и. м. яглом
КОМПЛЕКСНЫЕ
ЧИСЛА
И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
В ГЕОМЕТРИИ
<т>
БИБЛИОТЕКА нму
МАГ®СШ
м.
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИДО-МАТЕМАТИЧ ЕСДОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1963
612
Я 29
АННОТАЦИЯ
Книга в доступной форме знакомит
читателя с кругом вопросов, связывающих
учение о комплексных числах с геометрией.
Автор рассматривает разнородные геомет-
рические теоремы, доказываемые с исполь-
зованием разных типов комплексных чисел.
В книге дано также краткое- изложение
вопроса о применениях аппарата комплекс-
ных чисел в геометрии Лобачевского.
Книга рассчитана на школьников
старших классов и студентов математиче-
ских отделений университетов и педагоги-
ческих институтов. Она может быть ис-
пользована в работе математических круж-
ков. Изложенный в книге материал мо-
жет также представить интерес для пре-
подавателей математики средней и высшей
школы.
Исаак Моисеевич Яглом.
Комплексные числа и их применение в геометрии.
М., Физматгиз, 1963 г., 192 стр. с млл.
Редакторы М. М. Горячая и И, Е. Морозова.
Техн, редактор И. Ш. Аксельрод.	Корректор А. Б. Лапина.
Сдано в набор 5,111	1963 г. Подписано к печати 13/V 1963 г.
Бумага 84 X ЮБ1/^- Физ. печ. л. 6. Условн. печ. л. 9,84. Уч.-изд. л.
10.37. Тираж 43 000 экз. Т-04962. Цена кннгн 31 коп. Заказ № 216.
Государственное издательство фнзнко-математнческой литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Московского городского совнархоза. Москва, Ж-54, Валовая, 28.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................... 4
Глава 1 Три типа комплексных чисел..................... 7
§	1.	Обыкновенные комплексные числа	............. 7
§	2.	Обобщенные комплексные числа .................13
§	3.	Самые общие комплексные числа.................15
§	4.	Дуальные числа ...............................20
§	5**.	Двойные числа................................23
§	6**.	Гиперкомплексные числа.......................26
Глава II. Геометрические интерпретации комплексных чисел 31
§	7.	Обыкновенные комплексные числа	как точки пло-
скости 	31
§	8*.	Приложения и примеры..........................38
§	9.	Дуальные числа как ориентированные прямые пло-
скости ..............................................83
§ 10*. Приложения н примеры.......................  97
§ 11**. Интерпретация обыкновенных комплексных чисел
на плоскости Лобачевского............................ПО
§ 12**. Двойные числа как ориентированные прямые пло-
скости Лобачевского...............	...'119
Глава III. Круговые преобразования и круговые геометрии 130
§ 13. Обыкновенные круговые преобразования (преобра-
зования Мёбиуса)....................................130
§ 14*. Приложения и примеры .......................144
§ 15. Осевые круговые преобразования (преобразования
Лагерра)............................................156
§ 16*. Приложения и примеры........................170
§ 17**. Круговые преобразования плоскости Лобачевского 178
§ 18**. Осевые круговые преобразования плоскости Лоба-
чевского ...........................................186
ПРЕДИСЛОВИЕ
Тема настоящей книги относится и к алгебре и к геомет-
рии. Связи между этими двумя дисциплинами очень разно-
образны и чрезвычайно плодотворны для каждой из них.
Многие применения алгебры к геометрии и геометрии к ал-
гебре были известны уже в далекой древности; ближе к на-
шему времени возникла такая большая дисциплина как ана-
литическая геометрия, переросшая -затем в алгебраическую
геометрию—обширную и активно развивающуюся науку, ко-
торую с равными основаниями можно отнести и к геометрии,
и к алгебре. Другой пример такого рода доставляют ал-
гебраические методы проективной геометрии, развитие кото-
рых привело к тому, что сейчас уже неясно, надо ли счи-
тать проективную геометрию разделом геометрии или алгебры.
Также и учение о комплексных числах, возникшее первона-
чально в рамках алгебры, оказалось связанным с геометрией
весьма тесно; это можно видеть хотя бы из того, что в раз-
витие этой теории геометры внесли, пожалуй, больший вклад,
чем алгебраисты.
В настоящее время различные виды комплексных чисел
изучаются довольно интенсивно; с учением о комплексных
числах связаны важные не решенные до сего дня задачи, над
которыми работают ученые во многих странах. Эта книга,
разумеется, совсем не ставит своей целью ознакомление чи-
тателя с современным состоянием вопроса. Здесь освещена
лишь одна из многочисленных нитей, связывающих учение
о комплексных числах с геометрией, причем даже и в этой
ограниченной области мы никак не претендуем на полноту.
Однако тот круг вопросов, который затрагивается в этой
книге, представлен здесь довольно широко. В частности, мы
нигде не ограничивались лишь введением основных понятий, а
во всех случаях стремились сразу же использовать эти
4
понятия для доказательства содержательных геометрических
теорем.
Книга рассчитана на довольно разнообразный круг чита-
телей: если первые параграфы всех глав вполне могут быть
использованы в школьном математическом кружке, то послед-
ние параграфы явно рассчитаны уже на студенческий кружок.
Это обстоятельство вынудило нас к довольно сложной си-
стеме обозначений, различающих отдельные части книги.
Основную линию изложения составляют §§ 1—4, 7, 9,
13 и 15, не отмеченные звездочками. Наряду с этим в книге,
в значительной степени обращенной к настоящим и будущим
преподавателям математики, естественно было не слишком
скупиться при подборе иллюстраций элементарно-геометриче-
ского характера. Пути применения аппарата комплексных чи-
сел к элементарной геометрии демонстрируются в §§ 8, 10,
14 и 16, которые помечены одной звездочкой. Каждый из
этих четырех параграфов называется «Приложения и примеры»
и содержит разнородные геометрические теоремы, доказывае-
мые с использованием комплексных чисел. Собранные здесь
теоремы, как правило, имеют чисто иллюстративное значение;
несколько ближе к основной линии изложения стоят, пожа-
луй, лишь теоремы, о степени точки и прямой относительно
окружности (§§ 8 и 10), используемые в § 16 для нового
(«геометрического») определения осевой (лагерровской) инвер-
сии, играющей существенную роль в содержании § 15. Про-
пуск §§ 8, 10, 14 и 16 никак не отразится на понимании
(всего дальнейшего содержания книги, и мы рекомендуем чи-
тателю при первом чтении не слишком задерживаться на них.
Впоследствии, по овладении основным материалом, читатель,
интересующийся элементарной геометрией, сможет вернуться
к этим параграфам.
Совсем иной характер имеют §§ 5, 6, И, 12, 17 и 18,
помеченные двумя звездочками. Здесь мы несколько расши-
ряем рамки изложения и выходим за границы того материала,
который (иногда, впрочем, довольно условно) можно отнести
к «школьной» (элементарной) геометрии. Дело в том, что
основные приложения комплексных чисел в геометрии связаны
все же не с геометрией Евклида, которая изучается в сред-
ней школе, а с так называемыми «неевклидовыми геометриями»,
самой известной из которых является неевклидова геометрия
Лобачевского. И даже в популярной книге, посвященной
комплексным числам, нам казалось совершенно недопустимым
полностью игнорировать эту важнейшую линию геометриче-
5
ских приложений комплексных чисел. Не имея возможности
коснуться этого вопроса даже с минимальной широтой (см.,
например, также далеко не всеобъемлющие по охвату мате-
риала книги и статьи, указанные в подстрочных примечаниях
на стр. 19 — 20 и 30), мы все же сочли необходимым включить
в книгу краткое изложение вопроса о роли комплексных чи-
сел в геометрии Лобачевского. Соответствующие параграфы
рассчитаны, естественно, на читателя, хотя бы немного зна-
комого с содержанием этой замечательной геометрии. Впрочем,
его подготовка в этом отношении может быть минимальной —
она не должна выходить за рамки материала, излагаемого
в научно-популярных книгах и брошюрах, посвященных неев-
клидовой геометрии (некоторые из таких книг и брошюр
указаны нами в подстрочных примечаниях). В соответствии
с особым характером отмеченных двумя звездочками пара-
графов и изложение в них имеет несколько иной характер,
чем в остальных частях книги: так, например, доказательства
здесь иногда не проведены со всей полнотой и восстановление
некоторых деталей предоставлено читателям. Ясно, что
пропуск §§ 5, 6, И, 12, 17 и 18 также никак не отразится на
понимании остального материала книги, которая в своей эле-
ментарной (т. е. не связанной с неевклидовой геометрией)
части представляет собой вполне законченное целое.
Первоисточником настоящей книги явилась лекция на ту
же тему, прочитанная автором в 1958 г. московским школь-
никам— участникам школьного математического кружка при
Московском государственном университете; расширенное из-
ложение этой лекции было опубликовано в выпуске 6 сбор-
ников «Математическое просвещение» (М., Физматгиз, 1961).
Значительная часть материала излагалась также на кружке
для студентов первого курса математического факультета
Московского государственного педагогического института.
Автор выражает благодарность А. М. Яглому, советы кото-
рого были учтены в процессе работы над рукописью, а также
своим ученикам М. М. Араповой и. Ф. М. Навяжскому, ко-
торым принадлежат некоторые из изложенных в книге дока-
зательств, и редакторам книги М. М. Горячей и И. Е. Мо-
розовой, сделавшим ряд полезных замечаний. Наконец, автор
признателен Р. До (Roland Deaux), профессору Политехни-
ческого института в г. Монсе (Бельгия), любезно прислав-
шему ему последнее издание своей книги о комплексных
числах.
И. Л1. Я г лом
ГЛАВА I
ТРИ ТИПА -КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. Обыкновенные комплексные числа
Введение комплексных чисел в алгебре связано с реше-
нием квадратных уравнений. Если под «числами» понимать
лишь обычные вещественные числа, то приходится считать,
что квадратное уравнение
х’+рх + ? = 0	(1)
имеет два корня, если Д=/?’— 4^>0; один корень, если
Д = 0; ни одного корня, если Д<0. Таким образом, весь-
ма многие уравнения, например следующие:
х!+1 = 0, х’—2х+2=0, х’+х+1=0,	(2)
оказываются неразрешимыми — не имеющими корней. Это об-
стоятельство существенно усложняет теорию уравнений.
Чтобы устранить это усложнение, приходится расши-
рить понятие о числе. А именно, уславливаются счи-
тать, что уравнение х24-1=0 имеет корень, являющийся
числом особого рода {мнимым), отличным от обычных
вещественных чисел; эго число обозначают специальной бук-
вой i. Добавляя к множеству вещественных чисел число i,
мы обязаны объяснить, как производится умножение веще-
ственных чисел на i и сложение их с i — ведь числа мы можем
умножать друг на друга и складывать друг с другом, и пока
мы не определим эти действия для «расширенного» множе-
ства «чисел», мы не имеем достаточно оснований называть i
числом. При этом оказывается невозможным ограничиться
добавлением лишь одного числа i: все произведения Ы ве-
щественного числа b на i и все суммы a + : вещественного
7
числа а и числа bi (где Л #= 0) также приходится считать
числами особого рода и включать в множество чисел допол-
нительно к вещественным числам и числу I. Полученное при
этом множество чисел вида a-f-Ы (при b—G включающее
все вещественные числа, а при а = 0 — все числа вида bi) и
называется множеством комплексных чисел.
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел
естественно определить следующим образом:
(а bi) + (с -f- di) = (а 4- с) 4- (b 4- d) i,
(а 4- bi) — (с 4- di) t=(a — c) + (b—d) i,
(a 4* bi) (c 4- di) ~ac 4- adi 4- bci 4- bdi* = (ac—bd) 4- (ad-\-bc) i
(3)
(здесь использовано то, что по определению i есть
корень уравнения х’4~1=0, так что /’4-1 = 0 и i* =—I).
Так же просто указать правило деления комплексного числа
на вещественное:
1 с d
(c4-dz):a=(c4-dZ).- =-4--z.
Если же нам надо разделить произвольное комплексное чи-
сло z, на другое комплексное число z, то достаточно подо-
брать такое число г, чтобы произведение zz было веще-
ственным. При этом мы будем иметь
г1:г = (г15):(гг),	(4)
а правила умножения комплексных чисел zt и z и деления
полученного комплексного числа z,z на вещественное число zz
нам уже известны. Пусть z = a-j-bi; в таком случае в каче-
стве z удобнее всего выбрать число а — bi, для которого
zz = (а 4- bi) (а — bi) — а‘ 4- Ьг.	(5)
Теперь правило (4) деления на комплексное число z = a-\-bi
можно записать так:
с+ di (c-f-di) (а—bi) _ (са 4- db) -J- (—cb + da) i 
a-[-bi	(a-[-bi) (a — bi)	a‘-[-b!
_ca-\-db —cb + da .
~	as + b*
Число a — bi называется сопряженным комп-
лексному числу z = a-[-bi1)-, очевидно, обратно, число z со-
*) Впоследствии символом 7 всегда будет обозначаться число,
сопряженное г.
8
пряжено числу z (т. е. (z)=z). Заметим, что не только
произведение zz, но и сумма z-\-z сопряженных ком-
плексных чисел является вещественным числом. Сумма z-\-
+~z = 2а представляет собой удвоенную вещественную
часть а комплексного числа z = a-\-bi; произведение zz—
— аг-\~Ьг есть квадрат (положительного) числа г =
называемого модулем числа z и обозначаемого через | z |.
Ясно также, что число z тогда и только тогда совпадает со
своим сопряженным (т. е. имеет место равенство z =z), когда z
является вещественным. Далее, легко проверить, что
из определения сопряженного числа следуют равенства
zx +z2 = zl + z!, z,—z2 = z, — zt, zl-zt=zl-zt,
z^z^z.iz,	(7)
(иначе говоря, сумма, разность, произведение и частное чи-
сел, сопряженных двум данным комплексным числам, сопря-
жены соответственно сумме, разности, произведению и част-
ному этих_ чисел). Впоследствии нам понадобится также то
обстоятельство, что разность z — z двух сопряженных чисел
является числом чисто мнимым (т. е. имеет вид Ы, где b
вещественно).
Итак, комплексные числа можно складывать, вычитать,
умножать и делить, причем все законы, которым подчиня-
ются эти действия, точно совпадают с законами действия
над обыкновенными вещественными числами *). В частности,
как и в случае вещественных чисел, деление на комплексное
число z = a-\-bi возможно не всегда: для возможности
деления необходимо, чтобы модуль | z | — ]/~а? -f- bs числа z был
отличен от нуля. Таким образом, существует единственное
комплексное число 0 = 0-f-0Z, деление на которое невоз-
можно. В тех случаях, когда невозможность деления на нуль
представляет неудобства, поступают привычным уже нам об-
разом: уславливаются считать, что частное 1:0 существует,
но является числом особого рода, для которого вво-
дится специальное обозначение оо; другими словами, расши-
ряют множество комплексных чисел, вводя новое число оо,
по определению равное —. Правила действий над
*) Это обстоятельство иногда выражают, говоря, что комп-
лексные числа, равно как и вещественные, образуют коймута-
тивноеполе.
9
символом оо определяются следующим образом:
Z 4- оо— оо, z—оо=оо, г-ос =ос, — = оо, — = 0, (8)
здесь z — произвольное число, причем в среднем равенстве
z У= 0, а во втором и в двух последних z =/= Разность
оо — оо, произведение О-оо и отношение Ц (а также и от-
ношение -^ = 0--^- = 0-оо) приходится считать, вообще го-
воря, не имеющими смысла, причем здесь уже ничем помочь
нельзя *).
Важно иметь в виду, что в то время, как в области ве-
щественных чисел извлечение квадратного корня возможно
только из положительного (точнее, из неотрицательного) чи-
сла, в области комплексных чисел квадратный корень можно
извлечь из любого числа z = а -ф bi. Действительно, полагая
а-\-Ы =(х-{-у/)г,
получаем без труда
х‘~ у*=а, 2ху = Ь.
/| 2-1 + а
1—-у—
у — у/~ г^— , где |z| = jAz2 b2 а (знаки при радикалах
х и у подбираются так, чтобы произведение ху имело тот
же знак, что и Ь). Это приводит к формулам

(9)
,, _	0-00 +&
*) Отметим, впрочем, что отношение-------—з, где а, Ь,с, а —
г	с- оо -|- а
, ч а + Ь •-
az + &_ г
произвольные комплексные числа,в силу тождеств а ~------------р
сф <!•—
1 о
и — = 0 следует считать имеющими вполне определенное зиаче-
а
ние, а именно — . с)то замечание нам будет полезно впоследствии.
10
Отсюда немедленно вытекает, что в области комплексных
чисел каждое квадратное уравнение (1) (с вещественными
или любыми комплексными коэффициентами р и §1) имеет
два (различных или одинаковых) корня
(10)
В частности, при вещественных р и q это уравнение
будет иметь два различных вещественных корня xt =
=*	при Д > 0; два одинаковых (также вещественных)
корня х12 =— у при Д=0; два различных комплексных
.	X	— р-ь/ТГдг
(сопряженных друг другу) корня х12 = ———-------приД<0.
Так, например, уравнения (2) имеют следующие корни:
I тСч
x,,2=±Z;	x12=l±i;	_ ± 1_/. (Ц)
В ряде случаев оказывается более удобной иная форма
записи комплексного числа z--a \-Ы, выдвигающая на пер-
вый план его модуль — У аг -j-£2. Вынесем число |д| за
скобки:
z = а -|- Ы = Vаг + Ьг ( . а -ф --- °- — Л .
\/а2 + Ь2 /c2 + t2 /
Стоящие в скобках вещественные числа -Г. ° и	b—
Уа‘ + Ьг	Уа' + Ь*
обладают тем свойством, что сумма их квадратов равна 1.
Отсюда следует существование такого угла ф, что
cos ср — —r , sin ср = -г . .. .	(12)
/а2 + Ь2	*	/a2 + fc2
Если обозначить модуль |z\ = У а* -{-Ьг числа z одной бук-
вой г, то мы будем иметь
z = г (cos ф 4-i sin ср),	(13)
где
г = ]/й2-|-о2 и cos<f> = -p, sin ср = у. (13а)
Угол ф (определяемый равенствами (13а) с точностью до сла-
гаемого, кратного 2л) называется аргументом числа z и
обозначается через Arg г; если его ограничить, например,
11
условием —л<ф^л, то для положительных вещественных
чисел он будет равен 0, а для отрицательных равен л. Сопря-
женные числа будут иметь одинаковый модуль г и противо-
положные аргументы ф и —ф.
Форма (13) записи комплексных чисел называется три-
гонометрической формой. Она чрезвычайно удобна,
когда приходится перемножать два или несколько комплекс-
ных чисел. В самом деле,
г (cos ф ф-i sin ф) • г, (cos ф1 ф-i sin ф,) =
— ГГ\ [(СОЭф- COS ф1 — 51‘Пф-5(Пф1) ф- Z (СО5ф81Пф1 ф- ЗЙ1фСО5ф1)? =
= гг, [cos (ф ф- Ф,) ф-Z sin (ф ф- фЛ- (14)
Таким образом, модуль произведения двух комплексных
чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргу-
мент произведения — сумме аргументов сомножителей
(ср. со значительно менее удобной формулой (3)). Отсюда
вытекает также, что модуль частного двух комплексных
чисел равен частному, модулей этих чисел, а аргумент
частного—разности соответствующих аргументов-.
— = -!	*' ?П= — [COS (ф — ф) ф-Z sin (ф — ф)]. (15)
г /-(cos<p4-isin<p) г 1	r	'
Из этих правил сразу выводятся законы, позволяющие воз-
вышать комплексное число z в любую степень и извлекать
из него корень:
[г (cos ф ф-Z sin ф)]п = r"(cos лф ф-Z sin лф);
г (cos ф ф- Z sin ф) = |/7^cos ^-ф- Z sin	(16)
(л различных значений корня л-й степени мы получим, вы-
брав в качестве ф в последней формуле л значений аргу-
мента ф=фоф-2£л, 6=0, 1, ... , л—1,гдеф0 — какое-то
одно из возможных значений аргумента).
Интересно отметить, что приведенный здесь чисто формальный
метод введения комплексных чисел является весьма общим и мо-
жет быть использован и в самом начале курса алгебры при вве-
дении рациональных (дробных) и относительных (положительных
и неположительных) чисел. В самом деле, имея только целые
положительные числа (и нуль), мы можем свободно их склады-
вать и перемножать, ю вычитание выполнимо уже не всегда.
Для того чтобы сделать возможным вычитание (т. е. сделать раз-
решимыми все уравнения x-j-a = b), приходится расширить мно-
жество положительных чисел, добавив в качестве «числа особого
рода», например, корень уравнения хф-1 = 0, который обознача-
12
ется через—1; далее при помощи сложения и умножения отсюда
получаются все целые отрицательные числа, причем все уравне-
ния х-]-а = Ь (с целыми коэффициентами) становятся разреши-
мыми. Подобным же образом, чтобы сделать возможным деление
(т. е. сделать разрешимыми все уравнения ах=Ь с целыми коэф-
фициентами) приходится еще далее расширить числовое множе-
ство, введя в качестве «чисел особого рода» решения — всех
О.
уравнений ах—1, где а—целое положительное; после этого мы
естественно приходим к множеству дробей (рациональных чисел)
— , и все уравнения первой степени ах-=Ь с целыми коэффици-
ентами становятся разрешимыми. Аналогично можно вводить и
квадратичные иррациональности и иррациональности высших
порядков.
Подчеркнем еще, что фундаментальное значение комплексных
чисел для алгебры определяется в первую очередь тем фактом,
что при переходе от квадратного уравнения (1.) к уравнениям
высших степеней не приходится далее расширять множество чи-
сел, добавляя к числам вида а-{-Ы еще какие-либо числа «осо-
бого рода»: оказывается, что любое уравнение п-й степени с ве-
щественными или произвольными комплексными коэффициентами
обязательно имеет комплексный корень. Этот факт составляет со-
держание основной теоремы алгебры.
§ 2. Обобщенные комплексные числа
Вернемся снова к началу пути, приведшего нас к по-
строению комплексных чисел. Чтобы устранить затруднения,
связанные с неразрешимостью ряда квадратных уравнений в
области вещественных чисел, мы присоединили к множеству
таких чисел новый элемент /, по определению являю-
щийся корнем одного из неразрешимых уравнений, а именно
уравнения х4-|-1=0; это привело нас к множеству комп-
лексных чисел а-\-Ы (а, Ь вещественные), при употребле-
нии которых, как оказалось, уже все квадратные уравнения
имеют корни. Поставим теперь вопрос о том, существенно
ли в этом построении использование именно уравнения хг 4~1 =
— О или же его вполне можно заменить каким-либо другим
квадратным уравнением?
Ответ на этот вопрос не труден: легко видеть, что урав-
нение №-}-1=0 не имеет никаких принципиальных пре-
имуществ перед другими неразрешимыми в вещественной об-
ласти уравнениями, и выбор именно его диктуется лишь его
относительной простотой (тем, что коэффициенты р \\q здесь
равны 0 и 1). В самом деле, обозначим через / «число осо-
бого рода», являющееся по определению корнем произвольного
13
квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом
х* 4-рх + ?=0, Д=р2 —4#<0	(17)
и рассмотрим множество обобщенных комплексных
чисел Z вида
а~-\-Ь1, а, b — вещественные.	(18)
Эти числа можно складывать, вычитать и перемножать по
правилам
(а + bl) + (с + di) = {а + с) + (й-|- d) 7,	|
(C4_W)_(c + d/)=(fl_C) + (z>_£/)/j I
(a + Ы) (c -f-d/) = ac -\-adI-\-bd + bdl2 = ।
= (ac— qbd) (ad + be—pbd)I J
(72 =—pl—q, поскольку / по определению есть корень
уравнения x2-]-px-\-q — 0). Далее, для каждого обобщенного
комплексного числа Z = a-\-bI нетрудно подобрать такое
число Z, что произведение ZZ будет вещественным; так,
например, можно положить Z = (a~pb) — ЬГ, тогда
ZZ = a2— pab + qb* = (a— fb^ +	Ь\
Эго обстоятельство позволяет определить деление обобщен-
ных комплексных чисел, исходя из равенства (4); так как
—	/	— п2
к тому же ZZ = 0, лишь если а = 0 и b = О I ибо — =
— Д
= — >01, то единственное число, деление на которое
оказывается невозможным,—эго число 0 ( = 0 -(-О-1). Нако-
нец, легко показать, что каждое квадратное уравнение (с ве-
щественными или обобщенными комплексными коэффициентами)
в области обобщенных комплексных чисел имеет два (совпа-
дающих или различных) корня. Так, например, если через
I обозначить корень второго из уравнений (2), то корни трех
уравнений (2) будут равны:
х,=—1+7, х2 = 1—7; хг = 1, х^Ъ — Г,
у-^3-1 )Лз	Гз+1 , Кз,
1	2	2	’	2	2	2	’
а если есть корень третьего уравнения (2), то корни тех
14
же уравнений будут иметь вид
/3 . 2/з,	/3 2/з ,
= 1Г+—А. *. = - - з--------т- А;
3+0 2/3,	_3-/з 2/3 \
1	3	"* 3	«’	2	3	3	1’
л\ = /,, хг = — 1 —
Все эти результаты становятся совершенно очевидными,
если вспомнить, что корень / уравнения (17) имеет вид
/=-| + ^=^/ (или /=-|-К=Д^;	(20)
обратно, i можно выразить через Г.
i=-^= + -^=I <или i =-------------Д=/\(21)
/-Д	/-Д к	/-Д	/-Д J
Таким образом, обобщенные комплексные числа а-\-Ы — это
те же самые обыкновенные комплексные числа а-\-Ы, но
записанные в несколько иной форме:
а±Ы=а + 6 (~ у4- — др-~	= О1 4-^,;
где	п	К- д
a^a-j-b, bx=*-^b.	(22)
Отсюда ясно, что все алгебраические свойства чисел
Z = a-}-bI не могут отличаться от свойств обыкновенных
комплексных чисел ’).
§ 3. Самые общие комплексные числа
Сделаем теперь еще один шаг в сторону дальнейшего
обобщения понятия комплексного числа. А именно зададимся
вопросом о том, насколько существенна в построениях
’) Тождественность алгебраических свойс.тв обобщенных комп-
лексных чисел Z и обыкновенных комплексных чисел г выте,кает
из изоморфизма этих двух множеств чисел, т. е. из сущест-
вования такого взаимно однозначного отображения г*—» Z одних
чисел на другие, что из z, «—* Z„ z2 «--» Z2 следует z, +-z2 «—► Z, +£2,
z,— z2-*—f Z, — Zj, z,-z2 <--»• Z,-Z2l г,:г2Z2:Z2, (такое
отображение мы получим, сопоставив числу г = а + Ы число Z =
, , ,	, pb	. 2Ь	0
=	где а.=а4—ф-	Ь, = - — и, значит, а = а.—Ль,
/-Д	/—Д	2 1
15
предыдущего пункта отрицательность дискриминанта А
уравнения (17) и нельзя ли избавиться и от этого огра-
ничения?
Ясно, что если смотреть на комплексные числа как на
средство борьбы с затруднениями, связанными с неразреши-
мостью в области вещественных чисел ряда квадратных урав-
нений, то условие отрицательности дискриминанта А оказы-
вается весьма существенным. Действительно, предположим,
что в качестве «числа особого рода» мы присоединили к
множеству обыкновенных вещественных чисел число Е, яв-
ляющееся по определению корнем уравнения (1) с поло-
жительным дискриминантом. В таком случае в области
чисел вида а-[ЬЕ уравнение (1) будет иметь по крайней
мере три разтичных корня: два вещественных корня (10)
(ибо Д = р* 2 — 4т/> 0) и корень Е (на самом деле различных
корней здесь будет даже четыре); в то же время нетрудно
показать, что все уравнения с отрицательным дискриминан-
том останутся неразрешимыми *). В дальнейшем мы, однако,
полностью отвлечемся от вопроса о разрешимости квадрат-
ных уравнений и будем рассматривать комплексные числа
лишь как некоторые числа новой природы, родственные обык-
новенным числам в отношении правил выполнения алгебраи-
ческих действий и имеющие (как мы увидим ниже) интерес-
ные применения в геометрии.
С этой новой точки зрения расширение множества ве-
щественных чисел при помощи добавления нового элемента
Е, по определению удовлетворяющего уравнению (1),
*) Приведем соответствующее доказательство для частного
случая уравнений вида xa-f-c=O, с > 0. Из того, что Е2 =—рЕ —
— q, выводится, что
(a -f- ЬЕ)2 = (а2—qb2) + (2ab—pb2) Е;
поэтому (а-)-ЬЕ)2 будет вещественным числом лишь тогда, когда
2
2аЬ—pb2=0, т. е. Ь—0 или Ь = —а. Но при этом или (a-f-Z>£)l=
= а2> 0
t 2
о= — а;
Р
образом,
(если 6 = 0), или
же (а + ЬЕ)2 = а2^1 — ^Q>0
(если
здесь использовано, что по условию р2—4q > 0). Таким
ни прн каком х = а-}-ЬЕ число х2 н е может рав-
няться отрицательному числу —с.
Аналогично может быть доказана неразрешимость в области
чисел вида a-j-bE и произвольного квадратного уравнения
с отрицательным дискриминантом.
16
представляется законным вне зависимости от знака дискри-
минанта А этого уравнения. Всевозможные линейные комби-
нации
а-\-ЬЕ, где а, b — вещественные,	(23)
мы будем называть самыми общими комплексными
числами.
Сложение, вычитание и умножение самых общих комп-
лексных чисел будет производиться по следующим естест-
венным правилам:
(a + 6£) + (c + d£) = (a + c) + (Z> + d)£,
(а+ЬЕ) — (c-(-dE) — (a — c) + (b — d)E,	I
(a -f- bE)-(c + dE) = ac + adEbcEbdE? = |
= {ac— qbd) + (ad -f- be — pbd) E. J
Нетрудно видеть, что все законы, относящиеся к сложению,
вычитанию и умножению самых общих комплексных чисел,
будут совпадать с законами действий над обыкновенными
вещественными числами. Несколько иначе обстоит дело в от-
ношении деления (при разборе вопроса о делении обобщен-
ных комплексных чисел в предыдущем пункте мы сущест-
венно использовали отрицательность дискриминанта А —
= ра — 4q); поэтому вопрос о делении самых общих комплекс-
ных чисел мы пока оставим открытым *).
Систем самых общих комплексных чисел существует очень
много: каждой паре вещественных чисел р и q можно сопо-
ставить квадратное уравнение (1) и, следовательно, свою
систему самых общих комплексных чисел (23). Однако, как
мы уже знаем из предыдущего пункта, все подобные систе-
мы чисел, отвечающие таким парам р и q, что
А = рг — 4q < О,
по существу не различаются между собой: всегда среди чи-
сел вида а-(-ЬЕ найдется число г = а + р£ такое, что
= — 1 (для этого надо только положить a =	, В =
/-Д
*) То обстоятельство, что самые общие комплексные числа
можно складывать, вычитать и умножать с сохранением всех
обычных правил этих действий, но не обязательно можно делить
друг на друга, выражают, говоря, что такие числа составляют
кольцо.
17
= • ?	; при этом Е — а, + B.z, где а, = —~г, В, =
после чего число а-^-ЬЕ можно отождествить с обыкновен-
ным комплексным числом al-\-bli (где а1 = а—Ь,
ГдД д
= —2—о I. Аналогично этому в случае, когда
Д = р2 —4</ = О,
среди чисел вида а-\-ЬЕ найдется число в = а + такое,
что ег = 0: можно, например, положить в = у + Е\ тогда
Е! = ^- + рЕ+(— рЕ— q) = ~~ V=0.
Поэтому совокупность самых общих комплексных чисел
а-±-ЬЕ при рг — 4</=0 всегда можно свести к так называем
мым дуальным числам
a-}-be, а, b—вещественные, в* = 0;	(25)
число а 4- ЬЕ следует отождествить с дуальным числом аг + Ь,е,
где а, = а —£b, bt — b.
Наконец, при
& = р* — 4q > О
найдется такое комплексное число е — а-\-ЬЕ, что е’=4-1;
Р 2
действительно, если положить е —	Е, Е =
р 1 /-д- Л
= —у-]-----—е, то будем иметь
е
2
„V рг . 4р „ , 4 ,	„	.
Е) ~ & "^Д Д (~РЕ~^— 1-
Это позволяет свести нашу систему самых общих комплекс-
ных чисел к так называемым двойным числам
а±Ье, а, b — вещественные, ег = 1;	(26)
достаточно отождествить число а -) ЬЕ
с двойным числом
ci + ^e = (°—+
е.
15
Итак мы видим, что все системы самых общих комплекс'
ных чисел фактически сводятся к следующим трем раз-
личным системам1):
обыкновенные комплексные числа a-f-W, i* 2 =— 1;
дуальные числа	а-)-ЬЕ, е2= 0;
двойные числа	а-\-Ье, ег— 1.
Обыкновенные комтексные числа тесно связаны с вопро-
сом о решении уравнений второй и высших степеней; они
играют основную роль в алгебре и во многих разделах ма-
тематического анализа. Происхождение этих чисел проследить
нелегко. Считается, что впервые их стали употреблять
итальянские математики XVI века Джироламо Кардано
(1501 —1576) и Рафаэль Бомб ел л и (род. в 1530 г., его
«Алгебра» вышла в свет в 1572 г.), однако в неявном виде
эти числа можно найти и в более ранних работах; с другой
стороны, еще долго после Кардано и Бомбелли даже выдаю-
щиеся математики не имели правильного взгляда на комп-
лексные числа. Дуальные же и двойные числа не имеют
никакого отношения к теории квадратных уравнений с ве-
щественными коэффициентами и вообще сравнительно мало
связаны с алгеброй; основные применения эти числа находят
в геометрии2). Дуальные числа, по-видимому, впервые рас-
сматривал известный немецкий геометр конца прошлого и
начала этого века Эуген Ш т у д и (1862— 1930); двойные числа
были введены современником Штуди английским геометром
Вильямом Клиффордом (1845—1879).
Основные применения двойных чисел относятся к неевкли-
довой геометрии Лобачевского ’); поэтому в настоящей статье
мы сосредоточим наше внимание в первую очередь на обык-
новенных комплексных числах и на дуальных числах.
*) Точнее говоря, самые общие комплексные числа при Д < 0
изоморфны обыкновенным комплексным числам, при Д = 0—дуаль-
ным числам и при Д > 0—двойным числам (ср. сноску на стр.
15). Эти числа при Д <0 иногда называют эллиптическими комп-
лексными числами, при Д = 0—параболическими комплексными чис-
лами и при Д > 0—гиперболическими комплексными числами.
2) Некоторые применения эти системы комплексных чисел на-
ходят также в теории чисел.
’) И к некоторым другим геометриям, отличным от привычной
геометрии Евклида (например, к так называемой псевдоев-
кл и довой геометрии, играющей фундаментальную роль в
физической теории относительности). [В общем виде вопрос о
связи комплексных чисел с неевклидовыми геометриями разо-
19
§ 4. Дуальные числа
Сложение, вычитание и умножение дуальных чисел опре-
деляется формулами:
(а -ф be) ф- (с -f-t/e) = (а -ф с) -ф (Ь ф- d) е, )
(а-фбе)— (c4-de) = (a — с)-ф(£> — d)e, У (27)
(<z-+-Z>e)(c-f-de)=ac + (ad + ^c)e. J
Последняя из этих формул показывает, что произведение
дуального числа z = а -ф be на другое число z, = с ф- de будет
вещественным лишь в том случае, когда ad -ф Ьс — 0; если
а ф= 0, то последнее равенство можно записать в виде — =
d п
= ——. Вещественным, в частности, является произведение
чисел z = a-\-be и г —а— bet
z-z = (a-)-be)(a — be)—а*.	(28)
Число z=a — be называют сопряженным числу z =
= a-\-be (и обратно, z сопряжено г); корень квадратный а
из произведения zz (совпадающий с полусуммой  2 - сопря-
женных чисел z и г) называют модулем дуального числа
z и обозначают через |z| (отметим, что модуль дуального
числа может быть и отрицательным!). Сумма z-\-z — 2а
двух сопряженных чисел является вещественной; разность
z—z—2be является числом чисто мнимым (т. е. отличается
от е лишь вещественным множителем). Заметим еще, что,
в полной аналогии с обыкновенными комплексными числами,
дуальное число z тогда и только тогда совпадает со своим
сопряженным г, когда оно является вещественным. Также
и формулы (7) полностью остаются в силе для дуальных
чисел.
Правило деления на дуальное число z = a -{-be мы теперь
можем записать так:
с ф de (с ф de) (а—be) _ саф(—cb-)-da) е  о , — cb-j-da
a-)-be (a-)-be) (а—be)	аг	а‘ а*
бран в статье: И. М. Яг л ом, Проективные мероопределения на
плоскости и комплексные числа, Труды семинара по векторному
и тензорному анализу, вып. VII, М.—JI., Гостехиздат, 1949, стр.
276—318; следует только предупредить, что эта статья не явля-
ется научно-популярной и рассчитана на подготовленного читателя»)
20
Отсюда видно, что для возможности деления на дуальное
число z необходимо, чтобы модуль | z | = а этого числа был
отличен от нуля; при этом, в противоположность обыкно-
венным комплексным числам, дуальное число нулевого мо-
дуля само может быть отличным от нуля. В тех случаях,
когда невозможность деления на числа нулевого модуля
явится для нас затруднением, мы будем считать, что частные
1 1
— и -Q- являются числами новой природы, которые условимся
обозначать через ю и оо; введем также в рассмотрение все-
возможные числа вида сю, где с #= 0 вещественно. Тогда
любое дуальное число будет иметь обратное:
1 1 . , п	1
т-=-г® при b =/= 0;	-^ = 00.
be b г	О
Правила действий над символом оо здесь определяются теми
же формулами (8), что и выше (причем число z в этих фор-
мулах может быть и числом вида сю); правила действий над
числами аю определяются так ’):
(а + be) -j- сю = сю, (а -|- be) — сю = (—с) ю,
(а + be) сю = (ас) ю,
ссо с	а + Ьв	а	'
а + be а ссо с
сю±Ло = (с±с/)ю, сюс/ю = оо.
(30)
Положим еще
сю = — сю, оо = оо;
(30а)
тогда для расширенного (введением чисел сю, оо) множества
дуальных .чисел сохраняет силу равенство 2=z и все пра-
вила (7). Не имеющими смысла остаются выражения , — и
О со
О-со; впрочем, значение дроби
az-\-b
сг-j-d
при z = оо естественно
с
1) Здесь мы исходим из того, что, например, -------~ =-------
r я^Ье а^Ьв
с с	a -J- Ье а 4- Ье
естественно приравнять —------— = — , а -------=-------- считать
е (а + Ье) qe сы с
е (а + Ье) яе
равным --------- = —
с с
8
21
положить равным у (ср. сноску’) на стр. 10; при z=ka>
аг-}-b ak + be	, k\
ДРОбь ^Г+d раВНЭ ck+~de' ПОСКОЛЬКУ ka=Tj-
Число се нулевого модуля можно характеризовать тем,
что существует отличное от нуля дуальное число
z ( = с/е), произведение которого на число се равняется нулю:
ce-de = (cd)e2 =0.	(31)
Поэтому эти числа называют делителями нуля.
Дуальные числа ненулевого модуля а можно также запи-
сать в форме, близкой к «тригонометрической форме» (13)
комплексного числа:
а-\-Ье = а -ф-^- е) = r (1 -феф).	(32)
Здесь, как прежде, г = а есть модуль числа z = a-{-be, а
Ь
отношение — = ф называется аргументом этого числа
и обозначается через Argz (г может быть произвольным
вещественным числом, отличным от нуля; ф— произвольным
вещественным числом). Очевидно, что вещественные числа
а = а-}-0-е характеризуются равенством нулю их аргумента;
сопряженные дуальные числа z = a-\-be и z — a— be имеют
одинаковый модуль г и противоположные аргументы <р и —ф.
Форма (32) записи дуальных чисел очень удобна в тех
случаях, когда эти числа приходится перемножать или де-
лить. Действительно,
r(l феф)-г,(1 -феф,)=гг1(1 ф- еф ф еф, -фе'фф,) =
= rr, [1 +е(ф 4 ф,)];	(33)
следовательно, модуль произведения двух дуальных чисел
равен произведению модулей, сомножителей1), а аргумент
произведения — сумме аргументов (ср. выше, стр. 12). От-
сюда вытекает, что модуль частного двух дуальных чисел
равен частному модулей этих чисел, а аргумент част-
ного—разности соответствующих аргументов:
’) Это утверждение остается в силе и в том случае, когда
модуль одного или обоих сомножителей равен нулю (ибо если
|г| = 0, то и |zz, |=0; так, например, св (а 4- be.) — (ас) е).
22
Наконец, из этих правил выводятся также и законы, позво-
ляющие возвышать дуальное число в любую степень и из-
влекать из него корень:
[г (1 4-Е<р)]” =	(1 Н-EZZtp);
»/г(1 +е<р)= г (1
(35)
(из последней формулы вытекает, что корень нечетной сте-
пени из дуального числа при г=^0 определяется однозначно;
корень же четной степени не существует, если г<0, и имеет
два значения, если г>0‘).
§ 5*) **. Двойные числа
В полной аналогии со всем изложенным выше назовем
двойные числа z и z сопряженными, если они. имеют
вид
z = a-\-be и z = a — be.
Сумма z-]-z = 2a и произведение z-z = a2— b2 сопряженных
двойных чисел вещественны; корень квадратный из числа
|zz|=|a2 — b21, знак которого совпадает со знаком ббльшего
по абсолютной величине из вещественных чисел а, Ь, назы-
вается модулем числа z — a-\-be и обозначается через | z |.
Легко проверить, что для двойных чисел остаются в силе
все формулы (7); кроме того, ясно, что равенство z=z
характеризует вещественные числа сг0-е = а, а равенство
z = — z — чисто мнимые числа 0 -]-be = Ье.
Сложение, вычитание, умножение и деление двойных
чисел определяются формулами
(а -|- Ье)-^(с -|- de} = (<2^Ьс) -|- (b±d) е, )
(a-}-be)-(с -Ь de) — (ас + bd) ф- (ad -|- be) е,
c + de _ (c + de) (a— be) _ (са — db) + (—cb -f- da) е_ I
a be (a -|- be) (a — be)	a2 — b2	\
ca — db , —cb-)-da _	j
~ a2—b2 + a2—b2 e' . I
Отсюда следует, что и здесь деление на z = a-(-be воз-
можно лишь в тех случаях, когда ]z [ = ^а2 — Ь2[^0. Двой-
ные числа а±ае, модуль которых равен нулю, называются
*) Нетрудно видеть, что корень целой степени п>1 из дуаль-
ного числа z = be, модуль |г| которого равен нулю (из числа,
являющегося делителем нуля), извлечь нельзя.
23
делителями нуля (заметим, что {а-\-ае}-(Ь — Ье}=
— ab(\ -|-е)(1—е)=0). В некоторых случаях оказывается
удобным считать частные у-j-^=co,, pZ^=C02 и 'о’ = °° чи'
слами новой природы; при этом оказывается необходимым
еще расширить понятие двойного числа, введя дополнительно
произведения ссо, и ссо2 новых чисел со, и со2 на всевозмож-
ен	1— е со.
ные вещественные числа с и частные — =—— = п и —=
со.	1 4- е	1 со.
Ц-е „	„
=р=^=ст2. Правила действия над символами ссо,, ссо2, оо,
о, и о2 определяются формулами (8) и рядом соотношений,
родственных (30), например *):
(а-|-бе) ± ссо, =(±с)со,,
(а-]-бе)-со2 =(а-(-б) со2,
a-f-be а — b ..	,
—— =--------(1 — е),
СС02 с '	”
a + be а + Ь
-----— —’— 1
CCFj-С 2
асо,-бсо2 = оо, асо, • бст2 = абсо2, асо,  бсо, = ^ со,
и т. д. Естественно также положить
(37)
ссо, = ссо2, ссо2 = ссо,, о, =ст2, о2=о1, 00 = 00, (37а)
что обеспечит выполнение для расширенного указанным
образом множества двойных чисел равенства z = z и всех соот-
ношений (7).
Двойные числа ненулевого модуля можно также записать
в форме, аналогичной формам (13) и (32) записи обыкновен-
ных комплексных и дуальных чисел. Пусть г = ±1^1 а2—б2|—
модуль |z| двойного числа; далее (ср. (13) и (13а))
z = a-[-be — r(—+ — e'\.
*) Ибо естественно считать, что, скажем,
(а + м OT2=(£±^£±£!)=(£±^±£) = (fl + fc) с.а2,
a + be (a + be)(l—e) = a—b
СС02	с	с '
a + be (a + be) (1 -|-е) (а + b) (1 + е) a-f-b
-------------------------------
со,	с(1—е)	с (1 — е)
, ab ab ab
24
Из определения модуля следует, что	> = ±1
и что ббльшая (по абсолютной величине) из дробей у и у
положительна. Отсюда вытекает, что
~= chcp, = sh <р или y- = shcp, -у-= ch ср, (38)
где ср есть некоторое число (определенное формулами (38)),
a chср и shcp— гиперболический косинус и гипер-
болический синус аргумента ер1).
Таким образом, имеем
z—r (ch ср ф-е sh ср) или z — r (sh ср ф-е ch ср). (34)
Величина ср называется аргументом двойного числа z и
обозначается через Argz* 2).
Форма (39) записи двойных чисел очень удобна в тех
случаях, когда приходится перемножать два или несколько
двойных чисел. Действительно, из формул сложения гипер-
болических функций следует, что
г (ch ср -ф- esh ср)• г, (ch ср, ф- еshср,) =
= гг, [ch (ср ф-ср,) ф-ash (срф-ср,)]
г (sh срф- с ch ср)-г, (sh ср. ф- е ch ср,) =
= rr, [ch (ср 4- ср,) ф- е sh (ср ф- ср,)];
г (ch срф- ash ср)-г, (shср, ф- е chср,) =
= гг, [sh (ср ф-ср,) ф-е ch (срч-ср,)]. _
(40)
Таким образом, модуль произведения двух двойных чисел
равен произведению модулей сомножителей, а аргумент
*) Относительно этих функций см., например, В. Г. Шер-
ватов, Гиперболические функции, М., Гостехиздат, 1958.
2) В некоторых случаях удобно считать, что аргумент двой-
ных чисел, имеющих вторую из форм (39), является (обыкновен-
ным) комплексным числом
Arg (г (sh<p+ech ф)}=ф—i ~ •
Это соглашение удобно тем, что в таком случае всегда
z = | z | [ch (Arg z) + е sh (Arg z)]
(ибо ch —1-^-^=5Йф, sh ^ф—г-^-^=сЬф); см., например,
статью В. Л. Гончарова «Элементарные функции комплекс-
ного переменного» в Энциклопедии элементарной математики
т. Ill, М.—Л., Гостехиздат, 1952).
25
произведения —сумме аргументов; при этом произведение
имеет 1-ю или 2-ю из форм (39) б зависимости от того,
имеют ли сомножители одну и ту же или разные формы.
Из формул (40) сразу вытекают правила деления двойных
чисел:
(ch<r,+esh ф,) _ г, (sh <p14~ech<p1) _
г (ch <p-f-esh <р) г (sh <j> + e ch <р)
= y[ch(q>1— <p) + esh((f>1 — <р)];
р (sh ф, 4-е ch ф,) _ г, (ch фг + е sh ф,) _
г (ch ф + е sh ф)	г (sh ф + е ch ф)
= ~ (sh (Ф, — ф) + е ch (<р, — ф)].
Из формул (40) получаются также правила, позволяющие
возводить двойное число в любую целую положительную
степень п и извлекать из него корень степени zz:
[г (ch <р 4- е sh <р)]п = rn (ch п <р 4- е sh п ср),
[г (sh ср 4- е ch тр)Г =
г (ch <р 4- е sh тр)= <
/•"(shzz<p4-ech/z(p) при п нечетном,
rn (ch пер 4- е sh zz<p) при п четном;
j/r ^ch ^-4-^sh при zz нечетном,
(ch — 4-б sh—
б \ п ‘ п ) I
,	„	, <Т> при л четном,
!!/г ( sh — е ch —)
V \ п п ))
.------------- I у/г \ sh — 4- е ch — | при п нечетном,
tyr (sh ф 4-echcp) =  v \ n n)
l	не существует при zz четном.
(42)
§ 6**. Гиперкомплексные числа
Рассмотренные выше самые общие комплексные числа
строятся следующим образом: к множеству вещественных
чисел присоединяется комплексная единица Е, квадрат кото-
рой по определению равен
Е2 = — pE-q-,	(43)
далее рассматриваются всевозможные суммы вида (23), сло-
жение, вычитание и деление которых определяется форму-
лами (24).
26
Обобщением комплексных чисел являются так называемые
гиперкомплексные числа, получаемые присоедине-
нием к множеству вещественных чисел нескольких ком-
плексных единиц Et,	Еп; эти числа имеют вид
Z=а» + а1Е1 + а2Е2 + ... + апЕп,
аа, а2, ... , ап вещественны. (44)
Сумма, разность и произведение гиперкомплексных чисел
определяются по формулам
А + а А + ... + апЕп)± (Ьо + Ь1Е1 + ... + ЬпЕп) =
— (coi^o) 4~	+ ... 4- (ап±Ьп)Еп,
(а0 +	+ ... + апЕп)  (Ьа +	+ ... + bпЕп) =
— а<Р„ 4- А 4- • • • 4- а<РпЕп 4-
4" а&Е' 4- afiJE} 4- ... 4- aibnE1En 4- ...
 • • 4- anbaEn 4- ant\EnEi 4- • • • 4- anbnEn- (45)
Чтобы произведение двух гиперкомплексных чисел явилось
числом той же природы, необходимо задать таблицу
умножения комплексных единиц Ех, Ег,__________________ £ *):
У,4-р<‘‘- 'А 4- • • • 4-р!/’ »Еп, i, j= 1, 2,.... л,
(46)
т. е. задать п* (п 4-1) вещественных чисел i, j=l,
2, ..., ir, k — 0, 1, ..., п. Если л = 1, то л2(л4-1) = 2
*) Иногда при определении гиперкомплексных чисел не тре-
буют, чтобы число 1 содержалось среди иих; при этом гипер-
комплексное число определяется как выражение
Z = a0E0+aIEl + ...-j--anE„	(44')
и таблица умножения комплексных единиц определяется фор-
мулами
ErEj=p<t-»E0 + p[* l-»El+... + Py-i>En, i, / = 0, 1.л. (46')
Если комплексная единица Ео такова, что £„£,= Е/Е0=Е;,
i = 0, 1, ..., л, то ее можно обозначить через 1 п записывать
гиперкомплексные числа в виде (44).
Форма (44') записи гнперкомплексных чисел оказывается
удобной и в случае двойных чисел г — а + Ье, при рассмотре-
нии которых часто в основу кладут две комплексные единицы
14-е	1 —е
е,=—g— и е2 =—g—. Ясно, что любое двойное число можно за-
писать в виде z = a1e14-a2e2, где «таблица умножения» основных
единиц имеет чрезвычайно простой вид: е, =е1, е2 = е2, 6^ = 0.
Мы в дальнейшем нигде не используем такую форму записи двой-
ных чисел.
27
и роль чисел ptf- Л играют числа — 9 и —р, где р и q —
коэффициенты уравнения (1), которому удовлетворяет (един-
ственная) комплексная единица Е.
При zz> 1 система гиперкомплексных чисел будет, вообще
говоря, некоммутативной и неассоциативной,
т. е. произведение El-Zi будет, как правило, отлично от
произведения Z2-Z2, и произведение (Z2Z2)Z2—от произве-
дения Z1(Z2-ZJ). Требования коммутативности и ассоциа-
тивности накладывают на числа р^- б некоторые условия (так,
например, если EtEj= EjEb то, очевидно, р^’ Л = Р^' 1>- при
любом /г), в общем случае не выполняющиеся.
Общая теория гиперкомплексных чисел составляет раздел
алгебры. Что же касается геометрии, то в ней применение
находят главным образом те системы гиперкомплексных чисел,
в которых для каждого числа Z однозначно определяются
сопряженное число Z и модуль | Z|, обладающие теми же свойст-
вами, что и в случае комплексных чисел (т. е. z=Z, |Z|2=
=ZZ вещественно, | Z1Z21 = | Z, | • | Z21, и имеют место равен-
ства типа (7)). Показано, что число п комплексных единиц
для таких систем гиперкомплексных чисел может быть
равно лишь 1, 3 или 7; при этом в случае л = 3 система
обязательно будет некоммутативной, а в случае п = 1 — к тому
же и неассоциативной. При п = 1 мы приходим к рассмотрен-
ным выше обыкновенным числам, дуальным числам и двойным
числам. При л = 3 наши требования приводят к известной
системе кватернионов (от латинского quatuor— четыре),
введенной в науку замечательным английским (точнее, ирланд-
ским) математиком и механиком XIX в. Вильямом Роаном
Гамильтоном (1805—1865):
Z=c + W+c/+rfA, i2=f = k2 = — 1,	j
ij-= — ji = k, jk = — kj— i, ki = —ik = J, \
Z = a —bi — cj— |Z|2 = ZZ=a2 + // + c2 + ^2, J
а также к родственным кватернионам системам псевдоква-
тернионов, вырожденных кватернионов, вы-
рожденных псевдокватернионов и дважды
вырожденных кватернионов
Z — a-\-bi-\-ce-\-df, Z — a-j-bi-t-ce-j-dt],
Z=a -|-be-\- се-p dt, и Z=a-]-be-j-cq-J-d^, (48)
для которых таблицы умножения комплексных единиц имеют
28
вид
i е f	/ е i]
i	— 1	f —е	i		-1	T] -	-e
е	-/	1 —i	8		-n	0	0
f	е	i 1	n 1		8	0	0
						8 T]	%
	e	E	
e	1	c	E
8		0	0
	— 8	0	0
nj	J—P s	0 £ 0 0 0 0 0 0
(49)
(т. е. i2 = ii =—1, ie—f, if —— е и т. д.), а сопряжен-
ное гиперкомплексное число и модуль числа определяются
формулами
Z^a—bi—ce—df, \Z\2 = ZZ = a2+b2 — c2—d2-,
Z — a— bi—се — d-q,	]Z\2 =ZZ — a* + Z>2;
Z=a— be—ce—d^, \Z\2=ZZ=a2—b2
и
Z—a—ЬЕ—сц—dt,, \Z\2=ZZ = a2.
(50)
Наконец, при n — 7 мы приходим к системе октав (от ла-
тинского octo — восемь), впервые рассмотренной известным
английским геометром конца XIX в. Артуром Кэли
(1821—1895),
Z = «г0 + adi + аЛ + а,1, + аЛ + adt + аЛ +	(51)
с таблицей умножения комплексных единиц
		Z2						
i,	— 1		~l2			-4		
l2		— 1	it					
1г L		— it	— 1					(52)
				— 1	ix	l2		
	4			—	— 1	— 1	1 2	
h			—4	~l2	4		—ix	
i 1					~Z2		— 1	
29
и следующим определением сопряженного числа и модуля:
Z = аа — а111 — аг1г — atit — a4z4 — asis - с,/,—а,/,,
| Z |2 = ZZ = а» +	Н" Н- + cs + ав + <h,
а также к нескольким родственным октавам системам гипер-
комплексных чисел, которые можно назвать псевдоокта-
вами и вырожденными октавами. Все эти системы
гиперкомплексных чисел находят применение в геометрии,
однако изложение относящихся к этой тематике вопросов
завело бы нас слишком далеко1).
*) См. по этому поводу, например, Б. А. Розенфельд
и И М. Яг л ом, О геометриях простейших алгебр, Матем. сбор-
ник 28, № 1, 1951, стр. 205—216 и Б. А. Р о з е н ф е л ь д, Неев-
клидовы геометрии, гл. VI, М., Гостехиздат, 1955, где указана
также относящаяся сюда алгебраическая литература.
ГЛАВА II
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
§ 7. Обыкновенные комплексные числа как точки плоскости
Развитие теории комплексных чисел в значительной сте-
пени связано с геометрическим истолкованием обыкновенных
комплексных чисел как точек плоскости, впервые отмечен-
ным, по-видимому, датским землемером XVIII в. Карлом В ес-
селем (1745—1818), но введенным в науку в первую очередь
трудами знаменитых математиков Карла Фридриха Гаусса
(1777—1855) и Огюстена Коши (1789—1857). Это истолкова-
ние состоит в том, что точке плоскости с декартовыми прямо-
угольными координатами х, у или с полярными координатами
г, <р сопоставляется комплексное число
z = х + iy = г (cos <р -|- i sin ср)
(рис. 1). При этом, очевидно, вещественным числам z = x-\-
-4-0-j( =r(cos0 +Zsin0)) отвечают точки оси х (вещест-
венная ось о); числам модуля г = 1 отвечают точки ок-
ружности S с центром в начале координат О и радиусом 1
(единичная окружность). Противоположным комплекс-
ным числам z=x-\-iy и —z ——х — iy отвечают точки,
симметричные относительно точки О; сопряженным комплекс-
ным числам z = x-[-iy( =r (cos срisin <р)) и z—x—iy
( = r(cos (— ср) + i sin (—<p))) отвечают точки, симметричные от-
носительно прямой о. В дальнейшем точку, отвечающую комп-
лексному числу z, мы часто будем обозначать той же буквой z;
при этом равенства
z' = ~z	(1)
31
и
Z —Z
(2)
можно понимать как записи определенных точечных пре-
образований, сопоставляющих каждой точке z новую
точку z'. Преобразования (1) и (2) представляют собой
Рис. 1.
Рис. 2.
симметриюотносительноточки О и симметрию
относительно прямой о.
Зафиксируем определенные комплексные числа (точки)
q—a^-ib и р = t (cos а + zsin а). Равенство
z'=z + q	((х' + <у') = (*-Н.У)+ (<* + #))	(3)
означает, что х'=х-|-а, у' =у-\-Ь, т. е. что вектор zz'
(вектор с началом в точке z и концом в точке г') совпадает
с вектором Oq (геометрический смысл сложения
комплексных чисел). По-
этому равенство (3) определяет
параллельный перенос
плоскости на вектор Gq (рис. 2).
Равенство
z' = pz (r'(cos <р' + i sin ф') =
= t (cos a -f-zsin a) X
Xr (cos <p-|- zsin <p)) (4)
означает (рис. 3), что r'—tr,
ф'= ф + a, т. е. что (О, z')=
= t-(O, z) (где (О, г) есть расстояние между точками Оиг),
^_{Oz, Oz'}—a (геометрический смысл умноже-
ния комплексных чисел). Символ /(Ог, Oz'} обозна-
чает так называемый ориентированный угол между
I
32
лучами Oz и Oz', т. е. угол, на который надо повернуть Oz
против часовой стрелки, чтобы получить Oz' (если
вращение происходит в направлении по часовой стрелке, то
углу приписывается знак «минус»; ориентированный угол
между двумя лучами определяется с точностью до слагаемого,
кратного 2л). Таким образом, равенство (4) определяет так
называемое центрально-подобное вращение плос-
кости, составляющееся из вращения вокруг О на угол а
г\‘ I
Л-1--..
\ I Z S
У ' I /
—>4
ч i /
*
! / \
...Г-/-.	;>z’=pz
?	| / X
г i Q
\	I >
.t-;"
I 0
Рис. 3.
(в направлении против часовой стрелки) и центрально-
подобного преобразования (гомотетии) с цент-
ром О и коэффициентом подобия t. В частности, если мо-
дуль t комплексного числа р равен 1, преобразование (4)
представляет собой вращение на угол а (рис. 3, б).
Каждое движение плоскости можно представить как вра-
щение вокруг фиксированной точки О, сопровождаемое па-
раллельным переносом, или как симметрию относительно
фиксированной прямой о, сопровождаемую вращением вокруг
выбранной точки О и параллельным переносом1). Отсюда
следует, что каждое движение плоскости можно записать
в виде* 2)
z'—pz-\-q,	|р|=1	(5)
или
z' — pz-\-q,	|р|=1-	(5а)
*) См., например, И М. Я г л о м, Геометрические преобразо-
вания I, М., Гостехиздат, 1955.
£) Аналогично можно показать, что каждог преобразование
подобия плоскости можно записать в виде
z'—pz-)-q или z'—pr-)-q.
2 И. М. Яглом
33
Очевидно, что расстояние d=(z„ zs) между двумя
точками 2, и гг плоскости совпадает с модулем | w | =
—122— 2, | комплексного числа -w — гг —z, (ибо вектор zxz2
равен вектору Ow, рис. 4). Другими словами,
d=|z2 — zx\, d2 = (z2 — zx)(zs—zx).	(6)
Далее, угол б0 между двумя прямыми, пересекающимися
в начале координат О и определяемыми точками z° и 2°
(рис. 5), равен, очевидно,
6o = Arg-^ ( = Arg г,— Arg 2°).	(7)
z i
Это замечание позволяет определить также угол 6 между
прямыми, пересекающимися в произвольной точке z0 и
Рис 4.	Рис. 5.
проходящими через точки zx и 22. Простейшим движением,
переводящим 20 в О, является параллельный перенос:
z =z~ 20;
точки zx и 20 этот параллельный перенос переводит в точки
2’ = 2,—20 И2° = 22 —20 (рис. 5). Отсюда следует, что
угол 6 равен углу 60 между прямыми, пересекающимися в
начале координат и проходящими через 2° и 2°, т. е.
6=Arg^=|<’	( = Arg(22— 20)— Arg (2,— 20)).	(8)
г1 Z0
Комплексное число
У(22, 2„	=
мы будем называть отношением трех точек (трех
комплексных чисел) 22, 2,, 20. Таким образом, угол 6 между
прямыми, пересекающимися в точке z^ и проходящими
34
через точки zt и гг, равен аргументу отношения V(z2, zv z0)
точек z2, zx, гй.
Заметим, что 6—это угол, на который надо повернуть
против часовой стрелки луч z^zx первой прямой, чтобы со-
вместить его с лучом zoz2 второй прямой. Прямая, одно
из двух направлений которой выделено (это направление
можно задать, указав определенный луч прямой; на черте-
жах выделенное направление обыкновенно указывается стрел-
кой), называется ориентированной прямой или
осью; выделенное направление ориентированной прямой ча-
сто называют положительным. Проходящую через точ-
ки zx и z2 ориентированную прямую, положительное направле-
ние которой совпадает с направлением от z1 к z2, мы будем
обозначать через [ztz2]. Ориентированный угол
/{/,, /2} между ориентированными прямыми и /2 опреде-
ляется как угол, на который надо повернуть против часовой
стрелки прямую чтобы ее положительное направление сов-
пало с положительным направлением прямой /2; этот угол задает-
ся с точностью до произвольного слагаемого, кратного 2л.
Таким образом, 6 есть ориентированный угол между ориен-
тированными прямыми [zozj и |zoz2|: 6 = J/{[20z1], [z0z2]}.
Условием того, что три точки z0, zx и z2 лежат на
одной прямой, является равенство 0 или л угла
Z{Ka1. КаО или, в силу формулы (8), вещественность
отношения I/(z0, z,, z2) = ——— этих трех точек. Это
21 zs
условие можно также записать так:
го гг  г1	(g j
г1 гг Zj—Z2
Отсюда вытекает, что проходящая через точки zx и z2 пря-
мая I — это геометрическое место таких точек z,
для которых
Другими словами можно сказать, что уравнение этой
прямой имеет вид (10) или вид
(z,—z2) z —(z,—z2) z + (z,z2—zYz2} = 0.	(10а)
Таким образом, уравнение каждой прямой можно записать
2*	35
в следующей форме:
Bz— Bz -f-C=O, С—чисто мнимое’). , (11)
Нетрудно показать, что и обратно, каждое уравнение вида (11)
задает некоторую прямую линию (проходящую через та-
Рис. 6.
кие точки Z, и что z2—z2 =
= В, z,z2 —
Условием того, что четыре
точки za, zv z2 и z, лежат на
одной окружности (или прямой)
является равенство 0 или л раз-
ности углов / {[z0z2],	—
—	(Рис- 6),
или, в силу (8), веществен-
ность числа
V	(г0, z„ г2)	г0—г2 . г„—г3
V	Uo, z1( z3)	z3—г2 ‘ г,—г3 ’
Отношение ^г<” г” =-—— ~——	двух отношений
V (z0, г„ г,)	г,—z2 г,—г,
троек точек z0, гЛ, z2 и гй, г,, г, мы назовем двойным
отношением четырех точек z0, zx,z2, zt и обозначим
через 1Г(г0, zv z2, z,). Таким образом, условием того, что
четыре точки гй, z,, zz и г, принадлежат одной окруж-
*) Очевидно, что угол / {Л °}- который образует описывае-
мая уравнением (11) прямая I с вещественной осью о, равен
Arg В = Arg (г, — г2) = — Arg (г,— г2);_ далее, так как |С| = |Вг —
— Вг|< 2 | В |• | г | (причем | Bz—~Вг | = 2 | В || г |, лишь если Вг
чисто мнимое, т. е. если Arg В -J- Arg г = ± ArgZ), то для точек z
I СI	I С |
прямой I имеем IzKij-Tyr, откуда следует, что J- есть рас-
Z| в I	£\ВI
стояние / от начала координат.
Уравнение (11) можно вывести и из того обстоятельства, что
движением (5) прямую / можно перевести в вещественную ось
г—г = 0. Отсюда получаем
(pz-j-q)— (pz + <7)=0 или Bz — Bz-)-C = 0, где В—р, C — q—q.
Этот вывод также позволяет заключить, что / {/, o) = Argp =
I СI
= ArgB и что ь' * 1  есть расстояние Z от начала координат.
Уравнение (11) часто записывают также в форме bz -f-bz с = О,
где с вещественно; здесь b=Bi, с —Ci.
36
ности (или прямой), является вещественность двойного
отношения W(z0, zx, г2, гг) = ^^ : Г-Т этих четырех
точек.	"	’
Последнее условие можно записать так:
го 22 . гз   г0—2% в 20— 23
г1~ г2 г1~г> 2,-72 г1—7г	(12)
Из него вытекает, что уравнение окружности (или прямой)
S, проходящей через точки zt, д2 и г,, имеет вид
г —гг . г —г3 _ г —гг _ 7—г~
г, z2 7] г3 21—2>—2j	(13)
или
(z—zt) (7— 73) l(z—z,) (zx —72)] =
= (г — г,) (z — z2) [(г,—z2) (zx—z,)],
т. е.
Azz + Bz— Bz-[-C=Q,
где
A = (г,— z,) (zx —z2) — (zl —zj (7,-z2), _
B= —z, (z1~zt)(zl--zi) + zL (zx—z2) (z, — z,),
C = z2z,(z1—z2){zl—z2) —z,z2 (z,—z2) (zx —z,).
Таким образом, уравнение каждой окружности (или пря-
мой) можно записать в следующей форме-.
Azz-\-Bz — ~Bz-\-C=0, А и С—чисто мнимые1). (14)
Обратно, геометрическое место точек z, удовлетворяю-
щих какому-либо уравнению вида (14) (если только такие
*) Уравнение (14) можно вывести также и из того, что любую
окружность S можно параллельным переносом (3) перевести в
окружность г г = г2 с центром в начале координат 0 (г — радиус
окружности). Отсюда получаем уравнение S:
(г + q) (г + q ) — гг = 0	или агг + Ьг-)-bz-j-c=O,
где а=1 и c=qq — г2 вещественны, b=q. Из этого уравнения
_	bb — ас
видно, что квадрат радиуса г окружности 3 равен ——, а
центром ее служит точка—— . [Такны образом, при bb—ас=0
37
точки существуют; ср. сноску1) на стр. 37) представляет
собой окружность или прямую.
Мы уже знаем, что прямую линию уравнение (14) вы-
ражает в том {и только в том) случае, когда
А = 0.	(15)
Заметим еще, что, в силу указанных выше правил дейст-
вий с символом оо, следует считать
IT (г., z., z„ ео) = —--3 : --= -----=V(z , z., z.)
' *’ 2’ ”	' г2—г, г2—co г2—г,	' «’ 2’ ”
(ибо —^ = 1; ср. сноску1) на стр. 10). Следовательно,
двойное отношение W (z3, z2, г3, оо) является веществен-
ным в том и только в том случае, когда вещественно про-
стое отношение V{z,, zt, z3), т. е. когда точки zt, z3 и z3
лежат на одной прямой. Поэтому целесообразно считать, что
отвечающая «числу» оо «.бесконечно удаленная точка»
плоскости (а в некоторых случаях оказывается целесообраз-
ным рассматривать и эту фиктивную «точку») принадлежит
всем прямым линиям. В самом деле, если три точки гг, zs, z3
принадлежат одной прямой, то проходящую через эти точки
прямую можно определить как геометрическое место таких
точек z, что lF(ap гг, z„ z) вещественно; но последнему
условию удовлетворяет и «точка» оо.
§ 8*. Приложения и примеры
Изложенное выше уже позволяет использовать комплекс-
ные числа для доказательства многочисленных теорем, каса-
ющихся прямых линий и окружностей. Мы приведем здесь
некоторые примеры этого.
Начнем со следующей теоремы. Пусть на плоскости
даны четыре окружности S3, S2, S3 и и пусть z, и
—точки пересечения S3 и S2; z2 и — точки пересече-
ния Ss и S3, z3 и w3—точки пересечения S3 и St; нако-
нец, zt и чоЛ—точки пересечения S3 и Sv Если точки zv
Z	ъ
уравнению S удовлетворяет единственная точка г ——а при
ЪЬ — ас <0 ему не удовлетворяет ни одна точка плоскости.]
Уравнение S в приведенной здесь форме, очевидно, равно-
сильно уравнению (14) (для того, чтобы перейти от одного из
этих двух уравнений к другому, достаточно положить a=Ai,
b — Bi, c — Ci).
38
z2, z3 и z3 лежат на одной окружности (или прямой) 2,
то и тонки •а,2, wt и лежат на одной окружности
(или прямой) 2' (рис. 7).
Воспользуемся тем, что точки zv z2, ,wl и w2 принад-
лежат одной окружности S2; точки z2, z3, ws и -шг принад-
лежат окружности точки z3, zt, w3 и wt— окружности S4;
точки zt, z3, и •w1—окружности Sr Отсюда вытекает,
что вещественны следующие четыре двойных отношения:
W(z., w' z,, w.) = ———
1 г- г> 1'	о>2—г2
21 — wl
w2 — wt 9
W(z2, w„ z„ w2) =
wz—w2 ’
W3, w4, z4, w3) = g—

17(z4,	2i,w4) = Ii—i
Z4—^4
»,—wt ’
Следовательно, вещественно и выражение
F (z„ wt, z8, wj-IT (z3, w4, г4, w3) _
W7 (zs, k)s, z3, w2)-W (z4, и,, z„ ш4) —
__ I Z)—Z2 , Z,— Z4 1 ( W3—w2	_
I 23 —Z2  z3 —z4J | Ш3 —u>2  w3 — wj ~
= W(z„ z3, z2, zj W(№,, w3, ws, w4).
Поэтому из вещественности двойного отношения 17(z1,z3,zs, z3)
вытекает также и вещественность двойного отношения
W(wl,w3,wi,'wi), что до-
казывает теорему.
Это предложение выгля-
дит довольно изящно, но не
особенно многообещающе —
рядовая теорема, каких эле-
ментарная геометрия знает
множество. Однако следствия,
которые выводятся из этой
простой теоремы, можно сме-
ло назвать замечательными.
В качестве первого такого
следствия мы укажем на це-
лый ряд теорем, принадлежа-
щих уже упоминавшемуся вы-
ше английскому геометру
Вильяму Клиффорду. Условимся
прямыми общего
положения,
Pre. 7.
называть п прямых плоскости
если никакие две из них
не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке.
39
Точку пересечения двух прямых общего положения (т. е. пере-
секающихся прямых) мы назовем их центральной точкой
(рис. 8а). Из трех прямых общего положения можно выбрать
тремя разными способами пару прямых; этим трем парам прямых
отвечают три центральные точки; проходящую через них окруж-
ность (т е. окружность, описанную вокруг образованного тремя
прямыми треугольника) мы назовем центральной окруж-
ностью наших трех пря-
мых (рис. 86) Аналогично из
четырех прямых общего поло-
жения можно выделить четырьмя
различными способами тройку прямых: этим четырем тройкам
отвечают четыре центральные окружности, которые всегда будут
пересекаться в одной точке-, соответствующую точку (рис. 8в)
естественно назвать центральной точкой четырех пря-
м ы х. Из пяти прямых общего положения можно пятью спосо-
бами выбрать четыре прямые; полученным пяти четверкам прямых
отвечают пять центральных
точек, которые всегда будут
лежать на одной окружно-
сти — центральной ок-
ружности пяти пря-
мых (рис. 8г). [Это предложе-
ние равносильно следующе-
му: если продолжить следую-
щие черев одну стороны произ-
вольного (быть может, невыпук-
лого или даже самопересекаю-
щегося!) пятиугольника до их
пересечения и описать окруж-
ности вокруг пяти образовав-
шихся треугольников, то пять
точек пересечения соседних ок-
ружностей лежат на одной ок-
Рис. 8в.
ружности— центральной ок-
ружности сторон пятиугольника (рис. 8д)]. Подобным же образом
можно продолжать наши определения бесконечно — и каждому
четному числу п прямых общего положения будет отвечать их
центральная точка в которой пересекаются п центральных окруж-
ностей всевозможных систем по п—1 из зтих прямых, а каждому
нечетному числу п прямых—их центральная окружность,
которой принадлежат п центральных точек всевозможных систем
по п—1 из этих прямых!
40
Для доказательства этого рассмотрим прежде всего случай
четырех прямых 1,2,8 и 4. Точки пересечения этих прямых —
центральные точки пар прямых — мы обозначим через г12, г„, г14,
ггз, и г31, как обозначено иа рис. 8в; отличную от г31 точку
пересечения окружностей, проходящих через точки г23, г34, гм и
г14, г34, г14,— центральных окружностей S234 и SI34 троек пря-
мых 2, 3, 4 и 1, 3, 4 — обозначим через г1234. В таком случае мы
приходим к уже знакомой нам ситуации; здесь роль четырех
окружностей S2, S, и S4 играют окружность S231, прямая 2,
прямая 1 и окружность S134; роль точек ги г2, г, и г4—точки г23,
«бесконечно удаленная» точка оо (через которую «проходят» все
прямые; см. конец предыдущего параграфа), г13 и г34; роль точек
к>„ и)2, ш, и ш4—точки г24, г12, г„ и г1234. Из того, что точки г23, оо,
г13 и г34 принадлежат одной «окружности или прямой» (на самом
деле — прямой <?), следует, что точки г24, г12, г14 и г1231 также при-
надлежат одной окружности, т. е. что проходящая через г12, г21
и г14 центральная окружность S,24 прямых 1, 2 и 4 проходит через
точку г,2М. Совершенно аналогично доказывается, что и централь-
ная окружность S123 прямых 1, 2 и 3 проходит через ту же
точку г,234 (для доказательства этого достаточно принять за г,
и г, точки г24 и г14, а за w, и ш3—точки г23 и г13), откуда и
следует, что г12,4 является центральной точкой четырех прямых
1, 2, 3 и 4.
Пзрейдем теперь к случаю пяти прямых 1, 2,3, 4 и 5. Цент-
ральную точку четырех прямых 1, 2, 3, 4 обозначим через г1234 и
аналогично для остальных четверок прямых; точку пересечения
прямых I и 2—центральную точку этих двух прямых—обозначим
через г12 и аналогично для остальных пар прямых; центральную
окружность прямых 1, 2 и 3 обозначим через S123 и аналогично
41
для остальных троек прямых (см. рис. 8д) Нам надо доказать,
что точки z1234, z123S, zI245, zI34S и г2348 лежат на одной окружности.
Но для этого достаточно убедиться, что одной окружности принад-
лежат любые четыре из этих точек, например точки г1234,
г1238, г12«Б н 2i»m- Последнее же непосредственно вытекает из дока-
занной выше теоремы, поскольку эти четыре точки можно рас-
сматривать как точки пересечения окружностей S134 и S123, S123
и S128, S128 и S148, S148 и S,J4, вторые точки пересечения которых —
точки z„, z12, г18 и г14, принадлежат одной «окружности или пря-
мой» (на самом деле — прямой) 1.
Совершенно так же доказываются требуемые теоремы и в слу-
чае произвольного числа п прямых, которые естественно обозна-
чить числами 1,2,3.... п. Предположим, что для любого числа т
Рис. 8д.
прямых, меньшего п, наша теорема уже доказана; центральную
точку k прямых (где k четно), получаемых из наших п прямых
отбрасыванием п—k прямых с номерами /, j.......г, обозначим
через г, а центральную окружность I прямых (где ! нечетно),
получаемых из наших прямых отбрасыванием п— I прямых с но-
мерами i, /...s,—через S,7„.s. Если п нечетно, то задача
сводится к доказательству того, что п центральных точек г„ z2,...
..., z„ всевозможных совокупностей по п — 1 из наших прямых лежат
на одной окружности; чтобы убедиться в этом, достаточно дока-
зать, что лежат на одной окружности любые четыре из этих
точек, например точки г,, z2, г, и z4. Но эти точки можно рассматри-
вать как точки пересечения окружностей S14 и S12, S12 и S.,,
S23 и S34, S34 и S14, вторые точки пересечения которых—точки г121,
г123, г2м и г134—принадлежат одной окружности S1234! Если же п
четно, то задача сводится к доказательству того, что п централь-
ных окружностей S4, S2, Sn всевозможных совокупностей по
42
п— 1 из наших поямых пересекаются в одной точке; здесь доста-
точно проверить, что каждые три из наших окружностей,
например окружности S,, S2 и S3, пересекаются водной точке’).
Но это вытекает из рассмотрения четырех окружностей S,, .S134,
S231 и S2. Из того, что точки zn, г1231, гм и г12, в которых попарно
пересекаются эти окружности, принадлежат одной окружно-
сти S121, следует, что и вторые точки их пересечения—точки г]3,
г34, г2з и точка пересечения S2 и S,—также принадлежат одной
окружности, т. е. что точка пересечения S2 и S3 принадлежит
также и окружности S3, проходящей через течки г13, г3, и г23!
Вот еще ряд аналогичных теорем. Рассмотрим две прямые
общего приложения; на каждой из этих прямых выберем произ-
вольно по точке, отличной от точки их пересечения. Окружность,
проходящую через эти две точки и точку пересечения двух данных
прямых, назовем направляющей окружностью двух
прямых с заданными на них точками (рис. 9, а). Рассмотрим затем
три прямые общего положения с заданными на них точками,
в таком случае три направляющие окружности, отвечающие трем
парам прямых, которые можно выбрать из наших трех прямых,
пересекутся в одной точке (рис. 9, б); эту точку можно назвать
направляющей точкой трех прямых Возьмем теперь на
плоскости четыре прямые общего положения и на каждой из них
выберем по точке; дополнительно потребуем, чтобы все эгп точки
лежали на одной окружности (или прямой). В таком
случае четыре направляющие точки четырех троек прямых, которые
можно выбрать из наших четырех прямых, всегда будут лежать
на одной окружности; эту окружность можно назвать направ-
ляющей окружностью наших четырех прямых (рис. 9, в).
[Это предложение равносильно следующему: если взять ни сторо-
нах произвольного четырехугольника (может быть, невыпуклого или
самопересекающегося!) по точке, с тем чтобы все эти точки лежали
на одной окружности (или прямой), соединить их последовательно
между собой и описать окружности вокруг четырех образовавшихся
треугольников, то четыре точки пересечения соседних окружностей
лежат на одной окружности — направляющей окружности сторон
четырехугольника (рис. 9, г).] И точно так же, продолжая наш
ряд определений, можно сопоставить любому нечетному числу
прямых общего положения, на каждой из которых взято по точке
(причем все эти точки принадлежат одной окружности или пря-
мой) направляющую точку этих прямых, а любому чет-
ному числу прямых общего положения с принадлежащими этим
прямым точками, расположенными на одной окружности или
прямой — н аправляющую окружность, причем направ-
ляющая точка п прямых определится как точка пересечения п
направляющих окружностей всевозможных совокупностей по п — 1
из данных прямых, а направляющая окружность п прямых —
*) Нетрудно построить четыре окружности, каждые три из
которых пересекаются в одной точке, но которые все не имеют
общей точки. Однако довольно просто убедиться, что если число
окружностей превосходит четыре, то из того, что каждые
три окружности пересекаются в одной точке, уже необходимо
следует, что и все окружности имеют общую точку.
43
Рис. 9.
44
как окружность, котором принадлежат п направляющих точек
всевозможных совокупностей поп — 1 из заданных прямых.
Чтобы доказать утверждение, относящееся к случаю трех
прямых, достаточно принять за окружности S,, S2, S3 и S4 исход-
ной теоремы прямую /, направляющую окружность S13 прямых
I и 3, направляющую окружность S23 прямых 2 и 3 и прямую 2
(рис. 9, б). В качестве точек г,, г2, zs и г4 выступят точки и13
пересечения прямых 1 и 3, точка и3, выбранная на прямой 3,
точка и23 пересечения прямых 2 и 3 и «точка оо», принадлежащая
обеим прямым 1 и 2; эти четыре точки принадлежат одной
«окружности или прямой» (на самом деле прямой) 3. Роль точек
w,, w2, w, и будут играть точка «„ выбранная на прямой 1,
точка и123 пересечения окружностей S13 и S23, точка и2, выбран-
ная на прямой 2, и точка и12 пересечения прямых 1 и 2; так как
эти точки должны также принадлежать одной окружности, то
точка и123 всегда будет принадлежать также и направляющей
окружности S12 прямых 1 и 2, проходящей через точки и3. и2 и и12.
Чтобы доказать утверждение, относящееся к случаю четы-
рех прямых, достаточно принять за окружности S,, S2, 53 и S4,
фигурирующие в условии нашей исходной теоремы, окружности S12,
S23, S34 и Х„, где, например, S12—направляющая окружность
прямых 1 и 2, а за точки г,, г2, г3 и г4—точки u2, u3, и, и
выбранные на прямых 2, 3 4 и 1 (см. рис. 9, г; точки и„ и2,
и3 и и4 лежат на одной окружности или прямой по условию
теоремы!). В таком случае вторыми точками пересечения наших
окружностей будут являться точки u123, u234, u13l и и121, где, ска-
жем, и123 есть направляющая точка прямых 1, 2 и 3; в силу
доказанной выше теоремы эти точки будут принадлежать одной
окружности 51234—направляющей окружности прямых 1, 2, 3 и 4.
Рассмотрим теперь п прямых общего положения 1, 2,3, .... п
со взятыми на них точками и,, и2, и,, .. , ип, принадлежащими
одной прямой или окружности. Предположим еще, что для любого
числа прямых, меньшего п, наша теорема уже доказана, и обо-
значим направляющую окружность k прямых (где k четно), полу-
ченных из данных п прямых отбрасыванием п — k прямых с но-
мерами i, j, ..., г, через Sjj^r, а направляющую точку I прямых
(где I нечетно), полученных из данных прямых отбрасыванием
п— I прямых с номерами i, j.....— через	Если п^б
четно, то задача сводится к доказательству того, что п направ-
ляющих точек и2, и2, . ., ип всевозможных совокупностей по п—1
из данных прямых лежат на одной окружности, для чего доста-
точно убедиться, что лежат на одной окружности любые
четыре из этих точек, например точки щ, и2, и, и и2. Если
п^5 нечетно, то необходимо доказать, что и направляющих
окружностей S„ S2, ..., Sn всевозможных совокупностей по п— 1
из наших прямых пересекаются в одной точке, а для этого доста-
точно убедиться, что любые три из этих окружностей, ска-
жем, окружности S„ S2 и Х3, пересекаются в одной точке.
Доказательство же последних утверждений по существу не отли-
чается от рассуждений, использованных при доказательстве теорем
Клиффорда (для произвольного п).
Обратимся теперь к некоторым другим понятиям и фак-
там, при рассмотрении которых нам может помочь учение
45
о комплексных числах. Вспомним уравнение окружности S:
Azz-\-Bz— Bz-\-C=Q, А и С—чисто мнимые. (14)
Пусть некоторая прямая Z, проходящая через точку 0, пере-
секает S в точках zt и z2 (рис. 10). Определим, чему равно
произведение длин
{0, zt} • {0, z2},
где фигурные скобки подчеркивают, что здесь речь идет об
ориентированных длинах отрезков, т. е. что произведе-
ние {0, zt} (0, z2} считается положительным, если направления
отрезков 0zt и 0z2 (от 0 к zt, соответственно от 0 к z2)
совпадают и точки zy, z2 лежат по одну сторону от 0, и
отрицательным, если направления этих отрезков противопо-
ложны (точки zt и z2 лежат по разную сторону от 0).
Так как точки zt и z2 принадлежат окружности S, то
Azizl-\- Bzt—Bzl + C = Q	(16)
и
Az2 z2 + Bz2 — Bz2 + C = 0.	(17)
С другой стороны, поскольку эти точки лежат на одной пря-
мой с началом координат 0, то Arg£2=Arg^1, Argz2 =
= — Arg г, (рис. 10, а) или Arg z2 = Arg zt -|- л, Argz2 =
——Arg —л (рис. 10,6) и, следовательно, произведение
во всех случаях является вещественным:
z1z2—k, z1z2=ziz2=~k = k.	(18)
46
Умножим теперь равенство (16) на z2, а равенство (17) наг
и воспользуемся равенствами (18); мы получим
Akzt + Bztz2 — Bk-\-Cz2=0	(16')
и
Akzl + Bz1zi — Bk-\-Czl=G.	(17')
Вычитая последние два равенства одно из другого, будем
иметь
Ak (z, —z2)—C(zt—zt) = О,
откуда следует, что если zt + гг и zx — z2 =# О, то
Но произведение
z,z2 = k
как раз совпадает с произведением {0, -г\}-{0, z2} длин
• т	I' —п
(ориентированных) отрезков 0^ и 0z2. В самом деле, оче-
видно,
1*1 = 1*,!- 1*а1 = |*,Н*2|
равно произведению (0, £,)•((), z2) длин (неориентированных!)
отрезков 0zt и 0z2. С другой стороны, число k положи-
тельно, если точки z, и z2 лежат по одну сторону от 0, и
Argz2 =— Arg*,; число k отрицательно, если точки zi и z2
лежат по разные стороны от 0 и Argz2 =— Argz,—л.
Таким образом, окончательно имеем
{о, *j-{o,z2} = *=-£•	<19)
Мы вывели это соотношение в предположении, что точки z,
и z2 различны; но ясно, что если zl=z2 = z0 (см. рис. 10, а),
Q
то произведение {0,zJ-{0, z2^= {0, г0}2 также будет равно -д ;
это вытекает из того, что мы можем рассматривать величину
{0, zc}2 как предел выражения {0, z,}-{0, z2\, где z, и z2 —
точки пересечения с 5 секущей [0, zj, очень близкой к каса-
тельной [0, z0] (и стремящейся к [0, zj). С другой стороны,
если окружность S вырождается в точку («окружность нуле-
С
вого радиуса»), то выражение * —-у будет равно квадрату
А
47
расстояния (О, S) (ибо в этом случае существует един-
ственная «секущая» [0z^2] «окружности» S, для которой
{О, 2,} -{0, 22} = (0, S)2). Если окружность S проходит через
точку 0 (рис. 10, в), то одна из точек 2, и 22 совпадает с О
и {0, z,} • {0, 22} = 0; с другой стороны, в этом случае и
С	'
k = —= 0, поскольку в уравнении (14) С=0 (ибо точка 2=0
удовлетворяет этому уравнению).
г>	.С
Выражение я=-^- называется степенью окружно-
сти ^(точнее, степенью точки 0 относительно 5'));
ее геометрический смысл дается равенством (19) (таким обра-
зом, произведение {0, zt] • {0, 22} не зависит от выбора
проходящей через 0 секущей I окружности'.). Если точка О
лежит вне окружности 5, то степень 0 относительно S может
быть также определена, как квадрат {О, 20}2 длины отрезка
касательной, проведенной из 0 к S (рис. 10, а); далее, про-
ведя секущую I через центр Q окружности S и обозначив
расстояние 0Q через d и радиус S через г, мы получим,
что степень 0 относительно S во всех случаях равна (по
величине и по знаку!)
(d-|-r)(rf-r) = d2—г\
Можно также определить с тепе н ь (произвольной!) точ-
ки w относительно окружности 5 как произведение
{w, 2,} • {®>, 22},
с
’) Отношение -& = k зависит не только от окружности S, но
и от системы (комплексных) координат, в которых уравнение S
имеет вид (14). Однако нетрудно видеть, что на самом деле вели-
С
чина -д- зависит лишь от положения начала координат 0, но не
от направления вещественной оси о. Это следует из того, что при
вращении вокруг 0
z' = pz, z — p'z', где |р| = 1,
(ср. формулу (4), стр. 32) окружность (14) переходит в окруж-
ность
Ар'p'z'z' -)-Bp'z’—Bp’z' -|-С=0,
С	С	—
имеющую ту же самую степень -----=-=-r-=k (ибо р'р' = 1).
Ар' р'	Л
48
где Z] и z2 суть точки пересечения проходящей через w пря-
мой с окружностью S (рис. 11, а — в). Если w лежит вне S,
то степень то относительно S равна квадрату (то, z0}2 длины
отрезка касательной, проведенной из то к S (рис. 11, я); если
радиус 5 равен г, а расстояние от центра S до то равно d,
то степень то относительно S равна (J-(- г) (d—r)~d2— г2.
Отсюда, в частности, следует, что степень то относи-
тельно S положительна, если то лежит вне S, отрица-
тельна, если то лежит внутри S, и равна нулю, если w
принадлежит S.
Рис 11.
Чтобы определить численную величину степени точки то
(где то — определенное комплексное число!) относительно
окружности (14) достаточно ввести на плоскости комплекс-
ного переменного новую систему (комплексных) координат:
Z—Z—то, z-=Z-\--w,
началом которой служит точка то. Окружность (14) имеет
в новой системе координат уравнение
A (Z -)- то) (Z -)- то) + В (Z-j- то) — В(Z + то) + С— О
или
AZZ -|- (Ато-(- B)Z—(—Лто — B)Z -)- (Дтото	Bw—Bw-\-C)=0.
Учитывая выражение (19) для степени начала координат О
относительно окружности (14), заключаем, что степень точки то
относительно окружности (14) равна
Aww + Bw — Bw + С —	, В В — . С	,о„.
----1--------1— = тото	+ ~rW— -г- то + -тг-.	(20)
А	А А А	' '
Другими словами, степень точки то относительно окруж-
ности (14) равна вещественному числу, получающемуся
49
в результате подстановки w в уравнение окружности,
«нормированное» требованием равенства единице коэффи-
циента npuzz (т. е. полученное из уравнения (14) делением
всех его членов на Л).
Этот результат позволяет сразу же решить целый ряд
содержательных задач на отыскание геометрических мест. Так
из него следует, что геометрическое место точек w, сте-
пень которых относительно заданной окружности (14)
имеет известную величину k, описывается уравнением
AvowA-Bw—Bw-f-C ,	. —. „	~... ,,
---------------— = k или Aw w-\-Bw — Bw + (С— Ak) = О,
т. е. также представляет собой окружность (причем, как не-
трудно видеть, окружность, концентрическую с исходной;
см. подстрочное примечание на стр. 35—36). С другой сторо-
ны, если мы имеем две окружности S, и S2 с уравнениями
Azz-j-B^z— BizA-Ci—G и Azz-\-B2z—B2z-)-C2= О,
где мы для простоты считаем коэффициенты при zz одина-
ковыми (это условие не ограничивает общности рассмотрений,
поскольку его выполнения легко добиться, умножив все члены
одного из уравнений на подходящим образом подобранное
вещественное число), то геометрическое место точек w, сте-
пени которых относительно Si и 8г равны, описывается
уравнением
AwwA-ByW — В, w + Cj	Aww-\-B2w—Вги)-[-Сг
А	~	А
или
(Bt -Вг) w-(Bt-Bt)w + (С,-С2) = О,
т. е. представляет собой прямую линию q\ эта прямая
называется радикальной осью окружностей S, и S2.
Ясно, что если окружности S, и S2 имеют общие точки, го q
проходит через них (поскольку каждая из этих точек имеет
степень нуль и относительно $, и относительно S2), т. е.
совпадает с общей хордой S, и St (рис. 12, а); если S, и S2
не имеют общих точек, то q можно характеризовать тем
свойством, что отрезки касательных, проведенных из каждой
точки этой прямой к и к S2, равны между собой (рис. 12,6).
Далее, если рассмотреть три окружности •Sl, S4 и 5, с
50
уравнениями
Azz + B'Z — Bxz + C\ = 0,
Azz + B2z — B2z + C2 = 0,
Azz + B.z — B,z 4 Ct = 0,
то их попарные радикальные оси характеризуются уравнени-
ями
(Я. — В2) W — (Bl - В2) w 4-(С, -С2) = 0,
(B1-B5)«’-(S1-S3)w + (C1-C2) = 0,
(В2 —Bs)w — (B2—~Bs) w 4- (С2-С,) = 0.
Но отсюда следует, что если две первые радикальные оси
пересекаются в некоторой точке Q, то через нее проходит
Рис. 12.
и третья радикальная ось (ибо последнее из наших трех
уравнений представляет собой разность двух первых и, сле-
довательно, ему удовлетворяют все решения системы, обра-
зованной первыми двумя уравнениями): попарные радикаль-
ные оси трех окружностей пересекаются в одной, точке,
называемой радикальным центром трех окружностей
(рис. 13), или параллельны между собой.
Радикальную ось двух окружностей ,8\ и S2 можно опре-
делить как геометрическое место точек, отношение степеней
которых относительно S, и S2 равно единице (или разность
степеней относительно S, и S2 равна нулю). Можно также
51
рассмотреть геометрическое место точек, разность степе-
ней которых относительно окружностей S, и S2 имеет
заданную величину а (при а=0 мы приходим к радикальной
оси окружностей и S2) и геометрическое место точек,
отношение степеней которых относительно S2 и S2 имеет
заданную величину а (здесь мы приходим к радикальной
оси S, и S2, положив а=1). Ясно, что первое из этих двух
геометрических мест выражается уравнением
Awu>-)-B1w—BjU'4-Ci Auiw-f-Bsw—Bsw-j-C2 _
. _ - а
или
(Bi— B)w— (В2 —В2) w (С, — С2— а) = 0,
т. е. оно также представляет собой прямую линию. Второе
геометрическое место приводит к уравнению
Aww-f-BjW—B^-f-C, . Aww-j-BzW — B2w-j-C2__
——-	: —-—— — a
или
(1 —п)Л®щ, + (В1 — аВ2)ду—(Вг — aB2)w4-(C1 — аС8) — 0;
при а=1 оно выражает прямую линию (радикальную ось 5,
и 52), а при a =£ 1—окружность.
В частности, если роль окружностей S, и S2 играют
точки, то мы имеем: геометрическое место точек, разность
Рис. 13.
квадратов расстоянии ко-
торых до двух данных то-
чек <S\ и S2 имеет задан-
ную величину, есть пря-
мая; геометрическое место
точек, отношение квадра-
тов расстояний которых
до двух данных точек S2
и S2 имеет заданную вели-
чину а, есть прямая при
a = 1 и окружность при
1. Понятно, что в пос-
леднем случае можно также
говорить не оботношении квадратов расстояний от точки идо
и до S2, а просто об отношении расстояний (w, St)
и (w, S2). Окружность, являющаяся геометрическим местом
точек, отношение расстояний от которых до двух заданных
52
точек S, и S2 имеет постоянную величину а, называют часто
окружностью Аполлония этих двух точек (по имени
замечательного древнегреческого геометра Аполлония пер-
гейского, проживавшего в малоазиатском городе Перга около
II века до нашей эры).
Обратимся теперь к изучению треугольника aia2at (прямая
скобка наверху означает, что рассматривается именно треу-
гольник с вершинами ах, а2, аг, но не произведение трех
комплексных чисел at, as и <zs; аналогичные обозначения мы
будем употреблять и да тыле; ср. также выше стр. 46—47).
Условимся считать, что | ах | = | аг | =| аг | = 1; геометрически
это означает, что все вершины треугольника принадлежат
«единичной окружности» zz=\ (рис. 14; таким образом, мы
принимаем центр описанной окружности рассматриваемого тре-
угольника за начало координат, а радиус этой окружности — за
единицу длины). В таким случае, очевидно, точка а1-(- аг =ht
53
I----1
есть вершина ромба Oaihsa1 и, следовательно, прямые [0Л3]
и [ata2] взаимно перпендикулярны (как диагонали ромба);
Л. а. 4- а,	'	1
точка т3 —	- есть середина стороны а3а2 треуголь-
ника а3а2а3. Далее, точка
Л = а, + а2 + а, (=/г, + «,)
есть вершина параллелограмма ОЛ3Ла3. Другими словами, пря-
мая [<23/г] || [0/га] | [а1а2], т- е- прямая [а3/г] есть высота
I	’(
треугольника а3а2а3, а точка Ь3 ее пересечения со стороной
[а3а2]— основание высоты. Точно так же доказывается, что
.---------------------------------------------------------1
и прямые [aji] и [а2Л] суть высоты треугольника а3а2а3\
поэтому а3 а2 -(-a, =h есть точка пересечения высот
I' I
{ортоцентр) треугольника а3а2а3.
Из рис. 14 видно также, что
(Л5, /г)=(0, а3) (= 1)
—расстояние от ортоцентра h треугольника а3а2а3 до
точки h3, симметричной центру 0 описанной окружности
относительно стороны [а,а2], равно радиусу описанной
окружности S треугольника. Отсюда следует, что геомет-
рическое место ортоцентров вписанных в S треугольников
t----1
а^а,, две вершины а, и а2 которых фиксированы, а
третья скользит по окружности S, есть равная S окруж-
ность с центром в точке hl =a1-\- а2, симметричной 0 отно-
сительно стороны [а3аг]. Далее, если h2 и h3— точки,
симметричные центру 0 описанной окружности относительно
сторон [a2czs] и [а2а3], то
[Л2, й] = (0, а2)=1,	(Л„ /г) = (0, а1)=1. 
Поэтому ортоцентр h произвольного треугольника а3а2аг
совпадает с точкой пересечения окружностей S2, S2 и S3,
равных описанной окружности S, центрами которых яв-
ляются точки h3, h2 и h3, симметричные центру 0 окруж-
ности S относительно сторон треугольника (см. тот же
рис. 14).
Рассмотрим далее точку
. Q! + Ог4-°з
~ 2 “	2
54
Ясно, что это есть точка пересечения диагоналей параллело-
{ ° 1
грамма Oathh2; через нее проходит также средняя линия [от,сг]
параллелограмма, где
o, + fe_a1 + g8 , „
cs 2 —	2	'~а»
(точке с3 отвечает середина отрезка ath высоты [л,Лг] тре-
угольника). При этом
(е, т,) = (е, с,)=у(0, а,)=-^-;
таким образом, окружность о с центром е и радиусом
у проходит через середину т3 стороны ага2 треугольника
и через середину сг отрезка ath высоты, заключенного
между вершиной и ортоцентром. Аналогично показывается,
что эта окружность проходит и через середины т1=^~^
и т2 =а'^а- двух других сторон, и через середины с,=
=	-|-а, и с2 =	°- + а2 отрезков aji и a2h двух
других высот. Окружность сг впервые рассматривалась
великим швейцарским математиком Леонардом Эйлером
(1707—1783); она называется окружностью Эйлера
треугольника а3а2аг. Поскольку хорды [сД] и [тД] окруж-
ности о взаимно перпендикулярны, а с3т2— диаметр этой
окружности, то окружность Эйлера а проходит также и
через основание Ьг высоты агЬ2, аналогично показывается,
чго сг проходит также и через основания Ь2 и Ь2 двух
других высот а1Ь1 и а2Ь2 треугольника. [Таким образом,
окружность о проходит через 9 замечательных точек тре-
Г--------------1
угольника аха2аг—через точки т2, т2, т2, Ь2, Ь2, Ьг‘,
с, с2, cs; поэтому ее часто называют окружностью де-
вяти точек треугольника.]
Заметим еще, что точка т пересечения медиан
Г - -—1
треугольника axa2a3 (центр тяжести или центроид
треугольника) делит медиану а2т3 в отношении
Д, m):(m, т,) = 2:1.
55
Отсюда нетрудно усмотреть, что она совпадает также с точ-
кой пересечения медиан треугольника 0h3a3 (ибо а.т3 есть
медиана также и этого последнего треугольника), и, следо-
Г—'	[	‘1
вательно, т делит медиану Ое треугольника 0h3a3 в отно-
шении
(О, т):(т, е) = 2:1.
Таким образом, мы видим, что точка т принадлежит
прямой [Ое] и (0, /и)=-|-(0, е) у (О, Л)^, т. е.
2 а, -4- а, а.
т—^-е =	8	8.
Прямая [ОЛ] называется прямой Эйлера треугольника;
ей принадлежат центр 0 описанной окружности треугольника
1	1	а, + а2 + а3
а,а2аг, точка т— 3---------- пересечения медиан — центроид
треугольника, точка h = а3 -ф а2 -f- а3 пересечения высот —
ортоцентр треугольника, и центр е — ——   окружности
Эйлера, причем
(О, е)=4(0’ ,г)> (0’ =	,г>-
Теоремы об окружности Эйлера нетрудно вывести также и
прямым подсчетом Заметим прежде всего, что в силу формулы (6)
(стр. 34)
И
(е, m,) = I е —т, | | + °2г + Oj-

2
2
°1 4~Q2 Ч~°8_
2
(е, с,) = |е—cs| =
аналогично показывается, что и
(е, т,) = (е, т2) = -1-,	(е, с,) = (е, с8) = -^-.
Несколько труднее показать, что окружность а с центром е
и радиусом проходит через точки b„ b2, Ь3. Чтобы вычислите
комплексное число Ь3, проведем через а3 прямую |asds] || [а2а,1;
точки пересечения прямых [asdj и [а3й8] с окружностью S обо-
значим через d3 и f,_ Из равенства дуг а,а3 и d3at окружности 3
вытекает равенство центральных углов:	а80а3 = / d30a3 =u;
поэтому
fl,	।	\
— = ~ ( = cosa-4-t sina).
c2 d3
56
Таким образом имеем
С другой стороны, поскольку [d3/s] есть диаметр окружности S
(ибо [a3d,] || [a2aj J_ [a3ds]). то
/, = — ds=—
”	‘ a,
Далее, поскольку
К h) = \a,— Л | = | a, — (a> + a2 + a»)| = |a2 + a,|
И
(a„ f,)=|a1—/si= |«. + ^2j = p~j I a2+ °s I — |o2 + osI
(ибо | n, | = | oa| = 1), то треугольник athf, равнобедренный; поэ-
тому его высота совпадает с медианой и Ьг есть середина
отрезка hft, откуда следует
h + f^at+^ + as а,с2
‘	2	2	2а, '
А теперь легко видеть, что
(e, 6,)-|e &,|-|	2	2	2aJ|“|2^|“
_ |o> H g2 j 1_
2 | a, |	2 •
Аналогично доказываются и равенства
(е, (’,) = (£, Ь2) = у -
I------1
Перейдем теперь к четырехугольнику atatatav
вписанному в окружность S (рис. 15); центр этой окружно-
сти по-прежнему примем за начало координат 0, а радиус S
будем считать равным единице. Аналогично изложенному
выше назовем точку
_^О1 + о2 + о» + о4
4
центроидом (или центром тяжести) четырехуголь-
ника аАа2а2а^, точку
h = а2 -J- а2 + аг + ai
— его ортоцентром и окружность сг радиуса — с цент-
ром в точке
°i + °2 + аг + at
е~ 2
Б7
окружностью Эйлера четырехугольника. Наша ближай-
шая задача будет состоять в том, чтобы дать всем этим
образам геометрическое истолкование.
Введем еще в рассмотрение центроиды тг, т2 и mt,
ортоцентры ht, ht, Л2 и Л, и центры окружностей Эйлера
Рис. 15.
I----1 г-----1 I-----1	<----1
е4, еа, е2 и е, треугольников	a2a2at, ахагал и а2яая4.
Заметим прежде всего, что
(й, /г4)=|Л — й4| = l(Gi + а2 +	— (ai + а2 + G»)l = lGil= 1
и аналогично
(Л, Й1) = (Л, й2) = (й, й,) = 1.
Таким образом, четыре окружности, равные описанной
окружности S четырехугольника, центры которых совпа-
Б8
дают с ортоцентром треугольников а1а2аг, а2а2аЛ, й2ага^
Г" '">
и а2агаЛ, пересекаются в одной точке h; эту точку мы
।---------------------------------------------------1
и назвали ортоцентром четырехугольника а1а2а8а4.
Далее,
(е, е4) = |р —pj =
_ia1 + a2 + a3 + a1	а, + а2 + а3 I _ 1а4 I | а4 |	1
|	2	2	I | 2 |	2	2
и аналогично
(е, е,)=(е, е2)=(е, е3)=у.
Отсюда следует, что окружности Эйлера четырех треу-
гольников aia2al, aia2ai, aia2ai и а2агаЛ пересекаются
в одной точке е, а центры этих окружностей принадлежат
одной окружности о с центром е и радиусом у; эту
окружность мы назвали окружностью Эйлера четырех-
I---------------!
угольника аха2а2а^. Наконец, из того, что
о. + а2 + ai + а.	За,—а.—а, —а,
at — m = at--—— 4	—- = —1— ---------1
и
„ т _ ai + o2 + a3 + a4	0,4-02 + 05	,чо4—а,—o2—as
т — тЛ-	§	,
т. е.
at — m = 3(m—mt),
следует, что точка т принадлежит отрезку a4m4 и делит
его в отношении
(о4, т):(т, ти4) = 3:1.
Аналогично этому показывается, что точка т принадлежит
отрезкам almi, а2т2 и а2тг и делит эти отрезки в отношении
(a,, m):(m, /и1) = (а2, т):(т, т2) = {аг, т):(т, тг) = 3:1.
Другими словами, четыре отрезка а2тх, а2т2, агтг и ajn^
соединяющие каждую вершину четырехугольника с центрои-
дом треугольника, образованного тремя другими верши-
нами, пересекаются в одной точке т и делятся в ней
5Э
в отношении 3:1. Эту точку т мы и назвали центроидом
четырехугольника о1о2а2а4.
Можно еще отметить, что точки 0, то = с> °* 2 * °8 °4 * * *
а1 + °г + аз + О1	«.	1	,	.	> 4
е =------2------ и " — ai + аг + аг 4~ о4 принадлежат од-
ной прямой, причем
(О, /Я) =4 (0, h),	(0, <0 = 4(0, Л);
эту прямую можно назвать прямой Эйлера четырехуголь-
ника.
Сказанное выше решает задачу геометрического опреде-
ления центроида то, ортоцентра h и окружности Эйлера о
।-------------------------1
четырехугольника а2агагаЛ. Мы, однако, не ограничимся этим,
а приведем здесь еще несколько теорем,
те же точки. Прежде всего, легко видеть,
ai ~Ьа« 4~°4
a, + as . +
2 "Г 2 _
2	“
Oi + gt  о,4-ог
2	2
характеризующих
что
О14-о, а24-о4
2'2
Отсюда вытекает, что точка то
2	2
является общей серединой
отрезков mltmti, т14то23,
mltm2i, соединяющих се-
редины то12 и m2i про-
тивоположных сторон аха2
и а3аЛ четырехугольника;
середины то14 и т21
противоположных сторон
1---।	।---1
а^ и а2а2, середины то)2
и то24 диагоналей а3аг и
।---
а2о4: три отрезка, сое-
диняющие середины про-
тивоположных сторон и
।------------------------------1
середины диагоналей четырехугольника а3а2а2аЛ, пересека-
ются в одной точке то — центроиде четырехугольника —
и делятся в ней пополам (рис. 16).
60
Центр е окружности Эйлера ст четырехугольника
а1а2аЛ симметричен центру 0 описанной окружности
относительно центроида т. Можно еще заметить, что
_ gi + fla + g^gt _ (Oi + Og + g,) +g4 _	+
2	2	— 2
и аналогично	_Ьг + аг h,-^a,
в~ 2	~	2 “	2	•
_	।---1 ।--1 ।---1 t-----1
Отсюда следует, что отрезки аД, а2Ла, aihi и аД все
проходят через точку е и делятся в ней пополам: четыре
отрезка alhi, a2h2, агйг и aji^, соединяющие каждую вер-
।-----------------------------1
шину четырехугольника alaiasal с ортоцентром треуголь-
ника, образованного тремя другими вершинами, пересе-
каются в одной точке е — центре окружности Эйлера
четырехугольника — и делятся в ней пополам (рис. 17, а).
Найдем еще угол <р12 между прямыми [/я12е] и [asaj
(g.+o,	'	\
где т12 =	, как прежде,— середина стороны a^j .
В соответствии с формулой (8) (стр. 34) имеем
.	е — тх,
<P»=Arg—*
61
(заметим, что если <?12 есть точка пересечения прямых [/я12с]
и [а3а4], то можно считать Arg (е — е12) = Arg (е—ml2),
Arg(as — <?12) =Arg(«s— а4)). Но
р__т _____°1 + °2 + О» + °-1_Oi+a2_О3 + 04
11 ~	2	2 ~ 2
и по правилу деления комплексных чисел получаем:
е- -тл,2  (о3 + а4) (q3 —q4)  a3q3 + q4q3 — q3q4 — q.,q3 __
c4	2(q3—oj (a3 — q3)	2(q3a3 —ata3—q3a1 + ala1)
_	a3g4
2(2—q3q4—a3a4)
(напомним, что с3о3 = а4«1= 1). Отсюда следует, что это
отношение есть число чисто мнимое (ибо в знаменателе
последней дроби стоит число вещественное, а в числителе —
разность двух сопряженных чисел) и, значит,
Ф>г=Агё
^3^4
2(24-q3q1 + q,q1)
Л
~2
± к<\1-
Точно так же доказывается, что
{т>А 1 [«л1> Kid 1 [«,«,].
К,*] 1 [«««<]• KZ] 1 [«!«»]-
Таким образом, получаем: шесть перпендикуляров, опущен-
ных из середин всех сторон и диагоналей четырехуголь-
г------------1
ника аага,а1 на противоположную сторону (соответст-
венно на вторую диагональ) пересекаются в одной точ-
ке е — центре окружности Эйлера четырехугольника
(рис. 17, б).
।------1
Наконец, ортоцентр h четырехугольника a1a2a2ai сим-
метричен центру 0 описанной окружности относительно
центра е окружности Эйлера.
Не представляет труда перенесение большинства полу-
ченных результатов и на произвольные многоугольники, вписан-
ные в окружность 5. Рассмотрим, например, пятиугольник
flic2asc4cs> описанную вокруг него окружность S мы, как и
выше, примем за «единичную окружность» zz = 1 плоскости
комплексного переменного (рис. 18). Пусть еще т3, т2, тг,
mt, тр, h2, h2, h2, ht, h2 и <?,, e2, e3, et, ей будут центроиды,
62
ортоцентры и центры окружностей Эйлера четырехугольников
1	! ।	I I---------1 I---------1 I----------1
C2flSfl4fl3> Cl°SC4a5> °lC2fi4CS> Glfl2CSGS 11 ClCtfiSC4- ТОЧКИ
m °i + °2 + <з2 + a4 + a5	.	,	.	.	.
m	5	> h — ai + a2 + a> + °4 + as>
„___Oi + аг + a3 + 04 + °s
2
мы назовем соответственно центроидом, ортоцентром
Рис. 18.
и центром окружности Эйлера пятиугольника
; ' 1 1
ахахагала^ радиус окружности Эйлера о положим равным — .
В точности как выше, доказывается, что пять окружно-
। ।
стей, равных описанной окружности 5 пятиугольника <z1«Ja3c4rzf
63
и имеющих центрами ортоцентры h2, h2, hs, Л4 и Л, четырех.
।-----------------1 ।------1 ।------1	।-------1	।------1
угольников a2atataa, a2a2atas, ata2ata6, а2а2а2а2 и а1а2а,а4,
пересекаются в одной точке h (геометрическое
определение ортоцентра пятиугольника)
Пять окружностей Эйлера о,, и2, аа, <т4 и ers тех же пяти
четырехугольников пересекаются в одной точке е, а их центры
принадлежат одной окружности о с центром е и радиусом ‘/2
(геометрическое определение окружности Эй-
лера пятиугольника). Наконец, пять отрезков a2mt,
а2т2, а,т2, алт2 и а2т2, соединяющие вершины пятиуголь-
। ।
ника ala2asaiat с центроидами четырехугольников, образо-
ванных четырьмя другими вершинами, пересекаются в одной
точке т и делятся в ней в отношении 4:1, считая от вер-
шины (геометрическое определение центроида
пятиугольника). Ясно также, что точки 0, т, е и h
принадлежат одной прямой, причем
(О, т) = ±- (О, й),	(0, е) = |(0, Л);
U	А
эту прямую естественно назвать прямой Эйлера пяти-
угольника. Нетрудно видеть также, что ортоцентр h пяти-
угольника симметричен центру 0 описанной окружности отно-
сительно центра в окружности Эйлера.
Легко убедиться также, что десять отрезков, соединяю-
щих середину каждой стороны и каждой диагонали пятиуголь-
ника с центроидом треугольника, образованного тремя вер-
шинами, через которые не проходит эта сторона или диагональ,
пересекаются в одной точке т—центроиде пятиуголь-
ника и делятся в ней в отношении 3:2 (считая от середины
стороны или диагонали). Далее, пять отрезков, соединяющих
каждую вершину пятиугольника с ортоцентром четырехуголь-
ника, образованного четырьмя другими вершинами, пересе-
каются в одной точке — центре окружности Эйлера пяти-
угольника— и делятся в ней пополам. Кроме того, десять
перпендикуляров, опущенных из центров окружностей Эйлера
треугольников, образованных какой-либо тройкой вершин
пятиугольника, на отрезок, соединяющий две другие его
вершины (на сторону или диагональ пятиугольника), пере-
секаются в одной точке е—центре окружности Эйлера
пятиугольника.
64
Аналогично этому, если считать понятия центроида, орто-
центра и окружности Эйлера уже определенными для всех
вписанных в окружность многоугольников, число сторон ко-
торых меньше некоторого заданного числа п, то орто-
। 1
центр й л-угольника а2аг...ап , вписанного в окружность S,
можно определить как точку пересечения п равных S ок-
ружностей, центрами которых служат ортоцентры
(п—\)-угольников, образованных п—1 вершинами п-уголь-
ника. Окружность Эйлера о л-угольника а1аг...аП
определяется как окружность, которой принадлежат центры
окружностей Эйлера, ах, о2, ..., сгп тех же п (п— \)-уголь-
ников (причем центром е окружности о будет служить точка
пересечения л окружностей ор аг,	Наконец, цент-
роид т вписанного в окружность S л-угольника можно
определить как точку пересечения п отрезков, соединяющих
каждую вершину п-угольника с центроидом (п—\)-уголь-
н'ика, образованного всеми остальными вершинами (причем
все эти отрезки делятся в точке т в отношении (л—1)'. 1,
считая от вершины л-угольника). Определенные таким образом
точки h, е и т принадлежат одной прямой, проходящей
также через 0 (причем (0, т)=^-(0, й), (0, е)=-^-(0, й))—
прямой Эйлера л-угольника.
Заметим еще, что все отрезки, соединяющие центроид
ft-угольника, образованного k вершинами л-угольника
( 1
а1а2...ап, с центроидом (л—й)-угольника, образованного
остальными л — k вершинами, проходят через точку т —
центроид л-угольника (и делятся в ней в отношении
л — й: й, считая от центроида ft-угольника). Далее, л отрез-
ков, соединяющих каждую вершину л-угольника с ортоцент-
ром (л—1 )-угольника, образованного л—1 остальными вер-
шинами, пересекаются в одной точке е — центре окруж-
ности Эйлера л-угольника — и делятся в ней пополам.
Последнюю теорему можно еще обобщить: все отрезки,
соединяющие ортоцентр й-угольника, образованного ка-
кими-либо й вершинами нашего л-угольника, и ортоцентр
(л — й)-угольника, образованного остальными л — й вершинами,
проходят через точку е и делятся в ней пополам. [Здесь
под «ортоцентром» хорды окружности S следует пони-
мать точку й(>/ = О; -J- aj, симметричную центру 0 окружности S
3 и. М. Яглом
65
относительно этой хорды.] Кроме того,	—- перпендику-
ляров, опущенных из центров окружности Эйлера (л— 2)-
угольника, образованного какими-либо п—2	вершинами
л-угольника, на отрезок, соеди-
няющий оставшиеся две вершины
(на сторону или диагональ л-уголь-
ника), пересекаются в одной точ-
ке е—центре окружности
Эйлера л-угольника. Число
подобных теорем можно было бы
и увеличить.
Найдем теперь основания ut,
u2, ua перпендикуляров, опущенных
из некоторой точки и «единичной
окружности» S плоскости комплекс-
ных чисел на стороны [еед), [бед]
и [бед] треугольника ala2as, впи-
санного в окружность S (рис. 19). На стр. 57 было показано, что
основание перпендикуляра, опущенного из точки а2 окружности
S на хорду ага2 окружности, выражается числом
1 /	.	о.а,
( °1 + а2 + а»-з“
Отсюда следует, что
1 f	,	бб,бб2
us=T^. + n2 + u-----
«1=7^2+“»+“—^-’);
1 (	,	ед
u*=2V’+fl*+“-------й
Заметим теперь, что
V (ult u2, us) = (ui —us):(u2~us) =
=	= [(».-»«) (’“г)] =
(с,—с,) (п--с2). (о3—с2) (ц —С1) 
— и	и
Но поскольку точки а2, и, а, и а2 принадлежат одной окруж-
ности S, то двойное отношение W (а„ и, а2, а2) вещественно;
66
поэтому вещественно и отношение V (в„ и2, и3) и, следовательно,
три точки и„ и2 и и, принадлежат одной прямой. Эта прямая
называется прямой Симеона (точки и относительно тре-
угольника а^а,) по имени английского математика Роберта Си м-
сон а (1687—1768), впервые установившего соответствующий факт.
Выведем теперь уравнение прямой Симеона I.
Мы будем исходите из формы (Юа) уравнения прямой, проходя-
щей через две точки г, и z2 (см. стр. 36); при этом мы еще «нор-
мируем» это уравнение, поделив все его члены на коэффициент
при г:
г,— г2	г,—г2
Положив здесь г2 = и, и z2=u3, мы получим следующее выражение
для коэффициента при г:
(lil-U1):(M- -ц.) =	; (вз-Ё.)(“-Ё2) =
и	и
(л3 — а,) (к — а2) а2 ) \ и а2 )
и '	1
и
о,) (»—ог). (о, —а3) (а2 — и)_ о,с2а3
и ' а^а, ~ и
. -1-1 1
(заметим, что поскольку atat= I, то а, = — и аналогично а,——,
о,	i а
-	1	-	1 X _	,	,
а, = — и и =— ) . Теперь, чтобы определить свободный
Сд	и /
член С уравнения (21), достаточно подставить это уравнение
2, 2« Д|ПчС23	1 /	<3,П. X
=---=------ и 2 = 17] = —I а2 + а3 + а-; тогда получим
г,—z2 “	2 \	“ /
1 [	, о2а,Х 1 а.а,а. (— —	— а,а.\	„
у ^о2 + о3 + «------yj-y -к^-Цо2 + 0з + и--------------L-SJ + C = O,
откуда, поскольку а2= —, а3=— , и — — и а,=— , имеем
о2 о, и ‘ а,
z- 1 .			,	, , 1 0,0,0,	~
— у(О1 + о2 + оэ-|-и) + g------— (Oj + Oj-J-aj + u).
Таким образом, окончательно приходим к следующему уравнению.’
г-^~г-^(°’+02 + °з + ") + у^у^(с1 + о3 + о3-|-п) (22)
Из уравнения (22) сразу усматривается, что прямая Симеона
точки и относительно треугольника а2а2а3 проходит через точку
3*	67
г=
а1 + а2 + а3+ и
2
если условиться вместо и писать ait то мы по-
лучим, что прямая Симеона вершины at вписанного в окружность S
четырехугольника aiataiai относительно треугольника а^а,, обра-
Г '	' •">
зованного тремя другими вершинами а^а^, проходит через центр
а, Ч- о2 -Р а. Ч- с4	~ „
г=—————s окружности Эйлера этого четырехугольника.
Отсюда вытекает еще одно определение центра окружности Эйлера
четырехугольника: четыре прямые Симеона четырех вершин вписан-
।-----1
него в окружность S четырехугольника а,ага^ относительно тре-
Рис. 20.
।-----1
угольников, образованных тремя другими вершинами ахага3а^ пересе-
каются в одной точке е—центре окружности Эйлера четырехуголь-
ника ala2atai (рис. 20).
Заметим еще, что, как нетрудно подсчитать, основание пер-
пендикуляра, опущенного из точки и на прямую (22) имеет вид
а1 + д2 + са + 3и с;д^,	+ Й1 + йа—й).	(23)
Из этой формулы прямым подсчетом можно вывести, что если и есть
(-------------------------------------------------------------1
точка окружности S, описанной вокруг четырехугольника ala1a:,ai,
то основания перпендикуляров, опущенных из точки и на прямые
I-----1 Г ’
Симеона этой точки относительно треугольников ащ.рц, а,о2а4,
а1а,а1и а2а,а4, лежат на одной прямой (рис. 21); эту прямую на-
зывают прямой Симеона точки и относительно четы-
рехугольника ajOjOjOj.
68

Аналогично этому основания перпендикуляров, опущенных
|--------------------------------------------------1
из точки и описанной вокруг пятиугольника aia2asalas окруж-
ности S на прямые Симеона этой точки относительно пяти четы-
>	1	1—"	। —	। I 1
рехугольников а^а,^, ala2asas, a1asaias и a2a,atat, принадлежат
одной прямой — прямой Симеона точки и относительно
। 1
пятиугольника a1aiaaataf. Если, наконец, определить по-
добным образом прямые Симеона точки и окружности S относи-
тельно любого вписанного в S многоугольника, имеющего меньше
I	)
п сторон, н затем рассмотреть вписанный в S n-угольник ata2 ...ап,
то основания перпендикуляров, опущенных из точки и на п прямых
Симеона этой точки относительно всевозможных (п — 1)-угольников,
образованных какими-либо п— 1 вершинами n-угольникщ будут
также все принадлежать одной прямой — прямой Симеона
I-------1
точки и относительно п-у гольника ata2 ... а„. Если при-
нять окружность S за «единичную окружность» плоскости комплекс-
ных чисел, то уравнение прямой Симеона точки и относительно
।----------------------1
п-угольника 0,0,0,... оп можно записать так:
un-2 Z —	2n~2un~l
, 5,0”-»+... +(- 1)Х_1Н + (_1)И(2п-г_1),.п
> Iх*/

vi
где s1 = a1 + a8 + a!+...+fl4, s2 = a,c2 + a1os.+a„_,a„, s, =
= a,a2as + a1o2c4+ • • • 4-a„_kan_1a„.«п=010г ••• an. [Заметим,
что уравнение (22) можно переписать так-
г
и
или
а,с2а2 - _ иг + atu2 + о2ц2 + а,иг — а2а.и — а1а2и — аха2и — с,л2о3
2и2
г_- = (2— 1) t?+ s,»2 —Егц —(2— 1) S;
и ~	2иг
(22а)
откуда видно, что оно равносильно частному случаю уравнения
(24), к которому мы приходим, положив п = 3.]
Наконец, укажем еще, что определение окружности Эйлера
।-------------------1
многоугольника ata2 ... ап, вписанного в окружность 5, может
быть значительно обобщено. Сопоставим вписанному в «единичную
1	I
окружность» S «-угольнику ata2 ...ап (где «Эг2) « окружностей
о(п, <т<2‘, о”*.о1"1; за центры этих окружностей примем точки
е<*’=а1+а!+...+вл. е»2>=с»+°2+:—±5?, е(»> с‘+°2+- - +%..
Z	О
т\ о» 4- о2 4" - 4“ о„
.... е’">=—!_!— —е, а радиусы их положим равными
1. 4. Д"	—• Эти окружности можно назвать 1-й, 2-й,
2 о п
3-й.....n-й окружностями Эйлера «-угольника; при этом
2-я окружность Эйлера — это та окружность, которую мы выше
называли просто «окружностью Эйлера», а центры 1-й и п-й
окружностей Эйлера совпадают соответственно с ортоцентром
h и центроидом т л-угольника. Ясно, что для отрезка
1-я окружность Эйлера о(,) будет симметрична окружности
S относительно прямой [о,^], а 2-я окружность Эйлера о<2) будет
иметь центр в середине отрезка и радиус ~ (рис. 22, а). Для
треугольника atasas 1-я окружность Эйлера о111 будет иметь центр
в ортоцентре треугольника и радиус 1; 2-я окружность Эйлера <т<2>
совпадет с окружностью девяти точек; 3-я окружность Эйлера
о(5> будет иметь центр в центроиде треугольника и радиус -i-
О
(рис 22, б). При этом, как легко убедиться, центры i-x окруж-
ностей Эйлера п («—\)-угольников, образованных какими-либо
|-------1
«—1 вершинами вписанного в окружность S п-угольника сха2.. ,ап,
।-------1
принадлежат i-й окружности Эйлера п-угольника ata2 .. а„ (а сами
эти п окружностей пересекаются в одной точке—центрее'1’окруж-
ности о"1)- Далее, отрезок, соединяющий центр i-й окружности
Эйлера k-угольника, образованного какими-либо k вершинами много-
70
f— ------1
угольника а3аг ... ап, с центром j-й окружности Эйлера (п—к)-уголь-
ника, образованного n — k остальными вершинами п-угольника, про-
ходит через центр el'+^ (I j)-u окружности Эйлера п-угольника
(и делится в этой точке в отношении /:i, считая от центра окруж-
ности Эйлера fe-угольника). Кроме того, перпендикуляры, опущенные
п(п — 1)	.
из - —---- центров	t-x окружностей Эйлера всевозможных
(п — 2) угольников, образованных какими-либо п — 2 вершинами
।-------------------1
п-угольника а1аг ... ап , на отрезок, воединяющий две остальные
Рис. 22.
I---------1
вершины	un (на сторону или диагональ п-угольника),
пересекаются в одной точке е('> — центре 1-й окружности Эйлера
п-угольника
Ясно также, что центры всех окружностей Эйлера многоуголь
ника лежат на одной прямой, проходящей через центр описанной
окружности,— прямой Эйлера многоугольника.
Обратимся теперь к отношению V(z , гг, 2,) = ^—^-’
гг г1
трех точек zt, гг, z3 плоскости и к двойному отношению
W(z , zt, z„ 24) =четырех точек zt, zt, zt, z .
^2 z3 z2- z4	4
Выясним, как меняются эти величины при перестановке
входящих в них точек.
71
2 _£
Обозначим исходное отношение V(z , гг, zt)=—-----* через
гг гг
X; тогда, очевидно,
м,)=^4
и
V(zv z„ z2) =	= 1 _X (25)
^9.	%я
— отношение трех точек меняет свою величину на обрат-
ную при перестановке первых двух точек и заменяется
дополнением до единицы при перестановке двух последних
точек. Последовательно применяя эти правила, получим
V(z„ г„ 2,) = ^,
Т7 /	\	1	1	1
^(^г, zs> Z,) — 1 У-“X-’ *
Т/ /	\	1
гг’	X—1 ‘
(25а)
Таким образом, отношение трех точек плоскости (трех
комплексных чисел г,, г2 и zt) в зависимости от порядка,
в котором эти точки берутся, может иметь шесть значений:
1 \ = Л,-1-х, X.-jij,
к
х—1	,
— и 1
х
s — х— 1
сопоставить комплексное число
; однако точнее будет говорить о
Х„ к
Рассмотрим теперь какой-либо треугольник г^2гг. Этому
треугольнику можно
X=V(21, zit
шестерке чисел X, Л„ Хг, X,, Х4 и Х5, отвечающих
нашему треугольнику. Комплексные числа X, X,, Х2, X., Х4, Xs
।------------------------------------------------1
являются вершинами шестиугольника ХХ,Х,Х2Х5Х4 (может
быть вырожденного или самопересекающегося); этот шести-
угольник (рис. 23) ’) тесно связан со свойствами исходного
’) Впрочем, ясно, что весь шестиугольник XX^jXjXjX. пол-
ностью определяется одиой-едннственной своей вершиной. Чтобы
убедиться в этом, достаточно заметить, что в силу определения
чисел X, X,, Х2, Х5, Х4 и Х5 прямые [ОХ] и [OXJ, [ОХ,] и [0Х3],
[0XJ и [0Х5], симметричны относительно оси о; (О, Х1) = тт—гт ,
(U, Л)
72
треугольника. (Так, например, все вершины шестиугольника
А.Х.,Х.,Х.2Х5Х4 в том и только в том случае принадлежат одной
прямой, если и все вершины треугольника zxztzt принадле-
жат одной прямой.) Мы, однако, ограничимся здесь выясне-
нием ответа на один-единственный вопрос: в каких случаях
г-----------------------1
шестиугольник aXsX,1X2X.Z4 является вырожденным в том
смысле, что две или большее число из его вершин совпа-
дают между собой?
Так как в качестве «исходного значения» X отношения
трех точек можно принять любое из шести возможных зна-
чений этого отношения, то для решения поставленного
(ОЛ») = (о~Х^) и (0,^)==(0ТТ: отРезки и M-s пересека-
ются в однои точке -%, являющейся их общей серединой
(ср. рис. 23).
73
вопроса достаточно выяснить, в каких случаях величина К
равна одному из комплексных чисел А,,	А3, А4 и As.
Но если
К = 1 =1,
Л
то А==^=^=1, что невозможно, если точки г,, г, и г, все
г2-г8	*' 2	’
различны или же А =— 1; если
А = А2 — 1—А,
то
, _ 1	. _А-1 _
А.— 2	и А4 —	—	1,
если
А = А3 ==	,
то А = |^у = 0, что также невозможно в случае различных
точек zv гг и г3,- или А —2 и Аг = 1 —А =—1. С другой
стороны, если
Х •
то А удовлетворяет квадратному уравнению А2 — А 4-1=0
. 1 + /з»-	, 1—Гй
и, следовательно, А = —— или же А = —; если
то А удовлетворяет тому же самому квадратному уравнению.
О	,	1 -	.	1 + J/3Z
Заметим еще, что если А =------, то А, = 1 — А =---.
Таким образом, окончательно мы приходим к выводу, что
।-------------------1 । ।
шестиугольник	{или АА,А2А,А4АБ) является вы-
рожденным лишь в том случае, когда одно из шести
значений отношения трех точек zt, z2 и z2 равно — 1 или
одно из шести значений отношения трех точек равно
" 2^ ~ cos 60° +г sin 60°). В первом случае одна из трех
точек. zt, z2 и z2 является серединой отрезка, соединяю-
I	I
щего две другие, и шестиугольник АА,АгА8А4А5 вырождается
।--------------------1
1 1 г,
в «треугольник» — 1 -% 2, три «вершины» которого принадле-
74
жат одной прямой о (рис. 24, а). Во втором случае треуголь-
ник является равносторонним, а шестиугольник
XX1X2X3X4XS вырождается в отрезок11 +	1 —V3t (
Аналогичные выводы можно сде-
лать и „о поводу двойного отношения
W(z., z2, z„ z.) =
' 1’	4’ o'	7	j __ 7
Z2 43 Z2 £4
четырех точек плоскости. Из самого
о
-7
_____(рис. 24, о).
67
О
/
а;
г
Рис. 24.
определения
№(*„ г1>
двойного
z) = X, то
47	’
отношения следует, что
если
1Г(г2, г,,	г4)
гг, г4, г,)-
: —г3 . г, —г4 _ £
?! — г3‘ г, — г4	Л ’
г.—?4. Л —z3 _ J_
г2 z4 г 2 £3 X
Г(д„ г4, z„ z2)
г3—г,. г3—г2 _ г,—г, гд—га
z4 Zj г4 z2 Zj zA z2 zA
— двойное отношение четырех точек меняет свою вели-
чину на обратную при изменении порядка первых двух
или последних двух точек и не меняется при замене пер-
вой. пары точек на вторую и второй на первую. Далее,
= г,—г, .г,—г4= (г2—?,) (г3—г4) _
г8 —гг‘г3 —г4	(г2—г3) (г, — г4)
№ (г,, г3, гг, г4)
_ (г2—?,) (г,— г4) + (г2—г4) (г3—г,) _ j _г,—г,. zt—г4 _
(г2—г,) (zt—z4)	z2—z3‘z2—г4
1-Х
— двойное отношение четырех точек меняет свою величину
на дополнение до единицы при перемене местами второй
и третьей точек. Последовательное применение этих неслож-
75
них правил дает возможность заключить, что при всевозмож-
ных перестановках четырех точек мы получим всего шесть
разных значении двойного отношения'.
гг, z„ zi)=W(zi, z„ zt, z„) =
= W(z„ zit zt, zz) — W(2t, z„ zt, 2,) = X,
W(zv zt, zlt zt)—W(z2, zx, z„ я4) =
= W(zs, zt, z2, z,) = IF(24, z„ zt, 2г)=^- = А,,
w (Л> г» z» zi)=W(z2, zt, zt, zt) =
= W(zs, zt, гЛ, z2) — W(zt, z2, z„ д,) = 1 — ^ = Д,
W(z„ z„ zt, z2\=W(z2, z„ zt, zj =
— W (z„ zv z2, zj = W (z„ z2,zlt z3) = -y^y- = Д,
№(*,» *4, z2,z,)=W(z2, z„ zv zt) =
= W(Z„ Z„ zt, zl)=W(zi, zv z„	= X4,
W(ZV zv z„ z2)=W(z2, z„ zt, z,) =
= W (z„ zt, z„ zj = W(zt, zt, z2, z,) =	= X6.
(26)
Таким образом, каждому четырехугольнику ziztzlzi одно^
।--------------------------------------------1
значно сопоставляется шестиугольник	’), свойства
которого тесно связаны со свойствами исходного четырех-
угольника.
I---------!
Выясним теперь, в каких случаях шестиугольник
будет вырожденным, т. е. будет иметь меньше шести
различных вершин. По существу, этот вопрос уже был решен
нами выше при рассмотрении отношения И(д,, z2, z3) трех
точек плоскости: ведь числа X.,, Кг, Х,4 и Х5 образуются
из числа X в точности тем же способом, что и выше. Таким
образом, одним примером четверки точек zt, z2, zt и ,г4,
двойное отношение которых при изменении порядка точек
принимает не шесть разных значений, а меньшее их число,
является такая четверка, что
W(zv zt, z„ г4) = —1;
(27)
при этом, меняя всеми возможными способами порядок точек
zv z2, zt и г4, мы получим всего три разных значения
’) См. сноску на стр. 72—73.
76
двойного отношения этих точек: —1, 2 и -у. Четверка то-
чек z,, z2, z, и z4, для которой имеет место равенство (27),
называется гармонической четверкой, а отвечающий
।--------------------1
ей четырехугольник zpz,z,zt— г а рмоническим четырех-
угольником (рис. 25, а). Поскольку в этом случае двой-
ное отношение W (z2, гг, za, z4) является вещественным, то
вокруг гармонического четырехугольника можно описать
окружность (ср. выше, стр. 36—37; эта окружность может
выродиться в прямую). С другой стороны, из равенства
I z, —z81-1 z?—zj _
I zt, z„ z.
z.—z..zt—z,
z2—Z,‘ Zj—z,
(Z„ za)-(z8, Z4)
(z2, z8) (z„ z4)
вытекает, что
(Л.	z4) = (z1( z4)-(z2, z,);
таким образом, произведения длин противоположных сторон
гармонического четырехугольника равны. Ясно, что эти
два условия полностью характеризуют гармонический четырех-
77
I-------1
угольник: если вокруг четырехугольника z2z2ztzt можно опи-
сать окружность, го двойное отношение W(zt, z2, z„ z4)
вещественно, и если, кроме того,
(г„ г,) (z2, г4) _ |г, —г8|-|г2 — z4| = t
(г,. z4) (z2, z3) | г,—г4 |-( г,—г, | ’
то | W(zt, z2, zt, г4)| = 1, откуда следует, что W = —1
(ибо двойное отношение четырех различных точек не
может равняться + 1). Отсюда вытекает, например, что гар-
моническим четырехугольником является квадрат.
Для любых трех точек г,, z2,z, всегда можно указать такую
четвертую точку г4, что четверка г,, г2, z„ zi является
гармонической: z4 есть точка пересечения описанной вокруг
треугольника z2z2zs окружности S с окружностью Апол-
лония 5, точек г, и z2, проходящей через точку г, (т. е.
(и), г.)	(г., г.)
с геометрическим местом точек ~w, таких что }---4	;
(®. гг) (г„ г2)
или (w, z,)-(z3, z2) = (w, г2)-(гг, г,), см. стр. 52—53). Лишь
в том случае, когда точка гг является серединой от-
резка z2z2 и обе «окружности» S и S, вырождаются в пря-
мые, точка их пересечения г4 не будет сущее гвовать; в этом
случае роль г4 будет играть «бесконечно удаленная точка»
оо (ибо тогда W(z2, z2, zt, оо) = V(zt, z2, zt) = ——— =—1;
Z2 ZS
ср. выше, стр. 38).
Другой пример четверки точек z2, z2, z„, zt которой
отвечает не шесть значений двойного отношения IV, а мень-
шее их число, мы получим, положив
W(z„ г2, г„ й4) = COS 60° + i sin 60° =’-±221; (28)
при этом, изменяя всеми возможными способами порядок
точек, мы будем иметь всего два разных значения двойного
отношения:
cos 60° -}- i sin 60° и cos(—60°)4-/sin(—60е) =-—•
Четверка точек zv z2, z„ zt, для которой имеет место ра-
венство (28), называется экви гармонической чет-
।-----1
верной точек, а четырехугольник zxztz2zt— экви гар-
моническим четырехугольником (рис. 25,6). Так
78
как в этом случае
W(zt. zt, z„ гл) =	(> У = | cos 60° + i sin 60° | = 1,
VZ2» Z8/‘ lzl» z4)
то, как и раньше, (z1,z,)-(z2, z4) = (z„ zj-(zt, z,). С другой
стороны, из равенств
| Г (г,, z„ zz, z4) | = \ (cos — 60°)/ sin (—60°) | = 1
и
1^(2,, z4, z2> 2,) = I COS 60° + I sin 60°| == 1
следует: (z„ z2)-(z„ z,) = (zt, zj.(z2, zs) и (zt, z2)-(z„ zt) =
= (zn z,)(z2. z4)- Таким образом, произведение длин
{любых двух'.) противоположных сторон эквигармоничес-
кого четырехугольника равно произведению длин его диа-
гоналей:
(Л. Z4MZS. z4) = (zi. Z4HZ2. *4) = (z„ z2)-{z„ z4).
Нетрудно видеть, что последнее условие полностью харак-
теризует эквигармонический четырехугольник-, действи-
тельно, из него вытекает, что |Х| = 1 и |1—Х|=1, где
K=W(zt, zt, г,, zj, a это возможно лишь при X = -+У^'
или Х =—2 • В частности, эквигармоническим четырех-
угольником является ромб, произведение диагоналей которого
равно квадрату стороны ^ромб со стороной 1 и диагоналями
Кз-и .. f3-l\
К2 /2 у '
।----------------------------------1
Для каждого треугольника z,z2z8 можно найти две такие
, ।------------------------------------------1 ।--------)
точки z4 и з4, что четырехугольники гу222ггЛ и z,z8z2z4
являются эквигармоническими: это есть точки пересечения
окружности Аполлония St точек z, и z2, проходящей
через z8 и окружности Аполлония Зг точек z, и zt, про-
ходящей через гг (откуда уже следует, что через эти точки
проходит и окружность Аполлония точек гг и г„ про-
ходящая через z,). В самом деле, из равенств
г,) = (г„ г,)	{ш, г,) = (г8, г,)
(ш, г2) (г„ г2)	(w, zs) (г2, гг)
79
следует, что имеет место также и равенство
(w, гг) _ (г„ z2)
(ш, г,)	(z„ г,)
и что
(г„ zt)-(w, zs) = (z,, z3)-(w, z2)=(z2, zt)-(w, zj.
Точки z4 и z4 можно определить как такие точки в пло-
।------------------------1
скости треугольника z2z2z2, расстояния от которых до любых
двух вершин относятся, как длины соответствующих сторон
(как расстояния третьей вершины от этих двух вершин); их
иногда называют изодинамически ми центрами тре-
угольника z3z2zt. Каждый треугольник имеет два изодинами-
ческих центра zi и z4> только для равностороннего треуголь-
ника z2z2z2, для которого обе окружности Аполлония S, и S2
(а также и окружность 5,) обращаются в прямые, сущест-
вует единственный изодинамический центр w4, совпа-
дающий с центром треугольника (роль центра w4 играет
в этом случае «бесконечно удаленная точка» оо, поскольку
ч ,,, у l+/3i	1 — /ЗгА
Г (z„ z2, z„ оо) = V(гр z2, z,) = —— или =------|—j .
Шесть значений отношения трех точек плоскости можно по-
лучить и «более геометрически», опираясь на чертеж, а не на под-
счет. Заметим прежде всего, что двойное отношение V (z„ г2, г,)=
=Л1—— характеризует тройку точек г„ г2, г, «с точностью до пре-
Z2 Z8
образования подобия»; этот оборот означает, что две тройки точек
г г2, г, и г', г, в том и только в том случае имеют одинако-
вые отношения: V (z„ z2, z,) = V (гр гг, z4), если подобны обра-
зованные этими точками треугольники г,г2г, и г,?/, (причем в этом
подобии точка г' должна отвечать г,, точка гг—г2 и точка г,—г,;
,___। I----1
заметим еще, что «треугольники» и z,1zszJ могут быть и вы-
рожденными, поскольку точки Zp z2 и zs могут принадлежать одной
прямой). Это утверждение непосредственно вытекает из того, что
модуль 1V 1 комплексного числа V (z„ z2, z,) = -—-Нравен отно-
z« z»
шению длин сторон г,г3 и г2г, треугольника ZjZ2z3, а его аргумент
Arg V —углу Z {[Z8Z«]> lz»zjl} того же треугольника.
30
Но ясно, что
2 — 0
V(z, 1, 0) = |—|-=z-
Поэтому, если V (zv гг, z,) = l = V(l, 1, 0), то треугольник гуггг,
подобен треугольнику 110. Отсюда следует, что, для того чтобы
найти все значения отношения трех точек г,, г2, г„ взятых в лю-
бом порядке, надо построить на отрезке 01 всевозможные треуголь-
i ' I
инки, подобные заданному треугольнику ZjZjZ,. Сделать это можно
।-------------------------1 ।--------1 1---> ।------1 г—I ।----->
шестью способами: 110с/5 z,, z2, zs, 1,10<узz2z,z2, 1210с/эz,zsz2,
ls10czoz2z,z2, l410cnz2zsz, и l510</iz3z2?,, где соответствие вершин
указывается порядком, в котором они выписаны (рис. 26). Из по-
добия треугольников 11,0, 1,01, 101э, 0141 и 0115 треугольнику
110 можно также вывести, что
т Р 1 «1. Ь-1-* 1 1.	о-1- 1 .
1_1,т,е-л, 1- 1 П К 1=1-1~1_1'
1, 1 — 1 1— 1 15 0—1 1
Т=о^13 1 и Т=Г=1= 1=Т’
Чтобы выяснить, в каких случаях отношение трех точек при-
нимает меньше шести разных значений, достаточно установить,
в каких случаях какие-либо два из изображенных на рис. 26 шести
треугольников совпадают между собой. Один такой случай яв-
ляется совершенно очевидным—он отвечает тому, что треугольник
011 является равносторонним и вместо шести треугольников мы
имеем только два: точки 1, 13 и 14, так же как и 1,, 12 и 15, сов-
падают между собой (ср. рис. 24, б). В этом случае
1=12=11== 1 (cos 60° -J-j sin 60°) =---
и
1, = 12 = ls = 1 [cos (— 60°) + i sin (— 60°)] = -1
Второй случай, который также усматривается без всякого труда,
> ।
отвечает совпадению вершин 1 и 12 параллелограмма 01,11.,; ясно,
что это возможно, лишь когда 1=12=1/2 и точка 1 является се-
рединой отрезка 01, a l, = ls = 2, l4=ls =—1, так что всевозмож-
ные отношения трех точек z,,z2HZ2 принимают лишь три значения:
— 1, 2 и 1/2 (ср. рис. 24, а). На рис. 26 легко также усмотреть,
что эти два случая уменьшения числа изображенных иа нем тре-
угольников— е динственные.
Аналогично этому и в случае четырех точек z,, г2, га и г4
можно вместо шести значений 1, 1,, 12, 12, 14 и 15 двойного
81
отношения W этих точек рассмотреть треугольник 01Х, задаваемый
«с точностью до преобразования подобия», т. е. так, что два
таких треугольника, подобных между собой (на этот раз — без
учета порядка их вершин!), не различаются, отождествляются
между собой; последнее условие сопоставляет каждому треуголь-
нику 01Х еще пять «одинаковых с ним» треугольников OlXj, 01Х2,
01Х3, 01Х4 и 01Х5 (см. рис. 26). Треугольник 01Х тесно связан с че-
тырехугольником г,г2г2г4; мы назовем его ассоциированным
треугольником четырехугольника г^г^. Связь между че-
тырехугольником ZjZjZjZj и треугольником 01Х позволяет вывести
многие свойства четырехугольника из (более простых!) свойств
его ассоциированного треугольника; так, например, вырожденным
треугольникам 01Х (т. е. таким, вершины которых принадлежат
<--------------------------------------------1
одной прямой), отвечают четырехугольники zlz2z3zi, которые можно
вписать в окружность (точнее, такие, вершины которых принад-
лежат одной окружности или одной прямой,— лишь для таких
четырехугольников г,г2г,г4 двойное отношение^ W (zt, г2, га, г4) будет
вещественно). Ниже мы будем иметь случай остановиться более
подробно на свойствах ассоциированного треугольника данного
четырехугольника и указать чисто геометрическое его построение
82
(см. § 14, стр 150). Здесь же мы ограничимся лишь упоминанием
о том, что ассоциированный треугольник гармонического четырех-
угольника вырождается в отрезок с его серединой, а ассоцииро-
ванный треугольник зквигармонического четырехугольника яв-
ляется правильным.
§ 9. Дуальные числа как ориентированные
прямые плоскости
Далее нам придется иметь дело исключительно с ориен-
тированными прямыми; при этом прилагательное «.ориентиро-
ванная» мы часто будем опускать. Углом между прямыми а
и b будем называть ориентированный угол {а, Ь}
между ориентированными прямыми (стр. 35); расстоянием
между двумя точками А и В прямой I—так называемую
ориентированную длину
отрезка АВ, обозначаемую через	~~
{Л, В} и означающую обычную ----------—	———----
длину, взятую со знаком «плюс»	'
или «минус» в зависимости от	Рис. 27.
того, совпадает ли направление
от А к В с положительным направлением прямой I или
противоположно ему; расстоянием от точки М до ориен-
тированной прямой /—ориентированное расстоя-
ние {/И, /} от М до I, т. е. расстояние, взятое со зна-
ком «плюс» или «минус» в зависимости от того, лежит ли /И
слева или справа от ориентированной прямой I. Две ориен-
тированные прямые мы будем называть параллельными
лишь в том случае, если они параллельны в обычном смысле
и направления этих прямых совпадают (рис. 27, с); параллель-
ные прямые противоположных направлений мы будем иногда
называть противопаралдельными (рис. 27, б). Под
расстоянием от прямой а до непересекающей ее прямой b
мы будем понимать ориентированное расстояние
{а, Ь} о т а до Ь, т. е. ориентированное расстояние от про-
извольной точки прямой а до прямой Ь; очевидно, чго
{fl, b} — — {b, fl}, если а и Ъ параллельны, и {а, Ь] — {Ь, а}, если
а и b противопараллельны.
Вспомним теперь, что полярные координаты точек пло-
скости определяются заданием некоторой точки О (полюса
системы координат) и проходящей через О (ориентированной)
прямой о (полярной оси); координатами точки М служат
здесь расстояние г—ОМ этой точки от полюса и угол
Ф = Х {°> w}, образованный с о (ориентированной) прямой т,
83
соединяющей О и М (ср. рис. 1 на стр. 32). Аналогично
этому можно определить полярные координаты (ориен-
тированных) прямых плоскости, для задания которых надо
также указать некоторую (ориентированную) прямую о (п о-
лярную ось) и лежащую на о точку О (полюс); коор-
динатами прямой I служат угол 0 = Zb 0. образованный
I с полярной осью о и (ориентированное) расстояние $ = {О, L}
от О до точки L пересечения I и о (рис. 28, а). Очевидно,
что координата s ориентированной прямой I может иметь
любое значение, заключенное между -f- оо и — оо; коорди-
ната 6—любое значение, заключенное между 0 и 2л. Есте-
ственно считать, что 6 = 0 для прямых, параллельных поляр-
ной оси о, и 6 = л для прямых, противопараллельных о; если
прямая не пересекает оси о, то координаты $ она не имеет
(можно считать, что в этом случае s=±oo).
Условимся теперь сопоставлять (ориентированной) прямой I
с полярными координатами 6 и $ дуальное число
z = tg ^-(1 es) = « + ет/, « = tgy, v = tg^-.$ (29)
(рис. 28). При этом параллельным о прямым, для которых
6 = 0, естественно относить числа нулевого модуля, т. е. де-
лители нуля ет/ (см. выше, стр. 22). Чтобы установить точ-
ное соответствие между параллельными о прямыми и делите-
лями нуля, заметим, что расстояние d = {0,1} не параллельной о
прямой I от полюса О равно
d =$• sin 6 = $•
в
2Ч
i+tg24
2stg4
i+tg’4
2v
1 + Iz|2
(30)
84
т. е. z=u 4- ет’, где м=0 и , , , „
>+|zl2
отличаю*
только направлением и, следовательно,
(рис. 28, а). Если мы хотим, чтобы формула (30) сохранила
силу и для параллельной о прямой т, отстоящей от о
на расстоянии {о, т] = d, то этой прямой придется сопоста-
вить число z=-= е т. е. z=u 4-ef, где «=0 и , ,	.
2 \	I '
Далее, двум пересекающим о прямым I и I
щимся
имеющим полярные координаты (6, s) и (лД-0, $), отвечают
дуальные числа
z = tg-| (1 4-es)
и
2 = tg^y^(l +es) = — ctg-|(l -J-es) =-^4----
tg-(l-es)
z
Считая, что это соотношение сохраняет силу и для прямых,
не пересекающих о, мы условимся относить противопа-
раллельной о прямой mv отстоящей от о на расстоянии
{о, mt}—dv число
(заметим, что если расстояние {о, т} от о до параллельной о
прямой т, совпадающей по положению на плоскости с пря-
мой mt, равно d, то d = — dt). Наконец, прямой о,, отличаю-
щейся только направлением от полярной оси о (п р о т и в о-
оси), мы сопоставим число
1
0	*
Тем самым мы устанавливаем полное соответствие между
ориентирозанными прямыми плоскости и дуальными числами,
включая сюда также и числа вида где вещест-
венно, и число оо.
0
Очевидно, что вещественным числам z = и =tg -% (1 е • 0)
отвечают проходящие через полюс О прямые; числам мо-
дуля 1 —перпендикулярные о прямые (точнее—такие прямые I,
что {о, /} = у; вообще числам постоянного модуля и отве-
чают прямые /, образующие с о постоянный угол / {о, /} =
85
=2arctgu); «чисто мнимым» числам те (числам нулевого мо-
дуля) и «числам бесконечного модуля» « отвечают парал-
лельные и противопараллельные оси о прямые. Сопряженным
0	б
числам z==tg -g-(l -(-es) и z = tg — (1—es) отвечают прямые,
симметричные относительно полюса О; противоположным чис-
лам z = tg (1 + es) и — z = — tg ^-(1 4-Es)=tg^Hl — es)
— прямые, симметричные относительно полярной оси о
(т. е. прямые, пересекающие о в одной и той же точке L
и образующие с о равные углы: Z_{o,z} — ^_{—z, о}; см.
рис. 28, б); числам z и —4- отвечают прямые, отличаю-
щиеся только направлением. Таким образом, равенства
z'=z (a), z'—— z (б) z =—у (в)	(31)
можно понимать как записи определенных преобразований
в множестве ориентированных прямых плоское ги: симметрии
относительно точки О, симметрии относи-
тельно прямой о и переориентации (изменения
нтравления всех прямых плоскости на противоположное).
Выясним теперь, как записываются с помощью дуальных
чисел произвольные движения (к числу которых мы будем
относить и переориентацию, также не меняющую расстояний
между точками плоскости). Прежде всего ясно, что парал-
лельный перенос вдоль о на расстояние t переводит
66
прямую, которой отвечает дуальное число
* = tg у(1 +М.
в прямую, которой отвечает число
*'=tgy(l H-Es')=tg-|(l+e(s4 0)
(рис. 29, а; впоследствии мы будем в таком случае кратко
О
говорить: «переводит прямую z = tg(1 + е$) в прямую z' =
Q
= tg-2 О ~Ь Е (s + 0»)- Отсюда вытекает, что этот параллель-
ный перенос можно записать так:
z'—pz, где +	|р| = 1	(32)
(ибо [1 •(! 4-еО] • [tg^1 + ES>] =tg 4^ + e(s + z)]>- Далее»
параллельный перенос на расстояние в направ-
лении, перпендикулярном о (в направлении прямой I,
такой, что / {Z, о}= у) переводит прямую
z = tg 4 (1 +es)
в прямую
*'=tg 4(1 4-Es') = tgy[1 4-e(s + ^ctg6)]
(рис. 29, б). Но
z' = tg 4[1 +£($+*!ctg6)]—
6	в
= tg _(l+Es)4-E-fey —i-----j '- =
2tg 2
= tg4(! +es) + e4—e4 * tg24 = z + e г--’e4 z*’
Последнюю формулу можно записать в более изящном виде.
Заметим, что
87
таким образом, рассматриваемый параллельный перенос запи-
сывается формулой
где 9=еА, | q | = 0.	(32а)
Отсюда вытекает, что произвольный параллельный
перенос, т. е. перенос на расстояние t в направлении о и
на расстояние в направлении I _]_ о, записывается формулой
,	(р?) + <7
9 (рг) + 1 ’
Р=1+е/, ?=е-^,
или, если ввести обозначение р = р.
т. е. рх = 1 +е у 1 и
воспользоваться тем,
Рис. 30.
что 9=еА = Е-Ь(14-е^=9р1,
-	, t 1	-
pt = l—е-5-=- , q= — q,~ фор-
* Р]
мулой
z' —	+	_ PjZ + q _ PiZ + q
QP^+PtPt qp^ + Pi —qz + Pt ’
(33)
где p, = l +e-y, q=e~-',
|pj = i. I^l=o.
Перейдем теперь к вращениям плоскости. Очевидно, что
О
поворот вокруг О на угол а переводит прямую z = tg •—(1 -|-es)
qz
в прямую z' =tg -у (1 -J-es'), где 6'=0-)-а (рис. 30). Таким
образом,
I fl L W ~р I*
I* l=tg-I-=
tg4- + tgy |z|-ptgy	г-ptg-”
=-----------— =------------—- ---------—	(34)
1 —tg-g’tgy -tgjj-lzl+l -tg7p + l
(здесь используется то, что если zt и z2—дуальные числа,
то	=|г,Нг21 и ||1| = Ы).
Далее, если d и d'—расстояния прямых z и z' от по-

Люса О, то
s-sinO = t/ = d' = s', sin 6'
(ср. формулу (30)); поэтому
Arg z’ = s' = s
sin 6 sin 0
------= C „ - -	-
sin в' sin (0 + a) ’
С другой стороны, поскольку Arg (u + et’) = —, to
, . a	u
г + ^-%	f	\	f
——------= Arg z + tg-^) —Arg ( —tg^-гН- 1 ) =
-tg-z + l	V	2/	\	2 J
=Arg [tg4(1 +es) + te-|] — Arg [—tg^-tg|(l + es)+ 1J =
0	, a , 9
stg2 -stg^tgg
. 8  . a .	, a в =
tg2+tg2 ’-tgytgg
tg4(tgi4^1)
(tg4+tgl)(i-tgftg4)
. e , a /	6 a V .6	0
tg T sec 7 yos "2 cos 7 ) sin-cos-
“	. a-M a + 9 S= , a + 9 a + Cs =
s,n -~2~ cos -~2~	C0S HF
sin 6	,	, „ ,
= sin-(a+0)^ArgZ- (34a)
Из (34) и (34a) следует, что наше вращение записывается
формулой ’)
Z' = 2±Вл- ,
—<7iz + l	(35)
где 9i=^=tg^, Arg^,=0.
’) В этой формуле числу ^^tg— можно также придать значе-
ние оо, что отвечает повороту на угол 180°. Если ^, = 00, то имеем
, z + оо	1
z =--------!-------------
— со -z4- 1	2
(см. стр. 21—22); это преобразование, очевидно, сводится к симме-
трии относительно точки О (31а) и последующей переориентации
(31в) (отметим, что определенная выше симметрия (31а) относитель-
но точки О не совпадает с вращением на 180° вокруг О).
89
Наконец, самое общее движение (ср. выше,
стр. 33) представляет собой поворот (35) вокруг О на неко-
торый угол а, причем это вращение может сопровождаться
еще параллельным переносом (33):
z' —	—?1г + 1	= (Pl — <7<7.) г + (Pi<7i + <7)
-q z +	+Р1	— (P,<7i+<7) ? + (₽, —Wi)
— <712 + 1
В другом виде это преобразование можно записать так:
Pz_+Q_
-Qz + P ’
(36а)
где P^p^—qq, Q=plq1+q.
Возможно также, что исходное движение представляет собой
симметрию (316) относительно прямой о, сопровождаемую
преобразованием (36а) (вращением вокруг О и параллельным
переносом):
-Pz + Q
Qz+P
(366)
Наконец, движение может представлять собой переориента-
цию (31в), сопровождаемую одним из преобразований (36а)
или (366):	— P^ +Q p~ 1 Q z' =		= L-+^+- •	(36b) q_L _|_p	—	+ A 2
где Pt — Q,	= — P, или pX+q ,	Z	— P^ + Qi	, z =	7	= _ J +-,	(36r) — Q-l-J-P	<2<z +p> г
где Р1 = — Q, С, = Р-
Очевидно, что (ориентированный) угол б = 2^{г'1> гг}
б	б
между прямыми г, =tg-^-(1+-esj и z2= tg-^- (1 +es2)
равен 62—(рис. 3l, a).
90
Это можно записать так:
± = tg 2 tg 2> _ -	_ I г,-г, I
2 l + tg-^-tgy 1 + |Z2J'|Z>I
Полученный результат можно также представить в следую-
щей симметричной форме:
tg* 1	(zs—zt)
2	(1+Zi?z)(1 + Z,22) ‘
(37)
Найдем теперь (ориентированное) расстояние d =
= {[г|2о]> 12гго]} между точками [ztz0] и [z2z0] пересечения
Рис. 31.
определенной прямой zQ с двумя другими прямыми z, и z2
(рис. 31, б). Очевидно, что расстояние d0 между точками
о в?
пересечения прямой о с прямыми z>=tg — (1 + esj) и z° =
e°
=tg-y (1 +esz) равно
rfo = Arg-^- ( = Argz° —Argz” = Sz—s$).
Пример движения, переводящего данную прямую z0 в пря-
мую о, дается формулой
,	z—z„
z = -—- ;
zoz +1
91
это движение переводит прямые zt и z2 в прямые z°=
= =—— и z<>i=~—— . Отсюда получаем1)
Z0Zl + 1	Z0Z2 + 1
d - Arg <г»—г°> = &>*» +D _
(Z1 —zo):Jzozi + l)
=Arg	+	^Arg^^—Arg^-ilY (38)
\Z1 zo zoz, + l/ \ Z1 zo	г„г, + 1/
Условием того, что три прямые z0, z2 и zt пересе-
каются в одной точке, является равенство нулю расстоя-
ния между точками пересечения г1 и z0 с z2, т. е., в силу
формулы (38), вещественность отношения ?-°~гг	1 .
Z1 Z2 ZjZ, + 1
Это условие можно переписать еще так:
(г0 —га) (гаг, +1)  (z0—za) (zaz, + 1)
(zi —zs) (z2zo+ 1)	(zi —zj) (Z2Z»+ О '
Следовательно, «уравнение точки», т. е. условие, кото-
рому удовлетворяют прямые z, проходящие через одну
точку имеет вид
(г—za) (z>,+ 1)^ (г—Гг)(гг7, + 1)
(zi—z2) Йг +1)	(zi—г2) (z^ + О ’
или г)
Azz-\-Bz— Bz — А = 0,	А — чисто мнимое (40)
*) Если одна из прямых z„ га (или даже обе эти прямые) не
пересекает г0 (или совпадает с г0 по положению), то одно из чисел
(za—zo):(zoza-|-l) и (г,—zo):(zozt + l) (а может быть и оба числа)
не приводится к форме (32) § 4 (т. е. является делителем нуля
или обратным ему числом и, следовательно, не имеет аргумента).
2) Это следует также и из того, что любую точку М можно
параллельным переносом (33) перевести в полюс О, уравнение
которого имеет вид
z—г = 0.
Поэтому «уравнение» М можно записать так:
Piz + 9 Piz+7
— 7Z+Pi — qz+~Pi
т. е. в виде (40), где A=ptq — ptq =— e.tu B = p* 2-f-q2=p2=l
Здесь t и — величины сдвига в направлении оси о и в перпен-
дикулярном о направлении, переводящего М в О(—/и—
—прямоугольные координаты точки М).
92
(здесь_ A=^z2(zi~z2)(z2z1 + 1) - z2(z,_ — z2}(z2zx + 1) =
=1у,—^z2) (±+z2z2),	B=(zl~z2)(z2zl + \) +
+• zt (z2 — z2) (z2zt + 1)). Обратно, нетрудно убедиться, что
каждое уравнение вида (40) выражает точку.
Найдем теперь условие того, что четыре ориентированные
точки z0, z,, z2 и z2 принадлежат одной ориентированной
окружности. При этом под ориентированной окруж-
ностью мы здесь понимаем совокупность («геометрическое
место») всех ориентированных прямых I, ориентированное
расстояние (О, I) которых от данной точки О (центра
окружности) имеет фиксированное зна-
чение г. Число г называется р а д и у-	/ U
сом окружности; таким образом, ра-	Л-—1
диус ориентированной окружности А.
может быть как положительным, /7	А
так и отрицательным. (Если г =0,	/\	0	\
то ориентированная окружность вы- \. у\
рождается в точку, которая, таким	44-----' I
образом, является частным случаем	1
окружности.) На рисунках ориентире- Рис- 32.
ванная окружность изображается как
обычная окружность, снабженная стрелкой, указывающей
определенное направление обхода, в каждой точке совпа-
дающее с направлением касательной окружности в этой
точке (рис. 32). Из определения ориентированного расстояния
(О, Z) от точки О до прямой I (стр. 83) следует, что ра-
диус ориентированной окружности будет положительным,
если направление обхода противоположно направлению вра-
щения часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.
Можно показать, что четыре (ориентированные) прямые
zQ, zv z2 и z2 в том и только в том случае принадлежат
одной (ориентированной) окружности или проходят через
одну точку, если ’)
{[*o*J. [ztz2]} + {[z,zs], (zozs]} =
=	fell- (41)
*) Ср. с условием того, что четыре точки z0, г„ z2 и г,
принадлежат одной окружности (это последнее условие можно
записать так:
Z{[z0^]> [2,2t]} + Z {[z,zs], [гог,]} =
= Z{[zsZoL fzszc]} + Z {[2,2,]. [2,2,]};
см. § 7, стр. 36, в частности рис. 5).
93
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим рис. 33, на котором
изображены четыре (ориентированные) касательные г0, zt, z2
и z2 (ориентированной) окружности 5 (если прямые z0, zx, z2
и z2 проходят через одну точку, то условие (41), разу-
меется, выполняется!), касающиеся S соответственно в точ-
ках М, N, Р и Q; точки [z0z2], [г\г2], [ztz2] и для
Рис. 33.
краткости обозначены через А, В, С и D. При этом, оче-
видно, имеем (учтите, что все фигурирующие ниже расстояния
ориентированные!) ’)
{А В} + {С, D}={A, Р} + {Р, В} + {С, Q} + {Q, D}
и
{D, Д} + {£. C} = {D, 2И} + {Л4, Д} + {В, 7V} + {Л7, С}.
’) Здесь используется то, что если X, У, Z — три точки ориен-
тированной прямой, то во всех случаях
{Л, у}+{у, z}—{x, Z}.
94
Но так как в силу известного свойства касательных к окруж-
ности
{A, P}={M, A}, {P, B}={B, N},
{C, Q} = {N, C}, {Q, D}={D, /И},
то во всех случаях выполняется условие (41)’)
{АВ}-Ь{С£>}={ПА} + {ВС}.
Нетрудно убедиться, что и, обратно, если равенсг т
(41) имеет место, то четыре прямые z0, zt, z2 и
принадлежат одной ориентированной окружности илл
проходят через одну точку *).
Воспользовавшись теперь формулой (38), мы можем пере-
писать условие (41) следующим образом:
Arg Arg + Arg 1^4’ - Arg 4^ =
г° г2	z2z0 +1	2!—zs г,г, + 1
= Arg?Er - Ars + М —
zs z0	2аг3+1	г2—г,
или, несколько упростив левую часть последнего равенс1ва
и преобразовав правую,
2| Z2 в 2, Z3
г0—г2 г0—г,
Arg^
z?z, +1 . г,г, +1
Arg
Но
и
= Arg(?5—: г-^-~
\z, — z2 z,—z.
„ (z»~ г» • г1~г-Л __
\г0—г2 • z0—zj
, Z,—2, Z,—2.	,
ибо ------- : ---- -= 1:
2o z« zo za
г2г1 + 1 . 732, + 1 \ _ _ Д
Z22o+‘ г5го+1/
, у 1 +1. z3г, + 1 =
z2z0+l rs20 +1	\ z2z^
+ Argp^4:
'	' Z2Z0 + '
\rg f • г»~г‘
V. — *2 ’ 2,— 2.
*0	^2 . Zp 2s\ \
*1 —Z2 ’ 2,— zj J
/z J, + I .2,71 + 1
*) Это есть точная формулировка известной теоремы -геометрии
о равенстве сумм противоположных сторон описанного четырех-
угольника. [Отказ от ориентированных расстояний значительно
осложняет формулировку теоремы; в этом случае мы имеем либо
равенство АВ+С£)=А£)-|-ВС (рис. 33,о и б), либо равенство
AB—CD=AD—BC (рис. 33, в—d).[
*) Ср., например, Ж Ада м а р. Элементарная геометрия, ч. 1,
М., Учпедгиз, 1957, решение задачи 87.
95
Таким образом, равенство (41) можно переписать в следую-
щей простой форме:
Arg
Zp Z%
Zj—г2
г,—г,\
г, — zj
= 0.
(42)
Дуальное число ———	—£» естественно назвать двой-
21 г2 21 га
ным отношением четырех прямых zQ,za, z2, zs; обо-
значать его мы будем тем же символом W (zQ, zv z2, zs), что и
двойное отношение четырех точек (см. стр. 36). Таким обра-
зом, условием того, что четыре прямые zQ, zt, z2 и z, при-
надлежат одной (ориентированной) окружности (ненуле-
вого радиуса или окружности радиуса нуль—точке), явля-
ется вещественность двойного отношения W(z0, zI,zt,z2)=
—-: —	этих четырех прямых (ср. выше, стр. 36—37).
г1-г2 г,—-2j
Последнему условию можно также придать знакомую
уже нам форму (12):
2р 2г в z0 ?s _ z(, г8 t z0 z3	(12)
г,— г/г, — г, 7,— г/7,—7/
откуда вытекает, что уравнение ориентированной окружности
(которая в частном случае может оказаться и точкой), опре-
деляемой тремя данными прямыми zt, z, и zs, имеет вид (13)1):
г—га. г—г, _ г — гг. г—г3
г, г2 г, г, 2j—2j	—2j
(13)
Таким образом, мы и здесь
убеждаемся, что уравнение
*) Заметим, что, в то время
ванных окружностей касаются,
неориентированные окружности i
как трех данных неориентиро-
вообще говоря, четыре разные
(рис. 34, а), три ориентированные
прямые определяют единст-
венную ориентированную
окружность (рис. 34, б). [Пос-
леднее утверждение означает
лишь, что трех данных ориен-
тированных прямых не могут
касаться две разные ориенти-
рованные окружности; если
две из трех прямых парал-
лельны; то ие существует и и
одной ориентированной ок-
три прямые г,, г2 и z3—в этом
ружности, содержащей наши
случае двойное отношение IV' (г, г„ г£, г,) не может быть веще-
ственно ни при каком г.]
96
каждой (ориентированной) окружности (или точки) пло-
скости можно записать в форме (И)1):
Azz-\-Bz—Bz4 С=0, А и С—чисто мнимые. (14)
Нетрудно проверить, что и, обратно, уравнение (14) всегда
выражает окружность (или точку).
Мы уже знаем, что прямую уравнение (14) выражает
при
Л + С=0.	(43)
§ 10*. Приложения и примеры
Развитая выше теория позволяет использовать дуальные
числа для доказательства многочисленных геометрических
теорем, относящихся к точкам, прямым и окружностям;
при этом близость результатов § 9 к результатам § 7 даже
позволяет иногда использовать одну и туже выкладку
для доказательства двух различных предложений, для чего
достаточно считать фигурирующие в рассуждении числа
в одном случае обыкновенными комплексными числами, а во
втором случае дуальными числами. Мы ограничимся здесь
небольшим числом примеров, иллюстрирующих сказанное.
Начнем со следующей теоремы. Пусть на плоскости
даны четыре (ориентированные) окружности Sx, S2, 5, и
S4; г, и w,—общие касательные к Sx и S2, z2uw2— общие
касательные к S2 и S2; zt и w, — общие касательные к S2
и S4; zt и w4 — общие касательные к Si и 5,. Тогда если
прямые z2, z2 и z2 касаются одной (ориентированной)
окружности S или проходят через одну точку, то и
’) Последний результат можно вывести и из того, что любую
окружность S можно параллельным переносом (33) перевесги
в окружность
erzz— г4г4ет —0
с центром в начале координат О (г-* радиус окружности; ср.
с формулой (30)). Отсюда вытекает, что уравнение S имеет
такой вид:
Р44<7 pj49 Pi? + </ , РИ4<7 __________п
ег —=—------=--------------1-=—-----per —и,
— qz+p, —qz+Pi —qz+p, — qz+px
т. e. вид_ (14), где А = erplpl 4 p^q— ptq 4ег<д) = е (г 4 tt), Bz-
—— P2x~q2= — (14e0. C^erqq — </o, +qp, + Erptp, = e (r — tj,
где — t и — t,— координаты центра S (ср. co сноской на стр. 92).
4 И. М. Яглом
97
прямые wt, ws, wa и касаются одной (ориентированной)
окружности S' или проходят нерп одну точку (рис. 35).
[«Касательными» ориентированной окружности S есте-
е прямые, входящие в состав
S, понимаемой как «геомет-
рическое место прямых».
Очевидно, что, в то время
как две обыкновенные (не-
ориентированные) окружно-
сти имеют, вообще говоря,
четыре общие касательные,
две ориентированные окруж-
ности S, и S2 не могут иметь
больше двух общих каса-
тельных: это будут общие
5 внешние касательные, если
S, и 52 имеют одно и то
же направление, и общие
внутренние касательные в
. Заметим, еще, что сформули-
рованная теорема становится неверной, Лли считать окруж-
ности St, S2, Ss, S4 й У неориентированными; так,
на рис. 37 прямые w2, ws и
•wt очевидным образом не касаются
одной окружности.]
Из условия теоремы вытекает вещественность двойных отно-
шений W(zt, z2,	w2), W(z2, z3,-w2, ws), 1^(г2, z3, ws, wj
и ^(z4, zt, и',), а также двойного отношения
1^(2,, z3, z2, zt); требуется доказать вещественность двой-
ного отношения ^(ш,, ws, w2, w4) (см. выше стр. 96). До-
казательство этого было дано в начале § 8 (стр. 39); при-
98
веденные там рассуждения одновременно доказывают и тео-
рему, сформулированную на стр. 38—39, и настоящую теорему.
Перейдем теперь к произвольной окружности S (одной)
Azz-\-Bz— Bz-\-C==G, А и С—чисто мнимые. (14)
Рассмотрим какую-либо точку L осн о, внешнюю по отно-
шению к 5; через эту точку проходят две касательные гл и
Рис. 38.
zt к окружности S (рис. 38). Наша задача будет заклю-
чаться в определении величины произведения
tg g ' • ё 2
(ср. § 8, стр. 46).
4>
99
Так как прямые zl и z2 — касательные к окружности 5,
то они удовлетворяют уравнению (14):
Azlzl + Bzi—Bzl+C—O	(16)
и
Az2z2 + Bz2 — Bz2-j-C—O.	(17)
Но из определения аргумента дуального числа z, отвечаю-
щего определенной прямой плоскости (см. рис. 28 на стр. 84),
следует, что Argz2 = Arg.?,, Argz2 =— Arg г,. Отсюда вы-
текает, что произведение z2z2 является вещественным чис-
лом
ztz2=k, ztz2=k = k.	(18)
Умножив равенство (16) на z2, а равенство (17) на г, и
воспользовавшись равенствами (18), получим
Akzt + Bztz2 — Bk + Cz2 = 0	(16')
и
Akz2 + Bz,z2 — Bk + Czt = O.	(17')
Вычтем (17') из (16'), мы будем иметь
Ak{zx — z2} — C(z, — z2) = 0,
откуда следует, что при г, — z2 =/= О (т. е. при z2 ф zt)
Заметим теперь, что
М, - tg(1 + к>-tg Zl°2	(1 -es) =
„lgA!p!tgAlp>.
Таким образом, имеем
/ {о, гЛ / /о, zA с
tg- 2 Ч ~ = k=^-	<44)
Q
Величина	называется степенью окружности
S (точнее — степенью прямой о относительно
100
S’)); ее геометрический смысл дается равенством (44) (таким
образом, произведение	не зависит от
выбора точки L оси о). Соотношение (44) мы вывели в пред-
положении, что касательные zt и д2 окружности S различны.
Но если Z.o есть точка пересечения оси о с окружностью S,
через которую можно провести единственную касательную z0
к окружности (рис. 38, с), и zi — zi — z0, то произведение
. Z {о,	/ {о, z2) Z {о. 4	с
tg----j----g-----§----= tg ----2--- также будет равно:
. г Z {°, zj
это следует из того, что величину tg ---—- можно рас-
t Z {о. zj £ {о, z2)
сматривать как предел выражения tg------—' • tg----—- ,
где д, и гг — касательные к окружности S, проходящие через
переменную точку прямой о, стремящуюся к LB. Таким
образом, степень прямой о относительно пересекающей ее
окружности S равна квадрату тангенса половины угла
/ {о, S), образованного о с S (поскольку под углом
/_\о, S} между ориентированной прямой о и пересекающей
ее ориентированной окружностью S как раз и понимается
угол между о и касательной к S в точке пересечения ее
с о).
Обозначим теперь через Р основание перпендикуляра р,
опущенного из центра Q окружности S на прямую о и поло-
жим (Q, о) — (Q, P}—d (эти равенства определяют и ориен-
тацию прямой р) и (Q, z1}=(Q, z2}=r (рис. 38); в том
случае, когда о перетекает S, обозначим через q прямую
*) Величина k — — зависит не только от окружности (14),
но и от выбора системы координат. Нетрудно, однако, видеть,
что k зависит лишь от положения полярной оси о, но не от вы-
бора полюса О на этой оси Это следует из того, что при сдвиге
вдоль о
z'=pz, z = p'z', где |р| = 1,	!р'I — | ^-| = 1,
(см. формулу (32) из § 9, стр. 87) окружность (14) переходит в
окружность
Дp'p'z'z' + Вр'г' — Вр’г' + С = О,
у;	_
имеющую ту же степень k = -~- (ибо р'р' —1).
и
101
[Q, Z.o], ориентация которой определяется условием {Q, Z,o} =
==г (рис. 38, а). Нетрудно видеть, что / {о, ze} = /_{p,q\
(как углы с взаимно перпендикулярными сторонами) и
cos^/{p, ?} = у> откуда следует
4 ,„2Z{p.	l-cosZ{p. q}
К lb 9	L& Q	, .	, t I
z	-	14-cos [p, q}
1——
r _ r — d
d ~ r-l-d
С другой стороны, если о не пересекает 5 (рис. 38, б),
то проведем через Р касательные z, и г’ к окружности 5;
перпендикуляры, опущенные из Q на z\ и и ориентиро-
ванные так, что {Q, 7Wt}=(Q, Л/2) = г, (где Л/, и /И2—
точки касания гл и z2 с окружностью 5), обозначим через
9, и <;2. В таком случае /_{о, г°}=^{р, 9,},/{о, 4} =
= /£{р,<72} (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами)
и cos^/4/j, 71} = cos//{p, 92} = -^-. А так как, кроме того,
очевидно, / (о, z°}—— Zi}, tg	=
L {о. г?}
— —--------2----’ Т° имеем
z W
k = tg- V’-^- -tg —= - tg! 2	_
_ _ 2 Z {p. Qi} _ _ 1—COS Z {p. ?} _
s 2	1 + COS /_ {p, 9,}
_ l~n _r—d
'+j~r+d'
Таким образом, во всех случаях
Л =	(45)
Из формулы (45) следует, что степень прямой о относи-
тельно окружности S положительна, если о пересекает S;
она равна нулю, если о касается 5; обращается в бесконеч-
102
ность, если о противокасаетси S (т. е. если S касается
прямая ot, отличающаяся от о лишь направлением);
отрицательна, если о не пересекает S (в этом последнем
. Z I*?.
случае степень о относительно S равна — tg ------------
где {-2*. •?,} = <₽ есть угол, под которым «видна» окруж-
ность 5 из основания Р, опущенного из Q на о перпенди-
куляра).
Понятие степени точки относительно окружности позво-
ляет установить геометрический смысл обращения в нуль
коэффициентов А или С уравнения (14) окружности S. Если
С=0, .4 =£ О, то степень (45) прямой о относительно S
равна нулю и, следовательно, о касается S. Если Д = 0,
С #= 0, то степень о относительно S обращается в беско-
нечность, т. е. о противокасается S. Наконец, равенства
Л = С=0 означают, что о одновременно и касается и про-
тивокасается S, т. е. что как прямая о, так и противопо-
ложная ей по направлению прямая ot являются касатель-
ными к S’; но это возможно лишь в том случае, если 5 есть
точка прямой о (ср. с условием (43) того, что уравнение (14)
выражает прямую).
Определим теперь степень k (произвольной направлен-
ной) прямой w относительно (направленной) окруж-
ности S как произведение
где Z, и суть две (безразлично какие!) касательные
к окружности S, пересекающиеся в точке L прямой w
(рис. 39). Из сказанного выше следует, что если w пересе-
Z. $}
кает S, то степень w относительно S’ равна tg“-?---, где
под углом /_ {w, S) между прямой w и окружностью S'
понимается угол / {тг>, zc} между те> и касательной za к S
в точке пересечения w с S; если d есть (положительное или
отрицательное) расстояние центра S от w, а г (положитель-
радиус S, то степень w относи-
частности, степень w относительно
пересекает S’; отрицательна, если w
нулю, если те» касается S; обра-
если те» противокасается S.
ный или отрицательный)
г—d „
тельно S равна . В
S положительна, если w
не пересекает S; равна
щается в бесконечность,
103
Вычислим степень произвольной прямой w (где w — не-
которое дуальное число: w = tg-^(1 -|- es)) относительно
окружности (14). Заметим, что если ввести новую систему
«дуальных координат» прямых1)
~	? — w	Z-[-w
Z---------,	г =—=--------,	(46)
twz-f-l	—u>Z-{-l
то роль оси о этой системы координат будет выполнять наша
прямая w (ибо из Z = 0 следует z = w). Уравнение окруж-
ности (14) в новой системе координат будет иметь вид
Д Z + ™	. Z + w g Z+t>	z+w
— wZ + 1 — ioZ +1	— wZ -|- 1	— wZ + 1
’) Прямая г , которой отвечает в н о в v й системе коорди-
нат дуальное число г, получается из прямой г, которой отве-
чает то же самое число в старой системе координат,
движением
, г+ю	..
г'=—=-----,	(*)
— wz +1
представляющим собой параллельный перенос г, —г (1—es) вдоль
ei + tg у
о на расстояние—s, сопровождаемый поворотом г,=-------
-tg f z,+l
вокруг О на угол <р и еще одним параллельным переносом
г' = г, (1 + es) в направлении о, но ужена расстояние 4-s. Иногда
также говорят, что система координат Z получается из системы
координат г движением (»).
104
или
И — Bw ф- Bw 4 Cww)ZZ+[(A—C) w + В4-Bww]Z—
— [(С—A) w 4- В + Bww] Z 4- (Aww 4- Bw — Bw 4- C) — 0.
А так как прямая w является осью новой системы коорди-
нат, то степень прямой w относительно окружности (14)
равна
, Aww + Btv — Bw-yC
К — “	:-4‘—	—	(47)
А — Вю4-Вю4-Сюк1
(С \
ибо степень оси о относительно окружности (14) равна .
Заметим еще, что из формулы (47) вытекает также
А—1(А— С) ww 4-2Вю—2Вю + (С — А)
(А+С)(шю-|-1)
Из (47) сразу следует, например, что все прямые w,
имеющие заданную степень k относительно определенной
окружности (14), удовлетворяют уравнению
Ашю + Вк'—Вго4-С	.
-------=-=-----= = k
А — Bш4'fi^^4-Cttl,:г,
или
(А — kC)ww + (k 4- 1) Bw — (Аг 4- l)Bw4-(C—/гА) = О,
т. е. являются касательными к некоторой окружности
(и притом, как легко видеть, концентрической с исходной).
Рассмотрим далее две окружности и Ss с уравнениями
Axww-\- B2w— Z?1w’4-C, = 0 и Asww 4- B2w— B2w4-Cs = 0,
причем для упрощения последующих выкладок мы будем
считать, что в этих уравнениях суммы крайних коэффициен-
тов одинаковы:
А, 4-С, = Аг 4-С2
(если последнее условие первоначально не имеет места, то
всегда можно добиться его выполнения, умножив одно из
уравнений на подходящим образом подобранное вещественное
число). Из формулы (47а) следует, что все прямые w, сте-
пени которых относительно S, и S2 одинаковы, удовле-
творяют уравнению
(А, — С,) и.то + 2В,а)—2Biki + (C1 — А,)
(А, 4- С,) (uro 4" 1)
_(А2—aw -f-2B2t^—‘^В2аА~ (С2— А2)
(А2 + С2) (игёф-1)
105
или (заметим, что в силу нашего условия А1— Ла =
= -((?,-С2), Т. е. (Л1-Л2)-(С1-Сг) = 2(Л1-Л2))
(Л, — Аг) ww + (B, — В2)ти~	Вг) w— (Л,— Л2) = О,
т. е. все эти прямые проходят через одну точку Q (ср.
с уравнением (40) точки, стр. 92). Если окружности S, и <S2
имеют две общие касательные, то Q совпадает с точкой их
пересечения (поскольку обе касательные имеют и относи-
тельно 5,, и относительно S2 степень нуль; см. рис. 40, а).
В общем случае точка Q характеризуется тем, что все
проходящие через нее прямые
пересекают <S2 и <S2 под одним
и тем же утлом (квадрат тангенса половины которого равен
степени этой прямой относительно S, и S'2). Точка Q назы-
вается центром подобия S, и S2 (рис. 40)*).
Наконец, рассмотрим три окружности 52, S2 и S, с урав-
нениями
A^zzA-B^ — Btz-[ Ct = 0,
A2zz + B2z — B2z C2 = 0,
Atzz + Bzz — Bzz + Ct = 0,
причем мы, как и выше, будем считать, что Л2 -J- Ct — Аг +
’) Нетрудно убедиться, что эта точка является центром цен-
трально-подобного преобразования (гомотетии), переводящего Si
в S2; коэффициент этого преобразования равен отношению —
ri
радиусов окружностей (ср. И. М. Я г л о м, Геометрические преоб-
разования I, М., Гостехиздат, 1955, § 1 гл. I части второй).
106
+ С2 = Д, + С3. При этом попарные центры подобия окруж-
ностей 5,, Sj и Ss будут характеризоваться уравнениями
И, — Д2) ww+ (В, —Вг) vt>—(Bt	~А2) = О,
(Д,—Д,) т> + (В, — Bs) и) — (В, — В8) w — (А, — Д8) = О,
(Дг — Д,)щ^у-+ (В, —B8)w —(В2 —B,)w—(Д2—Д,) = 0.
Из этих уравнений следует, что прямая, проходящая через
два первых центра подобия, проходит и через третий (ибо
последнее из выписанных трех уравнений представляет собой
разность первых двух, и ему неизбежно удовлетворяет всякая
прямая те», удовлетворяющая первым двум уравнениям). Таким
образом, мы убеждаемся, что попарные центры подобия трех
окружностей St, Ss и S8 лежат на одной прямой q. Эта
прямая называется осью подобия трех окружностей S8,
S2 и S8 (рис. 41).
Обратимся еще к понятию двойного отношения
четырех прямых г,, г2, гг и г4. Ясно, что при перестановке
тех или иных из этих прямых двойное отношение W будет
меняться; при этом из определения двойного отношения
вытекает, что U7 меняет свою величину на обратную при из-
менении порядка двух первых или двух последних точек-,
не меняет своей величины при перемене местами первой
пары точек и второй пары; меняет свою величину на до-
полнение ее до единицы при перемене местами второй и
третьей точек (ср. выше, стр. 75). Отсюда, в точности
как и ранее, можно заключить, что при всевозможных пе-
рестановках четырех прямых мы получим всего шесть
107
разных значений их двойного отношения
К-}. Ч-i-*. Ч-тк. \=Л
к
к-1
к значению
#= 1,
гг—гл
(ср. формулы (26) на сгр. 76). Таким образом, каждому
<---------------------------)
«четырехстороннику» zlz2zlzi (т. е. совокупности четырех
прямых z2, z2, zt и z*— «сторон» «четырехсторонника») от-
( 1
вечает определенный «шесгисторонник» Xktk2XsX4ks, зада-
ваемый шестью прямыми (шестью дуальными числами) X, Xt,
К, \ и X,').
।---------------------------------------------1
Выясним, когда «шестисторонник» ХХ,Х2ХгХ4Х5 будет яв-
ляться вырожденным, т. е. будет иметь меньше шести «сто-
рон». Для этого надо найти, в каких случаях (дуальное)
число X будет равно одному из следующих пяти чисел:
X, = у , Х2 = 1 — X, X, =	,Х4 = и Х5 =	. Но МЫ
уже знаем, что равенство Х = Х4 приводит
Х =—1 (заметим, что W{z , z2, z2, zt) = -—-
г2 г,
если прямые zt, z2, zt и z* попарно различны); равенство
Х=Х2 приводит к значениям Х=-^ иХ4 =—1; из равенства
Х = Х5 следует Х = 2 и Х2 =—1 (напомним, что равенство
л = ------------ = 0 невозможно, если прямые 2^, г2, z3 и z*
все различны); наконец, из равенства Х=Ха и Х = Х5 сле-
дует, что X2 — Хф 1 =0 (см. стр. 74—76). Но уравнение
X* — X -|- 1 — 0 неразрешимо в области дуальных чисел (ср.
выше, стр. 16): в самом деле, если Х = а-(-#е(где а и b —
числа вещественные), то
X2—Х-f-1 =(а2 -|-2<zte)—(a -f-te)+ 1 =
= (с! — a -f-1) 4- (7ab — Ь) е,
а уже «вещественная часть» аг—а-(~1 последнего числа
не равна нулю ни при каком (вещественном!) а.
Таким образом, единственный случай, когда двойное от-
ношение W четырех (различных) прямых принимает при пе-
рестановке точек меньше шести возможных значений, это
’) Этот «шестисторонник» полностью определяется заданием
единственной его «стороны» X.
108
тот, когда прямые можно обозначить через zt, гг, гг и zt
с соблюдением условия (27):
117(2. гг, z„ zj =— 1.	(27)
Такая четверка прямых называется гармонической чет-
веркой; образованный этими прямыми четырехсторонник
।-----1
2.2s2224 называется гармоническим четырехсто-
ронником (рис. 42). Так как двойное отношение четырех
«сторон» гармонического четырехсторонника вещественно, то
гармонический четырехсторонник можно описать около
окружности. С другой стороны,
|Г(2„г„
tg^-tg^ tg-|-tgf sinM? sin^aJ
~ tg f-tg f ’ tg	- tg^ ~sin И-’’ sin ’
где <p,= Z_{zx, o}, cp2 = Z{22, о} и t. д. (здесь использо-
вана формула tga—tg|3 = sin(a —f))/cos a cos P). А так как
ф, — ф,= Z К. °}-Z К. "}=Zk-4 Ф1-ф*=
/_{z2, о}— / {z4, о} = / {zt, zt} и T. д., то равенство
[V7(zt,z2, z,, 24)| = 1 можно переписать так:
. L |z„ z,| . L Izt, z4j
Sin------p----- Sin-----p----
_________2	_________Z----- = 1
 L !*,, Zs I - “ I*2’
sin ---------— sin------2----
109
или
Z {zt, Zj} . z !гг> Z4}	/ {г2, г,)	/ |z„ z4|
sin •--g'Sln-----2----= sln----2----Sln---2---'
Таким образом, произведения синусов половин противопо-
।—1----------------------------------------------------1
ложных углов гармонического четырехсторонника z^z^
(где под углами четырехсторонника понимаются направлен-
ные углы г,}, /_{zv г4} и т. д.) равны между собой.
Легко понять, что последние два условия полностью харак-
теризуют гармонический четырехсторонник; поэтому приме-
ром гармонического четырехсторонника может служить ква-
драт (стороны которого ориентированы так, что все они
касаются одной окружности с центром в центре квадрата).
। 1
Роль шестисторонника	отвечающего гармони-
।------1
ческому четырехстороннику	играет тройка прямых
— 1, 2 и ’/2, пересекающихся в полюсе О системы коорди-
нат (см. тот же рис. 42).
§ 11**. Интерпретация обыкновенных комплексных чисел
иа плоскости Лобачевского
Хорошо известно отображение точек плоскости Лобачев-
ского на точки внутренности единичного круга, при котором
прямые плоскости Лобачевского изображаются диаметрами
круга и дугами окружностей, перпендикулярных ограничи-
вающей наш круг окружности 2 ’); эго отображение впервые
рассмотрел выдающийся французский математик и физик
Анри Пуанкаре (1854—1912), и по его имени оно носит
название «модели Пуанкаре» плоскости Лобачевского. «Мо-
дель Пуанкаре» можно также рассматривать как отображение
плоскости Лобачевского на плоскость комплексного перемен-
ного * 2); она позволяет установить соответствие между (обык-
новенными) комплексными числами и точками плоскости Ло-
бачевского. Это соответствие устанавливается следующим
образом: точке плоскости Лобачевского с полярными коор-
динатами (г, <р) сопоставляется комплексное число
z — th (cos qp -|- i sin qp)	(48)
*) См., например, И. M. Яг л ом. Геометрические преобразо-
вания II, М., Гостехиздат, 1956, приложение к гл. II части третьей.
2) См., например, А. И. Маркушевич, Элементы теории
аналитических функций, М., Учпедгиз, 1944, § 4 гл. V.
110
(или, другими словами, комплексное число 2' = Q(cos<p +
4- i sin ф) изображается точкой плоскости Лобачевского с по-
лярными координатами (г, <р), где r = 2Arthg, т. е. th ~ —	.
При этом вся плоскость Лобачевского отображается на мно-
жество таких чисел г, что |г|г = 2,2'-< 1, т. е. на множество
точек единичного круга (ср. § 7).
Чтобы распространить соответствие между обыкновенными
комплексными числами и точками плоскости Лобачевского на
все комплексные числа, можно поступить аналогично тому,
как мы делали в § 9 при построении отображения евклидо-
вых прямых на дуальные числа. А именно условимся считать
все точки плоскости Лобачевского
ориентированными, т. е. снаб-
женными указанием определенного '
направления обхода вокруг этой точ-
ки, принимаемого за положительное;
на чертежах ориентация точки (т.е.	1
предписанное ей направление вра-	Рис. 43.
щения) будет указываться короткой
изогнутой стрелкой (рис. 43). При этом расстояние d — (А, В)
между двумя ориентированными точками А и В плоскости Ло-
бачевского мы будем лишь в том случае считать равным (не-
евклидовой) длине г отрезка АВ, если положительные направле-
ния вращения вокруг А и В совпадают; в случае же раз-
личных ориентаций точек А и В (рис. 43) мы примем, что
расстояние между этими точками является комплексным—оно
равно r-j-zn. В таком случае, согласно (48), двум ориентиро-
ванным точкам А и А, плоскости Лобачевского с полярными
координатами (г, <р), отличающимся только направлением, бу-
дут отвечать комплексные числа
z = th у (cos ф + i sin ф)
и
2, = th + z	(cos ф 4- z sin Ф) =
= cth (cos ф 4 * sin ф) = JL .
Соответствующие точки комплексной плоскости, «симметрич-
ны» относительно окружности гг=1; эти точки лежат на
одном луче с началом координат О, причем (О, г1) =
1
(О, г) ’
Ш
где (О, г) и (О, г,) —е в к л и до во расстояние от точки О
до точек z и zr [На понятии симметрии относительно ок-
ружности (инверсии) в дальнейшем мы еще будем иметь слу-
чай остановиться подробно.] На рис. 44 комплексное число
z отвечает точке Д, ориентированной так же, как и полюс
О системы полярных координат, а число zx—точке Д , от-
личающейся от А лишь своей ориентацией (ориентация Д1
противоположна ориентации О). Ясно, что полюсу О и «про-
тивополюсу» О, (точке, отличающейся от О только ориен-
тацией) будут отвечать числа 0 и оо. Если еще условиться
называть точки окружности zz = 1 (абсолюта модели
_ л Пуанкаре) бесконечно у да лен ны-
' ми точками плоскости Лобачевского1)
/	и считать, что для этих точек радиус-
(	I вектор г = аэ, то мы получим взаимно
\ J однозначное соответствие между всеми
(ориентированными и бесконечно удален-
Рис. 44. ными) точками плоскости Лобачевского и
всеми обыкновенными комплексными чис-
лами (к числу которых причисляется также число оо).
Таким образом, обыкновенные комплексные числа можно
осмыслить геометрически не только как точки обыкновенной
(евклидовой) плоскости, но и как ориентированные
точки плоскости Лобачевского. При этом по-
прежнему вещественным числам отвечают точки полярной
оси о; противоположным числам г и —z отвечают точки,
симметричные относительно полюса О, а сопряженным числам г и
z — точки, симметричные относительно полярной оси о (ср.
выше рис. 1); точкам, отличающимся только ориентацией,
отвечают такие комплексные числа z и г,, что zx=—. Та-
г
ким образом, равенства
z' =—z (a), z' =z (б) и г'==5-(в)	(49)
определяют в плоскости Лобачевского симметрию отно-
сительно точки О, симметрию относительно
’) Заметим, что бесконечно удаленные точки плоскости Лоба-
чевского не имеют ориентации; это обстоятельство можно
наглядно объяснить тем, что вокруг такой точки нельзя описать
окружности, направление обхода которой задает ориентацию
точки.
И?
прямой о и переориентацию (изменение ориента-
ции каждой точки на противоположную).
Произвольное' движение плоскости Лобачевского запи-
сывается одной из формул1)
Z = или г' = -р1±1, Д= |_р1|^0.	(50)
<7Z+ Р	<7? фр	I qp I
Расстояние d0 от полюса О системы координат до точки
г в силу (48) определяется формулой
th^ = |4 th2^ = sz,
откуда, используя (50), мы легко найдем выражение для
расстояния d(zv zt) между любыми двумя точками zl и 2г-.
th« £ = (г2 — Zi) (?г—?i)
2	(1 —z,z2) (1—z,Zj)
(51)
У гол 6 между двумя прямыми, пересекающимися в полюсе О
и проходящими через точки г" и г", в силу той же формулы
(48) выражается тем же соотношением (7), что и в случае ев-
клидовой плоскости. Используя (50), отсюда можно получить
следующее выражение для (ориентированного) угла 6 =
— Z- {[гог11> между (ориентированными) прямыми [год,]
и [V2]2):
S = Arg (	V
V, -Zo 1—ZOZ,/
(52)
В силу (52) условием того, что три точки z0, zt и zt
лежат на одной прямой, является вещественность отно-
шения ———	. Отсюда нетрудно вывести уравне-
г1 г2 1—Z2Z,
ние прямой неевклидовой геометрии Лобачевского:
Azz-\-Bz— Вz-f-А =0, А — чисто мнимое (53)
*) Ср. А. И. Маркушевич, Элементы теории аналитиче-
ских функций, М., Учпедгиз, 1944, стр. 513.
*) Эта формула не совпадает, разумеется, с формулой (8) из
§ 7, несмотря на то, что «неевклидов угол» между двумя линиями
на модели Пуанкаре изображается их обычным (евклидовым) углом:
ведь «неевклидова прямая» [?„?,] (с точки зрения евклидовой гео-
метрии— перпендикулярная S окружность) отлична от обычной
(евклидовой) прямой [zoz(j.
ИЗ
б)
(ср. выше, стр. 35—36 и 92; под прямой мы понимаем множе-
ство всех ориентированных точек, принадлежащих
данной прямой)1).
Известно, что циклы геометрии Лобачевского, т. е. ок-
ружности, предельные линии (орициклы) и эквидистанты
(гиперциклы; к числу эквидистант причисляются также пря-
мые линии, рассматриваемые как предельный случай эквиди-
станты) изображаются окружностями и прямыми линиями
плоскости комплексного пе-
ременного2). Это утвержде-
ние следует несколько уточ-
нить, пояснив, как надо по-
нимать слово «цикл» при
условии, что точки плос-
кости Лобачевского считают-
ся ориентированными. Здесь
естественно считать, что
циклы также являются ори-
ентированными, при-
чем ориентированную точку
А следует считать принад-
лежащей ориентированному
циклу S, если направление
вращения вокруг А согла-
совано с направлением вра-
щения при движении по
рис. 45, а, где точка А при-
В считается не принадлежащей
в}
Рис. 45.
циклу (см. схематический
надлежит циклу S, а точка
ему). Далее, под (ориентированной) эквидистантой с базой
PQ мы будем понимать геометрическое место точек, удален-
ных от прямой PQ на постоянное расстояние h и располо-
женных с обеих сторон от этой прямой; при этом точки
верхней и нижней ветвей эквидистанты должны быть ориен-
тированы по-разному (рис. 45,6)’). Прямые плоскости Лоба-
1) Уравнение (53) можно вывести также иизтого, что каждую
прямую плоскости Лобачевского можно движением (50) перевести
в полярную ось о, уравнение которой имеет вид г—2 = 0.
’) Ср., например, названные выше книги А. И. Маркушевича
и И. М. Ягло.ма.
’) Так как прямую мы рассматриваем как предельный случай
эквидистииты, к которому мы приходим при стремлении h к нулю,
то точки прямой следует считать двойными, приписывая каж-
дой из иих обе возможные ориентации (ср. рис. 45, 6 и в); это
114
Чевского мы будем считать неориентированными (наподобие
того, как в § 9 считались неориентированными точки)'); на-
конец, к числу циклов мы будем причислять также «бес-
конечно удаленную окружность» (абсолют) S, также неориен-
тированную. При этом совокупность всех (ориентиро-
ванных) циклов плоскости Лобачевского будет в точности
совпадать с совокупностью всех окружностей и прямых плос-
кости комплексного переменного (см., в частности, рис. 46, на
означает, что на плоскости комплексного переменного прямая
изображается полной окружностью, перпендикулярной абсолюту
S (окружности аг=1).
1) Понятие ориентированного цикла было введение для того,
чтобы установить ориентацию точек, принадлежащих этому циклу:
направление стрелки на окружающей точку дуге, проведенной
со стороны выпуклости цикла, должно совпасть с на-
правлением цикла (рис. 45, а). Однако, так как прямая вовсе
не выпукла, мы все равно не сможем выделить направление при-
надлежащих ей точек (с.м. рис. 45, в); поэтому приходится счи-
тать прямые ненаправленными, а все принадлежащие им точки —
двойными.
115
котором изображены прямая в плоскости Лобачевского и экви-
дистанта S, для которой эта прямая служит базой).
Последнее обстоятельство позволяет использовать здесь
результаты § 7. Вспомнив, в частности, условие принадлеж-
ности четырех точек комплексной плоскости одной окружности
(стр. 36—37), мы заключаем, что условием принадлеж-
ности данных четырех (ориентированных) точек z0, zt, z2
и zz плоскости Лобачевского одному (ориентированному)
циклу является вещественность двойного отношения
W (za, zv za, za) = ———: -—этих точек. Отсюда в свою
г1 г2 г1 га
очередь следует, что уравнение каждого цикла плоскости
Лобачевского можно записать в форме-.
Azz-\-Bz— Bz-^-C—Q, А и С—чисто мнимые. (14)
Уравнение (14) будет выражать окружность, предельную
линию или эквидистанту в зависимости от того, будет ли
окружность (14) плоскости комплексного переменного иметь
О, 1 или 2 точки пересечения с окружностью zz=\ (абсо-
лютом), т. е. в зависимости от числа решений системы урав-
нений
zz - 1,	Bz — Bz = — А — С.
Отсюда без труда получаются следующие результаты:
цикл (11) является окружностью, если
АС-\-ВВ>0, И + С)2 + 4ВВ <0	(54а)
(к числу окружностей причисляется также бесконечно уда-
ленная окружность S);
цикл (14) является предельной линией, если
AC±BB >Q, (А 4-О2 Ь 4fiB=0;	(546)
цикл (14) является эквидистантой, если
АС + ВВ>0,	(А±-С)г + 4ВВ>0	(54в)
(к числу эквидистант причисляются также прямые линии)1).
Мы уже видели, что прямую уравнение (14) выражает
в том случае, если
А—С=-Ъ.	(55)
*) Если ДС-f-BB—O, то уравнение (14) выражает одиу-един-
ственную точку; если XC-f-BB < 0, то уравнению (14) вообще не
удовлетворяет ни одна точка плоскости Лобачевского.
116
Из сказанного можно вывести доказательство многих теорем
неевклидовой геометрии Лобачевского. Так, например, в точности
как на стр. 38—39, доказывается, что если S,, S2, Ss, S4—четыре
(ориентированных) цикла плоскости Лобачевского, причем циклы
Sj и S2 пересекаются в (ориентированных) точках 2, и ш,; циклы
S2 и S, пересекаются в точках z2 и циклы S3 и S4 пересека-
ются в точках г, и ш,; циклы St и S, пересекаются в точках г4
и и (ориентированные) точки гр г2, г, и zt принадлежат одному
(ориентированному) циклу, то и точки to., to,, to, и w. принадле-
жат одному циклу *).
Другие примеры такого рода читатель отыщет самостоятельно.
Укажем еще, что под «моделью Пуанкаре» плоской геометрии
Лобачевского часто понимают представление плоскости Лобачев-
ского, несколько отличное от используемого выше. А именно
«точками» плоскости Лобачевского называют все точки какой-
либо полуплоскости, без точек ограничивающей эту полупло-
скость прямой о, а «прямыми» — перпендикулярные о лучи и
полуокружности (другими словами, перпендикулярные о лучи и
полуокружности с центрами на о; см рис 47) * 2). «Неевклидово
расстояние» между двумя точками с «комплексными координа-
тами» z1 = xI-l-iy1 и г2 = х2-Ну2 (где yt>0, у2>0, поскольку роль
«точек» плоскости Лобачевского у нас играют точки верхней
полуплоскости у>0) определяется формулой
d __ (г2— г,) (г2 —г,) .
2	(^—г1)(г2 —г,)
(56)
«неевклидов угол» между двумя прямыми измеряется евклидовым
углом между изображающими эти прямые окружностями (или
прямой и окружностью).
') Заметим, впрочем, что эта теорема автоматически вытекает
из доказанной на стр. 38—39 теоремы и того факта, что циклы не-
евклидовой геометрии Лобачевского изображаются окружностями
евклидовой плоскости.
2) См., например, Б. В. Кутузов, Геометрия Лобачевского
и элементы оснований геометрии, М., Учпедгиз, 1950, § 45.
117
Условимся теперь, как и раньше, считать точки плоскости
Лобачевского ориентированными; двум точкам, отлича-
ющимся только направлением, мы сопоставили две точки гиг
плоскости комплексного переменного, симметричные относитель-
но оси о. Если, кроме того, назвать точки прямой о (абсо-
люта рассматриваемой «модели Пуанкаре на полуплоскости»)
«бесконечно удаленными точками» плоскости Лоба-
чевского (эти точки не имеют ориентации), то мы снова получим
отображение всей плоскости комплексного переменного (всего мно-
жества комплексных чисел) на множество (ориентированных и
бесконечно удаленных) точек плоскости Лобачевского. Приняв то
же, что и выше, условие об ориентации циклов и о принадлеж-
ности (ориентированных) точек (ориентированным) циклам, мы
получим, кроме того, что множество всех циклов плоскости Лоба-
чевского изображается множеством прямых и окружностей плоско-
сти комплексного переменного. Отсюда следует, что по-прежнему
условием принадлежности четырех (ориентированных) точек zit zv zs,
и zt одному циклу является вещественность двойного отношения
W (г,, г2, г3, г4) = ——— : ——— этих четырех точек и что уравнение
Z2	Z2
(ориентированного) цикла имеет хорошо знакомый нам вид'.
Агг-\-Вг—Вг-}-С=0, А и С—чисто мнимые числа. (14)
А так как цикл (14) является эквидистантой, предельной линией
или окружностью в зависимости от того, имеет ли ои две, одну
или ни одной общей точки с абсолютом г—г =0 (осью вещест-
венных чисел о), то без труда получаем:
цикл (14) является окружностью при (В—В)2 — 4АС>0, пре-
дельной линией при (В—В)2—4АС = 0 и эквидистантой при
(В —В)2—4АС>0.
Нетрудно убедиться также, что прямой линией цикл (14) яв-
ляется в том и только в том случае, когда
В + В =0.
(57)
Наконец отметим, что движения плоскости Лобачевского в рас-
сматриваемых здесь «комплексных координатах точек» записыва-
ются так;
, az 4- b	, ,	„
г =—; , где ad—Ьс>0,
cz-\-d
. az -\-Ь
или г — _	где ad—bc<0;
cz -|-d
(58)
здесь a, b, с, d—вещественные числа.
На вопросе о связи между собой двух разных «моделей Пу-
анкаре» плоскости Лобачевского (двух отображений плоскости
Лобачевского на плоскость комплексного перемевного) мы еще
остановимся ниже (см. § 17, стр. 186).
118
§ 12*) **. Двойные числа как ориентированные прямые
плоскости Лобачевского
В полной аналогии с § 9 этой главы ориентированным
прямым плоскости Лобачевского можно сопоставить двой-
ные числа. А именно введем, как в § 9, полярную систему
координат для прямых и отнесем каждой п е р е с е к а ю щ е й
полярную ось о (ориентированной) прямой Z, имеющей по-
лярные координаты О, s, двойное число
6
2 = tg-£-(chs-|-eshs),	(59)
а расходящейся с о прямой т, направленной в ту же
сторону, что и о от их общего перпендикуляра PQ,—число
z = th^-(shs'-j-echs'),	(59а)
где d = {m, о}=={Р, Q}— кратчайшее (ориентированное)
расстояние между прямыми т и о, т. е. ориентированное
расстояние от о проекции Р на прямую т общего перпенди-
куляра прямых т и о (ср. выше, стр. 83), s'={О, Q) —
(ориентированное) расстояние от полюса О системы координат
до проекции Q общего перпендикуляра на о (рис. 48) \).
Далее, так как из формулы (59) вытекает, что двум пере-
секающим о прямым I и отличающимся только направлением
соответствуют двойные числа
О
z — tg 2 (ch s Д- е sh s)
*) Равенство (59a) означает, что в соответствии с общими
формулами неевклидовой геометрии Лобачевского полярные ко-
ординаты прямой т считаются равными 6 = Щ и s = s'—i
(ибо tg^ Г ch (s' — Z-^-Y|-esli (s' — i I =th-^(shs'-l-e chs')).
119
II
zi = tg (ch s+e sh s) = —ctg -^-(chs 4- e sh s) = —L ,
то прямой wlt отличающейся только направлением от отве-
чающей числу (59а) расходящейся с о прямой т, сопоста-
вим число
z — ——\ .	= —cth (sh s' е ch s'). (596)
th -g- (sh s' 4-e ch s')
Прямые, параллельные оси о, можно рассматривать
как предельный случай пересекающих о прямых, отвечающий
равенству нулю угла 6, или как предельный случай расхо-
дящихся с о прямых, отвечающий равенству нулю расстояния d.
Так как из формул (59) и (59а) следует, что zz — tg* у,
,, » d
соответственно zz = —th — , то естественно отнести парал-
лельным о прямым, направленным в ту же сторону, что и о,
делители нуля, т. е. числа вида ие. При этом прямым,
параллельным о в. положительном или в отрицательном направ-
лении, отвечают числа a-j-ev, для которых v — u или
v = —и, ибо из (59) и (59а) вытекает, что соотношение
v=u равносильно равенству s=oo или s' = oo, а соотно-
шение —и — равенству s=—оо или s' = —оо. Далее,
из формул неевклидовой тригонометрии следует, что(ориен-
тированное) расстояние р = {0, Z) от полюса О до пересека-
ющей о прямой I (рис. 48), отвечающей двойному числу z =
= u-]-ev =tg — (ch s 4-e shs), находится из соотношения
в	в
2 tg -g-	2 tg — sh s
sh p — sh s • sin 0 = sh s --x- —-------. |2	(60)
l-l-tg^ »+tg2y +|2'
(сравните c (30)!). Поэтому двум параллельным о прямым п
и п', удаленным от О на расстояние {О, zz} = {0, п'}~р,
надо отнести числа u-\-ev (где v — ±и), для которых т =
sh р
—	, т. е. числа
sh р ,,	,	, sh р ,,
z= -^(1 4-е) н г =-------------g-(l—е).
120
Наконец, исходя из соотношения г, =—связыва-
г
ющего двойные числа z и zv отвечающие пересекающим
ось о или расходящимся с о прямым, отличающимся одна
от другой лишь направлением, мы сопоставим п рот иво-
параллельным о прямым /2, и л, (т. е. прямым, парал-
лельным о и противоположно направленным), удаленным от
О на расстояние {О, л,} = {О,	числа
2	'	2
z, = -г— со,	и г, —-------г— со,,
1 sh р, ’	1 sh р1 ’’
где со, и со,—числа, обратные делителям нуля: со =—^—
I +е
1 ,
со, = (заметим, что если п и л,—две прямые, отлича-
ющиеся только направлением, то р-=[О, п} = —{О, л,} =
= —р,). Полярной оси о и «противооси» о, (т. е. прямой,
отличающейся от о только направлением) мы сопоставим
числа 0 и оо.
Пока у нас не отвечают никаким прямым такие двойные
числа г, что zz =—1 (ибо th’ 1 и cth! у 1 ни при
каком с/). Чтобы распространить соответствие между пря-
мыми плоскости Лобачевского и двойными числами на все
числа, введем в рассмотрение «бесконечно удаленные пря-
мые» плоскости Лобачевского, которые можно представить
себе как касательные к абсолюту 5 модели Клейна (рис. 49)1 );
эти прямые, подобно бесконечно удаленным точкам в § 11,
не имеют ориентации ’). Такая прямая k, «не параллельная о»
(т. е. отличная от касательных к 2 в точках пересечения
2 с о), характеризуется тем, что d=(fe, о}=±оо; при
этом следует считать, что d — сю, если отвечающая k
’) Относительно модели Клейна плоскости Лобачевского
см , например, И. М. Я г л о м, Геометрические преобразования, II,
Приложение к гл. I третьей части книги. [Эту модель геомет-
рии Лобачевского часто называют также «моделью Бельтрами»
или «моделью Бельтрами-Клейна», поскольку ранее знамени-
того немецкого математика Феликса Клейна (1849—1925) ее
рассмотрел замечательный итальянский геометр Эудженио Бель-
трами (1835—1900); однако это место работы Бельтрами было
в свое время никем не замечено и на него обратили внимание
лишь после появления работ Клейна |
*) Наглядно это можно объяснить тем, что на этих прямых
нельзя расположить никакого отрезка, направление обхода, ко-
торого указывало быориенгацию прямой (негде поставить стрелку!).
121
«бесконечно удаленная точка» 5 плоскости Лобачевского
расположена справа от о, и d=—оо в противном слу-
чае. «Общим перпендикуляром» k и о естественно считать
прямую SQ, перпендикулярную о; при этом величина s' =
= {О, Q} может принимать любое значение и соответст-
венно этому каждому двойному числу г = ±(shs'-|-«chs'),
такому, что zz = —1, можно сопоставить определенную
«бесконечно удаленную прямую» k. «Бесконечно удаленным
Рис. 49.
прямым» ij и z2, «параллельным о» (рис. 49) мы сопоставим
COi	0)2
числа а = — и а_ ~ ~ .
1 Ыг	2 Ы,
Теперь нами установлено взаимно однозначное
соответствие между множеством (ориентированных и
бесконечно удаленных) прямых плоскости Лобачевского и
множеством двойных чисел (дополненным числами ссо,, ссо2,
о,, о2 и оо). При этом прямые Z, пересекающие полярную
ось о, отвечают двойным числам z = u-[-ev, для которых
zz = u*— ^’>0, т. е. числам, изображаемым на (и, ^-плос-
кости точками области, помеченной на рис. 50 цифрой /.
Прямые т, расходящиеся сои направленные в ту же сто-
рону, что и о, от общего перпендикуляра о и т отвечают
числам z, для которых 0>гг> — 1, т. е. числам, изо-
бражаемым на рис. 50 точками области II. Расходящиеся с
о прямые mt, направленные в противоположную по сравне-
нию с о сторону от общего перпендикуляра mt и о, отвечают
числам г, для которых zz< — 1, т. е. числам, изобража-
емым точками области III. Наконец, параллельные о прямые
п отвечают числам нулевого модуля, изображаемым двумя
122
прямыми v=±u, а противопараллельные о прямые л, отве-
чают числам со),, со>2 (эти числа не имеют изображений на
(и, г/)-плоскости); «бесконечно удаленные прямые» k отве-
чают таким числам z, что zz =—1, т. е. числам изобра-
жаемым точками гиперболы и2— = 1, и еще двум числам
о,, о2.
Очевидно, что, как и в случае евклидовой плоскости,
соотношения
z'= z (а), z' = — z (б) и .г'= —4-(в)	(31)
выражают симметрию относительно точки О, сим-
метрию относительно прямой о и переориента-
цию (изменение направлений всех прямых на обратное).
Произвольные движения, как можно показать, выражаются
здесь теми же
z' = Pz + Q.,
-Qz + P
формулами, что и в евклидовом случае:
,	— Рг+Q	, Pz+Q
ИЛИ Z = —----— , ИЛИ Z —---l-_- _ ,
Qz+P	-Qz-J-p’
или z'
-Pz +_Q .
Qz + P ’
(36)
только в качестве «переменных» z’, z и коэффициентов Р,
Q здесь фигурируют не дуальные, а двойные числа, в связи
с чем следует дополнительно потребовать, чтобы выражение
РР-\- QQ было положительно (если Р и Q—дуальные числа,
то последнее условие выполняется автоматически, ибо про-
изведения РР и QQ не могут быть отрицательны). Также и
(ориентированный) угол 6 = /(g,, гг} между прямыми zt
и гг и (ориентированное) расстояние d = {[£,£„], [г2г0]}
между точками пересечения прямых zt и z2 с прямой
гй определяются знакомыми формулами'):
t„ г Л = (г2 —г|)(г2 — ?i)
2	(1+г,г^)(1+г,г2) ’
d —	22	• zoz2 -T1 \
V,—z0 z^j-J-l/'
(37)
(38)
*) Если прямые z, и z2—расходящиеся, то правая часть фор-
мулы (37) отрицательна, и эта формула определяет комплексное
значение угла 6 = iA между этими прямыми, где Д есть кратчай-
шее расстояние между г, и z2 (ср. со сноской1) на стр. 119; здесь
123
Из (38) следует, что условием того, что три прямые
zB, zt и z3 пересекаются в одной точке, является веще-
zn—z-	.
ственность отношения —------: ------. Отсюда вытекает,
г,—г2 ZjZj + 1
что «уравнение точки» неевклидовой геометрии Лобачев-
ского имеет вид *)
Azz-\-Bz—Bz — Л = 0, А— чисто мнимое. (40)
Циклом множества (ориентированных и «бесконечно
удаленных») прямых плоскости Лобачевского следует назвать:
а)—в) совокупность прямых, касающихся одного из рас-
сматриваемых в § 11 (ориентированных) циклов, т. е. окруж-
ности, предельной линии или эквидистанты* 2);
г)	«пучок равного наклона», т. е. пучок всех (ориенти-
рованных) прямых, образующих постоянный (ориентированный)
угол с фиксированной осью пучка 2);
д)	«параллельный пучок», т. е. пучок всех прямых, парал-
лельных (в обоих направлениях) фиксированной оси пучка2);
мы считаем, что z, и г2 направлены в одну сторону от их общего
перпендикуляра).
Аналогично этому, если, например, прямая z2 расходится с
z0, то стоящее в скобках в формуле (38) число будет иметь вто-
рую из форм (39) § 5 и расстояние d, определяемое по формуле
л
(38), будет комплексным: d = b—где В—расстояние от
точки |z0 z,] до проекции общего перпендикуляра ?0 и z2 на
прямую г0 (см сноски на стр. 25 и 119).
’) Расстояние d— |(г,г0], [z2zc]f, определяемое по формуле (38),
будет равным нулю не только в том случае, когда г, и г2 пересе-
кают г0 в одной точке, но и когда расходящиеся (или сверхпарал-
лельные) прямые г0, г, и z2 имеют общий перпендикуляр (ср. с
предыдущей сноской), или когда все три прямые z0, z1 и г2
параллельны между собой. Поэтому к числу «точек» неевклидовой
геометрии Лобачевского здесь причисляются также и «бесконечно
удаленные точки» (т. е. точки абсолюта модели Клейна), которым
отвечают пучки параллельных между собой прямых, и «идеаль-
ные точки» (точки, расположенные на модели Клейна вне абсо-
люта), которым отвечают пучки сверхпараллельных прямых.
2) К числу окружностей причисляются также точки плоско-
сти Лобачевского (окружности радиуса 0); к числу эквидистант
причисляются также прямые; к числу пучков равного наклона
л
причисляются «идеальные точки» (пучки наклона или «ортого-
нальные пучки»), наконец, к числу параллельных пучков при-
числяются «бесконечно удаленные точки» (параллельные пучки,
осью которых является «бесконечно удаленная прямая»).
124
е)	(неориентированную) «бесконечно удаленную окруж-
ность» 2.
При таком понимании термина «цикл» мы получаем, что
(необходимым и достаточным) условием того, что четыре
(ориентированные) прямые гй, г,, гг, гг плоскости Лобачев-
ского принадлежат одному циклу, является веществен-
ность двойного отношения W (z„, z„ z„, z,) — ——- : ———
01 t	г,—z2	z,
этих четырех прямых. Отсюда снова вытекает, что урав-
нение каждого цикла можно записать в форме'.
Azz-\-Bz— Bz + С=0, А и С—чисто мнимые. (14)
Чтобы решить, является ли цикл (14) окружностью, пре*
дельной линией, эквидистантой, параллельным пучком или
пучком постоянного наклона, надо выяснить, сколько общих
прямых имеет этот цикл с «бесконечно удаленной окруж-
ностью» (абсолютом) zz ——1 (т. е. сколько решений имеет
система zz ——1, Bz — Bz = A—С) и будет ли веществен-
ным или мнимым угол (37) между двумя соседними прямыми
цикла. Воспользовавшись этим, получаем:
цикл (14) является окружностью, если
AC+BB>Q, (А—С? — АВВ<&,	(61а)
цикл (14) является предельной линией, если
AC+BB>Q, (4 —С)2-4ЛВ=0,	(616)
цикл (14) является эквидистантой, если
АС-\-ВВ>0, (А — С)2 — 4ВВ> 0;	(61в)
цикл (14) является параллельным пучком, если
АС4-ВВ=0',	(61г)
цикл (14) является пучком равного наклона, если
АС-уВВ<&,	(61 д)
цикл (14) представляет собой абсолют 2, если
А = С, В = 0.
(61е)
Мы уже видели, что точку (обыкновенную, «бесконечно
удаленную» или «идеальную») уравнение (14) выражает в
том случае, если имеет место соотношение'.
А-\С=У.	(43)
125
Эти результаты могут быть при чожены к доказательству многих
теорем неевклидовой геометрии Лобачевского. Так, например, в
точности как на стр. 38—39, можно доказать, что если St, S2, Ss
u S4—четыое цикла плоскости Лобачевского и	—общие
(ориентированные) касательные к S, и $2; z2, и>г—общие (ориенти-
рованные) касательные к S2 и S,; г3,	—общие (ориентированные)
касательные к S, и S4; z4, ш4—общие (ориентированные) касатель-
ные к S, и S,, то в том случае, когда точки г,, г2, г, и г4 принад-
лежат одному циклу, также и ws, w3 и о>4 принадлежат одному
циклу.
Читатель сможет найти самостоятельно и другие примеры
применения аппарата двойных чисел к доказательству теорем,
относящихся к неевклидовой геометрии Лобачевского.
Рис. 51.
Заметим в заключение, что отображению множества (направ-
ленных и бесконечно удаленных) прямых плоскости Лобачевского
на множество двойных чисел можно придать и несколько иную
форму. Вернемся снова к описанной в конце предшествующего
параграфа «модели Пуанкаре на полуплоскости» геометрии Лоба-
чевского (см стр. 117—118). В этой модели (неориентированные)
точки плоскости Лобачевского изображаются точками одной (верх-
ней) полуплоскости, а прямые — полуокружностями с центром на
ограничивающей полуплоскость прямой о и перпендикулярными о
лучами (рис. 51).
Условимся теперь относить (ориентированной) прямой пло-
скости Лобачевского, изображающейся полуокружностью радиу-
са г (где г может быть положительным или отрицательным!)
с центром в точке Q с абсциссой х (т. е. в такой точке Q, что
10Q| х где О — выбранное на ориентированной прямой о «нача-
ло отсчета») двойное число
z = x-j-er.	(62)
Формула (62) устанавливает соответствие между теми (ориенти-
рованными) прямыми плоскости Лобачевского, которые изобра-
жаются на модели Пуанкаре полуокружностями, и двойными
числами z = u-\-ev, где v 0. При этом «делителям нуля» и ± ие
отвечают полуокружности, проходящие через точку О; числам
u-\-ev таким, что и2— V2 > 0 (числам, представляемым первой из
форм (39) § 5; на рис. 50 они изображаются точками области /),—
126
прямые, изображаемые полуокружностями, для которых точка О
является внешней; числам u-f-ev таким, что ц1 2—о2 < 0 (числам,
представляемым второй из форм (39) § 5; на рис. 50 они изобра-
жаются точками областей II и ill},—прямые, изображаемые полу-
окружностями, содержащими точку О внутри себя ’). «Чисто мни-
мые» числа вида ve отвечают прямым, изображаемым полуокружно-
стями с центром в точке О. Сопряженные двойные числа z — u-\-ev и
г = ц—ev отвечают прямым, отличающимся только ориентацией
(подобно тому как в рассматриваемой в конце § 11 «модели Пуан-
каре на полуплоскости» сопряженные комплексные числа отве-
чали точкам, отличающимся только ориентацией). Ясно также, что
если считать желательным распространение нашего отображения
и на «бесконечно удаленные прямые» плоскости Лобачевского,
изображающиеся точками абсолюта (ср. стр. 121—122), то такой
«прямой», играющей роль «касательной к абсолюту о в точке Q (х)»,
естественно сопоставить вещественное число г = х (так что «каса-
тельной к абсолюту о в точке О» будет отвечать число 0, «а каса-
тельной к абсолюту о в его бесконечно удаленной точке»—чис-
ло оо).
Неиспользованными пока остаются «особые» двойные числа
сю,, сы2, ст,, ст2; с другой стороны, прямым, изображаемым на
модели Пуанкаре лучами (а не полуокружностями), не отвечают
никакие числа. Однако ясно, что полуокружностям, проходящим
через фиксированную точку Р (у) и касающимся в ней изобра-
женного на рис. 51 луча I, отвечают двойные числа вида w =
= ({/ — ') +ге- Так как
1 ^(у—г)—ге
w	у2— 2уг
-~+ (1+е)
- ^4-2у
при | г | -» оо стремится к делителю нуля i(l -)-е), то естественно
сопоставить лучу I число
г = 2усо,.
(62а)
Точно так же показывается, что лучу /„ противоположному
по направлению лучу /, следует сопоставить число г, =2уы2 (где
по-прежнему г, = г; см формулу (37а) § 5, стр. 24). Двойные
1—е ы,	1+е	—
числа = —=— и = -------------= ст, сопоставляются проходящим
1 1+е ы2	1—е
через О лучам i (параллельному /) и i, (параллельному /,).
Найдем теперь угол б==/,|г„ г»| между двумя прямыми
плоскости Лобачевского, отвечающими двойным числам г, = х, +ег,
и г2=х2+ег2; эти прямые изображаются на модели Пуанкаре
2) Вообще число ц2—и2 (взятый с подходящим знаком квад-
рат модуля двойного числа z — u-}-ev) будет равно степени
отвечающей этому числу полуокружности (другими словами, сте-
пени точки О относительно соответствующей окружности, см. § 8,
стр. 48)..
127
пересекающимися в точке Р полуокружностями S, и $2 с цент-
рами (?,(*,), Q2 (х2) и радиусами г„ г2 В зависимости от того,
одинаково или различно ориентированы полуокружности S, и S2,
мы будем иметь
=	или |6| = 180°-ZQ>PQs
(рис. 52, а, б; заметим, что угол б равен евклидовому углу
между полуокружностями S, и S2). Но по теореме косинусов
имеем
/ „ ™	<2^2 + Q2p2-Q.Q2 '? + rl-(x,-x2r
COS ^Q,PQ2^ 2Q2PQ2P	2 I г, 11 г, I
Поэтому во всех случаях
откуда получаем
= 1— cos б = (х,— х2)г — (г, — л2)а
k 2 1+cosd (г, 4-г2)а — (*,—х,)2
или
ta! А = <7»—Z1)(?2_—г,)
2	(г2—г,)(г,—г2)
(63)
(ср. с формулой (56), стр. 117) Легко проверить, что формула (63)
сохраняет силу и в том случае, когда одна из рассматриваемых
3 3
прямых изображается не полуокружностью, а лучом (здесь при-
дется только подставить в (63), скажем, вместо г, число вида
а	а
Гн или
Мы не будем выписывать также несколько более сложну
формулу для расстояния между двумя точками (родственну
формуле (38), стр. 92). Отметим лишь, что и здесь удается до-
казать, что необходимым и достаточным условием принадлежности
четырех (ориентированных) прямых z0, г,, г2, г, плоскости Лоба-
чевского одному циклу является вещественность двойного отно-
шения W (z0, г,, г2, га) = — ~*а: г° ~г° этих четырех прямых.
г, z2 г, га
128
Отсюда следует, что и при таком отображении множества (ориенти-
рованных и бесконечно удаленных) прямых плоскости Лобачевского
на множество двойных чисел уравнения циклов плоскости Лоба-
чевского по-прежнему будут иметь вид (14)
ЛггД-В’—Вг-|-С = 0,	А и С — чисто мнимые (14)
Для определения того, является ли цикл (14) окружностью,
предельной линией, эквидистантой, параллельным пучком или
пучком постоянного наклона, надо найти число принадлежащих
циклу «бесконечно удаленных прямых», а также выяснить, будет
ли вещественным или мнимым угол (63) между двумя соседними
прямыми цикла. В результате мы приходим к следующей теореме:
Цикл (14) является окружностью, если АС + ВВ > О, (В—В)2—
— 4АС < 0; предельной линией, если АС -\-ВВ > 0, (В—В)2—4ЛС=0,
Д24-С2^ 0; эквидистантой, если АС-{-ВВ > 0, (В — В)2—4АС > 0;
параллельным пучком, если АС-{-ВВ = 0; пучком равного наклона,
если AC -j- В В < 0; «абсолютом» о, если Д = С = 0, В — В<0.
Нетрудно проверить также, что точкой (обыкновенной, «бес-
конечно удаленной» или «идеальной») цикл (14) является в том
и только в том случае, если имеет место равенство (57):
В + В = 0.	(57)
Наконец, укажем, что движения плоскости Лобачевского в рас-
сматриваемых здесь «комплексных (точнее, двойных) координатах
прямых» записываются так:
, аг-[-Ь
г -c7+d’
(64)
где a, b, с, d—вещественные числа и ad—be #0 (ср. с формулой
(58) предшествующего параграфа)
Связь между двумя указанными в этом параграфе отображе-
ниями множества прямых плоскости Лобачевского на множество
двойных чисел будет установлена в § 18 (стр. 192).
ГЛАВА III
КРУГОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КРУГОВЫЕ
ГЕОМЕТРИИ
§ 13. Обыкновенные круговые преобразования
(преобразования Мёбиуса)
В этом параграфе мы рассмотрим произвольные дробно-
линейные функции комплексного переменного z и отвечающие
им в силу изложенного в § 7 дробно-линейные пре-
образования плоскости, т. е. преобразования, за-
писываемые формулами *)
и
а b
с .
и (1а) сводятся к z' =k;
Если Д —
ляет лишь случай, когда
az-f-b
сг -|d
(1а)
a = kc, b=kd, функции (1)
таким образом, интерес иредстав-
а
е.
0, и ниже мы все
= 0
z
Д =
с
b
d
время будем предполагать последнее условие удовлетворяю-
щимся. В этом случае преобразования (1) и (1а) будут
являться взаимно-однозначными преобразованиями плоскости
комплексного переменного, расширенной введением числа
— «= ос: в самом деле, каждому числу г соответствует
единственное число z', определяемое формулой (1) или (1а),
*) Ср., например, А. И. маркушевич, Элементы теории
аналитических функций, М., Учпедгиз, 1944, § 3, гл. V.
130
и каждому значению г’ отвечает единственное значение г,
находимое из тех же формул (1) и (1а);
d?'—Ь	hz'— Ь
Z = ------- ИЛИ Z = ——--------—
—сг'-\~а	—сг'^-а
(2)
В частности, числу z — оо формулы (1) и (1а) сопоставляют
,Oi.	d	d
значение z =— ), а числуz =----или 2 =— —, такому, что
с _	с	с
cz-\-d = Q или С2'-|- с?==0, в силу этих же формул отвечает
значение г' = оо.
Частным случаем дробно-линейных преобразозаний яв-
ляются линейные преобразования
z'=pz-\-q, р^=0 (а) или z'=pz-\-q, р =# 0 (б),	(3)
к которым мы приходим, положив в формулах (1) и (1а)
с = 0 и полагая р==^-, q==~. Иногда преобразования
(1) называют собственными дробно-линейными
преобразованиями, а (1а) — зеркальными дробно-
линейными преобразованиями.
Выше мы уже видели, что геометрически линейное пре-
образование представляет собой преобразование подобия,
складывающееся из центрально-подобного вращения (гомо-
тетии и вращения с общим центром О), сопровождаемого па-
раллельным переносом и, быть может, симметрией отно-
сительно прямой; в частности, при |р| = 1 линейное преобра-
зование является движением (см. § 7, стр. 33). Мы рас-
сматривали также некоторые простейшие конкретные примеры
линейных преобразований — преобразования
z =— z (а) и z'—z (б),	(4)
представляющие собой симметрию относительно
точки О и симметрию относительно прямой о,
а также преобразования
z' = z-\- q (а) и z'~pz (б)	(5)
— параллельный перенос и центрально-подоб-
ное вращение (§7, стр. 32). Здесь мы более подробно
изучим геометрические свойства произвольных дробно-линей-
ных преобразований.
') Ср. сноску ") на стр. 10.
5*
131
Заметим прежде всего, что произведение (результат по-
следовательного осуществления) двух дробно-линейных пре-
образований также является дробно-линейным преобразо-
ванием; тождественное (или единичное) преобразование,
оставляющее все точки плоскости на месте, является ча-
стным случаем дробно-линейного преобразования; преобра-
зование, обратное дробно-линейному (т. е. переводящее
каждую точку z' плоскости в ту точку г, из которой по-
лучалась z в результате исходного преобразования), также
является дробно-линейным. Действительно, если, например,
аг 4-й	i а,г,4-&1
Z. ~ —Н	И 2 =	7 J .
1 сг-]-д	с1г1 + <11
то
а1~-~Фд + Ь1 +	(a.fe + b.d)
z' =	---=-----------------------
С' (T+d + d‘ (с,а + d‘c> г+ (c>b + d‘d)
и аналогично находится произведение собственного
кального дробно-линейных преобразований или двух зеркаль-
ных дробно-линейных преобразований ’). Тождественное пре-
образование записывается формулой
/ = *,	(7)
являющейся частным случаем формулы (1) (при й = с = О,
а = d = 1). Наконец, преобразование, обратное (I) или (1а),
имеет вид
,	dz — Ь
Z =----------
— сг-^-а
(ср. с формулами (2)).
Отметим теперь следующее фундаментальное свойство
дробно-линейных преобразований: если z't, г2, г 'з и г* — че-
тыре точки плоскости, в которые дробно-линейное
преобразование (I) ияи (1а) переводит данные четыре
точки zlf zs, z, и zt, то
W(z't, г'г, г'г, zJ=W(zt, zit z„ гЛ)	(9)
’) Нетрудно проверить, что произведение двух собственных или
двух зеркальных дробно-линейных преобразований представляет со-
бой собственное дробно-линейное преобразование; напротив, произ-
ведение собственного и зеркального дробно-линейных преобразований
(взятых в любом порядке) всегда есть зеркальное дробно-линейное
преобразование.
(6а)
(66)
и зео-
f dz b	/ о \
или z =—=—=.	(8)
—сг + а
132
или
W(z\, z’2, z't, z4)=U7(z„ z2, z3, z4),	(9a)
где Wtz , z„, z„, zj — ——- : ——-4—двойное отношение че-
\ i> 2» 3» 4/	7	~ , у
z2 Z3 Z2 z4
тырех точек (свойство инвариантности двойного
отношения). Действительно, например, из формулы (1)
получаем
2,—2. 2,— г,
Wp *2, Z„	:	4 =
Z2 Z3 Z2 Z4
Q2] + b	azs-j-b az,-f- b	azi 4- b
__czt-pd	czs-]~ d _czt -j- d	czi4- d
az2-f-b	az,-pb' az2-j-b	аг4Д b
cz2+d	cz.-\-b cz2-\-b	cz^-pd
_ [(ad—be) (z,—z3)]:(cz,-t-d) . [(ad —be) (z,—z4)[:(czi + d) __
— [(ad —bc)(z2—z3)]:(cz2-|-d) ’ [(ad —be) (z2—z4)):(cz2 + di ~
и аналогично проверяется, что 1F(Zi, z2, z8, z4) = №'(Zi> z2, 2s> г*)
если z и z' связаны формулой (1а).
Из свойства инвариантности двойного отношения сра:-у
вытекает, что дробно-линейное преобразование переводит
четыре точки, принадлежащие одной окружности или
прямой линии, в четыре точки, также принадлежащие
окружности или прямой линии (круговое свойство
дробно-линейных преобразований). Действи-
тельно, из вещественности двойного отношения W(zt, z2,z3,z4)
исходных точек вытекает также вещественность двой-
ного отношения W (z', z2, zj, z4) преобразованных точек,
откуда и следует наше утверждение (ср. § 7, стр. 36 — 37).
Из этого в свою очередь следует, что дробно-линейное пре-
образование переводит каждую окружность или прямую
линию плоскости снова в окружность или прямую линию ’).
’) Нетрудно показать вычислением, что, например, круговое
преобразование (1) переводит окружность или прямую, уравнение
которой имеет видЛггфВг— Вг + С = 0, А и С—чисто мнимые,
(ср- § 7, стр. 37) в окружность или прямую
А 'гг + В'г — В’г + С = О,
где А' = Ааа-\-Вас—Вас-рСсс, B' = Aab-\-Bad—Bcb-j-Ccd,
C' = Abb + Bbd—Bbd + Cdd~.
133
Последнее обстоятельство служит основанием для того,
чтобы называть дробно-линейные преобразования плоскости
также круговыми преобразованиями (можно также
говорить о собственных и зеркальных круговых
преобразованиях) '). Так как эти преобразования впервые
основательно изучались немецким геометром Августом Фер-
динандом Мёбиусом (1790—1868), то их часто называют
круговыми преобразованиями Мёбиуса.
Можно показать, что существует единственное собст-
венное дробно-линейное преобразование (1), переводящее
три данные точки z„ z2 и z2 в три другие заданные
точки w , w2 и ии2. Действительно, если преобразование (1)
переводит точки z2, z2, z2 в точки iv2, w2 и произволь-
ную точку z плоскости—в точку г’, то в силу доказанного
выше
W(z, zv z2, z,)=W(z', га,, w2, ж/,)
или
z' —^2 . z'—Ws = 2 — 2, . 2 — 2,
Wt — W2'w, — W, 2j— z2'z,—Z, ’	'
Но равенство (10) определяет дробно-линейное преобразова-
ние: если выразить из него z' через z, то мы получим
Cz + D’
где
А = (^ —z2} w,w2 + (z2 — z,) w2w, + (г, — z,)
B=[(z3—zs) w2w2 4-(w, — w,) w2z2 +
4- w, (z2w, — ztw2)] (z, —z,),
C = (w,z2 —w2z,) 4- (W2za—wsz2) 4- (w3z, — wtzs),
D = (w,—w,)(zJ—zt)(zt-z,).
Точно так же доказывается, что существует единственное
зеркальное дробно-линейное преобразование (1а), перево-
дящее zv z2 и z, в wv w2 и w2\ это преобразование
’) Можно показать, что все преобразования плоскости ком-
плексного переменного, переводящие окружности или прямые
снова в окружности или прямые, исчерпываются дробно-линей-
ными преобразованиями (1) и (1а) (ср. И. М. Яг л ом, Геомет-
рические преобразования II, § 4 гл. II, стр. 246—253).
134
задается формулой
W(z', wt, w2, 'Ws)~W(z, zv z2, z,)
или
z' —И'г. z' — w,  j—Z; . z—z8
и/, — w2 ay,— w8 z,—z8 z,—z8
Эти же рассуждения показывают, что, для того чтобы
четыре данные точки zx, z2, z, и zt можно было пере-
вести круговым преобразованием в четыре другие точки
®у2, wa и wiy необходимо и достаточно, чтобы было
W(wx, iv2, w„ wi) = W(zi, z2, z„ zj
или
W(<wt, wt, ws, w4)=IF(21, z2, z„ z4).
Из доказанного следует, что любую окружность или
прямую можно (причем многими способами) перевести кру-
говым преобразованием (1) (или (1а)) в любую другую за-
данную окружность или прямую — для этого надо только
позаботиться, чтобы какие-либо три точки первой окружности
перешли в (какие угодно!) три точки второй окружности.
В частности, любую окружность можно бесчисленным
множеством способов перевести в прямую линию — обсто-
ятельство, которое часто оказывается полезным. Таким обра-
зом, с точки зрения круговых преобразований все окруж-
ности и прямые являются совершенно равноправными; по-
этому в вопросах, связанных с круговыми преобразованиями,
обычно не различают прямые линии и окружности, считая
первые частными случаями последних («окружности беско-
нечно большого радиуса»). В дальнейшем мы часто бу-
дем говорить просто «окружность» в тех случаях, когда
правильнее было бы сказать «окружность или прямая».
Выясним теперь, какой геометрический смысл имеет двой-
ное отношение W(z2, z2, z„ zt) четырех точек zt, z2, z2 и гЛ.
Мы уже знаем, что если это двойное отношение вещест-
венно, т. е. если аргумент Arg W двойного отношения W
равен нулю, то точки zt, z2, г, и г4 принадлежат одной
окружности (или прямой). В общем же случае, очевидно,
имеем
ArgW(Zl, z2, z„ z4) = Arg(|i=J:|i=j) =
\‘2--------------------------г3	‘4/
*2	*4
135
(см. формулу (8) из § 7, стр. 34). Рассмотрим две окруж-
ности (одна из них или даже обе они могут обратиться
в прямую), проходящие через точки z,, zt, zz и z,, z2, zt;
эти окружности мы будем обозначать через [ztzzza] и
[ztzzzj (рис. 53; также и в дальнейшем окружность, прохо-
дящую через точки z, v и мы будем называть окруж-
ностью [zvw]). Проведем еще касательные t и f к этим
окружностям в точке zz. Из известных теорем о вписанных
углах следует, что независимо от положения точек zz и
на окружностях \zt z2 zz] и [z, z2 z4]
Z{[z2z2], k2Z,]}=Z{[Z1Z2], 0
и
Z{lvJlvJ}=Z{l*.z2^ И-
Поэтому имеем
Arg IF (z,, z2, z„ zt) =
=Z{k.4 O-ZU^u'HZK-O- (11)
Угол между касательными к окружностям и <S2, про-
веденными в точке z их пересечения, называется углом меж-
ду окружностями 5, и 52 и обозначается через / (S,, 52);
если рассматривается ориентированный угол между
касательными, то говорят об ориентированном угле
между окр у ж н о с т я м и S, и Sz. Таким обра-
зом, мы видим, что аргумент htgW(zt, zz, zz, zz) двойного
отношения W (z2, z2, zz, z4) четырех точек zx, z2, z,
136
и zt равен (ориентированному) углу / {[г, гг zj zI[zIztzl]}
между окружностями [z1 z2 zt\ и lztztz,].
Из свойства инвариантности двойного отношения четырех
точек вытекает, что собственные круговые преобразования
не меняют ориентированного угла между пересекающи-
мися окружностями, а зеркальные круговые преобразо-
вания меняют знак (т. е. направление вращения), но не
абсолютную величину этого угла "). Это важное свойство
круговых преобразований часто кратко формулируют следую-
щим образом: углы между окружностями сохраняются при
круговых преобразованиях* 2). В частности, касающиеся
окружности (окружности, угол между которыми равен нулю)
переходят при круговом преобразовании в касающиеся
окружности.
Перейдем теперь к модулю i W(zt, zs, zs, z4)| двойного
отношения W четырех точек плоскости. В силу формулы (6)
’) Другими словами, если собственное (зеркальное) круго-
вое преобразование переводит окружности Si и S2 в окружности
S, и $2 и точку г, пересечения St и S2 в точку г,, то Z{-S1z1S2} =
= / г, S2}, соответственно / {Sj г1 S2} =— / {St г, S2}. [За-
метим, что если две окружности S! и S2 пересекаются в точках
г, и г2, то / {S,z1S2} = -Z{S1z2S2} (ср. рис. 53); поэтому, го-
воря об ориентированном угле между двумя пересекающимися
окружностями, необходимо указывать точку пересечения, в ко-
торой рассматривается этот угол (неориентированный угол между
окружностями не зависит от выбора точки их пересечения).]
2) Так как угол между двумя любыми
пересекающимися в точке z (по определению
с углом между касательными к
у, и у2 в точке г), равен углу
между проходящими через z ок-
ружностями S] и S2, касающими-
ся наших кривых (рис. 54), и кру-
говое преобразование, переводя-
щее кривые Yj и у2 в новые кри-
вые у1 и у2> переводит S, и S2
в окружности S, и S2, касаю-
щиеся Yi и Yz> то отсюда следует,
что углы между произвольными
кривыми сохраняются при круго-
вых преобразованиях. Все преоб-
разования, обладающие этим пос-
ледним свойством, называются конформными преобразо-
ваниями. Таким образом, круговые преобразования являются
конформными преобразованиями.
кривыми Yi и Уг>
этот угол совпадает
Рис. 54.
137
I W(z„ г2,г„г4)| =
§ 7 (стр. 34) имеем
zi~ za zj_
Z2 ZS Z2 Z4 1
= I zi—za I . I г, —zt| =
I Z2 Z2 I I Z2 Z4 i
(ZVZS) . (ZLZ4) , i ГЦ
(Z2>ZS) ‘ (Z2,Za) ’	‘
где (zt, z2), (z2, z2) и т. д.—расстояния между точками z2 и z2,
z и z и т. д. Вещественное число	мы будем назы-
(Z2>ZS) (Z2,Z4)
вать двойным отношением расстояний между
четырьмя точками zt, z2, za и z4 и обозначать через
W(zlt z2, za, z4). Таким образом, имеем
|№(z,, z2, z„ zt)\ = W(zt, z2, z„ z4),
(12a)
или словами: модуль | W(zIt z2, z2, z4) I двойного отноше-
ния W(zt, z2, z2, z4) четырех точек z2, z2, z2 и z4 равен
двойному отношению расстояний между этими точками.
Из свойства инвариантности двойного отношения мы можем
теперь заключить, что круговые преобразования сохраняют
двойные отношения расстояний между четверками точек.
Теперь можно по-новому сформулировать условия, необ-
ходимые и достаточные для того, чтобы четверку точек
z2, z2, z2 и z4 можно было перевести круговым преобразо-
ванием в четверку точек ну,, ®у2, iv2 и ®у4. А именно, для
этого надо, чтобы угол между окружностями [zt z2 z2]
и [z2 z2 z4] был равен углу между окружностями [ну, ®у2 ®у8]
и [ку^ ®у2 ®у4] и двойное отношение расстояний между
точками za, z2, zs и z4 равнялось двойному отношению
расстояний между точками wl, ®у2, ®у8 и
Коснемся еще вопроса о геометрическом описа-
нии произвольных круговых преобразований. Как мы знаем,
линейные преобразования (3) представляют собой преобра-
зования подобия. При этом и произведение двух или не-
скольких линейных преобразований снова является линейным
преобразованием ’); поэтому все круговые преобразования
нельзя свести к одним лишь преобразованиям подобия.
Простейшими круговыми преобразованиями, отличными
от преобразований подобия, являются преобразования
(а) и z'=—	(б),	(13)
z	z
’) Так, например, если z, = az-|-6 и z'= a,z1-|-61, то z' — Az-j-B,
где А = а,а, В = а2Ь -\-Ь2.
138
которые можно также описать
Arg z' = — Arg.
и
Arg z' = Argz,
Из этих двух преобразований
смысл имеет преобразование
единичной инверсией,
плоскости переходит в такую
ность г' лучу Oz вытекает ш
равенствами:
i*'i= 4т (а)
(14)
к'[=у (б)-
более простой геометрический
(136) или (146), называемое
При инверсии каждая точка z
точку z' луча Oz (принадлеж-
равенства Arg z' — Arg z), что
(O,2;,)==(Ojy или (O.*)-(O,H = 1	(15)
(рис. 55); точку О инверсия переводит в «точку» оо.
Инверсия является одним из самых простых круговых
преобразований. Как и всякое круговое преобразование, каж-
дую окружность или прямую она переводит снова
ность или прямую; углы меж-
ду (пересекающимися) окруж-
ностями инверсия сохраняет
(впрочем, знаки ориентирован-
ных углов меняются при ин-
версии на обратные — инверсия
является зеркальным кру-
говым преобразованием); двой-
ные отношения расстояний чет-
в окруж-
верок точек плоскости при
инверсии также не меняются. Точки единичной окружности
zz = 1 переходят при инверсии сами в себя. Это обстоя-
тельство, а также то, что каждая внешняя по отношению
к окружности zz ~ 1 точка z переходит во внутреннюю
точку z' (лежащую на луче Oz и такую, что радиус
(О, z0)=l единичной окружности является средним пропор-
циональным между длинами отрезков (О, г) и (O,z'); см.
рис. 55), а точка z' переходит обратно в z, дает основание
для того, чтобы присвоить преобразованию (136) (или (146))
также и название симметрия относительно еди-
ничной окружности1).
’) Дополнительным стимулом здесь является то, что любая
окружность, проходящая через отвечающие друг другу в единичной
инверсии точки z и г', будет перпендикулярна единичной окружнос-
139
Преобразование (13а) не заслуживает специального рас-
смотрения— это есть, очевидно, произведение единичной
инверсии (симметрии относительно единичной окружности)
(136) и симметрии (46) относительно оси о. Также сводится
к рассмотренным ранее преобразованиям и инверсия про-
извольной степени k
, k
z , k вещественно,	(16)
представляющая собой произведение единичной инверсии
(136) и гомотетии z'~kz с коэффициентом гомотетии k1).
И вообще каждое круговое преобразование представляет
собой произведение преобразования подобия и инверсии',
доказательство этого предложения и составляет нашу основ-
ную цель.
Уточним прежде всего формулы, описывающие преобра-
зование инверсии. Геометрически единичная инверсия опреде-
ляется как преобразование, переводящее произвольную точку
z плоскости в такую точку z' луча Ог (где точка О фикси-
рована), что выполняется соотношение (15). Таким образом,
в геометрическом описании инверсии важную роль играет
ти гг — \ (рис. 56, а) подобно тому, как любая окружность, прохо-
дящая через две симметричные относительно прямой I точки
г и z', перпендикулярна / (рис. 56, б).
Рис. 56.
’) При k > 0 инверсия степени k называется также симмет-
рией относительно окружности радиуса y'k (ок-
ружности гг — k). Инверсию степени k < 0 можно рассматривать
как произведение инверсии положительной степени k и симмет-
рии (4а) относительно полюса О.
140
точка О; эта точка называется центром инверсии. Если
центр инверсии совпадает с полюсом системы координат (с
точкой 0), то инверсия записывается формулой (136). Если
же полюсом служит произвольная точка w плоскости (рис. 57),
то инверсия, очевидно, запишется так:
,	I	, wz + (1—иш)
Z —w==------ или z —----------5------
г — ш
(17)
Z — ID
Несложно проверить, что каждое собственное круговое
преобразование z' —	>
отличное от преобразования
Рис. 57.
подобия (т. е. такое, что с =/= 0), является произведением
преобразования подобия z' = pz-\-q, где
с1	aad—ccd—acb	. la t) I
p = — Q =-------------=-----. Д =	. #= 0
A	cA	|c J j
и инверсии (17), где
a
с ’
,	,	аг + &
круговое преобразование z = ——
'	'	сг + d
-w =
каждое зеркальное
где с =/= 0, является произведением преобразования подобия
z =pz+q, где
сг
aad—ccd—acb
Q
сД
и той же инверсии, что и выше. В самом деле, если,
например,
сг -	,	aad—ccd—acb
Z=------Z	------= 
Д	cA
— преобразование подобия, переводящее точку z в точку zx,
и
141
— инверсия, переводящая точку в точку г, то имеем
а
с
z
с2	aad—ccd— acb\	/
Лг+ Tl f Д
с1 , aad—ccd—acb a
“д'
__аг + b
cz-\-d'
сЛ
с
Таким образом, все отличные от преобразования подобия
круговые преобразования плоскости сводятся, в определенном
смысле, к единичной инверсии ').
В заключение этого параграфа остановимся еще на некоторых
принципиальных моментах, связанных с круговыми преобра-
зованиями. Выше мы видели, что совокупность всех таких
преобразований:
а)	содержит произведение двух любых преобразований
этой совокупности;
б)	содержит преобразование, обратное любому преобразо-
ванию этой совокупности;
в)	содержит тождественное (единичное) преобразование.
Совокупность преобразований, обладающая всеми свойствами
а) — в), называется группой преобразований. Таким об-
разом, круговые преобразования образуют группу.
Выделим из числа всех геометрических свойств плоских
фигур те, которые сохраняются при круговых преобразова-
ниях', к числу этих свойств будут относиться, скажем,
свойство линии быть окружностью или прямой линией
(но не свойство линии быть прямой, поскольку прямая линия пос-
ле кругового преобразования может перейти в окружность) или
свойство двух окружностей пересекаться под определенным
углом а. Эти свойства можно назвать круговыми свой-
ствами фигур, а науку, изучающую только эти свойства —
круговой геометрией.
Определение круговой геометрии родственно определению
обычной геометрии как науки, изучающей свойства фигур,
не зависящие от положения фигуры на плоскости, т. е.
сохраняющиеся при всевозможных движениях (заметим
кстати, что совокупность всевозможных движений также,
') Из доказанного следует также, что каждое отличное от пре-
образования подобия круговое преобразование можно представить в
виде произведения инверсии какой-то степени k и движения.
142
очевидно, образует группу)1). При этом, так как совокупность
круговых преобразований шире совокупности движений (по-
скольку каждое движение z'=pz-\-q, где р/>=1, явчяет-
ся частным случаем кругового преобразования, в то время
как круговое преобразование вполне может не являться дви-
жением), то круговая геометрия составляет «часть» всей
геометрии. Последнее утверждение следует понимать в том
смысле, что круговые свойства фигур—это лишь некоторые
из тех их свойств, которые изучаются обычной (евклидовой)
геометрией.
С точки зрения круговой геометрии, неразличимыми (обла*
дающими одними и теми же свойствами) являются фигуры
плоскости, которые переводятся одна в другую круговыми
преобразованиями, в круговой геометрии такие фигуры можно
назвать «одинаковыми» или «равными». Так как круговые
преобразования образуют группу, то в круговой геометрии:
а)	если фигура Ф «равна» фигуре Ф,, а фигура Ф, «равна»
фигуре Ф2, то и фигура Ф «равна» фигуре Ф2 (ибо Ф пере-
водится в Ф2 произведением преобразований, переводящих
Ф в Ф1 и Ф1 в Ф2);
б)	если фигура Ф «равна» фигуре Ф(, то и фигура Ф,
«равна» фигуре Ф (ибо Ф, переводится в Ф преобразованием,
обратным преобразованию, переводящему Ф в Ф,);
в)	каждая фигура Ф «равна» сама себе (ибо Ф перево-
дится в себя тождественным преобразованием, а это послед-
нее преобразование также является круговым).
Таким образом, «равенство» фигур в круговой геомет-
рии обладает теми тремя свойствами, выполнение которых толь-
ко и позволяет употребить термин «равенство». То обстоя-
тельство, что круговые преобразования образуют группу,
важно именно потому, что из него вытекают свойства а) — в)
«равенства» фигур, определенного с помощью круговых пре-
образований.
Понятие круговой геометрии выделяет некоторый класс
геометрических свойств фигур, которые можно изучать одними
и теми же методами. В частности, очень полезным оказывается
при доказательстве круговых свойств фигур использование
круговых преобразований, с помощью которых можно иногда
значительно упростить соответствующий чертеж — ведь с
точки зрения круговой геометрии все чертежи, получающиеся
*) См. по этому поводу И М. Яг лом, Геометрические преоб-
разования,! и II,Введения к первой, второй и третьей частям книги.
143
один из другого с помощью круговых преобразований, яв-
ляются одинаковыми, и поэтому мы можем воспользоваться
каким угодно из них. Ряд примеров такого использования
круговых преобразований читатель встретит в следующем
параграфе книги.
Существует и иной подход к круговой геометрии, допу-
скающий использование при доказательстве «круговых свойств»
фигур лишь тех теорем и понятий, которые относятся к кру-
говой геометрии (т. е. сохраняют свой смысл при круговых
преобразованиях). С этой точки зрения ни один из
чертежей, получающихся друг из друга круговыми
преобразованиями, не может иметь никакого преимущества
перед другими, поскольку изображенные на этих чертежах
фигуры имеют в точности одни и те же «круговые свойства».
Сужение круга свойств, которыми позволяется пользоваться
при построении круговой геометрии, естественно затрудняет
задачу доказательства относящихся к этой геометрии теорем;
частично это компенсируется тем, что ограничение множества
возможных доказательств иногда может облегчить нахождение
правильного пути. Ценность указанного подхода к круговой
геометрии заключается в том, что он позволяет рассматри-
вать эту геометрию как самостоятельную науку, в известном
смысле равноправную с обыкновенной (евклидовой) геомет-
рией. Эта наука представляет собой новую ветвь геометрии,
подобно, скажем, неевклидовой геометрии Лобачевского.
§ 14!:. Приложения и примеры
Выше мы видели, что любой треугольник г^гггг подходя-
ще подобранным круговым преобразованием может быть переве-
I	)
ден в любой другой треугольник ге\д><2™2 в том смысле, что
точки zv гг и zs могут быть переведены в точки wlt wt и ш,
(разумеется, стороны первого треугольника при этом, как
правило, неперейдутв стороны второго треугольника — они
перейдут в окружности). По отношению к четырехугольни-
кам это уже не имеет места, —для того чтобы четырехуголь-
(------1	Г--------1
ник гхгггггг мог быть переведен в четырехугольник wiwtwl'wi
(т. е. вершины первого четырехугольника — в вершины второго),
необходимо (и достаточно), чтобы было
U?(w,, и>2, w2, w4) = U7( z,, z2, zs, zj	_____________
(или W (w4, w2, ws, w4) =	(Zj,z2,z2,z4));
144
другими словами, чтобы было
Z- ([w4w2ws] W,	= Z_ ([z^z,] z, [z,ztzt])
и
W(wt, Ъ1)г, wt, w4) = w(zit z2, zs, zj
(см. стр. 135 и след.; углы не ориентированы, ибо при зер-
кальных круговых преобразованиях направление углов ме-
няется на обратное). Но
ZU*,*.*,]*, [mAIHZ [2:a]}-Z{[^j,[^1]}
(ср. стр.
135—137) и
W (z„ z2, z„ zt) =
(Zi. z,) (z„ z4) .
(?!. гз)'(21. Zj ’
кроме того, если ограничиться для простоты картины слу-
।-----------------------------------------1	<---------1
чаем выпуклых четырехугольников z2ztz2za и 7C'(ce>sw w , то
ориентированные углы Z_\{ztz2], [z,z,^ и Z_{[zaz2}, [z4’zj}
будут направлены в раз-
ные стороны и поэтому
их разность сведется к
сумме углов гг и za че-
тырехугольника (рис. 58).
Отсюда получаем:
Для того чтобы вы-
пуклый четырехуголъ-
।----------1
ник ztz2z2za мог быть
переведен круговым пре-
образованием в выпук-
лый четырехугольник
।--------1
WjWjWj.Wj, Необходимо и
достаточно, чтобы сум-
ма противоположных
углов zt и za первого
четырехугольника равнялась
углов w,
(z„zj (z2,z4)
сумме противоположных
и ъиа второго четырехугольника и отношение
(г г ) (г г ) пРоизве^ени^ противоположных сторон первого
Л	(W- Шл}
четырехугольника равнялось отношению ; 1	2’ произ-
(w2,Ws) (Wi.Wi) '
ведений противоположных сторон второго четырехуголь-
ника.
145
Из этого предложения, в частности, вытекает, что каж-
।-------1
дый выпуклый четырехугольник ziz2ztzl можно круговым
।--------------------------------------------------1
преобразованием перевести в параллелограмм z^z^, углы
которого равны полусуммам противоположных углов
।------------------------1
четырехугольника z^z^, а квадраты сторон — произве-
дениям противоположных сторон четырехугольника
।-------1	<-------1
z ztz^v В том случае, когда четырехугольник z^z^ можно
вписать в окружность (т. е. суммы его противоположных
углов равны), этот четырехугольник можно перевести круго-
вым преобразованием в прямоугольник; если произведения
।--------------------------------------------------1
противоположных сторон четырехугольника zlz2zizi равны
между собой, то его можно перевести в ромб; наконец, если
.------1
четырехугольник	можно вписать в окружность и
произведения его противоположных сторон одинаковы (т. е.
I-------1
если четырехугольник zxztztzt гармонический; ср. § 8,
стр. 77), то его можно круговым преобразованием перевести
в квадрат. Отсюда нетрудно вывести целый ряд разнообраз-
ных свойств четырехугольников.
Заметим прежде всего, что если четверка точек zt, гг,
z zt может быть переведена круговым преобразованием в
четверку точек г’, г°г, z”, z\, то
Z°’ =
И1» Zt) И2* ZV
_« гр
О
т-------1
Поэтому, например, если четырехугольник глггггг4 можно
вписать в окружность, и произведения его противополож-
ных сторон равны между собой, то произведение его
диагоналей будет равно удвоенному произведению двух
противоположных сторон (ибо так, очевидно, будет об-
(------------------------------------1
стоять дело в случае квадрата z°z^Zi', рис. 59, а).
Последнее предположение допускает обобщение, относя-
।--------------------------------------------1
тцееся к произвольному четырехугольнику z^zp?^ который
можно вписать в окружность: для такого четырех-
угольника сумма произведений противоположных сторон
146
(?t, z2)-(za, z4) Ц-(z2, za)-(zt, za) равна произведению диаго-
налей (z,, zs)-(z2. zt) (теорема Птолемея). Действи-
тельно, если четырехугольник z,z2zsz4 можно перевести кру-
। ।
говым преобразованием в прямоугольник z“z^z°
(рис. 59, б), то
(z„ z2)(z„ z4)	(z2, г,)(га, z4) =
(z2, z,)(z2, z4)“r(z1, zs)(z2, z4)
= W’(z4, z4, z2, z,)+ W(zt, z2, zt, z,) =
= 1^(4 4 z°, z°)+W(z°, Z°, z°, z°a) =
_ (Z;,	(z;, Q (z°, z;hz;, z4°> _ (?;, г°у+(2», г°у
(4 4(4 4 + (4 4’<4 z°)	(z?, z^
Таким образом, теорему Птолемея можно считать обобщением
теоремы Пифагора, указывающей связь между длинами сто-
рон и длиной диагоналей прямоугольника.
Попробуем теперь отыскать аналогичное соотношение,
связывающее длины сторон и диагоналей совершенно про-
।---------------------------------------1
извольного четырехугольника zaz2zaza. Пусть этот четы-
рехугольник переводится круговым преобразованием в парал-
।------------------)
лелограмм z°z2z2z4 с острым углом 421=Т (рис. 59,6).
Тогда, очевидно,
/ °	°\2	/ 0	0ч2 I / 0	0\2 л f О 0\ . О 0\
(z2, z4) =(z„ Z2) +(2,, Zi) — 2(z,, z2)(z„ z4)cos<p
и
f	\2	t ®	^\2 i / °	Q\2 i л i 0	0 \ i 0	0\
U1, Z,) =^(z>, zi:)‘-)-(zl, Zi) -f-2(zlt Z2)(Z1, z4)cos<p;
147
следовательно,
(4 z°)*(z°, z^ =
= [(4 z’)’ + (4 ^)]» —4(^, z°)(z°, z4)’cos* 2 *<p =
= (4, z°)4 * * * + (4 ^)4-2(4 zQJ(z°, z“)2(2cos2<p-l) =
~(z”, z")4-H*i> z4)4 — 2(z°, Zi)2(z°, z4)!cos2<p.
Но 2<p есть сумма противоположных углов z° и г°г паралле-
।------------------1
диграмма г\гв2ге3г", равная, как мы знаем, сумме противопо-
ложных углов четырехугольника z1z2z2z4. Отсюда имеем
(г„ za)2(z„ z4f + (z1, г4)2 (гг, г,)8
(г„ г,)2 (г2, г4)2
2 [(?,. 2г) (г„ г4)] |(г„ г4) (г2, г2)] cos 2<р =
(г,, г,)‘(гг, г4)2
= [1>(г„ z4, z2, z8)]2 + [W(z„ zt, zt, z,)]‘ —
— 2W(zt, zit z2, z„) W(zv z2, z4, z2)cos2(p =
= [^(4 zl z2,	4 z°, /,)]’-
— 2f^(Zi, z°, z2, z°3)^'(zi, z2, z4, z4)cos2<p =
_ (zj, z2°)* + (z;, z^ + 2(z», z»)2(z;, z°)2cos2q>
(zf, z°2)2.(z°, z^)2
t. e. сумма произведений квадратов противоположных
сторон произвольного четырехугольника без удвоенного
произведения всех его сторон на косинус суммы противо-
положных углов равна произведению квадратов диагоналей
четырехугольника. В частности, при 2<р=-^ получаем: если
сумма противоположных углов четырехугольника равна
то сумма произведений квадратов его противополож-
ных сторон равна произведению квадратов диагоналей
четырехугольника (сравните с теоремой Птолемея: если
сумма противоположных углов четырехугольника равна л,
то сумма произведений его противоположных сторон
равна произведению диагоналей четырехугольника).
К этим результатам можно подойти и с другой стороны.
I------1
Переведем круговым преобразованием четырехугольник z1ztzlzi
1	1
в «четырехугольник» ZjZjZjOo, где оо — «бесконечно уда-
148
ленная точка» плоскости; при этом будем иметь
zt, z„	Zt, Z„ oo)=V(Z1, Z2, Z,)
(cm. § 7, стр. 38). Отношение V(ZP Z2, Z,) = задает
^2	^3
(Z Z ) IZ ____7 I	1	1
отношение сторон " 3' = —1—тЧ=| V) треугольника ZZ2Z
1^2» ^3/ I ^2	^3 I
и его угол Z_{[ZxZt ], [Z£ZJ} = Arg^=j-’ = Arg V; таким
образом, треугольник ZxZ2Za определяется чегырехугольни-
i------------1
ком zxz г,г4 «с точностью до подобия». (Последнее выра-
жение означает, что каждые два треугольника Z^ZtZa и
г’ г; J	।--------1
ZxZtZt такие, что	можно перевести круговыми
1-------1 1
преобразованиями и в ZjZ^oo и в ZjZjZjOO, подобны
।----------------------------1
между собой.) Треугольник ZaZ2Za называется ассоци-
ированным треугольником четырехугольника zaz2ztz
(ср. § 8, стр. 82).
Очевидно,
g^ = |U7(^, г2,	д4)|=Г(г., г2, z„ г4) =
_(г,, г,), fa, г,).
(z,, г4).(г2, ?,)’
с другой стороны,
(гГад=|1Й}=|1/<г" z- г.>1 = ПТ(А. г„ г„ «,=
-||Г(2„г,, г„ *.)!-= 1Т(г.. г., г„ ».)-iy	
Vzl» z4.’ \Z2> г3/
Таким образом, отношение длин сторон ассоциированного
треугольника Z1Z2ZS равно отношению произведений про-
тивоположных сторон и диагоналей четырехугольника
z.z^z^z^.
(Z„ Z2):(Zlt Z,):(Z2, Z3) =
= [(г2, гг)-(г„ г4)]:[(г„ zt)-(z2, z4)]:[(z„ г4)-(г2, г,)].
Отсюда вытекает, что если перевести круговым преобразо-
ванием четырехугольник zlz2zszi в «четырехугольник»
149
I—Г-J	. . .
где одна из точек zu zty z, и гл является «беско-
нечно удаленной точкой» оо, то треугольник, образованный
I-------------------------------------------------------!
тремя другими точками, будет ассоциированным для гуг2г,гл
(т. е. будет подобен рассмотренному выше треугольнику
I-----1	,	।---1
Z*ZTZ^. В самом деле, если, например, г8 = оо, то z1z2z4z,
।-----------------------1
переводится в	откуда следует, что
(z'lt zO:(z>, z'):(z2, z4) =
= [(*,. хг)-(г„ z4)|:[(z,, z4)-(z2, г,)]: [(г,, z,)-(zt, z4)]
।-----------------------1 ।—	1
и, значит, треугольники Z^ZiZt и z^z^ подобны (имеют
одни и те же отношения сторон). Отсюда следует, что
।---------------------------------------------------1
ассоциированный треугольник четырехугольника zyziztzi мож-
।---------------------------------------------------------)
но получить, например, преобразовав три вершины z,z2z,z4
при помощи инверсии с центром в
четвертой (безразлично какой!)вер-
шине четырехугольника (рис. 60).
Заметим теперь, что если
।--------------------1
четырехугольник zxz2ztz^ являет-
ся выпуклым, то
Z{[z2z,].	=
= ArgV(Z„ Z„ Z2) =
= Arg IF (A, Z„ Z2, «) =
= Arg W(zy, z„ zt, z4) =
= Z*. + Z*. =
(см. стр. 38 и 145). Отсюда вытекает, что выведенное выше
соотношение	I
(z„z,)I-(z!, z4), = (z1, z2)2-(z„ z4)* + (z1, z4)l-(z2, z,)2 —
-2(z„ z2)-(z2, z,)-(z„ z4)-(z4, z,)cos2<p
представляет собой просто теорему косинусов, выпи-
санную для ассоциированного треугольника. Аналогично этому
теорема, относящаяся к случаю 2<р = 90°, и теорема Птолемея
также легко могут быть выведены из рассмотрения ассоции-
рованного треугольника четырехугольника z,z2zsz4 (являюще-
го
гося в соответствующих случаях прямоугольным или вырож-
денным).
Вог еще одна группа относящихся к четырехугольникам
результатов, которые можно вывести из той же возможности
перевести любой четырехугольник в параллелограмм (или в
ромб, или в квадрат). «Окружностями», проведенными через
।------------------------------------------1
противоположные вершины прямоугольника z°z°z°Zt перпен-
дикулярно ’) описанной окружности, являются диагонали
[2’2’] и [z°zl] прямоугольника; точками пересечения этих
«окружностей» являются центр О прямоугольника и точка
оо (через которую проходят все прямые плоскости). Далее,
окружностями [2^2,00], [2’2^00] [2^2^00] и [г^г’оо] являют-
ся стороны прямоугольника; легко представить себе также,
как выглядят окружности [2’2’0], [ZgZ,O], [2,2’0] и [z^ZiO]
*) Перпендикулярными называются окружности, угол
л
между которыми равен — .
151
(см. выше рис. 59,6). Отсюда получаем: если в, и s2 —
окружности, проходящие через противоположные вершины
।------------------------------------------------------1
вписанного в окружность S четырехугольника z2z2z2za и
перпендикулярные S, a v и и>—точки пересечения этих
окружностей, то окружности и [z3ztv], [z^v] и
[zt2,®] касаются между собой, причем первые две окруж-
ности перпендикулярны последним двум; аналогично этому
касаются и окружности [z^w] и [22z4to], [z^w] и
[z2ztw], и первые две из этих окружностей перпендикулярны
последним двум (рис. 61). Также и то обстоятельство, что
точка О является серединой диагоналей z°z, и прямо-
।----------------1
угольника ZiZzZ,z°, приводит к любопытным предложениям,
।--------------------------------------------------------i
относящимся к произвольному четырехугольнику г2г2г3га,
который можно вписать в окружность: из этого следует,
что
W(z2, zt, v, w)=W(z2, zt, v, w)=l,
т. e. что
(?i.	и (?2, c) _ (z2, w)
(г„ v) (z„ w) (z„ t>)	(z4, w) •
Из рис. 59,а вытекает, что если произведения противопо-
ложных сторон (вписанного в окружность S) четырех-
।----------------1
угольника zlz2ztzl [азны между собой, то окружности
sx и s2 будут перпендикулярны; кроме того, окружности
[z,z2v], [z2z2v], [z^v] и [ztztv] будут перпендикулярны
окружностям [ztz2w], [г2г3ш], [zaztw] и [ztztw], соответ-
ственно. Наконец, многие из этих результатов можно пе-
ренести и на совершенно произвольный (не обязательно
।------1
вписанный в окружность) четырехугольник zl£22Jz4; только
здесь под Sj и в2 надо понимать окружность, проходящую
через противоположные вершины zt и zs четырехуголь-
ника и образующую равные углы с окружностями	и
[2,2а24], соответственно, — окружность, проходящую через
z2 и 24 и образующую равные углы с [222,24] и [22242,]
(если исходный четырехугольник — параллелограмм, то и
s2 — диагонали параллелограмма; см. рис. 59,в). Мы предо-
ставим читателю самостоятельно рассмотреть этот случай.
Отметим в заключение, что рассмотренные примеры хорошо
иллюстрируют тот метод доказательства теорем круговой
152
геометрий, о котором говорилось в конце предшествующего
параграфа. Смысл наших рассмотрений заключается в том,
что мы формулируем некоторое «круговое» свойство четырех-
।----------------1
угольника ztzjtazv т. е. свойство, сохраняющееся при кру-
говых преобразованиях (например, связанное с двойным от-
ношением вершин четырехугольника), а затем преобразовы-
ваем четырехугольник к такому виду, где эго свойство
усматривается легче, чем в исходном четырехугольнике
I------1	I	!
(например, переводим zlzizazl в параллелограмм z^z^ или в
।----------------------“д
«четырехугольник» ZxZaZaco). Этот метод позволяет дока-
зать много разнообразных теорем, относящихся к много-
угольникам и окружностям. Мы здесь ограничимся еще только
одним очень простым примером.
Рассмотрим четыре попарно непересекающиеся окружности
Sj, Sa, Sa и S4 такие, что и Sa касаются Sl и Sa
(рис. 62,а); требуется доказать, что четыре точки касания
окружностей (обозначим их через z,, za, za и za) принад-
лежат одной окружности (или прямой) S *). Переведем
круговым преобразованием точку za в «бесконечно удален-
ную точку» оо; в таком случае проходящие через za окруж-
ности 6', и S4 перейдут в параллельные прямые S, и S4
(рис. 62, б; S, и S4 не могут пересечься, поскольку и
S4 имеют единственную общую точку za). Из рис. 62,6
') Если окружности S, и S, или S2 и S4 пересекаются, то
условие теоремы может и не иметь места. (Можно и не требовать,
чтобы окружности не пересекались, если предположить, что оии
являются ориентированными; ср. сноску2) на стр. 161.)
153
следует, что точки zx, z2 и zt, в которые переходят точки
гг и zt, принадлежат одной прямой 2'; в самом деле,
/ (^i^22) = / (z2wz,), а следовательно, / (z'^v) = / (z’sz2 w)
и, значит, точки z2 и z, лежат на одной прямой. Отсюда
вытекает, что число V(zt, z'2, zs)=W(z'i, z2, z'„oo) веще-
ственно, а значит, и двойное отношение lT(.zt,.z2, zt, zj ве-
щественно; но это и доказывает теорему.
Остановимся еще на связи преобразования инверсии с
понятием степени точки относительно окружности, введен-
ным в § 8 (стр. 48 и след.). В § 8 было показано, что
отношение
г
~A=k	(18)
коэффициентов С и А уравнения окружности S
Azz-\-Bz— Bz С = 0 А и С—чисто мнимые, (19)
равно произведению
{О, Z.HO,	(20)
(ориентированных) длин отрезков Ozt и Ozs, где zt и z2 —
точки пересечения S с произвольной проходящей через О
прямой; это произведение мы назвали степенью окруж-
ности S (или степенью точки О относительно
окружности S). Но, с другой стороны, инверсия сте-
пени k
k
z'=-= , k — вещественно,	(16)
переводит каждую точку z в такую точку z' прямой [CZz],
что
{О, £}•{(?, z'} — k
(ср. с геометрическим описанием единичной инверсии, стр. 139).
Отсюда сразу следует, что если степень точки О отно-
сительно S равна k, то инверсия степени k переводит S
в себя (переводит каждую точку zt окружности S во вто-
рую точку z2 пересечения прямой [Oz ] с 5).
(J
То, что окружность (1 9), такая, что-^- = А переходит в
себя при инверсии степени k, нетрудно доказать, и не при
154
бегая к понятию степени точки относительно окружности;
наоборот, из этого доказательства можно затем вывести по-
стоянство произведений (20), где zx и г2— точки пересече-
ния нашей окружности S с проходящей через О прямой
(т. е. теорему о степени точки относительно
окружности). В самом деле, инверсия (16), которую
можно также записать в виде
Л	— k	,, п .
z = -- , z = — ,	(16а)
г'	г
переводит окружность (19) в геометрическое место точек
z', для которых
л - А . - +	— В —+С= 0
г' г' г' г'
или
Cz'z' + Bkz' — Bkz' -|- Ak* = 0.
С
Так как C=Ak, А=-^-, то последнее уравнение можно
переписать так:
Akz'z' + Bkz' — Bkz' + Ck = 0,
откуда и следует, что инверсия (16) переводит окруж-
ность (19) саму в себя.
Для каждой инверсии (16) существует бесконечно
много окружностей, которые эта инверсия переводит в себя.
Это окружности степени й; они описываются уравнениями (19),
С
где -т- = k фиксировано, т. е. уравнениями
/1
Azz-\-Bz—Bz-\-Ak — G.	(19а)
Проходящие через О прямые Bz — Bz= 0, также переходя-
щие в себя при инверсии (16), описываются теми же урав-
нениями (19а) (где только надо положить А = 0). Совокупность
окружностей (и прямых) (19а), переводящихся в себя инверсией
(16) степени k, называется связкой окружностей;
число k называется степенью связки, а точка О — ее
центром. Можно доказать, что каждая связка окружностей
состоит из всех окружностей (и прямых), пересекающих не-
которую фиксированную окружность S под прямым углом;
или из всех окружностей (и прямых), касающихся некоторой
155
фиксированной окружности 2; или из всех окружностей (и
прямых), пересекающих некоторую фиксированную окруж-
ность 2 в диаметрально противоположных точках * *). Мы
здесь не остановимся на этих рассмотрениях.
§ 15. Осевые круговые преобразования
(преобразования Лагерра)
В этом параграфе мы рассмотрим дробно-линейные функ-
ции
cz-\-d
и
, az + 6
Z —	---
cz-f-d
(1)
(la)
дуального переменного, где теперь придется требо-
,	А М|
вать, чтобы определитель Д = 1Д не являлся делителем нуля.
Этим функциям отвечают преобразования множества ориен-
тированных прямых (осей) евклидовой плоскости, которые
мы будем называть осевыми дробно-линейными
преобразованиями2). Как и выше, нам будет иногда
удобно называть преобразования (1) собственными
дробно-линейными осевыми преобразовани-
ями, а преобразования (1а)—зеркальными дробно-
линейными осевыми преобразованиями. Дробно-
линейные функции (1) и (1а) дуального переменного являются
однозначными функциями, определенными на множестве всех
дуальных чисел, расширенном введением чисел ссо, с — ве-
щественно, и оо ’); соответственно этому осевые дробно-ли-
нейные преобразования являются взаимно однозначными пре-
образованиями множества всех осей (ориентированных пря-
мых) плоскости. Частными случаями осевых дробно-линейных
преобразований являются симметрия относительно
точки О, симметрия относительно прямой Ои
’) См., например, Б. Н Делоне и О. К. Ж и т о м и р с к н й,
Задачник по геометрии, М., Физматгиз, 1959, задачи 273—291).
г) В противоположность этим преобразованиям рассмотрен-
ные в предыдущем пункте дробно-линейные преобразования мно-
жества точек плоскости можно былэ бы назвать точечными
дробно-линейными преобразованиями.
*) См. выше, стр. 21—22.
156
переориентация
z' =-z (a) z'=— z (б) и z'=— 4- (в),	(21)
z
а также произвольное движение
.'-ДЛ W, /-ЭФ (в), Z_-<s±£, (в,
— qz-\-p	q*+p	—qz+p
или	_	(22)
=	(г); A=pp+w¥=0
qz+p
(см. формулы (36а—г) из § 9, стр. 90).
В точности как в § 13, показывается, что произведение
двух осевых дробно-линейных преобразований и преобра-
зование, обратное осевому дробно-линейному преобразова-
нию, также будут преобразованиями того же типа', нако-
нец, и тождественное преобразование можно рассматри-
вать как осевое дробно-линейное. Очень важным для нас
будет то обстоятельство, что если z„ гг, z, и zt—че-
тыре (ориентированные) прямые плоскости, в которые осе-
вое дробно-линейное преобразование (1) или (1а) переводит
данные четыре прямые zt, zt, zt и zt, то имеет место
соотношение:
z'„ z't) = W (zt, z2, za, zt)
или IF(z'„ z2, zt, 4) = W(za,z2, z„zt) (9)
свойство инвариантности двойного отноше-
ния); доказательство этого свойства также ничем не отли-
чается от доказательства соответствующего предложения
в § 13. Отсюда сразу вытекает, что осевые дробно-линей-
ные преобразования переводят четыре (ориентированные)
прямые, принадлежащие одной (ориентированной) окруж-
ности или точйе, в четыре прямые, также принадлежа-
щие одной окружности или точке; другими словами, дроб-
но-линейное осевое преобразование переводит каждую
(ориентированную) окружность или точку снова в окруж-
ность или точку ’). Это обстоятельство позволяет называть
осевые дробно-линейные преобразования плоскости осевыми
круговыми преобразованиями (причем преобразова-
ния (1) называются собственными осевыми круго-
’) Ср. со сноской ') на стр. 133.
157
выми преобразованиями, а преобразования (1а) —
зеркальными осевыми круговыми преобразо-
ваниями) * 1). Так как осевые круговые преобразования впер-
вые рассматривались выдающимся французским математиком
Эдмондом Лагерром (1834—1886), то их часто называют
преобразованиями Лагер ра.
Так же как в § 13, показывается, что существует един-
ственное собственное дробно линейное осевое преобразова-
ние (1) и единственное зеркальное дробно-линейное осевое
преобразование (1а), которые переводят три заданные
(ориентированные) прямые zt, z2 и zs, никакие две из кото-
рых не параллельны, в три другие заданные (ориентирован-
ные) прямые •wl и wz, никакие две из которых также
не параллельны ’). Эти преобразования записываются указан-
ными в § 13 равенствами (10) и (10а):
z' — w2 . z'—w, _ г — г2 . z —г,
ш, —г, — г2'г,— г,’	1
г' —. г' — w,	г —г,, jr —г,
w, — w2 и>,— w,	г,—z2 г,—г,
С другой стороны, четыре (ориентированные) прямые z2, z2,
z, и zt не всегда можно перевести осевым круговым пре-
образованием в четыре другие (ориентированные) прямые и»,,
*) Можно показать, что все преобразования множества ори-
ентированных прямых плоскости, переводящие (ориентирован-
ные) окружности (к числу которых причисляются также и точки)
снова в окружности, исчерпываются дробно-линейными преобра-
зованиями (1) и (1а), сопровождаемыми еще, быть может, пре-
образованием подобия (ср. И. М. Я гл ом, Геометрические пре-
образования, II, § 5 гл. II, стр 314—321).
2) Нетрудно видеть, что каждое осевог круговое преобразование
переводит параллельные прямые снова в параллельные', это следует,
например, из того, что в силу формул (1) и (1а)
>г'1 =	и’ значит> если |z, | = | z2|, то и |г'| = |г'|.
Iс I | г I -г I и I
Поэтому, если прямые z, и г2 параллельны, то и to, и w2 должны
быть параллельны (если г, — г2 есть делитель нуля, a ш,— и>2 —
не делитель нуля, то определитель Д дробно-линейного преобра-
зования (10) есть делитель нуля). Вообще, для того чтобы сущест-
вовало (собственное) осевог круговое преобразование, переводящее
три прямые г,, г2 и г2в три прямые wf, w2 и w2, необходимо, чтобы
никакие две из прямых г и никакие две из прямых w не были па-
раллельны; или чтобы две прямые г и две соответствующие им
прямые w были параллельны, а третья прямая г и третья прямая
w были не параллельны первым двум; или чтобы было г, || г2|| г3,
и>1||и»2||ш, и (г„ г2}:{г„ гг} = {ш„
158
ws, wa и wt. Чтобы это было возможно, необходимо и до-
статочно выполнение одного из равенств
w2, w2, w4) = IF(21, z2, za, zt)
или W(wt, w2, и/,, tw4)=IF(z1, za, za, za). (9)
Из доказанного следует, что любую (ориентированную)
окружность или точку можно (и притом многими спосо-
бами) перевести осевым круговым преобразованием в лю-
бую другую окружность или точку, для этого надо лишь
потребовать, чтобы три (ориентированные) касательные пер-
вой окружности перешли в три (какие угодно!) ориентиро-
ванные касательные второй окружности. В частности, любую
(ориентированную) окружность можно осевым круговым
преобразованием перевести в точку, в силу чего в вопро-
сах, связанных с этими преобразованиями, обычно не разли-
чают между собой точки и окружности, рассматривая точку
как частный случай окружности («окружность нулевого ра-
диуса»).
Выясним теперь, какой геометрический смысл имеют
аргумент Arg IF и модуль |IF| двойного отношения
IF (za, za,za, zt) = -'г? ;г*_гд четырех (ориентированных) пря-
гг z, г2 z4
мых za, z2, za и za. Выше (см. § 9 гл. II) мы фактически дока-
зали, что
Arg W(za, zt, z„ 24)=Arg^=J—Arg|i=|4 =
=4 ({[*1
~{[2aL IvJ}- {[^1. клП)
(ср. стр. 95—96). Рассмотрим теперь две (ориентированные)
окружности St и S2, определяемые прямыми zt, z2, za и
za, zt< или> как мы будем их часто обозначать впоследст-
вии, окружности [z^^z,] и [^t^2^4] (рис. 63). Обозначим
точки касания окружностей S, и S2 с прямыми za, z2, za
и zx, za, za через Pt, Рг, Рг, соответственно Qt, Q2, Q4;
кроме того, условимся для простоты вместо [ztza], [zaza],
[z2za] и lzaza] писать А, В, С и D. Очевидно, имеем (ср.
выше, стр. 94—95)
4(И, B} + {C,D}-{D,A\-{B,C}) =
= i (И.+ {Р..В} + {C.QJ + {04,О } -
-{D,Q1}-{Q1,P1)-{P1,A}-{B,P2}-{P2,Q2}-{Q2,C}.
159
Далее, в силу свойств касательных к окружностям
whwe {р,в}={врг}, {сзлнад.
{QiD}={DQt}
тнклн-ть
Отсюда получим
Arg»% z2, zt, z' = PaQx.	(23)
Длина отрезка общей касательной z к двум (ориентиро-
ванным) окружностям 6't и S2, заключенного между точками
касания, называется касательным расстоянием этих
окружностей и обозначается через (St, S2); если рассматри-
вается ориентированная длина отрезка общей каса-
тельной к окружностям S, и S2, то говорят об ориенти-
рованном касательном расстоянии {5,2^} этих
окружностей. Таким образом, мы видим, что аргумент
Arg W двойного отношения W(zlt z2, za, zt) четырех (ори-
ентированных) прямых zt, z2, z, и zt равен (ориентирован-
ному) касательному расстоянию {lz,ztzl]z1[z1ztzt]} ок-
ружностей [z^z,] и [z^zj.
Из свойства инвариантности двойного отношения четырех
(ориентированных) прямых следует, что собственные осевые
круговые преобразования не меняют ориентированного
касательного расстояния окружностей, а зеркальные осе-
160
вые круговые преобразования меняют знак, но не абсо-
лютную величину этого расстояния. Это важное свойство
осевых круговых преобразований обыкновенно формулируют
так: осевые круговые преобразования сохраняют каса-
тельные расстояния окружностей '). В частности, касаю-
щиеся (ориентированные) окружности (окружности, каса-
тельное расстояние которых равно нулю) переходят при
осевых круговых преобразованиях в касающиеся окруж-
ности 2).
Перейдем теперь к модулю |IF| двойного отношения
W (z2, z2, zs, z4) четырех (ориентированных) прямых zp z2,
zs и z4. Используя основную формулу (29) § 9 (стр. 84), а так-
же то обстоятельство, чго модуль частного или разности двух
дуальных чисел равен соответственно частному или разности
’) Пусть у, и у,—две произвольные кривые и z — их общая
касательная (рис. 64); тогда расстояние (4,,Д2) = (у,,у2) между точ-
ками 4, и 42 соприкосновения у, и у2 с z называется касатель-
ным расстоянием у, и у2. Неочевидно, (Yi,y2) = (S1,S2),
Рнс. 64.
rfleSjHS2—окружности, касающиеся кривых у, и у, в точках
4, и 42; кроме того, осевое круговое преобразование, переводя-
щее кривые Yi и у2 в другие кривые Yi и у2, переводит S, и S2
в окружности S, и S2, касающиеся у, и у2. Поэтому из доказан-
ного вытекает, что осевые круговые преобразования сохраняют ка-
сательные расстояния произвольных кривых. Преобразования мно-
жества кривых плоскости, обладающие этим последним свойст-
вом, называются экв илонгал ьными п реобр азов а н и-
я м и; таким образом, осевые круговые преобразования являются
эквилонгальными преобразованиями.
2) Заметим, что ориентированные окружности называются
касающимися, если они имеют единственную общую ориен-
тированную касательную, т. е. если они касаются в обычном
смысле и их направления в точке касания совпадают. [Касаю-
щиеся в обычном смысле окружности, направления которых в
точке касания противоположны, могут переводиться осевыми
круговыми преобразованиями в пересекающиеся окружности или
окружности, не имеющие общих точек.]
6 и. М Яглом
161
модулей этих чисел, получим
| W(zt, z„, z„ z4)| =
Учитывая еще, что tga — tg В = sin(a—&, будем иметь
’1 cosa-cosp J
sin f у Z {?3Zi}^ sin f {г4г, Й
| W (zt, zt, z„ za) | = —----------Z:	------Z.
sin J Z fcsM J sin -2- {г4г2 j J
sinfyta*,}) sin (4 'г*г,|)
Вещественное число —------------4:—-----------Z Mfcj gy-
sin (j (z,z2M sin (-j; {г4г2П
дем называть двойным отношением углов между четырьмя
(ориентированными) прямыми zv z2, z, и za и обозначать
через W(zt, z2, zs, zj; таким образом,
| Г (г., zt, z„ г4)| = «/(*., z„zt). (24)
Из инвариантности двойных отношений четверок (ориенти-
рованных) прямых при осевых круговых преобразованиях мы
можем заключить, что осевые круговые преобразования со-
храняют двойные отношения углов между четверками
(ориентированных) прямых. Теперь мы можем также сказать,
что четыре (ориентированные) прямые z2, zs, zs и za в том
и только в том случае можно перевести осевым круго-
вым преобразованием в другие четыре прямые w2, «к,
и wa, если касательное расстояние окружностей [ztzszs]
и [ztztzt] равно касательному расстоянию окружностей
и [йу1то2'ьу4] и двойное отношение углов между
г,, г2, zs и г4 равно двойному отношению углов между
w2, w2, wt и -wa.
Коснемся еще вопроса о геометрическом описании всех
осевых круговых преобразований. Одними из простейших
преобразований такого рода, отличных от движений (22),
являются преобразования
k	k
z' —— (а) и z'— — (б), k вещественно. (25)
162
При /г, отличном от ±1 '), эти преобразования можно также
переписать так:
и
Argz'= — Arg z, R'| = (4|	(а)
Argz'=Argz, |z'| = |4j-	(б)
(26)
Более простым из этих двух преобразований является пре-
образование (256) или (266), называемое осевой инвер-
сией степени А; прямая о называется осью этой инвер-
сии. При осевой инверсии степени k каждая (направленная)
прямая z плоскости переходит в прямую z', пересе-
кающую ось инверсии о в той же точке /И, что и z,
и такую, что
/ (г, о} / о}
? L==k (27)
(рис. 65; прямая г', очевидно, переходит в z). Параллель-
ную о прямую г=-^-е, удаленную от о на (ориентирован-
ное) расстояние {о, /}=р, осевая инверсия (256) переводит
k 2k
в прямую t —— = — — to, протпвопараллельную о и уда-
ленную от о на расстояние (о, /'} = — (а /' она перево-
дит в /); в частности, ось о наше преобразование переводит
в прямую о,, отличающуюся от о лишь направлением, a
’) При k = + 1 преобразования (25а) и (256), очевидно, яв-
ляются движениями—это суть частные случаи преобразований
(22) при р = 0, 9 = 1; так преобразование г' = —— представляет
собой переориентацию (см. формулу (21в)).
6*	163
это преобразование переводит в о. Что же касается преоб-
разования (25а), то оно складывается из осевой инверсии
(256) степени k и симметрии (21а) относительно полюса О.
Наряду с движениями
= (а)> (б),
— Ч?+Р	qz + p
z'=—(в) или ~ f (г) (22)
— gz + p	qz + p
и инверсией
z’=~	(256)
г
специального рассмотрения заслуживает еще одно интерес-
ное осевое круговое преобразование, а именно
z'=_!^Q+\ » гДе ? = е4> М=°	(28)
(ср. с параллельным переносом в направлении, перпендику-
= г + д
Ч?+ 1
t л.
где <? = еу; см. формулу
лярном полярной оси z'
(32а) § 9, стр. 88). Геометрический смысл этого преобразо-
вания весьма прост: каждую прямую z =tg у (1 -ф es) оно
переводит в прямую
, t 0'......... tgld+M+el
z tg - (1 + ES ) =-----------=
— tg y(14-es)e у 4-1
= tg у [ 1 + e (s 4- у Ctgy: ( 1 — e 4 tg 4) =
=tey-(i+e[s+4 (tg4+ctg4)] )=
= tgl[n-e(s + syL)],
параллельную z (ибо |z'|=|z|) и такую, что расстояния р
и р' прямых z и z' от полюса О полярной системы коорди-
нат связаны соотношением (см. формулу (30) § 9, стр. 84)
р' = s' sin 6' — ( s -4- -J-i.
1	\	1 sin C
sin 0 = s sin 0-)-/=p 4-1	(29)
Другими словами, прямая z' параллельна прямой z, и рас-
стояние {z, z'} прямой z от z' равно t (рис. 66). Преоб-
1G4
разование (28) называется расширением на (положитель-
ную или отрицательную!) величину t. Очевидно, что (ориен-
тированную) окружность 5 (положительного или отрицатель-
ного) радиуса г расширение переводит в концентрическую
с 5 окружность 5' радиуса г-)/; в частности, точки оно
переводит в окружности радиуса t, а окружности радиуса—t
— в точки.
Докажем теперь, что всякое, отличное от движения
(22) осевое круговое преобразование (1) или (1а) представ-
ляет собой произведение
движения и осевой ин-
версии или произведение
движения и расширения.
В этом можно было бы
убедиться прямым под-
счетом, подобно тому как
мы поступили в § 13, по-
добрав такие движение
и осевую инверсию (или
движение и расширение),
произведение которых
дает наперед заданное
осевое круговое преоб-
разование (1) или (1а). Однако, так как
жен с довольно сложными выкладками,
сопря-
этот путь
то мы поступим
здесь по-другому.
Заметим прежде всего, что осевое круговое преобразо-
вание (1) или (1а) можно осуществить с помощью движе-
ния и последующей осевой инверсии в том и только в том
случае, если это преобразование переводит хоть одну пару
отличающихся лишь направлением прямых z и zx, в пря-
мые z' и z,, также отличающиеся лишь направлением.
В самом деле, пусть осевое круговое преобразование пред-
ставляет собой произведение движения и осевой инверсии с
осью Zi, тогда в прямые zt и z (где z — — — отличает-
ся от Zi направлением I это преобразование переводит отли-
чающиеся лишь направлением прямые. Рассмотрим теперь
произвольное собственное осевое круговое преобразование (1),
обладающее тем свойством, что оно переводит прямые z и
1 / ' 1
z =-----— в прямые z =-----------—; пусть еще не парал-
‘ г	г'
165
дельную ни z, ни zt прямую гг это преобразование перево-
дит в прямую z2 (рис. 67; гг не параллельна ни z', ни г,,
ибо осевые круговые преобразования в параллельные прямые
переводят лишь параллельные прямые ’)). Мы утверждаем,
что наше преобразование совпадает с произведением «зер-
кального» движения (22в, г), переводящего z в zt, z^ в z',
а прямую д2-—в некоторую прямую пересекающую д,
в той же точке, что и zt, и последующей осевой инверсии
с осью zt и степенью
k=tg	. tg z !)-
В самом деле, рассматриваемое произведение движения и осе-
вой инверсии переводит z в z', zv— в и z2~ в гг, а су-
ществует только одно собственное осевое круговое пре-
образование, переводящее данные три попарно непараллельные
прямые в известные три прямые. Точно так же доказывается,
что если зеркальное осевое круговое преобразование (1а)
переводит пару отличающихся лишь направлением прямых
в отличающиеся лишь направлением прямые, то оно пред-
ставляется в виде произведения «собственного» движения
(22а, б) и инверсии.
*) См. сноску s) на стр. 158.
г) Если нсхотное преобразование само является движением,
то к = + I.
166
Докажем теперь, что каждое собственное осевое круго-
вое преобразование (1) ложно представить в виде произ-
ведения движения (22в, г) и осевой инверсии или движения
(22а, б) и расширения. Первый случай имеет место, когда
(1) переводит пару отличающихся лишь направлением прямых
1
z и z =—— в отличающиеся лишь направлением прямые
г
, аг + b ' аг, + b — а-\-Ьг 1
Z = —Гд и =  И =  -------------—- =----— .
сг + d	сг.+d — cydz /
Таким образом, мы приходим к уравнению
аг 4- b_	— с + dz
cz-\-d — a -j- bz ’
которое можно переписать в виде
(az + b)( — a + bz)-r(cz + d)( — c -]-dz) = 0
или
Az* + 2Bz — Л = 0,	(30)
где
A — ab -A cd, В = --(— aa-\-bb — cc-^-dd)', В — вещественно.
(30а)
Нам надо установить, в каких случаях уравнение (30)
имеет решение. Предположим сперва, что | А |	0, т. е.
А = t (1 би), /5АО. Обозначив z = г (1 4~£<р), мы получим
tr* (1 4- е (а 4- 2<р)) 4- 2Br (1 4- е<р) — t (1 — ect) = 0
или
[/г2 4- 2Br — I] 4- [(^г14- 25г — /) <р 4-	+ 0 (а 4- <р)] е = 0.
Отсюда видно, что решением (30) является число г=г(14-Е<р),
где
<р = —а; (гг-\-2Br-t = 0, г= —В+Увг + *г.
Далее, если | А | = 0, но А^АО, т. е. А = еа, а^АО, то,
положив 2 = е<р, получаем из (30)
2В-Е<р 4- еа = 0;
таким образом, если В=?=0, то решение уравнения (30)
имеет вид
а
z-~ 2Be-
167
Наконец, если Л = 0, то корнем уравнения (30) служит
z = 0.
Однако, если
А = еа, где а^О и В = 0,
то, положив z = г (1 + eq), мы получаем:
 еа-гг + еа =0,
что невозможно ни при каком г; положив | z | = 0, г = е<р,
мы приходим к равенству еи^О, которое также не имеет
места. Таким образом, мы заключаем, что осевое круговое
преобразование (1) не может быть представлено в виде
произведения движения и осевой, инверсии в том и толь-
ко в том случае, когда
ab-\-cd=£0,	| ab -Ьcd | = 0, аа + сс = bb + dd (31)
(т. е. если в уравнении (30)	| А | = 0, В = 0).
Выясним теперь, в каком случае преобразование (1) мо-
жет быть представлено в виде произведения движения и
расширения. Пусть (1) есть произведение преобразований
(22а) и (28); тогда мы имеем
, аг + b г1 + е-2	_ рг-pq
Z = —=--------7-----, где г, = -——= ,
cz+d -ЦгН-1	-’2+₽
|Л| = |рр +
Отсюда получаем
, аг+ь (₽-4^г+(<?+47) .
г =	7—СТС *	(32)
\ — ет	?)г + С е-2 9+ру
поэтому можно положить
t -	,	. t -
а = р—Су?, o =
f “л t , -
c = —e-g-p—9, </ = -£y? + p.
(32a)
Из равенств (32a) следует
ab + cd = —	{p1 +q*} — — е{\рг -\-q2\~ — ef | Д |=£= 0,
| ab -f cd | = 0,	aa-\-cc =bb-\ dd—pp-irqq = \-,
168
поэтому, если преобразование (1) можно представить
в виде произведения движения (22a) и расширения (28), то
заведомо выполняются условия (31).
Пусть теперь, наоборот, коуговое преобразование (1)
таково, что выполняются условия (31); предположим еще,
что |а| и |й| одного знака. Докажем, что наше преобразо-
вание можно представить в виде (32), т. е. что оно пред-
ставляет собой произведение движения (22а) и расшире-
ния (28). Заметим прежде всего, что из (31) следует
|aft + cd| = |a|-|ft| + |c|-|d| = O, fa|:|c| = — |d|:|fc|
И
1«12 + № = И’ + |*Г;
так как мы предположили, что |а| и одного знака, то
отсюда вытекает
|а| = И и	|с|=— р|.
В силу этого и из уравнений (32а) можно определить р, q
и /:
а + d	b—c	d — a	„ b+c
р =	,	q = —и— ,	2 =------ 2 =— = st. (33)
z	z	b—c a-f- d
Таким образом, если выполняются условия \31) и |а| и
| d | имеют один знак, то осевое круговое преобразование
(1) можно представить в виде произведения движения
(22а) и расширения (28). Точно так же показывается, что
выполнение условий (32) и равенств
1Й1= — К1. 1С1 = Н1
(к этим равенствам мы приходим, предположив, что | а | и
| d | имеют разные знаки) является необходимым и доста-
точным условием возможности представления преобразо-
вания (1) в виде произведения движения (226) и расшире-
ния (28).
Выше мы говорили все время о собственном осевом
круговом преобразовании (1) только для определенности. Все
приведенные рассуждения почти без изменения переносятся
и на тот случай, когда исходное осевое круговое преобра-
зование зеркальное; при этом условия того, что пре-
образование (1а) представляет собой произведение движения
(22в, г) и расширения (28), имеют тот же вид (31). Таким
образом, можно утверждать, что каждое осевое круговое
169
преобразование (1) или (la) такое, что не выполняются
условия (31), можно представить в виде произведения
движения (22) и осевой инверсии; в случае же, если усло-
вия (31) имеют место, преобразование (1) или (1а) пред-
ставляет собой произведение движения (22) и расширения.
Мы уже отмечали (см. стр. 157), что осевые круговые
преобразования образуют группу. Это обстоятельство по-
зволяет объявить изучение свойств фигур, сохраняющихся
при всех таких преобразованиях, специальным разделом гео-
метрии; этому разделу можно присвоить название «осевой
круговой геометрии». В следующем параграфе мы
приведем ряд примеров теорем, которые можно отнести
к осевой круговой геометрии.
§ 16*. Приложения и примеры
Условие того, что данные четыре (ориентированные) пря-
мые z , z2, za и zl плоскости можно перевести осевым кру-
говым преобразованием в другие четыре прямые тал,, «у2, wa
и (условие «равенства» этих четверок прямых в смысле
осевой круговой геометрии), состоит, как мы знаем, в том,
что касательное расстояние окружностей [ztztza] и
равно касательному расстоянию окружностей
«у, талв] и wa та4] и двойное отношение углов между
прямыми zt, za, za и za равно двойному отношению углов
между прямыми w2, wa и «у4:
([^z2za], [zp^zj) = ([w^w,], [w1V1])
и
W(za, zt, za, za) = W(ra\, wa, wa, ву4)
(см. стр. 162). Но так как
{[-V2*J КZ2ZA} = у {lziz>]’ kz»l} +
+ {[ztzJ • [vJ} — {[%1 ’ lZ2Z.] — {[%L	]}
И
Za, Za, Zt) =
170
то, в частности, мы получаем: выпуклый, четырехсторонник
।------1
’) может быть переведен осевым круговым
преобразованием в другой выпуклый четырехсторонник
г--------1
‘wl,a>a‘w2wi тогда и только тогда, когда разность
({AB} + {CD})-({DA}+{BC}), (где Л = [^а],
B=[z2za], C=[Zizt], D = [vJ)
между суммами противоположных сторон первого четы-
рехсторонника равна разности сумм противоположных
сторон второго четырехсторонника и отношение
(1 ' /1 \
yZ |г4гД j • Sin ( g-Z {?4г2| )
sin (у Z !z3z2} J • sin (-I / {z4z,[ )
произведений синусов половин противоположных углов
первого четырехсторонника равно отношению произведений
синусов половин противоположных углов второго четы-
рехсторонника. Отсюда вытекает, что каждый выпуклый
четырехсторонник можно осевым круговым преобразова-
нием перевести в параллелограмм; при этом, если исход-
ный четырехсторонник может быть описан около окружности,
то этот параллелограмм будет ромбом; если произведения
синусов половин противоположных углов четырехсторонника
равны, то параллелограмм будет прямоугольником; наконец,
если выполнены сразу оба условия, то четырехсторонник
можно осевым круговым преобразованием перевести в квад-
рат. Таким образом, гармонический четырехсторон-
ник (см. § 10 гл. II, стр. 109— 110) может быть охарактеризо-
ван как такой, который может быть переведен в квадрат
осевым круговым преобразованием (как такой, который
«равен» квадрату в смысле осевой круговой геометрии).
Из сказанного вытекает, что все «осевые круговые свой-
ства», скажем, гармонического четырехсторонника (такие его
’) Выпуклым здесь называется такой четырехсторонник
ZjZjZjZj, который целиком лежит по сдну сторону (слева или
справа) от каждой из своих сторон zt, z2. za и z4. [Заметим, что
углы Z. !zizsl> Z !2iza| и ДР- совпадают с внешними углами
четырехугольника, понимаемого в обычном смысле.]
171
свойства, которые сохраняются при осевых круговых преобра-
зованиях) совпадают с соответствующими свойствами квад-
рата; осевые круговые свойства описанного вокруг окружности
—-------------------------1
четырехсторонника z2z2z2zt совпадают со свойствами ромба
и т. д. Это обстоятельство может быть использовано для
точки пересечения прямых w2 и
вывода ряда свойств че-
тырехугольников (ср. §14,
стр. 146 и след.); мы, од-
нако, предоставим чита-
телю сделать это само-
стоятельно.
Вот еще один пример
теоремы, при доказатель-
стве которой могут быть
использованы осевые кру-
говые преобразования: ес-
ли четыре (направленные)
окружности St, Ss, Sa
и S4 таковы, что S2 и
S2 касаются S2 и St,
то общие касательные
wt, w2. и •wl к ок-
ружностям 5, и S2, S2
и S, и S4, S4 uSv
проведенные в точках их
касания, касаются од-
ной окружности 2
(рис. 68, а', ср. стр. 153,
в частности, рис. 62, а).
Для доказательства пе-
реведем окружность 5, в
точку 5,; пусть при этом
S2, S’a и S4 перейдут в
окружности S2, S, и S4,
a w2, wa и w4—в
прямые w,, w2, w, и w4.
Точки касания окружнос-
тей S2 и S„ S, и S4 обо-
значим через А и В, а
w, с прямыми w, и w4 и
между собой — через М, N и Р (рис. 68, б). По известно-
172
му свойству касательных к окружности имеем
{Sn /И} = {Л1, Д}, {В, N} = {N, SJ, {В,Р}={Р,А}.
Сложив первые два из этих равенств и отняв от их суммы
третье, получаем
{5;,	+	N}={M, P} + {N,S'i},
откуда и следует, что в «четырехсторонник» S,MPN можно
вписать окружность S' (т. е. что существует окружность
2', касающаяся четырех ориентированных прямых w„
и ср. стр. 95).
Перейдем теперь к вопросу о связи осевой инверсии
с понятием степени (ориентированной) прямой относительно
(ориентированной) окружности—связи, которая позволит нам
дать «геометризированное» описание преобразования инвер-
сии. Степенью окружности 5, задаваемой уравне-
нием (19)
Azz-]-Bz—Bz-\-C—G, А и С—чисто мнимые (19)
(или точнее — степенью прямой о относительно
окружности (19)), мы назвали выше отношение крайних
коэффициентов уравнения (19):
4=^;	(18)
эта степень является числом вещественным (или «числом»
оо; степень k равна оо, если Д = 0). В точности как на
стр. 154 —155, показывается, что осевая инверсия степени k
z' = -t-	(256)
г
переводит 5 в себя. Отсюда вытекает, что если г0 и z'o —
две (ориентированные) касательные к окружности 5, пересе-
кающиеся в точке М оси о, то
, h	- ,
Zo = ~,	za-za = k
i о
(поскольку эти прямые отвечают друг другу в инверсии (256)
и, значит,
(34)
173
параллельная же и противопараллельная о касательные
и t0 к окружности S таковы, что
- •	{о. М
to-to = k или	(34а)
(рис. 69). Таким образом, мы снова приходим к приведен-
ному в § 10 гл. II (стр. 101) определению степени k окруж-
ности 5 как произведения (34), где гй и г'— две (ориенти-
рованные) касательные 5, проведенные к этой окружности
из какой-либо (безразлично какой!) точки М оси о.
Совокупность всех окружностей (19), переходящих
в себя при инверсии (256) фиксированной степени k, т. е.
множество окружностёй, имеющих одну и ту же степень k,
Azz-\-Bz— Bz-j- Ak = 0	(19a)
называется сетью окружностей; число k называется сте-
пенью сети, а прямая о — ее осью. Поскольку степень 5
(степень о относительно S) равна ~~ , где г есть (положи-
тельный, нулевой или отрицательный) радиус S, a d —
(положительное, нулевое или отрицательное) расстояние
центра 5 от о (см. § 1J гл. 11, в частности формулу (45'
на стр. 102), то сеть состоит из всех (ориентированных)
окружностей плоскости, для которых
г Ц-АЛ
или
r-d -k
r + d ~
В частности, при положительном k сеть представляет собой
совокупность окружностей, пересекающих о под постоянным
углом <р, таким, что tg2-- —k (ибо степень окружности S,
174
пересекающей о под углом <р, равна	при й = 0 сеть
состоит из всех окружностей, касающихся о; при k — co
сеть состоит из всех окружностей, противокасающихся о;
Рис. 70.
при отрицательном k сеть состоит из всех окружностей, ко-
торые видны из основания перпендикуляра, опущенного на о
из центра окружности, под постоянным углом чр, таким
что —tg2 — k (рис. 70, а-г\ ср. выше стр. 102—103).
175
Вернемся теперь к осевой инверсии с осью о и сте-
пенью k. Выберем одну (какую угодно!) окружность 2 сети
с осью о и степенью k\ эту окружность назовем направ-
ляющей окружностью нашей осевой инверсии (таким
образом, осевая инверсия имеет бесконечно много направляю-
щих окружностей). Из определения осевой инверсии вытекает,
что если z и z—соответствующие друг другу в этой инвер-
сии прямые, то
Z *| t Z |о. И
2	'tg 2
— k
или (если z параллельна, a z' противопараллельна о)
С другой стороны, для касательных z^ и z' к окружности 2,
пересекающихся в точке Л40 оси о, и для касательных ta и
не пересекающих о, имеют место соотношения (34) и
(34а). Отсюда вытекает, что для построения образа z'
прямой z при инверсии (256) достаточно провести каса-
тельную z0 к окружности 2, параллельную z; касатель-
ную z' к той же окружности, пересекающую о в той же
точке, что и z0; прямую z', параллельную z' и пересекающую о
в той же точке, что и z (или, если z не пересекае г о, построить
касательную £0 || z к окружности ^касательную f к той
же окружности, также не пересекающую о; прямую z' ||
176
jo, zj jo, /oj
такую, что -------77 = 7——; см. рис. 71). Это описание no-
jo, г } jo,/0j
строения прямой z' по прямой z можно принять за опре-
деление осевой инверсии (задаваемой осью о и направ-
ляющей окружностью S).
Геометрическое описание осевой инверсии и теорема
о том, что каждое осевое круговое преобразование представ-
ляет собой произведение движения и осевой инверсии или
движения и расширения (см. § 15, стр. 165), позволяют дать
достаточно наглядное геометрическое описание любого осе-
вого кругового преобразования. В частности, умножение
дуального числа z на фиксированное число р
z' =pz	(56)
при р вещественном представляет собой произведение пере-
ориентации (21в) и осевой инверсии (256) степени k— — р:
177
Если же р = г (1 + егр), то преобразование (56) сводится
к параллельному переносу zt	(1 -|-егр)z в направлении
1
оси о на расстояние гр, переориентации z2 =------— и осе-
Z1
ч	'	г
вой инверсии z = — =- степени — г.
Z —----— — rz — Г ( 1 + Е(р) Z
(«геометрическое описание умножения дуальных чисел»; см.
рис. 72, а и б, на которых tg2 —— г, соответственно
tg2 -£- = г). Подобно этому можно описать и преобразование
z'=z-\-q (т. е. да гь геометрическое истолкование сложению
дуальных чисел); мы предоставим еде тать это читателю.
§ 17**. Круговые преобразования плоскости Лобачевского
Геометрическая интерпретация обыкновенных комплексных
чисел, изложенная в § 11 гл. 11, позволяет рассматривать
(собственные и зеркальные) дробно-линейные преобразования
(1) и (1а) как преобразования в множестве ориентированных
точек плоскости Лобачевского. Из свойства инвариантности
двойного отношения ^"(z,, z2, z3, z4) — -—— :71______Zi (см.
выше, стр. 132—133) и из привеченного в § 11 условия при-
надлежности четырех (ориентированных) точек одному (ориен-
тированному) циклу вытекает, что эти преобразования перево-
дят каждый (ориентированный) цикл плоскости Лобачевского
снова в цикл ’) — обстоятельство, позволяющее называть
преобразования (1) н (1а) (с о б с т в е н н ы м и и зеркаль-
ными) круговыми преобразованиями плоско-
сти Лобачевского '). Как и в § 13, показывается, что
существует единственное собственное (и единственное зер-
кальное) круговое преобразование, переводящее данные три
точки zt, z2, z, в другие три известные точки ю,, w2, iv3.
Однако четыре (ориентированные) точки zx, z2, za и zt пло-
’) Это, впрочем, сразу вытекает из соответствующего свой-
ства круговых преобразований евклидовой плоскости и того, что
циклы неевклидовой геометрии Лобачевского изображаются
окружностями евклидовой плоскости.
г) Иногда эти преобразования называют также преобра-
зованиями Мёбиуса плоскости Лобачевского
178
скости Лобачевского можно перевести в другие известные
точки w2, w3, wi в том и лишь в том случае, если
W(ш„ w2,	— W(z2, z2, za, zj
или ir(w(, щ>2, w3, mJ = W(zt, zt, z„ zj. (9)
Выясним теперь геометрический смысл двойного отноше-
ния четырех точек. Нетрудно понять, что
Arg W(z„ z2, z„ zj = / {[г,г2г4] z, [z,z2z,]}),
где / {[z1z2z4]zI lziz2za]} есть (ориентированный) угол, ко-
торый образуют в точке zt циклы [г2г2г2] и [г,г2г,], про-
ходящие через точки zt, z2, zt, соответственно zt, z2, z2 *).
Далее можно доказать, что
I z2, z2,
где, например, есть расстояние между ориентирован-
ными точками z, и zt (которое может быть и мнимым; см.
§ 11 гл. II). Выражение, стоящее в последней формуле
справа, целесообразно обозначить специальным знаком, Ha-
ir
пример IT(zt, z2,	z4); мы будем называть его двойным
отношением расстояний между точками zt, z2, zs и z2
(ср. § 13, стр. 138). Таким образом, из свойства инвариант-
ности двойного отношения четырех точек вытекает, что кру-
говыг преобразования плоскости Лобачевского сохраняют
углы между (ориентированными) циклами * 2) и сохраняют
’) Другими словами, Д {[z^zj z, [ZjZ2z3] j есть (ориентирован-
ный) угол между касательными к циклам [г^гД и [г,ггг3]
в точке г,. Доказательство соответствующего утверждения сразу
следует из сказанного в § 13 (стр. 136—137) о геометрическом
смысле arg IT (z,, z2, z3, z4), где zlr z2, z3, z4—произвольные четыре
точки евклидовой плоскости, и из того, что циклы плоско-
сти Лобачевского изображаются евклидовыми окружностями,
причем угол между пересекающимися циклами равен углу между
изображающими их окружностями.
2) Отсюда вытекает, что каждое круговое преобразование
плоскости Лобачевского сохраняет углы между произвольными
линиями, т. е. является конформным преобразованием
(что, впрочем, сразу вытекает из конформности круговых преоб-
разований евклидовой плоскости и того, что «неевклидов» угол
между произвольными линиями равен обычному углу между их
изображениями на модели Пуанкаре).
179
двойные отношения расстояния между точками, что по-
зволяет использовать эги преобразования во многих задачах.
Остановимся еще на вопросе о геометрическом описании
всех круговых преобразований плоскости Лобачевского. За-
метим прежде всего, что каждое дробно-линейное преоб-
разование (1) или (1а) плоскости Лобачевского, переводя-
щее в себя абсолют zz — 1, является движением ')
= или =	A = |MUo (35)
^г + р	qz + p	Ip q I
(здесь к числу движений причисляется и «переориентация
точек» z' = i). Отсюда вытекает, что любые два преоб-
г
разования, переводящие в абсолют X один и тот же цикл
5, различаются лишь движением (т. е. каждое из этих двух
преобразований представляет собой произведение второго
преобразования и движения); поэтому классификация всех
круговых преобразований плоскости Лобачевского сводится
к отысканию некоторых «стандартных» преобразований, пере-
водящих в X окружность; предельную линию; эквидистанту
(в частности, прямую линию).
Пример кругового преобразования, переводящего в абсо-
лют X окружность 5 с центром О и радиусом Q (урав-
нение окружности: zz = fe2 = th*у) доставляется инвер-
сией первого рода
ь
z' = — .	(36)
г
Это преобразование переводит каждый диаметр окружности
S в себя. Каждую внутреннюю точку окружности S, ориен-
тированную так же, как и О, преобразование (36) переводит
в такую точку г' луча Oz, ориентированную противополож-
но О, что расстояния г и г' этих точек от О связаны соот-
ношением
th-J ;thy = ^ = th |
(а точку z' переводит в г); таким образом, каждый радиус
О/И окружности S (/И—точка окружности) «растягивается»
на весь луч ОМ. Внешнюю по отношению к окружности
*) Ср. А. И. Маркушевич, Элементы теории аналитичес-
ких функций, М.. Учпедгиз, 1944, стр. 513 — 514.
ISO
точку г, ориентированную так же, как и О, преобразование
(36) переводит в такую точку г' луча Oz, что расстояния
гиг' точек z и г' от О связаны соотношением
thy - th у = 6 = th-|-
(z и z’ ориентированы одинаково); таким образом, внешний
по отношению к окружности отрезок луча ОМ переходит
в себя, причем точка М переходит- в бесконечно удаленную
точку и бесконечно удаленная точка переходит в точку М.
Преобразование (36) можно описать еще и иначе. Не-
трудно видеть, что это преобразование переводит в себя ок-
ружность 5, с уравнением
^ = *=th!y,
т. е. окружность, радиус р, которой определяется соотно-
шением th у = th£ у . При этом каждая точка z переходит
в такую точку г' луча Oz, что
th(l{Oz}).th(l{Oz'}) = th!^;
иными словами, каждая точка z переходит в такую точку
г', что все перпендикулярные к S, циклы неевклидовой гео-
метрии Лобачевского, проходящие через z, проходят также
и через г' (рис. 73; ср. сноску *) на стр. 139). Последнее
181
обстоятельство позволяет назвать преобразование (36) с и м-
метрией относительно окружности 5,.
Пример кругового преобразования, переводящего в аб-
солют предельную линию Sc уравнением Q.zz^iz—
— iz — О, доставляется инверсией второго рода
Это преобразование переводит каждый диаметр предельной
линии в себя. Каждая внутренняя по отношению к предель-
ной линии точка г, ориентированная так же, как и точки
самой линии (т. е. так же, как и точка О), переходит при
этом в такую точку z’, ориентированную противоположно г,
что измеренные по диаметру [zz'\ ориентированные расстоя-
ния d и d' точек z и г' от линии S связаны соотношением
ctg A—ctg^= 1
(здесь d — угол параллельности, отвечающий отрез-
ку d), а точка г' переходит в z', таким образом, внутренний
по отношению к S луч диаметра «растягивается» на всю
прямую. Внешнюю по отношению к S точку z, ориентиро-
ванную так же, как и точки S, преобразование (37) переводит
в такую точку z', что расстояния d и d' точек z и г' от S
связаны соотношением
ctg -|- ctg £L = 1
(z и z' ориентированы одинаково); таким образом, внешний
по отношению к S луч диаметра переходит в себя, причем
точка линии S переходит в «бесконечно удаленную точку»
и «бесконечно удаленная точка» переходит в М.
Преобразование (37) можно описать еще и иначе. Не-
трудно видеть, что это преобразование переводит в себя
предельную линию St, определяемую уравнением
3zz + iz— iz— 1 = 0;
далее, каждая точка z переходит в такую точку z’, что все
циклы, перпендикулярные к линии S\ и проходящие через
точку г, проходят также и через точку г' (рис. 74). Пре-
образование (37) можно назвать симметрией относи-
тельно предельной линии 5,.
182
Пример кругового преобразования, переводящего в абсо-
лют эквидистанту 5 с осью о и расстоянием от точек
S до оси (шириной эквидистанты) h, задаваемую уравне-
нием sh h-zz— iz-\-iz— sh/г = 0, доставляется инверсией
третьего рода
z, = -(l-a)iz + (l+a) a = th А .
(1 4-a) г —(1 —a) i ’	2
(38)
Это преобразование переводит в себя каждый диаметр экви-
дистанты. При этом отрезок РМ диаметра между осью и
эквидистантой, точки которого ориентированы так же, как и
точка М эквидистанты, «растягивается» в бесконечный луч,
ограниченный такой точкой диаметра, что MlP—hl есть
дополнительный отрезок для отрезка Л'1Р= h, т. е.
углы h и /г, являются дополнительными /г-]-/г, если
d и d’ суть расстояния точки z рассматриваемого отрезка и
ее образа г’ от оси о эквидистанты, то
d—d' = h
(черточка над отрезком по-прежнему означает угол парал-
лельности; ориентации точек z и z' противоположны; г' пе-
реходит обратно в z). Расположенный вне эквидистанты луч
диаметра, ограниченный точкой /И, переходит в себя, причем
/И переходит в «бесконечно удаленную точку», а «бесконечно
удаленная точка»—в /И: если d и d' — расстояния точки z
183
этого луча и ее образа z' от оси о, то
d + d' = h
(z и z' ориентированы так же, как и точка /И эквидистан-
ты). Наконец, ориентированные противоположно Л4 точки от-
резка РЛ1, переходят в точки равного ему отрезка РМХ, рас-
положенного по другую сторону от оси: если d и d' — рас-
стояния отвечающих друг другу в преобразовании (38) точек
z и г' отрезков РМ и Р'М от оси о, то
d + d'^h^
(d считается положительным; ориентация точек z и z' про-
тивоположна).
Полагая, в частности, ширину h эквидистанты равной
нулю, мы получим преобразование
,	—tz-j-l
а = —------,
г—i
переводящее в абсолют п р я м у ю о плоскости Лобачевского.
Это преобразование переводит в себя каждую прямую, пер-
пендикулярную о. При этом точка z луча этой прямой, ог-
/ раниченного точкой р прямой о, в
зависимости от своей ориентации пе-
А реходит либо в точку г' того же луча
// (если неевклидовы расстояния (p,z) и
z//^	равны d и d', то
т. е. d и d'—дополнительные отрез-
/ X.	ки; рис. 75), либо в точку	г' второ-
Х^7	го луча этой прямой (причем	и в этом
Рис. 75	случае отрезки pz и pz'	являются
дополнительными). Впервые к этому
преобразованию из совсем других соображений пришел немец-
кий геометр Генрих Либман *).
Преобразование (38) переводит в себя эквидистанту
с уравнением
ehzz — iz + iz — eh = О,
*) Это преобразование подробно рассмотрено в книге: В. Ф. К а-
г а н. Основания геометрии, ч. 1, М.-Л., Гостехиздат, 1949, § 34.
(Заметим, что и В. Ф. Каган, как и сам Либман, не вводит ори-
ентированных точек, что несколько усложняет картину.]
184
Т. е. эквидистанту с осью о и такой шириной hx, что
sh ht — eh; каждую точку z плоскости оно переводит в такую
точку z', что все перпендикулярные S, циклы, проходящие
через г, проходят также и через z' (рис. 76). Это преоб-
разование естественно назвать симметрией относи-
тельно э к в и д и с.т а н т ы 5,. В частности, преобразование
Либмана (39) представляет собой симметрию относительно
эквидистанты ширины где shft,= l.
Таким образом, полная классификация круговых преобра-
зований плоскости Лобачевского дается следующей теоремой:
Каждое круговое преобразование плоскости Лобачев-
ского представляет собой или движение, или движение,
сопровождаемое симметрией относительно некоторо-
го цикла Sx (инверсией первого, второго или третьего
рода).
Заметим еще, что каждое дробно-линейное (круговое) пре-
образование плоскости комплексных чисел доставляет нам опре-
деленное видоизменение модели Пуанкаре геометрии Лобачевско-
го. В самом деле, пусть на исходной модели Пуанкаре точка А
плоскости Лобачевского изображается точкой (комплексным
числом) г. Указанное видоизменение модели Пуанкаре мы полу-
чим, условившись изображать точку А плоскости Лобачевского
не точкой г, а точкой (комплексным числом) г', в которую
переводит наше преобразование точку г. Свойства круговых пре-
образований позволяют утверждать, что и на полученной та-
ким образом «видоизмененной модели Пуанкаре» циклы изобра-
жаются окружностями плоскости комплексных чисел и «не-
евклидов угол» между циклами равен (обычному) углу между
185
изображающими эти циклы окружностями. В частности, так
называемое преобразование Кэли
iz-j-i
-z + 1 ’
(40)
переводящее окружность гг=1 в вещественную ось г—z = 0,
отображает «модель Пуанкаре внутри единичного круга» на «мо-
дель Пуанкаре на полуплоскости» (см. § 11 гл. II, стр. 117—118).
§ 18**. Осевые круговые преобразования плоскости
Лобачевского
Рассмотрим теперь дробно-линейные преобразования
, az-\~b
z = —1—
cz-l-d
и
, az-f- b
z =	,
cz-\-d
(1)
(la)
где z и z' — двойные числа; при этом по-прежнему будем
а b
с d
предполагать,
что определитель Д=
не является дели-
телем нуля. В силу сказанного в § 12 гл. 11 эти преобра-
зования можно интерпретировать как преобразования в мно-
жестве ориентированных прямых плоскости Лоба-
чевского. Из выводимого, в точности как выше, свойства
инвариантности двойного отношения W(zt, z2, zs, zt) —
= -——: -—— и из указанного в § 12 условия принадлеж-
Z2 ZS Z2
ности четырех ориентированных прямых zv zv z8, z* одному
циклу вытекает, что преобразования (1) и (1а) перево-
дят каждый цикл плоскости Лобачевского снова в цикл;
в силу этого такие преобразования естественно назвать
(собственными и зеркальными) осевыми кру-
говыми преобразованиями плоскости Лоба-
чевского 1).
Двойное отношение четырех (ориентированных) прямых
z2, z, и zi является основным инвариантом осевых кру-
говых преобразований; точнее, если преобразование (1) или
(1а) переводит прямые zv z2, z, и zt в прямые zlt z2, z, и
’) Эти преобразования иногда также называют преобра-
зованиями Лагерра плоскости Лобачевского.
186
z 4, TO
W(z't, z2, z„ zi) = W(zl, z2, za, z4)
или	(9)
W(z't, zt, z„ z'i) = W(zi, zt, z„ za).
Нетрудно выяснить, каков геометрический смысл выражения
W(zt, z2, za, z4). А именно аргумент Arg IF двойного отно-
шения равен измеренному по касательной z, (ориентирован-
ному) касательному расстоянию {Iz^zJ zt lztz2za]} между
циклами [zlz2za] и \z2z2zt], определяемыми тройками прямых
zx, z2, za и z,, z2, za; модуль же | W| этого отношения
равен определяемому, в точности так же как и в § 15,
двойному отношению углов между прямыми
«’п f4-Z {v,}') sin (А- / {z4z,}
W(zt,z2, za, *4)=—H-------------V-TT-------------V
sin I "2 Z {%} ] sin I -g- / {z4z2} 1
Из свойства инвариантности двойного отношения вытекает,
что осевые круговые преобразования плоскости Лобачев-
ского сохраняют касательные расстояния между циклами *)
и двойные отношения углов между четверками прямых',
это позволяет использовать осевые круговые преобразования
во многих задачах неевклидовой геометрии.
В заключение дадим еще геометрическое описание осевых
круговых преобразований плоскости Лобачевского. Нетрудно
проверить, что каждое осевое круговое преобразование (1)
или (1а) плоскости Лобачевского, переводящее в себя абсо-
лют zz ——1, является движением
Z'=-P1±^	или z' = ~PZ + q,	ИЛИ	,
—qz-\-p	qz + p	—qz + p
или z' =	pp + r/y>0. (41)
qz + p
Так как, кроме того, параллельный пучок всякое осевое
круговое преобразование переводит, как нетрудно видеть,
*) Отсюда вытекает, что осевые круговые преобразования пло-
скости Лобачевского сохраняют касательные расстояния между про-
извольными кривыми, т. е. являются эквилонгальными
преобразованиями плоскости Лобачевского (ср. со сно-
ской *) на стр. 161).
187
снова в параллельный, пучок, то задача классификации всех
осевых круговых преобразований плоскости Лобачевского сво-
дится к отысканию «стандартных» преобразований, переводя
щих в абсолют 2 эквидистанту, предельную линию, окруж-
ность (в частности, точку), пучок равного наклона.
Для дальнейшего нам будет удобно ввести следующее
понятие. Сопоставим (ориентированным) прямым плоскости
Лобачевского, перпендикулярным постоянной оси I (прямым
«ортогонального пучка» с осью /) ориентированные точки
пересечения этих прямых с I, причем так, чтобы прямым,
направленным в одну сторону от /, отвечали одинаково
ориентированные точки. В силу этого соответствия каждому
преобразованию в множестве ориентированных прямых (осей)
ортогонального пучка будет отвечать некоторое преобразо-
вание в множестве ориентированных точек, принадлежащих
прямой /. Эти преобразования — точечное и осевое — мы будем
называть согласованными.
Пример осевого кругового преобразования, переводящего
и шириной h,
доставляется
в абсолют 2 эквидистанту Sc осью о
задаваемую уравнением zz = —ks — — th! ,
осевой инверсией первого рода
, k
z —— —.
г
При преобразовании (42) каждая прямая z,
ось эквидистанты S в некоторой точке /И, переходит в пря-
мую z', пересекающую о в той же точке /И; при этом
(42)
пересекающая
tg^- -tg —=А.
Прямая z, параллельная о в одном из двух направлений
этой прямой, переходит в противопараллельную о в проти-
воположном направлении прямую z', a z' переходит в z\ при
этом, если р и р' — (ориентированные) расстояния до z и до
г' от расположенного на о полюса О полярной системы коор-
динат, то
Наконец,
аметре I
разование
которому
днстанту
188
shp.'shp^—k.
каждый ортогональный пучок, построенный на ди-
эквидистанты S, переходит в себя, причем преоб-
прямых этого пучка согласовано с преобразованием,
подвергаются точки диаметра / «вписанной» в экви-
5 окружности S (радиус окружности 5 равен h.
а центр совпадает с точкой Р пересечения I с осью о) при
точечной инверсии первого рода, переводящей S в абсолют.
Пример осевого кругового преобразования, переводящего
в абсолют S предельную линию S с уравнением
2zz-\-ez—ez—О, доставляется осевой инверсией вто-
рого рода
(43)
,	ez—1
z =—=—
3z-|-e
При преобразовании (43) пучок диаметров предельной линии
S переходит в себя. Ортогональный пучок, осью которого
является диаметр / линии S, также переходит в себя, причем
преобразование прямых этого пучка согласовано с пре-
образованием точек диаметра I при точечной инверсии второ-
го рода (37).
Пример осевого кругового преобразования, переводящего
в 2 окружность 5 радиуса г с центром в полюсе системы
координат О (уравнение этой окружности имеет вид shr-zz—
— ez 4- ez + sh г = 0) дается осевой
его рода
инверсией треть-
а = th —.
2
(44)
_ (1—а)ег+(1+а)
—(l+a)z + (l—a)e ’
При преобразовании (44) каждый ортогональный пучок, осью
которого является диаметр I окружности, переходит в себя,
причем преобразование прямых этого пучка согласовано с
преобразованием точек I при точечной инверсии первого рода,
переводящей в 2 «описанную» вокруг S эквидистанту 5
(ширина эквидистанты 5 равна г, а ее ось перпендикулярна
I и пересекает I в точке О). В частности, полагая радиус г
окружности равным нулю, мы приходим к преобразованию
, ez-f-!
z — —J—
—z + e
переводящему в абсолют S точку О. При этом преобра-
зовании прямая z переходит в прямую z', перпендику-
лярную прямой OP_]_z и пересекающую ее в такой точке Р’,
что расстояния OP= d и OP' = d' от О до z и до z' суть
дополнительные отрезки
d + d' = ^-
(45)
(рис. 77).
189
Заметим еще, что преобразования (42), (43) и (44) остав-
ляют на месте все (ориентированные) прямые, принадлежащие
эквидистанте с уравнением zz =—k, соответственно пре-
дельной линии S, с уравнением 3zz-]-ez— ez -|-1=0, или
окружности 5,, с уравнением azz—ez-}-ez4- а = 0, где
а—вещественное число, связанное с радиусом г окружно-
сти 5 соотношением а = ег; здесь е =& 2,7—основание нату-
(не двойная единица!). Кроме того, все
эти преобразования переводят каж-
дую точку z в такую точку z',
которая в свою очередь переходит в
точку z. Поэтому эти преобразова-
ния можно также назвать осевой
симметрией относительно
эквидистанты, соответственно
относительно предельной л Ti-
ll и и или относительно окруж-
ности Sj. В частности, преобразо-
вание (45) представляет собой осе-
вую симметрию относительно окруж-
г которой определяется из соотношения
sh гг = 1.
Рассмотрим, наконец, следующее специальное осевое
круговое преобразование плоскости Лобачевского:
z' = ez.
(46)
Преобразование (46) переводит каждую пересекающую ось о
прямую z в расходящуюся с о прямую z', a z' переводит в z\
параллельную о прямую z оно переводит в параллельную о
прямую z' (z и z' параллельны о в разных направлениях; z'
переходит в z) и аналогично преобразует противопараллель-
ные о прямые. При этом пучок прямых, пересекающих о в
некоторой точке М, переходит в ортогональный пучок,
осью которого служит перпендикуляр I к оси о, восставлен-
ный в точке М’, угол	связан с расстоянием d =
= {о,.г'} от о образа z' прямой z соотношением
если
если
190
причем при | tg-j | < I прямая z' направлена в ту же сторону
от /, что и о, а при tg -у | > 1 —в обратную сторону. Пучок
ппямых, пересекающих полярную ось о под некоторым посто-
янным углом <р , переходит в эквидистанту с осью о;
ортогональный пучок с осью о переходит в абсолют S;
обратно, 2 переходит в ортогональный пучок с осью о.
Каждую эквидистанту, предельную линию или окружность
преобразование (46) переводит в пучок равного наклона и
наоборот; в частности, точки (обыкновенные) оно также пе-
реводит в пучки равного наклона. Преобразование (46) можно
назвать обращением.
Теперь нам нетрудно указать пример преобразования,
переводящего в 2 пучок равного наклона <р с осью о
^пучок прямых, пересекающих о под постоянным углом <р;
уравнение этого пучка имеет вид: zz — k2 ~ tg2 . Этот
пример доставляется произведением осевой инверсии первого
рода (42) и обращения (46):
, k
z = — — , где z, = ег,
?!
т. е.	(47)
Преобразование (47) можно назвать осевой инверсией
четвертого рода.
Окончательно мы получаем, что каждое осевое круговое
преобразование плоскости Лобачевского представляет со-
бой движение или движение, сопровождаемое осевой сим-
метрией относительно некоторого цикла St (осевой инвер-
сией первого, второго или третьего рода), или, наконец,
движение, сопровождаемое осевой симметрией относительно
эквидистанты и обращением (т. е. сопровождаемое осевой
инверсией четвертого рода).
В заключение еще укажем, что каждое осевое круговое пре-
образование позволяет указать новое отображение множества
направленных прямых плоскости Лобачевского на множество
двойных чисел, другими словами, новые «комплексные (точнее—
двойные) координаты» прямых: для этого достаточно сопоставить
191
Прямой, ранее имевшей «координату» г, число г' &. При
этом и в новой «системе координат» условие принадлежности
четырех прямых z„, z,, z2, za одному циклу будет иметь прежний
вид U” (z0, z„ z2, zs)—W (z,„ z„ z2, zs); циклы будут записываться
знакомыми уравнениями (19) (стр 154); осевые круговые преоб-
разования будут иметь вид (1) и (1а) и т. д. В частности, преоб-
разование
, ez +1
z =—!—
(48)
переводит рассматриваемые в основной части § 12 гл. II «комп-
лексные координаты» (59), (59а), (596) прямых плоскости Лоба-
чевского в те «комплексные координаты», которые фигурировали
в конце § 12 (стр. 126—129).