у. Возьмём на у произвольную точку М (рис. 2, а)
и соединим эту то^ку с произвольной точкой N области D
*) Понятие непрерывной кривой также требует уточнения, на
котором мы, однако, не останавливаемся,
28

Рис. 2.
линией Г, лежащей целиком в В; возможны следующие
случаи: 1) какова бы ни была лиция Г', принадлежащая
В и имеющая с Г общими лишь концы, область, ограничен-
ограниченная Г и Г', принадлежит Z); такую точку мы будем назы-
называть простой точкой у; 2) существует п и только п дуг
Г'=г=1\, ,Г2, ... , Гп, принадлежащих D, с общими концами
в точках М и N и таких, что каждая
из областей, ограниченных 1\, Г2;
Г2, Г3; ...; Гп-1,ТП, содержит точки у
(рис. 2, 6); такую точку М мы назо-
назовём n-к ратной точкой у (на рис. 1
точка J3-—двойная, точка С—тройная
и т. д.). Каждую двойную точку гра-
границы мы будем рассматривать как две "*
различные точки у, соответственно принадлежащие двум
различным сторонам куска у; каждую тройную точку как
три различные точки и т. д.
Допустим, что у имеет конечную длину; фиксируем на
у произвольную проетую точку А и примем её за начало
отсчёта длин дуг у. Отправляясь от А,
будем двигаться вдоль у в положительном
направлении г) и обозначим через 5 прой-
пройденный путь — число s — линейная коорди-
координата—будет, очевидно, однозначно харак-
характеризовать положение точек на у, при этом
двойная точка у получит две координаты s,
тройная точка —три координаты 5 и т.д.
Если одна или несколько компонент
у имеют бесконечные ветви, то линейную
координату s можно ввести для каждой
компоненты отдельно, считая её меня-
меняющейся от — оо до +°°-
z0— точка у п-й кратности, тогда эта точка обла-
обладает п линейными координатами sv s2, ..., sn. Когда при
положительном обходе у мы будем проходить через точку
sn одна из дуг Г будет оставаться слева; условимся обо-
обозначать эту дугу через 1\ (на рис. 3 1\ = Az0B, Г2 = BzQC, ...).
Через {С(} обозначим совокупность гладких дуг, принадле-
принадлежащих!), с концами, совпадающими с концами Г,, и таких,
что область, внутренняя к Г,- + С,, принадлежит /).
Рис. з.
Пусть
1) Положительным направлением обхода границы области счи-
считается то, при котором область остаётся всё время слева.
29

15, Понятно конформного отображения. Пусть в пло-
плоскости хоу нам дана произвольная область D и в области
D заданы две непрерывные функции:
и = и(х,у), v = v(x, ?/), }
w = f(z) = u(x, y) + iv(x, у).) A)
В силу A) каждой точке (о.*, у) области D соответствует
вполне определённая точка (и, v) плоскости uov. Совокуп-
Совокупность А всех точек и, и, соответствующих всем возможным
точкам области /), мы будем называть образом области D
в плоскости (и, v). Мы будем также говорить,- что система
A) отображает/) на А. Отображение называется одно-
однолистным, если две различные точки D всегда переходят
в две различные точки А.
Нетрудно установить следующее предложение: если ото-
отображение области D па А однолистно, то 1) А есть область,
2) каждой точке (и, v) в А соответствует единствен-
единственная точка области D, причём функции
iy{u, v)f
B)
непрерывны в области А — отображение B), обратное ото-
отображению A), однолистно и непрерывно отображает А
на D.
В самом деле, пусть (и0, v0):
uo = u(xQ, y0), vo = v(xo,yc)
есть произвольная точка А; построим в D круг радиуса г
с центром в точке (х0, уо)\ при г, достаточно малом, этот
круг принадлежит D, а его окружность Сг переходит (при
нашем отображении) в некоторую линию Гг, принадлежа-
принадлежащую А. В силу однолистности отображения Гг является
замкнутым контуром без кратных точек; при г—>0 окруж-
окружность Сг отягивается в точку (х0, ?/0), но тогда, в силу непре-
непрерывности отображения, Гг будет также стягиваться в точку,
которой может быть только точка (w0, v0). При г достаточно
малом область, ограниченная Гг, будет входить в А и содер-
содержать (и0 и0); так как точка (uQ, v0) взята произвольно, то
отсюда заключаем, что А есть область. Перейдём к доказа-
доказательству 2); Однозначность обратного отображения B) сле-
следует непосредственно из определения однолистности; нам
остаётся доказать его непрерывность.
Но сколь бы мало ни было число г, контур Гг, охваты-
охватывающий то^ку (и0 г0), будет находиться на конечном рас-
30

стоянии от этой томки, следовательно, всем точкам, бес-
бесконечно близким к (w0, v0), будут соответствовать точки
бесконечно близкие к точке (х0, ?/0), то-есть функция B)
непрерывна в любой точке (м0, v0) области Л.
Мы скажем, что однолистное отображение w = f (^со-
(^сохраняет ориентацию, если при обходе любого замкну-
замкнутого контура в плоскости ъ в положительном направлении его
образ также проходится в положительном направлении.
Простейшим примером однолистного отображения яв-
является линейное преобразование
C)
где а1? ... , е2 суть заданные числа. Отметим основные свой-
свойства преобразования C). Нетрудно показать, что условие
сохранения ориентации преобразованием Т выражается
условием положительности определителя
Д =
преобразования с отрицательным определителем меняют
ориентацию.
Отображение Т преобразует всю плоскость хоу в пло-
плоскость uov, причём пучок параллельных прямых с угловым
коэффициентом к = tg 9 преобразуется в пучок параллель-
параллельных прямых с угловым коэффициентом
Пусть (х0, у0) и (и0, уо)~пара соответствующих точек;
преобразование C) можно представить в виде:
uuo al(xxo) + bl(yyo), J
v-vo = a2(x~-x9) + b2{y-yo). I ^ '
Определим в плоскости uov образ окружности радиуса г
с центром в точке (х0, у0):
ушу = г\ D)
31

Разрешая C') относительно х — х0 и у — у0,
и подставляя полученные выражения в D), получим урав-
уравнение образа
К + Ь\) (и - иоу - 2 {аха2 + bxb2) (и - и0) (v - v0) +
+ bl)(v-voy = b*r\ E)
Уравнение E) есть уравнение эллипса с центром в точке
(и0, v0). Поставим вопрос: каким условиям должны удовле-
удовлетворять коэффициенты преобразования Т для того, чтобы
оно переводило крз7ги в круги? Необходимыми и достаточ-
достаточными условиями этого являются, очевидно, соотношения
«А + *А = 0, а\+ Ъ\ = а\+ Ь\. F)
Первое из них даёт ~ = -=Х, откуда
Л1 = >Л> Ь2=—\а2,
и по подстановке во второе получим Ь\ = а\. Если
то первое уравнение F) даёт
но тогда А = «^2 — алЬх= — а\—а\< 0, что соответствует
отображениям, меняющим ориентацию. Для отображений,
сохраняющих ориентацию, наши условия имеют, следова-
следовательно, вид:
&i= -а2> Ь2 = ах, \
д=«н«а2. I {)
Пользуясь условиями G), можно положить
а± = Ъг = A cos а, я2 = — Ьх = Д sin а
и записать C) в виде:
» = Д [(я - я,) cos а + (у - г/0) sin а] + Clf 1
» = A[-(«-xf)eina + (y —у§)сова]фС,. J ( '
32

Из (8) видно, что отображение У, удовлетворяющее усло-
условиям G), является ортогональным преобразованием — оно
сводится к сдвигу плоскости на вектор C1 + iC2y пово-
повороту на угол а и подобному растяжению с коэффици-
коэффициентом А.
К тем же условиям G) мы придём, если потребу-
потребуем, чтобы угол поворота 6—-ср любого луча не зависел
от угла ер»
Вернёмся к общему случаю однолистного отображения
A) области D на область Л. Допустим дополнительно, что
функции и(х,у) и v(x, у) в каждой точке D обладают
конечными и непрерывными частными производными по
х и у» Рассмотрим произвольную пару соответствующих
точек (хо,уо) и (во.ро); (ио = в(яо, у0), vo = v(x0, y0)).
Согласно определению полного дифференциала, приращения
функций w—и0, и — v0 можно представить в виде
ди , ч . ди
dv , ч , dv i
2/0) +
где производные берутся: в точке (х0, у0), а е± и е2 стремятся
к нулю вместе с г — )/(х — хоJ-\-(у — уоJ. Отсюда заклю-
заключаем, что любое отображение A) в бесконечно малой окрест-
окрестности любой точки отображаемой области с точностью до
бесконечно малых высших порядков есть линейное преобра-
преобразование;, коэффициенты этого линейного преобразования
равны значениям частных производных в рассматриваемой
точке. Преобразование
да , ч . ди ,
и-и* = <Гх(*-*ь) + е;/У
dv. . , dv,
»»Лхх)+(у
называется главной линейной частью преобразования A)
в окрестности точки (х0, у0).
Однолистное отображение области D на область А назы*
вается конформным, если в окрестности любой точки D
главная линейная часть преобразования есть ортогональное,
преобразование, сохраняющее ориентацию.
3 Конформные отображения 33

Из данного определения непосредственно следуют два
основные свойства конформных отображений:
1. Пусть при конформном отображении w = f(z) области
D на область Л круг' z — zo\ = r переходит в линию Гг; про-
проведём через произвольную точку Гг окружность | w — w0 | = р
с центром в ,точке wo = /(zo), тогда при бесконечно
малых rji р расстояние от произвольной точки Гг до окружно-
окружности | ^v — <л^01 = р будет бес-
бесконечно малой высшего
порядка сравнительна с г
и р. Таким образом, при
конформном отображении
бесконечно малый круг пе-
переходит с точностью до
малых высших порядков
также в круг (круто-
ис#* воесвойство)
2. Пусть при конформном отображении w = f (z) две
гладкие линии Yi и Тг> выходящие из точки zoi переходят
в линии 1\ и Г2, тогда угол между \\ и \\ равен углу
между ухи у2 (свойство консерватизма углов)
(рис. 4).
16, Уравнения Кошп-Рямана. Из определения конформ-
конформного отображения и условий G) ортогональности линейного
преобразования мы непосредственно получаем условия, кото-
которым должны удовлетворять функции и(х, у), v(x, у), осу-
осуществляющие однолистное отображение i) на 4, для того
чтобы это отображение было конформным:
ди dv
Уравнения A0) суть уравнения Коши-Римаяа (см. п. 3).
Эти уравнения эквивалентны условию дифференцируемости
или аналитичности функции комплексного переменного.
Сравнивая формулы (8) и A0), нетрудно получить нагляд-
наглядную геометрическую интерпретацию производной /' (z).
Имеем:
ди dv . dv ди . .
г-= тг- = Acosa, тг-= — -л- = Asina;
ох ду 9 дх ду '
34

следоБательно,
dv
дх
дх
(И)
выражают коэффициент растяжения и угол поворота ото-
отображения (9) — главной линейной части отображения
w = /(z). Можно говорить также, что модуль производной,
I /' (zo) I •> Равен коэффициенту растяжения отображения
w = f(z) в точке z0, аргумент производной, arg/'(z0), равен
углу поворота при этом отображении.
Эквивалентность при | /' (z) | > 0 условий конформности
аналитичности приводит нас к следующему заключению,
и Конформное отображение области D на область Д всегда
осуществляется аналитической функцией; если функция
w = f(z) аналитична, однолистна и |/'(z)|>0b обла-
области />, то эта функция осуществляет конформное отоб-
отображение области D на некоторую область Д плоскости w *).
17. Сложное и обратное отобра-
отображение. Рассмотрим три комплексных
плоскости z, Си и>; пусть в каждой
из плоскостей нам дано по области
/>!, А и D2 и пусть мы имеем кон-
конформные отображения
области Dx на Д и
Рис. 5.
области Д на /J (рис. 5).
Из наличия соответствий между Dx и Д, с одной сто-
стороны, и между /J и Д, с другой стороны, вытекает нали-
наличие соответсавия w — F (z) между DxhD2.
*) Используя разложение / (z) в ряд Тейлора, нетрудно пока-
показать, что если /'B0) = 0, то в окрестности точки z0 отображение не
однолистно. Таким образом, в условиях последнего утверждения
условие |/'(з)|>0 можно исключить. Отметим сейчас же, что из
условия | /' (z) | > 0 в каждой точке D не следует однолистность
/ (z) bD.b самом деле, для функции, w — & в области 0 < r0 < | z j< r
имеем -т—=3 |;г|2>0, а вместе с тем эта функция в рассмат-
рассматриваемой области не однолистна.
3* 35

Функция w = F(z) может быть, очевидно, представлена
как сложная функция, составленная из / и ср'«
(Сложная функция F аналитична вместе с / и ср и даёт
конформное отображение области Dx на область D2. Растя-
Растяжение и поворот при отображении Dx на D2 определяются
iio правилам дифференцирования сложной функции:
Вернёмся к простейшему случаю; пусть w = f(z) даёт
конформное отображение области D
на область А; функция 2r=cp (w),
z
обратная w = f(z), реализует ото-
отображение А на 2), обратное /
Рис б (рис. 6). Дифференцируя последнее
соотношение, получим растяже-
растяжение и поворот обратного отображения:
A3)
Полученные выражения для модуля и аргумента произ-
производной сложной и обратной функции непосредственно вы-
вытекают из геометрического смысла последних.
18. Конформные отображения бесконечных областей.
В данном выше определении конформного отображения мы
предполагали, что каждая из отображённых областей не
содержит бесконечно удалённой точки.
Пусть теперь область А содержит бесконечно удалён-
удалённую точку и пусть w = f(z) однолистно отображает область
D на А. Мы скажем, что отображение D на А конформно,
если оно конформно всюду, кроме точки zQ1 для которой
имеем
lim ^
Точка z0 при нашем отображении переходит в бесконечно
удалённую точку Д.
36

19. Граничные значения. Остановимся ещё на одном
понятии, необходимом в дальнейшем. Пусть дана область D
с кусочно-гладкой границей у и пусть
— функция, реализующая конформное отображение D на
некоторую область, или, общее,—произвольная аналити-
аналитическая в D функция. Пусть z0 —точка у Л"й кратности,
$. — одна из её линейных координат. Мы скажем, что f{z)
в точке S; допускает граничное значение, если f(z) стре-
стремится к определённому пределу, когда z стремится к z0,
пробегая значения, лежащие на любой последовательности
кривых {С,} (см. п. 14 этой главы); мы бу-
будем называть этот предел граничным зна-
значением f(z) в точке st (рис. 7).
Если f(z) допускает граничные значе-
значения в любой точке у, то эти граничные
значения образуют однозначную функцию
линейной координаты^:
Нетрудно показать, что функция ср (s)
непрерывна относительно s. В самом деле, допустим от
противного, что <рE) разрывна в некоторой точке s@), тогда
найдётся последовательность точек sA), sW, ... , s(n>
lim s<n> = s*>
n->oo
такая, что
где а— некоторое положительное число,. Построим теперь
одну из линий С с концом в s(°) и настолько близкую к у,
чтобы при любом п на С нашлась точка zn такая, что
но тогда граничное значение f(z) при z, стремящемся
к s(°) по С, будет отличаться от cp(s^) больше, чем на а,
что противоречит определению <р($С(Г|)-
Функцию w^=f(z), аналитическую в D и допускающую
непрерывные граничные значения ср($) в каждой точке у,
мы будем называть непрерывной в замкнутой об-
области D.
47

20. Основная задача и ее редукция. Имея произвольную
аналитическую функцию, мы можем рассматривать конформ-
конформные отображения,- осуществляемые этой функцией — каждая
область D, в которой наша функция однолистна, конформно
отображается на некоторую область, граница которой опре-1
делится по границе D и заданной функции. Мы будем
получать, таким образом, различные примеры конформных
отображений — геометрические иллюстрации аналитических
функций.
Однако, центральной является значительно более труд-
трудная обратная задача: в плоскостях z и w даны, соответственно,
две области D и Д, требуется построить функцию, конформно
отображающую D на А.
Так как для решения этой задачи не существует до-
достаточно простого алгоритма, то развитие теории конформ-
конформных отображений идёт в следующих направлениях: 1) выяс-
выясняются общие условия существования конформною отобра-
отображения и его единственности; 2) определяются различные
частные классы областей, конформные отображения которых
можно осуществить при помощи комбинации элементарных
функций; 3) с помощью общих свойств аналитических
функций изучаются различные свойства конформных ото-
отображений в зависимости от вида отображаемых областей;
4) разрабатываются методы приближённых конформных
отображений.
Введём прежде всего некоторые ограничения на области,
конформные отображения которых мы будем рассматривать.
Мы ограничимся случаем, наиболее важным с точки зрения
приложений, когда каждая из областей односвязна и имеет
кусочно-гладкую границу.
Приведём теперь основную теорему существования и
единственности и непрерывности конформного отображения.
Основная теорема. Пусть D и Д — произвольные
односвязные области с кусочно-гладкой границей, пусть
Zq—точка D, w0 — точка Д и 2тс>ср0>0. При этих усло-
условиях:
1°. Существует одно и только одно конформное отобра-
отображение D на Д
w = f(z)
тапое) что
2°. Если граница А не имеет бесконечных ветвей, то
f(z) допускает непрерывные граничные значения <рE)-
38

Ё общем случае в любой, точке 1раницы D непрерывна
или сама функция 9 (s), или величина, ей обратная, —гт- .
3°. Если границы D и А не содержат, бесконечных ветвей
и обладают в каждой точке непрерывной (а, следовательно,
и ограниченной) кривизной, то граничные значения ср (s)
непрерывно дифференцируемы.
Доказательство теоремы существования и непрерывности
предельных значений требует привлечения специального
аппарата, выходящего за рамки данной книги, мы eio
опускаем.
Опираясь только на теорему существования, докажем
теорему единственности.
Рассмотрим сначала частный случай, когда D и Д суть
единичные круги:
причём zo = wo = O, сро^ 0- Пусть w = f(z)} /@) = 0,
/' @) > 0 даёт искомое конформное отображение | z \ < 1
на | w\ < 1; покажем, что f(z) =z. В самом деле, по условию
при |z|<l имеем |/(z)|<l, но тогда в силу леммы
Шварца
Применяя то же рассуждение к функции, обратной / (г
мы получим
|/(*I>М|.
В силу той же леммы Шварца
а так как по условию /'@) = eia>0, то, следовательно,
а = 0 и f(z)=z.
Перейдём к доказательству общего случая теоремы:
допустим от противного, что в условиях теоремы существуют
два различные конформные отображения D на Л:
Л Ы = Л (*о) = wv ar>g Л (zo) =
Отобразим конформно с помощью
39

круг |Z|<1 на область ?), а область Д отобразим с по-
помощью
W = ф («О, <1> (w0) - 0, arg Y (w0) = - 9о
на круг |Т^|< 1. Но тогда мы получим две различные
функции:
;0) = 0, A4)
дающие конформное отображение круга |Z|<1 на круг
|ТУ|<1 при условиях A4); в силу рассмотренного выше
простейшего случая F1(Z) = F2(Z)'=.Z, следовательно,
f1(z)'=f2(z)] теорема единственности полностью доказана.
21. Связь с задачей Дирихле. Для различных прило-
приложений полезно выяснить связь поставленной выше задачи
конформных отображений с задачей Дирихле теории гар-
гармонических функций.
Пусть функция
«* = /(*)> /(*о) = О, /'(*.)> О
даёт конформное отображение области D с границей у на
единичный круг |wj<l. Так как по условию f'(zo)>Q и
f(zo) = 0, то функция
будет правильна bD ив силу однолистности f(z) не будет
иметь в D нулей. Отсюда заключаем, что гармоническая
функция
|^L| A5,)
правильна в области D. Обозначая через Q функцию, со-
сопряжённую с Р,
? ,Уо) = 0), A5.)
мы в силу A5J и A52) можем представить функцию /(z)b
следующем виде:
A6)
С другой стороны, когда z описывает у, точка w^f(z)
описывает окружность |w| = l, следовательно, в точках у
40

имеем
|/(z)| = l.
Отсюда, обозначая через г расстояние от произвольной
точки у Д° zoj заключаем, что i армоническая функция Р(х,у)
принимает на у значения —In r.
Обратно, пусть известна i армоническая функция Р (х, у),
принимающая на границе D значения — In r; найдём сопря-
сопряженную ей гармоническую функцию
подобрав постоянную С так, чтобы Q(xo,yo) — O, и построим
функцию f'(z) по формуле A6). По теореме п. 20 существу-
существует функция w = cp(z) (<p(zo) = O, <р'Bо)>О), реализующая кон-
конформное отображение D на единичной круг; по доказанному
выше Р(х, y) = ln 5Lifl на границе D совпадает с P(xfy);
z—z0
из принципа максимума и минимума для гармонических
функций получим, что Р(х, у) = Р{х, у) в D. Но тогда, в
силу нашей нормировки Q(x, y) = Q{x, у) и /(z) = cp(z), то-
есть f(z) реализует нужное отображение.
Таким образом, задача конформного отображения об-
области D на единичный круг эквивалентна задаче построе-
построения: 1) гармонической функции Р, правильной в D и при-
принимающей на границе D значения — In r, и 2) гармонической
функции Q, сопряжённой к Р.
Так как определение Q по Р сводится к простому инте-
интегрированию, то задача конформного отображения фактически
сводится к задаче Дирихле —построению гармонической фун-
функции по её значениям на границе.
Еще более простую редукцию к задаче Дирихле мы по-
получим, если рассмотрим функцию
дающую конформное отображение области D на полосу
0<Im w<h. Пусть при рассматриваемом отображении пря-
прямая" Imw = 0 соответствует части ух границы у, а прямая
Imw = h — части уг граниЦы у. В таком случае гармониче-
гармоническая функция
(
правильная в Z), должна на уг равняться нулю, а на у2 —
единице. Задача конформного отображения опять сводится
К вадаче Дирихле.

Г ЛАВА И
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ
ОБЛАСТЕЙ
22. Дробно-линейные преобразования и их свойства.
Дробно-линейным преобразованием называется преоб-
преобразование вида
Т: (рв^, A7)
Д=
Ф 0, A7')
где ai и bz-— заданные комплексные числа.
Если определитель Д преобразования обращается в
нуль, то коэффициенты^^ и #2, 52 пропорциональны и фун-
функция A7) вырождается в постоянную; по этой причине во
всём дальнейшем мы будем считать условие A7') выпол-
выполненным.
Функция A7) определена и аналитична во всей z-пло-
скости, кроме точки
Л
где она имеет простой полюс. УравнениеA7) при условии
A7') однозначно разрешимо относительно z
a9w—ал
следовательно, преобразование, обратное дробно-линейному,'
есть также дробно-линейное; преобразование ~ A7) даёт
однолистное отображение всей z-шюскости на всю w-шю-
скость.
Сочетая два последовательные отображения:
мы получим отображение (Т = Т1ХТ2) всей z-плоскости
42

где
гтакже дробно-линейное.
Иаучение дальнейших свойств дробно-линейных пре-
преобразований мы начнём с рассмотрения двух простейших
случаев.
1°. Случай а2 = 0. Отображение A7) есть отображение
вида
A = ?, B = b^. A8)
Фувгкция A8) осуществляет ортогональное линейное пре-
преобразование z-плоскости на w-плоскость. В самом деле, раз-
разделяя в A8) действительные и мнимые части, получим
l
где А = ocj + iv>2, В = рх + i$2. К тому же выводу можно прит-
ти непосредственно, если положить А = re1*—.переход от
^-плоскости к w-плоскрсти сводится к подобному преобра-
преобразованию с коэффициентом подобия г, повороту на угол а
и поступательному сдвигу на В.
2°. С л у ч а и ау = 62 = 0, а% = Ьг
Эта функция даёт однолистное конформное отображение
всей z-плоскости навею ^v-плоскость, а следовательно, и лю-
любой области z-плоскости на некоторую область (^-плоскости.
Полагая
z=rei(?, w = fe1^
мы запишем A9) в виде
Р=у, *=-?. A9,)
Нам удобно рассматривать Т как результат последователь-
последовательности двух, геометрически более наглядных отображений:
(тгу h =4, *! = ?;
(Т2): p = Pl, ^=-^,
43

из который второе представляет собой симметрию относи-
относительно оси х, а первое — инверсию-—симметрию относительно
единичной окружности | z \ = 1.
Пусть дана произвольная окружность С радиуса R с цен-
центром в точке v Как известно, точки zx и z2 называются
симметричными (сопряжёнными) относительно С, если
z1-z0\ \zz\'R\ I ^ }
Преобразование, переводящее каждую точку z-плоскости
в точку w, симметричную с z относительно С, называется
симметрией относительно окружности, или
инверсией. Инверсию можно осуществить с помощью
простого геометрического построения
(рис. 8) —через точку Р проводим
перпендикуляр РМ до пересечения
с окружностью С в точке М; каса-
касательная MQ кСв этой точке пе-
пересекает луч ОР в точке Q, симметрич-
симметричной с Р (при OP > R построение об-
обратно).
Рис. 8. Отметим простые' свойства ин-
инверсии. Очевидно, она преобразует
круг \z — z01 < It в его внешность, так что центр
круга z0 переходит в бесконечно удалённую точку,
точки окружности | z — z0 \ = Е остаются неподвижными
и каждый её радиус переходит сам в себя. Так как инвер-
инверсия отличается от конформного отображения w — zo==
лишь симметрией относительно действительной оси:
z—z0
то она обладает свойством консерватизма ухлов и крую-
вым свойством (см. п. 15) — инверсия является конформным
отображением, меняющим ориентацию (конформным отоб-
отображением второго рода).
Заметим далее, что любая окружность С, проходящая
через точку z0, переходит при инверсии в прямую линию.
В самом деле, пусть й' —радиус этой окружности и О'—-
её центр (рис. • 9); построим прямую L, перпендикулярную
44

Г>2
00* на расстоянии ON = jgr от О. Из подобия треуг
пиков ONQ и ОРМ получаем
OP ON
оль-
ольт. е. точка Q, симметричная с Р, действительно лежит на
прямой L.
Покажем, что инверсия преобразует любую окружность
С', не проходящую через z0, в окружность. Для доказатель-
доказательства воспользуемся следующим свойством симметричных
относительно окружности точек: любая окружность Г, про-
проходящая через точки О иР, сопряжённые относительно С",
ортогональна С. Действительно, по известной теореме,
квадрат длины касательной О'МАк Г, проведённой из
Рис У.
Рис. 10.
центра С', О'М1 = 00' -О'Р = В,'2 равен квадрату радиуса С",
следовательно, касательная ОМ' к Г является одновременно
и радиусом С" (рис. 10) — Г и С" — ортогональны. Выберем
теперь в качестве Р то^ку, симметричную с точкой z0
относительно С", и проведём через Р пучок окружностей (Г),
ортогональных С"; по свойству сопряжённых то^ек все
окружности пучка проходят через z0 и по доказанному
выше при инверсии относительно С преобразуются в пря-
прямые, проходящие через точку Q, соответствующую Р. Вслед-
Вследствие консерватизма углов при инверсии образ С" пересе-
пересекает все эти прямые ортоюнально и, значит, является
окружностью.
Подобным'же образом доказывается ещё одно важное
свойство инверсии: при инверсии пара точек zx и я2, сим-
симметричных относительно произвольной окружности С,
переходит в пару точек w2 и w2, симметричных относи-
относительно Г — образа С.
В самом деле, проведём через zx и z2 пучок (S) окруж-
окружностей; этот пучок ортогонален С'. При инверсии С перей-
45

дёт в Г', а окружности пучка (S)— в окружности, ортого-
ортогональные 1", проходящие через wx и w2\ следовательно, и\
и w2 сопряжены относительно Г.
Преобразование Г2 —симметрию относительно прямой —
можно рассматривать, как предельный случай инверсии,
симметрию относительно окружности бесконечно большого
радиуса; свойства, установленные нами для инверсии, для
него очевидны. Так как преобразование A9) Т = ТгхТг
есть результат последовательности двух симметрии, то оно
также обладает этими свойствами.
3°. Общий случай. Отправляясь от рассмотренных
частных случаев, нетрудно установить следующие свойства
общих дробно-линейных преобразований.
Теорема 1. Дробно-линейное преобразованиеA7)одно-
преобразованиеA7)однолистно отображает всю z-плоскостъ на всю w-плоскостъ.
Образ любой окружности есть или прямая, или окруж-
окружность.
Любая пара точек, симметричных относительно произ-
произвольной окружности, при преобразовании A7) переходит
в пару точек, симметричных относительно окружности
С — образа окружности С.
Все перечисленные свойства тривиальны при а2 = 0, сле-
следовательно, достаточно рассмотреть случай а2 Ф 0. Но тогда
преобразование A7) приводится к виду
"^о + т^. A7,)
Отображение A7J можно представить, как результат после-
последовательности следующих трёх отображений:
A7,)
Но так как по доказанному выше каждое из трёх пре-
преобразований A72) обладает всеми тремя перечисленными
свойствами, то этими же свойствами будет обладать и резуль-
результирующее преобразование A7Х). Теорема доказана.
23, Условия, определяющие дробно-линейное преобра-
преобразование. Общее дробно-линейное преобразование опреде-
определяется четырьмя комплексными коэффициентами а19 а2,
6д, Ь2. Так как без ограничения общности можно считать
один из коэффициентов формулы A7) равным 1, деля на
него, в случае надобности, числитель и знаменатель этой
46

формулы, то дробно-линейное преобразование фактически
зависит от трёх комплексных или шести действительных
араметров,—дробно-линейное преобразование можно по-
построить, если задать условия, приводящие к шести незави-
независимым соотношениям между действительными и мнимыми
ти коэффициентов.
^ростейшей задачей на построение дробно-линейного
преобразования является следующая: пусть в z-плоскости
даны три точки z19 z29 zZJ а в w-плоскости три точки cvx,
w2, ^a> требуется построить дробно-линейное преобразова-
преобразование, переводящее, соответственно, z19 z2, zz в w19 w2y w3.
Для решения этой задачи рассмотрим вспомогательную
плоскость Z и построим дробно-линейные отображения
2-плоскости и w-плоскости на Z-плоскость так, чтобы за-
заданные тройки точек перешли в точки 0, 1, оо. Таким
свойством будут, очевидно, обладать следующие отобра-
отображения:
Z_ z—
7
z
7 7 7 7
z z3 z2 zx
Исключая Z из этой системы, мы получим искомое отоб-
отображение
Нетрудно показать, что построенное решение един-
единственно. В самом деле, если бы существовало искомое
отображение, отличное от B2), то, используя B1), мы по-
построили бы нетождественное отображение Z-плоскости на
W-плоскость:
W — ulZ + °2
переводящее точки 0, 1 и оо в точки 0, 1 и оо, но из условия
соответствия бесконечно удалённых точек получим fex = 0,
следовательно,
а используя два другие условия, получим ^-=0. и~ =1,
то-есть
м самым единственность отображения доказана.
47

Легко убедиться, что формулы B1) и B2) сохраняю^
смысл; если одна из точек zt есть точка оо, числитель
и знаменатель тех отношений, где появится оо, следует
заменить единицей. Например, если wz— оо, то B2) примет
вид
W W± W2 ОО Z Zx 22 — JZ3
W ОО и>л Wx Z —¦ 28 22 — Zx 9
ИЛИ
w — wx z—zt z2 — z3
Формула B2) даёт также решение следующей задачи:
отобразить конформно круг С на круг С' так, чтобы три
заданных точки z19 z2, z3 окружности С перешли в три задан-
заданные точки w15 w2, w8 окружности С".
В самом деле, преобразование B2) переводит точки z19
z2, zz в точки (v1? w2, w3, следовательно, окружность С, одно-
однозначно определяемая точками zlt zz, za, пе^рейдрт в окруж-
окружность С". Возможны два случая: 1) внутренность к окруж-
окружности С переходит во внутренность к С' и 2) внутренность
к окружности С переходит во внешность к С". Для решения
вопроса о том, какой из этих случаев реализует B2), при-
примем, что точки z17 z2, z3 занумерованы в порядке положи-
положительного обхода круга, внутреннего к С. Тогда нетрудно
видеть, что если при положительном обходе круга, вну-
внутреннего к С", точка w2 будет следовать за wx, a wz за w2,
мы будем иметь первый случай; при противоположном сле-
следовании точек w — второй.
Отметим теперь несколько приложений формулы B2)
к конкретным задачам, важным для приложений.
24. Отображение единичного круга на единичный круг.
Требуется конформно отобразить посредством w — f(z)
единичный круг \z\ < 1 на единичный круг w\ < 1 при сле-
следующих условиях:
/(*,) = 0, arg/'(*„) = а, B3)
где zo = re^ есть некоторая точка круга |z|<l.
Построим предварительно отображение, удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям:
/(*о) = О, /(е«) = е«. B3')
В силу теоремы 1 при искомом отображении точка
zx = -- ег'\ симметричная с zQ относительно единичной окруж-
48

ности, должна переходить в точку, симметричную c(V = 0
относительно единичной окружности | w \ = 1. Таким образом,
искомое дробно-линейное преобразование должно переводить
точйи z9, zly ei0 в точки 0, оо, еи. Применяя к этому слу-
чаю\ формулу B2), окончательно получим
(r= z-z° B4)
Производная B4) равна
следов ательно,
Г —1 —О
Для получения искомого отображения мы должны к ото-
Рис. 11.
бражению B4) добавить поворот плоскости w на угол а:
отображением, удовлетворяющим условию B3), будет
w = eia ——%¦
1 — zoz
B5)
На рис. 11 изображены лищи Г, Г' круга \z\ < 1, пере-
переходящие при этом отображении в окружности |w| = c
и лучи arg w — с.
Линии Г и Г' образуют взаимно ортогональные пучки
окружностей.
Заметим, что растяжение отображения B5) в точке z0,
Г ±V\ в -Л.
L dz | Jz=20 1 — г2 '
стремится в бесконечность, как —7-3;— , если расстояние
1 —г точки z0 до окружности |z|=l стремится к нулю.
1 конформные отображения

Отметим ещё соотношение, связывающее аргументы <# и
<]> точек единичных окружностей при отображении (^4)
(а-0):
25. Отображение единичного круга на полуплоскость.
Построим конформное отображение w = f(z) единичного
круга | z | < 1 на полуплоскость Imw > 0 при следующих
условиях:
/@) = Ь /(_j) = 0. B6')
В силу принципа симметрии (теорема 1), при искомом
отображении точка z — oo, симметричная с тонкой z = 0 от-
относительно окружности |z| = l, должна перейти в точку
w = — i, симметричную с точкой w — i относительно дей-
действительной оси. Таким образом, к условиям B6') можно
добавить следующее:
/(«>)=-*\
Отсюда, применяя формулу B2), мы получим искомое
отображение
Решая последнее соотношение относительно z, получим
отображение обратное—полуплоскости на единичный круг:
преобразующее точки tv = O, w=--i, соответственно в точ-
точки z— —i, z — Q.
При рассматриваемом отображении семейства окружно-
окружностей |z| = r и лучей arg z = const перейдут в ортогональ-
ортогональные пучки окружностей (рис. 12).
Отображение B6) устанавливает следующее соответствие
точек окружности |z| = l и точек оси х:
Для граничной производной будем иметь
50

1*1
Отметим еще формулу отображения единичного круга
< 1 на верхнюю полуплоскости Imcv > 0.
w = -
z—ie
-га
с нормировкой
arg/'@) = a
B8)
B8')
Действительно, B8) преобразует точки z = 0 и z=oo,
симметричные относительно |z| = l, в точки wo = a + ib и
wo = a — ib и, кроме того, преобразует точку z = e~/a единич-
единичной окружности в точку w = a -f- Ъ действительной оси,
V
У
Рис 12.
а отсюда следует, что оно реализует нужное отображение.
26. Предельный случай. Заканчивая рассмотрение ли-
линейных преобразований, отмстим один интересный предель-
предельный случай формулы B2). Поставим себе следующую зада-
задачу: построить линейное преобразование по следующим дан-
данным: 1) точки z1 и z2 должны переходить в точки wx и w2,
2) в точке zu функция, осуществляющая отображение, дол-
должна обладать заданной производной а = а + г& = ре*°.
Для решения поставленной задачи заменим второе ус-
условие условием соответствия точек ъг — z2 -j- h и w3 = w2 + a&,
где Л пока произвольно. Очевидно, при Л—>0 отображе-
отображение B2)
— zx
перешёт в искомое. Получим
51

2H. Степенная функция. Изучим теперь свойства крп-
формных отображений, осуществляемых степенной функцией
w = z*, B9)
где а —произвольное действительное число. Случай отри-
отрицательных а при помощи преобразования z—--^ сводится к
случаю положительных а, поэтому в дальнейшем мы будем
предполагать а > 0.
Введём полярные координаты z — re^, w = pe'°, тогда
зависимость B9) примет вид:
При целом а функция B9) однозначна и аналитична во
всей плоскости. При нецелом а наша функция многозначна;
в самом деле, пусть z0 — roei(?<>, — тс < <р0 < it, ту же точку
z0 можно представить в виде яо = гое^°+2/с71;), где /с—любое
целое число; согласно B9Х) для z% мы получим значения:
Отсюда видно, что если а — рациональное число, а = —, где/? и <
g целые взаимно простые числа, то точке z0 будет соот-
соответствовать ^ различных значений мо = е{1к, где
вА = а(То + 2Лтс), Л = 0, 1, 2,..., ff—1;в
если а нерациональна, то z0 будет соответствовать бесчис-
бесчисленное множество различных значений tvo = ei0*, где
eA = a(?e + 2b), й = 0, ±1, ±2,...
Пусть D — односвязная область, не содержащая начала
координат, и пусть z0 = роегсРо ¦— произвольная её точка. В об-
области D бесконечнозначная функция <p = arg z распадается
на бесконечно большое число однозначных непрерывных
ветвей, каждая ветвь полностью определяется выбором зна-
значения <р в точке Zq1). Каждой однозначной ветви arg z в силу
1) Если D содержит точку 2 = 0 и а нецелое, то za не распадается
на однозначные ветви—если z опишет замкнутый контур, охватыва-
охватывающий точку 2 = 0, аргумент функции 2* увеличится на ±2яа — в об-
области Dz0- не имеет однозначных ветвей.
т

соответствует однозначная ветвь za. Если
-— одна из этих ветвей, то все остальные можно получить
из неё с помощью соотношения
W = т*Л0
Выясним теперь, каким условиям должна удовлетворять
область D, для того чтобы однозначные ветви z* были в
ней однолистными. Проведём произвольную окружность С
с центром в начале координат, пересекающую область D:
|z| = jR; обозначим через Ф (R), 0 < Ф < 2тс максимальное
значение разности аргументов точек
Df расположенных на С (рис. 13).
При этих обозначениях для одно-
однолистности ветвей z* в D необходимо
и достаточно, чтобы
аФ(Е)<2тг. B9')
В самом деле, согласно представ-
представлению z* в полярных координатах,
сформулированное условие есть усло-
условие, необходимое и достаточное для
того, чтобы двум различным точкам области D отвечали
две различные точки в плоскости w, следовательно, оно и
есть искомое условие однолистности.
Рассмотрим теперь простейшие отображения, осущест-
осуществляемые степенней функцией.
28. Отображение полуплоскости на угол. Примем за
область D полуплоскость у > 0 и изучим отображение D
при помощи степенной функции B9). Возьмём ту однозначную
ветвь 2а, которая положительную часть оси х переводит в
положительную часть оси и:
Рис. 13.
6 = а? (О < 9 <
«)¦ )
B9Х)
В нашем случае Ф(Е) = тг, следовательно, в силу B9')
для однолистности отображения необходимо и достаточно,
чтобы
0<а < 2.
При этом условии функция B9) даёт конформное
отображение полуплоскости на угол со сторонами 6 = 0
и б = атс @ < 6 < атг); лучи <р = const преобразуются в лу-
53

яи б = аср, & окружности г = const в окружности р-=га
(рис. 14).
При а=-т> мы получим отображение полуплоскости на
прямой угол, при а = 2 мы получим отображение полу-
полуплоскости на область, получаемую удалением из пло-
Рис. 14.
скости w положительной части действительной оси (рис. 15).
* в окрестности точки z = 0;
Отметим поведение
имеем
dz
I dw
dz
Таким образом, если а>1, то при г—>0
к нулю, как г", если а<^1, то при г
в бесконечность, как—^ .
0
dw
dz
dw
Jz~
стремится
стремится
Если за область D принять угол 0 < ср < — , ¦— < 2тс,
у, то условие однолистности B9') имеет место, и сте-
Рис. 15.
пенная функция za реализует конформное отображение угла
D на полуплоскость v > 0.

29. Показательная и логарифмическая функции. Нач-
Начнём с показательной функции
w = e\ C0)
Эта функция правильна и однозначна во всей конечной
z-плоскости и имеет один чисто мнимый период 2ш
Для изучения отображений, осуществляемых показатель-
показательной функцией, целесообразно ввести в (v-плоскости поляр-
полярные координаты р и б, тогда C0) можно представить в виде
или
' = 2/ • J
C0J
Из представления C0х) непосредственно вытекает усло-
условие, которому должна, удовлетворять область D, для того
чтобы в этой области функция ez была однолистной: область
D не должна содержать двух точек с одинаковыми абсцис-
абсциссами и с ординатами, отличающимися на величину, крат-
кратную 2тг. Простейшей областью, удовлетворяющей этому
условию, будет полоса
0 < у < 2тг.
Согласно C0х) показательная функция C0) даёт кон-
конформное отображение этой полосы на. лучевую область
0 < 6 < 2тг.
При этом все прямые у = const переходят в лучи 6 = const,
а прямые # = consfB окружности р=-const (рис. 16). Гра-
-
У
г
Рис. 16.
ничные точки полосы z1 = ж и z2 = ^ + 2тг? с одинаковой
абсциссой обе переходят в двойную точку границы w~ex =

1? которую можно рассматривать как две точки, при-
принадлежащие двум сторонам разреза.
Та же функция даёт конформное отображение полосы
0<2/О
на верхнюю полуплоскость. Если точка z = x-\-iy по-
полосы неограниченно удаляется влево, х—> — оо, то соответ-
соответствующая точка w стремится к нулю, а при х —>+ оо,
|w| = ех—>оо.
Соответствие между точками границы полосы 0 < у < тг
и между точками действительной оси осуществляется функ-
функциями
и = ех при т/ = 0,
и= — ех при у = п.
Логарифмическая функция, обратная показательной,
w = lnz C1)
бесконечнозначна. Полагая г = гег'ч, записываем соотноше-
соотношение C1) в виде
где jfc —любое целое число. Если область D не содержит
начала координат, то логарифмическая функция распадается
в D на бесконечное множество однозначных ветвей. Из C11)
непосредственно видно, что каждая ветвь однолистна в D.
Если за D принять верхнюю полуплоскость, то любая
ветвь функции w^lnz даёт конформное отображение D
на полооу ширины тс. В частности, ветвь, которая положи-
положительную часть оси х переводит в ось и, отобразит D
на полосу 0 < и < тс (см. рис. 16, переменив в нём роли
z и w).
30. Тригонометрические и гиперболические функции.
Тригонометрические и гиперболические функции представ-
представляют собой простые комбинации показательных, поэтому
отображения, которые они реализуют, легко получить из
результатов предыдущего пункта. Рассмотрим некоторые
из таких отображений. Функция
w = 9inz = g е. C2)
правильна и однозначна во всей конечной z-плоскости,

Отделяя в C2) действительную и мнимую части, получим
— -^ cos ж = shy cosх. I
Из C2Х) видно, что функция w = sinz имеет действитель-
действительный период 2тс: sin (z + 2kiz) = sinz, следовательно, можно
ограничиться её изучением в полосе —тг < ж < тт. Функция
неоднолистна в этой полосе, ибо имеют место тождества:
область однолистности C2) не должна содержать никакой
-?
* D
TJ1
Рис. 17
-- —x, у J ,
сти, C2) однолистна в полосе
,-о-
B частно-
частноили в полуполосе
Отображения этих областей показаны на рис. 17 и 18;
первая из них отображается на плоскость w с исключён-
57

йыми лучами — оо < я < — 1; 1 < яг <С оо;'вторая— на ту жб
плоскость с исключёнными отрезком — 1 < х < 1 и лучом
— °° < 2/ < 0; прямым ?/ = const соответствуют дуги софо-
кусных эллипсов (с фокусами в точках w= ~ 1; w =. + 1),
сР~2/ "^ sh^ = 4' прямым х = const — дуги софокусных гипер-
гипербол (с теми же фокусами), -^1_ -.-^ = 1.
Функция
cos2
C3)
регулярна в конечной z-плоскости всюду, кроме точек
B 1 2> (в которых она имеет полюсы первого по-
\'о А л
Рис. 18.
рядка), обладает действительным периодом тг: tg {z + Атс) =
= tgz, однолистна в полосах
~ f + Лтс < х < |- + /сте.
В этом проще всего убедиться, отделяя действительные
и мнимке часги C3):
sin 2x
" ch 2y + cos 2a;' ch 2t/ + cos 2ж #
C3,)
На рис. 19 показано отображение с помощью (v = tgz
полосы — ¦?- < ж < — . Эта полоса отображается на единич-
58

ный круг | w | < 1 — прямые х = const переходят в дуги
окружностей, проходящих через точки «> = — г'и w— +*\
of
'Л
Z3
i
Z3
||
1
1
\
1
1
'/ 71
3
Рис. 19.
прямые у = const — в дуги окружностей, ортогональных им.
Функции
D (V — shz=— / sin j'z,
w = th^ = — i tg г'2
w — cos z = sin D""
w = chz = cos iz,
дают отображения, которые получаются из рассмотренных
лишь дополнительными сдвигами и поворотами.
ГЛАВА III
ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ШВАРЦА И ПРИНЦИП
СООТВЕТСТВИЯ ГРАНИЦ
Эту главу мы посвящаем двум элементарным принципам,
играющим исключительную роль при фактическом построе-
построении конформных отображений сравнительно широких клас-
классов областей. Начнём с небольшого обобщения, введённого
в предыдущей главе понятия сопряжённой точки.
31. Сопряжённые точки и о^даети. Пусть АВ есть произ-
произвольная дуга окружности С или отрезок прямой L. Точки
zx и z2 мы называем сопряжёнными относительно АВ, если
они являются сопряжёнными относительно окружности С
или, соответственно, прямой L. Пусть граница области D
содержит дугу АВ окружности С. Множество всех точек,
сопряжённых с точками D относительно АВ, представляет
59

собой, очевидно, некоторую область D, которую мы будем
называть областью, сопряжённой с D относительно АВ.
Для того чтобы область D и ей сопряжённая область D
не имели общих точек, очевидно необходимо и достаточно,
чтобы D не содержала никакой пары сопряжённых точек.
Если условие выполнено и если D односвязна, то область А?
составленная из D, D и точек дуги, будет также односвяз-
ной областью.
32. Принцип Шварца. Перейдём к формулировке и дока-
доказательству первого принципа.
Теорема 2. (Принцип симметрии Шварца.)
Пусть граница области D содержит дугу окружности АВ,
а граница области Dx со-
содержит дуги окружности
4Г П U.J.. l УГГ% У А^ (Р-о. 20). Пусть
есть функция, реализую-
реализующая конформное отобра-
отображение D на Dx, такое, что
дуга АВ переходит в ду-
ис* * гу A J5X\ предположим еще,
что область D не содержит никакой пары сопря-
сопряжённых относительно АВ точек. При этих условиях:
1. Функция f(z) может быть аналитически продол-
продолжена за дугу АВ на всю область D, сопряжённую с D
относительно дуги *АВ.
2. Аналитическое продолжение / на D реализует кон-
конформное отображение D на область Dx, сопряжённую с Dx
относительно AxBit
3. Если точки zx и z2 сопряжены относительно АВ и
принадлежат, соответственно, областям D и D, то зна-
значение / в точке z± и значеШе аналитического продолжения
f в точке z2 сопряжены относительно AJB^
Доказательство. Совершим над переменными zvlw
линейные преобразования:
так, чтобы дуги АВ и А1В1 перешли, соответственно, в от-
60

резок @, 1) оси X, Z = X-\-iY и в отрезок @,1) оси
U,W = U+iV.
В силу теоремы 1 эти преобразования сводят доказа-
доказательство принципа к случаю, когда АВ и А^Вг суть единичные
отрезки действительных осей. Докажем принцип для этого
частного случая.
Пусть z = х + iy произвольная точка Z), a z = x~-iy ей
сопряжённая в области D (рис. 21). Положим
В силу нашей конструкции и определения конформного
отображения функция w — ft (z) реализует конформное
отображение области D
на область Dx. Нам оста-
остаётся показать, что Д есть
аналитическое продолже-
продолжение функции / за отрезок
@,1).
Обозначим ещё /0 (х) =
= lim / (z) предельное зна- Рис- 21-
чение f(z), когда z по точкам D стремится" к точке х от-
отрезка @, 1).
Пусть А есть область, составленная из областей Z), D
и точек отрезка @, 1). Построим в А функцию F(z), сов-
совпадающую с / в В, с Д в i) и принимающую нд отрезке
@, 1) значения /0(х). В силу теоремы о соответствии гра-
границ при конформном отображении (п. 20, основная
теорема, 2°) и определения функции F, последняя непре-
непрерывна в А и аналитична во всех точках А, кроме, быть
может, точек отрезка @,1), но в силу теоремы об анали-
аналитическом продолжении (введение, п. 13) при наших усло-
условиях функция F аналитична во всей области А, следова-
следовательно, Д есть аналитическое продолжение функции / за
отрезок @, 1). Принцип симметрии полностью доказан.
33» Принцип соответствия границ. Второй важный
в практике конформных отображений принцип формули-
формулируется следующим образом:
Теорема 3. (Принцип соответствия гра-
грани ц.) Пусть даны две односвязные ограниченные обласУпи D и
\ с границами Г и у. Пусть в D задана аналитическая функция
61

правильная в D, непрерывная и дифференцируемая в замкну-
замкнутой области D — D-\-Y. При этих условиях, если w = f(z)
осуществляет гомеоморфное1) соответствие точек Г и у,
и положительному обходу Г соответствует положитель-
положительный обход у, то функция f(z) однолистна в D и даёт кон-
конформное отображение области D па область А.
Доказательство. В самом деле, так как у есть гра-
граница односвязной области, то по теореме о вычетах (введе-
(введение, п. 12) имеем:
т
где w0 есть произвольная точка. С другой стороны, в силу
условий теоремы в интеграле C4) можно произвести замену
переменных, полагая для всех точек у
тогда неравенство C4) примет вид
L\ff'z{-dz<z<x
г
и, следовательно, по теореме о нулях (там же), какова бы
ни была точка z0 из D, разность f{z) — f(z0) не может иметь
в области D более одного нуля, т.е. двум различным z всег
гда отвечают два различные значения /(z) — функция f(z)
однолистна в J9. Но так как все граничные значения f(z)
принадлежат у, то, следовательно, f(z) даёт конформное ото-
отображение'/) на А.
34. Обобщения. Заключение принципа сохраняет силу
при различных ослаблениях его условий. Отметим наиболее
существенные из таких обобщений.
1°. Принцип сохраняет силу, если граница области D
содержит бесконечно удалённую точку.
2°. В условиях принципа можно допустить, чтобы в изо-
изолированных точках zx, ... , zn контура Г, производная f (z)
обращалась в бесконечность «интегрируемого типа»:
I /' (z) I < ^ 0<v<^"l 7—12 п
3°. Если область D содержит бесконечно удалённую точ-
точку, то принцип сохраняет силу, если потребовать, чтобы
а) Так называют соответствие, однозначное и непрерывное вме-
вместе с обратным ему соответствием.
62

(АуМкЦ f(z) была правильна всюду в Z), кроме некоторой
её точки z0 (конечной или бесконечной), в которой f(z) име-
имеет простой полюс.
Для первых двух обобщений приведённое доказательство
сохраняет силу. Для третьего обобщения мы вводим новое
переменное
1
где а точка, расположенная вне D, тогда область D преоб-
преобразуется в область, не содержащую оо, и повторяем дока-
доказательство простейшего случая принципа, учитывая при при-
применении теории вычетов полюс f(z).
Остановимся ещё на одном обобщении принципа, важжш
для приложений.
4°. Допустим, что граница у области Д имеет одну или
несколько бесконечных ветвей. Заметим прежде всего, что
правильность f(z) в D и наличие взаимно-однозначного
соответствия между точками Г и у еЩ§ не обеспечивают
соблюдение принципа. В самом деле, примем за D верхнюю
полуплоскость у > 0 и положим
функция/(z) правильна в D и осуществляет взаимно-одно-
взаимно-однозначное соответствие между всеми точками оси х и оси и.
'При положительном обходе D точка w совершает положи-
положительный обход верхней полуплоскости и]>0 плоскости w.
Вместе с тем, рассматриваемая функция w = z3 не является
однолистной в D.
Приведём без доказательства дополнительное условие,
обеспечивающее сохранение принципа.
Пусть при отображении w = f(z) бесконечно удалённые
точки у соответствуют правильным точкам zXJ z21 . . . , zn
контура Г. Для возможности применения принципа доста-
достаточно соблюдение следующих условий: 1) f(z) правильна
в D\ 2) f(z) непрерывна и дифференцируема во всех точках
Г кроме точек zv z2, ... , zn; 3) f(z) устанавливает взаимно-
взаимнооднозначное соответствие точек Г и у, положительному
обходу D соответствует положительный обход А; 4) в окре-
окрестности каждой точки Zj имеем
|/(z)|<|z-zy|-», 0<v<2.
35. Поведение отображения в угловых точках. Отметим
одно простое приложение принципа симметрии, важное для
дальнейшего.
63

Пусть граница у области А содержит два прямолинейных
отрезка, выходящих из начала координат и образующих
Рис. 22.
(рис. 22) и пусть функция
между собой угол а,
реализует конформное отображение полуплоскости у > 0 на
область А так, что начало координат переходит в вер-
вершину угла.
Выясним характер особенности функции f(z) в окрест-
Для этой цеди продолжим отрезки, огра-
ограничивающие данный угол а, в беско-
бесконечность и получившуюся таким обра-
образом угловую область 6 < arg w < 6 + а
отобразим конформно на верхнюю
ности точки
А
р ф р
полуплоскость переменного С = ? + щ
так, чтобы точки 0 ii оо перешли в точ-
точки 0, оо. Искомым отображением будет
Рис.
С-е
C5)
При отображении C5) область А переходит в некоторую
область А% функция
реализует конформное отображение полуплоскости у > 0
на А, причём некоторый отрезок (б^) ^си ж, содержа-
содержащий точку z = 0, переходит'в некоторый отрезок (рх, р2) оси 5,
содержащий то^ку С = 0 (рис. 23).
Следовательно, в силу принципа симметрии, F(z) может
быть аналитически продолжена за отрезок Fг, 62) —функ-
—функция F (z) правильна и однолистна в окрестности точки z = Q.
Отсюда прежде всего явствует геометрический характер
поведения конформного отображения в угловых точках гра-
64

ницы. Пусть на полуплоскости у > 0 некоторая дуга С7 обра-
образует угол <р с осью х (рпс. 22); в силу отме-енной регуляр-
регулярности функции % — F(z) образ этой дуги в полуплоскости
y]>0 образует с осью $ тот же угол <р, но тогда по опреде-
определению функции F(z) получим, что образ у дуги С в обла-
области Д образует с лучом О'М' угол
Таким образом, в угловых точках границы нарушается свой-
свойство консерватизма углов, причем все углы изменяются в
постоянном отношении.
Вьясним теперь аналитический характер конформного
отображения в угловых точках. Так как, крол.е отаеченных
свойств функции F(z), по условию F@) = 0, то в окрестно-
окрестности точки z = 0F (z) имеет следующую структуру:
Возвращаясь к функции /(z), получим
а а а
/(z) = e" [F (z)]^" = e«^(fc + a2z + ...)«". C6)
Таким образом, в окрестности точки z = 0, соотьетстьую-
щей угловой точке границы, конформное отображение мож-
можно представить, как произведение двух множителей, из ко-
\ -
4 торых один — z™ —многозначен, а другой распадается на ко-
конечное или бесконе1 ное число однозначных ветвей.
Имея в виду дальнейшие ьриложения, найдём ещё струк-
структуру логарифмической производной от /' (z) в окрестности
я = 0. Имеем
После дифференцирования последнего соотношения получим
1
где Ф (z) есть функция правильная и однозначная в окрест-
*» iz)
ности точки z = 0. Таким образом, 'т,~- имеет в точке z = 0
простой полюс о вычетом — — 1.
J Конформные отображения 65

ЗЙ. Отображение полуплоскости на многоугольник.
Используя теорему существования и отмеченное выше
поведение конформного отображения в угловкх точках, не-
нетрудно получать в замкнутой форме bl ражение для функ-
функции, реал1 зующей конфор^ ное отображение полуплоскости
на многоугольник.
Начнём с простейшего случая, когда данньй многоуголь-
многоугольник ограничен.
Обозначим через D(wQ, 6, /у, а7) о^носвязную область,
ограниченную п i рямолкнейнь ми отрезками длин 119 12,. . .,
/п, причём отрезок 1Х имеет вершгну в точке wQ и на-
наклонён под углом 6 к оси и:
отрезок lj—\ образует с от-
отрезком /у (/0 = 1п) угол тсау,
0< а;<2. Отсчёт углов
условимся вести следую-
следующим образом: при пдложи-
тельном обходе D за от-
отрезком /у_1 следует отре-
отрезок If, тгау есть угол, на
которьй нужно повернуть,
вращая претив часовой
стрелки, отрезок /у до его
совпадения с отрезком
п
/;_!B «у = п - 2) (рис. 24),
Формула Кристофеля-Шварца. Функция
w-=F (z), которая реализует конформное отображение
верхней полуплоскости у > 0 на область D(w09 6, /у, а7-),
переводящее точки # = 0,#=1и# = 2, соответственно, в пер-
первую, вторую и п-ую угловые точки, имеет следующий вид:
Рис 24
(z)-Ce'9
^ (z - а^)"*-1
t-ajb-idz + z., C8)
где аг = 0, а2 = 1, а3, а4, . . . , ап_ь а„ = 2, сг/ть действитель-
действительные положительные числа, определённые ив системы урав-
уравнений:
Я* /
С ^ \х~а1\ч-Цх-а2\^ .. . [ж —ап|1г—irfa? — //. C8')(
/=1,2, ...,л~1.

Доказательство. Согласно теореме существования
и единственности функция w = F(z), осуществляющая
отображение верхней полуплоскости на многоугольник
D(<v0, 6, Ij^j) при принятых условиях существует и един-
единственна. Пусть
суть точки оси х, переходящие при отображении
в вершины многоугольника.
Рассмотрим функцию
Вдоль каждого из отрезков ( — оо, aj, (ax, a2), ... (an~iian)i
(an, +00) аргумент F' (z) сохраняет постоянное значение,
следовательно, вдоль каждого из этих отрезков мнимая
часть С постоянна, но в таком случае производная
на всех отрезках (fl/,a/+x) гринимает действительные значе-
значения. Итак, функция <p(z), праги^ьная гри г/ > 0(F'(z) Ф О,
в силу однолистности F(z)), гринимает действительные ко-
конечные значения на всей действительней оси кромеv быгзь
может, точек fly. Применяя к cp(z) принцип симметрии Швар-
Шварца, положив ср (z) = cp (z), мы полу^ им функцию, правильную
во всех z плоскости, за исключением точек «у, в которых
согласно п. 35 она имеет простые полюсы с вычетами ay—1.
Следовательно,
?W F* (z) z ^ z—a^ * '^ z—an '
Интегрируя C9) и избавляясь от логарифмов,
получим
F/(z) = Clz^"i («-ei)i-i... (z-an)**-*, D0)
*¦) См. введение, формула B9'). В силу регулярности F в беско-
нечности при | 2 > R имеет место разложение F [z) = Ао f - х + • • •;
пусть ^4„ — первый коэффициент, отличный от нуля, из разложения
? (*)= jj,,fj.e— ~2 - + ^f + ••• видно, что f(co)*=0, поэто-
поэтому в формуле C9) свободный член отсутствует.
5* б7

где Ct — комплексная постоянная. Принимая во внимание,
что на отрезке @,1) все множители (ау —z)*./-i принимают
действительные значения и, пользуясь тем, что отрезок 1Х
образует с осью и угол 6. полупим
С,-Се",
где С —действительное число. Интегрированием D0) мы
получим искомую формулу C8). Пусть заданы п углов «ах,
тга2, ... , iran при вершинах многоугольника. Проведённый
анализ показывает, что при заданных постоянных С, #3, я4,
... , ап-г формула C8) даёт конформное отображение верхней
полуплоскости на многоугольную область с заданными углами
при вершинах. Длины сторон этого многоугольника
определяются по формулам C8'):
«У + 1
/у= \ \F'{x)\dxy /«1,2, . .., и-1.
Обратно, зная заранее длины сторон многоугольника,
мы Bcei да можем определить параметры С, д8, а4, ... , an-t
в формуле C8) по уравнениям C8'). Заметим, что число
неизвестных параметров равно п — 2, а число уравнений
равно лг — 1; нетрудно видеть, что для определения пара-
параметров можно воспользоваться любой системой из п — 2
уравнений, входящих в C8').
37. Дополнительные замечания. 1°. В формуле C8) мо-
может быть заранее фиксирована любая тройка чисел aju
В некоторых случаях подсчёты упрощаются, если вместо
задания самих чисел а;- задать некоторые соотношения между
ними. Ниже, на конкретных примерах, мы приведём нес-
несколько таких случаев.
2°. Иногда бывает удобно одно из чисел ay, например ял,
принять равным бесконечности, В этом случае формула C8)
примет вид
Система уравнений для определения параметров С и aj
остаётся прежней. Формулу {41) нетрудно вывести из C8)
путём простой замены переменной под знаком интеграла
68

4
_А-_|-ал г). То же самое можно сделать путАм ана-
Тр*
Поведения функции <р (z) = -„, в бесконечности.
38. Случай вырождения. Во мно их приложениях при-
приходится иметь дело с отображениями jv.ho оугольников,
у которых одна или несколько вершин расположены в бес-
бесконечно удалённой точске. В этом случае также некоторые
из ухлов ау могут обращаться в нуль
(рис. 25).
Итак, пусть граница односвязной об-
области D состоит из п прямолинейных
отрезков, или лу*ей, /19 /2, ... , 1Л.
Пусть lj образует с /7+i угол ау;
если конец lj и на* ало Z/+i есть ко-
конечная точка плоскости, то правило
отсчёта ау остаётся прежним; если lj
и //+1 суть лучи, то за ау мы прини-
принимаем со знаком „ — "угол, на который
надо повернуть луч /у, вращая е.о против часовой стрел-
стрелки, до совпадения с лучом lj+\ 2).
При этих обозначениях функция w = F(z), которая ре-
реализует конформное отображение верхней погушоскости
у > 0 на область D, переводящее точки 0, 1, 2 в первую,
*) При замене 2 = + ап точка з = а„ преобразуется в точ-
точку « = оо, а формула C8) принимает вид:
t
(t - an-1) n-1
для выполнения последнего преобразования мы в каждой скобке вы-
вынесли множитель — ? (/ = 1,. .., п — 1) и воспользовались соотно-
п
шением
\ ^ = «-2.
2) Положительные направления на каждом луче берутся в на-
направлении оо, под совпадением понимается совпадение по поло-
положению и направлению.

вторую и tt-ую угловые точки границы, определится фор-
формулой CS).
Пара:, етры С и я,- мо:ут бьть определены из следующей
системы уравнений:
С \ (z-aj*!-1^-^
где Wj суть угловые точки многоугольника, отличные от
бесконечности.
Выео; фор* улы C8) для рассматри-
рассматривав; ого с/учая д он но получить путём
i редельного перехода от случая конеч-
конечного г ог игона х).
39. Случай внешней области. Фор-
Myja, аналогичная C3), сграведлива
и yjn конформного отображения верх-
р 26 неи I'O^ynJ оскости на внешность мно-
гоупкьника D{w0, 6, lh a/j (рис. 26),
вто о сгучая искол ая функция w~F(z) ш.еет вид:
где z, есть то ка геруней полуп оскости, переходящая при
отображении в то ку cv-=oo, а из п-\- 3 действительных па-
ра>етров С, a,, a, я„, zx = ж, 4- ^/, три i\ о ут быть
за аны произво ьно, оста ьн:>е определятся ез системы
CS'V
Раз ичнт/е прт^ еры отобрап ений д ногоугольников чи-
читатель най ёт в еле, ующей г. аве.
г) Пусть lj, 1.+х — два лучя; возьмём нт кчшом из них по точ-
точке и соединим эти точки отрезком прямой I'f. Если граница D со-
содержит /: бесконечно удялённых точек, то мы добавим к отрезков V-
й получим, таким образом, конечный In + к)-угольник. К этому
(п И- &)-угольнику применим формулу (ЗЯ) и совершим предельный
пе^ехзд, заставляя все I) стремиться в оо. Замечая, что при этом
точки а'., а"., соответствующие концами 1'^ будут с г; емиться к одной
точке dj, мы придём к искомому обобщению C8).
70

ГЛАВА IV
ПРИМЕРЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
При фактическом построении функции, реализующей
конформное отобран енге ценной области D на круг или
на по-уп. оскость, наибо ее i асто пр.меняются с. е^ующие
три приёма: 1) при по. ощи о, ной из э*) е . ентарн^ х функ-
функций, однолистных в D, 4 = /(z), преобразуют область D
в новую область D19 конфор • ное отображение м> = <р(ч)
которой на круг ун е известно; исковое отображение осу-
осуществляется при помощи функции w = y[f(z)\\ 2) по сеой-
ствам границы данной области D вкясняются свойства,
которыми должна обладать искол.ая функция; в некоторых
случаях (отооран ение плоскости на многоугольник) выяв-
^еннь_е свойства позволяют сразу написать bl рай ение для
искомой функции; 3) ез тех или ть.х косвеннь.х сообран е-
ний ^строится правильная в D функция, переводящая ipa-
ницу 1) в окруя ность или в прямую; принцип соответствия
1раниц позволяет, утверждать, что построенная функция
есть искомая.
В данной главе-мы приведём разли\нь.е иллюстрации
этих приёмов. 1
Ряд разбираемых здесь примеров конформных отобра-
отображений нам понадобится как для дальнейше, о развития тео-
теории, так и для приложений.
Рис. 27.
На*нём[с ря;а примеров конфорзнкх отобран ений кру-
круга на области, огранивеннье отрезками или окрун ностями.
40. Отображения лучевых областей. 1° Функция
" = /(*) = (ТТ^' /(°) = °> /'@) = 1 D3)
отобран ает едннш нь й круг | z \ < 1 на область, пол у чае-
мую удалением из w-плоскости луча arg w = a, |w|>-r-
(рис. 27, a = 0).

Отображение D3) можно построить элементарно: W — Z*
даёт конформное, отобран ецие верхней полуплоскости на
плоскость с выброшенным лучом arg W = 0, | W J ^ 0, следо-
следовательно ,
w = eI>a Z2 + 4- ei%
даёт отображение полуплоскости на данную область; для
того чтобы голучить D3), достаточно едини1 ньй круг
| z |< 1 отобразить по формуле B8) на полуплоскость ImZ>0,
соблюдении условий: Z@)=-~-, arg Z'@)-= — Га +1-\
с помощью первого приёма получим искомую формулу D3).
Рис. 28.
К той не форму: е мой но притти, пользуясь общей форму-
формулой Кристофеля-Шварца.
2 . Функция
" N Ш Z , /'@) = 0, /'@)>0D4)
даёт отображение круга | z \ < 1 на лучевую область, полу-
получаемую удалением i з плоскости w Л1учей arg w — 0, | w \ > а;
arg w = тс, | cv | > &а (рис. 28).
В этом проще все. о убедиться, заметив, что
и пользуясь принципом соответствия границ. Можно также
воспользоваться тем, что отображение D4) сводится к D3)
с помощью линейного преобразования.
3°. Функция
z j. /r\\ л х> /л\ _ -^/"Г (А&\
72

даёт отображение единичною Kpyja |z[<l на область,
„ 2/стс
получаемую удалением из плоскости п лучей: argw = — ,
|(v|>l, Л = 0, 1, ...,и-1 (рис. 29, /г =
Рис. 29.
Убедиться в правильности этой формулы проще всего,
применяя принцип соответствия границ.
4°. Функция
даёт конформное отображение единичного круха и е:о внеш-
внешности |z|>l на внешность отрезка ( —1, +1) оси и
(рис. 30). Способы получения D6) прежние.
V Простым годсчётом ле ко убедиться, что при отображе-
отображении D6) любая окружность | z \ — г, г Ф 1, переходит в эллипс
Рис. 30.
с фокусами в то^ ках — 1, + 1, при г —» 0, или г —> со эксцен-
эксцентриситет' этого эллипса стремится к нулю.
5°. Используя отображение D6), нетрудно построить
конформное отображение единичного круга |з|<1 на
73

область D(e, 6), получаемую из круга |«>|<1 удалением
irpm о линейного отрезка длины е, выходящео из точки
е^г) и принадлежащего радиусу нашего круга.
Искомая зависимость w от z
«* = /(*; А, б), /@;Л, 6) = 0, Г(О;А, б)>0
определится следующим уравнением:
где положено
4 1 —,
Опишем получение формулы D7), например, для случая
6ш=0. Функция
реализует конформное отображение кру- a |z)<l на внеш-
внешность отрезка ( — 2,2 + 4Л) в плоскости С; с другой сторо-
стороны, функция
даёт конформное отображение круга на внешность отрезка
( — 2,2), но та же функция преобразует область Z>(e, 0)
— крух с удалённым из не. о отрезкомA — е, 1) на внешность
Отсюда следует, что соотношение D7) (при 8 = 0) есть
искомое.
Очевидно, /(z; 0, G) = z; найдём главную линейную часть
приращения /(z; Л, 6) конформно о отображения при пере-
переходе от /г = Ок некоторОх\:у бесконечно ^алол-у значению А.
Начнём с простейшего случая 6 = 0, то.да D7) прини-
принимает вид:
A) ^. D7')
В самом деле, образ конца отр езка 1 — е при этом отображении
74

Положим
и подставим в D7'), получим
Замечая, что со и Л бесконечно малые одинаковых по-
порядков, и отбрасывая малые высших порядков, переписы-
переписываем последнее соотношение в виде
со (z2 + l) + hz{z2 + 1) + 2hz2 = 2coz2.
Отсюда окончательно
w^z + u^z + hL + 2-f^—^ . D8')
От D8') нетрудно подойти к общелу случаю 0 =? 0. Для
этой цели, очевидно, достаточно в D8) вместо z и w под-
подставить zefi и weu
D8)
-
Q •—. Z
Дифференцируя соотношение D8) no z, получим 1лав-
ную линейную часть производной
dz
D9)
Наряду с формулами D8) и D9) для некоторых прило-
приложений полезно ш.еть зависимость ^ежду аргументами
точек окружностей ,z =1 и w\ — i при h бесконечно ма-
малом. Ограничимся случаем & = 0; тогда, полагая z = e?'(*,
wz=e7^, ^ = 9 + ^?> из D8') получим
cos ф = A + h) cos <p + h
или, после отбрасывания бесконечно малых высших поряд-
порядков,
^9-Actg!1) E0)
(рис. 31).
х) В справедливости E0) проще всего убедиться, заменяя со^ф=
=соз (<? + A<p) = cos f— sin <рАср, тогда Д<р=— —i—: li =—Actg -
SID ^ ^
75

Формулы [D8) —E0)], выведенные для бесконечно ма-
малых h, имеет смысл применять лишь для точек z, находя-
находящихся на конечном
расстоянии | z—ei% \
от граничного отрез-
отрезка ?>(е, 6).
\ 6°. Применяя к
отображению D7)
^принцип симметрии
Шварца, мы получим,
что та же формула даёт
конформное отображе-
отображение внешности единич-
единичного круга \z\ > 1 на
область D(e, 6), полу-
получаемую удалением из
области | w | > 1 к^ска
радиуса arg w = 8, вы-
выходящего из точки е*°
и] длины 77Г~'-~ 1 = ~1Г~ • Для этого, отображения также
имеют место формулы [D7) — E0)]«
Рис. 31.
т
к
п
а*
Рис.^32.
7°. В дальнейшем часто будет применяться отображе-
отображение круга \z\ < 1 на полосу 0 < v < 1. Его реализует
функция
(рис. 32).

Интересно отметить, что при этом отображении пучок
<?1гру&ййсгей; проходящих через точки —1, +1, перехо-
перехода? в пучок прямых, параллельных оси и. Отметим ещё
аяйфажение для производной/'^) рассматриваемою отобра-
отображения
8°. Отображая конформно круги i z\ < 1, | w | < 1 на
верхние полуплоскости [отображение B6)] и на единичные
полосы [отображение E1)], мы получим из результатов
п. 5° следующее:
ш __. / /vv "^ г 8 * (*\0\
даёт конформное отображение на полуплоскость у > 0 обла-
облаРис. за.
а
Рис. 34.
сти .D(s, «), получаемой удалением из полуплоскости v > О
отрезка a, a-\-ie (рис. 33).
Функция
1 / \ s2 ., тег— а /с о\
«v^/(z) = z-1 cth—2~- E3)
даёт отображение на полосу 0<у<1 области ^(е, а),
получаемой удалением из полосы 0 < v < 1 отрезка
а^~оГ±Тг (рис. 34).
При этих отображениях устанавливается следующее
соответствие между точками оси х и оси и:
s2
— а
E2')
E3')
77

41. Отооражения круговых луночек. 9°. Круговой лу-
луночкой мы будем называть область, ограниченную дугами
окружностей Со и Сх (рис. 35). Комбинируя элементарные
функции, нетрудно получить отображение внешности кру-
1\,ьии луночки на внешность Kpyia, играющее важную роль
в теории крыла аэроплана. Пусть*,—а, а —угловые точки
луночки, а —её угол, 9 —угол между дугой Сг и осью х\
преобразование
переводит внешность луночки в угловую ^область Д с'углом
27г —а. Используя степенную функцию,}^а затем линейную,
Рис. 35.
Рис. 36.
мы последовательно отобразим Д"на полуплоскость, а затем
на внешность круга. Проделывая описанные преобразова-
преобразования, мы получим искомое отображение в виде
E4)
Полагая в этой формуле <х = 0, мы получим отображе-
отображение внешности дуги у окружности на внешность единич-
единичного круга
«- = /(z) =
При отображении E4J ужовые точки —а, а луночки
переходят в точки —1, 1. Проведём через точку w = i
окружность С, касающуюся единичной и лежащую ?не
единичного круга. При отображении E4J окружности
С соответствует некоторая линия Г, охватывающая дугу
Y и имеющую точку возврата в точке а (рис. 36). Функ-
Функция E4J даёт отображение внешности Г на внешность
круга С. На этом замечании основывается известный м*етод

получения классов профилей крыльев аэроплана (профили
Жуковского).
10°. Остановимся на получении ряда приближённых фор-
формул отображений круговых луночек, которые получат важ-
нке приложения в дальнейшем развитии
теории (*л. V). Начнём с отображения по- *У
луплоскости у >0 с выключенной круговой L^f^^L
луночкой на полуплоскость v > 0; мы пред- **$ ^*ъ* -л
положим малыми хорду а дуги окружности
и угол а, образованный этой дуюй с осью Рис. 37.
х (рис. 37).
Точно так же, как в 9°, нетрудно получить точную
формулу для искомого отображения w = f(z) с нормиров-
нормировкой / (оо) = оо, /' (оо) = 1,
I— 1
const. E5)
Разлагая в ряд Тейлора по степеням а и а элементар-
элементарные функции, входящие в состав формулы E5), получим
а аа . а2 а2а ааг . а3
' 4-xonop.J;
те
а
а а2 а3 , П
—Ь т + гз +чл« 4-го пор. X
х [1--J+S
Замечая, что — = а с точностью до малых высших по-
порядков выражает площадь выключенной луночки, получим
приближённую формулу
w = f(z)-* + -+ const, /(со), оо, /'(оо)-1. E6')
79

Прибегая к параллельному сдвигу, получим несколько
более общий результат: функция
const E6)
даёт конформное отображение на полуплоскость и >о об*
ласти D1(c,b), получаемой удалением ив полуплоскости
у > 0 площадки а, ограниченной отрезком 5, 6 + а и ДУ~
гой окружности малой кривизны. При этом между точка-
точками оси х т и устанавливается соответствие
и = х + — —Ц- + const. E6J
ТС X — О \ */
Отображая каждую из плоскостей на полосы, мы полу-
получим ив доказанною следующие результаты. Функция
w~f(z) = z-\-~ cth ^y- + const, /(оо) = оо,
(оо) = 1 E7)
даёт отображение на полосу 0 < v < 1 области D2 (с, 6),
получаемой из полосы
О < у <С 1 удалением
площадки о (рис. 38).
Между точками прямых
у = 0, v = 0 это отобра-
отображение устанавливает
соответствие
Рис. 38. Рис. 39.
а между точками прямых у = 1 и v = 1
и = ж + - Ui ~9-~ • E7t)
Отметим, наконец, результат, получаемый ив E6) с по-
помощью вспомогательных дробно-линейных преобравований:
функция
E8)
реализует конформное отображение на. единичный круг
круговой луночки D (о, 8), образованной единичной окру-
окружностью и окружностью мало^ кривизны так, что угло-
угловые точки луночки близки к точке е1'0 (рис. 39). Отобра-
Отобрало

жецие E8) устанавливает следующее соответствие точек
окружностей |z=«l и | «р| = 1:
Производная отображения на границе
sin21-_
а производная в начале координат
Заметим, что в силу принципа симметрии Шварца фор-
формулы [E8) — E9)] справедливы также для отображения
внешности области D (а, 6) на внешность круга ,<v >1.
11°. Приведём ещё несколько формул, относящихся
к отображениям круговых луночек. Пусть луночка
D(ko,k,H) ограничена дугами окруж-
окружностей Со и С кривизн, соответствен-
соответственно, к0 и/с, причём Я означает длину
принадлежащего D отрезка общей нор-
нормали СоиС (рис. 40).
Предположим, что угловые точки
луночки расположены в точках z= ±1 Рнс 40.
и что окружности Со и С пересекают
мнимую ось, соответственно, в точках ?Х1} i\2. Тогда в силу
отмеченного в п. 7° свойства отображения E1), оно даёт
конформное отображение луночки, ограниченной Со, С на
полосу hx < v < А2, где
йх= -- arctgX,, )
\ ) @0')
Л2 = ~ apotg).,.
Таким образом, дутём отображения E1) и додолкитель-
ного преобразования подобия плоокостей z и w мы можем
достроить конформное отображение лн^юй луночки
/){/с0, к, Н) »а полосу 0 < v < A.
Пусть угловде точки луночки D{P%% А, Ц) расположены
в точках z= ± Z; а Ш19 Шш суть точки пересечения дуг
6 Конформные отображении 81

Со и С с мнимой осью. При этих обозначениях функция
будет давать конформное отображение луночки D на по-
полосу 0 < v < А, причём
а Ах и А2 определяются по формуле F0'). Геометрические
параметры &0, /с, Я и #1? #8, / связаны между собой сле-
следующими соотношениями:
1с - *
Л/л г
Дифференцируя F0), получим
2 Л/
f W =
F *
Рис- 41*
Из формулы F1') можно получить одну приближённую
формулу, важную для приложений. Пусть z0 — точка ду-
дуги С, п — длина отрезка нормали к С в
точке z0, расположенного в луночке!),
и б —угол между касательными к С
и Со, проведёнными из концов отрезка п
(рис. 41).
Допустим теперь, что h и вместе с
ней Ееличины к'—-к0 и п суть бесконеч-
бесконечно малые первого порядка^малости, а
кривизны к0 и к ограничены. При этих условиях имеет
место формула
F1)
где р можно представить в виде однородного многочлена
третьей степени относительно и, | 6|, |jfc—-ko\ с ограничен-
ограниченными коэффициентами.
В последней формуле кривизну ко(к) надо брать со
внаком-f-j еслиС0(С) обращена к Z) ьогнутостью, и со
знаком — , если С0(С) обращена к D выпуклостью (на
рис. 41 /г0 —положительна, /с —отрицательна).
«2

Для вывода F1) из F1') в последней формуле надо
выразить параметры /, Л2, hx и z0 через /г, 6, к0 и к и за-
затем разложить функцию \f'(zo)\ по степеням параметров
л, 6, к — к0 до членов второго измерения включительно.
Однако фактическая реализация это. о пути приводит к
чрезвычайно громоздким выкладкам. Значительно проще
получить F1), отправляясь от частного случая, когда С
совпадает с осью х, а^ I равно единице.
В этом случае формула F1х) нам даст при
где 2<j>0 есть угловая мера дуги Со,
<р0 = arcsin к0 = к0 +1- к*0 + ..
Обозначая через т длину отрезка норма-
нормали к действительной оси в точке #, заключённого в лу-
луночке (рис. 42), будем, очевидно, иметь
х=-
sin О
но тогда
= cos 6 — cos 9o>
—cosy0)
Разлагая по стегени к0 и 6 числитель и знаменатель
последней дроби, получим
12
В »тих разложениях мы сохраняем члены четвёртого по-
порядка, ибо 1лавные члены суть малые второго порядка,
а нас интересует отношение разложений до второго по-
порядка малости включительно.
зз

Отсюда с точностью до малых второго порядка
чительно получим:
Дч
» —"в*Ч- - . -
m \ ' 24
24 m
24
i2 m
m
mk
1-
или, подставляя А^ = 2w ft0 + 62 -f *.. , окончательно получим
f m*« + T
Наш вывод мы провели в предположении, что длина
хорды, стягивающей дугу Со, равна 2, но в силу безраз-
безразмерного характера улементов^полученной формулы она бу-
будет справедлива для дуг'ь Со\ с любо*! хордой.
Покажем теперь, ка-
каким образом при помо-
помощи дробнолинейного
преобразования изфор-
мулы F1j) можно полу-
получить искомую формулу
F1).
Рассмотрим в плос-
плоскости С луночку Д, ог-
ограниченную действи-
действительной осью и дугой
у окруяшости кривизны Г. Пусть @, — im) есть отрезок
мнимой оси, заключённей в А, и\ — Ъ уюл, образованный
у с мнямой осью (рис. 43).
Отобразим конформно нижнюю полуплоскость 1ш
на внешность круга радиуса -т-
/с
Рис. 43.
О
3?
При этом отображении луночка Д перейдёт в круговую лу-
луночку Z), ограниченную дугой С окружности |z| = -r- и
84

Дугой CQ окружности Некоторой кривизны к0. Точка С = О
переходит в точку z = -r-, отрезок т переходит в отрезок п
действительной оси:
1 — т 1 — т '
дуга Со образует с осью х у^ол у+ 6.
Найдём теперь связь между кривизной к0 и другими
параметрами. Для этой цели обозначим через d<s элемент
дуги Со, а через а = а(а), а@) = у+ 6— угол касатель*
ной к Со с осью х. Пусть при отображении F2) эле-
элемент da соответствует элементу ds. Имеем
С другой стороны, бесконечно малое приращение
угла а можно представить следующим образом:
Следовательно,
7 m ds . d dz ds
но согласйо F2) в точке н — im имеем
d „__dz d - ol__ ,_. , гч 2 cos 8
ds^k^
da 2
Таким образом,
/c0 = 1 Г/с A — mJ + A — rn) к cos 9,
Отправляясь от полученных выражений для m и Г,
нетрудно получить искомую формулу F1). Со1ласно F1Ж)

имеем
Tz
dw
что и требовалось доказать.
42. Отображения многоугольников. Отметим теперь не-
несколько приложений общей формулы Кристофеля-Шварца
к конкретным задачам.
12°. Функция
z
к < 1 F3)
W
= у (z; ю-, ш2) = с С -. rft =
(эллиптический интеграл первого рода) даёт конформное
Рис. 44.
отображение полуплоскости на прямоугольник с верши-
вершинами в точках^, ^- + тш, — у + ^2, —у1, где
J /A — *2)il— kH'2)
J
о
1
к
0>4
dt
F3')
причём /@) = 0, а точки ± 1, ± у переходят в
прямоугольника (рис. 44).
т

Четыре величины, оI? о>2, с, к, связаны двумя соотно-
соотношениями F3'); вная две ив них, можно определить
остальные.
Функцию, обратную F3), обозначим
z = W(w, «>„ о),I); F3Х)
она реализует конформное отображение прямоуюльника
— y < и < ~ , 0 < v < оJ на верхнюю полуплоскость.
Рис. 45.
13°. При к = 0 прямоугольник выродится в полупо-
полуполосу, ограниченную отрезком С — у, ^ J оси к и прямыми
~ . В этом случае F3) примет вид
w = c arcsinz,
F4)
(рис. 45, с = 1). Обратное отображение приведено в п. 30.
14°. Функция
F5)
реализует конформное отображение полуплоскости на
внешность прямоугольника, определённого в п. 12° (ср.п.39).
На рис. 46 изображены линии, переходящие при отобра-
отображении внешности прямоугольника на внешность единич-
единичного круга в окружности w J = г > 1 и лучи arg w = с.
Она просто выражается черев эллиптическую функцию Якоби
«м. об эллиптических интегралах и~функциях Ю. С. С икорок ий,
Элементы теории эллиптических функций. ОНТИ, 1936.

15°. Отметим ещё несколько случаев конформных ото-
отображений вырожденных многоугольников. Область, огра-
ограниченная положительными координатными полуосями и
Рис. 46.
прямой v = — /г, представляет собой треугольник с углами
в точках А' (^оо), 5'(оо), О' @), соответственно, равными
—, 0, — ,*(рис 47). Производная "функции V = /[(z), ото-
бражающей ^полуплоскость Im z > 0] на этот треугольник
так, что точкам Л', В" и О"' соответствуют точки 0, оо и 1,
имеет, следовательно, вид
с [z— I)
Отсюда, интегрируя и подбирая нужным образом постоян-
постоянные, получим искомое отображение
ТС *"'
Рио. 47 показывает соответствие лцций пр# этом рто-
бражении.

If
16°, Построение конформного отображения фш урь*,
изображённой на рис. 48 (пятиулольника), упрощается,
если воспользоваться принципом симметрии,—достаточно
найти функцию, реализующую отображение четыре-
угольника A'B'C'D' на верхнюю полу-
полуплоскость; та же функция отображает
нашу фигуру на плоскость, разрезан-
разрезанную вдоль двух лучей. Будем искать
отображение w = f(z) полуплоскости на
этот четы ре угольник, переводящее вер-
вершины В',С иD' в 0,1 и оо; обозначим
через а образ вершины А'; тогда про-
производная искомой функции имеет вид
dw
Рис. 48.
Постоянные к и а определяются размерами hub фи-
гуры?(см.Грис. 48): интеграл, от ^, взятки по полуокруж-
полуокружности [достаточно большого радиуса, должен равнять-
равняться ih, отсюда к = —; интегрируя
^ п •
же— по окружности достаточно
малою радиуса, с центром в
/ h \г
точке В\ получим а= — ( ь ) •
17°. Рис. 49 показывает об-
ра5 координатной сетки \z =
=const. при отображении верхней
полуплоскости на пятиуюльник
A'B'C'D'E'. Отображающую фун-
функцию можно представить инте-
интегралом
Z
z— i)(z-M)
dz. F8)
Та же функция реализует отображение в<!<ей области,
изображённой на рис. 49, на плоскость z> разрезанную
вдоль лучей (— оо, А) и (В, оо).
18°. Функция
iv = /B) = 2 + e2 F9)
даёт конформное отображение полоеы — я<у<я на
аэ

область, получаемую из плоскости^ w удалением двух па-
параллельных полупрямых у=±тс, #<— 1 (рис. 50).
/
-л
\
Рис. 50.
•DA
Заменяя в F9) z на lnz, получим отображение области,
ограниченной полуокружностью и лучами, на область, огра-
ограниченную 1 лучами и дух ой B'D' цик-
^V—Ьт^х лоиды,
w = z + lnz G0)
-?и (рис. 51).
43. Отображения областей, огра-
ограниченных кривыми второго порядка.
Рис 51 19°- ФУНКЧИЯ
w = Yz G1)
отображает внешность параболы
FT
на полуплоскость Imw > у (рпс. 52). Внутри параболы эта
функция неоднолистна.
Рис. 52.
20°. Функция G1) преобразует область, ограниченную
лучом # > — -г- и верхней дуюй параболы, в полуполосу

О < v < у , и > 0; отображая »ту полуполосу на полу-
полуплоскость, на основании принципа симметрии, получим
отображение внутренности параболы на всю плоскость без
луча; отображая, наконец, эту область на верхнюю полу-
плоскость,^по
на полуплоскость
(риг/53).
21°. Функция
Рис. 53.
fj отображение внутренности^ параболы
V* G2)
реализует конформное отображение внешности] эллипса
Рис. 54.
с фокусами Vtoi ках z=^l и с полуосями1
на кругГ| w\ < 1 (рис. 54). Та же функция реализует ото-
отображение внешности отрезка [ — 1,1] на внешность круга
91

w I > к. Обратное отображение
G3)
было рассмотрено'ранее (п. 40, пример 4°).
22°. Функция G3) даёт отображение верхней половины
эллипса^ на половину кольца 1 < | w , < к, v < 0; лога-
Рис. 55.
рифм отображает эту область на прямоугольник, а послед-
последний с помощью функции F3) отображается на верхнюю
полуплоскость. Пользуясь принципом симметрии и вспомо-
вспомогательными, элементарными функциями, получим отобра-
Рис. 56.
жение внутренности эллипса на верхнюю полуплоскость
з виде:
w = ]/V (In - }/k(z + j/z5^!); In /с, ic) + const G4)
(рис. 55).
92

23°. Та же функция G3) отображает область, заклю-
заключённую между ветвями гиперболы с фокусами в точках
z=±1hc полуосями а *= cos 6, b = «in 6 на внутренность
угла 0 < arg w < 6; поэтому функция
реализует отображение внешности^ ги-
гиперболы на верхнюю полуплоскость
(рис. 56).
24°. Функция G3) отображает верхнюю
половину области, ограниченной правой
ветвью гиперболы, на внутренность ухла,
лежащую вне едгничной окружности.
Пользуясь вспомогательными элементар-
элементарными отображениями и принципом симметрии, получим
отображение внутренности правой ветви ггперболы
(рис. 57) на верхнюю полуплоскость:
Рис. 57.
w = i
-!)9 +1
G6)
ГЛАВА V
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Пусть в плоскости комплексною переменного z нам
даны две односвязные плоскости D и D, ограниченные
линиями Г и Г, и пусть w = /(z), w = fL(z) суть функции,
реализующие конформное отображение областей D, D на
одну из стандартных областей —круг, полуплоскость, по-
полосу. В данной главе мы ставим себе следующую задачу:
считая отображение w = f(z) известным, а контур Г беско-
бесконечно близким к Г, определить главную линейную часть
приращения 8/ = Д (z) — / (z).
Мы начнём изложение с общих качественных теорем.
44. Случай отображения на круг. Условимся в некото-
некоторых обозначениях. Односвявную область, ограниченную
линией Г, мы будем обозначать черев D(T). Фиксируем
в области D некоторую точку z0 и отобразим конформно
93

область D на единичный круг | w \ < 1 при условии, чтобы
точка zQ перешла в начало координат:
«v = /(z,r), /(ze, Г) = 0.
Функций /, обладающих указанным свойстеом, бесконечно
мною, но если /0 одна из них, все остальные найдутся по
формуле
где б —произвольное действительное число. В ряде изла-
излагаемых ниже вопросов множитель е'9 не шрает роли и под
/(z, Г) мы будем понимать любую из этих функций; там,
где величина 6 существенна, мы будем определять её до-
дополнительным условием.
? | Замкнутую линию, переходящую при отображении G7)
в окружность \w\ = r, г< 1, мы будем обозначать через уг#>
при замене Г контуром Г соответствующую линию будем
обозначать через уг-
Рассмотрим систему полярных координат (г, <р) с полю-
полюсом в точке z0 и предположим, что в этой системе поляр-
полярные радиусы гиг точек контуров Г и Г представляют
однозначные функции <j>: г=г($), г = г(<р) (контуры Г и Г
звёздны относительно точки z0). Тот ку z2 — г2ег'ч*контура Г,
в которой г(ср)-— г (<р) достигает максимума, и точку
z2 — r2e^2 контура Г будем назьЕать точками наибольшей
(относительно z0) деформации, а число X = -2 — наиболъ-
шей деформациейконтура.
^Сформулируем теперь основную качественную теорему.
Теорема 4 (принцип Линделефа). Если область D(Г)
содержится в области i)(L), то:
1°. При любом г @ < г< 1) область D (уг) содержится
в области D(^r), причём соприкосновение yr u Yr для какого-
нибудь г возможно лишь при совпадении Г и Г.
2°. В точке z0: __
!/'(«•! lT)i >1/Ч^ гI,
причём знак равенства достигается только при совпадении
Г в Г.
3°. Если контуры Г и Г имеют общую правильную точ-
точку z1? тогда в этой точке
04

также достигается толъко^при совпаде-
совпадезнйк равенства
нии Г и Г.
4°. Если, кроме того, контуры
тельно Zo1 б
р , ур Г и Г звёздны относи-
относито в точках наибольшей деформации
где Х>1 — наибольшая деформация контура.
Иными словами, если ограничиться рассмотрением
областей, содержащих фиксированную то» ку z0 и их
конформных отображений на единичный круг, преобра-
преобразующих z0 в его центр, то при вдавливании границы области
1° все линии уровня отображэнля смсамаю/пся-,
2° растяжение в точке z0 увеличивается-/^ ,
3° в точках границы, не подвергнувшихся деформа-
деформации, растяжение уменьшается (в частности, уменьшает-
уменьшается длина образа недеформированной части^ границы);
4° в точке наибольшей
деформации растяжение
увеличивается более чем в
X раз.
Доказательство.
Заметим, прежде Есего,
что теорему достаточно
доказать для случая, ког-
когда Г отличается от Г
только на бесконечно ма-
малом участке (а,C) и когда
часть Г, отличная от Г,
есть дуга окружности
кривизны, близкой к
3
Рис* 58'
кривизне Г на (а, [3) —
область D (Г) получается удалением из "области D(V)
бесконечно малой площадки а, ограниченной (а,[3) и ду-
дугой Г (рис. 58). В самом деле, любую вариацию Г можно
получить, последовательно производя описанную простей-
*) Заключение теоремы сохраняет силу, если условие звёздности
заменить следующим: пусть z% и z% точки Г и Г, осуществляющие
абсолютный максимум разности модулей точек Г и Т, обладающих
одинаковыми аргументами, тогда при подобном растяжении области
D (Г) в отношении — новая область целиком содержится в об-
области D(T).
95

шую вариацию; если теорема доказана для каждой
простейшей вариации, она тем самым будет доказана
для произвольной.
Вг.едём тепэрь вспомогательную плоскость С и отобра-
отобразим конформн область В(Г) на единичный круг |С, <1.
С-/(г, Г), /B,,Г) = 0.
Пусть при этом дуга Г переходит в дугу Т', а дуга
а р в дугу окружности а'{3'. Площадку, ограниченную
а'Р' и Г' обозначим через а' (рис.*58). Отобразим кон-
конформно область 2) A") на единичный круг | w | < 1 пло-
плоскости w:
* = *(С), g@) = 0.
Пусть 1сри этом отображении окружность |w| = r соот-
соответствует линии у^. Очевидно
Следовательно, при отображении w = f(z, Г) область Z)(yr)
переходит в/)(у?)> а /)(уг) — в ?|<г; следовательно, для
доказательства 1° достаточно показать, что уг содержится
в круге 1С|<г. Но дугу Г' с точностью до малых
высших порядков можно считать за дугу окружности,
площадку а' —за круговую луночку и тогда принять в
качестве g отображение E8) п. 41.
Имеем
где 9 есаь аргумент точки площадки а'. Из G7) нетрудно
получить уравнение линии уг- Для этой цели перепишем
его в виде
пользуясь тем, что о' мало, a w отличается от С на вели*
чину порядка о', мы можем, не меняя порядка точности,
заменить С через w в членах, содержащих множитель а',
и получъть, таким обрагом, отображение, обратное g:
96

Положим
Логарифмируя G7), получим
+ (y)
откуда
Ч 2ти 1-2гсов(?-в) + г У I
Q = (D
in(<p—0)
1 —2rcos(cp—
Формулы G8) дают искомое параметрическое пред-
представление уг. С их помощью легко получаем все утвер-
утверждения теоремы 4. Прежде всего, для точек Yr«
'. <79>
что полностью доказывает пункт 1°. Деля G9) на г и уст-
устремляя г—> О, получим I— ^1— ~-<1, , • г
I dw [ц?=0 In \ -—4.
т. e»lg'(O)i>l, нто доказывает 2°. ^^^'"\К^
Далее, из того же неравенства G9) по-
получаем
г —р, о' 1 — г Рис. 59.
1_р 1~р^х 47С1 —,
1 —г с'
откуда TZT ^ *-~~г и Для всех . точек окружности
С) = 1, расположенных вне (аф'),
Этим доказан пункт 3°. Остановимся на доказательстве
последнего утверждения. Обозначим Г' контур, который
получается из Г преобразованием подобия С — zo = \ (z — z0);
очевидно
даёт конформное отображение 2) (Г) на единичный круг
(рис. 59). С другой стороны, по условиям теоремы D(Y)
содержится в области D (Г), а Г и Г имеют общую
7 Конформные отображения 97

точку z2; следовательно, по о°
Теорема 4 полностью доказана.
Остановимся на простом следствии теоремы 4.
Теорема 5 (принцип Монтеля). Пусть области
D (V)uD(V) содержат точку z0 и пусть Г состоит из дуг ух и
у2 таких, что ух содержится в D (Г), а у2 лежит вне D{Y)
и Yi лежит вне D (Г), а у2 содержится в D (Г) (рис. 60).
Пусть, кроме того, отображения
J преобразуют дуги ^хи у1? соответственно, в ду-
дуги единичной окружности длин <рх и y[. /7/?и
наших условиях всегда
Рис. 60. _
причём знак равенства достигается лишь при совпаде-
совпадении Г и Г.
Для доказательства введём вспомогательную область
D(V) с границей Г = у1 + Тг; тогда /)(Г) принадлежит
/)(Т) (рис. 60).
Пусть при отображении
^З ^2 переходит в дугу длины ^я. Области 2)(Г) и
¦^(Г) удовлетворяют условиям теоремы 4, следовательно
в силу п. 3° этой теоремы имеем
С другой стороны, сравнивая отображения областей
D(f) и D(V), в силу того же получим
Складывая почленно последние два неравенства, мы по-
получим искомое.
45. Внешняя задача. Обозначим через Д(Г) область
внешнюю к линии Г и пусть функция
w = F(z,T)t F(oo,r)= со
98

даёт конформное отображение области Д(Г) на внешность
единичного круга |W|>1. Сохраняя обозначения, при-
принятые выше, мы можем формулировать следующую тео-
теорему.
Теорема 6. В условиях теоремы 4: 1°. При любом
г@< г< ^область Д(у^) содержит область Д(уг); сопри-
соприкосновение уг и уг для какого-нибудь г возможно только
при совпадении Г и Г. 2°. В бесконечно удалённой точке
\F'(cc,f)\^\F'(co,T)\.
3°. В точке zx, общей контурам Г и Г',
4°. Если контуры звёздны относительно z = 0, то в точках
z2 и z2 наибольшей (относительно z — О) деформации
\F'{zJ)\<\F'{z2,Y)\.\.
Знаки равенства достигаются только при совпаде-
совпадении Г и Г.
Доказательство. Может быты]роведенотакже,как
доказательство теоремы 4, если воспользоваться вместо E8)
отображением внешности единичного круга с выкинутой
из неё луночкой на внешность круга. Проще всего полу-
получить теорему 6, редуцируя её к теореме 4 при помощи
замены переменных
46. Случай полуплоскости. Пусть линия Г проходит
через бесконечно удалённую точку и обладает в беско-
бесконечности касательной и конечной кривизной1); тогда
окружность |z| = B при R достаточно большом будет
пересекать Г в двух точках с аргументами, разность
которых будет сколь угодно близка к тс.
Предположим ещё, что положительная мнимая полуось
в СЕоей достаточно удалённой части не пересекается с Г,
и обозначим D(V) область с 1раницей Г, содержащую
эту часть, через
<У = /B,Г), /(со,Г) = со, |/'(оо,Г)| = 1;
х) Это означает, что линия Г', получаемая И8 Г преобразова-
ч нием С=—, обладает в точке ? = o касательной и конечной кри-
кривизной.
7* 99

условимся обозначать функцию, реализующую конформ-
конформное отображение области D(Y) на верхнюю полупло-
полуплоскость у>0. Согласно теореме существования, в усло-
условиях, наложенных на Г, функция / существует и опреде-
определяется с точностью до действительной постоянной —если
/0 одна из наших функций, то все остальные найдутся
по формуле
/
где С — произвольное действительное
число. Так как в дальнейшем число
С не играет роли, то мы под / будем
v±cpnst понимать любую из таких функций.
Пусть, наконец, yv> Yv есть линия, пе-
переходящая при отображении w = / (z,Y),
w = /(z, Г) в прямую?; = const (рис, 61).
При этих обозначениях имеет место следующая теорема.
Теорема 7. Пусть Г проходит через точку оо и
имеет там общую касательную с Г. Если, кроме того,
область D(F) содержится в области D{Y), то: 1°. Каково
бы ни было число у, и>0, область D(yv) содержится
в области D (у«)/ соприкосновение Yu c Yv &ля какого-
нибудь v возможно только при совпадении Г и Г. 2°. i?c/m
Г и Г имеют общую правильную точку zo'9 то в этой
точке
причём знак равенства достигается лишь при совпаде-
совпадении Г и Г (рис. 61).
Доказательство. В силу со обр ажений, приведён-
приведённых при доказательстве теоремы 4, достаточно рассмотреть
случай, когда Г совпадает с осью х; а Г отличается
от Г на бесконечно малом участке (а — е;а-}-е); на кото-
котором Г есть дуга окружности малой кривизны. Но в этом
случае
а согласно E6), п. 41
(80)
100

Отсюда для функции, обратной (80), получим
±J (80')
9
тсw—a
Полагая в (80') w = u-{-iv и отделяя в ней действитель-
действительную и мнимую части, при фиксированном v получим пара-
параметрические уравнения линии yv
*<—№2)] (81)
yZZv + — ~ г2--—¦.
ти (и — aJ-{-v2 )
Из последнего вкражения следует, что Yu принадлежит
области 2/>и, то-есть области D(^v), этим доказана пер-
первая часть теоремы.
Для доказательства второй части Еозьмём произвольную
точку оси х, далёкую от а сравнительно с а, и найдём
в этой точке производную /'; имеем
/'(ж,Г)»1 --., 1 .а<1. (82)
Этим полностью доказывается наша теорема.
47. Случай полос. Пусть Го и Г —две дуги, не имею-
имеющие общих точек, кроме сеоих концов а1? а2. При этом
мы не исключаем случаев, когда одна из точек а или обе
точки совпадают с тонкой z^=oo. Обозначим через
D(V09Y) область, ограниченную линиями Го и Г,
а через
«v = /(z,ro,r), /К,Г0,Г) = -аэ, /(а1?Г0,Г)=+оо
— функцию, реализующую конформное отображение об-
области 2)(Г0, Г) на полосу 0 < v < 1. Так же, как и функ-
функция f(z,V) предыдущего номера, функция /(z, Г0,Г) будет
определена с точностью до действительного слагаемого, кото-
которое пока нас интересовать не будет. Через Yv> Yv мы
будем обозначать линии области 2)(Г0,Г), ?)(Г0,Г), пере-
переходящие при отображении /(z, Го, Г), /(z, Г0,Г) в прямую
v = const, 0 < v < 1.
Установим следующую теорему.
Т е а р е м а 8. Если область D (Го, Г) содержимся в
области D (Го, Г), то: 1°. При любом v @ < v < 1) область
Л01

Z)(Yv,r) содержится в области D(yv,Y), причём ^прикос-
^прикосновение у„ и Yu возможно только при совпадении D(l\>T)
с /)(Г0,Г). 2°. 5 любой точке z0 линии Г
Л*оЛ,ГI>1/'(*о,Го,Г)!,
3°. .Если линии Го и Го имеют
общую точку z^ то в этой точке
В обоих случаях знаки равен-
равенства могут достигаться толь-
только при совпадении линий Го и Г0
(рис. 62).
Доказательство. Как и
в ранее разобранных случаях,
доказательстЕО ложно провести, гредполагая /)(Г0, Г)
единичной полосой 0 < у < 1 (Го—осью ж, а Г —прямой
y = i)} а Го —сошадающей с Го Есюду, кроме малого участ-
участка \х — а |< е. В этом ЕредЕОложении теорему 8 проще
Есего доказать, редуцируя её к предыдущей с помощью
замены переменных
z= -MnC, w = — lna).
71
Допустим ещё, что уравнения линий Го и Г заданы
однозначными функциями
Го'- У = УЛх)> Г: У = У{Х)
такими, что
^; и к *, iy'(»)i<ft-
В этих услоЕиях теорему 8 можно несколько допол-
дополнить. Рассмотрим пучок параллельных прямых L: х = Ху + р,
jX|<y, каждая из которых пересекает Го, Го и Г не более
чем в одной точке. Точку z2 контура Го, в которой отре-
отрезок прямой Ьъ заключённый между Го и Го, достигает
наибольшего значения, и соответствующую точку z2 кон-
тУРа ^о будем назыЕать точками наибольшей (в направле-
направлении X) деформации. Тогда в наших условиях имеет место
ещё предложение;
Ю2

4°. В точках наибольшей деформации
|/'&,Тв,Г)!>|/'(г.,Г„Г)|.
Доказательство. Обозначим, соответственно,
Го и Г линии, получаемые из Го и Г поступательным
сдвигом на отрегок z2z2 (рис. 6?); оче-
очевидно _/
o,r) = /(z, f0, ir) ^АГ
даёт отображение Z) (Fo, 1") на полосу
0<и<1. С другой стороны, по услс- Рис 63
виям теоремы /)(Г0,Г) содержит область
Е>{^\АЛ), а ^в и го имеет общую точку Г2; следовательно,
по пункту Зи теоремы 8
Но поскольку Z) (Го, Г) содержится в D(T0, Г), то по пунк-
пункту 2° той же теоремы
|/'&, Г., Г)|<|/'(^2, Го, Г),
а так как |/'(z8, f0, f)\ = \f'(z2f Го, Г)|, то теорема 8 пол-
полностью доказана.
48. Граничные производные. Установленные выше ва-
вариационные принципы допускают различные количествен-
количественные уточнения. Прежде чем переходить к ним, отметим
одно простое приложение принципов к оценкам граничной
производной. Вернёмся к случаю отображений односвязных
областейD (Г) на единичный круг w\<^l при условии,
что некоторая фиксированная их точка z^ переходит в центр
круга w = 0.
Пусть ^—-произвольная правильная точка Г; проведём
через точку zx два замкнутых контура Гх и Г2, касающихся
Г в точке zx и такие, что область ^(TJ содержит точку z0
и содержится в области Z)(F), а область Ь(Т2) содержит
область D (Г). В силу теоремы 4 будем иметь
'f'(z»Tx)\<\f'{z»T)\<\f'(zv?%)\.
Если за DiTj) и В{Т2) принять области, отображаемые
на единичный круг с помощью известных функций, то по-
103

лученные неравенства дадут конкретные числовые оцейки
сверху и снизу для \f (zx, Г)|.
Применим это общее соображение к оценке /' (z, Г) | для
случая, ко да Г близка к едини* ной окрун.ности.
Теорема 9. Пусть линия Г удовлетворяет следую-
следующим условиям:
1°. Г принадлежит кольцу 1 — е <^ z |< 1 + г. 2°. Углы
между касательной к Г и касательной к окружности \ z \ — 1
t> точках с одинаковым аргументом не больше и. 3°. Кривизна
к линии Г отличается от 1 не больше, чем на е1#
При этих условиях для граничной производной функции
w = f(z, Г), /(О, Г) = 0, реализующей отображение D(T)
на единичный круг, имеем оценки
1—8
<¦/'(*, Г) <
1 + р, (83)
з которых р — малая второго порядка по сравнению с г,
Доказательство. Для получения искомых оценок
достаточно воспользоваться описанным выше общим при-
приёмом, принимая заГх окружность кривизны
1 + е2, а за Г2 —окружность кривизны 1—-ех.
Приведём, как пример, подробную вы-
выкладку.
Оценим модуль -^ для произвольной
точки М границы Г.
Пусть точку М изображает число 2 = регЧ?.
Проведём через М окружность С (рис. 64)
радиуса R = r-p—, которая содержит внутри себя точку
2 = 0 и касается кривой Г в точке М. Не нарушая общности
доказательства, можно считать, что точка М соответствует
точке w=~-1 w-плоскости, тогда
м
Рис. 64.
dw
dz
1
dz
dw
Рассмотрим функцию z = F(w), реализующую конфор-
конформное отображение круга |(v|<l на круг С такое, что
точка w = 0 переходит в точку z=-0, а точка w= — 1 в
точку М.
104

Так как круг С принадлежит Z>, то в силу вариацион-
вариационного принципа (теорема 4) имеем
dz
dw
dF
dw
Подсчёт | F' (— 1) | значительно упрощает следующее элемен-
элементарное свойство отображений круга | ю> | < 1 на круг С,
Фиксируем точку w0 окружности |cv| = l, её образ—-
точку z0 окружности С и растяжение | F' (wv) \ = A. Этпми
условиями определяется семейство отображений, зависящее
от одного действительного параметра. Можно показать, что
образ любой точки wx из круга | wx \ < 1 при всех возмож-
возможных отображениях нашего семейства описывает окружность,
касающуюся С в точке w0. Проведя теперь через z = 0 ок-
окружность, касающуюся С в точке Й, и обозначив через N
точку пересечения этой окружности с нормалью к Г в точ-
точке ilf, мы можем условие F @) = 0 заменить условием, что
точка N отвечает точке w = 0.
Обозначим через <J> угол, образованный нормалью о дей-
действительной осью. Если центр Ох окружности С изобража-
изображает число а, а длина отрезка OXN равна h, то точку N изо-
изображает число а + Лег'Ф, а точку М — число а — йА При этих
обозначениях функция
даёт конформное отображение круга |С|< 1 на круг С так,
что точки С = 0, С= —-1 и С=п переходят соответственно
в точки z — a, z — a — Re^ m z = a-\ he1*?. С другой стороны,
функция
отображает круг | w | < 1 ,на круг |С| < 1, причём точки
w-= — 1, w = 0 переходят, соответственно, в точки С= -1 и
С = в- Отсюда для искомой функции F (w) имеем выражение
h
105

Следовательно,
Обозначим через а угол между MN и отрезком МО;
;ем Ъ. = 1ик~а ~~ i' но тогдa I ^ ~ ^ I = Т—" iи 'сле"
имеем
довательно
— cos a — -п-
dw
2 1
- cos а — -=
P Л
Полученное неравенство делает оценку модуля произ-
производной |/'(г, Г) | снизу; для получения оценки сверху дос-
достаточно вместо вписанного круга С взять описанный круг
Сг .радиуса Й1 = ^4г1-
Вводя вместо р, а и R числа s, e1? р., после простых пре-
преобразований получим искомое неравенство (83).
Если е мало сравнительно се15 то оценка (83) может
быть существенно улучшена, если за 1\ взять линию, со-
составленную из дуги окружности кривизны 1 + Sj, рас-
расположенной Ене круга |z|<l — e, и дуги окружности
|г| = 1 —е, а за Г2 взять линию, составленную из дуги
окружности кривизны 1 — е1? | z \ < 1 + е и дуги окружности
|1
Из оценок для граничной производной |/'(z> Г)|, если
дополнительно принять, что
/'(О, Г)>0, (84)
можно получить оценки на границе и для larg/(z, Г) — z\.
Для этой цели установим предварительно следующую
лемму.
Лемма. Если отображение w — f (z, Г), /(О, Г) = 0
удовлетворяет условию (84), го на Г найдётся точка
с неподвижным аргументом, т. е. точка zQ = re^, для ко-
которой
В самом деле, рассмотрим функцию
z = F (w), F @) = 0, F' @) > 0, (85)
106

обратную функции /. Положим w ~ ре^ и построим функ-
функцию
В силу (85) наша функция правильна в единичном кру-
круге, причём при р = 0 гармоническая функция Q обращается
в нуль. Но так как значение 1армонической функции в цент-
центре круга равно её среднему значению на окружности, то на
окружности | w! = 1 найдётся такая точка e?cf°, для которой
Q(l, cpo) = O. В этой точке
argF(e'«Po) = (pOf
что полностью доказывает нашу лемму.
Теорема 10. В-условиях теоремы 9 и при условии
(84) в произвольной точке z~re^ границы Г имеем
| arg / (re**, Г) - <р |< тс (Зз + е,) + р, (86)
где р содержит е, р., зх в степенях не ниже второй.
В самом деле, в силу условий теоремы, леммы и прин-
принципа максимума
' ***& / V w ' 9 ¦*¦ / ТО t ^
90
| arg / (re*«, Г) - ?. I > \ | /' (ге", Г) | ^,
где re*? есть точка контура Г. Оценивая \j'(z, Г) | с помощью
(83), получим
или
Вполне аналогично, используя правую часть неравенства
(83), получим
Сочетая последние два неравенства и замечая, что доста-
достаточно рассмотреть ?,|9 —9о| < к, получим искомую оценку.
Различные оценки для |arg/—-9I можно ьолучить и без
исюльзогания нераьенств (83), значительно ослабляя усло-
условия, налагаемые на контур Г— например, оценку, аналогич-
аналогичную (86), можно получить без гипотезы малости числа гх.
Для этой цели можно воспользоваться доказанным в п. 44
107

принципом Монтеля. Укажем путь для получения таких оце-
оценок. Фиксируем на Г точку roefc?<> с неподвижным api ументом:
для оценки | arg / (re^) — 9 [ в произвольной точке rei(t кон-
контура Г ддвтаточно оценить сверху и снизу длину 8 духи
единичной окружности, в которую переходит при отобра-
отображении fv = /(z, Г) дуга контура Г, заключённая между
точками zo = roe'*o и z = re{(? (рис. 65). Соединим точки za и
z дуюй окружности Yi, принадле-
Ожащей D(T) и касающейся Г в
, точке дуги zoz, и дуюй у2, рас-
L положенной вне D (Г) и касающей-
— - t0 ся Г в точке вне zoz.
По принципу Монтеля при отоб-
Рис. 65. ражении w = /(z, Yi + Ta^ ДУ1а Yi
перейдёт в дугу длины, боль-
большей 8, —мы получим оценку для 8 сверху. Меняя роля-
ролями ух и уг> получим таким же образом оценку для 8 снизу.
Приведём одну из таких оценок при е < [х < 0,1:
|arg/(re'*)-9l<l>6i*. (86')
49. Области, близкие к кругу. Полученные в предыдущем
пункте оценки в силу принципа максимума справедливы,
конечно, и для внутренних точек области D(T), но для
внутренних точек они оказьшаются слишком грубыми.
Здесь мы дадим выражение для главной части функции
/ (z, Г), реализующей конформное отображение области
D (Г) на единичной круг, и её оценки, справедливые в зам-
замкнутой области. Будем попрежнему считать замкнутую линию
Г по положению и кривизне бесконечно близкой к единичной
окружности z—1, то-есть в её полярном уравнении
г = г(9) = 1 + 2тс8(9), 0 < 9<2тс,
будем считать
;в, |8"(9)|<е. (87)
Главную часть /(z, Г) нетрудно найти, отправляясь от
формулы E8) п. 41. Полагая
/@, Г) = 0, /'@, Г)>0,
Ю8

E8) получим
(88)
Точно так же, используя формулы G8) п. 44, мы получим
уравнения линий уг и связь между аргументами <р и Ф т0~
чек Yr и окружности jcvj = r:
2тс
(89)
Формулы (88) — (89) мы получили из формул E8) и G8),
справедливых для точек z, отстоящих от места вариации
на расстоянии, большом сравнительно с площадкой а. Сле-
Следовательно, формулы (88) —(89) во всяком случае имеют
силу для всех точек z, для которых 1 — \z.\ велико по
сравнению с 8 (<р).
Нетрудно убедиться в том, что, при принятых условиях
относительно 8(<р), формулы (88) — (89) будут справедливы
и в замкнутом круге |wl<l; можно также дать оценку
погрешности этих формул в зависимости от е.
Займёмся оценкой погрешностей наших формул. По-
Построим отображение, обратное (88):
l- J ~f!f4t)dt\ . (88')
Функция F(w) правильна в единичном круге1). Мы
покажем, что при 8, удовлетворяющем (87), и при е доста-
достаточно малом функция F (w) однолистна в единичном круге
и реализует конформное отображение единичного круга
на область, отличающуюся от области D(Y) на малые
второго порядка, сравнительно с з.
Для этой цели изучим прежде всего соответствие
аргументов точек окружности |я/| = 1 и точек F{w). Это
При | w | = 1 интеграл (88') надо понимать как особый.
109

соответствие определяется формулой (89), в которой нужно
положить г = 1. Получим
ctg
(90)
В силу отмеченных во введении п. 6 свойств особого
интеграла Дер и условий (87) будем иметь
(91)
Кроме того, заставляя в (89) г стремиться к единице,
в силу основного свойства интеграла Пуассона, получим
р = 1 + 2ти8(<р). (92)
Из (90) —(92) заключаем, что если Me < 1, то когда
точка w = e2<? описывает единичную окружность, точка
z = F(w) описывает в положительном направлении неко-
некоторую замкнутую линию Г'. По принципу соответствия
границ функция F (w) приД/г < 1 однолистна в единичном
круге и даёт конформное отображение этого круга на
область D (Г). Согласно (90) и (92) уравнение Г' будет
Отклонение Г' от Г будет определяться неравенством
i 5ЧФ)!! ? -1> I < л/*2.
Кроме того,
Отсюда, обозначая через z = <P
= f{z,T), окончательно получим
ф ((v) -F {w) | < const, г
функцию, обратную
(93)
по

Этим самым показано, что формулы (88) —(90) дают
конформное отображение области -О(Г) на единичный
круг с точностью до малых второго порядка.
Наиболее важной для практических применений являет-
является формула (90). По этой формуле можно вычислять не
только значения ф по 9> н0? ПРИ условиях (87), также и
значения граничной производной. В самом деле, заме-
замечая, что
имеем
о
Дифференцируя по параметру 9> получим
d* л If »(*) -»(У) ^
Но с точностью до малых второго порядка относительно в
'«[1 +2*8 (?)]g.
Отсюда окончательно
« 1 + 2*8(?) - -И ^(°""Ч1) Л. (94)
^ sin* ?_?
Применяя рассуждения, аналогичные предыдущим,
можно оценкой погрешности в (94), в частности, показать,
что эта погрешность есть малая высшего порядка сравни-
сравнительно с е.
При практических вычислениях функции F и её произ-
производной по вариации 8 (<р) проще всего задавать 8 при помощи
тригонометрической суммы
8(<р) = 2тсе (^ + ^0089+ Ьл sin<p + a2cos2? + b2 sin2cp+ • • •)»
тогда, согласно (90) и (94), получим
ф s> <р -}- s (a, sin9 — bi cos 9 + a2 sin 29 — fc2 cos29 + ...)
IF' (eif*) I = 1 + 2-ttS (9) + s (a, cos 9 + bx sin9 + 2aa cos 29 +
+ 26asin2<p+ ...)
i j t

60. Области, близкие к данной. Пусть нам дана од^о-
связная область 2)(Г), содержащая точку z0, и пусть
известна функция, реализующая конформное отображение
области D на единичный круг
» = /(*, Г), /(z.,I') = 0, /'(*,, Г)>0. (95)
Требуется найти конформное отображение
<* = /(*, Г), /(ав,"Г) = О, /'(*oiT)>O
области D (Г), /близкой к2) (Г), на единичный круг.
Пользуясь цолученными выгт е формулами, мы можем
сразу дать решение поставленной задачи. Пусть г1 — точкаГ,
переходящая в точку w = l; обозначим через s длину
дуги контура Г, заключённую между zx и z — когда z,
отправляясь от z1? описывает в положительном направле-
направлении контур Г, число s меняется от 0 до /, где/ —длина Г.
Зная отображение (95), мы тем самым будем знать зави-
зависимость аргумента у точек окружности |ю>|=1 от линей-
линейной координаты s:
*l±\f>(z V\\ )
\
)r^V)\ds. \
о J
Допустим теперь, что Г близок к Г в следующем смысле.
Обозначим S (s) длину отрезка нормали к Г, заключённого
между Г и Г, взятую со знаком +, если этот отрезок
расположен вне #(Г), и со знаком-—, если отрезок лежит
внутри D(T); мы допустим, что
где е — фиксированное малое число. По функции 8 ($) мы
построим в плоскости ?=гегЧ? область Z)(y), близкую к
единичному кругу, принимая за у кривую
где s есть функция у, определяемая из (96). Пусть
— функция, определённая по формуле (88), в которой
вместо 8 (?) подставлена 8* (г); тогда искомое отображение
112

области D (Г) на единичный круг может быть построено
последующей формуле1):
/(*,Г)^/[/B,Г),у] =
= /(*, Г) {l + ^ ;^g=»»*(*)<*«}• (97)
Используя (90) и (94), можно найти также вариацию
соответствия границ и вариацию производной при переходе
от данного отображения w = f{z1 Г) к близкому отображе-
отображению w = /(z, Г).
61. Локальная вариация. Остановимся ещё на одном
важном частном случае разобранной выше задачи, когда
Г отличается от Г только на малой духе с центром в точке а
Kofc^pa Г. Обозначим через с площадь, заключённую
между Г и Г; а мы будем считать со знаком — , если Г
расположена внутри D (Г), и со знаком+ , если Т рас-
расположена вне D(T).
В этом случае формула (97) примет вид
(98)
где 9о есть аргумент точки окружности |w| = l, соответ-
соответствующей точке а —центру вариации. Из (98) непосред-
непосредственно видно, что вариация функции f пропорциональна
площади а и вблизи места вариации контура обратно про-
пропорциональна расстоянию до места вариации.
Для граничной производной будем иметь
i // /v"r\' — i /' i7 v\\ \л * [ f (а, Г) |2 о л ,QQv
| / \zi * /, — ' / V"> А /I I L —2~ — у э \W)
где 9о и ?"" аргументы точек окружности, соответствующих
точке а и точке z — вариация производной пропорциональна
площади а и обратно пропорциональна расстоянию рас-
рассматриваемой точки контура Г до места вариации.
52, Области, близкие к полуплоскости, Есе изложен-
изложенные выше предложения и формулы могут быть перенесены
х) Для возможности применения формулы (97) мы должны пред-
предположить малыми не только д, Я7, о", но также д*, 5*7, 8*"9 что
всегда имеет место, если исходный контур достаточно гладок,
например, обладает дважды дифференцируемой кривизной.
8 Конформные отображения ИЗ

на случай конформного отображения на полуплоскость.
Этот перенос можно осуществить или при помощи вспомо-
вспомогательно о конформного отображения круга на полупло-
скость, или непосредственно с помощью вариационных
принципов п. 46.
. Приведём наиболее интересные из относящихся сюда
формул.
Сохраним обозначения, принятые в п. 46, и допустим,
что линия Г определяется уравнением
причём
!у(*)|<6, [У'(*
lim xy (х) = 0.
Ж->±ОО
и этих условиях функция
может быть представлена следующей приближённой фор-
формулой:
оо
A00)
1Ш1ч
-оо
Для функции F{w), обратной^функции /, имеем
^dtt, A00')
последняя формула справедлива для всех значений w,
Im w > 0, в частности, полагая w — u^ мы получим соот-
соответствие между точками Г и оси а:
а также приближённое значение для производной
t^-dt. A02)
Все приведённые формулы справедливы с точностью
до малых высшею порядка сравнительно с а1).
1) Интегралы A01) и A02), а также A00) и A00;) при действи-
действительных z и w, надо понимать, как особые.
¦114

53. Области, близкие к полосе. Вполне аналогично, опи-
опираясь на вариационные принципы п. 34, легко получить
приближённые формулы для конформног о отображения
областей, близких к полосе 0 < у < 1, на полосу 0 < v < 1.
Сохраняя обозначения, принятые в п. 34, допустим, что нам
даны две линии Го и Г.
IV У =
где уо(х) и }/(%) суть однозначные формулы, причём
Iг/о (*I <?>
\у(х)-1\<г,
При этих условиях функция
w = /(sf Го, Г), /(±оо, Го, Г)=±оо
с точностью до малых второго порядка относительно s может
быть определена следующей формулой:
f(z, Г„ V) [
-ОО
^z=f^dt, (ЮЗ)
а функция z = F(w)f обратная функции /,—фор^мулой
±^dt. A03')
Последняя формула справедлива в замкнутей полосе 0 < v < 1,
и, в частности, полагая w = ut мы получим соответствие
,
точек оси и и линии Го:
hu-=±dt. A04)
8* 115

Дифференцируя A03) и переходя к пределу при v—>0,
найдём приближённое значение для производной
Отметим ещё две формулы для случая, когда вариация
носит локальный характер. Пусть у0 (#) = 0 во всех точках,
кроме малого интервала с центром в точке а, и пусть
х)ах — <5, y(X)z=i,
при этих условиях вне окреотности точки а будем иметь
I/ (Я, 1)|^1+~ а,
а на прямой у ==. 1
1 о
1/'(ж+/, гI = 1-_—^.. A06#)
2
Из формул A06)> A06') мы видим, ^т<? в случае полосы
-влияние местной вариации затухает, как е~г, где г — расстоя-
расстояние до места вариации.
Отмеченный закон имеет место не только для полос,
близких к единичной полосе, но и для значительно более
общего случая.
Теорема 11. Пусть границы Го: y = yQ (x) wT:y =
= у (х) области D (Го, Г) удовлетворяют следующим усло-
условиям:
I т' (г\ I ^ \ • ! ->/' (v\ <*^ \ • I if (ф\ ^ \ • iiir (v\ I *•"* 1 •
пусть z0 — произвольная точка D (Го, Г) к пусть Го м Г сов-
падают, соответственно, с Го и Г во всех точках, удалённых
от z0 не менее чем на г. При этих условиях
I /' (V г г^ — /' G v Т\\ <^ ^ (^()^}
гЗе к —некоторая числовая постоянная.
116

Опираясь на вариационные принципы, нетрудно под-
подсчитать, что если место вариации расположено от точки z
на расстоянии, большем чем четырёхкратная максималь-
максимальная ширина полосы, то вариация In \F (z, Го, Г) будет со-
составлять менее 1%.
Из последней теоремы следует также возможность при-
применения формулы A05) при условиях более широких, чем
те, при которых она была выведена.
Теорема 12. Пусть границы Го и Г удовлетворяют
условию
ye(s);; у{х)\; у'0(х) ; у'{х); у(х)'; \у"(х)\] <
где п —произвольное положительное число. Тогда в точке
zo = x0 + iy0 (x0)
/'(*•, Го, Г)| =
причём остаточный член г оценивается формулой
\r\<ke2,
в которой к — постоянная, зависящая только от п и от
max \y(x) — yQ(x)\.
54. Узкие полосы. Значение производной конформного
отображения данной полосы на прямолинейную полосу
в какой-нибудь граничной точке зависит от положения
этой точки и от всей 1раницы полосы. Таким же свойст-
свойством обладают полученные выше приближённые выражения
для производной.
В случае узких полос, или полос с медленно меняющей-
меняющейся кривизной для граничных значений |/' (z, Ги, Г)|, можно
построить приближённую формулу, в которой участвует,
кроме рассматриваемой точки лишь ширины полосы, угол
между Го, Г и кривизны этих линий, причём все эти вели-
величины берутся в данной граничной точке z одной граничной
линии и в некоторой точке (определяемой точкой z) другой
граничной линии. Мы остановимся на случае узких полос.
Условимся в некоторых обозначениях. Пусть дана полоса
D (Го, Г) и пусть z0 —произвольная точка Г. Проведём че-
117

рез z0 нормаль к Г до её пересечения с линией Го пусть
в точке z'Q. Через n = n(z0) обозначим длину отрезка zozo.
через fi—b(zQ) обозначим угол между нормалями к Го и Г,
проведёнными, соответственно, через точки z0 и V, ъерез k(zQ)
и к0 (z0) обозначим кривизны линий Г и Го, соответственно,
в точках z0 и zQ. Криьизны к0 (к) мы будем брать со зна-
знаком + , если Го (Г) обращена к D вогнутостью (выпукло-
(выпуклостью), и со знаком — в противном случае; (для случая,
изображённого на рис. 66, обе кривизны линий Г, и Г
следует брать со знаком +)•
В рассматриваемом случае удобнее рассматривать кон-
конформные отображения области D (Го, Г) на узкую полосу
О < v < h; функцию, осуществляющую такое отображение,
мы условимся обозначать через
w = /(z, Го, Г, К), /(±со,Гв, Г, А)=±со.
Теорема 13. Пусть h —малое положительное число,
а линии Гой Г удовлетворяют следующим условиям:
kh<n (z) < Ch,
\Ч*)\<КЪ \k(z)~ko(z)\<Kh'
\к0
dh0
~dz
где к, и С— постоянные, не зависящие от h. При этих
условиях
\f'(z, Г., Г, Л)| =
причём остаточный член В имеет следующую оценку:
\R\<Akzh\ A08')
где А— постоянная, зависящая только от постоянных к, С,
к 1У кг.
Доказательство, Прогзведём прежде всего годоб-
ное расширение плоскостей z и w в отношении -т-: 2 = Л^,
w=>/b; при этом линии Го и Г перейдут в линии Г^, Г'
118

со следующими свойствами:
к<п (*)<С,
/с
Л,
Формула A08) в новых переменных запишется так:
I/ VZ> io> l )| = l/ (Z> io> l> ЛI =
Проведём через точки z0 и ^ окружности Со и С'о, сопри-
соприкасающиеся, соответстьенно, с К и
Г' в точках z0 w z'o. Рассмотрим от-
отдельно два случая: 1°. Допустим, что
окружности Со и С'о пересекаются
(рис. 66), и отобразим конформно
луночку D (Со, Со), содержащую от-
отрезок п, на единичную полосу
* = / (г, св, с;)
Рис. 66.
при условии, что угловые точки переходят в точки
полосы. Согласно формуле F1) получим
оо
A09)
Сравнивая правые части A08) и A09), мы видим, что
для доказательства теоремы достаточно оценить разность
\f'(z0, Г;, Г')| —|/'(z0, Со, С'о)\. Для этой цели проведём
окружность С" с центром в точке z0 и радиуса г = -~,где
V —постоянная, не зависящая от /г, подбирается так, чтобы
луночка D (Со, С'о) содержала точки С" с разностью аргу-
аргументов, большей -7-; возможно большое значение v, удов-
удовлетворяющее этому условию, может быть определено через
ранее Еведённь_е постоянные &, кх, /с2.
Обозначим, соответственно, через До и Д части областей
D (Со* Со) и D (Го? Г'), расположенные внутри С", а через а
и 6 —точки С", расположенные в D(C0,C'o,) и D (Г^, Г')

и с разностью аргументов, близкой тт. Пусть
^ = ?о(*)> ?о(я)=— со, <?0(Ь)=со,
W = <? (z), ? И=-оо, 9 F) = oo
суть функции, отображающие области До и Д на полосу
0< v < 1.
Согласно условиям теоремы и в силу п. 47, в областях
До и Д имеем
Л-в <!/'(*, Г;, Г')|<С + е,
где е мало вместе с h.
Отсюда, используя теорему 11 предыдущего пункта,
можно убедиться, что в точке zQ при h достаточно малом
Нам остаётся оценить разность | <р' (z)| — | <р^ (z) . Для этой
цели отобразим конформно с помощью функции
область До на полосу 0 < г\ < 1 плоскости ?; линии Г^ и Г'
перейдут при этом в линии, у0: 7)==:7loG) и Y: 7) = 71 (ж)>
близкие к прямым. Если положить
то согласно построению и условиям теоремы будем иметь
или с точностью до малых высших порядков
Имеем, очевидно,
?(z) = /[?0(z), Ye» Yl.
YU)l = l?;(*)ll7'[?.(*),Y«Y]l- I111)
120

Воспользуемся теперь для | /' | её приближенным выра-
выражением; согласно формуле 105 получим
I/
-
471:
где /г — ограниченная величина.
Следовательно, с точностью до малых высших порядков
что окончательно даёт
'
где .А' —числовая постоянная.
Но тогда из A11) найдём
II?'(*.)|-
что после использования A10) даст нужную оценку для В.
2°. Все проделанные вычисления имеют силу, когда
окружности Со и С'о пересекаются. Остановимся теперь на
случае, когда Со и С[ не пересекают-
пересекаются (рис. 67).
В этом случае проведём через точ-
точку z0 окружность С", ортогональную
окружностям Со и С'о; пусть С есть
дуга окружности С", расположенная в
кольце/) (Со, С'0)вне области/)(Г0, Г).
Обозначим через А область, получае-
получаемую удалением из кольца D (Со, С"о)
дуги С. При помощи дробно-линей-
дробно-линейного преобразования и логарифма об-
область А может быть конформно отображена {w = f (z))
на прямоугольник 0<и<1, |и|<г так, что окружно-
окружности Со и С\ перейдут в отрезки прямых v = 0, u = l, а С
перейдёт в отрезки прямых и=± г. Производя подсчёты,
121
Рис. 67.

с точностью до величины третьего порядка малости сравни-
сравнительно с А, получим
Этим самым наша задача снова приводится к оценке раз-
разности | /' (z, Го, Г) | — | /' (z) |, что проделывается так же,
как в подробно разобранном первом слу ае.
65. Дополнения. Приведём в заключение ряд дополне-
дополнений к формулам A08), A08'). Эти дополнения или непо-
непосредственно вытекают из формул, или могут быть получены
подсчётами, вполне аналогичными проделанным.
1°. Если в условиях теоремы 13 дополнительно допу-
допустить, что вторые производные кривизн к0 и к ограничены,
то для остаточного члена R может быть дана следующая
оценка:
\R\<AJi\ A12)
где число Аг зависит от ранее введённых постоянных и от
верхних границ модулей ьторых производных кривизн к0, /с.
2°. Пусть линия Го соьпадает с осью х, а линия
Г : у ^= 2/ (^) удовлетворяет следующим условиям:
kh<y (х) < Ch,
| у' (X) | < /с^/2, у» (я) | < k%h9 | у'" (X) ! < *,#/.;
при этих условиях в любой точке Г имеем
(ИЗ)
где А зависит только от постоянных к, кх, &2, к3 и С.
ГЛАВА VI
ПРИЛОЖЕНИЕ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ
Изложенные выше элементы теории конформных отобра-
отображений имеют многочисленные приложения к Еесьма разно-
разнообразным задачам, связанным с механикой сплошной среды.
Классические приложения теории конформных отобра-
отображений почти исключительно базируются на построении и
изучении конкретных конформных отображений, в связи с
122

чем многие отображения (луночки, многоугольные области,
лучевые области и т. д.) были подробно изучены при реше-
решении соответствующих врикладных задач.
Наряду с этим за последние i оды Есё большую роль
начинают i риобретать приложения к механическим задачам
общих свсйотв конформных отображений и, в частности,
i риложен^я вариационных принципов.
В данной главе is.bi ьриведём группу прикладных задач,
решение которых сеодится к конформным отображениям,
причём при изложении и выборе материала мы постараемся
центр тяжести отнести к вовросам, при решении которых
существенную роль играют качественные теоремы теории
конформных отображен! й.
56. Идеальная жидкость и уравнения, определяющие
её движение. Мы будем рассматривать плоскопарал-
плоскопараллельные течения жидкости — сущестьует плоскость П,
пусть хоу, такая, что: 1) все частицы жидкости, лежащие
в некоторый момент в плоскости П, во Есё Бремя движения,
остаются в этой плоскости; 2) движенияю всех плоскостях,
параллельных П, совпадают с движением в плоскости П.
Плоскопараллельное дьижение жидкости определено,
если в любой момент времени t известно поле скоростей
Y = \ (x,y,t) частиц жидкости.
Модель идеальной жидкости соответствует следующим
условиям, налагаемым на поле V.
Пусть и = и (х, у, t), v = v (x, у, t) гроекции V на коор-
динатнье оси, собственно на ось х и ось у. Имеем:
1°. Условие несжимаемости
drvV = \- г = 0. A14)
ах d\j N 7
2°. Условие отсутствия в жидкости вихрей
rotv = ?-J = 0. A15)
Из условий 1° и 2° непосредственно вытекает, что в слу-
случае идеальной жидкости udx-{-vdy есть полный дифферен-
дифференциал, т. е. существует функция <р(#> У, 0~~потенЧиал
скоро с те и —такая, что
с*х ' ду
Из тех же условий следует, что потенциал 9 есть гармони-
гармоническая функция х, у
123

Пусть ф(#, у) — функция, сопряжённая с <р, тогда из
A14), A15) и условий сопряжённости следует
Заметим, что из условий сопряжённости потенциала 9
и функции ф следует ортогональность grad 9 и grad <J>, но
в таком случае направление касательной к линии <J> =
= const совпадает с направлением grad 9 = ^,то-есть линии
ty = const суть траектории частиц жидкости— линии тока. По
этой причине функция <]> называется функцией тока.
Из сопряжённых гармонических функций 9 и ^ мы мо-
можем составить аналитическую функцию комплексного пере-
переменного z = x-{-iy
* /()
функция / называется комплексным потенциалом
течения,
— = / (z,t) = u — iv
—комплексной скоростью.
Таким образом, всякому безвихревому течению идеаль-
идеальной жидкости в некоторой области D соответствует анали-
аналитическая в этой области функция —комплексный потенциал
течения. Обратно, имея в D аналитическую функцию
w = f(z, t), мы будем иметь в этой области движение идеаль-
идеальной жидкости с потенциалом скоростей 9 = Reel/. Кинема-
Кинематика движения идеальной жидкости полностью описывается
аналитическими функциями.
Для решения прикладных вопросов наряду с полем ско-
скоростей необходимо знать распределение давлений. Если
написать динамические уравнения для движения бесконеч-
бесконечно малого объёма жидкости и сопоставить эти уравнения
с A14), A15), то нетрудно получить связь между давлени-
давлением /?, плотностью жидкости р и полем f'{z,t) (уравне-
(уравнение Бернулли)
где С ^-постоянная.
В дальнейшем мы будем иметь дело с двумя частными
случаями движения идеальной жидкости.
1°. Установившееся движение, когда поле ско-
ростей не зависит от времени t. В этом случае -^ =и, и
124

уравнение Бернулли имеет вид
п п Р | г* /-\ 2 (\\1\
р — ь —tj- I/ [z); . (ii/)
2°. Удар, мгновенное изменение поля скоростей под
действием импульсивных сил. Обозначим <р0 и /0 началь-
начальные потенциалы, а через <р и / потенциалы в момент, сле-
следующий за ударом. Если считать, что до удара и после
удара /, /' и <р остаются конечными, то после интеграции
по бесконечно малому промежутку времени удара получим
Р = С — р(<р — <р0), A18)
) де Р — импульсивное давление в данной точке, а С — посто-
постоянная.
57. Примеры движений. Рассмотрим несколько приме-
примеров движений, комплексным потенциалом которых явля-
являются простейшие аналитические фун-
функции. *
1°. Поступательное движе- *
ни е. Линейная функция *
/(z) = az = (a + i$) z A19) Рис. 68.
является комплексным потенциалом поступательного дви-
движения жидкости (рис. 68) —поле скоростей постоянно
2°. Источник. Рассмотрим функ-
функцию
A20)
Рис. 69. где д — действительное число. Эта функ-
функция определяет движение идеальной жид-
жидкости всюду вне точки z = a. Линии тока
arg (z — a) = const
суть лучи, выходящие из точки а (рис. 69).
Величина скорости потока |/' (z) \ на расстоянии г от
точки а равна
> тт I p. I v I Q 1 Q
125

Следовательно, в единицу времени через окружность
|я — а | = г протекает количество жидкости, равное
В соответствии с этим поток, определяемый потенциалом
A20), носит название потока с источником в то^ке а, чи-
число q называется интенсивностью источника. При q > 0
жидкость вытекает из круга | z — а | < г, при g < 0 жид-
жидкость втекает в тот же круг.
3\ Вихрь. Рассмотрим функцию
/(*) = gln(z-a), A21)
где Г-—действительное число. Эта функция, как и A20),
определяет движение идеальной жидкости всюду вне точки
z = а. Линии тока
z — а\ = const
г> суть окружности с центром в точке
| z— a | = const.
Скорость потока в точке z=z—a=
= те^ равна
и направлена по касательной к окруж-
окружности, следовательно, циркуляция поля скоростей вокруг
то^ки а равна Г. Такой поток называется потоком вихря,
число Г—интенсивностью вихря или циркуляцией потока
около а. Частицы жидкости описывают около то1,ки а ок-
окружности, двигаясь против часовой стрелки при Г>0 и по
часовой стрелке при Г < 0 (рис. 70).
58. Три задачи на обтчкание. О,пну из центральных
групп задач теории идеальной жидкости составляют задачи
построения потока, обтекающего данную линию или данное
тело. Сформулируем более точно три основные относящиеся
сюда задачи.
1°. Пусть даны две линии Го и Г, имеющие общими
только свои к'онцы, расположенные в точке z = oo. В области
2)(Г0,Г) требуется построить безвихревой поток идеаль-
идеальной жидкости, обтекающий Го и Г; условие обтекания экви-
эквивалентно условию, чтобы линии Го и Г являлись линиями
тока или, что то же самое, чтобы в каждой точке Го (Г^Г
скорость потока была направлена по касательной к Г^ (Г).
126

2°. Дана линия\\ содержащая бесконечно удалённую точ-
точку в области D (Г); требуется построить поток, обтека-
обтекающий Г.
3°. Дана замкнутая линия Г; в области D(T), внешней
к Г, требуется построить поток, обтекающий Г.
Остановимся подробнее на первой задаче. Разрежем по-
полосу D дугой у, соединяющей точку а0
линии Го с точкой а линии Г (рис. 71).
В силу несжимаемости жидкости количе-
количество жидкости, протекающей через у в еди-
единицу времени, не зависит от у и есть по-
постоянная величина Q, которую мы будем
называть расходом потока в по- Рис. 71.
лосе D.
Расход Q просто выразить через функцию тока <J>. В самом
деле, согласно определению Q имеем
<?= $ udy-vdx= $ g(te + g«fy = ,Ka,P)- «Ж p.),
Т Y
то-есть расход равен приращению функции тока при пере-
переходе от линии Го к линии Г.
Отсюда следует, что если поток имеет расход Q, то мни-
мнимая часть комплексною потенциала / (z)? то-есть <[>, долж-
должна быть постоянной на Го и на Г, причём разность её зна-
значений на Го и Г равна Q.
Указанными свойствами обладает функция /(z,ro, Г,ф),
реализующая конформное отображение 2)(Г0,Г) на полосу
О < ф < Q при условии соответствия бесконечно удалённых
точек. Ссылаясь на теорему существования конформных
отображений п. 20, мы можем утверждать, что, каковы бы
ни были линии Го и Г, существует поток с произвольно за-
заданным расходом Q, обтекающий эти линии.
Будет ли при заданном Q течение жидкости опреде-
определяться единственным образом, т. е. будет ли комплексный
потенциал любого потока, обтекающего Го и Г с данным
расходом, отличаться от f(z, Го, Г, Q) только на постоян-
постоянную? Пусть F (z) — комплексный потенциал любого тако-
такого потока и пусть z = 9О»)—"функция, обратная функции
C=/(z, Го, V,Q); тогда, очевидно, функция
будет потенциалом течения жидкости в полосе 0 < r\ < Q.
Наш вопрос сводится к вопросу единственности течения
жидкости в полосе 0 < ч\ < Q с заданным расходом Q.
127

Рассмотрим потенциал
z+CeQ ,
где С —произвольная действительная постоянная, а /г —це-
—целое число.
Нетрудно убедиться, что построенный потенциал при лю-
любых Сип даёт течение жидкости в полосе 0 < у < Q с рас-
расходом Q. Таким образом, форма полосы и расход ещё не
определяют движения жидкости.
Приведем одно, наиболее часто встречающееся в прак-
практике, дополнительное условие, при соблюдении которого
движение становится единственным. Допустим, что линии
Го и Г обладают дифференцируемой кривизной и что шири-
ширина полосы, когда z—>оо, остаётся ограниченной сверху и
снизу так же, как кривизны линий Го и Г и их производ-
производные.
Тогда движение жидкости в полосе -О(Г0, Г) с заданным
расходом Q при условии, что скорость течения остаётся
ограниченной при z—>oo, единственно.
В самом деле, совершая описанную выше редукцию к
случаю полосы 0 < ч\ < Q, рассмотрим функцию Ф(С). Со-
Согласно условию обтекания вдоль прямых ir) = 0, v\ = Q
Отсюда, применяя принцип симметрии Шварца, мы получим,
что Ф'(?) правильна во всей С-плоскости; кроме того, в
силу теоремы 13 п. 54 и условия ограниченности скорости
\F (z)\ функция O'(C) будет ограничена по модулю, но
тогда согласно теореме Лиувилля
Используя теперь условие обтекания и задание рас-
расхода Q, мы убедимся, что а = 1, то-есть
Наше утверждение полностью доказано.
Перейдём ко второй формулированной задаче. Допустим,
что линия Г в бесконечно удалённой точке обладает каса-
касательной и конечной кривизной. Требуется построить в обла-
области D(V) поток идеальной жидкости, обтекающий линию Г
и обладающий в бесконечности заданной по величине ком-
комплексной скоростью Foq. Этими свойствами обладает поток
128

с потенциалом
V<of(z,V),
где согласно принятым выше обозначениям w = / (z, Г), есть
функция, реализующая конфоруное отображение области
?>(Г) на верхнюю полуплоскость, при условиях /(оо, Г) =; оо
И |/'(оо,Г)| = 1.
Рассуждая так же, как и в слу*ае полос, легко убе-
убедиться в том, что построенное течение единственно.
Рассмотрение третьей задачи мы начнём с частного слу-
случая, когда Г *есть единичная окружность |z| = l.
59. Обтекание круга. Будем искать поток идеальной
жидкости в области |zj>l, обтекающий круг j |_z| = 1
и обладающий в бесконечности скоростью,
равной по величине единице и направ-
направленной в положительную сторону оси х.
Наложим на поток дополнительное
требование, чтобы он был симметричен
относительно оси х\ тогда отрезки
( — оо, — 1) и A, + оо) будут принадлежать Рис. 72.
линии тока (рис. 72). В этом случае
искомый поток будет обтекать контур Г, составленный
из отрезков ( — оо, — 1), A, + об) и полуокружности U| = l,
О < arg z < тс. Комплексным потенциалом такого \ потока
является функция /(ztl), дающая конформное отображе-
отображение области D(V) на верхнюю полуплоскость. Согласно
п. 40, 4°,
Наряду с построенным симметричным потоком обтека-
обтекание круга даёт поток вихря с произвольной интенсивно-
интенсивностью Г, расположенного в точке z = 0. Так как скорость потока
вихря в бесконечности равна нулю, то поток, определяемый
потенциалом
/(z) = z+4- + ?lnz, A22)
обтекает единичную окружность и обладает в бесконечно-
бесконечности заданной скоростью
Про анализируем*поток, определяемый потенциалом A22).
В дальнейших приложениях нас будет интересовать слу-
случай
рассмотрением которого мы и ограничимся. Абсолютная
9 Конформные отображения 129

скорости notofta равна
При \z\ > 1 эта величина положительна; найдём точки
единичной окружности, в которых | /' (z) |«~ 0. Положим z a» eia, >
тогда 1
Г ' A23)
следовательно, искомыми точками будут
и циркуляция
Г == — 4тс sin 6, = - 4тг sin 0а. A24)
Линия тока, приходящая из тогки оо в то^ку eidl, в
эгой точке расцепляется на ДЕе —одна обходит нижнюю,
другая — Еерхнюю дугу единичной окружности (рис. 73).
Обе линии соединяются в то^ке е*Ч
Точку е1'1 назовём точкой разветЕле-
ния потока, точку eiJ2 — тонкой схода.
При Г = 0 точки разьетвления к
схода суть точки —1, +1; при ьоэра-
стании Г эти точки опускаются и при
Рис. 73. -г«
Г = 4тс сливаются в точку е 2 .
Построенное нами решение A22) зависит от одного
действительного параметра Г, которьй согласно A24) опре-
определяется единственным образом, если дополнительно за-
задать точку разьетвления или точку схода потока.
Испольвуя теорему единственности (теорема Лиувилля),
можно показать, что A22) исчерглльает все решения
задачи.
60. Обтекание произвольного профиля. Опираясь на ре-
решение задачи обтекания круга, нетрудно дать полное ре-
решение следующей задачи: пусть дан гладкий или кусочно-
гладкий контур Г с фиксированной тонкой а; требуется
вне Г построить шоток, обтекающий Г и такой, что: Iе) ком-
комплексная скорость потока в бесконечности равна Fa,;
2°) точкой схода потока является точка а.
Отобравим конформно
C = F(z,r), F(oo,r) = oo, F'(co,r)>0 A25)
внешность контура Г на внешность единичного круга
180

I &l> 1; пусть при этом точке а2~а соответствует некоторая
точка е*9а единичной окружности. При таком отображении
искомый поток перейдёт в поток, обтекающий единичный
круг |С| < 1 с точкой схода в точке eiJa. Таким образом,
для разрешимости поставленной задачи необходимо, чтобы
Если это условие выполнено, то потенциалом искомого
течения будет функция
Пусть при отображении A25) точке 2 контура Г отье-
i |?| 1
чает точка ei} окружности |?| =
|
тогда в силу A23) для абсолютной тзеличины скорости
потока в произвольной точке Г получим выражение
Проанализируем поведение V на Г. Обозначим через ах
точку разьетвления потока
e«*i = е«0^2)«/?(<!,, Г).
В выражении A27) множитель | sin б — sin 621 имеет нули
первого порядка в точках eidl и eidi, множитель \Р' \ коне-
конечен ео всех гравильнкх точках Г, а е6лйзи угловых точек
имеет структуру
C = F(z, Г), Cf = F(ze,r)
(см. п. 35).
Следовательно, во всех угловых точках Г, отличных
от ах и а2, скорость V обращается в нуль или в беско-
бесконечность. Если же лл(ах) совпадает с угловой точкой, то
в этой точке V может обращаться в нуль или оставаться
конечной (случай, когда а% есть точка возврата, а = 2тс
\F'\ имеет в этой точке бесконечность первого порядка
относительно |С —CJ, а первый множитель — нуль первого
порядка).
«* :* 131

Заметим ещё. что бдоль aYAa2 (рис. 74) частицы жидко-
жидкости движутся в направлении положительного обхода Г,
а вдоль при ахВа2-— в направлении противоположном.
Особый интерес гредставляют контуры с одной угловой,
тонкой (рис. 75), обладающей максимальной абсциссой •'
(крыло самолёта).
Как показьвают опыты, при обтекании таких контуров
реальными жидкостями у1ловая точка всегда является точ-
Рис. 75
Рис. 76.
кой схода потока. Этот важный факт, который можно объ-
объяснить влиянием вязкости жидкости и юзникающим вслед-
вследствие вязкости вихреобразованием, мы примем в качестве
требования, налагаемого на поток.
Постулат Чаплыгина. Из потоков A26), обте-
обтекающих контур с угловой точкой а2, следует брать тот,
для которого а2 является точкой схода.
С помощью гостулата Чаплкгина поток, обтекающий
контур, определяется единственным образом. Вдоль контура
скорость V такого потока всюду конечна, в точках ах и а2
скорость обращается в нуль (если а2 не есть точка воз-
возврата, р случае тогки возврата абсолютная величина ско-
скорости в а2 положительна).
Приведём качественную картину расгределения скоро-
скоростей V в различных точках контура (рис. 76).
61. Примеры профилей крыльев. Подставляя в A25)
вместо функции F различные функции гл. IV, реализующие
конформные отображения внешности контуров на внешность
единичного круга, мы получим течения, обтекающие соот-
соответствующие профили.
Заметим, что повороту профиля на угол а (изменение
угла атаки) соответствуют следующие изменения в ком-
комплексном потенциале:
62. Подъёмная сила. Зная поле скоростей потока,
по формуле Бернулли можно определить давление в каждой
132

точке потока и давление на обтекаемом контуре Г. Суммируя
давления на контур, можно получить равнодействующую Р
сил давления потока на контур.
Обозначим через А и В компоненты
Р ко координатным осям, а через
р — давление в точке z контура Г.
Имеем (рис. 77)
A-\-iB— \ p (sin a — i cosot)ds,
fpas
Рис. 11.
г
где ds — элемент ду*и Г, а а— угол, образоганный каса-
касательной к Г с осью х. Подставляя вместо р его выра-
выражение ю формуле Бернулли и гользуясь тем, что на кон-
тУре /' {*) =, /' U) I euy колуч.им •
г г
Так как j'2(z) — функция травильная Ене контура Г, то
в юследнем интеграле контур Г можно заменить окруж-
окружностью С сколь угодно большого радиуса. По формуле A26)
имеем
l 2i Sin ^ Л ^
""^ С )dz'
и, следовательно, вне С
i sin
Таким образом,
где положено
sin
' (oo,
F'(oo,r) \
Пользуясь A28), легко выяснить механический смысл Г:
Г равна циркуляции скорости около крыла.
133

Формула A29) составляет теорему Жуковского
о подъёмной силе крыла аэроплана:
Равнодействующая сил давления потока на обтекаемый
контур перпендикулярна к скорости потока в бесконечности
и по величине равна произведению плотности среды, абсолют-
абсолютной величины скорости потока в бесконечности и циркуля-
циркуляции скорости около крыла.
63. Вариация скорости. Модель идеальной жидкости
даёт neptoe приближение гри описании движения реальной
жидкости или газа. При у^те гязкости, сжижаемости и т. д.
наряду с полезной подъёмной силой появляются Ередные
сопротивления, неравномерности г/отока и т. п., причём
оказывается, что отмеченные факторы в значительной мере
зависят от характера распределения скорости потока вдоль
крьла. В соотЕетствии с этим, в проблеме улучшения каче-
качества крыла приобретает большое значение получение про-
простых способов пересчёта распределения скорости при пере-
переходе от данного профиля Г к близкому профилю Г. Мы
приходим, таким образом, к задаче: определить вариацию
скорости в зависимости от гариации контура Г.
Поставленная задача допускает простое решение, если
Еоспользоваться формулами Для конформного отображения
области, близкой к кругу, на круг.
Итак, пусть дан контур Г с одной угловой точкой а2
и близкий к нему по положению и кривизне контур Г; мы
Рис. 78.
будем, кроме того, предполагать, что аг принадлежит Г
и что обе касательнке к Г, гыходящие из а2, являются также
касательными к Г (рис. 78).
Допустим далее, что изЕестен поток, обтекающий Г;
тогда мы можем считать известной и скорость потока F,
как функцию длины s дуги контура Г. За начало отсчета s
примем точку а2, возрастание s пусть отвечает положи-
положительному обходу Г; 0< s<l. Кроме того, используя A27),
мы можем считать за^анньм соответствие точек Г и окруж-
окружности |С|»1 ь.ри отображении C = F(*, Г):
134

Обозначим черев n(s) длину нормали к Г, заключенную
между Г и Г и Езятую со знаком — или +, смотря
по тому, расположена ли нормаль Енутри или вне Г.
Построим в плоскости ?=ре1в криьую fi
Имеем
F(z,V) = F{F(z, Г), y} = -F(?,y),
\F'(z, Ty = :Ff&t)\.:F'(z, Г)|.
Отсюда, принимая во внимание A27), получим значе-
значение скорости jF| = |F(s)[ нового потока в точке z% кон-
контура Г, ближайшей к то^ке z = z(s):
Подставляя вместо F(C, у) и FrV*, у) их приближённые
выражения из (88) и (94), го еле простых преобразований
получим следующие окончательные формулы:
О si
2я
A31)
о
2%
В соответствии а замечанием п. 49 фактические под-
подсчёты целесообразнее ьестц путём аппроксимации функ-
функции 8F) тригонометрической суммой
1 sine + tfa cos26+6«sin28+ ...)•
135

В этом случае формула A31) примет вид
sin u-Sin
+ 2a2 cos 20 + 262 sin 20 + ... J , A31'f
где
ДО = в {аг sin 0 — Ьх cos 02 + а2 s:n 202 — fe2 cos 202...),
Д02 = s (ax s'n 02 — bx cos 6 + в2 s'n 2&2 - b2 cos 202,..). A32')
Формулами A31'), A32') можно также пользоваться для
решения обратной задали: по заданной вариации ско-
скорости на кркле найти соотьетстьующую вариацию профиля
крь ла.
64. Лекальная вариация и вариация подъёмной силы.
Рассмотрим теперь частный случай вариации контура Г,
ко да Г отливается от Г лишь на малой дуге с центром
в точке s0. Положим
В атом случае с точностью до мальх вьеших порядков
сравнительно с а вне места вариации будем одеть
4 i cosGctg -2 0-cos62ctg-22
" 2"8^Г?Е5 "* an e-sure;
Из полученных формул, используя теорему Жуковского,
можно получить также вариацию ЬР величины подъёмной
силы Р кркла в зависимости от вариации контура. Проще
все. о получить 8Р, отправляясь от формулы A29). Согласно
этой формуле имеем
\nP-~lnP = cigb2(b2-b2)-ln\F'(oo, y)| =
= ctg ea ^ ctg ^ ь (о dt - i {8 (о dt. A33)
О W
136

Для случая локальной вариации формула A33) примет
вид:
или
A34)
Из A34) легко получить следующий качественный ре-
результат:
Пусть Р > О, аТ совпадает сТ на дуге ахаа2 (рис. 79, а)
и расположен вне области, внутренней
к Г; при этих условиях контур Г об-
обладает большей подъёмной силой, чем
контур Г.
Пусть Р > 0", а Г совпадает с Г на
дуге а1Аа2(рис 79,6) и расположен вне
области, внутренней к Г; при этих ус-
условиях контур Г обладает меньшей
подъёмной силой, чем контур Г.
Для доказательства это о утвержде-
утверждения достаточно рассмотреть локальную
вариацию контура и согласно формуле A34) определить
зн-ак
ы
Рис. 79.
65. Волны в тяжёлой жидкости. Рассмотрим открытый
канал бесконечной длины с прямоугольным сечением и го-
горизонтальным дном. Пусть канал заполнен тяжёлой жид-
жидкостью, движения которой подчинены следующим усло-
условиям: 1) движение плоскогараллельное —голе скоростей
параллельно вертикальным стенкам и одинаково ю ьсех
течениях, параллельных этим стенкам; 2) пусть гря^о-
угольная система координат хоу (ось х принадлежит дну и
параллельна стенкам, ось у направлена Еертикально ыерх)
перемещается с постоянной скоростью v0 в' напраглении
оси ж; мы будем предполагать, *то в системе координат хоу
свободная поверхность и поле скоростей жидкости не зави-
зависят от ьремени t.
Движения жидкости, подчинённые указанным условиям,
мы будем называть установившимися волновыми
движенияз»(р жидкости в канале; тасло v0 будем
называть скоростью распространения волновод движения.
137

Согласно нашему определению, с точки эрения наблю-
наблюдателя, связанною с системой хоу, это поле даёт устано-
установившееся движение жидкости в обычном смысле. -
Общая задала теории установившихся еолн в канале
ставится следующим образом: предполагая жидкость иде-
идеальной, определить ьсе гозможные её устаноьиылиеся вол-
волновые движения.
Поставленная задат а сеодптся к некоторой задаче тео-
теории конформных отображений. Для редукции введём не-
несколько дополнительных параметров. Пусть Т:у~у(х)
есть селение сео6одной поверхности плоскостью хоу\ назо-
назовём средней глубиной канала число
-и
H = lim±[ y{x)dx.
Пусть далее g — ускорение силы тяжести, р—-плотность
жидкости,
Приняв это, перейдём к математической постановке за-
задачи. В силу п. 56 из условий, что жидкость идеальна и
движение в плоскости хоу установившееся, следует, что
комплексный потенциал движения
С = /(*,Г,А), /(±оо, Г, А) = ±оо
есть функция, реализующая конформное отображение об-
ласти D(V): О < у < у{х) на прямолинейную полосу; ши-
ширина полосы должна раьняться h, ибо расход потока по
условию равен vQH = h.
На свободной, ioj-HOiou, поЕерхности дагление должно
оставаться постоянным, равным атмосферному; следоЕа-
тельно, по теореме Бернулли в каждой то^ке Г должно
иметь место соотношение
P = C-±?f'(z,T,h)\*-g?y = const. A35)
Таким образом, наша задача свелась к следующей:
построить все кривые Г: у — у[х) такие, что конформные
отображения / (z, Г, К) области D (Г): 0 < у < у (х) на по-
полосу 0 < у < А заданной ширины h в каждой точке Г удо-
удовлетворяют соотношению A35).
т

Вследствие нелинейности условия A35) решение этой
задачи го ЕСей полноте вызывает большие трудности и
не юлу1еко ;о настоящего времени. Мы изложим ниже
приближённое её решение, осноьанное на приближённых
формулах теории конформных отображений. В наших
частных задачах мы будем искать периодические чётные
кривые у — у(х), мало отклоняющиеся от прямой у = Н.
Для более удобной формулировки условий введём ещё
несколько безразмерных параметров, положим
где а — амплитуда еолны: 2а = max?/ (х) — тту(х) и
2и> —период волны: "*
y{x + 2v)r=y{x).
Будем рассматриьать решения, для которых число а
мало, а т,исло у, соотЕетственно, ьелико. В этом случае,
кэк мы i окажем ниже, ]у.ожно восюльзоваться для при-
приближённого представления \j'(z, Г,/г)| формулой A13).
Но тогда, не ьеняя порядка точности, для точек кривой
Г получим
Подстаьляя это выражение в основное соотношение
A35), мы придём к уравнению вида
Уравнение A36) есть обыкновенное дифференциальное
уравнение второго порядка. Наша задала сьодится к оты-
отысканию периодических решений этою ураьнения, удовле-
удовлетворяющих, кроке того, условию
Решим A36) относительно у" и положим х = Ш,
#(+1) ¦ • .
2 f^- A37)
139

Ради большей простоты дальнейших выкладок фикси-
фиксируем число С —потребуем, чтобы tj = O было интегралом
A37), тогда
Подставляя найденное значение С в ураЕнение A37) и
сохраняя в праьой части этого ураьнения лишь члены
Бторо о порядка малости относительно а и yj, мы приве-
приведём ураьнение A37) к следующему простейшему виду:
7)" = _33*7|-ЗТJ. A38)
Дальнейшее изложение мы будем вести в двух различ-
различных предположениях.
1°. Линейная теория. Предположим сначала, что
число р мало в сраьнении с а* —волны малой амплитуды
на поверхности не.лубокого канала. Тогда уравнение A38)
можно линеаризировать:
и в качестве решений мы получим линейные волны
т] =^-^ cos ]/^3a* С.
В переменных х, у урагнения этих волн имеют вид
у = И -\-dQOSO)X,
/За*
где ф:=11-тт— связано с дру.ими параметрами волны со-
соотношением
0;=—f—. A39)
4
Таким образом, при данной скорости распространения
волны v0 и данном периоде 2со существует бесчисленное
множество решений, гаешящих от, одного параметра-—
амплитуды волны. При этом средняя иубгна Н опреде-
определяется соотношением A3Э). Из соотношения A33) следует,
что скорость линейных волн возрастает вместе с их дли-
длиной, но никогда не превышает \/ g7{. Пренебрегая в A32)
членом <й*Н2, мы поручим формулу Ла.ранжа
140

2°. Длинные волны, теория Ре лея. Займёмся
теперь случаем, когда [В имеет порядок а. В этом случае
задача становится нелинейной. Оказывается, здесь ампли-
амплитуда волн не может считаться произвольной, но при фик-
фиксированной скорости и0 зависит от со.
Уравнение A38) допускает, очевидно, первый интеграл:
-2у)\ A40)
Приняв, что в вершине волны ? = 0, y| = y]0>0, получим
для А значение
Для существования периодического решения A38) или
A40) необходимо, чтобы нашлось значение ^) = ^1<^0> Для
которого -7? = 0 (впадина волны —точка волны с наимень-
наименьшей ординатой). В силу A40) число г}г должно быть кор-
корнем уравнения
2тK + За*тJ-;1 = 0. A41)
Последнее уравнение имеет корень yj — yj0; после деления
его левой части на r\ — yj0 получим
2f + (За* + 2^0) ц + (ЗгЧ + 2^) = 0.
Следовательно,
Ъ = - 4 (За
Таким образом, для существования периодического ре-
решения1) необходимо, чтобы подкоренное выражение было
положительным, т. е. чтобы
а*
Нетрудно непосредственно убедиться в том, что условие
Ъ < т A42)
является вместе с тем условием, ?,остатотным для суще-
существования периодическою решения. В силу A40) полу-
1) Перед радикалом мы берём знак -f, ибо нас, очевидно, может
интересовать только корень, ближайший к rl0.
141

период о) определяется формулой
—ЗаПа —2t3
В силу A41) подкоренное выражение имеет в концах
т|0 и Yjj простое корни, следовательно ш —конечно. Урав-
Уравнение половины волны, 0< S<o), будет
. "Л)
= Г
/Л— За**2 —
Отметим несколько «ачестьенных сеойств построенных
волн, вытекающих из приведённьх вьше формул.
1°. Период 2ш волны возрастает при увеличении орди-
ординаты волны, а также при увеличении амплитуды. Мини-
малъуое значение ш соот-
соответствует линейному слу-
случаю, о = -—^ , когда г\0 —
бесконечно мало; когда г\0
Т приближается к ^,и>не-
^,и>неограниченно растет, а при
Y) =— периодическое ре-
решение вырождается в ли-
нию с единственным ма-
максимумом при 5 = 0 йс
Рис. 80. асимптотой т\ = — а*
(рис. 80).
Построенное апериодическое! решение носит название
уединённой волны.
2°. Кривизна волны в вершине [всегда больше, чем кри-
кривизна волны во впадине.
3°. Скорость распространения волны убывает при воз-
возрастании а.
Посмотрим в заключение, в какой мере построенное
решение удовлетворяет условиям, при которых принятое
приближённое выражение для | /' | мало отклоняется от
действительного (см. п. 54). Для этой цели мы должны оце-
оценить функцию г\ и её первые три производные. Имеем
142

Но тогда в силу A40), A38)
IV К K***h> IV К К**\ IV" I <
где А1? Л2, А8 — числовые гостоянные. Таким обравом, при
вамене | /'' его приближённым выражением мы допускаем
ошибку порядка а*б/2.
Используя построенное приближённое решение и общие
вариационные теоремы, можно строго доказать существо-
существование всей описанной системы волн и показать, что наши
приближённые решения отклоняются от точного на малые
высших порядков.
66. Ударные задачи. Описанное выше применение мо-
модели идеальной жидкости к задачам обтекания и к теории
волн в тяжёлой жидкости можно рассматривать лишь как
первое приближение. Уже в теории крыла аэроплана, имея
решение той или иной задачи для случая идеальной жид-
жидкости, приходится вводить попраьки на вязкость и сжи-
сжимаемость, поправки, которые в изьестных увловиях каче-
качественно меняют картину явления —образование вихрей у
за;:ней кромки, создание скачков давления при больших
скоростях и т. п. Точно так же в те-
теории волн значительную роль играют
вязкие силы. ,
Один из циклов задач, г^де модель
идеальной жидкости может быть ис-
использована особенно полно, образует
ударные задачи. Значительная часть
таких задач охватывается следующей
схемой.
В сосуде А (рис. 81) находится поко-
покоящаяся или движущаяся жидкость В, в
которой плавают твёрдые тела С. В
момент времени ? = 0 на тела С подействовали импульсив-
импульсивные силы так, что тело С,- получило М1новенно приращение
скорости V,- i = l, 2, ... (удар). Требуется определить по-
поле скоростей V* в жидкости и распределение в жидкости
импульсивных давлений Р1) в момент, непосредственно сле-
следующий за ударом.
Перейдём к математической формулировке задачи и зё
редукции и некоторой задаче теории конформных отобра-
отображений.
1) Сосуд и тела предполагаются, естественно, цилиндрическими,
движение жидкости плоскопараллельным; На рис. 81 изображено сече-
сечение, перпендикулярное к образующим цилиндра.

Заметим прежде всего, что, не нарушая общности реше-
решения, мы можем предполат ать, что в момент, предшествующий
удару, жидкость находилась в покое и потенциал <р её ско-
скоростей равнялся нулю:
Обозначим через/) область, занятую жидкостью, а через
Г страницу D. Линия Г состоит из дуг у0, Yi> • • • » Y&~~ce"
чений стенки сосуда и поверхностей твёрдых тел Ct (рис. 84)
и из дуг y'o? Yi» ••• •> Y*~~ сечений свободной поверхности;
между двумя последовательными дугами уг, yi + 1 помещаются
*и Yi-
Пусть теперь
(
— потенциал поля скоростей в момент + 0, следующий за
ударом; <р есть i армоническая функция, правильная в D.
Составим для неё граничные условия:
1°. Вдоль стенки сосуда (дуги у0) из условия обтекания
получаем
2°. В точках дуг у/ соприкосновения жидкости с телом
будем иметь
где п —единичный вектор, нормальный к уу и направлен-
направленный внутрь D г).
3°. В точках дуг у/, входящих в СЕободную поверхность
жидкости, давление в жидкости при ударе не должно ме-
меняться, следовательно в этих точках должны иметь
9 = 0.
Таким образом, поставленная ударная задача являет-
является частным случаем следующей смешанной краевой за-
задачи:
Требуется построить в области D гармоническую функ-
функцию 9, принимающую заданные значения /j (s) на дугах у/ и
х) При этом мы исключаем отставание жидкости от тела (кави-
(кавитацию). Введение в рассмотрение кавитации принципиально не изме-
изменит излагаемого ниже решения, в этом случае пришлось бы ввести
дополнительные параметры—дуги кавитации,
Ш

обладающую заданной нормальной производной Fj (s) на ду-
дугах у/. Производные ф по координатам дают проекции иско-
искомых скоростей поля, а величина ру —искомое импульсивное
давление в жидкоспаг.
Поставленная смешанная задача допускает простую
редукцию к случаю, когда область D есть полуплоскость.
Действительно, отобразим конформно область D на верх-
верхнюю полуплоскость т) > 0; C = /(z, Г). При этом отображе-
отображении гармоническая функция <р (х, у) перейдёт в некоторую
гармоническую функцию «у*^?7))* правильную в верхней
полуплоскости:
где
есть функция, обратная ? = /(z, Г). Обозначим Я/точку оси,
? — образ конца дуги у/ и начала у/; на каждом отрезке
(a/i a/+i) оси ^ функция <р* нам известна:
<Р* E,0) = ? [ж (Е, 0), у (?, 0)] = /, (s) = ^ (?).
С другой стороны, на каждом отрезке {&j-19 dj) известна част-
частная производная -
^ = ^|F"(?)l = ^i(*)|/
Пользуясь этим замечанием, легко решить вопрос о един-
единственности решения ударной задачи. Докажем следующее
предложение:
две ограниченные в области D гармонические функции <рх
и <р2> совпадающие на всех дугах у/, а на всех дугах уу имею-
имеющие одинаковые нормальные производные, совпадают тож-
тождественно.
В самом деле, согласно условиям теоремы гармониче-
гармоническая функция ср = <р2 — о1 ограничена в D, причём на у7': у=0,
анауу:^ = О. В силу приведённой выше редукции за D
можно принять полуплоскость у > 0. Применяя к ~ прин-
принцип симметрии Шварца, мы можем ~ , а следовательно, и <р
аналитически продолжить на нижнюю полуплоскость через
каждый из отрезков уу; дополненная таким образом функ-
функция «у будет правильна и ограничена ьсюду вне отрезков у},
а на этих отрезках (кроме, быть может, их концов) будет
10 Конформные отображения 145

обращаться в нуль. Согласно теореме единственности ре-
решения задачи Дирихле1) функция <р будет тождественно
равна нулю.
Таким образом, если в условиях задачи дополнительно
потребовать ограниченности искомой функции, то решение
её будет огределяться единственным образом. Нетрудно
показать на примерах, что ест. и отказаться от ограничен-
ограниченности решения, то задача может допускать бесчисленное
множество решений (с особыми точками в концах дуг у).
Требование ограниченности <р в ударной задаче может
быть обосновано чисто механическими соображениями.
67. Рсшшие смешанной
задачи. Начнём с изложения
одного простого геометри-
геометрического приёма, позволя-
позволяющего свести поставленную
смешанную задачу к задаче
Дирихле.
Произведём конформное
отображение полуплоскости
7]>0 на многоугольную об-
Рис. 82. ластьД плоскостиZ = X-НУ,
oi раниченную отрезками пря-
прямых dj, параллельных координатным осям —rfaj- оси X, rfay+1
оси У (рис. 82),
иг« г
_ С
Отображение A43) таково, что отрезок (а2/, а2/+1) переводится
в отрезок, тараллельньй оси X, а отрезок (аа/+1, ^2/+2)~
в отрезок, параллельной оси У. Гармоническая функция.
где <р* (?> Yl) — искомое решение смешанной задачи для по-
полуплоскости y)>0 (см. п. 66), а ?=? (Z) = S (X, У) +
+ iy\(Xi У) — функция, обратная A43), правильна в Д, при-
причём на отрезке d2j, на котором известны значения <р* = [л($)
ЪХ
at
A44)
v) См., например, Г у рса, Курс математического анализа, т\Ш,
ч. 1, стр. 175—176.
г 46

а на отрезке а2;+1, на котором изьестны Значения
ной производной g^- = v(?)
ОФ „ч
Следовательно—гармоническая функция -= известна во всех
точках 1раницы Д; кроме её угловых то1 ек. Переходя к пе-
переменным S, Y), мы по этим гранитным данным с помощью
интеграла Пуассона г) можем построить функцию, гармо-
гармоническую в полуплоскости Y) > 0. Переходя к переменным
X, У, кы после инте. рации по X получим в области А
1 армоническую функцию Ф(Х,У), удовлетворяющую гра-
граничным условиям A44), A44'). Возгрэщаясь к переменным
?, Y), получим функцию «у** (?,?)), удовлетворяющую следую-
следующим 1раничным условиям:
—^—^ = ^ E) на отрезках а2/а2/+1,
^Г^7^ на 0ТРезках a*i*ia*i**
При построении ср** в нашем распоряжении сставалаоь
только одна произвольная постоянная; этой постоянной
мы можем распорядиться так, чтобы на отрезке а0 ах имели
<р** = а (?); для построения нужного решения нам ещё недо-
недостаёт (п — 1)-10 параметра. Для получения окон1 ательного
решения построим охраниченную гармоническую функцию g,
правильную вне отрезков я2/+1а2/+2 и равную ?**(?2/+1,0)
на отрезке я2/+1а2/+а. Функция
будет, очевидно, удовлетворять всем данным 1ре(ничным
условиям.
68. Формула Келдыша-Седова. Приьедём более эф-
фектиЕное решение поставленной выше смешанной задачи
*) Для возможности применения интеграла Пуассона достаточно,
чтобы полученные граничные значения были абсолютно интегрируемы.
При соблюдении этого условия получаемая ниже функция <р** будет
ограничена—конструкция решения даёт его существование. Для за-
дачи об ударе граничите значения -«. ограничены, следовательно,
возможность применения интеграла Пуассона не вызывает сомнений.
1.0* 147

Для случая, когда 1) есть верхняя полуплоскость. Функ-
Функции -~ и ~ известны по условию, соответственно, на от-
отрезках у/ (я2/-х a2i) и Ъ (a2/ a2j+i)> где они принимают значения
р/(я) и v (я), будем считать р/ (х) и v (х) непрерывными
и ограниченными.
Займёмся конструкцией аналитической в верхней по-
полуплоскости функции
Согласно условиям задачи имеем
и (я, У) = К-' (я) на
на
Как отмечалось выше, этими условиями функция / пол-
полностью не определяется, мы потребуем дополнительно,
чтобы 1) в точках а2/- функция / была ограниченной, 2) в
z
точках a2j4l был ограничен интеграл \ f(z)dz, 3) в точке
г
оо функция / ограничена и действительна. Рассуждениями,
аналогичными приведённым выше, нетрудно показать, что
при этих дополнительных условиях / определяется един-
единственным образом.
Для построения / введём прежде ьсею следующую вспо-
вспомогательную функцию:
Выбрав при z=i определённое значение ^р
будем обозначать через g (x) предельные значения^ на дей-
действительной оси при подходе к ней сверху. При этих обо-
обозначениях искомая функция / {%) определится по формуле1)
Если отказаться от условия ограниченности функции
г) В справедливости этой формулы можно убедиться непосред-
непосредственно, можно её также получить применением фо[мулы Коши
к функции g(z)f(z) (см. Л. И. Седов, Теория плоских движений
идеальной жидкости, стр. 95, Оборонгиз, 1939).
143

в точках a2j} то общее решение смешанной задачи будет
иметь следующий вид:
ГП (О\ '^ + ™+" •+*»*> , A45')
/с = 1
где функция f{z) определяется формулой A45), а у,— произ-
произвольные действительные коэффициенты.
69. Удар пластинки оводу. Приведём три частных при-
примера ударной задачи. Пусть область D
есть нижняя полуплоскость у < 0.
Твёрдое тело С в момент удара каса- :_^^Р^Щ
ется свободной поверхности жидкости ^a^^j =Zs^ -
2/ = О по отрезку (— а, а) (рис. 83) и
мгновенно приобретает скорость Fo, рис зз.
направленную вертикально вниз.
Потенциал <р (ж, у) искомого течения есть гармоническая
функция, правильная вне отрезка ( — а, а), а на отрезке
( — а, а) имеем
ду °'
На лучах ( — со, а) и (а, оо) имеем 9 = 0, следовательно, и
дх '
и по формуле Келдыша-Седова A45) получим
Из условия, что в точке z=oo, ^ = 0, следует, что кон-
константа у = 0 и окончательно
^^ y^,. A46)
/л2 22
Импульсивное давление в произвольной точке х от-
отрезка ( — а, а) будет равно
!aV0 (^ - arcsin -^Л при х > 0,
aV0 I arcsm - + — j при ж < 0.
149

В момент после удара скорости частиц жидкости, рас-
расположенных на свободной поверхности, нормальны к сво-
свободной поверхности, а ьеличина их определится по формуле
dy 'v-0 ° ' у х 2__аа
Опираясь на формулу A47), нетрудно решкть следую-
следующую механическую задачу: тело С массы т при свободном
падении ударяется о воду по отрезку ( — я, а); скорость
тела в момент до удара равнялась Vx\ определить скороохь
тела после удара.
Обозначим через F2 искомую скорость тела после удара,
но тогда согласно A47) в момент удара на тело подей-
подействует импульсивная сила
О
\ \ (~2 +arcsin ~J dx + \ Г у— arcsin ~j dxl =
С другой стороны, по теореме о количестве движения
имеем
Сравнивая последние две формулы, окончательно по-
получим
Скорость V2 есть также та скорость, которую тело голу-
чит'при неупругом ударе о тело массы 2^а2; в Соответ-
Соответствии с этим число 2ра2 но^т назва-
название присоединеннсй массы пластинки,
плавающей в жидкости.
70. Удар сосуда, частично напол-
наполненного жидкостью. В качестве ето-
2 рого примера разберём следующую за-
г * Дачу. Рассмотрим открьтьй прямо-
Рис. 84. угольнь й сосуд, с вертикальном се1 ени-
ем ABCD, наюлненньй жидкостью
(рис. 84). | Допустим, что, находившись перюначально в
покое, сосзгд мгновенно приобретает единичную скорость
в направлении оси х—своего горизонтального ребра.
Требуется определить Еозникающее при этом поле ско-
150

ростей в жидкости и импульсивные давления на стенки
сосуда.
Мы бу;ем предполагать, что вдоль стенок сосуда после
удара нормальнее к стенке компоненты скорости бу^ут
совпадать с соответстлующими скоростями стенок.
Искомьй потенциал <р удоьлетворяет условиям: ^ = 0
вдоль АВ, с^=1 едоль AD и J3C, <р~О вдоль DC. Допол-
Дополним прямоугольник ABCD грямоугольником BFEA, сим-
симметричным с ABCD относительно АВ. Начало координат
поместим в середину отрезка EF, и пусть о^ — длина АВ
и оJ —длина ED. Продолжим искомую 1армони^ескую функ-
функцию в этот i рямоух ольник *); очевидно,в до ль EF будет ^ = О»
а вдоль АЕ и BF ^.= 1.
Положим -? = к, -J = u; для определения 1армони-
ческой функции и(х, у) мы имеем за,га*у Дирихле: на сто-
сторонах DE и CF прямоугольника EFCD и = 1, а на сторо-
сторонах CD и ?F
Решим прежде Есего эту вада^у. Для этого отобразим
конформно грямоугольник EFCD на верхнюю полупло-
полуплоскость, с помощью функции, обратной F3) (см. п. 42, при-
пример 12°)
C 6 fy «i( )
Гармоническая функция и(х, у) перейдёт в гармониче-
гармоническую функцию от новьх переменных и (с, v\), причём гра-
граничные значения этой функции равны единице на отрезках
,т) и ( — i, — 1J,соответствующих CF и DE, и равны
нулю на отрезках ( — 1,1), (~оо, — i-^,
соответствующих jBF и CD (то1ке оо спотьетствует точка
отрезка CD) (см. п. 42). Непосредственно убеждаемся
х) Эго возможно, ибо на отрезке АВ — =»0. См. И. И.При-
И.Привалов, Введение в теорию функций комплексного переменного,
стр, 33Q—331, изд. 6, 1940,
Ш

в том, что решением этой задачи будет
Возвращаясь к переменной z, получим
= JL im in L JL ft Д A49)
*" [ [(*;«„»,) + I J [_ ЧГ (*; «i, »,) — 1 J J
JleiKO проверить, что функция u — iv — аналитическая,
следовательно
= lReelJlni -Л1 Ц . A49')
Простым интегрированием получим искомый потенциал
<р(х,у), и следовательно импульсивное давление Р= — р<р.
Максимальное давление, соответствующее, очевидно,
точке 2? (рис. 84), получим, инте> рируя — рс?<у вдоль сто-
стороны FB.
Приведём в заключение результаты числовых подсчётов
для двух частных случаев.
1°. Допустим, ^то сечение рассматркваемого сосуда есть
квадрат
В этом случае ?ля максимальною импульсивного дав-
давления получим значение
Ртах = 0,46
или; еводя массу жидкости т,
Ртах = 0,46^.
2°. Допустим теперь, что то же сечение есть прямо-
прямоугольник с длиной, вдвое большей, чем высота
152

в этом случае для Рщахполучим значение
или, вводя снова массу жидкости т =
р о 49 mV
Заметим, *то если Еьсота сссуда будет велика сравни-
сравнительно с е о длиной, то максимальное импульсивное дав-
давление бу;ет близко к импульсиьному давлению при у; аре
сосуда, закрытого сверху. В этом случае теорема коли-
количества движения даёт
р mV
Таким образом, для перво о случая, сосуда с квад-
квадратном се* ением, снятие кр^ шки амортизирует удар жид-
жидкости ь переднюю стенку на 54°/~, а во втором случае на 68%.
71. Движение грунтовых вод. Как показывает опыт,
движение грунтовых вод в однородном i рунте достаток но
то1 но следует законам движения идеальной жидкости.
Ограничиваясь, как раньше, плоским случаем, допустим,
что через область D, заполненную :рунтом, просачивается
жидкость, и предположим, что движение установившееся.
Обозначим через Р (х: у) давление в произвольной точке
#, у области D. Имеет место следующий опытный : закон
(закон Д а р с и): скорость частиц жидкости в точке (^, у)
пропорциональна градиенту давления и направлена в сто-
сторону, противоположную градиенту
V=-/c grad P. A50)
Коэффициент пропорциональности к зависит только от харак-
характера грунта и назь вается коэффициентом фильтра-
фильтрации. Добавляя к закону Дарси A50) условие несжимаемости
жидкости
divV = 0, A51)
мы получим, что поле скоростей движения просачивающейся
через D жидкости обладает потенциалом <р
9(х,у)=-кР(х,у), A52)
который является гармонической функцией, правильной
в области D.
153

рис 85
При проектировании илотйй одним иа существенных
элементов их расчёта является решение следующей задачи:
дана область ?), граница Г которой состоит из следующих
прямолинейных участков
(рис. 85):
1) прямая у=~ Ло,
2) луч (~ со, 0) оси х,
3) отрезок (О, I) (флютбет),
4) луч (/, со) оси #,
5) вертикальные отрезки
(шпунты) у/, выходящие из
точек 0, х1У х2..., отрезка
@, /) и обладающие дли-
длинами Z/(; = l, 2, ..., л)?
Область D заполнена водопроницаемым ]рунтом с коэф-
коэффициентом фильтрации к.
Над флютбетом @, /) расположено сооружение А\ слева
от А под ссью х расположен слой свободной жидкости
толщины #2, а справа от А — слой свободной жидкости
толщины Нх\ #! < Яа.
Стенки сооружения Л, флютбет, шпунты и основание
у = —hQ считаются Бодонепроницаемьми.
При перечисленных условиях требуется определить уста-
новиыпееся движение жидкости в области Z), причём проек-
проектировщиков интересуют в основном следующие три ьели-
чины: 1) расход жидкости, 2) максимальное и общее давле-
нае на флютбет, 3) максимальная «выходная» скорость на
луче (/', оо).
Ыайдём граничные условия, которым должен удовлетво-
удовлетворять потенциал скоростей <р.
В силу водонепроницаемости основания В, флютбета
и шпунтов на всех участках Г, соответствующих этим эле-
элементам, должны иметь обтекание, т.е. должно выполняться
соотношение
| = 0. A53)
Кроме того, на участках ( — со, 0) и (/, оо) давление Р
должно быть постоянным: на левом участке Р = ('Я2 + ,Ро>
на правом участке Р — рНг + Ро, где р —плотность жидкости,
/^ — давление атмосферы. Следовательно, вдоль ( — оо, 0)
? = *№+*.) = ?.* A54)
а вдоль (/, оо)
154

Таким образом, поставленная задача движения грунто-
грунтовых вод под сооружением привелась к частному случаю
задачи, разобранной нами при изучении удара.
Отметим два приёма решения, учитывающих специфику
граничных условий A53), A54), A54').
1°. Обозначим через 0 функцию тока; в силу условия
A53) у сохраняет постоянное значение ty0 вдоль j/= — h0
и постоянное значение <!> = <!>! вдоль флютбета и шпунтов.
Комплексный потенциал ? + ity реализует конформное ото-
отображение области D на прямоугольник, ограниченный
прямыми Ф = ?ц ? — ?2> ty^'W' ty — Фг? причём точки — со,
О, I, + со переходят в вершины прямоугольника. Имея
в виду формулу F3), можно ограничиться конформным ото-
отображением области D на полуплоскость -q > 0:
Пусть при этом отображении тохки —со, 0, /, оо пере-
переходят в точки а,, а2, а3, а4; применяя дополнительное
линейное преобразонание, мы можем перевести эти точки
в точки —у, —1; -т- , 1 —можно заранее считать, что
/(-«)= --р /@)=- 1, /@=1, /(+оо) = |.
Тогда искомый потенциал примет вид
где х (^ ^i» «>я) — фуякцкя F3) п. 29, а'о>х и ш2 опреде-
определяются г:о формуле F3):
dt
С dt
о
Высота прямоугольника
будет давать расход жидкости под сооружением.
2°. При отображении A55) функции ср (ж, г/) и ф (о;,
перейдут в функции ср* и ф*:
?»(g, У1) = ?[Х($, Г,), у F, 7))],
Г E, ч) = Ф[»E, ч), у(?, ч)],
155

причём ср* правильна всюду вне отрезков ( — 4" ' ~~ О
и С^у-jr) и принимает на этих отрезках, соответственно,
значения ог и <р2) а ^правильна вне отрезков (—оо, —Г ) ,
Ч к у t
(-—1, 1) и A, оо) и принимает на этих отрезках значе-
значения ф2, <1>г, ф0, но тогда выражение для <р* (?, f\) -+- ity* (?, ^])
можно получить го формуле Келдьша-СедоЕа A45).
72. Качественные замечания, вычислительные приёмы.
Применяя к разбираемой задаче вариационнке теоремы,
легко полупить ряд заклю1ений относительно характера
изменений расхода, выходной скорости и давления при
изменениях в размерах элементов сооружения.
Если увели* ить длину о/ но о или нескольких шпунтов,
то ice линии тока снизятся, расход уменьшится, выходная
скорость уменьшатся. Если стремиться уменьшить выход-
выходную скорость, то наиболее эффективным является удлине-
удлинение крайнего правого шпунта.
Если увеличить длину одного шгунта, то давление на
флютбет слева от этого шпунта увели1 ится, а справа
уменьшится; в частности, угеличение длины крайнего в.ра-
еого шпунта увеличит даьление на флютбет ьсюду.
Те же теоремы и соотЕетствующие формулы *ают также
возможность обосшнать и уточнгть разли1 ные приближён-
приближённые приёмы ;ля численного решения зада1 и.
Одним из наиболее распространённых приёмов для при-
приближённо о 01 ределения потенциала <р является так назы-
Баемый метод фрагментов Пэелоеского.
73. Метод фрагментов. Прове/ём *ерез концы шпунтов
эквигютенциалы у/1? = 9/5 линия yj соединяет конец /-ю
шпунта с линией у= — h0 и вместе со шпунтом у/ обра-
образует линию с непрерывно меняющейся касательной, орто-
ортогональную к у = — h0 (рис. 85). Линии у) разрезают область
на р + 1 частей — фра; ментов — Do, Dx, ..., Dp. В каждом
фра!менте D} (/=1, 2, ..., р — 1) потенциал ср удовлетво-
удовлетворяет следующим граничным условиям: на yj 9 = ?>y, на уу+1-
<р = <ру+1) на остальных участках границы — = 0. Аналогич-
Аналогичным условиям потенциал <р удовлетворяет во фра1 ментах ?H
nDp; именно, дляД0 —на луче ( —оо, 0) <р = Ф0> на у^ <? = <flf
на остальных участках i раницы Do: ~ = 0; для2)р — на луче
(/, оо):9 = Фр, на у^ ? = 9Р, на остальных участках гра-
156

ницы Dp: ^- = 0. Заметим теперь, что если расстояние между
соседними шпунтами значительно по сравнению с их дли-
длиной, то линии Yj мало отклоняются от прямолинейных
отрезков Yy'jперпендикулярных к ?/= — й0. Обозначим херез
Д;- прямоу, ольник, 1-олуг.аемый из Dj заменой у}> Yy+i отрез-
отрезками Yp Yy+i» области До и кр будут при этом полуполо-
полуполосами (рис. 85).
Перейдём к конструкции приближённого выражения для
потенциала <f. Прежде всего строим в каждом прямоуголь-
прямоугольнике А/ хармоническую функцию Ф/ (х, у) по следующим
гранитным данным: 1) Фу = О на отрезке yj+1; 2) Фу=1 на
отрезке Yy5 3) ^ ^ =0 на Есех остальных участках ipa-
ницы Ду.
Заметим, что согласно общей теории фактическое по-
построение Фу сводится к конформному отображению Ду на
полуплоскость, следовательно Ф/ будет выражаться инте-
i ралом типа F3).
Зная Фу, строим функцию Wj9 cor ряженную с Фу; пусть
m'j, m"j — изменения функции №у на отрезках yJj Yy+i
т) =
A55)
где fly, — Zy суть координаты конца /-го шпунта.
За искомое приближённое выражение для <р в области
Aj примем
U A56)
Функция у/ очевидно удовлетворяет своим граничным усло-
условиям (при замене фра мента Dj прямоугольником Ду), и чем
меньше yJ отклоняется от отрезка yJ, тем меньше ср/ будет
отличаться от <ру.
В формулах A56) имеется ещё р неизвестных парамет-
параметров 9Х, 9г> •••? УР- Эти параметры мы можем определить
из условия совпадения расходов жидкости в двух соседних
фрагментах, т. е. из совпадения приращений на отрезке
»Yy функций Фу_х и <|)у, сопряжённых с 9/_г и «р/-
Имеем
157

Следовательно, параметры <ру должны удовлетворять сле-
следующей системе уравнений:
roJ-ito-TyJ^Hfyi-*/I)' /-1*2, ..., р. A57)
Система A57) есть система р линейных уравнений с р
неизвестными еру. Определяя из неё <р/ и подставляя их
значения в A56), мы получим исковое вкражение для
9 (х, у) ео всех фрагментах.
Как уже отмечалось выше, точность метода фрагментов
зависит от величины отклонений линий <р/ от отрезков <р?.
Укажем путь для числовой оценки шн решнссти. Возьмём
/-кй шпунт; пусть D' есть часть ?), расположенная слева
от этого шпунта у,-, & D" —-часть Z), расположенная справа
от него. Заменим часть/)" областью D'[, симметричной с С"
относительно у,-. Для области D1 = D'-\- D'[, линия у у оче-
очевидно будет совпадать с отрезком у'. Используя вариацион-
вариационные теоремы, мы гожем оценить вариацию функции /(z),
реализующей конформное отображение области D1 на полу-
полуплоскость при переходе от Dx к D, и получить тем самым
оценку отклонения у^. от yj'. Наша задача свелась к оценке
разности <р и <р в зависимости от отклонения у' от у)' или
области Dj от прямоу. ольника Ау, но эту оценку можно
получить, используя формулы гл. V для конформных ото-
отображений близких областей.
Опираясь на формулы для конформкьх отображений
близких областей, мсжно также дать существенное уточ-
уточнение метода фрагментов: примем за yV полуЕОлну сину-
синусоиды с амплитудой bh соединяющую конец у,- с прямой
у= —h0. Считая области Ау близкими к прямоугольнику,
мы сможем построить эффективное отображение Ау на полу-
полуплоскость и тем самым построить функцию Фу, равную еди-
единице на у]' и нулю на yV+1 и обладающую нулевой нор-
нормальной производной на остальных участках границы. Функ-
Функция Фу линейно зависит от параметров синусоид fcy, 6y+1.
По функции Фу мы, как раньше, строим искомый потен-
потенциал 9
В построенном Еьражении для <р имеется 2/с числовых
параметров фу и 6у. Система A57) даёт р уравнений; ещё р
*) Положим ещё <ро«О,
158

уравйейий мы полупим, если потребуем, чтобы расход
Жидкости, вытекающей из А^ *ерез верхнюю половину у}',
^кялся расходу жидкости, втекающей в А;- череа ту же
ст у/
74. Методы пересчёта. С точки зрения практитеских
Ьяложений особый интерес представляет вадача создания
эзможно более простого метода для пересчёта значений 9
Щ переходе от данной конструкции к конструкции близ-
близкой. В самом деле, допустим, что при расчёте запроекти-
запроектированной конструкции ркавалось, что некоторые величины
(расход, давление на флютбет, выходная скорость) превы-
превышают допустимые размеры; тогда естественно возникает
вопрос о том, где и насколько следует усилить конструк-
конструкцию,
Укажем путь для решения поставленной задачи в слу-
случае, ко^да новая конструкция отличается от старой длиной
одного шпунта: требуется определить изменение расхода
и потенциала <р> когда шпунт у/ удлинён на величину ДА.
Мы будем предпола!ать, что для исходной конструкции
известен потенциал <р и свяваннке с ним выражения (в част-
частности, функция / (z, Г).
Пусть при отображении ? = /(;z, Г) конец zj = (a7-, —//)
шпунта у/ переходит в точку а оси g и пусть в окрестно-
окрестности точки Zj имеем
где /х (z) регулярна в точке z/.
Обозначим через D (Г) область течения при новой кон-
конструкции. При отображении C = /(z, Г) область D (Г) пе-
переходит в область А, получаемую удалением из верхней
Полуплоскости малой дуги у длины е,
• = 4/У ДА,
выходящей ив точки а ортогонально оси 5. С точностью
До малых высших порядков мы можем считать у прямоли-
прямолинейным отрезком. При этих условиях для отображения Д
на полуплоскость мы можем воспользоваться формулой E2)