математические
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
НАУКИ
В СТРАНАХ ВОСТОКА
СБОРНИК СТАТЕЙ И ПУБЛИКАЦИЙ
ВЫПУСК I (IV)
в
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
Главная редакция восточной литературы
Москва 1966
2-2-1
260-66
Ответственные редакторы
А. Т. ГРИГОРЬЯН и А. П. ЮШКЕВИЧ
ОТ РЕДАКЦИИ
Предлагаемый читателю сборник в известном смысле продолжает
серию «Из истории науки и техники в странах Востока», три выпуска
которой вышли в 1960—1963 гг. Однако он отличается тем, что тема-
тика публикуемых работ ограничивается физико-математическими нау-
ками.
Ученые стран Востока внесли в науку значительный вклад, особен-
но в периоды древности и средневековья, и оказали большое влияние
на развитие естествознания во всем мире.
Последующие столетия колониального угнетения народов Азии и
Хфрики тяжело отразились на всех сторонах жизни и надолго задер-
жали их научный прогресс.
За последние десятилетия, а в некоторых случаях буквально в по-
следние годы и даже месяцы большинство этих народов вступило на
путь самостоятельного государственного и общественного развития,
что вызывает быстрый подъем их культуры и науки.
В данный сборник включены работы, явившиеся оригинальным
вкладом средневековых ученых Азии в математические науки, а также
материалы, характеризующие современный прогресс образования и на-
учных исследований в странах Азии и Африки, и ту помощь, которую
оказывает в этом Советский Союз.
Имена авторов математических трактатов, публикуемых в русском
переводе, говорят сами за себя. Это Абу-л-Вафа и Сабит ибн Корра,
работавшие в Багдаде, а также индийский математик Шридхара.
Все переводы сопровождаются комментариями, в которых дается
историческая оценка математическим памятникам, а также разъясняется
своеобразная терминология и манера изложения авторов трактатов, что
облегчает читателю понимание материала. Значение таких публикаций
доказано всем опытом исторических исследований.
Для специалистов представит большой интерес помещенный за пуб-
ликациями аннотированный каталог арабских и персидских рукописей
по физико-математическим наукам, хранящихся в библиотеках СССР.
Каталог облегчает розыски рукописей и безусловно будет способство-
вать развитию дальнейших исследований и публикаций.
Сборник завершается статьей об организации образования и науч-
ных исследований в ряде стран Азии и Африки и о связях между со-
ответствующими учреждениями этих стран и Академией наук СССР.
А. Т. Григорьян
А. П. Юшкевич

Б. А. Розенфельд и Л. М. Карпова
ТРАКТАТ САБИТА ИБН КОРРЫ О СОСТАВНЫХ ОТНОШЕНИЯХ
Понятие составного отношения, применявшееся в «Началах» Евкли-
да, называли наряду со знаменитым V постулатом «темным пятном на
теле этой книги» (см , например, [1]). Под составным отношением Евк-
лид понимал то, что мы теперь называем произведением отношений.
Однако Евклид не применял к отношениям термин «произведение», а
пользовался понятием составного отношения, например, в предложе-
нии 23 книги VI [2, стр. 203] «Равноугольные параллелограммы имеют
друг к другу составное отношение их сторон», означающем, что отноше-
ние площадей равноугольных параллелограммов с соответствующими
сторонами а, Ь, и с, d, равное, с нашей точки зрения, отношению
ас	„ас
—. составлено из отношении — и — .
bd	b d
Общего определения составного отношения в первоначальнохм текс-
те «Начал» Евклида не было. Давалось только определение частных
случаев составного отношения — «двойного» и «тройного», т. е., с нашей
точки зрения, квадрата и куба отношения, что видно из определений 9
и 10 книги V [2, стр. 143].
Впоследствии одним из комментаторов Евклида было добавлено
определение 5 книги VI: «Говорится, что отношение составляется из от-
ношений, когда количество этих отношений, перемноженных между со-
бой, образует нечто» (2, стр. 174]. Это определение совершенно чуждо
Евклиду, который не вводил понятия «количество отношения» и приме-
нял умножение только к натуральным числам. По-видимому, оно заим-
ствовано из комментариев к «Началам» александрийского математика
VI в. Теона, жившего в эпоху, когда вычислительные методы начали
получать широкое распространение. В комментариях Теона к «Алмаге-
сту» Птолемея имеется формулировка, почти дословно совпадающая с
определением 5 книги VI Евклида: «Говорится, что отношение состав-
ляется из двух или нескольких отношений, когда количества этих отно-
шений, перемноженные между собой, образуют некоторое количество-
отношений» [3, стр 253].
Теория составных отношений была наряду с теорией параллельных
в центре внимания таких крупнейших ученых средневекового Востока,
как Омар Хайям (1048 - около ИЗО г.) и Насир ад-Дин ат-Туси
(1201 —1274 гг.). Обе эти проблемы рассматривались в трактате Хайя-
ма «Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида» [4] и в
сочинениях ат-Туси «Изложение Евклида» [5, 6] и «Трактат о полном
четырехстороннике» (7]. Внимание этих ученых к теории составных отно-
шений объясняется прежде всего ее важностью для практики тригоно-
метрических вычислений, в свою очередь необходимых для астрономии.
Поэтому ат-Туси излагает эту теорию в первой главе своего «Трактата
£
о полном четырехстороннике», посвященного плоской и сферической три-
гонометрии. Задача обоснования теории составных отношений привела
Хайяма и затем ат-Туси к расширению понятия числа до того, что мы
называем положительным действительным числом. Если теория парал-
лельных линий была предпосылкой открытия неевклидовой геометрии,
то теория составных отношений и расширение понятия о числе стали
предпосылкой создания математики переменных величин.
Значение обеих этих проблем в истории математики трудно пере-
оценить, и поэтому особенно большой интерес представляет изучение
их развития в трудах ученых, подготовивших замечательные резуль-
таты, полученные впоследствии Хайямом и ат-Туси.
Как на одного из своих предшественников в этих областях Хайям
и ат-Туси указывают на багдадского математика IX в. Абу-л-Хасана
Сабита ибн Корру ас-Саби (836—901 гг.), которому принадлежали спе-
циальные трактаты по обеим этим проблемам Говоря об обработке «На-
чал» Евклида Сабитом ибн Коррой, ат-Туси писал: «В экземпляре Са-
бита составное отношение определяется 'как такое отношение, которое
получают умножением нескольких количеств отношений друг на друга»
[5, стр. 82]. Судя по этой ссылке ат-Туси, теоновская формулировка по-
явилась в арабских текстах Евклида только после обработки Сабита
ибн Корры.
Ниже публикуется наш перевод трактата Сабита ибн Корры о со-
ставных отношениях «Книга Абу-л-Хасана Сабита ибн Корры ас-Саби
о составлении отношений» (Китаб Аби-л-Хасан Сабит ибн Корра яс-Са-
би фи та‘лиф ан-нусуб). Трактат переведен с фотокопии руко-
писи Парижской национальной библиотеки (№ 2457/15, лл. 60 об.—
75 об.), микрофильм которой был прислан г-жой И. Мейер-Шагал. Эта
рукопись была переписана в X в. в Ширазе рукой известного математи-
ка ас-Сиджизи.
Трактат Сабита ибн Корры о составных отношениях состоит из
трех глав. В первой главе дается определение составления отношений
и обратной операции — выделения отношений. Составление отношений
определяется сначала для «примыкающих» отношений, т. е. для отно-
„	А В
тении с общим членом вида — и — . Отношением, составленным из
В С
этих отношений, является Выделение отношений также определяет-
А	С	А А	„
ся для «примыкающих» отношении вида и — или - и — . При
В	В	ВС
А	С
В>С выделенным называется соответственно отношение — или — .
С	В
В общем случае для составления и выделения отношений следует рас-
сматривать два примыкающих, равных данным отношениям. Тогда от-
ношениями, составленными из данных или выделенными из данного
отношения, называются такие, которые равны полученным с помощью
составления или выделения из примыкающих отношений.
Во второй главе определяются составные отношения, являющиеся
следствием данного составного отношения, и выясняются случаи, возни-
кающие при равенстве двух или нескольких величин, входящих в со-
ставное отношение. Вначале приводятся 17 следствий из составного от-
,	А
ношения, которое, в наших обозначениях можно записать в виде— =
В
С Е
—— X— . Такими следствиями являются составные отношения,
6
которые в наших обозначениях имеют вид — — — X —, — =
А — JLv JL A -A v с Л —
' D * F ’ С F 7 D ’ Е D х F ’ Е ~ F р И Т. Д.
Здесь же вводится понятие о двух «рядах» величин. К первому из них
относятся величины A, D, F, а ко второму — В, С, Е; величины одного
ряда в составных отношениях можно заменять друг другом, и двойные от-
ношения Сабита ибн Корры могут быть получены из исходного двойного
отношения произвольной перестановкой в каждой группе. Однако Са-
бит ибн Корра рассматривает не все (3!)2=62 = 36 отношений, а по од-
ному из каждой пары взаимно обратных и дает таблицу 18 составных
отношений. Эта и аналогичная таблица для остальных 18 отношений
приведены ат-Туси [7, стр. 36].
Далее Сабит ибн Корра определяет девять случаев, получающихся
из составного отношения при равенстве одной из величин одного ряда
одной из величин другого ряда, когда остальные величины, входящие в
составное отношение, пропорциональны. Соответствующая таблица Са-
бита ибн Корры также воспроизведена ат-Туси [7, стр. 38]. Затем Сабит
ибн Корра рассматривает 18 случаев, получающихся при равенстве трех
величин, 24 случая — при одновременном равенстве двух пар величин,
15 случаев — при равенстве четырех величин, 34 случая — при одновре-
менном равенстве трех и двух величин и 10 случаев — при одновремен-
ном равенстве трех пар величин.
В третьей главе решаются задачи на составные 'отношения. Прежде
всего доказывается, что если пять величин, входящих в составное
отношение, известны, то известна и шестая величина, так как она равна
«частному от деления» «произведения» трех величин другого ряда на
две остальные величины того же ряда. Далее решаются 22 более слож-
ные задачи; например, если известны четыре из шести величин, входя-
щих в составное отношение, то известно отношение или произведение
остальных двух величин; если известны четыре из шести величин,
входящих в составное отношение, а также сумма остальных двух вели-
чин, то каждая из них известна и т. д.
Трактат Сабита ибн Корры представляет собой систематическое
руководство по теории составных отношений и главным образом по тех-
нике их вычислений. Средневековый математик, проработавший этот
трактат, полностью овладевал этой техникой и мог применять ее к раз-
личным практическим задачам.
Надо сказать, что определение составного отношения, предлагае-
мое Сабитом ибн Коррой, совершенно в духе Евклида и его определений
«двойного» и «тройного» отношений. Это определение, казалось бы,
должно было сделать излишним определение составного отношения в
стиле определения 5 книги VI «Начал» и комментариев Теона к Птоле-
мею. На самом же деле теоновское определение составного отношения,
которое, как мы видели, появилось в арабских текстах «Начал», начи-
ная с обработки Сабита ибн Корры, стало общепринятым в странах
ислама в значительной степени благодаря этому трактату.
Следует отметить, что, если Евклид излагал в книге V своих «На-
чал» теорию пропорций непрерывных величин, а в книге VII—теорию
числовых пропорций как две Совершенно изолированные теории, Сабит
ибн Корра в первой главе своего трактата о составных отношениях пи-
шет, что под словом «величина» он понимает не только непрерывную
величину, как это делалось, но и число. Один раз Сабит ибн Корра даже
заменяет слово «величина» словом «число». Но главное состоит в том,
что для соединения теории непрерывных величин с арифметикой он
7
систематически пользуется при обозначении действий с непрерывными
величинами арифметическими терминами «умножение» и «деление». Мы
уже упоминали, что Сабит ибн Корра определяет неизвестную величину,
входящую в составное отношение, как частное от деления произведения
трех из этих величин на две другие. Термины «умножение» и «деление»
«произведение» и «частное» постоянно применяются Сабитом ибн Кор-
рой для геометрических величин и в остальных задачах.
В геометрической алгебре древних греков то, что мы называем про-
изведением отрезков, называлось «прямоугольником, построенным на
этих отрезках». Это понятие перешло к математикам стран ислама
называвшим произведение отрезков А и В «плоской фигурой из А и В»
(сатх А фи В); под плоской фигурой в данном случае -понимался прямо-
угольник. Термин «произведение А на В» (тад‘иф А фи В, дарб А фи
В) и даже сокращенное выражение «А на В» (А фи В) появилось у
трех братьев Бану Муса [8, стр. 391 и 398] — учителей Сабита ибн Кор-
ры. Однако именно Сабит ибн Корра -систематически пользовался тер-
мином «произведение» (дарб) и другими терминами, заимствованными
из арифметики натуральных чисел.
Ясно, что перенесение арифметической терминологии на действия с
непрерывными величинами неизбежно должно было привести к ее
распространению и на действия с отношениями непрерывных величин
Действительно, Хайям и ат-Туси уже строят теорию составных отно-
шений на основе теоновского определения, а определение составного
отношения, предложенное Сабитом ибн Коррой, доказывают в виде тео-
ремы на основе теоновского определения [4, стр. 144—145; 7, стр 21—
22]. Именно в связи с этой теоремой они предлагают расширить поня-
тие числа до того, что мы называем положительным действительным
числом. В подготовке этого открытия Хайяма и ат-Туси существенную
роль сыграл трактат о составных отношениях Сабита ибн Корры
$ *
На полях перевода приведена пагинация по парижской рукописи
Ссылки на примечания указаны надстрочными цифрами. В квадрат-
ных скобках помещены слова, добавленные переводчиками тля болг
шей ясности изложения.
|| КНИГА АБУ-Л-ХАСАНА САБИТА ИБН КОРРЫ АС-САБИ
О СОСТАВЛЕНИИ ОТНОШЕНИЙ*
60 об.
Во имя Аллаха милостивого, милосердного.
1.	Первая глава — об отношениях, составленных друг из друга
2.	Вторая глава — об определении величин, отношения которых со-
ставлены друг из друга.
3.	Третья глава — о задачах, возникающих из составления отношений
Первая глава
[ОБ ОТНОШЕНИЯХ, СОСТАВЛЕННЫХ ДРУГ ИЗ ДРУГА]
Когда я захотел рассказать о составных отношенияхя увидел,
что будет правильнее сначала разъяснить смысл отношения, так как
отношение — это то, чем мне будет нужно пользоваться. То, что я ви-
дел из разъяснений смысла этого, было не на своем месте и бездоказа-
тельно. Я прослежу это, разъясняя смысл слов, входящих в это выраже-
ние [в определение], поскольку они нуждаются в разъяснении.
Отношение, как сказал Евклид, — это сопоставление двух однород-
ных величин друг с другом .путем измерения2. Я хочу сказать, что
сопоставление представляет собой сопоставление по частям. Я хочу
сказать, что однородные величины — это величины одного рода, так что
одна из них не может быть, например, линией, а другая—поверхностью
или одна — поверхностью, а другая — телом. Я хочу сказать по поводу
измерения, что сопоставление двух величин друг с другом путем изме-
рения— это не сопоставление их по их положению. Эти выражения
разъясняются и растолковываются следующим образом: отношение —
это сопоставление по частям двух величин друг с другом путем измере-
ния. В этом выражении я нуждаюсь в определении сопоставления по
частям, так как [если] не сделать этого в этом выражении, то не будет
и отношения. Имеются общие сопоставления, охватывающие другие ви-
ды сопоставлений, например сопоставление линии с линией по тому,
будет ли одна больше другой или меньше ее. Сопоставление двух вели-
чин одного рода друг с другом путем измерения также охватывает мно-
гочисленные сопоставления по частям, как «два раза» и «три раза» или
«половина» и «треть», и то, что образуется таким образом Что ка-
сается таких сопоставлений, как «два раза» и «три раза» или «половина»
и «треть» и подобных им, то эти отношения являются частным случаем
сопоставления по частям, не охватывающим [всех] сопоставлений по
частям. В определение, которым Евклид определил отношения, не вхо-
* Перевод с арабского Б. А. Розенфельда и Л. М. Карповой.
9
дят отношения чисел, так как он образовывал эти отношения из вели-
чин, а название «величина» у него относилось к числам3. Евклид
относил одну из двух величин к другой путем измерения, а числа не
обладали измерением. Там, где он пользовался в своих книгах этим
названием, он ограничивался этим смыслом. Однако он пользовался
также отношениями углов, чисел, движений и другого, сводя это к
числам. Мы хотим изложить здесь отношения величин таким образом,
чтобы все, относящееся ко всем величинам, выполнялось в виде при-
меров на числах. Я хочу подчеркнуть это. Поэтому величина у нас
понимается или как величина [в старом смысле слова], или как
число.
Упомянем теперь другие вещи. Величина, которая относится к дру-
гой, называется у него «предыдущей», а величина, к которой относится
другая величина, называется у него «последующей». Отношение, кото-
рое примыкает к другому отношению, такое, одна величина которого
общая с другим, т. е. у них имеются две общие величины, а именно пре
дычущая в одном из двух отношений является последующей" в другом.
61 ||В двух отношениях имеются два .предыдущих и два последующих чле-
на, и если предыдущий член одного из двух отношений совпадает с по-
следующим членом другого, то два отношения называются примыкаю-
щими друг к другу, если же они {не] таковы, как мы указали, они не
называются примыкающими.
Составление отношений — также получение отношения [некоторой]
величины к некоторой. Отношение составлено из отношений, если они
примыкают друг к другу, — это отношение друг 1к другу тех членов, ко-
торые оказываются на краях отношений с равными [членами], причем
предыдущий член/одного из этих отношений — предыдущий член полу-
ченного отношения, а последующий член второго отношения — после-
дующий [член полученного отношения].
Выделение отношения из отношения, которое было составлено из
пего и из выделенного отношения, — это получение выделенного отноше-
ния. Оно также получается при примыкании одного из двух отношений
к другому, когда отношения имеют равные члены на конце, причем .пре-
дыдущий член первого отношения — или последующий член выделенно-
го отношения, или ‘предыдущий член отношения, из которого произво-
дилось выделение.
Когда говорят об умножении величины на величину, то под этим
понимают взятие этой величины, кратной по числу величин, составляю-
щих другую величину и образующих ее меру4.
Отношение может быть составлено самое меньшее из двух отноше-
ний. Если отношение составлено из двух отношений, то тут имеется три
отношения: одно’составное и два, из которых оно составлено.
Вторая глава
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ВЕЛИЧИН, ОТНОШЕНИЯ КОТОРЫХ СОСТАВЛЕНЫ
ДРУГ ИЗ ДРУГА
Каждые три отношения — это шесть величин, или пять, или четыре,
или три. Поэтому если отношение составлено из двух отношений, в этих
отношениях — шесть величин, или пять, или четыре, или три. В случае
шести величин отношение первой из них ко второй составлено из от-
ношений третьей к четвертой и пятой к шестой. Мы находим в нем
отношения двух величин, составленные из двух отношений остальных
четырех величин еще семнадцатью способами5. Изложим эти способы.
10
I.	Первый из них: отношение первой ко второй составлено из
отношения третьей к шестой и из отношения пятой к четвертой. Пример
этого: если [имеется] шесть величин А, В, С, D, Е и Е, то отношение
первой, т. е. Л, ко второй, т. е. В, ’составлено из отношения третьей,
т. е. С, к четвертой, т. е. D, и из отношения пятой, т. е. Е, к шестой, т. е.
F. Я утверждаю, что отношение первой, т. е. А, ко второй, т. е. В, со-
ставлено из отношения третьей, т. е. С, к шестой, т. е. В, и из отношения
пятой, т. е. Е, к четвертой, т. е. D.
Доказательство этого. Сделаем D и Е промежуточными
между С и Е, тогда отношение С к F
составлено из отношения С к В, из от
ношения D к Е и из отношения Е к F.
Поэтому отношение, составленное из
отношения С к Е и из отношения Е к
D С В А
Е
F
D, составлено из отношения С к D. из отношения D к Е, из
отношения
L к Е и из отношения Е к D Но отношение, составленное из отношения
С к В, из || отношения D к Е и из отношения Е к В,—отношение С к 6/ об.
D Поэтому отношение, составленное из отношения С к Е и из отноше-
ния Е к D, равно отношению, составленному из отношения С к D и из
отношения Е к Е. Но отношение А к В было составлено из отношения
С к D и из отношения Е к Е. Поэтому отношение А к В составлено из
отношения С к Е и из отношения Е к D
И. Второй способ: отношение первой, т. е. А , к третьей, 7. е.
С, составлено из отношения второй, т. е. В, к четвертой, т. е. В, и из от-
ношения пятой, т. е. Е, к шестой, т. е. F.
Доказательство этого. Сделаем В промежуточной между
Л и С. Тогда отношение Л к С состав-
лено из отношения Л к В и из отноше-
ния В к С. Но отношение Л к В со-
ставлено из отношения С к В и из от-
ношения Е к Е. Поэтому отношение Л
F Е D С В А
к С составлено из отношения В к С и из двух отношений С к В и Е к
Е. Но отношение В к В составлено из отношения В к С и из отношения
С к В. Поэтому отношение Л к С составлено из отношения В к В и из
отношения Е к Е. Это и есть то, что мы хотели доказать.
III.	Третий способ: отношение первой, т. е. А, к третьей, т. е. С.
.акже составлено из отношения второй, т. е. В, к шестой, т. е. F, и из
отношения пятой, т. е. Е, к четвертой, т. е. D.
Доказательство этого. Мы доказали
отношение Л к С составлено из отно-
шения В к В и ив отношения Е к Е.
Поэтому если первой становится [ве- г
личина] Л; второй—С, третьей — В,
четвертой — В, пятой — Ей шестой —
во втором способе, что
В С В А
Е
F, то в силу доказанного нами в первом способе отношение Л к С со-
ставлено из отношения 6 к Е и из отношения Е к D
1\. Четвертый способ: отношение первой, т. е. А, к пятой,
т. е. Е, составлено из отношения второй, т. е. В,
из отношения третьей, т. е. С, к шестой, т. е. F.
Доказательство этого. Сделаем В
между Л и Е. Тогда отношение Л к Е
составлено из отношений Л к В, В к
В и В к Е. Но отношение Л к В со-
ставлено из отношений С к В и Е к Е.
Поэтому отношение Л к Е составлено
к четвертой, т. е. D, и
и В промежуточными
\D С В А
h
из отношений В к В, D к Е, С к D и Е к F. Но отношение С (к F] со-
ставлено из отношений С к D, D к Е и Е к F, т. е. отношение А к Е
составлено из отношения В к D и из отношения С к F.
V. Пятый способ: отношение первой, т. е. Л/ к пятой, т. е. Е
62
составлено из отношения второй, т. е В, к шестой, т. е. F, и из отноше-
ния третьей, т. е. С, к четвертой, т. е. D.
!|Д о к а з а т е л ь с т в о этого. Мы доказали в четвертом способе,
F Е D С В
что отношение А к Е составлено из от-
ношения В к D и из отношения С к F
А Поэтому если первой становится (вели-
чина] А, второй — Е, третьей — В, чет-
вертой — D, пятой — С и шестой — F,
то в силу доказанного в первом способе отношение А к Е составлено из
отношений В к F и С к D.
VI. Нарушая этот порядок, мы приведем шестой и седьмой спосо-
бы, так как в [этих] двух способах мы будем нуждаться при доказатель-
ствах того, что будет после них.
Что касается шестого [способа], то он состоит в том, что от-
ношение третьей, т. е. С, к четвертой, т. е. D, составлено из отношения
первой, т. е. А, ко второй, т. е. В, и из отношения шестой, т, е. F, к
пятой, т. е. Е.
Доказательство
G F Е D С
этого. Сделаем отношение D к G таким
же, как отношение Е к F. Тогда
отношение А к В составлено из
А отношения С к D п из отношения
D к G. Но отношение С к G так-
же составлено из отношения С к
D из отношения D к G Поэтому А относится к В, как С к G. но
отношение С к D составлено из отношения С к G и из отношения G к D
Но С относится к G, как было доказано, как А к В, a G относилась к
В, как F к Е. Поэтому отношение С к В составлено из отношения А к
В и из отношения F к Е.
Из этого следует, что для всякого отношения, составленного из двух
отношений, отношение, обратное этому отношению, составлено из двух
отношений, обратных этим двум отношениям. Мы доказали раньше, что
1 относится к В, как С к G. Поэтому, 'перевертывая6, получим, что В
относится к А, как G к С. Но отношение G к С составлено из отношения
G к В и из отношения В к С, a G относится к В, как F к Е. Поэтому
отношение В к А составлено из отношения F к Е и из отношения В к С
Это и есть то, что мы хотели доказать
VII. Седьмой способ: отношение пятой, т. е. Е, к шестой, т. с
F, составлено из отношения первой, т. е. А, ко второй, т. е. В, и из от-
ношения четвертой, т. е. D, к третьей, т. е. С.
Доказательство этого. Е относится к В, как В к G. Сдела
ем С промежуточной между В и G. Тогда отношение В к G составлено
F Е D С В
из отношения В к С и отношения С к
G. Но мы доказали раньше, что С от
А носится к G, как А к В. Поэтому отно-
шение Е к F составлено из отношения
А к В и из отношения В к С.
VIII. Вернемся теперь к нарушенному нами порядку и изложим
восьмой способ: отношение второй, т. е. В, к четвертой, т. е. D, со-
ставлено из отношения первой, т. е. А, к третьей, т. е. С, и из отношения
шестой, т. е. F, к пятой, т. е. Е.
62 об. Доказательство этого. Мы доказали во втором || способе
12
отношения
что отношение А к С составлено из отношения В к D и из
Е к F. Поэтому если первой становит-
ся [величина] А, второй — С, третьей —
В, четвертой — D, пятой — Е и ше-
стой— F, то в силу доказанного нами
в шестом способе отношение В к D
составлено из отношения А к С и из отношения F к Е.
IX.	Девятый способ: отношение второй,
т. е. D, составлено из отношения первой, т. е. А,
отношения шестой, т. е. F, к третьей, т. е. С.
Доказательство этого. Мы доказали
что отношение В к D составлено из от-
ношения Л к С и из отношения F к Е.
Поэтому если первой становится [вели-
чина] В, второй — D, третьей — Д, чет-
вертой — С, пятой — F и шестой — Е,
то в силу доказанного нами в первом способе отношение В к D состав-
лено из отношения А к Е и из отношения F к С
X.	Десятый способ: отношение второй, т. е. В, к шестой, т. е.
F, составлено из отношений первой, т. е. А, к третьей, т. е. С, и из отно-
шения четвертой, т. е. D, к пятой, т, е. Е.
Доказательство этого. Мы доказали в третьем способе, что
отношение А к С составлено из отно-
шения В к F и из отношения Е к D.
Поэтому если первой становится [вели-
чина] Д, второй — С, третьей — В, чет-
вертой — F, пятой — Е, а шестой —
D, то в силу доказанного нами о шестом способе отношение В к
ставлено из отношения Д к С и из отношения D к Е.
XI.	Одиннадцатый способ: отношение второй, т. е. В,
стой, т. е. F, составлено из отношения первой, т. е. А, к пятой, т. е, Е,
и из отношения четвертой, т. е, D, к третьей, т. е. С.
Доказательство этого. Мы доказали в десятом способе, что
отношение В к F составлено из отно-
шения А к С и из отношения D к Е.
Поэтому если первой становится (вели-
чина] В, второй — F, третьей — Д, чет-
вертой— С, пятой — D, а шестой — Е,
то в силу доказанного нами в первом способе отношение В
пено из отношения Д к Е и из отношения D к С.
XII. Двенадцатый способ: отношение третьей,
четвертой, т, е, D, составлено из отношения первой, т. е.
т. е. Е, и из отношения шестой, т. е. F, ко второй, т. е. В.
Доказательство этого. Мы доказали в шестом
отношение С к D составлено из отно-
шения А к В и из отношения F к Е.
Поэтому если первой становится [ве-
личина] С, второй — F, третьей — Д,
четвертой — В, пятой — а шестой —
Е
D
С
В
А
F
Е
Е
т. е. В,
к пятой,
четвертой,
т. е. Е, и из
К
в восьмом способе,
D
С
С
В
В
А
А
F со-
те ше-
F
Е
Е
D
D
С
С
В
А
к F состав-
т. е. С, к
А, к пятой,
способе, что
В
А
отношение С
Е, то в силу доказанного нами о первом способе II
ставлено из отношения Д к Е и из отношения F к В.
XIII. Тринадцатый способ: отношение третьей, т.
к
D со- 63
е.
С, к
шестой, т. е. F, составлено из отношения первой, т. е. А, ко второй, т. е.
В. и из отношения четвертой, т. е. D, к пятой, т. е. Е.
Доказательство этого. Отношение С к F составлено из от-
13
D С В
к В и из отношения D к Е.
ношения С к D, из отношения D к Е и
из отношения Е к F. Но отношение .4
А кВ составлено из отношения С к D и
из отношения Е к F. Поэтому отноше-
ние С к F составлено из отношения А
XIV. Четырнадцатый способ: отношение третьей, т. е. С, к
шестой, т. е. F, соаавлено из отношения первой, т, е. А, к пятой, т. е.
Е, и из отношения четвертой, т. е. D, ко второй, т. е. В.
Доказательство этого. Мы доказали в тринадцатом способе,
что отношение С к F составлено из от
ношения А к В и из отношения D к Е.
F Е b С В А Поэтому если первой становится [вели-
чина] С, второй — В, третьей— А.
четвертой — В, пятой — Ви шестой —
Е, то в силу доказанного нами в первом способе отношение С к F со-
ставлено из отношения А к Е и из отношения D к В.
XV. Пятнадцатый способ: отношение четвертой, т. е. D, к
пятой, т. е. Е, составлено из отношения второй, т. е. В, к первой, т. е. А
и из отношения третьей, т. е. С, к шестой, т. е. F.
Доказательство этого. Отношение Е к D составлено из от-
F Е D С
ношения Е к В, из отношения F к С и
из отношения С к D. Но отношение А
В А к В составлено из отношения С к D
и из отношения Е к F. Поэтому отно-
шение Е к D составлено из отношения
1 к В и из отношения F к С. Поэтому обратное этому отношению отно-
шение D к Е составлено из отношения В к А и из отношения С к В, как
63
доказано в доказательстве шестого способа.
XVI. Шестнадцатый способ: отношение четвертой, т. е. D
к пятой, т. е. Е, составлено из отношения второй, т. е. В, к шестой, т. е.
F. и из отношения третьей, т. е. С, к первой, т.е. А.
Доказательство этого. Мы доказали в пятнадцатом спосо-
D С
Е
В
бе, что отношение D к Е составлено из
отношения В к А и из отношения С к
F. Поэтому если первой становится
[величина] О, второй — Е, третьей —
В, четвертой — С и шестой — В, то в
об. силу || доказанного нами в первом способе отношение Е к В составлено
из отношения В к В и из отношения С к А.
XVII. Семнадцатый способ: отношение пятой, т. е. Е, к ше-
стой, т. е. F, составлено из отношения первой, т. е. А, к третьей, т. е. С,
и из отношения четвертой, т. е. D, ко второй, т. е. В.
Доказательство этого. Мы доказали в седьмом способе, что
Е Е D С В
то в силу доказанного нами
лено из А к С и из D к В.
отношение Е к В составлено из отно-
шения А к В и из отношения D к С
А Поэтому если первой становится [вели-
чина] Е, второй — В, третьей — А, чет-
вертой — В, пятой — D и шестой — С,
в первом способе отношение Е к В состав-
Мы доказали раньше, что если отношение первой ко второй со-
ставлено из отношения третьей к четвертой и из отношения пятой к ше-
стой, то, перевертывая это отношение, получим, что отношение второй
к первой составлено из отношения четвертой к третьей и из отношения
14
шестой к пятой. Поэтому для этих семнадцати способов, (приведенных
нами, имеются семнадцать обратных. Тем самым доказано составление
отношений при перевертывании. Доказано, что имеются только те спо-
собы [составления отношений], которые мы указали; [они] помещены в
следующей таблице. Требующий найдет в ней с легкостью, если пожела-
ет, что отношение того, что находим в первом столбце, к тому, что на-
ходится во втором столбце, составлено из отношения того, что находит-
ся в третьем столбце, к тому, что находится в четвертом столбце, и из
отношения того, что находится в пятом столбце, к тому, что находится
в шестом столбце, и что отношение того, что во втором, к тому, что в
первом, составлено из обратных остальных отношений, т. е. из отно-
шения того, что в четвертом, к тому, что в третьем, и из отношения того,
что в шестом, к тому, что в пятом. Что же касается пар величин, для
которых [в других столбцах] помещены нули, то для них нет отношений
одной к другой, которые были бы составлены из остальных величин.
Что же касается того, что помещено || в седьмом столбце, то это номер
способа с учетом отклонений для более легкого доказательства неко-
торых способов. Вот эта таблица.
Таблица составления отношений, если имеется
отношение величин
Первый [столбец]	Вто- рой	Тре- тий	Чствер-I тый	'Пятый	Ше- стой	Се тьмой
А	В	С	D	Е	F	Основной
А	В	С	F	Е	D	
А	С	В	D	Е	F	II
А	С	в	F	Е	D	III
1	D	0	0	0	О	0
А	Е	в	D	С	F	IV
А	Е	в	F	с	D	V
А		0	0	0	0	0
В	С	0	0	0	0	0
В	D	А	С	F	Е	VIII
В	D	А	Е	F	С	IX
в	Е	0	0	0	0	0
в	F	А	С	D	Е	X
в	F	А	Е	D	С	XI
с	D	А	В	F	Е	VI
с	D	А	Е	F	В	XII
с	Е	0	0	0	0	0
с	F	А	В	D	Е	хш
с	F	А	Е	D	В	XIV
D	Е	В	А	С	F	XV
D	Е	В	F	С	А	XVI
D	F	0	0	0	0	0
Е	F	А	В	D	С	VII
Е	F	А	С	D	в	XVII
15
Подразделим шесть величин на две группы, причем соберем первую,
четвертую и шестую величины в одну группу и соберем остальные, т е.
вторую, третью и пятую величины, в другую группу. Тогда отношение
каждой из величин одной из этих групп к некоторой величине другой
группы составлено из отношений оставшихся величин. Что же касается
отношений величин в одной группе, то они не составлены из отношений
оставшихся величин. Будем называть каждую из этих групп «рядом»,
причем будем называть группу, в которой находится первое число7, пер-
вым рядом, а другую группу — вторым рядом.
Первый ряд	Второй ряд
Первая	Вторая
Четвертая	Третья
Шестая	Пятая
Если три отношения, одно из 'которых составлено из двух других,
состоят из пяти величин, то одна из величин повторяется два раза, т. е.
среди шести величин имеются две равные величины.
Если две величины из шести равны, то остальные четыре величины
оказываются пропорциональными, если эти две величины из разных
рядов. Пусть, например, такие две величины из разных рядов — А и В.
Пусть отношение А к В составлено из отношений остальных величин, а
именно оно составлено из отношения С к D и из отношения Е к F, и
пусть А равна В. Тогда я утверждаю, что С относится к D, как F к Е.
Доказательство этого. Сделаем отношение D к G таким же,
как отношение Е к F. Тогда А относит-
G	ся к В, как С к G. Но А равна В, по-
этому С и G равны, поэтому их отно-
шения к D — одно и то же [отношение]
Е D С В А Но G относится к В, как F к Е. Поэто-
му С относится к О, как F к Е. Это и
есть то, что мы хотели доказать.
Отсюда же ясно, что если С относится к £>, как F к В, то А равна
В. Мы доказали в предыдущих способах как для величин, которые на-
ходятся в одном ряду, так и для величин, находящихся в двух рядах,
что если две какие-нибудь из шести величин равны, то остальные четы-
ре величины пропорциональны, и наоборот. Следующая таблица указы-
вает это: если величина, находящаяся в первом столбце, равна вели-
чине, находящейся во втором столбце, то отношение того, что находит-
ся в третьем столбце, к тому, что находится в четвертом столбце, — та-
кое же, как отношение того, что находится в пятом столбце, к тому, что
находится в шестом столбце, а если там находятся нули, то из равенства
не необходимо следует пропорция. Если же отношение того, что в третьем,
к тому, что в четвертом, — такое же, как отношение того, что в пятом,
к тому, что в шестом, то величины, которые в первом и втором [столб-
64 об. цах], равны. Что касается седьмого || столбца, то в нем находится чис-
ло, являющееся номером способа, относящегося к этому. Что же каса-
ется восьмого столбца, то в нем — номера глав, которые здесь уста-
навливаются 8.
Из того, что мы указали, люди могут легко определить другие слу-
чаи равенства двух величин.
16
Таблица необходимо вытекающего из составления отношений,
если две из шести величин равны
Равные величины		То, что необходимо вытекает из равенства двух величин				Способ, относя- щийся к этолу	Номера глав в этом столбце
Пер- вый	Вто- рой	Третий	Четвер- тый	Пятый	Шестой	Седьмой	Восьмой
А	В	С	D	F	Е	Основной	1
А	С	В	D	F	Е	II	II
А	1)	0	0	0	0	0	0
А	Е	в	D	F	с	IV	III
А	F	0	0	0	0	0	0
В	С	0	0	0	0	0	0
В	D	А	С	Е	F	VIII	IV
В	Е	0	0	0	0	0	0
В	F	А	с	Е	D	X	V
С	D	А	в	Е	F	VI	VI
С	Е	0	0	0	0	0	0
С	F	А	в	Е	D	XIII	VII
D	Е	А	в	С	F	XV	VIII
D	F	0	0	0	0	0	0
Е	Л	А	в	с	D	VII	IX
Если три отношения, одно из которых составлено из двух других,
состоят из четырех величин, то одна из шести величин повторяется три
раза или две из них повторяются два раза, т. е. из шести величин три
равны между собой или две из них равны друг другу и две другие
равны друг другу. Это необходимо подобно тому, что было необходимо
в случае пяти величин, только там было одно повторение, а здесь два.
Если одна из шести величин повторяется три раза, то три величины
из шести равны между собой, и равные величины — первая, вторая и
третья, то каждая из равных величин относится к четвертой, как ше-
стая к пятой. Пусть снова шесть величин—А, В, С, D, Е и F и три
равные из них— А, В и С. Тогда я утверждаю, что одна из них от-
носится к D, как F к Е.
Доказательство этого. Мы доказали в первой главе таб-
лицы необходимо вытекающего из со-
ставления отношений, что если две из
шести величин равны, а именно А и В
равны, то С относится к £>, как F к Е.
Но С равна каждой из [величин] А и
В. Поэтому каждая из Л, В, С относится к £>, как F к Е.
Точно так же доказывается, что при равенстве ||
указанных нами величин, поскольку из равенства двух
трех из шести
членов необхо-
65
димо следует пропорциональность четырех остальных величин, каж-
дая из трех равных величин относится к одной из величин, как одна из
F
Е D
С В А
Заказ 338
17
двух остальных к другой. Это было доказано в таблице необходимо вы-
текающего из составления отношений.
Если две величины отношения равны двум величинам, то необхо-
димо имеется равенство в пропорции остальных величин. Ясно, что то
же имеет место при равенстве трех величин. Мы поместили то, что вы-
текает из этого в таблице. Если величины, помещенные в первом
столбце, равны величинам, помещенным во втором и третьем столбцах,
то каждая из них относится к тому, что находится в четвертом, как то,
что находится в пятом, к тому, что находится в шестом, а если там на-
ходится нуль, то из равенства не вытекает пропорция. В седьмом столб-
це указана глава, относящаяся к этому, из глав таблицы для случая
шести величин, из которых две величины равны; числа, находящиеся в
седьмом столбце, находятся в восьмом столбце таблицы для случая двух
равных величин.
Таблица необходимо вытекающего из составления отношений,
если три из шести величин равны
Три равные величины			То, что необходимо вытекает из равенства трех			Номера глав, относя- щихся к этому
I	1 И	1 III	IV	1 V	1 VI	VII
А	в	с	D	F	Е	I
А	в	D	С	Е	F	IV
А	в	Е	F	D	С	III
А	в	F	Е	С	D	I
А	с	D	В	Е	F	VI
А	с	Е	F	D	В	11
А	с	F	Е	В	D	11
А	D	Е	В	С	Е	VIII
А	D	F	0	0	0	0
А	Е	Е	В	С	D	
В	С	D	А	Е	Е	IV
В	С	Е	0	0	0	0
В	С	Е	D	А	Е	V
В	D	Е	А	F	С	VIII
В	D	Е	Е	С	А	IV
В	Е	Е	D	А	С	V
С	D	Е	Е	А	В	VI
С	D	Е	Е	В	А	VII
С	Е	F	~D	А	В	VII
D	Е	F	С	В	А	VIII
Если две из шести величин равны и две другие из остальных
величин равны и первые две равные величины—первая и вторая, а
другие две равные величины — третья и четвертая, то пятая величина
равна шестой. Пусть, по примеру предыдущего, шесть величин — опять
18
А, В, C,D,Eu F, причем А равна В, а С также равна D. Тогда я
утверждаю, что Е равна F.
Доказательство этого. Мы доказали в первой главе таб-
лицы то, что необходимо следует при .
равенстве двух величин отношения; из
того, что А равна В, следует, что С F Е D С В А
относится к £>, как F к Е. Но С равна
В, поэтому Е равна F,
Точно так же доказывается, что если две из шести величин равны и
равны две такие же величины, то четыре остальные величины необхо-
димо пропорциональны и равны две из этих четырех пропорциональных
величин пли первая из них и та, к которой она относится, т. е. вторая
пли третья и четвертая, или первая и третья, или вторая и четвертая,
поэтому и две оставшиеся величины равны.
Если две первые равные величины — А и В, две другие величины —
С и Е, то D относится к каждой из величин С и Е, как каждая из них
Доказательство этого. С относится к В, || как F к Е, так 65 Об.
как А равна В. Но Е равна С. Поэтому
F относится к каждой из двух вели-
чин С и Е, как каждая из них к В.
Точно так же доказывается, что
Е D С В А
если две из шести величин равны, так
что остальные величины необходимо пропорциональны, и если равны
две из этих четырех пропорциональных величин — или первая из них
и четвертая, или вторая и третья, то каждая из двух оставшихся из
четырех величин относится к каждой из двух равных из них, как каж-
дая из двух равных к оставшейся величине.
Таким образом, мы определили, что необходимо вытекает из ра-
венства двух из шести величин и равенства еще двух величин из четы-
рех оставшихся: если две равные величины необходимо пропорцио-
нальны четырем остальным величинам, то было доказано, что иногда
необходимо, чтобы две оставшиеся из шести величин были равны, а
иногда необходимо, чтобы имела место пропорция между ними <и
между двумя равными величинами.
Если равные величины не необходимо пропорциональны остальным
четырем величинам, то двойное отношение^ одной из двух равных ве-
личин к одной из двух других равных величин — такое же, как отноше-
ние одной из двух оставшихся величин к другой.
Пусть шесть величин — опять А, В, С, D, Е и F и пусть А равна D*
а С равна В. Тогда я утверждаю, что двойное отношение каждой из А
и D к каждой из В и С такое же, как отношение Е к F.
Доказательство этого. Мы доказали
способе первой таблицы, что отноше-
ние Е к F составлено из отношения А
к В и из отношения D к С. Но D рав-
на Д, а С равна В. Поэтому отношение
Е к F — такое же, как двойное отно-
раньше в седьмом
D С В А
шение каждой из А и D к каждой из В и С.
В остальных случаях рассуждения аналогичны этим рассуждениям.
Так же обстоит дело в случаях, когда другие две из шести величин со-
ставлены из отношений остальных величин .по образцу, доказываемому
нами в этом предложении; это доказывается при помощи способов, из-
ложенных раньше. В следующей таблице мы поместим необходимо’
вытекающее из этого. Это помещено в этой таблице. Величина в ее
3*
Ю
Церзом столбце равна величине во вгоро-м столбце, а величина в треть-
ем столбце равна величине в четвертом столбце. Если величины в пя-
том и шестом столбцах равны, мы определяем это из того, что в седь-
75 мом столбце: если в этом столбце стоит слово «равны», это означает, ||
что необходимо, чтобы эти две величины были равны. Если величина в
пятом столбце относится к каждой из величин в третьем и четвертом
столбцах, как каждая из этих двух величин к величине, ‘помещенной в
шестом столбце, мы узнаем это из того, что в седьмом столбце: здесь
стоят слова «пропорциональны двум последним величинам»; это озна-
чает, что необходимо, чтобы величины в пятом и шестом столбцах были
пропорциональны величинам в третьем и четвертом столбцах. Если ве-
личины в пятом столбце относятся к каждой из величин в первом и
втором столбцах, как каждая из этих величин к величине в шестом
столбце, мы узнаем это из того, что в седьмом столбце: здесь написано
«пропорциональны двум первым величинам»; это означает, что необ-
ходимо, чтобы эти величины были пропорциональны величинам в первом
и втором столбцах. Если отношение того, что в пятом столбце, к тому,
что в шестом столбце, такое же, как двойное отношение каждой из двух
величин в первом и втором столбцах к каждой из двух величин в треть-
ем и четвертом столбцах, мы также определяем это из того, что в седь-
мом столбце: здесь написано «двойное»; это означает, что отношение
этих величин такое же, как двойное отношение равных величин к другим
равным величинам. Что касается восьмого столбца, то там указаны спо-
собы или главы, относящиеся к этому; например, в случае двойного
отношения здесь указаны соответствующие способы из первой из пред-
шествующих таблиц, а в случае равенства — главы из второй из пред-
шествующих таблиц.
Таблица необходимо вытекающего из равенства двух из шести
величин вместе с равенством двух других из четырех остальных 10
Первые две равные величины		Последние две равные величины		Две остав- шиеся величины		То, что необходимо вытекает: равенство, пропорциональность или удвоение отношения	Способы или главы, относя- щиеся к зтому
1 1	И	III 1	IV	V I	VI	VII	УШ
А	в	с	D	Е	Е	Равны	I
А	в	с	Е	D	Е	Пропорциональны двум последним	I
А	в	с	Е	D	Е	Равны	I
А	в		Е	С	Е	Равны	I
А	в	D	Е	С	Е	Пропорциональны двум последним	I
А	в	Е	Е	С	D	Равны	I
А	с	В	D	Е	Е	Равны	II
20
Первые две равные величины		Последние две равные величины		Две остав- шиеся величины		То, что необходимо вытекает: равенство, пропорциональность или удвоение отношения	Способы или главы, относя- щиеся К этому !
I |	II	in 1	1\	V 1	VI	VII	VIII
А	с	в	Е	D	F	Пропорциональны двум последним	II
А	с	в	F	D	Е	Равны	II
А	с	D	Е	В	F	Равны	II
А	с	D	F	В	Е	Пропорциональны двум последним	II
А	с	Е	F	В	D	Равны	II
А	D	В	С	Е	F	Двойное	II
А	D	В	Е	С	F	Двойное	IV
А	D	В	F	с	Е	Пропорциональны двум первым	X
А	D	С	Е	в	F	Двойное	X
А	D	С	F	в	Е	Пропорциональны двум первым	VII
А	D	Е	F	в	С	Пропорциональны двум первым	IX
А	Е	В	С	D	F	Пропорциональны двум последним	III
А	Е	В	D	F	С	Равны	III
А	Е	В	F	D	С	Равны	III
А	Е	С	D	В	F	Равны	III
А	Е	С	F	В	D	Равны	П1
А	Е	1 D	F	В	С	Пропорциональны двум последним	III
2t
66 об.	|| Первые две равные величины	Последние две равные величины	Две остав- шиеся величины	То, что необходимо вытекает: равенство, пропорциональность или удвоение отношения	Способы или главы, относя- щиеся к этому
	I 1 II	III I IV	V I VI		 VII	VIII
А	F	в	С	Е	D	Двойное	IV
А	F	В	D	С	Е	Пропорциональны (вум первым	IV
А	F	в	Е	С	D	Двойное	VI
А	F	с	D	в	Е	Пропорциональны двум первым	VI
А	F	с	Е	В	D	Двойное	VIII
А	F	D	Е	в	С	Пропорциональны двум первым	VIII
В	с	D	Е	А	F	Пропорциональны двум первым	| VIII
В	с	D	F	А	Е	Двойное	' IV
В	с	Е	F	А	D	Пропорциональны двум первым	1 IX .
В	D	С	Е	А	F	Пропорциональны двум последним	IV
В	D	С	F	А	Е	Равны	IV
В	D	Е	F	А	С	Равны	IV
В	Е	С	D	А	F	Пропорциональны двум первым	VI
В	Е	С	F	А	D	Пропорциональны двум первым	VII
В	Е	D	F	А	с	Двойное	II
В	F	С	D	А	Е	Равны	V
в	F	С	Е	А	D	Пропорциональны двум последним	V
в	F	D	Е	А	с	Равны	V
с	D	Е	F	А	в	Равны	VI
с	Е	D	F	А	в	Двойное	Основной
с	Е	D	Е	А	в	Равны	VII
22
Если три отношения таковы, что одно из них составлено из двуЛ
других отношений и состоят из трех величин, то или одна из величин в
отношениях повторяется четыре раза, или одна величина повторяется
три раза, а другая — два раза, или каждая величина повторяется два
раза. Поэтому в этом случае из шести величин четыре равны, или три
равны и две другие равны, или две равны, две другие равны и третьи
две также равны.
Если четыре из шести величин равны, то из этого необходимо вы-
текает, что остальные две величины равны или пропорциональны рав-
ным величинам. Это доказывается подобно тому, как то, что необходимо
вытекает из равенства двух величин вместе с равенством двух других
величин. Мы определяем это из такой таблицы, в которой равные вели-
чины помещены в первом, втором, третьем и четвертом столбцах.
В седьмом столбце написано «равны», если величины, находящиеся в
пятом и шестом столбцах, равны; в седьмом столбце написано «про-
порциональны», если отношение величины, находящейся в пятом
столбце, к каждой из равных величин в четырех столбцах такое же,
как отношение каждой из них к величине, находящейся в шестом
столбце.
Таблица необходимо вытекающего из равенства четырех величин
Четыре равные величины				Остальные две величины		Равенство или пропорция
Пер- вый	Вто- рой	Тре- тий	Чет- вер- тый	Пятый	Шестой	Седьмой
А	В	С	D	Е	F	Равны
А	В	с	Е	D	F	Пропорциональны
Я	В	с	F	D	Е	Равны
А	В	D	Е	С	F	Равны
А	В	D	F	С	Е	Пропорциональны
А	В	Е	F	С	D	Равны
А	С	D	Е	В	F	Равны
А	С	D	F	в	Е	Пропорциональны
А	С	Е	F	в	D	Равны
А	D	Е	F	в	С	Пропорциональны
В	С	D	Е	А	F	Пропорциональны
В	С	D	F	А	Е	Равны
В	С	Е	F	А	D	Пропорциональны
В	D	F	F	А	С	Равны
С	D	Е	F	А	В	Равны
23
Если три из шести величин, а также две другие величины равны,
то мы определяем то, что необходимо вытекает из этого, из таблицы
необходимо вытекающего из равенства двух из шести величин вместе
с равенством двух других величин. Это — или равенство оставшейся ве-
личины трем равным величинам, или пропорция между двумя равными
и тремя равными величинами и оставшейся величиной. Мы определяем
это из седьмого столбца этих таблиц, приведенных ниже. А именно.
67 если || величины в первом, втором и третьем столбцах равны между со-
бой и равны друг другу величины в четвертом и пятом столбцах, то,
если в седьмом столбце стоит «равенство», величина в шестом столбце
равна величинам в первом, втором и третьем столбцах. Если же в
седьмом столбце написано «пропорция», то отношение каждой из вели-
чин, находящихся в первом, втором и третьем столбцах, и каждой из
величин, находящихся в четвертом и пятом столбцах, такое же, как
отношение каждой из этих двух величин к величине находящейся в ше-
стом столбце. Если же в шестом столбце стоит нуль, то не необходи-
мо следует какое-либо равенство между находящимися б столбцах дву
мя величинами вместе с равенством двух других величин.
Таблица необходимо вытекающего из равенства трех величин вместе
с равенством двух величин11
Три равные величины			Две равные величины		Оставшаяся величина	Равенство или пропорция
I	II	III	IV	V	VI	VII
А	С	Е	D	Е	В	Равенство
А	D	Е	В	С	Е	Пропорция
А	D	Е	В	Е	С	Равенство
А	D	Е	С	Е	В	Равенство
А	D	Е	В	С	0	0
А	D	Е	В	Е	0	0
А	D	Е	С	Е	0	0
А	Е	Е	В	С	D	Пропорция
А	Е	Е	В	D	С	Равенство
А	Е	Е	С	D	•в	Равенство
В	С	D	А	Е	Е	Равенство
В	С	D	А	Е	Е	Пропорция
В	С	D	Е	Е	А	Равенство
В	С	Е	А	D	0	0
В	С	Е	А	Е	0	0
В	С	Е	D	Е	0	0
В	С	Е	А	D	Е	Пропорция
В	С	Е	А	Е	D>	Равенство
В	С	Е	D	Е	А	Равенство
24
Три равные величины			Две равные величины		Оставшаяся величина	Равенство или 1 пропорция
I	II	III	IV	V	VI	VII
В	D	Е	Л	с	F	Равенство
В	D	Е	А	F	С	Пропорция
В	D	Е	С	F	А	Равенство
В	D	F	А	С	Е	Равенство
В	D	F	А	Е	С	Равенство
В	D	F	С	Е	А	Пропорция
В	Е	F	А	С	D	Равенство
В	Е	F	А	D	С	Пропорция
В	Е	Е	С	D	А	Равенство
С	D	Е	А	В	F	Равенство
С	D	Е	А	F	В	Пропорция
С	D	Е	В	F	А	Равенство
С	D	F	А	В	Е	Равенство
с	D	F	А	Е	В	Равенство
с	D	F	В	Е	А	Пропорция
с	Е	F	А	В	D	Равенство
- с	Е	F	А	D	В	Пропорция
с	Е	F	В	D	А	Равенство
D	Е	F	А	В	С	Равенство
D	Е	F	А	С	В	Равенство
D	Е	F	В	С	А	Пропорция
]| Если две из шести величин равны, другие две величины равны и 67 об-
оставшиеся две величины равны, то мы определяем то, что необходимо
вытекает из этого, из таблицы необходимо вытекающего из равенства
двух величин вместе с равенством двух других величин. Если «первые
две величины и средние две величины равны и если из этой таблицы
необходимо вытекает равенство двух остальных величин, то от равенст-
ва этих величин нет пользы и не следует с необходимостью какое-либо
равенство. Если же из этих равенств необходимо вытекает пропорция
между ними и первыми двумя, то каждая из последних двух равна
каждой из двух первых, если необходимо вытекает пропорция между
ними и средними двумя, то последние две равны двум 'средним, а если
из этих равенств необходимо вытекает двойное отношение, то первые
цве равны двум средним. Хотя определение этого легко, мы составим
и для этого таблицу, в которой то, что в первом столбце, равно тому, что
во втором, то, что в третьем, равно тому, что в четвертом, то, что в пя-
том, равно тому, что в шестом, а величины в седьмом равны; если же
там стоит нуль, то не необходимо вытекает какое-либо равенство между
тем, что находится в указанных столбцах.
25
Таблица необходимо вытекающего из равенства двух из шести
величин вместе с равенством двух других величин и равенством
двух остальных величин
Две первые		Две средние		1ве после тис		То, что необходимо следует из этого
Первый	Второй	Третий	Четвер- тый	Пятый	Шестой	Седьмой
А	В	С	D	Е	F	0
А	В	С	Е	D	F	CDEF
А	в	С	Г	D	Е	0
А	с	в	D	Е	F	0
А	с	в	Е	D	F	BEDF
А	с	в	F	D	Е	0
А	D	в	С	Е	F	ABCD
А	D	в	Ь	С	Л	ABDE
А	D	в	F	С	Е	ACDE
А	Е	в	С	D	F	BCDF
А	Е	в	D	С	F	0
А	Е	в	F	С	D	0
А	F	в	С	D	Е	ABCF
А	F	в	D	С	Е	ACEF
А	F	в	Е	С	D	ABEF
68	II Третья глава
О ЗАДАЧАХ, ВОЗНИКАЮЩИХ ИЗ СОСТАВЛЕНИЯ ОТНОШЕНИИ
Мы изложили то, что мы хотели изложить о действиях составления
отношений и величинах, входящих в них. Но, для того чтобы учащимся
было легче пользоваться этим в нужных местах, мы шриведем некоторое
число упражнений, возникающих из этого. Тем самым мы разъясним
метод, который применим и к более трудным задачам.
Если шесть величин таковы, что отношение первой из них ко вто-
рой составлено из отношения третьей к четвертой и из отношений пятой
к шестой, и если пять из этих величин известны, то и оставшаяся вели-
чина известна.
Пример этого: [имеется] шесть величин — А, В, С, D, Е и F, и
отношение А к В составлено из отношения С к D и из отношения Е к
F. Тогда я утверждаю, что если пять из этих величин известны, то и
оставшаяся величина известна.
26
Доказательство этого. Сделаем отношение D к G таким же.
как отношение Е к F. Тогда отношение
С к G составлено из отношения С к D
и из отношения Е к F. Но отношение,
составленное из отношения С к D и из
отношения Е к F,— такое же, как от-
Е D С В А
ношение А к В. Поэтому С относится к G, как А к В.
Пусть (имеется] пять известных величин — А, В, D и Е. Тогда
если мы умножим В на С и разделим произведение на А, то частное
от деления будет известно12. Это — величина G, так как величины Л, В.
С и G пропорциональны. Если же мы умножим G на Е и разделим
произведение на £>, то частное от деления будет известно. Это и есть
величина F, так как величины О, G, Е и F пропорциональны. Таким об-
разом, F известна.
Если известные величины — А, В, С, D и В, то величина Е будет
известна, так как отношение В к А составлено из отношения D к С и из
отношения F к Е. Поэтому если мы умножим А на В и разделим произ-
ведение на В, а затем умножим частное от деления на В и разделим
произведение на С, то частное от деления будет известно, а это и есть Е.
Если известны величины—А, В, Е и В и известна одна из величин
С и В, то рассуждение о второй из этих величин подобно рассуждению
о величинах Е и В.
Если известны величины А, С, В, Е и В, то величина В известна,
так как, если мы умножим В на В и разделим произведение на Е, част-
ное от деления будет известно; это— G, так как величины D, G, Е и В
пропорциональны. Если же мы умножим частное от деления, т. е. G,
на А и разделим произведение на С, то частное от деления будет из-
вестно, а это и есть В, так как величины А, В, С и G пропорциональны.
Точно так же мы узнаем величину А, если известны величины В, С,
В, Е и В, так как отношение В к А составлено из отношения В к С и
из отношения В к Е: если мы умножим С на £, разделим произведение
на В, умножим частное от деления на В и разделим произведение на В,
то частное от деления будет известно, а это и есть величина А. Это и
есть то, что мы хотели доказать.
|| Точно так же доказывается, что если мы хотим выделить из изве- 68 об.
стного отношения, например отношения А к В, некоторое известное от-
ношение, равное отношению С к В, то полученное отношение будет из-
вестным; это будет, например, отношение Е к В.
Если мы хотим составить некоторые два отношения друг с другом,
как, например, отношения С к В и £ к В, то отношение, составленное
из них, также будет известным; это будет, например, отношение А к В.
Если две величины в отношении равны, а четыре остальные вели-
чины оказываются пропорциональными и требуется узнать одну из этих
четырех величин, то это очень легко, если иметь в виду, что произ-
ведение первой из четырех на четвертую равно произведению второй на
третью. Поэтому если три из них известны, то и четвертая известна. Мы
доказали раньше, что из равенства некоторых величин необходимо сле-
дует, что четыре остальные [величины] пропорциональны. Для легкости
запоминания мы поместим это в таблице: если величины в первом, вто-
ром, третьем, четвертом и пятом столбцах известны, то величину в ше-
стом столбце мы определим, если умножим величину в первом столбце
на величину во втором столбце, разделим произведение на величину
в третьем столбце, умножим частное от деления на величину в четвер-
том столбце и разделим произведение на величину в пятом столбце,
тогда частное от деления есть величина в шестом столбце.
27
Таблица, из которой определяется шестая
величина по пяти известным величинам
Пять известных			величин		Искомая шестая величина
1 1	2- I	1 3 1	1 4 |	5	6
в	С	А	Е	D	F
А	D	В	F	С	Е
В	Е	А	С	F	D
А	F	В	D	Е	С
D	F	Е	А	С	В
С	Е	F	В	D	А
То, что мы
отношение А к
упомянули, определяется и другим способом. Пусть
В составлено из отношения С к В и из отношения
F Е
I
С В
Е к F. Но отношение, составленное из
отношения С к О и из отношения Е к
A F, — такое же, как отношение произве-
дения С на Е к произведению Ь на F,
так как отношение одного из них к
другому составлено из отношения их сторон 13 Поэтому А относится к
В, как произведение С на Е к произведению G на F. Поэтому эти четы-
ре величины всегда пропорциональны, т. е. величины А и В, произве-
дение С на £ и произведение D на F. Если я знаю пять из этих шест?
69
величин, то три из этих четырех пропорциональных величин известны
Поэтому мы знаем и четвертую. Если четвертая — А или В, то мы
определили искомое. Если же четвертая — не А и В и если разделить
на ту из двух сторон, которая известна, частное от || деления и есть
искомое. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Тем самым доказано, что результат умножения одной из величин
первого ряда на другую величину из того же, а произведение на третью
[величину из него же] равно результату умножения одной из величин
второго ряда на другую величину из него же, а произведения на третью
Точно так же этим способом человек может определить это и в ука-
занных нами ранее семнадцати способах.
I.	Если имеются шесть величин и отношение двух из этих величин
составлено из двух отношений — из отношений остальных величин и
если четыре из этих величин известны, то известно отношение осталь-
ных двух величин или произведение одной из них на другую.
Пример этого: (имеется] шесть величин—Л, В, С, О, £ и В;
отношение одной из них к другой составлено из отношений остальных
величин; четыре из этих величин известны; это А, В, С и D. Тогда я
утверждаю, что известно или отношение величин Е и F друг к другу„
или произведение одной из них на другую.
Доказательство этого. Величины Е и F находятся или в
различных рядах, или в одном ряду
Если они в различных рядах, то от-
ношение Е к F составлено из двух от-
ношений величин А, В, С, D. Если мы
28
составим отношение из отношений двух из них и из отношения двух дру-
гих, то полученное составное отношение будет известно, так как извест-
ны оба эти отношения. Поэтому отношение Е к F известно.
Если же величины Е и F находятся в одном ряду, то величины,
находящиеся в другом ряду, известны.. Умножим одну из них на дру-
гую, а их произведение — на третью, произведение будет известно. Оно
равно тому, что получается при умножении Е на F и их произведения —
на оставшуюся из известных величин, находящуюся в этом ряду. Эта
величина известна, поэтому произведение Е на F известно.
Таким образом, доказано, что если известны четыре из шести ве-
личин, то или отношение двух остальных величин друг к другу, или про-
изведение их друг на друга известны. Это и есть то, что мы хотели
доказать.
Тем самым доказано, что отношение одной из двух величин к дру-
гой определяется, если эти величины принадлежат к разным рядам, а
если они принадлежат к одному ряду, то определяется произведение
одной из них на другую.
II.	Если имеются шесть величин, причем отношение первой из них
ко || второй составлено из отношения третьей к четвертой и из отноше- 69 об.
ния пятой к шестой, четыре числа из них известны, и сумма остальных
двух известна, то и каждое из них известно.
Пример этого: [имеется] шесть величин — А, В, С, D, Е и F\
отношение А к В составлено из отношения С к D и из отношения Е к
F. Я утверждаю, что [если] четыре из них известны и сумма двух
остальных известна, тогда каждое из них известно.
Доказательство этого. Две оставшиеся величины или нахо-
дятся в различных рядах, как величи-
ны А и В, тогда известно отношение
Л к В, или они находятся в одном ря-
ду, как величины А и D, тогда извест-
но произведение А на D.
Е D С В А
Если это величины А и В, то известно отношение А к В, поэтому
известно и отношение суммы А и В к каждой из [величин] А и В. Но
сумма их известна. Поэтому известна каждая из них.
Если это величины 1 и D, то известно произведение одной из них
на другую. Но так как известна их сумма, то известна каждая из них.
Это и есть то, что мы хотели доказать.
Поэтому если известны четыре из шести величин и известна сумма
двух остальных величин, то каждая из них известна. Это и есть то, что
мы хотели доказать.
Точно так же доказывается, что [если] две искомые величины — из
разных рядов и их сумма не известна, но известно произведение одной
из них на другую, то каждая из них известна. Если же эти величины —
из одного ряда и неизвестна их сумма, но известно отношение одной
из них к другой, то каждая из них известна.
III.	Если имеются две величины и известно произведение одной из
чих на другую и имеются две другие величины, отношения которых к
первым двум величинам известны, то произведение одной из них на дру-
гую известно.
Пусть первые две величины — А и В, пусть произведение А на В
известно и пусть известно каждое из отношений С к А и D к В. Тогда
я утверждаю, что произведение С на D известно.
29
д
в
оказательство этого. Отношение произведения Л на В к
произведению С на D составлено из отношения А к С и из
отношения В к D. Эти отношения известны. Поэтому отноше-
Л ние произведения Л на В к произведению С на D известно.
Но произведение А на В известно. Поэтому и произведение
С на D известно. Это и есть то, что мы хотели доказать.
С IV. Если имеются шесть величин и отношение первой ко
второй составлено из отношения третьей к четвертой и из от-
ношения пятой к шестой, известны четыре из этих величин
D
и имеются две величины, отношение которых к двум остав-
70 шимся величинам, каждая к соответствующей ей, известны и известна ||
сумма этих двух величин, то каждая из оставшихся двух величин
известна.
Пусть [имеется] шесть величин — А, В, С, D, Е и F и пусть отноше-
ние А к В составлено из отношения С к D и из отношения Е к F; пусть
четыре из них известны; пусть имеются две величины, отношения кото-
рых к двум оставшимся величинам, каждая к соответствующей ей, из-
вестны, и пусть их сумма известна. Тогда я утверждаю, что каждая из
двух оставшихся величин отношения известна.
Доказательство этого. Две искомые величины — или из
Н	G
F Е & С В А
~К	Т~~
вестно, поэтому и отношение
разных рядов, или из одного ряда.
Пусть сначала они из разных рядов,
как величины А и В. Пусть отношение
G к А и отношение Н к В известны и
пусть известна сумма G и Н. Тогда от-
ношение А к В известно, отношение G
к А известно, поэтому и отношение G
к В известно. Но отношение В к Н из-
G к Н известно. Так как и сумма их из-
вестна, известна и каждая из них. Но известны их отношения к 1 и к
В. Поэтому известны и величины А и В.
Пусть теперь искомые величины — из одного ряда, как величины
4 и D. Пусть отношение Т к А и отношение К к D известны и пусть
известна сумма Т и К. Тогда произведение А на D известно, отношение
Т к А известно и отношение К к D известно и сумма 7 и К известна.
Так как произведение А на D известно, отношение Т к А известно и от-
ношение К к D известно, произведение Т на К также известно. А так как
и сумма их известна, известна каждая из них. Но известны их отноше-
ния к А и D. Поэтому величины А и D известны. Это и есть то, что мы
хотели доказать.
Точно так же доказывается, что если известны суммы величин А и
Н или G и В или произведения G на Н или на В или Н на А известны,
то каждая из величин А и В известна, а если известны суммы величин
А и Т или А и К или известны отношения Т к К или к D или отношение
К к А известно, то величины А и D известны.
V.	Если имеются шесть величин и составление отношений из них
такое, как мы указали в предыдущих предложениях, известны четыре из
этих величин и известна разность между двумя остальными величинами,
то каждая из этих двух величин известна.
Пусть шесть величин, так же как в предыдущих предложениях,—
А, В, С, D, Е и F. Пусть четыре из них известны, и пусть разность меж-
ду двумя остальными величинами известна. Тогда я утверждаю, что
каждая из них известна.
30
Доказательство этого. Две искомые величины — или из
разных рядов, или из одного ряда.
Пусть сначала они из разных рядов,
как величины А и В. Тогда отношение
D С В А
А к В известно. Тогда если мы отло-
жим [одну из них на другой], то отно-
шение меныней из них к избытку большей над ней известно. Но избы-
ток над ней известен. Поэтому каждая из величин А и В известна.
Пусть теперь искомые две || из четырех величин из одного ряда, 70 об.
как величины А и D\ тогда то, что получается умножением А на £>,
известно. Но разность между ними также известна. Поэтому каждая
из них известна. Это и есть то, что мы хотели доказать.
VI.	Если имеются шесть величин и составление отношении из них
как мы указали в предыдущих предложениях, известны четыре из этих
величин, известна разность между двумя величинами и известны их
отношения к двум оставшимся величинам, то каждая из этих оставших-
ся двух величин известна.
Пусть [имеется] шесть величин — Л, В, С, D, Е и F, пусть четыре из
них известны, пусть отношения двух величин G и Н к двум оставшимся
величинам известны, и пусть разность между ними известна. Тогда я
утверждаю, что каждая из двух величин известна.
Доказательство этого. У двух искомых величин известны
или отношение одной из них к другой,
как у величин А и В, или произведе- В	G
ние одной на другую, как у величин
А и D. Пусть сначала они — величины	D
А и В, и п^сть известно каждое из от- В В	С В А
ношений G к А и Н к В. Тогда отно-
шение А к В известно и отношение G
к 4 известно, а значит, отношение G к В известно. Но отношение В к
В известно, поэтому отношение G к Н известно. Но разность между
ними известна. Поэтому и каждая из них известна.
Пусть теперь искомые величины — величины А и D, и пусть каж-
дое из отношений G к А и И к D известно. Тогда произведение А на D
известно, отношение G к А известно и отношение В к В известно. По-
этому произведение G на Я известно. Но разность между ними из-
вестна. Поэтому каждое из них известно. Но их отношения к А и D
известны. Поэтому величины А и D известны. Это и есть то, что мы
хотели доказать.
Точно так же доказывается, что если известна разность между
величинами G и Я и между величиной, к которой относится другая из
зтих величин, то искомые величины известны.
VII.	Если имеются шесть величин и отношение первой из них ко
второй составлено из отношения третьей к четвертой и из отношения
пятой к шестой, то отношение произведения первой на себя к произведе-
нию второй на себя составлено из отношения произведения третьей на
себя к произведению четвертой на себя и из отношения произведения
пятой на себя к произведению шестой на себя.
Пусть [имеются] шесть величин — А, В, С, D, Е и F и пусть отно-
шение А к В составлено из отношения С к D и из отношения Е к F.
Тогда я утверждаю, что отношение квадрата 14 А к квадрату В состав-
лено из отношения произведения С на себя к произведению D на себя
и из отношения произведения Е на || себя к произведению F на себя. 7/
Доказательство этого. Сделаем отношение D к G таким
31
71 об.
Е D С В
же, как отношение Е к F. Тогда
отношение А к В составлено из
А отношения С к D и из отношения
D к G. Но отношение, составлен-
ное из отношения С к D и из от-
ношения D к G,— такое же, как отношение С к G. Поэтому А относит-
ся к В, как С к G. Поэтому произведение А на себя относится к про-
изведению В на себя, как произведение С на себя к произведению G на
себя. Сделаем произведение D на себя промежуточным между произве-
дением С на себя и произведением G на себя. Тогда отношение произ-
ведения С на *себя и произведения G на себя составлено из отношения
произведения С на себя к произведению D на себя и из отношения про-
изведения D на себя к произведению G на себя. Поэтому если отноше-
ние произведения А на себя к произведению В на себя составлено из
отношения произведения С на себя к произведению D на себя и из
отношения произведения D на себя к произведению G на себя, то про-
изведение D на себя относится к произведению G на себя, как произ-
ведение Е на себя к произведению F на себя. Поэтому отношение про-
изведения А на себя к произведению В на себя составлено из отно-
шения произведения С на себя к произведению D на себя и и«з отноше-
ния произведения Е на себя к произведению F на себя, что мы и хотели
доказать.
VIII. Если даны две величины и отношение одной из них к другой
известно и составлено из двух отношений четырех других величин и если
известна одна из четырех величин и известны отношения трех оставших-
ся величин друг к другу, то известна каждая из этих трех величин.
Пусть две величины, отношение которых известно, — А и В. Пусть
отношение А к В составлено из отношения С к D и из отношения Е к F,
и пусть одна из величин С, D, £, F известна и отношение друг к другу
трех оставшихся величин известно. Тогда я утверждаю, что каждая из
этих величин известна.
Доказательство
Е Е D С В
этого. Пусть известная из четырех вели-
чин — С. Тогда отношение А к В из-
вестно и отношение Е к F известно.
А Если же мы выделим из отношения
А к В отношение Е к F, то останется
отношение С к D. Поэтому отношение
С к D известно. Но величина С известна, поэтому и величина D извест-
на. Но отношение D к каждой из величин Е и F известно. Поэтому каж-
дая из них известна. Точно так же || мы определим остальные три вели-
чины, и если известная величина не С, это и есть то, что мы хотели до-
казать.
IX. Если имеется известное отношение и оно составлено из отно-
шения некоторых величин и отношения других величин к этим величи-
нам известны, то отношение, составленное из отношений известных ве-
личин, известно.
Пусть известное отношение — отношение А к В, и пусть оно со-
ставлено из отношения С к D и из отношения Е к G, и пусть отношение
величин Я, Т, К и L к величинам С, D, Е и G, каждое к своей соот-
ветственной, известно. Тогда я утверждаю, что отношение, составлен-
ное из отношения Н к Т и из отношения К к L, известно.
Доказательство этого Сделаем отношение В к М таким
же, как отношение Н к С, отношение М к N — как отношение D к Т, от-
ношение N к X — как отношение К к Е, а отношение X к О — как отно-
шение G к L. Тогда отношение А к О известно, так как оно составлено
32
из известных отношений, т. е. отношения А к В. отношения Н к С.
тения D к Г, отношения К к Е и отно-
шения G к L. Но отношение А кВ со-
ставлено из отношения С к D и из от-
ношения Е к G. Поэтому отношение А
к О составлено из отношения С к D,
и из отношения Е к G, и из отношения
Я к С, и из отношения D к Т, из отно-
шения К к Е, и из отношения G к L
Что же касается отношения, состав-
ленного из отношения Н к С, из отно-
шения С к D и из отношения D к Т,
то оно такое же, как отношение Н к Т
Что же касается отношения, составлен-
Н D
аого из отношения К к Е, из отношения Е к G и из отношения G
к
отно-
А
С
Е
L, то
оно такое же, как отношение К к L. Поэтому отношение А к О составле-
но из отношения Н к Т и из отношения К к L. Но раньше мы доказали,
1то отношение Л к О известно. Поэтому отношение, составленное из от-
ношения Н к Т и из отношения К к L, известно. Это и есть то, что мы
хотели доказать.
X. Если имеются две величины и отношение одной из них к другой
известно и составлено из двух отношений четырех других величин, из-
вестна одна из этих четырех величин и известно отношение двух из
~рех остальных, то оставшаяся величина или известна, или известно от-
ношение ее произведения на известную величину к произведению на себя
каждой из [остальных} двух величин из четырех.
Пусть первые две величины, отношение которых известно, — А и В,
пусть отношение Л к В составлено из двух отношений величин С, £>,
Е и F, и пусть величина С известна и известно отношение D к Е. Тогда
я утверждаю, что или величина F известна, или отношение ее произве-
дения на величину С к произведению D на Е — известное отношение.
Доказательство этого. Величины D и Е — или || из разных
рядов, или из одного ряда. Если они
из разных рядов, то отношение одной
из них к другой составлено из отноше-
ния Л к В и из отношения одной из ве-
личин С и F к другой. Но отношение
72
Л к В известно, поэтому отношение одной из величин
С В А
F и С к другой
известно. Но величина С известна, поэтому величина F также известна.
Если же величины D и Е из одного ряда, то они или из первого ряда,
или из второго ряда. Если они из первого ряда, то отношение В к Л
составлено из отношения D к одной из двух величин С и F и из отноше-
ния Е к оставшейся величине, причем отношение Л к В известно. По-
этому отношение, составленное из отношения D к одной из величин С
и В и из отношения Е к другой из этих двух величин, известно, но оно
таково же, как отношение произведения С на F к произведению D на
Е. Поэтому известно отношение произведения С на Е к произведению
D на Е.
Но тогда известны и отношения произведения С на Е к произве-
дению D на себя и к произведению Е на себя.
Точно так же доказывается то, что мы утверждаем и если величины
В и Е из второго ряда. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Отсюда вытекает, что если величина С неизвестна, то или известно
отношение С к Е, или известно отношение их произведения к произве-
дению D на себя и к произведению Е на себя.
? Заказ 338
33
72 об.
XI.	Если две величины АВ и ВС известны, . 1В разделена на две
части в D и известно отношение произведения СВ на AD к квадрату
BD, то известна каждая из частей AD и BD.
Доказательство этого. Сделаем отношение СВ и BE рав-
ным известному отношению. Тогда отно-
С	Е	В	D	А шение произведения СВ и AD к произве-
‘----1-----1-----1----1 дению BE на AD равно известному отно-
шению. Поэтому отношение произведения
СВ на AD к произведению BE на AD и отношение произведения СВ на
AD к квадрату BD — одно и то же и произведение BE на AD равно
квадрату BD. Поэтому AD относится к BD, как BD к BE, и, присоеди-
няя 15, получаем, что АВ относится к BD, как DE к BE. Поэтому произ-
ведение АВ на BE равно произведению BD на DE Но АВ известна
известна и BE, так как известно отношение ВС к ней. Поэтому извест-
но произведение АВ на BE. Но мы доказали, что оно равно произведе-
нию BD на DE. Поэтому произведение BD || на DE известно. Но так
как BE известна, известна и DB. А так как АВ известна, известны обе
ее части. Это и есть то, что мы хотели доказать
XII.	Если имеются две величины и отношение одной из них к другой
известно и составлено из двух из отношений четырех других величин
известна одна из этих четырех величин, известно отношение двух из трех
оставшихся величин друг к другу и известна сумма одной из этих двух
величин и третьей из оставшихся величин, то каждая из трех величин
известна.
Пусть две первые величины, отношение которых известно, А и
В, и пусть отношение А к В составлено из двух отношений величин
С, D, Е и F, и пусть одна из величин С, D, Е и F известна, пусть это —
С. Пусть, далее, известно отношение D к Е и известна одна из двух
величин D и Е, пусть это — величина D. Если сумма двух из этих вели-
чин известна, то я утверждаю, что каждая из величин D, Е и F из-
вестна.
Доказательство
F Е D С В
этого. В этом случае или известна вели-
чина F, или известно отношение ее
произведения на С к каждому из двух
А квадратов D и Е. Поэтому величина
D известна. Если известна сумма ве
личин D и F или Е и F, то известна
одна из двух величин D и Е и известно отношение D к Е; поэтому и
каждая из величин D и Е известна. Если же известно отношение произ-
ведения С на F к каждому из квадратов D и Е, известна величина
С и известна сумма величины F с одной из двух величин D и Е, ть
величина F известна и известна одна из величин D и Е и отношение D
к Е. Поэтому и каждая из величин D, Е и F известна. Это и есть то.
что мы хотели доказать.
Отсюда следует, что если заменять величины С, D, Е и F другими
величинами, отношение которых к ним известно, то величины С, D, Е и
F известны и отношение, составленное из отношений новых величин.
известно.
XIII.	Если имеются три величины, равные АВ, ВС и CD, и АВ из-
вестна, разность между ВС и CD известна и известно отношение произ-
ведения АВ на CD к квадрату ВС, то каждая из величин ВС и CD
известна.
Доказательство этого. Сделаем отношение АВ к ВЕ равным
известному отношению. Тогда отношение произведения АВ на CD к про-
изведению ВЕ на CD — также известное отношение. Произведение АВ
34
на CD относится к произведению BE на D	С	В	£	А
CD, как это же произведение к квадрату ’-----1-----‘------1
ВС. Поэтому произведение BE на CD
равно квадрату ВС. Если это так, то BE относится к ВС, как ВС к CD.
Если ВС длиннее, чем CD, то, переворачивая 16, получим, что BE отно-
сится || к ее избытку над ВС, как ВС к ее избытку над CD. Если же 73
CD длиннее ВС, то, выделяя 17, получим, что BE относится к избытку
ВС над ней, как ВС к избытку CD над ней. При обоих этих способах
произведение BE на разность между ВС и CD равно произведению раз-
ности между BE и ВС на ВС. Но произведение BE на разность между
ВС и CD известно. Поэтому произведение ВС на разность между ней
и BE известно и BE известна. Поэтому ВС известна и разность между
ней и CD известна, поэтому и CD известна. Это есть то, что мы хотели
доказать.
XIV Если имеются две величины и отношение одной из них к дру-
гой известно и составлено из двух отношений четырех других величин,
известна одна из этих четырех величин, известно отношение двух из
трех оставшихся к последней и известна разность между одной из этих
величин и третьей из оставшихся, то каждая из этих трех величин из-
вестна.
Пусть первые величины, отношение которых известно,—А и В;
пусть отношение А к В составлено из двух отношений величин С, D,
Е и F. Пусть одна из величин Cf D, Е и F известна, — это С, пусть из-
вестно отношение D к Е и пусть известна разность между одной
из величин D и Е и величиной F. Тогда я утверждаю, что каждая из
величин С, D, Е и F также известна.
Доказательство этого. Величина F или известна, или отно-
шение ее произведения на С к каждо-
му из квадратов D и Е известно. Если
величина F известна, разность между Е
одной из величин D и Е и величиной F
известна и отношение D к Е известно,
С В А
то одна из двух величин D и Е известна, а так как отношение D к Е
известно, то и каждая из величин D, Е и F известна. Если же известно
отношение (произведения С на F к каждому из двух квадратов D и Е,
величина С известна и разность между F и одной из величин D и Е из^
вестна, то величина F известна и одна из двух величин D и Е известна,
а так как отношение одной из них к другой известно, то и каждая из
величин D. Е и F известна. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Отсюда следует, что если заменить величины С, D, Е и F други-
ми величинами, отношения которых к ним известны, то величины D, Е
и F будут известны, так как отношение, составленное из этих величин,
известно.
XV.	Если имеются две величины и отношение одной из них к
другой известно и составлено из двух отношений четырех других вели-
чин, известна одна из этих четырех величин, известно отношение двух
из трех оставшихся величин друг к другу и известна сумма квадрата
одной из этих двух величин и квадрата третьей оставшейся величины,
то известна каждая из этих трех величин.
Пусть две первые величины, отношение которых известно, — А и В,
и пусть отношение А к В составлено из двух отношений величин С, D,
Е и F. Пусть одна из величин С, D, Е и F известна; это — С. Пусть из-
вестно отношение D к Е, и пусть известна сумма квадрата одной из
величин D и Е и квадрата F. Тогда я утверждаю, что и каждая из ве-
личин D, Е и F известна.
3*
35
у Зоб. ^Доказательство этого. Величина F или известна, или из-
Н Е Е D С В
вестно отношение ее произведения
на С к каждому из квадратов D
А и Е. Если величина F известна,
то сумма ее квадрата с квадра-
том одной из величин D и Е из-
вестна. Поэтому одна из двух величин D и Е известна, а так как из-
вестно отношение одной из них к другой, то и каждая из величин Z), Е
и F известна. Если же известно отношение произведения С и F к квад-
рату каждой из двух величин D и Е, то сделаем отношение величины
С к величине Н таким же, как отношение произведения С на F к квад-
рату, сумма которого с квадратом F известна. Пусть этот квадрат —
квадрат D. Тогда величина Н известна. Величина С относится к вели-
чине Н, как произведение С на F к произведению Н на F. Но С отно-
сится к Н так же, как произведение С на F к квадрату D. Поэтому про-
изведение Н на F равно квадрату D. Но сумма квадрата D и квадрата
F известна, поэтому сумма произведения Н на F и квадрата F известна,
и так как величина Н известна, то величина F известна и ее квадрат
известен. Поэтому и квадрат D известен, и величина D известна, а так
как ее отношение к величине Е известно, то и величина Е известна и
все величины £>, Е и F известны. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Отсюда следует, что если заменить величины С, D, Е и F величина-
ми, отношение которых к ним известно, то величины С, £>. Е и F также
будут известны.
XVI.	Если имеются две величины и отношение одной из них к дру-
гой известно и составлено из двух отношений четырех других величин,
известна одна из этих четырех величин, известно отношение двух из
трех оставшихся величин друг к другу и известна разность между квад-
ратом одной из этих двух величин и квадратом третьей оставшейся ве-
личины, то известна каждая из трех величин.
Пусть две первые величины, отношение которых известно, — А и В,
пусть отношение А к В составлено из двух отношений величин С, D,
Е и F, и пусть одна из величин С, О, Е и F известна, это — С, пусть
известно отношение D к Е и известна разность между квадратом F и
квадратом одной из двух величин D и Е. Тогда я утверждаю, что каж-
дая из величин D, Е и F известна.
Доказательство этого. Величина F или известна, или из-
Н F Е D С В А
вестно отношение ее произведе-
ния на С к каждому из квадратов
D и Е. Если величина F известна
и известна разность между квад-
ратом F и квадратом одной из
74
величин D и Е, то известна одна из величин D и Е || и известно отно-
шение одной из них к другой, поэтому каждая из величин Е и F
известна.
Если же известно отношение произведения С на F к квадрату
каждой из величин D и £. то сделаем отношение величины С к ве-
личине Н таким же, как отношение произведения С на F к квадрату,
разность между которым и квадратом F известна. Пусть этот квадрат —
квадрат D. Тогда величина Н известна. Так же, как и в предыдущем
предложении, доказывается, что произведение Н и F равно квадрату D.
Но разность между квадратом D и квадратом F известна. Поэтому раз-
ность между произведением Н на F и квадратом Е известна и равна
произведению F на разность между ней и величиной Н. Поэтому, так
как величина Н известна, величина F известна. Так как разность меж-
36
ду ее квадратом и квадратом D известна, то и квадрат D известен и ве-
личина D (известна, а так как ее отношение к величине Е известно, то и
величина Е известна и все величины £>, Е и F известны. Это есть то,
что мы хотели доказать.
Отсюда следует, что если заменить величины С, D, Е и F величи-
нами, отношения которых к ним известны, то величины С, D, Е и F
также будут .известны.
XVII.	Если величины АВ. ВС и CD известны и известно отношение
произведения АЕ на CD к произведению ВЕ на ЕС, то известна каждая
из величин АЕ и ВЕ.
Доказательство этого. Сделаем отношение DC к CF рав-
ным известному отношению. Тогда
CF известна. Произведение DC на b F С В В А
АЕ относится к произведению FC на
4£. как произведение DC на АЕ к произведению ВЕ на ЕС. Поэтому
произведение АЕ и FC равно произведению ВЕ и ЕС. Поэтому и АЕ
относится к ВЕ, как ЕС к CF. Присоединяя, получим, что АВ относится
к ВЕ, как ЕЕ к СЕ. и произведение АВ на СЕ равно произведению ВЕ
на ЕЕ Но произведение АВ на СЕ известно, поэтому и произведение
ВЕ на ЕЕ известно. Но ВЕ известна, поэтому ВЕ известна. Но АВ из-
вестна, поэтому и оставшаяся АЕ известна. Это и есть то, что мы хотели
доказать.
XVIII.	Если величины \В , ВС и CD известны и отношение произ-
ведения АЕ и CD к произведению ВЕ на ЕС известно, то известна каж-
дая из величин ВЕ и ЕС.
Доказательство этого. Сделаем отношение DC к СЕ рав-
ным известному отношению. Так
же, как в предыдущем предложе-	D	F	С	Е	В А
нии, доказывается, что АЕ отно-	*	‘	‘	1
сится к ВЕ, как ЕС к СЕ. Поэтому, выделяя, мы получим, что АЕ от-
носится к ВЕ, как разность между ЕС и СЕ к СЕ. Поэтому произведе-
ние АВ на СЕ равно произведению ВЕ на разность между ЕС и СЕ.
Поэтому произведение ВЕ на разность между ЕС и СЕ известно. По-
этому ВЕ известна и оставшаяся ЕС тоже известна. Это и есть то, что
мы хотели доказать.
XIX.	Пусть имеются две величины и отношение одной из них к дру-
гой известно и составлено из двух отношений || четырех других вели- 74 об.
чин, и пусть известна одна из четырех величин, известна сумма двух
из этих четырех величин и известна разность между одной из них и
оставшейся величиной. Тогда каждая из трех оставшихся из четырех ве-
личин известна.
Пусть две величины, отношение которых известно,—А и В и от-
ношение А к В составлено из отношения С к D и из отношения Е к Е,
и пусть одна из величин С, D, Е и Е известна; это С. Пусть известна
сумма двух величин из D, Е и Е — величин D и Е и разность между
одной из них и оставшейся величиной Е известна. Тогда я утверждаю,
что каждая из величин D, Е и Е известна.
Доказательство этого. Отношение 1 к В известно и состав-
лено из отношения С к D и из отноше-
ния Е к Е. Поэтому отношение, состав-
ленное из отношения С к D и из от-
D С В А
ношения £ к Е, известно, но оно такое
же, как отношение произведения С на
Е к произведению D на F. Поэтому отношение произведения С на Е
к произведению D на F известно. Так как известна величина С, известна
37
разность между одной из величин D и Е и величиной F и сумма ве-
личин D и Е известна, то каждая из величин D. Е и F известна. Этс
есть то, что мы хотели доказать.
Отсюда следует, что если заменить величины С, D, Е и F величина-
ми, отношения которых к ним известны, или величинами, отношения ко-
торых к некоторым величинам известны, то величины С, D, Е и F бу-
дут известны. Точно так же будет, если заменить величины С, D, Е и F
их произведениями на себя, так как если составить отношение [величин
Л и В к самим себе], то получится такое же отношение, как отношение
произведения А на себя к произведению В на себя. Из того, что мы
сказали, следует также, что если известна сумма двух из величин D Е
и F и известна сумма одной из этих складывающихся величин и остав-
шейся третьей величины, то каждая из этих величин известна, так как
в этом случае известна разность между двумя из этих величин.
XX.	Если величины АВ, ВС и CD известны и если прибавить к ним
такую величину DE, что отношение произведения АВ на BE к произведе-
нию СЕ на ED известно то каждая из величин АЕ, BE, СЕ и DE
известна.
Доказательство этого. Сделаем отношение АВ к BG таким
1	И 1	/> 1	с	в I	G 1	А 	1	же, как известное отноше- ние, тогда отношение произ- ведения 4 В на BE к произ- ведению BG на BE такое же
И 1		Е	z>	в f	с	G	А 	J	
н 1		Е ... 1	в 1	с	в 1.	G 1		А	как известное отношение. Но отношение произведения АВ
							на BE к произведению СЕ
на ED было таким же, как известное отношение. Поэтому произведе-
ние BE на BG равно произведению СЕ на ED. Поэтому BE относится
к ЕС, как ED к BG. Сделаем DH равной BG. Тогда BE относится к ЕС,
как ED к DH. Поэтому ЕС относится к СВ, как DH к ЕН, и, следова-
75 тельно, произведение ЕС на ЕН равно || произведению СВ на DH Но
произведение CG на DH известно. Поэтому произведение ЕС на ЕН
известно. Но величина СН известна, так как она равна величинам CD и
DH. Поэтому величина ЕС известна Поэтому известны величины АЕ,
BE, СЕ и DE. Это и есть то, что мы хотели доказать.
XXI. Если имеются две величины, отношение одной из которых к
другой известно и составлено из двух отношений четырех других вели-
чин, если известна одна из этих четырех величин и известны разность
между каждой из трех оставшихся величин и другой из них, то каждая
из этих величин известна.
Пусть известно отношение двух величин Л и В и отношение А к В
составлено из отношения С к D и из отношения Е к F. Пусть одна из
величин С, D, Е и F известна, это — С, и известны разности между
величинами D, Е и F. Тогда известна каждая из величин О, Е и F.
Доказательство этого Отношение Л к В известно, и оно
составлено из отношения С к О и из
отношения Е к F. Поэтому отношение,
А составленное из отношения С к D и из
отношения Е к В, известно, оно такое
же, как отношение произведения С на
Е к произведению D на F. Поэтому отношение произведения С на Е к
произведению D на F известно. Но величина С известна, и разности
между величинами Dy Е и F известны, поэтому каждая из них известна,
а это есть то, что мы хотели доказать.
Отекла доказываются [случаи, когда] величины С, D, Е и F за-
38
Сделаем -отношение ED к DA таким
С	В	D	А	Е
।-------1-------1_______________1_______»
F	С	В	D	F	А
I_______1------1-------1-------1-------1
F	С	В	f)	В	Е
\_______I-------1-------1--------i-----1
меняются величинами, отношение которых к ним известно, и когда
чти величины заменяются их произведениями на себя.
XXII. Если известны две величины АВ и ВС или две величины AD
и АС и АВ разделена в D таким образом, что отношение произведения
CD на DB к произведению AD на себя известно, то каждая из величин
AD DB и DC известна
Доказательство этого,
же, как известное отношение. Тог-
да произведение CD на DB отно-
сится к произведению AD на себя,
как ED к DA. Но ED относится к
DA, как произведение ED на DA к
произведению AD на себя Поэто-
му произведение CD на DB равно
произведению ED на DA. Сделаем CF равной АВ и прибавим и к тому
и к другому произведение FD на DA Тогда сумма произведения CD на
DB и произведения FD на DA равна сумме произведения FD на DA и
произведения ED на DA. Но сумма произведения FD на DA и произве-
дения ED на DA равна произведению EF на DA. Поэтому сумма
произведения CD на DB и произведения FD на DA равна произведению
EF на DB. || Но сумма произведения CD на DB и произведения FD на 75 об.
DA равна сумме произведения CD на DB, произведения CD на DA и
произведения АВ на DA, так как АВ равна CF. Поэтому сумма произве-
дения CD на DB и произведения CD на DA равна произведению CD на
АВ и произведение EF на DA равно сумме произведения CD на АВ и
произведения АВ на DA На первом и втором чертежах сумма произве-
дения CD на АВ и произведения АВ на DA равна произведению С А на
АВ. Поэтому произведение EF на DA равно произведению С А на АВ.
Но произведение СА на АВ известно. Поэтому известно и произведение
EF на DA. Отношение ЕА к AD известно, а оно такое же, как отноше-
ние произведения EF на ЕА к произведению EF на DA. Поэтому отно-
шение произведения EF на ED к произведению EF на AD известно. Но
произведение EF на AD известно, поэтому известно и произведение EF
на ЕА. Но величина AF известна. Поэтому каждая из величин AD, DC
и DB известна. В случае третьего чертежа было доказано, что произве-
дение EF и DA равно сумме произведения CD на АВ и произведения
\В на AD, но это равно произведению суммы CD и AD на АВ. Поэтому
произведение EF на DA равно произведению суммы CD и AD на АВ.
Окончено то, что имеется в рукописи Абу-л-Хасана Сабита ибн
Корры ас-Саби по этому вопросу 18.
Слава Аллаху, справедливому, святому и дарящему разум, а так-
же его людям. Это переписал Ахмад ибн Мухаммад ибн Абд ал-Джа-
лил с рукописи Назифа ибн Юмна ан-Насрани в джумаде ал-ахире
триста пятьдесят девятого года 19.
Б. А. Розенфельд и Л. М. Карпова
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ САБИТА ИБН КОРРЫ
1.	Составное отношение (ан-нисба ал-муаллафа)—это то, что мы
называем 'произведением отношений. См. определение 5 книги VI «На-
чал» Евклида [2, стр. 174] и вводную статью
2.	Здесь имеется в виду определение 3 книги V «Начал» [-
стр. 142]: «Отношение есть некоторая зависимость двух однородных ве
личин по количеству».
3.	Величиной (микдар) здесь называется непрерывная величина, а
числом (’адад)—натуральное число.
4.	Это определение относится только к умножению натуральных
чисел. В дальнейшем Сабит ибн Корра будет говорить об умножении
непрерывных величин, не уточняя, что он понимает под этим.
А	СЕ
5.	Если отношение — составлено из отношений — и —, то из
В	D F
этих шести величин можно построить 36 составных отношений; Сабит
ибн Корра из каждой пары взаимно обратных отношений берет одну
(см. стр. 7).
6.	Переворачивание отношения (хулф ан-нисба) — переход от отно-
шения — к обратному отношению —------см. определение 13 книги V
«Начал» Евклида [2, стр. 143].
7.	Словом «число» здесь названа одна из шести непрерывных ве-
личин. Эта характерная описка показывает, что Сабит ибн Корра на-
чинает рассматривать непрерывные величины как числа (см. стр. 7).
8.	«Главами» здесь называются девять случаев составных отноше-
ний, в которые входят две равные величины, в отличие от предыдущих
18 «способов».
9.	Двойное отношение (нисба мусанна би-т-такрир)—то, что мы
называем квадратом отношения—*см. определение 9 книги V «Начал»
Евклида [2, стр. 143].
10.	В рукописи в этой таблице имеются описки: в 14-й и 16-й стро-
ках вместо «двойное» написано «пропорциональны двум первым», в
15-й строке вместо «пропорциональны двум первым» написано «двой-
ное», в 18-й строке вместо «пропорциональны двум первым» написано
«пропорциональны двум последним», в 19-й строке вместо «пропор-
циональны двум последним» написано «равны», в 23-й строке вместо
«равны» написано «двойное».
11.	В рукописи эта таблица ошибочно повторена на листе 67 об
12.	Здесь и в дальнейшем Сабит ибн Корра систематически приме-
няет термин «умножение» и «деление» к непрерывным величинам (см
стр. 7—8).
40
13. Сабит ибн Керра называет сомножители произведения двух
непрерывных величин «сторонами» (адла'), что свидетельствует о
том, что под произведением отрезков он 'понимает прямоугольник.
14.	Квадрат величины назван здесь «мурабба*» (буквально четы-
рехугольник). Наряду с этим термином Сабит ибн Корра употребляет
и «произведение на себя».
15.	Присоединение отношения (таркиб ан-нисба) —переход от про-
А + В _ С + D
В ~ D
порции — —
к пропорции
— см. определение
14
книги V «Начал» Евклида [2, стр. 144].
16.	Переворачивание отношения (калб ан-нисба) —переход от про-
А С	АС	1 л
порции — — к пропорции ——— = ——  см. определение 1о
книги V «Начал» Евклида [2, стр. 144].
17.	Выделение отношения (тафсил ан-нисба)—здесь переход от
АС	АС
пропорции — = — к пропорции --=-------; этот же термин вы-
ше применялся в значении действия, обратного составлению отношений;
обычно в арабской математической литературе этим термином обозна-
чают то, что называл выделением отношения Евклид — см. определе-
ние 15 книги V «Начал» [2, стр. 144], а именно переход от пропорции
А С	А —В C—D
— — — к пропорции-------- =------
В D Г Г В	D
18.	Так как доказательство в третьем случае не доведено до конца,
эти слова могут означать, что трактат не был закончен автором.
19.	Переписчик трактата — известный математик Абу Саид Ахмад
ибн Мухаммад ибн Абд ал-Джалил ас-Сиджизи (951 —1024 гг.). Его
полное имя приведено в конце других переписанных им рукописей в
сборнике № 2457 арабского фонда Парижской национальной библио-
теки. Дата переписки—джумада II 359 г. х. (апрель — май 970 г.).
Ас-Сиджизи — уроженец Сиджистана (Систана) в Восточном Иране, со-
временник и друг Абу-р-Райхана ал-Бируни (973 — около 1050 гг.).
Имя переписчика рукописи, с которой ас-Сиджизи переписывал
трактат, — ан-Насранй («христианин») —было названием сирийских
христиан.
ЛИТЕРАТУРА
I.	J. Wallis, De postulate quinto et definitions quinta Lib. 6 Euclidis', di seep-
tatio geometrica,—Opera mathematica, t. II, Oxford, 1693, pp. 665—678.
2.	Евклид, Начала, т. I, перев. Д. Д. Мортухай-Бэлтовского, М.—Л., 1948.
3.	Theon d’Alexandrie, Conunentaire sur la Composition math ёmat ique de Pto-
1ётёе, ed. M. Halma, vol. I, Paris, 1822.
4.	rO\iap Хаййам, Трактаты, перев. Б. А. Розенфельда с комм. Б. А. Розен-
фельда и А. П. Юшкевича, М., 1962.
5	Насир а [-Дин ат-Туси, Тахрир Уклидис фи *илм ал-хандаса, Тегеран, 1282 х.
(1881) (на араб. яз.).
6.	«Euclidis elementorum geometricorum libri tredecim ex traditione doctissiini
Nasiridini Tusiui nunc primum arabice impress!», Roma, 1594.
7.	Насирииин Туси, Трактат о полном четырехстороннике, перев. под ред.
Г. Д. Маметбейли и Б. А. Розенфельда, Баку, 1952.
8.	Бану Муса ибн Шакир, Книга об измерении плоских и сферических фигур,
перев. и прим. Дж. ад-Даббаха, — «Историко-математические исследования», 1956,
вып. 16, стр. 389—426.
С. А. Краснова
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ТРУДАХ УЧЕНЫХ
СРЕДНЕВЕКОВОГО БЛИЖНЕГО И СРЕДНЕГО ВОСТОКА
А. П. Юшкевич дал следующую характеристику математике сред-
невекового Востока [1, стр. 12—13]: «После краха античного рабовла-
дельческого общества развитие математических наук в течение многих
столетий происходило главным образом в странах Востока. Средневе-
ковая восточная математика представляла собой учение о постоянных
величинах и неизменных геометрических фигурах, однако такая харак-
теристика еще недостаточно конкретна. Это была шрежде всего вычис-
лительная математика, совокупность расчетных алгоритмов для реше-
ния арифметических, алгебраических, геометрических задач, вначале
более простых, но затем значительно усложняющихся, вначале алгорит-
мов разрозненных, затем объединяемых в целые научные дисциплины.
Развитие математики на Востоке в средние века начинается с уровня,
гораздо более низкого, чем достигнутый в эллинистических странах, но
к концу этого периода в ряде направлений оставляет далеко позади
науку Птолемеев, — мы имеем в виду такие области, как коммерческая
.арифметика, числовая алгебра и ее приложения, приближенные вычис-
ления, учение о числе, тригонометрия». Все это, как указывает А. П. Юш-
кевич, относится к Китаю, Индии и странам, в которых в средние века
паука развивалась на арабском языке, т. е. к Средней Азии, Ирану и
собственно арабским странам
Для конструктивной геометрии алгоритмы геометрических постро<
ний с помощью циркуля и линейки или других инструментов играют ту
же роль, что и расчетные алгоритмы, доводящие решения задач «до
числа» в арифметике, алгебре, тригонометрии и вычислительной гео-
метрии. Поэтому совершенно естественно предположение о том, что ма-
тематика средневекового Востока уделяла значительное внимание алго-
ритмам геометрических построений.
До сих пор геометрические построения ученых средневекового Во-
стока рассматривались только в работах Ф Вёпке [2], изучившего пер-
сидскую обработку арабского трактата Абу-л-Вафы ал-Бузджани «Кни-
га о том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений»,
и Г. Зутера [3], изучившего рукопись, содержащую начало арабского
текста этого трактата. Кроме того, в работе Ф. Вёпке [2] приводится
выдержка из «Трактата об описании конических сечений» Абд ал-Джа-
лила ас-Сиджизи, где указывается, что багдадским математикам Бану
хМуса, сыновьям Мусы ибн Шакира, был известен способ построения
эллипса, основанный на постоянстве суммы фокальных радиус-векторов.
Поэтому В. П. Зубов, Б. А. Розенфельд и А. П. Юшкевич в совме-
42
стном докладе «Об исследованиях по истории математики средних ве-
ков» на IV Всесоюзном математическом съезде (Ленинград, 1961 г.) от-
несли к первоочередным задачам исследования рукописного наследия
средневековых ученых Востока и Запада изучение «работ по конструк-
тивной геометрии трех братьев Бану Муса, т. е. сыновей Мусы ибн
Шакира, Абу-л-Вафы и др.» (4, стр. 61].
Стремясь внести вклад в решение этой задачи, мы перевели упо-
мянутый трактат Абу-л-Вафы с полной арабской рукописи (5], публи-
куемый в настоящем сборнике, и на основе изучения работ математи-
ков средневекового Востока предлагаем обзор выполненных ими геомет-
рических построений.
1. АБУ-Л-ВАФА АЛ-БУЗДЖАНИ И ЕГО ТРАКТАТ
Абу-л-Вафа Мухаммад ал-Бузджани родился в 940 г. в г. Бузгане
(в арабском произношении Бузджан) между Гератом и Нишапуром в
Хорасане. Он учился и работал в Багдаде, где стал одним из видных
математиков багдадской школы.
Его «Книга о том, что необходимо дельцам и писцам из искусства
арифметики» недавно была исследована М. И. Медовым. Помимо этого
трактата и «Книги о том, что необходимо ремесленнику из геометри-
ческих построений» [5] имеются сведения о целом ряде не дошедших до
нас или еще не обнаруженных его алгебраических и арифметических со-
чинений.
Абу-л-Вафа — также один из крупнейших астрономов средневе-
ковья. Ему принадлежит обработка «Алмагеста» Птолемея и ряд других
работ по астрономии. В память о трудах Абу-л-Вафы в астрономии один
из кратеров Луны назван его именем; Абу-л-Вафа умер в 988 г.
Трактат Абу-л-Вафы «Книга о том, что необходимо ремесленнику
из геометрических построений» переведен нами с фотокопии рукописи
№ 2653, хранящейся в библиотеке Айя София в Стамбуле. Фотокопия
снята с микрофильма, присланного американским геометром и истори-
ком математики Д. Я. Стройком.
Стамбульская рукопись содержит 70 страниц. Она была переписа-
на для библиотеки знаменитого Улугбека (1394 - 1449 гг.) —основателя
Самаркандской научной школы XV в. Это видно из надписи на титуль-
ном листе: «По заказу библиотеки великого султана, тени Аллаха в ми-
ре, господину арабских и неарабских царей Джалал ад-Дунья ва-д-Ди-
на Улугбека Багадура, пусть будет вечно его халифство и царство».
Рукопись перевез в Стамбул, по-видимому, последний крупный ученый
самаркандской школы Али Кушчи (ум. в 1574 г.), переехавший в Тур-
цию после гибели Улугбека и разгрома самаркандской обсерватории. Сле-
дующая надпись на титульном листе «Пожертвовал мечети этот экземп-
ляр великий султан, великий хакан, повелитель двух материков и двух
морей, султан, сын султана, сына султана Махмуд-хан» означает, что
рукопись была передана мечети Айя София султаном Махмудом, по-
видимому Махмудом I (1730—1754 гг.), а до этого находилась в библио-
теке турецких султанов.
Другая арабская рукопись, содержащая несколько частей рассмат-
риваемого трактата Абу-л-Вафы, описанная Г. Зутером [3], находится
в Амброзианской библиотеке в Милане (№ 68 арабского фонда). Пер-
сидская рукопись, содержащая обработку этого трактата, кратко изло-
женная Ф. Вёпке [2], хранится в Парижской национальной библиотеке
(№169 старого персидского фонда).
В
Фотокопия титульного листа трактата Абу-л-Вафы
(с оригинала стамбульской рукописи)
Стамбульская рукопись трактата состоит из 11 глав. Первая глав*
«О линейке, циркуле и угольнике» посвящена инструментам для геомет
рических построений и проверке их правильности. Во второй главе «О
принципах, о которых следует упомянуть 'прежде всего» приведены эле
ментарные геометрические построения. Последующие главы названы
так: третья — «О построении равносторонних фигур», четвертая — «О
построении фигур, вписанных в круги», пятая — «О построении круга,
описанного около фигуры», шестая — «О построении кругов, вписанных
в фигуры», седьмая — «О построении фигур, вписанных в другие фигу-
ры», восьмая — «О разделении треугольников», девятая — «О разделе-
нии четырехугольников», десятая — «О разделении квадратов и об их
составлении», одиннадцатая — «О разделении сферы».
Во введении к трактату одиннадцатая глава названа тринадцатой
и указаны две главы, отсутствующие в рукописи: одиннадцатая — «О
разделении разносторонних фигур» и двенадцатая— «О касающихся
кругах».
44
Миланская рукопись содержит конец первой и начало второй гла-
вы; отсутствуют конец четвертой главы, .пятая и шестая главы и начало
седьмой главы. Парижская рукопись содержит те же главы, что и стам-
бульская, но первая глава здесь именуется введением, вторая — восьмая
главы — соответственно первой — седьмой главами; девятая глава раз-
бита на три: восьмую, охватывающую первые 27 задач этой главы и
имеющую то же название; девятую— «О разделении кругов», содержа-
щую задачи 28 и 29 этой главы и десятую — «Об оставлении пути», в
которую включены задачи 30—33 этой главы; десятая и одиннадцатая
лавы становятся соответственно одиннадцатой и двенадцатой.
На полях стамбульской рукописи имеются многочисленные глоссы,
содержащие главным образом доказательства утверждений Абу-л-Вафы.
Доказательства написаны, вероятно, одним из математиков самарканд-
ской школы, возможно Али Кушчи, перевезшим рукопись из Самаркан-
да в Стамбул.
В миланской рукописи, судя по публикации [3], эти глоссы введены
в основной текст, и поэтому следует считать, что она написана, по-види-
мому, позднее стамбульской. В глоссах упоминается математик ал-'Ан-
диджани (вероятно, уроженец среднеазиатского г. Андижана), о котором
в историко-математической литературе нет сведений; Зугер читает имя
этого математика ал-Гундаджани (буква г отличается от буквы * точкой
над буквой) и считает его уроженцем г. Гундаджана в Хузистане |3,
стр. 104].
2. ДРУГИЕ СОЧИНЕНИЯ УЧЕНЫХ СРЕДНЕВЕКОВОГО ВОСТОКА
О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЯХ
Кроме работ Абу-л-Вафы специально посвящены геометрическим
построениям следующие трактаты:
1.	Обработка Сабитом ибн Коррой (826—901 гг.) «Книги Архиме-
да о построении круга, разделенного на семь равных частей». Арабская
рукопись хранится в Каирской национальной библиотеке (№ 7805/15
лл. 105—ПО). Изложение этого сочинения было опубликовано в книге
К. Шоя [6, стр. 74—84] и в статье И. Тропфке [7, стр. 636—651] Рус-
ский перевод Б. А. Розенфельда — в книге [8, стр. 401—416].
2.	Трактат Сабита ибн Корры «Книга о построении вписанной в
шар телесной фигуры с четырнадцатью основаниями» (Китаб фи
*амал шакл муджасам зи арба 'ашара ка’ида йухит бихи кура
ма'лума ли-Аби-л-Хасан Сабит ибн Корра). Арабский текст хранится
в Стамбуле в библиотеке Кёпрюлю (№ 948, стр. 108—115). Арабский
текст и немецкий перевод сочинения опубликован в статье Э. Бессель-
Хагена и О. Шписа [9]. Русский перевод И. И. Веселовского — в книге
[8, стр. 387—390]. В соответствии с арабским текстом и содержанием
труда мы исправляем перевод названия, приведенного в статье |9] и
книге [8], — «Трактат о построении описанной около шара телесной фи-
гуры с четырнадцатью основаниями».
3.	Трактат Ибрахима ибн Синана (908—940 гг.) «Книга о построе-
нии трех [конических] сечений» (Макала фи раем ал-куту’ ас-саласа).
Арабский текст опубликован в сборнике трактатов Ибрахима ибн Сина-
на, изданном Османийским университетом в Хайдерабаде [10, ч. IV]. Не-
давно опубликован русский перевод этого сочинения, выполненный Дж.
ад-Даббахом и нами [И].
4.	Книга ас-Сиджизи (951 —1024 гг.) «Трактат об описании кониче-
ских сечений» (Рисала фи васф ал-куту’ ал-махрутиййа). Рукопись хра-
нится в Лейденской университетской библиотеке (№ Ог. 168/1). Отрывки
45
опубликованы по-арабски и во французском перевода Ф. Вёпке в
статье |[2. стр. 223] и в посмертном издании П2, стр. 112—115].
5.	Трактат ас-Сиджизи «О разделении прямолинейного угла на три
равные части» (Фи кисма аз-завийа ал-мустакима ал-хаттейн би саласа
аксам мутасавийа). Арабская рукопись хранится в Лейдене (№Ог. 168/2).
Трактат опубликован во французском переводе Вёпке в книге [13,
стр. 117—120].
6.	Трактат ал-Кухи (X в.) «О совершенном циркуле» (Фи биркар
ат-тамм). Арабская рукопись хранится в Лейденской университетской
библиотеке (№ Or. 161/1), французский перевод опубликован Вёпке
[12, стр. 68—111 и 145—175].
7.	Книга Мухаммада ибн ал-Хусайна (XII в.) «Трактат о совершен-
ном циркуле и о свойствах черчения с его помощью» (Рисала ал-бир-
кар ат-тамм ва кайфиййа ат-тахтит бихи). Арабская рукопись хранится
в Парижской национальной библиотеке (№ Arabe 2468/4), французский
перевод опубликован Вёпке [12, стр. 15—16 и 116—144].
Геометрические построения имеются также в следующих сочине-
ниях ученых средневекового Востока:
1.	Мухаммад, Ахмад и ал-Хасан Бану Муса (IX в.) «Книга об из-
мерении плоских и сферических фигур» (Китаб ма’рифа масаха ал-аш-
кал ал-басита ва-л-куриййа). Арабский текст с комментариями Насир
ад-Дина ат-Туси издан в сборнике трактатов Насир ад-Дина ат-Туси
[14, ч. 1] Османийским университетом в Хайдерабаде. Латинский пере-
вод Герардо Кремонского (XII в.) опубликован М. Курце [15]. Русский
перевод с арабского издания [14] опубликован Дж. ад-Даббахом [16]
2.	Сабит ибн Корра «„Книга лемм“ Архимеда» (Китаб ма'хузат
ли-Аршимидис). Арабский текст опубликован в сборнике трактатов
Насир ад-Дина ат-Туси [14, ч. 2] Османийским университетом в Хайде-
рабаде. Латинский перевод этого трактата много раз публиковался;
русский перевод И. Н. Веселовского (с латинского)—в книге [8,
стр. 391—400].
3.	Сабит ибн Корра «Книга предположений» (Китаб ал-мафрудат)
Арабский текст опубликован в сборнике трактатов Насир ад-Дина ат-
Туси [14, ч. 3] Османийским университетом в Хайдерабаде.
4.	Абу Али ибн Сина (980—1037 гг.). Математические главы «Книги
знания» (Даниш-наме), состоящие из четырех частей: геометрии, астро-
номии, арифметики и теории музыки. Опубликованы во французском
переводе М. Ашена и А. Массе [17].
5.	Абу-р-Райхан ал-Бируни (973—1050 гг.) «Канон Мас’уда по
астрономии и звездам» (ал-Канун ал-Мас’уди фи-л-хайа ва-н-нуджум)
Арабский текст опубликован Османийским университетом в Хайдераба-
де в 1954—1956 гг. [18], математическая книга «Канона Мас’уда» изло-
жена на немецком языке К. Шоем [6].
6.	Абу-р-Райхан ал-Бируни «Трактат об определении хорд в круге
при помощи свойств ломаной линии, вписанной в него» (Китаб ал-истих-
радж ал-автар фи дайра би хавасс ал-хатт мунхани фиха). Арабский
текст издан в книге [19] Османийским университетом в Хайдерабаде.
Немецкий перевод опубликован Г. Зутером [20]. В 1963 г. опубликован
выполненный нами совместно с Л. А. Карповой русский перевод [21]
7.	Гияс ад-Дин Джемшид ал-Каши (ум. в 1429 г.) «Ключ арифме-
тики» (Мифтах ал-хисаб). Арабский текст и перевод Б. А. Розенфельда
опубликован в 1956 г. [22].
3.	ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ В ДРЕВНОСТИ И В СРЕДНИЕ ВЕКА
С глубокой древности размежевание полей, разметка строительные
площадок, внутренняя планировка зданий, (постройка кораблей, столяр-
ные, гончарные, ювелирные и другие работы приводили математиков к
различным геометрическим задачам па построение. Древнейшая книга,
в которой специально рассматриваются задачи на построение, — это ин-
дийский трактат V в. до н. э. «Правила веревки», посвященный птани-
ровке алтарей [1, стр. 112 и след.].
Геометрическое построение играло важную роль в математике
древних греков. «Начала» Евклида [23] наряду с теоремами, которые
«требуется доказать», содержат задачи, в которых «требуется сделать»
то или иное построение. Построения Евклида основывались на его трех
постулатах [23, т. I, стр. 14]. Первые два из них представляют собой
правила действия с идеальной линейкой, а третий — правила действия
с идеальным циркулем.
Построения Евклида были мысленными, о чем особенно нагляд-
но свидетельствуют его стереометрические построения.
Также мысленными являются построения эллипса, гиперболы и
параболы в «Конических сечениях» Аполлония [24]. В своем сочинении
он привел 16 задач на вычерчивание конических сечений и 5 — на по-
строение в пространстве. Конические сечения не могут быть построены
циркулем и линейкой, но с их помощью можно получить сколько угодно
точек этих кривых. К геометрии в пространстве примыкают также по-
строения на сфере в «Сфериках» Феодосия [25] и Менелая [26], а также
в «Математическом собрании» Палпа [27].
Античные источники свидетельствуют о появлении ряда инструмен-
тов, предназначенных для построений, которые нельзя выполнить толь-
ко с помощью циркуля и линейки. Так, Евтокий в комментариях к
трактату «О шаре и цилиндре» Архимеда [8, стр. 459—479] приводит не-
сколько механических построений двух средних пропорциональных: на-
пример, «решение Платона», решения Никомеда с помощью специальчо-
ю прибора и Архита с помощью пересечения цилиндра, конуса и
тора. Своеобразным инструментом является и «вставка» Архимеда, с
помощью которой он решает задачу трисекции угла в предложении VIII
своей «Книги лемм» [8, стр. 395—396]. Об инструментах, используемых
для решения этой задачи другими математиками древности, см. [8,
стр. 607—613].
Об инструментах для вычерчивания конических сечений у греков
нам ничего неизвестно до VI в., когда Евтокий в своих комментариях
к трактату Архимеда [8, -стр. 471] в связи с построением двух средних
пропорциональных говорит о «диабете» — специальном приборе для
вычерчивания параболы, изобретенном Исидором Милетским — совре-
менником древнего комментатора.
Таким образом, греки располагали инструментами для решения
многих задач на построение, но в своих основных геометрических тру-
дах пользовались мысленными методами, являющимися идеализацией
построения с помощью реальных инструментов, что отражает характер-
ную для рабовладельческого античного мира идеологию презрения к
физическому труду. Математики средневекового Востока, жившие в но-
вую историческую эпоху, при феодальном строе успешно развивали
вычислительные приемы для решения конкретных задач, гесно связан-
ных с потребностями практики. Поэтому и геометрические построения
в этот период приобрели иной характер, чем у греков: в основу изложе-
ния теории были положены реальные чертежные инструменты.
47
Наиболее характерно с этой точки зрения изложение начал гео-
метрии в «Книге знания» Ибн Сины, в основном представляющее
собой сокращение «Начал» Евклида. Геометрическая глава «Книги
знания» содержит раздел «О построениях при помощи циркуля и ли-
нейки» [17, стр. 101], в котором излагаются практические методы реше-
ния задач, приведенных в предложениях 9, 11 и 12 книги I «Начал».
Абу-л-Вафа в первой главе своего геометрического трактата описы-
вает три основных геометрических инструмента: линейку, циркуль и
угольник. Линейка определяется как «прямая линия без искривлений»,
причем прямая определяется по Архимеду — как кратчайшая линия.
Абу-л-Вафа указывает, что линейка используется только для не-
больших фигур или линий; если же фигуры или линии велики, то при-
меняются веревки. Он сообщает о различных способах проверки пра-
вильности и исправления линейки в зависимости от ее материала.
Ученый объясняет устройство циркуля и отмечает причины, вызываю-
щие неисправность инструмента. Абу-л-Вафа описывает также колесный
циркуль, позволяющий проводить окружности диаметром большим, чем
раствор циркуля. Угольник определяется как прямой угол. Указываются
также способы изготовления правильного угольника и проверка его
исправности.
4.	ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ
Первая и вторая главы трактата Абу-л-Вафы посвящены элемен-
тарным построениям с помощью циркуля и линейки. Вначале решаются
зацачи построения и проверки угольника, аналогичные построению
перпендикуляра. Приведены четыре способа, в том числе «способ ре-
месленников», основанный на свойствах «египетского треугольника», ка-
теты и гипотенуза которого равны соответственно 3, 4 и 5 единицам.
Во второй главе излагаются «принципы, о которых следует упомянуть
прежде всего». Здесь даны следующие построения: 1) деление прямо-
линейного отрезка или дуги окружности пополам; 2) деление отрезка
на три и большее число равных частей; 3) деление угла пополам;
4) проведение перпендикуляра к данной прямой из точки вне ее; 5) по-
строение угла, равного данному; 6) проведение прямой, параллельной
данной прямой, через данную точку; 7) определение центра круга;
8) дополнение дуги до полного круга; 9) проведение касательной к
кругу из точки вне его; 10) проведение касательной к кругу через
точку, расположенную на нем; 11) построение между сторонами тре-
угольника отрезка, параллельного третьей стороне и равного данному
отрезку; 12) проведение между сторонами треугольника отрезка, па-
раллельного третьей стороне и равного отрезку, отсекаемому от одной
из сторон; 13) проведение между сторонами треугольника отрезка, па-
раллельного третьему отрезку и равного отрезку, отсекаемому от одной
из сторон, и некоторому данному отрезку; 14) построение треугольника,
равного другому треугольнику.
В «Книге предположений» Сабита ибн Корры (14, ч. 3, стр. 2—6]
приведены 12 элементарных построений: 1) деление прямого угла на
три равные части; 2) деление отрезка на такие три части, что сумма
квадратов крайних отрезков равна квадрату среднего; 3—6) проведе-
ние из вершины треугольника линии, делящей противоположную сто-
рону в данном отношении; 7) проведение из точки на продолжении сто-
роны треугольника прямой, отсекающей треугольник, равный данному;
8) проведение из вершины треугольника прямой, отрезок которой вместе
с отрезком, отсекаемым ею на продолжении противоположной стороны,
48
^авен сумме двух сторон треугольника; 9) проведение в треугольнике
двух прямых, первая из которых делит вторую пополам, а вторая от-
секает от первой треть; 10) проведение в треугольнике прямой, которая
делится данной прямой на две части, равные данным отрезкам;
II) проведение ломаной линии, вписанной в данную дугу круга, звенья
которой находятся в данном отношении; 12) проведение хорды круга,
которая делится данным диаметром в данном отношении.
В «Книге об определении хорд в круге» ал-Бируни [21, стр. 113—
И 8] имеется пять элементарных построений: 1) проведение через две
данные точки двух отрезков, заключающих данный угол, сумма которых
равна данному отрезку; 2) проведение через две данные точки двух
отрезков, заключающих данный угол, разность которых равна данному
трезку; 3) проведение из двух данных точек двух отрезков, заключаю-
щих данный угол, произведение которых равно плоской фигуре;
4) проведение из двух данных точек двух отрезков, заключающих дан-
ный угол, отношение которых равно данному отношению; 5) построе-
ние треугольника, вписанного в данный круг с суммой сторон, равной
данному отрезку. Построения ал-Бируни угла, равного данному, с при-
менением сегмента, вмещающего данный угол, относятся к тем, которые
ныне называют построениями «методом геометрических мест».
Ряд геометрических построений рассматривается и в «Ключе ариф-
метики» ал-Каши. Хотя большинство задач этой книги относится к
чисто вычислительным, однако имеются и решаемые «действием рук».
В частности, в главе I приводятся построения основания высоты тре-
угольника и высоты, опущенной из центра тяжести треугольника [22,
стр 104—109]. В главе IV «Об измерении круглых поверхностей» вы-
полнены построения на сфере. В главе IX «Об измерении зданий и по-
строек» даны построения различного вида арок [22, стр. 162—168].
5.	ПОСТРОЕНИЕ ДВУХ СРЕДНИХ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ И ТРИСЕКЦИЯ УГЛА
Задача о двух средних пропорциональных, т. е. о построении по
данным а и b таких величин х и г/, что а : х=х: у = у: Ь (частным слу-
чаем при ц=2й является задача об удвоении куба), и задача о трисек-
ции угла, т. е. о его Делении на три равные части, сводятся к кубиче-
ским уравнениям и, за исключением случая трисекции прямого угла,
не могут быть решены с помощью циркуля и линейки.
Задача о трисекции угла приобрела в средние века большое значе-
ние в связи с вычислением тригонометрических таблиц. В самом деле,
если значение sin 3° можно определить путем повторного деления по-
полам стороны правильного пятнадцатиугольника, который строится с
помощью циркуля и линейки (предложение 16 книги IV «Начал» Евкли-
да [23, т. I, стр. 140]), то sin 1° можно найти по sin 3° только трисекцией
угла.
Во второй главе трактата Абу-л-Вафы приводится решение задач
как об удвоении куба и шара, так и трисекции угла. Оба способа три-
секции угла основаны на применении вставки. Первый из них весьма
элизко к приему Архимеда, второй, как видно из трактата ас-Сиджизи
о трисекции угла [13, стр. 117—120], принадлежит Сабиту ибн Корре.
При помощи трисекции угла Абу-л-Вафа выполняет трисекцию дуги
окружности.
Построение двух средних пропорциональных приводится в XVI и
XVII предложениях «Книги измерения плоских и сферических фигур»
братьев Бану Муса [16, стр. 410—415]. В XVIII предложении «Книги»
4 Заказ 338
49
Бану Муса [16, стр. 415—416] излагается способ трисекции угла, близ-
кий приему Архимеда.
Трисекции угла посвящен специальный раздел астрономическое
трактата ал-Бируни «Канон Мас’уда» [18; 6]. Эта задача излагается в
связи с вычислением тригонометрических таблиц в главе IV книги III
[18, т. I, стр. 292—302, а также 6, стр. 23—26]. Ал-Бируни приводит
12 -способов трисекции угла, называемых им «предпосылками». Все по
строения выполнены им при помощи вставки.
Наконец, в трактате ас-Сиджизи [13, стр. 117—120] дается 15 спо-
собов трисекции угла: 1) способ Сабита ибн Корры, совпадающий со
способом 3 из трактата Абу-л-Вафы; 2) способ ал-Химси ал-Харави.
совпадающий со способом 8, помещенным в «Каноне Мас’уда» ал-Биру-
ни; 3—6) четыре способа ал-Бируни, совпадающие со способами 4—7.
приведенными в «Каноне Мас’уда»; 7) «способ древних», т. е. Архиме-
да, совпадающий со способом 1, изложенным в «Каноне Мас’уда»:
8) способ ал-Кухи; 9) способ ас-Сагани; 10) способ самого ас-Сид-
жизи; 11—14) способы 9—12 из «Канона Мас’уда» и 16) трисекция
прямого угла. Ас-Сиджизи во всех случаях приводит полные дока-
зательства.
6.	ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Как показал Гаусс (1777 -1855 гг.), правильный многоугольник
можно построить с помощью циркуля и линейки только в том случае
[28, стр. 573], когда число его сторон
N 2mpip2,..., р„
где т — произвольное неотрицательное число, a pi, Рг,--, Ps — различ-
ные простые числа вида 2 ф 1 с натуральными k. Следовательно, это
можно сделать при N—3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 и нельзя — при А=7, 9,
11, 13, 14. Соответствующие построения для А==3, 4, 5, 6, 15 имеются
в «Началах» Евклида (книги I и IV). Кроме того, в предложении 30
книги III о делении пополам дуги дается метод построения правильно2
го 2А-угольника, в частности восьми- и десятиугольника, для всякого
уже построенного правильного А-угольника. Построения, не осуществи-
мые с помощью только циркуля и линейки, Евклид не рассматривает.
Построения правильных семи- и девятиугольников сводятся к реше-
нию кубических уравнений; второе из этих построений основано на
трисекции угла.
В третьей главе трактата Абу-л-Вафы изложены способы построе-
ния правильных многоугольников «на данной линии», принимаемой
в качестве стороны многоугольника для всех N от 3 до 10. Построения
треугольника и квадрата совпадают с построениями предложений 1 и
46 книги I «Начал» Евклида. Построение семиугольника приближен-
ное: за его сторону принята половина стороны равностороннего тре-
угольника, вписанного в тот же круг. Сторона правильного семиуголь-
3600
ника равна 2/?sin —2/?sin 25°43'	/?•(),868, а приближенное зна-
у з
чение Абу-л-Вафы /? ——0,866; оно совпадает с величиной,
приведенной в «Метрике» Герона [29, стр. 55]. Построение девятиуголь-
ника основано на трисекции угла.
50
Четвертая глава трактата посвящена построениям правильных мно-
гоугольников, вписанных в круг, для N=3, 4, 5, 6, 8, 9 и 10; проведя
касательную к кругу в вершинах вписанного многоугольника, Абу-л-
Вафа строит также многоугольник, описанный около круга.
В пятой главе приведены способы построения кругов, описанных
около многоугольников. Здесь дается построение круга, описанного
около (произвольного треугольника, около правильных пяти- и шести-
угольников. В большинстве случаев центр описанного круга опреде-
1яется как точка пересечения перпендикуляров к двум сторонам мно-
гоугольников, восставленных в их серединах, и указывается, что таким
образом можно построить центр описанного круга для любого правиль-
юго многоугольника.
В шестой главе гтроится круг, вписанный в треугольник; центр
круга находится, как точка пересечения биссектрис двух его углов.
Абу-л-Вафа указывает, что таким образом можно построить центр впи-
санного круга для любого правильного многоугольника. Для построе-
ния центров вписанных и описанных- кругов в пятой и шестой главах
используется метод геометрических мест.
Точное построение правильного семиугольника, вписанного в круг,
дано в уже упоминавшемся трактате Сабита ибн Корры.
Седьмая глава трактата Абу-л-Вафы посвящена построению пра-
вильных многоугольников, вписанных друг в друга: равностороннего
треугольника, вписанного в квадрат и описанного около квадрата;
квадрата, вписанного в треугольник и описанного около треугольника;
квадрата, вписанного в правильный пятиугольник и описанного около
него и т. д. Построения треугольников в задачах 1, 2, 6 и 8 основаны на
получении искомого треугольника гомотетией из некоторого вспомога-
тельного. Построение задачи 5 указано в [1, стр. 264].
7.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Одна-из первых задач на преобразование многоугольников — за-
дача построения квадрата, равновеликого двум данным квадратам. Эта
задача (аналогичная теореме Пифагора) решалась в общем виде еще в
древней индийской книге «Правила веревки» [1, стр. 113—114]. Весьма
наглядное доказательство теоремы Пифагора, основанное на принципе
равносоставленности, было предложено Сабитом ибн Коррой и известно
нам в передаче ан-Найризи [30, стр. 90].
В книгах I и II «Начал» Евклида рассматриваются построения:
параллелограмма, равновеликого данному треугольнику и данному мно-
гоугольнику; прямоугольника, равновеликого данному квадрату, и
квадрата, равновеликого многоугольнику.
Восьмая глава трактата Абу-л-Вафы посвящена различным спосо-
бам разделения треугольника на равные части, увеличения или умень-
шения его в несколько раз и другим преобразованиям треугольников
В девятой главе даны задачи на разделение четырехугольников.
Среди других здесь приводятся: разделение четырехугольника пополам
линией, проходящей через один из его углов или через точку на его»
стороне или лежащую вне его; разделение параллелограмма или трапе-
ции линией, проходящей через точку на одной из сторон. Далее рас-
сматривается гомотетичное увеличение и уменьшение квадрата в два,
три и большее число раз, решаются задачи отделения трети круга и
деления сектора пополам, а также деления квадрата, треугольника и»
трапеции на две и три части с оставлением «пути» данной ширины, ве-
4"
51
дущего к этим частям, — задача, возникшая в землемерной практике
размежевания полей.
Десятая глава содержит преобразования квадратов. Абу-л-Вафа
отмечает, что этот вид преобразований фигур часто применяют ремес-
ленники и в связи с этим у них возникает много вопросов. Особенно-
интересны приведенные им задача на составление квадрата из т2 + п2
равных квадратов и обратная ей, основанные на применении теоремы
Пифагора в общем случае. Абу-л-Вафа по существу дал исключительно
наглядное доказательство теоремы Пифагора, базирующееся на прин-
ципе равносоставленности и близкое предложенному Сабитом ибн Кор-
рой [30, стр. 90].
Изложив остроумный и удобный для практики способ составления
квадрата из трех равных квадратов, указанный в [1, стр. 265], Абу-л-
Вафа доказывает, что методы, применяемые ремесленниками для ре-
шения этой задачи, неправильны. Одно из его решений основано на
доказательстве неравенства ]/з~> 1 -]. Здесь же приводится «ме-
тод геометров» решения этой задачи, основанный на построении в про-
странстве.
8.	ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ ПОСТОЯННОГО РАСТВОРА
Как показали Ж. Понселе (1783—1867 гг.) и Я. Штейнер (1796—
1863 гг.), всякая задача на построение конечного числа точек, разреши-
мая с помощью циркуля и линейки, разрешима и при одной линейке, если
на плоскости построена окружность с отмеченным центром (31.
стр. 241—246]. Из этой теоремы вытекает разрешимость подобных задач
при использовании лишь линейки и циркуля постоянного раствора.
Именно к таким задачам относится построение Героном перпен-
дикуляра, восставленного в одном из коццов отрезка; оно приводится
.ан-Найризи в его комментариях к «Началам» [30, стр. 54]. О построе-
нии с помощью циркуля постоянного раствора упоминает и Папп [27,
т. III, стр, 1074].
В Европе аналогичные построения применяли Леонардо да Винчи
{1452—1519 гг.) и А. Дюрер (1471 —1528 гг.), а также Ш. де ль Ферро
1491—1526 гг.) и Н. Тарталья (около 1500—1557 гг.).
В третьей главе трактата Абу-л-Вафа после обычных построений
правильных многоугольников по данной стороне рассматривает их по-
строение с помощью циркуля постоянного раствора. Внимание арабского
геометра к таким задачам объясняется, несомненно, запросами ремес-
ленников, ибо результаты получаются более точными, чем при исполь-
зовании циркуля переменного раствора.
Помимо построения равностороннего треугольника (совпадающего
со способом Евклида) и квадрата (восстановление перпендикуляров и
откладывание на них отрезков, равных данной стороне) Абу-л-Вафа
приводит более сложные построения правильных тяти-, восьми- и деся-
тиугольников.
9.	ПОСТРОЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Под геометрическими построениями в пространстве понимаются та-
кие, которые осуществляются с помощью циркуля и линейки в -различ-
ных плоскостях. В «Началах» Евклида задачи на построение в про-
странстве содержатся в книгах XI и XIII. В последней он строит пра-
52
вильные тетраэдр, октаэдр, куб, икосаэдр и додекаэдр, вписанные в
данную сферу.
Архимед определил 13 «полуправильных многогранников», т. е. вы-
пуклых многогранников, все грани которых — правильные многоуголь-
ники более чем одного вида, а все многогранные углы 'конгруэнтны или
симметричны [8, стр. 383—386].
Сабит и'бн Корра, как говорилось [8, стр. 387—390], изложил по-
строение полуправильного четырнадцатигранника с шестью квадратны-
ми и восемью треугольными гранями.
В трактате Абу-лчВафы имеются два построения в пространстве. Во
второй книге приводится построение перпендикуляра, опущенного из
точки на плоскость, или, как пишет Абу-л-Вафа, «к плоской стене, к
участку земли или к крыше». Его способ близок построению предложе-
ния 11 книги XI «Начал» Евклида.
В десятой главе после изложения удобного для ремесленников спо-
соба вычерчивания квадрата, равновеликого трем равным квадратам,
Абу-л-Вафа приводит построение стороны искомого квадрата как диаго-
нали куба, ребро 'которого равно стороне одного из трех равных квадра-
тов.
Такой метод арабский ученый называет «способом геометров», так
как при этом не указывается, как надо разрезать данные квадраты,,
чтобы сложить из них большой. Затем Абу-л-Вафа пишет: «Точно так
же обстоит дело, если мы хотим [построить] квадрат, состоящий более
чем из трех или менее чем из трех квадратов». Поскольку «способ
геометров» формулировался как пространственное, а не плоское по-
строение (хотя в девятой главе Абу-л-Вафа приводил плоское построе-
ние, увеличивающее данный квадрат в любое число раз), эти слова
указывают, по-видимому, на мысленное построение в многомерном кубе.
Заметим, что именно в IX—X вв. на Востоке получили распростра-
нение геометрические названия степеней выше третьей — «квадрато-
квадрат», «квадрато-куб», «кубо-куб» и так далее, представляющие со-
бой переводы терминов Диофанта. Эти термины были хорошо знакомы
Абу-л-Вафе — автору комментариев к «Арифметикам» Диофанта. И по-
скольку в творчестве арабского математика геометрические методы
играли существенную роль, весьма естественно, что он воспринимал эти
степени как многомерные обобщения куба
10.	ПОСТРОЕНИЯ НА СФЕРЕ
В «Началах» Евклида построения на сфере не рассматриваются.
Однако такие задачи имеются в «Сферике» Феодосия (около 100 г. до
н. э.). Геометрия на сфере здесь изложена аналогично геометрии на
плоскости в «Началах». В «Сферике» имеются семь таких задач. В
предложениях 2. 18 и 19 книги I приведены задачи на построение в;
пространстве, связанные со сферой. 'В предложениях 20—21 книги 1 и
в предложениях 14—16 книги II рассматриваются соответственно прове-
дение большого круга через две точки, нахождение полюса большого
круга и проведение большого круга, касающегося малого, через точку,
находящуюся на малом круге или вне его. Последнее позволяет
строить большие круги, перпендикулярные данному {25, стр. 27—28 и
51—52].
Такие задачи постоянно встречаются в «Сферике» Менелая (около
100 г.), где добавляется построение угла между большими кругами,
равного данному углу [23, т. 1, стр. 120]. Во многом используются по-
строения на сфере в предложениях 48—52 книги III «Математического
53.
собрания» Паппа, посвященных вычерчиванию пяти правильных много-
гранников, вписанных в данную сферу [27, т. I, стр. 143—157, а также
23, т. III, стр. 312— 319]. Сочинения .по сферике Феодосия и Менелая
перевел на арабский язык около 900 г. Сабит ибн Корра.
В одиннадцатой главе своего трактата Абу-л-Вафа вначале рас-
сматривает ряд элементарных построений на сфере: 1) большого круга,
2) двух перпендикулярных больших кругов, 3) трех взаимно перпен-
дикулярных больших кругов, 4) большого круга через две данные
точки. Основная часть главы посвящена разделению сферы на неко-
торое число сферических многоугольников, что равносильно построению
вписанных правильных и полуправильных многогранников. Сферические
многогранники являются проекциями граней на поверхности сферы, про-
веденными из ее центра. Изложение Абу-л-Вафы равносильно построе-
ниям пяти правильных и четырех полуправильных многогранников
(четырнадцатигранника с шестью квадратными и восемью треугольны-
ми гранями, тридцатидвухгранника с двенадцатью пятиугольными и
двадцатью треугольными гранями, восьмигранника с четырьмя треуголь-
ными и четырьмя шестиугольными гранями, четырнадцатигранника с
шестью квадратными и восемью шестиугольными гранями).
Геометрические построения на сфере широко применялись в дока-
зательствах теорем сферической тригонометрии и астрономии в «Кано-
не Мас’уда» ал-Бируни [6, 18], «Трактате о полном четырехстороннике»
Насир ад-Дина ат-Туси [32] и в других сочинениях математиков и
астрономов средневекового Востока. Два построения на сфере, связан-
ные с определением ее диаметра, приведены в «Ключе арифметики»
ал-Каши [22, стр. 145—146].
11.	ПОСТРОЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИИ
В «Конических сечениях» Аполлония имеется 21 задача на построе-
ние. Ими являются, в частности, предложения 52—60 книги I и пред-
ложения 44—50 книги II. «Конические сечения» переведены на арабский
язык в IX в.: книги I—IV — ал-Химси, книги V—VIII—Сабитом ибн
Коррой.
.На средневековом Востоке первым сочинением, посвященным по-
строению конических сечений, был трактат ал-Хасана ибн Мусы ибн
Шакира (одного из трех братьев Бану Муса) «Об удлиненном круге»,
т. е. эллипсе. Трактат не дошел до нас, но название его стало извест-
но из сочинения ученого XII в. Ибн ал-Кифтп «История мудрецов»
{33, стр. 288], а предлагаемое в нем построение эллипса упоминается в
«Трактате об описании конических сечений» ас-Сиджизи.
Во второй главе трактата Абу-л-Вафы даны два построения пара-
болы по точкам, основанные на свойстве, которое мы записываем
уравнением у2 = 2рх.
«Книга о построении трех [конических] сечений» Ибн Синана {11}
посвящена построению по точкам всех трех видов конических сечений:
параболы, эллипса и гиперболы.
Построению конических сечений посвящены: «Трактат об описании
конических сечений» ас-Сиджизи [12, стр. 112—115], трактат «О совер-
шенном циркуле» ал-Кухи [12, стр. 68—111 и 145—175] и «Трактат о
совершенном циркуле и о свойствах черчения с его помощью» Мухам-
мада ибн ал-Хусейна [12, стр. 15—67 и 116—144]. В этих сочинениях из-
лагается непрерывное вычерчивание всех трех видов конических сече-
ний с помощью «совершенного циркуля» (биркар ат-тамм), т. е. такого,
у которого ножка с карандашом может менять свою длину. Для по-
54
•строения конического сечения ножка циркуля с острием устанавли-
вается под постоянным углом а к плоскости чертежа, а ножка с ка-
рандашом — под углом ₽ к ножке с острием и вращается вокру!
нее, причем длина ее изменяется таким образом, что карандаш все
время касается бумаги. Тогда при вращении ножка с карандашом опи-
сывает поверхность конуса, а каранцаш — сечение этой поверхности
плоскостью чертежа. При а>р сечение будет эллипсом, при а = р —
параболой, а при о < ₽ —одной из ветвей гиперболы. Такой циркуль
упоминается и в трактате об астрономических инструментах мароккан-
ского ученого XIII в ал-Хасана ал-Марракуши [34; 6, стр. 19].
Подробнее об этом сказано в наших комментариях к переводу
Книги о построении трех [конических] сечений» [11] Ибн Синана.
Из приведенного обзора видно, что геометрические построения на
средневековом Востоке выполнялись в основнохм циркулем, линейкой,
вставкой и другими инструментами. Однако в отличие от античных ма-
тематиков, построения которых большей частью были мысленными,
лпя ученых средневекового Востока характерен практический подход к
решению задач и внимание к технической стороне дела, особенно от-
1етливо выступающее в описании инструментов у Абу-л-Вафы, Бану
Муса, Мухаммада ибн ал-Хусейна и в изложении основ геометрии у
Ибн Сины. Практическое значение геометрических построений подчер-
кивается тем, что трактат Абу-л-Вафы прямо адресован ремесленникам
и в нем приводятся доказательства или опровержения применяемых
ими методов. Именно запросами ремесленников объясняется внимание
Абу-л-Вафы к более точным построениям с помощью циркуля постоян-
ного раствора.
Геометры средневекового Востока применяли и приближенные по-
строения, например, конических сечений по точкам, а также правиль-
ного семиугольника (Абу-л-Вафа). Среди новых геометрических мето-
дов, применявшихся на средневековом Востоке, помимо вычерчиваний
с помощью циркуля постоянного раствора следует отметить преобразо-
вания многоугольников, построения вершин правильных и полуправиль-
ных многогранников на сфере у Абу-л-Вафы, точечные и непрерывные
построения конических сечений, в частности, с помощью «совершенного
циркуля».
Большинство построений математиков средневековья основано на
методе, называемом в настоящее время алгебраическим. Однако имеют-
ся и построения, базирующиеся на методах геометрических преобра-
зований и геометрических мест.
Таким образом, геометрические построения .получили на средневеко-
вом Ближнем и Среднем Востоке значительное развитие.
ж
Помещенный вслед за данным обзором наш перевод трактата
Абу-л-Вафы снабжен на полях пагинацией по стамбульской рукописи.
В тексте даны надстрочные цифры, соответствующие порядковому но-
меру примечаний, а в квадратные скобки заключены слова, добавлен-
ные переводчиком для ясности, а также римские цифры, представляю-
щие собой порядковые номера разделов трактата. Подписи под чер-
тежами в соответствии с рукописью Абу-л-Вафы имеют вид «ш из и»,
тде m — номер чертежа в главе, а п - номер главы (оба номера даны
римскими цифрами).
1
Абу-л-Вафа ал-Бузджани
КНИГА О ТОМ, ЧТО НЕОБХОДИМО РЕМЕСЛЕННИКУ
ИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИИ*
2	|| Во имя Аллаха милостивого, милосердного.
Это — книга Абу-л-Вафы Мухаммада ибн Мухаммада ал-Бузджани
о том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений.
Я исполнил, что приказал мне наш повелитель государь достославный и
победоносный шахиншах Веха ад-Даула Дия ал-Милла Гияс ал-Умма2,
да продлит Аллах его годы, да сделает вечным его высокое положение
и укрепит его могущество и власть. Я установил смысл того, что упо-
миналось в присутствии его величества из области геометрических по-
строений, так как часто применялось ремесленниками; при этом я
отвлекался от причин и доказательств. Это облегчит ремесленникам
применение этих построений и проложит дорогу к ним.
Книга состоит из тринадцати глав3. Первая глава — о линейке,
циркуле и угольнике. Вторая глава — о принципах, о которых следует
упомянуть прежде всего. Третья глава — о построении равносторонних
фигур. Четвертая глава — о построении фигур, вписанных в круги. Пя-
тая глава — о построении кругов, описанных около фигур. Шестая
глава — о построении кругов, вписанных в фигуры. Седьмая глава —
о построении фигур, вписанных в другие фигуры. Восьмая глава — о
разделении треугольников. Девятая глава — о разделении четырех-
угольников. Десятая глава — о построении квадрата из квадратов и на-
3 оборот. Одиннадцатая глава — о разделении равносторонних || фигур
Двенадцатая глава — о касающихся кругах. Тринадцатая глава — о раз-
делении сферы.
Первая глава
О ЛИНЕЙКЕ, ЦИРКУЛЕ и УГОЛЬНИКЕ
[I] Знай, что правильность и неправильность построений зависит от
трех вещей: линейки, циркуля и угольника.
Самая необходимая из них — линейка4. Это — прямая линия без
искривления. Как сказал Архимед, это самая короткая линия, соеди-
няющая две точки5, например точки Л и В и наоборот. Если от одной
из них к другой проведены несколько линий, например линии АСВ,
ADB и АЕВ, то самая короткая из них — это прямая линия, а именно
линия АСВ. Поэтому если у нас имеется линейка и ее край лежит на
прямой линии, то такая линейка правильная. Такие линейки приме
няются при коротких чертежах и линиях. Если же чертеж или лиши
длиннее, пользуются веревками.
* Перевод с арабского С. А. Красновой.
56
Фотокопия трактата Абу-л-Вафы
(с оригинала стамбульской рукописи)
Линейка исправляется путем шлифовки6. Если то, что мы хотим
исправить, очень длинно, оно разбивается несколькими веревками, а
затем исправляется 'путем шлифовки. Если мы хотим исправить линейку,
то прежде всего прогладим ее напильником, если она сделана из какого-
нибудь твердого материала, например из железа, меди и т. д., или об-
стругаем ее топором, если она деревянная, а затем исправим путем
шлифовки. Если мы окончили исправление линейки и хотим узнать,
оказалась ли она после исправления .правильной, мы положим ее на
ровное место и отметим положение ее края чертой, а затем поменяем
местами ее концы и снова отметим положение ее края чертой. Если эти
две черты совпадут, то линейка правильная, а если же они не совпа-
дут, то мы узнаем, в каком месте имеется искривление, так как оно —
в том месте, где две черты расходятся и не совпадают.
57
Большинство ремесленников проверяют правильность линеики ви-
4 зуально; || когда мы смотрим с одного конца линейки на другой, то
видно, в каком месте она отклоняется вверх, а в каком — вниз. Это про-
исходит по причине прямизны лучей.
I из I
{II] Построение циркулем. Что касается циркуля7, то он нужен
для проведения окружностей и их частей и построения равных величин.
Правильность его определяется правильностью его отверстия и прямиз-
ной оснований его ножек, которые должны накладываться друг на
друга, а также прямизной оси, так как если имеется неисправность в од-
ном из этих элементов циркуля, то она нарушает его движение как в
раскрытом, так и в сомкнутом 'положении, ограничивая его. Если же
отверстия на обеих ножках правильные, основания ножек равны, а ось
ровная и расположена прямо, то это указывает на правильность цир-
куля и его движение как в раскрытом, так и в сомкнутом положении яв-
ляется одним и тем же и нигде не ограничивается. Лучше всего та-
кой циркуль, к оси которого прикреплен барашек — приспособление,
позволяющее ремесленнику раздвигать и сдвигать циркуль и закреплять
на том расстоянии, на котором он хочет его закрепить с различной сте-
пенью подвижности и неподвижности, так что если в нем окажется
изъян, его можно быстро исправить.
То, что мы упомянули, относится к определению правильности цир-
куля, когда чертеж мал и окружности меньше двух локтей. Если же
расстояние больше этого, то циркули при таких построениях колеблются,
поэтому нам нужно упомянуть колесный циркуль8, т. е. такой [цир-
куль], который укреплен на линейке. Если мы хотим изготовить колес-
ный циркуль, мы изготовим две ножки для малого циркуля, затем при-
крепим на линейке в двух точках два барашка и две ножки, каждую
на одном из концов линейки, на том расстоянии, на котором мы хотим
раскрыть циркуль. Если угодно, проделаем на середине линейки по
-5 прямой линии II много отверстий и будем прикреплять к ним ножку,
которой циркуль чертит линию, на том расстоянии, на котором мы хо-
тим раскрыть циркуль. Затем поставим неподвижную точку в том
месте, где мы хотим получить центр круга, а второй ножкой опишем
круг. Вот чертеж этого.
II ЙЗ I
[Ш] Если угодно, прикрепим на одном из концов линеики острый
гвоздь, этот конец будет [соответствовать] центру, а на другом конце
проделаем отверстия на расстояниях, [равных тем или иным делениям]
58
линейки. Таким образом можно описывать и малые и большие [окруж-
ности] и отделить построение больших и малых (окружностей]. Вот
чертеж этого.
Ill из I
[IV]	Построение угольником. Что касается угольника9, то это —
прямой угол. Он необходим »при построении квадратов. Имеется много
способов лучшего и худшего выполнения этого. Коснемся здесь кратко
некоторых из этих способов, чтобы не слишком удлинять книгу. Вот
чертеж одного из них.
[V]	Если мы хотим сделать угольник с правильным прямым углом,
проведем прямую линию, например АВ, произвольной длины и опишем
из ее концов два равных круга, пересекающихся в точках С и D. Соеди-
ним С с D, тогда CD пересечет АВ в точке Е и каждый из образую-
щихся при этом углов—прямой10. Вот чертеж этого.
V ив I
[VI]	О построении угольника. Если мы хотим это, построим на ли-
нии АВ полукруг и отметим на нем произвольную точку, например
точку С. Проведем из нее линии к точкам || А и В. Получим прямой 6
угол ЛСВ 11 Вот чертеж этого.
59
[VII]	Если говорящий сказал: мы хотим построить в конце линии
.45 в точке А прямой угол -при невозможности продолжения линии АВ
в ее направлении в сторону точки Л, то как построить ее? Отметим на
линии АВ точку С в произвольном месте и, раскрыв циркуль по величине
расстояния АС, опишем из точек А и С два круга, пересекающиеся в
точке D. Соединим С с D и продолжим CD в ее направлении до точ-
ки Е так, чтобы DE была равна линии CD. Соединим А с Е. Получит-
ся прямой угол А 12. Вот чертеж этого.
[VIII]	О (построении угольника в конце линии. Если угодно, опишем
на линии АВ полукруг и разделим его пополам в точке С, как объяс-
ним далее. Соединим ВС и продолжим ВС в ее направлении до D так.
чтобы DC была равна СВ. Соединим AD. Получится прямой угол
РЛВ13. Вот чертеж этого.
[IX]	Определение правильности угольника. Если мы имеем уголь-
ник и хотим узнать, правильный ли его прямой угол или нет, то этс
можно сделать при помощи построения, упомянутого нами перед этим.
Пример этого. Если мы хотим узнать, является ли в угольнике, по-
строенном на АВ, его угол при точке А прямым или нет, то отметим на
прямой АВ точку D и, воспользовавшись способом, который мы изло-
жим далее, построим пересечение двух кругов [с центрами в точках D
7 и Л] — точку G. Тогда соединим G и D и продолжим GD до точки || С.
построим линию GC, равную линии GD и рассмотрим точку С. Если
она попадет на линию АЕ, то угол—прямой, т. е. угольник правильный,
если она попадет вне линии АЕ, то угол — острый, т. е. меньше прямо-
го, если же она попадет внутри линии АЕ, то угол-- тупой, т. е.
больше прямого 14. Вот чертеж этого.
60
[X]	Второй способ определения правильности угольника, принад-
лежащий ремесленникам. Ремесленники применяют другие способы
проверки правильности угольника, а именно: если они хотят определить
правильность угла А угольника, они откладывают в сторону АЕ от точ-
ки А циркулем три равные меры некоторой величины, откладывают в
сторону АВ четыре меры той же величины и соединяют конечные поло-
жения обеих мер линией. Тогда если эта линия содержит пять мер, тс
угол угольника действительно прямой; если в линии больше пяти ча-
стей, то угол — тупой, а если меньше пяти, то угол — острый ,5. Вот
чертеж этого.
[XI]	Другой способ проверки угольника. Можно рассматривать и
другие способы этого, как например: если мы отложим на линии АЕ
пять мер, а на линии АВ — двенадцать мер и соединим конечные точ-
ки гипотенузой, то, если она содержит тринадцать мер, угол угольника
правильный, если же не так, то имеется ошибка 16. Вот чертеж этого.
61
Глава вторая
О ПРИНЦИПАХ, О КОТОРЫХ СЛЕДУЕТ УПОМЯНУТЬ ПРЕЖДЕ ВСЕГО
[I]	Если он сказал: как разделить пополам прямую линию или дугу
# круга, || например линию АВ и дугу [ЛВ]. то примем точки ее концов за
центры и опишем два равных круга, пересекающихся в точках D и С
Соединим их прямой линией DC. Она разделит линию АВ или дугу
пополам в точке Е 17. Вот чертеж этого.
[II]	Другой способ деления линии пополам и на большее число
частей. Если он сказал: как разделить прямую линию пополам, на три
равные части или на большее число частей, то пусть это — линия АВ
Восставим в точке А линию АС под прямым углом, если угодно, с по-
мощью построения, если угодно, с помощью угольника. Восставим при
точке В линию BD в другую сторону также под прямым углом. Тогда,
если мы хотим разделить линию АВ пополам, сделаем линию [В]О рав-
ной линии АС и проведем линию CD, которая пересечет линию АВ в
точке Е пополам. Вот чертеж этого.
II из II
[III]	Если же мы хотим разделить линию Л В на три равные части
го добавим к линии BD линию DG, равную линии BD, и проведем ли-
нию CG, которая отсечет от линии АВ линию АН — ее треть. Далее
добавим к линии АС равную [ей] линию CF и соединим F и D Линия
FD отсечет от линии АВ линию ЕН — другую треть, останется линия
ЕВ -третья треть. Таким образом мы разделим линию АВ на три пя-
сти 18 Вот чертеж этого.
III из II
62
Если мы хотим разделить линию АВ на четыре равные части, или
9 пять равных частей, или другое число частей, [то поступаем] || таким же
образом.
Если мы хотим отложить треть, или четверть, или какую-нибудь
[другую] долю, то произведем построение, разъясненное в этой главе.
[IV]	Если он сказал: как разделить данный прямолинейный угол,
например АВС, пополам, то примем точку В за центр и опишем (из нее]
на произвольном расстоянии [круг]. Этот круг пересечет две прямые
[являющиеся сторонами угла] в двух точках D и Е. Затем примем точки
D и Е за центры и опишем [из них] два равных круга, пересекающихся
в точке G. Соединим точки В и G линией BG. Тогда прямолинейный
угол АВС будет разделен линией BG пополам 19. Вот чертеж этого.
[V]	Если он сказал: как провести из точки А к линии ВС линию,
стоящую на ней под прямым углом, то опишем из центра А круг, пе-
ресекающий линию ВС в двух местах — в точках D и Е. Разделим ли-
нию DE пополам в точке G и проведем линию AG. Тогда каждый из
твух углов при точке G —прямой20. Вот чертеж этого.
V .из II
[VI]	Если он сказал: как провести в пространстве из точки А ти-
нию к плоскости, например к плоской стене, к участку земли или к кры-
ше, стоящую на ней под прямым углом, то проведем в этой плоскости
произвольную линию — линию ВС, опишем из центра А круг, пересе-
VI из II
63
кающий линию ВС в точках D и Е, разделим DE пополам в точке G и
проведем из нее линию HGF под прямым углом к ВС. Опишем также из
центра А круг, пересекающий линию HGF в точках 1 и К, разделим
линию IK пополам в точке L и соединим А и L. Тогда линия AL стоит
на этой плоскости под прямым углом 21.
Если имеется плоский участок земли и если ремесленники опускают
10 из [некоторой] точки отвес || на эту плоскость, то место паления отвеса
является основанием перпендикуляра. Вот чертеж этого.
[VII]	Если он сказал: как построить угол, равный прямолинейному
углу АВС, на линии DE при точке D, то примем точку В за центр и
отметим на одном и том же [расстоянии] А и С. Примем также точку
D за центр и на том же расстоянии опишем дугу [EG]. Примем точку
Е за центр, на расстоянии АС отметим G и соединим D и G. [Получим
угол EDG] равный углу АВС22. Вот чертеж этого.
VII из II
[VIП] Если он сказал: как провести через точку А линию, парал-
лельную прямой линии ВС, то отметим на линии ВС произвольную
точку D, проведем AD, отметим на расстоянии DA от центра D точку Е,
,а из центра А на расстоянии AD опишем дугу DG. Затем отметим на
расстоянии АЕ от центра D точку Н и соединим АН. Получится \АН]
линия, параллельная ВС23. Вот чертеж этого.
[IX]	Если мы хотим построить эту линию с помощью более легкого
^способа ремесленников, то расположим линейку на линии ВС, уста-
новим циркуль по некоторой величине, и если одна ножка циркуля бу-
дет двигаться вдоль линейки, а другая ножка будет двигаться из точки
А, то линия, описываемая этой ножкой, будет параллельна линии ВС.
.'Вот чертеж этого
А
*
D
[IX из И]
В
.64
[X]	Если он сказал: как найти центр круга, то отметим на его
кружности точки А и В и опишем на расстоянии АВ два равных круга,
которые пересекутся в точках D и Е. Проведем линию DE и продолжим
^е до пересечения с кругом в точках С и G, затем разделим линию CG
пополам в точке Н. Тогда точка И является центром круга24. Чертеж
4того на следующей странице.
|| Построение этой задачи возможно и другим способом. Отложим 11
дугу АВ, построим на линии АВ при точке В прямой угол АВС, соеди-
ним АС и разделим АС пополам в точке D. Тогда точка D— центр кру-
25. Вот чертеж этого.
Таковы действия для определения центра круга.
[XI]	Если он сказал: как дополнить часть круга [до полного круга],
то построим часть ЛВС, разделим ее пополам в точке В, проведем
линии АВ и ВС и построим при каждой из точек Л и С .на линиях АВ и
ВС прямые углы, а именно BAD и BCD. Проведем BD и разделим ее
иополам в точке Е Тогда точка В —центр дуги АВС26. Вот чертеж
'-’того.
XI из п
[XII]	Если он сказал: как провести из точки А касательную к кругу
ВС. центром которого является точка D, то проведем линию AD; она
пересечет круг ВС в точке В. Опишем из центра D на расстоянии DA
круг АЕ. Построим при точке В прямой угол АВЕ и проведем ED, пере-
секающую круг ВС в С. Соединим Л и С. Тогда линия АС— касатель-
ная к кругу ВС27. Вот чертеж этого.
П ч V
XII из II
г Заказ 338
65
[XIII]	Если он сказал: как провести касательную из точки А на
окружности круга АВС, то соединим точку А с центром круга точкой
D, [т. е.] соединим А и D линией AD. Построим три точке А на линии
AD прямой угол DAE. Тогда линия АЕ — касательная к кругу ЛВС28
Вот чертеж этого.
XII I из II
12
[XIV]	Если он сказал: как построить между линиями АВ и АС тре
угольника АВС линию, параллельную ВС и равную данной линии D [и
если линия ВС больше линии В, то отложим на линии ВС линию ВЕ,
равную D, а если линия ВС меньше линии D, то продолжим линию ВС
в ее направлении до такой точки В, что ВЕ равна D]. || Проведем из
точки Е линию, параллельную линии АВ; это — линия EG. Она пересе-
чет линию АС в точке G. Проведем из точки G линию, параллельнук
линии ВС; это — линия GH. Тогда линия GH равна линии D и парал-
лельна линии ВС2\ Вот чертеж этого.
XIV из II
[XV]	Если он сказал: как тровести между линиями АВ и АС тре-
угольника АВС линию, параллельную линии ВС, например линию DE
равную отрезку, отсекаемому ею на линии АВ, т. е. равную линии ЕВ,
то разделим угол АВС пополам линией BD и проведем из точки D ли-
нию DE, параллельную линии ВС. Тогда линия DE равна линии ЕВ3(}
Вот чертеж этого.
XV из П
66
[XVI]	Если он сказал: как провести в треугольнике АВС линию,
например линию DE, параллельную линии ВС и равную BEF, то отло-
жим на линии ВС линию BG, равную линии [Е]В, [проведем через точ-
ку G линию GH, параллельную АВ\ проведем из точки G линию, [деля-
щую] угол HGC пополам, — линию GD и проведем из точки D линию
DE, параллельную линии ВС. Тогда линия DE параллельна линии ВС
и равна BEF3[. Вот чертеж этого.
А
XVI из II
[XVII]	О построении треугольника, равного другому треугольнику.
Если он сказал: как построить треугольник со сторонами, равными сто-
ронам другого треугольника, [например, ЛВС], то проведем прямую ли-
нию DF и отложим DG, равную линии АВ, GH, равную линии ВС, и
HF, равную линии СА. Примем точку G за центр и на расстоянии GD
опишем часть круга, примем также точку Н за центр и на расстоянии
HF [опишем] часть круга. Первая часть пересечет [вторую] в [точке] /.
Далее проведем линии GI и 1Н. Тогда в треугольнике GIH стороны
равны сторонам треугольника [ЛВС]32. Вот чертеж этого.
[XVII .из II]
[Х\ III] О делении угла на три равные части. Если он сказал: как
разделить угол АВС на три равные 1| части, то, если угол прямой, 13
построим на линии ВС равносторонний треугольник DBC, Тогда угол
ABD — треть прямого угла, а остаток DBC — две трети прямого33. Вот
чертеж этого.
XVIII из II
[XIX]	Если угол АВС меньше прямого [угла], то примем точку В за
центр и опишем на расстоянии ВА круг DAC. Поставим BD на ВС под
6Г
5*
прямым углом и продолжим СВ [до пересечения с кругом] в [точке] £.
Приложим линейку к точке А и будем двигать ее по окружности круга
CDE до тех пор, пока линия HF, которая находится между перпендику-
ляром DB и дугой DE, не станет равной линии DB. причем линейка
не сойдет с точки А. Далее построим дугу ЕК, равную дуге EF, прове-
дем КВ и продолжим ее в ее направлении до точки [£]. Тогда угол
LBC — треть угла АВС. Далее разделим угол ABL пополам44. Вот
чертеж этого.
[XX]	Другой способ деления угла на три равные части. Построим
острый угол — угол АВС, опустим из точки А перпендикуляр АН на
линию ВС и проведем из точки [Л линию] AG параллельно ВС. При-
ложим линейку к точке В и будем двигать ее по линиям AG и АН
тех пор, пока линия, которая находится между линиями ДО и АНК т. е.
линия ED, не станет равной удвоенной линии АВ. Это, например, ли-
ния DEB, так что линия DE — удвоенная линия [ЛВ]. Тогда угол DBC —
треть угла ЛВС35. Вот чертеж этого.
[XXI]	О делении дуги на три равные части. Если он сказал: как раз-
делить дугу ABD на три равные части, то найдем центр круга, на ко-
тором [расположена] эта дуга. Пусть [это] — точка Е. Соединим А и В, Е
14 и D и разделим AED на три равные части || линиями ЕВ и ЕС, пересе-
кающими дугу ABCD в точках В и С. Тогда дуга ABCD будет разделе-
на на три равные части — дуги АВ, ВС и СО36. Вот чертеж этого.
£
XXI не II
68 :
[XXII]	О построении дома или шара, равных удвоенному другому
дому или шару или [взятых] в других [отношениях]. Если он сказал: как
построить квадратный [дом] с равными длиной, шириной и высотой,
являющийся удвоенным другим квадратным домом, или каким образом
построить шар, являющийся удвоенным другим шаром, или разделить
пополам или взять в других отношениях, то 'построим линию АВ [рав-
ную] длине дома или диаметру шара, построим линию АС, равную
[удвоенной] линии АВ под прямым углом, и дополним плоскую фигуру
ABCD. Проведем диагональ AD, разделим ее пополам в точке F и про-
должим линии DC и DB в их направлении. Установим край линейки на
точку А и будем двигать ее по [продолжениям] линий DC и DB до тех
пор, пока [она не пересечет их в таких точках £ и G, что] линии GF и
EF будут равны. Тогда длина дома или диаметр шара есть линия ВЕ37.
Вот чертеж этого.
[XXIII]	О построении зажигательного зеркала. Если мы хотим по-
строить зеркало, которое зажигает при помощи солнечных лучей [пред-
мет] на некотором расстоянии, то построим сначала лекало, определяю-
щее зеркало. Для этого проведем круг, полудиаметр которого равен ве-
личине расстояния, на котором мы хотим зажечь [предмет]. Пусть это —
круг АВС. Проведем его диаметр ADC. Отложим на линии DC от точки
С несколько равных отрезков. Чем эти отрезки меньше, тем будет луч-
ше и точнее лекало. Пусть это —отрезки CF, FH, HG, GE и ED. Про-
ведем через точки D, Е, G, Н и F линии под прямым углом [к CD] и
продолжим их в обе стороны до точек В, /, К. L и М. Соединим С и В,
С и /, С и К, С и L, С и М. Построим линию F.V, равную линии СМ,
линию НХ, равную линии CL, линию GO, || равную линии СК. линию 15
ЕР, равную линии С/, и линию DS, равную линии СВ. Соединим
точки С, /V, X, О, Р и S и выполним лекало по этой линии. Затем: из-
готовим зеркало из металла, например железа, бронзы, меди или цин-
ка, и, если возможно, отполируем его до блеска. Если зеркало полу-
чилось кривое, исправим его по лекалу, наложив лекало на зеркало
таким образом, чтобы точка С совпала с серединой лекала, и добьем-
ся того, чтобы зеркало совпало с лекалом. Тогда мы получим зажига-
тельное зеркало с большой зажигательной силой38. Вот чертеж этого
[См. стр. 70].
[XXIV]	Второй способ построения лекала для зажигательного зерка-
ла. Если мы хотим построить это, то построим произвольное расстояние*
пусть его половина — линия АВ, и продолжим ее в ее направлении до
точки С. Восставим в точке В линию DB перпендикулярно к ВС в обе
стороны и отложим на линии ВС равные малые линии — линии BE, EG,
69
<jH и НС. Разделим АЕ пополам в точке F и из центра F на расстоя-
нии FA опишем круг. Он пересечет линию BD в точках 1. Проведем из
точек / линии 1L, параллельные линии АС, а из точки Е— линию, па-
раллельную линии BD, до точек L. Затем разделим линию AG пополам
в точке М и из центра М на расстоянии МА опишем круг. Он пересечет
линию BD в точках N. Проведем из точек N линии NX, параллельные
линии АС, до точек X. Затем разделим линию АН пополам в точке О
и из центра О на расстоянии ОА опишем круг. Он пересечет BD в точ-
16 ках Р. Проведем из точек Р линии, параллельные линии ВС, до точек ||
Z. Соединим точки В, L, X и Z линией и получим лекало. Если мы про-
веряем лекало, мы поместим его в точку В в середину зеркала. Таким
образом мы получим зажигательное зеркало39. Вот чертеж этого.
70
Глава третья
О ПОСТРОЕНИИ РАВНОСТОРОННИХ ФИГУР
[I]	О построении треугольника. Если он сказал: как (построить на
линии ЛВ равносторонний треугольник, то из каждой из точек А и В
как из центров опишем на расстоянии АВ круги. Они пересекутся в
т-.чке С. Соединим точку С с точками А и- В линиями С А и СВ. Полу-
ится равносторонний треугольник АВС40. Вот чертеж этого.
I из III
[II]	О построении квадрата. Если он сказал: как построить на ли-
нии ЛВ равносторонний [и равноугольный] четырехугольник, то восста-
вим в каждой из точек А и В перпендикуляры, равные линии АВ; это —
линии АС и BD Соединим С и О. Получим равносторонний [и равно-
угольный] четырехугольник ABCD41. Вот чертеж этого.
[II из III]
[III]	О построении пятиугольника. Если он сказал: как построить
на линии АВ равносторонний пятиугольник, то восставим в точке В
перпендикуляр ВС, равный линии АВ. Разделим [линию] АВ пополам
в точке О, опишем из точки D как из центра на расстоянии DC дугу СВ,
продолжим линию АВ до точки Е. Затем из каждой из точек А и В как
из центров опишем на расстоянии АЕ дуги. Они пересекутся в точке G.
Проведем линии AG и BG. Получим треугольник АВС — треугольник
пятиугольника. В нем нуждаются во многих построениях. Затем из точек
4 и G как из центров на расстоянии АВ опишем дуги; они пересекутся
в точке Н. Затем также из точек В и 6 как из центров опишем дуги,
пересекающиеся в точке В. Проведем линии АН. || HG. GF и FB. Полу- 17
чим равносторонний и равноугольный пятиугольник ABFGH^2. Вот чер-
/еж этого. [См. стр. 72.]
[IV]	Если он сказал: как построить на линии АВ равносторонний
пятиугольник, имея [только] раствор циркуля, равный линии АВ, так,
чтобы его положение не изменялось, то восставим на линии АВ линию
ВС перпендикулярную к ней и равную линии АВ. Разделим линию АВ
пополам в точке D. соединим с С, отложим [на ней] линию DI. равную
линии АВ, разделим [D1] пополам в точке К и восставим в точке К пер-
пендикуляр КЕ. пересекающий линию АВ в точке Е. Далее из каждой
из точек А и Е как из центров на расстоянии АВ опишем дуги, которые
пересекутся в точке М Проведем ВМ и продолжим ее в ее нашравле-
71
Ill И!3 I'll
нии до G и сделаем MG равной линии АВ. Соединим А и О. Примем
точки Л и G за центры и на расстоянии АВ отметим точку Н. Примем
точки В и G за центры и на расстоянии АВ отметим [точку] F. Проведем
линии АН. HG. GF и FB. Получится равносторонний пятиугольник
ABFGH43. Вот чертеж этого.
[IV из III]
[V]	О построении шестиугольника. Если он сказал: как построить
равносторонний и равноугольный шестиугольник на линии АВ, то по-
строим для этого равносторонний треугольник; это — треугольник АВС
Продолжим линии АС и ВС в их направлении до точек Е и G. Постро-
им на ВС еще один равносторонний треугольник BCD. Продолжим ли-
нию DC в ее направлении до точки Н, сделаем линии СЕ, HG, СН и CD
равными линии СА и проведем линии DE, EG, GH и НА. Получится
равносторонний и равноугольный шестиугольник ABDEGH44. Вот чер-
теж этого.
72
|| [VI] О построении семиугольника. Если он сказал: как построить 18
на линии АВ равносторонний семиугольник, то сделаем линию ВС рав-
ной линии АВ, построим на линии АС равносторонний треугольник DAC
и опишем около треугольника ADC круг, как .показано в пятой главе.
Проведем в нем хорду — линию АЕ, равную линии АВ, и разделим АЕ
пополам в точке G, восставим перпендикуляр GH и продолжим его до
окружности круга. Разделим АВ пополам в точке F, восставим в ней
перпендикуляр F1, равный перпендикуляру GH. Проведем через точки
А, В и / круг АВ1 и отложим [на нем] дуги АК, KL, LI, IM, MN и NB,
равные дуге АВ. Проведем линии АК, KL, LI, IM, MN и NB; это — рав-
носторонний и равноугольный семиугольник45. Вот чертеж этого.
VI из III
[VII]	О построении восьмиугольника. Если он сказал: как построить
равносторонний восьмиугольник на линии АВ> то продолжим АВ в ее
направлении до точек С и D и построим при каждой из точек А и В
углы ЕАС и GBD, [равные] половине прямого. Сделаем каждую из ли-
ний АЕ и BG равной линии АВ, опустим из каждой точки Е и G пер-
пендикуляры ЕС и GD на линию DC и дополним квадрат CHKJD. Сдела-
ем каждую из линий HI, HF, KL и КМ равной линиям СЕ и GD и
соединим I и F, L и М. Получится равносторонний восьмиугольник
ABGMLFIE^. Вот чертеж этого.
VII .из III
[VIII]	Если он сказал: как построить на линии АВ равносторонний
восьмиугольник, имея [только] раствор циркуля, равный раствору линии
АВ, так, чтобы его положение не изменялось, то построим на линии АВ
равносторонний и равноугольный четырехугольник ABCD, || проведем 19
линии DB и СА и продолжим их в их направлении до точек Е и G.
73
Сделаем каждую из линий АЕ и BG равной линии АВ, соединим EG,
восставим к линии EG перпендикуляры EI и GM, равные линии АВ, и
соединим М и 1. Продолжим каждую из линий EI и GM в их направле-
нии до точек К и Н и разделим каждый из углов Ml К и 1МН пополам
линиями ML и IF. Сделаем каждую из линий ML и IF равной линии АВ
и соединим FL. Получится равносторонний и равноугольный восьми-
угольник ABGMLFIE47. Вот чертеж этого.
VIII из III
[IX]	О построении девятиугольника. Если он сказал: как построить
на линии АВ равносторонний и равноугольный девятиугольник, то опи-
шем круг CDE произвольного размера с центром в точке G, отметим на
нем точку С, примем ее за центр и на расстоянии полудиаметра круга
отметим [точки] Е и D. Разделим дугу DE на три равные части. Пусть
одна такая дуга — ЕН. Проведем линии EG, ЕН и HG. Проведем меж-
ду линиями EG и HG линию FI, равную линии АВ и параллельную ли-
нии ЕН. Примем точки А и В за центры и на расстоянии FG опишем
круги, которые пересекутся в точке К. Примем точку К за центр и на
расстоянии КА [опишем] круг ABL. Разделим дугу ALB на восемь рав-
ных частей и соединим эти [точки деления] хордами. Получится равно-
сторонний и равноугольный девятиугольник на линии Л В48 Вот чер-
теж этого.
{IX из III]
20	|| [X] О построении десятиугольника. Если он сказал: как построить
па линии АВ десятиугольник, то разделим линию АВ пополам в точке С,
восставим перпендикуляр BD в точке В, равный линии АВ, примем
точку С за центр и на расстоянии CD отметим Е на линии АВ Далее
74
каждой из точек А и В как из центров на расстоянии АЕ опишем две
дуги, пересекающиеся в точке G. Примем точку G за центр круга, в ко-
торый [вписан] десятиугольник, сторона которого — линия АВ. Поэтому
если мы опишем с центром G на расстоянии AG круг ABFH, продолжим
линии AG и GB в их направлении [до окружности круга] до точек F и Я,
разделим каждую из дуг АН и BF на четыре равные части и соединим
точки деления хордами, тогда получим равносторонний и равноуголь-
ный десятиугольник49. Вот чертеж этого.
[XI] Если он сказал: как построить на линии АВ десятиугольник с
равными сторонами и углами, имея [только] раствор циркуля, [равный]'
линии АВ, то построим на ней [треугольник] пятиугольника, как показа-
но выше в четвертом предложении. Пусть точка G — [вершина] угла,
противолежащего линии АВ. Соединим линиями А и G, В и G. Примем
точку G за центр и на расстоянии АВ опишем круг CDFH. Продолжим
линии AG, BG в их направлении до окружности круга до точек F и Н.
Разделим каждую из дуг CF и DH на четыре равные части, [получим]
XI из Ш
75
части FI, IK, KM, MC, HL, LN, NX, XD, проведем линии GF, GI, GK,
GM, GL, GN, GX, GD, GC, [GH] и прибавим на каждой из этих линий,
выходящих из центра, начиная от круга CDHF, линии, равные линии AD.
Это — линии, на концах которых 00. Соединим их прямыми линиями
между собой и точками А и В. Получится равносторонний и равно-
угольный десятиугольник Л ВО50. Вот чертеж этого.
21	Глава четвертая
О ПОСТРОЕНИИ ФИГУР, ВПИСАННЫХ В КРУГИ
Знай, что ремесленники строят фигуры, вписанные в окружности и
описанные около них, путем деления окружностей на сколько угодно'
[равных] частей. Например, для построения пятиугольника, вписанного’
в круг, делят его на пять равных частей, соединяют места деления и
проводят из мест деления линии, касающиеся круга, и таким образом
строят вписанный в круг пятиугольник с равными сторонами и углами
и [такой же пятиугольник], описанный около него. Это построение не-
сложно для шестиугольника даже для неумелых ремесленников. При хо-
рошем искусстве ремесленник ударяет, вращая, парой чеканов, соеди-
ненных на [расстоянии, равном] величине стороны -пятиугольника, шести-
угольника, десятиугольника и других фигур, в соответствии с тем, что
мы доказали в этой книге. Тот, кто производит деление, раздвигая и
сдвигая циркуль много раз, достигает желаемого только с большим
трудом и лишь приближенно. Если же поступать так, как мы указали,
следуя при определении сторон этих фигур по пути известного искус-
ства, для которого известны геометрические доказательства, то знай,
что если ты построишь одну из этих фигур, вписанную в круг, и твое
построение этой фигуры будет правильно, то, если ты проведешь из мест
дечения линии, касающиеся круга, на чертеже получится фигура, опи-
санная около него. Что касается кругов, описанных около фигур и впи-
санных в фигуры, то они различны, а о каждом из них в этой книге
доказано, как его нужно строить.
[I] Построение треугольника, вписанного в круг. Если он сказал:
как построить вписанный в круг треугольник с равными сторонами, то
построим крут АВС с центром в точке D, проведем в нем диаметр ADE,
примем точку Е за центр и на расстоянии ED отметим точки В и С,
соединим линиями [точки] А, В и С. Тогда получим равносторонний тре-
угольник ЛВС51. Вот чертеж этого.
22 [II] Построение треугольника, описанного около крута. || Если мы
хотим описать около круга АВС равносторонний треугольник, то впишем
76
в него равносторонний треугольник АВС, проведем из каждой из точек
А, В и С касательные линии до встречи в точках G, Я. F. Тогда получим
равносторонний треугольник HGF52. Вот чертеж этого.
{II из IV]
IIII] Построение квадрата, вписанного в круг. Если он сказал: как
вписать в круг равносторонний и равноугольный четырехугольник, то
построим круг AB[C]D, проведем в нем диаметры АС и BD, пересекаю-
щиеся под прямым углом, проведем линии АВ, ВС, CD, DA. Тогда по-
лучим равносторонний [и равноугольный] четырехугольник ЛВС/)53. Вот
чертеж этого. [См. ниже.]
[IV]	Если он сказал: как вписать в круг равносторонний [и равно-
угольный] четырехугольник, имея раствор циркуля, [равный] полудиамет'
ру круга ABCD, то проведем диаметр АС. Примем точку А за центр и
раствором циркуля [отметим] точки Е и G, соединим Е и G. Примем
точку С за центр и на расстоянии АЕ отметим Я и В, соединим Я и В.
Проведем линии KG и IF, они пересекутся в точке М Соединим
точки М и центр и продолжим эту линию в ее направле-
нии до точек В и D. Соединим АВ, ВС, CD, DA. Получится равносто-
ронний [и равноугольный] четырехугольник ЛВС/)54. Вот чертеж этого.
[V]	Если угодно, отметим на окружности точку подобно тому, как
было раньше. Далее [тем же] раствором отметим две части окружности,
на которой отмечена точка Л; назовем их АВ и ВС. Разделим ВС по-
полам в точке D Соединим О и Л, восставим в каждой из них перпен-
дикуляры [к DA] до бесконечности: Они пересекут круг в точках Е и G.
77
Jалее соединим EG, как на этом чертеже. Эта фигура — на чертеже на
противоположной странице.
23
[VI]	Если угодно, примем точки А и С за центры и [тем же] рас-
твором циркуля отметим [точки] Е, G, Н и F. Проведем линии EG и
HFt пересекающие линию АС в точках / и К. С центрами [в этих точках]
и на расстоянии [раствора циркуля опишем] два круга, пересекающиеся
в точках L и М. Соединим между собой L и М, продолжим [ZJW] до то-
чек В и D. Проведем линии АВ, ВС, CD и DA. Получим равносторонний
и равноугольный четырехугольник. Вот чертеж этого.
[\ II] Если угодно, примем точки Е, G, Н, F за центры и опишем
круги, пересекающиеся в точках I и К. Проведем линию /К, она пере-
сечет круг в точках В и D. Проведем линии АВ, ВС, CD и DA, Тогда
получим равносторонний [и равноугольный] четырехугольник ABCD
Вот чертеж этого.
VII из IV
78
Если угодно, соединим точки Л, F и С, G. Линии, соединяющие
точки Л, F и С, G, пересекаются в точке М. Соединим ее с центром, про
должим эту линию до точек В и D. Вот чертеж этого.
[VIII]	Построение пятиугольника, вписанного в круг. Если он ска-
зал: как построить вписанный в круг пятиугольник с равными сторонами
[и углами], то примем за центр точку £>, проведем [диаметр] ADC, вос-
ставим в точке D перпендикуляр DB, разделим AD пополам в точке Е,
примем точку Е за центр и на расстоянии ЕВ отметим точку G, примем
точку В за центр и на расстоянии BG отметим точку F. Тогда получим
дугу BF — одну пятую круга. Построим дугу IF, IK, КН и НВ, равные
дуге BF, проведем || линии BF, FI, IK, КН, НВ, тогда получим равно- 24
сторонний и равноугольный пятиугольник BFIKH55. Вот чертеж этого.
[IX]	Если он сказал: как построить вписанный в круг АВС равно-
сторонний [и равноугольный] пятиугольник раствором циркуля, равным
полудиаметру, и [если] центр круга — D, то построим на линии DA тре-
угольник, который строился при построении пятиугольника на линии АВ.
Пусть это — треугольник ADG, он пересекает круг АВС в точке С.
Разделим дугу АВС на четыре равные части в точках В, Н, Е и С,
проведем линии АС, СЕ, ЕН, НВ и ВА. Тогда получим пятиугольник с
равными сторонами [и углами] АСЕНВЪ&. Вот чертеж этого.
IX из IV
79>
[X]	Другой способ построения пятиугольника, вписанного в Kpyi
Восставим к линии DA перпендикуляр АЕ, равный линии DA, разделим
линию DA пополам в точке G, проведем GE, отложим линию GH, рав-
ную линии AD, разделим ее пополам в точке F, восставим перпендику-
ляр FI, пересекающий /)4 в точке I, Примем точку / за центр и на рас-
стоянии DA отметим М и L. Тогда дуга ML — одна пятая круга. Вот
чертеж этого.
{X из IV]
[XI]	Построение шестиугольника, вписанного в круг. Если он ска-
зал: как вписать в круг равносторонний [и равноугольный] шестиуголь-
ник, то проведем [полу]диаметр AD, из каждой из точек А и D как из
центров на расстоянии полудиаметра отметим В и Н, Е и G. Проведем
линии АВ, BE, ЕС, CG, GH и НА. Получим равносторонний и равно-
угольный шестиугольник ABECGH^7. Вот чертеж этого.
25	|| [XII] Построение семиугольника, вписанного в круг. Если он ска-
зал: как построить вписанный в круг равносторонний [и равноугольный]
семиугольник, то 'проведем диаметр ADC, примем точку А за центр и на
расстоянии AD, т. е. полудиаметра, отметим В и Е, проведем BE, она
пересечет линию АС в точке G. Примем точку В за центр и на расстоя-
нии BG отметим [точку] Н. Тогда дуга ВН— одна седьмая круга при-
ближенно. а не точно. Поэтому если разделить круг АВСЕ на части,
равные дуге ВН, соединить между собой места деления, то получим рав-
носторонний [и равноугольный] семиугольник BHFlKL{M]b3 Вот чер-
теж этого.
80
XII из IV
[XIII]	Построение восьмиугольника, [вписанного в круг]. Если он
сказал: как вписать в круг равносторонний и равноугольный восьми-
угольник, то построим в нем равносторонний и равноугольный четырех-
угольник, разделим каждую дугу пополам и соединим места деления
прямыми линиями с новыми [точками]. Получится равносторонний [и
равноугольный] восьмиугольник. Вот чертеж этого.
XIII из IV
[XIV]	Построение девятиугольника, вписанного в круг. Если он ска-
зал: как вписать в круг равносторонний [и равноугольный] девятиуголь-
ник, то впишем в круг равносторонний треугольник, разделим каждую
дугу на три равные части и соединим места деления прямыми линиями.
Получим равносторонний и равноугольный девятиугольник. Вот чертеж
этого.
XIV из IV
[XV]	Построение десятиугольника, вписанного в круг. Если он ска-
зал: как вписать в круг десятиугольник, то, если угодно, впишем в него
пятиугольник, разделим каждую из дуг пополам [и соединим линиями
6 Заказ 338
81
точки деления], получится вписанный десятиугольник. Если угодно,
26 впишем пятиугольник подобно построенному ранее, а затем, || как рань-
ше, [построим] линию DG. Это — хорда десятиугольника. Разделим круг
на части, равные линии DG, и соединим между собой прямыми линия
ми места деления. Получится десятиугольник 5Ч Вот чертеж этогг
Глава пятая
О ПОСТРОЕНИИ КРУГА, ОПИСАННОГО ОКОЛО ФИГУРЫ
[I]	Если он сказал: как описать около треугольника АВС круг или
как провести круг через три различные точки, не лежащие на одной
линии, то эти два вопроса имеют один и тот же смысл. Примем точки А
и В за два центра и построим два круга, пересекающиеся в точках D
и Е. Проведем линию DE. Далее из точек А и С, как из точек А и В
опишем два круга, пересекающиеся в точках G и //, проведем линию
GH. [Линия GH] пересекает линию DE в точке F. Тогда получим точку
F — центр круга, которая обладает [свойством равно отстоять] от точек
1, В и С60. Вот чертеж этого.
1 из V
[II]	О построении круга, описанного около треугольника. Восставим
из точек А и С к линиям АВ и ВС перпендикуляры AD и DC\ они пере-
секаются в точке D; проведем BD и разделим ее пополам в точке Е,
тогда точка Е — центр искомого круга, [проходящего] через точки Д В
и С, Вот чертеж этого.
82
[Ill]	О построении круга, описанного около квадрата. Если он ска-
зал: как описать около квадрата ABCD круг, то проведем диагонали
АС и BD, пересекающиеся в точке Е Получим точку Е — центр круга»
проходящего через точки Д, В, С и £>6t. Вот чертеж этого.
III из V
[IV]	О построении круга, описанного около пятиугольника. Если он
сказал: как описать около пятиугольника ABCDE круг, || то примем точ-
ки А и В за центры двух произвольных кругов, пересекающихся в точ-
ках G и Н, проведем линию GH. Далее примем также точки В и С за
центры произвольных кругов, пересекающихся в точках / и К. Прове-
дем [линию] /К пересекающую линию HG в точке L. Тогда точка L —
центр круга, проходящего через точки Д, В, С, О и Е62. Вот чертеж
этого.
27
В
[IV из VI
83
[V]	О построении круга, описанного около шестиугольника. Если он
сказал: как описать около шестиугольника ABCDE[G] круг, то опишем
из каждой из точек А и В как из центров на расстоянии АВ два круга,
пересекающихся в точке Н. Тогда точка Н — центр круга, проходящего
через точки A, В, С, D, Е, [G]63. Вот чертеж этого.
V из V
IVI] Если дана (равносторонняя] фигура с большим числом сторон
и углов, то, чтобы описать около нее круг подобно описанному около
пятиугольника, разделим стороны пополам, проведем перпендикуляры.
Это построение не отличается от построения круга, описанного около
пятиугольника [для фигуры] с большим или меньшим числом сторон.
Глава шестая
О ПОСТРОЕНИИ КРУГА, ВПИСАННОГО В ФИГУРЫ
[I] Если он сказал: как построить вписанный в треугольник АВС
круг, то примем точку В за центр и отметим на линиях АВ и ВС
[точки] D и Е, Из каждой из этих [точек] как из центров [построим] два
произвольных круга, пересекающихся в точке G, проведем линию BG
Далее примем точку С за центр и отметим на линиях АС, СВ [точки]
Н и F\ из точек Н и F как из центров [построим] два произвольных кру-
га, пересекающихся в точке /, соединим [/ с С]. Линия CI пересекает
линию BG в точке К. Получим точку К — центр круга, вписанного в
треугольник ЛВС64. Вот чертеж этого.
28	|| [II] Обратное построение. Чтобы вписать круг в равностороннюю
и равноугольную фигуру, разделим два ее угла пополам. Пересечение
линий дает центр круга, вписанного в треугольник [четырехугольник,
пятиугольник и т. д.].
84
Глава седьмая
О ПОСТРОЕНИИ НЕКОТОРЫХ ФИГУР, ВПИСАННЫХ В НЕКОТОРЫЕ
ДРУГИЕ ФИГУРЫ
[I]	Построение треугольника, вписанного в квадрат. Если он сказал:
как построить равносторонний треугольник, вписанный в равносторон-
ний четырехугольник, то построим такой квадрат, стороны которого со-
держали бы указанные углы, как, например, стороны квадрата ABCD
содержат углы треугольника BFH. Построим квадрат ABCD. продол-
жим линию DC до точки Е и сделаем СЕ равной CD. Построим на ли-
нии ED полукруг, примем точку D за центр и на расстоянии DC от-
метим [точку] G. Далее примем точку Е за центр и на расстоянии EG
отметим Я, построим AF, равную DH, соединим В с F, В с Н, F с Н.
Получим равносторонний треугольник BFH, вписанный в квадрат
A BCD Вот чертеж этого.
[II]	О построении треугольника, вписанного в квадрат. Если угодно^
построим на [линии] BD равносторонний треугольник, разделим угол
EBD пополам пинией BG. разделим также угол GBD пополам линией
ВН сделаем линию AF равной линии DH, проведем линии ВН, BF и
FH. получим равносторонний и равноугольный треугольник BFH. впи-
санный в квадрат ABCD. Вот чертеж этого.
II из VII
[III]	О построении треугольника, вписанного в квадрат. Если угодно,
разделим каждую из линий AD и ВС пополам в точках Е и G, соединим
EG. примем точку А за центр и на расстоянии АВ опишем дугу ВН.
Отпожим линии CF и Л/, равные [удвоенной линии] GH Проведем || 29
85
линии DI, IF и FD\ получится равносторонний треугольник DFI, впи-
санным в квадрат ABCD Вот чертеж этого®5.
Ill из VII
[IV]	О построении треугольника, вписанного в квадрат. Начертив
квадрат, разделим каждую из линий AD и ВС пополам в точках ЕиН,
соединим ЕН, примем В за центр и на расстоянии ВС отметим [точку!
G, продолжим ЕН в ее направлении до точки F, так, чтобы GF была
равна BG, соединим BF, она пересечет AD в [в точке] К. Сделаем С1
равной ЛХ, проведем линии ВХ, BI и /X. Получим равносторонний
треугольник BKI, вписанный в квадрат ABCD. Вот чертеж этого.
[IV из VII]
[V]	О построении треугольника, вписанного в квадрат. Если мы хо-
тим построить это, опишем около квадрата ABCD круг, проведем диа-
метры BD и АС, шересекающиеся в точке Е, примем точку D за центр
и на расстоянии DE отметим [точки] Н и G, проведем линии BG и ВН.
пересекающие линии AD и DC в точках F и / [и соединим F1], Получим
равносторонний треугольник BF1. вписанный в квадрат A BCD. Вот
чертеж этого.
V из VII
[VI]	О построении треугольника, описанною около квадрата. Если
он сказал: как построить равносторонний треугольник, описанный около
квадрата ABCD, то построим на [линии] АВ равносторонний треугольник
АВЕ, продолжим линии ЕА, ЕВ в их направлении, продолжим также
линию CD в ее направлениях до пересечения [с продолжением ЕА, ЕВ]
в точках G и Н. Тогда получим равносторонний треугольник EGH6& Вот
чертеж этого.
[VII]	О построении квадрата, описанного около треугольника. Если
он сказал: как построить равносторонний и равноугольный четырех-
угольник, описанный около равностороннего треугольника, || то постро- Bq
им [равносторонний] треугольник АВС, разделим сторону АС пополам в
точке D, продолжим BD до Е. сделаем DE равной линии AD, соединим
Е с С, Е с А, опустим из точки В перпендикуляры BG и ВН на линии
ЕА и ЕН. Получится равносторонний и равноугольный четырехуголь-
ник BGEH, описанный около равностороннего треугольника АВС Вот
чертеж этого.
[VIII]	О построении квадрата, описанного около разностороннего
треугольника. Если он говорит: как описать около разностороннего
треугольника равносторонний [и равноугольный] четырехугольник, то
восставим из точки С перпендикуляр CD к линии СА, сделаем его рав-
ным ей, соединим D с В и продолжим [ЕВ] в ее направлении. Опустим
из точки С перпендикуляр СЕ на [линию] DB, проведем к СЕ из точки С
перпендикуляр СН, проведем из точки А линию, параллельную СЕ;
это — линия НА. Получим HGEC — равносторонний [и равноугольный]
четырехугольник, описанный около разностороннего треугольника АВС.
Вот чертеж этого.
87
VIII из VII
[IX]	О построении квадрата, описанного около треугольника. По-
строим треугольник ЛВС, опустим из точки А перпендикуляр AD на
линию ВС, сделаем АЕ равной линии ВС, соединим В с Е, опустим
из точки С перпендикуляр С[Н] на [продолжение] линии ВЕ, из точки
А — перпендикуляр AF на НС, из точки В — перпендикуляр ВК на ли-
нию AF. Получится равносторонний [и равноугольный] четырехугольник
B(//]F[/Q, описанный около треугольника АВС. Вот чертеж этого.
[X]	Другое построение. Если угодно, восставим из точки А к линии
АВ перпендикуляр AD, сделаем его равным стороне АВ. Построим тре-
угольник ADE, равный треугольнику АВС Тогда DE равна ВС, а АЕ
ы равна АС. Соединим ЕВ и опустим из || точки С перпендикуляр СН на
линию ЕВ, а из точки А опустим перпендикуляры AF и AG на линии ЕВ
и СН Тогда AGHF— квадрат67. Вот чертеж этого.
[XI]	О построении квадрата, вписанного в треугольник. Если он
сказал: как вписать в треугольник АВС равносторонний [и равноуголь-
ный] четырехугольник, то восставим из точки В перпендикуляр BD, рав-
ный линии ВС, и соединим AD; [ЛВ] пересекает ВС в точке Е. Восста-
вим из точки £ перпендикуляр EG к линии ЕВ, он пересекает линию АВ
88
в точке G. [Проведем] линию GH. параллельную линии ВС. и из точки Н
[опустим] перпендикуляр HF на линию ВС. Получится равносторонний
[и равноугольный] четырехугольник EGHF. вписанный в треугольник
ЛВС68. Вот чертеж этого.
А
XI из VII
[XII]	О построении квадрата, вписанного в разносторонний тре-
угольник. Восставим в точке В перпендикуляр BD. равный линии ВС.
Опустим из точки А перпендикуляр АЕ. соединим D с Е\ {DE\ пересекает
линию ЛВ в точке G; проведем через точку G линию GH. параллельную
линии ВС. и [опустим] перпендикуляры GF и HI на линию ВС, тогда
получим равносторонний и равноугольный четырехугольник GHIF. впи-
санный в треугольник ЛВС. Вот чертеж этого.
[XIII]	О построении квадрата, вписанного в равносторонний тре-
угольник. Если угодно, то построим на ВС квадрат BDEC. разделим ВС
пополам в точке G, проведем DG и EG, они пересекают линии АВ и АС
в точках Н и F. соединим Н с F Опустим из них перпендикуляры HI и
EL. тогда получим квадрат HFLI. вписанный в треугольник ЛВС Вот
чертеж этого.
XIII из VII
80
[XIV]	О построении равностороннего треугольника, вписанного в
разносторонний треугольник. Если он сказал: как построить равносто-
32 ронний треугольник, вписанный в разносторонний треугольник АВС, |]
имеющий одну сторону, параллельную линии ВС, то опустим перпенди-
куляр AI, построим на ВС равносторонний треугольник BDC, проведем
перпендикуляр DE, восставим из точки В перпендикуляр BG к ВС, сде-
лаем ВН равной линии AI, a HG равной перпендикуляру DE. Соединим
С с G, проведем из точки Н линию HF, параллельную линии GC, тогда
линия BF — сторона равностороннего треугольника, вписанного в тре-
угольник АВС, одна сторона которого параллельна линии ВС, и (вер-
шина] противолежащего угла находится на ВС.
Поэтому если мы проведем в треугольнике АВС линию LN, парал-
лельную линии ВС и равную линии BF, примем точку L за центр и
на расстоянии LN отметим М на линии ВС, соединим точки L с М и N
с М, то получим равносторонний треугольник LNM, вписанный в тре-
угольник ЛВС69. Вот чертеж этого.
XIV из VII
[XV]	О построении равностороннего треугольника, описанного около
произвольного треугольника. Если он сказал: как описать равносто-
ронний треугольник около разностороннего треугольника АВС, то[прове-
дем] линию, параллельную линии ВС, построим на линии ВС равносто-
ронний треугольник BDC, продолжим линии DB и DC в их направлении,
проведем из точки А линию GAE, параллельную линии ВС и пересекаю-
щую линии BD и DC в точках Е и G. Тогда получим равносторонний
треугольник DEG. Вот чертеж этого.
XV из VII
[XVI]	О построении треугольника, вписанного в пятиугольник Если
он сказал: как вписать в равносторонний пятиугольник ABCDE равно-
сторонний треугольник, то проведем из точки В перпендикуляр BG [к
90
DE], разделим его пополам в точке //, примем точку Н за центр и на
расстоянии HG опишем круг BG. Примем точку G за центр и на рас-
стоянии GH отметим [точки] F и I на линии круга. Проведем линии BI
и BF, они пересекают линии АЕ с CD в точках М и L, проведем линии
ВМ, BL и ML. Получится равносторонний треугольник BML, || вписан- 33
ный в пятиугольник ABCDE™. Вот чертеж этого.
[XVII]	Построение треугольника, описанного около пятиугольника.
Если он сказал: как описать равносторонний и равноугольный треуголь-
ник около равностороннего пятиугольника ABCDE, то построим в пяти-
угольнике равносторонний треугольник, как указано раньше, это тре-
угольник BGH, проведем через точки А и С две прямые линии FL и
FI, параллельные линиям BG и ВН, продолжим линию DE в ее двух
направлениях до точек L и 1. Получили равносторонний треугольник
FLI, описанный около пятиугольника ABCDE. Вот чертеж этого.
[XVIII]	О построении квадрата, вписанного в пятиугольник. Если он
сказал: как вписать равносторонний [и равноугольный] четырехуголь-
ник в равносторонний [и равноугольный] пятиугольник ABCDE, то
опустим [из точки С] перпендикуляр CG [на линию АЕ], разделим его
пополам [в точке] Н, проведем через нее линию FHI, параллельную АЕ,
и соединим линиями С и F, Си/, / и G и F и G. Получили равносто-
ронний и равноугольный четырехугольник CFGI. Вот чертеж этого. [См
стр. 92.1
[XIX]	О построении квадрата, описанного около пятиугольника.
Если он сказал: как описать равносторонний [и« равноугольный] четырех-
угольник около равностороннего пятиугольника ABCDE, то разделим
пинию АЕ пополам в точке G, восставим [в ней] перпендикуляр GH.
равный GE, соединим Н и Е, Н и А, продолжим обе [линии] в их на-
91
с
XVIII из VII
правлении, опустим из точек В и D перпендикуляры BF и DL на линии
HF и HL, продолжим их в их направлении до точки К, тогда получим
равносторонний [и равноугольный] четырехугольник FKLH, описанный
около пятиугольника ABCDE. Вот чертеж этого.
XIX из VII
[XX]	Построение пятиугольника, вписанного в квадрат. Если он ска-
34 зал: как || вписать в равносторонний [и равноугольный] четырехугольник
ABCD равносторонний пятиугольник желаемой величины с углом Е на
диагонали подобно пятиугольнику EGHF1, то построим равносторонний
пятиугольник KLMNX желаемой величины и построим около него квад-
рат. Пусть одна из сторон [пятиугольника] — MN. Проведем линию ZO,
сделаем QP равной стороне АВ, проведем из точки Р линию PR парал-
лельно линии ZO, а из точки R— линию, проходящую через [середину
стороны MN] и точку Q. Соединим АС, отложим CS, равную линии PR
проведем прямую HSF перпендикулярно к линии АС и продолжим ее
в ее направлении до точек Н и F. Затем примем точки Н и F за центры
и на расстоянии HF отметим G и L Примем точки G и / за центры F
на расстоянии GH отметим £, проведем линии HG, GE, EI и 1F, полу-
чим равносторонний и равноугольный пятиугольник EGHFI, вписанный
в квадрат ABCD7X. Вот чертеж этого.
XX из VII
92
[XXI]	Построение восьмиугольника, вписанного в квадрат. Если он
сказал: как вписать равносторонний восьмиугольник в равносторон-
ний и равноугольный четырехугольник, то построим квадрат ABCD.
проведем диаметры, пересекающиеся в точке Е, примем точку Е за
центр и на расстоянии половины стороны квадрата отметим [точку] G,
примем точку G за центр и на расстоянии точек В и G отметим [точки]
Я и F, отложим от каждого угла на сторонах квадрата [линии], равные
линии ВН. Это — линии DL, DM, AN, АХ, [CI, СК и BF]. Соединим HF,
IK, LM и NX; получится равносторонний и равноугольный восьмиуголь-
ник NXHF[IKLM]. Вот чертеж этого.
В
F
I
С
XXI из VII
[XXII]	Другой [способ] || построения восьмиугольника, вписанного 35
в квадрат. Если угодно, то раствором циркуля на расстоянии АЕ, т. е.
половины диагонали квадрата, из каждого угла квадрата как из центра
на расстоянии АЕ отметим [точки] М, N, Н, F, I, К и L, соединим ли-
ниями [точки] М, N, Н, F, I и К. Получится равносторонний и равно-
угольный восьмиугольник LMNXHF1K. Вот чертеж этого.
XXII из VII
[XXIII]	О построении квадрата, описанного около восьмиугольника.
Если он сказал: как описать квадрат около равностороннего восьми-
угольника ABCDEGHF, то продолжим линии АВ, CD, EG, HF до
[точек] /, К L, М; тогда получим равносторонний и равноугольный четы-
рехугольник IKLM, описанный около восьмиугольника ABCDEGHF72.
Вот чертеж этого.
XXIII из VII
93
Глава восьмая
О РАЗДЕЛЕНИИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
[1] Если он сказал: как разделить треугольник АВС линией попо-
лам, то проведем линию из одного из его углов; пусть угол, из которого
мы проведем линию — угол А. Разделим линию ВС пополам в точке
и соединим линией А с D. Получили треугольник АВС, разделенный по-
полам линией AD Вот чертеж этого.
А
I из VIII
[II] Если он сказал: как разделить треугольник АВС линией попо-
лам, то опустим из точки [Д] на противоположную сторону перпендику-
ляр; это точка D. Если мы хотим [получить] эти, то разделим линию ВС
пополам. Если деление (совпало] с точкой D, то проведем AD, получим
треугольник АВС, разделенный пополам линией AD. Если не делится
[линия ВС] в точке D пополам, то, другой пример, пусть [середина
ВС] — точка Е. Тогда если соединить А с Е и А с D, провести из точки
Е линию EG, параллельную линии AD, соединить D и G, то треуголь-
ник ЛВС разделится пополам линией DG™ Вот чертеж этого.
II из VIII
36	|| [III] Если он сказал: как разделить треугольник АВС линиями
на четыре равные части, то от точки С отложим [на линии] ВС четыре
равные части. Это — BE, EG, GH и НС. Проведем AD [ — перпендику-
ляр к ВС]. Проведем из мест деления линии EL, GK, HF, параллельные
линии AD, и соединим линиями DcL, DcKuDcF. Тогда получим
треугольник АВС, разделенный на четыре равные части: BDL, DL\A}K
DKF и DFC™. Вот чертеж этого.
То же построение будет, если мы хотим разделить треугольник на
три части, пять частей или произвольное число равных частей.
[IVJ Если он сказал: как разделить треугольник АВС пополам ли-
нией, параллельной стороне из сторон [треугольника ЛВС], пусть это —
сторона ВС, то, если хотим этого, отложим Л В, равную половине Л С,
в направлении (Л С]. Опишем иа DC полукруг, восставим перпендикуляр
АЕ к ВС, сделаем AG равной ЛЕ, проведем из точки G линию G/7,
параллельную линии ВС; тогда получим треугольник ЛВС, разделенный
пополам линией GH75 Вот чертеж этого
[V]	Если он сказал: как разделить треугольник ЛВС на три равные
части двумя линиями, параллельными линии ВС, то отложим [в на-
правлении ЛС] линию ЛВ, [равную] трети ЛС, построим линию ЛЕ, [рав-
ную] двум третям Л С. опишем на каждой из линий ВС и СЕ полукруг,
восставим перпендикуляр АН к линии ЛС, отложим линию ЛЕ, равную
линии ЛС, и линию AI, равную линии АН. Проведем линии IK и EL,
параллельные линии ВС; получится треугольник ЛВС, разделенный на
три равные части: это — ALF. LK1F и KICB. Вот чертеж этого.
|| То же построение будет, если мы хотим разделить треугольник на 37
четыре равные части.
[VI]	О делении треугольника на три равные части. Если угодно, тэ
проведем линию ЛВ, [равную] двум третям линии ЛС, построим на ли-
нии ВС полукруг, построим перпендикуляр ЛЕ, сделаем линию AG рав-
ной перпендикуляру ЛЕ и проведем линию GH параллельно линии ВС.
Далее разделим треугольник AGH пополам, как описано выше в этой
главе. Получим треугольник ЛВС, разделенный на три равные части:
AFI. FHG1, HBCG. Вот чертеж этого.
95
[VI из VIII]
[VII]	Другой вид [задач о] треугольниках. Если он сказал: как уве-
личить треугольник АВС на равную ему [площадь] линией, параллель-
ной линии ВС, то построим на линии АС удвоенную [линию], это — AD,
опишем на линии CD полукруг DEC, восставим перпендикуляр АЕ к
линии АС, сделаем линию АН равной линии АЕ, проведем из точки Н
линию HG, параллельную линии ВС, продолжим [линии, проходящие]
через точки Л, В и С до пересечения с [HG] в [точках] Н, G. Тогда фи-
гура CHGB равна треугольнику АВС\ мы увеличили треугольник АВС1&,
Вот чертеж этого.
[VIII]	Если он сказал: как присоединить к треугольнику ЛВС фигу-
ру, площадь которой равна [площади треугольника ЛВС] или больше
его в два, три и большее число раз, линией, проходящей через точку Л,
то увеличим линию ВС в два или три раза; тогда получим линию BD и
соединим А с D. Тогда треугольник ADB или равен треугольнику ЛВС,
или в два раза больше его. Вот чертеж этого.
[IX]	Если он сказал: как построить в середине треугольника ЛВС
треугольник, ему подобный и равный половине треугольника, или трети,
или другой части, то возьмем в середине его точку D, соединим Л с D,
96
BcDhCcDh продолжим AD в ее направлении || до точки Е так, 38
чтобы АЕ была половиной AD, или третью, или четвертью. Построим
на ED полукруг, восставим перпендикуляр AG, сделаем DH равной AG.
То же [построение] надо провести с другими линиями. Тогда получатся
точки Н, F и /. [Соединим их, получим] построенный в треугольнике АВС
[треугольник HF1}, который хотели. Вот чертеж этого.
Глава девятая
О РАЗДЕЛЕНИИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ
[1]	Если он сказал: как разделить плоскую фигуру ABCD пополам
линией, проходящей через один из ее углов, то возьмем угол А и про-
ведем линии АС и BD, пересекающиеся в точке Е. Тогда если линия ВЕ
равна линии ED, то линия АС делит фигуру ABCD пополам77. Вот
чертеж этого.
[II]	Если ВЕ не равна ED, то разделим BD пополам в точке G,
проведем через нее линию GH, параллельную линии АС, соединим А с
Н. Тогда [фигура] ABCD разделится пополам линией АН. Вот чертеж
этого.
И из IX
[III]	Если он сказал: как разделить плоскую фигуру ABCD пополам
линией, проходящей через точку Е одной из сторон фигуры, то разде-
лим фигуру ABCD пополам линией, проходящей через точку В, это —
линия BG, как доказано во II предложении. Соединим EG и ЕС Если
7 Заказ 338
97
EG параллельна линии ВС. то линия ЕС делит фигуру ABCD пополам
Вот чертеж этого.
[IV]	Если же линия EG не параллельна линии ВС. то 'проведем из
точки В линию ВН. параллельную линии EG, и пусть она находится
внутри фигуры. Соединим Е с Н. Тогда линия ЕН делит фигуру ABCL
пополам Чертеж этого — на следующей странице.
IV из IX
39	[V] Пусть теперь || линия ВН находится вне фигуры ABCD. Про-
должим линию DC до ее пересечения [с ВН] в точке Н. проведем через
точку Н линию HF параллельно линии ЕС и соединим Е с F Тогда ли-
ния EF делит фигуру ABCD пополам. Вот чертеж этого.
[VI]	Если он сказал: как разделить плоскую фигуру ABCD пополам
линией, параллельной линии CD. то продолжим линии АС и BD до пе-
ресечения в точке Е. восставим в точке Е перпендикуляр EG к линии
BD. равный линии BE. Соединим DG [и продолжим DG до Н так, чтобы]
GH была равна половине GD. Опишем на HD полукруг HFD. восста-
вим перпендикуляр GF [к DH]. отложим EI. равную перпендикуляру
GF. и проведем //< параллельно линии CD. Тогда фигура ABCD де-
лится пополам линией KJ. Вот чертеж этого.
98
[VII]	Если он сказал: как разделить параллелограмм ABCD попо-
лам линией, проходящей через точку Е линии CD, то отложим на линии
АВ линию .40, равную линии DE, и соединим GE Тогда фигура AGEC
будет равна фигуре BGED. Вот чертеж этого.
[VHI] Если он сказал: как отделить от параллелограмма ABCD
толю линиеи, проходящей через точку стороны AD, то отделим треть.
Пусть на AD отмечена точка Е; проведем через точку Е линию EG,
параллельную линии АВ. Если АЕ — треть AD, то я отделил от фигуры
ABCD треть, это— фигура ABEG, доказательство очевидно [Вот чер-
теж этого.]78
D
С
G
В
VIII из IX
[IX]	Если же АЕ не треть AD, то отложим АН — треть AD. Тогда
точка Н находится или на линии ЛЕ, или на линии ЕЕ. Если [точка Н] ле-
жит на линии ЛЕ, || как на первом чертеже, то проведем линию HG па-
раллельно линии ЛВ, разделим ее пополам в точке F, соединим £ с F,
продолжим ее до точки 1. Если линия IG меньше АН, то получим фигу-
ру AEIB, являющуюся третью фигуры ABCD. Если IG равна ЯЛ, то
треугольник АЕВ — треть фигуры ABCD. Вот чертеж этого.
40
7*
99
IX из IX
[X]	Пусть теперь точка Н— на линии ED. Тогда линия ЕН или рав-
на линии АН, или не равна ей. Если она равна ей, то (построим линию
G/, равную линии АН, и] соединим А с /. Тогда треугольник 4В/ —
треть фигуры ABCD. Вот чертеж этого.
[XI]	Если ЕН меньше линии АН, то построим линию GI, равную
линии ЕН, и соединим Е с I, тогда фигура ABIE — треть фигуры ABCD
Вот чертеж этого.
XI из IX
[XII]	Если ЕН длиннее линии АН, то [отложим на линии ВС линию
BG, равную удвоенному избытку линии ЕН над линией АН,] продол-
жим СВ до точки F так, что FB равна [избытку] линии ЕН [над лини*
ей АН], соединим Е с G. Проведем линию FI параллельно линии EG и
соединим IE. Тогда треугольник AIE — треть фигуры ABCD79. Вот
чертеж этого.
100
[XIII]	Если он сказал: как разделить плоскую фигуру ABCD попо-
лам линией, проходящей через точку на стороне AD. например точку Е,
то разделим линию ВС пополам в точке G и соединим GE. Тогда если
АЕ равна линии ED, то линия EG разделит фигуру ABCD пополам80.
Вот чертеж этого.
XIII из IX
[XIV]	Если же линия || АЕ не равна линии ED, то построим линию 41
АН. равную линии HD. Линия BG также равна линии GC. Соединим Н
с G. разделим HG пополам в точке F и проведем EFK. Тогда линия ЕК
разделит фигуру ABCD пополам. Вот чертеж этого.
[XIV из IX]
[XV]	Если он сказал: как разделить параллелограмм ABCD попо-
лам линией, проходящей через точку, расположенную вне его, например
через точку £, то соединим AD, разделим AD пополам в точке G и про-
ведем EGH. Тогда фигура ABCD разделится пополам линией FGH. Вот
чертеж этого.
[XV из IX]
[XVI]	Если он сказал: как отделить от параллелограмма ABCD
треть, четверть или какую-нибудь другую долю линией, проходящей
через точку, расположенную вне его, например точку Е, то отделим от
фигуры ABCD треть линией, параллельной линии АВ. как раньше;
это — линия GH. Проведем через точку Е линию, разделяющую фигуру
GHCD пополам линией EFI. Тогда фигура FIDC—треть фигуры ЛВС/)81.
Вот чертеж этого.
101
[XVI из IX]
[XVII]	Если он сказал: как отделить от трапеции ABCD треть, или
четверть, или какую-нибудь другую долю [линией, проходящей] через
•отмеченную точку, например через точку Е, то пусть линия AD парал-
лельна линии ВС. а доля — треть. Отложим линию BG. являющуюся
третью линии ВС, и соединим Е с G. Тогда если АЕ — треть AD и BG —
треть ВС, то линия EG отделит от тралении ABCD треть82. Вот чертеж
этого.
XVII из IX
[XVIII]	Если АЕ не треть AD, то отложим AG, являющуюся третью
ЛЕ), и пусть [XG] короче АЕ. Отложим также ВН, являющуюся третью
ВС, и соединим G с Н. Разделим GH пополам в точке В, соединим EF
42 и продолжим || ее до точки I. Тогда линия EF1 отделит от трапеции
ABCD треть; это — трапеция AEIB Вот чертеж этого.
XVIII из IX
Если АЕ меньше AG, то поступаем так же, как мы указали
раньше.
[XIX]	Если он сказал: как разделить трапецию ABCD пополам ли-
лией, проходящей через точку, находящейся вне ее, например через
точку Е, то разделим линию АВ пополам в точке G, проведем через
точку G линию GF, параллельную линии СВ, и продолжим линию AD
до пересечения в точке Н [с линией GF]. Получится параллелограмм
HFCD. Проведем через точку £ линию EIK. делящую фигУРУ HFCD
пополам. Тогда линия Е1К разделит трапецию ABCD пополам. Вот
чертеж этого.
102
XIX из IX
[XX]	Если он сказал: как отделить от [трапеции] ABCD какую-ни-
Судь долю линией, проходящей через точку, находящейся вне ее, на-
пример через точку Е, то разделим АВ пополам в [точке] G, проведем
через нее линию HG, параллельную DC, проведем через точку Е линию
EIK, отделяющую от параллелограмма HFCD требуемую долю; тогда
получим требуемое разделение трапеции ABCD. Вот чертеж этого.
IXX из IX]
[XXI]	Если он сказал: как отделить от [трапеции] ABCD треть, то
соединим АС и BD Пусть они пересекаются в точке Е. Если ВЕ — треть
BD, то от фигуры ABCD отделена треть; это — треугольник АВС Вот
чертеж этого.
[XXII]	Если [ВЕ] не равна трети [BD], то отложим на BD [линию]
равную трети—[линию] BG. Проведем через [точку G] линию GH, па-
раллельную линии АС, и соединим АН Тогда от фигуры ABCD отделе-
на треть. Вот чертеж этого.
XXII из IX
103
[XXIII]	Если он сказал: как отделить от фигуры ABCD треть лини-
34 ей, проходящей || через точку на ее стороне, например через точку £, то
проведем через точку В линию BG, отделяющую от фигуры ABCD треть
и проведем линии EG и ED. Если EG параллельна линии BD, то от
фигуры ABCD уже отделена треть [линией ED]. Вот чертеж этого
[XXIII из IX]
[XXIV]	Если BD не параллельна EG, то проведем через точку В ли-
нию ВН, параллельную линии EG, находящуюся внутри фигуры или вне
ее. Пусть сначала она находится внутри. Соединим Е с Н Тогда линия
ЕН отделяет от фигуры ABCD треть. Вот чертеж этого.
[XXV]	Если [ВН] расположена вне фигуры, то соединим ЕЕ, продол-
жим CD до Н, проведем HF параллельно DE и соединим £ с F. Тогда
линия EF отделит от фигуры ABCD треть Вот чертеж этого.
XXV из IX
[XXVI]	Если он сказал: как увеличить квадрат ABCD на равный
тому, что на чертеже, так, чтобы [увеличение происходило] с каждой
стороны, то продолжим линию DB в ее направлении до точки Е так,
чтобы BE была равна удвоенной BD. Опишем на линии DE полукруг
GD, продолжим линию АВ до точки G, отложим от каждой из сторон
квадрата линии, равные половине линии AG, и дополним квадрат; полу-
чится увеличением квадрата ABCD на равный ему83. Вот чертеж этого
10
Аналогично мы поступим, если мы хотим увеличить его в несколько
раз: в этом случае сделаем линию BE равной [линии ВО], взятой это
число раз.
[XXVII]	Если он сказал: как построить в середине квадрата ABCD
квадрат, равный половине того, что на чертеже, то отложим от линии
BD линию BE, являющуюся ее половиной. Опишем на линии DE полу-
круг DGE, пересекающий АВ в [точке] G, и построим линию ВН, [рав-
ную] половине линии AG. Отложим от углов || А, В, С и D линии. 44
равные линии НВ, и проведем через места деления [линии, параллель-
ные сторонам квадрата]. Получится квадрат FIKL в середине квадрата
ABCD, являющийся его половиной. [Вот чертеж этого].
[XXVIII]	Если он сказал: как отделить от круга треть, или четверть,
или другую долю двумя параллельными линиями, то примем за центр
круга точку D, проведем в круге хорду его трети, это — линия АС,
проведем BD параллельно АС и соединим В с С. Разделим дугу АС
пополам в точке Е и проведем через точку Е линию EG, параллельную
ВС. Тогда фигура GBCE в круге, находящаяся между двумя парал-
лельными линиями, является третью круга84. Вот чертеж этого
6^----
XXVIII из IX
105
[XXIX]	Если он сказал: как разделить сектор АВС пополам, то
разделим дугу ВС пополам в точке D и соединим А и D. Тогда если
СА равна АВ, то фигура АВС будет разделена пополам линией AD
Если же линия АС не равна АВ, то разделим [линию] СВ пополам в
точке Е, проведем EG параллельно линии AD и соединим D с G Тогда
фигура АВС будет разделена пополам линией DG Вот чертеж этого
[XXX]	Об оставлении пути. Если он сказал: как разделить пополам
квадрат ABCD, оставив путь ширины DH, то продолжим СА в ее на-
правлении до М так. чтобы AM была равна СН, продолжим ВА в ее
направлении до L, опишем из центра С на расстоянии СМ круг, пересе-
кающий линию ВА в точке L и соединим L с С. Отложим LK, равную
СН, проведем линию KG, параллельную линии AL, и проведем HF
параллельно линии DB. Тогда фигура C\H]F[E] равна фигуре Е[б]В[Л]85.
45 Чертеж этого на следующей странице. ||
[XXXI]	Если он сказал: как разделить квадрат ABCD на три рав-
ные части, оставив путь известной ширины MN, находящийся между
двумя равными отрезками [стороны CD], то продолжим СА до 1 так,
чтобы AI была равна СМ, продолжим ВА в ее направлении до Е, при-
мем точку С за центр и на расстоянии CI опишем круг, пересекающий
линию ВЕ в точке Е и соединим СЕ. Отложим на линии СЕ линию EG,
равную линии СМ, и проведем через точку G линию GHL параллельно
линии ВАЕ. Из точек М и N проведем линии MF и NK, параллельные
линии АС. Тогда фигуры МН, NL [и ABLH] равны. Это и есть то, что
мы хотели построить. Вот чертеж этого.
106
[XXXII]	Если он сказал: как разделить треугольник АВС на две
равные части, оставив путь с параллельными краями известной ширины,
и если ширина пути — СО, то разделим CD пополам в точке Е, прове-
дем EG и DH параллельно ВС, проведем HF -параллельно АС, соеди-
ним G с F, отложим ЯК, равную HG, -проведем KL параллельно GF,
построим треугольник NMG, [равный] половине трапеции AL и подобный
треугольнику ЛВС. Продолжим MN до О. Тогда треугольник ЛВС раз-
делится на равные треугольники ВМО и трапецию АХ, между которыми
оставлен путь ХС ширины CD. Вот чертеж этого.
[XXXII из IX]
[XXXIII]	Если он сказал: как разделить треугольник ЛВС на треть
и две трети, оставив путь ширины CD, то отложим СЕ — треть CD, про-
ведем DH и EG параллельно линии ВС, проведем через точку Н линию
HF параллельно линии АС, соединим GF и отложим НК, равную || HG. 46
Далее -проведем KL параллельно GF, построим треугольник GMN,
(равный] трети трапеции AL и подобный треугольнику ЛВС и продолжим
MN до О. Тогда треугольник ЛВС разделится на треть и две трети,
причем треть — треугольник ВМО, а две трети — трапеция АХ. Вот чер-
теж этого.
XXXIII из IX
107
[XXXIV]	Если он сказал: как разделить трапецию ABCD пополам,
оставив путь ширины ED, причем ВС параллельна линии AD, то раз-
тел им DE пополам в [точке] G, проведем GH и EF параллельно линии
CD, продолжим АВ и GH до их пересечения в [точке] М и построим
треугольник MKL, [равный] половине трапеции AF и подобный тре-
угольнику MAG. Проведем KXLN параллельно линии AD. Получается
трапеция ХКАЕ [и BCNK\ и путь NXED. Вот чертеж этого.
XXXIV из IX
Глава десятая
О РАЗДЕЛЕНИИ КВАДРАТОВ И ОБ ИХ СОСТАВЛЕНИИ
[I]	В предыдущих главах этой книги мы разъяснили построение фи-
гур, вписанных друг в друга и описанных друг около друга, их разде-
ление на различные виды и то, что часто применяется ремесленниками.
Я надеюсь, что это будет достаточно для тех, кто имеет недостаточные
знания по математике. В этой главе я излагаю разделение фигур, ко-
торое часто применяется ремесленниками и о котором они задают
вопросы. Это разделение квадратов, их составление, построение [фи-
гур, вписанных] в них. Мы установим правила, к которым следует об-
ращаться. Все, чем пользуются ремесленники по вопросам этой главы,
делается на основании принципов разделения и составления [фигур],
содержащих много ошибок. В этой главе мы изложим этот вопрос
таким образом, чтобы было легко выполнить то, что требуется, если
захочет Аллах.
Мы говорим, что среди чисел есть квадратные и неквадратные
Что касается квадратных, то это такие числа, что если умножить число
47 на равное себе, то получится такое || число, например четыре, так как
имеется такое число, что, если умножить его на равное себе, получится
четыре, это — два, потому что, если умножить два на равное себе, по-
лучится четыре. Например, двадцать пять, так как существует такое
число, что если умножить его на равное себе, получится двадцать
пять, — это пять. Каждое число, для которого имеется такое число, что.
если умножить его на себя, получится это число, называется квадрат-
ным. Число, которое умножается на себя, называется стороной этого
квадратного числа. Если число не квадратное, то оно может или состо-
ять из двух квадратных чисел, или не состоять из двух квадратных
чисел. Например, [число] тринадцать составлено из двух квадратов:
это — девять и четыре. Например, [число] сорок один составлено из двух
квадратов: один из них шестнадцать, его сторона — четыре, а второй —
двадцать пять, его сторона — пять
108
Что касается [числа,] не составленного из двух квадратов, то [это],
например, семь, так как не существует двух квадратов, сумма которых
дает семь, или одиннадцать, так как также не существует двух квадра-
тов, сумма которых дает одиннадцать. Поэтому если говорится о квад-
ратных числах, состоящих из квадратов, то разделим квадраты на
числа, [только] являющиеся квадратами, и на числа, состоящие из
квадратов. Если спрашивается о числе квадратов, из которых состоит
квадрат, или о квадрате, состоящем из квадратов, то я рассмотрю это
число, и если это число квадратное или состоит из двух квадратов,
то это дело простое и легкое, а если не квадратное и не состоит из
двух квадратов, то это дело трудное. Мы можем провести построение
для каждого из этих видов самым простым методом.
Мы говорим, что если спрашивается о [разделении] квадрата, со-
ставленного из квадратного числа равных квадратов, то разделим
каждую из сторон квадрата на равные части, число их равно стороне
квадрата, который делится на квадраты, составляющие его. Проведем
через места деления прямые линии к соответствующим этим [местам]
на стороне, противоположной этой Тогда разделим данный квадрат на
квадраты, подобные этому.
Если мы хотим разделить один квадрат на девять квадратов, то
разделим каждую из сторон на три || равные части, — это число девять. 48
Далее проведем через каждое из мест деления на противолежащих сто-
ронах прямые линии. Тогда квадрат разделится на девять равных квад-
ратов. Вот чертеж этого.
[II]	Если требуется разделить квадрат на четыре квадрата, разде-
лим каждую из сторон на две части — это сторона четырех [квадратов],
соединим -противоположные части, тогда квадрат разделится на четыре
равные части. Вот чертеж этого.
(II из X]
[III]	О построении квадрата из квадратного числа квадратов. Если
мы хотим построить из большого квадратного числа квадратов один
квадрат, то построим квадрат со стороной, равной стороне этих квад-
ратов. Получим один квадрат, равный этим квадратам. Если мы хотим
построить один квадрат из шестнадцати других квадратов, расположим
в ряд четыре данных [квадрата] и присоединим к нему остальные, [по-
тупится] один квацрат86. Вот чертеж этого.
109
[Ill из X]
[IV]	О построении [квадрата из] квадратов [число которых] состоит
из двух квадратов. Если мы хотим построить это, возьмем число, со-
стоящее из двух квадратов, и рассмотрим эти два квадрата. Если они
равны, то построим два равных квадрата. Разделим каждый из них
диагональю, тогда получатся четыре равных треугольника. Их диаго-
нали равны стороне искомого квадрата. Если сложить эти треугольники
так, чтобы они примыкали друг к другу своими прямыми углами, по-
лучится квадрат.
Пример этого. Если мы хотим 'построить квадрат из двух других,
то пересечем каждый из них его диагональю, получатся четыре тре-
угольника с равными боковыми сторонами и основаниями Сложим эти
треугольники так, чтобы примыкали их прямые углы, и построим квад-
рат со стороной, [равной] основанию треугольника87. Вот чертеж этого
[IV из X]
49	[V] Если мы хотим построить квадрат из восьми || равных квадра-
тов, то он состоит из двух квадратов, каждый из которых состоит из
четырех квадратов. Построим два квадрата, каждый из которых со-
стоит из четырех. Далее пересечем их диагоналями, их четыре; построим
из всех четырех квадратов квадрат. Тогда получатся два квадрата.
Затем разделим их диагоналями; получатся четыре равных треуголь-
ника. Построим из них квадрат, как было сказано раньше. Вот чертеж
этого.
[V из X]
[VI]	Если даны квадраты, число которых состоит из твух неравных
квадратов, то построим два прямоугольника, длина каждого из них
[равна] стороне большего квадрата, а ширина равна [стороне] меньшего
квадрата, рассечем каждый из них пополам диагональю; получатся
четыре равных треугольника со сторонами, равными сторонам квадра-
тов, их диагональ равна стороне искомого квадрата. Если мы распо-
ложим в середине квадрат, сторона которого равна разности сторон
ПО
двух данных квадратов, и расположим стороны треугольников на его
сторонах, получится один квадрат, построенный из квадратов.
Пример этого. Если мы хотим построить квадрат из тринадцати
квадратов с равными сторонами и диагоналями, то один квадрат со-
стоит из единичных квадратов, их девять, сторона этого квадрата [равна!
трем; другой [составлен] из четырех [единичных квадратов], его сторо-
на [равна] двум. Построим два прямоугольника, одна сторона которых —
три, а другая — два. Получатся два прямоугольника, каждый из кото-
рых состоит из шести квадратов. Рассечем их по диагонали; получатся
четыре треугольника, длинный катет каждого из которых — три, корот-
кий— два, а гипотенуза — корень <из тринадцати. Выделим из квадратов
единичный, поместим его в середине и 'приложим к нему [треугольники!
большими катетами к стороне квадрата. Из них составится квадрат,
каждая сторона которого — гипотенуза треугольников, т. е. корень из
тринадцати88. Вот чертеж этого
[VI из X]
[VII]	|| Если мы хотим построить [квадрат] из десяти равных [квад- 50
ратов], то десять составлено из двух квадратов, один из них — девять,
его сторона — три, а другой — единица, его сторона — единица. Постро-
им два прямоугольника, одна сторона которого — три, а другая сторо-
на— единица. Рассечем их пополам [по диагонали]. От десяти останется
четыре квадрата. [Построим квадрат из четырех квадратов], поместим
его в середине и приложим к его сторонам треугольники. Получится
квадрат, каждая сторона которого — гипотенуза треугольника [т. е. ко-
рень из десяти]. Вот чертеж этого.
[VII из X]
На этом основано построение квадрата из квадратов, которому
соответствует число, составленное из двух квадратов.
[VIII]	О разделении квадрата на квадраты, число которых состоит
из двух квадратов. Пусть дан квадрат. Если мы хотим разделить на
квадраты квадратное число, состоящее из двух квадратных чисел, то
рассмотрим эти числа. Если они равны, разделим квадрат диагоналями;
получатся четыре равных треугольника. Если сложить каждые два из
них по стороне, являющейся стороной квадрата, мы -построим два
квадрата, каждый из которых состоит из цвух треугольников. Вот чер-
теж этого.
111
(VIII из X]
[IX]	Если мы получим квадраты и разделим каждую из сторо^
квадратов на равные части, их число будет равно стороне равных
квадратов и тем самым мы разделим квадрат на искомые квадраты.
Пример этого. Если мы хотим разделить квадрат на восемь квадра-
тов, проведем его диагонали; тогда получим четыре равных треугольни-
ка. Построим из каждых двух треугольников квадрат; тогда получим
два квадрата. Далее разделим каждую из сторон двух квадратов на две
равные части и соединим противоположные места деления прямыми
линиями. Тем самым мы построим восемь равных квадратов. Вот чер-
теж этого.
[IX из X]
51
[X]	Точно так же, если мы хотим|| разделить квадрат на восемнад-
цать равных квадратов, проведем его диагонали, [получим четыре рав-
ных треугольника], построим на этом чертеже из них два квадрата. Да-
лее разделим каждую из сторон двух квадратов на три равные части
и соединим места деления. Получатся восемнадцать квадратов с рав-
ными сторонами89. Вот чертеж этого.
[X из X]
[XI]	О разделении квадрата на квадраты, число которых состоит
из двух неравных квадратов. Пусть дано рассматриваемое число квад-
ратов. Чтобы разделить квадрат на число [квадратов], состоящее из
двух различных квадратов, разделим одну из сторон квадрата на рав-
ные части, их число равно стороне большего квадрата, из которых со-
стоит данное число. Далее отложим на каждой стороне [данного квад-
рата] от его вершин в одну сторону [линию], равную стороне меньшего
квадрата, и проведем из каждого угла квадрата к противоположному
месту деления прямые линии; получатся квадрат в середине и четыре
треугольника, окружающие этот квадрат. Этот квадрат равен квадрату
разности сторон [квадратов]. Разделим стороны этого квадрата на число
112
частей, равное разности; получится число квадратов, равное квадрату
разности. Что касается треугольников, то, если [соединить] их по два,
получатся прямоугольники, длины которых равны стороне большого
квадрата, а ширины равны стороне меньшего из двух квадратов. По-
этому если построить эти два прямоугольника и разделить их стороны
на число частей, равное сторонам квадратов, то получатся остальные
квадраты.
Пример этого Если мы хотим разделить квадрат на десять квадра-
тов, мы находим, что десять состоит из двух квадратов — единицы и
девяти, причем сторона [одного] — три, а сторона другого — единица.
Разделим одну сторону квадрата на три равные части, отложим на каж-
дой стороне (отрезок], равный единице, проведем из [противоположных]
углов к местам деления прямые линии; получатся квадрат в середине
и четыре треугольника, окружающие этот квадрат. Далее разделим сто-
рону квадрата, который в середине, на два, т. е. на разность сторон
квадратов, из которых состоит десять.
Проведем [из мест деления] параллельные линии; в середине полу-
чатся четыре квадрата. Построим из каждых двух треугольников пря-
моугольники, длина которых — три, а ширина — единица, и разделим их
на три квадрата; получатся десять квадратов. Вот чертеж этого.
|| [XII] Точно так же, если мы хотим разделить квадрат на двадцать 52
квадратов, то двадцать состоит из двух квадратов: один из них — шест-
надцать, его сторона — четыре, а второй — четыре, его сторона — два.
Разделим сторону квадрата на четыре равные части, отложим на сто-
ронах [линии], равные [стороне] второго [квадрата], и проведем линии из
углов [к местам деления]; получатся квадрат, сторона которого — раз-
ность сторон двух квадратов, и четыре треугольника, окружающие его.
Разделим сторону квадрата, находящегося в середине, на две части
по числу, [равному] разности сторон квадратов, и проведем параллель-
ные линии, а из каждых двух из четырех треугольников, окружающих
[квадрат], составим прямоугольник, длина которого — четыре и шири-
на— два. Квадрат, находящийся в середине, разложим на четыре квад-
рата, а из двух прямоугольников — шестнадцать квадратов. Вот чер-
теж этого.
[XII in X]
S '-аказ 338
113
[XIII] Методы разделения квадратов, (число которых] состоит и
двух квадратов, нельзя переносить на составление квадратов и их
разделение, если число квадратов не состоит из двух квадратов. Многие
геометры и ремесленники ошибались в построениях этих квадратов
в их составлении, геометры в силу недостаточной практики, а ремес
ленники — из-за того, что им не хватало знаний о доказательствах. Гак
как геометры не знают [практических] методов построений, то с по-
мощью доказательств на линиях им трудно найти правильные способы
приближенных построений.
Что же касается ремесленников, то, когда они находят приближен-
ное построение, они получают то, что мы ощущаем и видим, не обра-
щая внимания на доказательства с помощью линий и на геометров. Тот.
кто получает доказательство чего-либо с помощью теоретического рас
S3 суждения, ||не проверяет истинности этого на практике. Я не могу сом-
од
J
Фотокопия страницы трактата, на которой Аб}-л-Вафа
излагает построение квадрата, равновеликого утроенному
квадрату, по «способу геометров»
(с оригинала стамбульской рукописи)
114
неваться в том, что все, что знаег ремесленник, — это факты, доказан-
ные геометрами, и что доказательства показывают истинность этого.
Но ремесленник и землемер рассматривают сущность дела и не думают
о том, как доказать это, поэтому они допускают ошибки. Что же ка-
сается геометров, то им известна истина того, что мы хотим получить,
при помощи доказательства, если они доказывают то, чем пользуются ре-
месленники и землемеры. Для геометров характерно то, что, когда их
спрашивают о разделении фигур и умножении линий, они приходят в
замешательство и им нужно много времени для размышления. Иногда
зто приближает их к решению, а иногда hqt. Я присутствовал при не-
которых спорах, в которых участвовали и ремесленники и геометры..
Их спрашивали о 'построении квадрата из трех квадратов. Что касается-
геометра, то он легко находил сторону квадрата, состоящего из трех
квадратов. Но это не удовлетворяло ремесленников, так как ремеслен-
нику нужно разделить эти три квадрата на части, из которых составлял-
ся бы один квадрат, как это имело место в случае двух и пяти квадра-
тов90. Что же касается ремесленников, то они предложили несколько
способов для этого. Для некоторых из них были приведены доказа-
тельства, а остальные оказались ложными. Те, для которых доказатель-
ства нельзя было привести, казались очень близкими к истинным, и тот»
кто смотрит на эти построения, думает, что они .правильны. Мы приве-
дем эти способы, чтобы знать, какие из них правильные и какие нет.
Мы не опираемся на зрение, [так как] зрение — плохой помощник в том»
чтобы сказать, если этого захочет Аллах, какой из этих способов не-
верный.
Некоторые ремесленники помещают один квадрат в середине, раз-
деляют второй (квадрат] диагональю [пополам] и помещают эти две
части на сторонах квадрата. Середину третьего, [квадрата] соединяют
двумя линиями с двумя [его] вершинами, не лежащими на одной диаго-
нали, и соединяют линией середину квадрата с серединой стороны, про-
тивоположной треугольнику, образованному двумя линиями [и стороной
квадрата]. Этот квадрат разделится на две трапеции и треугольник. 54
Этот треугольник помещают на нижней стороне || первого квадрата, а
две трапеции — на верхней стороне над ним так, чтобы их длинные сто-
роны находились в середине Получится квадрат, как показано на этом
-чертеже.
Абу-л-Вафа говорит: что касается чертежа, построенного им, то
здесь применена хитрость. Тот, кто не обучен искусству геометрии, счи-
тает это построение правильным, но если рассмотреть его более подроб-
но. то этот способ оказывается неверным. Хотя нам и кажется, что это»
правильно, но что касается углов и равенства сторон, то каждый из
8*
115/
углов квадрата прямой, а его стороны равны, и поэтому кажется, что
этот способ правилен. Каждый из углов треугольников С, В, Z), являю-
щихся углами квадрата, прямой, а четвертый угол состоит из двух
углов, каждый из которых — -половина прямого, т. е. из углов двух тра-
пеций. Что же касается сторон, то они — прямые линии и равны. Каж-
дая из этих сторон состоит из стороны квадрата. Поэтому они равны.
Что же касается того, что они при* этом построении прямые, то и это
доказано, так как сумма всех углов при точке соединения прямых рав-
на двум прямым и сумма трех углов при точке Н равна двум прямым
поскольку один из этих углов — угол квадрата, а остальные два угла —
углы треугольников, каждый из них — половина прямого. Таков же
угол F. Что же касается угла /, то, он [состоит из] двух углов, один из
которых — угол треугольника, т. е. половина прямого, а другой угол —
угол трапеции, т. е. полтора прямых. То же -относится к углам при точ-
ке К. Поэтому если углы прямые, а стороны — прямые линии, равные
между собой, то для каждого человека очевидно, что получится квад-
р«ат, состоящий из трех квадратов, и не находят места, где он допустил
ошибку. Однако заметим, что, как известно, каждая сторона этого
gg квадрата || стала равна стороне одного из квадратов и половине его
диагонали. Но сторона квадрата, состоящего из трех квадратов, не
может быть равна этой величине, так как она должна быть больше
этой величины. Пусть каждая сторона квадрата — десять локтей;
[тогда] для грамотного известно, что сторона квадрата, построенного
из трех квадратов, приблизительно равна семнадцати локтям и одной
трети, а сторона этого квадрата — семнадцать и половина одной седь-
мой. Между этими значениями большая разница. Когда мы разделили
квадрат ВС пополам и приложили каждую его половину к сторонам
квадрата, отделенного от [половин] квадрата ВС линиями И! и FK, то
это невозможно, гак как очевидно, что диагональ [квадрата] ВС не рав-
на стороне [третьего] квадрата, линия HI равна стороне квадрата ВС
и половине второй [его стороны], но она меньше этой [стороны], так как
диагональ квадрата ВС [приблизительно] равна четырнадцати и одной
седьмой, а линия Н1 — пятнадцати. Этим непригодность этого разделе-
ния и построения доказана91.
{XIV] Некоторые люди разделяют эти квадраты другим способом,
непригодность которого проявляется еще яснее, чем в первом разделе-
нии. Они выделяют из диагонали двух квадратов в ее середине отрезок,
равный стороне этого квадрата, и отсекают от вершин по диагоналям
четыре треугольника. Таким образом из двух квадратов получаются
четыре разносторонних пятиугольника и четыре треугольника. Затем
они помещают каждый пятиугольник к стороне третьего квадрата, и при
четырех углах оказываются места для четырех треугольников. Они пе-
реносят эти треугольники в эти места [и] получают квадрат, состоящий,
таким образом, из трех квадратов.
[XIV из X]
116
Это кажется верным для тех, кто не занимается геометрией и
доказательствами, а когда они начинают вдумываться, то этот способ
оказывается непригодным, потому что треугольники, которые они пере-
носят в свободные места |] при вершинах квадрата, больше этих мест, 56
так как эти свободные места заключены между двумя сторонами, а
каждая сторона треугольника равна половине гипотенузы треугольника,
отсекаемого от квадрата. Поэтому сторона этого треугольника равна ги-
потенузе треугольника, находящегося в свободном месте, а это невоз-
можно. Точно так же, если мы построим один треугольник АВС и один
пятиугольник AEGHD и перенесем пятиугольник на сторону квадрата,
а треугольники на свои места, то точка С треугольника АВС совпадает
с точкой Е квадрата, [линия] АС треугольника [ЛВС] совпадает с ли-
нией АЕ пятиугольника, но [линия] АЁ пятиугольника равна [линии] АЕ
треугольника, т. е. половине его гипотенузы, и гипотенуза прямоуголь-
ного треугольника получится равной стороне, т. е. Л С, а это также не-
возможно.
Если АВ — сторона восьмиугольника, вписанного в квадрат, и АЕ
и BF равны сторонам восьмиугольника, то сторона квадрата превыша-
ет сторону восьмиугольника, а линия EF равна трем сторонам восьми-
угольника. Так как сторона квадрата превышает сторону восьмиуголь-
ника, это также невозможно. Поэтому сторона квадрата, состоящего из
трех квадратов, подавно меньше этого. Этим доказана неприменимость
того, как поступали ремесленники, как было сказано в начале этого
предложения.
[XV]	Разделим теперь два квадрата из трех пополам по их диаго-
налям, [получим четыре прямоугольных треугольника], расположим сто-
рону каждого из них на сторонах третьего квадрата, причем располо-
жим угол треугольника, равный половине прямого, над одним из углов
квадрата, а гипотенузу треугольника расположим на стороне [квадрата];
тогда часть треугольника со стороны другого угла будет выступать.
Соединим [вершины] прямых углов треугольников прямыми линиями;
тогда получим сторону искомого квадрата. Выделим из каждого боль-
шого треугольника малый треугольник и поместим его на место недо-
стающего треугольника по другую сторону от стороны.
Пример этого. || Если мы хотим построить это из трех равных 57
квадратов ABCD, EPGH и 1FKL, то разделим два из этих квадратов их
диагоналями на две части, проведя AD и ЕН, и расположим их на сто-
ронах третьего квадрата. Затем соединим [вершины] прямых углов тре-
угольников линиями BG, GP, PC и СВ. По каждую сторону от стороны
треугольника имеется малый треугольник, равный треугольнику, выде-
ляемому из большого треугольника. Поэтому треугольник BMF равен
треугольнику MGE, так как угол Е — половина прямого и угол F —
половина прямого, два вертикальных угла треугольников при М равны»
сторона АВ равна стороне EG, поэтому остальные стороны одного тре-
угольника равны остальным сторонам другого треугольника и один
треугольник равен другому треугольнику. Поэтому если мы поместим
треугольник BFM на место треугольника MGE, то линия BG будет
стороной квадрата, состоящего из трех квадратов. Этот способ пра-
вильный и самый близкий [к истине], так как он установлен с помощью
доказательства^2 Вот чертеж этого. [См. стр. 118.]
[XVI]	Если же геометр спросит о построении квадрата из большего
или меньшего числа квадратов, то он находит линию, квадрат которой
равен этим квадратам, и не обращает внимания на разделение квад-
ратов. Поэтому когда его спрашивают о построении квадрата из трех
квадратов, то он проводит диагональ одного квадрата, восставляет в
117
(XV из X]
одном из концов диагонали линию, перпендикулярную ей и равную
стороне квадрата, и соединяет конец [перпендикуляра] я другой [конец]
диагонали прямой линией; получается сторона квадрата, состоящего из
трех равных квадратов.
58 Пример этого. Мы хотим построить квадрат, || равный трем квад-
ратам, каждый из которых равен квадрату ABCD. Проведем диаго-
наль AD. Тогда AD — сторона [квадрата], построенного из двух квадра-
тов. Далее восставим в точке А к линии AD перпендикуляр АЕ, равный
линии АС, и соединим Е с D. Тогда линия ED — сторона квадрата,
равного трем квадратам, каждый из которых равен квадрату ABCD.
Вот чертеж этого.
[XVI из X]
Когда геометр получает эту линию, он не пишет способа разделе-
ния этих квадратов, а говорит о построении на линии ED квадрата, рав-
ного трем квадратам.
Точно так же обстоит дело, если мы хотим [построить] квадрат,
состоящий более чем из трех или менее чем из трех квадратов93.
[XVII]	О построении квадрата с неизвестной величиной стороны из
двух различных квадратов. Если производить построение, подобное из-
ложенному нами построению квадратов, мы придем к общему методу
построения квадрата или двух различных квадратов, к которому сле-
дует обратиться при сложении двух квадратов. Если мы хотим постро-
ить квадрат из трех квадратов, то мы построим квадрат из двух квадра-
тов. Получим большой квадрат по сравнению с малым, т. е. третьим
квадратом Если мы построим из них квадрат, то получим искомое.
Если мы хотим построить этот квадрат, то наложим малый квадрат на
большой квадрат так, чтобы один его угол совпадал с одним из углов
{большого квадрата], а две стороны лежали на двух сторонах. Далее
продолжим стороны малого квадрата до пересечения [со сторонами
большого квадрата] и выделим из большого квадрата [прямоугольник]
118
со стороной малого квадрата, параллельной другой стороне [большого
квадрата]. Тогда в большом квадрате останется прямоугольник. Отсе-
чем от прямоугольника, выделенного из большого квадрата, часть, со-
ставляющую с малым квадратом другой прямоугольник. Тогда от боль-
шого квадрата останется малый. Сохраним его. Далее рассечем два
прямоугольника их диагоналями; получатся четыре треугольника. Их
гипотенуза является стороной искомого квадрата. Затем поместим ма-
лый квадрат, сохраненный нами, в середину и присоединим к нему че-
тыре треугольника, каждый из них к одной из его сторон, так, чтобы
прямые углы из квадрата примыкали к [прямым] углам || треугольников. 59
Получится большой квадрат, [состоящий] из двух квадратов94. Вот чер-
теж этого.
[XVII из X]
Чтобы доказать правильность этого, построим большой квадрат
ABCD и малый квадрат G[E]HF. Наложим малый квадрат на большой
квадрат так, чтобы угол F наложился на угол D, линия GF — на линию
CD, а линия HF— на линию BD. Пересечем большой квадрат стороной
НЕ в точке /; тогда из большого квадрата выделится прямоугольник
HIAB. Отсечем из прямоугольника HIAB прямоугольник КВНЕ, равный
прямоугольнику IEGC, и отбросим его. От большого квадрата останется
малый квадрат AKEI. Далее образуем из двух прямоугольников четыре
треугольника, т. е. рассечем прямоугольники их диагоналями. Полу-
чатся четыре треугольника и малый квадрат. Поместим малый квадрат
в середину и расположим четыре треугольника вокруг него так, чтобы
угол С треугольника DCI примыкал к углу К, а сторона DC — к сторо-
не КА, угол Н треугольника IHD примыкал к углу А, а линия
HI—к стороне AI Оставшиеся два треугольника приложим так же,
как эти два треугольника. Получится чертеж, который мы чертили
раньше.
[XVIII]	О разделении одного кватрата на квадраты, не состоящие
из квадратов. Мы разъяснили такое разделение квадрата на большой
и малый квадраты, когда величина стороны каждого из этих квадратов
известна. Если же это неизвестно, то приходится производить разделе-
ние квадрата на два квадрата несколько раз, т. е. решать другую задачу,
в которой спрашивается, как выделить из большого квадрата малый
квадрат известной величины и построить из оставшейся части квадрата
другой квадрат. Если поступать так, как мы сказали, то мы должны
обратить построение, изложенное выше.
Пусть дан большой квадрат, || например квадрат ABCD, и малый 60
квадрат, например квадрат Е. Уже говорилось, как выделить из боль-
шого квадрата [квадрат[, равный малому квадрату, и построить на остав-
шейся части другой квадрат, поэтому произведем это так, как сказано
119
выше. Если мы хотим выделить из квадрата ABCD квадрат, равный Е
и построить из оставшейся части другой квадрат, то опишем на каждой
из сторон квадрата ABCD полукруг, из вершин каждого из углов А, В,
С и D как из центра на расстоянии стороны квадрата Е отметим на
полукругах [точки] G, Я, F и I и проведем линии AGH, BIG, DHF и
GFI. Тогда в середине получим квадрат, а каждая из линий GF, DH
BI, AG равна стороне малого квадрата. Поэтому мы получили четыре
треугольника и меньший квадрат. Составим из каждых двух треуголь-
ников прямоугольник, приложим квадрат, находящийся в середине
к каждому из них так, чтобы они наложились друг на друга Тогда
избытки длин [прямоугольников] над длиной квадрата образуют мень-
ший из двух квадратов, являющийся пересечением двух прямоугольни-
ков. [Отбрасывая этот квадрат], мы получим большой квадрат. Вот чер-
теж этого.
[XVIII из X]
Глава одиннадцатая
О РАЗДЕЛЕНИИ СФЕРЫ
[I]	Если он сказал: как провести на сфере большой круг, то опишем
на ней произвольный круг например круг ABG с полюсом С, далее раз-
делим круг ABG пополам в точках Л и В и опишем на сфере круг,
проходящий через точки А, С, В и D. Это и будет большой круг нэ
сфере95. Вот чертеж этого.
[II]	Если он сказал: как провести на сфере два больших круга, пе-
ресекающихся под прямым углом, то проведем на сфере большой круг,
например круг АВС, и разделим круг на четыре равные части в точках
А, В, С, D. Далее примем .1 за полюс и на расстоянии [от Л] до В и G
опишем круг. Это будет круг BEDG. Два больших круга ABCD и BEDF
61 пересекутся под прямым || углом96. Вот чертеж этого.
120
[Ill]	Если он сказал: построим на сфере три больших круга, пе-
ресекающихся под прямым углом, то построим, как раньше, два боль-
ших круга, пересекающихся под прямым углом в точках А и С. Это —
круги ABCD и BEDG, пересекающиеся под прямым углом. Далее раз-
делим дугу BCD пополам в точке С, «примем точку В за полюс и на
расстоянии ВС опишем круг CEAG. Тогда получим три круга ABCD,
BEDG и CEAG, пересекающиеся друг с другом под прямым углом97.
Вот чертеж этого.
III из XI
[IV]	Если он сказал: как провести большой круг, проходящий через
две точки на сфере, примем каждую из этих точек за полюс, пусть это —
точки Л и В, и опишем на расстоянии четверти большого круга круги
CDEB и CGEA. Эти круги пересекаются в точках С и Е. Далее примем
места пересечения за полюсы и на расстоянии [от них] до [данных] точек
опишем круг, это будет круг АВН, являющийся большим кругом. Мы
провели большой круг ABGH, который мы хотели [провести]98. Вот чер-
теж этого.
[IV из XI]
121
[V]	О разделении сферы на четыре равные части, являющиеся рав-
носторонними треугольниками. Если он сказал: как разделить сферу
на четыре равные части, являющиеся равносторонними и равноугольны-
ми треугольниками, то проведем на ней три круга; это круги ABCD,
BEDG и CEAG. Тогда сферу разделить на восемь равных равносторон-
них треугольников; эти треугольники ABE, AED, ADG, AGB, С BE, CED,
CDG и CGB. Проведем через центр одного из треугольников и через
каждый угол этого треугольника дуги больших кругов и продолжим
62 их до центров треугольников, примыкающих к нему. || Если мы прове-
дем дуги от этих центров до остальных двух углов каждого из этих
треугольников и продолжим их до центров [примыкающих] треугольни-
ков, то мы разделим сферу на четыре равных равносторонних и равно-
угольных треугольника; это треугольники IHF, IKH, FKH и FIK^. Вот
чертеж этого.
V из XI
[VI]	Другой [способ] разделения сферы на четыре равных равносто-
ронних и равноугольных треугольника. Если он сказал: как разделить
сферу на четыре [равных] треугольника с равными сторонами .и углами,
если известен диаметр сферы, то если диаметр сферы равен линии АВ,
построим на линии АВ полукруг, отложим линию АС, [равную] трети АВ,
проведем линию CD перпендикулярно к линии АВ; она встретит полу-
круг ADB в точке (Щ. Возьмем на круге произвольную точку Е, примем
ее за полюс и на расстоянии BD опишем круг FGH, разделим его на
три равные части в точках G, Н, F и проведем через полюс и через
каждую точку G, Н и F дуги большого круга, пересекающиеся в точке
/, а через каждые две из точек G, Н и F — дугу большого круга. Тогда
получим сферу, разделенную на четыре равносторонних и равноуголь-
ных треугольника. Это треугольники IHF, IHG, FIG и GHF100 Вог
чертеж этого.
[VI из XI]
122
[VII]	О разделении сферы на шесть равных частей, являющихся
равносторонними и равноугольными четырехугольниками. Если мы хо-
тим [построить] это, проведем на сфере три больших круга, пересекаю-
щихся под прямыми углами. Далее через центр каждых двух из восьми
треугольников, полученных нами на сфере, проведем дуги больших кру-
гов. Тогда сфера разделится на шесть || равносторонних и равноуголь- 63
ных четырехугольников и мы построим то. что хотели построить,01.
Вот чертеж этого.
[VII из XI]
{VIII] Другой [способ] разделения сферы на шесть равносторонних и
равноугольных четырехугольников. Если он сказал: как разделить сферу
на шесть равносторонних и равноугольных четырехугольников, и диа-
метр сферы равен линии АВ, то построим на линии АВ 'полукруг, отло-
жим линию АС, являющуюся третью АВ, восставим из точки С
перпендикуляр CD к линии АС [и соединим А с D], проведем на сфере
два круга, пересекающихся под прямыми углами в точках Е и G,
примем каждую из точек F и G за полюс и отметим на расстоянии AD
точки Н, К, I, F, L, М, N и X, проведем через каждую из этих точек
большие круги, т. е. проведем четыре дуги между точками // F, / и К
и между точками L, М, N и X.
Тогда сфера разделится на шесть частей, являющихся равносто-
ронними и равноугольными четырехугольниками,02. Вот чертеж этого.
[IX]	О разделении сферы на двадцать равных частей, являющихся
равносторонними и равноугольными треугольниками Если он сказал:
как разделить сферу на двадцать равных частей, являющихся равно-
сторонними и равноугольными, то проведем на сфере большой кр}г,
пусть это — круг ABCD, а его полюсы — точки Н и G. Разделим этот
круг на десять равных частей; это части АВ, ВС, CD, DE, EF, FI, IK,
KL, LM и MA. Примем точки А и В за полюсы и на расстоянии дуги
ВС опишем два круга, пересекающихся в точках Z со стороны полюса Н.
123
64 Затем, примем точки В и С за полюсы и на расстоянии дуги || ВС опи
тем два круга, пересекающихся в точках Q со стороны полюса G По-
строим при каждом из десяти делений из большого круга, разделенного
[на десять частей], круги, пересекающиеся в точках Z со стороны точки
Нив точках Q со стороны полюса G У нас получатся пять точек со
стороны полюса Н, обозначаемые Z, и пять точек со стороны полюса G
обозначаемые Q. Соединим каждые две из этих точек, т. е. точки Z и
Q, дугами больших кругов. Получатся десять треугольников, вершины
которых — точки Z и Q, а основания — [линии] QQ и ZZ. Далее прове-
дем через каждую из точек Z и полюс Н дуги большого круга, через
каждую из точек Q и полюс G — дуги большого круга. Получатся пять
треугольников с вершинами в точке Н и пять треугольников с вершина-
ми в точке G, Таким образом, мы разделили сферу на двадцать равно-
сторонних и равноугольных треугольников 103. Вот чертеж этого.
[IX из хп
[X]	Это же построение другим способом. Если мы хотим разделить
сферу на двадцать частей, являющихся равносторонними и равноуголь-
ными треугольниками, и диаметр сферы равен линии АВ, то построим
на линии АВ полукруг АСВ, отложим BD — одну пятую АВ, восставим
перпендикуляр DC к линии DB, примем точку В за центр и на расстоя-
нии [В]С опишем круг CEG. Отложим дугу СЕ, [равную] одной пятой
круга CEG. Отметим на сфере произвольную точку Н, примем ее за по-
люс и на расстоянии СЕ опишем на сфере круг. Разделим круг на пять
равных частей в [точках] F, проведем через каждые две такие точки
дуги большого круга и через каждую из этих точек и через полюс так-
же проведем дуги большого круга. Получим пять равносторонних и
равноугольных треугольников на сфере с вершинами в точке Н и с ос-
qq кованиями FF. Далее примем каждую из точек F || за полюс и на взя-
том расстоянии опишем другие круги, пересекающиеся в точке /. Затем
проведем через каждые две точки Е и через каждые две точки / дуги
большого круга. Тогда получим десять равносторонних и равноугольных
треугольников. Затем примем каждые две точки I за полюс и на том
же расстоянии опишем круги, пересекающиеся в точке К. Затем постро-
им на каждой из точек / и на каждой из точек К дуги большого круга
Тогда получим пять треугольников с равными сторонами [и углами]
[Следовательно], разделим [поверхность] сферы на двадцать частей.,
являющихся равносторонними и равноугольными треугольниками104
Вот чертеж этого..
124
[X из XI]
[XI]	О разделении сферы на двенадцать равных частей, являющихся
равносторонними и равноугольными] пятиугольниками. Если мы хотим
[построить] это, разделим сферу на двадцать равных частей, являющих-
ся равносторонними и равноугольными треугольниками. Затем проведем
через центры треугольников дуги больших кругов. Тогда сфера разде-
лится на двенадцать равносторонних и равноугольных пятиугольни-
ков 105 Вот чертеж этого.
XI из XI
[XII]	Второй [способ] разделения сферы на двенадцать равносторон-
них и равноугольных пятиугольников. Пусть диаметр сферы известен.
Примем за диаметр сферы [линию] АВ. разделим ее на три равные ча-
сти; это AC. CD и DB. Примем точку D за центр и на расстоянии DA
опишем полукруг AEG. Восставим из точки В перпендикуляр BE к
линии АВ и отложим линию ВН. равную половине BE. Примем точку Н
за центр и на расстоянии НЕ отметим [точку] F; получится линия BF.
являющаяся стороной пятиугольника на сфере. Вот чертеж этого.
|| Поэтому если хотим разделить сферу на двенадцать равных ча- 66
стей, являющихся равносторонними и равноугольными пятиугольника-
ми, то отметим на сфере точку, как [мы делали] раньше, это — точку 1.
примем ее за полюс и на расстоянии полученной линии FB опишем круг
KLM. Разделим его на три равные части в точках Л, L и М и через по-
125
1юс и через каждую из этих точек проведем дугу большого круга. За-
тем примем каждую из этих точек, т. е. каждую из построенных точек
X, L и М, за полюс и на расстоянии /К опишем круги. Разделим каж-
дый из этих кругов также на три равные части в точках В, С, D, X, F и
О, откладывая эти части от точки /, проведем через каждую из точек
деления и через каждую из точек К, L, М дугу большого круга. Полу-
чатся три равносторонних пятиугольника; это пятиугольники 1KOBL,
IMXFK и IMDCL. Поступим так же с каждой из дуг. Далее примем
точки В, Cf D, X, G, Е и А за полюсы и на расстоянии стороны пяти-
угольника опишем круги. Разделим их, как мы делили, на части от
соответствующего полюса — точки I. Сфера разделится на двенадцать
равносторонних и равноугольных пятиугольников106. Вот чертеж этого..
[XIII]	Третий способ деления сферы на двадцать равных частей,,
являющихся равносторонними и равноугольными треугольниками. Если
выполнено разделение сферы на двенадцать частей, являющихся рав-
ными пятиугольниками, можно [легко] разделить сферу на двадцать
треугольников. Разделим сферу на двенадцать пятиугольников и прове-
дем через их центры дуги больших кругов так, что из центра каждого
пятиугольника выходят дуги в центры примыкающих к нему пятиуголь-
ных граней. Сфера разделится на двадцать треугольников. Вот чертеж
67 полусферы, разделенной на пятиугольники, в котором при центре II
пятиугольника в середине построены пять треугольников ,07. Вот чертеж
этого.
XIII из XI
[XIV]	Разделение сферы на четырнадцать частей — шесть равносто-
ронних и равноугольных четырехугольников и восемь равносторонних
и <равноугольных треугольников. Если мы хотим [построить] это, то по-
строим на сфере три больших круга, пересекающихся под прямыми
углами. Затем разделим каждую из сторон треугольников пополам и
126
проведем через каждое место деления дуги большого круга. Тогда сфе-
ра разделится на шесть равносторонних и равноугольных четырехуголь-
ников и восемь равносторонних и равноугольных треугольников 108 Вот-
чертеж этого.
[XV]	О разделении сферы на те же части другим способом. Если мы
хотим [построить] это, то разделим сферу на [шесть] равных четырех-
угольников, разделим каждую из сторон пополам и проведем через каж-
дые два места деления дуги большого круга. Тогда сфера разделится
на восемь треугольников 109. Вот чертеж этого. Чертеж разделения та-
кой же.
[XV из XI]
[XVI]	О разделении сферы на двенадцать равносторонних и рав
ноугольных пятиугольников и двадцать равносторонних и равноуголь-
ных треугольников. Если мы хотим [построить] это, разделим сферу на
двадцать равносторонних и равноугольных треугольников, а затем раз-
делим каждую из сторон [этих треугольников] пополам и проведем че-
рез места деления большие круги; тогда сфера разделится на восемь-
десят частей, являющихся равносторонними [и равноугольными] || тре- 68
угольниками. Тогда если отбросим шестьдесят из этих треугольников,
примыкающих к вершинам первых треугольников, и сотрем разделяв-
шие их линии, то сфера разделится на двенадцать равносторонних и
равноугольных пятиугольников и двадцать равносторонних и равно-
\тольных треугольников110. Вот чертеж полусферы.
127
(XVI из XI]
[XVII]	Второй способ построения двенадцати равносторонних и рав-
ноугольных пятиугольников и двадцати равносторонних и равноуголь-
ных треугольников на сфере. Если угодно, проведем на сфере большой
круг, разделим его на десять равных частей, построим на них равно
сторонние треугольники, пять из которых направлены в сторону одногь
из двух полюсов, а пять других направлены в сторону другого полюса,
как мы поступали при разделении сферы на двадцать треугольников.
Затем примем вершины этих треугольников за полюсы, проведем боль-
шие круги, разделим каждый из них на десять частей так, чтобы эти
круги пересекались в отмеченных точках. Соединим между собой отме-
ченные точки. Тогда сфера разделится на двенадцать равносторонних
и равноугольных пятиугольников [и двадцать равносторонних и равно-
угольных треугольников]111.
[XVIII]	О разделении сферы на двенадцать равносторонних и рав-
ноугольных пятиугольников. Если мы хотим [построить] это, разделим
сферу на двенадцать пятиугольников и двадцать треугольников и про-
ведем через центры треугольников дуги больших кругов. Тогда сфера
разделится на двенадцать равносторонних и равноугольных пятиуголь-
ников 112 Вот чертеж полусферы.
[XIX]	О разделении сферы на двенадцать равносторонних пяти-
69 угольников || и двадцать равносторонних шестиугольников. Разделим
сферу на двадцать равных частей [являющихся равносторонними] тре-
угольниками, разделим каждую из сторон треугольника на три равные ча-
сти. проведем через места деления дуги больших кругов; тогда сфера
разделится на двадцать шестиугольников. Вот чертеж полусферы.
В середине каждого треугольника получим шестиугольник, а при уг-
лах— пятиугольники 113. Вот чертеж этого.
128
[XIX из XI]
(XX]	О разделении сферы на шесть равносторонних четырехугольни-
ков и восемь равносторонних шестиугольников. Если мы хотим (по-
строить] это, разделим сферу на восемь равносторонних и равноугольных
треугольников, разделим каждую из их сторон на три равные части и
проведем через места деления дуги больших кругов. Тогда сфера раз-
делится на шесть четырехугольников и восемь шестиугольников. Шести-
угольники получатся в середине треугольников, на которые была
разделена сфера, а четырехугольники— при их углах114. Вот чертеж
полусферы.
[XXI]	О разделении сферы (на четыре равносторонних треугольника]
и четыре равносторонних и равноугольных шестиугольника. Если мы
хотим [построить] это, то разделим сферу на четыре равносторонних и
равноугольных треугольника, разделим каждую из их сторон на три
равные части и проведем через места деления дуги больших кругов;
тогда сфера разделится на четыре равносторонних и равноугольных тре-
угольника и четыре равносторонних и равноугольных шестиугольника.
Шестиугольники получатся в середине треугольников, а треугольники —
при их углах.115. Вот чертеж этого.
[XXI из XI]
Заказ 338
129
Фотокопия последней
(с оригинала
страницы трактата Абу-л-Вафы
стамбульской рукописи)
|| КОНЕЦ
70 Трактат окончен с восхвалением, молитвой и приветствием единому
Аллаху.
С. А. Краснова
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ АБУ-Л-ВАФЫ
1.	Кигаб фи ма йахтадж илайхи ас-сани мин а’мал ал-хандасиййа
2.	Баха ад-Даула Дийа ал-Милла Гийас ал-Умма («блеск государ-
ства», «свет народа», «оплот нации»)—почетные звания султана Абу
Насра Хурры Фируза, сына Фаннахусрау, царствовавшего в Багдаде в
990—1012 гг.
Шахиншах, титул буидских султанов, — по-персидски «царь царей».
3.	В рукописи не 13, а 11 глав; отсутствуют главы «О разделении
разносторонних фигур» и «О касающихся кругах», а глава «О разде-
лении сферы» в рукописи является 11-й, а не 13-й
4.	Линейка (мастара)—от «сатара» — «линовать, проводить
линии».
5.	См. (8], стр. 96.
6.	Мы переводим словами «путем шлифовки» выражение би-р-рак-
кан ва-л-кустарак. Слова «раккан» и «кустарак» — транскрипции пер-
сидских слов «раккан» и «гостарак», буквально означающих «тонкие» и
«подстилка», что, по-видимому, обозначает инструменты, с помощью ко-
торых производилась шлифовка линейки.
7.	Циркуль (биркар)—от персидского слова «пергар».
8.	Колесный циркуль — ал-биркар ад-дулаби, от дулаб — «колесо».
Это название объясняется, по-видимому, тем, что линейка, входящая в
состав этого циркуля, вращается как спица колеса.
9.	Угольник (кунйа) — от греческого словаку!?. (угол), в персидской
форме гунйа.
10.	Построение по существу совпадает с построением, приведенным
в предложении 11 книги I «Начал» Евклида [23, т. I, стр. 24]. На по-
лях дано доказательство, опирающееся на предложение 4 книги I
«Начал» о равенстве треугольников. В переводе воспроизведен более
полный чертеж парижской рукописи (л. 142а).
11.	Построение основано на предложении 31 книги III «Начал» [23г
т I, стр. НО]. В доказательстве на полях имеется ссылка на эту тео-
рему Евклида.
12.	Это построение отсутствует у Евклида и по существу совпадает
с построением Герона, приведенным ан-Найризи в его комментариях к
предложению 11 книги I «Начал» (23, т. I, стр. 54]. Доказательство на
полях опирается на предложение 31 книги III «Начал» (см. примеча-
ние 11).
13.	Это построение, основанное на свойствах равнобедренного пря-
моугольного треугольника, также отсутствует у Евклида.
14.	Здесь с помощью предыдущего построения строится точка С на
перпендикуляре к прямой АВ. Точка С «попадет вне линии АЕ», т. е.
будет лежать вне угла ВАЕ, если этот угол острый, и «попадет внутри
9*
131
пинии АЕ», т. е. будет находиться внутри угла ВАЕ, если этот угол
тупой.
15.	В доказательстве на полях ссылка на то, что 32 + 42 = 9+16 =
= 25 = 52.
16.	В доказательстве на полях ссылка на то, что 122 + 52 = 144 +
+ 25= 169=132.
17.	Построение в случае деления пополам прямолинейного отрезка
совпадает с построением предложения 10 книги I «Начал» Евклида
[23, т. I, стр. 24], а в случае деления пополам дуги окружности — с по-
строением предложения 30 книги III «Начал» [23, т. I, стр. ПО]. Дока-
зательство на полях опирается на равенство треугольников и на ра-
венство дуг, стягиваемых равными хордами, — предложение 29 книги III
«Начал» [23, т. I, стр. 109].
18.	Совпадает с построением ан-Найризи в его комментариях к
Евклиду [30, стр. 74—75]. На полях приведено доказательство, опираю-
щееся на равенство треугольников АСН и BED,
19.	По существу совпадает с построением предложения 9 книги I
««Начал» Евклида [23, т. I, стр. 23]. Доказательство на полях опирается
На равенство треугольников BDG и BEG, На чертеже стамбульской
рукописи проведены лишние линии, поэтому в переводе воспроизведен
чертеж парижской рукописи (л. 144).
20.	Совпадает с построением предложения 12 книги I «Начал» Ев-
клида [23, т. I, стр. 25].
21.	По существу совпадает с построением предложения 11 книги XI
«Начал» Евклида [23, т. III, стр. 21]. В доказательстве на полях име-
ется ссылка на это предложение. Чертеж Абу-л-Вафы условен.
22.	Совпадает с построением предложения 23 книги I «Начал» Ев-
клида [23, т. I, стр. 35]. Доказательство на полях опирается на пред-
ложение 27 книги III «Начал» [23, т. I, стр. 107].
23.	По существу совпадает с построением предложения 31 книги J
«Начал» [23, т. I, стр. 43]. Доказательство на полях опирается на равен-
ство треугольников HAD и ADE
24.	Совпадает с построением предложения 1 книги 111 «Начал»
Евклида [23, т. I, стр. 81]. В доказательстве на полях имеется ссылка
на это предложение.
25.	Доказательство на полях опирается на теорему о том, что угол,
вписанный в полукруг, — прямой (предложение 31 книги III «Начал»,
см. прим. И).
26.	Совпацает с построением предложения 25 книги 111 «Начал»
Евклида [23, т. I, стр. 105]. Доказательство на полях опирается на
теорему о том, что угол, вписанный в полукруг, — прямой.
27.	Совпадает с построением предложения 17 книги III «Начал»
Евклида [23, т. I, стр. 99]. В доказательстве на полях имеется ссылка
на это предложение.
28.	Совпадает с построением предложения 16 книги III «Начал»
Евклида [23, т. I, стр. 97]. В доказательстве на полях имеется ссылка
на это предложение.
29.	Доказательство на полях опирается на то, что фигура
BHGE — параллелограмм. Правильность построения вытекает из пред-
ложения 34 книги I «Начал» [23, т. I, стр. 45].
30.	В доказательстве на полях имеется ссылка на предложение 29
книги I «Начал» [23, т. I, стр. 41], согласно которому угол BDE равен
углу CBD, равному по построению углу DBE, и на предложение 6 той
же книги [23, т. I, стр. 20], в силу которого треугольник BDE — равно-
бедренный
132
31.	Доказательство на полях опирается на то, что фигура BEFG —
параллелограмм, и на предыдущее предложение.
32.	По существу совпадает с построением предложения 22 книги I
«Начал» {23, т. I, стр. 34]. В доказательстве на полях имеется ссылка
на это предложение.
33.	Доказательство на полях опирается на то, что каждый угол рав-
ностороннего треугольника равен двум третям прямого угла.
34.	По существу совпадает с построением предложения 8 «Книги
чемм» Архимеда [8, стр. 395]. Доказательство на полях равносильно
данному Архимедом.
35.	Это построение также основано па применении «вставки». На
полях приведено доказательство правильности этого способа построения.
36.	Доказательство на полях опирается на предложение 26 книги III
«Начал» [23, т. I, стр. 106] о равенстве дуг, стягивающих равные углы в
равных кругах.
37.	Совпадает с построением в «Механике» Герона [8t стр. 461J.
На полях доказано, что АВ : СА=АВ3: ВЕ3, откуда вытекает, что ВЕг =
= 2 АВ3.
38.	«Зажигательное зеркало» — парабола, «расстояние, на котором
зажигается 'предмет» — фокусное расстояние. Абу-л-Вафа называет ле-
кало тем же словом «мастара», что и линейку. На полях приводится
доказательство того, что абсциссы и ординаты построенных точек удов-
летворяют уравнению параболы.
39.	На полях приводится доказательство правильности построения.
40.	Совпадает с построением предложения 1 книги 1 «Начал» Ев-
клида {23, т. I, стр. 15].
41.	Совпадает с построением предложения 46 книги I «Начал»
Евклида [23, т. I, стр. 57]. На полях написано: «Доказательство оче-
видно» (возможно, что эти слова относятся и к предыдущему построе-
нию) .
42.	Построение правильного пятиугольника с данной стороной от-
сутствует у Евклида. Доказательство правильности построения на по-
лях опирается на предложение 11 книги II «Начал» о делении линии в
среднем и крайнем отношении [23, т. I, стр. 75] и на предложение 10
книги IV «Начал» о построении равнобедренного треугольника с углами
72° при основании и углом 36° при вершине [23, т. I, стр. 132].
43.	Это — то же построение с'помощью линейки и циркуля постоян-
ного раствора, равного данной стороне.
44.	Построение правильного шестиугольника с данной стороной от-
сутствует у Евклида. Построение Абу-л-Вафы опирается на построение
Евклида равностороннего треугольника. На полях написано: «Доказа-
тельство очевидно».
45.	Значение стороны правильного семиугольника с точностью до
тысячных равно 0,868 радиуса описанного круга; построение Абу-л-
Вафы дает отрезок, равный 0,866 радиуса. Это приближенное значение
имеется в «Метрике» Герона [29, стр. 55]. Здесь Абу-л-Вафа не отмечает
приближенного характера своего построения, но он говорит об этом
ниже, рассматривая аналогичное построение семиугольника, вписан-
ного в круг (см. прим. 58).
На полях написано: «Абу-л-Касим ал-’Андиджани сказал: это по-
строение не точно, так как определение величины этим способом являет-
ся только приближенным. То, что величина, найденная как половина
стороны равностороннего треугольника, вписанного в круг, стягивает одну
седьмую круга, не доказано, величина, которой пользуется Абу-л-Вафа,
только кажется равной этой величине. В действительности АВ непра-
133
вильно считается хордой круга, равной половине стороны вписанниги
треугольника. Полное разъяснение этого требует размышления». Об ал-
"Андиджани см. нашу статью, предпосланную переводу трактата Абу-л-
Вафы.
46.	Построение правильного восьмиугольника с данной стороной
отсутствует у Евклида. На полях приведено доказательство правильно-
сти построения.
47.	Здесь та же задача решается линейкой и циркулем постоянного
раствора, равного данной стороне. На полях приведено доказательство
правильности построения.
48.	На полях приведено доказательство правильности построения.
49.	Построение правильного десятиугольника с данной стороной
отсутствует у Евклида. Построение Абу-л-Вафы сводится к построению
радиуса описанного круга, являющегося большим отрезком при делении
этого радиуса и данной стороны в среднем и крайнем отношении, что
вытекает из предложения 9 книги XIII «Начал» [23, т. III, стр. 114].
В доказательстве на полях имеется ссылка на это предложение.
50.	Здесь та же задача решается линейкой и циркулем постоянного
раствора, равного данной стороне. На полях приведено доказательство
правильности построения.
51.	Эта задача является частным случаем задачи предложения 2
книги IV «Начал» Евклида для равностороннего треугольника. По-
строение Абу-л-Вафы опирается на предложение 15 книги IV «Начал»
о построении вписанного правильного шестиугольника [23, т. I, стр. 138].
В доказательстве на полях имеется ссылка на это предложение. На чер-
теже стамбульской рукописи проведены лишние линии, поэтому в пере-
воде воспроизведен чертеж парижской рукописи (л. 152).
52.	Эта задача является частным случаем задачи предложения 3
книги JV «Начал» Евклида для равностороннего треугольника. На полях
написано: «Доказательство в книге Евклида».
53.	Совпадает с построением предложения 6 книги IV «Начал»
Евклида [23, т. I, стр. 128].
54.	Здесь та же задача решается линейкой и циркулем постоянного
^раствора, равного радиусу круга. В доказательстве на полях имеется
ссылка на предложение 26 книги III «Начал» о равенстве центральных
углов, опирающихся на равные дуги [23, т. I, стр. 106], и на предложе-
ние 4 книги I «Начал» о равенстве треугольников. Далее приводятся
-еще четыре решения той же задачи линейкой и циркулем того же рас-
твора. В первом случае на полях написано: «Доказательство очевидно»,
в остальных случаях приводятся доказательства правильности по-
строения.
55.	По существу совпадает с построением предложения 11 книги IV
«Начал» Евклида [23, т. I, стр. 133]. В доказательстве на полях имеется
ссылка на предложение 1 книги I «Алмагеста» Птолемея [35, т. I,
стр. 25] и на предложение 9 книги XIII «Начал» Евклида.
56.	Здесь та же задача решается линейкой и циркулем постоянного
раствора, равного радиусу круга. В доказательстве на полях имеется
ссылка на предложение 10 книги IV «Начал». Далее приводится еще
одно решение той же задачи с доказательством на полях.
57.	Совпадает с построением предложения 15 книги IV «Начал»
Евклида [23, т. I, стр. 138]. На полях имеется ссылка на это пред-
ложение.
58.	Здесь. Абу-л-Вафа отмечает, что построенная им дуга — «одна
седьмая круга приближенно, а не точно». На полях снова ссылка на
ал-’Андицжани,
134
59.	Чертеж стамбульской рукописи не потный, поэтому в переводе
чертеж воспроизведен по парижской рукописи( л. 155).
60.	Совпадает с построением предложения 5 книги IV «Начал»
123, т. I, стр. 126]. В доказательстве на полях имеется ссылка на это
предложение.
61.	Совпадает с построением предложения 9 книги IV «Начал»
Евклида [ 23, т. I, стр. 131]. На полях имеется ссылка на это предло-
жение.
62.	Задача совпадает с предложением 14 книги IV «Начал» [23,
т I, стр. 138], но в отличие от Евклида, находившего центр описанного
круга в пересечении двух биссектрис, Абу-л-Вафа находит его в пере-
сечении двух перпендикуляров, восставленных в серединах сторон. На
полях приведено доказательство правильности построения.
63.	Доказательство на полях основано на равенстве сторон шести-
угольника радиусу круга
64.	Совпадает с построением предложения 4 книги IV «Начал»
Евклида [23, т. I, стр. 125]. В доказательстве на полях имеется ссылка
на Евклида.
65.	В стамбульской рукописи третье построение искажено, оно нами
восстановлено по миланской рукописи [3, стр. 107]. В чертежах четвер-
того построения стамбульской рукописи проведены лишние линии.
В нашем переводе они опущены, что сделано также в парижской ру-
кописи (л. 157). Пятое построение Абу-л-Вафы по публикации Зутера
приведено в книге [1, стр. 264].
66.	На полях приведено доказательство правильности построения.
67.	В переводе чертеж четвертого построения воспроизводится по
парижской рукописи (л. 157а). На полях приведены доказательства
правильности этих построений.
68.	Чертеж первого построения стамбульской рукописи не полный,
поэтому в переводе воспроизводится чертеж парижской рукописи
(л. 158). На полях приведены доказательства правильности этих
построений.
69.	Чертеж первого построения стамбульской рукописи не полный,
поэтому в переводе воспроизводится чертеж парижской рукописи
(л. 158а). На полях приведены доказательства правильности по-
строений.
1	70. Чертеж стамбульской рукописи неточен, поэтому в переводе
воспроизводится чертеж парижской рукописи (л. 158а). На полях при-
ведены доказательства правильности построений.
71.	Здесь приводится построение квадрата, описанного около пяти-
угольника таким образом, что четыре вершины пятиугольника находят-
ся на сторонах квадрата, а пятая вершина — на диагонали квадрата, и
построение правильного пятиугольника, вписанного таким же образом
в квадрат. Второе построение состоит в том, что строится пятиугольник,
сторона которого находится в таком отношении к стороне данного квад-
рата, что прямая RQ проходит через середину стороны MN; строится
квадрат, описанный около этого пятиугольника, и искомый пятиугольник
получается из построенного пятиугольника увеличением его сторон в
том же отношении. На полях приведены доказательства правильности
построений.
72.	На полях приведены доказательства правильности трех преды-
дущих построений.
73.	На	полях	приведено	доказательство	правильности	построения.
74.	На	полях	приведено	доказательство	правильности	построения.
75.	На	полях	приведены	доказательства	правильности	построений.
135
76.	Здесь приводятся построения треугольников, больших или
меньших данного в указанное число раз. В первом и третьем случаях,
когда строящийся треугольник подобен данному, это преобразование
треугольников является гомотетией: в первом случае с центром в одной
из его вершин, в третьем — в одной из внутренних точек треугольника
Во втором случае преобразование треугольников представляет собой
растяжение от прямой. На чертеже в стамбульской рукописи в этом слу-
чае указана точка В, а линия АВ не проведена.
77.	Здесь приводятся семь способов деления четырехугольников
пополам. Доказательства правильности построений приведены на полях
во II, III, VI и VII случаях, а в I случае написано: «Доказательство оче-
видно». В стамбульской рукописи чертеж III построения отсутствует
В переводе приводится чертеж по парижской рукописи (л. 160).
78.	Чертеж задачи VIII в стамбульской рукописи отсутствует
В переводе чертеж задачи VIII и первый чертеж задачи IX приведены
по парижской рукописи (л. 160 об.).
79.	Здесь текст не полный. Наши дополнения основаны на том, что
если AB=h, АН —а, ЕН = а+ е, BI= ig, то из подобия треугольника
FBI и треугольника, образованного линией EG, перпендикуляром, опу-
щенным из точки Е на сторону ВС, и отрезком стороны ВС вытекает
пропорция h : (2а—е) = ^:еэ откуда следует, что площадь искомого
треугольника AEI, равная -i-(2а + е) (/г — ^), равна площади ah пря-
моугольника ВН. В переводе воспроизводится чертеж парижской руко-
писи (л. 161). На полях приведены доказательства правильности по-
строений.
80.	На полях приведены доказательства правильности построений
81.	В задаче XV на полях приведено доказательство, в задаче XVI
написано: «Доказательство очевидно».
82.	Здесь рассматриваются девять задач отделения от трапеции ее
трети и другой доли и разделение ее пополам. В большинстве случаев
на полях приведены доказательства, в трех случаях написано: «Дока-
зательство очевидно».
83.	Построение является гомотетией с центром в центре квадрата
В стамбульской рукописи чертеж не полный, поэтому в переводе воспро-
изводится чертеж парижской рукописи (л. 163). На полях приведены
доказательства правильности построений.
84.	В парижской рукописи задачи отделения доли круга и разделе-
ния пополам «сектора» (кита’), под которым здесь понимается фигура,
состоящая из сегмента круга и произвольного треугольника, построен-
ного на хорде сегмента, выделены в главу «О разделении кругов»
Чертеж к задаче XXVIII в стамбульской рукописи неточен. В переводе
дан чертеж в соответствии с парижской рукописью (л. 163а). На полях
приведены доказательства правильности построений.
85.	Здесь приводятся пять задач разделения квадрата, треугольника
и трапеции на две и три равные части и на треть и две трети «с остав-
лением пути», которые в парижской рукописи выделены в отдельную
главу «Об оставлении пути». Это задачи на раздел земельных участков
с оставлением подхода данной ширины к новым участкам. Построения
Абу-л-Вафы правильны только при определенной ширине пути. Чертеж
задачи разделения треугольника на две равные части в стамбульской
рукописи отсутствует, но для него оставлено место. В переводе воспро-
изводится чертеж парижской рукописи (л. 164а). Чертеж задачи раз-
деления треугольника на треть и две трети неточен, поэтому в перевода
воспроизводится чертеж парижской рукописи (л. 164а).
136
86.	На полях написано: «Доказательство очевидно».
87.	Чертеж стамбульской рукописи не полный. В переводе воспроиз-
веден чертеж парижской рукописи (л. 166). Приводится пример построе-
ния квадрата из 8 = 2-22 равных квадратов. Чертеж к примеру неточен
ни в стамбульской, ни в парижской рукописях. В переводе чертеж вы-
полнен в соответствии с парижской рукописью (л. 166а).
88.	Построение квадрата из m2+n2 равных квадратов основано на
соотношении m2+n2=(m— n)2 + 2mn. Чертеж в стамбульской рукописи
не полный. В переводе чертеж выполнен в соответствии с парижской
рукописью (л. 169). На полях приведено доказательство правильности
построения.
89.	В этом примере в рукописях большой квадрат отсутствует На
полях написано: «Доказательство очевидно».
90.	«Способ геометров» построения квадрата, равновеликогр сумме
квадратов, основан на обобщении теоремы Пифагора, в силу которой
квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме
квадратов его измерений (см. прим. 94). Геометр мог бы решить эту
задачу и с помощью гомотетического увеличения квадрата в три раза,
что подобно построению, применявшемуся Абу-л-Вафой в задаче XXVI
девятой главы. Эти способы не удовлетворяют ремесленников, так как.
пе дают рецепта раскроя трех квадратов на куски, из которых состав-
ляется квадрат, равный трем данным.
91.	Сторона квадрата, построенного по «способу ремесленников»,
равная 10^1 4 Л: 17,0711, меньше 10 р^З 17,321; Абу-л-Вафа
приближенно выражает эти величины дробями 17 -—•	17,0714 и
17-у 17,333. В стамбульской рукописи на чертеже отсутствуют неко-
торые буквы, которые дополнены по чертежу «парижской рукописи.
92.	Здесь Абу-л-Вафа предлагает оригинальный метод построения
квадрата, равновеликого сумме трех равных квадратов. По мнению
Абу-л-Вафы, такой способ очень удобен для ремесленников, так как с
его помощью можно просто перекроить три малых квадрата в один
большой. Данное построение по публикации Вёпке [2] приведено в кни-
ге (1, стр. 265] и в книге [36, стр. 37—38]. На чертеже в стамбульской
рукописи проведены лишние линии и отсутствуют буквы. В переводе
воспроизводится чертеж парижской рукописи и добавлены обозначения
большого квадрата, на которые имеются ссылки в тексте (л. 170а).
93.	Здесь Абу-л-Вафа подробно излагает «способ геометров» по-
строения квадрата, равновеликого сумме трех квадратов. На чертеже
стамбульской рукописи проведены лишние линии, которых нет на вос-
произведенном нами чертеже парижской рукописи (л. 171а). В случае
п квадратов эту задачу также можно решить с помощью гомотетичного
увеличения квадрата в п раз, подобного построению, применявшемуся
Абу-л-Вафой в девятой главе; эту задачу можно решить и (п— 1)-крат-
ным применением теоремы Пифагора.
94.	Построение квадрата «с неизвестной величиной стороны» из
двух различных квадратов и разделение «квадрата на квадраты, не
состоящие из квадратов» (задача XVIII), отличаются от построений,
рассмотренных выше. Здесь квадраты не предполагаются состоящими
из равных малых квадратов, вследствие чего площадь квадрата, рав-
новеликого сумме или разности двух данных квадратов, заранее неиз-
вестна. Эти построения также основаны на теореме Пифагора и пред-
137
ложениях геометрической алгебры. Чертеж для задачи разделения квад-
рата на квадраты в стамбульской рукописи неточен В переводе воспро-
изводится чертеж парижской рукописи (л. 173). Доказательство пра-
вильности первого из этих построений приведено в тексте, доказатель-
ство второго — на полях. Последнее доказательство, принадлежащее
ал-'Андиджани, опирается на предложение 3 книги II Евклида [23, т. I,
стр. 63].
95.	На полях приводится примечание ал-'Андиджани со ссылкой на
«Сферику» Феодосия.
96.	На полях приводится доказательство правильности построения.
97.	Равносильно построению правильного октаэдра, вписанного в
сферу, в предложении 14 книги XIII «Начал» [23, т. III, стр. 124]. На
полях приводится доказательство правильности построения со ссылкой
па «Сферику» Феодосия.
98.	На полях приводится доказательство правильности построения.
99.	Равносильно построению правильного тетраэдра, вписанного в
сферу, в предложении 13 книги XIII «Начал» [23, т. III, стр. 121]. На
полях приводится доказательство правильности этого построения, при-
надлежащее ал-’Андиджани, со ссылкой на «Сферику» Феодосия.
100.	По существу совпадает с построением упомянутого предложе-
ния 13 книги XIII «Начал». В рукописи вместо «другой способ» написано
«третий способ». В доказательстве на полях имеется ссылка на «На-
чала».
101	Равносильно построению куба, вписанного в сферу, в предложе-
нии 15 книги XIII «Начал» Евклида [23, т. III, стр. 125]. Чертеж в стам-
бульской рукописи неточен. В переводе воспроизводится чертеж по
парижской рукописи (л. 174а).
102.	Совпадает с построением упомянутого предложения 15
книги XIII «Начал». На полях приведено доказательство правильности
построения. В переводе воспроизводится более наглядный чертеж па-
рижской рукописи (л. 175).
103.	Равносильно построению икосаэдра, вписанного в сферу, в
предложении 14 книги XIII «Начал» Евклида [23, т. [II, стр. 127].
В переводе воспроизводится более наглядный чертеж парижской руко-
писи (л. 175а).
104.	Совпадает с построением упомянутого предложения 16 книги
XIII «Начал». В доказательстве на полях имеется ссылка на книгу XIII
«Начал». В переводе воспроизводится более наглядный чертеж париж-
ской рукописи (л. 176).
105.	Равносильно построению додекаэдра, вписанного в сферу, в
предложении 17 книги XIII «Начал» Евклида [23, т. III, стр. 132]. В пе-
реводе воспроизводится более наглядный чертеж парижской рукописи
(л. 176а).
106.	Совпадает с построением предложения 17 книги XIII «Начал».
На полях приводится доказательство правильности построения со ссыл-
кой на эту книгу Евклида. В переводе воспроизведен более наглядный
чертеж парижской рукописи (л. 176а).
107.	Построение основано на том, что икосаэдр является взаимным
многогранником для додекаэдра и вершинами икосаэдра служат центры
граней додекаэдра. В переводе воспроизведен более наглядный чертеж
парижской рукописи (л. 177).
108.	Равносильно построению полуправильного четырнадцатигран-
ника, шесть граней которого являются квадратами, а восемь — равно-
сторонними треугольниками, т. е. построению Сабита ибн Корры [8,
стр. 387—390]. Построение Абу-л-Вафы состоит в построении вписанного
138
октаэдра и в отсечении квадратов при его вершинах. -На полях приведе-
но доказательство правильности построения.
,	109. Способ вычерчивания того же -четырнадцатигранника, основан-
ный на построении вписанного куба и отсечении треугольников при его
вершинах. В переводе приведен более наглядный чертеж парижской ру-
кописи (л. 177а). На полях приведено доказательство правильности по-
строения, в котором имеется ссылка на «Начала».
ПО. Равносильно построению полуправильного тридцатидвухгран-
чика, 12 граней которого являются правильными пятиугольниками, а
остальные 20 — равносторонними треугольниками. Способ состоит в по-
строении вписанного икосаэдра и в отсечении пятиугольников при его
вершинах. На полях приводится доказательство правильности построе-
ния. В переводе приведен более наглядный чертеж парижской рукописи
(л. 177а).
111.	Построение того же тридцатидвухгранника по существу явля-
ется вариантом предыдущего способа В стамбульской рукописи добав-
лено: «Вот чертеж этого» и приведен чертеж, относящийся к XIX задаче,
-де он помещен вторично.
112.	Равносильно построению вписанного додекаэдра и основано
на предыдущем построении полуправильного тридцатидвухгранника.
На полях приводится доказательство правильности построения.
113.	Равносильно построению полуправильного тридцатидвухгран-
ника, 12 граней которого являются правильными пятиугольниками, а
20 — правильными шестиугольниками; основано на построении вписан-
ного икосаэдра и отсечении пятиугольников при его вершинах. На полях
приведено доказательство правильности построения.
114.	Равносильно построению полуправильного четырнадцатигран-
ника, шесть граней которого являются квадратами, а восемь — правиль-
ными шестиугопьниками; основано на построении вписанного октаэдра
и отсечении квадратов при его вершинах. В перевод включен более
наглядный чертеж парижской рукописи (л. 178а). На полях приведено
доказательство правильности этого построения.
115.	Равносильно построению полуправильного восьмигранника,
четыре грани которого являются равносторонними треугольниками, а
четыре — правильными шестиугольниками; основано на построении впи-
санного тетраэдра и отсечении треугольников при его вершинах. На
полях приведено доказательство правильности построения.
ЛИТЕРАТУРА
1.	А. П. Юшкевич, История математики в средние века, М., 1962.
2.	F. Woepcke, Rech^rches sur I'histoire des sciences muthemitiques chez les
orientaux d'apres des trails et extraits d'un recueil de constructions g£om6triques
par Abiul Wafd,—«Journal asiatique», 1855, 5-eme serie, vol. 5, pp. 218—256.
3.	H. Suter, Das Buch der giometri sclim Konstruktionen des АЬйГ\& efd, Ab-
handlungen zur Geschichte der Naturwissenschaften und Medizin, 1932, S. 94—109.
4.	В. II. Зубов, Б. А. Розенфельд, А. П. Юшкевич, Об исследованиях no ис-
тории математики средних веков, — «Историке-математические исследования», 1963,
вып. 1 5, стр. 51—72.
5.	Абу-л-Вафа ал-БузджЗнй, Китйб фй ма йахтсьдж илайхи ас-санй* мин а ма г
гл-ханд.сшйа (арабская р/колись Ста 16/льскэй библиотеки Айя София, № 27эЗ).
6.	С. Schoy, Die trigonometrischen L^hren d°s persischen Astronomen Abu'l
Raihcin Muhammed ibn Ahmed al-Blrurit, dargestellt nach al-Qanun al-Mas'iidt.
\ach dem Tode des Verfassers hrsg. von J. Ruska und Wieleitner, Hannover, 1927.
7.	J. Tropfke, Die Siebeneckabhandlung des Archimedes, — «Osiris», 1936 № 1
S. 636—651.
8.	Архимед, Сочинения, перев. И. Н. Вессювскэго, нерев. арабскил текстов
Б. А. Розенфельда, М.» 1962.
139
9.	E. Bessel-Hagen, О. Spies, Labit b. Qurras Abhandlung Uber elnen halbrc-
gelmapigen Vierzehnflacher,— «Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik,
Astronomic und Physik», Abt. B., Bd 2, Berlin, 1932, S. 186—198.
10.	Ибн Синаи, Расаил, Хайдерабад, 1367 х. (1948) (на араб. яз.).
11.	Ибн Синан, Книга о построении трех [конических] сечений, перев. Дж. ад-
Даббаха и С. А. Красновой, прим. С. А. Красновой,—«Историко-матемэтические ис-
следования», 1965, вып. 16, стр. 427—446.
12.	F. Woepcke, Trots traites arabes sur le compas parfait,—«Notices et ex-
traits des manuscrits de la Bibliotheque Nationale», t. 22, pt. 1, 1874, pp. 1 147.
13.	F. Woepcke, L'Algcbre d'Omar Alkhayydmi, publieet traduite et accom-
pagnee d'extraits de manuscrits inedits, Faris, 1851.
14.	Насир ад-Дин ат-Туси, Ал-джуз' ас-санй мин ар-расаил, Хайдерабад, 1309 х
(1940) (на араб. яз.).
15.	М. Curtze, Der Liber trium fratrum de Geometria,—«Nova Acta Acad, der
Ksl. Leop.-Carol. Deutschen Akademie der Naturforscher», 1855, Bd 49, № 2, S.
108—167.
16.	Бану Муса ибн Шакир, Книга об измерении плоских и сферических фигур,
перев. и прим. Дж. ад-Даббаха, — «Историко-математические исследования», 1965
вып. 16, стр. 389—426.
17.	Avicenne, Le livre de science, vol. II Physique-mathcmatiques, trad. par.
Mohammed Achena et Henri Masse, Paris, 1958, pp. 91—239.
18.	Абу-р-Райхан ал-Бйрунй, ал-Канун ал-Мас'удй, т. I—III, Хайдерабад,
1373—1375 х. (1954-1956) (на араб яз.).
19.	Абу-р-Райхан ал-Бируий, Раса'ил, Хайдерабад, ч. 1, 1367 х. (1948).
20.	Н. Suter, Das Buch der AuffIndung der Sehnen im Krelse von Abu'l-Raihan
Muh. el-Biruni, — «Bibliotheca mathematica», 1911, Bd 11, S. 11—38.
21.	Абу-р-Райхан ал-Бируни, Трактат об определении хорд в круге при помо-
щи ломаной линии, вписанной в него, перев. С. А. Красновой и Л. А. Карповой,
прим. Б. А. Розенфельда и С. А. Красновой,—в сб.: «Из истории науки и техники!
в странах Востока», 1963, вып. 3, стр. 93 147.
22.	Джемшид Гиясэддин ал-Каши, Ключ арифметики. Трактат об окружно-
сти, перев. Б. А. Розенфепьда, комм. А. П. КЛпкевича и Б. А. Розенфельда, М.,.
1956, стр. 263-308.
23.	Евклид, Начала, перев. Д. Д. Мордухай-Бэлтовского, М. -Л., т. I, 1948;
т. II, 1949; т. ГП, 1950.
24.	Apollonius de Perga, Les coniques, trad. P. ver Eecke, Bruges, 1923
25.	Theodose de Tripoli, Les Spheriques, trad. P. ver Eecke, Bruges, 1927
26.	M. Krause, Die Sphdrik von Menelaos aus Alexandrian in der Verbesse-
rung von Abu Nasr Mansur b. 'AH b. 'Iraq mit Untersuchungen zur Geschichti
des Textes bei den islamischen Mathematiker, Berlin, 1936.
27.	Pappus Alexandrinus, Collectiones quod supersunt, cd. Hultsch, Bd I, Berlin,
1876; Bd II, 1877; Bd III, 1878.
28.	К. Ф. Гаусс, Арифметические исследования, — в кн.: «Тру гы по теории
чисел», пррев. Б. А. Демьянова, М.. 1959, стр. 9—583.
29.	Hero Alexandrixius, Rationes dimetiendi (Vermessungslehre), herausg. und
ubers. H. Schone,—«Heronis Alexandrini opera quae supersunt omnia», Bd III, Leipzig,
1907, S. 1—18'.
30.	Anaritius, In decern libros priores elementorum Euclidis commentarii, ed.
M. Gurtze, Leipzig, 18)9.
^З!. Б И. Аргунов и M. Б. Балк, Геометрические построения на плоскости*
32.	Мухаммед Насирэддин Туси, Трактат о полном четырехстороннике *
перев. под ред. Г. Д. Мамедбейли и Б. А. Розенфельда, Баку, 1952.
33.	Ибн ал-Кифти, Та'рих ал-хукама, Каир, 1329 х. (1909) (на араб. яз.).
34.	Aboul Hasai Ali de Maroc, Traite des instruments astronomiques des Ara-
bes, trad. J. J. Sedillot, ed. L. A. Sedillot, Paris, 1834.
35.	Ptolemaus, Handbuch der Astronomic, fibers. K. Manitius, Vorwort und Be-
richtigungen von O. Neugebauer, Bd I, II, Leipzig, 1963.
36.	Б. А. Кордемский и H. В. Русалев, Удивительный Keadpapi, М.—Л., 1952
А. И. Володарский
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ТРАКТАТЕ ШРИДХАРЫ
«ПАТИГАНИТА»
В настоящей работе анализируются математический трактат «Пати*
танита» индийского ученого Шридхары (IX—X вв.) и анонимные сред*
невековые санскритские комментарии к нему, исследуются его ориги-
нальный вклад в науку и -связи между сочинениями Шридхары и других
индийских математиков: Ариабхаты I (V—VI вв.), Бхаскары I (VI—
VII вв.), Брахмагупты (VII в.), Магавиры (IX в.), Ариабхаты II (X в.).
Шрипати (XI в.), Бхаскары II (XII в.), Нарайаны (XIV в.).
Математики разных стран и времен нередко занимались решением
аналогичных проблем. Сходство задач не всегда свидетельствует о тех
или иных заимствованиях, но вместе с тем дает основание с должной
осторожностью судить о международных научных связях. С этой точки
зрения работы Шридхары сравниваются с работами математиков Гре-
ции, Китая, стран Ближнего и Среднего Востока и Западной Европы.
Из сочинений Шридхары до настоящего времени дошли два: «Пати-
ганита» [13] и «Тришатика» [14]. В более чем 20 работах индийских
ученых, написанных вплоть до середины XVII в., цитируются правила
и примеры из сочинений Шридхары или имеются ссылки на его тракта-
ты. «Патиганита» была не так широко распространена, как чрезвычайно
популярная «Тришатика». Сохранилась лишь одна рукопись «Патига-
ниты» и комментарии к ней, тогда как имеются 11 рукописей «Тришати-
ки» и пять различных комментариев, причем некоторые из них напи-
саны на местных языках: телугу, каннада, гуджарати. Большинство
комментариев не опубликовано.
О Шридхарачарье, т. е. ученом Шридхаре, известно немного. Всего
лишь один раз упоминает он свое имя в сочинении и нигде не пишет
о месте и времени своего рождения и о своих учителях. Поэтому с конца
прошлого века, когда был опубликован санскритский текст «Тришатики»
[21], до сих пор идут споры о времени жизни Шридхары.
Индийский историк математики и астрономии, издатель многих
тревних и средневековых индийских астрономических и математических
трактатов С. Двиведи считал, что перу Шридхары наряду с матема-
тическими сочинениями принадлежит и философский трактат «Ньяйа-
кандали». Дата написания этого трактата точно известна — 991 г.,
поэтому с ней связывают и жизнь Шридхары. Небезынтересно отметить,
что эта дата прочно закрепилась за Шридхарой и упоминается в широ-
ко известных работах М. Кантора [6], Д. Смита [19], Дж. Сартона [16]
и др.
Индийские историки математики Б Датта и А. Н. Сингх [8, т. 1,
стр. 8] полагают, чго Шридхара жил в VIII в.: ранее Магавиры (850 г.),
так как в сочинениях обоих авторов обнаружено несколько одинаковых
141
правил, которые, по мнению исследователей, Магавира заимствовал у
Шридхары.
Более вероятна оценка времени жизни Шридхары, предложенная
индийским историком науки К. Ш. Шуклой [13]. Она основывается на
сравнении и анализе целого ряда трактатов индийских математиков
К. Ш. Шукла считает, что Шридхара жил в конце IX — начале X в.
позднее математика Магавиры (около 850 г.), но ранее математика и
астронома Ариабхаты II (около 950 г.).
Из двух известных нам математических трактатов Шридхары «Па-
тиганита» была написана раньше и содержит значительно больше ма-
териала, чем «Тришатика», которая является ее сокращенным ва-
риантом.
Так, в начальной строфе «Тришатики» Шридхара пишет: «Шридха-
рачарья, поклоняясь богу Шиве, сообщает о сущности математики,
являющейся извлечением из «Патиганиты», составленной им самим для
всеобщего употребления». Некоторые ученые «Патиганиту» в отличие
от меньшего трактата называли «Брихатпати», т. е. «Большая работа
по математике». Другие давали ей название «Навашати», т. е. «Собра-
ние девятисот строф», которое указывает на объем «Патиганиты», тог-
да как «Тришатика» означает «Собрание трехсот строф».
\ Кроме эти,х двух сочинений Шридхара написал алгебраический
трактат, рукопись которого пока не найдена. Бхаскара II в «Биджага
ните» [5, стр. 209, стих 131] цитирует следующее правило решения квад-
ратного уравнения из этого трактата: «умножь обе стороны [уравне
ния] на известное количество, равное учетверенному коэффициенту при
квадрате неизвестного, [затем] прибавь к обеим сторонам известное
количество, равное квадрату [первоначального] коэффициента при неиз-
вестном [в первой степени], затем [извлеки квадратный] корень»
В современных обозначениях, если мы умножим обе стороны урав-
нения
ах2 + Ьх = с	(1>
на 4а, а затем прибавим к обеим частям Ь2:
4а2х2 4 4abx + Ь2 — 4ас 4 Ь2
(2ах 4 Ь)2 = 4аа 4 Ь2
и извлечем квадратный корень из обеих частей:
2ах I- b V4ас 4 Ь2,
то получим выражение
х 1 1зс 4- Ь2 — Ь
2а
которое будет решением уравнения (1).
В заключительной главе «Биджаганиты» [5, стр. 275, стих 218]
Бхаскара II пишет: «Так как работы по алгебре Брахмагупты. Шридха-
ры, Падманабхи слишком обширны, то я попытался извлечь из них
самое главное и составил эту работу с примерами». Можно предполо-
жить, что «слишком обширный» алгебраический трактат Шридхары
был весьма содержательным.
142
Санскритское название математики «ганита» дословно означает
«искусство вычисления». Все древние индийские математические сочи*
нения или математические главы в астрономических трактатах дели-
лись на две части: патиганиту и биджаганиту, где «пати» — дословно
доска, а «биджа» — элементы. Поэтому патиганита означает «искусство
вычисления на доске», а биджаганита — «искусство вычисления с эле-
ментами».
Ряд историков математики не вполне точно отождествляют патига-
ниту с арифметикой, а биджаганиту с алгеброй, переводя последний
термин как «вычисление корней» [1 и 3]. На самом деле оба термина
не имеют эквивалентов в современной математике. Работы по патига-
ните содержат арифметику и геометрию и, кроме того, некоторые
вопросы алгебры и теории чисел. Работы по биджаганите включают
в себя алгебру и теорию чисел.
Специальные трактаты или отдельные главы в астрономических
сочинениях по патиганите имеются у Брахмагупты — XII глава астро-
номического трактата «Усовершенствованная наука Брахмы» [5 и 23];
Магавиры — «Краткий курс арифметики» [15]; Ариабхаты II—XV гла-
ва астрономического трактата «Маха сиддханта» [12]; Шрипати — трак-
тат «Ганита тилака» и XIII глава астрономического трактата «Сиддхан-
та шекхара» [10 и 18]; Бхаскары II—трактат «Лилавати» {5]; Нарайа-
ны — «Лунный свет математики» [9]. К ним относится также «Бахша-
тийская рукопись» [11].
Специальные трактаты или отдельные главы в астрономических со-
чинениях по биджаганите имеются у Ариабхаты I — II глава астроно-
мического трактата [7]; Брахмагупты — XVIII глава астрономического1
трактата, Бхаскары II — «Биджаганита» [5]; Нилаканты — «Научный
сборник» [4, стр. 160—167].
«Патиганита» Шридхары была рассчитана, с одной стороны, на
строителей, земледельцев, чиновников, купцов, о чем свидетельствуют
многочисленные прикладные разделы сочинения, а с другой — на ученых,
что подтверждается изложением ряда теоретических вопросов.
Текст «Патиганиты» неполный. Он содержит 251 двустишие; 118 иэ
них включают правила, а 133—формулировки примеров и задач.
Хотя «Патиганиту», как уже отмечено, иногда называют «Собранием
девятисот строф», получить представление о точном количестве двусти-
ший очень трудно, так как, судя по «Тришатике», при изучении рукописи
вносились новые примеры, менялись условия некоторых задач. Кроме
того, из 300 строф «Тришатики» 73 содержат формулировки правил,
107 — примеры, 120 — изложение примеров в виде, удобном для вы-
полнения математических действий [14, стр. 207].
Весь текст трактата написан в стихах. Стихотворная форма изло-
жения способствовала лучшему запоминанию правил. В стихах, кото-
рыми писались многие индийские трактаты, нет рифмы: основное внима-
ние уделяется размеру. Все правила и большинство примеров «Патига-
ниты» написаны размером арья, состоящим из семи с половиной стоп,
каждая длительностью в четыре просодические единицы, причем во вто-
рой строке шестая стопа состоит из одного слога — краткого или
долгого.
В русской транслитерации вторую строфу «Патиганиты» можно
представить следующим образом: «санкалитавйавакалите пратйутпанно
гха бхагахарошча варгастасйа ча мулам гханагханамуле татхаитани».
Перевод: «Сложение и вычитание, также умножение и деление,
[возведение в] квадрат и [извлечение квадратного] корня, также [воз-
ведение в] куб и [извлечение] кубичного корня».
143-
Размер данного двустишия:
--------------_ _ ।--------------।----------| | -
Для сохранения размера стиха Шридхара широко пользуется сло-
весной нумерацией. Вот ее примеры, встречающиеся в «Патиганите»:
О — отверстие, пустой (примеры 3, 5; правило 21),
2 — близнецы (пример 115),
4	— веды (пример 115),
5	— стрелы (пример 70),
7	— горы (пример 70),
10 — ряд, линия (пример 70),
12 —светило, солнце (пример 70).
Иногда числа записываются следующим образом:
5 — полдесятка (правило 9),
25 —квадрат пяти (пример 4),
36 — квадрат шести (примеры 4, 53),
96 — сто без четырех (пример 52).
В обозначениях ряда чисел сохранились следы словесной нумерации,
где цифры записаны справа налево:
21 —один два (пример 3),
37 — семь три (пример 3),
203 — три нуль два (пример 5),
256 — шесть пять два (пример 5),
432 — два три четыре (пример 4),
7802 — два нуль восемь семь (пример 4),
8065 — пять шесть нуль восемь (пример 3).
Иногда встречаются смешанные обозначения чисел:
896 — девяносто шесть восемь (пример 3),
1296 — девяносто шесть два один (пример 3).
Для сохранения размера стихов Шридхара иногда не указывает, что
нужно определить при решении примера. Так, в примерах 53, 54, 65,
69, 70, 76, 77, 88, 97, 98, 99, 100, 101 форма вопроса отсутствует.
Иногда же, наоборот, Шридхаре приходится для сохранения разме-
ра вводить пышные выражения:
«О друг, если знаешь, назови...» (пример 12),
«Если ты знаешь метод вычисления, скажи...» (пример 24),
«О наилучший из математиков, назови...» (пример 120).
Никаких сведений о том, как были получены правила, никаких до-
казательств в трактате нет. Изложение предельно лаконично, все пра-
вила излагаются в форме рецептов и советов. Изредка правила содер-
жат все же намек на вывод. В этом отношении трактат Шридхары не
является исключением среди работ средневековых математиков Запад-
ной Европы и стран Ближнего и Среднего Востока, которым свойствен-
но догматическое изложение. Правила часто иллюстрируются одним или
несколькими примерами Кроме общих правил Шридхара иногда при-
водит правила для частных случаев. Ответы к примерам в тексте отсут-
ствуют и приводятся в наших комментариях, помещенных после пе-
ревода.
Таким образом, индийская система изложения «правило — задача»
несколько отличается от китайской, для которой характерна схема «за-
дача — ответ — правило»
144
«Патиганиту» можно условно разделить на четыре части
1.	Введение.
2.	Действия с целыми и дробными числами
3.	Правила, относящиеся к разнообразным задачам арифметики
и алгебры.
4.	Плоские фигуры.
Первая часть начинается с традиционного на Востоке -обращения
к богу. В следующих пяти двустишиях перечисляются 29 «действий» и
9 «определений», которые представляют собой содержание трактата.
Аналогичные «действия» и «определения» встречаются во многих трак-
татах индийских авторов.
Под термином «действие» Шрндхара подразумевает арифметиче-
ские операции над целыми и дробными числами, а также простую и
сложную пропорции. Под термином «определение» Шрндхара подразу-
мевает отдельные группы правил и задач, объединенные чаще всего
предметом исследования, реже методом решения.
Шрндхара перечисляет следующие 29 действий:
1)	сложение,
2)	вычитание,
3)	умножение,
4)	деление,
5)	возведение в квадрат,
6)	извлечение квадратного корня,
7)	возведение в куб,
8)	извлечение кубичного корня,
9—16) восемь действий с дробями,
17—22) приведение шести видов дробей к простейшей форме,
23) правило трех величин,
24)	обратное правило трех величин,
25)	правило пяти величин,
26)	правило семи величин,
27)	правило девяти величин.
28)	товарообмен,
29)	продажа живых существ.
Затем Шрндхара перечисляет следующие определения:
1)	смеси,
2)	ряды,
3)	плоские фигуры,
4)	выкапывание,
5)	распилка дров,
_6) деление бревен,
7)	куча,
8)	тень,
9)	учение о нуле.
Рукопись «Патиганиты» обрывается на третьем определении.
В заключении первой части Шридхара приводит названия позици-
онных мест до 1018, а также таблицы денежных, весовых, объемных, ли-
нейных и временных мер. Хотя число 10 лежало в основании многих
индийских методов счисления, однако системы мер строились не по де-
сятичному принципу. Коэффициентами пропорциональности часто слу-
жит число 4 или его степень, а также число 5. Как и во многих стра-
нах, в качестве единиц мер нередко используются: зерно, палец, локоть
и т. д.
Излагая во второй части правила «действий», Шридхара, видимо,
полагает, что сложение и вычитание целых чисел общеизвестны.
Ю Заказ 338
145
Во всяком случае, вместо правила сложения целых чисел он рассмат-
ривает суммирование первых п чисел натурального ряда, а вместо пра-
вила вычитания — способ вычитания суммы первых т чисел из суммы
первых n(>m) чисел натурального ряда. Все эти формулы — частные
случаи арифметической прогрессии, о которой Шридхара подробно рас-
суждает далее, да и сам натуральный ряд рассматривается им как
«арифметическая прогрессия, у которой первый член и общая разность
равны единице».
Затем Шридхара излагает четыре способа умножения целых чисел,
четыре способа возведения их в квадрат, три способа возведения в куб,
по одному способу деления целых чисел, извлечения из них квадрат-
ного и кубичного корней. Почти для каждого правила приведены при-
меры.
О большом вычислительном искусстве индийских математиков сред-
невековья свидетельствует тот факт, что извлечение квадратного и ку-
бичного корней у них относилось к числу основных операций, тогда как
в это же время в Западной Европе высоко ценилось умение возводить
числа в квадрат. Такой вывод подтверждается также тем, что индий-
ские ученые не считали удвоение и раздвоение самостоятельными опера-
циями, как это было в арабской и западноевропейской математической
литературе.
Наряду с обычными правилами действий с дробными числами
Шридхара излагает способы приведения к простейшей форме — дробей
шести классов (видов).
1.	Класс бхага
индийцами записывается так:
b d f
b d f
где точка означает вычитание.
2.	Класс прабхага
записывается так же, как и класс бхага:
b d f
3.	Класс бхагабхага
b ___ ас
записывается так:
а
b
с
146
4	Класс бхаганубандха
, Ь ас -4- b
а Ч---= —-L— ,
с	с
ИЛИ
а с a a (d с)
~b ~d ' b	bd~
записывается гак:
а
b
с
d
5.	Класс бхагапаваха
Ь ас — Ь
а-----=---------
с	с
или
а с а ________ a (d — с)
b d b	bd
записывается так:
а
b
с
d
6. Класс бхагаматри — комбинация предшествующих классов
Подобное приведение дробей различных классов к простейшей
форме встречается в большинстве работ индийских авторов по па-
тиганите, а также в ряде сочинений арабских математиков.
Противопоставление обычных действий с дробями приведению их
к простейшей форме довольно искусственно и было вызвано, видимо,
специфическими особенностями вычислительной техники индийцев.
Для выполнения операций сложения, вычитания, умножения и де-
ления дроби на счетной доске записываются так же, как и дроби клас-
сов бхага, прабхага, бхагабхага. Некоторые способы приведения дробей
к простейшей форме не отличаются от соответствующих правил дейст-
вий с дробями. Так, способ приведения для класса прабхага гласит:
«[Для приведения к простейшей форме дробей} класса прабхага следует
перемножить числители, а также знаменатели». По существу он не от-
личается от правила умножения дробей: «Произведение дробей равно
произведению числителей, деленному на произведение знаменателей».
Деление на классы не совсем удачно, к тому же на счетной доске
некоторые классы выглядят одинаково, например бхага и прабхага;
класс бхагабхага записывается так же, как смешанная дробь а а
10*
147
класс бхаганубандха — как деление двух дробей. Поэтому по одной
лишь записи часто нельзя было судить, о какой операции идет речь,
и вопрос становился ясным лишь из текста задачи.
В конце второй части Шридхара приводит правила и примеры на
простую, обратную и сложную пропорции, а также правила товарооб-
мена и продажи живых существ, которые основаны на использовании
свойств пропорциональности. Большинство задач здесь служат упраж-
нениями для закрепления правил, причем содержание некоторых при-
меров имеет лишь занимательный характер и далеко от практических
целей. Так, в примере 31 требуется определить время, за которое насе-
комое проползет некоторое расстояние. Ответ: 33 600 лет. Пример 32
дает представление о форме изложения некоторых примеров: «Слон
*111
проходит за 6 умноженное на —, умноженное на—, умноженное на у,
- 1 1 . 1
умноженное на 1— дня расстояние в—, умноженное на 1—, умножен-
4	2	4
ное на 1 без —, умноженное на 1—йоджана и возвращается назад,
3	2
[проходя] за 1-у дня расстояние в 2, умноженное на 1 без— йоджана.
О друг, за какое время он пройдет расстояние в 100 йоджана?». Ответ:
п 243
91й-дня- '
В третьей, самой большой по объему части трактата, приводятся
многочисленные правила и задачи на проценты, сплавы металлов, куп-
лю и продажу, оплату за труд, на заполнение бассейнов и т. д. Боль-
шинство примеров приводят к линейным и квадратным уравнениям или
к неопределенным линейным уравнениям. В правилах [60], [61], (62]
даны решения неопределенного уравнения первой степени, к которому
приводит пример 76: «У трех купцов имеются капиталы 1, 3, 5 или
-у, -у, -у [рупа]. Количество товара, купленного и проданного на
единицу денег, у всех одно и то же. После продажи остатка по цене
3 {рупа] за 1 предмет купцы стали одинаково богатыми. Чему равно
количество товара, купленного и проданного на единицу денег?». Эта
задача имеет бесчисленное множество решений; комментатор же при-
водит два решения для первого случая и одно — для второго.
Определенный интерес представляют примеры 78—79 и 80. В пер-
вом из них надо, зная цены голубей, журавлей, лебедей и павлинов,
определить число птиц каждого вида так, чтобы общее их число и сум-
ма, уплаченная за них, равнялись 100. Во втором примере, зная цены,
необходимо определить число гранатов, манго и яблок, чтобы за
100 плодов уплатили 80 рупа.
Задача о птицах была широко распространена и встречалась ранее
в китайских трактатах, а позднее у арабских и западноевропейских ма-
тематиков. Эти задачи приводят к неопределенным уравнениям первой
степени.
В правиле [72] словесно приводится формула числа сочетаний из
т элементов по и:
Пп __ т(т —	—(л—1)]
т
(1)
1-2-3... п
В правиле [75] также словесно дано решение квадратного уравнения
х — р Vx = d.	(2)
148
Характерно, что решалось уравнение вида (2), а не
х2 — рх = d,	(3)
т. е. фактически определялся не корень уравнения (3), а его квадрат.
Задачи на решение квадратного уравнения носят абстрактный ха-
рактер: в них надо найти число, удовлетворяющее квадратному уравне-
нию (2) Поэтому трудно сказать, почему индийские математики искали
не корень уравнения (3), а его квадрат. Видимо, толчком для этого слу-
жили задачи на определение некоторой неизвестной квадратной пло-
щади, сторона которой также неизвестна.
Уместно отметить, что и арабские математики в ряде случаев
искали вторую степень неизвестного в уравнении (3).
В 'правиле {75] приводится также,способ решения линейного урав-
нения вида
а
х-----x = d.
ь
Правило предельно лаконично: «[Если свободный член находится
вблизи дроби], раздели его на 1 без дроби», и понять его смысл без
разъяснения комментатора невозможно.
Изложение в одном правиле способов решения квадратного и ли-
нейного уравнений объясняется особенностями задачи 99, которая ре-
шается по правилу [75]. Эта задача приводит к довольно громоздкому
уравнению
—Lх	1 х —(z ” о) ~ | х~~ (х — > х)J — 8,
в котором для нахождения искомого числа надо попеременно несколь-
ко раз решать квадратные и линейные уравнения.
В правилах [76] и [77] даются решения квадратных уравнений
вида
а
х---х — р}х^а
ь
(1 “ т) (1 “ Т-) (1 “ /)(Л “ dl} ~ р d*
И вновь Шридхара находит не корень уравнения (3), а его квадоат.
К линейным уравнениям приводит большинство примеров на про-
центы, определение веса и пробы сплава нескольких слитков золота, а
также на движение.
Многие задачи, на первый взгляд довольно простые, требуют слож-
ных вычислений. Так, в задаче 55—56 надо определить время, за кото-
149
рое должник отдаст 100 руна, взятые из 5% в месяц, если ежемесячно
возвращается по 40 рупа. Здесь мы впервые сталкиваемся с тем, что
процент начисляется и с возвращаемой ежемесячно суммы. Учет двух
процентных норм вызывает длительные выкладки.
Любопытны правило [51] и примеры 57—58, 59, где по п долговым
обязательствам надо определить капитал, время и прибыль единого
долгового обязательства, что по существу представляет собой процесс
образования взвешенного среднего арифметического.
Правило [70] и задача 92 также, на первый взгляд, кажутся до-
вольно простыми: «Если за перенос 24 корзин с фруктами на рас-
стояние 5 кроша [грузчик] получит 9 из этих корзин, то сколько [кор-
зин с фруктами] он получит, если перенесет их только на 2 кроша?».
Вначале кажется, что задачу надо решать путем простой пропорции.
На самом же деле она приводит к сложному квадратному уравнению.
К линейному уравнению сводится в конечном счете задача 93—94:
«За перенос 24 корзин с фруктами [на некоторое расстояние] первый
грузчик получил 4 из этих корзин, остальные корзины с фруктами были
перенесены [на оставшееся расстояние] вторым грузчиком за 5 корзин с
фруктами [в качестве платы]. Все расстояние равно 5 кроша. Скажи,
знающий: какое расстояние было пройдено каждым [грузчиком]?».
В этой же части трактата приводятся широко распространенные в
индийской математике правило обращения, правило для определения
числа по его части, задача о бассейнах, известная еще грекам.
Далее мы встречаемся с оригинальным геометрическим истолкова-
нием арифметической прогрессии. Шридхара пишет: «Как у глиняной
чаши внизу расстояние меньше, а вверху больше, так и у арифмети-
ческой прогрессии». Таким образом, Шридхара интерпретирует ариф-
метическую прогрессию
а, а-hd, tz4-2d ... а+ (п— l)d
в виде равнобедренной трапеции, у которой высота численно равна чис-
лу членов прогрессии (см. черт. 1 на стр. 225). Высота отсчитывается
от нижнего основания. Площадь трапеции ААХВХВ с высотой ССЬ рав-
ной единице, численно равна первому члену арифметической прогрессии,
т. е. а. Площадь трапеции АА2В2В с высотой СС2, равной двум едини-
цам, численно равна сумме двух членов арифметической прогрессии,
т. е. а+ (a-hd), и т. д. Наконец, площадь всей трапеции с высотой, рав-
ной п единиц, численно равна сумме п членов арифметической про-
грессии, т. е.
а 4- (а + d) -г {а + 2d)	... + |а + (п — 1) d| —	.
Разность арифметической прогрессии d численно равна площади
прямоугольника, одна сторона которого равна единице
гая — разности оснований трапеций с высотой, равной
Для первого члена прогрессии, т. е. для трапеции
сотой, равной единице, длина нижнего основания равна
d D d	d
него: а — . Если — а. т. е. разность а----------— <
высоты, а дру-
единице.
АА\ВХВ с вы-
а
О,
d
—, а верх-
трапеция
ААгВхВ заменяется двумя треугольниками (см. черт. 3 на стр. 226).
Высота верхнего треугольника равна С\О— t нижнего—СО—
__d —2а
2d *
•15Ю
Верхнее основание АпВп (см. черт. 1 на стр. 225) для высоты, рав-
ной п единиц, определяется формулой а + (п-^аким °бРазом-
площадь трапеции равна:
d /	1 \
а—— 4-а + |и-\d
= АВ+АпВп. сс	2	\	2 /	[2я + (п-1)Д1- п
2	’	"	2	2
ко последнее есть формула суммы п членов арифметической прогрессии.
Шридхара приводит среди прочих задачу на нахождение суммы
арифметической прогрессии, число членов которой равно —решая
5
ее путем определения площади равнобедренной трапеции с высотой,
равной — . Если геометрическая интерпретация арифметической про-
5
грессии с целым числом членов напоминает геометрическую алгебру греков,
то индийцы пошли значительно дальше, распространив ее на дробное
число членов.
В этом же разделе Шридхара дает другую, так называемую «сим-
волическую интерпретацию» арифметической прогрессии. С ее помощью
он находит сумму S„ + — (а + nd) арифметической прогрессии с дроб-
Я
ным числом членов п 4- — , где — (а 4- nd) означает — часть от
Я	я	Я
п\-^- 1 члена прогрессии, a S„—сумму п членов прогрессии.
Шридхара приводит следующий пример: «Если за первый месяц-
работник получает 1-i- [рупа] и на -у [рупа] больше за каждый по
следующий месяц, то сколько он получит за 3 месяца ?». Работник
получит
л + т(1т+3'т) = 54- + 1т = 6т Ipy-ai-
Здесь «же приводятся ' основанные на арифметической прогрессии
правила и примеры на движение и определение выигрыша при игре в
кости. Наибольший интерес вызывает задача 112: «После того как пер-
вый путнак шел 6 дней с [неизвестной] начальной скоростью и уско-
рением, другой путник пошел по тому же пути с [неизвестной началь-
ной скоростью] и ускорением 2 [йоджана в день за день]. Скажи: когда
они встретят друг друга два раза?». Эта задача в общем случае приводит
к сложным квадратным уравнениям, но Шридхара ставит такой специ-
альный вопрос, который позволяет решить ее с помощью линейного
уравнения.
Обозначим начальную скорость и ускорение обоих путников через
°i,	Д|, 0-2- До первой встречи первый путник шел t дней, второй —
t—n, где«=6-дням. Время, затраченное между двумя встречами,
обозначим через Т. Тогда путь S, пройденный путниками до первой
встреча, равен:
$ = У [2^ 4- (t - 1)«11	[2®2 + (i - п - 1)а2].
151
Путь Si, пройденный обоими путниками до второй встречи, равен:
Si=-^[2т>, + (t + Т- 1) aj -I2^2 + (/-«+ Г- 1)а2].
Из этих двух уравнений находим время между двумя встречами:
(S S \	1
1 — 1
— (Я1 — а2)
Надо отметить, что Шридхара приводит числовые данные лишь для
я = 6 и а2 = 2. Комментатор, полагая, что 'yi = l; ai = 6; t = 10, нахо-
дит: Т = 8 дням.
В «Патиганите» имеются и другие правила и задачи на движение.
В правилах [65] и [66а] (задачи 81—82, 83) определяется время встре-
чи двух путников, идущих с разными скоростями в одном или в про-
тивоположном направлениях. В Индии эта задача впервые встречается
у Ариабхаты I [7, II, 31]: «Два расстояния между двумя небесными све-
тилами, движущимися в противоположных направлениях, следует раз-
делить на сумму их скоростей. Два расстояния между двумя светилами,
движущимися в одном направлении, следует разделить на разность их
скоростей. Два результата [в каждом случае] дадут время встречи двух
светил в прошлом и в будущем».
Таким образом, если известно расстояние S между светилами и их
скорости Vi, V2* то время встречи найдем по формулам:
t = --------- в первом случае,
К “4- Vg
/ — —--------во втором случае,
V 1- V 2
причем встреча могла произойти в прошлом или произойдет в буду-
щем.
Бхаскара I [22, VI, 49—51] формулирует это правило так: «Если
одно светило двигается назад, а другое вперед, следует разделить раз-
ность их долгот на сумму их скоростей; в противном случае [т. е. когда
светила двигаются в одном направлении] следует разделить разность их
долгот на разность их скоростей. Это дает время до или после встречи
двух светил».
«Задача о курьерах» имеется также у Брахмагупты [23, IX, 5—6],
в «Бахшалнйской рукописи» [11, III, А 13, 3 recto], у Магавиры [15, VI,
326-^- ], Шрипати [18, XI, 12—13] и других авторов.
Индийские ученые нередко обращаются, кроме того, к задачам на
равноускоренное и равнозамедленное движение. В задаче 111 Шрид-
хара рассматривает такие же виды движений, как и в упомянутой выше
задаче 112: «Один человек идет со скоростью 3 [йоджана] в день и уско-
рением 1 [йоджана в день за день], другой человек идет с [постоянной]
скоростью 10 йоджана в день. За какое время они пройдут одно и то
же расстояние?»
Впервые в истории математики задачи на движение в той или иной
форме встречаются в древнекитайском трактате «Математика в девяти
книгах» [4], охватывая не только разномерное, но и равноускоренное и
]52
равнозамедленное движения; последние часто представляют в виде
арифметической или геометрической прогрессий. Подобные задачи име-
ются у армянского математика VII в. Анания Ширакаци |[4], Ибн Эзры
(XI—XII вв.), Леонардо Пизанского (XII—XIII вв.), византийского уче-
ного XIV в. Николая Артавазда [24, стр. 214] и приведены во многих
средневековых западноевропейских руководствах [24]. В современных
элементарных учебниках алгебры задачи на движение используют для
объяснения отрицательных чисел.
Весьма интересны приводимые Шридхарой задачи 113—115, в кото-
рых требуется определить сумму выигрыша при игре в кости. Элементы
вероятности зцесь отсутствуют, и выигрыш определяется как сумма
арифметической прогрессии, число членов которой равно количеству
бросков костей.
Если л2, и3,	— число бросков, при которых поочередно выигры-
вают два игрока, а ставка представляет собой арифметическую прогрес-
сию с первым членом а и разностью г/, то сумма выигрыша определяется
по формуле
S = a (п{ + /г3 — п2 —- /г4) + d (zzx + п2 + -г —
— 1) (п п2±пк th) — 2 [-^-(2^ + п2 — 1)| +
4—~ [2	4 ^2 4- п3) 4~ ^4 — l]j.
Первый игрок выигрывает при положительной сумме, второй — при
отрицательной.
Шридхара приводит на это правило ряд примеров; вот один из них:
«При игре в кости двое поочередно выигрывали 30, 10, 100 и 8 бросков
[подряд, причем ставка за каждый бросок была], начиная с 9 и увели-
чиваясь [с каждым броском] на 6. Скажи: кто победит?». Подставляя
числовые данные в (приведенную формулу, находим, что 5 = 48 360.
Поскольку сумма положительна, выиграл первый игрок. В задаче 115
сумма получается отрицательной; значит, выиграл второй игрок.
В конце третьей части своего сочинения Шридхара рассматривает
правила суммирования квадратов и кубов чисел натурального ряда,
квадратов и кубов членов арифметической прогрессии и некоторых
других конечных рядов.
Четвертая, неполная часть «Патиганиты» посвящена геометрии.
Здесь даны формулы для определения площади треугольника, четырех-
угольника, трапеции. Об отсутствующих разделах можно судить по
«Тришатике». Среди зависимостей, относящихся к плоским фигурам, в
«Тришатике» имеются формулы для подсчета длины окружности и пло-
щади круга, где тс берется равным » и для приближенного опре-
деления площади сегмента:
е /Тб~ (а + h) h
3	2
где а — хорда, h — стрела сегмента Эта формула более точная, чем
предложенная Магавирой:
S = ^aK.
4
153
В правилах на выкапывание Шридхара словесно приводит фор-
мулы для расчета объема куба, прямоугольного параллелепипеда, усе-
ченного кругового конуса, сферы. Так, объем усеченного кругового
конуса он предлагает определять по следующему выражению:
V = [Dl + <P + (D + dY\,
где Н — высота,Dnd — диаметры верхнего и нижнего оснований. При-
нимая « = 1^1(5, эту формулу можно упростить
[/?2 + rR + г2],
О
где R, г — радиусы верхнего и нижнего оснований
Объем сферы равен:
В сравнении с выражениями объема сферы, данными Ариабхатой II,
Н)1 я 5,57 R3,
Бхаскарой I
А #3 = 4 5^3,
Магавирой
у • у Я3 = 4,05/?3,
формула Шридхары более точная, так как объем сферы оказывается
равным
— к/?3^;4,183/?3.
3
В правилах распилки дров и деления бревен даны рецепты для
проведения измерений, когда бревна разрезаются вдоль или поперек.
В правиле о куче определяется число бревен, если известны объем
кучи-и объем одного бревна. Здесь Шридхара приводит формулу для
подсчета объема пирамиды:
h,
9	9
где г — радиус основания, S— площадь основания. Если положитьтс=3,
получим точную формулу:
V = — Sh.
з
В правиле о тени дается формула для определения прошедшей и
оставшейся частей дня по тени, отбрасываемой гномоном. Так, время
можно определить по формуле
где g — гномон, s — тень.
154
Наряду с правилами и задачами, встречающимися у предшествен-
ников Шридхары, в «Патиганите» впервые изложены совершенно новые.
К ним относятся:
1)	одно из правил приведения дробей к простейшей форме (прави-
ло [42]);
2)	некоторые трудные задачи на проценты (правило [49—50], при-
мер 55—56);
3)	геометрическая интерпретация арифметической прогрессии (пра-
вила [79]—[88]);
4)	суммирование арифметической прогрессии с «дробным числом
членов» (правила [89]—[92]);
5)	весьма интересные задачи на определение времени между двумя
встречами путников (правило [97—98], пример 112).
В «Тришатике» также имеются две новые формулы: площадь сег-
мента круга и объем сферы.
Привлекают внимание древние санскритские комментарии к тексту
«Патиганиты». Автор комментариев, время и место их написания не-
известны. Комментарии обширны: в три-четыре раза превышают объем
сочинения Шритхары.
Комментатор часто цитирует правила данного трактата, а также
предшествующих авторов, не называя, однако, ни автора, ни источник
заимствования. Семь цитат комментатор взял из «Усовершенствованной
науки Брахмы» Брахмагупты, остальные 16 он, видимо, заимствовал
из малоизвестных работ, рукописи которых пока не найдены. Отсутствие
цитат из широко распространенных сочинений Бхаскары II три ссылках
на малоизвестные трактаты позволяет заключить, что комментарии со-
ставлены не позднее XII в. В пользу этого предположения говорит и то,
что трактат Шридхары достаточно труден для понимания без подробных
разъяснений. Возможно, что комментарии были написаны одним из его
учеников.
Комментарии даны ко всем правилам и примерам. Общая схема
комментариев к правилам:
1)	рассуждения комментатора до формулировки правила;
2)	наименование комментатором правила;
3)	правило Шридхары;
4)	подробный пересказ правила комментатором;
5)	рассуждения после правила;
6)	примеры с решениями, приведенные комментатором для поясне-
ния правила.
Общая схема комментариев к примерам:
1)	формулировка примера, данная Шридхарой;
2)	подробный пересказ примера комментатором;
3)	рассуждения комментатора о примере;
4)	подробное решение комментатором примера пр правилу, для
иллюстрации которого дан пример;
5)	решение комментатором примера другими способами;
6)	новые примеры и решения, данные комментатором;
7)	проверка.
Эти схемы самые общие, и комментатор полностью им не следует.
Среди цитат, источники которых неизвестны, особый интерес вызы-
вает четырехстишие на стр. 159 санскритского текста, где дается ра-
циональное решение уравнения Пелля:
Ах2+1 —у2.
155
имеющее вид
х
р	Мп — Nm
----—------------ у =	
Мт — Л/г----------Мт — Nn
где
Л=Л12 —№,
tn2+p2=n2.
Это решение более общее, чем предложенные Брахмагуптой, Шри-
пати, Бхаскарой II, Нарайаной, а также Дж. Валлисом и В. Браун-
кером [17].
Уравнения Пелля у Шридхары нет. Цитаты приведены в коммента-
риях к геометрическому правилу [112—114].
Никаких формул комментатор не дает, и его решения строятся на
механических рецептах Шридхары, за которыми явственно проступает
алгебраическая сущность многих правил.
Для комментариев характерна развитая символика. Так, для обо-
значения отрицательного количества употребляется знак +, который
ставится в основном после числа, реже перед ним, а также точка над
числом. Например, число — 5 записывается следующими способами:
5+, +5, 5.
Нуль комментатор обозначает точкой или маленьким кружочком
(примеры 111, 112).
Индийская символика была синкопирующей, т. е. часто встречаю-
щиеся понятия обозначались первыми буквами или слогами соответст-
вующих санскритских терминов. В ряде работ по истории индийской ма-
тематики [4 и 8] упоминаются символы для неизвестных и их степеней.
По данным комментариям можно судить, что символика употреблялась
для более широкого круга понятий. Так, целая часть смешанной дроби
обозначалась санскритскими буквами, соответствующими слогу «ру»
слова «рупа» (единица или целое число), дробная часть смешанного
числа — санскритскими буквами, соответствующими слогу «ам» слова
«амша» (дробь, числитель). Например, дробь 17—комментатор записы-
3
зает следующим образом: ру 17 ам — (пример 11).
Смешанную дробь можно записать и по-другому. Так, в коммента-
риях к правилу [346] имеются записи:
ру 6 ам 1 чхе 4, т. е. 6 -~
О
ру 232 ам 9 чхе 16, т. е. 232 — ,
16
где знаменатель обозначен первым слогом «чхе» слова «чхеда» (знаме-
натель) .
Символика применяется комментатором и к системам мер. В при-
мере 124 запись: 5 ха 6 ан означает 5 хаста 6 ангула (меры длины).
В примере 47 запись: дрона 3 а 0 пра 3 ку 1 дробь ~ означает 3 дроны
5
О адхака 3 прастхи 1 — кудавы (меры объема).
156
Широко применяется символика в задачах на арифметическую про-
грессию. Первый член арифметической прогрессии обозначается первой
буквой «а» слова «ади» (первый)—примеры 103—115. Для разности
арифметической прогрессии используется первая буква «у» слова «ут-
тара» (разность) —примеры 103—105, 111 —115 или первый слог «ча»
слова «чайа» (разность) —примеры 106, 107, 112.
Число членов арифметической прогрессии обозначается первым сло-
гом «па» слова «пада» (число членов) —примеры 104—105, 112 или пер-
вым слогом «га» слова «гачха» (число членов) —примеры 107, 111, 112.
Для суммы прогрессии употребляется первый слог «сам» слова
«самкалита» (сумма)—пример 112.
Символика применяется и в ряде других случаев. Так, множитель
обозначается первым слогом «гу» слова «гунака» (множитель) —приме-
ры 606, 102, 108, 109. Для записи свободного члена применяется первый
слог «дри» слова «дришйа» (видимый)—пример 102. Высота в мно-
гоугольнике обозначается первым слогом «ла» слова «ламба» (высота),
нижнее основание трапеции — первым слогом «дха» слова «дхара»
(нижнее основание), верхнее — первым слогом «му» слова «мукха»
(верхнее основание) —пример 103а.
Заслуживает внимания и алгебраическая символика, употребляе-
мая комментатором. Неизвестная величина обозначается маленьким
кружочком (примеры 103, 104—105, 107) или первым слогом «йа» слова
«йават-тават» (столько сколько) —примеры 111, 112.
Запись «га йа 1» представляет собой сокращение записи «гачха
йават-тават 1», т. е. число членов х.
Вот примеры записи алгебраических выражений:
йа	1	РУ	1 +	означает	х— 1
	1		5		х , 5
йа	2	РУ	2	я	т + т
йа	3	РУ	58	я	Зх + 58
ва	1	йа	5		1	, . 5 — лг + — X
	2		2		2	2
ва	3	йа	58	п	Зх2 + 58х,
где «ру» — первый слог слова «рупа» (целое число), а «ва» — первый
слог слова «варга» (квадрат).
Обе части уравнения комментатор записывает одну под другой
таким образом, чтобы неизвестная и ее степень в нижнем ряду стояли
под соответствующей неизвестного и ее степенью верхнего ряда. Если
неизвестная отсутствовала, то ее записывали с коэффициентом нуль.
Линейное уравнение х+5 = 20 записывается следующим образом:
йа 1 ру 5
йа 0 ру 20,
т. е. х4-5 = 0-х4-20 (пример 111).
Линейное уравнение
Зх4-58=х+74
записывается так:
йа 3 ру 58
йа 1 ру 74	(пример 112).
157
Квадратное уравнение
х2+5х=20х
записывается так:
ва 1 йа 5
ва 0 йа 20,
г. е.
х2+5х=0- х2 + 20х.
Это уравнение комментатор записывает и по-другому:
ва 1 йа 15+ ру 0
ва 0 йа 0 ру О,
т. е.
х2—15х+0 = 0-х2+0-х + 0 (пример 111).
Хотя математическая символика не была совершенной и сами сим-
волы, т. е. соответствующие санскритские буквы, имели сложное начер-
тание, индийцы в развитии символики сделали большой шаг вперед.
В древних комментариях впервые даны символы для записи некоторых
дробей, метрических систем, всех геометрических терминов, а также
некоторых терминов арифметической прогрессии.
Между сочинениями Шридхары и предшествующих авторов видна
тесная взаимосвязь. Так, в «Патиганите» (правило [112-114]) приво-
дится правило Брахмагупты [5, XII, 21а] о площади треугольника и четы-
рехугольника. У Магавиры [15, VI, 152—153; IV, 6] Шридхара дословно
заимствовал два примера, поместив их под номерами 78—79 в «Патига-
ните» и 28 — в «Тришатике». Пример 26 «Тришатики» также основан
на примере Магавиры [15, IV, 17—22].
Трактаты Шридхары оказали большое влияние на последующие ма-
тематические работы Ариабхаты II, Шрипати, Бхаскары II, Нарайаны.
Порядок расположения правил в математических главах астрономиче-
ских сочинений Ариабхаты II и Шрипати такой же, как в «Тришатике».
Ряд правил и примеров взяты ими почти без изменений из «Патигани-
ты». Правила 18, 39а, 396 Ариабхаты II аналогичны правилам [41], [53а],
[536] «Патиганиты». Правила «Ганиты тилаки» Шрипати [10, стр. 39,
строки 7—10; стр. 81, стих 108; стр. 83, стих 113; стр. 86 строки 12—
15] аналогичны правилам [41], [446], [48], [51] «Патиганиты». Правила 12,
166, 18 из XIII главы «Сиддханта шекхара» Шрипати аналогичны пра-
вилам [37], [466], [48] «Патиганиты».
Примечательно, что правила Шридхары трижды цитирует один из
самых крупных индийских математиков Бхаскара II в комментариях к
своим сочинениям «Биджаганита» и «Сиддханта широмани», а также
к сочинению индийского математика VI в. Лалла, где из «Патиганиты»
приводятся правило [336] и пример 34.
Значительное влияние оказали трактаты Шридхары на Нарайану.
Правила Нарайаны (9, стр. 53, стих 63; стр. 72, строки 14—15; стр. 73,
строки 1—6; стр. 76, стих 18; стр. 78, строки 18—21; стр. 79, строки 1 —
2; стр. 92, стих 346—35; стр. 102, строки 6—7) и примеры (стр. 73,
строки 8—10; стр. 80, строки 2—5; стр. 57, строки 16—19; стр. 111,
строки 4—7) аналогичны соответствующим правилам [466], [49—50],
153а], [536], [56], [63—64], [676] и примерам 55—56, 67—68, 75, 112 «Па-
158
тиганиты». Подробно это рассмотрено в наших примечаниях к трактату
Шридхары, публикуемых в настоящем сборнике.
В одном из комментариев к «Тришатике» дается следующая высокая
оценка Шридхары: «От жилища богов [Гималаев] на севере до гор Ма-
лая на юге, между восточным и западным океанами нет математика,
кроме Шридхары».
В заключение выражаю искреннюю благодарность научному руко-
водителю д-ру физ.-мат. наук, проф. А. П. Юшкевичу за многочисленные
советы и указания и О. Ф. Волковой, которая была моим учителем сан-
скрита и оказала огромную помощь в переводе. Также хочу поблаго-
дарить всех товарищей, принимавших участие в обсуждении данной
работы.
♦ * *
Все двустишия в трактате пронумерованы, причем для удобства
ссылок строфы, содержащие правила, имеют одну нумерацию, а строфы,
содержащие примеры, — другую. Если правило или пример занимают
половину двустишия, то первая половина строфы обозначается буквой
«а», вторая — буквой «б» (например, 95а, 956). Если правила или при-
меры занимают несколько строф, то. они пронумерованы так: например,
97—98; 99—101. Для удобства в тексте перед многими правилами даны
краткие наименования. Слова, взятые в квадратные скобки, приведены
для лучшего понимания содержания трактата. Надстрочные цифры в
тексте соответствуют порядковому номеру примечаний. В ссылках на
литературу, если не приводятся номера страниц, после порядкового но-
мера отсылаемого произведения следуют номера глав или разделов,
обозначенные римскими цифрами, а затем — номера правил или приме-
ров, обозначенные арабскими цифрами.
Шридхара
ПАТИГАНИТА * *
[1] Пэчтив Владыку, нерож це иного, причину сотворения, со-
хранения и разрушения миров, я коротко изложу математику
для всеобщего употребления
[2—6] Сложение и вычитание, также умножение и деление, [воз-
ведение в] квадрат и [извлечение квадратного] корня, также
[возведение в] куб и [извлечение кубичного] корня; эти же
[действия] с дробями; шесть разновидностей приведения дро-
бей к простейшей форме по порядку следующие: бхага, пра-
бхага, бхагабхага, затем [два] называемые бхаганубандха и
бхагапаваха, а также бхагаматри; правило трех величия, за-
тем ему обратное, также правила пяти, семи, девяти вели-
чия; товарообмен и продажа живых существ — всего вместе
29 действий [встречающихся в патиганите. Кроме того]
существуют также 9 определений: вначале смеси, вслед за
ними ряды, плоские фигуры, затем выкапывание, распилка
дров, деление бревен, куча, тень и, наконец, учение о нуле2.
[Названия разрядов]
[7—8] Эка, даша, шата, после этого сахасра, айута, затем да-
лее лакша, прайута, коти, арбуда, абджа, кхарва и никхар-
ва, махасароджа, шанку, саритпати, затем также антйа,
мадхйа, парардха — таковы называемые учеными разряды
[каждый из которых] в 10 раз [больше предшествующего]3.
[Меры денег]
[9]	1 пурана =16 пана,
1 пана 4 какини,
1 какини =20 варатака
[Меры веса|
[10]	5 гунджа = 1 маша,
16 маша = 1 карша,
4 карша = 1 пала.
1 карша золота называется суварна4
[Меры объема]
[11]	1 кхари =16 дрона,
1 дрона =4 адхака,
1 адхака = 4 прастха,
	1 прастха = 4 кудава.
* Перевод с санскрита О. Ф. Волковой и А. И. Володарского.
160
	[Меры длины]
|12]	24 ангула =1 хаста, 4 хаста =1 данда, 2000 данда =1 кроша, 4 кроша =1 йоджана 5 [Меры времени]
1131	60 гхати =1 сутки, 30 суток =-1 месяц, 12 месяцев =1 год.
Таковы основные меры [встречающиеся] в патиганите.
ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ СУММЫ ПЕРВЫХ п ЧИСЕЛ НАТУРАЛЬНОГО
РЯДА]
[14а] Сумма [первых п] чисел натурального ряда равняется по-
ловине числа членов, умноженной на число членов, увеличенное на еди-
ницу 6.
[Пример 1]. Найди в отдельности сумму первых 10, первых 20, первых
30 и так далее, первых 100 чисел натурального ряда, [а
затем] по сумме быстро назови число членов7.
[146] [Квадратный] корень из удвоенной суммы равен остатку
и числу членов ряда 8.
[15а] Сумма [первых п чисел натурального ряда] равна полу-
сумме квадрата числа членов и числа членов.
[156] Число членов [натурального ряда] равно полуразности
между квадратным корнем из увосьмеренной суммы [чисел
натурального ряда], увеличенной на единицу, и единицей9.
ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ РАЗНОСТИ МЕЖДУ СУММАМИ ПЕРВЫХ п И т
ЧИСЕЛ НАТУРАЛЬНОГО РЯДА]
[16| Прибавим к числу членов уменьшаемого ряда число чле-
нов вычитаемого ряда, увеличенное на единицу; [полученную
сумму] следует умножить на разность между числом членов
[уменьшаемого и вычитаемого) рядов; половина [этого про-
изведения] есть разность между суммами [первых п и т чи-
сел] натурального ряда |0.
^Пример 2] Каковы результаты [каждого вычитания], если из суммы
первых 100 [чисел натурального ряда] вычитать суммы 10,
20 и так далее, 100 [чисел натурального ряда|?
[17] Число членов [вычитаемого ряда] равно квадратному кор-
ню из удвоенной разности между суммой уменьшаемого ряда
и разностью между суммами уменьшаемого и вычитаемого
рядов, [причем] квадратный корень равен остатку.
[УМНОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ]
118—19] Расположив множимое под множителем, как*в соединении
створок дверей, следует производить умножение последова-
тельно в обратном или прямом порядке11, передвигая каж-
дый раз [множитель]. Такой способ [умножения] называется
каватасандхи12. Когда [множитель] неподвижен, то [такой
способ] умножения называется татстха ,3.
J1 '• аказ 338
161
[20]	Способ [умножения], называемый кханда, имеет две раз-
новидности: рупавибхага 14 и стханавибхага ,5. Таковы четыре
способа умножения.
[Пример 3] Перемножить 1296 на 21; 896 на 37; «065 на 60.
[ПРАВИЛО О НУЛЕ]
[21]	При прибавлении к нулю сумма равна прибавляемому; чис-
ло не изменяется, если [к нему] прибавить или [из него] вы-
честь нуль; при умножении нуля [на любое число] получим
нуль; при умножении на нуль [получим] нуль ,6.
[ДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ]
[22]	Сократив делитель и делимое на общий множитель, если
это возможно, надо последовательно производить деление в
обратном порядке; это есть способ деления17.
[ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ]
[23]	Для возведения в квадрат [числа] следует возвести в
квадрат последнюю цифру, умножить на оставшиеся цифры
удвоенную последнюю [цифру, затем] передвигать последова-
тельно [оставшиеся цифры],8.
[24]	Квадрат есть произведение двух одинаковых чисел 19, или
сумма арифметической прогрессии20 с первым членом, равным
1, и разностью 2, или произведение разности и суммы дан-
ного числа и произвольного числа плюс квадрат произволь-
но выбранного числа21.
[Пример 4] Назови квадраты чисел от 1 до 9; 25; 36; 63; 432; 7801.
[ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ]
[25—26] Из [последнего] позиционною места вычтя [наибольший]
квадрат, раздели [следующее четное позиционное место] на
удвоенный квадратный корень, помещенный на [линии корня]
Вычтя квадрат частного [из нечетного места], удвой его и
помести на линии [корня. Затем] раздели на это следующее
[четное] место. [Для получения окончательного результата],
раздвой частное на линии [корня]22.
[ВОЗВЕДЕНИЕ В КУБ]
[27—28] Запиши куб «последнего», на следующем месте квадрат
«последнего», умноженный на утроенное «предшествующее»,
[на следующехМ месте запиши] квадрат «предшествующего»,
умноженный на «последнее» и на 3, затем [на следующем
месте запиши] куб «предшествующего»; [полученный] куб
«смешанного» числа [будем теперь рассматривать] как «по-
следнее»23. [Куб есть] произведение трех равных чисел24
или куб данного числа без единицы, сложенный с единицей
и с утроенным произведением числа на число без единицы25
[Пример 5] Быстро назови: чему равен куб чисел от 1 до 9; 15; 256;
203?
162
[ИЗВЛЕЧЕНИЕ КУБИЧНОГО КОРНЯ]
(29—31]	[Разбив число] на [одно] «кубичное» место и два «пеку-
бичных» следует извлечь [наибольший] куб из [последнего}
<кубичного» места; поместив под третьим местом, следует
разделить остаток без последней цифры на утроенный квад-
рат кубичного корня [который следует поместить отдельно];
частное помести на линии [корня]. Его квадрат, умноженный
на утроенное «последнее», следует вычесть из следующего
[«некубичного»] места; куб «первого» [вычти], как раньше,
из своего места. Снова применяя правило, [помести] под
третьим местом и т. д. [Это кубичный] корень26.
[СЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ!
[32а] (После приведения дробей]27 к общему знаменателю сложи
числители28. Знаменатель целого числа равен единице.
(Пример 6] Назови результат, сложив * . У’ (Р f2’ а также 2-у- ,
3 без 6.
[Пример 7] Быстро назови, если знаешь метод вычисления, сумму
первых 1	2 » з чисел натурального ряда29.
[ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ]
[326] После приведения [дробей] к общему знаменателю следу-
ет взять разность между числителями30.
[Пример 8] Назови результат, если из единицы [последовательно}
вычесть -j. -у. А также из 5 [последовательно] вычесть
3 без -4 и 21-
[Пример 9] Назови остаток от вычитания суммы первых 2-у чисел
_ 1
натурального ряда из суммы первых 52 чисел натурального
ряда 31.
[УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ]
[33а| Произведение дробей равно произведению числителей, де-
ленному на произведение знаменателей32.
1	11	5
{Пример 10] 2y умножается на 1-?; 60-^ умножается на каково
произведение в каждом случае?
[336] Поменяв местами числитель и знаменатель делителя, [сле-
дует применять! предыдущее правило33.
[Пример 11] На 2-^- делятся 6^-1 на 3^- делятся 60 О Назови ре-
зультат в каждом случае.
[ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДРОБИ]
[34а|	Квадрат числителя, деленный на квадрат знаменателя,,
есть квадрат дроби34.
11'	165
[Пример 12] О друг, если знаешь, назови квадраты [чисел] 2-^,
[ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ ДРОБИ]
' [346] Квадратный корень [дроби] равен квадратному корню чи-
слителя, деленному на квадратный корень знаменателя35.
[ВОЗВЕДЕНИЕ В КУБ ДРОБИ]
J35a] Следует разделить куб числителя на куб знаменателя;
это есть куб [дроби]35.
[Пример 13] Назови, если знаешь, куб |чисел| 7н-> 17-т> 4> 4-
х 4	4 о
[ИЗВЛЕЧЕНИЕ КУБИЧНОГО КОРНЯ ИЗ ДРОБИ]
[356] Если разделить кубичный корень числителя на кубичный
корень знаменателя, [то получим] кубичный корень [дроби]37.
(ПРИВЕДЕНИЕ К ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЕ ДРОБЕЙ КЛАССА БХАГА]
[36] Для [приведения двух дробей] к простейшей форме38 в
классе бхага следует, удалив [из знаменателей! общий мно-
житель33, если он имеется, перемножить каждое [из полу-
ченных чисел] на числитель и знаменатель другой дроби40.
[Пример 14[ Какова сумма [дробей] с числителями, равными едини-
це, а знаменателями, [равными соответственно числам] от
2 до 6, и какова сумма [дробей] с числителями, равными 2,
3 и так далее, а знаменателями, [равными соответственно
числам] от 3 до 9?11
[37] Следует умножить низший знаменатель на высший числи-
тель, а высший зяаме гатель на низший знаменатель, [затем]
следует произведение знаменателя и числителя в середине
прибавить к [новому] высшему числителю42.
[ПРИВЕДЕНИЕ К ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЕ ДРОБЕЙ КЛАССА ПРАБХАГА]
[38а] |Для приведения к простейшей форме дробей) класса праб-
хага следует перемножить числители, а также знаменатели43.
IT		1 г-1 и	й 1	1 I . 1	1	1	1 . 1 о 1
[Пример 15] Назови дроби: 4 '2"2’7о”б '5"3’ 7 ^2
[ПРИВЕДЕНИЕ К ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЕ ДРОБЕЙ КЛАССА БХАГАБХАГА
[386] После умножения целого числа на знаменатель следует
поменять местами числитель и знаменатель. Это правило для
класса бхагабхага41.
[Пример 16] Друг, если знаешь, скажи, подумав, каков результат
сложения 1, деленной на g-J 1, деленной на у; 1, деленной
1 , 1. , „1
на -у-; 1, деленной на -у»	1, деленной на -jy
[Пример 17] Единица последовательно делится на дроби, у которых
знаменатели [есть целые чзсла] от 3 до 6, а числители 2, 3-
и г. д. Быстро назови сумму [дробей].
164
[ПРИВЕДЕНИЕ К ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЕ ДРОБЕЙ КЛАССА БХАГАНУБАНДХА}
[39]	В классе бхаганубандха целое число умножается на зна-
менатель и прибавляется к числителю; [или] верхний знамена-
тель умножается на нижний знаменатель, верхний числитель
умножается на сумму низших числителя и знаменателя45.
[Пример 18] Какова будет общая сумма, если 1 складывается с
1 - 1 о 1 ?
у, 5 складывается с у 8 складывается с 3-
[П ример 19] Чему равна сумма Зу, сложенная с у себя, сложенная с
6 предыдущего, а [также чему равна сумма] у» сложенная
I	1
с 3 сеоя, сложенная с предыдущего?
[ПРИВЕДЕНИЕ К ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЕ ДРОБЕЙ КЛАССА БХАГАПАВАХА}
[40| В классе бхагапаваха числитель следует вычесть из про-
изведения целого числа на знаменатель; [или] после умноже-
ния низшего знаменателя на высший знаменатель высший
числитель следует умножить на [низший] знаменатель, из
которого вычтен низший числитель46.
[Пример 20] Быстро назови сумму 1 без у> 5 без 8 без -у-
[Пример 21] Какова будет разность 3 без у» уменьшенная на у се-
бя и уменьшенная на 6 предыдущего и [какова будет раз-
ность] у» уменьшенная на у себя и уменьшенная на у пре-
дыдущего?
[ПРИВЕДЕНИЕ К ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВЕЛИЧИН}
[41]	Чтобы привести к простейшей форме последовательность
величин, следует умножить верхние знаменатель и числитель
на низший знаменатель и [затем] следует произвести вычи-
тание или сложение верхнего числителя с низшим числите-
лем47.
[Пример 22] Какова сумма получится, если сложить 5 пурана 3 пана
1 какини без 1 варатака без у варатака?
[ПРИВЕДЕНИЕ К ПРОСТЕЙШЕЙ ФОРМЕ ДРОБЕЙ КЛАССА БХАГАМАТРИ}
[42]	Бхагаматри есть [такой класс дробей], который представ-
ляет собой комбинацию [всех предыдущих], начиная с [клас-
са] бхага. Окончательный результат получим последователь-
ным применением всех предыдущих правил48.
[Пример 23] Какая сумма получается при сложении у! у-yJ U де-
ленной на у; у • сложенной со своей половиной;
торой вычтена ее половина?
165
{Пример 24] Если знаешь метод вычисления, скажи: какую сумму
1.11..	ч И о I .
получим при сложении у» у у> I, деленной на 8у- ?
[ПРАВИЛО ТРЕХ ВЕЛИЧИН]
|43| В правиле трех величин на первое и последнее места
[следует поместить] данное и требуемое, которые не изменя-
ются, а в середине [следует поместить] результат, который
изменяется; его произведение с последним [количеством] сле-
дует разделить на первое [количество]49.
{Пример 25] Если I пала и 1 карша сандалового 1еревэ стоят 10
пана, то сколько будут стоить 9 пала и 1 карша50?
{Пример 26] Если 1у пала черного перца стоят 1у пана, то быстро
скажи: какое количество черного перца можно купить за 10
без у пана?
{Пример 27| 1у дроны и 3 кудава зерна стоят 8 |пана]. Скажи,
если знаешь: сколько [будут стоить] 1 кхари и 1 дрона?
{Пример 28] Если 60у кхари зерна стоят ЮОу рупа, то сколько зер-
на можно купить за у руна51?
[Пример 29] Если 1 суварна [золота] стоит 70 у рупа, то скажи, друг:
сколько стоят 1 без маша?
[Пример 30] Некоторый человек проходит расстояние в у йоджана
за у дня. Скажи: .за какое время он пройдет 100 йоджана?
!пР и мер 31] Насекомое проползает расстояние в у ангула за у дня.
За какое время оно проползает 10 у йоджана?
|44а] Если вычесть возвращение назад за день из движения
вперед за день, [получим искомое] движение за день.
{Пример 32] Слон проходит за 6, умноженное на 5, умноженное на,
умноженное на у , умноженное на 1у дня расстояние в
1	'	1	1	. I
у, умноженное на 1-у, умноженное на 1 без -у, умно-
женное на 1 2 йоджана, и возвращается назад, [проходя]
за 1у дня расстояние в 2, умноженное на 1 без | йоджана.
О друг, за какое время он пройдет расстояние в 100 йод-
жана?
{Пример 33] За какое время некий [человек], получающий за 1 ^дня
8 без у рупа и тратящийрупа в день на еду, станет вла-
дельцем 100 рупа?
166
[ОБРАТНОЕ ПРАВИЛО ТРЕХ ВЕЛИЧИН]
[446] При изменении единицы измерения среднее [количество!
умножается на первое [количество! и делится на последнее
[количество!®2.
(Пример 34] Каждое из 20 ожерелий содержит по 8 жемчужин. О
математик, назови число ожерелий, содержащих по 6 жем-
чужин 53.
[Пример 35| Если [измерять золото] в маша из 5 рактика, то полу-
чим 300 суварна. Назови количество суварна, если [измерять
золото] в маша из 6 рактика.
[Пример 36] Сколько золота пробой 11 варна можно получить в об-
мен на 168 суварна золота пробой 16 варна54?
(Пример 37] [Имеются] 200 одеял шириной 3 локтя и длиной 9 лок-
тей. Быстро скажи: сколько получается [из них] одеял шири-
ной 2 локтя и длиной 6 локтей?
]Приме р 38] Скажи: сколько золота пробой 10 варна можно получить
в обмен на 100 суварна 8 маша золота пробой 12— варна?
[ПРАВИЛО ПЯТИ, СЕМИ И ДЕВЯТИ ВЕЛИЧИН]
[45] После перестановки результата [из одной] стороны в дру-
гую следует [также] поменять местами знаменатели. Пере-
множив [полученные в каждой стороне] числа, следует разде-
лить сторону с большим числом [числителей] на другую сто-
рону 5®.
’Пример 39| Если за месяц прибыль с 100 составляет 5, то какова
будет прибыль с 60 в течение года? Если известна прибыль,
назови время и, исходя из них обоих, назови капиталse.
[Пример 40] Со 100-у прибыль за у месяца составит 1-у! какова
будет прибыль с 601 за 8 без у месяцев?
• Пример 41] Если 1 суварна золота пробой 16 варна стоит 60, то
сколько стоят 63 суварна золота пробой 10 варна?
(Пример 42] g суварна без 1 гунджа чистого золота стоят 20-у
сколько стоят 3 гунджа золота пробой Пу варна?
[Пример 43] Если 8 дрона риса перенесены на 1 йоджана за 6 пана,
то скажи: за сколько 1 кхари и 1 дрона [будут перенесены]
на 3 йоджана?
(Пример 44] Если 3 работника получают за 2 дня 5 рупа, то скажи:
сколько [получают] 8 человек за 9 дней?
|П ример 45] Если за 1 одеяло шириной 2 и длиной 8 получают 10,
то сколько получают за 2 одеяла шириной 3 и длиной 9?
(Пример 46] Если камень длиной, шириной и толщиной 9, 5 и 2 лок-
тей стоит 8, то сколько стоят 2 камня [размерами] 10, 7 и
2 локтей?
]Пример 47] Для слона шириной 2, высотой 6 и длиной 7 в пищу
идет 1 дрона; каков [объем] пищи слона шириной 3, высотой
9 и длиной 10?
167
[ПРАВИЛО ТОВАРООБМЕНА]
[46а] В [задачах] на товарообмен, поменяв взаимно местами
цены, [следует применять] предыдущие правила57.
[Пример 48] Если 2 пала сухого имбиря стоят 6, а 1 пала длинного
перца стоит 9, то сколько длинного перца можно получить
[в обмен] на 6 пала сухого имбиря?
[Пример 49] Если 16 плодов манго стоят 2 пана, а 100 плодов лес-
ных яблок стоят 3 пана, скажи: сколько плодов лесных яб-
лок можно получить [в обмен] на 6 плодов манго?
[ПРАВИЛО ПРОДАЖИ ЖИВЫХ СУЩЕСТВ]
[466] В [задачах] на продажу живых существ, поменяв взаимн
местами возраст, [следует применять] предыдущие правила58.
[Пример 50] Если 5 женщин 16-летнего возраста стоят 200, о зна-
ющий, скажи: сколько стоят 2 женщины 20-летнего воз-
раста?
[Пример 51] Если 3 10-летних верблюда стоят 108 пурана, то ска-
жи: сколько стоят 5 9-летних верблюдов?
[ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ]
[47] На собственное время следует умножить аргумент, на ре-
зультат [следует умножить] другое время, каждое из этих
[произведений] следует разделить на их сумму и умножить
на [капитал, сложенный с прибылью]. Это дает [соответст-
венно] основной капитал и прибыль59.
[Пример 52] Известно, что при [прибыли] 5 со 100 в месяц сумма
капитала и прибыли [составит] 96 за год. О друг, каков ка-
питал и какова прибыль60?
[Пример 53] За 1-^ месяца прибыль со 100^ составляет 1~, сумма
капитала и прибыли равна 36 у за 7-| месяцев. [Каков капи-
тал и какова прибыль?]
[48] Произведение аргумента на его время и произведени
прибыли и так далее на другое время следует разделить
[каждое] на их сумму и умножить на сумму капитала, при-
были и т. д. Это дает соответственно капитал и т. д.6|-
[Пример 54] В месяц со 100 прибыль есть 5, вознаграждение поручителю
1, вознаграждение вычислителю 9 , вознаграждение переписчику
. За год общая сумма составит 905. [Каковы капитал,
прибыль, вознаграждение поручителю, вычислителю и пере-
писчику?]62.
|49—50] Для определения времени [возвращения капитала с при-
былью] следует вычесть из капитала [отданного взаймы] по-
следовательно величины взносов за первый месяц, за второй
месяц и т. д. [Это дает число полностью прошедших меся-
цев и чистый капитал]. Подсчитав чистую прибыль за ме-
сяц, вычти ее из величины ежемесячного взноса; на [полу-
ченную] разность следует разделить чистую прибыль в ме-
сяц, умноженную на число [полностью] прошедших месяцев
и увеличенную на чистый капитал. [Полученное] частное, уве-
личенное на число полностью прошедших месяцев, дает ис-
комое время63.
168
[Пример 55—56] Ростовщиком даны взаймы 100 рупа из 5% в ме-
сяц под залог дома, сдаваемого в аренду за 40 [рупа] в ме-
сяц. Скажи, о знающий: через сколько времени должник ос-
вободится от долга и какую прибыль получит ростовщик64?
[ПРАВИЛО О ЕДИНОМ ДОГОВОРЕ]
[51] Сумма прибылей за истекшее время, деленная на сумму
прибылей за месяц, дает время [единого договора]; сумма
прибылей за месяц, увеличенная в 100 раз, деленная на сум-
му капиталов, дает прибыль |в процентах единого договора]65.
[Пример 57—58] (Капиталы] 100, 200, 300 и 400 отданы взаймы из
2, 3, 4, 5 процентов в месяц соответственно, прошло [соот-
ветственно] 4, 6, 10, 8 месяцев; следует сказать, каков бу-
дет единый договор66.
[Пример 59] Скажи, о знающий: каков будет единый договор, если
названные ранее проценты увеличить на 9, а число месяцев
1 ?
увеличить на -
[52а] (Требуемое] время равно произведению [данного] времени
и аргумента, деленному на прибыль и умноженному на крат-
ное без единицы67.
[Пример 60а | За какое время удвоится капитал (отданный взаймы]
из 5% в месяц68?
[Пример 606] Скажи: за какое время [капитал, отданный взаймы] из
3 9 °о станет равным 1^-себя69?
[ЗАДАЧИ О СЛИТКАХ ЗОЛОТА]
[526] Если разделить сумму произведений весов и проб [нес-
кольких слитков золота] на сумму весов, то получим пробу
[сплава]70.
[Пример 61] В золото какой пробы превращаются [при сплавлении
три слитка] весом 9, 5 и 17 маша и пробой 12, 10, и 11 Вар-
на [соответственно] ?
[Пример 62] Какой пробы получается сплав из [трех слитков золота]
пробой 11	10, 8 без у варна и весом 5-|-, 4^-, 7-^ маша
[соответственно] ?
[53а] Сумма произведений проб и весов [нескольких слитков зо-
лота], деленная на вес очищенного золота, дает пробу [очи-
щенного золота]71.
[Пример 63] После [сплавления] и очищения [от примесей трех слит-
ков золота] весом 5, 8 и 6 суварна и пробой 12, 9 и 15 без
9 варна [вес сплава] оказался равным 16 суварна. Быстро
назови пробу [сплава].
[536] Та же [сумма], деленная на пробу [очищенного золота],
дает его вес72.
[Пример 64] Имеются [три слитка золота] весом 10, 7 и 5 маша и
пробой 9, 8 и 6 варна. После [их сплавления и] очищения
]от примесей] проба [стала равной] 11 варна. Назови вес
[сплава].
169
[54]	Если из произведения суммы весов всех слитков золота
на пробу полученного [сплава] вычесть сумму произведений
весов и проб и [затем] разделить на вес слитка золота [не-
известной пробы], то получим пробу73.
]Пример 65] [Три слитка золота] весом 1, 2 и 6 суварна и пробой
5, 3 и 4 кшайа после сплавления с 1 пала золота неизвест-
ной пробы дают сплав пробой 12 eapia. [Найти пробу пос-
леднего слитка]74.
[55]	Проба сплава, умноженная на сумму весов слитков золо-
та, минус сумма произведений весов и проб [слитков золота],
деленная на разность между пробой слитков золота неиз-
вестного веса и пробой сплава, [дает неизвестный] вес75.
‘[Пример 66] [Три слитка золота] весом 2, 3 и 4 маша и пробой 7,
4 и 5 кшайа сплавлены со слитком золота пробой 2 кшайа.
Назови быстро вес [этого слитка], если проба сплава стала
равной 4 кшайа 76.
[ПРАВИЛО О ЗОЛОТЫХ БРУСКАХ]
[56]	Вес бруска в маша, деленный на разность проб в йава
[чистого и худшего золота|, затем умноженный один раз,
два раза и так далее по порядку на пробу, выраженную в
йава, дает вес худшего золота77.
[Пример 67—68] Нужно изготовить ряд брусков, [каждый] весом в 2
маша и пробой от 0 кшайа до 6 кшайа, увеличивая каждый
раз пробу на|- кшайа. Если знаешь, подсчитав, быстро ска-
жи: сколько надо взять золота пробой 16 варна и 10 Вар-
на 78?
[ПРАВИЛО О ЗОЛОТЫХ ШАРАХ]
[57]	Пробу [каждого из двух золотых шаров], умноженную [на]
часть и деленную на данную часть, увеличенную на единицу,
следует вычесть из другой пробы, деленной на данную часть,
увеличенную на единицу. Каждая из полученных разностей,
деленная на сумму этих же разностей и умноженная на сум-
му весов [двух золотых шаров], дает вес [золотого шара]79.
[58]	Вес [каждого из двух золотых шаров] следует сложить с
частью веса другого [золотого шара] и разделить на эти ча-
сти, увеличенные на единицу. Полученные частные, умножен-
ные на пробу [соответствующего сплава] и деленные на веса
[шаров], дают пробу [каждого золотого шара]8().
Пример 69] Сумма весов двух золотых шаров одинаковой стоимости
есть 5 маша. Если сплавить первый шар с второго, а вто-
рой с первого, то проба [сплавов] будет 10 и 9 варна [соот-
ветственно. Найти веса и пробы шаров]81.
Пример 70] О знающий, сумма весов двух золотых шаров одинаковой
стоимости равна 12 маша. Если сплавить первый шар с
второго, а второй с первого, то проба [сплавов] будет 12
и 10^ [соответственно. Найти веса и пробы шаров].
170
[ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТЕЙ УРОЖАЯ]
[59а] Для получения [каждого] результата следует индивидуаль-
ный вклад, деленный на сумму вкладов, умножить на общую
прибыль82.
[Пример 71] 2, 3, 5 и 4 прастха зериа [отданы для посева четырьмя
земледельцами], и урожай составил 210 [прастха]; какова до-
ля каждого83?
[Пример 72] [Для посева отданы] первым [земледельцем] прастха [зер-
на], вторым третьим Урожай составил 1700 [прастха]
Какова доля каждого?
[КУПЛЯ и ПРОДАЖА]
|59б] После деления цены на количество товара и умножения на
соответствующие части следует применять предыдущее пра-
вило 84.
[Пример 73—74] 7 кудава бобов стоят 9 пана, кудава риса стоит 1 па-
з
на. Купец, за 2 пана быстро дай 1 часть риса и 2 части
бобов 85.
{Пример 75] Каждое из 2 пала хингу, 2 пала длинного перца, 7 пала су-
хого имбиря стоят по 1 рупа. Дай мне поровну каждого из
них на 1 рупа8в.
(60]	После приведения капиталов к общему знаменателю и уда-
ления знаменателей количество товара, проданного на едини-
цу денег, равно наибольшему числителю, увеличенному на
некоторое произвольное число. Это, умноженное на цену, за
которую каждый остаток изделий продан, уменьшенное на 1,
затем умноженное на общий знаменатель, дает количество
товара, купленного на единицу денег87.
[61]	Если товары, оставшиеся после продажи, и капиталы, по-
лученные в результате продажи, разделить на общий множи-
тель, то это будет другое количество товара, купленного на
единицу денег88.
{Пример 76] У трех купцов имеются капиталы 1, 3, 5 или	2
[рупа]. Количество товара, купленного и проданного на еди-
ницу денег, у всех одно и то же. После продажи остатка по
цене 3 [рупа] за 1 предмет они стали одинаково богатыми.
Чему равно количество товара, купленного и проданного на
единицу денег8Ь?
[62]	Если цена остатка есть дробь, следует привести ее и ка-
питалы к общему знаменателю, затем следует умножить ко-
личество товара, купленного и проданного на единицу денег,
на общий знаменатель90.
[Пример 77] Капиталы четырех купцов равны 1 2, 2, 3, 5 рупа. Количе-
ство товара, купленного и проданного за единицу денег, у
всех одно и то же. Продавая остатки по цене рупа за 1 из-
делие, они стали одинаково богатыми. Чему равно количест-
во товара, купленного и проданного на единицу денег91?
171
[63—64] Стоимость любой птицы следует умножить по порядку на
количество птиц. Из полученных произведений следует в от-
дельности вычесть соответствующую стоимость птиц, получен-
ные разности умножить на такие положительные числа, чтобы
сумма произведений равнялась числу птиц, сложенному с
платой92.
[Пример 78—79] За 3 [рупа продаются] 5 голубей, за 5 [рупа] 7 журав-
лей, за 7 [руна] 9 лебедей и за 9 [рупа] 3 павлина. Зная
названные цены, принеси 100 птиц за 100 рупа для развлече-
ния принца93.
[Пример 80] Гранаты, манго и яблоки [продаются по цене] 1 за 2 [рупа]
5 за 3 [рупа], 2 за 1 [рупа соответственно]. Принеси за 80
[рупа] 100 [плодов]94.
[ПРАВИЛА О ДВИЖЕНИИ]
[65]	На разность между скоростями движения в день идущего
быстро и идущего медленно следует разделить путь, пройден-
ный идущим медленно. Это дает время [в днях, за которое
идущий быстро догонит идущего медленно]95.
[Пример 81—82] После того как тот, кто проходит 8 йоджана за 5 без
j дней, уже шел 6 без дней, отправился в путь по этой до-
роге другой, проходящий 3 йоджана в день. Подсчитав, ска-
жи: когда [второй] догонит [первого]?
[66а] Путь, деленный на полусумму скоростей в день, дает вре-
мя встречи96.
[Пример 83] Один проходит 8 йоджана [в день], другой 2 йоджана
[в день]. Длина пути 100 йоджана. Где они встретятся, если
первый пройдет весь путь и [будет возвращаться] назад97?
[666]	Произведение полусуммы скоростей в день на время встре-
чи дает путь.
[67а] Удвоенный путь, деленный на время встречи и уменьшен-
ный на скорость [одного], дает скорость другого.
[ПРАВИЛА ОБ ОПЛАТЕ]
[676]	Следует дать половину платы за упавший [товар] и пол"
ностью за остальное.
[Пример 84—85] Кожаный мешок с 200 пала масла несли за 5 пана на
[расстояние] в 8 йоджана. Внизу [мешка] образовалось отвер-
стие, через которое вытекло 20 пала масла. Какую плату сле-
дует дать?
[68]	Последующие части дня, уменьшенные на предшествую-
щие, следует умножить на сумму, необходимую для оплаты,
и разделить в отдельности на число зрителей [видевших тан-
цы], затем следует прибавить предшествующие [частные] к
последующим. Полученное, умноженное на число ушедших
зрителей, дает плату [каждого зрителя]98.
1	2
{Пример 86—87) Один человек видел танцы -4 дня, второй видел дня,
з
третий 4 дня и до конца дня четвертый. Они должны дать
танцевальной труппе 96 рупа. Сколько каждому оплатить в
соответствии с виденным временем"?
172
[Пример 88] 10 мужчинам нужно перенести носилки на расстояние в
3 кроша за 100 [рупа]. Из этих мужчин 2, 3, 5 уходили пос-
ле каждой кроши соответственно. [Какова плата каждому
человеку?] 10°.
[Пример 89—90] Пять брахманов, читающих хвалебные гимны, были
приглашены для почитания каждого из пяти ликов пятилико-
го бога Шивы за 300 рупа. После почитания каждого из ли-
ков Шивы они по очереди уходили. Скажи: какова плата
каждому?
[ПРАВИЛО О БАССЕЙНЕ]
[69]	Разделив единицу на части в отдельности, следует взять
их сумму и разделить на нее единицу. Эго дает время напол-
нения водоема 10’.
]Пример 91] За какое время наполняют водоем четыре трубы, открытые
одновременно, если каждая из них наполняет его за -> ,
части дня 102?
[ПРАВИЛА ОПЛАТЫ ЗА ПЕРЕНЕСЕННЫЙ ТОВАР]
[70]	[Для нахождения платы за перенос товаров на часть не-
обходимого расстояния] следует разделить на все расстояние
полов шу произведения количества товаров и необходимого
расстояния, уменьшенную на квадратный корень из квадрата
этой половины без произведения пройденного расстояния,
оставшегося расстояния, количества товаров и платы за все
расстояние 103.
[Пример 92] Если за перенос 24 корзин с фруктами на расстояние 5 кро-
ша [грузчик] получит 9 из этих корзин, то сколько [корзин с
фруктами] он получит, если перенесет их только на 2 кро-
ша 104.
[71]	Грузы [перенесенные] каждым из двух [грузчиков] следует
умножить на плату другого; сумму этих [произведений следует
взять] делителем, ]делимыми будут] эти произведения, умно-
женные на все расстояние. Это дает расстояние [пройденное
каждым грузчиком]1()5.
^Пример 93—94] За перенос 24 корзин с фруктами [на некоторое рас-
стояние] первый грузчик получил 4 из этик корзин; остальные
корзины с фруктами были перенесены [на оставшееся расстоя-
ние] вторым грузчиком за 5 корзин с фруктами [в качестве
платы]. Все расстояние равно 5 кроша. Скажи, знающий: ка-
кое расстояние было пройдено каждым [грузчиком]?
[ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ВКУСОВЫХ ОТТЕНКОВ]
[72]	Числа от 1 до [данного] числа в обратном порядке следует
разделить на эти же числа в прямом порядке, [полученные
частные] следует по порядку перемножать. [Это дает число
вкусовых оттенков]106.
[Пример 95] Повар готовит различные блюда с шестью вкусовыми от-
тенками: острый, горький, вяжущий, кислый, соленый, слад-
кий. Друг, скажи: каково число всех разновидностей107?
173
[73]	Для получения блюда из двух вкусовых оттенков следует
по порядку к последующим прибавить первый [вкусовой отте-
нок], для получения 3 и более [вкусовых оттенков] следует
предшествующий прибавить к остальным вкусовым оттен-
кам 108.
[ПРАВИЛО О ДЛИНЕ ШЕСТА]
[74а] При решении задач на шест или на остатки следует раз-
делить видимое количество на 1, уменьшенную на [все] дроб-
ные части 109.
[Пример 96] 4 и g части шеста находятся соответственно под во-
дой, илом или песком реки и еще 3 хаста видны. Какова дли-
на шеста 110?
[Пример 97| После отбрасывания некоторого числа, затем отбрасыва-
2	3
ния остатка, затем отбрасывания нового остатка и затем
отбрасывания ~ полученного остатка осталось 3. [Каково
первоначальное число?]111.
[746]	[После] вычитания из большей [части] меньшей и получения
разности следует применить предыдущее правило112.
[Пример 98] Из стада коров половина ушла на восток, четверть на за-
пад, разность между этими [частями], умноженная на 2 и де-
ленная на 5, ушла на север, и 3 коровы остались. [Сколько
коров было в стаде?]113.
[ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ]
[75]	Если свободный член находится вблизи квадратного корня,
умножь его на 4, затем увеличь это на квадрат коэффициен-
та при квадратном корне неизвестного, затем извлеки из
этого квадратный корень и увеличь на коэффициент при квад-
ратном корне неизвестного, затем возьми квадрат половины
этого; [если свободный член находится вблизи дроби] разде-
ли его на 1 без дроби114.
[Пример 99] Некоторое число уменьшено на свой квадратный корень,
затем уменьшено на & предыдущего, затем уменьшено на
1
квадратный корень предыдущего, затем уменьшено на -g пре-
дыдущего, затем уменьшено на удвоенный квадратный корень
предыдущего; еще осталось 8. [Каково число?]115.
[76]	После деления коэффициента при квадратном корне неиз-
вестного и свободного члена на 1 без дроби прибавим квад-
рат половины первого частного ко второму частному, затем
возьмем квадратный корень этого, увеличим на половину пер-
вого частного и затем умножим [полученное на себя]11в.
[Пример 100] стада обезьян вместе с предыдущего пошла-к водое-
му; квадратному корню [стада равно количество обезьян, ко-
торые] хотят пить; 2 обезьяны остались сидеть под манговым
деревом. [Сколько обезьян в стаде?]117.
[77]	После деления коэффициента при квадратном корне неиз-
вестного и [второго] свободного члена на произведение раз-
174
ностей между 1 и дробными коэффициентами следует к послед-
нему частному прибавить первый свободный член, а затем
применить предыдущее правило118.
(Пример 1011 (Некоторое число] уменьшено на 1, затем уменьшено
на * [предыдущего], затем уменьшено на - [предыдущего],
затем уменьшено на [предыдущего], затем уменьшено на
квадратный корень первоначального числа; еще осталось 5.
[Каково число?]119.
[ПРАВИЛО ОБРАЩЕНИЯ]
[78]	[Начиная от свободного члена в обратном порядке следует
заменить] сложение вычитанием, вычитание — сложением, ум-
ножение — делением, деление — умножением, квадрат — квад-
ратным корнем и квадратный корень — квадратом. В этом
заключается правило обращения121.
5
[Пример 102] Каково число, умноженное на -т,, затем деленное на 3, за-
тем возведенное в квадрат, затем увеличенное на 9? Если
затем извлечь квадратный корень и уменьшить на 1, то по-
лучим 4121.
[АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ]
[79| Как у глиняной чаши внизу расстояше меньше, а вверху
больше, так и у арифметической прогрессии Высота [глиня-
ной чаши] равна числу членов [прогрессии]122.
[80а] Еслч высота [измеряется] в кара ,23, то площадь [глиняной
чаши численно] равна первому члену прогрессии, увеличенно-
му последовательно на разность прогрессии 1х4.
[806]	Теперь я объясню правила нахождения нижнего и верхне-
го оснований [глиняной чаши].
[81]	Высота и число членов есть 1. Нижнее основание [чаши]
равно первому члену прогрессии, уменьшенной на половину
разности. Это, увеличенное на разность прогрессии, дает верх-
нее основание ,25. Все это можно показать шнурками.
[82]	Следует вытянуть шнурок с двух сторон, чтобы он соеди-
нял концы нижнего и верхнего оснований. Это будут боковые
стороны. Если нижнее основание отрицательное, то боковые
стороны должны пересечься 123.
[83]	В верхнем треугольнике высота равна верхнему основанию,
деленному на верхнее основание минус нижнее основание. Это,
вычтенное из 1, дает высоту нижнего треугольника 127.
[84]	Получив арифметическую прогрессию [для высоты, рав-
ной 1], можно найти верхнее основание для произвольной вы-
соты. Верхнее основание |для высоты 1], уменьшенное на ниж-
нее основание [для высоты 1], умноженное на данную высоту,
затем увеличенное на нижнее основание [для высоты 1], дает
верхнее основание [для данной высоты]128.
[85]	Разность [прогрессии], умноженная на полуразность числа
членов [прогрессии] и 1, увеличенная на первый член [прогрес-
сии], затем умноженная на число членов, дает сумму прогрес-
сии. Площадь [чаши] равна произведению полусуммы основа-
ний на высоту 129.
175
[Пример Ю3а[ Чему равна сумма 5 членов прогрессии, у которой первый
член есть 2, а общая разность 3 13)?
[Пример 1036] Назови [сумму] членов прогрессии, у которой первый
член есть 2, а общая разность 5.
[Пример 104—105] В кожаной бутыли, наполненной маслом, по-
явилось небольшое отверстие, из которого вытекает масло.
Бутыль следует перенести на расстояние в 3 йоджана. Если
плата за первый йоджана будет 10 пана, а за последующие
йоджана на 2 пана меньше, то какова будет плата за кро-
ша 13‘?
[86а] Сумма прогрессии, деленная на число членов, уменьшенная
на половину произведения разности прогрессии и числа членов
без 1, дает первый член прогрессии132.
|86б] Разность между суммой прогрессии, деленная на число
членов, и первым членом, деленная на половину числа членов
без 1, дает разность прогрессии133.
|87] Умножь сумму прогрессии на увосьмеренную разность
прогрессии и прибавь квадрат разности меж ту удвоенным пер-
вым членом и разностью прогрессии; квадратный корень этого,
уменьшенный на удвоенный первый член и увеличенный на
разность прогрессии, [затем] деленный на удвоенную разность
прогрессии, дает число членов 1з4.
[88]	Вычтя сумму прогрессии из суммы первого члена и разно-
сти прогрессии, умноженной на полуразность между квадратом
числа членов и числом членов, следует разделить на произве-
дение числа членов и разности между половиной числа членов
без единицы и единицей. Это дает первый член прогрессии 135.
[89]	Умножив разность [арифметической прогрессии] на целую
часть числа членов и увеличив на первый член [прогрессии],
следует [эту сумму] умножить на дробную часть числа членов
и прибавить к произведению половины целого числа членов и
предыдущей суммы, увеличенной на первый член, уменьшен-
ный на разность прогрессии Это дает сумму арифметической
прогрессии [с «дробным числом членов»)136.
[Пр и м е р 106] Первый человек получил 3 [рупа], а каждый последующий
на 2 рупа больше предыдущего. Скажи: сколько получат 4^
человека 137 ?
Г[П ример 107] Если за первый месяц работник получает lj [рупа] и
на [рупа] больше за каждый последующий месяц, то
сколько он получит за 3^ месяца?.
[90]	Целую часть числа членов без 1, деленную пополам,
следует прибавить к дробной части числа членов, [получен-
ную сумму) следует умюжчть на разность прогрессии и це-
лую часть числа членов. [Это произведение!, вычтенное из
суммы [арифметический прогрессии) и деленное на число чле-
нов, дает первый член прогрессии 133.
[91]	Разность между суммой арифметической прогрессии и
произведением первого члена и числа членов, деленная на
сумму чисел натурального ряда, число членов которого есть
число членов [данной арифметической прогрессии] без 1, дает
разность прогрессии139.
176
[92—93] Из произведения суммы арифметической прогрессии и уд-
военной разности прогрессии, увеличенного на квадрат разно-
сти между первым членом и половиной разности прогрес-
сии, следует извлечь квадратный корень, затем вычесть
разность между первым членом и половиной разности
прогрессии и разделить на разность прогрессии. Это дает
целую часть числа членов арифметической прогрессии. Раз-
ность между нею и 1 следует умножить на половину разности
прогрессии, затем увеличить на первый член, [все это] умно-
жить на целую часть числа членов. [Полученное] произве-
дение следует вычесть из суммы прогрессии, разделить на
произведение целой части числа членов и разности прогрессии,
увеличенное на первый члеч, и затем прибавить к целой части
числа членов. Это даст число членов арифметической про-
грессии 14п.
[ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ]
[94| Если число членов [геометрической прогрессии] нечетное,
следует вычесть из него 1 и записать «умножь» [на знаме-
натель прогрессии]; если число члечов четное, следует раз-
делить его пополам и записать «квадрат». [Продолжим про-
цесс пока число членов не станет равным нулю. Затем] начи-
ная с 1 в обратном порядке следует произвести умножение
и возведение в квадрат; последний результат следует умно-
жить на первый член прогрессии. [Это дает п+\ член про-
грессии] 141.
[Пример 108] Один купец, взяв 3 рупа, отправился для получения при-
были. Если его капитал удваивался после каждого месяца,
каким он стал после 3 лет 14 ?
[95а] Выражение, полученное в предыдущем правиле, уменьшен-
ное на первый член прогрессии и делен юе на знаменатель
прогрессии без I, дает сумму геометрической прогрессии143.
[Пример 109] Первый человек получает 3 [рупа], последующие в 2 ра-
за больше предыдущих. Быстро скажи: сколько денег полу-
чат 5 человек?
[ПРАВИЛО О БРАСЛЕТАХ]
[956] Произведение числа браслетов на полусумму цен первого
и последнего дает стоимость [всех браслетов].
[Пример 110] Первый браслет стоит 8 пана, последний 13 пана. Если
число браслетов равчо 24, какую сумму надо заплатить за
нйх?
[ПРАВИЛО О ДВИЖЕНИИ]
[96] Вычтя первоначальную скорость [идущего ускоренно] из
постоянной скорости, следует удвоенную разность разделить
на ускорение. Частное, увеличенное на 1, дает время, когда
пройденные расстояния равны 1'4.
[Пример 111] Очин человек идет со скоростью 3 [йоджана] в день
и ускорением 1 [йоджана в день за день], другой человек
идет с [постоянной] скоростью 10 йоджана в день. За какое
время они пройдут одно и то же расстояние?
[97—98] Выберем произвольные числа для начальной скорости, уско-
рения первого путника и начальной скорости второго. Рас-
12 Заказ 338
177
стояние, пройденное путниками до первой встречи, следует
разделить на число дней до первой встречи, пройденных
каждым. Разность между полученными частными следует умень-
шить на половину разности между произведениями ускорений
и числа дней, пройденных каждым путником до первой встре-
чи. Это, деленное на половину разности между ускорениями,
дает число дней между двумя встречами [двух путников]145.
[Пример 112] После того как первый путник шел 6 дней с [неиз-
вестными] начальной скоростью и ускорением, другой путник
пошел по тому же пути с [неизвестной начальной скоростью]
и ускорением 2 (йоджана в день за день]. Скажи: когда они
встретят друг друга два раза 146?
[ИГРА В КОСТИ]
[99-101] Уменьшив первое число [выигравших бросков] на 1, сле-
дует найти сумму чисел натурального ряда, причем число чле-
нов есть полученная разность. Это есть первое «увеличение».
Для нахождения остальных «увеличений» следует найти сум-
му арифметической прогрессии, у которой разность равна 1,
число членов есть |соответствующее] число [выигравших
бросков], первый член есть сумма предшествующих [выиграв-
ших бросков]. Затем [в качестве числа членов] следует взять
сумму всех (выигравших бросков] и найти «увеличение», как
в первом случае, затем следует уменьшить на удвоенное «уве-
личение» (проигравшего лица. Полученное выражение] следу-
ет умножить на разность (данной) прогрессии и прибавить к
произведению первого члена [данной прогрессии] и разности
между числом бросков [выигравшего и проигравшего]. Это
дает величину выигрыша 147.
[Пример 113] При игре в кости двое поочередно выигрывали 80, 10,
100 и 8 бросков [подряд, причем ставка за каждый бросок
была] начиная с 9 и увеличиваясь [с каждым броском] на 6.
Скажи: кто победит l4d?
(Пример 114] Если число бросков есть 7, 3, 9, 12, а [ставка] такая
же, как прежде, то скажи, если знаешь, после вычисления:
кто победит 141 ?
[Пример 115] При игре в кости двое поочередно выигрывали 4, 3, 2
и 2 бросков, [ставка] начиналась с 1, увеличиваясь [с каждым
броском на 2]. Скажи: кто победит?
[СУММИРОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ РЯДОВ]
[102а] Удвоенное число членов, увеличенное на 1, умноженное
на число членов, увеличенное на 1, умноженное на половину
числа членов, дает сумму чисел натурального ряда, сло-
женного с квадратом и кубом числа членов ,8°.
[Пример 116а] Чему равна сумма первых 5 чисел натурального ряда,
сложенная с квадратом и кубом 5?
[1026] Это, деленное на 3, дает сумму квадратов чисел натураль-
ного ряда 15'.
[Пример 1166] Также назови, если знаешь, сумму квадратов первых
5 чисел натурального ряда.
[103а] Полусумма квадрата числа членов и числа членов, умно-
женная на себя, дает сумму кубов чисел натурального ряда ,52.
178
(Пример 117а] Друг, быстро назови сумму кубов первых 10 чисел
натурального ряда.
[1036] Эта полусумма, умноженная на число членов, увеличенное
на 2, и деленная на 3, дает сумму [последовательных] сумм
чисел натурального ряда 153.
[Пример 1176] Также назови сумму [последовательных] сумм первых
10 чисел натурального ряда.
[104]	Произведение числа членов, числа членов, увеличенного
на 2, и квадрата суммы числа членов и 1, деленное на 4,
дает сумму последовательных сумм чисел натурального ряда,
сложенных с суммами квадратов и кубов этих чисел 154.
[Пример 118] Друг, если знаешь, вычислив, назови сумму [последо-
вательных сумм] первых 6 чисел натурального ряда, сложен-
ных с суммами квадратов и кубов первых 6 чисел натурально-
го ряда.
[105| Сумма [арифметической] прогрессии с удвоенной разностью,
умноженной на первый член, сложенная с суммой квадратов
чисел натурального ряда, умноженной на квадрат разности,
дает сумму квадратов [членов арифметической прогрессии]155.
[Пример 119] Чему равна сумма квадратов 6 членов [арифметической
прогрессии], первый член которой есть 2, а разность 3?
[106]	Получив, как прежде, сумму квадратов членов [арифмети-
ческой прогрессии], следует прибавить к ней сумму [этой же
арифметической] прогрессии; взяв от всего половину, полу-
чим сумму сумм натурального ряда, причем число членов есть
члены [данной арифметической] прогрессии 15в.
[Пример 120| О лучший из математиков, назови сумму последова-
тельных сумм чисел натурального ряда, когда число членов
есть первые 6 членов арифметической прогрессии с первым
членом 3 и разностью 5.
[107]	После умножения квадрата суммы [данной арифметической
прогрессии] на разность прогрессии следует это прибавить к
произведению первого члена первого члена без разности про-
грессии и суммы [данной прогрессии]. Результат есть сумма
кубов членов [арифметической] прогрессии157.
[Пример 121] Вычислив, скажи, сложив вместе кубы четырех членов
[арифметической прогрессии] с первым членом 5 и разно-
стью 2.
[ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ]
[108]	Сумма сторон [многоугольника], кроме одной, не равна и
не меньше этой стороны, потому что криволинейный путь не
равен и не меньше прямого [пути] '58.
(109]	Только в тех [четырехугольниках], у которых квадрат раз-
ности нижнего и верхнего оснований превосходит произведе-
ние разности и суммы боковых сторон, можно построить ламба
и авадха '5*.
[НО—111]	Прямоугольный и равносторонний четырехугольники, четы-
рехугольники с двумя и с тремя равными сторонами, не-
равносторонний четырехугольник; равносторонний, неравно-
сторонний, равнобедренный треугольник; круг и сегмент —
десять фигур, площадь которых следует находить по их
[собственным] формулам. И из них [можно получить] другие
фигуры, такие, как бивень слона, обод колеса и т. д.160
12*
179
[112—114]	Произведение полусуммы оснований и боковых сторон
треугольника и четырехугольника |дает| приближенную пло-
щадь для тех [многоугольников], у которых разность между
боковыми сторэзами и высотой мала. Для других фигур это
в большей степези неверзо, как, например, приближенная пло-
щадь треугольника, у которого боковые стороны равны 13,
а основание 24, рав.на 156, тогда как точная площадь — 60.
Поэтому я излагаю правила нахождения тозных результатов ,в|.
[115]	Для четырехугольника с равными высотами и для треуголь-
ника площадь равна полусумме оснований, умноженной на
высоту 1в2.
[Пример 122] В четырехугольнике верхнее основание, нижнее осно*
ванне, высота и боковые стороны равны 1^- хаста. Скажи,
друг: какова площадь |ез?
[Пример 123] Если в четырехугольнике верхнее и нижнее основания
равны по 5-?> кара, боковые стороны и высота — по 3 кара,
то назови площадь 164.
[Пример 124] В треугольнике боковые стороны равны 4 без и 3^
хаста, основание равно 3^ хаста, высота 3 хаста. Чему рав-
на площадь?
[Пример 125] В равностороннем треугольнике основание равно 8-^ ка-
2
ра, высота равна 7 кара и 8^ ангула. Чему равна площадь?
[Пример 126] Если знаешь способ нахождения, назови площадь рав-
нобедренного треугольника, у которого боковые стороны равны
5 хаста, высота 3 хаста, основание 8 хаста 165.
[Пример 127] В равнобедренной трапеции верхнее основание равно
1-| кара, нижнее основание кара, [боковые] стороны равны
по 5 кара и высота равна 3 кара. Чему равна площадь?
[Пример 128] Скажи: чему равна площадь [трапеции], у которой ниж-
нее основание равно 39, [боковые] стороны и верхнее осно-
вание равны по 25, а высота 24?
[Пример 129—130] В неравностороннем четырехугольнике с равными
высотами нижнее основание равно 10 |хаста], верхнее осно-
вание 4-^ [хаста], боковые стороны равны 9 без [хаста] и
6^; высота равна 6-!> хаста без ангула. Чему равна пло-
щадь?
[116]	Фигуры, имеющие форму бивня слона, [следует рассматри-
вать] как треугольник, форму обода колеса — как четырех-
угольник, форму молодого месяца — как два треугольника,
форму ваджра — как два четырехугольника 1,,в.
[Пример 131а] Чему равза площадь биззя слона, у которого нижнее
основание равно 2 хаста, а высота 3 хаста?
[Пример 1316] [Чему равна площадь] обода колеса, у которого ниж-
нее и верхнее основания равны по 3 хаста, а высота 10 хаста?
[Пример 132] Длина в центре молодого месяца равна 8 кара, шири за
в центре равна 3 кара. Рассматривая как два треугольника,
быстро назови его площадь *67.
180
[Пример 133] У [фигуры, имеющей форму] вацжра длина в центре
равна 10 хаста, основания рав iu по 5 хаста, ширина в центре
равна 2 хаста. Рассматривая ее как два четырехугольника,
назови площадь 188.
[117]	Полусумму сторон, уменьшенную на [каждую из] сторон,
следует поместить в четырех местах; из их произведения
следует извлечь квадратный корень. Эго дает площадь че-
тырехугольника, имеющего равные стороны и неравные высо-
ты и имеющего неравные стороны и неравные высоты189.
[118]	Из неквэдратного числа, умноженного на некоторое боль-
шое квадратное число, следует извлечь квадратный корень,
отбросив остаток, и разделить на квадратный корень множи-
теля. |Это дает приближенное значение корня из неквадратного
числа] 17°.
А. И. Володарский
ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ ШРИДХАРЫ «ПАТИГАНИТА»
1.	«Патиганита» начинается с традиционного на Востоке обращения
к богу. Шридхара обращается к Шиве.
2.	Среди перечисленных Шридхарой «действий» первые восемь —
основные и встречаются без изменений у Бхаскары I, Магавиры и дру-
гих авторов. Общее число «действий» и их порядок у различных авто-
ров различны, тогда как первые восемь «определений» у всех одни и те
же. Девятое «определение» — математика нуля — было введено Шрид-
харой и имелось только в «Патиганите». К сожалению, в рукописи трак-
тата этот раздел отсутствует.
Впервые перечень основных «действий» и «определений» встречает-
ся у Бхаскары I. Комментируя астрономический трактат Ариабхаты I и,
в частности, главу, посвященную математике, Бхаскара I сетует, что
эта глава слишком мала по объему, чтобы охватить содержание всех
математических сведений, и перечисляет 8 «определений».
Брахмагупта [5, стр. 172] перечисляет 20 «действий» и 8 «определе-
ний». У него в сравнении со Шридхарой отсутствуют 8 «действий» с
дробями, одна из разновидностей приведения дробей к простейшему
виду, а также правило продажи живых существ. Однако Брахмагуп-
та вводит в качестве особого действия травило 11 величин. Знание
этих «действий» и «определений» необходимо, по его мнению, для того
чтобы стать математиком. Он пишет: «Тот, кто отчетливо в отдельности
знает 20 «действий» и 8 «определений», является математиком».
3.	Шридхара перечисляет названия 18 позиционных мест. Конечно,
применять их при вычислениях в позиционной системе счисления
широко не приходилось. Это скорее дань философским и рели-
гиозным учениям, тем более, что только названия первых четырех
позиционных мест во всех сочинениях одни и те же. Например, в буддий-
ском трактате «Яджурведа самхита», в сочинениях Ариабхаты I, Шрид-
хары, Бхаскары II, Нарайаны число 104 называется «айута», тогда как в
сочинениях Магавиры, Павалури Малликарйуна оно называется «даша
сахасра»; в буддийской работе «Лалитавистара» айута равна 100 коги,
тогда как у Шридхары коти равно 103.
Интересно указать на значения некоторых названий:
айута — бессчетный,
лакша — знак, отметка,
коти — конец всего, высшая точка,
арбуда — возвышение, название горы на западе Индии,
никхарва — карлик,
саритпати — океан,
антйа — последний (в ряду каких-либо предметов),
182
парардха — большое число, равное половине числа лет жизни
Брахмы.
4.	В качестве мер веса здесь часто -используют зерна. Так, маша
означает бобы, гунджа — пшено. Употребление зер^н для меры
встречается у древних римлян, китайцев, а также в арабской математи-
ческой литературе.
5.	Линейные меры имеют следующие значения: ангула — ширина
пальца, хаста — локоть, данда — палка. Подобные линейные меры встре-
чаются в китайской и арабской математической литературе.
6.	Это же правило
= у (« + D
есть у Нарайаны [9, стр. 114, строки 15—16].
Шридхара, как и предыдущие авторы — Ариабхата I, Брахмагупта,
Магавира, предполагал, что операция, сложения читателю известна, по-
этому под рубрикой «сложение» он приводит правило суммиорвания п
членов натурального ряда, которое является частным случаем формулы
суммы арифметической прогрессии (правило [85]).
Операция сложения описана Бхаскарой II так: «Сложи цифры,
стоящие на одних и тех же позиционных местах в прямом или в обрат-
ном порядке» [5, стр. 5, стих 12]. При прямом порядке сложения про-
цесс начинается с единиц, при обратном порядке — со старших разрядов.
7. Древний комментатор, разъясняя пример, пишет, что «если сле-
довать правилу, то для нахождения суммы 100 000 членов потребуется
столько же усилий, что и для нахождения суммы двух чисел. Сумма
двух членов обычно находится следующим образом: вначале берется 1,
затем 2, затем берется их сумма — итого три операции. Если следовать
порядку, указанному в правиле, то количество операций тоже три: пер-
вая — увеличение числа членов на 1, вторая — умножение полученной
суммы на число членов и третья — раздвоение. Если сложить [обычным
путем] 1, 2 и 3, то всего пять операций, тогда как, действуя по пра-
вилу, выполним лишь три». Далее комментатор пишет: «Если число чле-
нов дробное, то сумму можно найти только по данному правилу». Он
приводит пример определения суммы, если число членов равно — :
«Если складывать последовательно, как это делали раньше, то сумма
1
равна —,
как в случае одного члена сумма равна единице. Но это
3
неправильно. Правильной будет сумма —,
8
полученная по данному пра-
вилу».
Здесь комментатор находит сумму прогрессии «с дробным чис-
лом членов», правила для которой Шридхара приводит дальше (пра-
вило [89]).
8.	В правиле утверждается, что
п = целая часть от V2S„ 
Комментатор решает вторую часть примера 1 для сумм, равных 55,
210, 465, 820, 1275, 1830, 2485, 3240, 4095, 5050.
9.	Это правило:
|/8S„ + 1-1
П~ 2
183.
очевидно, получено путем решения квадратного уравнения
п2 + п = 2S„.
10.	Иначе говоря, при п>т
О __ О __ (п — т) [п , (т I- 1)1
п т	2
Шридхара не приводит правила вычитания целых чисел. Это сде-
лал Бхаскара II: «Вычитай числа в соответствии с их позиционными
местами в прямом или обратном порядке» [5, стр. 5, стих 12]. При пря-
мом порядке вычитания операция начинается с единиц, при обратном
порядке — со старших разрядов. При вычитании более легким является
обратный порядок, при сложении — прямой.
И. В данном способе умножения множимое 1296 располагается под
множителем 21 следующими способами:
21	21
или
1296	1296.
Первое расположение сомножителей соответствует прямому поряд-
ку умножения, при этом умножение начинается с единиц множимого,
т. е. с 6. Второе расположение соответствует обратному порядку; при
этом умножение начинается с высшего разряда множимого, т. е. с 1.
12. Поясним этот метод на примере умножения 1296 на 21. Распо-
ложим множимое и множитель, как соединение створок дверей:
21
1296.
Единицы множимого (6) умножим на единицы множителя (1);
получим 6. Записываем эту величину под единицами множителя. Умно-
жая единицы множимого (6) на десятки множителя (2), получим 12.
Записываем 2 на месте 6, так как единицы множимого в дальнейшем
процессе не участвуют, а 1 записываем под 9:
21
12926
1.
Передвигаем множитель на одно место влево:
21
12926
1.
Затем умножим 9 на 21. Произведение 9-1=9, сложенное с ве-
личиной 2, стоящей пол единицами множителя, дает 11. Стираем 2 и
на ее месте записываем 1, а 1, стоящую на месте десятков, складываем
с 1, стоящей под 9. Получим
21
12916
2.
Умножаем 9 на десятки множителя (2) и получаем произведение 18.
Сложенное с 2, стоящей под 9, оно дает 20. Так как 9 в дальнейших вы-
184
кладках не участвует, на ее месте записываем 0, а 2 записываем под 2
множимого. Имеем
21
12016
2.
Передвигая множитель на одно место влево, получим
21
12016
2.
Теперь умножим сотни (2) множимого на множитель. Произведение
2-1=2. Запишем результат под единицами множителя вместо 0. Далее
2-2 = 4; сложим результат с 2, записанной в третьей строке; полученную
величину 6 поместим на месте сгтен множимого:
21
16216.
Передвинув множитель на одно место влево, имеем
21
16216.
Умножим тысячи множимого (1) на 21. Произведение 1-1 = 1 скла-
дываем с 6, стоящей под единицами множителя, и записываем резуль-
тат под единицами множителя вместо 6. Умножим 1-2 = 2 и этот итог
записываем под десятками множителя вместо 1, получим
21
27216.
Так как множитель больше не нужен, стираем его. Окончательный
ответ: 27 216.
Характерная особенность данного метода — стирание цифр множи-
мого по мере их использования и расположение на их месте цифр
произведения.
13.	Шридхара, как и большинство других индийских ав-
торов, не дал описание этого метода умножения, которое мы нахо-
дим у Ганеши (1545 г.): «Тот метод умножения, в котором числа оста-
ются на прежних местах, называется татстха. Он заключается в следую-
щем: после помещения множителя под множимым умножь единицы на
единицы и помести результат внизу. Затем умножь перекрестно едини-
цы на десятки, а десятки на единицы, сложи вместе и результат распо-
ложи внизу в линию. Затем умножь единицы на сотни, сотни на
единицы, десятки на десятки, сложи вместе и помести результат, как
прежде, и так поступай с остальными цифрами. После окончания про-
цесса линия-результата является произведением» [8, т. I, стр. 146]. Га-
неша также отмечает, что «этот метод очень искусный и не может быть
изучен глупцами без традиционных словесных наставлений». Приведем
пример на умножение методом татстха:
3-6=18
1 + 7-3 + 6-1=28
х9576	2 + 5-3 + 7 1 +6-2 = 36
4213	3 + 9-3+ 5-1+7-2 + 6-4 = 73
40343688	7 + 9-1 +5-2 + 7-4 = 54
5 + 9-2 + 5-4 = 43
4 + 9-4 = 40
185
Выделенные цифры относятся к искомому результату {2, стр. 51].
Этот метод через арабов стал известен в Византии (М. Плануд,
XIII в.) и в Европе, где встречается у Пачоли (XV—XVI вв.).
14.	При умножении способом кханда надо множимое или множи-
тель разбить на два или несколько слагаемых, а после умножения
полученные произведения сложить. В способе рупавибхага разбиение
сомножителей произвольное. Древний комментатор выполняет умно-
жение способом рупавибхага следующим образом:
1296-21 = (725+571) -21 =725-21+571 -21 = 15225+11 991 = 27216
15.	В способе стханавибхага надо последовательно умножать еди-
ницы, десятки, сотни и так далее, а полученные результаты сложить.
Древний комментатор выполняет умножение способом стханавибхага
следующим образом:
1296-21 = (1000+200+90+6) • 21 =21 000 +4 200+I 890+126 = 27216.
16.	В правиле словесно сформулированы следующие -действия с
нулем
0+п=п,
п±0 = п,
0- п=0,
п-0=0.
Те или иные правила о нуле встречаются во всех математических
работах. Правила, аналогичные указанным Шридхарой, приведены
Магавирой [15, I, 491, Ариабхатой II [12, XV, 146], Нарайаной [9, стих 30].
17.	Поясним общий метод на примере деления 27 216 на 21. После
сокращения на 3 расположим делимое и делитель следующим образом:
9072
7.
Процесс деления начинается со старшего разряда. Разделим 9 на 7.
Частное есть 1. Поместим его над делимым, а разность 9—7 = 2 запишем
вместо 9. Получим
1
2072
7.
Передвинем делитель на одно место вправо:
1
2072
7.
Разделим 20 на 7. Частное есть 2. Поместим его над делимым, ря-
дом с предыдущим частным, а разность 20—14 = 6 запишем вместо 20.
Получим
12
672
7.
Передвинем делитель на одно место вправо:
12
672
7.
186
Разделим 67 на 7; частное есть 9. Запишем его рядом с прежними
частными, а разность 67—63=4 запишем вместо 67. Имеем
129
42
7.
Передвинем делитель на одно место вправо. Имеем
129
42
7.
Разделим 42 на 7. Частное есть 6. Запишем его. Остаток от вычита-
ния 42—6-7=0. Деление окончено, стираем делитель. Ответ: 1296.
18. Проиллюстрируем способ возведения в квадрат, основанный на
правиле (a+b)2=a2 + 2ab + b2, примером определения квадрата 432.
Процесс начинается с последней цифры, т. е с высшего разряда. Воз-
ведем в квадрат 4 и результат поместим над числом:
16
432.
Удвоенную последнюю цифру 2-4 = 8 надо умножить на оставшиеся
цифры, т. е. на 32. Поместим 8 под числом, а 4 сотрем, так как она
в дальнейших выкладках не участвует. Имеем
16
32
8.
Произведя умножение и стерев 8, получим
1856
32.
Передвинем оставшиеся цифры на одно место вправо:
1856
32.
Один цикл окончен Снова возводим в квадрат последнюю цифру,
т. е. 3, и пишем сверху:
1865
32.
Теперь удвоенную последнюю цифру 3-2=6 надо умножить на
оставшуюся, т. е. на 2. Стерев 3, имеем
1865
2
6.
Произведя умножение и стерев 6, получим
18662
2.
Передвинув оставшиеся цифры вправо на одно место, имеем
18662
2.
187
Окончен второй цикл. Возведем в квадрат последнюю цифру и за-
пишем сверху
186624.
Так как оставшихся цифр нет, то процесс окончен Окончательный
результат: 186 624.
У Ариабхаты I нет правила возведения в квадрат, но он, несом-
ненно, знал его, так как приводит правило извлечения квадратного
корня.
Впервые метод возведения в квадрат был кратко описан Брахма-
гуптой [5, стр. 212] и несколько подробнее Магавирой [15, II, 31]. Ана-
логичные правила имеются у Бхаскары II [5, стр. 8—9, стих 18—19],
Шрипати [10, стр. 7, строки 24—25], Нарайаны [9, стр. 6, стих 17]. Брах-
магупта и Бхаскара II отмечают, что процесс можно начинать как со
старшего разряда, так и с единиц.
19.	Метод возведения в квадрат путем простого перемножения
встречается у большинства индийских авторов, в том числе у Брахма-
гупты [5, XII, 63], Бхаскары II (5, стр. 8, стих 18], Магавиры [15, II, 29],
Нарайаны [9, стр. 6, стих 18].
20.	Это правило:
n2=l+3 + 5 + ...+ (2n— 1)
имеется у Магавиры [15, II, 29] и Нарайаны [9, стр. 6, стих 18]. Такая
формула была известна еще грекам.
21.	Правило
п2 = (и — а) (п + а) +а2
упоминается большинством индийских авторов, в том числе Брахмагуп-
той [5, XII, 63], Магавирой [15, V, 29], Бхаскарой II [5, стр. 8—9,
стих 18—19], Нарайаной [9, стр. 6, стих 18].
Кроме того, в работах индийских математиков встречаются правила
возведения в квадрат, основанные на других формулах:
у Брахмагупты {5, XII, 63]
п2= (р + 9)2= (2p+q)q+p2,
Магавиры [15, II, 29]
(a+b + ...+e+d)2=a2+b2+...+2ab-\-...+2ed,
Бхаскары II [5, стр. 8—9, стих 18—19]
п2= (p+q)2=p2+2pq+q2,
Нарайаны [9, стр. 6, стихи 17—18]
n2=(p+q)2 = (р — q)2-}-4pq.
22.	Проиллюстрируем это правило на примере определения квад-
ратного корня из 186 624 Разобьем число, начиная с единиц, на четные
и нечетные места, обозначая их буквами: ч — четные, н — нечетные
ч н ч и ч н
1 8 6 6 2 4.
188
Операцию начинают с последнего нечетного места, т. е. с 18. Вы-
чтем наибольший квадрат, т. е. 16. Разность 18—16 = 2 запишем вместо
18, а удвоенный квадратный корень, т. е. 2-4 = 8, поместим под сле-
дующим четным местом:
н ч н ч н
2 6 6 2 4
8 (линия удвоенного квадратного корня).
Разделим 26 на 8 и поместим 3 на линии удвоенного квадратного
корня, а остаток 2 запишем вместо 26; имеем
ч н ч н
2 6 2 4
8 3	(линия удвоенного квадратного корня)
Вычтя квадрат частного (9) из нечетного места (26), поместим
удвоенное частное (6) на линию удвоенного квадратного корня вместо
частного. Имеем
ч н ч н
17 2 4
8 6 (линия удвоенного квадратного корня)
Один цикл окончен. Передвигаем 86 на одно место вправо:
ч н ч н
17 2 4
8 6 (линия удвоенного квадратного корня).
Разделим 172 на 86, запишем частное 2 на линии корня, а 172 сот-
рем, так как разность 172—86-2 = 0; имеем
н ч н	%
4
862 (линия удвоенного квадратного корня).
Вычтя квадрат частного (4) из нечетного места (4), поместим
удвоенное частное (4) на линию удвоенного квадратного корня вместо
частного:
н ч н
0
8 6 4 (линия удвоенного квадратного корня).
Процесс окончен. Остается раздвоить линию корня; ответ равен 432.
Описание метода извлечения квадратного корня впервые встречает-
ся у Ариабхаты I, правда, в очень сжатой форме [7, II, 13]. Более под-
робно этот способ изложил Магавира [15, II, 36]. То же правило приве-
дено Ариабхатой 11(12, XV, 6—7], Шрипати [18, XIII, 5], Бхаскарой II
[5, стр. 9—10, стих 21], Нарайаной [9, стр. 7, строки 2—9].
Вместе с позиционной системой счисления, рассмотренной выше, ме-
тод извлечения квадратного корня впоследствии появился в арабской
литературе, где встречался в такой же форме, например, у ан-Насави
(1025), а затем стал известен в Западной Европе.
23.	Проиллюстрируем данное правило примером возведения в куб
числа 256. Процесс начинается с высшего разряда. Вначале будем
считать в качестве «последнего» 2, а в качестве «предшествующего» 5.
Запишем куб «последнего» (23 = 8); на следующем месте квадрат «по-
следнего», умноженный на утроенное «предшествующее» (22-3-5=60);
на следующем месте квадрат «предшествующего», умноженный на
189
утроенное «последнее» (52-3 2=150); на следующем месте куб «пред-
шествующего» (53= 125). Имеем
8
60
+
150
125
15625.
Это есть 253. Теперь в качестве «последнего» будем считать 25. а в
качестве «предшествующего» 6. Имеем'
253= 15625
252-3-6 = 11250
25 - 3 - 62 =	2700
63=	216
16777216.
Ариабхата I не описывает метода возведения в куб, основанного
на формуле
(а + Ь)3 — а3 + 3a2b + 3ab2 + й3,
но он, несомненно, был ему известен, поскольку им приведено описание
метода извлечения кубичного корня.
Впервые метод возведения в куб дан кратко Брахмагуптой (5, XII,
6] и несколько подробнее Магавирой [15, II, 47], Шрипати [10, стр. 11,
стих 25], Бхаскарой II [5, стр. 10, стих 23—25], Нарайаной [9, стр. 7,
строки 17—19; стр. 8, строки 1—2].
24	Возведение в куб путем последовательного умножения а-а-а
встречается во всех математических работах, начиная с Ариабхаты I
[7, II, 3] до Нарайаны [9, стр. 7, строка 16].
25.	Правило
п3= (п— 1)3 + 3/г(и— 1) + 1
имеется у Шрипати [10, стр. 11, строки 7—9] и Нарайаны [9, стр. 8,
строки 3—4], которые, вероятно, заимствовали его у Шридхары.
Б. Датта и А. Н. Сингх перевели данное правило несколько ина-
че [8, т. 1, стр. 168]: «Куб [данного числа] равен сумме ряда, члены
которого получены по правилу: „последний", умноженный на утроенный
„предшествующий", плюс 1; число членов ряда равно данному числу».
В современных обозначениях это правило можно записать так:
V [Зг (г - 1)4-11.
Подобная формула есть у Магавиры.
Кроме указанных у индийских математиков встречаются и другие
способы возведения в куб. Так, у Магавиры:
п3 = п+3п+5п +...+ (2п— 1)н,
п3 = п2+(п — 1)[1+3+5 + ...+(2/7 — 1)],
п3 = п(п + а) (и — а) + а2(п — а) + а3,
п3 = 3[1 • 2 + 2 • 3 + 3 • 4 + ...+(/7 — 1)и] + п.
190
У Бхаскары II [5, стр. 10, стих 23—25]:
п3 — (a+b)3 = a3 + 3ab (a+b) + 63,
п3=Уп3-у п3.
26.	Проиллюстрируем данное правило примером извлечения кубич-
ного корня из 277 167808. Разобьем число на одно «кубичное» и два
«некубичных» места, отмечая их буквами: к — кубичное и н — неку-
бичное
ннкннкннк
27716780 8.
Процесс извлечения кубичного корня начинается с высших разрядов.
Из последнего «кубичного» места (277) вычтем наибольший возмож-
ный куб (63=216). Кубичный корень (6) поместим под третьим ме-
стом справа от последнего «кубичного» места. Разность 277—216 = 61
поместим вместо 277. Имеем
ннкннкннк
6 1 1 6 7 8 0 8
6	(линия кубичного корня).
Разделим на утроенный квадрат кубичного корня (3 - 62=108) чис-
ло, стоящее над кубичным корнем слева, без последней цифры (611).
Частное 5 поместим на линии кубичного корня, а разность 611—540 = 71
запишем вместо 611:
ннкннкннк
7 1 6 7 8 0 8
6 5	(линия кубичного корня).
Теперь частное 5 будем считать «первым», а кубичный корень 6 —
«последним». Вычитаем квадрат «первого», умноженный на утроенное
«последнее» (3-6-52=450), из числа, стоящего над частным слева, без
последней цифры (716), разность 716—450 = 266 поместим вместо 716,
получим
ннкннкннк
2 6 6 7 8 0 8
6 5	(линия кубичного корня).
Куб «первого» (53=125) вычтем из числа, стоящего над ним слева
(2667), разность 2667—125 = 2542 запишем вместо 2667:
ннкннкннк
2 5 4 2 8 0 8
6 5	(линия кубичного корня).
Один цикл окончен. Снова поместим кубичный корень (65) на третье
место справа от последнего «кубичного» места:
ннкннкннк
2 5 4 2 8 0 8
6 5	(линия кубичного корня).
Разделим на утроенный квадрат кубичного корня (3 • 652=12 675)
число, стоящее над кубичным корнем слева, без последней цифры
(25428). Частное 2 поместим на линии кубичного корня, а разность
25 428—12 675 -2 = 25 428—25 350 = 78 — вместо 25 428:
ннкннкннк
7 8 0 8
6 5 2	(линия кубичного корня).
191
Теперь будем считать частное 2 «первым», а кубичный корень 65 —
«последним». Вычтем квадрат «первого», умноженный на утроенное
«последнее» (3-65-22 = 780), из числа, стоящего над частным слева,
без последней цифры (780) разность 780—780 = 0 поместим вместо 780.
Имеем
ннкннкннк
8
6 5 2 (линия кубичного корня).
Куб «первого» (23 = 8) вычтем из числа, стоящего над ним слева (8).
Разность 8—8 = 0 поместим вместо 8. Имеем
ннкннкннк
0
6 5 2 (линия кубичного корня).
Второй цикл окончен. Так как нет больше цифр, то кубичный корень
найден и равен 652.
Первое весьма лаконичное описание извлечения кубичного корня
встречается у Ариабхаты I (7, II, 5]. Затем правило более «подробно
сформулировано Брахмагуптой [5, XII, 7], Магавирой [15, II, 53—54],
Ариабхатой II [12, XV, 9—10], Шрипати [10, стр. 13, строки 18 25], Бхас-
карой II [5, стр. 12, стих 27—28], Нарайаной [9, стр. 8—9, стих 24—25].
27.	Санскритское название дроби «бхинна» означает «разбитый»,
«разрушенный», «сломанный». Иногда встречаются и другие термины:
«бхага» и «амша» (часть, доля). Эти же термины употребляются для
обозначения дроби с числителем, равным единице: «панча-даша-бхага»
(пятнадцатая часть, пятнадцатая доля), «сапта-бхага» (седьмая часть,
седьмая доля). Иногда вместо «шашта-бхата», чтобы не нарушить раз-
мер стиха, пишут просто «шашта» (шестая часть) [20, стр. 7].
Индийцы записывали числитель дроби над знаменателем без раз-
делительной черты. Дроби отделяли друг от друга вертикальными и
горизонтальными линиями. Запись дробей рядом соответствовала сло-
а с
b d
жению. Например, дробь
записывалась так:
1,ля обозначения вычитания над вычитаемым ставилась точка или
। т т	(LOG-
после него стоял крестик +. Например, выражение	за-
писывалось так:	b d f
В смешанной дроби целая часть писалась над
аписывалась в виде
дробью. Дробь а—
192
Иногда целое число изображали дробью со знаменателем, равным еди-
нице. Поэтому смешанную дробь можно было записать
Правила основных действий с дробями, за исключением возведения
в куб и извлечения кубичного корня, приведены Брахмагуптой, а пра-
вила всех основных действий — Магавирой, Ариабхатой II, Шрипати,
Бхаскарой II, Нарайаной. У Ариабхаты 1 правила действий с дробями
не сформулированы.
28.	Правило приведения дробей к -общему знаменателю Шридхара
приводит далее. Аналогичные правила имеются у Ариабхаты II [12, XV,
14], Шрипати [10, стр. 15, строки 20—21; 18, XIII, 8], Бхаскары II
[5, стр. 16, стих 36], Нарайаны [9, стр. И, строки 6—7]. Брахмагупта
[5, XII, 2] и Магавира [15, стр. 173] в отличие от других авторов поме-
стили это правило среди прочих, в которых излагается приведение дро-
бей к простейшей форме
29.	Древний комментатор располагает дроби следующим образом:
1	1	1
1	2	3
2
По
правилу [39] он превращает смешанную дробь 1 в неправильную
у и находит сумму по правилам [14а], [15а], а затем по правилам
;14б] и [156] решает обратную задачу, т. е. по сумме находит число
членов.
30	Аналогичные правила даны Арибхатой II [12, XV,4], Шрипати
10, стр. 18, строки 3—4; 12, ХШ, 8], Бхаскарой II [5, стр. 16—17,
стих 36]. Нарайана [9, стр. 11, строки 6—7], Брахмагупта [5, XII, 2] и
Магавира поместили это правило среди других при рассмотрении мето-
дов приведения дробей к простейшей форме.
31.	Древний комментатор решает пр шер следующим образом. Пре-
вратив смешанные дроби 5 — , 2 — по правилу [39] в неправильные,
11	5	п	,
получает	. Сумма —— членов арифметическом прогрессии, у
143
которой первый член и общая разность есть 1, равна — . Сумма
5	„	35	о .	108
— членов	этол	прогрессии есть	— .	Разность	между ними равна	—	.
2	8	8
Сократив числитель и знаменатель, окончательно получает 13 —.Да-
лее комментатор решает этот пример по правилу [16]. Число членов
вычитаемого ряда, увеличенное на 1, равно —; это, сложенное с чи-
слом членов уменьшаемого ряда , равно 9. Разность между числом
членов уменьшаемого и вычитаемого рядов равна 3. Умножив это на 9
и разделив на 2, имеем - , или 13
13 аказ 338
193
32.	Аналогичное правило имеется у Брахмагупты [5, XII, 3], Ариаб-
хаты II [12, XV, 15], Шрипати [10, стр. 19, строка 26; 18, XIII, 9], Бха-
скары II [5, стр. 17, стих 38] и Нарайаны [9, стр. 12, строки 2—3}
Магавира формулирует это правило следующим образом: «При
умножении дробей числители следует перемножить на числители, а
знаменатели на знаменатели после выполнения перекрестного сокраще-
ния, если это возможно» [15, III, 2].
Ариабхата I не приводит правила умножения дробей, но эта
операция у него встречается в правиле трех величин.
33.	Суть правила — в замене деления умножением, а именно
а	с	cl d	ad
b	d	be	be '
Аналогично поступают и другие индийские математики, начиная с Брах-
магупты [5, стр. 173]. Хотя Ариабхата I не приводит правила действий
с дробями, метод деления употребляется им в правиле трех величин
34.	Аналогичное правило имеется у Брахмагупты [5, XII, 5], Мага-
виры [15, III, 13], Ариабхаты II [12, XV, 16], Шрипати [10, стр. 22, строка
24], Бхаскары II [5, стр. 18, стих 42], Нарайаны [9, стр. 12, строки 17—
18].
35.	Аналогичное правило приведено Брахмагуптой [9, XII, 5], Мага-
вирой [15, III, 13], Ариабхатой II [12, XV,16], Шрипати [10, стр. 23
строка 25], Бхаскарой II [5, стр. 18, стих 42], Нарайаной [9, стр. 12,
строки 17-18].
36.	Аналогичное правило есть у Магавиры [15, III, 13], Ариабхаты II
[12, XV, 17], Шрипати [10, стр. 25, строка 13], Бхаскары II [5, стр. 18,
стих 42], Нарайаны [9, стр. 12, строки 17—18].
37.	Аналогичное правило есть у Магавиры [15, III, 13], Ариабхаты II
[12, XV, 17], Шрипати [10, стр. 26, строки 27], Бхаскары II [5, стр. 18,
стих 42], Нарайаны [9, стр. 12, строки 17—18].
Брахмагупта не приводит правила возведения дробей в куб и из
влечения кубичного корня из дроби.
38.	Приведение дробей к простейшему виду ~ рассматривается
индийскими математиками как самостоятельная операция. Они выделя-
ли некоторые выражения, составленные из дробей, в самостоятельные
классы, число которых у разных авторов различно. Так, Шридхара
рассматривает шесть классов: бхага, прабхага, бхагабхага, бхагану-
бандха, бхагапаваха, бхагаматри. Кроме того, он приводит правило
действий с целыми и дробными именованными числами (правило [41])
Брахмагупта приводит правила для следующих пяти классов: бха-
га, прабхага, бхагабхага, бхаганубандха, бхагапаваха.
Ариабхата II дает правила для пяти классов: бхага, прабхага, бха-
габхага, бхаганубандха, бхагапаваха. Кроме того, он приводит правило
действий с именованными числами.
Магавира рассматривает правила для тех же шести классов, что и
Шридхара. Шрипати излагает правила для четырех классов: бхага,
прабхага, бхаганубандха, бхагапаваха, а также правило действий с
именованными числами.
У Нарайаны имеются правила для четырех классов: бхага, прабха-
га, бхаганубандха, бхагапаваха.
39.	Здесь Шридхара в качестве общего знаменателя берет общее
наименьшее кратное (ОНК). Для сложения двух дробей
Н—— , где (m, п) — 1,
рт рп
194
Шридхара рекомендует удалить общий
множитель из знаменателей и
составить сумму вида
а
рт
b	ап	( Ьт
— --------.
рп	ртп ртп
В случае трех и более слагаемых древний комментатор трактата
Шридхары рекомендует складывать дроби последовательно: сначала
первые две, затем к полученной сумме прибавить третью дробь и т. д.
Впервые в индийской математике (понятие общего наименьшего
кратного встречается у Магавиры [15, стр. 33, стих 56]. Он вводит тер-
мин «нируддха», определяя его как «произведение общих множителей
среди знаменателей» Правило Магавиры для приведения дробей к
общему знаменателю следующее: «Новые числители и знаменатели, по-
лученные умножением каждого первоначального числителя и знамена-
теля на частное от деления общего наименьшего кратного на знамена-
тель, дают дроби с одинаковыми знаменателями».
У Брахмагупты общим знаменателем служит произведение всех
знаменателей Он пишет: «Умножением числителя и знаменателя каж-
дой дроби на другие знаменатели можно привести дроби к общему
знаменателю» [5, стр. 172].
Бхаскара II не упоминает общее наименьшее кратное, хотя отме-
чает, что процесс приведения дробей к общему знаменателю может
быть укорочен. Он пишет: «Числитель и знаменатель могут быть умно-
жены разумным вычислителем на другой знаменатель, сокращенный на
общий множитель» [5, стр. 13, стих 29].
В «Тришатике» Шридхара рекомендует находить общий знамена-
тель путем перемножения всех знаменателей. Он пишет: «Чтобы при-
вести дроби к общему знаменателю, умножай числитель и знаменатель
каждой дроби на другие знаменатели» [8, т. 1, стр. 190].
40.	Дробь класса бхага имеет вид
а	с	е
Ь	~d	f
и в индийской манере записывается так:
где точка означает вычитание. Аналогичные правила приведены всеми
авторами, начиная с Брахмагупты [15, XII, 2] и до Нарайаны [9, стр. 9,
стих 26].
41.	Первую часть примера комментатор Шридхары решает следую-
1 1 1 1 1 D 1
*	“ —....	Вначале сложим
щим образом: «Сложить —; ~	; -у-;	.
и . Сократив знаменатели на 2, получим 1 и 2. Умножив
и знаменатель первой дроби на 2, а второй —на 1, получим
3	1
сложив------. Затем прибавим — . Сократив знаменатели на
9	2
и 3. После умножения дробей получим — и — , сложив их, получим
2
числитель
2	1
— и —, а
4	4 ’
2, имеем 2
13*
195
11 1
— . Затем прибавим , сократив знаменатели на 3, имеем 4 и 1.
о
114	15
После умножения получим — и — ; сложив их, получим —. Сокра-
5	1
тив числитель и знаменатель на 3, имеем —, затем прибавим — . После
4	5
25	4	29
умножения имеем — и~, сложив, имеем —. Целая часть есть 1,
дробная — — ».
42.	Правило [37] основано на другой форме записи дробей, которые
могут располагаться не только горизонтально, но и вертикально. Так,
дробь — ± — может быть записана в виде
b d
где а, b — высшие числитель и знаменатель, или числитель и знамена-
тель верхней дроби, а с, d — низшие числитель и знаменатель, или чис-
литель и знаменатель нижней дроби.
Данное правило относится к первому случаю и гласит, что
а с ______ ad Ьс
Ь d — bd '
Таким образом, здесь при сложении дробей в качестве бщего знамена-
теля берется произведение знаменателей. Этого правила нет в большин-
стве работ индийских математиков, и оно впервые встречается v Шрид-
хары и под его влиянием у Шрипати [18, XIII, 12].
43.	Дробь класса прабхага имеет вид
асе
~Ь ' d f
и записывается так:
т. е. как и класс бхага.
Подобное правило есть у Брахмагупты [5, XII, 8], Магавиры [15,
III, 99], Ариабхаты II [12, XV, 13], Шрипати [18, XIII. 1] Бхаскары II
[5, стр 14, стих 31], Нарайаны [9, стр. 9, стих 26].
44.	Дроби класса бхагабхага — это
Аналогичное правило есть у Брахмагупты [5, XII, 9]. Магавиры (15. III,
99], Ариабхаты II [12, XV,19].
196
45.	Дроби класса бхаганубандха имеют вид
Ь ас 4- Ь
а |----= -----
с	с
или
а_ .________________________с_ а ____ a (d + с)
Г + ~d Т ~ bd
Для пояснения правила напомним, что выражение в левой части по-
следнего равенства на индийский манер можно записать так:
а
b
с
d
Аналогичное правило есть у Брахмагупты [5, XII, 9], Магавиры [15,
III, 99], Ариабхаты II [12, XV, 11 —12], Шрипати [10, стр. 34, строки 15—
16], Бхаскары II [5. стр 15, стих 33], Нарайаны [9, стр. 9 стих 27].
46.	Дроби класса бхагапаваха — это
Ь ас — b
а— - =
с	с
или
а с a a (d — с)
b d b	bd
Аналогичные правила есть у Брахмагупты [5, XII, 9], Магавиры [1о,
III, 126], Ариабхаты II [12, XV, 11—12], Шрипати [10, стр. 34, строки 2—
5], Бхаскары II [5, стр 15, стих 33], Нарайаны [9, стр. 9, стих 27].
47	Проиллюстрируем правило решением примера 22 способом, при-
веденным древним комментатором Шридхары Расположим столбиком
числа:
5
1
3
16
1
4
1 +
20
1 +
5.
Здесь, начиная сверху, через одно числа 5, 3, 1,— 1, g- представ-
ляют собой данные именованные — пураны, паны и т. д., а стоящие меж-
ду ними числа 1, 16, 4, 20 - соотношения между указанными денежными
мерами (см. правило [9]). Далее комментатор применяет правило к
первым четырем числам:
5
1
3
16.
197
Умножив верхние числитель (5) и знаменатель (1) на низший зна-
менатель (16) и прибавив затем к верхнему числителю низший числи-
тель (3). сотрем нижнюю, теперь уже ненужную дробь; получим
516 + 3	_83_
116	’ или 16 ’
т. е. .5 пурана и 3 пана переводятся в пурана. Имеем
83
16
1
4
1 +
20
1 +
5.
Применяя данное правило к верхним двум дробям, получим
333
64
1 +
20
1 +
5.
Применяя последовательно данное правило к двум верхним дробям,
окончательно получим
33294	16647
	, или - ,
6400-------------3200
с 647
т. е. 5 —-— пурана.
3200 Jr
48.	Правило любопытно тем, что оно содержит определение, что
очень редко встречается в индийских математических трактатах. Ма-
гавира отмечает, что может быть всего 26 вариантов этого класса,
так как
Ct +	+ С5 + С1 = 26.
49.	Санскритский термин правила трех величин — «трайрашика»
(трехместное). Правило заключается в нахождении числа х, образую-
щего с тремя данными числами а, Ь, с пропорцию
а ___с
b х
Правило трех величин занимает одно из главных мест в индий-
ской арифметике. К его применению сводились решения многих задач.
Индийцы дали специальные названия трем членам пропорции, да и сам
термин «трайрашика» введен ими.
Впервые правило появилось у Ариабхаты I и в «Бахшалийской ру-
кописи», а затем во всех математических сочинениях. Три члена про-
198
чориии чаще всего имеют следующие названия: данное — а, резуль-
тат— Ь, требуемое—с. Соответствующие санскритские термины — «пра-
мана — пхала — ичха». Иногда их просто называют «первый — второй
третий», или «первый — средний — последний».
Многие авторы отмечают, что первый и последний члены должны
5ыть однородны, т. е. одного названия (Брахмагупта, Ариабхата II).
Правило трех величин от индийцев перешло в арабскую математи-
ческую литературу (ал-Хорезми, Беха Еддин), а затем и в западноев-
попейскую (Л. Пизанский и др.). Хотя индийские названия часто от-
сутствовали, сохранилось расположение членов в линию и размещение
их таким образом, чтобы первый и последний члены были однородными.
Типы задач, относящиеся к правилу трех величин, несомненно, были
известны народам и других стран (Китая, Египта, Греции). Но лишь в
Индии правило трех величин было выделено особо, сформулировано
и распространено на правила пяти, семи величин и т. д.
50.	Древний комментатор решает пример следующим образом. Рас-
положив заданные числа в виде
1	10	9
1	1	1
4	2	4
ч превратив смешанные дроби в неправильные, получим
5	21	37
4	2	4
Умножим требуемое — на результат , получим . Затем про-
5	3108
изведение разделим на данное — , имеем———, а после сокращения —
777
. Эта сумма известным образом переводится в 4 пурана 13 пана
2 какини 16 варатака.
51.	Примеры, аналогичные приведенным (25—28), имеются у Мага-
виры (15, III, 3—6; V, 8, 9, 13, 14], Шрипати [10, стр. 68, стих 87; стр. 69,
стих 88], Бхаскары II [5, стр. 33—34, стих 71—73], Нарайаны (9, стр. 47,
строки 13—14, 17—18; стр. 48, строки 8—11].
Так. Бхаскара II дает следующую задачу [5, стр 33, стих 71]: «Если
. 1	,	3	.
2 — пала шафрана стоят • нишка. быстро скажи, лучший из куп-
цов: сколько шафрана можно купить за 9 нишка?».
52.	Санскритский термин для обратного правила трех величин —
«вйастатрайрашика» (обратное трехместное правило). Обратное прави-
ло трех величин служит при решении задач, в которых искомая вели-
чина обратно пропорциональна «требуемому».
Обратное правило трех величин через арабов стало известно в Ев-
ропе. Оно обнаружено вместе с правилом трех величин во многих рабо-
тах арабских и западноевропейских математиков. Ал-Бируни написал
специальный трактат «Об индийских рашиках», где дал обоснования
правилам и обобщениям при помощи отношений.
53.	Комментатор Шридхары решает пример, расположив числа так:
8 | 20 | 6.
Умножим первый член 8 на средний 20, получим 160, разделим на
4	2
следний член 6, получим 26 — , или (после сокращения дроби) 26 —.
6	3
199
Подобные примеры имеются у Шрипати [10, стр. 74, строки 8—9],
Бхаскары II [5, стр. 35, стих 78], Нарайаны [9, стр. 50, строки 3—4]
Так, Бхаскара II приводит следующую задачу: «Куча зерна отме-
ряется сосудом, вмещающим 7 адхака; если получено 100 таких сосу
дов, каков результат, когда будем отмерять зерно сосудом, вмещающим
5 адхака?».
54.	Подобные примеры имеются у Магавиры [15, V, 18; VI,173 g—’
174-^-], Шрипати [10, стр. 74, стих 98], Бхаскары II [5, стр. 34—35,
стих 77].
55.	Правило пяти величин заключается в нахождении неизвестной
величины х, которая с пятью известными образует сложную пропорцию
а	с  х
b	d	е
Аналогично правило семи величин. Оно заключается в нахождении
неизвестной величины х, которая с семью известными образует слож
ную -пропорцию
с
d
Санскритские термины для сложной пропорции: «панча рашика»
(правило пяти членов), «сайта рашика» (правило семи членов), «нава
рашика» (правило девяти членов) и т. д.
Впервые правило пяти и более величин встречается у Бхаскары I
а затем у всех последующих авторов. Бхаскара I в своих коммента-
риях к «Ариабхатии» пишет: «Здесь Ариабхата описал только правило
трех. Как же могут быть получены хорошо известные правила пяти
семи и т. д. величин? Я рассуждаю так: Ариабхата описал только осно-
вы пропорции. Все другие виды пропорции, такие, как правило пяти
семи и т. д. величин, следуют из этого основного правила пропорции
Правило пяти величин состоит из двух правил трех величин, правило се-
ми величин из трех правил трех величин и так далее» [8].
Задачи на правила сложной пропорции решаются механически
Все числа записываются в две колонки, называемые стороной данного
(праманараши пакша) и требуемого (ичхараши пакша).
Проиллюстрируем правило решением примера 40. Комментатор
Шридхары указывает на следующие две стороны:
Сторона данного
Сторона требуемого
I
3
ЮО— =
2
15
2
241
4
2
2
По индийскому образцу это записывается так:
200
1	15
3	2
201	241
2	4
3	0
2		 1
где знак 0 — «шунья» — означает неизвестное количество. Для решения
переставим результат из одной стороны в другую:
1	15
3	2
201	241 1
' 2	4
! °	3
i	2
Затем переставим знаменатели:
1	15
2	3
201	241
4	2
0	3
2	
Так как количество числителей в правой части больше количества
числителей в левой, то разделим произведение числителей и знамена-
телей в правой части на произведение числителей и знаменателей в
левой части:
15-3-241-2-3	20 125
12-201-4-2	536’
Аналогичные правила имеются у Брахмагупты [5, XII, 11—12], Ма-
гавиры [15, V, 32], Ариабхаты II [12, XV, 26—27], Шрипати [10, стр. 74,
стих 97; 18, XIII, 15], Бхаскары II [5, стр. 33, стих 70], Нарайаны [9,
стр. 50, стих 62].
Брахмагупта решает таким способом и задачи на правило трех
величин. В примере 25 расположим сторону данного и сторону требуе-
мого:
5
4
21
2
37
4
0
201
Переставив результат, имеем
5 4	37 1 4 1
0	21 2
Переставив знаменатели, имеем
5 4	37 4
0 2	21
Так как количество числителей в правой части больше, чем в левой,
имеем
37-4-21
5-4-2
7
77 — пана.
10
Решение задач на правило трех величин рассмотренным спосо-
бом у других индийских математиков не обнаружено. Однако оно встре-
чается в арабской математической литературе, например у Ибн Эзры
[19, т. II. стр. 489], который пишет
47	63
7	0
для пропорции 47 : 1=х.
Эти правила и способ расположения чисел через арабов проникли в
Западную Европу и встречаются в работах многих арабских и западно-
европейских ученых, начиная с Л. Пизанского (1202 г.). Позднее в
Европе такая схема вычисления получила название «цепного правила».-
56. Подобные примеры имеются у Магавиры [15, V, 33, 41], Шрипа-
ти [10, стр. 75, стих 98], Бхаскары II [5, стр. 36, стих 80], Нарайаны [9,
стр. 50, строки 18—21].
Так, Бхаскара II приводит следующую задачу: «Если прибыль
со 100 в месяц есть 5, назови прибыль с 60 за год».
57.	Поясним данное правило решением примера 48. Комментатор
Шридхары указывает следующие стороны данного и требуемого:
Поменяв взаимно местами цены, имеем
202
Теперь пример сведен к задаче на правило пяти величин. Поменяв ме-
стами результат, имеем
9	6
2	1
6
Решая, находим:
616
9-2
— 2.
Аналогичное правило дано Брахмагуптой [5, XII, 13], Магавирой(15,
VI, 18], Ариабхатой II {12, XV, 28]. Шрипати [10, стр. 80, строки 16—
17; 18, XIII, 16], Бхаскарой II [5, стр. 38, стих 85], Нарайаной (9, стр. 53,
строка 23].
58.	Поясним правило решением примера 51 способом, приведенным
комментатором трактата Шридхары.
Стороны данного »и требуемого будут
3	5
10 108	9
Поменяв местами возраст, имеем
3	5
9	10
108	
Решая по правилу пяти величин, окончательно получим
5-10 108
39
200 пурана.
Аналогичное правило есть у Шрипати [18, XIII, 166; 10, стр. 81,
стих 108] и Нарайаны [9, стр. 53, стих 63].
59.	Капитал k за месяцев приносит а %; сумма капитала и при-
были за t2 месяцев составляет S. Тогда прибыль за t2 месяцев с
капитала k составит ——  12 и k Ч————t2 = S. Откуда
100.^1	100**1
Капитал —
't2
Прибыль (в %)=-----—-----
г	'	1006+а/,
Это же правило приведено у Брахмагупты [5, XII, 14], Магавиры
[15, VI, 21, 23], Ариабхаты, II [12, XV, 31], Шрипати [10, стр. 82, стих
111; 18, XIII, 17], Бхаскары II [5, стр. 39, стих 87—88].
203
Задачи на проценты имеются в китайской, арабской и западноевро-
пейской математической литературе.
60.	Этот пример приведен Шрипати [10, стр. 83, стих 112] и (с дру-
гими числовыми данными) Магавирой [15, VI, 22, 24], Бхаскарой II [5
гтр. 40, стих 89] и Нарайаной [9, стр. 60, строки 10—11].
61.	Смысл этого правила ясен из последующего примера. Речь идет
об определении капитала, прибыли и вознаграждений поручителю
вычислителю и переписчику:
„	100-6-5
Капитал =-----------------------
100 *6 -р (а 4~ b 4 с 4 d}
Прибыль (в %) —
а-6-5
100-6 4 (я 4 b 4- с 4*
Вознаграждение поручителю —------------—-----------,
100-/1 4(#4^ 4 с 4 d}t>
Вознаграждение вычислителю -=----------------------,
100*6 4- (л 4" b 4 с 4 d)
Вознаграждение переписчику —-----------.
г Л 100*6 4(a4-*4<?4-d)6
где а, Ь, с, d — прибыль, вознаграждение поручителю, вычислителю, пе-
реписчику за 6 месяцев с капитала A, a S — сумма капитала, прибыли
и всех вознаграждений за 6 месяцев.
Выводится аналогично правилу [47].
62.	Этот же пример имеется у Шрипати [10, стр. 83, стих 114].
63.	Капитал k отдан взаймы из расчета а % в месяц, причем ежеме-
сячно возвращается М, тогда долг будет возвращен через
P-a
100
P-a
M —------
100
месяцев,
k
где Т — целая часть от —
М
p^k 100-bAf
100-1 4 я-1
100 I M
100-1 4a-2
100-1-М
100-1 4a*r ’
Аналогичное правило имеется у Нарайаны [9 стр. 72, строки 14—15;
стр. 73, строки 1—6].
64.	Ниже приведено сокращенное решение древнего комментатора
Шридхары.
За первый месяц с общей суммы 40 рупа
„	100 1-40 оо 2
Капитал = --------------^=38— рупа,
100-145-1	21	’
п .	5-1-40	, 19
Пршым - 100.1+5.1 = 1 F ру||а-
Вычтя полученный капитал из общей суммы, отданной взаймы, т. е.
19
100, находим 61—- рупа. Прибыль в месяц с этой суммы состави
2	19
3 — рупа. Таким образом, после первого месяца долг равен 61— рупа
2,1
2
4- 3— рупа — 65 рупа.
204
За второй месяц с общей суммы 40 рупа:
100-1 40 ос 4
Капитал	———- = 36— рупа,
100 1+5-2 п J
п г	5-240 о 7
Прибы,ль=———7-г = 3— рупа.
'	1001+5-2	11
о	„	19	лг- 125
Вычтя полученный капитал из 61 — рупа, находим 25-^-	рупа.
о 128
Прибыль с этой суммы равна 2 рупа.
Таким образом, после второго месяца долг равен 25 рупа +-
128	22
+2— рупа = 28^- рупа. Так как арендная плата за дом (40 рупа)
превышает оставшийся долг, то поступаем следующим образом. Пр1быль
с 25-— рупа за 1 месяц равна 1 рупа. Вычитая ее из арендной
по 167	„
платы, получим 38— рупа. Для нахождения оставшегося времени, за
22
которое должник возвращает долг с прибылью, разделим 28 рупа
О0167	12Э8	О1 1371
38---- рупа, получим --- месяца, или 21 -- - дня.
231	1789	1789
1371
Итак, должник отдаст долг за 2 месяца 21 —-— дня. За это вре-
1789
он отдаст 109 рупа, поэтому прибыль ростовщика составит
39
---- рупа.
1789
Характерно, что в данной задаче процент начисляется и с возвра-
щаемой по частям суммы, поэтому потребовались столь сложные вычи-
сления. С некоторыми числовыми изменениями этот пример имеется
у Нарайаны [9, стр. 73, строки 8—10].
65.	Если имеются п долговых обязательств, причем капиталы суть
прибыль —а2,..., ап% в месяц, время —/2,..., ме-
сяцев, то в едином договоре
Капитал = k\ + k2 + ... +
krai
на
мя
9
kn’dn
Время по условию (в месяцах) — 100
kX'Clx kf(l<2,	,	ki'CLn
100 + 100	+	100
и тогда
I kx ax Д2 Д2
rz /r / n x \ 100	100
Прибыль (в %) = —--------------
+-+~™)'“
Это же правило приведено Шрипати [10, стр. 86, строки 12—15].
Хриабхата II [12, XV, 33] упростил правило:
Время в месяцах =
4“ ^-а2 + ... -J- knan
Прибыль (в "о) =	+	+ - +	.
Й, + Л2 + ... ±kn
205
Интересно отметить, что здесь мы имеем дело с процессом образо-
вания взвешенного среднего арифметического. В следующем примере
ставится вопрос об определении процента а и времени Т, за которое сум-
марный капитал, равный сумме всех данных капиталов, принесет ту же
прибыль, что и они, взятые отдельно. Для определенности время Т вы-
бирается, как указано в условии.
Магавира [15, VI, 77—77 -^-1 данное правило приводит в виде
 Р-т± Р-т + р-т
k ( 1  CL ।	^2" 1 CL%	k i • 1 • an,
p^t + p-г + " + pF
РГ r^,Z,ri kt_T2	kJnTn 1
t PT + PT + ••• + p.T ]
a —-----------L,
4“ ^2 kn
где P — аргумент, T — время аргумента.
Формула Шридхары получается из формулы Магавиры при Р= 100,
Г=1. Магавира не определяет каптал, время и величину процента еди-
ного долгового обязательства, а находит среднее время и среднюю при-
быль.
66.	Подобный пример приведен Шрипати [10, стр. 86, строки 25—
28] УМагавиры [15, VI, 78-^-] имеется следующая задача: «Четыре сотни
были отданы в отдельности в долг за 2, 3, 5, 4 процента в месяц соот
ветственно на 5, 4, 2, 3 месяца. Каковы среднее время и средний про-
цент?».
67.	Здесь приводится правило нахождения времени, в течение ко-
торого капитал, отданный взаймы под некоторый процент, увеличится
в несколько раз:
Г /10° Г	1\
Г =-----------(пг — 1),
а
где Т — искомое время, а — прибыль (в %).
Действительно, капитал k, дающий прибыль а % за t месяцев, в
течение Т месяцев увеличится в пг раз. Тогда увеличенный в tn раз ка
питал будет равен сумме первоначального капитала k и прибыли за Т
месяцев:
mk = k +
kaT
100 t ’
откуда и получаем искомую формулу.
Это же правило есть у Брахмагупты [5, XII, 14] и Шрипати [10
стр. 85, строка 19].
68.	Этот же пример приведен у Шрипати [10, стр. 85, строки 24—
25]. Подобные задачи встречаются в комментариях Притхудака (860 г.)
к сочинению Брахмагупты [5, XII, 14]: «Если прибыль с 200 будет 6 ру-
па в месяц, за какое время сумма прибыли утроится?».
69.	Этот же пример имеется у Шрипати [10, стр. 86, строки 4—5]
Подобная задача дана в комментариях Притхудака к сочинению Брах-
магупты: «Если прибыль с 20 пана за 2 месяца составит 5, скажи* за
какое время капитал увеличится в 1 — раза?».
206
70.	Если имеется п слитков золота весом Wif Wn и пробой
V i, 1/г,•••, V п> то проба сплава равна
v WvVx 4-1Г2У2+...+^Уп
W} 4- W2 + ... + Wn
Проба золота выражается в вариах. Чистое золото имеет пробу
16 варна. Золото пробой 15 варна содержит 15 частей чистого золота
и 1 часть примесей. Золото пробой 14 варна содержит 14 частей чисто-
го золота и 2 части примесей и т. д. Таким образом, в слитке золота
весом W и пробой V содержится ~ V частей золота. В п слитках чисто-
16
го золота будет
и 1V4 , 1Г2У2 ,	, wnVn
16	16	16
Проба сплава из этих слитков стала равной V, количество чистого
золота в сплаве равно
(IT, 4- W2 4- ... 4-
16
В обоих случаях количество чистого золота одно и то же:
IFiH . ЯШ .	, WnVn = (IT, 4- 1^2 4- ... 4-1Гя)-V
16	16 ’	16	16
откуда и получаем искомую формулу. Это правило есть \ Магавиры
[15, VL 172], Бхаскары II (5, стр. 46, стих 101], Нарайаны [9, стр. 76,
строки 5—7].
Задачи на смешение решали многие математики. Так, в папирусе
Ахмеса имеется задача, в которой требуется пиво разбавить водой по
определенной крепости. Широко известна решенная Архимедом задача
на определение количества золота в короне короля Гиерона. Подобные
задачи встречаются в арабской и западноевропейской математической
литературе.
71.	Имеется п слитков золота весом IFi, Ц72,..., Wn и пробой Vir
|/2,..., Уп соответственно. Если после их сплавления и очистки от приме-
сей вес сплава стал W, то проба очищенного сплава равна:
v Vi + Ц72- У2 +... 4- WnVn
W
Действительно, количество чистого золота в п слитках будет
, 1Г2И2 ,	, WnVn
-----	ч-------
16	16	16
Количество чистого золота в смеси после очистки останется преж-
ним.так как удаляется часть примесеи, и будет равно-----. Приравнивая
16
два последних выражения, получаем требуемую формулу
Это же правило имеется у Ариабхаты II [12, XV, 396] и Нарайаны
[9, стр. 76, стих 18].
207
72 Вес очищенного золота равен:
W== ^1^1+^^+..,+ ^-Ид
и
Это же правило имеется у Ариабхаты II [12, XV, 39а] и Нарайаны
[9, стр. 76, стих 12].
73.	Если п слитков золота весом №i, IF2,..., Wn и пробой Vi, V2,...,
Vn образуют вместе с некоторым слитком золота весом W и неизвест-
ной пробой сплав пробой V', то неизвестная проба равна:
I/ = (1 +	+ ... +	+ IF) V' - (1ГГ У, + U72 V2 4- ... 4- l^V/Q
IF
Это же правило имеется в «Бахшалийской рукописи» [11, Ill, Н 3,
18 recto], а также у Магавиры l[15, VI, 176 £-], Бхаскары II [5, стр. 46,
стих 101], Нарайаны [9, стр. 76—77, стих 19].
74.	Здесь проба выражается в кшайа, т. е. в примесях. Так как
варна =16 — кшайа, то пробы, указанные в задаче, будут 11, 13, 12 вар-
на соответственно.
Аналогичные примеры с другими числовыми данными имеются в
«Бахшалийской рукописи» [11, 111, Н 3, 18 recto], а также у Магавиры
[15, VI, 178—179], Бхаскары II [5. стр. 47, стих 105], Нарайаны [9, стр 77,
строки 4—7].
75.	Если п слитков золота весом W2,..., W„ и пробой Vi, V2,...,
V л образуют с некоторым слитком золота неизвестного веса и пробы V
сплав пробой V', то неизвестный вес
цу = (W4 4- IF2 + ... -4-1Г/Э	Ь ... + АУдУд)
И — V1
Это же правило имеется в «Бахшалийской рукописи» [11, III, Н 3,
18 recto], а также у Магавиры 15 [, VI, Иб'Т'» 180], Ариабхаты II [12, XV,
41], Бхаскары II [5, стр. 47, стих 106], Нарайаны [9, стр. 77, стих 20].
76.	Так как варна = 16 — кшайа, то пробы слитков золота, указан-
ных в задаче, будут 9, 12, 11 варна соответственно. Проба слитка зо-
лота неизвестного веса есть 14 варна, проба сплава — 12 варна.
Для решения примера комментатор трактата Шридхары пользует-
ся следующим расположением величин:
9
2
12
3
11
4
V Проба сплава 12.
Далее он пишет: «Перемножим пробу сплава 12 на сумму весов 9,
получим 108, произведение веса 2 и пробы 9 равно 18; произведение
веса 3 и пробы 12 равно 36; произведение веса 4 и пробы 11 равно 44.
Вычтя их сумму 98 из 108, получим 10; вычтя пробу сплава 12 из про-
бы неизвестного веса 14, получим 2. На него делим 10, получим 5».
Затем комментатор проверяет решение задачи и при этом, что
весьма любопытно, оперирует с отрицательными величинами.
«Если неизвестен вес в 2 маша, — пишет комментатор, — то распо-
ложение будет
9 12	11	14
0	3	4	5.
208
Проба сплава 12, умноженная на сумму весов 12, равна 144, сум-
ма произведений весов и проб равна 150. Вычитание произвести нель-
зя, поэтому, вычтя в обратном порядке, получим минус 6. Пробу спла-
ва (12) следует вычесть из пробы золота (9), вес которого неизвестен.
Вычитание произвести нельзя, поэтому, вычитая в обратном порядке,
получим минус 3, на него минус 6 разделим. Отрицательное число, де-
ленное на ^отрицательное, дает положительное число. Получим 2 маша
золота».
77.	Пусть надо изготовить п брусков, каждый весом W, причем
проба первого бруска равна 16 варна, а проба следующих брусков
уменьшалась последовательно каждый раз на k варна, причем n-k 16.
Эти бруски надо изготовить из некоторых слитков золота пробой 16
варна и пробой 16 — R варна. Тогда золота пробой 16 — R потребует-
ся
r-k (Г —1, 2,
золота пробой 16 варна —
W-W,= \\-—r-k г=1, 2,
Действительно, пусть для брусков золота пробой 16 R варна
требуется Wx. UZ2,..., Wn* тогда золота пробой 16 варна надо W—
Г,- IF2,..., W- Wn.
Имеем
(16-/?)	16(Г- Fr) = F(16-r£)	(r=l, 2,...,/z);
отсюда и получаем искомые формулы.
Это же правило имеется у Нарайаны [9, стр 78, строки 18—21;
лдр. 79, строки 1—2].
78.	В данном примере k — , /?	6 варна, F = 2 маша, zz =- 24.
Тогда количество золота пробой 10 варна будет
:	' 17	24Х
количество золота пробой 16 варна будет
2.-г- Wr (г^=1, 2,..., 24).
Подробно о количествах необходимого для кажодго бруска золота
сказано в ответах к Данной задаче, приведенных после примечаний.
С некоторыми числовыми изменениями эта задача имеется у На-
райаны [9, стр. 80, строки 2—5].
79.	Искомые веса шаров выражаются формулами:
J4 Зяказ 33b
^’209

(2)
где
W — сумма весов двух
золотые шаров равной стоимости;
Ц— про-
ба сплава первого золотого шара с — частью второго; Иг — проба едла-
ь
с
ва второго золотого шара с — частью первого.
d
Действительно, пусть V', V*— пробы первого и второго шаров; тогда
W{ + IF2 - U7.	(3)
Из правила Шридхары [526] имеем
W14Z/ + V WrV"
и,=---------f,	(4)
W, + -— w2
о
— W.-И' 1 W2V"
И2=----------------,	(5)
С
- Wj + W2
и так как золотые шары равной стоимости, то
WXV‘ W2V".
(6)
Разделим (4) на (5), получим
+ 4 W2V" U — Wt + w2
b / ' d	t
— WiV' -f	WW1 +4-W2
d	/ \ b ,
Учитывая (6), имеем

210
Преобразуя, получим
	w.		ш2	W, , или	= А	W2
И2		V.	2		в
с	а	, , а	с		
	1+^	Н-т-	1+~7 Ь	а		
Подставляя в (3), имеем
откуда
IIZ,
Г2 =
—------A- W,
А 4- в
—?-----В- \V>
А + В
т. е. получаем искомые формулы.
80.	Из формул (4) и (6) предыдущего правила имеем:
а
w, + — г2
о
откуда
а
W, + — uz2
ь
Аналогично из формул (5) и (6) имеем
tt72+_7 W7'
V'=------------ V2.
Подобные правила имеются у Магавиры [15, VI, 209—212] и Нарай-
аны [9, стр. 81, строки 9—18].
81.	Магавира [15, VI, 213—215] приводит следующую задачу: «Два
сведущих в оценке золота купца просят друг друга: „Если ты дашь мне
половину твоего золота, — говорит первый второму, — то, смешав это
с моим золотом, получу золото пробой 10 варна“. „Если же ты мне дашь
1
у-твоего золота, — отвечает второй, — то в смеси с моим золотом полу-
чу золото пробой 12 вариа“ О ты, кто знаешь тайны вычисления, если
14*
21L
ты силен в вычислениях с золотом, быстро назови мне, хорошо подумав,
вес золота каждого купца, а также пробу».
82.	Если п, земледельцев отдали для посева «1, аг,—, ап зерна и
урожай есть S, то доля каждого земледельца в урожае равна
-----------------5 О — 1, 2,..., //).
л 1	#2 4 ап
Это же правило есть у Брахмагупты [5, XII, 16], Магавиры [15, VI,
79-j], Ариабхаты II [12, XV, 36], Шрипати [18, XIII, 19} Бхаскары II
[5, стр. 40—41, стих 92], Нарайаны [9, стр. 54, строки 11 —12]
Правило товарищества встречается в греческой, китайской, араб-
ской и западноевропейской математической литературе.
83.	Подобные задачи имеются у Магавиры ^15, VI, 80 "у Ь6 -у |
и Бхаскары II [5, стр. 47, стих 93]. Так, Магавира приводит следующую
задачу: «480 рупа делятся среди 5 человек пропорционально 2, 3, 4, 5,
6 О друг, назови, что получит каждый» 115, VI, 86 Задача у Бха-
скары II следующая: «Скажи, математик, какова будет доля каждого
из трех торговцев, чьи первоначальные капиталы были 51. 68. 85. если
в результате торговли общая сумма выросла до 300?».
84.	Пусть ti\ количество одного товара стоит а\\ п.2 количество вто-
рого товара стоит а.2,...\ nk количество А-го товара стоит ak. Необходимо
за сумму S получить pi частей первого товара, р2 частей второго това-
ра,..., pk частей /г-го товара.
Вначале разделим цены на соответствующее количество товара и
умножим на соответствующую часть; получим
а.
(2=1, 2,
затем применим правило Шридхары [59а], тогда количество денег, уп-
лаченных за часть товара, равно
а.
Pi$i
<7|	6?2	.
Pl + Р2 + •.•+ Pk
пх п2	nk
G = l, 2,..., k).
Аналогичное правило приведено Шрипати [18, XIII, 196], Нарапа-
ной [9, стр. 57, стих 2].
85.	Аналогичные задачи приведены Магавирой |15, VI, 90 — — 96—
Например: «3 плода гранатового дерева стоят 2 пана, 5 плодов манго
стоят 3 пана, 7 плодов лесных яблок стоят 5 пана. О друг, знающий
основы вычисления, принеси на 76 пана плодов так, чтобы плодов ман-
го было в 3 раза, а, плодов гранатового дерева в 6 раз больше, чем пло-
дов лесных яблок» 115, VI, 90 — — 91 — j.
86.	С некоторыми числовыми изменениями этот пример имеется у
Нарайаны [9, стр. 57, строки 16—19].
212
87.	Пусть п купцов имеют капиталы, приведенные к общему зна-
менателю:
1	^2 Сп	/« \
D ’ D ’ D	' '
Купцы купили предметы из расчета х штук на 1 рупа. Продавая
часть этих предметов из расчета у штук на 1 рупа, а оставшиеся — по
цене R рупа за 1 штуку, они стали одинаково богатыми Тогда'
x=-D(/?y-l),	(2)
у - Сх 4 k.	(3>
где > Сг (г = 1, 2, ..., /д); k — произвольное число
Сг	С
Действительно, за — рупа (г=1, 2, ..., п) купцы купили
предметов, за продажу Р,-у предметов они получили Р рупа.
Остаток предметов
^х-РгУ^Аг	(4)
был продан по цене R рупа за штуку; таким образом, полученная каж-
дым купцом сумма равна
Pr + R	Рг'У ) рупа	2,..., п)>
или
R’Cr'X	П f Г) 1 \
—------Pr(/?y — 1) рупа.
Так как купцы стали одинаково богатыми, то имеем
- Р. (Яу - I) R CJX -/W-D=-P'tRy-V,
или
PC{x-PJ)(Ry-\)^RC2x-P2D(Ry- 1) = ...= RCnx -PnD(Ry-\\
RC{x — P,D (Ry —	— М (г = 1, 2,..., n)	(5)
Полученное неопределенное линейное уравнение имеет бесчислен-
ное множество решений. Пусть
лг _= /И = Z>(Z?y — 1),
тогда
RCr-Pr 1.	(6)
Из (4) имеем
4 -V Ргу ' Аг.
213
Подставляя вместо х его значение, находим Рг:
-Ргу , Л,
г	У	'	У
поэтому должно быть у > Сг для всех г илт у > С . где С > Сг
Тогда решением (5) будет
у -= Сх 4- k.
Аналогичное правило имеется у Магавиры 115, \ I, 102 -у-| и Нарай-
яны [9, стр. 94—97, стихи 36 (б)—38(a)].
88.	Если D= 1, d — общий множитель величин
Л,^2,Рп. (Схх — Рху\ (С2х — Р2у)(Спх — Рпу),
то количество товара, купленного на единицу денег х', равно:
, Pr R (Сгх — Pry) i 1 о \
х = —- 4-----—------— (г — 1, 2,..., п\
а	а	7
x=-R-y — 1
у = С\ 4~
где С\ > Cr(r= 1, 2,..., /г), k —- произвольное число
Действительно, при D— 1 уравнение (5) предыдущего правила при-
мет вид
R-Cr-x-Pr(Ry — \)=-М (г=1, 2,...,п).	(7)
Разделим обе части этого равенства на d и, обозначив
М = — , х' . Рг= — ,
d	d	d
получим
RC^ -Я(/?у-1) = 7И (1, 2,	(8)
При x=M—Ry—1 решением (7) будет
х =- Ry — 1,
у С, 4 k,
а соответствующее решение (8):
d	d
у' — С, । k.
214
Из предыдущего правила при D= 1 имеем
М Р. + /?(С>-РЛу)
Разделив на d, получим
у „	«	£г_	(г 1>2.......,0
d d	d
Это будет новым количеством товара, купленного на единицу денег,
причем 7И—целое число, так как Рп (Сгх — Ргу) при г = 1, 2,..., п
кратно d. Если D 1, то

у, =^С, + k.
89.	Эта задача имеет бесчисленное множество решений. Древний
комментатор трактата Шридхары приводит два решения для первого
случая и одно — для второго (см. ответы).
Одно решение он находит, расположив величины следующим обра-
зом:
Цена остатка 3.
1 1 1
Далее он пишет: «Для получения количества товара, проданного
на единицу денег, к наибольшему капиталу 5 прибавим 1, получим 6.
Это число умножим на цену остатка 3 и из произведения 18 вычтем 1,
получим 17. Умножив 17 на 1, получим количество товара, купленного
на единицу денег».
Подобные примеры имеются у Магавиры р5, VI, 103	— 104 -yj
и Нарайаны [9, стр. 96, строки 2—6; стр. 97, строки 7—9].
Так, Магавира | 15, VI, 103 * j приводит следующую задачу: «Три
купца имеют капитал [соответственно] 2, 8 и 36 пана. По 6 они прода-
вали остаток изделий. Покупая и продавая одно и то же количество
товара на единицу денег, они стали одинаково богаты Найти количе-
тво товара, купленного и проданного на единицу денег».
90.	Если капиталы п купцов и цена остатка есть дроби
С ]	С?2 Сп Р
—, — ,..., D , — ,
количество товара, купленного и проданного на единицу денег, есть
У = D(C, + k),
где Сх->Сг(Г'—1, 2,..., /г), & —произвольное число.
Действительно, поступая, как в правиле Шридхары [60J, имеем
RCtx —	У—1)	RC2x—PiD2(~ у —=	=
RC„x-PnD2^y-^=-N.
215
Пусть x = N = D2 (~У “ 1) • Тогда
RCr-Pr=l
(r = 1, 2, ... , п).
Так как
D
У
Аг
у
то
CrD + А,
р ___ ^гХ
А
A^-^RC, -
Dy у	Dy	у	у
Тогда у > CrD для всех г, или у > Су D, где С, > Сг. Решением
будет
у — D(Ci +£),
где Сх > Сп k — произвольное число.
Подобное правило имеется у Магавиры [15, VI, 107	, 103-^-] и На
райаны [9, стр. 98, строки 2—7].
91.	Эта задача имеет бесчисленное множество решений. Из них
комментатор трактата приводит лишь одно, расположив цифры следую-
щим образом:
3 2 3 5 TI	1
Цена остатка —
2	111	2
Далее он пишет: «После приведения к общему знаменателю полу-
чим
3 | 4 | 6 I 10 Цена остатка 1.
Для получения количества товара, проданного на единицу денег
к наибольшему капиталу 10 прибавим 1, получим 11. Умножив 11 на
общий знаменатель 2, получим 22. Умножив 22 на цену остатка »выч-
тем из произведения 1. Полученную разность 10 умножим на квадрат
общего знаменателя 4. Произведение 40 есть количество товара, куп-
ленного на единицу денег».
Подобные примеры имеются у Магавиры [15, VI, 108—, 110 I
и Нарайаны [9, стр. 99, строки 2—5, 15—18].
92.	Пусть а птиц одного вида стоят рупа, b птиц другого вида
bi рупа, с птиц третьего вида Ci рупа, d птиц четвертого вида d{ рупа,
необходимо купить е птиц на рупа. Тогда для нахождения количества
птиц каждого вида надо решить следующую систему:
ах + by + cz + da -= е
а{хbyyc{z , d}u
216
Правило неполное, его смысл — в сведении данной системы к неоп-
ределенному уравнению
+ ру + -уг 8,
причем ах, by, cz, du должны быть положительными целыми
Хотя правило относится к примеру 78—79, его можно применить и
к примеру 80.
93.	Число купленных птиц и соответственно их стоимость можно
представить в виде:
Величины из условия задачи	Птицы			
	голуби	журавли	лебеди	павлины
Число . .	Ъх	7у	9z	За
Стоимость		5у	7z	9а
Поскольку 100 птиц куплено за 100 рупа, имеем два уравнения с
четырьмя неизвестными:
I 5х 4- 7у -h 9г + За — 100.
I Зх + 5у + 7z + 9и = 100.
Для решения этой системы умножим первое уравнение на 3, а затем
вычтем второе уравнение:
12х + 16у + 20г - 200.
Получим неопределенное линейное уравнение с тремя неизвестными,
имеющее бесчисленное множество решений. Среди всех решений надо
выбрать те значения х, у, z, чтобы величины 5х, 7у, 9z, Зи были поло-
жительными целыми.
Всего получим 16 решений (о числе птиц каждого вида и об их
стоимости подробно сказано в ответах к данному примеру). Коммента-
тор Шридхары приводит четыре решения:
Птицы	Число	Стои- мость	Число	Стои- мость	Число	Стои- мость	Число	Стои- мость
Голуби .	15	9	55	33	5	3	30	1	t 18
[ Журавли	28	20	21	15	56	40	21	15
Лебе 1И	45	35	9	7	27	21	36	28
1 Павлины	12	36	15	45	12	36	13	39
Задача о птицах была очень популярна в разных странах. Она
встречается у китайского математика Сю Е (II—III вв ) в следующем
виде: «Сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят, если
всего птиц 100 и если петух стоит 5 монет, курица — 4, а 4 цыплен-
ка — одну».
Любопытно, что в этой задаче, как и у Шридхары, правые части
уравнений равны 100. Сходные задачи с такой же правой частью ветре-
217
чаются у Магавиры [15, VI, 152—153], Бхаскары II [5, стр. 233—234,
стих 158—159], Нарайаны [9, стр. 93, строки 2—5], а также в арабской
и западноевропейской математической литературе, например, у Лбу Ка-
мила (IX—X вв.) и Джемшида ал-Каши (XIV -XV вв.), который дал
подробный разбор задачи, и в европейском сборнике задач, приписы-
ваемых Алькуину (VIII в.).
94.	Пусть среди купленных 100 плодов на 80 рупа было х гранат,
у манго, г яблок. Тогда имеем
[ х + 5у + 2z 100
I 2х 4~ Зу 4~ z — 80.
Умножив второе уравнение на 2 и вычтя из нею первое, получим
Зх + у - 60.
Это неопределенное линейное уравнение имеет бесчисленное мно
жество решений. Среди них надо выбрать такие, чтобы х, by 2z были
положительными целыми. Таких решений пять (см. ответы к данному
примеру) Подобные задачи имеются у Магавиры [15, VI, 147	150]
95.	Это же правило
t -	-
v2~
имеется в «Бахшалийской рукописи» [И, III, А 13,3 recto] и у Магави-
ры [15, VI, 326 ].
96.	Искомое время
щ 4-у?
2
Здесь сформулировано правило об определении времени встречи,
если два путника вышли одновременно из одного места и один из них,
пройдя все расстояние, возвращается назад и встречает другого. Задача
адекватна определению времени до встречи, если оба выходят одновре-
менно из двух пунктов с расстоянием 2s. Это же правило есть у Мага-
виры [15, VI, 319].
97.	Подобные задачи встречаются в «Бахшалийской рукописи» [11,
III, В 4, 4 recto] и у Магавиры [15, VI, 321—321	)
98.	Правило сформулировано для примера 86 - 87, где надо опре-
делить размер платы каждого зрителя танцевальной труппе, если зри-
тели видели танцы различное время. Зрители должны упчатить
5 , ч 5 /
- — (А—А), —
тр1	т \
1 1.
Pi
-крг-А),
Р2 /
1	1 \ /
-----i	(А< —М-
/?2--Р3 }
5 / 1
/п \Р1
. 1 ,	. I \,
4-------F •••4--------- ) (Рт Рт
р2	Рт /
1).
где S — сумма, необходимая для оплаты, р2,..., рт—число зрителей,
видевших танцы в соответствующие части дня, причем рт, i - - 0, т —
число частей дня, в течение которого были показаны танцы.
218
Хотя данное лаконичное правило сформулировано для задачи 86—
87, его также можно применить при решении задач 88, 89—90.
99.	Ниже приведен ход решения задачи древним комментатором
трактата: «Расположим
3	4
4	4	4 ’
1
7
Вычитая из последующих частей дня предыдущие, получим
1	1	1	1
4	4	4	4 ’
Умножим каждую часть дня на требуемую оплату, т. е. на 96:
24 | 24 | 24 | 24 .
Разделим полученные результаты на число зрителей, видевших тан-
цы в соответствующие части дня, т. е. на
4 | 3 | 2 | 1 ,
получим
6 I 8 I 12 I 24 .
Складывая последовательно полученные частные с предыдущими,
имеем
6 | 14 | 26 | 50 .
Умножим полученные суммы на число уходящих каждый раз зри-
телей, т. е. на
1111111,
имеем
6 I 14 | 26 | 50 .
г)то и будет платой каждого зрителя»
219
100. Ниже приведен ход решения задачи комментатором трактата
«Расположим
2	3
1	2
3	3
10	8
I
5
2
з
5
Запишем части пути, после которых уходили носильщики:
Вычтя из последующих частей предыдущие, получим
1	1	1
3	3	3
Умножим каждую часть на общую плату, т. е. на 100, получим
100	юо	юо
3	3	з •
т. е. на
Разделив на число людей, несших носилки каждую часть пути
имеем
10	25	20
3	6	3
Складывая последующие частные с
предыдущими, имеем
10
3
15	85
2	6 *
£
3
2
3
3
3 ’
10 | 8 I 5 ,
Умножая на число людей, ушедших после каждой части пройденного
расстояния, т. е. на
2 | 3 | 5 ,
имеем
20	45	425
3	2	6
Это и будет платой каждой группе носильщиков».
Подобная задача имеется у Магавиры [15, VI, 231—232]: «20 чело-
век должны были перенести носилки на расстояние 2 йоджана за 720
рупа. Два человека ушло, пройдя расстояние два кроша, еще через два
кроша ушли следующие трое, пройдя половину оставшегося расстояния
ушло еще 5 человек. Какую плату получит каждый?».
22П
101.	Шридхара формулирует правило решения классической зада-
чи о бассейнах. Оно имеется у Ариабхаты II [12, XV, 43], Бхаскары II
[5, стр. 42, стих 94], Нарайаны [9, стр. 94, строки 2—3].
Аналогичная задача встречается у Терона в его «Метрике», в алгеб-
раической надписи Метродора (333 г.), у арабского математика ал-Ка-
раджи (X—XI вв.), у Л. Пизанского и во многих европейских руковод-
ствах.
102. Аналогичные примеры имеются в комментариях Притхудака к
сочинению Брахмагупты [5, XII, 9], у Бхаскары II [5, стр. 42, стих 95].
Нарайаны [9, стр. 94, строки 5—6]. Так, Притхудака пишет: «За какое
время 4 трубы наполняют бассейн, работая одновременно, если они его
последовательно наполняют за 1 день, —дня,—дня,— дня?».
2	4	5
103.	За перенос а изделий на расстояние d следует отдать № из-
делий из а перенесенных. Но а изделий были перенесены на расстояние
dx < d. Какова оплата за перенес на расстояние d|? Обозначим ее через
х. За перенос оставшихся а — х изделий на оставшееся расстояние
d — dx следовало бы отдать
(a — x)(d — dx)x	„
-—'——---------— изделий.
dd[
С другой стороны, это равно U—к изделиям. Имеем
(а — x)(d — dx) х
ddx
“ (d — dx)x2 — adx + a\Xd{ =0,
откуда получаем искомое правило
ad _ • / ad Л
\f -aWd^d-dJ
X~	d — dt
Положительный знак перед корнем отбрасывается, так как тогда
/>№. Это же правило имеется у Магавиры (15, VI, 226] и Нарайаны
[9, стр. 103,-строки 10—15].
104.	Подобные задачи имеются у Магавиры [15, VI, 227] и Нарайа-
ны [9, стр. 103, строки 17—20]. Так, Магавира приводит следующую
задачу: «За перенос 32 ящиков с фруктами на расстояние 1 йоджана
грузчик из них получит в качестве оплаты 7 —ящика. Сколько он по-
лучит, если перенесет ящики только на половину расстояния?».
105.	Пусть первый грузчик перенесет а- изделий на расстояние х
и получает b изделий из этих а в качестве оплаты. Второй грузчик пе-
реносит оставшиеся а — b изделий на оставшееся расстояние d — х и
получает с изделий в качестве оплаты. Тогда имеем
е _ Ь(а — b)(d — х)
ах
откуда расстояния, пройденные каждым грузчиком, будут;
Ь (а — b)d
b(a — Ь)-\- ас
221
,	acd
а — x
b (a — b) 4~ aC
Подобное правило есть у Магавиры [15, VI, 228].
106	Здесь приводится формула числа сочетаний из п элементов,
взятых по 1, 2, 3... т,..., п элементов, которую Шридхара дает в вид<
правила
п	п - -1	п —2	2	1
1	2	3	*’* л—1	п
107.	Составив согласно правилу дроби, получим
6
2
5
2
1
2
отмечает,
1
~6
6 а
что — -о есть число
острое, горькое, вяжущее, кислое,
4
3
Древний комментатор трактата
блюд с одним вкусовым оттенком:
6 5	, г
соленое, сладкое; — — 15 — число блюд с двумя вкусовыми оттенками:
остро-горькое, остро-вяжущее и т. д.; 15 —
вкусовыми оттенками: остро-горько-вяжущее, остро-горько-кислое
з
20-	— — 15 — число блюд с четырьмя вкусовыми оттенками:
горько-вяжуще-кислое и т. д.; 15-— =6 — число блюд с пятью
5
выми оттенками: остро-горько-вяжуще-кисло-соленое и т. д.; 6-
число блюд с шестью вкусовыми оттенками: остро-горько-вяжуще-кисло-
солено-сладкое. Всего 63 разновидности.
Подобный пример имеется у Магавиры [15. VL 219] и Нарайаны
[9, стр. 319, пример 2].
108.	Если в правиле [72] был дан метод нахождения числа сочета-
ний, то здесь дается способ составления каждой группы сочетаний.
соответ-
-20—число блюд с тремя
и т. д.;
остро-
вкусо-
’--1-
6
т
— части шеста, расположенные
п
, песком реки, а видимая часть
по правилу
Р
/ а	с	т \
( 6	.-+- + т)
с
d "
ственно под водой, илом, ...
тогда длину шеста I найдем
109. Пусть ,
равна р
числа по
По этому же правилу решается задача о нахождении всего
его части.
110.	Подобные задачи имеются у Магавиры [15, VI, 5—22], Шри-
пати |[ 10, стр. 41—42, стих 56—57], Бхаскары II [5, стр. 24, стих 52], На-
райаны [9, стр. 20, строки 4- 7, 10—13, 16—19].
111.	В этой задаче отбрасываемые части равны - ,	.
Искомое число есть
3
1
360.
222
Подобные примеры имеются у Магавиры [15, IV, 29—32], Шрипати
[10, стр. 44, строки 20— 23; стр. 45, строки 16—15], Бхаскары II [5. стр.
24, стих 53].
112	Эго же правило есть у Шрипати [10, стр. 46, строки 10—13].
113.	Подобные задачи имеются у Магавиры [15, IV, 23—27], Шри-
пати [10, стр. 46, строки 20—25], Бхаскары II [5, стр. 24—25, стих 54].
114.	Первая часть этого правила относится к решению квадратно-
го уравнения вида
х — рУ х =d.
решение которого имеет вид
I 4£-| р _£р_
2
Вторая часть правила относится к решению линейного уравнения
решение которого есть
Наличие в одном правиле способов решения квадратного и линей-
ного уравнений объясняется особенностями примера 99. В нем для на-
хождения искомого числа надо попеременно несколько раз решать
квадратные и линейные уравнения.
Интересно отметить, что при решении квадратного уравнения оты-
скивается не корень, а его квадрат. Аналогично поступали и древние
арабские математики. Видимо, начало идет от задачи определения пло-
щади некоторой квадратной фигуры, стороны которой неизвестны.
115.	Задача сводится к решению довольно -сложного уравнения:
х — к х —'-(,r- / х)-1/ х—ух — -|-(х — Ух )]	8.
6	г	6	1
Решая, получим х —36.
Подобные задачи имеются у Магавиры [15, IV, 41—46], Шрипати
[10, стр. 49, строки 7—10; стр. 60, строки 2—5].
223
116.	В правиле дается решение квадратного уравнения
х------- х — р J х = d.
ь
Решение имеет вид
Правило сформулировано для решения примера 100. Подобные
правила имеются у Магавиры [15, IV, 33], Шрипати [10, стр. 50, стро-
ки 27—28], Нарайаны [15, стр. 21, строки 2— 6].
117.	Задача сводится к решению квадратного уравнения
— л — х +1 х -г 2 х.
3	9
где х - число обезьян в стаде. Несколько видоизменяя уравнение, име-
ем
п
х----х —- I х =2.
9 г
Решая, находим х— 9.
Подобные примеры имеются у Магавиры [15, IV, 34—39], Шрипа-
ти [10, стр. 51, строки 11—14; стр. 52, строки 16—19; стр. 53, строки
17—20], Нарайаны (9, стр. 23, строки 15—16, 18—19; стр. 24, строки 1—
2].
118	В правиле излагается решение квадратного уравнения вида

Оно вначале приводится к виду
затем его решают по правилу [75].
Аналогичное правило имеется у Магавиры [15, IV, 47] и Шрипати
[10, стр. 54, строки 21—24].
119.	Задача сводится к решению квадратного уравнения

Упрощая, получим
5	5	1 “	_
— х--------------I х — 5,
.12	12
. 224
»1ЛИ
— V х = 13:
5
решая, находим х 25.
Подобные примеры имеются у Магавиры [15, IV, 48—50], Шрипа-
ти [10, стр. 55, строки 7—10; стр. 56, строки 8—11].
120.	Правило обращения имеется во всех индийских сочинениях,
начиная с Ариабхаты I [7, II, 28] и до Нарайаны [9, стр. 41, строки 13—
16].
121.	Древний комментатор трактата располагает числа следующим
образом:
гу
5
2
бха
ва
кше	му	шодхйа	дри
9	1	1	4
3
де гу — от слова «гунака» (множитель), бха — от «бхага» (дробь),
ва — «варга» (квадрат), кше — «кшепа» (сложение), му—«мула» (ко-
рень), шодхйа — (разность), дри — «дришйа» (видимый).
Выполняя указанные в правиле действия, получим искомое число 4— .
5
Далее комментатор проверяет правильность решения: искомое число
24	5
— он умножает на — (получается 12), делит на 3 (получается 4), Bos-
'S	2
водит в квадрат (получается 16), увеличивает на 9 (получается 25),
извлекает квадратный корень (получается 5) и уменьшает на 1; полу-
чается 4.
122.	Шридхара дает геометрическую интерпретацию арифметиче-
ской прогрессии, представляя ее в виде равнобедренной трапеции с вы-
сотой, равной числу членов прогрессии.
123.	Шридхара вводит новую линейную меру — кара; древний ком-
ментатор поясняет, что она равна 1 хаста.
124.	Площадь трапеции ААХВХС с высотой ССХ = \ численно равна
первому члену арифметической прогрессии, т. е. а (черт. 1). Площадь
трапеции АА2В2С с высотой СС2 = 2 численно равна сумме первых двух
членов арифметической прогрессии, т. е. а + (а 4- d) и т. д.
J5 Заказ 338
225
125.	Итак, нижнее основание АВ и верхнее основание Л1В1 равно-
бедренной трапеции с высотой, равной 1, площадь которой дает первый
член прогрессии а, принимаются равными:
АВ - а--- ,
АХВХ = а—+
126.	Комментатор трактата указывает, что если нижнее основание
положительное, т. е. а >	, то первый член арифметической прогрес-
сии численно равен площади равнобедренной, трапеции с высотой
равной 1 (черт. 2).
Черт. 2.
Если нижнее основание отрицательное, т. е. а < - , то первый член
численно равен площади двух треугольников (черт. 3).
Черт. 3.
127.	Высота верхнего треугольника равна:
ОС
2а —|— d
2d
Высота нижнего треугольника равна:
ОС = 1
2л + d
2d
d — 2а
2d
226
128.	Здесь излагается правило нахождения верхнего основания АпВп
для трапеции с высотой, равной п единиц: АпВп = а [п-------d.
129.	Шридхара приводит правило суммы арифметической прогрес-
сии
S„ - [——1 d + а I п
L 2 I
и численно равную ей формулу площади трапеции
__АВ -j- АпВп .
Формула суммы арифметической прогрессии такого же вида имеет-
ся у Ариабхаты I l[7, II, 19], Магавиры [15, II, 61; VI, 290] и Нарайаны
{9, стр. 105, строки 12—13].
Формулу суммы арифметической прогрессии Брахмагупта [5, XII,
17] дает в следующем виде:
с ап-\-а 2« + (л —1)аГ
о п	il —	гс
п 2	2
Аналогичны этой формулы Магавиры [15, II, 62], Ариабхаты II [12, XV,
47], Шрипати [18, XIII, 20], Бхаскары II [5, стр. 52—53, стих 119], На-
райаны [9, стр. 105, стих 1].
130.	Древний комментатор трактата решает пример, расположив
числа следующим образом:
а 2	| у 3 I пада 5,
где а — первый слог слова «ади» (первый член), у—первый слог сло-
ва «уттара» (разность), пада — число членов. Вначале сумму прогрес-
сии он находит по формуле
Г ~у~ d +	“ 40.
Далее вычисляет площадь равнобедренной трапеции; это служит
своеобразной проверкой правильности решения.
Для высоты, равной 1, нижнее основание равно а----- верх-
нее основание.# +
15*
227Г 
Для высоты, равной 5, нижнее основание равно — , верхнее —
/	1 \ !	31
— (черт. 5). Площадь всей трапеции равна 40.
п
Черт. 5.
131.	Комментатор трактата решает пример, расположив числа
следующим образом:
а у	па
10 2-4-	—
4
Вначале он определяет сумму убывающей арифметической прогрессии
по формуле
С* f tl. 1 f |	\	z-x 1 1
S = (----- d + а) п = 2 —
V 2	J 16
Затем находит площадь равнобедренной трапеции с высотой, равной 1;
при этом нижнее основание равно 11, верхнее — 9 (черт. 6). Для высо-
1	21
ты, равной — , нижнее основание равно 11, верхнее-----------— (черт. 7).
132. Правило
S d ,
--------(/г — 1)
л 2
228
имеется у Магавиры [15, II, 74; VI, 292], Ариабхаты II [12, XIII, 23],
Бхаскары II (5, стр. 53, строки 122], Нарайаны [9, стр. 106, стих 2].
Магавира указывает и на другие способы определения первого чле-
на прогрессии, которые можно представить в виде формул
л(л-1)
S-------— d
а —---- —-------- [15, II, 73]„
п	4
2S
---	(и— \)d
п
а = — -----------
2
[15, II, 76J.
133.	Правило
— — а
>-1)
имеется у Магавиры (15, II, 74; VI, 292], Ариабхаты II [12, XV, 49], Бха
скары II [5, стр. 53, стих 123].
Магавира приводит также [15, II, 73, 75] несколько видоизмененные
способы для нахождения общей разности, которые можно представить
в виде
5 — па
d
2S
--- — 2а
п
п2 — п
2
п — 1
134.	Правило
_ ^SdS + (2g —d)2 — 2а +дГ
2d
имеется у Брахмагупты [5, XII, 18], Магавиры [15, II, 70J.
Ариабхата I [7, II, 20] приводит это правило в виде
= 1 Г у + (2а
*	' 2	i
I — dj2 — 2а
d
а Ариабхата II [12, XV, 50], Бхаскара II (5, стр. 54, стих 125]-и На-
райана (9. стр. 107, строки 4—7] — в виде
d \2 . d
п =
d
Шрипати [18, XIII, 24] дает правило
d V
а 2 j
d /
5
d
2
п —=
d
Я_ ~ 2'
d
229
У Магавиры [15, II, 69] есть также правило
1
d
/(2д —4-&ZS
9
135.	Первый член арифметической прогрессии равен:
а =
п2—п
2
(а + б/)__£
pf2-)-
136.	Сумма арлфметическол прогрессии S с «дробным числом чле-
нов» п-\~— выражается следующим образом:
Я
5 = ^(dn + а+ а — d}-\- — (dn + а) = [2я (п — l)d]
— (а + nd),
я
где первое слагаемое —сумма п членов арифметической прогрессии, а
второе — — часть от п 4- 1 члена прогрессии.
я
137.	Древний комментатор трактата дает задаче толкование, по ко-
торому пятый человек произвел половину работы. Любопытно сравнить
этот пример с задачей 18 книги I древнекитайского трактата «Матема-
о 1
тика в девяти книгах», где некоторая сумма делится между 3-улюдьми.
138.	Первый член арифметической прогрессии с «дробным числом
членов» есть:
а
Эта формула вытекает из правила [89] трактата.
139.	Разность арифметической прогрессии с «дробным числом чле-
нов» есть:
где S| —сумма п 4—- — 1 членов натурального ряда, т с.
Я
= +
2	q
140.	Если п — целая часть числа членов арифметической прогрес-
сии с «дробным числом членов», т. е.
l/42dS + (а — -у ) — (а — у )
п—целая часть от —-------------------------— ,
230
-о число членов прогрессии равно
п +
S—[(« - 1)
nd -f- а
Действительно, из правила [85] имеем
S=(-~-‘ d + a)N,
те N — число членов. Отсюда
</№-} 2 (a - -~)N-2S = 0,
 /I Г7 { d\
d
Если N — n 4- —, to
-» /	7	~d\2 { d \
У 2dS + [a- — ) -{a-—)
n — целая часть от----------------------
a — получим из правила |89]:
q	nd 4- а
141. Это правило, смысл которого ясен из следующего за ним при-
мера, есть у Магавиры [15, II, 94] (с той лишь разницей, что вместо
слов «квадрат», «умножь» записываются цифры «О», «1»), у Ариабха-
ты II [12, XV, 52—53], Шрипати [18, XIII, 25], Бхаскары II [5, стр. 55.
стих 127], Нарайаны [9, стр. 127, строки 8—11].
142. Древний комментатор трактата после выполнения действий,
казанных в правиле [94], записывает следующие выражения:
36
— =18 «квадрат*
18
— = 9 «квадрат»
9 — 1 = 8 «умножь»
8
“ = 4 «квадрат»
4
—	2 «квадрат»
2
у = 1 «квадрат»
1 — 1 = 0 «умножь»
231
Далее начиная с I в обратном порядке он производит умножение
на знаменатель прогрессии и возведение в квадрат:
1-2 = 2	(=2 )
22 = 4	( = 22)
42=16	(= 24 )
162 = 256	( = 28)
256-2 = 512	( = 29)
5122 =262 144	( = 218)
262 1442 = 68 719 476 736 ( = 236).
Умножив 2зе на первый член прогрессии, комментатор находит, что
капитал равен 3-236 = 206 158430208.
143 Правило суммы геометрической прогрессии
е aqtl — а	.
- , где q > 1.
Я— 1
есть у Магавиры [15, II, 94; VI, 31Ц], Ариабхаты П [12, XV, 53], Бха-
скары II [5, стр. 55, стих 127], Нарайаны [9, стр. 127, строки 8—11].
144.	Первый путник идет с постоянной скоростью другой с на-
чальной скоростью иг и с ускорением а. Одно и то же расстояние они
проходят за п дней.
Тогда путь, пройденный первым, равен v{-n. а путь, пройденные
вторым, [2v2 + (л — 1) а\ •	•
Приравнивая
ъ{-п = -^-[2v2 (п — 1)ci],
паходим искомую формулу
д=2(?1-^.+ L
а
145.	После того как первый путник шел п дней с начальной ско-
ростью t»i и ускорением ему вдогонку пошел второй путник с началь-
ной скоростью v2 и ускорением а2. До первой встречи первый путник
шел / дней, второй—(t — п) дней; необходимо найти время Т между
первой и второй встречами обоих путников.
Путь S. пройденный обоими путниками до первой встречи, равен
5 = — [2^ + (/ — 1)Л|] —	[2v2 (t — /i — 1)а2].
Путь Si, пройденный обоими путниками до второй встречи, равен:
=	4-7-1)a,- [2^+ (t - п Т - 1) а,|.
Из этих двух уравнений находим время между двумя встречами:
( S S \	1
I-----—	)	— \ta —
\ t — п t !	2
1
_ (at — а2)
232
146.	Задача решается по правилу [97—98], причем Шридхара при-
водит числовые данные лишь для и=6 и а2=2. Древний комментатор
трактата, полагая ui=l, ai=6. /=10, находит, что Т—8 дням.
147.	Величина выигрыша равна
а(«1+ «3 —«2 —«1)+^>4 («i+«2i Из f Л| — l)(«t + «2 + «3 - Л|) —
I
— 2	(2п{ + п2 — 1)1 4—12 («| 4~ я? 4- я3) + я4— 1]< ,
где п\, /12, Яз, и4— число бросков, которые выигрывают попеременно два
лица, а ставка на каждый бросок представляет собой арифметическую
прогрессию с первым членом а и разностью d. Первый игрок выиграл
/?], Из, второй — /г2, и4 бросков
Действительно, сумма выигрыша первого игрока равна
-у [2а 4~ (я! — 1) d\ 4- -у {2\а 4- (п{ 4- n2)d\ + (n3— l)d].
Сумма выигрыша второго игрока равна
Y [2(а + /itd) + (/i2- l)tZ] -J-	{2 [а (/г, 4 «2	«з)d\ + (/г4 — 1)JJ.
Если //14-Яз>//2Ч /Zi, то первый игрок получит выигрыш
у \2a+(n,-\)d\ + ^-{2\a + {nx+n2)d] + {n3-\)d\-
— ~ \2(а + tixd) + (/za—l)dj + у [2[a + («i я2 + «зМ]-
/ I	*
4-(я4 —	-a(/zi 4-zz3 —n2 —/zO [ d 4-я21 th ' я4— 1)^4-/^ +
Яз 4" я4)	2 |	(2a t J- n2 — 1) j 4—~ [2 (ft i 4~ я2 4~ я3) 4- я4 — 1 ]1 .
148.	Имеем a — 9,	6, //|=30, /z2—10, /z3=100, /z4 = 8.
Решая по правилу [99—101] трактата, получим 48 360. Сумма вы-
игрыша положительная, поэтому победит первый игрок.
149.	Имеем a = 9, d = 6, /zt = 7, a2 = 3, a3 = 9, n4=12.
Сумма выигрыша равна
9-1 +6|~30-31 —2 (у- • 16 4 6-49)] = 9-h6(465 — 636) —
= 9 + 6(-171) = —1017.
Сумма выигрыша отрицательная, поэтому выиграет второй игрок.
150. Правило
k~^ 1	2
имеется у Нарайаны [9, стр. 116, строка 3—4].
151.	Правило суммы квадратов первых натуральных чисел
” 2 _ (2/2+1) (я 4-1) я
233;
есть у Ариабхаты I [7, II, 22], Брахмагупты [5, XII, 20], Шрипати |18,
XIII, 22], Нарайаны [9, стр. 117, строки 1, 2].
Магавира fl 5, VI. 296] приводит его в зиде
[2(„-|-i)2_(„ HU v
S = ---------------------
3
-а Бхаскара II [5, стр. 52, стих 117] — в виде
V^=<2n+1> yk.
л=1	3
Такое правило в более общем виде было известно Архимеду. Спо-
соб суммирования ряда натуральных квадратов знали вавилоняне,
египтяне, греки. Это правило встречается в работе китайского матема-
тика XIII в. Ян Хуэя, хотя им должен был бы пользоваться при выво-
де своих формул Шень Ко (XI в.) [4, стр. 95, 97].
Подобные формулы встречаются в арабских и западноевропейских
математических трактатах, например, у ал-Караджи и Л. Пизанского.
152.	Правило суммы кубов первых п натуральных чисел
п2 + п
имеется у Ариабхаты I [7, II, 22], Брахмагупты [5, XII, 20], Шрипати
(18, XIII, 22], Бхаскары II [5, стр. 52, стих 117], Нарайаны [9, стр. 117,
строки 3—4].
Магавира [15, VI, 301] приводит эту формулу в несколько изменен-
ном виде:
п / „ \2
S*3= 4) -(« + 1)2.
Л-1	\ 2 /
Формула суммирования ряда кубов встречается в греческой, ки-
тайской, арабской и западноевропейской математической литературе,
например, у ал-Караджи и Л. Пизанского.
153.	Правило суммирования «треугольных» чисел:
V V k — ”(” + 1Н” + 2)
2j Zj	6
/и-1 д=1
•есть у Ариабхаты I [7, II, 21], Брахмагупты (5, XII, 19], Шрипати [18.
XIII, 21], Бхаскары II [5, стр. 51, стих 115].
154.	Правило выражается формулой
£ Ё k + £ k‘+ £ 4.=5-(-+1>Ч~+?) _
т=1 Л-1	Л=1	Л-1
155.	Формула суммы квадратов членов арифметической прогрес-
сии
£ \а + (k - 1) d]2 = £ [а + 2 (k - 1) d\ а + £ (k - 1 )2 d2.
Л=1	Л=1	л-1
.234
имеется у Нарайаны [15, стр. 119, строки 7—8; стр. 120, строки 1—2]
Магавира [15, VI, 298—299] приводит другую формулу
£[а + (£_1И]2=1
k= л
——+ ad (и — 1) + а2| п =
6	J
Г (2л — 1) (л — l)d2 ,	,, 1А 1	2] .
— v--------------------h ad (п —-1) + a2 j n
Это правило имеется у Архимеда.
156.	Правило
п a+(m—l)d
- l)d]'( =
приводится Магавирой [15, VI, 305—306 ] и Нарайаной [9, стр. 116, стро-
ки 11—16].
157.	Формула суммы кубов членов арифметической прогрессии
£ [a + (A-l)tZ]3 = S2-</ + а(а - d)S,
k'l
где	«S — , 1а + (£ — 1) d],
Л =1
имеется у Магавиры [15, VI, 303], Нарайаны [9, стр. 121, строки 2—3;
стр. 122, строки 1—2].
158.	Более поздние авторы формулировали это утверждение не-
сколько иначе. Так, Нарайана писал: «Когда сумма сторон многоуголь-
ника [за исключением большей] меньше или равна большей стороне, то
это невозможно» [9, стр. 48, строки 8—11].
Евклид в книге I говорит: «...в треугольнике сумма двух сторон
больше третьей».
159.	Санскритский термин «ламба» означает «высота», а «авад-
ха», — «отрезки», на которые основание делится этой высотой. Сущность
правила заключается в следующем. Пусть в трапеции со сторонами
а, в, с, d (черт. 8) высота h делит нижнее основание а на отрезки х, у.
Тогда
Ь2 — х2 = с2 — (а — х — d)\
I I л
х = —а — d —
2 V
у~а—х=
а — d
235
Таким образом, для того
высота, необходимо, чтобы
чтобы существовали отрезки, а значит, и
х > 0, т.
е. (а — d)2 > с2 — Ь2.
Если трапеция равнобедренная, то разность квадратов боковых
сторон с2 Ь2 равна нулю и отрезки равны:
х==-|(а —J), у = у (а -И d).
Для прямоугольника и квадрата высота совпадает с боковой сто*
роной, поэтому один из отрезков равен нулю, другой — всему основа*
нию.
В случае треугольника (черт. 9) имеем
160.	Шридхара перечисляет десять геометрических фигур, которые
он считает основными. Остальные фигуры можно свести к этим десяти
указанным ниже:
1)	равнобедренный треугольник,
2)	равносторонний треугольник,
3)	разносторонний треугольник.
236
4)	квадраь
5)	прямоугольник,
6)	четырехугольник с двумя равными сторонами,
7)	четырехугольник с тремя равными сторонами,
8)	разносторонний четырехугольник,
9)	круг,
10)	сегмент круга.
Нарайана перечисляет те же десять фигур, что и Шридхара, толь-
ко заменяя сегмент круга на луночку.
161.	Здесь Шридхара критикует формулу Брахмагупты для пло-
щади четырехугольника S] и треугольника S2:
q __ а 4- с Ь 4“ d
1 —	2	’	2	’
q __ а b 4- с
г~ i ’ 2 ‘
Шридхара здесь, как и во всем трактате, не упоминает имени Брах-
магупты, но цитирует одну строку из правила, которое подвергает кри-
тике. Эти формулы верны для квадрата и прямоугольника. В остальных
случаях они дают приближенные результаты, причем чем больше боко-
вые стороны будут отличаться от высоты, тем больше ошибка
Формула для определения площади четырехугольника была изве-
стна еще египтянам [3, стр. 27].
162.	Шридхара приводит формулы для площади треугольника и
трапеции:
$тр=4ah'	(9)
5трап = -^Л.
163.	Четырехугольник, о котором идет речь, — квадрат. Коммен-
татор трактата определяет площадь квадрата по двум выражениям:
по формуле площади трапеции и по формуле
5 -= V(p — а) (р — 6)(р —<? j(/? — </),	(10)
где а, Ь, с, d — стороны четырехугольника, р — полупериметр. Послед-
нюю формулу Шридхара излагает в правиле [117].
164.	Четырехугольник, о котором идет речь, — прямоугольник. Его
площадь комментатор трактата находит по формулам, приведенным
нами в двух предыдущих примечаниях.
165.	В задачах 124 и 126 даны лишние условия: если вычислять
площадь по формуле (9), то лишними будут условия о боковых сторо-
нах; если же воспользоваться формулой (10), то лишним будет условие
о высоте. Древний комментатор трактата решает пример по обеим фор-
мулам.
166.	Шридхара показывает, как можно вычислить площадь произ-
вольных фигур, зная площади десяти основных (см. прим. 160). Он рас-
сматривает (черт. 10) бивень слона как треугольник, обод колеса как
прямоугольник. Серп Луны Шридхара принимает за два равных тре-
угольника, приложенных друг к другу основаниями, как указано на
237
чертеже. Фигура, имеющая форму ваджра, изображается двумя равно-
бедренными трапециями, приложенными друг к другу верхними осно-
ваниями, как указано на черт. 11.
Черт. 10.
Обоо
колес 1
В «Тришатике» Шридхара пишет, что барабан состоит из двух сег-
ментов, четырехугольника в середине и двух сегментов с другой сторо-
ны. Пятиугольник и другие многоугольники состоят из треугольников
167	Комментатор трактата иллюстрирует пример рисунком (черт
12). Вычисляя, он находит, что вся площадь равна 12 кара 2.
Черт. 12.
168.	Комментатор трактата иллюстрирует пример рисунком (черт
13) и, вычисляя, находит, что вся площадь равна 35 хаста2.
Черт. 13.
238
169.	Правило для вычисления площади произвольного четыреху-
гольника
5 = V(p — а)(р —— с)(р —d)
имеется у Брахмагупты [5, XII, 21], Магавиры [15, VII, 50].
Брахмагупта не указывал, для каких именно четырехугольников эга
формула справедлива. Однако он применял ее для определения пло-
щадей равнобедренной трапеции и четырехугольников со взаимно пер-
пендикулярными диагоналями, для которых эта формула верна.
Ариабхата II [12, XV, 70] писал: «Математик, который хочет наз-
вать площадь или высоты четырехугольника, не зная диагоналей, или
глуп, или слеп».
Бхаскара II {5, стр. 72, стих 167], Нарайана [9, стр. 39, строки 13—
14] приводят точную формулу, которая верна для любого четырехуголь-
ника:
S = У(р — а) (р — Ь) (р —- с) (р — d) — abed cos2 а ,
где а. — полусумма противоположных углов четырехугольника.
170.	Итак,
уа vат2 _______ V г2 + 9 __ г
т	т	т '
где т — произвольное число, которое берется тем большим, чем с боль-
шей точностью надо извлечь корень из неквадратного числа; q — раз-
ность между ат2 и наибольшим квадратом г2, не превышающим это
число.
Это правило есть у Ариабхаты II [12, XV, 55], Шрипати [18, XIII,
36] и Бхаскары II [5, стр. 60, стих 138].
В «Бахшалийской рукописи» имеется следующая формула для при-
ближенного извлечения корня:
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
№ 1 — 55, 210, 465, 820, 1275, 1830, 2485, 3240, 4095, 5050; 10, 20, 30, 40, 5),
60, 70, 80, 90, 100.
№ 2 — 4995, 4840, 4585, 4230, 3775, 3220, 2565, 1810, 955, 0
№ 3 — 27 216, 33 152, 483 910.
№4—1, 4, 9, 16, 25, 36, 19, 64, 81, 625, 1296, 3969, 186624, 60871204
№ 5 — 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 3375, 16777 216, 8 365 427.
№ 6 — 11, 111.
12	4
239
Л® 9 — 13-.
2
№	10	—	з|, 150^.	
Л®	11	—	2*	1?1. 2	14	
№	12	—	61-, 232—, 1, 4	16’ 4 9	
№	13	—	421? 513?6* 1 t 8 ’	3 64’ 64’ 27'	
Л®	14	—	j 9 51691 20’ 2520’	
№	15	—	1	1	5 16’ 900’ 84'	
Л®	16	—	30.	
Л®	17		517. 60	
№	18		'4	
№	19	—	5A, 5. 48’ 6	
Л®	20	—	12й-	
Ле	21	—	'i 4^	
Л®	22	—	e647 пурана. 3200	
№	23	—	4— 28'	
Л®	24	—	10*1. 12	
Л®	25	—	7 77— пана = 4 пурана	13 пана 2 какини 16 варатака
№	26	—	юИ пала == 10 пала 1 45	5 карта 3 маша 4- гунджа.
Л®	27	—	87— пана. 99	
Л®	28	—	178 2 дрона 1 адхака 2— ии 1	прастха.
л®	29	•—	3® и™-	
л®	30	—	о 8 месяцев 26— дней.	
л®	31	—	33 690 лет.	
л®	32	—	«не». о/<5	
л®	33	—-	1911 дней. 41	
№ 34 — 26~ ожерелий.
№ 35 — 250 суварна.
240
№ № № №	36 — 244 суварна 5 маша 4i 37 — 450 одеял.				гунджа. гунджа.
	38 — 122 суварна 39 — 36.		8 маша 4— 41		
№ № № №	40 — 41 — 42 — 43 —	20—5. 536 2362L. 1Ш. 832 Зв! пана — 4	2	пурана 6 пана 1 какини.	
№ №	44 — 45 —	60 рупа. 337- 4			
№ 46 — 49L.
5 № 47 — 3 дроны 3 прастха 1 _ кудава. № 48 — 2 пала		
№	49 —	25.
№	50 —	64.
№	51 —	200.
№	52 —	Капитал равен 60, прибыль 36.
№	53 —	Капитал равэн Зз1-, прибыль 3.
№	54 —	Капитал равен 500, прибыль 300, вознаграждение поручителю 60, возна- граждение вычислителю 30, вознаграждение переписчику 15.
№	55 —	1371	39 56 — Время равно 2 месяцам 21уу^ дней, прибыль — 9рупа.
№	57 —	58 — Капитал равен 1000, время — 8 месяцам 3 дням, прибыль — 4% в месяц.
№	59 —	Капитал равен 1000, время — 8 месяцам 17 дням, прибыль — ^L% в месяц-
№	60а -	- 20 месяцев.
№ 606 —		1	4 7_. месяцев -- 7 месяцев 4 дня 17 гхати 8— чашака.
№ 61 — 11А варна.
№ 62 — 9~ варна.
№ 63 — 1з11 варна.
16
№ 64 — 16 маша.
№ 65 — 11?- варна.
№66 — 5 маша.
16 Заказ 338
241
№ 67—68
Номера брусков	Проба брусков	Количество золота пробой 16 варна	Количество золота пробой 10 варна
1	15 4	1 21 12	1 12
2	-Iе* ю т—•	112 12	2 12
3	15 4	I 2 12	3 12
4	15	4	4 12
5	со	4	5 12
6	14 4	1_1 12	6 12
7	14 4	4	7 12
8	14	4	8 12
9	13 4-	1 А 12	9 12
10 |	13 4	1 А 12	10 12
11	13 4	1 А 12	11 12
12	13	1	1
13	12 4- 4	11 12	>4
14	12 4	10 12	'4
15	12 4	9 12	4
16	12	8 12	4
17	п А 4	7 12	I JL 12
18	"4	6 12	1 ± 12
19	"4	5 12	1 2_ 12
20	11	4 12	1 А_ 12
21	10 -7 4	3 12	1 А 12
22	10 4	2 12	1 а 12
23	10 4	1 12	1 11 12
24	10	0	2
242
№ 69 — Вес первого шара 2 мчша, проба 12 варна. Вес второго шара 3 маша,
проба 8 варна.
№ 70 — Вес первого шара 5 маша, проба 14 варна. Вес второго шара 7 маша,
проба 10 варна.
№ 71 — 30, 45, 75, 60 прастха соответственно
№ 72 — 900, 600, 200 прастха соответственно
31	17	17
№ 73 — 74 — 1— пана заплатили за 1 — кудава бобов 1. пана заплатили за
<5^	«Зх
49
— кудава риса.
№
14	28	14	7
75— --пала хингу стоят — рупа, — пала длинного перца стоят — рупа,
37	37	37	37
14	2
— пала сухого имбиря стоят — рупа.
№76 — Задача имеет бесчисленное множество решений. Древний комментатор трак-
тата приводит следующие два решения.
Первое решение:
количество товара, купленного на единицу денег, 17, 20;
количество товара, проданного на единицу денег, 6, 7.
Второе решение:
количество товара, купленного на единицу денег, 240;
количество товара, проданного на едишцу денег, 7.
№ 77 — Задача имеет бесчисленное множество решений. Древний комментатор
трактата приводит одно решение:
количество товара, купленного на единицу денег, 40;
количество товара, проданного на единицу денег, 22.
№ 78-79	Птицы	Число	Стои- мость	Число	Стои- мость	Число	Стои- мость
	Голуби 		35	21	55	33	15	9
	Журавли		42	30	21	15	63	45
	Лебеди 		9	7	9	7	9	7
	Павлины .....	14	42	15	45	13	39
	Голуби .	....	20	12	40	24	60	36
	Журавли .	...	49	35	28	20	7	5
	Лебеди 		18	14	18	14	18	14
	Павлины		13	39	14	42	15	45
	Голуби . .	5	3	25	15	45	27
	Журавли		56	40	35	25	14	10
	Лебеди 		27	21	27	21	27	21
	Павлины ...	12	36	13	39	14	42
	Г олуби .	10	6	30	18	15	9
	Журавли	42	30	21	15	28	20
	Лебеди .	...	36	28	36	28	45	35
	Павлины	.	12	36	13	39	12	36
	Голуби ...	35	21	20	12	5	3
	Журавли ....	7	5	14	10	21	15
	Лебеди 		45	35	54	42	63	49
	Павлины . .	13	39	12	36	11	33
	Голуби ...	10	6				
	Журавли . .	7	5				
	Лебеди .	. .	72	56				
	Павлины		11	33				
16*
243
№ 80—
Плоды	Коли- чество	Стои- мость	Коли- чество	Стои- мость	Коли- чество	Стои- мость
Гранаты . 		16	32	17	34	19	38
Манго			60	36	45	27	15	9
Яблоки 		24	12	38	19	66	33
Гранаты 		18	36	15	30		
Манго		30	18	75	45		
Яблоки 		52	26	10	5		
№81 — 82 — 8 Д Дней = 8 дней 214- гхати.
№ 83 — 20 дней. 1
№ 84 — 85 — 4 пана 3 какими.
№ 86 — 87 — Первый зритель заплатит 6 рупа, второй— 14 рупа, третий — 26 рупа.
четвертый — 50 рупа.
№ 88 — Двое, несшие носиши 1 крошу, получат по 3?- рупа, трэе, несшие носил-
3
ки 2 кроша, получат по 7~ рупа, остальные пять, несшие носилки 3 кро»
ша, получат по 14L рупа.
6
№ 89 — 90 Первый получит 12 рупа, второй — 27 рупа, третий — 47 рупа, четвер-
тый— 77 рупа, пятый— 137 рупа.
№ 91 — А часть дня.
17
№ 92 — 4 корзины.
№ 93 — 94 — Первый грузчик перенес груз на 2 кроша, второй — на 3 кроша
№ 95 — 63.
№ 96 — 12 хаста.
№ 97 — 360.
№ 98 — 20 коров.
№ 99 — 36.
№ 100 — 9.
№ 101 — 25.
№ 102 — 54-.
5
№ 103а — 40
№ 1036 — 0.
№ 104 — 105 — 2 пана 2'- какини.
4
№ 106 — 29L рупа.
№ 107 — б|- рупа.
№ 108 — 206 158 430 208 рупа.
№ 109 — 93.
№ 110 — 252 пана.
№ 111 — 15 дней.
№ 112 — Древний комментатор трактата решает пример, полагая, что первый путник
идет с начальной скоростью 1, ускорением 6 и встречает второго путника
первый раз через 10 дней. Тогда вторая встреча произойдет через 8 дней
пэспе первой.
№ 113 — Первый игрок выиграет 48 360.
№ 114 — Второй игрок выиграет 1017.
№ 115 — Второй игрок выиграет 25.
244
№ 116а — 165.
№ 1166 — 55.
№ 117а — 3025.
№ 1176 — 220.
№ 118 - 588.
№ 119 — 699.
№ 120 — 986.
№ 121 — 2 28.
№ 122 — 21. хаста 2.
4
№ 123 — 1б1- кара 2.
№ 124 — б! хаста 2.
4
№ 125 — 31Д кара2.
144
№ 126 — 12 хаста 2.
№ 127 — 16 кара 2.
№ 128 — 768.
№ 129 — 130 — 46— хаста2.
3456
№ 131а — 3 хаста 2.
№ 1316 — 30 хаста 2.
№ 132 — 12 кара 2.
№ 133 — 35 хаста
ЛИТЕРАТУРА
1.	Ф. Кэджори, История элементарной математики, перев. с англ, под ред.
с прим, и прибавлениями И. К). Тимченко, Одесса, 1917.
2.	И. Тропфке, История элементарной математики в систематическом из-
ложении, т. 1. Арифметика и алгебра, ч. 1. Арифметика, М., 1914.
3.	Г. Г. Цейтен, История математики в древности и в средние века, перев.
П. С. Юшкевича, изд. 2, подготовлено А. П. Юшкевичем, М.—Л., 1938.
4.	А. П. Юшкевич, История математики в средние века, М., 1961.
5.	«Algebra with arithmetics and mensuration from the Sanscrit of Brahmegupta
and Bhascara», transl. by H. T. Collbrooke, London, 1817.
6.	M. Cantor, Vorlesungen liber die Geschichte der Mathematik, Bd 1—2,
Aufl, 3, Leipzig, 1907.
7.	W. E. Clark, The Aryabhatiya of Aryabhata. An ancient Indian work on
mathematics and astronomic, transl, with notes, Chicago, 1930.
8.	B. Datta, A. N. Singh, History of Hindu mathematics, vol. 1—2, Bombay,
1962.
9.	«The Ganita-kaumudi by Narayana», ed. by Padmakara Dvivedi Jyautishacha-
rya, pt. 1, Benares, 1936.
10.	«The Ganita-tilaka by Sripati», ed. with commentary of SIrhhatilaka
Suri by H. R. Karadia, Baroda, 1935.
11.	G. R. Kaye, The Bakhshali manuscript. A study in medieval mathematics,
Calcutta, 1927—1933.
12.	«The Maha — siddhanta by Aryabhata II», ed. with explanatory notes by Sud-
hakara Dvivedi, Benares, 1910.
13.	«The Patiganita of bridharacarya with an ancient Sanskrit commentary», ed.
with introduction, notes and English transl. by K. S. Shukla, Lucknow. 1959.
14.	N. Ramanujacarya, G. R. Kaye, The Trisatikd of Srldhardcdrya,— «Biblio-
theca mathematlca», 1912—1913, 3, Folge, Bb 13.
15.	M. Rangacarya, Th? G laita-Sdra-Sangraha of Mahavir de dr ya, with
English transl. and notes, Madras, 1912.
16.	G. Sarton, Introduction to the history of science, vol. 1—3. Baltimore,
1927—1947.
17.	K. S. Shukla, On Sridhara's rational solution of Nx'-\-I=y2,— «Ganita»,
1950, vol. 1, № 2, December.
18.	«The Siddhanta-sekhara by Sripati», ed. by Babua Misra, vol. 1, Calcutta,
1932.
245
19.	D. E. Smith, History of mathematics, vol. 1—2, Boston — London, 1930.
23.	I. Taylor, Lilavati or a theatise on arithmetic and geometry, Bombay, 1816.
21.	«The Trisatika by Sridhara», ed. by Sudhakara Dvivedi, Benares, 1899.
22.	«The Mah3-Bh3skariya by Bhaskara 1», ed. and transl. into English with
notes and comment, by K. S. Shukla, Lucknow, 1960.
23.	«The Brah.na-Sph.ita-Siddhanta by Brahmagupta>, ed. with explanatory no-
tes by Sudhakara Dvivedi, Benares, 1902.
24.	«Die Practica des Algorismus Ratisbonensis. ELi Rechenbuch des Benediktiner-
klosters St. Emmeram aus der Mitte des 15 Jahrhunderts», herausgegeben und erlautert
von K. Vogel, Munchen, 1954.
Т. И. Кары-Ниязов
УЛУГБЕК И САВАЙ ДЖАЙ СИНГХ
Многочисленные факты, различные памятники материальной куль-
туры, археологические находки дают нам свидетельства не только о вы-
соком для своего времени уровне умственной жизни народов Средней
Азии и Индии, но и об их взаимных культурных связях. Эти связи, ухо-
дящие своими корнями в глубокое прошлое, обогащая друг друга, ока-
зывали не только взаимное благотворное влияние на развитие научной
мысли среднеазиатских и индийских народов, но и на развитие мировой
науки.
От верховьев Аму-Дарьи до Северной Индии обнаружено много па-
мятников архитектуры и скульптуры времен Кушанского царства, за-
нимавшего в начале новой эры обширную территорию от Согда до Верх-
него Инда и от Памира до Парфии. Многие из этих памятников най-
дены на территории Гандхары. Характерно, чго в формировании ганд-
харского искусства важную роль сыграли художественные традиции
народов Северной Индии и Средней Азии, ибо это искусство возникло
во время проникновения в Северную Индию среднеазиатских племен
[1, стр. 102—112].
В правление Канишки, считавшегося покровителем буддийских ре-
лигиозных учреждений, буддизм получает большое распространение в
Средней Азии. В это время в Бактре был построен большой буддийский
храм. Вообще, на территории Средней Азии обнаружено значительное
количество памятников, связанных с буддизмом. Например, в 1927 г.
экспедиция Музея восточных культур и Среднеазиатского комитета по
охране памятников старины и искусства (Средазкомстариса) открыла в
древнем Термезе два крупных древних буддийских святилища, а по сло-
вам китайского путешественника Сюан Цзяна (VII в.), он видел там бо-
лее десяти буддийских монастырей, много статуй и других изображений
Будды. Религиозные буддийские сооружения имелись в Самарканде и
других местах.
Одним из ярких примеров культурной связи между народами рас-
сматриваемых стран служит деятельность нашего соотечественника, зна-
менитого хорезмийского ученого ал-Бируни. Как известно, ал-Бируни
долгое время жил в Индии, изучил санскрит и разговорные языки, а
также быт, культуру и верования народов Индии. Его энциклопедиче-
ский труд, общеизвестный под сокращенным названием «Индия», явля-
ется прекрасным и незаменимым первоисточником по истории этого го-
сударства. Предложенный ал-Бируни оригинальный метод определения
247
размеров земного шара — результат его непосредственных астрономи-
ческих измерений, произведенных им с вершины одной из гор в Индии.
Культурные связи между народами Средней Азии и Индии начали
развиваться еще более интенсивно при Улугбеке, а затем Бабуре, осно-
вателе династии Великих Моголов. На фоне этих связей в период XV—
XVIII вв. особого внимания заслуживает деятельность двух ученых:
Улугбека (1394—1449) в Средней Азии и Савай Джай Сингха (1686—
1743) в Индии. Первый из них был правителем Мавераннахра (Между-
речья) в Средней Азии, а второй правителем Раджастана (Раджпутана)
в Индии. Но замечательно то, что оба они были астрономами и мате-
матиками; Савай Джай Сингх, кроме того, был еще и архитектором
(градостроителем), а в области астрономии — преемником научных тра-
диций Улугбека.
Шахрух, отец Улугбека, оставил по себе память страстного люби-
теля книг, особенно редких. Собирая книги и приобретая за любую
пену уникальные рукописи со всех концов мира, он создал богатейшую
библиотеку. Эта библиотека способствовала расширению умственного
кругозора Улугбека, получившего прекрасное по тем временам образо-
вание.
Улугбек был знаком с классическими трудами Платона, Аристоте-
ля, Гиппарха, Птолемея, прекрасно знал труды своих соотечественни-
ков: ал-Хорезми, ал-Фергани, ал-Фараби, ал-Бируни, Абу Али ибн
Сины и др.
В отличие от прочих тимуридов Улугбек не увлекался походами.
Да и те походы, которые осуществлялись при его жизни, были, во-пер-
вых, весьма непродолжительными и, во-вторых, носили совершенно
иной характер: за редким исключением они предпринимались в случае
крайней необходимости, против надвигавшейся опасности. Такая опас-
ность, например, грозила со стороны моголов в начале 1425 г., когда
Улугбек вынужден был предпринять поход.
Последний раз в 1427 г. ему пришлось выступить против царевича
Бурака, который предъявлял несправедливые претензии на земли по бе-
регам Сыр-Дарьи. После этого «в течение следующих двадцати лет он
лично не совершил никаких походов» [2, стр 113] даже и тогда, когда
со стороны Сыр-Дарьи или Моголистана совершались набеги на гра-
ницы его владений. Характерно, что продолжительность и тех немногих
походов, которые совершались при Улугбеке, в совокупности составляет
не более двух-трех лет. Таким образом, все остальное время Улугбек
целиком занимался наукой.
По свидетельству источников, Улугбек обладал феноменальной па-
мятью. В качестве примера позволим себе напомнить один общеизвест-
ных эпизод. Улугбек был страстным охотником и вел список убитой им
дичи. Однажды этот список был потерян, и Улугбек восстановил его по
памяти. Впоследствии, когда пропавший список был найден, оказалось,
что допущенное им разногласие между старыми и новыми записями
оказалось только в четырех или пяти местах [3, стр. 139].
Улугбек принимал активное участие в литературных и научных ди-
спутах. Он обнаруживал отличные познания и в таких областях, как
арабский язык, литература, история, музыка. Этот человек поражал
своих собеседников железной логикой, о чем, например, свидетельствует
следующий случай. Однажды такой искусный проповедник, как Сейид
Ашик, во время проповеди, произнесенной в Самарканде, в резких вы-
ражениях сделал наставление Улугбеку. Тогда он спросил у проповед-
ника: «Скажите, Сейид, кто хуже — я или фараон?». Сейид отвечал:
«Фараон хуже». Улугбек задал еще один вопрос: «Теперь скажите, кто
248
лучше — Моисей или Вы?» Сейид отвечал: «Моисей лучше». После это-
го Улугбек обратился к нему со следующими словами: «Если господь
приказал Моисею не говорить с фараоном в грубых выражениях и да-
же [сказал] „скажи ему мягко”, почему же вы. который хуже Моисея,
говорите мне, который лучше фараона, таким грубым образом?» Сейид
не нашелся, что ответить, и вынужден был замолчать [3, стр. 191].
В отличие от подавляющего большинства правителей Улугбек про-
славился не как государственный деятель, а как ученый. Более того,
увлечение наукой в известной мере отрицательно сказывалось на его
государственной деятельности. Направление ученой деятельности Улуг-
бека шло вразрез с омертвевшими догмами ислама и не способствовало
его авторитету как правителя. Реакционное духовенство всячески стре-
милось дискредитировать Улугбека в глазах народа, обвиняло его в
ереси.
«В мусульманском мире до Улугбека не было ученых на престоле;
в этом отношении мусульманские авторы могли сравнивать Улугбека
только с царственным учеником Аристотеля» [2, стр. 134].
Такой глубокий мыслитель, как Навои, весьма метко характеризу-
ет научную деятельность Улугбека, выделяя его даже из числа прави-
телей-меценатов: «Все сородичи Улугбека, — заметил Навои, — ушли в
небытие. Кто о них вспоминает в наше время? Но Улугбек протянул
руку к наукам и добился многого». И в самом деле, кто, например, в
наше время вспоминает его отца Шахруха или деда Тимура? Аналогич-
но быстро предавались забвению и те правители, которым посвящались
произведения тех или иных ученых.
По свидетельству Давлет-шаха, Улугбек «достиг высокой степени
учености и глубоко проник в суть {вещей]. Уровень ученых в его вре-
мя находился на большей высоте, и достойные занимали при нем важ-
ное положение. В геометрии он был подобен Евклиду, а в астрономии —
Птолемею. По единодушному мнению превосходных и мудрых, при ис-
ламе и даже раньше, со времен [Александра] Двурогого по сие время,
на престоле власти не было падишаха-ученого, подобного Улугбеку Гур-
гану» [4, стр. 302].
Заслуживает внимания то, что «во-первых, Давлет-шах писал в
1487 г., т. е. почти через 40 лет после смерти Улугбека, в то время, ког-
да власть в Самарканде принадлежала его политическим противникам.
Во-вторых, весь текст об Улугбеке как ученом состоит из точных фак-
тов, подтвержденных другими историческими источниками» [4, стр. 303].
Одним из замечательных и важнейших достижений Улугбека и его
школы в области математики является определение дуги одного граду-
са, приведшего к алгебраическому уравнению третьей степени вида
х3 + ах + b = 0,
для решения которого предложен оригинальный метод последователь-
ных приближений (см. [5, стр. 144—156]).
Прекрасный знаток школы Улугбека комментатор «Зидж-и Гурга-
ни» астроном Бирджанди свидетельствует о том, что один из способов
решения рассматриваемой задачи принадлежит Джемшиду, а другой —
«султану-мученику», т. е. Улугбеку.
В своих «Комментариях к Зидж-и Гургани» Бирджанди пишет:
«Поскольку стал известен приближенный способ определения синуса од-
ного градуса, я ниже приведу также доказательство способа определе-
ния этого. Имеются два способа этого: один — тот, который разработал
султан геометров Гияс-ад-Дин Джемшид ал-Каши, а другой — тот, ко-
249
юрый изложен автором (зиджа. — Т. К.-Н.)—святым султаном-муче-
ником Улугбеком, да будет свет над его могилой» [6, л. 77а]1.
Основав медресе, а затем и обсерваторию, Улугбек лично подбирал
кадры, предварительно беседуя с ними и убеждаясь в достаточности их
научной квалификации. Например, когда постройка медресе «прибли-
жалась к концу, присутствовавшие при сооружении здания спросили
Улугбека, кто будет назначен мударрисом? Улугбек ответил, что он по-
дыщет человека, сведущего во всех науках. Эти слова услышал мауля-
на Мухаммед, сидевший тут же в грязной одежде среди куч кирпича,
и тотчас заявил о своем праве на эту должность. Улугбек стал его рас-
спрашивать и, убедившись в познаниях Мухаммеда, велел отвести его в
баню и надеть на него хорошую одежду. В день открытия медресе мау-
ляна Мухаммед прочитал лекцию в качестве мударриса. На церемонии
открытия присутствовали 90 ученых, но никто из них не мог понять лек-
цию, кроме Улугбека и Казы-заде Руми» [2, стр. 126].
Улугбеку как главе научной школы не раз приходилось выступать
на диспутах, посвященных вопросам астрономии, отвечать на сложные
вопросы. Например, Седийо приводит один из таких случаев, зафикси-
рованный в рукописи, автором которой является астроном Самарканд-
ской обсерватории комментатор «Зидж-и Гургани» Мирим Челеби.
В этой рукописи говорится: «Наш Мулла Гияс-ад-Дин Джемшид спро-
сил на собрании нескольких султанов или чиновников князя автора
этих таблиц, почему в трактатах по астрономии сказано, что в апогее
и перигее никакого уравнения нет, тогда как мы находим определение
его в таблицах? Его величество ответил: „В мои намерения не входит
установить в таблицах уравнение для этих двух точек". Ответ, данный
Гияс-ад-дину Джемшиду, очевидно, правилен, после того что мы изло-
жили в наших комментариях». (7, стр. 141].
Этот документ позволяет нам сделать ряд важных выводов, а имен-
но: во-первых, в нем говорится об Улугбеке как об «авторе этих таблиц»;
во-вторых, такой крупный астроном и математик, как Гияс-ад-Дин
Джемшид ал-Каши обращается к Улугбеку с научным вопросом и полу-
чает на него исчерпывающий ответ. Все это характеризует Улугбека как
главу школы.
Астрономической школе Улугбека посвящена книга [5] автора этих
строк. Поэтому в данной статье мы остановимся лишь на некоторых во-
просах в связи с рассматриваемой темой.
Одним из важнейших достижений Самаркандской обсерватории
Улугбека является его каталог звезд. Почти на протяжении пяти веков
его изучали ученые и Востока, и Европы, и Америки. Характерно то, что
все исследователи всегда приходили к выводу о том, что каталог звезд
Улугбека составлен главным образом в результате непосредственных
наблюдений и что в этом-то и заключается его исключительная цен-
ность.
Каталог звезд Улугбека (вместе с другими астрономическими таб-
лицами) был широко распространен на Востоке в виде рукописей. Су-
ществует большая литература, посвященная Улугбеку, особенно на язы-
ках народов Востока.
1 Приводим транскрипцию таджикского текста Бирджанди: «Ч}Н тарика-йи исти-
хродж-и джайб-и як дарапжа би-такриб маълум шуд, тарик-и истихродж-и он бурхон
низ ирод кунам. Ва он ду тарик аст: яки он ки султон ал-мухандисин Гиёс-ад-дин
Джамшид ал-Коши истихродж карда, ва дигар он ки султон саъид шахид аз Улугбек hvp
маркадухи мусанниф-и баён фармуда» Мы указывали на это в докладе нарагширен-
ном пленуме Комиссии по истории астрономии Астросовета АН СССР в Баку 30 мая
1962 г.
250
Каталог звезд Самаркандской обсерватории Улугбека был опуб-
ликован Т. Хайдом в 1665 г. в Оксфорде [8], а затем издавался и изучал-
ся неоднократно. Например, в предисловии к астрономическим табли-
цам «Зидж-и Шах Джахани» индийский астроном Абу-Мулла Фарид
Дехлеви. перечисляя все предшествовавшие астрономические таблицы,
пишет, что «из всех астрономических таблиц в настоящее время наибо-
лее почитаемыми и точными являются самаркандские астрономические
таблицы» (см. [9]).
Примерно в этом же духе высказывается и Лаплас, который, счи-
тая Улугбека «величайшим наблюдателем», пишет: «Он [Улугбек] со-
ставил сам в Самарканде, столице своих владений, новый каталог звезд
и астрономические таблицы, лучшие из тех, которые существовали до
Тихо Браге» [10, стр. 69].
Бигурдаи, изучавший каталог звезд Улугбека спустя полвека после
Лапласа, приходит к выводу о том, что «эта работа была действитель-
но оригинальной; между тем, все те, которые мы встречали до сих пор,
были извлечены из Птолемея, по крайней мере в отношении координат»
[II, стр. 313].
Как показали тщательные исследования Петерса и Нобла, из 1018
звезд, помещенных в звездном каталоге Улугбека, фактические наблю-
дения в Самаркандской обсерватории были произведены над долгота-
ми около 900 звезд, над широтами 878 звезд, определены эклиптические
долготы и широты 700 звезд. И только положения остальных определе-
ны приведением к эпохе Улугбека по каталогу Ибн Суфи, т. е., в конеч-
ном счете, по Птолемею. Вот почему Петерс и Нобл подчеркивают, что
«звездный каталог Улугбека, будучи выполнен главным образом на ос-
новании собственных наблюдений, представляет исключительный инте-
рес» [12].
Знаменательно, что после Гиппарха, в сущности, вторым астроно-
мом, составившим фундаментальный каталог звезд, был Улугбек. Этот
каталог «имеет гораздо большую ценность, ибо он основан на положе-
ниях звезд, действительно определенных в Самаркандской обсерватории.
Он представляет по существу второй серьезный каталог за 16 столетий.
Только два астронома поняли до XV в. важность звездных каталогов--
Гиппарх и Улугбек» [13, стр. 230].
Таким образом, все, без единого исключения, исследователи, изу-
чавшие каталог звезд Улугбека, независимо друг от друга, приходят к
одному и тому же весьма важному и бесспорному выводу: этот каталог
является главным образом продуктом непосредственных наблюдений
Самаокандской обсерватории и в этом — его исключительная ценность.
Однако считаю своим долгом предостеречь читателя от глубоко
ошибочного утверждения, будто каталог звезд Улугбека «не является
продуктом наблюдений Самаркандской обсерватории», с которым вы-
ступил Г. Джалалов [14]. Для «обоснования» этого неверного положе-
ния Г. Джалалов приводит следующую цитату из комментария Бирд-
жанди: «То, что дано в этом зидже (т. е. «Зидж Гурагони». — Г. Д.) схо-
дится с данными Ибн Суфи» [14, стр. 97]. Таким образом, выходит, что
данные, касающиеся всех звезд, помещенных в каталоге Улугбека, схо-
дятся с данными Ибн Суфи, и, следовательно, мол, они «не являются
продуктом наблюдений Самаркандской обсерватории» [14, стр. 97].
Однако приведенная цитата является лишь частью предложения,
которое прервано на самом важном месте, имеющем решающее значе-
ние в данном вопросе. Вот как гласит предложение Бирджанди полно-
стью: «То, что дано в этом зидже, сходится с данными Ибн Суфи в от-
ношении 48 звезд» [6, л. 326а] и дальше идет перечисление этих 48 звезд.
251
Но о них упоминает и сам Улугбек. «Абдурахман Суфи,— пишет
он, — составил „Трактат о звездах". который был встречен с радостью
всеми учеными. Прежде чем определить места звезд по нашим собствен-
ным наблюдениям, мы расположили их, согласно этому трактату, на
сфере, и мы нашли, что большинство из них расположено не так, как
это следует при обозрении неба. Это заставило нас самих заняться их
наблюдениями... Мы вновь произвели наблюдения над уже определен-
ными звездами, за исключением двадцати семи из них, которые не
видны на широте Самарканда... эти двадцать семь звезд мы взяли из
книги Абдурахмана Суфи с учетом разниц в эпохах. Кроме того, Абду-
рахман Суфи упоминает еще о восьми звездах, места которых были ука-
заны Птолемеем, но которые он сам, Абдурахман, не наблюдал. Эти
звезды, несмотря на все наши тщательные поиски, нами не были обна-
ружены; поэтому мы не указываем эти звезды в нашем каталоге. Од-
нако этими звездами Птолемея являются четырнадцатая звезда Возни-
цы, одиннадцатая — Волка и шесть вне Южной Рыбы» [15, л. 1176].
Таким образом, здесь, т. е. в «Зидж-и Гургани» Улугбека, речь идет
как раз только о тех звездах, которые перечислены у Бирджанди вслед
за приведенной им фразой. А между тем вследствие неаккуратного
цитирования слова Бирджанди оказались распространенными на весь
каталог Улугбека, насчитывающий 1018 звезд. У Ибн Суфи Утугбек
заимствовал только величины звезд [5, стр. 280].
Несмотря на это, стремясь подкрепить свое неверное утверждение о
каталоге звезд Улугбека, Г. Джалалов идет еще дальше; он пишет, что
«глава IV „Зидж Эльхани"» отведена определению долготы и широты
звезд. По данному вопросу Бирджанди (умер в 1506 г.) в главе XIII
раздела III, посвященной определению положения звезд, говопит так:
«То, что получено в этой обсерватории (Самапкандской. — Г. Д.), схо-
дится с данными в „Зидж Эльхани"» [14, стр. 96].
В данном случае применен другой прием цитирования. Во-первых, в
этом случае не приводится ни начало ни конец предложения. Во-вторых,
так как из этой цитаты не видно, что собственно «сходится», то полу-
чается, что речь идет о координатах звезд, ибо, как пишет Г. Джалалов,
«глава IV „Зидж Эльхани" отведена определению долготы и широты
звезд» [14, стр. 96]. Однако проверка цитаты показала, что речь идет не
о координатах звезд, а о поепессии!
Но и это не остановило Г. Джалалова! Вслед за привеченной ци-
татой он пишет, что «правильность такого утверждения Бирджанди
окончательно выясняется сличением каталогов звезд Мапагской и Са-
маркандской обсерваторий» [14, стр. 96]. При этом Г. Джалалов для
сличения принимает «Зидж-и мухаккак Султани» за «Зидж-и Эльхани»
Правомерность такой подмены он мотивирует тем, что «Зидж-и мухак-
как Султани» составлен на основе работ Мапагинской обсерватории. Та-
ким образом, здесь речь идет о сличении «Зидж-и Гургани» с «Зидж-и
мухаккак Султани». Но проведенная нами проверка показала, что в
последнем зидже нет каталога звезд!
Чтобы окончательно выяснить истинное положение вещей, остается
проверить подлинный «Зидж-и Эльхани». Однако, как показал Г. Д. Ма-
медбейли, специально изучавший научное наследие Насирэддина Туси,
«в „Зидж Эльхани" нет звездного каталога» [16, стр. 233], а имеется
лишь «особая таблица, в которой указаны эклиптические координаты
некоторых звезд» [16, стр. 233]. Таким образом, ни в «Зидж-и мухаккак
Султани», ни в «Зидж-и Эльхани», с которыми Г. Джалалов «сличает»
«Зидж-и Гургани» Улугбека, нет каталога звезд!
Неверно утверждение Г. Джалалова и о том, будто «текст „Зидж
252
Гурагони44 без таблиц был первоначально составлен самаркандским
ученым Джемшидом Чусти на арабском языке и называется „Тариб
Зиджа Султана44» [14, стр. 97]. Дело обстоит как раз наоборот, о чем
имеется точное указание в конце самой рукописи [17], где речь идет о
«трактате ученого султана Улугбека», арабизированном (т. е. переве-
денном с таджикского языка на арабский) Джемшидом.
В упомянутой статье Г. Джалалова содержится немало и других
ошибок2. Полагаю, что после всего сказанного нет смысла тратить вре-
мя на их рассмотрение.
Труды Самаркандской обсерватории и особенно рассмотренный на-
ми каталог звезд Улугбека по праву пользуются заслуженной мировой
славой. По своим грандиозным масштабам, по оригинальности конструк-
ции, а также по результатам наблюдений обсерватория Улугбека яви-
лась последним словом дотелескопической астрономии.
Великим трудом Улугбека и его школы заканчивается период так
называемой мусульманской астрономии. Но и после длительного застоя
науки на Востоке здесь наблюдались как бы отдельные ее вспышки.
В этой связи заслуживает внимания попытка возрождения научных тра-
диций Самаркандской обсерватории в Индии спустя триста лет после
трагической гибели ее основателя Улугбека, заслуженно прозванного и
великим, и мучеником.
Упомянутый правитель Раджпутана (Раджастана) Савай Джай
Сингх, касаясь истории сооружения астрономической обсерватории в
Шах-Джахан-Абаде (Дели), писал: «И хотя это дело было огромной
важности и прошло много времени, пока кто-либо из могущественных
раджей не сделался достойным его окружения, в мире ислама со вре-
мени покойного султана-мученика Мирзы Улугбека до настоящего вре-
мени на протяжении более чем трехсот лет никто из высокославных сул-
танов, именитых и высокопоставленных людей на такое дело не обра-
щал должного внимания» [18, л. 2а]. Переходя далее к рассмотрению
инструментов обсерватории, Савай Джай Сингх продолжает: «Препоя-
савшись поясом душевной энергии, здесь также устроили по мусуль-
манским книгам несколько астрономических приборов, подобных тем,
которые когда-то были сделаны в Самарканде» [18, л. 2а] (следует пере-
числение этих приборов).
В начале XV11I столетия, кроме обсерватории в Дели, Савай Джай
Сингх соорудил еще четыре: в Бенаресе, Джайпуре, Матхуре, Уджайне,
где также производились наблюдения. Больше того, Савай Джай Сингх,
не ограничиваясь этими наблюдениями, посылал наблюдателей и в дру-
гие районы и страны (например, на отдаленные острова, в частности,
расположенные на южной широте 4° 12', и т. д.).
После семилетней работы Савай Джай Сингх завершил свой труд и
обнародовал соответствующие таблицы. «Когда после завершения это-
го дела прошло семь лет, — пишет Савай Джай Сингх, — разнесся слух,
что близко к этому времени в Европе тоже устроили астрономические
инструменты и тамошние великие люди и их ученые проявляют к этому
удивительному делу живейший интерес, что астрономическая обсерва-
тория продолжает функционировать и [что европейские ученые] пребы-
вают в постоянном исследовании [всех] тонкостей {астрономической]
науки. На этом основании отсюда послали в ту страну достойных дове-
рия ученых специалистов в этой науке в сопровождении Манучехра
Эмиля Падре. Когда [последний со своими спутниками] попросил вме-
2 О них мы говорили на расширенном пленуме Комиссии по истории астрономии
Астросовета АН СССР в Баку.
253
сте с прежними астрономическими таблицами той страны тамошние но-
вые астрономические таблицы, называвшиеся „Либер“ и за прошедшие
30 лет расположенные по новому порядку, и подверг их рассмотрению,
то, когда были произведены по ним астрономические наблюдения,
в таблицах лунных фаз оказалась разница на полградуса, хотя в таб-
лицах других светил такой разницы не было» [18, л. 26].
Сопоставление таблиц Савай Джай Сингха с таблицами Улугбека
свидетельствует об огромном влиянии Самаркандской астрономической
школы (см. [5, стр. 307]).
Джавахарлал Неру после характеристики Савай Джай Сингха
как правителя особо подчеркивает его заслуги как ученого
«Но меня интересуют, — пишет Неру, — не его политические и воен-
ные успехи. Будучи храбрым воином и превосходным дипломатом, он
представлял собой и нечто значительно большее. Он был математиком
и астрономом, ученым и градостроителем и проявлял интерес к изуче-
нию истории» [19, стр. 299].
Таким образом, Савай Джай Сингх, подобно Улугбеку, государст-
венную деятельность сочетал с научными исследованиями, чем и отли-
чался от многих других правителей в Индии3.
«Тот факт, что он (Джай Сингх. — Т. К.-Н.) появился и действовал
как ученый в типично феодальном окружении Раджпутана, в один из
самых мрачных периодов индийской истории, в период упадка, войн и
смуты, весьма показателен. Это говорит о том, что дух научного иссле-
дования не был мертв в Индии и что там действовали скрытые силы,
которые могли бы принести богатые плоды, если бы им дали возмож-
ность созреть. Джай Сингх не был представителем старины или одино-
ким мыслителем во враждебном и неспособном понять его окружении.
Он был человеком своего времени, привлекшим к своим работам многих
ученых» [19, стр. 300].
Очевидно, все то, что сказано здесь, за исключением общей харак-
теристики периода как «одного из самых мрачных периодов индийской
истории», в полной мере относится и к основателю Самаркандской аст-
рономической школы великому Улугбеку.
ЛИТЕРАТУРА
1.	С. П. Толстов, Древний Хорезм, М., 1948.
2.	В. В. Бартольд, Улугбек и его время, — Сочинения, т. II, ч. 2, М., 1964.
3.	Абу-Тахир Ходжа, Самария, Описание древностей и мусульманских святынь
Самарканда, перев. В. JL Вяткина, Справочная книжка Самаркандсксй обл., вып. VI,
1899, стр. 191.
4.	О. Д. Чехович, Из источников по истории Самарканда XV в., — в сб.:
«Из источников эпохи Улугбека», Ташкент, 1965.
5.	Т. Н. Кары-Ниязов, Астрономическая школа Улугбека, М.— Л., 1950.
6.	Бирджанди, Шарх-и зидж-и Гургани, рукопись № 458 ИВ АН УзССР.
7.	L. A. Sedillot, Prolegomenes des Tables astronomiques d'Oloug-Beg, Pa-
ris, 1853.
8.	«Tabulae longltudlnls et latitudinis stellarum fixarum ex observatione Ulugh-
Beigi», Oxonlae, 163j>.
9.	Зидж-и Шах джахани, рукопись № 4225 ИВ АН УзССР.
10.	Р. S. Laplace, Pr£cis de I'Histoire de Tastronomie, Paris, 1865.
11.	G. Bigourdan, L*Astronomic, laris, 1911.
12.	С. H. F. Peters, E. B. Knobel, Llugh-beg's Catalogue of stars, Washington,
1917.
3 Исключение из них составляет основатель династии Великих Моголов Бабур,
который успешно занимался творческой деятельностью. Им написаны, например, трак-
таты по музыке, поэтике, военному делу
254
13.	F. Bqnet, Hlstolre de Г astronomic, Paris, 1925.
14.	Г. Джалялов, Отличие *3идж Гурагони» от других подобных зиджей,—
«Историко-астрономические исследования», 1955, вып. 1, стр. 85—100.
15.	Улугбек, Зидж-и Гургани, рукопись № 22.4 ИВ АН УзССР.
16.	Г. Д. Мамедбейли, Основатель Марагинской обсерватории Насирэддин
Туси, Баку, 1961.
17.	Каши, Та'риб зидж-и Султани, рукопись № 2123 ИВ АН УзССР.
18.	Савай-Джай-Сингх, Зидж-и Мухаммед-шахи, рукопись №441 ИВАН УзССР.
19.	Дж. Неру, Открытие Индии, М., 1955.
Б. А. Розенфельд
АРАБСКИЕ И ПЕРСИДСКИЕ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
РУКОПИСИ В БИБЛИОТЕКАХ СОВЕТСКОГО СОЮЗА
Ниже приводится список арабских и персидских физико-математи-
ческих рукописей в библиотеках Советского Союза, сведения о которых
удалось получить. Нами обследовались 15 библиотек.
1.	Государственная библиотека СССР им. Ленина (ГБЛ) в Москве.
2.	Государственная публичная библиотека им. Салтыкова-Щедрина
(ГПБ) в Ленинграде. Рукописи описаны в каталогах: [1] (основное соб-
рание восточных рукописей), [2] (собрание Ханыкова, поступившее ог
Н. В. Ханыкова в 1864 г.), [3] («собрание Фирковича») и в статье
М. И. Демидовой и Г. И. Костыговой [4, стр. 156—171].
3.	Библиотека Ленинградского отделения Института народов Азии
(ИНА). Рукописи описаны в каталогах [5] («коллекция Руссо», куплен-
ная Азиатским музеем у Ж. Л. Руссо в 1822 г.), [6] («Бухарская коллек-
ция», собранная В. А. Ивановым в 1915 г.), [7] («Ванская коллекция»,
поступившая с Кавказского фронта в 1916 г.), [8] (коллекция бывшего
Учебного отделения Министерства иностранных дел, поступившая в
1919 г.), [9] (персидские рукописи), [10] (еврейские рукописи). Много-
численные сообщения о более мелких поступлениях в Азиатский му-
зей — Институт востоковедения — Институт народов Азии указаны в
[4, стр. 39—41], а также в статьях А. Б. Халидова [4, стр. 33—37] (араб-
ские рукописи), Ю. Е. Борщевского [4, стр. 37—39] (персидские рукопи-
си) и В. И. Беляева [11] (арабские рукописи).
4.	Библиотека Ленинградского государственного университета
им. Жданова (ЛГУ). Рукописи описаны в каталогах [12] («Казанская
коллекция», поступившая в 1855 г из Казанского университета), [13],
[14], а также в статьях А. Т. Абрамова (4, стр. 218—221], В. И. Беляева
и И. Г. Булгакова [15].
5.	Библиотека Казанского государственного университета им. Улья-
нова-Ленина (КГУ). Рукописи описаны в статьях А. Г. Каримуллина [4,
стр. 228—236] и [16].
6.	Библиотека Института востоковедения Академии наук Узбекской
ССР (ИВ) в Ташкенте. Рукописи описаны в каталоге [17] и в статье
Г. П. Матвиевской [18].
7.	Библиотека Ташкентского государственного университета им. Ле-
нина (ТГУ). Рукописи описаны в каталоге [19].
8.	Матенадаран — Институт древних рукописей им. Месропа Маш-
гоца при Совете Министров Армянской ССР (ИДР) в Ереване.
9.	Институт рукописей им. Кекелидзе Академии наук Грузин-
ской ССР (ИР) в Тбилиси. Рукописи кратко описаны в статье Г. В. Аб-
гаряна [4, стр. 127—142].
256
10.	Республиканский рукописный фонд Академии наук Азербайд-
жанской ССР (РРФ) в Баку.
11.	Библиотека Азербайджанского государственного университета
им Кирова (АГУ) в Баку.
12.	Библиотека Академии наук Таджикской ССР (БАН) в Душанбе.
13.	Библиотека Института языка и литературы Академии наук
Таджикской ССР (ИЯЛ) в Душанбе.
14.	Государственная библиотека им. Фирдауси (ГБФ) в Душанбе.
15.	Библиотека Института языка и литературы Академии наук Турк-
менской ССР (ИЯЛ) в Ашхабаде.
Выражаю глубокую благодарность О. Ф. Акимушкину, Ю. Е. Бор-
щевскому, А. М. Газову-Гинзбергу, Г. И. Костыговой, В. В. Лебедеву,
А. Б. Халидову и I. А Шумовскому (Ленинград), Б. Л. Лаптеву,
А. С. Фатхиеву и М. Н. Идиатуллину (Казань), Д. Г. Вороновскому.
Г. П. Матвиевской и М. А. Сабирову (Ташкент), Л. С. Хачикяну и
А. Д. Папазяну (Ереван), И. В. Абуладзе и Р. Гварамия (Тбилиси),
С. М. Рустамову и Ф. С, Сейидову (Баку), Г. С. Собирову и М. С. Ша-
риповой (Душанбе) и Б. Ахундову (Ашхабад) за сообщенные ими све-
дения о рукописях, хранящихся в Ленинграде, Казани, Ташкенте, Ере-
ване, Тбилиси, Баку, Душанбе и Ашхабаде, а также А. П. Юшкевичу,
по инициативе которого была выполнена эта работа, за ряд ценных
советов.
Наиболее богатыми фондами арабских и персидских рукописей об-
ладают [4] библиотека ИВ в Ташкенте (около 8 тыс. томов арабских и
более 6 тыс. томов персидских рукописей), библиотека ИНА в Ленин-
граде (около 5 тыс. томов арабских и более 6 тыс. томов персидских ру-
кописей), библиотека КГУ в Казани (около 3 тыс. томов арабских ру-
кописей), ГПБ в Ленинграде (около 800 томов арабских и около 1000
томов персидских рукописей) и библиотека ЛГУ в Ленинграде (около
8С0 томов арабских и около 60С томов персидских рукописей).
Приводимый нами список рукописей состоит из двух частей: 1) спи-
ска рукописей по авторам, в котором указаны рукописи сочинений из-
вестных авторов, и 2) списка рукописей по библиотекам, в котором,
наряду со ссылками на первый список, указаны рукописи анонимных и
малоизвестных авторов. В том случае, когда язык рукописи не отмечен,
она написана на арабском языке. Так как некоторые рукописи, напи-
санные на арабском языке, сохранились только в средневековых еврей-
ских переводах, мы указываем еврейские рукописи, являющиеся пере-
водами с арабского.
Следует отметить, что в перечисленных выше библиотеках имеются
математические рукописи, сведений о которых по различным причинам
не удалось получить. В частности, библиотеки КГУ (Казань), ИВ (Таш-
кент) и ИР (Тбилиси) обладают значительными фондами неразобран-
ных арабских и персидских рукописей.
СПИСОК РУКОПИСЕЙ ПО АВТОРАМ
1.	Аристотель — Аристуталис (384—322 до н. э.).
О небе (Китаб фи сама ва-л-’алам — Книга о небе и вселенной),
перевод Юханны ибн Юсуфа (IX в.), в обработке Яхьи ибн ’Ади
(ум. 974) — Ташкент ИВ 2385/68 (лл. 272 об.—299, см. {17, т. 5], № 3834).
Книга тайн звезд, сочиненная для Александра Македонского (Ки-
таб асрар нуджум вуди’а ли-Искандар)—Ленинград ИНА В 822/3
(лл. 34 об. — 40).
2.	Автолик — Аутулукус (IV в. до н. э.).
17 Закаа 33В
257
О движущейся сфере (Китаб ал-кура ал-мугахаррика) в обработке
Сабита ибн Корры ал-Харрани ас-Саби (ок. 830—901)—Ленинград ГПБ
(2] 144/4 (лл. 160—161 об.), Казань КГУ араб. 1087/2 (лл. 4—7).
О восходах и заходах (Китаб фи-т-тулу’ ва-л-гуруб) в обработке
Сабита ибн Корры — Ленинград ГПБ [2] 144/17 (лл. 301—307 об.).
3.	Евклид — Уклидис (IV—III вв. до н. э.).
Начала (Китаб ал-усул ал-хандаса — Книга начал геометрии), пе-
ревод ал-Хаджжаджа ибн Юсуфа ибн Матара (VIII—IX вв.) в обработ-
ке Сабита ибн Корры — Ленинград ИНА С 1245 (208 лл.), рукопись
переписана в 1182 г., см. [11, стр. 92]. Еврейский перевод Моисея Ибн
Гиббона (Сефер ха-йесодот)—Ленинград ИНА В 16 (193 л.), С 127
(224 л.).
То же, в обработке Насир ад-Дина ат-1уси (1201—1274)—Ленин-
град ГПБ [2] 140 (206 л.), 141 (78 л.); ИНА А 258 (131 л., см. [5], № 420),
А 671/6 (лл. 225 об. —230, I книга); ЛГУ 90/3 (лл. 54—146 и 203 об.—
207, см. [14], № 269), Казань ЛГУ араб. 107/2 (лл. 42—208) и араб.
1695 (157 л.), Ташкент ИВ 4854 (128 л., см. (17, т. 6], № 4235), Тбилиси
ИР араб. К 26 (128 л.), Душанбе ГБФ 591 (175 л.) Персидские пере-
воды— Ленинград ГПБ [2] 143 (62 л.); ИНА С 1472 (88 л., см. [9],
№ 841), персидский перевод аш-Ширази — см. 45. Русский перевод
раздела о параллельных линиях — в работе [20].
Феномены (Китаб аз-захират — Книга явлений)—астрономический
трактат — Ленинград ГПБ (2] 144/7 (лл. 221—230).
Оптика (Китаб ал-маназир — Книга оптики) — классический трак-
тат о геометрической оптике и теории перспективы, перевод Косты
ибн Луки ал-Ба’лбакки (864—912)—Ленинград ГПБ [2] 144/13 (лл. 289—
291 об.). Персидский перевод — там же [2] 146 (8 л.).
4.	Архимед — Аршимидис (287—214 до н. э.).
Измерение круга (Макала фи таксир ад-даира)—Ленинград ГПБ
[2] 144/12 (лл. 287—289).
Книга лемм (Китаб ал-ма’хузат), перевод Сабита ибн Корры в об-
работке Абу-л-Хасана ’Али ан-Насави (ум. 1030) —там же 144/15
(лл. 293 об. — 297 об.). Перевод с латинского перевода другой рукопи-
си см. [21, стр. 391—400].
5.	Аполлоний — Абулунийус (265—170 до н. э.).
Конические сечения (Китаб фи-л-махрутат) — перевод Хилаля ал-
Химси в обработке братьев Бану Муса (IX в.)—Ленинград ЛГУ 185
(122 л., неполный текст III и IV книг, см. [12], № 168)
6.	Феодосий — Саузусийус (II в. до н. э.).
Сферика (Китаб ал-укар), перевод Косты ибн Луки до V предло-
жения III книги, законченный Сабитом ибн Коррой, — Ленинград ГПБ
[2] 142 (121 л.), 144/3 (лл. 137 об, — 159 об.); ИНА А 285/2 (лл. 29 об.—
61, см. [7, стр. 922]). Еврейский перевод Якова бен Махира (Сефер ха-
каддур) —Ленинград ИНА С 12/1 (лл. 1—34).
О днях и ночах (Китаб ал-айам ва-л-лийал)—Ленинград ГПБ [2]
144/8 (лл. 230—238 об.).
7.	Гипсикл — Ибсиклаус (II в. до н. э.).
О восхождениях знаков зодиака (Китаб ал-матали’ — Книга вос-
хождений), перевод Косты ибн Луки в обработке Я куба ал-Кинди —
Ленинград ГПБ [2] 144/18 (лл. 307 об, —308 об.).
8.	Тевкр — Танкалуша (I в. н. э.).
Книга Танкалуши Вавилонянина из Кукана об изображении небес-
ных градусов и некоторых их признаках согласно принятому древними
(Китаб Танкалуша ал-Кукани мин ахл Бабил фи сувар дарадж ал-фа-
258
пак ва ба’д далаилха ’ала ма ухизу *ан ал-Кудама) —астрологический
трактат — Ленинград ИНА С 1680 (157 л.), D 171/2 (лл. 3—44, см. [8,
г. 1], № 191). Первая рукопись описана в работе [22, стр. 130—176].
Персидский перевод — Ленинград ИНА D 141 (97 л., см. {9], № 873).
9.	Менелай — Маналаус (I—II вв. н. э.).
Сферика (Китаб ал-укар) в обработке Насир ад-Дина ат-Туси —
Баку РРФ Б 4274 (49 л.). Еврейский перевод Якова бен Махира (Се-
фер ха-темунот) —Ленинград ИНА С 12/2 (лл. 35—85).
10.	Веттий Валенс — Балинас (II в. н. э.).
Книга философа Валенса (Китаб Балинас ал-хаким)—астрологи-
ческий трактат в обработке Абу Бакра Мухаммада (или Ахмада) ибн
Вакшийи ан-Набати (IX в.)—Ленинград ЛГУ 1099 (57 л.).
11.	Клавший Птолемей — Батлумийус (II в. н. э.).
Алмагест (ал-Маджисти)—классический трактат по астрономии,
в обработке Насир ад-Дина ат-Туси — Ленинград ГПБ [2] 139 (132 л.);
ИНА А 1256, В 810 (206 л.), С 614 (186 л.), D 172 (77 л.) (см. [5],№403,
[8, т. 1], № 188, [10], стр. 94), Казань КГУ араб. 108 (138 л.). Персидский
перевод аш-Ширази — см. 45. Еврейский перевод с арабского Якова
Анатоли — Ленинград ИНА D 33 (182 л.).
Книга плодов в науке о звездах (Китаб ас-самара фи ’илм ан-нуд-
жум) — астрологический трактат — Ленинград ИНА В 809/1 (лл. 1 об.—
75), D 171/4 (лл. 74—98 об.) (см. (8, т. 1] № 191).
То же в обработке Насир ад-Дина ат-Туси — Казань КГУ перс. 22
(95 л.), Ташкент ИВ 590/1 (лл. 1—20), 2247/3 (лл. 35—54).
12.	Маша’аллах ал-Басри (ум. ок. 815), уроженец Басры, работал
в Багдаде.
Вопросы (Масаил). Еврейский перевод (Сефер ха-шеэлот ле-Ма-
шаллах — Книга вопросов Маша’аллаха)—Ленинград ИНА В 70
(лл. 158—161), В 150/12 (лл. 220—223).
13.	Мухаммад, Ахмад и ал-Хасан Бану Муса ибн Шакир (IX в.)
работали в Багдаде.
Обработка «Конических сечений» Аполлония — см. 5.
Книга градусов о природе градусов, переведенная из индийских книг
(Китаб дараджат фи таба’и ад-дарадж манкула мин кутуб ал-Хинд) —
Ленинград ИНА D 171/3 (лл. 44—74, см. (10], № 191).
14.	Я’куб ибн Исхак ал-Кинди (ум. 877), уроженец Басры (Ирак),
работал в Багдаде.
Обработка сочинения Гипсикла «О восхождениях знаков зодиа-
ка» — см. 7.
Трактат (Рисала) —трактат о метеорологии. Еврейский перевод —
Ленинград ИНА С 76/6 (лл. 121 об.— 138). Латинский перевод см. (23].
15.	Абу Ма’шар Джа’фар ал-Балхи (ум. 886), уроженец Балха, ра-
ботал в Багдаде.
Книга о науках звезд (Китаб фи ’улум ан-нуджум) —Ленинград
ИНА В 807 (154 л., см. [5], № 469). Латинский перевод другой рукопи-
си см. [24].
Книга о часах (Са’ат-наме, перс.) —там же, В 2062 (лл. 26об.—28),
С 453 (лл. 318—349 об.) (см. [9], № 2684—2685).
Вопросы астролябии (Масаил дар астурлаб, перс.) — там же, А 264
(лл. 135 об.—157, см. [9], № 4344).
16.	Мухаммад ал-Фаргани (IX в.), уроженец Ферганы, работал в
Багдаде.
Книга начал науки о звездах (Китаб фи усул ’илм нуджум) —Ле-
нинград ИНА В 3059/3 (лл. 39об. — 78). Еврейский перевод Якова Ана-
толи— Москва ГБЛ, собрание Гинзбурга, 1065 (42 л ), 1071 (96 л.),
17*
259
Ленинград ИНА С 76/2 (лл. 65—85). Латинский перевод другой руко-
писи см. [25].
17.	Сабит ибн Корра ал-Харрани ас-Саби (ок. 830—901), уроженец
Харрана (Сирия), выходец из сабиев— звездопоклонников, потомков
вавилонских жрецов, работал в Багдаде.
Обработка «Начал» Евклида — см. 3.
Обработка сочинений Автолика «О движущейся сфере» и «О восхо-
дах и заходах» — см. 2,
Книга предположений (Китаб ал-мафрудат), геометрический трак-
тат— Ленинград ГПБ [2] 144/16 (лл. 297об.— ЗООоб.).
18.	Коста ибн Лука ал-Ба’лбакки (864—918)—уроженец Баалбе-
ка (Сирия).
Книга о построениях на звездной сфере (Китаб ал-’амал би-л-кура
ан-нуджумиййа), еврейский перевод Якова Ибн Тиббона (Сефер ха-
ма’асе ба-каддур ха-гилгал)—Ленинград ГПБ, собрание Фирковича
348 (19 л.), ИНА В 446/6 (лл. 65—79 об.).
19.	Ихван ас-сафа ва хуллан ал-вафа (Братья чистоты и друзья
верности) (IX в.)—группа ученых, наиболее крупными из которых
были Абу Сулайман Мухаммад ал-Бусти, Абу-л-Хасан ’Али аз-Зинджа-
ни, Мухаммад ал-Нахраджури, Абу-л-Хасан ал-Ауфи и Зайд
ибн Рафа’а, известна также под названием Басрийских братьев, рабо-
тала в Басре (Ирак), Багдаде, Нишапуре, Самарканде.
Трактаты (Расаил)—коллективный труд Братьев чистоты, со-
ставляющий энциклопедию научной и философской мысли. Первая
часть (14 трактатов) посвящена арифметике, геометрии, астрономии и
географии, музыке и логике, вторая часть (17 трактатов) —естествозна-
нию, третья часть (10 трактатов)—философии, четвертая часть
(11 трактатов)—астрономии и мистике. Вторая часть — Ташкент ИВ
3887 (401 л., см. [17, т. 3], № 1921). Персидский перевод Ибн ал-Хасана
математических трактатов — Тбилиси ИР перс. 54/89 (134 л.). Арабский
текст нескольких философских трактатов — Ленинград ИНА [8, т. 1],
№ 194 (152 л.).
20.	Мухаммад ал-Хаким ат-Тирмизи (ум. 932), уроженец Термеза.
Книга о годе (Сал-наме, перс.) — Ленинград ИНА А 342 (лл. 62—
67), В 1952 (л. 235 об.), В 2141 (лл. 123об. — 126 об.), С 1202 (лл. 4об. —
8об.), С 1304 (лл. 3 об.— 8) (см. [9], № 2191—2195), Ташкент ИВ 591/2
(лл. 95—96 об.), 3749/3 (лл. 133об, —145), 4162/5 (лл. 78—86), 433Э/2
(лл. 128—132 об.), 8986/2 (лл. 65 об, —70 об.), 9179/12 (лл. 160 об,—
162) (см. [17, т. 6], № 4277—4282).
Книга о Новом годе (Науруз-наме, перс.) —Ташкент ИВ 1773/5
(лл. 97 об. —99), 2730/5 (лл. 331 об. —335), 2730/6 (лл. 335 об. —337)
(см. [17, т. 5], № 3838—3840). Узбекский перевод — Ташкент ИВ 8257/26
(лл. 208 об. — 215, см. [17, т. 7], № 5423). То же название носит трак-
тат ’Омара Хайяма [26, стр. 187—224].
21.	Абу Наср Мухаммад ал-Фараби (ок. 870—950), уроженец Фа-
раба при впадении р. Арысь в Сыр-Дарью, работал в Багдаде и Алеп-
по (Сирия).
Трактат о достоверном и недостоверном в предсказаниях по звез-
дам (Рисала фи ма йасиху ва ма ла йасиху мин ахкам ан-нуджум) —
Ташкент ИВ 2385/32 (лл. 116—118) и 2385/57 (лл. 209об. —211 об.)
(см. [17, т. 5], № 3842 и 3843).
22.	Абу-с-Сахл Вайджан ал-Кухи (X в.), уроженец Куха (Север-
ный Иран), работал в Багдаде.
Трактат о совершенном циркуле (Рисала фи-л-биркар ат-тамм) —
трактат об инструменте для вычерчивания конических сечений — Ленин-
260
град ИНА А 285/1 (лл. 1 об.— 27 об., см. [7, стр. 932]). Французский пе-
ревод другой рукописи см. [27].
23.	Абу Наср ал-Хасан ал-Кумми (X в.).
Введение в науку предсказаний по звездам (ал-Мадхал ила ’илм
ахкам ан нуджум) —Ленинград ИНА В 1048 (119 л., см. [8, т. 11, № 186).
24.	’Абд ар-Рахман ас- Суфи (903—998), уроженец Рея (Иран), ра-
ботал в Багдаде.
Книга неподвижных звезд (Китаб ал-кавакиб ас-сабита)—Ленин-
град ГПБ араб, новая серия 191 (142 л.), ИНА С 724 (104 л , см. [8, т. 1],
№ 185), ЛГУ 669. Французский перевод первой рукописи с воспроизве-
дением изображений созвездий см. [28].
Трактат об астролябии (Рисала ал-астурлаб) —Ленинград ИНА В
1329 (лл. 50—94, см. [8, г. 1], № 190).
25.	Абу-л-Вафа Мухаммад ал-Бузджани (940—998), уроженец Буз-
гана (Хорасан), работал в Багдаде.
Арифметический трактат (Рисала ал-а[ри!сматики) —трактат о тео-
ретической арифметике (арисматики — транскрипция греческого слова
aptfyjwpxT), в отличие от хисаб — практической арифметики, по «Вве-
дению в арифметику» Никомаха Геразского)—Ташкент ИВ 4750/8
(лл. 255 об. — 257 об., см. (181).
26.	Са’ид Кушияр ибн Лаббан ал-Джили (X в.), уроженец Гиляна
(Северный Иран).
Введение в искусство предсказаний по звездам (Ал-мадхал фи са-
на’а ахкам ан-нуджум) —Ленинград ИНА В 808 (37 л.), Ташкент ИВ
445/2 (63 л., см. [17, т. 6], № 4288).
27.	Абу Са’ид Ахмад ас-Сиджизи (951 —1024), уроженец Сиджиста-
на (Восточный Иран).
Книга об устройстве небесных сфер (Китаб таркиб ал-афлак) —
Ленинград ИНА В 3692/3 (лл. 13 об. — 26).
28.	Абу ’Али ал-Хасан ибн ал-Хайсам (965—1039), уроженец Бас-
ры, работал в Каире.
Книга измерения (Китаб ал-мисаха)—Ленинград ИНА В 2139/2
(лл. 100—139 об., см. [6], № 940).
Речь о разрешении сомнений об изменении наклона эклиптики
(Каул фи халл шукук харака ал-илтифаф) —там же, В 1030/1 (лл. 1 —
20 об., см. [8, т. 1], №192).
Книга о форме затмения (Макала фи-с-сура ал-кусуф)—там же,
В 1030/2 (лл. 21—47 об.). Немецкий перевод другой рукописи см. [29].
Книга о луночках (Макала фи-л-ашкал ал-хилалиййа)—там же,
В 1030/3 (лл. 50—72 об., 133—134).
Об измерении шара (Фи мисаха ал-кура)—там же. В 1030/4
(лл. 73—77).
О делении друг на друга двух различных величин, упомянутых в
предложении 1 книги X «Начал» Евклида (Фи кисма ал-микдарайн ап-
мухталифайн ал-мазкурайн фи-ш-шакл ал-аввал мин ал-макала ал-’аши-
ра мин китаб Уклидис)—там же, В 1030/6 (лл. 78 об. — 81).
Книга о движении Луны (Макала фи харака ал-камар)—там же.
В 1030/6 (лл. 81 об. —89 об.).
Книга о задачах, встречающихся в тонкостях арифметики (Макала
фи масаил ат-талаки мин мулах ал-хисаб) —там же, В 1030/7
(лл. 90—101 об.).
Речь о геометрических задачах (Каул фи масаил хандасиййа),—
там же, В 1030/8 (лл. 102—ПО об.).
Речь об определении направления кыблы (Каул фи истихрадж
сайт эл-кибла) —трактат об определении направления на Мекку в дан-
261
ном пункте по координатам этого пункта —там же, В 1030/9 (лл. 111—
121). Немецкий перевод другой рукописи см. [30].
Речь, содержащая ответ на вопрос о параллаксе Луны (Каул фи
джаваб ’ан масала фи ихтилаф манзар ал-камар)—там же, В 1030/10
(лл. 122—125).
Речь о циркуле для больших кругов (Каул фи биркар ад-даваир
ал-’азам)—там же, В 1030/11 (лл. 125 об.— 131). Немецкий перевод
другой рукописи см. [31].
Книга о разрешении сомнений в «Началах» Евклида и разъясне-
ние их смысла (Китаб фи халл шукук китаб Уклилис ва-ш-шарх ма’ани-
хи) — Казань КГУ араб. 103 (лл. 1 —150) Еврейский перевод Моисея
Ибн Тиббона — Москва ГБЛ, собрание Гинзбурга. 340/6 (лл. 87—
118 об.).
Комментарии к введениям «Начал» Евклида — Шарх мусадарат
китаб Уклидис —Казань КГУ араб. 104 (лл. 151—222). Русский пере-
вод раздела о параллельных линиях см. в [32], раздел о составных от-
ношениях описан в [33].
Книга о форме мира (Китаб фи хайа ал-’алам), еврейский перевод
(Текунат ха-’олам) —Ленинград ГИБ, собрание Фирковича, 354 (17 л.).
Немецкий перевод арабской рукописи см. [34].
29.	Абу Бакр Мухаммад ал-Караджи (X—XI вв), уроженец Ке-
реджа (Иран), работал в Багдаде.
Достаточное в науке арифметики (ал-Кафи фи ’илм ал-хисаб) —Ле-
нинград ИНА В 2139/3 (лл. 140 об. — 201 об., см. [6], № 863). Немецкий
перевод другой рукописи см. [35].
30.	Абу-р-Райхан Ахмад ал-Бируни (973 — ок. 1050), уроженец Кя-
та (Хорезм), работал в Хорезме, Джурджане (Северный Иран) и в Газ-
не (Афганистан).
Памятники минувших поколений (Асар ал-бакийа мин курун ал-
халийа) — классический трактат по хронологии, содержащий астроно-
мические и математические разделы, — Ленинград ИНА D 580 (см [10,
стр. 71]). Русский перевод см. [36].
Книга вразумления в начатках искусства звездочетства (Китаб ат-
тафхим ли аваил мин сана’а ат-танджим, перс.)—учебное руководство
по геометрии, арифметике, астрономии, географии и астрологии в виде
вопросов и ответов — Ташкент ИВ 3423 (231 л.) и 445/1 (52 л.) (см. [17,
г. 6]. № 4242. 4243). Английский перевод по другой рукописи см. [37].
31.	Абу ’Али ал-Хусайн ибн Сина (980—1037), уроженец Бухары,
работал в Хорезме и Иране
Книга спасения (Китаб ан-наджа)—энциклопедический трактат,
содержащий главы по геометрии, арифметике, астрономии и теории му-
зыки,— Ереван ИДР араб. 45. Рукопись описана в работе [38].
Книга знания, посвященная ’Ала ад-Дину (Даниш-наме-йи ’Алаиййе.
перс.) — энциклопедический трактат, содержащий главы по физике, —
Ташкент ИВ 2385/17—19 (лл. 51 об.—89, см. [17, т. 3], № 1925). Русский
перевод по другим рукописям см. [39].
Трактат по логике, физике и теологии (Рисала фи-л-мантик ва-т-
заби’ййат ва-л-илахиййат)—Ташкент ИВ 2385/20 (лл. 89 об. — 93, см.
[17, т. 31, № 1926).
Сокровища познания (Кунуз ал-ма’рифа)—Ташкент ИВ 2385/22
(лл. 94 об. — 95 об., см. [17, т. 51. № 3844).
32.	Абу Исхак Ибрахим аз-Заркали (ок. 1030 — ок. 1090), работал
в Толедо.
Трактат о пользовании диском астролябии (Рисала фи-л-’амал би-
сафиха), еврейский перевод (Иггерет ха-ма’асе ба-луах ха-никра цефи-
2.6?
ха) —Ленинград ГПБ, собрание Фирковича, 352 (18 л.); ИНА В 103/5
(лл. 80—82, перевод Якова ха-Сефарди), В 103/6 (лл. 83—94), В 311/3
(лл. 46—60, перевод Якова бен Махира).
33.	’Омар Хайям (1048—1131), уроженец Нишапура (Хорасан), ра-
ботал в Самарканде, Исфахане и Мерве.
Весы мудростей (Мизан ал-хикам)—трактат об определении ко-
личества золота и серебра в сплаве, включен в трактат его ученика ал-
Хазини — см. 35 — Ленинград ГПБ (2] 117 (лл. 59 об. — 60 об.). Фото-
копия рукописи и русский перевод см. [26, стр. 147—151 и XIV—XVII].
34.	Абу-с-Салт ’Омайя ал-Андалуси (1067—1134), уроженец Дении
(Испания).
Трактат о пользовании астролябией (Рисала фи-л-’амал би-л-астур-
лаб) —Ленинград ГПБ [1] 128/2, Ташкент ИВ 465/1 (лл. 1 об. — 32 об.,
см. [17, т. 6], № 4267).
Наука музыки (’Илм ал-мусика) —трактат о теории музыки, осно-
ванный на теопии отношений. Еврейский перевод (Хохмат ха-музика) —
Ленинград ИНА В 103/1 (лл. 1—36).
35	’Абд ар-Рахман ал-Хазини (XII в.), работал в Мерве.
Книга о весах мудрости (Китаб мизан ал-хикма) —Ленинград ГПБ
[2] 117 (109 л.). Рукопись описана Н. В. Ханыковым в [40], русский пе-
ревод раздела об определении удельных весов — см. [41, стр. 249—265].
36.	Абу-л-Хасан ’Али ал-Байхаки (1106—117С), работал в Иране.
Сборник предсказаний по звездам /Джанами’ ахкам ан-нуджум) —
Ташкент ИВ 443 (306 л., см. [17, т. 6], № 4289).
37.	Фахр ад-Дин Мухаммад ар-Рази (1120—1210), уроженец Рея
(Иран).
Собрание наук (Джами’ ал-’улум) —энциклопедический трактат,
содержащий математический раздел, — Ленинград ИНА С 612
(лл. 68 об. — 117), Ташкент ИВ 415/1. 2671, 5514 (см. [17, т. 3], № 2796).
Высшие предсказания по небесным знамениям (ал-Ахкам ал-’ала-
виййа мин алм-а’лам ас-сама’иййа (перс.)—Ленинград ИНА А 264
(лл. 2 об. — 50 об., см. [9], № 25).
Сокровенная тайна о речи звезд (ас-Сирр ал-мактум фи махатаба
ан-нуджум, перс.)—Ленинград ИНА В 856 (108 л., см. [9], № 2243),
Ташкент ИВ 3847 (97 л., см. [17, т. 5], № 226).
38.	Шихаб ад-Дин Яхья ас-Сухраварди (1154—1191), уроженец
Джибаля, работал в Багдаде и Алеппо.
Книга примечаний, т. е. Физика (Китаб ат-талвихат вахува ат-та-
би’) — Казань КГУ араб. 1227 (лл. 132 об. — 216).
39.	Сирадж ад-Дин Мухаммад ас-Сиджаванди (XII в.), работал в
Средней Азии.
Трактат по арифметике (Рисала-йи хисаб) —Душанбе, БАН 2128/3
Приведение к общему знаменателю (ат-Таджнис фи-л-хисаб) —
Ленинград ИНА С 1216 (лл. 226 об. — 227 об.), С 1330/13 (лл. 138—
142 об.), С 1417/25 (лл. 333 об, —334 об., см. [6], № 168—170).
Трактат по алгебре и алмукабале (Рисала ал-джабр ва-л-мукаба-
ла)—1 ашкент 6425/4 (лл. 114об. — 119), 5185/10 (лл. 126 об.— 133 об.),
6023/7 (лл. 155—159) (см. [17. т. 6], № 4229—4231).
40.	Абдаллах ’Имад ад-Дин ал-Хаддам (XII—XIII вв.), работал в
Багдаде.
Блестящие пользы оснований аоифметики (ал-Фаваид ал-бахаиййа
фи-л-каваид ал-хисабиййа)—Ленинград ИНА В 2139/1 (лл. 1—99, см.
[6], № 788).
41.	Абу-л-Хайр Мухаммад ал-Фариси (XIII в.?), работал в Иране
или Средней Азии.
263
Трактат об астролябии (Рисала дар астурлаб)) —Ленинград ГПБ
перс, новая серия, 229/1 (лл. 1—62).
Книга гороскопов (Тали’-наме) —там же, 229/3 (лл. 79—113).
Избранные решения календаря (Мунтахаб-и халл-и таквим)—там
же, 229/2 (лл. 63—79), Ташкент ИВ 8485 (28 л., см. [17, т. 8], № 5668).
42.	Асир ад-Дин Муфаддал ал-Абхари (ум. 1265), уроженец Джи-
баля, работал в Мосуле и Малой Азии.
Астрономия (Хайа)—Казань КГУ, араб. 1711/1 (лл. 1—138).
43.	Насир ад-Дин Мухаммад ат-Туси (1201—1274), уроженец Туса
(Хорасан), работал в Марате (Азербайджан).
Обработка «Начал» Евклида — см. 3.
Обработка «Сферики» Менелая — см. 9.
Обработка «Алмагеста» и «Книги плодов» Птолемея — см. 11.
Памятка Насир ад-Дина (ат-Тазкира ан-Насириййа) —краткое из-
ложение «Алмагеста» без доказательств — Ленинград ИНА А 437 (45 л.,
см. [8, т. 1], №187).
Эльханские астрономические таблицы (Зидж-и Ильхани, перс.) —
астрономические таблицы, составленные в Марагинской обсерватории
при дворе монгольских ханов — «эльханов» — Баку РРФ № 221 (148 л.,
экземпляр озаглавлен: Зидж-и ходжа Насир-и Туси машхур бар Зидж-
и Хани — Астрономические таблицы ходжи Насир [ад-Дин] ат-Туси, из-
вестные как [Эль]ханские астрономические таблицы. Английский пере-
вод географической части см. [40], рукопись описана в книге [43].
Сборник по арифметике с помощью доски и пыли (Джами’ ал-хи-
саб би-т-тахт ва-т-тураб)—трактат, посвященный описанию арифме-
тических действий, производимых заостренной палочкой на доске, покры-
той пылью, — Ленинград ЛГУ 90/5 (лл. 151—176, см. [12], № 169), Таш-
кент ИВ 8990/6 (лл. 123—158 об.). Русский перевод раздела ташкентской
рукописи об извлечении корней любой степени и формуле бинома см.
[44].
Книга о фигуре секущих (Китаб ат-шакл ал-кита’) —классический
трактат по сферической! тригонометрии, известный также под названи-
ем «Трактат о полном четырехстороннике», — Ленинград ГПБ [2] 144/19
(лл. 309—349), 145 (160 л.). Русский перевод по другой рукописи см. [45]
Двадцать глав о познании астролябии (Бист баб дар ма’рифат-и
астурлаб, перс.)—Ленинград ГПБ [1] 128/1 (лл. 1—31), 130/7 (лл. 50—
63), 317/2 (лл. 93—НО), [2] 124/1 (лл. 1—37, 42 об. —94), 138/3 (лл.85—
НО); ИНА А 254 (лл. 65 об. — 99), А 268 (лл. 97 об. — 116 об.), В 3059
(лл. 108 об. — 125 об.), В 4295 (лл. 30 об. —41 об.), В 4375 (лл. 1 об.—
16 об., см. [9], № 415—419), Ташкент ИВ 1207/4 (лл. 151 об. — 173 об., см.
[17, т. 1], № 503), Тбилиси перс. 217/384 (35 л.), Баку РРФ Б 2837/1
(16 л.), Душанбе ГБ 877 (25 л.).
Тридцать разделов о познании календаря (Си фасл дар ма’рифат-и
таквим, перс ) —Ташкент ИВ 8990/4 (лл. 90—1С0), Баку А 36 (лл 26—
36). Турецкий перевод — Ленинград ГПБ [1] 547/2 (лл. 45—63).
Краткое о познании календаря (Мухтасар дар ма’рифат-и таквим,
перс.)—Ленинград ИНА А 834 (58 л., см. [9], № 3975), Ташкент ИВ
1206/4,5 (лл. 34—77, 77—96), Тбилиси ИР 534 (148 л.), Баку РРФ Б 413
(99 л.).
Комментарии к Птолемею (Шарх Батлумийус)—Баку РРФ Б 11
(119 л.).
Правило (Ка’ида) —правило определения первого дня лунного ме-
сяца— Ташкент ИВ 436/1 (лл. 1 об. — 3, см. [17, т. 1], № 502).
Трактат о жаре и холоде (Рисала фи-л-харара ва-л-баруда) —Таш-
кент ИВ 562/10 (лл. 395 об. — 397, см. (17, т. 1], № 500).
264
Выбор счастливых дней (Ихтийарат) — астрологический трактат —
Ташкент ИВ 1355/5 (лл. 213—215), 1356/11 (лл. 204 об, —206) (см. [17,
т. 6], № 4291, 4292).
Учение о (гадании на] песке (’Илм-и рамл, перс.) — Ленинград ГПБ
[1] 547/5 (лл. 71—146).
44.	Наджм ад-Дин ’Али ал-Катиби ал-Казвини (ум. 1277), уроже-
нец Казвина (Иран), сотрудник Марагинской обсерватории ат-Туси.
Мудрость источника [знания] (Хикма ал-’айн) — энциклопедический
трактат, содержащий математический и физический разделы, — Ленин-
град ИНА В 3050 (149 л., физика), Казань КГУ араб. 3227 (328 л.),
Ташкент ИВ 2979/18 (лл. 324 об, —371), 4070/9 (лл. 268 об. — 329 об.)
(см. [17, т. 3], № 1941, 1942), 4697/2 (лл 142—169), 8796/6 (лл. 155—167),
Душанбе ГБФ 324.
Проверенные султанские астрономические таблицы (Зидж-и му-
хаккак султани, перс.)—обработка Эльханских астрономических таб-
лиц— Ташкент ИВ 3608 (92 л.).
45.	Кутб ад-Дин Махмуд аш-Ширази (1236—1311), уроженец Ши-
раза (Иран), сотрудник Марагинской обсерватории ат-Туси.
Шахский подарок по астрономии (ат-Тухфа аш-шахиййа фи-л-
хайа)—Ленинград ЛГУ 670 (303 л.).
Граница постижения в познании небесных сфер (Нихайа ал-идрак
фи дарайа ал-афлак) —Ташкент ИВ 3758/4 (лл. 167—291), Баку РРФ
М225.
Жемчужина короны для украшения Дубаджа (Дурра ат-тадж ли
гурра ад-Дубадж, перс.) —энциклопедический трактат, содержащий
математические и астрономический разделы. Геометрический раздел
трактата является переводом на персидский «Начал» Евклида в обра-
ботке ат-Туси (см. 3), астрономический раздел — переводом «Алма-
геста» Птолемея в той же обработке (см. И) —Ленинград ИНА
В 964 (203 л., см. [9], № 1316), Казань КГУ перс. 48, Ташкент ИВ 816
(316 л.).
Избранное для Музаффар ад-Дина (Ихтийарат Музаффари, перс.) —
сокращенное изложение «Границ постижения в науке о небесных
сферах» — Ленинград ИНА С 794 (142 л., подробный обзор см. [8, т. 3].
№ 124; см. также [9], № 41).
46.	Низам ад-Дин ал-Хасан ан-Найсабури (XIII—XIV вв.), уроже-
нец Нишапура, сотрудник Марагинской обсерватории ат-Туси.
Солнечный трактат по арифметике (ар-Рисала аш-шамсиййа фи-л-
хисаб) —Москва ГБЛ араб. 87/2 /лл. 31 об. — 112), Ленинград ИНА В
871/13 (лл. 21 об, —159 об.), В 842/1 (лл. 2 об, —55 об.), В 2991/1
(лл. 1 об. — 5, III и IV разделы главы арифметики дробей), В 311§
/186 л.).С 1330/12 (лл. 177—178 об.,см.[6], № 543); ЛГУ 90/6 (лл. 177—
202, см. [12], № 169), Казань КГУ араб. 1055 (лл. 307—334), Ташкент
ИВ 1693/1 (лл. 1—48), 6023/10 (лл. 175—209), 6125/1. 6131/7, 9 (лл. 187—
197, 271—291), 6175/2, 6425/6 (лл. 117—147), 7822/4 (22 л.), 8044/6
/43 л.), 8152/3 (лл. 10—39). Душанбе БАН 1266 (118 л.), 2200, 2136/2,3,5,
3070/11; ИЯЛ 31, Ашхабад ИЯЛ 2537/1 (лл. 8—50).
Раскрытие истин Эльханских астрономических таблиц (Кашф ал-
хакаик Зидж Ильхани, перс.) —Ленинград ИНА С 618 (341 л., см. [9],
№ 3409). Рукопись частично описана в книге [43, стр. 85—95].
Комментарии к Памятке (Шарх тазкира) — комментарии к «Па-
мятке Насир ад-Дина» ат-Туси (см. 43)—Казань КГУ араб 1704
(242 л.). Баку РРФ Б 783 (237 л.).
47.	Мухаммад ал-Язди (XIII—XIV вв.?) уроженец Иезда, работал
в Иране или Средней Азии.
265
Примечания к «Сферике» Менелая (Хаваши дар Курриййат-и Ма-
налаус, перс.)—Ленинград ГПБ [2] 144/9 (лл. 238 об. — 277).
Сливки арифметики (Зубда ал-хисаб, перс.)—Ленинград ИНА В
2388 (лл. 1 об.— 60 об., см. (91, № 2160).
Источники арифметики (’Уйун ал-хисаб) —Баку РРФ Б 414 (40 л.).
Подарок звездочетам (Тухфа ал-мукаджжимин) —Ташкент ИВ 461
(185 л., см. [17, т. 61. № 4296).
Комментарии к «Сокращению „Начал"» (Шарх Маджмал ал-
Усул) — комментарии к астрономическому сочинению Кушияра ал-
Джили — Ташкент ИВ 2572/36 (лл. 811 об. —829, см. [17, т. 1], № 506).
48.	Шаме ад-Дин Мухаммад ас-Самарканди (XIII—XIV вв.), уро-
женец Самарканда, работал в Средней Азии.
Основные предложения (Ашкал ат-та’сис) — изложение 35 пред-
ложений книги I «Начал» Евклида, содержащее оригинальное доказа-
тельство V постулата, — Ленинград ИНА В 821/3 (лл. 9 об. — 38 об.,
см. [7, стр. 500]), Казань КГУ араб. 820 (5 л.), 1121 (лл. 113—143),
Ташкент ИВ 3055 (35 л.), 3373/4 (лл. 157—190; в [17, т. 5], № 3831 эта
рукопись приписывается Ибн Сине), Баку РРФ Б 18364 (11 л.).
То же в обработке Мусы Кази-заде ар-Руми (1360—1437) —Ленин-
град ГПБ (1] 133/3 (лл. 88—295), 241/2 (лл. 28—83), Казань КГУ араб.
97 (33 л.), 106 (лл. 2—39). Русский перевод доказательства V постула-
та по рукописям ГПБ — см. [46].
49.	Абу-л-’Аббас Ахмад ибн ал-Банна ал-Марракуши (1251—1321),
уроженец Марракуша (Марокко), работал в Северной Африке.
Краткое изложение арифметических действий (Талхис фи а’мал ал-
хисаб) — Ленинград ЛГУ 757/23 (лл. 225 об. — 234). Французский пе-
ревод по другой рукописи — см. [47].
50.	Махмуд ал-Чагмини (XIV в.)—уроженец Чагмина (Хорезм),
работал в Хорезме
Избранное по астрономии (ал-Мулаххас фи-л-хайа)—Ленинград
ГПБ (1] 133/1 (лл. 1—87); ИНА А 645'3 (лл. 111 об.—132); ЛГУ 90/1
(лл. 1—11, см. [12], № 169), Казань КГУ араб. 1824 (60 л.), Ташкент
ИВ 7761/3 (лл. 52 об. —64), 8796/11 (лл. 257 об,—273) (см. [17, т. 6].
№ 4244, 4245), Баку РРФ Б 503, Б 603, Б 807 Немецкий перевод по
другой рукописи — см. [48].
Книга разъяснения астрономии (Китаб фи байан хайа) — Казань
КГУ араб. 1607/2 (лл. 82 об. —90), Ереван ИДР 839 (84 л.).
Наука о звездах (’Илм нуджум) —Баку РРФ В 337 (173 л.).
51.	’Али ибн аш-Шатир ал-Ансари (1304—1375), работал в Дамаске.
Астрономические таблицы (зидж) —Ленинград ИНА С 723 (143 л.,
см. [8, т. 1], № 189).
Лучи света о пользовании универсальным инструментом (ал-Аш’а
ал-лама’а фи-л-’амал би-л-ала ал-джами’а) —Ленинград ИНА В 1029/1
(лл. 1 об.— 16 об., см. [8, т. 1], № 190).
52.	Са’д ад-Дин Мас’уд ат-Тафтазани (1322—1389), уроженец Таф-
тазана вблизи нынешнего Ашхабада (Хорасан), работал в Герате, Гиж-
дуване и Самарканде.
Трактат об углах треугольника (Рисала фи завайа ал-мусаллас) —
Ташкент ИВ 2422/6 (лл. 73 об. — 80 об.). 4697/29 (л. 275), 6425/1 (лл. 1 —
6), 8820/4 (лл. 21—23) (см. [17. т. 1], № 498, [17, т. 6], № 4238).
53.	Мухаммад аз-Заки ал-Газнави (XIV в ), уроженец Газни (Аф-
ганистан).
Достаточное для обучения искусству звездочетства (Кафайат-и та’-
лим дар сана’ат-и танджим, перс.)—Ленинград ИНА В 838 (190 л..
266
см. [91. № 3413), Ташкент ИВ 3658 (75 л.), 442/1 (245 л.), 703 (200 л.)
(см. [17, т. 1], № 507, 508), Тбилиси ИР 147/185 (164 л.).
Блестящий трактат (Рисала бахаиййа) —Ташкент ИВ 2319.
54.	’Абдаллах ал-Маридини (ум. 1406), уроженец Дамаска, работал
в Ираке.
Краткое предисловие к познанию (действий] определения [ночи и
дня] (Мукаддама мухтасапа сЬи ма’рифа [а’мал] истихрадж [ал-лайл ва-
н-нахар])—Ленинград ИНА В 3556/2 (лл. 22 об. — 34 об.).
55.	Шаме ад-Дин Мухаммад ал-Халили (XIV в.) из Дамаска.
Объяснение дугового квадранта (Шарх ap-руб’ ал-кауси), еврей-
ский перевод Моисея Галиано (Пируш хар-роба’ ха-каштоти) —Ленин-
град ГПБ, собрание Фирковича, 350 (16 л.), ИНА В 446/7 (лл. 80—86).
Объяснение синусов (Шарх ал-джуйуб), еврейский перевод Моисея
Галиано (Пируш ал-джуйуб)—Ленинград ИНА В 446^8 (лл. 87—90).
56.	ас-Саййид аш-Шариф ’Апи ал-Джурджани (1339—1413). уро-
женец Джурджана (Северный Иран).
Комментарии к Памятке (Шарх ат-тазкира)—комментарии к
«Памятке» Насира ад-Дина ат-Туси (см. 43)—Ленинград ГПБ [2] 122
(334 л.). ИНА С 615 (101 л.), Ташкент ИВ 2655/1 (лл. 1—137).
Комментарии к Мудрости источника (Шарх ал-хикма ал-*айн) —
комментарии к энциклопедическому трактату ал-Катиби (см. 44) —
Ташкент ИВ 6637/3 (283 л.).
Комментарии к ал-Чагмини (Шарх ал-Чагмини)—комментарии к
«Избранному по астрономии» (см. 50) —Ленинград ИНА А 589/1
(лл. 1 об. — 56 об.), А 645/1 (лл. 1 об. — 57 об., см. [7, стр. 943]): ЛГУ
90/2 (лл. 13—51, см. [12], № 169), Ташкент ИВ 2655/3 (лл. 218—268, см.
[17, т. 6], № 4246).
57.	Шихаб ад-Дин Ахмад ибн ал-Хаим ал-Фаради (1355—1412).
уроженец Каира, работал в Иерусалиме.
Трактат о науке арифметики (Рисала фи ’илм ал-хисаб) —Ташкент
ИВ 9027/8 (лл. 64—71).
Альмукантараты (ал-Мукантарат)—Баку РРФ В 2837/2 (7 л.).
58.	Салах ад-Дин Муса Кази-заде ар-Руми (1360—1437), уроже-
нец Бруссы (Турция), работал в Самарканде в обсерватории Улугбека.
Обработка «Основных предложений» ас-Самарканди — см. 41.
Трактат о науке астрономии (Рисала фи ’илм ал-хайа) — Ленинград
ИНА С 1062/12 (лл. 51 об.—56).
Правила действий и исправление таблиц (Дастур ал-’амал ва тас-
хих ал-джадвал, перс.)—Тбилиси ИР перс. 49/84 (199 л.) Трактат с
тем же названием принадлежит внуку ар-Руми Мириму Челеби (см. 70
и [49, стр. 311—319]).
Трактат о синус-квадранте (Рисала фи-р-руб’ ал-муджаййаб) —Ле
нинград ИНА А 686/11
Комментарии к ал-Чагмини (Шарх ал-Чагмини)—комментарии к
«Избранному по астрономии» (см. 50)—Ленинград ИНА А 311/2
(лл. 68 об. — 123), А 645/2 (лл. 58 об. — 177 об.), А 1061/1 (лл. 6 об.—
153), В 811 (142 л.), В 812 (116 л.), В 813 (209 л., см. [5], № 413),
В 1302/2 (106 л.), В 1330 (81 л., см. (7, стр. 9431). В 1450/1 (лл. 1 об.—
29 об), В 1640 (73 л.), В 4262/1 (лл. 1 об. —84 об.), С 616 (120 л.),
С 1362 (121 л.), С 1535/1 (лл. 1 об. —70) (см. [6], № 1013—1014): ЛГУ
397 (46 л., см. [12], № 170), Казань КГУ араб. 1057 (60 л.), 1067/1
(лл. 6—81). 1824 (31 л.), Ташкент ИВ 1341 (59 л.), 2655/2 (лл. 139 об. —
221 об.), 2984/4 (лл. 55 об. — 152 об.), 3049/1 (лл. 1 об. — 121 об.), 5619/1
(лл. 1 об.— 127 об.), 7376/1 (лл. 1 об.—65 об.), 7672 (78 л.), 8217 (87 л.),
8392 (78 л.), 8947/3 (124 об. — 195 об.), 9346/2 (лл. 9 об. —94 об.), 9592
267
(108 л.) (см. [17, т. 1], № 510, [17, т. 6]. № 4249—4259), Тбилиси ИР араб.
L 260 (107 л.), L 268 (182 л.), Баку РРФ Б 760 (98 л ), Б 3516 (157 л.);
АГУ 39 (182 л.).
59.	Гийас ад-Дин Джемшид ал-Каши (ум. 1429), уроженец Ката-
на (Северный Иран), работал в Самарканде в обсерватории Улугбека.
Ключ арифметики (Мифтах ал-хисаб) —Ленинград ГИБ [1] 131
(122 л.). Русский перевод этой рукописи, дополненный по другим руко-
писям, см. [49, стр. 9—262].
Краткое изложение «Ключа арифметики» (Талхис мифтах)—Таш-
кент ИВ 2245.
60.	Улугбек Гурган (1394—1449) —князь Самарканда, внук Тимура,
организатор Самаркандской обсерватории.
Астрономические таблицы Улугбека (Султанские, Гурганские таб-
лицы— Зидж-и Улугбек, Зидж-и Султани, Зидж-и Гургани, перс.). В со-
ставлении таблиц принимали участие ар-Руми (см. 58), ал-Каши (см.
59) и ал-Кушчи (см. 62)—Москва ГБЛ перс. 32 (172 л.), Ленинград
ГПБ [1] 118 (62 л., введение), ИНА В 835 (237 л.), С 619 (190 л.), С 793
(139 л.), С 1140 (188 л.), С 1675 (лл. 2 об. — 33 об. — четыре раздела),
С 1676 (162 л.), С 1843 (лл. 8—192 об.) (см [91, № 2174 — 2180), Казань
КГУ перс. 192, Ташкент ИВ 2118 (213 л.), 2214 (215 л.), 457 (161 л.,
неполная) (см. [17, т. 1], № 511—513), 7531, Тбилиси ИР перс. 153/191
(373 л.), Баку РРФ М 115 (188 л.). Французский перевод введения по
другой рукописи — см. [50], английский перевод хронологической ча-
сти— см. [51], английский перевод географической части — см. [42], анг-
лийский перевод звездного каталога — см. [52]. Рукопись ИВ 2214 опи-
сана в [53, стр. 98—284].
Арабский перевод [тех же] таблиц (Та’риб аз-зидж) —Ташкент ИВ
2123.
61.	Шихаб ад-Дин ’Али ал-Маджди (ум. 1446), работал в Дамаске.
Сущность речей об определении времени и наблюдении молодого
месяца (Хуласа ал-аквал фи ма’рифа ал-вакт ва руйа ал-хилал) —
Ленинград ИНА В 1029/2 (лл. 17—21 об. см. [8, т. 1], № 190).
Трактат о пользовании квадрантом, на котором начерчены альму-
кантарата (Рисала фи-л-’амал би-р-руб’ал-марсум би-л-мукантарат) —
Ленинград ИНА А 1459 (8 л.), В 2965/5 (лл. 72 об,—77), ЛГУ 830/5
(лл. 35—39), Казань КГУ араб. 1607/3 (лл 97 об,—102), 1703/4
(лл. 189—195).
Направление на правильный путь спрашивающего об основах за-
дач (Иршад ас-саил ила усул ал-масаил) —Ленинград ИНА В 3687/1
(лл. 1 об.— 13 об.).
62.	’Ала ад-Дин ’Али ал-Кушчи (ум. 1474), уроженец Самарканда,
работал в обсерватории Улугбека, а после его убийства — в Иране и
в Турции.
Трактат о науке арифметики (Рисала дар ’илм-и хисаб, перс.) —
Ленинград ИНА А 265 (лл. 1 об. — 31), В 841/3 (лл. 66 об. — 72 об.),
В 842 (лл. 186—194 об.), В 2023 (лл. 118—131 об.). В 3803 (20 л.),
В 4107 (лл. 1 об.—5), С 1464 (лл. 20 об,—23 об.). С 1557 (лл. 135 об,—
166) 6см. (91, № 1866—1872 и 3857/3) .Ташкент ИВ 3356/3, Душанбе
ИЯЛ 89 /59 л.), ГБФ 680 (46 л.: описана в [541). 912 (105 л.).
Геометрические задачи и астрономия (Хандасийат ва хайа, перс.) —
Ереван ИДР 514/3 (лл. 71 об.— 134 об.) и 540 (66 л., неполная).
Трактат о Havxe астрономии (Рисала дар ’илм-и хайа. перс.) —Ле-
нинград ИНА А 267 (лл 22 об.— 85 об.), А 268 (лл. 26—94 об.), А 311
(лл. 124 об,—125), А 1065 (лл 1—5), В 817 (лл. 1 об,—15), В 833
(40 л.), В 2315 (35 об.—68 об.), В 4280 (95 об,— 133 об., см. [5], № 421,
268
[9], № 1882—1889), Ташкент ИВ 2984/5, 3556, 5619/3, 7622, 7761/1, 9276/2.
Сущность арифметики (Хуласа ал-хисаб) — Ереван ИДР 66/2
(лл. 20—39 об.) и 167 (47 л.). Трактат с тем же названием принад-
лежит Баха ад-Дину ал-’Амили (см. 73).
63.	’Абд ал-’Али ал-Бирджанди (XV в.), работал в Иране.
Комментарии к «Памятке Насир ад-Дина» (Шарх ат-тазкира ан-
Насириййа) — комментарии к трактату ат-Туси (см. 43). — Ленинград
ГПБ (2] 121 (213 л.), ИНА С 1286 (304 л., см. [6], № 185).
Комментарии к изложению «Алмагеста» (Шарх тахрир ал-Маджи-
сти)—комментарии к обработке ат-Туси (см. 11)—Ташкент ИВ 464
(424 л., см. (17, т. 6], № 4241), Тбилиси ИР араб. К 10 (296 л.).
Комментарии к «Двадцати главам о познании астролябии» (Шарх-
и бист баб дар ма’рифат-и астурлаб, перс.) — комментарии к трактату
ат-Туси (см. 43) —Ленинград ГПБ [1] 315/2 (лл. 61—125), 316 (92 л.),
перс, новая серия, 144/2 (лл. 143 об. — 224 об.); ИНА А 260 (лл. 1 об. —
91 об.), В 2218 (лл. 5 об. — 132 об.) (см. [9], № 2328—2329), Казань
КГУ перс. 20 (133 л.), Ташкент ИВ 1854.
Примечания к «Избранному по астрономии» (Хашийа ал-Мулаххас
фи-л-хайа)—комментарии к трактату ал-Чагмини (см. 50)—Ленин-
град ГПБ 126/2 (лл. 47—203); ИНА В 2002 (74 л., см. [8], № 1015),
В 1302/3 (104 л., см. (7, стр. 943]), С 197С/4 (лл. 38 об. —77); ЛГУ 191
/222 л., см. (12], № 171), Казань КГУ араб. 1440 (183 л.); Ташкент ИВ
2655/3,4 (лл. 218—268, 270—355), 3935/2 (лл. 1 об. —9 об.), 5619/2
(лл. 5—289 об.) (см. [17, т. 6], № 4247, 4248).
Комментарии к астрономическим таблицам Улугбека (Шарх-и зидж-
и Улугбек, перс.) —Ленинград ГПБ [2] 119 (220 л.), Казань КГУ перс.
24 (406 л.), Ташкент ИВ 458 (359 л.), 704 (245 л.), 2942 (242 л.) (см.
[17, т. 1], № 514, (17, т. 5],№ 3849). Рукопись ИВ 704 описана в [53, стр.
102—185].
Наука о звездах и календаре (’Илм-и нуджум у таквим, перс.) —
Тбилиси ИР перс. 34/68 (184 л.).
Наука астрономии (’Илм-и хайа, перс.) — Тбилиси ИР перс. 59/95
(134 л.).
64.	Музаффар ал-Джунабади (XV в.?), работал в Иране.
Комментарии к «Двадцати главам о календаре» (Шарх-и бист баб
дар таквим, перс.) — комментарии к трактату ал-Бирджанди (см. 63) —
Ленинград ГПБ [2]120 (204 л.), Казань КГУ перс. 19 (59 л.), Ташкент
ИВ 3641/1 (лл. 1—101), 9739 (172 л.) (см. [17, т. 8], № 5667), Баку
РРФ Б 160 (134 л.).
65.	Аха’ир ал-Каланбави (XV в.?).
Трактат о науке астрономии (Рисала фи’илм ал-хайа)—Ташкент
ИВ 467/3 (лл. 9—22).
Трактат об определении поклонений и стороны кыблы (Рисала фи
ма’рифа ибадат ва джаха ал-кибла) —Ташкент ИВ 7259/4 (20 л.),
9344/2 (лл. 35—50).
66.	Абу-л-Хасан ’Али ал-Каласади ал-Басти (ум. 1486), работал в
Гренаде и Тунисе.
Раскрытие тайн науки о цифрах губар (Кашф ал-асрар ’ан ’илм
хуруф ал-губар) —Ленинград ИНА В 1070 (32 л., см. (8, т. 1], № 193).
Французский перевод другой рукописи см. [55].
67.	Мухаммад Сибт ал-Маридини (1423—1495), уроженец Дамаска,
внук Абдаллаха ал-Маридини (см. 54), ученик ал-Маджди (см. 61),
работал в Каире.
Комментарии к «Блеску науки арифметики» (Шарх ал-лам’ фи ’илм
269
ал-хисаб) —комментарии к трактату Ибн ал-Хаима (см. 57) —Ленин-
град ГПБ [1] 126/1 (лл. 1—26).
Книга отрады в науке арифметики (Китаб ан-нузха фи ’илм ал-
хисаб)—Казань КГУ араб. 1263 (15 л.).
Трактат о синусе (Рисала ал-джайб)—Ташкент ИВ 467/1
(лл. 1 об. —4 об., см. [17, т. 6], № 4268).
Комментарии к «Достаточному об алгебре и алмукабале» Ибн ал-
Хаима (Шарх ал-мукни’ фи-л-джабр ва-л-мукабала ли-Ибн ал-Хаим) —
Ленинград ИНА В 819 (лл. 18—43).
Трактат о пользовании квадрантом (Рисала фи-л-’амал би-р-руб’)
Ленинград ИНА В 1450/2 (30 об. — 34, см. (7, стр. 932]), ЛГУ 830/4
(лл. 30—34 об.).
Трактат, посвященный Салах ад-Дину, о пользовании восточным
квадрантом (ар-Рисала ас-Салахиййа фи-л-’амал би-р-руб’ аш-шарки)
Ленинград ИНА А 629/1 (лл. 1 об.— 10 об., см. [7, стр. 931J).
Трактат, посвященный Салах ад-Дину, о пользовании синус-квагран-
том (ар-Рисала ас-Салихиййа ат-тахсил ал-а’мал ал-джайбиййа) — там
же А 629/2 (лл. 11 об. — 17 об., см. [7, стр. 931]).
Достаточное для довольствующегося малым о пользовании усечен-
ным квадрантом (Кафаййа ал-куну’ фи-л-’амал би-р-руб' ал-макту’)
там же А о29/3 (лл. 18 об.— 33, см. [7, стр. 940]), В 3691/1 (лл. 1 об.— 9).
Выявление движения объекта при пользовании усеченным квадран-
том (Азхар ас-саир ал-мауду’ фи-л-’амал би-р-руб’ ал-макту’) —там же
В 814/1 (лл. 1—11, см. [5], № 413).
Трактат об изображении альмукантаратов на дисках астролябии
геометрическим способом (Рисала фи раем ал-мукантара ва-с-сафаих
ал-астурлаб би тарик ал-хандаса)—трактат о стереографическом про-
ектировании малых кругов небесной сферы, параллельных горизонту,—
Ташкент ИВ 467/2 (лл. 5—9, см. [17, т. 6], № 4269).
68.	Джалал ад-Дин’Абд ар-Рахман ас-Суюти (1445—1505) из Каира.
Избранная астрономия (Мунтахаб ал-хайа) —Ленинград ИНА
В 1632/1 (40 л., см. [7, стр. 946]).
Календарная астрономия в форме предания (ал-Хайа ас-саниййа
фи-л-хайа ас-сунниййа)—Ленинград ИНА В 2479/2 (лл. 47 об.—
58 об.), В 3546 (лл. 93 об.— 102 об.), Казань КГУ перс. 1036 (88 л.).
69.	Абу-л-’Ала Мухаммад ал-Бихишти (XV—XVI вв.), работал в
Хорасане.
Трактат о доказательстве правил арифметики (Рисала фи байан
каванин ал-хисаб) —Ашхабад ИЯЛ 2537/3 (лл. 60—65 об.).
70.	Махмуд Мирим Челеби (ум. 1524), внук Кази-заде ар-Руми
(см. 58), работал в Адрианополе, Бруссе и других городах Турции.
Комментарии к «Трактату, посвященному Фатх ад-Дину» ’Али ал-
Кушчи (Шарх ’ила ар-Рисала ал-Фатхиййа ли-’Али ал-Кушчи)—Ле-
нинград ИНА В 1780/1 (88 л., см. [7, стр. 931]).
Трактат о квадранте с алмукантаратами (Рисала дар руб ал-му-
кантара, перс.) —там же А 686 (лл. 193 об.— 208, см. [9], № 1855)
Сокращенное о познании пользования ловящим квадрантом (Мух-
тасар дар ма’рифат-и ’амал ба руб’-и шикари, перс.) —там же В 836/1
(лл. 1 об.—13, см. [9], № 3881)
Трактат о познании пользования универсальным квадрантом (Ри-
сала дар ма’рифат-и ’амал ба руб’-и джами’а, перс.) —там же В 836/2
(лл. 13 об.—28).
Трактат о познании пользования ловящим квадрантом (Рисала дар
ма’рифат-и ’амал ба руб’-и шикари, перс.) —там же В 836/3 (лл 28
об — 44).
270
Учение о пользовании синус-квадрантом (Мазхаб дар ’амал-и руб’-и
муджаййаб, перс.) —там же В 836/4 (лл. 44 об. — 73).
Трактат (Рисала, перс.) —там же В 836/5 (лл. 73 об. — 84).
71.	Хусайн ал-Хусайни ал-Халхали (ум. 1605), уроженец Халхаля
близ Ардебиля (Азербайджан).
Трактат о толковании всевышних слов о движении Солнца и о спо-
собах познания времени его заката и направления кыблы (Рисала фи
тафсир каул та’али ли-далук аш-шамс ва тарик ма’рифа вакт аз-завал
ва самт ал-кибла) —Ленинград ИНА А 345/25 (лл. 114 об.— 115).
Объяснение небесных сфер (Ташрих фалак)—Ленинград ИНА
В 4262/2 (лл. 85 об,—90 об.).
Трактат об индийском круге (ар-Рисала фи шарх ад-даира ал-хин-
диййа) — Ленинград ГИБ [1J 128/3 (лл. 70—80), ИНА С 2093/1 (лл. 1
об.— 6).
Комментарии к «Сущности арифметики» (Шарх Хуласа ал-хисаб) —
Ашхабад ИЯЛ 2537/9 (лл. 95 об.— 165 об.).
Благородный (трактат] (аш-Шарифа) —Ашхабад ИЯЛ 3067 (88 л.).
72. ’Омар ал-Фарискури (ум. 1609).
Комментарии к «Базилику духа» (Шарх Райхана ар-рух)) —Ле-
нинград ИНА В 1639/1 (196 л., см. (7, стр. 933J).
73.	Баха ад-Дин Мухаммад ал-’Амили (1547—1622), уроженец Ба-
албека (Сирия), работал в Исфахане (Иран).
Сущность арифметики (Хуласа ал-хисаб) — Москва ГБЛ араб.
87/4 (лл. 121 об.— 127), Ленинград ГИБ [2] 126 (37 л.), 128/2 (57 о'и,—
73 об.), 138/2 (56 об.—83 об.); ИНА А 671/1 (лл. 1 об,—19 об.),
А 712/1 (лл. 1—37), А 876/2 (лл. 139—155, см. (6], № 419), В 817/2
(лл. 16 об.—52, см. [5], № 421), В 841/12 (лл. 86 об.— 120 об.), В 842/7
(лл. 76 об. — 104 об.), В 1361 (23 л., см. (7, стр. 929]), В 2315/2 (лл. 11
об. —33), В 3021/1 (лл. 1 об. — 16 об.), В 3021/2 (лл. 17 об.— 32, VI и
X главы), В 3352 (33 л.), В 3556 (104 л.), В 3680/2 (лл. 49 об. — 70 об.),
В 3734/8 (лл. 149—166 об.), В 4182/3 (лл 45 об.—78 об.), С 1187/1
(лл. 1 об.—12), С 1995 (89 л); ЛГУ 671 (55 л.), Казань КГУ араб.
980 (лл. 1—19), 1056 (лл.235—261), 1711 (лл. 142—171),2066 (50л.),Таш-
кент ИВ 597 (166 л.), 2818/2 (лл. 70—129), 2984/6 (лл. 192—216), 4821/5
(лл. 38—69), 5330/12 (49 л.), 6057/2 (лл. 8—49), 6230/3 (лл. 54—78).
6453/2 (32 л.), 6854/2 (22 л.), 7579/1 (34 л.), 7808/4 (4 л.), 8718/1 (лл. 1—
28, см. [17, т. 6], № 4239); Ереван ИДР 174 (56 л.), 204/1 (лл. 1 об. — 29),
513 (25 л.), 514/2 (лл. 19 об,—71), Тбилиси ИР араб. К 13/4 (лл. 57—
80), К 21/2 (лл. 75 об, —89 об.), К 29 (47 л.), L 331/3 (лл. 21 об —33),
Баку РРФ Б 760/2 (лл. 99—130), Б 3502 (35 л.), Душанбе БАН 1611
(164 л.), 2609 ГБФ 931 (185 л.), 1239 (187 л.). Рукопись ГБФ 931 опи-
сана в [56]. Персидские переводы — Ленинград ГПБ [2] 128/1 (лл.1—
56 об); ИНА D 486 (свиток, перевод 2 глав, см. {9], № 1170), Ташкент
ИВ 6131/1 (лл. 1—117). Немецкий и французский переводы по другим
рукописям — см. [57] и [58].
Трактат об арифметических правилах и геометрических указаниях
(Рисала фи каваид ал-хисабиййа ва ал-далаил ал-хандасиййа)—Ле-
нинград ИНА А 134/2 (лл. 7—16).
Совершенная жемчужина в астрономии (Дурра таммиййа фи-л-
хайа)—Ленинград ИНА В 2320/1 (лл. 1 об.—’12 06.), В 3263/3
(лл. 7 об. — 28 об.).
Систематический трактат по астрономии (Рисала манзума фи-л-
хайа) —Казань КГУ перс. 18 (24 л.).
Вопросы астрономии (Масаил фи-л-хайа) —Ташкент ИВ 5619/4.
Объяснение небесных сфер (Ташрих ал-афлак)—Ленинград ИНА
271
В 2563/2 (лл. 4 об. —27 об.), В 2999/5 (лл. 31 об. —52 об.). В 3556/4
(лл. 1 об.— 14), В 4102/6 (лл. 102—104), Казань КГУ араб. 1878 (77л.),
Ташкент ИВ 5619/5 (8 л ), 9346/1 (лл. 1—8), 9733/1 (лл. 1—12)
70 глав о .познании астролябии (Хафтад баб дар ма’рифат-и
астурлаб, перс.)—Ленинград ГПБ [1] 130/3 (лл. 14—17), Ташкент ИВ
466/1 (лл. 1—11, см. (17, т. 6], № 4270), Ереван ИДР 204/4 (лл. 138 об.
162).
Диск астролябии (ас-Сафиха)—Ленинград ГПБ [2]	138/4
(лл. 111 об.—119).
74.	Юсуф Карабаги (ум. 1645), уроженец Карабаха.
Трактат о точном определении направления кыблы (Рисала дар
гахкик-и самт-и кибла, перс.) —Ташкент ИВ 2422/3 (лл 34 об. — 52 об.,
см. (17, т. 5], № 3851).
75.	Рамадан ал-Джазари (XVII в.).
Комментарии к «Сущности арифметики ал-’Амили» (Шарх ила Ху-
ласа ал-хисаб ли-л-’Амили)—Ленинград ИНА В 818 (138 л.), В 1616
(126 л., см. [7, стр. 929]).
76.	’Али ан-Набтити (XVII в.?), уроженец Набтита (Египет).
Комментарии к трактату ал-Маридини, посвященному Фахт ад-
Дину (Шарх ар-Рисала ал-фатхиййа ли-л-Маридини) —Ленинград ИНА
В 814/2 (лл. 12 об.— 49 об., см. [5], № 413), В 2695/3 (лл. 26 об. —61).
77.	Мухаммад ибн Баба-Калан ас-Самарканди (XVII в.), работал в
Самарканде.
Трактат об арифметических действиях (Рисала дар а’мал-и хисаб,
перс.) —Ташкент ИВ 1451/1, 1693/6,2245/5, 7579/2.
Шесть действий по разделению наследств (Шаш ’амал-и фараид,
перс.) —Ташкент ИВ 2692/7 (лл. 173—188, см. |[17, т. 4], № 3157), 7131/14
(11 л.).
Математика (Рийазийат, перс.)—Ленинград ИНА В 4741
(лл. 44 об. — 68).
Сборник математических сочинений—Тбилиси ИР перс. 418 (126 л.).
78.	Фарид ад-Дин Мас’уд Дихлави (ум. 1629), уроженец Дели, ра-
ботал в Лахоре (Индия).
Книга деяний второго обладателя [счастливого] соединения звезд-
Шах-джаханские астрономические таблицы (Карнама-йи сахиб-киран
сани’ — зидж-и Шах-джахани, перс.)—Ленинград ИНА D 139 (434 л.).
79.	Мухсин ал-Хасани (XVII в.?).
Комментарии к «Краткому изложению „Ключа арифметики**»
(Шарх талхис ал-мифтах)—комментарии к трактату ал-Каши (см.
59) —Ленинград ИНА А 265/4 (лл. 61 об.— 121).
Основные предложения (Ашкал ат-та’сис) — там же, А 265/5
(лл. 122 об. — 134); трактат с тем же названием принадлежит ас-Самар-
канди (см. 48).
Арифметические вопросы, познание которых необходимо для вычис-
лителей (Масаил хисабиййа фи ма’рифа ма йахтадж илайхи ал-муха-
сиб) —там же А 265/6 (лл. 134 об.— 145 об.)
80.	Мухаммад ал-Кавакиби (1609—1635), работал в Алеппо.
Направление учащегося в ожерелье светил (Иршад ат-талиб ила
мутатука ал-кавакиб)—Ташкент ИВ 2208 (219 л.).
81.	Савай Джай Сингх (1686—1743), работал в обсерваториях в
Дели, Бенаресе, Джайпуре, Уджайне и Муттре (Индия).
Астрономические таблицы Мухаммад-шаха (Зидж-и Мухаммад-ша-
хи, перс.) —Казань КГУ перс. 10 (177 л.), Ташкент ИВ 438 (302 л.),
439 (304 л.). 440 (195 л.), 441 (ИЗ л.), 2752 (360 л.) (см. [17, т. 1],
272
№ 517—521), Душанбе ИЯД 30 (210 л.). Рукопись ИВ 441 описана в
153, стр. 304—307].
82.	Ахмад Даниш (1828—1897), работал в Бухаре.
Наблюдение светил (Маназир ал-кавакиб, перс.)—Ташкент ИВ
459/2 (лл. 29 об.—170 об.), 2144 (142 л.), 2941 (145 л.) (см. [17, т. 1],
№ 529—531), 5259/2 (лл. 134—304).
Различные пользы науки о звездах (Фаваид мутафаккара дар ’илм-
и нуджум, пеос.)—там же, 2247/4 (лл. 55—98).
Трактат о действиях с глобусом (Рисала фи а’мал ал-кура, перс.) —
там же, 2247/1 (лл. 1—4).
Таблица часов восхода и захода Солнца (Джадвал-и са’ат-и тулу’
у гуруб-и шамс, перс.) —там же, 5095/1 (лл. 1—12).
СПИСОК РУКОПИСЕЙ ПО БИБЛИОТЕКАМ
Москва, ГБЛ
Арабские рукописи — 87/1 (лл. 9 об. — 79) Наука арифметики (’Илм
хисаб). 87/2 Солнечный трактат об арифметике (ан-Найсабури)—см.
46, 87/3 (лл. 113 об.— 122) Трактат с доказательствами (Рисала ал-
бурханиййа). 87/4 Сущность арифметики (ал-’Амили))—см. 73. 121
(177 л.) Трактат о разъяснении некоторых геометрических учений
(Рисала фи байан ба’д *улум ал-хандаса)—геометрический трактат,
содержащий изложение геометрических построений и измерений на ме-
стности. Персидские рукописи — 32 Астрономические таблицы Улугбе-
ка— см. 60.
Собрание Гинзбурга — 340/6 Комментарии к книгам Евклида (Ибн
ал-Хайсама) —см. 28. 1065, 1071 Книга начал науки о звездах (ал-Фар-
гани)—см. 16. 1741 (лл. 55—161) Алгебра и алмукабала (ал-Джабр
ва-л-мукабала) — трактат на арабском языке еврейскими буквами.
Ленинград, ГПБ
Собрание Дорна [1]—126/1 Комментарии ал-Маридини к «Блеску
науки арифметики» Ибн ал-Хаима — см. 67. 126/2 Замечания ал-Бирд-
жанди к «Избранному по астрономии» ал-Чагмини, 315/2 Комментарии
к «Двадцати главам о познании астролябии — см. 63. 127 (126 л.) Ком-
ментарии к «Избранному по астрономии» (Шарх ал-Мулаххас)—Ком-
ментарии к ал-Чагмини. 128/1, 130/8, 917/2 Двадцать глав о познании
астролябии, 547/2 Тридцать разделов о познании календаря, 547/5 Уче-
ние о [гадании на] песке (ат-Туси) —см. 43. 128/2 Трактат о пользова-
нии астролябией (ал-Андалуси)—см 34.128/3 Трактат об индийском круге
(Хусайна ал-Халхали)—см. 71. 128/4 (лл. 81 —170) Упоминание редко-
стей, относящихся к невидимой астролябии (аз-Захар ал-’аджаиб фи-л-
астурлаб ал-гаиб — Абу-л-Ма’али Мухи ад-Дина ас-Са’ати). 129/1
(лл. 1—30) О пользовании синус-квадрантом (фи ’амал руб’ ал-джуй-
уб — ’Омара ал-Вакила). 129/1 (лл. 31—97) Подарок слушающему о
том, что относится к знакам Зодиака и гороскопам (Тухфа ас-сами* фи
ма йата’лику би-л-бурудж ва-т-тавали’ — ’Али ибн Ибрахима ал-Ап-
сари). 130/1 (лл. 1—13) Краткое введение в учение об определении но-
«и и дня, пользуясь четвертью круга, называемой синус-квадрантом
(Мукаддама мухтасара фи ма’рифа истихрадж а’мал ал-лайл ва-н-на-
хар мин руб’ ад-даира ал-мусамма би-руб’ ал-муджаййаб). 130/2
(лл. 13—14) Арифметика (ал-Хисаб) 130/3 Семьдесят глав о познании
J8 Заказ 338
273
астролябии (ал-’Амили) —-см. 73. 130/4 (лл. 18—25) О пользовании си
нус-квадрантом (Фи ’амал руб’ ал-муджаййаб). 130/5 (лл. 26—33) Ру-
ководство для действующего [астрономическими инструментами] (Хи
дайа ал-’амил). 130/6 (лл. 34—48) Северная астролябия (ал-Астурлаб
аш-шимали). 131. Ключ арифметики (ал-Каши)—см. 59. 133/1 Избран
ное по астрономии (ал-Чагмини) —см. 50. 133/2 (лл. 87 об. — 88) Пре-
дисловие к комментариям ал-Чагмини (Дибаджа-йи шарх-и Чагмини,
перс.). 133/3 Основные предложения (ас-Самарканди, в обработке ар-
Руми)— см. 48. 315/1 (лл. 1—60), 316 (92 л.) Комментарии к «Трак-
тату, посвященному Фатх ад-Дину» (Шарх-и рисала-йи фатхиййа) —*
комментарии к трактату ал-Кушчи — см. 62; комментарии с таким на-
званием имеются у Челеби (см. 70). 317/1 (лл. 4—11) Краткое о поз-
нании астролябии (Мухтасара дар ма’рифат-и астурлаб, перс.). 317/3
(лл. 26—55) Трактат об астролябии (Рисала дар астурлаб, перс.—
Хизршаха Эффенди). 317/4 (лл. 55—65) О предпосылках для выбора
счастливых дней с помощью семи планет (Дар мукаддамат-и ихтийа-
рат бар ситарган саб’а, перс. — Мухаммада ибн Аюба ат-Табари). 317/5
(лл. 66—74) Краткое о познании календаря (Мухтасар дар ма’рифат-и
таквим, перс.).
Собрание Ханыкова [2]— 117 Книга о весах мудрости (ал-Хазини) —
см. 35.118 Астрономические таблицы Улугбека—см. 60. 119 Комментарии
к ним, 121 Комментарии к «Памятке Насир ад-Дина» (ал-Бирджанди)
2М. 63. 120 Комментарии к «Двадцати главам» (ал-Джунабади) —см. 64
122 Комментарии « «Памятке» (ал-Джурджани) —см. 56. 123 (124 л.)
Комментарии к «Памятке» (Шарх ат-Тазкира) —комментарии к тому же
трактату. 124/1, 138/3 Двадцать глав о познании астролябии, 144/19, 145
Трактат о фигуре секущих (ат-Туси) —см. 43. 125 (80 л.) Море драго-
ценностей (Бахр ал-джавахир — ’Абд ал-Вахида ал-Исфахани). 126,
128/1, 138/2 Сущность арифметики. 138/4 Диск астролябии (ал-’Ами-
ли) — см. 73. 127 (55 л.) Комментарии к «Сущности арифметики» (Шарх
Хуласа ал-хисаб — Ибн Абу-л-Касима Мухаммада ат-Табризи)—ком-
ментарии к этому трактату. 128/3 (лл. 74—130) Первое рассуждение о
сердцевине науки арифметики (Табсира ула ал-албаб фи ’илм ал-хи-
саб). 130 (182 л.) Доказательство достаточности в предсказаниях по
звездам (Бурхан ал-кафайа фи ахкам ан-нуджум — ’Айна ’Али). 139
«Алмагест» Птолемея в обработке ат-Туси — см. 11. 140, 141, 143 «На-
тала» Евклида в обработке ат-Туси — см. 3. 142, 144/3 «Сферика» Фео-
досия— см. 6. 144/2 (лл. 122—136 об.) Об искусстве музыки (Фи сана’а
мусика)—трактат о теории музыки, основанный на теории отношений
144/4 «О движущейся сфере» Автолика — см. 2. 144/5 (лл. 164—210)
Комментарии к «Сферике» Менелая (Шарх кит�