Text
                    В. Н. Литвиненко
ЕОМЕТРИЯ
'4L iCl^ClL-LLtLt
•	— М •
классов
В. Н. Литвиненко
Г1	В. Н. Литвиненко
ЕОМЕТРИЯ
Тетрадь заданий
10
класс
•	— М •
200/
ББК 22.151.0я121
Л 64
Рецензенты:
кандидат физико-математических наук, доцент Московского педагогического университета Е.С. Карманова,
учитель математики общеобразовательной школы № 42 г. Москвы, Заслуженный учитель РФ Н.В. Карюхина
Литвиненко В.Н.
Л 64 Геометрия—10: Тетрадь заданий. — М.: «Вербум-М», 2001. — 128 с.
ISBN 5-8391-0070-6
«Тетрадь заданий» по геометрии для 10 класса является второй книгой комплекта, состоящего из трех книг (первая книга — это учебник «Геометрия—10», а третья — «Проверочные и контрольные работы»).
Содержание «Тетради» составляют задания для самостоятельной работы по всем темам курса геометрии—10. Последовательность заданий в «Тетради» соответствует последовательности изложения теоретического материала в учебнике «Геометрия—10». Задания многовариантны, дифференцированы по степени трудности и систематизированы. Часть их содержит работу с развертками моделей многогранников, в том числе склеивание моделей многогранников из готовых разверток. Ни в каких других пособиях таких заданий нет.
В «Тетрадь» включены специально составленные задачи на построение. Решение таких задач способствует сознательному усвоению аксиом стереометрии, теорем о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.
Значительную часть заданий «Тетради» образует блок вычислительных задач. Они систематизированы таким образом, чтобы можно было наиболее естественно перейти от вычисления расстояния между двумя точками к вычислению расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости и далее к вычислению расстояния между скрещивающимися прямыми. Так же естественно систематизированы и задачи на вычисление углов в пространстве.
Все задания иллюстрированы, все необходимые дополнительные построения предлагается выполнять непосредственно в «Тетради».
ББК 22.151.0я121
ISBN 5-8391-0070-6
© Издательство «Вербум-М», 2001
1.	Модель поверхности
Задание 1
На рисунке а) изображена поверхность, представляющая собой контейнер, дно которого — прямоугольник с отношением сторон АВ: AD = -1:2, две боковые стенки — прямоугольники д с отношением сторон AAi: AD = BBi: ВС =1:2, а две другие боковые стенки — равные трапеции, углы при больших основаниях которых равны 45°.
На рисунке б) построена развертка модели этой поверхности. Вырежьте ее, сделайте сгибы по штриховым линиям1. Смажьте клеем незакрашенные выступы и склейте модель таким образом, чтобы ее закрашенная сторона оказалась внутри модели.
(^t)o	<с1)о
D
1 Чтобы сгибание развертки модели выполнялось легче и точнее, можно предварительно провести по каждой линии сгиба без лишнего нажима заостренным (но не режущим) предметом.
3
Задание 2
На рисунке а) изображена поверхность, представляющая собой контейнер с квадратным основанием и перегородкой по диагонали.
На рисунке б) построена развертка модели этой поверхности. Вырежьте ее, сделайте сгибы по штриховым линиям. Смажьте клеем незакрашенные выступы и склейте модель таким образом, чтобы ее закрашенная сторона оказалась внутри модели.

5
2.	Модель многогранника
Задание 3
На рисунке а) изображен многогранник, а на рисунке б) построена развертка его модели.
Вырежьте ее, сделайте сгибы по штриховым линиям. Смажьте клеем незакрашенные выступы и склейте модель многогранника таким образом, чтобы ее закрашенная сторона оказалась внутри модели.
(Qo
(£>i)o
(^)о
(*1)о
D
(А)о'
(G)o
Di
(G)o

7
Задание 4
На рисунке а) изображен многогранник, а на рисунке б) построена развертка его модели.
Вырежьте ее, сделайте сгибы по штриховым линиям. Смажьте клеем незакрашенные выступы и склейте модель многогранника таким образом, чтобы ее закрашенная сторона оказалась внутри модели.
Измерьте сторону MqBq треугольника MqAqBq и сторону MQBQ треугольника MqBqCq, убедитесь, что эти стороны равны. Укажите еще пары равных и одинаково обозначенных сторон на рисунке б). MQ
9
Задание 5
На рисунке а) изображен многогранник, а на рисунке б) построена развертка его модели. Двух выступов для склеивания на развертке не хватает.
Достройте недостающие выступы, затем вырежьте развертку, согните ее по линиям сгиба1, смажьте клеем все выступы и склейте модель таким образом, чтобы ее закрашенная сторона оказалась внутри модели.
1 Сгибание развертки модели по точечной линии (линия обратного сгиба) выполняется в сторону, противоположную той, по которой делалось сгибание по штриховым линиям.
11
Задание 6
На рисунке а) изображен многогранник, а на рисунках б) и в) построены две детали развертки его модели.
Вырежьте эти детали и согните их по линиям сгиба. Подумайте, в каком порядке легче склеить модель многогранника.
Смажьте клеем незакрашенные выступы и склейте модель таким образом, чтобы закрашенные стороны ее деталей оказались внутри модели.
Во.____________
<*i)o
Bt
(G)o

<^i)o
(Л)о
(^1)о/
И1)о
(^l)o
Bo
(*l)o
Bq
-----
в)
6)
13
3.	Развертка пирамиды. Модель пирамиды
Задание 7
На рисунке построена развертка пирамиды МАВС на плоскость АВС. Постройте связные развертки этой пирамиды, разворачивая ее грани на следующие плоскости:
а) МАС; б) МВС.
Задание 8
На рисунке а) изображена пирамида MABCD, а на рисунке б) построена ее развертка. Постройте развертки следующих пирамид:
а} МАВС; б) MACD; в) MBCD; г) MABD.
15
Задание 9
На рисунке а) построена развертка пирамиды МАВС. Постройте развертки этой же пирамиды:
а)	повернув на рисунке б) треугольник MqBqCq вокруг точки Со до совпадения его вершины Mq с вершиной Л/о треугольника MqAqCq,
б)	повернув на рисунке в) треугольник MqBqCq вокруг точки Во до совпадения его вершины MQ с вершиной Mq треугольника MqAqBq,
в)	повернув на рисунке г) треугольник MqAqCq вокруг точки Со и треугольник MqAqBq вокруг точки Во Д° совпадения вершин Мо этих треугольников с вершиной Af0 треугольника MqBqCq.
16
Задание 10
Вырежьте развертку модели пирамиды МАВС (рис. а), согните ее по штриховым линиям. Смажьте клеем незакрашенные выступы и склейте модель пирамиды.
Нарисуйте склеенную модель. Сравните свой рисунок с рисунком б).
Пирамиды, развертки моделей которых представлены в заданиях 10 и И, расположены каждая по одну сторону от плоскости любой своей грани. Таким образом, эти пирамиды являются выпуклыми многогранниками.
2-542
17
Задание 11
Вырежьте развертку модели пирамиды MABCD (рис. а), согните ее по штриховым линиям. Смажьте клеем незакрашенные выступы и склейте модель пирамиды. Назовите: вершину пирамиды; основание пирамиды; боковые грани; боковые ребра; стороны основания.
Нарисуйте склеенную модель. Сравните свой рисунок с рисунком б).
19
задание 1 z
Вырежьте развертку модели пирамиды Л/ЛВСО£(рис. а). Согните ее по штриховым и точечным лийиям. Смажьте клеем незакрашенные выступы и склейте модель пирамиды.
Нарисуйте склеенную модель. Сравните свой рисунок с рисунком б).
Пирамида, модель которой предлагается склеить в этом задании, невыпуклая. Так, например, ее точки А и D лежат по разные стороны от плоскости грани МВС. На развертке невыпуклого многогранника обязательно имеются так называемые линии обратного сгиба. Их выделяют точечными линиями.
21
Задание 13
Достройте развертки пирамид изображениями недостающих граней. Рассмотрите разные варианты достраивания.
23
Задание 14
На изображениях пирамид выделены пространственные ломаные. Постройте указанные ломаные на развертках этих пирамид.
24
Задание 15
На развертках пирамид выделены звенья пространственных ломаных. Постройте эти ломаные на изображениях пирамид.
25
4. Построение сечения пирамиды
Задание 16
Постройте сечение пирамиды MABCD плоскостью, проходящей через точки Р, Q и R, лежащие соответственно на прямых DC, DA и DM.
Задание 17
Постройте линию пересечения заданных секущих плоскостей пирамиды.
a) MDB и МАС
6)MBChMAD
A^B^Cj И .Д2-®2^'2
г) АВХС и MDB
^AfBQaMCP
е)АВ1СиМСЕ
27
Задание 18
Постройте точки пересечения заданных прямых с плоскостью АВС.
А& PAt, PQ.
Точка А, лежит на ребре МА, а точки Р и Q лежат соответственно в гранях МАВ и МАС.
Точки D, и А лежат соответственно на ребрах MD и МА, а точки Р и Q — соответственно в гранях MCD и МВС.
PQ, PR; РЕ,.
Точки Р, Q и R лежат соответственно в гранях МВС, MDE и МАЕ, а точка Е, лежит на ребре ME.
РВ,; PC,; PQ.
Точки В, и С, лежат соответственно на ребрах МВ и МС, а точки Р и Q — соответственно в гранях MAD и МВС.
28
Задание 19
Постройте основной след секущей плоскости а, проходящей через точки Р, Q и R.
л Точки Р и Q соответственно на ребрах МА и МВ, а точка R в грани MCD.
Точки Р, Q и R соответственно в гранях МАВ, МВ С и MAD.
>. Точки Р и Q соответственно в гранях МВС и MDE, а точка R на ребре ME.
г / Точка Р на ребре MD, а точка Q и R соответственно в гранях МАЕ и МАВ.
29
Задание 20
Постройте сечение пирамиды плоскостью а, проходящей через точки Р, Q и R.
а)	Точки Р и Q взяты соответственно на ребрах МА и MD, а точка R — в грани MCD.
б)	Точки Р и Q взяты соответственно на ребрах МА и CD, а точка R — в грани MCD.
в} Точки Р и Q взяты соответственно на ребрах МВ и МС, а точка Q — в грани MDE.
г н Точки Р и Q взяты соответственно на ребрах МВ и ME, а точка R — в грани MCD.
30
Задание 21
Укажите, на каких рисунках сечение пирамиды плоскостью PQR построено неправильно. Объясните ошибку.
а)	ТочкиР, Q и Р взяты соответственно на ребрах МВ, МАВ и ВС.
б)	Точки Р и Q взяты соответственно на ребрах МВ и МС, а точка R совпадает с точкой D.
в) ТочкиР, QuRвзяты соответственно на ребрах МА, ME и ED.
г) Точки P,QhR взяты соответственно на ребрах МВ, МА и ME.
31
Задание 22
Выясните, пересекаются ли прямые PQ и RV.
Точки Р и Q взяты соответственно на ребрах МВ и АС, а точки R и V— соответственно на ребрах АВ и МС.
6/ Точки Р и Q взяты соответственно на ребрах МВ и МС, а точки R и V— соответственно на ребрах МА и MD.
Точки Р и Q взяты соответственно на ребрах МА и DE, а точки R и V— соответственно на ребрах АЕ и МС.
' / Точки Р и Q взяты соответственно на ребрах МВ и АВ, а точки R и V— соответственно на ребрах МС и CD.
32
5. Построение пересечения прямых и плоскостей
Задание 23
Постройте лищии пересечения заданных плоскостей.
3-542
33
Задание 24
Постройте точки пересечения заданных прямых с заданными плоскостями.
34
Задание 25
Постройте точки пересечения заданных прямых с заданными плоскостями.
б) BiPaCiBD.
в) CiPmBiAC.
г) CiPnDiKF.
35
6.	Построение прямой, параллельной заданной прямой
Задание 26
Постройте прямую, проходящую через заданную точку параллельно заданной прямой.
1	• На ребре МВ пирамиды МАВС взяты точка Вь а на прямой АС — точки Р, Q и R.
Через точку Вх проведите прямые, параллельные следующим прямым: а)ВСъАВ\ 6)BPnBQ, e)MCnMR.
2.	На ребрах MB, МС и MD пирамиды MABCD взяты соответственно точки Bj, Ci и D\.
Через точку Сх проведите прямые, параллельные следующим прямым: a)CD,CD^MD\ б) AD{;
e)ABv
3.	На ребрах МВ, МС и MD пирамиды MABCD взяты соответственно точки Вь Ct и Db а на ребрах AD и АВ взяты соответственно точки Р и Q
Через точку Р проведите прямые, параллельные следующим прямым:
a)BiQ 6)CiDi; в)В1С\.
36
Задание 27
Постройте прямую, проходящую через заданную точку параллельно заданной прямой.
1. Параллельно прямой (Bt g MB), через следующие точки:
а) Р £ АВ’, б) Q g МВ’, в) R g CD’, г) Ci е МС; д) V, принадлежащую грани МВС.
2. Параллельно прямой AtCi (Ate МА, Ci g МС) через следующие точки:
а) Pg АС; б) Q g МА; Re АВ; г) g МС;д) V, принадлежащую грани МАВ.
3. Параллельно прямой C1F(C1gMC, FeAE) через следующие точки:
a) PgCF; б) А; в) Е; г) QeDE.
4. Параллельно прямой	(Bt eMB,
Р g CD) через следующие точки:
«7 QgCD;6) D;e) ReABi,i) А.
37
Задание 2J
Постройте прямую, проходящую через заданную точку параллельно заданной прямой.
1. Параллельно прямой PQ (точки Р и Q принадлежат соответственно граням МАВ и МАС) через следующие точки:
a)Bi е М} 6) Re ВС} в) V, принадлежащую грани МАВ} г) Ct е МС.
2. Параллельно прямой (Лх е МА, Ci е МС) через следующие точки:
а)Ре AD} б) Qe АВ} в) R, принадлежащую грани MCD} г) Ve АС.
X Параллельно прямой PQ (Р е АВ, Q е MD) через следующие точки:
а}А} б)В} в)Ке AD} г)Сх е МС.
4. Параллельно прямой СХР(СХ е МС, Р е AD) через следующие точки:
а) Ах е МА} б) Вх е MB} Dr е MD} г/Qe ВС.
38
7.	Развертка призмы. Модель призмы
Задание 29
Вырежьте развертку модели призмы АВСА&С^ (рис. а), согните ее по линиям сгиба. Смажьте клеем незакрашенные выступы и склейте модель призмы.
Нарисуйте склеенную модель. Сравните свой рисунок с рисунком б).
(А)о
39
Задание 30
Вырежьте развертку модели призмы АВСПА&С^ (рис. а), согните ее по линиям сгиба. Смажьте клеем незакрашенные выступы и склейте модель призмы.
Нарисуйте склеенную модель. Сравните свой рисунок с рисунком б).
41
Задание 31
Вырежьте развертку модели призмы ABCDEAiBlClDlEi (рис. а), согните ее по линиям сгиба. Смажьте клеем незакрашенные выступы и склейте модель призмы.
Нарисуйте склеенную модель. Сравните свой рисунок с рисунком б).
43
8.	Построение сечения призмы
3адание32	,ч.
Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки Р, Q и R, лежащие соответственно на прямых А^Ву А1С1 и А^А.
45
Задание 33
Постройте линию пересечения заданных секущих плоскостей призмы.
д) Л^СиЛ^С^	е) ЛВ2С2 и Л2В|С'^
46
Задание 34
Постройте точки пересечения заданных прямых с плоскостью нижнего основа-
ния призмы.
1. a) В{Р, точка Ркоторой лежит в грани АВВхАу
б) BiQ, точка Q которой лежит в грани ACCiAft
") PQ.
2. a) DiP, точкаРкоторой лежит в грани BCCiBi,
б) А2Р, точка А2 которой лежит на прямой AAt;
«) PQ> точка Q которой лежит в грани CDDiCi.
3. а) РА2, точка Р которой лежит на отрезке	а точка А2 — на ребре AAt;
б) QA2, точка Q которой лежит на отрезке Ct£;
») PQ.
4. a) AiP, точка Р которой лежит на отрезке ADy
б) AiQ, точка Qкоторой лежит в плоскости грани BCCiBi,
в) PQ.
47
Задание 35
Постройте основной след плоскости PQR на плоскости АВС и основной след плоскости PQV на плоскости А&С^
а)	Точка Р взята на ребре А^ВЬ точка Q — на продолжении ребра CClf а точки R и V— соответственно в гранях АСС^ и BCCtBt.
б)	Точки Р и Q взяты соответственно в гранях ADDXAX и АВВХАЬ а точки R и V — соответственно на ребрах СС{ и В^С^.
в) Точка Р взята на отрезке АСЬ точка Q — на ребре АВ, а точки R и V — соответственно в гранях DEEiDi и CDDrC{.
г) Точка Р взята на ребре ВВЬ а точки Q, R и V — соответственно в гранях AEE^Aj, ВСС^В^ и CDD^C^.
48
Задание 36
Постройте сечение призмы плоскостью PQR.
а)	Точка Р взята на продолжении ребра ВВЬ точка Q — в грани ACCiAlt точка R — на ребре
б)	Точки Р, Qn R взяты соответственно в гранях BCCiBlt DEE^ и
в) Точки Р, Q и R взяты соответственно на ребрах ВВи ЕЕХ и СС{.
г) Точки Р и Q взяты соответственно в гранях АВВ\А\ и ВССХВЬ а точка R — на ребре ££i.
4-542
49
Задание 37
Выясните, пересекаются ли прямые PQ ц R V.
а)	Точки Р, Q, R и V взяты соответственно на ребрах CCif В{С{ и АС.
6)	Точки Р, Q, R и V взяты соответственно на ребрах BBlf DDlf BtCi и CD.
в) Точки Р, Q, R и V взяты соответственно на ребрах BBit DDb AAt и CCt.
г) Точки Р, Q, R и V взяты соответственно на ребрах А{Bt, CD, АА{ и В{С{.
50
9.	Построение прямой, параллельной заданной прямой
Задание 38
Постройте прямую, проходящую через заданную точку параллельно заданной прямой.
1.	Параллельно прямой C2D, точка С2 которой лежит на ребре СС\, через следующие точки:
a)	D2, лежащую на ребре DD^
б)	А;
в)	А2, лежащую на ребре AAt.
2.	Параллельно прямой BtD, точка D которой лежит на ребре АС, через следующие точки:
а)	Р, лежащую на ребре АС;
б)	Q лежащую на отрезке Вх С\
в)	R, лежащую в грани АВВ^.
3.	Параллельно прямой DtP, точка Р которой лежит на ребре АЕ, через следующие точки:
a)	Q, лежащую на отрезке DP,
б)	R, лежащую на ребре
в)	А2, лежащую на ребре AAV
4.	Параллельно прямой В2Р, точки В2 и Р которой лежат соответственно на ребрах ВВХ и AD, через следующие точки:
а)	Е, лежащую на ребре AD\
б)	В3, лежащую на ребре ВВХ;
в)	F, лежащую на отрезке D{P.
51
Задание 39
Используя теорему 6, проведите через заданную точку прямую, параллельную заданной прямой.
1.	Через точку В2, взятую на ребре BBit параллельно следующим прямым:
а)	АС;
б)	CD, точка D которой лежит на ребре АВ;
в)	СР, точка Р которой лежит на луче ВА.
2.	Через точку В2, взятую на ребре ВВЬ параллельно следующим прямым:
а)	АС;
б)	BD ;
в)	KL, если К = АВ n CD, L = ВС n AD.
3.	Параллельно прямой DE, точки D и Е которой взяты соответственно на ребрах АВ и АС, через следующие точки:
а)	С;
б)	Сь взятую на ребре МС;
в)	С2, взятую на луче МС.
4.	Параллельно прямой EF, точки Е и F которой взяты соответственно на ребрах AD и CD, через следующие точки:
а)	Р, взятую на ребре АВ;
б)	Ръ взятую на отрезке МР,
в)	Р2, взятую на луче МР.
52
Задание 40
Выясните взаимное расположение заданных прямых.
1.	На ребрах АС и ВХСХ призмы АВСА{В{С{ взяты соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Выясните взаимное расположение прямой PQ со следующими прямыми:
a)	AR, точка R которой является серединой отрезка А{Ву
б)	АСу
в)	CV, точка V которой является серединой отрезка АВ.
2.	На ребрах CD, ВС, C{DX и В{С{ призмы ABCDA^BiC^D^ взяты соответственно точки Р, Q, Л и Qi - середины этих ребер. Выясните взаимное расположение следующих пар прямых:
a)	PQi и QPy
б)	PQ и В^у
в)	DPi и BQy
г)	PQ и BiDy
3.	В основании пирамиды МАВ CD лежит трапеция с отношением параллельных сторон AD: ВС = 1:2. На ребрах МВ и МС взяты соответственно точки В{ и Ci — середины этих ребер. Выясните взаимное расположение следующих пар прямых:
a)	AD и BiCy
б)	ABi и DCy
в)	ACi и DBy
г)	MCnDBy
53
Задание 41
Через заданную точку в данной плоскости проведите прямую, параллельную другой данной плоскости.
1.	Многогранник ABCDEA^B^C^DiE^ — призма.
а)	Через точку Р, взятую на ребре АЕ, проведите в плоскости АЕЕ^ прямые, параллельные плоскостям ВССЬ CDDi и DEEi,
б)	через точку Q, взятую на ребре ВС, проведите в плоскости АВС прямые, параллельные плоскостям АССЬ СЕЕ{ и BDDy
в)	через точку О2, взятую на ребре DDb проведите в плоскостях DEEi и DCCX прямые, параллельные плоскости АХВХСЬ
2.	Многогранник МАВ CD — пирамида. Через точку Вь взятую на ребре МВ, проведите:
а)	в плоскости МВС прямые, параллельные плоскостям MCD и MAD;
б)	в плоскости МАВ прямые, параллельные плоскостям МАС и MDP, точка Р которой взята на ребре АВ;
в)	в плоскости MDB прямые, параллельные плоскостям MCD и АВС.
3.	На продолжении ребра АВ пирамиды МАВС взята точка Р. Проведите через нее следующие прямые:
а)	в плоскости АВС параллельно плоскости МВС;
б)	в плоскости МАВ параллельно плоскости МВС;
в)	в плоскости МАВ параллельно плоскости МАС.
54
10. Построение сечений, параллельных заданным прямым и плоскостям
Задание 42
Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую PQ параллельно другой заданной прямой.
i.a)MA; б) АВ; в) АС.
Точки Р и Q взяты соответственно
Точка Pi взята на луче ВА, точка Q —
3. а) МА; б) МС; в) АВ.
Точки Р и Q взяты соответственно на ребрах АС и МВ.
4. a) MD; б) ВС; в) АС.
Точки Р и Q взяты соответственно на ребрах AD и МС.
5. а) ВС; б) MD; в) BE.
Точки Р и Q взяты соответственно на ребрах АЕ и МС.
Точки Р и Q взяты соответственно на ребрах ME и МС.
55
Задание 43
Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную прямую параллельно другой заданной прямой.
1.	Через прямую ABi параллельно следующим прямым:
а) ВС;
б)А1С1;
в) С\Р, точка Р которой взята на ребре АС.
2.	Через прямую BD{ параллельно следующим прямым:
a)	AD;
б)	CD;
в)	AtBt.
3.	Через прямую В{Е параллельно следующим прямым:
а)	ВС;
б)	АС;
в)	BD.
4.	Через прямую PQ параллельно следующим прямым:
a)	AD;
б)	АС;
в)	CDp
56
Задание 44
Постройте сечение пирамиды плоскостью а, проходящей через точку К параллельно заданной плоскости.
1. Точка К взята в грани АВС, плоскость а параллельна следующим плоскостям:
а) МАВ; б) МВС; в) МАС
2. Точка К взята в грани МАС, плоскость а параллельна следующим плоскостям:
а) АВС; б) МВС; в) МАВ.
3. Точка К взята в грани ABCD, плоскость а параллельна следующим плоскостям:
а) МАС; б) МАВ; в) МВС.
4. Точка К взята в грани MAD, плоскость а параллельна следующим плоскостям:
а) АВС; б) МАВ; в) MCD.
57
Задание 45
Постройте сечение призмы плоскостью а, проходящей через точку К параллельно другой заданной плоскости.
1.	Точка К взята в грани АССХА^ плоскость а параллельна следующим плоскостям:
а) АВС} б)ВССу в) АВВХ.
2.	Точка К взята в грани СОП{СЬ плоскость а параллельна следующим плоскостям:
а) АВС} б)ВССх} e)ADDx}
г)АВВ1, d)AiDC} е) AJX\.
3.	Точка К взята в грани ADDxAb плоскость а параллельна следующим плоскостям:
a)DxAB} 6)AiCD} e)DxBC}
z)DiAC} d)A{BD} e)BxAC}
ж) CXBD.
4.	Точка К взята в грани А^С^Е^ плоскость а параллельна следующим плоскостям:
а) АСС{', б) AEEi, в) C^E^D}
г)В1ВИ} d)ADDP
58
Задание 46
Постройте сечение призмы плоскостью а, проходящей через заданную точку параллельно плоскости PQR.
1. Точки Р, Q и R взяты соответственно на ребрах АС, ВС и ССЬ плоскость а проходит через следующие точки:
а)	А;
б)	В2, взятую на ребре ВВ{;
б)	V, взятую на ребре А{ВХ.
2. Точки Р, Q и R взяты соответственно на ребрах АВ, ВС и ВВЬ плоскость а проходит через следующие точки:
а)А\
б) V, взятую на ребре BiQ;
в) D2, взятую на ребре DDp
3.	Точки Р, Q и R взяты соответственно на ребрах AD, АВ и ССЬ плоскость а проходит через следующие точки:
а)	С2, взятую на ребре ССГ;
б)	Е, взятую на ребре А^В^
в)	V, взятую на прямой AD.
4.	Точки Р, Q и R взяты соответственно на ребрах А^, ВХСХ и ВВЬ плоскость а проходит через следующие точки:
а)Ах\
б)ЕГ,
в) Е2, взятую на прямой ЕЕР
59
11.	Построение угла между скрещивающимися прямыми
Задание 47
Постройте углы между заданными скрещивающимися прямыми.
1.	Между МВ и прямой:
а)	АСЬ точка Ct которой взята на ребре МС;
б)	CAit точка которой взята на ребре МА;
в)	АС.
2.	Между MD и прямой:
а)	АСЬ точка Ct которой взята на ребре МС;
б)	СВЬ точка В{ которой взята на ребре МВ;
в)	АС.
4. Между C^D и прямой: а) ВС;
б) АС;
в) ВХС.
3.	Между ABi и прямой:
а)	ВС;
б)	А{С;
в)	CJ), точка D которой взята на ребре АС.
60
12.	Модели заданных многогранников
_______________Задание 48____________
Постройте на плотной бумаге развертки моделей заданных пирамид.
Вырежьте полученные развертки и склейте модели этих пирамид.
1.	Основание пирамиды — правильный треугольник, точка О — середина ребра ВС, отрезок МО перпендикулярен плоскости АВС и равен:
а)	стороне основания;
б)	медиане основания;
в)	з медианы основания.
2.	Пирамида МАВС — правильная. Ее высота равна:
а)	стороне основания;
б)	медиане основания;
в)	| медианы основания.
3. В основании пирамиды прямоугольник с отношением сторон АВ: AD = = 1:3. Боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости АВС и равно:
а) стороне АВ; б) стороне ВС;
в) диагонали BD.
4.	Пирамида MABCD — правильная. Ее боковое ребро равно:
а)	диагонали основания;
б)	стороне основания;
в)	удвоенной высоте пирамиды.
61
Задание 49
Постройте на плотной бумаге развертки моделей заданных пирамид. Вырежьте полученные развертки и склейте модели этих пирамид.
1. Пирамида МАВС — правильная. Угол между апофемой ее боковой грани и высотой пирамиды равен:
а) 30°; б) 45°; в) 60°.
2. Основание пирамиды — треугольник с отношением сторон АС: ВС: АВ = = 3:4:5. Боковое ребро МС перпендикулярно плоскости основания, а угол между апофемой грани МАВ и высотой пирамиды равен:
а) 30°; б) 45°; в) 60°.
3. Основанием пирамиды является прямоугольник с отношением сторон, равным 1: 2. Высота пирамиды проектируется в центр основания, а угол между боковым ребром и высотой пирамиды равен:
а) 30°; 6)45°; в) 60°.
4. Из квадрата ABCD удалили квадрат EFKD, у которого ED=^AD. Многоугольник ABCEFK принят за основание пирамиды. Ее боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания и образует с ребром МА угол, равный:
а) 30°; б) 45°; в) 60°.
62
Задание 50
На рисунках а) и в) изображены правильные треугольная и четырехугольная усеченные пирамиды, а на рисунках б) и г) — развертки моделей этих пирамид. Вырежьте развертки и склейте модели пирамид.
63
Задание 51
Вырежьте развертки моделей прямых призм АВСА&С! (рис. а) и ABCDAiBiCxDi (рис. в). Склейте модели этих призм. Нарисуйте склеенные модели. Сравните свои рисунки с рисунками б) и г).
5-542
65
Задание 52
Вырежьте развертки моделей правильных призм ABCDAiBiCiDi (рис. а) и (At)0 ABCDEAiBiCiDiEi (рис. в). Склейте мо- / дели этих призм. Нарисуйте склеенные модели. Сравните свои рисунки с рисунками б) иг).
67
Задание 53
Вырежьте развертки моделей наклонного параллелепипеда АВСОА^С^ (рис. а ), в основании которого лежит прямоугольник, и наклонного параллелепипеда ЕРКЬЕ^К^ (рис. в), в основании которого лежит квадрат. Склейте модели этих параллелепипедов. Нарисуйте склеенные модели. Сравните свои рисунки с рисунками б) иг).
69
Задание 54
Фигуры а—г, изображенные на рисунках, представляют собой недостроенные развертки разных параллелепипедов.
Перерисуйте каждую из фигур на плотную бумагу, увеличив ее размеры в два раза. Дополните полученные фигуры недостающими гранями, чтобы получились развертки параллелепипедов.
Дополните построенные развертки склейками и линиями сгиба, чтобы получились развертки моделей параллелепипедов. Вырежьте эти развертки и склейте модели параллелепипедов.
Пользуясь изготовленными моделями, пронаблюдайте, что в зависимости от выбора основания один и тот же параллелепипед может быть прямым и может быть наклонным.
71
Задание 55
Постройте на плотной бумаге развертки моделей прямоугольных параллелепипедов ABCDAiB^CiDx со следующими отношениями ребер АВ: AD: AAj: a>l:3:2;03:2:4;e> V3:V2:1.
Вырежьте построенные развертки и склейте модели заданных параллелепипедов.
Задание 57
Выясните, какие из закрашенных фигур не являются развертками куба.
72
Задание 58
На сетке с квадратными ячейками
73
13.	Вычисление расстояния между двумя точками
Задание 59
Вычислите стороны заданных треугольников.
1.	Ребро правильного тетраэдра МАВС равно а. На его ребрах МВ, МС и АС взяты соответственно точки Blf Q и Р — середины этих ребер.
Найдите стороны следующих треугольников:
а) МБР; б) СХВР; в) АВ^.
2.	Грани МАВ и МВС пирамиды MABCD — прямоугольные треугольники с общим катетом МВ.
В основании пирамиды лежит прямоугольник с отношением сторон АВ: ВС = = 1:2. Точка Р — середина ребра AD. Считая АВ = МВ = а, найдите стороны следующих треугольников:
а) МСР; б) D{CP, где точка Dx — середина ребра MD; в) D2CP, где точка D2 — середина ребра DD{.
3.	Диагональным сечением правильной пирамиды MABCD является равносторонний треугольник. На ребре CD взята точка Р — середина этого ребра.
Считая АВ = а, найдите стороны следующих треугольников:
а) МАР; б) СХВР, тде точка Q — середина ребра МС\ в) С2ВР, где точка С2 — середина отрезка ССР
74
Задание 60
Найдите расстояние между заданными точками.
1. Боковое ребро правильной призмы ABCDA^B^CiD^ в два раза больше стороны основания, которая равна а. На отрезке АВ^ взяты точки Lb Ь2и L3 — такие, что АЦ = ЦЬ2 = L2L3 = Ь3В{. Найдите следующие расстояния:
и) CLy CL2, CL3;
б)	PLit PL2, PL3, где точка Р — середина ребра CD;
в)	А'Ц, A'L2, A'L3, где точка А’ симметрична точке А относительно точки D.
2.	Боковое ребро правильной призмы АВСАХВХСХ равно стороне основания и равно а. Точка О — центр треугольника АВС. На отрезке ОСХ взяты точки Къ К2 и К3 — такие, что ОК^ = К{К2 = К2К3 = К3С{. Найдите следующие расстояния:
а)	СКЪ СК2у СК3;
б)	ВКЪ ВК2, ВК3;
в)	ахкьахк2уахк3.
3.	Боковое ребро прямой призмы АВСАХВХСЬ в основании которой лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С, в два раза больше стороны АВ основания. Точка Р — середина ребра АХВЪ а на отрезке ВР взяты точки Nif N2 и N3 — такие, что
Считая АВ = а, найдите следующие расстояния:
a)	CNif CN2, CN3;
б)	СМ, ед, C.N3;
в)	QM, Q^3, гДе точка Q — середина ребра АС.
75
Задание 61
Найдите расстояние между заданными точками.
1.	Ребро куба АВCDA1B1C1D1 равно а. Найдите следующие расстояния:
a)	AiQ nAtC;
б)	А10 и A {F, где точки О и F— центры соответственно граней ABCD и CDDiCf,
в)	АХР и AiQ, где точки Р и Q — середины соответственно ребер СС\ и CD.
2.	Ребро куба ABCDAiBiCiDi равно а. Найдите расстояния от точки К — середины отрезка АВХ — до следующих точек:
а)	Р и D2 — середин соответственно ребер ВГС1 nDDi,
б)	D и С;
в)	D' и Р', симметричных соответственно точке D относительно точки С и точке Р относительно точки
3.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiBiCiDi отношение ребер АВ: AD: : АА1 = 1:2:1. Считая АВ = а, найдите расстояния от точки Р — середины ребра AD — до следующих точек:
a)	Q и С2 — середин соответственно ребер Bi Ci и CQ;
б)	К и 01 — центров соответственно граней ABBiAi и AiBiCiDi,
в)	С'1, симметричной точке Q относительно точки С; К', симметричной точке К относительно точки А.
76
Задание 62
Найдите расстояние между заданными точками.
1.	Высота правильной пирамиды МАВС равна стороне ее основания. Точка D — середина ребра АС.
Считая АВ = а, найдите расстояния от точки D до следующих точек:
а) М; б) Ох — середины высоты МО; в) Вх — середины ребра МВ.
2.	В основании пирамиды МАВС лежит равносторонний треугольник, а ее боковое ребро МС в два раза больше стороны основания и перпендикулярно ребрам АС и ВС.
Считая АВ = а, найдите следующие расстояния:
а) между точками Р и Вх — серединами соответственно ребер АС и МВ; б) между точками Q и Сх — серединами соответственно ребер АВ и МС; в) от точки до середины отрезка PQ.
3.	В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон АВ: AD = 1: 2, а ее диагональным сечением является равносторонний треугольник. Точка — середина ребра МС.
Считая АВ = а, найдите расстояния от точки Сх до следующих точек:
а) Р— середины отрезка АО, точка О которого — центр основания; б) D; в) Q — середины ребра АВ.
77
Задание 63
Найдите расстояние между заданными точками.
Bi
в2
в
1.	Через вершины Alt и D куба ABCDAiBiCiDt, ребро которого равно а, проведена плоскость а. На ребрах DD{ и AiDi взяты соответственно точки D2 и F\ — середины этих ребер. Найдите расстояния от точки пересечения с плоскостью а следующих отрезков: a) BD^ б) BD2, в) CF{ до концов этих отрезков.
2.	В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник. Боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания. На ребре АВ взята точка D — середина его, а в грани МВС взята точка Р — центр этой грани. Постройте прямую, проходящую через точку Р параллельно прямой MD, и, считая АС=ВС = = МВ = а, найдите расстояния от точки пересечения этой прямой с плоскостью основания до следующих точек: а) В и С; б) Dn А; в) МиL — середины ребра АС.
3.	На ребрах ВС и ВВГ правильной призмы ABCAiBiCi взяты соответственно точки D и В2 — середины этих ребер.
Считая АВ = АА1 = а, найдите расстояния до точки пересечения прямой AJ) с плоскостью а, проходящей через точки ВЪА и С от следующих точек: а) А{ и D; б) В и С; в) В{ и Ct.
78
14. Деление отрезка в данном отношении
Задание 64
На данном луче ОВ постройте точку X, такую, что отношение отрезков ОХ: ОВ принимает следующие значения:
О
В
1. «>5:2;
б) 6:5;
в) 2:3.
2.
а)	1:4;
б)	2:7;
в)	5:3.
3. а) т: и;
б) (т + п):(т- и);
в) (2т + и): (2т - п).
4.
а?3:>/2; б)>/3:5: в)4з.&.
79
15.	Построение перпендикуляра к прямой
Задание 65
Опустите перпендикуляр из заданной точки на заданную прямую.
1.	Опустите перпендикуляры на прямую ArCt из следующих вершин и точек куба ABCDA^CiDp
а) А; б) В; в) D; г) Е — середины AD; д) Р — середины АВ; е) Р\ — середины АхВь ж) Q — середины CD; з) Q\ — середины СХВХ; u) R — середины ВС.
2.	На ребрах МВ и АС правильного тетраэдра МАВС взяты соответственно точки Вх и D — середины этих ребер.
Опустите перпендикуляры на прямую BXD из следующих точек:
а) Л; б) В; в) М; г) С; д) Сх — середины МС; е) 01 — середины МО', ж) Р — середины ВС; з) Л1 — середины МА.
3.	Высота правильной пирамиды MABCD в два раза больше стороны ее основания. На диагонали АС взята точка К — такая, что АК: АС = 1: 4.
Опустите перпендикуляры на прямую МК из следующих точек:
а) С\ б) О; в) А; г) Q — середины МС, д) D; е) В\ ж) Dx — середины MD; з) Вх — середины МВ.
80
Задание 66
Опустите перпендикуляр из заданной точки на заданную прямую.
1.	Боковые грани призмы АВСАХВХ Q — квадраты. Точка Р — середина ребра АВ.
Опустите перпендикуляры на прямую СгР из следующих точек:
а) Л; б) В; в) С; г) Аг; д) Вг; е) D — середины АС; ж) Р\ — середины АХВХ; з) В2 — середины ВВХ.
2.	В основании прямой призмы АБСАНС! лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Ее боковое ребро равно стороне АВ основания. Точки Р и Q — середины соответственно ребер АВ и В{СХ.
Опустите перпендикуляры на прямую PQ из следующих точек:
а) А; б) В; в) В^; г) Ах; д) Q; е) С; ж) С2 — середины СС^з) А2 — середины AAt.
3.	Боковое ребро правильной призмы ABCA&Ci в два раза больше стороны ее основания. Точка О — центр треугольника АВС.
Опустите перпендикуляры на прямую Ci О из следующих точек:
а) С; б) С2 — середины CQ; в) В; г) А; д) Ai; е) Вх; ж) Р — середины АВ; з) А2 — середины AAt.
6-542
81
Задание 67
Опустите перпендикуляр из заданной точки на заданную прямую.
1.	В основании пирамиды МАВС с отношением ребер АС: ВС: МС я 1:1: V2 лежит прямоугольный треугольник, а ее боковое ребро МС перпендикулярно плоскости основания. Точка Р — середина ребра АВ.
Опустите перпендикуляры на прямую МР из следующих точек:
а) С; б) Ct — середины МС; в) D —середины АС; г) Ai — середины МА; д) Bi — середины МВ; е) Е — середины ВС.
2.	Высота МО правильной пирамиды МАВ CD в два раза меньше стороны ее основания.
Опустите перпендикуляры на прямую МА из следующих точек:
а) С; б) D; в) В; г) О; д) D{ - середины MD; е)Р — середины CD; ж) Q — середины АВ.
3.	В правильной пирамиде МАВС вы-
2
сота МО равна медианы основания.
Точка Р — середина ребра АС.
Опустите перпендикуляры на прямую МР из следующих точек:
а) А; б) С, в) В, г) О; д) Ct - середины МС; е)Е— середины АВ; ж) Q — середины ВС; з) Oj — середины МО.
82
Задание 68
Опустите перпендикуляры из заданной точки на заданную прямую.
1.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDAxB^C^Di отношение ребер AB.AD.AAX = \.2A.
Опустите перпендикуляры из точки Р — середины ребра AD — на следующие прямые:
a)	AiC;
б)	В&
в)	BiC.
2.	В правильной призме ABCDAtBiCiDt отношение ребер АВ: A4t = = 2:3. Точка Р — середина отрезка АВЬ
Опустите перпендикуляры из точки Р на следующие прямые:
a)
б)	В&
в)	С{Е, точка Е которой является серединой ребра AD.
3.	Боковое ребро правильной призмы ABCAJiiCi равно стороне ее основания. Точка Р — середина ребра СС\.
Опустите перпендикуляры из точки Р на следующие прямые:
а)	АВ^
б)	BJX точка D которой является серединой ребра АС;
в)	АГЕ, точка Е которой является серединой ребра В{С{.
83
16. Вычисление расстояния от точки до прямой
Задание 69
Найдите расстояние от заданной точки до заданной прямой.
1.	На ребрах AAlt ВВХ и СС{ куба АВСВАХВХСГВХ взяты соответственно точки Л2, В2 и С2 — середины этих ребер. Считая ребро куба равным а, найдите расстояния от точки А{ до следующих прямых: а)ВА2; б)ВВ2; e)DC2.
2.	На ребре ССХ куба АВСВАХВХСХВХ взята точка С2 — середина его, а на отрезке АВХ взята точка Р — середина этого отрезка.
Считая ребро куба равным а, найдите расстояния от точки Р до следующих прямых: а) С2Е, точка Е которой является серединой ребра АВ\ б) C2F, точка F которой является серединой ребра ВгС{; в) С2К, точка К которой является точкой прямой СВ, такой, что точка В лежит между точками С и К, причем С2К: СВ = = 3:2.
3.	Отношение ребер АВ : АВ : ААХ прямоугольного параллелепипеда ABCBAiBi СХВХ равно 1:2:1. Точки Ри Q— середины соответственно ребер АВ и СВ, а точка В2 — такая точка прямой BBlf что точка Вх является серединой отрезка ВВ2.
Считая АВ = а, найдите расстояния от точки В2 до следующих прямых: а) АХР; б) PQ в) СХР.
84
Задание 70
Найдите расстояние от заданной точки до заданной прямой.
1.	Отношение бокового ребра правильной призмы АВСОА{В{СГП{ к стороне ее основания равно 3:2. На прямой BXD{ взята точка О — центр верхнего основания призмы и точка О', симметричная точке О относительно точки Bt.
Считая АВ = а, найдите расстояния от точки О' до следующих прямых:
и) DBi, б) DC^ к) DE, точка Е которой является серединой ребра АВ.
2.	Боковые грани призмы АВСА ГВХ Q — квадраты. Точка Р — середина ребра В{СЬ а точка С2 — середина ребра CCt.
Считая АВ = а, найдите расстояния от точки Р до следующих прямых:
а) С2А\б) C2D, точка D которой является серединой ребра АС; в) С2Е, точка Е которой является серединой ребра АВ.
3.	В основании прямой призмы АВСАХВ{С{ лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. Ее боковое ребро равно большей стороне основания. Точка Р — середина ребра А а точка D — середина ребра АС.
Считая ВС = а, найдите расстояния от точки Р до следующих прямых:
a) BD\6) CiD;e) QD, точка Qкоторой является серединой ребра ВГС{.
85
Задание 71
Найдите расстояние от заданной точки до заданной прямой.
1.	Высота правильной пирамиды MABCD равна стороне ее основания. Считая АВ = а, найдите расстояния от точки D до следующих прямых:
а)	МС;
б)	BiC, точка которой является серединой ребра МВ;
в)	AiC, точка At которой является серединой ребра МА.
2.	В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее боковое ребро МВ перпендикулярно сторонам АВ и ВС основания и равно АВ.
Считая АВ = а, найдите расстояния от точки С до следующих прямых:
a)	MD;
б)	МА ;
в)	ME, точка Е которой является серединой ребра AD.
3.	Высота правильной пирамиды МАВС в два раза больше стороны ее основания. Точка D — середина ребра АВ.
Считая АВ = а, найдите расстояния от точки С до следующих прямых:
a)	MD ;
б)	DCb точка Ct которой является серединой ребра МС;
в)	DBb точка В{ которой является серединой ребра МВ.
86
Задание 72
Найдите расстояние от заданной точки до заданной прямой.
1.	В основании пирамиды МАВС лежит равносторонний треугольник, а ее боковые грани МАС и МВС — равнобедренные треугольники с общим катетом МС. Точка Bt — середина ребра МВ.
Считая ВС = а, найдите расстояния от точки Р — середины ребра АВ — до следующих прямых:
а) ВХС; б) BXD, точка D которой является серединой ребра АС; в) ВХСХ, точка Ct которой является серединой ребра МС.
2.	В основании прямой призмы АВСОА&С^! лежит ромб, у которого Z.BAD = 60°, а ее боковое ребро равно стороне основания.
Считая АВ в а, найдите расстояния от точки до следующих прямых:
а) АС; б) ABi, в) АВ2, точка В2 которой является серединой ребра ВВР
3.	В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольная трапеция, основание AD которой равно боковой стороне CD и в два раза меньше основания ВС. Боковое ребро МС перпендикулярно сторонам ВС и CD основания и равно стороне AD.
Считая AD - а, найдите расстояния от точки D до следующих прямых:
a) MF, точка В которой является серединой ребра ВС; б) МВ; в) ME, точка Е которой является серединой ребра АВ.
87
17. Построение перпендикуляра к плоскости
Задание 73
Опустите перпендикуляр из заданной точки на заданную плоскость.
1  На ребре АС правильной пирамиды МАВС взята точка D — середина этого ребра.
Опустите перпендикуляры на плоскость MDB из следующих точек:
а)	С;
б)	Р, взятой на ребре МА;
в)	Е, взятой на ребре АВ;
г)	F, взятой на ребре ВС.
2.	На ребре ВС правильной призмы ABCAiBiCx взята точка D — середина этого ребра.
Опустите перпендикуляры на плоскость AiAD из следующих точек:
а)	С;
б)	F, взятой на ребре AtCi,
в)	К, взятой на отрезке АВ{;
г)	Р, взятой на прямой АВ.
3.	Опустите перпендикуляры на диагональную плоскость МАС правильной пирамиды MABCD из следующих точек:
a)	D;
б)	Е, взятой на ребре АВ;
в)	Р, взятой на апофеме MF;
г)	К, взятой на прямой AD.
88
Задание 74
Опустите перпендикуляр из заданной точки на заданную плоскость.
1.	Отношение высоты МО правильной пирамиды МАВС к стороне ее основания равно\/3:6.
Опустите перпендикуляры на плоскость МВС из следующих точек:
а)	О — центра грани АВС;
б)	А ;
в)	D — середины ребра АВ;
г)	Е— середины ребра АС.
М
2.	Отношение бокового ребра правильной призмы ABCAiB^Ci к стороне ее основания равно >/3 : 2.
Опустите перпендикуляры на плоскость АВС1 из следующих точек:
а)	С;
б)	К — середины отрезка АВ{;
G)	At;
г)Вь
3.	Отношение ребер АВ : AD : AAt прямоугольного параллелепипеда ABCDAiBiCiDi равно 1:2:2.
Опустите перпендикуляры на диагональную плоскость ABtCi из следующих точек:
а)	Л;
б)	В ;
в)	Р — середины ребра CCt;
г)	О — середины диагонали AtCi.
89
Задание 75
Опустите перпендикуляр из заданной точки на заданную плоскость.
1.	Опустите перпендикуляры на плоскость В^Р, точка Р которой является серединой ребра AAt куба ABCDAtBtCtDt, из следующих точек:
а)Ах\ б)С\ в) D.
2.	В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания.
Опустите перпендикуляры на плоскость PAD, точка Р которой является серединой ребра МВ, из следующих точек:
а) В; б) М; в) С.
3.	В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник, а ее боковое ребро МС перпендикулярно плоскости основания и АС - ВС - МС.
Опустите перпендикуляры на плоскость PQR, точки Р, Q и R которой являются серединами соответственно ребер АВ, АС и МС, из следующих точек:
а) С; б) М; в) А.
90
Задание 76
Опустите перпендикуляр из заданной точки на заданную плоскость.
1.	Отношение бокового ребра правильной призмы ABCDAxBxCxDx к стороне ее основания равно 3:2.
Опустите перпендикуляры на плоскость BC\D из следующих точек:
а)	С\
б)	А;
в)	О] — центра грани A^B^CyD^
2.	Отношение высоты правильной пирамиды MABCD к стороне ее основания равно 42:1.
Опустите перпендикуляры на плоскость BCjD, точка Ci которой является серединой ребра МС, из следующих точек:
а)М\
б)С\
в) Р — середины ребра МА.
3.	Точка Р — середина ребра Л куба ABCDAiBiCiDi. Опустите перпендикуляры на плоскость САР из следующих точек:
«) Di,
б)	В ;
в)	D.
91
18. Вычисление расстояния от точки до плоскости
Задание 77
Найдите расстояние от заданной точки до заданной плоскости.
1.	Считая ребро куба АВСВА{В^СХВХ равным а, найдите расстояния от его вершины А{ до следующих плоскостей:
а)	АВ&ь
б)	DBP, точка Р которой является серединой ребра ВхСу
в)	BCXD.
2.	Боковое ребро правильной призмы ABCDA\BiC\Di в два раза больше стороны ее основания.
Считая АВ - а, найдите расстояния от вершины Dx до следующих плоскостей:
а)	A^C^Dy
б)	АВ2С, точка В2 которой является серединой ребра
в)	BVA2D, точка А2 которой является серединой ребра
3.	На ребрах АС и МС правильного тетраэдра МАВС взяты соответственно точки Е и Ci — середины этих ребер.
Считая ребро тетраэдра равным а, найдите расстояния до плоскости ВСХЕ от следующих точек:
а)	М;
б)	D — середины ребра АВ;
в)	В{ — середины ребра МВ;
г)	С.
92
Задание 78
Найдите расстояние от заданной точки до заданной плоскости.
1.	На ребрах АВ и AD куба ABCDAiBiCiDi взяты соответственно точки Р и Q — середины этих ребер.
Считая ребро куба равным а, найдите расстояния до плоскости а, проходящей через точки Сь Р и Q от следующих точек:
a) At; б) А\ в) В^ г) С.
2.	В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания.
Точки Р и Q — середины соответственно ребер AD и CD.
Считая АВ = а, найдите расстояния до плоскости а, проходящей через точки Р и Q параллельно прямой MD, от следующих точек:
а) В ; б) D; в) М\ г) С.
3.	Боковое ребро правильной пирамиды МАВС равно медиане ее основания. Точки Р и Q — середины соответственно ребер АВ и АС.
Считая АВ = а, найдите расстояния до плоскости а, проходящей через точки Р и Q параллельно прямой МА, от следующих точек:
а) А; 6)0 — центра основания; в) М; г) В.
93
Задание 79
Найдите расстояние от заданной точки до заданной плоскости.
1.	На ребрах DDX и C{D{ прямоугольного параллелепипеда АВСОАХВХСХВЬ у которого АВ : AD: AAt — 1:2:1, взяты соответственно точки Р и Q — середины этих ребер.
Считая АВ = а, найдите расстояния до плоскости а, проходящей через точки Л, Р и Q от следующих точек:
а) С\ б) Ар в) Ср
2.	Высота правильной пирамиды MABCD равна диагонали ее основания. Точка Ci — середина ребра МС.
Считая сторону основания пирамиды равной а, найдите расстояния до плоскости BCJJ от следующих точек:
а) М\ б) А\ в) Е— середина ребра AD.
3.	Боковое ребро правильной призмы ABCAiBiCi в два раза меньше стороны основания. Точка D — середина ребра АВ.
Считая АВ = а, найдите расстояния до плоскости B{CD от следующих точек:
а) В; б) Ар в)Е—середины ребра АС.
94
Задание 80
Найдите расстояние от заданной точки до заданной плоскости.
1.	В основании прямой призмы АВСА{ВхС{ лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С, а ее боковое ребро равно стороне ВС основания. Точки Р и Q — середины соответственно ребер АВ и ВС.
Считая ВС - а, найдите расстояния до плоскости BiPQ от следующих точек:
а) С; б) Су в) А.
2.	В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон АВ : AD -1:2. Диагонали основания пересекаются в точке О. Отрезок МО является высотой пирамиды и МО - AD. Точки Ay Р и Q — середины соответственно ребер МА'АОиВС.
Считая АВ - а, найдите расстояния до плоскости а, проходящей через точки Ay Р и Q от следующих точек:
а) М; 6) Е — середины ребра CD; в) Ci — середины ребра МС.
3.	Точка Р — середина ребра CD куба АВ CD А ]В । C\D ।.
Считая ребро куба равным а, найдите расстояния до плоскости С^ВР от следующих точек:
а) By 6) С; в) В2 — середины ребра ВВу
95
19. Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми Задание 81
Найдите расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.
1.	На ребре ССХ куба ABCDA^B^C^D^ взята точка С2 — середина этого ребра, а на ребрах CD, AD, АХВ{ и А42 взяты соответственно точки Р, Q, R и А2 — середины этих ребер.
Считая ребро куба равным а, найдите расстояния между прямой ВХС{ и следующими прямыми:
а) С2А2; б) С2Р\ в) C2Q, г) C2R; д) С2А; е) C2D\.
2.	На ребрах AD, АВ, ССЬ AXDX и АХВХ куба ABCDAXBXCXDX взяты соответственно точки Q>P,C2,RiaV — середины этих ребер.
Считая ребро куба равным а, найдите расстояния между прямой АХСХ и следующими прямыми:
a) CQ, б) DP; в) DC2; г) DR; д) DV', е) QT, точка Т которой — это середина отрезка АХВ.
3.	На ребрах AAit DDX и AD куба ABCDAXBXCXDX взяты соответственно точки А2, D2hQ — середины этих ребер.
Считая ребро куба равным а, найдите расстояния между прямой ВХА2 и следующими прямыми:
a) CD\ б) CDX; в) АС', г) BD; д) е) AXD.
96
Задание 82
Найдите расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.
1.	Высота правильной пирамиды MABCD равна диагонали ее основания. На ребрах МС, MD и CD взяты соответственно точки Сь Dx и Е — середины этих ребер.
Считая АВ = а, найдите расстояния между прямой МА и следующими прямыми:
a) CD; б) CXDX; в) BD; г) DC^; д) ВСу е) С^Е.
2.	Боковое ребро правильной призмы ABCDA{BXC{DX в три раза больше стороны ее основания. На ребрах В{СХ и CXDX взяты соответственно точки Fn Е — середины этих ребер.
Считая АВ - а, найдите расстояния между прямой ABi и следующими прямыми:
a) CXDX; 6) FE; в) BD; г) AXD; д) ВСХ; е) А^С.
3.	Высота правильной пирамиды МАВ CD равна стороне ее основания. На ребре МС взяты точки Сь С2 и С3, такие, что ССХ - CtC2 “ С2С3 - С3М, а на ребре МВ взяты точки Вь В2 и В3 такие, что ВВ^ в В,В2 = В2В3 “ В3М.
Считая АВ я а, найдите расстояния между прямой АС и следующими прямыми:
a) DCX; б) DC2; в) DC3; г) DB{; д) DB2; е) DB3.
7-542
97
Задание 83
Найдите расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.
1-	Точка Р — центр грани CDDxCx куба ABCDAtBiCiDx.
Считая ребро куба равным а, найдите расстояния между прямой АР и следующими прямыми:
a) AiBi, б) CD; в) CXDX; г) ССХ; б) A2Q> точки А2 и Q которой — это середины соответственно ребер AAt и AiBt; с') А{В; ж) ВСЬ
2.	Боковые грани призмы АВСА&Сх — квадраты.
Считая АВ - а, найдите расстояния между прямой АВ{ и следующими прямыми:
и) ССу б) CD, точка D которой — это середина ребра АВ; ») ВС; г) С2Р, точки С2 и Р которой — это середины соответственно ребер CCi и АС; б) А2С, точка А2 которой — это середина ребра АА(; е) ВС{.
3.	В основании пирамиды МАВС лежит треугольник с прямым углом при вершине С. Ее боковое ребро МС перпендикулярно плоскости основания, а отношение ребер АС: ВС: МС равно 1:1: -J2.
На ребрах МА, МС, АС и АВ взяты соответственно точки	D и Е — сере-
дины этих ребер.
Считая ВС - а, найдите расстояния между прямой МВ и следующими прямыми:
a)	DE; б) AXD; «) АС; г) AjCiJ
б)	CiD; е) CiE.
98
Задание 84
Найдите расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.
1.	Ребро правильного тетраэдра МАВС равно а. Точка А{ — середина ребра МА.
Найдите расстояния между прямой МВ и следующими прямыми:
а)	АС;
б)	AXD, точка D которой — середина ребра АС;
в)	AtClt точка Ct которой — середина ребра МС.
2.	Высота правильной пирамиды МАВС в два раза больше стороны ее основания. Точка Вх — середина ребра МВ.
Считая АВ = а, найдите расстояния между прямой МА и следующими прямыми:
а)	ВС;
б)	В{С1, точка Ct которой — середина ребра МС;
в)	BJ), точка D которой — середина ребра ВС.
3.	В основании призмы АВСАХВ{С{ лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С, а ее боковое ребро равно ВС.
Считая ВС = а, найдите расстояния между прямой ABi и следующими прямыми:
а)	ССХ;
б)	AiQ;
в)	АХС.
99
20. Вычисление угла между скрещивающимися прямыми
Задание 85
Найдите угол между заданными скрещивающимися прямыми.
1. Точки Р и В2 — середины соответственно ребер CD и ВВХ куба ABCD-A^BiC^D}.
Найдите углы, которые образует прямая РВ2 со следующими прямыми:
а) ВС; б) ССу в) ВС у г) BQ, точка Q которой — середина ребра Q; д) АВ у e)DxC.
2. Точки А2 и Q — середины соответственно ребер ААХ и ВХСХ куба ABCDA^B^C^D^.
Найдите углы, которые образует прямая A2Q со следующими прямыми:
а) Сх С; б) CiD; в) СХЕ, точка Е которой — середина ребра AD; г) СХВ2, точка В2 которой — середина ребра ВВХ; д) A i Сх; e)A{D.
3. Отношение ребер прямоугольно-
го параллелепипеда АВСВАХВХСХОХ AB.AD.AAi- 1:3:1.
Найдите углы, которые образует пря-
мая BiD со следующими прямыми:
a) AiСу б) АВ; в) АХЕ, точка Е которой — середина ребраВхQ; г)АхЕ, точка/3 * * * 7 которой — середина ребра CxDy
100
Задание 86
Найдите угол между заданными скрещивающимися прямыми.
1.	Боковое ребро правильной призмы АВСОАХВХСХВХ в два раза больше стороны ее основания. Точка Р — середина ребра AD.
Найдите углы, которые образует прямая €\Р со следующими прямыми:
а) В^С\ б) АС\ в) CDi, г) А^С.
2.	Боковые грани призмы АВСА{В{ С1 — квадраты. Точки Р и Q — середины соответственно ребер АС иВ{С,
Найдите углы, которые образует прямая PQ со следующими прямыми:
a) CD, точка D которой — середина ребра АВ] б) ВС] e> В2 С, точка В2 которой — середина ребра BBt; г) СЕ, точка В которой — середина ребра АХСХ.
3.	В основании прямой призмы АВСАХВХСХ лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С, а ее боковое ребро равно стороне ВС.
Точка Р — середина ребра АВ, а точки Е и С2 — середины соответственно ребер BjCj и ССр
Найдите углы, которые образует прямая СГР со следующими прямыми:
а) ВС] б) СЕ] в) CzE] г) С^В.
101
Задание 87
Найдите угол между заданными скрещивающимися прямыми.
1.	Диагональным сечением правильной пирамиды MABCD является равносторонний треугольник. Точка — середина ребра MD.
Найдите углы, которые образует прямая CDt со следующими прямыми:
a) AD\ 6) DBb точка Вх которой — середина ребра МВ\ в) DAif точка А{ которой — середина ребра МА.
2.	В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания и в два раза больше стороны основания. Точка Cj — середина ребра МС.
Найдите углы, которые образует прямая АС со следующими прямыми:
a) MD\ б) BQ-, в) DCX.
3.	Точка Р — середина ребра ВС правильного тетраэдра МАВС, а точки D и Bi — середины соответственно ребер АВ и МВ.
Найдите углы, которые образует прямая АР со следующими прямыми:
a) DBt б) MD; в) СВХ.
102
Задание 88
Найдите угол между заданными скрещивающимися прямыми.
1.	Точка Р — центр грани МАВ правильного тетраэдра МАВС.
Найдите углы, которые образует прямая СР со следующими прямыми:
а) АВ; б) МА; в) АСЬ точка С^ которой — середина ребра МС.
2.	Высота правильной пирамиды МАВС равна стороне ее основания. Точка Р — середина ребра АВ. Найдите углы, которые образует прямая МР со следующими прямыми:
а) ВС; б) BD, точка D которой — середина ребра АС; в) ВСЬ точка которой — середина ребра МС.
3.	В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С, а ее боковое ребро МС перпендикулярно плоскости основания и равно стороне ВС.
Найдите углы, которые образует прямая МА со следующими прямыми:
а) ВСЬ точка Q которой — середина ребра МС; б) CD, точка D которой — середина ребра АВ; в) СВЬ точка В{ которой — середина ребра МВ.
103
21. Вычисление угла между прямой и плоскостью
Задание ^9
Найдите угол между заданной прямой и заданной плоскостью.
1.	Через вершины D и Ct куба ABCDAiBiCtDt проведена прямая.
Найдите углы между этой прямой и следующими плоскостями:
а) АВВу б) АССу в) AtAP, точка Р которой — середина ребра ВС.
2.	Точка Р — середина ребра ВС куба ABCDA{B{CiD\.
Найдите углы между плоскостью А{АР и следующими прямыми:
a)AD-, б) BD; e)AxD\ г) B{D\d) А{С.
3.	Точка В2 — середина ребра ВВ{ куба ABCDA C\D\.
Найдите углы между плоскостью AB2Ci и следующими прямыми:
a)AAi, 6)AiCi, e)AiC; г) AD.
104
Задание 90
Найдите угол между заданной прямой и заданной плоскостью.
1.	Боковое ребро правильной призмы АВСА{ВхСх равно стороне ее основания.
Найдите углы между плоскостью А{АС и следующими прямыми:
а) ВС; б) ВСу в) ВС2, точка С2 которой — середина ребра CCt; г) ВР, точка Р которой — середина ребра В{С{.
2.	Боковое ребро правильной призмы АБСАНС! в 2 раза меньше стороны ее основания. Точка Р — середина ребра АС.
Найдите углы между плоскостью BCiP и следующими прямыми:
а)В1С1, б)СС{; в) АС; г) АВ.
3.	В основании прямой призмы АБСАНС! лежит прямоугольный треугольник, у которого АС - ВС. Боковое ребро призмы также равно стороне ВС.
Найдите углы между плоскостью ABiC и следующими прямыми:
а) ССу б) ВС; в) СР, точка Р которой — середина ребра АВ; г) CQ, точка Q которой — середина ребра АХСР
105
Задание 91
Найдите угол между заданной прямой и заданной плоскостью.
1.	Отношение бокового ребра правильной пирамиды MABCD к стороне ее основания равно V5:2.
Найдите углы между плоскостью МВС и следующими прямыми:
a) CD', б) MD; в) BD.
2.	Высота правильной пирамиды MABCD равна половине диагонали ее основания. Точка Q — середина ребра МС.
Найдите углы между прямой DCX и следующими плоскостями:
а) МАС, б) MDB; в) МВС.
3.	В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее боковое ребро МВ равно стороне основания и перпендикулярно плоскости основания.
Найдите углы между плоскостью МАВ и следующими прямыми:
а) АС, б) BiC, точка которой — середина ребра МВ; в) CDit точка Z>i которой — середина ребра MD.
106
Задание 92
Найдите угол между заданной прямой и заданной плоскостью.
1.	Высота правильной пирамиды МАВС равна медиане ее основания. Точки D и — середины соответственно ребер АВ и МС.
Найдите углы между плоскостью MCD и следующими прямыми:
а) ВХСЬ точка которой — середина ребра МВ; б) АС{; в) ЕСЬ точка £ которой — середина ребра АС.
2.	В правильном тетраэдре МАВС точки D, Е и Ci — середины соответственно ребер АВ, ВС и МС. Найдите углы между плоскостью МВС и следующими прямыми:
а) МА; б) АЕ; в) DCp
3.	В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник, ее боковое ребро МС перпендикулярно плоскости основания и АС = ВС = МС.
Найдите углы между плоскостью МАС и следующими прямыми:
а) МВ; б) MD, точка D которой — середина ребра АВ; в) АВЬ точка В{ которой — середина ребра МВ.
107
22. Вычисление угла между плоскостями
Задание 93
Найдите угол между заданными плоскостями.
1. Точка С2 — середина ребра СС\ куба ABCDAyB^C^Dx.
Найдите углы между плоскостью BDC2 и следующими плоскостями:
a) B{BD\ б) A^BD\ в) A2BD, точка А2 которой — середина ребра АА{.
2. Дан куб АВСПА&С^.
Найдите углы между плоскостью A{BD и следующими плоскостями:
a) BiBD; б) BDP, точка Р которой — середина ребра А^; в) BDC2, точка С2 которой — такая точка ребра ССЬ что СС2: СС{ = 1 : 4.
3. Дан куб ABCDAiBiCiDt.
Найдите углы между его диагональной плоскостью ADC\ и следующими плоскостями:
а) В СР, точка Р которой — середина ребра	б) BCD2, точка D2 которой —
такая точка ребра DDit что DD2: DD{ = 3:4; в) ABXDX.
108
Задание 94
Найдите угол между заданными плоскостями.
1.	Боковое ребро правильной призмы АВСАХВХС^ в два раза больше стороны ее основания. Точки Р и С2 — середины соответственно ребер АС и CCt.
Найдите углы между плоскостью ВРС2 и следующими плоскостями:
а) АВС} б)АССу в)АхВР.
2.	Боковые грани призмы АВСАХВХСХ — квадраты. Точка Р — середина ребра АС.
Найдите углы между плоскостью С^ВР и следующими плоскостями:
а) АВС; б) ВХВР; e)AiBP.
3.	В основании призмы АВСЛ^В^ лежит треугольник с прямым углом при вершине С, иЛСв ВС= СС{. Точки Ри Q— середины соответственно ребер АВ и АС.
Найдите углы между плоскостью XtPQ и следующими плоскостями:
а) АВС} б) BXPQ, в) B2PQ, точка В2 которой — середина ребра ВВХ.
109
Задание 95
Найдите угол между заданными плоскостями.
1.	Высота правильной пирамиды MABCD равна диагонали ее основания. Точка Сх — середина ребра МС.
Найдите углы между следующими плоскостями:
а)ВОСхиМАС, б) BDCinMDB;
в) МВС и MCD.
2.	В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон АВ : ВС = 1: 2, а ее боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания и равно стороне АВ.
Найдите углы между плоскостью АВС и следующими плоскостями:
а) МАВ\ б) MCD \ в) МАС.
3.	В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания.
Найдите углы между плоскостью МАС и следующими плоскостями:
а) МАВ\ б) MCD; в) У^ДД точки At и Ci которой — середины соответственно ребер МА и МС.
110
Задание 96
Найдите угол между заданными плоскостями.
1.	На ребрах МВ и МС правильного тетраэдра МАВС взяты соответственно точки Bt и Ci — середины этих ребер.
Найдите углы между плоскостью АВ1С1 и следующими плоскостями:
а) АВС; б) МВС; в) РВХС\, точка Р которой — середина ребра АВ.
2.	Высота МО правильной пирамиды МАВС равна стороне ее основания. Точки С{ и D — середины соответственно ребер МСиАС.
Найдите углы между плоскостью BCiD и следующими плоскостями:
а) АВС; б) MDB; в) A^BD, точка At которой — середина ребра МА.
3.	В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный треугольник, угол АСВ которого равен 90°.
Боковое ребро МС перпендикулярно плоскости основания и равно АС.
Найдите углы между плоскостью МАВ и следующими плоскостями:
а) МВС; б) АВС; в) CAtBif точки и Bj которой — середины соответственно ребер МА и МВ.
А
111
23. Вычисление двугранного угла
Задание 97
Найдите указанные двугранные углы.
1. Отношение ребер АВ: AD: прямоугольного параллелепипеда ABCDAXBXCXD{ равно 2:3:1. Найдите следующие двугранные углы:
2. На ребрах ВВХ и DDX куба ABCDA{B{CXD{ взяты соответственно точки В2 и D2 — середины этих ребер. Найдите следующие двугранные углы:
3. Боковые грани призмы АВСА^В^С^ — квадраты. На ее ребрах АВ и ВС взяты соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Найдите следующие двугранные
углы:
ci) AiBCBi
112
Задание 98
Найдите указанные двугранные углы.
1. Высота правильной пирамиды MABCD равна стороне ее основания. Найдите следующие двугранные углы: а) при ребре основания; б) C^BDA, где точка — середина ребра МС\ в) при боковом ребре.
2. В основании прямой призмы АВСАХВХСХ лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С, а ее боковое ребро равно стороне АВ основания. На ребре AAi взята точка Р — середина его. Найдите следующие двугранные углы: а) СХВХРВ\ б) ВХСРСХ\ в) B^CPD, где точка D — середина ребра АВ.
3. На продолжении ребра ВС куба ABCDAXBX CXDX взята точка Q, такая, что BQ: ВС -= 3:2, причем точка С лежит между точками Ви Q. Найдите следующие двугранные углы: а) QDDXP, где точка Р — середина ребра АХВХ\ б) QC\DA\ e) QAXDBX.
8-542
113
Задание 99
Найдите указанные двугранные углы.
1. Основанием пирамиды MABCD является прямоугольник, а ее боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания и АВ: AD: МВ - 1:2:1. На ребрах AD и АВ взяты соответственно точки К и F — середины этих ребер. Найдите следующие двугранные углы: а) МАСВ; б) МСКВ; в) MCFB.
МММ
2. Найдите двугранные угол при ребре основания правильной пирамиды MABCD в следующих случаях: а) МСО - а; б) CMD - Р; в) двугранный угол при боковом ребре МС равен 2у.
м	м	м.
3. В правильной пирамиде МАВС боковое ребро в два раза больше стороны основания. На ребре МС взята точка Р, такая, что секущая плоскость АВР перпендикулярна прямой МС. Найдите следующие двугранные углы: а) ВАРС; б) РАВС; в) С^АВР, где точка Ci — середина ребра МС.
114
Задание 100
Найдите указанные двугранные углы.
1. Дан куб ABCDA^CtDi. Найдите следующие двугранные углы: a) AiCiDA; б) ABiDDi, в) АС2ЕМ,гд.еточкиС2,ЕиМ— середины соответственно ребер СС1( CDnAD.
2. Боковое ребро правильной призмы АВСА^С} равно стороне основания. На ребре BBi взята точка В2 — середина его. Найдите следующие двугранные углы: a) CACtB2; б) CiSAC, гд,еSi = CiB2r>ВС; в) CiAB2B.
3. На ребрах АА1 и CCt правильной призмы ABC-A^Ct взяты соответственно точки А2 и С2 — середины этих ребер. Угол между прямыми ABt и СА2 равен 90°. Найдите следующие двугранные углы: а) С2АВС;б) ВАС2С; в) BiAC2C.
115
ОТВЕТЫ
39Л.а)МВ = а,МР = ВР = ?^-; б)ВС,=^; ВР=^£-; С,Р=^ e)ABl-ACi-^-, В.С^.
2. a)MC=aj5, СР=аЛ, МР=а43; б)Б{Р-^, CDX~^-, CP = ayf2; e)D2C = ^-. D2P = ^-, СР = аЛ.
Ь.а)МА-аЛ, AP~^-, MP-?^-; 6)BP~?^-, CiP~^-, BC^^-;
e)BP-^, BC2-“-^ pc2=i
60.1. a) CLt	CL2 = ^-, CL3-^-, 6) PLt =^f-, PL2 PL3
e) A'Li - A'L2 = A'L3 =
2. a) CK, =1 CK2 = ^-, CK3 = ^, 6)BKX =^-, BK2BK3 = ^-; ZOO	ZOO
e) A^ - a, AxK2 = AXK3 = b	0
о \ z*,xr	/~*\т	^/21	z***r	Дл/921	.»	13й y-> . г Лл/21
3. a) CNi =——, CN2 —, CN3----—; 6)	=—, CXN2 ——,
„ ..	a>/33	.	3a\f5	ay/21	aJ157
C1N3-g-;	®N1 8“’	-4“’	-8~’
ЫЛ.а)АхС{=аЛ, АхС=а4з-, б)А1О~^у-, AXF-^, e)AlP = ^-, ^iQ = -y-
2. a)KP-~, KD2-^-\ 6)KD = ^-, KC = ^-; e)KD' = ^-, KP'=^. L	L	L	L	Лл
3. a)PQ_=a42, РС2=Ц-\ 6)PK^^, PQ = ^; в)РС\=аЛ, РК' = ^.
116
4 ч а>/39 аЛ ч ах/21 Q2A. а)б)в)
п ч а\/5 хч а\!1 v ал/19
2. а) —; б) в) —.
о ч а\/35	а>/7 ч a\li3
3. а) —; б) —; в)
со 4 ч а>/3 aV3 хч 6а За а
63.1. а) — и —; б) у и в) * на.
о . aVlO aV10 xv а
2. а) — и —; 6) и
б-: в) 6 и 6 
_	. а-77 2aj7 2а>/2
3- а> То- " — б> —
2а>/2	. a-j23 ajft
и ~Г’ в) —и ~г-
69.1. а) б) а, в) О	э
п \ zf\ а>/3 v а\/41 2. а; 2=0— = «> —20
о \ а>/б хч aV145 ч а>/42
3. а) —; б) —; в) —.
*7л 4	\	xv 3aV182 ч 3aV30
70.1. а)	6)	<,) —.
п ч а^2 хч chjbfo v а\/31
2. а) б) —; в) —
о v aV205 хч aV17 х За\/10
3. а) б) —; в) —.
j \ uvou uvioz v ayjtc
71.1. а)— ;б)—:в) —
2Ч uyjv иуи ч .а) —; б) в)а.
_ 6а За Зал/221
3. а) у, б) у; в) -52-
117
4 \ аУ^ ау^ \ Qyfi 72.1.^— ,6)— -.в)—.
п ч a\f5 хч aV14 ч л730
2. а) —, б) —; в) —
о ч а4в хч За\/5 ч aV266
3. а) б) —; в) -й-.
. в-Уз ,,	. 2а>/3
77.1. а) -у; б) а\ в) —у.
_	,2а 2аТб . 2а>/3
2. а) у б) —; в) —
3. а) . Указание. Так как МА || СХЕ, то прямая МА параллельна плоскости ВС\Е. Тогда расстояние от любой точки прямой МА до плоскости ВС\Е одно и то же. Найдите расстояние от точки А1 — середины ребра МА — до плоскости ВСХЕ.
б) • . Указание. B{D II МА и МА || С\Е. Тогда BtD || С\Е. Найдите расстояние от
точки К — середины отрезка BtD — до плоскости ВСХЕ. в) ; г)
. 4а>/17 .. аЛ7 . 2eV17	. 2а>/34
78.1. а) —; 6)—-.е) —; г) —.
2. а)
с\/б xv «>/б ч а\/б ч а\/б
—: б> -&'в) лг: г) чг-
З.а)
а-Л5 a-J15	. a-J15	. a-J15
—: б) -jg-; в) —; г)
79.1. а;
2а%/33	4в>/33	. 2а>/33
~й“: б) ~ЗГ' в) “33“
2. а)
Vlv xv uviu V UXJ 1U з“; б> — •> -Т5--
З.а)
а^2 xv 0V2 v а42 V в> — 
80.1. а)
а^5	а\[5 ч 2а\[5
— 6> —  "> —•
118
_ . 2a-j5 2aj5 . 2aV5
2. a) —; 6) —; в) —
Q \	\ О\/б
3. a) —; 6) —; в)
81.1. a) ? 6) —; в) —; г) —; д) —; e) —
2.а)а\б)а\в) —; г) p d) —; e) —.
Q \	\ Qy^ \	\ a
3. a) a; б) a\ в) —; г) —; д) —; e) .
QO 4	. 2a42 ХЧ a-j2 4 aVlO aVlO - a>/l(j
82.1. a) -3-; 6) —; в) —г) d) -3-; e)
n \	За\/19 ч За>/19 ч За>/Г9 Злх/Тэ 4
2. а)а-,б) в) —; г) —; д) —; e)
а>/2
3a>/46
46 *
o ч а^2 ау/в ч 3а\/34 ч ал/51 aV14 ч а>/3
3- а> — 6> — • •> — г> ~т 'д> ~гГ'е> —
qq j \ 2а>/5 х\ fl'x/s v а>/5	» а\/5 л. а>/2	а>/3	» а>/3
83.1. а) —; б) —; в) —; г) —; д) —; е) —; ж) —
n < a>/3 Z4 aV2 . aV21 4	a>/3Q	. a-jb
г- “> — e> — ') — ~tr- Э) e> —
О \	\ Ол/б v А\/б v v Ал/б
3. a) 6) 2; в) —; г) —; д) a\ e) —.
л> л \ o>/2	x>\ g>/6 к &\/2
84.1. a?—; 6) —; в) —
п ч 3дл/13 xx 3aJ13 v 3a
2- “> —; e> -26-; e> -
3. a) —; 6) —; в) —.
85.1. a) arctg-^-; 6) arccos-^-; в) arccos-^-; г)90°;Э) arccos^; e)90°. Z	о	О	1*
2. a) arctg>/5; 6)30°;e) arccos-^-; г) arccos-^-; d) 30°; e) 90°. Io	10
119
- .	4V110	х/ГТ .	7>/143	.	17л/407
3. a) arccos — ; б) arccos-р-; в) arccos ; г) arccos —.
о„ J X >/105 ..	х/42	,	2>/105	„	5-У14
86.1. a) arccos ; б) arccos——; в) arccos- - ; г) arccos . 13	14	33	4Z
2. a) arccos^p-; б) arccos р; в) arccos-|; г) arccos-^. lv	3	lv
\/б	v30	v3
3. a) arccos-^-; 6) arccos-^—; в) arccos-^-; г) 6	10	6
2>/30 arccos-^— 13
1	3
87.1. a) arccos6) 90°; в) arccos—.
2. a) 90°; 6) arccos-^-; в) arccos-^-. 10	6
\/3	1	1
3. a) arccos-y-; 6) arccos-; в) arccos-.
88.1. a) 90°; 6) 90°; в) arccos-^-.
3
_	.	х/39	V13	.	4x/130
2. a) arccos-—; 6) arccos-—; в) arccos  _g .
Zb	26	65
3. a) arccos^; 6) 60°; в) 60°.
89.1. a) 0°; 6) 30°; в) arcsin^-.
2. a) arctg2; 6) arcsinpp; в) arcsin^p; г) arcsin^p-; d) arcsinpp. lv	3	3	13
3. a) arccos p; 6) arcsin^; в) arcsin-^s г) arcsin-^. Указание. Искомый угол 0	3	3	0
равен углу между плоскостью AB2Ci и прямой В2С2, точка С2 которой — середина ребра СС\.
90.1. а)60°; б) arcsin-p-; в) arcsin—р-; г) arcsin-^-.
2»/|'7	д/17	2-V17
2. a) arcsin ; б) arcsin-^y-; в) arcsin ^ ; г) arcsin--—- .
120
3. a) 45°; б) 45°; в) 30°; г) arcsin—.
91.1. а)60°;б) arcsin-^; в) arcsin
2. a) arcsin^-; б) arcsin^-; в) arcsin рр.
3. а) 45°; б) arcsinв) arcsin-^-. э	э
92.1. а) 30°; б) arcsinв) arcsin-^.
„ .	. >/б	. 2^2	,	. Л
2. a) arcsin—; б) arcsin——; в) arcsin—.
ООО
3. а) 45°; б) arcsin-^-; в) arcsin-^. 6	6
93.1. a) arctg >/2; б) 90°; в) arccos^.
2. a) arctg^y; б) arccos рр-; в) arccos
_	.	4i0 ,,	>/30	, ч/б
3. a) arccos-р-; б) arccos рр; в) arccos—.
94.1. a) arctg 2; б)	90°; в) arccos	.
1	3
2. a) arctg 2; б) arctg-; в) arccos-. Z	э
3	J10
3. a)arctg2; б) arccos—; в) arccos-—.
Э	1U
95.1. а) 90°; б) arccos-^-; в) arccos
Э	У
2. а) 90°; б) arctg |; в) arctg
3. a) arctg 41-, б) arccosв) arccos
121
__ .	.	5V33 xv V33	. Vll
96.1. a) arccos-—-; 6) arccos——; e) arccos——.
33	33	4
2. a) arccos^; 6) arccosв) arccos-^. 5	5	5
» X	>/3 Z,	>/3 V	1
3. a) arccos—; 6) arccos—; e) arccos-. 3	3	3
1	Jiq
97.1. a>90°;6) arctgв) arctg
2	О
2. a) arctg(-5/2); 6) arccos[-в) arccos \ d J
3. a) arctg 6) arctg в) arccos ||.
98.1. a) arctg 2; 6) arccos
arccos
5/
2. a) 90°; 6) arctgв) arccos-^—.
2	36
3. a) 90°; 6) arccos
2V2 arccos —
О
99.1. a) arctg6) arctgв) arctg
2. a) arctg (>/2 tg a); 6) arccos
e) arccos 7~cos 2y.
3. a)90°; 6) arccos-^-; в) arccos-^-.
yj2	( 1 л	5\/3
100. i.a) arctg—; 6) arccosf—ij; в) arccos^-.
2. a) 90°; 6) 45°; в) arccos
3. я,) 30°; 6) arccos в) arccos
Указание. В плоскости АВВ^ через точку А2 проведите прямую АВ{ и найдите точку D, в которой проведенная прямая пересекает АВ. Выразите двумя способами расстояние CD и найдите боковое ребро призмы (оно равно стороне основания).
122
Сводный список аксиом и теорем по курсу геометрии 10 класса
Аксиома 1. Существует по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Аксиома 2. Если три точки не лежат на одной прямой, то через них проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома 3. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
Аксиома 4. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема 3. Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема 4. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема 5. Если прямая пересекает две данные параллельные прямые, то она лежит в плоскости, определяемой этими прямыми.
Теорема 6 (признак параллельности прямых). Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Теорема 7 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то указанные прямые скрещиваются.
Теорема 8 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Теорема 9 (обратная теореме 8). Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает ее, то линия пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой.
Теорема 10 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Теорема 11 (свойство параллельных плоскостей). Если две плоскости параллельны, то и линии их пересечения третьей плоскостью параллельны.
Теорема 12 (признак параллельности плоскостей). Две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны.
123
Теорема 13. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна ей.
Теорема 14. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
Теорема 15. Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
Теорема 16. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, то она перпендикулярна каждой прямой, принадлежащей плоскости, определяемой этими пересекающимися прямыми.
Следствие из теоремы 16 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, то она перпендикулярна плоскости, определяемой этими пересекающимися прямыми.
Теорема 17. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.
Теорема 18. При параллельном проектировании отношение длин параллельных отрезков сохраняется.
Теорема 19. Если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.
Теорема 20 (признак перпендикулярности плоскостей). Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Что вы будете изучать в 11 классе
Перечислим основные темы, которые вы будете изучать в курсе стереометрии И класса.
1.	Метод координат и его применение при решении задач.
2.	Векторы. Координаты векторов. Действия над векторами. Векторно-координатный метод решения задач на построение и вычислительных задач.
3.	Задачи оптимального планирования.
4.	Площадь сечения многогранника.
5.	Правильные и полуправильные многогранники.
6.	Площадь поверхности многогранника.
7.	Объемы многогранников.
8.	Тела вращения.
9.	Объемы и поверхности тел вращения.
10.	Комбинации многогранников и тел вращения.
11.	Комбинации многогранников.
СОДЕРЖАНИЕ
1.	Модель поверхности (задания 1, 2)..................................................3
2.	Модель многогранника (задания 3—6)...................................................7
3.	Развертка пирамиды. Модель пирамиды (задания 7—15).................................................15
4.	Построение сечения пирамиды (задания 16—22)................................................26
5.	Построение пересечения прямых и плоскостей (задания 23—25)............................................... 33
6.	Построение прямой, параллельной заданной прямой (задания 26—28)............................................... 36
7.	Развертка призмы. Модель призмы (задания 29—31)................................................39
8.	Построение сечения призмы (задания 32—37)............................................... 45
9.	Построение прямой, параллельной заданной прямой (задания 38—41)................................................51
10.	Построение сечений, параллельных заданным прямым и плоскостям (задания 42—46)................................................ 55
И. Построение угла между скрещивающимися прямыми (задание 47)..................................................60
12.	Модели заданных многогранников (задания 48—58)................................................ 61
13.	Вычисление расстояния между двумя точками (задания 59—63)................................................ 74
14.	Деление отрезка в данном отношении (задание 64)....................................................79
15.	Построение перпендикуляра к прямой (задания 65—68).................................................80
16.	Вычисление расстояния от точки до прямой (задания 69—72).................................................84
17.	Построение перпендикуляра к плоскости (задания 73—76)................................................ 88
126
18.	Вычисление расстояния от точки до плоскости (задания 77—80)...................................................92
19.	Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми (задания 81—84)...................................................96
20.	Вычисление угла между скрещивающимися прямыми (задания 85—88)...................................................100
21.	Вычисление угла между прямой и плоскостью (задания 89—92)...................................................104
22.	Вычисление угла между плоскостями (задания 93—96)...................................................108
23.	Вычисление двугранного угла (задания 97—100).................................................112
Ответы............................................................116
Сводный список аксиом и теорем по курсу геометрии 10 класса.......123
Что вы будете изучать в И классе..................................125