математические
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
НАУКИ
В СТРАНАХ ВОСТОКА
СБОРНИК СТАТЕЙ И ПУБЛИКАЦИЙ
ВЫПУСК I (IV)
в
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
Главная редакция восточной литературы
Москва 1966
2-2-1
260-66
Ответственные редакторы
А. Т. ГРИГОРЬЯН и А. П. ЮШКЕВИЧ
ОТ РЕДАКЦИИ
Предлагаемый читателю сборник в известном смысле продолжает
серию «Из истории науки и техники в странах Востока», три выпуска
которой вышли в 1960—1963 гг. Однако он отличается тем, что тема-
тика публикуемых работ ограничивается физико-математическими нау-
ками.
Ученые стран Востока внесли в науку значительный вклад, особен-
но в периоды древности и средневековья, и оказали большое влияние
на развитие естествознания во всем мире.
Последующие столетия колониального угнетения народов Азии и
Хфрики тяжело отразились на всех сторонах жизни и надолго задер-
жали их научный прогресс.
За последние десятилетия, а в некоторых случаях буквально в по-
следние годы и даже месяцы большинство этих народов вступило на
путь самостоятельного государственного и общественного развития,
что вызывает быстрый подъем их культуры и науки.
В данный сборник включены работы, явившиеся оригинальным
вкладом средневековых ученых Азии в математические науки, а также
материалы, характеризующие современный прогресс образования и на-
учных исследований в странах Азии и Африки, и ту помощь, которую
оказывает в этом Советский Союз.
Имена авторов математических трактатов, публикуемых в русском
переводе, говорят сами за себя. Это Абу-л-Вафа и Сабит ибн Корра,
работавшие в Багдаде, а также индийский математик Шридхара.
Все переводы сопровождаются комментариями, в которых дается
историческая оценка математическим памятникам, а также разъясняется
своеобразная терминология и манера изложения авторов трактатов, что
облегчает читателю понимание материала. Значение таких публикаций
доказано всем опытом исторических исследований.
Для специалистов представит большой интерес помещенный за пуб-
ликациями аннотированный каталог арабских и персидских рукописей
по физико-математическим наукам, хранящихся в библиотеках СССР.
Каталог облегчает розыски рукописей и безусловно будет способство-
вать развитию дальнейших исследований и публикаций.
Сборник завершается статьей об организации образования и науч-
ных исследований в ряде стран Азии и Африки и о связях между со-
ответствующими учреждениями этих стран и Академией наук СССР.
А. Т. Григорьян
А. П. Юшкевич

Б. А. Розенфельд и Л. М. Карпова
ТРАКТАТ САБИТА ИБН КОРРЫ О СОСТАВНЫХ ОТНОШЕНИЯХ
Понятие составного отношения, применявшееся в «Началах» Евкли-
да, называли наряду со знаменитым V постулатом «темным пятном на
теле этой книги» (см , например, [1]). Под составным отношением Евк-
лид понимал то, что мы теперь называем произведением отношений.
Однако Евклид не применял к отношениям термин «произведение», а
пользовался понятием составного отношения, например, в предложе-
нии 23 книги VI [2, стр. 203] «Равноугольные параллелограммы имеют
друг к другу составное отношение их сторон», означающем, что отноше-
ние площадей равноугольных параллелограммов с соответствующими
сторонами а, Ь, и с, d, равное, с нашей точки зрения, отношению
ас	„ас
—. составлено из отношении — и — .
bd	b d
Общего определения составного отношения в первоначальнохм текс-
те «Начал» Евклида не было. Давалось только определение частных
случаев составного отношения — «двойного» и «тройного», т. е., с нашей
точки зрения, квадрата и куба отношения, что видно из определений 9
и 10 книги V [2, стр. 143].
Впоследствии одним из комментаторов Евклида было добавлено
определение 5 книги VI: «Говорится, что отношение составляется из от-
ношений, когда количество этих отношений, перемноженных между со-
бой, образует нечто» (2, стр. 174]. Это определение совершенно чуждо
Евклиду, который не вводил понятия «количество отношения» и приме-
нял умножение только к натуральным числам. По-видимому, оно заим-
ствовано из комментариев к «Началам» александрийского математика
VI в. Теона, жившего в эпоху, когда вычислительные методы начали
получать широкое распространение. В комментариях Теона к «Алмаге-
сту» Птолемея имеется формулировка, почти дословно совпадающая с
определением 5 книги VI Евклида: «Говорится, что отношение состав-
ляется из двух или нескольких отношений, когда количества этих отно-
шений, перемноженные между собой, образуют некоторое количество-
отношений» [3, стр 253].
Теория составных отношений была наряду с теорией параллельных
в центре внимания таких крупнейших ученых средневекового Востока,
как Омар Хайям (1048 - около ИЗО г.) и Насир ад-Дин ат-Туси
(1201 —1274 гг.). Обе эти проблемы рассматривались в трактате Хайя-
ма «Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида» [4] и в
сочинениях ат-Туси «Изложение Евклида» [5, 6] и «Трактат о полном
четырехстороннике» (7]. Внимание этих ученых к теории составных отно-
шений объясняется прежде всего ее важностью для практики тригоно-
метрических вычислений, в свою очередь необходимых для астрономии.
Поэтому ат-Туси излагает эту теорию в первой главе своего «Трактата
£
о полном четырехстороннике», посвященного плоской и сферической три-
гонометрии. Задача обоснования теории составных отношений привела
Хайяма и затем ат-Туси к расширению понятия числа до того, что мы
называем положительным действительным числом. Если теория парал-
лельных линий была предпосылкой открытия неевклидовой геометрии,
то теория составных отношений и расширение понятия о числе стали
предпосылкой создания математики переменных величин.
Значение обеих этих проблем в истории математики трудно пере-
оценить, и поэтому особенно большой интерес представляет изучение
их развития в трудах ученых, подготовивших замечательные резуль-
таты, полученные впоследствии Хайямом и ат-Туси.
Как на одного из своих предшественников в этих областях Хайям
и ат-Туси указывают на багдадского математика IX в. Абу-л-Хасана
Сабита ибн Корру ас-Саби (836—901 гг.), которому принадлежали спе-
циальные трактаты по обеим этим проблемам Говоря об обработке «На-
чал» Евклида Сабитом ибн Коррой, ат-Туси писал: «В экземпляре Са-
бита составное отношение определяется 'как такое отношение, которое
получают умножением нескольких количеств отношений друг на друга»
[5, стр. 82]. Судя по этой ссылке ат-Туси, теоновская формулировка по-
явилась в арабских текстах Евклида только после обработки Сабита
ибн Корры.
Ниже публикуется наш перевод трактата Сабита ибн Корры о со-
ставных отношениях «Книга Абу-л-Хасана Сабита ибн Корры ас-Саби
о составлении отношений» (Китаб Аби-л-Хасан Сабит ибн Корра яс-Са-
би фи та‘лиф ан-нусуб). Трактат переведен с фотокопии руко-
писи Парижской национальной библиотеки (№ 2457/15, лл. 60 об.—
75 об.), микрофильм которой был прислан г-жой И. Мейер-Шагал. Эта
рукопись была переписана в X в. в Ширазе рукой известного математи-
ка ас-Сиджизи.
Трактат Сабита ибн Корры о составных отношениях состоит из
трех глав. В первой главе дается определение составления отношений
и обратной операции — выделения отношений. Составление отношений
определяется сначала для «примыкающих» отношений, т. е. для отно-
„	А В
тении с общим членом вида — и — . Отношением, составленным из
В С
этих отношений, является Выделение отношений также определяет-
А	С	А А	„
ся для «примыкающих» отношении вида и — или - и — . При
В	В	ВС
А	С
В>С выделенным называется соответственно отношение — или — .
С	В
В общем случае для составления и выделения отношений следует рас-
сматривать два примыкающих, равных данным отношениям. Тогда от-
ношениями, составленными из данных или выделенными из данного
отношения, называются такие, которые равны полученным с помощью
составления или выделения из примыкающих отношений.
Во второй главе определяются составные отношения, являющиеся
следствием данного составного отношения, и выясняются случаи, возни-
кающие при равенстве двух или нескольких величин, входящих в со-
ставное отношение. Вначале приводятся 17 следствий из составного от-
,	А
ношения, которое, в наших обозначениях можно записать в виде— =
В
С Е
—— X— . Такими следствиями являются составные отношения,
6
которые в наших обозначениях имеют вид — — — X —, — =
А — JLv JL A -A v с Л —
' D * F ’ С F 7 D ’ Е D х F ’ Е ~ F р И Т. Д.
Здесь же вводится понятие о двух «рядах» величин. К первому из них
относятся величины A, D, F, а ко второму — В, С, Е; величины одного
ряда в составных отношениях можно заменять друг другом, и двойные от-
ношения Сабита ибн Корры могут быть получены из исходного двойного
отношения произвольной перестановкой в каждой группе. Однако Са-
бит ибн Корра рассматривает не все (3!)2=62 = 36 отношений, а по од-
ному из каждой пары взаимно обратных и дает таблицу 18 составных
отношений. Эта и аналогичная таблица для остальных 18 отношений
приведены ат-Туси [7, стр. 36].
Далее Сабит ибн Корра определяет девять случаев, получающихся
из составного отношения при равенстве одной из величин одного ряда
одной из величин другого ряда, когда остальные величины, входящие в
составное отношение, пропорциональны. Соответствующая таблица Са-
бита ибн Корры также воспроизведена ат-Туси [7, стр. 38]. Затем Сабит
ибн Корра рассматривает 18 случаев, получающихся при равенстве трех
величин, 24 случая — при одновременном равенстве двух пар величин,
15 случаев — при равенстве четырех величин, 34 случая — при одновре-
менном равенстве трех и двух величин и 10 случаев — при одновремен-
ном равенстве трех пар величин.
В третьей главе решаются задачи на составные 'отношения. Прежде
всего доказывается, что если пять величин, входящих в составное
отношение, известны, то известна и шестая величина, так как она равна
«частному от деления» «произведения» трех величин другого ряда на
две остальные величины того же ряда. Далее решаются 22 более слож-
ные задачи; например, если известны четыре из шести величин, входя-
щих в составное отношение, то известно отношение или произведение
остальных двух величин; если известны четыре из шести величин,
входящих в составное отношение, а также сумма остальных двух вели-
чин, то каждая из них известна и т. д.
Трактат Сабита ибн Корры представляет собой систематическое
руководство по теории составных отношений и главным образом по тех-
нике их вычислений. Средневековый математик, проработавший этот
трактат, полностью овладевал этой техникой и мог применять ее к раз-
личным практическим задачам.
Надо сказать, что определение составного отношения, предлагае-
мое Сабитом ибн Коррой, совершенно в духе Евклида и его определений
«двойного» и «тройного» отношений. Это определение, казалось бы,
должно было сделать излишним определение составного отношения в
стиле определения 5 книги VI «Начал» и комментариев Теона к Птоле-
мею. На самом же деле теоновское определение составного отношения,
которое, как мы видели, появилось в арабских текстах «Начал», начи-
ная с обработки Сабита ибн Корры, стало общепринятым в странах
ислама в значительной степени благодаря этому трактату.
Следует отметить, что, если Евклид излагал в книге V своих «На-
чал» теорию пропорций непрерывных величин, а в книге VII—теорию
числовых пропорций как две Совершенно изолированные теории, Сабит
ибн Корра в первой главе своего трактата о составных отношениях пи-
шет, что под словом «величина» он понимает не только непрерывную
величину, как это делалось, но и число. Один раз Сабит ибн Корра даже
заменяет слово «величина» словом «число». Но главное состоит в том,
что для соединения теории непрерывных величин с арифметикой он
7
систематически пользуется при обозначении действий с непрерывными
величинами арифметическими терминами «умножение» и «деление». Мы
уже упоминали, что Сабит ибн Корра определяет неизвестную величину,
входящую в составное отношение, как частное от деления произведения
трех из этих величин на две другие. Термины «умножение» и «деление»
«произведение» и «частное» постоянно применяются Сабитом ибн Кор-
рой для геометрических величин и в остальных задачах.
В геометрической алгебре древних греков то, что мы называем про-
изведением отрезков, называлось «прямоугольником, построенным на
этих отрезках». Это понятие перешло к математикам стран ислама
называвшим произведение отрезков А и В «плоской фигурой из А и В»
(сатх А фи В); под плоской фигурой в данном случае -понимался прямо-
угольник. Термин «произведение А на В» (тад‘иф А фи В, дарб А фи
В) и даже сокращенное выражение «А на В» (А фи В) появилось у
трех братьев Бану Муса [8, стр. 391 и 398] — учителей Сабита ибн Кор-
ры. Однако именно Сабит ибн Корра -систематически пользовался тер-
мином «произведение» (дарб) и другими терминами, заимствованными
из арифметики натуральных чисел.
Ясно, что перенесение арифметической терминологии на действия с
непрерывными величинами неизбежно должно было привести к ее
распространению и на действия с отношениями непрерывных величин
Действительно, Хайям и ат-Туси уже строят теорию составных отно-
шений на основе теоновского определения, а определение составного
отношения, предложенное Сабитом ибн Коррой, доказывают в виде тео-
ремы на основе теоновского определения [4, стр. 144—145; 7, стр 21—
22]. Именно в связи с этой теоремой они предлагают расширить поня-
тие числа до того, что мы называем положительным действительным
числом. В подготовке этого открытия Хайяма и ат-Туси существенную
роль сыграл трактат о составных отношениях Сабита ибн Корры
$ *
На полях перевода приведена пагинация по парижской рукописи
Ссылки на примечания указаны надстрочными цифрами. В квадрат-
ных скобках помещены слова, добавленные переводчиками тля болг
шей ясности изложения.
|| КНИГА АБУ-Л-ХАСАНА САБИТА ИБН КОРРЫ АС-САБИ
О СОСТАВЛЕНИИ ОТНОШЕНИЙ*
60 об.
Во имя Аллаха милостивого, милосердного.
1.	Первая глава — об отношениях, составленных друг из друга
2.	Вторая глава — об определении величин, отношения которых со-
ставлены друг из друга.
3.	Третья глава — о задачах, возникающих из составления отношений
Первая глава
[ОБ ОТНОШЕНИЯХ, СОСТАВЛЕННЫХ ДРУГ ИЗ ДРУГА]
Когда я захотел рассказать о составных отношенияхя увидел,
что будет правильнее сначала разъяснить смысл отношения, так как
отношение — это то, чем мне будет нужно пользоваться. То, что я ви-
дел из разъяснений смысла этого, было не на своем месте и бездоказа-
тельно. Я прослежу это, разъясняя смысл слов, входящих в это выраже-
ние [в определение], поскольку они нуждаются в разъяснении.
Отношение, как сказал Евклид, — это сопоставление двух однород-
ных величин друг с другом .путем измерения2. Я хочу сказать, что
сопоставление представляет собой сопоставление по частям. Я хочу
сказать, что однородные величины — это величины одного рода, так что
одна из них не может быть, например, линией, а другая—поверхностью
или одна — поверхностью, а другая — телом. Я хочу сказать по поводу
измерения, что сопоставление двух величин друг с другом путем изме-
рения— это не сопоставление их по их положению. Эти выражения
разъясняются и растолковываются следующим образом: отношение —
это сопоставление по частям двух величин друг с другом путем измере-
ния. В этом выражении я нуждаюсь в определении сопоставления по
частям, так как [если] не сделать этого в этом выражении, то не будет
и отношения. Имеются общие сопоставления, охватывающие другие ви-
ды сопоставлений, например сопоставление линии с линией по тому,
будет ли одна больше другой или меньше ее. Сопоставление двух вели-
чин одного рода друг с другом путем измерения также охватывает мно-
гочисленные сопоставления по частям, как «два раза» и «три раза» или
«половина» и «треть», и то, что образуется таким образом Что ка-
сается таких сопоставлений, как «два раза» и «три раза» или «половина»
и «треть» и подобных им, то эти отношения являются частным случаем
сопоставления по частям, не охватывающим [всех] сопоставлений по
частям. В определение, которым Евклид определил отношения, не вхо-
* Перевод с арабского Б. А. Розенфельда и Л. М. Карповой.
9
дят отношения чисел, так как он образовывал эти отношения из вели-
чин, а название «величина» у него относилось к числам3. Евклид
относил одну из двух величин к другой путем измерения, а числа не
обладали измерением. Там, где он пользовался в своих книгах этим
названием, он ограничивался этим смыслом. Однако он пользовался
также отношениями углов, чисел, движений и другого, сводя это к
числам. Мы хотим изложить здесь отношения величин таким образом,
чтобы все, относящееся ко всем величинам, выполнялось в виде при-
меров на числах. Я хочу подчеркнуть это. Поэтому величина у нас
понимается или как величина [в старом смысле слова], или как
число.
Упомянем теперь другие вещи. Величина, которая относится к дру-
гой, называется у него «предыдущей», а величина, к которой относится
другая величина, называется у него «последующей». Отношение, кото-
рое примыкает к другому отношению, такое, одна величина которого
общая с другим, т. е. у них имеются две общие величины, а именно пре
дычущая в одном из двух отношений является последующей" в другом.
61 ||В двух отношениях имеются два .предыдущих и два последующих чле-
на, и если предыдущий член одного из двух отношений совпадает с по-
следующим членом другого, то два отношения называются примыкаю-
щими друг к другу, если же они {не] таковы, как мы указали, они не
называются примыкающими.
Составление отношений — также получение отношения [некоторой]
величины к некоторой. Отношение составлено из отношений, если они
примыкают друг к другу, — это отношение друг 1к другу тех членов, ко-
торые оказываются на краях отношений с равными [членами], причем
предыдущий член/одного из этих отношений — предыдущий член полу-
ченного отношения, а последующий член второго отношения — после-
дующий [член полученного отношения].
Выделение отношения из отношения, которое было составлено из
пего и из выделенного отношения, — это получение выделенного отноше-
ния. Оно также получается при примыкании одного из двух отношений
к другому, когда отношения имеют равные члены на конце, причем .пре-
дыдущий член первого отношения — или последующий член выделенно-
го отношения, или ‘предыдущий член отношения, из которого произво-
дилось выделение.
Когда говорят об умножении величины на величину, то под этим
понимают взятие этой величины, кратной по числу величин, составляю-
щих другую величину и образующих ее меру4.
Отношение может быть составлено самое меньшее из двух отноше-
ний. Если отношение составлено из двух отношений, то тут имеется три
отношения: одно’составное и два, из которых оно составлено.
Вторая глава
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ВЕЛИЧИН, ОТНОШЕНИЯ КОТОРЫХ СОСТАВЛЕНЫ
ДРУГ ИЗ ДРУГА
Каждые три отношения — это шесть величин, или пять, или четыре,
или три. Поэтому если отношение составлено из двух отношений, в этих
отношениях — шесть величин, или пять, или четыре, или три. В случае
шести величин отношение первой из них ко второй составлено из от-
ношений третьей к четвертой и пятой к шестой. Мы находим в нем
отношения двух величин, составленные из двух отношений остальных
четырех величин еще семнадцатью способами5. Изложим эти способы.
10
I.	Первый из них: отношение первой ко второй составлено из
отношения третьей к шестой и из отношения пятой к четвертой. Пример
этого: если [имеется] шесть величин А, В, С, D, Е и Е, то отношение
первой, т. е. Л, ко второй, т. е. В, ’составлено из отношения третьей,
т. е. С, к четвертой, т. е. D, и из отношения пятой, т. е. Е, к шестой, т. е.
F. Я утверждаю, что отношение первой, т. е. А, ко второй, т. е. В, со-
ставлено из отношения третьей, т. е. С, к шестой, т. е. В, и из отношения
пятой, т. е. Е, к четвертой, т. е. D.
Доказательство этого. Сделаем D и Е промежуточными
между С и Е, тогда отношение С к F
составлено из отношения С к В, из от
ношения D к Е и из отношения Е к F.
Поэтому отношение, составленное из
отношения С к Е и из отношения Е к
D С В А
Е
F
D, составлено из отношения С к D. из отношения D к Е, из
отношения
L к Е и из отношения Е к D Но отношение, составленное из отношения
С к В, из || отношения D к Е и из отношения Е к В,—отношение С к 6/ об.
D Поэтому отношение, составленное из отношения С к Е и из отноше-
ния Е к D, равно отношению, составленному из отношения С к D и из
отношения Е к Е. Но отношение А к В было составлено из отношения
С к D и из отношения Е к Е. Поэтому отношение А к В составлено из
отношения С к Е и из отношения Е к D
И. Второй способ: отношение первой, т. е. А , к третьей, 7. е.
С, составлено из отношения второй, т. е. В, к четвертой, т. е. В, и из от-
ношения пятой, т. е. Е, к шестой, т. е. F.
Доказательство этого. Сделаем В промежуточной между
Л и С. Тогда отношение Л к С состав-
лено из отношения Л к В и из отноше-
ния В к С. Но отношение Л к В со-
ставлено из отношения С к В и из от-
ношения Е к Е. Поэтому отношение Л
F Е D С В А
к С составлено из отношения В к С и из двух отношений С к В и Е к
Е. Но отношение В к В составлено из отношения В к С и из отношения
С к В. Поэтому отношение Л к С составлено из отношения В к В и из
отношения Е к Е. Это и есть то, что мы хотели доказать.
III.	Третий способ: отношение первой, т. е. А, к третьей, т. е. С.
.акже составлено из отношения второй, т. е. В, к шестой, т. е. F, и из
отношения пятой, т. е. Е, к четвертой, т. е. D.
Доказательство этого. Мы доказали
отношение Л к С составлено из отно-
шения В к В и ив отношения Е к Е.
Поэтому если первой становится [ве- г
личина] Л; второй—С, третьей — В,
четвертой — В, пятой — Ей шестой —
во втором способе, что
В С В А
Е
F, то в силу доказанного нами в первом способе отношение Л к С со-
ставлено из отношения 6 к Е и из отношения Е к D
1\. Четвертый способ: отношение первой, т. е. А, к пятой,
т. е. Е, составлено из отношения второй, т. е. В,
из отношения третьей, т. е. С, к шестой, т. е. F.
Доказательство этого. Сделаем В
между Л и Е. Тогда отношение Л к Е
составлено из отношений Л к В, В к
В и В к Е. Но отношение Л к В со-
ставлено из отношений С к В и Е к Е.
Поэтому отношение Л к Е составлено
к четвертой, т. е. D, и
и В промежуточными
\D С В А
h
из отношений В к В, D к Е, С к D и Е к F. Но отношение С (к F] со-
ставлено из отношений С к D, D к Е и Е к F, т. е. отношение А к Е
составлено из отношения В к D и из отношения С к F.
V. Пятый способ: отношение первой, т. е. Л/ к пятой, т. е. Е
62
составлено из отношения второй, т. е В, к шестой, т. е. F, и из отноше-
ния третьей, т. е. С, к четвертой, т. е. D.
!|Д о к а з а т е л ь с т в о этого. Мы доказали в четвертом способе,
F Е D С В
что отношение А к Е составлено из от-
ношения В к D и из отношения С к F
А Поэтому если первой становится (вели-
чина] А, второй — Е, третьей — В, чет-
вертой — D, пятой — С и шестой — F,
то в силу доказанного в первом способе отношение А к Е составлено из
отношений В к F и С к D.
VI. Нарушая этот порядок, мы приведем шестой и седьмой спосо-
бы, так как в [этих] двух способах мы будем нуждаться при доказатель-
ствах того, что будет после них.
Что касается шестого [способа], то он состоит в том, что от-
ношение третьей, т. е. С, к четвертой, т. е. D, составлено из отношения
первой, т. е. А, ко второй, т. е. В, и из отношения шестой, т, е. F, к
пятой, т. е. Е.
Доказательство
G F Е D С
этого. Сделаем отношение D к G таким
же, как отношение Е к F. Тогда
отношение А к В составлено из
А отношения С к D п из отношения
D к G. Но отношение С к G так-
же составлено из отношения С к
D из отношения D к G Поэтому А относится к В, как С к G. но
отношение С к D составлено из отношения С к G и из отношения G к D
Но С относится к G, как было доказано, как А к В, a G относилась к
В, как F к Е. Поэтому отношение С к В составлено из отношения А к
В и из отношения F к Е.
Из этого следует, что для всякого отношения, составленного из двух
отношений, отношение, обратное этому отношению, составлено из двух
отношений, обратных этим двум отношениям. Мы доказали раньше, что
1 относится к В, как С к G. Поэтому, 'перевертывая6, получим, что В
относится к А, как G к С. Но отношение G к С составлено из отношения
G к В и из отношения В к С, a G относится к В, как F к Е. Поэтому
отношение В к А составлено из отношения F к Е и из отношения В к С
Это и есть то, что мы хотели доказать
VII. Седьмой способ: отношение пятой, т. е. Е, к шестой, т. с
F, составлено из отношения первой, т. е. А, ко второй, т. е. В, и из от-
ношения четвертой, т. е. D, к третьей, т. е. С.
Доказательство этого. Е относится к В, как В к G. Сдела
ем С промежуточной между В и G. Тогда отношение В к G составлено
F Е D С В
из отношения В к С и отношения С к
G. Но мы доказали раньше, что С от
А носится к G, как А к В. Поэтому отно-
шение Е к F составлено из отношения
А к В и из отношения В к С.
VIII. Вернемся теперь к нарушенному нами порядку и изложим
восьмой способ: отношение второй, т. е. В, к четвертой, т. е. D, со-
ставлено из отношения первой, т. е. А, к третьей, т. е. С, и из отношения
шестой, т. е. F, к пятой, т. е. Е.
62 об. Доказательство этого. Мы доказали во втором || способе
12
отношения
что отношение А к С составлено из отношения В к D и из
Е к F. Поэтому если первой становит-
ся [величина] А, второй — С, третьей —
В, четвертой — D, пятой — Е и ше-
стой— F, то в силу доказанного нами
в шестом способе отношение В к D
составлено из отношения А к С и из отношения F к Е.
IX.	Девятый способ: отношение второй,
т. е. D, составлено из отношения первой, т. е. А,
отношения шестой, т. е. F, к третьей, т. е. С.
Доказательство этого. Мы доказали
что отношение В к D составлено из от-
ношения Л к С и из отношения F к Е.
Поэтому если первой становится [вели-
чина] В, второй — D, третьей — Д, чет-
вертой — С, пятой — F и шестой — Е,
то в силу доказанного нами в первом способе отношение В к D состав-
лено из отношения А к Е и из отношения F к С
X.	Десятый способ: отношение второй, т. е. В, к шестой, т. е.
F, составлено из отношений первой, т. е. А, к третьей, т. е. С, и из отно-
шения четвертой, т. е. D, к пятой, т, е. Е.
Доказательство этого. Мы доказали в третьем способе, что
отношение А к С составлено из отно-
шения В к F и из отношения Е к D.
Поэтому если первой становится [вели-
чина] Д, второй — С, третьей — В, чет-
вертой — F, пятой — Е, а шестой —
D, то в силу доказанного нами о шестом способе отношение В к
ставлено из отношения Д к С и из отношения D к Е.
XI.	Одиннадцатый способ: отношение второй, т. е. В,
стой, т. е. F, составлено из отношения первой, т. е. А, к пятой, т. е, Е,
и из отношения четвертой, т. е, D, к третьей, т. е. С.
Доказательство этого. Мы доказали в десятом способе, что
отношение В к F составлено из отно-
шения А к С и из отношения D к Е.
Поэтому если первой становится (вели-
чина] В, второй — F, третьей — Д, чет-
вертой— С, пятой — D, а шестой — Е,
то в силу доказанного нами в первом способе отношение В
пено из отношения Д к Е и из отношения D к С.
XII. Двенадцатый способ: отношение третьей,
четвертой, т, е, D, составлено из отношения первой, т. е.
т. е. Е, и из отношения шестой, т. е. F, ко второй, т. е. В.
Доказательство этого. Мы доказали в шестом
отношение С к D составлено из отно-
шения А к В и из отношения F к Е.
Поэтому если первой становится [ве-
личина] С, второй — F, третьей — Д,
четвертой — В, пятой — а шестой —
Е
D
С
В
А
F
Е
Е
т. е. В,
к пятой,
четвертой,
т. е. Е, и из
К
в восьмом способе,
D
С
С
В
В
А
А
F со-
те ше-
F
Е
Е
D
D
С
С
В
А
к F состав-
т. е. С, к
А, к пятой,
способе, что
В
А
отношение С
Е, то в силу доказанного нами о первом способе II
ставлено из отношения Д к Е и из отношения F к В.
XIII. Тринадцатый способ: отношение третьей, т.
к
D со- 63
е.
С, к
шестой, т. е. F, составлено из отношения первой, т. е. А, ко второй, т. е.
В. и из отношения четвертой, т. е. D, к пятой, т. е. Е.
Доказательство этого. Отношение С к F составлено из от-
13
D С В
к В и из отношения D к Е.
ношения С к D, из отношения D к Е и
из отношения Е к F. Но отношение .4
А кВ составлено из отношения С к D и
из отношения Е к F. Поэтому отноше-
ние С к F составлено из отношения А
XIV. Четырнадцатый способ: отношение третьей, т. е. С, к
шестой, т. е. F, соаавлено из отношения первой, т, е. А, к пятой, т. е.
Е, и из отношения четвертой, т. е. D, ко второй, т. е. В.
Доказательство этого. Мы доказали в тринадцатом способе,
что отношение С к F составлено из от
ношения А к В и из отношения D к Е.
F Е b С В А Поэтому если первой становится [вели-
чина] С, второй — В, третьей— А.
четвертой — В, пятой — Ви шестой —
Е, то в силу доказанного нами в первом способе отношение С к F со-
ставлено из отношения А к Е и из отношения D к В.
XV. Пятнадцатый способ: отношение четвертой, т. е. D, к
пятой, т. е. Е, составлено из отношения второй, т. е. В, к первой, т. е. А
и из отношения третьей, т. е. С, к шестой, т. е. F.
Доказательство этого. Отношение Е к D составлено из от-
F Е D С
ношения Е к В, из отношения F к С и
из отношения С к D. Но отношение А
В А к В составлено из отношения С к D
и из отношения Е к F. Поэтому отно-
шение Е к D составлено из отношения
1 к В и из отношения F к С. Поэтому обратное этому отношению отно-
шение D к Е составлено из отношения В к А и из отношения С к В, как
63
доказано в доказательстве шестого способа.
XVI. Шестнадцатый способ: отношение четвертой, т. е. D
к пятой, т. е. Е, составлено из отношения второй, т. е. В, к шестой, т. е.
F. и из отношения третьей, т. е. С, к первой, т.е. А.
Доказательство этого. Мы доказали в пятнадцатом спосо-
D С
Е
В
бе, что отношение D к Е составлено из
отношения В к А и из отношения С к
F. Поэтому если первой становится
[величина] О, второй — Е, третьей —
В, четвертой — С и шестой — В, то в
об. силу || доказанного нами в первом способе отношение Е к В составлено
из отношения В к В и из отношения С к А.
XVII. Семнадцатый способ: отношение пятой, т. е. Е, к ше-
стой, т. е. F, составлено из отношения первой, т. е. А, к третьей, т. е. С,
и из отношения четвертой, т. е. D, ко второй, т. е. В.
Доказательство этого. Мы доказали в седьмом способе, что
Е Е D С В
то в силу доказанного нами
лено из А к С и из D к В.
отношение Е к В составлено из отно-
шения А к В и из отношения D к С
А Поэтому если первой становится [вели-
чина] Е, второй — В, третьей — А, чет-
вертой — В, пятой — D и шестой — С,
в первом способе отношение Е к В состав-
Мы доказали раньше, что если отношение первой ко второй со-
ставлено из отношения третьей к четвертой и из отношения пятой к ше-
стой, то, перевертывая это отношение, получим, что отношение второй
к первой составлено из отношения четвертой к третьей и из отношения
14
шестой к пятой. Поэтому для этих семнадцати способов, (приведенных
нами, имеются семнадцать обратных. Тем самым доказано составление
отношений при перевертывании. Доказано, что имеются только те спо-
собы [составления отношений], которые мы указали; [они] помещены в
следующей таблице. Требующий найдет в ней с легкостью, если пожела-
ет, что отношение того, что находим в первом столбце, к тому, что на-
ходится во втором столбце, составлено из отношения того, что находит-
ся в третьем столбце, к тому, что находится в четвертом столбце, и из
отношения того, что находится в пятом столбце, к тому, что находится
в шестом столбце, и что отношение того, что во втором, к тому, что в
первом, составлено из обратных остальных отношений, т. е. из отно-
шения того, что в четвертом, к тому, что в третьем, и из отношения того,
что в шестом, к тому, что в пятом. Что же касается пар величин, для
которых [в других столбцах] помещены нули, то для них нет отношений
одной к другой, которые были бы составлены из остальных величин.
Что же касается того, что помещено || в седьмом столбце, то это номер
способа с учетом отклонений для более легкого доказательства неко-
торых способов. Вот эта таблица.
Таблица составления отношений, если имеется
отношение величин
Первый [столбец]	Вто- рой	Тре- тий	Чствер-I тый	'Пятый	Ше- стой	Се тьмой
А	В	С	D	Е	F	Основной
А	В	С	F	Е	D	
А	С	В	D	Е	F	II
А	С	в	F	Е	D	III
1	D	0	0	0	О	0
А	Е	в	D	С	F	IV
А	Е	в	F	с	D	V
А		0	0	0	0	0
В	С	0	0	0	0	0
В	D	А	С	F	Е	VIII
В	D	А	Е	F	С	IX
в	Е	0	0	0	0	0
в	F	А	С	D	Е	X
в	F	А	Е	D	С	XI
с	D	А	В	F	Е	VI
с	D	А	Е	F	В	XII
с	Е	0	0	0	0	0
с	F	А	В	D	Е	хш
с	F	А	Е	D	В	XIV
D	Е	В	А	С	F	XV
D	Е	В	F	С	А	XVI
D	F	0	0	0	0	0
Е	F	А	В	D	С	VII
Е	F	А	С	D	в	XVII
15
Подразделим шесть величин на две группы, причем соберем первую,
четвертую и шестую величины в одну группу и соберем остальные, т е.
вторую, третью и пятую величины, в другую группу. Тогда отношение
каждой из величин одной из этих групп к некоторой величине другой
группы составлено из отношений оставшихся величин. Что же касается
отношений величин в одной группе, то они не составлены из отношений
оставшихся величин. Будем называть каждую из этих групп «рядом»,
причем будем называть группу, в которой находится первое число7, пер-
вым рядом, а другую группу — вторым рядом.
Первый ряд	Второй ряд
Первая	Вторая
Четвертая	Третья
Шестая	Пятая
Если три отношения, одно из 'которых составлено из двух других,
состоят из пяти величин, то одна из величин повторяется два раза, т. е.
среди шести величин имеются две равные величины.
Если две величины из шести равны, то остальные четыре величины
оказываются пропорциональными, если эти две величины из разных
рядов. Пусть, например, такие две величины из разных рядов — А и В.
Пусть отношение А к В составлено из отношений остальных величин, а
именно оно составлено из отношения С к D и из отношения Е к F, и
пусть А равна В. Тогда я утверждаю, что С относится к D, как F к Е.
Доказательство этого. Сделаем отношение D к G таким же,
как отношение Е к F. Тогда А относит-
G	ся к В, как С к G. Но А равна В, по-
этому С и G равны, поэтому их отно-
шения к D — одно и то же [отношение]
Е D С В А Но G относится к В, как F к Е. Поэто-
му С относится к О, как F к Е. Это и
есть то, что мы хотели доказать.
Отсюда же ясно, что если С относится к £>, как F к В, то А равна
В. Мы доказали в предыдущих способах как для величин, которые на-
ходятся в одном ряду, так и для величин, находящихся в двух рядах,
что если две какие-нибудь из шести величин равны, то остальные четы-
ре величины пропорциональны, и наоборот. Следующая таблица указы-
вает это: если величина, находящаяся в первом столбце, равна вели-
чине, находящейся во втором столбце, то отношение того, что находит-
ся в третьем столбце, к тому, что находится в четвертом столбце, — та-
кое же, как отношение того, что находится в пятом столбце, к тому, что
находится в шестом столбце, а если там находятся нули, то из равенства
не необходимо следует пропорция. Если же отношение того, что в третьем,
к тому, что в четвертом, — такое же, как отношение того, что в пятом,
к тому, что в шестом, то величины, которые в первом и втором [столб-
64 об. цах], равны. Что касается седьмого || столбца, то в нем находится чис-
ло, являющееся номером способа, относящегося к этому. Что же каса-
ется восьмого столбца, то в нем — номера глав, которые здесь уста-
навливаются 8.
Из того, что мы указали, люди могут легко определить другие слу-
чаи равенства двух величин.
16
Таблица необходимо вытекающего из составления отношений,
если две из шести величин равны
Равные величины		То, что необходимо вытекает из равенства двух величин				Способ, относя- щийся к этолу	Номера глав в этом столбце
Пер- вый	Вто- рой	Третий	Четвер- тый	Пятый	Шестой	Седьмой	Восьмой
А	В	С	D	F	Е	Основной	1
А	С	В	D	F	Е	II	II
А	1)	0	0	0	0	0	0
А	Е	в	D	F	с	IV	III
А	F	0	0	0	0	0	0
В	С	0	0	0	0	0	0
В	D	А	С	Е	F	VIII	IV
В	Е	0	0	0	0	0	0
В	F	А	с	Е	D	X	V
С	D	А	в	Е	F	VI	VI
С	Е	0	0	0	0	0	0
С	F	А	в	Е	D	XIII	VII
D	Е	А	в	С	F	XV	VIII
D	F	0	0	0	0	0	0
Е	Л	А	в	с	D	VII	IX
Если три отношения, одно из которых составлено из двух других,
состоят из четырех величин, то одна из шести величин повторяется три
раза или две из них повторяются два раза, т. е. из шести величин три
равны между собой или две из них равны друг другу и две другие
равны друг другу. Это необходимо подобно тому, что было необходимо
в случае пяти величин, только там было одно повторение, а здесь два.
Если одна из шести величин повторяется три раза, то три величины
из шести равны между собой, и равные величины — первая, вторая и
третья, то каждая из равных величин относится к четвертой, как ше-
стая к пятой. Пусть снова шесть величин—А, В, С, D, Е и F и три
равные из них— А, В и С. Тогда я утверждаю, что одна из них от-
носится к D, как F к Е.
Доказательство этого. Мы доказали в первой главе таб-
лицы необходимо вытекающего из со-
ставления отношений, что если две из
шести величин равны, а именно А и В
равны, то С относится к £>, как F к Е.
Но С равна каждой из [величин] А и
В. Поэтому каждая из Л, В, С относится к £>, как F к Е.
Точно так же доказывается, что при равенстве ||
указанных нами величин, поскольку из равенства двух
трех из шести
членов необхо-
65
димо следует пропорциональность четырех остальных величин, каж-
дая из трех равных величин относится к одной из величин, как одна из
F
Е D
С В А
Заказ 338
17
двух остальных к другой. Это было доказано в таблице необходимо вы-
текающего из составления отношений.
Если две величины отношения равны двум величинам, то необхо-
димо имеется равенство в пропорции остальных величин. Ясно, что то
же имеет место при равенстве трех величин. Мы поместили то, что вы-
текает из этого в таблице. Если величины, помещенные в первом
столбце, равны величинам, помещенным во втором и третьем столбцах,
то каждая из них относится к тому, что находится в четвертом, как то,
что находится в пятом, к тому, что находится в шестом, а если там на-
ходится нуль, то из равенства не вытекает пропорция. В седьмом столб-
це указана глава, относящаяся к этому, из глав таблицы для случая
шести величин, из которых две величины равны; числа, находящиеся в
седьмом столбце, находятся в восьмом столбце таблицы для случая двух
равных величин.
Таблица необходимо вытекающего из составления отношений,
если три из шести величин равны
Три равные величины			То, что необходимо вытекает из равенства трех			Номера глав, относя- щихся к этому
I	1 И	1 III	IV	1 V	1 VI	VII
А	в	с	D	F	Е	I
А	в	D	С	Е	F	IV
А	в	Е	F	D	С	III
А	в	F	Е	С	D	I
А	с	D	В	Е	F	VI
А	с	Е	F	D	В	11
А	с	F	Е	В	D	11
А	D	Е	В	С	Е	VIII
А	D	F	0	0	0	0
А	Е	Е	В	С	D	
В	С	D	А	Е	Е	IV
В	С	Е	0	0	0	0
В	С	Е	D	А	Е	V
В	D	Е	А	F	С	VIII
В	D	Е	Е	С	А	IV
В	Е	Е	D	А	С	V
С	D	Е	Е	А	В	VI
С	D	Е	Е	В	А	VII
С	Е	F	~D	А	В	VII
D	Е	F	С	В	А	VIII
Если две из шести величин равны и две другие из остальных
величин равны и первые две равные величины—первая и вторая, а
другие две равные величины — третья и четвертая, то пятая величина
равна шестой. Пусть, по примеру предыдущего, шесть величин — опять
18
А, В, C,D,Eu F, причем А равна В, а С также равна D. Тогда я
утверждаю, что Е равна F.
Доказательство этого. Мы доказали в первой главе таб-
лицы то, что необходимо следует при .
равенстве двух величин отношения; из
того, что А равна В, следует, что С F Е D С В А
относится к £>, как F к Е. Но С равна
В, поэтому Е равна F,
Точно так же доказывается, что если две из шести величин равны и
равны две такие же величины, то четыре остальные величины необхо-
димо пропорциональны и равны две из этих четырех пропорциональных
величин пли первая из них и та, к которой она относится, т. е. вторая
пли третья и четвертая, или первая и третья, или вторая и четвертая,
поэтому и две оставшиеся величины равны.
Если две первые равные величины — А и В, две другие величины —
С и Е, то D относится к каждой из величин С и Е, как каждая из них
Доказательство этого. С относится к В, || как F к Е, так 65 Об.
как А равна В. Но Е равна С. Поэтому
F относится к каждой из двух вели-
чин С и Е, как каждая из них к В.
Точно так же доказывается, что
Е D С В А
если две из шести величин равны, так
что остальные величины необходимо пропорциональны, и если равны
две из этих четырех пропорциональных величин — или первая из них
и четвертая, или вторая и третья, то каждая из двух оставшихся из
четырех величин относится к каждой из двух равных из них, как каж-
дая из двух равных к оставшейся величине.
Таким образом, мы определили, что необходимо вытекает из ра-
венства двух из шести величин и равенства еще двух величин из четы-
рех оставшихся: если две равные величины необходимо пропорцио-
нальны четырем остальным величинам, то было доказано, что иногда
необходимо, чтобы две оставшиеся из шести величин были равны, а
иногда необходимо, чтобы имела место пропорция между ними <и
между двумя равными величинами.
Если равные величины не необходимо пропорциональны остальным
четырем величинам, то двойное отношение^ одной из двух равных ве-
личин к одной из двух других равных величин — такое же, как отноше-
ние одной из двух оставшихся величин к другой.
Пусть шесть величин — опять А, В, С, D, Е и F и пусть А равна D*
а С равна В. Тогда я утверждаю, что двойное отношение каждой из А
и D к каждой из В и С такое же, как отношение Е к F.
Доказательство этого. Мы доказали
способе первой таблицы, что отноше-
ние Е к F составлено из отношения А
к В и из отношения D к С. Но D рав-
на Д, а С равна В. Поэтому отношение
Е к F — такое же, как двойное отно-
раньше в седьмом
D С В А
шение каждой из А и D к каждой из В и С.
В остальных случаях рассуждения аналогичны этим рассуждениям.
Так же обстоит дело в случаях, когда другие две из шести величин со-
ставлены из отношений остальных величин .по образцу, доказываемому
нами в этом предложении; это доказывается при помощи способов, из-
ложенных раньше. В следующей таблице мы поместим необходимо’
вытекающее из этого. Это помещено в этой таблице. Величина в ее
3*
Ю
Церзом столбце равна величине во вгоро-м столбце, а величина в треть-
ем столбце равна величине в четвертом столбце. Если величины в пя-
том и шестом столбцах равны, мы определяем это из того, что в седь-
75 мом столбце: если в этом столбце стоит слово «равны», это означает, ||
что необходимо, чтобы эти две величины были равны. Если величина в
пятом столбце относится к каждой из величин в третьем и четвертом
столбцах, как каждая из этих двух величин к величине, ‘помещенной в
шестом столбце, мы узнаем это из того, что в седьмом столбце: здесь
стоят слова «пропорциональны двум последним величинам»; это озна-
чает, что необходимо, чтобы величины в пятом и шестом столбцах были
пропорциональны величинам в третьем и четвертом столбцах. Если ве-
личины в пятом столбце относятся к каждой из величин в первом и
втором столбцах, как каждая из этих величин к величине в шестом
столбце, мы узнаем это из того, что в седьмом столбце: здесь написано
«пропорциональны двум первым величинам»; это означает, что необ-
ходимо, чтобы эти величины были пропорциональны величинам в первом
и втором столбцах. Если отношение того, что в пятом столбце, к тому,
что в шестом столбце, такое же, как двойное отношение каждой из двух
величин в первом и втором столбцах к каждой из двух величин в треть-
ем и четвертом столбцах, мы также определяем это из того, что в седь-
мом столбце: здесь написано «двойное»; это означает, что отношение
этих величин такое же, как двойное отношение равных величин к другим
равным величинам. Что касается восьмого столбца, то там указаны спо-
собы или главы, относящиеся к этому; например, в случае двойного
отношения здесь указаны соответствующие способы из первой из пред-
шествующих таблиц, а в случае равенства — главы из второй из пред-
шествующих таблиц.
Таблица необходимо вытекающего из равенства двух из шести
величин вместе с равенством двух других из четырех остальных 10
Первые две равные величины		Последние две равные величины		Две остав- шиеся величины		То, что необходимо вытекает: равенство, пропорциональность или удвоение отношения	Способы или главы, относя- щиеся к зтому
1 1	И	III 1	IV	V I	VI	VII	УШ
А	в	с	D	Е	Е	Равны	I
А	в	с	Е	D	Е	Пропорциональны двум последним	I
А	в	с	Е	D	Е	Равны	I
А	в		Е	С	Е	Равны	I
А	в	D	Е	С	Е	Пропорциональны двум последним	I
А	в	Е	Е	С	D	Равны	I
А	с	В	D	Е	Е	Равны	II
20
Первые две равные величины		Последние две равные величины		Две остав- шиеся величины		То, что необходимо вытекает: равенство, пропорциональность или удвоение отношения	Способы или главы, относя- щиеся К этому !
I |	II	in 1	1\	V 1	VI	VII	VIII
А	с	в	Е	D	F	Пропорциональны двум последним	II
А	с	в	F	D	Е	Равны	II
А	с	D	Е	В	F	Равны	II
А	с	D	F	В	Е	Пропорциональны двум последним	II
А	с	Е	F	В	D	Равны	II
А	D	В	С	Е	F	Двойное	II
А	D	В	Е	С	F	Двойное	IV
А	D	В	F	с	Е	Пропорциональны двум первым	X
А	D	С	Е	в	F	Двойное	X
А	D	С	F	в	Е	Пропорциональны двум первым	VII
А	D	Е	F	в	С	Пропорциональны двум первым	IX
А	Е	В	С	D	F	Пропорциональны двум последним	III
А	Е	В	D	F	С	Равны	III
А	Е	В	F	D	С	Равны	III
А	Е	С	D	В	F	Равны	III
А	Е	С	F	В	D	Равны	П1
А	Е	1 D	F	В	С	Пропорциональны двум последним	III
2t
66 об.	|| Первые две равные величины	Последние две равные величины	Две остав- шиеся величины	То, что необходимо вытекает: равенство, пропорциональность или удвоение отношения	Способы или главы, относя- щиеся к этому
	I 1 II	III I IV	V I VI		 VII	VIII
А	F	в	С	Е	D	Двойное	IV
А	F	В	D	С	Е	Пропорциональны (вум первым	IV
А	F	в	Е	С	D	Двойное	VI
А	F	с	D	в	Е	Пропорциональны двум первым	VI
А	F	с	Е	В	D	Двойное	VIII
А	F	D	Е	в	С	Пропорциональны двум первым	VIII
В	с	D	Е	А	F	Пропорциональны двум первым	| VIII
В	с	D	F	А	Е	Двойное	' IV
В	с	Е	F	А	D	Пропорциональны двум первым	1 IX .
В	D	С	Е	А	F	Пропорциональны двум последним	IV
В	D	С	F	А	Е	Равны	IV
В	D	Е	F	А	С	Равны	IV
В	Е	С	D	А	F	Пропорциональны двум первым	VI
В	Е	С	F	А	D	Пропорциональны двум первым	VII
В	Е	D	F	А	с	Двойное	II
В	F	С	D	А	Е	Равны	V
в	F	С	Е	А	D	Пропорциональны двум последним	V
в	F	D	Е	А	с	Равны	V
с	D	Е	F	А	в	Равны	VI
с	Е	D	F	А	в	Двойное	Основной
с	Е	D	Е	А	в	Равны	VII
22
Если три отношения таковы, что одно из них составлено из двуЛ
других отношений и состоят из трех величин, то или одна из величин в
отношениях повторяется четыре раза, или одна величина повторяется
три раза, а другая — два раза, или каждая величина повторяется два
раза. Поэтому в этом случае из шести величин четыре равны, или три
равны и две другие равны, или две равны, две другие равны и третьи
две также равны.
Если четыре из шести величин равны, то из этого необходимо вы-
текает, что остальные две величины равны или пропорциональны рав-
ным величинам. Это доказывается подобно тому, как то, что необходимо
вытекает из равенства двух величин вместе с равенством двух других
величин. Мы определяем это из такой таблицы, в которой равные вели-
чины помещены в первом, втором, третьем и четвертом столбцах.
В седьмом столбце написано «равны», если величины, находящиеся в
пятом и шестом столбцах, равны; в седьмом столбце написано «про-
порциональны», если отношение величины, находящейся в пятом
столбце, к каждой из равных величин в четырех столбцах такое же,
как отношение каждой из них к величине, находящейся в шестом
столбце.
Таблица необходимо вытекающего из равенства четырех величин
Четыре равные величины				Остальные две величины		Равенство или пропорция
Пер- вый	Вто- рой	Тре- тий	Чет- вер- тый	Пятый	Шестой	Седьмой
А	В	С	D	Е	F	Равны
А	В	с	Е	D	F	Пропорциональны
Я	В	с	F	D	Е	Равны
А	В	D	Е	С	F	Равны
А	В	D	F	С	Е	Пропорциональны
А	В	Е	F	С	D	Равны
А	С	D	Е	В	F	Равны
А	С	D	F	в	Е	Пропорциональны
А	С	Е	F	в	D	Равны
А	D	Е	F	в	С	Пропорциональны
В	С	D	Е	А	F	Пропорциональны
В	С	D	F	А	Е	Равны
В	С	Е	F	А	D	Пропорциональны
В	D	F	F	А	С	Равны
С	D	Е	F	А	В	Равны
23
Если три из шести величин, а также две другие величины равны,
то мы определяем то, что необходимо вытекает из этого, из таблицы
необходимо вытекающего из равенства двух из шести величин вместе
с равенством двух других величин. Это — или равенство оставшейся ве-
личины трем равным величинам, или пропорция между двумя равными
и тремя равными величинами и оставшейся величиной. Мы определяем
это из седьмого столбца этих таблиц, приведенных ниже. А именно.
67 если || величины в первом, втором и третьем столбцах равны между со-
бой и равны друг другу величины в четвертом и пятом столбцах, то,
если в седьмом столбце стоит «равенство», величина в шестом столбце
равна величинам в первом, втором и третьем столбцах. Если же в
седьмом столбце написано «пропорция», то отношение каждой из вели-
чин, находящихся в первом, втором и третьем столбцах, и каждой из
величин, находящихся в четвертом и пятом столбцах, такое же, как
отношение каждой из этих двух величин к величине находящейся в ше-
стом столбце. Если же в шестом столбце стоит нуль, то не необходи-
мо следует какое-либо равенство между находящимися б столбцах дву
мя величинами вместе с равенством двух других величин.
Таблица необходимо вытекающего из равенства трех величин вместе
с равенством двух величин11
Три равные величины			Две равные величины		Оставшаяся величина	Равенство или пропорция
I	II	III	IV	V	VI	VII
А	С	Е	D	Е	В	Равенство
А	D	Е	В	С	Е	Пропорция
А	D	Е	В	Е	С	Равенство
А	D	Е	С	Е	В	Равенство
А	D	Е	В	С	0	0
А	D	Е	В	Е	0	0
А	D	Е	С	Е	0	0
А	Е	Е	В	С	D	Пропорция
А	Е	Е	В	D	С	Равенство
А	Е	Е	С	D	•в	Равенство
В	С	D	А	Е	Е	Равенство
В	С	D	А	Е	Е	Пропорция
В	С	D	Е	Е	А	Равенство
В	С	Е	А	D	0	0
В	С	Е	А	Е	0	0
В	С	Е	D	Е	0	0
В	С	Е	А	D	Е	Пропорция
В	С	Е	А	Е	D>	Равенство
В	С	Е	D	Е	А	Равенство
24
Три равные величины			Две равные величины		Оставшаяся величина	Равенство или 1 пропорция
I	II	III	IV	V	VI	VII
В	D	Е	Л	с	F	Равенство
В	D	Е	А	F	С	Пропорция
В	D	Е	С	F	А	Равенство
В	D	F	А	С	Е	Равенство
В	D	F	А	Е	С	Равенство
В	D	F	С	Е	А	Пропорция
В	Е	F	А	С	D	Равенство
В	Е	F	А	D	С	Пропорция
В	Е	Е	С	D	А	Равенство
С	D	Е	А	В	F	Равенство
С	D	Е	А	F	В	Пропорция
С	D	Е	В	F	А	Равенство
С	D	F	А	В	Е	Равенство
с	D	F	А	Е	В	Равенство
с	D	F	В	Е	А	Пропорция
с	Е	F	А	В	D	Равенство
- с	Е	F	А	D	В	Пропорция
с	Е	F	В	D	А	Равенство
D	Е	F	А	В	С	Равенство
D	Е	F	А	С	В	Равенство
D	Е	F	В	С	А	Пропорция
]| Если две из шести величин равны, другие две величины равны и 67 об-
оставшиеся две величины равны, то мы определяем то, что необходимо
вытекает из этого, из таблицы необходимо вытекающего из равенства
двух величин вместе с равенством двух других величин. Если «первые
две величины и средние две величины равны и если из этой таблицы
необходимо вытекает равенство двух остальных величин, то от равенст-
ва этих величин нет пользы и не следует с необходимостью какое-либо
равенство. Если же из этих равенств необходимо вытекает пропорция
между ними и первыми двумя, то каждая из последних двух равна
каждой из двух первых, если необходимо вытекает пропорция между
ними и средними двумя, то последние две равны двум 'средним, а если
из этих равенств необходимо вытекает двойное отношение, то первые
цве равны двум средним. Хотя определение этого легко, мы составим
и для этого таблицу, в которой то, что в первом столбце, равно тому, что
во втором, то, что в третьем, равно тому, что в четвертом, то, что в пя-
том, равно тому, что в шестом, а величины в седьмом равны; если же
там стоит нуль, то не необходимо вытекает какое-либо равенство между
тем, что находится в указанных столбцах.
25
Таблица необходимо вытекающего из равенства двух из шести
величин вместе с равенством двух других величин и равенством
двух остальных величин
Две первые		Две средние		1ве после тис		То, что необходимо следует из этого
Первый	Второй	Третий	Четвер- тый	Пятый	Шестой	Седьмой
А	В	С	D	Е	F	0
А	В	С	Е	D	F	CDEF
А	в	С	Г	D	Е	0
А	с	в	D	Е	F	0
А	с	в	Е	D	F	BEDF
А	с	в	F	D	Е	0
А	D	в	С	Е	F	ABCD
А	D	в	Ь	С	Л	ABDE
А	D	в	F	С	Е	ACDE
А	Е	в	С	D	F	BCDF
А	Е	в	D	С	F	0
А	Е	в	F	С	D	0
А	F	в	С	D	Е	ABCF
А	F	в	D	С	Е	ACEF
А	F	в	Е	С	D	ABEF
68	II Третья глава
О ЗАДАЧАХ, ВОЗНИКАЮЩИХ ИЗ СОСТАВЛЕНИЯ ОТНОШЕНИИ
Мы изложили то, что мы хотели изложить о действиях составления
отношений и величинах, входящих в них. Но, для того чтобы учащимся
было легче пользоваться этим в нужных местах, мы шриведем некоторое
число упражнений, возникающих из этого. Тем самым мы разъясним
метод, который применим и к более трудным задачам.
Если шесть величин таковы, что отношение первой из них ко вто-
рой составлено из отношения третьей к четвертой и из отношений пятой
к шестой, и если пять из этих величин известны, то и оставшаяся вели-
чина известна.
Пример этого: [имеется] шесть величин — А, В, С, D, Е и F, и
отношение А к В составлено из отношения С к D и из отношения Е к
F. Тогда я утверждаю, что если пять из этих величин известны, то и
оставшаяся величина известна.
26
Доказательство этого. Сделаем отношение D к G таким же.
как отношение Е к F. Тогда отношение
С к G составлено из отношения С к D
и из отношения Е к F. Но отношение,
составленное из отношения С к D и из
отношения Е к F,— такое же, как от-
Е D С В А
ношение А к В. Поэтому С относится к G, как А к В.
Пусть (имеется] пять известных величин — А, В, D и Е. Тогда
если мы умножим В на С и разделим произведение на А, то частное
от деления будет известно12. Это — величина G, так как величины Л, В.
С и G пропорциональны. Если же мы умножим G на Е и разделим
произведение на £>, то частное от деления будет известно. Это и есть
величина F, так как величины О, G, Е и F пропорциональны. Таким об-
разом, F известна.
Если известные величины — А, В, С, D и В, то величина Е будет
известна, так как отношение В к А составлено из отношения D к С и из
отношения F к Е. Поэтому если мы умножим А на В и разделим произ-
ведение на В, а затем умножим частное от деления на В и разделим
произведение на С, то частное от деления будет известно, а это и есть Е.
Если известны величины—А, В, Е и В и известна одна из величин
С и В, то рассуждение о второй из этих величин подобно рассуждению
о величинах Е и В.
Если известны величины А, С, В, Е и В, то величина В известна,
так как, если мы умножим В на В и разделим произведение на Е, част-
ное от деления будет известно; это— G, так как величины D, G, Е и В
пропорциональны. Если же мы умножим частное от деления, т. е. G,
на А и разделим произведение на С, то частное от деления будет из-
вестно, а это и есть В, так как величины А, В, С и G пропорциональны.
Точно так же мы узнаем величину А, если известны величины В, С,
В, Е и В, так как отношение В к А составлено из отношения В к С и
из отношения В к Е: если мы умножим С на £, разделим произведение
на В, умножим частное от деления на В и разделим произведение на В,
то частное от деления будет известно, а это и есть величина А. Это и
есть то, что мы хотели доказать.
|| Точно так же доказывается, что если мы хотим выделить из изве- 68 об.
стного отношения, например отношения А к В, некоторое известное от-
ношение, равное отношению С к В, то полученное отношение будет из-
вестным; это будет, например, отношение Е к В.
Если мы хотим составить некоторые два отношения друг с другом,
как, например, отношения С к В и £ к В, то отношение, составленное
из них, также будет известным; это будет, например, отношение А к В.
Если две величины в отношении равны, а четыре остальные вели-
чины оказываются пропорциональными и требуется узнать одну из этих
четырех величин, то это очень легко, если иметь в виду, что произ-
ведение первой из четырех на четвертую равно произведению второй на
третью. Поэтому если три из них известны, то и четвертая известна. Мы
доказали раньше, что из равенства некоторых величин необходимо сле-
дует, что четыре остальные [величины] пропорциональны. Для легкости
запоминания мы поместим это в таблице: если величины в первом, вто-
ром, третьем, четвертом и пятом столбцах известны, то величину в ше-
стом столбце мы определим, если умножим величину в первом столбце
на величину во втором столбце, разделим произведение на величину
в третьем столбце, умножим частное от деления на величину в четвер-
том столбце и разделим произведение на величину в пятом столбце,
тогда частное от деления есть величина в шестом столбце.
27
Таблица, из которой определяется шестая
величина по пяти известным величинам
Пять известных			величин		Искомая шестая величина
1 1	2- I	1 3 1	1 4 |	5	6
в	С	А	Е	D	F
А	D	В	F	С	Е
В	Е	А	С	F	D
А	F	В	D	Е	С
D	F	Е	А	С	В
С	Е	F	В	D	А
То, что мы
отношение А к
упомянули, определяется и другим способом. Пусть
В составлено из отношения С к В и из отношения
F Е
I
С В
Е к F. Но отношение, составленное из
отношения С к О и из отношения Е к
A F, — такое же, как отношение произве-
дения С на Е к произведению Ь на F,
так как отношение одного из них к
другому составлено из отношения их сторон 13 Поэтому А относится к
В, как произведение С на Е к произведению G на F. Поэтому эти четы-
ре величины всегда пропорциональны, т. е. величины А и В, произве-
дение С на £ и произведение D на F. Если я знаю пять из этих шест?
69
величин, то три из этих четырех пропорциональных величин известны
Поэтому мы знаем и четвертую. Если четвертая — А или В, то мы
определили искомое. Если же четвертая — не А и В и если разделить
на ту из двух сторон, которая известна, частное от || деления и есть
искомое. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Тем самым доказано, что результат умножения одной из величин
первого ряда на другую величину из того же, а произведение на третью
[величину из него же] равно результату умножения одной из величин
второго ряда на другую величину из него же, а произведения на третью
Точно так же этим способом человек может определить это и в ука-
занных нами ранее семнадцати способах.
I.	Если имеются шесть величин и отношение двух из этих величин
составлено из двух отношений — из отношений остальных величин и
если четыре из этих величин известны, то известно отношение осталь-
ных двух величин или произведение одной из них на другую.
Пример этого: (имеется] шесть величин—Л, В, С, О, £ и В;
отношение одной из них к другой составлено из отношений остальных
величин; четыре из этих величин известны; это А, В, С и D. Тогда я
утверждаю, что известно или отношение величин Е и F друг к другу„
или произведение одной из них на другую.
Доказательство этого. Величины Е и F находятся или в
различных рядах, или в одном ряду
Если они в различных рядах, то от-
ношение Е к F составлено из двух от-
ношений величин А, В, С, D. Если мы
28
составим отношение из отношений двух из них и из отношения двух дру-
гих, то полученное составное отношение будет известно, так как извест-
ны оба эти отношения. Поэтому отношение Е к F известно.
Если же величины Е и F находятся в одном ряду, то величины,
находящиеся в другом ряду, известны.. Умножим одну из них на дру-
гую, а их произведение — на третью, произведение будет известно. Оно
равно тому, что получается при умножении Е на F и их произведения —
на оставшуюся из известных величин, находящуюся в этом ряду. Эта
величина известна, поэтому произведение Е на F известно.
Таким образом, доказано, что если известны четыре из шести ве-
личин, то или отношение двух остальных величин друг к другу, или про-
изведение их друг на друга известны. Это и есть то, что мы хотели
доказать.
Тем самым доказано, что отношение одной из двух величин к дру-
гой определяется, если эти величины принадлежат к разным рядам, а
если они принадлежат к одному ряду, то определяется произведение
одной из них на другую.
II.	Если имеются шесть величин, причем отношение первой из них
ко || второй составлено из отношения третьей к четвертой и из отноше- 69 об.
ния пятой к шестой, четыре числа из них известны, и сумма остальных
двух известна, то и каждое из них известно.
Пример этого: [имеется] шесть величин — А, В, С, D, Е и F\
отношение А к В составлено из отношения С к D и из отношения Е к
F. Я утверждаю, что [если] четыре из них известны и сумма двух
остальных известна, тогда каждое из них известно.
Доказательство этого. Две оставшиеся величины или нахо-
дятся в различных рядах, как величи-
ны А и В, тогда известно отношение
Л к В, или они находятся в одном ря-
ду, как величины А и D, тогда извест-
но произведение А на D.
Е D С В А
Если это величины А и В, то известно отношение А к В, поэтому
известно и отношение суммы А и В к каждой из [величин] А и В. Но
сумма их известна. Поэтому известна каждая из них.
Если это величины 1 и D, то известно произведение одной из них
на другую. Но так как известна их сумма, то известна каждая из них.
Это и есть то, что мы хотели доказать.
Поэтому если известны четыре из шести величин и известна сумма
двух остальных величин, то каждая из них известна. Это и есть то, что
мы хотели доказать.
Точно так же доказывается, что [если] две искомые величины — из
разных рядов и их сумма не известна, но известно произведение одной
из них на другую, то каждая из них известна. Если же эти величины —
из одного ряда и неизвестна их сумма, но известно отношение одной
из них к другой, то каждая из них известна.
III.	Если имеются две величины и известно произведение одной из
чих на другую и имеются две другие величины, отношения которых к
первым двум величинам известны, то произведение одной из них на дру-
гую известно.
Пусть первые две величины — А и В, пусть произведение А на В
известно и пусть известно каждое из отношений С к А и D к В. Тогда
я утверждаю, что произведение С на D известно.
29
д
в
оказательство этого. Отношение произведения Л на В к
произведению С на D составлено из отношения А к С и из
отношения В к D. Эти отношения известны. Поэтому отноше-
Л ние произведения Л на В к произведению С на D известно.
Но произведение А на В известно. Поэтому и произведение
С на D известно. Это и есть то, что мы хотели доказать.
С IV. Если имеются шесть величин и отношение первой ко
второй составлено из отношения третьей к четвертой и из от-
ношения пятой к шестой, известны четыре из этих величин
D
и имеются две величины, отношение которых к двум остав-
70 шимся величинам, каждая к соответствующей ей, известны и известна ||
сумма этих двух величин, то каждая из оставшихся двух величин
известна.
Пусть [имеется] шесть величин — А, В, С, D, Е и F и пусть отноше-
ние А к В составлено из отношения С к D и из отношения Е к F; пусть
четыре из них известны; пусть имеются две величины, отношения кото-
рых к двум оставшимся величинам, каждая к соответствующей ей, из-
вестны, и пусть их сумма известна. Тогда я утверждаю, что каждая из
двух оставшихся величин отношения известна.
Доказательство этого. Две искомые величины — или из
Н	G
F Е & С В А
~К	Т~~
вестно, поэтому и отношение
разных рядов, или из одного ряда.
Пусть сначала они из разных рядов,
как величины А и В. Пусть отношение
G к А и отношение Н к В известны и
пусть известна сумма G и Н. Тогда от-
ношение А к В известно, отношение G
к А известно, поэтому и отношение G
к В известно. Но отношение В к Н из-
G к Н известно. Так как и сумма их из-
вестна, известна и каждая из них. Но известны их отношения к 1 и к
В. Поэтому известны и величины А и В.
Пусть теперь искомые величины — из одного ряда, как величины
4 и D. Пусть отношение Т к А и отношение К к D известны и пусть
известна сумма Т и К. Тогда произведение А на D известно, отношение
Т к А известно и отношение К к D известно и сумма 7 и К известна.
Так как произведение А на D известно, отношение Т к А известно и от-
ношение К к D известно, произведение Т на К также известно. А так как
и сумма их известна, известна каждая из них. Но известны их отноше-
ния к А и D. Поэтому величины А и D известны. Это и есть то, что мы
хотели доказать.
Точно так же доказывается, что если известны суммы величин А и
Н или G и В или произведения G на Н или на В или Н на А известны,
то каждая из величин А и В известна, а если известны суммы величин
А и Т или А и К или известны отношения Т к К или к D или отношение
К к А известно, то величины А и D известны.
V.	Если имеются шесть величин и составление отношений из них
такое, как мы указали в предыдущих предложениях, известны четыре из
этих величин и известна разность между двумя остальными величинами,
то каждая из этих двух величин известна.
Пусть шесть величин, так же как в предыдущих предложениях,—
А, В, С, D, Е и F. Пусть четыре из них известны, и пусть разность меж-
ду двумя остальными величинами известна. Тогда я утверждаю, что
каждая из них известна.
30
Доказательство этого. Две искомые величины — или из
разных рядов, или из одного ряда.
Пусть сначала они из разных рядов,
как величины А и В. Тогда отношение
D С В А
А к В известно. Тогда если мы отло-
жим [одну из них на другой], то отно-
шение меныней из них к избытку большей над ней известно. Но избы-
ток над ней известен. Поэтому каждая из величин А и В известна.
Пусть теперь искомые две || из четырех величин из одного ряда, 70 об.
как величины А и D\ тогда то, что получается умножением А на £>,
известно. Но разность между ними также известна. Поэтому каждая
из них известна. Это и есть то, что мы хотели доказать.
VI.	Если имеются шесть величин и составление отношении из них
как мы указали в предыдущих предложениях, известны четыре из этих
величин, известна разность между двумя величинами и известны их
отношения к двум оставшимся величинам, то каждая из этих оставших-
ся двух величин известна.
Пусть [имеется] шесть величин — Л, В, С, D, Е и F, пусть четыре из
них известны, пусть отношения двух величин G и Н к двум оставшимся
величинам известны, и пусть разность между ними известна. Тогда я
утверждаю, что каждая из двух величин известна.
Доказательство этого. У двух искомых величин известны
или отношение одной из них к другой,
как у величин А и В, или произведе- В	G
ние одной на другую, как у величин
А и D. Пусть сначала они — величины	D
А и В, и п^сть известно каждое из от- В В	С В А
ношений G к А и Н к В. Тогда отно-
шение А к В известно и отношение G
к 4 известно, а значит, отношение G к В известно. Но отношение В к
В известно, поэтому отношение G к Н известно. Но разность между
ними известна. Поэтому и каждая из них известна.
Пусть теперь искомые величины — величины А и D, и пусть каж-
дое из отношений G к А и И к D известно. Тогда произведение А на D
известно, отношение G к А известно и отношение В к В известно. По-
этому произведение G на Я известно. Но разность между ними из-
вестна. Поэтому каждое из них известно. Но их отношения к А и D
известны. Поэтому величины А и D известны. Это и есть то, что мы
хотели доказать.
Точно так же доказывается, что если известна разность между
величинами G и Я и между величиной, к которой относится другая из
зтих величин, то искомые величины известны.
VII.	Если имеются шесть величин и отношение первой из них ко
второй составлено из отношения третьей к четвертой и из отношения
пятой к шестой, то отношение произведения первой на себя к произведе-
нию второй на себя составлено из отношения произведения третьей на
себя к произведению четвертой на себя и из отношения произведения
пятой на себя к произведению шестой на себя.
Пусть [имеются] шесть величин — А, В, С, D, Е и F и пусть отно-
шение А к В составлено из отношения С к D и из отношения Е к F.
Тогда я утверждаю, что отношение квадрата 14 А к квадрату В состав-
лено из отношения произведения С на себя к произведению D на себя
и из отношения произведения Е на || себя к произведению F на себя. 7/
Доказательство этого. Сделаем отношение D к G таким
31
71 об.
Е D С В
же, как отношение Е к F. Тогда
отношение А к В составлено из
А отношения С к D и из отношения
D к G. Но отношение, составлен-
ное из отношения С к D и из от-
ношения D к G,— такое же, как отношение С к G. Поэтому А относит-
ся к В, как С к G. Поэтому произведение А на себя относится к про-
изведению В на себя, как произведение С на себя к произведению G на
себя. Сделаем произведение D на себя промежуточным между произве-
дением С на себя и произведением G на себя. Тогда отношение произ-
ведения С на *себя и произведения G на себя составлено из отношения
произведения С на себя к произведению D на себя и из отношения про-
изведения D на себя к произведению G на себя. Поэтому если отноше-
ние произведения А на себя к произведению В на себя составлено из
отношения произведения С на себя к произведению D на себя и из
отношения произведения D на себя к произведению G на себя, то про-
изведение D на себя относится к произведению G на себя, как произ-
ведение Е на себя к произведению F на себя. Поэтому отношение про-
изведения А на себя к произведению В на себя составлено из отно-
шения произведения С на себя к произведению D на себя и и«з отноше-
ния произведения Е на себя к произведению F на себя, что мы и хотели
доказать.
VIII. Если даны две величины и отношение одной из них к другой
известно и составлено из двух отношений четырех других величин и если
известна одна из четырех величин и известны отношения трех оставших-
ся величин друг к другу, то известна каждая из этих трех величин.
Пусть две величины, отношение которых известно, — А и В. Пусть
отношение А к В составлено из отношения С к D и из отношения Е к F,
и пусть одна из величин С, D, £, F известна и отношение друг к другу
трех оставшихся величин известно. Тогда я утверждаю, что каждая из
этих величин известна.
Доказательство
Е Е D С В
этого. Пусть известная из четырех вели-
чин — С. Тогда отношение А к В из-
вестно и отношение Е к F известно.
А Если же мы выделим из отношения
А к В отношение Е к F, то останется
отношение С к D. Поэтому отношение
С к D известно. Но величина С известна, поэтому и величина D извест-
на. Но отношение D к каждой из величин Е и F известно. Поэтому каж-
дая из них известна. Точно так же || мы определим остальные три вели-
чины, и если известная величина не С, это и есть то, что мы хотели до-
казать.
IX. Если имеется известное отношение и оно составлено из отно-
шения некоторых величин и отношения других величин к этим величи-
нам известны, то отношение, составленное из отношений известных ве-
личин, известно.
Пусть известное отношение — отношение А к В, и пусть оно со-
ставлено из отношения С к D и из отношения Е к G, и пусть отношение
величин Я, Т, К и L к величинам С, D, Е и G, каждое к своей соот-
ветственной, известно. Тогда я утверждаю, что отношение, составлен-
ное из отношения Н к Т и из отношения К к L, известно.
Доказательство этого Сделаем отношение В к М таким
же, как отношение Н к С, отношение М к N — как отношение D к Т, от-
ношение N к X — как отношение К к Е, а отношение X к О — как отно-
шение G к L. Тогда отношение А к О известно, так как оно составлено
32
из известных отношений, т. е. отношения А к В. отношения Н к С.
тения D к Г, отношения К к Е и отно-
шения G к L. Но отношение А кВ со-
ставлено из отношения С к D и из от-
ношения Е к G. Поэтому отношение А
к О составлено из отношения С к D,
и из отношения Е к G, и из отношения
Я к С, и из отношения D к Т, из отно-
шения К к Е, и из отношения G к L
Что же касается отношения, состав-
ленного из отношения Н к С, из отно-
шения С к D и из отношения D к Т,
то оно такое же, как отношение Н к Т
Что же касается отношения, составлен-
Н D
аого из отношения К к Е, из отношения Е к G и из отношения G
к
отно-
А
С
Е
L, то
оно такое же, как отношение К к L. Поэтому отношение А к О составле-
но из отношения Н к Т и из отношения К к L. Но раньше мы доказали,
1то отношение Л к О известно. Поэтому отношение, составленное из от-
ношения Н к Т и из отношения К к L, известно. Это и есть то, что мы
хотели доказать.
X. Если имеются две величины и отношение одной из них к другой
известно и составлено из двух отношений четырех других величин, из-
вестна одна из этих четырех величин и известно отношение двух из
~рех остальных, то оставшаяся величина или известна, или известно от-
ношение ее произведения на известную величину к произведению на себя
каждой из [остальных} двух величин из четырех.
Пусть первые две величины, отношение которых известно, — А и В,
пусть отношение Л к В составлено из двух отношений величин С, £>,
Е и F, и пусть величина С известна и известно отношение D к Е. Тогда
я утверждаю, что или величина F известна, или отношение ее произве-
дения на величину С к произведению D на Е — известное отношение.
Доказательство этого. Величины D и Е — или || из разных
рядов, или из одного ряда. Если они
из разных рядов, то отношение одной
из них к другой составлено из отноше-
ния Л к В и из отношения одной из ве-
личин С и F к другой. Но отношение
72
Л к В известно, поэтому отношение одной из величин
С В А
F и С к другой
известно. Но величина С известна, поэтому величина F также известна.
Если же величины D и Е из одного ряда, то они или из первого ряда,
или из второго ряда. Если они из первого ряда, то отношение В к Л
составлено из отношения D к одной из двух величин С и F и из отноше-
ния Е к оставшейся величине, причем отношение Л к В известно. По-
этому отношение, составленное из отношения D к одной из величин С
и В и из отношения Е к другой из этих двух величин, известно, но оно
таково же, как отношение произведения С на F к произведению D на
Е. Поэтому известно отношение произведения С на Е к произведению
D на Е.
Но тогда известны и отношения произведения С на Е к произве-
дению D на себя и к произведению Е на себя.
Точно так же доказывается то, что мы утверждаем и если величины
В и Е из второго ряда. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Отсюда вытекает, что если величина С неизвестна, то или известно
отношение С к Е, или известно отношение их произведения к произве-
дению D на себя и к произведению Е на себя.
? Заказ 338
33
72 об.
XI.	Если две величины АВ и ВС известны, . 1В разделена на две
части в D и известно отношение произведения СВ на AD к квадрату
BD, то известна каждая из частей AD и BD.
Доказательство этого. Сделаем отношение СВ и BE рав-
ным известному отношению. Тогда отно-
С	Е	В	D	А шение произведения СВ и AD к произве-
‘----1-----1-----1----1 дению BE на AD равно известному отно-
шению. Поэтому отношение произведения
СВ на AD к произведению BE на AD и отношение произведения СВ на
AD к квадрату BD — одно и то же и произведение BE на AD равно
квадрату BD. Поэтому AD относится к BD, как BD к BE, и, присоеди-
няя 15, получаем, что АВ относится к BD, как DE к BE. Поэтому произ-
ведение АВ на BE равно произведению BD на DE Но АВ известна
известна и BE, так как известно отношение ВС к ней. Поэтому извест-
но произведение АВ на BE. Но мы доказали, что оно равно произведе-
нию BD на DE. Поэтому произведение BD || на DE известно. Но так
как BE известна, известна и DB. А так как АВ известна, известны обе
ее части. Это и есть то, что мы хотели доказать
XII.	Если имеются две величины и отношение одной из них к другой
известно и составлено из двух из отношений четырех других величин
известна одна из этих четырех величин, известно отношение двух из трех
оставшихся величин друг к другу и известна сумма одной из этих двух
величин и третьей из оставшихся величин, то каждая из трех величин
известна.
Пусть две первые величины, отношение которых известно, А и
В, и пусть отношение А к В составлено из двух отношений величин
С, D, Е и F, и пусть одна из величин С, D, Е и F известна, пусть это —
С. Пусть, далее, известно отношение D к Е и известна одна из двух
величин D и Е, пусть это — величина D. Если сумма двух из этих вели-
чин известна, то я утверждаю, что каждая из величин D, Е и F из-
вестна.
Доказательство
F Е D С В
этого. В этом случае или известна вели-
чина F, или известно отношение ее
произведения на С к каждому из двух
А квадратов D и Е. Поэтому величина
D известна. Если известна сумма ве
личин D и F или Е и F, то известна
одна из двух величин D и Е и известно отношение D к Е; поэтому и
каждая из величин D и Е известна. Если же известно отношение произ-
ведения С на F к каждому из квадратов D и Е, известна величина
С и известна сумма величины F с одной из двух величин D и Е, ть
величина F известна и известна одна из величин D и Е и отношение D
к Е. Поэтому и каждая из величин D, Е и F известна. Это и есть то.
что мы хотели доказать.
Отсюда следует, что если заменять величины С, D, Е и F другими
величинами, отношение которых к ним известно, то величины С, D, Е и
F известны и отношение, составленное из отношений новых величин.
известно.
XIII.	Если имеются три величины, равные АВ, ВС и CD, и АВ из-
вестна, разность между ВС и CD известна и известно отношение произ-
ведения АВ на CD к квадрату ВС, то каждая из величин ВС и CD
известна.
Доказательство этого. Сделаем отношение АВ к ВЕ равным
известному отношению. Тогда отношение произведения АВ на CD к про-
изведению ВЕ на CD — также известное отношение. Произведение АВ
34
на CD относится к произведению BE на D	С	В	£	А
CD, как это же произведение к квадрату ’-----1-----‘------1
ВС. Поэтому произведение BE на CD
равно квадрату ВС. Если это так, то BE относится к ВС, как ВС к CD.
Если ВС длиннее, чем CD, то, переворачивая 16, получим, что BE отно-
сится || к ее избытку над ВС, как ВС к ее избытку над CD. Если же 73
CD длиннее ВС, то, выделяя 17, получим, что BE относится к избытку
ВС над ней, как ВС к избытку CD над ней. При обоих этих способах
произведение BE на разность между ВС и CD равно произведению раз-
ности между BE и ВС на ВС. Но произведение BE на разность между
ВС и CD известно. Поэтому произведение ВС на разность между ней
и BE известно и BE известна. Поэтому ВС известна и разность между
ней и CD известна, поэтому и CD известна. Это есть то, что мы хотели
доказать.
XIV Если имеются две величины и отношение одной из них к дру-
гой известно и составлено из двух отношений четырех других величин,
известна одна из этих четырех величин, известно отношение двух из
трех оставшихся к последней и известна разность между одной из этих
величин и третьей из оставшихся, то каждая из этих трех величин из-
вестна.
Пусть первые величины, отношение которых известно,—А и В;
пусть отношение А к В составлено из двух отношений величин С, D,
Е и F. Пусть одна из величин Cf D, Е и F известна, — это С, пусть из-
вестно отношение D к Е и пусть известна разность между одной
из величин D и Е и величиной F. Тогда я утверждаю, что каждая из
величин С, D, Е и F также известна.
Доказательство этого. Величина F или известна, или отно-
шение ее произведения на С к каждо-
му из квадратов D и Е известно. Если
величина F известна, разность между Е
одной из величин D и Е и величиной F
известна и отношение D к Е известно,
С В А
то одна из двух величин D и Е известна, а так как отношение D к Е
известно, то и каждая из величин D, Е и F известна. Если же известно
отношение (произведения С на F к каждому из двух квадратов D и Е,
величина С известна и разность между F и одной из величин D и Е из^
вестна, то величина F известна и одна из двух величин D и Е известна,
а так как отношение одной из них к другой известно, то и каждая из
величин D. Е и F известна. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Отсюда следует, что если заменить величины С, D, Е и F други-
ми величинами, отношения которых к ним известны, то величины D, Е
и F будут известны, так как отношение, составленное из этих величин,
известно.
XV.	Если имеются две величины и отношение одной из них к
другой известно и составлено из двух отношений четырех других вели-
чин, известна одна из этих четырех величин, известно отношение двух
из трех оставшихся величин друг к другу и известна сумма квадрата
одной из этих двух величин и квадрата третьей оставшейся величины,
то известна каждая из этих трех величин.
Пусть две первые величины, отношение которых известно, — А и В,
и пусть отношение А к В составлено из двух отношений величин С, D,
Е и F. Пусть одна из величин С, D, Е и F известна; это — С. Пусть из-
вестно отношение D к Е, и пусть известна сумма квадрата одной из
величин D и Е и квадрата F. Тогда я утверждаю, что и каждая из ве-
личин D, Е и F известна.
3*
35
у Зоб. ^Доказательство этого. Величина F или известна, или из-
Н Е Е D С В
вестно отношение ее произведения
на С к каждому из квадратов D
А и Е. Если величина F известна,
то сумма ее квадрата с квадра-
том одной из величин D и Е из-
вестна. Поэтому одна из двух величин D и Е известна, а так как из-
вестно отношение одной из них к другой, то и каждая из величин Z), Е
и F известна. Если же известно отношение произведения С и F к квад-
рату каждой из двух величин D и Е, то сделаем отношение величины
С к величине Н таким же, как отношение произведения С на F к квад-
рату, сумма которого с квадратом F известна. Пусть этот квадрат —
квадрат D. Тогда величина Н известна. Величина С относится к вели-
чине Н, как произведение С на F к произведению Н на F. Но С отно-
сится к Н так же, как произведение С на F к квадрату D. Поэтому про-
изведение Н на F равно квадрату D. Но сумма квадрата D и квадрата
F известна, поэтому сумма произведения Н на F и квадрата F известна,
и так как величина Н известна, то величина F известна и ее квадрат
известен. Поэтому и квадрат D известен, и величина D известна, а так
как ее отношение к величине Е известно, то и величина Е известна и
все величины £>, Е и F известны. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Отсюда следует, что если заменить величины С, D, Е и F величина-
ми, отношение которых к ним известно, то величины С, £>. Е и F также
будут известны.
XVI.	Если имеются две величины и отношение одной из них к дру-
гой известно и составлено из двух отношений четырех других величин,
известна одна из этих четырех величин, известно отношение двух из
трех оставшихся величин друг к другу и известна разность между квад-
ратом одной из этих двух величин и квадратом третьей оставшейся ве-
личины, то известна каждая из трех величин.
Пусть две первые величины, отношение которых известно, — А и В,
пусть отношение А к В составлено из двух отношений величин С, D,
Е и F, и пусть одна из величин С, О, Е и F известна, это — С, пусть
известно отношение D к Е и известна разность между квадратом F и
квадратом одной из двух величин D и Е. Тогда я утверждаю, что каж-
дая из величин D, Е и F известна.
Доказательство этого. Величина F или известна, или из-
Н F Е D С В А
вестно отношение ее произведе-
ния на С к каждому из квадратов
D и Е. Если величина F известна
и известна разность между квад-
ратом F и квадратом одной из
74
величин D и Е, то известна одна из величин D и Е || и известно отно-
шение одной из них к другой, поэтому каждая из величин Е и F
известна.
Если же известно отношение произведения С на F к квадрату
каждой из величин D и £. то сделаем отношение величины С к ве-
личине Н таким же, как отношение произведения С на F к квадрату,
разность между которым и квадратом F известна. Пусть этот квадрат —
квадрат D. Тогда величина Н известна. Так же, как и в предыдущем
предложении, доказывается, что произведение Н и F равно квадрату D.
Но разность между квадратом D и квадратом F известна. Поэтому раз-
ность между произведением Н на F и квадратом Е известна и равна
произведению F на разность между ней и величиной Н. Поэтому, так
как величина Н известна, величина F известна. Так как разность меж-
36
ду ее квадратом и квадратом D известна, то и квадрат D известен и ве-
личина D (известна, а так как ее отношение к величине Е известно, то и
величина Е известна и все величины £>, Е и F известны. Это есть то,
что мы хотели доказать.
Отсюда следует, что если заменить величины С, D, Е и F величи-
нами, отношения которых к ним известны, то величины С, D, Е и F
также будут .известны.
XVII.	Если величины АВ. ВС и CD известны и известно отношение
произведения АЕ на CD к произведению ВЕ на ЕС, то известна каждая
из величин АЕ и ВЕ.
Доказательство этого. Сделаем отношение DC к CF рав-
ным известному отношению. Тогда
CF известна. Произведение DC на b F С В В А
АЕ относится к произведению FC на
4£. как произведение DC на АЕ к произведению ВЕ на ЕС. Поэтому
произведение АЕ и FC равно произведению ВЕ и ЕС. Поэтому и АЕ
относится к ВЕ, как ЕС к CF. Присоединяя, получим, что АВ относится
к ВЕ, как ЕЕ к СЕ. и произведение АВ на СЕ равно произведению ВЕ
на ЕЕ Но произведение АВ на СЕ известно, поэтому и произведение
ВЕ на ЕЕ известно. Но ВЕ известна, поэтому ВЕ известна. Но АВ из-
вестна, поэтому и оставшаяся АЕ известна. Это и есть то, что мы хотели
доказать.
XVIII.	Если величины \В , ВС и CD известны и отношение произ-
ведения АЕ и CD к произведению ВЕ на ЕС известно, то известна каж-
дая из величин ВЕ и ЕС.
Доказательство этого. Сделаем отношение DC к СЕ рав-
ным известному отношению. Так
же, как в предыдущем предложе-	D	F	С	Е	В А
нии, доказывается, что АЕ отно-	*	‘	‘	1
сится к ВЕ, как ЕС к СЕ. Поэтому, выделяя, мы получим, что АЕ от-
носится к ВЕ, как разность между ЕС и СЕ к СЕ. Поэтому произведе-
ние АВ на СЕ равно произведению ВЕ на разность между ЕС и СЕ.
Поэтому произведение ВЕ на разность между ЕС и СЕ известно. По-
этому ВЕ известна и оставшаяся ЕС тоже известна. Это и есть то, что
мы хотели доказать.
XIX.	Пусть имеются две величины и отношение одной из них к дру-
гой известно и составлено из двух отношений || четырех других вели- 74 об.
чин, и пусть известна одна из четырех величин, известна сумма двух
из этих четырех величин и известна разность между одной из них и
оставшейся величиной. Тогда каждая из трех оставшихся из четырех ве-
личин известна.
Пусть две величины, отношение которых известно,—А и В и от-
ношение А к В составлено из отношения С к D и из отношения Е к Е,
и пусть одна из величин С, D, Е и Е известна; это С. Пусть известна
сумма двух величин из D, Е и Е — величин D и Е и разность между
одной из них и оставшейся величиной Е известна. Тогда я утверждаю,
что каждая из величин D, Е и Е известна.
Доказательство этого. Отношение 1 к В известно и состав-
лено из отношения С к D и из отноше-
ния Е к Е. Поэтому отношение, состав-
ленное из отношения С к D и из от-
D С В А
ношения £ к Е, известно, но оно такое
же, как отношение произведения С на
Е к произведению D на F. Поэтому отношение произведения С на Е
к произведению D на F известно. Так как известна величина С, известна
37
разность между одной из величин D и Е и величиной F и сумма ве-
личин D и Е известна, то каждая из величин D. Е и F известна. Этс
есть то, что мы хотели доказать.
Отсюда следует, что если заменить величины С, D, Е и F величина-
ми, отношения которых к ним известны, или величинами, отношения ко-
торых к некоторым величинам известны, то величины С, D, Е и F бу-
дут известны. Точно так же будет, если заменить величины С, D, Е и F
их произведениями на себя, так как если составить отношение [величин
Л и В к самим себе], то получится такое же отношение, как отношение
произведения А на себя к произведению В на себя. Из того, что мы
сказали, следует также, что если известна сумма двух из величин D Е
и F и известна сумма одной из этих складывающихся величин и остав-
шейся третьей величины, то каждая из этих величин известна, так как
в этом случае известна разность между двумя из этих величин.
XX.	Если величины АВ, ВС и CD известны и если прибавить к ним
такую величину DE, что отношение произведения АВ на BE к произведе-
нию СЕ на ED известно то каждая из величин АЕ, BE, СЕ и DE
известна.
Доказательство этого. Сделаем отношение АВ к BG таким
1	И 1	/> 1	с	в I	G 1	А 	1	же, как известное отноше- ние, тогда отношение произ- ведения 4 В на BE к произ- ведению BG на BE такое же
И 1		Е	z>	в f	с	G	А 	J	
н 1		Е ... 1	в 1	с	в 1.	G 1		А	как известное отношение. Но отношение произведения АВ
							на BE к произведению СЕ
на ED было таким же, как известное отношение. Поэтому произведе-
ние BE на BG равно произведению СЕ на ED. Поэтому BE относится
к ЕС, как ED к BG. Сделаем DH равной BG. Тогда BE относится к ЕС,
как ED к DH. Поэтому ЕС относится к СВ, как DH к ЕН, и, следова-
75 тельно, произведение ЕС на ЕН равно || произведению СВ на DH Но
произведение CG на DH известно. Поэтому произведение ЕС на ЕН
известно. Но величина СН известна, так как она равна величинам CD и
DH. Поэтому величина ЕС известна Поэтому известны величины АЕ,
BE, СЕ и DE. Это и есть то, что мы хотели доказать.
XXI. Если имеются две величины, отношение одной из которых к
другой известно и составлено из двух отношений четырех других вели-
чин, если известна одна из этих четырех величин и известны разность
между каждой из трех оставшихся величин и другой из них, то каждая
из этих величин известна.
Пусть известно отношение двух величин Л и В и отношение А к В
составлено из отношения С к D и из отношения Е к F. Пусть одна из
величин С, D, Е и F известна, это — С, и известны разности между
величинами D, Е и F. Тогда известна каждая из величин О, Е и F.
Доказательство этого Отношение Л к В известно, и оно
составлено из отношения С к О и из
отношения Е к F. Поэтому отношение,
А составленное из отношения С к D и из
отношения Е к В, известно, оно такое
же, как отношение произведения С на
Е к произведению D на F. Поэтому отношение произведения С на Е к
произведению D на F известно. Но величина С известна, и разности
между величинами Dy Е и F известны, поэтому каждая из них известна,
а это есть то, что мы хотели доказать.
Отекла доказываются [случаи, когда] величины С, D, Е и F за-
38
Сделаем -отношение ED к DA таким
С	В	D	А	Е
।-------1-------1_______________1_______»
F	С	В	D	F	А
I_______1------1-------1-------1-------1
F	С	В	f)	В	Е
\_______I-------1-------1--------i-----1
меняются величинами, отношение которых к ним известно, и когда
чти величины заменяются их произведениями на себя.
XXII. Если известны две величины АВ и ВС или две величины AD
и АС и АВ разделена в D таким образом, что отношение произведения
CD на DB к произведению AD на себя известно, то каждая из величин
AD DB и DC известна
Доказательство этого,
же, как известное отношение. Тог-
да произведение CD на DB отно-
сится к произведению AD на себя,
как ED к DA. Но ED относится к
DA, как произведение ED на DA к
произведению AD на себя Поэто-
му произведение CD на DB равно
произведению ED на DA. Сделаем CF равной АВ и прибавим и к тому
и к другому произведение FD на DA Тогда сумма произведения CD на
DB и произведения FD на DA равна сумме произведения FD на DA и
произведения ED на DA. Но сумма произведения FD на DA и произве-
дения ED на DA равна произведению EF на DA. Поэтому сумма
произведения CD на DB и произведения FD на DA равна произведению
EF на DB. || Но сумма произведения CD на DB и произведения FD на 75 об.
DA равна сумме произведения CD на DB, произведения CD на DA и
произведения АВ на DA, так как АВ равна CF. Поэтому сумма произве-
дения CD на DB и произведения CD на DA равна произведению CD на
АВ и произведение EF на DA равно сумме произведения CD на АВ и
произведения АВ на DA На первом и втором чертежах сумма произве-
дения CD на АВ и произведения АВ на DA равна произведению С А на
АВ. Поэтому произведение EF на DA равно произведению С А на АВ.
Но произведение СА на АВ известно. Поэтому известно и произведение
EF на DA. Отношение ЕА к AD известно, а оно такое же, как отноше-
ние произведения EF на ЕА к произведению EF на DA. Поэтому отно-
шение произведения EF на ED к произведению EF на AD известно. Но
произведение EF на AD известно, поэтому известно и произведение EF
на ЕА. Но величина AF известна. Поэтому каждая из величин AD, DC
и DB известна. В случае третьего чертежа было доказано, что произве-
дение EF и DA равно сумме произведения CD на АВ и произведения
\В на AD, но это равно произведению суммы CD и AD на АВ. Поэтому
произведение EF на DA равно произведению суммы CD и AD на АВ.
Окончено то, что имеется в рукописи Абу-л-Хасана Сабита ибн
Корры ас-Саби по этому вопросу 18.
Слава Аллаху, справедливому, святому и дарящему разум, а так-
же его людям. Это переписал Ахмад ибн Мухаммад ибн Абд ал-Джа-
лил с рукописи Назифа ибн Юмна ан-Насрани в джумаде ал-ахире
триста пятьдесят девятого года 19.
Б. А. Розенфельд и Л. М. Карпова
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ САБИТА ИБН КОРРЫ
1.	Составное отношение (ан-нисба ал-муаллафа)—это то, что мы
называем 'произведением отношений. См. определение 5 книги VI «На-
чал» Евклида [2, стр. 174] и вводную статью
2.	Здесь имеется в виду определение 3 книги V «Начал» [-
стр. 142]: «Отношение есть некоторая зависимость двух однородных ве
личин по количеству».
3.	Величиной (микдар) здесь называется непрерывная величина, а
числом (’адад)—натуральное число.
4.	Это определение относится только к умножению натуральных
чисел. В дальнейшем Сабит ибн Корра будет говорить об умножении
непрерывных величин, не уточняя, что он понимает под этим.
А	СЕ
5.	Если отношение — составлено из отношений — и —, то из
В	D F
этих шести величин можно построить 36 составных отношений; Сабит
ибн Корра из каждой пары взаимно обратных отношений берет одну
(см. стр. 7).
6.	Переворачивание отношения (хулф ан-нисба) — переход от отно-
шения — к обратному отношению —------см. определение 13 книги V
«Начал» Евклида [2, стр. 143].
7.	Словом «число» здесь названа одна из шести непрерывных ве-
личин. Эта характерная описка показывает, что Сабит ибн Корра на-
чинает рассматривать непрерывные величины как числа (см. стр. 7).
8.	«Главами» здесь называются девять случаев составных отноше-
ний, в которые входят две равные величины, в отличие от предыдущих
18 «способов».
9.	Двойное отношение (нисба мусанна би-т-такрир)—то, что мы
называем квадратом отношения—*см. определение 9 книги V «Начал»
Евклида [2, стр. 143].
10.	В рукописи в этой таблице имеются описки: в 14-й и 16-й стро-
ках вместо «двойное» написано «пропорциональны двум первым», в
15-й строке вместо «пропорциональны двум первым» написано «двой-
ное», в 18-й строке вместо «пропорциональны двум первым» написано
«пропорциональны двум последним», в 19-й строке вместо «пропор-
циональны двум последним» написано «равны», в 23-й строке вместо
«равны» написано «двойное».
11.	В рукописи эта таблица ошибочно повторена на листе 67 об
12.	Здесь и в дальнейшем Сабит ибн Корра систематически приме-
няет термин «умножение» и «деление» к непрерывным величинам (см
стр. 7—8).
40
13. Сабит ибн Керра называет сомножители произведения двух
непрерывных величин «сторонами» (адла'), что свидетельствует о
том, что под произведением отрезков он 'понимает прямоугольник.
14.	Квадрат величины назван здесь «мурабба*» (буквально четы-
рехугольник). Наряду с этим термином Сабит ибн Корра употребляет
и «произведение на себя».
15.	Присоединение отношения (таркиб ан-нисба) —переход от про-
А + В _ С + D
В ~ D
порции — —
к пропорции
— см. определение
14
книги V «Начал» Евклида [2, стр. 144].
16.	Переворачивание отношения (калб ан-нисба) —переход от про-
А С	АС	1 л
порции — — к пропорции ——— = ——  см. определение 1о
книги V «Начал» Евклида [2, стр. 144].
17.	Выделение отношения (тафсил ан-нисба)—здесь переход от
АС	АС
пропорции — = — к пропорции --=-------; этот же термин вы-
ше применялся в значении действия, обратного составлению отношений;
обычно в арабской математической литературе этим термином обозна-
чают то, что называл выделением отношения Евклид — см. определе-
ние 15 книги V «Начал» [2, стр. 144], а именно переход от пропорции
А С	А —В C—D
— — — к пропорции-------- =------
В D Г Г В	D
18.	Так как доказательство в третьем случае не доведено до конца,
эти слова могут означать, что трактат не был закончен автором.
19.	Переписчик трактата — известный математик Абу Саид Ахмад
ибн Мухаммад ибн Абд ал-Джалил ас-Сиджизи (951 —1024 гг.). Его
полное имя приведено в конце других переписанных им рукописей в
сборнике № 2457 арабского фонда Парижской национальной библио-
теки. Дата переписки—джумада II 359 г. х. (апрель — май 970 г.).
Ас-Сиджизи — уроженец Сиджистана (Систана) в Восточном Иране, со-
временник и друг Абу-р-Райхана ал-Бируни (973 — около 1050 гг.).
Имя переписчика рукописи, с которой ас-Сиджизи переписывал
трактат, — ан-Насранй («христианин») —было названием сирийских
христиан.
ЛИТЕРАТУРА
I.	J. Wallis, De postulate quinto et definitions quinta Lib. 6 Euclidis', di seep-
tatio geometrica,—Opera mathematica, t. II, Oxford, 1693, pp. 665—678.
2.	Евклид, Начала, т. I, перев. Д. Д. Мортухай-Бэлтовского, М.—Л., 1948.
3.	Theon d’Alexandrie, Conunentaire sur la Composition math ёmat ique de Pto-
1ётёе, ed. M. Halma, vol. I, Paris, 1822.
4.	rO\iap Хаййам, Трактаты, перев. Б. А. Розенфельда с комм. Б. А. Розен-
фельда и А. П. Юшкевича, М., 1962.
5	Насир а [-Дин ат-Туси, Тахрир Уклидис фи *илм ал-хандаса, Тегеран, 1282 х.
(1881) (на араб. яз.).
6.	«Euclidis elementorum geometricorum libri tredecim ex traditione doctissiini
Nasiridini Tusiui nunc primum arabice impress!», Roma, 1594.
7.	Насирииин Туси, Трактат о полном четырехстороннике, перев. под ред.
Г. Д. Маметбейли и Б. А. Розенфельда, Баку, 1952.
8.	Бану Муса ибн Шакир, Книга об измерении плоских и сферических фигур,
перев. и прим. Дж. ад-Даббаха, — «Историко-математические исследования», 1956,
вып. 16, стр. 389—426.
С. А. Краснова
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ТРУДАХ УЧЕНЫХ
СРЕДНЕВЕКОВОГО БЛИЖНЕГО И СРЕДНЕГО ВОСТОКА
А. П. Юшкевич дал следующую характеристику математике сред-
невекового Востока [1, стр. 12—13]: «После краха античного рабовла-
дельческого общества развитие математических наук в течение многих
столетий происходило главным образом в странах Востока. Средневе-
ковая восточная математика представляла собой учение о постоянных
величинах и неизменных геометрических фигурах, однако такая харак-
теристика еще недостаточно конкретна. Это была шрежде всего вычис-
лительная математика, совокупность расчетных алгоритмов для реше-
ния арифметических, алгебраических, геометрических задач, вначале
более простых, но затем значительно усложняющихся, вначале алгорит-
мов разрозненных, затем объединяемых в целые научные дисциплины.
Развитие математики на Востоке в средние века начинается с уровня,
гораздо более низкого, чем достигнутый в эллинистических странах, но
к концу этого периода в ряде направлений оставляет далеко позади
науку Птолемеев, — мы имеем в виду такие области, как коммерческая
.арифметика, числовая алгебра и ее приложения, приближенные вычис-
ления, учение о числе, тригонометрия». Все это, как указывает А. П. Юш-
кевич, относится к Китаю, Индии и странам, в которых в средние века
паука развивалась на арабском языке, т. е. к Средней Азии, Ирану и
собственно арабским странам
Для конструктивной геометрии алгоритмы геометрических постро<
ний с помощью циркуля и линейки или других инструментов играют ту
же роль, что и расчетные алгоритмы, доводящие решения задач «до
числа» в арифметике, алгебре, тригонометрии и вычислительной гео-
метрии. Поэтому совершенно естественно предположение о том, что ма-
тематика средневекового Востока уделяла значительное внимание алго-
ритмам геометрических построений.
До сих пор геометрические построения ученых средневекового Во-
стока рассматривались только в работах Ф Вёпке [2], изучившего пер-
сидскую обработку арабского трактата Абу-л-Вафы ал-Бузджани «Кни-
га о том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений»,
и Г. Зутера [3], изучившего рукопись, содержащую начало арабского
текста этого трактата. Кроме того, в работе Ф. Вёпке [2] приводится
выдержка из «Трактата об описании конических сечений» Абд ал-Джа-
лила ас-Сиджизи, где указывается, что багдадским математикам Бану
хМуса, сыновьям Мусы ибн Шакира, был известен способ построения
эллипса, основанный на постоянстве суммы фокальных радиус-векторов.
Поэтому В. П. Зубов, Б. А. Розенфельд и А. П. Юшкевич в совме-
42
стном докладе «Об исследованиях по истории математики средних ве-
ков» на IV Всесоюзном математическом съезде (Ленинград, 1961 г.) от-
несли к первоочередным задачам исследования рукописного наследия
средневековых ученых Востока и Запада изучение «работ по конструк-
тивной геометрии трех братьев Бану Муса, т. е. сыновей Мусы ибн
Шакира, Абу-л-Вафы и др.» (4, стр. 61].
Стремясь внести вклад в решение этой задачи, мы перевели упо-
мянутый трактат Абу-л-Вафы с полной арабской рукописи (5], публи-
куемый в настоящем сборнике, и на основе изучения работ математи-
ков средневекового Востока предлагаем обзор выполненных ими геомет-
рических построений.
1. АБУ-Л-ВАФА АЛ-БУЗДЖАНИ И ЕГО ТРАКТАТ
Абу-л-Вафа Мухаммад ал-Бузджани родился в 940 г. в г. Бузгане
(в арабском произношении Бузджан) между Гератом и Нишапуром в
Хорасане. Он учился и работал в Багдаде, где стал одним из видных
математиков багдадской школы.
Его «Книга о том, что необходимо дельцам и писцам из искусства
арифметики» недавно была исследована М. И. Медовым. Помимо этого
трактата и «Книги о том, что необходимо ремесленнику из геометри-
ческих построений» [5] имеются сведения о целом ряде не дошедших до
нас или еще не обнаруженных его алгебраических и арифметических со-
чинений.
Абу-л-Вафа — также один из крупнейших астрономов средневе-
ковья. Ему принадлежит обработка «Алмагеста» Птолемея и ряд других
работ по астрономии. В память о трудах Абу-л-Вафы в астрономии один
из кратеров Луны назван его именем; Абу-л-Вафа умер в 988 г.
Трактат Абу-л-Вафы «Книга о том, что необходимо ремесленнику
из геометрических построений» переведен нами с фотокопии рукописи
№ 2653, хранящейся в библиотеке Айя София в Стамбуле. Фотокопия
снята с микрофильма, присланного американским геометром и истори-
ком математики Д. Я. Стройком.
Стамбульская рукопись содержит 70 страниц. Она была переписа-
на для библиотеки знаменитого Улугбека (1394 - 1449 гг.) —основателя
Самаркандской научной школы XV в. Это видно из надписи на титуль-
ном листе: «По заказу библиотеки великого султана, тени Аллаха в ми-
ре, господину арабских и неарабских царей Джалал ад-Дунья ва-д-Ди-
на Улугбека Багадура, пусть будет вечно его халифство и царство».
Рукопись перевез в Стамбул, по-видимому, последний крупный ученый
самаркандской школы Али Кушчи (ум. в 1574 г.), переехавший в Тур-
цию после гибели Улугбека и разгрома самаркандской обсерватории. Сле-
дующая надпись на титульном листе «Пожертвовал мечети этот экземп-
ляр великий султан, великий хакан, повелитель двух материков и двух
морей, султан, сын султана, сына султана Махмуд-хан» означает, что
рукопись была передана мечети Айя София султаном Махмудом, по-
видимому Махмудом I (1730—1754 гг.), а до этого находилась в библио-
теке турецких султанов.
Другая арабская рукопись, содержащая несколько частей рассмат-
риваемого трактата Абу-л-Вафы, описанная Г. Зутером [3], находится
в Амброзианской библиотеке в Милане (№ 68 арабского фонда). Пер-
сидская рукопись, содержащая обработку этого трактата, кратко изло-
женная Ф. Вёпке [2], хранится в Парижской национальной библиотеке
(№169 старого персидского фонда).
В
Фотокопия титульного листа трактата Абу-л-Вафы
(с оригинала стамбульской рукописи)
Стамбульская рукопись трактата состоит из 11 глав. Первая глав*
«О линейке, циркуле и угольнике» посвящена инструментам для геомет
рических построений и проверке их правильности. Во второй главе «О
принципах, о которых следует упомянуть 'прежде всего» приведены эле
ментарные геометрические построения. Последующие главы названы
так: третья — «О построении равносторонних фигур», четвертая — «О
построении фигур, вписанных в круги», пятая — «О построении круга,
описанного около фигуры», шестая — «О построении кругов, вписанных
в фигуры», седьмая — «О построении фигур, вписанных в другие фигу-
ры», восьмая — «О разделении треугольников», девятая — «О разделе-
нии четырехугольников», десятая — «О разделении квадратов и об их
составлении», одиннадцатая — «О разделении сферы».
Во введении к трактату одиннадцатая глава названа тринадцатой
и указаны две главы, отсутствующие в рукописи: одиннадцатая — «О
разделении разносторонних фигур» и двенадцатая— «О касающихся
кругах».
44
Миланская рукопись содержит конец первой и начало второй гла-
вы; отсутствуют конец четвертой главы, .пятая и шестая главы и начало
седьмой главы. Парижская рукопись содержит те же главы, что и стам-
бульская, но первая глава здесь именуется введением, вторая — восьмая
главы — соответственно первой — седьмой главами; девятая глава раз-
бита на три: восьмую, охватывающую первые 27 задач этой главы и
имеющую то же название; девятую— «О разделении кругов», содержа-
щую задачи 28 и 29 этой главы и десятую — «Об оставлении пути», в
которую включены задачи 30—33 этой главы; десятая и одиннадцатая
лавы становятся соответственно одиннадцатой и двенадцатой.
На полях стамбульской рукописи имеются многочисленные глоссы,
содержащие главным образом доказательства утверждений Абу-л-Вафы.
Доказательства написаны, вероятно, одним из математиков самарканд-
ской школы, возможно Али Кушчи, перевезшим рукопись из Самаркан-
да в Стамбул.
В миланской рукописи, судя по публикации [3], эти глоссы введены
в основной текст, и поэтому следует считать, что она написана, по-види-
мому, позднее стамбульской. В глоссах упоминается математик ал-'Ан-
диджани (вероятно, уроженец среднеазиатского г. Андижана), о котором
в историко-математической литературе нет сведений; Зугер читает имя
этого математика ал-Гундаджани (буква г отличается от буквы * точкой
над буквой) и считает его уроженцем г. Гундаджана в Хузистане |3,
стр. 104].
2. ДРУГИЕ СОЧИНЕНИЯ УЧЕНЫХ СРЕДНЕВЕКОВОГО ВОСТОКА
О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЯХ
Кроме работ Абу-л-Вафы специально посвящены геометрическим
построениям следующие трактаты:
1.	Обработка Сабитом ибн Коррой (826—901 гг.) «Книги Архиме-
да о построении круга, разделенного на семь равных частей». Арабская
рукопись хранится в Каирской национальной библиотеке (№ 7805/15
лл. 105—ПО). Изложение этого сочинения было опубликовано в книге
К. Шоя [6, стр. 74—84] и в статье И. Тропфке [7, стр. 636—651] Рус-
ский перевод Б. А. Розенфельда — в книге [8, стр. 401—416].
2.	Трактат Сабита ибн Корры «Книга о построении вписанной в
шар телесной фигуры с четырнадцатью основаниями» (Китаб фи
*амал шакл муджасам зи арба 'ашара ка’ида йухит бихи кура
ма'лума ли-Аби-л-Хасан Сабит ибн Корра). Арабский текст хранится
в Стамбуле в библиотеке Кёпрюлю (№ 948, стр. 108—115). Арабский
текст и немецкий перевод сочинения опубликован в статье Э. Бессель-
Хагена и О. Шписа [9]. Русский перевод И. И. Веселовского — в книге
[8, стр. 387—390]. В соответствии с арабским текстом и содержанием
труда мы исправляем перевод названия, приведенного в статье |9] и
книге [8], — «Трактат о построении описанной около шара телесной фи-
гуры с четырнадцатью основаниями».
3.	Трактат Ибрахима ибн Синана (908—940 гг.) «Книга о построе-
нии трех [конических] сечений» (Макала фи раем ал-куту’ ас-саласа).
Арабский текст опубликован в сборнике трактатов Ибрахима ибн Сина-
на, изданном Османийским университетом в Хайдерабаде [10, ч. IV]. Не-
давно опубликован русский перевод этого сочинения, выполненный Дж.
ад-Даббахом и нами [И].
4.	Книга ас-Сиджизи (951 —1024 гг.) «Трактат об описании кониче-
ских сечений» (Рисала фи васф ал-куту’ ал-махрутиййа). Рукопись хра-
нится в Лейденской университетской библиотеке (№ Ог. 168/1). Отрывки
45
опубликованы по-арабски и во французском перевода Ф. Вёпке в
статье |[2. стр. 223] и в посмертном издании П2, стр. 112—115].
5.	Трактат ас-Сиджизи «О разделении прямолинейного угла на три
равные части» (Фи кисма аз-завийа ал-мустакима ал-хаттейн би саласа
аксам мутасавийа). Арабская рукопись хранится в Лейдене (№Ог. 168/2).
Трактат опубликован во французском переводе Вёпке в книге [13,
стр. 117—120].
6.	Трактат ал-Кухи (X в.) «О совершенном циркуле» (Фи биркар
ат-тамм). Арабская рукопись хранится в Лейденской университетской
библиотеке (№ Or. 161/1), французский перевод опубликован Вёпке
[12, стр. 68—111 и 145—175].
7.	Книга Мухаммада ибн ал-Хусайна (XII в.) «Трактат о совершен-
ном циркуле и о свойствах черчения с его помощью» (Рисала ал-бир-
кар ат-тамм ва кайфиййа ат-тахтит бихи). Арабская рукопись хранится
в Парижской национальной библиотеке (№ Arabe 2468/4), французский
перевод опубликован Вёпке [12, стр. 15—16 и 116—144].
Геометрические построения имеются также в следующих сочине-
ниях ученых средневекового Востока:
1.	Мухаммад, Ахмад и ал-Хасан Бану Муса (IX в.) «Книга об из-
мерении плоских и сферических фигур» (Китаб ма’рифа масаха ал-аш-
кал ал-басита ва-л-куриййа). Арабский текст с комментариями Насир
ад-Дина ат-Туси издан в сборнике трактатов Насир ад-Дина ат-Туси
[14, ч. 1] Османийским университетом в Хайдерабаде. Латинский пере-
вод Герардо Кремонского (XII в.) опубликован М. Курце [15]. Русский
перевод с арабского издания [14] опубликован Дж. ад-Даббахом [16]
2.	Сабит ибн Корра «„Книга лемм“ Архимеда» (Китаб ма'хузат
ли-Аршимидис). Арабский текст опубликован в сборнике трактатов
Насир ад-Дина ат-Туси [14, ч. 2] Османийским университетом в Хайде-
рабаде. Латинский перевод этого трактата много раз публиковался;
русский перевод И. Н. Веселовского (с латинского)—в книге [8,
стр. 391—400].
3.	Сабит ибн Корра «Книга предположений» (Китаб ал-мафрудат)
Арабский текст опубликован в сборнике трактатов Насир ад-Дина ат-
Туси [14, ч. 3] Османийским университетом в Хайдерабаде.
4.	Абу Али ибн Сина (980—1037 гг.). Математические главы «Книги
знания» (Даниш-наме), состоящие из четырех частей: геометрии, астро-
номии, арифметики и теории музыки. Опубликованы во французском
переводе М. Ашена и А. Массе [17].
5.	Абу-р-Райхан ал-Бируни (973—1050 гг.) «Канон Мас’уда по
астрономии и звездам» (ал-Канун ал-Мас’уди фи-л-хайа ва-н-нуджум)
Арабский текст опубликован Османийским университетом в Хайдераба-
де в 1954—1956 гг. [18], математическая книга «Канона Мас’уда» изло-
жена на немецком языке К. Шоем [6].
6.	Абу-р-Райхан ал-Бируни «Трактат об определении хорд в круге
при помощи свойств ломаной линии, вписанной в него» (Китаб ал-истих-
радж ал-автар фи дайра би хавасс ал-хатт мунхани фиха). Арабский
текст издан в книге [19] Османийским университетом в Хайдерабаде.
Немецкий перевод опубликован Г. Зутером [20]. В 1963 г. опубликован
выполненный нами совместно с Л. А. Карповой русский перевод [21]
7.	Гияс ад-Дин Джемшид ал-Каши (ум. в 1429 г.) «Ключ арифме-
тики» (Мифтах ал-хисаб). Арабский текст и перевод Б. А. Розенфельда
опубликован в 1956 г. [22].
3.	ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ В ДРЕВНОСТИ И В СРЕДНИЕ ВЕКА
С глубокой древности размежевание полей, разметка строительные
площадок, внутренняя планировка зданий, (постройка кораблей, столяр-
ные, гончарные, ювелирные и другие работы приводили математиков к
различным геометрическим задачам па построение. Древнейшая книга,
в которой специально рассматриваются задачи на построение, — это ин-
дийский трактат V в. до н. э. «Правила веревки», посвященный птани-
ровке алтарей [1, стр. 112 и след.].
Геометрическое построение играло важную роль в математике
древних греков. «Начала» Евклида [23] наряду с теоремами, которые
«требуется доказать», содержат задачи, в которых «требуется сделать»
то или иное построение. Построения Евклида основывались на его трех
постулатах [23, т. I, стр. 14]. Первые два из них представляют собой
правила действия с идеальной линейкой, а третий — правила действия
с идеальным циркулем.
Построения Евклида были мысленными, о чем особенно нагляд-
но свидетельствуют его стереометрические построения.
Также мысленными являются построения эллипса, гиперболы и
параболы в «Конических сечениях» Аполлония [24]. В своем сочинении
он привел 16 задач на вычерчивание конических сечений и 5 — на по-
строение в пространстве. Конические сечения не могут быть построены
циркулем и линейкой, но с их помощью можно получить сколько угодно
точек этих кривых. К геометрии в пространстве примыкают также по-
строения на сфере в «Сфериках» Феодосия [25] и Менелая [26], а также
в «Математическом собрании» Палпа [27].
Античные источники свидетельствуют о появлении ряда инструмен-
тов, предназначенных для построений, которые нельзя выполнить толь-
ко с помощью циркуля и линейки. Так, Евтокий в комментариях к
трактату «О шаре и цилиндре» Архимеда [8, стр. 459—479] приводит не-
сколько механических построений двух средних пропорциональных: на-
пример, «решение Платона», решения Никомеда с помощью специальчо-
ю прибора и Архита с помощью пересечения цилиндра, конуса и
тора. Своеобразным инструментом является и «вставка» Архимеда, с
помощью которой он решает задачу трисекции угла в предложении VIII
своей «Книги лемм» [8, стр. 395—396]. Об инструментах, используемых
для решения этой задачи другими математиками древности, см. [8,
стр. 607—613].
Об инструментах для вычерчивания конических сечений у греков
нам ничего неизвестно до VI в., когда Евтокий в своих комментариях
к трактату Архимеда [8, -стр. 471] в связи с построением двух средних
пропорциональных говорит о «диабете» — специальном приборе для
вычерчивания параболы, изобретенном Исидором Милетским — совре-
менником древнего комментатора.
Таким образом, греки располагали инструментами для решения
многих задач на построение, но в своих основных геометрических тру-
дах пользовались мысленными методами, являющимися идеализацией
построения с помощью реальных инструментов, что отражает характер-
ную для рабовладельческого античного мира идеологию презрения к
физическому труду. Математики средневекового Востока, жившие в но-
вую историческую эпоху, при феодальном строе успешно развивали
вычислительные приемы для решения конкретных задач, гесно связан-
ных с потребностями практики. Поэтому и геометрические построения
в этот период приобрели иной характер, чем у греков: в основу изложе-
ния теории были положены реальные чертежные инструменты.
47
Наиболее характерно с этой точки зрения изложение начал гео-
метрии в «Книге знания» Ибн Сины, в основном представляющее
собой сокращение «Начал» Евклида. Геометрическая глава «Книги
знания» содержит раздел «О построениях при помощи циркуля и ли-
нейки» [17, стр. 101], в котором излагаются практические методы реше-
ния задач, приведенных в предложениях 9, 11 и 12 книги I «Начал».
Абу-л-Вафа в первой главе своего геометрического трактата описы-
вает три основных геометрических инструмента: линейку, циркуль и
угольник. Линейка определяется как «прямая линия без искривлений»,
причем прямая определяется по Архимеду — как кратчайшая линия.
Абу-л-Вафа указывает, что линейка используется только для не-
больших фигур или линий; если же фигуры или линии велики, то при-
меняются веревки. Он сообщает о различных способах проверки пра-
вильности и исправления линейки в зависимости от ее материала.
Ученый объясняет устройство циркуля и отмечает причины, вызываю-
щие неисправность инструмента. Абу-л-Вафа описывает также колесный
циркуль, позволяющий проводить окружности диаметром большим, чем
раствор циркуля. Угольник определяется как прямой угол. Указываются
также способы изготовления правильного угольника и проверка его
исправности.
4.	ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ
Первая и вторая главы трактата Абу-л-Вафы посвящены элемен-
тарным построениям с помощью циркуля и линейки. Вначале решаются
зацачи построения и проверки угольника, аналогичные построению
перпендикуляра. Приведены четыре способа, в том числе «способ ре-
месленников», основанный на свойствах «египетского треугольника», ка-
теты и гипотенуза которого равны соответственно 3, 4 и 5 единицам.
Во второй главе излагаются «принципы, о которых следует упомянуть
прежде всего». Здесь даны следующие построения: 1) деление прямо-
линейного отрезка или дуги окружности пополам; 2) деление отрезка
на три и большее число равных частей; 3) деление угла пополам;
4) проведение перпендикуляра к данной прямой из точки вне ее; 5) по-
строение угла, равного данному; 6) проведение прямой, параллельной
данной прямой, через данную точку; 7) определение центра круга;
8) дополнение дуги до полного круга; 9) проведение касательной к
кругу из точки вне его; 10) проведение касательной к кругу через
точку, расположенную на нем; 11) построение между сторонами тре-
угольника отрезка, параллельного третьей стороне и равного данному
отрезку; 12) проведение между сторонами треугольника отрезка, па-
раллельного третьей стороне и равного отрезку, отсекаемому от одной
из сторон; 13) проведение между сторонами треугольника отрезка, па-
раллельного третьему отрезку и равного отрезку, отсекаемому от одной
из сторон, и некоторому данному отрезку; 14) построение треугольника,
равного другому треугольнику.
В «Книге предположений» Сабита ибн Корры (14, ч. 3, стр. 2—6]
приведены 12 элементарных построений: 1) деление прямого угла на
три равные части; 2) деление отрезка на такие три части, что сумма
квадратов крайних отрезков равна квадрату среднего; 3—6) проведе-
ние из вершины треугольника линии, делящей противоположную сто-
рону в данном отношении; 7) проведение из точки на продолжении сто-
роны треугольника прямой, отсекающей треугольник, равный данному;
8) проведение из вершины треугольника прямой, отрезок которой вместе
с отрезком, отсекаемым ею на продолжении противоположной стороны,
48
^авен сумме двух сторон треугольника; 9) проведение в треугольнике
двух прямых, первая из которых делит вторую пополам, а вторая от-
секает от первой треть; 10) проведение в треугольнике прямой, которая
делится данной прямой на две части, равные данным отрезкам;
II) проведение ломаной линии, вписанной в данную дугу круга, звенья
которой находятся в данном отношении; 12) проведение хорды круга,
которая делится данным диаметром в данном отношении.
В «Книге об определении хорд в круге» ал-Бируни [21, стр. 113—
И 8] имеется пять элементарных построений: 1) проведение через две
данные точки двух отрезков, заключающих данный угол, сумма которых
равна данному отрезку; 2) проведение через две данные точки двух
отрезков, заключающих данный угол, разность которых равна данному
трезку; 3) проведение из двух данных точек двух отрезков, заключаю-
щих данный угол, произведение которых равно плоской фигуре;
4) проведение из двух данных точек двух отрезков, заключающих дан-
ный угол, отношение которых равно данному отношению; 5) построе-
ние треугольника, вписанного в данный круг с суммой сторон, равной
данному отрезку. Построения ал-Бируни угла, равного данному, с при-
менением сегмента, вмещающего данный угол, относятся к тем, которые
ныне называют построениями «методом геометрических мест».
Ряд геометрических построений рассматривается и в «Ключе ариф-
метики» ал-Каши. Хотя большинство задач этой книги относится к
чисто вычислительным, однако имеются и решаемые «действием рук».
В частности, в главе I приводятся построения основания высоты тре-
угольника и высоты, опущенной из центра тяжести треугольника [22,
стр 104—109]. В главе IV «Об измерении круглых поверхностей» вы-
полнены построения на сфере. В главе IX «Об измерении зданий и по-
строек» даны построения различного вида арок [22, стр. 162—168].
5.	ПОСТРОЕНИЕ ДВУХ СРЕДНИХ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ И ТРИСЕКЦИЯ УГЛА
Задача о двух средних пропорциональных, т. е. о построении по
данным а и b таких величин х и г/, что а : х=х: у = у: Ь (частным слу-
чаем при ц=2й является задача об удвоении куба), и задача о трисек-
ции угла, т. е. о его Делении на три равные части, сводятся к кубиче-
ским уравнениям и, за исключением случая трисекции прямого угла,
не могут быть решены с помощью циркуля и линейки.
Задача о трисекции угла приобрела в средние века большое значе-
ние в связи с вычислением тригонометрических таблиц. В самом деле,
если значение sin 3° можно определить путем повторного деления по-
полам стороны правильного пятнадцатиугольника, который строится с
помощью циркуля и линейки (предложение 16 книги IV «Начал» Евкли-
да [23, т. I, стр. 140]), то sin 1° можно найти по sin 3° только трисекцией
угла.
Во второй главе трактата Абу-л-Вафы приводится решение задач
как об удвоении куба и шара, так и трисекции угла. Оба способа три-
секции угла основаны на применении вставки. Первый из них весьма
элизко к приему Архимеда, второй, как видно из трактата ас-Сиджизи
о трисекции угла [13, стр. 117—120], принадлежит Сабиту ибн Корре.
При помощи трисекции угла Абу-л-Вафа выполняет трисекцию дуги
окружности.
Построение двух средних пропорциональных приводится в XVI и
XVII предложениях «Книги измерения плоских и сферических фигур»
братьев Бану Муса [16, стр. 410—415]. В XVIII предложении «Книги»
4 Заказ 338
49
Бану Муса [16, стр. 415—416] излагается способ трисекции угла, близ-
кий приему Архимеда.
Трисекции угла посвящен специальный раздел астрономическое
трактата ал-Бируни «Канон Мас’уда» [18; 6]. Эта задача излагается в
связи с вычислением тригонометрических таблиц в главе IV книги III
[18, т. I, стр. 292—302, а также 6, стр. 23—26]. Ал-Бируни приводит
12 -способов трисекции угла, называемых им «предпосылками». Все по
строения выполнены им при помощи вставки.
Наконец, в трактате ас-Сиджизи [13, стр. 117—120] дается 15 спо-
собов трисекции угла: 1) способ Сабита ибн Корры, совпадающий со
способом 3 из трактата Абу-л-Вафы; 2) способ ал-Химси ал-Харави.
совпадающий со способом 8, помещенным в «Каноне Мас’уда» ал-Биру-
ни; 3—6) четыре способа ал-Бируни, совпадающие со способами 4—7.
приведенными в «Каноне Мас’уда»; 7) «способ древних», т. е. Архиме-
да, совпадающий со способом 1, изложенным в «Каноне Мас’уда»:
8) способ ал-Кухи; 9) способ ас-Сагани; 10) способ самого ас-Сид-
жизи; 11—14) способы 9—12 из «Канона Мас’уда» и 16) трисекция
прямого угла. Ас-Сиджизи во всех случаях приводит полные дока-
зательства.
6.	ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Как показал Гаусс (1777 -1855 гг.), правильный многоугольник
можно построить с помощью циркуля и линейки только в том случае
[28, стр. 573], когда число его сторон
N 2mpip2,..., р„
где т — произвольное неотрицательное число, a pi, Рг,--, Ps — различ-
ные простые числа вида 2 ф 1 с натуральными k. Следовательно, это
можно сделать при N—3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 и нельзя — при А=7, 9,
11, 13, 14. Соответствующие построения для А==3, 4, 5, 6, 15 имеются
в «Началах» Евклида (книги I и IV). Кроме того, в предложении 30
книги III о делении пополам дуги дается метод построения правильно2
го 2А-угольника, в частности восьми- и десятиугольника, для всякого
уже построенного правильного А-угольника. Построения, не осуществи-
мые с помощью только циркуля и линейки, Евклид не рассматривает.
Построения правильных семи- и девятиугольников сводятся к реше-
нию кубических уравнений; второе из этих построений основано на
трисекции угла.
В третьей главе трактата Абу-л-Вафы изложены способы построе-
ния правильных многоугольников «на данной линии», принимаемой
в качестве стороны многоугольника для всех N от 3 до 10. Построения
треугольника и квадрата совпадают с построениями предложений 1 и
46 книги I «Начал» Евклида. Построение семиугольника приближен-
ное: за его сторону принята половина стороны равностороннего тре-
угольника, вписанного в тот же круг. Сторона правильного семиуголь-
3600
ника равна 2/?sin —2/?sin 25°43'	/?•(),868, а приближенное зна-
у з
чение Абу-л-Вафы /? ——0,866; оно совпадает с величиной,
приведенной в «Метрике» Герона [29, стр. 55]. Построение девятиуголь-
ника основано на трисекции угла.
50
Четвертая глава трактата посвящена построениям правильных мно-
гоугольников, вписанных в круг, для N=3, 4, 5, 6, 8, 9 и 10; проведя
касательную к кругу в вершинах вписанного многоугольника, Абу-л-
Вафа строит также многоугольник, описанный около круга.
В пятой главе приведены способы построения кругов, описанных
около многоугольников. Здесь дается построение круга, описанного
около (произвольного треугольника, около правильных пяти- и шести-
угольников. В большинстве случаев центр описанного круга опреде-
1яется как точка пересечения перпендикуляров к двум сторонам мно-
гоугольников, восставленных в их серединах, и указывается, что таким
образом можно построить центр описанного круга для любого правиль-
юго многоугольника.
В шестой главе гтроится круг, вписанный в треугольник; центр
круга находится, как точка пересечения биссектрис двух его углов.
Абу-л-Вафа указывает, что таким образом можно построить центр впи-
санного круга для любого правильного многоугольника. Для построе-
ния центров вписанных и описанных- кругов в пятой и шестой главах
используется метод геометрических мест.
Точное построение правильного семиугольника, вписанного в круг,
дано в уже упоминавшемся трактате Сабита ибн Корры.
Седьмая глава трактата Абу-л-Вафы посвящена построению пра-
вильных многоугольников, вписанных друг в друга: равностороннего
треугольника, вписанного в квадрат и описанного около квадрата;
квадрата, вписанного в треугольник и описанного около треугольника;
квадрата, вписанного в правильный пятиугольник и описанного около
него и т. д. Построения треугольников в задачах 1, 2, 6 и 8 основаны на
получении искомого треугольника гомотетией из некоторого вспомога-
тельного. Построение задачи 5 указано в [1, стр. 264].
7.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Одна-из первых задач на преобразование многоугольников — за-
дача построения квадрата, равновеликого двум данным квадратам. Эта
задача (аналогичная теореме Пифагора) решалась в общем виде еще в
древней индийской книге «Правила веревки» [1, стр. 113—114]. Весьма
наглядное доказательство теоремы Пифагора, основанное на принципе
равносоставленности, было предложено Сабитом ибн Коррой и известно
нам в передаче ан-Найризи [30, стр. 90].
В книгах I и II «Начал» Евклида рассматриваются построения:
параллелограмма, равновеликого данному треугольнику и данному мно-
гоугольнику; прямоугольника, равновеликого данному квадрату, и
квадрата, равновеликого многоугольнику.
Восьмая глава трактата Абу-л-Вафы посвящена различным спосо-
бам разделения треугольника на равные части, увеличения или умень-
шения его в несколько раз и другим преобразованиям треугольников
В девятой главе даны задачи на разделение четырехугольников.
Среди других здесь приводятся: разделение четырехугольника пополам
линией, проходящей через один из его углов или через точку на его»
стороне или лежащую вне его; разделение параллелограмма или трапе-
ции линией, проходящей через точку на одной из сторон. Далее рас-
сматривается гомотетичное увеличение и уменьшение квадрата в два,
три и большее число раз, решаются задачи отделения трети круга и
деления сектора пополам, а также деления квадрата, треугольника и»
трапеции на две и три части с оставлением «пути» данной ширины, ве-
4"
51
дущего к этим частям, — задача, возникшая в землемерной практике
размежевания полей.
Десятая глава содержит преобразования квадратов. Абу-л-Вафа
отмечает, что этот вид преобразований фигур часто применяют ремес-
ленники и в связи с этим у них возникает много вопросов. Особенно-
интересны приведенные им задача на составление квадрата из т2 + п2
равных квадратов и обратная ей, основанные на применении теоремы
Пифагора в общем случае. Абу-л-Вафа по существу дал исключительно
наглядное доказательство теоремы Пифагора, базирующееся на прин-
ципе равносоставленности и близкое предложенному Сабитом ибн Кор-
рой [30, стр. 90].
Изложив остроумный и удобный для практики способ составления
квадрата из трех равных квадратов, указанный в [1, стр. 265], Абу-л-
Вафа доказывает, что методы, применяемые ремесленниками для ре-
шения этой задачи, неправильны. Одно из его решений основано на
доказательстве неравенства ]/з~> 1 -]. Здесь же приводится «ме-
тод геометров» решения этой задачи, основанный на построении в про-
странстве.
8.	ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ ПОСТОЯННОГО РАСТВОРА
Как показали Ж. Понселе (1783—1867 гг.) и Я. Штейнер (1796—
1863 гг.), всякая задача на построение конечного числа точек, разреши-
мая с помощью циркуля и линейки, разрешима и при одной линейке, если
на плоскости построена окружность с отмеченным центром (31.
стр. 241—246]. Из этой теоремы вытекает разрешимость подобных задач
при использовании лишь линейки и циркуля постоянного раствора.
Именно к таким задачам относится построение Героном перпен-
дикуляра, восставленного в одном из коццов отрезка; оно приводится
.ан-Найризи в его комментариях к «Началам» [30, стр. 54]. О построе-
нии с помощью циркуля постоянного раствора упоминает и Папп [27,
т. III, стр, 1074].
В Европе аналогичные построения применяли Леонардо да Винчи
{1452—1519 гг.) и А. Дюрер (1471 —1528 гг.), а также Ш. де ль Ферро
1491—1526 гг.) и Н. Тарталья (около 1500—1557 гг.).
В третьей главе трактата Абу-л-Вафа после обычных построений
правильных многоугольников по данной стороне рассматривает их по-
строение с помощью циркуля постоянного раствора. Внимание арабского
геометра к таким задачам объясняется, несомненно, запросами ремес-
ленников, ибо результаты получаются более точными, чем при исполь-
зовании циркуля переменного раствора.
Помимо построения равностороннего треугольника (совпадающего
со способом Евклида) и квадрата (восстановление перпендикуляров и
откладывание на них отрезков, равных данной стороне) Абу-л-Вафа
приводит более сложные построения правильных тяти-, восьми- и деся-
тиугольников.
9.	ПОСТРОЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Под геометрическими построениями в пространстве понимаются та-
кие, которые осуществляются с помощью циркуля и линейки в -различ-
ных плоскостях. В «Началах» Евклида задачи на построение в про-
странстве содержатся в книгах XI и XIII. В последней он строит пра-
52
вильные тетраэдр, октаэдр, куб, икосаэдр и додекаэдр, вписанные в
данную сферу.
Архимед определил 13 «полуправильных многогранников», т. е. вы-
пуклых многогранников, все грани которых — правильные многоуголь-
ники более чем одного вида, а все многогранные углы 'конгруэнтны или
симметричны [8, стр. 383—386].
Сабит и'бн Корра, как говорилось [8, стр. 387—390], изложил по-
строение полуправильного четырнадцатигранника с шестью квадратны-
ми и восемью треугольными гранями.
В трактате Абу-лчВафы имеются два построения в пространстве. Во
второй книге приводится построение перпендикуляра, опущенного из
точки на плоскость, или, как пишет Абу-л-Вафа, «к плоской стене, к
участку земли или к крыше». Его способ близок построению предложе-
ния 11 книги XI «Начал» Евклида.
В десятой главе после изложения удобного для ремесленников спо-
соба вычерчивания квадрата, равновеликого трем равным квадратам,
Абу-л-Вафа приводит построение стороны искомого квадрата как диаго-
нали куба, ребро 'которого равно стороне одного из трех равных квадра-
тов.
Такой метод арабский ученый называет «способом геометров», так
как при этом не указывается, как надо разрезать данные квадраты,,
чтобы сложить из них большой. Затем Абу-л-Вафа пишет: «Точно так
же обстоит дело, если мы хотим [построить] квадрат, состоящий более
чем из трех или менее чем из трех квадратов». Поскольку «способ
геометров» формулировался как пространственное, а не плоское по-
строение (хотя в девятой главе Абу-л-Вафа приводил плоское построе-
ние, увеличивающее данный квадрат в любое число раз), эти слова
указывают, по-видимому, на мысленное построение в многомерном кубе.
Заметим, что именно в IX—X вв. на Востоке получили распростра-
нение геометрические названия степеней выше третьей — «квадрато-
квадрат», «квадрато-куб», «кубо-куб» и так далее, представляющие со-
бой переводы терминов Диофанта. Эти термины были хорошо знакомы
Абу-л-Вафе — автору комментариев к «Арифметикам» Диофанта. И по-
скольку в творчестве арабского математика геометрические методы
играли существенную роль, весьма естественно, что он воспринимал эти
степени как многомерные обобщения куба
10.	ПОСТРОЕНИЯ НА СФЕРЕ
В «Началах» Евклида построения на сфере не рассматриваются.
Однако такие задачи имеются в «Сферике» Феодосия (около 100 г. до
н. э.). Геометрия на сфере здесь изложена аналогично геометрии на
плоскости в «Началах». В «Сферике» имеются семь таких задач. В
предложениях 2. 18 и 19 книги I приведены задачи на построение в;
пространстве, связанные со сферой. 'В предложениях 20—21 книги 1 и
в предложениях 14—16 книги II рассматриваются соответственно прове-
дение большого круга через две точки, нахождение полюса большого
круга и проведение большого круга, касающегося малого, через точку,
находящуюся на малом круге или вне его. Последнее позволяет
строить большие круги, перпендикулярные данному {25, стр. 27—28 и
51—52].
Такие задачи постоянно встречаются в «Сферике» Менелая (около
100 г.), где добавляется построение угла между большими кругами,
равного данному углу [23, т. 1, стр. 120]. Во многом используются по-
строения на сфере в предложениях 48—52 книги III «Математического
53.
собрания» Паппа, посвященных вычерчиванию пяти правильных много-
гранников, вписанных в данную сферу [27, т. I, стр. 143—157, а также
23, т. III, стр. 312— 319]. Сочинения .по сферике Феодосия и Менелая
перевел на арабский язык около 900 г. Сабит ибн Корра.
В одиннадцатой главе своего трактата Абу-л-Вафа вначале рас-
сматривает ряд элементарных построений на сфере: 1) большого круга,
2) двух перпендикулярных больших кругов, 3) трех взаимно перпен-
дикулярных больших кругов, 4) большого круга через две данные
точки. Основная часть главы посвящена разделению сферы на неко-
торое число сферических многоугольников, что равносильно построению
вписанных правильных и полуправильных многогранников. Сферические
многогранники являются проекциями граней на поверхности сферы, про-
веденными из ее центра. Изложение Абу-л-Вафы равносильно построе-
ниям пяти правильных и четырех полуправильных многогранников
(четырнадцатигранника с шестью квадратными и восемью треугольны-
ми гранями, тридцатидвухгранника с двенадцатью пятиугольными и
двадцатью треугольными гранями, восьмигранника с четырьмя треуголь-
ными и четырьмя шестиугольными гранями, четырнадцатигранника с
шестью квадратными и восемью шестиугольными гранями).
Геометрические построения на сфере широко применялись в дока-
зательствах теорем сферической тригонометрии и астрономии в «Кано-
не Мас’уда» ал-Бируни [6, 18], «Трактате о полном четырехстороннике»
Насир ад-Дина ат-Туси [32] и в других сочинениях математиков и
астрономов средневекового Востока. Два построения на сфере, связан-
ные с определением ее диаметра, приведены в «Ключе арифметики»
ал-Каши [22, стр. 145—146].
11.	ПОСТРОЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИИ
В «Конических сечениях» Аполлония имеется 21 задача на построе-
ние. Ими являются, в частности, предложения 52—60 книги I и пред-
ложения 44—50 книги II. «Конические сечения» переведены на арабский
язык в IX в.: книги I—IV — ал-Химси, книги V—VIII—Сабитом ибн
Коррой.
.На средневековом Востоке первым сочинением, посвященным по-
строению конических сечений, был трактат ал-Хасана ибн Мусы ибн
Шакира (одного из трех братьев Бану Муса) «Об удлиненном круге»,
т. е. эллипсе. Трактат не дошел до нас, но название его стало извест-
но из сочинения ученого XII в. Ибн ал-Кифтп «История мудрецов»
{33, стр. 288], а предлагаемое в нем построение эллипса упоминается в
«Трактате об описании конических сечений» ас-Сиджизи.
Во второй главе трактата Абу-л-Вафы даны два построения пара-
болы по точкам, основанные на свойстве, которое мы записываем
уравнением у2 = 2рх.
«Книга о построении трех [конических] сечений» Ибн Синана {11}
посвящена построению по точкам всех трех видов конических сечений:
параболы, эллипса и гиперболы.
Построению конических сечений посвящены: «Трактат об описании
конических сечений» ас-Сиджизи [12, стр. 112—115], трактат «О совер-
шенном циркуле» ал-Кухи [12, стр. 68—111 и 145—175] и «Трактат о
совершенном циркуле и о свойствах черчения с его помощью» Мухам-
мада ибн ал-Хусейна [12, стр. 15—67 и 116—144]. В этих сочинениях из-
лагается непрерывное вычерчивание всех трех видов конических сече-
ний с помощью «совершенного циркуля» (биркар ат-тамм), т. е. такого,
у которого ножка с карандашом может менять свою длину. Для по-
54
•строения конического сечения ножка циркуля с острием устанавли-
вается под постоянным углом а к плоскости чертежа, а ножка с ка-
рандашом — под углом ₽ к ножке с острием и вращается вокру!
нее, причем длина ее изменяется таким образом, что карандаш все
время касается бумаги. Тогда при вращении ножка с карандашом опи-
сывает поверхность конуса, а каранцаш — сечение этой поверхности
плоскостью чертежа. При а>р сечение будет эллипсом, при а = р —
параболой, а при о < ₽ —одной из ветвей гиперболы. Такой циркуль
упоминается и в трактате об астрономических инструментах мароккан-
ского ученого XIII в ал-Хасана ал-Марракуши [34; 6, стр. 19].
Подробнее об этом сказано в наших комментариях к переводу
Книги о построении трех [конических] сечений» [11] Ибн Синана.
Из приведенного обзора видно, что геометрические построения на
средневековом Востоке выполнялись в основнохм циркулем, линейкой,
вставкой и другими инструментами. Однако в отличие от античных ма-
тематиков, построения которых большей частью были мысленными,
лпя ученых средневекового Востока характерен практический подход к
решению задач и внимание к технической стороне дела, особенно от-
1етливо выступающее в описании инструментов у Абу-л-Вафы, Бану
Муса, Мухаммада ибн ал-Хусейна и в изложении основ геометрии у
Ибн Сины. Практическое значение геометрических построений подчер-
кивается тем, что трактат Абу-л-Вафы прямо адресован ремесленникам
и в нем приводятся доказательства или опровержения применяемых
ими методов. Именно запросами ремесленников объясняется внимание
Абу-л-Вафы к более точным построениям с помощью циркуля постоян-
ного раствора.
Геометры средневекового Востока применяли и приближенные по-
строения, например, конических сечений по точкам, а также правиль-
ного семиугольника (Абу-л-Вафа). Среди новых геометрических мето-
дов, применявшихся на средневековом Востоке, помимо вычерчиваний
с помощью циркуля постоянного раствора следует отметить преобразо-
вания многоугольников, построения вершин правильных и полуправиль-
ных многогранников на сфере у Абу-л-Вафы, точечные и непрерывные
построения конических сечений, в частности, с помощью «совершенного
циркуля».
Большинство построений математиков средневековья основано на
методе, называемом в настоящее время алгебраическим. Однако имеют-
ся и построения, базирующиеся на методах геометрических преобра-
зований и геометрических мест.
Таким образом, геометрические построения .получили на средневеко-
вом Ближнем и Среднем Востоке значительное развитие.
ж
Помещенный вслед за данным обзором наш перевод трактата
Абу-л-Вафы снабжен на полях пагинацией по стамбульской рукописи.
В тексте даны надстрочные цифры, соответствующие порядковому но-
меру примечаний, а в квадратные скобки заключены слова, добавлен-
ные переводчиком для ясности, а также римские цифры, представляю-
щие собой порядковые номера разделов трактата. Подписи под чер-
тежами в соответствии с рукописью Абу-л-Вафы имеют вид «ш из и»,
тде m — номер чертежа в главе, а п - номер главы (оба номера даны
римскими цифрами).
1
Абу-л-Вафа ал-Бузджани
КНИГА О ТОМ, ЧТО НЕОБХОДИМО РЕМЕСЛЕННИКУ
ИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИИ*
2	|| Во имя Аллаха милостивого, милосердного.
Это — книга Абу-л-Вафы Мухаммада ибн Мухаммада ал-Бузджани
о том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений.
Я исполнил, что приказал мне наш повелитель государь достославный и
победоносный шахиншах Веха ад-Даула Дия ал-Милла Гияс ал-Умма2,
да продлит Аллах его годы, да сделает вечным его высокое положение
и укрепит его могущество и власть. Я установил смысл того, что упо-
миналось в присутствии его величества из области геометрических по-
строений, так как часто применялось ремесленниками; при этом я
отвлекался от причин и доказательств. Это облегчит ремесленникам
применение этих построений и проложит дорогу к ним.
Книга состоит из тринадцати глав3. Первая глава — о линейке,
циркуле и угольнике. Вторая глава — о принципах, о которых следует
упомянуть прежде всего. Третья глава — о построении равносторонних
фигур. Четвертая глава — о построении фигур, вписанных в круги. Пя-
тая глава — о построении кругов, описанных около фигур. Шестая
глава — о построении кругов, вписанных в фигуры. Седьмая глава —
о построении фигур, вписанных в другие фигуры. Восьмая глава — о
разделении треугольников. Девятая глава — о разделении четырех-
угольников. Десятая глава — о построении квадрата из квадратов и на-
3 оборот. Одиннадцатая глава — о разделении равносторонних || фигур
Двенадцатая глава — о касающихся кругах. Тринадцатая глава — о раз-
делении сферы.
Первая глава
О ЛИНЕЙКЕ, ЦИРКУЛЕ и УГОЛЬНИКЕ
[I] Знай, что правильность и неправильность построений зависит от
трех вещей: линейки, циркуля и угольника.
Самая необходимая из них — линейка4. Это — прямая линия без
искривления. Как сказал Архимед, это самая короткая линия, соеди-
няющая две точки5, например точки Л и В и наоборот. Если от одной
из них к другой проведены несколько линий, например линии АСВ,
ADB и АЕВ, то самая короткая из них — это прямая линия, а именно
линия АСВ. Поэтому если у нас имеется линейка и ее край лежит на
прямой линии, то такая линейка правильная. Такие линейки приме
няются при коротких чертежах и линиях. Если же чертеж или лиши
длиннее, пользуются веревками.
* Перевод с арабского С. А. Красновой.
56
Фотокопия трактата Абу-л-Вафы
(с оригинала стамбульской рукописи)
Линейка исправляется путем шлифовки6. Если то, что мы хотим
исправить, очень длинно, оно разбивается несколькими веревками, а
затем исправляется 'путем шлифовки. Если мы хотим исправить линейку,
то прежде всего прогладим ее напильником, если она сделана из какого-
нибудь твердого материала, например из железа, меди и т. д., или об-
стругаем ее топором, если она деревянная, а затем исправим путем
шлифовки. Если мы окончили исправление линейки и хотим узнать,
оказалась ли она после исправления .правильной, мы положим ее на
ровное место и отметим положение ее края чертой, а затем поменяем
местами ее концы и снова отметим положение ее края чертой. Если эти
две черты совпадут, то линейка правильная, а если же они не совпа-
дут, то мы узнаем, в каком месте имеется искривление, так как оно —
в том месте, где две черты расходятся и не совпадают.
57
Большинство ремесленников проверяют правильность линеики ви-
4 зуально; || когда мы смотрим с одного конца линейки на другой, то
видно, в каком месте она отклоняется вверх, а в каком — вниз. Это про-
исходит по причине прямизны лучей.
I из I
{II] Построение циркулем. Что касается циркуля7, то он нужен
для проведения окружностей и их частей и построения равных величин.
Правильность его определяется правильностью его отверстия и прямиз-
ной оснований его ножек, которые должны накладываться друг на
друга, а также прямизной оси, так как если имеется неисправность в од-
ном из этих элементов циркуля, то она нарушает его движение как в
раскрытом, так и в сомкнутом 'положении, ограничивая его. Если же
отверстия на обеих ножках правильные, основания ножек равны, а ось
ровная и расположена прямо, то это указывает на правильность цир-
куля и его движение как в раскрытом, так и в сомкнутом положении яв-
ляется одним и тем же и нигде не ограничивается. Лучше всего та-
кой циркуль, к оси которого прикреплен барашек — приспособление,
позволяющее ремесленнику раздвигать и сдвигать циркуль и закреплять
на том расстоянии, на котором он хочет его закрепить с различной сте-
пенью подвижности и неподвижности, так что если в нем окажется
изъян, его можно быстро исправить.
То, что мы упомянули, относится к определению правильности цир-
куля, когда чертеж мал и окружности меньше двух локтей. Если же
расстояние больше этого, то циркули при таких построениях колеблются,
поэтому нам нужно упомянуть колесный циркуль8, т. е. такой [цир-
куль], который укреплен на линейке. Если мы хотим изготовить колес-
ный циркуль, мы изготовим две ножки для малого циркуля, затем при-
крепим на линейке в двух точках два барашка и две ножки, каждую
на одном из концов линейки, на том расстоянии, на котором мы хотим
раскрыть циркуль. Если угодно, проделаем на середине линейки по
-5 прямой линии II много отверстий и будем прикреплять к ним ножку,
которой циркуль чертит линию, на том расстоянии, на котором мы хо-
тим раскрыть циркуль. Затем поставим неподвижную точку в том
месте, где мы хотим получить центр круга, а второй ножкой опишем
круг. Вот чертеж этого.
II ЙЗ I
[Ш] Если угодно, прикрепим на одном из концов линеики острый
гвоздь, этот конец будет [соответствовать] центру, а на другом конце
проделаем отверстия на расстояниях, [равных тем или иным делениям]
58
линейки. Таким образом можно описывать и малые и большие [окруж-
ности] и отделить построение больших и малых (окружностей]. Вот
чертеж этого.
Ill из I
[IV]	Построение угольником. Что касается угольника9, то это —
прямой угол. Он необходим »при построении квадратов. Имеется много
способов лучшего и худшего выполнения этого. Коснемся здесь кратко
некоторых из этих способов, чтобы не слишком удлинять книгу. Вот
чертеж одного из них.
[V]	Если мы хотим сделать угольник с правильным прямым углом,
проведем прямую линию, например АВ, произвольной длины и опишем
из ее концов два равных круга, пересекающихся в точках С и D. Соеди-
ним С с D, тогда CD пересечет АВ в точке Е и каждый из образую-
щихся при этом углов—прямой10. Вот чертеж этого.
V ив I
[VI]	О построении угольника. Если мы хотим это, построим на ли-
нии АВ полукруг и отметим на нем произвольную точку, например
точку С. Проведем из нее линии к точкам || А и В. Получим прямой 6
угол ЛСВ 11 Вот чертеж этого.
59
[VII]	Если говорящий сказал: мы хотим построить в конце линии
.45 в точке А прямой угол -при невозможности продолжения линии АВ
в ее направлении в сторону точки Л, то как построить ее? Отметим на
линии АВ точку С в произвольном месте и, раскрыв циркуль по величине
расстояния АС, опишем из точек А и С два круга, пересекающиеся в
точке D. Соединим С с D и продолжим CD в ее направлении до точ-
ки Е так, чтобы DE была равна линии CD. Соединим А с Е. Получит-
ся прямой угол А 12. Вот чертеж этого.
[VIII]	О (построении угольника в конце линии. Если угодно, опишем
на линии АВ полукруг и разделим его пополам в точке С, как объяс-
ним далее. Соединим ВС и продолжим ВС в ее направлении до D так.
чтобы DC была равна СВ. Соединим AD. Получится прямой угол
РЛВ13. Вот чертеж этого.
[IX]	Определение правильности угольника. Если мы имеем уголь-
ник и хотим узнать, правильный ли его прямой угол или нет, то этс
можно сделать при помощи построения, упомянутого нами перед этим.
Пример этого. Если мы хотим узнать, является ли в угольнике, по-
строенном на АВ, его угол при точке А прямым или нет, то отметим на
прямой АВ точку D и, воспользовавшись способом, который мы изло-
жим далее, построим пересечение двух кругов [с центрами в точках D
7 и Л] — точку G. Тогда соединим G и D и продолжим GD до точки || С.
построим линию GC, равную линии GD и рассмотрим точку С. Если
она попадет на линию АЕ, то угол—прямой, т. е. угольник правильный,
если она попадет вне линии АЕ, то угол — острый, т. е. меньше прямо-
го, если же она попадет внутри линии АЕ, то угол-- тупой, т. е.
больше прямого 14. Вот чертеж этого.
60
[X]	Второй способ определения правильности угольника, принад-
лежащий ремесленникам. Ремесленники применяют другие способы
проверки правильности угольника, а именно: если они хотят определить
правильность угла А угольника, они откладывают в сторону АЕ от точ-
ки А циркулем три равные меры некоторой величины, откладывают в
сторону АВ четыре меры той же величины и соединяют конечные поло-
жения обеих мер линией. Тогда если эта линия содержит пять мер, тс
угол угольника действительно прямой; если в линии больше пяти ча-
стей, то угол — тупой, а если меньше пяти, то угол — острый ,5. Вот
чертеж этого.
[XI]	Другой способ проверки угольника. Можно рассматривать и
другие способы этого, как например: если мы отложим на линии АЕ
пять мер, а на линии АВ — двенадцать мер и соединим конечные точ-
ки гипотенузой, то, если она содержит тринадцать мер, угол угольника
правильный, если же не так, то имеется ошибка 16. Вот чертеж этого.
61
Глава вторая
О ПРИНЦИПАХ, О КОТОРЫХ СЛЕДУЕТ УПОМЯНУТЬ ПРЕЖДЕ ВСЕГО
[I]	Если он сказал: как разделить пополам прямую линию или дугу
# круга, || например линию АВ и дугу [ЛВ]. то примем точки ее концов за
центры и опишем два равных круга, пересекающихся в точках D и С
Соединим их прямой линией DC. Она разделит линию АВ или дугу
пополам в точке Е 17. Вот чертеж этого.
[II]	Другой способ деления линии пополам и на большее число
частей. Если он сказал: как разделить прямую линию пополам, на три
равные части или на большее число частей, то пусть это — линия АВ
Восставим в точке А линию АС под прямым углом, если угодно, с по-
мощью построения, если угодно, с помощью угольника. Восставим при
точке В линию BD в другую сторону также под прямым углом. Тогда,
если мы хотим разделить линию АВ пополам, сделаем линию [В]О рав-
ной линии АС и проведем линию CD, которая пересечет линию АВ в
точке Е пополам. Вот чертеж этого.
II из II
[III]	Если же мы хотим разделить линию Л В на три равные части
го добавим к линии BD линию DG, равную линии BD, и проведем ли-
нию CG, которая отсечет от линии АВ линию АН — ее треть. Далее
добавим к линии АС равную [ей] линию CF и соединим F и D Линия
FD отсечет от линии АВ линию ЕН — другую треть, останется линия
ЕВ -третья треть. Таким образом мы разделим линию АВ на три пя-
сти 18 Вот чертеж этого.
III из II
62
Если мы хотим разделить линию АВ на четыре равные части, или
9 пять равных частей, или другое число частей, [то поступаем] || таким же
образом.
Если мы хотим отложить треть, или четверть, или какую-нибудь
[другую] долю, то произведем построение, разъясненное в этой главе.
[IV]	Если он сказал: как разделить данный прямолинейный угол,
например АВС, пополам, то примем точку В за центр и опишем (из нее]
на произвольном расстоянии [круг]. Этот круг пересечет две прямые
[являющиеся сторонами угла] в двух точках D и Е. Затем примем точки
D и Е за центры и опишем [из них] два равных круга, пересекающихся
в точке G. Соединим точки В и G линией BG. Тогда прямолинейный
угол АВС будет разделен линией BG пополам 19. Вот чертеж этого.
[V]	Если он сказал: как провести из точки А к линии ВС линию,
стоящую на ней под прямым углом, то опишем из центра А круг, пе-
ресекающий линию ВС в двух местах — в точках D и Е. Разделим ли-
нию DE пополам в точке G и проведем линию AG. Тогда каждый из
твух углов при точке G —прямой20. Вот чертеж этого.
V .из II
[VI]	Если он сказал: как провести в пространстве из точки А ти-
нию к плоскости, например к плоской стене, к участку земли или к кры-
ше, стоящую на ней под прямым углом, то проведем в этой плоскости
произвольную линию — линию ВС, опишем из центра А круг, пересе-
VI из II
63
кающий линию ВС в точках D и Е, разделим DE пополам в точке G и
проведем из нее линию HGF под прямым углом к ВС. Опишем также из
центра А круг, пересекающий линию HGF в точках 1 и К, разделим
линию IK пополам в точке L и соединим А и L. Тогда линия AL стоит
на этой плоскости под прямым углом 21.
Если имеется плоский участок земли и если ремесленники опускают
10 из [некоторой] точки отвес || на эту плоскость, то место паления отвеса
является основанием перпендикуляра. Вот чертеж этого.
[VII]	Если он сказал: как построить угол, равный прямолинейному
углу АВС, на линии DE при точке D, то примем точку В за центр и
отметим на одном и том же [расстоянии] А и С. Примем также точку
D за центр и на том же расстоянии опишем дугу [EG]. Примем точку
Е за центр, на расстоянии АС отметим G и соединим D и G. [Получим
угол EDG] равный углу АВС22. Вот чертеж этого.
VII из II
[VIП] Если он сказал: как провести через точку А линию, парал-
лельную прямой линии ВС, то отметим на линии ВС произвольную
точку D, проведем AD, отметим на расстоянии DA от центра D точку Е,
,а из центра А на расстоянии AD опишем дугу DG. Затем отметим на
расстоянии АЕ от центра D точку Н и соединим АН. Получится \АН]
линия, параллельная ВС23. Вот чертеж этого.
[IX]	Если мы хотим построить эту линию с помощью более легкого
^способа ремесленников, то расположим линейку на линии ВС, уста-
новим циркуль по некоторой величине, и если одна ножка циркуля бу-
дет двигаться вдоль линейки, а другая ножка будет двигаться из точки
А, то линия, описываемая этой ножкой, будет параллельна линии ВС.
.'Вот чертеж этого
А
*
D
[IX из И]
В
.64
[X]	Если он сказал: как найти центр круга, то отметим на его
кружности точки А и В и опишем на расстоянии АВ два равных круга,
которые пересекутся в точках D и Е. Проведем линию DE и продолжим
^е до пересечения с кругом в точках С и G, затем разделим линию CG
пополам в точке Н. Тогда точка И является центром круга24. Чертеж
4того на следующей странице.
|| Построение этой задачи возможно и другим способом. Отложим 11
дугу АВ, построим на линии АВ при точке В прямой угол АВС, соеди-
ним АС и разделим АС пополам в точке D. Тогда точка D— центр кру-
25. Вот чертеж этого.
Таковы действия для определения центра круга.
[XI]	Если он сказал: как дополнить часть круга [до полного круга],
то построим часть ЛВС, разделим ее пополам в точке В, проведем
линии АВ и ВС и построим при каждой из точек Л и С .на линиях АВ и
ВС прямые углы, а именно BAD и BCD. Проведем BD и разделим ее
иополам в точке Е Тогда точка В —центр дуги АВС26. Вот чертеж
'-’того.
XI из п
[XII]	Если он сказал: как провести из точки А касательную к кругу
ВС. центром которого является точка D, то проведем линию AD; она
пересечет круг ВС в точке В. Опишем из центра D на расстоянии DA
круг АЕ. Построим при точке В прямой угол АВЕ и проведем ED, пере-
секающую круг ВС в С. Соединим Л и С. Тогда линия АС— касатель-
ная к кругу ВС27. Вот чертеж этого.
П ч V
XII из II
г Заказ 338
65
[XIII]	Если он сказал: как провести касательную из точки А на
окружности круга АВС, то соединим точку А с центром круга точкой
D, [т. е.] соединим А и D линией AD. Построим три точке А на линии
AD прямой угол DAE. Тогда линия АЕ — касательная к кругу ЛВС28
Вот чертеж этого.
XII I из II
12
[XIV]	Если он сказал: как построить между линиями АВ и АС тре
угольника АВС линию, параллельную ВС и равную данной линии D [и
если линия ВС больше линии В, то отложим на линии ВС линию ВЕ,
равную D, а если линия ВС меньше линии D, то продолжим линию ВС
в ее направлении до такой точки В, что ВЕ равна D]. || Проведем из
точки Е линию, параллельную линии АВ; это — линия EG. Она пересе-
чет линию АС в точке G. Проведем из точки G линию, параллельнук
линии ВС; это — линия GH. Тогда линия GH равна линии D и парал-
лельна линии ВС2\ Вот чертеж этого.
XIV из II
[XV]	Если он сказал: как тровести между линиями АВ и АС тре-
угольника АВС линию, параллельную линии ВС, например линию DE
равную отрезку, отсекаемому ею на линии АВ, т. е. равную линии ЕВ,
то разделим угол АВС пополам линией BD и проведем из точки D ли-
нию DE, параллельную линии ВС. Тогда линия DE равна линии ЕВ3(}
Вот чертеж этого.
XV из П
66
[XVI]	Если он сказал: как провести в треугольнике АВС линию,
например линию DE, параллельную линии ВС и равную BEF, то отло-
жим на линии ВС линию BG, равную линии [Е]В, [проведем через точ-
ку G линию GH, параллельную АВ\ проведем из точки G линию, [деля-
щую] угол HGC пополам, — линию GD и проведем из точки D линию
DE, параллельную линии ВС. Тогда линия DE параллельна линии ВС
и равна BEF3[. Вот чертеж этого.
А
XVI из II
[XVII]	О построении треугольника, равного другому треугольнику.
Если он сказал: как построить треугольник со сторонами, равными сто-
ронам другого треугольника, [например, ЛВС], то проведем прямую ли-
нию DF и отложим DG, равную линии АВ, GH, равную линии ВС, и
HF, равную линии СА. Примем точку G за центр и на расстоянии GD
опишем часть круга, примем также точку Н за центр и на расстоянии
HF [опишем] часть круга. Первая часть пересечет [вторую] в [точке] /.
Далее проведем линии GI и 1Н. Тогда в треугольнике GIH стороны
равны сторонам треугольника [ЛВС]32. Вот чертеж этого.
[XVII .из II]
[Х\ III] О делении угла на три равные части. Если он сказал: как
разделить угол АВС на три равные 1| части, то, если угол прямой, 13
построим на линии ВС равносторонний треугольник DBC, Тогда угол
ABD — треть прямого угла, а остаток DBC — две трети прямого33. Вот
чертеж этого.
XVIII из II
[XIX]	Если угол АВС меньше прямого [угла], то примем точку В за
центр и опишем на расстоянии ВА круг DAC. Поставим BD на ВС под
6Г
5*
прямым углом и продолжим СВ [до пересечения с кругом] в [точке] £.
Приложим линейку к точке А и будем двигать ее по окружности круга
CDE до тех пор, пока линия HF, которая находится между перпендику-
ляром DB и дугой DE, не станет равной линии DB. причем линейка
не сойдет с точки А. Далее построим дугу ЕК, равную дуге EF, прове-
дем КВ и продолжим ее в ее направлении до точки [£]. Тогда угол
LBC — треть угла АВС. Далее разделим угол ABL пополам44. Вот
чертеж этого.
[XX]	Другой способ деления угла на три равные части. Построим
острый угол — угол АВС, опустим из точки А перпендикуляр АН на
линию ВС и проведем из точки [Л линию] AG параллельно ВС. При-
ложим линейку к точке В и будем двигать ее по линиям AG и АН
тех пор, пока линия, которая находится между линиями ДО и АНК т. е.
линия ED, не станет равной удвоенной линии АВ. Это, например, ли-
ния DEB, так что линия DE — удвоенная линия [ЛВ]. Тогда угол DBC —
треть угла ЛВС35. Вот чертеж этого.
[XXI]	О делении дуги на три равные части. Если он сказал: как раз-
делить дугу ABD на три равные части, то найдем центр круга, на ко-
тором [расположена] эта дуга. Пусть [это] — точка Е. Соединим А и В, Е
14 и D и разделим AED на три равные части || линиями ЕВ и ЕС, пересе-
кающими дугу ABCD в точках В и С. Тогда дуга ABCD будет разделе-
на на три равные части — дуги АВ, ВС и СО36. Вот чертеж этого.
£
XXI не II
68 :
[XXII]	О построении дома или шара, равных удвоенному другому
дому или шару или [взятых] в других [отношениях]. Если он сказал: как
построить квадратный [дом] с равными длиной, шириной и высотой,
являющийся удвоенным другим квадратным домом, или каким образом
построить шар, являющийся удвоенным другим шаром, или разделить
пополам или взять в других отношениях, то 'построим линию АВ [рав-
ную] длине дома или диаметру шара, построим линию АС, равную
[удвоенной] линии АВ под прямым углом, и дополним плоскую фигуру
ABCD. Проведем диагональ AD, разделим ее пополам в точке F и про-
должим линии DC и DB в их направлении. Установим край линейки на
точку А и будем двигать ее по [продолжениям] линий DC и DB до тех
пор, пока [она не пересечет их в таких точках £ и G, что] линии GF и
EF будут равны. Тогда длина дома или диаметр шара есть линия ВЕ37.
Вот чертеж этого.
[XXIII]	О построении зажигательного зеркала. Если мы хотим по-
строить зеркало, которое зажигает при помощи солнечных лучей [пред-
мет] на некотором расстоянии, то построим сначала лекало, определяю-
щее зеркало. Для этого проведем круг, полудиаметр которого равен ве-
личине расстояния, на котором мы хотим зажечь [предмет]. Пусть это —
круг АВС. Проведем его диаметр ADC. Отложим на линии DC от точки
С несколько равных отрезков. Чем эти отрезки меньше, тем будет луч-
ше и точнее лекало. Пусть это —отрезки CF, FH, HG, GE и ED. Про-
ведем через точки D, Е, G, Н и F линии под прямым углом [к CD] и
продолжим их в обе стороны до точек В, /, К. L и М. Соединим С и В,
С и /, С и К, С и L, С и М. Построим линию F.V, равную линии СМ,
линию НХ, равную линии CL, линию GO, || равную линии СК. линию 15
ЕР, равную линии С/, и линию DS, равную линии СВ. Соединим
точки С, /V, X, О, Р и S и выполним лекало по этой линии. Затем: из-
готовим зеркало из металла, например железа, бронзы, меди или цин-
ка, и, если возможно, отполируем его до блеска. Если зеркало полу-
чилось кривое, исправим его по лекалу, наложив лекало на зеркало
таким образом, чтобы точка С совпала с серединой лекала, и добьем-
ся того, чтобы зеркало совпало с лекалом. Тогда мы получим зажига-
тельное зеркало с большой зажигательной силой38. Вот чертеж этого
[См. стр. 70].
[XXIV]	Второй способ построения лекала для зажигательного зерка-
ла. Если мы хотим построить это, то построим произвольное расстояние*
пусть его половина — линия АВ, и продолжим ее в ее направлении до
точки С. Восставим в точке В линию DB перпендикулярно к ВС в обе
стороны и отложим на линии ВС равные малые линии — линии BE, EG,
69
<jH и НС. Разделим АЕ пополам в точке F и из центра F на расстоя-
нии FA опишем круг. Он пересечет линию BD в точках 1. Проведем из
точек / линии 1L, параллельные линии АС, а из точки Е— линию, па-
раллельную линии BD, до точек L. Затем разделим линию AG пополам
в точке М и из центра М на расстоянии МА опишем круг. Он пересечет
линию BD в точках N. Проведем из точек N линии NX, параллельные
линии АС, до точек X. Затем разделим линию АН пополам в точке О
и из центра О на расстоянии ОА опишем круг. Он пересечет BD в точ-
16 ках Р. Проведем из точек Р линии, параллельные линии ВС, до точек ||
Z. Соединим точки В, L, X и Z линией и получим лекало. Если мы про-
веряем лекало, мы поместим его в точку В в середину зеркала. Таким
образом мы получим зажигательное зеркало39. Вот чертеж этого.
70
Глава третья
О ПОСТРОЕНИИ РАВНОСТОРОННИХ ФИГУР
[I]	О построении треугольника. Если он сказал: как (построить на
линии ЛВ равносторонний треугольник, то из каждой из точек А и В
как из центров опишем на расстоянии АВ круги. Они пересекутся в
т-.чке С. Соединим точку С с точками А и- В линиями С А и СВ. Полу-
ится равносторонний треугольник АВС40. Вот чертеж этого.
I из III
[II]	О построении квадрата. Если он сказал: как построить на ли-
нии ЛВ равносторонний [и равноугольный] четырехугольник, то восста-
вим в каждой из точек А и В перпендикуляры, равные линии АВ; это —
линии АС и BD Соединим С и О. Получим равносторонний [и равно-
угольный] четырехугольник ABCD41. Вот чертеж этого.
[II из III]
[III]	О построении пятиугольника. Если он сказал: как построить
на линии АВ равносторонний пятиугольник, то восставим в точке В
перпендикуляр ВС, равный линии АВ. Разделим [линию] АВ пополам
в точке О, опишем из точки D как из центра на расстоянии DC дугу СВ,
продолжим линию АВ до точки Е. Затем из каждой из точек А и В как
из центров опишем на расстоянии АЕ дуги. Они пересекутся в точке G.
Проведем линии AG и BG. Получим треугольник АВС — треугольник
пятиугольника. В нем нуждаются во многих построениях. Затем из точек
4 и G как из центров на расстоянии АВ опишем дуги; они пересекутся
в точке Н. Затем также из точек В и 6 как из центров опишем дуги,
пересекающиеся в точке В. Проведем линии АН. || HG. GF и FB. Полу- 17
чим равносторонний и равноугольный пятиугольник ABFGH^2. Вот чер-
/еж этого. [См. стр. 72.]
[IV]	Если он сказал: как построить на линии АВ равносторонний
пятиугольник, имея [только] раствор циркуля, равный линии АВ, так,
чтобы его положение не изменялось, то восставим на линии АВ линию
ВС перпендикулярную к ней и равную линии АВ. Разделим линию АВ
пополам в точке D. соединим с С, отложим [на ней] линию DI. равную
линии АВ, разделим [D1] пополам в точке К и восставим в точке К пер-
пендикуляр КЕ. пересекающий линию АВ в точке Е. Далее из каждой
из точек А и Е как из центров на расстоянии АВ опишем дуги, которые
пересекутся в точке М Проведем ВМ и продолжим ее в ее нашравле-
71
Ill И!3 I'll
нии до G и сделаем MG равной линии АВ. Соединим А и О. Примем
точки Л и G за центры и на расстоянии АВ отметим точку Н. Примем
точки В и G за центры и на расстоянии АВ отметим [точку] F. Проведем
линии АН. HG. GF и FB. Получится равносторонний пятиугольник
ABFGH43. Вот чертеж этого.
[IV из III]
[V]	О построении шестиугольника. Если он сказал: как построить
равносторонний и равноугольный шестиугольник на линии АВ, то по-
строим для этого равносторонний треугольник; это — треугольник АВС
Продолжим линии АС и ВС в их направлении до точек Е и G. Постро-
им на ВС еще один равносторонний треугольник BCD. Продолжим ли-
нию DC в ее направлении до точки Н, сделаем линии СЕ, HG, СН и CD
равными линии СА и проведем линии DE, EG, GH и НА. Получится
равносторонний и равноугольный шестиугольник ABDEGH44. Вот чер-
теж этого.
72
|| [VI] О построении семиугольника. Если он сказал: как построить 18
на линии АВ равносторонний семиугольник, то сделаем линию ВС рав-
ной линии АВ, построим на линии АС равносторонний треугольник DAC
и опишем около треугольника ADC круг, как .показано в пятой главе.
Проведем в нем хорду — линию АЕ, равную линии АВ, и разделим АЕ
пополам в точке G, восставим перпендикуляр GH и продолжим его до
окружности круга. Разделим АВ пополам в точке F, восставим в ней
перпендикуляр F1, равный перпендикуляру GH. Проведем через точки
А, В и / круг АВ1 и отложим [на нем] дуги АК, KL, LI, IM, MN и NB,
равные дуге АВ. Проведем линии АК, KL, LI, IM, MN и NB; это — рав-
носторонний и равноугольный семиугольник45. Вот чертеж этого.
VI из III
[VII]	О построении восьмиугольника. Если он сказал: как построить
равносторонний восьмиугольник на линии АВ> то продолжим АВ в ее
направлении до точек С и D и построим при каждой из точек А и В
углы ЕАС и GBD, [равные] половине прямого. Сделаем каждую из ли-
ний АЕ и BG равной линии АВ, опустим из каждой точки Е и G пер-
пендикуляры ЕС и GD на линию DC и дополним квадрат CHKJD. Сдела-
ем каждую из линий HI, HF, KL и КМ равной линиям СЕ и GD и
соединим I и F, L и М. Получится равносторонний восьмиугольник
ABGMLFIE^. Вот чертеж этого.
VII .из III
[VIII]	Если он сказал: как построить на линии АВ равносторонний
восьмиугольник, имея [только] раствор циркуля, равный раствору линии
АВ, так, чтобы его положение не изменялось, то построим на линии АВ
равносторонний и равноугольный четырехугольник ABCD, || проведем 19
линии DB и СА и продолжим их в их направлении до точек Е и G.
73
Сделаем каждую из линий АЕ и BG равной линии АВ, соединим EG,
восставим к линии EG перпендикуляры EI и GM, равные линии АВ, и
соединим М и 1. Продолжим каждую из линий EI и GM в их направле-
нии до точек К и Н и разделим каждый из углов Ml К и 1МН пополам
линиями ML и IF. Сделаем каждую из линий ML и IF равной линии АВ
и соединим FL. Получится равносторонний и равноугольный восьми-
угольник ABGMLFIE47. Вот чертеж этого.
VIII из III
[IX]	О построении девятиугольника. Если он сказал: как построить
на линии АВ равносторонний и равноугольный девятиугольник, то опи-
шем круг CDE произвольного размера с центром в точке G, отметим на
нем точку С, примем ее за центр и на расстоянии полудиаметра круга
отметим [точки] Е и D. Разделим дугу DE на три равные части. Пусть
одна такая дуга — ЕН. Проведем линии EG, ЕН и HG. Проведем меж-
ду линиями EG и HG линию FI, равную линии АВ и параллельную ли-
нии ЕН. Примем точки А и В за центры и на расстоянии FG опишем
круги, которые пересекутся в точке К. Примем точку К за центр и на
расстоянии КА [опишем] круг ABL. Разделим дугу ALB на восемь рав-
ных частей и соединим эти [точки деления] хордами. Получится равно-
сторонний и равноугольный девятиугольник на линии Л В48 Вот чер-
теж этого.
{IX из III]
20	|| [X] О построении десятиугольника. Если он сказал: как построить
па линии АВ десятиугольник, то разделим линию АВ пополам в точке С,
восставим перпендикуляр BD в точке В, равный линии АВ, примем
точку С за центр и на расстоянии CD отметим Е на линии АВ Далее
74
каждой из точек А и В как из центров на расстоянии АЕ опишем две
дуги, пересекающиеся в точке G. Примем точку G за центр круга, в ко-
торый [вписан] десятиугольник, сторона которого — линия АВ. Поэтому
если мы опишем с центром G на расстоянии AG круг ABFH, продолжим
линии AG и GB в их направлении [до окружности круга] до точек F и Я,
разделим каждую из дуг АН и BF на четыре равные части и соединим
точки деления хордами, тогда получим равносторонний и равноуголь-
ный десятиугольник49. Вот чертеж этого.
[XI] Если он сказал: как построить на линии АВ десятиугольник с
равными сторонами и углами, имея [только] раствор циркуля, [равный]'
линии АВ, то построим на ней [треугольник] пятиугольника, как показа-
но выше в четвертом предложении. Пусть точка G — [вершина] угла,
противолежащего линии АВ. Соединим линиями А и G, В и G. Примем
точку G за центр и на расстоянии АВ опишем круг CDFH. Продолжим
линии AG, BG в их направлении до окружности круга до точек F и Н.
Разделим каждую из дуг CF и DH на четыре равные части, [получим]
XI из Ш
75
части FI, IK, KM, MC, HL, LN, NX, XD, проведем линии GF, GI, GK,
GM, GL, GN, GX, GD, GC, [GH] и прибавим на каждой из этих линий,
выходящих из центра, начиная от круга CDHF, линии, равные линии AD.
Это — линии, на концах которых 00. Соединим их прямыми линиями
между собой и точками А и В. Получится равносторонний и равно-
угольный десятиугольник Л ВО50. Вот чертеж этого.
21	Глава четвертая
О ПОСТРОЕНИИ ФИГУР, ВПИСАННЫХ В КРУГИ
Знай, что ремесленники строят фигуры, вписанные в окружности и
описанные около них, путем деления окружностей на сколько угодно'
[равных] частей. Например, для построения пятиугольника, вписанного’
в круг, делят его на пять равных частей, соединяют места деления и
проводят из мест деления линии, касающиеся круга, и таким образом
строят вписанный в круг пятиугольник с равными сторонами и углами
и [такой же пятиугольник], описанный около него. Это построение не-
сложно для шестиугольника даже для неумелых ремесленников. При хо-
рошем искусстве ремесленник ударяет, вращая, парой чеканов, соеди-
ненных на [расстоянии, равном] величине стороны -пятиугольника, шести-
угольника, десятиугольника и других фигур, в соответствии с тем, что
мы доказали в этой книге. Тот, кто производит деление, раздвигая и
сдвигая циркуль много раз, достигает желаемого только с большим
трудом и лишь приближенно. Если же поступать так, как мы указали,
следуя при определении сторон этих фигур по пути известного искус-
ства, для которого известны геометрические доказательства, то знай,
что если ты построишь одну из этих фигур, вписанную в круг, и твое
построение этой фигуры будет правильно, то, если ты проведешь из мест
дечения линии, касающиеся круга, на чертеже получится фигура, опи-
санная около него. Что касается кругов, описанных около фигур и впи-
санных в фигуры, то они различны, а о каждом из них в этой книге
доказано, как его нужно строить.
[I] Построение треугольника, вписанного в круг. Если он сказал:
как построить вписанный в круг треугольник с равными сторонами, то
построим крут АВС с центром в точке D, проведем в нем диаметр ADE,
примем точку Е за центр и на расстоянии ED отметим точки В и С,
соединим линиями [точки] А, В и С. Тогда получим равносторонний тре-
угольник ЛВС51. Вот чертеж этого.
22 [II] Построение треугольника, описанного около крута. || Если мы
хотим описать около круга АВС равносторонний треугольник, то впишем
76
в него равносторонний треугольник АВС, проведем из каждой из точек
А, В и С касательные линии до встречи в точках G, Я. F. Тогда получим
равносторонний треугольник HGF52. Вот чертеж этого.
{II из IV]
IIII] Построение квадрата, вписанного в круг. Если он сказал: как
вписать в круг равносторонний и равноугольный четырехугольник, то
построим круг AB[C]D, проведем в нем диаметры АС и BD, пересекаю-
щиеся под прямым углом, проведем линии АВ, ВС, CD, DA. Тогда по-
лучим равносторонний [и равноугольный] четырехугольник ЛВС/)53. Вот
чертеж этого. [См. ниже.]
[IV]	Если он сказал: как вписать в круг равносторонний [и равно-
угольный] четырехугольник, имея раствор циркуля, [равный] полудиамет'
ру круга ABCD, то проведем диаметр АС. Примем точку А за центр и
раствором циркуля [отметим] точки Е и G, соединим Е и G. Примем
точку С за центр и на расстоянии АЕ отметим Я и В, соединим Я и В.
Проведем линии KG и IF, они пересекутся в точке М Соединим
точки М и центр и продолжим эту линию в ее направле-
нии до точек В и D. Соединим АВ, ВС, CD, DA. Получится равносто-
ронний [и равноугольный] четырехугольник ЛВС/)54. Вот чертеж этого.
[V]	Если угодно, отметим на окружности точку подобно тому, как
было раньше. Далее [тем же] раствором отметим две части окружности,
на которой отмечена точка Л; назовем их АВ и ВС. Разделим ВС по-
полам в точке D Соединим О и Л, восставим в каждой из них перпен-
дикуляры [к DA] до бесконечности: Они пересекут круг в точках Е и G.
77
Jалее соединим EG, как на этом чертеже. Эта фигура — на чертеже на
противоположной странице.
23
[VI]	Если угодно, примем точки А и С за центры и [тем же] рас-
твором циркуля отметим [точки] Е, G, Н и F. Проведем линии EG и
HFt пересекающие линию АС в точках / и К. С центрами [в этих точках]
и на расстоянии [раствора циркуля опишем] два круга, пересекающиеся
в точках L и М. Соединим между собой L и М, продолжим [ZJW] до то-
чек В и D. Проведем линии АВ, ВС, CD и DA. Получим равносторонний
и равноугольный четырехугольник. Вот чертеж этого.
[\ II] Если угодно, примем точки Е, G, Н, F за центры и опишем
круги, пересекающиеся в точках I и К. Проведем линию /К, она пере-
сечет круг в точках В и D. Проведем линии АВ, ВС, CD и DA, Тогда
получим равносторонний [и равноугольный] четырехугольник ABCD
Вот чертеж этого.
VII из IV
78
Если угодно, соединим точки Л, F и С, G. Линии, соединяющие
точки Л, F и С, G, пересекаются в точке М. Соединим ее с центром, про
должим эту линию до точек В и D. Вот чертеж этого.
[VIII]	Построение пятиугольника, вписанного в круг. Если он ска-
зал: как построить вписанный в круг пятиугольник с равными сторонами
[и углами], то примем за центр точку £>, проведем [диаметр] ADC, вос-
ставим в точке D перпендикуляр DB, разделим AD пополам в точке Е,
примем точку Е за центр и на расстоянии ЕВ отметим точку G, примем
точку В за центр и на расстоянии BG отметим точку F. Тогда получим
дугу BF — одну пятую круга. Построим дугу IF, IK, КН и НВ, равные
дуге BF, проведем || линии BF, FI, IK, КН, НВ, тогда получим равно- 24
сторонний и равноугольный пятиугольник BFIKH55. Вот чертеж этого.
[IX]	Если он сказал: как построить вписанный в круг АВС равно-
сторонний [и равноугольный] пятиугольник раствором циркуля, равным
полудиаметру, и [если] центр круга — D, то построим на линии DA тре-
угольник, который строился при построении пятиугольника на линии АВ.
Пусть это — треугольник ADG, он пересекает круг АВС в точке С.
Разделим дугу АВС на четыре равные части в точках В, Н, Е и С,
проведем линии АС, СЕ, ЕН, НВ и ВА. Тогда получим пятиугольник с
равными сторонами [и углами] АСЕНВЪ&. Вот чертеж этого.
IX из IV
79>
[X]	Другой способ построения пятиугольника, вписанного в Kpyi
Восставим к линии DA перпендикуляр АЕ, равный линии DA, разделим
линию DA пополам в точке G, проведем GE, отложим линию GH, рав-
ную линии AD, разделим ее пополам в точке F, восставим перпендику-
ляр FI, пересекающий /)4 в точке I, Примем точку / за центр и на рас-
стоянии DA отметим М и L. Тогда дуга ML — одна пятая круга. Вот
чертеж этого.
{X из IV]
[XI]	Построение шестиугольника, вписанного в круг. Если он ска-
зал: как вписать в круг равносторонний [и равноугольный] шестиуголь-
ник, то проведем [полу]диаметр AD, из каждой из точек А и D как из
центров на расстоянии полудиаметра отметим В и Н, Е и G. Проведем
линии АВ, BE, ЕС, CG, GH и НА. Получим равносторонний и равно-
угольный шестиугольник ABECGH^7. Вот чертеж этого.
25	|| [XII] Построение семиугольника, вписанного в круг. Если он ска-
зал: как построить вписанный в круг равносторонний [и равноугольный]
семиугольник, то 'проведем диаметр ADC, примем точку А за центр и на
расстоянии AD, т. е. полудиаметра, отметим В и Е, проведем BE, она
пересечет линию АС в точке G. Примем точку В за центр и на расстоя-
нии BG отметим [точку] Н. Тогда дуга ВН— одна седьмая круга при-
ближенно. а не точно. Поэтому если разделить круг АВСЕ на части,
равные дуге ВН, соединить между собой места деления, то получим рав-
носторонний [и равноугольный] семиугольник BHFlKL{M]b3 Вот чер-
теж этого.
80
XII из IV
[XIII]	Построение восьмиугольника, [вписанного в круг]. Если он
сказал: как вписать в круг равносторонний и равноугольный восьми-
угольник, то построим в нем равносторонний и равноугольный четырех-
угольник, разделим каждую дугу пополам и соединим места деления
прямыми линиями с новыми [точками]. Получится равносторонний [и
равноугольный] восьмиугольник. Вот чертеж этого.
XIII из IV
[XIV]	Построение девятиугольника, вписанного в круг. Если он ска-
зал: как вписать в круг равносторонний [и равноугольный] девятиуголь-
ник, то впишем в круг равносторонний треугольник, разделим каждую
дугу на три равные части и соединим места деления прямыми линиями.
Получим равносторонний и равноугольный девятиугольник. Вот чертеж
этого.
XIV из IV
[XV]	Построение десятиугольника, вписанного в круг. Если он ска-
зал: как вписать в круг десятиугольник, то, если угодно, впишем в него
пятиугольник, разделим каждую из дуг пополам [и соединим линиями
6 Заказ 338
81
точки деления], получится вписанный десятиугольник. Если угодно,
26 впишем пятиугольник подобно построенному ранее, а затем, || как рань-
ше, [построим] линию DG. Это — хорда десятиугольника. Разделим круг
на части, равные линии DG, и соединим между собой прямыми линия
ми места деления. Получится десятиугольник 5Ч Вот чертеж этогг
Глава пятая
О ПОСТРОЕНИИ КРУГА, ОПИСАННОГО ОКОЛО ФИГУРЫ
[I]	Если он сказал: как описать около треугольника АВС круг или
как провести круг через три различные точки, не лежащие на одной
линии, то эти два вопроса имеют один и тот же смысл. Примем точки А
и В за два центра и построим два круга, пересекающиеся в точках D
и Е. Проведем линию DE. Далее из точек А и С, как из точек А и В
опишем два круга, пересекающиеся в точках G и //, проведем линию
GH. [Линия GH] пересекает линию DE в точке F. Тогда получим точку
F — центр круга, которая обладает [свойством равно отстоять] от точек
1, В и С60. Вот чертеж этого.
1 из V
[II]	О построении круга, описанного около треугольника. Восставим
из точек А и С к линиям АВ и ВС перпендикуляры AD и DC\ они пере-
секаются в точке D; проведем BD и разделим ее пополам в точке Е,
тогда точка Е — центр искомого круга, [проходящего] через точки Д В
и С, Вот чертеж этого.
82
[Ill]	О построении круга, описанного около квадрата. Если он ска-
зал: как описать около квадрата ABCD круг, то проведем диагонали
АС и BD, пересекающиеся в точке Е Получим точку Е — центр круга»
проходящего через точки Д, В, С и £>6t. Вот чертеж этого.
III из V
[IV]	О построении круга, описанного около пятиугольника. Если он
сказал: как описать около пятиугольника ABCDE круг, || то примем точ-
ки А и В за центры двух произвольных кругов, пересекающихся в точ-
ках G и Н, проведем линию GH. Далее примем также точки В и С за
центры произвольных кругов, пересекающихся в точках / и К. Прове-
дем [линию] /К пересекающую линию HG в точке L. Тогда точка L —
центр круга, проходящего через точки Д, В, С, О и Е62. Вот чертеж
этого.
27
В
[IV из VI
83
[V]	О построении круга, описанного около шестиугольника. Если он
сказал: как описать около шестиугольника ABCDE[G] круг, то опишем
из каждой из точек А и В как из центров на расстоянии АВ два круга,
пересекающихся в точке Н. Тогда точка Н — центр круга, проходящего
через точки A, В, С, D, Е, [G]63. Вот чертеж этого.
V из V
IVI] Если дана (равносторонняя] фигура с большим числом сторон
и углов, то, чтобы описать около нее круг подобно описанному около
пятиугольника, разделим стороны пополам, проведем перпендикуляры.
Это построение не отличается от построения круга, описанного около
пятиугольника [для фигуры] с большим или меньшим числом сторон.
Глава шестая
О ПОСТРОЕНИИ КРУГА, ВПИСАННОГО В ФИГУРЫ
[I] Если он сказал: как построить вписанный в треугольник АВС
круг, то примем точку В за центр и отметим на линиях АВ и ВС
[точки] D и Е, Из каждой из этих [точек] как из центров [построим] два
произвольных круга, пересекающихся в точке G, проведем линию BG
Далее примем точку С за центр и отметим на линиях АС, СВ [точки]
Н и F\ из точек Н и F как из центров [построим] два произвольных кру-
га, пересекающихся в точке /, соединим [/ с С]. Линия CI пересекает
линию BG в точке К. Получим точку К — центр круга, вписанного в
треугольник ЛВС64. Вот чертеж этого.
28	|| [II] Обратное построение. Чтобы вписать круг в равностороннюю
и равноугольную фигуру, разделим два ее угла пополам. Пересечение
линий дает центр круга, вписанного в треугольник [четырехугольник,
пятиугольник и т. д.].
84
Глава седьмая
О ПОСТРОЕНИИ НЕКОТОРЫХ ФИГУР, ВПИСАННЫХ В НЕКОТОРЫЕ
ДРУГИЕ ФИГУРЫ
[I]	Построение треугольника, вписанного в квадрат. Если он сказал:
как построить равносторонний треугольник, вписанный в равносторон-
ний четырехугольник, то построим такой квадрат, стороны которого со-
держали бы указанные углы, как, например, стороны квадрата ABCD
содержат углы треугольника BFH. Построим квадрат ABCD. продол-
жим линию DC до точки Е и сделаем СЕ равной CD. Построим на ли-
нии ED полукруг, примем точку D за центр и на расстоянии DC от-
метим [точку] G. Далее примем точку Е за центр и на расстоянии EG
отметим Я, построим AF, равную DH, соединим В с F, В с Н, F с Н.
Получим равносторонний треугольник BFH, вписанный в квадрат
A BCD Вот чертеж этого.
[II]	О построении треугольника, вписанного в квадрат. Если угодно^
построим на [линии] BD равносторонний треугольник, разделим угол
EBD пополам пинией BG. разделим также угол GBD пополам линией
ВН сделаем линию AF равной линии DH, проведем линии ВН, BF и
FH. получим равносторонний и равноугольный треугольник BFH. впи-
санный в квадрат ABCD. Вот чертеж этого.
II из VII
[III]	О построении треугольника, вписанного в квадрат. Если угодно,
разделим каждую из линий AD и ВС пополам в точках Е и G, соединим
EG. примем точку А за центр и на расстоянии АВ опишем дугу ВН.
Отпожим линии CF и Л/, равные [удвоенной линии] GH Проведем || 29
85
линии DI, IF и FD\ получится равносторонний треугольник DFI, впи-
санным в квадрат ABCD Вот чертеж этого®5.
Ill из VII
[IV]	О построении треугольника, вписанного в квадрат. Начертив
квадрат, разделим каждую из линий AD и ВС пополам в точках ЕиН,
соединим ЕН, примем В за центр и на расстоянии ВС отметим [точку!
G, продолжим ЕН в ее направлении до точки F, так, чтобы GF была
равна BG, соединим BF, она пересечет AD в [в точке] К. Сделаем С1
равной ЛХ, проведем линии ВХ, BI и /X. Получим равносторонний
треугольник BKI, вписанный в квадрат ABCD. Вот чертеж этого.
[IV из VII]
[V]	О построении треугольника, вписанного в квадрат. Если мы хо-
тим построить это, опишем около квадрата ABCD круг, проведем диа-
метры BD и АС, шересекающиеся в точке Е, примем точку D за центр
и на расстоянии DE отметим [точки] Н и G, проведем линии BG и ВН.
пересекающие линии AD и DC в точках F и / [и соединим F1], Получим
равносторонний треугольник BF1. вписанный в квадрат A BCD. Вот
чертеж этого.
V из VII
[VI]	О построении треугольника, описанною около квадрата. Если
он сказал: как построить равносторонний треугольник, описанный около
квадрата ABCD, то построим на [линии] АВ равносторонний треугольник
АВЕ, продолжим линии ЕА, ЕВ в их направлении, продолжим также
линию CD в ее направлениях до пересечения [с продолжением ЕА, ЕВ]
в точках G и Н. Тогда получим равносторонний треугольник EGH6& Вот
чертеж этого.
[VII]	О построении квадрата, описанного около треугольника. Если
он сказал: как построить равносторонний и равноугольный четырех-
угольник, описанный около равностороннего треугольника, || то постро- Bq
им [равносторонний] треугольник АВС, разделим сторону АС пополам в
точке D, продолжим BD до Е. сделаем DE равной линии AD, соединим
Е с С, Е с А, опустим из точки В перпендикуляры BG и ВН на линии
ЕА и ЕН. Получится равносторонний и равноугольный четырехуголь-
ник BGEH, описанный около равностороннего треугольника АВС Вот
чертеж этого.
[VIII]	О построении квадрата, описанного около разностороннего
треугольника. Если он говорит: как описать около разностороннего
треугольника равносторонний [и равноугольный] четырехугольник, то
восставим из точки С перпендикуляр CD к линии СА, сделаем его рав-
ным ей, соединим D с В и продолжим [ЕВ] в ее направлении. Опустим
из точки С перпендикуляр СЕ на [линию] DB, проведем к СЕ из точки С
перпендикуляр СН, проведем из точки А линию, параллельную СЕ;
это — линия НА. Получим HGEC — равносторонний [и равноугольный]
четырехугольник, описанный около разностороннего треугольника АВС.
Вот чертеж этого.
87
VIII из VII
[IX]	О построении квадрата, описанного около треугольника. По-
строим треугольник ЛВС, опустим из точки А перпендикуляр AD на
линию ВС, сделаем АЕ равной линии ВС, соединим В с Е, опустим
из точки С перпендикуляр С[Н] на [продолжение] линии ВЕ, из точки
А — перпендикуляр AF на НС, из точки В — перпендикуляр ВК на ли-
нию AF. Получится равносторонний [и равноугольный] четырехугольник
B(//]F[/Q, описанный около треугольника АВС. Вот чертеж этого.
[X]	Другое построение. Если угодно, восставим из точки А к линии
АВ перпендикуляр AD, сделаем его равным стороне АВ. Построим тре-
угольник ADE, равный треугольнику АВС Тогда DE равна ВС, а АЕ
ы равна АС. Соединим ЕВ и опустим из || точки С перпендикуляр СН на
линию ЕВ, а из точки А опустим перпендикуляры AF и AG на линии ЕВ
и СН Тогда AGHF— квадрат67. Вот чертеж этого.
[XI]	О построении квадрата, вписанного в треугольник. Если он
сказал: как вписать в треугольник АВС равносторонний [и равноуголь-
ный] четырехугольник, то восставим из точки В перпендикуляр BD, рав-
ный линии ВС, и соединим AD; [ЛВ] пересекает ВС в точке Е. Восста-
вим из точки £ перпендикуляр EG к линии ЕВ, он пересекает линию АВ
88
в точке G. [Проведем] линию GH. параллельную линии ВС. и из точки Н
[опустим] перпендикуляр HF на линию ВС. Получится равносторонний
[и равноугольный] четырехугольник EGHF. вписанный в треугольник
ЛВС68. Вот чертеж этого.
А
XI из VII
[XII]	О построении квадрата, вписанного в разносторонний тре-
угольник. Восставим в точке В перпендикуляр BD. равный линии ВС.
Опустим из точки А перпендикуляр АЕ. соединим D с Е\ {DE\ пересекает
линию ЛВ в точке G; проведем через точку G линию GH. параллельную
линии ВС. и [опустим] перпендикуляры GF и HI на линию ВС, тогда
получим равносторонний и равноугольный четырехугольник GHIF. впи-
санный в треугольник ЛВС. Вот чертеж этого.
[XIII]	О построении квадрата, вписанного в равносторонний тре-
угольник. Если угодно, то построим на ВС квадрат BDEC. разделим ВС
пополам в точке G, проведем DG и EG, они пересекают линии АВ и АС
в точках Н и F. соединим Н с F Опустим из них перпендикуляры HI и
EL. тогда получим квадрат HFLI. вписанный в треугольник ЛВС Вот
чертеж этого.
XIII из VII
80
[XIV]	О построении равностороннего треугольника, вписанного в
разносторонний треугольник. Если он сказал: как построить равносто-
32 ронний треугольник, вписанный в разносторонний треугольник АВС, |]
имеющий одну сторону, параллельную линии ВС, то опустим перпенди-
куляр AI, построим на ВС равносторонний треугольник BDC, проведем
перпендикуляр DE, восставим из точки В перпендикуляр BG к ВС, сде-
лаем ВН равной линии AI, a HG равной перпендикуляру DE. Соединим
С с G, проведем из точки Н линию HF, параллельную линии GC, тогда
линия BF — сторона равностороннего треугольника, вписанного в тре-
угольник АВС, одна сторона которого параллельна линии ВС, и (вер-
шина] противолежащего угла находится на ВС.
Поэтому если мы проведем в треугольнике АВС линию LN, парал-
лельную линии ВС и равную линии BF, примем точку L за центр и
на расстоянии LN отметим М на линии ВС, соединим точки L с М и N
с М, то получим равносторонний треугольник LNM, вписанный в тре-
угольник ЛВС69. Вот чертеж этого.
XIV из VII
[XV]	О построении равностороннего треугольника, описанного около
произвольного треугольника. Если он сказал: как описать равносто-
ронний треугольник около разностороннего треугольника АВС, то[прове-
дем] линию, параллельную линии ВС, построим на линии ВС равносто-
ронний треугольник BDC, продолжим линии DB и DC в их направлении,
проведем из точки А линию GAE, параллельную линии ВС и пересекаю-
щую линии BD и DC в точках Е и G. Тогда получим равносторонний
треугольник DEG. Вот чертеж этого.
XV из VII
[XVI]	О построении треугольника, вписанного в пятиугольник Если
он сказал: как вписать в равносторонний пятиугольник ABCDE равно-
сторонний треугольник, то проведем из точки В перпендикуляр BG [к
90
DE], разделим его пополам в точке //, примем точку Н за центр и на
расстоянии HG опишем круг BG. Примем точку G за центр и на рас-
стоянии GH отметим [точки] F и I на линии круга. Проведем линии BI
и BF, они пересекают линии АЕ с CD в точках М и L, проведем линии
ВМ, BL и ML. Получится равносторонний треугольник BML, || вписан- 33
ный в пятиугольник ABCDE™. Вот чертеж этого.
[XVII]	Построение треугольника, описанного около пятиугольника.
Если он сказал: как описать равносторонний и равноугольный треуголь-
ник около равностороннего пятиугольника ABCDE, то построим в пяти-
угольнике равносторонний треугольник, как указано раньше, это тре-
угольник BGH, проведем через точки А и С две прямые линии FL и
FI, параллельные линиям BG и ВН, продолжим линию DE в ее двух
направлениях до точек L и 1. Получили равносторонний треугольник
FLI, описанный около пятиугольника ABCDE. Вот чертеж этого.
[XVIII]	О построении квадрата, вписанного в пятиугольник. Если он
сказал: как вписать равносторонний [и равноугольный] четырехуголь-
ник в равносторонний [и равноугольный] пятиугольник ABCDE, то
опустим [из точки С] перпендикуляр CG [на линию АЕ], разделим его
пополам [в точке] Н, проведем через нее линию FHI, параллельную АЕ,
и соединим линиями С и F, Си/, / и G и F и G. Получили равносто-
ронний и равноугольный четырехугольник CFGI. Вот чертеж этого. [См
стр. 92.1
[XIX]	О построении квадрата, описанного около пятиугольника.
Если он сказал: как описать равносторонний [и« равноугольный] четырех-
угольник около равностороннего пятиугольника ABCDE, то разделим
пинию АЕ пополам в точке G, восставим [в ней] перпендикуляр GH.
равный GE, соединим Н и Е, Н и А, продолжим обе [линии] в их на-
91
с
XVIII из VII
правлении, опустим из точек В и D перпендикуляры BF и DL на линии
HF и HL, продолжим их в их направлении до точки К, тогда получим
равносторонний [и равноугольный] четырехугольник FKLH, описанный
около пятиугольника ABCDE. Вот чертеж этого.
XIX из VII
[XX]	Построение пятиугольника, вписанного в квадрат. Если он ска-
34 зал: как || вписать в равносторонний [и равноугольный] четырехугольник
ABCD равносторонний пятиугольник желаемой величины с углом Е на
диагонали подобно пятиугольнику EGHF1, то построим равносторонний
пятиугольник KLMNX желаемой величины и построим около него квад-
рат. Пусть одна из сторон [пятиугольника] — MN. Проведем линию ZO,
сделаем QP равной стороне АВ, проведем из точки Р линию PR парал-
лельно линии ZO, а из точки R— линию, проходящую через [середину
стороны MN] и точку Q. Соединим АС, отложим CS, равную линии PR
проведем прямую HSF перпендикулярно к линии АС и продолжим ее
в ее направлении до точек Н и F. Затем примем точки Н и F за центры
и на расстоянии HF отметим G и L Примем точки G и / за центры F
на расстоянии GH отметим £, проведем линии HG, GE, EI и 1F, полу-
чим равносторонний и равноугольный пятиугольник EGHFI, вписанный
в квадрат ABCD7X. Вот чертеж этого.
XX из VII
92
[XXI]	Построение восьмиугольника, вписанного в квадрат. Если он
сказал: как вписать равносторонний восьмиугольник в равносторон-
ний и равноугольный четырехугольник, то построим квадрат ABCD.
проведем диаметры, пересекающиеся в точке Е, примем точку Е за
центр и на расстоянии половины стороны квадрата отметим [точку] G,
примем точку G за центр и на расстоянии точек В и G отметим [точки]
Я и F, отложим от каждого угла на сторонах квадрата [линии], равные
линии ВН. Это — линии DL, DM, AN, АХ, [CI, СК и BF]. Соединим HF,
IK, LM и NX; получится равносторонний и равноугольный восьмиуголь-
ник NXHF[IKLM]. Вот чертеж этого.
В
F
I
С
XXI из VII
[XXII]	Другой [способ] || построения восьмиугольника, вписанного 35
в квадрат. Если угодно, то раствором циркуля на расстоянии АЕ, т. е.
половины диагонали квадрата, из каждого угла квадрата как из центра
на расстоянии АЕ отметим [точки] М, N, Н, F, I, К и L, соединим ли-
ниями [точки] М, N, Н, F, I и К. Получится равносторонний и равно-
угольный восьмиугольник LMNXHF1K. Вот чертеж этого.
XXII из VII
[XXIII]	О построении квадрата, описанного около восьмиугольника.
Если он сказал: как описать квадрат около равностороннего восьми-
угольника ABCDEGHF, то продолжим линии АВ, CD, EG, HF до
[точек] /, К L, М; тогда получим равносторонний и равноугольный четы-
рехугольник IKLM, описанный около восьмиугольника ABCDEGHF72.
Вот чертеж этого.
XXIII из VII
93
Глава восьмая
О РАЗДЕЛЕНИИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
[1] Если он сказал: как разделить треугольник АВС линией попо-
лам, то проведем линию из одного из его углов; пусть угол, из которого
мы проведем линию — угол А. Разделим линию ВС пополам в точке
и соединим линией А с D. Получили треугольник АВС, разделенный по-
полам линией AD Вот чертеж этого.
А
I из VIII
[II] Если он сказал: как разделить треугольник АВС линией попо-
лам, то опустим из точки [Д] на противоположную сторону перпендику-
ляр; это точка D. Если мы хотим [получить] эти, то разделим линию ВС
пополам. Если деление (совпало] с точкой D, то проведем AD, получим
треугольник АВС, разделенный пополам линией AD. Если не делится
[линия ВС] в точке D пополам, то, другой пример, пусть [середина
ВС] — точка Е. Тогда если соединить А с Е и А с D, провести из точки
Е линию EG, параллельную линии AD, соединить D и G, то треуголь-
ник ЛВС разделится пополам линией DG™ Вот чертеж этого.
II из VIII
36	|| [III] Если он сказал: как разделить треугольник АВС линиями
на четыре равные части, то от точки С отложим [на линии] ВС четыре
равные части. Это — BE, EG, GH и НС. Проведем AD [ — перпендику-
ляр к ВС]. Проведем из мест деления линии EL, GK, HF, параллельные
линии AD, и соединим линиями DcL, DcKuDcF. Тогда получим
треугольник АВС, разделенный на четыре равные части: BDL, DL\A}K
DKF и DFC™. Вот чертеж этого.
То же построение будет, если мы хотим разделить треугольник на
три части, пять частей или произвольное число равных частей.
[IVJ Если он сказал: как разделить треугольник АВС пополам ли-
нией, параллельной стороне из сторон [треугольника ЛВС], пусть это —
сторона ВС, то, если хотим этого, отложим Л В, равную половине Л С,
в направлении (Л С]. Опишем иа DC полукруг, восставим перпендикуляр
АЕ к ВС, сделаем AG равной ЛЕ, проведем из точки G линию G/7,
параллельную линии ВС; тогда получим треугольник ЛВС, разделенный
пополам линией GH75 Вот чертеж этого
[V]	Если он сказал: как разделить треугольник ЛВС на три равные
части двумя линиями, параллельными линии ВС, то отложим [в на-
правлении ЛС] линию ЛВ, [равную] трети ЛС, построим линию ЛЕ, [рав-
ную] двум третям Л С. опишем на каждой из линий ВС и СЕ полукруг,
восставим перпендикуляр АН к линии ЛС, отложим линию ЛЕ, равную
линии ЛС, и линию AI, равную линии АН. Проведем линии IK и EL,
параллельные линии ВС; получится треугольник ЛВС, разделенный на
три равные части: это — ALF. LK1F и KICB. Вот чертеж этого.
|| То же построение будет, если мы хотим разделить треугольник на 37
четыре равные части.
[VI]	О делении треугольника на три равные части. Если угодно, тэ
проведем линию ЛВ, [равную] двум третям линии ЛС, построим на ли-
нии ВС полукруг, построим перпендикуляр ЛЕ, сделаем линию AG рав-
ной перпендикуляру ЛЕ и проведем линию GH параллельно линии ВС.
Далее разделим треугольник AGH пополам, как описано выше в этой
главе. Получим треугольник ЛВС, разделенный на три равные части:
AFI. FHG1, HBCG. Вот чертеж этого.
95
[VI из VIII]
[VII]	Другой вид [задач о] треугольниках. Если он сказал: как уве-
личить треугольник АВС на равную ему [площадь] линией, параллель-
ной линии ВС, то построим на линии АС удвоенную [линию], это — AD,
опишем на линии CD полукруг DEC, восставим перпендикуляр АЕ к
линии АС, сделаем линию АН равной линии АЕ, проведем из точки Н
линию HG, параллельную линии ВС, продолжим [линии, проходящие]
через точки Л, В и С до пересечения с [HG] в [точках] Н, G. Тогда фи-
гура CHGB равна треугольнику АВС\ мы увеличили треугольник АВС1&,
Вот чертеж этого.
[VIII]	Если он сказал: как присоединить к треугольнику ЛВС фигу-
ру, площадь которой равна [площади треугольника ЛВС] или больше
его в два, три и большее число раз, линией, проходящей через точку Л,
то увеличим линию ВС в два или три раза; тогда получим линию BD и
соединим А с D. Тогда треугольник ADB или равен треугольнику ЛВС,
или в два раза больше его. Вот чертеж этого.
[IX]	Если он сказал: как построить в середине треугольника ЛВС
треугольник, ему подобный и равный половине треугольника, или трети,
или другой части, то возьмем в середине его точку D, соединим Л с D,
96
BcDhCcDh продолжим AD в ее направлении || до точки Е так, 38
чтобы АЕ была половиной AD, или третью, или четвертью. Построим
на ED полукруг, восставим перпендикуляр AG, сделаем DH равной AG.
То же [построение] надо провести с другими линиями. Тогда получатся
точки Н, F и /. [Соединим их, получим] построенный в треугольнике АВС
[треугольник HF1}, который хотели. Вот чертеж этого.
Глава девятая
О РАЗДЕЛЕНИИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ
[1]	Если он сказал: как разделить плоскую фигуру ABCD пополам
линией, проходящей через один из ее углов, то возьмем угол А и про-
ведем линии АС и BD, пересекающиеся в точке Е. Тогда если линия ВЕ
равна линии ED, то линия АС делит фигуру ABCD пополам77. Вот
чертеж этого.
[II]	Если ВЕ не равна ED, то разделим BD пополам в точке G,
проведем через нее линию GH, параллельную линии АС, соединим А с
Н. Тогда [фигура] ABCD разделится пополам линией АН. Вот чертеж
этого.
И из IX
[III]	Если он сказал: как разделить плоскую фигуру ABCD пополам
линией, проходящей через точку Е одной из сторон фигуры, то разде-
лим фигуру ABCD пополам линией, проходящей через точку В, это —
линия BG, как доказано во II предложении. Соединим EG и ЕС Если
7 Заказ 338
97
EG параллельна линии ВС. то линия ЕС делит фигуру ABCD пополам
Вот чертеж этого.
[IV]	Если же линия EG не параллельна линии ВС. то 'проведем из
точки В линию ВН. параллельную линии EG, и пусть она находится
внутри фигуры. Соединим Е с Н. Тогда линия ЕН делит фигуру ABCL
пополам Чертеж этого — на следующей странице.
IV из IX
39	[V] Пусть теперь || линия ВН находится вне фигуры ABCD. Про-
должим линию DC до ее пересечения [с ВН] в точке Н. проведем через
точку Н линию HF параллельно линии ЕС и соединим Е с F Тогда ли-
ния EF делит фигуру ABCD пополам. Вот чертеж этого.
[VI]	Если он сказал: как разделить плоскую фигуру ABCD пополам
линией, параллельной линии CD. то продолжим линии АС и BD до пе-
ресечения в точке Е. восставим в точке Е перпендикуляр EG к линии
BD. равный линии BE. Соединим DG [и продолжим DG до Н так, чтобы]
GH была равна половине GD. Опишем на HD полукруг HFD. восста-
вим перпендикуляр GF [к DH]. отложим EI. равную перпендикуляру
GF. и проведем //< параллельно линии CD. Тогда фигура ABCD де-
лится пополам линией KJ. Вот чертеж этого.
98
[VII]	Если он сказал: как разделить параллелограмм ABCD попо-
лам линией, проходящей через точку Е линии CD, то отложим на линии
АВ линию .40, равную линии DE, и соединим GE Тогда фигура AGEC
будет равна фигуре BGED. Вот чертеж этого.
[VHI] Если он сказал: как отделить от параллелограмма ABCD
толю линиеи, проходящей через точку стороны AD, то отделим треть.
Пусть на AD отмечена точка Е; проведем через точку Е линию EG,
параллельную линии АВ. Если АЕ — треть AD, то я отделил от фигуры
ABCD треть, это— фигура ABEG, доказательство очевидно [Вот чер-
теж этого.]78
D
С
G
В
VIII из IX
[IX]	Если же АЕ не треть AD, то отложим АН — треть AD. Тогда
точка Н находится или на линии ЛЕ, или на линии ЕЕ. Если [точка Н] ле-
жит на линии ЛЕ, || как на первом чертеже, то проведем линию HG па-
раллельно линии ЛВ, разделим ее пополам в точке F, соединим £ с F,
продолжим ее до точки 1. Если линия IG меньше АН, то получим фигу-
ру AEIB, являющуюся третью фигуры ABCD. Если IG равна ЯЛ, то
треугольник АЕВ — треть фигуры ABCD. Вот чертеж этого.
40
7*
99
IX из IX
[X]	Пусть теперь точка Н— на линии ED. Тогда линия ЕН или рав-
на линии АН, или не равна ей. Если она равна ей, то (построим линию
G/, равную линии АН, и] соединим А с /. Тогда треугольник 4В/ —
треть фигуры ABCD. Вот чертеж этого.
[XI]	Если ЕН меньше линии АН, то построим линию GI, равную
линии ЕН, и соединим Е с I, тогда фигура ABIE — треть фигуры ABCD
Вот чертеж этого.
XI из IX
[XII]	Если ЕН длиннее линии АН, то [отложим на линии ВС линию
BG, равную удвоенному избытку линии ЕН над линией АН,] продол-
жим СВ до точки F так, что FB равна [избытку] линии ЕН [над лини*
ей АН], соединим Е с G. Проведем линию FI параллельно линии EG и
соединим IE. Тогда треугольник AIE — треть фигуры ABCD79. Вот
чертеж этого.
100
[XIII]	Если он сказал: как разделить плоскую фигуру ABCD попо-
лам линией, проходящей через точку на стороне AD. например точку Е,
то разделим линию ВС пополам в точке G и соединим GE. Тогда если
АЕ равна линии ED, то линия EG разделит фигуру ABCD пополам80.
Вот чертеж этого.
XIII из IX
[XIV]	Если же линия || АЕ не равна линии ED, то построим линию 41
АН. равную линии HD. Линия BG также равна линии GC. Соединим Н
с G. разделим HG пополам в точке F и проведем EFK. Тогда линия ЕК
разделит фигуру ABCD пополам. Вот чертеж этого.
[XIV из IX]
[XV]	Если он сказал: как разделить параллелограмм ABCD попо-
лам линией, проходящей через точку, расположенную вне его, например
через точку £, то соединим AD, разделим AD пополам в точке G и про-
ведем EGH. Тогда фигура ABCD разделится пополам линией FGH. Вот
чертеж этого.
[XV из IX]
[XVI]	Если он сказал: как отделить от параллелограмма ABCD
треть, четверть или какую-нибудь другую долю линией, проходящей
через точку, расположенную вне его, например точку Е, то отделим от
фигуры ABCD треть линией, параллельной линии АВ. как раньше;
это — линия GH. Проведем через точку Е линию, разделяющую фигуру
GHCD пополам линией EFI. Тогда фигура FIDC—треть фигуры ЛВС/)81.
Вот чертеж этого.
101
[XVI из IX]
[XVII]	Если он сказал: как отделить от трапеции ABCD треть, или
четверть, или какую-нибудь другую долю [линией, проходящей] через
•отмеченную точку, например через точку Е, то пусть линия AD парал-
лельна линии ВС. а доля — треть. Отложим линию BG. являющуюся
третью линии ВС, и соединим Е с G. Тогда если АЕ — треть AD и BG —
треть ВС, то линия EG отделит от тралении ABCD треть82. Вот чертеж
этого.
XVII из IX
[XVIII]	Если АЕ не треть AD, то отложим AG, являющуюся третью
ЛЕ), и пусть [XG] короче АЕ. Отложим также ВН, являющуюся третью
ВС, и соединим G с Н. Разделим GH пополам в точке В, соединим EF
42 и продолжим || ее до точки I. Тогда линия EF1 отделит от трапеции
ABCD треть; это — трапеция AEIB Вот чертеж этого.
XVIII из IX
Если АЕ меньше AG, то поступаем так же, как мы указали
раньше.
[XIX]	Если он сказал: как разделить трапецию ABCD пополам ли-
лией, проходящей через точку, находящейся вне ее, например через
точку Е, то разделим линию АВ пополам в точке G, проведем через
точку G линию GF, параллельную линии СВ, и продолжим линию AD
до пересечения в точке Н [с линией GF]. Получится параллелограмм
HFCD. Проведем через точку £ линию EIK. делящую фигУРУ HFCD
пополам. Тогда линия Е1К разделит трапецию ABCD пополам. Вот
чертеж этого.
102
XIX из IX
[XX]	Если он сказал: как отделить от [трапеции] ABCD какую-ни-
Судь долю линией, проходящей через точку, находящейся вне ее, на-
пример через точку Е, то разделим АВ пополам в [точке] G, проведем
через нее линию HG, параллельную DC, проведем через точку Е линию
EIK, отделяющую от параллелограмма HFCD требуемую долю; тогда
получим требуемое разделение трапеции ABCD. Вот чертеж этого.
IXX из IX]
[XXI]	Если он сказал: как отделить от [трапеции] ABCD треть, то
соединим АС и BD Пусть они пересекаются в точке Е. Если ВЕ — треть
BD, то от фигуры ABCD отделена треть; это — треугольник АВС Вот
чертеж этого.
[XXII]	Если [ВЕ] не равна трети [BD], то отложим на BD [линию]
равную трети—[линию] BG. Проведем через [точку G] линию GH, па-
раллельную линии АС, и соединим АН Тогда от фигуры ABCD отделе-
на треть. Вот чертеж этого.
XXII из IX
103
[XXIII]	Если он сказал: как отделить от фигуры ABCD треть лини-
34 ей, проходящей || через точку на ее стороне, например через точку £, то
проведем через точку В линию BG, отделяющую от фигуры ABCD треть
и проведем линии EG и ED. Если EG параллельна линии BD, то от
фигуры ABCD уже отделена треть [линией ED]. Вот чертеж этого
[XXIII из IX]
[XXIV]	Если BD не параллельна EG, то проведем через точку В ли-
нию ВН, параллельную линии EG, находящуюся внутри фигуры или вне
ее. Пусть сначала она находится внутри. Соединим Е с Н Тогда линия
ЕН отделяет от фигуры ABCD треть. Вот чертеж этого.
[XXV]	Если [ВН] расположена вне фигуры, то соединим ЕЕ, продол-
жим CD до Н, проведем HF параллельно DE и соединим £ с F. Тогда
линия EF отделит от фигуры ABCD треть Вот чертеж этого.
XXV из IX
[XXVI]	Если он сказал: как увеличить квадрат ABCD на равный
тому, что на чертеже, так, чтобы [увеличение происходило] с каждой
стороны, то продолжим линию DB в ее направлении до точки Е так,
чтобы BE была равна удвоенной BD. Опишем на линии DE полукруг
GD, продолжим линию АВ до точки G, отложим от каждой из сторон
квадрата линии, равные половине линии AG, и дополним квадрат; полу-
чится увеличением квадрата ABCD на равный ему83. Вот чертеж этого
10
Аналогично мы поступим, если мы хотим увеличить его в несколько
раз: в этом случае сделаем линию BE равной [линии ВО], взятой это
число раз.
[XXVII]	Если он сказал: как построить в середине квадрата ABCD
квадрат, равный половине того, что на чертеже, то отложим от линии
BD линию BE, являющуюся ее половиной. Опишем на линии DE полу-
круг DGE, пересекающий АВ в [точке] G, и построим линию ВН, [рав-
ную] половине линии AG. Отложим от углов || А, В, С и D линии. 44
равные линии НВ, и проведем через места деления [линии, параллель-
ные сторонам квадрата]. Получится квадрат FIKL в середине квадрата
ABCD, являющийся его половиной. [Вот чертеж этого].
[XXVIII]	Если он сказал: как отделить от круга треть, или четверть,
или другую долю двумя параллельными линиями, то примем за центр
круга точку D, проведем в круге хорду его трети, это — линия АС,
проведем BD параллельно АС и соединим В с С. Разделим дугу АС
пополам в точке Е и проведем через точку Е линию EG, параллельную
ВС. Тогда фигура GBCE в круге, находящаяся между двумя парал-
лельными линиями, является третью круга84. Вот чертеж этого
6^----
XXVIII из IX
105
[XXIX]	Если он сказал: как разделить сектор АВС пополам, то
разделим дугу ВС пополам в точке D и соединим А и D. Тогда если
СА равна АВ, то фигура АВС будет разделена пополам линией AD
Если же линия АС не равна АВ, то разделим [линию] СВ пополам в
точке Е, проведем EG параллельно линии AD и соединим D с G Тогда
фигура АВС будет разделена пополам линией DG Вот чертеж этого
[XXX]	Об оставлении пути. Если он сказал: как разделить пополам
квадрат ABCD, оставив путь ширины DH, то продолжим СА в ее на-
правлении до М так. чтобы AM была равна СН, продолжим ВА в ее
направлении до L, опишем из центра С на расстоянии СМ круг, пересе-
кающий линию ВА в точке L и соединим L с С. Отложим LK, равную
СН, проведем линию KG, параллельную линии AL, и проведем HF
параллельно линии DB. Тогда фигура C\H]F[E] равна фигуре Е[б]В[Л]85.
45 Чертеж этого на следующей странице. ||
[XXXI]	Если он сказал: как разделить квадрат ABCD на три рав-
ные части, оставив путь известной ширины MN, находящийся между
двумя равными отрезками [стороны CD], то продолжим СА до 1 так,
чтобы AI была равна СМ, продолжим ВА в ее направлении до Е, при-
мем точку С за центр и на расстоянии CI опишем круг, пересекающий
линию ВЕ в точке Е и соединим СЕ. Отложим на линии СЕ линию EG,
равную линии СМ, и проведем через точку G линию GHL параллельно
линии ВАЕ. Из точек М и N проведем линии MF и NK, параллельные
линии АС. Тогда фигуры МН, NL [и ABLH] равны. Это и есть то, что
мы хотели построить. Вот чертеж этого.
106
[XXXII]	Если он сказал: как разделить треугольник АВС на две
равные части, оставив путь с параллельными краями известной ширины,
и если ширина пути — СО, то разделим CD пополам в точке Е, прове-
дем EG и DH параллельно ВС, проведем HF -параллельно АС, соеди-
ним G с F, отложим ЯК, равную HG, -проведем KL параллельно GF,
построим треугольник NMG, [равный] половине трапеции AL и подобный
треугольнику ЛВС. Продолжим MN до О. Тогда треугольник ЛВС раз-
делится на равные треугольники ВМО и трапецию АХ, между которыми
оставлен путь ХС ширины CD. Вот чертеж этого.
[XXXII из IX]
[XXXIII]	Если он сказал: как разделить треугольник ЛВС на треть
и две трети, оставив путь ширины CD, то отложим СЕ — треть CD, про-
ведем DH и EG параллельно линии ВС, проведем через точку Н линию
HF параллельно линии АС, соединим GF и отложим НК, равную || HG. 46
Далее -проведем KL параллельно GF, построим треугольник GMN,
(равный] трети трапеции AL и подобный треугольнику ЛВС и продолжим
MN до О. Тогда треугольник ЛВС разделится на треть и две трети,
причем треть — треугольник ВМО, а две трети — трапеция АХ. Вот чер-
теж этого.
XXXIII из IX
107
[XXXIV]	Если он сказал: как разделить трапецию ABCD пополам,
оставив путь ширины ED, причем ВС параллельна линии AD, то раз-
тел им DE пополам в [точке] G, проведем GH и EF параллельно линии
CD, продолжим АВ и GH до их пересечения в [точке] М и построим
треугольник MKL, [равный] половине трапеции AF и подобный тре-
угольнику MAG. Проведем KXLN параллельно линии AD. Получается
трапеция ХКАЕ [и BCNK\ и путь NXED. Вот чертеж этого.
XXXIV из IX
Глава десятая
О РАЗДЕЛЕНИИ КВАДРАТОВ И ОБ ИХ СОСТАВЛЕНИИ
[I]	В предыдущих главах этой книги мы разъяснили построение фи-
гур, вписанных друг в друга и описанных друг около друга, их разде-
ление на различные виды и то, что часто применяется ремесленниками.
Я надеюсь, что это будет достаточно для тех, кто имеет недостаточные
знания по математике. В этой главе я излагаю разделение фигур, ко-
торое часто применяется ремесленниками и о котором они задают
вопросы. Это разделение квадратов, их составление, построение [фи-
гур, вписанных] в них. Мы установим правила, к которым следует об-
ращаться. Все, чем пользуются ремесленники по вопросам этой главы,
делается на основании принципов разделения и составления [фигур],
содержащих много ошибок. В этой главе мы изложим этот вопрос
таким образом, чтобы было легко выполнить то, что требуется, если
захочет Аллах.
Мы говорим, что среди чисел есть квадратные и неквадратные
Что касается квадратных, то это такие числа, что если умножить число
47 на равное себе, то получится такое || число, например четыре, так как
имеется такое число, что, если умножить его на равное себе, получится
четыре, это — два, потому что, если умножить два на равное себе, по-
лучится четыре. Например, двадцать пять, так как существует такое
число, что если умножить его на равное себе, получится двадцать
пять, — это пять. Каждое число, для которого имеется такое число, что.
если умножить его на себя, получится это число, называется квадрат-
ным. Число, которое умножается на себя, называется стороной этого
квадратного числа. Если число не квадратное, то оно может или состо-
ять из двух квадратных чисел, или не состоять из двух квадратных
чисел. Например, [число] тринадцать составлено из двух квадратов:
это — девять и четыре. Например, [число] сорок один составлено из двух
квадратов: один из них шестнадцать, его сторона — четыре, а второй —
двадцать пять, его сторона — пять
108
Что касается [числа,] не составленного из двух квадратов, то [это],
например, семь, так как не существует двух квадратов, сумма которых
дает семь, или одиннадцать, так как также не существует двух квадра-
тов, сумма которых дает одиннадцать. Поэтому если говорится о квад-
ратных числах, состоящих из квадратов, то разделим квадраты на
числа, [только] являющиеся квадратами, и на числа, состоящие из
квадратов. Если спрашивается о числе квадратов, из которых состоит
квадрат, или о квадрате, состоящем из квадратов, то я рассмотрю это
число, и если это число квадратное или состоит из двух квадратов,
то это дело простое и легкое, а если не квадратное и не состоит из
двух квадратов, то это дело трудное. Мы можем провести построение
для каждого из этих видов самым простым методом.
Мы говорим, что если спрашивается о [разделении] квадрата, со-
ставленного из квадратного числа равных квадратов, то разделим
каждую из сторон квадрата на равные части, число их равно стороне
квадрата, который делится на квадраты, составляющие его. Проведем
через места деления прямые линии к соответствующим этим [местам]
на стороне, противоположной этой Тогда разделим данный квадрат на
квадраты, подобные этому.
Если мы хотим разделить один квадрат на девять квадратов, то
разделим каждую из сторон на три || равные части, — это число девять. 48
Далее проведем через каждое из мест деления на противолежащих сто-
ронах прямые линии. Тогда квадрат разделится на девять равных квад-
ратов. Вот чертеж этого.
[II]	Если требуется разделить квадрат на четыре квадрата, разде-
лим каждую из сторон на две части — это сторона четырех [квадратов],
соединим -противоположные части, тогда квадрат разделится на четыре
равные части. Вот чертеж этого.
(II из X]
[III]	О построении квадрата из квадратного числа квадратов. Если
мы хотим построить из большого квадратного числа квадратов один
квадрат, то построим квадрат со стороной, равной стороне этих квад-
ратов. Получим один квадрат, равный этим квадратам. Если мы хотим
построить один квадрат из шестнадцати других квадратов, расположим
в ряд четыре данных [квадрата] и присоединим к нему остальные, [по-
тупится] один квацрат86. Вот чертеж этого.
109
[Ill из X]
[IV]	О построении [квадрата из] квадратов [число которых] состоит
из двух квадратов. Если мы хотим построить это, возьмем число, со-
стоящее из двух квадратов, и рассмотрим эти два квадрата. Если они
равны, то построим два равных квадрата. Разделим каждый из них
диагональю, тогда получатся четыре равных треугольника. Их диаго-
нали равны стороне искомого квадрата. Если сложить эти треугольники
так, чтобы они примыкали друг к другу своими прямыми углами, по-
лучится квадрат.
Пример этого. Если мы хотим 'построить квадрат из двух других,
то пересечем каждый из них его диагональю, получатся четыре тре-
угольника с равными боковыми сторонами и основаниями Сложим эти
треугольники так, чтобы примыкали их прямые углы, и построим квад-
рат со стороной, [равной] основанию треугольника87. Вот чертеж этого
[IV из X]
49	[V] Если мы хотим построить квадрат из восьми || равных квадра-
тов, то он состоит из двух квадратов, каждый из которых состоит из
четырех квадратов. Построим два квадрата, каждый из которых со-
стоит из четырех. Далее пересечем их диагоналями, их четыре; построим
из всех четырех квадратов квадрат. Тогда получатся два квадрата.
Затем разделим их диагоналями; получатся четыре равных треуголь-
ника. Построим из них квадрат, как было сказано раньше. Вот чертеж
этого.
[V из X]
[VI]	Если даны квадраты, число которых состоит из твух неравных
квадратов, то построим два прямоугольника, длина каждого из них
[равна] стороне большего квадрата, а ширина равна [стороне] меньшего
квадрата, рассечем каждый из них пополам диагональю; получатся
четыре равных треугольника со сторонами, равными сторонам квадра-
тов, их диагональ равна стороне искомого квадрата. Если мы распо-
ложим в середине квадрат, сторона которого равна разности сторон
ПО
двух данных квадратов, и расположим стороны треугольников на его
сторонах, получится один квадрат, построенный из квадратов.
Пример этого. Если мы хотим построить квадрат из тринадцати
квадратов с равными сторонами и диагоналями, то один квадрат со-
стоит из единичных квадратов, их девять, сторона этого квадрата [равна!
трем; другой [составлен] из четырех [единичных квадратов], его сторо-
на [равна] двум. Построим два прямоугольника, одна сторона которых —
три, а другая — два. Получатся два прямоугольника, каждый из кото-
рых состоит из шести квадратов. Рассечем их по диагонали; получатся
четыре треугольника, длинный катет каждого из которых — три, корот-
кий— два, а гипотенуза — корень <из тринадцати. Выделим из квадратов
единичный, поместим его в середине и 'приложим к нему [треугольники!
большими катетами к стороне квадрата. Из них составится квадрат,
каждая сторона которого — гипотенуза треугольников, т. е. корень из
тринадцати88. Вот чертеж этого
[VI из X]
[VII]	|| Если мы хотим построить [квадрат] из десяти равных [квад- 50
ратов], то десять составлено из двух квадратов, один из них — девять,
его сторона — три, а другой — единица, его сторона — единица. Постро-
им два прямоугольника, одна сторона которого — три, а другая сторо-
на— единица. Рассечем их пополам [по диагонали]. От десяти останется
четыре квадрата. [Построим квадрат из четырех квадратов], поместим
его в середине и приложим к его сторонам треугольники. Получится
квадрат, каждая сторона которого — гипотенуза треугольника [т. е. ко-
рень из десяти]. Вот чертеж этого.
[VII из X]
На этом основано построение квадрата из квадратов, которому
соответствует число, составленное из двух квадратов.
[VIII]	О разделении квадрата на квадраты, число которых состоит
из двух квадратов. Пусть дан квадрат. Если мы хотим разделить на
квадраты квадратное число, состоящее из двух квадратных чисел, то
рассмотрим эти числа. Если они равны, разделим квадрат диагоналями;
получатся четыре равных треугольника. Если сложить каждые два из
них по стороне, являющейся стороной квадрата, мы -построим два
квадрата, каждый из которых состоит из цвух треугольников. Вот чер-
теж этого.
111
(VIII из X]
[IX]	Если мы получим квадраты и разделим каждую из сторо^
квадратов на равные части, их число будет равно стороне равных
квадратов и тем самым мы разделим квадрат на искомые квадраты.
Пример этого. Если мы хотим разделить квадрат на восемь квадра-
тов, проведем его диагонали; тогда получим четыре равных треугольни-
ка. Построим из каждых двух треугольников квадрат; тогда получим
два квадрата. Далее разделим каждую из сторон двух квадратов на две
равные части и соединим противоположные места деления прямыми
линиями. Тем самым мы построим восемь равных квадратов. Вот чер-
теж этого.
[IX из X]
51
[X]	Точно так же, если мы хотим|| разделить квадрат на восемнад-
цать равных квадратов, проведем его диагонали, [получим четыре рав-
ных треугольника], построим на этом чертеже из них два квадрата. Да-
лее разделим каждую из сторон двух квадратов на три равные части
и соединим места деления. Получатся восемнадцать квадратов с рав-
ными сторонами89. Вот чертеж этого.
[X из X]
[XI]	О разделении квадрата на квадраты, число которых состоит
из двух неравных квадратов. Пусть дано рассматриваемое число квад-
ратов. Чтобы разделить квадрат на число [квадратов], состоящее из
двух различных квадратов, разделим одну из сторон квадрата на рав-
ные части, их число равно стороне большего квадрата, из которых со-
стоит данное число. Далее отложим на каждой стороне [данного квад-
рата] от его вершин в одну сторону [линию], равную стороне меньшего
квадрата, и проведем из каждого угла квадрата к противоположному
месту деления прямые линии; получатся квадрат в середине и четыре
треугольника, окружающие этот квадрат. Этот квадрат равен квадрату
разности сторон [квадратов]. Разделим стороны этого квадрата на число
112
частей, равное разности; получится число квадратов, равное квадрату
разности. Что касается треугольников, то, если [соединить] их по два,
получатся прямоугольники, длины которых равны стороне большого
квадрата, а ширины равны стороне меньшего из двух квадратов. По-
этому если построить эти два прямоугольника и разделить их стороны
на число частей, равное сторонам квадратов, то получатся остальные
квадраты.
Пример этого Если мы хотим разделить квадрат на десять квадра-
тов, мы находим, что десять состоит из двух квадратов — единицы и
девяти, причем сторона [одного] — три, а сторона другого — единица.
Разделим одну сторону квадрата на три равные части, отложим на каж-
дой стороне (отрезок], равный единице, проведем из [противоположных]
углов к местам деления прямые линии; получатся квадрат в середине
и четыре треугольника, окружающие этот квадрат. Далее разделим сто-
рону квадрата, который в середине, на два, т. е. на разность сторон
квадратов, из которых состоит десять.
Проведем [из мест деления] параллельные линии; в середине полу-
чатся четыре квадрата. Построим из каждых двух треугольников пря-
моугольники, длина которых — три, а ширина — единица, и разделим их
на три квадрата; получатся десять квадратов. Вот чертеж этого.
|| [XII] Точно так же, если мы хотим разделить квадрат на двадцать 52
квадратов, то двадцать состоит из двух квадратов: один из них — шест-
надцать, его сторона — четыре, а второй — четыре, его сторона — два.
Разделим сторону квадрата на четыре равные части, отложим на сто-
ронах [линии], равные [стороне] второго [квадрата], и проведем линии из
углов [к местам деления]; получатся квадрат, сторона которого — раз-
ность сторон двух квадратов, и четыре треугольника, окружающие его.
Разделим сторону квадрата, находящегося в середине, на две части
по числу, [равному] разности сторон квадратов, и проведем параллель-
ные линии, а из каждых двух из четырех треугольников, окружающих
[квадрат], составим прямоугольник, длина которого — четыре и шири-
на— два. Квадрат, находящийся в середине, разложим на четыре квад-
рата, а из двух прямоугольников — шестнадцать квадратов. Вот чер-
теж этого.
[XII in X]
S '-аказ 338
113
[XIII] Методы разделения квадратов, (число которых] состоит и
двух квадратов, нельзя переносить на составление квадратов и их
разделение, если число квадратов не состоит из двух квадратов. Многие
геометры и ремесленники ошибались в построениях этих квадратов
в их составлении, геометры в силу недостаточной практики, а ремес
ленники — из-за того, что им не хватало знаний о доказательствах. Гак
как геометры не знают [практических] методов построений, то с по-
мощью доказательств на линиях им трудно найти правильные способы
приближенных построений.
Что же касается ремесленников, то, когда они находят приближен-
ное построение, они получают то, что мы ощущаем и видим, не обра-
щая внимания на доказательства с помощью линий и на геометров. Тот.
кто получает доказательство чего-либо с помощью теоретического рас
S3 суждения, ||не проверяет истинности этого на практике. Я не могу сом-
од
J
Фотокопия страницы трактата, на которой Аб}-л-Вафа
излагает построение квадрата, равновеликого утроенному
квадрату, по «способу геометров»
(с оригинала стамбульской рукописи)
114
неваться в том, что все, что знаег ремесленник, — это факты, доказан-
ные геометрами, и что доказательства показывают истинность этого.
Но ремесленник и землемер рассматривают сущность дела и не думают
о том, как доказать это, поэтому они допускают ошибки. Что же ка-
сается геометров, то им известна истина того, что мы хотим получить,
при помощи доказательства, если они доказывают то, чем пользуются ре-
месленники и землемеры. Для геометров характерно то, что, когда их
спрашивают о разделении фигур и умножении линий, они приходят в
замешательство и им нужно много времени для размышления. Иногда
зто приближает их к решению, а иногда hqt. Я присутствовал при не-
которых спорах, в которых участвовали и ремесленники и геометры..
Их спрашивали о 'построении квадрата из трех квадратов. Что касается-
геометра, то он легко находил сторону квадрата, состоящего из трех
квадратов. Но это не удовлетворяло ремесленников, так как ремеслен-
нику нужно разделить эти три квадрата на части, из которых составлял-
ся бы один квадрат, как это имело место в случае двух и пяти квадра-
тов90. Что же касается ремесленников, то они предложили несколько
способов для этого. Для некоторых из них были приведены доказа-
тельства, а остальные оказались ложными. Те, для которых доказатель-
ства нельзя было привести, казались очень близкими к истинным, и тот»
кто смотрит на эти построения, думает, что они .правильны. Мы приве-
дем эти способы, чтобы знать, какие из них правильные и какие нет.
Мы не опираемся на зрение, [так как] зрение — плохой помощник в том»
чтобы сказать, если этого захочет Аллах, какой из этих способов не-
верный.
Некоторые ремесленники помещают один квадрат в середине, раз-
деляют второй (квадрат] диагональю [пополам] и помещают эти две
части на сторонах квадрата. Середину третьего, [квадрата] соединяют
двумя линиями с двумя [его] вершинами, не лежащими на одной диаго-
нали, и соединяют линией середину квадрата с серединой стороны, про-
тивоположной треугольнику, образованному двумя линиями [и стороной
квадрата]. Этот квадрат разделится на две трапеции и треугольник. 54
Этот треугольник помещают на нижней стороне || первого квадрата, а
две трапеции — на верхней стороне над ним так, чтобы их длинные сто-
роны находились в середине Получится квадрат, как показано на этом
-чертеже.
Абу-л-Вафа говорит: что касается чертежа, построенного им, то
здесь применена хитрость. Тот, кто не обучен искусству геометрии, счи-
тает это построение правильным, но если рассмотреть его более подроб-
но. то этот способ оказывается неверным. Хотя нам и кажется, что это»
правильно, но что касается углов и равенства сторон, то каждый из
8*
115/
углов квадрата прямой, а его стороны равны, и поэтому кажется, что
этот способ правилен. Каждый из углов треугольников С, В, Z), являю-
щихся углами квадрата, прямой, а четвертый угол состоит из двух
углов, каждый из которых — -половина прямого, т. е. из углов двух тра-
пеций. Что же касается сторон, то они — прямые линии и равны. Каж-
дая из этих сторон состоит из стороны квадрата. Поэтому они равны.
Что же касается того, что они при* этом построении прямые, то и это
доказано, так как сумма всех углов при точке соединения прямых рав-
на двум прямым и сумма трех углов при точке Н равна двум прямым
поскольку один из этих углов — угол квадрата, а остальные два угла —
углы треугольников, каждый из них — половина прямого. Таков же
угол F. Что же касается угла /, то, он [состоит из] двух углов, один из
которых — угол треугольника, т. е. половина прямого, а другой угол —
угол трапеции, т. е. полтора прямых. То же -относится к углам при точ-
ке К. Поэтому если углы прямые, а стороны — прямые линии, равные
между собой, то для каждого человека очевидно, что получится квад-
р«ат, состоящий из трех квадратов, и не находят места, где он допустил
ошибку. Однако заметим, что, как известно, каждая сторона этого
gg квадрата || стала равна стороне одного из квадратов и половине его
диагонали. Но сторона квадрата, состоящего из трех квадратов, не
может быть равна этой величине, так как она должна быть больше
этой величины. Пусть каждая сторона квадрата — десять локтей;
[тогда] для грамотного известно, что сторона квадрата, построенного
из трех квадратов, приблизительно равна семнадцати локтям и одной
трети, а сторона этого квадрата — семнадцать и половина одной седь-
мой. Между этими значениями большая разница. Когда мы разделили
квадрат ВС пополам и приложили каждую его половину к сторонам
квадрата, отделенного от [половин] квадрата ВС линиями И! и FK, то
это невозможно, гак как очевидно, что диагональ [квадрата] ВС не рав-
на стороне [третьего] квадрата, линия HI равна стороне квадрата ВС
и половине второй [его стороны], но она меньше этой [стороны], так как
диагональ квадрата ВС [приблизительно] равна четырнадцати и одной
седьмой, а линия Н1 — пятнадцати. Этим непригодность этого разделе-
ния и построения доказана91.
{XIV] Некоторые люди разделяют эти квадраты другим способом,
непригодность которого проявляется еще яснее, чем в первом разделе-
нии. Они выделяют из диагонали двух квадратов в ее середине отрезок,
равный стороне этого квадрата, и отсекают от вершин по диагоналям
четыре треугольника. Таким образом из двух квадратов получаются
четыре разносторонних пятиугольника и четыре треугольника. Затем
они помещают каждый пятиугольник к стороне третьего квадрата, и при
четырех углах оказываются места для четырех треугольников. Они пе-
реносят эти треугольники в эти места [и] получают квадрат, состоящий,
таким образом, из трех квадратов.
[XIV из X]
116
Это кажется верным для тех, кто не занимается геометрией и
доказательствами, а когда они начинают вдумываться, то этот способ
оказывается непригодным, потому что треугольники, которые они пере-
носят в свободные места |] при вершинах квадрата, больше этих мест, 56
так как эти свободные места заключены между двумя сторонами, а
каждая сторона треугольника равна половине гипотенузы треугольника,
отсекаемого от квадрата. Поэтому сторона этого треугольника равна ги-
потенузе треугольника, находящегося в свободном месте, а это невоз-
можно. Точно так же, если мы построим один треугольник АВС и один
пятиугольник AEGHD и перенесем пятиугольник на сторону квадрата,
а треугольники на свои места, то точка С треугольника АВС совпадает
с точкой Е квадрата, [линия] АС треугольника [ЛВС] совпадает с ли-
нией АЕ пятиугольника, но [линия] АЁ пятиугольника равна [линии] АЕ
треугольника, т. е. половине его гипотенузы, и гипотенуза прямоуголь-
ного треугольника получится равной стороне, т. е. Л С, а это также не-
возможно.
Если АВ — сторона восьмиугольника, вписанного в квадрат, и АЕ
и BF равны сторонам восьмиугольника, то сторона квадрата превыша-
ет сторону восьмиугольника, а линия EF равна трем сторонам восьми-
угольника. Так как сторона квадрата превышает сторону восьмиуголь-
ника, это также невозможно. Поэтому сторона квадрата, состоящего из
трех квадратов, подавно меньше этого. Этим доказана неприменимость
того, как поступали ремесленники, как было сказано в начале этого
предложения.
[XV]	Разделим теперь два квадрата из трех пополам по их диаго-
налям, [получим четыре прямоугольных треугольника], расположим сто-
рону каждого из них на сторонах третьего квадрата, причем располо-
жим угол треугольника, равный половине прямого, над одним из углов
квадрата, а гипотенузу треугольника расположим на стороне [квадрата];
тогда часть треугольника со стороны другого угла будет выступать.
Соединим [вершины] прямых углов треугольников прямыми линиями;
тогда получим сторону искомого квадрата. Выделим из каждого боль-
шого треугольника малый треугольник и поместим его на место недо-
стающего треугольника по другую сторону от стороны.
Пример этого. || Если мы хотим построить это из трех равных 57
квадратов ABCD, EPGH и 1FKL, то разделим два из этих квадратов их
диагоналями на две части, проведя AD и ЕН, и расположим их на сто-
ронах третьего квадрата. Затем соединим [вершины] прямых углов тре-
угольников линиями BG, GP, PC и СВ. По каждую сторону от стороны
треугольника имеется малый треугольник, равный треугольнику, выде-
ляемому из большого треугольника. Поэтому треугольник BMF равен
треугольнику MGE, так как угол Е — половина прямого и угол F —
половина прямого, два вертикальных угла треугольников при М равны»
сторона АВ равна стороне EG, поэтому остальные стороны одного тре-
угольника равны остальным сторонам другого треугольника и один
треугольник равен другому треугольнику. Поэтому если мы поместим
треугольник BFM на место треугольника MGE, то линия BG будет
стороной квадрата, состоящего из трех квадратов. Этот способ пра-
вильный и самый близкий [к истине], так как он установлен с помощью
доказательства^2 Вот чертеж этого. [См. стр. 118.]
[XVI]	Если же геометр спросит о построении квадрата из большего
или меньшего числа квадратов, то он находит линию, квадрат которой
равен этим квадратам, и не обращает внимания на разделение квад-
ратов. Поэтому когда его спрашивают о построении квадрата из трех
квадратов, то он проводит диагональ одного квадрата, восставляет в
117
(XV из X]
одном из концов диагонали линию, перпендикулярную ей и равную
стороне квадрата, и соединяет конец [перпендикуляра] я другой [конец]
диагонали прямой линией; получается сторона квадрата, состоящего из
трех равных квадратов.
58 Пример этого. Мы хотим построить квадрат, || равный трем квад-
ратам, каждый из которых равен квадрату ABCD. Проведем диаго-
наль AD. Тогда AD — сторона [квадрата], построенного из двух квадра-
тов. Далее восставим в точке А к линии AD перпендикуляр АЕ, равный
линии АС, и соединим Е с D. Тогда линия ED — сторона квадрата,
равного трем квадратам, каждый из которых равен квадрату ABCD.
Вот чертеж этого.
[XVI из X]
Когда геометр получает эту линию, он не пишет способа разделе-
ния этих квадратов, а говорит о построении на линии ED квадрата, рав-
ного трем квадратам.
Точно так же обстоит дело, если мы хотим [построить] квадрат,
состоящий более чем из трех или менее чем из трех квадратов93.
[XVII]	О построении квадрата с неизвестной величиной стороны из
двух различных квадратов. Если производить построение, подобное из-
ложенному нами построению квадратов, мы придем к общему методу
построения квадрата или двух различных квадратов, к которому сле-
дует обратиться при сложении двух квадратов. Если мы хотим постро-
ить квадрат из трех квадратов, то мы построим квадрат из двух квадра-
тов. Получим большой квадрат по сравнению с малым, т. е. третьим
квадратом Если мы построим из них квадрат, то получим искомое.
Если мы хотим построить этот квадрат, то наложим малый квадрат на
большой квадрат так, чтобы один его угол совпадал с одним из углов
{большого квадрата], а две стороны лежали на двух сторонах. Далее
продолжим стороны малого квадрата до пересечения [со сторонами
большого квадрата] и выделим из большого квадрата [прямоугольник]
118
со стороной малого квадрата, параллельной другой стороне [большого
квадрата]. Тогда в большом квадрате останется прямоугольник. Отсе-
чем от прямоугольника, выделенного из большого квадрата, часть, со-
ставляющую с малым квадратом другой прямоугольник. Тогда от боль-
шого квадрата останется малый. Сохраним его. Далее рассечем два
прямоугольника их диагоналями; получатся четыре треугольника. Их
гипотенуза является стороной искомого квадрата. Затем поместим ма-
лый квадрат, сохраненный нами, в середину и присоединим к нему че-
тыре треугольника, каждый из них к одной из его сторон, так, чтобы
прямые углы из квадрата примыкали к [прямым] углам || треугольников. 59
Получится большой квадрат, [состоящий] из двух квадратов94. Вот чер-
теж этого.
[XVII из X]
Чтобы доказать правильность этого, построим большой квадрат
ABCD и малый квадрат G[E]HF. Наложим малый квадрат на большой
квадрат так, чтобы угол F наложился на угол D, линия GF — на линию
CD, а линия HF— на линию BD. Пересечем большой квадрат стороной
НЕ в точке /; тогда из большого квадрата выделится прямоугольник
HIAB. Отсечем из прямоугольника HIAB прямоугольник КВНЕ, равный
прямоугольнику IEGC, и отбросим его. От большого квадрата останется
малый квадрат AKEI. Далее образуем из двух прямоугольников четыре
треугольника, т. е. рассечем прямоугольники их диагоналями. Полу-
чатся четыре треугольника и малый квадрат. Поместим малый квадрат
в середину и расположим четыре треугольника вокруг него так, чтобы
угол С треугольника DCI примыкал к углу К, а сторона DC — к сторо-
не КА, угол Н треугольника IHD примыкал к углу А, а линия
HI—к стороне AI Оставшиеся два треугольника приложим так же,
как эти два треугольника. Получится чертеж, который мы чертили
раньше.
[XVIII]	О разделении одного кватрата на квадраты, не состоящие
из квадратов. Мы разъяснили такое разделение квадрата на большой
и малый квадраты, когда величина стороны каждого из этих квадратов
известна. Если же это неизвестно, то приходится производить разделе-
ние квадрата на два квадрата несколько раз, т. е. решать другую задачу,
в которой спрашивается, как выделить из большого квадрата малый
квадрат известной величины и построить из оставшейся части квадрата
другой квадрат. Если поступать так, как мы сказали, то мы должны
обратить построение, изложенное выше.
Пусть дан большой квадрат, || например квадрат ABCD, и малый 60
квадрат, например квадрат Е. Уже говорилось, как выделить из боль-
шого квадрата [квадрат[, равный малому квадрату, и построить на остав-
шейся части другой квадрат, поэтому произведем это так, как сказано
119
выше. Если мы хотим выделить из квадрата ABCD квадрат, равный Е
и построить из оставшейся части другой квадрат, то опишем на каждой
из сторон квадрата ABCD полукруг, из вершин каждого из углов А, В,
С и D как из центра на расстоянии стороны квадрата Е отметим на
полукругах [точки] G, Я, F и I и проведем линии AGH, BIG, DHF и
GFI. Тогда в середине получим квадрат, а каждая из линий GF, DH
BI, AG равна стороне малого квадрата. Поэтому мы получили четыре
треугольника и меньший квадрат. Составим из каждых двух треуголь-
ников прямоугольник, приложим квадрат, находящийся в середине
к каждому из них так, чтобы они наложились друг на друга Тогда
избытки длин [прямоугольников] над длиной квадрата образуют мень-
ший из двух квадратов, являющийся пересечением двух прямоугольни-
ков. [Отбрасывая этот квадрат], мы получим большой квадрат. Вот чер-
теж этого.
[XVIII из X]
Глава одиннадцатая
О РАЗДЕЛЕНИИ СФЕРЫ
[I]	Если он сказал: как провести на сфере большой круг, то опишем
на ней произвольный круг например круг ABG с полюсом С, далее раз-
делим круг ABG пополам в точках Л и В и опишем на сфере круг,
проходящий через точки А, С, В и D. Это и будет большой круг нэ
сфере95. Вот чертеж этого.
[II]	Если он сказал: как провести на сфере два больших круга, пе-
ресекающихся под прямым углом, то проведем на сфере большой круг,
например круг АВС, и разделим круг на четыре равные части в точках
А, В, С, D. Далее примем .1 за полюс и на расстоянии [от Л] до В и G
опишем круг. Это будет круг BEDG. Два больших круга ABCD и BEDF
61 пересекутся под прямым || углом96. Вот чертеж этого.
120
[Ill]	Если он сказал: построим на сфере три больших круга, пе-
ресекающихся под прямым углом, то построим, как раньше, два боль-
ших круга, пересекающихся под прямым углом в точках А и С. Это —
круги ABCD и BEDG, пересекающиеся под прямым углом. Далее раз-
делим дугу BCD пополам в точке С, «примем точку В за полюс и на
расстоянии ВС опишем круг CEAG. Тогда получим три круга ABCD,
BEDG и CEAG, пересекающиеся друг с другом под прямым углом97.
Вот чертеж этого.
III из XI
[IV]	Если он сказал: как провести большой круг, проходящий через
две точки на сфере, примем каждую из этих точек за полюс, пусть это —
точки Л и В, и опишем на расстоянии четверти большого круга круги
CDEB и CGEA. Эти круги пересекаются в точках С и Е. Далее примем
места пересечения за полюсы и на расстоянии [от них] до [данных] точек
опишем круг, это будет круг АВН, являющийся большим кругом. Мы
провели большой круг ABGH, который мы хотели [провести]98. Вот чер-
теж этого.
[IV из XI]
121
[V]	О разделении сферы на четыре равные части, являющиеся рав-
носторонними треугольниками. Если он сказал: как разделить сферу
на четыре равные части, являющиеся равносторонними и равноугольны-
ми треугольниками, то проведем на ней три круга; это круги ABCD,
BEDG и CEAG. Тогда сферу разделить на восемь равных равносторон-
них треугольников; эти треугольники ABE, AED, ADG, AGB, С BE, CED,
CDG и CGB. Проведем через центр одного из треугольников и через
каждый угол этого треугольника дуги больших кругов и продолжим
62 их до центров треугольников, примыкающих к нему. || Если мы прове-
дем дуги от этих центров до остальных двух углов каждого из этих
треугольников и продолжим их до центров [примыкающих] треугольни-
ков, то мы разделим сферу на четыре равных равносторонних и равно-
угольных треугольника; это треугольники IHF, IKH, FKH и FIK^. Вот
чертеж этого.
V из XI
[VI]	Другой [способ] разделения сферы на четыре равных равносто-
ронних и равноугольных треугольника. Если он сказал: как разделить
сферу на четыре [равных] треугольника с равными сторонами .и углами,
если известен диаметр сферы, то если диаметр сферы равен линии АВ,
построим на линии АВ полукруг, отложим линию АС, [равную] трети АВ,
проведем линию CD перпендикулярно к линии АВ; она встретит полу-
круг ADB в точке (Щ. Возьмем на круге произвольную точку Е, примем
ее за полюс и на расстоянии BD опишем круг FGH, разделим его на
три равные части в точках G, Н, F и проведем через полюс и через
каждую точку G, Н и F дуги большого круга, пересекающиеся в точке
/, а через каждые две из точек G, Н и F — дугу большого круга. Тогда
получим сферу, разделенную на четыре равносторонних и равноуголь-
ных треугольника. Это треугольники IHF, IHG, FIG и GHF100 Вог
чертеж этого.
[VI из XI]
122
[VII]	О разделении сферы на шесть равных частей, являющихся
равносторонними и равноугольными четырехугольниками. Если мы хо-
тим [построить] это, проведем на сфере три больших круга, пересекаю-
щихся под прямыми углами. Далее через центр каждых двух из восьми
треугольников, полученных нами на сфере, проведем дуги больших кру-
гов. Тогда сфера разделится на шесть || равносторонних и равноуголь- 63
ных четырехугольников и мы построим то. что хотели построить,01.
Вот чертеж этого.
[VII из XI]
{VIII] Другой [способ] разделения сферы на шесть равносторонних и
равноугольных четырехугольников. Если он сказал: как разделить сферу
на шесть равносторонних и равноугольных четырехугольников, и диа-
метр сферы равен линии АВ, то построим на линии АВ 'полукруг, отло-
жим линию АС, являющуюся третью АВ, восставим из точки С
перпендикуляр CD к линии АС [и соединим А с D], проведем на сфере
два круга, пересекающихся под прямыми углами в точках Е и G,
примем каждую из точек F и G за полюс и отметим на расстоянии AD
точки Н, К, I, F, L, М, N и X, проведем через каждую из этих точек
большие круги, т. е. проведем четыре дуги между точками // F, / и К
и между точками L, М, N и X.
Тогда сфера разделится на шесть частей, являющихся равносто-
ронними и равноугольными четырехугольниками,02. Вот чертеж этого.
[IX]	О разделении сферы на двадцать равных частей, являющихся
равносторонними и равноугольными треугольниками Если он сказал:
как разделить сферу на двадцать равных частей, являющихся равно-
сторонними и равноугольными, то проведем на сфере большой кр}г,
пусть это — круг ABCD, а его полюсы — точки Н и G. Разделим этот
круг на десять равных частей; это части АВ, ВС, CD, DE, EF, FI, IK,
KL, LM и MA. Примем точки А и В за полюсы и на расстоянии дуги
ВС опишем два круга, пересекающихся в точках Z со стороны полюса Н.
123
64 Затем, примем точки В и С за полюсы и на расстоянии дуги || ВС опи
тем два круга, пересекающихся в точках Q со стороны полюса G По-
строим при каждом из десяти делений из большого круга, разделенного
[на десять частей], круги, пересекающиеся в точках Z со стороны точки
Нив точках Q со стороны полюса G У нас получатся пять точек со
стороны полюса Н, обозначаемые Z, и пять точек со стороны полюса G
обозначаемые Q. Соединим каждые две из этих точек, т. е. точки Z и
Q, дугами больших кругов. Получатся десять треугольников, вершины
которых — точки Z и Q, а основания — [линии] QQ и ZZ. Далее прове-
дем через каждую из точек Z и полюс Н дуги большого круга, через
каждую из точек Q и полюс G — дуги большого круга. Получатся пять
треугольников с вершинами в точке Н и пять треугольников с вершина-
ми в точке G, Таким образом, мы разделили сферу на двадцать равно-
сторонних и равноугольных треугольников 103. Вот чертеж этого.
[IX из хп
[X]	Это же построение другим способом. Если мы хотим разделить
сферу на двадцать частей, являющихся равносторонними и равноуголь-
ными треугольниками, и диаметр сферы равен линии АВ, то построим
на линии АВ полукруг АСВ, отложим BD — одну пятую АВ, восставим
перпендикуляр DC к линии DB, примем точку В за центр и на расстоя-
нии [В]С опишем круг CEG. Отложим дугу СЕ, [равную] одной пятой
круга CEG. Отметим на сфере произвольную точку Н, примем ее за по-
люс и на расстоянии СЕ опишем на сфере круг. Разделим круг на пять
равных частей в [точках] F, проведем через каждые две такие точки
дуги большого круга и через каждую из этих точек и через полюс так-
же проведем дуги большого круга. Получим пять равносторонних и
равноугольных треугольников на сфере с вершинами в точке Н и с ос-
qq кованиями FF. Далее примем каждую из точек F || за полюс и на взя-
том расстоянии опишем другие круги, пересекающиеся в точке /. Затем
проведем через каждые две точки Е и через каждые две точки / дуги
большого круга. Тогда получим десять равносторонних и равноугольных
треугольников. Затем примем каждые две точки I за полюс и на том
же расстоянии опишем круги, пересекающиеся в точке К. Затем постро-
им на каждой из точек / и на каждой из точек К дуги большого круга
Тогда получим пять треугольников с равными сторонами [и углами]
[Следовательно], разделим [поверхность] сферы на двадцать частей.,
являющихся равносторонними и равноугольными треугольниками104
Вот чертеж этого..
124
[X из XI]
[XI]	О разделении сферы на двенадцать равных частей, являющихся
равносторонними и равноугольными] пятиугольниками. Если мы хотим
[построить] это, разделим сферу на двадцать равных частей, являющих-
ся равносторонними и равноугольными треугольниками. Затем проведем
через центры треугольников дуги больших кругов. Тогда сфера разде-
лится на двенадцать равносторонних и равноугольных пятиугольни-
ков 105 Вот чертеж этого.
XI из XI
[XII]	Второй [способ] разделения сферы на двенадцать равносторон-
них и равноугольных пятиугольников. Пусть диаметр сферы известен.
Примем за диаметр сферы [линию] АВ. разделим ее на три равные ча-
сти; это AC. CD и DB. Примем точку D за центр и на расстоянии DA
опишем полукруг AEG. Восставим из точки В перпендикуляр BE к
линии АВ и отложим линию ВН. равную половине BE. Примем точку Н
за центр и на расстоянии НЕ отметим [точку] F; получится линия BF.
являющаяся стороной пятиугольника на сфере. Вот чертеж этого.
|| Поэтому если хотим разделить сферу на двенадцать равных ча- 66
стей, являющихся равносторонними и равноугольными пятиугольника-
ми, то отметим на сфере точку, как [мы делали] раньше, это — точку 1.
примем ее за полюс и на расстоянии полученной линии FB опишем круг
KLM. Разделим его на три равные части в точках Л, L и М и через по-
125
1юс и через каждую из этих точек проведем дугу большого круга. За-
тем примем каждую из этих точек, т. е. каждую из построенных точек
X, L и М, за полюс и на расстоянии /К опишем круги. Разделим каж-
дый из этих кругов также на три равные части в точках В, С, D, X, F и
О, откладывая эти части от точки /, проведем через каждую из точек
деления и через каждую из точек К, L, М дугу большого круга. Полу-
чатся три равносторонних пятиугольника; это пятиугольники 1KOBL,
IMXFK и IMDCL. Поступим так же с каждой из дуг. Далее примем
точки В, Cf D, X, G, Е и А за полюсы и на расстоянии стороны пяти-
угольника опишем круги. Разделим их, как мы делили, на части от
соответствующего полюса — точки I. Сфера разделится на двенадцать
равносторонних и равноугольных пятиугольников106. Вот чертеж этого..
[XIII]	Третий способ деления сферы на двадцать равных частей,,
являющихся равносторонними и равноугольными треугольниками. Если
выполнено разделение сферы на двенадцать частей, являющихся рав-
ными пятиугольниками, можно [легко] разделить сферу на двадцать
треугольников. Разделим сферу на двенадцать пятиугольников и прове-
дем через их центры дуги больших кругов так, что из центра каждого
пятиугольника выходят дуги в центры примыкающих к нему пятиуголь-
ных граней. Сфера разделится на двадцать треугольников. Вот чертеж
67 полусферы, разделенной на пятиугольники, в котором при центре II
пятиугольника в середине построены пять треугольников ,07. Вот чертеж
этого.
XIII из XI
[XIV]	Разделение сферы на четырнадцать частей — шесть равносто-
ронних и равноугольных четырехугольников и восемь равносторонних
и <равноугольных треугольников. Если мы хотим [построить] это, то по-
строим на сфере три больших круга, пересекающихся под прямыми
углами. Затем разделим каждую из сторон треугольников пополам и
126
проведем через каждое место деления дуги большого круга. Тогда сфе-
ра разделится на шесть равносторонних и равноугольных четырехуголь-
ников и восемь равносторонних и равноугольных треугольников 108 Вот-
чертеж этого.
[XV]	О разделении сферы на те же части другим способом. Если мы
хотим [построить] это, то разделим сферу на [шесть] равных четырех-
угольников, разделим каждую из сторон пополам и проведем через каж-
дые два места деления дуги большого круга. Тогда сфера разделится
на восемь треугольников 109. Вот чертеж этого. Чертеж разделения та-
кой же.
[XV из XI]
[XVI]	О разделении сферы на двенадцать равносторонних и рав
ноугольных пятиугольников и двадцать равносторонних и равноуголь-
ных треугольников. Если мы хотим [построить] это, разделим сферу на
двадцать равносторонних и равноугольных треугольников, а затем раз-
делим каждую из сторон [этих треугольников] пополам и проведем че-
рез места деления большие круги; тогда сфера разделится на восемь-
десят частей, являющихся равносторонними [и равноугольными] || тре- 68
угольниками. Тогда если отбросим шестьдесят из этих треугольников,
примыкающих к вершинам первых треугольников, и сотрем разделяв-
шие их линии, то сфера разделится на двенадцать равносторонних и
равноугольных пятиугольников и двадцать равносторонних и равно-
\тольных треугольников110. Вот чертеж полусферы.
127
(XVI из XI]
[XVII]	Второй способ построения двенадцати равносторонних и рав-
ноугольных пятиугольников и двадцати равносторонних и равноуголь-
ных треугольников на сфере. Если угодно, проведем на сфере большой
круг, разделим его на десять равных частей, построим на них равно
сторонние треугольники, пять из которых направлены в сторону одногь
из двух полюсов, а пять других направлены в сторону другого полюса,
как мы поступали при разделении сферы на двадцать треугольников.
Затем примем вершины этих треугольников за полюсы, проведем боль-
шие круги, разделим каждый из них на десять частей так, чтобы эти
круги пересекались в отмеченных точках. Соединим между собой отме-
ченные точки. Тогда сфера разделится на двенадцать равносторонних
и равноугольных пятиугольников [и двадцать равносторонних и равно-
угольных треугольников]111.
[XVIII]	О разделении сферы на двенадцать равносторонних и рав-
ноугольных пятиугольников. Если мы хотим [построить] это, разделим
сферу на двенадцать пятиугольников и двадцать треугольников и про-
ведем через центры треугольников дуги больших кругов. Тогда сфера
разделится на двенадцать равносторонних и равноугольных пятиуголь-
ников 112 Вот чертеж полусферы.
[XIX]	О разделении сферы на двенадцать равносторонних пяти-
69 угольников || и двадцать равносторонних шестиугольников. Разделим
сферу на двадцать равных частей [являющихся равносторонними] тре-
угольниками, разделим каждую из сторон треугольника на три равные ча-
сти. проведем через места деления дуги больших кругов; тогда сфера
разделится на двадцать шестиугольников. Вот чертеж полусферы.
В середине каждого треугольника получим шестиугольник, а при уг-
лах— пятиугольники 113. Вот чертеж этого.
128
[XIX из XI]
(XX]	О разделении сферы на шесть равносторонних четырехугольни-
ков и восемь равносторонних шестиугольников. Если мы хотим (по-
строить] это, разделим сферу на восемь равносторонних и равноугольных
треугольников, разделим каждую из их сторон на три равные части и
проведем через места деления дуги больших кругов. Тогда сфера раз-
делится на шесть четырехугольников и восемь шестиугольников. Шести-
угольники получатся в середине треугольников, на которые была
разделена сфера, а четырехугольники— при их углах114. Вот чертеж
полусферы.
[XXI]	О разделении сферы (на четыре равносторонних треугольника]
и четыре равносторонних и равноугольных шестиугольника. Если мы
хотим [построить] это, то разделим сферу на четыре равносторонних и
равноугольных треугольника, разделим каждую из их сторон на три
равные части и проведем через места деления дуги больших кругов;
тогда сфера разделится на четыре равносторонних и равноугольных тре-
угольника и четыре равносторонних и равноугольных шестиугольника.
Шестиугольники получатся в середине треугольников, а треугольники —
при их углах.115. Вот чертеж этого.
[XXI из XI]
Заказ 338
129
Фотокопия последней
(с оригинала
страницы трактата Абу-л-Вафы
стамбульской рукописи)
|| КОНЕЦ
70 Трактат окончен с восхвалением, молитвой и приветствием единому
Аллаху.
С. А. Краснова
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ АБУ-Л-ВАФЫ
1.	Кигаб фи ма йахтадж илайхи ас-сани мин а’мал ал-хандасиййа
2.	Баха ад-Даула Дийа ал-Милла Гийас ал-Умма («блеск государ-
ства», «свет народа», «оплот нации»)—почетные звания султана Абу
Насра Хурры Фируза, сына Фаннахусрау, царствовавшего в Багдаде в
990—1012 гг.
Шахиншах, титул буидских султанов, — по-персидски «царь царей».
3.	В рукописи не 13, а 11 глав; отсутствуют главы «О разделении
разносторонних фигур» и «О касающихся кругах», а глава «О разде-
лении сферы» в рукописи является 11-й, а не 13-й
4.	Линейка (мастара)—от «сатара» — «линовать, проводить
линии».
5.	См. (8], стр. 96.
6.	Мы переводим словами «путем шлифовки» выражение би-р-рак-
кан ва-л-кустарак. Слова «раккан» и «кустарак» — транскрипции пер-
сидских слов «раккан» и «гостарак», буквально означающих «тонкие» и
«подстилка», что, по-видимому, обозначает инструменты, с помощью ко-
торых производилась шлифовка линейки.
7.	Циркуль (биркар)—от персидского слова «пергар».
8.	Колесный циркуль — ал-биркар ад-дулаби, от дулаб — «колесо».
Это название объясняется, по-видимому, тем, что линейка, входящая в
состав этого циркуля, вращается как спица колеса.
9.	Угольник (кунйа) — от греческого словаку!?. (угол), в персидской
форме гунйа.
10.	Построение по существу совпадает с построением, приведенным
в предложении 11 книги I «Начал» Евклида [23, т. I, стр. 24]. На по-
лях дано доказательство, опирающееся на предложение 4 книги I
«Начал» о равенстве треугольников. В переводе воспроизведен более
полный чертеж парижской рукописи (л. 142а).
11.	Построение основано на предложении 31 книги III «Начал» [23г
т I, стр. НО]. В доказательстве на полях имеется ссылка на эту тео-
рему Евклида.
12.	Это построение отсутствует у Евклида и по существу совпадает
с построением Герона, приведенным ан-Найризи в его комментариях к
предложению 11 книги I «Начал» (23, т. I, стр. 54]. Доказательство на
полях опирается на предложение 31 книги III «Начал» (см. примеча-
ние 11).
13.	Это построение, основанное на свойствах равнобедренного пря-
моугольного треугольника, также отсутствует у Евклида.
14.	Здесь с помощью предыдущего построения строится точка С на
перпендикуляре к прямой АВ. Точка С «попадет вне линии АЕ», т. е.
будет лежать вне угла ВАЕ, если этот угол острый, и «попадет внутри
9*
131
пинии АЕ», т. е. будет находиться внутри угла ВАЕ, если этот угол
тупой.
15.	В доказательстве на полях ссылка на то, что 32 + 42 = 9+16 =
= 25 = 52.
16.	В доказательстве на полях ссылка на то, что 122 + 52 = 144 +
+ 25= 169=132.
17.	Построение в случае деления пополам прямолинейного отрезка
совпадает с построением предложения 10 книги I «Начал» Евклида
[23, т. I, стр. 24], а в случае деления пополам дуги окружности — с по-
строением предложения 30 книги III «Начал» [23, т. I, стр. ПО]. Дока-
зательство на полях опирается на равенство треугольников и на ра-
венство дуг, стягиваемых равными хордами, — предложение 29 книги III
«Начал» [23, т. I, стр. 109].
18.	Совпадает с построением ан-Найризи в его комментариях к
Евклиду [30, стр. 74—75]. На полях приведено доказательство, опираю-
щееся на равенство треугольников АСН и BED,
19.	По существу совпадает с построением предложения 9 книги I
««Начал» Евклида [23, т. I, стр. 23]. Доказательство на полях опирается
На равенство треугольников BDG и BEG, На чертеже стамбульской
рукописи проведены лишние линии, поэтому в переводе воспроизведен
чертеж парижской рукописи (л. 144).
20.	Совпадает с построением предложения 12 книги I «Начал» Ев-
клида [23, т. I, стр. 25].
21.	По существу совпадает с построением предложения 11 книги XI
«Начал» Евклида [23, т. III, стр. 21]. В доказательстве на полях име-
ется ссылка на это предложение. Чертеж Абу-л-Вафы условен.
22.	Совпадает с построением предложения 23 книги I «Начал» Ев-
клида [23, т. I, стр. 35]. Доказательство на полях опирается на пред-
ложение 27 книги III «Начал» [23, т. I, стр. 107].
23.	По существу совпадает с построением предложения 31 книги J
«Начал» [23, т. I, стр. 43]. Доказательство на полях опирается на равен-
ство треугольников HAD и ADE
24.	Совпадает с построением предложения 1 книги 111 «Начал»
Евклида [23, т. I, стр. 81]. В доказательстве на полях имеется ссылка
на это предложение.
25.	Доказательство на полях опирается на теорему о том, что угол,
вписанный в полукруг, — прямой (предложение 31 книги III «Начал»,
см. прим. И).
26.	Совпацает с построением предложения 25 книги 111 «Начал»
Евклида [23, т. I, стр. 105]. Доказательство на полях опирается на
теорему о том, что угол, вписанный в полукруг, — прямой.
27.	Совпадает с построением предложения 17 книги III «Начал»
Евклида [23, т. I, стр. 99]. В доказательстве на полях имеется ссылка
на это предложение.
28.	Совпадает с построением предложения 16 книги III «Начал»
Евклида [23, т. I, стр. 97]. В доказательстве на полях имеется ссылка
на это предложение.
29.	Доказательство на полях опирается на то, что фигура
BHGE — параллелограмм. Правильность построения вытекает из пред-
ложения 34 книги I «Начал» [23, т. I, стр. 45].
30.	В доказательстве на полях имеется ссылка на предложение 29
книги I «Начал» [23, т. I, стр. 41], согласно которому угол BDE равен
углу CBD, равному по построению углу DBE, и на предложение 6 той
же книги [23, т. I, стр. 20], в силу которого треугольник BDE — равно-
бедренный
132
31.	Доказательство на полях опирается на то, что фигура BEFG —
параллелограмм, и на предыдущее предложение.
32.	По существу совпадает с построением предложения 22 книги I
«Начал» {23, т. I, стр. 34]. В доказательстве на полях имеется ссылка
на это предложение.
33.	Доказательство на полях опирается на то, что каждый угол рав-
ностороннего треугольника равен двум третям прямого угла.
34.	По существу совпадает с построением предложения 8 «Книги
чемм» Архимеда [8, стр. 395]. Доказательство на полях равносильно
данному Архимедом.
35.	Это построение также основано па применении «вставки». На
полях приведено доказательство правильности этого способа построения.
36.	Доказательство на полях опирается на предложение 26 книги III
«Начал» [23, т. I, стр. 106] о равенстве дуг, стягивающих равные углы в
равных кругах.
37.	Совпадает с построением в «Механике» Герона [8t стр. 461J.
На полях доказано, что АВ : СА=АВ3: ВЕ3, откуда вытекает, что ВЕг =
= 2 АВ3.
38.	«Зажигательное зеркало» — парабола, «расстояние, на котором
зажигается 'предмет» — фокусное расстояние. Абу-л-Вафа называет ле-
кало тем же словом «мастара», что и линейку. На полях приводится
доказательство того, что абсциссы и ординаты построенных точек удов-
летворяют уравнению параболы.
39.	На полях приводится доказательство правильности построения.
40.	Совпадает с построением предложения 1 книги 1 «Начал» Ев-
клида {23, т. I, стр. 15].
41.	Совпадает с построением предложения 46 книги I «Начал»
Евклида [23, т. I, стр. 57]. На полях написано: «Доказательство оче-
видно» (возможно, что эти слова относятся и к предыдущему построе-
нию) .
42.	Построение правильного пятиугольника с данной стороной от-
сутствует у Евклида. Доказательство правильности построения на по-
лях опирается на предложение 11 книги II «Начал» о делении линии в
среднем и крайнем отношении [23, т. I, стр. 75] и на предложение 10
книги IV «Начал» о построении равнобедренного треугольника с углами
72° при основании и углом 36° при вершине [23, т. I, стр. 132].
43.	Это — то же построение с'помощью линейки и циркуля постоян-
ного раствора, равного данной стороне.
44.	Построение правильного шестиугольника с данной стороной от-
сутствует у Евклида. Построение Абу-л-Вафы опирается на построение
Евклида равностороннего треугольника. На полях написано: «Доказа-
тельство очевидно».
45.	Значение стороны правильного семиугольника с точностью до
тысячных равно 0,868 радиуса описанного круга; построение Абу-л-
Вафы дает отрезок, равный 0,866 радиуса. Это приближенное значение
имеется в «Метрике» Герона [29, стр. 55]. Здесь Абу-л-Вафа не отмечает
приближенного характера своего построения, но он говорит об этом
ниже, рассматривая аналогичное построение семиугольника, вписан-
ного в круг (см. прим. 58).
На полях написано: «Абу-л-Касим ал-’Андиджани сказал: это по-
строение не точно, так как определение величины этим способом являет-
ся только приближенным. То, что величина, найденная как половина
стороны равностороннего треугольника, вписанного в круг, стягивает одну
седьмую круга, не доказано, величина, которой пользуется Абу-л-Вафа,
только кажется равной этой величине. В действительности АВ непра-
133
вильно считается хордой круга, равной половине стороны вписанниги
треугольника. Полное разъяснение этого требует размышления». Об ал-
"Андиджани см. нашу статью, предпосланную переводу трактата Абу-л-
Вафы.
46.	Построение правильного восьмиугольника с данной стороной
отсутствует у Евклида. На полях приведено доказательство правильно-
сти построения.
47.	Здесь та же задача решается линейкой и циркулем постоянного
раствора, равного данной стороне. На полях приведено доказательство
правильности построения.
48.	На полях приведено доказательство правильности построения.
49.	Построение правильного десятиугольника с данной стороной
отсутствует у Евклида. Построение Абу-л-Вафы сводится к построению
радиуса описанного круга, являющегося большим отрезком при делении
этого радиуса и данной стороны в среднем и крайнем отношении, что
вытекает из предложения 9 книги XIII «Начал» [23, т. III, стр. 114].
В доказательстве на полях имеется ссылка на это предложение.
50.	Здесь та же задача решается линейкой и циркулем постоянного
раствора, равного данной стороне. На полях приведено доказательство
правильности построения.
51.	Эта задача является частным случаем задачи предложения 2
книги IV «Начал» Евклида для равностороннего треугольника. По-
строение Абу-л-Вафы опирается на предложение 15 книги IV «Начал»
о построении вписанного правильного шестиугольника [23, т. I, стр. 138].
В доказательстве на полях имеется ссылка на это предложение. На чер-
теже стамбульской рукописи проведены лишние линии, поэтому в пере-
воде воспроизведен чертеж парижской рукописи (л. 152).
52.	Эта задача является частным случаем задачи предложения 3
книги JV «Начал» Евклида для равностороннего треугольника. На полях
написано: «Доказательство в книге Евклида».
53.	Совпадает с построением предложения 6 книги IV «Начал»
Евклида [23, т. I, стр. 128].
54.	Здесь та же задача решается линейкой и циркулем постоянного
^раствора, равного радиусу круга. В доказательстве на полях имеется
ссылка на предложение 26 книги III «Начал» о равенстве центральных
углов, опирающихся на равные дуги [23, т. I, стр. 106], и на предложе-
ние 4 книги I «Начал» о равенстве треугольников. Далее приводятся
-еще четыре решения той же задачи линейкой и циркулем того же рас-
твора. В первом случае на полях написано: «Доказательство очевидно»,
в остальных случаях приводятся доказательства правильности по-
строения.
55.	По существу совпадает с построением предложения 11 книги IV
«Начал» Евклида [23, т. I, стр. 133]. В доказательстве на полях имеется
ссылка на предложение 1 книги I «Алмагеста» Птолемея [35, т. I,
стр. 25] и на предложение 9 книги XIII «Начал» Евклида.
56.	Здесь та же задача решается линейкой и циркулем постоянного
раствора, равного радиусу круга. В доказательстве на полях имеется
ссылка на предложение 10 книги IV «Начал». Далее приводится еще
одно решение той же задачи с доказательством на полях.
57.	Совпадает с построением предложения 15 книги IV «Начал»
Евклида [23, т. I, стр. 138]. На полях имеется ссылка на это пред-
ложение.
58.	Здесь. Абу-л-Вафа отмечает, что построенная им дуга — «одна
седьмая круга приближенно, а не точно». На полях снова ссылка на
ал-’Андицжани,
134
59.	Чертеж стамбульской рукописи не потный, поэтому в переводе
чертеж воспроизведен по парижской рукописи( л. 155).
60.	Совпадает с построением предложения 5 книги IV «Начал»
123, т. I, стр. 126]. В доказательстве на полях имеется ссылка на это
предложение.
61.	Совпадает с построением предложения 9 книги IV «Начал»
Евклида [ 23, т. I, стр. 131]. На полях имеется ссылка на это предло-
жение.
62.	Задача совпадает с предложением 14 книги IV «Начал» [23,
т I, стр. 138], но в отличие от Евклида, находившего центр описанного
круга в пересечении двух биссектрис, Абу-л-Вафа находит его в пере-
сечении двух перпендикуляров, восставленных в серединах сторон. На
полях приведено доказательство правильности построения.
63.	Доказательство на полях основано на равенстве сторон шести-
угольника радиусу круга
64.	Совпадает с построением предложения 4 книги IV «Начал»
Евклида [23, т. I, стр. 125]. В доказательстве на полях имеется ссылка
на Евклида.
65.	В стамбульской рукописи третье построение искажено, оно нами
восстановлено по миланской рукописи [3, стр. 107]. В чертежах четвер-
того построения стамбульской рукописи проведены лишние линии.
В нашем переводе они опущены, что сделано также в парижской ру-
кописи (л. 157). Пятое построение Абу-л-Вафы по публикации Зутера
приведено в книге [1, стр. 264].
66.	На полях приведено доказательство правильности построения.
67.	В переводе чертеж четвертого построения воспроизводится по
парижской рукописи (л. 157а). На полях приведены доказательства
правильности этих построений.
68.	Чертеж первого построения стамбульской рукописи не полный,
поэтому в переводе воспроизводится чертеж парижской рукописи
(л. 158). На полях приведены доказательства правильности этих
построений.
69.	Чертеж первого построения стамбульской рукописи не полный,
поэтому в переводе воспроизводится чертеж парижской рукописи
(л. 158а). На полях приведены доказательства правильности по-
строений.
1	70. Чертеж стамбульской рукописи неточен, поэтому в переводе
воспроизводится чертеж парижской рукописи (л. 158а). На полях при-
ведены доказательства правильности построений.
71.	Здесь приводится построение квадрата, описанного около пяти-
угольника таким образом, что четыре вершины пятиугольника находят-
ся на сторонах квадрата, а пятая вершина — на диагонали квадрата, и
построение правильного пятиугольника, вписанного таким же образом
в квадрат. Второе построение состоит в том, что строится пятиугольник,
сторона которого находится в таком отношении к стороне данного квад-
рата, что прямая RQ проходит через середину стороны MN; строится
квадрат, описанный около этого пятиугольника, и искомый пятиугольник
получается из построенного пятиугольника увеличением его сторон в
том же отношении. На полях приведены доказательства правильности
построений.
72.	На полях приведены доказательства правильности трех преды-
дущих построений.
73.	На	полях	приведено	доказательство	правильности	построения.
74.	На	полях	приведено	доказательство	правильности	построения.
75.	На	полях	приведены	доказательства	правильности	построений.
135
76.	Здесь приводятся построения треугольников, больших или
меньших данного в указанное число раз. В первом и третьем случаях,
когда строящийся треугольник подобен данному, это преобразование
треугольников является гомотетией: в первом случае с центром в одной
из его вершин, в третьем — в одной из внутренних точек треугольника
Во втором случае преобразование треугольников представляет собой
растяжение от прямой. На чертеже в стамбульской рукописи в этом слу-
чае указана точка В, а линия АВ не проведена.
77.	Здесь приводятся семь способов деления четырехугольников
пополам. Доказательства правильности построений приведены на полях
во II, III, VI и VII случаях, а в I случае написано: «Доказательство оче-
видно». В стамбульской рукописи чертеж III построения отсутствует
В переводе приводится чертеж по парижской рукописи (л. 160).
78.	Чертеж задачи VIII в стамбульской рукописи отсутствует
В переводе чертеж задачи VIII и первый чертеж задачи IX приведены
по парижской рукописи (л. 160 об.).
79.	Здесь текст не полный. Наши дополнения основаны на том, что
если AB=h, АН —а, ЕН = а+ е, BI= ig, то из подобия треугольника
FBI и треугольника, образованного линией EG, перпендикуляром, опу-
щенным из точки Е на сторону ВС, и отрезком стороны ВС вытекает
пропорция h : (2а—е) = ^:еэ откуда следует, что площадь искомого
треугольника AEI, равная -i-(2а + е) (/г — ^), равна площади ah пря-
моугольника ВН. В переводе воспроизводится чертеж парижской руко-
писи (л. 161). На полях приведены доказательства правильности по-
строений.
80.	На полях приведены доказательства правильности построений
81.	В задаче XV на полях приведено доказательство, в задаче XVI
написано: «Доказательство очевидно».
82.	Здесь рассматриваются девять задач отделения от трапеции ее
трети и другой доли и разделение ее пополам. В большинстве случаев
на полях приведены доказательства, в трех случаях написано: «Дока-
зательство очевидно».
83.	Построение является гомотетией с центром в центре квадрата
В стамбульской рукописи чертеж не полный, поэтому в переводе воспро-
изводится чертеж парижской рукописи (л. 163). На полях приведены
доказательства правильности построений.
84.	В парижской рукописи задачи отделения доли круга и разделе-
ния пополам «сектора» (кита’), под которым здесь понимается фигура,
состоящая из сегмента круга и произвольного треугольника, построен-
ного на хорде сегмента, выделены в главу «О разделении кругов»
Чертеж к задаче XXVIII в стамбульской рукописи неточен. В переводе
дан чертеж в соответствии с парижской рукописью (л. 163а). На полях
приведены доказательства правильности построений.
85.	Здесь приводятся пять задач разделения квадрата, треугольника
и трапеции на две и три равные части и на треть и две трети «с остав-
лением пути», которые в парижской рукописи выделены в отдельную
главу «Об оставлении пути». Это задачи на раздел земельных участков
с оставлением подхода данной ширины к новым участкам. Построения
Абу-л-Вафы правильны только при определенной ширине пути. Чертеж
задачи разделения треугольника на две равные части в стамбульской
рукописи отсутствует, но для него оставлено место. В переводе воспро-
изводится чертеж парижской рукописи (л. 164а). Чертеж задачи раз-
деления треугольника на треть и две трети неточен, поэтому в перевода
воспроизводится чертеж парижской рукописи (л. 164а).
136
86.	На полях написано: «Доказательство очевидно».
87.	Чертеж стамбульской рукописи не полный. В переводе воспроиз-
веден чертеж парижской рукописи (л. 166). Приводится пример построе-
ния квадрата из 8 = 2-22 равных квадратов. Чертеж к примеру неточен
ни в стамбульской, ни в парижской рукописях. В переводе чертеж вы-
полнен в соответствии с парижской рукописью (л. 166а).
88.	Построение квадрата из m2+n2 равных квадратов основано на
соотношении m2+n2=(m— n)2 + 2mn. Чертеж в стамбульской рукописи
не полный. В переводе чертеж выполнен в соответствии с парижской
рукописью (л. 169). На полях приведено доказательство правильности
построения.
89.	В этом примере в рукописях большой квадрат отсутствует На
полях написано: «Доказательство очевидно».
90.	«Способ геометров» построения квадрата, равновеликогр сумме
квадратов, основан на обобщении теоремы Пифагора, в силу которой
квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме
квадратов его измерений (см. прим. 94). Геометр мог бы решить эту
задачу и с помощью гомотетического увеличения квадрата в три раза,
что подобно построению, применявшемуся Абу-л-Вафой в задаче XXVI
девятой главы. Эти способы не удовлетворяют ремесленников, так как.
пе дают рецепта раскроя трех квадратов на куски, из которых состав-
ляется квадрат, равный трем данным.
91.	Сторона квадрата, построенного по «способу ремесленников»,
равная 10^1 4 Л: 17,0711, меньше 10 р^З 17,321; Абу-л-Вафа
приближенно выражает эти величины дробями 17 -—•	17,0714 и
17-у 17,333. В стамбульской рукописи на чертеже отсутствуют неко-
торые буквы, которые дополнены по чертежу «парижской рукописи.
92.	Здесь Абу-л-Вафа предлагает оригинальный метод построения
квадрата, равновеликого сумме трех равных квадратов. По мнению
Абу-л-Вафы, такой способ очень удобен для ремесленников, так как с
его помощью можно просто перекроить три малых квадрата в один
большой. Данное построение по публикации Вёпке [2] приведено в кни-
ге (1, стр. 265] и в книге [36, стр. 37—38]. На чертеже в стамбульской
рукописи проведены лишние линии и отсутствуют буквы. В переводе
воспроизводится чертеж парижской рукописи и добавлены обозначения
большого квадрата, на которые имеются ссылки в тексте (л. 170а).
93.	Здесь Абу-л-Вафа подробно излагает «способ геометров» по-
строения квадрата, равновеликого сумме трех квадратов. На чертеже
стамбульской рукописи проведены лишние линии, которых нет на вос-
произведенном нами чертеже парижской рукописи (л. 171а). В случае
п квадратов эту задачу также можно решить с помощью гомотетичного
увеличения квадрата в п раз, подобного построению, применявшемуся
Абу-л-Вафой в девятой главе; эту задачу можно решить и (п— 1)-крат-
ным применением теоремы Пифагора.
94.	Построение квадрата «с неизвестной величиной стороны» из
двух различных квадратов и разделение «квадрата на квадраты, не
состоящие из квадратов» (задача XVIII), отличаются от построений,
рассмотренных выше. Здесь квадраты не предполагаются состоящими
из равных малых квадратов, вследствие чего площадь квадрата, рав-
новеликого сумме или разности двух данных квадратов, заранее неиз-
вестна. Эти построения также основаны на теореме Пифагора и пред-
137
ложениях геометрической алгебры. Чертеж для задачи разделения квад-
рата на квадраты в стамбульской рукописи неточен В переводе воспро-
изводится чертеж парижской рукописи (л. 173). Доказательство пра-
вильности первого из этих построений приведено в тексте, доказатель-
ство второго — на полях. Последнее доказательство, принадлежащее
ал-'Андиджани, опирается на предложение 3 книги II Евклида [23, т. I,
стр. 63].
95.	На полях приводится примечание ал-'Андиджани со ссылкой на
«Сферику» Феодосия.
96.	На полях приводится доказательство правильности построения.
97.	Равносильно построению правильного октаэдра, вписанного в
сферу, в предложении 14 книги XIII «Начал» [23, т. III, стр. 124]. На
полях приводится доказательство правильности построения со ссылкой
па «Сферику» Феодосия.
98.	На полях приводится доказательство правильности построения.
99.	Равносильно построению правильного тетраэдра, вписанного в
сферу, в предложении 13 книги XIII «Начал» [23, т. III, стр. 121]. На
полях приводится доказательство правильности этого построения, при-
надлежащее ал-’Андиджани, со ссылкой на «Сферику» Феодосия.
100.	По существу совпадает с построением упомянутого предложе-
ния 13 книги XIII «Начал». В рукописи вместо «другой способ» написано
«третий способ». В доказательстве на полях имеется ссылка на «На-
чала».
101	Равносильно построению куба, вписанного в сферу, в предложе-
нии 15 книги XIII «Начал» Евклида [23, т. III, стр. 125]. Чертеж в стам-
бульской рукописи неточен. В переводе воспроизводится чертеж по
парижской рукописи (л. 174а).
102.	Совпадает с построением упомянутого предложения 15
книги XIII «Начал». На полях приведено доказательство правильности
построения. В переводе воспроизводится более наглядный чертеж па-
рижской рукописи (л. 175).
103.	Равносильно построению икосаэдра, вписанного в сферу, в
предложении 14 книги XIII «Начал» Евклида [23, т. [II, стр. 127].
В переводе воспроизводится более наглядный чертеж парижской руко-
писи (л. 175а).
104.	Совпадает с построением упомянутого предложения 16 книги
XIII «Начал». В доказательстве на полях имеется ссылка на книгу XIII
«Начал». В переводе воспроизводится более наглядный чертеж париж-
ской рукописи (л. 176).
105.	Равносильно построению додекаэдра, вписанного в сферу, в
предложении 17 книги XIII «Начал» Евклида [23, т. III, стр. 132]. В пе-
реводе воспроизводится более наглядный чертеж парижской рукописи
(л. 176а).
106.	Совпадает с построением предложения 17 книги XIII «Начал».
На полях приводится доказательство правильности построения со ссыл-
кой на эту книгу Евклида. В переводе воспроизведен более наглядный
чертеж парижской рукописи (л. 176а).
107.	Построение основано на том, что икосаэдр является взаимным
многогранником для додекаэдра и вершинами икосаэдра служат центры
граней додекаэдра. В переводе воспроизведен более наглядный чертеж
парижской рукописи (л. 177).
108.	Равносильно построению полуправильного четырнадцатигран-
ника, шесть граней которого являются квадратами, а восемь — равно-
сторонними треугольниками, т. е. построению Сабита ибн Корры [8,
стр. 387—390]. Построение Абу-л-Вафы состоит в построении вписанного
138
октаэдра и в отсечении квадратов при его вершинах. -На полях приведе-
но доказательство правильности построения.
,	109. Способ вычерчивания того же -четырнадцатигранника, основан-
ный на построении вписанного куба и отсечении треугольников при его
вершинах. В переводе приведен более наглядный чертеж парижской ру-
кописи (л. 177а). На полях приведено доказательство правильности по-
строения, в котором имеется ссылка на «Начала».
ПО. Равносильно построению полуправильного тридцатидвухгран-
чика, 12 граней которого являются правильными пятиугольниками, а
остальные 20 — равносторонними треугольниками. Способ состоит в по-
строении вписанного икосаэдра и в отсечении пятиугольников при его
вершинах. На полях приводится доказательство правильности построе-
ния. В переводе приведен более наглядный чертеж парижской рукописи
(л. 177а).
111.	Построение того же тридцатидвухгранника по существу явля-
ется вариантом предыдущего способа В стамбульской рукописи добав-
лено: «Вот чертеж этого» и приведен чертеж, относящийся к XIX задаче,
-де он помещен вторично.
112.	Равносильно построению вписанного додекаэдра и основано
на предыдущем построении полуправильного тридцатидвухгранника.
На полях приводится доказательство правильности построения.
113.	Равносильно построению полуправильного тридцатидвухгран-
ника, 12 граней которого являются правильными пятиугольниками, а
20 — правильными шестиугольниками; основано на построении вписан-
ного икосаэдра и отсечении пятиугольников при его вершинах. На полях
приведено доказательство правильности построения.
114.	Равносильно построению полуправильного четырнадцатигран-
ника, шесть граней которого являются квадратами, а восемь — правиль-
ными шестиугопьниками; основано на построении вписанного октаэдра
и отсечении квадратов при его вершинах. В перевод включен более
наглядный чертеж парижской рукописи (л. 178а). На полях приведено
доказательство правильности этого построения.
115.	Равносильно построению полуправильного восьмигранника,
четыре грани которого являются равносторонними треугольниками, а
четыре — правильными шестиугольниками; основано на построении впи-
санного тетраэдра и отсечении треугольников при его вершинах. На
полях приведено доказательство правильности построения.
ЛИТЕРАТУРА
1.	А. П. Юшкевич, История математики в средние века, М., 1962.
2.	F. Woepcke, Rech^rches sur I'histoire des sciences muthemitiques chez les
orientaux d'apres des trails et extraits d'un recueil de constructions g£om6triques
par Abiul Wafd,—«Journal asiatique», 1855, 5-eme serie, vol. 5, pp. 218—256.
3.	H. Suter, Das Buch der giometri sclim Konstruktionen des АЬйГ\& efd, Ab-
handlungen zur Geschichte der Naturwissenschaften und Medizin, 1932, S. 94—109.
4.	В. II. Зубов, Б. А. Розенфельд, А. П. Юшкевич, Об исследованиях no ис-
тории математики средних веков, — «Историке-математические исследования», 1963,
вып. 1 5, стр. 51—72.
5.	Абу-л-Вафа ал-БузджЗнй, Китйб фй ма йахтсьдж илайхи ас-санй* мин а ма г
гл-ханд.сшйа (арабская р/колись Ста 16/льскэй библиотеки Айя София, № 27эЗ).
6.	С. Schoy, Die trigonometrischen L^hren d°s persischen Astronomen Abu'l
Raihcin Muhammed ibn Ahmed al-Blrurit, dargestellt nach al-Qanun al-Mas'iidt.
\ach dem Tode des Verfassers hrsg. von J. Ruska und Wieleitner, Hannover, 1927.
7.	J. Tropfke, Die Siebeneckabhandlung des Archimedes, — «Osiris», 1936 № 1
S. 636—651.
8.	Архимед, Сочинения, перев. И. Н. Вессювскэго, нерев. арабскил текстов
Б. А. Розенфельда, М.» 1962.
139
9.	E. Bessel-Hagen, О. Spies, Labit b. Qurras Abhandlung Uber elnen halbrc-
gelmapigen Vierzehnflacher,— «Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik,
Astronomic und Physik», Abt. B., Bd 2, Berlin, 1932, S. 186—198.
10.	Ибн Синаи, Расаил, Хайдерабад, 1367 х. (1948) (на араб. яз.).
11.	Ибн Синан, Книга о построении трех [конических] сечений, перев. Дж. ад-
Даббаха и С. А. Красновой, прим. С. А. Красновой,—«Историко-матемэтические ис-
следования», 1965, вып. 16, стр. 427—446.
12.	F. Woepcke, Trots traites arabes sur le compas parfait,—«Notices et ex-
traits des manuscrits de la Bibliotheque Nationale», t. 22, pt. 1, 1874, pp. 1 147.
13.	F. Woepcke, L'Algcbre d'Omar Alkhayydmi, publieet traduite et accom-
pagnee d'extraits de manuscrits inedits, Faris, 1851.
14.	Насир ад-Дин ат-Туси, Ал-джуз' ас-санй мин ар-расаил, Хайдерабад, 1309 х
(1940) (на араб. яз.).
15.	М. Curtze, Der Liber trium fratrum de Geometria,—«Nova Acta Acad, der
Ksl. Leop.-Carol. Deutschen Akademie der Naturforscher», 1855, Bd 49, № 2, S.
108—167.
16.	Бану Муса ибн Шакир, Книга об измерении плоских и сферических фигур,
перев. и прим. Дж. ад-Даббаха, — «Историко-математические исследования», 1965
вып. 16, стр. 389—426.
17.	Avicenne, Le livre de science, vol. II Physique-mathcmatiques, trad. par.
Mohammed Achena et Henri Masse, Paris, 1958, pp. 91—239.
18.	Абу-р-Райхан ал-Бйрунй, ал-Канун ал-Мас'удй, т. I—III, Хайдерабад,
1373—1375 х. (1954-1956) (на араб яз.).
19.	Абу-р-Райхан ал-Бируий, Раса'ил, Хайдерабад, ч. 1, 1367 х. (1948).
20.	Н. Suter, Das Buch der AuffIndung der Sehnen im Krelse von Abu'l-Raihan
Muh. el-Biruni, — «Bibliotheca mathematica», 1911, Bd 11, S. 11—38.
21.	Абу-р-Райхан ал-Бируни, Трактат об определении хорд в круге при помо-
щи ломаной линии, вписанной в него, перев. С. А. Красновой и Л. А. Карповой,
прим. Б. А. Розенфельда и С. А. Красновой,—в сб.: «Из истории науки и техники!
в странах Востока», 1963, вып. 3, стр. 93 147.
22.	Джемшид Гиясэддин ал-Каши, Ключ арифметики. Трактат об окружно-
сти, перев. Б. А. Розенфепьда, комм. А. П. КЛпкевича и Б. А. Розенфельда, М.,.
1956, стр. 263-308.
23.	Евклид, Начала, перев. Д. Д. Мордухай-Бэлтовского, М. -Л., т. I, 1948;
т. II, 1949; т. ГП, 1950.
24.	Apollonius de Perga, Les coniques, trad. P. ver Eecke, Bruges, 1923
25.	Theodose de Tripoli, Les Spheriques, trad. P. ver Eecke, Bruges, 1927
26.	M. Krause, Die Sphdrik von Menelaos aus Alexandrian in der Verbesse-
rung von Abu Nasr Mansur b. 'AH b. 'Iraq mit Untersuchungen zur Geschichti
des Textes bei den islamischen Mathematiker, Berlin, 1936.
27.	Pappus Alexandrinus, Collectiones quod supersunt, cd. Hultsch, Bd I, Berlin,
1876; Bd II, 1877; Bd III, 1878.
28.	К. Ф. Гаусс, Арифметические исследования, — в кн.: «Тру гы по теории
чисел», пррев. Б. А. Демьянова, М.. 1959, стр. 9—583.
29.	Hero Alexandrixius, Rationes dimetiendi (Vermessungslehre), herausg. und
ubers. H. Schone,—«Heronis Alexandrini opera quae supersunt omnia», Bd III, Leipzig,
1907, S. 1—18'.
30.	Anaritius, In decern libros priores elementorum Euclidis commentarii, ed.
M. Gurtze, Leipzig, 18)9.
^З!. Б И. Аргунов и M. Б. Балк, Геометрические построения на плоскости*
32.	Мухаммед Насирэддин Туси, Трактат о полном четырехстороннике *
перев. под ред. Г. Д. Мамедбейли и Б. А. Розенфельда, Баку, 1952.
33.	Ибн ал-Кифти, Та'рих ал-хукама, Каир, 1329 х. (1909) (на араб. яз.).
34.	Aboul Hasai Ali de Maroc, Traite des instruments astronomiques des Ara-
bes, trad. J. J. Sedillot, ed. L. A. Sedillot, Paris, 1834.
35.	Ptolemaus, Handbuch der Astronomic, fibers. K. Manitius, Vorwort und Be-
richtigungen von O. Neugebauer, Bd I, II, Leipzig, 1963.
36.	Б. А. Кордемский и H. В. Русалев, Удивительный Keadpapi, М.—Л., 1952
А. И. Володарский
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ ШРИДХАРЫ
«ПАТИГАНИТА»
В настоящей работе анализируются математический трактат «Пати*
танита» индийского ученого Шридхары (IX—X вв.) и анонимные сред*
невековые санскритские комментарии к нему, исследуются его ориги-
нальный вклад в науку и -связи между сочинениями Шридхары и других
индийских математиков: Ариабхаты I (V—VI вв.), Бхаскары I (VI—
VII вв.), Брахмагупты (VII в.), Магавиры (IX в.), Ариабхаты II (X в.).
Шрипати (XI в.), Бхаскары II (XII в.), Нарайаны (XIV в.).
Математики разных стран и времен нередко занимались решением
аналогичных проблем. Сходство задач не всегда свидетельствует о тех
или иных заимствованиях, но вместе с тем дает основание с должной
осторожностью судить о международных научных связях. С этой точки
зрения работы Шридхары сравниваются с работами математиков Гре-
ции, Китая, стран Ближнего и Среднего Востока и Западной Европы.
Из сочинений Шридхары до настоящего времени дошли два: «Пати-
ганита» [13] и «Тришатика» [14]. В более чем 20 работах индийских
ученых, написанных вплоть до середины XVII в., цитируются правила
и примеры из сочинений Шридхары или имеются ссылки на его тракта-
ты. «Патиганита» была не так широко распространена, как чрезвычайно
популярная «Тришатика». Сохранилась лишь одна рукопись «Патига-
ниты» и комментарии к ней, тогда как имеются 11 рукописей «Тришати-
ки» и пять различных комментариев, причем некоторые из них напи-
саны на местных языках: телугу, каннада, гуджарати. Большинство
комментариев не опубликовано.
О Шридхарачарье, т. е. ученом Шридхаре, известно немного. Всего
лишь один раз упоминает он свое имя в сочинении и нигде не пишет
о месте и времени своего рождения и о своих учителях. Поэтому с конца
прошлого века, когда был опубликован санскритский текст «Тришатики»
[21], до сих пор идут споры о времени жизни Шридхары.
Индийский историк математики и астрономии, издатель многих
тревних и средневековых индийских астрономических и математических
трактатов С. Двиведи считал, что перу Шридхары наряду с матема-
тическими сочинениями принадлежит и философский трактат «Ньяйа-
кандали». Дата написания этого трактата точно известна — 991 г.,
поэтому с ней связывают и жизнь Шридхары. Небезынтересно отметить,
что эта дата прочно закрепилась за Шридхарой и упоминается в широ-
ко известных работах М. Кантора [6], Д. Смита [19], Дж. Сартона [16]
и др.
Индийские историки математики Б Датта и А. Н. Сингх [8, т. 1,
стр. 8] полагают, чго Шридхара жил в VIII в.: ранее Магавиры (850 г.),
так как в сочинениях обоих авторов обнаружено несколько одинаковых
141
правил, которые, по мнению исследователей, Магавира заимствовал у
Шридхары.
Более вероятна оценка времени жизни Шридхары, предложенная
индийским историком науки К. Ш. Шуклой [13]. Она основывается на
сравнении и анализе целого ряда трактатов индийских математиков
К. Ш. Шукла считает, что Шридхара жил в конце IX — начале X в.
позднее математика Магавиры (около 850 г.), но ранее математика и
астронома Ариабхаты II (около 950 г.).
Из двух известных нам математических трактатов Шридхары «Па-
тиганита» была написана раньше и содержит значительно больше ма-
териала, чем «Тришатика», которая является ее сокращенным ва-
риантом.
Так, в начальной строфе «Тришатики» Шридхара пишет: «Шридха-
рачарья, поклоняясь богу Шиве, сообщает о сущности математики,
являющейся извлечением из «Патиганиты», составленной им самим для
всеобщего употребления». Некоторые ученые «Патиганиту» в отличие
от меньшего трактата называли «Брихатпати», т. е. «Большая работа
по математике». Другие давали ей название «Навашати», т. е. «Собра-
ние девятисот строф», которое указывает на объем «Патиганиты», тог-
да как «Тришатика» означает «Собрание трехсот строф».
\ Кроме эти,х двух сочинений Шридхара написал алгебраический
трактат, рукопись которого пока не найдена. Бхаскара II в «Биджага
ните» [5, стр. 209, стих 131] цитирует следующее правило решения квад-
ратного уравнения из этого трактата: «умножь обе стороны [уравне
ния] на известное количество, равное учетверенному коэффициенту при
квадрате неизвестного, [затем] прибавь к обеим сторонам известное
количество, равное квадрату [первоначального] коэффициента при неиз-
вестном [в первой степени], затем [извлеки квадратный] корень»
В современных обозначениях, если мы умножим обе стороны урав-
нения
ах2 + Ьх = с	(1>
на 4а, а затем прибавим к обеим частям Ь2:
4а2х2 4 4abx + Ь2 — 4ас 4 Ь2
(2ах 4 Ь)2 = 4аа 4 Ь2
и извлечем квадратный корень из обеих частей:
2ах I- b V4ас 4 Ь2,
то получим выражение
х 1 1зс 4- Ь2 — Ь
2а
которое будет решением уравнения (1).
В заключительной главе «Биджаганиты» [5, стр. 275, стих 218]
Бхаскара II пишет: «Так как работы по алгебре Брахмагупты. Шридха-
ры, Падманабхи слишком обширны, то я попытался извлечь из них
самое главное и составил эту работу с примерами». Можно предполо-
жить, что «слишком обширный» алгебраический трактат Шридхары
был весьма содержательным.
142
Санскритское название математики «ганита» дословно означает
«искусство вычисления». Все древние индийские математические сочи*
нения или математические главы в астрономических трактатах дели-
лись на две части: патиганиту и биджаганиту, где «пати» — дословно
доска, а «биджа» — элементы. Поэтому патиганита означает «искусство
вычисления на доске», а биджаганита — «искусство вычисления с эле-
ментами».
Ряд историков математики не вполне точно отождествляют патига-
ниту с арифметикой, а биджаганиту с алгеброй, переводя последний
термин как «вычисление корней» [1 и 3]. На самом деле оба термина
не имеют эквивалентов в современной математике. Работы по патига-
ните содержат арифметику и геометрию и, кроме того, некоторые
вопросы алгебры и теории чисел. Работы по биджаганите включают
в себя алгебру и теорию чисел.
Специальные трактаты или отдельные главы в астрономических
сочинениях по патиганите имеются у Брахмагупты — XII глава астро-
номического трактата «Усовершенствованная наука Брахмы» [5 и 23];
Магавиры — «Краткий курс арифметики» [15]; Ариабхаты II—XV гла-
ва астрономического трактата «Маха сиддханта» [12]; Шрипати — трак-
тат «Ганита тилака» и XIII глава астрономического трактата «Сиддхан-
та шекхара» [10 и 18]; Бхаскары II—трактат «Лилавати» {5]; Нарайа-
ны — «Лунный свет математики» [9]. К ним относится также «Бахша-
тийская рукопись» [11].
Специальные трактаты или отдельные главы в астрономических со-
чинениях по биджаганите имеются у Ариабхаты I — II глава астроно-
мического трактата [7]; Брахмагупты — XVIII глава астрономического1
трактата, Бхаскары II — «Биджаганита» [5]; Нилаканты — «Научный
сборник» [4, стр. 160—167].
«Патиганита» Шридхары была рассчитана, с одной стороны, на
строителей, земледельцев, чиновников, купцов, о чем свидетельствуют
многочисленные прикладные разделы сочинения, а с другой — на ученых,
что подтверждается изложением ряда теоретических вопросов.
Текст «Патиганиты» неполный. Он содержит 251 двустишие; 118 иэ
них включают правила, а 133—формулировки примеров и задач.
Хотя «Патиганиту», как уже отмечено, иногда называют «Собранием
девятисот строф», получить представление о точном количестве двусти-
ший очень трудно, так как, судя по «Тришатике», при изучении рукописи
вносились новые примеры, менялись условия некоторых задач. Кроме
того, из 300 строф «Тришатики» 73 содержат формулировки правил,
107 — примеры, 120 — изложение примеров в виде, удобном для вы-
полнения математических действий [14, стр. 207].
Весь текст трактата написан в стихах. Стихотворная форма изло-
жения способствовала лучшему запоминанию правил. В стихах, кото-
рыми писались многие индийские трактаты, нет рифмы: основное внима-
ние уделяется размеру. Все правила и большинство примеров «Патига-
ниты» написаны размером арья, состоящим из семи с половиной стоп,
каждая длительностью в четыре просодические единицы, причем во вто-
рой строке шестая стопа состоит из одного слога — краткого или
долгого.
В русской транслитерации вторую строфу «Патиганиты» можно
представить следующим образом: «санкалитавйавакалите пратйутпанно
гха бхагахарошча варгастасйа ча мулам гханагханамуле татхаитани».
Перевод: «Сложение и вычитание, также умножение и деление,
[возведение в] квадрат и [извлечение квадратного] корня, также [воз-
ведение в] куб и [извлечение] кубичного корня».
143-
Размер данного двустишия:
--------------_ _ ।--------------।----------| | -
Для сохранения размера стиха Шридхара широко пользуется сло-
весной нумерацией. Вот ее примеры, встречающиеся в «Патиганите»:
О — отверстие, пустой (примеры 3, 5; правило 21),
2 — близнецы (пример 115),
4	— веды (пример 115),
5	— стрелы (пример 70),
7	— горы (пример 70),
10 — ряд, линия (пример 70),
12 —светило, солнце (пример 70).
Иногда числа записываются следующим образом:
5 — полдесятка (правило 9),
25 —квадрат пяти (пример 4),
36 — квадрат шести (примеры 4, 53),
96 — сто без четырех (пример 52).
В обозначениях ряда чисел сохранились следы словесной нумерации,
где цифры записаны справа налево:
21 —один два (пример 3),
37 — семь три (пример 3),
203 — три нуль два (пример 5),
256 — шесть пять два (пример 5),
432 — два три четыре (пример 4),
7802 — два нуль восемь семь (пример 4),
8065 — пять шесть нуль восемь (пример 3).
Иногда встречаются смешанные обозначения чисел:
896 — девяносто шесть восемь (пример 3),
1296 — девяносто шесть два один (пример 3).
Для сохранения размера стихов Шридхара иногда не указывает, что
нужно определить при решении примера. Так, в примерах 53, 54, 65,
69, 70, 76, 77, 88, 97, 98, 99, 100, 101 форма вопроса отсутствует.
Иногда же, наоборот, Шридхаре приходится для сохранения разме-
ра вводить пышные выражения:
«О друг, если знаешь, назови...» (пример 12),
«Если ты знаешь метод вычисления, скажи...» (пример 24),
«О наилучший из математиков, назови...» (пример 120).
Никаких сведений о том, как были получены правила, никаких до-
казательств в трактате нет. Изложение предельно лаконично, все пра-
вила излагаются в форме рецептов и советов. Изредка правила содер-
жат все же намек на вывод. В этом отношении трактат Шридхары не
является исключением среди работ средневековых математиков Запад-
ной Европы и стран Ближнего и Среднего Востока, которым свойствен-
но догматическое изложение. Правила часто иллюстрируются одним или
несколькими примерами Кроме общих правил Шридхара иногда при-
водит правила для частных случаев. Ответы к примерам в тексте отсут-
ствуют и приводятся в наших комментариях, помещенных после пе-
ревода.
Таким образом, индийская система изложения «правило — задача»
несколько отличается от китайской, для которой характерна схема «за-
дача — ответ — правило»
144
«Патиганиту» можно условно разделить на четыре части
1.	Введение.
2.	Действия с целыми и дробными числами
3.	Правила, относящиеся к разнообразным задачам арифметики
и алгебры.
4.	Плоские фигуры.
Первая часть начинается с традиционного на Востоке -обращения
к богу. В следующих пяти двустишиях перечисляются 29 «действий» и
9 «определений», которые представляют собой содержание трактата.
Аналогичные «действия» и «определения» встречаются во многих трак-
татах индийских авторов.
Под термином «действие» Шрндхара подразумевает арифметиче-
ские операции над целыми и дробными числами, а также простую и
сложную пропорции. Под термином «определение» Шрндхара подразу-
мевает отдельные группы правил и задач, объединенные чаще всего
предметом исследования, реже методом решения.
Шрндхара перечисляет следующие 29 действий:
1)	сложение,
2)	вычитание,
3)	умножение,
4)	деление,
5)	возведение в квадрат,
6)	извлечение квадратного корня,
7)	возведение в куб,
8)	извлечение кубичного корня,
9—16) восемь действий с дробями,
17—22) приведение шести видов дробей к простейшей форме,
23) правило трех величин,
24)	обратное правило трех величин,
25)	правило пяти величин,
26)	правило семи величин,
27)	правило девяти величин.
28)	товарообмен,
29)	продажа живых существ.
Затем Шрндхара перечисляет следующие определения:
1)	смеси,
2)	ряды,
3)	плоские фигуры,
4)	выкапывание,
5)	распилка дров,
_6) деление бревен,
7)	куча,
8)	тень,
9)	учение о нуле.
Рукопись «Патиганиты» обрывается на третьем определении.
В заключении первой части Шридхара приводит названия позици-
онных мест до 1018, а также таблицы денежных, весовых, объемных, ли-
нейных и временных мер. Хотя число 10 лежало в основании многих
индийских методов счисления, однако системы мер строились не по де-
сятичному принципу. Коэффициентами пропорциональности часто слу-
жит число 4 или его степень, а также число 5. Как и во многих стра-
нах, в качестве единиц мер нередко используются: зерно, палец, локоть
и т. д.
Излагая во второй части правила «действий», Шридхара, видимо,
полагает, что сложение и вычитание целых чисел общеизвестны.
Ю Заказ 338
145
Во всяком случае, вместо правила сложения целых чисел он рассмат-
ривает суммирование первых п чисел натурального ряда, а вместо пра-
вила вычитания — способ вычитания суммы первых т чисел из суммы
первых n(>m) чисел натурального ряда. Все эти формулы — частные
случаи арифметической прогрессии, о которой Шридхара подробно рас-
суждает далее, да и сам натуральный ряд рассматривается им как
«арифметическая прогрессия, у которой первый член и общая разность
равны единице».
Затем Шридхара излагает четыре способа умножения целых чисел,
четыре способа возведения их в квадрат, три способа возведения в куб,
по одному способу деления целых чисел, извлечения из них квадрат-
ного и кубичного корней. Почти для каждого правила приведены при-
меры.
О большом вычислительном искусстве индийских математиков сред-
невековья свидетельствует тот факт, что извлечение квадратного и ку-
бичного корней у них относилось к числу основных операций, тогда как
в это же время в Западной Европе высоко ценилось умение возводить
числа в квадрат. Такой вывод подтверждается также тем, что индий-
ские ученые не считали удвоение и раздвоение самостоятельными опера-
циями, как это было в арабской и западноевропейской математической
литературе.
Наряду с обычными правилами действий с дробными числами
Шридхара излагает способы приведения к простейшей форме — дробей
шести классов (видов).
1.	Класс бхага
индийцами записывается так:
b d f
b d f
где точка означает вычитание.
2.	Класс прабхага
записывается так же, как и класс бхага:
b d f
3.	Класс бхагабхага
b ___ ас
записывается так:
а
b
с
146
4	Класс бхаганубандха
, Ь ас -4- b
а Ч---= —-L— ,
с	с
ИЛИ
а с a a (d с)
~b ~d ' b	bd~
записывается гак:
а
b
с
d
5.	Класс бхагапаваха
Ь ас — Ь
а-----=---------
с	с
или
а с а ________ a (d — с)
b d b	bd
записывается так:
а
b
с
d
6. Класс бхагаматри — комбинация предшествующих классов
Подобное приведение дробей различных классов к простейшей
форме встречается в большинстве работ индийских авторов по па-
тиганите, а также в ряде сочинений арабских математиков.
Противопоставление обычных действий с дробями приведению их
к простейшей форме довольно искусственно и было вызвано, видимо,
специфическими особенностями вычислительной техники индийцев.
Для выполнения операций сложения, вычитания, умножения и де-
ления дроби на счетной доске записываются так же, как и дроби клас-
сов бхага, прабхага, бхагабхага. Некоторые способы приведения дробей
к простейшей форме не отличаются от соответствующих правил дейст-
вий с дробями. Так, способ приведения для класса прабхага гласит:
«[Для приведения к простейшей форме дробей} класса прабхага следует
перемножить числители, а также знаменатели». По существу он не от-
личается от правила умножения дробей: «Произведение дробей равно
произведению числителей, деленному на произведение знаменателей».
Деление на классы не совсем удачно, к тому же на счетной доске
некоторые классы выглядят одинаково, например бхага и прабхага;
класс бхагабхага записывается так же, как смешанная дробь а а
10*
147
класс бхаганубандха — как деление двух дробей. Поэтому по одной
лишь записи часто нельзя было судить, о какой операции идет речь,
и вопрос становился ясным лишь из текста задачи.
В конце второй части Шридхара приводит правила и примеры на
простую, обратную и сложную пропорции, а также правила товарооб-
мена и продажи живых существ, которые основаны на использовании
свойств пропорциональности. Большинство задач здесь служат упраж-
нениями для закрепления правил, причем содержание некоторых при-
меров имеет лишь занимательный характер и далеко от практических
целей. Так, в примере 31 требуется определить время, за которое насе-
комое проползет некоторое расстояние. Ответ: 33 600 лет. Пример 32
дает представление о форме изложения некоторых примеров: «Слон
*111
проходит за 6 умноженное на —, умноженное на—, умноженное на у,
- 1 1 . 1
умноженное на 1— дня расстояние в—, умноженное на 1—, умножен-
4	2	4
ное на 1 без —, умноженное на 1—йоджана и возвращается назад,
3	2
[проходя] за 1-у дня расстояние в 2, умноженное на 1 без— йоджана.
О друг, за какое время он пройдет расстояние в 100 йоджана?». Ответ:
п 243
91й-дня- '
В третьей, самой большой по объему части трактата, приводятся
многочисленные правила и задачи на проценты, сплавы металлов, куп-
лю и продажу, оплату за труд, на заполнение бассейнов и т. д. Боль-
шинство примеров приводят к линейным и квадратным уравнениям или
к неопределенным линейным уравнениям. В правилах [60], [61], (62]
даны решения неопределенного уравнения первой степени, к которому
приводит пример 76: «У трех купцов имеются капиталы 1, 3, 5 или
-у, -у, -у [рупа]. Количество товара, купленного и проданного на
единицу денег, у всех одно и то же. После продажи остатка по цене
3 {рупа] за 1 предмет купцы стали одинаково богатыми. Чему равно
количество товара, купленного и проданного на единицу денег?». Эта
задача имеет бесчисленное множество решений; комментатор же при-
водит два решения для первого случая и одно — для второго.
Определенный интерес представляют примеры 78—79 и 80. В пер-
вом из них надо, зная цены голубей, журавлей, лебедей и павлинов,
определить число птиц каждого вида так, чтобы общее их число и сум-
ма, уплаченная за них, равнялись 100. Во втором примере, зная цены,
необходимо определить число гранатов, манго и яблок, чтобы за
100 плодов уплатили 80 рупа.
Задача о птицах была широко распространена и встречалась ранее
в китайских трактатах, а позднее у арабских и западноевропейских ма-
тематиков. Эти задачи приводят к неопределенным уравнениям первой
степени.
В правиле [72] словесно приводится формула числа сочетаний из
т элементов по и:
Пп __ т(т —	—(л—1)]
т
(1)
1-2-3... п
В правиле [75] также словесно дано решение квадратного уравнения
х — р Vx = d.	(2)
148
Характерно, что решалось уравнение вида (2), а не
х2 — рх = d,	(3)
т. е. фактически определялся не корень уравнения (3), а его квадрат.
Задачи на решение квадратного уравнения носят абстрактный ха-
рактер: в них надо найти число, удовлетворяющее квадратному уравне-
нию (2) Поэтому трудно сказать, почему индийские математики искали
не корень уравнения (3), а его квадрат. Видимо, толчком для этого слу-
жили задачи на определение некоторой неизвестной квадратной пло-
щади, сторона которой также неизвестна.
Уместно отметить, что и арабские математики в ряде случаев
искали вторую степень неизвестного в уравнении (3).
В 'правиле {75] приводится также,способ решения линейного урав-
нения вида
а
х-----x = d.
ь
Правило предельно лаконично: «[Если свободный член находится
вблизи дроби], раздели его на 1 без дроби», и понять его смысл без
разъяснения комментатора невозможно.
Изложение в одном правиле способов решения квадратного и ли-
нейного уравнений объясняется особенностями задачи 99, которая ре-
шается по правилу [75]. Эта задача приводит к довольно громоздкому
уравнению
—Lх	1 х —(z ” о) ~ | х~~ (х — > х)J — 8,
в котором для нахождения искомого числа надо попеременно несколь-
ко раз решать квадратные и линейные уравнения.
В правилах [76] и [77] даются решения квадратных уравнений
вида
а
х---х — р}х^а
ь
(1 “ т) (1 “ Т-) (1 “ /)(Л “ dl} ~ р d*
И вновь Шридхара находит не корень уравнения (3), а его квадоат.
К линейным уравнениям приводит большинство примеров на про-
центы, определение веса и пробы сплава нескольких слитков золота, а
также на движение.
Многие задачи, на первый взгляд довольно простые, требуют слож-
ных вычислений. Так, в задаче 55—56 надо определить время, за кото-
149
рое должник отдаст 100 руна, взятые из 5% в месяц, если ежемесячно
возвращается по 40 рупа. Здесь мы впервые сталкиваемся с тем, что
процент начисляется и с возвращаемой ежемесячно суммы. Учет двух
процентных норм вызывает длительные выкладки.
Любопытны правило [51] и примеры 57—58, 59, где по п долговым
обязательствам надо определить капитал, время и прибыль единого
долгового обязательства, что по существу представляет собой процесс
образования взвешенного среднего арифметического.
Правило [70] и задача 92 также, на первый взгляд, кажутся до-
вольно простыми: «Если за перенос 24 корзин с фруктами на рас-
стояние 5 кроша [грузчик] получит 9 из этих корзин, то сколько [кор-
зин с фруктами] он получит, если перенесет их только на 2 кроша?».
Вначале кажется, что задачу надо решать путем простой пропорции.
На самом же деле она приводит к сложному квадратному уравнению.
К линейному уравнению сводится в конечном счете задача 93—94:
«За перенос 24 корзин с фруктами [на некоторое расстояние] первый
грузчик получил 4 из этих корзин, остальные корзины с фруктами были
перенесены [на оставшееся расстояние] вторым грузчиком за 5 корзин с
фруктами [в качестве платы]. Все расстояние равно 5 кроша. Скажи,
знающий: какое расстояние было пройдено каждым [грузчиком]?».
В этой же части трактата приводятся широко распространенные в
индийской математике правило обращения, правило для определения
числа по его части, задача о бассейнах, известная еще грекам.
Далее мы встречаемся с оригинальным геометрическим истолкова-
нием арифметической прогрессии. Шридхара пишет: «Как у глиняной
чаши внизу расстояние меньше, а вверху больше, так и у арифмети-
ческой прогрессии». Таким образом, Шридхара интерпретирует ариф-
метическую прогрессию
а, а-hd, tz4-2d ... а+ (п— l)d
в виде равнобедренной трапеции, у которой высота численно равна чис-
лу членов прогрессии (см. черт. 1 на стр. 225). Высота отсчитывается
от нижнего основания. Площадь трапеции ААХВХВ с высотой ССЬ рав-
ной единице, численно равна первому члену арифметической прогрессии,
т. е. а. Площадь трапеции АА2В2В с высотой СС2, равной двум едини-
цам, численно равна сумме двух членов арифметической прогрессии,
т. е. а+ (a-hd), и т. д. Наконец, площадь всей трапеции с высотой, рав-
ной п единиц, численно равна сумме п членов арифметической про-
грессии, т. е.
а 4- (а + d) -г {а + 2d)	... + |а + (п — 1) d| —	.
Разность арифметической прогрессии d численно равна площади
прямоугольника, одна сторона которого равна единице
гая — разности оснований трапеций с высотой, равной
Для первого члена прогрессии, т. е. для трапеции
сотой, равной единице, длина нижнего основания равна
d D d	d
него: а — . Если — а. т. е. разность а----------— <
высоты, а дру-
единице.
АА\ВХВ с вы-
а
О,
d
—, а верх-
трапеция
ААгВхВ заменяется двумя треугольниками (см. черт. 3 на стр. 226).
Высота верхнего треугольника равна С\О— t нижнего—СО—
__d —2а
2d *
•15Ю
Верхнее основание АпВп (см. черт. 1 на стр. 225) для высоты, рав-
ной п единиц, определяется формулой а + (п-^аким °бРазом-
площадь трапеции равна:
d /	1 \
а—— 4-а + |и-\d
= АВ+АпВп. сс	2	\	2 /	[2я + (п-1)Д1- п
2	’	"	2	2
ко последнее есть формула суммы п членов арифметической прогрессии.
Шридхара приводит среди прочих задачу на нахождение суммы
арифметической прогрессии, число членов которой равно —решая
5
ее путем определения площади равнобедренной трапеции с высотой,
равной — . Если геометрическая интерпретация арифметической про-
5
грессии с целым числом членов напоминает геометрическую алгебру греков,
то индийцы пошли значительно дальше, распространив ее на дробное
число членов.
В этом же разделе Шридхара дает другую, так называемую «сим-
волическую интерпретацию» арифметической прогрессии. С ее помощью
он находит сумму S„ + — (а + nd) арифметической прогрессии с дроб-
Я
ным числом членов п 4- — , где — (а 4- nd) означает — часть от
Я	я	Я
п\-^- 1 члена прогрессии, a S„—сумму п членов прогрессии.
Шридхара приводит следующий пример: «Если за первый месяц-
работник получает 1-i- [рупа] и на -у [рупа] больше за каждый по
следующий месяц, то сколько он получит за 3 месяца ?». Работник
получит
л + т(1т+3'т) = 54- + 1т = 6т Ipy-ai-
Здесь «же приводятся ' основанные на арифметической прогрессии
правила и примеры на движение и определение выигрыша при игре в
кости. Наибольший интерес вызывает задача 112: «После того как пер-
вый путнак шел 6 дней с [неизвестной] начальной скоростью и уско-
рением, другой путник пошел по тому же пути с [неизвестной началь-
ной скоростью] и ускорением 2 [йоджана в день за день]. Скажи: когда
они встретят друг друга два раза?». Эта задача в общем случае приводит
к сложным квадратным уравнениям, но Шридхара ставит такой специ-
альный вопрос, который позволяет решить ее с помощью линейного
уравнения.
Обозначим начальную скорость и ускорение обоих путников через
°i,	Д|, 0-2- До первой встречи первый путник шел t дней, второй —
t—n, где«=6-дням. Время, затраченное между двумя встречами,
обозначим через Т. Тогда путь S, пройденный путниками до первой
встреча, равен:
$ = У [2^ 4- (t - 1)«11	[2®2 + (i - п - 1)а2].
151
Путь Si, пройденный обоими путниками до второй встречи, равен:
Si=-^[2т>, + (t + Т- 1) aj -I2^2 + (/-«+ Г- 1)а2].
Из этих двух уравнений находим время между двумя встречами:
(S S \	1
1 — 1
— (Я1 — а2)
Надо отметить, что Шридхара приводит числовые данные лишь для
я = 6 и а2 = 2. Комментатор, полагая, что 'yi = l; ai = 6; t = 10, нахо-
дит: Т = 8 дням.
В «Патиганите» имеются и другие правила и задачи на движение.
В правилах [65] и [66а] (задачи 81—82, 83) определяется время встре-
чи двух путников, идущих с разными скоростями в одном или в про-
тивоположном направлениях. В Индии эта задача впервые встречается
у Ариабхаты I [7, II, 31]: «Два расстояния между двумя небесными све-
тилами, движущимися в противоположных направлениях, следует раз-
делить на сумму их скоростей. Два расстояния между двумя светилами,
движущимися в одном направлении, следует разделить на разность их
скоростей. Два результата [в каждом случае] дадут время встречи двух
светил в прошлом и в будущем».
Таким образом, если известно расстояние S между светилами и их
скорости Vi, V2* то время встречи найдем по формулам:
t = --------- в первом случае,
К “4- Vg
/ — —--------во втором случае,
V 1- V 2
причем встреча могла произойти в прошлом или произойдет в буду-
щем.
Бхаскара I [22, VI, 49—51] формулирует это правило так: «Если
одно светило двигается назад, а другое вперед, следует разделить раз-
ность их долгот на сумму их скоростей; в противном случае [т. е. когда
светила двигаются в одном направлении] следует разделить разность их
долгот на разность их скоростей. Это дает время до или после встречи
двух светил».
«Задача о курьерах» имеется также у Брахмагупты [23, IX, 5—6],
в «Бахшалнйской рукописи» [11, III, А 13, 3 recto], у Магавиры [15, VI,
326-^- ], Шрипати [18, XI, 12—13] и других авторов.
Индийские ученые нередко обращаются, кроме того, к задачам на
равноускоренное и равнозамедленное движение. В задаче 111 Шрид-
хара рассматривает такие же виды движений, как и в упомянутой выше
задаче 112: «Один человек идет со скоростью 3 [йоджана] в день и уско-
рением 1 [йоджана в день за день], другой человек идет с [постоянной]
скоростью 10 йоджана в день. За какое время они пройдут одно и то
же расстояние?»
Впервые в истории математики задачи на движение в той или иной
форме встречаются в древнекитайском трактате «Математика в девяти
книгах» [4], охватывая не только разномерное, но и равноускоренное и
]52
равнозамедленное движения; последние часто представляют в виде
арифметической или геометрической прогрессий. Подобные задачи име-
ются у армянского математика VII в. Анания Ширакаци |[4], Ибн Эзры
(XI—XII вв.), Леонардо Пизанского (XII—XIII вв.), византийского уче-
ного XIV в. Николая Артавазда [24, стр. 214] и приведены во многих
средневековых западноевропейских руководствах [24]. В современных
элементарных учебниках алгебры задачи на движение используют для
объяснения отрицательных чисел.
Весьма интересны приводимые Шридхарой задачи 113—115, в кото-
рых требуется определить сумму выигрыша при игре в кости. Элементы
вероятности зцесь отсутствуют, и выигрыш определяется как сумма
арифметической прогрессии, число членов которой равно количеству
бросков костей.
Если л2, и3,	— число бросков, при которых поочередно выигры-
вают два игрока, а ставка представляет собой арифметическую прогрес-
сию с первым членом а и разностью г/, то сумма выигрыша определяется
по формуле
S = a (п{ + /г3 — п2 —- /г4) + d (zzx + п2 + -г —
— 1) (п п2±пк th) — 2 [-^-(2^ + п2 — 1)| +
4—~ [2	4 ^2 4- п3) 4~ ^4 — l]j.
Первый игрок выигрывает при положительной сумме, второй — при
отрицательной.
Шридхара приводит на это правило ряд примеров; вот один из них:
«При игре в кости двое поочередно выигрывали 30, 10, 100 и 8 бросков
[подряд, причем ставка за каждый бросок была], начиная с 9 и увели-
чиваясь [с каждым броском] на 6. Скажи: кто победит?». Подставляя
числовые данные в (приведенную формулу, находим, что 5 = 48 360.
Поскольку сумма положительна, выиграл первый игрок. В задаче 115
сумма получается отрицательной; значит, выиграл второй игрок.
В конце третьей части своего сочинения Шридхара рассматривает
правила суммирования квадратов и кубов чисел натурального ряда,
квадратов и кубов членов арифметической прогрессии и некоторых
других конечных рядов.
Четвертая, неполная часть «Патиганиты» посвящена геометрии.
Здесь даны формулы для определения площади треугольника, четырех-
угольника, трапеции. Об отсутствующих разделах можно судить по
«Тришатике». Среди зависимостей, относящихся к плоским фигурам, в
«Тришатике» имеются формулы для подсчета длины окружности и пло-
щади круга, где тс берется равным » и для приближенного опре-
деления площади сегмента:
е /Тб~ (а + h) h
3	2
где а — хорда, h — стрела сегмента Эта формула более точная, чем
предложенная Магавирой:
S = ^aK.
4
153
В правилах на выкапывание Шридхара словесно приводит фор-
мулы для расчета объема куба, прямоугольного параллелепипеда, усе-
ченного кругового конуса, сферы. Так, объем усеченного кругового
конуса он предлагает определять по следующему выражению:
V = [Dl + <P + (D + dY\,
где Н — высота,Dnd — диаметры верхнего и нижнего оснований. При-
нимая « = 1^1(5, эту формулу можно упростить
[/?2 + rR + г2],
О
где R, г — радиусы верхнего и нижнего оснований
Объем сферы равен:
В сравнении с выражениями объема сферы, данными Ариабхатой II,
Н)1 я 5,57 R3,
Бхаскарой I
А #3 = 4 5^3,
Магавирой
у • у Я3 = 4,05/?3,
формула Шридхары более точная, так как объем сферы оказывается
равным
— к/?3^;4,183/?3.
3
В правилах распилки дров и деления бревен даны рецепты для
проведения измерений, когда бревна разрезаются вдоль или поперек.
В правиле о куче определяется число бревен, если известны объем
кучи-и объем одного бревна. Здесь Шридхара приводит формулу для
подсчета объема пирамиды:
h,
9	9
где г — радиус основания, S— площадь основания. Если положитьтс=3,
получим точную формулу:
V = — Sh.
з
В правиле о тени дается формула для определения прошедшей и
оставшейся частей дня по тени, отбрасываемой гномоном. Так, время
можно определить по формуле
где g — гномон, s — тень.
154
Наряду с правилами и задачами, встречающимися у предшествен-
ников Шридхары, в «Патиганите» впервые изложены совершенно новые.
К ним относятся:
1)	одно из правил приведения дробей к простейшей форме (прави-
ло [42]);
2)	некоторые трудные задачи на проценты (правило [49—50], при-
мер 55—56);
3)	геометрическая интерпретация арифметической прогрессии (пра-
вила [79]—[88]);
4)	суммирование арифметической прогрессии с «дробным числом
членов» (правила [89]—[92]);
5)	весьма интересные задачи на определение времени между двумя
встречами путников (правило [97—98], пример 112).
В «Тришатике» также имеются две новые формулы: площадь сег-
мента круга и объем сферы.
Привлекают внимание древние санскритские комментарии к тексту
«Патиганиты». Автор комментариев, время и место их написания не-
известны. Комментарии обширны: в три-четыре раза превышают объем
сочинения Шритхары.
Комментатор часто цитирует правила данного трактата, а также
предшествующих авторов, не называя, однако, ни автора, ни источник
заимствования. Семь цитат комментатор взял из «Усовершенствованной
науки Брахмы» Брахмагупты, остальные 16 он, видимо, заимствовал
из малоизвестных работ, рукописи которых пока не найдены. Отсутствие
цитат из широко распространенных сочинений Бхаскары II три ссылках
на малоизвестные трактаты позволяет заключить, что комментарии со-
ставлены не позднее XII в. В пользу этого предположения говорит и то,
что трактат Шридхары достаточно труден для понимания без подробных
разъяснений. Возможно, что комментарии были написаны одним из его
учеников.
Комментарии даны ко всем правилам и примерам. Общая схема
комментариев к правилам:
1)	рассуждения комментатора до формулировки правила;
2)	наименование комментатором правила;
3)	правило Шридхары;
4)	подробный пересказ правила комментатором;
5)	рассуждения после правила;
6)	примеры с решениями, приведенные комментатором для поясне-
ния правила.
Общая схема комментариев к примерам:
1)	формулировка примера, данная Шридхарой;
2)	подробный пересказ примера комментатором;
3)	рассуждения комментатора о примере;
4)	подробное решение комментатором примера пр правилу, для
иллюстрации которого дан пример;
5)	решение комментатором примера другими способами;
6)	новые примеры и решения, данные комментатором;
7)	проверка.
Эти схемы самые общие, и комментатор полностью им не следует.
Среди цитат, источники которых неизвестны, особый интерес вызы-
вает четырехстишие на стр. 159 санскритского текста, где дается ра-
циональное решение уравнения Пелля:
Ах2+1 —у2.
155
имеющее вид
х
р	Мп — Nm
----—------------ у =	
Мт — Л/г----------Мт — Nn
где
Л=Л12 —№,
tn2+p2=n2.
Это решение более общее, чем предложенные Брахмагуптой, Шри-
пати, Бхаскарой II, Нарайаной, а также Дж. Валлисом и В. Браун-
кером [17].
Уравнения Пелля у Шридхары нет. Цитаты приведены в коммента-
риях к геометрическому правилу [112—114].
Никаких формул комментатор не дает, и его решения строятся на
механических рецептах Шридхары, за которыми явственно проступает
алгебраическая сущность многих правил.
Для комментариев характерна развитая символика. Так, для обо-
значения отрицательного количества употребляется знак +, который
ставится в основном после числа, реже перед ним, а также точка над
числом. Например, число — 5 записывается следующими способами:
5+, +5, 5.
Нуль комментатор обозначает точкой или маленьким кружочком
(примеры 111, 112).
Индийская символика была синкопирующей, т. е. часто встречаю-
щиеся понятия обозначались первыми буквами или слогами соответст-
вующих санскритских терминов. В ряде работ по истории индийской ма-
тематики [4 и 8] упоминаются символы для неизвестных и их степеней.
По данным комментариям можно судить, что символика употреблялась
для более широкого круга понятий. Так, целая часть смешанной дроби
обозначалась санскритскими буквами, соответствующими слогу «ру»
слова «рупа» (единица или целое число), дробная часть смешанного
числа — санскритскими буквами, соответствующими слогу «ам» слова
«амша» (дробь, числитель). Например, дробь 17—комментатор записы-
3
зает следующим образом: ру 17 ам — (пример 11).
Смешанную дробь можно записать и по-другому. Так, в коммента-
риях к правилу [346] имеются записи:
ру 6 ам 1 чхе 4, т. е. 6 -~
О
ру 232 ам 9 чхе 16, т. е. 232 — ,
16
где знаменатель обозначен первым слогом «чхе» слова «чхеда» (знаме-
натель) .
Символика применяется комментатором и к системам мер. В при-
мере 124 запись: 5 ха 6 ан означает 5 хаста 6 ангула (меры длины).
В примере 47 запись: дрона 3 а 0 пра 3 ку 1 дробь ~ означает 3 дроны
5
О адхака 3 прастхи 1 — кудавы (меры объема).
156
Широко применяется символика в задачах на арифметическую про-
грессию. Первый член арифметической прогрессии обозначается первой
буквой «а» слова «ади» (первый)—примеры 103—115. Для разности
арифметической прогрессии используется первая буква «у» слова «ут-
тара» (разность) —примеры 103—105, 111 —115 или первый слог «ча»
слова «чайа» (разность) —примеры 106, 107, 112.
Число членов арифметической прогрессии обозначается первым сло-
гом «па» слова «пада» (число членов) —примеры 104—105, 112 или пер-
вым слогом «га» слова «гачха» (число членов) —примеры 107, 111, 112.
Для суммы прогрессии употребляется первый слог «сам» слова
«самкалита» (сумма)—пример 112.
Символика применяется и в ряде других случаев. Так, множитель
обозначается первым слогом «гу» слова «гунака» (множитель) —приме-
ры 606, 102, 108, 109. Для записи свободного члена применяется первый
слог «дри» слова «дришйа» (видимый)—пример 102. Высота в мно-
гоугольнике обозначается первым слогом «ла» слова «ламба» (высота),
нижнее основание трапеции — первым слогом «дха» слова «дхара»
(нижнее основание), верхнее — первым слогом «му» слова «мукха»
(верхнее основание) —пример 103а.
Заслуживает внимания и алгебраическая символика, употребляе-
мая комментатором. Неизвестная величина обозначается маленьким
кружочком (примеры 103, 104—105, 107) или первым слогом «йа» слова
«йават-тават» (столько сколько) —примеры 111, 112.
Запись «га йа 1» представляет собой сокращение записи «гачха
йават-тават 1», т. е. число членов х.
Вот примеры записи алгебраических выражений:
йа	1	РУ	1 +	означает	х— 1
	1		5		х , 5
йа	2	РУ	2	я	т + т
йа	3	РУ	58	я	Зх + 58
ва	1	йа	5		1	, . 5 — лг + — X
	2		2		2	2
ва	3	йа	58	п	Зх2 + 58х,
где «ру» — первый слог слова «рупа» (целое число), а «ва» — первый
слог слова «варга» (квадрат).
Обе части уравнения комментатор записывает одну под другой
таким образом, чтобы неизвестная и ее степень в нижнем ряду стояли
под соответствующей неизвестного и ее степенью верхнего ряда. Если
неизвестная отсутствовала, то ее записывали с коэффициентом нуль.
Линейное уравнение х+5 = 20 записывается следующим образом:
йа 1 ру 5
йа 0 ру 20,
т. е. х4-5 = 0-х4-20 (пример 111).
Линейное уравнение
Зх4-58=х+74
записывается так:
йа 3 ру 58
йа 1 ру 74	(пример 112).
157
Квадратное уравнение
х2+5х=20х
записывается так:
ва 1 йа 5
ва 0 йа 20,
г. е.
х2+5х=0- х2 + 20х.
Это уравнение комментатор записывает и по-другому:
ва 1 йа 15+ ру 0
ва 0 йа 0 ру О,
т. е.
х2—15х+0 = 0-х2+0-х + 0 (пример 111).
Хотя математическая символика не была совершенной и сами сим-
волы, т. е. соответствующие санскритские буквы, имели сложное начер-
тание, индийцы в развитии символики сделали большой шаг вперед.
В древних комментариях впервые даны символы для записи некоторых
дробей, метрических систем, всех геометрических терминов, а также
некоторых терминов арифметической прогрессии.
Между сочинениями Шридхары и предшествующих авторов видна
тесная взаимосвязь. Так, в «Патиганите» (правило [112-114]) приво-
дится правило Брахмагупты [5, XII, 21а] о площади треугольника и четы-
рехугольника. У Магавиры [15, VI, 152—153; IV, 6] Шридхара дословно
заимствовал два примера, поместив их под номерами 78—79 в «Патига-
ните» и 28 — в «Тришатике». Пример 26 «Тришатики» также основан
на примере Магавиры [15, IV, 17—22].
Трактаты Шридхары оказали большое влияние на последующие ма-
тематические работы Ариабхаты II, Шрипати, Бхаскары II, Нарайаны.
Порядок расположения правил в математических главах астрономиче-
ских сочинений Ариабхаты II и Шрипати такой же, как в «Тришатике».
Ряд правил и примеров взяты ими почти без изменений из «Патигани-
ты». Правила 18, 39а, 396 Ариабхаты II аналогичны правилам [41], [53а],
[536] «Патиганиты». Правила «Ганиты тилаки» Шрипати [10, стр. 39,
строки 7—10; стр. 81, стих 108; стр. 83, стих 113; стр. 86 строки 12—
15] аналогичны правилам [41], [446], [48], [51] «Патиганиты». Правила 12,
166, 18 из XIII главы «Сиддханта шекхара» Шрипати аналогичны пра-
вилам [37], [466], [48] «Патиганиты».
Примечательно, что правила Шридхары трижды цитирует один из
самых крупных индийских математиков Бхаскара II в комментариях к
своим сочинениям «Биджаганита» и «Сиддханта широмани», а также
к сочинению индийского математика VI в. Лалла, где из «Патиганиты»
приводятся правило [336] и пример 34.
Значительное влияние оказали трактаты Шридхары на Нарайану.
Правила Нарайаны (9, стр. 53, стих 63; стр. 72, строки 14—15; стр. 73,
строки 1—6; стр. 76, стих 18; стр. 78, строки 18—21; стр. 79, строки 1 —
2; стр. 92, стих 346—35; стр. 102, строки 6—7) и примеры (стр. 73,
строки 8—10; стр. 80, строки 2—5; стр. 57, строки 16—19; стр. 111,
строки 4—7) аналогичны соответствующим правилам [466], [49—50],
153а], [536], [56], [63—64], [676] и примерам 55—56, 67—68, 75, 112 «Па-
158
тиганиты». Подробно это рассмотрено в наших примечаниях к трактату
Шридхары, публикуемых в настоящем сборнике.
В одном из комментариев к «Тришатике» дается следующая высокая
оценка Шридхары: «От жилища богов [Гималаев] на севере до гор Ма-
лая на юге, между восточным и западным океанами нет математика,
кроме Шридхары».
В заключение выражаю искреннюю благодарность научному руко-
водителю д-ру физ.-мат. наук, проф. А. П. Юшкевичу за многочисленные
советы и указания и О. Ф. Волковой, которая была моим учителем сан-
скрита и оказала огромную помощь в переводе. Также хочу поблаго-
дарить всех товарищей, принимавших участие в обсуждении данной
работы.
♦ * *
Все двустишия в трактате пронумерованы, причем для удобства
ссылок строфы, содержащие правила, имеют одну нумерацию, а строфы,
содержащие примеры, — другую. Если правило или пример занимают
половину двустишия, то первая половина строфы обозначается буквой
«а», вторая — буквой «б» (например, 95а, 956). Если правила или при-
меры занимают несколько строф, то. они пронумерованы так: например,
97—98; 99—101. Для удобства в тексте перед многими правилами даны
краткие наименования. Слова, взятые в квадратные скобки, приведены
для лучшего понимания содержания трактата. Надстрочные цифры в
тексте соответствуют порядковому номеру примечаний. В ссылках на
литературу, если не приводятся номера страниц, после порядкового но-
мера отсылаемого произведения следуют номера глав или разделов,
обозначенные римскими цифрами, а затем — номера правил или приме-
ров, обозначенные арабскими цифрами.
Шридхара
ПАТИГАНИТА * *
[1] Пэчтив Владыку, нерож це иного, причину сотворения, со-
хранения и разрушения миров, я коротко изложу математику
для всеобщего употребления
[2—6] Сложение и вычитание, также умножение и деление, [воз-
ведение в] квадрат и [извлечение квадратного] корня, также
[возведение в] куб и [извлечение кубичного] корня; эти же
[действия] с дробями; шесть разновидностей приведения дро-
бей к простейшей форме по порядку следующие: бхага, пра-
бхага, бхагабхага, затем [два] называемые бхаганубандха и
бхагапаваха, а также бхагаматри; правило трех величия, за-
тем ему обратное, также правила пяти, семи, девяти вели-
чия; товарообмен и продажа живых существ — всего вместе
29 действий [встречающихся в патиганите. Кроме того]
существуют также 9 определений: вначале смеси, вслед за
ними ряды, плоские фигуры, затем выкапывание, распилка
дров, деление бревен, куча, тень и, наконец, учение о нуле2.
[Названия разрядов]
[7—8] Эка, даша, шата, после этого сахасра, айута, затем да-
лее лакша, прайута, коти, арбуда, абджа, кхарва и никхар-
ва, махасароджа, шанку, саритпати, затем также антйа,
мадхйа, парардха — таковы называемые учеными разряды
[каждый из которых] в 10 раз [больше предшествующего]3.
[Меры денег]
[9]	1 пурана =16 пана,
1 пана 4 какини,
1 какини =20 варатака
[Меры веса|
[10]	5 гунджа = 1 маша,
16 маша = 1 карша,
4 карша = 1 пала.
1 карша золота называется суварна4
[Меры объема]
[11]	1 кхари =16 дрона,
1 дрона =4 адхака,
1 адхака = 4 прастха,
	1 прастха = 4 кудава.
* Перевод с санскрита О. Ф. Волковой и А. И. Володарского.
160
	[Меры длины]
|12]	24 ангула =1 хаста, 4 хаста =1 данда, 2000 данда =1 кроша, 4 кроша =1 йоджана 5 [Меры времени]
1131	60 гхати =1 сутки, 30 суток =-1 месяц, 12 месяцев =1 год.
Таковы основные меры [встречающиеся] в патиганите.
ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ СУММЫ ПЕРВЫХ п ЧИСЕЛ НАТУРАЛЬНОГО
РЯДА]
[14а] Сумма [первых п] чисел натурального ряда равняется по-
ловине числа членов, умноженной на число членов, увеличенное на еди-
ницу 6.
[Пример 1]. Найди в отдельности сумму первых 10, первых 20, первых
30 и так далее, первых 100 чисел натурального ряда, [а
затем] по сумме быстро назови число членов7.
[146] [Квадратный] корень из удвоенной суммы равен остатку
и числу членов ряда 8.
[15а] Сумма [первых п чисел натурального ряда] равна полу-
сумме квадрата числа членов и числа членов.
[156] Число членов [натурального ряда] равно полуразности
между квадратным корнем из увосьмеренной суммы [чисел
натурального ряда], увеличенной на единицу, и единицей9.
ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ РАЗНОСТИ МЕЖДУ СУММАМИ ПЕРВЫХ п И т
ЧИСЕЛ НАТУРАЛЬНОГО РЯДА]
[16| Прибавим к числу членов уменьшаемого ряда число чле-
нов вычитаемого ряда, увеличенное на единицу; [полученную
сумму] следует умножить на разность между числом членов
[уменьшаемого и вычитаемого) рядов; половина [этого про-
изведения] есть разность между суммами [первых п и т чи-
сел] натурального ряда |0.
^Пример 2] Каковы результаты [каждого вычитания], если из суммы
первых 100 [чисел натурального ряда] вычитать суммы 10,
20 и так далее, 100 [чисел натурального ряда|?
[17] Число членов [вычитаемого ряда] равно квадратному кор-
ню из удвоенной разности между суммой уменьшаемого ряда
и разностью между суммами уменьшаемого и вычитаемого
рядов, [причем] квадратный корень равен остатку.
[УМНОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ]
118—19] Расположив множимое под множителем, как*в соединении
створок дверей, следует производить умножение последова-
тельно в обратном или прямом порядке11, передвигая каж-
дый раз [множитель]. Такой способ [умножения] называется
каватасандхи12. Когда [множитель] неподвижен, то [такой
способ] умножения называется татстха ,3.
J1 '• аказ 338
161
[20]	Способ [умножения], называемый кханда, имеет две раз-
новидности: рупавибхага 14 и стханавибхага ,5. Таковы четыре
способа умножения.
[Пример 3] Перемножить 1296 на 21; 896 на 37; «065 на 60.
[ПРАВИЛО О НУЛЕ]
[21]	При прибавлении к нулю сумма равна прибавляемому; чис-
ло не изменяется, если [к нему] прибавить или [из него] вы-
честь нуль; при умножении нуля [на любое число] получим
нуль; при умножении на нуль [получим] нуль ,6.
[ДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ]
[22]	Сократив делитель и делимое на общий множитель, если
это возможно, надо последовательно производить деление в
обратном порядке; это есть способ деления17.
[ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ]
[23]	Для возведения в квадрат [числа] следует возвести в
квадрат последнюю цифру, умножить на оставшиеся цифры
удвоенную последнюю [цифру, затем] передвигать последова-
тельно [оставшиеся цифры],8.
[24]	Квадрат есть произведение двух одинаковых чисел 19, или
сумма арифметической прогрессии20 с первым членом, равным
1, и разностью 2, или произведение разности и суммы дан-
ного числа и произвольного числа плюс квадрат произволь-
но выбранного числа21.
[Пример 4] Назови квадраты чисел от 1 до 9; 25; 36; 63; 432; 7801.
[ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ]
[25—26] Из [последнего] позиционною места вычтя [наибольший]
квадрат, раздели [следующее четное позиционное место] на
удвоенный квадратный корень, помещенный на [линии корня]
Вычтя квадрат частного [из нечетного места], удвой его и
помести на линии [корня. Затем] раздели на это следующее
[четное] место. [Для получения окончательного результата],
раздвой частное на линии [корня]22.
[ВОЗВЕДЕНИЕ В КУБ]
[27—28] Запиши куб «последнего», на следующем месте квадрат
«последнего», умноженный на утроенное «предшествующее»,
[на следующехМ месте запиши] квадрат «предшествующего»,
умноженный на «последнее» и на 3, затем [на следующем
месте запиши] куб «предшествующего»; [полученный] куб
«смешанного» числа [будем теперь рассматривать] как «по-
следнее»23. [Куб есть] произведение трех равных чисел24
или куб данного числа без единицы, сложенный с единицей
и с утроенным произведением числа на число без единицы25
[Пример 5] Быстро назови: чему равен куб чисел от 1 до 9; 15; 256;
203?
162
[ИЗВЛЕЧЕНИЕ КУБИЧНОГО КОРНЯ]
(29—31]	[Разбив число] на [одно] «кубичное» место и два «пеку-
бичных» следует извлечь [наибольший] куб из [последнего}
<кубичного» места; поместив под третьим местом, следует
разделить остаток без последней цифры на утроенный квад-
рат кубичного корня [который следует поместить отдельно];
частное помести на линии [корня]. Его квадрат, умноженный
на утроенное «последнее», следует вычесть из следующего
[«некубичного»] места; куб «первого» [вычти], как раньше,
из своего места. Снова применяя правило, [помести] под
третьим местом и т. д. [Это кубичный] корень26.
[СЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ!
[32а] (После приведения дробей]27 к общему знаменателю сложи
числители28. Знаменатель целого числа равен единице.
(Пример 6] Назови результат, сложив * . У’ (Р f2’ а также 2-у- ,
3 без 6.
[Пример 7] Быстро назови, если знаешь метод вычисления, сумму
первых 1	2 » з чисел натурального ряда29.
[ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ]
[326] После приведения [дробей] к общему знаменателю следу-
ет взять разность между числителями30.
[Пример 8] Назови результат, если из единицы [последовательно}
вычесть -j. -у. А также из 5 [последовательно] вычесть
3 без -4 и 21-
[Пример 9] Назови остаток от вычитания суммы первых 2-у чисел
_ 1
натурального ряда из суммы первых 52 чисел натурального
ряда 31.
[УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ]
[33а| Произведение дробей равно произведению числителей, де-
ленному на произведение знаменателей32.
1	11	5
{Пример 10] 2y умножается на 1-?; 60-^ умножается на каково
произведение в каждом случае?
[336] Поменяв местами числитель и знаменатель делителя, [сле-
дует применять! предыдущее правило33.
[Пример 11] На 2-^- делятся 6^-1 на 3^- делятся 60 О Назови ре-
зультат в каждом случае.
[ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДРОБИ]
[34а|	Квадрат числителя, деленный на квадрат знаменателя,,
есть квадрат дроби34.
11'	165
[Пример 12] О друг, если знаешь, назови квадраты [чисел] 2-^,
[ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ ДРОБИ]
' [346] Квадратный корень [дроби] равен квадратному корню чи-
слителя, деленному на квадратный корень знаменателя35.
[ВОЗВЕДЕНИЕ В КУБ ДРОБИ]
J35a] Следует разделить куб числителя на куб знаменателя;
это есть куб [дроби]35.
[Пример 13] Назови, если знаешь, куб |чисел| 7н-> 17-т> 4> 4-
х 4	4 о
[ИЗВЛЕЧЕНИЕ КУБИЧНОГО КОРНЯ ИЗ ДРОБИ]
[356] Если разделить кубичный корень числителя на кубичный
корень знаменателя, [то получим] кубичный корень [дроби]37.
(ПРИВЕДЕНИЕ К ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЕ ДРОБЕЙ КЛАССА БХАГА]
[36] Для [приведения двух дробей] к простейшей форме38 в
классе бхага следует, удалив [из знаменателей! общий мно-
житель33, если он имеется, перемножить каждое [из полу-
ченных чисел] на числитель и знаменатель другой дроби40.
[Пример 14[ Какова сумма [дробей] с числителями, равными едини-
це, а знаменателями, [равными соответственно числам] от
2 до 6, и какова сумма [дробей] с числителями, равными 2,
3 и так далее, а знаменателями, [равными соответственно
числам] от 3 до 9?11
[37] Следует умножить низший знаменатель на высший числи-
тель, а высший зяаме гатель на низший знаменатель, [затем]
следует произведение знаменателя и числителя в середине
прибавить к [новому] высшему числителю42.
[ПРИВЕДЕНИЕ К ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЕ ДРОБЕЙ КЛАССА ПРАБХАГА]
[38а] |Для приведения к простейшей форме дробей) класса праб-
хага следует перемножить числители, а также знаменатели43.
IT		1 г-1 и	й 1	1 I . 1	1	1	1 . 1 о 1
[Пример 15] Назови дроби: 4 '2"2’7о”б '5"3’ 7 ^2
[ПРИВЕДЕНИЕ К ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЕ ДРОБЕЙ КЛАССА БХАГАБХАГА
[386] После умножения целого числа на знаменатель следует
поменять местами числитель и знаменатель. Это правило для
класса бхагабхага41.
[Пример 16] Друг, если знаешь, скажи, подумав, каков результат
сложения 1, деленной на g-J 1, деленной на у; 1, деленной
1 , 1. , „1
на -у-; 1, деленной на -у»	1, деленной на -jy
[Пример 17] Единица последовательно делится на дроби, у которых
знаменатели [есть целые чзсла] от 3 до 6, а числители 2, 3-
и г. д. Быстро назови сумму [дробей].
164
[ПРИВЕДЕНИЕ К ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЕ ДРОБЕЙ КЛАССА БХАГАНУБАНДХА}
[39]	В классе бхаганубандха целое число умножается на зна-
менатель и прибавляется к числителю; [или] верхний знамена-
тель умножается на нижний знаменатель, верхний числитель
умножается на сумму низших числителя и знаменателя45.
[Пример 18] Какова будет общая сумма, если 1 складывается с
1 - 1 о 1 ?
у, 5 складывается с у 8 складывается с 3-
[П ример 19] Чему равна сумма Зу, сложенная с у себя, сложенная с
6 предыдущего, а [также чему равна сумма] у» сложенная
I	1
с 3 сеоя, сложенная с предыдущего?
[ПРИВЕДЕНИЕ К ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЕ ДРОБЕЙ КЛАССА БХАГАПАВАХА}
[40| В классе бхагапаваха числитель следует вычесть из про-
изведения целого числа на знаменатель; [или] после умноже-
ния низшего знаменателя на высший знаменатель высший
числитель следует умножить на [низший] знаменатель, из
которого вычтен низший числитель46.
[Пример 20] Быстро назови сумму 1 без у> 5 без 8 без -у-
[Пример 21] Какова будет разность 3 без у» уменьшенная на у се-
бя и уменьшенная на 6 предыдущего и [какова будет раз-
ность] у» уменьшенная на у себя и уменьшенная на у пре-
дыдущего?
[ПРИВЕДЕНИЕ К ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВЕЛИЧИН}
[41]	Чтобы привести к простейшей форме последовательность
величин, следует умножить верхние знаменатель и числитель
на низший знаменатель и [затем] следует произвести вычи-
тание или сложение верхнего числителя с низшим числите-
лем47.
[Пример 22] Какова сумма получится, если сложить 5 пурана 3 пана
1 какини без 1 варатака без у варатака?
[ПРИВЕДЕНИЕ К ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЕ ДРОБЕЙ КЛАССА БХАГАМАТРИ}
[42]	Бхагаматри есть [такой класс дробей], который представ-
ляет собой комбинацию [всех предыдущих], начиная с [клас-
са] бхага. Окончательный результат получим последователь-
ным применением всех предыдущих правил48.
[Пример 23] Какая сумма получается при сложении у! у-yJ U де-
ленной на у; у • сложенной со своей половиной;
торой вычтена ее половина?
165
{Пример 24] Если знаешь метод вычисления, скажи: какую сумму
1.11..	ч И о I .
получим при сложении у» у у> I, деленной на 8у- ?
[ПРАВИЛО ТРЕХ ВЕЛИЧИН]
|43| В правиле трех величин на первое и последнее места
[следует поместить] данное и требуемое, которые не изменя-
ются, а в середине [следует поместить] результат, который
изменяется; его произведение с последним [количеством] сле-
дует разделить на первое [количество]49.
{Пример 25] Если I пала и 1 карша сандалового 1еревэ стоят 10
пана, то сколько будут стоить 9 пала и 1 карша50?
{Пример 26] Если 1у пала черного перца стоят 1у пана, то быстро
скажи: какое количество черного перца можно купить за 10
без у пана?
{Пример 27| 1у дроны и 3 кудава зерна стоят 8 |пана]. Скажи,
если знаешь: сколько [будут стоить] 1 кхари и 1 дрона?
{Пример 28] Если 60у кхари зерна стоят ЮОу рупа, то сколько зер-
на можно купить за у руна51?
[Пример 29] Если 1 суварна [золота] стоит 70 у рупа, то скажи, друг:
сколько стоят 1 без маша?
[Пример 30] Некоторый человек проходит расстояние в у йоджана
за у дня. Скажи: .за какое время он пройдет 100 йоджана?
!пР и мер 31] Насекомое проползает расстояние в у ангула за у дня.
За какое время оно проползает 10 у йоджана?
|44а] Если вычесть возвращение назад за день из движения
вперед за день, [получим искомое] движение за день.
{Пример 32] Слон проходит за 6, умноженное на 5, умноженное на,
умноженное на у , умноженное на 1у дня расстояние в
1	'	1	1	. I
у, умноженное на 1-у, умноженное на 1 без -у, умно-
женное на 1 2 йоджана, и возвращается назад, [проходя]
за 1у дня расстояние в 2, умноженное на 1 без | йоджана.
О друг, за какое время он пройдет расстояние в 100 йод-
жана?
{Пример 33] За какое время некий [человек], получающий за 1 ^дня
8 без у рупа и тратящийрупа в день на еду, станет вла-
дельцем 100 рупа?
166
[ОБРАТНОЕ ПРАВИЛО ТРЕХ ВЕЛИЧИН]
[446] При изменении единицы измерения среднее [количество!
умножается на первое [количество! и делится на последнее
[количество!®2.
(Пример 34] Каждое из 20 ожерелий содержит по 8 жемчужин. О
математик, назови число ожерелий, содержащих по 6 жем-
чужин 53.
[Пример 35| Если [измерять золото] в маша из 5 рактика, то полу-
чим 300 суварна. Назови количество суварна, если [измерять
золото] в маша из 6 рактика.
[Пример 36] Сколько золота пробой 11 варна можно получить в об-
мен на 168 суварна золота пробой 16 варна54?
(Пример 37] [Имеются] 200 одеял шириной 3 локтя и длиной 9 лок-
тей. Быстро скажи: сколько получается [из них] одеял шири-
ной 2 локтя и длиной 6 локтей?
]Приме р 38] Скажи: сколько золота пробой 10 варна можно получить
в обмен на 100 суварна 8 маша золота пробой 12— варна?
[ПРАВИЛО ПЯТИ, СЕМИ И ДЕВЯТИ ВЕЛИЧИН]
[45] После перестановки результата [из одной] стороны в дру-
гую следует [также] поменять местами знаменатели. Пере-
множив [полученные в каждой стороне] числа, следует разде-
лить сторону с большим числом [числителей] на другую сто-
рону 5®.
’Пример 39| Если за месяц прибыль с 100 составляет 5, то какова
будет прибыль с 60 в течение года? Если известна прибыль,
назови время и, исходя из них обоих, назови капиталse.
[Пример 40] Со 100-у прибыль за у месяца составит 1-у! какова
будет прибыль с 601 за 8 без у месяцев?
• Пример 41] Если 1 суварна золота пробой 16 варна стоит 60, то
сколько стоят 63 суварна золота пробой 10 варна?
(Пример 42] g суварна без 1 гунджа чистого золота стоят 20-у
сколько стоят 3 гунджа золота пробой Пу варна?
[Пример 43] Если 8 дрона риса перенесены на 1 йоджана за 6 пана,
то скажи: за сколько 1 кхари и 1 дрона [будут перенесены]
на 3 йоджана?
(Пример 44] Если 3 работника получают за 2 дня 5 рупа, то скажи:
сколько [получают] 8 человек за 9 дней?
|П ример 45] Если за 1 одеяло шириной 2 и длиной 8 получают 10,
то сколько получают за 2 одеяла шириной 3 и длиной 9?
(Пример 46] Если камень длиной, шириной и толщиной 9, 5 и 2 лок-
тей стоит 8, то сколько стоят 2 камня [размерами] 10, 7 и
2 локтей?
]Пример 47] Для слона шириной 2, высотой 6 и длиной 7 в пищу
идет 1 дрона; каков [объем] пищи слона шириной 3, высотой
9 и длиной 10?
167
[ПРАВИЛО ТОВАРООБМЕНА]
[46а] В [задачах] на товарообмен, поменяв взаимно местами
цены, [следует применять] предыдущие правила57.
[Пример 48] Если 2 пала сухого имбиря стоят 6, а 1 пала длинного
перца стоит 9, то сколько длинного перца можно получить
[в обмен] на 6 пала сухого имбиря?
[Пример 49] Если 16 плодов манго стоят 2 пана, а 100 плодов лес-
ных яблок стоят 3 пана, скажи: сколько плодов лесных яб-
лок можно получить [в обмен] на 6 плодов манго?
[ПРАВИЛО ПРОДАЖИ ЖИВЫХ СУЩЕСТВ]
[466] В [задачах] на продажу живых существ, поменяв взаимн
местами возраст, [следует применять] предыдущие правила58.
[Пример 50] Если 5 женщин 16-летнего возраста стоят 200, о зна-
ющий, скажи: сколько стоят 2 женщины 20-летнего воз-
раста?
[Пример 51] Если 3 10-летних верблюда стоят 108 пурана, то ска-
жи: сколько стоят 5 9-летних верблюдов?
[ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ]
[47] На собственное время следует умножить аргумент, на ре-
зультат [следует умножить] другое время, каждое из этих
[произведений] следует разделить на их сумму и умножить
на [капитал, сложенный с прибылью]. Это дает [соответст-
венно] основной капитал и прибыль59.
[Пример 52] Известно, что при [прибыли] 5 со 100 в месяц сумма
капитала и прибыли [составит] 96 за год. О друг, каков ка-
питал и какова прибыль60?
[Пример 53] За 1-^ месяца прибыль со 100^ составляет 1~, сумма
капитала и прибыли равна 36 у за 7-| месяцев. [Каков капи-
тал и какова прибыль?]
[48] Произведение аргумента на его время и произведени
прибыли и так далее на другое время следует разделить
[каждое] на их сумму и умножить на сумму капитала, при-
были и т. д. Это дает соответственно капитал и т. д.6|-
[Пример 54] В месяц со 100 прибыль есть 5, вознаграждение поручителю
1, вознаграждение вычислителю 9 , вознаграждение переписчику
. За год общая сумма составит 905. [Каковы капитал,
прибыль, вознаграждение поручителю, вычислителю и пере-
писчику?]62.
|49—50] Для определения времени [возвращения капитала с при-
былью] следует вычесть из капитала [отданного взаймы] по-
следовательно величины взносов за первый месяц, за второй
месяц и т. д. [Это дает число полностью прошедших меся-
цев и чистый капитал]. Подсчитав чистую прибыль за ме-
сяц, вычти ее из величины ежемесячного взноса; на [полу-
ченную] разность следует разделить чистую прибыль в ме-
сяц, умноженную на число [полностью] прошедших месяцев
и увеличенную на чистый капитал. [Полученное] частное, уве-
личенное на число полностью прошедших месяцев, дает ис-
комое время63.
168
[Пример 55—56] Ростовщиком даны взаймы 100 рупа из 5% в ме-
сяц под залог дома, сдаваемого в аренду за 40 [рупа] в ме-
сяц. Скажи, о знающий: через сколько времени должник ос-
вободится от долга и какую прибыль получит ростовщик64?
[ПРАВИЛО О ЕДИНОМ ДОГОВОРЕ]
[51] Сумма прибылей за истекшее время, деленная на сумму
прибылей за месяц, дает время [единого договора]; сумма
прибылей за месяц, увеличенная в 100 раз, деленная на сум-
му капиталов, дает прибыль |в процентах единого договора]65.
[Пример 57—58] (Капиталы] 100, 200, 300 и 400 отданы взаймы из
2, 3, 4, 5 процентов в месяц соответственно, прошло [соот-
ветственно] 4, 6, 10, 8 месяцев; следует сказать, каков бу-
дет единый договор66.
[Пример 59] Скажи, о знающий: каков будет единый договор, если
названные ранее проценты увеличить на 9, а число месяцев
1 ?
увеличить на -
[52а] (Требуемое] время равно произведению [данного] времени
и аргумента, деленному на прибыль и умноженному на крат-
ное без единицы67.
[Пример 60а | За какое время удвоится капитал (отданный взаймы]
из 5% в месяц68?
[Пример 606] Скажи: за какое время [капитал, отданный взаймы] из
3 9 °о станет равным 1^-себя69?
[ЗАДАЧИ О СЛИТКАХ ЗОЛОТА]
[526] Если разделить сумму произведений весов и проб [нес-
кольких слитков золота] на сумму весов, то получим пробу
[сплава]70.
[Пример 61] В золото какой пробы превращаются [при сплавлении
три слитка] весом 9, 5 и 17 маша и пробой 12, 10, и 11 Вар-
на [соответственно] ?
[Пример 62] Какой пробы получается сплав из [трех слитков золота]
пробой 11	10, 8 без у варна и весом 5-|-, 4^-, 7-^ маша
[соответственно] ?
[53а] Сумма произведений проб и весов [нескольких слитков зо-
лота], деленная на вес очищенного золота, дает пробу [очи-
щенного золота]71.
[Пример 63] После [сплавления] и очищения [от примесей трех слит-
ков золота] весом 5, 8 и 6 суварна и пробой 12, 9 и 15 без
9 варна [вес сплава] оказался равным 16 суварна. Быстро
назови пробу [сплава].
[536] Та же [сумма], деленная на пробу [очищенного золота],
дает его вес72.
[Пример 64] Имеются [три слитка золота] весом 10, 7 и 5 маша и
пробой 9, 8 и 6 варна. После [их сплавления и] очищения
]от примесей] проба [стала равной] 11 варна. Назови вес
[сплава].
169
[54]	Если из произведения суммы весов всех слитков золота
на пробу полученного [сплава] вычесть сумму произведений
весов и проб и [затем] разделить на вес слитка золота [не-
известной пробы], то получим пробу73.
]Пример 65] [Три слитка золота] весом 1, 2 и 6 суварна и пробой
5, 3 и 4 кшайа после сплавления с 1 пала золота неизвест-
ной пробы дают сплав пробой 12 eapia. [Найти пробу пос-
леднего слитка]74.
[55]	Проба сплава, умноженная на сумму весов слитков золо-
та, минус сумма произведений весов и проб [слитков золота],
деленная на разность между пробой слитков золота неиз-
вестного веса и пробой сплава, [дает неизвестный] вес75.
‘[Пример 66] [Три слитка золота] весом 2, 3 и 4 маша и пробой 7,
4 и 5 кшайа сплавлены со слитком золота пробой 2 кшайа.
Назови быстро вес [этого слитка], если проба сплава стала
равной 4 кшайа 76.
[ПРАВИЛО О ЗОЛОТЫХ БРУСКАХ]
[56]	Вес бруска в маша, деленный на разность проб в йава
[чистого и худшего золота|, затем умноженный один раз,
два раза и так далее по порядку на пробу, выраженную в
йава, дает вес худшего золота77.
[Пример 67—68] Нужно изготовить ряд брусков, [каждый] весом в 2
маша и пробой от 0 кшайа до 6 кшайа, увеличивая каждый
раз пробу на|- кшайа. Если знаешь, подсчитав, быстро ска-
жи: сколько надо взять золота пробой 16 варна и 10 Вар-
на 78?
[ПРАВИЛО О ЗОЛОТЫХ ШАРАХ]
[57]	Пробу [каждого из двух золотых шаров], умноженную [на]
часть и деленную на данную часть, увеличенную на единицу,
следует вычесть из другой пробы, деленной на данную часть,
увеличенную на единицу. Каждая из полученных разностей,
деленная на сумму этих же разностей и умноженная на сум-
му весов [двух золотых шаров], дает вес [золотого шара]79.
[58]	Вес [каждого из двух золотых шаров] следует сложить с
частью веса другого [золотого шара] и разделить на эти ча-
сти, увеличенные на единицу. Полученные частные, умножен-
ные на пробу [соответствующего сплава] и деленные на веса
[шаров], дают пробу [каждого золотого шара]8().
Пример 69] Сумма весов двух золотых шаров одинаковой стоимости
есть 5 маша. Если сплавить первый шар с второго, а вто-
рой с первого, то проба [сплавов] будет 10 и 9 варна [соот-
ветственно. Найти веса и пробы шаров]81.
Пример 70] О знающий, сумма весов двух золотых шаров одинаковой
стоимости равна 12 маша. Если сплавить первый шар с
второго, а второй с первого, то проба [сплавов] будет 12
и 10^ [соответственно. Найти веса и пробы шаров].
170
[ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТЕЙ УРОЖАЯ]
[59а] Для получения [каждого] результата следует индивидуаль-
ный вклад, деленный на сумму вкладов, умножить на общую
прибыль82.
[Пример 71] 2, 3, 5 и 4 прастха зериа [отданы для посева четырьмя
земледельцами], и урожай составил 210 [прастха]; какова до-
ля каждого83?
[Пример 72] [Для посева отданы] первым [земледельцем] прастха [зер-
на], вторым третьим Урожай составил 1700 [прастха]
Какова доля каждого?
[КУПЛЯ и ПРОДАЖА]
|59б] После деления цены на количество товара и умножения на
соответствующие части следует применять предыдущее пра-
вило 84.
[Пример 73—74] 7 кудава бобов стоят 9 пана, кудава риса стоит 1 па-
з
на. Купец, за 2 пана быстро дай 1 часть риса и 2 части
бобов 85.
{Пример 75] Каждое из 2 пала хингу, 2 пала длинного перца, 7 пала су-
хого имбиря стоят по 1 рупа. Дай мне поровну каждого из
них на 1 рупа8в.
(60]	После приведения капиталов к общему знаменателю и уда-
ления знаменателей количество товара, проданного на едини-
цу денег, равно наибольшему числителю, увеличенному на
некоторое произвольное число. Это, умноженное на цену, за
которую каждый остаток изделий продан, уменьшенное на 1,
затем умноженное на общий знаменатель, дает количество
товара, купленного на единицу денег87.
[61]	Если товары, оставшиеся после продажи, и капиталы, по-
лученные в результате продажи, разделить на общий множи-
тель, то это будет другое количество товара, купленного на
единицу денег88.
{Пример 76] У трех купцов имеются капиталы 1, 3, 5 или	2
[рупа]. Количество товара, купленного и проданного на еди-
ницу денег, у всех одно и то же. После продажи остатка по
цене 3 [рупа] за 1 предмет они стали одинаково богатыми.
Чему равно количество товара, купленного и проданного на
единицу денег8Ь?
[62]	Если цена остатка есть дробь, следует привести ее и ка-
питалы к общему знаменателю, затем следует умножить ко-
личество товара, купленного и проданного на единицу денег,
на общий знаменатель90.
[Пример 77] Капиталы четырех купцов равны 1 2, 2, 3, 5 рупа. Количе-
ство товара, купленного и проданного за единицу денег, у
всех одно и то же. Продавая остатки по цене рупа за 1 из-
делие, они стали одинаково богатыми. Чему равно количест-
во товара, купленного и проданного на единицу денег91?
171
[63—64] Стоимость любой птицы следует умножить по порядку на
количество птиц. Из полученных произведений следует в от-
дельности вычесть соответствующую стоимость птиц, получен-
ные разности умножить на такие положительные числа, чтобы
сумма произведений равнялась числу птиц, сложенному с
платой92.
[Пример 78—79] За 3 [рупа продаются] 5 голубей, за 5 [рупа] 7 журав-
лей, за 7 [руна] 9 лебедей и за 9 [рупа] 3 павлина. Зная
названные цены, принеси 100 птиц за 100 рупа для развлече-
ния принца93.
[Пример 80] Гранаты, манго и яблоки [продаются по цене] 1 за 2 [рупа]
5 за 3 [рупа], 2 за 1 [рупа соответственно]. Принеси за 80
[рупа] 100 [плодов]94.
[ПРАВИЛА О ДВИЖЕНИИ]
[65]	На разность между скоростями движения в день идущего
быстро и идущего медленно следует разделить путь, пройден-
ный идущим медленно. Это дает время [в днях, за которое
идущий быстро догонит идущего медленно]95.
[Пример 81—82] После того как тот, кто проходит 8 йоджана за 5 без
j дней, уже шел 6 без дней, отправился в путь по этой до-
роге другой, проходящий 3 йоджана в день. Подсчитав, ска-
жи: когда [второй] догонит [первого]?
[66а] Путь, деленный на полусумму скоростей в день, дает вре-
мя встречи96.
[Пример 83] Один проходит 8 йоджана [в день], другой 2 йоджана
[в день]. Длина пути 100 йоджана. Где они встретятся, если
первый пройдет весь путь и [будет возвращаться] назад97?
[666]	Произведение полусуммы скоростей в день на время встре-
чи дает путь.
[67а] Удвоенный путь, деленный на время встречи и уменьшен-
ный на скорость [одного], дает скорость другого.
[ПРАВИЛА ОБ ОПЛАТЕ]
[676]	Следует дать половину платы за упавший [товар] и пол"
ностью за остальное.
[Пример 84—85] Кожаный мешок с 200 пала масла несли за 5 пана на
[расстояние] в 8 йоджана. Внизу [мешка] образовалось отвер-
стие, через которое вытекло 20 пала масла. Какую плату сле-
дует дать?
[68]	Последующие части дня, уменьшенные на предшествую-
щие, следует умножить на сумму, необходимую для оплаты,
и разделить в отдельности на число зрителей [видевших тан-
цы], затем следует прибавить предшествующие [частные] к
последующим. Полученное, умноженное на число ушедших
зрителей, дает плату [каждого зрителя]98.
1	2
{Пример 86—87) Один человек видел танцы -4 дня, второй видел дня,
з
третий 4 дня и до конца дня четвертый. Они должны дать
танцевальной труппе 96 рупа. Сколько каждому оплатить в
соответствии с виденным временем"?
172
[Пример 88] 10 мужчинам нужно перенести носилки на расстояние в
3 кроша за 100 [рупа]. Из этих мужчин 2, 3, 5 уходили пос-
ле каждой кроши соответственно. [Какова плата каждому
человеку?] 10°.
[Пример 89—90] Пять брахманов, читающих хвалебные гимны, были
приглашены для почитания каждого из пяти ликов пятилико-
го бога Шивы за 300 рупа. После почитания каждого из ли-
ков Шивы они по очереди уходили. Скажи: какова плата
каждому?
[ПРАВИЛО О БАССЕЙНЕ]
[69]	Разделив единицу на части в отдельности, следует взять
их сумму и разделить на нее единицу. Эго дает время напол-
нения водоема 10’.
]Пример 91] За какое время наполняют водоем четыре трубы, открытые
одновременно, если каждая из них наполняет его за -> ,
части дня 102?
[ПРАВИЛА ОПЛАТЫ ЗА ПЕРЕНЕСЕННЫЙ ТОВАР]
[70]	[Для нахождения платы за перенос товаров на часть не-
обходимого расстояния] следует разделить на все расстояние
полов шу произведения количества товаров и необходимого
расстояния, уменьшенную на квадратный корень из квадрата
этой половины без произведения пройденного расстояния,
оставшегося расстояния, количества товаров и платы за все
расстояние 103.
[Пример 92] Если за перенос 24 корзин с фруктами на расстояние 5 кро-
ша [грузчик] получит 9 из этих корзин, то сколько [корзин с
фруктами] он получит, если перенесет их только на 2 кро-
ша 104.
[71]	Грузы [перенесенные] каждым из двух [грузчиков] следует
умножить на плату другого; сумму этих [произведений следует
взять] делителем, ]делимыми будут] эти произведения, умно-
женные на все расстояние. Это дает расстояние [пройденное
каждым грузчиком]1()5.
^Пример 93—94] За перенос 24 корзин с фруктами [на некоторое рас-
стояние] первый грузчик получил 4 из этик корзин; остальные
корзины с фруктами были перенесены [на оставшееся расстоя-
ние] вторым грузчиком за 5 корзин с фруктами [в качестве
платы]. Все расстояние равно 5 кроша. Скажи, знающий: ка-
кое расстояние было пройдено каждым [грузчиком]?
[ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ВКУСОВЫХ ОТТЕНКОВ]
[72]	Числа от 1 до [данного] числа в обратном порядке следует
разделить на эти же числа в прямом порядке, [полученные
частные] следует по порядку перемножать. [Это дает число
вкусовых оттенков]106.
[Пример 95] Повар готовит различные блюда с шестью вкусовыми от-
тенками: острый, горький, вяжущий, кислый, соленый, слад-
кий. Друг, скажи: каково число всех разновидностей107?
173
[73]	Для получения блюда из двух вкусовых оттенков следует
по порядку к последующим прибавить первый [вкусовой отте-
нок], для получения 3 и более [вкусовых оттенков] следует
предшествующий прибавить к остальным вкусовым оттен-
кам 108.
[ПРАВИЛО О ДЛИНЕ ШЕСТА]
[74а] При решении задач на шест или на остатки следует раз-
делить видимое количество на 1, уменьшенную на [все] дроб-
ные части 109.
[Пример 96] 4 и g части шеста находятся соответственно под во-
дой, илом или песком реки и еще 3 хаста видны. Какова дли-
на шеста 110?
[Пример 97| После отбрасывания некоторого числа, затем отбрасыва-
2	3
ния остатка, затем отбрасывания нового остатка и затем
отбрасывания ~ полученного остатка осталось 3. [Каково
первоначальное число?]111.
[746]	[После] вычитания из большей [части] меньшей и получения
разности следует применить предыдущее правило112.
[Пример 98] Из стада коров половина ушла на восток, четверть на за-
пад, разность между этими [частями], умноженная на 2 и де-
ленная на 5, ушла на север, и 3 коровы остались. [Сколько
коров было в стаде?]113.
[ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ]
[75]	Если свободный член находится вблизи квадратного корня,
умножь его на 4, затем увеличь это на квадрат коэффициен-
та при квадратном корне неизвестного, затем извлеки из
этого квадратный корень и увеличь на коэффициент при квад-
ратном корне неизвестного, затем возьми квадрат половины
этого; [если свободный член находится вблизи дроби] разде-
ли его на 1 без дроби114.
[Пример 99] Некоторое число уменьшено на свой квадратный корень,
затем уменьшено на & предыдущего, затем уменьшено на
1
квадратный корень предыдущего, затем уменьшено на -g пре-
дыдущего, затем уменьшено на удвоенный квадратный корень
предыдущего; еще осталось 8. [Каково число?]115.
[76]	После деления коэффициента при квадратном корне неиз-
вестного и свободного члена на 1 без дроби прибавим квад-
рат половины первого частного ко второму частному, затем
возьмем квадратный корень этого, увеличим на половину пер-
вого частного и затем умножим [полученное на себя]11в.
[Пример 100] стада обезьян вместе с предыдущего пошла-к водое-
му; квадратному корню [стада равно количество обезьян, ко-
торые] хотят пить; 2 обезьяны остались сидеть под манговым
деревом. [Сколько обезьян в стаде?]117.
[77]	После деления коэффициента при квадратном корне неиз-
вестного и [второго] свободного члена на произведение раз-
174
ностей между 1 и дробными коэффициентами следует к послед-
нему частному прибавить первый свободный член, а затем
применить предыдущее правило118.
(Пример 1011 (Некоторое число] уменьшено на 1, затем уменьшено
на * [предыдущего], затем уменьшено на - [предыдущего],
затем уменьшено на [предыдущего], затем уменьшено на
квадратный корень первоначального числа; еще осталось 5.
[Каково число?]119.
[ПРАВИЛО ОБРАЩЕНИЯ]
[78]	[Начиная от свободного члена в обратном порядке следует
заменить] сложение вычитанием, вычитание — сложением, ум-
ножение — делением, деление — умножением, квадрат — квад-
ратным корнем и квадратный корень — квадратом. В этом
заключается правило обращения121.
5
[Пример 102] Каково число, умноженное на -т,, затем деленное на 3, за-
тем возведенное в квадрат, затем увеличенное на 9? Если
затем извлечь квадратный корень и уменьшить на 1, то по-
лучим 4121.
[АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ]
[79| Как у глиняной чаши внизу расстояше меньше, а вверху
больше, так и у арифметической прогрессии Высота [глиня-
ной чаши] равна числу членов [прогрессии]122.
[80а] Еслч высота [измеряется] в кара ,23, то площадь [глиняной
чаши численно] равна первому члену прогрессии, увеличенно-
му последовательно на разность прогрессии 1х4.
[806]	Теперь я объясню правила нахождения нижнего и верхне-
го оснований [глиняной чаши].
[81]	Высота и число членов есть 1. Нижнее основание [чаши]
равно первому члену прогрессии, уменьшенной на половину
разности. Это, увеличенное на разность прогрессии, дает верх-
нее основание ,25. Все это можно показать шнурками.
[82]	Следует вытянуть шнурок с двух сторон, чтобы он соеди-
нял концы нижнего и верхнего оснований. Это будут боковые
стороны. Если нижнее основание отрицательное, то боковые
стороны должны пересечься 123.
[83]	В верхнем треугольнике высота равна верхнему основанию,
деленному на верхнее основание минус нижнее основание. Это,
вычтенное из 1, дает высоту нижнего треугольника 127.
[84]	Получив арифметическую прогрессию [для высоты, рав-
ной 1], можно найти верхнее основание для произвольной вы-
соты. Верхнее основание |для высоты 1], уменьшенное на ниж-
нее основание [для высоты 1], умноженное на данную высоту,
затем увеличенное на нижнее основание [для высоты 1], дает
верхнее основание [для данной высоты]128.
[85]	Разность [прогрессии], умноженная на полуразность числа
членов [прогрессии] и 1, увеличенная на первый член [прогрес-
сии], затем умноженная на число членов, дает сумму прогрес-
сии. Площадь [чаши] равна произведению полусуммы основа-
ний на высоту 129.
175
[Пример Ю3а[ Чему равна сумма 5 членов прогрессии, у которой первый
член есть 2, а общая разность 3 13)?
[Пример 1036] Назови [сумму] членов прогрессии, у которой первый
член есть 2, а общая разность 5.
[Пример 104—105] В кожаной бутыли, наполненной маслом, по-
явилось небольшое отверстие, из которого вытекает масло.
Бутыль следует перенести на расстояние в 3 йоджана. Если
плата за первый йоджана будет 10 пана, а за последующие
йоджана на 2 пана меньше, то какова будет плата за кро-
ша 13‘?
[86а] Сумма прогрессии, деленная на число членов, уменьшенная
на половину произведения разности прогрессии и числа членов
без 1, дает первый член прогрессии132.
|86б] Разность между суммой прогрессии, деленная на число
членов, и первым членом, деленная на половину числа членов
без 1, дает разность прогрессии133.
|87] Умножь сумму прогрессии на увосьмеренную разность
прогрессии и прибавь квадрат разности меж ту удвоенным пер-
вым членом и разностью прогрессии; квадратный корень этого,
уменьшенный на удвоенный первый член и увеличенный на
разность прогрессии, [затем] деленный на удвоенную разность
прогрессии, дает число членов 1з4.
[88]	Вычтя сумму прогрессии из суммы первого члена и разно-
сти прогрессии, умноженной на полуразность между квадратом
числа членов и числом членов, следует разделить на произве-
дение числа членов и разности между половиной числа членов
без единицы и единицей. Это дает первый член прогрессии 135.
[89]	Умножив разность [арифметической прогрессии] на целую
часть числа членов и увеличив на первый член [прогрессии],
следует [эту сумму] умножить на дробную часть числа членов
и прибавить к произведению половины целого числа членов и
предыдущей суммы, увеличенной на первый член, уменьшен-
ный на разность прогрессии Это дает сумму арифметической
прогрессии [с «дробным числом членов»)136.
[Пр и м е р 106] Первый человек получил 3 [рупа], а каждый последующий
на 2 рупа больше предыдущего. Скажи: сколько получат 4^
человека 137 ?
Г[П ример 107] Если за первый месяц работник получает lj [рупа] и
на [рупа] больше за каждый последующий месяц, то
сколько он получит за 3^ месяца?.
[90]	Целую часть числа членов без 1, деленную пополам,
следует прибавить к дробной части числа членов, [получен-
ную сумму) следует умюжчть на разность прогрессии и це-
лую часть числа членов. [Это произведение!, вычтенное из
суммы [арифметический прогрессии) и деленное на число чле-
нов, дает первый член прогрессии 133.
[91]	Разность между суммой арифметической прогрессии и
произведением первого члена и числа членов, деленная на
сумму чисел натурального ряда, число членов которого есть
число членов [данной арифметической прогрессии] без 1, дает
разность прогрессии139.
176
[92—93] Из произведения суммы арифметической прогрессии и уд-
военной разности прогрессии, увеличенного на квадрат разно-
сти между первым членом и половиной разности прогрес-
сии, следует извлечь квадратный корень, затем вычесть
разность между первым членом и половиной разности
прогрессии и разделить на разность прогрессии. Это дает
целую часть числа членов арифметической прогрессии. Раз-
ность между нею и 1 следует умножить на половину разности
прогрессии, затем увеличить на первый член, [все это] умно-
жить на целую часть числа членов. [Полученное] произве-
дение следует вычесть из суммы прогрессии, разделить на
произведение целой части числа членов и разности прогрессии,
увеличенное на первый члеч, и затем прибавить к целой части
числа членов. Это даст число членов арифметической про-
грессии 14п.
[ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ]
[94| Если число членов [геометрической прогрессии] нечетное,
следует вычесть из него 1 и записать «умножь» [на знаме-
натель прогрессии]; если число члечов четное, следует раз-
делить его пополам и записать «квадрат». [Продолжим про-
цесс пока число членов не станет равным нулю. Затем] начи-
ная с 1 в обратном порядке следует произвести умножение
и возведение в квадрат; последний результат следует умно-
жить на первый член прогрессии. [Это дает п+\ член про-
грессии] 141.
[Пример 108] Один купец, взяв 3 рупа, отправился для получения при-
были. Если его капитал удваивался после каждого месяца,
каким он стал после 3 лет 14 ?
[95а] Выражение, полученное в предыдущем правиле, уменьшен-
ное на первый член прогрессии и делен юе на знаменатель
прогрессии без I, дает сумму геометрической прогрессии143.
[Пример 109] Первый человек получает 3 [рупа], последующие в 2 ра-
за больше предыдущих. Быстро скажи: сколько денег полу-
чат 5 человек?
[ПРАВИЛО О БРАСЛЕТАХ]
[956] Произведение числа браслетов на полусумму цен первого
и последнего дает стоимость [всех браслетов].
[Пример 110] Первый браслет стоит 8 пана, последний 13 пана. Если
число браслетов равчо 24, какую сумму надо заплатить за
нйх?
[ПРАВИЛО О ДВИЖЕНИИ]
[96] Вычтя первоначальную скорость [идущего ускоренно] из
постоянной скорости, следует удвоенную разность разделить
на ускорение. Частное, увеличенное на 1, дает время, когда
пройденные расстояния равны 1'4.
[Пример 111] Очин человек идет со скоростью 3 [йоджана] в день
и ускорением 1 [йоджана в день за день], другой человек
идет с [постоянной] скоростью 10 йоджана в день. За какое
время они пройдут одно и то же расстояние?
[97—98] Выберем произвольные числа для начальной скорости, уско-
рения первого путника и начальной скорости второго. Рас-
12 Заказ 338
177
стояние, пройденное путниками до первой встречи, следует
разделить на число дней до первой встречи, пройденных
каждым. Разность между полученными частными следует умень-
шить на половину разности между произведениями ускорений
и числа дней, пройденных каждым путником до первой встре-
чи. Это, деленное на половину разности между ускорениями,
дает число дней между двумя встречами [двух путников]145.
[Пример 112] После того как первый путник шел 6 дней с [неиз-
вестными] начальной скоростью и ускорением, другой путник
пошел по тому же пути с [неизвестной начальной скоростью]
и ускорением 2 (йоджана в день за день]. Скажи: когда они
встретят друг друга два раза 146?
[ИГРА В КОСТИ]
[99-101] Уменьшив первое число [выигравших бросков] на 1, сле-
дует найти сумму чисел натурального ряда, причем число чле-
нов есть полученная разность. Это есть первое «увеличение».
Для нахождения остальных «увеличений» следует найти сум-
му арифметической прогрессии, у которой разность равна 1,
число членов есть |соответствующее] число [выигравших
бросков], первый член есть сумма предшествующих [выиграв-
ших бросков]. Затем [в качестве числа членов] следует взять
сумму всех (выигравших бросков] и найти «увеличение», как
в первом случае, затем следует уменьшить на удвоенное «уве-
личение» (проигравшего лица. Полученное выражение] следу-
ет умножить на разность (данной) прогрессии и прибавить к
произведению первого члена [данной прогрессии] и разности
между числом бросков [выигравшего и проигравшего]. Это
дает величину выигрыша 147.
[Пример 113] При игре в кости двое поочередно выигрывали 80, 10,
100 и 8 бросков [подряд, причем ставка за каждый бросок
была] начиная с 9 и увеличиваясь [с каждым броском] на 6.
Скажи: кто победит l4d?
(Пример 114] Если число бросков есть 7, 3, 9, 12, а [ставка] такая
же, как прежде, то скажи, если знаешь, после вычисления:
кто победит 141 ?
[Пример 115] При игре в кости двое поочередно выигрывали 4, 3, 2
и 2 бросков, [ставка] начиналась с 1, увеличиваясь [с каждым
броском на 2]. Скажи: кто победит?
[СУММИРОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ РЯДОВ]
[102а] Удвоенное число членов, увеличенное на 1, умноженное
на число членов, увеличенное на 1, умноженное на половину
числа членов, дает сумму чисел натурального ряда, сло-
женного с квадратом и кубом числа членов ,8°.
[Пример 116а] Чему равна сумма первых 5 чисел натурального ряда,
сложенная с квадратом и кубом 5?
[1026] Это, деленное на 3, дает сумму квадратов чисел натураль-
ного ряда 15'.
[Пример 1166] Также назови, если знаешь, сумму квадратов первых
5 чисел натурального ряда.
[103а] Полусумма квадрата числа членов и числа членов, умно-
женная на себя, дает сумму кубов чисел натурального ряда ,52.
178
(Пример 117а] Друг, быстро назови сумму кубов первых 10 чисел
натурального ряда.
[1036] Эта полусумма, умноженная на число членов, увеличенное
на 2, и деленная на 3, дает сумму [последовательных] сумм
чисел натурального ряда 153.
[Пример 1176] Также назови сумму [последовательных] сумм первых
10 чисел натурального ряда.
[104]	Произведение числа членов, числа членов, увеличенного
на 2, и квадрата суммы числа членов и 1, деленное на 4,
дает сумму последовательных сумм чисел натурального ряда,
сложенных с суммами квадратов и кубов этих чисел 154.
[Пример 118] Друг, если знаешь, вычислив, назови сумму [последо-
вательных сумм] первых 6 чисел натурального ряда, сложен-
ных с суммами квадратов и кубов первых 6 чисел натурально-
го ряда.
[105| Сумма [арифметической] прогрессии с удвоенной разностью,
умноженной на первый член, сложенная с суммой квадратов
чисел натурального ряда, умноженной на квадрат разности,
дает сумму квадратов [членов арифметической прогрессии]155.
[Пример 119] Чему равна сумма квадратов 6 членов [арифметической
прогрессии], первый член которой есть 2, а разность 3?
[106]	Получив, как прежде, сумму квадратов членов [арифмети-
ческой прогрессии], следует прибавить к ней сумму [этой же
арифметической] прогрессии; взяв от всего половину, полу-
чим сумму сумм натурального ряда, причем число членов есть
члены [данной арифметической] прогрессии 15в.
[Пример 120| О лучший из математиков, назови сумму последова-
тельных сумм чисел натурального ряда, когда число членов
есть первые 6 членов арифметической прогрессии с первым
членом 3 и разностью 5.
[107]	После умножения квадрата суммы [данной арифметической
прогрессии] на разность прогрессии следует это прибавить к
произведению первого члена первого члена без разности про-
грессии и суммы [данной прогрессии]. Результат есть сумма
кубов членов [арифметической] прогрессии157.
[Пример 121] Вычислив, скажи, сложив вместе кубы четырех членов
[арифметической прогрессии] с первым членом 5 и разно-
стью 2.
[ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ]
[108]	Сумма сторон [многоугольника], кроме одной, не равна и
не меньше этой стороны, потому что криволинейный путь не
равен и не меньше прямого [пути] '58.
(109]	Только в тех [четырехугольниках], у которых квадрат раз-
ности нижнего и верхнего оснований превосходит произведе-
ние разности и суммы боковых сторон, можно построить ламба
и авадха '5*.
[НО—111]	Прямоугольный и равносторонний четырехугольники, четы-
рехугольники с двумя и с тремя равными сторонами, не-
равносторонний четырехугольник; равносторонний, неравно-
сторонний, равнобедренный треугольник; круг и сегмент —
десять фигур, площадь которых следует находить по их
[собственным] формулам. И из них [можно получить] другие
фигуры, такие, как бивень слона, обод колеса и т. д.160
12*
179
[112—114]	Произведение полусуммы оснований и боковых сторон
треугольника и четырехугольника |дает| приближенную пло-
щадь для тех [многоугольников], у которых разность между
боковыми сторэзами и высотой мала. Для других фигур это
в большей степези неверзо, как, например, приближенная пло-
щадь треугольника, у которого боковые стороны равны 13,
а основание 24, рав.на 156, тогда как точная площадь — 60.
Поэтому я излагаю правила нахождения тозных результатов ,в|.
[115]	Для четырехугольника с равными высотами и для треуголь-
ника площадь равна полусумме оснований, умноженной на
высоту 1в2.
[Пример 122] В четырехугольнике верхнее основание, нижнее осно*
ванне, высота и боковые стороны равны 1^- хаста. Скажи,
друг: какова площадь |ез?
[Пример 123] Если в четырехугольнике верхнее и нижнее основания
равны по 5-?> кара, боковые стороны и высота — по 3 кара,
то назови площадь 164.
[Пример 124] В треугольнике боковые стороны равны 4 без и 3^
хаста, основание равно 3^ хаста, высота 3 хаста. Чему рав-
на площадь?
[Пример 125] В равностороннем треугольнике основание равно 8-^ ка-
2
ра, высота равна 7 кара и 8^ ангула. Чему равна площадь?
[Пример 126] Если знаешь способ нахождения, назови площадь рав-
нобедренного треугольника, у которого боковые стороны равны
5 хаста, высота 3 хаста, основание 8 хаста 165.
[Пример 127] В равнобедренной трапеции верхнее основание равно
1-| кара, нижнее основание кара, [боковые] стороны равны
по 5 кара и высота равна 3 кара. Чему равна площадь?
[Пример 128] Скажи: чему равна площадь [трапеции], у которой ниж-
нее основание равно 39, [боковые] стороны и верхнее осно-
вание равны по 25, а высота 24?
[Пример 129—130] В неравностороннем четырехугольнике с равными
высотами нижнее основание равно 10 |хаста], верхнее осно-
вание 4-^ [хаста], боковые стороны равны 9 без [хаста] и
6^; высота равна 6-!> хаста без ангула. Чему равна пло-
щадь?
[116]	Фигуры, имеющие форму бивня слона, [следует рассматри-
вать] как треугольник, форму обода колеса — как четырех-
угольник, форму молодого месяца — как два треугольника,
форму ваджра — как два четырехугольника 1,,в.
[Пример 131а] Чему равза площадь биззя слона, у которого нижнее
основание равно 2 хаста, а высота 3 хаста?
[Пример 1316] [Чему равна площадь] обода колеса, у которого ниж-
нее и верхнее основания равны по 3 хаста, а высота 10 хаста?
[Пример 132] Длина в центре молодого месяца равна 8 кара, шири за
в центре равна 3 кара. Рассматривая как два треугольника,
быстро назови его площадь *67.
180
[Пример 133] У [фигуры, имеющей форму] вацжра длина в центре
равна 10 хаста, основания рав iu по 5 хаста, ширина в центре
равна 2 хаста. Рассматривая ее как два четырехугольника,
назови площадь 188.
[117]	Полусумму сторон, уменьшенную на [каждую из] сторон,
следует поместить в четырех местах; из их произведения
следует извлечь квадратный корень. Эго дает площадь че-
тырехугольника, имеющего равные стороны и неравные высо-
ты и имеющего неравные стороны и неравные высоты189.
[118]	Из неквэдратного числа, умноженного на некоторое боль-
шое квадратное число, следует извлечь квадратный корень,
отбросив остаток, и разделить на квадратный корень множи-
теля. |Это дает приближенное значение корня из неквадратного
числа] 17°.
А. И. Володарский
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ ШРИДХАРЫ «ПАТИГАНИТА»
1.	«Патиганита» начинается с традиционного на Востоке обращения
к богу. Шридхара обращается к Шиве.
2.	Среди перечисленных Шридхарой «действий» первые восемь —
основные и встречаются без изменений у Бхаскары I, Магавиры и дру-
гих авторов. Общее число «действий» и их порядок у различных авто-
ров различны, тогда как первые восемь «определений» у всех одни и те
же. Девятое «определение» — математика нуля — было введено Шрид-
харой и имелось только в «Патиганите». К сожалению, в рукописи трак-
тата этот раздел отсутствует.
Впервые перечень основных «действий» и «определений» встречает-
ся у Бхаскары I. Комментируя астрономический трактат Ариабхаты I и,
в частности, главу, посвященную математике, Бхаскара I сетует, что
эта глава слишком мала по объему, чтобы охватить содержание всех
математических сведений, и перечисляет 8 «определений».
Брахмагупта [5, стр. 172] перечисляет 20 «действий» и 8 «определе-
ний». У него в сравнении со Шридхарой отсутствуют 8 «действий» с
дробями, одна из разновидностей приведения дробей к простейшему
виду, а также правило продажи живых существ. Однако Брахмагуп-
та вводит в качестве особого действия травило 11 величин. Знание
этих «действий» и «определений» необходимо, по его мнению, для того
чтобы стать математиком. Он пишет: «Тот, кто отчетливо в отдельности
знает 20 «действий» и 8 «определений», является математиком».
3.	Шридхара перечисляет названия 18 позиционных мест. Конечно,
применять их при вычислениях в позиционной системе счисления
широко не приходилось. Это скорее дань философским и рели-
гиозным учениям, тем более, что только названия первых четырех
позиционных мест во всех сочинениях одни и те же. Например, в буддий-
ском трактате «Яджурведа самхита», в сочинениях Ариабхаты I, Шрид-
хары, Бхаскары II, Нарайаны число 104 называется «айута», тогда как в
сочинениях Магавиры, Павалури Малликарйуна оно называется «даша
сахасра»; в буддийской работе «Лалитавистара» айута равна 100 коги,
тогда как у Шридхары коти равно 103.
Интересно указать на значения некоторых названий:
айута — бессчетный,
лакша — знак, отметка,
коти — конец всего, высшая точка,
арбуда — возвышение, название горы на западе Индии,
никхарва — карлик,
саритпати — океан,
антйа — последний (в ряду каких-либо предметов),
182
парардха — большое число, равное половине числа лет жизни
Брахмы.
4.	В качестве мер веса здесь часто -используют зерна. Так, маша
означает бобы, гунджа — пшено. Употребление зер^н для меры
встречается у древних римлян, китайцев, а также в арабской математи-
ческой литературе.
5.	Линейные меры имеют следующие значения: ангула — ширина
пальца, хаста — локоть, данда — палка. Подобные линейные меры встре-
чаются в китайской и арабской математической литературе.
6.	Это же правило
= у (« + D
есть у Нарайаны [9, стр. 114, строки 15—16].
Шридхара, как и предыдущие авторы — Ариабхата I, Брахмагупта,
Магавира, предполагал, что операция, сложения читателю известна, по-
этому под рубрикой «сложение» он приводит правило суммиорвания п
членов натурального ряда, которое является частным случаем формулы
суммы арифметической прогрессии (правило [85]).
Операция сложения описана Бхаскарой II так: «Сложи цифры,
стоящие на одних и тех же позиционных местах в прямом или в обрат-
ном порядке» [5, стр. 5, стих 12]. При прямом порядке сложения про-
цесс начинается с единиц, при обратном порядке — со старших разрядов.
7. Древний комментатор, разъясняя пример, пишет, что «если сле-
довать правилу, то для нахождения суммы 100 000 членов потребуется
столько же усилий, что и для нахождения суммы двух чисел. Сумма
двух членов обычно находится следующим образом: вначале берется 1,
затем 2, затем берется их сумма — итого три операции. Если следовать
порядку, указанному в правиле, то количество операций тоже три: пер-
вая — увеличение числа членов на 1, вторая — умножение полученной
суммы на число членов и третья — раздвоение. Если сложить [обычным
путем] 1, 2 и 3, то всего пять операций, тогда как, действуя по пра-
вилу, выполним лишь три». Далее комментатор пишет: «Если число чле-
нов дробное, то сумму можно найти только по данному правилу». Он
приводит пример определения суммы, если число членов равно — :
«Если складывать последовательно, как это делали раньше, то сумма
1
равна —,
как в случае одного члена сумма равна единице. Но это
3
неправильно. Правильной будет сумма —,
8
полученная по данному пра-
вилу».
Здесь комментатор находит сумму прогрессии «с дробным чис-
лом членов», правила для которой Шридхара приводит дальше (пра-
вило [89]).
8.	В правиле утверждается, что
п = целая часть от V2S„ 
Комментатор решает вторую часть примера 1 для сумм, равных 55,
210, 465, 820, 1275, 1830, 2485, 3240, 4095, 5050.
9.	Это правило:
|/8S„ + 1-1
П~ 2
183.
очевидно, получено путем решения квадратного уравнения
п2 + п = 2S„.
10.	Иначе говоря, при п>т
О __ О __ (п — т) [п , (т I- 1)1
п т	2
Шридхара не приводит правила вычитания целых чисел. Это сде-
лал Бхаскара II: «Вычитай числа в соответствии с их позиционными
местами в прямом или обратном порядке» [5, стр. 5, стих 12]. При пря-
мом порядке вычитания операция начинается с единиц, при обратном
порядке — со старших разрядов. При вычитании более легким является
обратный порядок, при сложении — прямой.
И. В данном способе умножения множимое 1296 располагается под
множителем 21 следующими способами:
21	21
или
1296	1296.
Первое расположение сомножителей соответствует прямому поряд-
ку умножения, при этом умножение начинается с единиц множимого,
т. е. с 6. Второе расположение соответствует обратному порядку; при
этом умножение начинается с высшего разряда множимого, т. е. с 1.
12. Поясним этот метод на примере умножения 1296 на 21. Распо-
ложим множимое и множитель, как соединение створок дверей:
21
1296.
Единицы множимого (6) умножим на единицы множителя (1);
получим 6. Записываем эту величину под единицами множителя. Умно-
жая единицы множимого (6) на десятки множителя (2), получим 12.
Записываем 2 на месте 6, так как единицы множимого в дальнейшем
процессе не участвуют, а 1 записываем под 9:
21
12926
1.
Передвигаем множитель на одно место влево:
21
12926
1.
Затем умножим 9 на 21. Произведение 9-1=9, сложенное с ве-
личиной 2, стоящей пол единицами множителя, дает 11. Стираем 2 и
на ее месте записываем 1, а 1, стоящую на месте десятков, складываем
с 1, стоящей под 9. Получим
21
12916
2.
Умножаем 9 на десятки множителя (2) и получаем произведение 18.
Сложенное с 2, стоящей под 9, оно дает 20. Так как 9 в дальнейших вы-
184
кладках не участвует, на ее месте записываем 0, а 2 записываем под 2
множимого. Имеем
21
12016
2.
Передвигая множитель на одно место влево, получим
21
12016
2.
Теперь умножим сотни (2) множимого на множитель. Произведение
2-1=2. Запишем результат под единицами множителя вместо 0. Далее
2-2 = 4; сложим результат с 2, записанной в третьей строке; полученную
величину 6 поместим на месте сгтен множимого:
21
16216.
Передвинув множитель на одно место влево, имеем
21
16216.
Умножим тысячи множимого (1) на 21. Произведение 1-1 = 1 скла-
дываем с 6, стоящей под единицами множителя, и записываем резуль-
тат под единицами множителя вместо 6. Умножим 1-2 = 2 и этот итог
записываем под десятками множителя вместо 1, получим
21
27216.
Так как множитель больше не нужен, стираем его. Окончательный
ответ: 27 216.
Характерная особенность данного метода — стирание цифр множи-
мого по мере их использования и расположение на их месте цифр
произведения.
13.	Шридхара, как и большинство других индийских ав-
торов, не дал описание этого метода умножения, которое мы нахо-
дим у Ганеши (1545 г.): «Тот метод умножения, в котором числа оста-
ются на прежних местах, называется татстха. Он заключается в следую-
щем: после помещения множителя под множимым умножь единицы на
единицы и помести результат внизу. Затем умножь перекрестно едини-
цы на десятки, а десятки на единицы, сложи вместе и результат распо-
ложи внизу в линию. Затем умножь единицы на сотни, сотни на
единицы, десятки на десятки, сложи вместе и помести результат, как
прежде, и так поступай с остальными цифрами. После окончания про-
цесса линия-результата является произведением» [8, т. I, стр. 146]. Га-
неша также отмечает, что «этот метод очень искусный и не может быть
изучен глупцами без традиционных словесных наставлений». Приведем
пример на умножение методом татстха:
3-6=18
1 + 7-3 + 6-1=28
х9576	2 + 5-3 + 7 1 +6-2 = 36
4213	3 + 9-3+ 5-1+7-2 + 6-4 = 73
40343688	7 + 9-1 +5-2 + 7-4 = 54
5 + 9-2 + 5-4 = 43
4 + 9-4 = 40
185
Выделенные цифры относятся к искомому результату {2, стр. 51].
Этот метод через арабов стал известен в Византии (М. Плануд,
XIII в.) и в Европе, где встречается у Пачоли (XV—XVI вв.).
14.	При умножении способом кханда надо множимое или множи-
тель разбить на два или несколько слагаемых, а после умножения
полученные произведения сложить. В способе рупавибхага разбиение
сомножителей произвольное. Древний комментатор выполняет умно-
жение способом рупавибхага следующим образом:
1296-21 = (725+571) -21 =725-21+571 -21 = 15225+11 991 = 27216
15.	В способе стханавибхага надо последовательно умножать еди-
ницы, десятки, сотни и так далее, а полученные результаты сложить.
Древний комментатор выполняет умножение способом стханавибхага
следующим образом:
1296-21 = (1000+200+90+6) • 21 =21 000 +4 200+I 890+126 = 27216.
16.	В правиле словесно сформулированы следующие -действия с
нулем
0+п=п,
п±0 = п,
0- п=0,
п-0=0.
Те или иные правила о нуле встречаются во всех математических
работах. Правила, аналогичные указанным Шридхарой, приведены
Магавирой [15, I, 491, Ариабхатой II [12, XV, 146], Нарайаной [9, стих 30].
17.	Поясним общий метод на примере деления 27 216 на 21. После
сокращения на 3 расположим делимое и делитель следующим образом:
9072
7.
Процесс деления начинается со старшего разряда. Разделим 9 на 7.
Частное есть 1. Поместим его над делимым, а разность 9—7 = 2 запишем
вместо 9. Получим
1
2072
7.
Передвинем делитель на одно место вправо:
1
2072
7.
Разделим 20 на 7. Частное есть 2. Поместим его над делимым, ря-
дом с предыдущим частным, а разность 20—14 = 6 запишем вместо 20.
Получим
12
672
7.
Передвинем делитель на одно место вправо:
12
672
7.
186
Разделим 67 на 7; частное есть 9. Запишем его рядом с прежними
частными, а разность 67—63=4 запишем вместо 67. Имеем
129
42
7.
Передвинем делитель на одно место вправо. Имеем
129
42
7.
Разделим 42 на 7. Частное есть 6. Запишем его. Остаток от вычита-
ния 42—6-7=0. Деление окончено, стираем делитель. Ответ: 1296.
18. Проиллюстрируем способ возведения в квадрат, основанный на
правиле (a+b)2=a2 + 2ab + b2, примером определения квадрата 432.
Процесс начинается с последней цифры, т. е с высшего разряда. Воз-
ведем в квадрат 4 и результат поместим над числом:
16
432.
Удвоенную последнюю цифру 2-4 = 8 надо умножить на оставшиеся
цифры, т. е. на 32. Поместим 8 под числом, а 4 сотрем, так как она
в дальнейших выкладках не участвует. Имеем
16
32
8.
Произведя умножение и стерев 8, получим
1856
32.
Передвинем оставшиеся цифры на одно место вправо:
1856
32.
Один цикл окончен Снова возводим в квадрат последнюю цифру,
т. е. 3, и пишем сверху:
1865
32.
Теперь удвоенную последнюю цифру 3-2=6 надо умножить на
оставшуюся, т. е. на 2. Стерев 3, имеем
1865
2
6.
Произведя умножение и стерев 6, получим
18662
2.
Передвинув оставшиеся цифры вправо на одно место, имеем
18662
2.
187
Окончен второй цикл. Возведем в квадрат последнюю цифру и за-
пишем сверху
186624.
Так как оставшихся цифр нет, то процесс окончен Окончательный
результат: 186 624.
У Ариабхаты I нет правила возведения в квадрат, но он, несом-
ненно, знал его, так как приводит правило извлечения квадратного
корня.
Впервые метод возведения в квадрат был кратко описан Брахма-
гуптой [5, стр. 212] и несколько подробнее Магавирой [15, II, 31]. Ана-
логичные правила имеются у Бхаскары II [5, стр. 8—9, стих 18—19],
Шрипати [10, стр. 7, строки 24—25], Нарайаны [9, стр. 6, стих 17]. Брах-
магупта и Бхаскара II отмечают, что процесс можно начинать как со
старшего разряда, так и с единиц.
19.	Метод возведения в квадрат путем простого перемножения
встречается у большинства индийских авторов, в том числе у Брахма-
гупты [5, XII, 63], Бхаскары II (5, стр. 8, стих 18], Магавиры [15, II, 29],
Нарайаны [9, стр. 6, стих 18].
20.	Это правило:
n2=l+3 + 5 + ...+ (2n— 1)
имеется у Магавиры [15, II, 29] и Нарайаны [9, стр. 6, стих 18]. Такая
формула была известна еще грекам.
21.	Правило
п2 = (и — а) (п + а) +а2
упоминается большинством индийских авторов, в том числе Брахмагуп-
той [5, XII, 63], Магавирой [15, V, 29], Бхаскарой II [5, стр. 8—9,
стих 18—19], Нарайаной [9, стр. 6, стих 18].
Кроме того, в работах индийских математиков встречаются правила
возведения в квадрат, основанные на других формулах:
у Брахмагупты {5, XII, 63]
п2= (р + 9)2= (2p+q)q+p2,
Магавиры [15, II, 29]
(a+b + ...+e+d)2=a2+b2+...+2ab-\-...+2ed,
Бхаскары II [5, стр. 8—9, стих 18—19]
п2= (p+q)2=p2+2pq+q2,
Нарайаны [9, стр. 6, стихи 17—18]
n2=(p+q)2 = (р — q)2-}-4pq.
22.	Проиллюстрируем это правило на примере определения квад-
ратного корня из 186 624 Разобьем число, начиная с единиц, на четные
и нечетные места, обозначая их буквами: ч — четные, н — нечетные
ч н ч и ч н
1 8 6 6 2 4.
188
Операцию начинают с последнего нечетного места, т. е. с 18. Вы-
чтем наибольший квадрат, т. е. 16. Разность 18—16 = 2 запишем вместо
18, а удвоенный квадратный корень, т. е. 2-4 = 8, поместим под сле-
дующим четным местом:
н ч н ч н
2 6 6 2 4
8 (линия удвоенного квадратного корня).
Разделим 26 на 8 и поместим 3 на линии удвоенного квадратного
корня, а остаток 2 запишем вместо 26; имеем
ч н ч н
2 6 2 4
8 3	(линия удвоенного квадратного корня)
Вычтя квадрат частного (9) из нечетного места (26), поместим
удвоенное частное (6) на линию удвоенного квадратного корня вместо
частного. Имеем
ч н ч н
17 2 4
8 6 (линия удвоенного квадратного корня)
Один цикл окончен. Передвигаем 86 на одно место вправо:
ч н ч н
17 2 4
8 6 (линия удвоенного квадратного корня).
Разделим 172 на 86, запишем частное 2 на линии корня, а 172 сот-
рем, так как разность 172—86-2 = 0; имеем
н ч н	%
4
862 (линия удвоенного квадратного корня).
Вычтя квадрат частного (4) из нечетного места (4), поместим
удвоенное частное (4) на линию удвоенного квадратного корня вместо
частного:
н ч н
0
8 6 4 (линия удвоенного квадратного корня).
Процесс окончен. Остается раздвоить линию корня; ответ равен 432.
Описание метода извлечения квадратного корня впервые встречает-
ся у Ариабхаты I, правда, в очень сжатой форме [7, II, 13]. Более под-
робно этот способ изложил Магавира [15, II, 36]. То же правило приве-
дено Ариабхатой 11(12, XV, 6—7], Шрипати [18, XIII, 5], Бхаскарой II
[5, стр. 9—10, стих 21], Нарайаной [9, стр. 7, строки 2—9].
Вместе с позиционной системой счисления, рассмотренной выше, ме-
тод извлечения квадратного корня впоследствии появился в арабской
литературе, где встречался в такой же форме, например, у ан-Насави
(1025), а затем стал известен в Западной Европе.
23.	Проиллюстрируем данное правило примером возведения в куб
числа 256. Процесс начинается с высшего разряда. Вначале будем
считать в качестве «последнего» 2, а в качестве «предшествующего» 5.
Запишем куб «последнего» (23 = 8); на следующем месте квадрат «по-
следнего», умноженный на утроенное «предшествующее» (22-3-5=60);
на следующем месте квадрат «предшествующего», умноженный на
189
утроенное «последнее» (52-3 2=150); на следующем месте куб «пред-
шествующего» (53= 125). Имеем
8
60
+
150
125
15625.
Это есть 253. Теперь в качестве «последнего» будем считать 25. а в
качестве «предшествующего» 6. Имеем'
253= 15625
252-3-6 = 11250
25 - 3 - 62 =	2700
63=	216
16777216.
Ариабхата I не описывает метода возведения в куб, основанного
на формуле
(а + Ь)3 — а3 + 3a2b + 3ab2 + й3,
но он, несомненно, был ему известен, поскольку им приведено описание
метода извлечения кубичного корня.
Впервые метод возведения в куб дан кратко Брахмагуптой (5, XII,
6] и несколько подробнее Магавирой [15, II, 47], Шрипати [10, стр. 11,
стих 25], Бхаскарой II [5, стр. 10, стих 23—25], Нарайаной [9, стр. 7,
строки 17—19; стр. 8, строки 1—2].
24	Возведение в куб путем последовательного умножения а-а-а
встречается во всех математических работах, начиная с Ариабхаты I
[7, II, 3] до Нарайаны [9, стр. 7, строка 16].
25.	Правило
п3= (п— 1)3 + 3/г(и— 1) + 1
имеется у Шрипати [10, стр. 11, строки 7—9] и Нарайаны [9, стр. 8,
строки 3—4], которые, вероятно, заимствовали его у Шридхары.
Б. Датта и А. Н. Сингх перевели данное правило несколько ина-
че [8, т. 1, стр. 168]: «Куб [данного числа] равен сумме ряда, члены
которого получены по правилу: „последний", умноженный на утроенный
„предшествующий", плюс 1; число членов ряда равно данному числу».
В современных обозначениях это правило можно записать так:
V [Зг (г - 1)4-11.
Подобная формула есть у Магавиры.
Кроме указанных у индийских математиков встречаются и другие
способы возведения в куб. Так, у Магавиры:
п3 = п+3п+5п +...+ (2п— 1)н,
п3 = п2+(п — 1)[1+3+5 + ...+(2/7 — 1)],
п3 = п(п + а) (и — а) + а2(п — а) + а3,
п3 = 3[1 • 2 + 2 • 3 + 3 • 4 + ...+(/7 — 1)и] + п.
190
У Бхаскары II [5, стр. 10, стих 23—25]:
п3 — (a+b)3 = a3 + 3ab (a+b) + 63,
п3=Уп3-у п3.
26.	Проиллюстрируем данное правило примером извлечения кубич-
ного корня из 277 167808. Разобьем число на одно «кубичное» и два
«некубичных» места, отмечая их буквами: к — кубичное и н — неку-
бичное
ннкннкннк
27716780 8.
Процесс извлечения кубичного корня начинается с высших разрядов.
Из последнего «кубичного» места (277) вычтем наибольший возмож-
ный куб (63=216). Кубичный корень (6) поместим под третьим ме-
стом справа от последнего «кубичного» места. Разность 277—216 = 61
поместим вместо 277. Имеем
ннкннкннк
6 1 1 6 7 8 0 8
6	(линия кубичного корня).
Разделим на утроенный квадрат кубичного корня (3 - 62=108) чис-
ло, стоящее над кубичным корнем слева, без последней цифры (611).
Частное 5 поместим на линии кубичного корня, а разность 611—540 = 71
запишем вместо 611:
ннкннкннк
7 1 6 7 8 0 8
6 5	(линия кубичного корня).
Теперь частное 5 будем считать «первым», а кубичный корень 6 —
«последним». Вычитаем квадрат «первого», умноженный на утроенное
«последнее» (3-6-52=450), из числа, стоящего над частным слева, без
последней цифры (716), разность 716—450 = 266 поместим вместо 716,
получим
ннкннкннк
2 6 6 7 8 0 8
6 5	(линия кубичного корня).
Куб «первого» (53=125) вычтем из числа, стоящего над ним слева
(2667), разность 2667—125 = 2542 запишем вместо 2667:
ннкннкннк
2 5 4 2 8 0 8
6 5	(линия кубичного корня).
Один цикл окончен. Снова поместим кубичный корень (65) на третье
место справа от последнего «кубичного» места:
ннкннкннк
2 5 4 2 8 0 8
6 5	(линия кубичного корня).
Разделим на утроенный квадрат кубичного корня (3 • 652=12 675)
число, стоящее над кубичным корнем слева, без последней цифры
(25428). Частное 2 поместим на линии кубичного корня, а разность
25 428—12 675 -2 = 25 428—25 350 = 78 — вместо 25 428:
ннкннкннк
7 8 0 8
6 5 2	(линия кубичного корня).
191
Теперь будем считать частное 2 «первым», а кубичный корень 65 —
«последним». Вычтем квадрат «первого», умноженный на утроенное
«последнее» (3-65-22 = 780), из числа, стоящего над частным слева,
без последней цифры (780) разность 780—780 = 0 поместим вместо 780.
Имеем
ннкннкннк
8
6 5 2 (линия кубичного корня).
Куб «первого» (23 = 8) вычтем из числа, стоящего над ним слева (8).
Разность 8—8 = 0 поместим вместо 8. Имеем
ннкннкннк
0
6 5 2 (линия кубичного корня).
Второй цикл окончен. Так как нет больше цифр, то кубичный корень
найден и равен 652.
Первое весьма лаконичное описание извлечения кубичного корня
встречается у Ариабхаты I (7, II, 5]. Затем правило более «подробно
сформулировано Брахмагуптой [5, XII, 7], Магавирой [15, II, 53—54],
Ариабхатой II [12, XV, 9—10], Шрипати [10, стр. 13, строки 18 25], Бхас-
карой II [5, стр. 12, стих 27—28], Нарайаной [9, стр. 8—9, стих 24—25].
27.	Санскритское название дроби «бхинна» означает «разбитый»,
«разрушенный», «сломанный». Иногда встречаются и другие термины:
«бхага» и «амша» (часть, доля). Эти же термины употребляются для
обозначения дроби с числителем, равным единице: «панча-даша-бхага»
(пятнадцатая часть, пятнадцатая доля), «сапта-бхага» (седьмая часть,
седьмая доля). Иногда вместо «шашта-бхата», чтобы не нарушить раз-
мер стиха, пишут просто «шашта» (шестая часть) [20, стр. 7].
Индийцы записывали числитель дроби над знаменателем без раз-
делительной черты. Дроби отделяли друг от друга вертикальными и
горизонтальными линиями. Запись дробей рядом соответствовала сло-
а с
b d
жению. Например, дробь
записывалась так:
1,ля обозначения вычитания над вычитаемым ставилась точка или
। т т	(LOG-
после него стоял крестик +. Например, выражение	за-
писывалось так:	b d f
В смешанной дроби целая часть писалась над
аписывалась в виде
дробью. Дробь а—
192
Иногда целое число изображали дробью со знаменателем, равным еди-
нице. Поэтому смешанную дробь можно было записать
Правила основных действий с дробями, за исключением возведения
в куб и извлечения кубичного корня, приведены Брахмагуптой, а пра-
вила всех основных действий — Магавирой, Ариабхатой II, Шрипати,
Бхаскарой II, Нарайаной. У Ариабхаты 1 правила действий с дробями
не сформулированы.
28.	Правило приведения дробей к -общему знаменателю Шридхара
приводит далее. Аналогичные правила имеются у Ариабхаты II [12, XV,
14], Шрипати [10, стр. 15, строки 20—21; 18, XIII, 8], Бхаскары II
[5, стр. 16, стих 36], Нарайаны [9, стр. И, строки 6—7]. Брахмагупта
[5, XII, 2] и Магавира [15, стр. 173] в отличие от других авторов поме-
стили это правило среди прочих, в которых излагается приведение дро-
бей к простейшей форме
29.	Древний комментатор располагает дроби следующим образом:
1	1	1
1	2	3
2
По
правилу [39] он превращает смешанную дробь 1 в неправильную
у и находит сумму по правилам [14а], [15а], а затем по правилам
;14б] и [156] решает обратную задачу, т. е. по сумме находит число
членов.
30	Аналогичные правила даны Арибхатой II [12, XV,4], Шрипати
10, стр. 18, строки 3—4; 12, ХШ, 8], Бхаскарой II [5, стр. 16—17,
стих 36]. Нарайана [9, стр. 11, строки 6—7], Брахмагупта [5, XII, 2] и
Магавира поместили это правило среди других при рассмотрении мето-
дов приведения дробей к простейшей форме.
31.	Древний комментатор решает пр шер следующим образом. Пре-
вратив смешанные дроби 5 — , 2 — по правилу [39] в неправильные,
11	5	п	,
получает	. Сумма —— членов арифметическом прогрессии, у
143
которой первый член и общая разность есть 1, равна — . Сумма
5	„	35	о .	108
— членов	этол	прогрессии есть	— .	Разность	между ними равна	—	.
2	8	8
Сократив числитель и знаменатель, окончательно получает 13 —.Да-
лее комментатор решает этот пример по правилу [16]. Число членов
вычитаемого ряда, увеличенное на 1, равно —; это, сложенное с чи-
слом членов уменьшаемого ряда , равно 9. Разность между числом
членов уменьшаемого и вычитаемого рядов равна 3. Умножив это на 9
и разделив на 2, имеем - , или 13
13 аказ 338
193
32.	Аналогичное правило имеется у Брахмагупты [5, XII, 3], Ариаб-
хаты II [12, XV, 15], Шрипати [10, стр. 19, строка 26; 18, XIII, 9], Бха-
скары II [5, стр. 17, стих 38] и Нарайаны [9, стр. 12, строки 2—3}
Магавира формулирует это правило следующим образом: «При
умножении дробей числители следует перемножить на числители, а
знаменатели на знаменатели после выполнения перекрестного сокраще-
ния, если это возможно» [15, III, 2].
Ариабхата I не приводит правила умножения дробей, но эта
операция у него встречается в правиле трех величин.
33.	Суть правила — в замене деления умножением, а именно
а	с	cl d	ad
b	d	be	be '
Аналогично поступают и другие индийские математики, начиная с Брах-
магупты [5, стр. 173]. Хотя Ариабхата I не приводит правила действий
с дробями, метод деления употребляется им в правиле трех величин
34.	Аналогичное правило имеется у Брахмагупты [5, XII, 5], Мага-
виры [15, III, 13], Ариабхаты II [12, XV, 16], Шрипати [10, стр. 22, строка
24], Бхаскары II [5, стр. 18, стих 42], Нарайаны [9, стр. 12, строки 17—
18].
35.	Аналогичное правило приведено Брахмагуптой [9, XII, 5], Мага-
вирой [15, III, 13], Ариабхатой II [12, XV,16], Шрипати [10, стр. 23
строка 25], Бхаскарой II [5, стр. 18, стих 42], Нарайаной [9, стр. 12,
строки 17-18].
36.	Аналогичное правило есть у Магавиры [15, III, 13], Ариабхаты II
[12, XV, 17], Шрипати [10, стр. 25, строка 13], Бхаскары II [5, стр. 18,
стих 42], Нарайаны [9, стр. 12, строки 17—18].
37.	Аналогичное правило есть у Магавиры [15, III, 13], Ариабхаты II
[12, XV, 17], Шрипати [10, стр. 26, строки 27], Бхаскары II [5, стр. 18,
стих 42], Нарайаны [9, стр. 12, строки 17—18].
Брахмагупта не приводит правила возведения дробей в куб и из
влечения кубичного корня из дроби.
38.	Приведение дробей к простейшему виду ~ рассматривается
индийскими математиками как самостоятельная операция. Они выделя-
ли некоторые выражения, составленные из дробей, в самостоятельные
классы, число которых у разных авторов различно. Так, Шридхара
рассматривает шесть классов: бхага, прабхага, бхагабхага, бхагану-
бандха, бхагапаваха, бхагаматри. Кроме того, он приводит правило
действий с целыми и дробными именованными числами (правило [41])
Брахмагупта приводит правила для следующих пяти классов: бха-
га, прабхага, бхагабхага, бхаганубандха, бхагапаваха.
Ариабхата II дает правила для пяти классов: бхага, прабхага, бха-
габхага, бхаганубандха, бхагапаваха. Кроме того, он приводит правило
действий с именованными числами.
Магавира рассматривает правила для тех же шести классов, что и
Шридхара. Шрипати излагает правила для четырех классов: бхага,
прабхага, бхаганубандха, бхагапаваха, а также правило действий с
именованными числами.
У Нарайаны имеются правила для четырех классов: бхага, прабха-
га, бхаганубандха, бхагапаваха.
39.	Здесь Шридхара в качестве общего знаменателя берет общее
наименьшее кратное (ОНК). Для сложения двух дробей
Н—— , где (m, п) — 1,
рт рп
194
Шридхара рекомендует удалить общий
множитель из знаменателей и
составить сумму вида
а
рт
b	ап	( Ьт
— --------.
рп	ртп ртп
В случае трех и более слагаемых древний комментатор трактата
Шридхары рекомендует складывать дроби последовательно: сначала
первые две, затем к полученной сумме прибавить третью дробь и т. д.
Впервые в индийской математике (понятие общего наименьшего
кратного встречается у Магавиры [15, стр. 33, стих 56]. Он вводит тер-
мин «нируддха», определяя его как «произведение общих множителей
среди знаменателей» Правило Магавиры для приведения дробей к
общему знаменателю следующее: «Новые числители и знаменатели, по-
лученные умножением каждого первоначального числителя и знамена-
теля на частное от деления общего наименьшего кратного на знамена-
тель, дают дроби с одинаковыми знаменателями».
У Брахмагупты общим знаменателем служит произведение всех
знаменателей Он пишет: «Умножением числителя и знаменателя каж-
дой дроби на другие знаменатели можно привести дроби к общему
знаменателю» [5, стр. 172].
Бхаскара II не упоминает общее наименьшее кратное, хотя отме-
чает, что процесс приведения дробей к общему знаменателю может
быть укорочен. Он пишет: «Числитель и знаменатель могут быть умно-
жены разумным вычислителем на другой знаменатель, сокращенный на
общий множитель» [5, стр. 13, стих 29].
В «Тришатике» Шридхара рекомендует находить общий знамена-
тель путем перемножения всех знаменателей. Он пишет: «Чтобы при-
вести дроби к общему знаменателю, умножай числитель и знаменатель
каждой дроби на другие знаменатели» [8, т. 1, стр. 190].
40.	Дробь класса бхага имеет вид
а	с	е
Ь	~d	f
и в индийской манере записывается так:
где точка означает вычитание. Аналогичные правила приведены всеми
авторами, начиная с Брахмагупты [15, XII, 2] и до Нарайаны [9, стр. 9,
стих 26].
41.	Первую часть примера комментатор Шридхары решает следую-
1 1 1 1 1 D 1
*	“ —....	Вначале сложим
щим образом: «Сложить —; ~	; -у-;	.
и . Сократив знаменатели на 2, получим 1 и 2. Умножив
и знаменатель первой дроби на 2, а второй —на 1, получим
3	1
сложив------. Затем прибавим — . Сократив знаменатели на
9	2
и 3. После умножения дробей получим — и — , сложив их, получим
2
числитель
2	1
— и —, а
4	4 ’
2, имеем 2
13*
195
11 1
— . Затем прибавим , сократив знаменатели на 3, имеем 4 и 1.
о
114	15
После умножения получим — и — ; сложив их, получим —. Сокра-
5	1
тив числитель и знаменатель на 3, имеем —, затем прибавим — . После
4	5
25	4	29
умножения имеем — и~, сложив, имеем —. Целая часть есть 1,
дробная — — ».
42.	Правило [37] основано на другой форме записи дробей, которые
могут располагаться не только горизонтально, но и вертикально. Так,
дробь — ± — может быть записана в виде
b d
где а, b — высшие числитель и знаменатель, или числитель и знамена-
тель верхней дроби, а с, d — низшие числитель и знаменатель, или чис-
литель и знаменатель нижней дроби.
Данное правило относится к первому случаю и гласит, что
а с ______ ad Ьс
Ь d — bd '
Таким образом, здесь при сложении дробей в качестве бщего знамена-
теля берется произведение знаменателей. Этого правила нет в большин-
стве работ индийских математиков, и оно впервые встречается v Шрид-
хары и под его влиянием у Шрипати [18, XIII, 12].
43.	Дробь класса прабхага имеет вид
асе
~Ь ' d f
и записывается так:
т. е. как и класс бхага.
Подобное правило есть у Брахмагупты [5, XII, 8], Магавиры [15,
III, 99], Ариабхаты II [12, XV, 13], Шрипати [18, XIII. 1] Бхаскары II
[5, стр 14, стих 31], Нарайаны [9, стр. 9, стих 26].
44.	Дроби класса бхагабхага — это
Аналогичное правило есть у Брахмагупты [5, XII, 9]. Магавиры (15. III,
99], Ариабхаты II [12, XV,19].
196
45.	Дроби класса бхаганубандха имеют вид
Ь ас 4- Ь
а |----= -----
с	с
или
а_ .________________________с_ а ____ a (d + с)
Г + ~d Т ~ bd
Для пояснения правила напомним, что выражение в левой части по-
следнего равенства на индийский манер можно записать так:
а
b
с
d
Аналогичное правило есть у Брахмагупты [5, XII, 9], Магавиры [15,
III, 99], Ариабхаты II [12, XV, 11 —12], Шрипати [10, стр. 34, строки 15—
16], Бхаскары II [5. стр 15, стих 33], Нарайаны [9, стр. 9 стих 27].
46.	Дроби класса бхагапаваха — это
Ь ас — b
а— - =
с	с
или
а с a a (d — с)
b d b	bd
Аналогичные правила есть у Брахмагупты [5, XII, 9], Магавиры [1о,
III, 126], Ариабхаты II [12, XV, 11—12], Шрипати [10, стр. 34, строки 2—
5], Бхаскары II [5, стр 15, стих 33], Нарайаны [9, стр. 9, стих 27].
47	Проиллюстрируем правило решением примера 22 способом, при-
веденным древним комментатором Шридхары Расположим столбиком
числа:
5
1
3
16
1
4
1 +
20
1 +
5.
Здесь, начиная сверху, через одно числа 5, 3, 1,— 1, g- представ-
ляют собой данные именованные — пураны, паны и т. д., а стоящие меж-
ду ними числа 1, 16, 4, 20 - соотношения между указанными денежными
мерами (см. правило [9]). Далее комментатор применяет правило к
первым четырем числам:
5
1
3
16.
197
Умножив верхние числитель (5) и знаменатель (1) на низший зна-
менатель (16) и прибавив затем к верхнему числителю низший числи-
тель (3). сотрем нижнюю, теперь уже ненужную дробь; получим
516 + 3	_83_
116	’ или 16 ’
т. е. .5 пурана и 3 пана переводятся в пурана. Имеем
83
16
1
4
1 +
20
1 +
5.
Применяя данное правило к верхним двум дробям, получим
333
64
1 +
20
1 +
5.
Применяя последовательно данное правило к двум верхним дробям,
окончательно получим
33294	16647
	, или - ,
6400-------------3200
с 647
т. е. 5 —-— пурана.
3200 Jr
48.	Правило любопытно тем, что оно содержит определение, что
очень редко встречается в индийских математических трактатах. Ма-
гавира отмечает, что может быть всего 26 вариантов этого класса,
так как
Ct +	+ С5 + С1 = 26.
49.	Санскритский термин правила трех величин — «трайрашика»
(трехместное). Правило заключается в нахождении числа х, образую-
щего с тремя данными числами а, Ь, с пропорцию
а ___с
b х
Правило трех величин занимает одно из главных мест в индий-
ской арифметике. К его применению сводились решения многих задач.
Индийцы дали специальные названия трем членам пропорции, да и сам
термин «трайрашика» введен ими.
Впервые правило появилось у Ариабхаты I и в «Бахшалийской ру-
кописи», а затем во всех математических сочинениях. Три члена про-
198
чориии чаще всего имеют следующие названия: данное — а, резуль-
тат— Ь, требуемое—с. Соответствующие санскритские термины — «пра-
мана — пхала — ичха». Иногда их просто называют «первый — второй
третий», или «первый — средний — последний».
Многие авторы отмечают, что первый и последний члены должны
5ыть однородны, т. е. одного названия (Брахмагупта, Ариабхата II).
Правило трех величин от индийцев перешло в арабскую математи-
ческую литературу (ал-Хорезми, Беха Еддин), а затем и в западноев-
попейскую (Л. Пизанский и др.). Хотя индийские названия часто от-
сутствовали, сохранилось расположение членов в линию и размещение
их таким образом, чтобы первый и последний члены были однородными.
Типы задач, относящиеся к правилу трех величин, несомненно, были
известны народам и других стран (Китая, Египта, Греции). Но лишь в
Индии правило трех величин было выделено особо, сформулировано
и распространено на правила пяти, семи величин и т. д.
50.	Древний комментатор решает пример следующим образом. Рас-
положив заданные числа в виде
1	10	9
1	1	1
4	2	4
ч превратив смешанные дроби в неправильные, получим
5	21	37
4	2	4
Умножим требуемое — на результат , получим . Затем про-
5	3108
изведение разделим на данное — , имеем———, а после сокращения —
777
. Эта сумма известным образом переводится в 4 пурана 13 пана
2 какини 16 варатака.
51.	Примеры, аналогичные приведенным (25—28), имеются у Мага-
виры (15, III, 3—6; V, 8, 9, 13, 14], Шрипати [10, стр. 68, стих 87; стр. 69,
стих 88], Бхаскары II [5, стр. 33—34, стих 71—73], Нарайаны (9, стр. 47,
строки 13—14, 17—18; стр. 48, строки 8—11].
Так. Бхаскара II дает следующую задачу [5, стр 33, стих 71]: «Если
. 1	,	3	.
2 — пала шафрана стоят • нишка. быстро скажи, лучший из куп-
цов: сколько шафрана можно купить за 9 нишка?».
52.	Санскритский термин для обратного правила трех величин —
«вйастатрайрашика» (обратное трехместное правило). Обратное прави-
ло трех величин служит при решении задач, в которых искомая вели-
чина обратно пропорциональна «требуемому».
Обратное правило трех величин через арабов стало известно в Ев-
ропе. Оно обнаружено вместе с правилом трех величин во многих рабо-
тах арабских и западноевропейских математиков. Ал-Бируни написал
специальный трактат «Об индийских рашиках», где дал обоснования
правилам и обобщениям при помощи отношений.
53.	Комментатор Шридхары решает пример, расположив числа так:
8 | 20 | 6.
Умножим первый член 8 на средний 20, получим 160, разделим на
4	2
следний член 6, получим 26 — , или (после сокращения дроби) 26 —.
6	3
199
Подобные примеры имеются у Шрипати [10, стр. 74, строки 8—9],
Бхаскары II [5, стр. 35, стих 78], Нарайаны [9, стр. 50, строки 3—4]
Так, Бхаскара II приводит следующую задачу: «Куча зерна отме-
ряется сосудом, вмещающим 7 адхака; если получено 100 таких сосу
дов, каков результат, когда будем отмерять зерно сосудом, вмещающим
5 адхака?».
54.	Подобные примеры имеются у Магавиры [15, V, 18; VI,173 g—’
174-^-], Шрипати [10, стр. 74, стих 98], Бхаскары II [5, стр. 34—35,
стих 77].
55.	Правило пяти величин заключается в нахождении неизвестной
величины х, которая с пятью известными образует сложную пропорцию
а	с  х
b	d	е
Аналогично правило семи величин. Оно заключается в нахождении
неизвестной величины х, которая с семью известными образует слож
ную -пропорцию
с
d
Санскритские термины для сложной пропорции: «панча рашика»
(правило пяти членов), «сайта рашика» (правило семи членов), «нава
рашика» (правило девяти членов) и т. д.
Впервые правило пяти и более величин встречается у Бхаскары I
а затем у всех последующих авторов. Бхаскара I в своих коммента-
риях к «Ариабхатии» пишет: «Здесь Ариабхата описал только правило
трех. Как же могут быть получены хорошо известные правила пяти
семи и т. д. величин? Я рассуждаю так: Ариабхата описал только осно-
вы пропорции. Все другие виды пропорции, такие, как правило пяти
семи и т. д. величин, следуют из этого основного правила пропорции
Правило пяти величин состоит из двух правил трех величин, правило се-
ми величин из трех правил трех величин и так далее» [8].
Задачи на правила сложной пропорции решаются механически
Все числа записываются в две колонки, называемые стороной данного
(праманараши пакша) и требуемого (ичхараши пакша).
Проиллюстрируем правило решением примера 40. Комментатор
Шридхары указывает на следующие две стороны:
Сторона данного
Сторона требуемого
I
3
ЮО— =
2
15
2
241
4
2
2
По индийскому образцу это записывается так:
200
1	15
3	2
201	241
2	4
3	0
2		 1
где знак 0 — «шунья» — означает неизвестное количество. Для решения
переставим результат из одной стороны в другую:
1	15
3	2
201	241 1
' 2	4
! °	3
i	2
Затем переставим знаменатели:
1	15
2	3
201	241
4	2
0	3
2	
Так как количество числителей в правой части больше количества
числителей в левой, то разделим произведение числителей и знамена-
телей в правой части на произведение числителей и знаменателей в
левой части:
15-3-241-2-3	20 125
12-201-4-2	536’
Аналогичные правила имеются у Брахмагупты [5, XII, 11—12], Ма-
гавиры [15, V, 32], Ариабхаты II [12, XV, 26—27], Шрипати [10, стр. 74,
стих 97; 18, XIII, 15], Бхаскары II [5, стр. 33, стих 70], Нарайаны [9,
стр. 50, стих 62].
Брахмагупта решает таким способом и задачи на правило трех
величин. В примере 25 расположим сторону данного и сторону требуе-
мого:
5
4
21
2
37
4
0
201
Переставив результат, имеем
5 4	37 1 4 1
0	21 2
Переставив знаменатели, имеем
5 4	37 4
0 2	21
Так как количество числителей в правой части больше, чем в левой,
имеем
37-4-21
5-4-2
7
77 — пана.
10
Решение задач на правило трех величин рассмотренным спосо-
бом у других индийских математиков не обнаружено. Однако оно встре-
чается в арабской математической литературе, например у Ибн Эзры
[19, т. II. стр. 489], который пишет
47	63
7	0
для пропорции 47 : 1=х.
Эти правила и способ расположения чисел через арабов проникли в
Западную Европу и встречаются в работах многих арабских и западно-
европейских ученых, начиная с Л. Пизанского (1202 г.). Позднее в
Европе такая схема вычисления получила название «цепного правила».-
56. Подобные примеры имеются у Магавиры [15, V, 33, 41], Шрипа-
ти [10, стр. 75, стих 98], Бхаскары II [5, стр. 36, стих 80], Нарайаны [9,
стр. 50, строки 18—21].
Так, Бхаскара II приводит следующую задачу: «Если прибыль
со 100 в месяц есть 5, назови прибыль с 60 за год».
57.	Поясним данное правило решением примера 48. Комментатор
Шридхары указывает следующие стороны данного и требуемого:
Поменяв взаимно местами цены, имеем
202
Теперь пример сведен к задаче на правило пяти величин. Поменяв ме-
стами результат, имеем
9	6
2	1
6
Решая, находим:
616
9-2
— 2.
Аналогичное правило дано Брахмагуптой [5, XII, 13], Магавирой(15,
VI, 18], Ариабхатой II {12, XV, 28]. Шрипати [10, стр. 80, строки 16—
17; 18, XIII, 16], Бхаскарой II [5, стр. 38, стих 85], Нарайаной (9, стр. 53,
строка 23].
58.	Поясним правило решением примера 51 способом, приведенным
комментатором трактата Шридхары.
Стороны данного »и требуемого будут
3	5
10 108	9
Поменяв местами возраст, имеем
3	5
9	10
108	
Решая по правилу пяти величин, окончательно получим
5-10 108
39
200 пурана.
Аналогичное правило есть у Шрипати [18, XIII, 166; 10, стр. 81,
стих 108] и Нарайаны [9, стр. 53, стих 63].
59.	Капитал k за месяцев приносит а %; сумма капитала и при-
были за t2 месяцев составляет S. Тогда прибыль за t2 месяцев с
капитала k составит ——  12 и k Ч————t2 = S. Откуда
100.^1	100**1
Капитал —
't2
Прибыль (в %)=-----—-----
г	'	1006+а/,
Это же правило приведено у Брахмагупты [5, XII, 14], Магавиры
[15, VI, 21, 23], Ариабхаты, II [12, XV, 31], Шрипати [10, стр. 82, стих
111; 18, XIII, 17], Бхаскары II [5, стр. 39, стих 87—88].
203
Задачи на проценты имеются в китайской, арабской и западноевро-
пейской математической литературе.
60.	Этот пример приведен Шрипати [10, стр. 83, стих 112] и (с дру-
гими числовыми данными) Магавирой [15, VI, 22, 24], Бхаскарой II [5
гтр. 40, стих 89] и Нарайаной [9, стр. 60, строки 10—11].
61.	Смысл этого правила ясен из последующего примера. Речь идет
об определении капитала, прибыли и вознаграждений поручителю
вычислителю и переписчику:
„	100-6-5
Капитал =-----------------------
100 *6 -р (а 4~ b 4 с 4 d}
Прибыль (в %) —
а-6-5
100-6 4 (я 4 b 4- с 4*
Вознаграждение поручителю —------------—-----------,
100-/1 4(#4^ 4 с 4 d}t>
Вознаграждение вычислителю -=----------------------,
100*6 4- (л 4" b 4 с 4 d)
Вознаграждение переписчику —-----------.
г Л 100*6 4(a4-*4<?4-d)6
где а, Ь, с, d — прибыль, вознаграждение поручителю, вычислителю, пе-
реписчику за 6 месяцев с капитала A, a S — сумма капитала, прибыли
и всех вознаграждений за 6 месяцев.
Выводится аналогично правилу [47].
62.	Этот же пример имеется у Шрипати [10, стр. 83, стих 114].
63.	Капитал k отдан взаймы из расчета а % в месяц, причем ежеме-
сячно возвращается М, тогда долг будет возвращен через
P-a
100
P-a
M —------
100
месяцев,
k
где Т — целая часть от —
М
p^k 100-bAf
100-1 4 я-1
100 I M
100-1 4a-2
100-1-М
100-1 4a*r ’
Аналогичное правило имеется у Нарайаны [9 стр. 72, строки 14—15;
стр. 73, строки 1—6].
64.	Ниже приведено сокращенное решение древнего комментатора
Шридхары.
За первый месяц с общей суммы 40 рупа
„	100 1-40 оо 2
Капитал = --------------^=38— рупа,
100-145-1	21	’
п .	5-1-40	, 19
Пршым - 100.1+5.1 = 1 F ру||а-
Вычтя полученный капитал из общей суммы, отданной взаймы, т. е.
19
100, находим 61—- рупа. Прибыль в месяц с этой суммы состави
2	19
3 — рупа. Таким образом, после первого месяца долг равен 61— рупа
2,1
2
4- 3— рупа — 65 рупа.
204
За второй месяц с общей суммы 40 рупа:
100-1 40 ос 4
Капитал	———- = 36— рупа,
100 1+5-2 п J
п г	5-240 о 7
Прибы,ль=———7-г = 3— рупа.
'	1001+5-2	11
о	„	19	лг- 125
Вычтя полученный капитал из 61 — рупа, находим 25-^-	рупа.
о 128
Прибыль с этой суммы равна 2 рупа.
Таким образом, после второго месяца долг равен 25 рупа +-
128	22
+2— рупа = 28^- рупа. Так как арендная плата за дом (40 рупа)
превышает оставшийся долг, то поступаем следующим образом. Пр1быль
с 25-— рупа за 1 месяц равна 1 рупа. Вычитая ее из арендной
по 167	„
платы, получим 38— рупа. Для нахождения оставшегося времени, за
22
которое должник возвращает долг с прибылью, разделим 28 рупа
О0167	12Э8	О1 1371
38---- рупа, получим --- месяца, или 21 -- - дня.
231	1789	1789
1371
Итак, должник отдаст долг за 2 месяца 21 —-— дня. За это вре-
1789
он отдаст 109 рупа, поэтому прибыль ростовщика составит
39
---- рупа.
1789
Характерно, что в данной задаче процент начисляется и с возвра-
щаемой по частям суммы, поэтому потребовались столь сложные вычи-
сления. С некоторыми числовыми изменениями этот пример имеется
у Нарайаны [9, стр. 73, строки 8—10].
65.	Если имеются п долговых обязательств, причем капиталы суть
прибыль —а2,..., ап% в месяц, время —/2,..., ме-
сяцев, то в едином договоре
Капитал = k\ + k2 + ... +
krai
на
мя
9
kn’dn
Время по условию (в месяцах) — 100
kX'Clx kf(l<2,	,	ki'CLn
100 + 100	+	100
и тогда
I kx ax Д2 Д2
rz /r / n x \ 100	100
Прибыль (в %) = —--------------
+-+~™)'“
Это же правило приведено Шрипати [10, стр. 86, строки 12—15].
Хриабхата II [12, XV, 33] упростил правило:
Время в месяцах =
4“ ^-а2 + ... -J- knan
Прибыль (в "о) =	+	+ - +	.
Й, + Л2 + ... ±kn
205
Интересно отметить, что здесь мы имеем дело с процессом образо-
вания взвешенного среднего арифметического. В следующем примере
ставится вопрос об определении процента а и времени Т, за которое сум-
марный капитал, равный сумме всех данных капиталов, принесет ту же
прибыль, что и они, взятые отдельно. Для определенности время Т вы-
бирается, как указано в условии.
Магавира [15, VI, 77—77 -^-1 данное правило приводит в виде
 Р-т± Р-т + р-т
k ( 1  CL ।	^2" 1 CL%	k i • 1 • an,
p^t + p-г + " + pF
РГ r^,Z,ri kt_T2	kJnTn 1
t PT + PT + ••• + p.T ]
a —-----------L,
4“ ^2 kn
где P — аргумент, T — время аргумента.
Формула Шридхары получается из формулы Магавиры при Р= 100,
Г=1. Магавира не определяет каптал, время и величину процента еди-
ного долгового обязательства, а находит среднее время и среднюю при-
быль.
66.	Подобный пример приведен Шрипати [10, стр. 86, строки 25—
28] УМагавиры [15, VI, 78-^-] имеется следующая задача: «Четыре сотни
были отданы в отдельности в долг за 2, 3, 5, 4 процента в месяц соот
ветственно на 5, 4, 2, 3 месяца. Каковы среднее время и средний про-
цент?».
67.	Здесь приводится правило нахождения времени, в течение ко-
торого капитал, отданный взаймы под некоторый процент, увеличится
в несколько раз:
Г /10° Г	1\
Г =-----------(пг — 1),
а
где Т — искомое время, а — прибыль (в %).
Действительно, капитал k, дающий прибыль а % за t месяцев, в
течение Т месяцев увеличится в пг раз. Тогда увеличенный в tn раз ка
питал будет равен сумме первоначального капитала k и прибыли за Т
месяцев:
mk = k +
kaT
100 t ’
откуда и получаем искомую формулу.
Это же правило есть у Брахмагупты [5, XII, 14] и Шрипати [10
стр. 85, строка 19].
68.	Этот же пример приведен у Шрипати [10, стр. 85, строки 24—
25]. Подобные задачи встречаются в комментариях Притхудака (860 г.)
к сочинению Брахмагупты [5, XII, 14]: «Если прибыль с 200 будет 6 ру-
па в месяц, за какое время сумма прибыли утроится?».
69.	Этот же пример имеется у Шрипати [10, стр. 86, строки 4—5]
Подобная задача дана в комментариях Притхудака к сочинению Брах-
магупты: «Если прибыль с 20 пана за 2 месяца составит 5, скажи* за
какое время капитал увеличится в 1 — раза?».
206
70.	Если имеется п слитков золота весом Wif Wn и пробой
V i, 1/г,•••, V п> то проба сплава равна
v WvVx 4-1Г2У2+...+^Уп
W} 4- W2 + ... + Wn
Проба золота выражается в вариах. Чистое золото имеет пробу
16 варна. Золото пробой 15 варна содержит 15 частей чистого золота
и 1 часть примесей. Золото пробой 14 варна содержит 14 частей чисто-
го золота и 2 части примесей и т. д. Таким образом, в слитке золота
весом W и пробой V содержится ~ V частей золота. В п слитках чисто-
16
го золота будет
и 1V4 , 1Г2У2 ,	, wnVn
16	16	16
Проба сплава из этих слитков стала равной V, количество чистого
золота в сплаве равно
(IT, 4- W2 4- ... 4-
16
В обоих случаях количество чистого золота одно и то же:
IFiH . ЯШ .	, WnVn = (IT, 4- 1^2 4- ... 4-1Гя)-V
16	16 ’	16	16
откуда и получаем искомую формулу. Это правило есть \ Магавиры
[15, VL 172], Бхаскары II (5, стр. 46, стих 101], Нарайаны [9, стр. 76,
строки 5—7].
Задачи на смешение решали многие математики. Так, в папирусе
Ахмеса имеется задача, в которой требуется пиво разбавить водой по
определенной крепости. Широко известна решенная Архимедом задача
на определение количества золота в короне короля Гиерона. Подобные
задачи встречаются в арабской и западноевропейской математической
литературе.
71.	Имеется п слитков золота весом IFi, Ц72,..., Wn и пробой Vir
|/2,..., Уп соответственно. Если после их сплавления и очистки от приме-
сей вес сплава стал W, то проба очищенного сплава равна:
v Vi + Ц72- У2 +... 4- WnVn
W
Действительно, количество чистого золота в п слитках будет
, 1Г2И2 ,	, WnVn
-----	ч-------
16	16	16
Количество чистого золота в смеси после очистки останется преж-
ним.так как удаляется часть примесеи, и будет равно-----. Приравнивая
16
два последних выражения, получаем требуемую формулу
Это же правило имеется у Ариабхаты II [12, XV, 396] и Нарайаны
[9, стр. 76, стих 18].
207
72 Вес очищенного золота равен:
W== ^1^1+^^+..,+ ^-Ид
и
Это же правило имеется у Ариабхаты II [12, XV, 39а] и Нарайаны
[9, стр. 76, стих 12].
73.	Если п слитков золота весом №i, IF2,..., Wn и пробой Vi, V2,...,
Vn образуют вместе с некоторым слитком золота весом W и неизвест-
ной пробой сплав пробой V', то неизвестная проба равна:
I/ = (1 +	+ ... +	+ IF) V' - (1ГГ У, + U72 V2 4- ... 4- l^V/Q
IF
Это же правило имеется в «Бахшалийской рукописи» [11, Ill, Н 3,
18 recto], а также у Магавиры l[15, VI, 176 £-], Бхаскары II [5, стр. 46,
стих 101], Нарайаны [9, стр. 76—77, стих 19].
74.	Здесь проба выражается в кшайа, т. е. в примесях. Так как
варна =16 — кшайа, то пробы, указанные в задаче, будут 11, 13, 12 вар-
на соответственно.
Аналогичные примеры с другими числовыми данными имеются в
«Бахшалийской рукописи» [11, 111, Н 3, 18 recto], а также у Магавиры
[15, VI, 178—179], Бхаскары II [5. стр. 47, стих 105], Нарайаны [9, стр 77,
строки 4—7].
75.	Если п слитков золота весом W2,..., W„ и пробой Vi, V2,...,
V л образуют с некоторым слитком золота неизвестного веса и пробы V
сплав пробой V', то неизвестный вес
цу = (W4 4- IF2 + ... -4-1Г/Э	Ь ... + АУдУд)
И — V1
Это же правило имеется в «Бахшалийской рукописи» [11, III, Н 3,
18 recto], а также у Магавиры 15 [, VI, Иб'Т'» 180], Ариабхаты II [12, XV,
41], Бхаскары II [5, стр. 47, стих 106], Нарайаны [9, стр. 77, стих 20].
76.	Так как варна = 16 — кшайа, то пробы слитков золота, указан-
ных в задаче, будут 9, 12, 11 варна соответственно. Проба слитка зо-
лота неизвестного веса есть 14 варна, проба сплава — 12 варна.
Для решения примера комментатор трактата Шридхары пользует-
ся следующим расположением величин:
9
2
12
3
11
4
V Проба сплава 12.
Далее он пишет: «Перемножим пробу сплава 12 на сумму весов 9,
получим 108, произведение веса 2 и пробы 9 равно 18; произведение
веса 3 и пробы 12 равно 36; произведение веса 4 и пробы 11 равно 44.
Вычтя их сумму 98 из 108, получим 10; вычтя пробу сплава 12 из про-
бы неизвестного веса 14, получим 2. На него делим 10, получим 5».
Затем комментатор проверяет решение задачи и при этом, что
весьма любопытно, оперирует с отрицательными величинами.
«Если неизвестен вес в 2 маша, — пишет комментатор, — то распо-
ложение будет
9 12	11	14
0	3	4	5.
208
Проба сплава 12, умноженная на сумму весов 12, равна 144, сум-
ма произведений весов и проб равна 150. Вычитание произвести нель-
зя, поэтому, вычтя в обратном порядке, получим минус 6. Пробу спла-
ва (12) следует вычесть из пробы золота (9), вес которого неизвестен.
Вычитание произвести нельзя, поэтому, вычитая в обратном порядке,
получим минус 3, на него минус 6 разделим. Отрицательное число, де-
ленное на ^отрицательное, дает положительное число. Получим 2 маша
золота».
77.	Пусть надо изготовить п брусков, каждый весом W, причем
проба первого бруска равна 16 варна, а проба следующих брусков
уменьшалась последовательно каждый раз на k варна, причем n-k 16.
Эти бруски надо изготовить из некоторых слитков золота пробой 16
варна и пробой 16 — R варна. Тогда золота пробой 16 — R потребует-
ся
r-k (Г —1, 2,
золота пробой 16 варна —
W-W,= \\-—r-k г=1, 2,
Действительно, пусть для брусков золота пробой 16 R варна
требуется Wx. UZ2,..., Wn* тогда золота пробой 16 варна надо W—
Г,- IF2,..., W- Wn.
Имеем
(16-/?)	16(Г- Fr) = F(16-r£)	(r=l, 2,...,/z);
отсюда и получаем искомые формулы.
Это же правило имеется у Нарайаны [9, стр 78, строки 18—21;
лдр. 79, строки 1—2].
78.	В данном примере k — , /?	6 варна, F = 2 маша, zz =- 24.
Тогда количество золота пробой 10 варна будет
:	' 17	24Х
количество золота пробой 16 варна будет
2.-г- Wr (г^=1, 2,..., 24).
Подробно о количествах необходимого для кажодго бруска золота
сказано в ответах к Данной задаче, приведенных после примечаний.
С некоторыми числовыми изменениями эта задача имеется у На-
райаны [9, стр. 80, строки 2—5].
79.	Искомые веса шаров выражаются формулами:
J4 Зяказ 33b
^’209

(2)
где
W — сумма весов двух
золотые шаров равной стоимости;
Ц— про-
ба сплава первого золотого шара с — частью второго; Иг — проба едла-
ь
с
ва второго золотого шара с — частью первого.
d
Действительно, пусть V', V*— пробы первого и второго шаров; тогда
W{ + IF2 - U7.	(3)
Из правила Шридхары [526] имеем
W14Z/ + V WrV"
и,=---------f,	(4)
W, + -— w2
о
— W.-И' 1 W2V"
И2=----------------,	(5)
С
- Wj + W2
и так как золотые шары равной стоимости, то
WXV‘ W2V".
(6)
Разделим (4) на (5), получим
+ 4 W2V" U — Wt + w2
b / ' d	t
— WiV' -f	WW1 +4-W2
d	/ \ b ,
Учитывая (6), имеем

210
Преобразуя, получим
	w.		ш2	W, , или	= А	W2
И2		V.	2		в
с	а	, , а	с		
	1+^	Н-т-	1+~7 Ь	а		
Подставляя в (3), имеем
откуда
IIZ,
Г2 =
—------A- W,
А 4- в
—?-----В- \V>
А + В
т. е. получаем искомые формулы.
80.	Из формул (4) и (6) предыдущего правила имеем:
а
w, + — г2
о
откуда
а
W, + — uz2
ь
Аналогично из формул (5) и (6) имеем
tt72+_7 W7'
V'=------------ V2.
Подобные правила имеются у Магавиры [15, VI, 209—212] и Нарай-
аны [9, стр. 81, строки 9—18].
81.	Магавира [15, VI, 213—215] приводит следующую задачу: «Два
сведущих в оценке золота купца просят друг друга: „Если ты дашь мне
половину твоего золота, — говорит первый второму, — то, смешав это
с моим золотом, получу золото пробой 10 варна“. „Если же ты мне дашь
1
у-твоего золота, — отвечает второй, — то в смеси с моим золотом полу-
чу золото пробой 12 вариа“ О ты, кто знаешь тайны вычисления, если
14*
21L
ты силен в вычислениях с золотом, быстро назови мне, хорошо подумав,
вес золота каждого купца, а также пробу».
82.	Если п, земледельцев отдали для посева «1, аг,—, ап зерна и
урожай есть S, то доля каждого земледельца в урожае равна
-----------------5 О — 1, 2,..., //).
л 1	#2 4 ап
Это же правило есть у Брахмагупты [5, XII, 16], Магавиры [15, VI,
79-j], Ариабхаты II [12, XV, 36], Шрипати [18, XIII, 19} Бхаскары II
[5, стр. 40—41, стих 92], Нарайаны [9, стр. 54, строки 11 —12]
Правило товарищества встречается в греческой, китайской, араб-
ской и западноевропейской математической литературе.
83.	Подобные задачи имеются у Магавиры ^15, VI, 80 "у Ь6 -у |
и Бхаскары II [5, стр. 47, стих 93]. Так, Магавира приводит следующую
задачу: «480 рупа делятся среди 5 человек пропорционально 2, 3, 4, 5,
6 О друг, назови, что получит каждый» 115, VI, 86 Задача у Бха-
скары II следующая: «Скажи, математик, какова будет доля каждого
из трех торговцев, чьи первоначальные капиталы были 51. 68. 85. если
в результате торговли общая сумма выросла до 300?».
84.	Пусть ti\ количество одного товара стоит а\\ п.2 количество вто-
рого товара стоит а.2,...\ nk количество А-го товара стоит ak. Необходимо
за сумму S получить pi частей первого товара, р2 частей второго това-
ра,..., pk частей /г-го товара.
Вначале разделим цены на соответствующее количество товара и
умножим на соответствующую часть; получим
а.
(2=1, 2,
затем применим правило Шридхары [59а], тогда количество денег, уп-
лаченных за часть товара, равно
а.
Pi$i
<7|	6?2	.
Pl + Р2 + •.•+ Pk
пх п2	nk
G = l, 2,..., k).
Аналогичное правило приведено Шрипати [18, XIII, 196], Нарапа-
ной [9, стр. 57, стих 2].
85.	Аналогичные задачи приведены Магавирой |15, VI, 90 — — 96—
Например: «3 плода гранатового дерева стоят 2 пана, 5 плодов манго
стоят 3 пана, 7 плодов лесных яблок стоят 5 пана. О друг, знающий
основы вычисления, принеси на 76 пана плодов так, чтобы плодов ман-
го было в 3 раза, а, плодов гранатового дерева в 6 раз больше, чем пло-
дов лесных яблок» 115, VI, 90 — — 91 — j.
86.	С некоторыми числовыми изменениями этот пример имеется у
Нарайаны [9, стр. 57, строки 16—19].
212
87.	Пусть п купцов имеют капиталы, приведенные к общему зна-
менателю:
1	^2 Сп	/« \
D ’ D ’ D	' '
Купцы купили предметы из расчета х штук на 1 рупа. Продавая
часть этих предметов из расчета у штук на 1 рупа, а оставшиеся — по
цене R рупа за 1 штуку, они стали одинаково богатыми Тогда'
x=-D(/?y-l),	(2)
у - Сх 4 k.	(3>
где > Сг (г = 1, 2, ..., /д); k — произвольное число
Сг	С
Действительно, за — рупа (г=1, 2, ..., п) купцы купили
предметов, за продажу Р,-у предметов они получили Р рупа.
Остаток предметов
^х-РгУ^Аг	(4)
был продан по цене R рупа за штуку; таким образом, полученная каж-
дым купцом сумма равна
Pr + R	Рг'У ) рупа	2,..., п)>
или
R’Cr'X	П f Г) 1 \
—------Pr(/?y — 1) рупа.
Так как купцы стали одинаково богатыми, то имеем
- Р. (Яу - I) R CJX -/W-D=-P'tRy-V,
или
PC{x-PJ)(Ry-\)^RC2x-P2D(Ry- 1) = ...= RCnx -PnD(Ry-\\
RC{x — P,D (Ry —	— М (г = 1, 2,..., n)	(5)
Полученное неопределенное линейное уравнение имеет бесчислен-
ное множество решений. Пусть
лг _= /И = Z>(Z?y — 1),
тогда
RCr-Pr 1.	(6)
Из (4) имеем
4 -V Ргу ' Аг.
213
Подставляя вместо х его значение, находим Рг:
-Ргу , Л,
г	У	'	У
поэтому должно быть у > Сг для всех г илт у > С . где С > Сг
Тогда решением (5) будет
у -= Сх 4- k.
Аналогичное правило имеется у Магавиры 115, \ I, 102 -у-| и Нарай-
яны [9, стр. 94—97, стихи 36 (б)—38(a)].
88.	Если D= 1, d — общий множитель величин
Л,^2,Рп. (Схх — Рху\ (С2х — Р2у)(Спх — Рпу),
то количество товара, купленного на единицу денег х', равно:
, Pr R (Сгх — Pry) i 1 о \
х = —- 4-----—------— (г — 1, 2,..., п\
а	а	7
x=-R-y — 1
у = С\ 4~
где С\ > Cr(r= 1, 2,..., /г), k —- произвольное число
Действительно, при D— 1 уравнение (5) предыдущего правила при-
мет вид
R-Cr-x-Pr(Ry — \)=-М (г=1, 2,...,п).	(7)
Разделим обе части этого равенства на d и, обозначив
М = — , х' . Рг= — ,
d	d	d
получим
RC^ -Я(/?у-1) = 7И (1, 2,	(8)
При x=M—Ry—1 решением (7) будет
х =- Ry — 1,
у С, 4 k,
а соответствующее решение (8):
d	d
у' — С, । k.
214
Из предыдущего правила при D= 1 имеем
М Р. + /?(С>-РЛу)
Разделив на d, получим
у „	«	£г_	(г 1>2.......,0
d d	d
Это будет новым количеством товара, купленного на единицу денег,
причем 7И—целое число, так как Рп (Сгх — Ргу) при г = 1, 2,..., п
кратно d. Если D 1, то

у, =^С, + k.
89.	Эта задача имеет бесчисленное множество решений. Древний
комментатор трактата Шридхары приводит два решения для первого
случая и одно — для второго (см. ответы).
Одно решение он находит, расположив величины следующим обра-
зом:
Цена остатка 3.
1 1 1
Далее он пишет: «Для получения количества товара, проданного
на единицу денег, к наибольшему капиталу 5 прибавим 1, получим 6.
Это число умножим на цену остатка 3 и из произведения 18 вычтем 1,
получим 17. Умножив 17 на 1, получим количество товара, купленного
на единицу денег».
Подобные примеры имеются у Магавиры р5, VI, 103	— 104 -yj
и Нарайаны [9, стр. 96, строки 2—6; стр. 97, строки 7—9].
Так, Магавира | 15, VI, 103 * j приводит следующую задачу: «Три
купца имеют капитал [соответственно] 2, 8 и 36 пана. По 6 они прода-
вали остаток изделий. Покупая и продавая одно и то же количество
товара на единицу денег, они стали одинаково богаты Найти количе-
тво товара, купленного и проданного на единицу денег».
90.	Если капиталы п купцов и цена остатка есть дроби
С ]	С?2 Сп Р
—, — ,..., D , — ,
количество товара, купленного и проданного на единицу денег, есть
У = D(C, + k),
где Сх->Сг(Г'—1, 2,..., /г), & —произвольное число.
Действительно, поступая, как в правиле Шридхары [60J, имеем
RCtx —	У—1)	RC2x—PiD2(~ у —=	=
RC„x-PnD2^y-^=-N.
215
Пусть x = N = D2 (~У “ 1) • Тогда
RCr-Pr=l
(r = 1, 2, ... , п).
Так как
D
У
Аг
у
то
CrD + А,
р ___ ^гХ
А
A^-^RC, -
Dy у	Dy	у	у
Тогда у > CrD для всех г, или у > Су D, где С, > Сг. Решением
будет
у — D(Ci +£),
где Сх > Сп k — произвольное число.
Подобное правило имеется у Магавиры [15, VI, 107	, 103-^-] и На
райаны [9, стр. 98, строки 2—7].
91.	Эта задача имеет бесчисленное множество решений. Из них
комментатор трактата приводит лишь одно, расположив цифры следую-
щим образом:
3 2 3 5 TI	1
Цена остатка —
2	111	2
Далее он пишет: «После приведения к общему знаменателю полу-
чим
3 | 4 | 6 I 10 Цена остатка 1.
Для получения количества товара, проданного на единицу денег
к наибольшему капиталу 10 прибавим 1, получим 11. Умножив 11 на
общий знаменатель 2, получим 22. Умножив 22 на цену остатка »выч-
тем из произведения 1. Полученную разность 10 умножим на квадрат
общего знаменателя 4. Произведение 40 есть количество товара, куп-
ленного на единицу денег».
Подобные примеры имеются у Магавиры [15, VI, 108—, 110 I
и Нарайаны [9, стр. 99, строки 2—5, 15—18].
92.	Пусть а птиц одного вида стоят рупа, b птиц другого вида
bi рупа, с птиц третьего вида Ci рупа, d птиц четвертого вида d{ рупа,
необходимо купить е птиц на рупа. Тогда для нахождения количества
птиц каждого вида надо решить следующую систему:
ах + by + cz + da -= е
а{хbyyc{z , d}u
216
Правило неполное, его смысл — в сведении данной системы к неоп-
ределенному уравнению
+ ру + -уг 8,
причем ах, by, cz, du должны быть положительными целыми
Хотя правило относится к примеру 78—79, его можно применить и
к примеру 80.
93.	Число купленных птиц и соответственно их стоимость можно
представить в виде:
Величины из условия задачи	Птицы			
	голуби	журавли	лебеди	павлины
Число . .	Ъх	7у	9z	За
Стоимость		5у	7z	9а
Поскольку 100 птиц куплено за 100 рупа, имеем два уравнения с
четырьмя неизвестными:
I 5х 4- 7у -h 9г + За — 100.
I Зх + 5у + 7z + 9и = 100.
Для решения этой системы умножим первое уравнение на 3, а затем
вычтем второе уравнение:
12х + 16у + 20г - 200.
Получим неопределенное линейное уравнение с тремя неизвестными,
имеющее бесчисленное множество решений. Среди всех решений надо
выбрать те значения х, у, z, чтобы величины 5х, 7у, 9z, Зи были поло-
жительными целыми.
Всего получим 16 решений (о числе птиц каждого вида и об их
стоимости подробно сказано в ответах к данному примеру). Коммента-
тор Шридхары приводит четыре решения:
Птицы	Число	Стои- мость	Число	Стои- мость	Число	Стои- мость	Число	Стои- мость
Голуби .	15	9	55	33	5	3	30	1	t 18
[ Журавли	28	20	21	15	56	40	21	15
Лебе 1И	45	35	9	7	27	21	36	28
1 Павлины	12	36	15	45	12	36	13	39
Задача о птицах была очень популярна в разных странах. Она
встречается у китайского математика Сю Е (II—III вв ) в следующем
виде: «Сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят, если
всего птиц 100 и если петух стоит 5 монет, курица — 4, а 4 цыплен-
ка — одну».
Любопытно, что в этой задаче, как и у Шридхары, правые части
уравнений равны 100. Сходные задачи с такой же правой частью ветре-
217
чаются у Магавиры [15, VI, 152—153], Бхаскары II [5, стр. 233—234,
стих 158—159], Нарайаны [9, стр. 93, строки 2—5], а также в арабской
и западноевропейской математической литературе, например, у Лбу Ка-
мила (IX—X вв.) и Джемшида ал-Каши (XIV -XV вв.), который дал
подробный разбор задачи, и в европейском сборнике задач, приписы-
ваемых Алькуину (VIII в.).
94.	Пусть среди купленных 100 плодов на 80 рупа было х гранат,
у манго, г яблок. Тогда имеем
[ х + 5у + 2z 100
I 2х 4~ Зу 4~ z — 80.
Умножив второе уравнение на 2 и вычтя из нею первое, получим
Зх + у - 60.
Это неопределенное линейное уравнение имеет бесчисленное мно
жество решений. Среди них надо выбрать такие, чтобы х, by 2z были
положительными целыми. Таких решений пять (см. ответы к данному
примеру) Подобные задачи имеются у Магавиры [15, VI, 147	150]
95.	Это же правило
t -	-
v2~
имеется в «Бахшалийской рукописи» [И, III, А 13,3 recto] и у Магави-
ры [15, VI, 326 ].
96.	Искомое время
щ 4-у?
2
Здесь сформулировано правило об определении времени встречи,
если два путника вышли одновременно из одного места и один из них,
пройдя все расстояние, возвращается назад и встречает другого. Задача
адекватна определению времени до встречи, если оба выходят одновре-
менно из двух пунктов с расстоянием 2s. Это же правило есть у Мага-
виры [15, VI, 319].
97.	Подобные задачи встречаются в «Бахшалийской рукописи» [11,
III, В 4, 4 recto] и у Магавиры [15, VI, 321—321	)
98.	Правило сформулировано для примера 86 - 87, где надо опре-
делить размер платы каждого зрителя танцевальной труппе, если зри-
тели видели танцы различное время. Зрители должны упчатить
5 , ч 5 /
- — (А—А), —
тр1	т \
1 1.
Pi
-крг-А),
Р2 /
1	1 \ /
-----i	(А< —М-
/?2--Р3 }
5 / 1
/п \Р1
. 1 ,	. I \,
4-------F •••4--------- ) (Рт Рт
р2	Рт /
1).
где S — сумма, необходимая для оплаты, р2,..., рт—число зрителей,
видевших танцы в соответствующие части дня, причем рт, i - - 0, т —
число частей дня, в течение которого были показаны танцы.
218
Хотя данное лаконичное правило сформулировано для задачи 86—
87, его также можно применить при решении задач 88, 89—90.
99.	Ниже приведен ход решения задачи древним комментатором
трактата: «Расположим
3	4
4	4	4 ’
1
7
Вычитая из последующих частей дня предыдущие, получим
1	1	1	1
4	4	4	4 ’
Умножим каждую часть дня на требуемую оплату, т. е. на 96:
24 | 24 | 24 | 24 .
Разделим полученные результаты на число зрителей, видевших тан-
цы в соответствующие части дня, т. е. на
4 | 3 | 2 | 1 ,
получим
6 I 8 I 12 I 24 .
Складывая последовательно полученные частные с предыдущими,
имеем
6 | 14 | 26 | 50 .
Умножим полученные суммы на число уходящих каждый раз зри-
телей, т. е. на
1111111,
имеем
6 I 14 | 26 | 50 .
г)то и будет платой каждого зрителя»
219
100. Ниже приведен ход решения задачи комментатором трактата
«Расположим
2	3
1	2
3	3
10	8
I
5
2
з
5
Запишем части пути, после которых уходили носильщики:
Вычтя из последующих частей предыдущие, получим
1	1	1
3	3	3
Умножим каждую часть на общую плату, т. е. на 100, получим
100	юо	юо
3	3	з •
т. е. на
Разделив на число людей, несших носилки каждую часть пути
имеем
10	25	20
3	6	3
Складывая последующие частные с
предыдущими, имеем
10
3
15	85
2	6 *
£
3
2
3
3
3 ’
10 | 8 I 5 ,
Умножая на число людей, ушедших после каждой части пройденного
расстояния, т. е. на
2 | 3 | 5 ,
имеем
20	45	425
3	2	6
Это и будет платой каждой группе носильщиков».
Подобная задача имеется у Магавиры [15, VI, 231—232]: «20 чело-
век должны были перенести носилки на расстояние 2 йоджана за 720
рупа. Два человека ушло, пройдя расстояние два кроша, еще через два
кроша ушли следующие трое, пройдя половину оставшегося расстояния
ушло еще 5 человек. Какую плату получит каждый?».
22П
101.	Шридхара формулирует правило решения классической зада-
чи о бассейнах. Оно имеется у Ариабхаты II [12, XV, 43], Бхаскары II
[5, стр. 42, стих 94], Нарайаны [9, стр. 94, строки 2—3].
Аналогичная задача встречается у Терона в его «Метрике», в алгеб-
раической надписи Метродора (333 г.), у арабского математика ал-Ка-
раджи (X—XI вв.), у Л. Пизанского и во многих европейских руковод-
ствах.
102. Аналогичные примеры имеются в комментариях Притхудака к
сочинению Брахмагупты [5, XII, 9], у Бхаскары II [5, стр. 42, стих 95].
Нарайаны [9, стр. 94, строки 5—6]. Так, Притхудака пишет: «За какое
время 4 трубы наполняют бассейн, работая одновременно, если они его
последовательно наполняют за 1 день, —дня,—дня,— дня?».
2	4	5
103.	За перенос а изделий на расстояние d следует отдать № из-
делий из а перенесенных. Но а изделий были перенесены на расстояние
dx < d. Какова оплата за перенес на расстояние d|? Обозначим ее через
х. За перенос оставшихся а — х изделий на оставшееся расстояние
d — dx следовало бы отдать
(a — x)(d — dx)x	„
-—'——---------— изделий.
dd[
С другой стороны, это равно U—к изделиям. Имеем
(а — x)(d — dx) х
ddx
“ (d — dx)x2 — adx + a\Xd{ =0,
откуда получаем искомое правило
ad _ • / ad Л
\f -aWd^d-dJ
X~	d — dt
Положительный знак перед корнем отбрасывается, так как тогда
/>№. Это же правило имеется у Магавиры (15, VI, 226] и Нарайаны
[9, стр. 103,-строки 10—15].
104.	Подобные задачи имеются у Магавиры [15, VI, 227] и Нарайа-
ны [9, стр. 103, строки 17—20]. Так, Магавира приводит следующую
задачу: «За перенос 32 ящиков с фруктами на расстояние 1 йоджана
грузчик из них получит в качестве оплаты 7 —ящика. Сколько он по-
лучит, если перенесет ящики только на половину расстояния?».
105.	Пусть первый грузчик перенесет а- изделий на расстояние х
и получает b изделий из этих а в качестве оплаты. Второй грузчик пе-
реносит оставшиеся а — b изделий на оставшееся расстояние d — х и
получает с изделий в качестве оплаты. Тогда имеем
е _ Ь(а — b)(d — х)
ах
откуда расстояния, пройденные каждым грузчиком, будут;
Ь (а — b)d
b(a — Ь)-\- ас
221
,	acd
а — x
b (a — b) 4~ aC
Подобное правило есть у Магавиры [15, VI, 228].
106	Здесь приводится формула числа сочетаний из п элементов,
взятых по 1, 2, 3... т,..., п элементов, которую Шридхара дает в вид<
правила
п	п - -1	п —2	2	1
1	2	3	*’* л—1	п
107.	Составив согласно правилу дроби, получим
6
2
5
2
1
2
отмечает,
1
~6
6 а
что — -о есть число
острое, горькое, вяжущее, кислое,
4
3
Древний комментатор трактата
блюд с одним вкусовым оттенком:
6 5	, г
соленое, сладкое; — — 15 — число блюд с двумя вкусовыми оттенками:
остро-горькое, остро-вяжущее и т. д.; 15 —
вкусовыми оттенками: остро-горько-вяжущее, остро-горько-кислое
з
20-	— — 15 — число блюд с четырьмя вкусовыми оттенками:
горько-вяжуще-кислое и т. д.; 15-— =6 — число блюд с пятью
5
выми оттенками: остро-горько-вяжуще-кисло-соленое и т. д.; 6-
число блюд с шестью вкусовыми оттенками: остро-горько-вяжуще-кисло-
солено-сладкое. Всего 63 разновидности.
Подобный пример имеется у Магавиры [15. VL 219] и Нарайаны
[9, стр. 319, пример 2].
108.	Если в правиле [72] был дан метод нахождения числа сочета-
ний, то здесь дается способ составления каждой группы сочетаний.
соответ-
-20—число блюд с тремя
и т. д.;
остро-
вкусо-
’--1-
6
т
— части шеста, расположенные
п
, песком реки, а видимая часть
по правилу
Р
/ а	с	т \
( 6	.-+- + т)
с
d "
ственно под водой, илом, ...
тогда длину шеста I найдем
109. Пусть ,
равна р
числа по
По этому же правилу решается задача о нахождении всего
его части.
110.	Подобные задачи имеются у Магавиры [15, VI, 5—22], Шри-
пати |[ 10, стр. 41—42, стих 56—57], Бхаскары II [5, стр. 24, стих 52], На-
райаны [9, стр. 20, строки 4- 7, 10—13, 16—19].
111.	В этой задаче отбрасываемые части равны - ,	.
Искомое число есть
3
1
360.
222
Подобные примеры имеются у Магавиры [15, IV, 29—32], Шрипати
[10, стр. 44, строки 20— 23; стр. 45, строки 16—15], Бхаскары II [5. стр.
24, стих 53].
112	Эго же правило есть у Шрипати [10, стр. 46, строки 10—13].
113.	Подобные задачи имеются у Магавиры [15, IV, 23—27], Шри-
пати [10, стр. 46, строки 20—25], Бхаскары II [5, стр. 24—25, стих 54].
114.	Первая часть этого правила относится к решению квадратно-
го уравнения вида
х — рУ х =d.
решение которого имеет вид
I 4£-| р _£р_
2
Вторая часть правила относится к решению линейного уравнения
решение которого есть
Наличие в одном правиле способов решения квадратного и линей-
ного уравнений объясняется особенностями примера 99. В нем для на-
хождения искомого числа надо попеременно несколько раз решать
квадратные и линейные уравнения.
Интересно отметить, что при решении квадратного уравнения оты-
скивается не корень, а его квадрат. Аналогично поступали и древние
арабские математики. Видимо, начало идет от задачи определения пло-
щади некоторой квадратной фигуры, стороны которой неизвестны.
115.	Задача сводится к решению довольно -сложного уравнения:
х — к х —'-(,r- / х)-1/ х—ух — -|-(х — Ух )]	8.
6	г	6	1
Решая, получим х —36.
Подобные задачи имеются у Магавиры [15, IV, 41—46], Шрипати
[10, стр. 49, строки 7—10; стр. 60, строки 2—5].
223
116.	В правиле дается решение квадратного уравнения
х------- х — р J х = d.
ь
Решение имеет вид
Правило сформулировано для решения примера 100. Подобные
правила имеются у Магавиры [15, IV, 33], Шрипати [10, стр. 50, стро-
ки 27—28], Нарайаны [15, стр. 21, строки 2— 6].
117.	Задача сводится к решению квадратного уравнения
— л — х +1 х -г 2 х.
3	9
где х - число обезьян в стаде. Несколько видоизменяя уравнение, име-
ем
п
х----х —- I х =2.
9 г
Решая, находим х— 9.
Подобные примеры имеются у Магавиры [15, IV, 34—39], Шрипа-
ти [10, стр. 51, строки 11—14; стр. 52, строки 16—19; стр. 53, строки
17—20], Нарайаны (9, стр. 23, строки 15—16, 18—19; стр. 24, строки 1—
2].
118	В правиле излагается решение квадратного уравнения вида

Оно вначале приводится к виду
затем его решают по правилу [75].
Аналогичное правило имеется у Магавиры [15, IV, 47] и Шрипати
[10, стр. 54, строки 21—24].
119.	Задача сводится к решению квадратного уравнения

Упрощая, получим
5	5	1 “	_
— х--------------I х — 5,
.12	12
. 224
»1ЛИ
— V х = 13:
5
решая, находим х 25.
Подобные примеры имеются у Магавиры [15, IV, 48—50], Шрипа-
ти [10, стр. 55, строки 7—10; стр. 56, строки 8—11].
120.	Правило обращения имеется во всех индийских сочинениях,
начиная с Ариабхаты I [7, II, 28] и до Нарайаны [9, стр. 41, строки 13—
16].
121.	Древний комментатор трактата располагает числа следующим
образом:
гу
5
2
бха
ва
кше	му	шодхйа	дри
9	1	1	4
3
де гу — от слова «гунака» (множитель), бха — от «бхага» (дробь),
ва — «варга» (квадрат), кше — «кшепа» (сложение), му—«мула» (ко-
рень), шодхйа — (разность), дри — «дришйа» (видимый).
Выполняя указанные в правиле действия, получим искомое число 4— .
5
Далее комментатор проверяет правильность решения: искомое число
24	5
— он умножает на — (получается 12), делит на 3 (получается 4), Bos-
'S	2
водит в квадрат (получается 16), увеличивает на 9 (получается 25),
извлекает квадратный корень (получается 5) и уменьшает на 1; полу-
чается 4.
122.	Шридхара дает геометрическую интерпретацию арифметиче-
ской прогрессии, представляя ее в виде равнобедренной трапеции с вы-
сотой, равной числу членов прогрессии.
123.	Шридхара вводит новую линейную меру — кара; древний ком-
ментатор поясняет, что она равна 1 хаста.
124.	Площадь трапеции ААХВХС с высотой ССХ = \ численно равна
первому члену арифметической прогрессии, т. е. а (черт. 1). Площадь
трапеции АА2В2С с высотой СС2 = 2 численно равна сумме первых двух
членов арифметической прогрессии, т. е. а + (а 4- d) и т. д.
J5 Заказ 338
225
125.	Итак, нижнее основание АВ и верхнее основание Л1В1 равно-
бедренной трапеции с высотой, равной 1, площадь которой дает первый
член прогрессии а, принимаются равными:
АВ - а--- ,
АХВХ = а—+
126.	Комментатор трактата указывает, что если нижнее основание
положительное, т. е. а >	, то первый член арифметической прогрес-
сии численно равен площади равнобедренной, трапеции с высотой
равной 1 (черт. 2).
Черт. 2.
Если нижнее основание отрицательное, т. е. а < - , то первый член
численно равен площади двух треугольников (черт. 3).
Черт. 3.
127.	Высота верхнего треугольника равна:
ОС
2а —|— d
2d
Высота нижнего треугольника равна:
ОС = 1
2л + d
2d
d — 2а
2d
226
128.	Здесь излагается правило нахождения верхнего основания АпВп
для трапеции с высотой, равной п единиц: АпВп = а [п-------d.
129.	Шридхара приводит правило суммы арифметической прогрес-
сии
S„ - [——1 d + а I п
L 2 I
и численно равную ей формулу площади трапеции
__АВ -j- АпВп .
Формула суммы арифметической прогрессии такого же вида имеет-
ся у Ариабхаты I l[7, II, 19], Магавиры [15, II, 61; VI, 290] и Нарайаны
{9, стр. 105, строки 12—13].
Формулу суммы арифметической прогрессии Брахмагупта [5, XII,
17] дает в следующем виде:
с ап-\-а 2« + (л —1)аГ
о п	il —	гс
п 2	2
Аналогичны этой формулы Магавиры [15, II, 62], Ариабхаты II [12, XV,
47], Шрипати [18, XIII, 20], Бхаскары II [5, стр. 52—53, стих 119], На-
райаны [9, стр. 105, стих 1].
130.	Древний комментатор трактата решает пример, расположив
числа следующим образом:
а 2	| у 3 I пада 5,
где а — первый слог слова «ади» (первый член), у—первый слог сло-
ва «уттара» (разность), пада — число членов. Вначале сумму прогрес-
сии он находит по формуле
Г ~у~ d +	“ 40.
Далее вычисляет площадь равнобедренной трапеции; это служит
своеобразной проверкой правильности решения.
Для высоты, равной 1, нижнее основание равно а----- верх-
нее основание.# +
15*
227Г 
Для высоты, равной 5, нижнее основание равно — , верхнее —
/	1 \ !	31
— (черт. 5). Площадь всей трапеции равна 40.
п
Черт. 5.
131.	Комментатор трактата решает пример, расположив числа
следующим образом:
а у	па
10 2-4-	—
4
Вначале он определяет сумму убывающей арифметической прогрессии
по формуле
С* f tl. 1 f |	\	z-x 1 1
S = (----- d + а) п = 2 —
V 2	J 16
Затем находит площадь равнобедренной трапеции с высотой, равной 1;
при этом нижнее основание равно 11, верхнее — 9 (черт. 6). Для высо-
1	21
ты, равной — , нижнее основание равно 11, верхнее-----------— (черт. 7).
132. Правило
S d ,
--------(/г — 1)
л 2
228
имеется у Магавиры [15, II, 74; VI, 292], Ариабхаты II [12, XIII, 23],
Бхаскары II (5, стр. 53, строки 122], Нарайаны [9, стр. 106, стих 2].
Магавира указывает и на другие способы определения первого чле-
на прогрессии, которые можно представить в виде формул
л(л-1)
S-------— d
а —---- —-------- [15, II, 73]„
п	4
2S
---	(и— \)d
п
а = — -----------
2
[15, II, 76J.
133.	Правило
— — а
>-1)
имеется у Магавиры (15, II, 74; VI, 292], Ариабхаты II [12, XV, 49], Бха
скары II [5, стр. 53, стих 123].
Магавира приводит также [15, II, 73, 75] несколько видоизмененные
способы для нахождения общей разности, которые можно представить
в виде
5 — па
d
2S
--- — 2а
п
п2 — п
2
п — 1
134.	Правило
_ ^SdS + (2g —d)2 — 2а +дГ
2d
имеется у Брахмагупты [5, XII, 18], Магавиры [15, II, 70J.
Ариабхата I [7, II, 20] приводит это правило в виде
= 1 Г у + (2а
*	' 2	i
I — dj2 — 2а
d
а Ариабхата II [12, XV, 50], Бхаскара II (5, стр. 54, стих 125]-и На-
райана (9. стр. 107, строки 4—7] — в виде
d \2 . d
п =
d
Шрипати [18, XIII, 24] дает правило
d V
а 2 j
d /
5
d
2
п —=
d
Я_ ~ 2'
d
229
У Магавиры [15, II, 69] есть также правило
1
d
/(2д —4-&ZS
9
135.	Первый член арифметической прогрессии равен:
а =
п2—п
2
(а + б/)__£
pf2-)-
136.	Сумма арлфметическол прогрессии S с «дробным числом чле-
нов» п-\~— выражается следующим образом:
Я
5 = ^(dn + а+ а — d}-\- — (dn + а) = [2я (п — l)d]
— (а + nd),
я
где первое слагаемое —сумма п членов арифметической прогрессии, а
второе — — часть от п 4- 1 члена прогрессии.
я
137.	Древний комментатор трактата дает задаче толкование, по ко-
торому пятый человек произвел половину работы. Любопытно сравнить
этот пример с задачей 18 книги I древнекитайского трактата «Матема-
о 1
тика в девяти книгах», где некоторая сумма делится между 3-улюдьми.
138.	Первый член арифметической прогрессии с «дробным числом
членов» есть:
а
Эта формула вытекает из правила [89] трактата.
139.	Разность арифметической прогрессии с «дробным числом чле-
нов» есть:
где S| —сумма п 4—- — 1 членов натурального ряда, т с.
Я
= +
2	q
140.	Если п — целая часть числа членов арифметической прогрес-
сии с «дробным числом членов», т. е.
l/42dS + (а — -у ) — (а — у )
п—целая часть от —-------------------------— ,
230
-о число членов прогрессии равно
п +
S—[(« - 1)
nd -f- а
Действительно, из правила [85] имеем
S=(-~-‘ d + a)N,
те N — число членов. Отсюда
</№-} 2 (a - -~)N-2S = 0,
 /I Г7 { d\
d
Если N — n 4- —, to
-» /	7	~d\2 { d \
У 2dS + [a- — ) -{a-—)
n — целая часть от----------------------
a — получим из правила |89]:
q	nd 4- а
141. Это правило, смысл которого ясен из следующего за ним при-
мера, есть у Магавиры [15, II, 94] (с той лишь разницей, что вместо
слов «квадрат», «умножь» записываются цифры «О», «1»), у Ариабха-
ты II [12, XV, 52—53], Шрипати [18, XIII, 25], Бхаскары II [5, стр. 55.
стих 127], Нарайаны [9, стр. 127, строки 8—11].
142. Древний комментатор трактата после выполнения действий,
казанных в правиле [94], записывает следующие выражения:
36
— =18 «квадрат*
18
— = 9 «квадрат»
9 — 1 = 8 «умножь»
8
“ = 4 «квадрат»
4
—	2 «квадрат»
2
у = 1 «квадрат»
1 — 1 = 0 «умножь»
231
Далее начиная с I в обратном порядке он производит умножение
на знаменатель прогрессии и возведение в квадрат:
1-2 = 2	(=2 )
22 = 4	( = 22)
42=16	(= 24 )
162 = 256	( = 28)
256-2 = 512	( = 29)
5122 =262 144	( = 218)
262 1442 = 68 719 476 736 ( = 236).
Умножив 2зе на первый член прогрессии, комментатор находит, что
капитал равен 3-236 = 206 158430208.
143 Правило суммы геометрической прогрессии
е aqtl — а	.
- , где q > 1.
Я— 1
есть у Магавиры [15, II, 94; VI, 31Ц], Ариабхаты П [12, XV, 53], Бха-
скары II [5, стр. 55, стих 127], Нарайаны [9, стр. 127, строки 8—11].
144.	Первый путник идет с постоянной скоростью другой с на-
чальной скоростью иг и с ускорением а. Одно и то же расстояние они
проходят за п дней.
Тогда путь, пройденный первым, равен v{-n. а путь, пройденные
вторым, [2v2 + (л — 1) а\ •	•
Приравнивая
ъ{-п = -^-[2v2 (п — 1)ci],
паходим искомую формулу
д=2(?1-^.+ L
а
145.	После того как первый путник шел п дней с начальной ско-
ростью t»i и ускорением ему вдогонку пошел второй путник с началь-
ной скоростью v2 и ускорением а2. До первой встречи первый путник
шел / дней, второй—(t — п) дней; необходимо найти время Т между
первой и второй встречами обоих путников.
Путь S. пройденный обоими путниками до первой встречи, равен
5 = — [2^ + (/ — 1)Л|] —	[2v2 (t — /i — 1)а2].
Путь Si, пройденный обоими путниками до второй встречи, равен:
=	4-7-1)a,- [2^+ (t - п Т - 1) а,|.
Из этих двух уравнений находим время между двумя встречами:
( S S \	1
I-----—	)	— \ta —
\ t — п t !	2
1
_ (at — а2)
232
146.	Задача решается по правилу [97—98], причем Шридхара при-
водит числовые данные лишь для и=6 и а2=2. Древний комментатор
трактата, полагая ui=l, ai=6. /=10, находит, что Т—8 дням.
147.	Величина выигрыша равна
а(«1+ «3 —«2 —«1)+^>4 («i+«2i Из f Л| — l)(«t + «2 + «3 - Л|) —
I
— 2	(2п{ + п2 — 1)1 4—12 («| 4~ я? 4- я3) + я4— 1]< ,
где п\, /12, Яз, и4— число бросков, которые выигрывают попеременно два
лица, а ставка на каждый бросок представляет собой арифметическую
прогрессию с первым членом а и разностью d. Первый игрок выиграл
/?], Из, второй — /г2, и4 бросков
Действительно, сумма выигрыша первого игрока равна
-у [2а 4~ (я! — 1) d\ 4- -у {2\а 4- (п{ 4- n2)d\ + (n3— l)d].
Сумма выигрыша второго игрока равна
Y [2(а + /itd) + (/i2- l)tZ] -J-	{2 [а (/г, 4 «2	«з)d\ + (/г4 — 1)JJ.
Если //14-Яз>//2Ч /Zi, то первый игрок получит выигрыш
у \2a+(n,-\)d\ + ^-{2\a + {nx+n2)d] + {n3-\)d\-
— ~ \2(а + tixd) + (/za—l)dj + у [2[a + («i я2 + «зМ]-
/ I	*
4-(я4 —	-a(/zi 4-zz3 —n2 —/zO [ d 4-я21 th ' я4— 1)^4-/^ +
Яз 4" я4)	2 |	(2a t J- n2 — 1) j 4—~ [2 (ft i 4~ я2 4~ я3) 4- я4 — 1 ]1 .
148.	Имеем a — 9,	6, //|=30, /z2—10, /z3=100, /z4 = 8.
Решая по правилу [99—101] трактата, получим 48 360. Сумма вы-
игрыша положительная, поэтому победит первый игрок.
149.	Имеем a = 9, d = 6, /zt = 7, a2 = 3, a3 = 9, n4=12.
Сумма выигрыша равна
9-1 +6|~30-31 —2 (у- • 16 4 6-49)] = 9-h6(465 — 636) —
= 9 + 6(-171) = —1017.
Сумма выигрыша отрицательная, поэтому выиграет второй игрок.
150. Правило
k~^ 1	2
имеется у Нарайаны [9, стр. 116, строка 3—4].
151.	Правило суммы квадратов первых натуральных чисел
” 2 _ (2/2+1) (я 4-1) я
233;
есть у Ариабхаты I [7, II, 22], Брахмагупты [5, XII, 20], Шрипати |18,
XIII, 22], Нарайаны [9, стр. 117, строки 1, 2].
Магавира fl 5, VI. 296] приводит его в зиде
[2(„-|-i)2_(„ HU v
S = ---------------------
3
-а Бхаскара II [5, стр. 52, стих 117] — в виде
V^=<2n+1> yk.
л=1	3
Такое правило в более общем виде было известно Архимеду. Спо-
соб суммирования ряда натуральных квадратов знали вавилоняне,
египтяне, греки. Это правило встречается в работе китайского матема-
тика XIII в. Ян Хуэя, хотя им должен был бы пользоваться при выво-
де своих формул Шень Ко (XI в.) [4, стр. 95, 97].
Подобные формулы встречаются в арабских и западноевропейских
математических трактатах, например, у ал-Караджи и Л. Пизанского.
152.	Правило суммы кубов первых п натуральных чисел
п2 + п
имеется у Ариабхаты I [7, II, 22], Брахмагупты [5, XII, 20], Шрипати
(18, XIII, 22], Бхаскары II [5, стр. 52, стих 117], Нарайаны [9, стр. 117,
строки 3—4].
Магавира [15, VI, 301] приводит эту формулу в несколько изменен-
ном виде:
п / „ \2
S*3= 4) -(« + 1)2.
Л-1	\ 2 /
Формула суммирования ряда кубов встречается в греческой, ки-
тайской, арабской и западноевропейской математической литературе,
например, у ал-Караджи и Л. Пизанского.
153.	Правило суммирования «треугольных» чисел:
V V k — ”(” + 1Н” + 2)
2j Zj	6
/и-1 д=1
•есть у Ариабхаты I [7, II, 21], Брахмагупты (5, XII, 19], Шрипати [18.
XIII, 21], Бхаскары II [5, стр. 51, стих 115].
154.	Правило выражается формулой
£ Ё k + £ k‘+ £ 4.=5-(-+1>Ч~+?) _
т=1 Л-1	Л=1	Л-1
155.	Формула суммы квадратов членов арифметической прогрес-
сии
£ \а + (k - 1) d]2 = £ [а + 2 (k - 1) d\ а + £ (k - 1 )2 d2.
Л=1	Л=1	л-1
.234
имеется у Нарайаны [15, стр. 119, строки 7—8; стр. 120, строки 1—2]
Магавира [15, VI, 298—299] приводит другую формулу
£[а + (£_1И]2=1
k= л
——+ ad (и — 1) + а2| п =
6	J
Г (2л — 1) (л — l)d2 ,	,, 1А 1	2] .
— v--------------------h ad (п —-1) + a2 j n
Это правило имеется у Архимеда.
156.	Правило
п a+(m—l)d
- l)d]'( =
приводится Магавирой [15, VI, 305—306 ] и Нарайаной [9, стр. 116, стро-
ки 11—16].
157.	Формула суммы кубов членов арифметической прогрессии
£ [a + (A-l)tZ]3 = S2-</ + а(а - d)S,
k'l
где	«S — , 1а + (£ — 1) d],
Л =1
имеется у Магавиры [15, VI, 303], Нарайаны [9, стр. 121, строки 2—3;
стр. 122, строки 1—2].
158.	Более поздние авторы формулировали это утверждение не-
сколько иначе. Так, Нарайана писал: «Когда сумма сторон многоуголь-
ника [за исключением большей] меньше или равна большей стороне, то
это невозможно» [9, стр. 48, строки 8—11].
Евклид в книге I говорит: «...в треугольнике сумма двух сторон
больше третьей».
159.	Санскритский термин «ламба» означает «высота», а «авад-
ха», — «отрезки», на которые основание делится этой высотой. Сущность
правила заключается в следующем. Пусть в трапеции со сторонами
а, в, с, d (черт. 8) высота h делит нижнее основание а на отрезки х, у.
Тогда
Ь2 — х2 = с2 — (а — х — d)\
I I л
х = —а — d —
2 V
у~а—х=
а — d
235
Таким образом, для того
высота, необходимо, чтобы
чтобы существовали отрезки, а значит, и
х > 0, т.
е. (а — d)2 > с2 — Ь2.
Если трапеция равнобедренная, то разность квадратов боковых
сторон с2 Ь2 равна нулю и отрезки равны:
х==-|(а —J), у = у (а -И d).
Для прямоугольника и квадрата высота совпадает с боковой сто*
роной, поэтому один из отрезков равен нулю, другой — всему основа*
нию.
В случае треугольника (черт. 9) имеем
160.	Шридхара перечисляет десять геометрических фигур, которые
он считает основными. Остальные фигуры можно свести к этим десяти
указанным ниже:
1)	равнобедренный треугольник,
2)	равносторонний треугольник,
3)	разносторонний треугольник.
236
4)	квадраь
5)	прямоугольник,
6)	четырехугольник с двумя равными сторонами,
7)	четырехугольник с тремя равными сторонами,
8)	разносторонний четырехугольник,
9)	круг,
10)	сегмент круга.
Нарайана перечисляет те же десять фигур, что и Шридхара, толь-
ко заменяя сегмент круга на луночку.
161.	Здесь Шридхара критикует формулу Брахмагупты для пло-
щади четырехугольника S] и треугольника S2:
q __ а 4- с Ь 4“ d
1 —	2	’	2	’
q __ а b 4- с
г~ i ’ 2 ‘
Шридхара здесь, как и во всем трактате, не упоминает имени Брах-
магупты, но цитирует одну строку из правила, которое подвергает кри-
тике. Эти формулы верны для квадрата и прямоугольника. В остальных
случаях они дают приближенные результаты, причем чем больше боко-
вые стороны будут отличаться от высоты, тем больше ошибка
Формула для определения площади четырехугольника была изве-
стна еще египтянам [3, стр. 27].
162.	Шридхара приводит формулы для площади треугольника и
трапеции:
$тр=4ah'	(9)
5трап = -^Л.
163.	Четырехугольник, о котором идет речь, — квадрат. Коммен-
татор трактата определяет площадь квадрата по двум выражениям:
по формуле площади трапеции и по формуле
5 -= V(p — а) (р — 6)(р —<? j(/? — </),	(10)
где а, Ь, с, d — стороны четырехугольника, р — полупериметр. Послед-
нюю формулу Шридхара излагает в правиле [117].
164.	Четырехугольник, о котором идет речь, — прямоугольник. Его
площадь комментатор трактата находит по формулам, приведенным
нами в двух предыдущих примечаниях.
165.	В задачах 124 и 126 даны лишние условия: если вычислять
площадь по формуле (9), то лишними будут условия о боковых сторо-
нах; если же воспользоваться формулой (10), то лишним будет условие
о высоте. Древний комментатор трактата решает пример по обеим фор-
мулам.
166.	Шридхара показывает, как можно вычислить площадь произ-
вольных фигур, зная площади десяти основных (см. прим. 160). Он рас-
сматривает (черт. 10) бивень слона как треугольник, обод колеса как
прямоугольник. Серп Луны Шридхара принимает за два равных тре-
угольника, приложенных друг к другу основаниями, как указано на
237
чертеже. Фигура, имеющая форму ваджра, изображается двумя равно-
бедренными трапециями, приложенными друг к другу верхними осно-
ваниями, как указано на черт. 11.
Черт. 10.
Обоо
колес 1
В «Тришатике» Шридхара пишет, что барабан состоит из двух сег-
ментов, четырехугольника в середине и двух сегментов с другой сторо-
ны. Пятиугольник и другие многоугольники состоят из треугольников
167	Комментатор трактата иллюстрирует пример рисунком (черт
12). Вычисляя, он находит, что вся площадь равна 12 кара 2.
Черт. 12.
168.	Комментатор трактата иллюстрирует пример рисунком (черт
13) и, вычисляя, находит, что вся площадь равна 35 хаста2.
Черт. 13.
238
169.	Правило для вычисления площади произвольного четыреху-
гольника
5 = V(p — а)(р —— с)(р —d)
имеется у Брахмагупты [5, XII, 21], Магавиры [15, VII, 50].
Брахмагупта не указывал, для каких именно четырехугольников эга
формула справедлива. Однако он применял ее для определения пло-
щадей равнобедренной трапеции и четырехугольников со взаимно пер-
пендикулярными диагоналями, для которых эта формула верна.
Ариабхата II [12, XV, 70] писал: «Математик, который хочет наз-
вать площадь или высоты четырехугольника, не зная диагоналей, или
глуп, или слеп».
Бхаскара II {5, стр. 72, стих 167], Нарайана [9, стр. 39, строки 13—
14] приводят точную формулу, которая верна для любого четырехуголь-
ника:
S = У(р — а) (р — Ь) (р —- с) (р — d) — abed cos2 а ,
где а. — полусумма противоположных углов четырехугольника.
170.	Итак,
уа vат2 _______ V г2 + 9 __ г
т	т	т '
где т — произвольное число, которое берется тем большим, чем с боль-
шей точностью надо извлечь корень из неквадратного числа; q — раз-
ность между ат2 и наибольшим квадратом г2, не превышающим это
число.
Это правило есть у Ариабхаты II [12, XV, 55], Шрипати [18, XIII,
36] и Бхаскары II [5, стр. 60, стих 138].
В «Бахшалийской рукописи» имеется следующая формула для при-
ближенного извлечения корня:
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
№ 1 — 55, 210, 465, 820, 1275, 1830, 2485, 3240, 4095, 5050; 10, 20, 30, 40, 5),
60, 70, 80, 90, 100.
№ 2 — 4995, 4840, 4585, 4230, 3775, 3220, 2565, 1810, 955, 0
№ 3 — 27 216, 33 152, 483 910.
№4—1, 4, 9, 16, 25, 36, 19, 64, 81, 625, 1296, 3969, 186624, 60871204
№ 5 — 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 3375, 16777 216, 8 365 427.
№ 6 — 11, 111.
12	4
239
Л® 9 — 13-.
2
№	10	—	з|, 150^.	
Л®	11	—	2*	1?1. 2	14	
№	12	—	61-, 232—, 1, 4	16’ 4 9	
№	13	—	421? 513?6* 1 t 8 ’	3 64’ 64’ 27'	
Л®	14	—	j 9 51691 20’ 2520’	
№	15	—	1	1	5 16’ 900’ 84'	
Л®	16	—	30.	
Л®	17		517. 60	
№	18		'4	
№	19	—	5A, 5. 48’ 6	
Л®	20	—	12й-	
Ле	21	—	'i 4^	
Л®	22	—	e647 пурана. 3200	
№	23	—	4— 28'	
Л®	24	—	10*1. 12	
Л®	25	—	7 77— пана = 4 пурана	13 пана 2 какини 16 варатака
№	26	—	юИ пала == 10 пала 1 45	5 карта 3 маша 4- гунджа.
Л®	27	—	87— пана. 99	
Л®	28	—	178 2 дрона 1 адхака 2— ии 1	прастха.
л®	29	•—	3® и™-	
л®	30	—	о 8 месяцев 26— дней.	
л®	31	—	33 690 лет.	
л®	32	—	«не». о/<5	
л®	33	—-	1911 дней. 41	
№ 34 — 26~ ожерелий.
№ 35 — 250 суварна.
240
№ № № №	36 — 244 суварна 5 маша 4i 37 — 450 одеял.				гунджа. гунджа.
	38 — 122 суварна 39 — 36.		8 маша 4— 41		
№ № № №	40 — 41 — 42 — 43 —	20—5. 536 2362L. 1Ш. 832 Зв! пана — 4	2	пурана 6 пана 1 какини.	
№ №	44 — 45 —	60 рупа. 337- 4			
№ 46 — 49L.
5 № 47 — 3 дроны 3 прастха 1 _ кудава. № 48 — 2 пала		
№	49 —	25.
№	50 —	64.
№	51 —	200.
№	52 —	Капитал равен 60, прибыль 36.
№	53 —	Капитал равэн Зз1-, прибыль 3.
№	54 —	Капитал равен 500, прибыль 300, вознаграждение поручителю 60, возна- граждение вычислителю 30, вознаграждение переписчику 15.
№	55 —	1371	39 56 — Время равно 2 месяцам 21уу^ дней, прибыль — 9рупа.
№	57 —	58 — Капитал равен 1000, время — 8 месяцам 3 дням, прибыль — 4% в месяц.
№	59 —	Капитал равен 1000, время — 8 месяцам 17 дням, прибыль — ^L% в месяц-
№	60а -	- 20 месяцев.
№ 606 —		1	4 7_. месяцев -- 7 месяцев 4 дня 17 гхати 8— чашака.
№ 61 — 11А варна.
№ 62 — 9~ варна.
№ 63 — 1з11 варна.
16
№ 64 — 16 маша.
№ 65 — 11?- варна.
№66 — 5 маша.
16 Заказ 338
241
№ 67—68
Номера брусков	Проба брусков	Количество золота пробой 16 варна	Количество золота пробой 10 варна
1	15 4	1 21 12	1 12
2	-Iе* ю т—•	112 12	2 12
3	15 4	I 2 12	3 12
4	15	4	4 12
5	со	4	5 12
6	14 4	1_1 12	6 12
7	14 4	4	7 12
8	14	4	8 12
9	13 4-	1 А 12	9 12
10 |	13 4	1 А 12	10 12
11	13 4	1 А 12	11 12
12	13	1	1
13	12 4- 4	11 12	>4
14	12 4	10 12	'4
15	12 4	9 12	4
16	12	8 12	4
17	п А 4	7 12	I JL 12
18	"4	6 12	1 ± 12
19	"4	5 12	1 2_ 12
20	11	4 12	1 А_ 12
21	10 -7 4	3 12	1 А 12
22	10 4	2 12	1 а 12
23	10 4	1 12	1 11 12
24	10	0	2
242
№ 69 — Вес первого шара 2 мчша, проба 12 варна. Вес второго шара 3 маша,
проба 8 варна.
№ 70 — Вес первого шара 5 маша, проба 14 варна. Вес второго шара 7 маша,
проба 10 варна.
№ 71 — 30, 45, 75, 60 прастха соответственно
№ 72 — 900, 600, 200 прастха соответственно
31	17	17
№ 73 — 74 — 1— пана заплатили за 1 — кудава бобов 1. пана заплатили за
<5^	«Зх
49
— кудава риса.
№
14	28	14	7
75— --пала хингу стоят — рупа, — пала длинного перца стоят — рупа,
37	37	37	37
14	2
— пала сухого имбиря стоят — рупа.
№76 — Задача имеет бесчисленное множество решений. Древний комментатор трак-
тата приводит следующие два решения.
Первое решение:
количество товара, купленного на единицу денег, 17, 20;
количество товара, проданного на единицу денег, 6, 7.
Второе решение:
количество товара, купленного на единицу денег, 240;
количество товара, проданного на едишцу денег, 7.
№ 77 — Задача имеет бесчисленное множество решений. Древний комментатор
трактата приводит одно решение:
количество товара, купленного на единицу денег, 40;
количество товара, проданного на единицу денег, 22.
№ 78-79	Птицы	Число	Стои- мость	Число	Стои- мость	Число	Стои- мость
	Голуби 		35	21	55	33	15	9
	Журавли		42	30	21	15	63	45
	Лебеди 		9	7	9	7	9	7
	Павлины .....	14	42	15	45	13	39
	Голуби .	....	20	12	40	24	60	36
	Журавли .	...	49	35	28	20	7	5
	Лебеди 		18	14	18	14	18	14
	Павлины		13	39	14	42	15	45
	Голуби . .	5	3	25	15	45	27
	Журавли		56	40	35	25	14	10
	Лебеди 		27	21	27	21	27	21
	Павлины ...	12	36	13	39	14	42
	Г олуби .	10	6	30	18	15	9
	Журавли	42	30	21	15	28	20
	Лебеди .	...	36	28	36	28	45	35
	Павлины	.	12	36	13	39	12	36
	Голуби ...	35	21	20	12	5	3
	Журавли ....	7	5	14	10	21	15
	Лебеди 		45	35	54	42	63	49
	Павлины . .	13	39	12	36	11	33
	Голуби ...	10	6				
	Журавли . .	7	5				
	Лебеди .	. .	72	56				
	Павлины		11	33				
16*
243
№ 80—
Плоды	Коли- чество	Стои- мость	Коли- чество	Стои- мость	Коли- чество	Стои- мость
Гранаты . 		16	32	17	34	19	38
Манго			60	36	45	27	15	9
Яблоки 		24	12	38	19	66	33
Гранаты 		18	36	15	30		
Манго		30	18	75	45		
Яблоки 		52	26	10	5		
№81 — 82 — 8 Д Дней = 8 дней 214- гхати.
№ 83 — 20 дней. 1
№ 84 — 85 — 4 пана 3 какими.
№ 86 — 87 — Первый зритель заплатит 6 рупа, второй— 14 рупа, третий — 26 рупа.
четвертый — 50 рупа.
№ 88 — Двое, несшие носиши 1 крошу, получат по 3?- рупа, трэе, несшие носил-
3
ки 2 кроша, получат по 7~ рупа, остальные пять, несшие носилки 3 кро»
ша, получат по 14L рупа.
6
№ 89 — 90 Первый получит 12 рупа, второй — 27 рупа, третий — 47 рупа, четвер-
тый— 77 рупа, пятый— 137 рупа.
№ 91 — А часть дня.
17
№ 92 — 4 корзины.
№ 93 — 94 — Первый грузчик перенес груз на 2 кроша, второй — на 3 кроша
№ 95 — 63.
№ 96 — 12 хаста.
№ 97 — 360.
№ 98 — 20 коров.
№ 99 — 36.
№ 100 — 9.
№ 101 — 25.
№ 102 — 54-.
5
№ 103а — 40
№ 1036 — 0.
№ 104 — 105 — 2 пана 2'- какини.
4
№ 106 — 29L рупа.
№ 107 — б|- рупа.
№ 108 — 206 158 430 208 рупа.
№ 109 — 93.
№ 110 — 252 пана.
№ 111 — 15 дней.
№ 112 — Древний комментатор трактата решает пример, полагая, что первый путник
идет с начальной скоростью 1, ускорением 6 и встречает второго путника
первый раз через 10 дней. Тогда вторая встреча произойдет через 8 дней
пэспе первой.
№ 113 — Первый игрок выиграет 48 360.
№ 114 — Второй игрок выиграет 1017.
№ 115 — Второй игрок выиграет 25.
244
№ 116а — 165.
№ 1166 — 55.
№ 117а — 3025.
№ 1176 — 220.
№ 118 - 588.
№ 119 — 699.
№ 120 — 986.
№ 121 — 2 28.
№ 122 — 21. хаста 2.
4
№ 123 — 1б1- кара 2.
№ 124 — б! хаста 2.
4
№ 125 — 31Д кара2.
144
№ 126 — 12 хаста 2.
№ 127 — 16 кара 2.
№ 128 — 768.
№ 129 — 130 — 46— хаста2.
3456
№ 131а — 3 хаста 2.
№ 1316 — 30 хаста 2.
№ 132 — 12 кара 2.
№ 133 — 35 хаста
ЛИТЕРАТУРА
1.	Ф. Кэджори, История элементарной математики, перев. с англ, под ред.
с прим, и прибавлениями И. К). Тимченко, Одесса, 1917.
2.	И. Тропфке, История элементарной математики в систематическом из-
ложении, т. 1. Арифметика и алгебра, ч. 1. Арифметика, М., 1914.
3.	Г. Г. Цейтен, История математики в древности и в средние века, перев.
П. С. Юшкевича, изд. 2, подготовлено А. П. Юшкевичем, М.—Л., 1938.
4.	А. П. Юшкевич, История математики в средние века, М., 1961.
5.	«Algebra with arithmetics and mensuration from the Sanscrit of Brahmegupta
and Bhascara», transl. by H. T. Collbrooke, London, 1817.
6.	M. Cantor, Vorlesungen liber die Geschichte der Mathematik, Bd 1—2,
Aufl, 3, Leipzig, 1907.
7.	W. E. Clark, The Aryabhatiya of Aryabhata. An ancient Indian work on
mathematics and astronomic, transl, with notes, Chicago, 1930.
8.	B. Datta, A. N. Singh, History of Hindu mathematics, vol. 1—2, Bombay,
1962.
9.	«The Ganita-kaumudi by Narayana», ed. by Padmakara Dvivedi Jyautishacha-
rya, pt. 1, Benares, 1936.
10.	«The Ganita-tilaka by Sripati», ed. with commentary of SIrhhatilaka
Suri by H. R. Karadia, Baroda, 1935.
11.	G. R. Kaye, The Bakhshali manuscript. A study in medieval mathematics,
Calcutta, 1927—1933.
12.	«The Maha — siddhanta by Aryabhata II», ed. with explanatory notes by Sud-
hakara Dvivedi, Benares, 1910.
13.	«The Patiganita of bridharacarya with an ancient Sanskrit commentary», ed.
with introduction, notes and English transl. by K. S. Shukla, Lucknow. 1959.
14.	N. Ramanujacarya, G. R. Kaye, The Trisatikd of Srldhardcdrya,— «Biblio-
theca mathematlca», 1912—1913, 3, Folge, Bb 13.
15.	M. Rangacarya, Th? G laita-Sdra-Sangraha of Mahavir de dr ya, with
English transl. and notes, Madras, 1912.
16.	G. Sarton, Introduction to the history of science, vol. 1—3. Baltimore,
1927—1947.
17.	K. S. Shukla, On Sridhara's rational solution of Nx'-\-I=y2,— «Ganita»,
1950, vol. 1, № 2, December.
18.	«The Siddhanta-sekhara by Sripati», ed. by Babua Misra, vol. 1, Calcutta,
1932.
245
19.	D. E. Smith, History of mathematics, vol. 1—2, Boston — London, 1930.
23.	I. Taylor, Lilavati or a theatise on arithmetic and geometry, Bombay, 1816.
21.	«The Trisatika by Sridhara», ed. by Sudhakara Dvivedi, Benares, 1899.
22.	«The Mah3-Bh3skariya by Bhaskara 1», ed. and transl. into English with
notes and comment, by K. S. Shukla, Lucknow, 1960.
23.	«The Brah.na-Sph.ita-Siddhanta by Brahmagupta>, ed. with explanatory no-
tes by Sudhakara Dvivedi, Benares, 1902.
24.	«Die Practica des Algorismus Ratisbonensis. ELi Rechenbuch des Benediktiner-
klosters St. Emmeram aus der Mitte des 15 Jahrhunderts», herausgegeben und erlautert
von K. Vogel, Munchen, 1954.
Т. И. Кары-Ниязов
УЛУГБЕК И САВАЙ ДЖАЙ СИНГХ
Многочисленные факты, различные памятники материальной куль-
туры, археологические находки дают нам свидетельства не только о вы-
соком для своего времени уровне умственной жизни народов Средней
Азии и Индии, но и об их взаимных культурных связях. Эти связи, ухо-
дящие своими корнями в глубокое прошлое, обогащая друг друга, ока-
зывали не только взаимное благотворное влияние на развитие научной
мысли среднеазиатских и индийских народов, но и на развитие мировой
науки.
От верховьев Аму-Дарьи до Северной Индии обнаружено много па-
мятников архитектуры и скульптуры времен Кушанского царства, за-
нимавшего в начале новой эры обширную территорию от Согда до Верх-
него Инда и от Памира до Парфии. Многие из этих памятников най-
дены на территории Гандхары. Характерно, чго в формировании ганд-
харского искусства важную роль сыграли художественные традиции
народов Северной Индии и Средней Азии, ибо это искусство возникло
во время проникновения в Северную Индию среднеазиатских племен
[1, стр. 102—112].
В правление Канишки, считавшегося покровителем буддийских ре-
лигиозных учреждений, буддизм получает большое распространение в
Средней Азии. В это время в Бактре был построен большой буддийский
храм. Вообще, на территории Средней Азии обнаружено значительное
количество памятников, связанных с буддизмом. Например, в 1927 г.
экспедиция Музея восточных культур и Среднеазиатского комитета по
охране памятников старины и искусства (Средазкомстариса) открыла в
древнем Термезе два крупных древних буддийских святилища, а по сло-
вам китайского путешественника Сюан Цзяна (VII в.), он видел там бо-
лее десяти буддийских монастырей, много статуй и других изображений
Будды. Религиозные буддийские сооружения имелись в Самарканде и
других местах.
Одним из ярких примеров культурной связи между народами рас-
сматриваемых стран служит деятельность нашего соотечественника, зна-
менитого хорезмийского ученого ал-Бируни. Как известно, ал-Бируни
долгое время жил в Индии, изучил санскрит и разговорные языки, а
также быт, культуру и верования народов Индии. Его энциклопедиче-
ский труд, общеизвестный под сокращенным названием «Индия», явля-
ется прекрасным и незаменимым первоисточником по истории этого го-
сударства. Предложенный ал-Бируни оригинальный метод определения
247
размеров земного шара — результат его непосредственных астрономи-
ческих измерений, произведенных им с вершины одной из гор в Индии.
Культурные связи между народами Средней Азии и Индии начали
развиваться еще более интенсивно при Улугбеке, а затем Бабуре, осно-
вателе династии Великих Моголов. На фоне этих связей в период XV—
XVIII вв. особого внимания заслуживает деятельность двух ученых:
Улугбека (1394—1449) в Средней Азии и Савай Джай Сингха (1686—
1743) в Индии. Первый из них был правителем Мавераннахра (Между-
речья) в Средней Азии, а второй правителем Раджастана (Раджпутана)
в Индии. Но замечательно то, что оба они были астрономами и мате-
матиками; Савай Джай Сингх, кроме того, был еще и архитектором
(градостроителем), а в области астрономии — преемником научных тра-
диций Улугбека.
Шахрух, отец Улугбека, оставил по себе память страстного люби-
теля книг, особенно редких. Собирая книги и приобретая за любую
пену уникальные рукописи со всех концов мира, он создал богатейшую
библиотеку. Эта библиотека способствовала расширению умственного
кругозора Улугбека, получившего прекрасное по тем временам образо-
вание.
Улугбек был знаком с классическими трудами Платона, Аристоте-
ля, Гиппарха, Птолемея, прекрасно знал труды своих соотечественни-
ков: ал-Хорезми, ал-Фергани, ал-Фараби, ал-Бируни, Абу Али ибн
Сины и др.
В отличие от прочих тимуридов Улугбек не увлекался походами.
Да и те походы, которые осуществлялись при его жизни, были, во-пер-
вых, весьма непродолжительными и, во-вторых, носили совершенно
иной характер: за редким исключением они предпринимались в случае
крайней необходимости, против надвигавшейся опасности. Такая опас-
ность, например, грозила со стороны моголов в начале 1425 г., когда
Улугбек вынужден был предпринять поход.
Последний раз в 1427 г. ему пришлось выступить против царевича
Бурака, который предъявлял несправедливые претензии на земли по бе-
регам Сыр-Дарьи. После этого «в течение следующих двадцати лет он
лично не совершил никаких походов» [2, стр 113] даже и тогда, когда
со стороны Сыр-Дарьи или Моголистана совершались набеги на гра-
ницы его владений. Характерно, что продолжительность и тех немногих
походов, которые совершались при Улугбеке, в совокупности составляет
не более двух-трех лет. Таким образом, все остальное время Улугбек
целиком занимался наукой.
По свидетельству источников, Улугбек обладал феноменальной па-
мятью. В качестве примера позволим себе напомнить один общеизвест-
ных эпизод. Улугбек был страстным охотником и вел список убитой им
дичи. Однажды этот список был потерян, и Улугбек восстановил его по
памяти. Впоследствии, когда пропавший список был найден, оказалось,
что допущенное им разногласие между старыми и новыми записями
оказалось только в четырех или пяти местах [3, стр. 139].
Улугбек принимал активное участие в литературных и научных ди-
спутах. Он обнаруживал отличные познания и в таких областях, как
арабский язык, литература, история, музыка. Этот человек поражал
своих собеседников железной логикой, о чем, например, свидетельствует
следующий случай. Однажды такой искусный проповедник, как Сейид
Ашик, во время проповеди, произнесенной в Самарканде, в резких вы-
ражениях сделал наставление Улугбеку. Тогда он спросил у проповед-
ника: «Скажите, Сейид, кто хуже — я или фараон?». Сейид отвечал:
«Фараон хуже». Улугбек задал еще один вопрос: «Теперь скажите, кто
248
лучше — Моисей или Вы?» Сейид отвечал: «Моисей лучше». После это-
го Улугбек обратился к нему со следующими словами: «Если господь
приказал Моисею не говорить с фараоном в грубых выражениях и да-
же [сказал] „скажи ему мягко”, почему же вы. который хуже Моисея,
говорите мне, который лучше фараона, таким грубым образом?» Сейид
не нашелся, что ответить, и вынужден был замолчать [3, стр. 191].
В отличие от подавляющего большинства правителей Улугбек про-
славился не как государственный деятель, а как ученый. Более того,
увлечение наукой в известной мере отрицательно сказывалось на его
государственной деятельности. Направление ученой деятельности Улуг-
бека шло вразрез с омертвевшими догмами ислама и не способствовало
его авторитету как правителя. Реакционное духовенство всячески стре-
милось дискредитировать Улугбека в глазах народа, обвиняло его в
ереси.
«В мусульманском мире до Улугбека не было ученых на престоле;
в этом отношении мусульманские авторы могли сравнивать Улугбека
только с царственным учеником Аристотеля» [2, стр. 134].
Такой глубокий мыслитель, как Навои, весьма метко характеризу-
ет научную деятельность Улугбека, выделяя его даже из числа прави-
телей-меценатов: «Все сородичи Улугбека, — заметил Навои, — ушли в
небытие. Кто о них вспоминает в наше время? Но Улугбек протянул
руку к наукам и добился многого». И в самом деле, кто, например, в
наше время вспоминает его отца Шахруха или деда Тимура? Аналогич-
но быстро предавались забвению и те правители, которым посвящались
произведения тех или иных ученых.
По свидетельству Давлет-шаха, Улугбек «достиг высокой степени
учености и глубоко проник в суть {вещей]. Уровень ученых в его вре-
мя находился на большей высоте, и достойные занимали при нем важ-
ное положение. В геометрии он был подобен Евклиду, а в астрономии —
Птолемею. По единодушному мнению превосходных и мудрых, при ис-
ламе и даже раньше, со времен [Александра] Двурогого по сие время,
на престоле власти не было падишаха-ученого, подобного Улугбеку Гур-
гану» [4, стр. 302].
Заслуживает внимания то, что «во-первых, Давлет-шах писал в
1487 г., т. е. почти через 40 лет после смерти Улугбека, в то время, ког-
да власть в Самарканде принадлежала его политическим противникам.
Во-вторых, весь текст об Улугбеке как ученом состоит из точных фак-
тов, подтвержденных другими историческими источниками» [4, стр. 303].
Одним из замечательных и важнейших достижений Улугбека и его
школы в области математики является определение дуги одного граду-
са, приведшего к алгебраическому уравнению третьей степени вида
х3 + ах + b = 0,
для решения которого предложен оригинальный метод последователь-
ных приближений (см. [5, стр. 144—156]).
Прекрасный знаток школы Улугбека комментатор «Зидж-и Гурга-
ни» астроном Бирджанди свидетельствует о том, что один из способов
решения рассматриваемой задачи принадлежит Джемшиду, а другой —
«султану-мученику», т. е. Улугбеку.
В своих «Комментариях к Зидж-и Гургани» Бирджанди пишет:
«Поскольку стал известен приближенный способ определения синуса од-
ного градуса, я ниже приведу также доказательство способа определе-
ния этого. Имеются два способа этого: один — тот, который разработал
султан геометров Гияс-ад-Дин Джемшид ал-Каши, а другой — тот, ко-
249
юрый изложен автором (зиджа. — Т. К.-Н.)—святым султаном-муче-
ником Улугбеком, да будет свет над его могилой» [6, л. 77а]1.
Основав медресе, а затем и обсерваторию, Улугбек лично подбирал
кадры, предварительно беседуя с ними и убеждаясь в достаточности их
научной квалификации. Например, когда постройка медресе «прибли-
жалась к концу, присутствовавшие при сооружении здания спросили
Улугбека, кто будет назначен мударрисом? Улугбек ответил, что он по-
дыщет человека, сведущего во всех науках. Эти слова услышал мауля-
на Мухаммед, сидевший тут же в грязной одежде среди куч кирпича,
и тотчас заявил о своем праве на эту должность. Улугбек стал его рас-
спрашивать и, убедившись в познаниях Мухаммеда, велел отвести его в
баню и надеть на него хорошую одежду. В день открытия медресе мау-
ляна Мухаммед прочитал лекцию в качестве мударриса. На церемонии
открытия присутствовали 90 ученых, но никто из них не мог понять лек-
цию, кроме Улугбека и Казы-заде Руми» [2, стр. 126].
Улугбеку как главе научной школы не раз приходилось выступать
на диспутах, посвященных вопросам астрономии, отвечать на сложные
вопросы. Например, Седийо приводит один из таких случаев, зафикси-
рованный в рукописи, автором которой является астроном Самарканд-
ской обсерватории комментатор «Зидж-и Гургани» Мирим Челеби.
В этой рукописи говорится: «Наш Мулла Гияс-ад-Дин Джемшид спро-
сил на собрании нескольких султанов или чиновников князя автора
этих таблиц, почему в трактатах по астрономии сказано, что в апогее
и перигее никакого уравнения нет, тогда как мы находим определение
его в таблицах? Его величество ответил: „В мои намерения не входит
установить в таблицах уравнение для этих двух точек". Ответ, данный
Гияс-ад-дину Джемшиду, очевидно, правилен, после того что мы изло-
жили в наших комментариях». (7, стр. 141].
Этот документ позволяет нам сделать ряд важных выводов, а имен-
но: во-первых, в нем говорится об Улугбеке как об «авторе этих таблиц»;
во-вторых, такой крупный астроном и математик, как Гияс-ад-Дин
Джемшид ал-Каши обращается к Улугбеку с научным вопросом и полу-
чает на него исчерпывающий ответ. Все это характеризует Улугбека как
главу школы.
Астрономической школе Улугбека посвящена книга [5] автора этих
строк. Поэтому в данной статье мы остановимся лишь на некоторых во-
просах в связи с рассматриваемой темой.
Одним из важнейших достижений Самаркандской обсерватории
Улугбека является его каталог звезд. Почти на протяжении пяти веков
его изучали ученые и Востока, и Европы, и Америки. Характерно то, что
все исследователи всегда приходили к выводу о том, что каталог звезд
Улугбека составлен главным образом в результате непосредственных
наблюдений и что в этом-то и заключается его исключительная цен-
ность.
Каталог звезд Улугбека (вместе с другими астрономическими таб-
лицами) был широко распространен на Востоке в виде рукописей. Су-
ществует большая литература, посвященная Улугбеку, особенно на язы-
ках народов Востока.
1 Приводим транскрипцию таджикского текста Бирджанди: «Ч}Н тарика-йи исти-
хродж-и джайб-и як дарапжа би-такриб маълум шуд, тарик-и истихродж-и он бурхон
низ ирод кунам. Ва он ду тарик аст: яки он ки султон ал-мухандисин Гиёс-ад-дин
Джамшид ал-Коши истихродж карда, ва дигар он ки султон саъид шахид аз Улугбек hvp
маркадухи мусанниф-и баён фармуда» Мы указывали на это в докладе нарагширен-
ном пленуме Комиссии по истории астрономии Астросовета АН СССР в Баку 30 мая
1962 г.
250
Каталог звезд Самаркандской обсерватории Улугбека был опуб-
ликован Т. Хайдом в 1665 г. в Оксфорде [8], а затем издавался и изучал-
ся неоднократно. Например, в предисловии к астрономическим табли-
цам «Зидж-и Шах Джахани» индийский астроном Абу-Мулла Фарид
Дехлеви. перечисляя все предшествовавшие астрономические таблицы,
пишет, что «из всех астрономических таблиц в настоящее время наибо-
лее почитаемыми и точными являются самаркандские астрономические
таблицы» (см. [9]).
Примерно в этом же духе высказывается и Лаплас, который, счи-
тая Улугбека «величайшим наблюдателем», пишет: «Он [Улугбек] со-
ставил сам в Самарканде, столице своих владений, новый каталог звезд
и астрономические таблицы, лучшие из тех, которые существовали до
Тихо Браге» [10, стр. 69].
Бигурдаи, изучавший каталог звезд Улугбека спустя полвека после
Лапласа, приходит к выводу о том, что «эта работа была действитель-
но оригинальной; между тем, все те, которые мы встречали до сих пор,
были извлечены из Птолемея, по крайней мере в отношении координат»
[II, стр. 313].
Как показали тщательные исследования Петерса и Нобла, из 1018
звезд, помещенных в звездном каталоге Улугбека, фактические наблю-
дения в Самаркандской обсерватории были произведены над долгота-
ми около 900 звезд, над широтами 878 звезд, определены эклиптические
долготы и широты 700 звезд. И только положения остальных определе-
ны приведением к эпохе Улугбека по каталогу Ибн Суфи, т. е., в конеч-
ном счете, по Птолемею. Вот почему Петерс и Нобл подчеркивают, что
«звездный каталог Улугбека, будучи выполнен главным образом на ос-
новании собственных наблюдений, представляет исключительный инте-
рес» [12].
Знаменательно, что после Гиппарха, в сущности, вторым астроно-
мом, составившим фундаментальный каталог звезд, был Улугбек. Этот
каталог «имеет гораздо большую ценность, ибо он основан на положе-
ниях звезд, действительно определенных в Самаркандской обсерватории.
Он представляет по существу второй серьезный каталог за 16 столетий.
Только два астронома поняли до XV в. важность звездных каталогов--
Гиппарх и Улугбек» [13, стр. 230].
Таким образом, все, без единого исключения, исследователи, изу-
чавшие каталог звезд Улугбека, независимо друг от друга, приходят к
одному и тому же весьма важному и бесспорному выводу: этот каталог
является главным образом продуктом непосредственных наблюдений
Самаокандской обсерватории и в этом — его исключительная ценность.
Однако считаю своим долгом предостеречь читателя от глубоко
ошибочного утверждения, будто каталог звезд Улугбека «не является
продуктом наблюдений Самаркандской обсерватории», с которым вы-
ступил Г. Джалалов [14]. Для «обоснования» этого неверного положе-
ния Г. Джалалов приводит следующую цитату из комментария Бирд-
жанди: «То, что дано в этом зидже (т. е. «Зидж Гурагони». — Г. Д.) схо-
дится с данными Ибн Суфи» [14, стр. 97]. Таким образом, выходит, что
данные, касающиеся всех звезд, помещенных в каталоге Улугбека, схо-
дятся с данными Ибн Суфи, и, следовательно, мол, они «не являются
продуктом наблюдений Самаркандской обсерватории» [14, стр. 97].
Однако приведенная цитата является лишь частью предложения,
которое прервано на самом важном месте, имеющем решающее значе-
ние в данном вопросе. Вот как гласит предложение Бирджанди полно-
стью: «То, что дано в этом зидже, сходится с данными Ибн Суфи в от-
ношении 48 звезд» [6, л. 326а] и дальше идет перечисление этих 48 звезд.
251
Но о них упоминает и сам Улугбек. «Абдурахман Суфи,— пишет
он, — составил „Трактат о звездах". который был встречен с радостью
всеми учеными. Прежде чем определить места звезд по нашим собствен-
ным наблюдениям, мы расположили их, согласно этому трактату, на
сфере, и мы нашли, что большинство из них расположено не так, как
это следует при обозрении неба. Это заставило нас самих заняться их
наблюдениями... Мы вновь произвели наблюдения над уже определен-
ными звездами, за исключением двадцати семи из них, которые не
видны на широте Самарканда... эти двадцать семь звезд мы взяли из
книги Абдурахмана Суфи с учетом разниц в эпохах. Кроме того, Абду-
рахман Суфи упоминает еще о восьми звездах, места которых были ука-
заны Птолемеем, но которые он сам, Абдурахман, не наблюдал. Эти
звезды, несмотря на все наши тщательные поиски, нами не были обна-
ружены; поэтому мы не указываем эти звезды в нашем каталоге. Од-
нако этими звездами Птолемея являются четырнадцатая звезда Возни-
цы, одиннадцатая — Волка и шесть вне Южной Рыбы» [15, л. 1176].
Таким образом, здесь, т. е. в «Зидж-и Гургани» Улугбека, речь идет
как раз только о тех звездах, которые перечислены у Бирджанди вслед
за приведенной им фразой. А между тем вследствие неаккуратного
цитирования слова Бирджанди оказались распространенными на весь
каталог Улугбека, насчитывающий 1018 звезд. У Ибн Суфи Утугбек
заимствовал только величины звезд [5, стр. 280].
Несмотря на это, стремясь подкрепить свое неверное утверждение о
каталоге звезд Улугбека, Г. Джалалов идет еще дальше; он пишет, что
«глава IV „Зидж Эльхани"» отведена определению долготы и широты
звезд. По данному вопросу Бирджанди (умер в 1506 г.) в главе XIII
раздела III, посвященной определению положения звезд, говопит так:
«То, что получено в этой обсерватории (Самапкандской. — Г. Д.), схо-
дится с данными в „Зидж Эльхани"» [14, стр. 96].
В данном случае применен другой прием цитирования. Во-первых, в
этом случае не приводится ни начало ни конец предложения. Во-вторых,
так как из этой цитаты не видно, что собственно «сходится», то полу-
чается, что речь идет о координатах звезд, ибо, как пишет Г. Джалалов,
«глава IV „Зидж Эльхани" отведена определению долготы и широты
звезд» [14, стр. 96]. Однако проверка цитаты показала, что речь идет не
о координатах звезд, а о поепессии!
Но и это не остановило Г. Джалалова! Вслед за привеченной ци-
татой он пишет, что «правильность такого утверждения Бирджанди
окончательно выясняется сличением каталогов звезд Мапагской и Са-
маркандской обсерваторий» [14, стр. 96]. При этом Г. Джалалов для
сличения принимает «Зидж-и мухаккак Султани» за «Зидж-и Эльхани»
Правомерность такой подмены он мотивирует тем, что «Зидж-и мухак-
как Султани» составлен на основе работ Мапагинской обсерватории. Та-
ким образом, здесь речь идет о сличении «Зидж-и Гургани» с «Зидж-и
мухаккак Султани». Но проведенная нами проверка показала, что в
последнем зидже нет каталога звезд!
Чтобы окончательно выяснить истинное положение вещей, остается
проверить подлинный «Зидж-и Эльхани». Однако, как показал Г. Д. Ма-
медбейли, специально изучавший научное наследие Насирэддина Туси,
«в „Зидж Эльхани" нет звездного каталога» [16, стр. 233], а имеется
лишь «особая таблица, в которой указаны эклиптические координаты
некоторых звезд» [16, стр. 233]. Таким образом, ни в «Зидж-и мухаккак
Султани», ни в «Зидж-и Эльхани», с которыми Г. Джалалов «сличает»
«Зидж-и Гургани» Улугбека, нет каталога звезд!
Неверно утверждение Г. Джалалова и о том, будто «текст „Зидж
252
Гурагони44 без таблиц был первоначально составлен самаркандским
ученым Джемшидом Чусти на арабском языке и называется „Тариб
Зиджа Султана44» [14, стр. 97]. Дело обстоит как раз наоборот, о чем
имеется точное указание в конце самой рукописи [17], где речь идет о
«трактате ученого султана Улугбека», арабизированном (т. е. переве-
денном с таджикского языка на арабский) Джемшидом.
В упомянутой статье Г. Джалалова содержится немало и других
ошибок2. Полагаю, что после всего сказанного нет смысла тратить вре-
мя на их рассмотрение.
Труды Самаркандской обсерватории и особенно рассмотренный на-
ми каталог звезд Улугбека по праву пользуются заслуженной мировой
славой. По своим грандиозным масштабам, по оригинальности конструк-
ции, а также по результатам наблюдений обсерватория Улугбека яви-
лась последним словом дотелескопической астрономии.
Великим трудом Улугбека и его школы заканчивается период так
называемой мусульманской астрономии. Но и после длительного застоя
науки на Востоке здесь наблюдались как бы отдельные ее вспышки.
В этой связи заслуживает внимания попытка возрождения научных тра-
диций Самаркандской обсерватории в Индии спустя триста лет после
трагической гибели ее основателя Улугбека, заслуженно прозванного и
великим, и мучеником.
Упомянутый правитель Раджпутана (Раджастана) Савай Джай
Сингх, касаясь истории сооружения астрономической обсерватории в
Шах-Джахан-Абаде (Дели), писал: «И хотя это дело было огромной
важности и прошло много времени, пока кто-либо из могущественных
раджей не сделался достойным его окружения, в мире ислама со вре-
мени покойного султана-мученика Мирзы Улугбека до настоящего вре-
мени на протяжении более чем трехсот лет никто из высокославных сул-
танов, именитых и высокопоставленных людей на такое дело не обра-
щал должного внимания» [18, л. 2а]. Переходя далее к рассмотрению
инструментов обсерватории, Савай Джай Сингх продолжает: «Препоя-
савшись поясом душевной энергии, здесь также устроили по мусуль-
манским книгам несколько астрономических приборов, подобных тем,
которые когда-то были сделаны в Самарканде» [18, л. 2а] (следует пере-
числение этих приборов).
В начале XV11I столетия, кроме обсерватории в Дели, Савай Джай
Сингх соорудил еще четыре: в Бенаресе, Джайпуре, Матхуре, Уджайне,
где также производились наблюдения. Больше того, Савай Джай Сингх,
не ограничиваясь этими наблюдениями, посылал наблюдателей и в дру-
гие районы и страны (например, на отдаленные острова, в частности,
расположенные на южной широте 4° 12', и т. д.).
После семилетней работы Савай Джай Сингх завершил свой труд и
обнародовал соответствующие таблицы. «Когда после завершения это-
го дела прошло семь лет, — пишет Савай Джай Сингх, — разнесся слух,
что близко к этому времени в Европе тоже устроили астрономические
инструменты и тамошние великие люди и их ученые проявляют к этому
удивительному делу живейший интерес, что астрономическая обсерва-
тория продолжает функционировать и [что европейские ученые] пребы-
вают в постоянном исследовании [всех] тонкостей {астрономической]
науки. На этом основании отсюда послали в ту страну достойных дове-
рия ученых специалистов в этой науке в сопровождении Манучехра
Эмиля Падре. Когда [последний со своими спутниками] попросил вме-
2 О них мы говорили на расширенном пленуме Комиссии по истории астрономии
Астросовета АН СССР в Баку.
253
сте с прежними астрономическими таблицами той страны тамошние но-
вые астрономические таблицы, называвшиеся „Либер“ и за прошедшие
30 лет расположенные по новому порядку, и подверг их рассмотрению,
то, когда были произведены по ним астрономические наблюдения,
в таблицах лунных фаз оказалась разница на полградуса, хотя в таб-
лицах других светил такой разницы не было» [18, л. 26].
Сопоставление таблиц Савай Джай Сингха с таблицами Улугбека
свидетельствует об огромном влиянии Самаркандской астрономической
школы (см. [5, стр. 307]).
Джавахарлал Неру после характеристики Савай Джай Сингха
как правителя особо подчеркивает его заслуги как ученого
«Но меня интересуют, — пишет Неру, — не его политические и воен-
ные успехи. Будучи храбрым воином и превосходным дипломатом, он
представлял собой и нечто значительно большее. Он был математиком
и астрономом, ученым и градостроителем и проявлял интерес к изуче-
нию истории» [19, стр. 299].
Таким образом, Савай Джай Сингх, подобно Улугбеку, государст-
венную деятельность сочетал с научными исследованиями, чем и отли-
чался от многих других правителей в Индии3.
«Тот факт, что он (Джай Сингх. — Т. К.-Н.) появился и действовал
как ученый в типично феодальном окружении Раджпутана, в один из
самых мрачных периодов индийской истории, в период упадка, войн и
смуты, весьма показателен. Это говорит о том, что дух научного иссле-
дования не был мертв в Индии и что там действовали скрытые силы,
которые могли бы принести богатые плоды, если бы им дали возмож-
ность созреть. Джай Сингх не был представителем старины или одино-
ким мыслителем во враждебном и неспособном понять его окружении.
Он был человеком своего времени, привлекшим к своим работам многих
ученых» [19, стр. 300].
Очевидно, все то, что сказано здесь, за исключением общей харак-
теристики периода как «одного из самых мрачных периодов индийской
истории», в полной мере относится и к основателю Самаркандской аст-
рономической школы великому Улугбеку.
ЛИТЕРАТУРА
1.	С. П. Толстов, Древний Хорезм, М., 1948.
2.	В. В. Бартольд, Улугбек и его время, — Сочинения, т. II, ч. 2, М., 1964.
3.	Абу-Тахир Ходжа, Самария, Описание древностей и мусульманских святынь
Самарканда, перев. В. JL Вяткина, Справочная книжка Самаркандсксй обл., вып. VI,
1899, стр. 191.
4.	О. Д. Чехович, Из источников по истории Самарканда XV в., — в сб.:
«Из источников эпохи Улугбека», Ташкент, 1965.
5.	Т. Н. Кары-Ниязов, Астрономическая школа Улугбека, М.— Л., 1950.
6.	Бирджанди, Шарх-и зидж-и Гургани, рукопись № 458 ИВ АН УзССР.
7.	L. A. Sedillot, Prolegomenes des Tables astronomiques d'Oloug-Beg, Pa-
ris, 1853.
8.	«Tabulae longltudlnls et latitudinis stellarum fixarum ex observatione Ulugh-
Beigi», Oxonlae, 163j>.
9.	Зидж-и Шах джахани, рукопись № 4225 ИВ АН УзССР.
10.	Р. S. Laplace, Pr£cis de I'Histoire de Tastronomie, Paris, 1865.
11.	G. Bigourdan, L*Astronomic, laris, 1911.
12.	С. H. F. Peters, E. B. Knobel, Llugh-beg's Catalogue of stars, Washington,
1917.
3 Исключение из них составляет основатель династии Великих Моголов Бабур,
который успешно занимался творческой деятельностью. Им написаны, например, трак-
таты по музыке, поэтике, военному делу
254
13.	F. Bqnet, Hlstolre de Г astronomic, Paris, 1925.
14.	Г. Джалялов, Отличие *3идж Гурагони» от других подобных зиджей,—
«Историко-астрономические исследования», 1955, вып. 1, стр. 85—100.
15.	Улугбек, Зидж-и Гургани, рукопись № 22.4 ИВ АН УзССР.
16.	Г. Д. Мамедбейли, Основатель Марагинской обсерватории Насирэддин
Туси, Баку, 1961.
17.	Каши, Та'риб зидж-и Султани, рукопись № 2123 ИВ АН УзССР.
18.	Савай-Джай-Сингх, Зидж-и Мухаммед-шахи, рукопись №441 ИВАН УзССР.
19.	Дж. Неру, Открытие Индии, М., 1955.
Б. А. Розенфельд
АРАБСКИЕ И ПЕРСИДСКИЕ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
РУКОПИСИ В БИБЛИОТЕКАХ СОВЕТСКОГО СОЮЗА
Ниже приводится список арабских и персидских физико-математи-
ческих рукописей в библиотеках Советского Союза, сведения о которых
удалось получить. Нами обследовались 15 библиотек.
1.	Государственная библиотека СССР им. Ленина (ГБЛ) в Москве.
2.	Государственная публичная библиотека им. Салтыкова-Щедрина
(ГПБ) в Ленинграде. Рукописи описаны в каталогах: [1] (основное соб-
рание восточных рукописей), [2] (собрание Ханыкова, поступившее ог
Н. В. Ханыкова в 1864 г.), [3] («собрание Фирковича») и в статье
М. И. Демидовой и Г. И. Костыговой [4, стр. 156—171].
3.	Библиотека Ленинградского отделения Института народов Азии
(ИНА). Рукописи описаны в каталогах [5] («коллекция Руссо», куплен-
ная Азиатским музеем у Ж. Л. Руссо в 1822 г.), [6] («Бухарская коллек-
ция», собранная В. А. Ивановым в 1915 г.), [7] («Ванская коллекция»,
поступившая с Кавказского фронта в 1916 г.), [8] (коллекция бывшего
Учебного отделения Министерства иностранных дел, поступившая в
1919 г.), [9] (персидские рукописи), [10] (еврейские рукописи). Много-
численные сообщения о более мелких поступлениях в Азиатский му-
зей — Институт востоковедения — Институт народов Азии указаны в
[4, стр. 39—41], а также в статьях А. Б. Халидова [4, стр. 33—37] (араб-
ские рукописи), Ю. Е. Борщевского [4, стр. 37—39] (персидские рукопи-
си) и В. И. Беляева [11] (арабские рукописи).
4.	Библиотека Ленинградского государственного университета
им. Жданова (ЛГУ). Рукописи описаны в каталогах [12] («Казанская
коллекция», поступившая в 1855 г из Казанского университета), [13],
[14], а также в статьях А. Т. Абрамова (4, стр. 218—221], В. И. Беляева
и И. Г. Булгакова [15].
5.	Библиотека Казанского государственного университета им. Улья-
нова-Ленина (КГУ). Рукописи описаны в статьях А. Г. Каримуллина [4,
стр. 228—236] и [16].
6.	Библиотека Института востоковедения Академии наук Узбекской
ССР (ИВ) в Ташкенте. Рукописи описаны в каталоге [17] и в статье
Г. П. Матвиевской [18].
7.	Библиотека Ташкентского государственного университета им. Ле-
нина (ТГУ). Рукописи описаны в каталоге [19].
8.	Матенадаран — Институт древних рукописей им. Месропа Маш-
гоца при Совете Министров Армянской ССР (ИДР) в Ереване.
9.	Институт рукописей им. Кекелидзе Академии наук Грузин-
ской ССР (ИР) в Тбилиси. Рукописи кратко описаны в статье Г. В. Аб-
гаряна [4, стр. 127—142].
256
10.	Республиканский рукописный фонд Академии наук Азербайд-
жанской ССР (РРФ) в Баку.
11.	Библиотека Азербайджанского государственного университета
им Кирова (АГУ) в Баку.
12.	Библиотека Академии наук Таджикской ССР (БАН) в Душанбе.
13.	Библиотека Института языка и литературы Академии наук
Таджикской ССР (ИЯЛ) в Душанбе.
14.	Государственная библиотека им. Фирдауси (ГБФ) в Душанбе.
15.	Библиотека Института языка и литературы Академии наук Турк-
менской ССР (ИЯЛ) в Ашхабаде.
Выражаю глубокую благодарность О. Ф. Акимушкину, Ю. Е. Бор-
щевскому, А. М. Газову-Гинзбергу, Г. И. Костыговой, В. В. Лебедеву,
А. Б. Халидову и I. А Шумовскому (Ленинград), Б. Л. Лаптеву,
А. С. Фатхиеву и М. Н. Идиатуллину (Казань), Д. Г. Вороновскому.
Г. П. Матвиевской и М. А. Сабирову (Ташкент), Л. С. Хачикяну и
А. Д. Папазяну (Ереван), И. В. Абуладзе и Р. Гварамия (Тбилиси),
С. М. Рустамову и Ф. С, Сейидову (Баку), Г. С. Собирову и М. С. Ша-
риповой (Душанбе) и Б. Ахундову (Ашхабад) за сообщенные ими све-
дения о рукописях, хранящихся в Ленинграде, Казани, Ташкенте, Ере-
ване, Тбилиси, Баку, Душанбе и Ашхабаде, а также А. П. Юшкевичу,
по инициативе которого была выполнена эта работа, за ряд ценных
советов.
Наиболее богатыми фондами арабских и персидских рукописей об-
ладают [4] библиотека ИВ в Ташкенте (около 8 тыс. томов арабских и
более 6 тыс. томов персидских рукописей), библиотека ИНА в Ленин-
граде (около 5 тыс. томов арабских и более 6 тыс. томов персидских ру-
кописей), библиотека КГУ в Казани (около 3 тыс. томов арабских ру-
кописей), ГПБ в Ленинграде (около 800 томов арабских и около 1000
томов персидских рукописей) и библиотека ЛГУ в Ленинграде (около
8С0 томов арабских и около 60С томов персидских рукописей).
Приводимый нами список рукописей состоит из двух частей: 1) спи-
ска рукописей по авторам, в котором указаны рукописи сочинений из-
вестных авторов, и 2) списка рукописей по библиотекам, в котором,
наряду со ссылками на первый список, указаны рукописи анонимных и
малоизвестных авторов. В том случае, когда язык рукописи не отмечен,
она написана на арабском языке. Так как некоторые рукописи, напи-
санные на арабском языке, сохранились только в средневековых еврей-
ских переводах, мы указываем еврейские рукописи, являющиеся пере-
водами с арабского.
Следует отметить, что в перечисленных выше библиотеках имеются
математические рукописи, сведений о которых по различным причинам
не удалось получить. В частности, библиотеки КГУ (Казань), ИВ (Таш-
кент) и ИР (Тбилиси) обладают значительными фондами неразобран-
ных арабских и персидских рукописей.
СПИСОК РУКОПИСЕЙ ПО АВТОРАМ
1.	Аристотель — Аристуталис (384—322 до н. э.).
О небе (Китаб фи сама ва-л-’алам — Книга о небе и вселенной),
перевод Юханны ибн Юсуфа (IX в.), в обработке Яхьи ибн ’Ади
(ум. 974) — Ташкент ИВ 2385/68 (лл. 272 об.—299, см. {17, т. 5], № 3834).
Книга тайн звезд, сочиненная для Александра Македонского (Ки-
таб асрар нуджум вуди’а ли-Искандар)—Ленинград ИНА В 822/3
(лл. 34 об. — 40).
2.	Автолик — Аутулукус (IV в. до н. э.).
17 Закаа 33В
257
О движущейся сфере (Китаб ал-кура ал-мугахаррика) в обработке
Сабита ибн Корры ал-Харрани ас-Саби (ок. 830—901)—Ленинград ГПБ
(2] 144/4 (лл. 160—161 об.), Казань КГУ араб. 1087/2 (лл. 4—7).
О восходах и заходах (Китаб фи-т-тулу’ ва-л-гуруб) в обработке
Сабита ибн Корры — Ленинград ГПБ [2] 144/17 (лл. 301—307 об.).
3.	Евклид — Уклидис (IV—III вв. до н. э.).
Начала (Китаб ал-усул ал-хандаса — Книга начал геометрии), пе-
ревод ал-Хаджжаджа ибн Юсуфа ибн Матара (VIII—IX вв.) в обработ-
ке Сабита ибн Корры — Ленинград ИНА С 1245 (208 лл.), рукопись
переписана в 1182 г., см. [11, стр. 92]. Еврейский перевод Моисея Ибн
Гиббона (Сефер ха-йесодот)—Ленинград ИНА В 16 (193 л.), С 127
(224 л.).
То же, в обработке Насир ад-Дина ат-1уси (1201—1274)—Ленин-
град ГПБ [2] 140 (206 л.), 141 (78 л.); ИНА А 258 (131 л., см. [5], № 420),
А 671/6 (лл. 225 об. —230, I книга); ЛГУ 90/3 (лл. 54—146 и 203 об.—
207, см. [14], № 269), Казань ЛГУ араб. 107/2 (лл. 42—208) и араб.
1695 (157 л.), Ташкент ИВ 4854 (128 л., см. (17, т. 6], № 4235), Тбилиси
ИР араб. К 26 (128 л.), Душанбе ГБФ 591 (175 л.) Персидские пере-
воды— Ленинград ГПБ [2] 143 (62 л.); ИНА С 1472 (88 л., см. [9],
№ 841), персидский перевод аш-Ширази — см. 45. Русский перевод
раздела о параллельных линиях — в работе [20].
Феномены (Китаб аз-захират — Книга явлений)—астрономический
трактат — Ленинград ГПБ (2] 144/7 (лл. 221—230).
Оптика (Китаб ал-маназир — Книга оптики) — классический трак-
тат о геометрической оптике и теории перспективы, перевод Косты
ибн Луки ал-Ба’лбакки (864—912)—Ленинград ГПБ [2] 144/13 (лл. 289—
291 об.). Персидский перевод — там же [2] 146 (8 л.).
4.	Архимед — Аршимидис (287—214 до н. э.).
Измерение круга (Макала фи таксир ад-даира)—Ленинград ГПБ
[2] 144/12 (лл. 287—289).
Книга лемм (Китаб ал-ма’хузат), перевод Сабита ибн Корры в об-
работке Абу-л-Хасана ’Али ан-Насави (ум. 1030) —там же 144/15
(лл. 293 об. — 297 об.). Перевод с латинского перевода другой рукопи-
си см. [21, стр. 391—400].
5.	Аполлоний — Абулунийус (265—170 до н. э.).
Конические сечения (Китаб фи-л-махрутат) — перевод Хилаля ал-
Химси в обработке братьев Бану Муса (IX в.)—Ленинград ЛГУ 185
(122 л., неполный текст III и IV книг, см. [12], № 168)
6.	Феодосий — Саузусийус (II в. до н. э.).
Сферика (Китаб ал-укар), перевод Косты ибн Луки до V предло-
жения III книги, законченный Сабитом ибн Коррой, — Ленинград ГПБ
[2] 142 (121 л.), 144/3 (лл. 137 об, — 159 об.); ИНА А 285/2 (лл. 29 об.—
61, см. [7, стр. 922]). Еврейский перевод Якова бен Махира (Сефер ха-
каддур) —Ленинград ИНА С 12/1 (лл. 1—34).
О днях и ночах (Китаб ал-айам ва-л-лийал)—Ленинград ГПБ [2]
144/8 (лл. 230—238 об.).
7.	Гипсикл — Ибсиклаус (II в. до н. э.).
О восхождениях знаков зодиака (Китаб ал-матали’ — Книга вос-
хождений), перевод Косты ибн Луки в обработке Я куба ал-Кинди —
Ленинград ГПБ [2] 144/18 (лл. 307 об, —308 об.).
8.	Тевкр — Танкалуша (I в. н. э.).
Книга Танкалуши Вавилонянина из Кукана об изображении небес-
ных градусов и некоторых их признаках согласно принятому древними
(Китаб Танкалуша ал-Кукани мин ахл Бабил фи сувар дарадж ал-фа-
258
пак ва ба’д далаилха ’ала ма ухизу *ан ал-Кудама) —астрологический
трактат — Ленинград ИНА С 1680 (157 л.), D 171/2 (лл. 3—44, см. [8,
г. 1], № 191). Первая рукопись описана в работе [22, стр. 130—176].
Персидский перевод — Ленинград ИНА D 141 (97 л., см. {9], № 873).
9.	Менелай — Маналаус (I—II вв. н. э.).
Сферика (Китаб ал-укар) в обработке Насир ад-Дина ат-Туси —
Баку РРФ Б 4274 (49 л.). Еврейский перевод Якова бен Махира (Се-
фер ха-темунот) —Ленинград ИНА С 12/2 (лл. 35—85).
10.	Веттий Валенс — Балинас (II в. н. э.).
Книга философа Валенса (Китаб Балинас ал-хаким)—астрологи-
ческий трактат в обработке Абу Бакра Мухаммада (или Ахмада) ибн
Вакшийи ан-Набати (IX в.)—Ленинград ЛГУ 1099 (57 л.).
11.	Клавший Птолемей — Батлумийус (II в. н. э.).
Алмагест (ал-Маджисти)—классический трактат по астрономии,
в обработке Насир ад-Дина ат-Туси — Ленинград ГПБ [2] 139 (132 л.);
ИНА А 1256, В 810 (206 л.), С 614 (186 л.), D 172 (77 л.) (см. [5],№403,
[8, т. 1], № 188, [10], стр. 94), Казань КГУ араб. 108 (138 л.). Персидский
перевод аш-Ширази — см. 45. Еврейский перевод с арабского Якова
Анатоли — Ленинград ИНА D 33 (182 л.).
Книга плодов в науке о звездах (Китаб ас-самара фи ’илм ан-нуд-
жум) — астрологический трактат — Ленинград ИНА В 809/1 (лл. 1 об.—
75), D 171/4 (лл. 74—98 об.) (см. (8, т. 1] № 191).
То же в обработке Насир ад-Дина ат-Туси — Казань КГУ перс. 22
(95 л.), Ташкент ИВ 590/1 (лл. 1—20), 2247/3 (лл. 35—54).
12.	Маша’аллах ал-Басри (ум. ок. 815), уроженец Басры, работал
в Багдаде.
Вопросы (Масаил). Еврейский перевод (Сефер ха-шеэлот ле-Ма-
шаллах — Книга вопросов Маша’аллаха)—Ленинград ИНА В 70
(лл. 158—161), В 150/12 (лл. 220—223).
13.	Мухаммад, Ахмад и ал-Хасан Бану Муса ибн Шакир (IX в.)
работали в Багдаде.
Обработка «Конических сечений» Аполлония — см. 5.
Книга градусов о природе градусов, переведенная из индийских книг
(Китаб дараджат фи таба’и ад-дарадж манкула мин кутуб ал-Хинд) —
Ленинград ИНА D 171/3 (лл. 44—74, см. (10], № 191).
14.	Я’куб ибн Исхак ал-Кинди (ум. 877), уроженец Басры (Ирак),
работал в Багдаде.
Обработка сочинения Гипсикла «О восхождениях знаков зодиа-
ка» — см. 7.
Трактат (Рисала) —трактат о метеорологии. Еврейский перевод —
Ленинград ИНА С 76/6 (лл. 121 об.— 138). Латинский перевод см. (23].
15.	Абу Ма’шар Джа’фар ал-Балхи (ум. 886), уроженец Балха, ра-
ботал в Багдаде.
Книга о науках звезд (Китаб фи ’улум ан-нуджум) —Ленинград
ИНА В 807 (154 л., см. [5], № 469). Латинский перевод другой рукопи-
си см. [24].
Книга о часах (Са’ат-наме, перс.) —там же, В 2062 (лл. 26об.—28),
С 453 (лл. 318—349 об.) (см. [9], № 2684—2685).
Вопросы астролябии (Масаил дар астурлаб, перс.) — там же, А 264
(лл. 135 об.—157, см. [9], № 4344).
16.	Мухаммад ал-Фаргани (IX в.), уроженец Ферганы, работал в
Багдаде.
Книга начал науки о звездах (Китаб фи усул ’илм нуджум) —Ле-
нинград ИНА В 3059/3 (лл. 39об. — 78). Еврейский перевод Якова Ана-
толи— Москва ГБЛ, собрание Гинзбурга, 1065 (42 л ), 1071 (96 л.),
17*
259
Ленинград ИНА С 76/2 (лл. 65—85). Латинский перевод другой руко-
писи см. [25].
17.	Сабит ибн Корра ал-Харрани ас-Саби (ок. 830—901), уроженец
Харрана (Сирия), выходец из сабиев— звездопоклонников, потомков
вавилонских жрецов, работал в Багдаде.
Обработка «Начал» Евклида — см. 3.
Обработка сочинений Автолика «О движущейся сфере» и «О восхо-
дах и заходах» — см. 2,
Книга предположений (Китаб ал-мафрудат), геометрический трак-
тат— Ленинград ГПБ [2] 144/16 (лл. 297об.— ЗООоб.).
18.	Коста ибн Лука ал-Ба’лбакки (864—918)—уроженец Баалбе-
ка (Сирия).
Книга о построениях на звездной сфере (Китаб ал-’амал би-л-кура
ан-нуджумиййа), еврейский перевод Якова Ибн Тиббона (Сефер ха-
ма’асе ба-каддур ха-гилгал)—Ленинград ГПБ, собрание Фирковича
348 (19 л.), ИНА В 446/6 (лл. 65—79 об.).
19.	Ихван ас-сафа ва хуллан ал-вафа (Братья чистоты и друзья
верности) (IX в.)—группа ученых, наиболее крупными из которых
были Абу Сулайман Мухаммад ал-Бусти, Абу-л-Хасан ’Али аз-Зинджа-
ни, Мухаммад ал-Нахраджури, Абу-л-Хасан ал-Ауфи и Зайд
ибн Рафа’а, известна также под названием Басрийских братьев, рабо-
тала в Басре (Ирак), Багдаде, Нишапуре, Самарканде.
Трактаты (Расаил)—коллективный труд Братьев чистоты, со-
ставляющий энциклопедию научной и философской мысли. Первая
часть (14 трактатов) посвящена арифметике, геометрии, астрономии и
географии, музыке и логике, вторая часть (17 трактатов) —естествозна-
нию, третья часть (10 трактатов)—философии, четвертая часть
(11 трактатов)—астрономии и мистике. Вторая часть — Ташкент ИВ
3887 (401 л., см. [17, т. 3], № 1921). Персидский перевод Ибн ал-Хасана
математических трактатов — Тбилиси ИР перс. 54/89 (134 л.). Арабский
текст нескольких философских трактатов — Ленинград ИНА [8, т. 1],
№ 194 (152 л.).
20.	Мухаммад ал-Хаким ат-Тирмизи (ум. 932), уроженец Термеза.
Книга о годе (Сал-наме, перс.) — Ленинград ИНА А 342 (лл. 62—
67), В 1952 (л. 235 об.), В 2141 (лл. 123об. — 126 об.), С 1202 (лл. 4об. —
8об.), С 1304 (лл. 3 об.— 8) (см. [9], № 2191—2195), Ташкент ИВ 591/2
(лл. 95—96 об.), 3749/3 (лл. 133об, —145), 4162/5 (лл. 78—86), 433Э/2
(лл. 128—132 об.), 8986/2 (лл. 65 об, —70 об.), 9179/12 (лл. 160 об,—
162) (см. [17, т. 6], № 4277—4282).
Книга о Новом годе (Науруз-наме, перс.) —Ташкент ИВ 1773/5
(лл. 97 об. —99), 2730/5 (лл. 331 об. —335), 2730/6 (лл. 335 об. —337)
(см. [17, т. 5], № 3838—3840). Узбекский перевод — Ташкент ИВ 8257/26
(лл. 208 об. — 215, см. [17, т. 7], № 5423). То же название носит трак-
тат ’Омара Хайяма [26, стр. 187—224].
21.	Абу Наср Мухаммад ал-Фараби (ок. 870—950), уроженец Фа-
раба при впадении р. Арысь в Сыр-Дарью, работал в Багдаде и Алеп-
по (Сирия).
Трактат о достоверном и недостоверном в предсказаниях по звез-
дам (Рисала фи ма йасиху ва ма ла йасиху мин ахкам ан-нуджум) —
Ташкент ИВ 2385/32 (лл. 116—118) и 2385/57 (лл. 209об. —211 об.)
(см. [17, т. 5], № 3842 и 3843).
22.	Абу-с-Сахл Вайджан ал-Кухи (X в.), уроженец Куха (Север-
ный Иран), работал в Багдаде.
Трактат о совершенном циркуле (Рисала фи-л-биркар ат-тамм) —
трактат об инструменте для вычерчивания конических сечений — Ленин-
260
град ИНА А 285/1 (лл. 1 об.— 27 об., см. [7, стр. 932]). Французский пе-
ревод другой рукописи см. [27].
23.	Абу Наср ал-Хасан ал-Кумми (X в.).
Введение в науку предсказаний по звездам (ал-Мадхал ила ’илм
ахкам ан нуджум) —Ленинград ИНА В 1048 (119 л., см. [8, т. 11, № 186).
24.	’Абд ар-Рахман ас- Суфи (903—998), уроженец Рея (Иран), ра-
ботал в Багдаде.
Книга неподвижных звезд (Китаб ал-кавакиб ас-сабита)—Ленин-
град ГПБ араб, новая серия 191 (142 л.), ИНА С 724 (104 л , см. [8, т. 1],
№ 185), ЛГУ 669. Французский перевод первой рукописи с воспроизве-
дением изображений созвездий см. [28].
Трактат об астролябии (Рисала ал-астурлаб) —Ленинград ИНА В
1329 (лл. 50—94, см. [8, г. 1], № 190).
25.	Абу-л-Вафа Мухаммад ал-Бузджани (940—998), уроженец Буз-
гана (Хорасан), работал в Багдаде.
Арифметический трактат (Рисала ал-а[ри!сматики) —трактат о тео-
ретической арифметике (арисматики — транскрипция греческого слова
aptfyjwpxT), в отличие от хисаб — практической арифметики, по «Вве-
дению в арифметику» Никомаха Геразского)—Ташкент ИВ 4750/8
(лл. 255 об. — 257 об., см. (181).
26.	Са’ид Кушияр ибн Лаббан ал-Джили (X в.), уроженец Гиляна
(Северный Иран).
Введение в искусство предсказаний по звездам (Ал-мадхал фи са-
на’а ахкам ан-нуджум) —Ленинград ИНА В 808 (37 л.), Ташкент ИВ
445/2 (63 л., см. [17, т. 6], № 4288).
27.	Абу Са’ид Ахмад ас-Сиджизи (951 —1024), уроженец Сиджиста-
на (Восточный Иран).
Книга об устройстве небесных сфер (Китаб таркиб ал-афлак) —
Ленинград ИНА В 3692/3 (лл. 13 об. — 26).
28.	Абу ’Али ал-Хасан ибн ал-Хайсам (965—1039), уроженец Бас-
ры, работал в Каире.
Книга измерения (Китаб ал-мисаха)—Ленинград ИНА В 2139/2
(лл. 100—139 об., см. [6], № 940).
Речь о разрешении сомнений об изменении наклона эклиптики
(Каул фи халл шукук харака ал-илтифаф) —там же, В 1030/1 (лл. 1 —
20 об., см. [8, т. 1], №192).
Книга о форме затмения (Макала фи-с-сура ал-кусуф)—там же,
В 1030/2 (лл. 21—47 об.). Немецкий перевод другой рукописи см. [29].
Книга о луночках (Макала фи-л-ашкал ал-хилалиййа)—там же,
В 1030/3 (лл. 50—72 об., 133—134).
Об измерении шара (Фи мисаха ал-кура)—там же. В 1030/4
(лл. 73—77).
О делении друг на друга двух различных величин, упомянутых в
предложении 1 книги X «Начал» Евклида (Фи кисма ал-микдарайн ап-
мухталифайн ал-мазкурайн фи-ш-шакл ал-аввал мин ал-макала ал-’аши-
ра мин китаб Уклидис)—там же, В 1030/6 (лл. 78 об. — 81).
Книга о движении Луны (Макала фи харака ал-камар)—там же.
В 1030/6 (лл. 81 об. —89 об.).
Книга о задачах, встречающихся в тонкостях арифметики (Макала
фи масаил ат-талаки мин мулах ал-хисаб) —там же, В 1030/7
(лл. 90—101 об.).
Речь о геометрических задачах (Каул фи масаил хандасиййа),—
там же, В 1030/8 (лл. 102—ПО об.).
Речь об определении направления кыблы (Каул фи истихрадж
сайт эл-кибла) —трактат об определении направления на Мекку в дан-
261
ном пункте по координатам этого пункта —там же, В 1030/9 (лл. 111—
121). Немецкий перевод другой рукописи см. [30].
Речь, содержащая ответ на вопрос о параллаксе Луны (Каул фи
джаваб ’ан масала фи ихтилаф манзар ал-камар)—там же, В 1030/10
(лл. 122—125).
Речь о циркуле для больших кругов (Каул фи биркар ад-даваир
ал-’азам)—там же, В 1030/11 (лл. 125 об.— 131). Немецкий перевод
другой рукописи см. [31].
Книга о разрешении сомнений в «Началах» Евклида и разъясне-
ние их смысла (Китаб фи халл шукук китаб Уклилис ва-ш-шарх ма’ани-
хи) — Казань КГУ араб. 103 (лл. 1 —150) Еврейский перевод Моисея
Ибн Тиббона — Москва ГБЛ, собрание Гинзбурга. 340/6 (лл. 87—
118 об.).
Комментарии к введениям «Начал» Евклида — Шарх мусадарат
китаб Уклидис —Казань КГУ араб. 104 (лл. 151—222). Русский пере-
вод раздела о параллельных линиях см. в [32], раздел о составных от-
ношениях описан в [33].
Книга о форме мира (Китаб фи хайа ал-’алам), еврейский перевод
(Текунат ха-’олам) —Ленинград ГИБ, собрание Фирковича, 354 (17 л.).
Немецкий перевод арабской рукописи см. [34].
29.	Абу Бакр Мухаммад ал-Караджи (X—XI вв), уроженец Ке-
реджа (Иран), работал в Багдаде.
Достаточное в науке арифметики (ал-Кафи фи ’илм ал-хисаб) —Ле-
нинград ИНА В 2139/3 (лл. 140 об. — 201 об., см. [6], № 863). Немецкий
перевод другой рукописи см. [35].
30.	Абу-р-Райхан Ахмад ал-Бируни (973 — ок. 1050), уроженец Кя-
та (Хорезм), работал в Хорезме, Джурджане (Северный Иран) и в Газ-
не (Афганистан).
Памятники минувших поколений (Асар ал-бакийа мин курун ал-
халийа) — классический трактат по хронологии, содержащий астроно-
мические и математические разделы, — Ленинград ИНА D 580 (см [10,
стр. 71]). Русский перевод см. [36].
Книга вразумления в начатках искусства звездочетства (Китаб ат-
тафхим ли аваил мин сана’а ат-танджим, перс.)—учебное руководство
по геометрии, арифметике, астрономии, географии и астрологии в виде
вопросов и ответов — Ташкент ИВ 3423 (231 л.) и 445/1 (52 л.) (см. [17,
г. 6]. № 4242. 4243). Английский перевод по другой рукописи см. [37].
31.	Абу ’Али ал-Хусайн ибн Сина (980—1037), уроженец Бухары,
работал в Хорезме и Иране
Книга спасения (Китаб ан-наджа)—энциклопедический трактат,
содержащий главы по геометрии, арифметике, астрономии и теории му-
зыки,— Ереван ИДР араб. 45. Рукопись описана в работе [38].
Книга знания, посвященная ’Ала ад-Дину (Даниш-наме-йи ’Алаиййе.
перс.) — энциклопедический трактат, содержащий главы по физике, —
Ташкент ИВ 2385/17—19 (лл. 51 об.—89, см. [17, т. 3], № 1925). Русский
перевод по другим рукописям см. [39].
Трактат по логике, физике и теологии (Рисала фи-л-мантик ва-т-
заби’ййат ва-л-илахиййат)—Ташкент ИВ 2385/20 (лл. 89 об. — 93, см.
[17, т. 31, № 1926).
Сокровища познания (Кунуз ал-ма’рифа)—Ташкент ИВ 2385/22
(лл. 94 об. — 95 об., см. [17, т. 51. № 3844).
32.	Абу Исхак Ибрахим аз-Заркали (ок. 1030 — ок. 1090), работал
в Толедо.
Трактат о пользовании диском астролябии (Рисала фи-л-’амал би-
сафиха), еврейский перевод (Иггерет ха-ма’асе ба-луах ха-никра цефи-
2.6?
ха) —Ленинград ГПБ, собрание Фирковича, 352 (18 л.); ИНА В 103/5
(лл. 80—82, перевод Якова ха-Сефарди), В 103/6 (лл. 83—94), В 311/3
(лл. 46—60, перевод Якова бен Махира).
33.	’Омар Хайям (1048—1131), уроженец Нишапура (Хорасан), ра-
ботал в Самарканде, Исфахане и Мерве.
Весы мудростей (Мизан ал-хикам)—трактат об определении ко-
личества золота и серебра в сплаве, включен в трактат его ученика ал-
Хазини — см. 35 — Ленинград ГПБ (2] 117 (лл. 59 об. — 60 об.). Фото-
копия рукописи и русский перевод см. [26, стр. 147—151 и XIV—XVII].
34.	Абу-с-Салт ’Омайя ал-Андалуси (1067—1134), уроженец Дении
(Испания).
Трактат о пользовании астролябией (Рисала фи-л-’амал би-л-астур-
лаб) —Ленинград ГПБ [1] 128/2, Ташкент ИВ 465/1 (лл. 1 об. — 32 об.,
см. [17, т. 6], № 4267).
Наука музыки (’Илм ал-мусика) —трактат о теории музыки, осно-
ванный на теопии отношений. Еврейский перевод (Хохмат ха-музика) —
Ленинград ИНА В 103/1 (лл. 1—36).
35	’Абд ар-Рахман ал-Хазини (XII в.), работал в Мерве.
Книга о весах мудрости (Китаб мизан ал-хикма) —Ленинград ГПБ
[2] 117 (109 л.). Рукопись описана Н. В. Ханыковым в [40], русский пе-
ревод раздела об определении удельных весов — см. [41, стр. 249—265].
36.	Абу-л-Хасан ’Али ал-Байхаки (1106—117С), работал в Иране.
Сборник предсказаний по звездам /Джанами’ ахкам ан-нуджум) —
Ташкент ИВ 443 (306 л., см. [17, т. 6], № 4289).
37.	Фахр ад-Дин Мухаммад ар-Рази (1120—1210), уроженец Рея
(Иран).
Собрание наук (Джами’ ал-’улум) —энциклопедический трактат,
содержащий математический раздел, — Ленинград ИНА С 612
(лл. 68 об. — 117), Ташкент ИВ 415/1. 2671, 5514 (см. [17, т. 3], № 2796).
Высшие предсказания по небесным знамениям (ал-Ахкам ал-’ала-
виййа мин алм-а’лам ас-сама’иййа (перс.)—Ленинград ИНА А 264
(лл. 2 об. — 50 об., см. [9], № 25).
Сокровенная тайна о речи звезд (ас-Сирр ал-мактум фи махатаба
ан-нуджум, перс.)—Ленинград ИНА В 856 (108 л., см. [9], № 2243),
Ташкент ИВ 3847 (97 л., см. [17, т. 5], № 226).
38.	Шихаб ад-Дин Яхья ас-Сухраварди (1154—1191), уроженец
Джибаля, работал в Багдаде и Алеппо.
Книга примечаний, т. е. Физика (Китаб ат-талвихат вахува ат-та-
би’) — Казань КГУ араб. 1227 (лл. 132 об. — 216).
39.	Сирадж ад-Дин Мухаммад ас-Сиджаванди (XII в.), работал в
Средней Азии.
Трактат по арифметике (Рисала-йи хисаб) —Душанбе, БАН 2128/3
Приведение к общему знаменателю (ат-Таджнис фи-л-хисаб) —
Ленинград ИНА С 1216 (лл. 226 об. — 227 об.), С 1330/13 (лл. 138—
142 об.), С 1417/25 (лл. 333 об, —334 об., см. [6], № 168—170).
Трактат по алгебре и алмукабале (Рисала ал-джабр ва-л-мукаба-
ла)—1 ашкент 6425/4 (лл. 114об. — 119), 5185/10 (лл. 126 об.— 133 об.),
6023/7 (лл. 155—159) (см. [17. т. 6], № 4229—4231).
40.	Абдаллах ’Имад ад-Дин ал-Хаддам (XII—XIII вв.), работал в
Багдаде.
Блестящие пользы оснований аоифметики (ал-Фаваид ал-бахаиййа
фи-л-каваид ал-хисабиййа)—Ленинград ИНА В 2139/1 (лл. 1—99, см.
[6], № 788).
41.	Абу-л-Хайр Мухаммад ал-Фариси (XIII в.?), работал в Иране
или Средней Азии.
263
Трактат об астролябии (Рисала дар астурлаб)) —Ленинград ГПБ
перс, новая серия, 229/1 (лл. 1—62).
Книга гороскопов (Тали’-наме) —там же, 229/3 (лл. 79—113).
Избранные решения календаря (Мунтахаб-и халл-и таквим)—там
же, 229/2 (лл. 63—79), Ташкент ИВ 8485 (28 л., см. [17, т. 8], № 5668).
42.	Асир ад-Дин Муфаддал ал-Абхари (ум. 1265), уроженец Джи-
баля, работал в Мосуле и Малой Азии.
Астрономия (Хайа)—Казань КГУ, араб. 1711/1 (лл. 1—138).
43.	Насир ад-Дин Мухаммад ат-Туси (1201—1274), уроженец Туса
(Хорасан), работал в Марате (Азербайджан).
Обработка «Начал» Евклида — см. 3.
Обработка «Сферики» Менелая — см. 9.
Обработка «Алмагеста» и «Книги плодов» Птолемея — см. 11.
Памятка Насир ад-Дина (ат-Тазкира ан-Насириййа) —краткое из-
ложение «Алмагеста» без доказательств — Ленинград ИНА А 437 (45 л.,
см. [8, т. 1], №187).
Эльханские астрономические таблицы (Зидж-и Ильхани, перс.) —
астрономические таблицы, составленные в Марагинской обсерватории
при дворе монгольских ханов — «эльханов» — Баку РРФ № 221 (148 л.,
экземпляр озаглавлен: Зидж-и ходжа Насир-и Туси машхур бар Зидж-
и Хани — Астрономические таблицы ходжи Насир [ад-Дин] ат-Туси, из-
вестные как [Эль]ханские астрономические таблицы. Английский пере-
вод географической части см. [40], рукопись описана в книге [43].
Сборник по арифметике с помощью доски и пыли (Джами’ ал-хи-
саб би-т-тахт ва-т-тураб)—трактат, посвященный описанию арифме-
тических действий, производимых заостренной палочкой на доске, покры-
той пылью, — Ленинград ЛГУ 90/5 (лл. 151—176, см. [12], № 169), Таш-
кент ИВ 8990/6 (лл. 123—158 об.). Русский перевод раздела ташкентской
рукописи об извлечении корней любой степени и формуле бинома см.
[44].
Книга о фигуре секущих (Китаб ат-шакл ал-кита’) —классический
трактат по сферической! тригонометрии, известный также под названи-
ем «Трактат о полном четырехстороннике», — Ленинград ГПБ [2] 144/19
(лл. 309—349), 145 (160 л.). Русский перевод по другой рукописи см. [45]
Двадцать глав о познании астролябии (Бист баб дар ма’рифат-и
астурлаб, перс.)—Ленинград ГПБ [1] 128/1 (лл. 1—31), 130/7 (лл. 50—
63), 317/2 (лл. 93—НО), [2] 124/1 (лл. 1—37, 42 об. —94), 138/3 (лл.85—
НО); ИНА А 254 (лл. 65 об. — 99), А 268 (лл. 97 об. — 116 об.), В 3059
(лл. 108 об. — 125 об.), В 4295 (лл. 30 об. —41 об.), В 4375 (лл. 1 об.—
16 об., см. [9], № 415—419), Ташкент ИВ 1207/4 (лл. 151 об. — 173 об., см.
[17, т. 1], № 503), Тбилиси перс. 217/384 (35 л.), Баку РРФ Б 2837/1
(16 л.), Душанбе ГБ 877 (25 л.).
Тридцать разделов о познании календаря (Си фасл дар ма’рифат-и
таквим, перс ) —Ташкент ИВ 8990/4 (лл. 90—1С0), Баку А 36 (лл 26—
36). Турецкий перевод — Ленинград ГПБ [1] 547/2 (лл. 45—63).
Краткое о познании календаря (Мухтасар дар ма’рифат-и таквим,
перс.)—Ленинград ИНА А 834 (58 л., см. [9], № 3975), Ташкент ИВ
1206/4,5 (лл. 34—77, 77—96), Тбилиси ИР 534 (148 л.), Баку РРФ Б 413
(99 л.).
Комментарии к Птолемею (Шарх Батлумийус)—Баку РРФ Б 11
(119 л.).
Правило (Ка’ида) —правило определения первого дня лунного ме-
сяца— Ташкент ИВ 436/1 (лл. 1 об. — 3, см. [17, т. 1], № 502).
Трактат о жаре и холоде (Рисала фи-л-харара ва-л-баруда) —Таш-
кент ИВ 562/10 (лл. 395 об. — 397, см. (17, т. 1], № 500).
264
Выбор счастливых дней (Ихтийарат) — астрологический трактат —
Ташкент ИВ 1355/5 (лл. 213—215), 1356/11 (лл. 204 об, —206) (см. [17,
т. 6], № 4291, 4292).
Учение о (гадании на] песке (’Илм-и рамл, перс.) — Ленинград ГПБ
[1] 547/5 (лл. 71—146).
44.	Наджм ад-Дин ’Али ал-Катиби ал-Казвини (ум. 1277), уроже-
нец Казвина (Иран), сотрудник Марагинской обсерватории ат-Туси.
Мудрость источника [знания] (Хикма ал-’айн) — энциклопедический
трактат, содержащий математический и физический разделы, — Ленин-
град ИНА В 3050 (149 л., физика), Казань КГУ араб. 3227 (328 л.),
Ташкент ИВ 2979/18 (лл. 324 об, —371), 4070/9 (лл. 268 об. — 329 об.)
(см. [17, т. 3], № 1941, 1942), 4697/2 (лл 142—169), 8796/6 (лл. 155—167),
Душанбе ГБФ 324.
Проверенные султанские астрономические таблицы (Зидж-и му-
хаккак султани, перс.)—обработка Эльханских астрономических таб-
лиц— Ташкент ИВ 3608 (92 л.).
45.	Кутб ад-Дин Махмуд аш-Ширази (1236—1311), уроженец Ши-
раза (Иран), сотрудник Марагинской обсерватории ат-Туси.
Шахский подарок по астрономии (ат-Тухфа аш-шахиййа фи-л-
хайа)—Ленинград ЛГУ 670 (303 л.).
Граница постижения в познании небесных сфер (Нихайа ал-идрак
фи дарайа ал-афлак) —Ташкент ИВ 3758/4 (лл. 167—291), Баку РРФ
М225.
Жемчужина короны для украшения Дубаджа (Дурра ат-тадж ли
гурра ад-Дубадж, перс.) —энциклопедический трактат, содержащий
математические и астрономический разделы. Геометрический раздел
трактата является переводом на персидский «Начал» Евклида в обра-
ботке ат-Туси (см. 3), астрономический раздел — переводом «Алма-
геста» Птолемея в той же обработке (см. И) —Ленинград ИНА
В 964 (203 л., см. [9], № 1316), Казань КГУ перс. 48, Ташкент ИВ 816
(316 л.).
Избранное для Музаффар ад-Дина (Ихтийарат Музаффари, перс.) —
сокращенное изложение «Границ постижения в науке о небесных
сферах» — Ленинград ИНА С 794 (142 л., подробный обзор см. [8, т. 3].
№ 124; см. также [9], № 41).
46.	Низам ад-Дин ал-Хасан ан-Найсабури (XIII—XIV вв.), уроже-
нец Нишапура, сотрудник Марагинской обсерватории ат-Туси.
Солнечный трактат по арифметике (ар-Рисала аш-шамсиййа фи-л-
хисаб) —Москва ГБЛ араб. 87/2 /лл. 31 об. — 112), Ленинград ИНА В
871/13 (лл. 21 об, —159 об.), В 842/1 (лл. 2 об, —55 об.), В 2991/1
(лл. 1 об. — 5, III и IV разделы главы арифметики дробей), В 311§
/186 л.).С 1330/12 (лл. 177—178 об.,см.[6], № 543); ЛГУ 90/6 (лл. 177—
202, см. [12], № 169), Казань КГУ араб. 1055 (лл. 307—334), Ташкент
ИВ 1693/1 (лл. 1—48), 6023/10 (лл. 175—209), 6125/1. 6131/7, 9 (лл. 187—
197, 271—291), 6175/2, 6425/6 (лл. 117—147), 7822/4 (22 л.), 8044/6
/43 л.), 8152/3 (лл. 10—39). Душанбе БАН 1266 (118 л.), 2200, 2136/2,3,5,
3070/11; ИЯЛ 31, Ашхабад ИЯЛ 2537/1 (лл. 8—50).
Раскрытие истин Эльханских астрономических таблиц (Кашф ал-
хакаик Зидж Ильхани, перс.) —Ленинград ИНА С 618 (341 л., см. [9],
№ 3409). Рукопись частично описана в книге [43, стр. 85—95].
Комментарии к Памятке (Шарх тазкира) — комментарии к «Па-
мятке Насир ад-Дина» ат-Туси (см. 43)—Казань КГУ араб 1704
(242 л.). Баку РРФ Б 783 (237 л.).
47.	Мухаммад ал-Язди (XIII—XIV вв.?) уроженец Иезда, работал
в Иране или Средней Азии.
265
Примечания к «Сферике» Менелая (Хаваши дар Курриййат-и Ма-
налаус, перс.)—Ленинград ГПБ [2] 144/9 (лл. 238 об. — 277).
Сливки арифметики (Зубда ал-хисаб, перс.)—Ленинград ИНА В
2388 (лл. 1 об.— 60 об., см. (91, № 2160).
Источники арифметики (’Уйун ал-хисаб) —Баку РРФ Б 414 (40 л.).
Подарок звездочетам (Тухфа ал-мукаджжимин) —Ташкент ИВ 461
(185 л., см. [17, т. 61. № 4296).
Комментарии к «Сокращению „Начал"» (Шарх Маджмал ал-
Усул) — комментарии к астрономическому сочинению Кушияра ал-
Джили — Ташкент ИВ 2572/36 (лл. 811 об. —829, см. [17, т. 1], № 506).
48.	Шаме ад-Дин Мухаммад ас-Самарканди (XIII—XIV вв.), уро-
женец Самарканда, работал в Средней Азии.
Основные предложения (Ашкал ат-та’сис) — изложение 35 пред-
ложений книги I «Начал» Евклида, содержащее оригинальное доказа-
тельство V постулата, — Ленинград ИНА В 821/3 (лл. 9 об. — 38 об.,
см. [7, стр. 500]), Казань КГУ араб. 820 (5 л.), 1121 (лл. 113—143),
Ташкент ИВ 3055 (35 л.), 3373/4 (лл. 157—190; в [17, т. 5], № 3831 эта
рукопись приписывается Ибн Сине), Баку РРФ Б 18364 (11 л.).
То же в обработке Мусы Кази-заде ар-Руми (1360—1437) —Ленин-
град ГПБ (1] 133/3 (лл. 88—295), 241/2 (лл. 28—83), Казань КГУ араб.
97 (33 л.), 106 (лл. 2—39). Русский перевод доказательства V постула-
та по рукописям ГПБ — см. [46].
49.	Абу-л-’Аббас Ахмад ибн ал-Банна ал-Марракуши (1251—1321),
уроженец Марракуша (Марокко), работал в Северной Африке.
Краткое изложение арифметических действий (Талхис фи а’мал ал-
хисаб) — Ленинград ЛГУ 757/23 (лл. 225 об. — 234). Французский пе-
ревод по другой рукописи — см. [47].
50.	Махмуд ал-Чагмини (XIV в.)—уроженец Чагмина (Хорезм),
работал в Хорезме
Избранное по астрономии (ал-Мулаххас фи-л-хайа)—Ленинград
ГПБ (1] 133/1 (лл. 1—87); ИНА А 645'3 (лл. 111 об.—132); ЛГУ 90/1
(лл. 1—11, см. [12], № 169), Казань КГУ араб. 1824 (60 л.), Ташкент
ИВ 7761/3 (лл. 52 об. —64), 8796/11 (лл. 257 об,—273) (см. [17, т. 6].
№ 4244, 4245), Баку РРФ Б 503, Б 603, Б 807 Немецкий перевод по
другой рукописи — см. [48].
Книга разъяснения астрономии (Китаб фи байан хайа) — Казань
КГУ араб. 1607/2 (лл. 82 об. —90), Ереван ИДР 839 (84 л.).
Наука о звездах (’Илм нуджум) —Баку РРФ В 337 (173 л.).
51.	’Али ибн аш-Шатир ал-Ансари (1304—1375), работал в Дамаске.
Астрономические таблицы (зидж) —Ленинград ИНА С 723 (143 л.,
см. [8, т. 1], № 189).
Лучи света о пользовании универсальным инструментом (ал-Аш’а
ал-лама’а фи-л-’амал би-л-ала ал-джами’а) —Ленинград ИНА В 1029/1
(лл. 1 об.— 16 об., см. [8, т. 1], № 190).
52.	Са’д ад-Дин Мас’уд ат-Тафтазани (1322—1389), уроженец Таф-
тазана вблизи нынешнего Ашхабада (Хорасан), работал в Герате, Гиж-
дуване и Самарканде.
Трактат об углах треугольника (Рисала фи завайа ал-мусаллас) —
Ташкент ИВ 2422/6 (лл. 73 об. — 80 об.). 4697/29 (л. 275), 6425/1 (лл. 1 —
6), 8820/4 (лл. 21—23) (см. [17. т. 1], № 498, [17, т. 6], № 4238).
53.	Мухаммад аз-Заки ал-Газнави (XIV в ), уроженец Газни (Аф-
ганистан).
Достаточное для обучения искусству звездочетства (Кафайат-и та’-
лим дар сана’ат-и танджим, перс.)—Ленинград ИНА В 838 (190 л..
266
см. [91. № 3413), Ташкент ИВ 3658 (75 л.), 442/1 (245 л.), 703 (200 л.)
(см. [17, т. 1], № 507, 508), Тбилиси ИР 147/185 (164 л.).
Блестящий трактат (Рисала бахаиййа) —Ташкент ИВ 2319.
54.	’Абдаллах ал-Маридини (ум. 1406), уроженец Дамаска, работал
в Ираке.
Краткое предисловие к познанию (действий] определения [ночи и
дня] (Мукаддама мухтасапа сЬи ма’рифа [а’мал] истихрадж [ал-лайл ва-
н-нахар])—Ленинград ИНА В 3556/2 (лл. 22 об. — 34 об.).
55.	Шаме ад-Дин Мухаммад ал-Халили (XIV в.) из Дамаска.
Объяснение дугового квадранта (Шарх ap-руб’ ал-кауси), еврей-
ский перевод Моисея Галиано (Пируш хар-роба’ ха-каштоти) —Ленин-
град ГПБ, собрание Фирковича, 350 (16 л.), ИНА В 446/7 (лл. 80—86).
Объяснение синусов (Шарх ал-джуйуб), еврейский перевод Моисея
Галиано (Пируш ал-джуйуб)—Ленинград ИНА В 446^8 (лл. 87—90).
56.	ас-Саййид аш-Шариф ’Апи ал-Джурджани (1339—1413). уро-
женец Джурджана (Северный Иран).
Комментарии к Памятке (Шарх ат-тазкира)—комментарии к
«Памятке» Насира ад-Дина ат-Туси (см. 43)—Ленинград ГПБ [2] 122
(334 л.). ИНА С 615 (101 л.), Ташкент ИВ 2655/1 (лл. 1—137).
Комментарии к Мудрости источника (Шарх ал-хикма ал-*айн) —
комментарии к энциклопедическому трактату ал-Катиби (см. 44) —
Ташкент ИВ 6637/3 (283 л.).
Комментарии к ал-Чагмини (Шарх ал-Чагмини)—комментарии к
«Избранному по астрономии» (см. 50) —Ленинград ИНА А 589/1
(лл. 1 об. — 56 об.), А 645/1 (лл. 1 об. — 57 об., см. [7, стр. 943]): ЛГУ
90/2 (лл. 13—51, см. [12], № 169), Ташкент ИВ 2655/3 (лл. 218—268, см.
[17, т. 6], № 4246).
57.	Шихаб ад-Дин Ахмад ибн ал-Хаим ал-Фаради (1355—1412).
уроженец Каира, работал в Иерусалиме.
Трактат о науке арифметики (Рисала фи ’илм ал-хисаб) —Ташкент
ИВ 9027/8 (лл. 64—71).
Альмукантараты (ал-Мукантарат)—Баку РРФ В 2837/2 (7 л.).
58.	Салах ад-Дин Муса Кази-заде ар-Руми (1360—1437), уроже-
нец Бруссы (Турция), работал в Самарканде в обсерватории Улугбека.
Обработка «Основных предложений» ас-Самарканди — см. 41.
Трактат о науке астрономии (Рисала фи ’илм ал-хайа) — Ленинград
ИНА С 1062/12 (лл. 51 об.—56).
Правила действий и исправление таблиц (Дастур ал-’амал ва тас-
хих ал-джадвал, перс.)—Тбилиси ИР перс. 49/84 (199 л.) Трактат с
тем же названием принадлежит внуку ар-Руми Мириму Челеби (см. 70
и [49, стр. 311—319]).
Трактат о синус-квадранте (Рисала фи-р-руб’ ал-муджаййаб) —Ле
нинград ИНА А 686/11
Комментарии к ал-Чагмини (Шарх ал-Чагмини)—комментарии к
«Избранному по астрономии» (см. 50)—Ленинград ИНА А 311/2
(лл. 68 об. — 123), А 645/2 (лл. 58 об. — 177 об.), А 1061/1 (лл. 6 об.—
153), В 811 (142 л.), В 812 (116 л.), В 813 (209 л., см. [5], № 413),
В 1302/2 (106 л.), В 1330 (81 л., см. (7, стр. 9431). В 1450/1 (лл. 1 об.—
29 об), В 1640 (73 л.), В 4262/1 (лл. 1 об. —84 об.), С 616 (120 л.),
С 1362 (121 л.), С 1535/1 (лл. 1 об. —70) (см. [6], № 1013—1014): ЛГУ
397 (46 л., см. [12], № 170), Казань КГУ араб. 1057 (60 л.), 1067/1
(лл. 6—81). 1824 (31 л.), Ташкент ИВ 1341 (59 л.), 2655/2 (лл. 139 об. —
221 об.), 2984/4 (лл. 55 об. — 152 об.), 3049/1 (лл. 1 об. — 121 об.), 5619/1
(лл. 1 об.— 127 об.), 7376/1 (лл. 1 об.—65 об.), 7672 (78 л.), 8217 (87 л.),
8392 (78 л.), 8947/3 (124 об. — 195 об.), 9346/2 (лл. 9 об. —94 об.), 9592
267
(108 л.) (см. [17, т. 1], № 510, [17, т. 6]. № 4249—4259), Тбилиси ИР араб.
L 260 (107 л.), L 268 (182 л.), Баку РРФ Б 760 (98 л ), Б 3516 (157 л.);
АГУ 39 (182 л.).
59.	Гийас ад-Дин Джемшид ал-Каши (ум. 1429), уроженец Ката-
на (Северный Иран), работал в Самарканде в обсерватории Улугбека.
Ключ арифметики (Мифтах ал-хисаб) —Ленинград ГИБ [1] 131
(122 л.). Русский перевод этой рукописи, дополненный по другим руко-
писям, см. [49, стр. 9—262].
Краткое изложение «Ключа арифметики» (Талхис мифтах)—Таш-
кент ИВ 2245.
60.	Улугбек Гурган (1394—1449) —князь Самарканда, внук Тимура,
организатор Самаркандской обсерватории.
Астрономические таблицы Улугбека (Султанские, Гурганские таб-
лицы— Зидж-и Улугбек, Зидж-и Султани, Зидж-и Гургани, перс.). В со-
ставлении таблиц принимали участие ар-Руми (см. 58), ал-Каши (см.
59) и ал-Кушчи (см. 62)—Москва ГБЛ перс. 32 (172 л.), Ленинград
ГПБ [1] 118 (62 л., введение), ИНА В 835 (237 л.), С 619 (190 л.), С 793
(139 л.), С 1140 (188 л.), С 1675 (лл. 2 об. — 33 об. — четыре раздела),
С 1676 (162 л.), С 1843 (лл. 8—192 об.) (см [91, № 2174 — 2180), Казань
КГУ перс. 192, Ташкент ИВ 2118 (213 л.), 2214 (215 л.), 457 (161 л.,
неполная) (см. [17, т. 1], № 511—513), 7531, Тбилиси ИР перс. 153/191
(373 л.), Баку РРФ М 115 (188 л.). Французский перевод введения по
другой рукописи — см. [50], английский перевод хронологической ча-
сти— см. [51], английский перевод географической части — см. [42], анг-
лийский перевод звездного каталога — см. [52]. Рукопись ИВ 2214 опи-
сана в [53, стр. 98—284].
Арабский перевод [тех же] таблиц (Та’риб аз-зидж) —Ташкент ИВ
2123.
61.	Шихаб ад-Дин ’Али ал-Маджди (ум. 1446), работал в Дамаске.
Сущность речей об определении времени и наблюдении молодого
месяца (Хуласа ал-аквал фи ма’рифа ал-вакт ва руйа ал-хилал) —
Ленинград ИНА В 1029/2 (лл. 17—21 об. см. [8, т. 1], № 190).
Трактат о пользовании квадрантом, на котором начерчены альму-
кантарата (Рисала фи-л-’амал би-р-руб’ал-марсум би-л-мукантарат) —
Ленинград ИНА А 1459 (8 л.), В 2965/5 (лл. 72 об,—77), ЛГУ 830/5
(лл. 35—39), Казань КГУ араб. 1607/3 (лл 97 об,—102), 1703/4
(лл. 189—195).
Направление на правильный путь спрашивающего об основах за-
дач (Иршад ас-саил ила усул ал-масаил) —Ленинград ИНА В 3687/1
(лл. 1 об.— 13 об.).
62.	’Ала ад-Дин ’Али ал-Кушчи (ум. 1474), уроженец Самарканда,
работал в обсерватории Улугбека, а после его убийства — в Иране и
в Турции.
Трактат о науке арифметики (Рисала дар ’илм-и хисаб, перс.) —
Ленинград ИНА А 265 (лл. 1 об. — 31), В 841/3 (лл. 66 об. — 72 об.),
В 842 (лл. 186—194 об.), В 2023 (лл. 118—131 об.). В 3803 (20 л.),
В 4107 (лл. 1 об.—5), С 1464 (лл. 20 об,—23 об.). С 1557 (лл. 135 об,—
166) 6см. (91, № 1866—1872 и 3857/3) .Ташкент ИВ 3356/3, Душанбе
ИЯЛ 89 /59 л.), ГБФ 680 (46 л.: описана в [541). 912 (105 л.).
Геометрические задачи и астрономия (Хандасийат ва хайа, перс.) —
Ереван ИДР 514/3 (лл. 71 об.— 134 об.) и 540 (66 л., неполная).
Трактат о Havxe астрономии (Рисала дар ’илм-и хайа. перс.) —Ле-
нинград ИНА А 267 (лл 22 об.— 85 об.), А 268 (лл. 26—94 об.), А 311
(лл. 124 об,—125), А 1065 (лл 1—5), В 817 (лл. 1 об,—15), В 833
(40 л.), В 2315 (35 об.—68 об.), В 4280 (95 об,— 133 об., см. [5], № 421,
268
[9], № 1882—1889), Ташкент ИВ 2984/5, 3556, 5619/3, 7622, 7761/1, 9276/2.
Сущность арифметики (Хуласа ал-хисаб) — Ереван ИДР 66/2
(лл. 20—39 об.) и 167 (47 л.). Трактат с тем же названием принад-
лежит Баха ад-Дину ал-’Амили (см. 73).
63.	’Абд ал-’Али ал-Бирджанди (XV в.), работал в Иране.
Комментарии к «Памятке Насир ад-Дина» (Шарх ат-тазкира ан-
Насириййа) — комментарии к трактату ат-Туси (см. 43). — Ленинград
ГПБ (2] 121 (213 л.), ИНА С 1286 (304 л., см. [6], № 185).
Комментарии к изложению «Алмагеста» (Шарх тахрир ал-Маджи-
сти)—комментарии к обработке ат-Туси (см. 11)—Ташкент ИВ 464
(424 л., см. (17, т. 6], № 4241), Тбилиси ИР араб. К 10 (296 л.).
Комментарии к «Двадцати главам о познании астролябии» (Шарх-
и бист баб дар ма’рифат-и астурлаб, перс.) — комментарии к трактату
ат-Туси (см. 43) —Ленинград ГПБ [1] 315/2 (лл. 61—125), 316 (92 л.),
перс, новая серия, 144/2 (лл. 143 об. — 224 об.); ИНА А 260 (лл. 1 об. —
91 об.), В 2218 (лл. 5 об. — 132 об.) (см. [9], № 2328—2329), Казань
КГУ перс. 20 (133 л.), Ташкент ИВ 1854.
Примечания к «Избранному по астрономии» (Хашийа ал-Мулаххас
фи-л-хайа)—комментарии к трактату ал-Чагмини (см. 50)—Ленин-
град ГПБ 126/2 (лл. 47—203); ИНА В 2002 (74 л., см. [8], № 1015),
В 1302/3 (104 л., см. (7, стр. 943]), С 197С/4 (лл. 38 об. —77); ЛГУ 191
/222 л., см. (12], № 171), Казань КГУ араб. 1440 (183 л.); Ташкент ИВ
2655/3,4 (лл. 218—268, 270—355), 3935/2 (лл. 1 об. —9 об.), 5619/2
(лл. 5—289 об.) (см. [17, т. 6], № 4247, 4248).
Комментарии к астрономическим таблицам Улугбека (Шарх-и зидж-
и Улугбек, перс.) —Ленинград ГПБ [2] 119 (220 л.), Казань КГУ перс.
24 (406 л.), Ташкент ИВ 458 (359 л.), 704 (245 л.), 2942 (242 л.) (см.
[17, т. 1], № 514, (17, т. 5],№ 3849). Рукопись ИВ 704 описана в [53, стр.
102—185].
Наука о звездах и календаре (’Илм-и нуджум у таквим, перс.) —
Тбилиси ИР перс. 34/68 (184 л.).
Наука астрономии (’Илм-и хайа, перс.) — Тбилиси ИР перс. 59/95
(134 л.).
64.	Музаффар ал-Джунабади (XV в.?), работал в Иране.
Комментарии к «Двадцати главам о календаре» (Шарх-и бист баб
дар таквим, перс.) — комментарии к трактату ал-Бирджанди (см. 63) —
Ленинград ГПБ [2]120 (204 л.), Казань КГУ перс. 19 (59 л.), Ташкент
ИВ 3641/1 (лл. 1—101), 9739 (172 л.) (см. [17, т. 8], № 5667), Баку
РРФ Б 160 (134 л.).
65.	Аха’ир ал-Каланбави (XV в.?).
Трактат о науке астрономии (Рисала фи’илм ал-хайа)—Ташкент
ИВ 467/3 (лл. 9—22).
Трактат об определении поклонений и стороны кыблы (Рисала фи
ма’рифа ибадат ва джаха ал-кибла) —Ташкент ИВ 7259/4 (20 л.),
9344/2 (лл. 35—50).
66.	Абу-л-Хасан ’Али ал-Каласади ал-Басти (ум. 1486), работал в
Гренаде и Тунисе.
Раскрытие тайн науки о цифрах губар (Кашф ал-асрар ’ан ’илм
хуруф ал-губар) —Ленинград ИНА В 1070 (32 л., см. (8, т. 1], № 193).
Французский перевод другой рукописи см. [55].
67.	Мухаммад Сибт ал-Маридини (1423—1495), уроженец Дамаска,
внук Абдаллаха ал-Маридини (см. 54), ученик ал-Маджди (см. 61),
работал в Каире.
Комментарии к «Блеску науки арифметики» (Шарх ал-лам’ фи ’илм
269
ал-хисаб) —комментарии к трактату Ибн ал-Хаима (см. 57) —Ленин-
град ГПБ [1] 126/1 (лл. 1—26).
Книга отрады в науке арифметики (Китаб ан-нузха фи ’илм ал-
хисаб)—Казань КГУ араб. 1263 (15 л.).
Трактат о синусе (Рисала ал-джайб)—Ташкент ИВ 467/1
(лл. 1 об. —4 об., см. [17, т. 6], № 4268).
Комментарии к «Достаточному об алгебре и алмукабале» Ибн ал-
Хаима (Шарх ал-мукни’ фи-л-джабр ва-л-мукабала ли-Ибн ал-Хаим) —
Ленинград ИНА В 819 (лл. 18—43).
Трактат о пользовании квадрантом (Рисала фи-л-’амал би-р-руб’)
Ленинград ИНА В 1450/2 (30 об. — 34, см. (7, стр. 932]), ЛГУ 830/4
(лл. 30—34 об.).
Трактат, посвященный Салах ад-Дину, о пользовании восточным
квадрантом (ар-Рисала ас-Салахиййа фи-л-’амал би-р-руб’ аш-шарки)
Ленинград ИНА А 629/1 (лл. 1 об.— 10 об., см. [7, стр. 931J).
Трактат, посвященный Салах ад-Дину, о пользовании синус-квагран-
том (ар-Рисала ас-Салихиййа ат-тахсил ал-а’мал ал-джайбиййа) — там
же А 629/2 (лл. 11 об. — 17 об., см. [7, стр. 931]).
Достаточное для довольствующегося малым о пользовании усечен-
ным квадрантом (Кафаййа ал-куну’ фи-л-’амал би-р-руб' ал-макту’)
там же А о29/3 (лл. 18 об.— 33, см. [7, стр. 940]), В 3691/1 (лл. 1 об.— 9).
Выявление движения объекта при пользовании усеченным квадран-
том (Азхар ас-саир ал-мауду’ фи-л-’амал би-р-руб’ ал-макту’) —там же
В 814/1 (лл. 1—11, см. [5], № 413).
Трактат об изображении альмукантаратов на дисках астролябии
геометрическим способом (Рисала фи раем ал-мукантара ва-с-сафаих
ал-астурлаб би тарик ал-хандаса)—трактат о стереографическом про-
ектировании малых кругов небесной сферы, параллельных горизонту,—
Ташкент ИВ 467/2 (лл. 5—9, см. [17, т. 6], № 4269).
68.	Джалал ад-Дин’Абд ар-Рахман ас-Суюти (1445—1505) из Каира.
Избранная астрономия (Мунтахаб ал-хайа) —Ленинград ИНА
В 1632/1 (40 л., см. [7, стр. 946]).
Календарная астрономия в форме предания (ал-Хайа ас-саниййа
фи-л-хайа ас-сунниййа)—Ленинград ИНА В 2479/2 (лл. 47 об.—
58 об.), В 3546 (лл. 93 об.— 102 об.), Казань КГУ перс. 1036 (88 л.).
69.	Абу-л-’Ала Мухаммад ал-Бихишти (XV—XVI вв.), работал в
Хорасане.
Трактат о доказательстве правил арифметики (Рисала фи байан
каванин ал-хисаб) —Ашхабад ИЯЛ 2537/3 (лл. 60—65 об.).
70.	Махмуд Мирим Челеби (ум. 1524), внук Кази-заде ар-Руми
(см. 58), работал в Адрианополе, Бруссе и других городах Турции.
Комментарии к «Трактату, посвященному Фатх ад-Дину» ’Али ал-
Кушчи (Шарх ’ила ар-Рисала ал-Фатхиййа ли-’Али ал-Кушчи)—Ле-
нинград ИНА В 1780/1 (88 л., см. [7, стр. 931]).
Трактат о квадранте с алмукантаратами (Рисала дар руб ал-му-
кантара, перс.) —там же А 686 (лл. 193 об.— 208, см. [9], № 1855)
Сокращенное о познании пользования ловящим квадрантом (Мух-
тасар дар ма’рифат-и ’амал ба руб’-и шикари, перс.) —там же В 836/1
(лл. 1 об.—13, см. [9], № 3881)
Трактат о познании пользования универсальным квадрантом (Ри-
сала дар ма’рифат-и ’амал ба руб’-и джами’а, перс.) —там же В 836/2
(лл. 13 об.—28).
Трактат о познании пользования ловящим квадрантом (Рисала дар
ма’рифат-и ’амал ба руб’-и шикари, перс.) —там же В 836/3 (лл 28
об — 44).
270
Учение о пользовании синус-квадрантом (Мазхаб дар ’амал-и руб’-и
муджаййаб, перс.) —там же В 836/4 (лл. 44 об. — 73).
Трактат (Рисала, перс.) —там же В 836/5 (лл. 73 об. — 84).
71.	Хусайн ал-Хусайни ал-Халхали (ум. 1605), уроженец Халхаля
близ Ардебиля (Азербайджан).
Трактат о толковании всевышних слов о движении Солнца и о спо-
собах познания времени его заката и направления кыблы (Рисала фи
тафсир каул та’али ли-далук аш-шамс ва тарик ма’рифа вакт аз-завал
ва самт ал-кибла) —Ленинград ИНА А 345/25 (лл. 114 об.— 115).
Объяснение небесных сфер (Ташрих фалак)—Ленинград ИНА
В 4262/2 (лл. 85 об,—90 об.).
Трактат об индийском круге (ар-Рисала фи шарх ад-даира ал-хин-
диййа) — Ленинград ГИБ [1J 128/3 (лл. 70—80), ИНА С 2093/1 (лл. 1
об.— 6).
Комментарии к «Сущности арифметики» (Шарх Хуласа ал-хисаб) —
Ашхабад ИЯЛ 2537/9 (лл. 95 об.— 165 об.).
Благородный (трактат] (аш-Шарифа) —Ашхабад ИЯЛ 3067 (88 л.).
72. ’Омар ал-Фарискури (ум. 1609).
Комментарии к «Базилику духа» (Шарх Райхана ар-рух)) —Ле-
нинград ИНА В 1639/1 (196 л., см. (7, стр. 933J).
73.	Баха ад-Дин Мухаммад ал-’Амили (1547—1622), уроженец Ба-
албека (Сирия), работал в Исфахане (Иран).
Сущность арифметики (Хуласа ал-хисаб) — Москва ГБЛ араб.
87/4 (лл. 121 об.— 127), Ленинград ГИБ [2] 126 (37 л.), 128/2 (57 о'и,—
73 об.), 138/2 (56 об.—83 об.); ИНА А 671/1 (лл. 1 об,—19 об.),
А 712/1 (лл. 1—37), А 876/2 (лл. 139—155, см. (6], № 419), В 817/2
(лл. 16 об.—52, см. [5], № 421), В 841/12 (лл. 86 об.— 120 об.), В 842/7
(лл. 76 об. — 104 об.), В 1361 (23 л., см. (7, стр. 929]), В 2315/2 (лл. 11
об. —33), В 3021/1 (лл. 1 об. — 16 об.), В 3021/2 (лл. 17 об.— 32, VI и
X главы), В 3352 (33 л.), В 3556 (104 л.), В 3680/2 (лл. 49 об. — 70 об.),
В 3734/8 (лл. 149—166 об.), В 4182/3 (лл 45 об.—78 об.), С 1187/1
(лл. 1 об.—12), С 1995 (89 л); ЛГУ 671 (55 л.), Казань КГУ араб.
980 (лл. 1—19), 1056 (лл.235—261), 1711 (лл. 142—171),2066 (50л.),Таш-
кент ИВ 597 (166 л.), 2818/2 (лл. 70—129), 2984/6 (лл. 192—216), 4821/5
(лл. 38—69), 5330/12 (49 л.), 6057/2 (лл. 8—49), 6230/3 (лл. 54—78).
6453/2 (32 л.), 6854/2 (22 л.), 7579/1 (34 л.), 7808/4 (4 л.), 8718/1 (лл. 1—
28, см. [17, т. 6], № 4239); Ереван ИДР 174 (56 л.), 204/1 (лл. 1 об. — 29),
513 (25 л.), 514/2 (лл. 19 об,—71), Тбилиси ИР араб. К 13/4 (лл. 57—
80), К 21/2 (лл. 75 об, —89 об.), К 29 (47 л.), L 331/3 (лл. 21 об —33),
Баку РРФ Б 760/2 (лл. 99—130), Б 3502 (35 л.), Душанбе БАН 1611
(164 л.), 2609 ГБФ 931 (185 л.), 1239 (187 л.). Рукопись ГБФ 931 опи-
сана в [56]. Персидские переводы — Ленинград ГПБ [2] 128/1 (лл.1—
56 об); ИНА D 486 (свиток, перевод 2 глав, см. {9], № 1170), Ташкент
ИВ 6131/1 (лл. 1—117). Немецкий и французский переводы по другим
рукописям — см. [57] и [58].
Трактат об арифметических правилах и геометрических указаниях
(Рисала фи каваид ал-хисабиййа ва ал-далаил ал-хандасиййа)—Ле-
нинград ИНА А 134/2 (лл. 7—16).
Совершенная жемчужина в астрономии (Дурра таммиййа фи-л-
хайа)—Ленинград ИНА В 2320/1 (лл. 1 об.—’12 06.), В 3263/3
(лл. 7 об. — 28 об.).
Систематический трактат по астрономии (Рисала манзума фи-л-
хайа) —Казань КГУ перс. 18 (24 л.).
Вопросы астрономии (Масаил фи-л-хайа) —Ташкент ИВ 5619/4.
Объяснение небесных сфер (Ташрих ал-афлак)—Ленинград ИНА
271
В 2563/2 (лл. 4 об. —27 об.), В 2999/5 (лл. 31 об. —52 об.). В 3556/4
(лл. 1 об.— 14), В 4102/6 (лл. 102—104), Казань КГУ араб. 1878 (77л.),
Ташкент ИВ 5619/5 (8 л ), 9346/1 (лл. 1—8), 9733/1 (лл. 1—12)
70 глав о .познании астролябии (Хафтад баб дар ма’рифат-и
астурлаб, перс.)—Ленинград ГПБ [1] 130/3 (лл. 14—17), Ташкент ИВ
466/1 (лл. 1—11, см. (17, т. 6], № 4270), Ереван ИДР 204/4 (лл. 138 об.
162).
Диск астролябии (ас-Сафиха)—Ленинград ГПБ [2]	138/4
(лл. 111 об.—119).
74.	Юсуф Карабаги (ум. 1645), уроженец Карабаха.
Трактат о точном определении направления кыблы (Рисала дар
гахкик-и самт-и кибла, перс.) —Ташкент ИВ 2422/3 (лл 34 об. — 52 об.,
см. (17, т. 5], № 3851).
75.	Рамадан ал-Джазари (XVII в.).
Комментарии к «Сущности арифметики ал-’Амили» (Шарх ила Ху-
ласа ал-хисаб ли-л-’Амили)—Ленинград ИНА В 818 (138 л.), В 1616
(126 л., см. [7, стр. 929]).
76.	’Али ан-Набтити (XVII в.?), уроженец Набтита (Египет).
Комментарии к трактату ал-Маридини, посвященному Фахт ад-
Дину (Шарх ар-Рисала ал-фатхиййа ли-л-Маридини) —Ленинград ИНА
В 814/2 (лл. 12 об.— 49 об., см. [5], № 413), В 2695/3 (лл. 26 об. —61).
77.	Мухаммад ибн Баба-Калан ас-Самарканди (XVII в.), работал в
Самарканде.
Трактат об арифметических действиях (Рисала дар а’мал-и хисаб,
перс.) —Ташкент ИВ 1451/1, 1693/6,2245/5, 7579/2.
Шесть действий по разделению наследств (Шаш ’амал-и фараид,
перс.) —Ташкент ИВ 2692/7 (лл. 173—188, см. |[17, т. 4], № 3157), 7131/14
(11 л.).
Математика (Рийазийат, перс.)—Ленинград ИНА В 4741
(лл. 44 об. — 68).
Сборник математических сочинений—Тбилиси ИР перс. 418 (126 л.).
78.	Фарид ад-Дин Мас’уд Дихлави (ум. 1629), уроженец Дели, ра-
ботал в Лахоре (Индия).
Книга деяний второго обладателя [счастливого] соединения звезд-
Шах-джаханские астрономические таблицы (Карнама-йи сахиб-киран
сани’ — зидж-и Шах-джахани, перс.)—Ленинград ИНА D 139 (434 л.).
79.	Мухсин ал-Хасани (XVII в.?).
Комментарии к «Краткому изложению „Ключа арифметики**»
(Шарх талхис ал-мифтах)—комментарии к трактату ал-Каши (см.
59) —Ленинград ИНА А 265/4 (лл. 61 об.— 121).
Основные предложения (Ашкал ат-та’сис) — там же, А 265/5
(лл. 122 об. — 134); трактат с тем же названием принадлежит ас-Самар-
канди (см. 48).
Арифметические вопросы, познание которых необходимо для вычис-
лителей (Масаил хисабиййа фи ма’рифа ма йахтадж илайхи ал-муха-
сиб) —там же А 265/6 (лл. 134 об.— 145 об.)
80.	Мухаммад ал-Кавакиби (1609—1635), работал в Алеппо.
Направление учащегося в ожерелье светил (Иршад ат-талиб ила
мутатука ал-кавакиб)—Ташкент ИВ 2208 (219 л.).
81.	Савай Джай Сингх (1686—1743), работал в обсерваториях в
Дели, Бенаресе, Джайпуре, Уджайне и Муттре (Индия).
Астрономические таблицы Мухаммад-шаха (Зидж-и Мухаммад-ша-
хи, перс.) —Казань КГУ перс. 10 (177 л.), Ташкент ИВ 438 (302 л.),
439 (304 л.). 440 (195 л.), 441 (ИЗ л.), 2752 (360 л.) (см. [17, т. 1],
272
№ 517—521), Душанбе ИЯД 30 (210 л.). Рукопись ИВ 441 описана в
153, стр. 304—307].
82.	Ахмад Даниш (1828—1897), работал в Бухаре.
Наблюдение светил (Маназир ал-кавакиб, перс.)—Ташкент ИВ
459/2 (лл. 29 об.—170 об.), 2144 (142 л.), 2941 (145 л.) (см. [17, т. 1],
№ 529—531), 5259/2 (лл. 134—304).
Различные пользы науки о звездах (Фаваид мутафаккара дар ’илм-
и нуджум, пеос.)—там же, 2247/4 (лл. 55—98).
Трактат о действиях с глобусом (Рисала фи а’мал ал-кура, перс.) —
там же, 2247/1 (лл. 1—4).
Таблица часов восхода и захода Солнца (Джадвал-и са’ат-и тулу’
у гуруб-и шамс, перс.) —там же, 5095/1 (лл. 1—12).
СПИСОК РУКОПИСЕЙ ПО БИБЛИОТЕКАМ
Москва, ГБЛ
Арабские рукописи — 87/1 (лл. 9 об. — 79) Наука арифметики (’Илм
хисаб). 87/2 Солнечный трактат об арифметике (ан-Найсабури)—см.
46, 87/3 (лл. 113 об.— 122) Трактат с доказательствами (Рисала ал-
бурханиййа). 87/4 Сущность арифметики (ал-’Амили))—см. 73. 121
(177 л.) Трактат о разъяснении некоторых геометрических учений
(Рисала фи байан ба’д *улум ал-хандаса)—геометрический трактат,
содержащий изложение геометрических построений и измерений на ме-
стности. Персидские рукописи — 32 Астрономические таблицы Улугбе-
ка— см. 60.
Собрание Гинзбурга — 340/6 Комментарии к книгам Евклида (Ибн
ал-Хайсама) —см. 28. 1065, 1071 Книга начал науки о звездах (ал-Фар-
гани)—см. 16. 1741 (лл. 55—161) Алгебра и алмукабала (ал-Джабр
ва-л-мукабала) — трактат на арабском языке еврейскими буквами.
Ленинград, ГПБ
Собрание Дорна [1]—126/1 Комментарии ал-Маридини к «Блеску
науки арифметики» Ибн ал-Хаима — см. 67. 126/2 Замечания ал-Бирд-
жанди к «Избранному по астрономии» ал-Чагмини, 315/2 Комментарии
к «Двадцати главам о познании астролябии — см. 63. 127 (126 л.) Ком-
ментарии к «Избранному по астрономии» (Шарх ал-Мулаххас)—Ком-
ментарии к ал-Чагмини. 128/1, 130/8, 917/2 Двадцать глав о познании
астролябии, 547/2 Тридцать разделов о познании календаря, 547/5 Уче-
ние о [гадании на] песке (ат-Туси) —см. 43. 128/2 Трактат о пользова-
нии астролябией (ал-Андалуси)—см 34.128/3 Трактат об индийском круге
(Хусайна ал-Халхали)—см. 71. 128/4 (лл. 81 —170) Упоминание редко-
стей, относящихся к невидимой астролябии (аз-Захар ал-’аджаиб фи-л-
астурлаб ал-гаиб — Абу-л-Ма’али Мухи ад-Дина ас-Са’ати). 129/1
(лл. 1—30) О пользовании синус-квадрантом (фи ’амал руб’ ал-джуй-
уб — ’Омара ал-Вакила). 129/1 (лл. 31—97) Подарок слушающему о
том, что относится к знакам Зодиака и гороскопам (Тухфа ас-сами* фи
ма йата’лику би-л-бурудж ва-т-тавали’ — ’Али ибн Ибрахима ал-Ап-
сари). 130/1 (лл. 1—13) Краткое введение в учение об определении но-
«и и дня, пользуясь четвертью круга, называемой синус-квадрантом
(Мукаддама мухтасара фи ма’рифа истихрадж а’мал ал-лайл ва-н-на-
хар мин руб’ ад-даира ал-мусамма би-руб’ ал-муджаййаб). 130/2
(лл. 13—14) Арифметика (ал-Хисаб) 130/3 Семьдесят глав о познании
J8 Заказ 338
273
астролябии (ал-’Амили) —-см. 73. 130/4 (лл. 18—25) О пользовании си
нус-квадрантом (Фи ’амал руб’ ал-муджаййаб). 130/5 (лл. 26—33) Ру-
ководство для действующего [астрономическими инструментами] (Хи
дайа ал-’амил). 130/6 (лл. 34—48) Северная астролябия (ал-Астурлаб
аш-шимали). 131. Ключ арифметики (ал-Каши)—см. 59. 133/1 Избран
ное по астрономии (ал-Чагмини) —см. 50. 133/2 (лл. 87 об. — 88) Пре-
дисловие к комментариям ал-Чагмини (Дибаджа-йи шарх-и Чагмини,
перс.). 133/3 Основные предложения (ас-Самарканди, в обработке ар-
Руми)— см. 48. 315/1 (лл. 1—60), 316 (92 л.) Комментарии к «Трак-
тату, посвященному Фатх ад-Дину» (Шарх-и рисала-йи фатхиййа) —*
комментарии к трактату ал-Кушчи — см. 62; комментарии с таким на-
званием имеются у Челеби (см. 70). 317/1 (лл. 4—11) Краткое о поз-
нании астролябии (Мухтасара дар ма’рифат-и астурлаб, перс.). 317/3
(лл. 26—55) Трактат об астролябии (Рисала дар астурлаб, перс.—
Хизршаха Эффенди). 317/4 (лл. 55—65) О предпосылках для выбора
счастливых дней с помощью семи планет (Дар мукаддамат-и ихтийа-
рат бар ситарган саб’а, перс. — Мухаммада ибн Аюба ат-Табари). 317/5
(лл. 66—74) Краткое о познании календаря (Мухтасар дар ма’рифат-и
таквим, перс.).
Собрание Ханыкова [2]— 117 Книга о весах мудрости (ал-Хазини) —
см. 35.118 Астрономические таблицы Улугбека—см. 60. 119 Комментарии
к ним, 121 Комментарии к «Памятке Насир ад-Дина» (ал-Бирджанди)
2М. 63. 120 Комментарии к «Двадцати главам» (ал-Джунабади) —см. 64
122 Комментарии « «Памятке» (ал-Джурджани) —см. 56. 123 (124 л.)
Комментарии к «Памятке» (Шарх ат-Тазкира) —комментарии к тому же
трактату. 124/1, 138/3 Двадцать глав о познании астролябии, 144/19, 145
Трактат о фигуре секущих (ат-Туси) —см. 43. 125 (80 л.) Море драго-
ценностей (Бахр ал-джавахир — ’Абд ал-Вахида ал-Исфахани). 126,
128/1, 138/2 Сущность арифметики. 138/4 Диск астролябии (ал-’Ами-
ли) — см. 73. 127 (55 л.) Комментарии к «Сущности арифметики» (Шарх
Хуласа ал-хисаб — Ибн Абу-л-Касима Мухаммада ат-Табризи)—ком-
ментарии к этому трактату. 128/3 (лл. 74—130) Первое рассуждение о
сердцевине науки арифметики (Табсира ула ал-албаб фи ’илм ал-хи-
саб). 130 (182 л.) Доказательство достаточности в предсказаниях по
звездам (Бурхан ал-кафайа фи ахкам ан-нуджум — ’Айна ’Али). 139
«Алмагест» Птолемея в обработке ат-Туси — см. 11. 140, 141, 143 «На-
тала» Евклида в обработке ат-Туси — см. 3. 142, 144/3 «Сферика» Фео-
досия— см. 6. 144/2 (лл. 122—136 об.) Об искусстве музыки (Фи сана’а
мусика)—трактат о теории музыки, основанный на теории отношений
144/4 «О движущейся сфере» Автолика — см. 2. 144/5 (лл. 164—210)
Комментарии к «Сферике» Менелая (Шарх китаб укар ил-Маналаус) —
см. 10. 144/6 (лл. 211—220 об.) Трактат о геометрии Евклида (Риса-
ла фи-л-хандаса ли-Уклидис). 144/7 «Феномены» Евклида — см. 3
144/8 «О днях и ночах» Феодосия — см. 6. 144/9 Примечания к
«Сферике» Менелая (ал-Язди)—см. 47. 144/10 (лл. 277 об.—280 об.)
Замечания на Сферику Феодосия (Та’ликат китаб укур Саузу^ийус)
144/11 (лл. 281—297) Трактат о науке оптики и о зеркалах (Рисапа
фи *илм ал-маназир ва-л-мирайа). 144/12 «Измерение круга» Архимеда —
см. 4. 144/13,14 Оптика Евклида—-см. 3. 144/14 (лл. 292—293 об.) Трак-
тат о том, что круг может быть равен прямолинейному квадрату (Ри-
сала фи ан сатх ад-даира мумкин лакун йакуну мусавйа мурабба’ му-
стаким ал-хутут). 144/15 «Книга лемм» Архимеда — см 4. 144/16 Книга
предположений (Сабита ибн Корры) —см. 17. 144/17 «О восходах и за-
ходах» Автолика — см. 2. 144/18 «О восхождениях знаков Зодиака» Гип-
сикла—см. 7.
274
СобраниеФирковича |[3]—348 Книга о построениях на звездной сфере
(ал-Ба’лбакки)—см. 18. 350 Объяснение дугового квадранта (ал-Ха-
лили)—55. 352 Трактат о пользовании диском астролябии (аз-Зарка-
ли)—см. 32. 354 Книга о форме мира (Ибн ал-Хайсама)—см. 28.
359/1 (лл. 1—31) Астрономические таблицы (Зидж), еврейский перевод
с персидского Мардахая Кумтиано.
Арабские новые серии— 178 (46 л.) Книга повсеместных таблиц
для определения градусов Луны на эклиптике (Китаб джадавил афа-
киййа фи ма’рифа дараджат ал-камар фи-л-бурудж). 191 Книга не-
подвижных звезд (ас-Суфи)—см. 21.
Персидские новые серии—144/2 Комментарии к «Двадцати гла-
вам» (ал-Бирджанди) —см. 63. 229/1 Трактат об астролябии, 229/2 Из-
бранные решения календаря, 229/3 Книга гороскопов (ал-Фариси) —
см. 41.
Ленинград, ИНА
Коллекция Руссо (5]—388: В 837/2 (лл. 17 об.—32 об.) Доказательства
судеб (Барахин ал-куда, перс.), В 837/3 (лл. 33—79 об.). Познание аст-
ролябии (Ма’-рифат-и астурлаб, перс), В 837/4 (лл. 80—81—3) Позна-
ние тайного помысла (Ма’рифа аз-замир, перс.) (см. [9], № 319, 4154—
4155), В 837/5 (лл. 82 об.— 101) Речь о том, что восходит из созвездий
и знаков Зодиака и на какие обстоятельства [новорожденных это ука-
зывает (ал-Каул ’ала майатали’ у мин ал-бурудж мин ас-сувар ва ма
тудаллу ’алайхи мин ахвал ал-мавлудин). 403 : С 614 «Алмагест» Птоле-
мея в обработке ат-Туси — см. 11, 412 : В 816 (57 л.). Памятка э стоян-
ках Луны и о гармонии церемоний (Зикр маназил ал-камар ва-т-тавки’-
ат ал-марасим). 413: В 814/1 Обнаружение движения объекта при
пользовании усеченным квадрантом (Сибта ал-Маридини) —см. 67
В 814/2 Комментарии к трактату, посвященному Фатх ад-
Дину (ан-Набтити)—см. 76. 419 : А 261 (94 л.) Комментарии к «Двадца-
ти главам» (Шарх-и бист баб, перс.—Мухаммада ал-Бурсави)—ком-
ментарии к трактату ат-Туси (см. 43). 420 : А 258 «Начала» Евклида в
обработке ат-Туси — см.З. 421: В 817/1 Трактат о науке астрономии (ал-
Кушчи)—см. 62. В 817/2 Сущность арифметики (ал-’Амили)—см. 73,
450 : В 815 (39 л.) Книга о науке астролябии (Ал-китаб фи ’илм астур-
лаб— Ибн ал-Касима ал-Багдади). 469 : В 807 Книга о науках звезд
(ал-Балхи) —см. 15. 474: В 822/1 (лл. 1 об. — 25) Книга «Свиток о Лу-
не», т. е. полный свиток сказанного Валенсом и Галеном (Китаб мус-
хаф ал-камар ва-хува ал-мусхаф ад-джами* байна ал-каул Балинас ва
Джалинус), В 822/2 (лл. 26—33 об.) Свиток о Луне философа Ануда-
тиса (Мусхаф ал-камар Анудатиш хаким), В 822/3 Свиток о Луне
(Аристотеля) —см. 1.
Бухарская коллекция [6]—168 Приведение к общему знаменателю
(ас-Сиджаванди)—см. 39. 185 Комментарии к «Памятке Насира ад-
Дина» (ал-Бирджанди) —см. 63. 187: В 2094/9 (лл. 62 об.— 64) Замеча-
ния на книгу Са’д ад-Дина ат-Тафтазани о равенстве углов треугольника
(Хашийа ’ила макала Са’д ад-Дин ат-Тафтазани фи тасави аз-завайа
ал-мусаллас). 334 : D 347/2 (лл. 50—54) Трактат об алгебре и алму-
кабале (Рисала фи-л-джабр ва-л-мукабала) 380: D 347/3 (лл. 54—55}
Трактат об арифметике (Рисала фи-л-хисаб). 381 :D 347/1 (лл. 1—49 об.)
Комментарии к трактату об арифметике (Шарх рисала фи-л-хисаб). 419
Сущность арифметики (ал-’Амили) —см. 73. 420: А 876/3 (лл. 154 об.—
180) Комментарии к «Сущности арифметики» (Шарх Хуласа ал-хисаб —
Джавада ибн Са’да ибн Джавада)—комментарии к этому трактату.
18р
27<
788 Блестящие пользы оснований арифметики (ал-Хаддама)—см. 40
863 Достоточное в науке арифметики (ал-Караджи)—см. 29. 950 Кни-
га измерения (Ибн ал-Хайсама) —см. 28.
Ванская коллекция |[7]—А 285/1 Трактат о совершенном циркуле
(ал-Кухи)—см. 22. А 285/2 «Сферика» Феодосия — см. 6. А 285/3
(лл. 61 об. — 64) Трактат о трудном по вопросу об отношении (Рисала
фи-л-мушкил мин амр ан-нисба — ал-Хамани, см. [7, стр. 933]). А 589/1,
А 645/1 Комментарии к «Избранному по астрономии» ал-Чагмини —
(ал-Джурджани) —см. 56. А 629/1,2 Трактаты, посвященные Салих ад-
Дину. А 629/3 Достаточное о пользовании усеченным квадрантом.
В 1450/2 Трактат о пользовании квадрантом (Сибта ал-Маридини) —
см. 67. А 645/2, А 1601/1, В 1302/2, В 1330, В 1450/1, В 1640 Коммента-
рии к ал-Чагмини, С 1062/12 Трактат о науке астрономии (ар-Руми) —
см. 58. А 645/3 Избранное по астрономии (ал-Чагмини) —см. 50. Основ-
ные предложения (ас-Самарканди)—см. 48. В 1296 (6 л.) Трактат о
пользовании синус-квадрантом (Рисала фи-л-’амал би-р-руб’ ал-муд-
джаййаб, см. [7, стр. 932]). В 1302/3 Примечания к «Избранному по ас-
трономии» (ал-Бирджани) — см. 63. 1323/1 (л. 1). О причине частиц
материи и формы, видимых в Плеядах (Би-сабаб ал-аджза ал-мадиййа
1ва-л-хайа ал-мухсуса ас-Сурайа). В 1361 Сущность арифметики (ал-
5Амили) —см. 73. В 1411 (4 л.) Сообщение о проверке часов по концу
[линии] синуса квадранта (Мухаррара фи тасхих ас-са’а фи тараф ал-
джаиб мин ар-руб’, см. [7, стр. 941]). В 1450/3 (лл. 35 об. — 46) Радость
сердец в науке об астролябии (Бахджа ал-албаб фи ’илм ал-астурлаб).
В 1616 (126 л.) Комментарии к «Сущности арифметики» (ал-Джаза-
ри)—см. 75. В 1632/1 Избранная астрономия (ас-Суюти)—см. 68.
В 1639/1 Комментарии к «Базилику духа» (ал-Фарискури) — см. 72.
В 1780/1 Комментарии к трактату, посвященному Фатх ад-Дину (Челе-
би)—см. 70. В 1791 (193 л.) Сирийский сборник — введение в науку
о предсказаниях по звездам (Ал-джами* аш-шами ал-мадхал фи ’илм
.ахкам ан-нуджум, см. [7, стр. 927]). С 1012/6 Комментарии ко второй гла-
ве «Сущности арифметики» (Шарх ила баб ас-сани мин Хуласа ал-хи-
саб, см. [7, стр. 929]) —комментарии к трактату ал-’Амили.
Коллекция бывш. Учебного отделения МИД (8, т. 1]—185 Книга о
неподвижных звездах, 190/4 Трактат об астролябии (ас-Суфи) —см. 24
186 Введение в науку предсказаний по звездам (ал-Кумми)—см. 23.
187 Памятка Насира ад-Дина (ат-Туси) —см. 43. 188 «Алмагест» Пто-
лемея в обработке ат-Туси — см. 11. 189 Астрономические таблицы Ибн
аш-Шатира. 190/1 Лучи света о пользовании универсальным инструмен-
том (ал-Ансари) —см. 51. 190/2 Сущность речей о познании и наблюде-
нии молодого месяца (ал-Маджди) —см. 61. 190/3: В 1029/3 (22 л.) Трак-
тат об астролябии (Рисала ал-астурлаб—Абу-л-Хасана ’Али ан-Накка-
ша). 191/1 :D 171/1 (лл. 1—3 и 15—17) Выбор счастливых дней «Ихтийа-
рат—Мухаммада ибн Я’куба ибн Наубахта). 191/3 Книга Танкалуши
(Тевкра) — см. 9. 191/3 Книга градусов (Бану Муса) —см. 13 191/4 «Кни-
га плодов» Птолемея — см. 11. Сборник трактатов Ибн ал-Хайсама —
см. 28. 193 Раскрытие тайн науки о цифрах губар (ал-Каласади) —
см. 66. 225/1 : В 1069/1 (лл. 1—164) Комментарии к высшему трактату
(Шарх ал-’Алаийа — Абу-л-Хасана ’Али ал-Бахмани)—комментарии к
трактату Саййида ас-Сугди (Джамала ат-Туркистани).225/2 : В 1069/2
(лл. 164—176) О сути науки арифметики (Фи махийа *илм ал-хисаб)
{8, т. 3]—124 Избранное для Музаффар ад-Дина (аш-Ширази)—см. 45.
125 Астрономические таблицы Улугбека — см. 60.
Арабские рукописи из других коллекций — А 134/2 Трактат об ариф-
метических правилах и геометрических указаниях, А 671/1, А 712/1.
276
В 841/12, В 842/7, В 2315/2, В 3021/1, 2, В 3352, В 3556, В 3680/2»
В 3734/8, В 4182/3, С 1187/1, С 1995 Сущность арифметики, В 2320, 1
В 3263,3 Совершенная жемчужина в астрономии, В 2563/2, 2999/5,
3556/1, 4102/6 Объяснение небесных сфер (ал-’Амили)—см. 73. А 265/4
Комментарии к «Краткому изложению „Ключа арифметики4*», А 265/5
Основные предложения, А 265/6 Арифметические вопросы, познание
которых необходимо для вычислителей (ал-Хасани)—см. 79. А 311/2,
А 1061/1, В 811, В 812, В 1450/1, В 1640, В 4262/1, С 616 Комментарии
к ал-Чагмини, А 686/11 Трактат о синус-квадранте (ар-Руми) —см. 58.
А 345/7 Книга тайн звезд, В 822/3 Свиток о Луне (Аристотеля) —см. 1.
А 345/25 Трактат о толковании всевышних слов о движении Солнца,
В 4262/2 Объяснение небес, С 2093/1 Трактат об индийском круге (ал-
Халхали)—см. 59. А 671/6 «Начала» Евклида в обработке ат-Туси —
см. 3. А 1256. В 810 «Алмагест» Птолемея в обработке ат-Туси — см. 11-
А 1453 (64 л.) Комментарии к «Краткому о познании кален-
даря» (Шарх мухтасар фи ма’рифа ат-таквим)—комментарии
к трактату ат-Туси (см. 43). А 1459, В 2965/5 Трактат о
пользовании квадрантом, на котором начерчены альмукантараты,
В 3687/1 Направление на правильный путь спрашивающего об основах
задач (ал-Маджди) —см. 61. В 808 Введение в науку о предсказаниях
по звездам (ал-Джили)—см. 26. В 809/1 «Книга плодов» Птолемея —
см. 11. В 818 Комментарии к «Сущности арифметики» (ал-Джазари) —
комментарии к трактату ал-’Амили (см. 73). В 819 Комментарии к
«Достаточному об алгебре и алмукабале» Ибн ал-Хаима, В 3691/1 До-
статочное о пользовании усеченным квадрантом (ал-Маридини)—см. 67.
В 820 (42 л.) Комментарии к «Достаточному о науке» Абу Мукри’ (Шарх
ал-Мукни фи ’илм Аби Мукри* — Мухаммада ас-Суси). В 841/13»,
В 842/1, В 2991/1, В 3118 Солнечный трактат по арифметике (ан-Най-
сабури—см. 46. В 842/13 (лл. 176 об.—185 об.) Богатство арифметики
Ганиййа ал-хисаб; В 993/8 (лл. 147—149).Трактатов арифметике (Рисала
фи-л-хисаб). В 996/2 (лл. 14—19) Поучительная польза в науке о небесных
сферах (Файда муфида фи *илм ал-фалак). В 996/4 (лл. 19 об. — 24)
Раздел о равенствах восходов и заходов звезд в земле Омана (Фасл
фи истивайат ан-нуджум ат-тулу’ ва-л-гуруб фи ард ’Оман). В 2479/2»
В 3546 Календарная астрономия в форме предания (ас-Суюти) —см. 57.
В 2563/5 (лл. 31 об. — 39 об.) Основные предложения (Ашкак ат-та’-
сис) Трактаты с тем же названием принадлежат ас-Самарканди
(см. 48) и ал-Хасани (см. 79). В 2695/3 Комментарии к трактату, посвя-
щенному Фатх ад-Дину (ан-Набтити)—см. 76. В 2695/4 (лл. 62 об.—.
71) Трактат об астролябии (Рисала ал-астурлаб). В 2833 (114 л.) Гео-
метрические заметки о равенстве соответственных углов и дополнитель-
ности накрестлежащих углов (Нубаз мин ал-хандаса фи-з-завайа ал-.
мутаджанаса ва-л-мутакабила ал-мутасавиййа ва-л-мутабадила).
В 2978/1 (лл. 1 об. — 7) Некоторые разделы образцового трактата об
арифметике (Ба’д макалат мин рисала ал-унмузадж фи-л-хисаб).
В 2899/2 (лл. 5 об.— 16) Трактат об арифметике и геометрии (Рисала
фи-л-хисаб ва-л-хандаса). В 2999/3 (лл. 19 об. — 27 об.) Трактат о до-
казательстве приемов измерителей (Рисала фи байан исгилахат ахл ал-
мисаха) .В 2999/6 (лл. 53 об.— 55 об.) Небесные тела по мнению древних.
Заметки о чудесах геометрии (Аджрам самавиййа фи-л-мукадимиййа.
Нубаз мин гараиб ал-хандаса). 2999/8 (лл. 56—59 об.) Трактат о висо-
косном годе и причине его отличия от обыкновенного года, из которой
вытекают фигуры небесных тел и обращение вокруг Солнца его планет
(Рисала фи-с-сана ал-кабиса ва сабаб фаркха ’ан ас-сана ал-басита
ра талиха ашкал ал-аджрам ас-самавиййа ва дауран хаул аш-шамс сий-
277
аратха). В 2999/11 (лл. 88 об.—128) Комментарии к краткому преди-
словию к познанию действий определения ночи и дня (Шарх мукадда-
ма мухтасара мин ма’рифа а’мал истихрадж ал-лайл ва-н-нахар’ — Абу
Абдаллаха ал-Маруни). В 3050 (149 л.) Мудрость источника (ал-Кати-
би)—см. 44. В 3059/3 Книга начал науки о звездах (ал-Фаргани) —
см. 16. В 3549/5 (лл. 195—222) Трактат об астролябии (ар-Рисала фи
астурлаб). В 3556/2 (лл. 22 об. — 34 об.) Краткое предисловие к позна-
нию [действий] определения [ночи и дня] (’Абдаллаха ал-Маридини) —
см. 54. В 3691/2 (лл. S—14 об.) Трактат о пользовании синус-квадран-
том (Рисала фи-л-’амал би-р-руб’ ал-муджаййаб). В 3692/1 (лл. 1 об.—
12) Трактат о приборе, называемом «обладающим опорой» (Рисала фи-
л-ала ал-мусамма зат ал-курси — Мухаммада ал-Хамиди). В 3692/3
Книга об устройстве небесных сфер (ас-Сиджизи)—см. 27. В 3867
(лл. 22 об. — 41) Избранная астрономия (Мунтахаб ал-хайа — Ибра-
хима ал-Карамани) —то же название имеет трактат ас-Суюти (см. 68).
В 4077 (140 л.) Большие таблицы (ал-Джадавил ал-кабир). В 4221
(42 л.) Комментарии к книге кратких астрономических таблиц (Шарх
китаб аз-зидж ал-мухтасар — Ахмада ал-’Адиди ал-Кайравани). С 615
Комментарии к «Памятке» (ал-Джурджани)—см. 56. С 1245
«Начала» Евклида — см. 3. С 1680 Книга Танкалуши (Тевкра) — см. 9.
С 1979/4 Примечания к «Избранному по астрономии» (ал-Бирджанди) —
см. 63. С 2417/4 (лл. 49 об. 52 об.) Трактат об арифметике, посвященный
Хабибу (Рисала хабибиййа фи-л-хисаб). D 372 (51 л ) Книга астрономи-
ческих таблиц (Китаб зидж). D 580 Памятники минувших поколении
(ал-Бируни) —см. 30. D 601 (4 л.) Популярная речь о полумесяце, бла-
гоприятном для месяцев (ал-Каул ал-маншур фи хилал хайр аш-шу-
хур). D 624/2 (лл. 190—191 об.) Трактат о форме Земли и небесных
тел (Рисала фи хайа ал-ард ва аджрам ас-самават — Ибрахима ал-
Казанини).
Персидские математические рукописи из других коллекций [9] —
294 : В 843 (лл. 1 об.— 100 об.) Море драгоценностей (ал-Исфахани —
см. [2], № 125). 841 «Начала» Евклида в обработке ат-Туси — см. 3.
1170 Сущность арифметики (ал-’Амили)—см. 73. 1866—1872 и 3857
Трактат о науке арифметики (ал-Кушчи)—см. 62. 2141—2153 : С 2241
(свиток). С 2242 (свиток). С 2250 (лл. 130—133 и 133—138 об.), А 1031
(лл. 2 об.— 49), С 1417 (лл. 280—305 об.), С 1464 (лл. 1 об. — 17 об ).
С 2348 (лл. 1-4 об.), А 842 (лл. 56—70), В 3147 (6 л.), В 3496 (свиток),
В 4241 (лл. 68—76 об. и 76 об. — 79) Математика (Рийазиййат). 2154
Математика (ас-Самарканди)—см. 77. 2160 Сливки арифметики (ал-
Язди) —см. 47. 3791 : В 2147 (лл. 1 об.—41 об.) Собрание цифр (Мадж-
ма’ ал-аркам). 3857/5 : В 841/5 (лл. 161 об. — 182) Трактат о дробях
динара (Рисала-йи кусур-и ринари — Мухаммада ’Абида) 3978 : А 265
(лл. 37 об. — 60) Краткое, охватывающее измерение (Мухтасар муш-
тамил бар мисаха — Абу-л-Вафы ибн Са’ида).418О : А 922 (лл. 2—8 об.—
27—49 об.) Ключ к главам для любителей (Мифтах ал-абваб ли-ахбаб—
Абд ал-Халика ал-Бухари). 1316 Жемчужина короны для укра-
шения Дубаджа (аш-Ширази)—см. 45. 908 Собрание наук (ар-Рази) —
см. 37. 1236: С 595 (157 л.) Книга знания мира (Да.ниш-нама-йи джа-
хан — Гияс ад-Дина ’Али ал-Исфахани)—энциклопедический трактат,
содержащий математический раздел. 2137—2139 : С 1417 (лл. 321 об.—
330), С 1336 (452 л.), 432 (330 л.) Луга советующих (Рийаз ан-наси-
хин — Мухаммада ал-Джами ал-Алмаси) —энциклопедический трактат,
содержащий математический раздел. 4480: С 1403 (лл. 116—129) Дуно-
вение наук в невестах источников (Нафаис ал-фунун фи ’араис ал-’уй-
ун)—энциклопедический трактат, содержащий математический раздел.
278
Персидские астрономические рукописи из других коллекций [9]—25
Высшие предсказания по небесным знамениям (ар-Рази) —см. 37. 415—
419 Двадцать глав о познании астролябии (ат-Туси)—см. 43. 755:
С 1675 (лл. 34 об. — 95) Упрощение астрономических таблиц (Тасхил
аз-зидж— ’Имада ал-Бухари). 873 Книга Танкалуши (Тевкра)—см. 8.
1262 : В 285 (лл. 78—78 об.) О доказательстве признаков затмений Лу-
ны (Дар байан-и ’илат-и хусуф ал-камар). 1272 : В 2999 (лл. 54 об. — 55)
О доказательстве определения расстояний и объемов небесных тел (Дар
байан-и ма’рифат-и аб’ад у аджрам). 1671 —1674 : А 346 (лл. 38—65 об.),
В 464 (лл. 165 об. —187), В 2258 (лл. 62—93 об.), В 4297 (лл. 1 об.—
9 об.) Демоническая книга о знаках Зодиака (Див-нама-йи бурудж).
1734 : А 1005 (лл. 2 об. — 39 об.) Трактат о диске [астролябии] (Рисала
дар сафиха). 1855 Трактат о квадранте с альмукантаратами (Челеби)—
см. 70. 1882—1885, 1887—1889 Трактат о науке астрономии (ал-Куш-
чи)—см. 61. 1897 : А 267 (лл. 88 об.—108) Трактат об астрономии (Ри-
сала дар хайа). 1975 : А 264 (лл. 119 об. — 133) Краткий трактат о слу-
чаях соединений [светил] и о предсказаниях по ним (Рисала-йи мухта-
сар дар ахвал у ахкам-и киранат—ал-Яса ал-Кайсарбуи). 2174—2175,
2177—2180 Астрономические таблицы Улугбека — см. 60. 2184—2185
Книга о часах (ал-Балхи)—см. 15. 2191—2195 Книга о годе (ат-Тир-
мизи) —см. 20. 2243 Сокровенная тайна о речи звезд (ар-Рази — см. 37.
2328—2329 Комментарии к «Двадцати главам о познании астролябии»
(ал-Бирджанди)—комментарии к трактату ат-Туси — см. 63.2618:
А 682 (лл. 6 об. — 22 об.) Комментарии к «Краткому о познании кален-
даря» ат-Туси (Шарх мухтасар дар ма’рифат-и таквим ли-т-Туси) —>
комментарии к трактату ат-Туси (см. 43). 2819 : А 264 (лл. 51 об.— 55 об).
Изображение подразделения дома Зодиака звездной границей по спо-
собу греков (Сурат-и кисмат-и хана-йи бурудж дар хадд-и ситарган аз
а’мал йунанийан). 3347 Шах-джаханские астрономические таблицы
(Дихлави) —см. 78. 3408 Раскрытие истин Эльханских астрономических
таблиц (ан-Найсабури) — см. 46. 3413 Достаточное для обучения ис-
кусству звездочетства (ал-Газнави) —см. 53. 3881 Сборник трактатов
Челеби —см. 70. 3972—3973:А 265/6 (лл. 146 об.—151), В 3051
(лл. 103 об.— 132 об.) Краткое о познании астролябии (Мухтасар дар
ма’рифат-и астурлаб). 3974: А 267 (лл. 111 об. — 122 об.)
Краткое о познании календаря (Мухтасар дар ма'рифат-и
таквим — ’Абд ал-Кадира Руяни). 3975 Краткое о познании кален-
даря (ат-Туси) см. 43. 4044 Вопросы астролябии (ал-Балхи) —
см. 15. 4386—4394: А 778 (лл. 57—70 об.), В 349 (лл. 256 об.—264 об.),
В 2192 (лл. 27 об. —41), С 1202 (лл. 2 об.—16 об.), В 2211 (лл. 111 об.—
113, 113 115), В 2277 (86 л.), В 4541 (20 л. с переводом на китайский
язык) Звезды (Нуджум). 4567 : А 265/7 (лл. 152 об.— 158 об.) Коммен-
тарии к «Краткому о познании календаря» (Шарх-и мухтасар дар ма’-
рифат-и таквим — Мухаммада ал-Хусайни)—комментарии к трактату
ат-Туси (см. 43). 4633—4635: В 3516 (лл. 11—18 об.), С 2460 (21 л.),
D 372 (51 л.) Астрономия (Хайат).
Еврейские рукописи [10]— В 16, С 127 «Начала» Евклида — см 3.
В 70/1 Книга о форме мира (Ибн ал-Хайсама)—см. 28. В 70/10, В 150/12
Вопросы (ал-Басри)—см. 12. В 103/1 Наука музыки (ал-Андалуси) —
см. 34. В 103/5,6, В 311/3 Трактат о пользовании диском [астролябии]
(аз-Заркали) —см. 32. В 446/6 Книга о построениях на звездной сфере
(ал-Ба’лбакки)—см. 18. В 446/7 Разъяснение дугового квадранта,
В 446/8 Объяснение синусов (ал-Халили)—см. 55. С 12/1 «Сферика»
Феодосия—см. 6. С 12/2 «Сферика» Менелая — см. 9. С 76/2 Книга на-
чал науки о звездах (ал-Фаргани)—см. 16. С 76/6 Трактат (ал-Кин-
ди)—см. 14. D 33 «Алмагест» Птолемея — см. 11.
279
Ленинград, ЛГУ
Казанская коллекция <[12, 13] —90/1 Избранное по астрономии (ал-
Чагмини)— см. 50. 90/2 Комментарии к ал-Чагмини (ал-Джурджа-
ни) —см. 56. 90/3 «Начала» Евклида в обработке ат-Туси — см. 3. 90'4
(лл. 147—150) Третий трактат о свойствах счета на доске (ар-Рисала
ас-саласа фи кайфиййа хисаб би-т-тахт). 90/5 Сборник по арифметике
с помошью доски и пыли (ат-Туси)—см. 43. 90/6 Солнечный трактат
об арифметике (ан-Найсабури)—см. 46. 90/7 (лл. 202—211) Геометри
ческие предложения (ал-Ашкал ал-хандасиййа). 90/8 Достаточное об
арифметике (ал-Кафи фи-л-хисаб — Мухаммада ал-’Амри ал-Милани)
185. «Конические сведения» Аполлония — см. 5. 191 Примечания к «Из-
бранному по астрономии» (ал-Бирджанди)—см. 63. 393 Книга астро-
номических таблиц (Китаб-и зидж, перс.). 397 Комментарии к «Избран-
ному по астрономии» (ар-Руми) —см. 58. 406 Трактат о науке арифме-
тики (Рисала дар ’илм-и хисаб, перс.).
Другие коллекции [13, 14, 15] — 669 Книга неподвижных звезд (ас
Суфи)—см. 24. 670 Астрономический подарок шаху (аш-Ширази) —
см. 45. 671 Сущность арифметики (ал-’Амили) —см. 73. 757/23 Краткое
изложение арифметических действий (ал-Марракуши)—см. 49. 130/4
Трактат о пользовании квадрантом (Сибта ал-Маридини)—см. 67
830/5 Трактат о пользовании квадрантом, на котором начерчены аль-
мукантараты (ал-Маджди)—см. 61. 1079 (31 л.) Памятка о науке асг
рономии (Тазкира фи ’илм ал-хайа). 1099 Книга философа Валенса -
см. 8.
Казань, КГУ
Арабские рукописи — 97, 106, 820, 1121 Основные предложения (а^
Самарканди) —см. 48. 103, 104 Комментарии Ибн ал-Хайсама к Евкли-
ду— см. 28. 105 (167 л.) Комментарии к «Сущности арифметики» (Шарх
Хуласа ал-хисаб — ’Исматаллаха ас-Сахаранфури) —комментарии к
трактату ал-’Амили (см. 73). 107, 1695 «Начала» Евклида в обработке
ат-Туси — см. 3. 108 «Алмагест» Птолемея в обработке ат-Туси — см. 11.
837 (61 л.) Синус-квадрант в астрономических таблицах (Руб* ал-муд-
жаййаб фи-з-зидж). 882 (49 л.) Трактат о треугольнике (Рисала фи-л-
мусаллас). 979, 1056, 1711/2, 2066 Сущность арифметики, 1878 Объяс-
нение небесных сфер (ал-’Амили)—см. 73. 1040 (8 л.) Трактат, касаю-
щийся арифметики (Рисала мута’алика би-л-хисаб). 1055 Солнечный
трактат по арифметике, 1704 Комментарии к «Памятке» (ан-Найсабу-
ри) —-см. 46. 1057, 1607/1, 1824 Комментарии к ал-Чагмини (ар-Руми) —
см. 58. 1069 (лл. 41 об. — 8С) Восхождение светил в астрономии (Тава-
ли’ ал-анвар фи-л-хайа). 1087 «О движущейся сфере» Автолика — см. 2
1089 (лл. 30—227) Комментарии к «Памятке» (Шарх ат-тазки-
ра — Мухаммада ал-Хафафи)—комментарии к трактату ат-Туси (см
43). 1104 (16 л.) Трактат об арифметике (Рисала фи-л-хисаб)
1200 (20 л.) Избранное по арифметике (Мулаххас ал-хисаб — 1адж
ял-Лари). 1201 (63 л.) Исправление арифметики (Танких ал-хисаб)
1203 (14 л.) Трактат о доказательствах условностей принципа изме-
рения (Рисала фи байан истилахат ’асл ал-мисаха). 1227 Книга при-
мечаний, т. е. Физика (ас-Сухраварди) —см. 38. 1263 (30 л.) Книга от
рады в науке арифметики (Сибта ал-Маридини) —см. 67. 1405/1 (58 л.)
Комментарии к «Синус-квадранту» (Шарх ар-Руб’ ал-муджаййаб — Ах-
мада ибн ’Омара Челеби). 1440 Примечания к «Избранному по астро-
номии» (ал-Бирджанди)—см. 63. 1607/2 Книга разъяснения астрономии
280
1824 Избранное по астрономии (ал-Чагмини)—см. 50. 1607/3, 1703/4
Трактат о пользовании квадрантом с начерченными альмукантаранта-
ми (ал-Маджди)—см. 61. 1706 (103 л.) Новая астрономия (Хайа джа-
дида); 1711/1 Астрономия (ал-Абхари)—см. 42. 1759 (277 л.) Краткое
о звездах (Мухтасар фи-н-нуджум — ал-Бари ) 2085 (16 л.) Введение
в арифметику (Мукаддама ал-хисаб). 2096 (32 л.), 2751/7 (лл. 140—
181) Арифметика (Хисаб). 2438/1 (лл. 1 —12) Трактат об арифметике
(Рисала фи-л-хисаб). 2751/8 (лл. 182—186) Трактат с доказательствами
(Рисала бурханиййа). 2679 (32 л.) Книга Гермеса (Китаб Хирмис —
'Абд ал-Факира ал-Фанни). 2799 (5 л.) Трактат о познании затмений
Луны (Рисала фи ма’рифа хусуф ал-камар — Хидра ал-Барласы ал-Куб-
бани). 3227 Мудрость источника (ал-Катиби)—см. 44.
Персидские рукописи — 4 (ПО л.) Астрономические таблицы
(Зидж). 5 (120 л). Наблюдение за светилами (/Маназир ал-кавакиб —
Ахмада Насира). 6 (88 л.) Трактат по астрономии (Рисала фи-л-хайа).
7 (48 л.) Подарок Низаму (Тухфа низамиййа — ’Абд ал-Кадира Руяни).
8 (119 л.) Тонкости речи о звездах (Латаиф ал-калам фи-н-нуджум —
астронома Саййида). 10. Астрономические таблицы Мухаммад-Шаха
(Савай Сингха)—см. 81. 12 (лл. 1—25) Трактат о науке арифметики
(Рисала дар ’илм-и хисаб). 13 (лл. 45—53) Трактат об искусстве [по-
строения] северной астролябии (Рисала дар сина’ат-и астурлаб шима-
ли). 14 (лл. 53 об. — 64 об.), 15 (лл. 64 об. — 77) Краткое о познании
календаря (Мухтасар дар ма’рифат-и таквим). 16 (лл. 77об. — 80)
Трактат о [гадании на] песке (Рисала ар-рамл). 18 Систематический
трактат по астрономии (ал-’Амили)—см. 73. 19 Комментарии к трактату
о календаре ал-Бирджанди (ал-Джунабади)—см. 64. 20 Комментарии
к «Двадцати главам», 24 Комментарии к астрономическим таблицам
Улугбека (ал-Бирджанди) —см. 63. 22 «Книга плодов» Птолемея в об-
работке ат-Туси — см. 11. 23 (28 л.) Трактат об астролябии (Рисала
фи-л-астурлаб). 25 (76 л.) Таблица для определения выбора счастлив
вых дней по Луне (Джадвал-и ма’рифат-и ихтийарат-и камар). 28 (149л.)<
Восхождение двух Солнц — о науке оптики и зеркалах (Машрик апь
шамсайн дар ’илм маназир у мирайа—Мухаммада Садика ад-Дих-
лави). 48 Жемчужина короны для украшения Дубаджа (аш-Ширази) —
см. 45. 139 (148 л.) Посвященный Му’ин ад-Дину трактат на астроно-
мии (Рисала Му’иниййа фи-л-хайа). 192 Астрономические таблицы
Улугбека — см. 60. 213 (лл. 4—34) Трактат по арифметике (Рисала ал-
хисаб). 232 (210 л.) Трактат о науке о звездах (Рисала дар ’илм-и нуд-
жум). 494 (126 л.) Трактат о науке арифметики (Рисала фи ’илм ал-
хисаб— Хасана ибн Хайр ад-Дина). 531—536 бухарские учебники ариф-
метики в виде свитков. 1036 Календарная астрономия в форме преда-
ния (ас-Суюти)—см. 68. 1102 (60 л.) Мусульманская мудрость (Хик*
ма ал-ислам— Ибрахима Карамзин)—комментарии к «Календарной
астрономии» ас-Суюти.
Ташкент, ИВ
Математические рукописи [17, 18] — 415/1, 2671, 5514, Собрание
наук (ар-Рази) —см. 37. 415/6 (лл. 185 об.— 187) Трактат о видах сче-
та (Рисала дар баб анва’и хисаб, перс. — см. [17, т. 1], № 486). 446/5
(15 л.) О свойствах соответствия треугольника и науке о числах (Дар
хавасс-и вафк у мусаллас у ’илм ал-’адад, перс.). 567, 2818/2, 2984/6,
1821/1, 5330/12, 6057/2, 6131/1, 6230/3, 6453/2, 6854/2, 7479/1, 7808/4,
8718/1, 9392 Сущность арифметики (ал-’Амили)—см. 73. 816 Жемчу-
жина короны для украшения Дубаджа (аш-Ширази)—см. 45. 1451/1,
281
1693/6, 2245/5, 7579/2 Трактат об арифметических действиях,
2692/7, 7131/14 Шесть действий по разделению наследств (ас-Самар-
<анди)—см. 61. 1693/1, 6023/10, 6125/1, 6131/7,9, 6175/2, 6425/6, 7822/4,
8С44/6, 8152/3 Солнечный трактат об арифметике (ан-Найсабури) —
гм. 46. 2022/2 (лл. 5—21) Способ извлечения корней (Тарик истихрадж
джузур). 2022/5 (лл. 115—128) О задачах алгебры и алмукабалы (Фи
масаил ал-джабр ва-л-мукабала). 2246/8 (лл. 108—109) Вторая книга
об арифметике дробей (Макала санийа дар хисаб-и кусур, перс.).
2385/17—19 Книга знания, 2385/20 Трактат по логике, физике и теологии,
2385/22 Сокровища познания (Ибн Сины)—см. 31. 2422/6, 4697/29,
6425/1, 8820/4 Трактат об углах треугольника (ат-Тафтазани) —см. 52.
2245 Краткое изложение «Ключа» (ал-Каши)—см. 59. 2463/1 (лл. 1 об.—
42) Собрание цифр (Джами’ ал аркам, см. [17, т. 1], № 493). 2463/9
(лл. 61 об. — 84 об.) Трактат об объяснении арифметики (Рисала-йи
байан-и хисаб, перс., см. [17, т. 1], № 497). 2679/1 (лл. 4—101) Тетрадь
по арифметике и измерениям (Дафтар-и хисаб у мисахат, перс.), руко-
пись описана в [59]. 2679/9 (л. 213 об.) Цифры, применяющиеся в наро-
де, которым обучают наставники науки сияка (Аркам дар кауми ка ус-
тадан фи ’илм ас-сийак та’лим намудаанд, перс. см. [17, т. 1], № 496; си-
як—скоропись, применяющаяся торговцами и бухгалтерами, см. [49,
стр. 335]). 2979/18, 4070/9, 4697/2, 8726/6 Мудрость источника (ал-Кати-
би) —см. 44. 2692/2 (лл. 102 об.— 111 об.) Трактат об арифметике (Ри-
сала-йи хисаб, перс., см. [17, т. 1], № 487). 2692 3 (лл. 112 об.—
118 об.) Трактат о счете и измерении (Рисала-йи хисаб у мисаха, перс,
см. [17, т. 1], № 488). 2692/10 (лл. 222—284),) 2818/4 (лл. 214—260),
2844/1 (лл. 1—32), 2865/5 (лл. 40—62) Арифметика (Хисаб). 2692/14
(лл. 190 об. — 284) Сердцевина арифметики (Лубаб ал-хисаб — Мухам-
мада Хамида, см. [17, т. 1], № 492), рукопись описана в [60]. 3042/3
(лл. 36—69) Геометрия (Хандаса). 3085, 3373/4 Основные предложения
(ас-Самарканди)—см. 48. 3275/2 (лл. 79—117) Алгебра и алмукабала
(ал-Джабр ва-л-мукабала). 3356/3 Трактат по арифметике (ал-Куш-
чи)—см. 62. 3894/3 (лл. 77—128) Задачи по арифметике и геометрии
(Масаил-и хисаб у хандаса, перс.). 4750/8 Арифметический трактат (ал-
Бузджани) —см. 25. 4814/3 (лл. 60—62) Устройство треугольников
(Назм ал-мусталласат—Бади’и). 5185/10, 6023/7, 6425/4 Трактат по ал-
гебре и алмукабале (ас-Сиджаванди) —см. 39. 6131 (лл. 1—127), 6864/2,
7235/1 (86 л.) Комментарии к «Сущности арифметики» (Шарх Хуласа
ал-хисаб — Шаме ад-Дина ’Али ал-Джалджали)—комментарии к кни-
ге ал-’Амили (см. 73). 6131/2 (лл. 118—145) то же (’Абд ас-Самада ибн
Кази Мухаммад-Акбара). 6175/3 Трактат об арифметике (Рисала фи хи-
саб— Ибн Ходжи Мухаммада). 6181 (67 л.) Арифметика и наследства
(Хисаб у фараиз, перс.). 6230/2 (лл. 44—53) Зеркало арифметики (Мир’а
ал-хисаб — Ибн Ялба). 6425/2 (лл. 7—11) Третья книга о видах измере-
ний (ал-Макала ас-саласа фи анва’ ал-мисахат). 7131 13 (2 л.) Трак-
тат о главе арифметики о действии с помощью сетки (Рисала дар баб-и
хисаб-и ’амал-и шабака, перс. — Мухаммада Амира ал-Муминабади).
77С2/3 (2 л.) Трактат об исчислении умножения (Рисала-йи хисаб-и
зарб, перс.). 8044/5 Трактат об арифметике и наследствах (Рисала фи
хисаб ва-л-фараид — Якута ал-Джахаби. 8507 9 (37 л.) Трактат об
арифметике (Рисала фи-л-хисаб — Шараф ад-Дина Джамала). 8507/11
(5 л.) Трактат о дробях (Рисала фи-л-кусур). 8698/1 (лл 1—32) Трак-
тат об арифметике (Рисала дар хисаб, перс.). 8830/2 (лл. 24—25) Трак-
тат о разъяснении видов счета (Рисала дар байан-и анва’-и хисаб,
перс.). 8830/3, 4 (лл. 26—32, 32—42) Трактат о разъяснении арифмети-
ки (Рисала дар байан-и хисаб, перс.—Мухаммада ал-Кабари). 8990/6
Г282
Сборник по арифметике с помощью доски и пыли (ат-Туси)—см. 43.
9024 (192 л.) Сборник по арифметике и наследствах (Маджму’ а-йи хи-
саб у фараиз, перс.). 9027/8 Трактат о науке арифметики (Ибн ал-Хаи-
ма)—см. 57. 9749 (448 л.) Наследства, измерение и углы (Фараиз у
мисаха у завайа, перс.).
Астрономические рукописи [17] — 209/2 (3 л.) Толкование стоянок
Луны (Шарх маназил ал-камар). 209/10 (11 л.) Введение в науку о
звездах (Мадхал ила ’илм ан-нуджум — Хабаша ибн Ибрахима ат-Тиф-
писи). 438, 439, 440, 441, 2754 Астрономические таблицы Мухаммад-ша-
ха (Савай Сингха)—см. 81. 436/1 Правило, 562/10 Трактат о жаре и
холоде, 1206/4,5 Краткое о познании календаря, 1207/4 Двадцать глав о
познании астролябии, 1355/5, 1356/11 Выбор счастливых дней 8990/4
Тридцать разделов о познании календаря (ат-Туси) —см. 43. 442/1, 703,
3658 Достаточное для обучения искусству звездочетства, 2319 Блестя-
щий трактат (ал-Газнави) —см. 53. 443 Сборник предсказаний по звез-
дам (ал-Байхаки) —см. 36. 444 (147 л.) Краткие комментарии к «Позна-
нию звезд» (Шарх мухтасара дар ма’рифа ан-нуджум, перс. — Бадра
ат-Табари, см. [17, т. 6], № 4290) —комментарии к сочинению ат-Туси.
445/1, 3423 Книга вразумления в начатках звездочетства (ал-Бируни) —
см. 30. 445/2 Введение в искусство предсказаний пэ звездам (ал-Джи-
ли) —см. 26. 457, 2118, 2123, 2214 Астрономические таблицы Улугбека —
см. 60. 458, 704, 2942 Комментарии к астрономическим таблицам
Улугбека, 464 Комментарии к изложению Алмагеста, 1854 Ком-
ментарии к «Двадцати главам о познании астролябии» (ал-Бирджан-
ди)— см. 63. 459/1, 2144, 2941, 5259/2 Наблюдения светил, 2247/1 Трак-
тат о действиях с глобусом, 2247/4 Различные пользы науки о звездах,
5095/1 Таблица часов восхода и захода Солнца (Даниша) —см. 82. 460/1
(124 л.) 8312/4 (лл. 60 об.—119 об.) Сияния Луны (Лаваих ал-
камар— Хусайна ал-Байхаки ал-Кашифи — см. [17, т. 6], № 4294
[17, т. 8],	№ 5666).	461 Подарок звездочетам, Комментарии
к «Сокращению „Начал"» (ал-Язди) см. 47. 463/1 Ат-Тавка-
лиева Сущность науки о звездах (Хуласа ат-Тавкалиййа фи ’илм
ан-нуджум, см. [17, т. 6], № 4264). 463/2 (лл. 50 об. — 92) Предсказания
пребывания семи планет и их сочетаний в двенадцати знаках Зодиака
(Ахкам-и будан хафт кавакиб ва ’акдин дар дуваздах бурудж, перс.—
Мухаммада ’Али Хакима, см. [17, т. 6], № 4293). 463/6 (25 л.) Трактат
об обозначениях звезд (Рисала дар аркам-и нуджум., перс. — Ходжи
Баха ад-Дина Ахрара). 465/2 (20 л.), 466/2 Трактат о науке [небесного]
глобуса и способах пользования им (Рисала дар *илм-и кура ва тарик-и
амал, перс.). 465/3 (лл. 1 об. — 49), 3894/4 (лл. 77—128) Трактат, по-
священный Му’ин ад-Дину, о науке астрономии (Рисала Му’иниййа дар
’илм ал-хайа, перс., см. [17, т. 6], № 4265). 465 4 Трактат о пользовании
астролябией (Рисала дар баб исти’мал-и астурлаб, перс. — Касима ал-
Али ал-Каби’и). 466/1 Семьдесят глав о познании астролябии, 5619/4
Вопросы астрономии, 5619/5, 9346/1, 9783/1 Объяснение небесных сфер
(ал-’Амили) —см. 73. 467/1 Трактат о синусе, 467/2 Трактат об изобра-
жении альмукантаратов (Сибта ал-Маридини)—см. 67. 467/3 Трактат
о науке астрономии, 7259/4, 9344/2 Трактат об определении поклонений
и стороны кыблы (ал. Каланбави). 467/4 (лл. 23—35 об.). Разные таб-
лицы, относящиеся к астрономии (Джадавил ал-мухталифа фи-л-хайа,
см. [17, т. 6], № 4275). 561/6 (лл. 62 об. — 65). Вопрос[ы] и ответ[ы] древ-
них мудрецов (Суал ва джаваб хукама ма такаддама, см. [17, т. 3],
№ 1952). 591/2, 3749/3, 4162/5, 4330/2, 8986/2, 9179/12 Книга о годе,
1773/5, 2730/5,6, 8257/26 Книга о Новом годе (ат-Тирмизи) —
гм. 20. 1205 (42 л.). Сущность предписания Луны для избрания
283
счастливых дней (Лубб лаваих ал-камар фи-л-ихтийарат —Сайида'
Субханкули Бахадура, узбекский перевод с перс. Юсуфа Хорез-
ми, см. [17, т. 7], № 5424). 1206/6 (лл. 99—127), 3042/2 (лл. 18—37),
3780/2 (лл. 130—146). Краткое о трудностях астролябии (Мухтасар дар
са’б астурлаб, перс.). 1207/2 (лл. 24 об. —120 об.) Наука об астроля-
бии (’Илм астурлаб, см. [17, т. 1], № 522). 1207/3 (лл. 124 об.—150 об.)
Услада ангела в астрономии небесных сфер (Нузха ал-малак фи хайа
ал-афлак, см. [17, т. 1], № 524). 1341, 2655/2,2984/4, 3049/1, 5619/1, 7376/1,
7672, 8217, 8392, 8947 3, 9346/2, 9592 Комментарии к ал-Чагмини (ар-
Руми)— см. 58. 2208 Направление учащегося в ожерелье светил (ал-
Кавакиби) — см. 79. 2385/32, 57 Трактат о достоверном и недостовер-
ном в приговорах звезд (ал-Фараби)—см. 21. 2385/68 «Книга о небе»
Аристотеля см. 1. 2422/3 Трактат о точном определении направления
кыблы (ал-Карабаги)—см. 74. 2422,4 (лл. 52—56) Трактат о точном
определении индийского круга (Рисала дар тахкик-и дайра хинди
перс. — Турсуна аз-Замини ал-Фараиза). 2422/5 (лл. 56—73) Трактат
об определении направления кыблы (Рисала фи ма’рифа самт ал-
киблы—Мансура). 2526 (61 л.) Привлечение внимания братьев
(Табсира ал-ихван, см. [17, т. 1], №523). 2655/1 Комментарии к «Памят-
ке», 2655/3 Комментарии к ал-Чагмини, 6637/3 Комментарии к «Мудро-
сти источника» (ал-Джурджани)—см. 56. 2691 (75 л.) 7553 (98 л.) Ключ
к «Двадцати главам» (Мифтах-и Бист баб., перс.— Фасих ад-Дина, см. [17,
т. 1], №504, [17, т. 8], № 5664). 2715/1 (358 л.) Ключи судьбы (Мафатихал-
куда, перс. см. [17, т. 1], № 526). 2865/4 (лл. 36—-38) Определение зат-
мений (Истихрадж хусуф ва кусуф). 2984/5, 3556, 5619/3, 7622, 7761/1.
9276/2 Трактат по астрономии, 3356/1 Трактат, посвященный Фатх ад-
Дину (ал-Кушчи) —см. 62. 3608 Проверенные султанские астрономиче-
ские таблицы (ал-Катиби)—см. 44. 3641/1 Комментарии к «Двадцати
главам» (ал-Джунабади) —см. 64. 3758/6 Гранины постижения в позна-
нии небесных сфер (аш-Ширази)—см. 45. 3780/3 (лл. 146—160) Трак-
тат об астролябии (Рисала дар астурлаб, перс. —Мухаммада аЛ-Ху-
сайна ал-Барди). 3780/4 (лл. 161—182) Трактат об астролябии (Рисала
дар астурлаб, перс. — Мухаммада ал-Хиджази). 3852/1 (лл. 1—81)
Трактат об определении направления киблы (Рисала-йи ма’рифат-и.
самт-и кибла, перс. — Сати ибн ’Уда Мухаммада). 3953/2 (лл. 9—11)
Беседа о предсказаниях по соединениям Луны с планетами в знаках
Зодиака (Гуфтаган дар ахкам-и инсал-и камар ба кавакиб мутахаййи-
ра дар бурудж, перс. — ’Убайдаллаха Абу-л-Касима Гулам-и Зухала,
см. [17. т. I], № 505). 7259/4 (20 л.) 7376/2 (19 л.) Краткое об астролябии
(Мухтасар дар астурлаб, перс.). 7622/3 (50 л.), 7761/2 (35 л.) Трактат
по астрономии (Рисала фи-л-хайа). 7761/3, 8796/11 Избранное по астро-
номии (ал-Чагмини) —см. 50. 7822/2 Трактат о знаках Зодиака (Ри-
сала фи-л-бурудж). 8154 (лл. 49 об. — 56 об.) Наставление учащимся
(Нисаб ал-мута’аллимин, см. [17, т. 8], № 6005)—энциклопедический
трактат, содержащий астрономический и арифметический разделы.
8257/2 (лл. 7 об. — 9) О свойствах Луны (Дар байан-и хасииат-и мах,
узбек., см. [17, т. 7], № 5432). 8257/11 (лл. 60 об, —95), 825//13 (лл.
100 об.— 128 об.). 10124/1 (54 л.) Книга о гороскопе (Тали’-наме, пер-
сидский текст и узбекские переводы с него, см. [17, т. 7], № 5433—5434).
8312/3 (лл. 57—60 об.) Трактат о светилах (Рисала кавакиб, перс., см.
[17, т. 8], № 5669). 8485 Избранные [решения] календаря (ал-Фариси,
гм. 41). 9254/5 (л. 126 об.) Таблица положений звезд (Джад-
вал-и мавкуф-и ситараха, перс., см. [17, т. 8], № 5671). 9344/1
(лл. 1—35) Книга о науке астрономии (Китаб дар ’илм-и хайа.
перс.). 9739 Комментарии к «Двадцати главам о календаре» (ал-Джу.
284
набади, см. 64). 9783/3 (4 л.) Трактат об определении направления
кыблы (Рисала бирайи ма’рифат-и самт-и кибла, перс.). 9783/5
(лл. 85 об.— 123 об.) Комментарии к «Истолкованию небесных сфер»
(Шарх Ташрих ал-афлак — ’Имад ад-Дина ибн Лутфаллаха Лахури,
см. [17, т. 6], № 4262) —комментарии к трактату ал’Амили (см. 73).
Ташкент, ТГУ
[19] — 32 (614 л.) Драгоценности наук в отношении невест [всех]
сущностей (Тафаис ал-фунун фи ’араис ал-’уйун— Мухаммада ал-’Ами-
ли). 99 (158 (43 л ) Собрание цифр — то же, что ИВ 2463/1
Ереван, ИДР
45 Книга спасения (Ибн Сины), см. 31. 66/2 167 Сущность ариф-
метики, 514/3, 540 Геометрические задачи и астрономия (ал-Кушчи) —
см. 62. 174, 204/1, 513, 514/2 Сущность арифметики, 204/4 Восемьдесят
глав о познании астролябии (ал-’Амили) —см. 73. 494 Геометрия (Хан-
даса— Мирзы Мухаммада аш-Ширвани). 514/1 (лл. 1 об.— 18 об.) Ал-
гебра и алмукабала (Джабр у мукабала, перс. — Малика Мухаммада
Исфахани). 804/1 (лл. 1 об.— 18 об.) Трактат об астролябии (Рисала-
йи астурлаб, перс. — Мухаммада ат-Тараблуси). 804 2 (лл. 21 об.—30)
Трактат о глобусе (Рисала-йи кура, перс.). 1064 (8 л.) Книга о науке
арифметики (Китаб фи ’илм ал-хисаб — ’Абд ал-Кадира ибн ’Али ас-
Сахави аш-Шафи’и).
Тбилиси, ИР
Арабские рукописи — К 10 Комментарии к изложению «Алмагеста»
(ал-Бирджанди) —см. 63. К 13/4, К 21/2, К 29, L 331/3, Сущность ариф-
метики (ал-’Амили)—см. 73. К 26 «Начала» Евклида в обработке ат-
Туси, см. 3. L 74/2 (лл. 27 об. — 31 об.) Строки об ариф-
метике (Сутур фи-л-хисаб). L 74/4 (лл. 39 об. — 64 об.) Трактат об
арифметике (Рисала фи-л-хисаб). L85/1 (лл. 1—35) Краткий трактатов
астролябии (Рисала мухтасара фи-л-астурлаб). L 85/2 (лл. 35 об.—
50 об.) Пособие по науке арифметики (Ма’уна фи ’илм ал-хисаб).
L 260. L 268 Комментарии к ал-Чагмини (ар-Руми) —см. 58.
Персидские рукописи — 34 68 Наука о звездах и календаре, 59/95
Наука астрономии (ал-Бирджанди)—см. 63. 49/84 Правила действий
и исправление таблиц (ар-Руми?) —см. 58. 51 86 (180 л.) Книга о пло-
довом дереве (Китаб-и шаджара-йи самара — ’Али-шаха ибн Мухамма-
да ибн Касима ал-Хорезми). 54/89 Трактаты Братьев чистоты — см. 19.
153/191 Астрономические таблицы Улугбека — см. 60. 147/185 Доста-
точное для обучения искусству звездочетства (ал-Газнави)—см. 53.
217/384 Двадцать глав о познании астролябии, 534 Краткое об изуче-
нии календаря (ат-Туси) —см. 43. 493 Сборник математических сочине-
ний ас-Самарканди — см. 77.
Баку, РРФ
А 36 Тридцать разделов о познании календаря, Б 11 Комментарии
к Птолемею, Б 2837/1 Двадцать глав о познании астролябии, ДА 221 Эль-
ханские астрономические таблицы (ат-Туси) —см. 43. Б 160 Коммента-
рии к «Двадцати главам» (ал-Джунабади)—см. 64. Б 337 (173 л.)
Наука о звездах (’Илм-и нуджум, перс. — Махмуда ибн Мухаммада).
285
Б 413/2 (128 л.) Календарь в науке о звездах (Таквим дар ’илм-и нуд-
жум, перс. — Хусайна ибн ’Али). Б 414 Источники арифметики (ал
Язди) см. 47. Б 603 Избранное по арифметике (ал-Чагмини)—см. 50
Б 760/1, Б 3516 Комментарии к ал-Чагмини (ар-Руми) —см. 58. Б 360/2
Б 3502 Сущность арифметики (ал-’Амили) — см. 73. Б 783 Комментарии
к «Памятке» (ан-Найсабури)—комментарии к трактату ат-Туси —
см. 46. Б 1996 3 Трактат о синус-квадранте (Рисала фи-р-руб’ ал-муд-
жаййаб— Ибрахима ал-Хакки, на азербайджанском языке) Б 1996/4
(22 л.) Астролябия (ал-Астурлаб — Хидра ал-Джазари). Б 1996/5 (7 л.)
Трактат о пользовании синус-квадрантом (Рисала фи-л-’амал би-р-руб
ал-муджаййаб). Б 1996/6 (39 л.) Комментарии к [трактату] «Синус-квад-
рант» (Шарх Руб’-и муджаййаб). Б 1996/7 (10 л.), В 2837/5 (17 л.) Се-
верная астролябия (Астурлаб аш-шимали). Б 2549 (144 л.) Эманация
небесных сфер (Тафрих ал-афлак — Садр ад-Дина Саййида ал-Хасани)
Б 2790 (15 л.) Геометрические задачи (Хандасиййат). Б 2837/2 Альму-
кантараты (Ибн ал-Хаима)—см. 57. Б 2837/3 (12 л.) Астрономический
круг (Даира-йи хайа, перс.). Б 2837/4 (8 л.) Синус-квадрант (Руб’ ал
муджаййаб). Б 2858 (175 л.) Указания в Комментариях к «Усладе»
(Танбихат фи шарх ан-Нузха —Мухаммада ибн Фахр ад-Дина ибн Кай-
са). Б 3860/1 Руководство по календарю (Хидайа ат-гаквим — Мухам-
мада Бакира ал-Вагита). Б 4274 «Сферика» Менелая в обработке ат-
Туси— см. 9. Б 4280/1 (лл. 1—40) Книга начал геометрии (Китаб ал
усул фи-л-хандаса — Ибрахима аз-Зинджани). Б 4280/2 (лл. 40—55)
Проектирование сферы на плоскость в астролябии (Тастих ал-курри
фи-л-астурлаб). Б 18364 Основные предложения (ас-Самарканди)—
см. 48. Д 231 (85 л.) Указания звездочетов (Танбихат ал-мунаджжи-
мин — Ибн Мухаммада Касима Музаффара). М 115 Астрономические
таблицы Улугбека — см. 60. М 225 Гранины постижения в познании не-
бесных сфер (аш-Ширази)—см. 45.
Душанбе, БАН
1265, 2200, 2136/3,5 3070/11 Солнечный трактат об арифметике (ан-
Найсабури)— см. 46. 1611 Сущность арифметики (ал-’Амили)—см. 73
2128/3 Трактат по арифметике (ас-Сиджаванди)—см. 39.
Душанбе, ИЯЛ
30 Астрономические таблицы Мухаммад-шаха (Савай Сингха) —
см. 81. 31 Солнечный трактат об арифметике (ан-Найсабури) — см. 46
34 (150 л.) Астрономические таблицы (Зидж). 89/1 Трактат о науке
арифметики (ал-Кушчи)—см. 62.
Душанбе, ГБФ
164 (65 л.) Книга об арифметике и геометрии (Китаб-и хисаб у хан
даса, перс.). 324 Мудрость источника (ал-Катиби) — см. 44. 591 «На
чала» Евклида в обработке ат-Туси — см. 3. 680, 912 Трактат об ариф-
метике (ал-Кушчи) —см. 62. 877 Двадцать глав о познании астролябии
(ат-Туси) —см. 43. 906 (126 л.) Наука математики (’Илм-и раййазийат.
перс. — Саида Мухаммада Хакани). 931, 1239 Сущность арифметики
ал-’Амили) —см. 73.
Ашхабад, ИЯЛ
2537 1 Солнечный трактат по арифметике (ан-Найсабури) —см. 46
2537/2 (лл. 50 об — 59 об.) Трактат об определении числовых неизвест-
286
пых с помощью алгебры и алмукабалы (Рисала фи истихрадж ал-мадж-
хулат ал-’ададиййа би-тарик ал-джабр ва-л-мукабала). 2537/3 Трактат
о доказательстве правил арифметики (ал-Бихишти) — см. 69. 2537 4
(лл. 66 об. — 68 об.) Трактат о доказательстве задач (Рисала фи байан
масаил—Хамзы ал-Байхаки). 2537/5 (лл. 69—71 об.) Трактат о доказа-
тельстве правил арифметики (Рисала фи байан каванин ал-хисаб).
2537/6 (лл. 72—75) Трактат о доказательстве измерения треугольных,
четырехугольных, круглых и других тел (Рисала дар байан-и мисахат-и
аджсам-и мусаллас у мурабба’ у мудаввар ва гайрихи, перс.). 2537/7
(лл. 75 об. — 86) Трактат о познании солнечного календаря (Рисала фи
ма’рифа таквим ал-мушмис). 2537/8 (лл. 86—89 об.) Комментарии к
«Сущности арифметики» (Шарх Хуласа ал-хисаб — Муллы ’Исматал-
лаха). 2537/9 то же, 3067 Благородный трактат (ал-Халхали)—см. 71.
2537/10 (лл. 166—180) Верные частицы предварительных комментариев
(Дакаик ал-мухкама фи шарх ал-мукацдама — Мухаммада ал-Джаза-
ри). 2537/18 (лл. 241 об. — 337) Комментарии к «Сущности арифмети-
ки» до седьмой главы (Шарх Хуласа ал-хисаб ила баб ас-саби’). 172
(115 л.) Элементы учения о телах вселенной (Басаит аджсам ал-’алам).
Литература
1.	В. Dorn, Catalogue des manuscrits et xylographes orientaux de Biblio-
theque Imp£riale Publique de St.-Petersburg, СПб., 1852.
2.	В. Born, Die Sammlurg von morgmllPidischen Handschriften, welche die
Kaiserliche Offentliche Bibliothek zu St.-Petersburg im Jahre 1864 von Hrn
v. Chinykiv erworben hat, СПб., 1865.
3.	И. Гурлянд, Краткое описание математических, астрономических и
астрологических евр°йских рукописей из собрания Фи'рковичей, хранящихся
в Императорской Публичной библиотеке в С.-Петербурге, СПб., 1866.
4.	«Востоковечные фонды крупнейших библиотек Советского Союза», М., 1963.
5.	J. L. Rousseau, Catalogue d'une collection de 500 manuscrits orientaux,
Paris, 1817.
6.	В. И. Беляев, Арабские рукописи Бухарской коллекции Азиатского музея
Института востоковедения АН СССР, — «Труды Института востоковедения
АН СССР», 1932, т. 2.
7.	И. ГО. Крачковский, Арабски? рукописи, поступившие в Азиатский музей
Российской Академии наук с Кавказского фронта, — «Известия Российской Акаде-
мии наук», 6-я серия, 1917, т. 11, ч. 2, стр. 91-3—949.
8.	V. Rosen, Collection scientifique de PInstitut des Langues Orientates de
Ministere des Affaires Etrangires, vol. I (Les manuscrits arabes), СПб., 1877;
vol. HI (Les manuscrits persans), СПб., 1886.
9.	О. Ф. Акимушкин, В. В. Кущев, Н. Д. Миклухо-Маклай, А. М. Муминов,
М. А. Салахетдинова, Персидские и таджикские рукописи Института народов
Азии АН СССР, т. I, М., 1964.
10.	И И. Гинцбург, Каталог еврейских рукописей Института народов Азии
АН СССР, т. I, под ред. К. Б. Старковой и А. М. Газова-Гинзберга, М., 1966.
11.	В. И. Беляев, Арабские рукописи в собрании Института востоковедения
Академии наук СССР, — «Уч. зап. Института востоковедения АН СССР», 1953,
т. 6, стр 54—103.
12.	[И. Готвальд], Описание арабских рукописей, принадлежащих библиоте-
ке Имп. Казанского университета, Казань, 1855.
13.	К. Г. Залеман и В. Р. Розен, Список персидским, турецко-татарским и
арабским рукописям библиотеки Имп. СПб. университета, СПб., 1888.
14.	А. Ромаскевич, Список персидских, турецко-татарских и арабских руко-
писей библиотеки Петроградского университета, Л., 1925.
15.	В. И. Беляев и П. Г. Б/лгаков, Арабские рукописи собрания Ленинград-
ского государственного университета, — в сб.: «Памяти академика Игнатия Юлиа-
новича Крачковского», Л., 1958, стр. 21—36.
16.	А. Г. Каримуллин, Востоковедные фонды Казанского университета, —
«Проблемы востоковедения», 1959, № I, стр. 153—157.
17.	Собрание восточных рукописей Академии наук Узбекской ССР, под ред.
А. А. Семенова, т. I—V, Ташкент, 1952, 1954, 1955, 1957, 1960; под ред. А. А. Се-
287
менова и Д. Г. Вороновского, т. VI, 1963, т. VIII, 1966; под род. У. Уранбаева и
А. М. Епифановой, т. VII, 1964.
18.	Г. П. Матвиевская, О математических рукописях из собрания Инсти-
тута востоковедения АН УзССР,—«Изв. АН УзССР», серия физико-матем. наук,
1965, № 3, стр. 72—74.
19.	А. А. Семенов, Описана* персидских, арабских и турецких рукописей
Фундаментальной библиотеки САГУ, вып 1, Ташкент, 1935; Описание таджик-
ских, персидских, арабских и тюркских рукописей Фундаментальной библиоте-
ки САГУ, вып. 2, Ташкент, 1956.
20.	Г. Д. Мааедбейли, Мухаммед Насирэддин Туса о теории параллельных
линиий и теории отношений, Баку, 1959.
21.	Архимед, Сочинения, перев. И. Н. Веселовского, М., 1961.
22.	D. Chwolson, Ub*r die Uberrest? d*r altbibylonischen Literatur in arabis.
chen Cb°rsetzui gen, СПб., 1859.
23.	Aldidi, Lib*r de pliviis imbribus et v*ntis ac acres mutitione, Paris, 1540.
24.	Albumasaris Abalachii, I nt rod act ionum in astronomiam, Augsburg, 14s.).
25.	Jacobus Gdius, Mihim>dis Fit. Retiri Ferganmsis qui vilgo Alf raganus
dicitur El?m?nta Astronomic?, Arabice et Litine, Amstelodami, 166).
26.	Олар Хайнам, Трактаты, перев. Б. А. Розенфель ia, по; pei. В. С. Сегаля
и А. П. К шкевича, вступительная ст. ц коим. Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкеви-
ча, М., 1962.
27.	F. Waepcke, Trois traites arabis sur le compas parfait, Notices et extraits
des manuscrits de la Biblidheque Natl male, t. 22, pt., Paris, 1874, pp. 1—147.
28.	Abd-al-Rahma i al-Sufi, Description des etoiles fixes, trad. H.C.F.C. Schjel-
lerup, СПб., 1874.
29.	E. Wiedemann, Uber die Camera obscura bei Ibn al-Haitam, Sitzungsbe-
richte der phrs.-med. Sozietat, Erlangen, 1914, Bd 45, S. 155—16J.
30.	C. Scaoy, Abhindlang des al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haitam (Alharen)
fiber die Bestimmung d?r Richtung der Qibla, Zeitschrift der Deutschen Morgenlan-
dischen Gesellschaft, 1921, Bd 75, S. 242—253.
31.	E. Wiedemann, Ob*r g?on?trisch? Instrunnnfe bei den musllmische Volkern,
Zeitschrift fur Vermessungswesen, 19 0, Bd 39, № 22, S. 585—592.
32.	Б. А. Розенфельд, Доказатьльспва пятого постулата средневековых ма-
тематиков Хасана ибн ал-Хайсама и Льва Герсонида,—«Историко-математичес-
кие исследования», 1958, вып. 11, стр. 733—782.
33.	Г. 3. Кулиева, Теория составных отношений Ибн Xгйсама, — «Уч. зап.
Азербайджанского государственного университета», серия физико-матеи. наук, 1933,
№ 4, стр. 85—90.
34.	К. Kohl, Ober den Aufbau der Welt nach Ibn al-Haitam, Sitrungsberichte
der phys.-med. Sozietat, Erlangen, 1922—1923, Bd 54—55, S. 140—179.
35.	A. Hochheim, Al Kafi fit Hisab des Abu Bekr Muhammed ben Alhusein
Alkarchi, Halle (Saale), Th. 1—3, 1877—1880.
36.	Абу Рейхан Блруни, Памятники минувших поколений, перев. М. А. Салье,
Ташкент, 1957.
37.	Abu’l-Rayhan Muhammed ibn Ahmed al-Birud, The book of instruction in the
elements of astrology, ed. and transl. R. Ramsay Wright, Loidon, 1934.
38.	А. Д. Папазян, Об одной рукописи «Книга с шеенаяъ Абу-А ги Ибн-Сина,—
Докл. АН АрмССР, 1956, т. 23, № 5, стр. 229—234.
39.	Ибн Сина, Даниш-наме — Книга знания, перев. и ст. А. М. Богоутдинова,
под ред. М.-Н. Османова, Сталинабад, 1957.
40.	N. Khanixoff, Analysis and extracts of Kitab mizan al-hikma (Book of the
Balance of Wisdom), an Arabic work on th? water-balince writtm by al-Khazini
in the twelfth century, — «J. of the American Oriental Society», 1859, vol. 6,
pp. 1—128.
41.	Абу-р-РаДхан ал-Бируни, Собрание сведений для познания драгоценностей
(Минералогия), перев. А. М. Бзленицкого, под ред. Г. Г. Лелмпейна, X. К. Барано-
ва и Л. А. Долининой, ст. и прии. А. М. Беленидкого и Г. Г. Лемилейла, Л., 1953
42.	J. Gravius, Binae tabulae g>ographicae, ana Nassir Eddini Persae altera
Ulug Beigi Tartari, Oxoniae, 1711.
43.	Г. Д. Мамедбейли, Основатель Марагинской обсерватории Насирэддин
Туси, Баку, 1961.
44.	Насир ад-Ди! ат-Туси, Сборник по арифметике с помощью доски и пыли,
раздел об определении других оснований степеней, перев. С. А. Ахлеюва и Б. А. Ро-
зенфельда, прии. С. А. Ахмедова, — «Истэрико-мателатические исследования», 1963,
вып. 15, стр. 431—444.
45.	Насирэддин Гуси, Трактат о полном четырехстороннике (Шаклул Гита),
перев. под ред. Г. Д. Мамедбейли и Б. А. Розснфепьда, Баку, 1952.
288
46.	Б. А. Розенфельд и А. П. Юшкевич, Доказательс тва пятого постулата
Евклида у Сабита ибн Корры и Шаме ад-Дина ас-Самарканди,—«Историко-ма-
тематические исследования», вып. 14., М., 1961, стр. 587-602.
47.	А. Магге, Le Talkhys d'Ibn Albannd,— Atti dell’Accademia Pontificia de'
nuovi Lincei, 1865, t. 17, pp. 1—31.
48.	G. Rudloff und A. Hochheim, Die Astronomie des Mahmud ibn Muhammed
ibn 'Omar al-Ga^mini Zeitschrift der Deutschen Morgenlandischen Gesellschaft, 1883,
Bd 47, S. 213- 249.
49.	Гиясэддир Джемшйд ал-Каши, Ключ арифметики. Трактат, об окружно-
сти, перев. Б. А. Розенфельда под ред. В. С. Сегаля и А. П. Юшкевича, комм.
А. П. Юшкевича и Б. А. Розенфельда, М., 1957.
50.	L. A. Sedillot, Prolggomenes des Tables astronomiques d' Oloug-Beg,
Paris, 1853.
51.	J. Gravlus, Epochae celebriores astronomis, historicls, chronologis Cha»
taiorum, Syrograecorum, Arabum, Persarum, Chorasmiorum usitatae ex traditione
Ulug Beigi, Londi.ii, 1650.
52.	С. H. F. Peters and E. B. Knobel, Ulugh Beg's catalogue of stars Was-
hington, 1917.
53.	T. H. Кары-Ниязов, Астрономическая школа Улугбека, М., 1950.
54.	Г. Собирэв, У множ шиз и деление целых чисел в «Трактате по счисле-
нию» ал-Кушчи,—в сб.: «Вопросы истории и методики элемелтарлэй мателатики»,
Душанбе, 1962, вып. 1, стр. 17—30.
55.	F. Wiepcke, Traduction du trait£ d'arithmetique d'About Ha$an Alt Ben
Mohammed Alkalcadi, — Attidell’ Accademia Pontificia de’nuovi Lincei, 1859, t. 12,
pp. 1—66.
56.	Г. Собиров, «Хулосат-Хисоб» Бахоэддина,—в сб.: «Вопросы истории
и методики элементарной мателатики», Душанбе, 1962, вып. 1, стр. 5—16.
57.	G. Н. F. Nesselmann, Beha-eddin's Essenz der Rechenkunst, Berlin, 1843.
58.	A. Marre, Khola^at Hissab ou Quintessence du Calcul par Baha-Eddin
Al Aamoli, — «Atti dell’ Accademia PontLicia de’ nuovi LI icei», 1861, t. 16, pp. 1—61.
59.	M. Э. Бадалов, Тетрадь математических вычислений, употреблявшаяся
в медресе XIX в. Средней Азии, — в сб.: «Вопросы истории и методики элементар-
ной математики», Душанбе, 1965, вып. 2, стр. 56—70.
60.	М. Э. Бадалов, Анализ «Сердцевины счета» (Лубоб ал-хисаб) — руковод-
ства по математике Mix куда бен ал-Вусуди, — в со.: «Вопросы истэрил и мето-
дики элементарной математики», Душанбе, 1965, вып. 2, стр. 14-—33.
19 Заказ 33»
С. Г. Корнеев
ОРГАНИЗАЦИЯ НАУКИ В СТРАНАХ АЗИИ И АФРИКИ
Прежде чем говорить о современной организации науки в странах
Азии и Африки, а тем более о научном прогрессе, достигнутом в этих
странах за весьма короткое время, необходимо вспомнить о положении,
в котором находились в большинстве из них наука и образование в ус-
ловиях колониального гнета.
Колониальные державы не были заинтересованы в распространении
даже простой грамотности среди коренного населения, которое они же-
стоко эксплуатировали. Лишь мизерный процент детей школьного воз-
раста мог посещать начальную школу, а высшее образование было до-
ступно весьма небольшой, привилегированной прслойке местной знати
и богачей.
В таких условиях не могло быть и речи о сколько-нибудь широкой
организации научно-исследовательской работы в колониальных стра-
нах при участии представителей коренного местного населения. Колони-
заторы враждебно относились ко всякому «туземцу», который занимал-
ся наукой или стремился получить образование. Лишь в немногих стра-
нах Азии и Африки — таких, как Индонезия, Египет (ныне Объединен-
ная Арабская Республика), и других имелись высшие учебные заведе-
ния, работали отдельные крупные ученые, имена которых известны все-
му миру. В особом положении находилась Япония, сохранившая свою
самостоятельность. Но все это — редкие исключения, которые не могли
оказать существенного влияния на общий, весьма низкий уровень раз-
вития науки. К тому же подготовка кадров в высших учебных заведе-
ниях, а также характер научных исследований, как правило, определя-
лись потребностями колонизаторов в эксплуатации природных богатств
стран Азии и Африки, нуждами колониального управления. Большинство
научно-исследовательских работ проводилось в интересах колониальных
держав. Такими науками, как математика, физика, химия, занимался
крайне ограниченный круг лиц.
В настоящее время во многих странах Азии и Африки положение
науки существенно изменилось. Вступление многих народов этих стран
на путь самостоятельного политического развития сопровождается не
только изменениями в их политической жизни, но и важнейшими преоб-
разованиями в экономике, в развитии науки, в подготовке национальных
кадров.
Научно-технический прогресс, достигнутый Советским Союзом, при-
влек к советской науке огромное внимание государственных и политиче-
ских деятелей, а также ученых стран Азии и Африки.
За последние годы советскую систему образования и научных иссле-
дований тщательно изучали ученые, входившие в состав посетивших
290
СССР многочисленных делегаций из стран Азии и Африки. Почти все
азиатские и африканские государственные деятели, побывавшие в на-
шей стране с государственным визитом, считали необходимым ознако-
миться с деятельностью Академии наук СССР и ее научных учреждений.
При посещении союзных республик гости особое внимание обращали на
прогресс в области культуры, образования и науки, достигнутый наро-
дами наших национальных республик. В результате успехи советской
науки и техники и наш опыт организации науки оказали существенное
влияние как на расширение и укрепление научного сотрудничества
СССР с развивающимися странами Азии и Африки, так и на состояние
и организацию в них научных исследований и образования.
Людей, которые смотрели бы на занятия наукой как на частное
дело, в наши дни становится все меньше и меньше. Современная наука
превратилась в материальную силу, оказавшую огромное влияние на
развитие экономики, культуры, повышение благосостояния народов,
улучшение их жизненных условий.
Наука и техника при их правильном применении и использовании
могут значительно ускорить процесс экономического возрождения наро-
дов стран Азии и Африки, будут способствовать быстрейшей ликвидации
отсталости, достижению высокого уровня социального и технического
прогресса. Естественно, что правительства и общественность развиваю-
щихся афро-азиатских стран придают важнейшее значение культурному
подъему населения и специально организации науки.
Во многих странах Азии создаются национальные научные учреж-
дения, активно готовятся кадры ученых, расширяется сеть школ всех
ступеней и высшего образования.
Быстрыми темпами развивается наука в ^ндии, Бирме, Объединен-
ной Арабской Республике и многих странах Африки. Советские ученые
с большим интересом следят за возникновением и развитием науки в
странах Азии и Африки. Труды многих ученых этих стран заслужили
широкое признание советских ученых. Выдающиеся ученые Индии —
Ч. В. Раман и П. Ч. Махаланобис, Объединенной Арабской Республи-
ки— А. П. Турки и Сирийской Арабской Республики — X. Мардам Бей
за свои научные заслуги избраны членами Академии наук СССР.
Рассмотрим некоторые вопросы организации научных исследований
в отдельных несоциалистических странах Азии и Африки.
СТРАНЫ АЗИИ
ИНДИЯ
Более чем 200-летнее господство англичан в Индии задерживало
развитие этой великой страны. Свыше 80% ее населения к моменту об-
разования в 1947 г. независимого индийского государства не умело чи-
тать и писать. В стране еще в конце XIX в. были основаны Мадрасский,
Калькуттский. Бомбейский, Пенджабский, Аллахабадский и другие уни-
верситеты, но доступа в них простой народ не имел. Даже при наличии
этих университетов Индия не располагала сколько-нибудь значительны-
ми национальными кадрами во многих важнейших областях науки и
техники.
Англичане проводили в стране типично колониальную политику.
В ее индустрии преобладали отрасли легкой промышленности, которые
и определяли профиль научных организаций и исследований. Подавля-
ющее большинство научных учреждений составляли биологические и
гуманитарные. Хотя Индия обладает огромными естественными богат-
19*
291
ствами, исследовательские работы в области горного дела и геологии
находились в крайне отсталом и запущенном состоянии.
После освобождения от гнета английских колонизаторов прави-
тельство Индии обратило весьма серьезное внимание на развитие науки.
За короткий срок проведена реорганизация высшего образования, став-
шего доступным более широким слоям населения (сейчас здесь насчиты-
вается 33 университета), созданы новые научные учреждения. Об успе-
хах науки в Индии убедительно свидетельствуют выступления ее ученых
на ежегодных сессиях Ассоциации индийский научный конгресс, а так-
же их активное участие в многочисленных международных научных
мероприятиях, конгрессах и симпозиумах.
Развитие науки в Индии регулируется специальным постановлением
парламента от 13 марта 1958 г., в котором сформулированы основные
задачи научных учреждений страны. В нем, в частности, говорится о
необходимости:
улучшать, развивать и поддерживать научные исследования во
всех аспектах — фундаментальных, прикладных и образовательных;
обеспечить соответствующую подготовку в стране ученых высшей
квалификации и признать их труд важной составной частью националь-
ного могущества;
поощрять старые и создавать новые учреждения для подготовки
научно-технических кадров в масштабах, способных обеспечить потреб-
ности страны в развитии науки, образования, промышленности, сельско-
го хозяйства и обороны и т. д.
В Индии происходит бурный процесс развития науки, охватываю-
щий все большее число современных проблем — таких, как ядерная фи-
зика, физика твердого тела и элементарных частиц, теоретическая физи-
ка, радиохимия, химия природных соединений и др. Создаются новые
и реорганизуются старые научно-исследовательские учреждения.
Еще в 1945 г в Бомбее был создан Институт фундаментальных
исследований, в 1962 г. открыто новое, хорошо оборудованное здание
этого института. В 1946 г. в Лакхнау организован Институт палеобота-
ники, а в 1947 г. вДели Институт индустриальных исследовании. В 1948 г.
основан Институт радиофизики и радиоэлектроники в Калькутте. В том
же году в Ахмадабаде создана лаборатория физических исследований.
Организация новых институтов и лабораторий происходила и проис-
ходит во всех отраслях науки.
Единого административно-руководящего органа, объединяющего
различные научные институты, в Индии нет. Наиболее важное значение
для координации научных работ имеют: Совет промышленных и науч-
ных исследований, Совет научных исследований в области сельского
хозяйства и Совет научных исследований в области медицины.
В стране существует большое число институтов, работа которых
так или иначе контролируется или финансируется правительством. Это
в первую очередь такие институты, как Институт фундаментальных ис-
следований им. Тата в Бомбее, палеоботаники в Лакхнау, научно-иссле-
довательская физическая лаборатория в Ахмадабаде (частная), Инсти-
тут исторических исследований в Калькутте (частный), рака в Калькутте
и Бомбее, промышленных исследований им. Рама в Дели (частный),
профилактической медицины им. Хафкина в Бомбее (частный), Пасте-
ровский институт в Кумире, школа тропической медицины в Калькутте,
Сельскохозяйственный институт в Пуне, институт леса в Дехра Дуне,
научно-исследовательский институт рака в Ранчи, лаборатория гидро-
геологических проблем в Синде, станция гидрологии и электроэнергии
в Пуне, Технологический институт в Карагпуре.
292
Кроме того, недавно открыта группа институтов в других городах
и районах страны, в том числе Политехнический институт в Бомбее, по-
строенный с помощью Советского Союза, картографические, географиче-
ские, геологические, археологические и иные службы.
Большая роль принадлежит различным научным обществам и ассо-
циациям. Наиболее важные из них следующие:
Ассоциация индийский научный конгресс в Калькутте, Национальный
институт в Нью-Дели, основанный в 1935 г., имеющий 350 членов; Нацио-
нальная Академия наук в Аллахабаде, основанная в 1930 г. и насчиты-
вающая 354 члена, президент — М. С. Рандхава; Биохимическое обще-
ство в Бангалуре, основанное в 1930 г.; Зоологическое общество в Каль-
кутте; Академия зоологии в Агре, основанная в 1954 г.; Азиатское обще-
ство в Калькутте, основанное в 1784 г., имеет 927 членов; Общество гео-
логов, горняков и металлургов, основанное в 1924 г.; Академия наук в
Бангалуре, основанная в 1934 г., 220 членов, президент Ч. В. Раман;
Ботаническое общество в Бомбее; Химическое общество в Калькутте,
основанное в 1924 г., 745 членов; Библиотечное общество в Калькутте,
основанное в 1933 г., 200 членов; Математическое общество в Мадрасе,
основанное в 1907 г., 500 членов; Медицинская ассоциация в Дели, осно-
ванная в 1926 г., 20 550 членов.
Все эти научные общества и организации имеют свои печатные орга-
ны, журналы -или бюллетени.
Ассоциация индийский научный конгресс
Ассоциация индийский научный конгресс — основная научная об-
щественная организация страны, созданная в 1914 г. для содействия
развитию национальной науки. Ее членами (в настоящее время 3500)
могут быть как отдельные лица, так и учреждения, которые вносят опре-
деленный вступительный взнос и платят членские взносы, что дает им
право участвовать в работе ежегодных сессий.
Ежегодно ассоциация проводит сессию и переизбирает президента.
На ее 13 секциях обсуждаются различные научные проблемы. Так, на-
пример, в 1961 г. на 48-й сессии было заслушано свыше 1400 докладов:
по математике — 34, статистике — 42, физике—126, химии — 341, гео-
логии и географии — 121, ботанике — 275, зоологии и энтомологии — 154,
антропологии и археологии — 25, медицине и ветеринарии — 36, сельско-
хозяйственной науке—109, психологии и науке по воспитанию — 73,
филологии — 75, инженерному делу и металлургии — 27.
Все индийские научные общества и ассоциации проводят свои еже-
годные заседания одновременно с созывом конгресса. При этом издают
сборники докладов и выступлений на конференциях, организуют науч-
ные выставки и т. д. Таким образом, все эти заседания охватывают зна-
чительную часть индийских ученых. Для начинающего ученого сессии
конгресса и обществ особенно важны. Здесь он может получить кон-
сультацию крупнейших ученых, учится выступать перед квалифициро-
ванной аудиторией, слышит ценные критические замечания крупнейших
специалистов. Доступ в ассоциацию открыт не только для профессио-
нальных ученых, но и для других любителей науки. Студенчество также
имеет право представлять на ее рассмотрение свои работы На сессию
они должны быть переданы через действительного или почетного члена
ассоциации.
Ассоциация индийский научный конгресс сыграла большую роль в
организации и развития науки в стране.
293
Совет научных и промышленных исследований
Еще в 1942 г. английские власти при поддержке крупных индийских
промышленников создали Совет научных и промышленных исследований
по координации научных работ для наиболее эффективного использова-
ния их результатов в промышленности. По существу этот совет является
автономной организацией, субсидируемой как правительством, так и от-
дельными промышленниками и Федерацией торговых и промышленных
палат.
В 1951 г. индийское правительство провело реорганизацию совета,
включив его в систему Министерства естественных ресурсов и научных
исследований. Президентом совета стал премьер-министр Индии.
В правление совета, состоящее из 21 члена, наряду с видными индийски-
ми учеными входят также крупнейшие монополисты, такие, как Тата
и др. Практическую работу по руководству советом осуществляют ди-
ректор научных и промышленных исследований и его заместитель. При
совете имеются бюро научных и промышленных исследований и бюро
инженерных исследований — совещательные органы правления. Они, в
частности, дают рекомендации о проведении конкретных научно-иссле-
довательских работ. В бюро также входят не только крупные ученые, но
и крупные промышленники и банкиры.
Приводим перечень национальных лабораторий и институтов, нахо-
дящихся в ведении Совета научных и промышленных исследований:
Национальная химическая лаборатория, г. Пуна. Занимается фун-
даментальными и прикладными исследованиями во всех отраслях хими-
ческой науки, для разработки которых нет специализированных инсти-
тутов.
Национальная физическая лаборатория, г. Дели. Занимается разра-
боткой проблем прикладной и «чистой» физики, выработкой стандартов.
Центральный институт топлива, г. Джилгора (штат Бихар). Иссле-
дует все виды топлива — твердое, жидкое и газообразное. Проводит
физико-химические исследования углей (для этого институт имеет шесть
станций при главных месторождениях).
Центральный исследовательский институт стекла и керамики,
г. Джадавпур. Занимается изучением производства стекла, керамики,
гончарного дела, фарфора, огнеупоров и эмалей, стандартизацией сырья
для производства керамики.
Центральный институт питания, г. Майсур Изучает вопросы обра-
ботки продуктов питания, консервирования, технологии обработки
фруктов.
Национальная металлургическая лаборатория, г. Джамшедпур, За-
нимается фундаментальными и прикладными исследованиями в области
металлургии.
Центральный исследовательский институт лекарств, г. Лакхнау. Про-
водит различные исследования в области изучения лекарств и их стан-
дартизации.
Центральный дорожный институт, г. Дели. Исследует материалы
для строительства дорог, проводит испытания материалов и покрытий.
Центральный научно-исследовательский институт электрохимии,
г. Каралкуди. Занимается электрохимическими исследованиями, вклю-
чая электрометаллургию и электроосаждение, и другими проблемами,
связанными с ними
Центральный научно-исследовательский институт кожц, Мадрас.
Рассматривает вопросы технологии и обработки кожи.
294
Центральный строительный институт, г. Рурки. Изучает инженер-
ные и архитектурные аспекты строительной техники.
Центральный научно-исследовательский институт электроники,
г. Пилани (штат Раджастан). Занимается конструированием и проек-
тированием электронного оборудования и его компонентов.
Национальный ботанический сад, г. Лакхнау. Осуществляет сбор и
культивацию хозяйственных и медицинских растений, имеющих промыш-
ленное значение.
Центральный научно-исследовательский институт соли, г. Бхавна-
гар Занимается вопросами производства чистых солей, снижения стои-
мости их производства, экономическим использованием отходов солево-
го производства.
Центральная станция горного дела, г. Джанбах. Изучает методику
шахтной добычи, технику безопасности, шахтное оборудование.
Региональная исследовательская лаборатория, г. Хайд-арабад. Изу-
чает проблемы промышленности и сырья.
Институт биохимии и экспериментальной медицины, г. Калькутта.
Проводит исследования в области биохимии для нужд медицины — бак-
териологии и т. д.
Музей промышленности и техники имени Бирла, г. Калькутта.
Освещает достижения в области науки и техники.
Региональная исследовательская лаборатория, г. Джаму-Тави.
Изучает промышленность, экономику, сырьевые ресурсы, лекарственные
растения, произрастающие в районе Кашмира (Гималаи).
Центральный научно-исследовательский институт механики, г. Дур’
гапур. Занимается общими инженерно-механическими исследованиями.
Центральный научно-исследовательский институт здравоохранения
и медицинского оборудования, г. Нагпур. Занимается разработкой меди-
цинского оборудования, вопросами здравоохранения и координации
всех исследований, осуществляемых в стране в этой области.
Национальная лаборатория аэронавтики, г. Бангалур. Проводит
прикладные исследования в области теории полета, изучает вопросы
конструирования и эксплуатации самолетов.
Региональная исследовательская лаборатория, г. Джорхай. Разра-
батывает более эффективные способы использования важнейших нацио-
нальных ресурсов штата Ассам, изучает различные местные проблемы.
Центральная медицинская организация, г. Дели. Координирует ра-
боты по расширению использования медицинских растений.
Центральный научно-исследовательский институт научного прибо-
ростроения, район Дели. Занимается разработкой оригинального обору-
дования для промышленности, проведения научных исследований и т. д.
Институт нефти, г. Дехра Дун. Занимается вопросами очистки неф-
ти, природных газов, нефтепродуктов, готовит кадры для нефтяной про-
мышленности.
Центральная геофизическая комиссия, г. Хайдарабад. Оказывает
помощь существующим институтам в развитии геофизических исследо-
ваний, создает новые исследовательские организации, координирует те-
кущие геофизические исследования в университетах и научных органи-
зациях страны.
В 1962 г. создана Лаборатория физики естественных осадков и об-
лаков в Нью-Дели и лаборатория генетики и биометрии в г. Барракк-
пуре.
Крупнейшим научным учреждением страны является Национальная
физическая лаборатория в г. Дели, основанная в 1950 г. Она занимает
особое место в системе научно-исследовательских учреждений страны,
295
так как помимо специальных исследований занимается разработкой об-
щих методов исследований, изготовлением и хранением измерительной
и контрольной аппаратуры. Во главе этого научного учреждения стоит
известный индийский ученый, доктор К. С. Кришнан. Научно-техниче-
ский персонал лаборатории состоит более чем из 600 сотрудников,
причем не менее 100 из них прошли практику в Западной Европе
или США.
Национальная физическая лаборатория — важнейший научный
центр Индии. Располагает современным оборудованием, большей частью
иностранного происхождения. Имеет довольно большие механический и
электромонтажный цехи, хороший отдел микрофильмирования. Библио-
тека лаборатории сравнительно молодая, однако насчитывает уже около
50 тыс. томов. Выпускает справочники по вышедшей литературе.
В состав Национальной физической лаборатории входят следующие
лаборатории:
Стандартного времени. Ее оборудование изготовлено собственными
силами, включая установку стандартного времени, работающую с точ-
ностью 10—8 сек. Установка дает в эфир 5 частот. Корректировка произ-
водится по астрономическому времени, сообщаемому из другого места.
Физики твердого тела; располагает электронным микроскопом и ря-
дом других установок.
Ядерная. По роду работы лаборатория имеет связи с ядерными
центрами многих стран мира
Низких температур. Располагает установкой для получения жидко-
го гелия, выполненной по принципам советского ученого, академика
П. Л. Капицы. Сотрудники лаборатории приступили к исследованиям яв-
лений сверхпроводимости.
Ультразвука. Осуществляет исследования свойств материалов в
ультразвуковом поле.
Прикладной электроники. Занимается разработкой различных схем
на полупроводниковых диодах и триодах. В частности, ее сотрудниками
выполнены схемы совпадения на германиевых диодах с большой разре-
шающей способностью.
Мер и весов Занимается эталонами мер и является контрольной ла-
бораторией для других организаций.
Прикладной механики. В значительной мере занимается испыта-
нием материалов.
Кроме перечисленных в Индии имеются и другие лаборатории.
Направление работ Национальной физической лаборатории в ос-
новном связано с решением практических вопросов. Теоретические ис-
следования стоят на втором плане. Состав лабораторий в большей ча-
сти подобран из национальных научных кадров.
В 1952 г. при Национальной физической лаборатории создан На-
циональный центр научной документации, который осуществляет обмен
научной информацией как с частными исследовательскими центрами
Индии, так и с научными учреждениями других стран.
В тесном контакте с Советом научных и промышленных исследо-
ваний осуществляет свою деятельность Комиссия по атомной энергии,
координирующая работы, проводимые в различных научно-исследова-
тельских учреждениях Индии, и снабжающая их научной документацией
и информацией. Научно-исследовательские работы университетов и про-
мышленных концернов координирует Национальный центр научной до-
кументации, подчиненный Совету научных и промышленных исследо-
ваний.
Исследования в области атомной энергии
Индия возлагает особые надежды на развитие исследований в об-
ласти атомной энергии. Ее ученые полагают, что Индия, будучи слабо-
развитой в экономическом отношении страной, сразу вступит в новый
век широкого использования атомной энергии как главного энергети-
ческого источника и что таким путем она получит больше энергии, чем
могут дать все ее запасы нефти и угля. Планы индийских ученых свя-
заны с наличием больших запасов тория, имеющихся в мощных зале-
жах моноцитовых песков во многих штатах страны.
Руководящим органом в развитии научно-исследовательских работ
в области атомной энергии и ее применения в мирных целях является
Комиссия по атомной энергии, подчиненная Совету научных и промыш-
ленных исследований. Ведущее положение среди научно-исследователь-
ских институтов в системе Комиссии по атомной энергии занимают два
центра:
Институт фундаментальных исследований Тата. Своей главной
целью он ставит постройку ядерных реакторов, проведение соответствую-
щих экспериментальных исследований и математических расчетов, свя-
занных с получением и использованием атомной энергии;
Институт ядерной физики в г. Калькутте. Его главная задача —
получение быстрых элементарных частиц и исследование их действия
на различные материалы.
Помимо этого, в Инции имеются другие лаборатории, в которых
проводится работа по использованию атомной энергии в мирных целях,
а именно: Национальная химическая лаборатория, Сельскохозяйствен-
ный научно-исследовательский институт, Центральная радиоконтроль-
ная лаборатория, Президентский колледж в г. Калькутте, Научно-иссле-
довательский институт им. Боссе в г. Калькутте, Инженерный колледж
в г. Калькутте, Институт наук в Бангалуре, Национальная физическая
лаборатория, Центральная лаборатория научных и промышленных ис-
следований в Хайдарабаде, лаборатория отделения сырьевых материа-
лов в г. Дели, Национальная металлургическая лаборатория в г. Джам-
жедпуре, университетские лаборатории в городах Дели, Лакхнау, Бом-
бее, и др., лаборатория моноцитов »в г. Вайвае, Раковый институт в
г. Бомбее и др.
Национальная химическая лаборатория в г. Пуне представляет со-
бой большое научное учреждение. Штат ее научных работников насчи-
тывает более 300 человек. Лаборатория располагает хорошей материаль-
но-технической базой и имеет три отдела: неорганической, органической
и физической химии. Связана с атомным центром в Тромбее.
В Инции ведется также интенсивная работа по разведке месторож-
дений атомного сырья и по разработке методов получения тяжелой во-
ды. В настоящее время здесь создана целая отрасль промышленности
по переработке урана и ториевой руды.
Известны следующие предприятия: завод в г. Вайвае по переработ-
ке моноцитовых песков, построенный в 1952 г., в г. Бомбее по производ-
ству преимущественно тория и моноцитового урана, по добыче урана.
Империалистические державы пристально следят за проводимыми в
Индии работами в области атомной энергии и контролируют все ме-
роприятия в этой области путем назначения своих научных руководите-
лей в районы залежей урана и тория, снабжения индийских лаборато-
рий оборудованием, материалами, тяжелой водой, радиоактивными изо-
топами, путем посылки в Индию консультантов, инженеров, техников,
лекторов и т. д.
297
Индия располагает довольно большим числом высококвалифициро-
ванных научных кадров, которые способны решать стоящие перед ни-
ми задачи, и индийское правительство стремится постепенно избавить-
ся от иностранной зависимости в области науки. Однако до сих пор в
индийских научных учреждениях можно встретить англичан, американ-
цев, немцев из ФРГ и других иностранных ученых, которые нередко за-
нимают руководящие должности. Это позволяет ряду крупных капита-
листических государств контролировать научные работы, проводимые в
Индии.
Научный атомный центр в Тромбее
Атомный центр в Тромбее — крупнейшее государственное научное
учреждение Индии. Его научный, инженерно-технический, производст-
венный и административный аппарат составляет в общей сложности око-
ло 4 тыс. человек. Основой научного центра служат два ядерных реакто-
ра, один из которых построен в 1957 г. по проекту индийских ученых.
В отдельных зданиях центра находятся две радиохимические лаборато-
рии— производственная и исследовательская. Производственная выпу-
скает препараты около 40 радиоактивных изотопов. Изготовляется более
150 наименований различных органических соединений, меченных
изотопом углерода (С14). Химический отдел центра проводит большую
научно-исследовательскую работу — ведет широкие исследования по
химии и технологии урана, тория, редких земель, тантала, ниобия и мно-
гих других элементов, связанных с атомной промышленностью. В отделе
около 300 научных сотрудников и инженеров. В атомном центре имеется
большой отдел электронной техники, занятый конструированием и изго-
товлением измерительных приборов для ядерных исследований и атом-
ной техники.
В качестве теоретической базы центра служит Институт фундамен-
тальных исследований Тата в г. Бомбее.
Институт статистики в Калькутте
В системе научных учреждений Индии большое место занимает
Институт статистики в г. Калькутте, возглавляемый проф. П. Ч Маха-
ланобисом.
Проф. Прашанта Чандра Махаланобис, будучи физиком по обра-
зованию, свыше 30 лет назад занялся статистикой в ее различных на-
правлениях. В 1922 г. была опубликована его первая работа по ста-
тистическому анализу некоторых вопросов народонаселения Индии.
К тому же времени относятся фундаментальные исследования Махала-
нобиса «Колебания выпадения осадков и водного режима рек Северной
Бенгалии и Ориссы за полувековой период».
Практическая ценность этих исследований ярко проявилась спустя
много лет, когда они были использованы при расчетах двух крупнейших
гидростроек — Дамодарской и Карайкудской.
В 1931 г. Махаланобис вместе со своими ближайшими сотрудника-
ми и помощниками основал в Калькутте статистический институт. В не-
зависимой Индии это учреждение превратилось в крупнейший научный
центр, пользующийся мировой известностью.
Здесь под руководством П. Ч. Махаланобиса изучаются проблемы,
наиболее актуальные для развития индийской экономики и прежде все-
го для промышленности и сельского хозяйства. С 1954 г. широко развер-
нута работа по подготовке материалов о планировании экономического
развития страны. Эта работа была обобщена Махаланобисом в широко
известных рекомендациях по второму пятилетнему плану, в которых он
проявил себя решительным сторонником ускоренного промышленного
развития Индии с целью укрепления основ ее экономической независи-
мости. П. Ч. Махаланобису принадлежит свыше 200 статистических ис-
следований, охватывающих исключительно широкий круг проблем эко-
номической жизни страны в ее сопоставлении с положением в других
странах за большой промежуток времени. Многие из этих исследова-
ний высоко оцениваются советскими учеными.
Штат института насчитывает свыше 2 тысяч сотрудников. Научно-
исслетовательская работа проводится в нескольких отделах
Национальная служба выборочных исследований, основанная в
1950 г., занимается сбором всесторонней и исчерпывающей информации,
касающейся социально-экономических характеристик различных райо-
нов и всей страны в целом. В настоящее время Индийская националь-
ная служба выборочных исследований — одна из крупнейших служб та-
кого рода в мире.
В 1950 г. правительство Индии официально поручило этому инсти-
туту заняться разработкой схемы служб выборочных исследований и
последующей разработкой и анализом собранных материалов. Служба
выборочных исследований является широко разветвленной организаци-
ей, деятельность которой осуществляется совместно Индийским стати-
стическим институтом и правительством Индии.
В 1953—1954 гг. в институте был организован оперативный иссле-
довательский отдел, имеющий целью проведение в малых масштабах
технической работы, касающейся планирования.
В то же время институт получил задание Плановой комиссии прове-
сти совместно с центральными статистическими организациями изуче-
ние возможности решения проблем безработицы в течение ближайших
10 лет и повышения в возможно короткий срок национального дохода.
В этих целях в 1954 г. в институте по поручению премьер-министра
Неру был открыт отдел планирования национальной экономики. Его
основная задача состоит в проведении научно-исследовательских ра-
бот, сборе и анализе материалов, необходимых для составления ежегод-
ных планов развития национальной экономики, в разработке методов
перспективного планирования. Первая стадия работ отдела привела к
созданию проекта плана национального развития, который был пред-
ставлен правительству Индии в 1955 г. и послужил основой для состав-
ления второго пятилетнего плана развития ее экономики.
Вместе с тем институт провел ряд исследований по определенным
аспектам перспективного планирования, в результате чего был подго-
товлен годовой план, а затем проектные наметки на 15-летний срок,
предусматривающие размер заданий по выпуску продукции на 1970—
1971 гг.
Большое внимание плановый отдел уделил изучению взаимоотно-
шений между различными отраслями промышленности, а также опре-
делению уровня выпуска продукции. Наряду с этим разрабатывались
и другие экономические проблемы.
В марте 1956 г. совет Индийского статистического института при-
нял решение об организации индивидуального управленческого отдела
по планированию с центром в г. Бангалуре для изучения проблем управ-
ления промышленностью государственного и частного секторов.
Работа отдела началась с организации симпозиума на тему «Ор-
ганизация и управление государственными предприятиями». Симпозиум
был проведен в Бангалуре с участием представителей промышленности
299
и правительственных организаций Индии. В августе 1956 г. в системе
планового отдела института начал работать географический сектор, на-
ходящийся в г. Бангалуре.
Сектор проводит опытные исследования по организации районного
планирования, в которых предпринимаются попытки объединить геог-
рафические и статистические методы, способные привести к новым фор-
мам экономического планирования.
Важная роль в институте принадлежит отделу статистических ме-
тодов контроля и качества.
Еще в 1935 г. институт рекомендовал начать внедрение в промыш-
ленность статистических методов контроля качества продукции. Пер-
вая всеиндийская конференция по статистическому методу контроля ка-
чества продукции состоялась в г. Калькутте лишь в январе 1948 г. Были
проведены специальные курсы по подготовке необходимого персонала.
В 1953 г. созданы три сектора этого института — в Калькутте, Бом-
бее в Бангалуре. Их программа включает внедрение в поддержку ста-
тистических методов контроля качества продукции на фабриках и за-
водах, обучение этим методам обслуживающего персонала и работников
отделов контроля, содействие развитию в стране методов статистическо-
го контроля и качества.
В результате работы, проведенной институтом в 1957 г., около 44 ин-
дийских промышленных фирм использовали разработанные им методы
контроля.
В 1954 г. создан консультативный комитет по статистическим мето-
дам контроля и качества. В его состав вошли виднейшие индийские уче-
ные. Комитет проводит свою работу непосредственно на промышленных
предприятиях и оказывает им помощь.
Весьма важной частью деятельности института является производ-
ство разного рода вычислений с помощью электронных счетно-вычисли-
тельных машин. Он выполняет заказы на счетно-вычислительные рабо-
ты ряда институтов страны. Для этих целей в нем имеется много машин,
в том числе советская «Урал».
Научно-исследовательские и проектные работы института, равно
как и вся его практическая деятельность, привели к установлению широ-
ких международных связей. Институт является членом Международно-
го института статистики. Из числа советских ученых институт посети-
ли: академики А. Н. Колмогоров, Н. Н. Боголюбов, А. А. Дородницын,
Ю. В. Линник, профессора Д. Д. Дегтярь, В. А. Диткин, А. И. Ежов,
А. Ф. Зеленовский, И. Ю. Писарев, А. И. Полосухин, И. Н. Рубинштейн
и другие, выступавшие перед сотрудниками института с докладами.
В свою очередь работники института побывали в Советском Союзе.
Доктора С. К. Митра и Д. С. Камаш посетили СССР в 1955 г. с целью
обсуждения вопросов, относящихся к машинной математике. Доктор
Ч. Р. Рао участвовал в 1956 г. в Третьем всесоюзном математическом
съезде в Москве, причем выступил в двумя докладами. Проф. П. Ч. Ма-
халанобис неоднократно приезжал в СССР в качестве гостя Академии
наук СССР.
За последнее время в Индии усиливается внимание к вопросам райо-
нирования и размещения предприятий, что вызвано необходимостью
изучения географического распределения производительных сил страны,
лглбенностями отдельных частей территории и т. д. Интерес к проб-
лемам районирования обусловлен большими размерами страны, чрезвы-
чайной густотой ее заселения в основной части, громадным разнообрази-
ем природных условий и различиями в размещении важнейших видов
природных ресурсов.
300
Индийский статистический институт ранее почти не занимался проб-
лемами районирования страны в целом, вопросами комплексного освое-
ния ресурсов и производительных сил, равно как и проблемами геогра-
фического размещения производства.
Научные исследования в области сельского хозяйства
Страна располагает широко разветвленной сетью научно-исследова-
тельских учреждений, которой руководит Индийский совет сельскохо-
зяйственных исследований. В его ведении находятся девять специали-
зированных советов по хлопку, джуту, кокосовой и арековой пальмам,
по масличным растениям, табаку, сахарному тростнику, техническим ра-
стениям и 16 крупных или центральных специализированных исследова-
тельских институтов по рису, сахарному тростнику, сахару, молочному
хозяйству, ветеринарный и лесной институты и т. д., а также 500 иссле-
довательских опытных станций по земледелию и животноводству, раз-
мещенных в различных зонах страны. Во всех институтах и в большин-
стве опытных станций имеются ботанические отделы. Здесь широко раз-
вернута работа по геофизике растений, цитогеофизиологии, фитобиоло-
гии, макологии.
Характерно, что в ряде университетов на ботанических кафедрах
разрабатываются темы прикладного значения; это относится к Каль-
кутскому университету, Османскому университету в Хайдарабаде, Рад-
жастханскому университету и др. Крупнейший биологический институт
им. Боса в Калькутте также в основном работает над культурными ра-
стениями. Институт оснащен новейшими приборами и аппаратурой, а
в ряде университетов за последние два-три года построены новые лабо-
раторные здания, предназначенные для ботанических отделов. Напри-
мер, в Дели, Хайдарабаде, Калькутте построены здания с кондициони-
рованным воздухом, имеются комнаты с установками искусственного
климата.
Ботанический департамент Калькуттского университета ведет ис-
следования по физиологии, фитопатологии, палеоботанике, палеомоло-
гии и систематике ряда растений. Гербарий департамента насчитывает
около 18 тысяч листов.
Ботаническая служба, подчиненная Министерству научных исследо-
ваний и культуры, существует с 1890 г. Ее центр находится в Калькут-
те. Там же расположены входящие в ее состав: национальный централь-
ный гербарий, ботанический музей, центральная библиотека и лабора-
тории. Служба издает свой бюллетень (на английском языке). Одно из
ее учреждений—Центральная ботаническая лаборатория — находится
в Аллахабаде.
После освобождения страны Ботаническая служба была реорга-
низована, и в ее состав в 1956 г включено четыре региональных ботани-
ческих центра — северный, южный, западный и восточный. Общий штат
Ботанической службы — около 400 человек.
Центральный национальный гербарий содержит свыше 2,5 млн.
листов, начиная с растений, собранных в конце XVIII в. Ботанический
музей содержит 55 тыс. образцов древесины, садовых, волокнистых,
лекарственных смол, каучуконосных, масличных и других растений
Индии.
Центральная библиотека службы — крупнейшая в Азии, она насчи-
тывает около 80 тыс. томов.
В 1949 г. выдающийся ученый проф. Сахни, ныне покойный, осно-
вал Палеоботанический институт, где имеется замечательная коллек-
301
ция, экспонаты которой были собраны во всех странах мира, в том
числе в Советском Союзе.
Индия по праву гордится огромным и богатым Научно-исследова-
тельским институтом леса, фактическим центром всей лесоводческой нау-
ки страны. Шестнадцать превосходных музеев института размещены в
просторных залах.
Национальный ботанический сад в Лакхнау занимает площадь
50 акров, имеет хорошо оборудованное хозяйство и опытную ферму
экспозиций сада, насчитывающую свыше тысячи видов флоры различных
районов страны. В саду работает ряд лабораторий, объединенных в
виде института (лаборатории физиологии растений, палеоботаники,
микробиологии, защиты растений и др.).
Ботанический сад в Калькутте — один из старейших и богатейших
в Индии — является как бы базой в области систематики растений. Он
расположен в центре наиболее благоустроенной части города. Его основ-
ная задача — изыскание и внедрение в практику новых ценных расте-
ний .и распространение знаний по садоводству.
Ботанические сады в Дехра Дуне, Дели, Лакхнау располагают цен-
ной интродукцией для материалов Средней Азии и юга СССР.
Ботанический сад в Бангалуре наряду с Калькуттским — старейший
в стране. Его обширные коллекции, нередко имеющие столетний возраст,
интенсивно обогащаются. В настоящее время сад располагает одной из
богатейших коллекций растений, специальными экспозициями плодово-
ягодных, декоративных и других культур. Научно-исследовательская
деятельность направлена на выведение новых сортов плодовых и деко-
ративных растений.
Большую работу проводит Научно-исследовательский сельскохо-
зяйственный институт, основанный в 1905 г. в Пуссе и переведенный в
1935 г. в Дели. Институт имеет отделы: агрономический, механизации
сельского хозяйства, экономики, ботаники, энтомологии, садоводства,
почвоведения и агрохимии. Его земельные угодья составляют 1 тыс. ак-
ров. Научно-исследовательские работы ведутся над зерновыми, бобо-
выми и другими сельскохозяйственными растениями. Имеется плодовый
сад. В библиотеке института сосредоточено много сельскохозяйственной
литературы, в том числе ряд журналов Советского Союза. На показа-
тельных участках отделов сельскохозяйственной ботаники выращивают
5 тыс. видов растений различных сортов. Более 30 лет ведется гибриди-
зация пшеницы, хлопка, моркови, арбузов, томатов и г. д.
В 1959 г. в Индии был организован Центральный исследовательский
институт аридной зоны. Его основная цель — направить теоретические
и прикладные исследования в пустынных и полупустынных зонах Индии
к установлению равновесия между дикорастущими и культурными
растениями. Институт имеет пять отделов: изучения основных природ-
ных ресурсов; научно-исследовательский; прикладной физики и химии;
исследования деятельности человека; специальных зоологических иссле-
дований.
Правительство Индии поддерживает и поощряет работу этого инсти-
тута, имеющего ряд ценных достижений.
За последние годы заметно развиваются географические исследова-
ния. Особенно значителен размах обобщающих работ в калькуттском
учреждении «Национальный атлас», возглавляемом профессором
П. С. Чаттерджи. В настоящее время около 400 сотрудников этого уч-
реждения занимаются подготовкой и изданием большого физико-гео-
графического и экономико-географического атласа страны. В основном
используются данные последней переписи 1961 г
302
В Индии ведутся также большие исследования в области агроно-
мического почвоведения, однако обобщающих монографий о почвах
пока еще нет. Отсутствуют и почвенные карты, отвечающие современ-
ным требованиям, нет разработанной для всей страны единой классифи-
кации почв.
В 1954 г. в г. Агре -создана Академия зоологии. Академия имеет пять
видов членства: члены-покровители, почетные члены, члены-основатели,
просто члены и неполные члены. Эти виды членства охватывают зооло-
гов, представляющих почти все части света. В настоящее время почет-
ных членов свыше 500 человек, членов-организаторов около 150 че-
ловек, просто членов и неполных членов свыше 100 человек.
Всего в составе Академии более 800 человек. Ее членом наряду с
другими зарубежными учеными является советский зоолог проф.
С. В. Емельянов.
Школа международных исследований
Это единственное в Индии исследовательское учреждение академи-
ческого типа по международным отношениям. В школе, основанной в
1955 г., (изучают международные отношения, историю и государственный
строй стран Азии и Африки в XX в., международные экономические от-
ношения, международное право. В школе имеется девять отделов: Во-
сточной Азии, Юго-Восточной Азии, Южной Азии, Западной Азии, меж-
дународных отношений (в особенности в Средней Азии), международ-
ного права, международных финансов, США и Британского содружест-
ва наций.
Школа обменивается литературой с Фундаментальной библиотекой
Академии наук СССР, получает издания Института народов Азии Ака-
демии наук СССР и другие советские периодические издания. В школе
около 75 аспирантов, в том числе несколько из Индонезии и других
стран.
Совет по международным проблемам
Совет, основанный в 1943 г., занимается публикацией книг и орга-
низацией лекций по международным вопросам. Он выпускает также ряд
периодических изданий: ежеквартальный журнал «Индиан куортли»,
ежемесячный «Форин афферс рипортс». Совет имеет ряд отделений в
разных городах Индии и насчитывает свыше 200 тыс. членов. Его ру-
ководящий центр находится в Нью-Дели. Совет периодически устраи-
вает собрания, на которых выступают ученые и политические деятели
как Индии, так и иностранных государств.
Национальный институт наук
Национальный институт наук Индии основан в 1935 г. с целью
распространения научных знаний, включая и их практическое исполь-
зование для решения проблем, связанных с развитием национальной
экономики (в то время, разумеется, в интересах английских колониза-
торов), и для представительства индийских ученых за границей.
В настоящее время является весьма важной и влиятельной научной
организацией, объединяющей ученых всех отраслей современной нау-
ки Индии. Институт создан по образцу Английского королевского об-
щества. Он тесно связан с Советом научных и промышленных исследо-
ваний, получает субсидии как от правительства, так и от промышлен-
ных организаций.
303
В состав института на положении филиалов входят: Националснзя
академия наук в Аллахабаде, Академия наук в Бангалуре и Азиатское
общество в Калькутте.
Членами института (всего их 370 человек) избираются видные уче-
ные. Почетными членами могут быть ученые, проживающие за преде-
лами Индии. Число избираемых почетных членов ограниченно и не
должно превышать 50 человек. В настоящее время их 42.
В 1961 г. в число почетных членов института были избраны совет-
ские ученые академики А. Н. Несмеянов, П. Л. Капица, В. А. Энгель-
гардт. Институт публикует различные бюллетени, научные труды,
монографии, вестники и журнал «Прогресс науки в Индии», присуж-
дает медали, распределяет субсидии аспирантам и доцентам
Академия наук, университеты и другие
высшие учебные заведения
Академия наук в Бангалуре основана в 1934 г. для содействия
развитию как теоретических, так и прикладных наук, а также предста-
вительства индийской науки на международной арене. Членство в ака-
демии имеет две категории: действительные члены, число которых огра-
ничено 250, и почетные члены, которых не должно быть более 60 человек.
Членами академии избираются выдающиеся ученые страны Академия
проводит ежегодные собрания, на которых организуются дискуссии по
различным научным проблемам, читаются публичные лекции в целях
пропаганды научных знаний и деятельности академии.
Особый интерес представляют исследования, проводимые в Инсти-
туте им. Ч. В. Рамана (научно-исследовательский институт в Бангалу-
ре). За последние годы здесь сделаны важные открытия.
Национальная академия наук в Аллахабаде основана в 1930 г.
в качестве профессионального общества ученых, представляющих все
отрасли физических и биологических наук. Членами академии могут
быть избраны все, кто проявляет интерес к науке и уплачивает член-
ский взнос. Академия публикует труды в двух сериях: «А» — физиче-
ские науки и «Б» — биологические.
Большая научная работа проводится во всех 33 университетах
страны. Из них только четыре — Алигарский, Бенаресский, Делийский
и Визва-Бхарати — находятся в ведении Министерства образования
Индии. Остальные являются независимыми учебными заведениями.
Университет в Агре объединяет около 70 колледжей (общее число сту-
дентов— 25 тыс.). Университет в Андхре насчитывает 37 колледжей
(более 18,5 тыс. студентов). Мадрасский университет имеет 63 коллед-
жа и насчитывает свыше 46 тыс. студентов, в Пенджабе имеется 62 кол-
леджа (свыше 30 тыс. студентов).
В Индии имеется также большое число технических вузов: Кхараг-
пурский технологический институт, Институт наук в Бангалуре, техни-
ческий институт в Бомбее, инженерный колледж в Пуре, Мадрасе и
другие. Большинство вузов Индии представляют вузы политехнического
типа с большим количеством отделов и факультетов. Все они готовят
специалистов самого разнообразного профиля.
ИНДОНЕЗИЯ
Более трех веков Индонезия была колонией голландских империа-
листов. В наследство от них страна получила однобоко развитую эко-
номику, приспособленную исключительно для удовлетворения потребно-
304
стей голландских колонизаторов в минеральном и сельскохозяйственном
сырье. К моменту освобождения в Индонезии отсутствовали не только
предприятия, производящие средства производства, но слабо развито
было и производство товаров широкого потребления.
Научный потенциал страны был настолько невелик, что даже спустя
15 лет после образования самостоятельного Индонезийского государства,
несмотря на усилия правительства, специалистов с высшим образова-
нием по естественным и точным наукам здесь насчитывалось всего около
3100 человек, из них около 2100 врачей, 350 агрономов и ветеринаров,
650 специалистов по химии и другим отраслям естественных наук. В об-
ласти гуманитарных наук имелось примерно 1320 человек, из них 800
юристов, 200 экономистов, 220 специалистов по социально-политическим
наукам, преимущественно административных работников государствен-
ного аппарата и дипломатов, 100 специалистов по литературе, языку и
истории. В дополнение к этому имелись 2500 специалистов с незакончен-
ным высшим образованием.
Для координации научно-исследовательских работ в 1956 г. учреж-
ден Научный совет Индонезии, объединяющий в настоящее время
46 учебных заведений, научно-исследовательских институтов и лабора-
торий. Научный совет представляет собой организацию типа академии
наук. Во главе совета стоит директорат из 10 членов: президент, гене-
ральный директор, секретарь, члены совета.
Президент совета и члены директората назначаются президентом
республики на неопределенный срок и осуществляют общее руководство
научно-исследовательской работой в стране. При директорате находится
комитет советников из 20 человек — представителей важнейших науч-
ных учреждений и высших учебных заведений страны.
Всю текущую оперативную работу совета осуществляет бюро, воз-
главляемое генеральным директором совета и его заместителем. Аппа-
рат бюро состоит из отделов: общего (общее руководство и междуна-
родные научные связи), административного (кадры, финансирование и
материально-техническое снабжение) и пяти научных: естественных и
общественных наук, научных исследований, подготовки научных кадров
и научной документации.
Штат бюро насчитывает около 50 сотрудников и 20 человек обслу-
живающего персонала.
К настоящему времени в Индонезии имеется шесть крупных госу-
дарственных высших учебных заведений, 104 научно-исследовательских
института и лаборатории, находящихся в ведении министерств и ве-
домств, а также некоторое число сравнительно небольших как госу-
дарственных, так и частных (церковных и других) учебных заведений и
научно-исследовательских учреждений.
В Государственном университете в Джакарте обучается около вось-
ми тысяч студентов, около тысячи из них получают стипендию от мини-
стерств. Предполагается дальнейшее расширение университета. Уни-
верситет имеет восемь факультетов, из них в Джакарте — медицинский
права и социальных наук, литературный и экономический; в Бандунге —
математики, естественных и технических наук; в Богоре — ветеринар-
ный и сельскохозяйственный.
Кроме того, к системе университета относятся некоторые институты:
экономических и социальных исследований (при экономическом факуль-
тете), социальных исследований (при факультете права), фармаколо-
гическая лаборатория, институты криминалистики, китаеведения, фило-
логии и культуры, химико-технологическая лаборатория (Бандунг), об-
серватория.
20 Заказ 338
305
Недавно на факультете языка и литературы организовано русское
отделение.
Университет Гаджи, Мада в Джокьякарте — крупнейшее ъысшее
учебное заведение страны. Ректор университета проф. Сарджито име-
ет звание «великого сына Индонезии», которое он получил за патрио-
тическую деятельность во время гражданской войны. Университет осно-
ван после получения независимости Индонезии и быстро развивается.
Если в 1949 г., к моменту открытия, в университете насчитывалось око-
ло тысячи студентов, то в настоящее время в нем обучается свыше
10 тыс. В университете имеются факультеты точных наук, математики,
физики, химии, технологический факультет, биологический, медицин-
ский, ветеринарный, а также гуманитарных наук. На кафедрах универ-
ситета работают 500 профессоров и преподавателей.
Технологический институт в Бандунге состоит из трех отделений:
технического, физико-математического и химико-биологического. На
техническом отделении имеется девять кафедр, физико-математиче-
ском— пять и химико-биологическом — четыре. В институте обучаются
4600 студентов. Ежегодный прием определен в 500—600 человек. Пре-
подавание идет на английском и частично на индонезийском языках.
Профессорско-преподавательский состав насчитывает около 400 чело-
век.
Университет Паджаджаран организован сравнительно недавно на
базе педагогического института. За короткий срок он превратился в од-
но из крупнейших учебных заведений, насчитывающее около 10 тыс.
студентов. Здесь девять факультетов: педагогический, медицинский,
юридический, экономический, сельскохозяйственный, зубоврачебный, со-
циально-политический, литературы и языка, точных наук с отделениями
математики, физики, химии, фармакологии, биологии, геологии и гео-
графии.
Наряду с университетами в Индонезии существуют так называемые
«академии». Это учебные заведения с трехгодичным сроком обучения, в
которые принимаются лица, имеющие законченное среднее образова-
ние. Академии находятся в ведении отраслевых министерств и ведомств
и служат для подготовки соответствующих кадров.
Всего в стране в настоящее время насчитывается около 50 тыс. сту-
дентов.
Высшие учебные заведения располагают вполне удовлетворитель-
ными помещениями, некоторые из них расширяются. Научно-исследова-
тельская работа в стране в сущности лишь начинается.
Важнейшие научные учреждения
Океанографический научно-исследовательский институт в Джакар-
те. Занимается исследованием морей, омывающих острова Индонезии,
решением задач, связанных с повышением эффективности рыбной про-
мышленности. Имеет океанографическое и биологическое отделения,
располагает небольшим аквариумом. Здесь работает около 100 человек,
из них 26 — экипаж небольшого экспедиционного судна. В институте
преподают четыре специалиста с высшим образованием и несколько
специалистов, окончивших трехгодичные учебные заведения.
Существует проект значительного расширения института и строи-
тельства для него нового здания в районе Джакарты.
Научный совет Индонезии считает развитие океанографических ис-
следований одной из главных задач и намерен создать по крайней мере
три исследовательских центра в этой области. Одним из них будет океа-
306
нографический факультет на острове Амбон, строительство которого
велось совместно с Советским Союзом по государственному соглаше-
нию.
Индустриально-исследовательский институт в Джакарте, Занима-
ется механизацией некоторых видов сельскохозяйственных работ и кон-
струированием несложных машин, которые могут быть применены людь-
ми, не имеющими технической подготовки. Институт располагает срав-
нительно хорошим помещением, мастерскими и специальными цехами
для опытных механических установок.
В институте девять специалистов с высшим образованием и 180 дру-
гих сотрудников.
Институт атомной энергии пока лишь начал развертывать
свою работу. Его руководитель проф. Сувабеси много энергии и труда
уделил организации и налаживанию работы института. В 1956 г. проф.
Сувабеси посетил СССР и ознакомился с работой научных учреждений.
По возвращении в Индонезию он рассказал об этой своей поездке. «Мы
получили возможность с помощью Советского Союза и других стран за-
ложить в Индонезии начало подлинной науки, — говорил Сувабеси,—
эта наука носит поэтическое название „Атом на службе миру и людям“».
Началось строительство помещения для реактора.
Руководство института считает, что подготовка специалистов в об-
ласти атомной энергии имеет большое значение для Индонезии. По его
мнению, атомная энергия должна будет занять одно из существенных
мест в энергетическом балансе страны, базируясь на имеющихся запа-
сах тория, а также на предполагаемых запасах урана.
Институт резиновой промышленности в г. Бобое. Занимается глав-
ным образом улучшением технологии получения натурального каучука,
переработки сока каучуконосов, а также исследованием технологии про-
изводства резиновых изделий. В институте работают 15 специалистов с
высшим образованием и 250 других сотрудников.
Научно-исследовательский институт сельского хозяйства в Богоре.
Является крупным комплексным центром по проведению научно-иссле-
довательских работ в области сельского хозяйства. В его состав входят
пять отделов: сельскохозяйственный, почвенный, физиологии, патологии
растений, лесоводства. Основная задача института — разработка новых
приемов обработки земли в крестьянских хозяйствах и культивирование
сельскохозяйственных растений.
Институт работает над выведением новых сортов кукурузы, кокосо-
вых пальм, улучшением качества семян хлопка, наиболее пригодного для
выращивания в Индонезии. Внедрение полученных результатов в прак-
тику осуществляется через комитеты народного хозяйства, имеющиеся в
различных районах страны.
Институт изучает физико-химический состав почв, исследует раз-
личные удобрения. Как и в других институтах, количество специалистов
высокой квалификации в нем пока невелико. Всего здесь работают око-
ло 80 специалистов, из них лишь пять имеют высшее образование.
Центральный институт исследования природы в Богоре — одно из
крупнейших научно-исследовательских учреждений страны и пользует-
ся всемирной известностью. Это гордость Индонезии. Институт включа-
ет восемь отделов: флоры, фауны, охраны природы, изучения природных
ресурсов, охраны ценных пород растений, ознакомления с природой, зо-
ологический музей и заповедник. Здесь осуществляется комплекс на-
учно-исследовательских работ по ботанике, зоологии, океанографии с
целью использования резервов в сельском хозяйстве, выведения новых
видов растений, улучшения рыболовства и т. д.
20s
307
Одна из главных задач, стоящих перед институтом, заключается в
акклиматизации сельскохозяйственных растений, необходимых Индоне-
зии. Улучшение пород некоторых сельскохозяйственных культур, в част-
ности сахарного тростника, кофе, чая, риса,— также важнейшая зада-
ча института.
В институте работают 20 крупных специалистов и около 5 тыс. че-
ловек научного и вспомогательного персонала. К институту прикрепле-
но большое число лабораторий и научных учреждений.
Главные из них следующие:
Лаборатория Трейба — одна из старейших в стране, основана в
1884 г. Занимается исследованиями по тропической ботанике. Имеет
биологическую станцию, где могут проводить свои исследования иност-
ранные ученые. Лаборатория публикует «Богорские анналы».
Институт меланезийской флоры, создан в 1950 г. Его главная зада-
ча— изучение меланезийской флоры, основываясь на исследованиях Бо-
горского гербария.
Богорский гербарий занимается систематикой и географией расте-
ний Индонезии, Филиппин, Вьетнама, Северной Австралии, Гвинеи. Име-
ет библиотеку, насчитывающую десять тысяч томов.
Ботанический сад. Основан в 1817 г. Одна из его задач — состав-
ление систематических справочников о растительности Индонезии.
Ведет широкий обмен с ботаническими учреждениями мира.
Центральная Богорская библиотека. Обслуживает научные учреж-
дения страны, ежеквартально и ежегодно публикует специальные ката-
логи. Книжный фонд насчитывает 150 тыс. томов.
Институт микробиологии. Основан в 1965 г.
Богорский зоологический музей.
Институт фотографии и рисунка. Занимается подготовкой кадров
в области фотокиносъемок и рисования для научных учреждений в
г. Богоре.
Институт охраны природы.
Ботанический сад Индонезии—крупнейшее комплексное научное
учреждение широкого профиля.
Астрономическая обсерватория в районе Бандунга. Ее возг-
лавляют высококвалифицированные астрономы, имеющие широкие свя-
зи с учеными разных стран, в том числе и Советского Союза. Обсервато-
рия располагает хорошим оборудованием, имеет первоклассный теле-
скоп. Главное направление работы— изучение двойных звезд.
Метеорологический и геофизический институт в Джакарте — руково-
дящее учреждение метеорологической и сейсмической служб страны. Его
задача — руководство сетью станций, составление прогнозов погоды,
изучение климата, наблюдение за сейсмическими явлениями. Обработ-
ка климатических данных ведется на основе современных методов, ар-
хивы составляются на основе формы перфокарт.
Геологические исследования в стране организует и проводит соз-
данная в 1950 г. в Бандунге геологическая служба Индонезии, подчинен-
ная горнорудному отделу Министерства промышленности. При геологи-
ческой службе имеется химическая лаборатория и музей с двумя отде-
лами — общей и экономической геологии
Библиотека геологической службы насчитывает 30 тыс. книг, глав-
ным образом на европейских языках. Здесь работают 16 молодых гео-
логов с высшим и 20 лаборантов со средним образованием. Подготовка
кадров в области геологии осуществляется главным образом на гео-
логическом факультете Технологического института в Бандунге, где
учится 150 студентов-геологов. Кроме того, подготовкой геологических
308
кадров занимаются крупные университеты страны, имеющие геологи-
ческие факультеты.
Одной из главных задач геологической службы в настоящее время
является создание сырьевой базы для металлургического завода на Ка-
лимантане, строящегося в сотрудничестве с советскими специалистами.
В Индонезии имеется также ряд важных научных учреждений, на-
ходящихся в ведении различных министерств и ведомств и обслужи-
вающих соответствующие отрасли народного хозяйства.
К ним относятся: Геодезический институт топографического управ-
ления Министерства обороны в Бандунге, основанный в 1955 г.; Науч-
но-исследовательский институт грунтов и шоссейных дорог Министер-
ства общественных работ, основанный в 1948 г.; Институт гидрогеологии
и гидрометрии, подчиненный Министерству общественных работ в Бан-
дунге (занимается изучением водного режима страны); лаборатория
гидравлики Министерства общественных работ, основанная в 1946 г.;
лаборатория испытания материалов Министерства национальной про-
мышленности; она публикует свои труды и имеет библиотеку, насчиты-
вающую свыше 8 тыс. томов; Центральная электролаборатория Мини-
стерства общественных работ; Научно-исследовательский институт тек-
стильной промышленности Министерства национальной промышленно-
сти; Научно-исследовательский институт керамики в Бандунге; институт
занимается изучением керамических материалов и их производства в
полупромышленном масштабе, оказывает техническую помощь промыш-
ленности в вопросах производства, планирования, контроля, готовит
квалифицированных рабочих и техников для керамической промышлен-
ности; Пастеровский институт Министерства здравоохранения в Бандун-
ге, занимается изучением проблем, связанных с приготовлением вакцин
и антисептиков; Институт профессиональной гигиены Министерства
здравоохранения, ведет работы по технологии очистки вод и гигиены
почвы; Центральный ветеринарный институт Министерства сельского
хозяйства в Богоре. Включает в себя Институт эпидемических забо-
леваний, институт хронических эпидемий, лабораторию лимф и вак-
цин, лабораторию вирусологии, Бактериологический институт, Ин-
ститут патологии и паразитологии, Институт грибков, Вирусный ин-
ститут. Имеет библиотеку, насчитывающую свыше 10 тыс. книг и жур-
налов.
Кроме того, в Индонезии существуют и другие институты и лабо-
ратории, принадлежащие различным ведомствам: Медицинский инсти-
тут в Джакарте, медицинская лаборатория на Суматре в Медане, Ра-
диобиологический институт в Джакарте. Институт фармацевтотерапии
в Джакарте, Институт проказы в Джакарте, Институт малярии,
венерологический институт в Суробайе, Институт наблюдения за рождае-
мостью, подчиненный Министерству здравоохранения в Джакарте, Ин-
ститут военной гигиены Министерства обороны.
К научно-исследовательским институтам и учреждениям в области
сельского хозяйства следует отнести главную научную сельскохозяйст-
венную станцию в Бандунге Министерства сельского хозяйства, Инсти-
тут сельского хозяйства, Институт болезней растений, институты риса,<
почвенный, ботанический, сахарного тростника, Национальную ассо-
циацию опытных сельскохозяйственных станций, Центральный инсти-
тут риса в Бандунге, скотоводства на восточном берегу о. Явы, Цент-
ральный научно-исследовательский институт животноводства в Богоре.
В области общественных наук в Индонезии имеется Институт по си^
циологическим исследованиям при факультете права и социологии уни-
верситета в Джакарте, Институт социологии в Джокьякарте, Комитет
309
социологических исследований при университете в Джокьякарте, бюро
экономических исследований при экономическом факультете университе-
та в Джакарте, Института права при юридическом факультете Хассану-
динского университета в Макасаре, Национальный институт адвокатов
при Совете министров Индонезии, Научно-исследовательский институт
педагогики при Бандунгском университете, Институт лингвистики и куль-
туры при университете в Джакарте.
Экономические факультеты университетов в Бандунге, Джокьякар-
те и Джакарте проводят научно-исследовательские работы, координи-
руемые Научным советом Индонезии. Например, в Джакарте имеется
Институт социально-экономических исследований, в Бандунге — бюро
социально-экономических исследований и в Джокьякарте — бюро эко-
номических исследований.
Все эти учреждения посетили советские ученые, где имели беседы
с индонезийскими учеными-экономистами.
Наряду с научной работой ученые этих учреждений стараются при-
вить навыки научно-исследовательской работы студентам старших кур-
сов и знакомят их с актуальными экономическими проблемами, стоя-
щими перед обществом.
Научные сотрудники экономических факультетов проводят иссле-
дования по заказу соответствующих правительственных учреждений и
ведомств.
Институт социально-экономических исследований в Джакарте ос-
нован в 1954 г. Во главе института стоит совет, состоящий из трех лиц:
декана экономического факультета Индонезийского университета и двух
профессоров. Институт подразделяется на семь секторов: национально-
го строительства, трансмиграции, кооперации и развития сельского хо-
зяйства, торговли, рабочей силы и промышленных отношений, прочих
вопросов, документации, административной службы.
Штат института состоит всего лишь из десяти специалистов. К ра-
боте в качестве консультантов привлекаются также профессора факуль-
тета. Институт в Джакарте связан с подобными институтами и бюро при
экономических факультетах в Джокьякарте и Бандунге, а также с за-
рубежными научно-исследовательскими учреждениями в области эко-
номики.
Институт социально-экономических исследований публикует отче-
ты по разрабатываемым в нем проблемам. В работах института со-
держится анализ результатов выполнения государственных программ
промышленного развития страны, механизации мелкой промышленно-
сти и т. д. Некоторые работы посвящены развитию сельского хозяйства
Индонезийской Республики.
В последнее время институт уделяет большое внимание программе
экономического развития страны.
Большую работу проводит бюро экономических исследований в
Джакартском университете, подчиненное департаменту образования,
просвещения и культуры. Бюро ставит перед собой важные практиче-
ские цели и надеется, что научные исследования смогут сослужить по-
лезную службу делу планирования экономического строительства в
Индонезии.
В бюро три отдела: исследовательский, документации и админист-
ративный. В первом отделе работают 10 научных сотрудников.
Интересную работу проводит экономический факультет Джокья-
картского университета совместно с юридическим и сельскохозязйствен-
ным факультетами в изучении социальных проблем современной дерев-
ни. Для Индонезии, как страны аграрной, эта работа имеет первосте-
310
пенное значение. Создан межфакультетский комитет по исследованию
социальных проблем сельского хозяйства. Начав работы по изучению
аграрных отношений в областях Джокьякарты, комитет провел обсле-
дование в центральных, восточных, западных провинциях о. Ява. Ма-
териалы комитета переданы правительству для использования при раз-
работке нового аграрного закона.
Бюро экономических исследований работает в сотрудничестве с ми-
нистерствами и ведомствами, а также правительственными и частными
институтами, имеет связи с экономическими исследовательскими орга-
низациями за пределами страны.
Бюро частично финансируется из бюджета университета, частью
получает субсидии от правительственных инстанций, для которых вы-
полняет задания, получает помощь и от фонда Форда.
Большой интерес представила работа института по исследованию
общественных проблем при юридическом факультете Индонезийского
университета. Институт, как и университет, подведомствен Министерст-
ву просвещения, образования и культуры. Он ведет исследовательскую
работу в области политики, социологии и антропологии. В своей рабо-
те связан с Институтом социально-экономических исследований при
экономическом факультете Индонезийского университета и с факульте-
том сельского хозяйства того же университета в Богоре, является чле-
ном Международной ассоциации социологов. Институт получает по-
мощь от исследовательского центра ЮНЕСКО в Калькутте для разра-
ботки таких тем, как урбанизация и исследования по индустриализа-
ции. Исследовательские работы по некоторым темам начались с 1961 г.
и рассчитаны на пять лет. Одновременно с проблемой урбанизации ин-
ститут изучает «социальные проблемы индустриализации». Методы изу-
чения этого вопроса будут определены исследовательским центром, ко-
торый изучает такие проблемы во всех странах Азии.
Политическая секция института работает в тесной связи с индоне-
зийскими историками, перед которыми стоит задача создания подлинной
истории Индонезии.
В работах западноевропейских, главным образом голландских, уче-
ных история Индонезии выступает лишь как придаток истории Голлан-
дии. Содержащееся в этих работах одностороннее освещение деятель-
ности колонизаторов и политической и военной деятельности отдельных
индонезийских властителей не дает объективной истории самой Ин-
донезии. Исследование исторического прошлого индонезийских наро-
дов рассматривается правительством Индонезии как одна из важней-
ших политических задач. Ряд правительственных учреждений ведет
работы по сбору материалов для исторических исследований по древней
истории и по новейшему периоду. В этом же направлении ведутся
работы археологической службы. Она проводит раскопки, занимается
восстановлением древних памятников культуры, собирает письменные
памятники.
Национальное археологическое управление в Джакарте ведет боль-
шую работу по собиранию и хранению документов. В задачи этого уч-
реждения входят реставрация памятников, хранение частных архивов,
имеющих государственное значение, собирание документов об управ-
лении страной с 1500 г., т. е. начиная со времени проникновения в стра-
ну европейцев.
В связи с тем что население Индонезии состоит из многих народ-
ностей, в последние годы начали посылать научно-исследовательские
экспедиции в различные, часто весьма отдаленные области страны.
В состав таких экспедиций входят археологи, лингвисты, юристы и исто-
311
рики. Так, например, в 1960 г. экспедиция, состоящая из профессоров
и преподавателей Джакартского университета, работала на Централь-
ном Борнео. Труды экспедиции готовятся к изданию. Эта работа имеет
не только чисто историческое, но и актуальное политическое значе-
ние. Индонезийские ученые считают, что деятельность таких экспеди-
ций будет способствовать быстрейшему решению национальной
проблемы.
Для обобщения всех научных данных в области истории в 1958 г.
в Индонезии создан специальный Научно-исследовательский комитет
историков.
ПАКИСТАН
Наиболее крупными научными центрами этой страны являются Ас-
социация развития науки и Совет по научным и промышленным иссле-
дованиям.
В 1953 г. в Пакистане была организована и Академия наук. Сог-
ласно уставу ее основная цель состоит в развитии всех отраслей науки.
Членство в академии открыто для выдающихся ученых страны. Почет-
ными членами могут избираться иностранные ученые. В настоящее вре-
мя в Академии наук Пакистана числится 24 члена. Своей научно-иссле-
довательской базы академия не имеет, ее конкретные функции до на-
стоящего времени не определены. Академия тесно связана с Ассоциаци-
ей развития науки, участвует в руководстве последней.
Ассоциация развития науки основана в г. Лахоре в 1947 г. Соглас-
но уставу целью ассоциации является содействие развитию всех отрас-
лей науки, а также их практическому применению, издание научных
трудов и журналов, организация национальных и международных вы-
ставок для распространения как теоретических, так и прикладных зна-
ний. Ассоциация развития науки издает два журнала — «Пакистанский
журнал наук» и «Пакистанский журнал научных исследований».
Ассоциация имеет восточное региональное отделение в г. Дакке
и западное региональное в г. Лахоре, а также отделение в Объединен-
ном королевстве, в Лондоне.
Во главе ассоциации стоит совет из 15 членов. Члены совета —
президент, два вице-президента, президенты восточного и западного ре-
гиональных отделений, шесть членов ассоциации — являются предста-
вителями Академии наук.
Повседневное руководство ассоциацией осуществляют президент,
генеральный секретарь и его помощник. Членство в ассоциации выбор-
ное (в настоящее время около 200 человек).
Ассоциация проводит собрания, годичные общие собрания, чрез-
вычайные собрания. Ежегодно созывает научную конференцию.
Ассоциация состоит из восьми секций: сельского хозяйства, биоло-
гии, химии, образования, инженерного дела, геологии, медицины и фи-
зики. Сравнительно широко практикует командирование своих научных
сотрудников за границу для учебы и специализации.
Однако собственной научно-исследовательской базы ассоциация не
имеет. Так же как академия наук, она является скорее общественной ор-
ганизацией, чем центром научных исследований. Теоретические задачи
ассоциации те же, что и Академии наук, но Академия наук значительно
слабее в организационном отношении.
Главным научно-исследовательским центром страны является пра-
вительственный орган—Совет по научным и промышленным исследо-
ваниям, имеющий собственную научную базу, состоящую из институтов
512
и лабораторий. Директор совета одновременно занимает пост президен-
та Ассоциации развития науки. Таким образом поддерживается тесная
связь между этими двумя научно-исследовательскими центрами.
Решение о создании Совета по научным и промышленным исследо-
ваниям было принято правительством в 1949 г., однако фактически он
начал свою деятельность лишь с 1953 г. До этого у него не было ни спе-
циалистов, ни лабораторий.
В настоящее время он имеет: центральные лаборатории в г. Карачи,
три региональные группы лабораторий в Лахоре, Дакке и Пешаваре,
Институт лекарств в Читтагонге, Лаковый институт в Раджшахи и Центр
научной документации в Карачи.
С Советом научных и промышленных исследований тесно связаны
Институт стандартов и центральные испытательные лаборатории. Цент-
ральные лаборатории представляют комплексное научное учреждение,
объединяющее несколько лабораторий.
Помимо названных научных центров в Пакистане имеется ряд дру-
гих обществ и ассоциаций. Отметим наиболее важные.
Пакистанская географическая ассоциация была основана в 1947 г.
для организации и поощрения деятельности, направленной на развитие
географии в национальном масштабе. В ее задачу входит созыв конфе-
ренций, симпозиумов, публикация научных трудов, организация экскур-
сий, поездок, а также координация работ и защита интересов пакистан-
ских географов.
Пакистанский философский конгресс. Учредительная сессия конг-
ресса состоялась в апреле 1954 г. в г. Лахоре. Инициатором ее созыва
был бессменный президент конгресса Мохаммед Майян Шериф, кото-
рый определил задачи новой философской организации следующим об-
разом.
Философский конгресс должен заниматься пропагандой и изуче-
нием философии и психологии, а также религии и социологии; пробле-
мы развития философии должны обсуждаться в связи с традициями
ислама и потребностями национальной реконструкции страны.
Конгресс насчитывает более 50 членов, главным образом профессо-
ров и преподавателей университетов и колледжей, имеет свой печатный
орган «Пакистанский философский журнал». Кроме того, издает труды
современных пакистанских философов и мусульманских мыслителей
прошлого.	ч
Пакистанский философский конгресс проводит ежегодные сессии, в
работе которых участвуют более ста ученых, профессоров, преподава-
телей и студентов из различных городов, университетов и колледжей.
На сессии приглашаются иностранные ученые, в том числе из Советско-
го Союза.	< |
Общее направление работы конгресса, как сказано, носит и религи-
озно-мусульманский характер. Однако время от времени отдельные па-
кистанские философы выступают с критикой традиционного направле-
ния. Так, на одной из сессий А. К. Броха в своем докладе отметил, что
философия, которая раньше служила мудрости, в современных усло-
виях перестала быть источником вдохновения и путеводителем челове-
чества. Она превратилась в академическую философию, которая учит
пониманию и употреблению понятий. Выработался своего рода философ-
ский жаргон, понятный только специалистам. Развитию философии стал
грозить паралич. Философия перестала быть наукой наук, а философ —
энциклопедистом.
На развитие философии в Пакистане большое влияние оказывает
существующий в стране режим.
313
Многие пакистанские ученые и студенты с большим интересом и
симпатией следят за развитиетл советской философской науки, за разви-
тием СССР в целом.
Общество развития научных знаний основано в 1957 г. в г. Лахоре.
Цель общества состоит в популяризации знаний, направленных на улуч-
шение здравоохранения, на физическое, интеллектуальное и моральное
воспитание населения.
Пакистанская ассоциация ученых основана в 1957 г.; согласно уста-
ву она призвана охранять профессиональные и социально-экономиче-
ские интересы научных работников, а также способствовать прогрессу
науки и техники для блага нации.
В Пакистане имеется ряд крупных университетов, в которых ведут-
ся и научные исследования: университет в г Дакке (Восточный Паки-
стан), Пенджабский университет в г. Лахоре (Западный Пакистан),
университет в г. Карачи и др.
Университет в г. Дакке основан в 1921 г. В настоящее время он рас-
полагает следующими факультетами: физическим, химическим, ма-
тематическим, почвоведения, географическим, биохимическим, геоло-
гическим, ботаники, статистики. Общее число студентов — около
6 тыс.
В г. Дакке имеются также другие учебные и научные учреждения:
медицинский инженерный колледж и восточное отделение Централь-
ной лаборатории научных и промышленных исследований г. Карачи.
Институт по изучению джута и др.
Научные учреждения Восточного Пакистана имеют новейшее им-
портное оборудование, включая аппаратуру для точных электронных
измерений, оптическую, геофизическую и т. д.
Лахорский университет — крупный научный и учебный центр За-
падного Пакистана, насчитывающий в настоящее время свыше 10 тыс.
студентов. Это старейшее учебное и научное учреждение страны основа-
но в 1882 г. Имеет в своем составе 13 факультетов, среди них: иностран-
ных языков (включая русское отделение), гуманитарных наук, матема-
тики и естествознания, медицины, инженерно-технологический, бого-
словский и др. На факультетах университета проводятся научные ис-
следования.
В университете г. Карачи обучается около 8 тыс студентов На фа-
культетах— физическом, химическом, географическом, геологическом,
биологическом, математическом и других — ведутся научные работы,
главным образом на средства, отпускаемые отдельными фирмами и
предприятиями. Учебное и научное оборудование в основном американ-
ское.
Лахор и Карачи—крупные научные центры страны. В Лахоре рас-
положены: Научно-исследовательский институт ирригации, Химический
и Инженерно-технологический институты, Лаборатория научных и про-
мышленных исследований и др.
В Карачи имеются Институт метеорологии и геофизики, Централь-
ная лаборатория научных и промышленных исследований, Институт по
борьбе с вредителями сельского хозяйства.
Научно-исследовательский институт ирригации в Лахоре, создан-
ный в 1915 г.,— сравнительно крупный научный центр, в котором работа-
ют свыше 100 научных работников. На институт возложены весьма важ-
ные народнохозяйственные задачи — по орошению земель за счет под-
земных вод и др.
Для изучения почвы страны и повышения плодородия в Лахоре
создана лаборатория, возглавляемая проф. Аштаром. В лаборатории.
314
оснащенной новейшим оборудованием, работают 80 научных и техниче-
ских сотрудников. Здесь проводятся работы по физическим >и водным
свойствам почв, их солевому составу, а также химизму подземных вод,
т. е. как раз по той проблеме, которая имеет огромное значение для
развития сельского хозяйства страны.
Президент Айюб-хан в своем выступлении на открытии XIII сес-
сии Всепакистанской ассоциации по развитию науки в Пешаваре 29 мар-
та 1962 г. заявил, что борьба с засолением орошаемых земель являет-
ся первоочередной задачей.
Центральная лаборатория научных и промышленных исследований
в Карачи организована в 1949 г. Это крупное научно-исследовательское
учреждение страны. Во главе лабораторий стоит доктор Садыки —
химик, по патентам которого производится большое количество лекарст-
венных препаратов. В штате лаборатории свыше 400 научных со-
трудников. А общее число работающих в отделениях в других городах
превышает тысячу человек. Лаборатория издает научный журнал и
груды.
В состав лаборатории входят отделы: физики и физической химии,
неорганической и аналитической химии, органической химии, биохимии,
медицинских растений, алкалоидов, строительных материалов, пласт-
масс, инженерной химии.
Основная масса сотрудников в отделениях лаборатории в Ка-
рачи и Лахоре занята разработкой различных медицинских препа-
ратов.
За последнее время в Пакистане стали уделять внимание примене-
нию атомной энергии. Создана специальная комиссия по атомной энер-
гии во главе с доктором Усмани. На ежегодных сессиях Пакистанской
ассоциации развития науки заслушиваются доклады о физике высоких
энергий элементарных частиц, о роли атомных реакторов и т. д.
Комиссия состоит из шести подразделений: Институт ядерных ис-
следований и технологии в Исламбаде; Центр по атомной энергии в Ла-
хоре; Центр по атомной энергии в Дакке; Сельскохозяйственный иссле-
довательский центр в Тандоджаме; Сельскохозяйственный исследова-
тельский центр в Дакке; Медицинский радиоизотопный центр.
Комиссия имеет атомный реактор. Интересные исследования по
ядерной физике производит доктор Абдул Салаам.
Большое значение имеет создание в Карачи специального центра
научной и технической документации, являющегося всепакистанской ор-
ганизацией. Его главная задача — ознакомление ученых, инженеров и
других работников промышленности с состоянием мировой науки. Центр
получает и рассылает микрофильмы и фотокопии печатных науч-
ных работ. Особое внимание уделяется советской научной и технической
литературе. Некоторые советские журналы здесь переводятся пол-
ностью.
Несмотря на отдельные успехи пакистанских ученых, научные ис-
следования по многим проблемам, представляющим исключительную
важность для подъема экономики страны, все еще находятся на весь-
ма низком уровне. Например, почти не разрабатываются актуальные
вопросы, связанные с поисками месторождений нефти, газа и т. д., с
освоением засушливых территорий. Научная разработка этих проб-
лем открыла бы большие перспективы для развития пакистанской эко-
номики,
ЦЕЙЛОН
Придавая важное значение развитию науки в стране, правительст-
во Цейлона в 1956 г. издало декрет о создании Института научных и
промышленных исследований. Институт пока что небольшой, содержит-
ся на скромные средства, получаемые от правительства и некоторых
международных организаций.
Научно-исследовательские работы ведутся главным образом на фа-
культете наук Коломбского университета, являющемся важным научным
и культурным центром страны. Масштабы этих работ невелики. Ис-
следования охватывают проблемы зоологии, ботаники, географии, меди-
цины, ветеринарии и сельского хозяйства. За последнее время усилились
работы по физике, химии и математике. Быстрое развитие этих областей
науки диктуется намерением в ближайшие тоды построить в стране
атомный реактор, управление которым потребует высококвалифициро-
ванных специалистов во многих областях знаний. Строительство и эк-
сплуатация атомного реактора — важный этап на пути большого разви-
тия науки в стране и применения ядерной энергии в мирных целях.
Значительное место отводится Научно-исследовательскому институ-
ту чая и Научно-исследовательскому институту каучука, непосредствен-
но связанным с важнейшими отраслями цейлонской экономики, рабо-
тающими на экспорт. Оба института содержатся главным образом на
средства владельцев чайных и каучуковых плантаций, а также экспорт-
ных организаций и лишь частично финансируются правительством.
Цейлонский университет организован в 1942 г. в Коломбо на базе
двух правительственных колледжей: университетского, существовавшего
с 1921 г., и медицинского, основанного в 1870 г. В университете шесть
факультетов: востоковедения, искусств, науки, медицины, инженерный
и сельскохозяйственный.
Каждый из них в свою очередь имеет отделения:
востоковедения — сингальского, тамильского языков, санскрита и
пали;
искусств — английского языка, экономики, истории, географии, ар-
хеологии, права, математики, философии, социологии, западных язы-
ков (немецкий, французский);
науки — ботаники, химии, педагогики, физики, зоологии, медици-
ны: анатомии, физиологии, фармакологии, биохимии, патологии, бакте-
риологии, паразитологии, общего здравоохранения и т. п.;
инженерный — гражданского строительства, электротехники, меха-
ники, математики;
сельскохозяйственный — сельского хозяйства и ветеринарии.
В настоящее время в университете обучаются свыше 4 тыс. студен-
тов. Перед молодым университетом Цейлона стоит много нерешенных
проблем, их оживленно обсуждают в печати и на собраниях научной об-
щественности. Английские колонизаторы ушли, но тяжелые последствия
их деятельности в стране продолжают ощущаться, особенно в сфере ду-
ховной и интеллектуальной жизни.
Большое влияние на политическую, научную и общественную жизнь
страны оказывают буддийские университеты Видъодая и Видьяланкара.
На протяжении столетий буддийское духовенство сохраняло ключевые
позиции в литературе и культуре страны. Из буддийских монахов фор-
мировались кадры писателей, литературные критики, ученые, культур-
ные, общественные и религиозные деятели. Буддийские монастыри из-
давна становились центрами образования и культуры.
В университете Видъодая обучается около тысячи студентов. Мно-
316
гие из них прибыли сюда из Индии, Бирмы, Японии и других стран Азии.
В университете пять факультетов: буддизма, философии, языков, искус-
ства и наук. Другой буддийский университет — Видьяланкара основан в
1875 г. В настоящее время насчитывает около 700 студентов. В универ-
си 1ете те же пять факультетов, что и в предыдущем.
Оба учебных заведения получили статут университета с 1 января
1959 г. в соответствии со специальным декретом, подписанным покой-
ным премьер-министром Соломоном Бандаранаике и одобренным пар-
ламентом.
Одним из важнейших научных центров страны является основан-
ный в 1876 г. Национальный музей, библиотека которого насчитывает
свыше 100 тыс. томов различных изданий и рукописей. В музее пред-
ставлены экспонаты по зоологии, геологии, этнографии, археологии,
истории первобытного общества на Цейлоне и др. При нем же имеется
лекционный зал, в котором еженедельно читают лекции по различным
вопросам истории, этнографии и культуры страны.
ЯПОНИЯ
Научная работа в Японии в основном сосредоточена в универси-
тетах, которые делятся на три категории: государственные, муниципаль-
ные и частные. В Японии 72 государственных университета, более 30 му-
ниципальных и более 100 частных (например, университеты Васэда, Хо-
сэй, Мэйдзи, Рицумэйкан и др.).
При некоторых из них имеются научно-исследовательские институ-
ты и лаборатории. Например, при Токийском университете таких инсти-
тутов 14. Это институты ядерных исследований, прикладной микробио-
логии, восточной культуры, сейсмологии, социальных наук и др. Боль-
шое число научно-исследовательских институтов и лабораторий имеется
при различных министерствах и ведомствах, промышленных компаниях
и т. д. Только при Министерстве просвещения насчитывается более
100 институтов и лабораторий. Если в первые годы после войны япон-
ским ученым было запрещено проводить исследования в области атом-
ной энергии и авиации, то во время войны в Корее исследования воен-
ного характера возобновились.
В 1954 г. создан Научно-исследовательский институт оборонной тех-
ники, работающий главным образом в области авиации, а в 1956 г.—
Научно-исследовательский институт атомной энергии.
Научные исследования, не связанные в настоящее время с практи-
кой промышленного развития, ведется как в государственных, так и
в частных университетах в значительно меньших масштабах. На научные
исследования сильное влияние оказывают финансово-промышленные
круги. Тематика научных исследований в Японии направлена прежде
всего на техническое перевооружение промышленности и развитие
сельского хозяйства.
По оценке советских ученых, посетивших за последнее время Япо-
нию, здесь наиболее интенсивно развиваются исследования по приклад-
ным научным направлениям, результаты которых могут найти непосред-
ственное практическое применение.
В Японии расширяются исследования в некоторых направлениях
физики твердого тела (в том числе физики металлов), в области полу-
проводников, радиоэлектроники, химии (особенно полимерной химии),
биологии и биохимии, медицины и фармакологии, ядерной (физики и
ядерной энергетики, электронных вычислительных машин, механики,
научного приборостроения.
317
Координацию научной работы осуществляют следующие государст-
венные органы: Научный совет Японии; Научно-техническое управление;
Совет по науке и технологии; Комиссия по атомной энергии; Совет по
изучению космоса; Совет по океанографии. В 1956 г. создано Научно-
техническое агентство, задачами которого является разработка, плани-
рование и осуществление мероприятий, связанных с научно-технически-
ми работами. В 1957 г. организован Научно-технический информацион-
ный центр.
Научный совет Японии представляет собой полуобщественный вы-
борный консультативный орган для разработки предложений правитель-
ству по вопросам научно-технической политики. НСЯ был создан в
1949 г. для содействия восстановлению экономики страны, всесторонне-
му развитию науки и использованию ее достижений в производстве
В НСЯ входят виднейшие ученые страны, избираемые прямым го-
лосованием всех (более чем 100 тыс.) научных работников (голосова-
ние проводится по почте). Всего в состав НСЯ избирается 210 членов —
по 30 на каждое из следующих семи отделений: первое — филология, фи-
лософия, педагогика, психология, социология, история; второе — общее,
публичное, гражданское, уголовное право, политические науки; третье —
экономика, торговля и управление хозяйством; четвертое — математика,
астрономия, физика, геофизика, химия, зоология, ботаника, геология,
минералогия, география, антропология; пятое — прикладная физика, ма-
шиностроение, электротехника, судостроение, гражданское строительст-
во, архитектура, горное дело, металлургия, прикладная химия; шестое —
сельское хозяйство, агрохимия, лесоводство, водное хозяйство, эконо-
мика сельского хозяйства, агротехника, животноводство, шелководство;
седьмое — клиническая медицина, общественная санитария, стоматоло-
гия, фармакология. НСЯ возглавляет президент, избираемый большин-
ством голосов на общем собрании, которое созывается раз в три года.
Кроме того, избираются два вице-президента: один от гуманитарно-об-
щественных наук и один от естественно-технических.
Каждое отделение избирает на своих собраниях президента, вице-
президента и двух секретарей. Президент, вице-президент Совета и ру-
ководство отделений образуют комитет по управлению НСЯ, который со-
бирается не реже одного раза в месяц.
В рамках НСЯ созданы и действуют комитеты по отдельным проб-
лемам развития научных исследований и мероприятиям. Существует
около 80 таких комитетов. Большая часть их создана по отраслевому
принципу и непосредственно координирует свою деятельность с соответ-
ствующими отделениями. Деятельность НСЯ складывается из работы
его центральных руководящих органов и семи районных отделений.
НСЯ сам по себе не является административным органом или на-
учно-исследовательской организацией Совет занимается разработкой
научно-технической политики и подготовкой предложений по разработ-
ке научных проблем по указанию правительства; он может и сам ста-
вить перед правительством вопрос о необходимости разработки той или
иной проблемы: НСЯ играет большую роль в определении основных на-
правлений исследований. Его рекомендации учитываются при распреде-
лении финансовых средств на научно-исследовательские работы
НСЯ контролирует работу всех научно-исследовательских учреж-
дений страны, осуществляет контакты с международными и националь-
ными научными организациями. Специальных институтов, непосредст-
венно занимающихся научными исследованиями, НСЯ не имеет. Дея-
тельность НСЯ финансируется государством. Президентом НСЯ в на-
стоящее время является видный физик-теоретик профессор С. Томонага.
318
Научно-техническое управление (НТУ) создано в мае 1959 г. На-
чальник управления — государственный министр. НТУ осуществляет
практическое руководство научно-техническими работами, ведущимися
в государственных учреждениях, и в некоторой мере координирует науч-
но-технические работы, ведущиеся в частных учреждениях (в частных
университетах и фирмах).
Основными задачами НТУ являются: разработка, планирование и
проведение в жизнь основных положений технической политики, вклю-
чая исследования, разработку и использование атомной энергии; коор-
динация научно-технических исследований и разработок, выполняемых
соответствующими министерствами (например, внедрение в националь-
ную промышленность иностранной технологии, импорт оборудования для
исследовательских работ, использование финансовой поддержки для
развития новой техники и технологии, изучение научно-технического опы-
та в других странах путем направления специалистов и т. д., согласова-
ние ассигнований и дотаций на исследования и разработки для инсти-
тутов, а также вознаграждения за работу, проводимую в соответствую-
щих министерствах); содействие и помощь для проведения исследова-
ний и работ, требующих координации усилий различных ведомств, а
также для проведения фундаментальных исследований, являющихся
общими для многих областей науки и техники (например, содействие в
развитии аэронавтики, технологии металлов, радиоэлектроники, физи-
ческих и химических исследований и т. п.); изучение и выработка по-
ложений по использованию национальных ресурсов; подготовка и пуб-
ликация статистических материалов и других изданий, касающихся ре-
зультатов исследований в области науки и техники; распространение и
пропаганда научных знаний; поощрение открытий и изобретений, а так-
же содействие внедрению их в практику; руководство подготовкой науч-
ных и инженерных кадров.
В состав НТУ входят пять бюро:
Бюро планирования занимается планированием и содействием осу-
ществлению основной технической политики — исследованием и анали-
зом главных тенденций в развитии науки и техники внутри страны и за
рубежом и подготовкой соответствующих статистических данных; ко-
ординацией деятельности административных органов, связанных с изу-
чением космической науки и технологии, и содействием проведению ис-
следовательских и экспериментальных работ в этой области; руководст-
вом общими делами Совета по науке и технологии; руководством
деятельности информационного центра Научно-технического управ-
ления.
В 1961 г. бюро начало работу по определению эффективности капи-
таловложений на научные исследования, изучает проблему переподго-
товки кадров на предприятиях. Занимается также деятельностью, свя-
занной с Японо-американским научным комитетом;
Бюро по координации научно-исследовательских работ. Создано в
начале 1962 г. для координации перспективных проблемных разработок
и исследований, в частности в области космоса и авиации, изучения мо-
ря, составления перспективных планов и бюджета на исследовательские
работы, изучения и подготовки предложений по вопросам организации
научных исследований;
Бюро содействия развитию науки и техники. Это бюро состоит >из
четырех отделов, которые занимаются следующими вопросами:
координации—координирует и обобщает деятельность адми-
нистративных органов в отношении финансовых затрат на исследования
и на мероприятия по содействию исследовательской деятельности, про-
319
пагандирует достижения в области науки и техники организации, под-
чиненных Научно-техническому управлению;
технический — координирует деятельность административных
органов по научно-техническим вопросам в отношении направления в
другие страны специалистов для изучения достижений, использования
иностранной техники, импорта научного оборудования и т. п.;
содействия изобретениям — оказывает содействие и по-
мощь в реализации изобретений, руководит деятельностью других ор-
ганизаций по содействию изобретениям, поддерживает отдельных лиц,
сделавших важные открытия и изобретения в области науки и техники;
по организации исследований — кооперирует усилия от-
дельных исследовательских организаций в отношении изучения проблем,
имеющих общее значение, координирует деятельность административ-
ных органов, связанных с исследованиями в области авиации, руководит
деятельностью Национальной авиационной лаборатории, Национального
исследовательского института металлов, а также Института физических
и химических исследований.
Бюро по атомной энергии. Имеет в своем составе десять отделов и
занимается следующими вопросами:
отдел технической политики — разрабатывает планы и
программы технической политики в области мирного использования
атомной энергии; координирует деятельность административных орга-
нов, связанных с использованием атомной энергии; регулирует исполь-
зование средств на эти цели и составляет соответствующие бюджеты;
отдел исследований — изучает и анализирует тенденции в
использовании атомной энергии внутри страны и за границей, готовит
совместно с международным отделом статистические материалы; осу-
ществляет международное сотрудничество в области использования
атомной энергии; подбирает специалистов из числа студентов и «молодых
ученых и направляет на учебу в другие страны;
отдел содействия — занимается установлением методов ис-
пытаний и исследований в области использования атомной энергии, изу-
чением испытательной и исследовательской деятельности и ее результа-
тов, содействием исследованиям и подготовке инженеров внутри страны.
отдел атомного горючего — установление методов испыта-
ний и исследований радиоактивных материалов и атомного горючего;
изучение испытательной и исследовательской деятельности и ее резуль-
татов.
отдел радиоизотопов — определяет политику в отношении
использования радиоизотопов и изучает деятельность в области радио-
изотопов и ее результаты; руководит работой национального радиоло-
гического института, подготовкой исследователей и инженеров для ра-
боты в области радиоизотопов внутри страны, а также частными орга-
низациями, занимающимися использованием радиоактивных отходов;
отдел реакторов — осуществляет контроль за работами в об-
ласти реакторов;
отдел радиации — введение законов по радиологической за-
щите, руководство общими делами совета по радиации.
Бюро по атомной энергии руководит также деятельностью атомного
научно-исследовательского института и корпорацией атомного горючего.
Бюро ресурсов имеет три отдела и занимается разработкой полити-
ки по использованию и развитию национальных ресурсов, подготовкой
статистических материалов в этой области
НТУ имеет шесть научных советов — совещательных органов по
различным областям научно-технической деятельности.
320
К научно-техническим органам Кабинета министров относятся со-
ответствующие организации от Управления по развитию Хоккайдо (на-
учно-исследовательский технический центр), от Управления обороны
(научно-исследовательский технический центр), от Комиссии общест-
венной безопасности (научно-исследовательские институты полиции и
пожарной охраны). Многие органы руководства научно-техническими
работами находятся в введении соответствующих министерств.
В настоящее время НТУ возглавляет государственный министр Эй-
саку Сато- один из влиятельнейших деятелей правительства и либе-
рально-демократической партии.
Совет по науке и технологии организован в 1959 г., является сове-
щательным органом при канцелярии премьер-министра, дает ему кон-
сультации по вопросам определения основных направлений техниче-
ской политики, а также перспективных исследований и научно-техниче-
ских разработок, об особо важных исследованиях.
В своей работе этот совет консультируется с Научным советом Япо-
нии и получает от него доклады и рекомендации. На Совет по науке
и технологии в последнее время возложены задачи по развитию иссле-
дований космоса и по проведению политики в японо-американском ко-
митете по научному сотрудничеству.
Возглавляет совет премьер-министр, а его членами являются ми-
нистр финансов, министр образования, генеральный директор планового
бюро (министр), генеральный директор управления науки и техники
(министр) и президент НСЯ; трех членов совета назначает премьер-
министр из числа выдающихся ученых.
В 1961 г. по предложению этого бюро правительство приняло реше-
ние о расширении деятельности Совета по науке и технологии: увеличе-
но число членов совета за счет введения в его состав председателя
правления компании «Тоерейон» (производство химических волокон) и
председателя правления компании «Мицубиси дзосэн» (судостроение,
в том числе атомное). В составе совета создана секция по вопросам ис-
следовательских организаций и секция по основным законам в области
науки и техники.
Комиссия по атомной энергии образована в 1956 г. как совещатель-
ный правительственный административный центр при канцелярии премь-
ер-министра. В функции комиссии входит осуществление мероприятий
по координации деятельности в вопросах использования атомной энер-
гии, контроль над расщепляющимися материалами и атомными реак-
торами, меры по предупреждению вредных воздействий, связанных с
применением атомной энергии.
Комиссия определяет задачи и составляет планы научных исследо-
ваний и разработок. Вместе с тем она занимается вопросами подготов-
ки специалистов в областях науки и техники, связанных с атомной энер-
гией, оказанием помощи в экспериментальных исследованиях для ее
использования, составлением смет расходов. Комиссию возглавляет ми-
нистр без портфеля — начальник Научно-технического управления. В со-
став комиссии входят шесть членов — ученых в области атомной энер-
гии, 25 советников и 50 консультантов, назначаемых премьер-министром.
Совет по изучению космоса создан в 1961 г. в составе 25 членов.
Он занимается проблемами использования космического пространства и
вопросами, связанными с созданием аппаратов для изучения космоса.
Совет по радиации, состоящий из 30 человек, занимается вопросами
радиационной защиты, рассмотрением соответствующих стандартов и
методов измерения радиации
21 Заказ 338
321
При Министерстве внешней торговли и промышленности в 1948 г.
образовано Управление по науке и технике, которое призвано координи-
ровать научные исследования, а также распространять и внедрять ре-
зультаты исследований, проводимых различными научно-исследователь-
скими учреждениями. Управление ведет работы по промышленным стан-
дартам и их распространению. В его задачи входит также поощрение
научных исследований, ведущихся частными учреждениями. Управле-
нию подчинены 12 научно-исследовательских бюджетных учреждений,
занимающихся экспериментальными исследованиями, вынесением экс-
пертных заключений, осуществлением технического контроля, установ-
лением стандартных мер, проведением геологических изысканий.
В соответствии с принятой в стране системой государственной по-
мощи частным научно-исследовательским учреждениям управление рас-
пределяет среди них ассигнования на научные исследования, оказывает
содействие в предоставлении долгосрочных займов для внедрения от-
крытий, дает распоряжения о снижении налогов на частные научные ис-
следования.
Управление помогает Министерству внешней торговли и промыш-
ленности в области производства и рудной промышленности, изучает
возможности внедрения заграничных технических достижений.
В штате управления свыше 4200 человек, годовой бюджет более
12 млн. долл.
В 1932 г. было создано Японское общество развития науки. В сферу
его деятельности входит публикация монографий, финансирование на-
учных исследований, содействие Антарктической исследовательской экс-
педиции и др. Общество действует на правах кооперированного органа
Министерства просвещения и Научного совета Японии. В составе об-
щества 178 преподавателей университетов, 32 преподавателя институтов
и других учебных заведений. Общество подготовляет рекомендации по
вопросам обеспечения научными кадрами, образования, создания ис-
следовательских учреждений и обеспечения оборудованием.
Научно-исследовательские учреждения и подготовка научных кадров
Академия наук Японии (АНЯ) создана в 1879 г. В настоящее время
существует как самостоятельный научный орган, непосредственно свя-
занный с Министерством просвещения. Деятельность Академии наук
финансируется правительством.
Академия наук Японии насчитывает 150 ученых, избираемых по-
жизненно путем тайного голосования на ее общем собрании из числа
кандидатов, выдвинутых научными учреждениями и общественными
учебными заведениями. Членство в академии является высшим призна-
нием заслуг ученого перед наукой. Академия делится на семь секций,
точно соответствующих секциям Научного совета Японии. В состав
Академии наук Японии в качестве почетных членов избраны 20 иност-
ранных ученых.
Участие академии в научной жизни страны относительно невелико.
Президентом академии в настоящее время является Эйдзи Сибата,
один из старейших и известных в Японии ученых-химиков.
По неполным данным, в Японии насчитывается около 3500 научно-
исследовательских учреждений. Все они распределяются примерно сле-
дующим образом: около 5% составляют государственные, около 35% —
частные, 35%—университетские и около 20% — муниципально-префек-
;турального подчинения.
322
В 1957 г. в Японии насчитывалось 641 научно-исследовательское
учреждение, принадлежащее частным компаниям, с 37 тыс. сотруд-
ников, в том числе 8,5 тыс. квалифицированных научных работников.
В настоящее время число научных работников в Японии состав-
ляет 130 тыс.
Подготовку специалистов в стране осуществляют университеты и
младшие колледжи; их более 500. Эти учебные заведения ежегодно вы-
пускают свыше 150 тыс. специалистов с высшим и средним образова-
нием, т. е. 16 специалистов на 10 тыс. человек населения (в СССР в
1961 г. было выпущено 36 специалистов с высшим и средним образо-
ванием на 10 тыс. человек населения).
По данным, относящимся к 1957 г., научно-исследовательской дея-
тельностью в университетах и других высших учебных заведениях Япо-
нии занималось свыше 100 тыс. человек, из них 47 тыс. научных сотруд-
ников. В 1958 г. при университетах было 57 научно-исследовательских
учреждений.
Для системы образования Японии характерно наличие разнород-
ных учебных заведений, работающих по своим собственным, внутрен-
ним «законам». Имеются частные, префектуральные и государственные
школы, колледжи, средние специальные учебные заведения и универ-
ситеты. В средних специальных учебных заведениях, колледжах и уни-
верситетах установлена плата за обучение, причем сама большая —
в частных учебных заведениях, где размер платы устанавливают их
владельцы.
В целом система образования в Японии является довольно разви-
той. Практически она обеспечивает всеобщую грамотность населения и,
очевидно, потребность в кадрах специалистов со средним и высшим
образованием.
При анализе состояния образования в Японии следует, конечно,
учитывать специфику капиталистического общества, где в головы мо-
лодежи стремятся вдолбить буржуазную мораль, религиозность, стрем-
ление к частному предпринимательству, уважение и смиренное отно-
шение к существующему порядку.
Подготовка кадров для всех отраслей народного хозяйства, куль-
туры и науки сосредоточена в университетах. Первые два года в уни-
верситете отводятся на изучение общеобразовательных дисциплин и
прежде всего иностранных языков. Здесь студенты не делятся по спе-
циальностям, но специфика, обусловленная выбором будущей специ-
альности, в известной мере учитывается созданием трех отделений: гу-
манитарных, естественных и медицинских наук. Общее руководство обу-
чением студентов на первых двух курсах возлагается на подготовитель-
ный факультет. На третьем и четвертом курсах студенты обучаются
своим специальностям Непосредственное руководство дипломными ра-
ботами осуществляет профессор, к которому прикрепляют пять-шесть
студентов-дипломников.
Подготовка научных кадров ведется через аспирантуру и докторан-
туру. Прием в аспирантуру осуществляется в порядке конкурсных эк-
заменов, в основном из числа оканчивающих университет. В аспиран-
туре остается много выпускников, на естественных и гуманитарных ка-
федрах— до 80%. В течение двух лег под руководством профессора
аспиранты ведут научную работу в лабораториях и научно-исследова-
тельских институтах. Окончание аспирантуры не связано с защитой дис-
сертации (у японцев нет степени кандидата наук). Аспиранты пишут
выпускную научную работу, которая принимается во внимание при
поступлении в трехгодичную докторантуру. В докторантуру зачисляются
21*
323
до 80% аспирантов, хотя могут быть приняты и желающие с произ-
водства. Фактически обучение докторантов заключается в подготовке
докторской диссертации, которую они, как правило, защищают к концу
третьего года обучения.
Японские университеты занимают значительное место в системе ор-
ганизации научных исследований в стране. В качестве примера следу-
ет указать на те университеты, которые посетила делегация Академии
наук СССР в марте 1964 г.
Токийский университет является самым крупным из государствен-
ных университетов страны. В нем обучаются около 13 тыс. студентов
(в 1959 г. было около 9,4 тыс. студентов, работало 2360 профессоров
и преподавателей).
Университет имеет десять факультетов: общеобразовательный
(4,5 тыс. студентов), юридический, инженерный, медицинский, естест-
венных наук, сельскохозяйственный, литературы, экономики, педагоги-
ки, фармакологии. В состав университета входит ряд научно-исследова-
тельских институтов, в том числе Институт физики твердого тела, аэро-
навтики, индустриальных исследований, Институт ядерных исследова-
ний и другие.
Институт физики твердого тела основан в 1957 г. Штат составля-
ет примерно 230 человек, в том числе 40 техников в лабораториях и
мастерских и 22 человека — административный персонал. В институте
работают около 100 ученых из других научных учреждений страны и
студентов.
Здесь имеется 20 лабораторий, которые ведут исследования в обла-
сти низких температур, радиационной физики твердого тела, магнетиз-
ма (две лаборатории), полупроводников, ферроэлектриков и квантовой
электроники, твердого тела, поверхностных свойств и молекулярной
теории, оптики, микроволновой и радиоспектроскопии, кристаллогра-
фии (две), дефектов кристаллов, пластичности, высоких давлений, ядер-
ных излучений, теоретической физики (три). Кроме того, для общего
пользования доступны лаборатории: низких температур, химических
анализов, получения и обработки кристаллов, циклотронная, электрон-
ной микроскопии, радиационная, высоких давлений; имеется также
дифрактометр на нейтронах, вычислительный центр, библиотека,
механическая и электротехническая мастерские.
В институте ведутся работы по лазерной технике и физике плаз-
мы.
В лаборатории полупроводников изучается циклотронный резонанс
в германии и кремнии, явления переноса при низких температурах, го-
рячие электроны, а в лаборатории сегнетоэлектриков и квантовой элект-
роники— фазовые переходы в сегнетоэлектриках и движение границ
доменов.
Интересны работы по оценке ионного состояния органических мо-
лекул путем изучения спектров поглощения и шумановской области, а
также изучения полупроводниковых свойств ароматических углеводо-
родов, содержащих до 10 циклов.
Институт располагает первоклассной техникой эксперимента в об-
ласти оптики, рентгеновских лучей и др.
Институт аэронавтики имеет следующие отделения: аэродинамики и
летательных аппаратов (с лабораториями дозвуковой и трансзвуковой
аэродинамики, теории крыла и пограничного слоя, сверхзвуковой аэро-
динамики, гиперзвуковой аэродинамики, газодинамики разреженных
сред, аэроупругости, конструкции самолетов, тепловой прочности, ди-
намики самолета и космических аппаратов);
324
силовых установок (с лабораториями турбореактивных прямоточ-
ных и ракетных двигателей, горения, смазки, теплообмена);
авиационных приборов (с лабораториями физики измерений, аку-
стики и колебаний, электрофизики, навигации, автоматизации контроля,
авиационной электроники);
материалов (с лабораториями машиностроительных материалов, не-
магнитных металлов, жаростойких материалов, высокополимерных мате-
риалов, топлив и смазки, прочности).
В основном институт занимается фундаментальными исследования-
ми в области аэродинамики и космических полетов. Его лаборатории
оснащены современным экспериментальным аэродинамическим обору-
дованием (ударные трубы, дозвуковые, трансзвуковые и сверхзвуковые
трубы, плазменные установки, камеры сгорания, имеющие киносъемоч-
ные аппараты, и т. д.). Имеются счетные электронные машины.
В лаборатории профессора Огути на ударных трубах проводят весь-
ма тонкие исследования формы и положения скачка уплотнения перед
затупленным телом в условиях обтекания его разреженным газом (при
малых числах Рейнольдса).
Разработан новый метод определения низких плотностей, основан-
ный на измерении отклонения электронного пучка при прохождении че-
рез разреженный слой газа. При этом используется специальное элект-
ронное транзисторное устройство. В одной из лабораторий создан ге-
нератор плазмы (на цезии) и ускорительное устройство. Степень иони-
зации— порядка 5%.
Представляет интерес аэродинамическая установка, в которой ис-
пользуется форма и отход ударной волны перед цилиндром, обтекае-
мым плазмой.
В лаборатории смазки изучают смазочные процессы и износ в ус-
ловиях глубокого вакуума.
В лаборатории горения исследуются вибрационные явления в ка-
мерах сгорания. Здесь 'был продемонстрирован кинофильм, снятый вы-
сокоскоростным киноаппаратом, показывающий возникновение неустой-
чивого горения топлива.
В институте ведут исследования новых двигателей, изучают элект-
ропроводность плазмы (цезий в комбинации с гелием), осуществляют
аэродинамические исследования метеорологических ракет.
Институт индустриальных исследований основан в 1949 г. В шта-
те— 727 человек, из них 207 штатных научных работников, 58 аспиран-
тов и докторантов, 90 других исследователей, 117 техников, 255 рабочих
и служащих.
В институте имеется пять исследовательских отделов: технической
физики, механический и кораблестроительный, электротехнический, ин-
дустриальной химии и металлургии, строительной техники. Кроме того,
он располагает еще 57 специальными исследовательскими группами и
обслуживающими подразделениями, включая центральные мастерские.
Фотолаборатория института занимается расшифровкой стереоско-
пических фотографий для разных целей (съемка гор, раскройка одеж-
ды и т. д.). Ведутся работы по электрофотографии. Путем воздействия
света на бумагу, обработанную окисью цинка, на ней создается электри-
ческий заряд. Видимое изображение можно получить, посыпая такую
бумагу порошком; затем при нагревании инфракрасными лучами поро-
шок плавится, фиксируя изображение. Удается получить растровое изо-
бражение с полутенями. Разрешение — до 16 линий на 1 мм. Имеется
модель плотины, на которой посредством вибродатчиков изучается воз-
действие сейсмических колебаний.
325
Анализатор импульсов накапливает в памяти на ферритовых сер-
дечниках большое количество импульсов, распределяя их по амплиту-
де. В макете анализатора — 200 каналов по 60 тыс. импульсов в каж-
дом. Скорость счета до 100 тыс. импульсов в секунду. Для ее увеличе
ния используют несколько параллельно работающих анализаторов.
Этот прибор предполагают применить для ядерных исследований.
Кафедры электроники и электротехники инженерного факультета
ведут предварительные исследования по созданию радиолокатора с ко-
дированными импульсами: устройство для сосредоточения информации
от 256 источников в один канал с пропускной способностью примерно
1500 в секунду (для сбора информации о железнодорожных билетах,
от гостиниц и т. п.).
Имеется макет 24-канальной телефонной аппаратуры с импульсно-
кодовой модуляцией. В ней каждая группа имеет по восемь импульсов
(один синхронизирующий и семь рабочих). Аппаратура предназначает-
ся для работы по кабелю с полосой 1,2 мггц с целью упрощения ретран-
сляционной аппаратуры.
Имеются макеты системы для передачи сигналов по телефонным
каналам многозначным кодом (вместо двухзначного) для повышения
помехоустойчивости. Предполагается использовать посылки косинусои-
дальной и синусоидальной основной частоты, то же с противоположной
фазой, а также посылки с двойной частотой.
Представляет интерес кардиограф с электромеханическими датчи-
ками, реагирующими на изменение давления в артериях, к которым они
приставлены. Прибор передает функцию изменения давления по време-
ни с точностью до постоянного множителя.
В лаборатории кафедры электроники ведут исследования по при-
менению полупроводниковых приборов для медицины. В этой лаборато-
рии имеются фабричные полупроводниковые лазеры из арсенида галлия,
изготовляемые фирмами «Тосиба» и «Ниппон».
В состав Института ядерных исследований входят отделы: ядер-
ной физики низких энергий (ядерные реакции, ядерная спектроскопия,
разделение изотопов), физики высоких энергий (до 750 Мэв) (пи-мезон-
ные процессы, Комптона эффект на протоне); космических лучей (ши-
рокие атмосферные ливни, ливни, обусловленные мю-мезонами); косми-
ческих лучей (исследование с помощью баллонов); теоретический от-
дел; химическая лаборатория (радиохимические исследования, радиоак-
тивационный анализ).
В институте имеется электронный синхротрон на один Бэе, а также
циклотрон. Готовит инженеров по ядерной физике и применению изо-
топов.
Институт химической технологии. Здесь в лаборатории профессора
Ивакура наиболее интересными являются работы по получению поли-
циклических полимеров с сопряженными двойными связями, раствори-
мых и с большими молекулярными весами. Типичным примером слу-
жит реакция двуосновных кислот с продуктами замещения бензидина.
Такие реакции осуществляются на полифосфорных кислотах при тем-
пературе 140° в течение двух-трех часов. Получается окрашенный про-
дукт, растворимый в серной кислоте или диметилформамиде с удель
ной вязкостью 1,5—2.
Большой интерес представляют продукты взаимодействия изофта-
ловой кислоты с гидразином. Реакция осуществляется в серной кисло-
те. Продукт растворим только серной кислотой. Но при осуществлении
в тех же условиях реакции с диметиловым эфиром изофталовой кисло-
ты получается продукт, растворимый уже в диметилсульфоксиде и лег-
326
ко образующий прозрачные пленки, при нагревании переходящие в полу-
проводящие. При реакции с эфиром получается продукт иного строения,
с линейной цепью.
Институт прикладной микробиологии широко изучает вопросы улуч-
шения антибиотиков, биохимии и физиологии микроорганизмов — про-
дуцентов органических кислот и аминокислот, обмена веществ микро-
организма, бактериального фотосинтеза и многие другие проблемы, не-
посредственно связанные с биохимией и физиологией микроорганизмов.
За последние годы здесь получено 20 новых антибиотиков, изуча-
ется их химическая природа, способы очистки и идентификации. По-
казано, что хлоримицин ингибирует синтез ДНК и одновременно задер-
живает рост экспериментальных опухолей. Однако этот антибиотик об-
тадает некоторой токсичностью, что является препятствием для его
клинического использования.
Заслуживает внимания другой результат научных исследований ин-
ститута. Так, при гетеротрофном выращивании хлореллы (в среде, со-
держащей 0,1% мочевины и 1% глюкозы) в присутствии других мине-
ральных составных элементов культура хлореллы теряет пигменты, рост
значительно усиливается по сравнению с зелеными клетками. Однако
содержание белков ниже, чем при автотрофном культивировании. Хло-
ропласты при гетеротрофном культивировании деформируются, исче-
зают ламелы и возникают две-три крупные вакуоли.
Институт агрономических исследований имеет отделы физики, ста-
тистики, почвоведения, удобрений, патологии, энтомологии, физиологии,
генетики, организации хозяйства, землепользования; кроме того, он рас-
полагает изотопной лабораторией со многими экспериментальными стан-
циями, расположенными в различных районах страны, и генетической
лабораторией. В последней при помощи хемо- и рентгеномутаций (рент-
геновское и гамма-излучение Со60) получены сорта риса, которые дают
урожай на 7% выше, чем обычные сорта. При среднем урожае риса
40 центнеров с гектара обеспечивается его неполегаемость и устойчивая
солома, что весьма важно для страны, где тайфуны наносят большой
вред посевам.
В институте проводятся исследования по важнейшим проблемам
развития сельского хозяйства. При агрономическом факультете име-
ется лаборатория агрономической химии, в которой изучаются образо-
вания каталитически активных белков микроорганизмов, выращенных
на углеводородах нефти.
Университет Киото. Здесь обучается 10 тыс. студентов (в том числе
2 тыс. аспирантов). В университете работают 1,5 тыс. преподавателей,
среди них 440 профессоров. В 1959 г. обучалось 6550 студентов; про-
фессорско-преподавательский состав насчитывал 1440 человек.
Университет имеет восемь факультетов: юридический, литературный,
экономический, медицинский, точных и естественных наук, сельскохо-
зяйственный, инженерный, педагогический. В состав университета вхо-
дит ряд институтов, проводящих научно-исследовательскую работу.
Наиболее важные из них следующие:
Институт вирусологии. Исследования в нем осуществляются сов-
местно с сотрудниками Института фундаментальной физики. Основная
тематика — различные формы нуклеиновых кислот, их структура и био-
логическая роль. В частности, используя культуру тканей, сотрудники
этого института ставят перед собой задачу выяснить возможность раз-
множения РНК бактериофага в клетках человека.
Научно-исследовательский институт питания. Основное внимание со-
средоточено на исследовании пищевых белков, белкового синтеза в ра-
32/
стениях, изолирования протеолитических ферментов, в частности катеп-
сина из дрожжей и кристаллической пероксидазы из японской редиски,
образования аминокислот и органических кислот в растениях в процес-
се фотосинтеза, генезиса и биологической роли фолиевой кислоты в
растениях. В институте получены экспериментальные данные о способ-
ности рыб различных пород синтезировать аскорбиновую кислоту в ощу-
тимых количествах.
Биохимическая лаборатория сельскохозяйственного факультета.
Здесь под руководством проф. Онодара изучают вопросы ингибирования
размножения вирусов в шелкопряде, а также химию и биохимию муко-
полисахаридов.
В лаборатории биохимии факультета наук Киотоского университе-
та под руководствохм проф. Ашида широким фронтом проводятся ис-
следования приспособления дрожжевых организмов к различным внеш-
ним условиям, в частности устойчивости дрожжей к меди, реакции анаэ-
робных дрожжей к созданию аэробиоза.
Другая группа исследований лаборатории охватывает изучение
действия ауксинов и гиббереллинов, их взаимоотношений с рибонуклеи-
новыми кислотами.
В отделении физической химии хорошо представлены работы по ме-
ханическим свойствам полимеров. Интересен метод исследования ре-
лаксационных процессов в расплавах и растворах путем наложения
вибраций на стационарные процессы течения с осциллографическим
наблюдением искажения синусоидальных или П-образных вибраций.
В отделении синтетической химии трудится большая группа ученых.
Основные работы — исследования по полимеризации циклических сое-
динений и альдегидов и кетонов.
При университете имеется инженерный 'исследовательский отдел
и при нем — отдельные лаборатории. В лабораториях ведутся, в част-
ности, работы по полупроводникам и сегнетоэлектрикам, получению
эпитаксиальных слоев на германии и слоев окиси кадмия на стекле,
сложных полупроводников (сурмянистый кадмий), изучению материа-
лов для полупроводниковых холодильников и сегнетоэлектрических ма-
териалов (на основе титанатов бария, циркония и свинца) для генера-
торов ультразвука.
В отделении электротехники разработана фонетическая пишущая
машинка, которая японские слова печатает под диктовку в виде текста
по слоговой японской избуке «кана». При испытании примерно на
25 знаков было всего лишь два ошибочных.
Предполагают, что применение такого устройства позволит в 10—15
раз сократить полосу телефонного канала. Это устройство имеет вид
лабораторного макета, смонтированного на стойках высотой около 2 м и
общей шириной около 8 м. Принципы работы машины изложены, в част-
ности, в материалах конгресса Международной федерации по переда-
че информации в 1962 г.
Университет Осака. В 1959 г. здесь обучалось около 2,2 тыс. студен-
тов. Профессорско-преподавательский состав насчитывает около 1150 че-
ловек. Имеются факультеты: медицинский, инженерный, точных и ес-
тественных наук, юридический, экономический, филологический, стома-
тологический, фармакологический. Университет располагает специаль-
ными лабораториями для научно-исследовательских работ
Лаборатория низких температур при факультете точных и естест-
венных наук, созданная в 1960 г., имеет установку для получения жид-
кого гелия, несколько электромагнитов на 15 тыс. и 20 тыс. эрстед, а
также сверхпроводниковый магний на 60 тыс эрстед (проволоку для
328
него получают от фирмы «Вестингауз» — США). В лаборатории ведут-
ся исследования электрофизических свойств твердых тел при низких
температурах и высоких давлениях, исследования парамагнитного ре-
зонанса. Начато изучение сверхпроводников для сильных магнитных
полей.
Лаборатория полимеров проводит работы главным образом в об-
ласти использования ионных процессов для получения привитых поли-
меров и поисков новых полимеризационных процессов.
Исследование процессов поликонденсации осуществляется и на мо-
дельных и на реальных системах с рассмотрением этих процессов как
ионных. В опытных -масштабах осуществлена поликонденсация мета-
ксилола с формальдегидом. Полимер отличается высоким модулем и
теплостойкостью.
В последние годы при университете создан Институт комплексного
изучения белка. В нем объединены химики, биохимики, физиологи и фи-
зики, которые изучают различные аспекты физики, химии и биологии
белка. Институт хорошо оборудован и обслуживает исследовательские
интересы всей страны. По статуту любой ученый из государственных и
частных лабораторий может приехать для работы в институте на опре-
деленный срок.
При институте созданы два консультативных комитета—админи-
стративный и по исследовательской программе, укомплектованные пред-
ставителями различных научных учреждений страны.
В институте имеется девять отделов: органической, физической хи-
мии, белкового обмена, энзимологии, химической физики, белковой хи-
мии, физиологии, биосинтеза белка.
Отдел органической химии охватывает вопросы синтеза глютамин-
пептидов, олигопептидов, химической модификации оргинина в белках
и другие.
Отдел белкового обмена занимается изучением активного транспор-
та аминокислот через клеточные мембраны, регуляторной роли клеточ-
ных мембран, транспорта аминокислот в клетках мозга, адсорбции ами-
нокислот стенками желудка и др.
Отдел физической химии занимается исследованием конфигурации,
размера и форм белковых молекул, изучением обратимой деструкции
вторичной и третичной структур така — амилазы и роли воды в струк-
туре белка.
Отдел энзимологии изучает связи между энзиматической актив-
ностью и структурой каталитических белков, структуру така — амилазы,
влияние ионов кальция на стабильность така — амилазы, выделение и
очистку аномальных продуктов обмена раковой клетки.
Отдел химической физики работает над вопросами рентгенострук-
турного анализа белков и белковоподобных соединений,
Отдел белковой химии изучает взаимоотношения между химической
структурой биологически активных белков и их каталитической способ-
ностью.
Отдел физиологии исследует дыхательные функции внутриклеточ-
ных структур, в частности дыхательную активность микросом и свойст-
ва цитохромов микросомного происхождения.
Отдел биосинтеза белков занимается вопросами биосинтеза белко-
вых полипептидов; взаимоотношений между нуклеиновыми кислотами и
биосинтезом белков; биохимической генетики.
При отделе существует большая лаборатория, именуемая Пептид-
ным центром. В этой лаборатории в весьма широких масштабах прово-
дятся работы по синтезу пептидов различной сложности. Лаборатория
329
организована в 1962 г., но уже синтезировала несколько сот различных
соединений, в частности значительно упрощен синтез окситацина. Зада-
ча лаборатории заключается в том, чтобы обеспечить интересы других
исследовательских лабораторий, которые испытывают атакуемость фер-
ментами синтетических пептидов и возможную биологическую актив-
ность этих соединений.
Большого внимания заслуживают исследования Института энзимо-
логии, руководимого профессором Казио Окунуки.
Институт энзимологии построен и оборудован на средства японской
компании, производящей виски.
В этом институте в очень широких масштабах ведутся исследования
по изучению цитохромов различного происхождения, изучаются способы
их получения и очистки, проводится изучение кристаллической и хими-
ческой структуры цитохромов. Институт обслуживает интересы фар-
мацевтической компании Санке.
Университет Тохоку (в г. Сендеа). В 1959 г. здесь обучались более
6,3 тыс. студентов и работали 1450 преподавателей. Имеет восемь фа-
культетов: точных и естественных наук, медицинский, инженерный, юри-
дический, литературный, экономический, педагогический, сельскохозяй-
ственный. При университете имеются исследовательские институты же-
леза, стали и других металлов, электросвязи, механики высоких скоро-
стей.
Исследовательский институт железа, стали и других металлов рас-
полагает следующими секциями: физики металлов (с лабораториями
физических свойств металлов, кристаллофизики, магнитных свойств ме-
таллов, пластичности, химической физики, дифракционной кристалло-
графии, радиационной физики); химии металлов (с лабораториями ва-
куумной металлургии, поверхностной химии металлов, металлургической
химии, радиохимии металлов); криогенных исследований (с лаборато-
риями физики низких температур, магнетизма при низких температу-
рах); металлических материалов (с лабораториями стали, нежелезных
сплавов, магнитных сплавов, металлургии металлов для ядерной тех-
ники); металлургического производства (с лабораториями плавки и ли-
тейного дела, обработки металлов, аналитической химии, механики
металлургических процессов, получения материалов для ядерной тех-
ники).
Лаборатории физики и химии металлов объединяются в отделение
фундаментальных исследований, а лаборатории металлических материа-
лов и металлургического производства — в отделение индустриальных
исследований.
Лаборатории оснащены современным оборудованием, включая та-
кие приборы, машины и аппараты, как электронный микроскоп, ди-
фрактометр, микроанализатор, ультрафиолетовый спектрограф, масс-
сепаратор, мощный электромагнит и др.
Значительная часть исследований связана со строительством атом-
ных реакторов, радиоэлектроникой и поведением полимерных материа-
лов при сверхнизких температурах.
Институт механики высоких скоростей. Основное направление его
исследований связано с кавитацией лопастей насосов и турбин. Для
этой цели сооружены крупные экспериментальные гидравлические тру-
бы. Экспериментальные установки оснащены современными измеритель-
ными устройствами.
Институт электросвязи. Размещается в новом здании, построен-
ном в 1963 г. Имеет следующие подразделения: акустики, ультразвука,
акустических волноводов и фильтров, акустической электроники, сис-
330
тем связи, переработки информации, автоматического управления, излу-
чения и распространения радиоволн, СВЧ-техники, магнитной записи,
электроники твердого тела, электронной физики, материалов для элект-
росвязи, синтетических кристаллов, инфракрасных волн, вакуумных
электронных приборов, электроники со сверхвысоким вакуумом.
В институте занимаются конструированием телевизионных передат-
чиков, воспринимающих изображение в инфракрасных лучах, антенна-
ми, поверхностными явлениями в полупроводниках.
Институт издает труды на английском языке и более подробные на
японском.
Научно-исследовательская работа ведется почти во всех других уни-
верситетах страны. Приведенные примеры свидетельствуют о широком
размахе этих работ и актуальности их тематики.
За последние годы в стране создан ряд специальных научно-иссле-
довательских лабораторий и институтов, призванных решать важней-
шие проблемы современного развития науки и техники, определяющие
научно-технический прогресс страны. В качестве примера можно со-
слаться на созданную в 1955 г. Национальную лабораторию аэронавти-
ки, которая находится в подчинении Научно-технического управления
Японии. Эта лаборатория — главное исследовательское учреждение
страны в области аэронавтики.
В ее состав входят следующие отделения:
первое аэродинамическое с секциями аэродинамики неустановив-
шихся процессов, ударных волн, пограничного слоя, гиперскоростной
газодинамики, аэротермодинамики, аэродинамики разреженных газов,
аэродинамических поверхностей;
второе аэродинамическое отделение с секциями исследования аэро-
динамических характеристик, динамики полета, измерений в аэродина-
мических трубах;
самолетных конструкций с секциями аэроупругости, конструкции
самолетов, тепловой прочности, силовых нагрузок, весовых испытаний,
полетных нагрузок, самолетного оборудования;
двигателей с секциями компрессоров, турбин, решеток, горения,
теплопередачи, прочности, колебаний, подшипников, контроля двигате-
лей, исследования характеристик систем;
ракетных двигателей с секциями исследования характеристик сис-
тем, твердых и жидких ракетных топлив;
приборов и измерений с секциями автоматического контроля само-
летных приборов, вычислительных машин, обработки результатов из-
мерений, исследовательских моделей, электрических силовых систем;
летных исследований с секциями летных характеристик, управле-
ния и устойчивости, летных испытаний, полета.
Лаборатория оснащена мощными современными аэродинамически-
ми установками (дозвуковые, трансзвуковые, сверхзвуковые, гиперзву-
ковые и ударные трубы), располагает различного рода машинами для
испытания на прочность, включая устройства с подогревом исследуемых
конструкций, вибрационные стенды.
В специальных установках исследуют горение твердых ракетных
топлив в глубоком вакууме.
Создана современная, весьма совершенная установка для модели-
рования условий полета, включающая электронно-счетную машину,
экспериментальную летную площадку и подвижную кабину.
Для обработки экспериментальных данных, полученных в аэроди-
намических трубах, используют электронные машины и автоматизиро-
ванные устройства для записи кривых аэродинамических характеристик.
331
Начато широкое осуществление летных экспериментов. Для этой
цели приобретен специальный самолет
Электротехническая лаборатория Министерства внешней торговли.
Расположена в пригороде Токио. Штат— 1,2 тыс. человек.
Имеет отделы: переработки информации — счетные машины, авто-
матическое управление; .физики твердого тела с группами полупровод-
ников, низких температур; энергетики; стандартов; испытаний и градуи-
ровки; административный отдел.
В лаборатории осуществляются работы по стандартам, в том чис-
ле и высокочастотным (напряжения, токи, мощности, импеданцы, шу-
мы, аттенюации). Занимается лаборатория также стандартами в об-
ласти миллиметровых волн, вопросами радиопомех от высоковольтных
установок и линий; вопросами преобразования электроэнергии при
больших мощностях с 50 гц и наоборот (в различных частях Японии
разная частота), вопросами плазменных генераторов, вопросами воз-
буждения электромагнитных колебаний в полупроводниках.
Лаборатория электронной оптики. Расположена в пригороде Токио.
В ней работает 1,4 тыс. человек. В исследовательской группе 500 сотруд-
ников, из них 300 — с высшим образованием. Лаборатория имеет кон-
тракты на исследовательскую работу с университетами и другими орга-
низациями.
Г осу барственный институт химической промышленности. Распола-
гает большим отделом аппаратурных методов анализа, где разрабаты-
вают как методы, так и конкретную аппаратуру. Хорошо представлена
хроматография и оптика. Имеются хроматографы, работающие при тем-
пературе до 300°. Интересны комбинации хроматографии с обычным ор-
ганическим анализом. Навеску органического вещества сжигают в бом-
бе в сухом кислороде и хроматографически определяют содержание во-
ды и углекислоты в кислороде после сожжения.
В оптических методах очень эффективно применение лазеров как
источников света, в первую очередь для комбинационного рассеяния.
Ведутся работы по применению рентгенофлюоресцентного метода для
аналитических целей. В институте много внимания уделяют также раз-
работке японских стандартов; этому придается очень большое значение
для поддержания высококачественного уровня отечественной химиче-
ской промышленности.
Институт физических и химических исследований. В лаборатории
профессора Янагида осуществлен синтез оптически активного бензаль-
дегид-циангидрина путем реакции между бензальдегидом и синильной
кислотой в присутствии оптически активного полипропиленимина. Наи-
более интересно, что при синтезе в присутствии растворимого полипро-
пиленимина образуется левовращающий продукт.
Текстильный институт (г. Иокогама) занимается как методом ис-
пытания волокон, так и процессами крашения, текстильной переработ-
ки и получения искусственных волокон.
Характерно обилие методов испытания свойств элементарных во-
локон, вплоть до испытаний их на раздавливание и определения попе-
речного модуля под микроскопом.
Институт ферментных исследований находится в подчинении Управ-
ления по вопросам науки и техники. Расположен в 50 км северо-запад-
нее Токио. Имеет три отдела: микроорганизмов и продуктов, получае-
мых путем ферментации; энзимологии и физиологии; технологии и про-
мышленной ферментации.
В институте занимаются изучением возможности улучшения и ра-
ционализации технологии процессов спиртового брожения, процессов
332
амилализиса, изготовления коджи, что является важным этапом при
производстве японской саке, ферментацией мелассы, процессами дистил-
ляции спирта и идентификации -сопутствующих примесей алкоголя и
методами очистки спирта.
Широким фронтом проводится изучение безидомицетов, в частно-
сти штаммов, из которых изолирована кислота, важная как сырье для
получения поверхностно-активных веществ; изучение образования гриб-
ками натурального каучука. Обнаружен штамм, содержащий до 10%
каучука. Осуществляется изыскание новых фунгицидов — веществ, ин-
гибирующих рост плесневых грибков, а также путей использования про-
мышленных отходов и биологической очистки вредных отходов, загряз-
няющих водоемы и реки.
Большого внимания заслуживает исследование мер защиты по-
лимерных соединений от вредного действия микроорганизмов и особен-
но плесневых грибков.
Исследовательский институт бродильной промышленности при Ми-
нистерстве финансов. Расположен в предместье Токио — местечке Та-
киногава. Занимается главным образом вопросами производства, хра-
нения и улучшения технологии изготовления исходных продуктов для
получения саке. В этом же институте большое внимание обращено на
изготовление других алкогольных напитков, в частности фруктовых вин
и ликеров.
Институт биологических исследований в г. Токусава, руководителем
которого является известный ученый Хироши Тамиа, изучает биологию
хлореллы, методы ее выращивания и биохимический состав.
Лаборатория электросвязи, принадлежащая обществу «Ниппон те-
леграф энд телефон корпорейшн» (НТТ) со смешанным капиталом
(50% государственного), расположена в пригороде Токио. В штате лабо-
ратории 1,4 тыс. человек, из них 400—500 научных работников.
В состав этого учреждения входят следующие исследовательские
лаборатории: две — по сетям связи, три — по коммутаторам, телеграф-
ная, переработки информации, станционной аппаратуры, две — по кабе-
лям, внешних установок, две — радиотехнические, СВЧ, электропита-
ния, акустическая, электронных коммутирующих устройств, механиче-
ских коммутирующих устройств, компоненты цепей, электронных ламп,
полупроводниковых устройств, механическая, машинная, диэлектричес-
ких материалов, магнитных материалов, полупроводниковых материа-
лов, полимеров и три специальные секции (плазма и др.)-
В лаборатории ведутся работы по изучению распространения ра-
диоволн в тропосфере. Используется разнесенный прием по вертикали
с автоматическим фазированием при сложении. Это уменьшает время
замираний примерно в 100 раз.
Изучается тропосферная связь за горизонтом с целью использова-
ния ее для связи между островами Кгосима и Окинава.
Ведутся исследования по полупроводниковым параметрическим уси-
лителям.
Значительную научно-исследовательскую работу проводят различ-
ные фирмы. Практически все крупные японские промышленные фирмы
имеют свои хорошо оборудованные научные институты или лабора-
тории, занимающиеся исследованиями не только прикладного, но и по-
искового характера. Например, фирмы «Фудзи Дзинки» и «Фудзи цу-
синки» имеют в своем распоряжении отделы научных исследований,
в которых работает до 600 человек научного персонала, занятых разре-
шением научных проблем: создания ферромагнитных пленок, печат-
ных схем, полупроводников, электронных вычислительных машин, ра-
333
диооборудованйя, приборов промышленной автоматики и ядерной фи-
зики.
Фирма «Хитачи» имеет две лаборатории: одна из них — централь-
ная научно-исследовательская, в которой проводятся перспективные на-
учные исследования, с персоналом около тысячи человек, и вторая —
прикладных исследований, в которой работают около 900 человек
Научно-техническая лаборатория фирмы («Ивасаки цусинки» на-
считывает более 700 научных работников.
Фирма «Мацусита электрик» создала центральную научно-исследо-
вательскую лабораторию, в которой 700 сотрудников заняты фундамен-
тальными научными исследованиями, а в четырех других ее лаборато-
риях, где работают около 500 человек, ведутся научные исследования
прикладного характера, связанные главным образом с улучшением ка-
чества выпускаемых телевизоров, радиоприемников, транзисторов, дио-
дов, электронных ламп и т. д.
В трех научных лабораториях фирмы «Мицубиси» занято свыше ты-
сячи человек, которые проводят фундаментальные исследования в об-
ласти связи, автоматики, электронных вычислительных машин, полупро-
водниковой техники и т. д.
Мощную научно-исследовательскую базу имеет телеграфно-теле-
фонная фирма КДД. Научная лаборатория этой фирмы занимает ше-
стиэтажное здание площадью в 5,600 тыс. кв. м. В ее состав входит ряд
отделов, в том числе отдел перспективных научных исследований, в ко-
тором ведутся поисковые работы в области теории информации, новых
электронных и магнитных элементов, электронных вычислительных ма-
шин и др. Современное оборудование лаборатории позволяет проводить
научно-исследовательские работы на самом высоком уровне.
Лаборатория состоит из шести отделов: лазеров постоянного тока
(изучение фоточувствительности кристаллов сульфида кадмия, электри-
ческих свойств тонких слоев теллурида свинца и роста котокристаллов
сульфида кадмия); синтеза и диэлектрических свойств материалов
(изучение пьезоэлектрических керамик, магнитных свойств малых ча-
стиц, а также диэлектрические и структурные исследования сегнето-
электриков при низких температурах); полуавтоматические рентгенов-
ские исследования (прямые наблюдения несовершенств монокристаллов
при прохождении и отражении гамма-лучей, а также изучение выпаде-
ния примесей в монокристаллах германия методом дифракции электро-
нов); электромагнитные колебания в висмуте (изучение свойств вис-
мута при низких температурах, синтез сложных полупроводников, изуче-
ние туннельных диодов, диодов из сложных полупроводников, кремние-
вых p-n-диодов с отрицательным сопротивлением); исследование ма-
териалов из фосфида галлия и фосфидарсенида галлия.
Лаборатория прекрасно оборудована.
Исследовательская лаборатория крупнейшей японской фирмы «То-
сиба» имеет 14 отделов. В ней работают 1,3 тыс. человек, в том числе
80 докторов и 350 других сотрудников с высшим образованием. Основ-
ные работы ведутся по физике твердого тела.
Фармацевтическая компания «Санке» выпускает ферментные пре-
параты для использования в пище и в медицинской практике. С 1957 г.
исследовательская лаборатория компании значительно расширена, по-
строено новое здание — 600 кв. м полезной площади, оборудованное сов-
ременными биохимическими приборами; организованы виварий, боль-
шая библиотека, где имеются советские журналы. При ней работает
реферативное бюро, сотрудники которого знакомятся с поступающей
литературой на иностранных языках и готовят необходимые справки
334
В исследовательской лаборатории компании большое внимание уде-
ляют перспективным научным проблемам современной биохимии.
Исследовательская лаборатория фирмы «Киова Хакно Ногио» на-
ходится в 50 км от Токио. Фирма специализирована на производстве
биосинтетическим путем различных аминокислот, простых пептидов, ор-
ганических кислот, ферментов, антибиотиков, ростовых веществ, вита-
минов нуклеотидов 1И фосфорных производных сахаров. Препараты фир-
мы широко используются как,в исследовательских работах, так и в пи-
щевых и кормовых целях.
В научно-исследовательских биохимических лабораториях, где раз-
рабатываются вопросы ферментации и режима выращивания различ-
ных микроорганизмов как продуцентов антибиотиков, аминокислот, бел-
ковых препаратов, широко используются ферментеры фирмы «Мару-
биши».
Из структуры и организации научно-исследовательских учреждений
Японии и тематики ведущихся в них работ можно сделать вывод о вы-
соком научном потенциале страны. Однако не все направления разви-
ваются более или менее равномерно. Предпочтение отдается тем науч-
ным исследованиям, которые сулят быстрое и непосредственное приме-
нение на практике.
Проблемы физики твердого тела, в том числе физики металлов,
разрабатываются главным образом государственными научно-исследо-
вательскими институтами и университетами. Исследования по физике
твердого тела ведутся в сравнительно небольшом числе научных учреж-
дений и посвящены физике магнитных явлений, радиационной физике
твердого тела, кристаллофизике, физике металлов. На высоком уровне
ведутся исследования по радиоспектроскопии: такие методы, как элект-
ронный и ядерный магнитный резонанс, циклотронный резонанс, полу-
чили широкое развитие как в исследованиях в области физики твердо-
го тела, так и в области материалов химической технологии и т. п.
Представляют интерес исследования в области физико-химических
основ получения материалов для полупроводниковой техники, магнит-
ных и сверхпроводящих материалов.
Исследования по полупроводникам и радиоэлектронике ведутся как
в государственных институтах и университетах, так и в научно-исследо-
вательских учреждениях частных фирм. Японская наука достигла зна-
чительных успехов в области практического использования полупровод-
ников. В Японии ведутся также исследования в некоторых актуальных
направлениях электроники и радиотехники и, в частности, по квантовой
электронике.
Интенсивное развитие получили исследования в области радио-
электроники и радиотехники, связанные -с развитием радиотехнической
и радиоэлектронной промышленности.
В широких масштабах ведутся исследования в области биологии и
биохимии. В области медицины и биологии большое место занимают
исследования по радиационной биологии (действие радиации на живые
ткани) и по проблеме рака.
За последние шесть-семь лет в Японии произошли весьма сущест-
венные изменения в организации научных исследований в области био-
химии. В настоящее время по сравнению с 1957 г. не только значитель-
но расширен фронт научных исследований, но и организованы новые
лаборатории, оборудованные современными приборами, значительная
часть которых производится в самой Японии.
В каждой лаборатории имеются сверхскоростные центрифуги, ав-
томатические анализаторы аминокислот, приборы парамагнитного и
335
ядерного резонанса, саморегистрирующие спектрофотометры, приборы
для рентгеноструктурного анализа белков и других биополимеров
и т. д. По оснащению и обеспечению рабочими площадями биохимиче-
ские лаборатории частных фирм выгодно отличаются от университетских
лабораторий государственных институтов.
Японские ученые занимаются разработкой современных теоретиче-
ских проблем биохимии: синтез белка, изучение нуклеиновых кислот в
метаболизме клетки. Однако в значительно более широких масштабах
ведутся работы по проблемам технической биохимии, а также по синте-
зу пептидов, испытанию их биологической роли. Так, в институте энзи-
мологии Осака уже синтезировано несколько сот пептидов, некоторые
из которых обладают биологической активностью. Наряду с этим боль-
шое место в исследованиях занимают вопросы биохимии микроорганиз-
мов, как продуцентов для получения медицинских препаратов, пище-
вых продуктов и средств для защиты растений, в особенности риса, от
вредителей и 'болезней.
Имеются существенные достижения по производству, получению
и применению ферментных препаратов в пищевой промышленности и
медицине. В пищевых целях используется значительное количество ами-
нокислот, получаемых биосинтетическим путем.
Значительное развитие получило производство аминокислот, вита-
минов и органических кислот, получаемых биосинтетическим путем.
Большого размаха достигли исследования по химии и в первую
очередь по полимерной химии, по современной органической химии, ра-
диационной химии, по катализу и в других направлениях.
Исследования по ядерной физике и энергетике ведут государствен-
ные научно-исследовательские учреждения и научно-исследовательские
институты при университетах. С помощью США и Англии создается
экспериментальная база в области ядерной энергетики — строятся атом-
ные реакторы.
Значительные исследования ведутся в области механики, в особен-
ности в связи с работами в авиационной и ракетной технике.
В последнее время большое внимание уделяется работе над созда-
нием современных электронных вычислительных машин для различ-
ных целей, в том числе машин для обработки информации.
Общественные науки
Выше речь шла главным образом о развитии естественных и тех-
нических наук. Однако это не означает, что в Японии мало обращают
внимания на развитие общественных наук. Естественно, конечно, что в
условиях капиталистического строя правящие партии требуют от об-
щественных наук пропаганды и оправдания этого строя. Тем не менее
в стране существует ряд научных организаций, которые заслуживают
большого внимания.
Прежде всего в составе Научного совета Японии имеются отделе-
ния литературы, философии и истории, права и политики, экономики
и торговли. Они координируют развитие соответствующих отраслей япон-
ской науки.
Кроме того, имеется ряд важных общественных научных организа-
ций, к числу которых относятся Союз японских обществ литературы, фи-
лософии и истории, объединяющий свыше 20 различных научных ас-
социаций и союзов; Союз японских обществ права и политики, объеди-
няющий более 15 научных ассоциаций; Японский союз экономических
наук, объединяющий около 20 научных ассоциаций и обществ.
336
Специальный вице-президент Научного совета Японии руководит
деятельностью названных союзов.
Общество политической экономии (Кэйдзай рирон гаккай), в кото-
рое входят ученые-экономисты марксистского направления, насчитыва-
ет 800 членов. Дважды в год — весной и осенью — оно проводит научные
конференции по теоретическим проблемам политэкономии, по проб-
лемам экономики Японии, мировой экономики и экономики социализ-
ма. Членом правления общества является видный японский экономист
профессор Оути Хиосэ — член Японской академии наук.
Общество поддерживает контакт с Институтом мировой экономики
и международных отношений АН СССР.
Японское философское общество создано в 1949 г. Объединяет око-
ло 750 членов, из которых 100 — материалисты. Несмотря на численное
превосходство идеалистов, четвертую часть правления общества сос-
тавляют материалисты. Общество проводит дискуссии по философским
вопросам.
Японское общество по изучению материализма создано в 1959 г.
О характере и масштабах его деятельности можно судить по статьям
устава, которые, например, гласят:
«Данное общество представляет координационный орган, осущест-
вляющий связь между организациями по изучению материализма, на-
ходящимися в различных районах страны.
Общество ставит перед собой задачу поддерживать связь как с
отдельными учеными-материалистами, так и с организациями исследо-
вателей материализма всех стран».
Общество объединяет шесть организаций по изучению материализ-
ма, созданных в различных городах Японии — Токио, Нагоя, Осака и
других. Издает журналы «Современная философия» и «Изучение ма-
териализма».
Японское общество просвещения рабочих создано в 1952 г. Насчи-
тывает несколько сот тысяч членов. Членами^ общества являются проф-
союзы левого направления, прогрессивные ученые, профессора местных
университетов. Отделения этого общества имеются почти во всех круп-
ных городах страны. Общество ставит целью распространение среди ра-
бочих учения марксизма-ленинизма. Для этого организованы годичные
и шестимесячные школы и трехмесячные курсы, где преподаются марк-
систская философия, политэкономия, история Японии, изучаются теку-
щие события. Рабочие, окончившие эти школы .и курсы, становятся ру-
ководителями кружков политпросвещения на предприятиях.
Девиз общества: «Учеба есть борьба, борьба есть учеба».
Активными деятелями общества — лекторами, преподавателями ав-
торами учебников для рабочих, сотрудниками журналов — являются
ученые, его члены.
Общество по изучению материализма издает массовые научно-по-
пулярные журналы: «Друг просвещения», «Спутник жизни» и др.
В 1960 г. состоялся Всеяпонский съезд работников рабочего просве-
щения, в котором приняла участие делегация советских ученых во гла-
ве с академиком П. Н. Федосеевым. Съезд подвел итоги работы и рас-
смотрел предложения по дальнейшему усовершенствованию организа-
ционных форм и идейного содержания политического просвещения япон-
ских рабочих.
22 Эакав 338
АФГАНИСТАН
В Афганистане основными научными организациями являются
Академия наук (Пашто-Толына), Кабульский университет и Истори-
ческое общество.
Афганская академия наук основана в 1931 г. на базе Кабульско-
го литературного общества и Кандагарского общества пушту. В настоя-
щее время насчитывает в своем составе 12 действительных членов, 12 по-
четных членов и 2 иностранных научных члена (от Норвегии и СССР).
Академия — центр комплексного изучения литературы, языка, исто-
рии и смежных вопросов культуры афганского народа. Издает ежеме-
сячный журнал «Кабул», а также выпускает многотомные словари,
грамматику языка пушту, исследования по истории афганской литера-
туры и т. д. Афганская академия осуществляет мероприятия по пушту-
низации различных сфер общественной жизни страны. Президент ака-
демии — доктор Ульфат Гуль Пача.
Историческое общество в Кабуле основано в 1954 г. Его прези-
дент— доктор Абдул Рахим Зиаи. Общество издает ежемесячный жур-
нал «Агуапа» на персидском языке и ежеквартальный журнал «Афга-
нистан» на английском и французском языках.
В составе общества шесть действительных, семь почетных членов
и три почетных иностранных члена (от Франции, Италии и США).
Кабульский университет, так же как и Академия наук, основан в
1931 г. В настоящее время в нем имеются следующие факультеты: фило-
логический, медицинский, юридический, естественных наук, экономиче-
ский, инженерно-агрономический, внутренней экономики, теологический,
педагогический.
Из перечня факультетов видно основное направление в подготовке
кадров для удовлетворения нужд афганской экономики.
Университет издает ежеквартальные журналы по литературе, по-
литическим наукам и праву.
При университете имеются два института: образования и геогра-
фии.
ИРАН
Научные исследования в Иране проводятся в Академии наук, Те-
геранском и других университетах страны.
Академия наук — академия языка и литературы (Фархангестан) —
основана в 1935 г. Ее задачи сформулированы в уставе и предусматри-
вают очищение персидского языка от иностранных слов, выработку вза-
мен них персидских слов и терминов, составление грамматики персид-
ского языка, словаря замененных и вновь принятых слов и терминов,
сбор областных слов и терминов, а также фольклорного материала,
поощрение поэтов, писателей и ученых, создающих выдающиеся произ-
ведения, изучение вопроса о реформе письменности.
Из перечня задач академии видно, что главное направление ее ис-
следований— языковедение и литературоведение.
Фархангестан состоит из действительных членов (не более 50) и
членов-корреспондентов. Действительными членами могут быть иран-
ские подданные в возрасте не менее 35 лет.
Во главе Фархангестана стоит председатель, назначаемый шахом.
Два его заместителя и два секретаря избираются большинством голо-
сов действительных членов сроком на два года.
338
Тегеранский университет, основанный в 1935 г.,— важный научный
и культурный центр страны. Университет подчиняется высшему совету,
возглавляемому ректором. Члены совета избираются профессорами уни-
верситета сроком на два года. Ректор избирается ими же раз в три
года. Кандидатура ректора должна быть одобрена Министерством про-
свещения. После избрания ректор утверждается указом шаха.
Тегеранский университет не только самое крупное учебное заведе-
ние страны, но и значительный научный центр. При нем имеются два
общества: научных преобразований университета и публикаций пере-
водов. Большинство факультетов издает свои научные журналы.
Университет имеет факультеты: медицинский (с кафедрами ана-
томии, физиологии, нервных болезней, гистологии, химии, биологии,
фармакологии, хирургии, терапии, акушерства и гинекологии, педиат-
рии); на факультете есть отделения фармакологии и стоматологии; ему
принадлежит ряд больниц в Тегеране, а также тегеранская школа сиде-
лок и высшая акушерская школа; факультет осуществляет шефство над
медицинскими факультетами высших школ в Исфагане, Мешхеде и
Ширазе; ветеринарный факультет; сельскохозяйственный; технический
с отделениями: механики, химии, горного дела, электротехники, дорог
и строительства; факультет естественных наук; юридический; теологи-
ческий; литературный; изящных искусств; педагогический с двумя отде-
лениями: литературы и естественных наук.
Для проведения научно-исследовательских работ на техническом
факультете в 1951 —1952 гг. были организованы лаборатории органиче-
ской химии, биохимии, аналитической химии, металлургии. Однако об
уровне научных работ судить трудно, поскольку опубликованных ма-
териалов недостаточно. В 1959 г. при Тегеранском университете создан
Институт ядерной физики.
Табризский университет основан в 1947 г. по инициативе демокра-
тической общественности. Имеет следующие факультеты: медицинский,
филологический, сельскохозяйственный, фармацевтический, инженерный.
Ширазский университет имеет факультеты: медицинский (органи-
зован в 1949 г.), сельскохозяйственный (1955), литературный (1956),
естественных наук (1957).
Мешхедский университет имеет три факультета: гигиены (1940),
медицинский (1949), литературный (1955).
Исфаганский университет основан в 1958 г. Имеет три факульте-
та: медицинский, фармакологический, литературный.
Ахвазский университет имеет три факультета: нефтяной (1939),
сельскохозяйственный (1955), медицинский (1957).
ТУРЦИЯ
В Турции нет ни академии наук, ни центра, организующего и коор-
динирующего научную работу. Научная деятельность сосредоточена
главным образом в университетах, добровольных научных обществах,
музеях и библиотеках.
В настоящее время в Турции имеются следующие университеты, в
которых наряду с подготовкой кадров проводится научно-исследова-
тельская работа.
Анкарский университет, основанный в 1946 г. Имеет факультеты:
естественных наук, филологический, юридический, медицинский, вете-
ринарный, сельскохозяйственный, теологический, политических наук.
Университет издает ежегодник, в котором публикуются наиболее важ-
ные работы его сотрудников.
22*
339
Стамбульский университет, являющийся старейшим научным и
культурным центром страны. Основанный в 1453 г., он подвергался ре-
организации в 1927 и 1933 гг. Университет имеет факультеты: естествен-
ных наук, филологический, экономический, юридический, медицинский,
лесного хозяйства. При некоторых факультетах имеются -специаль-
ные школы, функционирующие как самостоятельные учебные заве-
дения
При университете работают научно-исследовательские институты,
преимущественно гуманитарного и биологического профиля: истории ту-
рецкой революции, тюркологии, педагогический, географический, биоло-
гический, онкологический, морфологии, радиологии и др.
Стамбульский технический университет основан в 1773 г. и имеет
факультеты: архитектуры, гражданского строительства, инженерно-тех-
нический, электротехнический, горного дела.
Средневосточный технический университет в г. Анкаре основан в
1956 г. с помощью специального фонда ООН. Факультеты: электротех-
нический, архитектурный, химический и административных наук. При
университете имеются школы: педагогики, сельского и лесного хозяй-
ства.
Университет Ататюрка <в Эрзруме основан в 1957 г. с факультетами
естественных наук, сельского хозяйства, литературы.
Измирский университет основан в 1955 г. Имеет факультеты сель-
ского хозяйства и медицины.
Академия изящных искусств основана в 1882 г. как высшее учеб-
ное заведение. Имеет секции рисования, скульптуры, архитектуры, прик-
ладного искусства.
В Турции сравнительно много научных обществ, существующих са-
мостоятельно или при соответствующих факультетах университетов и
занимающихся научными исследованиями. К числу наиболее значитель-
ных из них следует отнести Турецкое историческое общество в Анкаре.
Общество было основано в 1931 г. при непосредственном и актив-
ном содействии Мустафы Кемаля. Объединяет более 100 турецких ис-
ториков— профессоров и преподавателей университетов и других учеб-
ных учреждений. Почетные члены выбираются из числа видных иност-
ранных ученых-тюркологов. Руководящий орган общества, избираемый
общим собранием,— президиум во (главе с президентом. Президентом
общества является профессор Анкарского университета Гюналтай, ге-
неральным директором — Игдемир.
В соответствии с уставом общества его главная цель состоит в ис-
следовании и публикации трудов по различным вопросам историче-
ской науки. Общество имеет собственное издательство и библиотеку.
Издает печатный орган «Беллетэн», выходящий раз в квартал. Науч-
ные издания общества публикуются в 15 сериях, посвященных истории
Турции, всеобщей истории, памятникам старины и т. д.
Каждые пять лет общество созывает конгрессы, на которые приг-
лашаются видные иностранные ученые. Совместно с другими научны-
ми учреждениями (Анкарским и Стамбульским университетами, архео-
логическими музеями Анкары, Стамбула, Измира и другими) общество
ведет археологические раскопки в ряде пунктов Малой Азии. Средства
общества складываются из членских взносов, доходов от издательства
и т. д. Многие исследования советских ученых по рекомендации об-
щества переведены на турецкий язык.
Турецкое лингвистическое общество (г. Анкара) основано в 1932 г.
Объединяет около 600 ученых. Президент — профессор Т, Бангуолы, ге-
неральный секретарь — А, С. Левенд.
340
Общество издает серию трудов, а также ежемесячник «Тюрк дили»
и ежегодник «Тюрк дили араштырмалары беллетэн».
Турецкое экономическое общество (г. Анкара) основано в 1939 г.
Генеральный секретарь — доктор Мухлис Эте. Выпускает серию тру-
дов и периодический орган «Тюрк экономией» («Турецкая экономика»).
Турецкая ассоциация права (г. Анкара) основана в 1934 г. Издает
периодический орган «Ла Тюрки» («Турция») в Париже и турецкий
юридический словарь (в г. Анкаре).
Турецкое геологическое общество (г. Анкара) основано в 1946 г.
Президент — доктор Н. Пинар, генеральный секретарь — доктор С Оз-
темюр. Издает ежемесячный бюллетень.
Международное общество востоковедения (г. Стамбул) основано в
1947 г. Президент— Ф. Кеплюлю.
Турецкое биологическое общество (г. Стамбул) основано в 1949 г.
Издает ежеквартальный журнал. Задачи общества — содействовать раз-
витию биологических исследований, организовывать лекции и курсы по
биологии и естественным наукам.
Общество фольклора (г. Стамбул) основано в 1946 г. Президент —
С. Атаман.
Микробиологическое общество (г. Стамбул) основано в 1931 г.
Химическое общество (г. Стамбул) основано в 1919 г. Президент —
Н Денизтекин. Издает журнал «Химия и промышленность».
Радиологическое общество (г. Стамбул).
Медицинское общество (г. Стамбул) основано в 1856 г.
Хирургическое общество (г. Стамбул) основано в 1931 г.
В Турции имеется ряд иностранных научных институтов, главным
образом археологических: Британский археологический институт в Ан-
каре (основан в 1948 г.), Французский археологический институт в Стам-
буле (основан в 1930 г.), Немецкий археологический институт в Стамбу-
ле, Итальянские институты культуры в Анкаре и Стамбуле, Американ-
ский археологический институт в Стамбуле. Эти институты занимаются
раскопками и реставрацией памятников старины.
ОБЪЕДИНЕННАЯ АРАБСКАЯ РЕСПУБЛИКА (ОАР)
После Июльской революции 1952 г. правительство Египта, а затем
Объединенной Арабской Республики приняло ряд мер по организации
науки в стране в целях быстрейшей ликвидации последствий многове-
кового колониального гнета. В 1956 г. при президенте был создан Выс-
ший научный совет в составе представителей министерств в ранге ми-
нистров или их заместителей, исследовательских институтов, научных
обществ и отдельных крупных ученых страны.
Перед советом был поставлен вопрос об организации сети научных
учреждений и подъема уровня научно-исследовательских работ. При со-
вете создано семь комитетов — по делам научных кадров, научного
оборудования, программ научных исследований, научных публикаций,
государственных научных премий, научных обществ и по освоению Си-
найского полуострова.
В соответствии с законом 1956 г. в ОАР создан Национальный на-
учно-исследовательский центр, который призван развивать научные ис-
следования как теоретического, так и прикладного значения, особенно
в областях, связанных с прогрессом промышленности, сельского хозяй-
ства, здравоохранения и т. д.
Центр имеет отделы по отраслям наук: химических, физических,
сельскохозяйственных, медицинских и научной документации. Органи-
341
зационно ему подчинены и с ним связаны важные научно-исследова-
тельские институты и лаборатории, в частности созданный правительст-
вом Институт пустыни для проведения комплексных исследований по
ее освоению. Институт пустыни имеет отделы: водных изысканий, гео-
физический, почвенный, геологический, метеорологический. Проводимые
им исследования по освоению северо-западной части пустыни, «второй
долины Нила» и Синайского полуострова имеют важнейшее хозяйст-
венное значение.
Национальный научно-исследовательский центр располагает хоро-
шо оборудованными лабораториями, к числу которых относятся лабора-
тории физики твердого тела, минерального сырья, химического синте-
за, лекарственных веществ, синтеза стероидов, производства бумаги,
производства текстиля, керамики, хлопка, растительного сырья, молоч-
ной промышленности, биохимии, очистки сточных вод, химии микробов
и сельскохозяйственной микробиологии. Проводимые в них исследова-
ния носят преимущественно прикладной характер и неразрывно связа-
ны с запросами экономики. Лаборатории оказывают большую помощь
медицине, промышленности и сельскому хозяйству.
По свидетельству советских ученых научный уровень ведущихся
здесь работ довольно высок и носит вполне современный характер.
В течение 1961 —1963 гг. в ОАР проведена реорганизация науки.
Помимо Высшего научного совета весьма важная роль в области коор-
динации научно-исследовательских работ возложена на Министерство
просвещения и научных исследований, возглавляемое Салах эд-Дин Хи-
даятом. При -министерстве созданы комитеты и новые центры по отрас-
лям науки, а именно: высший комитет по исследованию космоса,
национальный центр по физическим исследованиям, комитет по сель-
скохозяйственным исследованиям, центр по исследованию металла, ко-
митет по исследованию полезных ископаемых и водных ресурсов, ко-
митет по социальным и культурным вопросам и др.
В ноябре 1963 г. министр просвещения и научных исследований
издал декрет об образовании Академии наук Объединенной Арабской
Республики в составе трех отделений: физико-математического, биоло-
гического и общественных наук.
Институт египтологии, основанный в 1959 г. и занимавшийся изуче-
нием литературы, вопросов искусства и науки, связанных с Египтом и
соседними странами, в марте 1961 г. преобразован в Египетскую акаде-
мию. Президентом назначен А. Р. Турки.
Важнейшие исследования в стране в области атомной энергии про-
водит атомный центр в Иншассе. В Объединенной Арабской Республи-
ке осуществляются важные научные исследования. Об этом «свидетель-
ствует тематика научных работ, в которую входят такие проблемы, как
магнитогидродинамические процессы превращения тепловой энергии в
электрическую, физика плазмы и управляемые термоядерные реакции,
лазеры и мазеры, использование радиоактивных изотопов и т. д.
О высоком уровне проводимых в стране научных исследований
свидетельствует также представление на проходившую в 1963 г. Меж-
дународную конференцию ООН по науке и технике в помощь развиваю-
щимся странам свыше 50 докладов по важнейшим проблемам науки.
В стране имеется сравнительно большая сеть высших учебных за-
ведений, являющихся значительной базой подготовки научных кадров.
К числу важнейших университетов, имеющих специальные кафедры
для проведения научно-исследовательской работы, следует отнести:
Каирский университет. Основан в 1908 г. как частное учреждение
(бывший Египетский университет). С 1925 г. стал государственным
342
Имеет 11 факультетов: филологический, юридический, коммерческий,
естественных наук, медицинский, фармацевтический, стоматологиче-
ский, инженерный, агрономический, ветеринарный, «Дар-эль-улум»
(«Дом наук») с отделениями арабского языка и мусульманского права.
В университете обучаются около 40 тыс. студентов.
Руководящий орган университета — ученый совет, в состав которого
входят: ректор, проректор, деканы факультетов, директор Хартумского
отделения университета, советник из Министерства просвещения и три
члена совета, назначаемые министром просвещения сроком на два года.
Александрийский университет. Основан в 1942 г. Имеет факуль-
теты: сельскохозяйственный, филологический, коммерческий, инженер-
ный, юридический, медицинский и естественных наук.
Асьютский университет. Основан в 1957 г. Факультеты: естествен-
ных наук, инженерный, сельскохозяйственный, медицинский, фармацев-
тический.
Университет Айн Шаме. Основан в 1950 г. Имеет факультеты:
филологический, медицинский, естественных наук, инженерный, сель-
скохозяйственный, коммерческий, юридический, педагогический, жен-
ский колледж.
Университет Аль-Азхар. Основан в 970 г. и является мусульманским
университетом, представляющим разветвленную систему начальных,
средних и высших учебных заведений, общее число которых превыша-
ет 40. Имеет факультеты: теологический, исламской юриспруденции,
арабского языка, иностранных языков и инженерный (с 1962 г.), сель-
скохозяйственный и медицинский (с 1964 г.).
Важным научным и культурным центром страны является Акаде-
мия арабского языка, основанная в 1932 г. В своем составе она имеет
35 действительных членов, 15 членов, представляющих арабские стра-
ны, 80 членов-корреспондентов от арабских и других стран. Академия —
основной научный лингвистический центр ОАР. Ее деятельность осу-
ществляется в трех направлениях: создание и утверждение терминов
по различным отраслям науки; лексикографическая работа, создание
словарей (терминологических и общих толковых); научно-исследова-
тельская работа в области арабского языка.
Институт арабских рукописей Лиги арабских стран. Основан в
1946 г. Собирает микрофильмы арабских рукописей из различных руко-
писехранилищ мира, составляет каталоги, издает тексты.
Египетский институт пустынь, основанный в 1960 г., проводит иссле-
дования в следующих областях: сельское хозяйство и садоводство, поч-
вы, гидрология, геофизика, климат, солнечная энергия, геология, эко-
логия, антропология, мелиорация, сохранение почв, разведение живот-
ных. Имеет несколько лабораторий, опытные станции, музей, отдел кар-
тирования. Два раза в год выпускает «Бюллетень» и делает специаль-
ные публикации.
Научно-исследовательский институт морских богатств (г. Хургада).
Директор — Абдель Рахман Хаули.
В организации науки в стране важная роль принадлежит научным
обществам, наиболее важные из них: Археологическое общество в
Александрии (основано в 1893 г.), Общество коптской археологии
(1932), Египетское общество международного права (1944), Египетское
общество политической экономики, статистики и законодательства
(1909), Египетское географическое общество (1875), Египетское об-
щество инженеров (1920) и др.
Для дальнейшего развития науки важное значение имеет создание
в ОАР центра научной и технической документации, призванного обес-
343
печивать научной и технической информацией всех научно-технических
работников, профессорско-преподавательский состав, студентов универ-
ситетов, специалистов министерств и ведомств, работников образова-
ния, медицины, культурных учреждений как ОАР, так и других научных
центров стран Ближнего Востока.
СИРИЙСКАЯ АРАБСКАЯ РЕСПУБЛИКА (САР)
Основными научными центрами страны являются:
Дамасская академия. Основана в 1919 г. Президент — Амир Мо-
става эль Шихаби. В состав академии входят 16 действительных членов.
Представлены только гуманитарные науки, главным образом литерату-
ра, искусство, археология. Академия выпускает ежегодные публикации.
Дамасский университет, основанный в 1929 г., имеет следующие фа-
культеты: медицинский, естественных наук, инженерный, юридический,
педагогический, теологический, филологический.
При университете организован институт коммерческих наук.
Университет Алеппо, основанный в 1960 г , имеет только два факуль-
тета: инженерный и сельскохозяйственный.
ЛИВАН
В 1963 г. в Ливане с помощью ООН и ЮНЕСКО был создан На-
циональный совет по научным исследованиям, который является кон-
сультативным органом при правительстве. В задачу совета входят: раз-
работка для Совета министров элементов научной политики страны и
проведение работы по организации исследований в области культурно-
го, экономического и социального развития Ливана.
Ливанская академия. Основана в 1937 г. Президент — Алексис Бут-
рос. Академия представляет собой высшее учебное заведение, готовя-
щее в основном кадры специалистов в области археологии, истории, ар-
хитектуры и искусства. При академии имеются школы литературы, ар-
хитектуры, музыки, живописи, политических наук, права.
Научно-исследовательская работа проводится в университетах, ин-
ститутах и лабораториях при министерствах, важнейшими из них явля-
ются:
Ливанский университет (г. Бейрут), основанный в 1951 г. Первона-
чально здесь были открыты литературный и исторический факультеты,
затем факультеты физико-математических и естественных наук, пра-
вовых и экономических наук, факультет административно-политических
наук. При университете функционирует учительский колледж.
Американский университет (г. Бейрут), основанный в 1866 г., фак-
тически объединяет два учебных заведения — подготовительное отде-
ление— Международный колледж (начальная и средняя школа) с пре-
подаванием на английском и французском языках и собственно уни-
верситет с четырьмя факультетами:
факультет искусств и наук с отделениями арабского языка, исто-
рии, археологии, искусств, биологии, химии, коммерции, экономики, об-
разования, английского языка, литературы и языков европейских стран,
математики, философии, физики, политических наук и общественного
устройства, психологии, религии, социологии и антропологии;
медицинский с отделениями медицины, фармакологии, подготовки
медсестер, общественного здравоохранения;
инженерный;
сельскохозяйственных наук
344
При университете имеются также аспирантура, отделение общего
образования (введение в общую историю и литературу), специальное
отделение (подготовительный курс по английскому языку), обсерва-
тория.
Американский университет входит в Ассоциацию ближневосточных
колледжей в Нью-Йорке.
Университет св. Иосифа (г. Бейрут), основанный в 1881 г., имеет
следующие факультеты: теологии (на правах университета), медицины
и фармакологии. Кроме того, в состав университета входят высшая ин-
женерная школа, Институт востоковедения, обсерватория.
Основные институты и лаборатории Ливана следующие:
Индустриальный институт при Министерстве национальной эконо-
мики. Имеет лаборатории: физическую, металлургическую, керамиче-
скую, текстильную, горючих материалов, химического анализа, электро-
техническую.
Институт сельскохозяйственных исследований при Министерстве
сельского хозяйства. Имеет лаборатории и опытные станции для прове-
дения исследований в области энтомологии, почвоведения, садоводства,
сельскохозяйственного оборудования, патологии растений, селекции
семян.
Обсерваторя Ксара и метеорологический институт несут в основ-
ном метеорологическую службу и проводят сейсмические наблюдения.
Высший физико-математический научно-исследовательский центр
подчиняется культурной миссии французского посольства. Учащиеся
этого центра проходят подготовку по программе экзаменов на получе-
ние звания лиценциата физико-математических наук. Выпускникам пре-
доставляется право поступать в высшие учебные заведения Франции.
ИРАК
В Ираке имеется академия, основанная в 1940 г. В ее состав вхо-
дят действительные члены (не более 15 человек) и члены-корреспонден-
ты, а также около 300 почетных членов и членов-корреспондентов, в ос-
новном из других арабских стран. Академия проводит главным обра-
зом исследования по арабскому языку, истории арабских стран и исто’
рии Ирака.
Багдадский университет, основанный в 1958 г., объединяет следую-
щие колледжи и институты.
Сельскохозяйственный колледж. Имеет отделения: агрохимии, аг-
роботаники, полевых культур, садоводства и овощеводства, животновод-
ства, почвоведения, сельскохозяйственной техники, экономики и стати-
стики сельского хозяйства, энтомологии и зоологии.
Колледж искусств. Имеет отделения: арабского языка, географии,
археологии, экономики, английского языка, истории, курдское, филосо-
фии, политических наук, социологии.
Коммерческий колледж. Отделения: счетное, управления делами,
экономики, статистики, права.
Зубоврачебный колледж. Отделения: биологии, зубоврачебного обо-
рудования, зубопротезный, оперативное зуболечение, стоматическая хи-
рургия.
Педагогический колледж. Отделения педагогики и психологии»
арабского языка, истории, географии, иностранных языков, биологии,
физики, математики.
Инженерный колледж. Отделения: архитектурного строительства»
химической техники, гражданского строительства, электротехники, ин-
женерно-механический, нефтетехнический.
34$
Юридический институт.
Фармацевтический колледж.
Медицинский колледж.
Колледж естественных наук. Имеет отделения: ботаники, химии,
геологии, математики, микробиологии, физики, зоологии. Колледж ве-
теринарной медицины. Медицинский колледж в г. Мосуле, основанный
в 1959 г.
Высший институт физического воспитания, основанный в 1955 г.
Институт лесоводства, основанный в 1959 г.
Институт языков, основанный в 1958 г.
Институт общественного управления, основанный в 1958 г.
Топографический институт, основанный в 1958 г.
Научно-исследовательский институт аридных зон, основанный в
1961 г. Имеет шесть секций: почвы и геология, климат и окружающая
среда, исследование водных источников для нужд сельского хозяйства,
проекты освоения засушливых зон, сельскохозяйственная техника; ре-
форма засушливых земель.
Центр ядерных исследований (при Иракском комитете атомной
энергии), основанный в 1957 г. Имеет учебные курсы по применению
радиоизотопов в исследованиях.
Институт изящных искусств, основанный в 1936 г. Имеет отделения:
западной и восточной музыки, драмы, живописи, скульптуры -и керами-
ки, каллиграфии и прикладного искусства.
Значительная часть научных институтов и учебных заведений Ира-
ка еще очень молода и существует всего несколько лет.
СТРАНЫ АФРИКИ
Колониальные державы — Англия, Франция, Бельгия и другие —
оставили в наследство африканским народам, добившимся независимо-
сти, не только нищету, но и неграмотность. В большинстве стран Афри-
ки до недавнего времени не было ни научных учреждений, ни высших
учебных заведений, ни даже начальных школ.
Очень многие африканские народы вступили на путь самостоятель-
ного развития всего лишь несколько лет назад, а некоторые еще про-
должают борьбу за освобождение. Тем не менее во многих государст-
вах Африки за короткие сроки произошли глубокие преобразования не
только в политической жизни, но и в области науки. Образование ста-
новится более доступным, создаются средние и высшие учебные заве-
дения для подготовки национальных кадров, организуются собственные
центры научных исследований.
В некоторых африканских странах основаны академии наук и на-
учные общества, вокруг которых объединяются пока еще немногочис-
ленные кадры научных работников.
ГАНА
27 ноября 1959 г. была создана Национальная академия просвеще-
ния Ганы. Руководство академией возлагалось на избранный совет, со-
стоящий из председателя, секретаря, казначея и шести членов. Цель
академии— оказывать содействие изучению, расширению и распростра-
нению знаний во всех областях науки и просвещения.
К тому времени Гана уже имела два высших учебных заведения:
346
университетский колледж в Легоне -и технический в Кумаси. Кроме того,
были основаны школа права в Аккре и создан национальный исследова-
тельский совет, который должен был заниматься в основном ’исследова-
ниями прикладного характера.
Разработку более детальной программы деятельности академии ко-
митет поручил секциям.
В первый состав академии вошли двадцать государственных деяте-
лей Ганы и ряд преподавателей колледжей и школ страны.
20 января 1960 г. состоялось первое собрание членов академии.
23 января 1963 г. был подписан указ о слиянии академии и нацио-
нального исследовательского совета в Ганскую академию наук.
В соответствии с этим указом Ганская академия наук рассматрива-
ется как высшее научное учреждение страны, имеющее целью органи-
зацию и координацию всех научных исследований во всех отраслях
знаний; общее руководство учебными заведениями и научными орга-
низациями; поощрение развитию наук и просвещения в Гане.
Руководящим органом академии является ее президиум, состоящий
из 12 членов, в том числе президент, два вице-президента, председате-
ли секций академии. В академии имеются три секции: общественных,
биологических и физических наук.
В состав президиума входят два комитета: координационный, ко-
ординирующий работу секций, и научно-исследовательский, осуществля-
ющий руководство работой следующих пяти подкомитетов: по сель-
скохозяйственным и техническим наукам, по образованию, по медицин-
ским и социально-экономическим наукам.
Научно-исследовательский комитет академии выполняет работу,
связанную с текущими экономическими и социальными проблемами
страны. Он осуществляет руководство деятельностью следующих ин-
ститутов и организаций: Национального института здравоохранения и
медицинских исследований (г. Аккра); Научно-исследовательского ин-
ститута какао (г. Тафо); Научно-исследовательского строительного ин-
ститута (г. Кумаси); Научно-исследовательского института почво-
ведения (г. Кумаси); Научно-исследовательского института лесоводст-
ва (г. Кумаси); Научно-исследовательского объединения по примене-
нию радиоактивных изотопов (Легонский университет); Научно-иссле-
довательского фармацевтического объединения (университет в Кумаси),
Научно-исследовательского института энтомологии и паразитологии
(г. Ачимота); агрономической исследовательской станции (г. Кумаси);
ирригационной исследовательской станции (Легонский университет).
Исследовательский комитет Академии наук руководит также ра-
ботой секретариата по составлению Африканской энциклопедии.
Институт какао в г. Тафо организован в 1938 г. С 1962 г. принад-
лежит Академии наук Ганы. Имеет отделы физики, фитопатологии, био-
логии и агрономии. Институт в основном занимается изучением болез-
ней дерева -какао. В институте работают около двадцати научных сот-
рудников.
Научно-исследовательский строительный институт в г. Кумаси име-
ет отделы: строительной архитектуры, социологии, строительных мате-
риалов, сельского строительства, физики и физико-механических
свойств почв. В институте работают не более десяти научных сотрудни-
ков. Занимается вопросами архитектуры жилищного строительства, со-
циальными вопросами, жилищной проблемой, изучением местных строи-
тельных материалов (известняка, дерева, глины) и изготовлением
опытных строительных -изделий из этих материалов. Работает над проб-
лемами микроклимата помещений, рационального размещения отдель-
347
ных элементов жилья, воздействия осадков на жилые объекты. Органи-
зован недавно.
Научно-исследовательский институт лесоводства в г. Кумаси име-
ет четыре лаборатории: лесоводства, физиологии, грибковых заболева-
ний, энтомологии и опытные участки в семи различных пунктах стра-
ны. Штат института состоит из пяти научных работников и девяти ла-
борантов.
Научно-исследовательский институт почвоведения в г. Кумаси име-
ет пять отделений: классификации и разведки почв, химии, физики, пло-
дородия почв, удобрений и микробиологии почвы. Институт составил
подробную карту почв Ганы, географическое распределение типов, оп-
ределил их состав. Институт внес ряд предложений правительству по
освоению плодородных земель.
Научно-исследовательский институт урожая и зерновых культур
расположен близ г. Кумаси. Занимается изучением почти всех сельско-
хозяйственных культур, выращиваемых в стране (в частности, риса, ко-
фе, всех видов овощей, кукурузы и хлопка). В институте 20 старших и
15 младших научных сотрудников. Всего в нем работают около 500 чело-
век. Перед институтом стоят сложные проблемы, решение которых тре-
бует большего числа квалифицированных научных работников и со-
ответствующей технической базы.
Институт и колледж зоопаразитологии в г. Ачимота занимаются
изучением мухи цеце и насекомого «текс», вызывающего лихорадку.
В настоящее время в колледже около 800 учащихся Срок обучения
шесть-семь лет. После окончания колледжа учащиеся могут поступать
в университет с трехгодичным сроком обучения. Примерно 20% уча-
щихся получают государственную стипендию. Обучение платное.
Преподавательский состав во всех колледжах в значительной мере
укомплектован иностранцами: англичанами, канадцами, американцами.
В конце 1963 г. в рамках Академии наук Ганы создана комиссия по
атомной энергии. Планируется учреждение научно-исследовательского
ядерного института (по применению радиоактивных изотопов), нацио-
нальной организации по стандартам, научно-исследовательского инсти-
тута по лесу и лесообработке. Академия наук Ганы планирует также
участие в Международной программе «года спокойного Солнца (по раз-
делам метеорология, геомагнетизм, ионосфера). Для этого намечено соз-
дать специальную обсерваторию при Легонском университете.
Академия наук Ганы является членом следующих международных
организаций: Международного агентства по атомной энергии, Между-
народного совета научных объединений, Международного союза по гео-
дезии и геофизике, Международного научного союза по радио, Между-
народного союза по геологии, Научной организации Британского
Содружества, Сельскохозяйственного бюро Британского Содружества.
Техническую помощь Академии наук Ганы в составлении програм-
мы работ и планов научных исследований, а также в самих исследова-
ниях оказывают специалисты ряда стран.
Краткие аннотации и сообщения о научно-исследовательских рабо-
тах, проводимых в рамках Академии наук Ганы и ее институтов, пуб-
ликуются в «Ежегодном докладе» Академии наук, а также в ее перио-
дически издаваемых «Записках» и «Бюллетенях».
Институт гражданской администрации построен в 1963 г. на сред-
ства ООН и правительства Ганы. Администрация назначается из пред-
ставителей правительства Ганы и ООН. Это единственное в Гане учреж-
дение, где готовят высшие административные кадры. В институт зачи-
сляются служащие госучреждений. Срок обучения от четырех до девя-
348
ти месяцев. В институте имеется два отделения: экономическое и тех-
ническое.
Следует отметить большое положительное значение института граж-
данской администрации для подготовки национальных кадров. В его
административный совет входят как ученые, так и ответственные сот-
рудники государственного аппарата. Это позволяет наилучшим обра-
зом сочетать учебный процесс с задачами народнохозяйственного раз-
вития.
К академии наук Ганы примыкают: научная ассоциация, издает
журнал «Chana journal of Science», медицинская ассоциация, издает
журнал «Ghana medical journal», географическая ассоциация, группа
профессиональных инженеров, общество архитекторов, геологическая
ассоциация,
В стране продолжают создаваться новые научные учреждения и
высшие учебные заведения.
В г. Кумаси построено хорошо оборудованное здание университета
точных наук и технологии.
Создан геологический комитет. Поисковые работы проводили геоло-
гические партии СССР, Англии, США и других стран. В аппарате этого
комитета работает значительное число иностранцев.
В г. Кейп-Кост появился Университет для подготовки преподавате-
лей средних школ. Преподаватели этих школ — иностранцы из различ-
ных стран. Руководство осуществляют миссионеры.
25 ноября 1964 г. состоялась церемония закладки фундамента атом-
ного реактора.
Закладка фундамента первого в Западной Африке атомного реакто-
ра, сооружаемого при техническом содействии Советского Союза в
Научно-исследовательском центре, войдет в историю Ганы как знамена-
тельное событие. Уже построен жилой городок для научных сотрудни-
ков центра, выполнены многие подготовительные работы. Необходимую
подготовку, главным образом в советских институтах, прошли молодые
ганские специалисты — физики.
В редакционной статье, озаглавленной «Науку — на службу социа-
лизму», газета «Ганиэн тайме» писала: «Мы рады, что осуществляем
этот проект вместе с правительством и народом Советского Союза. Ни-
какой другой народ не продемонстрировал более конкретно применение
науки в интересах человека, и мы рады, что Советский Союз является
добровольным и достойным партнером в нашем стремлении построить
социализм, в нашей борьбе против империализма за дело мира. Мы за-
веряем советских людей, что по мере нашего продвижения на социали-
стическом пути и по мере улучшения жизни нашего народа, благодаря
развитию науки и техники дружба между нами, которой мы дорожим,
будет все более укрепляться» Ч
Ноябрь 1964 г. ознаменовался еще одним событием. В городе Ле-
гоне, близ Аккры, состоялось торжественное открытие Государственного
университета.
I «Ghanian times», 25.XI.1964.
ГВИНЕЯ
Основным научным центром в Гвинейской Республике является
Национальный институт научных исследований и документации, соз-
данный в ноябре 1958 г. сразу же после объявления независимости
страны. Базой для создания института в некоторой степени послужил
филиал покинутого иностранным персоналом Французского института
Черной Африки.
В институт входят научно-исследовательский сектор, «библиотека,
музей и архив.
Научно-исследовательский сектор имеет три отдела: физико-мате-
матический й технический, естественноисторический, гуманитарный.
Библиотека насчитывает более 12 тыс. книг. В ней собрана почти
вся основная литература по Африке. В музее выставлены весьма ин-
тересные экспонаты по -истории и этнографии гвинейского народа. В ар-
хиве хранится большое количество исторических документов, касаю-
щихся главным образом деятельности французов в Гвинее.
По решению гвинейского правительства архив института научных
исследований и документации должен стать центром всей националь-
ной документации страны.
Гвинейская Республика имеет пока небольшую базу для иссле-
дований в области естественных наук и не располагает в должной ме-
ре своими национальными кадрами научных работников. При этом серь-
езной проблемой является ликвидация неграмотности 95% населения.
Широкой базой для подготовки национальных кадров могут стать на-
учные национальные общества, местные секции которых будут рабо-
тать под руководством персонала института. В настоящее время такие
общества уже создаются.
МАЛИ
Научным центром Республики Мали яляется Институт гумани-
тарных наук, созданный на базе суданского филиала Французского ин-
ститута Черной Африки. База эта оказалась весьма слабой, поскольку
все накопленные за много десятков лет французского колониального
господства научные данные были вывезены во Францию. Сейчас в ин-
ституте работают всего семь сотрудников. Французский институт Чер-
ной Африки не был заинтересован в подготовке в Мали национальных
научных кадров. В настоящее время институт состоит из небольшого
музея краеведческого типа, библиотеки и архива. В прошлом самостоя-
тельные исследования здесь не велись.
Первый директор института гуманитарных наук Амаду Ампате Ба,
один из немногих историков Республики Мали, учился в колледже в
бывшем «французском» Судане, после чего занимался преподаватель-
ской деятельностью в г. Манти. Затем работал в Дакаре (Сенегал) во
Французском институте Черной Африки. В независимой Республи-
ке Мали одновременно занимает ответственный пост в ее Министерстве
информации.
Амаду Ампате Ба — большой знаток истории и обычаев народов
Мали, а также фольклора народов фульбе и бамбара. Опубликовал ряд
статей о фольклоре народов Мали, написал первый учебник истории
государства Мали.
Институт гуманитарных наук занят решением важной для много-
национального государства Мали проблемой создания письменности
для пяти наиболее значительных языков, а именно: бамбара, фульбе,
сонгои, маврского (хассанийся) и тамашек.
350
НИГЕРИЯ
До 1961 г. в Нигерии имелось лишь одно высшее учебное заведе-
ние— Ибаданский университет, в котором обучались 1,5 тыс. студентов.
Ибаданский университет основан в 1948 г. Имеет следующие факуль-
теты: сельскохозяйственный, гуманитарный, экономики и социальных
исследований, технический, медицинский, естественных наук. Кроме
того, при университете функционируют три института: педагогический,
дошкольного воспитания и африканских исследований.
За последние четыре года в стране открыты новые учебные заве-
дения — институты и колледжи.
В 1961 г. в г. Нсукки (Восточная Нигерия) создан важнейший в
стране Нигерийский университет. Нигерийский университет имеет пять
факультетов: гуманитарный, естественных наук, социологии, техниче-
ский и искусства. При университете открыт педагогический колледж.
Пока что подавляющее большинство преподавательско-профессорско-
го состава составляют американцы, англичане и немцы из ФРГ.
В 1962 г. организован Университет в г. Иффе. Это учебное заведе-
ние насчитывает восемь факультетов: сельскохозяйственный, гумани-
тарный, экономики, социологии, технический, юридический, медицин-
ский, естественных наук. При университете создан Научно-исследова-
тельский институт африканских исследований.
В том же 1962 г. открыт Университет имени Ахмеду Белло в г. Ка-
дуна. При нем имеются следующие факультеты: естественных и гума-
нитарных наук, юридический, сельскохозяйственный, ветеринарный.
Университет готовит кадры государственных служащих.
В 1962 г. создан также университет в Лагосе (юридический, меди-
цинский и коммерческий факультеты). Кроме того, в стране открыли
ряд институтов, в том числе технический в г. Лагосе, по подготовке ад-
министративно-хозяйственных кадров в г. Зария, педагогический
колледж в г. Лагосе.
В Нигерии создан специальный институт международных отноше-
ний. Его основная задача — способствовать пониманию международ-
ных проблем, условий и позиций иностранных государств и народов,
научному обоснованию международной политики, экономики и юрис-
пруденции. Институт занимается организацией и проведением различ-
ных конференций, лекций и дискуссий по различным проблемам. Он
призван также содействовать изучению и расследованию африканских
проблем, подготовке и публикации докладов и книг по международным
вопросам.
Таким образом, в Нигерии создается основа для подготовки не
только необходимых стране кадров специалистов всех областей эконо-
мики, но и кадров научных работников, без чего наука не может ус-
пешно развиваться.
В Нигерии, как и в других странах Африки, весьма немногочислен-
ны кадры с высшим образованием. Однако здесь имеются крупные уче-
ные специалисты, организующие подготовку специальных научных кад-
ров и ведущие научные исследования. К их числу относятся такие уче-
ные, как, например, первый ректор Ибаданского университета африка-
нец, проф. Кеннета Онвука Дике — известный историк, основатель и ди-
рекгир национального архива Нигерии. Дике — председатель ректор-
ского комитета всех пяти университетов страны — внес значительный
вклад в новые исследования истории Нигерии. В 1963 г. за эти науч-
ные исследования ему присвоено почетное звание доктора Московско-
го государственного университета им. М, В. Ломоносова.
351
КЕНИЯ, УГАНДА, ТАНЗАНИЯ
В 1963 г. ученые Кении, Уганды и Танзании создали Академию
Восточной Африки с постоянным центром в столице Кении г. Найроби.
Деятельность этой академии распространяется на все названные
страны. В каждой из них создан местный комитет, ответственный перед
исполнительным советом академии. Академия по своему составу мно-
гонациональна. Основным критерием для ее членов являются способ-
ности развивать науку.
В июне 1963 г. академия провела симпозиум в г. Кампале. На нем
было заслушано 27 докладов. Их тематика охватывала естественные
науки, социологию, экономику и другие области научных знаний. Это
была ее первая научная и организационная сессия. На ней приняли
устав и избрали президиум.
Согласно уставу, создание Восточноафриканской академии пре-
следует следующие основные цели: стимулировать развитие образова-
ния в Восточной Африке; содействовать развитию контактов и коорди-
нации научно-исследовательской работы в Восточной Африке; обеспе-
чивать форму для обмена мнениями и средства для распространения
знаний среди членов академии и общественности; поощрять подготов-
ку научных, технических и других специалистов в Восточной Африке;
изыскивать способы и средства для организации развития в других
странах.
В академии будут представлены все отрасли знаний.
Устанавливаются следующие категории членов при условии поду-
чи соответствующего заявления и последующего избрания комитетом
по приему новых членов академии: действительные члены; члены-осно-
ватели; члены-корреспонденты, члены-студенты.
Действительными членами (избираются только граждане Восточно-
африканских стран. Баллотироваться в действительные члены может
лицо, имеющее диплом об окончании университета или приравненного
к нему высшего учебного заведения или внесшее заметный и оригинала
ный вклад в науку.
Членами-основателями могут быть лица, избранные членами ака-
демии до 31 декабря 1963 г. Требования к членам-основателям, их пра-
ва и привилегии таковы же, как к действительным членам.
Членами-корреспондентами могут быть избраны остальные ученые
Восточной Африки. Члены-корреспонденты уплачивают сокращенный
ежегодный взнос. Они не могут быть назначены на исполнительные
должности национальных отделений академии или быть избраны так
называемыми пожизненными членами академии. Звание пожизненного
члена присваивается тем действительным членам или членам—основа-
телям академии, которые выполнили оригинальные исследования ис-
ключительно высокой ценности.
Гражданам Восточноафриканских государств, оказавшим выдаю-
щиеся услуги своим странам, может быть присвоено звание почетного
члена академии.
При этом в течение первых десяти лет число избранных таким
образом членов не должно превышать 20% от общего числа пожизнен’
ных членов академии.
Членами-студентами могут быть избраны лица, обучающиеся в дан-
ный момент в университетах или приравненных к ним учебных заведе-
ниях. Они пользуются правом присутствовать на сессиях и использо-
вать средства академии, предоставленные в их распоряжение. Члены-
студенты не имеют решающего голоса.
*'35?
Для руководства повседневной деятельностью академии избира-
ется исполнительный совет в составе: президента академии, вице-прези-
дентов (по одному от каждого отделения), казначея, главного ученого
секретаря и двух членов от каждого отделения.
Президент и казначей -избираются ежегодно общей сессией акаде-
мии. Предложения о кандидатах на эти должности должны быть
представлены главному ученому секретарю не позднее чем за пять не-
дель до сессии. Члены академии, которые не смогут прибыть на сессию,
могут прислать свои бюллетени по почте. Окончательные итоги выбо-
ров подводятся на общей сессии.
Одна треть членов исполнительного совета переизбирается ежегод-
но, за исключением главного ученого секретаря.
Совет несет ответственность за правильное руководство академией.
Для этого он имеет право назначать комитеты или поручать отдельным
лицам представлять доклады или выполнять специальные задания по
любым вопросам, связанным с деятельностью академии. На совет воз-
лагается ответственность за сохранность и умножение ее ресурсов. Он
имеет право назначать специального ревизора для проверки отчетности
и состояния финансов академии и представлять письменный отчет на
ее ежегодной общей сессии.
Две трети членов совета образуют кворум, а решения утверждают-
ся простым большинством голосов. Президенту академии предоставля-
ется голос, дающий перевес в тех случаях, когда голоса разделяются
поровну. Главный ученый секретарь не-имеет права голоса.
Исполнительный совет может по собственному усмотрению назна-
чать главного ученого секретаря на условиях, подлежащих согласова-
нию между ним и кандидатом на эту должность. Главный ученый сек-
ретарь является секретарем исполнительного совета и его постоянных
комитетов.
В отсутствие главного ученого секретаря его обязанность
может выполнять почетный секретарь, который избирается наряду с
остальными должностными лицами академии.
В каждой восточноафриканской стране создается отделение акаде-
мии, которое в свою очередь организует комитет отделения в составе
председателя, который одновременно избирается вице-президентом ака-
демии, секретаря, казначея и трех членов. Кандидаты на должностные
лица каждого отделения выдвигаются заблаговременно до общей сес-
сии, и их фамилии сообщаются всем членам отделения перед сессией.
Отделения разрабатывают в деталях процедуру выборов в соответствии
с местными условиями.
Комитет отделения поддерживает связь с исполнительным советом
и его членами и обеспечивает руководство деятельностью академии в
своей стране. На него возлагается сбор членских взносов и пересылка
80% собранных сумм казначею академии. Комитет созывает сессии от-
деления и проводит другие мероприятия по согласованию с исполни-
тельным советом.
Сессии академии созываются ежегодно и проводятся поочередно в
каждой стране, представленной в академии. Главный ученый секретарь
обязан по крайней мере за четыре месяца известить соответствующее
отделение о созыве сессии и разослать проект ее повестки не менее чем
за два месяца до начала сессии.
Чрезвычайная общая сессия академии может быть созвана по ре-
шению исполнительного совета или по требованию не менее 20 членов
и почетных членов в письменном заявлении, которое должно быть по-
дано главному ученому секретарю академии. Чрезвычайная сессия
23 Заказ 338	353
должна быть проведена не позднее чем через месяц со дня поступления
соответствующего заявления, причем извещение о ее созыве и проект
повестки дня должны быть разосланы членам не менее чем за две не-
дели до ее созыва.
Кворум устанавливается в одну четверть зарегистрированных по-
четных членов. Все решения принимаются 'большинством в две трети
голосов.
Вопросы, которые могут возникнуть и не предусмотрены настоя-
щим уставом, передаются на решение исполнительному совету. Любые
решения, принятые советом по этим вопросам, должны быть представ-
лены на утверждение ежегодной общей сессии.
Академия наук Восточной Африки пока что имеет в своем распо-
ряжении Восточноафриканское общество по изучению диких животных
и Восточноафриканский институт социальных и культурных исследова-
ний. Однако ее создание — знаменательное событие для научной обще-
ственности не только названных выше стран, но и для всего Африкан-
ского континента.
В настоящее время академия насчитывает 180 членов. Их большин-
ство составляют профессора и преподаватели Восточноафриканского
института.
В июне 1964 г. в г. Найроби состоялась вторая очередная годичная
сессия академии. В ее работе приняли участие ученые СССР, США,
Англии, Ганы. Если на первом симпозиуме в 1963 г. было заслушано
27, то на втором — свыше 50 докладов, посвященных вопросам зооло-
гии, геологии, географии, медицины, физики, проблемам истории, язы-
ка, литературы, этнографии и т. д. Многие из докладов, сделанных аф-
риканскими учеными, имеют прямое отношение к дальнейшему разви-
тию экономики Восточноафриканских стран.
Одна из важнейших задач академии заключается в пропаганде
научных знаний.
В странах Восточной Африки важное значение для подготовки
кадров научных исследователей имеет Университет Восточной Африки,
основанный в 1963 г. на базе трех колледжей: университетского в г. Ма-
керере (Уганда), королевского (Кения), университетского в Дар-эс-
Саламе (Танзания).
В Университете Восточной Африки обучаются 1,8 тыс. студентов,
из них в колледже Макерере — 900, королевском — 500 и колледже
Дар-эс-Салам — 400 студентов.
Университет имеет факультеты: искусств (язык, история, география,
экономика), научных знаний (физика, химия, ботаника, геология), ар-
хитектурный, ветеринарный, медицинский, юридический. Срок обучения
почти на Bicex факультетах трехлетний. Исключение составляют медицин-
ский и ветеринарный факультеты, где срок обучения пять лет.
Кроме того, в Кении научными исследованиями занимаются тех-
нические департаменты промышленных министерств. Так, например,
геологические исследования сосредоточены в горном и геологическом де-
партаментах Министерства торговли и промышленности, где работают
25 специалистов, 12 из них — геологи. Их задача — составление геологи-
ческих карт и поиски полезных ископаемых.
Организованы научные исследования на ряде факультетов Восточ-
ноафриканского университета. Так, на физическом отделении начаты па-
леомагнитные исследования, наблюдения ионосферы и др.
СЕНЕГАЛ
Центром высшего образования и научных исследований в Сене-
гале является Дакарский университет, созданный в феврале 1957 г. на
базе Французского института Черной Африки. Несмотря на явную не-
логичность такого названия, Французский институт Черной Африки сох-
раняет свое прежнее название; он входит в состав Дакарского универ-
ситета на правах одного из его факультетов.
Дакарский университет в нынешнем виде мало чем отличается
от обычного провинциального университета Франции как по статуту,
так и по программам и по характеру преподавания. Институт Черной
Африки финансируется французским правительством и выполняет за-
дания последнего. В 1960 г. он получил новое здание, выстроенное по
всем правилам новейшей строительной техники с учетом местных кли-
матических условий.
Французский институт Черной Африки был создан в 1936 г. по при-
меру аналогичных учреждений, существовавших в других французских
колониях.
Создание этого института преследовало не столько научные, сколь-
ко чисто практические цели, связанные с упрочением французского ко-
лониального господства в этих странах. Основу нового института соста-
вил Комитет исторических и научных исследований, который был соз-
дан в так называемой Французской Африке в 1917 г. с теми же коло-
ниалистскими целями. Задачей института явилось развитие научных ис-
следований и осуществление связи и координации между французскими
научными сотрудниками, работавшими в его филиалах, созданных во
многих странах и городах Африки: Сен Луи, Конакри, Бамако, Порто-
Ново, Дуала, Диафарабе (Судан), Пьямее, Вагадугу, Ломе и других.
Дакарский университет занимает специально построенный для не-
го научный городок на берегу Атлантического океана, в 7 км от г. Да-
кара, и представляет собой сочетание учебных факультетов и научно-
исследовательских отделений. В состав Дакарского университета вхо-
дит факультет права и экономических наук. Факультет имеет институт
по подготовке администраторов из африканцев и институт по подготовке
экономистов и специалистов по торговле.
Факультет наук готовит главным образом кадры научных работ-
ников по математике, физике, химии, биологии. В его состав входят:
Институт метеорологической физики; факультет литературы и гумани-
тарных наук; факультет медицины и фармакологии; Французский ин-
ститут Черной Африки, который занимается изучением главным обра-
зом Западной Африки по следующим направлениям: история, социо-
логия, экономика, этнография, языкознание, литература, искусство.
Здесь также ведутся научные исследования по физике, биологии, меди-
цине и другим областям науки.
Руководство как университетом, так и Институтом Черной Африки
осуществляется французскими специалистами.
В 1963 г. в Сенегале на средства спецфонда ООН создан Афри-
канский институт экономического развития и планирования.
АЛЖИР
Одно время в Алжире полностью прекратилась деятельность поч-
ти всех ранее существовавших научных обществ — исторического, геог-
рафического и других, Основной причиной явился отъезд из этой стра-
23*
355
ны подавляющего большинства ранее работавших здесь французских
ученых. Национальные научные кадры только начинали создаваться.
Основным центром научных исследований в Алжире является Ал-
жирский университет, особенно его факультеты философии, истории, гео-
графии, литературы и другие. Естественные и технические науки, за
исключением медицины, не занимают здесь значительного места. В на-
стоящее время этим областям знаний стали уделять больше внимания.
При университете имеются Институт исследования управления пред-
приятиями и планирования развития, а также Институт политических
наук.
В Институте исследования управления предприятиями изучаются
вопросы организации производства, сбыта продукции, рентабельности
предприятия, статистика, политическая экономия, право, социальные и
демографические проблемы.
В Институте политических наук изучают историю, географию, эко-
номику. Большинство преподавателей в этих институтах французы, так
как национальных кадров еще мало.
Большое место в научной жизни страны занимает Национальная
библиотека, в фондах которой насчитывается свыше 500 тыс томов и
много рукописей на арабском, персидском, турецком и других языках.
Национальная библиотека предназначалась ранее лишь для научной ра-
боты. После уничтожения французами исключительно богатой (свыше
600 тыс. томов) библиотеки Алжирского университета Национальная
библиотека стала обслуживать и студентов.
ТУНИС
Научными центрами Туниса являются Тунисский университет и На-
циональный институт археологии и искусств. Другие научные учрежде-
ния страны — такие, как институт Пастера (штат — десять человек),
ботаническая и агрономическая службы (штат 13 человек), Ветеринар-
ный институт, океанографическая станция и т. д., занимают в проводи-
мых научных исследованиях весьма незначительное место. Можно по-
лагать, что в дальнейшем эти научные учреждения превратятся в круп-
ные центры научной жизни страны.
Тунисский университет основан в 1900 г. Имеет следующие факуль-
теты: математических, физических и естественных наук, искусств и эти-
ческих наук, политических наук и экономики, медицины и фармакологии.
В начале 1961 г. правительство Тунисской республики создало в его
составе исследовательский центр по проблемам засушливых земель.
Национальный институт археологии и искусств создан в 1957 г.
Он руководит археологическими раскопками, осуществляет охрану ар-
хеологических памятников и надзор за музеями. Директором института
является видный тунисский ученый-историк Хасан-Хусни-Абдель-Вах-
хаб — член Арабской академии в Дамаске, Багдадской академии, по-
четный член Египетской и Испанской академии, почетный доктор ряда
университетов.
МАРОККО
Так же как Алжир и Тунис, Марокко не имеет сколько-нибудь зна-
чительной сети своих научных и учебных учреждений. Наиболее важ-
ными из них являются: Рабатский университет, основанный в 1957 г.,
с факультетами филологии и социальных наук, права, политических
наук и экономики, естественных наук; Исламский университет в Мара-
356
кеше, Мусульманский университет в Феце; Шерифский научный инсти-
тут в Рабате, основанный в 1920 г. для изучения природы страны.
При этом институте имеются биологическая станция и обсерватория.
В 1947 г. при нем же создан национальный географический комитет.
В Марокко есть также Институт геофизики и метеорологии в Ка-
сабланке, где проводятся исследования в области сейсмологии, метео-
рологии, земного магнетизма и волн, Институт Пастера в г. Танжере,
Институт Гете с отделениями в гг. Рабате и Касабланке.
Значительным научным центром является центральная библиотека
Рабата с филиалами во всех крупных городах страны.
В Марокко существует ряд научных обществ, например естествен-
ных и физических наук, экономическое, географическое, древней истории
и другие. Однако в научной жизни эти общества еще не заняли ведуще-
го положения в силу малочисленности национальных научных кадров.
* * *
Немногочисленные научно-исследовательские учреждения, создан-
ные колонизаторами в странах Африки, преследовали главным обра-
зом цели эффективной эксплуатации богатейших природных богатств
этих стран. Однако и эти исследования строго ограничивались потреб-
ностями колонизаторов. Сами исследования велись исключительно на-
учными сотрудниками колониальных держав, так или иначе связан-
ными с колониальными управлениями.
Научный персонал большинства научных учреждений современной
Африки состоит из европейских и американских ученых, которые как
ранее, так и по сей день не проявляют заметной заинтересованности
в подготовке национальных кацров научной интеллигенции.
Освободившиеся от колониального рабства народы стран Африки
не могут быстро, на другой же день, изменить существовавшее поло-
жение. Тем не менее роль африканских ученых в организации науки в
странах Африки быстро возрастает. Уже теперь многие ученые-афри-
канцы занимают ведущие посты и играют все большую роль в организа-
ции и руководстве научными исследованиями. Организация африкан-
ских университетов, академий наук, научных обществ создает условия
для подготовки научных кадров и проведения исследований по основным
областям научных знаний. Уже сейчас достигнут значительный про-
гресс в некоторых областях науки (лингвистика, метеорология, океано-
графия, почвоведение, геология, ботаника и другие). Сделаны значи-
тельные шаги в разработке подлинной истории африканских народов.
Пройдет немного времени, и ученые стран Африки внесут в со-
кровищницу мировой науки и культуры свой достойный вклад.
содержание
От редакции................................................ .	.	.	3
Б. А. Розенфельд и Л. М. Каргова, Трактат Сабита ибн Корры о составных
отношениях ...........................................................   ...	5
[Сабит ибн Корра], Книга Абу-л-Хасана Сабита ибн Корры ас-Саби о составлении
отношений (перевод с арабского Б. А. Розенфельда и Л. М. Карповой) ,	.	9
Б. А. Розенфельд и Л. М. Карпова, Примечания к трактату Сабита ибн Корры 40
С. А. Краснова, Геометрические преобразования в трудах ученых средневеково-
го Ближнего и Среднего Востока .	....	.... 42
Абу-л-Вафа ал-Бузджани, Книга о том, что необходимо ремесленнику из геомет-
рических построений (перевод с арабского С. А. Красновой) .	... 56
С. А. Краснова, Примечания к трактату Абу-л-Вафы ....	.	.131
А. И. Вюлюда|р1ак1И1Й, О математическом трактате Шридхары «Патиганита» .	. 141
Шрадха|р1а, Патиганита (перевод с санскрита О. Ф. Волковой и А. И. Воло-
дарского) .	.................................. ... 160
А. И. Володарский, Примечания к трактату Шридхары «Патиганита» .	. 182
Т. Н. Кары-Ниязов, Улугбек и Савай Джай Сингх .	.	... 247
Б. А. Розенфельд, Арабские и персидские физико-математические рукописи в биб-
лиотеках Советского Союза............................................ ...	256
С. Г. Корнеев, Организация науки в странах Азии и Африки....................290
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
В СТРАНАХ ВОСТОКА
(Сборник статей и публикаций)
Утверждено к печати
Ученым советом Института истории, естествознания и техника
Академии наук СССР
Редакторы Л. А. Александров и А. А. Кожуховская
Технический редактор Л Т. Михлина
Корректоры А. С. Киняпина и М. 3. Шафранская
«
Сдано в набор 15/11 1966 г.
Подписано к печати 8/IX 1966 г.
А 01540. Формат 70XI08V16-
Печ. л. 22,5. Усл п. л. 31,5. Уч.-изд. л. 25,52
Тираж 1300 экз. Изд. № 1536. Зак. № 338.
2-2-1
Индекс-------------- • Цена 1 р. 70 к.
260-66
Главная редакция восточной литературы
издательства «Наука»
Москва, Центр, Армянский пер., 2
3-я типография издательства «Наука»
Москва К-45, Б. Кисельный пер., 4
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ВОСТОЧНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВА «НАУКА»
ВЫХОДЯТ В СВЕТ
Корнеев С. Г. Научные связи Академии наук СССР со
странами Азии и Африки. 24 л. Цена 1 р. 64 к. в пе-
реплете.
Кинк X. А. Как строились египетские пирамиды. 5 л. Це-
на 25 коп.
Смирнова А. Г. Научно-техническая интеллигенция Индии.
10 л. Цена 60 коп.
Заказы на книги принимаются всеми магазинами книго-
торгов, потребкооперации и «Академкнига», а также по адре-
су: Москва, Б. Черкасский пер., 2/10, контора «Академкнига».
Цена 1 р. 70